Temas De Fisica

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Título: Temas de física. Autores: © Luis B. López Vázquez ISBN: 978-84-9948-380-1 ISBN edición en Papel: 978–84–9948–163–0 Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33 C/. Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Maqueta y diseño: Gamma. Telf.: 965 67 19 87 C/. Decano, 4 – San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected]

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TEMAS DE FÍSICA por Luis B. López Vázquez Catedrático de Física

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ÍNDICE

A modo de prólogo........................................................................................11 1. La Física como ciencia........................................................................11 2. La Física y la técnica.......................................................................... 12 -XVWL¿FDFLyQGHODHOHFFLyQGHWHPDV................................................. 12 Tema I: Campos escalares y vectoriales ...................................................... 13 1. Introducción: magnitudes y unidades................................................. 13 2. Campos escalares y vectoriales: representación................................. 15 2.1. Representación de campos escalares ......................................... 15 2.2. Representación de campos vectoriales ...................................... 16 3. Gradiente de un escalar ...................................................................... 17 4. Flujo de un vector. Divergencia ......................................................... 19 5. Teorema de Gauss o de la divergencia ............................................... 23 6. Circulación de un vector. Rotacional ................................................. 24 7. Teorema de Stokes o del rotacional.................................................... 32 8. Operaciones de segundo orden........................................................... 33 8.1. Laplaciana de una función escalar............................................. 33 8.2. Laplaciana de un vector............................................................. 34 9. Bibliografía......................................................................................... 34 10. Problemas de examen....................................................................... 34 Tema II: Movimiento oscilatorio ................................................................. 47 1. Introducción ....................................................................................... 47 2. Oscilador lineal armónico .................................................................. 48 2.1. Ecuación de movimiento ........................................................... 48 2.2. Solución general ........................................................................ 52 5HSUHVHQWDFLyQJUi¿FD............................................................... 55 3. Energía de un oscilador ...................................................................... 57 4. Asociación de resortes........................................................................ 59 4.1. Asociación en serie .................................................................... 60 4.2. Asociación en paralelo............................................................... 60 5. Composición de movimientos oscilatorios ........................................ 61 5.1. Composición de movimientos que se propagan en igual dirección ..61 5.1.a. Movimientos con igual frecuencia y amplitud, y distinto desfase inicial.............................................................................. 61

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5.1.b. Movimientos de igual frecuencia, y distinta amplitud y desfase inicial.............................................................................. 63 5.1.c. Movimientos de distinta frecuencia, igual amplitud y desfase inicial nulo...................................................................... 65 5.2. Composición de movimientos que se propagan en direcciones perpendiculares................................................................................. 68 5.2.a. Movimientos de igual frecuencia. ..................................... 68 5.2.b. Movimientos de distinta frecuencia .................................. 72 6. Movimiento oscilatorio amortiguado. ................................................ 74 6.1. Amortiguamiento fuerte............................................................. 77 6.2. Amortiguamiento crítico............................................................ 79 6.3. Amortiguamiento débil .............................................................. 82 7. Oscilaciones forzadas......................................................................... 85 8. Resonancia ......................................................................................... 88 8.1. Variación de la amplitud con la frecuencia................................ 89 8.2. Resonancia característica........................................................... 90 8.3. Variación del desfase inicial con la frecuencia. ......................... 91 9. Bibliografía......................................................................................... 92 10. Problemas de examen....................................................................... 92 Tema III: Movimiento ondulatorio ............................................................ 127 1. Introducción ..................................................................................... 127 2. Movimiento ondulatorio de una serie de puntos .............................. 129 3. Ecuación diferencial de una onda plana........................................... 132 4. Composición de ondas de igual dirección........................................ 137 5. Composición de ondas de igual frecuencia ...................................... 140 5.1. Interferencias ........................................................................... 140 5.2. Ondas estacionarias ................................................................. 143 6. Bibliografía....................................................................................... 146 7. Problemas de examen....................................................................... 146 Tema IV: Acústica...................................................................................... 161 1. Introducción ..................................................................................... 161 2. Velocidad de las ondas transversales en una cuerda......................... 162 3. Velocidad de las ondas longitudinales.............................................. 164 3.1. En sólidos ................................................................................ 164 (QÀXLGRV................................................................................ 167 4. Ondas estacionarias de presión ........................................................ 169 5. Teoría de Bernouilli de los tubos sonoros ........................................ 171

5.1. Tubos abiertos.......................................................................... 173 5.2. Tubos cerrados......................................................................... 174 6. Intensidad y sonoridad ..................................................................... 175 7. Efecto Doppler.................................................................................. 178 8. Bibliografía....................................................................................... 180 9. Problemas de examen....................................................................... 180 7HPD90HFiQLFDGHÀXLGRV.................................................................... 197 1. Introducción ..................................................................................... 197 &RQFHSWRGHÀXLGR ........................................................................... 197 3. Gasto................................................................................................. 199 4. Ecuación de continuidad .................................................................. 200 ,QWURGXFFLyQDODGLQiPLFDGHÀXLGRV .............................................. 203 6. Ecuaciones de Euler ......................................................................... 204 7. Ecuación fundamental de la dinámica.............................................. 205 8. Potencial de fuerzas y velocidades................................................... 207 9. Ecuación de Bernouilli ..................................................................... 209 10. Aplicaciones de la ecuación de Bernouilli ......................................211 10.1. Tubo de Venturi ......................................................................211 10.2. Tubo de Pitot.......................................................................... 212 10.3. Teorema de Torricelli............................................................. 213 10.4. Sifón....................................................................................... 214 11. Bibliografía..................................................................................... 215 12. Problemas de examen..................................................................... 215 Tema VI: Conducción del calor ................................................................. 233 1. Introducción y postulados ................................................................ 233 1.1. Primer postulado...................................................................... 234 1.2. Segundo postulado................................................................... 234 1.3. Tercer postulado....................................................................... 235 2. Ecuación diferencial de la conducción del calor.............................. 236 3. Conducción del calor a través de una pared plana ........................... 237 3.1. Pared simple ............................................................................ 237 3.2. Pared compuesta ...................................................................... 239 4. Conducción a través de un tubo cilíndrico ...................................... 241 4.1. Tubo cilíndrico simple ............................................................. 241 4.2. Tubo cilíndrico compuesto ...................................................... 243 5. Bibliografía....................................................................................... 244 6. Problemas de examen....................................................................... 244

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Tema VII: Termodinámica ......................................................................... 255 1. Introducción: trabajo y calor ............................................................ 255 1.1. Trabajo. .................................................................................... 257 1.2. Calor......................................................................................... 258 2. Primer principio de la termodinámica.............................................. 259 3. Segundo principio de la termodinámica........................................... 261 3.1. Enunciado del segundo principio ............................................ 261 3.2. Máquina de Carnot .................................................................. 263 4. Escala termodinámica o Kelvin de temperaturas ............................ 264 5. Entropía ............................................................................................ 266 &RH¿FLHQWHVWHUPRGLQiPLFRV ........................................................... 269 7. Funciones de Gibbs y relaciones de Maxwell.................................. 271 7.1. Energía interna......................................................................... 272 7.2. Energía libre de Helmholtz...................................................... 273 7.3. Entalpía libre de Gibbs ............................................................ 273 7.4. Entalpía o calor total................................................................ 274 8. Gases ideales .................................................................................... 275 8.1. Ecuación de estado .................................................................. 276 8.2. Transformaciones en gases perfectos ...................................... 278 8.2.1. Transformación isocora................................................... 278 8.2.2. Transformación isobara................................................... 279 8.2.3. Transformación isoterma ................................................ 279 8.2.4. Transformación adiabática .............................................. 280 8.3. Ley de Mayer........................................................................... 281 8.4. Entropía de un gas ideal........................................................... 282 8.5. Ciclo de Carnot de un gas ideal ............................................... 283 9. Bibliografía....................................................................................... 285 10. Problemas de examen..................................................................... 285 Tema VIII: Teoría cinética de los gases ..................................................... 323 1. Introducción: hipótesis fundamentales............................................. 323 2. Interpretación cinética de la presión................................................. 324 3. Interpretación cinética de la temperatura ......................................... 327 4. Principio de equipartición de la energía ........................................... 328 5. Bibliografía....................................................................................... 332 6. Problemas de examen....................................................................... 332 Tema IX: Óptica......................................................................................... 339 1. Naturaleza de la luz .......................................................................... 339

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1.1. Teoría corpuscular.................................................................... 339 1.2. Teoría ondulatoria.................................................................... 340 1.3. Teoría de la onda material........................................................ 341 2. Velocidad de propagación de la luz ................................................. 342 3. Óptica geométrica ............................................................................ 344 ËQGLFHGHUHIUDFFLyQÈQJXOROtPLWH5HÀH[LyQWRWDO....................... 344 4.1. Índice de refracción ................................................................. 344 ÈQJXOROtPLWH5HÀH[LyQWRWDO ................................................. 345 5. Principio de Fermat .......................................................................... 347 6. Bibliografía....................................................................................... 348 7. Problemas de examen....................................................................... 348 Tema X: Sistemas ópticos centrados.......................................................... 357 ,QWURGXFFLyQGH¿QLFLRQHV ................................................................ 357 2. Ecuaciones de transformación.......................................................... 358 3. Focos: ecuaciones de Newton .......................................................... 360 4. Aumento lateral: planos principales ................................................. 362 5. Distancias focales: ecuación canónica ............................................. 363 6. Aumento angular: puntos nodales y antinodales .............................. 365 6.1. Criterio de signos..................................................................... 365 6.2. Aumento angular...................................................................... 366 6.3. Puntos nodales y antinodales................................................... 367 6.4. Condición de estigmatismo ..................................................... 368 7. Construcción de imágenes................................................................ 368 7.1. Punto situado fuera del eje....................................................... 368 7.2. Punto situado en el eje óptico .................................................. 369 8. Dioptrio esférico: construcción de Weierstrass ................................ 370 8.1. Caso general ............................................................................ 370 8.2. Elementos cardinales ............................................................... 371 8.3. Construcción de Weierstrass.................................................... 372 9. Elementos cardinales de una asociación de sistemas ....................... 374 'HWHUPLQDFLyQJUi¿FD.............................................................. 374 9.2. Determinación analítica........................................................... 376 9.3. Aplicación a una asociación de dioptrios esféricos ................. 377 10. Lentes esféricas: elementos cardinales........................................... 378 10.1. Posición de los focos ............................................................. 378 10.2. Distancias focales .................................................................. 380 10.3. Planos principales .................................................................. 381 11. Tipos de lentes ................................................................................ 381

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Tema XII: Corriente continua .................................................................... 495 1. Introducción ..................................................................................... 495 2. Intensidad y densidad de corriente ................................................... 496 3. Ley de Ohm...................................................................................... 498 4. Efecto Joule ...................................................................................... 500 5. Fuerza electromotriz......................................................................... 502 6. Asociación de resistencias................................................................ 506 6.1. Asociación en serie .................................................................. 506 6.2. Asociación en paralelo............................................................. 506 7. Lemas de Kirchhoff.......................................................................... 507 7.1. Lema de los nudos ................................................................... 507 7.2. Lema de las mallas .................................................................. 508 7.3. Aplicación práctica .................................................................. 508 8. Método de las corrientes cíclicas de Maxwell ................................. 510 9. Aplicaciones de los lemas de Kirchhoff ............................................511 9.1. Amperímetro.............................................................................511 9.2. Voltímetro ................................................................................ 513 9.3. Puente de Wheatstone.............................................................. 514 10. Asociación de pilas......................................................................... 516 10.1. Asociación en serie ................................................................ 516 10.2. Asociación en paralelo........................................................... 516 11. Bibliografía..................................................................................... 517 12. Problemas de examen..................................................................... 517 Tema XIII: Campo magnético ................................................................... 543 1. Introducción ..................................................................................... 543 2. Campo magnético............................................................................. 544 3. Fuerza magnética sobre un conductor.............................................. 545 4. Fuerza magnética sobre un circuito.................................................. 547 5. Campo magnético de la corriente continua: ley de Biot-Savart....... 549 6. Campo creado por un conductor rectilíneo ...................................... 552 7. Campo creado por una espira circular.............................................. 554 8. Campo creado por un solenoide ....................................................... 555 9. Fuerza entre conductores.................................................................. 558 10. Ley circuital de Ampère ................................................................. 561 11. Bibliografía..................................................................................... 562 12. Problemas de examen..................................................................... 563

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12. Centro óptico .................................................................................. 383 13. Lentes delgadas .............................................................................. 385 13.1. Elementos cardinales ............................................................. 385 13.2. Construcción de imágenes ..................................................... 386 14. Bibliografía..................................................................................... 388 15. Problemas de examen..................................................................... 388 Tema XI: Electrostática.............................................................................. 429 1. Introducción ..................................................................................... 429 2. Ley de Coulomb. .............................................................................. 430 3. Campo eléctrico................................................................................ 435 4. Potencial electrostático..................................................................... 437 'H¿QLFLyQ............................................................................................437 4.2. Ejemplo de cálculo del potencial para una distribución continua ...440 5. Teorema de Gauss ............................................................................ 442 6. Aplicaciones del teorema de Gauss.................................................. 446 6.1. Estructura del campo electrostático......................................... 446 6.2. Campo y potencial de una esfera conductora .......................... 449 6.3. Campo y potencial de una esfera aislante............................... 451 6.4. Campo y potencial de una distribución lineal de carga....................453 &DPSR\SRWHQFLDOGHXQDGLVWULEXFLyQVXSHU¿FLDOSODQDGHFDUJD..454 6.6. Campo y potencial entre dos láminas cargadas con cargas de signos contrarios ................................................................................. 455 7. Presion electrostática........................................................................ 456 8. Energía electrostática ....................................................................... 457 8.1. Energía de un sistema de cargas puntuales.............................. 458 8.2. Energía de una distribución continua de carga ........................ 459 8.3. Energía de una esfera conductora ............................................ 461 9. Capacidad: condensadores ............................................................... 462 9.1. Capacidad de un condensador esférico.................................... 464 9.2. Capacidad de un condensador plano ....................................... 464 9.3. Capacidad de un condensador cilíndrico ................................. 465 9.4. Asociación de condensadores .................................................. 465 10. Energía de un condensador............................................................. 467 10.1. Energía de un condensador plano .......................................... 467 10.2. Fuerza entre placas de un condensador plano ....................... 468 11. Bibliografía..................................................................................... 471 12. Problemas de examen..................................................................... 471

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Tema XIV: Inducción magnética ............................................................... 579 1. Ley de inducción de Faraday............................................................ 579 2. F.e.m. Inducida por movimiento de conductores ............................. 582 2.1. Conductor rectilíneo con velocidad lineal constante............... 582 2.2. Espira rectangular con velocidad lineal constante................... 583 2.3. Espira que gira con velocidad angular constante..................... 585 3. Autoinducción e inducción mutua.................................................... 586 3.1. Autoinducción ............................................................................... 586 3.2. Energía de un campo magnético.............................................. 588 &RH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQGHXQFDEOHFRD[LDO.................. 590 3.4. Inducción mutua ...................................................................... 591 &RH¿FLHQWHGHLQGXFFLyQPXWXDGHGRVVROHQRLGHV ................. 592 4. Bibliografía....................................................................................... 593 5. Problemas de examen....................................................................... 594 Tema XV: Corriente alterna ....................................................................... 607 1. Introducción ..................................................................................... 607 2. Circuito en serie RLC....................................................................... 608 2.1. Caso general ............................................................................ 608 2.2. Circuito con resistencia óhmica pura........................................611 2.3. Circuito con autoinducción pura.............................................. 612 2.4. Circuito con capacidad pura .................................................... 612 3. Empleo de notación compleja .......................................................... 613 3.1. Triángulo de impedancias........................................................ 614 3.2. Asociación de impedancias...................................................... 616 4. Valores medios de una corriente alterna........................................... 617 9DORUHVH¿FDFHVGHXQDFRUULHQWHDOWHUQD.......................................... 617 6. Disipación de potencia en un circuito de corriente alterna .............. 619 7. Resonancia de un circuito serie RLC ............................................... 621 8. Curvas de reactancia......................................................................... 622 8.1. Reactancia capacitativa............................................................ 623 8.2. Reactancia inductiva................................................................ 623 8.3. Reactancia................................................................................ 623 8.4. Impedancia............................................................................... 623 9. Bibliografía....................................................................................... 624 10. Problemas de examen..................................................................... 624

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A MODO DE PRÓLOGO

1. LA FÍSICA COMO CIENCIA (O REMHWR GH WRGD FLHQFLD HV FRQRFHU \ FRQ WDO ¿Q FDGD XQD GH HOODV agrupa una serie de conocimientos seguros y ciertos, ordenados siguiendo un método. Sin embargo, las ciencias son cambiantes, es decir, evolutivas, por ORTXHHVGLItFLOWUDWDUGHHVWDEOHFHUXQDGH¿QLFLyQGHFDGDXQDGHHOODVTXH exprese claramente el conjunto de conocimientos que agrupa, y por otro lado, VL SUHWHQGHPRV GH¿QLU FDGD FLHQFLD DWHQGLHQGR DO PpWRGR TXH XWLOL]D SDUD adquirir nuevos conocimientos, es indudable que, hoy por hoy, todas ellas aplican, con mayor o menor éxito, la misma metodología. No es pues tarea IiFLOHQFRQWUDUXQDGH¿QLFLyQFRUUHFWDGHOD)tVLFDGHDKtTXHODPD\RUtDGH ORVOLEURVDXQTXHGH¿QHQDOJXQDSDUWHGHHOODSRUHMHPSORODPHFiQLFDOD ySWLFDHWFVXHOHQHYLWDUGH¿QLUOD 'H WRGDV ODV GH¿QLFLRQHV TXH FRQR]FR HV VLQ GXGD OD GH ' -XOLR Palacios, la que me satisface más. En su libro El lenguaje de la Física y su SHFXOLDU¿ORVRItDODGH¿QHDVtLa Física se propone descubrir y dar forma matemática a las leyes universales que relacionan entre sí las magnitudes que intervienen en los fenómenos reales.(QHVWDGH¿QLFLyQDXQTXHPHKH permitido sustituir “fenómenos naturales” por “fenómenos reales”, se recoge no solo todo lo que la Física es y lo que puede llegar a ser, sino que en ella se HVWDEOHFHQODVGLIHUHQFLDVFRQODVGHPiVFLHQFLDVTXHSRUVXD¿QLGDGFRQHOOD pueden a veces, confundirse. La Física estudia fenómenos reales, y esa es su principal diferencia con las Matemáticas, y dentro de ellos, las magnitudes que intervienen, entendiendo que una magnitud corresponde a una cualidad o propiedad medible, por lo que si una cualidad no es medible, como por ejemplo la bondad, está fuera de la Física, lo que convierte a ésta en una ciencia totalmente cuantitativa y no descriptiva, como en ocasiones ocurre con la Química. Una vez descubiertas las magnitudes que intervienen en los fenómenos reales, hay que relacionarlas matemáticamente para encontrar leyes universales, es decir, establecer relaciones cuantitativas que se cumplan en todo tiempo y en todo lugar. (VWDHVXQDGH¿QLFLyQDELHUWDTXHQRH[FOX\H³DSULRUL´QLQJ~QWLSRSRVLEOH de conocimiento siempre que cumpla las características anteriores, es decir, si alguna vez fuera medible la bondad y apareciese como causa o efecto de un fenómeno real, esta magnitud podría llegar a formar parte de la Física.

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A modo de prólogo

2. LA FÍSICA Y LA TÉCNICA La técnica tiene como objeto dominar el mundo real. Sin embargo, difícilmente puede dominarse algo si no se conoce, de ahí que la Física sea la Ciencia indispensable para llegar a ser un buen técnico, y aunque el hombre IXHDQWHVWpFQLFRTXHFLHQWt¿FRVRORFXDQGRWXYRHOVX¿FLHQWHFRQRFLPLHQWR del mundo real consiguió un espectacular avance técnico. Está claro que en los últimos cien años la técnica ha avanzado más que en los quinientos mil DxRVDQWHULRUHV\HOORVRORHVH[SOLFDEOHGHELGRDOFRQRFLPLHQWRFLHQWt¿FR Hoy por hoy es impensable que la técnica sea solo experimental, y no esté basada en el conocimiento del mundo real que la ciencia aporta. 3. JUSTIFICACIÓN DE LA ELECCIÓN DE TEMAS En la elección de los temas se ha tenido en cuenta que en la Ingeniería Civil, la Mecánica es una asignatura que en los planes de estudio comparte curso con la Física por lo que para evitar repeticiones, se han elegido temas de Mecánica que solo afectan a movimientos oscilatorios y ondulatorios.

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TEMA I: CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

1. INTRODUCCIÓN: MAGNITUDES Y UNIDADES Se entiende por magnitud, cualquier cualidad o propiedad medible. Para SRGHU PHGLU HV QHFHVDULR ¿MDU XQD XQLGDG GH PHGLGD R SDWUyQ FRQ OD TXH VH compare la magnitud que se desea medir para conocer cuántas veces ésta contiene DDTXHOOD6HJ~QHVWRKDEUtDTXHGH¿QLUWDQWDVXQLGDGHVFRPRPDJQLWXGHVItVLFDV 6LQHPEDUJRHVWRQRHVDVtSXHVEDVWDFRQGH¿QLUXQQ~PHUROLPLWDGRGHXQLGDGHV SDUDTXHDXWRPiWLFDPHQWHTXHGHQGH¿QLGDVWRGDVHOODV3RUHMHPSORVLGH¿QLPRV ODXQLGDGGHORQJLWXGFRPR/ODXQLGDGGHVXSHU¿FLHTXHGDUiWRWDOPHQWHGH¿QLGD como L2\ODGHVXSHU¿FLHFRPR/3. Las magnitudes cuya unidad es necesario GH¿QLUUHFLEHQHOQRPEUHGHPDJQLWXGHVIXQGDPHQWDOHVPLHQWUDVTXHHOUHVWRVH llaman magnitudes derivadas. La expresión de una magnitud derivada en función de las magnitudes fundamentales recibe el nombre de ecuación de dimensiones de esa magnitud y es demostrable que cualquier magnitud derivada puede expresarse como producto de magnitudes fundamentales elevadas a un exponente pudiendo ser éste positivo o negativo y entero o fraccionario, es decir: M = AD BE CJ... 'HVGHXQSXQWRGHYLVWDWHyULFREDVWDFRQGH¿QLUGRV~QLFDVXQLGDGHVODXQLGDG GHPDVD\ODXQLGDGGHWLHPSRSDUDTXHHOUHVWRTXHGHQWRWDOPHQWHGH¿QLGDV3DUD poder suprimir una magnitud fundamental y su unidad correspondiente, basta con LQWURGXFLUXQDFRQVWDQWHFRPRHVHOFDVRGHODGH¿QLFLyQGHPHWURTXHVHSXHGH expresar como: L(m) =c(m/s) T(s), siendo c la velocidad de propagación de la luz en el vacío. Tradicionalmente se toman como magnitudes fundamentales la longitud (L), la masa (M) y el tiempo (T), aunque nosotros tomaremos además para expresar la ecuación de dimensiones de cualquier magnitud la temperatura (T) y la carga eléctrica (Q). Un sistema de unidades corresponde al conjunto de unidades que se obtiene DO GH¿QLU ODV XQLGDGHV FRUUHVSRQGLHQWHV D ODV PDJQLWXGHV IXQGDPHQWDOHV /RV sistemas teóricos de unidades que se utilizan toman tres magnitudes fundamentales, y son los siguientes: Sistema Giorgi (MKS): la longitud (metro), la masa (kilogramo) y tiempo (segundo). Sistema Cegesimal: la longitud (centímetro), la masa (gramo) y el tiempo (segundo).

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Campos escalares y vectoriales

Sistema Técnico o Terrestre: la longitud (metro), la fuerza (kilopondio o NLORIXHU]D \HOWLHPSRVHJXQGR 6HOODPDWHUUHVWUHSXHVWRTXHVHGH¿QHOD unidad de fuerza como la fuerza con que la Tierra atrae a un kilogramo masa. Con objeto de facilitar la diseminación de unidades patrón y para que HVWDVVHDQIiFLOPHQWHPDWHULDOL]DEOHVHQFXDOTXLHUODERUDWRULRVHGH¿QLyHO Sistema Internacional o sistema SI único, que además en nuestro país tiene FDUiFWHUOHJDO(QHVWHVLVWHPDVHGH¿QHQVLHWHXQLGDGHVSDWUyQRGHUHIHUHQFLD \ GRV XQLGDGHV VXSOHPHQWDULDV /DV XQLGDGHV IXQGDPHQWDOHV GH¿QLGDV VRQ metro (longitud), kilogramo (masa), tiempo (segundo), amperio (intensidad de corriente eléctrica), grado Kelvin (temperatura), mol (cantidad de sustancia), candela (intensidad luminosa). Las unidades suplementarias que corresponden a magnitudes adimensionales son: radián (ángulo plano), HVWHUHRUUDGLiQiQJXORVyOLGR 'H¿QLUGRVPDJQLWXGHVNLORJUDPR\PROTXH sirven esencialmente para medir lo mismo se debe únicamente al hecho de que las reacciones químicas solo son ajustables en moles. (QFXDQWRDVXQDWXUDOH]DODVPDJQLWXGHVItVLFDVSXHGHQFODVL¿FDUVHHQ magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. 0DJQLWXGHVHVFDODUHVVRQDTXHOODVTXHTXHGDQWRWDOPHQWHGH¿QLGDVFXDQGR se expresa la cantidad y unidad en que se ha medido (t, W, etc.). 0DJQLWXGHV YHFWRULDOHV VRQ DTXHOODVGHQ TXH SDUD VX WRWDO GH¿QLFLyQ HV G necesario representarlas por vectores ( v, F, etc.). Un vector es un segmento de recta en el que se indica un sentido. La longitud del segmento corresponde al módulo (cantidad y unidad), la recta a que pertenece corresponde a la dirección, el punto inicial del segmento recibe el nombre de punto de aplicación y sobre HOSXQWR¿QDOVHLQGLFDPHGLDQWHXQDÀHFKDHOVHQWLGR6LQHPEDUJRQRWRGDV las magnitudes físicas necesitan todos y cada uno de los datos reseñados SDUDVXFRUUHFWDGH¿QLFLyQSRUORTXHVHSXHGHHVWDEOHFHUXQDFODVL¿FDFLyQ de las magnitudes vectoriales en función del tipo de vector requerido para su representación: - Vector ligado es aquel en el que son precisos todos los datos reseñados, es decir, punto de aplicación, sentido, dirección y módulo, por ejemplo, el desplazamiento, la velocidad, etc. - Vector deslizante, que es aquel en el que el punto de aplicación puede ser cualquiera de su recta de dirección como por ejemplo, la fuerza. - Vector libre, que es aquel en que como recta de dirección vale cualquier recta paralela a la dada como por ejemplo, la velocidad angular. Esta diversidad de magnitudes físicas nos obliga a dar reglas estrictas para poder operar con ellas. Así la simple suma de magnitudes vectoriales será realizable solo cuando se trate de vectores libres, vectores deslizantes

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Temas de Física

situados sobre rectas que se cruzan, o vectores ligados concurrentes (con el mismo punto de aplicación), o bien, cuando al multiplicar dos magnitudes vectoriales, el resultado de esta multiplicación corresponda a una magnitud escalar (producto escalar), las reglas para efectuar este producto son distintas de las que corresponden a cuando el resultado del producto es una magnitud vectorial (producto vectorial). 2. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES: REPRESENTACIÓN Se entiende por campo de un magnitud, aquella región del espacio GRQGHGLFKDPDJQLWXGHVWiGH¿QLGD\WLHQHXQYDORU.6LODPDJQLWXGGH¿QLGD es una magnitud escalar, el campo corresponderá a un campo escalar, si la magnitud es vectorial, el campo será vectorial. El valor de la magnitud en cada punto del campo dependerá de las coordenadas del punto y del tiempo. En el espacio tridimensional, y utilizando un sistema cartesiano de referencia, G las coordenadas del punto serán x, y, z, por lo que: 8  I[\]W , ó, v = I¶[\]W . Si dichas funciones no dependen del tiempo (W), se dice que el campo es estacionario. Las funciones son entonces unívocas, es decir, a cada punto del campo le corresponde un único valor de la magnitud. El considerar que el campo de una magnitud es estacionario es siempre posible si pensamos que, realmente, podemos decir: en el instante W 2.1. Representación de campos escalares Dado un campo escalar estacionario, en un espacio tridimensional, GH¿QLGR PHGLDQWH XQ VLVWHPD FDUWHsiano de referencia (8  I[\] ), su representación es muy sencilla, pues consiste en unir todos los puntos con igual valor de la magnitud. Dado que la función es unívoca y continua, dicha representación corresponderá a VXSHU¿FLHVHQYROYHQWHVTXHQRWLHQHQQLQJ~QSXQWRFRP~Q&DGDXQDGHHVWDV VXSHU¿FLHVUHFLEHHOQRPEUHGHVXSHU¿FLHHTXLHVFDODU6LGLFKDUHSUHVHQWDFLyQ se realiza en el plano (8 I[\ ), la unión de los puntos de igual valor de la magnitud corresponderá a una serie de líneas llamadas isolíneas, que serán líneas cerradas que no se cortan. En función de la magnitud concreta de que se 15

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Campos escalares y vectoriales

trate, reciben nombres particulares, así cuando es la temperatura, se llamarán isotermas, isobaras, si es la presión, etc. Por lo general, suelen representarse valores discretos de la magnitud, es decir, variaciones de valores de cinco en cinco, de diez en diez, etc. 2.2. Representación de campos vectoriales G Un campo vectorial, aunque sea estacionario ( v =I[\] ), tiene una representación más compleja, dado que el valor representativo de la magnitud en cada punto es un vector. Para representar un campo vectorial se acude a trazar líneas de campo, que son líneas para las que el vector representativo de la magnitud en cada punto es siempre tangente a ellas. Para trazar la línea de FDPSRTXHSDVDSRUHOSXQWR3VHWUD]DXQVHJPHQWRLQ¿QLWHVLPDOTXHWHQJD G la dirección de v , obteniéndose el punto P’, a partir de este punto, se traza un G QXHYRVHJPHQWRLQ¿QLWHVLPDOHQODGLUHFFLyQGH vc , y así sucesivamente, de tal forma que como hemos dicho, el vector representativo de la magnitud en cada punto es siempre tangente a la línea de campo. Esto nos da la dirección y el sentido del vector, el módulo del vector en cada punto será función de la densidad de las líneas de campo representadas, de tal forma que hay TXH¿MDUSRUFRQYHQLRGLFKRPyGXORHQ función del número de líneas de campo TXHDWUDYLHVHQXQDVXSHU¿FLHXQLGDGTXH contenga al punto en cuestión y normal a la línea de campo que pasa por él. Así SRU HMHPSOR ¿MDGD XQD VXSHU¿FLH GH 1 cm2, por cada línea que atraviese dicha VXSHU¿FLH VL HO FDPSR UHSUHVHQWDGR HV el campo de las velocidades, le podemos hacer que corresponda un módulo de 5 m/s. Dado que la representación de campos escalares es más simple que la la de campos vectoriales, y las operaciones con magnitudes escalares son WDPELpQPiVVLPSOHVTXHFRQPDJQLWXGHVYHFWRULDOHVVHGH¿QHQXQDVHULHGH funciones que nos permiten asociar a un determinado campo, otro de igual o distinto tipo. Estas funciones corresponden al gradiente, la divergencia y el rotacional.

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3. GRADIENTE DE UN ESCALAR Se entiende por gradiente de un escalar, una aplicación vectorial sobre un campo escalar, de tal forma que a cada punto P de un campo escalar en JJJJJ el que G la magnitud vale U, le hace corresponder un vector aplicado en P ( grad U ), cuya proyección sobre cualquier dirección es igual a la derivada de U en el punto P, siguiendo esa dirección. Dado que la proyección de un YHFWRU VREUH RWUR FRUUHVSRQGH D VX SURGXFWR HVFDODU HVWD GH¿QLFLyQ SXHGH expresarse por: JJJJJG JJG JJG grad U ˜ dr = dU , siendo dr , un vector sobre una dirección cualquiera. 5HDOPHQWHHVWDGH¿QLFLyQQRVGLFHSRFRVREUHORTXHHOJUDGLHQWHHV\ VLJQL¿FDSXHVOR~QLFRTXHSRGHPRVGHGXFLUGHHOODHVTXHHOJUDGLHQWHHV independiente del sistema de coordenadas que se utilice. Consideremos un campo escalar estacionario 8 I[\] , en un espacio tridimensional con un sistema cartesiano de referencia, siendo I, una función unívoca, continua y derivable, su derivada será: dU =

wU wU wU dx + dy + dz wx wy wz

JJJJJG G Si el vector dr tiene como componentes (dx,dy,dz), el vector grad U , corresponderá entonces al vector: JJJJJG wU G wU G wU G grad U = i+ j+ k wx wy wz JJJJJG G wU wU wU grad U ˜ dr = dx + dy + dz = dU wx wy wz &RQVLGHUHPRVXQSXQWR3SHUWHQHFLHQWHDXQDVXSHU¿FLHHTXLHVFDODUU G = constante, y el vector dr , como suma de dos vectores, uno situado sobre G G OD VXSHU¿FLH HTXLHVFDODU  GW ), y otro normal a ella ( dn ). Por la propiedad distributiva respecto a la suma, tendremos:

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Campos escalares y vectoriales

JJJJJG JJG JJJJJG JJG JJG JJJJJG JJG JJJJJG JJG JUDG8˜GU JUDG8˜ GWGQ  JUDG8˜GWJUDG8˜GQ G8 JJJJJG JJG JJJJJG JJG El producto: JUDG8˜GW _JUDG8__GW_FRVA  0 , puesto que la derivada de U según la dirección GWDOSHUWHQHFHUDODVXSHU¿FLH8 FWHG8 0, por ORTXHHOiQJXORTXHIRUPDHOYHFWRUJUDGLHQWHFRQODVXSHU¿FLHHTXLHVFDODU ha de ser de S HV GHFLU HO JUDGLHQWH HV XQ YHFWRU QRUPDO D OD VXSHU¿FLH equiescalar a la que P pertenece. Por otro lado, en el producto: JJJJJG JJG JJJJJG JJG JUDG8˜GQ _JUDG8__GQ_FRVB  G8 Dado: ß = 0, obtendremos: JJJJJG dU _JUDG8_  JJG _GQ_ Es decir, el módulo del vector gradiente corresponde a la variación de la magnitud U, en la GLUHFFLyQ QRUPDO D OD VXSHU¿FLH equiescalar a la que el punto P pertenece. El gradiente es, pues, una aplicación por la que a cada punto P de un campo escalar U, se le hace corresponder un vector aplicado en P, cuyo módulo da la variación de la magnitud U en la dirección normal a la VXSHU¿FLHHTXLHVFDODUDODTXH3SHUWHQHFH\VXVHQWLGRFRUUHVSRQGHDOGH los valores crecientes de la magnitud U. 6LGH¿QLPRVXQRSHUDGRUYHFWRULDO³QDEOD´ SRU JJJJJG JG JG w G w G w G ’= i + j + k , entonces: grad U = ’U wx wy wz Si hemos dicho que operar con magnitudes escalares es más fácil que RSHUDU FRQ PDJQLWXGHV YHFWRULDOHV HO GH¿QLU XQD DSOLFDFLyQ TXH OR TXH 18

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realmente hace es, dado un campo escalar, construir sobre él, punto a punto, un campo vectorial, parece que es complicar las cosas. Sin embargo, tenemos que tener en cuenta que la mayor utilidad del gradiente es que si en un campo G vectorial v = I[\] , al efectuar el producto escalar del vector representativo G G de la magnitud ( v ), por un elemento de línea ( dr ), obtenemos una diferencial G G G exacta ( v ˜ dr = dU SRGHPRVD¿UPDUTXHHOFDPSRYHFWRULDO v , deriva de un campo escalar U, que JJJJJ llamaremos potencial escalar de ese campo vectorial, G G de tal forma que: v = grad U . Es decir, el gradiente es algo que nos permite estudiar determinados campos vectoriales a partir del estudio de campos escalares (potenciales), asociados a ellos. 4. FLUJO DE UN VECTOR. DIVERGENCIA G 7RGDVXSHU¿FLHHOHPHQWDOSXHGHUHSUHVHQWDUVHSRUXQYHFWRU ds ), cuyo PyGXORFRUUHVSRQGHDOYDORUGHODVXSHU¿FLH\HVQRUPDODHOOD G G 'DGD XQD VXSHU¿FLH  ds ), en un campo vectorial ( v  VH OODPD ÀXMR HOHPHQWDOGHOYHFWRUDWUDYpVGHODVXSHU¿FLHDOSURGXFWRHVFDODUGHOYHFWRU SRUHOYHFWRUUHSUHVHQWDWLYRGHODVXSHU¿FLH. G JJG G JJG GF  Y˜GV _Y__GV_FRVA  dF > 0 VLĮS/2, entonces se dice que el vector sale de la VXSHU¿FLH dF < 0 VLĮ!S/2, entonces se dice que el vector entra en la VXSHU¿FLH G JJG (OÀXMRWRWDOVHUi F = ³ ³ v ˜ ds &XDQGRFDOFXODPRVHOÀXMRWRWDODWUDYpVGHXQDVXSHU¿FLHFHUUDGDHVWDPRV calculando el exceso de magnitud que sale respecto a la que entra. G G Dado un campo vectorial ( v ), se entiende por divergencia de v , una aplicación escalar que a cada punto P del campo, en el que el valor de G la magnitud es v , le hace corresponder un escalar ligado a dicho punto,

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Campos escalares y vectoriales

G FX\RYDORUHVODGHULYDGDGHOÀXMRGHOYHFWRU v , calculado a través de una VXSHU¿FLHHOHPHQWDOFHUUDGDTXHFRQWHQJDD3

G JJG G ³ ³ s v ˜ ds div v = lim 'T o 0 'T Aunque matemáticamente no sea del todo correcto, podemos decir que ODGLYHUJHQFLDFRUUHVSRQGHDOÀXMRSXQWXDOGHOYHFWRU/DGLYHUJHQFLDHVXQD aplicación escalar sobre un campo vectorial, por la que al vector representativo de la magnitud en cada punto, se le asocia un escalar cuyo valor corresponde DOÀXMRSXQWXDOGHOYHFWRUGHWDOIRUPDTXHVREUHXQFDPSRYHFWRULDOGDGR construye G un campo escalar. Los valores posibles de la divergencia serán: div v > 0 , esto querrá decir que sale más magnitud de la que entra, o lo que es lo mismo, que en dicho punto nacen líneas de campo. Todos los puntos en los que esto ocurre se llaman “manantiales” o “fuentes”. G div v < 0 , esto querrá decir que entra más magnitud de la que sale, o lo que es lo mismo, que en dicho punto mueren líneas de campo. Todos estos puntos se llaman “sumideros”. G div v = 0 , esto quiere decir que llega tanta magnitud como la que sale, o lo que es lo mismo, que a dicho punto, llegan tantas líneas de campo como las que salen de él. Si esto ocurre en todos los puntos del campo, se dice entonces que dicho campo vectorial es solenoidal, siendo entonces sus líneas de campo, líneas cerradas. La divergencia es una aplicación que nos da una idea clara de las características del campo. Si sus líneas de campo son cerradas o abiertas, y en este segundo caso, en qué puntos nacen, y en cuáles mueren. 3RUODGH¿QLFLyQTXHKHPRVGDGRGHGLYHUJHQFLDSDUHFHTXHHIHFWXDUVX cálculo es bastante complejo, sin embargo, veremos que no es así. Supongamos un punto P, dentro de un campo vectorial, G en el que v tiene como componentes (vx, vy, vz), y tomando el punto P como origen de coordenadas, construyamos un sistema cartesiano de referencia. Consideremos un paralelepípedo elemental de lados dx, dy, dz, construido con tres de sus caras 20

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VREUHORVSODQRVSULQFLSDOHV3RUODGH¿QLFLyQTXHKHPRVGDGRODGLYHUJHQFLD G de v HQ3FRUUHVSRQGHUiDOÀXMRGHFDOFXODGRDWUDYpVGHFDGDXQDGHODVVXSHU¿FLHVGHOSDUDOHOHStSHGRHOHPHQWDOGLYLGLGRSRUHOYROXPHQWRWDOGHOPLVPR 3DUDHIHFWXDUHOFiOFXORGHOÀXMRHPSH]DUHPRVSRUFDOFXODUORDWUDYpVGH las dos caras normales al eje x. JJG /DVXSHU¿FLHOWLHQHFRPRYHFWRUUHSUHVHQWDWLYR ds1 (-dydz, 0, 0), luego el G ÀXMRGH v DWUDYpVGHODVXSHU¿FLHVHUi dF1 vx dydz . JJJG (O YHFWRU UHSUHVHQWDWLYR GH OD VXSHU¿FLH ds2 , tendrá como componentes G (dydz,  SRUORTXHHOÀXMRGH v DWUDYpVGHHVWDVXSHU¿FLHFRUUHVSRQGHUi G al producto de la componente x de v , ya que el producto de sus otras dos G componentes será nulo. La componente x de v  VREUH GLFKD VXSHU¿FLH valdrá: vx 

wvx dx wx

JJG HVGHFLUORTXHYDOHVREUHODVXSHU¿FLH ds1 , más lo que varía su valor al desplazarnos a lo largo del eje x una distancia dx. Esta forma de representar el valor de una magnitud en un punto, en función de su valor conocido en otro SXQWRPX\SUy[LPRDpOHVDOJRTXHKDUHPRVFRQIUHFXHQFLD(OÀXMRDWUDYpV JJJG GHODVXSHU¿FLH ds2 , será entonces: dF2

§ wv x · dx ¸ dydz ¨ vx  wx ¹ ©

Si tomamos las dos caras del paralelepípedo y, los vectores JJJG normales al ejeJJJ G UHSUHVHQWDWLYRVGHGLFKDVVXSHU¿FLHVVHUiQ ds3 (0, -dxdz, 0); ds4 (0, dxdz, 0) G La componente y de v VREUHFDGDVXSHU¿FLHVHUi JJJG vy sobre ds3 vy +

JJJG wv y dy sobre ds4 wy

G /XHJRHOÀXMRGH v DWUDYpVGHGLFKDVVXSHU¿FLHVVHUi

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Campos escalares y vectoriales

dF3

v y dxdz ; dF4

wv y · § dy ¸ dxdz ¨ vy  wy © ¹

Si consideramos las dos caras del paralelepípedo normales al eje z, los YHFWRUHVUHSUHVHQWDWLYRVGHGLFKDVVXSHU¿FLHVVHUiQ JJJG JJJG ds5 (0, 0G[G\ ; y, ds6 (0, 0, dxdy). G La componente z de v VREUHFDGDXQDGHODVVXSHU¿FLHVTXHHVOD~QLFD cuyo producto no es nulo, será: JJJG JJJG wv § · vz, sobre ds5 ; ¨ vz  z dz ¸ , sobre ds6 . wz ¹ © G (OÀXMRGH v DWUDYpVGHGLFKDVVXSHU¿FLHVVHUi

dF5

vz dxdy ; dF6

wv z · § dz ¸ dxdy ¨ vz + wz ¹ ©

(O ÀXMR WRWDO FRUUHVSRQGHUi DODVXPDGHORVÀXMRVDWUDYpV de cada una de lasGseis caras, y la divergencia de v será dicho ÀXMR GLYLGLGR SRU HO YROXPHQ total del paralelepípedo, que es: 'T =dxdydz

G div v

wv § · wv x · w § § · dx ¸ dydz + ¨ v y + v y + y dy ¸ dxdz + ¨ vz + vz + v z dz ¸ dydx ¨ vx + vx + w x w y w z © ¹ © ¹ © ¹ dxdydz

G w v w v y w v z JG G div v = x + + =’˜v wx wy wz

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Luego la divergencia de un vector corresponde al producto escalar del operador “nabla” por el vector. 5. TEOREMA DE GAUSS O DE LA DIVERGENCIA El teorema de Gauss o de la divergencia dice que HOÀXMRGHXQYHFWRU FDOFXODGRVREUHXQDVXSHU¿FLHFHUUDGDHVLJXDODODGLYHUJHQFLDGHOYHFWRU FDOFXODGDVREUHHOYROXPHQWRWDOTXHGLFKDVXSHU¿FLHHQFLHUUD G G G v ³³ ˜ ds = ³³³ div v dT s

T

Aunque dicho teorema podría deducirse directamente de la propia GH¿QLFLyQGHGLYHUJHQFLDYDPRVD tratar de demostrar que se cumple esa igualdad, acudiendo simplemente a cuestiones de concepto. &RQVLGHUHPRVXQDVXSHU¿FLHFHUUDda s que contiene un volumen. Dividamos este volumen en volúmenes elementales 'T i , tan pequeños como queramos, estando cada uno

G GHHOORVOLPLWDGRSRUXQDVXSHU¿FLH 'si (OÀXMRGH v calculado a través de s SRGUiH[SUHVDUVHFRPRVXPDGHORVÀXMRVDWUDYpVGHFDGDXQDGHODVVXSHU¿FLHVHOHPHQWDOHV 'si GDGRTXHWRGDVXSHU¿FLHVHUiFRP~QDGRVHOHPHQWRV GHYROXPHQFRQWLJXRVDQXOiQGRVHSRUORWDQWRODVXPDGHVXVÀXMRVDOVHU LJXDOHVSHURGHVLJQRRSXHVWRVDOYRSDUDODVVXSHU¿FLHVTXHFRUUHVSRQGDQD ODVXSHU¿FLHOtPLWHTXHGHWHUPLQDHOYROXPHQ T 

G JJG v ³³ ˜ ds s

n

G

JG

¦ v ˜ 's

i

i 1

Si dividimos y multiplicamos cada uno de estos sumandos, por el valor del volumen 'T i , nos quedará:

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Campos escalares y vectoriales

G JG § v ˜ ' si · ¨ ¸ 'T i ¦ i 1 © 'T i ¹ n

G En donde lo encerrado entre paréntesis, corresponde a la divergencia de v FDOFXODGDVREUHFDGDHOHPHQWRGHVXSHU¿FLH n

G div v 'T i

¦



i 1

i

Teniendo en cuenta que el concepto de integral corresponde a la suma FRQWLQXDGHHOHPHQWRVLQ¿QLWHVLPDOHVQRVTXHGDUi G

³³³ div v ˜ dT

, que era lo que pretendíamos demostrar.

T

6. CIRCULACIÓN DE UN VECTOR. ROTACIONAL Se entiende por circulación de un vector a lo largo de una línea, al producto escalar del vector por el vector representativo de dicha línea: G G G G G& Y˜GO _Y__GO_FRVA  Si queremos calcular la circulación total entre dos puntos: G G C = ³ v ˜ dl B

A

8Q HMHPSOR GH FLUFXODFLyQ HV HO WUDEDMR SXGLHQGR GH¿QLUVH FRPR OD FLUFXODFLyQ GH OD IXHU]D &RPR WRGD LQWHJUDO GH¿QLGD OD FLUFXODFLyQ JR]D de la propiedad de que al invertir su sentido, su valor absoluto permanece invariable pero cambia de signo: A G G G G v ˜ dl = v ³ ³ ˜ dl B

A

B

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G JJJJJG G Si v deriva de un escalar ( v = grad U ), la circulación del vector solo depende del valor del potencial escalar UHQHOSXQWR¿QDOHLQLFLDO\QRGHOD línea o camino seguido entre ambos: B G G & ³Y˜GO A

JJJJJG JJG JUDG 8 ˜ GO ³ B

A

B

³ G8

8% 8$

A

Luego la circulación, en este caso, corresponde a la diferencia de potencial entre ambos puntos. G G JJJG G Dado un campo vectorial ( v ), se denomina rotacional de v ( URWY ), a G una aplicación vectorial que en cada punto P del campo, al vector ( v ), JJJG G le hace corresponder otro vector ( URWY  WDO TXH GH¿QLGD XQD VXSHU¿FLH TXHFRQWHQJDD3ODGLUHFFLyQGHGLFKRYHFWRUHVQRUPDODODVXSHU¿FLHVX G módulo corresponde a la circulación de v a lo largo de la línea que limita GLFKDVXSHU¿FLH\VXVHQWLGRFRUUHVSRQGHDOGHODYDQFHGHXQWRUQLOORTXH se gire en el sentido en el que la circulación se calcula. G URW n v = 'lim S o0

G G v v³ ˜ dl 's

$XQTXH HVWD GH¿QLFLyQ SDUHFH FRPpleja, no lo es tanto. Consideremos un punto P en el que elG valor representativo de la magnitudG es v . Consideremos una línea cerrada ( dl ), que contenga a P y que 's 3RUGH¿QLFLyQ GHOLPLWDXQDVXSHU¿FLH JJJG G el vector URWY será un vector normal a GLFKDVXSHU¿FLHFX\RVHQWLGRGHSHQGHGHO sentido en el que se calcule la circulación G a lo largo de la línea ( dl ), y cuyo módulo corresponderá a la circulación del vector G v en el punto P.

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Campos escalares y vectoriales

Al igual que en el caso de la divergencia, el cálculo del rotacional puede realizarse de forma simple. Consideremos un punto P de un campo G vectorial tridimensional, en el que el v valor representativo de la magnitud es , de componentes. Tomemos el punto P como origen de un sistema cartesiano de referencia, y sobre cada uno de los planos XY,GYZ, ZXGH¿QLPRVXQDVXSHU¿FLHHOHPHQWDO6LFDOFXODPRVODFLUFXODFLyQ de v DORODUJRGHOSHUtPHWURGHFDGDXQDGHHVWDVVXSHU¿FLHV\GLYLGLPRVSRU HOYDORUGHODVXSHU¿FLHREWHQGUHPRVFDGDXQDGHODVWUHVFRPSRQHQWHVGHO JJJG G vector rotacional ( URWY ). Para calcular la componente G x del vector rotacional ( URW x Y ), WHQGUHPRV TXH GH¿QLU XQ rectángulo elemental sobre el plano YZ. A continuación calcularemos la circulación G de v a lo largo de cada uno de sus lados siguiendo el sentido contrario al giro de las agujas de un reloj, para obtener el sentido positivo de G la componente URW x Y : - Lado PP1 (0, dy, 0). La circulación corresponderá al producto escalar de

G v por el lado PP1 :

v y dy - Lado P1 P2 (0, 0, dz). La circulación corresponderá al producto escalar de G G v por el lado P1 P2 , es decir, a la componente z de v por dz, pues los otros dos productos son nulos. Sin embargo, aunque desconocemos el valor de dicha componente sobre P1, su valor será lo que vale en P ( vz ), más lo que varía este valor cuando nos trasladamos una distancia dy a lo largo del eje y, es decir:

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§ · wv z dy ¸ ¨ vz + wy © ¹ G La circulación de v a lo largo del lado P1 P2 , será:

§ · wv z dy ¸ dz ¨ vz + wy © ¹ G - Lado P2 P3 (0, -dy, 0). La circulación de v a lo largo de dicha línea G corresponderá entonces al producto escalar de la componente y de v , pues los otros productos serán nulos. Igual que en el caso anterior, desconocemos el G valor que tiene la componente y de v en el punto P3. Este valor será el valor que tenía dicha componente en el punto P (vy), más lo que ha variado este valor al desplazarnos a lo largo del eje z, una distancia dz, es decir:

wv y § · ¨ v y + wz dz ¸ © ¹ G Luego la circulación de v a lo largo de P3 P , será:

wv y § · - ¨ vy + dz ¸ dy wz © ¹ G - Lado P3 P (0,0,-dz). La circulación de v a lo largo de dicha línea será G entonces el producto de la componente z de v por dz, pues los otros productos

serán nulos. Por otro lado, dado que la línea P3 P , contiene al punto P, la G componente z de v será vz, luego la circulación será: -vz dz G La circulación total de v a lo largo del rectángulo PP1P2P3, será entonces:

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Campos escalares y vectoriales

wv y · § · § wv wv y · wv § v y dy + ¨ vz + z dy ¸ dz - ¨ v y + dz ¸ dy - vz dz = ¨ z ¸ dydz wy ¹ wz © ¹ © © wy wz ¹ 6LGLYLGLPRVSRUODVXSHU¿FLHGHGLFKRUHFWiQJXORdydz), obtendremos la componente x del vector rotacional: G wv z wv y URW x v = wy wz Para calcular las otras dos componentes del rotacional, habrá que seguir un procedimiento análogo. G - URW y Y  6H GH¿QH XQ UHFWiQJXOR HOHPHQWDO QRUPDO DO HMH y. Se calcula la circulación de vG a lo largo de cada lado del rectángulo para obtener la FLUFXODFLyQWRWDO\VHGLYLGHSRUODVXSHU¿FLHGHOUHFWiQJXOR G - Lado PP3 (0, 0, dz). Circulación de v a lo largo de dicho lado: vz dz . G - Lado P3 P4 (dx, 0, 0). Componente x de v en dicho lado:

vx +

wv x dz wz

wv x G § dz Circulación de v a lo largo de dicho lado: ¨ vx + wz © - Lado P4 P5 (0,0,-G]  G Componente z de v sobre dicho lado:

vz +

wv z dx wx

G Circulación de v a lo largo de dicho lado:

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· ¸ dx ¹

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wv § · - ¨ vz + z dx ¸ dz wx © ¹ G - Lado P5 P (-dx, 0, 0). Componente x de v : vx G Circulación de v a lo largo de dicho lado: - vxdx G Circulación total de v a lo largo del rectángulo PP3P4P5:

wv wv § · § · § wv wv · vz dz + ¨ vx + x dz ¸ dx - ¨ vz + z dx ¸ dz - vx dx = ¨ x - z ¸ dxdz wz ¹ wx ¹ © © © wz wx ¹ G wv wv Componente y del vector rotacional: URW y Y  x  z  wz wx G - URW z Y  6H GH¿QH XQ UHFWiQJXOR HOHPHQWDO QRUPDO DO HMH z. Se calcula G la circulación de v a lo largo de cada lado del rectángulo para obtener la FLUFXODFLyQWRWDO\VHGLYLGHSRUODVXSHU¿FLHGHOUHFWiQJXOR - Lado PP5 (dx, 0, 0). G Circulación de v a lo largo de dicho lado: vxdx

- Lado P6 P5 (0, dy, 0). wv y G § · dx ¸ Componente y de v : ¨ v y + wx © ¹ G Circulación de v a lo largo de dicho lado:

wv y § · ¨ v y + wx dx ¸ dy © ¹

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Campos escalares y vectoriales

- Lado P6 P1 (-dx, 0, 0). G Componente x de v sobre dicho lado:

§ · wv x dy ¸ ¨ vx + wy © ¹ G Circulación de v a lo largo de P6 P1 :

§ wv  ¨ vx + x dy wy ©

· ¸ dx ¹

- Lado P1 P (0, -dy, 0). G Circulación de v a lo largo de P1 P : - v y dy G Circulación total de v a lo largo del rectángulo PP5P6P1:

wv y · § · § wv y wv x · wv § vx dx + ¨ v y + dx ¸ dy  ¨ vx + x dy ¸ dx  v y dy = ¨ ¸ dxdy wx ¹ wy © © ¹ © wx wy ¹ G wv y wv x Componente z del vector rotacional: URW z Y    wx wy Luego el vector será: JJJG G § w v w v y · G § w v x w v z · G § w v y w v x · G URWY ¨ z    ¸L ¨ ¸N ¸ M ¨ © wz wx ¹ © wy wz ¹ © wx wy ¹ Que puede escribirse:

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Temas de Física

G i JJJG G JG G w URWY ’u Y   wx

G j w wy

G k w  wz

vx

vy

vz

G Si calculamos el rotacional en todos los puntos de un campo vectorial v , y JJJG G obtenemos: URWY 0 . Se dice entonces que dicho campo es irrotacional, y es G v deriva de un campo escalar U, siendo: demostrable que el campo vectorial G JJJJJG v = grad U

El rotacional es pues una aplicación que asocia un campo vectorial a otro campo vectorial, y que, en general, se pretende que ese campo sea más simple. Consideremos por ejemplo, un disco de radio r que gira en torno a un eje con G W . Cada punto del disco tendrá una velocidad lineal, que velocidad G Gangular G será: v = W u r Apliquemos el operador rotacional, al campo de las velocidades lineales: JJJG G JG G G G URWY ’uY ’uW uU El doble producto vectorial cumple, aunque no vamos a demostrarlo, que: G G G G G G G G G a u b u c = a ˜ c b  a ˜ b c



En nuestro caso, siendo: G G G G G JG § w G w G w G G G W  W x L  W y  M  W z N U [L \M]N ’¨ L   M  wy wz © wx

G· k¸ ¹

Resulta: JJJG G JG G G § wx wy wz · G § w w w ·G URWY ’ u  W u U = ¨ + + ¸ W  ¨ W x + W y + W z ¸ r wy wz ¹ © wx wy wz ¹ © wx

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Campos escalares y vectoriales

JJJG G G ª§ wx G G wy G wz G · wy G wz G º G G URWY = 3W  «¨ W x i  W x j  Wx k ¸+W y j +Wz k » = 3W  W = 2W wx wx ¹ wy wz ¼ ¬© wx

(VWDPLVPDH[SUHVLyQODKXELpUDPRVREWHQLGRDSOLFDQGRODGH¿QLFLyQ G G v ³ ˜ dl

JJJG G URWY  lim  l 's o 0

's

 

2P rv v G  2  2W  2 Pr r

Así pues, aplicando el operador rotacional, el campo de las velocidades lineales se sustituye por el de las velocidades angulares, y como consecuencia, las ecuaciones del movimiento circular son idénticas a las ecuaciones del movimiento rectilíneo sin más que sustituir magnitudes lineales por magnitudes angulares. 7. TEOREMA DE STOKES O DEL ROTACIONAL El teorema de Stokes o del rotacional dice que la circulación de un vector D OR ODUJR GH XQD OtQHD FHUUDGD HV LJXDO DO ÀXMR GHO URWDFLRQDO GH GLFKR YHFWRUFDOFXODGRVREUHXQDVXSHU¿FLHTXHWLHQHHVDOtQHDFRPRERUGH JJJG G G G G Y ˜ GO  URWY ³ ³³ ˜GV l

s

Aunque dicho teorema puede deduFLUVH GH OD GH¿QLFLyQ GH URWDFLRQDO YDmos a tratar de demostrarlo. Consideremos una línea cerrada l, y tomando como borde esa línea, construiPRVXQDVXSHU¿FLHS. 'LYLGDPRV OD VXSHU¿FLH S en super¿FLHV HOHPHQWDOHV 'Si , tan pequeñas como queramos, estando limitada cada una de ellas por una línea li. La circulaG ción de v a lo largo de la línea l podrá expresarse como suma de las circulaG ciones de v calculadas sobre cada elemento li, dado que la circulación sobre cada línea que tenga un elemento contiguo se anulará, pues es recorrida en un 32

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

sentido en el elemento 1, mientras que en el elemento contiguo 2, es recorrida en sentido contrario. Por tal motivo, solo intervendrán en el cálculo de la circulación las líneas que no tengan ningún elemento contiguo, es decir, la línea que corresponde al borde. G JJG n G JJG Y ³ ˜GO ¦ Y˜GOi   i=1

l

6LGLYLGLPRV\PXOWLSOLFDPRVFDGDVXPDQGRSRUHOYDORUGHODVXSHU¿FLH LQ¿QLWHVLPDO JJG § vG ˜ dli · ¨ ¸ 'si ¦ 'si ¹ i=1 © n

G G Lo encerrado entre paréntesis corresponde a URWY , por lo que nos quedará: n

JJJG G

¦ (URW Y) ˜'V i

i

i 1

Teniendo en cuenta que el concepto de integral corresponde a la suma FRQWLQXDGHHOHPHQWRVLQ¿QLWHVLPDOHVQRVTXHGD JJJG G G

³³ URWY˜GV s

Que es lo que queríamos demostrar. 8. OPERACIONES DE SEGUNDO ORDEN 8.1. Laplaciana de una función escalar Se llama Laplaciana de una función escalar a un operador de segundo RUGHQGH¿QLGRSRU

33

ERRNVPHGLFRVRUJ

Campos escalares y vectoriales

JJJJJG JG JG w 2U w 2U w 2U 'U = div grad U = ’ ˜ ’U = 2 + 2 + 2 wx wy wz 8.2. Laplaciana de un vector 6HOODPD/DSODFLDQDGHXQYHFWRUDRWURYHFWRUGH¿QLGRFRPR G JJJJJG G JJJG JJJG G 'Y JUDG GLYY URW URWY  2 2 2 G § w 2v w 2v w 2v · G § w v w v w v · G § w 2v w 2v w 2v ' v = ¨ 2x + 2x + 2x ¸ i + ¨ 2y + 2y + 2y ¸ j + ¨ 2z + 2z + 2z ¨ wy wz ¹ wy wz ¹¸ wy wz © wx © wx © wx

·G ¸k ¹

9. BIBLIOGRAFÍA - Feynman, R.P., Leighton, R.B.,y Sands, M.: FÍSICA. Ed. Fondo Educativo Interamericano. San Juan de Puerto Rico, 1963. - Wills, A.P.: VECTOR ANALYSIS WITH AN INTRODUCTION TO TENSOR ANALYSIS. Ed. Dover Publications Inc. New York, 1958. 10. PROBLEMAS DE EXAMEN 10.1. Hallar las constantes a, b, y c, SDUD TXH OD VXSHU¿FLH U = ax2 + by2 + cz2VHDSHUSHQGLFXODUDODVXSHU¿FLHV = x2 + y2 - 4z, en el punto (2, 2, 2). Calcular un vector unitario en dirección normal a la primera de las VXSHU¿FLHV JJJJJG G G G G G G a) grad U = 2ax i + 2by j + 2cz k = 4a i + 4b j + 4c k JJJJJG G G G G G G grad V = 2 x i + 2 y j - 4k = 4i + 4 j - 4k JJJJJG JJJJJG grad U ˜ grad V = 16a + 16b - 16c = 0 'HGRQGH a + b - c = 0 ; a = b =1; c = 2 JJJJJG G G G b) grad U = 4i + 4 j + 4k

34

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Temas de Física

JJJJJG G G G 4 4 8 G grad U r = JJJJJG = i+ j+ k _JUDG8_ 4 2 + 4 2 + 82 4 2 + 4 2 + 82 4 2 + 4 2 + 82 4 G 4 G 8 G G r= i+ j+ k 96 96 96

10.2. A partir del punto (-1, 3, 2), ¿hacia qué dirección aumenta más rápidamente 2 2 la función F = x  y + z  xy + 2 z ? ¿Y la función G = x 2 + y 2  2 xz  12 ? JJJJJG G G G grad F = ( 2 ( x + y )  y ) i + ( 2 ( x + y )  x ) j + ( 2 z + 2 ) k a)

6XVWLWX\HQGRSDUDHOSXQWRGDGR JJJJJG G G G G G G grad F = (2 (1+ 3)  3) i + (2 (-1+ 3) +1) j + (2 ˜ 2 + 2) z = i + 5 j + 6k JJJJJG G G G grad G = ( 2 x  2 z ) i + 2 y j  2 x k b)

6XVWLWX\HQGRSDUDHOSXQWRGDGR JJJJJG G G G G G G grad G = (2 (1)  2 ˜ 2) i + 2 (3) j - 2 (1) k =  6i + 6 j + 2k 2 2 'DGDVODVVXSHU¿FLHV U = x + 2 y  2 xz  7 = 0 ,

V = 3 x 2  xy + z  4 = 0 hallar el ángulo que forman en el punto (-1, 2, -1). JJJJJG wU G wU G wU G grad U = i+ j+ k wx wy wz

JJJJJG G G G G G grad U = (2 x  2 z ) i + 4 y j  2 x k = 8 j + 2 k JJJJJG G G G G G G grad V = (6 x - y ) i  x j + k =  8 i + j + k JJJJJG JJJJJG grad U ˜ grad V JJJJJG FRVA   JJJJJG _JUDG8__JUDG9 _ 35

ERRNVPHGLFRVRUJ

Campos escalares y vectoriales

FRVA  

8+ 2 10    0 14927 ; A = 1, 42 rad = 81º 20 ' 64 + 4 64  1  1 4488

10.4. Demostrar que cualquiera que sean los valores de a y b, las familias de hipérbolas equiláteras: x2 - y2 = a, xy = b, se cortan en ángulos rectos. JJJJJG G G JJJJJG G G grad U = 2 x i  2 y j ; grad V = y i + x j JJJJJG JJJJJG grad U ˜ grad V 2 xy  2 yx P JJJJJG   FRVA   JJJJJG  0ŸA    2 _JUDG8__JUDG9 _ 4x2 + 4 y 2 + y 2 + x2 JJJJJG 10.5 Calcular: grad F , siendo F

JG rn, r

x2  y 2  z 2 .

JJJJJG wF wr G wF wr G wF wr G grad F = i+ j+ k wr wx wr wy wr wz wF wr x wr y wr z = n r n 1 ; = ; = ; = wr wx r wy r wz r JJJJJG G G G xG y G z G G grad F = n r n 1 i + n r n 1 j + n r n 1 k = n r n  2 ( xi + yj + zk ) = n r n  2 r r r r 10.6. Hallar el módulo y dirección (cosenos directores) del gradiente de la función escalar: U

x 2  y 2  z 2 , en el punto (2, -2, 1)

JJJJJG grad U

wU G wU G wU G JJJJJG i j k ; grad U wx wy wz

JJJJJG grad U

42  42  22

36

G G G 2x i  2 y j  2z k

6

36

ERRNVPHGLFRVRUJ

G G G 4i 4 j 2k

Temas de Física

FRV A

4 6

2 ; FRV B 3

2  ; FRV G 3

1 3

10.7. Hallar el gradiente de la función escalar: U = 2x- xy+2 y2- yz + z2, en el punto (1,1,1), y los puntos estacionarios de dicho campo si los tuviese. a)

JJJJJG grad U

b)

wU G wU G wU G JJJJJG i j k ; grad U wx wy wz

wU wx

2 y

0;

wU wy

x  4 y  z

5HVROYLHQGRHOVLVWHPD 2  y 6HREWLHQH [

7; \

G

G

G

2  y i   x  4 y  z j   y  2 z k

0;

wU wz

0 ;  x  4y  z

2z  y

G G G i 2j k

0

0 ;  y  2z

0;

2 ; ] 1; /XHJR HO SXQWR HV3(7,2,1,)

G G G G 2 2 2 10.8. Sea el vector a x y i + y z j + xz k . Calcular la divergencia de dicho vector en los vértices del cuadrado situado en el plano XY con centro en el origen de coordenadas y 2 m de lado, perpendiculares a los ejes x e y, indicando cuál de ellos es manantial, y cuál sumidero. G div a = 2 xy + 2 yz + 2 xz G (QHOSXQWR(1, -1, 0) div a 2 0DQDQWLDO G (QHOSXQWR(-1, 1, 0) div a =  2 . 6XPLGHUR G (QHOSXQWR(-1, -1, 0) div a = 2 . 0DQDQWLDO G (QHOSXQWR(1, -1, 0) div a =  2 . 6XPLGHUR G G G G G G G G 2 10.9. Dados los vectores D 2 [L 2 \ M2N , E 2 ]L 2 [ M2 y N G G G G Calcular: a) GLYD\GLYE b) div a u b, en el punto (1, 1, 1). G G a) div a = 2 + 2 = 4 ; div b = 0

37

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Campos escalares y vectoriales

G G G i j k G G G G G 2 = (4 y 3  4 x) i + (4 z  4 xy 2 ) j + (4 x 2  4 yz ) k b) a u b = 2 x 2 y 2z 2x 2 y2 G G (QHOSXQWR (1, 1, 1): div [ a u b ] =  4  8 xy - 4 y =  16 JJJJJG 3 2 4 10.10. Si la función escalar: F 2 x y z . a) Probar que: div grad F = 'F . JJJJJG b) Calcular: div grad F en el punto (1, 1, - 1). JJJJJG G G G wF G wF G wF G i+ j+ k = 6 x 2 y 2 z 4 i + 4 x 3 y z 4 j + 8 x 3 yz 3 k a) grad F = wx wy wz JJJJJG div grad F = 12 xy 2 z 4 + 4 x 3 z 4 + 24 x 3 y 2 z 2 2 wF wF = 6 x 2 y 2 z 4 ; 2 = 12 x y 2 z 4 wx wx

2 wF wF = 4 x 3 yz 4 ; 2 = 4 x 3 z 4 wy wy

2 wF wF = 8 x 3 y 2 z 3 ; 2 = 24 x 3 y 2 z 2 wz wz

'F =

2 2 2 wF wF wF + + = 12 xy 2 z 4 + 4 x 3 z 4 + 24 x 3 y 2 z 2 2 2 2 wx wy wz

JJJJJG div grad F

JJJJJG 2 4 3 4 3 2 2 b) div grad F = 12 xy z + 4 x z + 24 x y z 12  4  24 40 G G G G 10.11. Sea el vector X ([3 \])L (\4 []) M(3 [D])N Calcular G G el valor de a, para que dicho vector sea solenoidal. Siendo el vector v = xyz j , G G G G decir si el vector u u v , es solenoidal. Calcular div a u b , en el punto (1, -1, 1).

38

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Temas de Física

G w ( x - 3 yz ) w ( y + 4 xz ) w (3 x - az ) + + = 1 + 1  a = 0 /XHJR, a = 2 a) div u = wx wy wz G i G G b) u u v = x  3 yz 0

G G j k G G y + 4 xz 3x  2 z =  xyz (3x  2 z ) i + xyz ( x - 3 yz ) k xyz 0

G G div (u u v) = - yz (2 x  2 z )  xyz 3 + xy ( x  3 yz )  3 xy 2z =  6 xyz  6 xy 2 z + 2 yz 2 + x 2 y

/XHJRQRHVVROHQRLGDO. G G c) div (u u v ) 6  6  2  1  3 G G G G +DOODUHOÀXMRGH a = 3 x i  2 y j + 5 z k , a través de una esfera de radio 2 y centro en el origen de coordenadas. 2 4 G G G F = ³ ³ a ˜ ds = ³ ³ ³ div a dT = ³ (3  2 + 5)4P r 2 dr = 6 P 23 = 64P = 200,96 3 0

G G G G 10.13. Calcular div a, y grad div a , si a r 2 = x2 + y 2 + z 2 .

G G G r 2 i + yrj + zrk , siendo

G wa wa y waz + a) div a = x + wx wy wz wa y y y 2 waz wax z z2 x ; = r + y = r + =r+z =r+ = 2r = 2 x r r wz r r wx r ; wy y2 + z2 x2 G GLYD 2 [  2U   o también 2 [  3U   r r

39

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Campos escalares y vectoriales

G G G JJJJJG G wdiv a G wdiv a G wdiv a G grad div a = i + j + k b) wx wy wz G wdiv a x y2 + z2 x = 2+ 2  wx r r2 r y G 2 yr  ( y 2 + z 2 ) 2 2 wdiv a y r = \ - \ y  z =2 + 3 wy r r2 r r z G 2 zr  ( y 2 + z 2 ) 2 2 wdiv a z r = 4z  z( y  z ) =2 + wz r r2 r r3 G G G 2G 2 10.14. Si a r i + yrj + zrk , en donde r, es: r JJJJJG G G a) div a . b) grad div a . G a ) div a

§ w r 2 wU w\U w]U · + + ¨ ¸ wy wz ¹ © wr wx

[ \ ] 2r + r + y + r + z r r r

x 2  y 2  z 2 . Calcular:

2

2 x + 2r +

y  z2 r

2

2 x + 3r 

x r

JJJJJG 3x 2 x x 2 x · G § 3 y x 2 y · G § 3z x 2 z · G G§ E JUDGGLYD L ¨ 2   2   ¸  M¨  2   ¸ N¨ + 2 ¸ r r r r ¹ © © r r r ¹ © r r r ¹ JJJJJG x x3 G G§ grad div a i ¨ 2 + + 3 r r ©

· G § 3 y x2 y ¸ + j ¨ r + r3 ¹ ©

· G § 3z x 2 z · + 3 ¸ ¸+ k ¨ r r ¹ © ¹

G G G G G G G i  j  k , v 2i  2 j  3k , determinan una G G G G VXSHU¿FLHFDOFXODUHOÀXMRGHOYHFWRU r i  j  4k , a través de ella. G 10. 15. Si los vectores: u

'DGR TXH HO YHFWRU UHSUHVHQWDWLYR GH XQD VXSHU¿FLH FRUUHVSRQGH DO SURGXFWRYHFWRULDOGHORVODGRVTXHODIRUPDQ

40

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

G S

G G u uv

G i

G j

G k

1

1

1

2 2 Q

G G G i  5 j  4k

3

G G r ˜ S 1 ˜1  1 ˜ 5  4 ˜ 4 20

JJJG G JJJG JJJG G G G G G 10.16. Sea el vector a = x 2 y i + y 2 z j + xz 2 k . Calcular: a) URWD . b) URWURWD . JJJG JJJG G JG JG G G c) Demostrar que: URWURWD ’(’˜D )’ 2 D . G i JJJG G w a) URWD   wx

G j w wy

G k G G G w    \ 2 L  ] 2 M [ 2 N wz

x2r

y 2r

z 2r

G i JJJG JJJG G w b) URW URWD   wx

G j w wy

 y2

z2

G k G G G w   2 ]L 2 [ M 2 \N wz  x2

JG JG G G G G G JG c) ’ (’ ˜ a )  ’ 2 a = ’ ( 2 xy + 2 yz + 2 xz )  ( 2 y i + 2 z j + 2 x k ) JG JG G G G G G G G G G G G ’(’ ˜ a )  ’ 2 a = (2 y + 2 z )i + (2 x + 2 z ) j + (2 y + 2 x)k  (2 yi + 2 zj + 2 xk ) = 2 zi + 2 xj + 2 yk

JG JG G G /XHJR ’ ’ ˜ D  ’ 2 D



JJJG JJJG G URWURWD

G G G G 10.17. Sea a = xr i + yr j + zr k , siendo r 2 dicho vector es irrotacional.

x 2 + y 2 + z 2 . Demostrar que

wr x wr y wr z = ; = ; = wx r wy r wz r

41

ERRNVPHGLFRVRUJ

Campos escalares y vectoriales

G i JJJG G w URWD   wx xr

G j w wy yr

G k w  wz zr

z·G § z x· G § x y· G § y ¨ ]  \ ¸L ¨ [  ] ¸ M ¨ \  [ ¸N 0 r¹ r¹ r¹ © r © r © r

JJJG JJJJJG 2 y 10.18. Siendo F = 3 x e sen z , calcular: URWJUDGF . JJJJJG G G G grad F = 6 x e y sen z i + 3x 2 e y sen z j + 3x 2 e y FRV]N G i w wx

JJJG JJJJJG URWJUDGF   

G j w wy

G k w  wz

6 [H y VHQ] 3[ 2 H y VHQ] 3[ 2H y FRV] JJJG JJJJJG URW JUDGF

G G G (3 [ 2 H y FRV]  3 [ 2 H y FRV] )L  (6 [H y FRV]  6 [H y FRV] M  (6 [e y senz - 6 xe y senz )k = 0

G 10.19. Siendo v

JJJG JJJJJG G G G G x 3 i - ( x + y + z ) j + x z 2 k . Calcular: URWJUDGGLYY

en el punto (1, 1, 1). G w ( x 3 ) w ( x + y + z ) w ( xz 2 ) div v = + + = 3 x + 1 + 2 xz wx wy wz G G G JJJJJG G G G w (div v ) G w (div v ) G w (div v ) G grad div v = i+ j+ k = (6 x + 2 z ) i + 2 x k wx wy wz G i JJJG JJJJJG w G URW JUDGGLYY  wx 6x  2z

G j

G k G G G w w   0L (2  2) M0N 0 wy wz 0 2x

JJJJJG G /XHJR( grad div v ), HVXQYHFWRULUURWDFLRQDO

42

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

G G 10.20. Si D F U Y, en donde F U es una función de r, siendo G G G G G r = x 2 + y 2 + z 2 , y v = x i + y j + z k , probar que a es irrotacional.

JJJG G URWD

G G G i j k w w w   wx wy wz F U [ F U \ F U ]

G § wF U ] wF U \ · G § wF U [ wF U ] · G § wF U \ wF U [ · L¨    ¸ M ¨ ¸ ¸ N ¨ wz ¹ wx ¹ wy ¹ © wz © wy © wx

JJJG G G § wr wr · G § wr wr · G § wr wr · URWD L ¨ ]F cU  \F cU ¸ M¨ [F cU  ]F cU ¸N¨ \F cU  [F cU ¸ wy wz ¹ wz wx ¹ wx wy ¹ © © ©

JJJG G G G G y z z x x y URWD L (]F cU  \F cU ) M([F cU  ]F cU )N(\F cU  [F cU ) 0 r r r r r r

G 10.21. Si v 1, 1).

JJJG G URW Y

G i w wx

G G JJJG G G G G 2 ’ Y ˜ URW Y , en el punto (1, 2 xz i  yz j  3xz k , calcular



2

G j w wy

G k w wz



G G \L  4 []  3 ] 2 M

2 xz 2  yz 3xz 2 G JJJG G Y ˜ URW Y

2 [\] 2  4 []  3] 2 \]

G G JJJG G ’ Y ˜ URW Y





2 [\] 2  3 \] 3

G G G 2 \] 2 L  2 [] 2  3] 3 M  4 [\]  9 \] 2 N

G G JJJG G (QHOSXQWR  ’ Y ˜ URW Y





G G G 2L  M  5N

G 10. 22. Demostrar si el campo vectorial: v admite un campo escalar U, y calcularlo.

G

G

G

 y  z i   x  z j   x  y k ,

43

ERRNVPHGLFRVRUJ

Campos escalares y vectoriales

a) JJJG G G § w x  y w x  z · URW Y L ¨  ¸ wz ¹ © wy

G § w  y  z w x  y · G § w x  z w  y  z · M¨   ¸N ¨ ¸ 0 wx ¹ wy ¹ © wz © wx

/XHJRDGPLWHXQSRWHQFLDO8SRUTXHHVLUURWDFLRQDO b)

JJJJJG w8 JUDG 8 ; wx

G Y

8

\  ] Ÿ8

 \  ] [  I ( \, ] ) ;

[\  \]  ][  J ] ;

/XHJRODVROXFLyQHV:8 O bien:

wU wx

vx Ÿ U

wU wz

w8 wy

[ \

[ ]

[

wI ( \, ] ) Ÿ I ( \, ] ) wy

]\  J ( ] )

wg z wg z Ÿ 0 Ÿ J ] FWH wz wz

[\  \]  ][  FWH

³  y  z dx  y  z x  C ; 1

wU wy

vy Ÿ U

³ x  z dy x  z y  C

wU wz

vz Ÿ U

³ x  y dz x  y z  C ;

2

3

6XPDQGR \ HOLPLQDQGR WpUPLQRV LJXDOHV: U

xy  yz  zx  C

10. 23. Si entendemos que el trabajo de una fuerza es su circulación, calcular el trabajo G G G 2 realizado por la fuerza F 3 xy i  2 y j , DOFLUFXODUDORODUJRGHOWUDSHFLRGHOD¿JXUD7RGDVODVGLVWDQFLDVHVWiQHQ metros. (QODUHFWD2$[ \\SRUWDQWRG[ G\: 1,1 A 0

DW

³

0,0

G F ˜ ds

1,1

³ 3xy ˜ dx  2 y

0,0

2

˜ dy

1

1

ª x3 º x ˜ dx «3» ³0 ¬ ¼0 2

44

ERRNVPHGLFRVRUJ

1 J 3

Temas de Física

(QODUHFWD$%\ \SRUWDQWRG\  2,1

DW

B A

³ 3xy ˜ dx  2 y

2

˜ dy

1,1

2

2

³ 3x ˜ dx 1

ª 3x 2 º « 2 » ¬ ¼1

9 J 2

(QODUHFWD%&[ \SRUWDQWRG[  2,0 C B

DW

³ 3xy ˜ dx  2 y

2

˜ dy

2,1

0

0

³ 2 y 1

2

˜ dy

ª 3 y3 º « » ¬ 3 ¼1

(QODUHFWD&2\ \SRUWDQWR)  D Wc0 DW

2 J 3

0

1 9 2 11   0 J 3 2 3 2

45

ERRNVPHGLFRVRUJ

ERRNVPHGLFRVRUJ

TEMA II: MOVIMIENTO OSCILATORIO

1. INTRODUCCIÓN Al plantearnos el estudio del movimiento de un sistema, lo primero que tenemos que tener en cuenta es el número de grados de libertad que tiene, pues este número corresponde al número de relaciones linealmente independientes que tenemos que encontrar, para poder resolver el problema de conocer, para cada instante concreto, cuál es la posición que cada elemento del sistema ocupa, y qué velocidad y aceleración tiene. Un sistema completo, e integrable, es decir, con solución, se dice que es un sistema holónomo, y la mayor parte de los sistemas lo son. Un sólido enteramente libre es un sistema holónomo con seis grados de libertad, mientras que una esfera que gira y se traslada VLPXOWiQHDPHQWH VREUH XQ SODQR ¿MR D SHVDU GH WHQHU VROR WUHV JUDGRV GH libertad, no lo es. Vamos a empezar el estudio del movimiento, por el sistema más simple, que es aquel con un solo grado de libertad, y consecuentemente, nos basta establecer una relación, y si ésta es integrable, obtener la solución buscada. Esta condición la cumple el movimiento rectilíneo uniforme o uniformemente acelerado, pero también el movimiento oscilatorio. En ocasiones se toman como sinónimos los términos oscilación, vibración y ondulación u onda, aunque realmente no lo son. Una oscilación corresponde a un movimiento de vaivén hacia uno y otro lado de una posición de equilibrio central, movimiento idéntico para todos los elementos que constituyen el sistema. Una vibración es también un movimiento de vaivén respecto a una posición de equilibrio central pero en la que las características del movimiento de cada elemento o parte pueden ser distintas. Un péndulo oscila, una cuerda de guitarra vibra. La propagación de una oscilación o una vibración a través de un medio constituye lo que se llama onda, es decir, onda u ondulación es una perturbación periódica, sea ésta la que sea, que se propaga a través de un medio. Una oscilación puede ser libre, cuando solo intervienen fuerzas internas, o forzada, cuando es una fuerza externa la que obliga a oscilar al sistema. Cuando se estudia el movimiento oscilatorio, puede tenerse en cuenta la existencia de la fuerza de rozamiento, inherente a todo movimiento, con lo que entonces hablaremos de movimiento oscilatorio amortiguado, o por el contrario, puede estudiarse el movimiento oscilatorio de forma ideal, sin tener HQ FXHQWD HO UR]DPLHQWR UH¿ULpQGRQRV HQWRQFHV DO movimiento oscilatorio 47

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Movimiento oscilatorio

sin amortiguamiento. Estudiaremos cada uno de estos casos separadamente, empezando por el más simple, que corresponde al movimiento oscilatorio libre sin amortiguamiento. 2. OSCILADOR LINEAL ARMÓNICO 2.1. Ecuación de movimiento Recibe el nombre de oscilador, una masa unida a un resorte elástico. El oscilador se dice que es lineal, cuando la fuerza que el resorte ejerce es función lineal de la posición que la masa ocupa, es decir: ) I[ . En cualquier otro caso se dice que el oscilador es no lineal o alineal. Supongamos que mediante la acción de una fuerza, separamos la masa de la posición de equilibrio inicial, llevándola a la posición x, es decir, producimos un alargamiento del resorte. Si como hemos dicho, el resorte es WRWDOPHQWHHOiVWLFRVHYHUL¿FDUiODOH\GH+RRNHTXHGLFHVLPSOHPHQWHTXH la deformación es proporcional a la causa que la produce. El decir que XQDPDJQLWXGHVSURSRUFLRQDODRWUDVLJQL¿FDTXHVHSXHGHHVWDEOHFHUXQD igualdad entre ambas magnitudes sin más que multiplicar una de ellas por un FRH¿FLHQWHGHSURSRUFLRQDOLGDG(QQXHVWURFDVRODFDXVDFRUUHVSRQGHDOD fuerza aplicada, y la deformación, al alargamiento que ha sufrido el resorte que coincidirá con la posición que la masa ocupa, es decir: F=k x

(OFRH¿FLHQWHGHSURSRUFLRQDOLGDGHQWUHIXHU]DDSOLFDGD\DODUJDPLHQWR producido, y que corresponde a una característica elástica del resorte, se denomina constante recuperadora, y su valor es: k=

F x

En el Sistema Internacional (SI), se mide en: N/m Su ecuación de dimensiones es: >N@ 

[F]  0 7 2 L

La constante recuperadora es una característica elástica del resorte, cuyo valor corresponde a la fuerza que hay que aplicar para producir un alargamiento unidad, y que pudiéramos llamar rigidez del resorte. Según su magnitud, los 48

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Temas de Física

UHVRUWHVVHSRGUiQFODVL¿FDUHQ³GXURV´VLHOYDORUGHODIXHU]DDDSOLFDU\ consecuentemente, el valor de esta constante, es muy elevado, o “blandos” o ³ÀRMRV´FXDQGRVXYDORUHVPX\SHTXHxRHVGHFLUFXDQGRXQDIXHU]DGHPX\ pequeño valor produce un gran alargamiento. Si cesa la acción de la fuerza, el resorte, al ser elástico, produce una fuerza igual y de sentido contrario a la que ha producido su deformación: F=-k x

La acción de esta fuerza elástica hace que la masa vuelva a la posición de equilibrio, pero cuando llega a este punto, lo hace con una aceleración, por lo que su fuerza de inercia comprime el resorte hasta que la aceleración se anula. En este instante, el resorte está comprimido, por lo se generará en él una fuerza elástica que tratará de llevar de nuevo la masa a la posición de equilibrio, reanudándose de nuevo todo el proceso. En ausencia de rozamiento, la compresión que sufre el resorte tendrá idéntico valor que su alargamiento, por lo que el movimiento de la masa corresponde a un movimiento de vaivén a uno y otro lado de una posición de equilibrio central, es decir, un movimiento oscilatorio, movimiento que se repite cada cierto tiempo, que denominaremos período de oscilación (7), llamándose frecuencia (I), al número de oscilaciones por unidad de tiempo. Si tenemos en cuenta el segundo principio de Newton, e igualamos la fuerza elástica del resorte, que es la fuerza productora del movimiento, con la fuerza de inercia, obtendremos: 2

N[ PD P

d x  P[ GW 2

Ordenando términos, nos queda:  P[N[ 0

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Movimiento oscilatorio

Que constituye la ecuación diferencial del movimiento oscilatorio. Esta ecuación diferencial es la que tenemos que integrar si queremos encontrar la ecuación del movimiento oscilatorio, es decir, la función que relaciona la posición, llamada en este caso particular, elongación, y el tiempo, corresponde DXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHVFRQVWDQWHVWLSRGHHFXDFLRQHV diferenciales cuya integración es fácil, y cuyo método general de integración estudiaremos. Si dividimos la expresión anterior por la masa, obtenemos:  x

W=

k x =  x W2 x= 0 P

k P

Recibe el nombre de pulsación del movimiento oscilatorio.

Dimensionalmente, esta magnitud corresponde a:

1/ 2

>W @

>k @ 

1/ 2

1

 0 1/72  7 1 1/ 2 0 0

En el Sistema Internacional (SI), se mide en radianes/s. La pulsación, también llamada frecuencia angular, está relacionada con la frecuencia y el período del movimiento oscilatorio, a través de la expresión:

W  2P  I  

2P  7

dx Volviendo a la ecuación de partida, si multiplicamos por: x = = v , GW obtendremos:   [N[  [P[ 0

Esta expresión la podemos escribir en la forma:

50

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G ª P 2 N 2 º x  x » 0 GW «¬ 2 2 ¼ De donde se deduce que: P 2 N 2 [  [  FWH 2 2 Para calcular el valor de la constante de integración que aparece en esta expresión, es necesario conocer una relación entre la posición y el valor de la velocidad en esa posición, cosa que es fácil dado que cuando la masa está separada la máxima distancia de la posición de equilibrio, es decir, cuando la elongación es máxima, llamándose entonces amplitud, la velocidad se hace cero, puesto que se invierte el sentido del movimiento, es decir: Para: x = A Ÿ x = 0 Sustituyendo estos valores en la expresión anterior obtenemos como valor de la constante de integración: k FWH   A2 2 Entonces, la expresión anterior queda: P 2 N 2 x  x 2 2

N 2 A 2

De esta expresión, podemos despejar el valor de la velocidad, y expresar ésta, en función de la posición o elongación, obteniendo: x 2

k 2 A  x 2 ; x  P

r

k P

A2  x 2

rW

A2  x 2 =

dx GW

Expresión de la que separando variables, podemos, por integración, obtener la ecuación de movimiento buscada:

51

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Movimiento oscilatorio

³ W GW ³

r dx A2  x 2



Si elegimos el signo negativo, la integral de la expresión anterior será: x W WD  DUFFRV  A Expresión que puede escribirse en la forma: [ $ FRV W WD   Si elegimos el signo positivo, obtendremos: x W WD  DUFVHQ  A Que puede escribirse: [ $VHQ W WD   La obtención de dos soluciones distintas se debe a que la constante de integración depende de las condiciones iniciales, es decir, de la posición que ocupa la masa en el instante inicial. De todas formas, esta segunda solución puede considerarse un caso particular de la primera, dado que: Pº P Pº ª ª [ $FRV«W W  D  » $ «FRV W W  D FRV  VHQ (W W  D ) VHQ » $VHQ W WD   2¼ 2 2¼ ¬ ¬

2.2. Solución general /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SDUWLGD OLQHDO FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV tiene un método general de integración, consistente en efectuar un cambio de variable, de tal forma que se obtiene una ecuación algébrica llamada ecuación característica, cuyas raíces hay que calcular. El cambio de variable es: x eLW 52

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Sus derivadas son: x L eLW ;  x L 2 eLW Sustituyendo en la ecuación diferencial de partida, obtenemos: PL 2 HLW NHLW   PL 2 N HLW  0 Esta expresión se ha de cumplir para cualquier valor del tiempo, y para TXHHVWRVHDDVtVHKDGHYHUL¿FDUTXH PL 2 N 0 Esta expresión recibe el nombre de ecuación característica de la ecuación diferencial, y como vemos, es una ecuación algébrica cuyas raíces son: L

-

k P

-1 W

r iW

Luego las raíces de la ecuación característica son dos raíces complejas: L1 = i W ; x1* L2

- i W ; x2*

A1* eLW W A2* e  LW W

La solución general corresponderá a la parte real de la función compleja: x*

A1*eLW W  A2* e  LW W

Si consideramos el plano complejo, el plano cuyo sistema de referencia HVWiFRQVWLWXLGRSRUXQHMHGHDEVFLVDVHQHOTXH¿JXUDQORVQ~PHURVUHDOHV PLHQWUDVTXHHQHOHMHGHRUGHQDGDV¿JXUDQORVQ~PHURVLPDJLQDULRVGHWDO forma que cada punto del plano pueda quedar representado por un versor, elemento similar al vector de posición de un punto en el espacio afín, y que como él, admite múltiples formas de representación. Dentro de ellas, vamos a considerar preferentemente las siguientes:

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Movimiento oscilatorio

- Suma de una parte real y otra imaginaria: a r b i - En función del módulo del versor, y de su argumento, que corresponde al ángulo que forma con el eje real: $ FRVD r LVHQD  - Mediante las fórmulas de transformación de Euler, cuya relación con la notación anterior es: $HiD  $ FRVD LVHQD  $H  iD  $ FRVD LVHQD  Esta posibilidad de utilización del plano complejo condujo a Gauss a considerar que un movimiento oscilatorio armónico podía considerarse como la proyección sobre el eje real, de un movimiento circular uniforme realizado sobre el plano complejo. Volviendo a la solución de la ecuación, para obtener la parte real de la función, vamos a considerar que las constantes de integración que en ella ¿JXUDQ SXHGHQ HVFULELUVH FRPR SURGXFWR GH XQD SDUWH UHDO LGpQWLFD SDUD ambas, y una parte imaginaria que corresponde a dos complejos conjugados, de tal forma que: A1* =

A  iD e 2

A2* =

A iD e 2

La función solución quedará entonces en la forma: x* =

A  LD LW W LD  LW W A ( e e  e e ) = eL (W W D )  e L (W W D ) 2 2

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Temas de Física

Aplicando las fórmulas de transformación de Euler, obtendremos como parte real de la función: A [  FRV (W W  D )  L VHQ (W W  D )  FRV (W W  D )  L VHQ (W W  D )  $FRV(W W  D ) 2

Que corresponde a la solución general buscada. 5HSUHVHQWDFLyQJUi¿FD La ecuación de movimiento de un oscilador lineal armónico corresponde a la expresión: [ $ FRV(W W  D ) En la que: A, corresponde a la amplitud, y W W  D , a la fase, y dentro de ella, W es la pulsación o frecuencia angular, y D es el desfase inicial. Para la velocidad y la aceleración, obtendremos:   [

dx  W $VHQ(W W  D ) GW

2 d x  [  2  W 2 $FRV(W W  D ) GW

Si queremos representar JUi¿FDPHQWH OD SRVLFLyQ OD velocidad y la aceleración de la masa del oscilador para cada instante, dado que corresponden a funciones sinusoidales periódicas, los máximos y mínimos se repetirán cada período de tiempo. Para la posición: Máximos: [ $FRV(W W0  D ) 1 , de donde: 55

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Movimiento oscilatorio

W W0  D  

2P 7D W0  D  2P NW0  N7   7 2P

Mínimos: [ $FRV(W WP  D )  1 W WP  D  

2P 7 7D WP  D  (2N  1)P WP  (2N  1)   7 2 2P

Ceros: [ 0FRV(W WR  D ) 0 W WR  D  

2P P WR  D  (2N  1)  2 7

WR  (2N  1)

7 7D   4 2P

Para la velocidad:  W $VHQ(W W0  D ) 1 , de donde: Máximos: [ W W0  D  

2P 3P 37 7 D W0  D   W0     7 2 4 2P

 W $VHQ(W WP  D ) 1 Mínimos: [ W WP  D  

2P P 7 7D WP  D   WP     7 2 4 2P

 0VHQ W WR  D ) 0 Ceros: [ W WR  D 

2P N7 7 D WR  D  NP WR     7 2 2P

Para la aceleración:

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Temas de Física

Máximos:  [ W 2 $FRV(W W0  D )  1 , de donde: W W0  D  

2P W0  D  (2N  1)P  7

7 7D W0  (2N 1)   2 2P [ W 2 $FRV(W WP  D ) 1 Mínimos:  W WP  D  

2P 7D WP  D  2NP WP  N7   7 2P

Ceros:  [ 0FRV(W WR  D ) 0 W WR  D  

2P P 7 7D WR  D  (2N 1) WR  (2N 1)   7 2 4 2P

3. ENERGÍA DE UN OSCILADOR Al efectuar la primera integración de la ecuación que nos describía el movimiento de un oscilador lineal armónico, obteníamos: P 2 N 2 x  x 2 2

N 2 A 2

(OSULPHUWpUPLQRTXH¿JXUDHQHVWDH[SUHVLyQ Ec =

P 2 P 2 x = v 2 2

Corresponde a la energía cinética de la masa m, desplazándose con una velocidad v, luego si la expresión ha de ser homogénea, los otros dos términos corresponderán también a energías. Si tenemos en cuenta que otro tipo de energía mecánica corresponde a la llamada energía potencial, o energía debida a la posición, podemos calcular su valor, teniendo en cuenta que la 57

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Movimiento oscilatorio

masa está sometida a la acción de la fuerza que el resorte ejerce sobre ella, por lo que el trabajo que hay que realizar para separarla de su posición de equilibrio corresponde al valor de su energía potencial, y será: E p = ³ Fdx = ³ kx dx =

k 2 x 2

El valor máximo que puede alcanzar esta energía potencial es: E S 0D[ =

k 2 k x0D[ = A2 2 2

Este valor corresponde, igualmente, al valor máximo de la energía cinética: EF 0D[ =

P 2 P P N 2 N 2 2 x0D[ = W A = A = A 2 2 2 P 2

Esto nos indica que la expresión inicial corresponde a la de la energía total del oscilador lineal armónico, cuyo valor para cada posición x será la suma de su energía cinética más su energía potencial. Si representamos la variación del valor de ambas energías en función de su posición, obtendremos una parábola que pasa por el origen de coordenadas, siendo simétrica respecto a las posiciones negativas y positivas. Un concepto importante de un movimiento oscilatorio lo constituye su intensidad, entendiendo que se llama intensidad de un movimiento oscilatorio armónico a la energía cinética media en un período, es decir: 7

7

1 1 PW 2 $2 ,  ³ P[ 2 GW   sen 2(W W )GW 7 02 27 ³0 58

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Efectuando el cambio de variable obtenido, teniendo en cuenta la expresión trigonométrica del coseno del ángulo doble: FRV2W W FRV 2 W WVHQ 2 W W 12VHQ 2 W W Obtenemos para el valor de la intensidad: 7

, 

PW 2 $2 1  FRV2W W  GW 27 ³0 2 7

PW 2 $2 ª W VHQ2W W º PW 2 $2 I =  = 27 «¬ 2 4W »¼ 0 4 Teniendo en cuenta la relación de la pulsación con la frecuencia, la intensidad puede escribirse como: , 

PW 2 $2 P4P 2 I 2 $2    PP 2 I 2 $2  4 4

Es decir, la intensidad de un movimiento oscilatorio es directamente proporcional al cuadrado de su amplitud y al de su frecuencia. 4. ASOCIACIÓN DE RESORTES Si un oscilador está formado por una masa unida a más de un resorte, siempre que el núPHURGHUHVRUWHVVHDXQQ~PHUR¿QLWRSRGUHmos utilizar todas las expresiones anteriormente obtenidas, si calculamos la constante recuperadora equivalente de la asociación de que se trate. Dado que solo existen dos tipos posibles de asociación, en serie y en paralelo, vamos a calcular la constante equivalente de dos resortes, en ambos tipos de asociación, teniendo en cuenta que si la asociación es mixta con más de dos resortes, será necesario aplicar la expresión que en cada caso corresponda, serie o paralelo, a cada par de resortes, hasta hacer intervenir a todos ellos. 59

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Movimiento oscilatorio

4.1. Asociación en serie Una asociación en serie consiste en la unión de cada resorte a continuación del anterior, de tal forma que se aplica la fuerza sobre el último resorte asociado, la deformación sufrida por el conjunto es la suma de las deformaciones parciales que sufre cada resorte asociado, es decir, si consideramos una asociación en serie de dos resortes, tenemos: xWRWDO

x1  x2

Dado que: x = 

F k

sustituyendo en la expresión anterior, obtendremos: xWRWDO



F kE

x1  x2



F F  k1 k2

De donde: 1 1 1 = + k E k1 k2 El inverso de la constante recuperadora equivalente de una asociación en serie de resortes es la suma de los inversos de las constantes recuperadoras de los resortes asociados. 4.2. Asociación en paralelo Una asociación en paralelo corresponde a la unión de los extremos de cada resorte asociado a un punto común, de tal forma que la deformación que sufre cada resorte es la misma e igual a la deformación total, mientras que la fuerza que produce dicha deformación es distinta para cada resorte, siendo la fuerza total aplicada, la suma de cada fuerza individual, es decir: FWRWDO

- k ( x F1 + F2

 k1 x  k2 x

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Temas de Física

De donde: k E = k1 + k2 La constante recuperadora equivalente de una asociación en paralelo de resortes es la suma de las constantes recuperadoras de los resortes asociados. 5. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS OSCILATORIOS Para poder calcular cuál es la ecuación del movimiento que describe un punto o masa sobre la que simultáneamente inciden dos o más movimientos oscilatorios, tenemos que aplicar el principio de superposición, que dice que el movimiento resultante sobre un punto de dos o más movimientos concurrentes es la suma de cada uno de ellos, considerando que actúan independientemente. Por comodidad a la hora de efectuar los cálculos correspondientes, utilizaremos notación compleja, de tal forma que representaremos cada movimiento concurrente por un versor con su módulo y argumento, obteniendo el movimiento real resultante por la proyección sobre el eje real, de la suma de los versores representativos de cada movimiento, teniendo en cuenta que la suma de versores se efectúa de forma idéntica a la suma de vectores. 5.1. Composición de movimientos que se propagan en igual dirección 5.1.a. Movimientos con igual frecuencia y amplitud, y distinto desfase inicial El decir que dos movimientos oscilatorios tienen igual frecuencia VLJQL¿FDTXHWLHQHQWDPELpQLJXDO su pulsación y su período, es decir: I1  I 2 Ÿ W1 W 2  W Ÿ 71 72 Si la amplitud es la misma: A1 = A2 Tomamos como desfases iniciales: D1 = 0 ; D 2 z 0 61

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Movimiento oscilatorio

Las ecuaciones de ambos movimientos escritas en forma compleja serán: x1* = A1 eLW W ; x2* = A1e 

L W W D 2

El movimiento resultante se obtendrá, aplicando el principio de superposición, sumando la ecuación de ambos movimientos:



x* = x1* + x2* = A1 eLW W  e 

L W W D 2

= A 1  e e  iD 2

LW W

1

Esta ecuación corresponde a la ecuación de un movimiento oscilatorio de igual frecuencia que la de los movimientos concurrentes, cuya amplitud es la parte real del número encerrado entre paréntesis, y cuyo desfase inicial tendremos que calcular a través de su tangente, que corresponderá a la parte imaginaria del versor, dividida por su parte real. La parte real de la amplitud se obtiene calculando el módulo del versor, es decir, multiplicando por su complejo conjugado y extrayendo la raíz cuadrada del número así obtenido, es decir: A2 = A12 1  e  iD 2 1  eiD 2 = A12 1  e0  eiD 2  e  iD 2 Aplicando las fórmulas de transformación de Euler, obtendremos: $2  $12 2  2 FRV D 2  2 $12 1  FRV D 2 Si utilizamos la expresión trigonométrica del coseno del ángulo doble, podremos obtener más cómodamente la raíz de la expresión anterior, por lo que teniendo en cuenta: FRVD 2  FRV2

D2 D D D  FRV 2  2 VHQ 2  2  2FRV 2  2 1 2 2 2 2

Obtendremos: D · D § $2  2 $12 ¨ 2 FRV 2 2 ¸$ 2 $1FRV 2 2¹ 2 ©

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Temas de Física

El ángulo correspondiente al desfase inicial del movimiento resultante se obtiene a través de su tangente, dividiendo la parte imaginaria por la parte real de la función, pudiendo expresarse en función de sus componentes, obteniendo: WJD  

‚ ( x* ) A1 sen D 2 sen D 2      ƒ( [) $1$1FRVD 2 1FRVD 2

El movimiento resultante es pues un movimiento oscilatorio de igual frecuencia que los movimientos concurrentes, cuya ecuación es: [ $FRV(W W  D ) 5.1.b. Movimientos de igual frecuencia, y distinta amplitud y desfase inicial 6L GRV PRYLPLHQWRV RVFLODWRULRV WLHQHQ LJXDO IUHFXHQFLD VLJQL¿FD TXH tienen también igual su pulsación y período, es decir: I1 I 2 Ÿ W1 W 2  W Ÿ 71 72 Sus amplitudes serán: A1 z A2 Sus desfases iniciales: D 1 z D 2 z 0 Las ecuaciones de ambos movimientos, escritas en forma compleja, serán: x1*

A1 eL (W W D1 ) ; x2*

A2 eL (W W D 2 )

El movimiento resultante se obtendrá aplicando el principio de superposición, sumando la ecuación de ambos movimientos: x*

x1*  x2*

[A1eL (W W D1 )  A2 e

L (W W D 2 )

] ( A1 e  LD1  A2 eLD 2 )eLW W

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Movimiento oscilatorio

Esta ecuación corresponde a la ecuación de un movimiento oscilatorio de igual frecuencia que la de los movimientos concurrentes, cuya amplitud es la parte real del número encerrado entre paréntesis, y cuyo desfase inicial tendremos que calcular a través de su tangente, que corresponderá a la parte imaginaria del versor, dividida por su parte real. La parte real de la amplitud se obtiene calculando el módulo del versor, es decir, multiplicando por su complejo conjugado, y extrayendo la raíz cuadrada del número así obtenido, es decir: A2

( A1e  iD1  A2 e  iD 2 )( A1eiD1  A2 eiD 2 )

A12 + A22 + A1 A2 (ei (D1 D 2 )  e  i (D1 D 2 ) )

Aplicando las fórmulas de transformación de Euler, obtendremos: $2  $12 $22 2 $1 $2 FRV(D 1  D 2 ) El valor máximo que puede tomar la amplitud será: A0D[ = A1 + A2 , y se producirá cuando ambos movimientos están en fase: D 1  D 2 = 0 El valor mínimo de la amplitud será: APLQ = A1  A2 ,y se producirá cuando el desfase entre ambos sea: D 1  D 2 = P El ángulo correspondiente al desfase inicial del movimiento resultante se obtiene a través de su tangente, dividiendo la parte imaginaria por la parte real, que en función de sus componentes, nos da: WJD  

‚ ( x* ) A1 sen D 1 + A2 sen D 2    ƒ( [* ) $1FRVD 1  $2 FRVD 2

El movimiento resultante es pues un movimiento oscilatorio de igual frecuencia que la de los movimientos concurrentes, cuya ecuación es: [ $FRV W W  D 

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Temas de Física

5.1.c. Movimientos de distinta frecuencia, igual amplitud y desfase inicial nulo Si ambos movimientos tienen distinta frecuencia, también tendrán distinta pulsación y período, es decir: I1z I 2 ŸW1zW 2 Ÿ71z72 Si la amplitud es la misma: A1 = A2 = A Los desfases iniciales nulos: D 1 = D 2 = 0 Las ecuaciones de ambos movimientos escritas en forma compleja serán: x1*

AeLW1W ; x2*

A eLW2W

El movimiento resultante se obtendrá, aplicando el principio de superposición, sumando la ecuación de ambos movimientos: x*

x1*  x2*

A (eLW1W  eLW2W )

3DUDSRGHUGHGXFLUDOJRVLJQL¿FDWLYRVREUHHOPRYLPLHQWRUHVXOWDQWHYDPRV a efectuar un cambio de variable: W1  W 2 = 2 W W1  W 2 = 2 A Por lo que: W1 = W  A W2 = W  A Quedándonos la ecuación del movimiento resultante: x*

x1*  x2*

A (eL (W A )W  eL (W A )W ) = A (eLA W  e  LA W ) eLW W

Aplicando las fórmulas de transformación de Euler a lo encerrado entre paréntesis, y tomando solo la parte real de la expresión resultante, obtendremos: 65

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Movimiento oscilatorio

[ 2 $FRVA WFRVW W

El movimiento resultante no es un movimiento oscilatorio sino el producto de dos movimientos oscilatorios, siendo el segundo de los movimientos, modulado por el primero. El primero de los movimientos oscilatorios tiene amplitud 2A, y pulsación: A=

4P W1  W 2 , siendo su período: 7A   W1  W 2 2

El segundo de los movimientos oscilatorios tiene amplitud 1, y pulsación:

W=

4P W1  W 2 , y período: 7W   W1 + W 2 2

Si los movimientos incidentes tienen distintas frecuencias pero de valores muy próximos, entonces: W1  W 2 W1  W 2 Ÿ7W 7A Si queremos tener una idea de como es el movimiento resultante, podemos DFXGLUDUHDOL]DUXQDUHSUHVHQWDFLyQJUi¿FD(QHOHMHGHDEVFLVDVVHUHSUHVHQWD el tiempo, teniendo en cuenta que basta con representar un tiempo máximo igual a 7Į, puesto que a partir de este tiempo se repite el movimiento. En el eje de ordenadas se representa la posición, que corresponde a cada uno de los dos movimientos separadamente, uno de amplitud 2A, y el otro de amplitud 1. A continuación se representa el producto de ambos, teniendo en cuenta que los ceros de cualquiera de ambos movimientos son ceros del producto, los puntos +1 del segundo movimiento tendrán el valor que en ese punto alcance el primer movimiento oscilatorio, mientras que para los puntos -1, se obtendrá el valor del primer movimiento pero cambiado de signo, de tal forma que si trazamos la curva simétrica al primer movimiento, estarán sobre ella. Uniendo estos puntos, se obtendrá el movimiento resultante, que no corresponde a un movimiento oscilatorio, sino a un movimiento periódico que se denomina modulado, en el que los máximos de amplitud cambian de forma progresiva, dando lugar a lo que se llaman batimientos.

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Temas de Física

Realmente, el sistema para modular movimientos oscilatorios corresponde a la superposición del movimiento anterior, con otro movimiento oscilatorio de igual frecuencia y de amplitud un múltiplo entero superior a 2 veces su amplitud. De esta forma se consigue, manteniendo la misma posición para los máximos del movimiento, que estos adquieran un valor de amplitud muy elevado. La ecuación de los movimientos que se superponen, es: [1 2 $FRVA WFRVW W[2  %FRVW W , siendo: B = nA ; n > 2 Aplicando el principio de superposición, el movimiento resultante se obtendrá sumando las ecuaciones de los movimientos concurrentes, es decir: ª 2 º [ [1[2  %«1  FRV A W »FRVW W ¬ n ¼

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Movimiento oscilatorio

Para conocer cuál es el movimiento resultante podemos acudir a realizar XQDUHSUHVHQWDFLyQJUi¿FDWRPDQGRFRPRHMHGHDEVFLVDVHOWLHPSR\FRPR eje de ordenadas la elongación. El movimiento FRVZW tiene como amplitud 1, y período 7Z Si desplazamos el eje de abscisas hasta una altura B, y representamos sobre él un movimiento oscilatorio de amplitud 2B/n, y período 7D, este movimiento, dado que n!GDUiVLHPSUHXQDHORQJDFLyQSRVLWLYD Multiplicando ambos movimientos obtendremos el movimiento resultante, teniendo en cuenta que los ceros corresponden a los ceros del movimiento de período 7Z, los máximos vendrán dados por el valor que tenga el movimiento de período 7D en el instante en que los valores de FRVZW 1, mientras que los mínimos tendrán, cambiado de signo, el valor que tenga el movimiento de período 7D cuando FRVZW = -1. El movimiento FRVZW tiene como amplitud 1, y período7Z. 5.2. Composición de movimientos que se propagan en direcciones perpendiculares 5.2.a. Movimientos de igual frecuencia Tomemos uno de los movimientos como dirección x, y el otro, que consideraremos desfasado respecto a él, y con distinta amplitud, en la dirección normal que tomaremos como eje y. Las ecuaciones de ambos movimientos serán: [ $FRVW W

\ %FRV W W  D Ambas expresiones constituyen, en su conjunto, las ecuaciones paramétricas de la trayectoria resultante, por lo que como veremos cuando efectuemos HOFiOFXORJUi¿FRGHODWUD\HFWRULDTXHEDVWDFRQGDUYDORUHVDOSDUiPHWURW, para tener cada punto (xi, yi), de la trayectoria resultante. Sin embargo, para obtener la ecuación de la curva trayectoria, tendremos que eliminar el parámetro, por lo que desarrollando la segunda ecuación, y sustituyendo en ella el valor del parámetro obtenido de la primera, tendremos: 2 x x 2  FRVW WVHQW W  1  FRV W W  1  2 A A

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Temas de Física 2 y x x  FRVW WFRVD VHQW WVHQD   FRVD  1  2 VHQ D B A A

Ordenando términos y elevando al cuadrado, obtendremos: 2

2 § y x · § x ·     FRV D     1     VHQ 2 D  ¨ ¸ ¨ 2 ¸ B A © ¹ © A ¹

De donde: y B

2

 2

x2

x y  FRV 2 D VHQ 2 D   2  FRVD  VHQ 2 D  AB A 2

Dado que estamos en el plano: VHQ 2 D FRV 2 D  1 Luego la expresión de la ecuación de la trayectoria es: 2

2 x y y x  2 2  FRVD  VHQ 2D 2 AB A B

Esta ecuación representa la familia de elipses que tienen como asíntotas los ejes de coordenadas, y pueden inscribirse en un rectángulo que tiene por lados, de -A a +A, en el eje x, y de -B a +B, en el eje y. Si consideramos el caso particular de que: G = 0 2

2 x y y x + 2 2 =0 2 AB A B

De donde, resulta: 2

B § x y · ¨  ¸ =0; y= x A © A B ¹

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Movimiento oscilatorio

Por lo que en este caso, la trayectoria resultante no es una elipse sino una recta, la diagonal del rectángulo correspondiente al primer cuadrante. Si consideramos el caso particular de que: G = S, obtendremos: 2

2 x y y x + 2 +2 =0 2 AB A B

De donde, resulta: 2

B § x y · ¨ + ¸ =0; y=  x A © A B ¹ Por lo que en este caso tampoco la trayectoria resultante es una elipse sino que es una recta, la diagonal del rectángulo correspondiente al segundo cuadrante. Si consideramos el caso particular de que: D

P , resultará: 2

2

2 y x + 2 =1 2 A B

La trayectoria resultante es una elipse centrada que tiene como ejes los ejes de coordenadas. Si consideramos el caso de que: D =

3P , obtendremos: 2

2

2 y x + 2 =1 2 A B

Que corresponde a la misma elipse que en el caso anterior, es decir, a una elipse centrada con los ejes. Sin embargo, aunque matemáticamente ambos casos den la misma ecuación de la trayectoria, físicamente tienen una diferencia, las elipses se recorren en sentidos distintos. Mientras que, en el primer caso, se recorre en sentido contrario al giro de las agujas de un reloj, y este sentido de recorrido se produce en todos los casos en los que el desfase

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entre ambos movimientos está comprendido entre: 0 < G < S. En el segundo caso, se recorre en el mismo sentido al giro de las agujas de un reloj, e igual ocurre a todas las trayectorias resultantes de la composición de movimientos perpendiculares cuyo desfase esté comprendido entre: SįS /D WUD\HFWRULD UHVXOWDQWH SXHGH REWHQHUVH JUi¿FDPHQWH GH XQD IRUPD sencilla utilizando las ecuaciones paramétricas inicialmente expresadas, dando valores al parámetro W, y calculando para dicho valor los valores correspondientes de x e y. La trayectoria se obtiene de la siguiente forma práctica:

- Se construyen dos circunferencias, una con radio A en la parte inferior derecha, de la que se obtendrá el valor correspondiente a la coordenada x, y otra de radio B, en la parte superior izquierda, de la que se obtendrá el valor correspondiente a la coordenada y. 6H¿MDSDUDFDGDXQDGHODVFLUFXQIHUHQFLDVFXiOHVHOSXQWRLQLFLDOHV decir, el valor de las coordenadas x e y, para el instante: W . Esto dependerá de la función trigonométrica (sen, ó FRV), y del desfase inicial į, y su signo. - A partir de este punto, se divide cada circunferencia en valores angulares idénticos siguiendo el sentido contrario al giro de las agujas de un reloj, y se numeran dichos puntos. - Se trazan por cada punto de igual número, rectas paralelas al eje de coordenadas contrario a la coordenada que da cada circunferencia, 71

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Movimiento oscilatorio

hasta alcanzar el punto de corte entre las rectas perpendiculares entre sí, correspondientes a ambas circunferencias. - Se unen entre sí, todos los puntos obtenidos por corte de las rectas anteriormente trazadas, siguiendo el orden de numeración, hasta que se alcanza de nuevo el punto inicial para ambas circunferencias. La curva así obtenida corresponde a la trayectoria. 5.2.b. Movimientos de distinta frecuencia La ecuación de cada uno de los movimientos será: [ $FRVW1W \ %FRV W 2W  D Ambas expresiones constituyen en su conjunto, las ecuaciones paramétricas de la trayectoria resultante. Sin embargo, en este caso, dado que el número de curvas trayectorias resultantes es enorme, y muy distintas entre sí, la ecuación que obtendríamos eliminando el parámetro WQRVHUtDVLJQL¿FDWLYD /DV WUD\HFWRULDV UHVXOWDQWHV UHFLEHQ HO QRPEUH JHQpULFR GH ¿JXUDV GH Lissajous, y si la relación de frecuencias entre ambos movimientos es un número racional, la trayectoria resultante es una curva cerrada que se repite después de un período, un tiempo 7 cuyo valor es: 7 Q171 Q2 72 Siendo: 71 Q2 W 2 = = 72 Q1 W1 Para poder obtener la trayectoria, el mejor sistema es acudir a la UHSUHVHQWDFLyQJUi¿FDRSHUiQGRVHGHIRUPDVLPLODUDODGHVFULWDSDUDHOFDVR de que ambos movimientos tuviesen igual frecuencia, es decir: - Se construyen dos circunferencias, una con radio A en la parte inferior derecha, de la que se obtendrá el valor correspondiente a la coordenada x, y otra de radio B, en la parte superior izquierda, de la que se obtendrá el valor correspondiente a la coordenada y.

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Temas de Física

6H¿MDSDUDFDGDXQDGHODVFLUFXQIHUHQFLDVFXiOHVHOSXQWRLQLFLDOHV decir, el valor de las coordenadas x e y, para el instante: W 0. - Se realiza la división de ambas circunferencias asignando número consecutivo a partir del primero, y siguiendo el sentido contrario al giro de las agujas de un reloj en ambas circunferencias, teniendo en cuenta que si la circunferencia que nos da la coordenada x, se divide en valores angulares Į, la otra circunferencia, hay que dividirla en ángulos: A W B  W 2 W W 2   A  2  W1 W1 Dado que: A  W1W - Se trazan por cada punto de igual número, rectas paralelas al eje de coordenadas contrario a la coordenada que da cada circunferencia. - Se unen, entre sí, los puntos obtenidos por corte de las rectas anteriormente trazadas, siguiendo el orden de numeración. Dependiendo de la relación de 73

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Movimiento oscilatorio

frecuencias, la curva resultante será cerrada, es decir, periódica, mientras que en RWURVFDVRVVHUiDELHUWDSRUORTXHQRVHSRGUi¿QDOL]DUVXUHSUHVHQWDFLyQ 6. MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO El movimiento del oscilador lineal que hemos descrito no es real puesto que al no tener en cuenta el rozamiento, fuerza que se opone al movimiento, FRQWLQXDUtD GHVSOD]iQGRVH LQGH¿QLGDPHQWH \ OD UHDOLGDG LQGLFD TXH HQ ausencia de una fuerza externa, toda masa que se desplaza acaba parándose. La fuerza de rozamiento es pues una fuerza siempre presente, que se opone al movimiento, y cuyo valor es proporcional y de sentido contrario, a la velocidad: Fr = - B x = - B

dx GW

La constante de proporcionalidad ß, entre fuerza de rozamiento y velocidad, se denomina constante dinámica de rozamiento y dimensionalmente corresponde a: >)@ 0/7 2 > B @     07 1 1 >9@ /7 En el sistema S.I. se mide en: 1PV-1 El movimiento de un oscilador lineal, cuando se tiene en cuenta el rozamiento, da lugar al movimiento amortiguado. Teniendo en cuenta que la fuerza que genera el movimiento es la fuerza elástica recuperadora del resorte cuyo valor es: Fe

k x

La aplicación del segundo principio de Newton al igualar la suma de fuerza elástica y la fuerza de rozamiento, a la fuerza de inercia del sistema, nos da: 74

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Temas de Física

 P[   N[B [ Ordenando términos, obtendremos:  B [N[  P[ 0 Dividiendo por la masa, obtenemos:  x+

B k x + x = 0 P P

Teniendo en cuenta que llamamos pulsación propia del oscilador a la expresión: W0

k P

Para que la expresión anterior sea homogénea, el término que multiplica a la velocidad ha de corresponder también a una pulsación, y recibe el nombre de pulsación debida al amortiguamiento. Su expresión viene dada por: W1 =

B 2P

(VWDPDJQLWXGDVtGH¿QLGDWLHQHFRPRGLPHQVLRQHV > W1 @ 

> B @ 07 1    7 1 0 0

Luego corresponde a una pulsación, y se mide en el sistema S.I. en rad/s. La ecuación diferencial que describe el movimiento de un oscilador lineal, cuando se tiene en cuenta la fuerza de rozamiento, podemos escribirla en la forma:  x + 2W1 x + W 02 x = 0

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Movimiento oscilatorio

(VWDHFXDFLyQFRUUHVSRQGHDXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOFRQFRH¿FLHQWHV constantes, y para resolverla, acudimos al método general de resolución que consiste en efectuar el cambio de variable: x eLW Por lo que teniendo en cuenta sus derivadas: x L eLW ;  x L 2 eLW La ecuación característica a resolver será: L 2 + 2W1 L + W 02

0

Esta ecuación es una ecuación de segundo grado, luego sus raíces son: L1

 W1 

W12  W 02

L2

 W1 

W12  W 02

La solución general de la ecuación diferencial será, pues, de la forma: x

A1 eL1 W  A2 eL2 W

Dependiendo de los valores de P‰ y k, y consecuentemente, de los valores obtenidos para la pulsación propia, y la pulsación debida al amortiguamiento, pueden darse tres casos distintos, dando lugar a tres posibles tipos de amortiguamiento. Estos casos son: W1 > W 0 Se obtienen dos raíces reales distintas. El tipo de movimiento se denomina amortiguamiento fuerte. W1 = W 0 Se obtiene una única raíz real. El tipo de movimiento se denomina amortiguamiento crítico.

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Temas de Física

W1 < W 0 Se obtienen dos raíces imaginarias distintas. El tipo de movimiento se denomina amortiguamiento débil. 6.1. Amortiguamiento fuerte Las dos raíces de la ecuación característica son reales y distintas, por lo que la solución general es: x = A1eL1W + A2 eL2W De la que tendremos que calcular el valor de las dos constantes de LQWHJUDFLyQTXH¿JXUDQHQHOOD3DUDSRGHUKDFHUORQHFHVLWDPRVUHFRUGDUHO movimiento de un oscilador lineal, en el que cuando la masa P estaba situada a la máxima distancia de la posición de equilibrio central, su movimiento cesaba y se invertía de sentido, luego una condición que se cumple siempre es que cuando: x = A VH YHUL¿FD TXH x = 0 . Si además esta condición se YHUL¿FDHQHOLQVWDQWHLQLFLDOHVGHFLUFXDQGRW 0, podemos, imponiendo estas condiciones, obtener el valor de las constantes de integración buscadas. Teniendo en cuenta la solución general y su derivada, sustituyendo en ellas los valores indicados para el instante inicial, obtendremos el sistema de dos ecuaciones: A = A1e0 + A2 e0 0 = L1 A1e0 + L2 A2 e0 De donde se obtiene como valor de las constantes de integración: A1 =

 A L2 AL1 ; A2 = L1  L2 L1  L2

Efectuando el cambio: W 2 = W12  W 02 Las raíces quedan en la forma:

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Movimiento oscilatorio

L1 =  W1 +

W12  W 02 =  W1 + W =  ( W1  W )

L2 =  W1  W12  W 02 =  W1  W =  ( W1 + W ) Por lo que las constantes de integración serán: A1 = 

AL2 A(W1 + W ) AL1 A(W1 - W ) = ; A2 = = L1  L2 2W L1  L2 2W

La solución general se expresará por: x=

A ª¬W1  W e  (W1 W )W  (W1  W )e  (W1 W )W º¼ 2W

Realmente de esta expresión solo se deduce que la solución general corresponde a la diferencia de dos funciones exponenciales decrecientes, por lo que vamos a tratar de deducir alguna otra característica. - El valor de la función es siempre positivo, es decir: WŸ [! 3DUDGHPRVWUDUHVWDD¿UPDFLyQWHQGUHPRVTXHGHPRVWUDUTXHHOSULPHU WpUPLQRTXH¿JXUDGHQWURGHOSDUpQWHVLVHVVLHPSUHPD\RUTXHHOVHJXQGR Para demostrar que un producto de dos factores es mayor que otro, basta con demostrar que cada factor del producto es mayor. En nuestro caso: W1 + W > W1 - W Puesto que la suma de dos números positivos es siempre mayor que su diferencia. Siguiendo el mismo razonamiento: W1 + W > W1  W Ÿ e(W1 W )W > e(W1 W )W De donde se deduce:

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Temas de Física

e  (W1 W )W =

1 e

(W1 W ) W

< e  (W1 W )W =

1 e

(W1 W ) W

Lo que indica que si cada factor, independientemente, es mayor en el término positivo que en el negativo, su producto también lo será, luego lo encerrado entre paréntesis es siempre positivo, por lo que se deduce que la elongación es siempre positiva. - El valor de la derivada de la función es siempre negativa, es decir:  WŸ [ x =

A ª¬ (W12  W 2 )e  (W1 W )W  (W12  W 2 )e  (W1 W )W º¼ 2W

De donde, sacando factor común, y ordenando términos, obtenemos: x =

A (W12  W 2 )  (W1 W )W  (W1 W )W ª¬e º¼ e 2W

Lo encerrado entre paréntesis corresponderá siempre a un número negativo pues corresponde a uno de los factores ya analizados en la elongación, luego la derivada de la función es siempre negativa, lo que equivale a que la función es siempre decreciente, partiendo de un valor máximo cuando W 0. El movimiento que describe la masa P será entonces el siguiente: desde la máxima elongación, es decir, la máxima separación de la posición de equilibrio, se desplaza hasta alcanzar de nuevo la posición de equilibrio, no rebasando nunca esta posición. La rapidez con que alcanza la posición de equilibrio vendrá dada por el valor de la pendiente a la curva en el instante inicial, es decir, el valor de la derivada en el origen: ( x )W |0 =

$(W12 W 2  = 2W 2

A W 02 W12  W 02

6.2. Amortiguamiento crítico En este caso, solo existe una única raíz real, puesto que el discriminante de la raíz es nulo, es decir: 79

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Movimiento oscilatorio

L1 = L2 =  W1 =  W 0 6LQHPEDUJRSRUFRUUHVSRQGHUDXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQODTXH¿JXUD la derivada de segundo orden, la solución ha de corresponder a dos familias de soluciones. La solución general de una ecuación diferencial lineal con FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHV FX\D HFXDFLyQ FDUDFWHUtVWLFD WLHQH XQD UDt] P~OWLSOH de orden n, es: [ $0 HLW  $1WHLW  $2 W 2 HLW $n 1W Q 1HLW  Por consiguiente, la solución general en este caso será: [ $1 HL1W  $2 WHL1W Para comprobar que esta expresión es solución de la ecuación diferencial, basta con sustituir en la ecuación de partida, la función y sus derivadas, y ver si la cumple. Teniendo en cuenta que: L1 =  W1 =  W 0 La función y sus derivadas son: [ $1H W0W $2 WH W0W  ($1$2W)H W0W  $2 H W0W W 0 $1H W0W W 0 $2 WH W0W  >$2  W 0 ($1$2W) @H W0W  [  [  W 0 $2 H W0 W  W 0 >$2 W 0 ( $1  $2 W ) @ H W0W  > 2W 0 $2  W 02 ( $1  $2W @H W0W  Sustituyendo en la ecuación de partida, para comprobar que la cumple, teniendo en cuenta que: W 0 = W1 , tendremos: > 2W 0 $2  W 02 ( $1  $2W ) @H W0W 2W1 >$2  W 0 ( $1  $2W )H W0W @W 02 ( $1  $2W )H W0W {0

Que es lo que queríamos demostrar, luego la solución general de la ecuación es: 80

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Temas de Física

[ $1H W0W $2 WH W0W De la que tendremos que calcular el valor de las constantes de integración. 3DUDHOORFRPRHQHOFDVRDQWHULRU¿MiQGRQRVHQHOPRYLPLHQWRGHORVFLODGRU podemos deducir que en el punto de máxima separación de la posición de equilibrio, la masa se para e invierte el sentido de su movimiento, por lo que cuando: x = AVHYHUL¿FDTXH x = 0 6L HVWD FRQGLFLyQ DQWHULRU TXH VH FXPSOH VLHPSUH VH YHUL¿FDVH HQ HO instante inicial, es decir, cuando: W 0, tendremos dos condiciones que nos permitirán deducir el valor de ambas constantes de integración. A = ( A1 + A2 0 ) e W0 0 = A1 Es decir, la constante A1, corresponde a la amplitud del movimiento. 0 = [A2  W 0 ( A1 + A2 0 ) ] e W0 0 Ÿ A2 = W 0 A1 = W 0 A Luego la solución es: [ $(1W 0 W)H W0W Esta función corresponde a una función exponencial decreciente con máximo en el origen, es decir, que situada la masa a la máxima distancia de la posición de equilibrio, el movimiento que describe es el de desplazarse hasta alcanzar la posición de equilibrio, un movimiento similar al del amortiguamiento fuerte. Si no se cumple la condición inicial impuesta de que para W  0, x = 0, podemos estudiar la solución general, tratando de encontrar si existen máximos o mínimos, y en qué puntos están situados. Para ello, es necesario igualar la primera derivada a 0, es decir:  >$2 W 0 ($1 $2 W) @H W0W  0Ÿ $2 W 0 $1W 0 $2 W 0 [ De donde:

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Movimiento oscilatorio

W 

A2  W 0 A1 W 0 A2

Si sustituimos este valor de W, en la derivada segunda de la función, encontraríamos que dicha función es negativa, por lo que este valor de la variable W corresponde a un máximo de la función. La situación de este máximo variará dependiendo de los valores de las constantes de integración. De la expresión anterior, podemos deducir:  6L VH YHUL¿FD A2 = W 0 A1 , W  0. El máximo está en el instante inicial (curva 1). 6LVHYHUL¿FD A2 > W 0 A1 , W!0. El máximo está en los tiempos positivos (curva 2). 6LVHYHUL¿FD A2 < W 0 A1 , W0. El máximo está en los tiempos negativos (curva 3). 6.3. Amortiguamiento débil Si: W1 < W 0 , las dos raíces de la ecuación característica son imaginarias: L1 =  W1 +  W 2 L2 =  W1 

 W1 + i W

 W 2 =  W1  i W

La solución de la ecuación diferencial corresponderá a la parte real de la función imaginaria: x* = A1* e( W1 LW W ) eW 1LW W + A2* e( W1 LW )W = ( A1* eLW W + A2* e  LW W ) e W1W

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Temas de Física

Para poder calcular cuál es la parte real de esta función, haremos el cambio: A1* =

A  iD e 2

A2* =

A iD e 2

Que sustituidas en la función, nos resultará: x* = ( A1* eLW W + A2* e  LW W ) e W1W =

A L (W W D ) + e  L (W W D ) ) eW1W (e 2

Al aplicar las fórmulas de transformación de Euler a lo encerrado entre paréntesis, y ordenando términos, obtenemos la función real buscada: [ $H W1W FRV(W W D ) El movimiento resultante corresponde al producto de una función armónica ( FRV(W WD ) ), modulada por una función exponencial decreciente ( A e W1W ). Para hacernos una idea de cómo es el movimiento resultante, vamos a UHSUHVHQWDUJUi¿FDPHQWHFDGDXQRGHORVPRYLPLHQWRVWRPDQGRFRPRFHUR el valor de la constante D , y multiplicando punto a punto, obtendremos la representación de la función solución. La función armónica nos dará los ceros del movimiento resultante, y los puntos de amplitud máxima (+1), corresponderán al valor que tenga la función exponencial decreciente, mientras que los mínimos de amplitud (-1), darán el mismo valor que tenga la función exponencial pero cambiados de signo, es decir, estarán situados en la curva exponencial simétrica. Uniendo todos estos puntos, obtendremos el movimiento resultante, que corresponde a un movimiento pseudoperiódico de amplitud decreciente. Las características fundamentales de este movimiento son: - Se trata de un movimiento pseudoperiódico, en el que máximos y mínimos se producen a intervalos de tiempo idénticos, de valor:

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Movimiento oscilatorio

T=

2P = W

2P 2 0

W  W12

- Este pseudoperíodo es mayor que el período de oscilación propio del sistema sin amortiguamiento: 70  

2P 2P T   2 W0 W 0  W12

- La relación de la elongación correspondiente a dos máximos consecutivos es una cantidad constante. Si tenemos en cuenta que dos máximos consecutivos están separados por un tiempo T , la relación entre las elongaciones correspondientes a dos máximos consecutivos se obtendrán a través de la expresión: W1

[(W ) $H W1W ˜FRVW W p= = = eW1T = e W1 ( W T ) [(W T ) $H ˜FRVW W T

2P W 02 W12

Como vemos, la relación entre dos máximos depende solo de los valores de P‰ y k, valores que una vez construido el oscilador, permanecen constantes. Si en esta expresión tomamos logaritmos neperianos, el valor así obtenido recibe el nombre de decremento logarítmico:

Q = ln p = W1

2P W 02  W12

=P

B P k § B · ¨ ¸ P © 2P ¹

2

Si el amortiguamiento es muy débil, es decir, W1  W 0 , podemos 2 2 despreciar el valor de W 1 , frente a W 0 , por lo que el decremento logarítmico tomaría el valor:

2P =P Q = ln p | W1 W0

B P = PB N PN P

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7. OSCILACIONES FORZADAS Consideremos que sobre el oscilador, aplicamos una fuerza cuyo valor varía periódicamente con el tiempo, es decir, forzamos, por aplicación de una fuerza externa, una oscilación. Las fuerzas que intervienen en su movimiento serán:  )e  N[)r  B [) )0 FRVW cW Si igualamos, por aplicación del segundo principio de Newton, la suma de estas fuerzas, a la fuerza de inercia del sistema, obtenemos: c   N[B [) 0 FRVW W P[ Ordenando términos, resulta:   )0 FRVW cW P[N[ B [ Dividiendo por P, y efectuando los cambios: F B k 2W1  W 02    I 0   0  P P P Obtenemos:   W R2 [  I 0 FRVW cW [2W1[ 4XH FRUUHVSRQGH D XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO FRQ FRH¿FLHQWHV FRQVWDQWHVSHURFRPSOHWDHVGHFLUHQODTXH¿JXUDODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH   W, no solo de forma implícita ( x, x ), sino de forma explícita ( FRVW cW ). La obtención de la solución general de esta ecuación completa es la siguiente: se obtiene la solución general de la ecuación homogénea, que es aquella en la que se elimina el término en el que aparece la variable independiente de forma explícita, y a esta solución se le suma una solución particular de la ecuación completa, es decir: 85

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Movimiento oscilatorio

   [GH  [[[   [ pC  [[[W    [GC  [[[W La ecuación homogénea:  x + 2 W1 x + W 02 x = 0 Ya la hemos estudiado, pues corresponde a la ecuación del movimiento armónico amortiguado. El único problema es que esta ecuación no tiene una única solución general sino tres soluciones distintas, las que corresponden a cada uno de los casos del movimiento amortiguado. Sin embargo, estos tres FDVRVWLHQHQDOJRHQFRP~QVLFRQVLGHUDPRVXQWLHPSRORVX¿FLHQWHPHQWH grande, la masa que constituye el oscilador se para, es decir, si tomamos WLHPSRV OR VX¿FLHQWHPHQWH JUDQGHV SRGHPRV FRQVLGHUDU TXH OD VROXFLyQ general de la ecuación homogénea es:    0 [GH  [[[ El hecho de despreciar el estudio de lo que acontece de forma próxima, y solo tener en cuenta lo que ocurre cuando ha transcurrido un tiempo lo VX¿FLHQWHPHQWH JUDQGH FRUUHVSRQGH D HVWXGLDU VRODPHQWH ORV estados estacionarios. Cuando se estudia separadamente cada caso particular de amortiguamiento, se analizan los llamados estados transitorios o estados no estacionarios. Si nos limitamos al estudio de estados estacionarios, la solución general de la ecuación completa corresponde a una solución particular de ella:    [ pC  [[[W    [GC  [[[W Vamos a escribir la ecuación diferencial completa en forma compleja:  [* 2W1[ *  W R2 [*   I 0 HLW 'W  Y vamos a probar si la función: x* = A*eLW 'W

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Temas de Física

Es solución de ella. Para comprobarlo tendremos que sustituir en la ecuación de partida, la solución propuesta y sus derivadas, y ver si la cumple, siendo sus derivadas: x * i W c A*eLW 'W ;  x*

 W '2 A*eLW 'W

Con lo que obtendremos: W '2 $* HLW 'W L2W1W c$* HLW 'W  W 02 $* HLW 'W   I 0 HLW 'W  De esta expresión podemos deducir el valor que ha de tener la constante A*SDUDTXHVHYHUL¿TXHODHFXDFLyQGHSDUWLGDREWHQLHQGR A*

I0 ( W  W ' ) + i 2 W1 W c 2 0

2

Luego, la parte real de la expresión: x*

A* eLW 'W

I0 eLW 'W c ( W  W ' ) + i 2 W1 W 2 0

2

Es solución de la ecuación de partida. Para encontrar la parte real de la expresión anterior, hay que empezar por racionalizar la fracción, es decir, multiplicar numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador, con lo que obtenemos:

x

I 0 ª¬W 02  W '2  L 2W1W 'º¼

*

ªW  W '  i 2W1W 'º ªW  W '  i 2W1W 'º ¬ ¼¬ ¼ 2 0

2

2 0

2

eLW 'W

De donde, desarrollando mediante las fórmulas de Euler, obtendremos:

x

*

I 0 ¬ªW 02  W '2  L 2W1W '¼º (FRVW cWLVHQW cW) ( W 02  W '2 ) 2 + ( 2 W1W c ) 2

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Movimiento oscilatorio

Cuya parte real es: [  I 0 

(W 02  W '2 ) FRVW cW2W1W cVHQW cW ( W 02  W '2 ) 2 + ( 2W1W c ) 2

Efectuando los cambios: FRVF  

( W 02  W '2 ) 2 0

2

2

( W  W ' ) + ( 2 W1W c )

2

; sen F =

2 W1W c 2 0

( W  W '2 ) 2 + ( 2 W1W c ) 2

Nos queda: [ 

I0 ( W 02  W '2 ) 2 + ( 2 W1W c ) 2

FRV(W cWF )

Movimiento que constituye lo que llamamos oscilaciones forzadas puesto que corresponde a un movimiento oscilatorio de amplitud: A=

I0 2 0

2

( W  W ' ) 2 + ( 2 W1W c ) 2

Pulsación: W c , igual que la fuerza aplicada. Desfase inicial F c , cuya tangente es: WJF  

sen F 2 W Wc   2 1 2 FRVF W 0 W ' 

8. RESONANCIA Acabamos de deducir que tanto la amplitud como el desfase inicial de una oscilación forzada, son función de la pulsación con la que se aplica la fuerza, por lo que vamos a estudiar como son estas funciones.

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Temas de Física

8.1. Variación de la amplitud con la frecuencia El valor de la amplitud corresponde a: $  I  W c  

I0 2 0

2

2

(W - W ' ) + ( 2 W1W ' ) 2



Para estudiar esta función empezaremos por calcular su derivada e igualarla a cero para encontrar sus máximos o mínimos si los tuviese. Si escribimos la expresión de la amplitud en forma de potencia: 1

2 2  $  I 0 ª«W 02  W '2  2W1W ' º» 2  ¬ ¼

Su derivada será: 3

 2 I dA 2 2 = - 0 ª«W 02  W '2  2W1W ' º» ª¬ 2 W 02  W '2 2W '  2 4W12W ' º¼ ¬ ¼ c dW 2

Igualando a cero esta expresión, y teniendo en cuenta que para que sea cero, basta con que lo sea su numerador, obtenemos: dA   I 0 ª¬ 2 W 02  W '2 2W '  8W12W 'º¼ 0 dW c Teniendo en cuenta que I0 no puede ser cero puesto que si no no habría fuerza externa aplicada, y dividiendo por W c , obtendremos:  4 W 02 + 4 W '2 + 8 W12 = 0 De donde despejando el valor de la pulsación: W '2 = W 02  2 W12 Si deriváramos por segunda vez la amplitud, y sustituyéramos este valor de la pulsación, obtendríamos que: 89

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Movimiento oscilatorio

d2A W 0 , es decir: W 0 W cffdWJF 0 dF dP  2 En caso de resonancia característica, cuando: W c = W 0 P WJF  fŸ F    2 Con lo que cuando el sistema se encuentra en resonancia característica, la ecuación de su movimiento vendrá dada por: [rc  

I0 I0 P· § FRV¨ W 0W  ¸  VHQW 0 W 2 W1 W 0 2 ¹ 2 W1 W 0 ©

91

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Movimiento oscilatorio

9. BIBLIOGRAFÍA - Alonso, M, y Finn, E.J.: FÍSICA. VOL. I. MECÁNICA. Ed. Fondo Educativo Interamericano. Bogotá, 1970. - De Juana, José Mª: FÍSICA GENERAL. TOMO I. Ed. Alhambra. Madrid, 1988. 10. PROBLEMAS DE EXAMEN 10.1. Una masa de 500 g suspendida de un resorte elástico oscila con una frecuencia de 0,5 c/s. Calcular: a) El valor de la constante recuperadora del resorte. b) La ecuación del movimiento descrito por dicha masa si para W   3,14 FPV c) El valor de x, x,  y  0, x = 0, y [ x cuando han transcurrido 2,3 s desde el instante inicial. a) 2P I 



k ŸN P 2 0,5 4,91P 0,5

 $W  3,14FPVŸ$  b) [

3,14  1FP ; [ FP 1 VHQ P P

c) x = 1 sen S 2,3 = 0,8 FP  P FRV(P 2,3) 0,58P FPV 1,8FPV [  [ P 2 VHQ(2,3P ) 7,89FPV 2 10.2. Una masa de 1 kg oscila con un período de 4 s, sobre una longitud de 20 cm. Calcular: a) La constante recuperadora del resorte del que está suspendida. b) La ecuación de su movimiento, si para W = 0, x = A. c) Su velocidad y aceleración en el punto superior, y cuando la elongación es 4 cm. d) La fuerza recuperadora en el punto más bajo de la trayectoria, y cuando la elongación es 8 cm. 2

4P 2 § 2P · P  1 2, 4671P a) N ¨ ¸ 42 © 7 ¹

92

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Temas de Física

§P · b) [ 0,1FRV¨ W ¸ ©2 ¹ P §P ·   0,1 VHQ¨ W ¸ r W  $2  [ 2  c) [ 2 ©2 ¹ x1 =

P 2

P A2  A2 = 0 ; [2    0,12 0, 042  0,144PV 2

 [  0,1

P2 §P · FRV¨ W ¸ N[ 4 ©2 ¹

 [1  2, 467 ˜ 0,1 0, 2467PV 2 ;  [2   2, 467 ˜ 0, 04  0, 0987PV 2 d) ) N[

)1 = - 2,467 0,1 = - 0,2467 N F2 = - 2,467 0,08 = - 0,1973 N

10.3. Al suspender una masa de 2 kg de un resorte elástico, éste se estira 30 cm. Si se separa 20 cm de su posición de equilibrio y se suelta (t=0), calcular: a) Su ecuación de movimiento. b) Su posición, velocidad y aceleración 1 minuto después de iniciado el movimiento (g = 9,8 m/s2). a) k = F/x = 2.9,8/0,3 = 65,33 1P W=

k 65,33 rad = = 5, 71 ; A = 0,2 P P 2 V

[P = 0,2 FRV (5,71 W) b) [ 0, 2FRV(5, 71 ˜ 60) 0,197P  5, 71 ˜ 0, 2VHQ(5, 71 ˜ 60) 0,189PV [  [ 5, 712 ˜ 0, 2FRV(5, 71.60) 6, 42PV 2  93

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Movimiento oscilatorio

10.4. En un tubo en U de 2 cm de diámetro se vierten 4 kg de mercurio (densidad = 13,6 g/cm3). Calcular: a) La constante recuperadora. b) El período de oscilación, si se considera que el mercurio oscila libremente en las dos ramas del tubo (g=9,8 m/s2). a) k = F/x = p s/x k=

R g h s R g 2x s = x x

13, 6 ˜103 N  9,8 ˜2 ˜P ˜104  83, 741P 106

b) 7 2P 

P 4  2P   1,37V k 83, 74

10.5. Calcular la ecuación del movimiento oscilatorio que describe una masa suspendida de un resorte cuando su velocidad a 0,5 m de su posición de equilibrio es de 5 m/s, y a 1 m es de 3 m/s, si el tiempo se ha comenzado a contar cuando la masa estaba situada a 0,2 m de la posición de equilibrio. 5 W A2  0,52 ; 3 W A2  12 52 A2  0, 25 25  9 ˜ 0, 25   Ÿ $2   Ÿ$ 1,19P 2 2 3 A 1 25  9 W=

3 = 4, 6188 rad/s 1, 42  1

0, 2 1,19FRV(4, 6188 ˜ 0r F )ŸFRVF  r

0, 2  r0,168F  r 1, 40UDG 1,19

[ 1,19FRV(4, 6188Wr 1, 4)

94

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Temas de Física

10.6. Una masa describe un movimiento oscilatorio armónico de 2 s de período pasando por la posición de equilibrio con una velocidad de 2,5 m/s. Si para t = 0, x = 0, hallar: a) La amplitud del movimiento. b) La posición y el instante en que se mueve con una velocidad de 2 m/s.  $W cosW W2,5 $ a) [ $VHQW W[

2P 2,5 Ÿ$   0, 795P 2 P

x 2 2,52 22  W  $2 [ 2 Ÿ[  $2  2    2  2  0, 4774P b) [ W P P  W $FRVW WŸDUFFRVW W [

x 2    0,8ŸW 0, 2V W A 2,5

10.7. Una pequeña tuerca se ha caído sobre el émbolo de un motor que realiza un movimiento oscilatorio de amplitud 10 cm. Determinar el mayor número de oscilaciones del motor para que la tuerca no se separe del émbolo (g = 9,8 m/s2). 3HVRWXHUFDPJ )XHU]DGHLQHUFLDP x  [ J

$W 2 ; W

g A

98

9,9 UDG / V ;

W 60 2P

94,54 U. S.P.

10.8. Sobre el punto medio de una cuerda de 60 cm de longitud y masa despreciable, tensa por la acción de una fuerza de 60 N, se coloca una masa de 2 kg. Demostrar que si separa ligeramente de su posición de equilibrio A # VHQ A # WJ A y se suelta, describe un movimiento oscilatorio y calcular su frecuencia. 3DUD GHPRVWUDU TXH GHVFULEH XQ PRYLPLHQWR RVFLODWRULR EDVWD FRQ GHPRVWUDU TXH OD DFHOHUDFLyQ HV SURSRUFLRQDO D OD SRVLFLyQ a) )

270 VHQ A # 270 WJ A

47 x 270  P[ P[  0 [ l l 2

95

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Movimiento oscilatorio

2

2P I

b) W 2

470 Ÿ I OP

470 4P 2OP

4 ˜ 60 4 ˜ P 2 ˜ 0, 6 ˜ 2

2, 25 +] RVF / V

10.9. Un oscilador lineal tiene un período de 0,7 s. Si se añade una masa de 0,5 kg, su periodo aumenta hasta el valor de 0,8 s. Calcular: a) la masa del oscilador, b) su constante recuperadora, c) su velocidad máxima, si su amplitud es de 6 cm. P P  0,5 ; 0,8 2P ; (OHYDQGRDOFXDGUDGR\GLYLGLHQGR k k DPEDVH[SUHVLRQHV 2P

a) 0, 7

0, 7 2 0,82

P ŸP P  0,5

 1, 63 ˜ 4 ˜ P 2 0, 7 2

2

b) k

P 2P 72

2P $ 7

c) [max

 1, 63 NJ

0, 7 2 ˜ 0,5 0,82  0, 7 2

131, 6

N P

2P 0, 06 0,538 P / V 0, 7

10.10. Un oscilador lineal tiene una longitud de 15 cm y una masa de 50 g. Cuando se le añade una masa de 50 g, se alarga hasta una longitud de 17 cm. Calcular: a) la constante recuperadora del resorte, b) su frecuencia de oscilación si se le añade una masa de 90 g además de la que tenía, c) el trabajo que realiza el resorte para elevar la masa anterior hasta una altura de 6 cm (g = 9,8 m/s2). a) N

) x

b) I

1 7

9,8 ˜ 50 ˜103 17  15 102

PJ x 1 2P

24,5 1 / P

1 P k

2P

90  50 10

3

2,1 V 1

24,5

96

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Temas de Física

c) D :

(p

PJK

90  50 103 ˜ 9,8 ˜ 6 ˜102

8232 ˜105 -

10.11. Una masa de 500 g está suspendida de tres resortes elásticos tal FRPRLQGLFDOD¿JXUDFRQFRQVWDQWHVUHFXSHUDGRUDVk1= 41PN2= 21PN3= 61P. Calcular: a) La constante recuperadora de la asociación. b) La energía potencial del sistema. c) La frecuencia propia de oscilación del sistema si para t=0, x=15 cm. a) N12  N1N2  61P 1 1 1 1 1       ŸN123  31P k123 k12 k3 6 6 b) EP =

c) W

1 1 k123 A2 = 3 ˜ 0,152 = 0, 03375 J 2 2

k123 P

3 0,5

2, 45 UDG / V ; I

3 0,5 2P

0,39 F / V

10.12. Una masa de 50 g está suspendida del sistema de resortes iguales GHOD¿JXUDFDGDXQRFRQFRQVWDQWHUHFXSHUDGRUD1FP&DOFXODUODHQHUJtD total del sistema si la masa se separa 10 cm de la posición de equilibrio y se suelta. N 61FP 6 ˜102 1P N12  N1N2  600600 12001P 1 1 1 1 1       ŸN123  4001P k123 k12 k3 1200 600 N E  N123 N4  400600 10001P EP =

1 1 k E A2 = 1000 ˜ 0,12 = 5 J 2 2 97

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Movimiento oscilatorio

10.13. Al suspender una masa de 500 g de un resorte, se alarga 20 cm. Si se añade un segundo resorte en paralelo con el primero, la misma masa produce un alargamiento de solo 5 cm. Calcular: a) La constante recuperadora del segundo resorte. b) La energía del oscilador formado por el sistema descrito cuando se separa de su posición de equilibrio una distancia de 40 cm. c) La intensidad de dicho oscilador (g = 9,8 m/s2). a) k = k1 + k2 ;

b) E

1 k A2 2

c) I

P W 2 $2 4

k2

k  k1

1 98 ˜ 0, 42 2 N $2 4

0,5 ˜ 9,8 0,5 ˜ 9,8  0, 05 0, 2

73,5

N P

7,84 J

98 ˜ 0, 42 4

3,92 J

10.14. Una esfera de 100 g está suspendida de un resorte de 10 N/m de constante recuperadora. Considerando que la amplitud del movimiento oscilatorio libre que describe es de 4 cm, y que para t = 0, x = 0, calcular: a) Su energía total. b) Su energía cinética al pasar por la posición de equilibrio. c) Su energía potencial y cinética en el instante t = T/6. a) E7

1 2 kA 2

b) (7

( S  (F ; HQ HO RULJHQ ( S

c) E37 / 6 E&7 / 6

1 10 ˜ 0, 042 2

1 2 kx7 / 6 2 E7  E37 / 6

8 ˜103 J 0 Ÿ (&0

(7

8 ˜103 -

1 2 § 2P 7 · 3 kA sen 2 ¨ ¸ 6 ˜10 J 2 © 7 6¹ 8 ˜103  6 ˜103

2 ˜103 J

10.15. Calcular: 1) la constante recuperadora de un resorte del que está suspendida una masa de 3 g, que oscila con un período de 0,2 s, con amplitud de 4 cm. 2) La intensidad del movimiento oscilatorio de esa masa, y el valor su energía cinética media en un período si estuviese suspendida de dos resortes idénticos al del primer caso: a) asociados en serie, b) asociados en paralelo.

98

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Temas de Física

k oN P

1) 2P I

2) ,

PP 2 I 2 $2

1 ka

a)

1 1  ; ka k k

I a2

1 2 I o (ca 2

b) Nb

2N ; Ib2

4P 2 I 2 P

4P 2

3 ˜103 ˜ P 2 ˜

k2 2k ,a

1 3 ˜103 2 0, 2

2 1 4 ˜102 2  0, 2

2,961 1 / P

1,18 ˜103 -

1 k 2 1 , 2

2 I 2 o ,b

1,18 2 (cb

0,59 ˜103 -

2,

2,36 ˜103 -

10.16. Al suspender de un resorte una masa de 10 g, éste se alarga 1 cm. Si el oscilador así formado se suspende de dos resortes de igual constante recuperadora (k = 10 N/m), que están unidos por sus extremos, y el conjunto se pone a oscilar cuando se separa de la posición de equilibrio 0,2 m, calcular: a) El período de oscilación del conjunto. b) La velocidad máxima con que se desplaza la masa (g = 9,8 m/s2). a) N1 

7 

0, 01 ˜ 9,8 1 1 1 20 ˜ 9,8  9,81P    N E    6,5771P 0, 01 k E 9,8 10 +10 20 + 9,8

2P P 0, 01  2P    2P   0, 245V W kE 6,577

b) E7RWDO =

1 1 k ( A2 = 6,577 ˜ 0, 22 = 0,1315 J 2 2

c) [0D[  $W  

2 E7RWDO  5,13PV P

99

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Movimiento oscilatorio

10.17. Se superponen dos movimientos armónicos de ecuaciones: [1P  4FRV(P WP  6) [2 P  3VHQ(P WP  6) Calcular la amplitud, el desfase y la ecuación del movimiento resultante. P· P P· P· § § § [1 4FRV¨ P W  ¸[2  3FRV¨ P W   ¸ 3FRV¨ P W  ¸ 6¹ 6 2¹ 3¹ © © © P §P P · $2  32  42 2 ˜ 3 ˜ 4FRV ¨  ¸ 91624FRV  45, 78PŸ $ 6, 76P 6 ©3 6¹

1 3 3 2 2   9,196   0,9262Ÿ J  0, 747UDG WJJ   9,928 3 1 4 +3 2 2 4

[P  6, 76FRV(P W 0, 747) 10.18. Se superponen dos movimientos armónicos de ecuaciones: P· §P [1P  3FRV¨ W  ¸ ; 3¹ ©2 P· §P [2 P  4VHQ¨ W  ¸ Calcular la amplitud, el desfase y la ecuación 3¹ ©2 del movimiento resultante. P P· P· §P §P [2  4FRV¨ W   ¸ 4FRV¨ W  ¸ 3 2¹ 6¹ ©3 ©2 P §P P · $2  32 42 2 ˜ 3 ˜ 4FRV¨  ¸ 91624FRV  45, 78 FP ; 6 ©3 6¹ $ 6, 76P

100

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

P P  4 sen 3 6   3 3 + 4  0,928 ; WJJ   P P 3+ 4 3 3FRV 3FRV 3 6  3 sen

J =  0, 748 rad =  42º 48' §P · [ 6, 76FRV¨ W  0, 748 ¸ ©2 ¹ 10.19. Se superponen dos movimientos armónicos de ecuaciones (x en metros): [1 4FRV P W  P / 3 [2  3FRV (P WP / 6) Calcular la amplitud, desfase inicial y ecuación del movimiento resultante. P §P P · $2  32 42 2 ˜ 3 ˜4FRV¨  ¸ 32 42 2 ˜ 3 ˜4FRV  32 42  25Ÿ$ 5P 2 ©6 3¹

1 2 3 4 3 sen (P / 6) + 4 sen (P / 4) 2   0, 427 ; WJJ     2 3FRV(P / 6)4FRV(P / 4) 3 2 3 +4 2 2 J =  0, 4037 rad [ 5FRV(P W0, 4037) 10.20. Calcular la ecuación del movimiento armónico resultante de la composición de dos movimientos armónicos que se propagan en igual dirección, y que tienen por ecuaciones (x en metros): [1 3FRV(P W P / 4)[2  4FRV(P WP / 6) . $2  32 42 2 ˜ 3 ˜ 4FRV(P  6  P  4) 9 16  24 ˜ 0, 25882 31, 21PŸ$ 5,58P

101

ERRNVPHGLFRVRUJ

Movimiento oscilatorio

WJJ  

3 sen P / 4 + 4 sen P / 6 1,5 2 + 2 0,12132       0, 0217 3FRV P  44FRV P  6 3 2 / 2 + 4 3 / 2 2,121323, 4641

J =  0, 0217 rad [ 5,58FRV(P W0, 0217 ) 10.21. Se componen dos movimientos oscilatorios que se propagan en la misma dirección, de ecuaciones: [1 4 FRV (2P W  P / 6); [2 4 FRV 2P W . a) Calcular la ecuación del movimiento resultante. Si éste se compone con el movimiento oscilatorio que se propaga en la misma dirección, y de ecuación: [3 6 FRV (2P W  P / 4) . b) Calcular la ecuación del movimiento resultante de ambos. a) $ 2 $1FRV

P sen (P / 6) D1  2 ˜ 4FRV 7, 727WJF  0, 267F  0, 2618UDG 2 12 1 FRV P  6

[a  7, 727FRV(2P W0, 2618) b) WJF 

6 sen P / 4 + 7, 727 sen 0, 2618 6, 2426    0,5332F  0, 49UDG 6FRVP  4  7, 727FRV0, 2618 11, 7

[b  13, 26FRV(2P W0, 49) 10.22. Dos movimientos oscilatorios de igual frecuencia que se propagan en la misma dirección coinciden simultáneamente sobre el mismo punto. Calcular el desfase entre ambos si: a) Ambos movimientos y el movimiento resultante tienen la misma amplitud. b) Los movimientos tienen amplitudes de 3 y 4 m respectivamente, y la amplitud del movimiento resultante es 6 m. D D 1 D P a) $ 2 $ FRV  FRV   ;    Ÿ D 2 2 2 2 3

2P 3

102

ERRNVPHGLFRVRUJ

2, 09 UDG

Temas de Física

b) 62

32  42  2 ˜ 3 ˜ 4 FRV D Ÿ FRV D

36  25 24

11 ŸD 24

1, 0947 UDG

10.23. Hallar la amplitud y la fase inicial de la vibración armónica resultante de la composición de las dos vibraciones de igual dirección dadas por las ecuaciones x1 VHQʌW\[2 VHQʌ Wʌ DPEDVHQFHQWtPHWURV y segundos. Escribir la ecuación de la vibración resultante y construir el diagrama vectorial de la composición de las amplitudes. a) [1 4 VHQ P W

$2

P· § 4 FRV ¨ P W  ¸ [2 2¹ ©

32  42  2 ˜ 3 ˜ 4 FRV

P Ÿ$ 2

9  16

P· § 3 VHQ ¨ P W  ¸ 3 FRV P W 2¹ ©

5 ; WJ F

§ P· 3 sen 0  4 sen ¨  ¸ © 2¹ § P· 3 FRV 0  4 FRV ¨  ¸ © 2¹

4  ŸF 3

0,927

[ 5 FRV P W  0,927 b)

10.24. Dos oscilaciones armónicas de igual período, 1,2 s, y de amplitudes A1 = 3 cm, y A2 = 4 cm, se desplazan en la misma dirección. a) ¿Qué período tendrá la oscilación resultante?, b) ¿Cuáles serán los valores máximos y mínimos de amplitud del movimiento resultante y a qué diferencias mínimas de fase corresponden? c) Obtener la elongación resultante al cabo de 10 VHJXQGRVVLDPEDVRVFLODFLRQHVWLHQHQXQPLVPRGHVIDVHLQLFLDOGHʌ a) 7 71

72

1, 2 V 103

ERRNVPHGLFRVRUJ

Movimiento oscilatorio

b) $2 2 $min 

c) [

32  42  2 ˜ 3 ˜ 4 FRV D1  D 2 Ÿ $0$; 32  42  2 ˜ 3 ˜ 4 1 Ÿ $min

7 VHQ

3  4 7 FP ; D1  D 2 N 2P

1 Ÿ FRV D1  D 2

0

2N  1 P Ÿ D1  D 2

P

2P 10 6, 06 FP 1, 2

10.25. Calcular la ecuación del movimiento resultante, y efectuar su UHSUHVHQWDFLyQJUi¿FDGHGRVPRYLPLHQWRVDUPyQLFRVGHHFXDFLRQHV [1 4FRV6W[2  4FRV2W . [ 2˜ 4FRV2W ˜FRV4W 8FRV2W ˜FRV4W

7W  

2P P 2P   7A    P 4 2 2

 &DOFXODU \ UHSUHVHQWDU JUi¿FDPHQWH OD HFXDFLyQ GHO PRYLPLHQWR resultante de dos movimientos oscilatorios que se propagan en la misma dirección y sentido, y cuyas ecuaciones son: [1 W 

2 cos 3W ; [2

2 cos 5W .

5+ 3 53 2P  4A    1[ 4FRVW˜FRV 4W7A  2P 7W    P  2 2 2 4

10.27. Calcular: a) La ecuación resultante de la superposición de dos oscilaciones de ecuaciones: [1 2 FRV P W ; [2 2 FRV 3P W . b) Si la amplitud de la VHJXQGDRVFLODFLyQIXHVHXQRREWHQHUJUi¿FDPHQWHHOPRYLPLHQWRUHVXOWDQWH 104

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

a) A

W2  W1 2

[

2 $ FRV A W ˜ FRV WW

3P  P 2

2P P

P ; 7A

W2  W1 2

2;W

3P  P 2

2P ; 7W

2P 2P

1

4 FRV P W ˜ FRV 2P W

b)

10.28. Calcular: a) La ecuación resultante de la superposición de dos oscilaciones de ecuaciones: [1 FRV P W ; [2 FRV 3P W . b) Si al movimiento resultante se le compone con un movimiento de ecuación [3 6 FRV 2P W ; FDOFXODUODHFXDFLyQGHOPRYLPLHQWRUHVXOWDQWH\UHSUHVHQWDUORJUi¿FDPHQWH a) A

W2  W1 2

[

2 $ FRV A W ˜ FRV WW

b) [R

3P  P 2

P ; 7A

2P P

2;W

W2  W1 2

3P  P 2

2P ; 7W

2P 2P

1

2 FRV P W ˜ FRV 2P W

§ 1 · 6 ¨1  FRV P W ¸ FRV 2P W © 3 ¹

105

ERRNVPHGLFRVRUJ

Movimiento oscilatorio

&DOFXODUDQDOtWLFD\JUi¿FDPHQWHODWUD\HFWRULDGHXQSXQWRVREUH el que inciden simultáneamente dos movimientos armónicos perpendiculares, de ecuaciones: [ 4VHQ2W\ 6FRV(2WP  6) . VHQ2W 

x 4

y P P  FRV 2WFRV VHQ 2WVHQ 6 6 6 y P x2 x P  FRV  1  2  VHQ 6 6 4 4 6 x2 y 2 xy P P  2  2 VHQ  FRV 2 2 4 6 24 6 6 x 2 y 2 xy 3 +  = 16 36 24 4 +DOODUODHFXDFLyQGHODWUD\HFWRULDJUi¿FD\DQDOtWLFDPHQWHGHGRV movimientos armónicos perpendiculares que tienen por ecuaciones:

106

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Temas de Física

[ 3VHQ3P W\ 4FRV(3P WP  6) . x [ 3VHQ3P WŸVHQ3P W   3 y P P FRV 3P WFRV  VHQ 3P WVHQ  4 6 6 y = 4

x2 1 9

3 1 x + 2 23

'HVSHMDQGR\HOHYDQGRDOFXDGUDGR 2

2 § y x· § x · 3  = 1  ¸ ¨ ¸ ¨ 9 ¹4 © 4 6¹ ©

2 2 xy 3 y x +  = 9 16 12 4

 &DOFXODU DQDOtWLFD \ JUi¿FDPHQWH OD WUD\HFWRULD GHO PRYLPLHQWR resultante de la composición de los movimientos armónicos perpendiculares de ecuaciones: [ 3FRVW W\ 2FRV2W W . a) FRVW W 

x 3

2 y x  FRV2W W FRV 2 W W VHQ 2 W W 2FRV 2 W W1 2 2 1 2 3

4 x 2  18 = 9 y (VXQDSDUiEROD

107

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Movimiento oscilatorio

b)

&DOFXODUJUi¿FDPHQWHODWUD\HFWRULDUHVXOWDQWHGHGRVPRYLPLHQWRV armónicos perpendiculares de ecuaciones: [ 4FRV2W W ; \ 4VHQ3W W A  2W W /XHJRGHVSHMDQGR W 

A 2W

3 B  3W W  A 'DQGRDĮHOYDORUSž HOYDORUGH‰WHQGUiTXHVHU 2 S/4.

10.33. Se componen dos movimientos oscilatorios que se propagan en direcciones perpendiculares, de ecuaciones: x = 4FRV(4SWS/6), y = 2FRV2SW. D &DOFXODUODHFXDFLyQGHOPRYLPLHQWRUHVXOWDQWHE &DOFXODUJUi¿FDPHQWH la trayectoria del movimiento resultante. 108

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Temas de Física

a) x P P 3 1  FRV4P WFRV VHQ 4P WVHQ   (2FRV 2 2P W1) 2VHQ 2P WFRV 2P W 4 6 6 2 2 2 x 3 § y2 · § y y · ¨ ¸ = 2 1 + 1   ¨ ¸ 2 4 2 © 22 ¹ ¨ 2 ¸ 2 © ¹

3 y 2  2 

x

b) A =

 4  y y 2

P W P ;B= 2 A= 3 W1 6

10.34. Se componen dos movimientos oscilatorios que se propagan en direcciones perpendiculares, de ecuaciones: [ 4 FRV 3P W  P / 2 , \ del movimiento resultante. A

P ;B 4

W2 A W1

4P 34

2 VHQ 4P W &DOFXODUJUi¿FDPHQWHODWUD\HFWRULD

P 3

109

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Movimiento oscilatorio

10.35. Representar el movimiento resultante de la composición de dos movimientos oscilatorios perpendiculares cuya amplitud es 2, la relación de sus frecuencias es de W x / W y 1/ 2 , y se inicia en el origen de coordenadas. Escribir la ecuación de cada uno de los movimientos concurrentes y del movimiento resultante (septiembre 2002). a)

b) [ y 2

2 VHQ WW ; \

VHQ 2WW

2 VHQ 2WW

2 VHQ WW ˜ FRV WW

x x2 2 1  2 ; (OHYDQGRDOFXDGUDGR\RUGH2 2

QDQGRWpUPLQRV y2  x2 x2

4

10. 36. Deducir la ecuación y representar el movimiento resultante de la composición de dos movimientos oscilatorios perpendiculares cuyas ecuaciones son: [ 4 FRV 2W ; \ 2 FRV W.

110

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Temas de Física

a) [

4 FRV 2W ; \

2 FRV W ;

x 4

2FRV 2W  1

2 y2  1; 2 \ 2  [ 22

4

b)

10.37. Una masa de 500 g está suspendida de un resorte elástico de constante recuperadora 2 N/m, y sometida a un amortiguamiento de constante 8 N/m.s-1. Calcular: a) El tipo de amortiguamiento. b) La ecuación del movimiento que describe, si para W=0, x=16 cm y [  c) Cuántos resortes de iguales características que el dado habría que asociar en paralelo con él, para que el amortiguamiento fuese crítico. a) W 0 =

k 3 = = 2 rad/s ; W1 P 0,5

B 2P

8 2 ˜ 0,5

8 rad / s ; W 0  W1

$PRUWLJXDPLHQWRIXHUWH b) W = L1

W12  W 02 =

8  7, 746

64  4 = 7, 746 rad/s

0, 254 rad / s ; L2 =  8  7, 746 =  15, 746 rad/s

111

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Movimiento oscilatorio

[FP  

16 15, 746 H 0,254W  0, 254 H 15,746W  2 ˜ 7, 746

[FP  1, 03 15, 746 H 0,254W  0, 254 H 15,746W

c)

B = 2P

k B2 82 32 Ÿ k = n ki = = = 32 Ÿ n = = 16 P 4P 4˜ 0,5 2

10.38. Una masa de 0,5 kg está suspendida de un resorte de constante recuperadora k = 12,5 N/cm, y tiene un amortiguamiento ß = l N.s/cm. Calcular: a) El tipo de amortiguamiento. b) La ecuación del movimiento si se separa 5 cm de su posición de equilibrio y se suelta (t=0). c) Su elongación para t = 0,2 s. a) W 0 =

W1 =

k 12,5 ˜100 = = P 0,5

2500 = 50 rad/s

B 100 = = 100 rad/s ; W R < W  2P 2˜ 0,5

$PRUWLJXDPLHQWRIXHUWH b) W =

x=

W12  W 02 =

1002  502 = 86, 6 rad/s

a ª¬W1  W e  (W1 W )W  W1  W e  (W1 W )W º¼ 2W

5 186, 6 H 13,4W  13, 4 H 186,6W [P    173, 2 5 12,8  8,3 ˜1016  1,97 ˜103 P c) [  173, 2

112

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Temas de Física

10.39. Se vierten 9 kg de mercurio, de densidad 13,6 g/cm3, en un tubo en U de sección circular de 1,2 cm de diámetro. El mercurio oscila hasta que DOFDQ]D HO PLVPR QLYHO HQ ODV GRV UDPDV &RQVLGHUDQGR TXH HO FRH¿FLHQWH GH DPRUWLJXDPLHQWR GHELGR D OD YLVFRVLGDG \ WHQVLyQ VXSHU¿FLDO HV GH ‰  40 N.s/m, calcular el tipo de movimiento amortiguado que describe hasta alcanzar el equilibrio (g = 9,8 m/s2). k=

F p s R g 2x s = = x x x

1, 22 2 N 13, 6˜103 ˜ 9,8˜ 2P  10  30, 21P 4 W0 =

30, 2 = 1,83 rad/s ; W1 9

B 2P

40 18

2, 22 rad / s

W 0 W1$PRUWLJXDPLHQWR IXHUWH 10.40. El sistema de suspensión de un vagón de metro consta de dos tipos de elementos, uno de ellos formado por un muelle de constante recuperadora k = 10 N/cm, soldado a un émbolo de un cilindro que actúa como amortiguador con una constante de amortiguamiento ß1 = 60 N.s/cm, y estando el otro formado por un muelle con la misma constante recuperadora, y un émbolo de constante de amortiguamiento ß2 = 80 N.s/cm. Si cada muelle y amortiguador soporta  0   NJ \ HQ HO LQVWDQWH LQLFLDO VH YHUL¿FD TXH SDUD W 0  [ 5FP [ calcular: a) El tipo de amortiguamiento de cada conjunto. b) La ecuación del movimiento que cada uno de ellos describe. c) Cuál de los dos conjuntos descritos alcanza antes la posición de equilibrio. a) W 0 =

k 10 ˜102 B 60 ˜ 102 = = 1 rad/s ; W1 = 1 = = 3 rad/s ; W1 > W 0 P 1000 2P 2 ˜1000

W0 =

k 10 ˜102 B 80 ˜102 = = 1 rad/s ; W1 = 1 = = 4 rad/s ; W1 > W 0 1000 2P 2 ˜1000 P

113

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Movimiento oscilatorio

$PRUWLJXDPLHQWRIXHUWHHQDPERVFDVRV b)

c) ( x )W |0 =

$ W12  W 2 ) 0, 05(32  8) 0, 05(42  15) ; x1 = = 8,83 > x2 = = 6, 45 2W 2 8 2 15

/XHJRHOSULPHUWLSROOHJDDQWHVDODSRVLFLyQGHHTXLOLEULR 10.41. Una diana de tiro al blanco está apoyada en un resorte elástico de tal forma que cuando se dispara una bala de 50 g que llega con una velocidad de 250 m/s, se desplaza 60 cm y oscila con un período de 0,72 s. Para evitar que oscile se monta un amortiguador de tal forma que la diana después del impacto solo recupere la posición inicial. Calcular: a) Cuál es la masa de la diana. b) El valor que tiene que tener la constante dinámica de rozamiento del amortiguador. 1 Pbala Y 2 2

1 2 N[ ; N 2 2

a) W

2 0

2P 702

Pbala Y 2 x2

k ;P P

N702 4P 2

0, 05 ˜ 2502 0, 602

 8680, 5 1 / P

 8680, 5 ˜ 0, 722 4P 2

113,98 NJ

b) W12

B2 ! W02 2 4P

N N 4P 2 ;B ! P P

4NP

 4 ˜ 8680, 5 ˜113,98 1989, 45 1 / PV 1

10. 42. Una masa de 0,5 kg está unida a un resorte elástico de constante UHFXSHUDGRUD N   1P VLHQGR OD FRQVWDQWH GH DPRUWLJXDPLHQWR ȕ  10 N/m.s-1. Calcular: a) la frecuencia de oscilación propia del sistema y la frecuencia debida al amortiguamiento, b) qué valor ha de tener la constante de amortiguamiento para que el amortiguamiento sea fuerte.

114

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Temas de Física

a) WR

2P I R

W1

2P I1

b) W1

k ; I0 P B ; I1 2P

B ! W0 2P

1 2P B 4P P

200 0,5

20 2P

10 1,59 RVF / V 4P 0,5

N 4P 2 ;B ! P

N P

3,183 RVF / V

4NP

4 ˜ 200 ˜ 0,5

20 1 / PV 1

10.43. Una masa de 2 kg está suspendida de un resorte elástico de constante recuperadora k = 8 N/m, con una constante de amortiguamiento ß = 8 N/m.s-1. Calcular: a) El tipo de amortiguamiento. b) La ecuación del movimiento si para t = 0, x = 16 cm, x 0 c) Calcular x para t = 0,2 s. a) W 0 =

k = P

8 B 8 = 2 rad/s ; W1 = = = 2 rad/s ; W 0 2 2P 4

W1

$PRUWLJXDPLHQWRFUtWLFR b) $ 0,16P% W 0 $ 2 ˜ 0,16 0,32P [P  0,16 H 2W 0,32WH 2W  0,4 0,4 c) [ 0,16 H 0,32˜ 0, 2H  0, 224 ˜ 0, 67 0,15P

10.44. Una masa de 1 kg está suspendida de un resorte elástico de constante recuperadora k = 9 N/m, y de constante de amortiguamiento ß = 6 N/m.s-1. Calcular: a) El tipo de amortiguamiento. b) La ecuación de movimiento si  6PV . c) El instante en que la masa está a la máxima para W 0,[ 1P[ separación de la posición de equilibrio, y cuál es el valor de la elongación en ese instante. a) W 0 =

k = P

9 = 3 rad/s ; W1 1

B 2P

6 3 rad / s ; W 0 2 ˜1

W1

115

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Movimiento oscilatorio

$PRUWLJXDPLHQWRFUtWLFR b) [ ($%W)H W0W Ÿ$ 1  ( %$W 0 %W 0 W)HW0W ;6 $W 0 %Ÿ % 9 [ [P  (1  9W )H 3W  c) 0 93(1  9W)Ÿ W 

93 6    0, 22V 27 27

6 · 3 6 § [ ¨1  9 ¸ H 27  1,54P 27 ¹ © 10.45. Una puerta de 1 m de anchura y 20 kg de peso está unida a un ÀHMHGHWDOIRUPDTXHVLVHOHDSOLFDXQDIXHU]DGHNSIVHGHVSOD]DGH circunferencia. ¿Qué características ha de tener el amortiguador que montado HQXQLyQGHOÀHMHSHUPLWDTXHODSXHUWDXQDYH]DELHUWDGHFLUFXQIHUHQFLD con una fuerza de 4 kpf, se cierre suavemente sin golpear su marco y escribir la ecuación del movimiento que describe (g = 9,8 m/s2)? F 2 ˜ 9,8 a) N     18, 71P 2P x 1 6 W0 =

k = P

W 0  W1 

b) $1 

18, 7 = 20

0,935 = 0,967 rad/s

B B  W 0 2P 0,967˜ 2˜ 20 38, 67NJV 2P

2P 1  1,57P$2  $1W 0  1,57 ˜ 0,967 1,52 4

[ (1,57   1,52 W)H 0,967 W 

116

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Temas de Física

10.46. Al colgar una masa de 2 kg de un resorte, éste se estira 10 cm. 4XpYDORUPtQLPRKDGHWHQHUHOFRH¿FLHQWHGHDPRUWLJXDPLHQWRȕ SDUDTXH la masa separada de su posición de equilibrio, simplemente, retorne a ella. Si empezamos a contar el tiempo 2 segundos después de haberla soltado, estando a una distancia de 2 cm cuando t = 0, ¿cuál será su ecuación de movimiento (g =10 m/s2)? a)

B 2P

N ;B P N P

b) W0

$1

2 FP ; W

[ FP

4PN

PJ P[

J [

PJ 4P [

4 ˜ 22 ˜10 10 ˜102

40

NJ V

10 10 rad / s 0,1

A2  A1W0 Ÿ $2 $2W0

 A1W0 WW0  1

2 ˜10 0,95 FP; 2 ˜10  1

2  0,95W H10W

10.47. Al colgar una masa de 1 kg de un resorte, éste se estira 9,8 cm. Tirando de la masa hacia abajo y soltándola para que oscile, qué valor WHQGUiTXHWHQHUHOFRH¿FLHQWHGHDPRUWLJXDPLHQWRȕ SDUDTXHD ODPDVD separada de su posición de equilibrio retorne a ella, b) escribir la ecuación del movimiento que describe si para t = 0, x = 1 m, c) calcular su posición a 2 s de comenzado su movimiento (g = 9,8 m/s2). a) B 2P

b) W0

[

N ;B P

N P

4PN

PJ P[

4P

J [

 $0  $0W1W HW W ; [ 1

PJ [

9,8 9,8 ˜102

4 ˜12

9,8 9,8 ˜102

20 NJ ˜ V 1 1 / PV 1

10 rad / s W1

$0 1  10W H 10W

117

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Movimiento oscilatorio

c) [ FP

1  10W H10W 1  10 ˜ 2 H10˜2

4,32 ˜108 P

10.48. Una masa de 150 g se suspende de un resorte que se alarga 0,4 m. Para que empiece a oscilar se separa de su posición de equilibrio 10 cm. Calcular: D  OD HFXDFLyQ GHO PRYLPLHQWR DPRUWLJXDGR UHVXOWDQWH E  HO FRH¿FLHQWH GH amortiguamiento considerando que el movimiento que describe es crítico (g = 10 m/s2). a) N

PJ x

$0 b) W1

0,15 ˜10 0, 4

W0

3, 75 1 / P ;

k P

3, 75 0,15

5 rad / s

W W 5W 0,1 P [ $0 1  W0W H 0  0,11  5W H 

B 2P

W0 Ÿ B

2PW0

2 ˜ 0,15 ˜ 5 1,5 NJ / V

10.49. Un resorte elástico de constante recuperadora 100 N/m del que está suspendida una masa de 4 kg describe un movimiento armónico cuya constante de amortiguamiento tiene el valor de 0,4 kg/s. Calcular: a) El tipo de amortiguamiento que describe. b) Su ecuación de movimiento si para W 0 [ 20FP[ 0 c) Su decremento logarítmico. a) W 0 =

B 0, 4 k 100 = = 0, 05 rad/s ; W1  W 0 = = 5 rad/s ; W1 = 2P 2˜ 4 P 4

$PRUWLJXDPLHQWRGpELO 2 2 2 4 b) W = W 0  W1 = 25  25 ˜10 = 24,999 rad/s

0, 20 $FRV(J )  $W1FRV(J )$VHQ(J ) WJ(J ) 0, 05ŸJ   0, 05$ 

20  0, 020024P FRVJ

[P  0, 20024H 0,05W FRV(5W0, 05)

118

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Temas de Física

c) Q = ln p = 2P

W1 0, 05 = 2P = 0, 0125 W 24,999

10.50. Un objeto de 0,2 kg se cuelga de un resorte cuya constante recuperadora es de 80 N/m. Si la frecuencia de amortiguamiento ( W1 ) es 3 / 2 de la frecuencia sin amortiguamiento ( W 0 ), calcular: a) El valor de la constante de amortiguamiento (ß). b) El valor del decremento logarítmico. c)  0 . La ecuación del movimiento si para W 0 [ 10 FP[ a) W 0 =

80 3 = 20 rad/s ; W1 = 20 = 17,3 rad/s ; W 0 > W1 0, 2 2

$PRUWLJXDPLHQWRGpELO B  2W1P 10 3˜ 2˜ 0, 2 6,92NJV

b) Q = ln p =

2PW1 2 0

2 1

W W

=

2P 10 3 202  102 ˜ 3

= 2P 3 = 10,88

c)  $FRVJ    W1$H W1W FRV(W W  J )$W H W1W VHQ(W W  J ) 0 [ 17,3$FRVJ 10$VHQJ  0 17,3 P WJJ    1, 73Ÿ J   ; $ 10 3

10 FRV P / 3

10 0,5

20

[P  20H17,3W FRV[(10  WP  3)] 10.51. La suspensión de un vehículo está constituida por un muelle cuya constante recuperadora es de 100 N/cm, y un amortiguador, cuya constante de amortiguamiento es de 4 kg/s. Si por cada punto de suspensión le

119

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Movimiento oscilatorio

corresponden 500 kg, calcular: a) El tipo de amortiguamiento. b) La ecuación del movimiento que describe, si para W 0 [ 20FP[ 0 c) Su decremento logarítmico. 10000 = 20 = 4, 47 rad/s 500

a) W 0 =

W1 =

4 = 4 ˜103 rad/s ; W1  W 0 $PRUWLJXDPLHQWRGpELO 2 ˜ 500

0 b) 0, 20 $H FRV(4, 47 ˜ 0J )

0  0, 004$H0 FRVJ 2 $H0 VHQJ ; WJ J $ FRV J

0, 004

0, 20 ; $ 0, 020016

[ 0, 20016 H0,004W FRV(4, 47W0, 004 )

c) Q = 2P

W1 4 ˜103 = 2P = 0, 0056 W0 4, 47

10.52. Un cilindro neumático construido para soportar cargas de 200 kg está compuesto por un muelle de constante recuperadora 100 N/cm, y un amortiguador de 600 kg/s de constante amortiguadora. Calcular: a) El tipo de amortiguamiento del cilindro. b) Su decremento logarítmico. c) Su ecuación  0 . de movimiento si para W 0[ 20FP[ a) W 0 =

W1 =

k = P

100 ˜ 102 = 50 200

B 600 = = 1,5 rad/s ; W 0 > W1 $PRUWLJXDPLHQWRGpELO 2P 2˜ 200

120

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Temas de Física

b) Q = ln p = 2P

W1 = 2P W

W1 2 0

2 1

W W

= 2P

1,5 50  1,52

= 1,364

c) $FRV(D ) 20FP W $H0 VHQ(D )  W1 $H0 FRV(D ) 0WJ(D ) 

D  0, 2136UDG 12, 25º$ 

W1 1,5     0, 217 W 6,91

20  20, 46FP 0,9772

[(FP) 20, 46H 1,5W FRV(6,91W  0, 2136)   10.53. Supongamos que un oscilador lineal describe un movimiento amortiguado muy débil ( W 0 !! W1 ). Si la relación entre las velocidades cuando sale por primera vez de la posición de equilibrio en sentido creciente y la consecutiva, es decir, después de transcurrir un tiempo T, es n, calcular cuál es su relación cuando ha transcurrido un tiempo 2T, 3T, etc. (febrero 1998).   W1 $H W1W FRVW WW $H W1W VHQW W [ $H W1W FRVW W[ Dado que para: P P P  0ŸW W 3  [ 0 $H W1W FRVW WŸ W W  R´ 3 [! 2 2 2 x1 W Ae W1W = = eW17 = n x2 W Ae W1 (W 7 ) x1 W Ae W1W = = eV1 27 = n 2 x3 W Ae W1 (W  27 ) x1 W Ae W1W = = eW1 37 = n3 W1 ( W  37 ) x4 W Ae 121

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Movimiento oscilatorio

10.54. Una masa que está unida a un resorte describe un movimiento oscilatorio amortiguado en el que partiendo de una amplitud inicial de 120 mm, disminuye a 60 mm en 2,4 minutos. Determinar: a) El valor de la SXOVDFLyQGHELGDDODPRUWLJXDPLHQWRȦ1 ȕP E (OWLHPSRTXHWUDQVFXUUH hasta alcanzar una amplitud de 30 mm. a) x

Ae W1W ; 60 ˜103 120 ˜ 103 e W1 2,4 ˜60 ; W1

3

b) 30 ˜ 103 120 ˜103 H 4,8 ˜10 W ; W

ln 4 4,8 ˜ 103

ln 2 2, 4 ˜ 60 288,8 V

4,8 ˜ 103 rad

4, 4 PLQXWRV

10.55. Una masa de 100 g oscila con un periodo de 2 s, siendo su amplitud inicial de 10 m. Si el movimiento amortiguado que describe es muy débil, FDOFXODUD ODFRQVWDQWHGHDPRUWLJXDPLHQWRȕVLODDPSOLWXGGLVPLQX\HXQ 2% en cada ciclo. b) La disminución de energía que sufre en el primer ciclo. a) $OVHUHODPRUWLJXDPLHQWRPX\GpELO

ln p

W 2P 1 W0

B 2P 2P 2P 7

OQ S ˜ 2P 7

B7 ;B 2P

ln

A0 2 ˜ 0,1 0,98 A0 2 ˜103 kg / s 2

2 g/s

b) 2

'W

1 1 2P P 2 1 4P 2 0,1 2 2 k A02  0,982 A02 A 1  0,98 10 1  0,96 1,954 J  0 2 2 72 2 22

10.56. Una masa de 500 g está suspendida de un resorte de constante recuperadora 100 N/m, realiza un movimiento con amortiguamiento débil, de tal forma que su energía disminuye un 10% con cada oscilación. Calcular: a) el decremento logarítmico del movimiento, b) la frecuencia propia del VLVWHPDF HOFRH¿FLHQWHGHDPRUWLJXDPLHQWR

122

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Temas de Física

W a) n Wn 1

1 2 kAn 2 1 2 kAn 1 2

b) W0

k P

An2 An21

100 0,5

100 ;Q 90

ln p

14,14 UDG / V ; I 0

ln

An An 1

ln

100 90

0, 0527

2, 25 F / V

c) 2P

0, 0527

W1 2

2 1

14,14  W

Ÿ W1

B 2P

QW0 2

4P  Q

2

ŸB

0, 745 2, 28

0,118

N P˜V

10.57. Una masa de 100 g está suspendida de un resorte elástico de constante 10 N/cm en un medio que se opone a su movimiento con una fuerza proporcional a su velocidad. Su frecuencia de oscilación es 3/2 veces mayor que si no existiera amortiguamiento. Calcular: a) la frecuencia de oscilación propia del sistema sin DPRUWLJXDUE HOFRH¿FLHQWHGHDPRUWLJXDPLHQWRF HOGHFUHPHQWRORJDUtWPLFR

a) W0

10 ˜102 100 ˜103

k P

100 UDG ˜ V 1 ; I 0

W0 2P

15,9 V 1

b) W

3 W0 ; W 2 2

B

W1 ˜ 2P 50 ˜ 2 ˜100 ˜103 10 .J / V

c) Q

2P

3 2 W0 Ÿ W02  W12 4

W1 W02  W12

2P

3 2 W0 Ÿ W12 4

50 1002  502

1 2 W0 Ÿ W1 4

1 1002 2

50 rad ˜ s 1

3, 62

10.58. Una masa de 2 kg suspendida de un resorte elástico de constante recuperadora k = 8 kg/cm, y amortiguamiento ß = 0,04 kg.s/cm, está sometida a una fuerza periódica de amplitud 1 kg. Hallar: a) La frecuencia propia y de amortiguamiento del sistema. b) La frecuencia y amplitud de resonancia (g = 9,8 m/s2). 123

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Movimiento oscilatorio

k 800 ˜ 9,8 62, 6 = = 62, 6 rad/s I 0    9,96V 1 P 2 2P ;

a) W 0 =

W1 =

B 4 ˜ 9,8 9,8 = = 9,8 rad/s I1   1,56V 1 2P 2˜ 2 2P ;

b) W 'r = I 'r  

$ 

W 02  2 W12 =

62, 62  2 ˜ 9,82 =

3920  192 = 61 rad/s

61  9, 71 V 1 2P

2W1

19,8 I0 2    4 ˜103 P 0, 4FP 2 2 2 ˜ 9,8 3920  96 W 0  W1

10.59. Un niño de 20 kg de peso está columpiándose con una frecuencia de 1 oscilación cada 10 segundos. Debido al roce de las cuerdas se produce un decremento logarítmico de Q = 2PW1 / W 0 101 . Calcular la frecuencia con que hay que empujarle para que la amplitud de su movimiento se haga máxima, y su valor cuando la fuerza con que se le empuja es de 20 N.

a) W 0 =

W '2r

2P 1 W rad/s ; 101 = 2P 1 Ÿ W1 = 102 rad/s 2 P 10 10

W 02  W12

2 4P 2  2 102 2 10

0,3945UDGVW 'r

0, 6281UDGV I r

b)

$ 

2 W1

F0 P   W 02  W12

2 ˜102

20 20  70,58 P 4P 2 2 2  10 102

124

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0, 6281 101FV 2P

Temas de Física

10.60. Un cochecito de niño de 10 kg está soportado por dos ballestas LJXDOHVTXHÀH[LRQDQFPFXDQGRVHODVVRPHWHDXQDFDUJDGHNSI3DVHDQGR por Madrid, entra en resonancia característica al pasar por una acera cuyas baldosas de 30 cm están a distintas alturas de tal forma que el cochecito recibe XQLPSXOVRDO¿QDOGHFDGDEDOGRVD&DOFXODUHQNPKRUDODYHORFLGDGFRQTXH se desplaza.

W0

9,8 0, 02 10 2

F x P

k P

W 'r  W 0 ; 7r

2P W0

490 5

0, 6346 V ; Y

9,9 rad / s

0,3 0, 6346

0, 472 P / V 1, 7 .P / K

10.61. Una masa de 2 kg oscila unida a un muelle de constante recuperadora 1PHQXQPHGLRGHFRH¿FLHQWHGHDPRUWLJXDPLHQWRGHNJV/DPDVD está sometida a un fuerza sinusoidal de 10 N de valor máximo y pulsación 10 rad/s, Calcular: a) la amplitud de las oscilaciones que describe, b) la frecuencia de resonancia, c) la amplitud de las oscilaciones cuando se produce la resonancia. F0 P

a) $ 

10 2

2

§k §B · 2· ¨  W ' ¸ + ¨ W '¸ ©P ¹ ©P ¹

b) W 'r | W0

c) $0D[  

k P

400 2

I0 2 0

2 1

2W1 W  W

2

2

§ 400 · §2 ·  102 ¸  ¨ 10 ¸ ¨ © 2 ¹ ©2 ¹

200 14,14 UDG / V ; I 'r F0 P B k B2  P P 4P 2

10 400 22 2  2 4 ˜ 22

2

W 'r 2P

0, 04975 P

2, 25 F / V

0,35 P

125

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Movimiento oscilatorio

10.62. Una masa de 100 g oscila con una frecuencia propia de 100 Hz, describiendo un movimiento amortiguado muy débil (Ȧ1 = 10-2 rad/s). Determinar el valor de la fuerza que debemos aplicar para que el sistema entre en resonancia con una amplitud de 10 cm. 2 a) W 'r

W02  2W12

2

2P ˜100

 2 ˜104 Ÿ W 'r

628,3 | 2P ˜100 rad / s

b) F0 F P Ÿ 0 0,1 ˜ 2 ˜102 A0 = 0,1 2W1 W02  W12

2

100 ˜ 2P

c) )1 0,125 FRV 200P W

126

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2

 102 Ÿ F0

0,125 N

TEMA III: MOVIMIENTO ONDULATORIO

1. INTRODUCCIÓN En un medio material, el movimiento de una partícula o grupo de partículas se transmite a sus vecinas, de tal forma que a partir de ella, la perturbación que constituye el movimiento inicial, y especialmente la energía asociada a esta perturbación, se propaga a través del medio, con lo que después de un cierto tiempo, habrá alcanzado partículas muy distantes del foco. De forma general, VLWHQHPRVGH¿QLGDXQDPDJQLWXGItVLFDHQXQDUHJLyQGHOHVSDFLRHVGHFLU un campo, y en un punto del mismo se produce una perturbación, es decir, XQDDOWHUDFLyQGHOYDORUGHODPDJQLWXGGH¿QLGDHQHVHFDPSRHVWDDOWHUDFLyQ SXHGHGHVSOD]DUVHDRWURVSXQWRVGHOFDPSRGDQGROXJDUDPRGL¿FDFLRQHVGHO valor de la magnitud en estos puntos, diciéndose entonces que existe una onda asociada a ese campo. Se llama onda a toda perturbación periódica que se propaga en un campo. Esta perturbación, que puede ser una oscilación o una vibración, o cualquier otra variación periódica, no supone transporte real de materia, sino simplemente un pequeño desplazamiento de cada partícula individual en torno a su posición de equilibrio, y la propagación de esta perturbación a través del medio. La variación que sufre el campo cuando a través de él pasa una onda se denomina movimiento ondulatorio. Supongamos que tiramos una piedra a la VXSHU¿FLHGHXQHVWDQTXH$SDUWLUGHOSXQWR donde la piedra cae, comienzan a trasladarse VREUH VX VXSHU¿FLH XQD VHULH GH RODV TXH avanzan sobre circunferencias concéntricas, HV GHFLU FDGD SXQWR GH OD VXSHU¿FLH GHO agua comienza a oscilar verticalmente, y la máxima separación vertical que alcanza cada punto se va trasladando a sus vecinos, de tal forma que, por un lado, está el desplazamiento que sufre individualmente FDGDSXQWRGHODVXSHU¿FLH\SRURWURODWUDVODFLyQGHHVWHPRYLPLHQWRDORV puntos vecinos. Esto nos indica que el movimiento ondulatorio corresponde realmente a dos movimientos distintos, uno es el movimiento individual de cada punto, que corresponderá a un movimiento de vaivén respecto de una posición de equilibrio central, y otro, que corresponde a la propagación de la perturbación a través del medio. Si la dirección del movimiento individual de cada partícula se realiza en la misma dirección en la que la onda se propaga,

127

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Movimiento ondulatorio

entonces la onda se llama longitudinal. El sonido es un movimiento ondulatorio que se propaga mediante ondas longitudinales. Si el desplazamiento individual se realiza perpendicularmente a la dirección de propagación, la onda se llama transversal. La luz es un ejemplo de movimiento ondulatorio que se propaga mediante ondas transversales. Si el medio es homogéneo e isótropo, y la perturbación se inicia en un punto que llamamos foco, al cabo de un tiempo, esta perturbación KDEUiDOFDQ]DGRWRGRVORVSXQWRVVLWXDGRVVREUHXQDVXSHU¿FLHHVIpULFDGH radio: U FW, siendo c la velocidad de propagación de la onda. Si unimos todos los puntos que en el mismo instante están en idéntico estado de movimiento, obtendremos una esfera cuyo centro corresponderá al foco, pues bien, VHOODPDVXSHU¿FLHGHRQGDDODVXSHU¿FLHREWHQLGDXQLHQGR todos los puntos que en el mismo instante se encuentran en idéntico estado de movimiento. Tal como hemos dicho, si el medio es homogéneo e LVyWURSRODVXSHU¿FLHGHRQGDVHUiXQDVXSHU¿FLHHVIpULFD6LQHPEDUJRVL FRQVLGHUDPRVTXHHOIRFRHPLVRUHVWiPX\DOHMDGRGHODVXSHU¿FLHGHRQGD aunque ésta sea esférica en su conjunto, dado que el desplazamiento de cada punto es muy pequeño, para estudiar este desplazamiento, podemos FRQVLGHUDU VROR SDUWH GH OD VXSHU¿FLH GH RQGD OR TXH OODPDUHPRV IUHQWH GH RQGD HQWHQGLHQGR TXH HVH IUHQWH GH RQGD HV XQD VXSHU¿FLH SODQD HV decir, que el desplazamiento de cada partícula individual se realiza sobre un plano, recibiendo entonces, la onda, el nombre de onda plana. Se llama IUHQWH GH RQGDV D OD SDUWH GH VXSHU¿FLH GH RQGD TXH DLVODPRV SDUD VX estudio, y en términos generales, vamos a considerar que este frente de ondas es un plano, dado que los desplazamientos individuales de cada punto son muy pequeños comparados con el radio de curvatura de la VXSHU¿FLHGHRQGD Si hemos dicho que una onda es una perturbación periódica, repetirá su movimiento cada cierto tiempo que llamamos período, existiendo siempre la relación: W  2P  I  

2P  7

Siendo W la frecuencia angular o pulsación, I, la frecuencia, y 7, el período del movimiento individual de cada punto. Se denomina longitud de onda a la mínima distancia entre dos VXSHU¿FLHV GH RQGDV FRQVHFXWLYDV, es decir, si para que un punto esté 128

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Temas de Física

en idéntico estado de movimiento ha de transcurrir un tiempo igual a un SHUtRGR SRGUHPRV GH¿QLU OD ORQJLWXG GH RQGD FRPR OD GLVWDQFLD TXH OD onda recorre en un tiempo de un período: c L F7   I En donde c es la velocidad de propagación de la onda en el medio. 2. MOVIMIENTO ONDULATORIO DE UNA SERIE DE PUNTOS Consideremos que a través de un medio se desplaza una onda. Tomando como origen de coordenadas el foco emisor de esa onda, y como eje de abscisas, eje x, la dirección de propagación de la onda. Sea: 8 P I ( [) , la función que describe el movimiento de un punto P. Si consideramos el punto P’, separado del punto P, una distancia a, hacia la parte positiva del eje de abscisas, la función que nos describe el movimiento de este punto será: 8 P ' I ( [  D ) , mientras que si consideramos el punto P’’, situado hacia la parte negativa del eje, la función quenos describe el movimiento de dicho punto vendrá dada por: 8 P '' I ( [  D ) . Realmente, las expresiones anteriores son las mismas que se obtendrían si consideramos que, conocida la función que describe el movimiento de un punto, el movimiento de cualquier otro punto situado a una distancia dada, viene expresado por la misma función sin más que efectuar un cambio de variable consistente en una traslación a lo largo del eje x hasta alcanzar esa distancia. Si se quiere representar la ecuación del movimiento que describe cualquier punto, tendremos que tomar la distancia a, de situación del punto cuyo movimiento queremos describir, como una distancia variable. Si tomamos el foco como origen de coordenadas, y consideramos que la velocidad con que la onda se desplaza es c, después de un cierto tiempo W, la onda habrá alcanzado un punto situado a la distancia FW, por lo que la función que describe el movimiento de dicho punto será: 8 ( [, W ) I ( [ r FW ) .

129

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Movimiento ondulatorio

La ecuación que describe el movimiento de un punto, situado en la parte positiva del eje, en la posición x, vendrá dada por: 8 I[FW , que también puede escribirse en la forma: 8 IW[F Si consideramos que el desplazamiento de la onda se efectúa en sentido negativo del eje, entonces la ecuación que describe el movimiento de un punto situado en esta posición será: 8 IW[F La ecuación de una onda que se desplaza a lo largo del eje x, y en cualquier sentido dentro de él, positivo o negativo, vendrá dada por: x · § 8( [W )  I ¨ Wr  ¸ c ¹ © Aunque la función anterior puede ser cualquiera, si tenemos en cuenta que la perturbación ha de ser periódica, podemos presuponer que será desarrollable PHGLDQWHXQDVHULHGH)RXULHUTXHD¿QGHFXHQWDVFRUUHVSRQGHDXQDVXPDGH funciones sinusoidales que se aproximará tanto más a la función real, cuanto mayor sea el número de términos que consideremos. Sin embargo, teniendo en cuenta el principio de superposición, podemos estudiar solo un término del desarrollo, puesto que todos son similares. Si nos limitamos pues al estudio de perturbaciones armónicas, la ecuación que describe un movimiento ondulatorio será: x · § 8 P ( [W ) $FRVW ¨ Wr  ¸ c ¹ © Esta expresión corresponde a la ecuación de una oscilación, es decir, un movimiento oscilatorio armónico, que se propaga en la dirección del eje x, de tal forma que en esta expresión $FRVW W , corresponde al movimiento individual de cada punto, y el término x/c, corresponde al término “desplazamiento o propagación” de dicha oscilación. Si tratamos de averiguar para un punto P, cuándo estará en idéntico estado de movimiento, no tendremos más que igualar la expresión que nos describe su movimiento en el instante W, es decir: x · § 8 P $FRVW ¨ W  ¸ © c ¹ La expresión que corresponde al instante W¶, que será: 130

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Temas de Física

x · § 8 P $FRVW ¨ W´  ¸ c ¹ © Con lo que obtendremos: x · x · § § $FRVW ¨ W  ¸ $FRVW ¨ W c  ¸ c ¹ © c ¹ © Dos ángulos tendrán iguales sus cosenos, si su diferencia es un número entero de veces 2S radianes, es decir: 2P k 2P k § x· § x· W ¨ W  ¸W ¨ W c  ¸ 2P NW (W  W c) 2P NW  W c     N7 2P W © c¹ © c¹ 7 Esto quiere decir que el movimiento individual de cada punto es periódico respecto al tiempo, y transcurrido un tiempo múltiplo entero del período, cada punto individual estará en idéntico estado de movimiento. Si queremos encontrar la condición que se ha de cumplir para que dos puntos distintos estén en idéntico estado de movimiento, tendremos que igualar las ecuaciones que corresponden al movimiento de ambos puntos en el mismo instante, y que serán: x · § 8 P  $FRVW ¨ W  ¸ © c ¹ xc · § 8 P´  $FRVW ¨ W  ¸ c ¹ © Igual que en el caso anterior, estas dos expresiones serán iguales cuando la diferencia entre sus ángulos sea un múltiplo entero de veces 2S, es decir: 2P kc 2P kc § x· § xc · § xc x · W ¨ W  ¸ W ¨ W  ¸ 2P NW ¨  ¸ 2P N[c  [     N L  2P c¹ W © c¹ © © c c¹ 7

131

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Movimiento ondulatorio

Es decir, dos puntos estarán en idéntico estado de movimiento, cuando la distancia entre ambos corresponda a un múltiplo entero de longitudes de onda, luego la ecuación de una onda es periódica respecto a la posición de cada punto, en función de la longitud de onda, es decir, la ecuación de una onda es doblemente periódica, por un lado respecto al tiempo, a través del período, para el movimiento de cada punto individual, y por otro, para cada punto al que la onda llega, respecto a su posición, a través de la longitud de onda. Utilizando las ecuaciones de transformación de Euler, podemos considerar que la ecuación de una onda corresponde a la parte real de la expresión compleja: *

8 ( [W ) $H

§ x· LW ¨ W  ¸ © c¹

3. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UNA ONDA PLANA Se llama ecuación de movimiento a una expresión que relaciona la posición de un móvil con el tiempo. Esta ecuación se deduce por integración de la expresión obtenida al relacionar, a través del segundo principio de Newton, la aceleración con la fuerza o causa que produce el movimiento. Dado que la aceleración corresponde matemáticamente a una derivada segunda de la posición, la expresión para obtener la ecuación de movimiento de un móvil o sistema corresponde a la integración de una expresión que se denomina ecuación diferencial. En general, el método para el estudio de cualquier movimiento consiste en encontrar, aplicando el segundo principio de Newton, la ecuación diferencial que corresponde al movimiento, e integrar ésta, para obtener la ecuación de movimiento, y esto es lo que hemos hecho en el estudio del movimiento oscilatorio armónico. Sin embargo, en el estudio del movimiento ondulatorio, hemos obtenido primero la ecuación de una onda, sin habernos planteado la ecuación diferencial de la cual esa ecuación es solución. Vamos, pues, ahora, a tratar de obtener la ecuación diferencial de una onda plana, entendiendo por tal una onda en la que el movimiento de cada punto individual se realiza sobre un plano situado en igual dirección (onda longitudinal), o perpendicular (onda transversal), a la dirección en la que la onda se propaga. Consideraremos en este caso que el movimiento de cada punto se realiza en el plano normal a la dirección de propagación de la onda. La ecuación que describe el movimiento de un punto situado en la posición x, al que llega una onda que se desplaza sin deformación hacia la parte 132

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positiva del eje, utilizando notación compleja, será: *

U ( [W ) $H

§ x· LW ¨ W  ¸ © c¹

Dado que la ecuación diferencial de la que la expresión anterior ha de ser VROXFLyQKDGHFRUUHVSRQGHUDXQDUHODFLyQHQODTXH¿JXUHODDFHOHUDFLyQ vamos a derivar esta expresión respecto a las dos variables [W , de las cuales depende, obteniendo: 2 wU * W * w 2U * W * =i U ; 2 = 2 U wx c wx c

2 * wU * wU = i W U * ; 2 =  W 2U * wW wW

De donde, sustituyendo en la primera ecuación el valor de la aceleración obtenido en la segunda, resulta: w 2U * 1 w 2U * = 2 w[ 2 F wW 2 Esta expresión corresponde, tomando su parte real, a la ecuación diferencial de una onda plana que se desplaza en la dirección del eje x: w 2U 1 w 2U = w[ 2 F 2 wW 2 Esta ecuación tiene como solución no solo la ecuación de la que hemos partido para su obtención, sino que es solución de ella, es decir, la satisface, toda función del tipo: x · § 8  I ¨ W  ¸ c ¹ ©

133

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Movimiento ondulatorio

Para demostrar que cualquier función de este tipo es solución de la ecuación diferencial anterior, y consecuentemente representa una onda, vamos a comprobar que satisface la expresión anterior. Hagamos: x W  X c De tal forma que: wX 1 wX =  ; =1 w[ F wW Para comprobar que la satisface: 2 1 d 2U wX 1 d 2U wU dU wX 1 dU w U = = = = 2 c d X 2 wx c 2 d X 2 wx dX wx c dX ; wx

2 wU dU wX dU w U d 2U wX d 2U = = = = 2 d X 2 wW d X 2 wW GX wW GX ; wW

x · § Luego la función: 8  I ¨ W  ¸ © c ¹ Es una ecuación de onda pues satisface la ecuación diferencial. x Vamos a comprobar que igualmente la ecuación: 8 J§¨ W  ·¸ , es c ¹ © también una ecuación de onda. Para ello, vamos a comprobar que satisface la ecuación diferencial. Hagamos: x W  X c De tal forma que:

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Temas de Física

wX 1 wX = ; =1 w[ F wW

Para comprobar que la satisface: 2 1 d 2U wX 1 d 2U wU dU wX 1 dU w = = = = 2 c d X 2 wx c 2 d X 2 wx dX wx c dX ; wx

2 2 2 wU dU wX dU w U d U wX d U = = = = 2 d X 2 wW d X 2 wW GX wW GX ; wW

x Luego la función: 8 J§¨ W  ·¸ c ¹ © Es una ecuación de onda pues satisface la ecuación diferencial. D’Alembert demostró que la solución general de la ecuación diferencial de una onda plana que se propaga sobre el eje x, en cualquier sentido, positivo o negativo, es: x · x · § § 8( [W )  I ¨ W  ¸J¨ W  ¸ c ¹ c ¹ © © Realmente, un movimiento ondulatorio se propaga no solo en la dirección del eje x, sino en cualquier dirección. Tomando como origen de coordenadas el foco emisor del movimiento ondulatorio, la ecuación del movimiento que describe el punto P, cuyo vector de posición es G r ( x, y, z ) , se obtendrá sustituyendo en la ecuación de una onda que se propaga en la dirección del eje x, la ecuación del plano ([ FWH), por la ecuación del plano (S FWH), que se obtendrá a través de la expresión:

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Movimiento ondulatorio

x y z G G P  U˜Xn  [ G \ G ] G  [FRVA \FRVB ]FRVG  FWH _U_ _U_ _U_ Por lo que la ecuación de propagación de la onda según la dirección r será: *

U ( [ \]W ) $H

§ [ FRV A  \ FRV B  ] FRV G · LW ¨ W  ¸ c © ¹

Para calcular la ecuación diferencial de la onda, tenemos que operar de igual forma que anteriormente, es decir, derivar la expresión anterior respecto a cada una de las variables de las cuales depende la función, es decir: 2 w8 * FRVA * w 28 * 2 FRV A * =iW U ; 2 = W U wx c wx c2

2 w8 * FRVB * w 28 * FRV B * =iW U ; 2 = W 2 U 2 wy c wy c

2 w8 * FRVG * w 28 * FRV G * =iW U ; 2 = W2 U wz c wz c2

Sumando estas tres ecuaciones, obtendremos: 2

*

2

*

2

*

2

wU wU wU W  2  2  '8 *   2 8 * (FRV 2 A FRV 2 B FRV 2 G ) 2 wx wy wz c Teniendo en cuenta que la suma de los cuadrados de los cosenos directores es la unidad, y que derivando con respecto al tiempo, obtendremos: wU * w 2U * = i W U* ; 2 = W2 U* wW wW Sustituyendo esta expresión en la anterior, la ecuación diferencial de la onda que se propaga en cualquier dirección, escrita ya en forma real será:

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Temas de Física

w 2U w 2U w 2U 1 w 2U + + = ' U = w[ 2 w\ 2 w] 2 F 2 wW 2 Siendo: 'U, la Laplaciana de la función. 4. COMPOSICIÓN DE ONDAS DE IGUAL DIRECCIÓN La superposición de dos ondas que se propagan en igual dirección, teniendo igual amplitud aunque distinta pulsación y velocidad, pero de valores próximos, da como resultado un estado no periódico, pero constituido por variaciones rítmicas que reciben el nombre de batimientos, consistente en una variación lenta superpuesta a una variación más rápida. Consideremos que las ondas tienen por ecuaciones: * 1

U = Ae

U

* 2

Ae

§ x· LW1 ¨ W  ¸ © c1 ¹

§ x· LW 2 ¨ W  ¸ © c2 ¹

= AeL (W1W  B1[ )

= AeL (W2W  B 2 [ )

En donde: B1 =

W1 W ; B2 = 2 c1 c2

Aplicando el principio de superposición, la ecuación resultante será: U * = U1* + U 2* = AeL (W1W  B1[ ) + AeL (W2W  B 2 [ ) Efectuando el cambio de variables: 2W = W1 + W 2

2 B = B1 + B 2

2DW = W1  W 2 2DB = B1  B 2 W1 = W + DW

B1 = B + DB

W 2 = W  DW

B 2 = B  DB

137

ERRNVPHGLFRVRUJ

Movimiento ondulatorio

La ecuación quedará:

Aplicando las ecuaciones de transformación de Euler, a la expresión encerrada en el paréntesis: e e

L (DW W DB [ )

 FRV(DW W  DB [)LVHQ(DW W  DB [)

 L (DW W DB [ )

 FRV(DW W  DB [)LVHQ(DW W  DB [ )

Nos resultará: 8 *  $>2 FRV (DW W  DB [) @H 

L WW  B [ )



De la que tomando solo su parte real, obtendremos: 8 2$FRV(DW W  DB [)FRV(W W  B [) Esta ecuación corresponde al producto de dos ondas, una de ellas de ecuación: 8I

§ x · FRV(W W  B [) FRVW ¨ W  ¸ © W/B ¹

2P 4P , Que corresponde a una onda de amplitud 1, de período 7 I     W W + W 1 2 de velocidad cI

W W1 + W 2 4P = , y longitud de onda L I  F I 7 I    B B1 + B 2 B1 + B 2

Modulada por otra, de ecuación: § x 8 g  2$FRV(DW W  DB [) 2$ FRV DW ¨ W © DW / DB

138

ERRNVPHGLFRVRUJ

· ¸ ¹

Temas de Física

2P 4P !7 I  , de Que tiene una amplitud 2A, de período 7J     DW W  W 1 2 velocidad cg =

4P DW W1  W 2 !L I  = , y longitud de onda LJ  FJ 7J   B1  B 2 DB B1  B 2

La velocidad con que se desplaza esta onda moduladora o portadora se denomina velocidad de grupo. Si los valores de las frecuencias de las ondas que se superponen son muy próximos, puede considerarse que su diferencia corresponde a un elemento LQ¿QLWHVLPDOREWHQLpQGRVHHQWRQFHVSDUDODYHORFLGDGGHJUXSR cJ =

GF I dW GF I B = = cI + B dB dB dB

Dado que: B =

cJ = c I +

2P LI

W 2P = cI LI dc I

§ 2P d¨ ¨L © I

· ¸¸ ¹

= cI +

dc I dc I 2P = cI  LI L I § 2P · dLI ¨¨  2 ¸¸ d L I © LI ¹ Un medio se dice que es dispersivo cuando la velocidad de fase varía en función de la longitud de onda, mientras que en un medio no dispersivo, la velocidad de grupo coincide con la velocidad de fase: cg = cI

9DPRVDYHUVLJUi¿FDPHQWHSRGHPRVGDUQRVXQDLGHDPiVFODUDGHTXp son los batimientos, y qué es grupo y fase.

139

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Movimiento ondulatorio

Consideremos un instante concreto, y representemos la función: İ I[ . Esta función se obtendrá como suma de dos funciones sinusoidales, İ1 y İ2, y tendrá un máximo en el punto M, punto de coincidencia de los dos máximos de ambas funciones, y un valor nulo en los puntos A y B, obteniéndose por tanto, unas ondas de amplitudes variables, de período 7I, que forman una especie de paquete o grupo, de período 7g. Si el medio no es dispersivo, todo el paquete se desplaza con la misma velocidad (cg), y esa velocidad coincide también con la velocidad con que se desplaza cada onda individual (cI). Sin embargo, si el medio es dispersivo, y tomamos el punto M del primer paquete, y el punto N, máximo anterior del paquete inicial, se convierten respectivamente en los puntos M’ y N’ del segundo paquete de ondas, en el que la amplitud máxima ya no corresponde a la onda M, sino a la N, o lo que es lo mismo, es como si cada onda individual avanzase dentro del grupo DFHUFiQGRVHDOSXQWR&PLHQWUDVTXHHQHOSXQWR%¿QDOGHOJUXSRHVFRPR si apareciesen nuevas ondas cuya amplitud creciese. 5. COMPOSICIÓN DE ONDAS DE IGUAL FRECUENCIA 5.1. Interferencias Cuando en un mismo punto coinciden simultáneamente dos movimientos ondulatorios de igual frecuencia, se dice que inter¿HUHQ(OSUREOHPDPD\RUSDUDFRQVHJXLUOR es disponer de dos focos coherentes, entendiendo que se llama coherentes a los focos que emiten movimientos ondulatorios de igual frecuencia. Por lo general, un foco emisor de un movimiento ondulatorio, sea éste luz o sonido, emite con una gama de frecuencias, y no con una frecuencia única, salvo determinados focos como es el láser en el caso de la luz, o el diapasón en el caso del sonido, de ahí que sea muy difícil conseguir focos coherentes. La mejor forma para conseguir esto consiste en disponer un ~QLFRIRFRHPLVRU\VLWXDUGHODQWHGHpOXQDSDQWDOODFRQGRVRUL¿FLRVGHWDO IRUPDTXHDSOLFDQGRHOSULQFLSLRGH+X\JHQVFDGDXQRGHHVWRVRUL¿FLRVVH puede considerar como foco secundario de emisión, y consecuentemente, al provenir de un único foco real, estos focos secundarios necesariamente emiten con igual gama de frecuencias, es decir, son coherentes.

140

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Temas de Física

Consideremos que en un punto P coinciden dos movimientos ondulatorios procedentes de dos focos coherentes. La ecuación de ambos movimientos ondulatorios escrita en forma compleja será: * 1

U = A1 e

* 2

§ x · LW ¨ W  1 ¸ © c¹

U = A2 e

§ x · LW ¨ W  2 ¸ © c ¹

Aplicando el principio de superposición, el movimiento resultante en P será la suma de ambos movimientos, es decir: *

* 1

* 2

U = U + U = A1 e

§ x · LW ¨ W  1 ¸ © c¹

+ A2 e

§ x · LW ¨ W  2 ¸ © c ¹

Efectuando el cambio de variable: 2 x = x1 + x2 2D x = x1  x2 Es decir: x1 = x + D x ; x2 = x  D x Obtendremos para los exponentes de ambas expresiones: § x · § x  D x · ª § x · WD x º LW ¨ W  1 ¸ LW ¨ W   ¸ L W ¨W  ¸  c¹ c ¹ «¬ © c ¹ c »¼ © © § x · § x  D x · ª § x · WD x º LW ¨ W  2 ¸ LW ¨ W  ¸ L W ¨ W  ¸  c ¹ c ¹ «¬ © c ¹ c »¼ © © Con lo que la ecuación del movimiento resultante quedará: *

U = A1 e

§ x · LW ¨ W  1 ¸ © c¹

 A2 e

§ x · LW ¨ W  2 ¸ © c ¹

x

WD x WD x i i § · LW ¨©§ W  c ¸¹· c c = ¨ A1 e  A2 e ¸e © ¹

141

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Movimiento ondulatorio

Tomando su parte real, obtendremos: 8

§ x· $ FRV W ¨ W  ¸ © c¹

§ x x · $ FRV W ¨ W  1 2 ¸ 2c ¹ ©

Que corresponde a un movimiento ondulatorio de igual pulsación, frecuencia y período que los movimientos concurrentes, pero cuya amplitud es variable en función de la posición del punto considerado. Para comprobar que esto último es cierto, vamos a calcular cuál es el valor de la amplitud del movimiento resultante. La amplitud del movimiento resultante en forma compleja será: WD x WD x i i § · A* = ¨ A1 e c  A2 e c ¸ © ¹

Para calcular cuál es la parte real de este número, multiplicamos por su complejo conjugado, y dicho producto será el cuadrado de la amplitud resultante, es decir: WD x WD x WD x WD x i i i i § ·§ · WD x $2  ¨ $1H c  $2 H c ¸¨ $1H c  $2 H c ¸ $12  $22  2 $1 $2 FRV2  c © ¹© ¹

La amplitud del movimiento resultante tendrá un valor máximo: 2 A0D[ = A12 + A22 + 2 A1 A2 Ÿ A0D[ = A1 + A2

Que corresponderá a los puntos cuya posición hace que el coseno del ángulo que aparece en la expresión de la amplitud sea la unidad, es decir: 2

WD x 2P ( x1  x2 ) 2P ( x1  x2 ) = = = k 2P Ÿ x1  x2 = k L F 7 F L

Los puntos para los que la diferencia de camino recorrido por ambas ondas sea un múltiplo entero de longitudes de onda tendrán amplitud máxima. La amplitud del movimiento resultante será mínima y tendrá un valor:

142

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Temas de Física 2 Amin = A12 + A22  2 A1 A2 Ÿ Amin = A1  A2

Cuando el valor del coseno sea la unidad negativa, es decir: 2

WD x 2P x1  x2 2P x1  x2 L      (2N 1 P Ÿ [1  [2  (2N 1)  F 7 F L 2

Los puntos para los que la diferencia de camino recorrido por ambas ondas sea un número impar de medias longitudes de onda, tendrán como amplitud de la onda resultante, la diferencia de amplitudes de las ondas que LQWHU¿HUHQ Si consideramos que el medio es homogéneo e isótropo, las VXSHU¿FLHVGHRQGDVHUiQHVIHUDV concéntricas con cada foco, de tal forma que si trazamos con centro en cada foco esferas de radios L / 2 , y unimos los puntos de corte de dichas esferas cuya diferencia de radios sea L , obtendremos el lugar geométrico de los máximos que corresponderán a hiperboloides (silla de montar), que tengan como focos los focos emisores de cada onda. Si esta representación la hacemos sobre el plano, el lugar geométrico de los máximos será una familia de hipérbolas, e intercaladas entre ellas estarán situadas las hipérbolas que corresponden a la situación de los mínimos. 5.2. Ondas estacionarias Un caso particular de interferencias son las que se producen sobre la línea de unión de ambos focos coherentes, es decir, cuando los movimientos RQGXODWRULRV GH LJXDO IUHFXHQFLD LQWHU¿HUHQ SURSDJiQGRVH HQ OD PLVPD dirección pero en sentidos contrarios. La mejor forma para conseguir dos focos coherentes que produzcan las ondas descritas es componer una onda TXH LQFLGH VREUH XQD VXSHU¿FLH FRQ VX RQGD UHÀHMDGD (O ~QLFR SUREOHPD HVTXHHQODUHÀH[LyQSXHGHLQWURGXFLUVHXQGHVIDVHHQWUHRQGDLQFLGHQWH\ UHÀHMDGDGHVIDVHTXHWHQGUHPRVTXHWHQHUHQFXHQWDDOHVFULELUODVHFXDFLRQHV correspondientes a ambas ondas, y que serán: 143

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Movimiento ondulatorio

U i* = A e

* r

U = Ae

§ x· LW ¨ W  ¸ © c¹

ª § x· º L «W ¨ W  ¸  2D » ¬ © c¹ ¼

Aplicando el principio de superposición, el movimiento resultante será la suma de ambos, es decir: *

* i

* r

U = U +U = A e

§ x· LW ¨ W  ¸ © c¹

+ Ae

ª § x· º L «W ¨ W  ¸  2D » ¬ © c¹ ¼

Efectuando el cambio de variable: § x· LW ¨ W  ¸ L(F1  F2 ) © c¹ ª § x· º L «W ¨ W  ¸  2D » L(F1  F2 ) ¬ © c¹ ¼ De donde: Wx F1 W WD F2   D  c Obtendremos: *

U = Ae

§ x· LW ¨ W  ¸ © c¹

+ Ae

ª § x· º L «W ¨ W  ¸  2D » ¬ © c¹ ¼



=A e1

i F F2

e1

i F F2

= A e

 iF2

 eiF2 eiF1

Aplicando las ecuaciones de transformación de Euler a las expresiones encerradas en el paréntesis, y tomando solo la parte real de la ecuación, obtendremos: 8 *  $(FRVF2 LVHQF2 FRVF2 LVHQF2 )(FRV F1 + i sen F1 ) 144

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Temas de Física

§Wx · 8 2$FRVF2 FRVF1 2$FRV¨  D ¸FRV(W W  D ) © c ¹ Como puede apreciarse en la expresión anterior, ha desaparecido el término correspondiente al desplazamiento (x/c), es decir, la expresión anterior es la ecuación de un movimiento oscilatorio y no de un movimiento ondulatorio, de ahí que reciba el nombre de onda estacionaria, dado que cada punto oscila con distinta amplitud en función de su posición, pero no hay traslación de esta oscilación a través del medio. Los puntos que oscilan con amplitud máxima se llaman vientres. El valor de esta amplitud será: AV = 2 A La posición de los vientres se obtendrá de igualar: Wx §Wx · FRV¨ V  D ¸ r 1Ÿ V  D  NP  c © c ¹ W xV 2P xV L DL D =  D = kP Ÿ xV = k  F 7F 2 2P Los puntos cuya amplitud de oscilación es nula se denominan nodos. AN = 0 Su posición se obtendrá: W xN P §Wx · FRV¨ N  D ¸ 0Ÿ  D  (2N 1)  2 c © c ¹ W xN 2P xN P L DL D =  D = (2k +1) Ÿ xN = (2k +1)  F 7F 2 4 2P 145

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Movimiento ondulatorio

Si queremos calcular cuál es la posición entre dos vientres o dos nodos consecutivos solo tendremos que dar a k, dos valores enteros consecutivos, obteniéndose: xV  xV ' = xN  xN ' =

L 2

Si queremos calcular cuál es la separación entre un vientre y un nodo consecutivo solo tendremos que restar la posición obtenida para un nodo y un vientre con igual valor de k, con lo que obtendremos: xN  xV =

L 4

6. BIBLIOGRAFÍA - Bruhat, G.: MECANIQUE. Ed. Masson et Cie. Paris, 1961. - Feynman, R., Leighton, R.B., y Sands, M.: FÍSICA. VOL I. Ed. Fondo Educativo Iberoamericano Bogota. Mexico. Caracas, 1963. 7. PROBLEMAS DE EXAMEN 7.1. Un movimiento ondulatorio de 500 c/s de frecuencia y 70 cm de longitud de onda se propaga en aire con amplitud de 0,25 mm. Calcular: a) La velocidad de propagación de la onda. b) La ecuación de dicho movimiento si para t = 0, x = 0, U = 0. c) La velocidad máxima de desplazamiento de las partículas. L a) F   L  I  0, 7˜ 500 350PV 7 x · § 3 b) 8P  0, 25 ˜10 VHQ1000P ¨ W  ¸ © 350 ¹  0, 25 ˜103 ˜1000 P  0, 785PV c) 8

146

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Temas de Física

7.2. Un movimiento ondulatorio se propaga en dirección +x con velocidad de 1500 m/s. Si su frecuencia es de 1200 c/s, calcular: a) Su longitud de onda y período. b) Su ecuación si 8 (0, 0) 10 PP, 8 (0, 0) 0 . c) La velocidad máxima de las partículas. 1 1 c 1500  8,33˜104 VL      1, 25P a) 7    I 1200 I 1200 2 b) 10  $FRV(D )

0 = A 2P ˜ 1200 sen (-D ) VHQ(D ) 0ŸD  0$ 102 P x · § 8 102 FRV2P 1200 ¨ W  ¸ © 1500 ¹  102 ˜2P ˜1200 75,398PV c) 8  8Q IRFR TXH YLEUD VHJ~Q OD HFXDFLyQ \ P    VHQ ʌW HPLWH una onda que se propaga con una velocidad de 10 m/s. Deducir la ecuación de la onda plana que se propaga, calculando: a) su longitud de onda, b) el desplazamiento de las partículas del medio durante un período, c) el desplazamiento de los puntos situados a 10,25 y 10,75 m del foco al cabo de 5 s del comienzo de su vibración, d) la diferencia de fase de las oscilaciones en los dos puntos anteriores. /DHFXDFLyQGHODRQGDSODQDVHUi 8 ( P)

a) L

x· § x· § $ VHQ W ¨ W  ¸ 0, 2 VHQ 20P ¨ W  ¸ © c¹ © 10 ¹ F7

F

2P W

10

2P 20P

1P

147

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Movimiento ondulatorio

b) 8 P  8 P

xº xº ª ª 0, 2 VHQ 20P «W  7  »  0, 2 VHQ 20P «W  » 10 ¼ ¬ ¬ 10 ¼

0

c) 81

ª 10, 25 º 0, 2 VHQ 20P «5  10 »¼ ¬

d) 'F

ª 10, 75 º 0, 2 VHQ 20P «5  10 »¼ ¬

0, 20 P ; 8 2

0, 2 P

§ 10, 75 · § 10, 25 · 20P ¨ 5  ¸  20P ¨ 5  ¸ P radianes 10 ¹ 10 ¹ © ©

7.4. Un foco puntual realiza un movimiento representado por la ecuación u PV  FRVʌW[ &DOFXODUD VXORQJLWXGGHRQGDE ODGLIHUHQFLD de fase para dos posiciones de la misma partícula cuando el intervalo de tiempo transcurrido es de 1 s, c) la diferencia de fase en un instante dado de dos partículas separadas por 210 cm, d) si el desplazamiento de una determinada partícula es de 3 m, determinar cuál será su desplazamiento 2 s más tarde. a) L

F7

340 P

b) 'Q

Q1  Q 0

x º ª1 § x · 2P «   2P ¨ ¸ » ¬ 6 340 ¼ © 340 ¹

c) 'Q

Q1  Q 2

§W· ª W 2,10 º 2P ¨ ¸  2P «  ©6¹ ¬ 6 340 ¼»

d) 3 4 FRV 2P

W ŸW 6

3 3 DUF FRV P 4



0, 69V ; X

2P 6

P rad 3

2P ˜ 2,10 340



4, 2P 340

0, 039 rad

§ 2  0, 69 · 4 FRV 2P ¨ ¸ 6 © ¹

3, 79 P

7.5. Demostrar que 8( [W ) $H  es solución de la ecuación de una onda que se propaga en la dirección del eje x. Suponiendo que U(0,0) = 15 cm, 8 (0, 0) 0, 075 P / V , y la velocidad c = 4 m/s, escribir la ecuación de dicha onda y el valor de U a los tres segundos, para un punto situado a 4 m del foco.  % FW  [

148

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Temas de Física

a)

wU w 2U = B U ; 2 = B2 U wx wx wU w 2U =  B c U ; 2 = B 2c2 U wW wW

w 2U 1 w 2U /XHJRHVXQDRQGD = w[ 2 F 2 wW 2 b 8(0,0) = A = 15 FP. 8 0, 0  $% 0, 075% 0,5 P 1 8 ( [W ) 0,15H 0,054W  [  ; c) 8 4,3  0,15 H

0,54˜3 4

0,15H 4  0, 0027P

7.6. Demostrar que la función 8 I(W2x) representa una onda plana, y calcular su velocidad de propagación. X  W2[

wX wX 1  2 wW w[

wU wU wX wU wU wU wX wU = = = =2 wW wX wW wX ; wx wX wx wX w 2U w 2U w 2U w 2U = = 4 wW 2 wX 2 ; wx 2 wX 2 w 2U w 2U /XHJRHVXQDHFXDFLyQGHRQGD. = 4 w[ 2 wW 2 4=

1 1 1 ; c= = 2 c 4 2

149

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Movimiento ondulatorio

7.7. Demostrar que la ecuación 8 $VHQN[HLW W %FRVN[HLW W corresponde a una onda plana, y calcular su velocidad, teniendo en cuenta que k y W , son constantes. 8 $VHQN[˜ HLW W %FRVN[˜ HLW W  wU wx

w 2U N $FRV N[  % VHQ N[ H  2 ; wx

wU wW

LW  $ VHQ N[  % FRV N[ HLW W 

LW W

w 2U 2 ; wW

N $ VHQ N[  % FRV N[ HLW W

W 2  $ VHQ N[  % FRV N[ HLW W 

w 2U k 2 w 2U = w[ 2 W 2 wW 2 1 k2 W = 2 c= 2 c W ; k 7.8. Demostrar que: 8  $FRV S[  %FRV S\  &FRV S]  'FRVFW  corresponde a la ecuación de una onda plana, y calcular su velocidad si p = 4, y c = 3. a)

wU   S$VHQ S[%FRV S\ &FRV S] 'FRVFW  wx

w 2U   S 2 $FRV S[ %FRV S\ &FRV S] 'FRVFW   S 2 8 2 wx wU   S%VHQ S\$FRV S[ &FRV S] 'FRVFW  wy w 2U   S 2 $FRV S[ %FRV S\ &FRV S] 'FRVFW   S 2 8 2 wy

150

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Temas de Física

wU   S&VHQ S]$FRV S[ %FRV S\ 'FRVFW  wz w 2U   S 2 $FRV S[ %FRV S\ &FRV S] 'FRVFW   S 2 8 wz 2 wU   F'VHQFW$FRV S[ %FRV S\ &FRV S]  wW w 2U   F 2 $FRV S[ %FRV S\ &FRV S] 'FRVFW   F 2 8 2 wW

'8 

w 2U w 2U w 2U 3 p 2 w 2U c2 32     E  Y     0, 433 w[ 2 w\ 2 w] 2 F 2 wW 2 3 S2 3˜ 42

7.9. Demostrar que: 8 [, W I WW  N[ corresponde a una ecuación de onda unidimensional si W y k son constantes, y calcular la velocidad si sus valores son 4 y 3.

X

a)

W W  N[ ; wU w[

k

wX w[

N;

wU w 2U ; wX w[ 2

wX wW k2

W w 2U wX 2

;

wU wW

W

wU w 2U ; wX wW 2

W2

w 2U wX 2

de

GRQGHVHREWLHQH w 2U w[ 2 1 b) 2 c

k 2 w 2U W 2 wW 2 k2 Ÿc W2

W k

 4 1, 3 3

7.10. Demostrar si la función: 8  [  FW 3, es o no, una función de onda.

151

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Movimiento ondulatorio

X

[  FW ;

wX w[

1;

wX wW

F 2

wU wx

wU wX wX wx

3X 2 ˜1;

wU wx 2

wU wW

wU wX wX wW

3X 2 ˜ F ;

wU wW 2

6X ˜1 6 [  FW

2

6X ˜ F 2

6 [  FW F 2

2 U 1 2U &XPSOH w 2 = 2 w 2 w[ F wW

7.11. Un haz de luz blanca de amplitud 1 mm está formada, entre otras, por la luz roja y la luz violeta, de longitudes de onda respectivas 670,8, y 404,7 nm (nanómetros = 10-9P LQFLGHQRUPDOPHQWHVREUHXQDVXSHU¿FLHGHFXDU]R Calcular: a) La ecuación del movimiento resultante de la superposición en el cuarzo, de la luz roja y de la luz violeta, si las velocidades de propagación respectivas en el cuarzo son 194.615 y 192.655 km/s. b) La velocidad, frecuencia y longitud de onda, de la onda de grupo y de la onda de fase. a) DW

W

W1  W 2 2 W1 + W 2 2

§c c · § 192655 ˜103 194655 ˜ 103 ·  P  I1  I 2  P ¨ 1  2 ¸ P ¨ 584˜1012 UDGV 9 9 ¸ ˜ ˜ L L 404, 7 10 670,8 10 © ¹ © 1 2 ¹ §c c · § 192655 ˜ 103 194615 ˜103 · P  I1  I 2  P ¨ 1  2 ¸ P ¨  2407 ˜1012 UDGV 9 9 ¸ ˜ ˜ 407, 7 10 670,8 10 L L © ¹ © 2 ¹

§1 1 · 1 §W W · 1 1 § ·  DB   ¨ 1  2 ¸ P ¨  ¸ P ¨  3˜ 106 P 1 9 9 ¸ 2 © c1 c2 ¹ 670,8 ˜10 ¹ © 404, 7 ˜ 10 © L1 L2 ¹ §1 1 · 1 §W W · 1 1 § · B   ¨ 1  2 ¸ P ¨  ¸ P ¨   12,5 ˜106 P 1 9 9 ¸ 2 © c1 c2 ¹ 670,8 ˜ 10 ¹ © 404, 7 ˜10 © L1 L2 ¹

8P  0, 002FRV(584˜1012 W3˜106 [)FRV(2407˜1012 W12,5˜106 [)

152

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Temas de Física

b) W  W 2 584 ˜ 1012 W + W 2 2407 ˜1012 IJ   1    92,9˜1012 FV I I   1   383˜1012 FV 4P 2P 4P 2P

FJ  

584 ˜1012 2407 ˜ 102 6   189, 67  ˜ 10 PVF   192, 6˜106 PV I 6 6 3 ˜10 12,5 ˜ 10

LJ  

189, 67 ˜106 192, 6 ˜106 6 2, 04 ˜ 10      P L   0,5 ˜106 P I 12 2 92,9˜10 383˜10 Ig

cg

 6XSRQJDPRV TXH OD YHORFLGDG GH IDVH GH ODV RQGDV VXSHU¿FLDOHV en un líquido, que también se llaman ondas de gravedad, viene dada por la expresión: cI

gL I

, en donde g corresponde a la aceleración de la gravedad y es

2P

igual a 10 m/s2. Calcular: a) La velocidad de grupo. b) Los valores numéricos de ambas velocidades y los períodos si la longitud de la onda de fase es de 14 m y la de grupo 62 m.

gL I

a) c I

2P

gL I

b) F I

7I

; cJ

2P LI cI

14 4, 72

cI  LI

10 ˜14 2P

§ g · ¨ ¸ P 2 ¨ ¸ cI  1 cI  LI ¨ 2 gL I ¸ ¨2 ¸ 2P ¹ ©

dc I dLI

4, 72 P / V ; FJ

2,96 V ; 7J

LJ cJ

62 2,36

1 4, 72 2

gL I 2P

1 cI 2

2,36 P / V

26, 27 V

153

ERRNVPHGLFRVRUJ

Movimiento ondulatorio

7.13. Dos focos emisores que distan 4 m emiten movimientos ondulatorios de igual frecuencia ( W = 2P rad/s ), amplitudes respectivas 2 y 1 m que se propagan con velocidad de 2 m/s. Calcular la posición de los máximos y mínimos de amplitud y el valor de la misma: a) En la perpendicular a la recta de unión de ambos focos en el punto medio. b) En la perpendicular a la recta de unión sobre el foco A. a) A0D[LPD 21 3P $PLQLPD  21 1P W x1  x2 W x1  x2 FRV  1  2P N[1  [2  2N c c W x1  x2 W x1  x FRV   1  2N  1 P [1  [2  2N 1 c c 3XQWRPHGLR: x1 = x2 2

$2  22 12 2˜ 2 ˜1FRV0 2  1 $ 3P 7RGRVORVSXQWRVWLHQHQDPSOLWXGPi[LPD. 2 2 2 b) x2 = x1 + 4 0i[LPRV

[1 [12 42  2N[1 

4k 2  4 2 10 [1 0  6 2k 3

0tQLPRV 2

2 1

2

[1 [ 4  2N 1[1

2k  1  42   [1 2 2k  1

9 33    10 14

7.14. Dos focos coherentes emiten movimientos ondulatorios de 1 c/s de frecuencia, 4 m/s de velocidad y 3 y 4 m de amplitud, respectivamente, 154

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

estando separados por una distancia de 20 m. Calcular el valor y la posición de los máximos y mínimos de amplitud del movimiento resultante sobre la perpendicular a la línea de unión de los focos, que pasa por ellos. /DSRVLFLyQVREUHFDGDXQRGHORVIRFRVHVLGpQWLFD. a) 0i[LPRV: A = A1 + A2 = 3 + 4 = 7 P 2P I [1  [2 = 2P k c x22 = 202 + x12 ; x2 = 2P ˜1

 x  20 2 1

2

202  x12

 x1

4

= 2P k

2

x12 + 202 = 4k  x1

x1 =

202  16k 2 8k

N 0Ÿ [1 fN 1Ÿ[1 48PN 2Ÿ [1 21P b) 0tQLPRV$ $1 - A2 = 4 - 3 = 1 m P I [2  [1 = 2k  1 P ; x12  202 4

ª¬ 2 2k  1  x1 º¼

2

2

202  4 2k  1 x1 = 4 2k  1 N

0 Ÿ [1

99PN 1 Ÿ [1

91 PN 3

2 Ÿ [1 15PN

3 Ÿ [1

51 PN 7

4 Ÿ [1

19 P 9

155

ERRNVPHGLFRVRUJ

Movimiento ondulatorio

7.15. En dos puntos situados a 12 m de distancia hay dos focos emisores de un movimiento ondulatorio de 1000 c/s de frecuencia, 330 m/s de velocidad, y 4 y 6 m de amplitudes respectivas con desfase inicial nulo (W= 0, U = A, į =0). Calcular: a) La ecuación de ambos movimientos. b) La amplitud del movimiento resultante a 3 m de los focos emisores y a ambos lados de los mismos. c 330  0,33P a) L   I 1000 x · § 81P  4FRV2P ˜1000 ¨ W  ¸ © 330 ¹ x · § 8 2 P  6FRV2P ˜1000 ¨ W  ¸ © 330 ¹ 93  95, 47P 0,33 b) 15  3 $ '2P  $ '2P '  42 62 2 ˜ 4 ˜ 6FRV2P  94, 22P 0,33 $P2  $P2 '  42 62 2 ˜ 4 ˜ 6FRV2P

$ 9,83P $ ' 9, 70P 7.16. Dos focos emisores coherentes están situados a 10 m, emitiendo con frecuencia de 1000 c/s, velocidad de 300 m/s, y amplitudes respectivas de 3 y 4 m. Calcular: a) La ecuación de cada uno de los movimientos si para ambos, U(0,0) = 0. b) La amplitud resultante a 2 y 3 m de cada uno de los focos y sobre la recta que los une. x · § 81 3VHQ2P ˜1000 ¨ W  ¸ © 300 ¹ a) x' · § 8 2  4VHQ2P ˜1000¨ W  ¸ © 300 ¹

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Temas de Física

c 300 L     0,3P I 1000 b) (QWUHDPERVIRFRV: 28 2524˜ 0, 4080 34, 79$1 5,89P 0,3 37 $22  32 42 2 ˜ 3 ˜4FRV2P 2524 ˜ 0,5 13$2  3, 60P 0,3

$12  32 42 2˜ 3 ˜ 4FRV2P

$ORWURODGRGHDPERVIRFRV: 2  12 2524˜ 0,5 13$3  3, 60P 0,3 3  13 $42  32 42 2 ˜ 3 ˜ 4FRV2P  2524 ˜ 0,5 13$4  3, 60P 0,3 $32  32 42 2˜ 3˜ 4FRV2P 

7.17. Dos trenes de ondas de igual longitud de onda (36 m), y de igual amplitud (1 m), se propagan con igual velocidad y en la misma dirección y sentido, con una diferencia de camino recorrido por ambas, de 12 m. ¿Cuánto vale la elongación en un punto cuya distancia al origen de la primera onda es de 3 m?: a) En el instante W 7/4. b) En el instante W 7/2. $2  12 12 2 ˜1˜1FRV

2P ˜ 12  1$ 1P 36

W 3  15 · § [ [ · § 8 1FRVW ¨ W  1 2 ¸ 1FRV¨ 2P  2P ¸ 2F ¹ 2L ¹ © © 7 3  15 · § 7 /4 §P P ·  2P a) 81 1FRV¨ 2P ¸ 1FRV¨  ¸ 1P 7 2 ˜ 36 ¹ © ©2 2¹ 3  15 · P· § 7 /2 §  2P b) 8 2  1FRV¨ 2P ¸ 1FRV¨ P  ¸ 0 7 36 ¹ 2¹ © ©

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Movimiento ondulatorio

7.18. Dos focos coherentes emiten ondas de 300 Hz de frecuencia que se propagan con velocidad 1500 m/s. a) ¿Cuál es la diferencia mínima de recorrido, despreciando el valor 0, que produce la máxima y mínima amplitud resultante? b) ¿Qué valor de amplitud resultante se obtendrá en un punto situado a 20 m del primer foco y 30 m del segundo? a) 3ULPHUPi[LPR: N 1

2P x2  x1 c 1500  2P [2  [1 L     5P L I 300

3ULPHUPtQLPR: 2P x2  x1 L c 1500 N 1  2N  1 P [2  [1       2,5P L 2 2I 600 2P 30  20 I 300 = 2P 30  20 = 2P ˜10 = 4P L c 1500 /XHJRHVXQPi[LPR b)

7.19. Dos focos coherentes emiten ondas de 0,1 s de período propagándose en un medio con velocidad de 1000 m/s. Calcular para qué diferencias de UHFRUULGRD 6HDPSOL¿FDQE 6HGHELOLWDQ a) 0i[LPR: $

$1  $2 

2P x2  x1  2P N[2  [1 NF7 N1000 ˜ 0,1 100NNP L

b) 0tQLPR: $

$1  $2 

2N  1 F7   2N  1 50P P [2  [1  2N  1 P [2  [1   L 2

7.20. Una sala de cine de 9 m de anchura tiene dos pasillos situados a 3 m de las paredes laterales y dos altavoces a cada lado de la pantalla sobre las paredes. Un espectador a 12 m de la pantalla pasa desde el pasillo hasta las butacas centrales observando que a 0,75 m del pasillo alcanza el primer mínimo de amplitud del sonido. Sabiendo que la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s, calcular la frecuencia del sonido por él percibido.

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U1

122  5, 252

L 2

U1  U2

13, 098 P ; U2

0,526 P ; I

c L

122  3, 752 12,572 P ;

340 2 ˜ 0,526

L 2

U1  U2

0,526 P

323, 08 +] (F / V )

7. 21. Dos fuentes coherentes emiten ondas en fase, con la frecuencia de 300 Hz. La velocidad de propagación de las oscilaciones en el medio es de PV'H¿QLUD SDUDTXpGLIHUHQFLDPtQLPDGHOFDPLQRUHFRUULGRSRUODV RQGDVVHREVHUYDUiODPi[LPDDPSOL¿FDFLyQGHODVRVFLODFLRQHVUHVXOWDQWHV\ el máximo debilitamiento de las mismas. b) ¿Qué resultado se obtendrá de la interferencia en el punto, situado a la distancia de 20 m respecto a la primera fuente y 30 m respecto a la segunda? a) 0i[LPR :

2P [2  [1 L

2P [2  [1 0tQLPR : L b)

2P [2  [1 L

2P ˜1 Ÿ [2  [1 L

c I

L 2 ˜1  1 P Ÿ [2  [1 2

2P 30  20 4P ; FRV 4P 5

1500 300 c I 2

1500 300 2

5P

5 2

2,5 P

1, OXHJR HV Pi[LPR

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TEMA IV: ACÚSTICA

1. INTRODUCCIÓN La acústica es la parte de la Física que estudia el sonido. El sonido es un movimiento ondulatorio que también recibe el nombre de onda de presión u onda material, nombres que realmente ilustran mejor la propia naturaleza del sonido. El nombre de onda material se debe a que solo puede propagarse a través de un medio material, es decir, no se puede propagar en el vacío, como lo hace la luz. Se denomina onda de presión porque la propagación de un sonido a través de un medio material supone una variación relativa de la presión del medio. Si consideramos un medio continuo, en el que presuponemos una distribución uniforme de partículas materiales, cuando sobre ellas incide una onda sonora, oscilan, desplazándose de su posición de equilibrio y dando lugar a zonas en las que se producen concentraciones de partículas, y otras zonas, en las que se producen enrarecimientos. Las concentraciones de partículas suponen aumentos relativos de presión respecto a la presión del medio, mientras que los enrarecimientos, suponen depresiones, es decir, disminuciones de presión. El sonido, como cualquier otro movimiento ondulatorio, estará caracterizado por su amplitud, frecuencia, longitud de onda, velocidad de propagación, etc. Si como hemos dicho, el sonido corresponde a una variación relativa de la presión, su amplitud, más que en términos de desplazamientos, no medibles en medios continuos, debería expresarse en valores de presión, pascales (Sistema S.I.), o barias (Sistema C.G.S.). Sin embargo, los valores de variación de presión que representa el paso de un sonido, son muy pequeños, por ejemplo, una onda sonora de amplitud una baria equivalente a un sonido de 50 dB, frente a la presión atmosférica normal que tiene valores próximos a 106 barias, es prácticamente despreciable, lo que explica el que las ondas sonoras tengan una gran atenuación. /DIUHFXHQFLDHVWDEOHFHODFODVL¿FDFLyQGHODVRQGDVVRQRUDVHQWUHVWLSRV fundamentales. Frecuencias entre 20 y 20.000 c/s (Hz), que corresponden a las ondas sonoras audibles, o sonidos propiamente dichos. Frecuencias inferiores a 20 c/s (Hz), que constituyen los llamados infrasonidos. Frecuencias superiores

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Acústica

a 20.000 c/s (Hz), que reciben el nombre de ultrasonidos. Los infrasonidos, por tener frecuencias similares a las frecuencias de oscilación propias de los sólidos, pueden entrar en resonancia con ellos, y producir su destrucción. Los ultrasonidos son, sin embargo, un sistema idóneo para el control no destructivo de medios materiales pudiendo utilizarse, bien para descubrir discontinuidades internas (cavidades, grietas, etc.), bien para determinar sus características mecánicas. Las frecuencias de los ultrasonidos utilizados como método de control de materiales dependen fundamentalmente de la homogeneidad estructural del material objeto de estudio, así para el control de un material metálico se utilizan frecuencias de MHz (Megahertzios), mientras que en hormigones se utilizan frecuencias solo de 100.000 Hz. Una onda sonora corresponde a una onda longitudinal, y solo puede propagarse como onda transversal en medios sólidos. La velocidad de propagación de una onda sonora longitudinal depende fundamentalmente de las características mecánicas del medio en que se propaga. Así por ejemplo, en el aire, es de 340 m/s, mientras que en el agua alcanza los 1500 m/s, y en un acero, casi los 6000 m/s. Una onda sonora transversal tiene una velocidad de propagación cuyo valor es aproximadamente la mitad que la de la onda longitudinal. Teniendo en cuenta los valores de frecuencia y velocidad indicados para una onda sonora, podemos deducir de ellos los que corresponden a su longitud de onda. Así, una onda sonora de 20 a 20.000 Hz de frecuencia, que se propaga en el aire, tendrá como longitudes de onda los valores comprendidos entre: L min 

c I max

 

340 c 340  17˜ 103 P 17PPL max     17P 2000 I min 20

2. VELOCIDAD DE LAS ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CUERDA Hemos indicado que las ondas sonoras transversales solo pueden propagarse en sólidos, y vamos a tratar de conocer de qué magnitudes depende su velocidad de propagación. Consideremos una cuerda inextensible, situada a lo largo del eje x, es decir, un elemento en el que prevalece una dimensión, su longitud, sobre las otras dos, y dentro de ella un elemento dx. En principio, consideramos que el elemento está en reposo, de tal forma que el resto de la cuerda ejerce en cada uno 162

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Temas de Física

de sus extremos un fuerza igual, y de sentido contrario (7o), despreciando la variación de curvatura que pueda sufrir la cuerda debido a la acción de cualquier fuerza, incluido su propio peso, que consideraremos despreciable. Cuando a su extremo llega una onda sonora transversal que se propaga en dirección del eje x, el elemento de longitud se desplazará transversalmente a esta dirección, es decir, se desplazará según el eje y, de tal forma que la fuerza que genera este desplazamiento será: G)y  70 VHQQ 2 70 VHQQ1 70  VHQQ 2 VHQQ1  70  GVHQQ   Si consideramos que los desplazamientos que supone el paso de una onda sonora son muy pequeños, el ángulo que forma la posición del elemento de cuerda con el eje x será también muy pequeño, por lo que el valor de este ángulo podrá sustituirse por el valor de su seno o de su tangente, es decir: Q |VHQQ |WJQ  

dy  dx

Por lo que la expresión anterior podrá escribirse en la forma: G)y  70 GWJQ  Si calculamos la fuerza por unidad de longitud que actúa sobre ese elemento cuando llega a él una onda sonora transversal, obtendremos: dy 2 GWJQ d \  70   70  dx  70  2  dx dx dx dx d

dFy

Si tenemos en cuenta el segundo principio de la dinámica de Newton, e igualamos el valor de esta fuerza, al producto de la masa por la aceleración, considerando que la fuerza obtenida corresponde a la fuerza que actúa por unidad de longitud, tendremos: dFy G[

 70 

2 2 2 P d \ P d \ d \      M   , en donde: M = 2 2 2 dx G[ G[ GW GW

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Acústica

Si comparamos esta expresión con la ecuación de propagación de una onda en la dirección x, podemos deducir el valor de su velocidad: 2 2 d y M d y = G[ 2 70 GW 2 2 2 d y 1 d y = G[ 2 F72 GW 2

Luego: c7 =

70 M

La velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda es directamente proporcional a la raíz cuadrada del cociente entre la fuerza a que la cuerda está sometida y su densidad lineal. La ecuación de una onda plana transversal que se propaga en una cuerda será: 2 2 2 d y 1 d y M d y = = G[ 2 F72 GW 2 70 GW 2

Cuya solución será: § x· \  0 , si

V2 > V1

D W < 0 , si

V2 pe dV = D Wi 1.2. Calor Un sistema no aislado térmicamente del medio puede intercambiar con él energía en forma de calor. El signo que corresponde a este calor intercambiado GHOVLVWHPDFRQHOPHGLRVH¿MDSRUFRQYHQLRSRUORTXHHOFULWHULRDGRSWDGR puede ser cualquiera. Nosotros consideraremos que el calor es positivo 258

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Temas de Física

( D Q > 0 ), cuando el sistema absorbe calor, mientras que lo consideraremos negativo  D Q   cuando es el sistema el que cede calor al medio. Toda transformación que se realiza sin intercambio de calor del sistema con el medio se denomina adiabática. 2. PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA Consideremos que un sistema realiza una transformación entre dos puntos por el camino a, de tal forma que en esa transformación, el sistema absorbe una cantidad de calor į41, y realiza un trabajo į:1. Supongamos que el sistema realiza otra transformación por el camino b entre los dos mismos puntos, absorbiendo una cantidad de calor į42, y realizando un trabajo į:2. Si invertimos el sentido de realización de esta segunda transformación, tendremos que cambiar el signo del calor y trabajo puesto en juego, de tal forma que si consideramos la transformación cíclica 1a2b1, el calor total absorbido por el sistema será: į41į42, mientras que el trabajo total realizado corresponderá a: į:1 į:2. Si tenemos en cuenta el principio de conservación de la energía que dice que: la energía no se crea ni se destruye, sino que se transforma, y lo aplicamos a ODWUDQVIRUPDFLyQFtFOLFDTXHHVWDPRVGHVFULELHQGRVHWHQGUiTXHYHUL¿FDUOD igualdad entre calor y trabajo, es decir: į41į42 į:1į:2, pues si el calor fuera mayor que el trabajo, se estaría destruyendo energía, o si el calor fuera menor que el trabajo, se estaría creando energía. Si agrupamos el calor y el trabajo que corresponden a la misma transformación, tendremos la igualdad: į41į:1 į42 - įW2. Si consideramos otras transformaciones entre esos dos mismos puntos por caminos distintos c, d, e, etc., en las que el sistema absorbe cantidades de calor į43,į44,..., y realiza trabajos į:3, į:4,..., siguiendo igual razonamiento que anteriormente, llegaríamos a la conclusión de que cualquiera que fuese la transformación realizada entre ambos puntos, la diferencia entre el calor absorbido por el sistema y el trabajo realizado por el mismo, es una cantidad constante, es decir: į4į: FWH. Esto quiere decir que para cualquier transformación, la diferencia entre ambos valores, calor y trabajo, no depende de la transformación

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Termodinámica

FRQFUHWDTXHVHUHDOLFHVLQRVLPSOHPHQWHGHOSXQWRLQLFLDO\¿QDOGHODPLVPD correspondiendo esa constante, a la variación de una magnitud física característica de cada sistema, que matemáticamente constituye lo que se llama una diferencial exacta, y que recibe el nombre de energía interna del sistema. Podemos pues escribir, basándonos en la expresión anterior: į4 į:G8, que constituye la expresión matemática del primer principio de la termodinámica, y cuyo enunciado es: en toda transformación termodinámica, el calor absorbido por XQVLVWHPDVHLQYLHUWHHQUHDOL]DUWUDEDMR\HQDXPHQWDUVXHQHUJtDLQWHUQD Otra posibilidad de enunciar el primer principio de la termodinámica correspondería simplemente a decir que niega la posibilidad de existencia del móvil perpetuo de primera especie, entendiendo que un móvil perpetuo de primera especie sería aquel que realizase trabajo sin consumir una cantidad equivalente de energía, es decir, una máquina que funcionaría por sí misma. Sin embargo, este enunciado es menos general que el anterior por lo que siempre suele enunciarse tal y como lo hemos hecho anteriormente. El llamar energía interna a la diferencia entre calor y trabajo se debe simplemente a que la expresión ha de ser físicamente homogénea, de ahí que dimensioQDOPHQWHVHKDGHYHUL¿FDUTXH >G8@ > D 4@ > D :@ >)@/ 0/27 2 Consecuentemente, en el Sistema Internacional (S. I.), cualquiera de estas tres magnitudes, calor, trabajo y energía interna, se medirá en julios (J), mientras que en el sistema cegesimal (C. G. S.), se medirán en ergios. Sin embargo, hemos XWLOL]DGRSDUDPHGLUHOFDORUODXQLGDGOODPDGDFDORUtDXQLGDGGH¿QLGDFXDQGR se creía que el calor era un elemento dentro de la composición de un determiQDGRPDWHULDOWHRUtDGHOÀRJLVWR FRPRSRGtDVHUHOR[tJHQRHOFDUERQRHWF Este hecho creó la necesidad de establecer la relación de equivalencia entre esta unidad de medida del calor, la caloría, y la unidad de medida de la energía en el sistema internacional, es decir, el julio. El primero en obtener el valor de esta equivalencia, que recibe el nombre de equivalente mecánico del calor y se representa por la letra J, fue James Prescott Joule. El valor del equivalente mecánico del calor es:

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Temas de Física

J = 4,18

J cal

Para obtener este valor, Joule hizo uso de un calorímetro lleno de agua, y dentro de él, situó unas aspas, que hacía girar mediante un sistema de poleas, una masa que descendía, de tal forma que la pérdida de energía potencial de la masa suspendida, medida en julios, dividido por calor que adquiría la masa de agua del calorímetro, medido en calorías, correspondía al equivalente mecánico del calor:

En la actualidad, en vez de utilizar un sistema mecánico, que tiene grandes pérdidas de energía, se utiliza una resistencia eléctrica introducida dentro del calorímetro, para calentar el agua, igualando la energía disipada en forma de calor por la resistencia eléctrica ( D : ( - ) , 2 ( $2 )(:)W ( V ) ), al calor adquirido por el calorímetro en el mismo tiempo ( D 4(FDO ) P( J )Fe (FDOJ ºC) 'Q (ºC)), con lo que se obtienen valores más precisos. 3. SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA 3.1. Enunciado del segundo principio Mientras que el primer principio se enuncia diciendo que una máquina térmica es incapaz de producir trabajo sin consumir una cantidad equivalente de energía, y en casi todos los textos se enuncia de igual forma, el segundo principio dice que XQDPiTXLQDWpUPLFDWUDEDMDQGRSRUFLFORVHVLQFDSD] GH SURGXFLU WUDEDMR HQ FRQWDFWR FRQ XQ ~QLFR IRFR FDORUt¿FR GHO TXH absorba energía en forma de calor (enunciado de Kelvin-Planck), aunque este enunciado no suele ser tan unánime. Esto equivale a decir que el segundo principio de la termodinámica niega la posibilidad de existencia del móvil perpetuo de segunda especie que sería aquel que en contacto con XQ ~QLFR IRFR FDORUt¿FR GHO TXH DEVRUELHUD HQHUJtD SRU HMHPSOR GHO DLUH fuera capaz de realizar una cantidad equivalente de trabajo. Si esto es así, cabe preguntarse qué se necesita para que una máquina térmica sea capaz GHFRQYHUWLUHQHUJtDHQWUDEDMR3XHVELHQVLXQIRFRFDORUt¿FRQREDVWDVH necesitarán dos, es decir, para que una máquina térmica funcione, necesita HVWDUHQFRQWDFWRFRQGRVIRFRVFDORUt¿FRVDGLVWLQWDWHPSHUDWXUD(OIRFRTXH

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Termodinámica

está a más elevada temperatura, del que el sistema absorbe calor, se llama foco caliente, mientras que el foco que está a más baja temperatura, al que el sistema cede calor, recibe el nombre de foco frío. Si tenemos en cuenta que el rendimiento corresponde al trabajo útil, dividido por la energía total absorbida, en nuestro caso sería: M=

D Q1  D Q2 D Q1

Siendo į41, el calor adquirido del foco caliente, y į42, el calor cedido al foco frío. $ SDUWLU GH HVWD GH¿QLFLyQ SXHGH expresarse el segundo principio diciendo simplemente que el rendimiento de una máquina térmica ha de ser siempre inferior a la unidad (P < 1). Todos estos posibles enunciados se UH¿HUHQVLHPSUHDPiTXLQDVWpUPLFDVHV decir, sistemas que realizan transformaciones cíclicas. Sin embargo, no todas las transformaciones tienen que ser cerradas, sino que pueden ser abiertas, es decir, con distinto punto inicial TXH¿QDO3DUDSRGHUHQXQFLDUHOVHJXQGRSULQFLSLRSDUDWUDQVIRUPDFLRQHV naturales o espontáneas, es necesario acudir al enunciado de Clausius que dice que no es posible ningún proceso espontáneo que permita el paso de calor de un medio a otro con superior temperatura, es decir, una transformación natural o espontánea tiene un único sentido de realización. Para poder expresar matemáticamente este segundo principio, es necesario introducir el concepto de entropía. Se entiende por entropía una función de estaGRHVGHFLUTXHVRORGHSHQGHGHOSXQWRLQLFLDO\¿QDOGHODWUDQVIRUPDFLyQ y que físicamente indica el caos, o lo que es lo mismo, un índice ligado al concepto de uniformidad, igualdad, falta de singularidad, etc. Utilizando esta magnitud, podemos enunciar el segundo principio diciendo que toda transformación termodinámica tiene un único sentido de realización, y es aquel en el que el valor de la entropía aumenta ( 'S t 0 ). Realmente, aunque en la expresión matemática hemos puesto mayor o igual, ha de tenerse en cuenta que el igual solo podrá producirse en transformaciones reversibles, y toda transformación natural es irreversible.

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3.2. Máquina de Carnot La máquina de Carnot es una máquina teórica, es decir, no construible físicamente, pero que tiene el interés de ser la máquina de máximo rendimiento trabajando entre dos temperaturas dadas, las que corresponden al foco caliente y frío. Además, es independiente de la naturaleza del sistema que realice el ciclo. El ciclo de Carnot consta de cuatro transformaciones reversibles, dos isotermas y dos adiabáticas, todas ellas reversibles. Las transformaciones son: - Transformación 1 - 2: En contacto con el foco caliente a una temperatura 71, el sistema se dilata isotérmicamente absorbiendo una cantidad de calor į41. - Transformación 2 - 3: Se aísla el sistema del medio externo, y se deja dilatar adiabáticamente, por lo que el trabajo de dilatación se realiza a expensas de su energía interna, lo que hace descender su temperatura absoluta, hasta alcanzar el valor 72, eliminándose en este punto el aislamiento térmico. - Transformación 3 - 4: En contacto con el foco frío del sistema a una temperatura 72, el sistema se comprime isotérmicamente, cediendo una cantidad de calor į42. - Transformación 4 - 1: De nuevo se aísla el sistema térmicamente, comprimiendose adiabáticamente hasta alcanzar el punto inicial, por lo que al no intercambiar calor con el medio, la temperatura absoluta del sistema asciende hasta alcanzar el valor 71. El rendimiento de una máquina que realiza un ciclo de Carnot será: M=

D Q1  D Q 2 , generalmente suele expresarse en %: D Q1

D Q - D Q2 M    1 100 D Q1 El trabajo total realizado es positivo, e igual al área encerrada por el ciclo descrito. Sin embargo, es demostrable, y cuando hablemos de gases perfectos lo demostraremos, que el rendimiento de la máquina de Carnot 263

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Termodinámica

puede expresarse en función de las temperaturas de los focos caliente y frío, siendo: M=

7172 71

Una máquina que realizase el ciclo descrito en sentido contrario, es decir, las transformaciones: 1 - 2 dilatación isoterma, en contacto con el foco frío del que el sistema absorbiese calor į42, 2 - 3 compresión adiabática, hasta alcanzar la temperatura del foco caliente, 3 - 4 compresión isoterma, en contacto con el foco caliente del sistema al que cedería calor į41, 4 - 1 expansión adiabática, hasta alcanzar el punto inicial, corresponde a una máquina refrigeradora que extrae calor del foco frío, al que hace descender su temperatura, y cede parte del calor al foco caliente, que cada vez se calienta más. Esta máquina refrigeradora para que funcione requiere trabajo, es decir, realiza un trabajo negativo. Para este tipo de máquinas, HOFRQFHSWRGHUHQGLPLHQWRTXHKHPRVGH¿QLGRDQWHULRUPHQWHQRHVYiOLGR SRUORTXHVHGH¿QHXQDPDJQLWXGDQiORJDTXHVHGHQRPLQDH¿FLHQFLD\ cuyo valor es: E=

D Q2 DW

En donde el numerador corresponde al calor absorbido del foco frío, mientras que el denominador es el trabajo necesario que hay que realizar para que funcione, tomándolo con signo positivo. 4. ESCALA TERMODINÁMICA O KELVIN DE TEMPERATURAS Kelvin ideó una escala termométrica independiente de las propiedades de la sustancia que actuara como termómetro, y para ello se basó en el ciclo de Carnot. Con posterioridad se comprobó que la escala ideada por Kelvin

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HUDLJXDOTXHODTXHFRUUHVSRQGHDODHVFDODDEVROXWDRGHXQ~QLFRSXQWR¿MR (punto triple del agua). Sin embargo, vamos a exponer sus razonamientos. Supongamos que realizamos un ciclo de Carnot entre dos temperaturas ¿MDV OD WHPSHUDWXUD GHO IRFR FDOLHQWH 7e, que corresponda a la temperatura de ebullición del agua en condiciones normales, y la del foco frío 7I, que corresponda a la temperatura de fusión del hielo. - Primer postulado: 7e7I = 100º, es decir, si dividimos este ciclo en cien partes iguales, a cada uno de estos ciclos elementales le corresponderá un grado de temperatura. El rendimiento que corresponde a este ciclo será: M100 =

D Qe  D QI D Qe

Sustituimos el foco frío del sistema por el medio cuya temperatura queremos conocer. - Segundo postulado: 7e  7 C El rendimiento que corresponde a este ciclo será: MC =

D Qe - D Q D Qe

Si establecemos una relación entre intervalos de temperatura y rendimiento, es decir, consideramos que cada intervalo ha de ser proporcional al rendimiento, obtendremos que: D QH - D Q I 100 M100 7 -7 = o bien, H I = C MC D Q eD 4 7 e7 Para que esta igualdad se produzca, es necesario que el calor y la temperatura estén relacionados a través de una función lineal, y la relación lineal más simple que postuló Kelvin es: į4 D7 Esto equivale a decir que el 0. corresponderá a la temperatura de un sistema que realiza una transformación isotérmica sin intercambio de calor, es decir, adiabáticamente, o lo que es lo mismo, en el 0., los procesos adiabáticos e isotermos son idénticos. Esto indica, de alguna forma, la inaccesibilidad del cero absoluto de temperatura. 265

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Termodinámica

5. ENTROPÍA Consideremos un sistema que realiza un ciclo de Carnot. Los calores intercambiados entre el sistema y el medio serán: į41, 0į42, 0, siendo 71 y 72, las temperaturas a que se realizan esos intercambios, de tal forma que si efectuamos el cociente entre ambas magnitudes, calor intercambiado y temperatura a que se realiza el intercambio, obtendremos: D Q1 D Q2 , 0,  ,0 71 72 6LFRQVLGHUDPRVTXHVHYHUL¿FDODSURSRUFLRQDOLGDGOLQHDOHQWUHHOFDORU intercambiado y la temperatura a la que se realiza el intercambio: į4 D7. Sustituyendo en la expresión anterior, obtendremos: D71 D72 = a  a= 0 71 72 Es decir, en todo ciclo de Carnot: ¦

DQ =0 7

Si consideramos cualquier transformación cíclica reversible, podemos, por subdivisiones sucesivas en ciclos de Carnot cada vez más pequeños, expresar dicha transformación como suma de ciclos de Carnot elementales, de tal forma que la suma total de los cocientes entre calor y temperatura es nula, por lo que tendremos:

v³

DQ =0 7

Consideremos ahora una transformación cíclica reversible, y trazando dos rectas tangentes, paralelas al eje de ordenadas, podemos considerar que dicha transformación corresponde a la suma de dos transformaciones: 266

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Temas de Física

v³

DQ DQ DQ = ³ +³ =0 7 1a 2 7 2b1 7

De donde podemos deducir: DQ DQ DQ = ³ = ³ 7 7 1b 2 7 1a 2 2 b1

³

Si hacemos el mismo razonamiento considerando otros caminos distintos (FGHQ), que en unión del camino a, dieran lugar a una transformación cíclica reversible, obtendríamos: DQ

³ 7

1a 2

DQ DQ DQ   ³    ³     ³  7 1c 2 7 7 1b 2 1n 2

Esto quiere decir que cualquiera que sea el camino seguido, o sea, para cualquier transformación realizada entre dos puntos o estados (1 y 2), el valor del cociente entre el calor intercambiado y la temperatura a que se realiza el intercambio es una cantidad constante. Esta magnitud cuya variación GHSHQGHVRORGHOHVWDGRLQLFLDO\¿QDOGHOVLVWHPDHVGHFLUTXHHVORTXH matemáticamente se llama una diferencial exacta, corresponde a la entropía. La entropía es pues una función de estado, y la variación que sufre su valor para cualquier transformación reversible viene dada por el cociente entre el calor que el sistema intercambia y la temperatura a que se realiza ese intercambio. b

b

³ dS = ³ a

a

DQ 7

El valor cero de la entropía correspondería a un sistema que no intercambie calor con el medio, pero como eso se daría en un sistema que estuviese en el cero absoluto o Kelvin de temperatura, obteniéndose entonces un valor indeterminado (0/0) para la entropía, es necesario enunciar el tercer principio de la termodinámica, que dice que el valor cero de la entropía corresponde al cero absoluto de temperatura. Lo anteriormente expresado será válido para cualquier transformación reversible. El problema se nos plantea cuando queramos calcular la 267

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Termodinámica

variación que sufre la entropía en una transformación irreversible. Pues bien, para poder calcular la variación que sufre la entropía cuando el sistema realiza una transformación irreversible hay que acudir a una de las formas siguientes: - Considerar la transformación como reversible e indicar que la variación de la entropía del proceso irreversible será siempre superior al valor encontrado. - Dado que las máquinas térmicas usuales (máquina de vapor, motor diesel, etc.) realizan transformaciones conocidas, de muchas de ellas VHKDQUHDOL]DGRWDEODVHQODVTXH¿JXUDQODVYDULDFLRQHVGHHQWURStD - Si se conoce la función que nos liga la entropía con las variables o coordenadas termodinámicas: 6 IS9 , ó 6 I ¶S7 , ó 6 I ¶¶9 7  VH FDOFXOD HO YDORU GH OD HQWURStD HQ HO SXQWR LQLFLDO \ ¿QDO GH la transformación, y dado que la entropía es una diferencial exacta y consecuentemente, no depende del camino seguido, se restan los valores correspondientes. +DELHQGRGH¿QLGRHOFRQFHSWRGHHQWURStDSRGHPRVYROYHUDOVHJXQGR principio de la termodinámica. Consideremos un sistema aislado que realiza una transformación reversible. La variación que sufre la entropía en esta transformación reversible será: ' S sis = 0 . Si la transformación hubiese sido irreversible, sería: ' S sis > 0 , por lo que de forma general, para cualquier tipo de transformación será: ' S sis t 0 . Si consideramos que la transformación de que se trate, puede alterar de algún modo, fundamentalmente por intercambio de calor con el medio, la entropía del entorno ( ' S HQW ), podremos expresar que la variación de entropía que ha sufrido el universo en su conjunto será: ' S XQL = ' S VLV + ' S HQW t 0 Si tenemos en cuenta que toda transformación real corresponde a una transformación irreversible, podremos enunciar el segundo principio de la termodinámica diciendo: en toda transformación termodinámica real, la entropía del universo crece. 5HWRPDQGR HO SULPHU SULQFLSLR WHQLHQGR HQ FXHQWD OD GH¿QLFLyQ GH HQWURStD\ODGH¿QLFLyQGHWUDEDMRSRGUHPRVVXVWLWXLUODVPDJQLWXGHVį4 y į:, que son magnitudes cuya variación depende de la línea o transformación concreta que se realice, por magnitudes que corresponden a diferenciales exactas, obteniendo: 7G6 SG9G8. 268

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6. COEFICIENTES TERMODINÁMICOS (O HVWDGR WHUPRGLQiPLFR GH XQ VLVWHPD YLHQH GH¿QLGR SRU HO YDORU GH ODV tres coordenadas o variables termodinámicas: p, V, y 7. Sin embargo, estas tres magnitudes no son independientes, sino que entre ellas puede establecerse una relación de dependencia: IS97  0. Esta relación de dependencia se denomina ecuación de estado, y será distinta para cada sistema concreto, así la ecuación de Van der Waals corresponde a la ecuación de estado que cumplen aproximadamente los gases reales. Si de una ecuación de estado, despejamos una de las variables en función de las otras dos, podremos expresar la variación de esa variable, como suma de las variaciones que sufre cuando varían las otras dos, es decir, si: S I¶97 , podemos poner: GS 

wp wp G9  G7 w9 w7

Esto que matemáticamente sería la diferencial total de p, y sería totalmente correcto, termodinámicamente no lo es, puesto que cuando representamos la YDULDFLyQGHXQDPDJQLWXGUHVSHFWRDRWUDHVWDPRVUH¿ULpQGRQRVDXQDWUDQVIRUmación termodinámica, por lo que será necesario decir de qué transformación termodinámica concreta se trata, es decir: § wp · § wp · GS ¨ ¸ G9 ¨ ¸ G7 © w9 ¹7 © w7 ¹9 Esto indica que la primera transformación corresponde a una transformación a temperatura constante, es decir, isoterma, mientras que la segunda corresponde a una transformación a volumen constante, es decir, isocora. Cuando expresemos DOJXQDGHULYDGDSDUFLDOORTXHWHUPRGLQiPLFDPHQWHVLJQL¿FDXQDWUDQVIRUPDción, deberemos indicar fuera del paréntesis a qué tipo de transformación corresponde mediante un subíndice que indica la magnitud que se mantiene constante HQHOSURFHVR(VWHKHFKRQRVREOLJDDUHWRPDUODGH¿QLFLyQGHFRQVWDQWHVRFRH¿FLHQWHV\DGH¿QLGRVHVSHFLDOPHQWHFXDQGRODGH¿QLFLyQGHGLFKRVFRH¿FLHQWHVVH KDFHDWUDYpVGHXQDWUDQVIRUPDFLyQFRPRHVHOFDVRGHOFDORUHVSHFt¿FR 6HGH¿QHHOFDORUHVSHFt¿FRFRPRHOFDORUTXHKD\TXHVXPLQLVWUDUDODXQLGDG de masa de una sustancia, para elevar un grado su temperatura, es decir:

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Termodinámica

ce =

1 §DQ · ¨ ¸ P © w7 ¹

6XGH¿QLFLyQVXSRQHXQDWUDQVIRUPDFLyQHQODTXHHOVLVWHPDDEVRUEHFDORU por lo que habrá que indicar qué tipo de transformación termodinámica es. Para sólidos o líquidos, mientras que esta transformación no implique un cambio de estado, da igual que el calentamiento se efectúe a presión o volumen constante. Sin embargo, para los gases, hay que precisar qué tipo de transformación es, puesto que la cantidad de calor a suministrar para producir la misma elevación de temperatura si el calentamiento se realiza a presión es distinta que si se UHDOL]D D YROXPHQ FRQVWDQWH GH DKt TXH KD\D TXH GH¿QLU GRV FRQVWDQWHV características distintas. Por otro lado, la medida de la cantidad de sustancia cuando se trata de gases suele realizarse no en unidades de masa, gramos o kilogramos, sino en moles, unidad admitida como patrón de referencia en el VLVWHPD6,ORTXHGHDOJXQDIRUPDREOLJDDGH¿QLUFXDQGRVHWUDWDGHJDVHV HQYH]GHVXFDORUHVSHFt¿FRVXFDORUPRODU$VtVHGH¿QHQGRVFRQVWDQWHV características de los gases, que corresponden a sus calores molares a presión y volumen constantes, como la cantidad de calor que hay que suministrar a un mol de un gas para elevar un grado su temperatura, manteniendo constante la presión (Cp), o manteniendo constante su volumen (CV): §DQ · §DQ · Cp = ¨ ¸ CV = ¨ ¸ © w7 ¹ p , © w7 ¹V Es demostrable que Cp > CV, pues para ello basta considerar que si suministramos igual cantidad de calor (į4), a presión constante, parte de ese calor se invertirá en realizar trabajo, puesto que el gas puede dilatarse, y parte en aumentar la temperatura. Mientras que si el calentamiento se realiza a volumen constante, no hay trabajo de dilatación y todo el calor suministrado se invertirá en aumentar su temperatura, por lo que teniendo igual numerador, el denominador mayor dará lugar al menor valor de fracción. En ocasiones, SXHGHQGH¿QLUVHORVFDORUHVHVSHFt¿FRVDSUHVLyQcp), y volumen constante (cV), correspondiendo entonces al calor que hay que suministrar a la unidad de masa para elevar un grado su temperatura. El cociente entre los calores molares a presión y volumen constante constituye otra constante característica de los gases que recibe el nombre de constante adiabática, y su valor por lo que acabamos de indicar, es siempre superior a la unidad: 270

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G=

Cp >1 CV

Otras constantes características de los gases son los que tienen que ver con la YDULDFLyQGHYROXPHQFRPRVRQHOFRH¿FLHQWHGHFRPSUHVLELOLGDGRHOFRH¿FLHQWH GHGLODWDFLyQ(OFRH¿FLHQWHGHFRPSUHVLELOLGDGHVODYDULDFLyQUHODWLYDGHYROXPHQ FXDQGRYDUtDODSUHVLyQDWHPSHUDWXUDFRQVWDQWH\HOFRH¿FLHQWHGHGLODWDFLyQHVOD variación relativa de volumen cuando varía la temperatura a presión constante: k=

1 V

§ wV · 1 § wV · ¨ ¸ B= ¨ ¸ 9 © w7 ¹ p © wp ¹7 ,

Los estados de agregación en que la materia se puede presentar son: sólido, líquido y gas. El paso de uno a otro estado constituye una transformación termodinámica que cuando se realiza a temperatura constante, recibe el nombre de cambio de estado. Por ejemplo, la vaporización es el paso de líquido a gas, y si se realiza a temperatura constante, constituye la ebullición, un cambio de estado, mientras que si se realiza a cualquier temperatura se llama evaporación, y aunque es una transformación termodinámica, no corresponde a un cambio de estado. Los cambios de estado se llaman directos cuando para su realización es necesario suministrar calor al sistema, mientras que reciben el nombre de indirectos, si hay que extraer calor. La cantidad de calor que hay que suministrar por unidad de masa a un sólido para que se convierta en líquido se denomina calor latente de fusión (lI \FRLQFLGHFRQHOFDORUTXHKD\TXHH[WUDHUDXQOtTXLGRSDUDTXHVROLGL¿TXH GHDKtTXHHQJHQHUDOVRORVHGH¿QDQORVFDORUHVODWHQWHVGHORVFDPELRVGHHVWDGR directos (fusión (lI), ebullición (le), sublimación (ls)), y no los de los inversos VROLGL¿FDFLyQFRQGHQVDFLyQ\FULVWDOL]DFLyQ SXHVOD~QLFDYDULDFLyQFRQVLVWH en que el calor es positivo para las transformaciones directas, mientras que para las inversas es negativo. El calor latente de ebullición, al tratarse de un gas, suele expresarse por mol en vez de por gramo. Los calores latentes de cambio de estado VRQFRH¿FLHQWHVPX\SDUWLFXODUHVGDGRTXHVRQFDORUHVTXHHOVLVWHPDDEVRUEHR cede, manteniendo constante su temperatura, suponiendo solo, simplemente, una variación de su energía interna. 7. FUNCIONES DE GIBBS Y RELACIONES DE MAXWELL. Las funciones de Gibbs son funciones de estado termodinámicas que dimensionalmente corresponden a energía, y que permiten, en sistemas 271

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Termodinámica

cuya ecuación de estado no es conocida, establecer una serie de relaciones entre diferenciales exactas, que se cumplen siempre para sistemas cerrados en condiciones de equilibrio. Fundamentalmente a través de ellas pueden establecerse las condiciones de equilibrio energético de las reacciones químicas, permitiendo con ello deducir, incluso, en qué estado de agregación, sólido, líquido o gas, va a obtenerse una determinada sustancia. Las funciones GH*LEEVVRQFXDWUR\HQVXGH¿QLFLyQLQWHUYLHQHQGRVYDULDEOHVXQDPHFiQLFD (p, o V), y una calórica (7 o S), y de cada una de ellas se obtiene una relación de Maxwell. 7.1. Energía interna La energía interna puede expresarse por: G8 7G6 SG9  Su variación corresponde a la diferencia entre energía absorbida y trabajo realizado. Si consideramos que la energía interna es función de la entropía y del volumen (8 I69 ), podremos escribir: § wU · § wU · dU = ¨ ¸ dS + ¨ ¸ dV © wS ¹V © wV ¹ S Si comparamos ambas expresiones de la energía interna, obtendremos: § wU · § wU · 7 ¨ ¸  S ¨ ¸ © wS ¹V © wV ¹ S Derivando los dos miembros de ambas expresiones respecto a la variable que está fuera del paréntesis, manteniendo constante la que está dentro, obtendremos: w 28 w 28 § w7 · § wS · = ;  = ¨ ¸ ¨ ¸ © wV ¹ S wS wV © wS ¹V wV wS Dado que los dos segundos términos son iguales también lo serán los dos primeros, y esa igualdad constituye la primera relación de Maxwell:

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§ w7 · § wS · ¨ ¸ =¨ ¸ © wV ¹ S © wS ¹V 7.2. Energía libre de Helmholtz /DHQHUJtDOLEUHGH+HOPKROW]VHGH¿QHSRU$ 876 Si derivamos esta expresión obtendremos: G$ G87G66G7 teniendo en cuenta que: G87G6 SG9, obtendremos: G$ 6G7SG9 Si la transformación es isoterma, su variación corresponde al trabajo de expansión realizado por el sistema. Si consideramos que la energía libre de Helmholtz es función de la temperatura y del volumen ($ I79), podremos escribir: § wA · § wA · G$ ¨ ¸ G7¨ ¸ G9 © w7 ¹9 © w9 ¹7 Si comparamos ambas expresiones obtendremos: § wA · § wA · - S=¨ ¸ ; - p=¨ ¸ © w7 ¹9 © w9 ¹7 Derivando respecto a la variable que está fuera del paréntesis dejando constante la de dentro, obtendremos: w2 A w2 A § wS · § wp · ¨ ; ¨ ¸ = ¸ = © w9 ¹7 w7 w9 © w7 ¹9 w9 w7 Dado que los dos segundos términos son iguales, también lo serán los dos primeros, y esa igualdad constituye la segunda relación de Maxwell: § wS · § wp · ¨ ¸ =¨ ¸ © w9 ¹7 © w7 ¹9 7.3. Entalpía libre de Gibbs /DHQWDOStDOLEUHGH*LEEVVHGH¿QHFRPR* 876S9 273

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Termodinámica

Si derivamos esta expresión obtendremos: G* G87G66G7SG99GS Teniendo en cuenta que: G87G6 SG9, obtendremos: G* 6G79GS La relación entre G y A es la misma que entre H y U. Si consideramos que la entalpía libre de Gibbs es función de la temperatura y la presión (* I7S ), podremos escribir: § wG · § wG · G* ¨ ¸ GS ¸ G7¨ © w7 ¹ p © wS ¹7 Si comparamos ambas expresiones, obtendremos: § wG · § wG · - S=¨ ¸ ¸ ; V =¨ © w7 ¹ p © wS ¹7 Si derivamos respecto a la magnitud que está fuera del paréntesis, manteniendo constante la que está dentro, obtendremos: § wS · w 2G § wV · w 2G ¨ ¸ = ; ¨ = ¸ © wS ¹7 w7 wS © w7 ¹ p wSw7 Dado que los dos segundos miembros son iguales, también lo serán los dos primeros, y esa igualdad constituye la tercera relación de Maxwell. § wS · § wV · ¨ ¸ =¨ ¸ © wS ¹7 © w7 ¹ p 7.4. Entalpía o calor total /DHQWDOStDVHGH¿QHFRPRH = U + p V Si derivamos esta expresión obtendremos: dH = dU + p dV + V dp Teniendo en cuenta que: G8SG9 7G6, nos quedará: G+ 7G69 dp. La entalpía representa el calor total intercambiado por el sistema en una transformación a presión constante, de ahí que también reciba el nombre de

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calor total. Si consideramos que la entalpía es función de la entropía y del volumen (+ I6S ), podremos escribir: § wH · § wH · dH = ¨ ¸ dp ¸ dS + ¨ © wS ¹ p © wp ¹ S Comparando ambas expresiones, obtendremos: § wH · 7 ¨ ¸ 9  © wS ¹ p

§ wH · ¨ ¸ © wp ¹ S

Derivando por la variable que está fuera del paréntesis manteniendo constante la que está dentro, obtendremos: § w7 · w 2 + § w9 · w2 + ; ¨ ¨ ¸ = ¸ = © wp ¹ S wS wp © wS ¹ p wpwS Como los dos segundos miembros son iguales, también lo serán los dos primeros, y esa igualdad constituye la cuarta relación de Maxwell: § w7 · § w9 · ¨ ¸ =¨ ¸ © wp ¹ S © wS ¹ p 8. GASES IDEALES Un gas ideal es un gas que cumple las siguientes leyes: - Ley de Boyle: a temperatura constante, el producto de la presión por el volumen de un gas permanece constante. S9 7 FWH Esta ley de tipo experimental la dedujo Boyle con un equipo muy simple llamado de McLeod. Este equipo consta de un recipiente graduado en el que se encuentra encerrado un gas, unido a un tubo de goma lleno de mercurio. Si situamos el nivel del

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Termodinámica

mercurio a distintas alturas, obtenemos distintos valores de presión que el gas soporta, por lo que midiendo el volumen que para cada presión ocupa el gas, comprobó Boyle que el producto de estos pares de valores de presión y volumen eran constantes. Dado que el cambio de la altura del mercurio era una transformación casi instantánea, se puede considerar como una transformación isoterma. - Ley de Joule: la energía interna es solo función de la temperatura. 8 I7 . Esta ley enunciada por Joule, también la dedujo de forma experimental. En un calorímetro, introdujo un recipiente que contenía un volumen de gas (V), a una presión determinada (p), unido a otro recipiente en el que se había hecho el vacío. La transformación realizada por Joule consistió simplemente en abrir la válvula que conectaba los reciSLHQWHVGHWDOIRUPDTXHHOJDVVHH[SDQGtDGDQGRFRPRUHVXOWDGR¿QDOTXH el volumen (9¶), y la presión (S¶), habían cambiado en el proceso, mientras que el termómetro del calorímetro indicaba el mismo valor inicial de la temperatura. Teniendo en cuenta el primer principio de la termodinámica, dado que: į4 į:  puesto que el sistema para ocupar el recipiente en el que se ha hecho el vacío no tiene que vencer presión alguna, dedujo que: dU = 0, y dado que la presión y el volumen han cambiado, la energía interna debe ser función de la única variable que ha permanecido constante en el proceso, es decir, la temperatura. 8.1. Ecuación de estado Si consideramos que la ecuación de estado corresponde a la relación de dependencia entre las coordenadas o variables termodinámicas, despejando la presión, podemos expresar: S I97 . La variación total de la presión podrá expresarse como: § wp · § wp · GS ¨ ¸ G9 ¨ ¸ G7 © w9 ¹7 © w7 ¹9 Derivando la expresión que corresponde a la ley de Boyle podemos deducir:

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 9 GS SG9  7  0 9 GS  SG9  7 , dividiendo por V dV, obtendremos: p § dp · § wp · ¨ ¸ =¨ ¸ =  , esta expresión corresponderá a la pendiente de V © dV ¹7 © wV ¹7 una isoterma. Volviendo a la expresión de partida, si tenemos en cuenta la segunda relación de Maxwell tendremos: § wp · § wS · ¨ ¸ =¨ ¸ WHQLHQGRHQFXHQWDODGH¿QLFLyQGHHQWURStD © w7 ¹9 © w9 ¹7 1 §DQ · § wp · § wS · ¨ ¸ =¨ ¸ = ¨ ¸ © w7 ¹9 © w9 ¹7 7 © w9 ¹7 Por el primer principio de la termodinámica, teniendo en cuenta que se trata de una transformación isoterma, y por consiguiente dU = 0, nos quedará: 1 §DQ · 1 § p dV · p § wp · § wS · ¨ ¸ =¨ ¸ = ¨ ¸ = ¨ ¸ = © w7 ¹9 © w9 ¹7 7 © w9 ¹7 7 © w9 ¹7 7 Sustituyendo lo valores encontrados en la ecuación de partida, obtendremos: p p GS  G9  G7 9 7 Pasando todo al primer miembro, e integrando, nos resultará: GS G9 G7    0OQ SOQ9 OQ7 OQ(&WH) S 9 7 De donde: gases ideales.

pV  &WH , que corresponde a la ecuación de estado de los 7

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Avogadro enunció una hipótesis que tiene gran interés porque permite introducir en la expresión anterior, una constante, la constante universal de los gases (R). La hipótesis de Avogadro dice que a condiciones normales de presión (pR=1DWP), y de temperatura (7R= 273,16.), un mol de cualquier gas ocupa el mismo volumen (VR=22,4 l), volumen que recibe el nombre de volumen molar, por lo que n moles de cualquier gas a condiciones normales tendrán un volumen: nVR. Teniendo esto en cuenta, la ecuación de estado de los gases perfectos podrá escribirse: p V pV = n R R = n R , en donde R corresponde a la constante universal de 7 7R los gases. El valor de esta constante se obtiene sustituyendo los valores anteriormente indicados, o bien, en el sistema internacional, haciendo las sustituciones: DWP 1,013.1053D1P2 1 l = 10-3P3.

8.2. Transformaciones en gases perfectos 8.2.1. Transformación isocora Una transformación isocora es aquella que se realiza a volumen constante. Su ecuación en un diagrama de Clapeyron corresponde a: 9 FWH. Representa una recta paralela al eje de ordenadas que corta al eje de abscisas en el punto que corresponde al valor de la constante. į: V = 07HQLHQGRHQFXHQWDHOSULPHUSULQFLSLR\ODGH¿QLFLyQGHFDORU molar a volumen constante, tendremos: 72

 D 4 V  ³ G8 Q&V  ³ G7 Q&V  72 71  71

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8.2.2. Transformación isobara Una transformación isobara es aquella que se realiza a presión constante. Su ecuación de representación en un diagrama de Clapeyron corresponde a: S FWH. Representa una recta paralela al eje de abscisas que corta al eje de ordenadas en un punto que corresponde al valor de la constante. V2

 D : p  ³  SG9   S92  91  V1

72

 D 4 p Q& p  ³ G7 Q& p 72  71 71

Utilizando el concepto de entalpía:  D 4 p ³  SG9  G8  ³ GS9 8  ³ G+ + 2 +1 72

³ G8

Q&V  ³ G7 Q&V 72  71 71

8.2.3. Transformación isoterma Una transformación isoterma es aquella que se realiza a temperatura constante (7 FWH). Al tratarse de un gas perfecto, cumplirá la ley de Boyle, por lo que: S 9  FWH. Esta expresión corresponderá a la ecuación de una isoterma en el diagrama de Clapeyron, y es una rama de hipérbola equilátera que tiene como asíntotas los ejes de coordenadas. Al ser la temperatura constante, la variación de la energía interna será nula (dU=0). Aplicando el primer principio, obtendremos: V2

V2

V

2 dV V p  D : 7   D 4 7   ³  SG9   ³  S9   Q57 ³  Q57OQ 2  Q57OQ 1 V V1 p2 V1 V1 V1

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8.2.4. Transformación adiabática Una transformación adiabática es aquella que se realiza sin intercambio de calor ( D Q = 0 ), por lo que el trabajo es igual a la variación de la energía interna cambiada de signo: 72

 D : D Q ³ G8  ³ QC V G7 QC V 72  71 71

Vamos a tratar de encontrar su ecuación para poder representarla en el diagrama de Clapeyron. Si tenemos en cuenta que una adiabática es XQD WUDQVIRUPDFLyQ VLQ LQWHUFDPELR GH FDORU UHFRUGDQGR OD GH¿QLFLyQ GH entropía, podemos decir que corresponde a una transformación isoentrópica (į4 7G6 0). Si consideramos que la entropía es función de la presión y del volumen, tendremos: § wS · § wS · dS = ¨ ¸ dp + ¨ ¸ dV = 0 De esta expresión deducimos: © wV ¹ p © wp ¹V § wS · ¨ ¸ © wV ¹ p § wp · =  ¨ ¸ § wS · © wV ¹ S ¨ wp ¸ © ¹V Multiplicando y dividiendo, numerador y denominador por la segunda y tercera relación de Maxwell, obtendremos: § wS · § wS · ¨ ¸ ¨ ¸ © w9 ¹ p © wV ¹7 § wp · = + ¨ ¸ § wS · § wp · © wV ¹ S ¨ wp ¸ ¨© w7 ¸¹ V © ¹9

§ wV · § wS ¨ ¸ ¨ © w7 ¹ p © w7 = § wS · § wS ¨ ¨ wp ¸ © ¹7 © w7

· § wS · ¸ ¨ ¸ ¹ p © wV ¹7 · § wS · ¸ ¨ ¸ ¹V © wp ¹7

7HQLHQGRHQFXHQWDODGH¿QLFLyQGHORVFDORUHVPRODUHVGHODFRQVWDQWH adiabática, y de la pendiente de la isoterma, tendremos:

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§ wS · § wS · 1 ¨ ¸ ¨ ¸ C w 7 w p © ¹ w V § · p © ¹7 = 7 p § wp · = G §  p · = ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 1 © wV ¹ 6 § wS · § wS · © wV ¹7 © V¹ C V ¨ ¸ © w7 ¹V ¨© wp ¸¹7 7 (VWRQRVLQGLFDTXHODSHQGLHQWHGHODDGLDEiWLFDHVȖYHFHVPD\RUTXHOD pendiente de la isoterma que pasa por el mismo punto. Ordenando términos e integrando la ecuación anterior obtendremos: dp dV =-G ; OQ S G OQ9 OQ&WH , es decir: SV G  &WH p V Utilizando la ecuación de estado de los gases ideales, podemos deducir otras relaciones que se cumplen para las transformaciones adiabáticas, aunque no correspondan a su ecuación de representación en un diagrama de Clapeyron. Estas relaciones corresponden a: 79 G 1 &WH´ , o bien: S

G 1

7 G  &WH´´

8.3. Ley de Mayer Mayer dedujo una relación entre los calores molares a presión y volumen constante de un gas ideal. Si realizamos una transformación isobara con un JDVLGHDOVHYHUL¿FDUi (į4 p = dU + p dV Si tenemos en cuenta que para un mol de un gas ideal: į4 p = CpG7, y que: dU = CVG7 Derivando la ecuación de estado para un mol de un gas ideal, teniendo en cuenta que la presión es constante, obtendremos: SG9 5G7 Sustituyendo estos valores en la expresión anterior: CpG7 &VG75G7, de donde: Cp - CV = R La ley de Mayer dice que: la diferencia entre los calores molares a presión y volumen constante de un gas ideal es igual a la constante universal de los gases.

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Termodinámica

8.4. Entropía de un gas ideal Teniendo en cuenta las características que corresponden a los gases ideales, es posible calcular la variación de entropía para cualquier transformación reversible o irreversible con ellos realizada, en función de las variables o coordenadas termodinámicas. dS =

D Q p dV + dU = , que para un mol de un gas ideal: 7 7

dS = R

G9 G7 + CV Integrando esta expresión: 9 7

S B  S A = R ln

9B 7 + CV ln B 9A 7A

Teniendo en cuenta que para un mol de gas ideal: 7B  

pBVB pV 7A   A A R R

Sustituyendo: S B  S A = CV ln

pBVB V p V + R ln B = CV ln B + CV  R ln B p AVA VA pA VA

S B  S A = CV ln

pB V + C p ln B pA VA

Utilizando la ecuación de estado, para un mol de un gas ideal: VB =

57B 57A ; VA = pB pA

Sustituyendo:

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Temas de Física

S B  S A = CV ln

SB 7 S 7 S + C p ln B A = C p ln B + CV  C p ln B SA 7A SB 7A SA

De donde: S B  S A = CP ln

7B S  R ln B 7A SA 8.5. Ciclo de Carnot de un gas ideal

Si consideramos que el sistema que realiza un ciclo de Carnot es un gas ideal, podemos calcular para cada transformación que constituye este ciclo las variaciones de calor, trabajo y energía interna, con objeto de calcular el rendimiento. - Transformación 1 - 2: Isoterma de dilatación. En contacto con el foco caliente del sistema a la temperatura 71, el sistema absorbe calor į41. Al ser una transformación a temperatura constante: dU = 0 V D 41 D :1 Q571OQ 2 V1 p1V1 = p2V2 - Transformación 2 - 3: Adiabática de dilatación. Se aísla el sistema del medio, y se deja dilatar adiabáticamente (į4  0), por lo que desciende su temperatura al valor 72 que corresponde a la temperatura del foco frío. D :23  ³G8 Q&V 72  71 p2 V2G = p3 V3G

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Termodinámica

- Transformación 3 - 4: Isoterma de compresión. En contacto con el foco frío del sistema, el sistema cede calor į42). Al ser una transformación a temperatura constante: dU = 0. V D 42  D :2  Q572 OQ 4  V3 p3 V3 = p4 V4 - Transformación 4 - 1: Adiabática de compresión. Se aísla el sistema del medio, y se deja comprimir adiabáticamente (į4  0), hasta alcanzar el volumen inicial, por lo que asciende la temperatura hasta el valor que tiene el foco caliente del sistema. D :41 ³G8 Q&V 71  72 p 4 V G4 = p 1 V G1 Para efectuar el cálculo del rendimiento, calcularemos el trabajo total realizado, y lo dividiremos por la energía total consumida, es decir: D W1 + D W23 + D W2 + D W41 M= D Q1 V V V V Q571OQ 2 Q572 OQ 4 71OQ 2 72 OQ 4 V1 V3 V1 V3 = M= V V Q571OQ 2 71OQ 2 V V1 Multiplicando miembro a miembro las cuatro igualdades que constituyen las ecuaciones de las transformaciones, obtendremos: p1 V1 p2 V2G p3 V3 p4 V4G = p2 V2 p3 V3G p4 V4 p1 V1G 6LPSOL¿FDQGRRUGHQDQGRWpUPLQRV\WRPDQGRORJDULWPRVQHSHULDQRV

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ln

V4 1 V = ln =  ln 2 V V3 V1 2 V1

Sustituyendo en la expresión del rendimiento, obtendremos: V V V V 71OQ 2 72 OQ 4 71OQ 2 72 OQ 2 V1 V3 V1 V1 71 72 D 41D 42 = = = M= V2 V2 7 D 41 1 71OQ 71OQ V1 V1 Luego el rendimiento de un ciclo de Carnot es independiente de la naturaleza del sistema que realice dicho ciclo, pues solo depende de las WHPSHUDWXUDVGHORVIRFRVFDORUt¿FRV 9. BIBLIOGRAFÍA - Lucini, M.: TERMODINÁMICA APLICADA. Ed. Labor. BarcelonaMadrid, 1945. - Gettys, W.E., Keller, F.J., y Skove, M.J.: FÍSICA CLÁSICA Y MODERNA. Ed. McGraw Hill. Madrid, 1989. 10. PROBLEMAS DE EXAMEN 10.1. Para medir el equivalente mecánico del calor se dispone de un calorímetro de 3000 g de agua (ce = 1 cal/g.ºC), y una masa de 20 kg suspendida de un sistema de poleas que cuando desciende 25 m, agita el agua del calorímetro elevando su temperatura de 21 a 21,3 ºC. a) ¿Cuál es el valor obtenido para el equivalente mecánico del calor? b) Si el sistema tiene un rendimiento del 68%, ¿cuál será el valor real de dicho equivalente (g = 9,8 m/s2)? a) J1 =

D W 20 ˜ 25 ˜ 9,8 = = 5, 44 J/cal D Q 3000 ˜1 ˜ 0,3

b) J = 0, 68 J1 = 0, 68 ˜ 5, 44 = 3, 70 J/cal

285

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

10.2. Un calorímetro de cobre (ce = 0,093 cal/g ºC), de 108 g de masa, contiene 800 g de aceite (ce = 0,52 cal/g ºC). El líquido se agita mediante unas paletas rotativas a las que se aplica un par de 10 m.N. La temperatura del calorímetro se eleva 5 ºC al cabo de 141 revoluciones. Hallar el equivalente mecánico del calor J. J=

DW L 2P n 10 ˜ 2 P 141 = = J/cal D 4 (PCu FeCu Pac Feac )'7 108 ˜ 0,93  800 ˜ 0,52 5

J=

8854, 4 = 4,16 J/cal 2130, 22

10.3. Calcular en julios la variación de energía interna que sufre 1 kg de hielo 3 a 0 ºC (calor latente de fusión lI = 80 cal/g K, densidad R KLHOR 0,917JFP ), y 10 MPa de presión, cuando sin variar la presión, se convierten en agua a 3 4 ºC (densidad R agua 1JFP FDORUHVSHFt¿FRce = 1 cal/g K, J = 4,2 J/cal). D 4 PO I PFH Q 2  Q1  1000 ˜ 801000 ˜1 ˜ 4 84000FDO 352800- § 1 § 106 106 · 1 · 6  ˜ ˜  10 10 1000 D :   S 92  91   SP ¨   ¸¸ ¨ ¸  905,12- ¨R 0,917 ¹ © 1 © DJXD R KLHOR ¹

'U = D Q  D W = 352800 + 905,125 = 353705,125 J 10.4. Calcular el valor del equivalente mecánico del calor si el agua que cae en las cataratas del Niágara lo hace desde una altura de 50 m y toda la energía que se genera en el punto de choque produce un aumento de su temperatura de 0,12 ºC. Si toda la energía generada en una hora se inviertese en calentar desde 20 ºC hasta su total ebullición, 10 kg de agua de calor latente de ebullición 540 cal/g y densidad 1 g/cm3, ¿cuántos litros por hora caen por dichas cataratas (g = 9,8 m/s2, ce = 1 cal/g ºC)?

a) J =

PJK 9,8 ˜ 50 = 3 = 4, 083 J/cal PFe 'Q 10 ˜10,12

286

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

b) 0 J'K -PFe Q e  Q i  Oe Ÿ 0  

-PFe Q e  Q i  Oe  g 'h

4, 083 ˜10 ˜103 100  20  540 0   51624NJK 9,8 ˜ 50 9 

0 51624    51624OKRUD R 1

10.5. Una pelota de SLQJSRQJ de 15 mm de radio y 5 g de masa está sumergida en agua de densidad 1 g/cm3 a una profundidad de 30 cm. Sabiendo que la pelota experimenta una fuerza ascensional dada por el principio de Arquímedes e igual al peso del volumen de agua que desaloja, calcular la cantidad de energía que se transforma en calor debida al rozamiento de la SHORWDFRQHODJXDVLFXDQGRVDOHGHVXVXSHU¿FLHDOFDQ]DXQDDOWXUDGHFP (g = 9,8 m/s2). 4 D :  ('KPJ'KPJ'K1  P U 3  R J'KPJ'K  'K1 3 4 D W = P 153 ˜109 ˜1 ˜103 ˜ 9,8 ˜ 0,30  5 ˜103 ˜ 9,8 30  10 102 = 0, 02196 J 3 10.6. La potencia de un motor se prueba con un freno refrigerado por agua. El 20% de esa potencia corresponde a la pérdida de calor generada por rozamiento a través del medio circundante y el resto se extrae mediante el agua de refrigeración del freno que se introduce a 0 ºC. Si la frecuencia de rotación del motor es de 1500 r.p.m. y el momento de torsión (par motor) es de 2000 J, ¿qué cantidad de agua es necesario suministrar al freno en 1 hora si su temperatura no puede subir de 35 ºC (ce = 1 cal/g ºC, J = 4,2 J/cal)? 0,8 D :

0,8 /T A

-P+ 22 FH 'Q ; 0,8 3

0,8

DW W

0,8 /T W

-

P+ 22 W

FH

287

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

'P l

2P 1 ˜ 500 ˜ 0,8 ˜ 2000 ˜ 3600 60 ˜ 4, 2 ˜ 35

6,155 ˜ 106 g / h 6155 kg / h

10.7. ¿Con qué velocidad inicial hay que lanzar un trozo de hielo, calor latente de fusión lf = 80 cal/g, a 0 ºC de temperatura desde una altura de 100 m para que al chocar con el suelo se funda la décima parte de su peso total (g = 10 m/s2, J = 4,2 J/cal)? P OI 10

1 2 PY 2

1 2 PY0  PJK ; Y0 2

2l I J 10

 2 JK

2 ˜ 80 ˜103 ˜ 4, 2  2 ˜ 10 ˜100 10

255,34 P / V

10.8. Calcular la cantidad de carbón que consume una locomotora de vapor de 5 toneladas para subir una rampa del 5 por ciento. La longitud de la proyección de la rampa que asciende es de 800 m. Un kg de carbón produce 8000 cal (J = 4,2 J/cal, g = 10 m/s2). ( p  PJK 5 ˜103 ˜10 ˜ 800

PFDUEyQ

0, 476 ˜106 8000

5 100

2 ˜106 -

2 ˜106 FDO 0, 476 ˜106 FDO 4, 2

59,5 NJ

10.9. Hallar la variación de energía interna que sufren 100 g de agua a 12 ºC cuando pasan a 100 ºC. El calentamiento se realiza a la presión de 760 mm de Hg. La densidad del agua a 12 ºC es de 0,98 g/cm3 y a 100 ºC, es de 0,95 3 2 g/cm3. ( R Hg 13, 6 J / FP , Fe 1 FDO / J .º & , - 4, 2 - / FDO , J 10 P / V ). D 4 PFH W I  WL 100 ˜1100  12 8800 FDO

DW

§P P· § 0,10 0,10 ·  p V2  V1 R Hg gh ¨  ¸ 13, 6 ˜10 ˜ 0, 76 ¨ ¸ 0,333 J © 0,95 0,98 ¹ © R 2 R1 ¹

dU

D Q  DW

8800 

0,333 4, 2

8799,92 cal

36959, 66 J

288

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

10.10. Supongamos que toda la energía de una masa que oscila suspendida de un resorte elástico de constante recuperadora 100 N/m con una amplitud GHFPVHLQYLHUWHHQFDOHQWDUNJGHDJXDGHFDORUHVSHFt¿FRFDOJž& ¿Qué número de oscilaciones tendría que dar esa masa para que la temperatura del agua ascendiera 2 ºC, siendo J = 4,2 J/cal? :7RWDO

1 1 1 N$2  1 100 ˜ 0,102  - D 4 -PFH '7 2 2

4, 2 ˜103 ˜1 ˜ 2 Ÿ 1

2

4, 2 ˜103 ˜1 ˜ 2  16800 FLFORV 100 ˜ 0,102

10.11. Una máquina térmica describe un ciclo de Carnot entre las temperaturas de 500 ºC y 50 ºC. Calcular: a) El rendimiento de dicha máquina. b) Si absorbe del foco caliente 8000 calorías en cada ciclo, calcular el calor que cede al foco frío del sistema y el trabajo en julios que realiza por ciclo (J = 4,18 J/cal). D 41D 42 7172  500  50      0,58M  58 D 41 71 773

a) M  

b) M =

D Q1  D Q2 8000  D Q2 ; 0,58 = ; D Q2 = 1  0,58 8000 = 3360 cal D Q1 8000

c) D W = D Q1  D Q2 = 8000  3360 4,18 = 19395, 2 J 10.12. Una máquina térmica realiza un ciclo de Carnot entre las temperaturas de 1050 ºK y 300 ºK. Calcular: a) El rendimiento de dicha máquina. b) Si absorbe 8000 calorías por ciclo del foco caliente, cuál es el trabajo realizado en julios. c) Cuál es la cantidad de calor que cede al foco frío del sistema (J = 4,18 J/cal). a) M  

D Q1  D Q2 1050  300    0, 71M  71 D Q1 1050

b) M =

DW ; D W = M D Q1 = 0, 71 ˜ 8000 ˜ 4,18 J = 23885, 7 J D Q1

c) D Q2 = 1  M D Q1 = 1  0, 71 8000 = 2320 cal

289

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

10.13. Una máquina térmica trabaja entre un foco a 250 ºC, y otro a 50 ºC, desarrollando una potencia de 3.103 watios. Si dicha máquina tiene el 30% de rendimiento del que tendría una máquina ideal de Carnot que realizara el mismo ciclo, hallar: a) Su rendimiento real. b) Si dicha máquina realiza 10 ciclos por segundo, calcular la cantidad de calor que adquiere de la caldera por ciclo (J = 4,2 J/cal). a) M  0,30

b) 3 

7172  250  50  0,30  0,1147M  11, 47% 71 273  250

300 DW 3 ˜103 D Q = D W = = 622, 62 cal D :  'W3  1 M J 11, 47 ˜ 4, 2 'W 10 ;

10.14. Una máquina térmica realiza un ciclo de Carnot entre un foco a 1100 ºC y otro a 50 ºC. Calcular su rendimiento. Si realiza 10 ciclos por segundo adquiriendo en cada uno de ellos 1000 cal del foco caliente, calcular la potencia que desarrolla, y la cantidad de calor que cede al foco frío del sistema (J = 4,2 J/cal). 7172  1100  50    0, 7647M  76, 47 71 1100  273

a) M  

D W M D Q1 J 0, 7647 ˜1000 ˜ 4, 2      32119, 4 :DWLRV 32,1194N:  'W 'W 101

b) 3 

c) D Q2 = 1  M D Q1 = 1  07647 1000 = 235,3 cal 10.15. Una máquina térmica que realiza un ciclo de Carnot adquiere 500.000 cal. por hora a la temperatura de 300 ºC, siendo la temperatura del foco frío 20 ºC, determinar: a) Su rendimiento. b) La cantidad de calor cedida por hora al foco frío. c) Su potencia en Kilowatios (J = 4,18 J/cal). a) M  

71  72  300  20 280      0, 488M  48,8 71 573 573

b) D Q2 = 1  M D Q1 = 1  0, 488 500000 = 255, 672 cal/h 290

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

c) 3 

D Q1  D Q2 J 103  500000  255672 4,18 ˜103  3600

3600

0, 2837NZDWLRV

10.16. Una máquina térmica realiza en cada ciclo un trabajo de 300 kgm, cediendo 3,2 kcal al foco frío. Calcular el calor que adquiere del foco caliente y su rendimiento (g = 9,8 m/s2, J = 4,18 J/cal). a) D Q1 = D W + D Q2 =

300 ˜ 9,83 + 3, 2 ˜103 = 3903 cal 4,18

D Q1  D Q2 3903  3200    0,18M  18 D Q1 3903

b) M  

10.17. La diferencia de temperaturas entre el foco caliente y el foco frío de una máquina térmica que realiza un ciclo de Carnot es de 75 ºC, y su rendimiento del 15%. Calcular la temperatura de ambos focos, y si en cada ciclo cede 200 cal al foco frío, calcular el calor que adquiere del foco caliente. a)

b) M =

D Q1  D Q2 D Q1  200 200 ; 0,15 = ; DQ = = 235,3 cal D Q1 D Q1 1  0,15

10.18. Con 2,5 moles de un gas perfecto, se realiza un ciclo de Carnot entre focos que están respectivamente a 300 y 50 ºC. La relación entre los volúmenes máximo y mínimo de las transformaciones isotermas es de 2,5. Calcular: a) El rendimiento del ciclo. b) El trabajo realizado. c) Si este ciclo se describe en sentido inverso actuando como una máquina refrigeradora, FDOFXODUVXH¿FLHQFLD5 -PRO.  a) M  

7172 300  50    0, 436M  43, 6 71 273300

291

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

V b) D 41 Q571OQ 2  2,5 ˜ 8,31 ˜ 573OQ2,5 11907, 4OQ2,5 10910, 6- V1 D W = M D Q1 = 0, 436 ˜10910, 6 = 4757 J c) D 42  Q572 OQ2,5 D 41D :  6153, 6- E=

D Q2 6153, 6 = = 1, 293 DW 4757

10.19. Una máquina realiza un ciclo de Carnot entre agua a 100 ºC y agua a 0 ºC. Se perfora la caldera y 3 litros de agua caliente pasan al refrigerador en el que hay 2 litros de agua fría. Calular el rendimiento de la máquina, y la variación total de entropía en julios que sufre el agua 3 ( R  1JFP Fe  1FDOJ.- 4, 2-FDO ). 71  72 373  273    0, 268M  26,8 71 373

a) M  

b) P100 FH 100  Q I  P0 FH Q I  Q Q I   333

'6

333

P F G7 P F G7 ³373 1007 e  273³ 0 7e

3000 OQ

300  60º C 5

333 333  2000 OQ 57, 03FDO . 239, 6-. 373 273

10.20. Una máquina térmica realiza un ciclo absorbiendo 1500 J de una fuente térmica a –60 ºC, y realiza un trabajo de 230 J. En el mismo ciclo se pone en contacto con una segunda fuente a –90 ºC, y con una tercera a –150 ºC. Calcular: a) La energía intercambiada con la segunda y tercera fuente. b) La variación de entropía en cal/K, originada en cada intercambio de energía y la variación total de entropía (J = 4,2 J/cal). a) D W

D Q1  D Q2  D Q3 ; 230 1500  D Q2  D Q3

292

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

$OWUDWDUVHGHXQDWUDQVIRUPDFLyQFtFOLFDUHYHUVLEOHODYDULDFLyQWRWDOGH HQWURStDHVFHUR. D Q1 D Q2 D Q3   71 72 73 D Q2

1500 D Q2 D Q3   213 183 123

 1231, 6 J ; D Q3

0

 38, 4 J

b)

'S1  'S 2  'S3 1, 67  1, 6  0, 07

0

10.21. Se proyecta un sistema de refrigeración basado en una máquina refrigeradora de Carnot para mantener un recinto a una temperatura de –20 ºC FXDQGRODWHPSHUDWXUDDPELHQWHHVGHž&6LODH¿FLHQFLDUHDOE) es el 40% de la teórica (E7 HQWHQGLHQGRSRUWDOODH¿FLHQFLDTXHVHREWLHQHDOFRQVLGHUDU solo las temperaturas de los focos y que la cantidad de calor que se extrae es de 105 J/minuto, calcular la potencia necesaria para que funcione. E7

(

72 71  72 D 42 D:

253 296  253

D 42 / W ;3 D: / W

5,89 ; E

D: W

0, 4 ˜ 5,89 2,35

D 42 / W (

105 / 60 2,35

709, 2 ZDWLRV

10.22. Se quiere hacer actuar a una máquina de Carnot de 0,15 de rendimiento, como un termómetro cuyo foco caliente está a 100 ºC y del que absorbe una cantidad de calor de 2000 J. Calcular: a) La temperatura a que está su foco frío. b) La cantidad de calor que cede al foco frío. c) La variación de entropía que intercambia con el foco frío del sistema. a) M

7H  7 I 7e

 0,157 I  (1  0,15)7H

0,85 (100  273) 317,186 .

293

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

b) M

D QH  D Q I D Qe

= 0,15 ; D Q I = (1  0,15)D QH

0,85 ˜ 2000 1700 J

c)

10.23. Una máquina de Carnot trabaja entre 260 ºC y 21ºC. Calcular: a) El rendimiento. b) Si la constante adiabática del gas que realiza el ciclo es 1,4, calcular la relación de los volúmenes en la expansión y en la compresión adiabática. a) M =

71  72 71

260  21 260  273

0, 4484 ; M % 44,84% 1

G 1 1 2

b) 79

G 1 2 4

79

G 1 2 3

79

G 1 1 1

79

§ 71 · G 1 ¨ ¸ © 72 ¹

V ; 3 92

9 ; 4 91

§ 71 · ¨ ¸ © 72 ¹

1 G 1

1

§ 533 ·1,41 ¨ ¸ © 294 ¹

4, 42

1

§ 533 ·1,41 ¨ ¸ © 294 ¹

4, 42

10.24. Partiendo de agua a 0º, una nevera fabrica 5 kg de hielo cada hora. 6LODWHPSHUDWXUDH[WHULRUHVGHžFDOFXODUD /DH¿FLHQFLDGHODQHYHUD b) La potencia teórica del motor. c) La potencia real si el rendimiento es del 70%. d) Si el precio del kilowatio.hora es de 0,2 €, el coste de energía necesario para fabricar 100 kg (lI = 80 cal/g, J = 4,2 J/cal). a) E

D 42 D:

D 42 D 41  D 42

72 71  72

b) P

DW W

D Q1  D Q2 W

D Q2 (W

273 303  273

9,1

5 ˜103 ˜ 80 ˜ 4, 2 9,1.3600

294

ERRNVPHGLFRVRUJ

51, 28 W

Temas de Física

P M

c) Preal

d) :

3W

51, 28 0, 7

73, 26 W

73, 26 ˜103 ˜ 20 1, 465 ; &RVWH : ˜ 0, 2 0, 29 €

10.25. Calcular el aumento de temperatura que sufre una probeta de acero de módulo de Young 21000 kpf/mm2, al someterla a un ensayo de tracción hasta su rotura, si el alargamiento que sufre es del 12%, suponiendo que el trabajo de deformación se convierte en calor con un rendimiento del 6%, siendo los valores 3 de: R 7,8 J / FP , Fe 0,11 FDO / J .º C - 4, 2 - / FDO , J 10 P / V 2 . MD :

- D 4D :  S'9 (

'l S 'l l0 JSl0 R ce

ME '7

M E 'l 2 Jl0 R cel0

'l 6 'O ; D 4 PFe '7 6O0 R Fe '7 l0

0, 06 ˜ 21000 ˜10 ˜106 ˜ 0,122 4, 2 ˜ 7,8 ˜103 ˜ 0,11 ˜103

50,35 º C

10.26. Suponiendo que se pudiese construir una central térmica situada en el mar que trabajando mediante un ciclo de Carnot con su foco caliente en el DJXDVXSHU¿FLDODž&\VXIRFRIUtRHQHODJXDDELVDODž&FDOFXODUD VX rendimiento. b) La cantidad de energía por hora que tendría que adquirir del foco caliente para producir 10 megavatios de potencia. a) M

71  72 22  2 = = 0, 0678 71 295

b) 3 

DW ˜ M DW ( J ) P ;   W W ( K) M

10 ˜106 ˜ 3600 0, 0678

531 ˜109 - / K 531000 0- / KRUD

10. 27. Se quiere utilizar la radiación solar (600 w/m2) para suministrar agua caliente a una vivienda unifamiliar. Para ello se construye un recipiente de 1 m2GHVXSHU¿FLHTXHDSURYHFKDHOGHODHQHUJtDLQFLGHQWHUHFLELGD6L inicialmente el agua está a 20 ºC: a)¿Cuánto tiempo se requiere para calentar

295

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

1 litro de agua hasta 40 ºC? b) ¿Cuál será la variación de entropía del proceso ȡ JFP3, ce = 1 cal/gºC, J = 4,2 J/cal)? a) 37RWDO

600

w ˜1 P 2 2 P

600 Z ; 3~WLO

M 37RWDO

0,3 ˜ 600 180 ZDWLRV

-PFe 72  71 4, 2 ˜103 ˜1 ˜ 40  20 84 ˜103 -

D4

D 4 D :~WLO

3~WLO ˜ WLHPSR Ÿ W

DQ P~WLO

84 ˜ 103 180

84 N-

  466,6 V 7,7 PLQXWRV

b) 313

DQ ³293 7

'6

313

PFe G7 7 293

³

PFeOQ

313 313 103 ˜1 ˜ OQ 293 293

66 FDO

277,3 -.

10. 28. Una máquina de Carnot trabaja entre 127 ºC y 27 ºC. Calcular: a) Las calorías que cede al foco frío si recibe 1200 calorías del foco caliente. b) Si la máquina funciona al revés, es decir, actúa como máquina refrigeradora y recibe 1200 calorías del foco frío, cuántas calorías cede al foco caliente. c) En este segundo caso, qué trabajo expresado en julios se requiere para hacerla IXQFLRQDUG 6XH¿FLHQFLD- -FDO  a) M

b)

71  72 71

D 41 71

c) D W d) E

100 273  127

0, 25 ; 0, 25

D 42 Ÿ D Q2 72

D Q1

1600  1200 D Q2 DW

1600 400

72 71

400 cal

1200  D 42 Ÿ D Q2 1200

1200

1200 1  0, 25 900 cal

400 1600 cal 300

4, 2 ˜ 400 1680 J

4

  8QD PiTXLQD IULJRUt¿FD GH &DUQRW WRPD FDORU GHO DJXD D  ž& y lo cede al aire a 24 ºC. En un día se fabrican 250 kg de hielo, calcular: 296

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

a) el rendimiento, b) cuánto calor se envía al aire, c) cuánto trabajo se ha consumido (lI= 80 cal/g). a) M =

297  273 297

0, 08 ; M

8%

b) D 42

PO I

c) D W

250 ˜103.80 2 ˜107 FDO ; M

D Q1  D Q2

D Q1  D Q2 Ÿ D 41 D Q1

2,17 ˜107  2 ˜107

D Q2 1  0, 08

2,17 ˜107 FDO

0,17 ˜107 cal

6HWUDWDGHWUDEDMRUHDOL]DGRVREUHHOVLVWHPDSXHVHVQHJDWLYR. 10. 30. Se llenan tres recipientes iguales con una cantidad de 320 g, el primero de agua, el segundo de cloroformo y el tercero de glicerina. Se calientan de 10 a 60 ºC necesitando para hacerlo suministrar al primero 18 kcal, DOVHJXQGRNFDO\DOWHUFHURNFDO6LHQGRHOFDORUHVSHFt¿FRGHO agua 1 cal/g K, calcular los correspondientes al cloroformo y a la glicerina. Para el agua: D 410 D 60 D 4U  PFH 7 I  7L Ÿ D 4U

1800  320 ˜160  10 2000 FDO

D  3DUDODJOLFHULQD D 410 D 60 D 4U  PFH 7 I  7L Ÿ FH

D Q10 a 60  D Qr P 7 I  7L

11280  2000 320 ˜ 50

0,58 FDO / J ˜ .

E  3DUDHOFORURIRUPR Fe

D Q10 a 60  D Qr P 7 I  7L

5740  2000 320 ˜ 50

0, 233 FDO / J ˜º..

10. 31. Calcular la variación de entropía de 1,4 moles de gas que pasa de un estado en el que el volumen es de 30 litros y la temperatura 10 ºC, a otro 297

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

estado en el que el volumen es 38 litros y la temperatura 125 ºC. a) Cuando se calienta a volumen constante y luego se dilata isotérmicamente, b) cuando se dilata a temperatura constante, y luego se calienta a volumen constante, c) se dilata adiabáticamente y luego se calienta a volumen constante (R= 8,3 J/ mol.K, Cv = 3/2 R). 'DGRTXHODHQWURStDHVXQDIXQFLyQGHHVWDGRVXYDULDFLyQVHUiODPLVPD VHD FXDO VHD OD WUDQVIRUPDFLyQ GH TXH VH WUDWH OXHJR VROR KD\ XQD ~QLFD VROXFLyQ

10.32. Calcular la variación de entropía de 100 g de agua cuando pasa de hielo a -20 ºC, a vapor de 120 ºC, manteniendo constante la presión (cps hielo = 0,5 cal/g K, cpl agua = 1 cal/g K, cpg vapor =.0,47 cal/g K, calores latentes lf = 80 cal/g, lv = 540 cal/g). 273

'61

³

PF ps G7 7

253

'6 2

³

373

'63

³

³

7

³

373

'6

P ˜ Ov 7e

DQ 7

393

'65

7I

PF pl G7

273

'6 4

P ˜OI

DQ 7

PF pg G7 7

PF ps OQ

273 273 100 ˜ 0,5 ˜ OQ 253 253

100 ˜ 80 273

PF pl OQ

3,8 FDO / .

29,3 FDO /º.

373 373 100 ˜1 ˜ OQ 273 273

31, 21 FDO / .

100 ˜ 540 144, 7 FDO / . 373

PF pg OQ

393 393 100 ˜ 0, 47 ˜ OQ 373 373

'61  '6 2  '63  '6 4  '65

2, 45 FDO /º.

3,8  29,3  31, 21  144, 7  2, 45 211, 46 FDO /º.

298

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

10.33. Calcular la variación de entropía que corresponde al paso de 0,1 kg de hielo a 0 ºC, a agua a 40 ºC. (Calor latente de fusión del hielo lf = 80 cal/g, ce = 1 cal/g.ºC). '61 (fusión del hielo) = 72

'6 2 DJXD   ³ PFe 71

D Q 100 ˜ 80    29,3FDO ºC 7 273

G7 7 273  40  PFe OQ 2  100˜1OQ  10, 07FDO º C 7 71 273

'S = 'S1 + 'S2 = 29,3 + 10, 07 = 39,37 cal/ º C 10.34. Calcular la variación de entropía cuando se mezclan 2 litros de agua a 0 ºC, con 3 litros de agua a 100 ºC (U = 1 g/cm3, ce = 1 cal/g.K). 7HPSHUDWXUDGHHTXLOLEULRT P0 Fe Q  0  P100 Fe 100  Q 2 Q  0 = 3 100  Q ; Q =

300 = 60 º C 5

9DULDFLyQGHHQWURStDGHODJXDTXHVHFDOLHQWD: Q

9  R Fe G7 273 + 60 '61 ³  2 ˜1 ˜1OQ  396,52FDO . 273 7 Q1 9DULDFLyQGHHQWURStDGHODJXDTXHVHHQIUtD 273 + 60 Q  340,17FDO . '6 2  9 R Fe OQ  3 ˜1 ˜1OQ 273 +100 Q2 '6 '61'6 2  396,52  340,17 56,35FDO . 10.35. Mezclamos 700 g de agua a 10 ºC de temperatura con 300 g a 90 ºC. Calcular la variación de entropía en J/K, que sufre la mezcla hasta alcanzar el equilibrio (ce = 1 cal/g.K., J = 4,2 J/cal). 299

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

7HPSHUDWXUDGHHTXLOLEULRT: 0,3 ce 90  Q = 0, 7 ce Q  10 ; Q =

0,3 ˜ 90 + 0, 7 ˜10 = 34 º C 0, 7 + 0,3

9DULDFLyQGHHQWURStDGHODJXDTXHVHFDOLHQWD 307 Q '61 PFe OQ  0, 7˜103 OQ  239,3- . 283 Q1 9DULDFLyQGHHQWURStDGHODJXDTXHVHHQIUtD 307 Q '6 2  PFe OQ  0,3 ˜103 OQ  211,1- . 363 Q2 '6 '61'62  239,3  211,1 28, 2- . 10.36. Calcular la variación de entropía que se produce, cuando se echan dos kilos de hielo a 0 ºC, en tres kilos de agua a 90 ºC, siendo el calor latente de fusión del hielo lf FDOJHOFDORUHVSHFt¿FRGHODJXDFe = 1 cal/gºC. a) &iOFXORGHODWHPSHUDWXUDGHHTXLOLEULR: T &DORUQHFHVDULRSDUDIXQGLUHOKLHOR: QI = lIP &DORUTXHDGTXLHUHHODJXDTXHSURYLHQHGHOKLHOR: PFeT-0 &DORUTXHSLHUGHHODJXD: P¶Fe90-T O I PPFH Q  0  PcFH 90  Q 

; 80 ˜ 2000 + 2000 ˜1 Q  0 = 3000 ˜ 1 90  Q Q=

270000  160000 110 = = 22ºC 3000 + 2000 5

b) &iOFXORGHODYDULDFLyQGHHQWURStD 9DULDFLyQGHHQWURStDGHOKLHORDOIXQGLUVH:

300

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

'S1 = ³

D Q 80 ˜ 2000 = = 586, 08 cal/ ºC 7I 273

9DULDFLyQGHHQWURStDDOFDOHQWDUVHKDVWDT: 295

PFe G7 295  PFe OQ  2000 ˜1 ˜ 0, 0775 155FDO ºC 273 7 273

'6 2   ³ 

9DULDFLyQGHHQWURStDDOHQIULDUVHHODJXDKDVWD T: 295

'S3 =

PcFe G7 295 = 3000 ˜1 ln =  622, 28 cal/ º C 363 7 363

³

9DULDFLyQWRWDOGHHQWURStD: 'S = 'S1 + 'S 2 + 'S3 = 586, 08 + 155  622, 28 = 118,8 cal/ ºC 10.37. 1 kg de hidrógeno (P.M.= 2) y 1 kg de nitrógeno (P.M.= 28), se dilatan isotérmicamente a 15 ºC desde 10 a 1 bar (1 bar = 10 6 barias; 1 baria = 1 dina/cm2). Calcular: a) ¿Para qué gas es mayor la variación de entropía y cuántas veces? b) La variación de entropía que sufre cada gas (R = 8,3 J/ molºC).

a)

'6 H 2 '6 N2

p1 p2 S QN2 57OQ 1 p2

QH 2 57OQ

PH 2 QH 2 QN 2

3.0 .H 2 PN 2

3.0 .N2 3.0 .H 2

14

3.0 .N2

b)

301

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

10.38. 1 kg de hielo a 0 ºC se calienta hasta que 850 g se han convertido en agua y 150 g en vapor de agua, ambos a 100 ºC. Calcular el valor total de la variación de entropía en julios/K que ha sufrido en el proceso (lf = 80 cal/g, cagua= 1 cal/gºC, lv= 540 cal/g, J = 4,2 J/cal).

10.39. Calcular la variación de energía interna y de entalpía que sufren 2 moles de un gas perfecto que ocupan 100 litros a 10 atm cuando se calientan a presión constante hasta ocupar 150 litros (1 atm = 1,013.105 Pa, R = 8,31 J/ PROң.&p = 5R/2 J/mol.K). a)

72  71

V2 150  6095  9142,5 . V1 100

'+ Q& p 72  71  2

5 ˜ 8,31 9142,5  6095  12662362- 126, 62N- 2

b) D W = p 'V = 10 ˜1.013 ˜105 ˜ 50 ˜103 = 5, 065 ˜104 J = 50, 65 kJ 'U = 'H  p 'V = 126, 62  50, 65 = 75,97 kJ = 75970 J 10.40. Calcular la variación de energía interna (U), de entalpía (H), de energía libre de Helmholtz (A) y de entalpía libre de Gibbs (G), en los procesos: a) 1 kg de agua hierve a temperatura (100 ºC), y presión constante de 1 atm = 1,013.105 Pa, teniendo 1 g/cm3 de densidad y 540 cal/g de calor latente de 302

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

ebullición. b) El vapor obtenido se calienta a 150 ºC manteniendo constante el volumen, considerando que la variación de energía libre de Helmholtz para este proceso es de -40000 J y que el vapor de agua se comporta como un gas perfecto (P.M. = 18 g, Cv = 7 cal/mol K, J = 4,2 J/cal, Vo = 22,4 l). a) 7 FWH y S FWH. § ¨ 1 § 907100 P · 22, 4 ˜103 ˜ 373 1 5 'A =  p'V =  p ¨ n  ¸ = 1, 013 ˜10 ¨  3 3 10 7 R 18 10 273 ˜ ¨ 0 © ¹ ¨ 106 ©

· ¸ 5 ¸ = 1, 72 ˜10 J ¸ ¸ ¹

'* ³6G7³9 GS 0 '+  D 4 p POe  1000 ˜ 540 ˜ 4, 2 2268000- 'U = D Q  D W = 'H + 'A = 226800  172000 = 54800 J 1000 7 ˜ 4, 2423  373  81666, 66- b) '8 Q&V 72  71   18 '$  ³ 6G7  40000- §7 · § 423 · 'G = 'A+V  p2  p1 = 40000 +Vp1 ¨ 2  1¸ = 40000 +1, 7 ˜1, 013 ˜105 ¨  1¸ = 16911,8 J © 373 ¹ © 71 ¹

'H

§7 · 1000 373 § 423 · 'U +V  p2  p1 = 'U +Vp1 ¨ 150  1¸ = 81666, 66 +  1¸ 22, 4 ˜103 1, 013 ˜105 ¨ 18 273 © 373 ¹ © 7100 ¹

' H = 81666, 66 + 23088,3 = 104755 J 10.41. Calcular la densidad del aire en Kg/m3 a 15 ºC y presión 760 mm de +JVDELHQGRTXHVXVFDORUHVHVSHFt¿FRVVRQFp= 0,237 cal/g.ºC, y cv=0,169 cal/g.ºC (J = 4,18 J/cal, UHg= 13,6 g/cm3 y g = 9,8 m/s2).

D 4 p  D 4 V D : p  S'9 p ; 0 F p  FV '7

R9 (F p  FV )

 S'9 p 303

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

( p'V ) p

R

9 F p  Fv '7

§ pV · '7 ¸ ¨ © 7 ¹p 9 F p  Fv '7

13, 6 ˜103 ˜ 0, 76 ˜ 9,8 p NJ / P3 3 3 7 F p  FV 288 0, 237 ˜10  0,169 ˜10 4,18

R 1, 237 NJ / P3 10.42. Con 100 g de He (peso molecular 4 g), se realiza una transformación pasando de 0 ºC a 100 ºC isobáricamente. Calcular la variación de la energía interna y de la entalpía en la transformación indicada. (Cp = 5/2 cal/mol K, Cv= 3/2 cal/mol K). '8

P 100 3 &9 7 I  7L 100  0 3750 FDO 3.0 . 4 2

'+

P 100 5 & S 7 I  7L 100  0 6250 FDO 3.0 . 4 2

10.43. A un camión que transporta 8 moles de un gas ideal a condiciones normales de presión (760 mm de Hg) y temperatura (0 ºC), se le avería el sistema de refrigeración por lo que la temperatura de dicho gas asciende a 60 ºC. a) ¿Cuál es la presión en N/m2 que alcanza el gas? b) Teniendo en cuenta que el recipiente que contiene el gas no soporta presiones superiores a 1,2.105 N/m2, ¿qué volumen de gas tendría que desalojarse para que el recipiente no explote ( R Hg 13, 6JFP3 , g=9,8 m/s2, Vo=22,4 l)? p1V1 p2V2 7 7 333 ; S2   S1 2  R HgJK 2  13, 6 ˜ 9,8 ˜ 0, 76 =  1, 236 ˜105 1P 2  71 72 71 71 273

a)

b) V1 p2 = p0D[V7 ; V7 = 8 ˜ 22, 4

1, 236 ˜105 = 184,516 l 1, 2 ˜105

V = V7  V1 = 184,516  8 ˜ 22, 4 = 5,316 l 10.44. Considerando al aire como un gas ideal de 29 g de peso molecular, calcular la masa de aire que contiene un aula de 4 m de altura y 150 m2 de

304

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

VXSHU¿FLHVLHQGRODSUHVLyQDWPRVIpULFDGHPPGH+J\ODWHPSHUDWXUD 3 de 22 ºC ( R Hg 13, 6J / FP , g=9,8 m/s2, R = 8,31 J/mol.K).

S  R Hg JK 13, 6

Q 

103 9,8 ˜ 0, 75 999601P 2  6 10

p V 99960 ˜ 4 ˜150    24465,52P Q0  29 ˜ 24465,52 709,5 ˜103 J 57 8,31 ˜ 295

10.45. En un recipiente cerrado de 4 litros, hay 5 g de nitrógeno, que consideramos como un gas ideal, a la temperatura de 20 ºC. El recipiente se calienta hasta la temperatura de 40 ºC. Hallar la presión del gas antes y después de calentado (peso molecular del nitrógeno = 28 g, R = 8,31 J/ mol.K). 5 8,31 ˜ 293 Q57 28    1, 08 ˜105 1P 2  a) S  V 4 ˜103 7c 5 313  1,16 ˜105 1P 2  b) Sc  S  1, 08 ˜10 7 293 10.46. Una botella de acero que tiene una carga de rotura de 300 N/mm2, contiene 200 litros de un gas ideal a 20 ºC y 200 N/cm2 de presión. Calcular a qué valor de la temperatura ha de calentarse para que reviente. Si se pone una válvula de seguridad que se abra a una presión de 1000 N/cm2, calcular el volumen de gas que saldría por dicha válvula antes de alcanzar esa temperatura. p1 V S r V 200 300 ˜102 300 ˜102 ˜ 293      72    43950 . a) 71 72 273  20 72 200 b)

p1V1 p2V2 200 ˜ 43950 ˜ 200 = ; V2 = = 6000 l 71 72 293 ˜1000

V = V2  V1 = 6000  200 = 4800 l 305

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

10.47. Dos bombonas que contienen 250 cm3 y 300 cm3 de butano, considerado como gas perfecto, están unidas por un tubo de 5 cm2 de sección por el que se desplaza un émbolo sin rozamiento. Ambas bombonas están inicialmente a condiciones normales de presión (760 mm de mercurio), y de temperatura (0 ºC). Si la primera bombona se calienta hasta alcanzar 50 ºC y la segunda se enfría a –10 ºC, calcular cuál es el desplazamiento que sufre el émbolo y en qué sentido se desplaza. paV1 p V1  Sx paV2 p V2  Sx = ; = 70 71 70 72 'LYLGLHQGRPLHPEURDPLHPEURDPEDVLJXDOGDGHVVHREWLHQH 9 9 7  7 250 ˜ 300 323  263 91 91  6[ 72    [  1 2 1 2    5, 637FP 92 92  6[ 71 6 9171  9272 5 250 ˜ 323  300 ˜ 263 10.48. Un cilindro cuya sección transversal es de 1 dm2, contiene 1 litro de un gas perfecto de densidad 7,95 10-4 g/cm3 a 60ºC de temperatura. Si se calienta suministrándole 100 cal, calcular qué desplazamiento sufre el émbolo TXHDFW~DGHWDSDGHUDVLVXFDORUHVSHFt¿FRHVFe = 0,334 cal/g.K. 4 PFH W I  WL Ÿ W I  

Q 100 WL    60 436, 6º C 4 RVce 7,95 ˜10 ˜103 ˜ 0,334

Sa9i pDV I O 6 lI S 7 436, 6  273   Ÿ i   Ÿ O I  OL  i  10  21,3FP 60  273 7L 7I 7L 7I 7I G O I  10 11,3FP 10.49. Una cierta cantidad de un gas ideal se expansiona reversible e isotérmicamente a 27 ºC, triplicándose el volumen inicial y produciendo un trabajo de 1 kw.hora. ¿Cuántos moles contiene este gas? (R = 8,3.107 ergios/ mol ºC).

306

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física V2

D:

³

V2

SG9

V1

Q

DW 57 OQ

V2 V1

Q57 G9 V V1

³

Q57 OQ

V2 V1

103 ˜ 3600 1316 PROHV 8,3 ˜107 ˜107 ˜ 273  27 ln 3

10.50. Si tenemos 0,5 moles de un gas ideal que realizan el ciclo térmico siguiente: A (2,5.103)o p=cteo B (5, 5.103)o V=cteoC (5, 2.103)o T=cte o A (m3, N/m2). Sabiendo que: R= 2 cal/mol.K, Cv = 3,2 cal/mol.K, Cp = 5,2 cal/mol.K, J=4,2 J/cal. Calcular: a) El trabajo, el calor y la variación de la energía interna en cada una de las transformaciones. b) El trabajo total realizado. a) 7UDQVIRUPDFLyQ A-B: D WAB = 5  2 5 ˜103 = 15 ˜103 J

7A 

2 ˜ 5 ˜103 5 ˜ 5 ˜103 2381º. 7B  5950. 0,5 ˜ 2 ˜ 4, 2 0,5 ˜ 2 ˜ 4, 2

D 4AB  Q& p 7B  7A 0,5 ˜ 5, 25952  2381  D QAB = 9285 cal = 39 ˜103 J 'U AB = D QAB  D WAB = 24 ˜103 J C 7UDQVIRUPDFLyQ B-C: D WB = 0

5 ˜ 2 ˜103 7C    2381. 0,5 ˜ 2 ˜ 4, 2 D 4BC  '8 BC  Q&V 7C  7B  0,5 ˜ 3, 22381  5952  5713FDO 23997- 307

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

7UDQVIRUPDFLyQ C-A: 'U CA = 0 V 2 D 4CA  D :CA  Q57C OQ A  0,5 ˜ 2 ˜ 2381 OQ   2181FDO 9160- VC 5 B A b) D W7RWDO = D W$ + D W& = 1390 cal = 5840 J

10.51. 5 moles de un gas ideal de peso molecular 20 g, que están a una presión de 20.103 N/m2 (pascales), y 50 ºC de temperatura, se comprimen adiabáticamente hasta que su volumen se reduce a 1/3 de su volumen inicial. &DOFXODU D  /D SUHVLyQ \ OD WHPSHUDWXUD ¿QDO E  (O WUDEDMR TXH KD\ TXH realizar para comprimirlo (Constante adiabática G = 1, 67, cv = 0,148 cal/g.K. J = 4,18 J/cal).

a) S2  S1

72  71

V1G § V1 · ¨ ¸ ©3¹

G

 20 ˜103 ˜ 31,67  125,3 ˜103 1P 2 

V1G 1 § V1 · ¨ ¸ ©3¹

G 1

 323 ˜ 3G 1 674,3 .

b) D :  Q0 FV 72  71  5 ˜ 20 ˜ 0,148674,3  323  5199, 2FDO 21732, 6- 10.52. Con 1,5 moles de un gas ideal de 1,68 de constante adiabática, se realiza el siguiente ciclo: A (5 m3; 4.103N/m2)o T=cte o B (10 m3; ?) oV = cte o C (10 m3; ?)o GQ = cte o A. Calcular el calor, la variación de energía interna y el trabajo realizado en cada transformación, así como el trabajo total, siendo R = 2 cal/mol.K, Cp =5,2 cal/ mol.K, J = 4,2 J/cal.

308

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física B a) 7UDQVIRUPDFLyQ A-B: 'U A = 0

D QAB = D WAB = p AVA ln

VB 10 = 5 ˜ 4 ˜103 ln VA 5

D QAB = D WAB = 13860 J = 3300 cal C 7UDQVIRUPDFLyQ B-C: D WB = 0

&V  

Cp

5, 2    3, 09FDOPROº. G 1, 68

p A VA 5 ˜ 4 ˜103 71    1587,3. nR 1,5 ˜ 2 ˜ 4, 2 G

1,68 §V · p A ¨ A ¸ VC 4 ˜103 §¨ 5 ·¸ 10 V pV © 10 ¹ 72   C C   © C ¹    990, 7. nR nR 1,5 ˜ 2 ˜ 4, 2

D 4BC

'8 BC  Q&V 72  71 1,5 ˜ 3, 09 990, 7  1587,3 2769, 75FDO  11632,95-

7UDQVIRUPDFLyQ C-A: D :CA

'8 CA

D QCA = 0

Q&V 71  72 1,5 ˜ 3, 09 1587,3  990, 7 2769, 75FDO 11632,95-

b) D W7RWDO = D W$B + D W&A = 3300  2769, 75 cal = 530, 25 cal = 2227 J 10.53. Dos moles de un gas ideal están sometidos a una presión de 2 MPa, y ocupan un volumen de 10 litros. Si dicho gas se somete para pasar a 1 MPa de presión, a las siguientes transformaciones reversibles: volumen constante, isotérmica y adiabática, calcular el trabajo, calor y energía interna en cada una de las transformaciones (Cp = 7 cal/mol.ºC, Cv = 5 cal/mol.ºC, J = 4,2 J/cal).

309

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

a) ,VRFRUD (V=cte): į: 0 D 4 '8 Q&V 72  71  

n CV V  p ' p 2 ˜ 5 ˜10 ˜103 2  1 106    2,5 ˜107 - 2 7  5 n C p  CV 

b) ,VRWHUPD (T=cte): 'U = 0 p V 2 ˜106 ˜10 ˜103 p V 2 ˜10 7     1190.9 c     20O nR 2 ˜ 2 ˜ 4, 2 1 pc Vc 2 D :  D 4 Q57OQ  2 ˜ 2 ˜ 4, 2 ˜1190OQ  13857, 4- V 1 c) $GLDEiWLFDį4   G =

S9 G

D:

S19 G ; 91G

Cp

7 = = 1, 4 CV 5

1,4 2 10 ˜103  1

'8 Q&V 72  71

3,17 ˜ 103 P3 ; 91

CV  S9  S191 R

pV  p1V1 G 1

0, 0164 P3

2 ˜10  116, 4 6 10 ˜103  9000- 0, 4

10.54. Un gas ideal realiza un ciclo térmico consistente en: isotérmicamente se dilata desde el punto (4 m3; 1 MPa), al punto (8 m3; ? MPa). Luego, a volumen constante, cerrándose el ciclo a través de una adiabática. Siendo la constante adiabática G = 1,6. Calcular: a) El trabajo, el calor intercambiado y la variación de energía interna para cada una de las transformaciones. b) Para el ciclo total. a) 7UDQVIRUPDFLyQLVRWHUPD (7 FWH): p1V1 = p2V2; P1 (4;1) - P2 (8; 0,5) 'U1 = 0 D 41 D :1

Q57 OQ

V2 V1

S191 OQ

V2 V1

4 ˜106 OQ

8 4

2, 77 ˜ 106 -

b) 7UDQVIRUPDFLyQLVRFRUD (9 FWH): P2 (8; 0,5)- P3 (8; ?) D W2 = 0 310

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

D 42

G 3 3

S9

CV 1 pV · § pV '8 2 Q&V 72  71  Q&V ¨ 3 2  2 2 ¸   S3  S2 92    S3  S2 92 n R ¹ C p  CV G 1 © nR

G 1 1

S 9 Ÿ S3

D Q2 = 'U 2 =

§V · S1 ¨ 1 ¸ © V3 ¹

G

1,6

§4· 1¨ ¸ ©8¹

0,33 03D

1 0,33  0,5 106 ˜ 8 =  2, 266 ˜106 J 1, 6  1

c) 7UDQVIRUPDFLyQDGLDEiWLFD (į4=0): P3 (8, 0,33) - P1 (4, 1) G

1,6

§V · § 4· S 9   S 9  S3   S1 ¨ 1 ¸  1¨ ¸  0,3303D ©8¹ © V3 ¹ G 1 1

G 3 3

1 D :3  '8 3  Q&V 71  72    S3  S2 92  2, 266 ˜106 - G 1 d) 'U 7RWDO = 0 ; D Q7RWDO = D W7RWDO = 2, 77  2, 266 106 J = 0,5 ˜106 J 10.55. Un gas ideal a 10 atmósferas de presión y 20 ºC de temperatura ocupa XQYROXPHQGHOLWURV&DOFXODUODSUHVLyQ\WHPSHUDWXUD¿QDOGHGLFKRJDV cuando se dilata hasta ocupar un volumen de 40 litros: a) Isotérmicamente. b) Adiabáticamente (constante adiabática G =1,4). a) 7UDQVIRUPDFLyQLVRWHUPD (7 FWH): S191  S292  S2  

p1V1 10 ˜ 20    5DWP ; 71 72  293. V2 40

b) 7UDQVIRUPDFLyQDGLDEiWLFD (į4 FWH): G

1,4

§V · § 20 · S 9   S 9  S2   S1¨ 1 ¸  10¨ ¸  3, 79DWP © 40 ¹ © V2 ¹ G 1 1

G 2 2

311

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica G 1

G 1 1 1

79

G 1 2 2

 7 9

0,4

§V · § 20 · 72  71¨ 1 ¸  293¨ ¸  222, 05º. © 40 ¹ © V2 ¹

10.56. Con 1,5 moles de un gas ideal se realizan consecutivamente las siguientes transformaciones: a) A presión constante de 20 MPa desde un volumen de 40 cm3, hasta 80 cm3. b) A volumen constante de 80 cm3, hasta una presión de 10 MPa. c) A temperatura constante, desde este último punto hasta alcanzar el primero. Calcular el calor en calorías, y el trabajo y la energía interna en julios en cada una de las transformaciones y en el ciclo total (J = 4,2 J/cal, R = 2 cal/mol.K, Cp = 5 cal/mol.K, Cv = 3 cal/mol.K). a) 7UDQVIRUPDFLyQLVREDUD (S FWH): D W12 = p V2  V1 = 20 ˜106 80  40 106 = 800 J

71 

p1V1 20 ˜ 40 ˜106 ˜106    63,5º. nR 1,5 ˜ 2 ˜ 4, 2

72  

p2V2 20 ˜ 80 ˜106 ˜106    127. nR 1,5 ˜ 2 ˜ 4, 2

D 412  Q& p 72  71  1,5 ˜ 5127  63,5  476, 25FDO 'U12 = D Q12  D W12 = 476, 25 ˜ 4, 2  800 = 1200,15 J 3 b) 7UDQVIRUPDFLyQLVRFRUD (9 FWH): D W2 = 0

D 423  '8 23  Q&V 71  72  1,5 ˜ 363,5  127  285,5FDO 1200,15- c) 7UDQVIRUPDFLyQLVRWHUPD (7 FWH): 'U 31 = 0 V 40 D 431 D :31 Q571OQ 1  1,5 ˜ 2 ˜ 63,5OQ  132FDO 554, 6- V3 80

312

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

d) 'U 7RWDO = 0 ; D Q7RWDO = D W7RWDO = 476, 25  285,5  132 cal = 58, 42 cal = 245, 45 J

10.57. Un gas ideal realiza el ciclo siguiente: Transformación 1o2: compresión adiabática cuya relación de compresión es: V1/V2 = 16. Transformación 2o3: Dilatación isobara. Transformación 3o4: Dilatación adiabática, siendo la relación de expansión: V4/V3 = 7,86. Transformación 4o1: isocora partiendo de una presión inicial p4 de 0,26 MPa, y alcanzando XQDSUHVLyQ¿QDOS1 de 0,096 MPa, y una temperatura (T1), de 40 ºC. Calcular ODVWHPSHUDWXUDVSDUDFDGDSXQWRLQLFLDO\¿QDOGHODVWUDQVIRUPDFLRQHV\HO rendimiento del ciclo (J = Cp/Cv = 1,4). a) (QODWUDQVIRUPDFLyQLVRFRUD: 74  71

p4 0, 26  273  40   847, 7. p1 0, 096

(QODGLODWDFLyQDGLDEiWLFD: G 1

§V · 0,4 73  74 ¨ 4 ¸  847, 77,86  1933,8º. © V3 ¹ (QODFRPSUHVLyQDGLDEiWLFD: G 1

§V · 0,4 72  71¨ 2 ¸  31316  948,83º. © V1 ¹

b) M =

D 4 p  D 4V D 4p

=

& p 73  72  &V 74  71 G 73  72  74  71 & p 73  72 G 73  72

7 7 847, 7  313 M  1  4 1  1  0, 6122M  61, 22 G 73  72  1, 41933,8  948,83 10.58. En los motores Diesel se consigue la explosión de la mezcla comprimiéndola hasta que alcanza la temperatura de ignición. Considerando 313

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

que la mezcla es un gas perfecto y que la compresión se realiza adiabáticamente, calcular: a) La relación de compresión V1/V2 necesaria para que partiendo del volumen V1 a 20 ºC se obtenga una temperatura de 560 ºC, que es a la que se produce en la ignición. b) Suponiendo que la presión inicial es de 1 atmósfera, FDOFXODUODSUHVLyQ¿QDOHQSDVFDOHV G = 1, 4 ; 1 atm = 1,013 105 N/m2). G 1

G 1 1 1

a) 79

G 1 2 2

 7 9

§9 · 7 560  273 9 Ÿ¨ 1 ¸   2    2,843Ÿ 1  13, 628 71 20  273 92 © 92 ¹ G

§V · 1,4 5 6 b) p V = p V Ÿ p2 = p1 ¨ 1 ¸ = 1, 013 ˜10 13, 628 = 3,92 ˜10 Pa © V2 ¹ G 1 1

G 2 2

10.59. Cinco litros de un gas perfecto a 25 ºC y 3 atm de presión se dilatan LVRWpUPLFDPHQWH KDVWD DOFDQ]DU  OLWURV &DOFXODU D  /D SUHVLyQ ¿QDO HQ pascales sabiendo que una atmósfera es la presión que ejerce sobre su base una columna de mercurio de 760 mm de altura. b) El trabajo de dilatación en julios ( R Hg 13, 6JFP3 , g=9,8 m/s2). p1V1 13, 6 ˜103 ˜ 9,8 ˜ 0, 76 ˜ 3 ˜ 5 ˜103 a) p1V1 = p2V2 Ÿ p2 = = = 1,52 ˜105 Pa 3 V2 10 ˜10 b) D :  Q571OQ

V2 V 10   S191OQ 2  3 ˜13, 6 ˜103 ˜ 9,8˜ 0, 76 ˜5 ˜103 OQ  1053,16- 5 V1 V1

10.60. Un balón de futbol pinchado lleno de un gas perfecto se ha quedado en el campo por la noche a la temperatura de 10 ºC y a la presión atmosférica. Por la mañana al darle el sol se calienta y un encargado le pone un parche dejándolo de nuevo en el campo donde nuevamente por la noche la temperatura desciende a 10 ºC y la presión del balón disminuye hasta 0,7 de la presión atmosférica. Calcular cuál ha sido la variación máxima de temperatura que ha sufrido el balón. 'DGRTXHHOYROXPHQGHJDVHQHOEDOyQSHUPDQHFHFRQVWDQWH:

314

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

pa 71

0, 7 pa 72 Ÿ 71 0, 7 72

273 +10 404,5º .'7 404,5 283,16 121,3ºC 0, 7

10.61. Un mol de un gas perfecto realiza una transformación isobara (1-2), y luego una transformación isocora (2-3), realizando un trabajo de 1000 J. Si la relación entre las presiones p2/p3 = 2, y la temperatura T1 es igual a T3, determinar el valor de esta temperatura teniendo en cuenta que R = 8,3 J/K. (Q OD WUDQVIRUPDFLyQ LVREDUD   VH YHUL¿FD TXH S1 = p2 VLHQGR HO WUDEDMR p1 V2  V1 1000 J (QODWUDQVIRUPDFLyQLVRFRUD VHYHUL¿FDTXH92 = V3 'DGR TXH HO HVWDGR  \ HO HVWDGR  WLHQHQ OD PLVPD WHPSHUDWXUD FRUUHVSRQGHUiQDODPLVPDLVRWHUPDSRUORTXH: p1 V1 = p3 V3 S1 92  91

71

73

§V · S191 ¨ 2  1¸ © V1 ¹

1000 R(2  1)

§p · 571 ¨ 2  1¸ 1000 © p3 ¹

1000 120, 48 . 8,3

10.62. Con 0,1 moles de gas perfecto se realiza un ciclo en el que partiendo del punto (1 m3,10 Pa), continúa al (1,50), pasa al (5,50), luego al (5,10), y se llega de nuevo el punto inicial. Calcular: a) el calor, el trabajo y la variación de la energía interna para cada transformación. b) el rendimiento (R= 2 cal/ molK, Cv= 5,1 cal/molK, J= 4,2 J/cal). a) D W12 7

D W34

pV ; 71 nR

0 ; D W23

50 5  1 200 J ; D W14

10 1 11,9º. ; 72 0,1 2 4, 2

59,52 . ; 73

10 1  5 40 J

297, 6 . ; 74

59,52º.

315

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

G8 dU 23

Q&V G7 ; G812 dU 34

0,1 5,159,52  11,9 24, 28 FDO 102 -

G8 41

0,1 5,1297, 6  59,52 121, 42 cal

D Q D W  dU ; D Q12

D Q23

D W23  dU 23

b) M

D W23  D W41 D Q12  D Q23

dU12

24, 28 cal 102 J ; D Q34

709,96 J

169 cal ; D Q41

509,96 J 121, 42 cal

D W41  dU 41

509,96 J

142 J

33,8 cal

200  40 19, 7 ; M 19, 7% 102  709,96

10.63. Un gas se encuentra en el estado 1 pasando al estado 2, una vez por el camino 1a2, y otra por el camino 1b2. Calcular la diferencia del calor suministrado y extraído, si la presión en el punto 1 es de 1 bar, y la del punto 2, 5 bares, siendo la relación de los volúmenes: V2-V1 = 0,5 m3 (1 bar = 106 barias). D Q1a 2 D W1a  D Wa2  'U12 ; D Q1b 2 D W1b  D Wb2  'U12 ; D W1a D Q1a 2  D Q1b 2

D Wa2  D W1b

D Wb2

p2 'V  p1'V

0

5  1 106

105 0,5 2 ˜105 J 104

200 kJ

10.64. Un recipiente de volumen V, en el que hay 1,5 moles de gas ideal, se conecta a otro recipiente de igual volumen en el que previamente se ha hecho el vacío, abriéndose la válvula de comunicación entre ambos. Los recipientes están aislados térmicamente. Calcular: a) El tipo de transformación que realiza el gas. b) La variación de entropía en cal/K producida en dicha transformación (R = 8,31 J/mol.K, J= 4,18 J/cal). a) 3RUHVWDUDLVODGRVWpUPLFDPHQWH: į4 0 $OKDEHUKHFKRHOYDFtR pe = 0į: Se dV = 0, HVGHFLUHOWUDEDMRGH H[SDQVLyQHVQXOR $SOLFDQGRHOSULPHUSULQFLSLR dU = n CVG7= 0, es decir, 7 FWH., OXHJR ODWUDQVIRUPDFLyQHVLVRWHUPD 316

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

b) 6B  6 A

DQ ³7

2V

³

V

2V

pdV dV 2V 1,5 ˜ 8,31  Q5 ³  Q5OQ   OQ2 2, 067FDO º . 7 9 9 4,18 V

10.65. Calcular la variación de entropía en J/ºC, de 5 moles de un gas ideal de peso molecular 16 g, cuando se calienta a presión atmosférica, de 0 a 100ºC, y se dilata de 110 a 152 litros (cp = 0,53 cal/g.ºC, J = 4,2 J/cal, R = 8 J/mol.ºC). § 7 9 · 373 152 · §  8 ln S B  S A = n ¨ C p  R ln B  R ln B ¸ = 5 ¨ 0,53 ˜16 ˜ 4, 2  8 ln ¸ 7A 9A ¹ 273 112 ¹ © ©

S B  S A = 5 0,312135, 61  8  8 ˜ 0,3234 = 56, 03 J/ ºC 10.66. Considerando que el hidrógeno es un gas perfecto, calcular la variación de entropía de un mol de hidrógeno cuando partiendo de condiciones normales (T0 = 0 ºC, p0 = 1 atmósfera), se comprime isotérmicamente hasta alcanzar 3 atmósferas de presión siendo R = 8,31 J/molºC. Si la variación de entropía en un proceso isócoro realizado entre las mismas condiciones, hubiese sido de 22,2 J/molºC, calcular los calores molares a presión y volumen constante del hidrógeno. 7 S 3 a) 6 2  61 & p OQ 2 5OQ 2  8,31OQ  9,13-PRO ººC 1 71 S1 b) 6 '2  6 '1 &V OQ

p2 22, 2 Ÿ&V    20, 2-PRO ººC p ln 3

& p  &V 5 20, 28,31 28,51-PROºC 10.67. Determinar la variación de entropía de 1 kg de NO2 (N = 14, O = 16), considerándolo como gas perfecto, cuando pasa de un estado (t1 = 40 ºC, p1 = 2 bar), al estado (t2 = 253 ºC, p2 = 15 bar) (R = 2 cal/mol K, cv = 0,1458 cal/g.K).

317

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Termodinámica

§ 7 S · 526 15 · § 'S = n ¨ C p ln 2  R ln 2 ¸ = 20,83 ¨ 9 ln  2 ln ¸ = 13,37 cal/ . 71 S1 ¹ 313 2 ¹ © © 10.68. Una máquina realiza con un mol de un gas perfecto el siguiente ciclo: isocora de 1(p,V) a 2(2p,V), isobara de 2(2p,V) a 3(2p,2V), isocora de 3(2p,2V) a 4(p,2V), isobara de 4(p,2V) a 1(p,V). Calcular: a) Las temperaturas en cada punto si p = 101 kPa, y V = 22,4 litros. b) Los calores que intercambia si Cp = 20,8 J/mol.K. c) Su rendimiento (R = 8,31 J/mol K). a) 71

101 ˜103 ˜ 22, 4 ˜103 18,31

272, 25º.72

271

544,5 .73

272

1089 .74

73 2

544,5º.

b) 7UDQVIRUPDFLyQ1 - 2 D 412  Q&V 72  71 Q & p  5 72  71  120,8  8,31 544,5  272, 25  3400-

7UDQVIRUPDFLyQ2 - 3 D 423  Q& p 73  72  1 ˜ 20,8 1089  544,5  11325, 6- 7UDQVIRUPDFLyQ3 - 4 D 434  Q&V 74  73 Q & p  5 74  73  120,8  8,31 544,5  1089  6800-

7UDQVIRUPDFLyQ4 - 1 D 441  Q& p 74  71  1 ˜ 20,8 272, 25  544,5   5662,8- DW pV 10122, 4      0,15; M 15 c) M   2 3 D Q1 + D Q2 3400  11325,5 14625,5

318

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Temas de Física

10.69. Dos moles de un gas con Cp= 6,82 cal/mol.K a 10 ºC de temperatura, se pone en contacto con 1,5 moles de otro gas con Cp = 8,48 cal/mol.K a una temperatura de 120 ºC a través de una membrana de tal forma que lo único que pueden intercambiar es calor. Calcular: a) La temperatura de equilibrio. b) La variación total de entropía. c) Decir si el proceso es reversible o irreversible basándose en el valor total de entropía obtenido. a) D 41

7I

b) 'S

'6

Q1& S1 7 I  71 D 42 Q1& p171  Q2& p 272 n1C p1  n2C p 2

³

D4 7

nC p ³

2 ˜ 6,82 OQ

G7 7

Q2& S 2 72  7 I



2 ˜ 6,82 10  273  1,5 ˜ 8, 48 120  273 336º. 2 ˜ 6,82  1,5 ˜ 8, 48

nC p ln

7I 7

n1C p1ln

336 336  1,5 ˜ 8, 48 OQ 283 393

7I 71

 n2C p 2ln

7I 72

2,34  1,993 0,3468 FDO /º.

c) ,UUHYHUVLEOHSRUVHU'S ! 10.70. 0,2 moles de un gas ideal realizan un ciclo de Carnot entre los puntos: (100; 50), (p2; 73,63), (6,25; 400), y (9,22; v4) en (kpf/cm2; cm3). Calcular: a) Las temperaturas entre las cuales trabaja. b) La constante adiabática. c) El rendimiento y el trabajo que realiza por ciclo (R = 2 cal/mol.K.; J = 4,18 J/ cal; g = 10 m/s2). 2 2 a) 7  p V 71 100 ˜ 50 ˜10 ˜10  299 .7 2  6, 25 ˜ 400 ˜10 ˜10  149,5º. nR 0, 2 ˜ 2 ˜ 4,18 0, 2 ˜ 2 ˜ 4,18

V1 50 100  67, 78NSI / FP 2  b) S2   S1 V2 73, 763 p2 V2G = p3 V3G ; ln p2 + G ln V2 = ln p3 + G ln V3

319

ERRNVPHGLFRVRUJ

Termodinámica

ln p2  ln p3 ln V3  ln V2

G

4, 216  1,83 5,99  4,30

2,38 1, 41 1, 69

71  72 299  149,5    0,5M  50 299 71

c) M  

V 73, 76 D :  Q571  72 OQ 2  0, 2 ˜ 2 ˜ 4,18299  149,5 OQ  97,193- V1 50 10.71. Una máquina térmica funciona siguiendo un ciclo de Carnot siendo la presión y el volumen iniciales de 7 atm y 2.10-3 m3, expandiéndose isotérmicamente a 127 ºC hasta alcanzar un volumen de 5 litros. A continuación se expande adiabáticamente hasta alcanzar un volumen de 8 litros. Hallar: a) Las coordenadas p,V, de los puntos de corte de las isotermas y adiabáticas que forman el ciclo. b) El trabajo en cada rama isoterma, y el trabajo total por ciclo. c) El rendimiento de dicho ciclo (1 atm = 1,013. 105 Pa, R = 8,31 J/ mol.K, G  1, 47). a) 3XQWR7DWP2 l. 3XQWR S2  

p1V1 7 ˜ 2    2,8DWP ; 2,8DWP5 l. V2 5 G

1,47

§ V2 · §5· 3XQWR: S3   S2 ¨ ¸  2,8¨ ¸  1, 4DWP ; 1,4DWP8 l. ©8¹ © V3 ¹

3XQWR:

p3V3 = p4V4 p4V4G = p1V1G

'LYLGLHQGRDPEDVH[SUHVLRQHV

p1V1G 7 ˜ 21,47 V = = = 1, 73 ; V4 = G 1 1, 73 = 3, 2 l p3V3 1, 4 ˜ 8 G 4

S4  

p3V3 1, 4 ˜ 8    3,5DWP ; 3,5DWP3,2 l. V4 3, 2

320

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

b) Q 

p1V1 7 ˜1, 013 ˜105 ˜ 2 ˜103    0, 427PROHV 571 8,31˜ 400

V 5 D :  Q571OQ 2  0, 427 ˜ 8,31 ˜ 400OQ  1300,5- V 2

72  

p3V 8 ˜1, 4 ˜1, 013 ˜102    320º. Rn 8,31 ˜ 0, 4278

D :2  Q572 OQ

c) M  

M=

V4 3, 2  0, 427 ˜ 8,31 ˜ 320OQ   1040, 4- V3 8

D W1 + D W2 1300,5  1040, 4    0, 20M  20 RWDPELpQ: D W1 1300,5

71  72 400  320 = = 0, 20 71 400

(QXQFLOLQGURVHHQFXHQWUDXQJDVLGHDOGHFRQVWDQWHDGLDEiWLFDȖ  5/3 a la temperatura de 300 K, y se comprime irreversible y adiabáticamente desde una presión p1 a una presión 1,1 p1. Se pide calcular la variación de entropía por mol que sufre el gas en el proceso (R= 8,3 J/mol.K, Cp = 5/2 R). S1G 1 ˜ 71G

1,1G 1 ˜ S1G 1 ˜ 72G ; 72

G

1,1G 1 ˜ 71G





300 ˜ 1,6 1,10,6

312 .

10.73. Una bala de cañón es impulsada por los gases surgidos por la combustión de la pólvora a 1000 K, pasando a ocupar un volumen 100 veces mayor del que ocupaba la pólvora sólida. Calcular en pascales la presión de los gases de la pólvora si la densidad de la pólvora sólida es de 1 g/cm3, y la masa PRODUGHORVSURGXFWRVGHFRPEXVWLyQHVȝ JPRO5 -PRO. 

321

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Termodinámica

p

n

57 V

P 57 M V

R JDV 57

R SROY 57

M

100 M

1 ˜103 ˜ 8,31 ˜1000 100 ˜ 30 ˜103

322

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2, 77 ˜106 Pa

TEMA VIII: TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES

1. INTRODUCCIÓN: HIPÓTESIS FUNDAMENTALES La teoría cinética de los gases se basa en dos hechos fundamentales: - /D PROpFXOD HV OD SDUWH PiV SHTXHxD HQ TXH VH SXHGH GLYLGLU XQD VXVWDQFLDVLQSHUGHUVXVSURSLHGDGHV\FDUDFWHUtVWLFDV(VWRQRVLJQL¿FDTXH la molécula sea indivisible, puesto que sí es divisible en los átomos que la constituyen, pero éstos no tienen las propiedades de aquella. Así por ejemplo, una molécula de agua tendrá todas las propiedades y características del agua, pero los átomos que la constituyen, hidrógeno y oxígeno, tienen otras propiedades totalmente distintas. - /DVPROpFXODVGHORVJDVHVHVWiQHQFRQWLQXRPRYLPLHQWR. Hay varios KHFKRV TXH FRQWULEX\HQ D GHPRVWUDU HVWD D¿UPDFLyQ ORV PiV GHVWDFDEOHV corresponden a: - Un gas ocupa siempre todo el volumen del recipiente que lo contiene. - Los fenómenos de difusión de gases solo son explicables por el movimiento de sus moléculas. - El movimiento browniano, que aunque descubierto en coloides, es decir, en partículas en suspensión en líquidos, contribuyó a desarrollar la teoría que permite determinar el número de Avogadro. $GPLWLHQGRHVWDVD¿UPDFLRQHVSDUDSRGHUGHVDUUROODUODWHRUtDFLQpWLFDGH los gases, es necesario acudir a enunciar tres hipótesis fundamentales: - Se entiende por presión de un gas, el impulso que las moléculas del gas WUDQVPLWHQHQVXFKRTXHFRQODVXSHU¿FLHGHOUHFLSLHQWHTXHORFRQWLHQH Este choque se considera totalmente elástico, y puede estudiarse aplicando las leyes que rigen la mecánica clásica. - Dos masas cualesquiera se hallan sometidas a una fuerza atractiva llamada también newtoniana, pues su valor fue deducido por Newton, constituyendo la llamada ley de gravitación universal. Las moléculas de un gas, por el hecho de tener masa, deberían estar sometidas a esta fuerza atractiva, sin embargo, la teoría cinética postula que entre las moléculas de un gas, las fuerzas de origen newtoniano son nulas, por lo que las únicas variaciones que puede sufrir su velocidad corresponden a los intercambios energéticos producidos en los choques totalmente elásticos que ocurran.

323

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Teoría cinética de los gases

/DKLSyWHVLVGH$YRJDGURD¿UPDTXHDFRQGLFLRQHVQRUPDOHVpR7R), un mol de cualquier gas ocupa el mismo volumen (VR), el llamado volumen molar, \VHFRPSOHWDD¿UPDQGRTXHWLHQHHOPLVPRQ~PHURGHPROpFXODVQ~PHUR que se llama de Avogadro, y cuyo valor es: NA = 6,023.1023 moléculas/mol. Esto nos indica que el número de moléculas de un gas es tan elevado que a las magnitudes que las atañen individualmente, trayectoria, velocidad, etc., es imposible aplicarles otros conceptos que los meramente estadísticos, es decir, dado el elevadísimo número de elementos que constituyen las moléculas de un gas, solo es posible acudir para su estudio, a magnitudes estadísticas. 2. INTERPRETACIÓN CINÉTICA DE LA PRESIÓN La presión es el resultado del impulso que las moléculas de un gas transmiten DOFKRFDUHOiVWLFDPHQWHFRQODVXSHU¿FLHGHOUHFLSLHQWHTXHORFRQWLHQH3DUD poder efectuar el cálculo de cuál es este valor, necesitamos acudir al teorema del impulso mecánico que dice lo siguiente: HOLPSXOVRPHFiQLFRHVLJXDODOD YDULDFLyQGHODFDQWLGDGGHPRYLPLHQWR, entendiendo que impulso mecánico es el producto de la fuerza por el tiempo de aplicación, cuando éste es muy pequeño, y la cantidad de movimiento es el producto de la masa por la velocidad. Consideremos que la molécula de un gas es una esfera donde se G encuentra concentrada la masa, que se desplaza con una velocidad v , que choca elásticamente con la pared del recipiente. Al ser el choque elástico, la componente tangencial de la velocidad no sufrirá alteración ninguna, mientras que la componente normal (v n = v cos A) cambiará de signo (v nc = - v cos A ). Aplicando el teorema del impulso mecánico, obtendremos: I1'W 'PY PY FRV A  Y FRV A  2PYFRVA Despejando el valor de la fuerza que suministra cada molécula en un choque: I1 

2PYFRVA 'W

Si consideramos que el recipiente es esférico de radio r, el tiempo que transcurre hasta que la molécula vuelve a chocar y transmite un nuevo impulso, será: 324

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Temas de Física

'W 

01 2UFRVA   v v

Sustituyendo este valor en la expresión anterior, tendremos: 2PYFRVA PY 2 I1    2UFRVA r v La fuerza total que debido al choque ejercen las moléculas del gas se obtendrá multiplicando el valor de la fuerza que en el choque ejerce cada molécula, por el número de moléculas que chocan. Para poder calcular el número de moléculas que chocan (Nc), partiremos del valor de la densidad molecular del gas, cuyo valor es: n* =

N7 V

En donde N7 es el número total de moléculas y V, el volumen total, que en nuestro caso, dado que es un recipiente esférico de radio r, será: V = 4/3 S r3 Para efectuar el cálculo del número de moléculas que chocan, podremos establecer el siguiente razonamiento que corresponde a una regla de tres simple: el total de las moléculas (N7 = n* V FKRFDQFRQODVXSHU¿FLHWRWDOS7 4P r 2), OXHJRFRQXQDVXSHU¿FLH'S), chocarán un número de moléculas:

Nc =

n* 4 / 3 P r 3 'S 1 * = n r 'S 4P r2 3

La fuerza total debido al choque de las moléculas será entonces: 1 PY 2 1 * ) 1 c  I1  Q* U'6   Q PY 2 '6 3 r 3

325

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Teoría cinética de los gases

Teniendo en cuenta que la presión es la fuerza ejercida por unidad de VXSHU¿FLHGHODH[SUHVLyQDQWHULRUREWHQGUHPRV S 

F 1 *   Q PY 2 'S 3

De las magnitudes que aparecen en esta expresión, densidad molecular, masa de cada molécula y cuadrado de la velocidad, esta última es la que QHFHVLWDVHUGH¿QLGDHQWpUPLQRVHVWDGtVWLFRVSXHVODPDVDGHFDGDPROpFXOD corresponderá simplemente al valor de su peso molecular, divido por el número de Avogadro (P 301A). El valor estadístico de la velocidad que se ha de aplicar en la anterior expresión corresponde al valor cuadrático medio, FX\D GH¿QLFLyQ GHSHQGH GH VL VH WLHQH XQD VHULH GH YDORUHV GLVFUHWRV GH OD magnitud velocidad, o si esta magnitud, que en general será lo más probable, puede considerarse con una variación continua de valores que se ajustan a una distribución normal. Para una serie de valores discretos, la velocidad cuadrática media corresponderá al valor obtenido de la expresión: v2 =

¦ nv v 2 en donde, nv es el número de moléculas que tienen una N7

velocidad v. Si tenemos una distribución continua de valores de velocidad, y estos se ajustan a una distribución normal, el valor de la velocidad cuadrática media se obtendrá de la siguiente expresión: v2 =

1 N7

f

³n

v

v 2 dv

0

Utilizando la velocidad cuadrática media como valor más probable de la velocidad de las moléculas, la energía cinética media corresponderá al valor: 1 Hc   PY 2 2

326

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Temas de Física

Introduciendo este valor en la expresión de la presión, obtendremos: p=

2 * n ec 3

Luego la presión de un gas depende de su densidad molecular y de la energía cinética media de sus moléculas. 3. INTERPRETACIÓN CINÉTICA DE LA TEMPERATURA Considerando gases ideales, y teniendo en cuenta que un mol de cualquier gas en condiciones normales tiene un número de moléculas que corresponde al número de Avogadro, podremos escribir: n* =

NA , de donde, sustituyendo en la expresión de la presión: V

p=

2 NA ec 3 V

Teniendo en cuenta la ecuación de estado de los gases ideales referida a un mol de un gas, podemos deducir de la expresión anterior: 2 S9   1 A Hc  57 3 Despejando la temperatura obtendremos: 2N 7   A Hc 3 R Dado que R y NA VRQ FRQVWDQWHV SRGHPRV D¿UPDU TXH OD WHPSHUDWXUD corresponde a una magnitud que constituye un índice de la energía cinética molecular. Despejando el valor de la energía cinética obtendremos: 3 R 3 Hc    7  N7 2 NA 2

327

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Teoría cinética de los gases

El cociente entre la constante universal de los gases, y el número de Avogadro, que es también constante, se denomina constante de Boltzmann, y su valor es: N 

R  1,38 ˜1023 - . NA

Si en vez de la energía cinética de una molécula, queremos calcular la correspondiente a un mol, tendremos que multiplicar ese valor por el número de moléculas que tiene un mol, es decir: 3 (F ( PRO )  1 $ HF   57 2 Si en vez de un mol tenemos n moles, la energía cinética total será: 3 (F (7RWDO )  Q 57 2 4. PRINCIPIO DE EQUIPARTICIÓN DE LA ENERGÍA Aparte de las tres hipótesis de partida, enunciadas para poder obtener una interpretación del concepto de presión y de temperatura, hemos introducido otra hipótesis que no hemos enunciado, y que corresponde a considerar que las moléculas son pequeñas esferas donde se encuentra concentrada la masa, pero esto en realidad solo es así en las moléculas monoatómicas. La molécula de un gas diatómico corresponderá a dos esferas de igual o distinta masa, separadas por una GLVWDQFLD ¿MD R YDULDEOH VHJ~Q TXH ORV iWRmos vibren o no. Si nos vamos a moléculas más complejas de tres, cuatro, cinco o más átomos, tendremos que empezar por saber si los átomos están o no alineados o en el mismo plano, si además, varía su posición relativa, etc. El problema que se nos plantea es determinar en qué afecta la estructura de las moléculas a las expresiones anteriormente 328

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Temas de Física

obtenidas. Está claro que si la molécula es monoatómica solo puede trasladarse, y si consideramos un espacio tridimensional, podrá hacerlo en cualquiera de las tres direcciones principales, o lo que es lo mismo, tendrá tres grados de libertad de traslación, de ahí que en las fórmulas anteriormente obtenidas, ¿JXUHHQHOQXPHUDGRUHOQ~PHURWUHVFRLQFLGHQWHFRQORVJUDGRVGHOLEHUWDG de una molécula monoatómica. Si la molécula es diatómica con dos átomos iguales, casi todos lo elementos gaseosos tienen este tipo de molécula (H2, O2, N2, etc.), aparte de los tres grados de libertad de traslación, tienen posibilidades de girar en torno a dos ejes, el tercer eje que tiene la dirección de la línea de unión, tiene momento de inercia nulo, luego tendrá cinco grados de libertad. Si los átomos que constituyen la molécula son de distinta masa (CO, NO, etc.), y además vibran, asociada a esta vibración podrá variar su energía potencial y cinética de vibración, por lo que tendrán siete grados de libertad. Para moléculas más complejas, hay que estudiar cada caso concreto, por lo que es difícil a priori deducir el número de grados de libertad que una molécula compleja tiene. Lo anteriormente expuesto nos obliga a enunciar un principio, el llamado principio de equipartición de la energía, que dice que la energía asociada a la molécula de un gas se reparte por igual por cada grado de libertad que la molécula tenga, siendo su valor igual a 1/2 kT, por cada uno de sus grados de libertad. Como tal principio, el principio de equipartición no tiene demostración, pero podemos comprobar que los resultados que se obtienen aplicando los supuestos teóricos en él recogidos al cálculo de algunas constantes características de los gases, como por ejemplo, su constante adiabática, coinciden con los valores que se obtienen midiéndola experimentalmente. El valor de la energía interna corresponderá al valor de la energía total que un gas posee. Si consideramos un mol de un gas monoatómico, es decir, con tres grados de libertad, el valor de su energía total, aplicando el principio de equipartición, será: 3 8  57 2 Comparando este valor con el valor obtenido para la energía interna de un mol de un gas: 8 &V 7 ; deducimos que: CV =

3 R 2 329

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Teoría cinética de los gases

Utilizando la ley de Mayer: CP = CV + R =

3 5 R+ R= R 2 2

Por lo que el valor de la constante adiabática sería: 5 R CP 2 5 G= = = = 1, 66 CV 3 R 3 2 Valor que coincide aproximadamente con los valores experimentales obtenidos a temperatura ambiente, para las constantes adiabáticas de los gases monoatómicos (He = 1,66, Ar = 1,666, Hg = 1,67). Si consideramos gases diatómicos de iguales átomos, el número de grados de libertad que tendrán corresponderá a cinco, tres traslaciones más dos rotaciones, por lo que aplicando el principio de equipartición, el valor de su energía molecular, es decir, su energía interna, será: 5 5 7 8  57 ; por lo que: CV = R ; CP = CV + R = R 2 2 2 El valor de la constante adiabática para los gases diatómicos será entonces: 7 R CP 2 7 G= = = = 1, 40 CV 5 R 5 2 Los valores experimentales obtenidos a temperatura ambiente (H2=1,408, O2=1,396, N2=1,402), coinciden aproximadamente con este valor teórico. Para gases triatómicos con siete grados de libertad, tres de traslación, tres de rotación y uno de vibración, corresponderá: 9 R CP 2 9 G= = = = 1, 285 CV 7 R 7 2

330

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Temas de Física

Siendo los valores experimentales obtenidos bastante coincidentes (CO2=1,29, H2O=1,34). Tal como hemos indicado, aunque esto no constituya una demostración, la FRQFRUGDQFLDGHORVYDORUHVH[SHULPHQWDOHVFRQORVYDORUHVWHyULFRVFRQ¿UPDQ la validez del principio de equipartición. El valor de la energía asociada a cada molécula de un gas será entonces: 1 PY 2 2

- Energía cinética de traslación, por cada grado de libertad:

- Energía cinética de rotación, por cada grado de libertad:

1 I W2 2

- Energía potencial de vibración, por cada grado de libertad:

- Energía cinética de vibración, por cada grado de libertad:

1 k x2 2

1 M v2 2

En un espacio tridimensional, el valor de la energía cinética de traslación para cualquier tipo de molécula es el mismo e independiente del número de átomos que tenga su molécula, puesto que el número de grados de libertad es siempre tres. Este hecho nos permite calcular el valor de la velocidad cuadrática media, acudiendo simplemente a medir la temperatura a que el gas se encuentre, y este es el sistema que se utiliza para poder obtener su valor, y no los valores estadísticos que anteriormente hemos indicado. Si consideramos la energía cinética para un mol de gas, obtendremos: 1 3 1 A  PY 2   57 2 2 Dado que P1A corresponde al peso molecular (30.): v2 =

357 357 ; v= 30 30

331

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Teoría cinética de los gases

Para que la velocidad quede expresada en unidades del sistema S.I., es decir, en m/s, es necesario expresar la constante universal R, en J/mol.K, la temperatura en K, y el peso molecular 30., en kg. 5. BIBLIOGRAFÍA - Reif, F.: FÍSICA ESTADÍSTICA. BERKLEY PHYSICS COURSE. Vol.5. Ed. Reverté. Barcelona, 1969. - Levich, B.G.: FÍSICA TEÓRICA. FÍSICA ESTADÍSTICA. PROCESOS ELECTROMAGNÉTICOS EN LA MATERIA. Ed. Reverté. Barcelona, 1976. 6. PROBLEMAS DE EXAMEN. 6.1. En un recipiente esférico de 2 m de diámetro hay 1,8 moles de helio a una presión de 2 kpf/cm2. Calcular: a) La energía cinética total de sus moléculas. b) Su velocidad cuadrática media (NA = 6,023.1023 moléculas/mol, P.M. = 4 g, g = 9,8 m/s2). a) p =

2 n NA 2 EF (7RWDO ) ec = 3 V 3 V

EF (7RWDO ) =

3 3 4 p V = 2 ˜ 9,8 ˜104 P 13 = 123 ˜104 J 2 2 3

6.2. En un recipiente esférico de radio 1 m, hay un gramo de hidrógeno monoatómico a una presión de 12 MPa. Calcular la energía cinética total de sus moléculas, y su velocidad cuadrática media si el peso del átomo de hidrógeno es 1. a) EF (7RWDO ) = n N $ eF = n N $

3 p 3 p 3 = n N$ = pV * 2n 2 n NA 2 V

1 4 Q   1PRO9   P 13  4,19 P3  1 3

332

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Temas de Física

3 EF (7RWDO ) = 12 ˜106 ˜ 4,19 = 75, 4 J 2 b) v 2 = 2

2 E E ec 275, 4 ˜106 9 P 150,8 ˜ 10 = 2 & (7RWDO ) = 2 & (7RWDO ) = = 3.0 . 103 P 1 A P V2 NA NA

Y 3,88 ˜105 PV 6.3. Un recipiente esférico de 0,5 m de radio contiene 2 g de helio (P.M. = 4 g), a una presión de 20 MPa. Calcular su energía total, y la velocidad cuadrática media de sus moléculas. a) EF (7RWDO ) = N7 eF = n N $

3 p 3 3 4 = p V = p P r3 * 2n 2 2 3

EF (7RWDO ) = 2 ˜ 20 ˜106 P 0,53 = 15, 7 ˜106 J EF (7RWDO ) EF (7RWDO ) 2 ˜15, 7 ˜106 ec b) Y  2 2 2    15, 7 ˜109 P 2 / V 2  2 30 P Q30 4 ˜103 N7 4 NA 2

Y  15, 7 ˜109  12,52 ˜104 PV 6.4. Demostrar la Ley de Graham sobre la difusión de gases, que dice que la velocidad de difusión de un gas es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su densidad, considerando que la velocidad de difusión de un gas corresponde a la velocidad cuadrática media de sus moléculas y que la presión que ambos soportan es la misma. Calcular la relación entre las velocidades cuadráticas medias de las moléculas de dos gases que se difunden, y que tienen densidades de 0,37 kg/m3 y 0,74.10-3g/cm3. 1 1 * 1 N71 1 01 2 1 2 2 P1Y12   Y1    R1 Y12 ; p2 = R 2 v1 a) S1  Q1 P1 Y1   3 3 3 V1 3 V1 3

333

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Teoría cinética de los gases

'DGRTXHODSUHVLyQTXHVRSRUWDQHVODPLVPDSRGHPRVGLYLGLUDPEDV H[SUHVLRQHV\REWHQHUODUHODFLyQEXVFDGD: 1 R1 v12 1= 3 Ÿ 1 2 R 2 v2 3 v12

b)

=

2 2

v

R2 R1

=

v12

=

v22

R2 R1

0, 74 = 0,37

2 = 1, 41

6.5. Una bombona de 10-3 m3 de volumen contiene nitrógeno (peso molecular 28 g), a una presión de 200 kPa. Calcular la velocidad cuadrática media de sus moléculas y la densidad del gas, si tiene 4,3 1019 moléculas por cm3 (NA = 6,02 1023 moléculas/mol). 3p Q* P

Y

R

P V

3 ˜ 200 ˜ 103 4,3 ˜1019 ˜103 28 ˜103 103 6, 02 ˜ 1023

3p 17 3.0 . V NA

17 3.0 . VN A

4,3 ˜ 1019 ˜103 ˜ 28 ˜103 103 ˜ 6, 02 ˜1023

547, 7 P / V

2 NJ / P3

6.6. Un recipiente cilíndrico de 2 m de longitud y 30 cm de diámetro contiene 2 moles de hidrógeno (P.M. H2 = 2 g). Calcular el valor de la presión interna del gas: a) si está almacenado a 0 ºC, b) si se sube a un camión al sol alcanzando la temperatura de 30 ºC (R = 8,31 J/mol K). 2 a) Y

357 3.0 .

1 S  Q*PY 2 3

3 ˜ 8,31 ˜ 273 2 ˜103

2

3, 4 ˜106 P / V

1 n ˜ N A 3.0 2 Y 3 P r2 ˜ L NA

1 2 2 ˜103 ˜ 3, 4 ˜106 2 3 P ˜ 0,15 ˜ 2

334

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32 ˜103 3D

Temas de Física

2 b) Y

357 3.0 .

1 S  Q*PY 2 3

3 ˜ 8,31 ˜ 303 2 ˜103

2

3, 77 ˜106 P / V

1 2 2 ˜103 ˜ 3, 77 ˜106 2 3 P ˜ 0,15 ˜ 2

35, 6 ˜103 3D

6.7. Durante treinta segundos, 500 bolas de granizo golpean una ventana de vidrio de 0,4 m2GHVXSHU¿FLH&DGDJUDQL]RWLHQHXQDPDVDGHJ\XQD componente normal de la velocidad de 18 m/s Si las colisiones son elásticas, calcular la fuerza y la presión que ejercen sobre la ventana. a) F = N c

b) p =

2PYN 'W

F 8, 4 = 'S 0, 4

500

2 ˜14 ˜103 ˜18 30

8, 4 N

21 Pa

6.8. 1,8 moles de oxígeno (peso atómico 16) se encuentran a una temperatura de 150 ºC. Calcular, teniendo en cuenta que la molécula de oxígeno es diatómica: a) Su energía total. b) La velocidad cuadrática media de sus moléculas (R = 8,3 J/mol.K). 5 5 a) (7RWDO  Q 57 1,8 8,3273  150  15799- 2 2 b) Y 

357 3 ˜ 8,3 ˜ 423     329146,87 573, 7PV 30 32 ˜103

6.9. 1,5 moles de nitrógeno (peso atómico 14) se encuentran a una temperatura de 550 ºC. Calcular, teniendo en cuenta que la molécula de nitrógeno es diatómica: a) La energía total de las moléculas del gas. b) La velocidad cuadrática media de sus moléculas (R=8,3 J/mol.K). 5 5 a) (F (7RWDO )   Q57  1,5 ˜ 8,3550  273  2561587- 2 2

335

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Teoría cinética de los gases

b) Y 

357 3 ˜ 8,3 ˜ 823     731882,14  855,5PV 28 ˜103 30

6.10. Hallar la velocidad cuadrática media de las moléculas de aire, a una temperatura de 17 ºC, considerando al aire como un gas homogéneo de 29 g de peso molecular. ¿Qué relación guardan las velocidades cuadráticas medias de las moléculas de aire con las del helio a cualquier temperatura (peso molecular del helio = 4 g, R = 8,31 J/mol.K)? a) Y  

b)

3 ˜ 8,3 273  17 357      249000 499PV 30 29 ˜103

Yaire 30 .He 4 = = = 0,37 30 .aire 29 vHe

6.11. Hallar la cantidad de movimiento de las moléculas de hidrógeno a 20 ºC de temperatura (peso molecular del hidrógeno = 2 g, R = 8,31 J/mol.K, NA = 6,023.1023 moléculas/mol). PY 

30 357 2 ˜103 3 ˜ 8,31 ˜ 293 NJP      0, 634 ˜1023   23 3 1A 30 6, 023 ˜10 2 ˜10 V

6.12. Calcular la velocidad cuadrática media y la energía total de un mol de un gas monoatómico de 4 g de peso molecular, a condiciones normales (Vo = 22,4 l, po = 1 atm = 1,013.105 Pa(N/m2)) (febrero 1994). a) Y  

3 p0V0 357 3 ˜1, 013 ˜105 ˜ 22, 4 ˜103      1304,54PV 30 30 4 ˜103

1 1 b) (7   30Y 2   4 ˜103 ˜1701824, 6 3, 4 ˜103 - 2 2 6.13. Calcular la velocidad cuadrática media de las moléculas de dióxido de carbono (CO2, peso atómico C=12, O=16), en condiciones normales, y a 27 ºC (R = 8,31 J/mol.ºC). 336

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Temas de Física

a) Y  

357 3 ˜ 8,31 ˜ 273     393,3PV 44 ˜103 30

b) Y  

357 3 ˜ 8,31 ˜ 300     412,3PV 44 ˜103 30

6.14. La velocidad cuadrática media de las moléculas de acetileno (P.M. = 26), encerrado en una bombona es de 500 m/s (NA = 6.1023 moléculas/mol). Calcular la energía cinética de traslación de una molécula del gas y la energía total si su masa es de 7,2 kg. a) ec =

1 30 2 1 26 ˜103 v = 5002 = 5, 4 ˜1021 J 23 2 NA 2 6 ˜10

1 1 b) (c   0 Y 2   7, 2 ˜ 5002  9 ˜105 - 2 2 6.15. Un mol de un gas poliatómico de 58 g de peso molecular y que está a 1200 K, tiene los siguientes grados de libertad: 3 de traslación, 3 de rotación y 4 de vibración. Calcular: a) La energía total de cada molécula. b) Su energía interna. c) La velocidad cuadrática media de sus moléculas (K = 1,38 10-23 J/K, NA = 6 1023 moléculas/mol). a) H7RWDO

3  3  4

b) U

nN $e7RWDO

c) Y

3N1 A7 3.0 .

1 N7 2

1 10 1,38 ˜ 1023 ˜1200 8, 28 ˜1020 2

1 ˜ 6 ˜ 1023 ˜ 8, 28 ˜1020

49, 68 ˜103 J

3 ˜1,38 ˜ 1023 ˜ 6 ˜ 1023 ˜ 1200 58 ˜ 1023

716,9 P / V

6.16. Hallar el valor de la energía cinética media de la molécula de helio (P.M. = 4 g), que a 100 kPa de presión posee una densidad de 0,12 kg/m3, y la velocidad cuadrática media de sus moléculas (NA= 6.1023 moléculas/mol).

337

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Teoría cinética de los gases

a) ec

b) Y

3 p 2 n*

3 100 ˜103 ˜ 4 ˜103 2 0,12 ˜ 6 ˜1023

3 p 2 R NA 3.0 .

2ec N A 3.0 .

 2 ˜ 8, 3 ˜1021 ˜ 6 ˜1023 4 ˜103

 8, 3 ˜1021 J

15,8 ˜102 P / V

6.17. Hallar la velocidad cuadrática media de las moléculas de un gas de 1,8 kg/m3 de densidad si se mantiene a una presión de 1,5 atm (1 atm = 1kpf/cm2, g = 10 m/s2). Si el gas es nitrógeno (N2 = 28 g), calcular su energía cinética por mol de gas. a) Y

357 3.0

b) (F(PRO )

3S 3.0 n V

3S Q˜R

3 ˜1,5 ˜10 ˜104 1,8

500 P / V

1 1 3.0 ˜ Y 2  28 ˜103 ˜ 5002  3500 - 2 2

6.18. Las moléculas de un gas poliatómico no lineal (P.M. = 46 g/mol), a 650 ºC tiene 12 grados de libertad activos. Calcular: a) la velocidad cuadrática media de sus moléculas, b) la energía cinética media de sus moléculas, c) su energía total, d) cuántos grados de libertad activos corresponden a vibraciones (R = 8,3 J/mol.K, NA = 6,0.1023 moléculas por mol). a) v

357 3.0 .

3 ˜ 8,3 650  273 46 ˜103

b) Hc

3 N7 2

3 R 7 2 NA

c) (7

12 N7 2

d) *v

12  3W  3U 6

706,84

P V

3 8,3 650  273 1,915 ˜1020 23  2 6 ˜10

12 R 7 2 NA

12 8,3 650  273 7, 66 ˜1020 2 6 ˜1023

338

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TEMA IX: ÓPTICA

1. NATURALEZA DE LA LUZ La óptica es la parte de la física que estudia la luz. La luz, sin embargo, es un fenómeno de naturaleza singular, y el estudio histórico de las teorías sobre su naturaleza ilustra bastante la evolución de la propia Física como ciencia. 1.1. Teoría corpuscular Aunque fueron los griegos, y más concretamente Pitágoras, los primeros en enunciar lo que hoy se conoce como teoría corpuscular sobre la naturaleza de la luz, consistente en considerar que la luz está formada por pequeños corpúsculos emitidos por los cuerpos que al penetrar en nuestros ojos estimulan la visión, no fue hasta Newton en el siglo XVII, cuando se enunciaron las leyes que ULJHQIXQGDPHQWDOPHQWHORVIHQyPHQRVGHUHÀH[LyQ\UHIUDFFLyQEDViQGRVHHQ esta teoría. Según Newton la luz está formada por pequeñas partículas que se GHVSOD]DQUHFWLOtQHDPHQWH\TXHFXDQGROOHJDQDODVXSHU¿FLHGHVHSDUDFLyQGH dos medios ópticamente distintos, parte de estos corpúsculos son repelidos por ODVXSHU¿FLH\VHUHÀHMDQVLJXLHQGRODVOH\HVGHORVFKRTXHVHOiVWLFRV\SDUWH son atraídos hacia el otro medio refractándose. $SOLFDQGRODVOH\HVGHOFKRTXHHOiVWLFR1HZWRQHQXQFLySDUDODUHÀH[LyQ las siguientes leyes:  (O UD\R LQFLGHQWH OD QRUPDO \ HO UD\R UHÀHMDGR HVWiQ HQ HO PLVPR plano.  (OiQJXORGHLQFLGHQFLD\HOiQJXORGHUHÀH[LyQVRQLJXDOHV En cuanto a las leyes de la refracción, también son dos, y corresponden a las siguientes: 1. El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en el mismo plano. 2. Los senos de los ángulos de incidencia y de refracción están en razón inversa a la velocidad de propagación de la luz en los medios respectivos. Esta ley la dedujo Newton siguiendo el siguiente razonamiento: Si consideramos que la velocidad de propagación de la luz tiene dos componentes, la componente transversal en la refracción no sufre alteración DOJXQDSRUORTXHVHYHUL¿FDUiODLJXDOGDG 339

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Óptica

v7 = v1 sen i = v '7 = v2 sen r sen i v2 = sen r v1 1.2. Teoría ondulatoria Huygens, fundándose en la analogía entre los fenómenos acústicos y luminosos, enunció la teoría ondulatoria. Según ésta, la luz es un movimiento ondulatorio, y cuando un frente de RQGDV LQFLGH VREUH OD VXSHU¿FLH GH VHSDUDFLyQ GH GRV PHGLRV ySWLFDPHQWH GLVWLQWRVSDUWHVHUHÀHMD\SDUWHVHUHIUDFWD/DVOH\HVTXHULJHQHVWRVSURFHVRV son las mismas que las enunciadas por Newton, excepto la segunda ley de la refracción que según Huygens puede deducirse del siguiente modo: Supongamos que un frente de ondas plano ( AB LQFLGHFRQODVXSHU¿FLHGHVHSDUDFLyQGH dos medios ópticamente distintos. Mientras uno de los rayos que delimitan el frente ya ha incidido en el punto A, pasando al segundo medio, el otro rayo tiene que recorrer cierta distancia ( BB ' ), de tal forma que el frente de ondas refractado ( A ' B ' ) se construirá con las distancias AA ' y BB ' que recorre cada rayo en el mismo tiempo pero en los dos medios ópticamente distintos. Los dos triángulos $%%¶ y $$¶%¶ son semejantes SXHVVRQUHFWiQJXORV\DTXHWRGRIUHQWHGHRQGDVSRUGH¿QLFLyQHVQRUPDO a los rayos que lo delimitan, y tienen un lado común. Si son semejantes se podrá establecer, aplicando el teorema del seno, la siguiente relación: sen i sen r = B ' B A' A Dado que: $$ ' Y2 W%% ' Y1W sustituyendo, obtendremos:

340

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Temas de Física

sen i sen r sen i v1 = ; = v1 v2 sen r v2 Es decir, la relación de los senos de incidencia y refracción está en razón directa de las velocidades de propagación, que como se ve es la expresión inversa a la obtenida por Newton. $XQTXH 1HZWRQ WHQtD JUDQ SUHVWLJLR FLHQWt¿FR OD WHRUtD RQGXODWRULD GH Huygens acabó por imponerse puesto que se comprobó experimentalmente que la luz en la refracción seguía esta ley, y no la deducida por Newton. Por otro lado, los fenómenos de difracción, las interferencias estudiadas por Young, Fresnell y Fraunhofer, la polarización estudiada por Fresnell, que solo pueden ser interpretados mediante la teoría ondulatoria, acabaron por UHOHJDUDOROYLGRODWHRUtDFRUSXVFXODUGH1HZWRQ$¿QDOHVGHOVLJORSDVDGR Maxwell enunció la teoría electromagnética interpretando que la luz era una onda electromagnética transversal, obteniendo como valor teórico para la velocidad de la luz en el vacío: F 

1 E RM R

 

1 8,85 ˜10

12

˜ 4 P 10

7

 0, 2999939 ˜109 PV

Dado que este valor se aproxima bastante al valor real, a partir de Maxwell no se puso en cuestión la teoría ondulatoria. 1.3. Teoría de la onda material A principios de este siglo, Einstein, tratando de explicar el efecto IRWRHOpFWULFRHVGHFLUHODUUDQTXHGHHOHFWURQHVGHXQDVXSHU¿FLHPHWiOLFD cuando sobre ella incide la luz, efecto descubierto por Hertz, introdujo el concepto de fotón, partícula donde se concentraba la energía transportada por una onda luminosa. Por otro lado, Comptom, estudiando la trayectoria de las partículas elementales, particularmente electrones, y las desviaciones que sufría su trayectoria cuando se iluminaban, solo explicables considerando los choques posibles de dichas partículas con los fotones, volvieron a rescatar del olvido la teoría corpuscular, entendiendo que la teoría ondulatoria clásica no es capaz de explicar estos fenómenos. La necesidad de compaginar ambas teorías llevó en 1924 a Luis de Broglie a enunciar una teoría que él llamó de la dualidad onda-corpúsculo, teoría que en esencia dice que la luz es una onda que lleva asociada un corpúsculo, siendo pues 341

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Óptica

lo que nosotros queramos en función del fenómeno concreto que estudiemos. La aportación fundamental de de Broglie fue, sin embargo, el enunciar la hipótesis de que esta doble naturaleza no solo corresponde a la luz sino también a la materia, es decir, cualquier partícula material, como por ejemplo los electrones, lleva asociada una onda. Esta hipótesis enunciada por de Broglie no SXGRVHUFRQ¿UPDGDH[SHULPHQWDOPHQWHKDVWDTXHHQORVDxRVFLQFXHQWDFRQ la construcción de los grandes aceleradores de partículas, se pudo comprobar que los electrones se difractan, fenómeno solo explicable si los consideramos FRQQDWXUDOH]DRQGXODWRULD+XERXQDpSRFDHQTXHSRULQÀXHQFLDGHHVWDWHRUtD cuando se dibujaba un núcleo atómico con los electrones orbitando en torno a él, en vez de una órbita circular, se ponía una onda para indicar esta doble naturaleza de los electrones y por tanto de la materia. 2. VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LA LUZ Dado el elevado valor de la velocidad de propagación de la luz, los primeros intentos para medirla realizados por Galileo fueron inútiles, pues la conclusión a la que llegó aunque para ello tuvo que diseñar un reloj que FRQVLVWtDHQXQSpQGXORIXHTXHODYHORFLGDGGHOX]HVPX\JUDQGHRLQ¿QLWD Justamente por el elevado valor de la velocidad de la luz es necesario acudir a medir distancias recorridas muy altas, especialmente si como en la época de Galileo, la precisión en la medida del tiempo era pequeña, de ahí que los primeros métodos que dieron resultados aceptables fueron métodos astronómicos. El astrónomo danés Römer, fue el primero en medir la velocidad de propagación de la luz, utilizando para ello la observación astronómica de uno de los satélites de Jupiter descubierto por Galileo. El método utilizado por Römer fue el siguiente: El instante en que se producirá el eclipse de uno de los satélites de Jupiter puede predecirse con exactitud. Si se efectúa esta predicción en el momento en que la Tierra está en la posición más próxima a Jupiter, para seis meses después, puede observarse que entre el instante que le correspondería eclipsarse, y el

342

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Temas de Física

instante real en que este hecho ocurre, es decir, realizando la observación directa, se produce una desviación en tiempo, desviación que corresponde a la mayor distancia a que la Tierra se encuentra de Jupiter. Esa distancia mayor que tiene que recorrer la luz corresponderá, aproximadamente, al diámetro de la órbita terrestre, puesto que en seis meses la Tierra habrá recorrido la mitad de su órbita mientras que Jupiter solo 1/24 de la suya. El valor que obtuvo Römer para la velocidad de la luz fue el siguiente: F 

8 ) WHUUHVWUH   2,986 ˜10 NP  0, 298 ˜109 PV 1002 s W PHGLGR  W SUHGLFKR

Para obtener a nivel de laboratorio un resultado aceptable de la velocidad de propagación de la luz hubo que esperar hasta mediados del siglo pasado. El método de Fizeau consistió en lo siguiente: se hace incidir la luz sobre una rueda dentada de 720 dientes, de tal forma que si incide en un valle, la luz pasa, y va a reÀHMDUVHHQXQHVSHMRVLWXDGR a 8636 m de distancia. Cuando la luz vuelve a incidir sobre la rueda dentada, si encuentra una cresta, no podrá pasar, por lo que situándonos detrás de la rueda dentada, no observaremos luz. Para que en esa posición podamos observar luz, es necesario que cuando la luz incide sobre la rueda dentada, lo haga sobre un valle, y esto se consigue aumentando el número de revoluciones con los que dicha rueda gira. La primera ocultación de la luz se produce cuando la rueda dentada gira a una velocidad de 12,6 vueltas por segundo. El tiempo que la luz tarda en ir y venir del espejo una vez ha incidido sobre la rueda dentada es el tiempo en que ésta gira el ángulo comprendido entre dos valles consecutivos, por lo que el valor que Fizeau encontró para la velocidad de la luz fue: F 

2l 2l 2l     2O2Q1 2 ˜ 8636 ˜ 2 ˜ 720 ˜12, 6 0,313 ˜109 PV 2 A P W 2n W 2P N

343

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Óptica

Posteriormente se han realizado múltiples experiencias para determinar la YHORFLGDGGHSURSDJDFLyQGHODOX]VLHQGR0LFKHOVRQXQRGHORVFLHQWt¿FRV que más se ha dedicado a la realización de experiencias para medir con precisión ese valor. 3. ÓPTICA GEOMÉTRICA Dentro de la óptica, podemos distinguir dos partes totalmente diferenciadas: la óptica geométrica y la óptica física. La óptica física estudia los fenómenos ondulatorios ligados a la luz considerada como una onda electromagnética, tales como interferencias, difracción, polarización, etc. La óptica geométrica estudia consideraciones geométricas sobre la propagación de la luz, fundamentalmente la obtención de imágenes en los instrumentos ópticos. Se basa en los siguientes principios fundamentales: - Propagación rectilínea de la luz: la luz se propaga en línea recta. - Independencia mutua de los rayos luminosos: cuando dos o más rayos se cruzan, no sufren alteración alguna. /DVOH\HVTXHULJHQODUHÀH[LyQ\UHIUDFFLyQHQXQFLDGDVSRU+X\JHQVHV GHFLUSDUDODUHÀH[LyQ  (O UD\R LQFLGHQWH OD QRUPDO \ HO UD\R UHÀHMDGR HVWiQ HQ HO PLVPR plano. (OiQJXORGHLQFLGHQFLD\HOiQJXORGHUHÀH[LyQVRQLJXDOHV Para la refracción: - El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en el mismo plano. - Los senos de los ángulos de incidencia y refracción están en razón directa a las velocidades de propagación de la luz en los medios respectivos. 4. ÍNDICE DE REFRACCIÓN. ÁNGULO LÍMITE. REFLEXIÓN TOTAL 4.1. Índice de refracción Se llama índice de refracción relativo entre dos medios, al cociente de la velocidad de propagación de la luz en ambos medios, entendiendo que en el numerador se expresa la velocidad de la luz en el medio de incidencia, es decir, en el medio de donde la luz viene, mientras que en el denominador, se expresa la velocidad de la luz en el medio de refracción, es decir, a donde

344

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Temas de Física

la luz va. El índice de refracción relativo del medio 2, respecto al medio 1, será: n2,1 =

v1 v2

Dado que la velocidad de propagación de la luz en el vacío (c) es un máximo absoluto, suelen referirse todos los índices de refracción de cualquier medio, al vacío, es decir, se llama índice de refracción absoluto, o simplemente índice de refracción, al índice de refracción relativo de un medio, respecto al vacío. n1 =

c c ; n2 = ; v1 v2

7HQLHQGRHQFXHQWDODGH¿QLFLyQGHtQGLFHGHUHIUDFFLyQUHODWLYRREWHQGUHPRV c v n v n2,1 = 1 = 2 = 2 v2 c n1 v1 Dado que como hemos dicho, la velocidad de propagación de la luz en el vacío es un máximo absoluto, el índice de refracción de cualquier medio será un número mayor que la unidad, y será, además, adimensional. 8WLOL]DQGR HVWD GH¿QLFLyQ GH tQGLFH GH UHIUDFFLyQ SRGHPRV H[SUHVDU OD segunda ley de la refracción de la forma: sen i v1 n = = n2,1 = 2 ; n1 sen i = n2 sen r sen r v2 n1 La segunda ley de la refracción así expresada se llama también ley de Snell. ÈQJXOROtPLWH5HÀH[LyQWRWDO Cuando la luz pasa de un medio menos refringente a otro más refringente, entendiendo que la refringencia de un medio corresponde al valor de su índice de refracción, se acercará a la normal, existiendo siempre rayo refractado. 345

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Óptica

n1 < n2 ; sen r =

n1 sen i < sen i ; r < i n2

Por el contrario, cuando la luz pasa de un medio más refringente a otro menos refringente, se aleja de la normal, es decir, el ángulo de refracción es mayor que el de incidencia. n1 > n2 ; sen r =

n1 sen i > sen i ; r > i n2

Si aumentamos paulatinamente el valor del ángulo de incidencia, llegará un momento en que el ángulo de refracción alcance el valor de 90º. El ángulo de incidencia que corresponde a un ángulo de refracción de 90º, se denomina ángulo límite entre los dos medios, y su valor será: sen A l =

n2 n sen 90 º = 2 n1 n1

Si a partir de este ángulo seguimos aumentando el valor del ángulo de incidencia, obtendríamos, aplicando la ley de Snell: sen i > 1

Dado que el valor máximo del seno de un ángulo es la unidad, la expresión anterior es incorrecta desde el punto de vista matemático, por lo que también ha de serlo desde el punto de vista físico. Esto quiere decir que cuando la luz LQFLGHVREUHODVXSHU¿FLHGHVHSDUDFLyQ de dos medios ópticamente distintos, siendo el medio de incidencia más refringente que el medio de refracción, y el ángulo de incidencia es superior al ángulo límite de ambos medios, no KD\UHIUDFFLyQGiQGRVHHOIHQyPHQRGHQRPLQDGRUHÀH[LyQWRWDO, ya que la OX]LQFLGHQWHVHUHÀHMDHQVXWRWDOLGDGQRKDELHQGRUD\RUHIUDFWDGR

346

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Temas de Física

5. PRINCIPIO DE FERMAT El principio de Fermat es el principio físico en el que por primera vez aparece el concepto de extremal, entendiendo por tal un valor que corresponde a un valor máximo o mínimo. El enunciado de dicho principio es: el tiempo que la luz tarda en recorrer la distancia entre dos puntos corresponde a un valor extremo, es decir, corresponde a un valor máximo o mínimo, aunque en general, será mínimo y solo en casos muy particulares, corresponderá a un máximo. Expresando matemáticamente este principio obtendremos: B

B

B

ds 1 c 1   ³ GV  ³QGV v cAv cA A

'W ³

El producto del índice de refracción de un medio (n), por la distancia geométrica (ds), se denomina camino óptico. Teniendo en cuenta esta GH¿QLFLyQSRGHPRVHQXQFLDUHOSULQFLSLRGH)HUPDWGLFLHQGRTXHHOFDPLQR óptico que la luz recorre entre dos puntos es un valor extremo respecto a FXDOTXLHURWURFDPLQRLQ¿QLWDPHQWHSUy[LPR (VWHSULQFLSLRSHUPLWHGHGXFLUODVOH\HVGHODUHÀH[LyQ\UHIUDFFLyQDQWHV enunciadas. Considerando la segunda ley de la refracción, el camino que sigue ODOX]HQWUHORVSXQWRV$\%GH¿QLGRSRUHOSXQWRGHLQFLGHQFLD2SHUPLWH expresar el tiempo que tarda por la expresión:

W

$2 2%  v1 v2

[2  D2  v1

2

d  x

 b2

v2

Este tiempo será máximo o mínimo, si su derivada respecto al tiempo es cero, es decir: x GW dx

x2  a2  v1

 d  x 2

d  x v2

 b2

0

347

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Óptica

'HOD¿JXUD sen i

x 2

a x

2

; sen r

dx

d

2

 x 2  b 2

De modo que la ecuación anterior se convierte en: sen i sen r  v1 v2

0 ; n sen i

n ' sen r

6. BIBLIOGRAFÍA - de Broglie, L.: MATERIA Y LUZ. Ed. Espasa-Calpe. Madrid, 1942. - Holton, G. y Roller, D.: FUNDAMENTOS DE LA FÍSICA MODERNA. Ed. Reverté. Barcelona, 1963. 7. PROBLEMAS DE EXAMEN 7.1. Para medir la velocidad de propagación de la luz, de la que obtuvo el valor de 0,3.109 m/s, Michelson utilizó un espejo octogonal giratorio, de tal IRUPDTXHODOX]VHUHÀHMDEDHQHOFHQWURGHXQDGHODVFDUDVFRQXQiQJXORGH incidencia de 30º, recorría una distancia de 18.750 m, y regresaba de nuevo al espejo octogonal, de tal forma que si incidía con un ángulo de 30º era visible. ¿A qué número de vueltas tenía que girar el espejo octogonal para que la luz fuera visible por primera vez? ¿Y por segunda vez? c=

2l 2l c = Ÿ N= A 2P 2l n W n 2P N

a) 1 

c 0,3 ˜109    1000USV. 2 l n 2 ˜18750 ˜ 8

b) 1 

0,3 ˜109  2000USV. 2 ˜18750 ˜ 4

348

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Temas de Física

7.2. Una prospección sísmica consiste en realizar una explosión controlada a 20 m de profundidad, y medir, mediante una serie de geófonos (micrófonos) VLWXDGRVHQODVXSHU¿FLHDGLVWDQFLDVGDGDVGHGRQGHVHUHDOL]DODH[SORVLyQ ODLQWHQVLGDGGHODRQGDUHÀHMDGDHQODVGLVWLQWDVFDSDVJHROyJLFDV&DOFXODUOD SURIXQGLGDGD GHODFDSDGHDUHQLVFDVXSHU¿FLDOFa = 4 km/s), b) de la capa de granito siguiente (cg = 5 km/s), siendo la última capa de caliza (cc = 6,2 km/s), VL ODV LQWHQVLGDGHV Pi[LPDV GHELGDV D OD UHÀH[LyQ VH SHUFLEHQ D SDUWLU GH  106, 6 y 258,5 m del punto de explosión. a) sen A

Sa

 106, 6  x 2 WJ A

b) sen B

sen i

ca cg

cg cc

ca sen B cg

4 5

0,8

 106.6  20 WJ A 2 WJ A

5 6, 2

50 P

0,8064

4 0,8064 0, 6451 5

258,5 2 Sg WJ B  Sa WJ L  30 WJ L Sg

258,5  80 WJ L 2 WJ B

70 P

7.3. Un depósito paralepipédico tiene pintado a lo largo de su fondo una escala graduada de 20 cm. Un observador se coloca de tal forma que divisa el cero de la escala situada justamente en la arista del fondo. El depósito se llena de agua (n = 3/2), y el mismo observador, sin moverse, ve hasta el 12 de la escala. ¿Cuál es la altura del depósito? (naire = 1).

349

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Óptica

WJ L sen i

l l 2  h2

; sen r

2

l  12

82 h2 Ÿ 8 ˜ 3 20 ˜ 2 202 8 1 2 h 20 1 

Q

l  12

; sen i

n ˜ sen r Ÿ n

 h2

82 h 2 Ÿ 0, 62 202 1 2 h 1

sen i sen r

1  WJ 2L WJ U 1  WJ 2 U

82 h2 Ÿ K 202 1 2 h 1

144  64 1  0, 62

11,18 FP

7.4. Un vaso contiene una capa de agua de 8 cm (n = 1,3), sobre la que ÀRWD XQD FDSD GH DFHLWH GH  FP Q    VLHQGR HO tQGLFH GH UHIUDFFLyQ del vidrio del fondo, n = 1,12. ¿Con qué ángulo tendríamos que iluminar la VXSHU¿FLHGHODFHLWHSDUDTXHVHSURGX]FDUHÀH[LyQWRWDOD (QHOYLGULRGHO IRQGR E  (Q OD VXSHU¿FLH GH VHSDUDFLyQ DFHLWHDJXD F  ¢4Xp GLiPHWUR GH vaso se necesitaría para que mirando sobre un borde, se viese justamente VREUHHOERUGHRSXHVWRODOX]UHÀHMDGDHQHOYLGULR" a) 1,3 sen A DJXD / YLGULR sen A DJXDYLGULR =

1,12 sen 90

1,12 = 0,8615 1,3

1,5 sen E = 1,3 ˜ 0,8615 ; sen E = 0, 7466 ; E = 48º 2 ' b) 1,5 sen A DFHLWH / DJXD sen A DFHLWH / DJXD =

1,3 sen 90

1,3 = 0,8666 ; A DFHLWH / DJXD = 60º 1,5

c) sen A DJXD / YLGULR = 0,8615 ; A DJXD / YLGULR = 59º 30 ' U1 8WJA DJXD / YLGULR  8 ˜1, 7 13,58FP

350

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Temas de Física

U2  2WJE  2 ˜1,122 2, 24FP F  2U12U2  2 ˜13,582 ˜ 2, 24 31, 65FP 7.5. Se quiere hacer girar 90º a un rayo de luz mediante un prisma de 45º, de tal forma que incidiendo perpendicularmente a una de sus caras, salga perpendicular por la normal a ella. Calcular el índice de refracción mínimo del cristal que ha de utilizarse en la construcción del prisma: a) Si el medio exterior es aire (n = 1). b) Si el medio es agua (n = 1,2). 3DUDTXHHOUD\RVDOJDQRUPDOHVQHFHVDULRTXHHQODVXSHU¿FLHGHOSULVPD GRQGHVHUHÀHMDODOX]VHSURGX]FDODUHÀH[LyQWRWDO a) n1 sen 45º = 1 sen 90º ; n1

1 2 2

b) n2 sen 45º = 1, 2 sen 90º ; n2 =

1, 4142

1, 2 = 1, 697 2 2

7.6. El índice de refracción del agua respecto al aire es de 1,3, y el del vidrio 1,56. Calcular a) El índice de refracción relativo del vidrio respecto del agua. b) El ángulo límite entre ambos. a) nYLGULR / DJXD =

nYLGULR 1,56 = = 1, 2 nagua 1,3

b) nYLGULR sen A O = nDJXD sen 90º ; sen A O =

1,3 = 0,8333 ; A O = 56º 27 '30 '' 1,56

7.7. El ángulo de un prisma triangular isósceles es de 10º. Un rayo incide sobre una cara lateral del prisma con un ángulo de 10º. Hallar el ángulo de desviación que sufre el rayo cuando emerge del prisma respecto al incidente, si el índice de refracción del prisma es de 1,6.

351

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Óptica

1 sen i = 1, 6 sen E1 ; sen E1 =

sen 10º = 0,1085 ; E1 = 6º14 ' 1, 6

(QHOWULiQJXOR2(2¶

180º A + E1 + E '1 = 180º ; E '1 = 10º 6º14 ' = 3º 46 ' 1, 6 sen 3º 46 ' = 1 sen E 2 ; sen E 2 = 1, 6 ˜ 0, 0657 = 0,1051 ; E 2 = 6º (QHOWULiQJXOR2(¶2¶ 180  D + i  r1 + r2  E '1 = 180 ; D = i + r2  A = 6º 7.8. Un rayo de luz incide con un ángulo de 30º sobre una lámina de vidrio de índice de refracción 1,5, de caras planoparalelas emergiendo de ella paralelamente al rayo incidente pero desplazado 1,94 cm. Calcular el espesor de dicha lámina. 1 sen i = 1,5 sen E1 ; sen E1 =

2c2 

sen 30º = 0,333 1,5

d 1,94    10, 61FP sen (i  E1 ) sen 30º 19º 30 '

H 2c2cosE1 10, 61 ˜ 0,942 10FP 7.9. Mirando desde el aire (n = 1), sobre el borde de un depósito cilíndrico vacío de 4 m de diámetro se ve justamente el punto de corte de su generatriz 352

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Temas de Física

con su base, mientras que si está lleno de agua (n’ = 1,2), se divisa un punto situado 1,2 m hacia el centro del depósito. Calcular su altura. 4

1 sen i = 1, 2 sen r ;

4 = 1, 2 ˜ 2,8

h 2 + 42

h 2 + 42 h 2 + 2,82

= 1, 2

2,8 h 2 + 2,82

3,362  2,82 ˜4 42  3,362

Ÿ h2 =

K 3, 423P 7.10. Un acuario de 50 cm de profundidad lleno de agua de n = 1,2 está tapado por un cristal de 1 cm de grueso y n’ = 1,5. Si se coloca en su centro y a 1 m sobre él una bombilla que ilumina con un cono de luz de 60 grados, FDOFXODUD &XiOVHUiODVXSHU¿FLHLOXPLQDGDVREUHHODJXDE /DVXSHU¿FLH iluminada sobre el fondo del acuario.

a) U1 1WJ 30º 0,5773P1VHQ 30º 1,5VHQ A A

19, 47º

U U1U2  0,5803P6 2 P 0,58732  1, 083 P 2  b)

1,5 sen 19, 47º = 1, 2 sen B ; B = 24, 62º U3  0,50WJB  0, 229P 2

63  P 0,5773  0, 0035  0, 229

2, 06 P 2 

353

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Óptica

&DOFXODUHOtQGLFHGHUHIUDFFLyQGHXQSULVPDGHžĮ VLWXDGRHQ el aire (n=1), si su ángulo de mínima desviación es de 48º, sabiendo que el ángulo de mínima desviación se produce cuando su vértice está situado sobre la bisectriz del ángulo del prisma. F1

A 2

1 sen

DP 2

; D1

A DP 2

n sen

60  48 2 60 sen 2

A DP 2

; F1 F1'  D 1 A 2

sen n

1, 618

7.12. ¿Cuál será el menor índice de refracción que ha de tener un prisma rectangular isósceles para que la luz incidiendo normalmente sobre la cara opuesta al ángulo recto salga igualmente normal por dicha cara, tal como LQGLFDOD¿JXUDWHQLHQGRHQFXHQWDTXHHOtQGLFHGHUHIUDFFLyQGHODLUHHV" 3DUDTXHHOUD\RSXHGDVDOLUWDOFRPRVHLQGLFDVHKDGHVXIULUHOIHQyPHQR GHUHÀH[LyQWRWDOHQODVXSHU¿FLHSULVPDDLUH n sen 45 ! 1 sen 90 ; n !

1 2 2

2 2

2 1, 414

7.13. Demostrar, aplicando el principio de )HUPDWODVHJXQGDOH\GHODUHÀH[LyQHVGHFLUTXH VHYHUL¿FDODLJXDOGDG íˆ rˆ .

W

$2 2%  v v

sen i  sen r

x2  d 2 

2

 p  x v

0 Ÿ iˆ

 d2

;

GW dx

rˆ

354

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[ 2

x d

2



S[ 2

 p  x

0  d2

Temas de Física

 8Q UD\R GH OX] LQFLGH VREUH XQ FULVWDO \ HO UD\R UHÀHMDGR \ HO refractado forman un ángulo recto. Calcular: el ángulo de incidencia si la velocidad de la luz en el aire es de 290.000 km/s, y en el vidrio de 2.108 m/s. LU

P ; VHQ U 2

sen i VHQ U

sen i FRV L

§P · VHQ ¨  L ¸ ©2 ¹

VHQ

vaire YYLGULR

2,9 ˜108 2 ˜108

WJ L

P P FRV L  FRV VHQ L 2 2

1, 45 Ÿ L

FRV L

0,97 UDG

55, 4º

8QKD]GHOX]LQFLGHVREUHODVXSHU¿FLHGHVHSDUDFLyQGHGRVPHGLRV GHGLVWLQWRtQGLFHGHUHIUDFFLyQGHWDOIRUPDTXHHOUD\RUHÀHMDGRIRUPDFRQ el incidente un ángulo de 100º mientras que con el rayo refractado un ángulo de 165º. Calcular: a) el índice de refracción relativo de ambos medios, b) el índice de refracción del segundo medio, si el índice de refracción del primer medio es de 1,10. 100 iˆ 2

n2,1

n2 n1

50 ; rˆ 165  40  90 35

sen 50 1,335 ; n2 1,335 ˜ n1 1, 469 sen 35

355

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Óptica

7.16. Sobre un acuario de 50 cm de profundidad lleno de agua de índice de refracción 1,3, cubierto con un cristal de 1 cm de espesor y 1,5 de índice de refracción, está suspendida una bombilla de tal forma que la luz incide sobre el cristal con un cono de 60º de ángulo en el vértice. ¿En cuánto cambiará el radio de la mancha luminosa en el fondo del acuario si se quita el vidrio y se vacía (naire = 1)? 6LQYLGULR\VLQDJXD U 'r

K  G WJ A

51 ˜ 0,577

29, 44 FP

r  rv  ra 6REUHODVXSHU¿FLHGHODJXD

1 ˜ sen A

Uv

Ua

nv sen B v

G WJ B v

K WJ B a

U  Uv  Ua

G

K

na sen B a

sen B v FRV B v

sen B a FRV B a

G

K

sen B v

G  K WJ A  G

G

1  sen 2 B v

§ sen A · 1 ¨ ¸ © nv ¹

sen A na § sen A · 1 ¨ ¸ © na ¹ sen A nv2  sen 2A

sen A nv

2

K

K

2

G

sen A nv2  sen 2A

sen A na2  sen 2A

sen A na2  sen 2A

356

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8, 26 FP

TEMA X: SISTEMAS ÓPTICOS CENTRADOS

1. INTRODUCCIÓN: DEFINICIONES Se llama sistema óptico al conjunto de elementos que constituyen un LQVWUXPHQWR ySWLFR /D GH¿QLFLyQ HV EDVWDQWH DPELJXD SXHVWR TXH HQ HOOD se engloban tanto instrumentos tan simples como un espejo plano como instrumentos formados por elevado número de lentes como un teleobjetivo, etc. Un sistema óptico establece una relación entre los elementos de un espacio afín, aquel de donde la luz viene, llamado espacio objeto, y los elementos de otro espacio afín, a donde la luz va, llamado espacio imagen. Cuando la relación establecida corresponde a una relación unívoca de tal forma que a cada elemento, punto, recta o plano del espacio objeto, le corresponde un punto, recta o plano del espacio imagen, el sistema se dice que es estigmático. Si por HOFRQWUDULRDFDGDSXQWRGHOHVSDFLRREMHWROHFRUUHVSRQGHXQDVXSHU¿FLHOODPDGDVXSHU¿FLHFiXVWLFDHOVLVWHPDVHGLFHTXHHVastigmático/DVXSHU¿FLH FiXVWLFDHVXQDVXSHU¿FLHGHUHYROXFLyQREWHQLGDSRUHOKD]GHUD\RVOXPLQRsos procedentes de un punto, que después de atravesar el sistema, en vez de cortarse en un punto, se cortan en distintos puntos en función de la abertura del haz del que procedan. /RVHOHPHQWRVUHÀHFWDQWHVRUHIUDFtantes que constituyen un instrumento óptico, espejos, prismas, lentes, etc., pueden tener elementos de simetría. Si el sistema en su conjunto tiene un eje de simetría, se dice que es un sistema centrado. Este eje de simetría existente en los sistemas centrados recibe el nombre de eje óptico. Un sistema estigmático centrado tiene como ventaja que cada punto del espacio tridimensional objeto o imagen, puede referirse simplemente mediante dos únicas coordenadas que corresponderán a las siguientes: posición (X), que es el valor de la distancia medida sobre el eje de simetría a la que el punto

357

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Sistemas ópticos centrados

está situado, y tamaño (Y), que es el valor de la distancia del punto al eje óptico, medida sobre la perpendicular trazada al eje de simetría. El problema a resolver consiste en: dado un elemento del espacio objeto, averiguar cuál es el elemento imagen a través del sistema. Los elementos objeto e imagen respectivos reciben el nombre de elementos conjugados. En función de su naturaleza, los objetos y las imágenes pueden ser reales, si están situadas en el espacio que les corresponde, es decir, los objetos en el espacio objeto, y las imágenes en el espacio imagen, o pueden ser virtuales, si están situados en el espacio opuesto, es decir, los objetos en el espacio imagen, o las imágenes en el espacio objeto, aunque las imágenes virtuales suelen GH¿QLUVHFRPRDTXHOODVTXHQRSXHGHQVHUUHFRJLGDVHQXQDSDQWDOODPLHQWUDV que las imágenes reales sí pueden recogerse en una pantalla. Sin embargo, ambos espacios pueden estar superpuestos. Los objetos e imágenes, se dice que son derechos cuando están situados sobre el eje óptico o eje de simetría, y se dice que son invertidos cuando están por debajo del eje. 2. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN (Q WRGR VLVWHPD ySWLFR FHQWUDGR EDVWDQ GRV FRRUGHQDGDV SDUD GH¿QLU OD posición de cada punto, por lo que el problema se reduce al estudio sobre un espacio plano, es decir, a encontrar las funciones que permitan, dado un punto objeto de coordenadas (X,Y), encontrar las dos coordenadas de su imagen conjugada: ;¶  I;<  M@ >,@/  4/ 7 En el S.I. se medirá en: A/m2. $VtGH¿QLGDODGHQVLGDGGHFRUULHQWHWDPSRFRQRVLQGLFDTXpGLUHFFLyQ\ sentido lleva la corriente eléctrica. Supongamos que existen en el conductor n cargas libres por unidad de volumen, que T sea la carga de cada carga, la carga WRWDOTXHDWUDYHVDUiXQDVXSHU¿FLHdS en un tiempo GW, corresponderá a todas ODVFDUJDVTXHVHHQFXHQWUHQHQXQFLOLQGURTXHWHQJDSRUEDVHODVXSHU¿FLH dS, y por altura YGW, es decir: Q 7  QTG6YGW 7HQLHQGRHQFXHQWDODGH¿QLFLyQGHGHQVLGDGGHFRUULHQWH G G , 47 QTG6YGW G M       QTY G6 GWG6 GWG6 Es decir, la densidad de corriente es una magnitud vectorial cuya dirección y sentido coincide con la dirección y sentido que tiene la velocidad de desplazamiento de las cargas, que suponiendo que el conductor sea longitudinal, es decir, que su dimensión longitud es la única apreciable, se puede presuponer que el movimiento de las cargas a través de dicho conductor corresponde a un movimiento rectilíneo siguiendo el propio conductor, por lo que el vector velocidad y el vector desplazamiento tendrán la misma dirección y sentido, y éste coincidirá con el vector densidad de corriente. Luego el vector densidad de corriente es un vector que en un conductor rectilíneo tiene la misma dirección y sentido que el desplazamiento que tendría una carga positiva, es decir, hacia los potenciales decrecientes.

497

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Corriente continua

3. LEY DE OHM Para que pueda iniciarse un movimiento, es necesario que la fuerza aplicada sobre el elemento que pretende desplazarse sea capaz de vencer la fuerza de rozamiento. La corriente eléctrica, como cualquier otro movimiento, corresponde al desplazamiento de cargas a través de un conductor, tendrá que cumplir esto, es decir, la fuerza a que cada carga está sometida corresponderá a la fuerza eléctrica que sobre ella ejerce el campo eléctrico establecido entre los extremos del conductor, y la fuerza de rozamiento que hay que vencer para que se inicie su desplazamiento, que será proporcional a la velocidad, es decir: G G G ) T( B Y , de donde se puede despejar el valor de la velocidad: G T G v= E B Sustituyendo este valor en la expresión de la densidad de corriente obtendremos: G QT 2 G j= E B Considerando que el número de cargas por unidad de volumen (n), la carga de cada una de ellas (T \HOFRH¿FLHQWHGHUR]DPLHQWR‰), son características que dependen de la naturaleza del conductor, vamos a representar la relación existente entre ellas por una magnitud característica de cada sustancia y que llamaremos conductividad, es decir: G G QT 2 G j= E =S E B Esta expresión en la que se recoge que la densidad de corriente que atraviesa un conductor es proporcional a su conductividad y al campo eléctrico establecido, corresponde a la ley de Ohm, enunciada de la forma más general posible ya que se cumple independientemente de la geometría y tipo de conductor, puesto que para aplicarla a conductores electrolíticos solo 498

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Temas de Física

WHQGUtDPRVTXHGH¿QLUFXiOHVHOYDORUGHODFRQGXFWLYLGDGSDUDHVWHWLSRGH conductores pues en vez de cargas aisladas (T), los portadores de carga son iones. Si consideramos un conductor óhmico, es decir, metálico, que tiene una VHFFLyQGHVSUHFLDEOHIUHQWHDVXORQJLWXGVHYHUL¿FDTXH JJJJJG G dV G V  VA G I ( JUDG9   _(_  B _ M_  dl l S , Sustituyendo estos valores en la expresión anterior, obtendremos: V V I V -V = S A B , que se puede escribir en la forma: I = A B l S l SS Si llamamos resistividad al inverso de la conductividad, la expresión: R=

l SS

=

Rl S

Se denomina resistencia del conductor, y es una magnitud característica de cada material que, además, depende de su geometría. La ley de Ohm para conductores óhmicos puede expresarse de la forma: la intensidad de la corriente que circula por un conductor es directamente proporcional a la diferencia de potencial establecida entre sus extremos e inversamente proporcional a su resistencia: I=

VA  VB R

La resistencia eléctrica de un conductor tiene por ecuación de dimensiones: >5@ 

[V] [W]Q 1    0/27 14 2 >,@ 47 1

En su día, la resistencia eléctrica se tomó como magnitud patrón o magQLWXG GH UHIHUHQFLD GH¿QLpQGRVH HO RKPLR TXH HV OD XQLGDG GH UHVLVWHQFLD

499

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Corriente continua

eléctrica en el S.I., como la resistencia que opone al paso de una corriente eléctrica una columna de mercurio de 1 m de longitud y 1 cm2 de sección. Posteriormente se desestimó dicha unidad porque representaba graves problemas de reproducibilidad, tomándose la unidad de intensidad de corriente, es decir, el amperio, como unidad eléctrica de referencia. La resistividad tiene por dimensiones: > R @ 0/37 14 2 , midiéndose en ȍP La resistividad es una característica de cada sustancia, teniendo valores PX\GLIHUHQWHVSDUDPDWHULDOHVFRQGXFWRUHV§-8ȍP TXHSDUDPDWHULDOHV DLVODQWHV§10ȍP 3RURWURODGRVXYDORUYDUtDFRQODWHPSHUDWXUDVLHQGR su variación: RW   R 0(1  A WB W 2 ) ,en donde W, es la temperatura en grados centígrados, y R R , R W las resistividades a 0 y t ºC. En general, de la expresión anterior suelen solo tomarse los dos primeros términos, quedando entonces:  A W)A   R W  R 0(1

RW - R0 R 0W

El valor de la constante Į, que se mide en ºC-1, también puede servir para diferenciar a los materiales conductores y de los aislantes, dado que su valor para materiales conductores es positivo, mientras que para materiales aislantes es negativo. Esto quiere decir que para un material conductor, su resistividad aumenta con la temperatura, mientras que para un material aislante, su resistividad disminuye con la temperatura. Algunos metales a temperaturas próximas al cero absoluto tienen una resistencia prácticamente nula, denominándose este fenómeno superconductividad. 4. EFECTO JOULE Una corriente eléctrica supone un desplazamiento de cargas a través de un conductor, y para que este desplazamiento se produzca, es necesario vencer la fuerza de rozamiento que se opone a su desplazamiento, y que como cualquier otra fuerza de rozamiento mecánico, supone la disipación de energía en forma de calor, es decir, cuando una corriente eléctrica atraviesa un conductor, se disipa energía en forma de calor, y este hecho se conoce con el QRPEUHGHHIHFWR-RXOHSXHVIXH-RXOHHOSULPHURHQGHVFXEULU\FXDQWL¿FDU este fenómeno.

500

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Temas de Física

La potencia disipada en forma de calor por un conductor, será: JJG GG dW G dS dP = =F =Q E v GW GW Considerando que la fuerza que produce el desplazamiento de las cargas es constante, cosa que se cumple en una corriente continua, puesto que la diferencia de potencial, y consecuentemente la intensidad del campo eléctrico para este tipo de corriente, es constante, y además, tomando un volumen elemental de conductor, si calculamos la expresión de la potencia disipada en forma de calor por ese volumen elemental, teniendo en cuenta que la carga eléctrica contenida en ese G G volumen es: 4 QTGT , y la ley de Ohm: j = S E , resultará: G dP j G  QT Y  R  M 2 dT S Es decir, la potencia por unidad de volumen disipada en forma de calor por un conductor es directamente proporcional a su resistividad y al cuadrado de la densidad de corriente que lo atraviesa. Si consideramos un conductor óhmico lineal de longitud l y sección S, podremos expresar la densidad de corriente en función de la intensidad, de tal forma que la expresión anterior calculada para todo el volumen de conductor, nos quedará: P= R

I2 Rl 2 S l= I = R I2 2 S S

Es decir, la potencia disipada en forma de calor por un conductor es directamente proporcional a su resistencia y al cuadrado de la intensidad de la corriente que lo recorre. Si lo que queremos es calcular la cantidad total de energía disipada en forma de calor, y teniendo en cuenta que lo que se conserva constante en una corriente continua es la diferencia de potencial y no la intensidad, podremos escribir:

501

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Corriente continua

V2 :  3W 5, 2 W  W R 5. FUERZA ELECTROMOTRIZ Para establecer y mantener una corriente continua a través de un conductor, es necesario establecer una diferencia de potencial constante, entre sus extremos, y además, reponer las pérdidas de energía por efecto Joule. El dispositivo capaz de realizar esto se denomina generador, y más concretamente, para una corriente continua, pila o dínamo. La característica fundamental de un generador de corriente continua corresponde a su fuerza electromotriz, que en contra de lo que su nombre indica, no tiene nada que ver con una fuerza. Se denomina fuerza electromotriz de un generador, a la energía que suministra para hacer circular la unidad de carga a través de un circuito. E=

dW dQ

Un generador es pues un dispositivo que, conectado a un conductor, es capaz de suministrar la energía necesaria para hacer circular una corriente eléctrica. La potencia suministrada por un generador será: P=

dW dQ =E =E I GW GW

La fuerza electromotriz tiene por dimensiones: > E @ >:@4 1 0 /27 24 1 que coinciden con las dimensiones de la diferencia de potencial, por lo que se medirá en las mismas unidades, es decir, en el S.I., se medirá en voltios. Un generador unido a una resistencia que disipa energía por efecto Joule es capaz de suministrar de forma instantánea esa energía, y a la vez, suministra las cargas que constituyen la corriente eléctrica, de tal forma que estas cargas eléctricas salen a través del borne positivo y entran

502

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Temas de Física

en el generador por su borne negativo, en el sentido convencional, pero a la vez, no se acumulan en este punto sino que han de atravesar internamente el generador, pues un generador no es un almacén de carga como lo es un condensador, sino simplemente un dispositivo capaz de producir corriente, por lo que si las cargas eléctricas lo atraviesan internamente, y tiene una resistencia interna, el propio generador disipará también energía por efecto de Joule cuando las cargas eléctricas lo atraviesan. Si establecemos la ecuación de la igualdad de la potencia suministrada por el generador, y la disipada por la resistencia del circuito y la resistencia interna del propio generador, obtendremos: E I = I 2 R + I 2 r , o bien, dividiendo por la intensidad: E = I R + I r Si aplicamos la ley de Ohm al circuito externo, y sustituimos el producto de la intensidad por resistencia, por la diferencia de potencial entre sus extremos, nos quedará: E = VA  VB + I r Si consideramos que el circuito está abierto, es decir, que la intensidad es nula: E = VA  VB Esta igualdad nos dice que la fuerza electromotriz de un generador coincide, a circuito abierto, con la diferencia de potencial entre sus bornes, de DKtTXHDPEDVPDJQLWXGHVDXQTXHVLJQL¿TXHQFRVDVGLVWLQWDVVHPLGDQHQ las mismas unidades. La potencia disipada por un circuito vendrá expresada por: P = I 2 R Si expresamos el valor de la intensidad que recorre el circuito en función de la fuerza electromotriz al que está conectado cuyo valor es: I=

E E2 ; tendremos: P = R 2 R+r R  r

503

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Corriente continua

Si queremos estudiar la variación de la potencia disipada por el circuito en función del valor de su resistencia, derivaremos la expresión anterior, e igualaremos esta derivada a cero para averiguar los máximos, mínimos y SXQWRVGHLQÀH[LyQVLORVKXELHVH 2

R  r  R 2 R  r = E 2 r  R dP dP =E2 4 4 ; dR R  r dR R  r

0Ÿr

R

Es demostrable, simplemente analizando el signo de la segunda derivada, que este valor corresponde a un máximo, aunque puede verse también considerando que: Si r > R, dP/dR > 0, luego P es creciente. Si r < R, dP/dR < 0, luego P es decreciente. Dado que el generador tiene que suministrar esa potencia que el circuito disipa, el valor máximo de la potencia disipada por el circuito corresponderá al valor máximo de la potencia útil suministrada por el generador, obteniéndose este valor máximo, cuando el valor de la resistencia del circuito es igual a la resistencia interna del generador (R = r). 6H OODPD UHQGLPLHQWR R H¿FLHQFLD GH XQ JHQHUDGRU D OD SRWHQFLD ~WLO suministrada, dividida por la potencia total, es decir: E R Si R o 0 , M o 0 P I R I R R  r R M= = = = = ; Si R o f , M o 1 EI E E P7 R+r 2

Dado que, como hemos visto antes, la potencia útil suministrada por el generador es máxima cuando r=R, sustituyendo este valor en la expresión del rendimiento, obtendremos: ȝ 1/2 Ahora bien, no todos los generadores conectados a un circuito suministran potencia sino que en función de cómo estén conectados al mismo, pueden disipar potencia. Si un generador conectado a un circuito es recorrido

504

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Temas de Física

internamente por la corriente eléctrica en el sentido del borne negativo al borne positivo, la fuerza electromotriz se considera positiva y, consecuentemente, el generador suministra potencia. Si por el contrario está conectado de tal forma que la corriente eléctrica lo atraviesa internamente del borne positivo al negativo, disipa potencia, y su fuerza electromotriz se considera negativa y recibe el nombre de fuerza contraelectromotriz. Supongamos un circuito en el que se haya establecido entre sus extremos una diferencia de potencial constante, de tal forma que entre el punto A y B, circule una corriente eléctrica de intensidad I. Si establecemos la igualdad entre potencia total suministrada y potencia total disipada, tendremos:

VA  VB I + E 2 I + E 3 I = E1I + I 2 R1 + I 2 R2 + I 2 R3 + I 2 r1 + I 2 r2 + I 2 r3 $JUXSDQGRWpUPLQRV\VLPSOL¿FDQGRREWHQGUHPRV

VA  VB + E 2 + E 3  E1 = I R1  R2  R3  r1  r2  r3 (VWDH[SUHVLyQVHSXHGHHVFULELUGHIRUPDVLPSOL¿FDGDSRU Q

P

i=1

j=1

VA  VB + ¦ E i = ¦ IR j 6LFRQVLGHUDPRVTXHHOSXQWRLQLFLDO\¿QDOHVHOPLVPRHVGHFLUTXHVH trata de un circuito cerrado, y que el valor de la intensidad que circula por cada resistencia puede ser distinto, obtendremos: Q

P

¦ Ei = ¦ I j R j i=1

j=1

Esta expresión, entendiendo que las sumas son sumas algébricas, es decir, cada magnitud con su signo, corresponde a uno de los lemas aplicados en la resolución de circuitos.

505

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Corriente continua

6. ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS 6.1. Asociación en serie Una asociación en serie consiste en la XQLyQ GH XQ Q~PHUR ¿QLWR GH UHVLVWHQFLDV conectadas una a continuación de otra. Para efectuar el cálculo de la resistencia equivalente de dicha asociación tenemos que tener en cuenta que la intensidad de la corriente que circula a través de todas y cada una de las resistencias es la misma, mientras que la caída de tensión total corresponderá a la suma de las caídas de tensión en cada una de las resistencias asociadas: 9A  9N 

9A  9B 9B  9C  9N 1  9N

Aplicando la ley de Ohm, obtendremos: ,57  ,51,52  ,5Q  De donde, despejando: 57  5152  5Q  Es decir, la resistencia total o equivalente de una asociación de un número ¿QLWRGHUHVLVWHQFLDVHQVHULHHVODVXPDGHODVUHVLVWHQFLDVDVRFLDGDV. 6.2. Asociación en paralelo Una asociación en paralelo corresponde a OD XQLyQ GH XQ Q~PHUR ¿QLWR GH UHVLVWHQFLDV cuyos extremos se unen a dos puntos comunes, con lo que la caída de tensión a través de cada resistencia tiene el mismo valor, y coincide a su vez con el valor de la caída de tensión de la asociación, mientras que la intensidad de la corriente se deriva a través de cada resistencia que compone la asociación, por lo que la intensidad total será la suma de las intensidades de las corrientes derivadas a través de cada resistencia, es decir: 506

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Temas de Física

, ,1, 2  , n Aplicando la ley de Ohm, obtendremos: VA  VB VA  VB VA  VB V V      A B R7 R1 R2 RQ De donde: 1 1 1 1      R7 R1 R2 RQ Es decir, el inverso de la resistencia total o equivalente de una asociación GHXQQ~PHUR¿QLWRGHUHVLVWHQFLDVHQSDUDOHORHVODVXPDGHORVLQYHUVRVGH las resistencias asociadas. 7. LEMAS DE KIRCHHOFF En un circuito eléctrico, las características de los generadores y las resistencias que lo componen se consideran conocidos, pero dado que estos mismos elementos se pueden conectar de múltiples formas, las incógnitas corresponden a las intensidades de las corrientes que circulan por cada rama, aunque también pueden tomarse como incógnitas las diferencias de SRWHQFLDO/RVOHPDVRUHJODVGH.LUFKKRIIVRQGRVUH¿ULpQGRVHHOSULPHUR a los nudos y el segundo a las mallas, teniendo que tener en cuenta siempre que no todas las ecuaciones deducibles aplicando estos lemas son linealmente independientes. 7.1. Lema de los nudos Se llama nudo dentro de un circuito a los puntos donde concurren tres o más conductores. El lema de los nudos dice: la suma algébrica de las intensidades concurrentes en un nudo es nula: n

¦ I =0 i

i=1

507

ERRNVPHGLFRVRUJ

Corriente continua

'DGR TXH VXPD DOJpEULFD GH ODV LQWHQVLGDGHV VLJQL¿FD FDGD LQWHQVLGDG con su signo, tenemos que tener en cuenta que toda intensidad que llega al nudo se considera positiva, mientras que toda intensidad que sale del nudo se considera negativa. Otra posibilidad de enunciar este lema sería diciendo que los nudos, dentro de un circuito, no son ni manantiales ni sumideros de cargas eléctricas, es decir, toda carga eléctrica que llega a un nudo ha de salir de él. 7.2. Lema de las mallas Una malla corresponde al conjunto de conductores que se recorre para ir y volver al mismo nudo sin pasar dos veces por el mismo conductor, en un circuito plano, se llama malla a todo polígono formado por conductores, entendiendo que un polígono es una ¿JXUD JHRPpWULFD FHUUDGD (O OHPD GH las mallas dice: la suma de las fuerzas electromotrices existentes en una malla es igual a la suma de los productos intensidad por resistencia, para realizar ambas sumas, habrá que sustituir cada fuerza electromotriz y cada intensidad, con su signo correspondiente: Q

P

¦E =¦ I R i

i=1

j

j

j=1

Esta expresión es demostrable que se cumple, si en cada uno de los lados que forma cada malla, vamos calculando la diferencia de potencial existente, y efectuamos la suma total resultante, que para todos los potenciales de cada QXGRVHUiQXODSXHVWRTXH¿JXUDUiQGRVYHFHVXQDFRQVLJQRSRVLWLYR\RWUD con signo negativo, tal como hicimos cuando estudiamos la fuerza electromotriz. 7.3. Aplicación práctica Para aplicar los lemas de Kirchhoff para la resolución de circuitos, debemos hacerlo siguiendo siempre los mismos pasos: 508

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Temas de Física

6HLGHQWL¿FDQWRGRVORVQXGRVH[LVWHQWHVDVLJQiQGROHVXQDOHWUDDFDGD uno (A,B,C,D). 6HLGHQWL¿FDQ\UHSUHVHQWDQORVVHQWLGRVGHODVLQWHQVLGDGHVTXHFLUFXODQ por cada rama, teniendo en cuenta que entre nudo y nudo el valor de la intensidad no varía. Sea M, el número de intensidades incógnitas (I1, I2, I3, I4, I5, I6). - Se aplica el lema de los nudos a cada nudo teniendo en cuenta que si hay N nudos, solo habrá N-1 ecuaciones independientes. Para no equivocarse, lo mejor es cuando se aplica el lema a cada nudo, ir tachando cada conductor que interviene en cada ecuación, de tal forma que cuando vayamos a aplicar el lema a un nudo, y todos los conductores que en él concurren estén tachados, es decir, ya hayan intervenido al plantear otras ecuaciones, sabremos que la ecuación que obtendríamos sería linealmente dependiente, por lo que no la tendremos en cuenta. 1XGR$ I1  I 2  I 3 1XGR%  I1  I 4  I 5

0 0

1XGR&  I 2  I 5  I 6 0 1XGR''HSHQGLHQWH  6H LGHQWL¿FDQ ODV PDOODV H[LVWHQWHV DVLJQiQGROHV XQ Q~PHUR 3DUD QR confundirse, lo mejor es coger las mallas que correspondan a los mínimos polígonos inscritos, teniendo en cuenta que el número de mallas a los que aplicar el segundo lema ha de ser: M-(N-1). 6HLGHQWL¿FDVREUHODSURSLDPDOODODLQWHQVLGDGWHyULFDJHQHUDOPHQWHHO sentido contrario al giro de las agujas de un reloj, respecto a la cual se va a asignar signo a las fuerzas electromotrices y a las intensidades. - Se aplica el lema de las mallas a cada una de ellas. 0DOOD E1  E 2  E 5

I1 R1  I 2 R2  I 5 R5

0DOOD E 2  E 3  E 6

I 2 R2  I 3 R3  I 6 R6

0DOOD E 4  E 5  E 6 I 4 R4  I 5 R5  I 6 R6 Una vez hecho lo anterior habremos obtenido un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas, por lo que solo quedará resolverlo, para lo cual, la mejor forma de hacerlo es por determinantes, teniendo en cuenta que cada incógnita tendrá como solución el cociente de dos determinantes en el TXHHQHOGHQRPLQDGRU¿JXUDHOGHWHUPLQDQWHIRUPDGRSRUORVYDORUHVGHORV FRH¿FLHQWHV TXH PXOWLSOLFDQ D ODV LQFyJQLWDV PLHQWUDV TXH HO GHWHUPLQDQWH GHOQXPHUDGRUVHREWLHQHVXVWLWX\HQGRODFROXPQDGHORVFRH¿FLHQWHVGHOD incógnita que se quiere obtener, por el término independiente de cada ecuación después de igualada a cero. 509

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Corriente continua

Si al resolver el sistema obtenemos algún valor negativo para la intensidad que circula por una rama, tenemos que tener en cuenta que esto indica que el sentido asignado con anterioridad es el opuesto al sentido real que en el circuito tiene. 8. MÉTODO DE LAS CORRIENTES CÍCLICAS DE MAXWELL Dado que en un circuito, por muy simple que sea, el número de incógnitas y por consiguiente el de ecuaciones es muy elevado, a Maxwell se le RFXUULy TXH VL SDUD DSOLFDU HO OHPD GH ODV PDOODV DFXGtDPRV D GH¿QLU XQDV FRUULHQWHVFtFOLFDV¿FWLFLDVUHVSHFWRDODVFXDOHVGH¿QLUHOVLJQRGHODVIXHU]DV electromotrices y los productos intensidad por resistencia, podíamos utilizar estas corrientes para efectuar su cálculo, aplicando solo el lema de las mallas, y una vez obtenidas estas corrientes cíclicas por simple suma o resta de ellas, podíamos calcular el valor de las intensidades reales que circulan por cada conductor. De esta forma, se reduce el número de ecuaciones del sistema a resolver. Para aplicar correctamente este sistema se deben seguir los siguientes pasos: 6HLGHQWL¿FDQODVPDOODVH[LVWHQWHV correspondientes a los mínimos polígonos inscritos en el circuito (1,2,3). - Se asigna una corriente cíclica a cada malla (I1*, I2*, I3*). - Se aplica el segundo lema de Kirchhoff a cada malla, teniendo en cuenta que en el segundo miembro, la intensidad propia de la malla recorre todas las resistencias existentes en ella, y la pregunta que hay que hacerse es si alguna de esas resistencias es a la vez recorrida por otra corriente cíclica perteneciente a otra malla, y si es así, en qué sentido es recorrida, si en el mismo que la corriente cíclica propia de la malla, con lo que sería positiva, o en sentido contrario, con lo que sería negativa. En nuestro caso obtendríamos: 0DOOD E1  E 2  E 5

I1* R1  R2  R5  I 2* R2  I 3* R5

0DOOD E 2  E 3  E 6

I 2* R2  R3  R6  I1* R2  I 3* R6

0DOOD E 4  E 5  E 6

I 3* R4  R5  R6  I1* R5  I 2* R6

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Temas de Física

- Una vez resuelto el sistema anterior, y obtenidas cada una de las corrientes cíclicas, el valor de las intensidades que realmente circulan por FDGDFRQGXFWRUVHREWLHQHGHOSURSLRFLUFXLWRLGHQWL¿FDQGRFDGDXQDGHHOODV y expresando su valor en función de las corrientes cíclicas anteriormente obtenidas: I1 I1* ; I 2 I 2*  I1* ; I 3 I 2* ; I 4 I 3* ; I 5 I 3*  I1* ; I 6 I 2*  I 3* Es decir, por una simple suma o resta de los valores de las corrientes cíclicas obtenidas podemos calcular el valor de las intensidades reales que circulan a través de cada rama. 9. APLICACIONES DE LOS LEMAS DE KIRCHHOFF 9.1. Amperímetro Todos los equipos de medida de magnitudes eléctricas se basan generalmente en la medida de fenómenos magnéticos que acompañan al paso de toda corriente eléctrica, de ahí que hasta saber algo de este tipo de fenómenos no es conveniente una descripción interna de los mismos. Dentro de los equipos de medida de magnitudes eléctricas, el galvanómetro es un equipo de medida que intercalado en serie con un conductor nos indica si a través de él, circula corriente eléctrica. Aunque hay diversos tipos de galvanómetros, en general, todos ellos suelen tener el cero de la escala situada en el medio, pudiendo entonces indicar a través del signo positivo o negativo, no solo si circula corriente eléctrica sino, además, en qué sentido lo hace. Cuando el galvanómetro está graduado, de tal forma que no solo nos indica si a través del conductor pasa o no pasa corriente eléctrica, sino que además nos indica el valor de la intensidad de la corriente, expresada en amperios, entonces se trata de un amperímetro, es decir, un amperímetro es un equipo de medida que se conecta en serie con el conductor para medir la intensidad de corriente que circula por él. Cuando la intensidad de la corriente que queremos medir tiene un valor superior al valor máximo del campo de medida del amperímetro, si lo conectáramos directamente, se nos quemaría, por lo que con objeto de ampliar el campo de medida de un amperímetro o simplemente como medida de protección, se conecta en paralelo con el amperímetro una resistencia 511

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Corriente continua

auxiliar llamada VKXQW para que parte de la corriente eléctrica se derive a través de ella, evitando de esa forma que por el amperímetro circule una intensidad de corriente superior a la que puede medir. El valor del VKXQW a conectar se puede calcular aplicando el lema de las mallas de Kirchhoff, al circuito formado por el amperímetro y el VKXQW: 0  I A RA  I S RS S; de donde: I S

IA

RA RS

Teniendo en cuenta que por el lema de los nudos: I I A  I S La relación entre la intensidad total que queremos medir (I), y la intensidad que se deriva a través del amperímetro (IA), será: I § RA · = ¨1  ¸ I A © RS ¹ Por lo general, y para obtener cómodamente el valor de la intensidad total que circula por el conductor en función de la intensidad que marca HODPSHUtPHWURVXHOHXWLOL]DUVHFRPRIDFWRUGHDPSOL¿FDFLyQXQDSRWHQFLD entera de diez, para que de esta forma, en la lectura obtenida, solo haya que correr la coma tantos lugares como el exponente de la potencia indica, aunque esto no quiere decir que no se pueda utilizar cualquier otro factor DPSOL¿FDGRU7HQLHQGRHVWRHQFXHQWDODH[SUHVLyQDQWHULRUTXHGDUi I § RA · n = ¨1  ¸ = 10 I A © RS ¹ Despejando el valor de la resistencia VKXQW, obtendremos: RS =

RA 10n  1

Es decir, para ampliar el campo de medida de un amperímetro 10n veces, tenemos que conectar en paralelo con él una resistencia cuyo valor sea 10n-1 veces menor que la del amperímetro.

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Temas de Física

9.2. Voltímetro Si un amperímetro que tiene una resistencia interna RV lo conectamos entre dos puntos cuya diferencia de potencial queremos conocer, sustituyendo HQVXHVFDODHOYDORUHQDPSHULRVTXH¿JXUDSRUHOYDORUGHOSURGXFWRIVRV, tendremos entonces un voltímetro. Es decir, un voltímetro es un equipo de medida que conectado en paralelo entre dos puntos nos da el valor de la diferencia de potencial entre ambos puntos. Al igual que un amperímetro, si con un voltímetro queremos medir una diferencia de potencial (V), superior al valor máximo que el voltímetro puede medir (VV), se nos quemaría, por lo que es necesario utilizar una resistencia auxiliar, VKXQW, que unida en serie con el voltímetro evite que esto suceda. De esta forma la diferencia de potencial total será la suma de la diferencia de potencial que el voltímetro marca, más la que existe entre los extremos del VKXQW (VS), es decir: V

VV  VS

Dado que la intensidad de la corriente que circula a través del voltímetro y del VKXQW, por estar en serie, es la misma, teniendo en cuenta la ley de Ohm VHYHUL¿FDUi I

VV RV

VS ; de donde: VS RS

VV

RS RV

Sustituyendo este valor en la expresión de la diferencia de potencial, REWHQGUHPRVSDUDODUHODFLyQGHDPSOL¿FDFLyQHOYDORU V § RS · = ¨1  ¸ VV © RV ¹ 6L WRPDPRV FRPR IDFWRU GH DPSOL¿FDFLyQ XQD SRWHQFLD HQWHUD GH GLH] como en el caso del amperímetro, obtendremos, para el valor del VKXQW:

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Corriente continua

V § RS = ¨1  VV © RV

· n n ¸ = 10 ; RS = 10  1 RV ¹

Es decir, para ampliar el campo de medida de un voltímetro 10n veces, habrá que conectar en serie con él, un shunt 10n-1 veces mayor que la resistencia del voltímetro. 9.3. Puente de Wheatstone Para efectuar la medida de resistencias eléctricas se utiliza un montaje denominado puente de Wheatstone, en el que conocido el valor de tres resistencias puede determinarse el valor de una resistencia desconocida. El montaje consiste en lo siguiente: se colocan las cuatro resistencias formando un rectángulo. Entre dos vértices opuestos se conecta un galvanómetro que nos indicará si entre ambos vértices pasa corriente eléctrica, mientras que los otros dos vértices opuestos se conectan a un generador de corriente. Contigua a la resistencia que queremos determinar (Rx=R4), se conecta una resistencia variable (R1), de tal forma que actuando sobre ella se consigue que el galvanómetro indique que la corriente que pasa a través de él es nula, o lo que es lo mismo, el punto A y el B están al mismo potencial. En este momento se dice que el puente está equilibrado. Si aplicamos el segundo lema de Kirchhoff a las mallas 1 y 2, obtendremos, dado que en ellas no hay ninguna fuerza electromotriz: 0 =  I1 R1  I G RG  I 2 R2 ; 0 = I 3 R3  I 4 R4  I G RG Si como hemos dicho, se consigue equilibrar el puente, IG = 0, las expresiones anteriores podrán escribirse:

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Temas de Física

I1 R1 = I 2 R2 I 4 R4

I 3 R3

Por otro lado, al estar el puente en equilibrio, aplicando el lema de los nudos a los puntos A y B, obtendremos que: I1 = I4; I2 = I3 Luego al dividir miembro a miembro las igualdades anteriores, tendremos la llamada ecuación de equilibrio del puente, que dice que el producto de las resistencias opuestas es idéntico (R1R3=R2R4), por lo que se podrá despejar el valor de la resistencia desconocida, y calcularla en función de las otras tres resistencias conocidas. RR R1 R2 = ; R4 = Rx = 1 3 R4 R3 R2 (O SXHQWH GH KLOR HV XQD VLPSOL¿FDFLyQ del puente de Wheatstone, en el cual dos de las resistencias (R2, R3) se sustituyen por un hilo conductor, de tal forma que para obtener el valor de una resistencia no es necesario conocer el valor de otras tres, sino simplemente de una. El equilibrio del puente se consigue desplazando un cursor móvil unido al galvanómetro sobre el hilo conductor, de tal forma que si el hilo conductor tiene una longitud l, se consigue el equilibrio del puente (IG = 0), a una longitud x, del SULQFLSLRGHOKLOR7HQLHQGRHQFXHQWDODGH¿QLFLyQGHUHVLVWHQFLD R2 = R

x l-x ; R3 = R S S

Sustituyendo estos valores en la ecuación del puente de Wheatstone, y VLPSOL¿FDQGRREWHQGUHPRV R4 = Rx = R1

l-x x

Puesto que al ser el mismo conductor, la resistividad y la sección serán las mismas en todo el conductor. 515

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Corriente continua

10. ASOCIACIÓN DE PILAS Vamos a calcular cuál es el valor de la intensidad de la corriente que suministran a un circuito de resistencia R, una asociación de n pilas, siendo Q XQ Q~PHUR ¿QLWR GH LJXDOHV FDUDFWHUtVWLFDV HV GHFLU GH LJXDO IXHU]D electromotriz İ, y de igual resistencia interna r. 10.1. Asociación en serie Una asociación en serie corresponde a conectar una pila a continuación de la otra, hasta unirlas todas, de tal forma que el borne positivo de la primera y el borne negativo de la última se unan al circuito externo. Si aplicamos el segundo lema de Kirchhoff al circuito así formado, obtendremos: nE = I R+n I r

Despejando el valor de la intensidad, obtendremos: I=

nE R+n r

Es decir, la intensidad de la corriente obtenida es proporcional al número de pilas asociadas, por lo que es la forma de conectarlas cuando se quiere obtener de ellas la intensidad máxima. 10.2. Asociación en paralelo Una asociación en paralelo consiste en unir los bornes de igual signo de todas las pilas asociadas a dos puntos comunes, y estos al circuito externo, de tal forma que si aplicamos el segundo lema de Kirchhoff a la malla que corresponde al circuito externo, obtendremos:

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Temas de Física

r· § E = I R + I i r = I ¨ R  ¸ ; pues: I i n¹ ©

I n

Dado que si todas las pilas tienen idénticas características, la intensidad de la corriente que se deriva a través de cada pila (Ii) tendrá como valor la intensidad total (I), dividida por el número de corrientes derivadas (n). La intensidad que recorre el circuito será entonces: I=

E R+

r n

Es decir, la intensidad que circula por el circuito externo no es proporcional al número de pilas sino que es como si solo tuviéramos una pila unida a dicho circuito. Este es el sistema de conexión que suele utilizarse para cargar baterías. Solo en el caso de que el valor de la resistencia del circuito sea despreciable respecto a r/n, puede considerarse que la intensidad es proporcional al número GHSLODVSXHVVHYHUL¿FDTXH r nE R N u L @ 2P r

JJG %1

M0 I G G >M u L@ 2P r

JJG G F1 20 ˜10 M l1 7

JJG G F2 20˜10 N l2 7

G G 105 >M u M @

G G 105 >N u N @

0

0

12.27. Calcular el valor, dirección y sentido de la fuerza que actúa sobre HOFLUFXLWRUHFWDQJXODUGHOD¿JXUDUHFRUULGRSRUXQDFRUULHQWHGH$SRU ODDFFLyQGHOFRQGXFWRUUHFWLOtQHRLQGH¿QLGRUHFRUULGRSRUXQDLQWHQVLGDG$ VLWXDGRDFPGHXQRGHVXVODGRVȝo/4S = 10-7 wb/A.m). /DVGRVIXHU]DVVREUHORVODGRV%&\'$VRQLJXDOHVSDUDOHODVDOFRQGXFWRU \GHVHQWLGRVFRQWUDULRVSRUORTXHVHDQXODQ JJG M I G G G 2 ˜ 107 ˜ 1 0 )1  , C O L   0,5˜ 0, 2L   2˜107 L 1 2P r 0,1 JJG F2 =

G 2 ˜107 ˜1 G G M0 I 0,5 ˜ 0, 2 i = 107 i N IC l i = 2P r  a 0,1  0,1

575

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Campo magnético

JG F

JJG JJG F2  F1

G 107 i N

12.28. Calcular la intensidad de la corriente que circula por cada uno GHORVGRVFRQGXFWRUHVUHFWLOtQHRVLQGH¿QLGRV\SDUDOHORVVLWXDGRVDFP de distancia sabiendo que dicha corriente es de igual magnitud y sentido en ambos, y que la fuerza que hay que aplicar sobre cada uno de ellos para VHSDUDUORVHVGHGLQDVFPȝoʌ -7 wb/A.m). F M0 I 2 = ;I= l 2P d

F 2P d 0,55 ˜105 ˜ 101 l = = 16,58 A 2 ˜102 ˜107 M0

12.29. Dos conductores de cobre de 1 cm de diámetro y de resistividad 1,8.10-8ŸPIRUPDQXQDOtQHDGHDOWDWHQVLyQGH9\GHNPGH longitud. Ambos conductores están separados una distancia de 1m y terminan en corto circuito. Calcular la fuerza por metro entre ambos conductores (µ o/4 ʌ -7wb/A.m). $OWHQHUHOPLVPRVHQWLGRGHFRUULHQWHVHDWUDHQ I

F l

V R

V l R 2 Pr

200000 200 ˜103 1,8 ˜108 P 0,52 ˜104

4P 107 ˜ 4363,3232 2P ˜1

M0 I 2 2P d

200000 45,836

3,8077

4363,323 A

1 /P

12.30. Calcular el trabajo por unidad de longitud de conductor que hay que realizar para separar a una distancia de 20 cm, dos conductores rectilíneos paralelos situados en el vacío e inicialmente separados por una distancia de 10 cm si las intensidades que circulan por ambos son de 20 y 30 A respectivamente y lo hacen en el mismo sentido ( M0 4P 107 wb/A.m). :

x2

x2

³ ) ˜ G[

³

x1

x1

MR I1 I 2 l G[ 2P x

MR I1 I 2 l x2 W OQ ; 2P x1 l

4P ˜ 107 ˜ 20 ˜ 30 20 OQ 2P 10

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8,3 ˜ 105 - / P

Temas de Física

'RVFDEOHVSDUDOHORVHLQGH¿QLGRVGHGHQVLGDGOLQHDONJPSRU los que está circulando la misma intensidad de corriente, están suspendidos GHXQRVKLORVGHFPGHORQJLWXGWDOFRPRLQGLFDOD¿JXUD(OVLVWHPDHVWi en equilibrio cuando el ángulo que forman los hilos de suspensión entre sí, es de 12º. Calcular: a) cuál es la intensidad de corriente que está circulando por ambos cables. b) Si la corriente se reduce a la mitad, considerando que DOUHGXFLUVHHOiQJXORVHQĮ§WJĮFXiOVHUiODGLVWDQFLDHQWUHDPERVFDEOHV ( M0 4P 107 ZE / $.P, J 10 P / V 2 ). a) WJ

A 2

d /2 0, 04

)PDJ / PHWUR 3 / PHWUR

VHQ

d /2 b) 0, 04

A ; G 2

VHQ

G

2P G R J WJ A / 2 M0

0, 0083 ˜ 0, 05 ˜10 ˜ 0,105 2 ˜107

46, 7 $

0, 08 ˜ 0,104 8,32 ˜103 P

A A | WJ ; G 2 2

I2 4 0, 08 2PR g M0

M0 I 2 2P d ; , RJ

0, 08 ˜ WJ

0, 08 ˜107 ˜ 46,92 2 ˜ 0, 05 ˜10

A 2

M0 I 2 0, 08 2P d Rg

4, 2 ˜103 P

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TEMA XIV: INDUCCION MAGNÉTICA

1. LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY Faraday pensó que si una corriente eléctrica era capaz de crear un campo magnético, un campo magnético debería ser capaz de crear una corriente eléctrica, y realmente comprobó y obtuvo corrientes eléctricas en circuitos sin generadores, producidas por campos magnéticos, que él llamó corrientes inducidas. Una corriente inducida puede obtenerse por uno de los métodos siguientes: - El circuito se desplaza en un campo magnético constante, producido por otro FLUFXLWR¿MRRXQLPiQ  (O FLUFXLWR HVWi ¿MR HV GHFLU HQ reposo, dentro de un campo magnético de intensidad variable. Estos hechos le llevaron a estimar que lo importante para generar una corriente eléctrica no era el valor de la intensidad del campo magnético, sino ODYDULDFLyQGHOÀXMRGHOFDPSRPDJQpWLFRDWUDYpVGHOFLUFXLWRHQWHQGLHQGR TXHVHOODPDÀXMRGHXQYHFWRUDWUDYpVGHXQDVXSHU¿FLHDOSURGXFWRHVFDODU GHOYHFWRUSRUHOYHFWRUUHSUHVHQWDWLYRGHODVXSHU¿FLH(QQXHVWURFDVRHO ÀXMRGHOFDPSRPDJQpWLFRVHUi G JJG d ) = B ˜ dS G JJG 6LTXHUHPRVFDOFXODUHOÀXMRWRWDO ) = ³ ³ B ˜ dS Dimensionalmente: > ) @ >%@/2  0 /2 7 14 1 Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el weber (wb). La Ley de Faraday, que él dedujo experimentalmente, dice que el valor de la fuerza electromotriz inducida en un circuito es igual a la variación que VXIUHFRQHOWLHPSRHOÀXMRGHOFDPSRPDJQpWLFRDWUDYpVGHOFLUFXLWR: Ei = 

d) GW 579

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Inducción magnética

(OVLJQRPHQRVTXH¿JXUDHQODH[SUHVLyQFRUUHVSRQGHDOD/H\GH/HQ] que dice que: el sentido de la fuerza electromotriz inducida en un circuito es tal, que el campo magnético por ella creado tiende a oponerse a la variación GH ÀXMR TXH OD KD RULJLQDGR (VWD OH\ DXQTXH SDUH]FD XQ SRFR DUWL¿FLRVD en su enunciado, es necesaria porque si no la ley de Faraday podría entrar en contradicción con el primer principio de la termodinámica. Supongamos que tuviéramos un campo magnético, y dentro de él un circuito en el que se indujese una corriente eléctrica. Dicha corriente inducida crearía un campo magnético que si se sumase al existente, daría como resultado una corriente de intensidad mayor, que a su vez crearía un campo magnético de mayor intensidad, que daría lugar a una corriente de intensidad mayor, etc. Es decir, estaríamos creando energía sin realizar una cantidad equivalente de trabajo, de ahí la necesidad de la ley enunciada por Lenz para indicar que el campo magnético creado por la corriente inducida no puede sumarse, sino que ha GH UHVWDUVH GHO FDPSR LQGXFWRU GH WDO IRUPD TXH HO ÀXMR TXH pVWH SURGXFH cada vez es menor, hasta que se anula, lo que cumple el primer principio de termodinámica. Aunque la ley de Faraday es una ley experimental, vamos a tratar de deducirla en el caso de que la fuerza electromotriz sea inducida por el movimiento de conductores. Consideremos un conductor de longitud dl. Para que por él circule una corriente eléctrica será necesario establecer en sus extremos una diferencia de potencial dV, cuyo gradiente o variación a lo largo del conductor, cambiado de signo, corresponderá al valor del campo eléctrico: G dV JG E= ul dl La fuerza electromotriz inducida será pues equivalente a establecer una diferencia de potencial entre los extremos del conductor, de tal forma que: G G E i = ³ dV =  ³ E ˜ dl Teniendo en cuenta que las expresiones obtenidas para la fuerza eléctrica y magnética que actúan sobre cargas eléctricas son:

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Temas de Física

JJG G JG G JJJG )(  T()0  Tª¬Y u % º¼ Podemos considerar que el campo magnético es equivalente a un campo eléctrico: G G G Ec = v u B Sustituyendo en la expresión anterior, obtendremos: G G G G JJG E i = - ³ E c ˜ dl = - ³ ( v u B ) dl Teniendo en cuenta que el producto mixto goza de la propiedad de que son iguales todos los productos obtenidos por la permutación circular de sus elementos, y que si el conductor se desplaza una distancia da en un tiempo GW, su velocidad puede expresarse en función de dicho desplazamiento, obtendremos: JJG G JG JJG JG JJG G § JJG da · G E i =  ³ v u B ˜ dl =  ³ B u dl ˜ v =  ³ ¨ dl u ¸ ˜ B GW ¹ ©









Dado que la longitud del conductor permanece invariable, y teniendo en cuenta que el producto vectorial del conductor por su desplazamiento FRUUHVSRQGHDOYHFWRUUHSUHVHQWDWLYRGHODVXSHU¿FLHEDUULGDSRUHOFRQGXFWRU obtendremos: Ei =  ³

d JJG JJG G d JJG JG d) dl u da ˜ B = ³ dS ˜ B =  GW GW GW









Una corriente inducida tiene naturaleza distinta de la corriente eléctrica que hasta ahora hemos considerado, y esto puede establecerse estudiando las diferencias del campo eléctrico a ellas asociado. Al introducir el concepto de potencial electrostático, que es una magnitud escalar, pudimos hacerlo, porque comprobamos que el campo eléctrico era un campo irrotacional, es decir:

581

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Inducción magnética

JG G

JJJG G JJG

v³ ( ˜GO ³³ URW(˜G6

JJJG G 0Ÿ URW( 0

s

Si consideramos una línea cerrada dentro de un campo magnético, teniendo en cuenta el teorema de Stokes, y el valor de la fuerza electromotriz inducida, anteriormente obtenido, nos resultará: G JJG JJG JJJG G JJG d) wB JJG E i  v³ ( ˜GO ³³ URW(˜G6   ³³  ˜G6 GW wW S S G JJJG G wB Es decir: URW(  wW Toda variación de campo magnético a lo largo del tiempo induce un campo eléctrico que a diferencia del campo electrostático no es irrotacional, y consecuentemente, no puede introducirse en él, un potencial. Esta expresión corresponde a la segunda ecuación de Maxwell. 2. F.E.M. INDUCIDA POR MOVIMIENTO DE CONDUCTORES Una de las posibles formas de obtener una corriente inducida consiste en desplazar un circuito en un campo magnético constante. La fuerza electromotriz inducida dentro del circuito podrá calcularse utilizando cualquiera de las expresiones: JG JJG G JG JJG d) E i = v³ E ˜ dl = v³ v u B ˜ dl =  GW





Vamos a comprobar la igualdad de estas expresiones, efectuando el cálculo del valor de la fuerza electromotriz inducida en algunos casos particulares de movimiento de conductores en campos magnéticos constantes. 2.1. Conductor rectilíneo con velocidad lineal constante Consideremos un conductor de longitud l, que se desplaza con velocidad lineal constante en un campo magnético constante. La fuerza electromotriz inducida en dicho conductor vendrá dada por:

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Temas de Física

G JG G G G G E i   Y u % ˜O  _Y__%_VHQA _O _FRVQ





6LHQGR Į HO iQJXOR TXH IRUPDQ OD YHORFLGDG \ HO FDPSR PDJQpWLFR \ Ĭ el ángulo que forman el vector producto G G vectorial de los anteriores ( v u B ), con el conductor. El valor de la fuerza electromotriz inducida será máximo, cuando los tres vectores sean perpendiculares entre sí, ya que entonces el valor del seno \GHOFRVHQRTXH¿JXUDQHQODH[SUHVLyQDQWHULRUWRPDUiQHOYDORUSXHVHO G G conductor tendrá la misma dirección que el vector producto vectorial ( v u B ), SRUODSURSLDGH¿QLFLyQGHpVWHKDGHVHUSHUSHQGLFXODUDDPERVYHFWRUHV G G G G G G G O __Y u %ŸO A Y A % A O G G G E i  _Y__%_VHQ90º _O _FRV0º Y%O

2.2. Espira rectangular con velocidad lineal constante Consideremos una espira rectangular situada sobre el plano XZ, y desplazándose en el sentido positivo del eje x, siendo el campo magnético normal al plano de la espira, dirección y sentido que tomaremos para el eje y. Según esto: G G Y Y0 0 % 0 %0 G i G G v u B= v

G G j k G 0 0 =v Bk 0 B 0

La fuerza electromotriz inducida se obtendrá calculando la circulación de este vector a lo largo de cada uno de los lados de la espira, teniendo en cuenta que el que el campo magnético sea constante quiere 583

ERRNVPHGLFRVRUJ

Inducción magnética

decir que su valor no varía con el tiempo, pero esto no quiere decir que tenga que tener el mismo valor en todos los puntos. Por este motivo, al efectuar el cálculo de la circulación sobre cada lado de la espira, el valor del campo magnético sobre cada lado se considera distinto, es decir: G JG JJG G G G G G G G G E i = v³ v u B dl = vB12 k ˜ ai + vB23 k ˜ bk + vB34 k ˜ a (-i ) + vB41 k ˜ b(-k )





El valor resultante será entonces: E i = vb B23  B41 Vamos ahora a calcular el valor de la fuerza electromotriz mediante el FiOFXORGHODYDULDFLyQGHOÀXMRGHOFDPSRPDJQpWLFRHVGHFLUDSOLFDQGROD ley de Faraday. /DYDULDFLyQGHOÀXMRGHOFDPSRPDJQpWLFRDWUDYpVGHODHVSLUDFRUUHVSRQGHUiDOÀXMRJDQDGRDWUDYpVGHODVXSHU¿FLHPHQRVHOSHUGLGRSRUODVXSHU¿FLHWHQLHQGRHQFXHQWDTXHHOYHFWRUUHSUHVHQWDWLYRGHHVDVVXSHU¿FLHV tendrá el sentido de avance de un tornillo girado en el sentido de recorrido, que en nuestro caso corresponde al sentido contrario al giro de las agujas de un reloj, por lo que: JJJG G JJJG G G61 EYGW(M )G6 2  EYGW(M ) 3RUFRQVLJXLHQWHODYDULDFLyQGHÀXMRVHUi G G G G G ) %23 M˜EYGW (M )%41 M˜EYGW (M ) EYGW %41  %23 Aplicando la ley de Faraday, teniendo en cuenta que la velocidad y el campo magnético son constantes, obtendremos: Ei = 

d) = vb B23  B41 GW

Que como vemos coincide con la expresión anteriormente obtenida.

584

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Temas de Física

2.3. Espira que gira con velocidad angular constante Consideremos una espira rectangular que gira con una velocidad angular constante en un campo magnético también constante, de dirección perpendicular al eje de giro. Si tomamos como origen de tiempos el instante en que el vector campo coincide con el vector UHSUHVHQWDWLYR GH OD VXSHU¿FLH GH la espira, es decir, cuando el vector campo es normal al plano de la espira, el ángulo que forma el vector campo con el vector representativo de la VXSHU¿FLHGHODHVSLUDYDUtDFRQHOWLHPSR\VXYDORUHV A  W W La fuerza electromotriz inducida será: G JG JJG E i  v³ Y u % ˜GO 2(Y%VHQA )EFRV0º2(Y%VHQA )DFRV90º





Dado que la velocidad lineal es, en todo instante, tangente a la trayectoria y consecuentemente, su dirección coincidirá con la dirección del vector UHSUHVHQWDWLYR GH OD VXSHU¿FLH \ DXQTXH VREUH ORV ODGRV ODWHUDOHV a), la velocidad de cada punto del lado será distinta en función de la distancia al eje G de giro, el vector producto vectorial ( vG u B ) tendrá la dirección del eje de giro por lo que será perpendicular al lado, y consecuentemente su producto escalar por él será nulo: G G G G G G (Yu%)˜D _Y u %__D_FRV90º 0 Teniendo en cuenta que: G G G G G a v =W u r =W u 2 Obtendremos para la fuerza electromotriz inducida:

585

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Inducción magnética

a E i  2W  %VHQW W W %6VHQW W 2 6LDSOLFDPRVODOH\GH)DUDGD\HOÀXMRDWUDYpVGHODHVSLUDVHUi G G G ) %˜6 %6FRVW W Por lo que la fuerza electromotriz inducida será: E i  

d)  ()W %6VHQW W W %6VHQW W GW

Que como puede observarse, coincide con el valor anteriormente obtenido. Si en vez de una espira es un solenoide de N espiras, el valor de la fuerza electromotriz inducida será: E i  W %16VHQW W 3. AUTOINDUCCIÓN E INDUCCIÓN MUTUA Hasta ahora hemos considerado solo casos de inducción obtenidos por movimiento de conductores en campos magnéticos constantes, pero tal y como dedujo Faraday, hay también la posibilidad de obtener corrientes inducidas en circuitos estáticos siempre y cuando estén situados en campos magnéticos variables. Dado que un campo magnético se crea mediante una corriente eléctrica, si la intensidad de la corriente eléctrica que crea el campo varía, teniendo en cuenta la ley de Biot-Savart, también variará el valor de la intensidad del campo magnético creado por ella. Si consideramos el caso de que es el propio circuito el que se induce a sí mismo una corriente eléctrica, el fenómeno se llama autoinducción, mientras que si corresponde a dos circuitos independientes, en los que se induce en cada uno de ellos una corriente eléctrica debida al otro, el fenómeno recibe el nombre de inducción mutua. 3.1. Autoinducción Consideremos un circuito eléctrico formado por un generador, una resistencia variable y un solenoide o bobina. Al conectar o interrumpir el circuito, 586

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Temas de Física

o bien variando el valor de su resistencia, podremos hacer variar la intensidad de la corriente que circula por él, con lo que en el interior del solenoide se creará un campo magnético variable, que considerando que el solenoide es LQGH¿QLGR HV GHFLU FX\D ORQJLWXG HV PX\ VXSHULRU DO UDGLR GH VXV HVSLUDV tendrá un valor: G M NI _%_  l Al estar el propio circuito bajo la acción de este campo magnético variable, se inducirá en él una fuerza electromotriz que según la ley de Lenz tendrá sentido contrario a la inductora, es decir, corresponderá a una fuerza contraelectromotriz. Es demostrable, basándose en la ley de Biot-Savart aunque no de forma simple, que el ÀXMRGHOFDPSRPDJQpWLFRHVSURSRUFLRQDODO valor de la intensidad de la corriente, es decir: ) = L I , o bien: L =

) I

/DUHODFLyQHQWUHHOÀXMRGHOFDPSRPDJQpWLFRDWUDYpVGHXQFLUFXLWR\ la intensidad de la corriente que circula por él, es una cantidad constante, \UHFLEHHOQRPEUHGHFRH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQGHOFLUFXLWR. Su ecuación de dimensiones es: >/@ 

> ) @ 0/27 14 1   0/24 2 >,@ 47 1

Su unidad de medida en el Sistema Internacional corresponde al Henrio (H), siendo esta unidad: 1 H = 1 ȍ1 s. Aplicando la ley de Faraday, la fuerza electromotriz autoinducida en el circuito vendrá dada por: Ei = 

d) dI =L GW GW 587

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Inducción magnética

Utilizando el valor del campo magnético creado por un solenoide, vamos DFDOFXODUFXiOHVHOYDORUVXFRH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQ )= B N S =

M NI M N 2 IS NS = l l

(OFRH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQSDUDXQVROHQRLGHVHUiHQWRQFHV L=

) M N 2S = I l

3.2. Energía de un campo magnético Cuando estudiamos el campo electrostático vimos que su densidad de energía era: dW E E 2 = dT 2 Vamos a tratar de calcular cuál es la energía asociada a un campo magnético. Si consideramos el circuito descrito anteriormente, formado por un generador, una resistencia y un solenoide, podemos aplicarle el segundo lema de Kirchhoff, con lo que obtendremos:

E  Ei = I R Aplicando la ley de Faraday, y utilizando la expresión de la fuerza elecWURPRWUL]LQGXFLGDHQIXQFLyQGHOFRH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQSRGUHPRVHVcribir: E

IR +

d) dI = IR + L GW GW

Es decir, la potencia suministrada por el generador será:

588

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Temas de Física

E I = I2 R+ L I

dI GW

Teniendo en cuenta que la potencia es la energía suministrada en la unidad GHWLHPSR\TXHHOFRH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQHVFRQVWDQWHODH[SUHVLyQ anterior podrá escribirse: P=

dW d §1 · = I 2 R + ¨ LI 2 ¸ GW GW © 2 ¹

Es decir, lo encerrado entre paréntesis corresponderá justamente al valor de la energía asociada a la creación del campo magnético del solenoide: dW0 =

1 L I2 2

6LVXVWLWXLPRVHQHVWDH[SUHVLyQHOYDORUGHOFRH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQ para un solenoide, y teniendo en cuenta cual es el valor de la intensidad del FDPSRPDJQpWLFRFUHDGRSRUpOFRQVLGHUiQGRORLQGH¿QLGR dW0 =

1 M N 2S 2 1 M 2 N 2I 2 B2 I = Sl =  Sl 2 l 2 Ml 2 2M

Teniendo en cuenta que el campo magnético creado por un solenoide prácticamente se reduce a su interior pues fuera de él se puede considerar nulo, podremos deducir que la densidad de energía asociada a un campo magnético vendrá dada por: R0 =

dW B 2 = Sl 2 M

Es decir, la densidad de energía de un campo magnético es directamente proporcional al cuadrado de su intensidad e inversamente proporcional a la permeabilidad magnética del medio donde está situado.

589

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Inducción magnética

&RH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQGHXQFDEOHFRD[LDO Un cable coaxial corresponde a dos cables con el mismo eje, uno interno y otro externo. El cable interno suele ser el activo, es decir, aquel que transporta la corriente eléctrica, mientras que el externo suele ser masa, como ocurre en un cable de antena de televisión, de tal forma que si a través del cable interno la intensidad de la corriente varía, se induce en el cable externo una corriente eléctrica. 6L FRQVLGHUDPRV TXH HO FDEOH HV LQGH¿QLGR \ WHQHPRV HQ FXHQWD OD expresión obtenida para el valor de la intensidad del campo magnético creado SRUXQFRQGXFWRUUHFWLOtQHRLQGH¿QLGRWHQGUHPRV G JJG M I JJG JJG dF = B ˜ dS = dr ˜ dl 2P r





3DUDHIHFWXDUHOFiOFXORGHOÀXMRWRWDOWHQGUHPRVTXHHIHFWXDUODLQWHJUDO H[WHQGLGD D WRGD OD VXSHU¿FLH GHO FRQGXFWRU H[WHUQR SHUR FRPR ODV GRV variables son independientes, el resultado de dicha integración será: b l

F=³³ a 0

b

MI M Il M Il b drdl = ³ dr = ln a 2P r 2P r 2P a

(OFRH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQVHUiHQWRQFHV F Ml b L= = ln I 2P a En general suele expresarse en henrios por metro de conductor, es decir: L M b = ln l 2P a

590

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Temas de Física

3.4. Inducción mutua Cuando tenemos dos circuitos próximos recorridos por corrientes eléctricas de intensidades variables, cada uno de ellos creará sobre el otro un campo magnético de intensidad variable, por lo que en cada uno de ellos aparecerá, debido al campo magnético del otro, una corriente inducida. Este fenómeno se conoce con el nombre de inducción mutua. Al igual que en el caso de la autoinducción, DOFRFLHQWHHQWUHHOÀXMRGHOFDPSRPDJQpWLFR\ODLQWHQVLGDG de la corriente inductora, que es una característica de los circuitos, se GHQRPLQDFRH¿FLHQWHGHLQGXFFLyQPXWXD, y tiene las mismas dimensiones y VHPLGHHQODVPLVPDVXQLGDGHVTXHHOFRH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQ 2 1 1 ) >0@  > ) @  0/ 7 4  0/24 2 0  >,@ 47 1 I ;

Su unidad de medida será el Henrio (H). La fuerza electromotriz inducida en el segundo circuito por la intensidad de la corriente que recorre el primer circuito será: E 21 

dF21 dI 0 21 1 GW GW

(QGRQGHHOYDORUGHOÀXMRPDJQpWLFR será: JJG JJJG dF21 = B1 ˜ dS 2 Análogamente, sobre el primer circuito se inducirá una corriente eléctrica debida al campo magnético creado por el segundo circuito, cuyo valor dependerá de la intensidad de la corriente que lo recorre, teniendo en cuenta que para que se induzca corriente sobre el primer circuito, es necesario que la intensidad del segundo varíe. El valor de la fuerza electromotriz inducida en el primer circuito será: E12  

dF12 dI 0 12  2 GW GW

(OYDORUGHOÀXMRGHOFDPSRPDJQpWLFRVHUi 591

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Inducción magnética

JJG JJJG dF12 = B2 ˜ dS1 Es demostrable que: 0 21 0 12  0  &RH¿FLHQWH GH LQGXFFLyQ PXWXD de dos solenoides Consideremos dos solenoides coaxiales, en los que su longitud es muy superior al radio de sus espiras, teniendo ambos la misma longitud. Vamos a llamar primario, al solenoide externo que tiene un número de espiras N1, de radio r1, y recorrido por una corriente eléctrica de intensidad I1. El campo magnético creado por él será: B1 =

M N1 I1 l

(O ÀXMR GHO FDPSR D WUDYpV GHO VHJXQGR VROHQRLGH DO TXH OODPDUHPRV secundario, considerando que tiene N2 espiras de radio r2, vendrá dado por: JJG JJG M N I M N1 N 2P r22 1 1 F21 = B1 ˜ S 2 = N 2 P r22 = I1 l l 3RUORTXHHOFRH¿FLHQWHGHLQGXFFLyQPXWXDVHUi 0 21 

M N1 N 2 P r22 l

Resultado que sería idéntico al obtenido si hubiéramos considerado que el solenoide inductor fuese el secundario. 6LWHQHPRVHQFXHQWDHOYDORUREWHQLGRSDUDHOFRH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQ GH XQ VROHQRLGH WHQGUtDPRV FRPR YDORU GH GLFKR FRH¿FLHQWH SDUD ORV GRV solenoides:

592

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L1 =

M N12P r12 M N 22 P r22 L2 = l l ;

Si multiplicamos ambos valores y extraemos su raíz cuadrada, obtendremos:

L1 L2 =

2 M N12 N 22P 2 r12 r22 M N1 N 2 P r1r2 = l2 l

Multiplicando y dividiendo esta expresión por r2, y teniendo en cuenta el FRH¿FLHQWHGHLQGXFFLyQPXWXDDQWHULRUPHQWHKDOODGRREWHQGUHPRV 0 21 

M N1 N 2 P r22 r2    /1 /2 l r1

Esta expresión puede generalizarse para cualquier par de circuitos: 0  N /1 /2 (V GHFLU HO FRH¿FLHQWH GH LQGXFFLyQ PXWXD HQWUH GRV FLUFXLWRV HV SURSRUFLRQDODODUDt]FXDGUDGDGHOSURGXFWRGHVXFRH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQ (OFRH¿FLHQWHGHSURSRUFLRQDOLGDGVHOODPDFRH¿FLHQWHGHDFRSODPLHQWRk) y su valor puede oscilar entre 0 y 1, en función de la geometría de ambos circuitos. En el caso de un transformador, puesto que un transformador FRUUHVSRQGHDGRVVROHQRLGHVFRD[LDOHVHOFRH¿FLHQWHGHDFRSODPLHQWRHVk = r2/r1 Este valor será el máximo posible, es decir, la unidad, siempre que ambos solenoides tengan el mismo radio de espira, de ahí que, en general, se arrollen VREUHXQPLVPRQ~FOHRSDUDTXHDPERVSRVHDQLJXDOGLiPHWUR\VXFRH¿FLHQWH de acoplamiento tenga el valor máximo. 4. BIBLIOGRAFÍA - Kip, A.F.: FUNDAMENTOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO. Ed. del Castillo. Madrid, 1967. - Palacios, Julio: ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO. Ed. EspasaCalpe. Madrid, 1959. 593

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Inducción magnética

5. PROBLEMAS DE EXAMEN 5.1. Un circuito eléctrico que posee una pila de 9 V de f.e.m. y una UHVLVWHQFLDWRWDOGHȍRFXSDXQDVXSHU¿FLHGHP2, y está sometido a un G campo magnético variable _%_ 8W4 normal al circuito y en el sentido de avance de un tornillo que girará siguiendo la dirección de la corriente eléctrica. Calcular: a) El valor de la f.e.m. inducida. b) El valor de la intensidad de la corriente que circula a través del circuito. a) E i =  S

w 8W  4 wB =  0,5 =  0,58 =  4 V wW wW

b) E  E i = I R ; I =

E  Ei 9  4 = = 0,5 A 10 R

5.2. Una bobina de 200 espiras está arrollada sobre un bastidor de 0,1 m2 GHVXSHU¿FLH\VHFRORFDSHUSHQGLFXODUDODFRPSRQHQWHGHOFDPSRPDJQpWLFR terrestre cuyo valor es de 1,8.10-5 wb/m2. Calcular la carga que circulará por dicha bobina si el bastidor se gira rápidamente 180º sabiendo que la resistencia HVGHȍ E 'F 1 NS 'B 200 ˜ 0,1 ˜ 2 ˜1,8 ˜105 '4 , 'W  i 'W   'W     2 ˜105 & 5 'W 5 5 36

Pues al girar 180º, pasa del B0$; a 0, y de 0 a -B0$;, es decir 2B 5.3. Un avión despega con un ángulo de 60º con la horizontal a 950 km/h. La distancia total entre los extremos de sus alas es de 12,5 m. Calcular la f.e.m. inducida en ellas por la componente horizontal del campo magnético terrestre de 0,4.10-4 wb/m2. 950 ˜103 E i =  B l v sen 60º = 0, 4 ˜10 ˜12,5 ˜ 0,866 = 0,1142 V 60 ˜ 60 4

5.4. Un tren se mueve en dirección Norte-Sur con una velocidad de 36 km/h. Sabiendo que la componente normal del campo magnético terrestre es de 5,4.10-5 T (wb/m2), hallar la fuerza electromotriz inducida en el eje de un vagón de 1,2 m de longitud. 594

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Temas de Física

E i  Y%VHQ90ºOFRV0º 

36 5, 4˜105 ˜1˜1, 2 ˜1 6, 48 ˜104 9  3, 6

5.5. Calcular el valor de la intensidad de la corriente inducida en 10 segundos, en un hilo de cobre de 1 mm2 de sección y resistividad 1,7.10-8 :P , cuando cae libremente con toda su longitud perpendicular a un campo magnético horizontal de 0,1 teslas (wb/m2)(g = 9,8 m/s2). § 1 · G¨ % JW 2O ¸ dF © 2 ¹  Ei 0,1˜ 9,8˜10 ˜106 %JWV GW I = = GW = = = =  576, 47 A 8 l l 1, 7 10 ˜ R R R R s s &DOFXODUHOYDORUGHODFDUJDTXHDGTXLHUHXQFRQGHQVDGRUGHȝ) de capacidad, montado entre los extremos de una espira de 10 cm2 de sección cuando se introduce la espira en un campo magnético perpendicular que varía XQLIRUPHPHQWHǻ%ǻW -3 teslas/s. Q = C Ei = C S

'B = 10 ˜106 ˜10 ˜104 ˜ 5 ˜103 = 5 ˜1011 C 'W

5.7. Un disco de cobre de 10 cm de radio gira a 100 revoluciones por minuto perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 0,6 teslas. Hallar la diferencia de potencial entre el centro y un punto de su periferia. F

JG JG %˜6

JG JG % 6 FRV 0º 0, 6P 0,12

0, 01885 ZE

&RPRGDSRUVHJXQGRFDGDVHJXQGRVFDGDUDGLRFRUWD XQDYH]WRGDVODVOtQHDVGHFDPSR Ei



dF GW



0, 01885 60 100

0, 0314 V

595

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Inducción magnética

5.8. Un conductor de 1,2 m de longitud conectado a un circuito que FRQWLHQHXQDSLODGH9GHIHP\ȍGHUHVLVWHQFLDLQWHUQDVHGHVSOD]D con velocidad constante de 12,5 m/s perpendicular a un campo magnético de 0,8 teslas (wb/m2). Calcular: a) La intensidad de la corriente que circula SRUHOFLUFXLWRVLVXUHVLVWHQFLDH[WHUQDHVGHȍE 6LHOFRQGXFWRUGHMDGH moverse, cuál será entonces el valor de la intensidad. a) 'DGRTXHQRVHHVSHFL¿FDHOVHQWLGRGHOFDPSRPDJQpWLFRFRQUHODFLyQ DOVHQWLGRGHODFRUULHQWHSXHGHQGDUVHGRVVROXFLRQHV I

E  Ei rR

E  Bvl rR

24  0,8 ˜12,5 ˜1, 2 0,5  25

I

E  Ei rR

E  Bvl rR

24  0,8 ˜12,5 ˜1, 2 1, 41 A 0,5  25

E rR

b) I

E rR

24 0,5  25

0, 47 A

0,94 A

8QDHVSLUDFRQGXFWRUDGHFPGHUDGLRȍGHUHVLVWHQFLDTXHSHVD 50 g cae por efecto de la gravedad manteniendo su plano horizontal en una región en la que existe un campo magnético vertical cuyo módulo expresado en teslas varía con la altura siguiendo la expresión: B = Bo – az, siendo a una constante cuyo valor es a = 100 teslas/m, alcanzando una velocidad límite uniforme. Calcular el valor de esa velocidad límite (g = 10 ms-2). 3DUDTXHODYHORFLGDGVHDXQLIRUPHODHQHUJtDSRWHQFLDOTXHSLHUGHOD HVSLUDKDGHLJXDODUODHQHUJtDHOpFWULFDTXHVHFUHD([SUHVDQGRHVDLJXDOGDG HQWpUPLQRVGHSRWHQFLDTXHGDUi PJ

dz GW

PJY E i ,

1 § dF · ¨ ¸ 5 © GW ¹

2

1 § dB · ¨6 ¸ 5 © GW ¹

2

2§ 1 dz · P U2 ¨ D ¸  5 © GW ¹

'HVSHMDQGRHOYDORUGHODYHORFLGDGQRVTXHGD Y

PJ5 P 2r 4a2

0, 05 ˜10 ˜ 20 P 2 0,14 ˜1002

1, 013 P / V

596

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2

P 2 r 4 a 2v 2 5

Temas de Física

5.10. Calcular la fuerza electromotriz inducida por minuto en un circuito formado por un solenoide de 100 espiras de radio 10 cm, sometido a un campo magnético variable B = 5t2 + 3t - 1 wb/m2ȝʌ -7 wb/A.m. E i  

dF wB  16  1610W  3   100P 0,12 10 ˜ 60  3   18949  GW wW

5.11. Sabiendo que el valor del campo magnético creado por un conductor LQGH¿QLGRDXQDGLVWDQFLDr es: B M I / 2P r , calcular el valor máximo de la f.e.m. inducida en un solenoide plano de 1000 espiras, formado por espiras cuadradas de lado a, situado a una distancia a= 5 FP, tal como indica la ¿JXUD FXDQGR SRU HO FRQGXFWRU LQGH¿QLGR FLUFXOD XQD FRUULHQWH DOWHUQD de intensidad: , , 0 FRV WW , de amplitud 1000 A, y 50 Hz de frecuencia (ȝʌ ZE$P). Ei = 

Ei = 

EL

d GW

a 2a

³ 0

d § M NIda ˜ dr · ³a ¨© 2P U ¸¹ =  GW

§ M NIa · ¨ ¸ © 2P ¹

2a

³ a

dr r

d § M NIa ˜ ln 2 · M Na ln 2 dI ¨ ¸=  GW © 2P 2P GW ¹

M Na ˜ ln 2 , 0 2P I VHQWWE L0$; 2P

M 1DI, 0 ˜ OQ 2

4P 107 ˜1000 ˜ 0, 05˜ 50˜1000 ˜OQ 2

2,189 

5.12. Un solenoide plano de 100 espiras rectangulares de 60 cm de lado según el eje x y 20 cm según el eje z, se desplaza a lo largo del eje x con una velocidad constante de 10 m/s, perpendicularmente a un campo magnético G G dado en teslas (wb/m2), por la expresión B = 3 ˜ 106 j . a) Calcular el valor de la fuerza electromotriz inducida en el solenoide. b) Si el solenoide gira a 60 revoluciones por minuto sobre un eje perpendicular al campo, ¿cuál es el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida en él? G G G i j k G G G 0 0 = 3 ˜105 k a) v u B = 10 0 3 ˜106 0

597

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Inducción magnética 1 G G 3 G G 4 G G G · G §2 E i = 100 ¨ ³3 ˜105 dl k ˜ i + ³3 ˜105 dl k ˜ k + ³3 ˜105 dI k ˜ i + ³3 ˜105 dl k ˜ k ¸ 2 3 4 ©1 ¹



§ E i = 100 ¨ ©

0,2

³

3 0, 6 ˜10

0

b) E L0$; = W N B S =

0,2

5





·

dl  ³ 3 0 ˜10 dl ¸ = 3 ˜10 5

0



3

 

˜ 0, 6 ˜ 0, 2 = 0,36 ˜103 V

¹

2P 60 100 ˜ 3 ˜ 0,3 ˜106 ˜ 0, 6 ˜ 0, 2 = 6, 78 ˜105 V 60

5.13. Un cuadro rectangular de alambre, cuyo lado L es de 25 cm se encuentra en un campo magnético de intensidad 10-3 teslas (wb/m2), SHUSHQGLFXODUDODVXSHU¿FLHGHOFXDGUR3DUDOHODPHQWHDORVODGRV/\VLQ interrumpir el contacto en los puntos A y B, se desplaza con una velocidad FRQVWDQWHGHPVXQFRQGXFWRUGHUHVLVWHQFLDȍ&DOFXODUODLQWHQVLGDG de la corriente que circula a través de cada malla si se desprecia la resistencia de los conductores que forman el cuadro rectangular. (OÀXMRPDJQpWLFRTXHJDQDODPDOODGHODGHUHFKDHVHOPLVPRTXHSLHUGH ODPDOODGHODL]TXLHUGDSRUORTXHODVIXHU]DVHOHFWURPRWULFHVVHUiQLJXDOHV HQDPEDVPDOODVDXQTXHGHVHQWLGRVFRQWUDULRV. E 1 'F 1 103 ˜ 0, 25 ˜ 6 ,1  , 2        %/Y   ˜106 $ 5 5 'W 5 20

5.14. Una varilla de 1 m gira en torno a un eje vertical que pasa por uno de sus extremos. El eje de giro es paralelo a las líneas de un campo magnético constante de 5.10-5 teslas. ¿Cuál ha de ser el número de revoluciones por segundo para que sobre los extremos de la varilla se cree una diferencia de potencial de 1 mV?

598

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Temas de Física

dF GW

Ei

%

dS FRV 0 GW

%P O 2 I Ÿ I

Ei %P O 2

1 ˜103 5 ˜105 ˜ P ˜12

6,36 +] (U. S.V )

8QFLUFXLWRUHFWDQJXODUGHODGRVPHMH\ \PHMH] GHȍ de resistencia se desplaza sobre el plano YZ, en sentido positivo del eje y. Calcular la intensidad de corriente que se induce en él: a) si se desplaza con velocidad constante de 1,5 m/s, b) al cabo de 20 segundos de comenzar su movimiento G partiendo G del origen de coordenadas, con una aceleración de 3 m/s2 ( B 5  y i WHVODV). a) G G B ˜ dS

d)

\

y  0,3

y  0,3

5  y 0, 6 ˜ dy ; ) ³y

YW 1,5W Ÿ E i



d) GW



5  y 0, 6 ˜ dy

ª y2 º 0, 6 «5 y  » 2 ¼y ¬

d 0,873  0,18 ˜1,5W 0, 27 9 ; , GW

0,873  0,18 y

0, 27 2, 7

0,1 $

1 2 DW 1,5W 2 P ; ) 0,873  0, 27W 2 ; SDUDW V 2 d) d   0,873  0, 27W 2 0,54W 0,54 ˜ 20 10,8 9 GW GW ; 10,8 4A 2, 7

b) \ Ei I

5.16. Calcular la f.e.m. máxima inducida en un solenoide plano de 2 m2 de VXSHU¿FLH\HVSLUDVTXHJLUDFRQXQDIUHFXHQFLDGHFVHQXQFDPSR magnético de 0,4 miliwb/m2. E L0$; = N B S W = 100 ˜ 0, 4 ˜ 103 ˜ 2 ˜ 2P ˜ 50 = 25,13 V 5.17. Calcular el valor de la fuerza electromotriz máxima inducida en una bobina de 200 espiras rectangulares de 12 x 10 cm, cuando gira en un campo magnético constante de 0,5 wb/mm2 normal al eje de giro a 60 revoluciones por minuto. E L0$; = N B S W = 200 ˜ 0,5 ˜106 ˜ 0, 012 ˜ 2P 1= 7,54 ˜106 V

599

ERRNVPHGLFRVRUJ

Inducción magnética

5.18. Un cable coaxial está formado por un conductor rectilíneo interior de 2 mm de diámetro, que conduce una corriente eléctrica de 3 A, y un conductor H[WHUQRGHPPGHGLiPHWUR&DOFXODUHOFRH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQ\OD fuerza electromotriz inducida por metro de conductor, si la intensidad de la FRUULHQWHSDVDGHD$HQXQPLOLVHJXQGRȝ ʌ-7 wb/A.m). a)

L M b 6   OQ  2 ˜107 OQ  2,19 ˜107 +P 2 l 2P a

b) E i  

L dI 5  2,19 ˜107  3  10,95 ˜104 9P O GW 10

5.19. Un solenoide de 100 espiras, de 2 cm de diámetro y 30 cm de longitud, está conectado a un circuito por el que circula una corriente de 5 A de intensidad. Si la corriente se interrumpe en 5 milisegundos, calcular: D  (O FRH¿FLHQWH GH DXWRLQGXFFLyQ GHO VROHQRLGH E  (O YDORU GH OD IXHU]D HOHFWURPRWUL]LQGXFLGDF (OYDORUGHODHQHUJtDPDJQpWLFDȝoʌ -7 wb/ A.m). 2 2 N2 S 7 100 P 0, 01 = 4P 10 = 1,316 ˜105 H a) L = M0 l 0,3

b) E i = L

'I 5 = 1,316 ˜105 = 1,316 ˜102 V 'W 5 ˜103

c) W0 =

1 1 L I 2 = 1,316 ˜105 ˜ 52 = 16, 45 ˜105 J 2 2

5.20. Se construye un solenoide bobinando un hilo de cobre sobre un cilindro de 25 mm de radio y 120 mm de longitud. ¿Cuántas vueltas tendrá que tener, si queremos que su autoinducción valga 0,67 mH? Calcular la densidad de energía magnética almacenada en el solenoide si es recorrido por XQDLQWHQVLGDGGH$ȝ ʌ-7 wb/A.m). Ll 0, 67 ˜103 ˜ 0,12    180YXHOWDV a) 1  MS 4P 107 P 0, 0252

600

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Temas de Física

1 2 1 LI 0, 67 ˜103 ˜102 dW B 2 M N 2 I 2 2         2  142-P3  dT 2M lS 2l 2 0,12 P 0, 0252

b) R 0

5.21. Para medir la permeabilidad magnética de un material ferromagnético se construye con él una barra de 20 cm2 de sección y 50 cm de longitud, y sobre ella se arrolla una bobina de 500 espiras, obteniéndose como valor del FRH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQGHOFRQMXQWR+FXDQGRDWUDYpVGHODERELQD se hace pasar una corriente de 5 A. ¿Cuál es el valor de la permeabilidad magnética de la barra? Calcular la energía almacenada en la barra. G G M NI a) F = LI ; B ˜ S = NS l b) W =

B2 M N 2 I 2 S 2,8 ˜104 ˜ 5002 ˜ 52 ˜ 20 ˜104 S l= = = 3,5 J 2M 2l 2 ˜ 0,5

5.22. Calcular el valor instantáneo de la fuerza electromotriz inducida en una autoinducción de 25 mH si la corriente varía según: I = (0,3 + 0,4 t) amperios. ¿Qué valor tendría que tener la autoinducción para que se genere una f.e.m. de -2 V? a) E i = 

b) L =

dF dI = L =  25 ˜ 103 ˜ 0, 4 =  102 V GW GW

2 =5 H 0, 4

5.23. Un solenoide toroidal de 18 cm de radio tiene 1000 espiras de 6 cm2 GH VHFFLyQ &DOFXODU D  6X FRH¿FLHQWH GH DXWRLQGXFFLyQ E  /D IXHU]D electromotriz inducida en él, si la corriente que lo atraviesa varía en función de I = 10 t – 4. ( M0 4P 107 wb/A.m).

F a) L I

G G B ˜ S7 I

M0

NI NS l I

4P 107 ˜103 ˜103 ˜ 6 ˜104 2P 0,18

 66, 6 ˜105 H

601

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Inducción magnética

b) E i = 

 dF dI =  L =  L(10)  66, 6 ˜104 V GW GW

 6H GLVSRQH GH XQ VROHQRLGH GH  HVSLUDV \ FRH¿FLHQWH GH DXWRinducción 7,5 mH. A través del solenoide circula una corriente alterna dada SRUODHFXDFLyQL $ VHQ>ʌWV @&DOFXODUD FXiOHVODIHP Pi[LPDLQGXFLGDHQHOVROHQRLGHE HOÀXMRPHGLRPi[LPRDWUDYpVGHFDGD espira, c) cuál es el valor de la f.e.m. inducida a los 0,03 s. a) § dI · / ¨ ¸ © GW ¹ 0$;

E i0$;

7,5 ˜103 ˜ 0,38 ˜

7,5 ˜103 ˜ 0,38 300

b) F0$;

LI 0$; N

c) E 0,03 s

7,5 ˜103 ˜ 0,38

P 0, 04

223,8 ˜103 9ROWLRV

223,8 P9

9,5 ˜106 wb

P ª P 0, 03 º FRV « » 0, 04 ¬ 0, 04 ¼

158, 2 ˜103 9

158, 2 P9

5.25. Una espira cuadrada de lado 0,20 m atraviesa un campo magnético de 0,40 teslas con una velocidad de 4 m/s dirigida formando un ángulo de 30º con las líneas de campo. Calcular el valor de la fuerza electromotriz inducida en la espira. G

G G

Ei

v³ Y u % GO

Ei

4 ˜ 0, 4 ˜ 0,5 ˜ 0, 2 ˜1  4 ˜ 0, 4 ˜ 0,5 ˜ 0, 2 ˜ 0  4 ˜ 0, 4 ˜ 0,5 ˜ 0, 2 1  4 ˜ 0, 4 ˜ 0,5 ˜ 0, 2 ˜ 0 0,16  0,16 0

Y%VHQ 30 ˜ OFRV 0  Y%VHQ 30 ˜ OFRV 90  Y%VHQ 30 ˜ OFRV 180  Y%VHQ 30 ˜ OFRV 90

5.26. Un transformador está formado por un primario de 50 espiras de 5 cm de radio por el que circula una corriente de 10 A, arrolladas sobre una EDUUDGHFPGHORQJLWXG\SHUPHDELOLGDGPDJQpWLFDȝ 4 wb/A.m, y un secundario de 1000 espiras de 4 cm de radio, coaxial con él, y de igual ORQJLWXG&DOFXODUHOFRH¿FLHQWHGHLQGXFFLyQPXWXDGHDPERVDUUROODPLHQWRV \HOYDORUGHVXFRH¿FLHQWHGHDFRSODPLHQWR

602

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Temas de Física

a) 0  M

b) k =

N1 N 2 50 ˜1000 P U22  3, 2 ˜104  P 0, 0422  1, 6˜107 + l 0,5

r2 0, 04 = = 0,8 r1 0, 05

5.27. Un transformador está formado por un primario de 20 espiras de 5 cm de radio por el que circula una corriente de 1 A, arrolladas sobre una barra GH  FP GH ORQJLWXG \ SHUPHDELOLGDG PDJQpWLFD ȝ  3 wb/A.m, y un secundario de 500 espiras de 4 cm de radio, coaxial con él, y de igual longitud. &DOFXODUD (OFRH¿FLHQWHGHLQGXFFLyQPXWXDE (OYDORUGHOFRH¿FLHQWHGH acoplamiento. a) 0  M

b) k =

N1 N 2 20 ˜ 500 P U22  2 ˜103  P 0, 042  2, 01 ˜105 + l 0,5

r2 0, 04 = = 0,8 r1 0, 05

5.28. Un transformador está formado por un primario de 20 cm de longitud, y tiene 100 espiras de 10 cm de diámetro, y por un secundario de igual longitud, HVSLUDVGHFPGHGLiPHWUR&DOFXODUD (OFRH¿FLHQWHGHLQGXFFLyQ PXWXD\HOFRH¿FLHQWHGHDFRSODPLHQWRE /DIXHU]DHOHFWURPRWUL]LQGXFLGD en el secundario si la intensidad de la corriente en el primario pasa desde 5 A a -5A, en 10-2Vȝʌ -7 wb/A.m). a) 0 

k=

M N1 N 2P r22 4P 107 ˜100 ˜1000 P 0, 0252    1, 2337 ˜103 + 1, 2337P+ 0, 2 l

r2 5 = = 0,5 r1 10

b) E i  0 

dI 10  1, 2337 ˜103  2  1, 23379  GW 10

603

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Inducción magnética

 &DOFXODU HO FRH¿FLHQWH GH LQGXFFLyQ PXWXD GH GRV VROHQRLGHV el exterior de 400 espiras de 6 cm de diámetro y 20 cm de longitud, y el interior de 200 espiras, 2 cm de radio y 10 cm de longitud, situado en el FHQWUR GHO DQWHULRU &DOFXODU HO YDORU GH VX FRH¿FLHQWH GH DFRSODPLHQWR  ( M RP  10 ZE$P ). a) 0 

M0 N1 N 2 P r22 l2

b) k =

0 = L1 L2

4 P 107 ˜ 400 ˜ 200 P 22 ˜104 0,1

M N1 N 2 P r22 l2 M N1 N 2P

2 2 2 1

r r l1l2

=

1, 263 ˜103 +

1, 263 P+

r2 l1l2 = 0,94 r1l2

5.30. Por un solenoide de 200 espiras se hace circular una corriente de 2 A SURGXFLHQGRHQHOODXQÀXMRGH-4 wb, y en otro solenoide próximo de 800 espiras uno de 1,8.10-4ZE&DOFXODUD HOFRH¿FLHQWHGHDXWRLQGXFFLyQGH ODSULPHUDERELQDE (OFRH¿FLHQWHGHLQGXFFLyQPXWXDF (OYDORUPHGLRGH la fuerza electromotriz inducida en la segunda bobina cuando se interrumpe la corriente en 0,3 segundos en el primer solenoide. a) /1

N1F1 I

b) 0

N 2F2 I

c) E i

0

'I 'W

200 ˜ 2,5 ˜104 2

0, 025 +

25 P+

800 ˜1,8 ˜104 2

0, 072 +

72 P+

0,072

2  0 0,3

0,48 9 ; E i

12

'F2 'W

800

1,8 ˜ 104 0,3

0,48 9

'RVERELQDVSRVHHQXQFRH¿FLHQWHGHLQGXFFLyQPXWXDGHP+(Q ODSULPHUDERELQDODFRUULHQWHYDUtDVHJ~QODH[SUHVLyQ,$  VHQʌ t. Calcular: a) la f.e.m. inducida en la segunda bobina. b) Su valor máximo.

604

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Temas de Física

dI GW

a) E i (9 )

0

b) E L0$;

0, 005

0

2P 2P , 0 FRV W 7 7

0, 005

2P 2P 5 FRV W 0, 02 0, 02

2P ˜ 5 ˜1 7,85 V 0, 02

605

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TEMA XV: CORRIENTE ALTERNA

1. INTRODUCCIÓN Cuando entre los extremos de un conductor establecemos una diferencia de potencial que varíe periódicamente con el tiempo desde un valor máximo positivo a un valor mínimo negativo, las cargas eléctricas cambiarán su sentido de desplazamiento a través del conductor. Este cambio de sentido de desplazamiento lo interpretaremos como un cambio de signo de la intensidad de la corriente eléctrica. Llamaremos corriente alterna, a una corriente eléctrica cuya intensidad: - Varíe periódicamente con el tiempo: , IW GW IW7 GW. 7

1 - Su valor medio en un período sea nulo: I0 = 0 = ³ IW GW 7 0 La necesidad de cumplir estas condiciones se debe a que toda función que las cumpla puede ser desarrollada mediante una serie de Fourier, es decir, mediante una suma de funciones armónicas, senos o cosenos, con lo que estudiando un único término, es como si estudiáramos un número ¿QLWR GH HOORV VLQ PiV TXH WHQHU HQ cuenta el principio de superposición. Una espira girando con velocidad angular constante en un campo magnético constante, hemos visto que genera una fuerza electromotriz inducida de este tipo. Vamos pues a considerar que una corriente alterna es una corriente que puede representarse por las expresiones: - Intensidad: , , 0 FRV(W WF ) - F.e.m. o tensión: 9  90 FRV(W WF c) Como puede verse, estas ecuaciones corresponden a ecuaciones de “ondas” GH¿QLGDVDWUDYpVGHWUHVFDUDFWHUtVWLFDVIXQGDPHQWDOHV - Amplitud, que corresponde al valor máximo que pueden tomar estos valores (IR, VR). - Pulsación o frecuencia angular, relacionada con la frecuencia, que es generalmente el valor más utilizado, y el período, a través de la expresión: 607

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Corriente alterna

W  P  I  

2P  7

- Desfase inicial, que corresponde al valor de la fase cuando se inicia a contar el tiempo y que en general, aunque ambas ondas pueden tener desfase inicial, tomaremos como referencia la “onda” de tensión ( F c = 0 ), asignándose solo desfase a la “onda” de intensidad, de tal forma que si este desfase es negativo ( - F ), quiere decir que la onda de intensidad está adelantada respecto a la onda de tensión, mientras que si es positivo, querrá decir que la “onda” de intensidad está atrasada respecto a la tensión. El valor en tiempo que corresponde al desfase es: F 7 'W  2P Los valores positivos de la intensidad corresponderán a desplazamientos de las cargas en un sentido, que tomaremos como positivo, como por ejemplo el sentido contrario al giro de las agujas de un reloj, mientras que los valores negativos corresponderán a desplazamientos de las cargas en sentido contrario. 2. CIRCUITO EN SERIE RLC 2.1. Caso general Un circuito serie RLC es un circuito constituido por un generador, y en serie con él, una resistencia óhmica pura (R), una bobina o autoinducción (L), y un condensador (C). Dado que el valor instantáneo de la intensidad se considera idéntico en todos los puntos del circuito, podremos aplicar el segundo lema de Kirchhoff, obteniendo: V + E i = I R + VA  VB

608

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Temas de Física

En donde: 9  90 FRVW W , es la tensión producida por el generador, Ei =  L

dI , es la fuerza electromotriz inducida en la bobina, y: GW

VA  VB =

Q , es la diferencia de potencial entre placas del condensador. C

Sustituyendo estos valores y ordenando términos, obtendremos: 90 FRVW W ,5/

dI Q  GW &

Derivando con respecto al tiempo, obtendremos: W90 VHQW W 5

dI d 2 I 1 dQ / 2  GW GW & GW

Teniendo en cuenta que:

dQ =I GW

Vamos a probar como solución: , , 0 FRV(W W  F ) Por lo que sustituiremos esta función, y sus derivadas en la expresión anterior: dI d 2I  W , 0 VHQ(W W  F ) ; 2   W 2 , 0 FRV(W W  F ) GW GW Obteniendo: W90 VHQW W 5W , 0 VHQ(W W  F )W 2 /, 0 FRV(W W  F )

1 , 0 FRV(W W  F ) C

609

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Corriente alterna

Dividiendo por:  W I 0 , y desarrollando: V0 1 · § VHQW W 5( VHQW WFRVF  FRVW WVHQF )  ¨ W /  ¸ (FRVW WFRVF  VHQW WVHQF ) I0 WC ¹ © 'DGR TXH HVWD HFXDFLyQ VH KD GH YHUL¿FDU SDUD WRGRV ORV YDORUHV GH W vamos a tomar los valores: W W 0 , con lo que: VHQW W 0FRVW W 1 , la expresión anterior nos quedaría:

1 · § 0 5 VHQ F  ¨ W /  ¸FRVF WC ¹ © De donde deduciríamos el valor del desfase: LW  WJF  

1 CW

R

P W W  , con lo que: VHQW W FRVW W  , quedándonos la expresión 2 anterior: V0 1 · 1 1 · WJF § §  5FRVF ¨ W /  ¨ W /  ¸VHQF  5 ¸ 2 I0 WC ¹ W C ¹ 1+ WJ 2F © 1+ WJ F © Sustituyendo los valores anteriormente encontrados para el desfase inicial, obtendremos: 1 · § ¨W L  ¸ WC ¹ © R

2

1 · § R2 + ¨W L  ¸ V0 1 1 WC ¹ § · © =R + ¨W L  = ¸ 2 2 2 I0 WC ¹ 1 · © 1 · 1 · § § 2 § R + ¨W L  ¨W L  ¸ ¨W L ¸ ¸ WC ¹ WC ¹ WC ¹ © © 1+ © 1 + 2 2 R R 610

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Temas de Física

Obteniendo por último: V0 = I0

1 · § R2 + ¨ W L  ¸ WC ¹ ©

2

En donde el término:

Z=

1 · § R +¨ W L  ¸ WC ¹ ©

2

2

5HFLEHHOQRPEUHGHLPSHGDQFLDGHOFLUFXLWR3RUORTXHODH[SUHVLyQ¿QDO queda de la forma: V0 =Z I0 Que constituye una generalización de la ley de Ohm para circuitos de corriente alterna. La impedancia se mide, igual que la resistencia, en ohmios, y se puede considerar como la media cuadrática de la resistencia óhmica pura (R), y la reactancia (X), es decir: 2

Z=

1 · § R2 + ¨ W L  ¸ = WC ¹ ©

R2 + X 2

Siendo a su vez la reactancia (X), suma de la reactancia inductiva o inductancia (XL), y la reactancia capacitativa o capacitancia (XC), es decir: X = X L + XC ; X L =W L ; XC = 

1 WC

7RGDVHVWDVPDJQLWXGHVVHPLGHQHQHOVLVWHPD6,HQRKPLRVȍ  2.2. Circuito con resistencia óhmica pura Si consideramos un circuito de corriente alterna que aparte de generador solo posea resistencia óhmica pura, pero no autoinducción ni capacidad: 611

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Corriente alterna

R z 0 ; L= 0 ;C = f ; Obtendremos para el desfase: 0 WJF    0F  0 R Es decir, las “ondas” de intensidad y tensión están en fase, teniendo por ecuaciones las siguientes: V , , 0 FRVW W9  90 FRVW W 0  5 I0 2.3. Circuito con autoinducción pura Si consideramos que en el circuito, aparte del generador, solo hay autoinducción, y no hay ni resistencia ni capacidad, obtendríamos para el desfase: WL P WJF    fF   0 2 La “onda” de intensidad está adelantada S/2, respecto a la "onda" de tensión, obteniéndose: V P· § , , 0 FRV¨ W W  ¸ , 0 VHQW W9  90 FRVW W 0  W L 2¹ I0 © 2.4. Circuito con capacidad pura Si consideramos que en él solo hay un condensador, obtendremos para el desfase: 1 P WJF  W C  fF   0 2 

612

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Temas de Física

La “onda” de intensidad está retrasada S/2 respecto a la "onda" de tensión, es decir, tendremos: V 1 , , 0 FRVW W  F 9  90 FRVW W 0   I0 WC Esto nos indica que quien introduce desfase entre las “ondas” de intensidad y tensión no es la resistencia, sino la autoinducción y la capacidad, teniendo en cuenta por consiguiente, que si en un circuito existen una o varias autoinducciones o capacidades, se producirá un desfase entre ambas ondas. 3. EMPLEO DE NOTACIÓN COMPLEJA La ecuación del circuito RLC es idéntica a la ecuación que nos describe el movimiento de un oscilador lineal armónico cuando sobre él aplicamos una fuerza periódica, es decir, cuando forzamos una oscilación: W 90 VHQW W /

d 2I dI 1 5  , 2 GW GW &

d 2x dx 1 )0 FRVW W P 2 B   [ GW GW N La mejor forma para resolver este tipo de ecuaciones es la utilización de funciones complejas, es decir, representar el espacio completo tomando como eje de abscisas el eje real, y como eje de ordenadas, el imaginario, de tal forma que cada punto del espacio vendrá representado por un “versor”, que corresponde a un número con una parte real y otra imaginaria, que admite gran número de posibilidades de representación, entre las que destacaremos: DEL $HiF  $FRV F  L VHQ F O su complejo conjugado: DEL $H  iF  $FRV F  L VHQ F

613

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Corriente alterna

Correspondiendo la última igualdad a las llamadas ecuaciones de transformación de Euler, y las anteriores a la expresión en función del módulo y argumento del versor correspondiente. 3RUVXSXHVWRODVROXFLyQ¿QDOYHQGUiVRORH[SUHVDGDHQWpUPLQRVUHDOHV por lo que habrá que buscar la parte real de la función. La ecuación a resolver será, entonces, escrita en forma compleja: j W V0 e MW W = L

2 * * 1 d I dI + R + I* 2 GW GW &

Siendo: V * = V0 e MW W Teniendo en cuenta que la unidad compleja en electricidad para no confundirla con la intensidad, en vez de i, suele representarse por la letra j, es decir: -1 = j 3.1. Triángulo de impedancias Con objeto de acordarse mejor de las expresiones de las magnitudes que intervienen en un circuito RLC, se suele acudir a la representación compleja, y más concretamente a lo que se llama triángulo de impedancias que corresponde a lo siguiente: - En el eje real se representa la resistencia, o también el producto: 5y * RI - En la parte negativa del eje imaginario, se representa la reactancia capacitativa: j XC = 

1 j WC

- En la parte positiva del eje imaginario, se representa la reactancia inductiva: j XL =WL j

614

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Temas de Física

- Se calcula el valor de la reactancia, y se representa en el eje imaginario este valor: 1 · § * j X = ¨ WL  ¸ j , o bien el producto: jXI WC ¹ © - La impedancia corresponderá a la suma de el valor real R, más el valor imaginario X 1 · § Z* = R + X j = R +¨ WL  ¸j WC ¹ © - El ángulo que forma la impedancia con el eje real corresponderá al ángulo de desfase entre la “onda” de intensidad y la “onda” de tensión, por lo que a su YH] VREUH HO PLVPR YHUVRU TXH GH¿QH la impedancia puede representarse la tensión (V*): I * = I 0 e MW W =

V * V0 e MW W = = * _= * _H jF

En donde: 1 · § _= _  5 ¨ W /  ¸ WC ¹ © *

2

2

La tangente del ángulo de desfase vendrá dada por el cociente entre la parte imaginaria de la impedancia y su parte real, es decir: 1 WL  X WC  WJF     R R

615

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Corriente alterna

3.2. Asociación de impedancias La utilización de los números complejos tiene especial relevancia para efectuar el cálculo GHODLPSHGDQFLDWRWDORHTXLYDOHQWHGHXQDDVRFLDFLyQGHXQQ~PHUR¿QLWRGH impedancias, aunque como hemos indicado, como toda impedancia introduce un desfase, en toda asociación, aparte de calcular la impedancia total o equivalente, hay siempre que calcular el desfase que le corresponde. 3.2.1. Asociación en serie: Utilizando números complejos, la impedancia total o equivalente de una asociación en serie de impedancias es la suma de las impedancias asociadas. Z7* = Z1*  Z 2* = R1  X 1 j + R2  X 2 j = R1  R2 +  X 1  X 2 j De donde: = _=7* _  WJF  

2

2

51  52   ; 1  ; 2

X1 + X 2 R1 + R2

3.2.2. Asociación en paralelo: Utilizando números complejos, el inverso de la impedancia total o equivalente de una asociación de impedancias en paralelo es la suma de los inversos de las impedancias asociadas. 1 *

Z7

=

1

1

Z

Z

+ *

*

* ; De donde: Z7 =

Z1* Z 2* = A+ B j Z1* + Z 2*

3DUDREWHQHUHVWHQ~PHURFRPSOHMR¿QDOKD\TXHUDFLRQDOL]DUODH[SUHVLyQ DQWHULRUSHURXQDYH]REWHQLGRVHYHUL¿FDUiTXH

616

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Temas de Física

= _=7* _  $2 % 2 WJF  

B A

4. VALORES MEDIOS DE UNA CORRIENTE ALTERNA $O GH¿QLU XQD FRUULHQWH DOWHUQD XQD de las condiciones que imponíamos era que el valor medio de la intensidad en un período fuese nulo, consecuentemente, llamaremos valor medio, al valor medio obtenido considerando solo la semionda positiva, es decir: 7 4

7 I I ª 1 2P , 0    ³ , 0 FRVW WGW  0 >VHQ W W @ 47  0 « VHQ  7 7 7 2P 7 ¬ 7 4 W  2 4 2 7 2

7

2I º4 W»  0 ¼ 7 P 4

3DUDODWHQVLyQVHHVWDEOHFHLJXDOPHQWHTXHVXYDORUPHGLRVHUH¿HUHVROR al valor calculado para la semionda positiva, es decir: 7 7 V V ª 1 4 2P 90    ³ 90 FRVW WGW  0 >VHQW W @47   0 « VHQ  7 7 7 2P 7 ¬ 7 4 W  2 4 2 7 2

7

2V º4 W»  0 ¼ 7 P 4

5. VALORES EFICACES DE UNA CORRIENTE ALTERNA 6H OODPDQ YDORUHV H¿FDFHV de una corriente alterna a los valores cuadráticos medios de la intensidad y de la tensión, aunque la explicación de su QRPEUH ³H¿FDFHV´ FRUUHVSRQde a que son los valores que hay que sustituir en la expresión de la ley de Joule, obtenida en corriente continua, para calcular

617

ERRNVPHGLFRVRUJ

Corriente alterna

la cantidad real de energía que dicha corriente alterna disipa en forma de calor, cuando atraviesa una resistencia óhmica R. Al ser valores cuadráticos medios, es decir, el valor medio del cuadrado de la magnitud, ya no existen valores negativos, por lo que su cálculo se HIHFWXDUiHQXQWLHPSRGHXQSHUtRGRFRPSOHWR6HJ~QHVWRHOYDORUH¿FD]GH la intensidad corresponderá a: 7

1 , HI2   ³, 02 FRV 2 W WGW 7 0 Utilizando la expresión del coseno del ángulo doble, podremos realizar el cambio de variable: 1FRV2W W FRV 2 W W  2 Con lo que la integral anterior se nos convierte en inmediata y su valor será: 7

2P º ª VHQ2 W » 2 « I I2 7 I2 1 1 2 1 FRV W W ª º 2 2 0 7 , HI   ³, 0 «   »GW  «  W »   0   0 2P 7 0 ¬ 7 «2 7 2 2 2 ¼ » 4 7 ¬ ¼0 7

Es decir: I HI =

I0 2

Para la tensión: 7

1 9HI2   ³902 FRV 2 W WGW 7 0 Efectuando el mismo cambio de variable, se encontrará el mismo valor para la integral, es decir:

618

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Temas de Física

2P ª VHQ V «1 1 ª1 FRV2W W º 7 9HI2   ³902 « GW  « W  » 2P 7 0 7 «2 2 ¬ ¼ 2 7 ¬ 7

2 0

De donde: VHI =

7

º W» V02 7 V02   »   7 2 2 » ¼0

V0 2

&RPRGHFtDPRVVHOODPDQH¿FDFHVSRUTXHFRUUHVSRQGHQDORVYDORUHVTXH hay que sustituir en la ley de Joule para obtener el valor de la energía disipada en forma de calor, cuando esta corriente alterna atraviesa una resistencia, es decir, si consideramos un tiempo de un período, la energía disipada en forma de calor por una corriente alterna será: VHI2 :  , HI2 57  7 R 6. DISIPACIÓN DE POTENCIAEN UN CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA Habíamos de¿QLGRODSRWHQFLD de un generador de corriente continua como el producto de la fuerza electromotriz del generador por el valor de la intensidad de la corriente suministrada al circuito. En el caso de una corriente alterna, podremos hablar de potencia disipada instantáneamente por un circuito, llamando tal al producto del valor de la tensión por el valor que la intensidad tiene en el mismo instante. En este caso, el desfase existente entre la “onda” de tensión y la “onda” de intensidad condiciona el valor del producto pues en cuanto varía este desfase, varía el resultado. 7

7

1 1 3  ³9 ,GW  ³90 FRVW W, 0 FRV(W W  F ) 7 0 7 0 619

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Corriente alterna

Desarrollando obtendremos: 7

3

V0 I 0 FRVWW (FRVWWFRVF  VHQWWVHQF )GW 7 ³0

7

V0 I 0 ³ >FRVF FRV 2WW  VHQF FRVWWVHQWW@GW 7 0

Dado que integral de una suma es suma de integrales, podemos escribir la expresión anterior en la forma: 7

VI 3  0 0 >FRVF ³ FRV 2WW  VHQF 7 0

7

³ FRVWWVHQWWGW@ 0

La primera integral es la misma que se ha realizado para calcular los YDORUHV H¿FDFHV \ FRPR YLPRV VH UHVROYtD DFXGLHQGR D OD H[SUHVLyQ GHO ángulo doble, mientras que la segunda puede realizarse utilizando el cambio de variable: VHQW W $FRVW WGW 

dA  W

Obtendremos entonces: 7

7

VI 7 G$ 7 1 2P º ª V 3  0 0 >FRVF   VHQF ³ $ @  R I R «FRVF  VHQF VHQ 2 W  7 W 7 ¬ 7 »¼ 0 2 2 2W 0 La segunda de estas integrales es nula para ambos límites por lo que REWHQGUHPRV¿QDOPHQWHSDUDHOYDORUGHODSRWHQFLD VI 3  0 0 FRVF  9HI , HI FRVF 2 El término FRVF se denomina factor de potencia, por lo que la potencia disipada depende fundamentalmente del desfase entre tensión e intensidad, teniendo el valor máximo, igual a 1, cuando en el circuito existe solo resistencia óhmica pura, mientras que cuando hay autoinducción o capacidad, sin resistencia, su valor se hace nulo.

620

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Temas de Física

7. RESONANCIA DE UN CIRCUITO SERIE RLC Un circuito de corriente alterna se dice que entra en resonancia cuando su intensidad alcanza el valor máximo, es decir, dado que la intensidad es función de la tensión y de la impedancia: I0 =

V0 = Z

V0 1 · § R2 + ¨W L  ¸ WC ¹ ©

2

Su valor será máximo cuando la impedancia sea mínima, es decir, cuando: W L=

1 WC

(OYDORUGHODIUHFXHQFLDTXHYHUL¿FDHVWDLJXDOGDGUHFLEHHOQRPEUHGH frecuencia de resonancia: Wr =

1 LC

Cuando se produce la resonancia, dado que la reactancia inductiva y la reactancia capacitativa son idénticas, el valor del desfase entre tensión e intensidad es: WJF  0F  0 Es decir, están en fase. En general, a circuito construido, puede conseguirse la resonancia, variando la frecuencia. Si es posible variar en el circuito la autoinducción o la capacidad, puede también conseguirse, variando una de ellas, que el circuito entre en resonancia para una frecuencia determinada.

621

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Corriente alterna

Si representamos el valor de la intensidad en función de la frecuencia, obtendremos que: I R o 0 para Z= 0, pues: 

1 o f WC

V , 0 o, 0D[   0 VLW oW U R I 0 o 0 para Z o f, pues ZLo f El valor máximo que tomará la intensidad será inversamente proporcional al valor de la resistencia del circuito, es decir, cuanto menor sea el valor de la resistencia del circuito mayor será el valor obtenido por la intensidad. Dado que la intensidad en cada punto del circuito es la misma, cuando está en resonancia, como además la reactancia inductiva y la reactancia FDSDFLWDWLYDWLHQHQHOPLVPRYDORUVHYHUL¿FDTXHODFDtGDGHWHQVLyQHQOD autoinducción y en la capacidad son iguales: V/ = V& = I 0D[W U L = I 0D[

V V 1 1 = 0 WU L = 0 Wr C R R Wr C

El cociente entre la caída de tensión en la autoinducción o en el condensador, y el valor de la amplitud de la “onda” de tensión, cuando el circuito está en resonancia, se denomina factor de calidad del circuito, y representa el factor GHDPSOL¿FDFLyQGHODWHQVLyQ3XHGHDOFDQ]DUXVXDOPHQWHYDORUHVGHYDULDV centenas. El factor de calidad es pues una característica del circuito cuyo valor es: Q=

1 VL VC W r L = = = V0 V0 R R Wr C

8. CURVAS DE REACTANCIA Denominamos curvas de reactancia a la representación de los valores de las reactancias e impedancia en función de la frecuencia, tomando los valores de ésta, en el eje de abscisas. 622

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Temas de Física

8.1. Reactancia capacitativa XC = 

1 WC

Corresponde a una rama hiperbólica que tiene como asíntotas los ejes X e -Y. 8.2. Reactancia inductiva XL =W L Corresponde a una recta que pasa por el origen y tiene una pendiente L. 8.3. Reactancia X = X L + XC =W L 

1 WC

Es una curva que se obtiene como suma de las anteriores, teniendo como asíntotas el eje -Y y la recta Y = W L , cortando al eje X, en el punto W = W r . La pendiente de la curva en este punto tiene como valor: § dX · ¨ ¸ © d W ¹W

= L+ Wr

1 2 r

W C

= L+

1 =2L 1 C LC

8.4. Impedancia 1 · 2 § Z = R2 + X 2 = R2 + X L  X C = R2 + ¨ W L  ¸ WC ¹ ©

2

Es una curva que tiene como asíntotas el eje Y, y la recta Y = W L , presentando un valor mínimo Z = R, cuando: W = W r .

623

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Corriente alterna

9. BIBLIOGRAFÍA - Harnwell, G.P.: PRINCIPIOS DE ELECTRICIDAD Y ELECTRO0$*1(7,602(G6HOHFFLRQHV&LHQWt¿FDV0DGULG - Frish: CURSO DE FÍSICA GENERAL. Ed Mir. Moscu, 1969. 10. PROBLEMAS DE EXAMEN 8QDERELQDGHȍGHUHVLVWHQFLD\+GHDXWRLQGXFFLyQHQ VHULHFRQXQFRQGHQVDGRUGHȝ)VHFRQHFWDDXQDWHQVLyQGH9GH tensión máxima, y 50 Hz de frecuencia. Calcular la impedancia, la amplitud y el desfase de la onda de intensidad. 2

1 § · = 10, 23 : a) Z = 10 + ¨ 2P 50 ˜ 0, 01  6 ¸ 2P 50 ˜ 600 ˜10 ¹ © 2

b) I 0 =

V0 110 = = 10, 75 A Z 10, 23 1 1 2P 50 ˜ 0, 01  2P 50 ˜ 600 ˜106   0, 2163 CW  10 R

LW  c) WJF  

F =  12º15' =  0 , 213 rad 10.2. Un circuito de corriente alterna está formado por un generador que suministra 220 V de tensión máxima, a 50 c/s de frecuencia, una resistencia GH  ȍ \ XQ FRQGHQVDGRU GH  S) GH FDSDFLGDG &DOFXODU HO YDORU GH la amplitud de la intensidad y su desfase respecto a la onda de tensión así como la impedancia del circuito. Si se conecta una bobina de 0,1 miliHenrios de autoinducción en paralelo con el condensador, calcular la impedancia del circuito y el desfase entre la onda de intensidad y la onda de tensión. 2

1 § · a) Z = 100 + ¨  = 6366200 : 12 ¸ © 2P 50 ˜ 500 ˜10 ¹ 2

624

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Temas de Física

WJF  

I0 =

b)

1 1     0, 6366 ˜105 F   89,99º 12 C W R 10 ˜ 50 ˜ 2P 500 ˜10

V0 220 = = 3, 45 ˜105 A Z 6366200

1 1 1 LW    _=1* _  * j (1 - W 2 LC ) Z1 LW j CW 2

2

§ · 2P 50 ˜ 0,1 ˜103 § LW · 2 | 100 : Z = R +¨ = 100 + ¨ ¸ 3 9 ¸ 2 2 2 © 1 - W LC ¹ © 1  4P 50 ˜ 0,1 ˜10 ˜ 0,5 ˜10 ¹ 2

0,1 ˜103 ˜ 2P 50 LW 2 1  4,93 ˜109 WJF   1  W LC    3,14˜104 F  0, 018º R 100  8Q FRQGHQVDGRU GH  ȝ) GH FDSDFLGDG HVWi HQ VHULH FRQ XQD UHVLVWHQFLDGHȍ\VHFRQHFWDQDXQDWHQVLyQDOWHUQDGH9GHWHQVLyQ máxima, y 50 Hz de frecuencia. Calcular: a) La reactancia capacitativa. b) La impedancia. c) La intensidad de la corriente. d) El ángulo de desfase entre la intensidad y la tensión. a) X C = 

R 2 + X C2 =

b) Z =

c) I 0 =

1 1 = =  0,3183 ˜103 : 6 10 ˜10 ˜ 2 P 50 CW 2

402  0,318 ˜103 = 320,8 :

V0 125 = = 0,3896 A Z 320,8

d) WJF  

XC 0,318 ˜ 103     7,9577F   82,83º 40 R

625

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Corriente alterna

8QFLUFXLWRHVWiIRUPDGRSRUXQDUHVLVWHQFLDGHȍXQDERELQD GH+\XQFRQGHQVDGRUGHȝ)&DOFXODUODLPSHGDQFLDGHOFLUFXLWR\OD intensidad máxima que circula por él, si se conecta a un generador de 380 V de tensión máxima, y 50 Hz de frecuencia. a) X L = L W = 2P 50 ˜ 0,1= 62,8 : ; X C = 

Z=

2

R2 + X L  X C =

b) I 0 =

1 1 = = 0,318 ˜105 : 2P 50 ˜107 CW 2

1002 + 62,8  0,318 ˜105 = 31831 :

V0 380 = = 0, 01193 A Z 31831

 8Q FLUFXLWR IRUPDGR SRU XQD UHVLVWHQFLD GH  ȍ XQD ERELQD GH  + GH DXWRLQGXFFLyQ \ XQ FRQGHQVDGRU GH  ȝ) GH FDSDFLGDG VH conecta a una línea de 220 V de tensión máxima y 50 Hz de frecuencia. Calcular la impedancia del circuito y las ecuaciones de las ondas tensión e intensidad. 2

1 § · a) Z = 1002 + ¨ 2P 50 ˜ 0,1  = 162, 23 : 6 ¸ 2P ˜ 50 ˜ 20 ˜10 ¹ © 1 1 0,1 ˜ 2P 50  6 20 ˜10 ˜ 2P 50   1, 277F   51,9º CW  100 R

LW  WJF  

b) I 0 =

V0 220 = = 1,356 A Z 162, 23

, 1,356FRV(100  P W0, 29P ) ; 9  220FRV100P W 8QFLUFXLWRIRUPDGRSRUXQDUHVLVWHQFLDGHȍXQDERELQDGH  P+ GH DXWRLQGXFFLyQ \ XQ FRQGHQVDGRU GH  ȝ) GH FDSDFLGDG VH conectan en serie con un alternador de 220 V de tensión máxima, y 50 Hz

626

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

de frecuencia. Calcular: a) El valor de la intensidad máxima. b) El ángulo de desfase entre la intensidad y la tensión. a) X L = 2P 50 ˜ 0,10 = 31, 4 : ; X C = 

1 = 159 : 2P 50 ˜ 20 ˜106

2

Z = 1002 + 31, 4  159 = 162,1 :

I0 =

V0 220 = = 1,357 A Z 162,1 1 C W   31, 4  159   1, 276F   51,9º 100 R

LW  b) WJF  

8QDERELQDGHP+GHDXWRLQGXFFLyQXQFRQGHQVDGRUGHȝ) \XQDUHVLVWHQFLDGHȍHQVHULHVHXQHQHQSDUDOHORFRQXQDERELQDGH +XQFRQGHQVDGRUGHȝ)\XQDUHVLVWHQFLDGHȍHQVHULH(VWD asociación se une a un generador de corriente alterna que suministra una tensión de 280 V de amplitud y 50 Hz de frecuencia. Calcular la expresión correspondiente a la onda de intensidad. X 1 = 2P 50 ˜ 0,1 ˜103 

X 2 = 2P 50 ˜ 0, 02 

Z* =

1 =  31830,94 : 2P 50 ˜ 0,1 ˜106

1 =  15909, 2 : 2P 50 ˜ 0, 2 ˜106

100  31830,94 j 50  15909, 2 j = 5000  1591547 j  1590920 j  506404790 Z1* Z 2* = Z1* + Z 2* 100  31830,94 j  50  15909, 2 j 150  47740,14 j

5DFLRQDOL]DQGR: Z* =

506399790  3182467 j 150  47740,14 j = 33,33  10607 j 150  47740,14 j 150  47740,14 j 627

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Corriente alterna

_ = * _  33,332 10607 2  10607, 05:WJF  

10607  1,5677UDG 33,33

V 280 ,0   0    0, 026$, 0, 026FRV100P W  1,5677  Z 10607 10.8. A un circuito formado por un condensador de 2 10-2ȝ)\UHDFWDQFLD capacitativa de 103ȍXQLGRHQVHULHFRQXQDUHVLVWHQFLD5VHOHDSOLFDXQD WHQVLyQ H¿FD] GH  9 6L OD FRUULHQWH TXH FLUFXOD HV GH $ H¿FDFHV FDOFXODUD Ȧ5\=E ij\WJij a) ; c  

VHI 120 1 1 W     ˜104 UDGV=     6000: 3 2 6 2 ˜10 ˜10 ˜10 CW I HI 0, 02

Z 2  X C2 =

R=

b) WJF  

60002  106 = 5916 :

XC 1000     0,1690F   0,1674UDG 5916 R

10.9. Un circuito está formado por una bobina y un amperímetro. Cuando se conecta a una tensión continua de 12 V, la intensidad que marca el amperímetro es de 4 A. Cuando se conecta a una tensión alterna de 12 V de amplitud \+]GHIUHFXHQFLDHODPSHUtPHWURPDUFD$&DOFXODUHOFRH¿FLHQWHGH autoinducción de la bobina. Si se conecta en serie con la bobina, un condenVDGRUGHȝ)FDOFXODUHOGHVIDVH\ODLPSHGDQFLDGHOFLUFXLWR a) R

/

V0 I0

V 12 = =3:;Z I 4

XL 2P I

b) X C

1,87 2 ˜ P ˜ 50 1 2P I &

12 2, 4 2

3,53 : ; Z

0, 00595 +

R 2  X L2 ; X L

5,95 P+

1 2 ˜ P ˜ 50 ˜ 394 ˜106

8, 08 :

628

ERRNVPHGLFRVRUJ

3,532  32

1,87 :

Temas de Física 2

R2  X L  X C

Z

WJ F

1,87  8, 08 3

X R

2

32  1,87  8, 08 2, 07 ; F

1,12 UDG

6,89 :

64, 21º

10.10. Una bobina de 5 mH de autoinducción está conectada en paralelo a XQFRQGHQVDGRUGHS)\DPERVHQVHULHFRQXQDUHVLVWHQFLDGHȍ\XQ generador de 50 Hz de frecuencia. Calcular: a) la impedancia, b) el valor de la LQWHQVLGDGPi[LPDVLHOJHQHUDGRUDSRUWDXQDWHQVLyQH¿FD]GHYROWLRV a)

1 X

Z

b) I 0

1 1  X L XC

R2  X 2 VHI 2 Z

LW 1  LCW 2

1  CW ; X LW

102  1,57 2 220 2 10,12

5 ˜103 ˜ 2P ˜ 50 2

1  5 ˜103 ˜100 ˜1012 2P ˜ 50

1,57 :

10,12 :

30, 73 A

10.11. Hallar el valor de la intensidad de la corriente del circuito de la ¿JXUDVLHQGR/1 = 2 mH, L2 P+WHQLHQGRDPEDVXQDUHVLVWHQFLDGHȍ y 99  VHQʌW Z

2

2 R

 ª¬W L1  L2 103 º¼

2

202  ª¬100P 2  6 103 º¼

2

406,31

20,15 :

WJ J

W L1  L2 100P 8 ˜103 2R 20

,  $

V0 320 FRV 100P W  0,12 FRV 100P W  0,12 15,88 FRV 100P W  0,12 Z 20,15

0, 04P Ÿ J

012 UDG

629

ERRNVPHGLFRVRUJ

Corriente alterna

10.12. Si una bobina se conecta a una fuente de corriente continua de 120 V, su intensidad es de 0,4 A. Si se conecta a una fuente de corriente alterna de 120 V de tensión máxima y 60 Hz de frecuencia, el valor de su intensidad Pi[LPDHVGH$&DOFXODUD ODUHVLVWHQFLDGHODERELQDE VXFRH¿FLHQWH de autoinducción, c) el desfase que introduce entre la onda de tensión y la de intensidad. a) R

V I

120 0, 4

b) Z

120 0, 24

300 :

500 : ; Z 2

R 2  4P 2 602 L2 Ÿ L

2P ˜ 60 ˜1, 06 1,33 Ÿ F 300

c) WJ F

0,9261 UDG

Z 2  R2 4P 2 602

1, 06 H

53º10 '

8QFLUFXLWRGHFRUULHQWHDOWHUQDIRUPDGRSRUXQFRQGHQVDGRUGHȝ) GHFDSDFLGDGXQDERELQDGHȍGHUHVLVWHQFLD\P+GHDXWRLQGXFFLyQ está conectado a una red de 220 V de tensión máxima y 50 Hz de frecuencia. &DOFXODUD /RVYDORUHVH¿FDFHVGHGLFKDFRUULHQWHE (OIDFWRUGHSRWHQFLD\ la potencia disipada en un ciclo. a) VHI =

I HI =

V0 220 = = 155,56 V 2 2

VHI Z

155,56

=

1 § · 252 + ¨ 2P 50 ˜ 0, 001  6 ¸ 2P 50 ˜ 0, 2 ˜10 ¹ ©

= 0, 0097 A

1 1 0, 001 ˜ 2P 50  6 0, 2 ˜10 ˜ 2P 50 CW    636, 23 R 25

LW  b) WJF  

2

F   79,8ºFRVF  0, 00157

630

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

3 9HI , HI FRVF  155,56˜ 0, 0097 ˜0, 00157 2,37 ˜103 ZDWLRV (OFLUFXLWRGHOD¿JXUDHVWiXQLGRDXQDWHQVLyQDOWHUQDGH9o = 220 V, y 50/S c/s de frecuencia. Calcular la potencia disipada por dicho circuito. Z1* = R1 + L W j = 20 + 2P

Z 2* = R2 

20 0,5 j = 20 + 50 j P

1 1 j=6  j = 6  103 j 50 CW 2P 105 P

20  50 j 6  103 j Z1* Z 2* Z = * = = 22,16 + 52,15 j Z1 + Z 2* 26  950 j *

_= * _ 

WJF  

22,16

2

 52,152  56, 66:

52,15  2,3533F  67ºFRVF  0,3910 22,16

VHI2 2202 3  FRVF   FRV67º 167, 04ZDWLRV 2 ˜ 56, 665 Z

10.15. Un circuito de corriente alterna está constituido por una resistencia GHȍ\XQFRQGHQVDGRUGHȝ)FRQHFWDGRVHQSDUDOHORDXQDIXHQWHGH 631

ERRNVPHGLFRVRUJ

Corriente alterna

9GHWHQVLyQPi[LPD\FVGHIUHFXHQFLD&DOFXODUORVYDORUHVH¿FDFHV de tensión e intensidad, el valor del factor de potencia, y la potencia disipada en un período, por dicho circuito. a) VHI =

V0 220 = = 155,56 V 2 2

1 1 1 1 2P 50 ˜ 1 ˜106 1 =  =  = + 2P 50 ˜1 ˜ 106 j * j 100 100 Z1 R j CW Z1* =

100 100  P j = = 99,9  3,138 j 2 1 + P 10 j 1 + P 2 104

Z = 99,92 + 3,3182 = 100, 04 : WJF  

I HI =

3,1318   0, 0314;F   1º 45' 99,9

155,56 = 1,555 A 100, 04

b) FRVF  0,9995 c) 3 9HI , HI FRVF  155,56˜1,555˜ 0,9995 241, 7ZDWLRV 8QDERELQDGHȍGHUHVLVWHQFLD\P+GHDXWRLQGXFFLyQHVWi FRQHFWDGDHQVHULHFRQRWUDERELQDGHȍ\P+IRUPDQGRXQFLUFXLWRTXH se conecta a un generador de 220 V de tensión máxima y 50 Hz de frecuencia. Calcular la potencia disipada en dicho circuito y la cantidad de calor generada en julios, por efecto Joule en 1 hora. a) Z=

2

2

R1  R2 + L1W  L2W

=

2

20  10

2

+ 2P 50 ˜103  2P 50 ˜ 2 ˜103 = 30, 01 :

632

ERRNVPHGLFRVRUJ

Temas de Física

WJF 

I0 =

L  L2 W   1 R1  R2

10 

3

 2 ˜103 2P 50

20  10

 0,314F  1,8ºFRVF  0,9995

V0 V I 220 = = 7,33 A ; 3  0 0 FRVF  805,89ZDWLRV Z 30, 01 2

I 02 7,332 b) Q = R1  R2 3600 = 10  20 3600 = 2904000 J 2 2 8QFLUFXLWRIRUPDGRSRUXQDUHVLVWHQFLDGHȍXQDERELQDGH +GHDXWRLQGXFFLyQ\ȍGHUHVLVWHQFLD\XQFRQGHQVDGRUGHȝ) de capacidad, se conectan en serie con un alternador de 220 V de tensión Pi[LPD\+]GHIUHFXHQFLD&DOFXODUD /RVYDORUHVH¿FDFHVGHODWHQVLyQ e intensidad. b) El factor de potencia. c) La potencia disipada por el circuito. a) VHI =

220 = 155,56 V 2 2

Z=

I HI =

1 · = 80,177 : 44  36 + §¨ 2P 50 ˜ 0,1  6 ¸ 2P 50 ˜100 ˜10 ¹ © 2

155,56 = 1,94 A 80,177

1 1 0,1 ˜ 2P 50  6 100 ˜10 ˜ 2 P 50   0, 005187F   0, 29º CW  b) WJF   R1 + R2 44  36 LW 

FRVF  0,9999 c) 3 9HI , HI FRVF  155,56 ˜1,94 ˜0,9999 301, 78ZDWLRV  8QD ERELQD FRQ  + GH DXWRLQGXFFLyQ \  ȍ GH UHVLVWHQFLD XQLGD HQ SDUDOHOR FRQ RWUD GH  + \  ȍ VH XQHQ D XQ JHQHUDGRU GH 633

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Corriente alterna

corriente alterna que suministra una tensión de 220 V de amplitud y 50 Hz de frecuencia. Calcular la potencia disipada en el circuito.

100  31, 4 j 50  6, 28 j = 5000 + 628 j +1570 j  197,39 1 1 1 Z1* Z 2* * = + ; Z = = * * * * * Z Z1 Z 2 Z1 + Z 2 100  31, 4 j  50  6, 28 j 150 + 37, 68 j 5DFLRQDOL]DQGR: Z* =

4802, 61  2198 j 150  37, 69 j = 33,58 + 6, 216 j 150  37, 68 j 150  37, 68 j

_ = * _  33,582  6, 2162  34,15:WJF  

6, 216  0,1852UDG F  10º 30 ' 33,58

VHI2

2202 3  * FRVF   FRV10º 30 ' 696, 738ZDWLRV 2 ˜34,15 _Z _

 &DOFXODU HOYDORUGH ODLQWHQVLGDGH¿FD]GH XQD FRUULHQWHDOWHUQD que varía según la ley: I=IoSDUDW7, SDUD7W7, ,o, para 7W7, SDUD7W76LHQGR,o = 2 A, y T el período. 'DGRTXHHOYDORUH¿FD]HVHOYDORUTXHKD\TXHVXVWLWXLUHQODOH\GH-RXOH REWHQGUHPRVTXH: I2 I 7 7 4 , HI2 57 , 02 5 0, 02 5 0Ÿ I HI2   0 Ÿ, HI   0 ; I HI = 1 A 8 8 4 2

10.20. Para inducir el sueño se utiliza una corriente alterna rectangular de intensidad máxima (Io P$ &DOFXODUHOYDORUGHODLQWHQVLGDGH¿FD]VL la corriente varía según la ley: I= IoSDUDW7, SDUD7W7,  - IoSDUD7W7, SDUD7W7VLHQGR7HOSHUtRGR 'DGRTXHHOYDORUH¿FD]HVHOYDORUTXHKD\TXHVXVWLWXLUHQODOH\GH-RXOH REWHQGUHPRVTXH I2 I 7 7 4 , HI2 57 , 02 5 0, 02 5 0Ÿ, HI2   0 Ÿ , HI   0 , HI  0, 07P$ 4 4 2 2

634

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Temas de Física

10.21. En un circuito en serie formado por un condensador de 2 10-2 PF y reactancia capacitativa 103 : y una resistencia óhmica R, se conecta a XQDWHQVLyQH¿FD]GH96LODLQWHQVLGDGH¿FD]TXHFLUFXODHVGH$ calcular: a) La frecuencia de la corriente. b) El factor de potencia. c) La potencia disipada. 1 ; 2P I&

a) ; c

b) Z

VHI

WJ F

2

1 WC R

103 7433

7957, 747 +]

1502  106 2 0, 02

R 2  X C2 ; R

I HI 

1 2P 2 ˜10 ˜ 106 ˜ 103

I

0,13373 ; cos F

7433 :

0,991

c) P VHI I HI cos F 150 ˜ 0, 02 ˜ 0,991 2,973 w 8QFRQGHQVDGRUGHȍGHUHDFWDQFLDFDSDFLWDWLYDVHXQHHQSDUDOHOR FRQXQDERELQDGHȍGHUHVLVWHQFLD\ȍGHUHDFWDQFLDLQGXFWLYD(O conjunto así formado se une a un generador de corriente alterna de 280 V de WHQVLyQPi[LPD&DOFXODUD /DLQWHQVLGDGH¿FD]E (OIDFWRUGHSRWHQFLD X&

5 j ; X /

150  20 j ;

Z7

20  150 j 30  3 j 2



1 1  ; Z7 5 j 150  20 j

20  150 j 30  3 j 2

2

30  3

Z7

§ 50 · § 1520 · ¨ ¸ ¨ ¸ © 303 ¹ © 303 ¹

a) I 0

V0 Z7

280 5, 02

1 Z7

2

55, 78 ; I HI

1520,8 303 I0 2

150  4560 j 909

150  15 j 100  750 j

30  3 j 20  150 j

50 1520  j 303 303

5, 02 :

39,5 A

635

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Corriente alterna



b) WJ F

1520 303 50 303



1520 50

30, 4 ; FRV F

1

1 2

1  WJ F

2

0, 03

1  30, 4

8QFLUFXLWR5/&FRQVWDGHXQDUHVLVWHQFLDGHȍXQDDXWRLQGXFFLyQ de 1 mH y un condensador de 1 nF (nanofaradio) de capacidad. Calcular la frecuencia de resonancia del circuito. Si la intensidad máxima que circula por el circuito es de 0,5 A, calcular el valor máximo de la tensión, y la diferencia de potencial entre los extremos de la autoinducción y del condensador. a) W r =

Ir  

1 1 = = 106 rad 3 9 LC 10 ˜10

Wr  1,59˜105 +] 2P

b) V0 = I 0 R = 0,5 ˜100 = 500 V

c) VL =

VC =

W r L V0 106 ˜103 ˜ 50 = = 500 V 100 R

V0 50 = 6 = 500 V W r C R 10 ˜109 ˜100

(QXQFLUFXLWRVHFRQHFWDQHQVHULHXQDUHVLVWHQFLDGHȍXQD bobina de 2.10-4 H, y un condensador de capacidad C, de modo que entran en resonancia para una frecuencia de 106 Hz. Calcular: a) El valor de la capacidad. b) El valor de la intensidad máxima si la diferencia de potencial externa es Vef= 2 V. c) El valor de la tensión máxima en el condensador y en la bobina. d) El factor de calidad del circuito. a) W L =

1 1 1 ; C = 2 2 2 = 2 12 = 1, 266 ˜1010 F = 126, 65 pF 4 W & 2 P I / 4P ˜10 ˜2˜10

636

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Temas de Física

b) I 0D[ =

V0 VHI 2 2 2 = = = 0, 2828 A R R 10

6 4 c) VL = VC = V0 W r L = 2 2 2P ˜10 ˜ 2 ˜ 10 = 355, 43 V R 10

d) Q = VL = W r L = 355, 45 = 125, 67 V0 R 2 2 10.25. Un circuito de corriente alterna formado por un condensador de 400 cm de capacidad y una bobina de autoinducción L1, entra en resonancia para una frecuencia de 108 Hz. Si se le añade otra bobina de autoinducción L2, vuelve a entrar en resonancia si la capacidad se reduce a 100 cm. Calcular el valor de L2 (ko = 9 109 Nm2/C2). 22 P 2 I 2  

L2 =

1 1 1 /1  2 2 2 /1/2   2 2 2  /1&1 2 P I &1 2 P  I &2

§ 1 § 9 ˜1011 9 ˜1011 · 1 1· 1 7   = ¸ ¸ = 0,1708 ˜10 H 2 2 2 ¨ 2 2 16 ¨ 2 P I © &2 &1 ¹ 2 P ˜10 © 100 400 ¹

10.26. Un circuito oscilante consta de una bobina de 0,8 mH de autoinducción y un condensador de 4500 cm de capacidad. Calcular: a) el YDORUGHVXSHULRGRGHRVFLODFLyQE 6LWLHQHXQDUHVLVWHQFLDGHȍ\HVWi FRQHFWDGRDXQDGLIHUHQFLDGHWHQVLyQH¿FD]GH9FDOFXODUHOYDORUGHOD amplitud de la onda de intensidad. c) El factor de calidad del circuito. a) 7

2P Wr

b) I max

c) Q

2P /&

V0 R VL V0

2P 0,8 ˜103 ˜

VHI 2 100 Wr L R

4500 9 ˜1011

125, 66 ˜107 V

3,11 A

L R LC

0,8 ˜103 100 0,8 ˜103 ˜ 500 ˜1011

4

637

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