Álgebra elemental para el nivel medio superior. 9786073236850, 6073236859

Citation preview

Álgebra elemental para el nivel medio superior Guillermo de Jesús Arzate Cabrera

Datos de catalogación bibliográfica ARZATE CABRERA, GUILLERMO DE JESÚS Álgebra elemental para el nivel medio superior PEARSON EDUCACIÓN, México, 2015 ISBN: 978-607-32-3684-3 Área: Bachillerato/Matemáticas Formato: 20 * 25.5 cm

Páginas: 136

Director general: Sergio Fonseca ■ Director de innovación y servicios: Alan David Palau ■ Gerente de contenidos K-12: Jorge Luis Íñiguez ■ Gerente de arte y diseño: Asbel Ramírez ■ Coordinadora de contenidos de bachillerato y custom: Lilia Moreno ■ Especialista en contenidos de aprendizaje: Ma. Elena Zahar ■ Especialista en contenidos de aprendizaje Jr.: Xitlally Alvarez ■ Coordinadora de arte y diseño: Mónica Galván ■ Supervisor de arte y diseño: José Hernández • Composición y diagramación: FOCA Grupo Editorial • Diseño de portada: Gráfica Alterna. Editora sponsor: Ma. Elena Zahar Arellano [email protected] ISBN LIBRO IMPRESO: 978-607-32-3684-3 ISBN E-BOOK: 978-607-32-3685-0 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 18 17 16 15

Primera edición, 2015 D.R. © 2015 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Avenida Antonio Dovalí Jaime No. 70 Torre B, piso 6, Colonia Zedec, ED Plaza Santa Fe Delegación Álvaro Obregón, Distrito Federal, C.P. 01210

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. núm. 1031. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

www.pearsonenespañol.com

Contenido Prólogo Presentación

v vii

Capítulo 1 Preálgebra 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Leyes de los signos La quinta y la sexta operación (elevar a potencia y extraer raíz) Jerarquía de las operaciones Uso de los signos de agrupación Leyes de los exponentes

1 1 7 11 13 15

Capítulo 2 Álgebra 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Anatomía de un término Expresiones algebraicas Términos semejantes Suma algebraica Multiplicación División Potencias Raíces

21 21 22 22 23 29 37 47 50

iv

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Capítulo 3 Productos notables y factorización Productos notables 3.2 Factorización 3.1

53 53 60

Capítulo 4 Ecuaciones Ecuaciones de primer grado con una incógnita 4.2 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 4.3 Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas 4.4 Desigualdades e inecuaciones 4.1

79 81 90 97 102

Capítulo 5 La línea recta Sistema de ejes coordenados 5.2 La pendiente de una recta 5.3 La ecuación de una recta 5.1

105 105 105 106

Resultados de las prácticas

113

Bibliografía

123

Prólogo Históricamente, las matemáticas han causado problemas a la mayoría de los estudiantes de todos los niveles; las explicaciones de esto suelen ser muy variadas: desde la falta de desarrollo de habilidades en el área, hasta la prepotencia con la que algunos maestros pretenden enseñar esta asignatura. De lo que no hay duda es que en las instituciones de Educación Media Superior, y Superior, la falta de destreza en esta materia, el haberla reprobado, ha causado gran porcentaje de deserción escolar. La presente obra es producto, en primer lugar, de un estudio riguroso que fue presentado como trabajo final en una maestría de enseñanza de las matemáticas; en segundo término, de la labor con estudiantes de primer curso en una institución de Educación Superior realizada durante más de tres años. La etapa inicial fue iniciativa del autor; la subsiguiente se dio gracias al trabajo de un grupo de compañeros, con los cuales, el primero y quien esto escribe, compartimos la preocupación por las formas y el cómo enseñar las matemáticas. Si bien coincido con el pensamiento de varios colegas maestros de que no hay mucho que hacer para enseñar las matemáticas, es preciso reconocer que, en cambio, hay bastante que hacer para aprenderlas. No obstante, la generación de docentes que hoy estamos frente al grupo es muy distinta a la de los estudiantes; el nivel e intensidad de distractores que éstos tienen hacen que las estrategias deban ser más precisas y eficientes, de tal forma que se atrape al estudiante de entre la vorágine de alternativas que existen para ocupar su tiempo. Este libro ofrece tales astucias tanto para el docente, con ejemplos y prácticas que pueden optimizar su tiempo frente al grupo, como para el alumno, ya que le marcan los errores más comunes y clásicos, con la intención de que los eviten en la medida de lo posible. El estudiante y el maestro, en general, el lector, está frente a una obra que desde su concepción ha sido diseñada con la firme y honesta intención de que aprendan matemáticas. Aspiramos a que las estrategias y sugerencias vertidas a lo largo del texto sirvan para lograr este objetivo, aunque el esfuerzo y la dedicación tendrá que proveerlos siempre el alumno, pues las matemáticas son un deporte que se domina, como cualquier otro, sólo con la práctica. José Felipe Ojeda Hidalgo Profesor-investigador de tiempo completo Universidad Politécnica de Guanajuato

Presentación

Por experiencia propia sé que las matemáticas son el “coco” de las asignaturas, la materia más difícil, y una de las que cuentan con mayor número de alumnos reprobados; en ello estarán de acuerdo quienes se dedican a su enseñanza, de tal manera que “el buen desempeño en matemáticas es considerado, en general, como una muestra de sabiduría e inteligencia”.1 “Todos los alumnos que estudian alguna carrera de ingeniería cursan las asignaturas Cálculo I, Álgebra, Geometría analítica, Física experimental y Cultura y comunicación. De éstas, las tres asignaturas relacionadas con las matemáticas son las que tienen los más altos índices de reprobación”,2 precisamente por ello se sugiere el estudio de este texto. Entre las posibles causas de lo anterior, por lo menos desde este enfoque, se encuentra la falta de atención o el exceso de confianza, como se le quiera ver. Es decir, se trata de errores, no de falta de capacidad, sino de atención tanto de los docentes como de los alumnos. Otras posibles causas de este problema son la exposición inadecuada de la materia por parte de los profesores, la falta de motivación de los alumnos, ya sea por problemas familiares, problemas de salud, mala alimentación, etcétera. La finalidad de este libro es hacer de fácil comprensión el estudio del álgebra, siguiendo paso a paso la construcción de conocimientos, de tal manera que se liguen los saberes nuevos con los anteriores para formar un todo más amplio cada vez (Ausubel). George Pólya, matemático húngaro, desarrolló un procedimiento para la solución de problemas, el cual consiste en cuatro pasos: 1. 2. 3. 4. 1 2

Entender el problema Hacer un plan Seguir el plan Ver hacia atrás

Monsalvo, op. cit. Barrera, op. cit.

viii

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Para llevar a cabo el segundo y el tercer pasos se requiere de ciertos conocimientos, uno de ellos es el álgebra, pues constituye la base de todos los conocimientos matemáticos superiores, que, a su vez, serán necesarios para resolver problemas, de ahí la importancia de su aprendizaje. Por tal motivo es imperiosa la necesidad de que los alumnos con aspiraciones de cursar una carrera profesional aprendan esta materia. El libro está dirigido a profesores de la materia y a alumnos que hayan tenido descalabros en estos temas. El propósito de la obra es disminuir los ya mencionados índices de reprobación, ya que contiene el mínimo de conocimientos necesarios para acreditar la materia de Álgebra en el nivel medio superior, y servirá de base para estudios posteriores más avanzados. La cuestión es qué se puede hacer para disminuir este índice de reprobación. Una posible respuesta es precisamente este libro. Si existen tantos libros de álgebra,3 ¿por qué se piensa que éste será diferente? Entre las razones se encuentran las siguientes: 1. Es bien sabido que uno de los mejores métodos de aprendizaje consiste en leer, ubicándose en el tercer nivel de lectura frecuentemente y por lo menos en el segundo nivel,4 y también escribir, pero hay que considerar que una de las materias más difíciles de leer es Matemáticas. Este libro tiene la intención de facilitar la lectura, por lo que se utiliza un lenguaje cotidiano, evitando los tecnicismos; no obstante, se requiere, por parte del estudiante, un esfuerzo consciente para alcanzar el primer nivel de lectura5 (llamado también lectura de comprensión) y superarlo. 2. En este libro se mencionan los errores más comunes, que además son repetitivos e inconscientes; al señalarlos explícitamente se pretende traerlos a la conciencia y poner énfasis en su corrección para evitarlos en el futuro. 3. Este texto puede utilizarse como un recurso para el autoaprendizaje, por lo que todas las explicaciones se enuncian paso a paso. 4. También Álgebra elemental para el nivel medio superiorr puede emplearse como libro de texto en el nivel medio superior. 5. Se partirá de la base de que cualquier estudiante, que tenga en sus manos esta obra, tiene el deseo de vivir y la capacidad de aprender para vivir. Cualquier persona puede aprender álgebra siempre que esté consciente de que esto requiere un esfuerzo que implica un mayor nivel de concentración que en la vida común (habilidades simbólico-analíticas), esfuerzo que, por otro lado, no es muy grande, pues se supone que está dispuesta a realizarlo.

3 4 5

Anfossi, Lovaglia, Baldor, Preciado, Leithold, Gobran, etcétera. Kabalen y De Sánchez, op. cit., p. 20. Cfr. Kabalen, p. 7.

Presentación

ix

Es de suma importancia que el estudiante esté dispuesto a llevar a cabo las dos fases del aprendizaje matemático, a saber: • Entender los conceptos claramente, no podrá avanzar si no quedan perfectamente entendidos, de otra manera se sumarían deficiencias nuevas a las deficiencias anteriores. • Hacer ejercicios de repetición hasta que queden aprendidos todos y cada uno de los temas; en cada tema se estudian varios conceptos que sumados a los contenidos en temas anteriores comprenden un buen número de conocimientos que los estudiantes deben saber de memoria, para lo cual es importante la repetición, ya que se estarán manejando, una y otra vez, reglas y procedimientos que mediante la práctica quedarán aprehendidos (capturados). Es recomendable resolver los ejercicios en grupo, pero hay que evitar copiarlos, se debe entender paso a paso lo que se hace. Por cada hora de clase debe dedicarse por lo menos un tiempo igual de estudio en casa y deben realizarse los ejercicios correspondientes (tareas). Si el aprendizaje es autodidacta, entonces deberán hacerse suficientes ejercicios. La mejor forma de aprehender es haciendo ejercicios, no menos de 20 de cada tema. En cada nuevo tema, una vez entendidos los conceptos, el primer ejercicio será el que requiera el mayor esfuerzo, no porque el ejercicio sea el más difícil, sino precisamente porque será el primero y por ende el más tardado, pero también será el más importante, los siguientes serán cada vez más fáciles. Los alumnos no deben desesperarse, ya que adquirir este conocimiento lleva tiempo, como todo nuevo aprendizaje. Esto es cuestión de actitud, de olvidar todo lo que se dice acerca de las matemáticas, lo cual en realidad no es del todo cierto. Guillermo de Jesús Arzate Cabrera

Capítulo

Preálgebra

1.1 Leyes de los signos En aritmética la primera operación que se utiliza es la suma e inmediatamente después la resta; sin embargo, la resta es el inverso aditivo de la suma, en efecto: 5 + (-2) es la suma de 5 más el inverso aditivo de 2, convirtiéndose entonces en una resta: 5-2 Por lo anterior, se afirma que siempre se habla de suma, ya que ésta implica a la resta. Un ejemplo de en qué consiste el inverso aditivo, para fines prácticos, es el siguiente: + Si hablamos de un sentido de recorrido, el recorrido de izquierda a derecha, habría un sentido positivo y el sentido inverso, el de derecha a izquierda, sería el negativo. También se puede hablar de sentido de giro, por ejemplo, el giro en el sentido de las manecillas del reloj sería el positivo y el inverso (contrario a las manecillas) sería el negativo.

+

-

2

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Otro ejemplo, del ámbito de la contabilidad, es el del dinero en el banco, que sería positivo, y el que se adeuda, el cual sería negativo (inverso aditivo). De esta manera abordaremos las leyes de los signos. Leyes de los signos para la suma

1. Al sumar dos cantidades con el mismo signo se suman sus valores absolutos y se conserva el signo. Ejemplos a) +5 + 9 = +14 (el signo positivo al inicio de una expresión algebraica se puede omitir, en este ejemplo, para que fuera más explícito, no se omitió). b) -6 - 4 = -10 (el signo negativo al inicio de una expresión algebraica no se puede omitir). c)

+ 6 + 9 + 15

- 8 - 6 - 14

*

* Con frecuencia al hacer esta operación los alumnos se equivocan y aplican la “ley de los signos de la multiplicación” al efectuar la suma, así, colocan el signo + al resultado, lo cual, es incorrecto.

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

+

+

-

-

Capítulo 1 Preálgebra

3

2. Al sumar dos cantidades con diferente signo se restan sus valores absolutos y el signo resultante es el de la cantidad con mayor valor absoluto. Ejemplos a) +5 - 2 = +3* b) -6 + 5 = -1 c) +3 - 9 = -6 d) -5 + 10 = +5* e)

+ +

7 3 4

*

- 8 + 15 + 7

*

* También en estos casos es frecuente equivocarse al obtener el signo, el motivo es el mismo que en los ejemplos anteriores: los alumnos aplican la ley de los signos de la multiplicación al estar sumando.

1

1

2

2

3

4

2

1

3

5

+

-

+

Leyes de los signos para la multiplicación

1. Al multiplicar dos cantidades con el mismo signo se obtiene signo positivo. Ejemplos a) (+5) por (+3) = +15 b) (-7) por (-6) = +42

4

Álgebra elemental para el nivel medio superior

2. Al multiplicar dos cantidades con signo diferente se obtiene signo negativo. Ejemplos a) (+9) por (-6) = -54 b) (-5) por (+9) = -45

Se recomienda que para que recuerdes estas reglas, escribas un resumen como el siguiente: + por + = + + por - = - por + = - por - = + Leyes de los signos para la división

Las leyes de los signos para la división son similares a las de la multiplicación. 1. Al dividir dos cantidades con el mismo signo se obtiene signo positivo. Ejemplos a) (+15) entre (+3) = +5 b) (-20) entre (-5) = +4

2. Al dividir dos cantidades con signo diferente se obtiene signo negativo. Ejemplos a) (+9) entre (-3) = -3 b) (-25) entre (+5) = -5

Capítulo 1 Preálgebra

5

Para que recuerdes estas reglas, puedes hacer un resumen como el que aparece a continuación: + entre + = + + entre - = - entre + = - entre - = + Práctica 1 Realiza las siguientes operaciones utilizando las leyes de los signos (sin usar calculadora). Leyes de los signos para la suma 1. -5 más -4 = 2. -8 más -6 = 3. 5 más 2 = 4. -2 más -9 = 5. 7 más -4 = 6. 425 más -124 = 7.

1 3 más - = 5 5

8. -

2 3 más - = 9 8

9. -

2 5 más = 5 3

10.

3 12 más = 9 3

6

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Leyes de los signos para la multiplicación 1. -5 por -8 =

2. 6 por 3 =

3. -8 por 6 =

4. 7 por -2 =

5.

2 6 por - = 5 8

6. -

1 2 por - = 9 7

Leyes de los signos para la división 1. -9 entre -3 =

2. 12 entre 2 =

3. -15 entre 5 =

4. 18 entre -6 =

5.

1 2 entre - = 3 5

6. -

2 6 entre = 5 8

Capítulo 1 Preálgebra

7

1.2 La quinta y la sexta operación (elevar a potencia y extraer raíz) En aritmética se estudiaron la suma, la resta, la multiplicación y la división, aquí se estudiarán dos operaciones más: elevar a potencia y extraer raíz. Elevar a potencia

Nomenclatura: 53 Lo anterior se lee de la siguiente manera: 5 elevado al cubo o a la tercera potencia, en este caso al número 5 se le llama base y al 3 potencia o exponente. Para elevar a una determinada potencia un número, se multiplica por sí misma la base hasta completar el número de factores que indica la potencia. Ejemplo 53 = 5 * 5 * 5 = 125* Nota que la base (en este ejemplo, el número 5) se multiplicó por sí misma hasta completar tres factores (porque la potencia es 3). * Es común que los alumnos, equivocadamente, multipliquen la base (en este caso, el número 5) por la potencia (el número 3). Pero es un error multiplicar la base por la potencia. El procedimiento correcto para obtener cualquier potencia es el siguiente: Lo incorrecto es 32 = 3 * 2 = 6. Lo correcto es 32 = 3 * 3 = 9.

Ejemplos a) b) c) d) e) f) g) h)

63 = 6 * 6 * 6 = 216 84 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4 096 32 = 3 * 3 = 9 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1 024 -33 = 3 * 3 * 3 = -27 -24 = 2 * 2 * 2 * 2 = 16 -110 = 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 = 1

8

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Práctica 2 Eleva a potencia los números que se indican. 1. 25 = 2. 102 = 3. 43 = 4. -28 = 5. (-2)8 = 6. 3-3 = 7. 1 2500 = 3

⎛2⎞ 8. ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ −4

⎛1⎞ 9. ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

=

Potencias especiales

•

Cualquier número real, diferente de cero, elevado a la potencia cero es igual a uno. En efecto, 60 = 1

•

Cualquier número real elevado a la potencia -1 es el inverso multiplicativo del número. 1 1 Así: 5-1 = 1 = 5 5

Capítulo 1 Preálgebra

9

Hay que recordar que cada operación matemática tiene su operación inversa; así, la inversa de la suma es la resta y se le llama inversa aditiva; la inversa de la multiplicación es la división y se le llama inversa multiplicativa. • Por extensión, cualquier número real elevado a una potencia negativa es el inverso multiplicativo del número (elevado a la misma potencia, pero positiva). 1 En efecto: 6-3 = 3 6

Práctica 3 Obtén las siguientes potencias. 1. 80 = 2. 3-2 = 3. 5-3 = 4. 7250 = 5. 6-1 = 6. 4-2 =

Extraer raíz

Nomenclatura:

5

32

En este caso, el número 5 es el índice de la raíz, el signo es el radicall y el número 32 es el radicando o subradical. La operación extraer raíz es la inversa de la operación elevar a potencia. Para hacer esta operación se debe encontrar un número que al multiplicarlo por sí mismo tantas veces como lo señala el índice de la raíz se obtenga el radicando.

10

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Ejemplo 5

32 = 2

ya que 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32. Es importante observar que al multiplicar el número 2 por sí mismo hasta completar cinco factores se obtiene 32, por tanto, la raíz quinta de 32 es 2.

Práctica 4 Calcula las siguientes raíces. 1.

3

27 =

2.

2

81 =

3.

6

64 =

4.

5

1024 =

5.

3

8 =

Si el subradical (radicando) es negativo y el índice de la potencia es par, entonces el resultado no es un número real, sino imaginario. Por ejemplo: 2

-36 = imaginario

No existe ningún número real que multiplicado por sí mismo dé un negativo. Así: (-6)(-6) = +36 (+6)(+6) = +36 La única manera de que este producto resulte negativo es multiplicando (+6)(-6) = -36 o (-6)(+6) = -36, pero en ambos casos no se está multiplicando la base por sí misma, por lo que ninguno de estos dos es la raíz de -36.

Capítulo 1 Preálgebra

11

Práctica 5 Extrae la raíz de las siguientes cantidades (no es necesario que utilices calculadora). 1.

2

81 =

2.

5

32 =

3.

5

-32 =

4.

6

64 =

5.

3

-27 =

6.

4

-16 =

7.

3

27 = 8

1.3 Jerarquía de las operaciones Con frecuencia aparecen operaciones en forma horizontal, las cuales es necesario resolver, como la siguiente: 3 + 5 * 4 , 10 - 8 + 23 * 3 = Para llevar a cabo este tipo de operaciones es indispensable respetar la jerarquía y seguir un orden. La jerarquía se refiere a qué operación se debe hacer primero y cuál después; los pasos son los siguientes: 1. Se efectúan las operaciones de elevar a potencia y de extraer raíz. 2. Se hacen las operaciones de multiplicar y dividir. 3. Se realizan las operaciones de suma y resta. El orden adecuado para llevar a cabo las operaciones es de izquierda a derecha.

12

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Siguiendo estas indicaciones el ejercicio anterior se resuelve como se explica a continuación: 3 + 5 * 4 , 10 - 8 + 23 * 3 = 1er. paso: se efectúan las operaciones de elevar a potencia y de extraer las raíces, de izquierda a derecha. Como 23 = 8, nos queda: 3 + 5 * 4 , 10 - 8 + 8 * 3 = Observa que sólo se llevó a cabo la operación de elevar a potencia y todo lo demás quedó igual. 2o. paso: se hacen las multiplicaciones y divisiones, también de izquierda a derecha. 5 * 4 , 10 = 2

y

8 * 3 = 24

Las anteriores son las únicas operaciones que se hicieron y quedaron así: 3 + 2 - 8 + 24 = 3er. paso: se resuelven las sumas y restas también de izquierda a derecha; sin embargo, en este último paso se pueden efectuar las sumas y restas en el orden que deseemos, ya que se obtiene el mismo resultado (por la propiedad conmutativa de la suma). 3 + 2 - 8 + 24 = 21

Ejemplos a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

5+3*8= 6-8*9= 5-3*2+3-5*4= 23 + 32 * 2 , 6 = 52 - 4 * 2 - 3 27 * 5 = 32 - 23 * 4 - 62 - 52 = 2 81 + 62 * 2 - 3 = 625 , 5 + 8 - 23 + 3 = -32 + 8 + 12 , 6 = - 2 49 + 23 - 4 * 33 =

R = 29 R = -66 R = -18

Capítulo 1 Preálgebra

13

Práctica 6 Realiza las siguientes operaciones considerando la jerarquía de éstas (no es necesario que utilices calculadora). 1. -6 + 4 * 3 = 2. 6 - 3 - 7 * 2 = 3. -8 * 3 + 4 * 5 = 4. -6 * 4 - 8 * 2 + 3 * 2 = 5. -2 + 4 - 3 * 4 - 8 * 2 + 3 * 6 = 6.

2 9 3 - 4 + x 2 - 5x = 5 3 9

7. -32 * 23 + 8. -24 - 6x 5 +

3

17 - 44 = 12 4

2

-81 =

1.4 Uso de los signos de agrupación Los signos de agrupación más comunes son paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }, las funciones que desempeñan son tres: 1. Modifican la jerarquía de las operaciones. Ejemplo 5 + 3 * 6 = 23

14

Álgebra elemental para el nivel medio superior

De acuerdo con la jerarquía de las operaciones, en este ejemplo, primero se multiplica 3 * 6 y después al resultado se le suman cinco unidades; sin embargo, si encerramos entre paréntesis la operación (5 + 3), entonces deberá primero hacerse esta operación y el resultado posteriormente se multiplicará por 6: (5 + 3) * 6 = 48 2. Son operadores que significan que se hace una multiplicación. Ejemplos a) (-5)(3) = -15 b) (5 + 3)6 = 48 c) 8(4 - 2) = 16

3. Tienen la función de agrupar: Ejemplos a) (6 - 5 + 8 * 2) - (5 - 3 + 9 * 8) El paréntesis indica que primero deben hacerse las operaciones contenidas en ellos y después la resta. b) -32 = -9 En este ejemplo sólo el 3 se eleva a la potencia, pero si la encerramos en un paréntesis (-3)2 = +9 se indica que tanto la cantidad como el signo serán elevados a cierta potencia (pues el paréntesis los está agrupando). Nota: el desconocimiento de este detalle puede causar equivocaciones al utilizar una calculadora, si se eleva un número negativo a una potencia par.

Capítulo 1 Preálgebra

15

Ejemplos a) b) c) d) e) f)

6(4 + 6) + 2(5 - 6) = 8 + 2(5 - 6)5 + 4 - (5 - 3) = -6 + 5(1 - 3)3 + 2 36 (5 - 7) = 6 - 5[2 + (5 - 2)2 - 6] = -3{2 + 5[8 + 3 - (2 - 1)2] - 5} = +4 - (5 - 3)(8 - 2) + (-3)3 + 2 =

R = 58 R=8 R = -58 R = -19 R = -126

Práctica 7 Realiza las siguientes operaciones utilizando los signos de agrupación (sin usar calculadora). 1.

-6 - (3 - 7 * 2 + 1)2 + (-6)2 + (8 * 3) : 12 =

2.

-2 + 3 - {2 + 4 - (3 - 1)2 + 3 - 2(3 - 2 + 6)} =

3.

-33 - {2 - 3(8 - 5 * 3 - 22)2 - 6(4 * 2 - 5 * 3)} =

1.5 Leyes de los exponentes Cuando se tiene un número cualquiera elevado a cierta potencia y se desea multiplicar por el mismo número elevado a otra potencia, el procedimiento es el siguiente: 35 * 36 = 35 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 y 35 * 36 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3

36 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 *

3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 311

De esta manera es posible deducir la primera ley de los exponentes: 1. Al multiplicar un número elevado a una potencia por el mismo número elevado a otra potencia, se suman los exponentes.

16

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Ejemplo 35 * 36 = 35 + 6 = 311 Nota: la base debe ser la misma, en este caso, la base en ambos factores es 3.

Ejercicio Efectúa las siguientes operaciones utilizando las leyes de los exponentes, como en el ejemplo. (53)(56) = 59 1. (65)(69) = 2. (32)(35)(34) = 3. (45)(4-3) = 4. (910)(9-8) = 5. (12-6)(12-3) =

Práctica 8 Resuelve las siguientes operaciones, utiliza las leyes de exponentes. 1. 25 * 27 =

Capítulo 1 Preálgebra

17

2. 53 * 55 = 3. 93 * 92 = 4. 64 * 69 = 5. 85 * 8-3 = 6. 6-2 * 6-3 = 7. 4-5 * 42 = 8. 11-2 * 113 =

Cuando se tiene un número cualquiera elevado a cierta potencia y se quiere dividir entre el mismo número elevado a otra potencia, el procedimiento es el siguiente: 4*4*4*4*4*4 4*4 46 = = 4 * 4 = 42 4 = 4*4*4*4 1 4 De esta manera deducimos la segunda ley de los exponentes: 2. Al dividir un número elevado a una potencia entre el mismo número elevado a otra potencia, al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador. 46 = 46 - 4 = 42 44 3. Si un número elevado a una potencia se eleva a otra potencia, los exponentes se multiplican. (92)3 = 92 * 3 = 96

18

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Ejercicios Eleva a potencia lo siguiente. 1. (63)6 = 2. (54)5 = 3. (26)9 = 4. (3-2)3 = 5. (2-3)-4 =

4. Si a un número elevado a una potencia se le extrae una raíz, se divide el exponente del número entre el índice de la raíz. 6 3

9 6 = 9 3 = 92

Práctica 9 Eleva a potencia y extrae la raíz en los casos que así lo requieran. 1.

38 = 35

2.

65 = 63

3.

96 = 96

4.

4

68 =

Capítulo 1 Preálgebra

5.

5

86 =

6.

3

96 =

7.

2 3

(( 5 ) )

= 5

⎛⎛ 4 2 ⎞ 3 ⎞ 8. ⎜⎜⎜ 3 ⎟ ⎟⎟ = ⎝⎝ 4 ⎠ ⎠ 3

⎛2 4 ⎞ 8 9. ⎜ 2 2 ⎟ = ⎜ 8 ⎟ ⎝( ) ⎠ 2

⎛ 2 63 ⎞ 10. ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = ⎝ 6 ⎠ 11.

6

812 =

19

Capítulo

Álgebra

A Francisco Viete (1540-1603), político y matemático francés, se le puede considerar como el fundador del álgebra moderna. Definición

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.1 En efecto, si se tiene una cantidad cualquiera que se representará con x, lo que estamos diciendo es que esa x puede tener cualquier valor: 8, -7, 6 + 5, y, x - 2, z 2, etc. Precisamente por esto es tan general. Si en álgebra tenemos la expresión 6x, esto significa que se multiplicará 6 por el valor de x, pero como no se conoce el valor de x, entonces la expresión queda así: 6x, y constituye un término algebraico.

2.1 Anatomía de un término Analicemos el siguiente término: -5x 2 y 3 Las partes que lo constituyen son las siguientes: 1. 2. 3. 4.

1

Signo, que en este ejemplo es - (negativo). Coeficiente, que en este ejemplo es el número 5. Literales, variables o incógnitas, que en este ejemplo son x y y. Exponentes o potencias, que en este ejemplo son los números 2 y 3.

Para mayor información puedes consultar Baldor, Álgebra, p. 5.

22

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Este término se expresa como sigue: -(5)(x 2)(y 3) Nos damos cuenta de que se están multiplicando entre sí, por tanto, son factores y tenemos entonces que un término puede incluir factores. Como mencionamos antes, los paréntesis se pueden omitir y lo tendríamos, al término, como se señaló al inicio. Si tenemos un término como +1x 1y 1 con objeto de simplificarlo lo más posible se puede escribir así: xy ya que • Cuando una expresión algebraica comienza con signo positivo, se puede omitir dicho signo. • Cuando el coeficiente es la unidad (1), éste se puede omitir. • Cuando los exponentes consisten en la unidad (1) se pueden omitir.

2.2 Expresiones algebraicas Una serie horizontal de uno o varios términos constituye una expresión algebraica. Ejemplo 3x 2y - 5xz 2 + 4w 4z 3 Ésta es una expresión algebraica con tres términos.

A las expresiones algebraicas con un solo término se les llama monomios. A las expresiones algebraicas con dos términos se les denomina binomios. A las expresiones algebraicas con tres términos se les llama trinomios. Genéricamente, a las expresiones algebraicas con más de un término se les denomina polinomios.

2.3 Términos semejantes Dos o más términos son semejantes si, y sólo si, sus literales y exponentes son iguales, es decir, en los términos semejantes sólo pueden variar los coeficientes y los signos.

Capítulo 2 Álgebra

23

Ejemplos -8x 3y 2 es semejante a 6x 3y 2, ya que la única diferencia son los signos y los coeficientes. -4y 3 no es semejante a 22x 2y 3, ya que x 2 sólo aparece en el segundo término.

2.4 Suma algebraica Tal como mencionamos con anterioridad, el hablar de suma implica a la resta. La suma algebraica sólo se puede llevar a cabo entre términos semejantes. Dicho de otra manera, para sumar dos o más términos es indispensable que éstos sean términos semejantes. Ejemplos La suma de 5x 2y 6 + 2x 2 2y 6 sí se puede llevar a cabo. 3 4 La suma de 22x y + 8x 2y 4 no se puede efectuar, ya que éstos no son términos semejantes, en este caso se queda la expresión algebraica tal como está. Para hacer una suma algebraica se llevan a cabo los siguientes pasos: Supongamos que queremos sumar -5x 2y 5 + 7x 2y 5. a) Se comparan los términos para saber si son semejantes. Vemos que ambos términos tienen x 2 y y 5 como literales y exponentes, por tanto, son términos semejantes, y se continúa con el segundo paso. b) Solamente se operan los coeficientes con sus respectivos signos, de acuerdo con las leyes de los signos para la suma. -5x 2 y 5 +7x 2 y 5 +2x 2 y 5

*

El resultado es 22x 2y 5. Hay que tener en cuenta que dicho resultado es un término semejante con los dos sumandos. * Algunos de los errores que se cometen con mayor frecuencia en este tipo de operaciones son: • Al obtener el signo los alumnos aplican las leyes para la multiplicación y obtienen el signo equivocado, para que esto no ocurra, recuerda que estás sumando. • Sumar los exponentes como si se tratara de una multiplicación y no lo es, porque se trata de una suma.

24

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Ejemplo 6x 3y -2 + 8xy -3 - 9uv 5 - 5x 3y -2 + 9uv 5 - 15xy -3 + 8xy -3 = Solución: primero hay que identificar los términos semejantes. 6x3y-2 + 8xy xy -3 - 9uv 5 - 5x3y-2 + 9uv 5 - 15xy xy -3 + 8xyy -3 = Después se suman los términos semejantes: +8xy−3 +6x3 y

2

+8xy−3

-5x3 y

2

-15xy−3

+ x3 y

2

+ xy−3

-9uv 5 +9uv 5 0

La operación terminada será ésta: 6x 3y -2 + 8xy -3 - 9uv 5 - 5x 3y 2 + 9uv 5 - 15xy -3 + 8xy -3 = x 3y -2 + xy -3

Ejercicios Resuelve las siguientes operaciones. 1. 5x 3y 2 - 6x 3y 2 =

2. -3u 2v + 6xu 2 - 4u 2v =

Capítulo 2 Álgebra

25

3. -2x 2 -1y 4 + 8y -1 + 3x -1y 4 - 8y -1 =

4. 6m3n -4 - 5m3n 4 + 8m3n -4 + 6m3n 4 =

Se pueden sumar o restar expresiones algebraicas de la siguiente manera: A la expresión 6x2y3 - 4xyz + 2xy 2 5z 2 se le suma la expresión 22xy5z2 - 9x2y3 + 8xyz - 6 En este caso, lo primero que hay que hacer es pasar la expresión anterior del lenguaje normal al lenguaje algebraico: (6x2y3 - 4xyz + 2xy 2 5z2) + (2xy 2 5z 2 - 9x 2y 3 + 8xyz - 6) De esta manera, con los paréntesis de agrupar, sabemos que primero es necesario resolver las operaciones contenidas dentro del paréntesis y después, sumar los dos resultados; sin embargo, hay varias literales cuyo valor desconocemos, entonces procederemos como sigue: Para eliminar el paréntesis, si está precedido por un signo positivo, se elimina el paréntesis sin hacer nada más. 6x 2y 3 - 4xyz + 2xy 2 5z 2 + 2xy 2 5z 2 - 9x 2y 3 + 8xyz - 6 = Una vez que se eliminaron los paréntesis, se reducen (suman) los términos semejantes.

26

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Resultado: -3x 2y 3 + 4xyz + 4xy 5z 2 - 6 A la expresión 5x 3y -5 - 9uv 5 + 4uxy 3 - 6 se le resta la expresión 7 + 8uxy 3 - 6uv 5 + 9x 3y -5 + 9 En este ejemplo también hay que pasar del lenguaje normal al lenguaje algebraico utilizando paréntesis. (5x 3y -5 - 9uv 5 + 4uxy 3 - 6) - (7 + 8uxy 3 - 6uv 5 + 9x 3y -5 + 9)* Pero en este ejemplo, el segundo paréntesis está precedido por un signo menos, en tal caso se debe cambiar el signo de todos los términos contenidos en él y con esto se elimina el paréntesis, para quedar como sigue: 5x 3y -5 - 9uv 5 + 4uxy 3 - 6 - 7 - 8uxy 3 + 6uv 5 - 9x 3y -5 - 9 = Una vez que se eliminaron los paréntesis, se procede, como en el caso anterior, a reducir los términos semejantes. Resultado: -4x 3y -5 - 3uv 5 - 4uxy 3 - 22 * Al resolver este tipo de ejercicios, los alumnos cometen algunos errores. Los más frecuentes son: • Omitir el pasar del lenguaje normal al lenguaje algebraico y por eso no cambian el signo en la segunda expresión, así obtienen un resultado incorrecto. • Al eliminar el paréntesis precedido por el signo menos sólo cambian el signo del primer término y olvidan cambiar el signo de los demás, por lo que obtienen un resultado incorrecto.

Ejercicios Haz lo que se te pide en cada caso. 1. A la expresión 6x 2y 3 - 4xz 2 + 5y + 2 restarle la expresión 6xz 2 - 6 + 8y + 6x 2y 3.

Capítulo 2 Álgebra

27

2. Suma las siguientes expresiones algebraicas. 8ab 2 + 5axz - 2xyz 2 - 4a 2b - 2 más 5ab 2 - 8a 2b + 5 - 3xyz - 8axz menos - 5xyz + 9axz - 7ab 2 - 5

3. [3x + 2x 2 2 - (x - 3) + x 2 + (5x - x 2)] =

4. {5x + 7 + (3x - 5) + [-5x - 2 + (3x - 2) + 3x - 2] + 5x} =

Práctica 10 Sumas, restas y reducción de términos semejantes 1. Resuelve las siguientes sumas: -a + b + 4b - 4c + 6a + 4c - 8b =

-4a + 8b - 6a + 8b - 114b + 100a - a - b =

2. Efectúa la suma de m + n - p y - m - n + p.

28

Álgebra elemental para el nivel medio superior

3. Resta la expresión -10x 3y - 20x 2y 2 + 20y 4 a la expresión x 3 + 12xy 2 3 - 41y.

4. Resta la expresión -a - b + c - d a la expresión a + b + c - d.

5. Resta -22x 2 2 + 21x - 43 + 6x 3 a la expresión x 3 - 18x + 6x 2 - 19.

6. Resuelve las siguientes g operaciones: p a) 6m 2 - {-[m 2 + 6n - (8 - n) - (-3 + m 2)]} - (2n + 3) =

b) 4a - (-8a + b) - {-[-8a + (b - a) - (-b + a)]} =

c) (9m + n) - [4m + {-m + (8m - 4n - 10)}] - (n + 14) =

d) x - [6x + (8 - x)] - [4 - (6x - 12)] =

e) (c + d) - (m + n) =

Capítulo 2 Álgebra

29

2.5 Multiplicación 2.5.1 Multiplicación de monomio por monomio

Si queremos, por ejemplo, hacer la multiplicación de 5x 3y 4z 2 por -9x 4y 5z 3, se procede como sigue: (5x 3y 4z 2)(-9x 4y 5z 3) = 1. Se operan los signos (se utilizan las leyes de los signos para la multiplicación). Más por menos igual a menos: (5x 3y 4z 2)(-9x 4y 5z 3) = 2. Se operan los coeficientes. 5 * 9 = 45 (5x 3y 4z 2)(-9x 4y 5z 3) = -45 3. Se operan las literales (se utilizan las leyes de los exponentes, al multiplicar se suman los exponentes). (x 3)(x 4) = x 3+4 = x 7

(5x 3y 4z 2)(-9x 4y 5z 3) = -45x 7

(y 4)(y 5) = y 4+5 = y 9

(5x 3y 4z 2)(-9x 4y 5z 3) = -45x 7y 9

(z 2)(z 3) = z 2+3 = z 5

(5x 3y 4z 2)(-9x 4y 5z 3) = -45x 7y 9z 5

La operación completa queda entonces así: (5x 3y 4z 2)(-9x 4y 5z 3) = -45x 7y 9z 5 Ejemplo Con exponentes negativos: (6x -3y 5z -4)(-3x -22y -3z 2) = -18x -3 + (-2)y 5 + (-3)z -4 + 2 = -18x -3 - 2y 5 - 3z -4 + 2 = -18x -5y 2z -2 La multiplicación de varios términos se lleva a cabo como sigue: (5x 3)(-3x 2y 3)(-2x 2 3y 2) = a) Se opera el signo. + por - por - = +

(5x 3)(-3x 2y 3)(-2x 2 3y 2) = +

30

Álgebra elemental para el nivel medio superior

b) Se operan los coeficientes. 5 por 3 por 2 = 30

(5x 3)(-3x 2y 3)(-2x 2 3y 2) = +30

c) Se operan las literales. (x 3)(x 2)(x 3) = x 3+2+3 = x 8

(5x 3)(-3x 2y 3)(-2x 2 3y 2) = +30x 8

( y 3)( y 2) = y 3+2 = y 5

(5x 3)(-3x 2y 3)(-2x 2 3y 2) = +30x 8y 5

La operación completa queda entonces así: (5x 3)(-3x 2y 3)(-2x 2 3y 2) = +30x 8y 5 (El signo positivo se puede omitir, pero para facilitar la comprensión de todo el procedimiento, lo conservamos).

Práctica 11 Resuelve las siguientes multiplicaciones. 1. (5x)(-3xy) = 2. (2xy 2 3)(5x 3y 2) = 3. (-3x 3y 4)(-6x 4y 5) = 4. (-2x 2 -22y 3)(5x 4y -1) = 5. (3x)(-2xy 2 2)(-3x 3y 4) = 6. (6a 2b)(ab 3) =

Capítulo 2 Álgebra

31

7. -6x 2y 3(2x 2 4y) = 8. (6x 3y 2)(-8xy 4z)(4x 4y) = 9. 4a 2(-b 2) - (4a 2)(-b 2) =

2.5.2 Multiplicación de monomio por un polinomio

Ejemplo (3x 2 - 6x 3y 4)(-2x 2 3) Se multiplica el monomio (-2x 2 3 en este caso) por cada uno de los términos del polinomio y se suman los productos. (-2x 2 3)(3x 2) = -6x 5 (-2x 2 3)(-6x 3y 4) = +12x 2 6y 4 -6x 5 + 12x 2 6y 4 La operación completa queda como sigue: (3x 2 - 6x 3y 4)(-2x 2 3) = -6x 5 + 12x 2 6y 4 * *

Algunos alumnos al llegar a esta expresión suman estos dos términos y olvidan que sólo se pueden sumar términos semejantes.

Práctica 12 Obtén el resultado de las siguientes multiplicaciones. 1. (5x 2y 3)(2x 2 3y - 5x 4y 2) =

32

Álgebra elemental para el nivel medio superior

2. (2a 4b 5 + 4ab 4z)(2a 3bz 2) = 3. (-6x 3y -3z 2)(5x 2y 2z -2 + 3xy 5z 4) = 4. (4x 3 - 6xy -4)(-2x 2 -1y -2) = 5. (5a -5b 3)(-4a 3b -2) =

2.5.3 Multiplicación de polinomio por polinomio

Ejemplo (3x 4y - 5x 3y)(2x 2 3 + 4x 2) = Se multiplica cada término del primer paréntesis por cada término del segundo y se suman los productos. (3x 4y)(2x 2 3) = 6x 7y (-5x 3y)(2x 2 3) = -10x 6y (3x 4y)(4x 2) = 12x 2 6y (-5x 3y)(4x 2) = -20x 5y 6x 7y - 10x 6y + 12x 2 6y - 20x 5y = 6x 7y + 2x 2 6y - 20x 5y Otra forma de hacer la operación es la siguiente: (3x 4 y - 5x 3 y) (2x 3 + 4x 2 ) 6x 7 y - 10x 6 y +12x 6 y - 20x 5 y 6x 7 y + 2x 6 y - 20x 5 y Si se observa, es muy similar a las multiplicaciones aritméticas.

Capítulo 2 Álgebra

Ejercicios Resuelve las siguientes multiplicaciones. 1. (5x 4 - 3x 3)(2x 2 3 + 5x 2) =

2. (3x 3y 2 - 5x 2y)(2x 2 2y 2 + 3xy) =

3. (x 5 + 2x 2 4 - 3x 3)(x 3 - 2x 2 2) =

4. (2a 4b + 3a 3b - 4a 2b + 2ab)(-5a 2b + 3ab) =

5. (2x 2 2 + 3y)3 =

33

34

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Práctica 13 Sumas y multiplicaciones I. Resuelve las siguientes multiplicaciones. 1. (4x 2 - 6)(6x 2 - 10) =

2. (x + 2)(8x 2 - 10x + 6) =

3. -12(2x 2 + 3)(x - 2) =

4. (3x + 1)(x + 4) - (x + 2)2 =

5. (x + 2)(x - 3) - (x + 2)(x - 3) =

6. (x - 3)3 =

Capítulo 2 Álgebra

II. Obtén el resultado de las siguientes multiplicaciones. 1. 4(x - 1) + 2(x + 3)

2. 10(4x + 6) - 14(4x + 6)

3. (4x 2 + x + 2) + (x 2 - 6x + 10)

4. (8x 2 + 2x 2 + 10) - (2x 2 2 - 9x + 6)

5. (2x 2 3 + 6x 2 - 4x + 7) - (9x 2 + 2x 2 - 8)

6. 8(x 2 - x + 8) - 10(x 2 - 4x + 2)

7. 2(4 - 10t) + t 2(t - 1) - (4t 4 - 2)

35

36

Álgebra elemental para el nivel medio superior

8. 10(3t - 4) - (t 2 + 8) - 4t(t - 1)

9. 4(2x 2 2 + y 2) - x( y + 6x) + 2y(x + 4y)

10. 4 - [3 + 8(s - 6)]

11. 2{3[6(x 2 + 4) - 4(x 2 - 6)]}

12. 8{2(t + 10) - t[1 - (t + 1)]}

13. -6{8x(x + 2) - 4[x 2 - (3 - x)]}

14. -{-4[2a + 9b - 1] + 4[a - 4b] - a[8(b - 3)]}

Capítulo 2 Álgebra

37

2.6 División 2.6.1 División de monomio entre monomio

Para dividir monomio entre monomio se procede de la siguiente manera: Si queremos, por ejemplo, dividir 25x 3y 6z 5 entre -5x 2y 3z 3, hacemos esto: 1. Se operan los signos (se utilizan las leyes de los signos para la división). Más entre menos es igual a menos: + =2. Se operan los coeficientes. 25 = -5 -5 3. Se operan las literales (se utilizan las leyes de los exponentes, al dividir se restan los exponentes). x3 = x 3-2 = x x2 z5 = z 5-3 = z 2 z3 La operación completa queda como sigue: 25x 3 y 6 z 5 = -5xy 3z 2 -5x 2 y 3 z 3 Ejemplo Con exponentes negativos: 12x −5 y 8 z −6 = -3x -5 - (-3)y 8 - (-4)z -6 - (-2) = -3x -5 + 3y 8 + 4z -6 + 2 = -3x -22y 12z -4 -4x −3 y−4 z −2 Nota: el error que con frecuencia cometen los estudiantes es no utilizar el paréntesis después del signo negativo, y cuando operan los exponentes no cambian el signo al restar.

38

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Práctica 14 Obtén el resultado de las siguientes divisiones. 1.

-9a 4 b 8 c 5 = 3a 2b 3c 3

2.

8x 6 y 9 z 5 = 4x 4 y 3 z 2

3.

45m −6 n 5 = -5m −2 n −3

4.

-15a 5b −6 x 4 = -3a −2b 5 x −3

5.

25x 5 y−4 z −3 = 5x 5 y 4 z 3

Capítulo 2 Álgebra

39

2.6.2 División de polinomio entre monomio

Para hacer una división de polinomio entre monomio, el procedimiento es similar al que se sigue en aritmética. Aritmética

Álgebra

5 6 11 5+6 = + = 2 2 2 2

3x 3 + 6x 5 3x 3 6x 5 = + = x + 2x 2 3 3x 2 3x 2 3x 2

Tal como se observa, se divide cada uno de los términos del numerador entre el denominador y se suman (o restan, según el signo) los cocientes. Ejercicios Resuelve las siguientes divisiones. 1.

15x 5 y 4 z 8 - 18x 6 y 5 z 6 = 3x 2 y 3 z 4

2.

33x 8 y 5 z 9 + 121x −2 y 6 z 9 = 11x 4 y 2 z 5

3.

66a 5b 6 c 9 - 99a −5b −2 c 3 = 33a −2b 5 c−1

40

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Práctica 15 Resuelve las siguientes divisiones. 1. (6x 2y 3 - 10a 2x 4) , (-9x 2)

2. (6a 3 - 10ab 2 - 12a 2b 3) , (-4a)

3. (3x 3 - 4x 2 + 2x 2 ),x

4. (4x 8 - 10x 6 - 5x 4) , 2x 2 3

5. (12m 3 - 32m 2n + 36mn 2) , (-4m)

6. (81a 8b 8 - 36a 6b 6 - 27a 2b 3) , 9a 2b 3

7. (25x 4 - 35x 3 - 50x 2 + 15x) , (-5x)

8. (16m 9n 2 - 20m 7n 4 - 40m 5n 6 + 24m 3n 8) , 2m 2

Capítulo 2 Álgebra

41

9. (12a m - 3a m + 2 + 6a m + 4) , (-6a 3)

10. (a mb n + a m - 1b n + 2 - a m - 2b n + 4) , a 2b 3

2.6.3 División de polinomio entre polinomio

Lo primero que hay que señalar es que la división de un monomio entre un polinomio se hace siguiendo el mismo procedimiento que al dividir un polinomio entre otro polinomio.* *

Es importante mencionar que muchos estudiantes tratan de hacer la división de monomio entre polinomio siguiendo el mismo procedimiento que en la división de polinomio entre monomio, lo cual es un error.

Ejemplo Divide 3x 2 + 2x 2 3 + 5 - 2x 2x entre -1 + x a) Se ordenan los términos de mayor a menor potencia tanto en el dividendo como en el divisor. x - 1 2x 3 + 3x 2 - 2x + 5 Cuando hablamos de ordenar esto implica dejar espacios si se salta un número al disminuir los exponentes. Por ejemplo: 5x 4 + 6x 2 + 3 Se deben dejar huecos, así: 5x 4 +6x 2 +3 Como se observa, se deja un espacio para un término en x 3 y otro para un término en x.

42

Álgebra elemental para el nivel medio superior

b) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el resultado se coloca en la parte superior del dividendo. 2x 2 x - 1 2x 3 + 3x 2 - 2x + 5 c) Se multiplica el cociente (aún incompleto) por el divisor y se le cambia el signo para restarlo al dividendo, los términos resultantes se colocan debajo del dividendo, de manera similar a como se hace en aritmética. 2x 2 x - 1 2x 3 + 3x 2 - 2x + 5 -2x 3 + 2x 2 d) Se suman los términos semejantes, en forma vertical. 2x 2 x - 1 2x 3 + 3x 2 - 2x + 5 -2x 3 + 2x 2 0 + 5x 2 - 2x + 5 e) Se repite el procedimiento desde el paso 2 hasta el 4, se divide el primer término de la expresión obtenida entre el primer término del divisor, para obtener otro término del cociente. 2x 2 + 5x x - 1 2x 3 + 3x 2 - 2x + 5 -2x 3 + 2x 2 0 + 5x 2 - 2x + 5 f ) Se multiplica el término así obtenido por el dividendo y se le cambia el signo para la resta. 2x 2 + 5x x - 1 2x 3 + 3x 2 - 2x + 5 -2x 3 + 2x 2 0 + 5x 2 - 2x + 5 - 5x 2 + 5x

Capítulo 2 Álgebra

43

g) Se suman los términos semejantes, en forma vertical. 2x 2 + 5x x - 1 2x 3 + 3x 2 - 2x + 5 -2x 3 + 2x 2 0 + 5x 2 - 2x + 5 - 5x 2 + 5x 0 + 3x + 5 h) Se repite el procedimiento desde el paso 2 hasta el 4, se divide el primer término de la expresión obtenida entre el primer término del divisor, para obtener otro término del cociente. 2x 2 + 5x + 3 x - 1 2x 3 + 3x 2 - 2x + 5 -2x 3 + 2x 2 0 + 5x 2 - 2x + 5 - 5x 2 + 5x 0 + 3x + 5 i) Se multiplica el término así obtenido por el dividendo y se le cambia el signo para la resta. 2x 2 + 5x + 3 x - 1 2x 3 + 3x 2 - 2x + 5 -2x 3 + 2x 2 0 + 5x 2 - 2x + 5 - 5x 2 + 5x 0 + 3x + 5 - 3x + 3 j) Se suman los términos semejantes, en forma vertical. 2x 2 + 5x + 3 x - 1 2x 3 + 3x 2 - 2x + 5 -2x 3 + 2x 2 0 + 5x 2 - 2x + 5 - 5x 2 + 5x 0 + 3x + 5 - 3x + 3 0 +8

44

Álgebra elemental para el nivel medio superior

El resultado de la división (cociente) es 22x 2 + 5x + 3. El residuo es 8. Para comprobar la división se multiplica el dividendo por el cociente y se le suma el residuo. (2x 2 + 5x + 3)(x - 1) + 8 = 2x 2 + 5x + 3 x -1 2x 3 + 5x 2 + 3x - 2x 2 - 5x - 3 2x 3 + 3x 2 - 2x - 3 2x 3 + 3x 2 - 2x - 3 + 8 = 2x 3 + 3x 2 - 2x + 5

Ejercicios Realiza lo que se te pide. 1. 5x 3 - 2x 2 2 + 4x - 3 entre x + 1

2. 6x 4 entre x + 2

3. 22x 5 + 4x 3 + 3x - 2 entre x + 5

Capítulo 2 Álgebra

45

4. 5x 4 + 8x 2 + 3 entre x 2 + 2x 2 +1

5. 3x 5 entre x 2 - 2x 2 +4

Práctica 16 División de polinomio entre polinomio Resuelve las siguientes operaciones. 1.

m 2 - 22m + 36 m - 12

2.

12x 2 - xy - 4y 2 = y + 2x

46

Álgebra elemental para el nivel medio superior

3.

-30x 2 - 4y 2 + 11xy = 3y - 3x

4.

35x 2 - 15 + 15x = 7x - 5

5.

62n 2 - 54m 2 + 24mn = 8n - 9m

6.

4am 4 - 3am - 2a = 4am + 5a

7.

24a 3 + 38ab 2 - 55a 2b - 5b 3 = 4a - 5b

Capítulo 2 Álgebra

8.

5a 4 - 6a 2 - 2a - 1 = a2 + a + 1

9.

20x 5 + 12x 2 - 10x = x 2 - 2x + 6

10.

3a 5 + b 8 = 3a + b

11.

7x 5 - 14y 5 3x - 3y

2.7 Potencias Con base en la definición de potencia es posible elevar expresiones algebraicas a cualquier potencia. 2.7.1 Elevar a potencia un monomio

(-3x 3y 4z 2)3 por definición es = (-3x 3y 4z 2)(-3x 3y 4z 2)(-3x 3y 4z 2) = -27x 9y 12z 6

47

48

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Sin embargo, se puede deducir el procedimiento para elevar a cierta potencia un monomio sin necesidad de multiplicar el monomio por sí mismo; en efecto, se procede como sigue: 1. Se opera el signo (utilizando las leyes de los signos para la multiplicación). - por - por - = -

(-3x 3y 4z 2)3 = -

2. Se opera el coeficiente. 3 por 3 por 3 = 27

(-3x 3y 4z 2)3 = -27

3. Se operan las literales utilizando las leyes de los exponentes (se multiplican los exponentes). (x 3)3 = x 3 * 3 = x 9 (y 4)3 = y 4 * 3 = y 12 (z 2)3 = z 2 * 3 = z 6 La operación completa queda así: (-3x 3y 4z 2)3 = -27x 9y 12z 6 Ejemplo Con exponentes negativos: (-5x -3y 5z -4)4 = +625x(-3)(4)y (5)(4)z (-4)(4) = 625x -122y 20z -16

Ejercicios Eleva a potencia los siguientes monomios. 1. (3x 8y 4z 3)2 =

2. (-2x 2 9y -3z 4)3 =

Capítulo 2 Álgebra

49

3. (a -6b 4c -1)5 =

4. (4x 5y -3z 2)-2 =

5. (8m 2n 4l -3)2 =

Práctica 17 Efectúa las siguientes operaciones. 3

⎛ 36a 6b 6 ⎞ 1. ⎜ 6 3⎟ = ⎝ 46a b ⎠

8

⎛ 28a 6b 6 ⎞ 2. ⎜ 10 8 ⎟ = ⎝ 14a b ⎠

⎛ 12a 2b 5 c 3 ⎞ 3. ⎜ 0 2 3 ⎟ ⎝ 6a b c ⎠

3

3

⎛ 6a 4 bc ⎞ ⎜ 6 4⎟ = ⎝ 8a bc ⎠

50

Álgebra elemental para el nivel medio superior

2

⎛ 16a 2b 3 ⎞ 4. ⎜ ⎟ 2 ⎝ 6c ⎠

⎛ 15a 2 ⎞ 5. ⎜ 3 ⎟ ⎝ 36b c ⎠

3

2

⎛ 6a 2 c ⎞ ⎜ 2 ⎟ = ⎝ 4b ⎠

⎛ 28b 8 c ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 20a ⎠

1

4

−1

2 ⎞2 ⎛ 2⎞ 1 ⎛ − 6. ⎜ 9a −2b 5 ⎟ ⎜ 81 2 a −1b 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

2.7.2 Elevar a potencia un polinomio

Para elevar a cierta potencia un polinomio se aplica la definición de potencia. Ejemplo (3x 2 - 5y 3)2 = (3x 2 - 5y 3)(3x 2 - 5y 3) = 9x 4 - 30x 2y 3 + 25y 6

En el capítulo siguiente (Productos notables y factorización) se mostrarán algunos procedimientos para efectuar estas potencias sin necesidad de hacer multiplicaciones sucesivas.

2.8 Raíces A partir de la definición de raíz podemos extraer raíces de expresiones algebraicas.

Capítulo 2 Álgebra

51

Raíz de un monomio

El procedimiento para extraer la raíz de un monomio se explica a continuación. Ejemplos

3

-27x 3 y 6 z 9 =

a) Se opera el signo (leyes de los signos para la multiplicación). Se busca el signo que multiplicado por sí mismo hasta completar tres factores (raíz cúbica) dé negativo. (-)(-)(-) = Por tanto, el signo de la raíz es negativo. b) Se opera el coeficiente. Encontrar un número tal que multiplicado por sí mismo hasta completar tres factores dé 27 (es raíz cúbica). (3)(3)(3) = 27 Por tanto, la raíz cúbica de 27 es 3. 3

-27x 3 y 6 z 9 = -3

c) Se operan las literales (se utilizan las leyes de los exponentes: al extraer raíz se divide el exponente de cada literal entre el índice de la raíz). 3 3

x3 = x 3 = x 6

6 3

3

y = y = y2

3

z9 = z 3 = z3

9

Entonces la operación completa queda así: 3

−27x 3 y 6 z 9 = -3xy 2z 3

52

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Práctica 18 Obtén la raíz de los siguientes monomios. 1.

4

16a 8b12 c16

2.

6

x 6 y12 z18 =

3.

5

-32u 5 v15 w10

4.

4

81x 2 y 5 z 8 =

5.

5

a −4 b 3c−10 =

Capítulo

Productos notables y factorización 3.1 Productos notables En el capítulo anterior presentamos el álgebra propiamente dicha, en este capítulo analizaremos algunas operaciones algebraicas que ya saben hacer, pero que pueden resolver de manera más rápida, a continuación mostraremos algunos de esos casos. 3.1.1 Binomio al cuadrado

La operación (a + b)2 es un binomio elevado al cuadrado, de acuerdo con lo estudiado en los capítulos anteriores. Así: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a 2 + 2ab + b 2 Esta operación, bastante abstracta, se puede imaginar de manera más concreta si la utilizamos para calcular superficies, por ejemplo, para obtener el área de un cuadrado de lado a + b, de la siguiente manera: a+b a a+b

= a

a2

+ a

ab

b

b

b + a

ab

+ b

b2

a2

ab

ab

b2

=

Fuente: Baldor, Álgebra.

Analizando esta operación es posible deducir la regla para elevar un binomio al cuadrado utilizando un camino más corto: Un binomio al cuadrado es igual al primer término al cuadrado (a 2) más el doble producto del primer término por el segundo (+2ab) más el segundo al cuadrado (b 2).

54

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Ejemplo (3x - 2y 2)2 = (3x)2 + 2(3x)(-2y2) + (-2y 2)2 = 9x 2 - 12xy 2 2 + 4y 4 *

El error que los alumnos cometen en este tipo de ejercicios con frecuencia consiste en omitir el término que contiene el doble producto, es decir, hacen lo siguiente: (3x - 2y 2)2 = (3x)2 + (-2y 2)2 = 9x 2 + 4y 4

Práctica 19 Eleva los siguientes binomios al cuadrado. 1. (2x 2 3y + x4y2)2 =

2. (4a3b2 - 5ab)2 =

3. (9mn3 + 4m2n2)2 =

4. (3x2y-2 - 4x-1y3)2 =

5. (4m3y4 + 3m4y3)2 =

2

⎞ ⎛1 2 6. ⎜ x 3 y 2 − xy−2 ⎟ = ⎠ ⎝3 3

Capítulo 3 Productos notables y factorización

55

3.1.2 Binomio al cubo

La operación (a + b)3 es un binomio elevado al cubo. Si hacemos esta operación siguiendo el procedimiento ya conocido obtendremos: (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 En este caso, la operación también puede imaginarse de manera más concreta si consideramos que representa el volumen de un cubo de lado a + b, como se observa en la siguiente figura.

(a + b)3

a+b

a

a3 a

b

ab2 b

+ a

a

a2b a

a

ab2 b

b

a

a2b

b

a

a

ab2 b

a

a2b a

+ b

+ b

b3

a b

b3 3ab2 3a2b a3

Deducimos entonces lo siguiente: Un binomio al cubo es igual al primer término al cubo (a 3) más el triple producto del primer término al cuadrado por el segundo (3a 2b), más el triple producto del primer término por el segundo al cuadrado (3ab 2) más el segundo término al cubo (b 3).

56

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Ejemplo (3x 2 - 2xy 2 3)3 = (3x 2)3 + 3(3x 2)2(-2xy 2 3) + 3(3x 2)(-2xy 2 3)2 + (-2xy 2 3)3 = 27x 6 + 3(9x 4)(-2xy 2 3) + 3(3x 2)(4x 2y 6) - (8x 3y 9) = 27x 6 - 54x 5y 3 + 36x 4y 6 - 8x 3y 9

Práctica 20 Eleva los siguientes binomios al cubo. 1. (4x 3 + xy 2)3 =

2. (2a 2b - 3ab 3)3 =

3. (5m - 6m 2n 3)3 =

4. (x -1 + 3xy 2)3 =

Capítulo 3 Productos notables y factorización

5. (3x 3y 2 - 4x 2y 6)3 =

6. (a - 4b -1)3 =

3

⎛ 1 ⎞ 7. ⎜ 6c 2 - b 3 ⎟ = ⎝ 5 ⎠

8. (-4a 4b 2 + 3ab 3)3 =

9. (4x 2 - x 3)3 =

10. (8xy 2z 3 - 4x 2y 3z 4)3 =

57

58

Álgebra elemental para el nivel medio superior

3.1.3 Binomios conjugados

La operación (a + b)(a - b) es la multiplicación de dos binomios conjugados, como se observa, la única diferencia entre ambos binomios es el signo, de ahí su nombre. Haciendo esta operación según lo aprendido en capítulos anteriores obtenemos: (a + b)(a - b) = a 2 - b 2 Por tanto, deducimos lo siguiente: El producto de dos binomios conjugados es igual al primer término al cuadrado menos el segundo término al cuadrado, es decir, una diferencia de cuadrados. Ejemplo (3x 3y 2 + 5x 6yz 3)(3x 3y 2 - 5x 6yz 3) = (3x 3y 2)2 - (5x 6yz 3)2 = 9x 6y 4 - 25x 122y 2z 6

Práctica 21 Resuelve los siguientes binomios conjugados. 1. (5xy 3 + 8x 3y 2)(5xy 3 - 8x 3y 2) =

2. (3a 5c 2 - 5a 3bc 3)(3a 5c 2 + 5a 3bc 3) =

3. (7m 3n 6 - 4m 8n 2)(7m 3n 6 + 4m 8n 2) =

Capítulo 3 Productos notables y factorización

4. (9t 3v 3 + 6t 5v 4)(9t 3v 3 - 6t 5v 4) =

5. (7u 5v 4 - 5u 4v 7)(7u 5v 4 + 5u 4v 7) =

3.1.4 Binomios con un término común

La operación (x + 6)(x - 7) es la multiplicación de dos binomios con un término común, el cual, como se observa, es la x. De acuerdo con los procedimientos estudiados con anterioridad, el resultado de la operación es el siguiente: (x + 6)(x - 7) = x 2 + (6 - 7)x + (6)(-7) = x 2 - x - 42 Por tanto, deducimos lo siguiente: El producto de dos binomios con un término común es igual al término común al cuadrado (x 2) más la suma algebraica de los términos no comunes multiplicada por el término común [(6 - 7)x], más el producto de los términos no comunes (6)(-7). Ejemplo (2x 2 - 5)(2x 2 + 7) = (2x 2 )2 + (-5 + 7)(2x 2 ) + (-5)(7) = 4x 2 + 4x - 35

Práctica 22 Resuelve los siguientes binomios con un término común. 1. (x - 5)(x + 7) =

59

60

Álgebra elemental para el nivel medio superior

2. (x + 3)(x - 7) =

3. (x - 9)(x + 3) =

4. (2x 2 + 3)(2x 2 + 8) =

5. (3x 2 - 7)(3x 2 + 2) =

3.2 Factorización La factorización es la operación inversa de los productos notables y consiste en que al tener un polinomio se deben encontrar factores tales que multiplicados se obtenga el polinomio original. Ejemplo Según se observó en el estudio de los productos notables: (x + 5)(x - 9) = x 2 - 4x - 45 Ahora la operación será al revés: x 2 - 4x - 45 = (x + 5)(x - 9) polinomio factores

Capítulo 3 Productos notables y factorización

61

Enseguida analizaremos los casos más comunes: 3.2.1 Factor común

El factor común es el máximo común divisor de todos y cada uno de los términos de una expresión. Ejemplo En la expresión 6x 3y 2 + 18x 2y 6 - 24x 6y 3 + 12x 2 4yz 3 el máximo común divisor es 6x 2y, ya que si se dividen entre éste todos los términos de la expresión se obtiene un resultado exacto: 6x 3 y 2 = xy 6x 2 y 18x 2 y 6 = 3y 5 6x 2 y -24x 6 y 3 = -4x 4y 2 6x 2 y 12x 4 yz 3 = 2x 2 2z 3 6x 2 y

Para obtener el máximo común divisor o factor común se hace lo siguiente: 1. Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes. Se procede como en aritmética. 6 18 24 12 3 9 12 6 2 1 3 4 2 3

3*2=6

2. Se obtiene el factor común o máximo común divisor de las literales. El factor común incluye a las literales que hay en todos los términos de la expresión al mismo tiempo, en el ejemplo serían la x y la y, la letra z no se incluye, ya que sólo aparece en el último término de la expresión.

62

Álgebra elemental para el nivel medio superior

El exponente que le corresponde a cada una de las literales en el factor común es el menor de los que tiene cada una de ellas en la expresión, es decir: El menor exponente de la x en la expresión es 2. El menor exponente de la y en la expresión es 1. Por tanto, las literales y sus respectivos exponentes del factor común son x2

y

y1

el exponente 1 se puede omitir y queda: x 2y Uniendo el coeficiente y las literales se obtiene el factor común o máximo común divisor: 6x 2y Una vez que se ha obtenido el factor común, para factorizar, se escribe éste e inmediatamente después se abre un paréntesis: 6x 2y( Para obtener los términos que van dentro del paréntesis se divide cada uno de los términos de la expresión original entre el factor común: 6x 3 y 2 = xy 6x 2 y 6x 2y (xy 18x 2 y 6 = 3y 5 6x 2 y 6x 2y(xy + 3y 5 −24x 6 y 3 = -4x 4y 2 6x 2 y 6x 2y (xy + 3y 5 - 4x 4y 2 12x 4 yz 3 = 2x 2 2z 3 6x 2 y 6x 2y (xy + 3y 5 - 4x 4y 2 + 2x 2 2z 3) De esta manera se obtiene la factorización de la expresión original.

Capítulo 3 Productos notables y factorización

Práctica 23 Factoriza utilizando el método de factor común. 1. 22x 9y 4z + 6xy 2z 5 - 8xy 3 + 10x 6y 3z =

2. 8a 5b 4c 6 - 4a 3bc 5 =

3. 6m 3n 2 - 3m 8n 3 + 2m 6n 5 =

4. 5xy 5 - 10x 5y 3 + 15x 3y 2 - 35x 6y 6 + 5x 6y 9 =

5. -9xyz 3 - 3x 3y 6z 3 =

63

64

Álgebra elemental para el nivel medio superior

3.2.2 Trinomio cuadrado perfecto

Ésta es la operación inversa correspondiente al binomio al cuadrado. En el capítulo anterior establecimos que (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 por ser la operación inversa, ahora tenemos a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)2 En esta situación tenemos un trinomio a partir del cual buscaremos factores que al multiplicarse den como resultado el polinomio original. Una aclaración importante es que no todos los trinomios se pueden factorizar por este método. A los trinomios que pueden ser factorizados por este método se les llama trinomios cuadrados perfectos. Para que un trinomio sea un trinomio cuadrado perfecto debe cumplir ciertas condiciones: 1. Que dos de sus tres términos estén elevados al cuadrado. Para saber si un término está elevado al cuadrado se le extrae la raíz cuadrada y si ésta es exacta entonces sí está elevado al cuadrado. Por ejemplo: 36x 4y 6 sí está elevado al cuadrado, ya que su raíz cuadrada es 6x 2y 3 2. El término restante debe ser el doble producto de las raíces de los dos términos señalados en el inciso anterior. Ejemplo Averigua si el siguiente trinomio es un trinomio cuadrado perfecto. 9a 2 - 30ab 2 + 25b 4 Veamos: 2

2

9a 2 = 3a

Por tanto, sí está elevado al cuadrado.

25b 4 = 5b 2

Por tanto, sí está elevado al cuadrado.

Con esto se cumple la primera condición, falta ver si se cumple la segunda. Si (2) ( 2 9a 2 )( 2 25b 4 ) es igual a 30 ab 2, entonces se cumple la segunda condición y sí sería un trinomio cuadrado perfecto. Como 2(3a)(5b 2) = 30ab 2, entonces sí es un trinomio cuadrado perfecto. Una vez que se sabe qué es un trinomio cuadrado perfecto su factorización es muy sencilla: 9a2 - 30ab2 +25b4

Su factorización es igual a (3a - 5b2)2.

Capítulo 3 Productos notables y factorización

Hay que observar que la factorización consiste en las dos raíces de los términos elevados al cuadrado, el signo corresponde al del término que es el doble producto de las raíces y la suma algebraica de ambos elevada al cuadrado. Esto nos muestra que una vez que se ha demostrado que un trinomio es cuadrado perfecto, su factorización es muy sencilla. Ejercicios 1. 25x 2 + 80xy 2 + 64y 4 =

2. 49a 4 - 42a 2b 3 + 36b 6 =

3. 16x 2 + 49y 4 - 56xy 2 =

4. 64x 2 + 4y 2z 4 + 32xyz 2 2=

65

66

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Práctica 24 Averigua si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos; en caso afirmativo, factorizarlos. 1. 4x 2 - 12xy 2 + 9y 2 =

2. 5x 2 + 30xy 2 + 9y 4 =

3. 49m 4 - 70m 2n 3 + 25n 6 =

4. u 2 - 8uv 2 + 16v 4 =

5. 16x 2y 4 - 40x 3y 2z + 25x 4z 2 =

6. 25x 2 + 80xy 2 + 64y 4 =

7. 45a 4 - 42a 2b 3 + 36b 6 =

Capítulo 3 Productos notables y factorización

3.2.3 Diferencia de cuadrados

Es la operación inversa correspondiente al producto de dos binomios conjugados. En el capítulo anterior establecimos que (a + b)(a - b) = a 2 - b 2 Ahora tenemos: a 2 - b 2 = (a + b)(a - b) Por lo anterior, la factorización de una diferencia de cuadrados es igual al producto de dos binomios conjugados, constituidos por la raíz de cada uno de los cuadrados. Ejemplos 36x 2 - 25y 2 = (6x + 5y)(6x - 5y) 9a 4b 2 - 16m 6n 4 = (3a 2b - 4m 3n 2)(3a 2b + 4m 3n 2)

Práctica 25 Resuelve lo que se te pide. 1. 4x 6 - 9y 4 =

2. 16x 4y 2 - 25x 6y 8 =

3. 36a 8b 4 - 49x 4b 6 =

4. 16m 8n 6 - 9v 8w 6 =

5. 100m 6n 8 - 81x 8y 12 =

67

68

Álgebra elemental para el nivel medio superior

3.2.4 Trinomio de la forma x 2 + bx + c

Es la operación inversa correspondiente al producto de dos binomios con un término común. En el capítulo anterior establecimos que (x + 6)(x - 9) = x 2 - 3x - 54 Ahora tenemos: x 2 - 3x - 54 = (x + 6)(x - 9) Por lo anterior, para factorizar un trinomio de la forma x 2 + bx + c: 1. Se abren dos paréntesis que contendrán dos términos cada uno. 2. Ambos paréntesis iniciarán con la raíz cuadrada del primer término de la expresión que se factorizará (la raíz de x 2 = x). 3. Los segundos términos se deben obtener descomponiendo en factores el término independiente (el que no tiene literales) de la expresión que se factorizará (54) y buscando, entre ellos, una pareja de valores cuya suma algebraica dé el coeficiente del segundo término (-3) y cuya multiplicación dé el término independiente (-54). 4. Dicha pareja de valores constituye los segundos términos de los dos paréntesis.

Ejemplos Factoriza la expresión x 2 - x - 6. a) Se abren dos paréntesis. x2 - x - 6 = (

)(

)

b) Ambos paréntesis comenzarán con la raíz cuadrada del primer término de la expresión que se factorizará. 2

x2 = x

x 2 - x - 6 = (x )(x ) c) Los segundos términos se deben obtener descomponiendo en factores el término independiente (el que no tiene literales) de la expresión que se factorizará (6) y buscando, entre ellos, una pareja de valores cuya suma algebraica dé el coeficiente del segundo término (-1) y cuya multiplicación dé el término independiente (-6).

Capítulo 3 Productos notables y factorización

69

Descomponiendo en factores el 6: 6 3 2 1 3 Los factores son 3 y 2, sin embargo, pueden ser negativos o positivos, por tanto, tenemos las siguientes posibilidades: Sumando y multiplicando a) +2 + 3 = +5

y

(+2)(+3) = +6

b) +2 - 3 = -1

y

(+2)(-3) = -6

c) -2 + 3 = 1

y

(-2)(+3) = -6

d ) -2 - 3 = -5

y

(-2)(-3) = +6

De estas cuatro posibilidades la correcta es la que da -1 en la suma, ya que éste es el coeficiente de la x, y -6 en la multiplicación, porque éste es el término independiente, por tanto, la opción b) es la correcta. Estos valores se colocan en los segundos términos de los paréntesis: x 2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3) Factorizar la expresión x 2 - 6x - 27. 1. x 2 - 6x - 27 = (

)(

)

2

2. x - 6x - 27 = (xx )(x ) 3. 27 9 3 3 3 1 3

3*3=9 y

3

+9 + 3 = +12

(+9)(+3) = 27

+9 - 3 = +6

(+9)(-3) = -27

-9 + 3 = -6

(-9)(+3) = -27

4. x 2 - 6x - 27 = (x - 9)(x + 3)

70

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Ejercicios Factoriza las siguientes expresiones. 1. x 2 - 5x - 14 =

2. x 2 - 10x + 24 =

3. x 2 + 4x + 3 =

4. x 2 + 3x - 10 =

5. x 2 + x - 12 =

6. x 2 + 5x - 6 =

Capítulo 3 Productos notables y factorización

Práctica 26 Factoriza los siguientes trinomios. 1. x 2 + x - 6 =

2. x 2 - 22x - 63 =

3. x 2 - 11x + 30 =

4. x 2 - 3x - 10 =

5. x 2 + 10x + 16 =

71

72

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Caso especial Se presenta un caso especial en el cual se dan ciertas características que permiten que su solución sea muy sencilla. Ejemplo 9x 2 + 30x + 16

Aparentemente, este ejemplo es similar a un caso que se estudiará más adelante; sin embargo, puede resolverse mediante el mismo procedimiento que acabamos de describir, siempre y cuando el coeficiente del segundo término (30) sea múltiplo del coeficiente de la raíz cuadrada del primer término ( 2 9 ). Es decir, si 30 es múltiplo de la raíz cuadrada de 9 entonces sí se puede resolver como ya se describió. Veamos: 2

9 =3

Como 30 , 3 = 10 entonces 9x 2 + 30x + 16 la podemos expresar como (3x)2 + 10(3x) + 16 sin que se altere, ya que (3x)2 = 9x 2

y

10(3x) = 30x

Si hacemos que (3x) sea igual a x, entonces la expresión queda así: x 2 + 10x + 16 Esta expresión puede resolverse utilizando el caso anterior. En efecto: x 2 + 10x + 16 = (x + 8)(x + 2) Pero como x = 3x, entonces, x 2 + 10x + 16 = (x + 8)(x + 2) = (3x + 8)(3x + 2)

Capítulo 3 Productos notables y factorización

Ejemplos 36x 2 - 42x 2 - 18 = 9x 2 − 3x - 2 =

Práctica 27 Resuelve lo siguiente. 1. 4x 2 - 12x 2 - 27 =

2. 36x 2 − 18x - 10 =

3. 4x 2 - 12x 2 -7=

4. 9x 2 + 27x - 10 =

5. 4x 2 − 10x - 24 =

73

74

Álgebra elemental para el nivel medio superior

3.2.4 Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Ejemplo Factoriza 6x 2 - 7x - 3. a) Se divide y se multiplica la expresión por el valor de a, que en este ejemplo es 6. (6x2 - 7x - 3)

6 6

b) Se hace la multiplicación y se deja pendiente la división. (6x2 - 7x - 3)

6 36x 2 - 42x - 18 = 6 6

c) Se factoriza el numerador. Nos damos cuenta de que el numerador se puede factorizar utilizando el procedimiento del caso especial anterior, así: 36x 2 - 42x 2 - 18 = (6x)2 - 7(6x) - 18 = (6x - 9)(6x + 2) Entonces queda: =

36x 2 - 42x - 18 6

(6x - 9)(6x + 2) 6

) Se simplifica. En algunos casos como éste, para simplificar hay que descomponer en factores el denominador; en otros, la simplificación es directa. 6=3×2 Se tiene entonces: (6x - 9)(6x + 2) 6

(6x - 9)(6x + 2) = (3)(2)

Se simplifica el binomio de la izquierda con el 3 y el binomio de la derecha con el 2, y queda: (6x - 9)(6x + 2) (6x - 9) (6x + 2) = = (2x 2 - 3)(3x + 1) (3)(2) 3 2 La factorización terminada queda así: 6x 2 - 7x - 3 = (2x 2 - 3)(3x + 1) Lo anterior se puede comprobar haciendo la multiplicación.

Capítulo 3 Productos notables y factorización

Ejemplos 9x 2 − 3xx −2 = 22x 2 - 6x - 8 = 4x 2 - 26x - 14 = 3x 2 + 5x - 2 =

Práctica 28 Factoriza los siguientes trinomios. 1. 6x 2 - x - 2 =

2. 3x 2 + 14x - 5 =

3. 6x 2 + 8x + 2 =

4. 3x 2 + 11x - 4 =

5. 6x 2 + 12x 2 +6= (Dos soluciones)

75

76

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Práctica 29 Realiza las siguientes factorizaciones. 1. 16a 5x 2y 3 - 12a 2b 3yz - 4a 4b 4xy 2z 2 =

2. 3ab 3 - 4a 3b 5 + 4ab =

3. 2a 2 - 4ab + 6b 2 =

4. 4y 4 + 4 + 4y 2 =

5. 4a 6 - 4a 3b 3 + b 6 =

6. 9x 2 - 32y 2 =

7. 12 - 63x 4 =

Capítulo 3 Productos notables y factorización

8. 3x 2 + x + 10 =

9. n 2 + 6n + 8 =

10. 25x 4 - 36z 6 =

11. 9x 2 - 15x - 6 =

12. 12x 2 2 − 12 - 7x =

13. 7x 2 - 44x - 35 =

77

Capítulo

Ecuaciones

Las ecuaciones, las funciones y las identidades pertenecen a las igualdades, por tal motivo hablaremos de las igualdades y todo lo que se diga acerca de éstas será aplicable a las ecuaciones, las funciones y las identidades. Las ecuaciones tienen una sola solución (esta afirmación no es rigurosamente cierta, ya que las ecuaciones de grado mayor a la unidad tienen varias soluciones, pero para fines didácticos, en este nivel, la afirmación se puede considerar válida). Ejemplo 3x + 2 = 20 Esta ecuación se cumple solamente cuando x = 6; en efecto, si sustituimos el valor de x en la ecuación se tendrá: 3(6) + 2 = 20 18 + 2 = 20 20 = 20 Como se observa, sí se satisface la ecuación.

En las funciones a cada valor de x le corresponde un solo valor de y.

80

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Ejemplo y = 5x + 2 Si x = 1, se sustituye la x por dicho valor y se tendrá: y = 5 (1) + 2 y= 5+2 y=7 Si x = 3, sustituyendo x por dicho valor: y = 5 ( 3) + 2 y = 15 + 2 y = 17 Así, a cada valor de x le corresponde uno de y.

Las identidades o igualdades siempre se cumplen sin importar el valor de las variables. Ejemplo (x + y)2 = x 2 + 2xy 2 + y2 Veamos: Si x=2

y

y=3

sustituyendo estos valores en la igualdad 2

(2 + 3) = 2 2 + 2 (2) ( 3) + 32 2 (5) = 4 + 12 + 9 25 = 25

Sería ocioso seguir dando valores a las variables, ya que siempre se cumplirá la igualdad.

Capítulo 4 Ecuaciones

81

Todas las igualdades están constituidas por tres partes: a) El primer miembro, que es la expresión situada a la izquierda del signo de igual. b) El signo de igual. c) El segundo miembro, que es la expresión ubicada a la derecha del signo de igual. El principio fundamental de las igualdades es el siguiente: cualquier operación que se efectúe en un miembro de la igualdad, también se debe efectuar en el otro miembro, para que ésta no se altere. El funcionamiento de una ecuación es similar al de una balanza, de hecho algunas ecuaciones se pueden resolver utilizando una.

4.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita Resolver ecuaciones consiste en conocer el valor de la incógnita que las satisface o “despejar la incógnita”, para lograrlo se siguen estos pasos: 1. Se hacen las operaciones indicadas en cada miembro de la ecuación. 2. Se pasan todos los términos que contengan la incógnita a un miembro de la ecuación (generalmente al primer miembro, pero puede ser al segundo), y los que no tengan incógnita (términos independientes) se pasan al otro. 3. Se simplifican ambos miembros de la ecuación. 4. Se deja sola la x en uno de los miembros. Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación: 2 - 4(x - 2) = 5x - 2(x + 2) 2x a) Se hacen las operaciones indicadas en cada miembro de la ecuación. 2 - 4x + 8 = 5x - 2x 2x 2 -4 b) Se pasan todos los términos que contengan la incógnita a un miembro de la ecuación y los que no tengan incógnita se pasan al otro. Primero se pasa 5x, que está en el segundo miembro, al primero. Utilizando el principio fundamental de las igualdades, se resta 5xx al primero y al segundo miembro de la ecuación: 2 - 4x + 8 - 5x = 5x - 2x 2x 2 - 4 - 5x

82

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Ahora se simplifica 5x - 5xx en el segundo miembro de la ecuación: 2 - 4x + 8 - 5x = -2x 2x 2 -4 Si comparamos la ecuación original después de haber hecho las operaciones indicadas, en esta última observamos que aparentemente el +5xx que estaba en el segundo miembro pasó al primero, pero con signo contrario. En efecto, es posible omitir pasos intermedios si, como consecuencia de la aplicación de la ley fundamental de las igualdades, decimos que para pasar un elemento de un miembro a otro de la ecuación hay que efectuar la operación inversa. Repitiendo lo que se hizo con anterioridad, pero ahora omitiendo pasos. La ecuación original después de hacer las operaciones indicadas en cada miembro: 2 - 4x + 8 = 5x - 2x 2x 2 -4* Se pasa +5xx al primer miembro de la ecuación haciendo la operación inversa (está sumando, entonces pasa restando): 2 - 4x + 8 - 5x = -2x 2x 2 -4 *

Con frecuencia los alumnos cambian el signo a los términos que no se mueven de lugar, obviamente esto es incorrecto, ya que sólo se debe cambiar de signo al término que pasa de un miembro a otro.

De igual manera, se pasa -2x 2x al primer miembro, con la operación inversa, es decir, si está restando, pasa sumando: 2 - 4x + 8 - 5x + 2x 2x 2 = -4 Ahora se pasa el +8 al segundo miembro, pasa efectuando la operación inversa, esto es, está sumando, pasa restando: 2 - 4x - 5x + 2x 2x 2 = -4 - 8 c) Se simplifican ambos miembros de la ecuación: -5x = -12 * d) Se deja sola la x en el primer miembro, para esto primero se multiplican por (-1) ambos miembros de la ecuación, para que la x quede positiva, entonces queda: 5x = 12

Capítulo 4 Ecuaciones

83

Ahora se pasa el número 5 al lado de la ecuación, haciendo la operación inversa, como está multiplicando a la x, entonces pasa dividiendo: x= *

12 5

En este tipo de operación, es frecuente que los alumnos se equivoquen al pasar el número 5 dividiendo, le cambian, además, el signo, lo cual es incorrecto, ya que la operación inversa de multiplicar -5 por x es dividir entre -5. Si además de pasar dividiendo, al número 5 se le cambia el signo, se estarían haciendo dos operaciones inversas y sólo se debe hacer una.

3 - 6(2x 2 + 4) = -5 + 4(6x - 1) 6x - 4(3 - 5x) + 8(2x 2 - 3) = 0 3x - 3 8x + 1 = 5 3 8 7 = 5x - 3 2x + 5 3x + 1 6x + 5 + =0 4 3

Ecuaciones con literales

Ejercicios Efectúa lo que se te pide. 1. I = ctn

Despejar c, t, n.

2. 5x + 2y - 3 = 0

Despejar x, y.

3. M = c(1 + t)n Despejar c, t.

84

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Práctica 30 Efectúa los despejes. 1. 4 + x = 4(3x + 3) = x=

2. z(z - 5) = z(z + 10) + 15 = z=

3. -28 = -6c + 1 = c=

4. 5.0(w - 2.0) = 11.0 + 9.0w = w=

5. -2Q +

5 2 =- Q 9 9

Q=

6.

1 2 (5x + 2) - (4x - 2) = 0 2 3 x=

7. -2{3 - [4(c + 2) - 2(c + 1)]} = c=

8. -6(8 - 5) = 2 - {3y - [6y - (8y - (3y + 2))]} y=

Capítulo 4 Ecuaciones

Resuelve las siguientes ecuaciones. 1. 3x - 6 = 9

2. 4x + 7 = 9x - 16

3. -7w = 15 - 2w

4. 8t - 13 = 10 - 6t

5.

1 1 x-4= x 2 3

6.

z 3 = z+7 5 10

7. 5(2 - x) = 12(3 + 4x) + 6

8. 6(x + 4) + 8 = -4(x - 1) - 12

85

86

Álgebra elemental para el nivel medio superior

9.

7 3 = +2 x 4x

10.

2 3 = t+6 t -1

11. r - 2[1 - 2(4r + 8)] = 5

12. (t - 4)2 = (t + 4)2 + 36

13.

2 2 1 1 x= x3 4 3 6

14.

8 2 - 10 = + 5 x x

15.

2x - 6 1 = 2x + 8 3

16.

5 9 = t-8 t-6

Capítulo 4 Ecuaciones

17.

3x - 6 3x - 2 = 2x + 3 2x + 4

18.

y-2 8 y+4 - = y y y-4

19.

2x + 8 = 6x

20.

x - 2 = 4x

21.

z-2 =6

22.

4x - 6 - 16 = 0

23. 6 - 2x + 5 = 0

24.

2 x +2 = 3 2

87

88

Álgebra elemental para el nivel medio superior

1

25.

(x + 4)2

=8

26.

y + y+2 = 6

27.

x - x+8 =2

28.

z 2 + 2z = 4 + z

29.

y2 - 6 = 6 - y

Solución de problemas utilizando el álgebra Lee y resuelve los siguientes problemas. 1. El precio con IVA de un producto es de $12.50. Determinar el costo sin IVA y el valor del IVA.

Capítulo 4 Ecuaciones

2. Se sabe que el precio de venta de un artículo en el mercado es de $5 250.00 incluyendo el IVA. ¿Cuánto debe ser su costo directo máximo si sus gastos son del 35% del costo y se desea una utilidad mínima del 10% del costo?

3. 60% de la calificación final es el examen, 20% son las tareas y participaciones y el restante 20% es la autoevaluación y la evaluación del desempeño. Si se obtiene 10 en tareas y participaciones y 10 en evaluación del desempeño, ¿cuál es la calificación mínima que se puede obtener en el examen para aprobar con 7?

89

90

Álgebra elemental para el nivel medio superior

4. Una empresa obtuvo una utilidad de $1 250 000.00 en un año, la cual se repartirá entre sus socios. Juan González tiene el doble de las acciones de Pedro Ruiz y Jesús Linares tiene la mitad de las de Pedro. ¿Cuánto le toca a cada uno al repartir las utilidades?

5. Una empresa le adeuda a un empleado la cantidad de $15 000.00 y le piden un recibo de honorarios cuyo importe neto es precisamente de $15 000.00. • ¿Cuánto es el importe bruto? • ¿Cuánto es el valor del IVA (16%)? • ¿Cuánto es el descuento por ISR (10%)? • ¿Cuánto es la retención del IVA (2/3 del IVA)? • ¿Cuánto es el descuento por impuesto cedular (1%)?

4.2 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita La forma general de las ecuaciones de segundo grado es ax 2 + bx + c = 0, donde a, b, c son números reales y x es la incógnita. Para resolver ecuaciones de segundo grado existen varios métodos, pero sólo estudiaremos dos: • Utilizando la fórmula general • Factorizando como trinomio de la forma ax2 + bx + c

Capítulo 4 Ecuaciones

91

1. Utilizando la fórmula general Gracias a Diofanto, famoso matemático griego que vivió del año 325 al 409 d. C., hoy podemos resolver las ecuaciones de segundo grado con esta fórmula: -b ; 2 b 2 - 4ac x= 2a a, b y c son los coeficientes señalados en la forma general. Para usar la fórmula general, las ecuaciones de segundo grado deben estar en su forma general, correspondiendo así los valores de a, b y c. Por lo general, las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, sin embargo, hay algunas que sólo tienen una solución, además, existen otras que no tienen solución en el campo de los números reales, es decir, su solución es imaginaria, estas últimas no se tratarán en este libro. Gracias a Diofanto sólo tenemos que sustituir los valores de los coeficientes a, b y c, y efectuar las operaciones para obtener el valor de la incógnita. Otra ventaja que tiene la fórmula general es que todas las ecuaciones de segundo grado, que tienen solución, se pueden resolver utilizándola. Ejemplo 3x 2 + 2x 2 -4=0 Se identifican los valores de a, b y c, y se sustituyen en la fórmula. a = 3*

b = 2*

c = -4**

*

Un error común es que los alumnos al identificar los coeficientes incluyen indebidamente la x y al sustituir en la fórmula los alumnos ya no saben qué hacer, ya que la sustitución está mal hecha, es decir, suponen que a = 3x 2 y b = 2x 2 , lo cual, reiteramos, es incorrecto. ** Otro error entre los estudiantes es que al sustituir los coeficientes se olvidan del signo cuando éstos son negativos.

x=

-2 ; 2 2 2 - 4(3)(-4) -2 ; 2 4 + 48 -2 ; 2 52 -2 ; 7.21 = = = 6 2(3) 6 6

Una solución se obtiene al usar el signo positivo y la otra al usar el negativo. -2 + 7.21 = 0.868 6 La otra solución es ésta: -2 - 7.21 = -1.535 6

92

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Práctica 31 Resuelve las siguientes ecuaciones. 1. 6x 2 - x - 2 = 0

2. 3x 2 = -14x + 5

3. 6x 2 + 8x + 2 = 0

4. 11x - 4 = -3x 2

5. 6x 2 + 12x 2 +6=

Ecuaciones de segundo grado 1. x 2 + 5x - 24 = 3

2. x(x + 4) = 0

Capítulo 4 Ecuaciones

3. 6x(x + 4) = 0

4. (x - 6)(4x + 6) = 4x

5. 3x 2 + 4x - 12 = -6x

6. 8x(x + 4) = x(x - 6) - 14

7. 8x 3 + 6x 2 - 4x = 0

Tercera parte: 1. -x 2 = -6x - 9

2. x 2 - 8x + 16 = 0

93

94

Álgebra elemental para el nivel medio superior

3. -9m 2 + 12m + 48 = 0

4. 2y 2 - 7y + 4 = 0

Cuarta parte: 1. x 2 - 24x + 16 = 0

2. 22x 2 - 14x + 16 = 0

3. x 2 - 12x 2 -6=0

4. 4x 2 - 18x = -9

5. -2x 2 2+x-8=0

6. 5x 2 + 3x - 7 = 0

Capítulo 4 Ecuaciones

95

2. Factorizando como trinomio de la forma ax2 + bx + c Este método es fácil de aplicar cuando los trinomios son factorizables mediante el método que se estudió en el capítulo anterior.

Ejemplo 3x 2 + x - 4 = 0 Se factoriza así: (3x + 4)(3x - 3) (3x)2 + (3x) - 12 = 3 3

(3x + 4)(x - 1)

Una vez factorizado, la ecuación queda de esta manera: (3x + 4)(x - 1) = 0 Para que un producto, como el de arriba, dé como resultado cero se necesita que uno de los factores sea cero o que ambos sean cero, ya sea en uno u otro caso se requiere que (3x + 4) = 0 o que (x - 1) = 0 o que ambos sean cero, por tanto, de la primera igualdad obtenemos el primer valor de x y de la segunda, el segundo valor, como sigue: (3x + 4) = 0 3x = -4 x=

-4 3

Éste es el primer valor de x, el otro será (x - 1) = 0 x=1

96

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Práctica 32 Factoriza las siguientes ecuaciones. 1. 22x 2 + 7x + 3 = 0

2. 8x 2 - 2x 2 -3=0

3. 22x 2 + 7x - 15 = 0

4. 15x 2 = -4x + 4

5. 6x 2 - 23x = -15

Capítulo 4 Ecuaciones

97

4.3 Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas También se les conoce con el nombre de sistemas de ecuaciones o ecuaciones simultáneas. Como su nombre lo indica son dos ecuaciones con dos incógnitas, se les considera un sistema, ya que por separado cada una tiene un número infinito de soluciones, pero juntas tienen una sola solución o ninguna, incluso se puede dar el caso de que no tengan solución juntas. Si se grafica una sola de estas ecuaciones se obtiene una recta, en la que cada punto es una solución a la ecuación; si se grafica la otra ecuación se obtiene otra recta, y el punto donde se cortan es la solución del sistema. Cuando no tienen solución juntas es porque se trata de dos rectas paralelas, en cuyo caso no se cortan nunca. Existen varios métodos para la solución de estos sistemas, en este libro sólo estudiaremos tres: 1. Método de igualación Para explicar este método se resolverá un sistema. Resolver 3x + 2y = 7

(1)

4x + 3y = 10

(2)

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. En la ecuación 1 se despejará x, entonces quedará la ecuación 3. 3x = 7 - 2y x=

7 - 2y 3

(3)

En la ecuación 2 se despejará x, entonces quedará la ecuación 4. 4x = 10 - 3y x=

10 - 3y 4

(4)

El segundo miembro de las ecuaciones 3 y 4, ambos, son iguales a x, por tanto, son iguales entre sí. Se igualan los segundos miembros de las ecuaciones 3 y 4 (por esto se llama método de igualación) y se despeja la incógnita. 7 - 2y 10 - 3y = 3 4

(5)

98

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Se despeja y de la ecuación (5). 4(7 - 2y) = 3(10 - 3y) 28 - 8y = 30 - 9y -8y + 9y = 30 - 28 y=2 Una vez obtenido el valor de y, se sustituye en las ecuaciones 3 o 4 para obtener el valor de x. Sustituyendo en la ecuación 3: x=

7 - 2(2) 7-4 3 = = =1 3 3 3

Los valores que resuelven las dos ecuaciones son éstos: x=1 y

y=2

2. Método de sustitución Solucionemos el mismo sistema de ecuaciones del método anterior. Resolver 3x + 2y = 7

(1)

4x + 3y = 10

(2)

Se despeja de alguna de las ecuaciones, de cualquiera, una incógnita. En este caso, de la ecuación 2 se despejará la x. 4x = 10 - 3y x=

10 - 3y 4

(3)

Ahora se sustituye este valor de x en la otra ecuación, por esto se llama método de sustitución, en este caso se sustituirá en la ecuación 1. ⎛ 10 - 3y ⎞ ⎟ + 2y = 7 3⎜ ⎝ 4 ⎠ Se despeja y de la ecuación 4. 30 - 9y + 2y = 7 4

(4)

Capítulo 4 Ecuaciones

99

Se multiplica toda la ecuación por 4 para simplificar la fracción. ⎞ ⎛ 30 - 9y 4⎜ + 2y ⎟ = 4(7) ⎠ ⎝ 4 ⎛ 30 - 9y ⎞ ⎟ + 4(2y) = 4(7) 4⎜ ⎝ 4 ⎠ Se simplifican los cuatros en el primer término y se hacen las multiplicaciones. 30 - 9y + 8y = 28 -9y + 8y = 28 - 30 -y = -2 Multiplicando por -1 ambos miembros de la ecuación: y=2 Sustituyendo este valor en la ecuación 3: x=

10 - 3(2) 10 - 6 4 = = =1 4 4 4

Los valores buscados son éstos: x=1

y

y=2

Se confirma lo que ya se sabía. 3. Método de reducción (también conocido como de suma y resta) Solucionemos el mismo sistema de ecuaciones de los métodos anteriores. Resolver 3x + 2y = 7

(1)

4x + 3y = 10

(2)

Se elige una de las dos incógnitas para ser eliminada, en este caso, x. Para tal efecto, la ecuación 1 se multiplica por el coeficiente de x en la ecuación 2, que en este ejemplo es 4, y la ecuación 2 se multiplica por el coeficiente de x en la ecuación 1, que en este caso es 3. 4(3x + 2y) = 4(7)

(3)

3(4x + 3y) = 3(10)

(4)

Se hacen las operaciones: 12x 2 + 8y = 28

(3)

12x 2 + 9y = 30

(4)

100

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Como se quiere eliminar la x, simplemente se restan miembro a miembro las ecuaciones 3 y 4, para tal efecto hay que cambiar el signo a la ecuación 4. 12x 2 + 8y = 28

(3)

-1(12x 2 + 9y) = -1(30)

(4)

12x 2 + 8y = 28

(3)

-12x 2 - 9y = -30

(4)

-y = -2 Se cambia de signo en ambos miembros (esto equivale a multiplicar por -1). y=2 Se sustituye el valor en cualquier ecuación, en este caso, en la ecuación 1. 3x + 2(2) = 7 Se despeja la x. 3x + 4 = 7 3x = 7 - 4 3x = 3 3 x= =1 3 Se obtienen los mismos valores de las incógnitas que en los casos anteriores: x=1 y

y=2

Práctica 33 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por los tres métodos. 1. 3x + 2y = 9 -2x 2 + 4y = 10

Capítulo 4 Ecuaciones

2. 22x + 3y = 6 4x - 5y = -10

3. 3x + 4y = 9 2 - 6y = -20 2x

4. 4x - 3y = -14 3x - 2y = -10

5. 5x + 7y = 2 -4x - 6y = -10

101

102

Álgebra elemental para el nivel medio superior

4.4 Desigualdades e inecuaciones Desigualdades

Una desigualdad es la comparación de dos cantidades que no son iguales, por ejemplo: 568 Esto se lee “5 es menor que 8” o también “8 es mayor que 5”, ya que el signo actúa en las dos direcciones, sólo hay que tener en cuenta que la cantidad menor se coloca en el vértice y la cantidad mayor en la abertura. Cuando alguno de los valores se desconoce, por ejemplo, x 6 8, se trata de una inecuación. Inecuaciones

Las ecuaciones y las inecuaciones tienen diferencias y similitudes, son similares porque ambas se rigen por la misma propiedad fundamental, a saber: cualquier operación que se realice en un miembro de la ecuación deberá también realizarse en el otro, con el fin de que no se altere, excepto que en las inecuaciones al multiplicar o dividir por una cantidad negativa, la desigualdad cambia de sentido.

Ejemplo -5x 6 8 x7

8 -5

Otra diferencia es que en las ecuaciones de primer grado con una incógnita se tiene una sola solución y en las inecuaciones se tiene un número infinito de soluciones, es decir, es un conjunto de soluciones de tamaño infinito que constituyen un intervalo. Si el signo de la desigualdad incluye un signo de igual (…), entonces se entiende que el valor de la incógnita señalado en la inecuación está incluido en el intervalo y se dice que es un intervalo cerrado. En caso de que no incluya el signo igual (6), entonces el valor de la incógnita señalado en la inecuación no está incluido en el intervalo y se trata de un intervalo abierto.

Capítulo 4 Ecuaciones

103

En efecto, si representamos el valor de la incógnita en el eje de los números reales observamos que su solución son todos los puntos de la recta que cumplen con la condición de la inecuación: -8 5

0

Práctica 34 Determina el intervalo solución de las siguientes inecuaciones. 1. 6x - 5 7 2x 2 -1

2. -6x + 4 … 2x 2 +2

3.

-2x + 4 3x - 2 … 5 3

4.

3 4 Ú x-2 x+2

5.

2x - 2 x-2 +2Ú3-3 2

Capítulo

La línea recta

5.1 Sistema de ejes coordenados Un sistema de ejes coordenados se forma en un plano con la intersección de dos ejes ortogonales: el eje de las abscisas, que se identificará con la letra x y el eje de las ordenadas, que se identificará con la letra y. Si se quiere determinar la posición de un punto en este sistema de ejes coordenados es necesario conocer sus coordenadas, es decir, un par de valores que representan el valor de x y de y, respectivamente, así, por ejemplo, el par de valores (3, 6) representa un punto ubicado en las coordenadas x = 3 y y = 6. A cada par de valores le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un par de valores. Si se localizan dos puntos y se unen, entonces se forma una línea recta, esta línea recta tiene una serie de características que nos permiten dibujarla, prolongándola hacia ambos lados hasta el infinito.

5.2 La pendiente de una recta La pendiente de una recta (m) no es otra cosa más que la tangente de su ángulo de inclinación. El ángulo de inclinación (u) de una recta es el valor del ángulo formado entre la recta y cualquier línea horizontal. La tangente de un ángulo es la función trigonométrica que se obtiene mediante la división del cateto opuesto entre el cateto adyacente en un triángulo rectángulo. Esta definición expresada matemáticamente quedaría así: Tangente de u =

cateto opuesto =m cateto adyacente

106

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Observa la figura.

u Ángulo de inclinación

Cateto opuesto

Cateto adyacente

Figura 5.1

Una de las aplicaciones prácticas de la pendiente de una recta es la siguiente: Si esta recta representa los costos totales de producción de un número x de unidades, entonces la pendiente de la recta es la suma de todos sus costos variables (materia prima, mano de obra, etcétera).

5.3 La ecuación de una recta La ecuación de una recta permite dibujarla, prolongarla, determinar los puntos que le pertenecen o también determinar si un punto pertenece a la recta, determinar su pendiente y su ángulo de inclinación, determinar en qué punto corta al eje vertical o al horizontal, etcétera. Es decir, si se conoce la ecuación de una recta es muy sencillo conocer cualquiera de sus características, por tanto, es importante poder determinar la ecuación de una recta. Para determinar la ecuación de una recta existen varios métodos, según los datos con que se cuenta. Si se conocen dos puntos por los que pasa la recta, entonces se utiliza la forma cartesiana, que es la siguiente: Puntos conocidos P1(x 1 y 1) y - y1 =

y

P2(x 2 y 2)

y2 - y1 (x - x1) x2 - x1

Simplificando e igualando a cero, se obtiene en su forma general la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados. Si se conocen la pendiente y la ordenada al origen se utiliza la forma pendiente ordenada al origen.

Capítulo 5 La línea recta

107

Datos: Pendiente = m Ordenada al origen = b y = mx + b Igualando a cero se obtiene la ecuación en su forma general. La ordenada al origen (b) es la ordenada del punto en el cual la recta corta al eje de las y. Observa la figura.

P(0 b) 

b

Figura 5.2

En el caso en que la recta representa el costo total de producción, la ordenada al origen es el importe de los gastos fijos. Entonces, en esta recta el costo variable es el coeficiente de x y el término independiente es el costo fijo en la producción de esta empresa. Práctica 35 Lee y resuelve los siguientes problemas. 1. Determinar la recta que representa el costo total de una fábrica cuyos gastos fijos son de $36 000.00 y los costos variables de $165.00.

108

Álgebra elemental para el nivel medio superior

2. Determinar el valor de los costos fijos y los costos variables representados en la recta -21x + 3y = 75, la cual a su vez representa el costo total de producción de una fábrica.

3. Un empresario necesita saber el costo de producción de 125 unidades, si la recta de costo es -25x + 60y = 2565.

4. Una fábrica de compresores al vender 15 unidades obtiene una utilidad de $45 000.00 y al vender 30 unidades su utilidad es de $95 000.00. Determinar la recta que representa el total de utilidades por producir compresores.

Capítulo 5 La línea recta

109

5. En la misma fábrica del problema anterior necesitan saber qué utilidad obtendrían si vendieran 42 unidades.

Inecuaciones con dos incógnitas Si se tiene una inecuación de primer grado con dos incógnitas, entonces el conjunto solución no es un intervalo que pudiera representarse en la recta de los números reales, en este caso se trata del área constituida por la parte de arriba de la recta o por la parte debajo de la recta, dependiendo del sentido de la desigualdad y de los signos de las variables. Ejemplo La desigualdad 22x + 3y 6 5 se puede representar mediante el área debajo de la recta 2 + 3y = 5. 2x Y si el signo de la desigualdad incluye el signo de igual, 22x + 3y … 5 se puede representar con el área debajo de la recta 22x + 3y = 5 y los puntos incluidos sobre la recta.

2x + 3y = 5

110

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Práctica 36 Determina el área solución de las siguientes inecuaciones. 1. 4x - 3y … 9

2. -2x 2 + 6y 7 -2

Capítulo 5 La línea recta

3. 5x + 3y Ú 7

4. -3x - 9y 6 4

111

112

Álgebra elemental para el nivel medio superior

5. 6x - 4y 7 -1

Resultados de las prácticas Práctica 1

Leyes de los signos para la suma 1. -9 2. -14 3. 7 4. -11 5. 3 6. 301 2 7. 5 43 8. 72 19 9. 15 11 10. 3 Leyes de los signos para la multiplicación 1. 40 2. 18 3. -48 4. -14 3 5. 10 2 6. 63

Leyes de los signos para la división 1. 3 2. 6 3. -3 4. -3 5 5. 6 8 6. 5 Práctica 2

1. 2. 3. 4. 5.

2*2*2*2*2 10 * 10 4*4*4 (2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2) (-2)(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)

6.

1 1 3 = 3 (3)(3)(3)

7. 1 ⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞ 8. ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ 9. -

1 1 4 = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠

114

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Práctica 3

1. 1 1 2. 9 1 3. 125 4. 1 1 6 1 6. 16 5.

Práctica 4

1. 2. 3. 4. 5.

3 9 2 4 2

Práctica 5

1. 2. 3. 4. 5. 6.

9 2 -2 2 -3 Imaginario 3 7. 2

7. -75 8. Imaginario Práctica 7

1. -98 2. 10 3. 292 Práctica 8

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

212 58 95 613 82 6-5 4-3 11

Práctica 9

1. 2. 3. 4.

33 62 1 36

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

85 81 56 4-15 8-6 6-3 82

6

Práctica 6

1. 2. 3. 4. 5.

6 -11 -4 -34 -8 11 6. 15

Práctica 10

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

5a - 3b 89a - 99b 0 x 3 + 12xy 2 3 + 10x 3y + 20x 2y 2 - 61y 4 2a + 2b -5x 3 + 28x 2 - 39x + 24 6m 2 + 5n - 8

Resultados de las prácticas

8. 9. 10. 11.

2a + b -2m + 4n - 4 2 - 24 2x c+d-m-n

Práctica 11

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

-15x 2y 10x 4y 5 18x 7y 9 -10x 2y 2 18x 5y 6 6a 3b 4 -12x 2 6y 4 -192x 2 8y 7z

Práctica 12

1. 2. 3. 4. 5.

10x 5y 4 - 25x 6y 5 4a 7b 6z 2 + 8a 4b 5z 3 -30x 5y -1 - 18x 4y 2z 6 -8x 2y -2 + 12y -6 -20a -2b

Práctica 13

I. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

24x 4 - 76x 2 + 60 8x 3 + 6x 2 - 14x + 12 -24x 2 + 12x 2 + 72 2 2 + 9x 2x 0 3x - 9

II. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

6x + 2 -16x - 24 5x 2 - 5x + 12 3x 2 + 11x 2 3 - 3x 2 - 6x + 15 2x -2x 2 2 + 32x 2 + 44 4t 4 + t 3 - t 2 - 20t + 10 -5t 2 + 34t - 48

115

9. 10. 11. 12. 13. 14.

22x 2 + xy + 12y 2 -8s + 49 12x 2 2 + 288 8t 2 + 16t + 160 -24x 2 - 72x 2 - 72 -20a + 52b + 8ab - 4

Práctica 14

1. 2. 3. 4. 5.

-3a 2b 5c 2 2 2y 6z 3 2x -9m -4n 8 5a 7b -11c 7 5y -8z -6

Práctica 15

1. -

2 3 10 2 2 y + ax 3 9

2. -

3 2 5 2 a + b + 3ab 3 2 2

3. 3x 2 - 4x + 2 4. 22x 5 - 5x 3 -

5 x 2

-3m 2 + 8mn - 9n 2 9a 6b 5 - 4a 4b 3 - 3 -5x 3 + 7x 2 + 10x - 3 8m 7n 2 - 10m 5n 4 - 20m 3n 6 + 12mn 8 1 9. -2a m-3 + a m-1 - am+1 2 m-2 n-3 10. a b + a m-3b n-1 - a m-4b m+1 5. 6. 7. 8.

Práctica 16

1. m - 10, residuo: -84 2. 6x 3. 10x +

7 1 y, residuo: y 2 2 2 19 y, residuo: -23y 2 3

116

Álgebra elemental para el nivel medio superior

40 , residuo: 185 7 24 6m + n, residuo: 2n 2 9 5 25 m3 - m2 + m - 32, residuo: 158ª 4 4 25 87 2 6a 2 ab b , residuo: 430b 3 4 4 5a 2 - 5a - 6, residuo: 9a + 5 20x 3 + 40x 2 - 40x - 308, residuo: 846x + 1848 1 1 1 1 4 1 5 a 4 + a 3b + a 2b 2 ab 3 + b , residuo: b 3 9 27 81 81 7 4 7 3 7 7 7 x + x y + x 2y 2 + xy 3 + y 4, residuo: 7y 5 3 3 3 3 3

4. 5x + 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Práctica 17

1. 2. 3. 4. 5.

5832 9 b 12167 256a -32b -16 1 16a 8b 2 2401 -5 -2 b a c 8640

6. 27b

−

1 5

Práctica 18

1. 2a 2b 3c 4 2. xy 2z 3 3. -2uv 3w 2 1

5

4. 3x 2 y 4 z 2 −4

3

5. a 5 b 5 c−2

Práctica 19

4x 6y 2 + 4x 7y 3 + x 8y 4 16a 6b 4 - 40a 4b 3 + 25a 2b 2 81m 2n 6 + 72m 3n 5 + 16m 4n 4 49x 4y 6 - 14x 4y 8 + x 4y 10 16a 6b 4 + 24a 9b -1 + 9a 12b -6 1 4 2 7 6. x -66y 8 - x 2 y 7 + x -1y 6 4 9 3

1. 2. 3. 4. 5.

Práctica 20

1. 2. 3. 4. 5. 6.

64x 9 + 48x 7y 2 + 12x 2 5y 4 + x 3y 6 6 3 5 5 8a b - 36a b + 54a 4b 7 - 27a 3b 9 125m 3 - 450m 4n 3 + 54m 5n 6 - 216m 6n 9 x -3 + 9x -1y 2 + 27xy 4 + 27x 3y 6 27x 9y 6 - 108x 8y 10 + 144x 7y 14 - 64x 6y 18 a 3 - 12a 2b -1 + 48ab -2 - 64b -3

Resultados de las prácticas

117

108 3 4 18 6 2 1 9 bc + bc b 5 125 25 8. -64a 12b 6 + 144a 9b 7 - 108a 6b 8 + 27a 3b 9 9. 64x 6 - 48x 7 + 12x 2 8 - x9 3 6 9 10. 512x 2 y z - 768x 4y 7z 10 + 384x 5y 8z 11 - 64x 6y 9z 12 7. 216c 6 -

Práctica 21

1. 2. 3. 4. 5.

25x 2y 6 - 64x 6y 4 9a 10c 4 - 25a 6b 2c 6 49m 6n 12 - 16m 16n 4 81t 6v 6 - 36t 10v 8 49u 10v 8 - 25u 8v 14

Práctica 22

1. 2. 3. 4. 5.

x 2 + 2x 2 - 35 x 2 - 4x - 21 x 2 - 6x - 27 4x 2 + 22x 2 + 24 9x 4 - 15x 2 - 14

Práctica 23

1. 2. 3. 4. 5.

22xy 2(x 8y 2z + 3z 5 - 4y + 5x 5yz) 4a 3bc 5(2a 2b 3c - 1) m 3n 2(6 - 3m 5n + 2m 3n 3) 5xy 2( y 3 - 2x 2 4y + 3x 2 - 7x 5y 4 + x 5y 7) 3 -3xyz (3 + x 2y 5)

Práctica 24

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

(2x 2 - 9y)2 No es un trinomio cuadrado perfecto. (7m 2 - 5n3)2 (u - 4v 2)2 (4xy 2 - 5x 2z)2 (5x + 8y 2)2 No es un trinomio cuadrado perfecto.

Práctica 25

1. (2x 2 3 - 3y 2)(2x 2 3 + 3y 2) 2 3 4 2. (4x y + 5x y )(4x 2y - 5x 3y 4) 3. (6a 4b 2 - 7x 2b 3)(6a 4b 2 + 7x 2b 3)

4. (4m 4n 3 - v 4w 3)(4m 4n 3 + v 4w 3) 5. (10m 3n 4 - 9x 4y 6)(10m 3n 4 + 9x 4y 6) Práctica 26

1. 2. 3. 4. 5.

(x + 3)(x - 2) (x - 9)(x + 7) (x - 6)(x - 5) (x - 5)(x + 2) (x + 8)(x + 2)

Práctica 27

1. 2. 3. 4. 5.

(2x 2 - 9)(2x 2 + 3) (6x - 5)(6x + 2) (2x 2 - 7)(2x 2 + 1) (3x + 10)(3x - 1) (2x 2 - 8)(2x 2 + 3)

Práctica 28

1. (3x - 2)(2x 2 + 1) 2. (x + 5)(3x - 1) 3. Dos soluciones: (x + 1)(6x + 2) y (2x 2 + 2)(3x + 1) 4. (x + 4)(3x - 1) 5. Dos soluciones: (x + 1)(6x + 6) (2x 2 + 2)(3x + 3) Práctica 29

1. 4a 2y (4a 3x 2y 2 - 3b 3z - a 2b 4xyz 2) 2. ab(3b 2 - 4a 2b 4 + 4) 3. 2(a 2 - 2ab + 3b 2)

118

Álgebra elemental para el nivel medio superior

4( y 4 + 1 + y 2) (2a 3 - b 3)2 (3x - 4y)(3x + 8y) 3(4 - 21x 4) No tiene solución. (n + 4)(n + 2) No tiene solución con números enteros. 11. (3x - 6)(3x + 1) 12. No tiene solución con números enteros. 13. No tiene solución con números enteros. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Práctica 30

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

x = -0.72 z = -1 c = 4.8333 w = -5.25 5 Q= 16 7 x= 4 c=2 7 y=2

1. x = 5 23 2. x = 5 3. w = -3 23 4. t = 14 3 5. x = 2 6. z = -70 32 7. x = 53

8. x = -4 25 9. x = 8 10. t = -20 11. r = -1.47 9 12. t = 4 13. x = 1 6 14. x = 15 13 15. x = 2 21 16. t = 2 18 17. x = 5 2 18. y = 3 19. x = 2 2 20. x = 3 21. z = 38 131 22. x = 2 31 23. x = 2 28 24. x = 9 25. x = 60 289 26. y = 36 27. x = 1 8 28. z = 3 7 29. y = 2

Resultados de las prácticas

Tercera parte 1. x = 10.77 2. x = 3047.72 3. x = 5 4. Pedro = 357 142.86 Juan = 714 285.71 Jesús = 178 571.43 5. x = 15899.94 Práctica 31

Primera parte 1. x1 = 0.666 x2 = -0.5 2. x1 = 0.333 x2 = -5 3. x1 = -0.333 x2 = -1 4. x1 = 0.333 x2 = -4 5. x1 = -1 Segunda parte 1. x1 = 3.265 x2 = -8.265 2. x1 = 0 x2 = -4 3. x1 = 0 x2 = -4 4. x1 = 27.275 x2 = -1.318 5. x1 = 27.275 x2 = -1.318 6. x1 = -0.3978 x2 = -5.0307 7. x1 = 0.425 x2 = -1.175 Tercera parte 1. x1 = -1.24 x2 = 7.24 2. x1 = 4 3. x1 = -1.73 x2 = 3.06 4. y1 = 2.78 y2 = 0.72 Cuarta parte 1. x1 = 23.31 x2 = 0.69 2. x1 = 5.56 x2 = 1.44 3. x1 = 12.48 x2 = -0.48 4. x1 = 3.92 x2 = 0.573 5. No tienen solución real. 6. x1 = 0.92 x2 = -1.52

119

Práctica 32

1. 2. 3. 4. 5.

x1 = -3 x2 = -0.5 x1 = 0.75 x2 = -0.5 x1 = -5 x2 = 1.5 x1 = -0.666 x2 = 0.4 x1 = 3 x2 = 0.833

Práctica 33

1. 2. 3. 4. 5.

x=1 y=3 x=0 y=2 x = -1 y = 3 x = -2 y = 2 x = -29 y = 21

Práctica 34

1. x 6 1 2. x … 4 22 3. x Ú 21 4. x … 14 5. x 6 4 Práctica 35

1. y = 165x + 36 000 2. Costos fijos = $25.00 Costos variables = $7.00 3. Costo = $94.83 4. -50x + 15y - 674 250 = 0 5. Utilidad = $45 090.00

120

Álgebra elemental para el nivel medio superior

Práctica 36

1.

2.

3.

Resultados de las prácticas

4.

121

Bibliografía

Allen, R. (1997). Álgebra intermedia (4a. ed.). México: Prentice Hall Hispanoamérica. Baldor, A. (1995). Álgebra. México: Publicaciones Cultural. Barrera, F. (2003). Ponencia. Facultad de Ingeniería de la unam, núm. 164. Gobrán, A. (1990). Álgebra elemental. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Kabalen, D. M. y M. A. De Sánchez (2005). La lectura analítico-crítica. México: Editorial Trillas. Monsalvo, M. (2003). Ponencia. CCH Naucalpan. Núm. de documento: 1246. Pastor, G. (1998). Estadística básica. México: Trillas/Conalep/sep. Pérez, P. M. (2004). Revisión de las teorías del aprendizaje más sobresalientes del siglo xx. Tiempo de educar, 5 (10), 39-76. Sandín, M. (2003). Investigación cualitativa en educación. Fundamentos y tradiciones. España: McGraw-Hill Interamericana.