Математическое просвещение [Серия 3, Выпуск 11]

Citation preview

íáåíáéþåóëïå ðòïó÷åýåîéå ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ

×ÙÕÓË 11

íÏÓË×Á éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íãîíï 2007

õäë 51.009

éÚÄÁÎÉÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÅÎÏ ÒÉ ÏÄÄÅÒÖËÅ òææé

(ÉÚÄÁÔÅÌØÓËÉÊ

ââë 22.1

ÒÏÅËÔ

í34

Р

88

‚ 07-01-07056).

И

òÅÄÁË ÉÏÎÎÁÑ ËÏÌÌÅÇÉÑ âÕÇÁÅÎËÏ ÷. ï.

÷ÉÎÂÅÒÇ ü. â.

÷ÑÌÙÊ í. î.

çÁÌØÅÒÉÎ ç. á.

çÌÅÊÚÅÒ ç. ä.

çÕÓÅÊÎ-úÁÄÅ ó. í.

äÏÒÉÞÅÎËÏ ó. á.

åÇÏÒÏ× á. á.

éÌØÑÛÅÎËÏ à. ó.

ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ× á. ñ.

ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ× î. î.

ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷.

òÏÚÏ× î. è.

óÏÓÉÎÓËÉÊ á. â.

ÉÈÏÍÉÒÏ× ÷. í.

æÒÅÎËÉÎ â. ò.

ñÝÅÎËÏ é. ÷.

çÌÁ×ÎÙÊ ÒÅÄÁËÔÏÒ:

ü. â. ÷ÉÎÂÅÒÇ

ïÔ×. ÓÅËÒÅÔÁÒØ:

í. î. ÷ÑÌÙÊ

áÄÒÅÓ ÒÅÄÁË ÉÉ:

119002, íÏÓË×Á, â. ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ ÅÒ., Ä. 11, Ë. 301 (Ó ÏÍÅÔËÏÊ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ) Email: matprosm

me.ru Web-page: www.m

me.ru/free-books

í34 íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ, ×Ù. 11. | í.: íãîíï, 2007. | 176 Ó. ISBN 978-5-94057-275-6

÷ ÓÂÏÒÎÉËÁÈ ÓÅÒÉÉ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ ÕÂÌÉËÕÀÔÓÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ Ï ÒÏÂÌÅÍÁÈ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÅ ÎÁ ÄÏÓÔÕÎÏÍ ÄÌÑ ÛÉÒÏËÏÊ ÁÕÄÉÔÏÒÉÉ ÕÒÏ×ÎÅ, ÚÁÍÅÔËÉ Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ ÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. õäë 51.009 ââë 22.1

ISBN 978-5-94057-275-6

©

íãîíï, 2007.

æÏÔÏ î. áÎÄÒÅÅ×Á

ðÏÚÄÒÁ×ÌÑÅÍ

îÉËÏÌÁÑ îÉËÏÌÁÅ×ÉÞÁ ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×Á Ó 75-ÌÅÔÉÅÍ!

óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÉÒ á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ. ICM{2006, íÁÄÒÉÄ: íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ

ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

í. ð. úÁÍÁÈÏ×ÓËÉÊ. âÏÒÉÓ áÂÒÁÍÏ×ÉÞ òÏÚÅÎÆÅÌØÄ

5

. . . . . . . . . . . . . . .

15

õ. £ÒÓÔÏÎ. ï ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ. ÷ÉËÔÏÒ ÅÂÏ É ÅÇÏ ÚÁÄÁÞÉ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

à.í. âÕÒÍÁÎ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ É ÍÏÄÅÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÁÓÔÅÒÏ× . . . . . .

47

á. ÷. áËÏÑÎ, á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ. òÁÚÎÙÅ ×ÚÇÌÑÄÙ ÎÁ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ

61

í. â. óËÏÅÎËÏ×. ÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ñËÏÂÉ

.

79

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

îÁÛ ÓÅÍÉÎÁÒ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÀÖÅÔÙ

ó. â. çÁÛËÏ×. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÌÑ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× É

ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ òÅÊÎÈÁÒÄÔÁ

í.î. éÓÔÏÍÉÎÁ, á.â. ðÅ×ÎÙÊ. ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÉ ÔÏÞÅË ÎÁ ÓÆÅÒÅ É ÆÒÅÊÍÅ

íÅÒÓÅÄÅÓ{âÅÎ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

ð. ÷. âÉÂÉËÏ×, é. ÷. ËÁÞÅÎËÏ. ï ÔÒÉÓÅË ÉÉ É ÂÉÓÅË ÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ

ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

ï. ÷. û×ÁÒ ÍÁÎ. ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ Ë ÓÔÁÔØÅ ð. ÷. âÉÂÉËÏ×Á É é. ÷. ËÁÞÅÎËÏ

€ï ÔÒÉÓÅË ÉÉ É ÂÉÓÅË ÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇρ

. . .

127

ëÏÎËÕÒÓÙ É ÏÌÉÍÉÁÄÙ á. á. ïÛÅÍËÏ×, á. â. óËÏÅÎËÏ×. óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É

ÔÏÏÌÏÇÉÉ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ë. á. íÁÔ×ÅÅ×. ï ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÈ Ó×ÑÚÎÙÈ ÇÒÁÆÁÈ

. . . . . . . . . . . . . . . .

131 141

ðÏ ÍÏÔÉ×ÁÍ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс ó. ç. óÌÏÂÏÄÎÉË. äÉÓËÒÅÔÎÙÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ

. .

145

ÍÏÎÅÔÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

ä. á. íÉÈÁÌÉÎ, é. í. îÉËÏÎÏ×. ïÄÎÁ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ

îÁÍ ÉÛÕÔ á. â. óËÏÅÎËÏ×, á. ó. ÅÌÉÛÅ×. é ×ÎÏ×Ø Ï ËÒÉÔÅÒÉÉ ëÕÒÁÔÏ×ÓËÏÇÏ

ÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÏ×

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ. ðÏÒÁ×ËÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

õÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ×

165

îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90, 104, 144, 175

íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÉÒ

ICM{2006, íÁÄÒÉÄ: íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ

÷ÏÔ ÕÖÅ ÓÔÏ ÌÅÔ, ÒÁÚ × ÞÅÔÙÒÅ ÇÏÄÁ, Á ÉÍÅÎÎÏ × ÇÏÄÙ, ÒÁ×ÎÙÅ Ä×ÕÍ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÞÅÔÙÒÅ, íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÓÏÀÚ ÒÏ×ÏÄÉÔ Ó×ÏÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ. ÷ 2006 ÇÏÄÕ ÏÎ ÓÏÓÔÏÑÌÓÑ × íÁÄÒÉÄÅ, Ó 21 Ï 30 Á×ÇÕÓÔÁ. ï Ó×ÏÉÈ ×ÅÞÁÔÌÅÎÉÑÈ Ï ÜÔÏÍ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØÎÏÍ ÓÏÂÙÔÉÉ Á×ÔÏÒ É ÏÓÔÁÒÁÅÔÓÑ ÒÁÓÓËÁÚÁÔØ, ÂÌÁÇÏ ÏÞÅÔÎÏÅ ÒÉÇÌÁÛÅÎÉÅ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÔØ × ICM{2006 ÏÚ×ÏÌÉÌÏ ÎÁÂÌÀÄÁÔØ ÚÁ ÒÏÉÓÈÏÄÑÝÉÍ, ÔÁË ÓËÁÚÁÔØ, ÉÚ ÅÒ×ÙÈ ÒÑÄÏ×.

ïÔËÒÙÔÉÅ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ ðÏ ÔÒÁÄÉ ÉÉ, ÅÒÅÍÏÎÉÑ ÏÔËÒÙÔÉÑ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÆÏÒÕÍÁ ÏÖÉÄÁÅÔÓÑ Ó ÏÓÏÂÙÍ ÎÅÔÅÒÅÎÉÅÍ: ÎÁ ÎÅÊ ÏÄ×ÏÄÑÔÓÑ ÉÔÏÇÉ ÞÅÔÙÒÅÈÌÅÔÎÅÇÏ ÉËÌÁ É ÏÇÌÁÛÁÀÔÓÑ ÉÍÅÎÁ ÅÇÏ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÇÅÒÏÅ× æÉÌÄÓÁ É îÅ×ÁÎÌÉÎÎÙ.

 ÌÁÕÒÅÁÔÏ× ÍÅÄÁÌÅÊ

ðÒÅÄÓÔÁ×ØÔÅ ÓÅÂÅ ÏÇÒÏÍÎÙÊ ÚÁÏÌÎÅÎÎÙÊ ÚÁÌ, ×ÍÅÝÁÀÝÉÊ 3000 ÞÅÌÏ×ÅË, ÛÉÒÏÞÅÎÎÕÀ Ó ÅÎÕ Ó ÄÌÉÎÎÙÍ, ÏËÁ ÅÝÅ ÕÓÔÕÀÝÉÍ, ÓÔÏÌÏÍ ÄÌÑ ÎÁÞÁÌØÓÔ×Á, Á ÎÁÄ Ó ÅÎÏÊ ÜËÒÁÎ ÛÉÒÉÎÏÊ ÍÅÔÒÏ× Ä×ÁÄ ÁÔØ É ×ÙÓÏÔÏÊ ÍÅÔÒÏ× ÑÔØ. îÁ ÜËÒÁÎÅ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÏÍ ÄÌÑ ÏËÁÚÁ ×ÙÓÔÕÁÀÝÉÈ ËÒÕÎÙÍ ÌÁÎÏÍ, ÏËÁ ËÒÁÓÕÅÔÓÑ ÌÏÇÏÔÉ ICM{2006. ðÅÒÅÏÌÎÅÎÎÙÊ ÚÁÌ ÇÕÄÉÔ. ÷ ÎÅÇÏ ÎÅ ÏÍÅÓÔÉÌÉÓØ ×ÓÅ ÞÅÔÙÒÅ Ó ÌÉÛÎÉÍ ÔÙÓÑÞÉ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ËÏÎÇÒÅÓÓÁ, ÔÁË ÞÔÏ ÏÔËÒÙÔÉÅ ÂÕÄÅÔ ÔÒÁÎÓÌÉÒÏ×ÁÔØÓÑ ×Ï ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÕÀ ÁÕÄÉÔÏÒÉÀ, ÇÄÅ ÓÉÄÑÔ ÔÅ, ËÏÍÕ ÎÅ ÏÓÞÁÓÔÌÉ×ÉÌÏÓØ ÏÁÓÔØ × ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÚÁÌ ÚÁÓÅÄÁÎÉÊ. îÏ ×ÏÔ ÚÁÓÕÅÔÉÌÉÓØ ÔÅÌÅ- É ÆÏÔÏÒÅÏÒÔÅÒÙ, ÕÌÅÍÅÔÎÙÍÉ ÏÞÅÒÅÄÑÍÉ ÚÁÓÔÒÅÌÑÌÉ ×ÓÙÛËÉ ÆÏÔÏÁÁÒÁÔÏ×

 × ÚÁÌ ×ÈÏÄÑÔ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×Õ-

ÀÝÉÅ ÌÉ Á ÅÒÅÍÏÎÉÉ ÏÔËÒÙÔÉÑ: ËÏÒÏÌØ éÓÁÎÉÉ èÕÁÎ ëÁÒÌÏÓ I É ÅÇÏ

Ó×ÉÔÁ, ÓÜÒ äÖÏÎ âÁÌÌ (ÒÅÚÉÄÅÎÔ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ÓÏÀÚÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×),

6

á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ

ÍÜÒ íÁÄÒÉÄÁ, ÍÉÎÉÓÔÒÙ, ÉÓÁÎÓËÉÊ ÓÏÒÅÄÓÅÄÁÔÅÌØ ïÒÇËÏÍÉÔÅÔÁ, ÄÒÕÇÉÅ ×ÁÖÎÙÅ ÏÆÉ ÉÁÌØÎÙÅ ÌÉ Á, É ÒÁÓÓÁÖÉ×ÁÀÔÓÑ ÚÁ ÓÔÏÌÏÍ ÎÁ Ó ÅÎÅ. íÎÅ ÈÏÒÏÛÏ ×ÉÄÎÙ ×ÓÅ ×ÏÛÅÄÛÉÅ

 ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔ ÏÞÅÍÕ-ÔÏ ÚÁÒÅÚÅÒ×ÉÒÏ×ÁÌ ÍÎÅ

ÅÒÓÏÎÁÌØÎÏÅ ÍÅÓÔÏ Õ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÈÏÄÁ × ÑÔÏÍ ÒÑÄÕ, ÄÏ ÓÉÄÑÝÅÇÏ

× ÅÎÔÒÅ Ó ÅÎÙ ÉÓÁÎÓËÏÇÏ ÍÏÎÁÒÈÁ ÒÕËÏÊ ÏÄÁÔØ. ÷ ÅÒ×ÙÊ ÒÁÚ × ÖÉÚÎÉ ×ÉÖÕ ÖÉ×ÏÇÏ ËÏÒÏÌÑ. èÕÁÎ ëÁÒÌÏÓ, ÂÅÚ ÍÁÎÔÉÉ É ËÏÒÏÎÙ, ËÏÎÅÞÎÏ ÖÅ, ÓÉÄÑÝÉÊ ÎÅ ÎÁ ÔÒÏÎÅ, Á ÎÁ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÏÍ ÓÔÕÌÅ

 ×ÙÓÏËÉÊ ÜÌÅÇÁÎÔÎÙÊ

ÍÕÖÞÉÎÁ ÓÒÅÄÎÉÈ ÌÅÔ, × Ó×ÅÔÌÏÍ ÌÅÔÎÅÍ ËÏÓÔÀÍÅ, Ó ×ÅÌÉËÏÌÅÎÏÊ ÏÓÁÎËÏÊ É ÖÉ×ÙÍÉ ÇÌÁÚÁÍÉ. óÜÒ äÖÏÎ âÁÌÌ ÏÔËÒÙ×ÁÅÔ ËÏÎÇÒÅÓÓ, × ËÒÁÔËÏÊ ÒÅÞÉ ×ÙÒÁÚÉ× ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔØ ×ÓÅÍ, ËÏÍÕ ÓÌÅÄÕÅÔ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ ÉÓÁÎÓËÉÍ ÈÏÚÑÅ×ÁÍ É ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÁÍ. úÁÔÅÍ ÉÄÅÔ ÞÅÒÅÄÁ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÊ ÉÓÁÎÓËÉÈ ÏÆÉ ÉÁÌØÎÙÈ ÞÉÎÏ× (ÉÈ Õ×ÅÌÉÞÅÎÎÙÅ ÒÁÚ × Ä×ÁÄ ÁÔØ ÌÉ Á ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÇÌÑÄÅÔØ ÎÁ ÇÉÇÁÎÔÓËÏÍ ÜËÒÁÎÅ, ÎÁ ÎÅÍ ÖÅ ÂÅÇÕÝÅÊ ÓÔÒÏËÏÊ ÓÉÎÈÒÏÎÎÏ ËÒÕÔÉÔÓÑ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÊ ÅÒÅ×ÏÄ ÉÈ ÒÅÞÅÊ), ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÓÁÍ ËÏÒÏÌØ ÂÅÒÅÔ ÓÌÏ×Ï. ÷ ËÒÁÔËÏÊ, ËÒÁÓÉ×ÏÊ É ÖÉ×ÏÊ ÒÅÞÉ, èÕÁÎ ëÁÒÌÏÓ ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÔ ÚÎÁÎÉÅ ÂÉÎÏÍÁ îØÀÔÏÎÁ É ÔÅÏÒÅÍÙ ðÉÆÁÇÏÒÁ, ÏÓ×ÅÄÏÍÌÅÎÎÏÓÔØ Ï ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÍ ÒÁÚ×ÉÔÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÏÄÞÅÒËÉ×ÁÅÔ ÚÎÁÞÉÍÏÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ÓÅÇÏÄÎÑÛÎÅÍ ÏÂÝÅÓÔ×Å. þÅÔÙÒÅ ÔÙÓÑÞÉ ÌÕÞÛÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÍÉÒÁ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏ ÓÌÕÛÁÀÔ ÅÇÏ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÅ, ÎÏ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÄÕÍÁÅÔ Ï ÄÒÕÇÏÍ

 ËÏÇÄÁ ÖÅ ÎÁËÏÎÅ ÎÁÍ ÓÏÏÂÝÁÔ

ÉÍÅÎÁ ÌÁÕÒÅÁÔÏ× ÇÌÁ×ÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÍÉÊ?

äÖÏÎ âÁÌÌ Ï×ÔÏÒÎÏ ÂÅÒÅÔ ÓÌÏ×Ï, É ËÏÇÄÁ ÏÎ ÅÒÅÈÏÄÉÔ Ë ÏÇÌÁÛÅÎÉÀ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, × ÚÁÌÅ ÎÁÓÔÕÁÅÔ ÎÁÒÑÖÅÎÎÁÑ ÔÉÛÉÎÁ. þÅÔÙÒÅ ÍÅÄÁÌÉ

æÉÌÄÓÁ1) ÒÉÓÕÖÄÁÀÔÓÑ çÒÉÇÏÒÉÀ ðÅÒÅÌØÍÁÎÕ (òÏÓÓÉÑ, óÁÎËÔ-ðÅÔÅÒÂÕÒÇ), ÅÒÅÎÓÕ ÁÏ (óûá, UCLA), áÎÄÒÅÀ ïËÕÎØËÏ×Õ (òÏÓÓÉÑ, õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ ðÒÉÎÓÔÏÎ, óûá) É ÷ÅÎÄÅÌÉÎÕ ÷ÅÒÎÅÒÕ (æÒÁÎ ÉÑ, ðÁÒÉÖ). úÁÌ ÇÕÄÉÔ. Ï, ÞÔÏ ÁÏ É ðÅÒÅÌØÍÁÎ ÏÌÕÞÁÔ ÜÔÕ ÒÅÍÉÀ, ÏÎÉÍÁÌÉ ×ÓÅ ÏÓ×ÅÄÏÍÌÅÎÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ïËÕÎØËÏ× ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÓÑ ÓÒÅÄÉ ÒÅÔÅÎÄÅÎÔÏ× (ÂÙÌÉ É ÄÒÕÇÉÅ), Á ÷ÅÒÎÅÒ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÄÌÑ ÍÅÎÑ, ÂÙÌ ÆÉÇÕÒÏÊ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏÊ. ìÁÕÒÅÁÔÙ (×ÓÅ, ËÒÏÍÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×Á×ÛÅÇÏ ðÅÒÅÌØÍÁÎÁ) ×ÙÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ Ó ÅÎÕ É ÏÌÕÞÁÀÔ ÎÁÇÒÁÄÙ ÉÚ ÒÕË ÉÓÁÎÓËÏÇÏ ÍÏÎÁÒÈÁ. íÅÄÁÌØ îÅ×ÁÎÌÉÎÎÙ (ÒÉÓÕÖÄÁÅÍÕÀ ÚÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ × ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ) ÏÌÕÞÁÅÔ Jon Kleinberg (õÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ ëÏÒÎÜÌÌ, óûá), Á ÍÅÄÁÌØ çÁÕÓÓÁ, ×ÅÒ×ÙÅ ÒÉÓÕÖÄÁÅÍÕÀ × ÜÔÏÍ ÇÏÄÕ,



ëÉÊÏÛÉ éÔÏ (ñÏÎÉÑ).

úÁÔÅÍ èÕÁÎ ëÁÒÌÏÓ ÏÂßÑ×ÌÑÅÔ ÅÒÅÍÏÎÉÀ ÚÁËÒÙÔÏÊ, É ÒÉÇÌÁÛÁÅÔ ×ÓÅÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÎÁ ÆÕÒÛÅÔ, ÒÏÉÓÈÏÄÑÝÉÊ ÔÕÔ ÖÅ, × ÏÇÒÏÍÎÙÈ ÈÏÌÌÁÈ Ä×ÏÒ Á ËÏÎÇÒÅÓÓÏ×. óÁÍ ÖÅ ËÏÒÏÌØ, × ÓÏÒÏ×ÏÖÄÅÎÉÉ äÖÏÎÁ âÁÌÌÁ, 1)



íÅÄÁÌØ æÉÌÄÓÁ ÓÁÍÁÑ ÏÞÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÎÁÇÒÁÄÁ (ÅÅ ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ €îÏÂÅÌÅ×ÓËÏÊ ÒÅÍÉÅÊ ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏׁ), ÏÎÁ ÒÉÓÕÖÄÁÅÔÓÑ ÒÁÚ × ÞÅÔÙÒÅ ÇÏÄÁ Ä×ÕÍ, ÔÒÅÍ ÉÌÉ ÞÅÔÙÒÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ-ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÑÍ ÍÏÌÏÖÅ 40 ÌÅÔ ÚÁ ×ËÌÁÄ × ÒÏÄ×ÉÖÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁÕËÉ. ï ÜÔÏÊ ÒÅÍÉÉ É ÅÅ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÌÁÕÒÅÁÔÁÈ, ÓÍ. €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ, 3 ÓÅÒÉÑ, ×Ù. 2, Ó. 19{20, 1998.

7

ICM{2006, íÁÄÒÉÄ: íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×

ëÏÒÏÌØ É ÌÁÕÒÅÁÔÙ. óÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï: Jon Kleinberg, ÅÒÅÎÓ ÁÏ, ËÏÒÏÌØ èÕÁÎ ëÁÒÌÏÓ I, áÎÄÒÅÊ ïËÕÎØËÏ×, ÷ÅÎÄÏÌÉÎ ÷ÅÒÎÅÒ

×ÅÓØÍÁ ÄÅÍÏËÒÁÔÉÞÎÏ (ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÏÞÅÎØ ÎÁÕÇÁ×, Ñ ÏÌÁÇÁÀ, Ó×ÏÀ ÏÈÒÁÎÕ) ÓÍÅÛÉ×ÁÅÔÓÑ Ó ÔÏÌÁÍÉ ×Ú×ÏÌÎÏ×ÁÎÎÙÈ, ÖÁÖÄÕÝÉÈ ÅÄÙ É ÎÏ×ÏÓÔÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. . .

çÒÉÇÏÒÉÊ ðÅÒÅÌØÍÁÎ îÁÉÂÏÌÅÅ ÏÂÓÕÖÄÁÅÍÁÑ ÔÅÍÁ × ËÏÒÉÄÏÒÁÈ Ä×ÏÒ Á ÂÙÌÁ, ÂÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ, ÍÅÄÁÌØ æÉÌÄÓÁ çÒÉÇÏÒÉÑ ðÅÒÅÌØÍÁÎÁ. ÷ íÁÄÒÉÄÅ ðÅÒÅÌØÍÁÎÁ ÎÅ ÂÙÌÏ



ÏÎ ÏÔËÁÚÁÌÓÑ ÒÉÎÑÔØ

ÍÅÄÁÌØ É ÓÏÕÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÄÅÎÅÖÎÕÀ ÒÅÍÉÀ, Ï ÞÅÍ Ó ÓÏÖÁÌÅÎÉÅÍ × Ó×ÏÅÍ ÄÏËÌÁÄÅ Ï ÒÅÍÉÑÈ ÓÏÏÂÝÉÌ ËÏÎÇÒÅÓÓÕ äÖÏÎ âÁÌÌ. üÔÏÔ ÎÅÏÂÙÞÎÙÊ ÛÁÇ ðÅÒÅÌØÍÁÎÁ ÎÅ ÂÙÌ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏÓÔØÀ ÄÌÑ ÏÓ×ÅÄÏÍÌÅÎÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×: ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÌÅÔ ÎÁÚÁÄ ÏÎ ÏÔËÁÚÁÌÓÑ ÒÉÎÑÔØ ÒÅÓÔÉÖÎÕÀ ÒÅÍÉÀ, ÒÉÓÕÖÄÅÎÎÕÀ ÅÍÕ å×ÒÏÅÊÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÂÝÅÓÔ×ÏÍ.

çÒÉÇÏÒÉÊ ðÅÒÅÌØÍÁÎ

îÏ ËÁËÏÊ ÏÄÎÑÌÓÑ ÎÅ×ÏÏÂÒÁÚÉÍÙÊ ÁÖÉÏÔÁÖ ×ÏËÒÕÇ ÜÔÏÇÏ ÏÔËÁÚÁ, ËÁË ÚÁÓÕÅÔÉÌÉÓØ

ÓÒÅÄÓÔ×Á ÍÁÓÓÏ×ÏÊ

ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÞÅÇÏ ÔÏÌØËÏ

ÎÅ ÉÓÁÌÉ É

ÎÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ ÎÅËÏÍÅÔÅÎÔÎÙÅ É ÎÅÄÏÂÒÏÓÏ×ÅÓÔÎÙÅ ÖÕÒÎÁÌÉÓÔÙ! íÎÏÇÉÅ ÓÒÅÄÓÔ×Á ÍÁÓÓÏ×ÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ Ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÅÒÅÕÔÁÌÉ ÍÅÄÁÌØ æÉÌÄÓÁ Ó ÒÅÍÉÅÊ éÎÓÔÉÔÕÔÁ ëÌÅÑ, ÒÉÓÕÖÄÁÅÍÏÊ ÚÁ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÓÅÍÉ €ÒÏÂÌÅÍ ÔÙÓÑÞÅÌÅÔÉс. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÄÅÎÅÖÎÏÊ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÍÅÄÁÌÉ

8

á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ

æÉÌÄÓÁ (ÎÅÓËÏÌØËÏ ÄÅÓÑÔËÏ× ÔÙÓÑÞ ÄÏÌÌÁÒÏ×) ÒÅÍÉÑ ëÌÅÑ ÉÓÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÍÉÌÌÉÏÎÏÍ. èÏÔÑ ðÅÒÅÌØÍÁÎ É ÒÅÛÉÌ ÏÄÎÕ ÉÚ ÒÏÂÌÅÍ ÔÙÓÑÞÅÌÅÔÉÑ, ÏÎ ÎÅ ÍÏÇ ÏÔËÁÚÁÔØÓÑ ÏÔ ÒÅÍÉÉ ëÌÅÑ, ÔÁË ËÁË ÜÔÁ ÒÅÍÉÑ ÅÍÕ ÏËÁ ÎÅ ÒÉÓÕÖÄÅÎÁ. íÅÖÄÕ ÔÅÍ ÏÔËÁÚ ÏÔ ÍÅÄÁÌÉ æÉÌÄÓÁ ÉÍÅÅÔ ×ÏÌÎÅ ÌÏÇÉÞÎÏÅ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÅ: ÏÎ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ×ÅÓØÍÁ ÅÌØÎÏÊ É ÏÓÏÚÎÁÎÎÏÊ, ÈÏÔÑ É ÎÅÏÂÙÞÎÏÊ, ÖÉÚÎÅÎÎÏÊ ÏÚÉ ÉÉ ÓÁÍÏÇÏ ðÅÒÅÌØÍÁÎÁ. ïÎ ÎÅ ÒÉÄÁÅÔ ÏÓÏÂÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÅ ÖÉÚÎÉ, ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÅÅ ÅÌØ

 ÎÁÕÞÎÙÊ ÏÉÓË, × ËÏ-

ÔÏÒÏÍ ×ÙÓÛÉÅ ÎÁÕÞÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÉÍÅÀÔ Ó×ÏÀ ×ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ ÅÎÎÏÓÔØ, Á ÏÌÕÞÅÎÉÅ ÚÁ ÎÉÈ ÄÅÎÅÇ

 ÂÅÚÎÒÁ×ÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉÂÏ ÏÎÏ ÏÏÛÌÑÅÔ ×ÙÓÏËÕÀ ÅÌØ

ÓÌÕÖÅÎÉÑ ÉÓÔÉÎÅ. îÅ ÎÕÖÎÏ ÄÕÍÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÚÉ ÉÑ ÓËÒÏÍÎÏÇÏ, Ï-ÍÏÎÁÛÅÓËÉ ÏÔÒÅÛÅÎÎÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÁ

 çÒÉÇÏÒÉÊ ðÅÒÅÌØÍÁÎ ÚÎÁÅÔ ÓÅÂÅ ÅÎÕ,

É ÖÅÓÔËÏ ÏÔÓÔÁÉ×ÁÅÔ Ó×ÏÉ ÒÉÎ ÉÙ.

åÇÏ ÖÉÚÎÅÎÎÙÊ ÕÔØ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÎÁÞÁÌÕ, ÔÉÉÞÅÎ ÄÌÑ ÌÕÞÛÉÈ ÒÏÓÓÉÊÓËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÅÇÏ ÏËÏÌÅÎÉÑ. òÁÎÏ ÒÏÑ×É×ÛÉÅÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÉ, ÜÌÉÔÎÁÑ ÆÉÚÍÁÔÛËÏÌÁ × óÁÎËÔ-ðÅÔÅÒÂÕÒÇÅ, ÚÏÌÏÔÁÑ ÍÅÄÁÌØ ÎÁ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÅ (âÕÄÁÅÛÔ, 1984), ÕÞÅÂÁ ÎÁ ÍÁÔÍÅÈÅ ìçõ, ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÁ, ÂÌÅÓÔÑÝÁÑ ÚÁÝÉÔÁ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ, ÜÍÉÇÒÁ ÉÑ × óûá. ÁÍ ÏÎ ÈÏÒÏÛÏ ×ÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ÎÁÕÞÎÕÀ ÖÉÚÎØ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ óÔÏÎÉ âÒÕË ÏËÏÌÏ îØÀ êÏÒËÁ É ÂÙÓÔÒÏ ÚÁ×ÏÅ×Ù×ÁÅÔ ÒÅÕÔÁ ÉÀ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÓÉÌØÎÅÊÛÉÈ × ÍÉÒÅ ÔÏÏÌÏÇÏ× É ÇÅÏÍÅÔÒÏ×, ÎÅ ÞÕÖÄÏÇÏ, ×ÒÏÞÅÍ, É ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÏÒÏÎÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ïÎ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÎÁÄ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÒÕÄÎÅÊÛÉÈ É ÓÁÍÙÈ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ-

ÓÔÉ: ÎÁÄ ÇÉÏÔÅÚÏÊ ðÕÁÎËÁÒÅ 2) , ÄÌÑ ÞÅÇÏ ÂÅÒÅÔÓÑ ÚÁ ÅÝÅ ÂÏÌÅÅ ÔÒÕÄÎÕÀ (Á ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ É ÂÏÌÅÅ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÕÀ) ÚÁÄÁÞÕ ÉÉ £ÒÓÔÏÎÁ .

 ÇÉÏÔÅÚÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÚÁ-

îÅÓËÏÌØËÏ ÌÅÔ ÎÁÒÑÖÅÎÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ, É × 2002 ÇÏÄÕ ðÅÒÅÌØÍÁÎ ÏÂßÑ×ÌÑÅÔ Ï ÕÓÅÛÎÏÍ ÒÅÛÅÎÉÉ ÜÔÉÈ ÒÏÂÌÅÍ. ÷ 2002 É 2003 ÇÏÄÁÈ ÏÎ ×ÙËÌÁÄÙ×ÁÅÔ × ÉÎÔÅÒÎÅÔ ÔÒÉ ÓÌÏÖÎÙÅ, ÓÖÁÔÏ ÎÁÉÓÁÎÎÙÅ ÓÔÁÔØÉ Ó ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÎÁÚ×ÁÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÇÉÏÔÅÚ, ×ÙÓÔÕÁÅÔ × ÒÁÚÎÙÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ óûá Ó ÄÏËÌÁÄÁÍÉ Ï ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÉ. òÅÁË ÉÑ ÎÁ ÜÔÉ ÔÅËÓÔÙ É ÄÏËÌÁÄÙ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁ. óÅ ÉÁÌÉÓÔÁÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÒÏÓÔÏ ÒÏÓÌÅÄÉÔØ ÚÁ ÓÌÏÖÎÙÍÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍÉ ðÅÒÅÌØÍÁÎÁ, ËÏÔÏÒÙÊ Ó×ÏÂÏÄÎÏ ÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÉÚÙÓËÁÎÎÏÊ ÔÅÈÎÉËÏÊ ÉÚ ÒÁÚÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ðÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ É ÏÏÎÅÎÔÙ: ×ÙÄÁÀÝÉÊÓÑ ËÉÔÁÊÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ñÏ, ÒÁÂÏÔÁÀÝÉÊ × áÍÅÒÉËÅ, ÏÂßÑ×ÌÑÅÔ ÔÅËÓÔ ðÅÒÅÌØÍÁÎÁ ÎÅÏÌÎÙÍ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÑ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÒÏÂÅÌÙ × ÒÁÂÏÔÁÈ ðÅÒÅÌØÍÁÎÁ ÎÅ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÓÞÉÔÁÔØ ÇÉÏÔÅÚÙ ÄÏËÁÚÁÎÎÙÍÉ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÇÏ×ÏÒÉÔ ñÏ, ÔÏÌØËÏ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÎÏ×ÙÍ ÇÌÕÂÏËÉÍ ÉÄÅÑÍ ÓÁÍÏÇÏ ñÏ É ÅÇÏ ÕÞÅÎÉËÏ× ëÁÏ É öÕ ÕÄÁÅÔÓÑ ÄÏ×ÅÓÔÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÄÏ ËÏÎ Á. 2)

çÉÏÔÅÚÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ Ó×ÑÚÎÏÅ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÅ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÅ ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ËÏÍ-

ÁËÔÎÏÅ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ ÂÅÚ ËÒÁÑ



ÔÒÅÈÍÅÒÎÁÑ ÓÆÅÒÁ.

ICM{2006, íÁÄÒÉÄ: íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×

9

ïÓÏÂÅÎÎÏ ÏÂÉÄÎÏÊ ÄÌÑ ðÅÒÅÌØÍÁÎÁ, ×ÉÄÉÍÏ, ÂÙÌÁ ÒÅÁË ÉÑ ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ òÉÞÁÒÄÁ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ, Á×ÔÏÒÁ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÊ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÉÄÅÉ, Ó×ÑÚÁÎÎÏÊ Ó ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÍÉ ÏÔÏËÁÍÉ òÉÞÞÉ, ÒÁÚ×É×ÁÑ É ÄÏÏÌÎÑÑ ËÏÔÏÒÕÀ ðÅÒÅÌØÍÁÎ ÓÕÍÅÌ ÄÏ×ÅÓÔÉ ÄÅÌÏ ÄÏ ËÏÎ Á. çÁÍÉÌØÔÏÎ ÏÎÁÞÁÌÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ðÅÒÅÌØÍÁÎÁ ÉÇÎÏÒÉÒÏ×ÁÌ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÕÛÅÌ Ó ÅÇÏ ÄÏËÌÁÄÁ × ëÏÌÕÍÂÉÊÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ, ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÓËÁÚÁ×), Á ÏÔÏÍ ÓÁÍ ×ÙÓÔÕÁÌ Ó ÄÏËÌÁÄÁÍÉ, ÇÄÅ ÕËÁÚÙ×ÁÌ ÎÁ €ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÒÏÂÅÌف × ÒÁÂÏÔÁÈ ðÅÒÅÌØÍÁÎÁ. îÏ Ó ÔÅÞÅÎÉÅÍ ×ÒÅÍÅÎÉ ÞÉÓÌÏ ÓÔÏÒÏÎÎÉËÏ× ðÅÒÅÌØÍÁÎÁ ÏÓÔÅÅÎÎÏ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÌÏÓØ. óÁÍ ÖÅ ðÅÒÅÌØÍÁÎ ÏÔËÁÚÙ×ÁÌÓÑ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÔØ × ÜÔÉÈ ÄÉÓËÕÓÓÉÑÈ, ÏÄÞÅÒËÉ×ÁÑ, ÞÔÏ ÏÎ ÎÅ ÓÏÍÎÅ×ÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔÉ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔÉ Ó×ÏÉÈ ÔÅËÓÔÏ×, Á Ë ÎÉÍ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÔØÓÑ É ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÔØ × ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÉ ÉÈ ÅÎÎÏÓÔÉ ÎÅ ÎÁÍÅÒÅÎ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÌÀÞÅ×ÙÈ ×ÏÒÏÓÏ× ËÏÎÇÒÅÓÓÁ ÂÙÌ



ÒÉÚÎÁÅÔ ÌÉ ÍÁ-

ÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÒÁ×ÏÍÅÒÎÏÓÔØ ÅÒÅÌØÍÁÎÏ×ÓËÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÇÉÏÔÅÚÙ ðÕÁÎËÁÒÅ? ïÄÎÏÚÎÁÞÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ ÂÙÌ ÏÌÕÞÅÎ × ÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÄÎÑ ëÏÎÇÒÅÓÓÁ: ÏÓÌÅ ÄÏËÌÁÄÏ× æÒÁÎËÁ íÏÒÇÁÎÁ, äÖÏÎÁ ìÏÔÔÁ É ÓÁÍÏÇÏ òÉÞÁÒÄÁ çÁÍÉÌØÔÏÎÁ, ÏÔÁÌÉ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÓÏÍÎÅÎÉÑ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÒÉÚÎÁÌÁ ÒÁ×ÉÌØÎÏÓÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ðÅÒÅÌØÍÁÎÁ.

ÅÒÅÎÓ ÁÏ ÅÒÅÎÓ ÁÏ ÓÁÍÙÊ ÍÏÌÏÄÏÊ É, Ï-×ÉÄÉÍÏÍÕ, ÓÁÍÙÊ ÏÄÁÒÅÎÎÙÊ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÌÁÕÒÅÁÔÏ× ÍÅÄÁÌÉ æÉÌÄÓÁ 2006 ÇÏÄÁ. ÁÏ



ÓÙÎ ËÉÔÁÊÓËÉÈ ÜÍÉ-

ÇÒÁÎÔÏ× ÉÚ á×ÓÔÒÁÌÉÉ, ÒÏÄÉÌÓÑ × áÄÅÌÁÉÄÅ × 1975 ÇÏÄÕ, ÓÅÊÞÁÓ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÒÁÖÄÁÎÉÎÏÍ óûá É ÒÏÆÅÓÓÏÒÏÍ UCLA (ëÁÌÉÆÏÒÎÉÊÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ × ìÏÓ-áÎÄÖÅÌÏÓÅ). ÅÒÅÎÓ



×ÕÎÄÅÒËÉÎÄ, ÏÂÅÄÉ×ÛÉÊ × 13 ÌÅÔ (!) ÎÁ

íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÅ. åÇÏ ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔØ



ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁ-

ÌÉÚ, ÎÏ ÏÎ ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÛÉÒÏËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË: Õ ÁÏ ÅÓÔØ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ Ï ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ × ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ, Ï ÜÒÇÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ, Ï ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ É Ï ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÅ (ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ, ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ É ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ). èÁÒÁËÔÅÒÎÁÑ ÞÅÒÔÁ ÅÇÏ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Á



ÍÅÖÄÉÓ ÉÌÉÎÁÒÎÏÓÔØ: ÏÞÔÉ ×ÓÅ ÅÇÏ ÒÁÂÏÔÙ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÓÔÙËÅ

Ä×ÕÈ (ÉÌÉ ÂÏÌÅÅ!) ÒÁÚÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. îÁÉÂÏÌÅÅ ÑÒËÉÊ ÒÉÍÅÒ ÔÁËÏÊ ÒÁÂÏÔÙ



ÔÅÏÒÅÍÁ ÁÏ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×Á-

ÎÉÉ ÄÌÉÎÎÙÈ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÇÒÅÓÓÉÊ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÚÁ ËÏÔÏÒÕÀ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÅÍÕ É ÂÙÌÁ ÒÉÓÕÖÄÅÎÁ ÍÅÄÁÌØ æÉÌÄÓÁ. íÅÖÄÉÓ ÉÌÉÎÁÒÎÏÓÔØ ÔÕÔ ÒÏÑ×ÉÌÁÓØ ÎÅ × ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ, Á × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÏÍ ÎÁ . . . ÜÒÇÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ! ÒÕÄÎÏ Ï×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÓÔÉÞÅÓËÕÀ, ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÕÀ, ÔÅÏÒÅÍÕ ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ, × ÓÕÝÎÏÓÔÉ, ÔÅÏÒÉÉ

10

á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ

×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ. åÝÅ ÔÒÕÄÎÅÊ ÏÎÑÔØ, ËÁË ÞÅÌÏ×ÅË ÍÏÇ ÄÏÄÕÍÁÔØÓÑ ÄÏ ÔÁËÏÊ ÄÉËÏÊ ÉÄÅÉ, É ÄÏ×ÅÓÔÉ ÅÅ ÄÏ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÑ. ÷ Ó×ÏÅÍ ÌÅÎÁÒÎÏÍ ÄÏËÌÁÄÅ, ÓÏÓÔÏÑ×ÛÅÍÓÑ ÎÁ ×ÔÏÒÏÊ ÄÅÎØ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ, ÅÒÅÎÓ ÁÏ ÙÔÁÌÓÑ ÒÁÚßÑÓÎÉÔØ ÜÔÏÔ ÁÒÁÄÏËÓ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ÅÇÏ × ÓÁÍÏÍ ÛÉÒÏËÏÍ, ÏÞÔÉ ÞÔÏ ÆÉÌÏÓÏÆÓËÏÍ, ÓÍÙÓÌÅ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ËÁË ÄÉÁÌÅËÔÉËÕ ×ÚÁÉÍÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏÇÏ É ÓÔÒÕËÔÕÒÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ. ÷ ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÉÎÔÅÒ×ØÀ, ÏÎ ÒÑÍÏ ÓËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÅÇÏ €ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ×ÏÒÏÓÏ× × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ

 ÜÔÏ ËÁË ÏÔÄÅÌÉÔØ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÏÔ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ × ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒ-

ÎÙÈ ÚÁÄÁÞÁȁ. äÏËÌÁÄ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÕÂÏËÉÍ, ÎÏ ÎÅ ÅÒÅÇÒÕÖÅÎÎÙÍ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÉÍÉ ÄÅÔÁÌÑÍÉ, Á × ÅÇÏ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÉ Õ ÓÌÕÛÁÔÅÌÅÊ ×ÏÚÎÉËÁÌÏ

ÞÕ×ÓÔ×Ï ÏÌÎÏÇÏ ÏÎÉÍÁÎÉÑ É ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÜÒÇÏÄÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÄÈÏÄÁ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÏ. ÷ÏÏÂÝÅ ÅÒÅÎÓ ÁÏ ÒÏÉÚ×ÅÌ ÏÞÅÎØ ÒÉÑÔÎÏÅ ×ÅÞÁÔÌÅÎÉÅ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÇÌÕÂÉÎÏÊ É ÓÉÌÏÊ Ó×ÏÉÈ ÒÁÂÏÔ, ÎÏ ÑÓÎÏÓÔØÀ ÍÙÓÌÉ, ÏÂÍÁÎÞÉ×ÏÊ ÌÅÇËÏÓÔØÀ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ, ÍÑÇËÏÓÔØÀ É ÓËÒÏÍÎÏÓÔØÀ Ï×ÅÄÅÎÉÑ. ïËÏÌÏÎÁÕÞÎÙÅ ÖÕÒÎÁÌÉÓÔÙ ÕÖÅ ÕÓÅÌÉ ÏËÒÅÓÔÉÔØ ÁÏ €íÏ ÁÒÔÏÍ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËɁ, ÎÏ ÔÏÌØËÏ ×ÒÅÍÑ ÏËÁÖÅÔ, ÄÏÓÔÏÉÎ ÌÉ ÏÎ ÓÔÏÌØ ×ÙÓÏËÏÇÏ ÔÉÔÕÌÁ.

áÎÄÒÅÊ ïËÕÎØËÏ× áÎÄÒÅÊ ïËÕÎØËÏ× ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÏÈÏÖ ÎÁ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ æÉÌÄÓÏ×ÓËÉÈ ÍÅÄÁÌÉÓÔÏ× 2006 ÇÏÄÁ: ×ÕÎÄÅÒËÉÎÄÏÍ ÏÎ ÎÅ ÂÙÌ, ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÈ ÏÌÉÍÉÁÄ ÎÅ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÌ, × ÜÌÉÔÎÙÈ ÛËÏÌÁÈ ÎÅ ÕÞÉÌÓÑ. ëÏÇÄÁ ÏÓÌÅ ÓÌÕÖÂÙ × ÁÒÍÉÉ ÏÎ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÎÁ ÍÅÈÍÁÔÅ íçõ, ÅÇÏ ÏÄÎÏËÕÒÓÎÉËÉ, ÏÓÏÂÅÎÎÏ ×ÙÕÓËÎÉËÉ ÜÌÉÔÁÒÎÙÈ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÈ ÍÁÔÛËÏÌ, ÓÍÏÔÒÅÌÉ ÎÁ ÎÅÇÏ Ó×ÙÓÏËÁ. üÔÏ ÎÅ ÏÍÅÛÁÌÏ (Á ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ É ÏÍÏÇÌÏ) ÅÍÕ ÂÙÓÔÒÏ ÌÉË×ÉÄÉÒÏ×ÁÔØ Ó×ÏÅ ÏÔÓÔÁ×ÁÎÉÅ × ÕÒÏ×ÎÅ ÚÎÁÎÉÊ, É ÕÓÅÛÎÏ ÎÁÞÁÔØ ÎÁÕÞÎÕÀ ÒÁÂÏÔÕ ÏÄ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ á. á. ëÉÒÉÌÌÏ×Á. ÷ ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÅ ÏÎ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ ÕÞÉÌÓÑ × íçõ É îíõ, Á ÏÓÌÅ ÜÍÉÇÒÁ ÉÉ ëÉÒÉÌÌÏ×Á × óûá, ÍÎÏÇÏ ÒÁÂÏÔÁÌ Ó ç. é. ïÌØÛÁÎÓËÉÍ. ëÁË É ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÌÕÞÛÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× Ó×ÏÅÇÏ ÏËÏÌÅÎÉÑ, ÏÎ ×ÓËÏÒÅ ÏËÁÚÁÌÓÑ × óûá, ÇÄÅ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔ ÒÁÂÏÔÁÔØ ÓÅÇÏÄÎÑ ÎÏÍ ðÒÉÎÓÔÏÎÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ. ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔØ ïËÕÎØËÏ×Á

 × ÒÅÓÔÉÖ-

 ÔÅÏÒÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ, ÎÏ ÔÁË

ÖÅ, ËÁË ðÅÒÅÌØÍÁÎ É ÁÏ, ÏÎ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÛÉÒÏËÏÇÏ ÒÏÆÉÌÑ: Õ ÎÅÇÏ ÅÓÔØ

ÚÎÁÞÉÍÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ Ï ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÅ, ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ, ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÅ, ÓÅ ÉÁÌØÎÙÍ ÆÕÎË ÉÑÍ. òÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÚÁ ËÏÔÏÒÙÅ áÎÄÒÅÀ ïËÕÎØËÏ×Õ ÂÙÌÁ ÒÉÓÕÖÄÅÎÁ ÍÅÄÁÌØ æÉÌÄÓÁ, ËÁË ÒÁÚ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ Ë ÏÇÒÁÎÉÞÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÅÖÄÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÏÊ É ÔÅÏÒÉÅÊ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ, ÒÉÔÏÍ ÄÌÑ ÉÈ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ É ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ, É ÏÞÅÎØ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ.

ICM{2006, íÁÄÒÉÄ: íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×

11

÷ÅÎÄÏÌÉÎ ÷ÅÒÎÅÒ

÷ÅÎÄÏÌÉÎ ÷ÅÒÎÅÒ

 ÎÅÍÅ , ËÏÔÏÒÏÇÏ ÆÒÁÎ ÕÚÙ ÓÞÉÔÁÀÔ Ó×ÏÉÍ, ÂÌÁÇÏ

ÏÎ ÄÁ×ÎÏ ÖÉ×ÅÔ É ÒÁÂÏÔÁÅÔ × ðÁÒÉÖÅ (É ÄÁÖÅ ÒÉÏÂÒÅÌ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÏÅ ÇÒÁÖÄÁÎÓÔ×Ï). éÚÎÁÞÁÌØÎÏ ÷ÅÒÎÅÒ

 ÓÅ ÉÁÌÉÓÔ Ï ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ÎÏ

ÅÇÏ ÒÁÂÏÔÙ ÞÁÝÅ ×ÓÅÇÏ ×ÙÈÏÄÑÔ ÚÁ ÒÁÍËÉ ÅÇÏ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÉ, ÏÂÎÁÒÕÖÉ×ÁÑ Ó×ÑÚÉ Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ÏÂÌÁÓÔÑÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ðÒÉÓÕÖÄÅÎÉÅ ÅÍÕ ÍÅÄÁÌÉ æÉÌÄÓÁ

 ÂÏÌØÛÁÑ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÍÎÏ-

ÇÉÈ, ÎÏ ÏÔÎÀÄØ ÎÅ ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔØ, Á ÒÉÎ ÉÉÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ æÉÌÄÓÏ×ÓËÏÇÏ ËÏÍÉÔÅÔÁ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÷ÅÒÎÅÒ



ÅÒ×ÙÊ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔ Ï ÔÅÏÒÉÉ

×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ÏÌÕÞÉ×ÛÉÊ ÜÔÕ ÍÅÄÁÌØ. äÏ ÏÒÙ ÄÏ ×ÒÅÍÅÎÉ, ÍÎÏÇÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÈÏÔÎÏ ÒÉÚÎÁ×ÁÑ ÏÇÒÏÍÎÏÅ ÒÉËÌÁÄÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÎÏÊ ÎÁÕËÉ, ÎÅ ÓÞÉÔÁÌÉ ÅÅ ÚÎÁÞÉÍÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÓÎÏÂÉÒÏ×ÁÌÉ ÅÅ (€

 ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ? äÁ ÜÔÏ ÔÁËÏÊ ÒÁÚÄÅÌ ÔÅÏÒÉÉ ÍÅÒف). ðÒÉÓÕÖÄÅÎÉÅ ÓÁ-

ÍÏÊ ÒÅÓÔÉÖÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÒÅÍÉÉ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÕ Ï ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ

 ÜÔÏ ÒÉÚÎÁÎÉÅ ×ÁÖÎÏÓÔÉ ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÄÌÑ ×ÓÅÊ ÎÁÛÅÊ ÎÁÕËÉ.

÷ÒÏÞÅÍ, ÜÔÁ ÔÅÎÄÅÎ ÉÑ ÅÒÅÓÍÏÔÒÁ ÒÏÌÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÕËÁÈ ÒÏÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ, ËÁË ÍÙ ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÉ, × ÒÁÂÏÔÁÈ æÉÌÄÓÏ×ÓËÉÈ ÌÁÕÒÅÁÔÏ× ÁÏ É ïËÕÎØËÏ×Á, ÎÏ × ÅÝÅ ÂÏÌØÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ

 × ÒÉÓÕ-

ÖÄÅÎÉÉ ÒÅÍÉÉ çÁÕÓÓÁ ÏÓÎÏ×ÏÏÌÏÖÎÉËÕ ÓÂÌÉÖÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.

ðÒÅÍÉÑ çÁÕÓÓÁ ðÒÅÍÉÑ çÁÕÓÓÁ ÂÙÌÁ ÓÏÚÄÁÎÁ Ä×Á ÇÏÄÁ ÎÁÚÁÄ îÅÍÅ ËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÂÝÅÓÔ×ÏÍ ÒÉ ÏÄÄÅÒÖËÅ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÏÀÚÁ É ×ÅÒ×ÙÅ ÒÉÓÕÖÄÁÌÁÓØ × ÜÔÏÍ ÇÏÄÕ. ïÎÁ ÕÞÒÅÖÄÅÎÁ ËÁË €ÎÁÇÒÁÄÁ ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÞØÉ ÒÁÂÏÔÙ ÉÍÅÀÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÒÉËÌÁÄÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉŁ. ðÒÅÍÉÑ çÁÕÓÓÁ 2006 ÇÏÄÁ ÂÙÌÁ ÒÉÓÕÖÄÅÎÁ 90-ÌÅÔÎÅÍÕ ÑÏÎÓËÏÍÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ëÉÊÏÛÉ éÔÏ, ÓÏÚÄÁÔÅÌÀ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ É ÔÅÏÒÉÉ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ÷ÏÚÒÁÓÔ É ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÚÄÏÒÏ×ØÑ ÎÅ ÏÚ×ÏÌÉÌÉ éÔÏ ÒÉÅÈÁÔØ × íÁÄÒÉÄ É ÏÌÕÞÉÔØ ÒÅÍÉÀ ÌÉÞÎÏ, ÏÔ ÅÇÏ ÉÍÅÎÉ ÅÅ ÒÉÎÑÌÁ ÅÇÏ ÄÏÞØ (ÔÏÖÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉË, ÒÏÆÅÓÓÏÒ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ âÅÒËÌÉ), ÒÏÞÉÔÁ×ÛÁÑ ÔÒÏÇÁÔÅÌØÎÏÅ ÂÌÁÇÏÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÉÓØÍÏ ÓÁÍÏÇÏ ÌÁÕÒÅÁÔÁ. óÕÄÑ Ï ÜÔÏÍÕ ÉÓØÍÕ, ÓÁÍ éÔÏ ÂÙÌ × ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÎÅÄÏÕÍÅÎÉÉ ÏÔ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÒÅÍÉÉ ÚÁ ÒÉËÌÁÄÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ Ó×ÏÉÈ ÒÁÂÏÔ, É ÒÑÍÏ ÏÔÍÅÔÉÌ, ÞÔÏ ÏÎ ×ÓÅÇÄÁ ÓÞÉÔÁÌ ÓÅÂÑ €ÞÉÓÔÙÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËḮ, É ÓÏÚÄÁ×ÁÑ Ó×ÏÀ

ÔÅÏÒÉÀ, ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÄÕÍÁÌ Ï ÅÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑÈ.3) 3)

úÁÍÅÞÕ, ÞÔÏ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉËÌÁÄÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ÏÓÏÚÎÁ×ÁÌÏÓØ ÎÅ

ÓÒÁÚÕ ÏÓÌÅ ÅÅ ÓÏÚÄÁÎÉÑ É ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÉÍÅÌÏÓØ × ×ÉÄÕ ÅÅ Á×ÔÏÒÏÍ, × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ×ÓÔÒÅÞÁÌÉÓØ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ. îÅÄÁÒÏÍ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÇÏ×ÏÒÉÌ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ €ÞÉÓÔÏʁ, ËÁË É ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ €ÒÉËÌÁÄÎÏʁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, Á ÅÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÈÏÒÏÛÁÑ, ÅÓÔØ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÌÏÈÁÑ É ÓÌÁÂÁÑ.

12

á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ

äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ ÓÁÍÁ ÉÓÔÏÒÉÑ ÓÏÚÄÁÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ éÔÏ É ÅÅ ÒÉÚÎÁÎÉÅ, ÒÉÚÏÛÅÄÛÅÅ ÌÅÔ ÞÅÒÅÚ 30 ÏÓÌÅ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ ÅÇÏ ÅÒ×ÏÊ ÒÁÂÏÔÙ (1942 ÇÏÄÁ). ÏÇÄÁ, × ÏÈ×ÁÞÅÎÎÏÊ ÍÉÒÏ×ÏÊ ×ÏÊÎÏÊ ñÏÎÉÉ, ÍÏÌÏÄÏÊ ×ÙÕÓËÎÉË ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ÓÌÕÖÉÌ × ÁÔÅÎÔÎÏÍ ÂÀÒÏ (ËÁË ÎÅËÏÇÄÁ üÊÎÛÔÅÊÎ) É ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ Ó×ÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ × ÒÁÂÏÔÅ, ÎÁÉÓÁÎÎÏÊ ÉÅÒÏÇÌÉÆÁÍÉ, ÎÁÒÉÓÏ×ÁÎÎÙÍÉ ËÉÓÔØÀ, É ÉÚÄÁÎÎÏÊ ÆÁËÓÉÍÉÌØÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ. ðÏ ÓÔÒÁÎÎÏÍÕ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÀ, ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÄÌÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÒÁÂÏÔ üÊÎÔÛÔÅÊÎÁ, ÏÔÒÁ×ÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÄÌÑ éÔÏ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÏÓÌÕÖÉÌÏ ÂÒÏÕÎÏ×ÓËÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ (ËÏÔÏÒÏÅ ÏÎ ÎÅ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÌ ËÁË ÆÉÚÉÞÅÓËÉÊ ÒÏ ÅÓÓ, Á ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÁÂÓÔÒÁË ÉÀ

 ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÕÀ ÆÕÎË ÉÀ),

ÄÌÑ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ É ÒÉÛÌÏÓØ ÓÏÚÄÁÔØ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ.

òÁÂÏÔÁ éÔÏ 1942 ÇÏÄÁ ÒÏÛÌÁ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÚÁÍÅÞÅÎÎÏÊ. ìÉÛØ × ÎÁÞÁÌÅ 50-È ÇÏÄÏ× ÏÎÁ ÏÑ×ÉÌÁÓØ ÎÁ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ, ÎÏ ÅÅ ÍÁÌÏ ËÔÏ ÏÎÑÌ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÒÑÄ ÄÏËÌÁÄÏ×, ÓÄÅÌÁÎÎÙÈ éÔÏ × óûá. ïÄÎÉÍ ÉÚ ÅÒ×ÙÈ ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ×, Ï ÅÎÉ×ÛÉÈ ÅÅ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ÂÙÌ ÓÏ×ÅÔÓËÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË å. â. äÙÎËÉÎ. ÷ ÓÅÒÅÄÉÎÅ 60-È ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏ ×ÙÑÓÎÉÌÏÓØ, ÞÔÏ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÄÅÁÌØÎÙÍ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÏÍ ÄÌÑ ÆÉÎÁÎÓÏ×Ï-ÜËÏÎÏÍÉÞÅÓËÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÆÌÕËÔÕÁ ÉÊ ÓÔÏÉÍÏÓÔÉ ÅÎÎÙÈ ÂÕÍÁÇ, Á ÏÔÏÍ ÏÑ×ÉÌÉÓØ É ÂÉÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ. ðÏ ÍÅÒÅ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÓÔÏÈÁÓÔÉÞÅÓËÉÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÓÅËÔÒ ÅÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ×Ó£ ÒÁÓÛÉÒÑÌÓÑ, ×Ó£ ÂÏÌØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× Ï ÅÎÉÌÉ ×ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ ËÒÁÓÏÔÕ ÔÅÏÒÉÉ, É Ë ÎÁÞÁÌÕ 80-È ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ÂÙÌÏ ×ÓÅÍÉ ÒÉÚÎÁÎÏ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÉÚÎÁÎÉÅ ÒÉÛÌÏ ÎÅ ÓÒÁÚÕ: ÌÉÛØ ÞÅÒÅÚ 64 ÇÏÄÁ ÏÓÌÅ Ó×ÏÅÊ ÅÒ×ÏÊ ÕÂÌÉËÁ ÉÉ, ëÉÊÏÛÉ éÔÏ ÏÌÕÞÉÌ ×ÙÓÛÕÀ ÎÁÇÒÁÄÕ, ÎÏÓÑÝÕÀ ÉÍÑ ×ÅÌÉËÏÇÏ çÁÕÓÓÁ. . .

äÏËÌÁÄÙ, ÄÏËÌÁÄÙ, ÄÏËÌÁÄÙ,. . .

ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁÂÏÔÙ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ

 ÒÏÉÓÈÏÄÑÝÉÅ ÎÁ Î£Í ÄÏËÌÁÄÙ:

ÌÅÎÁÒÎÙÅ (ÞÁÓÏ×ÙÅ, ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ×), ÓÅË ÉÏÎÎÙÅ (ÓÏÒÏËÁÍÉÎÕÔÎÙÅ, ÒÏÉÓÈÏÄÑÝÉÅ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ × ÓÅÍÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÁÕÄÉÔÏÒÉÑÈ) É ËÒÁÔËÉÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ (Ä×ÁÄ ÁÔÉÍÉÎÕÔÎÙÅ, ÉÄÕÝÉÅ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ × Ä×ÕÈ ÄÀÖÉÎÁÈ ÎÅÂÏÌØÛÉÈ ÁÕÄÉÔÏÒÉÊ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ×ÅÞÅÒÎÅÅ ×ÒÅÍÑ ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÎÁ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÏÓÔÅÒÎÙÅ ÄÏËÌÁÄÙ, Á×ÔÏÒÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÏÑÔ ÒÑÄÏÍ Ó ÚÁÒÁÎÅÅ ÚÁÇÏÔÏ×ÌÅÎÎÙÍÉ ÌÁËÁÔÁÍÉ, ÎÁÇÌÑÄÎÏ ÏÉÓÙ×ÁÀÝÉÍÉ ÉÈ ÒÁÂÏÔÕ, × ÎÁÄÅÖÄÅ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÙÔÎÙÊ ËÏÌÌÅÇÁ ÏÄÏÊÄÅÔ É ÂÕÄÅÔ ÒÁÓÓÒÁÛÉ×ÁÔØ Ï ÅÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÉ. éÚ ÏÇÒÏÍÎÏÊ ÍÁÓÓÙ ÄÏËÌÁÄÏ×, ÏÏ×ÅÝÁÀÝÉÈ Ï ÌÕÞÛÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑÈ ÞÅÔÙÒÅÈÌÅÔÉÑ, Ñ ÓËÁÖÕ ÌÉÛØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× Ï ÏÄÎÏÍ. üÔÏ ÌÅÎÁÒÎÙÊ ÄÏËÌÁÄ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ üÔØÅÎÎÁ öÉÓÁ Ï Ï×ÅÄÅÎÉÉ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ É ÒÏÓÔÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ É-

ICM{2006, íÁÄÒÉÄ: íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×

13

ÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÅÇÏ ÁÔÔÒÁËÔÏÒÁ, ÏÈÏÖÅÇÏ ÎÁ Ä×Å ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ ÓÉÒÁÌÉ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÑÈ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ó ÏÍÏÝØÀ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÇÒÁÆÉËÉ, Á ×ÅÒÎÅÅ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÁÎÉÍÁ ÉÉ, ÄÏËÌÁÄÞÉË ÏËÁÚÙ×ÁÌ ÎÁ ÇÉÇÁÎÔÓËÏÍ ÜËÒÁÎÅ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÁÕÄÉÔÏÒÉÉ, ËÁË ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ ÏÂ×É×ÁÀÔÓÑ ×ÏËÒÕÇ ÁÔÔÒÁËÔÏÒÁ, ÏÂÒÁÚÕÑ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÅ ÕÚÌÙ. çÌÕÂÉÎÁ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, ÑÓÎÏÓÔØ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ, ËÒÁÓÏÔÁ É ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔØ ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÇÏ ÍÕÌØÔÆÉÌØÍÁ ×ÙÚ×ÁÌÉ ×ÓÅÏÂÝÅÅ ×ÏÓÈÉÝÅÎÉÅ. íÎÏÇÉÅ ÓÌÕÛÁÔÅÌÉ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ Á×ÔÏÒ ÜÔÉÈ ÓÔÒÏË, ÓÞÉÔÁÀÔ ÜÔÏÔ ÄÏËÌÁÄ ÓÁÍÙÍ ËÒÁÓÉ×ÙÍ, ÉÚ ×ÓÅÈ ËÏÇÄÁ-ÌÉÂÏ ÕÓÌÙÛÁÎÎÙÈ ÉÍÉ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÄÏËÌÁÄÏ×, ÄÁÖÅ ËÒÁÔËÉÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ, ÄÅÌÁÌÉÓØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÏÚÒÁÞÅË ÉÌÉ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÚÁÇÏÔÏ×ÏË ÎÁ ÜËÒÁÎ. ÷ÏÚÍÏÖÎÏ, Ñ ÓÔÁÒÏÍÏÄÅÎ, ÎÏ ÍÎÅ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÉ ×ÎÅÛÎÅ ËÒÁÓÉ×ÙÅ ÒÅÚÅÎÔÁ ÉÉ ÕÓÔÕÁÀÔ Ï ÓÉÌÅ ×ÏÚÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÙÍ ÒÁÓÓËÁÚÁÍ Ó ÍÅÌÏÍ Õ ÄÏÓËÉ, ÓÔÁ×ÛÉÍ ÚÄÅÓØ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ.

ëÒÕÇÌÙÊ ÓÔÏÌ ëÒÕÇÌÙÊ ÓÔÏÌ, ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÎÙÊ å×ÒÏÅÊÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÂÝÅÓÔ×ÏÍ É ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÊ ×ÚÁÉÍÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÏÂÝÅÓÔ×Á, ÓÏÓÔÏÑÌÓÑ ÎÁ ÔÒÅÔÉÊ ÄÅÎØ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ × ÇÌÁ×ÎÏÊ ÅÇÏ ÁÕÄÉÔÏÒÉÉ. äÅÂÁÔÙ ×ÙÚ×ÁÌÉ ÖÉ×ÏÊ ÉÎÔÅÒÅÓ, ÎÁ ÎÉÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÂÏÌÅÅ ÔÙÓÑÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× É ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ×ÉÄÅÏ-, ÁÕÄÉÏ- É ÉÛÕÝÉÅ ÖÕÒÎÁÌÉÓÔÙ. óÔÏÌ, ÏÄÎÁËÏ, ÏËÁÚÁÌÓÑ ÎÅ ËÒÕÇÌÙÊ, ÜÔÏ ÂÙÌ ÔÏÔ ÓÁÍÙÊ ÄÌÉÎÎÙÊ ÓÔÏÌ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÊ ÏÞÔÉ ×ÓÀ ÛÉÒÉÎÕ ÏÇÒÏÍÎÏÊ Ó ÅÎÙ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÚÁÌÁ, ÚÁ ËÏÔÏÒÙÍ ÒÁÓÏÌÁÇÁÌÏÓØ ÎÁÞÁÌØÓÔ×Ï × ÄÅÎØ ÏÔËÒÙÔÉÑ. úÁ ÓÔÏÌÏÍ ÎÁ ÜÔÏÔ ÒÁÚ ÓÉÄÅÌÉ: ÒÅÄÓÅÄÁÔÅÌØÓÔ×ÕÀÝÉÊ öÁÎ-ðØÅÒ âÕÒÇÉÎØÏÎ (ÄÉÒÅËÔÏÒ IHES), æÉÌÌÉ ÏÎÄ£Ò (ÒÏÆÅÓÓÏÒ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ÅÈÁÓÁ), íÁÒËÕÓ ÄÀ óÏÔÕÁ (ïËÓÆÏÒÄ), â£ÒÎ üÎÄË×ÉÓÔ (óÔÏËÇÏÌØÍÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ), æÒÁÎÓÕÁ ÅÓÓÅÉÒ (ÄÉÒÅËÔÏÒ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÏÊ ÎÁÕÞÎÏ-ÏÕÌÑÒÎÏÊ ÔÅÌÅÅÒÅÄÁÞÉ) É Á×ÔÏÒ ÜÔÉÈ ÓÔÒÏË. úÒÉÔÅÌÉ ÍÏÇÌÉ ÓÍÏÔÒÅÔØ ÎÁ ×ÙÓÔÕÁÀÝÉÈ ÎÁ ÂÏÌØÛÏÍ ÜËÒÁÎÅ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ ÔÁËÖÅ ÒÏÅ ÉÒÏ×ÁÌÉÓØ ÚÁÇÏÔÏ×ÌÅÎÎÙÅ ÉÍÉ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ É ÔÅËÓÔÙ. ÷ÙÓÔÕÁÀÝÉÅ ÏÔÍÅÞÁÌÉ ÓÏÚÄÁ×ÛÕÀÓÑ × ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÇÏÄÙ ÁÒÁÄÏËÓÁÌØÎÕÀ ÓÉÔÕÁ ÉÀ: ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÓÁÍÁÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁÑ É ÏÌÅÚÎÁÑ ÉÚ ×ÓÅÈ ÎÁÕË, É × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ Ô×ÏÒÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅ ÏÎÑÔÏÊ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÏÚÎÁÎÉÅÍ, ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÛÉÒÏËÏÊ ÕÂÌÉËÅ. ÁË, ×ÓÅ ÚÎÁÀÔ áÌØÂÅÒÔÁ üÊÎÛÔÅÊÎÁ, Á ËÔÏ ÓÌÙÛÁÌ Ï ëÕÒÔÅ ç£ÄÅÌÅ, ÈÏÔÑ ÒÁÂÏÔÙ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ, Ï ÍÎÅÎÉÀ ÍÎÏÇÉÈ, ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÕÂÖÅ É ×ÁÖÎÅÅ ÜÊÎÛÔÅÊÎÏ×ÓËÉÈ ÔÅÏÒÉÊ? ëÁÖÄÙÊ ×ÙÓÔÕÁÀÝÉÊ ÒÅÄÌÁÇÁÌ ÓÏÓÏÂÙ ×ÙÈÏÄÁ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÔÕÉËÁ É ÄÅÌÉÌÓÑ Ó×ÏÉÍ ÏÙÔÏÍ × ÜÔÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. úÁÔÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÌÉ ×ÏÒÏÓÙ É ÄÉÓËÕÓÓÉÑ Ó ÕÞÁÓÔÉÅÍ ÕÂÌÉËÉ. ëÏÇÄÁ ×ÒÅÍÑ, ÏÔ×ÅÄÅÎÎÏÅ ÎÁ ËÒÕÇÌÙÊ ÓÔÏÌ, ÚÁËÏÎÞÉÌÏÓØ, × ÁÕÄÉÔÏÒÉÉ ÅÝÅ

14

á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ

ÏÓÔÁ×ÁÌÏÓØ ÍÎÏÇÏ ÖÅÌÁÀÝÉÈ ×ÙÓÔÕÉÔØ. á ÏÓÌÅ ÖÕÒÎÁÌÉÓÔÙ ÏÔÌÁ×ÌÉ×ÁÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× É ÂÒÁÌÉ Õ ÎÉÈ ÉÎÔÅÒ×ØÀ. ëÕÌÕÁÒÙ, ÕÌÉ Ù, ÁÒËÉ, ÍÕÚÅÉ

÷ÏÚÍÏÖÎÏ, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÎÅ ÎÁ ÄÏËÌÁÄÁÈ, ÎÅ ÎÁ ÏÆÉ ÉÁÌØÎÙÈ ÍÅÒÏÒÉÑÔÉÑÈ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ, Á Õ ÁÕÄÉÔÏÒÉÊ, × ËÏÒÉÄÏÒÁÈ, × ÁÌÌÅÑÈ ÏËÏÌÏ ËÏÎÇÒÅÓÓ-ÈÏÌÌÁ ÉÌÉ ÚÁ ÞÁÛËÏÊ ËÏÆÅ × ÅÇÏ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÎÅÂÏÌØÛÉÈ ËÁÆÅ. ÁÍ É ÚÎÁËÏÍÑÔÓÑ, É ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÓÏ ÓÔÁÒÙÍÉ ÄÒÕÚØÑÍÉ, É ÏÞÅÎØ ÂÙÓÔÒÏ ÂÅÓÅÄÁ ÅÒÅÈÏÄÉÔ ÎÁ ÖÉ×ÏÔÒÅÅÝÕÝÉÅ ×ÏÒÏÓÙ, ÌÉ Á ÒÉÏÂÒÅÔÁÀÔ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÏÅ ÏÔÒÅÛÅÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÀÝÅÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÏÂÅÓÅÄÎÉËÉ ÇÌÕÂÏËÏ ÏÇÒÕÖÅÎÙ × Ó×ÏÉ ÍÙÓÌÉ, ÓÔÁÒÁÑÓØ ÏÎÑÔØ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ. äÁÖÅ × ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÍ ÍÕÚÅÅ ðÒÁÄÏ ÉÎÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ Õ×ÉÄÅÔØ ÂÅÓÅÄÕÀÝÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ×ÚÇÌÑÄÏÍ ÓËÏÌØÚÑÝÉÈ Ï ×ÅÌÉËÉÍ ÛÅÄÅ×ÒÁÍ çÏÊÉ ÉÌÉ üÌØ çÒÅËÏ, É ÏÇÌÏÝÅÎÎÙÈ × ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ Ó×ÏÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ. . . úÁËÌÀÞÅÎÉÅ

ïÇÌÑÄÙ×ÁÑÓØ ÎÁÚÁÄ, ÞÅÍ ÍÎÅ ÚÁÏÍÎÉÌÓÑ íÁÄÒÉÄÓËÉÊ ËÏÎÇÒÅÓÓ? íÁÓÛÔÁÂÎÏÓÔØÀ, ×ÅÌÉËÏÌÅÎÏÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÅÊ, ÒÏÓËÏÛØÀ ÑÔÉÚ×ÅÚÄÏÞÎÏÇÏ ÏÔÅÌÑ, ËÕÄÁ ÍÅÎÑ ÏÓÅÌÉÌÉ, ÛÅÄÅ×ÒÁÍÉ ðÒÁÄÏ, ÎÅÏÂÙÞÁÊÎÏÊ, ÏÞÔÉ ÕÓÔÒÁÛÁÀÝÅÊ, ËÏÎ ÅÎÔÒÁ ÉÅÊ ÇÅÎÉÁÌØÎÙÈ ÕÍÏ×, ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÇÌÕÂÏËÉÍÉ ÉÌÉ ÂÌÅÓÔÑÝÉÍÉ ÄÏËÌÁÄÁÍÉ, ÏÌÕÄÀÖÉÎÏÊ ×ÁÖÎÙÈ ÄÌÑ ÍÅÎÑ ÂÅÓÅÄ. ÷ÁÖÎÏ ÂÙÌÏ ÏÎÑÔØ, ËÕÄÁ ÉÄÅÔ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. åÓÌÉ ×ÅÒÉÔØ ÏÒÇÁÎÉÚÁÔÏÒÁÍ ËÏÎÇÒÅÓÓÁ, ÏÎÁ ÉÄÅÔ × ÓÔÏÒÏÎÕ ÓÂÌÉÖÅÎÉÑ ÒÁÚÎÙÈ Ó×ÏÉÈ ÒÁÚÄÅÌÏ×, ÇÌÁ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÅÖÄÕ ÎÁÕËÏÊ Ï ÓÌÕÞÁÊÎÏÍ É Ï ÄÅÔÅÒÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ (ËÁË × ÄÉÓËÒÅÔÎÏÍ, ÔÁË É × ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ), × ÓÔÏÒÏÎÕ ÓÉÌØÎÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ ÒÏÌÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÉ, Á ÔÁËÖÅ ÒÏÌÉ ËÏÍØÀÔÅÒÁ ÎÅ ÔÏÌØËÏ × ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ, ÎÏ É × ÏÔËÒÙÔÉÉ ÎÏ×ÙÈ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÅÊ. ðÒÉÑÔÎÏ ÂÙÌÏ ÏÓÏÚÎÁÔØ, ÞÔÏ ÇÌÁ×ÎÕÀ ÎÁÕÞÎÕÀ ÓÅÎÓÁ ÉÀ ÒÏÉÚ×ÅÌ ÎÁÛ ÓÏÏÔÅÞÅÓÔ×ÅÎÎÉË çÒÉÇÏÒÉÊ ðÅÒÅÌØÍÁÎ, ÞÔÏ Ä×ÏÅ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ æÉÌÄÓÏ×ÓËÉÈ ÌÁÕÒÅÁÔÏ×

 ÎÁÛÉ, ÞÔÏ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÕÞÁÓÔÎÉËÏ× ÒÉÚÎÁÅÔ ÚÁÍÅÔÎÏÅ ×ÌÉ-

ÑÎÉÅ ÒÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ. ñ ÒÁÄ ÚÁ ÂÌÉÚËÏÇÏ ÍÎÅ ËÏÌÌÅÇÕ

÷. á. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á, ÅÒÅÉÚÂÒÁÎÎÏÇÏ ÎÁ ×ÔÏÒÏÊ ÞÅÔÙÒÅÈÌÅÔÎÉÊ ÓÒÏË × ÎÅÂÏÌØÛÏÊ ÜÌÉÔÎÙÊ ÉÓÏÌËÏÍ ííó, ÈÏÔÑ ÏÎÉÍÁÀ, ËÁË ÜÔÁ ÄÏÌÖÎÏÓÔØ ÂÕÄÅÔ ÅÇÏ ÏÔÒÙ×ÁÔØ ÏÔ ÌÀÂÉÍÏÇÏ ÄÅÌÁ

 ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÎÏ×ÙÅ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÅ ÔÅÏÒÅÍÙ.

ëÏÎÅÞÎÏ, ÇÒÕÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÎÁÛÉÈ ÓÁÍÙÈ ÓÉÌØÎÙÈ ËÏÌÌÅÇ ÕÖÅ ÎÅ × òÏÓÓÉÉ, Á ËÁË ÇÏ×ÏÒÉÔÓÑ, €ÔÁ́, ÎÏ ÓÅÊÞÁÓ, ËÏÇÄÁ ÍÉÒ ÏÔËÒÙÔ ÄÌÑ ×ÓÅÈ, ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÌÕÞÛÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÍÉÒÁ, É ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÎÁÛÉÈ, ÏÓÔÅÅÎÎÏ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÇÒÁÖÄÁÎÁÍÉ ÷ÓÅÌÅÎÎÏÊ. á. â. óÏÓÉÎÓËÉÊ, ÷ëí îíõ

15

âÏÒÉÓ áÂÒÁÍÏ×ÉÞ òÏÚÅÎÆÅÌØÄ (Ë 90-ÌÅÔÉÀ ÓÏ ÄÎÑ ÒÏÖÄÅÎÉÑ) í. ð. úÁÍÁÈÏ×ÓËÉÊ

âÏÒÉÓ áÂÒÁÍÏ×ÉÞ òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÒÏÄÉÌÓÑ 30 Á×ÇÕÓÔÁ 1917 Ç. × ðÅÔÒÏÇÒÁÄÅ. ÷ ÏËÔÑÂÒÅ ÔÏÇÏ ÖÅ ÇÏÄÁ ÅÇÏ ÓÅÍØÑ ÅÒÅÅÈÁÌÁ × íÏÓË×Õ. ÷ 1935{1940 ÇÇ. ÏÎ ÂÙÌ ÓÔÕÄÅÎÔÏÍ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÜÎÅÒÇÅÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁ, ÇÄÅ ÏËÏÎÞÉÌ ÞÅÔÙÒÅ Ó ÏÌÏ×ÉÎÏÊ ËÕÒÓÁ. ÷ 1936 Ç. ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ Ó íüé ÎÁÞÁÌ ÏÓÅÝÁÔØ ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÆÁËÕÌØÔÅÔ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ. ÷ 1939 Ç. ÏËÏÎÞÉÌ ÜËÓÔÅÒÎÏÍ ÍÅÈÍÁÔ É ÂÙÌ ÒÉÎÑÔ × ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÕ ÎÁ ËÁÆÅÄÒÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ íçõ. ÷ ÅÒ×ÏÊ ÎÁÕÞÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÁÓÉÎÈÒÏÎÎÏÇÏ Ä×ÉÇÁÔÅÌс, ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÏÊ × ÖÕÒÎÁÌÅ €üÌÅËÔÒÉÞÅÓÔ×ρ × 1940 Ç., â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÛËÁÌÁ ÜÔÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ. ÷ ÅÒ×ÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÁ, ÎÁÉÓÁÎÎÙÈ ÏÄ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ á. ð. îÏÒÄÅÎÁ, ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÒÏÌØ ÇÅÏÄÅÚÉÞÅÓËÉÈ ÌÉÎÉÊ × ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÉ ÒÑÍÙÈ 3-ÍÅÒÎÏÇÏ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÇÏ

m-ÍÅÒn-ÍÅÒÎÏÇÏ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á  ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÅ

ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÉÇÒÁÀÔ ÌÉÎÅÊÞÁÔÙÅ ÇÅÌÉËÏÉÄÙ, Á × ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÉ ÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ

ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÇÅÌÉËÏÉÄÏ×. üÔÉ ÒÁÂÏÔÙ ÂÙÌÉ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÙ × €éÚ×ÅÓÔÉÑÈ áî

óóóò × 1941 Ç. úÁ ÎÉÈ É ÚÁ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÒÁÂÏÔÕ Ï ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÉ ÓÆÅÒ âÏÒÉÓ áÂÒÁÍÏ×ÉÞ ÏÌÕÞÉÌ ×ÔÏÒÕÀ ÒÅÍÉÀ ÎÁ ËÏÎËÕÒÓÅ ÓÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÈ ÒÁÂÏÔ ÍÅÈÍÁÔÁ × 1939 Ç. ÷ ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÅ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ ÏÄ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ ð. ë. òÁÛÅ×ÓËÏÇÏ É ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏ ÉÚÕÞÁÌ ÔÅÏÒÉÀ ÇÒÕ ìÉ, ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÕÀ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. ÒÅÔÉÊ ÇÏÄ ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÙ ÏÎ ÒÏ×ÅÌ × ÁÛËÅÎÔÅ É áÛÈÁÂÁÄÅ, ËÕÄÁ ÂÙÌ Ü×ÁËÕÉÒÏ×ÁÎ íçõ. ÷ áÛÈÁÂÁÄÅ ÏÎ ÎÁÞÁÌ ÉÚÕÞÁÔØ ÁÒÁÂÓËÉÊ É ÅÒÓÉÄÓËÉÊ ÑÚÙËÉ. ÷ ÉÀÌÅ 1942 Ç. â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÚÁÝÉÔÉÌ ËÁÎÄÉÄÁÔÓËÕÀ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÀ €çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ ÓÆÅҁ. éÍÅÑ × ÅÒ×ÙÅ ÇÏÄÙ ×ÏÊÎÙ €ÂÅÌÙÊ ÂÉÌÅԁ Ï ÚÒÅÎÉÀ, ÏÎ × 1942{1943 ÕÞÅÂÎÏÍ ÇÏÄÕ ÒÁÂÏÔÁÌ É. Ï. ÄÏ ÅÎÔÁ × èÁÒØËÏ×ÓËÏÍ ÇÉÄÒÏÍÅÔÅÏÒÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÍ ÉÎÓÔÉÔÕÔÅ × áÛÈÁÂÁÄÅ. ÷ÅÒÎÕ×ÛÉÓØ × íÏÓË×Õ ×ÅÓÎÏÊ 1943 Ç., ÒÁÂÏÔÁÌ ÁÓÓÉÓÔÅÎÔÏÍ ËÁÆÅÄÒÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ

16

í. ð. úÁÍÁÈÏ×ÓËÉÊ

íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ×ÙÓÛÅÇÏ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÞÉÌÉÝÁ ÄÏ ÑÎ×ÁÒÑ 1947 Ç., Ó ÏÌÕÔÏÒÁÇÏÄÉÞÎÙÍ ÅÒÅÒÙ×ÏÍ ÄÌÑ ÓÌÕÖÂÙ × ÁÒÍÉÉ, ÇÄÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÌ ÓÏÌÄÁÔÁÍ-ÒÁÄÉÓÔÁÍ ÜÌÅËÔÒÏÔÅÈÎÉËÕ É ÒÁÄÉÏÔÅÈÎÉËÕ. ÷ ÍÁÅ 1945 Ç. ÎÁ ÔÏÒÖÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÚÁÓÅÄÁÎÉÉ × íçõ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÏÍ 225-Ê ÇÏÄÏ×ÝÉÎÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ òÏÓÓÉÊÓËÏÊ ÁËÁÄÅÍÉÉ ÎÁÕË, ÒÏÆÅÓÓÏÒ ó. ð. æÉÎÉËÏ× ÏÚÎÁËÏÍÉÌ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÁ Ó üÌÉ ëÁÒÔÁÎÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉÅÈÁÌ ÎÁ ÜÔÏ ÒÁÚÄÎÏ×ÁÎÉÅ Ó ÇÒÕÏÊ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÉÈ ÕÞÅÎÙÈ. îÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÄÅÎØ âÏÒÉÓ áÂÒÁÍÏ×ÉÞ ÒÁÓÓËÁÚÁÌ ü. ëÁÒÔÁÎÕ Ï Ó×ÏÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ. âÅÓÅÄÕÑ Ó ÓÅÒÖÁÎÔÏÍ óÏ×ÅÔÓËÏÊ ÁÒÍÉÉ, ü. ëÁÒÔÁÎ ×ÓÏÍÉÎÁÌ, ËÁË ÏÎ, ÂÕÄÕÞÉ ÓÅÒÖÁÎÔÏÍ ÆÒÁÎ ÕÚÓËÏÊ ÁÒÍÉÉ, ÂÅÓÅÄÏ×ÁÌ Ï Ó×ÏÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ Ó ÒÉÅÈÁ×ÛÉÍ × ðÁÒÉÖ óÏÆÕÓÏÍ ìÉ. ÷ ÄÅËÁÂÒÅ 1947 Ç. â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÚÁÝÉÔÉÌ × íçõ ÄÏËÔÏÒÓËÕÀ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÀ €ÅÏÒÉÑ ÓÅÍÅÊÓÔ× ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔׁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÉÚÕÞÁÌÉÓØ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ É ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× É ÓÆÅÒ ËÏÎÆÏÒÍÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. çÒÕÙ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍÉ ÇÒÕÁÍÉ ìÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÓÅÒÉÊ ×ÅÓÔÎÙÈ ÅÝÅ ÓÁÍÏÍÕ óÏÆÕÓÕ ìÉ. çÒÕÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ

An, Bn, Cn, Dn, ÉÚ-

n-ÍÅÒÎÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÏ-

ÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÅËÏÍÁËÔÎÙÈ ÇÒÕ ËÌÁÓÓÁ

An ,

n 

n

ÇÒÕÙ Ä×ÉÖÅÎÉÊ 2 -ÍÅÒÎÙÈ É (2

ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×

ÇÒÕÙ ËÌÁÓÓÏ×

1)-ÍÅÒÎÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ

Bn

É

Dn

ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎ-

ÎÏ, ËÏÍÁËÔÎÙÅ × ÓÌÕÞÁÅ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÇÒÕÙ ËÏÎÆÏÒÍ-

n

n

ÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ 2 -ÍÅÒÎÙÈ É (2



1)-ÍÅÒÎÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÏÎ-

Dn+1 É Bn. Cn Ñ×ÌÑÅÔÓÑ €ÇÒÕÁ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÍÌÅËÓÁ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉʁ (2n 1)-ÍÅÒÎÏÇÏ ×ÅÝÅ-

ÆÏÒÍÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×

ÎÅËÏÍÁËÔÎÙÅ ÇÒÕÙ ËÌÁÓÓÏ×

îÅËÏÍÁËÔÎÏÊ ÇÒÕÏÊ ËÌÁÓÓÁ ÉÌÉ €ÇÒÕÁ

ÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ÷ ÎÁÞÁÌÅ XX ×ÅËÁ ç. ç. æÕÂÉÎÉ É ü. ûÔÕÄÉ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ

n-ÍÅÒÎÏÅ

ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÜÒÍÉÔÏ×Ï ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ

ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÇÒÕÏÊ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÁËÔÎÁÑ ÇÒÕÁ ËÌÁÓÓÁ

An .

÷ Ó×ÏÅÊ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÏÒÅÄÅÌÉÌ €ÏÂÒÁÚÙ ÓÉÍÍÅÔÒÉɁ, Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÏÔÎÏÓÑÔÓÑ ÔÏÞËÉ, ÒÑÍÙÅ É ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÁÒÙ ÔÏÞÅË, ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É ÓÆÅÒÙ ËÏÎÆÏÒÍÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×,

m-ÁÒف (m-ÍÅÒÎÁÑ

Á ÔÁËÖÅ €

n m

+ (

1)-ÍÅÒÎÁÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ)

n-ÍÅÒ-

ÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ÷ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ ÏÎ ÄÏËÁÚÁÌ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ

n-ÍÅÒÎÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÏÄÅÌØÀ n-ÍÅÒÎÏÇÏ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÜÒÍÉÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ 0-ÁÒ (ÔÏÞËÁ + ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ)

ÔÏ×Á ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, Ô. Å. ÁÎÁÌÏÇÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á æÕÂÉÎÉ {

ûÔÕÄÉ, × ËÏÔÏÒÏÍ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞÅË ÚÁÍÅÎÅÎÙ Ä×ÏÊÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ

a + be,

ÇÄÅ

Å2

= 1, ÅÓÌÉ ÚÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ 0-ÁÒÁÍÉ

ÒÉÎÑÔØ ÞÉÓÌÏ, ËÏÓÉÎÕÓ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÅÎ Ä×ÏÊÎÏÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÔÏÞÅË É ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÜÔÉÈ 0-ÁÒ.

âÏÒÉÓ áÂÒÁÍÏ×ÉÞ òÏÚÅÎÆÅÌØÄ

17

ü. ëÁÒÔÁÎ, ÒÁÚ×É×ÁÑ ÉÄÅÉ æÕÂÉÎÉ É ûÔÕÄÉ, ÏÒÅÄÅÌÉÌ

n-ÍÅÒÎÏÅ Ë×Á-

ÔÅÒÎÉÏÎÎÏÅ ÜÒÍÉÔÏ×Ï ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï É ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÇÒÕÁ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÜÔÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÁËÔÎÏÊ ÒÏÓÔÏÊ ÇÒÕÏÊ ìÉ ËÌÁÓÓÁ

Cn+1 . ÷ 1949 Ç. ÂÙÌ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎ ÓÂÏÒÎÉË ÅÒÅ×ÅÄÅÎÎÙÈ â. á. òÏ-

ÚÅÎÆÅÌØÄÏÍ ÓÔÁÔÅÊ ü. ëÁÒÔÁÎÁ €çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÇÒÕ ìÉ É ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, Ë ËÏÔÏÒÏÍÕ ÏÎ ÄÏÂÁ×ÉÌ ÓÔÁÔØÀ €óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á É ÉÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉс. ÷ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÂÙÌÏ ÄÏËÁ-

n + 1)-ÍÅÒÎÏÇÏ

ÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ ÒÑÍÙÈ ÌÉÎÉÊ (2

×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ

ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÏÄÅÌØÀ

n-ÍÅÒ-

ÎÏÇÏ ÁÎÔÉË×ÁÔÅÒÎÉÏÎÎÏÇÏ ÜÒÍÉÔÏ×Á ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÏÌÕ-

ÞÁÅÍÏÇÏ ÉÚ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ëÁÒÔÁÎÏÍ, ÚÁÍÅÎÏÊ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÔÏÞÅË ÁÎÔÉË×ÁÔÅÒÎÉÏÎÁÍÉ

e2 = 1, ie = ei = f , ÅÓÌÉ ÚÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ

a + bi + e + df , ÇÄÅ i2

=

1,

ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÒÑÍÙÍÉ ÒÉÎÑÔØ

ÞÉÓÌÏ, ËÏÓÉÎÕÓ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÅÎ Ä×ÏÊÎÏÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÜÔÉÈ ÒÑÍÙÈ É ÉÈ

n

(2

1)-ÍÅÒÎÙÈ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÑÒ. ÷ 1947{1950 ÇÇ. â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÒÁÂÏÔÁÌ × ×ÏÅÎÎÏÍ ÎÁÕÞÎÏ-ÉÓÓÌÅÄÏ-

×ÁÔÅÌØÓËÏÍ ÕÞÒÅÖÄÅÎÉÉ. ÷ 1950{1955 ÇÇ. ÏÎ ÂÙÌ ÒÏÆÅÓÓÏÒÏÍ ËÁÆÅÄÒÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ áÚÅÒÂÁÊÄÖÁÎÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ × Ç. âÁËÕ. ÷ 1951 Ç. ç. æÒÅÊÄÅÎÔÁÌØ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ÓÔÁÔØÀ €ïËÔÁ×Ù, ÏÓÏÂÙÅ ÇÒÕÙ É ÏËÔÁ×ÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉс. ïËÔÁ×ÁÍÉ × ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÎÁÚÙ×ÁÌÉÓØ ÏËÔÏÎÉÏÎÙ ÉÌÉ €ÞÉÓÌÁ ëÜÌɁ

 ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ 8-ÍÅÒÎÕÀ

ÁÌÇÅÂÒÕ, Ñ×ÌÑÀÝÕÀÓÑ ÎÅÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÙÍ ÔÅÌÏÍ, × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÑËÉÅ Ä×Á ÜÌÅ-

 ÜÔÏ ÏÓÏÂÙÅ G2 , F4 , E6 , E7 , E8 , ÏÔËÒÙÔÙÅ ÷. ëÉÌÌÉÎÇÏÍ

ÍÅÎÔÁ ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÅ ÏÄÔÅÌÏ. €ïÓÏÂÙÅ ÇÒÕف ÒÏÓÔÙÅ ÇÒÕÙ ìÉ ËÌÁÓÓÏ×

É ÄÅÔÁÌØÎÏ ÉÚÕÞÁ×ÛÉÅÓÑ ü. ëÁÒÔÁÎÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÌ, ÞÔÏ ËÏÍÁËÔÎÁÑ ÇÒÕÁ ËÌÁÓÓÁ

G2

ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÇÒÕÅ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÔÅÌÁ ÏËÔÏÎÉÏ-

ÎÏ×. æÒÅÊÄÅÎÔÁÌØ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÌ, ÞÔÏ ËÏÍÁËÔÎÁÑ ÇÒÕÁ ËÌÁÓÓÁ

F4 ÉÚÏÍÏÒÆ-

ÎÁ ÇÒÕÅ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÏËÔÏÎÉÏÎÎÏÊ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÊ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, Á

ÇÒÕÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÅËÏÍÁËÔÎÙÈ ÇÒÕ ËÌÁÓÓÁ

E6 .

ðÒÉÍÅÎÑÑ ÔÏÔ ÖÅ ÒÉÅÍ, ÞÔÏ É × ÄÏËÔÏÒÓËÏÊ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ, â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÄÏËÁÚÁÌ, ÞÔÏ ÇÒÕÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÏËÔÏÎÉÏÎÎÏÊ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÇÒÕÅ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÊ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÏÊ Ä×ÏÊÎÙÈ ÏËÔÏÎÉÏÎÏ×, ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ËÏÍÁËÔÎÁÑ ÇÒÕÁ ËÌÁÓÓÁ

E6

ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÇÒÕÅ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÊ

ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÏÊ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÏËÔÏÎÉÏÎÏ×. üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÂÙÌ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎ × 1954 Ç. × €äÏËÌÁÄÁÈ áî áÚÅÒÂ. óóò. ÷ ÑÎ×ÁÒÅ 1955 Ç. â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ×ÅÒÎÕÌÓÑ × íÏÓË×Õ É × 1955{1964 ÇÇ. ÒÁÂÏÔÁÌ ÒÏÆÅÓÓÏÒÏÍ É ÚÁ×ÅÄÕÀÝÉÍ ËÁÆÅÄÒÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÈ ÉÎÓÔÉÔÕÔÏ× úÁÇÏÒÓËÁ É ëÏÌÏÍÎÙ × íÏÓËÏ×ÓËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. ÷ 1956 Ç. × €äÏËÌÁÄÁÈ áî óóóò ÏÎ ×ÙÓËÁÚÁÌ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ, ÏÂÏÂÝÁÀÝÅÅ ÅÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ 1954 Ç. ÎÁ ËÏÍÁËÔÎÙÅ ÇÒÕÙ ËÌÁÓÓÏ×

E7

É

E8 .

üÔÏ

18

í. ð. úÁÍÁÈÏ×ÓËÉÊ

ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÕËÁÚÁÎÉÉ ü. ëÁÒÔÁÎÁ, ÞÔÏ ËÏÍÁËÔÎÙÅ ÇÒÕÙ ËÌÁÓÓÏ×

E6 , E7 É E8 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÒÕÁÍÉ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅ-

ÓËÉÈ ÒÉÍÁÎÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ 32, 64 É 128. ðÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ

â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÁ ÓÏÓÔÏÑÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÜÒÍÉÔÏ×Ù ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÄ ÔÅÎÚÏÒÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ ÔÅÌÁ ÏËÔÏÎÉÏÎÏ× ÎÁ ÏÌÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ É ÎÁ ÔÅÌÁ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× É ÏËÔÏÎÉÏÎÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÷ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÜÔÏ ÂÙÌÏ ÄÏ-

ËÁÚÁÎÏ ü. â. ÷ÉÎÂÅÒÇÏÍ1) , É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÎÅËÏÍÁËÔÎÙÈ ÇÒÕ ËÌÁÓÓÏ× ÄÅÎÔÁÌÅÍ É â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÏÍ..

E6, E7 É E8 ÂÙÌÉ ÎÁÊÄÅÎÙ ç. æÒÅÊ-

îÁ ÏÓÎÏ×Å ÌÅË ÉÊ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÞÉÔÁÌ × ëÏÌÏÍÅÎÓËÏÍ ÅÄÉÎÓÔÉÔÕÔÅ, ÉÍ ÂÙÌÉ ÎÁÉÓÁÎÙ Ä×Å ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÉ: €íÎÏÇÏÍÅÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á É €îÅÅ×ËÌÉÄÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ÷ ÅÒ×ÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÎÉÇ ÂÙÌÁ ÉÚÌÏÖÅÎÁ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ, €ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁс É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×: ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ, Å×ËÌÉÄÏ×Á, ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ, ËÏÎÆÏÒÍÎÏÇÏ É ÓÅ×ÄÏÅ×ËÌÉÄÏ×ÙÈ, ×Ï ×ÔÏÒÏÊ ËÎÉÇÅ

 ÇÅÏ-

ÍÅÔÒÉÑ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÇÏ, ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ, ÓÅ×ÄÏÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÈ É ÓÅ×-

ÄÏÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, Á ÔÁËÖÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÇÒÕÙ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÙ ÒÅÄÅÌØÎÙÍÉ ÅÒÅÈÏÄÁÍÉ ÉÚ ÇÒÕ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÜÔÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. üÔÉ ËÎÉÇÉ ÂÙÌÉ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÙ × íÏÓË×Å × 1966 É 1969 ÇÇ. îÁÒÑÄÕ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ, â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏ ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ ÉÓÔÏÒÉÅÊ ÎÁÕËÉ. ÷ âÁËÕ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÕ ÒÅÄÌÏÖÉÌÉ ÒÏÞÅÓÔØ ËÕÒÓ ÌÅË ÉÊ Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. çÏÔÏ×ÑÓØ Ë ÜÔÉÍ ÌÅË ÉÑÍ, ÏÎ ÕÚÎÁÌ, ÞÔÏ × XIII ×ÅËÅ ÅÎÔÒÏÍ ÍÉÒÏ×ÏÊ ÎÁÕËÉ ÂÙÌÁ ÁÓÔÒÏÎÏÍÉÞÅÓËÁÑ ÏÂÓÅÒ×ÁÔÏÒÉÑ × ÇÏÒÏÄÅ íÁÒÁÇÅ × àÖÎÏÍ áÚÅÒÂÁÊÄÖÁÎÅ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÁÑ îÁÓÉÒÜÄÄÉÎÏÍ ÁÔ-ÕÓÉ. ÷ âÁËÕ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÕÞÅÎÏÇÏ ÉÚÕÞÁÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× É ÁÓÔÒÏÎÏÍÏ×, É 17 ÆÅ×ÒÁÌÑ 1951 Ç. ÓÏÓÔÏÑÌÏÓØ ÔÏÒÖÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÚÄÎÏ×ÁÎÉÅ 750-ÌÅÔÉÑ ÓÏ ÄÎÑ ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÁÔ-ÕÓÉ. â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÁ ÒÉ×ÌÅËÌÉ Ë ÉÚÕÞÅÎÉÀ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Á ÜÔÏÇÏ ÕÞÅÎÏÇÏ, É ÏÎ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌ × ÅÒÅ×ÏÄÅ ÅÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÒÕÄÏ× ÎÁ ÒÕÓÓËÉÊ ÑÚÙË É ÓÄÅÌÁÌ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÄÏËÌÁÄÏ× × âÁËÕ É × íÏÓË×Å. ïÄÉÎ ÉÚ ÜÔÉÈ ÄÏËÌÁÄÏ× ÂÙÌ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎ × 1951 Ç. × íÏÓË×Å × €éÓÔÏÒÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑȁ (éíé). ðÒÉ ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ, ÞÔÏ ×ÏÒÏÓÏÍ Ï ÏÓÔÕÌÁÔÅ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÚÕÞÁÌ ÁÔ-ÕÓÉ, ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ É ïÍÁÒ èÁÊÑÍ. üÔÏÔ ÔÒÁËÔÁÔ èÁÊÑÍÁ É ÄÒÕÇÉÅ ÅÇÏ ÔÒÁËÔÁÔÙ ÎÁ ÁÒÁÂÓËÏÍ É ÅÒÓÉÄÓËÏÍ ÑÚÙËÁÈ ÏÎ ÎÁÛÅÌ × âÁËÕ É ÏÄÇÏÔÏ×ÉÌ ÒÕÓÓËÉÅ ÅÒÅ×ÏÄÙ ÜÔÉÈ ÔÒÁËÔÁÔÏ× Ó 1)

ðÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÅ ü. â. ÷ÉÎÂÅÒÇÏÍ × 1964 Ç. ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÏÓÏÂÙÈ ÒÏÓÔÙÈ

ÇÒÕ ìÉ Ñ×ÉÌÏÓØ ËÏÓ×ÅÎÎÙÍ ÏÄÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅÍ ÇÉÏÔÅÚÙ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÁ. ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÅ ÏÄÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÜÔÁ ÇÉÏÔÅÚÁ ÏÌÕÞÉÌÁ × ÒÁÂÏÔÅ ü. â. ÷ÉÎÂÅÒÇÁ × 2004 Ç. ðÒÉÍ. ÒÅÄ.



âÏÒÉÓ áÂÒÁÍÏ×ÉÞ òÏÚÅÎÆÅÌØÄ

19

ÏÄÒÏÂÎÙÍÉ ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÑÍÉ. üÔÉ ÅÒÅ×ÏÄÙ ÂÙÌÉ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÙ × 1953 Ç. × éíé, Á × 1962 Ç. ÏÔÄÅÌØÎÏÊ ËÎÉÇÏÊ × íÏÓË×Å. ÷ 1954 Ç. × éíé ÂÙÌÉ ÉÚÄÁÎÙ ÓÄÅÌÁÎÎÙÅ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÏÍ ÅÒÅ×ÏÄÙ Ó ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÑÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÒÁËÔÁÔÏ× äÖÅÍÛÉÄÁ ÁÌ-ëÁÛÉ, ÄÉÒÅËÔÏÒÁ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ óÁÍÁÒËÁÎÄÓËÏÊ ÏÂÓÅÒ×ÁÔÏÒÉÉ õÌÕÇÂÅËÁ. ÷ 1956 Ç. ÏÎÉ ×ÙÛÌÉ × íÏÓË×Å ÏÔÄÅÌØÎÏÊ ËÎÉÇÏÊ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÅÒÅ×ÅÌ Ó ÁÒÁÂÓËÏÇÏ ÑÚÙËÁ ÎÁ ÒÕÓÓËÉÊ ÍÎÏÇÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ É ÁÓÔÒÏÎÏÍÉÞÅÓËÉÅ ÔÒÕÄÙ ÁÌ-èÏÒÅÚÍÉ, ÁÌ-æÅÒÇÁÎÉ, óÁÂÉÔÁ ÉÂÎ ëÏÒÒÙ, éÂÎ ÁÌèÁÊÓÁÍÁ, ÁÌ-âÉÒÕÎÉ, èÁÊÑÍÁ, ÁÔ-ÕÓÉ É õÌÕÇÂÅËÁ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÅÒÅ×ÏÄÏ× ÂÙÌÉ ÉÚÄÁÎÙ ÏÔÄÅÌØÎÙÍÉ ËÎÉÇÁÍÉ × íÏÓË×Å É × ÁÛËÅÎÔÅ. ÷ 1964{1990 ÇÇ. â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÒÁÂÏÔÁÌ ÓÔÁÒÛÉÍ É ×ÅÄÕÝÉÍ ÎÁÕÞÎÙÍ ÓÏÔÒÕÄÎÉËÏÍ éÎÓÔÉÔÕÔÁ ÉÓÔÏÒÉÉ ÅÓÔÅÓÔ×ÏÚÎÁÎÉÑ É ÔÅÈÎÉËÉ áî óóóò. ÷ ééå ÏÎ ÒÉÎÉÍÁÌ ÕÞÁÓÔÉÅ × ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ ËÏÌÌÅËÔÉ×ÎÙÈ ÔÒÕÄÏ× Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÎÁÉÓÁÌ Ó ÓÏÁ×ÔÏÒÁÍÉ ÎÁÕÞÎÙÅ ÂÉÏÇÒÁÆÉÉ ÔÅÈ ÕÞÅÎÙÈ, ÔÒÕÄÙ ËÏÔÏÒÙÈ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÅÒÅ×ÏÄÉÌ Ó ÁÒÁÂÓËÏÇÏ, Á ÔÁËÖÅ ÎÁÕÞÎÕÀ ÂÉÏÇÒÁÆÉÀ ÒÕÓÓËÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ á. ð. ëÏÔÅÌØÎÉËÏ×Á (1865{ 1944), ÌÅË ÉÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÎ ÓÌÕÛÁÌ × íüé É ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÏÔÏÒÙÍ ÒÁÂÏÔÁÌ × í÷õ. ÷ 1976 Ç. ÂÙÌÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ ËÎÉÇÁ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÁ €éÓÔÏÒÉÑ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉɁ, ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÙÊ ÁÎÇÌÉÊÓËÉÊ ÅÒÅ×ÏÄ ËÏÔÏÒÏÊ ÂÙÌ ÉÚÄÁÎ × 1988 Ç. ÷ 1983 Ç. ÂÙÌÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ ËÎÉÇÁ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÁ É ç. ð. íÁÔ×ÉÅ×ÓËÏÊ €íÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÁÓÔÒÏÎÏÍÙ ÍÕÓÕÌØÍÁÎÓËÏÇÏ ÓÒÅÄÎÅ×ÅËÏ×ØÑ É ÉÈ ÔÒÕÄÙ (VIII{XVII ××.), ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÔÒÕÄÁÈ ÔÙÓÑÞÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× É ÁÓÔÒÏÎÏÍÏ× ÓÔÒÁÎ ÉÓÌÁÍÁ, ÉÈ ÒÕËÏÉÓÑÈ, ÉÚÄÁÎÉÑÈ, ÅÒÅ×ÏÄÁÈ É ÏÔËÒÙÔÉÑÈ. ÷ 1971 Ç. â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÂÙÌ ÉÚÂÒÁÎ ÞÌÅÎÏÍ-ËÏÒÒÅÓÏÎÄÅÎÔÏÍ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÊ ÁËÁÄÅÍÉÉ ÉÓÔÏÒÉÉ ÎÁÕËÉ, Á × 1978 Ç. ÎÏÍ ÜÔÏÊ ÁËÁÄÅÍÉÉ.

 ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍ ÞÌÅ-

÷ 1990 Ç. â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ Ó ÖÅÎÏÊ ÅÒÅÅÈÁÌÉ × óûá, ÇÄÅ ÖÉÌÉ ÏÂÅ ÉÈ ÄÏÞÅÒÉ ÓÏ Ó×ÏÉÍÉ ÓÅÍØÑÍÉ. ÷ 1990{1995 ÇÇ. ÏÎ ÒÁÂÏÔÁÌ ÒÏÆÅÓÓÏÒÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ÛÔÁÔÁ ðÅÎÓÉÌØ×ÁÎÉÑ, ÒÏÆÅÓÓÏÒÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÇÏ ÄÏÞØ ó×ÅÔÌÁÎÁ É ÅÅ ÍÕÖ áÎÁÔÏÌÉÊ ëÁÔÏË. ÷ ÜÔÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ ÏÎ ÞÉÔÁÌ ÌÅË ÉÉ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÇÒÕ ìÉ É Ï ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ÷ 1993 Ç. áÍÅÒÉËÁÎÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÂÝÅÓÔ×ÏÍ ÂÙÌÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ ËÎÉÇÁ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÁ É í. á. áËÉ×ÉÓÁ €üÌÉ ëÁÒÔÁÎ (1869{ 1951)

 ÎÁÕÞÎÁÑ ÂÉÏÇÒÁÆÉÑ ÕÞÅÎÏÇÏ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ÁÎÁÌÉÚ ÅÇÏ ÏÔËÒÙÔÉÊ

× ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÕ ìÉ, ÔÅÏÒÉÉ ÁÌÇÅÂÒ, ÔÅÏÒÉÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ÁÎÁÌÏÇÏ×

ÇÒÕ ìÉ É ÅÅ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ Ë ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, Á ÔÁËÖÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ €ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔׁ É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÉÍÁÎÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÁÆÆÉÎÎÏÊ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. óÙÎ ü. ëÁÒÔÁÎÁ,

20

í. ð. úÁÍÁÈÏ×ÓËÉÊ

ÒÏÆÅÓÓÏÒ áÎÒÉ ëÁÒÔÁÎ ÎÁÉÓÁÌ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÕ Ï ÜÔÏÊ ËÎÉÇÅ €üÔÏ ÌÕÞÛÉÊ ÁÍÑÔÎÉË ÍÏÅÍÕ ÏÔ Õ.



÷ 2003 Ç. × óÔÁÍÂÕÌÅ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ Ó ÒÏÆÅÓÓÏÒÏÍ ü. éÈÓÁÎÏÇÌÕ ËÎÉÇÕ €íÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÁÓÔÒÏÎÏÍÙ É ÄÒÕÇÉÅ ÕÞÅÎÙÅ ÉÓÌÁÍÓËÏÊ É×ÉÌÉÚÁ ÉÉ É ÉÈ ÔÒÕÄÙ (VII{XIX ××.) ÎÁ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÏÌÕÔÏÒÁ ÔÙÓÑÞÁÈ ÕÞÅÎÙÈ ÓÔÒÁÎ ÉÓÌÁÍÁ. ÷ 2004 Ç. × âÁÒÓÅÌÏÎÅ × ÖÕÒÎÁÌÅ €óÕÈÁÊÌ؁ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÅÇÏ ËÎÉÇÅ Ó éÈÓÁÎÏÇÌÕ. ÷ 2003 Ç. × íÏÓË×Å ÂÙÌÁ ÉÚÄÁÎÁ ËÎÉÇÁ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÁ €áÏÌÌÏÎÉÊ ðÅÒÇÓËÉʁ

 ÎÁÕÞÎÁÑ ÂÉÏÇÒÁÆÉÑ ×ÅÌÉÞÁÊÛÅÇÏ ÕÞÅÎÏÇÏ ÄÒÅ×ÎÅÇÏ ÍÉÒÁ, ÓÏ-

ÄÅÒÖÁÝÁÑ ÁÎÁÌÉÚ ×ÓÅÈ ÏÔËÒÙÔÉÊ áÏÌÌÏÎÉÑ × ÁÆÆÉÎÎÏÊ, ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ, ËÏÎÆÏÒÍÎÏÊ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÍÎÏÇÉÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÙÌÉ ÏÔËÒÙÔÙ × úÁÁÄÎÏÊ å×ÒÏÅ ÔÏÌØËÏ × XVII{XIX ××. ÷ 1997 Ç. × äÏÒÄÒÅÈÔÅ (îÉÄÅÒÌÁÎÄÙ) ÂÙÌÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ (ÎÁ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ) ËÎÉÇÁ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÁ €çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÇÒÕ ìɁ. üÔÁ ËÎÉÇÁ ÏÌÕÞÉÌÁ × ÔÏÍ ÖÅ ÇÏÄÕ ÏÞÅÔÎÙÊ ÏÔÚÙ× ëÁÚÁÎÓËÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ÎÁ ËÏÎËÕÒÓÅ ÎÁ ÒÅÍÉÀ ÉÍÅÎÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ. ÷ 2003 Ç. × íÏÓË×Å ÂÙÌÁ ÉÚÄÁÎÁ ËÎÉÇÁ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÁ É í. ð. úÁÍÁÈÏ×ÓËÏÇÏ €çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÇÒÕ ìÉ. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ, ÁÒÁÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ É ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ÒÕÓÓËÉÊ ÅÒÅ×ÏÄ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÊ ËÎÉÇÉ âÏÒÉÓÁ áÂÒÁÍÏ×ÉÞÁ É Ä×Å ÎÏ×ÙÅ ÇÌÁ×Ù. ÷ 2005 Ç. × íÏÓË×Å × ÖÕÒÎÁÌÅ €æÉÌÏÓÏÆÓËÉÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉс ÂÙÌÁ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ ÓÔÁÔØÑ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÁ €ï ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔÉ ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÙÈ ÓÔÒÕËÔÕҁ, ÌÏÄ ÅÇÏ ÍÎÏÇÏÌÅÔÎÉÈ ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÊ. ÷ ÏÂÝÅÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ â. á. òÏÚÅÎÆÅÌØÄÏÍ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÏ 450 ÎÁÕÞÎÙÈ ËÎÉÇ É ÓÔÁÔÅÊ. ðÏÄ ÅÇÏ ÎÁÕÞÎÙÍ ÒÕËÏ×ÏÄÓÔ×ÏÍ ÂÙÌÉ ÚÁÝÉÝÅÎÙ 82 ËÁÎÄÉÄÁÔÓËÉÅ ÄÉÓÓÅÒÔÁ ÉÉ. ÷ÏÓÅÍØ ÅÇÏ ÕÞÅÎÉËÏ× ÓÔÁÌÉ ÄÏËÔÏÒÁÍÉ ÎÁÕË É ÒÏÆÅÓÓÏÒÁÍÉ.

í. ð. úÁÍÁÈÏ×ÓËÉÊ, ëÏÌÏÍÅÎÓËÉÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÉÎÓÔÉÔÕÔ

21

ï ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ õ. £ÒÓÔÏÎ

îÙÎÅÛÎÅÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÒÉÅÍÌÅÍÙÍ. ÷ÒÏÞÅÍ, ÈÏÔÑ ÜÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ×ÏÌÎÕÅÔ ÍÎÏÇÉÈ, ÒÅÁÌØÎÙÅ ÅÒÅÍÅÎÙ ÒÏÉÓÈÏÄÑÔ ÍÅÄÌÅÎÎÏ. ìÉ Á, ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÅ ÓÔÒÁÔÅÇÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ, ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÎÅ ÏÎÉÍÁÀÔ ÓÕÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ÷ ÛËÏÌÁÈ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ Ë ÒÁÚÎÙÍ ÏËÒÕÇÁÍ, €ÒÅÆÏÒÍف ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ × ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ. üÔÏ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÅÔ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÉÚÎÁÔØ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ É ×ÁÖÎÏÓÔØ ÒÏÂÌÅÍÙ, ÎÏ É ×ÎÉËÎÕÔØ × ÎÅÅ. ñ ×ÅÒÀ, ÞÔÏ ÎÁÛÁ ÓÔÒÁÎÁ ÓÍÏÖÅÔ ÜÔÉ ÒÏÂÌÅÍÙ ÒÅÛÉÔØ: ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ, ×ÙÚ×ÁÎÎÙÅ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÏÎÉÍÁÎÉÅÍ, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÙÍÉ. õ ÎÁÓ ÎÁÌÉÞÅÓÔ×ÕÅÔ É ÏÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ ×ÏÌÑ, É ÒÅÓÕÒÓÙ, É ÉÎÔÅÌÌÅËÔ; ÞÅÇÏ ÎÅ È×ÁÔÁÅÔ, ÔÁË ÜÔÏ ×ÅÒÎÏÇÏ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ.

1. óÉÍÔÏÍÙ

íÎÏÇÏÅ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÅÔ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ Ó ÏÂÕÞÅÎÉÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÎÅ ×ÓÅ ÌÁÄÎÏ. þÉÓÌÏ ÓÔÁÒÛÅËÕÒÓÎÉËÏ×, ÓÅ ÉÁÌÉÚÉÒÕÀÝÉÈÓÑ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÓÅÊ-

ÞÁÓ ÒÉÍÅÒÎÏ × Ä×Á ÒÁÚÁ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ 15 ÌÅÔ ÔÏÍÕ ÎÁÚÁÄ.1) ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÁÍÅÒÉËÁÎÓËÉÈ ÁÓÉÒÁÎÔÏ× ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ×Ä×ÏÅ ÕÍÅÎØÛÉÌÏÓØ Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÂÙÌÏ 15 ÌÅÔ ÎÁÚÁÄ (ÈÏÔÑ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÜÔÏ ÕÍÅÎØÛÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÓËÏÍÅÎÓÉÒÏ×ÁÎÏ ÚÁ ÓÞÅÔ ÁÓÉÒÁÎÔÏ×-ÉÎÏÓÔÒÁÎ Å×). óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÔÅÓÔÙ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÀÔ, ÞÔÏ ÎÁÛÉ ÕÞÁÝÉÅÓÑ ÎÁ ×ÓÅÈ ÕÒÏ×ÎÑÈ ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÀÔ ÂÏÌÅÅ ÎÉÚËÉÊ ÕÒÏ×ÅÎØ ÚÎÁÎÉÊ É ÕÍÅÎÉÊ, ÞÅÍ × ÄÒÕÇÉÈ ÒÏÍÙÛÌÅÎÎÏ ÒÁÚ×ÉÔÙÈ ÓÔÒÁÎÁÈ. ëÏÇÄÁ ×ÚÒÏÓÌÙÊ ÁÍÅÒÉËÁÎÅ ×ÉÄÉÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÏÂÙÞÎÏ ÏÎ ÉÓÙÔÙ×ÁÅÔ ÓÍÕÝÅÎÉÅ. éÚ×ÉÎÑÀÝÉÍÓÑ ÔÏÎÏÍ ÏÎ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔ Ï ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÉÚ ÉÚÕÞÁ×ÛÉÈÓÑ ÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÕÒÓÏ× (ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÜÔÏ ÔÏÔ ÓÁÍÙÊ ËÕÒÓ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ×ÁÛ ÓÏÂÅÓÅÄÎÉË É ÕÔÒÁÔÉÌ ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÒÅÄÍÅÔÁ). íÎÏÇÉÅ ËÏÍÁÎÉÉ ÏÔÍÅÞÁÀÔ, ÞÔÏ ÓÅÒØÅÚÎÙÍ ÎÅÄÏÓÔÁÔËÏÍ ÉÈ ÒÁÂÏÔÎÉËÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÚÎÁÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ó ÒÁÚ×ÉÔÉÅÍ ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÊ ÏÔÁÌÁ W. Thurston. Mathemati al edu ation // Noti es of the AMS. Vol. 37, 1990. P. 844{850. ðÕÂÌÉËÕÅÔÓÑ Ó ÌÀÂÅÚÎÏÇÏ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÑ AMS É Á×ÔÏÒÁ ÔÅËÓÔÁ. ðÅÒÅ×ÏÄ ó.í.ìØ×Ï×ÓËÏÇÏ.

1)

óÔÁÔØÑ ÂÙÌÁ ×ÅÒ×ÙÅ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ × 1990 ÇÏÄÕ

 ÒÉÍ. ÅÒ.

22

õ. £ÒÓÔÏÎ

ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ × ÚÎÁÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÁÂÏÞÉÈ ÍÅÓÔÁÈ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÎÅ ÎÕÖÎÁ ËÁÓÓÉÒÕ, ÒÏÂÉ×ÁÀÝÅÍÕ ÇÁÍÂÕÒÇÅÒÙ), ÎÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÏÁÌÉ É ÍÎÏÇÉÅ ÒÁÂÏÞÉÅ ÍÅÓÔÁ, ÎÅ ÔÒÅÂÕÀÝÉÅ Ë×ÁÌÉÆÉËÁ ÉÉ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÁÂÏÞÉÊ Õ ËÏÎ×ÅÊÅÒÁ), É ÏÑ×ÉÌÏÓØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÒÕÇÉÈ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ ÓÅÒØÅÚÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ. óÔÕÄÅÎÔÙ, ÉÚÕÞÁÀÝÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ËÕÒÓÙ × ËÏÌÌÅÄÖÅ, ÎÅ ÉÄÕÔ ÎÁ ËÏÎÔÁËÔ. ïÎÉ ÂÏÑÔÓÑ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ É ÂÏÑÔÓÑ ÒÉÄÕÍÙ×ÁÔØ ÞÔÏ-ÌÉÂÏ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. åÓÌÉ ÏÈÏÄÉÔØ Ï ÕÒÏËÁÍ × ÒÁÚÎÙÈ ËÌÁÓÓÁÈ, ÔÏ ÂÕÄÅÔ ÚÁÍÅÔÎÏ, ËÁË ÒÅÚËÏ ÁÄÁÅÔ Ó ×ÏÚÒÁÓÔÏÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ É ÖÉ×ÏÓÔØ. óÏÚÄÁÅÔÓÑ ×ÅÞÁÔÌÅÎÉÅ, ÞÔÏ × ÛËÏÌÅ ×ÙÔÒÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÌÀÂÏÙÔÓÔ×Ï É ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ ÍÁÌÅÎØËÉÈ ÄÅÔÅÊ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. ÷ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÕÞÅÂÎÙÈ ÚÁ×ÅÄÅÎÉÊ ÓÔÁÌÏ ÔÒÕÄÎÅÅ, ÞÅÍ Ä×ÁÄ ÁÔØ ÌÅÔ ÎÁÚÁÄ, ÄÏÂÉ×ÁÔØÓÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÕÞÁÝÉÅÓÑ ÄÅÌÁÌÉ ÄÏÍÁÛÎÉÅ ÚÁÄÁÎÉÑ ÉÌÉ ÚÁÎÉÍÁÌÉÓØ ×ÎÅ ÓÔÅÎ ËÌÁÓÓÎÏÊ ËÏÍÎÁÔÙ. äÁÖÅ Õ ÔÅÈ ÕÞÁÝÉÈÓÑ ËÏÌÌÅÄÖÅÊ, ÞÔÏ ÕÓÅÛÎÏ ÏÓ×ÏÉÌÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÓÔÁÒÛÉÈ ËÌÁÓÓÏ×, ×ËÌÀÞÁÑ ÎÁÞÁÌÁ ÁÎÁÌÉÚÁ, ÏÚÎÁÎÉÑ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÏÞÅÎØ ÕÚËÉ.

2. òÁÚÏÂÝÅÎÎÏÓÔØ

óÅÒØÅÚÎÙÍ ÉÓÔÏÞÎÉËÏÍ ÔÒÕÄÎÏÓÔÅÊ É ÒÅÑÔÓÔ×ÉÅÍ Ë ÉÈ ÒÁÚÒÅÛÅÎÉÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚÏÂÝÅÎÎÏÓÔØ, ÁÒÑÝÁÑ × ÏÂÛÉÒÎÏÍ ÓÏÏÂÝÅÓÔ×Å ÌÀÄÅÊ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ,

 ÏÔ ÄÅÔÓËÏÇÏ ÓÁÄÁ É ÄÏ ÁÓÉÒÁÎÔÕ-

ÒÙ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÞÅÎØ ÍÁÌÏ ÏÂÍÅÎÉ×ÁÀÔÓÑ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ËÏÌÌÅÄÖÅ É × ÓÔÁÒÛÉÈ ËÌÁÓÓÁÈ ÓÒÅÄÎÅÊ ÛËÏÌÙ. õÒÏ×ÅÎØ ×ÚÁÉÍÏÏÎÉÍÁÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÌÉ ÁÍÉ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÍÉÓÑ ÒÅÆÏÒÍÏÊ ÛËÏÌØÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ É ÒÏÇÒÁÍÍÙ ËÏÌÌÅÄÖÁ, ÔÁËÖÅ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÖÅÌÁÔØ ÌÕÞÛÅÇÏ. üÔÁ ÒÁÚÏÂÝÅÎÎÏÓÔØ ÒÏÉÓÔÅËÁÅÔ ÏÔÞÁÓÔÉ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÁÓÓÏ ÉÁ ÉÊ, ËÁË-ÔÏ: áÍÅÒÉËÁÎÓËÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÂÝÅÓÔ×Ï (AMS), ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÔÅÈ, ËÔÏ ÚÁÎÉÍÁÅÔÓÑ ÎÁÕÞÎÙÍÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÍÉ; íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÁÓÓÏ ÉÁ ÉÑ áÍÅÒÉËÉ (MAA), ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ ÎÁ ÍÌÁÄÛÉÈ ËÕÒÓÁÈ ×ÙÓÛÉÈ ÕÞÅÂÎÙÈ ÚÁ×ÅÄÅÎÉÊ; îÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÓÏ×ÅÔ ÕÞÉÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ (NCTM), ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÎÁÉÂÏÌÅÅ Õ×ÌÅÞÅÎÎÙÈ Ó×ÏÉÍ ÄÅÌÏÍ ÛËÏÌØÎÙÈ ÕÞÉÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÔØ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ Ä×ÕÈÌÅÔÎÉÅ ËÏÌÌÅÄÖÉ, ÒÉËÌÁÄÎÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ, ÓÔÁÔÉÓÔÉËÕ, ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÏÅÒÁ ÉÊ, Á ÔÁËÖÅ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉËÕ. óÉÓËÉ ÞÌÅÎÏ× AMS É MAA ÅÒÅËÒÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÎÁ ÔÒÅÔØ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÞÌÅÎÏ× AMS ÄÁÖÅ É ÎÅ ÏÄÏÚÒÅ×ÁÀÔ Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ NCTM. é ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÏÞÅÎØ ÎÅÍÎÏÇÉÅ ÞÌÅÎÙ NCTM ÚÎÁÀÔ ÒÏ AMS. ïÞÅÎØ ÎÅÍÎÏÇÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁÕÞÎÏÊ ÒÁÂÏÔÏÊ, ÏÂÝÁÀÔÓÑ ÓÏ ÛËÏÌØÎÙÍÉ ÕÞÉÔÅÌÑÍÉ ×ÎÅ Ó×ÑÚÉ ÓÏ ÛËÏÌØÎÙÍÉ ÕÓÅÈÁÍÉ Ó×ÏÉÈ ÄÅÔÅÊ. ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ

ï ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ

23

ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ ÈÏÒÏÛÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÓËÁÑ ÒÁÂÏÔÁ, É ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ ÕÞÉÔÅÌÅÊ, ÎÏ ÄÁÖÅ É × ÎÉÈ ÎÁÕÞÎÙÅ ÒÁÂÏÔÎÉËÉ Ë ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ ÕÞÉÔÅÌÅÊ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÅ ÉÍÅÀÔ. åÝÅ ÂÏÌÅÅ ÓÅÒØÅÚÎÁÑ ÒÁÚÏÂÝÅÎÎÏÓÔØ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÉÚ-ÚÁ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÅÁÌØÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ, ËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÒÉÎÉÍÁÀÔÓÑ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÒÁÚÎÙÈ ÛËÏÌØÎÙÈ ÏËÒÕÇÁÈ, Á ÒÅÛÅÎÉÑ, ËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÒÉÎÉÍÁÀÔÓÑ ÎÁ ÍÎÏÇÉÈ ÒÁÚÎÙÈ ÆÁËÕÌØÔÅÔÁÈ. íÎÏÇÉÅ ÒÁÚÍÙÛÌÑÀÔ Ï ÉÍÅÀÝÉÈÓÑ ÒÏÂÌÅÍÁÈ É ÙÔÁÀÔÓÑ ÉÈ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÒÅÛÉÔØ; ÍÎÏÇÉÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÏÙÔÏË ×ÏÌÎÅ ÕÓÅÛÎÙ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙ ËÏÏÒÄÉÎÁ ÉÑ É ÏÂÍÅÎ ÎÁÒÁÂÁÔÙ×ÁÅÍÙÍ ÏÙÔÏÍ.

3. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ

 ÎÁÕËÁ ÒÏÔÑÖÅÎÎÁÑ

ïÄÎÏÊ ÉÚ ÞÅÒÔ ÎÁÕËÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ËÏÔÏÒÕÀ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ ÒÉ ÅÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÅ €ÒÏÔÑÖÅÎÎÏÓÔ؁, ÔÏ ÅÓÔØ ÄÌÉÎÁ ÅÏÞÅË Ó×ÑÚÅÊ, × ËÏÔÏÒÙÈ ËÁÖÄÁÑ ÏÞÅÒÅÄÎÁÑ ËÏÎ Å ÉÑ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÞÅÎØ ÑÓÎÙÍ É ÂÅÓÓÏÒÎÙÍ, É ËÁË ÔÏÌØËÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÆÁËÔ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎ, ÎÁ ÎÅÍ ÍÏÖÎÏ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÔØÓÑ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÔÒÏÉÔØ ËÏÎ ÅÔÕÁÌØÎÙÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ, Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ×ÅÓØÍÁ ÒÏÔÑÖÅÎÎÙÍÉ, ÏÞÅÎØ ÎÁÄÅÖÎÙÍÉ É ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ÍÏÝÎÙÍÉ. óÔÒÕËÔÕÒÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏÈÏÖÁ ÎÅ ÎÁ ÄÅÒÅ×Ï, Á ÎÁ ÓÔÒÏÉÔÅÌØÎÙÅ ÌÅÓÁ ÓÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÏÄÏÒÏË. ëÁË ÔÏÌØËÏ ÌÅÓÁ ÓÍÏÎÔÉÒÏ×ÁÎÙ, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÎÁÄÓÔÒÏÉÔØ É ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÕÒÏ×ÅÎØ, ÎÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÓÍÏÎÔÉÒÏ×ÁÔØ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ÕÒÏ×ÅÎØ, ÏËÁ ÎÅÔ ×ÓÅÈ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ. ÒÕÄÎÏÓÔÉ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÕÞÁÝÉÅÓÑ, ÚÁÎÉÍÁÀÝÉÅÓÑ ËÁËÉÍÌÉÂÏ ËÕÒÓÏÍ, ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÎÁ ÒÁÚÎÙÈ ÜÔÁÁÈ ÏÓ×ÏÅÎÉÑ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÎÉ ÏÂÙÞÎÏ ÓÔÅÓÎÑÀÔÓÑ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ ÏÎÉ ÚÎÁÀÔ, Á ÞÔÏ

 ÎÅÔ. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÎÏÇÉÅ ÉÚ ÉÚÕÞÁÀÝÉÈ

ÎÁÞÁÌÁ ÁÎÁÌÉÚÁ ÎÅ ÕÍÅÀÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÄÒÏÂÉ, Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ × ÓÉÍ×ÏÌÉÞÅÓËÏÍ ×ÉÄÅ; ÔÉÉÞÎÁÑ ÏÛÉÂËÁ:

ÞÔÏ ÇÏÒÁÚÄÏ ÒÏÝÅ, ÞÅÍ

a

a+ + = ; b d b+d ad + b : bd

é ÒÉ ÜÔÏÍ ÕÞÁÝÉÍÓÑ ÎÅÒÉÑÔÎÏ ÓÏÚÎÁ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÅÔ×ÅÒÄÙ × ÓÌÏÖÅÎÉÉ ÄÒÏÂÅÊ, ÔÁË ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÅ ÔÏÒÏÑÔÓÑ ÜÔÏ ÒÉÚÎÁ×ÁÔØ É ÚÁÄÁÔØ (ÈÏÔÑ ÂÙ ÓÁÍÏÍÕ ÓÅÂÅ) ×ÏÒÏÓ, ËÁË ÏÎÏ ÕÓÔÒÏÅÎÏ. óÌÏÖÅÎÉÅ ÄÒÏÂÅÊ

 ÏÞÅÎØ ÓËÕÞÎÏÅ ÄÅÌÏ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ËÔÏ Ó ÎÉÍ ÕÖÅ ÚÎÁ-

ËÏÍ, ÎÏ ÕÍÅÎÉÅ ÜÔÏ ÄÅÌÁÔØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ ÁÌÇÅÂÒÙ, Á ÁÌÇÅÂÒÁ

24

õ. £ÒÓÔÏÎ

ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÁ ÄÌÑ ÁÎÁÌÉÚÁ. åÓÌÉ ÏÇÏ×ÏÒÉÔØ Ó ÔÁËÉÍ ÕÞÁÝÉÍÓÑ, ÔÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÙÑÓÎÉÔØ, ËÁËÉÅ ÞÁÓÔÉ ÏÂÝÅÊ ËÁÒÔÉÎÙ ÎÕÖÄÁÀÔÓÑ × ÕÔÏÞÎÅÎÉÉ, É ÏÒÁ×ÉÔØ ÄÅÌÏ × ÒÁÍËÁÈ ÉÎÄÉ×ÉÄÕÁÌØÎÏÊ ÒÁÂÏÔÙ. ÒÕÄÎÏ ÕÇÁÄÁÔØ, ÎÁ ËÁËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ ×ÅÓÔÉ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÏ ÂÙÌÏ É ÏÎÑÔÎÏ, É ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ ÇÒÕÅ ÕÞÁÝÉÈÓÑ Ó ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÏÄÇÏÔÏ×ËÏÊ.

4. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ

íÁÔÅÍÁÔÉËÁ



 ÎÁÕËÁ ÛÉÒÏËÁÑ

ÎÁÕËÁ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÒÏÔÑÖÅÎÎÁÑ, ÎÏ É ÏÞÅÎØ ÛÉÒÏËÁÑ.

íÎÏÇÉÅ ÉÚ ÅÅ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÎÉËÁË ÎÅ ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ × ÒÁÍËÁÈ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÚÁ×ÅÒÛÁÀÝÅÊÓÑ ÎÁÞÁÌÁÍÉ ÁÎÁÌÉÚÁ, Á Õ ÔÅÈ ÒÁÚÄÅÌÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ × ÒÏÇÒÁÍÍÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ, ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅÏÂÓÕÖÄÁÅÍÙÈ ÏÄÒÁÚÄÅÌÏ×. ÷ ÏËÏÌÅÎÉÉ ÍÏÉÈ ÒÏÄÉÔÅÌÅÊ (ÓÏÒÏËÏ×ÙÅ ÇÏÄÙ) ÅÒ×ÙÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ËÕÒÓÏÍ × ËÏÌÌÅÄÖÅ ÂÙÌ ËÕÒÓ ÁÌÇÅÂÒÙ. ÷ÓËÏÒÅ ÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÍÅÓÔÏ ÅÒ×ÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÚÁÎÑÌÉ ÎÁÞÁÌÁ ÁÎÁÌÉÚÁ, ËÏÔÏÒÙÍÉ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ×ÌÁÄÅÀÔ ÌÕÞÛÉÅ ÕÞÅÎÉËÉ ÓÔÁÒÛÉÈ ËÌÁÓÓÏ× ÛËÏÌÙ. óÅÊÞÁÓ ÎÁÞÁÌÁ ÁÎÁÌÉÚÁ ÂÏÌØÛÅÊ ÞÁÓÔØÀ ÅÒÅÛÌÉ × ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÓÒÅÄÎÅÊ ÛËÏÌÙ × ÂÏÇÁÔÙÈ ÛËÏÌØÎÙÈ ÏËÒÕÇÁÈ, ÔÁË ÞÔÏ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÓÅ ÉÁÌÉÚÉÒÕÀÝÉÈÓÑ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ É ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÎÁÕËÁÈ × ÎÁÛÉÈ ÌÕÞÛÉÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ, ÕÖÅ ÒÏÈÏÄÉÌÉ ËÕÒÓ ÎÁÞÁÌ ÁÎÁÌÉÚÁ ÄÏ ÏÓÔÕÌÅÎÉÑ × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ. ÷ ðÒÉÎÓÔÏÎÅ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ä×Å ÔÒÅÔÉ ÏÓÔÕÁÀÝÉÈ ÉÍÅÀÔ × Ó×ÏÅÍ ÂÁÇÁÖÅ ÈÏÔÑ ÂÙ ÓÅÍÅÓÔÒÏ×ÙÊ ËÕÒÓ ÁÎÁÌÉÚÁ. üÔÏ ÕÓËÏÒÅÎÉÅ ÔÅÍÁ ÒÏÈÏÖÄÅÎÉÑ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ ÉÍÅÌÏ É Ó×ÏÉ ÍÉÎÕÓÙ: ÏÎÏ ÓÏÒÏ×ÏÖÄÁÌÏÓØ ÔÅÎÄÅÎ ÉÅÊ Ë ÏÔÓÅÞÅÎÉÀ €ÏÂÏÞÎÙȁ ÔÅÍ. îÁÒÉÍÅÒ, ËÏÇÄÁ Ñ ÕÞÉÌÓÑ × ÛËÏÌÅ, ÔÏ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÎÁÒÑÄÕ Ó ÌÁÎÉÍÅÔÒÉÅÊ ÉÚÕÞÁÌÁÓØ ÔÁËÖÅ ÓÔÅÒÅÏÍÅÔÒÉÑ É ÓÆÅÒÉÞÅÓËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. îÙÎÅ ÜÔÉ ÔÅÍÙ ÕÖÅ ÄÁ×ÎÏ ÉÓËÌÀÞÅÎÙ. îÁÂÏÒ ÚÎÁÎÉÊ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ Õ ÔÉÉÞÎÏÇÏ ÕÞÁÝÅÇÏÓÑ ÎÁÏÍÉÎÁÅÔ ×ÙÓÏËÕÀ, ÎÏ ÛÁÔËÕÀ ÂÁÛÎÀ: ÏÎÁ ÄÏÓÔÉÇÌÁ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ×ÙÓÏÔÙ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔ ÅÝÅ ÍÏÖÅÔ ÅÅ ÄÅÒÖÁÔØ, Á ÒÁÓÔÉ ÄÁÌØÛÅ ÏÎÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ. ä×Å ÜÔÉ ÔÅÎÄÅÎ ÉÉ (ÕÄÌÉÎÅÎÉÅ É ÓÕÖÅÎÉÅ ÛËÏÌØÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ) ÂÙÌÉ ÏÄÓÔÅÇÎÕÔÙ ×ÓÅ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÉÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÔÅÓÔÏ×. ÅÓÔÙ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÙ ÏÈ×ÁÔÉÔØ ÔÅÍÙ, ×ÈÏÄÑÝÉÅ × ÓÁÍÙÅ ÈÏÄÏ×ÙÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ: ÅÓÌÉ ËÁËÕÀ-ÔÏ ÔÅÍÕ ÉÚÕÞÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÌÏ×ÉÎÁ ÕÞÁÝÉÈÓÑ, ÔÏ ÎÅÞÅÓÔÎÏ ×ËÌÀÞÁÔØ ÅÅ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÔÅÓÔ. üÔÏ ÎÅ ÓÔÏÌØ ÌÏÈÏ, ÅÓÌÉ ÔÅÓÔÙ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ ÄÌÑ ÂÅÓÒÉÓÔÒÁÓÔÎÏÊ

Ï ÅÎËÉ.

îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÏÄÎÁËÏ, ×ÙÓÏËÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÞÁÓÔÏ ÒÁÓÓÍÁ-

ÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ËÁË

ÓÁÍÏ ÅÌØ.

äÅÕÔÁÔÙ, ÒÅÓÓÁ É ÒÏÄÉÔÅÌÉ ÄÁ×ÑÔ ÎÁ ÒÕËÏ-

×ÏÄÉÔÅÌÅÊ ÏÒÇÁÎÏ× ÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ É ÛËÏÌØÎÙÅ ÓÏ×ÅÔÙ, ÏÒÇÁÎÙ ÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ É ÛËÏÌØÎÙÅ ÓÏ×ÅÔÙ ÄÁ×ÑÔ ÎÁ ÄÉÒÅËÔÏÒÏ×, ÄÉÒÅËÔÏÒÁ ÄÁ×ÑÔ ÎÁ ÕÞÉÔÅÌÅÊ, ÕÞÉÔÅÌÑ

 ÎÁ ÕÞÅÎÉËÏ×  É ×ÓÅ ÒÁÄÉ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ

ÏËÁÚÁÔØ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÔÅÓÔÏ×. ðÅÞÁÌØÎÙÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÜÔÏÇÏ

ï ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ

25

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ËÕÒÓÙ ÓÅ ÉÁÌØÎÏ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÁÄÉ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÏËÁÚÁÔØ ×ÙÓÏËÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ × ÔÏÍ ÉÌÉ ÉÎÏÍ ÔÅÓÔÅ. îÉËÔÏ ÎÅ ÄÉÁÇÎÏÓÔÉÒÕÅÔ ×ÏÓÁÌÅÎÉÅ ÌÅÇËÉÈ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÄÎÏÇÏ ÔÏÌØËÏ ÇÒÁÄÕÓÎÉËÁ, É ÎÉËÔÏ ÎÅ ÙÔÁÅÔÓÑ ÌÅÞÉÔØ ÜÔÕ ÂÏÌÅÚÎØ, ÒÅÄÌÁÇÁÑ Á ÉÅÎÔÕ ÏÖÅ×ÁÔØ ÌØÄÉÎËÕ. ðÏÄÏÂÎÏÇÏ ÏÄÈÏÄÁ ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÒÉÄÅÒÖÉ×ÁÔØÓÑ É ÒÉ Ï ÅÎËÅ ÒÏÌÉ ÔÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ × ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. äÏÌÇÏÓÒÏÞÎÙÍ ÅÌÑÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÌÕÞÛÅ ÂÙ ÓÏÓÏÂÓÔ×Ï×ÁÌÏ, ÅÓÌÉ ÂÙ ÍÅÎØÛÅ ×ÎÉÍÁÎÉÑ ÕÄÅÌÑÌÏÓØ ÏÂßÅÍÕ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÅÓÌÉ ÂÙ ÒÏÇÒÁÍÍÁ ÂÙÌÁ ÂÏÌÅÅ ÄÉ×ÅÒÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÁ ÚÁ ÓÞÅÔ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÔÅÍ, ÄÌÑ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÕÖÎÏ ÍÅÎØÛÅ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÎÉÊ. ïÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ÔÅÎÄÅÎ ÉÉ × ÜÔÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÉÍÅÀÔÓÑ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ËÌÀÞÅÎÉÅ ËÕÒÓÏ× Ï ËÏÎÅÞÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ É ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ), ÎÏ ÔÕÔ ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏ ÍÅÓÔÁ É ÄÌÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÊ ÒÁÂÏÔÙ. 5. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÂÌÉÚËÁ Ë ÉÎÔÕÉ ÉÉ É ÒÅÁÌØÎÏÓÔÉ

ïÂÙÞÎÏ ÕÞÁÝÉÅÓÑ ÔÅÒÑÀÔ ÏÝÕÝÅÎÉÅ Ó×ÑÚÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ó ÒÅÁÌØÎÏÓÔØÀ É ÉÎÔÕÉ ÉÅÊ. éÈ ÕÞÉÔÅÌÑ, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÄÅÔÓËÏÇÏ ÓÁÄÁ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÞÕ×ÓÔ×ÕÀÔ ÓÅÂÑ ÏÞÅÎØ ÎÅÕÀÔÎÏ, ËÁË ÔÏÌØËÏ ÉÍ ÒÅÄÌÁÇÁÀÔ ÓÏÊÔÉ Ó ÒÏÔÏÒÅÎÎÏÊ ÄÏÒÏÖËÉ. õ ÍÁÌÅÎØËÉÈ ÄÅÔÅÊ ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÙÈ ÏÄÈÏÄÏ× Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ×ÏÒÏÓÁÍ, ÎÏ ÕÞÉÔÅÌÑ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÎÅÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏÄÈÏÄÙ ÎÅ ÏÏÝÒÑÀÔ: ÏÔÞÁÓÔÉ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÏÎÑÔØ ÔÏ, ÞÔÏ ÒÅÂÅÎÏË ÄÕÍÁÅÔ ÉÌÉ ÙÔÁÅÔÓÑ ÓËÁÚÁÔØ, ÔÒÕÄÎÏ, É Õ ÕÞÉÔÅÌÑ ÜÔÏ ÎÅ ×ÙÈÏÄÉÔ, Á ÏÔÞÁÓÔÉ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÕÞÉÔÅÌØ ÓÞÉÔÁÅÔ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÙÍ ÒÉÍÅÎÑÔØ ÎÅÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÉÌÉ ÄÁ×ÁÔØ ÎÅÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÅ. ë ÔÏÍÕ ×ÒÅÍÅÎÉ, ËÏÇÄÁ ÕÞÁÝÉÊÓÑ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × ËÏÌÌÅÄÖÅ, ÏÎ ÕÖÅ ÒÉÕÞÅÎ ÎÅ ÙÔÁÔØÓÑ ÄÕÍÁÔØ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ É ÎÅ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ×ÓÌÕÈ, Ï ÞÅÍ ÏÎ ÄÕÍÁÅÔ. ïÎ ÒÏÓÔÏ ÓÔÁÒÁÅÔÓÑ ÏÎÑÔØ, ËÁËÉÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÅÍÕ ÎÁÄÏ ×ÙÕÞÉÔØ. óÔÏÉÔ × ÒÏ ÅÓÓÅ ÚÁÎÑÔÉÑ ÈÏÔØ ÎÅÍÎÏÇÏ ÏÔÏÊÔÉ ÏÔ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ËÕÒÓÁ ÉÌÉ ÔÅËÓÔÁ ÕÞÅÂÎÉËÁ, ËÁË ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ËÔÏÎÉÂÕÄØ, ËÔÏ ÓÒÏÓÉÔ, ÂÕÄÅÔ ÌÉ ÜÔÏÔ ÍÁÔÅÒÉÁÌ ÎÁ ÜËÚÁÍÅÎÅ. ðÏËÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÁÌØÎÏÊ Ó×ÑÚÉ Ó ÌÀÄØÍÉ, ÌÀÄÉ ×ÒÑÄ ÌÉ ÂÕÄÕÔ ÄÕÍÁÔØ Ï ÎÅÊ ÉÌÉ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÅÀ ÏÓÌÅ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÑ ËÕÒÓÁ. 6. ïÅÒÅÖÅÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ É ÏÌÉÍÉÁÄÙ

îÁÒÑÄÕ Ó ÔÅÎÄÅÎ ÉÅÊ ÕÄÅÌÑÔØ ÏÓÏÂÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÔÅÓÔÁÍ ÒÉÛÌÁ É ÍÏÄÁ ÎÁ ÕÓËÏÒÅÎÎÏÅ ÏÓ×ÏÅÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ. äÌÑ ÓÏÓÏÂÎÏÇÏ ÕÞÅÎÉËÁ ÎÅ ÏÞÅÎØ ÓÌÏÖÎÏ ÏÓ×ÏÉÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ ÒÅÄÕÓÍÏÔÒÅÎÏ. ó ÜÔÉÍ ÕÓËÏÒÅÎÉÅÍ Ó×ÑÚÁÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÏÂÌÅÍ. þÁÓÔÏ ÔÅ, ËÔÏ ÕÓ×ÁÉ×ÁÀÔ ÒÏÇÒÁÍÍÕ Ó ÏÅÒÅÖÅÎÉÅÍ, ÉÍÅÀÔ ÒÏÂÅÌÙ × ÏÄÇÏÔÏ×ËÅ, ËÏÔÏÒÙÅ

26

õ. £ÒÓÔÏÎ

ÒÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏÚÄÎÅÅ. ë ÜÔÏÍÕ ÍÏÍÅÎÔÕ ÕÞÁÝÅÍÕÓÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÔÙÄÎÏ ÒÉÚÎÁÔØ ÎÁÌÉÞÉÅ ÒÏÂÅÌÁ, É ÏÎ ÙÔÁÅÔÓÑ ÉÍÉÔÉÒÏ×ÁÔØ ÏÎÉÍÁÎÉÅ. üÔÏ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ËÁÔÁÓÔÒÏÆÉÞÅÓËÉÍ ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÑÍ. äÒÕÇÁÑ ÂÅÄÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÅÒÅÖÁÀÝÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÕÞÁÝÉÅÓÑ ÎÁÞÉÎÁÀÔ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÇÌÁ×ÎÏÅ ÎÏÅ





ÎÅ ËÁÞÅÓÔ×Ï ÏÂÕÞÅÎÉÑ É ÍÙÛÌÅÎÉÑ: ÇÌÁ×-

ÏÅÒÅÖÁÔØ Ó×ÏÉÈ ÒÏ×ÅÓÎÉËÏ×. ðÏÓËÏÌØËÕ Õ ÕÞÁÝÅÇÏÓÑ ×ÅÒÅÄÉ ÅÌÁÑ

ÖÉÚÎØ, ÏÓÔÏÌØËÕ ÜÔÏÔ ÏÄÈÏÄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÌÉÚÏÒÕËÉÍ. ëÏÇÄÁ ÔÁËÏÍÕ ÓÔÕÄÅÎÔÕ ÉÓÏÌÎÉÔÓÑ 25{30 ÌÅÔ, Ï ÅÎÉ×ÁÔØ ÅÇÏ ÂÕÄÕÔ ÎÅ Ï ÔÏÍÕ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÏÎ ÕÓÅÌ ÚÁÂÅÖÁÔØ ×ÅÒÅÄ, Á Ï ËÁÞÅÓÔ×Õ ÅÇÏ ÒÁÂÏÔÙ. þÁÓÔÏ ÔÁËÉÅ ÕÞÅÎÉËÉ ÂÙ×ÁÀÔ ÓÅÒØÅÚÎÏ ÒÁÚÏÞÁÒÏ×ÁÎÙ, ËÏÇÄÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÉÈ ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÙÅ, ÎÏ ÎÅ ÚÁÂÅÇÁ×ÛÉÅ ×ÅÒÅÄ ÓÏÕÞÅÎÉËÉ Ó ÎÉÍÉ ÓÒÁ×ÎÑÌÉÓØ É ÏÎÉ ÕÖÅ ÎÅ ×ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ ÎÁ ÆÏÎÅ ÍÎÏÇÉÈ ÄÒÕÇÉÈ. ÷ ÂÏÇÁÔÙÈ ÛËÏÌØÎÙÈ ÏËÒÕÇÁÈ ÒÏÂÌÅÍÕ ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÕÓÕÇÕÂÌÑÀÔ É ÒÏÄÉÔÅÌÉ, ÓÔÒÅÍÑÝÉÅÓÑ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏÂÙ ÉÈ ÄÅÔÉ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÂÙÓÔÒÏ ÒÏÛÌÉ ÛËÏÌØÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ



ÄÏ ÔÏÇÏ, ËÁË ÏÎÉ

ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ë ÜÔÏÍÕ ÇÏÔÏ×Ù. ÒÅÔØÑ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ, Ó×ÑÚÁÎÎÁÑ Ó ÏÅÒÅÖÅÎÉÅÍ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÓÏ ÉÁÌØÎÏÊ ÁÄÁÔÁ ÉÅÊ. þÁÓÔÏ ÕÞÁÝÉÊÓÑ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÌÏÖÅ Ó×ÏÉÈ ÏÄÎÏËÌÁÓÓÎÉËÏ×, ÓÏÓÏÂÅÎ ÏÓ×ÏÉÔØ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, ÎÏ Ó ÔÒÕÄÏÍ ×ÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ÉÈ ËÏÌÌÅËÔÉ×. ó ÔÅÎÄÅÎ ÉÅÊ Ë ÏÅÒÅÖÁÀÝÅÍÕ ÕÓ×ÏÅÎÉÀ ÒÏÇÒÁÍÍÙ Ó×ÑÚÁÎÁ É ÏÕÌÑÒÎÁÑ ÔÅÎÄÅÎ ÉÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ËÁË ÓÏÒÔÉ×ÎÏÅ ÓÏÓÔÑÚÁÎÉÅ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÏÍÁÎÄ ÓÔÁÒÛÅËÌÁÓÓÎÉËÏ×, ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÈ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÎÉÑÈ: ËÏÍÁÎÄÙ ÉÚ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÛËÏÌ ÓÏÂÉÒÁÀÔÓÑ ×ÍÅÓÔÅ, É ÉÍ ×ÙÄÁÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÚÁÄÁÞ, ÎÁ ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔ×ÏÄÉÔÓÑ ÏËÏÌÏ ÞÁÓÁ. ðÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÎÁ ÕÒÏ×ÎÅ ÏÔÄÅÌØÎÙÈ ÛÔÁÔÏ×, ×ÓÅÊ ÓÔÒÁÎÙ, Á ÔÁËÖÅ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÙÅ. ÅÍ, ËÔÏ ÎÁ ÎÉÈ ÕÓÅÛÎÏ ×ÙÓÔÕÁÅÔ, ÜÔÉ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÒÉÎÏÓÑÔ ÒÁÄÏÓÔØ; ÄÌÑ ÔÁËÉÈ ÕÞÁÝÉÈÓÑ ÏÎÉ É ÉÎÔÅÒÅÓÎÙ, É ÏÌÅÚÎÙ Ó ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ. åÓÔØ, ÏÄÎÁËÏ, É ÄÒÕÇÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ÍÅÄÁÌÉ: ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÓÌÕÖÁÔ ÏÄÄÅÒÖÁÎÉÀ ÔÏÇÏ ÍÎÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÌÉÂÏ Õ ÞÅÌÏ×ÅËÁ ÅÓÔØ €ÈÏÒÏÛÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÇÅÎف, ÌÉÂÏ ÉÈ ÎÅÔ. ïÌÉÍÉÁÄÙ ÒÁÚ×É×ÁÀÔ ÎÁ ÅÌÅÎÎÏÓÔØ ÎÁ ÓËÏÒÏÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ × ÕÝÅÒ ÇÌÕÂÉÎÅ ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÊ. îÁ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÒÏÌØ ÉÇÒÁÀÔ ÚÁÄÁÞÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÓÏÂÏÊ ÚÁÇÁÄËÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÛÁÀÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÉÓËÕÓÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÉÅÍÁ, Á ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÒÅÁÌÉÓÔÉÞÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ×ÁÖÎÙ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ É ÕÏÒÎÙÅ ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÑ. ÁËÏÊ ÏÄÈÏÄ ÏÔ×ÁÖÉ×ÁÅÔ ÒÙÅ ÎÅ ÎÁÓÔÏÌØËÏ

ÏÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÍÎÏÇÉÈ ÕÞÁÝÉÈÓÑ,

ËÏÔÏ-

ÂÙÓÔÒÏ ÄÕÍÁÀÔ ÉÌÉ ÈÕÖÅ ÎÁÔÒÅÎÉÒÏ×ÁÎÙ, ÎÏ ËÏÔÏ-

ÒÙÅ ÒÉ ÜÔÏÍ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÈÏÒÏÛÏ ÒÅÛÁÔØ ÚÁÄÁÞÉ, ÂÕÄØ Õ ÎÉÈ ×ÒÅÍÑ ÎÁ ÉÈ ÒÏÄÕÍÙ×ÁÎÉÅ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÌÕÞÛÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄÎÉËÏ× ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÈÏÒÏÛÉÍÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ, ÎÏ ÍÎÏÇÉÅ ÉÚ ÌÕÞÛÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÏÌÉÍÉÁÄÎÙÍÉ ÕÓÅÈÁÍÉ ÎÅ ÂÌÉÓÔÁÌÉ. óËÏÒÏÓÔØ ÍÙÛÌÅÎÉÑ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ

ï ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ

27

ÏÌÅÚÎÁ, ÎÏ ÜÔÏ ÌÉÛØ ÏÄÎÏ ÉÚ ËÁÞÅÓÔ×, ÏÌÅÚÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ. ÅÍ, ËÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÎÅ ÓÔÁÎÅÔ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÕÞÁÓÔÉÑ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÏÌÉÍÉÁÄÅ ÎÁ×ÙËÉ ÎÕÖÎÙ ÅÝÅ ÍÅÎØÛÅ. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÎÅÍÎÏÇÏ ÏÈÏÖÉ ÎÁ ÓÏÓÔÑÚÁÎÉÑ Ï ÚÎÁÎÉÀ ÏÒÆÏÇÒÁÆÉÉ. åÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÉÓØÍÏÍ ÂÅÚ ÏÒÆÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÏÛÉÂÏË É ÕÍÅÎÉÅÍ ÈÏÒÏÛÏ ÉÓÁÔØ, ÎÏ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ÕÞÅÎÉË, ÌÕÞÛÅ ×ÓÅÈ × ÛÔÁÔÅ ÚÎÁÀÝÉÊ ÏÒÆÏÇÒÁÆÉÀ, ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÉÓÁÔÅÌØÓËÉÍ ÔÁÌÁÎÔÏÍ, É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÁÌÁÎÔÌÉ×ÙÅ ÉÓÁÔÅÌÉ ÉÛÕÔ Ó ÏÛÉÂËÁÍÉ. åÓÌÉ ÂÙ ÂÙÌÏ ÒÉÎÑÔÏ ÕÔÁÔØ ÉÓÁÔÅÌØÓËÉÅ ÕÍÅÎÉÑ Ó ÕÍÅÎÉÅÍ ÇÒÁÍÏÔÎÏ ÉÓÁÔØ, ÔÏ Õ ÍÎÏÇÉÈ ÌÀÄÅÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÓÔÁÔØ ÉÓÁÔÅÌÑÍÉ, ÏÔÁÌÁ ÂÙ ÏÈÏÔÁ ÒÏÂÏ×ÁÔØ ÓÅÂÑ ÎÁ ÜÔÏÍ ÏÒÉÝÅ. ñ ÏÌÁÇÁÀ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÒÏÂÌÅÍ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÙÓÔÒÏÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÕÀ ÎÁ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÛÉÒÏËÁ, Ó ÔÅÍ ÞÔÏÂÙ ÂÏÌÅÅ ÒÏÄ×ÉÎÕÔÙÅ ÕÞÁÝÉÅÓÑ ÉÍÅÌÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÏÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØ ÍÁÔÅÒÉÁÌ ÂÏÌÅÅ ÇÌÕÂÏËÏ, ÚÁÇÌÑÄÙ×ÁÑ É × ÓÏÓÅÄÎÉÅ ÔÅÍÙ, É ÎÅ ÔÏÒÏÉÔØÓÑ ÏÂÇÏÎÑÔØ Ó×ÏÉÈ Ó×ÅÒÓÔÎÉËÏ×.

7. ÁÊÎÁ É Ï×ÌÁÄÅÎÉÅ íÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÒÁÚÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÖÉÍÁÅÍÏÓÔØÀ. ÷Ù ÍÏÖÅÔÅ ÄÏÌÇÏ ÍÕÞÉÔØÓÑ, ÙÔÁÑÓØ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ É ÛÁÇ ÚÁ ÛÁÇÏÍ ÏÎÑÔØ ËÁËÕÀ-ÔÏ ÉÄÅÀ ÉÌÉ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ, ÎÏ ËÁË ÔÏÌØËÏ ÏÄÌÉÎÎÏÅ ÏÎÉÍÁÎÉÅ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔÏ É ×Ù ÍÏÖÅÔÅ ÏÓÍÏÔÒÅÔØ ÎÁ ÔÏ, ÞÅÍ ×Ù Ï×ÌÁÄÅÌÉ, ËÁË ÎÁ ÅÄÉÎÏÅ ÅÌÏÅ, ÔÁË (ÚÁÞÁÓÔÕÀ) ÒÅÄÍÅÔ ×ÁÛÉÈ ÒÁÚÍÙÛÌÅÎÉÊ ÒÅÚËÏ ÓÏËÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÏÂßÅÍÅ: ×Ù ÍÏÖÅÔÅ €ÏÔÌÏÖÉÔØ ÅÇÏ ÎÁ ÏÌËՁ, ÂÙÓÔÒÏ ×ÓÏÍÎÉÔØ ÒÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÛÁÇÏ× × ËÁËÏÍ-ÔÏ ÅÝÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÉ. ïÚÁÒÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÙÍ ÓÏÒÏ×ÏÖÄÁÅÔÓÑ ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ,



ÏÄÎÁ ÉÚ ÒÅËÒÁÓÎÙÈ ÞÅÒÔ ÚÁÎÑÔÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ.

ïÓ×ÏÉ×, ÕÓÔØ É ÅÎÏÊ ÂÏÌØÛÉÈ ÕÓÉÌÉÊ, ËÁËÏÅ-ÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÎÑÔÉÅ, ÏÞÅÎØ ÔÒÕÄÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÓÅÂÑ ÎÁ ÍÅÓÔÏ ÔÏÇÏ, ÄÌÑ ËÏÇÏ ÜÔÏ ÏÎÑÔÉÅ ÏËÒÕÖÅÎÏ ÚÁ×ÅÓÏÊ ÔÁÊÎÙ. ðÏÍÎÀ, ËÁË × ÑÔÏÍ ËÌÁÓÓÅ Ñ ÒÉÛÅÌ Ë ÏÒÁÚÉ×ÛÅÍÕ ÍÅÎÑ ÏÎÉÍÁÎÉÀ, ÞÔÏ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÏÒÏÓ €ÓËÏÌØËÏ ÂÕÄÅÔ 134, ÄÅÌÅÎÎÏÅ ÎÁ 29?



=

ÒÏÓÔÏ 134 29.

üÔÏ ÖÅ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÔ ËÁËÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÒÁÂÏÔÙ ÍÏÖÎÏ ÏÓ×ÏÂÏÄÉÔØÓÑ! äÌÑ ÍÅÎÑ ÄÅÌÅÎÉÅ 134 ÎÁ 29 ÂÙÌÏ ÕÔÏÍÉÔÅÌØÎÙÍ ÚÁÄÁÎÉÅÍ, ÔÏÇÄÁ ËÁË ÚÁ

=

ÔÁËÉÍ ÒÅÄÍÅÔÏÍ, ËÁË 134 29, ÎÉËÁËÏÇÏ ÔÒÕÄÁ ÎÅ ÓÔÏÑÌÏ. ÷ ÒÁÄÏÓÔÎÏÍ ×ÏÚÂÕÖÄÅÎÉÉ Ñ ÒÉÂÅÖÁÌ Ë ÏÔ Õ É ÒÁÓÓËÁÚÁÌ ÅÍÕ Ï Ó×ÏÅÍ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÍ ÏÔËÒÙÔÉÉ. ïÎ ÍÎÅ ÏÔ×ÅÔÉÌ, ÞÔÏ ÄÁ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÔÁË ÏÎÏ É ÅÓÔØ: ÄÅÌÅÎÎÏÅ ÎÁ

b,



a=b

É

a,

ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÓÉÎÏÎÉÍÙ. äÌÑ ÎÅÇÏ ÜÔÏ ÂÙÌ ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ ÅÝÅ

ÏÄÉÎ ×ÁÒÉÁÎÔ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ. ïÄÉÎ ÉÚ ÍÏÉÈ ÕÞÅÎÉËÏ× ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÌ, ÞÔÏ ËÁË-ÔÏ ÏÎ ÚÁÛÅÌ × ÎÁÞÁÌØÎÕÀ ÛËÏÌÕ É ÅÇÏ ÏÒÏÓÉÌÉ ÎÁÕÞÉÔØ ÒÅÂÅÎËÁ ×ÙÞÉÔÁÔØ ÄÒÏÂÉ. íÏÊ ÕÞÅÎÉË ÂÙÌ

28

õ. £ÒÓÔÏÎ

ÏÒÁÖÅÎ É ÏÔÒÅÚ×ÌÅÎ, Õ×ÉÄÅ×, ÓËÏÌØËÏ ×ÓÅÇÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÜÔÏÊ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÊ ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÒÅÍÕÄÒÏÓÔÉ, ËÏÇÄÁ ÉÚÕÞÁÅÛØ ÅÅ × ÅÒ×ÙÊ ÒÁÚ. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÏÌÎÁ ÔÁËÉÍÉ ×ÅÝÁÍÉ ÎÁ ×ÓÅÈ ÕÒÏ×ÎÑÈ. ïÎÁ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔ ÒÁÓÔÉ. äÏÂÙÔÙÅ ÎÁÒÑÖÅÎÎÙÍ ÔÒÕÄÏÍ ÍÏÝÎÙÅ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÏÓÔÕÎÙ ÎÅ ÚÁÄÕÍÙ×ÁÀÝÉÍÓÑ Ï ÜÔÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ, ÎÏ ÎÅ ÕÞÁÝÉÍÓÑ, ÚÁÔÒÕÄÎÑÀÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÕÞÉÔØÓÑ Õ Ó×ÏÉÈ ÕÞÅÎÉËÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÅÑÔÓÔ×ÉÅ ÓÉÈÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ, ÍÅÛÁÀÝÅÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍ ×ÙÓÌÕÛÉ×ÁÔØ ÕÞÁÝÉÈÓÑ ÄÏ ËÏÎ Á. ÷ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ×ÁÖÎÏ ÏÞÅÎØ ÓÔÁÒÁÔØÓÑ ÒÅÏÄÏÌÅ×ÁÔØ ÜÔÏ ÒÅÑÔÓÔ×ÉÅ É ÎÅ ÍÅÛÁÔØ ÕÞÁÝÉÍÓÑ ÒÏÄÕÍÙ×ÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÅÝÉ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ. 8. õÍÅÎÉÅ É ÓÍÕÝÅÎÉÅ

ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÂÏÌÅÅ ÒÏÄ×ÉÎÕÔÙÅ ÕÞÁÝÉÅÓÑ ÚÎÁÀÔ ÍÎÏÇÏ ÔÏÇÏ, Ó ÞÅÍ ÍÅÎÅÅ ÒÏÄ×ÉÎÕÔÙÅ ÕÞÁÝÉÅÓÑ ÅÝÅ ÎÅ ÚÎÁËÏÍÙ. ëÏÇÄÁ ÏÎÉ ÓÌÙÛÁÔ, ËÁË ÄÒÕÇÉÅ ÎÅÂÒÅÖÎÏ ÅÒÅËÉÄÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÅÏÎÑÔÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ, ËÏÎÅÞÎÏ ÖÅ, ÄÏÌÖÅÎ ÚÎÁÔØ ËÁÖÄÙÊ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ×ÚÒÏÓÌÙÊ ÞÅÌÏ×ÅË, ÒÉ ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÎÉ É ÏÎÑÔÉÑ ÎÅ ÉÍÅÀÔ, Ï ÞÅÍ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ, ÏÎÉ ÞÕ×ÓÔ×ÕÀÔ ÓÅÂÑ ÏÞÅÎØ ÎÅÕÀÔÎÏ. üÔÉÍ ÕÞÁÝÉÍÓÑ ÎÅ ÒÉÈÏÄÉÔ × ÇÏÌÏ×Õ, ÞÔÏ Ó ÔÅÞÅÎÉÅÍ ×ÒÅÍÅÎÉ É ÏÎÉ ÏÚÎÁËÏÍÑÔÓÑ Ó ÜÔÉÍÉ ÔÅÏÒÉÑÍÉ, ×ÙÕÞÁÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÌÏ×Á É ÓÍÏÇÕÔ ÉÍÉ ÓÔÏÌØ ÖÅ ÎÅÂÒÅÖÎÏ ÏÂÍÅÎÉ×ÁÔØÓÑ. ñ ÏÍÎÀ ÍÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÅ×, ËÏÇÄÁ Ñ ÕÇÁÌÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÌÏ× É ÏÎÑÔÉÊ: €ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙʁ, €ÄÅÓÑÔÉÞÎÙʁ, €ÄÅÌÅÎÉÅ ÓÔÏÌÂÉËḮ, €ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔ؁, €ÁÌÇÅÂÒÁ, €ÅÒÅÍÅÎÎÁс, €ÕÒÁ×ÎÅÎÉŁ, €ÁÎÁÌÉځ, €ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉŁ, €ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉŁ, €ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉŁ, €×ÅËÔÏҁ, €ÔÅÎÚÏҁ, €ÕÞÏˁ, €ÓÅËÔҁ É ÔÁË ÄÁÌÅÅ. äÁÌÅËÏ ÎÅ ÓÒÁÚÕ Ñ ÒÉ×ÙË Ë ÜÔÏÍÕ Ñ×ÌÅÎÉÀ É ÅÒÅÓÔÁÌ ÓÍÕÝÁÔØÓÑ. õÞÉÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÔÏÖÅ ÎÅÒÅÄËÏ ÓÍÕÝÁÅÔ. õÞÉÔÅÌÑ ÓÔÁÒÛÅÊ ÛËÏÌÙ ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÓÔÅÓÎÑÀÔÓÑ ÏÄÈÏÄÉÔØ Ë ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÑÍ ËÏÌÌÅÄÖÅÊ É ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÏ×. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÎÉ (ÎÅ ÂÅÚ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÊ) ÚÁÄÁÀÔÓÑ ×ÏÒÏÓÏÍ, ÚÎÁËÏÍÙ ÌÉ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÓËÉÅ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ Ó ÚÁÄÁÞÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉÚ×ÁÎÙ ÒÅÛÁÔØ ÕÞÉÔÅÌÑ. ëÏÎÔÁËÔÏ× ÍÅÖÄÕ ÔÅÍÉ, ËÔÏ ÒÅÏÄÁÅÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ × ÛËÏÌÁÈ, ËÏÌÌÅÄÖÁÈ É ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ, ÔÁË ÍÁÌÏ, ÞÔÏ ÏÞÅÎØ ÎÅÍÎÏÇÉÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÓËÉÅ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ ÉÍÅÀÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÒÏÂÌÅÍÁÈ ÏÂÕÞÅÎÉÑ × ÓÒÅÄÎÅÊ É ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÛËÏÌÅ. þÔÏ ÖÅ ÄÏ ÕÞÉÔÅÌÅÊ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÛËÏÌÙ, ÔÏ ÏÎÉ ÏÂÙÞÎÏ ÎÅÕ×ÅÒÅÎÙ × Ó×ÏÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÚÎÁÎÉÑÈ É ÂÏÑÔÓÑ ÏÂÒÁÝÁÔØÓÑ Ë ËÏÍÕ ÂÙ ÔÏ ÎÉ ÂÙÌÏ. 9. ðÒÏÂÌÅÍÙ É ÒÅÛÅÎÉÑ

 ÏÄÎÏ

õ ÒÏÂÌÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ×ÓÅÈ ÕÒÏ×ÎÑÈ (ÏÔ ÄÅÔÓËÏÇÏ ÓÁÄÁ É ÄÏ ÁÓÉÒÁÎÔÕÒÙ) É Õ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÊ



ÍÎÏÇÏ ÏÂÝÅÇÏ. îÅÄÏÓÔÁÔÏË

ï ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÏÂÝÅÎÉÑ

29

 ÜÔÏ ×ÏÉÓÔÉÎÕ ÌÏÈÏ, Á ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÅ ÏÂÝÅÎÉÑ  ÜÔÏ ×ÏÉÓÔÉÎÕ

ÒÅËÒÁÓÎÏ.

÷ ÔÅÞÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÎÉÈ Ä×ÕÈ ÌÅÔ Ñ ×ÓÔÒÅÞÁÌÓÑ ÓÏ ÍÎÏÇÉÍÉ ÌÀÄØÍÉ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÍÉ Ó ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÎÁ ×ÓÅÈ ÕÒÏ×ÎÑÈ, ÂÕÄÕÞÉ ÞÌÅÎÏÍ MSEB (óÏ×ÅÔ Ï ÏÂÕÞÅÎÉÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÎÁÕËÁÍ

 ÏÂÝÅÁÍÅÒÉËÁÎÓËÁÑ

ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÑ, ×ËÌÀÞÁÀÝÁÑ × ÓÅÂÑ ÌÀÄÅÊ Ó ÓÁÍÙÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ÏÙÔÏÍ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ É × ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É ËÁËÏÅ-ÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÕÞÉÔÅÌÅÊ). é Ñ ÍÎÏÇÏÍÕ ÎÁÕÞÉÌÓÑ. ÷ ×ÅÓÅÎÎÅÍ ÓÅÍÅÓÔÒÅ 1990-ÇÏ ÇÏÄÁ äÖÏÎ ëÏÎ×ÅÊ, ðÉÔÅÒ äÏÊÌ É Ñ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÌÉ × ðÒÉÎÓÔÏÎÅ ÎÏ×ÙÊ ËÕÒÓ €çÅÏÍÅÔÒÉÑ É ×ÏÏÂÒÁÖÅÎÉŁ, ×ÏÂÒÁ×ÛÉÊ × ÓÅÂÑ ÍÎÏÇÏÅ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÅÍÕ Ñ ÎÁÕÞÉÌÓÑ × MSEB. íÙ ÒÅÏÄÁ×ÁÌÉ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏ, ÉÚÂÅÇÁÑ ÌÅË ÉÊ É ÕÄÅÌÑÑ ÏÓÏÂÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÇÒÕÏ×ÙÍ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑÍ ÓÒÅÄÉ ÕÞÁÝÉÈÓÑ. ïÓÎÏ×ÎÏÅ ÕÄÁÒÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÓÄÅÌÁÎÏ ÎÁ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÒÉÍÅÒÁÈ, ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÍ ÏÂÕÞÅÎÉÉ É ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ. íÙ ÒÏÓÉÌÉ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ×ÅÓÔÉ ÔÅÔÒÁÄÉ É ÏÄÒÏÂÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ Ó×ÏÉ ÍÙÓÌÉ ÎÁ ÈÏÒÏÛÅÍ ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍ ÑÚÙËÅ. ðÏ ÏËÏÎÞÁÎÉÉ ËÕÒÓÁ ËÁÖÄÙÊ ÓÔÕÄÅÎÔ ×ÙÏÌÎÉÌ ËÕÒÓÏ×ÕÀ ÒÁÂÏÔÕ. ÁËÉÅ ÒÉÎ ÉÙ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÏÂÙÞÎÙ × ÄÏÛËÏÌØÎÏÍ É ÛËÏÌØÎÏÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅËÕÝÉÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÁÍ NCTM. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ËÕÒÓÁ ÍÙ ÒÏ×ÅÌÉ ÏÒÁÄÏ×Á×ÛÕÀ ×ÓÅÈ €ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ

ÑÒÍÁÒËՁ: ÞÔÏ-ÔÏ ×ÒÏÄÅ ÎÁÕÞÎÏÊ ÑÒÍÁÒËÉ,2) ÎÏ ÂÅÚ ÒÉÚÏ× É Ó ÏËÏÒÎÏ×ÙÍÉ ÍÁÛÉÎÁÍÉ. ëÕÒÓ ÏËÁÚÁÌÓÑ ËÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌÅÅ ÕÄÁÞÎÙÍ, ÞÅÍ ×ÓÅ ÔÏ, ÞÔÏ ÍÙ ÒÅÏÄÁ×ÁÌÉ ÄÏ ÜÔÏÇÏ. óÔÕÄÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÍÕ ÎÁÕÞÉÌÉÓØ; ÏÎÉ ÒÅÛÁÌÉ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÂÙ É ÎÅ ÒÉÓËÎÕÌÉ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ × ËÏÌÌÅÄÖÅ ÎÁ ÏÂÙÞÎÏÍ ÚÁÎÑÔÉÉ. ÷ ÞÉÓÌÅ ÒÏÞÅÇÏ, ÍÙ ÏÂÓÕÖÄÁÌÉ É ×ÏÒÏÓÙ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. íÙ ÒÁÚÄÁÌÉ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ ÎÁÂÒÏÓÏË ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ, Ï ÍÁÔÅÒÉÁÌÁÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÎÉ ÎÁÉÓÁÌÉ 70 ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÈ ÓÏÞÉÎÅÎÉÊ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÁ ÉÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÏÙÔÅ. íÎÏÇÏ ÏÌÅÚÎÏÇÏ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÏÞÉÎÅÎÉÊ ×ËÌÀÞÅÎÏ × ÎÙÎÅÛÎÀÀ ×ÅÒÓÉÀ ÜÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. 10. íÅÎØÛÉÎÓÔ×Á

ðÏÞÅÍÕ ÓÒÅÄÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÔÁË ÍÁÌÏ ÖÅÎÝÉÎ É ÔÁË ÍÁÌÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÍÅÎØÛÉÎÓÔ× ÎÅÁÚÉÁÔÓËÏÇÏ ÒÏÉÓÈÏÖÄÅÎÉÑ? ñ ÕÂÅÖÄÅÎ, ÞÔÏ ÜÔÏ ×Ï ÍÎÏÇÏÍ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÎÅÄÏÓÔÁÔËÁÍÉ ÛËÏÌØÎÏÊ ÒÏÇÒÁÍÍÙ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ É ÛËÏÌØÎÏÇÏ ÏÂÕÞÅÎÉÑ. Ï, ËÁË ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ÒÅÏÄÁÀÔ × ÛËÏÌÁÈ, ÎÅ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÏÄÌÉÎÎÙÍ ÅÌÑÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ 2)



îÁÕÞÎÁÑ ÑÒÍÁÒËÁ ÓÏÓÔÑÚÁÎÉÅ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÖÀÒÉ Ï ÅÎÉ×ÁÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÎÙÅ ÛËÏÌØÎÉËÁÍÉ €ÒÏÅËÔف (ÒÉÍÅÒÙ ÒÏÅËÔÏ× ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× ÒÁÚÎÙÈ ×ÏÚÒÁÓÔÏ×: €æÁËÔÏÒÙ, ×ÌÉÑÀÝÉÅ ÎÁ ÒÏÓÔ ÂÁËÔÅÒÉʁ, €÷ÌÉÑÎÉÅ ÓÏÌÎÅÞÎÏÊ ÁËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÎÁ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÅ ÒÁÄÉÏ×ÏÌ΁, €îÁÛÁ óÏÌÎÅÞÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ). ÒÉÍ. ÅÒ.



30

õ. £ÒÓÔÏÎ

ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ïÞÅÎØ ÔÒÕÄÎÏ ÏÎÑÔØ ÇÌÕÂÉÎÕ, ÖÉÚÎÅÎÎÏÓÔØ, ÓÉÌÕ É ÛÉÒÏÔÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÅÓÌÉ ÚÎÁÔØ Ï ÎÅÊ ÔÏÌØËÏ ÔÏ, ÞÔÏ ÏÂÙÞÎÏ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÀÔ × ÛËÏÌÁÈ. ñ ÄÕÍÁÀ, ÞÔÏ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÉÚ ÔÅÈ, ËÔÏ ÏÓ×ÏÉÌÉ ÒÅÄÍÅÔ É ÓÔÁÌÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁÍÉ, ÒÏÇÒÁÍÍÉÓÔÁÍÉ É Ô. ., ÉÍÅÌÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÉÚÕÞÁÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ÏÍÉÍÏ ÛËÏÌÙ: ÉÎÏÇÄÁ ÄÏÍÁ, ÉÎÏÇÄÁ Ï ËÎÉÇÁÍ, ÉÎÏÇÄÁ Õ ×ÙÄÁÀÝÅÇÏÓÑ ÕÞÉÔÅÌÑ, É ÞÁÓÔÏ



× ËÏÍÁÎÉÉ ÔÁËÉÈ ÖÅ €ÂÏÔÁÎÉËÏׁ × ÛËÏÌÅ.

ëÏÇÄÁ Ñ ÕÞÉÌÓÑ × ÛËÏÌÅ, Ñ ×ÈÏÄÉÌ × ÔÁËÕÀ ËÏÍÁÎÉÀ (ÈÏÔÑ ÓÌÏ×Á €ÂÏÔÁÎÉˁ ÔÏÇÄÁ ÅÝÅ ÎÅ ÂÙÌÏ), É Ñ ÅÊ ÏÞÅÎØ ÂÌÁÇÏÄÁÒÅÎ. ïÄÎÁËÏ ÖÅ ÂÅÌÏÍÕ ÍÁÌØÞÉËÕ ÉÌÉ ÍÁÌØÞÉËÕ ÁÚÉÁÔÓËÏÇÏ ÒÏÉÓÈÏÖÄÅÎÉÑ ×ÏÊÔÉ × ÔÁËÕÀ ËÏÍÁÎÉÀ ÒÏÝÅ, ÞÅÍ ÞÅÒÎÏËÏÖÅÍÕ, ÉÓÁÎÏÑÚÙÞÎÏÍÕ ÉÌÉ ÄÅ×ÏÞËÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÕÔÉ ×ÎÅÛËÏÌØÎÏÇÏ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÍÉ ÄÌÑ ÌÕÞÛÉÈ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, Ï×ÙÛÅÎÉÅ ËÁÞÅÓÔ×Á ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ÛËÏÌÅ ÄÏÌÖÎÏ ÏÓÌÕÖÉÔØ ×ÙÒÁ×ÎÉ×ÁÎÉÀ ÛÁÎÓÏ×, × ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÁÆÒÏÁÍÅÒÉËÁÎ Å×, ÖÅÎÝÉÎ É ÉÓÁÎÏÑÚÙÞÎÙÈ. ðÒÉ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ ÔÅÍ, ËÔÏ ÏËÁ ÞÔÏ ÎÅÒÉ×ÙÞÅÎ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÓÔÉÌÀ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ, ÏÓÏÂÅÎÎÏ ×ÁÖÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÁÌÁ ÉÍ ÎÅ × ÒÁÚÂÁ×ÌÅÎÎÏÍ ×ÉÄÅ, ÎÏ ÏÉÒÁÌÁÓØ ÎÁ ÉÈ ÒÅÁÌØÎÙÊ ÏÙÔ. ÷ ÂÏÌØÛÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÜÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ É Ó ÒÏÂÏÓÔØÀ. õÏÒ ÎÁ ÏÅÒÅÖÅÎÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ×ÙÓÏËÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÔÅÓÔÏ× É ÓÏÒÅ×ÎÏ×ÁÔÅÌØÎÙÊ ÄÕÈ ÕÓÕÇÕÂÌÑÀÔ ÔÅ ÎÅÂÏÌØÛÉÅ ÒÁÚÌÉÞÉÑ, ÞÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ Ï ÉÎÙÍ ÒÉÞÉÎÁÍ.

11. ãÅÌÉ É ÓÔÁÎÄÁÒÔÉÚÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÔÅÓÔÙ ëÁËÏ×Á ÏÌØÚÁ ÏÔ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ?

11.1. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ × ÖÉÚÎÉ.

÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ



ÜÔÏ ×ÁÖÎÙÊ

ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔ × Ï×ÓÅÄÎÅ×ÎÏÊ ÖÉÚÎÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ×Ù ÎÅ ÔÏÒÏÑÓØ ÒÏÈÏÄÉÔÅ ÍÉÍÏ ÍÁÇÁÚÉÎÎÏÊ ÏÌËÉ, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÉÔ ËÏÆÅ × ÁËÅÔÁÈ Ï 13 ÕÎ ÉÊ É × ÖÅÓÔÑÎÙÈ ÂÁÎËÁÈ Ï 16 ÕÎ ÉÊ; ÍÏÖÅÔÅ ÌÉ ×Ù, ÅÒÅÒÁÂÏÔÁ× ÜÔÕ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÀ ×ËÕÅ Ó ÅÎÁÍÉ É ÑÒËÉÍ ÏÂßÑ×ÌÅÎÉÅÍ €ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÁ 23% ÂÏÌØÛÅ!, ÒÅÛÉÔØ, ËÏÆÅ × ËÁËÏÊ ÕÁËÏ×ËÅ ÏÂÏÊÄÅÔÓÑ ×ÁÍ ÄÅÛÅ×ÌÅ, É ×ÓÅ ÜÔÏ



ÏËÁ ×Ù ÉÄÅÔÅ ×ÄÏÌØ ÏÌËÉ? ëÏÇÄÁ ×Ù ÏËÕÁÅÔÅ ÎÏ×ÕÀ ÍÁÛÉÎÕ,

×Ù ÈÏÒÏÛÏ ÏÎÉÍÁÅÔÅ ×ÓÅ ÈÉÔÒÏÓÔÉ Ó ËÒÅÄÉÔÏÍ É ÓËÉÄËÁÍÉ? óÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, ÅÓÌÉ ÂÙ ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÏËÕÁÔÅÌÅÊ ÜÔÏ ÏÎÉÍÁÌÏ, ÔÏ ÈÉÔÒÏÓÔÉ ÂÙ É ÎÅ ÒÉÍÅÎÑÌÉÓØ. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÕÍÅÎÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÒÁÓÓÕÖÄÁÔØ ×ÁÖÎÏ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÂÙÔØ ÓÏÚÎÁÔÅÌØÎÙÍ ÇÒÁÖÄÁÎÉÎÏÍ. íÏÖÅÔÅ ÌÉ ×Ù ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ × ÓÕÖÄÅÎÉÑÈ Ï ÏÁÓÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÚÄÏÒÏ×ØÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÝÅÓÔ× É ÒÅÛÉÔØ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÜÔÉ ÓÕÖÄÅÎÉÑ ÏÂÏÓÎÏ×ÁÎÙ? ëÏÇÄÁ ×Ù ÓÌÕÛÁÅÔÅ ×ÙÓÔÕÌÅÎÉÅ ÏÌÉÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÄÅÑÔÅÌÑ, ÓÏÓÏÂÎÙ ÌÉ ×Ù ÒÏÁÎÁÌÉÚÉÒÏ×ÁÔØ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÕÍÎÙ ÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÉÍ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÄÁÎÎÙÅ É ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÀÔ? óÍÏÖÅÔÅ ÌÉ ×Ù ÒÁ×ÉÌØÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ É ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÄÌÑ ÒÏÓÔÙÈ ÌÏÔÎÉ ËÉÈ É Û×ÅÊÎÙÈ ÒÁÂÏÔ? õÍÅÅÔÅ ÌÉ ×Ù

ï ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ

31

ÌÁÎÉÒÏ×ÁÔØ ÒÁÓÈÏÄÙ? åÓÌÉ ×Ù ×ÉÄÉÔÅ × ÇÁÚÅÔÅ ÉÌÉ ÖÕÒÎÁÌÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ, ÏÎÉÍÁÅÔÅ ÌÉ ×Ù, ÞÔÏ ÏÎÁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, É ÚÎÁËÏÍÙ ÌÉ ×Ù Ó ÎÅÈÉÔÒÙÍÉ ÕÌÏ×ËÁÍÉ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÍÉ ÓËÒÙÔØ ÉÌÉ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï? ÷-ÔÒÅÔØÉÈ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ

 ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÒÁ-

ÂÏÞÉÈ ÍÅÓÔ × ÎÁÛÅÍ ×ÓÅ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÏÍ É ÔÅÈÎÏÌÏÇÉÞÎÏÍ ÏÂÝÅÓÔ×Å. ïÎÁ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ Ï×ÓÀÄÕ É Ï-×ÓÑËÏÍÕ. úÕÂÎÏÊ ÔÅÈÎÉË, ÍÁÓÔÅÒ Ï ÒÅÍÏÎÔÕ ÆÁËÓÏ×, ÍÅÎÅÄÖÅÒ × €íÁËÄÏÎÁÌØÄÓŁ, ÒÉÜÌÔÅÒ, ËÏÎÓÕÌØÔÁÎÔ Ï ËÏÍØÀÔÅÒÁÍ, ÂÕÈÇÁÌÔÅÒ, ÂÁÎËÉÒ, ÎÑÎÑ, ÁÄ×ÏËÁÔ

 ×ÓÅ ÏÎÉ ÄÌÑ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ Ó×ÏÉÈ

ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÏÂÑÚÁÎÎÏÓÔÅÊ ÎÕÖÄÁÀÔÓÑ × ËÁËÏÍ-ÔÏ ×ÌÁÄÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ. ÷-ÞÅÔ×ÅÒÔÙÈ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ (ÏÒÏÊ ÎÅÒÁ×ÉÌØÎÏ) × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÏÔÒÁÓÌÅÊ ÎÁÕËÉ. íÎÏÇÏÅ × ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁÕËÅ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ. íÎÏÇÉÅ ÕÞÅÎÙÅ ÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÛÉÒÏËÏ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÍÉ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÍ ÒÏÇÒÁÍÍÁÍÉ ÄÌÑ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ, ÞÔÏ ÏÂÌÅÇÞÁÅÔ ÉÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ. ïÄÎÁËÏ ÖÅ ÔÅ, ËÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÔÁËÉÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÎÅÔ×ÅÒÄÏ ÏÎÉÍÁÀÔ, ÎÁ ÞÅÍ ÏÓÎÏ×ÁÎÁ ÒÁÂÏÔÁ ÜÔÉÈ ÒÏÇÒÁÍÍ, É ÞÁÓÔÏ ÒÉÍÅÎÑÀÔ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÓÔÙ É ÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. 11.2. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÖÉ×Á.

äÌÑ ÍÅÎÑ ÜÔÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ×ÁÖ-

ÎÙ, ÎÏ ×ÔÏÒÉÞÎÙ. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÊ ËÒÁÓÏÔÏÊ, ÓÉÌÏÊ É ÓÔÒÏÊÎÏÓÔØÀ × ÂÏÌØÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÞÅÍ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÖÉÄÁÔØ. ïÎÁ ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ÍÅÎÑÅÔÓÑ; ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÎÏ×ÏÍ Ï×ÏÒÏÔÅ ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉ×ÁÅÍ ÎÏ×ÙÅ ÒÅËÒÁÓÎÙÅ É ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÙÅ Ó×ÑÚÉ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÕÖÅ ÚÎÁËÏÍÏ. ðÅÒÅÍÅÎÙ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÂÙÓÔÒÙ

 ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÂÁÚÉÒÕ-

ÀÔÓÑ ÎÁ ÏÞÅÎØ ÒÏÞÎÏÊ ÏÓÎÏ×Å.

íÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÏÈÏÖÁ ÎÁ ÏÌÅÔ ÆÁÎÔÁÚÉÉ

 ÎÏ ÔÁËÏÊ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÆÁÎ-

ÔÁÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÒÅÁÌØÎÙÍ É ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÂÙÌÏ ×ÓÅÇÄÁ.

úÁÎÑÔÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ ÏÈÏÖÉ ÎÁ ÆÁÎÔÁÚÉÒÏ×ÁÎÉÅ, ÎÏ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÏÎÉ ÓÏÓÔÏÑÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÎÁÛÅ ×ÏÓÒÉÑÔÉÅ ÏÂÏÓÔÒÑÅÔÓÑ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÅÇÏ ÍÙ ÏÔËÒÙ×ÁÅÍ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÉ, ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÏËÒÕÇ ÎÁÓ. ÷ Ó×ÏÅÊ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ËÎÉÇÅ €áÏÌÏÇÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ç. è. èÁÒÄÉ ×ÏÚÄÁÌ È×ÁÌÕ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ ÚÁ ÞÉÓÔÏÔÕ, ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÓÔØ É ÏÌÎÕÀ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÅÅ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ

 Á ÓÅÊÞÁÓ ÜÔÏÔ ÖÅ ÒÁÚÄÅÌ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÏÞÅÎØ

ÛÉÒÏËÏ, ÏÓÏÂÅÎÎÏ × ÚÁÄÁÞÁÈ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ.

íÏÊ ÏÙÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ÕÂÅÖÄÁÅÔ ÍÅÎÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÅÌÉ ÜÓÔÅÔÉÞÅÓËÉÅ É ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÅ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÄÌÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏÞÅÎØ ÂÌÉÚËÉ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ. îÁÛÅ ÞÕ×ÓÔ×Ï ÒÅËÒÁÓÎÏÇÏ ×ÌÅÞÅÔ ÎÁÓ Ë ÔÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÞÔÏ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÊ ÇÌÕÂÉÎÏÊ É ÓÔÒÏÊÎÏÓÔØÀ. á ÚÁÔÅÍ ÓÁÍÉ Ï ÓÅÂÅ ÇÌÕÂÉÎÁ É ËÒÁÓÏÔÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÊ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÏÑ×ÌÑÀÔÓÑ × ÄÒÕÇÉÈ ÞÁÓÔÑÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É × ÏËÒÕÖÁÀÝÅÍ ÍÉÒÅ.

32

õ. £ÒÓÔÏÎ

ðÏÄÅÌÉÔØÓÑ Ó ÕÞÁÝÉÍÉÓÑ ÒÅÌÅÓÔØÀ É ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÙÍ ÏÙÔÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÄÁÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÌÅÔÁÔØ ÔÁÍ, ÇÄÅ ÍÙ ÒÁÎÅÅ ÈÏÄÉÌÉ ÅÛËÏÍ,  ×ÏÔ × ÞÅÍ ÅÌØ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÅÌÉ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÏËÁÚÁÌÉÓØ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ ÕÚËÉÍÉ, ÍÎÏÇÏ ÂÏÌÅÅ ÕÚËÉÍÉ, ÞÅÍ ÄÁÖÅ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÅ ÅÌÉ, ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ, ÎÅ ÇÏ×ÏÒÑ ÕÖ Ï ÏÓÔÁÌØÎÏÍ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÒÅÍÑ É ÏÌÉÔÉËÉ, É ÕÂÌÉËÁ ÏÂÙÞÎÏ ÔÒÅÂÕÀÔ ÏÔ ÛËÏÌ €ÒÏ×ÅÒÑÅÍÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏׁ. üÔÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÒÅËÒÁÓÎÏ, ÅÓÌÉ ÂÙ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÛËÏÌØÎÏÇÏ ÏÂÕÞÅÎÉÑ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÑÌÉÓØ Ï ÕÚËÏÎÁ ÅÌÅÎÎÙÍ ÔÅÓÔÁÍ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ, ÞÔÏ ÓÞÉÔÁÌÏÓØ ÂÙ, ÞÔÏ ÛËÏÌØÎÉËÉ ÏÓ×ÏÉÌÉ ûÅËÓÉÒÁ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ÒÏÊÔÉ ÔÅÓÔ Ï ÁÎÇÌÉÊÓËÏÍÕ ÑÚÙËÕ XVI ×ÅËÁ, ÉÌÉ ÖÅ ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÁÕÞÉÌÉÓØ ÈÏÒÏÛÏ ÉÓÁÔØ, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÕÍÅÀÔ ÒÁ×ÉÌØÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÇÒÁÍÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÆÏÒÍÕ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÈ. ïÒÇÁÎÙ ÎÁÒÏÄÎÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ (ËÁË ÒÅÇÉÏÎÁÌØÎÙÅ, ÔÁË É ÎÁ ÕÒÏ×ÎÅ ÛÔÁÔÏ×) ×ÙÄÁÀÔ ÎÅ ÒÏÇÒÁÍÍÙ ÏÂÕÞÅÎÉÑ, Á ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ ÓÉÓÏË ÕÍÅÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÛËÏÌØÎÉËÉ ÄÏÌÖÎÙ Ï×ÌÁÄÅÔØ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÍÕ ×ÏÚÒÁÓÔÕ: ÓÌÏÖÅÎÉÅ × ÓÔÒÏÞËÕ ÉÌÉ × ÓÔÏÌÂÉË, ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÅ Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ Ë Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÓÕÍÍÁ Ä×ÕÚÎÁÞÎÁ, É ÏÔÄÅÌØÎÏ ÔÏ ÖÅ, ÅÓÌÉ ÓÕÍÍÁ ÔÒÅÈÚÎÁÞÎÁ, É Ô.. ÷ ÓÔÁÔØÅ, ÏÔËÒÙ×ÁÀÝÅÊ ÏÄÉÎ ÉÚ ÒÁÚÄÅÌÏ× ÎÏÍÅÒÁ €îØÀ-êÏÒË ÁÊÍӁ ÏÔ 24 ÉÀÌÑ 1990 ÇÏÄÁ, ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÛËÏÌÙ × Ä×ÕÈ ÒÁÚÎÙÈ €ÔÒÕÄÎÙȁ ÒÁÊÏÎÁÈ âÒÕËÌÉÎÁ. ðÅÒ×ÁÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ÛËÏÌ ÂÙÌÁ €ÕÓÅÛÎÏʁ; × ÎÅÊ ÅÖÅÄÎÅ×ÎÏ ÒÏ×ÏÄÉÌÏÓØ Ä×Á ÕÒÏËÁ ÞÔÅÎÉÑ, ÒÉÞÅÍ ×ÔÏÒÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÂÙÌ ÅÌÉËÏÍ ÏÓ×ÑÝÅÎ ÏÔÒÁÂÏÔËÅ ÎÁ×ÙËÏ×, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÄÌÑ ÎÁÉÓÁÎÉÑ ÔÅÓÔÏ×, É ÔÒÅÎÉÒÏ×ËÁÍ ÓÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍÉ ÔÅÓÔÁÍÉ ÎÁ ÞÔÅÎÉÅ. ÷ ÜÔÏÊ ÛËÏÌÅ 80 5% ÕÞÁÝÉÈÓÑ ÒÏÛÌÉ ÔÅÓÔ ÕÓÅÛÎÏ. ÷ÔÏÒÁÑ ÛËÏÌÁ ÂÙÌÁ €ÎÅÕÓÅÛÎÏʁ: × ÎÅÊ ÏÄÇÏÔÏ×ËÁ Ë ÔÅÓÔÕ ÚÁÎÉÍÁÌÁ €ÔÏÌØËρ ÔÒÉ ÍÅÓÑ Á. ÷ ÜÔÏÊ ÛËÏÌÅ ÔÅÓÔ ÒÏÛÌÉ 36 4% ÕÞÁÝÉÈÓÑ. öÕÒÎÁÌÉÓÔ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÒÉÍÅÒ ÔÏÇÏ, ËÁË ÄÉÒÅËÔÏÒ ÚÁÄÁÅÔ ÔÏÎ × ÕÓÅÛÎÏÊ ÛËÏÌÅ: åÊ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÄÁÀÔÓÑ ×ÓÅÇÏ ÌÉÛØ ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ÏÔ×ÅÔÙ: ÏÎÁ ÈÏÞÅÔ, ÞÔÏÂÙ ÂÙÌÉ ×ÅÒÎÙ É ×ÓÅ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÅ ÛÁÇÉ. ÷ ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÞÅÔ×ÅÒÔÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÏÎÁ ÏÂÒÁÔÉÌÁ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÄÅ×ÏÞËÁ Ï ÉÍÅÎÉ ëÅÁÎÄÁ óÎÜÇÇ ÒÅÄÌÏÖÉÌÁ ÓÔÒÁÎÎÙÊ, ÎÏ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÚÁÄÁÞÅ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ×ÙÑÓÎÉÔØ, × ËÁËÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÍÁÇÁÚÉÎÏ× ÎÉÖÅ ÓÒÅÄÎÑÑ ÅÎÁ ÔÏ×ÁÒÁ. €ðÏÈÏÖÅ, ÔÙ ÈÏÞÅÛØ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÔ×ÅÔ, ÎÅ ÓÄÅÌÁ× ÒÁÂÏÔف,  ÓËÁÚÁÌÁ ÏÎÁ ÄÅ×ÏÞËÅ. îÁÂÌÀÄÁÑ, ËÁË ëÅÁÎÄÁ ÒÏ×ÏÄÉÔ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÏÎÁ ÏÄÞÅÒËÎÕÌÁ, ÓËÏÌØ ×ÁÖÎÏ ÁËËÕÒÁÔÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ÞÉÓÌÁ × ÓÔÏÌÂÉË. 11.3. ÅÓÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ É €ÒÏ×ÅÒÑÅÍÏÓÔØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏׁ.

;

;

ï ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ

33

îÅ ×ÉÄÑ ÜÔÉÈ ÛËÏÌ, Ñ ÎÅ ÍÏÇÕ ÓËÁÚÁÔØ, ËÁËÁÑ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÂÏÌÅÅ ÕÓÅÛÎÁ, ÎÏ Ñ ÚÎÁÀ ÏÄÎÏ: ÎÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÔÅÓÔÏ×, ÎÉ ÅÒÅÓËÁÚÁÎÎÁÑ × ÓÔÁÔØÅ ÉÓÔÏÒÉÑ Ï ÜÔÏÊ ÕÓÅÛÎÏÓÔÉ ÎÅ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÕÅÔ.

12. íÙÛÌÅÎÉÅ É ÚÁÚÕÂÒÉ×ÁÎÉÅ õÚËÉÅ ÅÌÉ ÏÔÕÌÑÀÔ. ìÀÄÉ ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌÅÅ ÓÏÏÂÒÁÚÉÔÅÌØÎÙ × ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ×ÅÓØ Ó×ÏÊ ÉÎÔÅÌÌÅËÔ É Ó×ÑÚÁÔØ ÔÏ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÉÚÕÞÁÀÔ, Ó ÒÅÁÌØÎÙÍÉ Ó ÉÈ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑÍÉ ÉÌÉ Ñ×ÌÅÎÉÑÍÉ. åÓÌÉ ËÔÏ-ÔÏ ÚÁÔÒÕÄÎÑÅÔÓÑ ÏÎÑÔØ ÔÏ, ÞÔÏ ×Ù ÅÍÕ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÅ, ÔÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÅÁË ÉÑ



ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÍÁÔÅÒÉÁÌ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÍÅÌËÉÅ ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ É

ÏÂßÑÓÎÑÔØ ÜÔÉ ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ Ï ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ. üÔÏ ÏÂÙÞÎÏ ÎÅ ÏÍÏÇÁÅÔ, ÔÁË ÞÔÏ ×Ù ÒÅÄÒÉÎÉÍÁÅÔÅ ÅÝÅ ÂÏÌÅÅ ÍÅÌËÏÅ ÄÅÌÅÎÉÅ É ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔÅ ÅÝÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ. äÅÌÏ, ÏÄÎÁËÏ, × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÉÊ ÍÏÚÇ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÎÅ ËÁË ËÏÍØÀÔÅÒ: ÏÎÑÔØ ÎÅÞÔÏ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ × ×ÉÄÅ ÎÁÂÏÒÁ ÁËËÕÒÁÔÎÏ ÏÂßÑÓÎÅÎÎÙÈ ÍÅÌËÉÈ ÞÁÓÔÅÊ, ÎÅ ÒÏÝÅ, Á ÓÌÏÖÎÅÅ, ÞÅÍ ÏÎÑÔØ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ËÁË ÅÌÏÅ. äÌÑ ÞÅÌÏ×ÅËÁ ÏÞÅÎØ ÔÒÕÄÎÏ ÒÏÞÅÓÔØ ËÏÍØÀÔÅÒÎÕÀ ÒÏÇÒÁÍÍÕ ÎÁ ÁÓÓÅÍÂÌÅÒÅ É ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÄÅÌÁÅÔ, ÈÏÔÑ ËÏÍØÀÔÅÒ ÞÉÔÁÅÔ É ÉÓÏÌÎÑÅÔ ÅÅ × ÍÇÎÏ×ÅÎÉÅ ÏËÁ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÄÁÖÅ ÓÁÍÙÊ ÍÏÝÎÙÊ ËÏÍØÀÔÅÒ ÎÁ Ó×ÅÔÅ ÎÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÏÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÂÅÚÏÁÓÎÏ ×ÏÄÉÔØ ÍÁÛÉÎÕ, ÈÏÄÉÔØ Ï ÔÒÏÔÕÁÒÕ, ÎÅ ÎÁÔÙËÁÑÓØ ÎÁ ÒÏÈÏÖÉÈ, ÉÌÉ ÓÄÅÌÁÔØ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÏÔËÒÙÔÉÅ. éÚÕÞÁÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ, ÒÁÚÂÉÔÕÀ ÎÁ ÍÅÌËÉÅ ÓÏÓÔÁ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÉ,



×ÓÅ ÒÁ×-

ÎÏ, ÞÔÏ ÎÁÞÁÔØ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÑÚÙËÁ Ó ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÚÁÕÞÉÔØ ÓÌÏ×ÁÒØ É ÇÒÁÍÍÁÔÉËÕ, ÚÁÔÅÍ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÓÔÒÏÉÔØ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ, É ÔÏÌØËÏ ÏÓÌÅ ×ÓÅÇÏ ÜÔÏÇÏ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÞÉÔÁÔØ, ÉÓÁÔØ É ÇÏ×ÏÒÉÔØ. îÏÓÉÔÅÌÉ ÑÚÙËÁ ÎÅ ÚÎÁÀÔ ÒÁ×ÉÌ ÇÒÁÍÍÁÔÉËÉ: ÏÎÉ ÕÓ×ÁÉ×ÁÀÔ ÑÚÙË, ËÏÎ ÅÎÔÒÉÒÕÑÓØ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ×ÙÓÏËÏÍ ÕÒÏ×ÎÅ É ÕÓ×ÁÉ×ÁÑ ÇÒÁÍÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÒÁ×ÉÌÁ ÏÄÓÏÚÎÁÔÅÌØÎÏ. ÷ÙÕÞÉÔØ ÒÁ×ÉÌÁ ÇÏÒÁÚÄÏ ÔÒÕÄÎÅÅ, ÞÅÍ ×ÙÕÞÉÔØ ÑÚÙË ËÁË ÔÁËÏ×ÏÊ. íÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ É ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÎÅÕÄÁÞÎÙÅ ÏÙÔËÉ ÎÁÕÞÉÔØ ËÏÍØÀÔÅÒÙ ÑÚÙËÁÍ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ ÎÉËÏÍÕ ÎÅ ÕÄÁÌÏÓØ ÁÄÅË×ÁÔÎÏ ÏÉÓÁÔØ ÑÚÙË Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÏÞÎÙÈ ÒÁ×ÉÌ. ìÕÞÛÅ ÎÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÔØ ËÁËÕÀ-ÔÏ ÔÅÍÕ ×ÏÏÂÝÅ, ÞÅÍ ÕÞÉÔØ ÅÊ, ÒÁÚÂÉ×ÁÑ ÎÁ ÍÅÌËÉÅ ÞÁÓÔÉ.

13. ïÔ×ÅÔÙ É ×ÏÒÏÓÙ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ÌÕÞÛÅ ÕÓ×ÁÉ×ÁÀÔÓÑ É ×ÙÛÅ ÅÎÑÔÓÑ ÔÅÍÉ, ËÔÏ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ÙÔÁÌÓÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÔØ ×ÏÒÏÓÙ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÔÅÏÒÉÑ ÒÉÚ×ÁÎÁ ÏÔ×ÅÔÉÔØ.

34

õ. £ÒÓÔÏÎ

÷ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÔÅÎÄÅÎ ÉÑ ÎÅ ÎÁÒÕÛÁÔØ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÏÒÑÄÏË É ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÔØ ×ÓÀ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÕÀ ÔÅÈÎÉËÕ É ×ÓÅ ÏÔ×ÅÔÙ ÄÏ ÔÏÇÏ, ËÁË ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÏ×ÁÔØ ÒÉÍÅÒÙ É ÚÁÄÁ×ÁÔØ ×ÏÒÏÓÙ, × ÎÁÄÅÖÄÅ, ÞÔÏ Ë ÜÔÏÍÕ ×ÒÅÍÅÎÉ × ÒÁÓÏÒÑÖÅÎÉÉ ÕÞÁÝÉÈÓÑ ÂÕÄÅÔ ×ÅÓØ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÁÒÉÊ ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÏÔ×ÅÔÏ×. ìÕÞÛÅ, ÏÄÎÁËÏ, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ÒÉÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÎÅÏÔ×ÅÞÅÎÎÙÅ ×ÏÒÏÓÙ É ÎÅÏÂßÑÓÎÅÎÎÙÅ ÒÉÍÅÒÙ, ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÇÏÔÏ×Ù ÌÉ ÕÞÁÝÉÅÓÑ, ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ ÉÌÉ ËÔÏ-ÔÏ ÅÝÅ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ÎÉÈ. ÷ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÌÕÞÛÉÊ Ó ÓÉÈÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÏÒÑÄÏË ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÒÅÄÍÅÔÁ ÚÁÞÁÓÔÕÀ ÓÉÌØÎÏ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÇÏ Ó ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ. íÙ, ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÏÒÏÓÙ ÂÅÚ ÏÔ×ÅÔÁ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ËÏÎÞÁÔÓÑ. á ×ÏÔ ÕÞÁÝÉÅÓÑ ÏÂÙÞÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÀÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ËÁË ÎÅÞÔÏ ÒÁÓÆÁÓÏ×ÁÎÎÏÅ É ÕÁËÏ×ÁÎÎÏÅ ÚÁÛÌÉ × ÅÅ ÉÚÕÞÅÎÉÉ.

 Ï ÔÏÊ ÒÉÞÉÎÅ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÁÌÅËÏ

íÙ ÄÏÌÖÎÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ÕÞÁÝÉÍÓÑ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎÁ ×ÙÇÌÑÄÅÌÁ É ÉÎÔÅÒÅÓÎÏÊ, É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÌÉÚËÏÊ Ë ÓÉÔÕÁ ÉÑÍ, Ó ËÏÔÏÒÙÍÉ ÕÞÁÝÉÅÓÑ ÓÔÏÌËÎÕÔÓÑ × ÒÅÁÌØÎÏÊ ÖÉÚÎÉ, ËÏÇÄÁ ÎÅÔ ÇÁÒÁÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÏÔ×ÅÔÁ.

14. þÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÄÅÌÁÔØ?

ïÔ×ÅÔ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÔÏ ÍÙ. ÷ ÎÁÛÅÊ ÓÉÓÔÅÍÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÁ ÒÁÚÏÂÝÅÎÎÏÓÔØ, ÏÔÄÅÌØÎÏÊ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÉ ÉÌÉ ÏÔÄÅÌØÎÏÍÕ ÞÅÌÏ×ÅËÕ ÔÒÕÄÎÏ ÎÁÒÑÍÕÀ Ï×ÌÉÑÔØ ÎÁ ÓÉÓÔÅÍÕ × ÅÌÏÍ. ñ ÏÒÏÂÕÀ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÙÊ × ÚÁÇÏÌÏ×ËÅ ×ÏÒÏÓ Ó ÏÚÉ ÉÊ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × ËÏÌÌÅÄÖÁÈ É ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÒÁÚÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØ ËÕÒÓÙ ÄÌÑ ËÏÌÌÅÄÖÅÊ É ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÁ×ÁÌÉ ÂÙ ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÎÁÞÁÔØ Ó ÎÕÌÑ. ðÏ×ÔÏÒÉÔÅÌØÎÙÅ ËÕÒÓÙ ÛÉÒÏËÏ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÙ, ÎÏ ÉÈ ÕÓÅÈ ÎÅ×ÅÌÉË: ÒÏÈÏÄÉÔØ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌ ×ÔÏÒÏÊ ÒÁÚ ÓËÕÞÎÏ É ÕÔÏÍÉÔÅÌØÎÏ, ×ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÂÙÌ ÌÉ ÏÎ ÕÓ×ÏÅÎ × ÅÒ×ÙÊ ÒÁÚ. ÁËÉÅ ËÕÒÓÙ ÒÁÓÈÏÌÁÖÉ×ÁÀÔ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× É ÒÅÑÔÓÔ×ÕÀÔ ÉÈ Ô×ÏÒÞÅÓÔ×Õ. ÷ÍÅÓÔÏ ÜÔÏÇÏ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÂÏÌØÛÅ ËÕÒÓÏ×, ÄÏÓÔÕÎÙÈ ÅÒ×ÏËÕÒÓÎÉËÁÍ É ÔÅÍ, ËÔÏ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÎÅ ÓÅ ÉÁÌÉÚÉÒÕÅÔÓÑ, Ó ÔÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÜÔÉ ËÕÒÓÙ, ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÛÉÒÏÔÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÏÚ×ÏÌÑÌÉ ÎÁÞÁÔØ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÏÞÔÉ Ó ÎÁÞÁÌÁ É ÂÅÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ Ï×ÔÏÒÑÔØ ÍÎÏÇÏÅ ÉÚ ÔÏÇÏ, Ï ÞÅÍ ÕÞÁÝÉÅÓÑ ÕÖÅ ÓÌÙÛÁÌÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ËÕÒÓÙ Ï ÔÏÏÌÏÇÉÉ, ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ, ÔÅÏÒÉÉ ÇÒÕ É ÓÉÍÍÅÔÒÉÑÍ, ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ËÏÎÅÞÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÄÉÎÁÍÉÞÅÓËÉÍ ÓÉÓÔÅÍÁÍ (ÈÁÏÓÕ), ËÏÍØÀÔÅÒÎÏÊ ÇÒÁÆÉËÅ Ó ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ, ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ É ÎÁÞÅÒÔÁÔÅÌØÎÏÊ

ï ÏÂÕÞÅÎÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ

35

ÇÅÏÍÅÔÒÉÑÍ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ, ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÇÉËÅ ÍÏÇÕÔ ÏÔ×ÅÞÁÔØ ÜÔÏÍÕ ËÒÉÔÅÒÉÀ. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ ÕÌÕÞÛÉÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÂÍÅÎÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ ÍÅÖÄÕ ÒÁÚÎÙÍÉ ÞÁÓÔÑÍÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. îÁÄÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÓËÉÈ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÊ ÎÅ ÏÓÔÁ×ÁÌÉÓØ ÄÏÓÔÏÑÎÉÅÍ ÉÈ ÓÁÍÉÈ ÉÌÉ ÉÈ ÆÁËÕÌØÔÅÔÏ×, ÎÏ ÂÙÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ×Ï ×ÓÅÍ ÁËÁÄÅÍÉÞÅÓËÏÍ ÍÉÒÅ. îÁÍ ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ ÓÒÅÄÓÔ×Á ÏÂÍÅÎÁ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍÉ ÉÄÅÑÍÉ ÍÅÖÄÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÆÁËÕÌØÔÅÔÁÍÉ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÚÎÁËÏÍÉÔÅÌØÎÙÅ ×ÉÚÉÔÙ ÄÅËÁÎÏ× ÆÁËÕÌØÔÅÔÏ× É ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÚÁ ÒÁÂÏÔÕ ÎÁ ÍÌÁÄÛÉÈ ËÕÒÓÁÈ). îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÈÏÄÉÔØ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ ÎÁ ÚÁÎÑÔÉÑ. îÕÖÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÂÙÌÏ ÂÏÌØÛÅ ÄÏËÌÁÄÏ× É ÚÁÓÅÄÁÎÉÊ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÙÈ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ, ÎÁ ÎÁÛÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÑÈ, É ÞÔÏÂÙ ÂÙÌÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÏ ÂÏÌØÛÅ ÒÅÍÉÊ ÚÁ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑ. ÁËÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÏÂÍÅÎÁ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÀÌÌÅÔÅÎÉ €Undergraduate Mathemati s Edu ation Trends É €Fo us (ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÚÄÁÅÔÓÑ MAA); ÅÓÔØ É ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÚÄÁÎÉÊ, ÕÂÌÉËÕÀÝÉÈ ÓÔÁÔØÉ Ï ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ ÎÁ ÍÌÁÄÛÉÈ ËÕÒÓÁÈ. åÝÅ ÏÄÎÏ ÓÒÅÄÓÔ×Ï ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÉ



ÅÖÅÇÏÄÎÏÅ ÓÏ×ÅÝÁÎÉÅ ÄÅËÁÎÏ× ÆÁËÕÌØÔÅÔÏ×, ÒÏ×ÏÄÉÍÏÅ ÏÔÄÅÌÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÎÁÕË îÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÓÏ×ÅÔÁ Ï ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÍ; ×ÒÏÞÅÍ, Ï-

×ÅÓÔËÁ ÄÎÑ ÜÔÉÈ ÓÏ×ÅÝÁÎÉÊ ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ. é ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÉÅ ËÁÎÁÌÙ ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÉ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙ Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÍÏÇÌÉ ÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ. åÝÅ ×ÁÖÎÅÅ É ÅÝÅ ÔÒÕÄÎÅÅ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ ÏÂÍÅÎ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÅÊ ÍÅÖÄÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÌÏÑÍÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÓÔ×Á. äÌÑ ËÏÌÌÅÄÖÅÊ É ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÏ× ÞÒÅÚ×ÙÞÁÊÎÏ ×ÁÖÎÏ ÏÂÝÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÆÁËÕÌØÔÅÔÁÍÉ, Ó ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, É ÓÔÁÒÛÅÊ ÛËÏÌÏÊ

 Ó ÄÒÕÇÏÊ. üÔÏ ÏÂÝÅÎÉÅ

ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÍ: ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ ÉÚ ËÏÌÌÅÄÖÅÊ É ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÏ× ÍÏÇÕÔ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÍÎÏÇÏÍÕ × ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÉ Õ ÛËÏÌØÎÙÈ ÕÞÉÔÅÌÅÊ. ïÄÎÉÍ ÉÚ ÔÁËÉÈ ËÁÎÁÌÏ× ËÏÍÍÕÎÉËÁ ÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ MSEB, Á ÔÁËÖÅ ÓÏÚÄÁÎÎÙÅ ÒÉ ÅÇÏ ÕÞÁÓÔÉÉ €ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÀÚف ÎÁ ÕÒÏ×ÎÅ ÛÔÁÔÏ×; ÎÏ ÎÁÍ ÎÕÖÅÎ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÉÊ ÏÂÍÅÎ. ëÁË ÍÏÇÕÔ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ÓÔÁÖÅÍ, ×ÏÚÇÌÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÓÉÓÔÅÍÕ, ËÏÔÏÒÁÑ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÎÅ ÌÕÞÛÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÕÞÁÔ Ó×ÏÉÈ ÍÌÁÄÛÉÈ ËÏÌÌÅÇ, ËÁË ÈÏÒÏÛÏ ÒÅÏÄÁ×ÁÔØ? áÓÉÒÁÎÔÙ É ÍÏÌÏÄÙÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ ÞÁÓÔÏ ÕÞÁÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÌÕÞÛÅ, ÞÅÍ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÉ ÏÓÔÁÒÛÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÏÊ ÓÍÉÒÉÌÉÓØ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ ÓÔÁÌÏ ÄÌÑ ÎÉÈ ÕÎÙÌÏÊ ÒÕÔÉÎÏÊ, É ÄÁÖÅ ÎÅ ÙÔÁÀÔÓÑ ÒÉÄÕÍÁÔØ ÞÔÏ-ÎÉÂÕÄØ ÎÏ×ÏÅ. äÁÖÅ ÅÓÌÉ ÏÎÉ, ×ÏÒÅËÉ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÔÅÎÄÅÎ ÉÉ, ×ÏÌÎÅ ÕÄÁÞÎÏ ÒÅÏÄÁÀÔ ÓÁÍÉ, ÏÎÉ ÏÂÙÞÎÏ ÎÅ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ × ÒÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÓÉÓÔÅÍÙ × ÅÌÏÍ. ðÒÏÆÅÓÓÏÒ, ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÊÓÑ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅÍ, ÞÁÓÔÏ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔ ËÏÓÙÅ ×ÚÇÌÑÄÙ Ó×ÏÉÈ ËÏÌÌÅÇ. ïÂÙÞÎÏ ÏÎÉ ÓÞÉÔÁÀÔ, ÞÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÁÖÎÏÅ ÄÅÌÏ

 ÜÔÏ ÎÁÕÞÎÙÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ É ÅÓÌÉ ËÔÏ-ÔÏ ÕÄÅÌÑÅÔ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ

36

õ. £ÒÓÔÏÎ

ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÀ, ÔÏ ÜÔÏ ÚÎÁË ÔÏÇÏ, ÞÔÏ Õ ÎÅÇÏ ÌÏÈÉ ÄÅÌÁ Ó ÎÁÕËÏÊ. éÎÏÇÄÁ ÒÏÆÅÓÓÏÒÁ ÓÏ ÓÔÁÖÅÍ ÒÑÍÏ ÓÏ×ÅÔÕÀÔ ÍÌÁÄÛÉÍ ËÏÌÌÅÇÁÍ ÎÅ ÔÒÁÔÉÔØ ÓÌÉÛËÏÍ ÍÎÏÇÏ ÓÉÌ ÎÁ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏ ÍÏÖÅÔ ÏÍÅÛÁÔØ ÉÈ ËÁÒØÅÒÎÏÍÕ ÒÏÓÔÕ. íÙ ÄÏÌÖÎÙ ÒÉÚÎÁÔØ, ÞÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÉÎÏÓÉÔØ ÏÌØÚÕ ÏÂÝÅÓÔ×Õ É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÉÎÓÔÉÔÕÔÁÍ ÍÎÏÇÉÍÉ ÒÁÚÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ. çÌÕÏ Ï ÅÎÉ×ÁÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ÉÓËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ Ï ÉÈ ÎÁÕÞÎÏÊ ÒÁÂÏÔÅ. ðÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ



×ÁÖÎÏÅ É ÎÅÒÏÓÔÏÅ ÚÁÎÑÔÉÅ, ËÏÔÏÒÙÍ ÍÎÏÇÉÅ ÚÁÎÉÍÁÀÔÓÑ ÎÅ

ÉÚ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ, Á Ï Ó×ÏÂÏÄÎÏÍÕ ×ÙÂÏÒÕ. é Ï ÅÎÉ×ÁÔØ ÜÔÉÈ ÌÀÄÅÊ ÎÁÄÏ Ï ÔÏÍÕ, ÞÅÇÏ ÏÎÉ ÄÏÂÉÌÉÓØ, Á ÎÅ Ï ÔÏÍÕ, ÞÅÇÏ ÂÙ ÏÎÉ ÍÏÇÌÉ ÄÏÂÉÔØÓÑ, ÅÓÌÉ ÂÙ ÔÒÁÔÉÌÉ Ó×ÏÉ ×ÒÅÍÑ É ÓÉÌÙ ÎÁ ÄÒÕÇÏÅ. îÁÄÏ ÓÒÏÞÎÏ ÉÚÍÅÎÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÓÔÉÍÕÌÏ×. îÕÖÎÏ ÓÏÚÄÁÔØ ÞÔÏ-ÔÏ ÌÕÞÛÅÅ, ÞÅÍ ÎÙÎÅÛÎÑÑ ÒÁËÔÉËÁ, ËÏÇÄÁ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ×ÓÅ ÒÉÚÎÁÀÔ ×ÁÖÎÏÓÔØ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ, ÎÏ ËÁË ÔÏÌØËÏ ÎÁÄÏ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÉÚ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ËÁÎÄÉÄÁÔÏ× ÒÉ ÒÉÅÍÅ ÎÁ ÒÁÂÏÔÕ ÉÌÉ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÏÚÉ ÉÉ, ÔÁË ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ É ÏÂÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ÒÉÎÉÍÁÅÔÓÑ ×Ï ×ÎÉÍÁÎÉÅ × ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÒÉ ÒÏÞÉÈ ÒÁ×ÎÙÈ. ìÀÄÉ ÍÏÔÉ×ÉÒÕÀÔÓÑ ÏÂÝÅÓÔ×ÏÍ. åÓÌÉ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÓÕÖÄÁÔØ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÒÏÂÌÅÍÙ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ, ÔÏ ÅÇÏ ÚÎÁÞÉÍÏÓÔØ ×ÏÚÒÁÓÔÅÔ. áËÁÄÅÍÉÞÅÓËÁÑ ËÕÌØÔÕÒÁ ÍÏÖÅÔ ÍÅÎÑÔØÓÑ; ÏÎÁ É ÉÚÍÅÎÉÌÁÓØ. üÔÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ Ï ÂÏÌØÛÅÊ ÞÁÓÔÉ ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÙ: ÜÔÏ ÔÏ, Ï ÞÅÍ ÍÙ ÇÏ×ÏÒÉÍ × ÏÂÅÄÅÎÎÙÊ ÅÒÅÒÙ×, Á ÎÅ ËÁËÉÅ-ÔÏ ÕÒÁ×ÌÅÎÞÅÓËÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ËÏÇÄÁ ÅÒÅ-

 

ÍÅÎÙ ÎÁÚÒÅÀÔ ÏÎÉ ÎÁÚÒÅÌÉ,

Á Ñ ÓÞÉÔÁÀ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ Ó ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ

ÔÏ ÄÁÖÅ ÎÅÂÏÌØÛÉÅ ÏÒÇÁÎÉÚÁ ÉÏÎÎÙÅ ÕÓÉÌÉÑ ÒÉ×ÅÄÕÔ Ë

ÓÅÒØÅÚÎÙÍ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑÍ. îÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÎÁÍ ÒÅÆÏÒÍÙ ÂÕÄÕÔ ÒÏ×ÅÄÅÎÙ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÎÁÛÉÍ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÙÍ ÕÓÉÌÉÑÍ. èÏÒÏÛÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÉ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÑÀÔÓÑ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÓÏÏÂÝÅÓÔ×Å ÏÞÅÎØ ÂÙÓÔÒÏ, Ï ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÙÍ ËÁÎÁÌÁÍ. åÓÌÉ ÍÙ ÏÂÒÁÔÉÍ Ó×ÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ, ÔÏ ÓÔÏÌØ ÖÅ ÂÙÓÔÒÏ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÑÔÓÑ É ÈÏÒÏÛÉÅ ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÉ.

W. Thurston, Cornell University

37

÷ÉËÔÏÒ ÅÂÏ É ÅÇÏ ÚÁÄÁÞÉ (Ë 125-ÌÅÔÉÀ ÓÏ ÄÎÑ ÒÏÖÄÅÎÉÑ ÷. ÅÂÏ (1882{1960)) å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

1. âÉÏÇÒÁÆÉÑ

÷ÉËÔÏÒ íÉÛÅÌØ öÁÎ-íÁÒÉ ÅÂÏ (Vi tor Mi hel Jean-Marie Thebault) ÒÏÄÉÌÓÑ 6 ÍÁÒÔÁ 1882 Ç. × áÍÂÒÉÅÒ ÌÅ çÒÁÎ (Ambrieres-le-Grand) ÆÒÁÎ ÕÚ-

ÓËÏÇÏ ÄÅÁÒÔÁÍÅÎÔÁ íÁÊÅÎÎ (Mayenne).1) åÇÏ ÏÔÅ ÂÙÌ ÔËÁÞÏÍ. õÞÉÔÅÌØ ÍÅÓÔÎÏÊ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÛËÏÌÙ, ÚÁÍÅÔÉ×ÛÉÊ ÎÅÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔÉ ÍÁÌØÞÉËÁ, ÄÏÂÉÌÓÑ ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÓÔÉÅÎÄÉÉ × ÕÞÉÔÅÌØÓËÏÍ ËÏÌÌÅÄÖÅ ÇÏÒÏÄÁ ìÁ×ÁÌØ (Laval, Mayenne), ÇÄÅ ÀÎÏÛÁ ÏÂÕÞÁÌÓÑ Ó 1898 Ï 1901 Ç. ðÏÓÌÅ ÏËÏÎÞÁÎÉÑ ËÏÌÌÅÄÖÁ ÷. ÅÂÏ ÒÁÂÏÔÁÌ ÛËÏÌØÎÙÍ ÕÞÉÔÅÌÅÍ × ðÒÅ-ÜÎðÜÊÌ (Pre-en-Pail, Mayenne) × ÔÅÞÅÎÉÅ 1902{1905 ÇÇ. ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÅÇÏ ÎÅ ÒÉÇÌÁÓÉÌÉ ÎÁ ÄÏÌÖÎÏÓÔØ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÑ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÏÊ ÛËÏÌÙ × üÒÎÉ (Ernee, Mayenne). ÷ 1909 Ç. × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÂÅÄÙ ÎÁ ËÏÎËÕÒÓÎÙÈ ÜËÚÁÍÅÎÁÈ ÷. ÅÂÏ ÏÌÕÞÉÌ ÒÁ×Ï ÎÁ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÅ × ËÏÌÌÅÄÖÁÈ ÄÌÑ ÕÞÉÔÅÌÅÊ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÓËÒÏÍÎÏÅ ÖÁÌÏ×ÁÎÉÅ ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÑ ÎÅ ÍÏÇÌÏ ÏÂÅÓÅÞÉÔØ ÅÇÏ ÓÅÍØÀ, × ËÏÔÏÒÏÊ Ë ÔÏÍÕ ×ÒÅÍÅÎÉ ÂÙÌÏ ÕÖÅ 6 ÄÅÔÅÊ, ÷. ÅÂÏ ÂÙÌ ×ÙÎÕÖÄÅÎ ÏÔËÁÚÁÔØÓÑ ÏÔ ÒÅÏÄÁ×ÁÎÉÑ. ó 1910 Ï 1923 Ç. ÏÎ ÒÁÂÏÔÁÌ ÆÁÂÒÉÞÎÙÍ ÓÕÅÒÉÎÔÅÎÄÁÎÔÏÍ × üÒÎÉ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÷. ÅÂÏ ÚÁÎÉÍÁÌ ÏÓÔ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÓÔÒÁÈÏ×ÏÇÏ ÉÎÓÅËÔÏÒÁ × ìÅ íÁÎÓ (Le Mans, Sarthe) É ÏÓÌÅ ×ÙÈÏÄÁ ÎÁ ÅÎÓÉÀ × 1940 Ç. ÏÓÅÌÉÌÓÑ × ÍÅÓÔÅÞËÅ ÅÎÎÉ (Tennie, Sarthe). ÷ÓÅ ÜÔÏ ×ÒÅÍÑ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÚÁÎÑÔÏÓÔØ ÎÁ ÒÁÂÏÔÅ, ÏÎ ÒÏÄÏÌÖÁÌ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏ É ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÏ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ. õÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ, ËÁË ÜÔÏ ÅÍÕ ÕÄÁ×ÁÌÏÓØ, ÈÏÔÑ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ ÒÁÄÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ × ÉÓÔÏÒÉÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ×ÓÅ-ÔÁËÉ ÂÙÌÉ ÏÄÏÂÎÙÅ ÒÉÍÅÒÙ É ÄÁÖÅ × ÔÏÊ ÖÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ



ÓÔÒÁÈÏ×ÁÎÉÉ. ÁË, ÓÔÒÁÈÏ×ÝÉËÁÍÉ ÒÁÂÏÔÁÌÉ ÔÁËÉÅ

ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ËÁË óÉÌØ×ÅÓÔÒ (1814{1897) É çÒÁÍ (1850{1916), ÒÏÓÌÁ×É×ÛÉÊÓÑ Ó×ÏÉÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ. çÒÁÍ ÄÁÖÅ ÓÔÁÌ × 1896 Ç. ÄÉÒÅËÔÏÒÏÍ ÓÔÒÁÈÏ×ÏÇÏ ÏÂÝÅÓÔ×Á É ÒÅÄÓÅÄÁÔÅÌÅÍ äÁÔÓËÏÇÏ ÓÔÒÁÈÏ×ÏÇÏ ÓÏ×ÅÔÁ. îÏ ×ÓÅ ÖÅ Ï ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÍ ÍÅÒËÁÍ ÷. ÅÂÏ ÂÙÌ ÎÅ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌÏÍ, Á ÌÀÂÉÔÅÌÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, ÞÔÏ, ×ÒÏÞÅÍ, ÎÉÓËÏÌØËÏ ÎÅ ÕÍÁÌÑÅÔ ÅÇÏ ÚÁÓÌÕÇ, 1)

÷ÓÅ ÂÉÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ×ÚÑÔÙ ÉÚ ÓÔÁÔØÉ [1℄.

38

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

ËÏÔÏÒÙÅ ÂÙÌÉ ÚÁÍÅÞÅÎÙ É Ï ÄÏÓÔÏÉÎÓÔ×Õ Ï ÅÎÅÎÙ ×Ï ×ÓÅÍ ÍÉÒÅ. ÁË, × 1932 Ç. ÷. ÅÂÏ ÓÔÁÌ ÞÌÅÎÏÍ áÍÅÒÉËÁÎÓËÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÁÓÓÏ ÉÁ ÉÉ. ÷ ÔÏÍ ÖÅ ÇÏÄÕ ÅÇÏ ÎÁÚÎÁÞÉÌÉ ÞÉÎÏ×ÎÉËÏÍ Ï ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ (OÆ ier de l'Instru tion Publique) Ï ÒÅËÏÍÅÎÄÁ ÉÉ ÁËÁÄÅÍÉËÁ ïËÁÎÑ. ÷ ÒÅËÏÍÅÎÄÁ ÉÉ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ: €ìÉÞÎÏ Ñ ÓÞÉÔÁÀ ÅÇÏ ÄÏÓÔÏÊÎÙÍ ÇÌÕÂÏËÏÇÏ Õ×ÁÖÅÎÉÑ ÚÁ ÅÇÏ ×ÙÄÁÀÝÉÊÓÑ ÔÁÌÁÎÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ, ÒÏÑ×É×ÛÉÊÓÑ × ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÏÓÔÒÏÕÍÎÙÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÑÈ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ  ÎÅÉÓÞÅÒÁÅÍÏÍ ÉÓÔÏÞÎÉËÅ ÚÁÄÁÞ, ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÒÅÂÕÅÔ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÓÏÂÏÇÏ ÄÁÒÁ ÉÚÏÂÒÅÔÁÔÅÌØÎÏÓÔɁ. ÷ 1935 Ç. ÷. ÅÂÏ ÓÔÁÌ ëÁ×ÁÌÅÒÏÍ ÏÒÄÅÎÁ ÂÅÌØÇÉÊÓËÏÊ ËÏÒÏÎÙ ÚÁ ÅÇÏ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ × âÒÀÓÓÅÌØÓËÏÍ ÎÁÕÞÎÏÍ ÏÂÝÅÓÔ×Å É ÓÏÔÒÕÄÎÉÞÅÓÔ×Ï Ó ÖÕÒÎÁÌÁÍÉ ÜÔÏÇÏ ÏÂÝÅÓÔ×Á: Annales É Mathesis. ÷ 1943 Ç. ÏÎ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÌ ÒÅÍÉÀ ÷ÉËÔÏÒÁ ÅÂÏ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÏÌÏÖÅÎÉÀ Ï ÜÔÏÊ ÒÅÍÉÉ ÏÎÁ ÒÉÓÕÖÄÁÅÔÓÑ ËÁÖÄÙÅ Ä×Á ÇÏÄÁ ðÁÒÉÖÓËÏÊ áËÁÄÅÍÉÅÊ îÁÕË Á×ÔÏÒÁÍ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÙÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÉÌÉ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ, ÒÉÞÅÍ ÒÅÄÏÞÔÅÎÉÅ ÄÏÌÖÎÏ ÏÔÄÁ×ÁÔØÓÑ ÕÞÉÔÅÌÑÍ ÓÒÅÄÎÉÈ ÉÌÉ ÄÁÖÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÛËÏÌ. 2. îÁÕÞÎÁÑ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔØ

úÁ Ó×ÏÀ ÖÉÚÎØ ÷. ÅÂÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÌ 15 ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ ÔÏÌØËÏ × ðÁÒÉÖÓËÕÀ áËÁÄÅÍÉÀ îÁÕË, ÎÁÉÓÁÌ ÓÏÔÎÉ ÓÔÁÔÅÊ É ÍÅÍÕÁÒÏ× Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, Á ÔÁËÖÅ ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ. åÝÅ ÂÏÌØÛÕÀ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÓÔØ ÏÎ ÒÉÏÂÒÅÌ ËÁË Á×ÔÏÒ ÏÒÉÇÉÎÁÌØÎÙÈ ÚÁÄÁÞ, 582 ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÅÞÁÔÁÌ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÖÕÒÎÁÌ  Ameri an Mathemati al Monthly. ÷ÓÅÇÏ ÖÅ ÷. ÅÂÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÌ ÂÏÌÅÅ 1000 ÚÁÄÁÞ É, ×ÅÒÏÑÔÎÏ, ÎÅ ÉÍÅÌ ÒÁ×ÎÙÈ ÓÅÂÅ ÓÏÅÒÎÉËÏ× × ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. îÁÕÞÎÙÅ ÉÎÔÅÒÅÓÙ ÷. ÅÂÏ ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÌÉ ÔÒÉ ÒÁÚÄÅÌÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ  ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, Á ÔÁËÖÅ ÔÅÏÒÉÀ ÞÉÓÅÌ. ïÎ ÓÔÁÌ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ × ÅÒ×ÏÍ ÄÅÓÑÔÉÌÅÔÉÉ XX ×ÅËÁ, Ô.Å. × ÔÏ ×ÒÅÍÑ, ËÏÇÄÁ ÚÁËÏÎÞÉÌÓÑ ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÅÒÉÏÄ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÜÔÏÊ ÄÉÓ ÉÌÉÎÙ, É ÏÎÁ ÒÅ×ÒÁÔÉÌÁÓØ × ÏÂÛÉÒÎÕÀ É ÄÅÔÁÌØÎÏ ÒÁÚÒÁÂÏÔÁÎÎÕÀ ÏÂÌÁÓÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÒÉ×ÌÅËÁ×ÛÕÀ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÍÎÏÇÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. ÷. ÅÂÏ ÏÌÕÞÉÌ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ×Ï ×ÓÅÈ ÒÁÚÄÅÌÁÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ: ÏÎ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÌ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ, ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÉ, ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ, ËÏÎÉËÉ É ËÕÂÉËÉ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏÍ, ÏÒÔÏÏÌ, ÉÚÏÏÌ É ÍÎÏÇÏÅ ÔÏÍÕ ÏÄÏÂÎÏÅ. ó ÓÁÍÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ Ó×ÏÅÊ ÄÅÑÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÷. ÅÂÏ ÕÄÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÁËÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ, ËÏÔÏÒÕÀ J. L. Coolidge, Á×ÔÏÒ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÇÏ €ÒÁËÔÁÔÁ Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É ÓÆÅÒŁ (1916), ÓÞÅÌ ÎÕÖÎÙÍ ×ËÌÀÞÉÔØ × Ó×ÏÊ ÔÒÕÄ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ 2)

2)

÷ÓÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï ÜÔÏÍ ×ÚÑÔÙ ÉÚ ÓÔÁÔØÉ [2℄.

÷ÉËÔÏÒ ÅÂÏ É ÅÇÏ ÚÁÄÁÞÉ

39

ÔÏ, ÞÔÏ ÏÎ ÕÚÎÁÌ Ï ÜÔÏÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÇÌÁ×Á ÅÇÏ ËÎÉÇÉ ÕÖÅ ÂÙÌÁ ÚÁËÏÎÞÅÎÁ. ÷ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Õ ÷. ÅÂÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÏÓÏÂÏ ÉÚÌÀÂÌÅÎÎÙÅ ÔÅÍÙ, Ë ËÏÔÏÒÙÍ ÏÎ ÎÅÏÄÎÏËÒÁÔÎÏ ×ÏÚ×ÒÁÝÁÌÓÑ. ïÄÎÏÊ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÔÅÍ ÂÙÌÁ ÔÅÏÒÅÍÁ æÅÊÅÒÂÁÈÁ. ÷. ÅÂÏ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÌ ÔÏÞËÉ æÅÊÅÒÂÁÈÁ × ÓÁÍÏÊ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÁÔØÅ, ÎÁÅÞÁÔÁÎÎÏÊ × Nouvelles Annales de Mathematiques (series 4, vol. 10, 1910, pp. 271{281). ÷ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ ÏÎ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÌ ÏÌÄÀÖÉÎÙ ÓÔÁÔÅÊ ÎÁ ÜÔÕ ÔÅÍÕ, × ËÏÔÏÒÙÈ ×ÙÑ×ÉÌ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË. ÷ 1935 Ç. ÷. ÅÂÏ ÄÏËÁÚÁÌ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÉÎÔÅÒÅÓÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ: × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ

á÷ó ÞÅÔÙÒÅ á÷ó Ï-

ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ × ÔÏÞËÁÈ æÅÊÅÒÂÁÈÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ÄÏÂÎÙ ÞÅÔÙÒÅÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÍ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÍÉ Ó ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

á÷ó . íÎÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×

ÏÎ ÏÌÕÞÉÌ ÔÁËÖÅ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ. ÷ÙÄÁÀÝÉÊÓÑ ×ËÌÁÄ ÷. ÅÂÏ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÏÚ×ÏÌÉÌ ÅÍÕ ÚÁÎÑÔØ ÄÏÓÔÏÊÎÏÅ ÍÅÓÔÏ ÓÒÅÄÉ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌÅÊ âÒÏËÁÒÁ, ìÅÍÕÁÎÁ É îÅÊÂÅÒÇÁ

 ÏÓÎÏ×ÁÔÅÌÅÊ

ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ. îÁÕÞÎÁÑ ÒÁÂÏÔÁ ÷. ÅÂÏ ÎÅ ÒÅÒÙ×ÁÌÁÓØ É × ÇÏÄÙ ÷ÔÏÒÏÊ ÍÉÒÏ×ÏÊ ×ÏÊÎÙ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÎÁ ÜÔÏÔ ÅÒÉÏÄ ÅÍÕ ÒÉÛÌÏÓØ ÜÍÉÇÒÉÒÏ×ÁÔØ × éÓÁÎÉÀ. ÷. ÅÂÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÌ ÔÁËÖÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÅ É ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ÚÁÄÁÞÉ, × ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÚÁÎÉÍÁÔÅÌØÎÙÅ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÂÙÞÎÏ ÏÔÎÏÓÑÔ Ë ÒÁÚÒÑÄÕ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÚ×ÌÅÞÅÎÉÊ. éÎÔÅÒÅÓÎÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÅÇÏ ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÕÒÅËÉ Ï Ï×ÏÄÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÎ ÚÁÎÉÍÁÌÓÑ ÔÁËÉÍÉ ÕÓÔÑËÁÍÉ: €îÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÀÔ ÔÅÎÄÅÎ ÉÀ, ÎÅ Ó×ÏÂÏÄÎÕÀ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÒÅÚÒÅÎÉÑ, ×ÉÄÅÔØ × ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÔÏÌØËÏ ÎÅÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÙÅ ÕÓÔÑËÉ. ðÕÓÔÑËÉ, ÅÓÌÉ ÕÇÏÄÎÏ, ÎÏ ÔÁËÉÅ, ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÞÁÓÔÏ ÔÒÅÂÕÅÔ ÎÅ ÍÅÎØÛÅÊ ÒÏÎÉ ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÉÚÏÂÒÅÔÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÔÏÎËÏÇÏ ÉÓËÕÓÓÔ×Á, ÞÅÍ ÍÎÏÇÉÅ ×ÏÒÏÓÙ, ÓÞÉÔÁÀÝÉÅÓÑ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÙÍÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ÔÒÅÂÕÅÔ ÎÅÍÁÌÙÈ ÕÓÉÌÉÊ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÓÏÂÏÊ ÒÅËÒÁÓÎÏÅ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÕÁÌØÎÏÅ ÕÒÁÖÎÅÎÉÅ É ÒÉ×ÏÄÑÝÉÈ, × ËÏÎ Å ËÏÎ Ï×, Ë ÞÅÍÕ-ÔÏ ÚÁÓÌÕÖÉ×ÁÀÝÅÍÕ ×ÎÉÍÁÎÉс [3℄. äÁÌÅÅ ÷. ÅÂÏ ÚÁÍÅÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÓÅ ×ÅÌÉËÉÅ ÍÁÓÔÅÒÁ ÎÁÕËÉ ÒÏÑ×ÌÑÌÉ ÏÄÏÂÎÏÅ ÒÅÚÒÅÎÉÅ Ë ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÒÁÚ×ÌÅÞÅÎÉÑÍ É ÉÔÉÒÕÅÔ üÊÌÅÒÁ, ñËÏÂÉ É ÄÒÕÇÉÈ ËÒÕÎÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. 3. úÁÄÁÞÉ ÷. ÅÂÏ É ×ÏËÒÕÇ ÎÉÈ

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÎÅÏÂßÑÔÎÏÇÏ ÚÁÄÁÞÎÏÇÏ ÎÁÓÌÅÄÉÑ ÷. ÅÂÏ. óÁÍÏÊ ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ÉÚ ÎÉÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÎÅÓÏÍÎÅÎÎÏ, ÚÁÄÁÞÁ 3887 Ï ÔÒÅÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÈ Ó ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙÍÉ ÅÎÔÒÁÍÉ, ÕÓÌÏ×ÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÂÙÌÏ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÏ × ÒÁÚÄÅÌÅ €úÁÄÁÞÉ É ÒÅÛÅÎÉс ÖÕÒÎÁÌÁ Ameri an Mathemati al Monthly × 1938 Ç. [4℄.

40

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ.

ðÕÓÔØ D  ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÅ áó ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ á÷ó , I1  ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÏÔÒÅÚËÏ× AD, BD É ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ á÷ó ; I2  ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÏÔÒÅÚËÏ× óD , BD É ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ á÷ó . ÏÇÄÁ ÏÔÒÅÚÏË I1 I2 ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ I ×ÉÓÁÎÎÏÊ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË á÷ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, É ÒÉ ÜÔÏÍ

I1 I : II2 = tg2 ('=2);

ÇÄÅ

' = \ BDA:

ðÅÒ×ÙÅ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÏÑ×ÉÌÉÓØ × îÉÄÅÒÌÁÎÄÁÈ × 1973 Ç., ÎÏ ÎÅ ÏÌÕÞÉÌÉ ÛÉÒÏËÏÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÓÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÖÕÒÎÁÌ Ameri an Mathemati al Monthly × 1983 Ç. ÄÁÌ × ÒÅÄÁË ÉÏÎÎÏÍ ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÉ ËÒÁÔËÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÅÒ×ÏÇÏ, ËÁË ÔÏÇÄÁ ËÁÚÁÌÏÓØ, ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÁÎÇÌÉÞÁÎÉÎÁ ë. ÜÊÌÏÒÁ, ÒÕËÏÉÓØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÓÞÉÔÙ×ÁÌÁ 24 ÓÔÒÁÎÉ Ù É ÓÏÄÅÒÖÁÌÁ ÍÎÏÇÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ [5℄. ÷ 1986 Ç. × Û×ÅÊ ÁÒÓËÏÍ ÖÕÒÎÁÌÅ \Elemente der Mathematik" ÂÙÌÏ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÏ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÂÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÏÅ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ç. ÕÒÎ×ÁÌØÄÁ [6℄ É, ÎÁËÏÎÅ , × 1989 Ç. × ÔÏÍ ÖÅ ÖÕÒÎÁÌÅ ÏÑ×ÉÌÏÓØ ÅÒ×ÏÅ ÓÉÎÔÅÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ Û×ÅÊ ÁÒÓËÏÇÏ ÕÞÉÔÅÌÑ ò. óÔÁÒËÁ [7℄. ó ÔÅÈ ÏÒ ÏÑ×ÉÌÏÓØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÓÉÎÔÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÅÛÅÎÉÊ, ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÕÄÁÞÎÙÈ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÷. ðÒÏÔÁÓÏ×Õ3) [8℄, Á ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÁÍÙÈ ÏÓÌÅÄÎÉÈ  ä. ëÏÄÏËÏÓÔÁÓÕ [9℄. ö. áÊÍÅ, × ÓÔÁÔØÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ [10℄ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÏÄÒÏÂÎÕÀ ÉÓÔÏÒÉÀ É ÓÉÎÔÅÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÅÂÏ, ÏÂÎÁÒÕÖÉÌ [10, Ó.226℄, ÞÔÏ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ × 1905 Ç. ÒÅÏÄÁ×ÁÔÅÌÅÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÉÚ ÏËÉÏ óÁ×ÁÊÑÍÁ [11℄. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÔÅÏÒÅÍÁ ÅÂÏ Ï ÔÒÅÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÈ Ó ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙÍÉ ÅÎÔÒÁÍÉ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á É ÄÌÑ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ. ÏÞÎÅÅ, ÕÓÔØ D  ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÅ áó ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ á÷ó , I1  ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÒÑÍÙÈ AD , BD É ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ á÷ó ×ÎÅÛÎÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ; I2  ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÒÑÍÙÈ óD , BD É ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ á÷ó ×ÎÅÛÎÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ÏÇÄÁ ÏÔÒÅÚÏË I1 I2 ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ Ib ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË á÷ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÓÔÏÒÏÎÙ áó . ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ Ä×ÕÈ ÚÁÄÁÞ, ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÚÁÄÁÞÅÊ 3887. 1. ïËÒÕÖÎÏÓÔØ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÊ ÓÔÏÒÏÎ óá É ó÷ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ á÷ó , Á ÔÁËÖÅ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÓÔÏÒÏÎÙ á÷ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ × ÔÏÞËÅ ò . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÁÄÉÕÓ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÏÔÒÅÚËÏ× áò , óò É ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÏÌÏ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ 3)

éÎÔÅÒÅÓÎÏ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÷. ðÒÏÔÁÓÏ× ÎÁÛÅÌ ÜÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ × ÔÏ ×ÒÅÍÑ, ËÏÇÄÁ ÕÞÉÌÓÑ

× IX ËÌÁÓÓÅ ÓÒÅÄÎÅÊ ÛËÏÌÙ Ç. íÏÓË×Ù.

÷ÉËÔÏÒ ÅÂÏ É ÅÇÏ ÚÁÄÁÞÉ

41

ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÒÁ×ÅÎ ÒÁÄÉÕÓÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ×ÉÓÁÎÎÏÊ × ÜÔÏÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË [12℄.

á÷ó , ë  ÔÏÞËÁ ËÁÓÁÎÉÑ ×ÉÓÁÎÎÏÊ × ÎÅÇÏ ÷ó . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Å ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÒÑÍÏÊ ÷ó , ÌÕÞÁ áë É ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÏÌÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ á÷ó . äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÈ ÒÁÄÉÕÓÙ ÒÁ×ÎÙ ÒÁÄÉÕÓÕ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ á÷ó , ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÓÔÏÒÏÎÙ ÷ó É ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÊ ÓÔÏÒÏÎ á÷ É áó [13℄.

2. äÁÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË

ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É ÓÔÏÒÏÎÙ

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÚÁÄÁÞÕ ÷. ÅÂÏ. üÔÏ ÚÁÄÁÞÁ 4328, ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÁÑ × ÖÕÒÎÁÌÅ Ameri an Mathemati al Monthly × 1949 Ç. [14℄. ðÒÑÍÙÅ üÊÌÅÒÁ É ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÄÅ×ÑÔÉ ÔÏÞÅË.



äÁÎ ÔÒÅ-

á÷ó ; áá1 , ÷÷1 É óó1 ÅÇÏ ×ÙÓÏÔÙ. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÑÍÙÅ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× á÷1 ó1 , á1 ÷ó1 , á1 ÷1 ó ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÅ ò ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÄÅ×ÑÔÉ ÔÏÞÅË, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ

ÕÇÏÌØÎÉË

ÏÄÉÎ ÉÚ ÏÔÒÅÚËÏ×

ò á1 , ò ÷1 , ò ó1

ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ Ä×ÕÈ ÄÒÕÇÉÈ ÏÔ-

ÒÅÚËÏ×. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÓÉÎÔÅÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 4328 ÒÉ×ÅÄÅÎÏ × ÓÔÁÔØÑÈ å. ä. ëÕÌÁÎÉÎÁ [15℄ É [16℄. ÏÞËÁ ÕÇÏÌØÎÉËÏ×

á÷1 ó1 , á1 ÷ó1 , á1 ÷1 ó

ò

ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅ-

ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ

ÇÉÅÒÂÏÌÙ, Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÑÍÏÊ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

á÷ó .

üÔÁ ÇÉÅÒÂÏÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÉÅÒÂÏÌÏÊ äÖÅÒÁÂÅËÁ (Jerabek).

âÕÄÅÍ ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÔØ × ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÔÏÞËÕ Å-

á÷1 ó1 , á1 ÷ó1 , á1 ÷1 ó ÔÏÞËÏÊ ÅÅ ÂÕË×ÏÊ  . ÷ ÓÔÁÔØÑÈ [15℄ É [16℄

ÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÅÂÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

á÷ó

É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ

ÄÏËÁÚÁÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ

î



ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

á÷ó , î1 , î2 ,

î3  ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÅÇÏ ×ÙÓÏÔ; î1 î2 î3  ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË, ÓÅÒÅÄÉÎÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏÍ î1 î2 î3 . ÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ ÅÂÏ T , Ta , Tb , T ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× á÷ó , ÷îó , óîá, áî÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÏÞËÁÍÉ æÅÊÅÒÂÁÈÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ î1 î2 î3 , ÒÉÞÅÍ ÔÏÞËÁ  ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ, Á ÔÏÞËÉ Ta , Tb , T  ×ÎÅÛÎÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ æÅÊÅÒÂÁÈÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ î1 î2 î3 . 0

0

0

0

0

0

0

0

0

éÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÒÁÚÕ ÖÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ æÅÊÅÒÂÁÈÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÕËÁÚÁÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÔÏÞÅË ÅÂÏ, Á ÉÍÅÎÎÏ: ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÉÚ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÏÔ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ æÅÊÅÒÂÁÈÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÄÏ ÓÅÒÅÄÉÎ ÓÔÏÒÏÎ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÏÔ ÜÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞËÉ æÅÊÅÒÂÁÈÁ ÄÏ Ä×ÕÈ ÄÒÕÇÉÈ ÓÅÒÅÄÉÎ ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. é, ÎÁËÏÎÅ , ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÚÁÄÁÞÁ, ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÎÁÑ Ó ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ [17℄.

42

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

4432. ïËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ó ÅÎÔÒÁÍÉ × ÓÅÒÅÄÉÎÁÈ ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÏÈÏÄÑÔ ÞÅÒÅÚ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ×ÙÓÏÔ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÜÔÉÍ ÔÒÅÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍ, ËÁÓÁÅÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÄÅ×ÑÔÉ ÔÏÞÅË ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ × ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÅ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ËÏÔÏÒÏÊ ÄÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÙÓÏÔ ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÏÔ ÎÅÅ ÄÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÊ Ä×ÕÈ ÄÒÕÇÉÈ ×ÙÓÏÔ. ÷ ÓÔÁÔØÅ [16℄ ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÚÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÒÏ×ÎÏ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÏÔ ÜÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞËÉ ÄÏ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ Ä×ÕÈ ×ÅÒÛÉÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. åÓÌÉ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÒÑÍÙÅ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÅÇÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍ ÓÔÏÒÏÎÁÍ, ÔÏ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ÓÏ×ÁÄÕÔ Ó ÔÏÞËÁÍÉ æÅÊÅÒÂÁÈÁ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, Á ÅÓÌÉ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÒÑÍÙÅ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÅ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁÍ, ×ÙÈÏÄÑÝÉÍ ÉÚ ÜÔÉÈ ×ÅÒÛÉÎ, ÔÏ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ÓÏ×ÁÄÕÔ Ó ÔÏÞËÁÍÉ ÅÂÏ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. éÚ ×ÓÅÇÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ × ÚÁÄÁÞÁÈ 4328 É 4432 ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞËÅ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ × ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÔÏÞËÏÊ ÅÂÏ. îÁÚÏ×ÅÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ó ÅÎÔÒÁÍÉ × ÓÅÒÅÄÉÎÁÈ ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÓÏÔ ÎÁ ÜÔÉÈ ÖÅ ÓÔÏÒÏÎÁÈ, ÏÒÔÏÍÅÄÉÁÌØÎÙÍÉ. ðÕÓÔØ

Sb , S ÎÉËÏ×



î



ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

á÷ó É S , Sa ,

ÒÁÄÉËÁÌØÎÙÅ ÅÎÔÒÙ ÏÒÔÏÍÅÄÉÁÌØÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØ-

á÷ó , ÷îó , óîá, áî÷ .

S , Sa , Sb , S Ó ÅÎÔÒÁÍÉ × T , Ta , Tb , T , ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×

ïËÒÕÖÎÏÓÔÉ

ÜÔÉÈ ÔÏÞËÁÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ ÅÂÏ

á÷ó , ÷îó , óîá, áî÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÎÁÚÏ×ÅÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÅÂÏ, å  ÏÂÝÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÄÅ×ÑÔÉ ÔÏÞÅË ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× á÷ó , ÷îó , óîá, áî÷ . ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÉ SSa Sb S É T Ta Tb T ÅÒÓÅËÔÉ×ÎÙ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÅÒÓÅËÔÉ×Ù å . ÏÇÄÁ ÉÚ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÚÁÄÁÞÉ 4432 ×ÙÔÅËÁÅÔ ÔÁËÏÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ: ÒÑÍÁÑ çÁÕÓÓÁ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÒÁÄÉËÁÌØÎÙÍÉ ÏÓÑÍÉ ÏËÒÕÖÎÏ-

á÷ó , ÷îó , óîá, áî÷ , Ô. Å. ÒÁÄÉËÁÌØÎÙÍÉ ÏÓÑÍÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ å É S , å É Sa , å É Sb , å É S , ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÒÑÍÏÊ üÊÌÅÒÁ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× á÷ó , ÷îó , óîá, áî÷ .

ÓÔÉ ÄÅ×ÑÔÉ ÔÏÞÅË É ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÅÂÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×

ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÁÒÕ ÌÀÂÏÙÔÎÙÈ ÆÁËÔÏ×, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ Ë ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÉ. I. òÁÄÉËÁÌØÎÙÅ ÏÓÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

S

á÷ó ;

Sa , Sb , S

ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ×ÙÓÏÔÁÍÉ

ÒÁÄÉËÁÌØÎÙÅ ÏÓÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ

ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

á÷ó ,

S

ÔÁË

Sa , S É Sb , S É ÞÔÏ á, ÷ , ó , î  É

ÒÁÄÉËÁÌØÎÙÅ ÅÎÔÒÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÔÒÏÅË ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ.

÷ÉËÔÏÒ ÅÂÏ É ÅÇÏ ÚÁÄÁÞÉ

43

éÎÔÅÒÅÓÎÏ ÓÒÁ×ÎÉÔØ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ó ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ [18℄ Ï ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÏÉÄÁÌØÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÈ

áî÷ ,

4)

ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×

á÷ó , ÷îó , óîá,

ÏÌÕÞÅÎÎÙÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ çÒÉÆÆÉÔÓÁ

[19, 20℄: ÒÁÄÉËÁÌØÎÙÅ ÏÓÉ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÏÉÄÁÌØÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉ-

÷îó , óîá, áî÷

ËÏ×

ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ×ÙÓÏÔÁÍÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

á÷ó ; ÒÁá÷ó É

ÄÉËÁÌØÎÙÅ ÏÓÉ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÏÉÄÁÌØÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×

÷îó , á÷ó É óîá, á÷ó á÷ó , ÔÁË ÞÔÏ á, ÷ , ó , î

É



ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ.

S á÷ó

II. ÏÞËÁ ÕÇÏÌØÎÉËÕ



áî÷

ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ÒÁÄÉËÁÌØÎÙÅ ÅÎÔÒÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÔÒÏÅË

ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

Sa Sb S ,

ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÏÇÏ ÔÒÅ-

Ó ÅÎÔÒÏÍ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÍ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÔÑÖÅÓÔÉ

ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

á÷ó , É

ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ

2.

ïÔÒÅÚËÉ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ÔÏÞËÁÍÉ ËÁÓÁÎÉÑ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ Ó ÅÇÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍÉ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ

N,

ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ îÁÇÅÌÑ. îÁ ÓÁÍÏÍ

ÄÅÌÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÅÝÅ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ îÁÇÅÌÑ

Na , Nb , N .

ÏÞËÁ

Nb

ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó

ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÔÒÅÈ ÒÑÍÙÈ, ÅÒ×ÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ

á

×ÔÏÒÁÑ

É ÔÏÞËÕ ËÁÓÁÎÉÑ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ



ÓÔÏÒÏÎÏÊ

ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ



÷

I

ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ

É ÔÏÞËÕ ËÁÓÁÎÉÑ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ

÷ó , I ÓÏ

áó , ÔÒÅÔØÑ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ ó É ÔÏÞËÕ ËÁÓÁÎÉÑ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÏÊ Ia Ó ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ ÓÔÏÒÏÎÙ á÷ . ÏÞËÉ Na É N ÏÒÅÄÅÌÑ-

ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ

ÀÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. üÔÉ ÆÁËÔÙ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÅÏÒÅÍÕ þÅ×Ù. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÅÝÅ ÔÒÉ ÔÅÏÒÅÍÙ.

ÅÏÒÅÍÁ 1. þÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË, ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÏÞËÁÍÉ îÁÇÅÌÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

á÷ó ,

ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÅÎ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÕ Ó ×ÅÒ-

ÛÉÎÁÍÉ × ÅÎÔÒÁÈ ×ÉÓÁÎÎÏÊ É ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

á÷ó

Ó ÅÎÔÒÏÍ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÍ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÔÑÖÅÓÔÉ ÏÒÔÏ ÅÎ-

ÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÔÉÉ

á÷ó ,

É ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÇÏÍÏÔÅ-

2.

ÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ;



ï ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÚÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅN , Na , Nb , N ÅÇÏ ÔÏÞËÉ îÁÇÅÌÑ. ÏÇÄÁ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ

ÅÏÒÅÍÁ 2. ðÕÓÔØ



ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÄÏ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÏÔ ÜÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞËÉ ÄÏ Ä×ÕÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÌÅÖÁÔ Ï ÏÄÎÏÊ ÎÁ ÒÑÍÙÈ

ON , ONa , ONb , ON .

ÅÏÒÅÍÁ 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ

ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÔÁËÏÇÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÆÁËÔÁ: ÏÔÒÅÚËÉ,

ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ

ÔÏÞËÉ îÁÇÅÌÑ

ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó

ÅÎÔÒÁÍÉ ÅÇÏ ×ÉÓÁÎÎÏÊ É ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × 4)

ïÒÔÏ ÅÎÔÒÏÉÄÁÌØÎÏÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ, ËÁË ÎÁ ÄÉÁÍÅÔÒÅ, ÎÁ

ÏÔÒÅÚËÅ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÍ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÔÑÖÅÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ.

44

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

ÅÎÔÒÅ ÔÑÖÅÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÄÅÌÑÔÓÑ ÉÍ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ 2 : 1, ÓÞÉÔÁÑ ÏÔ ÔÏÞÅË îÁÇÅÌÑ. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 2 ÎÁÄÏ, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ æÅÊÅÒÂÁÈÁ É ÔÏ, ÞÔÏ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÚÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÒÏ×ÎÏ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÏÔ ÜÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞËÉ ÄÏ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ Ä×ÕÈ ×ÅÒÛÉÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ÅÏÒÅÍÁ 3.

ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ÏÞËÉ îÁÇÅÌÑ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

á÷ó

Ha Hb H

ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÒÁÄÉËÁÌØÎÙÍÉ ÅÎÔÒÁÍÉ ÏÒÔÏÍÅÄÉÁÌØ-

ÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×

S , Sa , Sb , S .

á÷ó , ÷îó , óîá, áî÷ , Ô. Å. Ó ÔÏÞËÁÍÉ

ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÙ ÄÏÇÏ×ÏÒÉÌÉÓØ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S ,

Sa , Sb , S ÏËÒÕÖ-

ÎÏÓÔÑÍÉ ÅÂÏ, ÔÏ ÔÅÏÒÅÍÕ 3 ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÂÏÌÅÅ ËÒÁÔËÏ. 0

ÅÏÒÅÍÁ 3 .

óîá, áî÷

ãÅÎÔÒÙ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÅÂÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×

á÷ó , ÷îó ,

ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÏÞËÁÍÉ îÁÇÅÌÑ ÏÂÝÅÇÏ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÒÅ-

ÕÇÏÌØÎÉËÁ ÜÔÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×. ÅÅÒØ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ II ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÚÁÄÁÞÉ 4432 É ÔÅÏÒÅÍ 1{3. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ I ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÏ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÆÁËÔÏÍ.

I , Ia , Ib , I ×ÉÓÁÎÎÕÀ á÷ó . ÏÇÄÁ ÒÁÄÉËÁÌØÎÙÅ

I0 . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

I

É ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÅ ÏËÒÕÖÏÓÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ

Ia , Ib ,

Ia Ib I Ó ÅÎÔÒÏÍ á÷ó , É ËÏÏÓÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ I

ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË, ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ

ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÍ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÔÑÖÅÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ É

Ia , I

É

Ib , I

É

I

1=2, ÒÉÞÅÍ ÒÁÄÉËÁÌØÎÙÅ

ÓÏÄÅÒÖÁÔ ×ÙÓÏÔÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÒÁ-

ÄÉËÁÌØÎÙÍÉ ÏÓÑÍÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ

Ia , Ib , I ,

Á ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ É ×ÅÒÛÉÎÙ ÜÔÏÇÏ

ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÅÎÔÒÁÍÉ ×ÉÓÁÎÎÏÊ É ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÌÕÖÁÔ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

á÷ó .

éÚ ×ÓÅÇÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÏÎÑÔÎÙÍ, ÞÔÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÅÂÏ ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÓÅÒÅÄÉÎÁÍÉ ÓÔÏÒÏÎ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÌÕÖÁÔ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÓÏÔ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÏÓÔÒÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, Á ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÅÂÏ ÔÕÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÓÅÒÅÄÉÎÁÍÉ ÓÔÏÒÏÎ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑ ×ÙÓÏÔ ÜÔÏÇÏ ÔÕÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ Á×ÔÏÒ ×ÙÒÁÖÁÅÔ ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔØ ï. á. æÁÊÎÛÔÅÊÎÕ (ìÅÊ ÉÇ) ÚÁ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ Ï ÷. ÅÂÏ.

÷ÉËÔÏÒ ÅÂÏ É ÅÇÏ ÚÁÄÁÞÉ

45

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1℄ Byrne W. E., ol. Vi tor Thebault



The man // Amer. Math. Month.

1947. P. 443{444. [2℄ Court N. A. Thebault



the geometer

// Amer. Math. Month. 1947.

P. 445{446. [3℄ Starke E. P. Thebault



the number theorist // Amer. Math. Month. 1947.

P. 445. [4℄ Thebault V. Problem 3887. Three ir les with ollinear enters // Ameri an Mathemati al Monthly. Vol. 45, 1938. P. 482{483. [5℄ Taylor K. B. Solution of Problem 3887 // Amer. Math. Month. Vol. 90, 1983. P. 482{487. [6℄ Turnwald G. Uber eine Vermutung von Thebault // Elemente der Mathematik. Bd. 41, 1986. S. 11{13. [7℄ Stark R. Eine weitere Losung der Thebault's hen Aufgabe // Elemente der Mathematik. Bd. 41, 1989. S. 130{133. [8℄ æÁËÕÌØÔÁÔÉ×ÎÙÊ

ËÕÒÓ

Ï

ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ .

í:

ðÒ Ï Ó×ÅÝÅÎÉÅ,

1991.

ó. 341{343. [9℄ Kodokostas D. A really elementary proof of Thebault's theorem. Wor ester Polyte hni Institute, USA.

http://users.wpi.edu/~goulet/mme518 2004/Proje t%232 2004/thebth.pdf [10℄ Ayme J.-L. Sawayama and Thebault's theorem // Forum Geometri orum. Vol. 3, 2003. P. 225{229. [11℄ Sawayama Y. A new geometri al proposition // Amer. Math. Monthly. Vol. 12, 1905. P. 222{224. [12℄ þÅÔ×ÅÒÔÁÑ

óÏÒ Ï ÓÏ×ÓËÁÑ

ÏÌÉÍÉÁÄÁ

ÛËÏÌØÎÉËÏ×

1997{1998.

í:

íãîíï, 1998. ó. 102, 112{113. [13℄ íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ, ×ÙÕÓË 5, í.: íãîíï, 2001. ó. 218{219. [14℄ Thebault V. Problem 4328 // Ameri an Mathemati al Monthly. Vol. 56, 1949. P. 39. [15℄ ëÕÌÁÎÉÎ å. ä. ï ÏÄÎÏÍ Ó×ÏÊÓÔ×Å ÔÏÞÅË æÅÊÅÒÂÁÈÁ // ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ €íÁÔÅÍÁÔÉËÁ Ë ÇÁÚÅÔÅ €ðÅÒ×ÏÅ ÓÅÎÔÑÂÒс, ‚10, 1997. [16℄ ëÕÌÁÎÉÎ å. ä. ï ÎÅËÏÔÏÒÙÈ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÔÏÞÅË æÅÊÅÒÂÁÈÁ É ÅÂÏ // ðÒÉÌÏÖÅÎÉÅ €íÁÔÅÍÁÔÉËÁ Ë ÇÁÚÅÔÅ €ðÅÒ×ÏÅ ÓÅÎÔÑÂÒс, ‚15, 2005.

46

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

[17℄ Thebault V. Problem 4432 // Ameri an Mathemati al Monthly. Vol. 58, 1951. P. 195. [18℄ Droussent L. On the ortho entroidal ir le // Ameri an Mathemati al Monthly. Vol. 57, 1950. P. 169{171. [19℄ GriÆths J. // Nouvelles Annales de Mathematiques. 1864. P. 345; ibid. 1865. P. 322. [20℄ Droussent L. On a theorem of J. GriÆths // Ameri an Mathemati al Monthly. Vol. 54, 1947. P. 538{540.

å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ, íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÇÏÒÏÄÓËÏÊ ÓÉÈÏÌÏÇÏ-ÅÄÁÇÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ e-mail: lu as03mail.ru

îÁÛ ÓÅÍÉÎÁÒ: ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÓÀÖÅÔÙ

íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ É ÍÏÄÅÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÁÓÔÅÒÏ× à.í. âÕÒÍÁÎ

1. ÷×ÅÄÅÎÉÅ: ÒÁÚÎÙÅ ÒÉÍÅÒÙ 1.1. èÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

ðÕÓÔØ

G  ËÏÎÅÞÎÙÊ ÇÒÁÆ, ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÒÅÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ ÞÉn. íÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓËÒÁÛÉ×ÁÔØ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ × k ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ

ÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ

×ÅÔÏ×; ÒÁÓËÒÁÓËÕ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ, ÅÓÌÉ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ ÒÅÂÒÏÍ, ÒÁÓËÒÁÛÅÎÙ Ï-ÒÁÚÎÏÍÕ. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÒÁÓËÒÁÓÏË ÇÒÁÆÁ

G × k ×ÅÔÏ× ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ CG (k).

÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ, ËÁË É × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ, ÍÙ ÒÁÚÒÅÛÁÅÍ ÇÒÁÆÕ ÉÍÅÔØ ËÒÁÔ-

ÎÙÅ ÒÅÂÒÁ (Ô. Å. ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÁÒÕ ×ÅÒÛÉÎ ÍÏÖÅÔ ÓÏÅÄÉÎÑÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÅÂÅÒ), Á ÔÁËÖÅ ÅÔÌÉ

 ÒÅÂÒÁ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÅÓÑ É ËÏÎÞÁÀÝÉÅÓÑ × ÏÄÎÏÊ É

ÔÏÊ ÖÅ ×ÅÒÛÉÎÅ. îÅÔÒÕÄÎÏ, ÏÄÎÁËÏ, ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ ËÁËÏÅÎÉÂÕÄØ ËÒÁÔÎÏÅ ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ ÎÁ ÏÄÉÎÏÞÎÏÅ, ×ÅÌÉÞÉÎÁ

CG (k) ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ,

Á ÅÓÌÉ × ÇÒÁÆÅ ÉÍÅÅÔÓÑ ÅÔÌÑ, ÔÏ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÒÁÓËÒÁÓÏË ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ,

CG (k) = 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k. úÁÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÇÒÁÆ G ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ  G1 É G2, ÍÅÖÄÕ ËÏÔÏÒÙÍÉ ÒÅÂÅÒ ÎÅÔ (ÍÙ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍ ÜÔÏ ËÁË G = G1 t G2 ), ÔÏ CG (k ) = CG1 (k )CG2 (k ). ðÒÉÍÅÒ 1. ðÕÓÔØ ÇÒÁÆ G  ÄÅÒÅ×Ï ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ (É (n 1) ÒÅÂÅÒ).

É

Ä×ÕÈ ËÕÓËÏ×

ÏÇÄÁ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÍÏÖÎÏ ËÒÁÓÉÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ: ÎÁÞÁÔØ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØ-

 ÅÅ ÍÏÖÎÏ ÏËÒÁÓÉÔØ × ÌÀÂÏÊ ÉÚ k ×ÅÔÏ×. úÁÔÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ  ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ ÚÁÒÅÝÅÎ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ 1 ×ÅÔ  ×ÅÔ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ  ÔÁË ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ (k 1)

ÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ

×ÅÔÁ ×ÅÒÛÉÎ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ Ó ÎÁÞÁÌØÎÏÊ

×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ. úÁÔÅÍ ÅÒÅÊÔÉ Ë ×ÅÒÛÉÎÁÍ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÍ Ó ÔÅÍÉ, ÞÔÏ ÂÙÌÉ ÏËÒÁÛÅÎÙ ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ÛÁÇÅ, É Ô. Ä. ðÏÓËÏÌØËÕ ÇÒÁÆ

 ÄÅÒÅ×Ï, ÎÁ ËÁÖÄÏÍ

48

à.í. âÕÒÍÁÎ

ÜÔÁÅ, ËÒÏÍÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ, ÏËÒÁÛÉ×ÁÅÍÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÂÕÄÅÔ ÓÏÓÅÄÓÔ×Ï×ÁÔØ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ Ó ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÏÊ, ÏËÒÁÛÅÎÎÏÊ ÒÁÎÅÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÒÁÓËÒÁÓÏË ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÄÅÒÅ×Á, Á ÔÏÌØËÏ ÏÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ, É ÒÁ×ÎÏ GG (k ) = k (k 1)n 1 . ðÒÉÍÅÒ 2.

äÌÑ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ

ÒÅÂÒÁÍÉ ÉÍÅÅÍ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, CG (k )

= 0 ÒÉ

CG (k )

=

k (k

n

É j , É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ

G

ÖÅ, ÞÔÏ É Õ ÇÒÁÆÁ

n

G,

e

×ÅÒÛÉÎ, ÏÁÒÎÏ ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÈ

1)

k < n.

÷ÙÄÅÌÉÍ ÔÅÅÒØ × ÇÒÁÆÅ i

ÉÚ

Kn




:::


(

k

n

+ 1); × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,

ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÒÅÂÒÏ e, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ

G

ÇÒÁÆ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÁÚÒÙ×ÏÍ ÒÅÂÒÁ e: ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÅ

ÒÅÂÒÏ

e

ðÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ÒÁÓËÒÁÓËÉ ÇÒÁÆÁ

ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÒÅÂÒÁ G

n

ËÒÁÓËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ×ÅÔÁ ×ÅÒÛÉÎ

e

i

×

É

k

 ËÁË ×

G.

×ÅÔÏ× ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ Ä×Á ËÌÁÓÓÁ: ÒÁÓ-

ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, É ÒÁÓËÒÁÓËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ

j

ÜÔÉ ×ÅÔÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÒÅÂÒÏ e,

ÏÌÕÞÉ× ÒÁ×ÉÌØÎÕÀ ÒÁÓËÒÁÓËÕ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ

ÞÉÓÌÏ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÒÁÓËÒÁÓÏË ×ÔÏÒÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÒÁ×ÎÏ ÒÁÓËÒÁÓÏË ÅÒ×ÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ, ÔÏ ÏÎÏ ÒÁ×ÎÏ ÞÅÎÎÙÊ ÉÚ G,

ËÒÏÍÅ

G

j;

€ÓÔÑÇÉ×ÁÎÉǺ ÒÅÂÒÁ

ÒÅÂÒÏ

e

e:

CG=e (k ),

×ÅÒÛÉÎÙ

G

CG (k ).

ÇÄÅ

G=e

 ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

G=e



ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ; ÒÅÂÒÁ, ÓÏÅÄÉÎÑ×ÛÉÅ

þÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ

 ÇÒÁÆ, ÏÌÕ-

ÜÔÏ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ j

Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ×ÅÒ-

ÛÉÎÁÍÉ, ÔÅÅÒØ ÉÄÕÔ × i, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÒÅÂÒÁ ÎÅ ÍÅÎÑÀÔÓÑ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ × ÇÒÁÆÅ ÏÑ×ÉÔØÓÑ ×

G

ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÅÔÌÉ ÉÌÉ ËÒÁÔÎÙÅ ÒÅÂÒÁ, ÏÎÉ ÍÏÇÕÔ

G=e.

ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÁÑ ÒÁÓËÒÁÓËÁ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ

G

n

e

ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÌÉÂÏ Ë

ÅÒ×ÏÍÕ, ÌÉÂÏ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ËÌÁÓÓÕ, ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

ne (k) = CG (k) + CG=e (k):

(1)

CG

óÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÅÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 1. ÷ÅÌÉÞÉÎÁ CG (k ) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÏÔ k . óÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÒÁ×ÎÁ ÞÉÓÌÕ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ, Á ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÁ×ÅÎ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

1.

ðÕÓÔØ

ÉÍÅÅÔ ÒÅÂÅÒ, ÔÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ,

n

CG (k )

 ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ =

k

G. åÓÌÉ ÇÒÁÆ ÎÅ n , É ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ. äÁÌØÎÅÊ-

ÛÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÏ×ÏÄÉÔÓÑ ÓÏ×ÍÅÓÔÎÏÊ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÞÉÓÌÕ ×ÅÒÛÉÎ É ÒÅÂÅÒ. çÒÁÆ

G

n

e

ÉÍÅÅÔ

n

×ÅÒÛÉÎ É ÍÅÎØÛÅ ÒÅÂÅÒ, ÞÅÍ

ÔÅÌØÎÏ, Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ 1. çÒÁÆ Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

CG (k )

=

ne (k)

CG

CG=e (k )

ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ 1. íÎÏÇÏÞÌÅÎ

CG (k )

G

 ÓÌÅÄÏ×Á-

ne (k)  ÜÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n

CG

G=e

ÉÍÅÅÔ (n

1) ×ÅÒÛÉÎ, ÔÁË ÞÔÏ

 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ (

CG=e (k )

n

1). óÌÅ-

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ

ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÇÒÁÆÁ .

n

íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ É ÍÏÄÅÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÁÓÔÅÒÏ×

49

ðÒÉÍÅÒ 3. ðÕÓÔØ G = Zn  ÉËÌ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ. ÏÇÄÁ G n e  ÅÏÞËÁ n ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ, Á G=e = Zn 1 . óÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (1), CZn = CLn CZn 1 . ãÅÏÞËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÒÅ×ÏÍ, ÏÔËÕÄÁ CLn (k ) = k (k 1)n 1 (× ÓÉÌÕ L

ÒÉÍÅÒÁ 1). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

Zn + CZn

n

1 = k (k

C

1

1)

(2)

:

 ËÒÁÔÎÏÅ, ÎÏ ÜÔÏ

çÒÁÆ

Z2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ ÇÒÁÆÏÍ ÉÚ 2 ×ÅÒÛÉÎ (ÒÅÂÒÏ ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ), ÔÁË ÞÔÏ

Z

C 2 (k )

=

k (k

1):

(3)

úÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (2) ÒÉ ×ÓÅÈ

Zn

C

=

k (k

= úÁÄÁÞÁ 1.

ÛÅÔËÁ 2 2

 

m

n,



n

1) (k

n,

k (k

2

1) 1)

n 1+( 1)

(k

(k

îÁÊÄÉÔÅ

n

(k

1)

3

n 2 1)

+

1) + 1

G (k),

C

n




+ (

= (k

ÅÓÌÉ ÇÒÁÆ

Â*) ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÁÑ ÒÅÛÅÔËÁ

É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (3) ÄÁÅÔ 1)

n

2




=

n

1) (k

1)

1

+(

n
:

1)

 ÜÔÏ Á) ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÁÑ ÒÅ , ×) ÔÒÅÕÇÏÌØÎÁÑ ÒÅÛÅÔËÁ

G

m

n

ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ, Ç*) ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÁÑ ÒÅÛÅÔËÁ

n.

:::

1.2. òÁÚÒÙ× ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÒÅÂÅÒ

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÝÅ ÒÁÚ ÇÒÁÆ

G

(ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÅÔÌÉ É ËÒÁÔÎÙÅ

ÒÅÂÒÁ); ÎÁ ÜÔÏÔ ÒÁÚ ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÅÇÏ Ó×ÑÚÎÙÍ. çÒÁÆ ÏÄ×ÅÒÇÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÊÎÏÍÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ: ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÒÅÂÅÒ, ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÄÒÕÇÉÈ, Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ 1

p

p

ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÎÅÉÚÍÅÎÎÙÍ, Á Ó ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØÀ

ÒÁÚÒÙ×ÁÅÔÓÑ (ÕÄÁÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÇÒÁÆÁ). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ

R

G (p)

×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ

ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÉ×ÛÉÊÓÑ ÏÓÌÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÇÒÁÆ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ Ó×ÑÚÎÙÍ. ðÒÉÍÅÒ 4.

ðÕÓÔØ

G

 ÄÅÒÅ×Ï

Ó

n

×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. ÏÇÄÁ ÏÎÏ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ

Ó×ÑÚÎÙÍ ÔÏÌØËÏ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÎÉ ÏÄÎÏ ÒÅÂÒÏ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁÚÏÒ×ÁÎÏ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÒÁ×ÎÏ

1, Á ÒÁÚÒÙ×ÁÀÔÓÑ ÏÎÉ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ, ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÁËÏÇÏ ÓÏÂÙÔÉÑ ÒÁ×ÎÁ RG (p) = pn 1 . ðÒÉÍÅÒ 5.

n

äÌÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÒÁÚÒÙ×Å ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÒÅÂÅÒ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÚÁÄÁ-

ÞÉ ÕÎËÔÁ 1.1, ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÒÅÂÅÒ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ. ÁË, ÅÓÌÉ ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ

a

G

 Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ,

ÒÅÂÒÁÍÉ, ÔÏ ÇÒÁÆ ÓÔÁÎÅÔ ÎÅÓ×ÑÚÎÙÍ ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ

ÂÕÄÕÔ ÒÁÚÏÒ×ÁÎÙ. ïÔÓÀÄÁ

R

G (p) = 1

(1

a.

p)

50

à.í. âÕÒÍÁÎ

ïÔÍÅÔÉÍ × ÇÒÁÆÅ

G

ÒÅÂÒÏ

e.

÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÒÁÚÒÙ×Á

ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÞÔÏ ÒÅÂÒÏ ÒÁÚÏÒ×ÁÎÏ,

ÒÁ×ÎÁ

ne (p)

RG

ËÏÔÏÒÏÍ ÒÅÂÒÏ e ÓÔÅÒÔÏ ÚÁÒÁÎÅÅ. ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÇÒÁÆ Ó×ÑÚÎÙÍ, ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÞÔÏ ÒÅÂÒÏ ÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÒÁÚÒÙ×Á ÒÅÂÒÁ

e

e ÓÏÈÒÁÎÉÔÓÑ,

ÒÁ×ÎÁ (1

p),

= (1

G

ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ

ÒÁ×ÎÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ,

ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ

ÆÏÒÍÕÌÅ ÏÌÎÏÊ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ RG (p)

e ÂÕÄÅÔ

 ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÉ ÒÁÓÁÄÅÎÉÑ ÎÁ ÞÁÓÔÉ ÇÒÁÆÁ, × 

p,

RG=e (p). ÏÜÔÏÍÕ Ï

ne (p) + pRG=e (p):

p)RG

(4)

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 2. ÷ÅÌÉÞÉÎÁ RG (p) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÏÔ p, ÓÔÅÅÎØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÞÉÓÌÁ ÒÅÂÅÒ × ÇÒÁÆÅ G, ÓÞÉÔÁÑ Ó ËÒÁÔÎÏÓÔÑÍÉ É ÎÅ ÓÞÉÔÁÑ ÅÔÌÉ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÁÚÒÙ× ÅÔÌÉ ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ Ó×ÑÚÎÏÓÔØ

ÇÒÁÆÁ, ÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ Ó ÓÁÍÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÅÔÅÌØ × ÇÒÁÆÅ ÎÅÔ. åÓÌÉ × ÇÒÁÆÅ 1 ×ÅÒÛÉÎÁ (É ÒÅÂÅÒ ÎÅÔ), ÔÏ

RG (p)

= 1. äÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÄÏËÁÚÁ-

 ÉÎÄÕË ÉÑ Ï ÞÉÓÌÕ ÒÅÂÅÒ (ÇÒÁÆ n ÉÍÅÅÔ ÎÁ 1 ÒÅÂÒÏ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ; ÇÒÁÆ  Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÎÁ 1 ÒÅÂÒÏ ÍÅÎØÛÅ). úÁÄÁÞÁ 2. îÁÊÄÉÔÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ  ÇÒÁÆÙ, ÕÏÍÑÎÕÔÙÅ × G ( ), ÇÄÅ

ÔÅÌØÓÔ×Ï

G

G

e

G=e

R

p

G

ÚÁÄÁÞÅ 1.

1.3. á ÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ

ðÕÓÔØ

G

 ÇÒÁÆ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÄÁ×ÁÔØ ÒÅÂÒÁÍ ÇÒÁÆÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÏÒÉÅÎ-

ÔÁ ÉÉ (= ÓÔÁ×ÉÔØ ÎÅ ÒÅÂÒÁÈ ÓÔÒÅÌËÉ); ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Á ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ, ÅÓÌÉ × ÏÌÕÞÅÎÎÏÍ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÉËÌÙ, Ô. Å. ÎÅÌØÚÑ ÒÏÊÔÉ Ï ÓÔÒÅÌËÁÍ É ×ÅÒÎÕÔØÓÑ × ÉÓÈÏÄÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ AG

AG ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï Á ÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÊ = 0, ÅÓÌÉ × ÇÒÁÆÅ ÉÍÅÀÔÓÑ ÅÔÌÉ.

ðÒÉÍÅÒ 6.

åÓÌÉ

G

 ÄÅÒÅ×Ï Ó

n

×ÅÒÛÉÎÁÍÉ (É (n

ÌÀÂÁÑ ÅÇÏ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Á ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÷ÙÄÅÌÉÍ × ÇÒÁÆÅ

G

ÒÅÂÒÏ

e.

G;

ÔÁË,

1) ÒÅÂÒÁÍÉ), ÔÏ = 2n 1 .

AG

ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÕÎËÔÁÍÉ 1.1 É 1.2 Ï-

ÒÏÂÕÅÍ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ×ÅÌÉÞÉÎÁÍÉ ÓÌÕÞÁÅ Ó×ÑÚØ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ Ó×ÏÊÓÔ× ÒÅÂÒÁ

e:

ne É AG=e . ÷ ÄÁÎÎÏÍ

AG , AG

 ÅÔÌÑ, ÔÏ G = 0. 2. ðÕÓÔØ ÒÅÂÒÏ  ÅÒÅÛÅÅË. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÉ ÕÄÁÌÅÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆ ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ: ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ Õ ÇÒÁÆÁ n 1.

åÓÌÉ ÒÅÂÒÏ

e

A

e

G

ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ Õ ÇÒÁÆÁ

G.

éÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÅÒÅÚ ÒÅÂÒÏ

ÄÉÔ ÎÉ ÏÄÉÎ ÉËÌ × ÇÒÁÆÅ ×ÓÅÈ ÒÅÂÒÁÈ ÇÒÁÆÁ

G,

G

e

e

ÎÅ ÒÏÈÏ-

(ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÓÌÉ ÎÁ

ËÒÏÍÅ e, ÕÖÅ ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÓÔÒÅÌËÉ, É ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎ-

ÎÏÇÏ ÉËÌÁ ÎÅÔ, ÔÏ ÎÁ ÒÅÂÒÅ

e

ÓÔÒÅÌËÕ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ

íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ É ÍÏÄÅÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÁÓÔÅÒÏ×

51

 ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÉËÌ ÎÅ ×ÏÚÎÉËÎÅÔ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ËÏÇÄÁ 

ÏÂÒÁÚÏÍ

e

ÅÒÅÛÅÅË,

AG

ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ

3. G

e

= 2AGne :

 ÎÅ ÅÔÌÑ É ÎÅ ÅÒÅÛÅÅË; ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × ÇÒÁÆÅ

ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÔØ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ËÏÎ Ù

ÞÅÒÅÚ

e.

(5)

É

i

j

ÒÅÂÒÁ

e

É ÎÅ ÒÏÈÏÄÑÝÉÊ

÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Á ÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ÇÒÁÆÁ

G

n

ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ

e

Ä×Á ËÌÁÓÓÁ. äÌÑ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÊ ÅÒ×ÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ ÎÁ ×ÓÅÈ ÕÔÑÈ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ

i

É

j,

ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÙ × ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÓÔÏÒÏÎÕ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ

ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÊ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆÅ ÉÊ

G

ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÉËÌÁ, Á ÄÒÕÇÁÑ ÎÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ. äÌÑ ÏÒÉÅÎÔÁ-

G

n

ÏÄÎÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÑ×ÌÅÎÉÀ ×

e

e

×ÔÏÒÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÕÔÉ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÍ

ËÁË ÒÅÂÒÁ, ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÔ

Ë

i

j,

ÉÅÊ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÅ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ ÒÅÂÒÁ ÏÑ×ÌÅÎÉÀ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÉËÌÁ × ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÅÓÌÉ ×

G

n

e

G=e;

i

G).

G

n

ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï Á ÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÊ

ne

AG

ÉÍÅÀÔÓÑ

 ÏÌÕÞÉÔÓÑ Á ÉËÌÉÞÅÓËÁÑ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÑ

Éj

ÌÕÞÉÔØ Á ÉËÌÉÞÅÓËÕÀ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ



j,

ÄÏÕÓÔÉÍÙ (ÎÅ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë

e

ÏÂÒÁÔÎÏ, ÉÚ ËÁÖÄÏÊ Á ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ

ÅÒ×ÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ

É

ÚÁÄÁÎÁ Á ÉËÌÉÞÅÓËÁÑ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ËÌÁÓ-

ÓÁ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÌÅÉÔØ ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ

i

ÔÁË É ÒÅÂÒÁ Ó ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÏÒÉÅÎÔÁ-

AG=e ,

e G

G=e

ÍÏÖÎÏ Ï-

×ÔÏÒÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

n

e

×ÔÏÒÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÒÁ×ÎÏ

AG=e ,

ÏÔËÕÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ÄÌÑ ÒÅÂÒÁ

e

ÎÅ ÅÔÌÉ É ÎÅ ÅÒÅÛÅÊËÁ) AG

=

ne

AG

AG=e

+ 2AG=e =

òÁ×ÅÎÓÔ×Á (5) É (6) ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ



AG

ne + AG=e



(6)

AG

ÌÀÂÏÇÏ ÇÒÁÆÁ.

>

ðÒÉÍÅÒ 7. ðÕÓÔØ G = Zn ÉËÌ ÉÚ n ×ÅÒÛÉÎ É n ÒÅÂÅÒ, n 2. òÅÂÒÁ ÉËÌÁ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÔÌÑÍÉ É ÅÒÅÛÅÊËÁÍÉ; ÇÒÁÆ Zn e Ñ×ÌÑÅÔÓÑ

n

>

ÄÅÒÅ×ÏÍ, Á Zn =e = Zn 1 . ïÔÓÀÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ (ÒÉ n 2) ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï AZn = = 2n 1 + AZn 1 . çÒÁÆ Z1 ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÔÌÀ, ÏÜÔÏÍÕ AZ1 = 0, ÏÔËÕÄÁ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ AZn = 2n 2. 2. íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ 2.1. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ É ÒÉÍÅÒÙ ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ [1℄. TG (x; y )

íÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÁÔÔÁ

ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ

G

7!

ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÇÒÁÆÏ× (×ÏÚÍÏÖÎÏ, Ó ÅÔÌÑ-

ÍÉ É ËÒÁÔÎÙÍÉ ÒÅÂÒÁÍÉ) × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÁÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: 1. åÓÌÉ ÇÒÁÆ

G

2. åÓÌÉ ÒÅÂÒÏ + TG=e (x; y ).

e

ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÒÅÂÅÒ, ÔÏ

TG (x; y )

= 1.

 ÎÅ ÅÔÌÑ É ÎÅ ÅÒÅÛÅÅË, ÔÏ

TG (x; y )

=

ne (x; y) +

TG

52

à.í. âÕÒÍÁÎ

3. åÓÌÉ ÒÅÂÒÏ

e

4. åÓÌÉ ÒÅÂÒÏ

e

 ÅÒÅÛÅÅË, ÔÏ  ÅÔÌÑ, ÔÏ G( T

TG (x; y ) x; y )

=

=

xTG=e (x; y ).

ne (x; y).

yTG

òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÁÔÔÁ ÅÝÅ ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ. íÙ ÓÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ ÏÚÄÎÅÅ (ÒÁÚÄÅÌ 2.2), Á ÏËÁ ×ÙÑÓÎÉÍ, ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ Ó×ÑÚÁÎ Ó ÔÅÍÉ ÚÁÄÁÞÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÉ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÄÅÒÅ×Á Ó n ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ (É n 1 . üÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n: × ÄÅÒÅx

ðÒÉÍÅÒ 8.

(n

1) ÒÅÂÒÁÍÉ) ÒÁ×ÅÎ

×Å ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÒÅÂÒÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÅÛÅÊËÏÍ, ÏÓÌÅ ÓÔÑÇÉ×ÁÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ

 ( 1) ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ. ðÒÉÍÅÒ 9. ðÕÓÔØ = n  ÉËÌ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÒÅÂÒÁ ÇÒÁÆ n  ÅÏÞËÁ n ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ, Á = n 1 . óÏ-

ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÑÔØ ÄÅÒÅ×Ï

n

G

e

G

ÇÌÁÓÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Õ 2,

Z

n

e

L

TZn (x; y )

=

TLn (x; y )

n

+

G=e

TZn 1 (x; y )

=

x

Ï ÆÏÒÍÕÌÅ ÒÉÍÅÒÁ 8; ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÅÒÎÏ ÒÉ ×ÓÑËÏÍ ÅÔÌÑ, ÔÁË ÞÔÏ =

TZn 1

y

+x+

TZ1

=




+

ÔÏÞËÁ 1.

yT

n

x

=

y

Z

1 + TZ

n

1 (x; y )

n

n >

1. çÒÁÆ

1

Z



Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ 4 É 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÇÒÁÆÏ×, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÛÌÁ ÒÅÞØ × ÒÁÚÄÅÌÅ 1, ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 3. ðÕÓÔØ G

 ÇÒÁÆ Ó

n

×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É

k

ËÏÍÏÎÅÎÔÁÍÉ

Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ. ÏÇÄÁ ÅÇÏ ÈÒÏÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ CG (s)

=(

1)n+k sk TG (1

s;

0).

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÏ×ÅÄÅÍ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÞÉÓÌÕ ÒÅk = n, TG (x; y ) 1, Á CG (s) = sn ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÅÒÎÏ. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ × ÇÒÁÆÅ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÅÂÒÏ e. äÌÑ ÇÒÁÆÏ× G e äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ÂÅÒ ÇÒÁÆÁ

É e k

G=e

G.

G

ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ; ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ × 1). ÏÇÄÁ CG (s)

=

=( =(

É

n

G=e e

ÏÂÁ ÓÏÄÅÒÖÁÔ Ï

ÒÁ×ÎÏ

ne (s) CG=e (s) = (Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (1)) n+k k n 1+k k 1) s TGne (1 s; 0) ( 1) s TG=e (1 n+k k 1) s (TGne (1 s; 0) + TG=e (1 s; 0) = n+k k 1) s TG (1 s; 0);

ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ e

e G

n,

Á ×

G=e



CG

=(

n

 n

ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ. ðÕÓÔØ ×ÎÁÞÁÌÅ

 ÎÅ ÅÔÌÑ É ÎÅ ÅÒÅÛÅÅË. ÏÇÄÁ ÇÒÁÆÙ n

(n

G



åÓÌÉ ÒÅÂÅÒ ÎÅÔ ×Ï×ÓÅ, ÔÏ

e

 ÅÒÅÛÅÅË, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ×ÅÒÛÉÎÙ

ÉÍÅÅÔ (k + 1) ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ É

n

i

É

s;

j.

×ÅÒÛÉÎ. éÚ ×ÓÅÈ

0) =

ÏÇÄÁ ÇÒÁÆ

ne (s) ÅÇÏ

CG

íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ É ÍÏÄÅÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÁÓÔÅÒÏ× ÒÁÓËÒÁÓÏË ×

s

×ÅÔÏ× ÒÏ×ÎÏ ÄÌÑ 1=s-ÏÊ ÞÁÓÔÉ ×ÅÔÁ ×ÅÒÛÉÎ

ÀÔ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, CG (s)

53

1=s)CGne (s) = (1

= (1

n+k+1 k+1

1=s)(

1)

s

i

ne (1

TG

É

j

ÓÏ×ÁÄÁ-

s;

0) =

(Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ) = (1 =( åÓÌÉ =0




e

TG=e (1

1=s)(

n+k+1 k+1

1)

s

n+k k 1) s TG (1



ÅÔÌÑ, ÔÏ s; 0)

s;

(1

s)TG (1

s; 0)

=

(Ï Ó×ÏÊÓÔ×Õ 3)

0):

CG (s)

= 0. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ,

TG (1

s; 0)

=

= 0.

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 4. ðÕÓÔØ G ÄÅÌÅÎÎÙÊ × ÒÁÚÄÅÌÅ

RG (p)

ÇÄÅ n É k





Ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ RG (p), ÏÒÅ-

1.2, ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ r n+k n k

= (1

p)

p

3, Á

ÔÅ ÖÅ, ÞÔÏ É × ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÉ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

1

TG (1;



r

ïÑÔØ ÉÎÄÕË ÉÑ Ï ÞÉÓÌÕ

ÆÁ Ó 1 ×ÅÒÛÉÎÏÊ ÂÅÚ ÒÅÂÅÒ

R G (p ) = 1 É ÆÏÒÍÕÌÅ, ÏÓËÏÌØËÕ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ r = 0 É

TG (p) n

=

k

p

1

);

ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ.

ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ. äÌÑ ÇÒÁ-

r

= 1, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ = 1.

÷ÙÄÅÌÉÍ × ÇÒÁÆÅ ÒÅÂÒÏ e. åÓÌÉ ÏÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÉ ÅÒÅÛÅÊËÏÍ, ÎÉ ÅÔÌÅÊ, ÔÏ ÇÒÁÆ Á ÇÒÁÆ RG (p)

G=e

G

n

e

ÉÍÅÅÔ

n

×ÅÒÛÉÎ, (r

 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, (

1), (r

n

1) É

ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ,

k

k.

éÍÅÅÍ ÔÏÇÄÁ

ne (p) + pRG=e (p) = (Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (4)) 1 1 r n+k n k n+k n k ) + (1 p) p TG=e (1; )= p TGne (1; 1 p 1 p

= (1

p)RG

= (1

p)

r

1) ÒÅÂÅÒ É

(Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ) = (1

r n+k n k

p)

åÓÌÉ ÒÅÂÒÏ

p

r n+k n k

= (1

1 1

 ÅÒÅÛÅÅË, ÔÏ

e

ÉÎÄÕË ÉÉ, pRG=e (p)

TG (1;

p)

p

p

)

(Ï Ó×ÏÊÓÔ×Õ 2 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÁÔÔÁ):

RG (p)

TG=e (1;

=

1

pRG=e (p).

) = (1

1

p

=

RG

ðÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ

r n+k n k

p)

p

TG (1;

1

p

1

)

(Ï Ó×ÏÊÓÔ×Õ 3 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÁÔÔÁ). åÓÌÉ ÒÅÂÒÏ ÉÉ, RG

ne (p) = (1

e

 ÅÔÌÑ, ÔÏ r

p)

1 n+k pn

RG (p)

k

ne (1; 1

TG

(Ï Ó×ÏÊÓÔ×Õ 4 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÁÔÔÁ).

ne (p). ðÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË-

1

p

) = (1

r n+k n k

p)

p

TG (1;

1 1

p

)

54

à.í. âÕÒÍÁÎ

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 5. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁ×ÎÏ AG

=

TG (2;

Á ÉËÌÉÞÅÓËÉÈ

ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÊ

ÇÒÁÆÁ

G

0).

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï

 ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ Ï ÞÉÓÌÕ ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ Ó ÉÓ-

ÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ Ó×ÏÊÓÔ× ×ÅÌÉÞÉÎÙ

AG ,

ÄÏËÁÚÁÎÎÙÈ × ÒÁÚÄÅÌÅ 1.3.

2.2. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ

äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÇÒÁÆÁ

×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

G

X

Z (q; v )

ÏÔ Ä×ÕÈ

ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ïÎ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ZG (q; v )

=

q

k(H ) e(H ) v

(7)

;

H ÇÄÅ ÓÕÍÍÁ ÂÅÒÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÏÄÇÒÁÆÁÍ

ÇÒÁÆÁ

H

ÔÏÒÙÈ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅÒÛÉÎ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅÂÅÒ

G

ÎÉÑÈ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ, ÒÏ×ÎÏ ÍÕÌÅ (7) e(H )

k (H )

G,

G,

ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ËÏ-

Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ

(ÔÁË ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ n

H

 ÌÀÂÏÅ

ÉÍÅÅÔ, × ÏÂÏÚÎÁÞÅ-

×ÅÒÛÉÎ É ÎÅ ÂÏÌÅÅ

r

ÒÅÂÅÒ). ÷ ÆÏÒ-

ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ

 ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ.

H,

Á

ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ZG ÈÏÒÏÛÏ ×ÅÄÅÔ ÓÅÂÑ ÒÉ ÒÁÚÒÙ×ÁÈ É ÓÔÑÇÉ×ÁÎÉÉ ÒÅÂÅÒ: ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÒÅÂÒÁ e ÇÒÁÆÁ G ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ ZG (q; v )

=

ZGne (q; v )

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ ÏÄÇÒÁÆÙ

H

ÇÒÁÆÁ

+ vZG=e (q; v ): G

ÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ËÌÁÓÓÁ: ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÒÅÂÒÏ

(8)

ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ Ä×Á ÎÅÅ-

P

É ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÅÇÏ. ðÏÄÇÒÁÆ k(H ) v e(H ) , ÔÁË ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ Hq ×ÚÑÔÁÑ Ï ÏÄÇÒÁÆÁÍ ×ÔÏÒÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ, ÒÁ×ÎÁ ZGne (q; v ). ÷Ï ×ÓÑËÏÍ ÏÄÇÒÁÆÅ ÅÒ×ÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÍÏÖÎÏ ÓÔÑÎÕÔØ ÒÅÂÒÏ e, ÏÌÕÞÉ× ÏÄÇÒÁÆ ÇÒÁÆÁ G=e.

×ÔÏÒÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ

e

 ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ ÏÄÇÒÁÆ × n

G e,

P

ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ ÓÔÑÇÉ×ÁÎÉÉ ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ, ÓÕÍÍÁ k(H ) v e(H ) , ×ÚÑÔÁÑ Ï ÏÄÇÒÁÆÁÍ ÅÒ×ÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ, ÒÁ×ÎÁ vZ G=e (q; v ). Hq æÏÒÍÕÌÁ (8) ×ÅÒÎÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÅÂÒÁ e. ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÒÅÂÒÏ e ÅÔÌÑ, ÔÏ ÇÒÁÆÙ

G

n

e

É

G=e

ZG (q; v )

ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ

e

= (1 + v )ZGne (q; v ):

 ÅÒÅÛÅÅË. ÷ÓÑËÏÍÕ ÏÄÇÒÁÆÕ

ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ Ä×Á ÏÄÇÒÁÆÁ ÇÒÁÆÁ H



ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÞÔÏ ÄÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

É ÅÝÅ ÒÅÂÒÏ e, Á ×ÔÏÒÏÊ, H2

G:

ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ,

 ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ

H,

(9) H

H1

ÇÒÁÆÁ

G=e

ÍÏÖÎÏ

ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ

ÎÏ ÒÅÂÒÁ e ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ. ïÞÅ-

×ÉÄÎÏ, e(H1 ) = e(H ) + 1, k (H1 ) = k (H ), É e(H2 ) = e(H ) É k (H2 ) = k (H ) + 1. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ q k(H1 ) v e(H1 ) + q k(H2 ) v e(H2 ) = (q + v )q k(H ) v e(H ) , ÔÏ ÅÓÔØ ZG (q; v )

ðÒÉÍÅÒ 10.

ðÕÓÔØ ÇÒÁÆ

G

= (q + v )ZG=e (q; v ):

 ÄÅÒÅ×Ï Ó

n

×ÅÒÛÉÎÁÍÉ (É (n

(10) 1) ÒÅÂÒÁ-

ÍÉ). ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ÄÅÒÅ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÅÛÅÊËÏÍ, ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ

íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ É ÍÏÄÅÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÁÓÔÅÒÏ× (10) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ Z = q (q + v )n 1 .

G

Z

G

55

= (q + v )n 1 ZÔÏÞËÁ . ïÞÅ×ÉÄÎÏ,

ZÔÏÞËÁ

ÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ ÇÒÁÆÁ

G,

ÞÌÅÎ

Z

G

=

q,

ÏÔËÕÄÁ

ÞÅÒÅÚ ÍÎÏÇÏ-

ÄÏËÁÚÁ× ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÔÅÏÒÅÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ:

ÅÏÒÅÍÁ 1. äÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ T

G (x; y)

ÓÕÝÅÓ-

Ô×ÕÅÔ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎ É ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ T

ÇÄÅ n



G (x; y) =

1

k

(x

1) (y

ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ, Á k

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.



1)

n ZG ((x

1)(y

1); y

1);

(11)

ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÍÏÎÅÎÔ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ.

ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

 ÇÒÁÆ Ó  ÏÎ ÓÁÍ, ÔÁË ÞÔÏ

(11) ÏÂÌÁÄÁÅÔ ×ÓÅÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÁÔÔÁ. åÓÌÉ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ É ÂÅÚ ÒÅÂÅÒ, ÔÏ ÅÇÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÄÇÒÁÆ

G (q; v) = qn . ðÏÓËÏÌØËÕ k = n, ÉÍÅÅÍ

G

n

Z

1

k

(x

1) (y

1)

n ZG ((x

1)(y

1); y

1) = 1;

ËÁË É ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ (Ó×ÏÊÓÔ×Ï 1). ó×ÏÊÓÔ×Á 2, 3 É 4 ÌÅÇËÏ ×Ù×ÏÄÑÔÓÑ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌ (8), (10) É (9) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. îÅÓÌÏÖÎÏÊ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÞÉÓÌÕ ÒÅÂÅÒ ÏÔÓÀÄÁ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ

x

É

y.

1

(x

n ZG ((x

k

1) (y

1)(y

1)

1); y

1)



ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÄÏËÁÚÁÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÁÔ-

ÔÁ É ÆÏÒÍÕÌÁ (11). åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÁÔÔÁ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÆÏÒÍÕÌÙ (11) ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÞÉÓÌÕ ÒÅÂÅÒ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÒÅÂÅÒ ÎÅÔ (ÂÁÚÁ

G (x; y)

ÉÎÄÕË ÉÉ), ÔÏ

T

×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ

ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ Ó×ÏÊÓÔ×Á 2, 3 ÉÌÉ 4 Ë ×Ù-

T

G

= 1 Ï Ó×ÏÊÓÔ×Õ 1. åÓÌÉ ÖÅ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÅÂÒÏ

ÞÉÓÌÅÎÉÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÁÔÔÁ ÄÌÑ ÇÒÁÆÏ× ÒÅÂÒÏ ÍÅÎØÛÅ.

G

n

e

É

G=e,

e,

ÔÏ

ÉÍÅÀÝÉÈ ÎÁ ÏÄÎÏ

2.3. äÒÕÇÉÅ ÓÅ ÉÁÌÉÚÁ ÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÁÔÔÁ

ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ×ÍÅÓÔÏ

G (x; y),

T

ÆÁ

G.

x

É

y

× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ

ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÏÉÓÁÎÉÅ ÍÎÏÇÉÈ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÇÒÁ-

ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ÒÉÍÅÒÁÍÉ ÍÙ ÕÖÅ ÏÚÎÁËÏÍÉÌÉÓØ × ÒÁÚÄÅÌÅ 2.1; ×ÏÔ

ÅÝÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ÔÁËÏÇÏ ÖÅ ÒÏÄÁ (ÚÁÉÍÓÔ×Ï×ÁÎÎÙÈ ÉÚ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÂÚÏÒÁ [2℄): 1. åÓÌÉ ÇÒÁÆ G.

2. ðÕÓÔØ

G

Ó ÒÏ×ÎÏ

i

G

Ó×ÑÚÎÙÊ, ÔÏ

T

G (1; 1) ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÏÄÇÒÁÆÏ×-ÄÅÒÅ×ØÅ× ×

 Ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ, É i( )  ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÇÏ ÏÄÇÒÁÆÏ×-ÌÅÓÏ× ÒÅÂÒÁÍÉ (ÌÅÓ  ÜÔÏ ÇÒÁÆ ÂÅÚ ÉËÌÏ×, ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ Ó×ÑÚP f

G

ÎÙÊ). ÏÇÄÁ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

n 1 i n i=0 fi(G)s = s

1 T (1+1=s; 1); G

56

à.í. âÕÒÍÁÎ

n  ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ × ÇÒÁÆÅ G (ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÄÇÒÁÆ-ÌÅÓ 1) ÒÅÂÅÒ). ðÏÌÁÇÁÑ s = 1, ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ TG (2; 1) ÒÁ×ÎÏ ÏÂÝÅÍÕ ÞÉÓÌÕ ÏÄÇÒÁÆÏ×-ÌÅÓÏ× × G.

ÚÄÅÓØ

ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÔ 0 ÄÏ (n

3. ðÕÓÔØ ÆÏ× Ó

G  Ó×ÑÚÎÙÊ ÇÒÁÆ, É i (G)  ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÅÇÏ Ó×ÑÚÎÙÈ ÏÄÇÒÁi ÒÅÂÒÁÍÉ. ÏÇÄÁ

X

r n+1 i=0

ÇÄÅ

s

4.

1

i (G)si = sr n+1 TG (1; 1 + ); s

r  ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ, Á n  ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ G. ðÏÌÁÇÁÑ TG (1; 2) ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ Ó×ÑÚÎÙÈ ÏÄÇÒÁÆÏ× × G.

= 1, ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ

TG (0; 2)

ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ×ÏÌÎÅ ÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÊ ÇÒÁÆÁ

G,

ÔÏ

ÅÓÔØ ÔÁËÉÈ ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÓÓÔÁ×ÉÔØ ÓÔÒÅÌËÉ ÎÁ ÒÅÂÒÁÈ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÒÅÂÒÏ ×ÈÏÄÉÔ × ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÉËÌ.

5.

TG (1; 0) ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ Á ÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÊ ÇÒÁÆÁ G (ÓÒ. ÕÔ×ÅÒÖ-

ÄÅÎÉÅ 5), ÉÍÅÀÝÉÈ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÕ ×ÅÒÛÉÎÕ-ÉÓÔÏÞÎÉË, ÔÏ ÅÓÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ, × ËÏÔÏÒÕÀ ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ ÎÉ ÏÄÎÁ ÓÔÒÅÌËÁ. 6.

TG (

1;

1) = (

1)r 2d , ÇÄÅ

r  ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ ÇÒÁÆÁ, Á d  ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ

ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÇÏ €×ÅÌÏÓÉÅÄÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÇÒÁÆÁ, ÓÍ. ÏÒÅÄÅÌÅ-

ÎÉÅ × ÒÁÂÏÔÅ [3℄. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÏÈÏÖÉ ÎÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ 3{5 É ÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ. 3. íÏÄÅÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÁÓÔÅÒÏ×

€÷ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅ΁

ZG (q; v),

ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (7),

ÉÍÅÅÔ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÅ: ÏÎ ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÕÀ ÓÕÍÍÕ ÒÏÓÔÅÊÛÅÊ ÍÏÄÅÌÉ ËÒÉÓÔÁÌÌÁ-ÍÁÇÎÅÔÉËÁ ÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÁÓÔÅÒÏ× .

 ÍÏÄÅ-

ëÒÉÓÔÁÌÌ × ÜÔÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÇÒÁÆÏÍ (ÏÂÙÞÎÏ ÒÅÛÅÔËÏÊ, ÔÉÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ × ÚÁÄÁÞÅ 1). áÔÏÍÙ

 ×ÅÒÛÉÎÙ ÇÒÁÆÁ, É ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉ €ÂÌÉÖÁÊÛÉÍÉ ÓÏÓÅÄÑÍɁ.

ÎÁ ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÒÅÂÒÁÍÉ Ó ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÄÒÕÇÉÍÉ ëÁÖÄÙÊ ÁÔÏÍ ÍÏÖÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ

q

ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ (ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÉ-

ÎÁ), ÔÁË ÞÔÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ×ÓÅÇÏ ËÒÉÓÔÁÌÌÁ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÒÏÊ (G;  ), ÇÄÅ

 : V (G) ! f1; 2; : : : ; qg ÒÁÚÄÅÌÏÍ 1.1).

 ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ G (ÓÒ. Ó

áÔÏÍÙ ËÒÉÓÔÁÌÌÁ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ, É ÜÔÏÍÕ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÀ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÜÎÅÒÇÉÑ. ÷ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÁÔÏÍÏ× É ÏÔ ÉÈ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ. ÷ ÍÏÄÅÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÁÓÔÅÒÏ× ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÁÔÏÍ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÌØËÏ ÓÏ Ó×ÏÉÍÉ

íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ É ÍÏÄÅÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÁÓÔÅÒÏ×

57

ÂÌÉÖÁÊÛÉÍÉ ÓÏÓÅÄÑÍÉ (Ô. Å. ×ÅÒÛÉÎÁ  Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ, ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÍÉ Ó ÎÅÀ ÒÅÂÒÁÍÉ), É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÈ ÓÉÎÏ× ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÒÅÂÒÕ e ÇÒÁÆÁ G Ó ËÏÎ ÁÍÉ e ; e 2 V (G) ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÜÎÅÒÇÉÑ, ÒÁ×ÎÁÑ JeÆ((e ); (e )). úÄÅÓØ Je  ËÏÎÓÔÁÎÔÁ, ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÝÁÑ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏÓÔØ Ó×ÑÚÉ ×ÄÏÌØ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÅÂÒÁ, Á Æ(a; b) = 1, ÅÓÌÉ a = b, É 0, ÅÓÌÉ a 6= b. ðÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÜÎÅÒÇÉÑ ×ÓÅÇÏ ËÒÉÓÔÁÌÌÁ × ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ, ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÍÏÍ ÁÒÏÊ (V; ), ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚ ÜÎÅÒÇÉÊ ÏÁÒÎÙÈ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÊ: X J Æ((e ); (e )): (G; ) = (12) e +

+

+

e2E (G)

ðÏÄ ×ÌÉÑÎÉÅÍ ÔÅÌÏ×ÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ËÒÉÓÔÁÌÌ ÓÌÕÞÁÊÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÅÒÅÈÏÄÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ × ÄÒÕÇÏÅ. ÷ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÅ ÒÉÎÑÔ ÏÓÔÕÌÁÔ âÏÌØ ÍÁÎÁ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÏÍÕ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÄÌÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ  ÒÁ×ÎÁ P () = exp( ())=Z ( ), ÇÄÅ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó (ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ) ÔÅÍÅÒÁÔÕÒÏÊ T ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ = = 1=kT (k  ÆÉÚÉÞÅÓËÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ âÏÌØ ÍÁÎÁ), Á Z ( )  ÎÏÒÍÉÒÏ×ÏÞÎÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ, ÒÁ×ÎÙÊ (ÞÔÏÂÙ ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ ÒÁ×ÎÑÌÁÓØ 1) X exp( ()); Z ( ) = 

ÇÄÅ ÓÕÍÍÁ ÂÅÒÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑÍ ÓÉÓÔÅÍÙ (× ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ  Ï ×ÓÅÍ ÆÕÎË ÉÑÍ  : V (G) ! f1; 2; : : : ; qg). ÷ÅÌÉÞÉÎÁ Z ( ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. ðÕÓÔØ f  ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÆÉÚÉÞÅÓËÁÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ ÓÉÓÔÅÍÙ, Ô. Å. ÆÕÎË ÉÑ ÅÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ (ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ, Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ). ÏÇÄÁ ÓÒÅÄÎÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f Ï ×ÓÅÍ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑÍ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÁ×ÎÏ X X hf i = f ()P () = f () exp( ())=Z ( ): 



óÒÅÄÎÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÜÎÅÒÇÉÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÁ×ÎÏ P hi =  () exp( ())=Z ( ) = d ln Z ( ). ðÒÉÍÅÒ 11.

d

íÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ, ×ÅÒ×ÙÅ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ð. ëÁÓÔÅÌÅÊÎÏÍ É ó. æÏÒÔÀÜÎÏÍ × 1969 Ç.: ÅÏÒÅÍÁ 2 ([4℄). ðÕÓÔØ Je = J ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÅÂÒÁ e. ÏÇÄÁ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÁÑ ÓÕÍÍÁ ÍÏÄÅÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÁÓÔÅÒÏ× ÒÁ×ÎÁ

ZG (q; exp( J ) ÇÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

Z

ÏÒÅÄÅÌÅÎ ÆÏÒÍÕÌÏÊ

(7).

1);

58

à.í. âÕÒÍÁÎ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ  : V (G) ! f1; 2; : : : ; q g  ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ v = exp( J ) 1; ÔÏÇÄÁ exp( ()) = exp( J Æ((e ); (e )))

Y = exp( Y = (1 + e

ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ,

e

X

+

e

JÆ((e+ ); (e vÆ((e+ ); (e

exp( ()) =

))) =

))) =

X

AG

XY

AG e2A

vÆ((e+ ); (e

));

ve(A) ;

ÇÄÅ ÓÕÍÍÁ ÂÅÒÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÏÄÇÒÁÆÁÍ A  G, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË ÉÉ  ÏÄÉÎÁËÏ×Ï ÎÁ ÏÂÏÉÈ ËÏÎ ÁÈ ËÁÖÄÏÇÏ ×ÈÏÄÑÝÅÇÏ × ÎÉÈ ÒÅÂÒÁ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ  ÏÓÔÏÑÎÎÁ ÎÁ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÈ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ ÏÄÇÒÁÆÁ A. ÅÍ ÓÁÍÙÍ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÁÑ ÓÕÍÍÁ ÍÏÄÅÌÉ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÁÓÔÅÒÏ× ÒÁ×ÎÁ exp( ()) =

X 

X  X =

=

A G A G

ve(A)  #ÆÕÎË ÉÊ , ÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ÎÁ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÈ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ A = qk(A) ve(A) = ZG (q; v):

ðÒÉÍÅÒ 12. äÌÑ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ËÒÉÓÔÁÌÌÁ (€ ÅÏÞËɁ) ÉÚ N ÁÔÏÍÏ×, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÍÅÒÕ 10, ÉÍÅÅÍ (× ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ×ÅÓÁ ×ÓÅÈ ÒÅÂÅÒ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù) Z (q; v) = q(q + v)N . ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÁÑ ÓÕÍÍÁ ÒÁ×ÎÁ q(q 1 + exp( J ))N , Á ÓÒÅÄÎÑÑ ÜÎÅÒÇÉÑ ÍÁÇÎÉÔÎÏÇÏ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÁÔÏÍÏ× ÓÉÓÔÅÍÙ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÉÍÅÒÕ 11, ÒÁ×ÎÁ J ) : hi = (N 1) q J1exp( + exp( J ) óÒÅÄÎÑÑ ÜÎÅÒÇÉÑ × ÒÁÓÞÅÔÅ ÎÁ ÏÄÉÎ ÁÔÏÍ ËÒÉÓÔÁÌÌÁ ÒÁ×ÎÁ hE i=N É × ÒÅ J ) ÄÅÌÅ N ! 1 ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë q J1exp( . + exp( J ) åÓÌÉ ÔÅÍÅÒÁÔÕÒÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅÌÉËÁ (T ! +1), ÔÏ = 1=kT ! 0, É ÓÒÅÄÎÑÑ ÜÎÅÒÇÉÑ ÎÁ ÏÄÉÎ ÁÔÏÍ ÒÉÂÌÉÖÁÅÔÓÑ Ë J=q. ðÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÖÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÉ ÎÉÚËÉÈ ÔÅÍÅÒÁÔÕÒÁÈ (T ! 0, ÔÏ ÅÓÔØ ! +1) ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÚÎÁËÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ J . åÓÌÉ J > 0, ÔÏ exp( J ) ! 0, É ÓÒÅÄÎÑÑ ÜÎÅÒÇÉÑ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ. ÁËÉÅ ËÒÉÓÔÁÌÌÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÁÎÔÉÆÅÒÒÏÍÁÇÎÉÔÎÙÍÉ: × ÎÉÈ ÓÏÓÅÄÎÉÍ ÁÔÏÍÁÍ ÜÎÅÒÇÅÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ×ÙÇÏÄÎÏ ÉÍÅÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÓÉÎÙ, É ÏÜÔÏÍÕ ÒÉ ÎÉÚËÏÊ ÔÅÍÅÒÁÔÕÒÅ, ËÏÇÄÁ ÔÅÌÏ×ÏÅ 1

1

íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÁÔÔÁ É ÍÏÄÅÌØ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ËÌÁÓÔÅÒÏ×

59

Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÉÓÞÅÚÁÅÔ, ÔÁËÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ. åÓÌÉ ÖÅ J < 0 (ÆÅÒÒÏÍÁÇÎÉÔÎÙÊ ËÒÉÓÔÁÌÌ), ÔÏ exp( J ) ! +1, É ÓÒÅÄÎÑÑ ÜÎÅÒÇÉÑ ÎÁ ÏÄÉÎ ÁÔÏÍ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë J . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, × ÆÅÒÒÏÍÁÇÎÉÔÎÏÍ ËÒÉÓÔÁÌÌÅ ÒÉ ÎÉÚËÏÊ ÔÅÍÅÒÁÔÕÒÅ ×ÓÅ ÁÔÏÍÙ ÓÔÁÒÁÀÔÓÑ ÉÍÅÔØ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÓÉÎ. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ q = 2, ÔÏ ÅÓÔØ ÓÉÎ  ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÔÏÌØËÏ 2 ÚÎÁÞÅÎÉÑ. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÙ 1=2 É 1=2. ÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÆÕÎË ÉÀ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ, ÒÁ×ÎÕÀ f () = P (v), ÇÄÅ ÓÕÍÍÁ ÂÅÒÅÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÇÒÁÆÁ. ÷×ÅÄÅÍ ÔÅÅÒØ × ÓÉÓÔÅÍÕ ×ÎÅÛÎÅÅ ÍÁÇÎÉÔÎÏÅ ÏÌÅ. ÏÇÄÁ ÜÎÅÒÇÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ: ÜÎÅÒÇÉÉ () ÏÁÒÎÏÇÏ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (12), É ÜÎÅÒÇÉÉ ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÓÉÎÏ× Ó ÍÁÇÎÉÔÎÙÍ ÏÌÅÍ, ÒÁ×ÎÏÊ hf () (h  ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÏÌÑ). úÁÄÁÞÁ 3. ðÕÓÔØ ÇÒÁÆ G = GN  ÅÏÞËÁ, ËÁË × ÒÉÍÅÒÅ 12. Á) ÷ÙP ÞÉÓÌÉÔÅ ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÕÀ ÓÕÍÍÕ ZN ( ; h) =  exp( (() + hf ())). 1 Â) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ hf i ËÁË ÆÕÎË ÉÀ É h. ×) îÁÊÄÉÔÅ ÒÅÄÅÌ hlim !+0 Nlim !1 N hf i. ðÒÅÄÅÌ × ÕÎËÔÅ 3× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÎÔÁÎÎÏÊ ÎÁÍÁÇÎÉÞÅÎÎÏÓÔØÀ . ïÎ 1 ÎÅ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÒÅÄÅÌÁ Nlim !1 hlim !0 N hf i, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ Ï ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. úÁÍÅÞÁÎÉÑ

1. éÚ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ 3 É 4 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÞÉ 1 É 2 ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ, ÅÓÌÉ ÎÁÊÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÁÔÔÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÇÒÁÆÏ×-ÒÅÛÅÔÏË. äÌÑ ÒÅÛÅÔÏË 2n (ÕÎËÔÙ 1Á É 1×) ÜÔÏ ÎÅÓÌÏÖÎÏ, ÎÏ Ñ×ÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÁÔÔÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÒÅÛÅÔÏË (ÕÎËÔÙ 1Â É 1Ç, ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ Ú×ÅÚÄÏÞËÏÊ) × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎÁ (ÔÁË ÖÅ ËÁË É ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× CG É RG ). ðÏÉÓËÉ ÔÁËÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏ ×ÅÄÕÔÓÑ. úÁÄÁÞÁ ÒÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÕÀ ÒÅÛÅÔËÕ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÏÝÅ: ÄÌÑ ÎÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÒÅÄÅÌ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÁÔÔÁ ÒÉ n ! 1 (É ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ m), Á ÔÁËÖÅ ÄÏËÁÚÁÎ ÒÑÄ ÄÒÕÇÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, ÓÍ. ÓÔÁÔØÀ [5℄. ðÒÏ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÅ ÒÅÛÅÔËÉ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÁ ÏÞÅÎØ ×ÅÌÉËÁ; ÓÍ. ÎÅÄÁ×ÎÀÀ ÒÁÂÏÔÕ [6℄. 2. ðÏÕÌÑÒÎÙÊ ÒÁÓÓËÁÚ Ï ËÒÉÓÔÁÌÌÁÈ-ÍÁÇÎÅÔÉËÁÈ ÓÍ. × ËÎÉÇÅ [7℄. ïÓÏÂÅÎÎÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏÊ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÉÑ, ËÏÇÄÁ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÏÄÅÌÉ ÍÁÇÎÅÔÉËÁ ×ÙÓÔÕÁÅÔ ÎÅ ÇÒÁÆ- ÅÏÞËÁ, ËÁË × ÒÉÍÅÒÅ 12, Á Ä×ÕÍÅÒÎÁÑ ÒÅÛÅÔËÁ, ÎÁÏÄÏÂÉÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ × ÚÁÄÁÞÅ 1. õÓÔÒÅÍÉ× ÒÁÚÍÅÒÙ ÒÅÛÅÔËÉ Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ, ËÁË × ÚÁÄÁÞÅ 3, ÓÏÎÔÁÎÎÕÀ ÎÁÍÁÇÎÉÞÅÎÎÏÓÔØ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ ÔÅÍÅÒÁÔÕÒÙ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÇÌÁÄËÏÊ: ÒÉ ÔÅÍÅÒÁÔÕÒÅ ÎÉÖÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÒÏ×ÎÑ T

60

à.í. âÕÒÍÁÎ

ÓÏÎÔÁÎÎÁÑ ÎÁÍÁÇÎÉÞÅÎÎÏÓÔØ ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ, Á ÒÉ T > T  ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. üÔÏ Ñ×ÌÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÁÚÏ×ÙÍ ÅÒÅÈÏÄÏÍ. ÏÞÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ T ÂÙÌÁ ÎÁÊÄÅÎÁ ñÎÇÏÍ [8℄; ÓÍ. ËÎÉÇÉ [9℄, [10℄ É [11℄. ïÔÍÅÔÉÍ ÅÝÅ ËÎÉÇÕ [12℄ (×ÙÛÅÄÛÕÀ × ÔÏÊ ÖÅ ÓÅÒÉÉ €âÉÂÌÉÏÔÅÞËÁ ë×ÁÎÔ\, ÞÔÏ É [7℄)  × " ÎÅÊ ÒÁÚÂÉÒÁÀÔÓÑ ÚÁÄÁÞÉ ÒÏ ÂÏÌØÛÉÅ ÒÅÛÅÔËÉ, ×ÅÓØÍÁ ÂÌÉÚËÉÅ Ï ÄÕÈÕ Ë ÕÏÍÑÎÕÔÙÍ ×ÙÛÅ.

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1℄ ÁÔÔ õ.

ÅÏÒÉÑ ÇÒÁÆÏ× .

í.: íÉÒ, 1988.

[2℄ Welsh D. J. A., Merino C. The Potts model and the J. Math. Phys. Vol. 41, no 3, 2000. P. 1127{1152. [3℄ Read R. C., Rosenstiehl P. On the prin ipal edge Ann. Dis rete Math. Vol. 3, 1978. P. 195{226.

Tutte polynomial

//

tripartition of a graph

//

[4℄ Kasteleyn P. W., Fortuin C. M. Phase transitions in latti e systems with random lo al properties // J. Phys. So . Japan. Vol. 26 (Suppl.), 1969. P. 11{14. [5℄ Chang S.-Ch., Ja obsen J. L., Salas J., Shro k R. Exa t Potts model partition fun tions for strips of the triangular latti e // J. Stat. Phys. Vol. 114, no 3/4, 2004. P. 763{823. [6℄ Calkin N. et. al.,

Improved bounds for the number of forests and a y li

orientations in the square latti e

// Ele troni J. Combin., Vol. 10, 2003.

[7℄ ëÁÇÁÎÏ× í. é., ãÕËÅÒÎÉË ÷.í. ðÒÉÒÏÄÁ ÍÁÇÎÅÔÉÚÍÁ (ÓÅÒÉÑ \âÉÂÌÉÏÔÅÞËÁ €ë×ÁÎԁ", ×ÙÕÓË 16). í.: îÁÕËÁ, 1982. [8℄ Yang C. N. The simultaneous magnetization of model Phys. Rev. B. Vol. 85, 1952. P. 806{816. [9℄ âÜËÓÔÅÒ ò. ÏÞÎÏ íÉÒ, 1985.

a two-dimensional Ising

ÒÅÛÁÅÍÙÅ ÍÏÄÅÌÉ × ÓÔÁÔÉÓÔÉÞÅÓËÏÊ ÍÅÈÁÎÉËÅ .

[10℄ âÅÌÁ×ÉÎ á. á., ëÕÌÁËÏ× á. ç., õÓÔÉÎÏ× ò. á. ÓËÏÊ ÆÉÚÉËÅ . í.: íãîíï, 2001.

í.:

ìÅË ÉÉ Ï ÔÅÏÒÅÔÉÞÅ-

[11℄ äÖÉÍÂÏ í., íÉ×Á . áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ ÔÏÞÎÏ ÒÅÛÁÅÍÙÈ ÒÅÛÅÔÏÞÎÙÈ ÍÏÄÅÌÅÊ . éÖÅ×ÓË: òÅÇÕÌÑÒÎÁÑ É ÈÁÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÄÉÎÁÍÉËÁ / õÄÍÕÒÔÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ, 2000. [12℄ üÆÒÏÓ á. ì. æÉÚÉËÁ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÂÅÓÏÒÑÄËÁ (ÓÅÒÉÑ €âÉÂÌÉÏÔÅÞËÁ ë×ÁÎÔ\, ×ÙÕÓË 19). í.: îÁÕËÁ, 1982. " à.í. âÕÒÍÁÎ, burmanm

me.ru

61

òÁÚÎÙÅ ×ÚÇÌÑÄÙ ÎÁ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ á. ÷. áËÏÑÎ



á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË

ABC

É ÔÏÞËÁ

P , ÎÅ ÌÅÖÁÝÁÑ

ÎÁ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎÁÈ. ïÔÒÁÚÉÍ ÒÑÍÙÅ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó

P,

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ×ÅÒÛÉÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ.

éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ þÅ×Ù ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÔÒÉ ÒÑÍÙÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ (ÉÌÉ ÖÅ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ, Ô. Å. ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÎÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ), ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÅ 0 (ÒÉÓ. 1). ÏÞËÕ

P P 0 ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , Á ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ × ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÕÀ,  ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅÍ . C

P A

P

0

B òÉÓ. 1.

åÓÌÉ

P

ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÔÏ, ÒÉÍÅÎÉ× Ë ÎÅÊ ÉÚÏÇÏ-

ÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ, ÏÌÕÞÉÍ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÄÌÑ ×ÅÒÛÉÎ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. åÓÌÉ ÖÅ ÉÓËÌÀÞÉÔØ ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÓÔÏÒÏÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÔÏ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÊ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÅÊ, Ô. Å. ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ, Ë×ÁÄÒÁÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÅÎ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ 4 ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞËÉ: ÅÎÔÒÙ ×ÉÓÁÎÎÏÊ É ÔÒÅÈ ×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ.  òÁÂÏÔÁ ×ÙÏÌÎÅÎÁ ÒÉ ÏÄÄÅÒÖËÅ ÇÒÁÎÔÁ òææé 06-01-648

62

á. ÷. áËÏÑÎ, á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

B

P P

Pa 0

P A

C Pb òÉÓ. 2.

äÌÑ ÉÚÕÞÅÎÉÑ Ó×ÏÊÓÔ× ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÅÚÎÙÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÓÏÓÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ.

ABC , Pa ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ P BC , Pb É P ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ (ÒÉÓ. 2). ðÕÓÔØ P  ÜÔÏ ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Pa PbP . ÏÞËÁ C ÒÁ×ÎÏÕÄÁÌÅÎÁ ÏÔ Pa É Pb , ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÁÑ CP Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅÒÅÄÉÎÎÙÍ 1 ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÏÍ Ë ÏÔÒÅÚËÕ Pa Pb . á ÚÎÁÞÉÔ \ Pa CP = \ Pa CPb = \ C . îÏ 2 ÔÏÇÄÁ \ BCP = \ Pa CP \ BCPa = \ C \ BCP = \ ACP . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ \ ABP = \ CBP É \ BAP = \ CAP . á ÜÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ P ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÁ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ABC . åÓÌÉ ÔÏÞËÁ P ×ÎÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÔÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙ, ÎÏ, ËÏÇÄÁ P ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ABC , ÅÅ ÒÏÅË ÉÉ ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ

P

ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÔÏÒÏÎÙ 0

0

0

0

0

0

0

0

ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ (ÒÑÍÁÑ óÉÍÓÏÎÁ). óÏ-

ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË

Pa Pb P

ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍ, É ÅÎÔÒ

ÅÇÏ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ ÓÞÉÔÁÔØ ÒÑÍÕÀ

Pa Pb ,

Á ÅÅ ÅÎÔÒÏÍ



ÔÏÞËÕ ÎÁ

ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÀ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÍÕ

Pa Pb . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ

Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÔÏÞËÁ

P ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC , ÔÏ P ÂÕÄÅÔ ÔÏÞËÁ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ

ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ

ÒÑÍÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÅÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÅ ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ ÔÏÞËÉ

P

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ABC .

P ÎÁ ABC , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÄÁÌØÎÙÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏÍ P ÏÔ-

îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÒÏÅË ÉÑÍÉ ÔÏÞËÉ ÓÔÏÒÏÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÏÓÔØÀ

P.

ABC , Á ÏÉÓÁÎÎÁÑ ÏËÏÌÏ ÎÅÇÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÅÄÁÌØÎÏÊ ÏËÒÕÖ-

éÚ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË

òÁÚÎÙÅ ×ÚÇÌÑÄÙ ÎÁ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ

63

P  ÜÔÏ ÓÅÒÅÄÉÎÁ ÏÔPP , Á ÅÅ ÒÁÄÉÕÓ × Ä×Á ÒÁÚÁ ÍÅÎØÛÅ ÏÔÒÅÚËÁ P Pa . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÄÁÌØÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ P  ÜÔÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÏÌÕÞÁÀÝÁÑÓÑ ÉÚ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Pa Pb P ÇÏÍÏÔÅÔÉÅÊ Ó ÅÎÔÒÏÍ × P É

ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÎÔÒ ÅÄÁÌØÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ ÒÅÚËÁ

0

0

ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ

1 . 2

ïÔÓÀÄÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÙÔÅËÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ: ÅÏÒÅÍÁ 1. ðÅÄÁÌØÎÙÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ.

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÎÅ ÌÅÖÁÝÕÀ ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÕ

P

P . ðÕÓÔØ Ka , Kb É K  ÜÔÏ ÔÏÞËÉ ÅP Pa , AC É P Pb , AB É P P (ÒÉÓ. 3). ÏÇÄÁ \ PKa B = \ P Ka C , É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÎÉËÁ Ó ÆÏËÕÓÁÍÉ × P É P É ÓÕÍÍÏÊ (ÉÌÉ ÍÏÄÕÌÅÍ ÒÁÚÎÏÓÔÉ) ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÄÏ ÆÏËÕÓÏ×, ÒÁ×ÎÙÍ P Pa , ËÁÓÁÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ BC . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÖÅ ËÏÎÉËÁ ËÁÓÁÅÔÓÑ Ä×ÕÈ ÄÒÕÇÉÈ ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÓËÏÌØËÕ P Pa = P Pb = P P É ÒÁ×ÎÏ ÕÄ×ÏÅÎÎÏÍÕ ÒÁÄÉÕÓÕ ÅÄÁÌØÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ P . åÓÌÉ ÖÅ P ÌÅÖÉÔ

É ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÕÀ ÅÊ ÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ 0

BC

É

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ÎÁ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÔÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ

P  ÆÏËÕÓ ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÁÒÁÂÏÌÙ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË ÎÁÊÄÅÔÓÑ ×ÉÓÁÎÎÁÑ ×

ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ËÏÎÉËÁ Ó ÆÏËÕÓÁÍÉ × ÜÔÉÈ ÔÏÞËÁÈ. ìÅÇËÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ÆÏËÕÓÙ ÌÀÂÏÊ ×ÉÓÁÎÎÏÊ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ËÏÎÉËÉ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ. üÔÏ ÄÁÅÔ ÔÒÅÔÉÊ ÓÏÓÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ. îÁ ÒÉÓ. 4 ÏÔÍÅÞÅÎÙ ÚÏÎÙ, ÇÄÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÏÞËÁÍ ËÏÎÉËÉ ÂÕÄÕÔ ÜÌÌÉÓÁÍÉ, ÁÒÁÂÏÌÁÍÉ ÉÌÉ ÇÉÅÒÂÏÌÁÍÉ.

P

A

B K

P

P Kb Pb òÉÓ. 3.

0

Pa

Ka C

64

á. ÷. áËÏÑÎ, á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

ÇÉÅÒÂÏÌÁ

Ó

É

Á

ÏÌ

ÏÌÁ ÇÉ

Á

ÏÌ

ÜÌÌÉÓ

Ó

ÇÉÅÒÂÏÌÁ

ÅÒ Â

 ÅÒ

ÅÒ Â



ÇÉ

É

ÜÌÌ

 ÅÒ

ÇÉ

Ì ÜÌ

ÏÌÁ



ÇÉ

ÜÌÌÉÓ òÉÓ. 4.

îÁËÏÎÅ ,

ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ

þÔÏÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ,

ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ

ÍÏÖÎÏ

ÏÒÅÄÅÌÉÔØ

ÒÏÅËÔÉ×ÎÏ.

ÎÁÏÍÎÉÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÇÅÏÍÅ-

ÔÒÉÉ. ðÕÓÔØ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÄÁÎÙ ËÏÎÉËÁ

A Y1 Y2

ÖÁÝÁÑ ÎÁ ÎÅÊ ÔÏÞËÁ

X1 X2 X2 Y2 V 

× ÔÏÞËÁÈ ,

,

É

. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ

,

. ðÕÓÔØ

. üÔÁ ÒÑÍÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ

ÒÑÍÏÊ

UV

É

C

É ÎÅ ÌÅ-

Ä×Å ÒÑÍÙÅ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅ

ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ

X1 Y2 X2 Y1 X1 X2 Y1Y2 ÏÌÑÒÏÊ A

ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ

ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÒÑÍÙÈ

A

U

A

É

. ÏÇÄÁ ÒÑÍÁÑ

X1Y1 UV

C

É

ÎÅ

, Á ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÔÏÞËÏÊ

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ

C,

Á

A

ÏÌÀÓÏÍ

. ðÏÌÑÒÏÊ ÔÏÞËÉ, ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ ËÏÎÉËÅ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë

ËÏÎÉËÅ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ. ÷ÁÖÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÏÌÀÓÏ× É ÏÌÑÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏÓÔØ: ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ

A

A

ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÌÑÒÅ ÔÏÞËÉ

B

, ÔÏ É

B

ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÌÑÒÅ

. ðÏÄÒÏÂÎÅÅ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÏÌÑÒ ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ × [3℄. ðÕÓÔØ ÄÁÎÙ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ

A B C D ,

,

,

. ïÎÉ ÏÒÅ-

ÄÅÌÑÀÔ ÕÞÏË ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ËÏÎÉË. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÌÑÒÙ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ

P

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÎÉË ÜÔÏÇÏ ÕÞËÁ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ

×ÅÒÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ.

A B C D  ÞÅÔÙÒÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞËÉ X Y AB É CD AC É BD AD É BC P  ÔÏÞËÁ ÏÔÌÉÞÎÁÑ ÏÔ X Y Z . ÏÇÄÁ ÏÌÑÒÙ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÓÅÈ ËÏÎÉË ÕÞËÁ, ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÔÏÞËÁÍÉ A B C D ÒÏÈÏÄÑÔ ÞÅÒÅÚ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ. ÅÏÒÅÍÁ 2. ðÕÓÔØ

Z

,

,

,

ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

þÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÕÞËÁ ËÏÎÉË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÞÏË ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, Ô. Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁÄÉËÁÌØÎÏÊ ÏÓØÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÁ É ÔÁ ÖÅ ÒÑÍÁÑ. üÔÁ ÒÑÍÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÄÉËÁÌØÎÏÊ ÏÓØÀ ÕÞËÁ. ðÕÞÏË ËÏÎÉË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÞËÏÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ,

òÁÚÎÙÅ ×ÚÇÌÑÄÙ ÎÁ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ

65

ËÏÇÄÁ Ä×Å ÉÚ ÚÁÄÁÀÝÉÈ ÅÇÏ ÔÏÞÅË Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÍÉ ËÒÕÇÏ×ÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ, Ô. Å. ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ Ó ÒÏÅË-

; i; 0).

ÔÉ×ÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (1

ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ ÕÞËÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ. ðÏÌÑÒÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÀÂÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÍÕ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÀ. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÓÅ Ï-

X

ÌÑÒÙ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÒÏÈÏÄÑÔ ÞÅÒÅÚ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎ , ËÏÔÏÒÁÑ ÚÁÄÁÅÔ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÕÀ ÔÏÞËÕ

X

ÎÉÀ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÍÕ

X.

X. l  ÒÁÄÉËÁÌØÎÁÑ ÏÓØ ÕÞËÁ. ðÏÌÑÒÁ ÔÏÞËÉ X ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÀÂÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ! ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ! Ó ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ Ë ÎÅÊ ÉÚ X , Á ÒÁÄÉËÁÌØÎÁÑ ÏÓØ X É !  ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× ÍÅÖÄÕ X É ÅÅÒØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÔÏÞËÕ ðÕÓÔØ

ÔÏÞËÁÍÉ ËÁÓÁÎÉÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÛÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÕÞÏË, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÄÉËÁÌØÎÙÊ ÅÎÔÒ ÔÏÞËÉ

X

É ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÎÁÛÅÇÏ ÕÞËÁ (Ô. Å.

ÔÏÞËÁ, ÓÔÅÅÎØ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÓÅÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ É

l

X

ÏÄÉÎÁËÏ×Á).

! X

á ÉÍÅÎÎÏ, ÜÔÏ ÂÕÄÅÔ ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ É ÒÁÄÉËÁÌØÎÏÊ ÏÓÉ É . ïÂÏ0 . úÎÁÞÉÔ, ×ÓÅ ÏÌÑÒÙ ÔÏÞËÉ , ÚÎÁÞÉÍ ÅÅ ÚÁ ÒÏÈÏÄÑÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ 0 ÌÅÖÁÝÕÀ ÎÁ ÌÕÞÅ É ÎÁÈÏÄÑÝÕÀÓÑ × Ä×Á ÒÁÚÁ ÄÁÌØÛÅ ÏÔ ÔÏÞËÉ ,

X

XX

X

X

X X

0 . éÚ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÌÅÇËÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÞÅÍ ÔÏÞËÁ 0 , ÎÁÊÄÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ 0 , ÞÔÏ 0 ÒÑÍÏÊ 0 , ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ 0 ÂÕÄÅÔ ÒÁÄÉËÁÌØÎÏÊ ÏÓØÀ É . üÔÏ ÂÕÄÅÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÉÚ ÕÞËÁ, ÅÎÔÒ ËÏÔÏÒÏÊ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÅ Ë 0 , ÕÝÅÎÎÏÍ ÉÚ .

l

!

X X

!

l

l

X

äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÏÝÅ ÅÒÅÊÔÉ Ë Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ. ÅÏÒÅÍÁ 3. ðÕÓÔØ ÄÁÎÙ ÞÅÔÙÒÅ ÒÑÍÙÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ

li

É

lj .

ÍÏÊ, ÏÔÌÉÞÎÏÊ ÏÔ ÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÕÞËÁ, ÂÕÄÅÔ ÒÑÍÁÑ

li , i = 1; : : : ; 4. Xij



ÔÏÞËÁ

ÏÇÄÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÍÅÓÔÏÍ ÏÌÀÓÏ× ÌÀÂÏÊ ÒÑ-

X12 X34 , X13 X24 , X14 X23 , ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÎÉË Ä×ÏÊÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÍÙÍÉ li (Ô. Å. ËÏÎÉË, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ li )

(ÒÉÓ. 5).

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ðÒÉÍÅÎÉÍ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ, ÅÒÅ×Ï-

ÄÑÝÅÅ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ÒÑÍÕÀ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÕÀ. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÑÍÙÅ

li ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË ABCD, ÏÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ

ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÎÔÒÙ ×ÉÓÁÎÎÙÈ × ÎÅÇÏ ËÏÎÉË ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÒÑÍÏÊ çÁÕÓÓÁ , ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ. ÅÏÒÅÍÁ ÏÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÔÁË ËÁË ÏÌÀÓÏÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÎÉËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÎÔÒ ÜÔÏÊ ËÏÎÉËÉ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ çÁÕÓÓÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÍÅÓÔÏÍ ÔÏÞÅË

P,

ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ

SPAB + SPCD

=

SPBC

+

SPDA

(ÌÏÝÁÄÉ ÓÞÉÔÁÀÔ-

ÓÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍÉ ÉÌÉ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ

66

á. ÷. áËÏÑÎ, á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

òÉÓ. 5.

ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÌÏÝÁÄØ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÞÅÔÙÒÅÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÔÏÞËÉ

P,

ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÔÏÞÅË, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕËÁÚÁÎÎÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏ-

ÛÅÎÉÀ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÁÑ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÜÔÏÊ ÒÑÍÏÊ.

ABCD ×ÉÓÁÎÁ ËÏÎÉËÁ Ó ÆÏËÕÓÁÍÉ ÓÅÒÅÄÉÎÁ ÏÔÒÅÚËÁ F1 F2 , ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ SF1 AB + SF1 CD + SF2 AB + SF2 CD = = SF1 BC + SF1 DA + SF2 BC + SF2 DA . ðÕÓÔØ F1  ÔÏÞËÁ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ F1 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ AB . ÏÇÄÁ SF1 AB + SF2 AB = SF AF2 B = AF1 AF2 sin \ F1 AF2 + 1 + BF1 BF2 sin \ F1 BF2 . îÏ ÒÑÍÙÅ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ÔÏÞËÉ F1 , F2 Ó ÌÀÂÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ABCD , ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÕÇÌÁ, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, \ F1 AF2 = \ F1 AB + \ F2 AB = \ A, \ F1 BF2 = \ B É SF AF2 B = AF1 AF2 sin \ A + BF1 BF2 sin \ B . éÚ ÜÔÏÇÏ É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ÒÁ1 ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ × ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË

F1 , F2 . ÁË ËÁË ÅÅ ÅÎÔÒÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ

0

0

0

0

0




0




0

0




0




×ÅÎÓÔ× ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ËÁË ÌÅ×ÁÑ, ÔÁË É ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔÉ ÉÓËÏÍÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÙ

AF1 AF2 sin \A+BF1 BF2 sin \B +CF1 CF2 sin \C +DF1 DF2 sin \D.











ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÁ íÏÎÖÁ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÁÑ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË ÍÏÖÎÏ ×ÉÓÁÔØ

ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÔÏ ÅÅ ÅÎÔÒ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ çÁÕÓÓÁ. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ ÚÁÄÁÀÝÉÅ ÕÞÏË ÔÏÞËÉ

A, B , C , D ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÒÔÏ ÅÎ-

ÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÞÅÔ×ÅÒËÕ (Ô. Å. ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÔÏ ÅÎÔÒÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØ-

ÎÉËÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÌÑÒ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÁ

XY Z .

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÌÑÒÁ ÔÏÞËÉ

P

XP

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ,

AB É CD  ÜÔÏ ÒÑÍÁÑ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞAB . ÁË ËÁË AB É CD  ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ ÕÇÌÁ Y XZ ,

Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÒÑÍÙÈ ÎÁÑ

P

òÁÚÎÙÅ ×ÚÇÌÑÄÙ ÎÁ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ

67

B X Y

Z

Y

A

X

0

0

C

Z

0

òÉÓ. 6.

ÜÔÁ ÒÑÍÁÑ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÕÀ ÌÏÇÉÞÎÏ ÞÅÒÅÚ

P

0

ÒÏÈÏÄÉÔ ÏÌÑÒÁ

P

P

ÔÏÞËÕ

P . áÎÁ0

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÒÕÇÏÊ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ

ËÒÉ×ÏÊ, Á ÚÎÁÞÉÔ, É ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÀÂÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÕÞËÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ ÞÅÔ×ÅÒÔÙÊ ÓÏÓÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ. éÓÏÌØÚÕÑ ÅÇÏ, ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ËÒÁÓÉ×ÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÔÒÅÈ ÁÒÁÈ ÔÏÞÅË. ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË

ÁÒÙ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË ÓÅÞÅÎÉÑ

XY Ó X Y 0

0

É

XY

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

0

Ó

XY 0

X, X

0

É

Y, Y

0

ABC É Ä×Å

. ÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ ÅÒÅ-

ÔÏÖÅ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ (ÒÉÓ. 6).

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÕÞÏË ËÏÎÉË, ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÎÕÖÎÏÅ

ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÉÚ ÎÅÇÏ ËÏÎÉËÕ, ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÌÑÒÁ ÔÏÞ-

X ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÒÑÍÏÊ X Y . ÏÇÄÁ ÏÌÑÒÁ Y ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ X , Ô. Å. ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó XY , Á ÏÌÀÓÏÍ ÒÑÍÏÊ XY Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ XY É X Y . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÏÒÑÖÅÎÎÁÑ Ë ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÌÅÖÉÔ ÎÁ XY . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÎÁ ÌÅÖÉÔ ÎÁ X Y . 0

ËÉ

0

0

0

0

0

0

0

÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ ÎÁÏÍÎÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÉÍÅÒÏ× ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË.

68

á. ÷. áËÏÑÎ, á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

óÁÍÏÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÁÒÏÊ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÒÁ

H

É

O

 ÏÒÔÏ ÅÎÔÒ É ÅÎÔÒ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. éÈ

ÏÂÝÅÊ ÅÄÁÌØÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ ÂÕÄÅÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ üÊÌÅÒÁ.

éÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ Ë ÅÎÔÒÕ ÔÑÖÅÓÔÉ ÂÕÄÅÔ ÔÏÞËÁ ìÅÍÕÁÎÁ. óÁÍÏÅ ÒÏÓÔÏÅ ÅÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A0 ÔÏÞËÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ Ë ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ B É C ÎÁÛÅÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÍ B 0 É C 0 . ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ

0,

AA

BB

0É

CC

0 ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. üÔÕ ÔÏÞËÕ

É ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÏÞËÏÊ ìÅÍÕÁÎÁ. ÏÞËÉ âÒÏËÁÒÁ: ÅÒ×ÁÑ ÔÏÞËÁ âÒÏËÁÒÁ (B r )1 ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ

×ÔÏÒÁÑ

(

\ B A(B r)1 = \ C B (B r)1 = \ AC (B r)1 ;

B r )2

 ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ:

\ AB (B r)2 = \ B C (B r)2 = \ C A(B r)2 : ÏÞËÉ ÏÒÉÞÅÌÌÉ É ÔÏÞËÉ áÏÌÌÏÎÉÑ. ÏÞËÉ ÏÒÉÞÅÌÌÉ

 ÜÔÏ ÔÏÞËÉ,

ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÅ ÓÔÏÒÏÎÙ ×ÉÄÎÙ ÏÄ ÕÇÌÁÍÉ (ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ) 60Æ É 120Æ .

ïÄÎÁ ÉÚ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ ÔÅÍ, ÞÔÏ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÈ, ÇÄÅ ×ÓÅ ÕÇÌÙ ÍÅÎØÛÅ 120Æ , ÎÁ ÎÅÊ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÕÍ ÓÕÍÍÙ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÄÏ ×ÅÒÛÉÎ. ÏÞËÉ áÏÌÌÏÎÉÑ ×ÉÌØÎÙÅ.



ÜÔÏ ÔÏÞËÉ, ÅÄÁÌØÎÙÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ-

ÏÞËÉ öÅÒÇÏÎÎÁ É îÁÇÅÌÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÒÑÍÙÅ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÅÇÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ Ó ×ÉÓÁÎÎÏÊ (×ÎÅ×ÉÓÁÎÎÙÍÉ) ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ ÅÎÔÒÁÍ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ ×ÉÓÁÎÎÏÊ É ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÉÍÅÒ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÎÅÏÂÙÞÅÎ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ðÕÓÔØ



 ÔÏÞËÉ, ÏÂÏÚÎÁ ÔÏÞËÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔ-

z1 ; z2 ; z3 ÔÒÉ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÌÁ, Á Z1 ; Z2 ; Z3 ÞÁÀÝÉÅ ÉÈ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ X É Y

ÓÔ×ÕÀÝÉÅ ËÏÒÎÑÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ

P (z )

= (z

z1 )(z

z2 )(z

z3 ).

ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÏÎÉ ÔÏÖÅ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÉÈ ÆÁËÔÏ× ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ × [1℄. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÅÝÅ ÏÄÎÏÊ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ ÄÏËÁÖÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ ðÁÓËÁÌÑ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ.

ÅÏÒÅÍÁ 4 (ðÁÓËÁÌØ).

ðÕÓÔØ ÔÏÞËÉ A; B ; C; D; E É F

ÌÅÖÁÔ ÎÁ

ËÏÎÉËÅ. ÏÇÄÁ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ AB É DE , B C É EF , C D É F A ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. íÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÏÌØËÏ ÏÄÉÎ ÓÌÕÞÁÊ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅË ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ (ËÏÎÉËÅ). ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. ðÅÒÅ×ÅÄÅÍ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ ËÏÎÉËÕ × ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. ðÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ (ÒÉÓ. 7):

òÁÚÎÙÅ ×ÚÇÌÑÄÙ ÎÁ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ

69

B D

F X

Y

Z

C

A E òÉÓ. 7.

ÏÞËÉ É

AB

É

CD

DE

A; B ; C; D; E

 × ÔÏÞËÅ

õÇÌÙ

É

F

ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ ÒÑÍÙÅ

ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÏÞËÅ

B AF

Z.

É

BC F

ÇÉÞÎÏ ÒÁ×ÎÙ ÕÇÌÙ

X,

ÒÑÍÙÅ

îÁÄÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ

BC

X, Y

É

É

Z

EF

 × ÔÏÞËÅ

Y

, Á

AF

ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ.

ÒÁ×ÎÙ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÉÒÁÀÔÓÑ ÎÁ ÏÄÎÕ ÄÕÇÕ. áÎÁÌÏ-

C DE

É

C F E.

ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ

AZ D

É

CZF

ÏÄÏÂÎÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÄÏÂÉÑ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË X

0

AZ D

×

CZF .

ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÉ ÔÏÞËÁ

, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÕÀ ÔÏÞËÅ

Y

(× ÓÉÌÕ ×ÙÛÅÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ× ÕÇÌÏ×). ðÏÜÔÏÍÕ =

\F Z Y ,

ÞÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ

X

ÅÒÅÊÄÅÔ × ÔÏÞËÕ

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

X, Z

É

Y

\ AZ X

=

CZF

\C Z X

0

=

ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ.

éÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ × ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁÈ ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË ÍÙÅ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ

ABC D

AP , B P , C P , DP

É ÔÏÞËÁ

P.

÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÑ-

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓ ÓÏÏÔ-

×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÕÇÌÏ× ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ïÄÎÁËÏ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÔÒÉ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÑÍÙÈ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ, ÔÏ É ÞÅÔ×ÅÒÔÁÑ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÜÔÕ ÔÏÞËÕ. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÍÅÓÔÏÍ ÔÏÞÅË

P,

ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ, ÂÕÄÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ

ËÒÉ×ÁÑ. éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÔÏÞËÉ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÀ ËÏÎÉËÉ Ó ÆÏËÕÓÏÍ × B C , C D , DA,

ÉÉ

X

X,

X,

ÒÁ×-

ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ÒÑÍÙÈ

AB ,

ÉÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÒÏÅË-

ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ ÁÎÁ-

ÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÄÌÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÓÍ. ÒÉÓ. 8). ðÏÓÌÅÄÎÅÅ É ÄÁÅÔ ÎÁÍ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÉÓÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÔÁËÉÈ ÔÏÞÅË

X.

70

á. ÷. áËÏÑÎ, á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

Pb Pab

B P

P d

C 0

P A

D Pa òÉÓ. 8.

éÔÁË, ÕÓÔØ ÎÁÍ ÄÁÎ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÞÏË ËÏÎÉË (Ô. Å. ËÏÎÉË, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ÞÅÔÙÒÅÈ ÄÁÎÎÙÈ ÒÑÍÙÈ). äÌÑ ÎÁÇÌÑÄÎÏÓÔÉ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÏÎÉËÉ ÕÞËÁ ËÁÓÁÀÔÓÑ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÑÍÙÈ. ÷ÓÅ ×ÙÛÅÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÂÏÂÝÁÅÔÓÑ É ÎÁ ÒÑÍÙÅ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÞÏË ËÏÎÉË, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÙÍÉ

li , i

= 1; 2; 3; 4. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ×ÓÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ËÏÎÉËÉ ËÁÓÁ-

ÀÔÓÑ ÜÔÉÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÑÍÙÈ. üÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÒÏÅË ÉÉ ÆÏËÕÓÏ× ÎÁ ÜÔÉ ÞÅÔÙÒÅ ÒÑÍÙÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ li ,

F

ÞÅÒÅÚ (x; y ), Á ÅÅ ÒÏÅË ÉÊ ÎÁ ÒÑÍÙÅ

ÞÅÒÅÚ (xi ; yi ). óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ Ó

ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (xi ; yi ), ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÀ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ: 2

a(xi

2 + yi ) + bxi + xi + d = 0;

i

= 1; 2; 3; 4:

(1)

þÔÏ × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ ÎÕÌÀ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ:

x2 1 2 x2 2 x3 x2

+ y12 + y22 + y32 2 4 + y4



x1

y1

1

x2

y2

1

x3

y3

1

x4

y4

1

:

(2)



ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÁÅÔ ËÕÂÉÞÅÓËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁ (x; y ). üÌÅÍÅÎÔÙ ×ÔÏÒÏÇÏ É ÔÒÅÔØÅÇÏ ÓÔÏÌ Á, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÏÔ (x; y ). ïÄÎÁËÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÅÒ×ÏÇÏ ÓÔÏÌ Á ÔÁËÏ×ÙÍÉ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÓÔÏÌ Á ×ÙÞÅÓÔØ ×ÔÏÒÏÊ É ÔÒÅÔÉÊ ÓÔÏÌÂÅ , ÏÍÎÏÖÅÎÎÙÅ ÎÁ

x

É

y

ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ (Á, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÏÒÅ-

ÄÅÌÉÔÅÌØ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ), ÔÏ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÔÁÎÕÔ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ.

òÁÚÎÙÅ ×ÚÇÌÑÄÙ ÎÁ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ

71

F1 F O1

O òÉÓ. 9.

á ÚÎÁÞÉÔ, ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÂÕÄÅÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÎÅ ×ÙÛÅ, ÞÅÍ ÔÒÅÔØÅÊ ÓÔÅÅÎÉ ÏÔ

x

É

y.

ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÚÁ F1

É

O1

2

2 + y1

x1

O

ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÒÏÅË ÉÀ ÔÏÞÅË

F

É

O

ÎÁ l1 ÞÅÒÅÚ

ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÏÇÄÁ (ÒÉÓ. 9): (x1 x + y1 y ) =

! ! =h 1 1 OF ; OF

h !1 !i = !i = h ! !i = h ! + ! !i = 1 1 1 1 1 ! ! =h 1 1 i = j 1j
j 1j 2

OF1

OF

OF ; OF

OF ; F F

OO

O F;FF

OO ; F F

OO

FF

:

(3)

2 + y2 (x1 x + y1 y ) ÒÑÍÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÀ 1 ÏÔ ÔÏÞËÉ F ÄÏ ÒÑÍÏÊ l1 , Á ÜÔÏ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÔ (x; y ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÌÑ ÄÒÕÇÉÈ ÔÒÅÈ ÒÑÍÙÈ. é, ÚÎÁÞÉÔ,

x1

éÔÁË, ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÔÏÞÅË, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÉÌÉ ËÕÂÉËÁ. ÷Ù×ÅÄÅÍ ÔÅÅÒØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ËÕÂÉËÉ × ÓÅ ÉÁÌØÎÏ ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÑÍÙÈ ÏÂÝÅÇÏ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÞÅÔÙÒÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÏÉÓÁÎÎÙÅ ÏËÏÌÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÈ ËÁÖÄÙÍÉ ÔÒÅÍÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ÒÑÍÙÈ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ

ÔÏÞËÏÊ íÉËÅÌÑ ÄÁÎÎÙÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÑÍÙÈ. ðÒÏÅË ÉÉ ÔÏÞËÉ íÉËÅÌÑ ÎÁ ÄÁÎÎÙÅ ÒÑÍÙÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÅ ÒÑÍÏÊ óÉÍÓÏÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÓÅÈ ÞÅÔÙÒÅÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ íÉËÅÌÑ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÎÁÛÅÊ ËÕÂÉËÅ, Á ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ ÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ, Ô. Å. ÔÏÞËÁ íÉËÅÌÑ ËÁÓÁÀÝÅÊÓÑ ×ÓÅÈ ÓÔÏÒÏÎ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ.



ÆÏËÕÓ ÁÒÁÂÏÌÙ,

72

á. ÷. áËÏÑÎ, á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

ðÒÉÍÅÍ ÔÏÞËÕ íÉËÅÌÑ ÚÁ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, Á ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÅ ÏÓÉ ÁÒÁÂÏÌÙ, ÚÁ ÏÓØ ËÁÓÁÎÉÑ ÒÑÍÙÈ

li

4(x2 + y 2 )(4x

y.

åÓÌÉ

a, b,

É

 ÕÄ×ÏÅÎÎÙÅ ÁÂÓ ÉÓÓÙ ÔÏÞÅË

d

Ó ÁÒÁÂÏÌÏÊ, ÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÕÂÉËÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:

(a + b + + d))

x(1

ab

+y (ab + abd + a d + b d

a

a

b

ad

b

d)

d

+ ab d)+

= 0: (4)

éÌÉ: 2 2 (x + y )(x + A) =

+ C y:

Bx

(5)

éÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÁ ËÕÂÉËÁ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ËÒÕÇÏ×ÙÅ ÔÏÞËÉ. ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÏÓØ ÒÑÍÙÈ

li

y

ÒÉ ÜÔÏÍ ÂÕÄÅÔ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ ÒÑÍÏÊ çÁÕÓÓÁ

,

V

(ÓÍ. [1℄)).

ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ

U, U

0

É

V

 Ä×Å

0

ÁÒÙ ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ËÕÂÉËÅ ÓÏÒÑ-

ÖÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË. ÏÇÄÁ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÔÒÅÈ ÁÒÁÈ ÔÏÞÅË ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÔÏÞËÉ W

É

W

0

ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ

UV

0

Ó

U V

0

É

UV

0

Ó

0

, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉÚÏÇÏÎÁÌØ-

U V

ÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÌÀÂÙÍÉ ÔÒÅÍÑ ÉÚ ÒÑÍÙÈ

li .

úÎÁÞÉÔ, ÏÎÉ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ É ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÞÅÔÙ-

ÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ, Ô.Å. ÔÏÖÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ËÕÂÉËÅ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÒÅÔØÉ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ

UV

É

0

0

U V

Ó ËÕÂÉËÏÊ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. üÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ

ÄÏÕÓËÁÅÔ ËÒÁÓÉ×ÕÀ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÀ, ÅÓÌÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÎÁ ËÕÂÉËÅ ÆÏËÕÓÏ× ÇÒÕÏ×ÏÊ ÚÁËÏÎ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ËÕÂÉËÅ ÍÏÖÎÏ ××ÅÓÔÉ ÏÅÒÁ ÉÀ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅË ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ [5℄. ÷ÙÄÅÌÉÍ ÎÁ ËÕÂÉËÅ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÔÏÞËÕ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË ËÕÂÉËÉ ÂÉËÉ Ó ÒÑÍÏÊ OC .

AB ,

A, B

ÎÁÊÄÅÍ ÔÒÅÔØÀ ÔÏÞËÕ

C

O.

äÌÑ

ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÕ-

Á ÚÁÔÅÍ ÔÒÅÔØÀ ÔÏÞËÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÕÂÉËÉ Ó ÒÑÍÏÊ

üÔÕ ÔÏÞËÕ É ÎÁÚÏ×ÅÍ ÓÕÍÍÏÊ

A

+ B . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ××ÅÄÅÎÎÁÑ ÏÅÒÁ-

ÉÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ. îÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÏÎÁ É ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÁ, É ÚÎÁÞÉÔ, ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ËÕÂÉËÉ × ÇÒÕÕ (ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÓÌÕÞÁÑÍÉ ÜÔÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ðÁÁ É ðÁÓËÁÌÑ). ÅÅÒØ, ÅÓÌÉ ÆÕÎË ÉÀ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÞÅÒÅÚ

f (),

ÔÏ ÓÆÏÒÍÕ-

ÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ×ÙÛÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ: a

÷ÍÅÓÔÏ

b

+b=

f (a)

+ f (b);

×ÚÑ× 0 ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ: =

a

ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÒÉ a

b

=

f (a) a

+a=

+ f (0);

8

(6)

a; b:

8

(7)

a:

ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ: f (a)

+ f (a);

8

(8)

a:

éÚ Ä×ÕÈ ÏÓÌÅÄÎÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÏÊ Ë ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÅ ËÕÂÉËÉ

A

ÂÕÄÅÔ ÔÏÞËÁ

A+X,

ÇÄÅ

X

ÔÁËÁÑ ÔÏÞËÁ, ÞÔÏ

X

+ X = 0. ïÔÍÅÔÉÍ

òÁÚÎÙÅ ×ÚÇÌÑÄÙ ÎÁ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ

U

0

V

V

0

U

òÉÓ. 10.

73

74

á. ÷. áËÏÑÎ, á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× Ó ËÏÎ ÁÍÉ × ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ (ÒÑÍÏÊ çÁÕÓÓÁ ÎÁÛÅÇÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ).

îÁ ÒÉÓ. 10 ÒÉ×ÅÄÅÎ ÒÉÍÅÒ ÔÁËÏÊ ËÕÂÉËÉ É ÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÎÁ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÔÒÅÈ ÁÒÁÈ ÔÏÞÅË. ÷ÙÑÓÎÉÍ ÔÅÅÒØ, ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÌÉ ËÕÂÉËÁ ÆÏËÕÓÏ× ËÁËÉÍÉ-ÌÉÂÏ ÄÒÕÇÉÍÉ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ. ìÅÍÍÁ 1. ðÕÓÔØ ÆÏËÕÓÙ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÕÞËÁ ÏÂÒÁÚÕ-

ÀÔ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÕÀ (Ô. Å. ÎÅ ÒÁÓÁÄÁÀÝÕÀÓÑ ÎÁ ÒÑÍÕÀ É ËÏÎÉËÕ ) ËÕÂÉ-

. ðÕÓÔØ A, A É B , B   Ä×Å ÁÒÙ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË ÎÁ ÜÔÏÊ ËÕÂÉ  ËÅ. ÏÇÄÁ ÆÏËÕÓÙ ËÏÎÉË, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ÓÔÏÒÏÎ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ABA B , ÔÏÖÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ËÕÂÉËÅ .  äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ C É C  ÉÚÏÇÏ  ÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ × ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÅ ABA B , ÔÏ B É B   ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ × ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÅ ACA C  . äÅÊÓÔ×É-

ËÕ

ÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÔÁË, ÔÏ ÏÒÏÖÄÅÎÎÙÅ ÜÔÉÍÉ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁÍÉ ËÕÂÉËÉ × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÄÏÌÖÎÙ ÒÏÈÏÄÉÔØ ÞÅÒÅÚ ×ÓÅ ÛÅÓÔØ ÔÏÞÅË, Á ÔÁËÖÅ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÁÒ ÒÑÍÙÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ   ). üÔÉÈ ÔÏÞÅË ÂÏÌØÛÅ 10, Á ÞÅÒÅÚ 10 ÔÏÞÅË, ÌÅ(ÎÁÒÉÍÅÒ, É

AB

AB

ÖÁÝÉÈ ÎÁ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ËÕÂÉËÅ, ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÏÈÏÄÉÔØ ÎÉËÁËÁÑ ÄÒÕÇÁÑ ) É (  ) ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÁÒÅ ËÕÂÉËÁ. äÁÌÅÅ ÏÔ ÁÒÙ (   ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË ( ) É ( ). á ÜÔÏ É ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ.

C; C

A; A

D; D

C; C

ABA B

  É Ä×Å ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑéÔÁË, ÕÓÔØ ÄÁÎ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË  . îÁÍ ÎÁÄÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ  ÖÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ É É ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ   ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ × ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÅ . òÁ×ÅÎÓÔ×Á \ =   É     ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÔÏÞÅË = =

C

C

B ACA C

B 

BAC C AB BA C C A B C \ \ \ É C  . äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÄÒÕÇÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ \ ACB  + \ A CB = 180Æ (ÓÍ. ÒÉÓ. 11). îÏ ÜÔÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ

B

C

C A



A

B òÉÓ. 11.

òÁÚÎÙÅ ×ÚÇÌÑÄÙ ÎÁ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÏÅË ÉÉ ÔÏÞËÉ

C

75

ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ÌÅÖÁÔ ÎÁ

ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, Á ÓÕÍÍÁ ÕÇÌÏ× ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÁ ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔÏÍÕ ÕÇÌÕ. ïÉÛÅÍ ÔÅÅÒØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ËÕÂÉËÉ ÆÏËÕÓÏ×. åÓÌÉ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÞÏË ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÔÏ ËÕÂÉËÁ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ × ÅÎÔÒÅ ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ( ÅÎÔÒ ÖÅÎ ÓÁÍ ÓÅÂÅ, ÔÁË ÞÔÏ ÔÏÞËÉ

A

É

f (A)

I



ÉÍÅÅÔ

ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÓÏÒÑ-

€×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓс ×

I ).

åÓÌÉ ÔÁËÉÈ

ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ Ä×Å, ÔÏ ËÕÂÉËÁ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ Ä×Å ÔÏÞËÉ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, Á ÜÔÏ ÚÎÁÞÉÔ ÞÔÏ ÏÎÁ ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÒÑÍÕÀ É ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ (ÒÉÓ. 12).

òÉÓ. 12.

÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÔÁËÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÏÄÎÁ, ÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ËÕÂÉËÁ ÂÕÄÅÔ ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÏÊ ÓÔÒÏÆÏÉÄÏÊ

 ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÇÉÅÒÂÏÌÙ ÒÉ

ÉÎ×ÅÒÓÉÉ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÎÁ ÎÅÊ [4℄. á ÉÍÅÎÎÏ, ÕÓÔØ ÞÅÔÙÒÅ ÒÑÍÙÅ ËÁÓÁÀÔÓÑ ÎÁÛÅÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÔÏÞËÁÈ

A, B , C

É

D.

ÏÇÄÁ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ×ÓÅÈ ÏÔÒÅÚ-

ËÏ× Ó ËÏÎ ÁÍÉ × ÜÔÉÈ ÔÏÞËÁÈ, ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÁÒÙ ÔÏÞÅË (ÉÓËÌÀÞÁÑ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÓÁÍÉ ÔÏÞËÉ), Á ÔÁËÖÅ ÅÎÔÒ ÓÁÍÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÇÉÅÒÂÏÌÅ (ÓÍ. [1℄). ðÒÉÞÅÍ ÅÅ ÁÓÉÍÔÏÔÙ ÂÕÄÕÔ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁÍ ÕÇÌÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÒÑÍÙÍÉ

AB

É

CD

(ÉÌÉ ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÊ ÁÒÏÊ, ÞÔÏ, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ,

ÎÅ ×ÁÖÎÏ, ÒÉÓ. 13). äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÎ×ÅÒÓÎÙÅ ÏÂÒÁÚÙ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ËÕÂÉËÅ ÆÏËÕÓÏ×, Á ÉÎ×ÅÒÓÎÙÊ ÏÂÒÁÚ ÔÏÞËÉ íÉËÅÌÑ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÑÍÙÈ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÎÁÛÅÊ ÇÉÅÒÂÏÌÅ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÁÓÏÌÏÖÉÍ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÅÎÔÒÅ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ. ÏÇÄÁ ËÏÎÉËÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÜÔÏÔ ÅÎÔÒ É ÏÔÌÉÞÎÁÑ ÏÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÂÕÄÅÔ ÚÁÄÁ×ÁÔØÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ

P2 (x; y) + P1 (x; y) = 0, ÇÄÅ P1 , P2  ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ,

ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ. ðÒÉ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ

ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÜÔÁ ËÏÎÉËÁ ÅÒÅÊÄÅÔ × ËÒÉ×ÕÀ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÒÑÄËÁ

76

á. ÷. áËÏÑÎ, á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

B A C

D

òÉÓ. 13.

P2 (x; y )

+

2 +

P1 (x; y )(x

y

2 ) = 0. îÁÄÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÁ ËÒÉ×ÁÑ ÉÍÅÅÔ Ó

ËÕÂÉËÏÊ ÆÏËÕÓÏ× 10 ÏÂÝÉÈ ÔÏÞÅË É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÎÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÌÅÍÍÏÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ ÓÁÍÁ Ï ÓÅÂÅ É ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ Ë ÕÞËÁÍ, ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. ìÅÍÍÁ 2. ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÞÅÔÙÒÅÈÓÔÏÒÏÎÎÉË, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÒÑÍÙÍÉ li , i

= 1; 2; 3; 4. ÏÇÄÁ ÒÏÅË ÉÑ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ÎÁ ÔÒÅ-

ÔØÀ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÎÁÛÅÊ ËÕÂÉËÅ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

äÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÔÕÁ ÉÀ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ-

ÎÕÀ ÎÁ ÒÉÓ. 14. õÓÌÏ×ÉÅ, ÞÔÏ ÒÏÅË ÉÉ ÔÏÞËÉ

Q

ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØ-

ÎÉËÁ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ \ AQE =

\ C QF .

äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÑÍÙÅ

QE , QP

É

QF

ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÕÀ ÞÅÔ×ÅÒËÕ.

B E R

A

P

F

D

G

òÉÓ. 14.

Q

C

AC ,

òÁÚÎÙÅ ×ÚÇÌÑÄÙ ÎÁ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ

77

ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÏÓÔÉ ÞÅÔÙÒÅÈ ÔÏÞÅË E , P , F , R (ÇÄÅ R  ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ EF É AC ). á ÜÔÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÏÓÔÉ ÔÏÞÅË A, G, C , R (G  ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ AC É BP ). üÔÏ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÆÁËÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÌÅÇËÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÚÁÉÓÁ× ÔÅÏÒÅÍÕ þÅ×Ù ÄÌÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ABC

É ÔÏÞËÉ

ÒÑÍÏÊ

EF .

D,

Á ÔÁËÖÅ ÔÅÏÒÅÍÕ íÅÎÅÌÁÑ ÄÌÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ABC

É

÷ÅÒÎÅÍÓÑ ÔÅÅÒØ Ë ÉÎ×ÅÒÓÎÏÍÕ ÏÂÒÁÚÕ ÇÉÅÒÂÏÌÙ. ìÅÇËÏ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÉÍÅÎÎÏ × ÔÏÞËÉ, ÕËÁÚÁÎÎÙÅ × ÌÅÍÍÅ, ÅÒÅÊÄÕÔ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ÒÉ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ. óÅÒÅÄÉÎÙ ÏÔÒÅÚËÏ× ÅÒÅÈÏÄÑÔ × ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ × ÉÈ ËÏÎ ÁÈ. ÁË ÍÙ ÕÖÅ ÎÁÛÌÉ 9 ÔÏÞÅË. ïÓÔÁÌÏÓØ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ Ó ÏÂÒÁÚÏÍ ÔÏÞËÉ íÉËÅÌÑ, ËÏÔÏÒÁÑ, ËÁË ÂÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ, ÌÅÖÉÔ ÎÁ ËÕÂÉËÅ ÆÏËÕÓÏ× (ÓÍ. ×Ù×ÏÄ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÕÂÉËÉ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÏÉÓÁÎÎÙÅ ×ÏËÒÕÇ ÞÅÔÙÒÅÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÞÅÔÙÒÅÈÓÔÏÒÏÎÎÉËÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ × ÔÏÞËÁÈ

A, B , C É D ,

ËÏÔÏÒÙÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÏÞËÅ íÉËÅÌÑ. ïÂÒÁÚÙ ÜÔÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÒÉ ÉÎ-

ABC , ABD, ACD É BCD. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÅÒÅÄÉÎÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÒÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÎÔÒÁ ÔÑÖÅÓÔÉ ABCD ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÓÅÒÅÄÉÎÁÍÉ ÏÔÒÅÚËÏ× DA, DB , DC , ÏÉÓÁÎÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ABCD . óÌÅÄÏ-

×ÅÒÓÉÉ ÅÒÅÊÄÕÔ × ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÄÅ×ÑÔÉ ÔÏÞÅË ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×

×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ ÞÅÔÙÒÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÄÅ×ÑÔÉ ÔÏÞÅË ÒÏÈÏÄÑÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ,

ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ ÅÎÔÒÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÎÔÒÁ ÔÑÖÅÓÔÉ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ

ABCD. üÔÏÔ ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÎÔÒÏÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ-

×ÁÅÍÏÊ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÇÉÅÒÂÏÌÙ, ÔÁË ÄÅÌÉÔ ÏÏÌÁÍ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ÅÅ

ÈÏÒÄÙ. á ÚÎÁÞÉÔ, ÏÂÝÁÑ ÔÏÞËÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ÔÏÞËÉ íÉËÅÌÑ, ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÇÉÅÒÂÏÌÅ. ëÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÍÏÖÎÏ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ Ë ËÕÂÉËÅ ÆÏËÕÓÏ× × ÅÎÔÒÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÕÞËÁ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ Ë ÓÔÒÏÆÏÉÄÅ × Ä×ÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÌÑÒÁÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË ÇÉÅÒÂÏÌÙ. ÁË ËÁË ÇÉÅÒÂÏÌÁ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÑÑ, ÜÔÉ ÏÌÑÒÙ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ.

éÚÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ × ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁÈ òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ËÏÎÉËÁ, ËÁÓÁÀÝÁÑÓÑ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎ. æÏËÕÓÙ ÜÔÏÊ ËÏÎÉËÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÁÒÕ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ ÔÏÞÅË. åÓÌÉ ×ÉÓÁÎÎÁÑ ËÏÎÉËÁ

 ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.

åÓÌÉ ÏÂÅ ÔÏÞËÉ ËÏÎÅÞÎÙ, ÔÏ ÉÈ ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. åÓÌÉ ÖÅ ÏÄÎÁ ÉÚ ÔÏÞÅË ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÁÑ,

78

á. ÷. áËÏÑÎ, á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ

Ô. Å. ×ÉÓÁÎÎÁÑ ËÏÎÉËÁ  ÁÒÁÂÏÌÁ, ÔÏ ÒÏÅË ÉÉ ÆÏËÕÓÁ ÜÔÏÊ ÁÒÁÂÏÌÙ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÙ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. äÌÑ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÓÔÏÒÏÎ,  ÏÌØÛÉÍ 5, ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. éÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË, ÓÔÏÒÏÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ËÁÓÁÀÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎÉËÉ. äÌÑ ÔÁËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ, ËÁË É ÄÌÑ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÁÒÁ ÉÚÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË  ÆÏËÕÓÙ ×ÉÓÁÎÎÏÊ ËÏÎÉËÉ.

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1℄ áËÏÑÎ á. ÷., úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ á. á. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÒÉ×ÙÈ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ . ÷ ÅÞÁÔÉ. [2℄ âÅÒÖÅ í. çÅÏÍÅÔÒÉÑ . í.: íÉÒ, 1984. [3℄ úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ á. á. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ . í.: íãîíï, 2003. [4℄ òÕÉÎÓËÉÊ á. éÎ×ÅÒÓÉÉ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÇÉÅÒÂÏÌÙ // íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ óÅÒÉÑ. ÷Ù. 4. 2000. ó. 120{126. [5℄ õÏËÅÒ ò. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ . éì, 1952.

á. á. úÁÓÌÁ×ÓËÉÊ á. ÷. áËÏÑÎ

 ãüíé

79

ÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ñËÏÂÉ í. â. óËÏÅÎËÏ×

ãÅÌØ ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÁÔØÉ



 ÏÄÒÏÂÎÏ ÏÚÎÁËÏÍÉÔØ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ Ó ËÒÁÓÉ×ÏÊ

ÉÄÅÅÊ ÁËÁÄÅÍÉËÁ ÷. é. áÒÎÏÌØÄÁ Ï Ó×ÑÚÉ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØ-

ÎÉËÁ Ó ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ ñËÏÂÉ [1℄. ïÓÎÏ×ÎÏÅ ÏÔÌÉÞÉÅ ÎÁÛÅÊ ÓÔÁÔØÉ ÏÔ ÓÔÁÔØÉ ÷. é. áÒÎÏÌØÄÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÄÅÌÏ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÓÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ, Á ÎÅ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ, É ÜÔÏ ÄÅÌÁÅÔ ÏÓÎÏ×ÎÕÀ ÉÄÅÀ ÂÏÌÅÅ ÏÎÑÔÎÏÊ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÂÏÌØÛÁÑ ÞÁÓÔØ ÎÁÛÅÊ ÓÔÁÔØÉ ÄÏÓÔÕÎÁ ÛËÏÌØÎÉËÕ-ÓÔÁÒÛÅËÌÁÓÓÎÉËÕ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÕÖÎÏ ÉÍÅÔØ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ × ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ. íÙ ÒÁÓÓËÁÖÅÍ Ï Ä×ÕÈ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑÈ ÉÄÅÉ ÷. é. áÒÎÏÌØÄÁ Ä×ÕÈ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑÈ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ðÅÒ×ÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ





ÜÔÏ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÎÁ ËÒÉ×Ï-

ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ. ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏÍ ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÆÉÇÕÒÕ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÉÚ ÔÒÅÈ ÄÕÇ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÔÏÊ

ha

a, b

É

(ÒÉÓ. 1a). ÷ÙÓÏ-

ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÒÏÈÏ-

ÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÏÂÅ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÄÒÕÇÉÅ ×ÙÓÏÔÙ

hb

a

É

b

É

,

ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ-

(ÓÍÏÔÒÉ ÒÉÓÕÎÏË 1b). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ Ä×Å

h .

(íÙ ÉÓËÌÀÞÁÅÍ ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ

ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ Ó Ä×ÕÍÑ ÒÑÍÙÍÉ ÕÇÌÁÍÉ.)

b

ha a a)

b)

)

òÉÓ. 1.

 á×ÔÏÒ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÏÄÄÅÒÖÁÎ ÇÒÁÎÔÁÍÉ òææé ‚05-01-00993 É ‚06-01-72551.

80

í. â. óËÏÅÎËÏ×

ÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

1)

. åÓÌÉ Ä×Å

×ÙÓÏÔÙ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÅ, ÔÏ É ÔÒÅÔØÑ ×ÙÓÏÔÁ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÜÔÕ ÔÏÞËÕ (ÓÍ. ÒÉÓ. 1 ). üÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÅÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓÙ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÷ÔÏÒÏÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ



a b ,

É

Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÔØ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏ.

ÜÔÏ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ

ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á:

ÅÏÒÅÍÁ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ { íÏÒÌÉ. ðÕÓÔØ

a b  ,

É

ÔÒÉ ÏÁÒÎÏ ÎÅÁ-

ÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÒÑÍÙÅ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ÄÉËÕÌÑÒ Ë ÁÒÅ ÒÑÍÙÈ ÄÉËÕÌÑÒ Ë ÁÒÅ ÒÑÍÙÈ

b a a É

É

. äÁÌÅÅ, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ 0

áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÒÑÍÙÅ

a a

0

00

ÏÂÝÉÊ ÅÒÅÎÏÂÝÉÊ ÅÒÅÎ-

(ÄÁÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÒÑÍÙÅ ÎÅÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ).

b

00

É

00

. ÏÇÄÁ ÔÒÉ ÒÑÍÙÅ

a b 00

,

00

É

00

ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎ ÏÂÝÉÊ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ (Ô. Å. ÒÑÍÕÀ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÕÀ ÉÈ ×ÓÅ É ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÕÀ ÉÍ ×ÓÅÍ). üÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÅÓÌÉ ÒÑÍÙÅ

a b ,

É

ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ÅÏÒÅÍÁ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ { íÏÒÌÉ

ÔÒÕÄÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÓÔÅÒÅÏÍÅÔÒÉÉ, É ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÁÛÉÈ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÅÌÅÊ





ÒÁÓ-

ÓËÁÚÁÔØ ÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÄÅÑ ÷. é. áÒÎÏÌØÄÁ ÎÁÉÂÏÌÅÅ Ñ×ÎÏ ÒÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ × ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÎÁÞÎÅÍ ÓÏ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Á Ó

ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ ÎÁ ÓÆÅÒÅ

.

îÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÕÍÁÔØ, ÞÔÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÓÌÏÖÎÅÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. îÁÒÏÔÉ×, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ×Ï ÍÎÏÇÏÍ ÜÔÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÕÓÔÒÏÅÎÁ ÒÏÝÅ! íÎÏÇÉÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÔÅÏÒÅÍÙ ÓÉÎÕÓÏ× É ËÏÓÉÎÕÓÏ×, ÂÙÌÉ ÏÔËÒÙÔÙ × ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÒÁÎØÛÅ, ÞÅÍ × ÌÁÎÉÍÅÔÒÉÉ (ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÉ ÂÙÌÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙ ÄÌÑ ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ × ÁÓÔÒÏÎÏÍÉÉ).

óÀÖÅÔ ÅÒ×ÙÊ. óÆÅÒÉÞÅÓËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ É ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÓÆÅÒÕ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÍÅÒÎÏÇÏ

ÒÑÍÏÊ

ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á.

îÁÚÏ×ÅÍ

O

ÔÒÅÈ-

ÂÏÌØÛÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ (

) ÓÅÞÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÓÆÅÒÙ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅ-

ÒÅÚ ÔÏÞËÕ

O

.

ëÁÖÄÏÍÕ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÍÕ ×ÅËÔÏÒÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ Ä×Á ÏÂßÅËÔÁ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ: ÔÏÞËÕ ÎÁ ÓÆÅÒÅ É ÂÏÌØÛÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ. 1)

üÔÁ ÜÌÅÇÁÎÔÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ × ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ

ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÂÙÌÁ ÎÁÊÄÅÎÁ ÕÞÁÓÔÎÉËÏÍ ìÅÔÎÅÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ÕÒÎÉÒÁ çÏÒÏÄÏ× á. íÁÆÕÓÁÌÏ×ÙÍ.

ÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ñËÏÂÉ

A~

A

81

~b b

O

a)

b) òÉÓ. 2.

á ÉÍÅÎÎÏ, ×ÅËÔÏÒÕ ÍÏÖÎÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÔÏÞËÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÆÅÒÙ Ó ÌÕÞÏÍ, ÉÓÈÏÄÑÝÉÍ ÉÚ ÔÏÞËÉ

O

× ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÄÁÎÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ (ÒÉÓ. 2a), É ÍÏÖ-

ÎÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÓÅÞÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ ÌÏÓËÏÓÔØÀ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ

O

É

ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÊ ÜÔÏÍÕ ×ÅËÔÏÒÕ (ÒÉÓ. 2b). âÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÂÏÌØÛÉÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ, ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÅ ÒÑÍÙÅ

 ÍÁÌÅÎØËÉÍÉ. ÏÞËÕ (ÓÆÅÒÉÞÅÓËÕÀ ÒÑÍÕÀ), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ

ÄÁÎÎÏÍÕ ×ÅËÔÏÒÕ, ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÔÏÊ ÖÅ ÂÕË×ÏÊ, ÞÔÏ É ÓÁÍ ×ÅËÔÏÒ, ÔÏÌØËÏ ÂÅÚ ÚÎÁÞËÁ ×ÅËÔÏÒÁ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ

~ A

ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÔÏÞËÕ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ×ÅËÔÏÒÕ

~, A

 Ä×Á ×ÅËÔÏÒÁ, ÔÏ

~ b

É

Á

b

A

ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÆÅÒÉÞÅ-

ÓËÕÀ ÒÑÍÕÀ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ×ÅËÔÏÒÕ ~b. éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÒÏÓÔÅÊÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÊ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 1.

ÔÏ ÔÏÞËÁ

A

(òÉÓÕÎÏË 3a) åÓÌÉ ×ÅËÔÏÒÙ

~ A

É~ b ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ,

ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÑÍÏÊ b.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

×ÌÅÎÉÉ ×ÅËÔÏÒÁ

~. A

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÏ×ÅÄÅÍ ÉÚ ÔÏÞËÉ

ðÏ ÎÁÛÅÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÔÏÞËÁ

ÎÁÛÅÇÏ ÌÕÞÁ ÓÏ ÓÆÅÒÏÊ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ ËÕÌÑÒÎÕÀ ×ÅËÔÏÒÕ

~ b.

A

O

O

ÌÕÞ × ÎÁÒÁ-

 ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ

ÌÏÓËÏÓÔØ, ÅÒÅÎÄÉ-

ðÏ ÎÁÛÅÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÓÆÅÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÑÍÁÑ

ÓÅÞÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ ÎÁÛÅÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ. ðÏÓËÏÌØËÕ

~ A

É

~ b

b



ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ, ÔÏ

ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÊ ÌÕÞ ÌÅÖÉÔ × ÎÁÛÅÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÔÏÞËÁ

A

ÌÅÖÉÔ ÎÁ

ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÑÍÏÊ ÒÑÍÏÊ b, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. ~ B ~ ℄ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ×ÅËÔÏÒÏ× âÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ [A; ~ A

É

~. B

îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ

×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ

Ä×ÕÈ ×ÅËÔÏÒÏ×

~ A

É

~ B



ÜÔÏ ×ÅËÔÏÒ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÊ ÄÁÎÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÁÍ É ÒÁ×ÎÙÊ Ï ÍÏÄÕÌÀ

ÌÏÝÁÄÉ ÎÁÔÑÎÕÔÏÇÏ ÎÁ ÎÉÈ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ. îÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌÏÍ ÒÁ×ÏÊ ÒÕËÉ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 2.

~ B ~ ℄ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÆÅÒÉ(òÉÓÕÎÏË 3b) ÷ÅËÔÏÒ [A;

ÞÅÓËÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ

A

É

B.

82

í. â. óËÏÅÎËÏ×

~ B℄ ~ [A;

~ b

~ b ~ A

~ A

~ A

~ B

a)

b)

)

òÉÓ. 3.

~ B ~ ℄ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÅÎ ÏÂÏÉÍ ×ÅËÔÏÒÁÍ äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ×ÅËÔÏÒ [A;

ðÏÜÔÏÍÕ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ 1 ÏÂÅ ÔÏÞËÉ

A

É

B

~ A

É

~. B

ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ

~ B ~ ℄. ÒÑÍÏÊ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ×ÅËÔÏÒÕ [A;

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 3.

~ ~ (òÉÓÕÎÏË 3 ) ÷ÅËÔÏÒ [A; b℄ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ) ÓÏ-

ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÕ, ÏÕÝÅÎÎÏÍÕ ÉÚ ÔÏÞËÉ

A

ÎÁ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÕÀ

ÒÑÍÕÀ b. ~ ~ äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ ×ÅËÔÏÒÕ [A; b℄ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÑ-

ÍÁÑ

.

ðÏÓËÏÌØËÕ ÜÔÏÔ ×ÅËÔÏÒ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÅÎ ×ÅËÔÏÒÕ

ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ 1 ÓÆÅÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÑÍÁÑ ÓËÏÌØËÕ ÏÎ

ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÅÎ ~ b,

ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÑÍÏÊ ÉÚ ÔÏÞËÉ

A

a, b

ÔÏ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÑÍÁÑ

éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ,

É

(òÉÓÕÎÏË 4) åÓÌÉ

~ a

~ b

~

òÉÓ. 4.

A.

á Ï-

ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ

 ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ, ÏÕÝÅÎÎÙÊ

+~ b +~

= 0, ÔÏ ÔÒÉ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÅ

ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ.

~ a

ÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ

ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ

ÎÁ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÕÀ ÒÑÍÕÀ b.

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 4.

ÒÑÍÙÅ

b.

~, A

ÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ñËÏÂÉ

83

éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ + + = 0 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ , É ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÅËÔÏÒ , ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÊ ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÒÉÍÅÎÑÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 1, ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ×ÓÅÈ ÔÒÅÈ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÑÍÙÈ , É . ÅÅÒØ ÍÙ ÇÏÔÏ×Ù Ë ×Ù×ÏÄÕ ÂÏÌÅÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×. äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÔÒÅÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ñËÏÂÉ: [ [ ℄℄ + [ [ ℄℄ + [ [ ℄℄ = 0 üÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÂÅÚ ×ÓÑËÉÈ ÕÓÉÌÉÊ ÏÌÕÞÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÎÅÏÞÅ×ÉÄÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ: ÅÏÒÅÍÁ 5. ÷ÙÓÏÔÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ , É | ÔÒÉ ×ÅËÔÏÒÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÓÆÅÒÅ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ 2 ×ÅËÔÏÒ [ ℄ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ É . ÏÇÄÁ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ 3 ×ÅËÔÏÒ [ [ ℄℄ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÕ, ÏÕÝÅÎÎÏÍÕ ÉÚ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÕÀ ÒÑÍÕÀ , Ô. Å. ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ×ÙÓÏÔÕ A ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ×ÅËÔÏÒÙ [ [ ℄℄ É [ [ ℄℄ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÉÍ ÒÑÍÙÍ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍ Ä×Å ÄÒÕÇÉÅ ×ÙÓÏÔÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ . ðÏÜÔÏÍÕ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ñËÏÂÉ, ××ÉÄÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ 4, ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÔÒÉ ÒÑÍÙÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÜÔÉÍ ÍÅÔÏÄÏÍ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÍÏÖÎÏ ÂÕË×ÁÌØÎÏ €ÓÞÉÔÙ×ÁÔ؁ Ó ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÖÄÅÓÔ×  × ËÏÎ Å ÓÔÁÔØÉ ÍÙ ÒÉ×ÏÄÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ÜÔÕ ÔÅÍÕ. ~ a

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

~ b

~

~ a ~ b

~

~ P

P

a

~ B ~;C ~ A;

~; C ~;A ~ B

~ A

~ B

b

~ ; A; ~ B ~ C

:

~ C

~ B ~ A;

A

B

~ B ~;C ~ A;

A

BC

h

~ ~;A ~ B; C

ABC

~ ; A; ~ B ~ C

ABC

ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ 5 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÎÁ ÓÆÅÒÅ). åÅ ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ É ÒÏÝÅ: ÒÉ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ ÒÏÅË ÉÉ ÉÚ ÅÎÔÒÁ ÓÆÅÒÙ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ, ËÁÓÁÀÝÕÀÓÑ ÓÆÅÒÙ × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÔÅÏÒÅÍÁ 5 ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÏÂÙÞÎÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ. ÏÖÄÅÓÔ×Ï ñËÏÂÉ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÔÁËÖÅ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÓÌÁÂÌÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ { íÏÒÌÉ: ÒÑÍÙÅ 00 , 00 É 00 ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. äÌÑ

a b

ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ñËÏÂÉ ÄÌÑ ×ÅËÔÏÒÏ× ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÒÑÍÙÍ , É .

a b

~a, ~b É ~ ,

!
S ( BOC ) + O, A, B É!C ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï OA ! + OB
S ( COA) + OC
S ( AOB ) = 0. ÷ÏÔ ÅÝÅ ÏÄÎÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ñËÏÂÉ: ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÞÅÔÙ-

ÒÅÈ ÔÏÞÅË

4

4

4

ï ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ñËÏÂÉ × ÔÅÏÒÉÉ ÕÚÌÏ× ÍÏÖÎÏ ÒÏÞÉÔÁÔØ × [4℄.

óÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Á ÓÀÖÅÔÁ ÎÅ ÏÉÒÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÎÁ ÄÒÕÇÁ É ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÞÉÔÁÔØ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ. óÀÖÅÔ ×ÔÏÒÏÊ ÏÓ×ÑÝÅÎ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï

84

í. â. óËÏÅÎËÏ×

×ÙÓÏÔÁÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, Á ÓÀÖÅÔ ÔÒÅÔÉÊ ÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÍÙ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ { íÏÒÌÉ.

 ÄÏËÁÚÁÔÅÌØ-

óÀÖÅÔ ×ÔÏÒÏÊ. ïËÒÕÖÎÏÓÔÉ

îÁÚÏ×ÅÍ

ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ

ÓÅÞÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ, ÎÅ

ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÓÆÅÒÙ. ÏÞËÁ ÎÁ ÓÆÅÒÅ É ÓÆÅÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÑÍÁÑ

 ÞÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ.

ïËÒÕÖÎÏÓÔØ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ

~ X~ ) = ; A; ×ÅËÔÏÒ,   ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ (

ÇÄÅ

A~ 

ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ

ÞÉÓÌÏ, Á

X~ 

ÒÁ-

ÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÓÆÅÒÅ. üÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÚÁÄÁÅÔ ÓÅÞÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ ÌÏÓËÏÓÔØÀ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÊ ×ÅËÔÏÒÕ

A~

É ÎÁÈÏÄÑÝÅÊÓÑ ÎÁ ÒÁÓ-

=jA~ j ÏÔ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ  = 0, ÔÏ ÎÁÛÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÏÌØÛÏÊ ~ j, ÔÏ ÏÎÁ ×ÙÒÏÖÄÁÅÔÓÑ × ÔÏÞËÕ. ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ ÓÆÅÒÙ, Á ÅÓÌÉ  = jA

ÓÔÏÑÎÉÉ

óÌÅÄÕÀÝÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÏÞÔÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ: õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 6.

ËÁÀÔÓÑ, ÔÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ.

~ X~ ) =  É (B; ~ X~ ) = ÅÒÅÓÅA; ~ ~ ~ (A + B; X ) =  + ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÏÂÅ ÉÈ ÔÏÞ-

åÓÌÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ (

X~  ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÏÞÅË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ~ X~ ) =  É (B; ~ X~ ) = . ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ. ÏÇÄÁ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ (A; ~ + B; ~ X~ ) =  + , ÔÏ ÅÓÔØ ÔÒÅÔØÑ óËÌÁÄÙ×ÁÑ ÜÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÏÌÕÞÉÍ (A ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÔÏÖÅ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ X . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ

îÁ ÑÚÙËÅ ÎÁÛÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÌÅÇËÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÔÁËÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÓÔÉ Ä×ÕÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ:

~ X~ ) =  É (B; ~ X~ ) = ÅÒÅÎÄÉËÕA; ~ ~ ÌÑÒÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ  (A; B ) = 0. ~ X~ ) =  É äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ (A; ~ X~ ) = ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ. ðÕÓÔØ X~  ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÏ(B; ~ X~ ℄ É [X; ~ B~ ℄ ÁÒÁÌÞÅË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ. ÏÇÄÁ ×ÅËÔÏÒÙ [A; ÌÅÌØÎÙ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍ Ë ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍ A É B × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 7.

ïËÒÕÖÎÏÓÔÉ (

ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï

~ X~ ℄; [X; ~ B~ ℄) = (A; ~ X~ )(B; ~ X~ ) A;

([

~ B~ )(X; ~ X~ ): A;

(

AÉ ~ B~ ). ÅÍ ÓÁÍÙÍ × ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ A;

åÇÏ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ × ÓÉÌÕ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÓÔÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ

B , Á ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÁ 

(

ÎÕÖÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔ ÒÏÔÉ×ÎÏÇÏ.

ÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ñËÏÂÉ

85

üÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÏÔÉ×ÉÒÏ×ËÏÊ ÄÌÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.

 A~ ), ÇÄÅ   ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ,

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÒ ×ÉÄÁ ( ;

A~  ×ÅËÔÏÒ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. óËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ~ ) É B = ( ; B~ ) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÞÉÓÌÏ (A; B) :=  (A; ~ B~ ). ÔÁËÉÈ ÁÒ A = (; A

Á

ïÒÅÄÅÌÉÍ ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÁÒ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÁÒÙ ÎÁ ÞÉÓÌÏ ÏËÏÍÏÎÅÎÔÎÏ:

A + B := ( + ; A~ + B~ ), A := (; A~ ).

~ X~ ) A;

âÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ (

~ ). ÔÏÊ ÖÅ ÂÕË×ÏÊ, ÞÔÏ É ÓÁÍÕ ÁÒÕ (; A

=

,

ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ××ÅÄÅÎÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉÔØ ÕÒÁ×-

ÎÅÎÉÅ ×ÙÓÏÔÙ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎ: ðÁÒÅ

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 8.

B(A; C ) C (A; B)

ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ×ÙÓÏÔÁ

ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÉÚ ÄÕÇ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ É

C.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ðÏÓËÏÌØËÕ ÁÒÁ

H = B(A; C ) C (A; B) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ-

B É C , ÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ 6 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀH ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÏÂÅ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ

ÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÁÒ ÝÁÑ ÅÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ

hA

A, B

B É C . á ÏÓËÏÌØËÕ (H; A) = (B ; A)(A; C )

C ; A)(A; B) = 0; ÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ 7 ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ H ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ A. Ï ÅÓÔØ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, H  ×ÙÓÏÔÁ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÉÚ ÄÕÇ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ A, B É C . ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ A, B É C  ÂÏÌØÛÉÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÓÆÅÒÙ, ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒ(

ÖÄÅÎÉÅ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÓÀÖÅÔÁ, ××ÉÄÕ ÚÁÍÅÞÁ-

~ [B; ~ C~ ℄℄ = B~ (A; ~ C~ ) C~ (A; ~ B~ ). A;

ÔÅÌØÎÏÇÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á [

ÅÅÒØ ÍÙ ÇÏÔÏ×Ù ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÓÆÅÒÅ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ ÎÁÛ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎ

A, B É C , ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÕÔ×ÅÒHA = B(A; C ) C (A; B) É Ä×ÕÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÍ ÁÒÁÍ HB É HC ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÙÓÏÔÙ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ HA É HB ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ HC = HA HB , ÏÜÔÏÍÕ ××ÉÄÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ 6 ×ÙÓÏÔÁ HC ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÙÓÏÔ HA É HB , ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.

ÉÚ ÄÕÇ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÖÄÅÎÉÀ 8 ÁÒÅ

ÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÌÅÇËÏ

Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÓÆÅÒÅ, ÅÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÆÅÒÙ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÔØ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏ. ïÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÎÁÍÉ ÏÂßÅËÔ (ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÒ Ó ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ, ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÞÉÓÌÏ É ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ É ÉÇÒÁÅÔ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÕÀ ÒÏÌØ × ÔÅÏÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ [2℄.

86

í. â. óËÏÅÎËÏ×

a)

b)

)

òÉÓ. 5.

÷ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÔÏÌØËÏ ÅÒ×ÏÇÏ ÓÀÖÅÔÁ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ 3 ÓÌÕÞÁÑ:

óÌÕÞÁÊ 1. óÕÍÍÁ ÕÇÌÏ× ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÂÏÌØÛÅ 2 (ÒÉÓÕÎÏË 5Á). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÛÁ ÔÅÏÒÅÍÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ 5. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÕÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÓÔÅÒÅÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÕÀ ÒÏÅË ÉÀ ÎÁ ÓÆÅÒÕ ÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ, ËÁÓÁÀÝÕÀÓÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ × ÒÁÄÉËÁÌØÎÏÍ ÅÎÔÒÅ ÔÒÅÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ a, b É . óÌÕÞÁÊ 2. óÕÍÍÁ ÕÇÌÏ× ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÁ 2 (ÒÉÓÕÎÏË 5Â). ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÔÏÇÄÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ a, b É ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. îÁÛÁ ÔÅÏÒÅÍÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÂÙÞÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ Ó ÏÍÏÝØÀ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ.

óÌÕÞÁÊ 3. óÕÍÍÁ ÕÇÌÏ× ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÍÅÎØÛÅ 2 (ÒÉÓÕÎÏË 5×). ÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ d, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁÑ ×ÓÅÍ ÔÒÅÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍ a, b É . îÁÛÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÅÓÔØ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ × ÍÏÄÅÌÉ ðÕÁÎËÁÒÅ (× ËÏÔÏÒÏÊ d ÁÂÓÏÌÀÔ). ÅÏÒÅÍÕ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÅÒ×ÏÍÕ ÓÀÖÅ-



~ B ~ ℄ := ÔÕ, ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ñËÏÂÉ ÄÌÑ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ [A; × ÓÅ×ÄÏÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å [1℄.

~^B ~) (A

óÀÖÅÔ ÔÒÅÔÉÊ. ðÒÑÍÙÅ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å

ðÒÑÍÕÀ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ: [u; x℄ = úÄÅÓØ

u

É

v

 ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ, Á  ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x

ÔÏÞËÉ. ÷ÅËÔÏÒÙ ÔÏÞËÉ

A

É

÷ÅËÔÏÒ

v:

u

É

v

ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ Ï ÄÁÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ÔÁË: ×ÚÑÔØ Ä×Å

B

ÎÁ ÜÔÏÊ ÒÑÍÏÊ É ÏÌÏÖÉÔØ

u

ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ÉÍÅÅÔ ÒÏÓÔÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ

u

=

AB , v

= [OA; OB ℄.



ÜÔÏ ÎÁÒÁ×ÌÑÀÝÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÄÁÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ. ïÔÓÀÄÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÑÍÁÑ [u; x℄ =

v

ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÒÑÍÏÊ [u0 ; x℄ =

v

0

, ÔÏ

0

(u; u ) = 0. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÕÓÌÏ×ÉÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ ÔÏÖÅ ÌÅÇËÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÎÁ ÑÚÙËÅ ÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:

ÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ñËÏÂÉ ðÒÑÍÙÅ [u; x℄ =

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 9.

v

É [u0 ; x℄ =

v

0

ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ (ÉÌÉ

ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ), ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ (u; v ) + (v; u ) = 0. 0

87

0

äÏËÁÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ × ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ. ðÕÓÔØ ÎÁ-

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ÛÉ ÒÑÍÙÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÅ Ó ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÏÍ

x. ÏÇÄÁ

(u; v 0 ) + (v; u0 ) = (u; [u0 ; x℄) + ([u; x℄; u0 ) = 0 × ÓÉÌÕ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á.

äÏËÁÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ × ÄÒÕÇÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ. ðÕÓÔØ (u; v 0 ) + (v; u0 ) = 0.

x ÎÁ ÅÒ×ÏÊ ÒÑÍÏÊ É ÔÏÞËÕ x ÎÁ ×ÔÏÒÏÊ. ÏÇÄÁ (u; v ) + (v; u ) = (u; [u ; x ℄) + ([u; x℄; u ) = (u; [u ; x x℄) × ÓÉÌÕ ×ÓÅ ÔÏÇÏ ÖÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á. úÎÁÞÉÔ, (u; [u ; x x℄) = 0. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ x x = = u +  u ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÞÉÓÅÌ  É  . ÏÇÄÁ x + u = x  u  ÉÓËÏÍÁÑ 0

÷ÙÂÅÒÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÎÁÛÉÈ ÒÑÍÙÈ.



îÁÛÁ ÏÓÎÏ×ÎÁÑ ÅÌØ

ÏÎÑÔØ, ËÁË ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ä×ÕÈ ÒÑ-

ÍÙÈ ÏÌÕÞÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÉÈ ÏÂÝÅÇÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÎÁÍ

u É v , ÞÔÏÂÙ ÒÑÍÁÑ [u ; x℄ = v ÅÒÅÓÅËÁÌÁ ÒÑÍÙÅ [u; x℄ = v É [u ; x℄ = v É ÂÙÌÁ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÉÍ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ Ó ÎÁÒÁ×ÌÑÀÝÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ [u; u ℄ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÏÂÅÉÍ ÎÁÛÉÍ ÒÑÍÙÍ. ðÏÌÏÖÉÍ u = [u; u ℄. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÄÌÑ ×ÅËÔÏÒÁ v ÔÏÖÅ ÅÓÔØ ÒÏÓÔÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÅËÔÏÒÁ v ÎÕÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÒÏÅË ÉÀ ×ÅËÔÏÒÁ [u; v ℄ + [v; u ℄ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÕÀ ×ÅËÔÏÒÕ u . Ï, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ [u ; x℄ = v ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÒÑÍÙÅ [u; x℄ = v É [u ; x℄ = v , ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ 9. 00

ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ 0

00

00

00

0

0

00

0

00

00

0

00

0

0

00

00

0

üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÏÔÉ×ÉÒÏ×ËÏÊ ÄÌÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ (u; v ) É (u0 ; v 0 )

ÁÒÕ (u00 ; v 00 ), ÇÄÅ ïÒÅÄÅÌÉÍ

u

00

 Ä×Å ÁÒÙ ×ÅËÔÏÒÏ×. îÁÚÏ×ÅÍ ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ

= [u; u0 ℄ É

ÓÕÍÍÕ

= (u + u0 ; v + v 0 ).

v

= [u; v 0 ℄ + [v; u0 ℄.

ÁÒ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏËÏÍÏÎÅÎÔÎÏ: (u; v ) + (u0 ; v 0 ) =

ïÄÎÏÊ ÉÚ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÊ ÔÁËÉÈ ÁÒ

úÁÍÅÞÁÎÉÅ.

ÓËÏÌØÚÑÝÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ

Ñ×ÌÑÀÔÓÑ

00

[3℄.

íÙ ÉÍÅÅÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÁÒ ×ÅËÔÏÒÏ× ×

ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÑÍÙÈ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å: ÁÒÅ (u; v ) ÓÔÁ×ÉÔÓÑ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÒÑÍÁÑ [u; x℄ = pr v , ÇÄÅ pr v ÄÉËÕÌÑÒÎÕÀ ×ÅËÔÏÒÕ

u.

 ÒÏÅË ÉÑ ×ÅËÔÏÒÁ v ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ, ÅÒÅÎ-

æÁËÔÉÞÅÓËÉ ÍÙ ÏËÁÚÁÌÉ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ

ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ÏÂÝÉÊ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ (ÓÔÒÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÔÏÌØËÏ

v É u ? v , ÎÏ Ë ÎÅÍÕ ×ÓÅ Ó×ÏÄÉÔÓÑ  ÒÉ ÚÁÍÅÎÅ v ! v + u, v ! v +  u ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÚÁÍÅÎÁ v ! v + ( +  )u).

× ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ

u

0

? 0

0

0

0

0

00

00

0

ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÏÄÎÏ ÒÏÓÔÏÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÎÁÛÅÇÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÑ: ÒÑÍÁÑ

[u + u0 ; x℄ = [u

0

; x℄ = v

0

v+v

0

ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÏÂÝÉÊ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ Ë ÒÑÍÙÍ [u; x℄ =

v

É

(ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ Ó ÏÍÏÝØÀ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ 9).

ó ÏÍÏÝØÀ ÎÁÛÅÇÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÔÅÏÒÅÍÁ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ { íÏÒÌÉ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÁÒ ×ÅËÔÏÒÏ× ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ

88

í. â. óËÏÅÎËÏ×

ÔÏÖÄÅÓÔ×Õ ñËÏÂÉ. åÓÌÉ ÏÓÍÏÔÒÅÔØ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ, ÏÌÕÞÉÍ ÔÅÏÒÅÍÕ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ { íÏÒÌÉ. üÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÓËÁÚÁÔØ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÎÁÕÞÎÏÍ ÑÚÙËÅ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÔÏÔ ÏÂßÅËÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ (ÁÒÙ ×ÅËÔÏÒÏ× Ó ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ) ÜÔÏ × ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÁÌÇÅÂÒÁ ìÉ ÇÒÕÙ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ûÁÌÑ ÌÀÂÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÜÔÏ ×ÉÎÔÏ×ÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ×ÄÏÌØ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÒÑÍÏÊ ÌÉÂÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÎÏÓ. óÏÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÁÌÏÍÕ Ä×ÉÖÅÎÉÀ, ÔÏ ÅÓÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÁÌÇÅÂÒÙ ìÉ ÇÒÕÙ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÔÁËÕÀ ÒÑÍÕÀ. ëÌÀÞÅ×ÏÊ ÆÁËÔ: ËÏÍÍÕÔÁÔÏÒ ÒÉ ÔÁËÏÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÏÂÝÉÊ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ. üÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÏÒÕ, ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁ ÒÉ ÌÀÂÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ, ÍÅÎÑÀÝÅÊ ÍÅÓÔÁÍÉ ÒÑÍÙÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ. ÅÅÒØ ÔÅÏÒÅÍÁ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ { íÏÒÌÉ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ñËÏÂÉ. ÷ ÔÁËÏÍ ×ÉÄÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÏÈÏÄÉÔ ÂÅÚ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ É ÄÌÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÔÅÏÒÅÍÁ ðÅÔÅÒÓÅÎÁ { íÏÒÌÉ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÊ É × ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å [5℄.







úÁÄÁÞÉ

÷Ï ×ÓÅÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ

~, B ~ A

É

~ C

ÉÄÕÝÉÅ × ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ þÅÒÅÚ

AB , B C

É

CA

ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ

 ÅÄÉÎÉÞÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ,

ÉÚ ÅÎÔÒÁ ÓÆÅÒÙ.

ABC

ÄÌÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÔÏ ÅÓÔØ

ÄÌÉÎÙ ÄÕÇ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÂÏÌØÛÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ. 1.

òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ ×ÅËÔÏÒ

~ +B ~ A

~ , ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÅÄÉÁÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ +C

ÎÁ ÓÆÅÒÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. 2.

~ B ~ ℄; [B ~;C ~ ℄) = (A; ~ B ~ )(B ~;C ~) ó ÏÍÏÝØÀ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ([A;

ÌÕÞÉÔÅ

ÓÆÅÒÉÞÅÓËÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ËÏÓÉÎÕÓÏ× :

sin AB sin B C os \ ABC = os AB os B C 3.

os AC:

~ B ~ ℄; C ~ ) = ([B ~;C ~ ℄; A ~ ) = ([C ~;A ~ ℄; B ~ ) ÄÏËÁÖÉÔÅ ó ÏÍÏÝØÀ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ([A;

ÓÆÅÒÉÞÅÓËÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÓÉÎÕÓÏ×: AB ACB \

sin sin

4.

~ C ~ )(B ~;B ~ ) Ï(A;

=

BC BAC \

sin sin

=

CA : CBA \

sin sin

óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÊÔÅ É ÄÏËÁÖÉÔÅ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ

ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ. âÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔÉ.

á×ÔÏÒ ÂÌÁÇÏÄÁÒÅÎ ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×Õ ÚÁ ÏÍÏÝØ × ÏÄ-

ÇÏÔÏ×ËÅ ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÁÔØÉ, ÷. áÒÎÏÌØÄÕ ÚÁ ×ÁÖÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ, ÷. äÒÅÍÏ×Õ, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÎÎÙÈ ÉÄÅÊ, ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ × ÄÁÎÎÏÍ ÉËÌÅ ÚÁÄÁÞ, Á ÔÁËÖÅ á. ëÁÎÅÌÀ, ï. ëÁÒÅÎËÏ×Õ, é. ìÏÓÅ×Õ É á. óËÏÅÎËÏ×Õ ÚÁ ÏÌÅÚÎÙÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ.

ÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ñËÏÂÉ

89

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1℄ áÒÎÏÌØÄ ÷. é.

ÅÏÒÅÍÁ Ï ×ÙÓÏÔÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁ-

ÞÅ×ÓËÏÇÏ ËÁË ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ñËÏÂÉ × ÁÌÇÅÂÒÅ ìÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ ÎÁ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ

// íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ðÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. óÅÒ. 3,

×Ù. 9, 2005. ó. 93{99. [2℄ âÅÒÖÅ í.

çÅÏÍÅÔÒÉÑ .

í: íÉÒ, 1984.

[3℄ óÏÌÏ×ØÅ× à. ð., óÏÓÉÎÓËÉÊ á. â.

çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÓËÏÌØÚÑÝÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ×

//

ë×ÁÎÔ ‚8, 1985. ó. 9{17. [4℄ Conant

J.,

S hneiderman

dimensional topology . [5℄ Fen hel W.

R.,

Tei hner

P.

Ja obi identities

in low-

To appear in Compositio Mathemati a, 2007.

Elementary geometry in hyperboli spa e .

WdeG, 1989.

í. â. óËÏÅÎËÏ×, ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÆÁËÕÌØÔÅÔ íçõ

îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íãîíï á. ë. ú×ÏÎËÉÎ. íÁÌÙÛÉ É ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. äÏÍÁÛÎÉÊ ËÒÕÖÏË ÄÌÑ ÄÏÛËÏÌØÎÉËÏ×. 2006.

240 Ó.





á×ÔÏÒ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÉ ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉË ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔ Ï Ó×ÏÅÍ ÏÙÔÅ ÚÁÎÑÔÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ Ó ÄÏÛËÏÌØÎÉËÁÍÉ. öÁÎÒ ËÎÉÇÉ ÓÍÅÛÁÎÎÙÊ: ÄÎÅ×ÎÉËÏ×ÙÅ ÚÁÉÓÉ ÅÒÅÍÅÖÁÀÔÓÑ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍÉ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÉÌÉ Ï ÓÉÈÏÌÏÇÉÉ, ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÑ ÚÁ ÄÅÔØÍÉ É ÚÁ ÉÈ ÒÅÁË ÉÅÊ ÎÁ ÒÏÉÓÈÏÄÑÝÅÅ ÓÌÕÖÁÔ ÉÓÔÏÞÎÉËÏÍ ÄÌÑ ÎÏ×ÙÈ ÚÁÄÁÞ, Á ÔÅ × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÕÇÌÕÂÉÔØ É ÒÁÚ×ÉÔØ ËÁË ÂÙ ÎÁÍÅÞÅÎÎÙÅ ÕÎËÔÉÒÏÍ ÉÄÅÉ. ëÎÉÇÁ ÂÕÄÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ ÒÏÄÉÔÅÌÑÍ ÄÏÛËÏÌØÎÉËÏ× (Á ÔÁËÖÅ ÉÈ ÂÁÂÕÛËÁÍ É ÄÅÄÕÛËÁÍ), ×ÏÓÉÔÁÔÅÌÑÍ ÄÅÔÓËÉÈ ÓÁÄÏ×, ÕÞÉÔÅÌÑÍ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ×, É ×ÏÏÂÝÅ ×ÓÅÍ ÔÅÍ, ËÏÇÏ ÉÎÔÅÒÅÓÕÅÔ ÒÏ ÅÓÓ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÄÅÔÓËÏÇÏ ÉÎÔÅÌÌÅËÔÁ. á. í. òÁÊÇÏÒÏÄÓËÉÊ. ðÒÏÂÌÅÍÁ âÏÒÓÕËÁ. â-ËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉŁ, ×Ù. 33. 2006.

56 Ó.

âÒÏÛÀÒÁ ÎÁÉÓÁÎÁ Ï ÍÁÔÅÒÉÁÌÁÍ ÌÅË ÉÉ, ÒÏÞÉÔÁÎÎÏÊ ÎÁ íÁÌÏÍ ÍÅÈÍÁÔÅ íçõ ÄÌÑ ÛËÏÌØÎÉËÏ× 9{11 ËÌÁÓÓÏ×. ÷ ÎÅÊ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ï ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÚÎÁÍÅÎÉÔÙÈ ÚÁÄÁÞ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÇÉÏÔÅÚÅ âÏÒÓÕËÁ. íÎÏÇÉÅ ÇÌÁ×Ù ÓÎÁÂÖÅÎÙ ÚÁÄÁÞÁÍÉ. âÒÏÛÀÒÁ ÒÁÓÓÞÉÔÁÎÁ ÎÁ ÛÉÒÏËÉÊ ËÒÕÇ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ, ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÈÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ: ÛËÏÌØÎÉËÏ× ÓÔÁÒÛÉÈ ËÌÁÓÓÏ×, ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ÍÌÁÄÛÉÈ ËÕÒÓÏ×, ÕÞÉÔÅÌÅÊ. ïÔ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÚÎÁÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÎÑÔÉÊ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÉ, Á, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÂÕÄÅÔ ÏÌÅÚÎÙÍ (ÎÏ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÙÍ) ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï Ó ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ É ÎÁÞÁÌÁÍÉ ÁÎÁÌÉÚÁ.



÷. á. õÓÅÎÓËÉÊ. þÅÔÙÒÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÉÞÅÓËÉÈ ÌÉ Á ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔÉ. 2006.

48 Ó.

âÒÏÛÀÒÁ ÎÁÉÓÁÎÁ Ï ÍÁÔÅÒÉÁÌÁÍ ÌÅË ÉÉ, ÒÏÞÉÔÁÎÎÏÊ Á×ÔÏÒÏÍ × ÌÅÔÎÅÊ ÛËÏÌÅ €óÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. ïÎÁ ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÆÏÒÍÁÌÉÚÁ ÉÉ ÔÁËÏÇÏ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ ÑÓÎÏÇÏ ÔÅÒÍÉÎÁ, ËÁË €ÓÌÕÞÁÊÎÏÓÔ؁. ÷ ÂÒÏÛÀÒÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÞÅÔÙÒÅ ÒÁÚÎÙÈ ÏÄÈÏÄÁ Ë ÜÔÏÍÕ ÏÎÑÔÉÀ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÁ ÈÁÒÁËÔÅÒÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ: ÞÁÓÔÏÔÏÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÓÔØ, ÈÁÏÔÉÞÎÏÓÔØ, ÔÉÉÞÎÏÓÔØ É ÎÅÒÅÄÓËÁÚÕÅÍÏÓÔØ. âÒÏÛÀÒÁ ÁÄÒÅÓÏ×ÁÎÁ ÓÔÁÒÛÉÍ ÛËÏÌØÎÉËÁÍ É ÓÔÕÄÅÎÔÁÍ ÍÌÁÄÛÉÈ ËÕÒÓÏ×. ðÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÈ ÚÎÁÎÉÊ ÏÔ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÎÅ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÏÄÎÁËÏ ÂÕÄÅÔ ÏÌÅÚÎÙÍ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï Ó ÔÅÏÒÉÅÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×, Á ÄÌÑ ÞÔÅÎÉÑ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÇÌÁ×Ù Ó ÏÓÎÏ×ÎÙÍÉ ÏÎÑÔÉÑÍÉ ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ.



á. ç. èÏ×ÁÎÓËÉÊ. ÅÏÒÉÑ çÁÌÕÁ, ÎÁËÒÙÔÉÑ É ÒÉÍÁÎÏ×Ù Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. 2006. 96 Ó.

÷ ÂÒÏÛÀÒÅ ÉÚÌÏÖÅÎÁ ÔÅÏÒÉÑ çÁÌÕÁ É ÅÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ Ë ×ÏÒÏÓÁÍ Ï ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔÉ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÑ ÍÅÖÄÕ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ÔÅÏÒÉÉ çÁÌÕÁ É ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÅÊ ÎÁËÒÙÔÉÊ ÎÁÄ ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ. ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÞÁÓÔÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ ÏÌÑ ÍÅÒÏÍÏÒÆÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÒÉÍÁÎÏ×ÙÈ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÑÈ. äÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÁÓÉÒÁÎÔÏ× É ÓÅ ÉÁÌÉÓÔÏ× × ÏÂÌÁÓÔÉ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. á. ûÅÎØ. ï €ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÒÏÇÏÓÔɁ É ÛËÏÌØÎÏÍ ËÕÒÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. 2006.

72 Ó.

íÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÔÒÁÄÉ ÉÏÎÎÏ (É ÎÅ ÂÅÚ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÊ) ÇÏÒÄÑÔÓÑ €ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÒÏÇÏÓÔØÀ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ É ÏÌÎÏÔÏÊ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÔÅÏÒÅÍ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ É ÁËÓÉÏÍ. îÁÓËÏÌØËÏ ÜÔÏÔ ÉÄÅÁÌ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔ × ÛËÏÌØÎÏÍ ËÕÒÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ? íÏÖÎÏ ÌÉ ÅÇÏ ÄÏÓÔÉÇÎÕÔØ? é ÎÕÖÎÏ ÌÉ Ë ÜÔÏÍÕ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ? ÷ ÂÒÏÛÀÒÅ ÒÁÚÂÉÒÁÀÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÄÅÌÉËÁÔÎÙÈ ×ÏÒÏÓÏ× ÛËÏÌØÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ (× Þ£Í ÒÏÂÌÅÍÁ, ËÁË ÅÅ ÙÔÁÀÔÓÑ ÒÅÛÉÔØ × ÛËÏÌØÎÙÈ ÕÞÅÂÎÉËÁÈ É ËÁË ÅÅ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÒÅÛÁÔØ). éÚÌÏÖÅÎÉÅ ÒÁÓÓÞÉÔÁÎÏ ÎÁ ÌÀÂÏÚÎÁÔÅÌØÎÙÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, Ë×ÁÌÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÕÞÉÔÅÌÅÊ É ÄÏÂÒÏÓÏ×ÅÓÔÎÙÈ ÜËÚÁÍÅÎÁÔÏÒÏ×.



91

îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÌÑ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÏ× É ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ òÅÊÎÈÁÒÄÔÁ ó. â.

çÁÛËÏ×

ðÕÓÔØ Mn  ×ÙÕËÌÙÊ n-ÕÇÏÌØÎÉË, pn  ÅÇÏ ÅÒÉÍÅÔÒ, dn  ÄÉÁÍÅÔÒ, bn  ÛÉÒÉÎÁ, Rn  ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÒÁÄÉÕÓ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÅÇÏ ËÒÕÇÁ (ÒÁÄÉÕÓ àÎÇÁ), rn  ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÒÁÄÉÕÓ ÌÅÖÁÝÅÇÏ × ÎÅÍ ËÒÕÇÁ (ÒÁÄÉÕÓ âÌÑÛËÅ), sn  Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ËÏÒÅÎØ ÉÚ ÅÇÏ ÌÏÝÁÄÉ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÄÉÁÍÅÔÒÁ, ÛÉÒÉÎÙ É ÏÂÏÉÈ ÒÁÄÉÕÓÏ× ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ × [1℄, [2℄. óÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (ÉÎÄÅËÓ ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × [1℄, [2℄.

r

r R b d s p

r R

r R

R >0

6 os n b r r d

>2 6

 sin 2n  tg n s r

q

R d

6

1 3

 n  tg 2n sin

d >0

d R

62

b d

6

r

>

 n

s R p R

n

>0 6

2 sin

 n

b s

p b

n

>

2 tg

 n

2

sin

b s

>0

s d p d

 n

2

p R

>4

p s

2

q

>

n tg n

×ÙÏÌÎÅÎÁ ÒÉ ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÏÄÄÅÒÖËÅ ÇÒÁÎÔÏ× òææé 05{01{0099,

õò.04.02.528

6

n sin

2

s p

>0 >2

p >0

>0

6

 

os tg n 2n

r s

b p p d

>0

s d

qn



os 2n

6 31=4

s >0 6

r s s R n 2

b d

>0

p 6 3

r d

2

n tg p > r  2n tg n

 òÁÂÏÔÁ

b R b R

b >

r b

n ÏÕÓËÁÅÍ), ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ

 n

2

>0

92

ó. â.

çÁÛËÏ×

ðÒÁ×ÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÂÙÌÏ ÄÏËÁÚÁÎÏ × 1922 Ç. ë. òÅÊÎÈÁÒÄÔÏÍ [3℄. úÄÅÓØ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÅÏÒÅÍÁ 1. ðÕÓÔØ p ÅÒÉÍÅÔÒ, b ÛÉÒÉÎÁ É d ÄÉÁÍÅÔÒ ×ÙÕËÌÏÇÏ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ M . ÏÇÄÁ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

 2n

6 p 6 2nd sin 2n : ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ÔÏÞÎÏÅ, ÅÓÌÉ n = 6 2k , k 2 N .  äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ M  ÓÉÍÍÅÔÒÉÚÁ ÉÑ íÉÎËÏ×ÓËÏÇÏ n-ÕÇÏÌØ2nb tg

ÎÉËÁ M , Ô. Å.

M =

f

1 (M + ( M )) = (x 2

y )=2 : x; y

2 Mg

(×ÓÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÜÔÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × [2℄). ÏÇÄÁ M  ÅÓÔØ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ-ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ×ÙÕËÌÙÊ 2m-ÕÇÏÌØÎÉË, ÇÄÅ m

6 n, Ó ÔÅ-

ÍÉ ÖÅ ÅÒÉÍÅÔÒÏÍ, ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ É ÛÉÒÉÎÏÊ, ÞÔÏ É Õ M . éÚ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ M  ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÇÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÊ ÒÁÄÉÕÓ r  = b=2 É ×ÎÅÛÎÉÊ ÒÁÄÉÕÓ R = d=2. éÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 2nr tg

 n

6 p 6 2nR sin n

ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ n tg ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2nb tg



2n

 n sin n

 n

ÓÔÒÏÇÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÅÔ, Á Ï-

ÓÔÒÏÇÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ. ðÏÜÔÏÍÕ

6

6 2mb tg 2m = 4mr tg 2m 6 p 6 4mR sin 2m = 2md sin 2m 6 6 2nd sin 2n ; 



, p = 2nd sin ÌÉÛØ ÔÏÇÄÁ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù, ÒÉÞÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á p = 2nb tg 2n 2n  ËÏÇÄÁ M ÅÓÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ 2n-ÕÇÏÌØÎÉË. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÄÌÑ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÉ ÎÅÞÅÔÎÏÍ n ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á p = 2nb tg

 2n

= 2nd sin

 , 2n

Á ÒÉ ÞÅÔÎÏÍ n ÎÉ ÏÄÎÏ ÉÚ ÎÉÈ

ÎÅ ×ÅÒÎÏ. ïÄÎÁËÏ ÒÉ ÞÅÔÎÏÍ n, ÎÅ ÒÁ×ÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ Ä×ÏÊËÉ, ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÏÇÕÔ ÄÏÓÔÉÇÁÔØÓÑ. ðÒÉÍÅÒÙ n-ÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÉ ÄÏÓÔÉÇÁÀÔÓÑ, ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ n ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ × ×ÉÄÅ



m(2k + 1). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ n = 2s n0 , ÇÄÅ n0 ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ ÞÉÓÌÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ × ×ÉÄÅ n = m(2k + 1) ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÏ  (n0 ) ÞÉÓÌÕ ×ÓÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÞÉÓÌÁ n0 . ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ (2k + 1)-ÕÇÏÌØÎÉË Ó ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ (ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ) d É Ó ÅÎÔÒÏÍ × ËÁÖÄÏÊ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÅ ÏÓÔÒÏÉÍ ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ d. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÎ ÂÕÄÅÔ ÒÏÈÏÄÉÔØ ÞÅÒÅÚ



íÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ òÅÊÎÈÁÒÄÔÁ

93

ËÏÎ Ù ÒÏÔÉ×ÏÌÅÖÁÝÅÊ Ë ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÓÔÏÒÏÎÙ (2k + 1)-ÕÇÏÌØÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÕÄÅÔ ÅÇÏ ÈÏÒÄÏÊ, ÏÔÓÅËÁÀÝÅÊ ÏÔ ÎÅÇÏ ÓÅÇÍÅÎÔ, ÓÏÒÉËÁÓÁÀÝÉÊ-

ÓÑ ÉÚ×ÎÅ Ó (2k + 1)-ÕÇÏÌØÎÉËÏÍ Ï ÜÔÏÊ ÓÔÏÒÏÎÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÙÕËÌÕÀ ÆÉÇÕÒÕ, Ñ×ÌÑÀÝÕÀÓÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ËÒÕÇÏ×. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÎÁ ÂÕÄÅÔ ÏÌÕÞÁÔØÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ (2k + 1)-ÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ ÓÅÇÍÅÎ-

ÔÁÍÉ. îÁÚÏ×ÅÍ ÅÅ ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ (2k + 1)-ÕÇÏÌØÎÉËÏÍ òÅÌÏ. äÉÁÍÅÔÒÏÍ ÜÔÏÊ ÆÉÇÕÒÙ Ï ÒÅÖÎÅÍÕ ÂÕÄÅÔ ÅÎÎÙÈ ËÒÕÇÏ×, Ô. Å.

d,

×ÉÎÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÁ ÏÄÉÎÁËÏ×Á É ÒÁ×ÎÁ

d.

d, Á ÅÒÉÍÅÔÒ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ ÄÕÇ ÏÓÔÒÏ-

ÔÁË ËÁË ÓÌÏÖÉ× ÜÔÉ ÄÕÇÉ ×ÍÅÓÔÅ, ÏÌÕÞÉÍ ÏÌÏ-

d.

ûÉÒÉÎÁ ÜÔÏÊ ÆÉÇÕÒÙ ×Ï ×ÓÅÈ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ

ðÏÜÔÏÍÕ ÄÁÎÎÁÑ ÆÉÇÕÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÉÍÅÒÏÍ ÆÉÇÕ-

ÒÙ ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÛÉÒÉÎÙ. ÷ÉÛÅÍ × ÎÅÅ

n-ÕÇÏÌØÎÉË Ó ÒÁ×ÎÙÍÉ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ

ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÓÒÅÄÉ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÓÏÄÅÒÖÁÌÉÓØ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏ-

ÇÏ (2k + 1)-ÕÇÏÌØÎÉËÁ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ 2k + 1 ÕÏÍÑÎÕÔÙÈ ÄÕÇ ÒÉ

m ÒÁ×ÎÙÈ ÄÕÖÅË, ÈÏÒÄÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÕÄÕÔ ÓÔÏn-ÕÇÏÌØÎÉËÁ. äÉÁÍÅÔÒ ÅÇÏ ÂÕÄÅÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ d, Á ÛÉÒÉÎÁ ÒÁ×ÎÁ b = d os(=2n)  ×ÙÓÏÔÅ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ÒÅÂÒÏÍ d É ÕÇÌÏÍ ÒÉ ×ÅÒÛÉÎÅ =n. ÏÇÄÁ ÅÒÉÍÅÔÒ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÁ×ÅÎ 2nd sin(=2n) = 2b tg(=2n).

ÜÔÏÍ ÂÕÄÅÔ ÒÁÚÂÉ×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÒÏÎÁÍÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ

óÌÅÄÕÀÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÂÙÌÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ × 1922 Ç. ë. òÅÊÎÈÁÒÄÔÏÍ [3℄. úÄÅÓØ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÅÏÒÅÍÁ 2. ðÕÓÔØ

n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ M .

p

ÅÒÉÍÅÔÒ,

rn

s2

ÌÏÝÁÄØ É

d

ÄÉÁÍÅÔÒ ×ÙÕËÌÏÇÏ

ÏÇÄÁ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

s d

6

2

os

  tg ; n 2n

ËÏÔÏÒÏÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÒÁ×ÉÌØÎÙÈ ÎÅÞÅÔÎÏÕÇÏÌØÎÉËÏ×. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

p s

r

éÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×

>2

 n

n tg ;

ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

s d

6

rn 2

os

p 6 2nd sin



2n

  tg ; n 2n

ËÏÔÏÒÏÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÏÌØËÏ ËÏÇÄÁ ÏÂÁ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. îÏ ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ ÔÏÌØËÏ × ÓÌÕÞÁÅ

n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ, Á ÄÌÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÌÉÛØ ËÏÇÄÁ n ÎÅÞÅÔÎÏ.

ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ,

ÉÚ ÎÉÈ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

÷ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ÔÅÏÒÅÍÙ 1 × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á.

94

ó. â.

ÅÏÒÅÍÁ 3. ðÕÓÔØ

n-ÕÇÏÌØÎÉËÏ×

çÁÛËÏ×

R(n) ÅÓÔØ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÏÁÒÎÏ ÎÅ ÏÄÏÂÎÙÈ

òÅÊÎÈÁÒÄÔÁ, Ô. Å. ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á



2nb tg

=

2n

p = 2nd sin



2n

:

ÏÇÄÁ

ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ

1 2n

(ii)

n2N

X

2 mjn -

R(n) = (iii)

n = 2k ; k 2 N ;

(m)) 6 R(n)
3 ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ËÏÎ-

ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÍ ÆÒÅÊÍÏÍ íÅÒÓÅÄÅÓ{

âÅÎ .

> 2 ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ n n n ×ÅËÔÏÒÏ× Fn = f 1 n+1g ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: 2 1 2 [1 + 1℄, 6= ; 1. h n i nj i = n , 2. j n i j = 1 2 [1 + 1℄; Pn+1 n 3. i=1 i = O ; ÅÏÒÅÍÁ 1. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n e ;e ;:::;e i; j

e ;e

e

;

e

i

;n

;n

i

j

n

+1

108

í.î. éÓÔÏÍÉÎÁ, á.â. ðÅ×ÎÙÊ

4. óÉÓÔÅÍÁ

Fn

n + 1)=n.

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ö£ÓÔËÉÍ ÆÒÅÊÍÏÍ Ó ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ

=(

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

éÎÄÕË ÉÑ Ï

ÒÑÅÔ ×ÓÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑÍ ÔÅÏÒÅÍÙ. äÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ äÌÑ

Fn 1

n

n. ðÒÉ n = 2

A

=

ÆÒÅÊÍ (5) ÕÄÏ×ÌÅÔ×Ï-

1 ×ÓÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ×ÙÏÌÎÅÎÙ. óÉÓÔÅÍÁ

Fn

Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ.

i 2 [1; n℄ ×ÅËÔÏÒ eni ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÉÚ ein 1 ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ n-Ê ËÏÍÏÎÅÎÔÙ

hn É ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÏÌÕÞÉ×ÛÅÇÏÓÑ ×ÅËÔÏÒÁ: eni = n (ein 1 ; hn ); ÇÄÅ n = p 1 2 : 1 + hn n n ðÏÌÏÖÉÍ en+1 = (0; 0; : : : ; 0; 1) 2 R . ðÏ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ hein 1 ; ejn 1 i = n 1 1 , i; j 2 [1; n℄, i 6= j . ÏÇÄÁ

he ; e i = n i

n j

( 2 n 1 n 1

n (hei ; ej i + h2n ); i; j 2 [1; n℄; i < j;

n hn ; i 2 [1; n℄; j = n + 1: ðÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ hn : 1  = h = p hn : 1
h 2 n n n n 1 1 + h2n 1 + h2n p2 1 , = n 1 . ÏÇÄÁ hen ; en i = 1 , i 6= j . éÍÅÅÍ ïÔÓÀÄÁ hn = p n i j 2 n n n 1 n 1 2 2 n n 2 2 jei j = n(jei j + hn) = 1; i 2 [1; n℄; jen+1j = 1: ÁË ÖÅ ÒÏÓÔÏ ÒÏ×ÅÒÑÀÔÓÑ Ó×ÏÊÓÔ×Á 3 É 4. ÅÏÒÅÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. úÁÍÅÞÁÎÉÑ.

1. õÇÏÌ

'n

eni

ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ

ÕÓÌÏ×ÉÑ os

'n

=

1 + ar sin , ÚÎÁÞÉÔ n

2 3

=

he ; e i n i

n j

=

1,

n

ÏÔÓÀÄÁ

'n

'2 > '3 >


> 'n >


> 2 ;

É

enj

ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÉÚ

= ar

os(

n

1)

n

=



2

+

 !1 'n = 2 :

lim

2. éÚÂÙÔÏÞÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ (4) Ï×ÙÛÁÅÔ ÎÁÄÅÖ-

x Ï ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍ i = hx; eni i, +1 ÂÕÄÅÔ ÕÔÒÁÞÅÎ, i 2 [1; n + 1℄. åÓÌÉ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× f i gni=1 ÔÏ Ï ÏÓÔÁ×ÛÉÍÓÑ ×ÅËÔÏÒ x ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÍÏÖÎÏ. i Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÎÏÍÅäÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÕÔÒÁÞÅÎ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ k = hx; en k ÒÏÍ k 2 [1; n + 1℄. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ fen1 ; : : : ; enk 1; enk+1 ; : : : ; enn+1 g (6)

ÎÏÓÔØ ÒÉ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÉ ×ÅËÔÏÒÁ

ï ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÉ ÔÏÞÅË ÎÁ ÓÆÅÒÅ É ÆÒÅÊÍÅ íÅÒÓÅÄÅÓ{âÅÎ Ó ×ÙËÉÎÕÔÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ

n e . k

109

÷ ÓÉÓÔÅÍÅ (6) ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ

1 , Á ÎÏÒÍÁ ËÁÖÄÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÒÁ×-

Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÒÁ×ÎÏ

n

ÎÁ 1. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ ÓÉÓÔÅÍÙ (6) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

21 1


13 1 66 1 1 1


17 77 6 G = 64














75 : n

n

1

1

n

n

n

n

n

1

n

n






1

6 6= 0 É, ÚÎÁÞÉÔ, ÓÉÓÔÅÍÁ (6) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ fe1 e 1 e +1 e +1 g, ÂÉÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ

üÔÁ ÍÁÔÒÉ Á ÉÍÅÅÔ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÒÅÏÂÌÁÄÁÎÉÅ, ÏÜÔÏÍÕ det G = e ; : : : ; ek

Ë (6), É ×ÅËÔÏÒ

x

; ek

; : : : ; en

×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ

X1 k

x

=

=1

e

i ei

+1 X

n

+

i

i

3. ÷ÏÒÏÓ Ï ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÉ ×ÅËÔÏÒÁ

x

=k+1

e

i e i :

× ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÞÁÓÔØ ÆÒÅÊÍÏ×ÙÈ

ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÕÔÒÁÞÅÎÁ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÓÑ ×Ï ÍÎÏÇÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ, ÓÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [3℄. ÁÍ ÖÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÏÓØ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ Mer edes-Benz frame. 4. éÚ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÆÒÅÊÍÁ

Fn ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÄÒÕÇÉÅ ÖÅÓÔËÉÅ ÆÒÅÊ-

ÍÙ. õÍÎÏÖÉÍ ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÆÒÅÊÍÁ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ

Q

É ÅÒÅÄ ÏÌÕÞÉ×ÛÉÍÉÓÑ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ Ï-

ÒÑÄËÅ ÒÁÓÓÔÁ×ÉÍ ÚÎÁËÉ + É

f

n

1

Qe ;

:



n Qe ; : : : ;

2



+1 g:

n Qen

(7)

óÉÓÔÅÍÁ (7) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ö£ÓÔËÉÍ ÆÒÅÊÍÏÍ. îÅÒÅÛÅÎÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ.

ÓÔÁÎÔÏÊ

n+1 , n

äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ Ö£ÓÔËÉÊ ÆÒÅÊÍ Ó ËÏÎ-

ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ

n

+ 1 ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÏÓÌÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ

ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÆÒÅÊÍÁ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ (7). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÔÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ.

îÁÂÏÒ ÉÚ

n

+ 1 ÔÏÞÅË

M

=

f1

+1 g  S n 1

e ; : : : ; en

ÎÁÚÙ-

×ÁÅÔÓÑ ÆÒÅÊÍÏÍ íÅÒÓÅÄÅÓ{âÅÎ , ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÅÎÙ Ä×Á ÕÓÌÏ×ÉÑ: 1. 2.

h

ei ; ej

i = n1 ÒÉ 6=

P +1 e n i

=1

i

i

=

j;

(8)

O.

ÁËÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÌÅÚÎÏ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÉÑ ×ÓÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ × ÚÁÄÁÞÅ 2.

110

í.î. éÓÔÏÍÉÎÁ, á.â. ðÅ×ÎÙÊ

=

ÅÏÒÅÍÁ 2. ðÒÉ N

+ 1 ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÚÁÄÁÞÉ 2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÒÅÊÍÙ

n

íÅÒÓÅÄÅÓ{âÅÎ É ÔÏÌØËÏ ÏÎÉ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

 =

dij

j

÷ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÆÒÅÊÍ íÅÒÓÅÄÅÓ{âÅÎ

j, 6= , ÒÁ×ÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ:  2 2 2 2h ( ) =j j +j j i = 2 + n2 = 2nn+ 2 ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ  , 6= , ÒÁ×ÎÏ ( + 1)2 ( + 1) = 2 + r p p 2n + 2 2 òÁÓÓÔÏÑÎÉÑ

ei

ej

dij

i

ei

d ij

S (M )

ej

i

j

xi

ÔÏ

xj

p

y (t)

j=

S (X )

h

2y (

j

n

= (n + n)

6

S (M ).

xi ; xj

:

ei ; ej

n

=

n

äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ

n

2(n + 1)



ÏÇÄÁ

y (t)

6

h(t)

1

y

éÔÁË,

1

=



+y

pnn n 2

2

xi

0



p

(

+ 1)

p

j6

xj

2

2(n + n)

h

2h(

pnn n 2

2

=j

i6

ðÏÜÔÏÍÕ S (X )

h

xi ; xj

i

(

1

+

 :

n

+1

n X xi = i

i)

t:

(9)

:

p2pn X p h 2 n+1

+ 1)

=j

2 (n + 1):

6

2 :

(2n + 1)

p

n(n

+ 1) +

p

n(n

p

S (X )

M

p

+ 1)

pn

+1

i

n

p

6 22 (2 + 2) ( + 1)  ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 2. n

n n

o

=

p

2

9 = n X xi n+1 ;

8

p2
ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅ-

ÏÌØÚÕÊÔÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï €ÓÒÅÄÎÅÅ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÅ ÓËÏÇρ).

úÁÄÁÞÁ 4 (ÚÁÄÁÞÁ Ï ÄÉËÔÁÔÏÒÁÈ). òÁÓÏÌÏÖÉÔØ ÓÆÅÒÅ

S

n 1

n

+ 1 ÔÏÞÅË ÎÁ

ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÓÔÁÌÏ ÍÁË-

ÓÉÍÁÌØÎÙÍ. (çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÄÌÑ × [4, ÚÁÄÁÞÁ 120℄).

úÁÄÁÞÁ 5. ðÒÉ

N

=

n

= 3 ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ

+ 1 ÍÉÎÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÆÕÎË ÉÀ

N) =

1

W (x ; : : : ; x

Ï ×ÓÅÍ ÎÁÂÏÒÁÍ ÉÚ

X

n

i6=j jx

1

i

xj jn

2

ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË ÓÆÅÒÙ

N

(õËÁÚÁÎÉÅ: ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï €ÓÒÅÄÎÅÅ ÏÒÑÄËÁ

m

S

n 1,

=

(n

n

>

3.

2) ÎÅ

ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÇρ. üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÛÅÎÁ × [5℄, ÔÁÍ ÖÅ ÒÅÛÁÅÔÓÑ ÚÁÄÁÞÁ ÒÉ

N

= 2n).

úÁÄÁÞÁ 6. òÁÓÏÌÏÖÉÔØ

N

ÔÏÞÅË ÎÁ ÓÆÅÒÅ

S

n 1 , ÇÄÅ 3 6 N

6

n,

ÔÁË,

ÞÔÏÂÙ ÓÕÍÍÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÓÔÁÌÁ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ ÆÒÅÊÍÁ

FN 1 × RN 1 , ÄÏÏÌÎÅÎÎÙÅ n N + 1 ÎÕÌÑÍÉ: N 1 ei = e i ; 0; : : : ; 0 ; i = 1; : : : ; N ;

i

h

ÄÁÀÔ ÏÔÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. á×ÔÏÒÙ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑÔ ÷. î. íÁÌÏÚ£ÍÏ×Á É ÷. é. ú×ÏÎÉÌÏ×Á ÚÁ ÏÌÅÚÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ.

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1℄ áÎÄÒÅÅ× î. î., àÄÉÎ ÷. á.

ÓÆÅÒÅ

üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞÅË ÎÁ

// íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. óÅÒ. 3. ÷Ù. 1. 1997. ó. 115{

121.

[2℄ White L. L.

Unique arrangements of points on a sphere

Monhly. Vol. 59, no. 9. 1952. P. 606{611.

// Amer. Math.

112

í.î. éÓÔÏÍÉÎÁ, á.â. ðÅ×ÎÙÊ

[3℄ Casazza P., Kova evi J. Equal-norm tight frames with erasures // Advan es in Comp. Math. (Spe ial issue on frames). 2002. P. 387-430. [4℄ ûËÌÑÒÓËÉÊ ä. ï., þÅÎ Ï× î. î., ñÇÌÏÍ é. í. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ É ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ . í.: îÁÕËÁ, 1974.

Ï ÅÎËÉ

[5℄ àÄÉÎ ÷. á. íÉÎÉÍÕÍ ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÜÎÅÒÇÉÉ ÔÏÞÅÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÑÄÏ× // äÉÓËÒÅÔÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. 1992. . 4. ÷Ù. 2. ó. 115{121.

ÚÁ-

í.î. éÓÔÏÍÉÎÁ, á.â. ðÅ×ÎÙÊ, ËÁÆÅÄÒÁ ÒÉËÌÁÄÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ, óÙËÔÙ×ËÁÒÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ.

113

ï ÔÒÉÓÅË ÉÉ É ÂÉÓÅË ÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ð. ÷. âÉÂÉËÏ×

é. ÷. ËÁÞÅÎËÏ

÷ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ €ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÈ ÔÏÞÅˁ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ €ÂÏÌØÛŁ, ÞÅÍ × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ÷ ÄÁÎÎÏÊ ÓÔÁÔØÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ

T

ÔÒÉÓÅËÔÏÒ

É ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ

ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ× . ÏÞËÁ

ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÒÉÓÅËÔÏÒÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÎÉËÁ

ABC

TAB TAC TBC ,

,

ABC

, ÅÓÌÉ ÌÏÝÁÄÉ ÔÒÅ-

ÒÁ×ÎÙ ÏÄÎÏÊ ÔÒÅÔÉ ÌÏÝÁÄÉ ÔÒÅÕÇÏÌØ-

. âÉÓÅË ÉÏÎÎÙÍ ÏÔÒÅÚËÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÒÅÚÏË, ËÏÔÏÒÙÊ

ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÄÅÌÉÔ ÅÇÏ ÎÁ Ä×Á ÒÁ×ÎÏ×ÅÌÉËÉÈ. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÅ ÏÔÒÅÚËÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ÷ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÏÂÅ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÍÅÄÉÁÎ.

1. ïÉÓÁÎÉÅ ÍÏÄÅÌÉ ðÕÁÎËÁÒÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ

çÅÏÍÅÔÒÉÀ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÍÏÖÎÏ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÅÒÍÉÎÏ× É ÏÂßÅËÔÏ× ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ å×ËÌÉÄÁ (ÉÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ×ÎÕÔÒÉ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ

ÍÏÄÅÌØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ). (ÍÏÄÅÌØ ëÜÌÉ { ëÌÅÊÎÁ ) ÂÙÌÁ ÓÏÚÄÁÎÁ ÄÌÑ

ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ

ðÅÒ×ÁÑ

ÉÚ ÏÄÏÂÎÙÈ ÍÏÄÅÌÅÊ

ÄÏËÁÚÁ-

ÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉ×ÏÓÔÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ. úÄÅÓØ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÒÕÇÕÀ ÍÏÄÅÌØ

 ÍÏÄÅÌØ ðÕÁÎËÁÒÅ . üÔÁ ÍÏÄÅÌØ ×Ï ÍÎÏÇÏÍ

ÕÄÏÂÎÅÅ ÍÏÄÅÌÉ ëÜÌÉ { ëÌÅÊÎÁ.

y

A

M B x

O òÉÓ. 1.

ðÌÏÓËÏÓÔØ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ × ÍÏÄÅÌÉ ðÕÁÎËÁÒÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ×ÅÒÈf(x; y ) j y > 0g ÂÅÚ ÇÒÁÎÉ Ù fy = 0g. ðÒÑÍÕÀ fy = 0g

ÎÀÀ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔØ

114

ð. ÷. âÉÂÉËÏ×, é. ÷. ËÁÞÅÎËÏ

×ÍÅÓÔÅ Ó ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÁÂÓÏÌÀÔÏÍ . ðÒÑÍÙÍÉ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÅÒÈÎÉÅ ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ó ÅÎÔÒÁ-

ÍÉ ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÅ É ÌÕÞÉ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÅ ÁÂÓÏÌÀÔÕ. ÏÞËÉ ÁÂÓÏÌÀÔÁ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÍÉ . ðÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍÉ ÒÑÍÙÍÉ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÑÍÙÅ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÏÂÝÕÀ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÕÀ

ÔÏÞËÕ. ðÒÑÍÙÅ, ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÅ ÏÂÝÉÈ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÈ) ÔÏÞÅË, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ Ó×ÅÒÈÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍÉ . îÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÍÏÄÅÌØ ðÕÁÎËÁÒÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ×ÓÅÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ É ÏÓÔÕÌÁÔÁÍ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ËÒÏÍÅ ÑÔÏÇÏ ÏÓÔÕÌÁÔÁ (ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ, ÎÅ ÌÅÖÁÝÕÀ ÎÁ ÄÁÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÒÏÈÏÄÑÔ Ä×Å ÒÑÍÙÅ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÄÁÎÎÏÊ, É ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÑÍÙÈ, Ó×ÅÒÈÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ Ó ÄÁÎÎÏÊ), É ÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ÍÏÄÅÌØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÎÅÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉ×ÏÊ (ÅÓÌÉ ÎÅÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉ×Á Å×ËÌÉÄÏ×Á ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ). õÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ÒÑÍÙÍÉ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÒÁ×ÎÙ ÕÇÌÁÍ ÍÅÖ-

ÄÕ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍÉ, ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÍÉ × ÔÏÞËÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ. ðÒÉÚÎÁËÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÒÅÍÑ ÒÉÚÎÁËÁÍÉ × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, Ë ÎÉÍ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÝÅ É ÞÅÔ×ÅÒÔÙÊ ÒÉÚÎÁË: ÒÁ×ÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ Ó ÏÁÒÎÏ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÕÇÌÁÍÉ. ðÌÏÝÁÄØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÒÁ×ÎÁ

 

ÇÄÅ

, ,  ÕÇÌÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ.

;

äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÕÄÏÂÎÏ ××ÅÓÔÉ × ÍÏÄÅÌÉ ðÕÁÎËÁÒÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÁÑ ÏÓØ ÓÏ×ÁÄÁÌÁ Ó ÁÂÓÏÌÀÔÏÍ, Á ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÌÕÞ ÍÎÉÍÏÊ ÏÓÉ ÂÙÌ ÎÁÒÁ×ÌÅÎ × ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔØ ÍÏÄÅÌÉ ðÕÁÎËÁÒÅ. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁ-

z1 É z2 ÒÁ×ÎÏ j j z2 j : z2 j jz1 z2 j

ÞÅ×ÓËÏÇÏ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ

(z1 ; z2 ) = ln jjzz1 1

z2 + z1

(1)

(óÍ., ÎÁÒÉÍÅÒ, [2℄.)

2. üË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÙ

üË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÁ ÅÓÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÔÏÞÅË, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÈ Ï

ÏÄÎÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÏÔ ÒÑÍÏÊ

u

(ÜÔÕ ÓÔÏÒÏÎÕ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÌÕÌÏÓ-

ËÏÓÔØÀ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÙ ) ÎÁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑÈ ÏÔ ÎÅÅ. ðÒÑÍÁÑ

ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÁÚÏÊ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÙ, ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ

h  ×ÙÓÏÔÏÊ.

u

ÅÏÒÅÍÁ 1. äÌÑ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÈ ÁÂÓÏÌÀÔÕ ÌÕÞÅÊ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞ-

ËÅ

O

ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÁËÌÏÎÎÙÅ ÌÕÞÉ Ó ÔÅÍ ÖÅ ÎÁÞÁÌÏÍ ×

ÔÏÞËÅ

O.

ï ÔÒÉÓÅË ÉÉ É ÂÉÓÅË ÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ



`

115



0

`

0

O

A

B

òÉÓ. 2.

âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

O ÓÏ×Á-

ÄÁÅÔ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (ÆÏÒÍÕÌÁ (1) ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÄ×ÉÇÏ× ×ÄÏÌØ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÉ). ÷ÏÚØÍÅÍ ÎÁ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÍ ÁÂÓÏÌÀÔÕ ÌÕÞÅ

`

z1 É ÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ ÎÅÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÅÎ(× ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÜÔÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ Ë ÒÑ-

ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ

ÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ

O

ÍÏÊ `). ðÕÓÔØ ÏÎÁ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÎÁËÌÏÎÎÙÊ ÌÕÞ

 × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÅ z2 . éÚ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÏÄÏÂÉÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅÍ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ

pz2

ÎÁ ÌÕÞÅ

(z1 ; z2 ) = ln

jz1 jz1

 ÂÕÄÅÔ

z2 j + jz1 z2 j jz1

ÔÏÞËÁ

pz1 . ÁË ËÁË

jpz1 z2 j = ln z2 j jpz1

pz2 j + jpz1 pz2 j jpz1

pz2 j = (pz1 ; pz2 ); pz2 j

` É  ÏÓÔÏÑÎÎÏ. úÎÁÞÉÔ,  Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜË×ÉÄÉl (ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÒÕÇÉÈ ÔÏÞÅË × ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÙ, ÕÄÁÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÔÏ ÖÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ `, ÎÅÔ).

ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÌÕÞÁÍÉ ÓÔÁÎÔÏÊ ÄÌÑ ÒÑÍÏÊ

ÅÏÒÅÍÁ 2. äÌÑ ×ÅÒÈÎÉÈ ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÂÅÓËÏ-

B , ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÈÎÉÅ ÄÕÇÉ A É B. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÏÚØÍÅÍ ÌÕÞ `, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÊ ÁÂÓÏÌÀÔÕ, Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ A, É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÅÇÏ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÕ . ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÉÎ×ÅÒÓÉÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ B É ÒÁÄÉÕÓÏÍ BA. ðÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ ÌÕÞ ` ÅÒÅÊÄÅÔ × ×ÅÒÈÎÀÀ ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ A É B , Á ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÁ   × ÄÕÇÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ A É B . ðÏÓËÏÌØËÕ ÉÎ×ÅÒÓÉÑ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÕÇÌÙ, ÏÎÁ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ É

ÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ

A

É

ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ

ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ. úÎÁÞÉÔ, ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÁ ÅÒÅÊÄÅÔ × ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÕ. ÅÏÒÅÍÁ 3. ëÁÖÄÁÑ ÒÑÍÁÑ ÉÍÅÅÔ Ó ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÏÊ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ

ÏÂÝÉÈ ÔÏÞÅË. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ðÏÓËÏÌØËÕ × ÍÏÄÅÌÉ ðÕÁÎËÁÒÅ ÒÑÍÙÅ É ÜË×ÉÄÉ-

ÓÔÁÎÔÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÉÌÉ ÒÑÍÙÍÉ, ÔÏ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÑÍÙÅ É ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÅÒÅÓÅËÁÔØÓÑ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ × Ä×ÕÈ ÔÏÞËÁÈ.

116

ð. ÷. âÉÂÉËÏ×, é. ÷. ËÁÞÅÎËÏ

3. þÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË èÁÊÁÍÁ { óÁËËÅÒÉ

÷ ÉÓÔÏÒÉÉ ×ÏÒÏÓÁ Ï ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÌÉÎÉÑÈ ÂÏÌØÛÕÀ ÒÏÌØ ÓÙÇÒÁÌ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË Ó Ä×ÕÍÑ ÒÑÍÙÍÉ ÕÇÌÁÍÉ ÒÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ É ÒÁ×ÎÙÍÉ ÂÏËÏ×ÙÍÉ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ. ÷ÅÒ×ÙÅ ÜÔÏÔ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌ ïÍÁÒ èÁÊÁÍ (1048{1122). üÔÁ ÖÅ ÆÉÇÕÒÁ ÂÙÌÁ ÏÌÏÖÅÎÁ × ÏÓÎÏ×Õ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÉÔÁÌØÑÎÓËÉÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÍ óÁËËÅÒÉ (1667{1733), ËÏÔÏÒÏÍÕ ÕÄÁÌÏÓØ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÑÄ ÔÅÏÒÅÍ ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. ïÄÎÁËÏ óÁËËÅÒÉ ÏÛÉÂÏÞÎÏ ÓÞÉÔÁÌ, ÞÔÏ ÅÍÕ ÕÄÁÌÏÓØ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÓÒÅÄÉ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÊ ÏÌÏÖÅÎÉÑ, ÏÔÒÉ ÁÀÝÅÇÏ ÏÓÔÕÌÁÔ å×ËÌÉÄÁ, É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÏÔ ÏÓÔÕÌÁÔ. ìÏÂÁÞÅ×ÓËÉÊ ÎÅ ÚÎÁÌ Ï ÒÁÂÏÔÁÈ èÁÊÁÍÁ É óÁËËÅÒÉ, ÏÄÎÁËÏ É ÏÎ × Ó×ÏÉÈ ÒÁÂÏÔÁÈ ÞÁÓÔÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌ ÔÏÔ ÖÅ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÊ ×ÉÄ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÂÕÄÅÍ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏÍ èÁÊÁÍÁ { óÁËËÅÒÉ ÉÌÉ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏÍ óÁËËÅÒÉ.

ABCD Ó Ä×ÕÍÑ ÒÑÍÙÍÉ ÕÇÌÁÍÉ A É B É Ó ÒÁ×ÎÙÍÉ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ AD = BC . âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓÔÏÒÏÎÕ AB ÂÁÚÏÊ, ÓÔÏÒÏÎÕ CD ÁÎÔÉÂÁÚÏÊ ÜÔÏÇÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ, Á ÓÔÏÒÏÎÙ AD É BC ÅÇÏ ÂÏËÏ×ÙÍÉ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ. ïÔÍÅÔÉÍ ÏÄÎÏ ×ÁÖÎÏÅ éÔÁË, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË

ÒÉ ×ÅÒÛÉÎÁÈ

Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ óÁËËÅÒÉ: ÕÇÌÙ ÒÉ ÁÎÔÉÂÁÚÅ ÒÁ×ÎÙ. éÚ ÎÅÇÏ

ÓÌÅÄÕÅÔ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ÕÇÌÙ ÒÉ ÁÎÔÉÂÁÚÅ ÏÓÔÒÙÅ.

ABC  ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË, Á MN  ÒÑÍÁÑ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ M É N ÓÔÏÒÏÎ AC É BC . ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ AP , BQ É CR Ë ÒÑÍÏÊ MN É ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÒÁ×ÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ APM É CMR. ïÎÉ ÒÁ×ÎÙ Ï ÇÉÏÔÅÎÕÚÅ É ÏÓÔÒÏÍÕ ÕÇÌÕ, ÚÎÁÞÉÔ, AP = CR. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ BNQ É CNR. ïÎÉ ÒÁ×ÎÙ Ï ÇÉÏÔÅÎÕÚÅ É ÏÓÔÒÏÍÕ ÕÇÌÕ, ÚÎÁÞÉÔ, BQ = CR. ðÏÜÔÏÍÕ AP = BQ = CR. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ABQP  ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË óÁËËÅÒÉ Ó ÂÁÚÏÊ PQ. âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎ Ë ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ ABC Ï ÓÔÏÒÏÎÅ AB . ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ

C P

M

R

A

N

Q

B òÉÓ. 3.

ï ÔÒÉÓÅË ÉÉ É ÂÉÓÅË ÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

117

ÅÏÒÅÍÁ 4. ëÁÖÄÙÊ ÉÚ ÏÓÔÒÙÈ ÕÇÌÏ× ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ óÁËËÅÒÉ, ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÏÇÏ Ë ÄÁÎÎÏÍÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ ÕÇÌÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ABC .

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ðÕÓÔØ

ABQP

ABC , ÒÁ×ÅÎ =2, ÇÄÅ   ÓÕÍÍÁ

 ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË óÁËËÅÒÉ, ÒÉ-

ÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÊ Ë ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ ABC Ï ÓÔÏÒÏÎÅ AB . äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ \ BAP =

M É N ÂÏËÏ×ÙÈ P Q (ÄÒÕÇÉÅ ÓÌÕÞÁÉ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙ). ðÕÓÔØ CR  ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ Ë ÒÑÍÏÊ MN . ÁË ËÁË 4 AP M = 4 CRM É 4 BQN = 4 CRN , ÔÏ \ ACR = \ P AM É \ BCR = \ QBN . îÏ \ P AB + +\ QBA = \ P AM +\ CAB +\ ABC +\ NBQ = \ CAB +\ ACB +\ ABC =  . õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ \ P AB = \ QBA, ÏÌÕÞÁÅÍ \ P AB = \ QBA = =2.

=

\ ABQ

=

=2.

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ÓÅÒÅÄÉÎÙ

ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ

ÅÏÒÅÍÁ 5. þÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË óÁËËÅÒÉ, ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÊ Ë ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ

ABC ,

ÒÁ×ÎÏ×ÅÌÉË Ó ÎÉÍ.

ABQP  ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË óÁËËÅÒÉ, ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÊ Ë ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ ABC Ï ÓÔÏÒÏÎÅ AB . äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÌÏÝÁäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ðÕÓÔØ

ÄÉ ÜÔÏÇÏ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×ÎÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ÓÅÒÅÄÉÎÙ

M

É

N

ÂÏËÏ×ÙÈ ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ

CR  ÅÒÅÎÄÉËÕMN . ÁË ËÁË 4AP M = 4CRM É 4BQN = 4CRN , ÔÏ S (ABQP ) = S (AMNB ) + S (AP M ) + S (BQN ) = S (AMNB ) + S (CMR) + + S (CNR) = S (ABC ), ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.

PQ

(ÄÒÕÇÉÅ ÓÌÕÞÁÉ ÒÁÚÂÉÒÁÀÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ). ðÕÓÔØ

ÌÑÒ Ë ÒÑÍÏÊ

ÅÏÒÅÍÁ 6. ðÕÓÔØ ÁÎÔÉÂÁÚÁ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ óÁËËÅÒÉ ÒÁ×ÎÁ ËÏ×ÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ÒÁ×ÎÁ

h,

Á ÌÏÝÁÄØ ÒÁ×ÎÁ

th h = sin

S 2

S.

th

a 2

a, ÂÏ-

ÏÇÄÁ

:

(2)

úÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÆÁËÔÙ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÊ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÉ. îÁÊÔÉ ÉÚ ÍÏÖÎÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × [1, 5℄. ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË óÁËËÅÒÉ ABQP Ó ÁÎAB = a É ÕÇÌÏÍ  ÒÉ ÎÅÊ. ÷×ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ: AQ = = x, \ AQB = '. ÏÇÄÁ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ÔÉÂÁÚÏÊ

sh h

h h h x h a = os ' = sh x sh h sh x

(ÅÒ×ÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

 ÔÅÏÒÅÍÁ ÓÉÎÕÓÏ× × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ AP Q, ×ÔÏÒÏÅ  ÔÅÏ-

ABQ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, Ï ÔÅÏÒÅÍÅ ËÏÓÉÎÕÓÏ× ABQ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ

ÒÅÍÁ ËÏÓÉÎÕÓÏ× × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ

ÇÄÅ





h x = h h h a

sh h sh a os ;

ÏÓÔÒÙÊ ÕÇÏÌ × ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÅ óÁËËÅÒÉ. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÏ

118

ð. ÷. âÉÂÉËÏ×, é. ÷. ËÁÞÅÎËÏ

ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ÅÒ×ÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ É ÕÒÏÝÁÑ, ÏÌÕÞÁÅÍ th h = os  th

a 2

:

ïÓÔÁÌÏÓØ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÌÏÝÁÄÉ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ:

= 2

( + 2 ) =



2 .

S

=

4. ÒÉÓÅËÔÏÒ 4.1. ïÄÎÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÔÏÞÅË

îÁÊÄÅÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÔÏÞÅË, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ Ó ÄÁÎÎÙÍ ÏÔÒÅÚËÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÄÁÎÎÏÊ ÌÏÝÁÄÉ. ÅÏÒÅÍÁ 7. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÍÅÓÔÏÍ ÔÏÞÅË, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ Ó ÄÁÎÎÙÍ ÏÔÒÅÚËÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÄÁÎÎÏÊ ÌÏÝÁÄÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÁ.

AB ÎÁ ÒÑÍÏÊ `. ABCD Ó ÁÎÔÉÂÁÚÏÊ AB É ÄÁÎÎÏÊ ÌÏÝÁÄØÀ S . ÷ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ H ÒÑÍÏÊ p, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÏÔÒÅÚÏË CD , × ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔØ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ ÔÏÞËÉ A ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÏÊ p, ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÍ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ HX = AC (ÒÉÓ. 4). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË X ÅÓÔØ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÁ Ó ÂÁÚÏÊ p. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÌÏÝÁÄØ ËÁÖÄÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ AXB ÒÁ×ÎÁ ÌÏÝÁÄÉ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÁ óÁËËÅÒÉ ABDC É ÄÒÕÇÉÈ ÉÓËÏÍÙÈ ÔÏÞÅË Y × ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÙ ÎÅÔ. äÅÊÓÔ×ÉäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

÷ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÏÔÒÅÚÏË

ðÏÓÔÒÏÉÍ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉË óÁËËÅÒÉ

ÔÅÌØÎÏ, ×ÚÑ× ÔÏÞËÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÙ Ó ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÏÍ Ë ÒÑÍÏÊ ÌÉÂÏ

`,

Y , ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÌÉÂÏ 4AXB  4AY B ,  4AXB , Ô. Å. S (AXB ) 6= S (AY B ). úÎÁÞÉÔ, ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÁ

ÒÏÈÏÄÑÝÉÍ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ

4AY B

ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÓËÏÍÙÍ çí.

X

D

H

C A

B ` òÉÓ. 4.

p

ï ÔÒÉÓÅË ÉÉ É ÂÉÓÅË ÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

119

÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÁ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÄÁÎÎÏÊ ÌÏÝÁÄÉ

S.

éÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (2) ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ

×ÙÓÏÔÁ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÝÅÊ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÙ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ th h = sin

AB = a 

ÇÄÅ

S 2

th

a 2

;

ÄÌÉÎÁ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ.

4.2. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÔÒÉÓÅËÔÏÒÁ ÅÏÒÅÍÁ 8. ÷ ËÁÖÄÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÒÉÓÅËÔÏÒ, ÌÅÖÁ-

ÝÉÊ ×ÎÕÔÒÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÙ

1

É

2 ,

ABC

îÁ Ä×ÕÈ ÓÔÏÒÏÎÁÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ÏÓÔÒÏÉÍ

ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÝÉÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÌÏÝÁÄÉ, ÒÁ×ÎÏÊ

ABC . äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÅÒÅÓÅËÕÔÓÑ ABC . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÔØ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÙ ÏÓÔÒÏÅÎÙ ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÁÈ AB É AC , ÔÏÞËÉ M1 , N2 ÌÅÖÁÔ ÎÁ BC , ÔÏÞËÁ M2  ÎÁ AB , Á ÔÏÞËÁ N1  ÎÁ AC , ÒÉ ÜÔÏÍ S (ABM1 ) = S (ABN1 ) = S (ACM2 ) = = S (ACN2 ) = S (ABC )=3, É ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÅ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÙ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ M1 , N1 É M2 , N2 , ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. ÏÇÄÁ BN2 < < BM1 . ïÔÓÀÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ 2S (ABC )=3 = S (ACM1 ) < S (ACN2 ) = = S (ABC )=3  ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ, ÚÎÁÞÉÔ, ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÙ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÉÓËÏÍÏÊ ÔÏÞËÅ T .

ÏÄÎÏÊ ÔÒÅÔÉ ÌÏÝÁÄÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ×ÎÕÔÒÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ÅÏÒÅÍÁ 9. äÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÔÒÉ-

ÓÅËÔÏÒ.

ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÓÕÝÅT É T1 . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ A , B , C ÔÏÞËÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÒÑÍÙÈ AT , BT , CT ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÒÉÞÅÍ ÔÏÞËÁ T ÌÅÖÉÔ ÍÅÖÄÕ A É A , B É B , C É C . ðÌÏÓËÏÓÔØ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÌÕÞÁÍÉ T A , T B , T C ÎÁ ÔÒÉ ÕÇÌÁ. ÏÞËÁ T1 ÏÁÄÁÅÔ × ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ, ÄÏÕÓÔÉÍ, ÜÔÏ ÕÇÏÌ A T B . ÏÇÄÁ S (ABC )=3 = S (ABT ) < S (ABT1 ) = S (ABC )=3  ÒÏÔÉ×ÏäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

0

ÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÔÒÉÓÅËÔÏÒÁ 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ÒÅÞÉÅ.

5. ÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ×

ðÒÏ×ÅÄÅÍ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ

ABC

ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÊ ÏÔÒÅÚÏË

ÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ Ó ÒÉÓ. 5. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÏÝÁÄØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÕÇÏÌØÎÉËÁ

ABC , ÔÏ



(x + u + ) =

CXB 

(

CX . âÕÄÅÍ ÉÓ-

ÒÁ×ÎÁ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÌÏÝÁÄÉ ÔÒÅ-

 + + ) 2

;

120

ð. ÷. âÉÂÉËÏ×, é. ÷. ËÁÞÅÎËÏ

C x

x

a u

u





 A

X

B

òÉÓ. 5.

ÏÔËÕÄÁ

x+u+

=

++ + 2

:

(3)

÷×ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ

'= ìÅÍÍÁ 1.

tg x =

+ + 2

os

;

!=

++ + 2

:

 + os os sin ' sin : sin ( os ' + os )

x + u = '. CXB

os u + os x os

h a = ; sin x sin

h a sin x sin = os ' os x + sin ' sin x + os x os ;

h a sin sin ' :

tg x =

os ' + os ×ÔÏÒÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ËÏÓÉÎÕÓÏ× ÄÌÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC

os  + os os

h a = : sin sin

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

éÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (3) ÏÌÕÞÁÅÍ

ðÏ ×ÔÏÒÏÊ

ÔÅÏÒÅÍÅ ËÏÓÉÎÕÓÏ× ÄÌÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

ðÏ

(4)

ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × (4) É ÏÌÕÞÉÍ

 + os os sin ' sin =

tg x =

os ' + os

os(!=2 ) sin x ìÅÍÍÁ 2. = : sin( x) os(!=2 )

os

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

sin

sin(

x

x)

=

sin

sin

os x

os

 + os os sin ' sin : sin ( os ' + os )

÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ

x sin

x os

=

1

sin

tg x

os

=

(5)

ï ÔÒÉÓÅË ÉÉ É ÂÉÓÅË ÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ =

121

1

os

 + os os sin ' sin

os ' + os

os

=

=

' + os

os 

os('

)

os

! ) + os  + os(! )

os(

os

=

=

!=2 ) : !=2 )

os(

os(

ðÒÅÄÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ

' = + 2

=

 + +



2

=



(

! ):

ÅÏÒÅÍÁ 10. âÉÓÅË ÉÏÎÎÙÅ ÏÔÒÅÚËÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ.

÷ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ þÅ×Ù ÄÌÑ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ [1℄: ÅÓÌÉ sin

sin(

x

x)


sin(sin y y)
sin(sin z z) = 1;

(6)

ÔÏ ÏÔÒÅÚËÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ (ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁ ÒÉÓ. 6).

C x x

Y z A

S

 z

Z

y y

X

B

òÉÓ. 6.

ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ (6) Ó ÏÍÏÝØÀ ÌÅÍÍÙ 2. ðÏÌÕÞÁÅÍ sin

sin(

x

x)


sin(sin y y)
sin(sin z z) = =

!=2 ) !=2 )

os(

os(

!=2
os(

os(!=2

)

)

os(!=2
os( !=2

) )

;

=1

ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.

6. ÒÉÓÅËÔÏÒ, ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ× É ÄÒÕÇÉÅ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÔÏÞËÉ É ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ×

 ÔÒÉÓÅËÔÏÒ

 × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ÓÏ×Á-

ÄÁÀÔ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ É Ó ÄÒÕÇÉÍÉ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ:

122

ð. ÷. âÉÂÉËÏ×, é. ÷. ËÁÞÅÎËÏ

ÎÉ Ó ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÍÅÄÉÁÎ (ËÁË × ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ å×ËÌÉÄÁ), ÎÉ Ó ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓ, ÎÉ Ó ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÙÓÏÔ. äÌÑ ÁÎÁÌÉÚÁ ×ÚÁÉÍÎÏÇÏ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÉÚÕÞÉÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÔÏÞÅË, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ Ó Ä×ÕÍÑ ÄÁÎÎÙÍÉ ÏÔÒÅÚËÁÍÉ Ó ÏÂÝÉÍ ËÏÎ ÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ÒÁ×ÎÏÊ ÌÏÝÁÄÉ É ÌÅÖÁÝÉÈ ×ÎÕÔÒÉ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÜÔÉÍÉ ÏÔÒÅÚËÁÍÉ ÕÇÌÁ. îÁÚÏ×ÅÍ ÜÔÏ çí . (âÕÄÅÍ ÔÁËÖÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ O ÉÌÉ AOB , ÅÓÌÉ ÎÕÖÎÏ ÕËÁÚÁÔØ ×ÅÒÛÉÎÕ ÕÇÌÁ ÉÌÉ ×ÅÓØ ÕÇÏÌ, ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ËÒÉ×ÁÑ .) äÏËÁÖÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÁÖÎÙÊ ÆÁËÔ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÊÓÑ Ë ÓÔÒÕËÔÕÒÅ .

\

ÅÏÒÅÍÁ 11. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÌÀÂÁÑ ÒÑÍÁÑ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ ÕÇÌÁ

, ÅÒÅÓÅËÁÅÔ  ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÁÚÁ (ÏÍÉÍÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÕÇÌÁ ).

ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ: ÕÓÔØ ÅÓÔØ ÕÇÏÌ AOB , ÒÑÍÁÑ ` ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ O ÕÇÌÁ É ÅÒÅÓÅËÁÅÔ AOB × Ä×ÕÈ ÔÏÞËÁÈ M É N , ÔÏÇÄÁ S (OAM ) = S (OBM ), S (OAN ) = S (OBN ), S (AMN ) = = S (BMN ). ïÔÒÁÚÉÍ ÔÏÞËÕ B ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÏÊ `, ÏÌÕÞÉÍ ÔÏÞËÕ B1 , ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÝÕÀ Ó A, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÅÒÎÙ ÜÔÉ ÖÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (ÒÉÓ. 7; ÅÓÌÉ ÔÏÞËÉ A É B1 ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, ÔÏ OA = OB É AOB Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÏÊ ÕÇÌÁ OAB ). äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ Õ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÏÂÝÁÑ ÓÒÅÄÎÑÑ ÌÉÎÉÑ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÔÁË ËÁË S (OAM ) = S (OB1 M ), ÔÏ Õ ÎÉÈ ÏÂÝÁÑ ÓÒÅÄÎÑÑ ÌÉÎÉÑ p, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, É ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎ AM É B1M , Á ÚÎÁÞÉÔ, É ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÓÔÏÒÏÎ AN É B1 N (ÓÍ. ÒÉÓ. 7 É ÔÅÏÒÅÍÕ 7). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÉ óÁËËÅÒÉ, ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÙÅ Ë ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÍ AOM É AMN Ï ÓÔÏÒÏÎÁÍ OM É MN ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. õ ÜÔÉÈ äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

\

A

B1

p O

M

N

B òÉÓ. 7.

`

ï ÔÒÉÓÅË ÉÉ É ÂÉÓÅË ÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

123

ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÉËÏ× ÅÓÔØ ÏÂÝÁÑ ÂÏËÏ×ÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ, ÏÜÔÏÍÕ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÏÔ ÔÏÞÅË , É ÄÏ ÒÑÍÏÊ ÒÁ×ÎÙ. ðÒÉÛÌÉ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ, ÔÁË ËÁË ÒÑÍÁÑ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÅÒÅÓÅËÁÔØ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÕ × ÔÒÅÈ ÔÏÞËÁÈ. O

M

N

p

l

óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ÒÉÓÅËÔÏÒ É ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚ-

ËÏ× × ÎÅÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.

[ [

ÅÏÒÅÍÁ 12. ðÕÓÔØ AB < B C

ËÒÉ×ÁÑ

ABC

,

BL

ÅÌÉËÏÍ ÌÅÖÉÔ × ÕÇÌÅ

 ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁ ÕÇÌÁ

LBC .

\

ABC .

ÏÇÄÁ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ  ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ABC . ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ ÌÅÖÉÔ × ÕÇÌÅ . ïÔÒÁÚÉÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ É ÏÌÕÞÉÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË 1 1 , ÇÄÅ ÔÏÞËÁ , Á ÔÏÞËÁ 1  ×ÎÕÔÒÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ 1 . ðÒÉÈÏÄÉÍ Ë 1 ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ: ( ) = ( 1 1) ( 1 ) ( ) ÎÏ ( )= ( ) Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ . N

N

ABL

BL

A

BC

N

S ABN

S ABN

ABN

A BN

A BN

S A BN

< S A BN

< S C BN ;

S C BN

óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ÒÉÓÅËÔÏÒ É ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚ-

ËÏ× × ÎÅÒÁ×ÎÏÓÔÒÏÎÎÅÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓ. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ÒÉÓÅËÔÏÒ É ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚ-

ËÏ× × ÎÅÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÙÓÏÔ.

ðÕÓÔØ ÔÁË ÖÅ, ËÁË × ÔÅÏÒÅÍÅ, ,Á  ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÁ,  ×ÙÓÏÔÁ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ . ÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ, ËÁË × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ . ïÔÒÁÚÉÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ , ÏÌÕÞÉÍ ÔÏÞËÕ 1 ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÅ . ÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÊ, ÏÜÔÏÍÕ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÏÊ. ÁË ËÁË 1 , ÔÏ \ . \ 1 \ \ ÅÏÒÅÍÁ 13. ðÕÓÔØ ,  ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ ÍÅÄÉÁÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ , ÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ . ÏÇÄÁ ÞÁÓÔØ ABC , ÎÁÈÏÄÑÝÁÑÓÑ ×ÎÕÔÒÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ , ÌÅÖÉÔ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ 1 ÔÏÞËÕ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÞËÉ . ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ 1 ÌÅÖÉÔ ÎÁ ABC . åÓÌÉ ÎÁÊÔÉ ÎÁ ÌÕÞÅ ÔÁËÕÀ ÔÏÞËÕ , ÞÔÏ ( ) ( ), ÔÏ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 11 ÏÌÕÞÉÍ ÉÓËÏÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÓÒÅÄÎÀÀ ÌÉÎÉÀ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ , ËÏÔÏÒÁÑ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÍÅÄÉÁÎÕ × ÔÏÞËÅ . ÷ÏÚØÍÅÍ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ 1 ÔÏÞËÕ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ = = . ÷ÏÚÍÏÖÎÙ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

AB < B C

BH

ABC

H

A

BL

BH

AL

A

ABA

AC

BH

ABA


2 , ÔÏ S (ABC ) 2S (ABM ) = = ( 21 ) 2( 22 ) = 2(22 1 )  < < 22  < 0: úÎÁÞÉÔ, S (ABM ) > S (BCM ) É ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ X = M . 2. ÏÞËÁ N ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ MT1 . ÏÇÄÁ AN > CN É Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (2) ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ sin sin

S (ABN ) 2

S (BCN )

th AN > 1; ÏÔËÕÄÁ S (ABN ) > S (BCN ): = th CN

2

íÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ X = N . óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ÒÉÓÅËÔÏÒ É ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ× × ÎÅÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÍÅÄÉÁÎ.

7. ïÂÏÂÝÅÎÉÅ

ó ÏÍÏÝØÀ  ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ× É ÍÅÄÉÁÎ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ. ÅÏÒÅÍÁ 14. åÓÌÉ ÎÁ A , B É C × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ABC ÏÔÍÅÔÉÔØ ÔÏÞËÉ A1 , B1 É C1 , ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ S (ABB1 ) = S (BCC1 ) = S (CAA1 ), ÔÏ ÒÑÍÙÅ (AA1 ), (BB1 ) É (CC1 ) ÅÒÅÓÅËÕÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ÄÁÎ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC É ÒÏ×ÅÄÅÎÙ A, B É C . ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ B1 2 B . ÷×ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ: AB = 2a, BC = 2b, \ ABB1 = , \ CBB1 = B , S (ABB1 ) = S (CBB1 ) =  2. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÓÒÅÄÎÉÅ ÌÉÎÉÉ `1 É `2 × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÈ ABB1 É CBB1 , ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ BB1 É ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅ ÓÔÏÒÏÎÕ AB × ÔÏÞËÅ K , Á ÓÔÏÒÏÎÕ BC  × ÔÏÞËÅ L (ÒÉÓ. 8). ïÕÓÔÉÍ ÎÁ ÎÉÈ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÙ BH1 É BH2, ÔÏÇÄÁ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (2) É Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÉ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÈ BKH1 É BLH2 ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:


os( ) th a = th BH1 = th BH2 = os  (B ) th b: ïÔÓÀÄÁ ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ sin( B ) th b + sin  th a ;

tg  = os(  B ) th b os  th a

ï ÔÒÉÓÅË ÉÉ É ÂÉÓÅË ÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

B H1

a 

125

H2

b

K

L

a

b B1

A

B

`1

C

`2

òÉÓ. 8.

ÚÎÁÞÉÔ,

B ) sin 

sin(

 B ) th a

os( B ) th b

os(

=

 th b :

os  th a

os

ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ sin(

B ) 

sin

=

M1 tg  + N1 : M1 tg  + N1 0

0

áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×ÅÒÎÙ É ÄÌÑ Ä×ÕÈ ÄÒÕÇÉÈ ÕÇÌÏ× ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ðÅÒÅÍÎÏÖÉÍ ÔÒÉ ÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

B

sin(

sin

ÇÄÅ



)




sin(

C

sin



)




A ) sin

sin(

=

f (x) ; g (x)

x = tg  É deg f = deg g = 3. îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ f  g. îÏ ÍÙ f = g ÒÉ ÞÅÔÙÒÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ  (ÏÎÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÓÌÕÞÁÑÍ

ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ

ÔÒÉÓÅËÔÏÒÁ, ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÍÅÄÉÁÎ É ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ, ÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÈ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ, Ô. Å. ËÏÇÄÁ sin(

 = =2),

B ) 

sin




sin(

C

sin



Á ÚÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ

)




sin(

A )

sin

=

f (x) g (x)



= 1;

É Ï ÔÅÏÒÅÍÅ þÅ×Ù ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ.

úÁÄÁÞÉ 1.

òÁÓÓÞÉÔÁÊÔÅ ÄÌÉÎÕ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ, ÓÞÉÔÁÑ ÕÇÌÙ ÔÒÅÕÇÏÌØ-

ÎÉËÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ.

126

ð. ÷. âÉÂÉËÏ×, é. ÷. ËÁÞÅÎËÏ

2. òÁÓÓÞÉÔÁÊÔÅ, × ËÁËÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÊ ÏÔÒÅÚÏË ÄÅÌÉÔ ÓÔÏÒÏÎÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. 3. òÁÓÓÞÉÔÁÊÔÅ, × ËÁËÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÊ ÏÔÒÅÚÏË ÄÅÌÉÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ×. 4. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÌÅÍÍÏÊ 2 (Ó. 120), ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÊ ÏÔÒÅÚÏË × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÌÅÖÉÔ ÍÅÖÄÕ ÍÅÄÉÁÎÏÊ É ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÏÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. 5. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÎÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ ÔÏÞËÉ T1 , T2 , T3 , ÞÔÏ ÌÏÝÁÄÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× ABC , ABT1, ACT1, BCT1, ABT2, ACT2, BCT2, ABT3, ACT3 É BCT3 ÒÁ×ÎÙ. 6. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÒÉ×ÁÑ  × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÉ ÒÑÍÏÊ, ÎÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ, ÎÉ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÏÊ, ÎÉ ÏÒÉ ÉËÌÏÍ. 7. ðÕÓÔØ  ÜÔÏ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÔÏÞÅË, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ Ä×Å ÓÔÏÒÏÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ×ÉÄÎÙ ÏÄ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÕÇÌÁÍÉ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÅÖÉÔ ÍÅÖÄÕ ×ÙÓÏÔÏÊ É . 8. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÉ ÔÒÉÓÅËÔÏÒ, ÎÉ ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÂÉÓÅË ÉÏÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ× ÎÅ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÔÏÞËÏÊ ÏÒÉÞÅÌÌÉ.

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ

[1℄ áÔÁÎÁÓÑÎ ì. ó. çÅÏÍÅÔÒÉÑ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ . í.: ðÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ, 2001. [2℄ çÁÌØÅÒÉÎ ç. á. âÉÌØÑÒÄÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ // íÁÔ. ðÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. óÅÒ. 3, ×Ù. 8, 2004. ó. 93{112. [3℄ åÆÉÍÏ× î. ÷. ÷ÙÓÛÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ . í.: æÉÚÍÁÔÌÉÔ, 2003. [4℄ îÏÒÄÅÎ á. ð. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ . í.: çéì, 1953. [5℄ ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷. çÅÏÍÅÔÒÉÑ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ . 3-Å ÉÚÄ. í.: íãîíï, 2004.

ð. ÷. âÉÂÉËÏ×, ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÆÁËÕÌØÔÅÔ íçõ email: tsdtp4upro .ru é. ÷. ËÁÞÅÎËÏ, æõðí íæé email: ilyatk yandex.ru

127

ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ Ë ÓÔÁÔØÅ ð. ÷. âÉÂÉËÏ×Á É é. ÷. ËÁÞÅÎËÏ €ï ÔÒÉÓÅË ÉÉ É ÂÉÓÅË ÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇρ ï. ÷. û×ÁÒ ÍÁÎ

1. ï ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÈ Ó ÄÁÎÎÙÍ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅÍ ÌÏÝÁÄØÀ

S

AB É ÚÁÄÁÎÎÏÊ

fz 2 j

÷ÓÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÒÏ×ÅÄÅÍ × ÅÄÉÎÉÞÎÏÍ ÄÉÓËÅ ðÕÁÎËÁÒÅ D = C ^ 1 ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ C = C . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×

jzj < g

[f1g

AB (ÒÉÓ. 1). ðÕÓÔØ A É B  ÉÎ×ÅÒÓÎÙÅ ÏÂÒÁÚÙ ÔÏÞÅË A É B ÒÉ ÉÎ×ÅÒÓÉÉ invS ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S = = fz 2 C j jz j = 1g. 0

ÅÄÉÎÉÞÎÏÍ ÄÉÓËÅ ÏÔÒÅÚÏË

X

C A

0

O

A

D

C~ S

B B

0

0

òÉÓ. 1. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ

B

C

ÌÀÂÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ

C D\C

A X

0

É É ÅÒÅÓÅËÁÀÝÁÑ ÄÉÓË D Ï ÄÕÇÅ ~ = . ÏÇÄÁ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ÄÕÇÉ ~ ÌÏÝÁÄØ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÏÄÎÏ 0

C

É ÔÏ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ.

AXB

t

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ìÀÂÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÄÉÓËÁ D ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ^: C^ C^ , ËÏÔÏÒÏÅ Á) ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÏËÒÕÖ-

S

t

!

ÎÏÓÔØ , Â) ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÊ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ C^ × ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ.

128

ï. ÷. û×ÁÒ ÍÁÎ

C~

X

A

 0

A

   

O

òÉÓ. 2.

t Æ invS

éÚ Ó×ÏÊÓÔ×Á Á) ÓÌÅÄÕÅÔ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ^

t

= invS

Æ t^. ðÏÜÔÏÍÕ,

ÒÉÍÅÎÉ× ÏÄÈÏÄÑÝÅÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ , ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ ÅÔ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÄÉÓËÁ, Á ÔÏÞËÁ invS (0) =

A

B ÓÏ×ÁÄÁ-

ÌÅÖÉÔ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÓÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ , ÔÏ Ï Ó×ÏÊÓÔ×Õ Â) €ÄÕÇÁ ~ ÂÕÄÅÔ ÈÏÒÄÏÊ ÄÉÓËÁ ÅÒÅÓÅ-

1

C A

ÞÅÎÉÅÍ ÒÑÍÏÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ

0

Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ



S , ÓÍ. ÒÉÓ. 2.

AXO, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÔÏÒÏÎÙ OA ÅÓÔØ ÏÔÒÅÚËÉ ÒÑÍÙÈ, Á ÓÔÏÒÏÎÁ AX ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÄÕÇÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ T , ÒÏ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ A , A É X . äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÕÇÌÏ× , É × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ AXO ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞËÉ X ÎÁ ~ . ó ÜÔÏÊ ÅÌØÀ ÒÏ×ÅÄÅÍ ÈÏÒÄÕ AX ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ T É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ  €ÄÕÇŁ C ÒÁ×ÎÙÅ ÕÇÌÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÜÔÁ ÈÏÒÄÁ ÏÂÒÁÚÕÅÔ Ó ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ T (ÓÍ. ÒÉÓ. 2). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË

OX

É

0

éÚ (Å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ) ÔÅÏÒÅÍ Ï ×ÉÓÁÎÎÏÍ ÕÇÌÅ É ÕÇÌÅ ÍÅÖÄÕ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ É

 =  . õÇÏÌ  ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÏÞËÉ X .  + + + 2 = , Ô. Å. ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ ÌÏÝÁÄØ ÔÒÅAXO ÒÁ×ÎÁ   = 2 É ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÌÏÖÅÎÉÑ

ÈÏÒÄÏÊ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÇÏÌØÎÉËÁ ÔÏÞËÉ

X.



ëÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÒÑÍÏÊ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁ ÒÏÉÓÈÏÄÑÝÅÅ É ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÅÅ, É ÒÏÝÅ. ðÏ ÈÏÄÕ ÄÅÌÁ ÍÙ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÌÉ ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÆÕÎË ÉÉ

ËÁË ÓÌÅÄ ÕÞËÁ

S (X ) = ÌÏÝÁÄØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ AXO ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ A , B × ÄÉÓËÅ 0

0

D . üÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ

ÏÌÅÚÎÏ ÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÒÁÚÎÏÇÏ ÒÏÄÁ €ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉȁ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÙ. ÅÅÒØ ÕÖÅ ÌÅÇËÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ

O

ABC

ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ÌÏÝÁÄÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×

OAB , OBC , OAC ÒÁ×ÎÙ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÕÓÔØ K  ÔÁËÁÑ ÔÏÞËÁ ÎÁ ÓÔÏAB , ÞÔÏ ÌÏÝÁÄØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ AKC ÒÁ×ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÔÒÅÔÉ ÌÏÝÁÄÉ

ÒÏÎÅ

129

ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ Ë ÓÔÁÔØÅ ð. ÷. âÉÂÉËÏ×Á É é. ÷. ËÁÞÅÎËÏ

B B

B L

K

0

K A

0

O

X

Y K

L A

C

C

M

A

0

L

C

0

òÉÓ. 3.

0

òÉÓ. 4.

ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÉ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ,

BC ×ÙÂÉÒÁÅÔSABC . óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ K É L ÓÑ ÔÏÞËÁ L ÔÁË, ÞÔÏ SALC 1 ÒÏÈÏÄÉÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÌÉÎÉÑ ÕÒÏ×ÎÑ ÆÕÎË ÉÉ S (X ) = SAXC = SABC , 3 ÅÒÅÓÅËÁÀÝÁÑ ÓÔÏÒÏÎÙ AB É BC × ÔÏÞËÁÈ K É L ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. éÓËÏÍÁÑ ÔÏÞËÁ O Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ S (X ) É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÊ ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ S (Y ) = SAY B = 31 SABC , ÅÒÅÓÅËÁÀÝÅÊ ÓÔÏÒÏÎÙ AC É BC × ÔÏÞËÁÈ K É L ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ (ÓÍ. ÒÉÓ. 3). ÉÚ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÎÁ ÓÔÏÒÏÎÅ

1 = 3

0

0

2. ï ÂÉÓÅËÔÏÒÁÈ ÌÏÝÁÄÉ

îÁÚÏ×ÅÍ ÂÉÓÅËÔÏÒÏÍ ÌÏÝÁÄÉ ÒÑÍÕÀ, ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÄÅÌÑÝÕÀ ÅÇÏ ÌÏÝÁÄØ ÏÏÌÁÍ.

ÅÏÒÅÍÁ (é. ËÁÞÅÎËÏ, [1, ÔÅÏÒÅÍÁ 10, Ó. 121℄). ÒÉ ÂÉÓÅËÔÏÒÁ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ (Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ, ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÍ ÉÌÉ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÍ ) ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ.

ABC × ÄÉÓËÅ ðÕÁÎËÁÒÅ D K , L, M  ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÂÉÓÅËÔÏÒÙ ÅÒÅÓÅËÁÀÔ ÓÔÏÒÏÎÙ AB , BC É CA ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. íÙ ÓÏÈÒÁÎÑÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ A , B É C ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ ÄÌÑ ÔÏÞÅË, ÉÎ×ÅÒÓÎÙÈ ÔÏÞËÁÍ A, B É C ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÒÁÎÉÞÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S ÄÉÓËÁ D . ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÂÉÓÅËÔÏÒÙ ÅòÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË

É ÕÓÔØ

0

0

0

ÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. ÷ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÍÏÄÅÌÉ ÜÔÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ (ÓÍ. ÒÉÓ. 4): ÄÕÇÁ ÒÅÚ ÔÏÞËÉ

M , B, B

0

0

ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ

SK , ÒÏÈÏ-

K , C , C , ÄÕÇÁ B M ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ SM , ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÉ ÄÕÇÁ A L ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ SL , ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ 0

ÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ

KC

0

0

130

ï. ÷. û×ÁÒ ÍÁÎ

L, A, A , ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. åÓÌÉ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÞÅÒÅÚ O 0

ÔÏÞËÕ

ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÂÉÓÅËÔÏÒÏ×, ÔÏ ÂÅÚ ÏÔÅÒÉ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ

O  ÅÎÔÒ ÄÉÓËÁ D

(ÏÞÅÍÕ?). òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ÄÕÇÉ ÒÅ×ÒÁÝÁÀÔ-

ÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ × ÏÂÝÉÅ ÈÏÒÄÙ ÔÒÅÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÉ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ [2, ÚÁÄÁÞÁ 116℄. äÁÎÙ ÔÒÉ ËÒÕÇÁ, ×ÓÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉ-

ÅÓÑ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ. ÏÇÄÁ ÔÒÉ ÏÂÝÉÅ ÈÏÒÄÙ ËÁÖÄÙÈ Ä×ÕÈ ÉÚ ÔÒÅÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ (ÒÉÓ. 5).

SKL

äÁ×ÁÊÔÅ ÏÊÍÅÍ, Ë ËÁËÉÍ ÔÒÅÍ ËÒÕ-

K

SKM

ÇÁÍ ÎÕÖÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÕÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ Ï ÌÅÍÍÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ

M

SKL (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, SLM É SMK ), ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ A , K , L, C (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏÞËÉ B , B , C , C É A , A, C , C ). üÔÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÔÏÞÅË X , ÔÁËÉÈ ÞÔÏ S (X ) = SAXC = 21 SABC . ðÕÓÔØ DKL (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, DKM , DML )  ËÒÕÇ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ SKL . ÅÏÒÅÍÁ Ï

L

0

0

A

0

C

0

B

0

0

0

0

0

SML òÉÓ. 5.

ÂÉÓÅËÔÏÒÁÈ ÅÓÔØ ÒÑÍÏÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÎÁÛÅÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ÒÉÍÅÎÅÎÎÏÇÏ Ë ËÒÕÇÁÍ

DKL, DKM , DML (ÓÍ. ÒÉÓ. 5).

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1℄ âÉÂÉËÏ× ð. ÷., ËÁÞÅÎËÏ é. ÷. ï ÔÒÉÓÅË ÉÉ É ÂÉÓÅË ÉÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ // íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ

ÓÅÒÉÑ. ÷Ù. 11. 2005. ó. 113{126. [2℄ ûËÌÑÒÓËÉÊ ä. ï., þÅÎ Ï× î. î., ñÇÌÏÍ é. í. éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ É ÔÅÏÒÅÍÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. þÁÓÔØ 2. çÅÏÍÅÔÒÉÑ (ÌÁÎÉÍÅÔÒÉÑ ). í.: çé, 1952.

ï. ÷. û×ÁÒ ÍÁÎ, ÷ëí îíõ

ëÏÎËÕÒÓÙ É ÏÌÉÍÉÁÄÙ

óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÏÌÏÇÉÉ á. á. ïÛÅÍËÏ×

á. â. óËÏÅÎËÏ×

÷ÅÌÉËÉÊ ÒÕÓÓËÉÊ ÕÞÅÎÙÊ á. î. ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× ÇÏ×ÏÒÉÌ, ÞÔÏ ÄÏ ÔÒÉÄ ÁÔÉ ÌÅÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ÒÁÚÕÍÎÅÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ËÏÎËÒÅÔÎÏ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÚÁÄÁÞ. á ÚÎÁÞÉÔ, ÕÍÅÎÉÅ ÒÅÛÁÔØ ÓÌÏÖÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ×ÁÖÎÅÊÛÉÈ ÄÌÑ ÍÏÌÏÄÏÇÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. ó ÅÌØÀ ÏÄÄÅÒÖÁÔØ ÒÅÓÔÉÖ ÕÍÅÎÉÑ ÒÅÛÁÔØ ÔÒÕÄÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍ ÆÁËÕÌØÔÅÔÅ íÏÓËÏ×ÓËÏÇÏ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁ ÉÍ. í. ÷. ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á ÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ ÓÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ. ïÔÄÅÌØÎÙÅ ËÁÆÅÄÒÙ ÍÅÈÍÁÔÁ íçõ ÒÏ×ÏÄÑÔ ÏÌÉÍÉÁÄÙ Ï ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ, ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ, ÍÅÈÁÎÉËÅ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÏÌÏÇÉÉ (ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× 1{2 ËÕÒÓÁ; ÜÔÉ ÏÌÉÍÉÁÄÙ ÏÍÏÇÁÀÔ ÓÔÕÄÅÎÔÕ × ×ÙÂÏÒÅ ËÁÆÅÄÒÙ), Á ÔÁËÖÅ Ï ÔÅÏÒÉÉ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔÅÊ (ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× 3{5 ËÕÒÓÏ×) É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ Ó ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ (ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× 3 ËÕÒÓÁ). ðÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÏÂÝÅÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ

 ÏÌÉÍÉÁÄÁ, ÏÓ×ÑÝÅÎÎÁÑ ðÉÆÁÇÏÒÕ, É ÏÔÂÏÒÏÞÎÁÑ ÎÁ

ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÕÀ ÏÌÉÍÉÁÄÕ.

úÁÄÁÞÉ ÏÌÉÍÉÁÄ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÆÏÌØËÌÏÒÕ, ÎÏ ÍÁÌÏÉÚ×ÅÓÔÎÙ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ ÌÉÂÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÓÌÕÞÁÑÍÉ ÎÅÄÁ×ÎÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÉÌÉ ÎÅÒÅÛÅÎÎÙÈ ÒÏÂÌÅÍ, ÌÉÂÏ ÏÔËÒÙ×ÁÀÔ ÎÏ×ÙÊ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× ×ÚÇÌÑÄ ÎÁ ÚÎÁËÏÍÙÊ ÉÍ ÍÁÔÅÒÉÁÌ (ÓÍ. ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÉ Ë ÒÅÛÅÎÉÑÍ). ÷ÁÒÉÁÎÔÙ ÏÌÉÍÉÁÄ

 ÌÏÄ ËÏÌÌÅËÔÉ×-

ÎÏÇÏ ÔÒÕÄÁ ÓÏÔÒÕÄÎÉËÏ× ËÁÆÅÄÒÙ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÍÅÈÍÁÔÁ íçõ (ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÏÄÇÏÔÏ×ÌÅÎÙ á. â. óËÏÅÎËÏ×ÙÍ × 2005 Ç. É á. á. ïÛÅÍËÏ×ÙÍ × 2006 Ç.). ðÏÂÅÄÉÔÅÌÉ ÏÌÉÍÉÁÄ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÎÁÇÒÁÖÄÁÀÔÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÉÚÁÍÉ, ÚÁÞÅÔÏÍ Ï ËÕÒÓÕ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÒÉÇÌÁÛÅÎÉÅÍ ÎÁ ÏÔÂÏÒÏÞÎÙÊ ÔÕÒ ÎÁ ÍÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÕÀ ÏÌÉÍÉÁÄÕ (ÓÍ.

www.im -math.org).

ðÏÂÅÄÉÔÅÌÉ ÏÌÉÍÉÁÄÙ 2005 ÇÏÄÁ

132

á. á. ïÛÅÍËÏ×, á. â. óËÏÅÎËÏ×

(ÒÅÛÉÌÉ 4 ÚÁÄÁÞÉ): ×ÔÏÒÏËÕÒÓÎÉËÉ á×ÄÅÅ× òÏÍÁÎ, çÏÒÉÎ ÷ÁÄÉÍ, åÒÏÈÏ×Å îÉËÏÌÁÊ, éÚÏÓÉÍÏ× áÎÔÏÎ, ëÕÀÍÖÉÑÎ ëÁÒÉÎÜ, ðÏÒÛÎÅ× å×ÇÅÎÉÊ É 10-ËÌÁÓÓÎÉË äÅ×ÑÔÏ× òÏÓÔÉÓÌÁ×. ðÏÂÅÄÉÔÅÌÉ ÏÌÉÍÉÁÄÙ 2006 ÇÏÄÁ (ÒÅÛÉÌÉ 3 ÚÁÄÁÞÉ): ×ÔÏÒÏËÕÒÓÎÉËÉ áÊÚÅÎÂÅÒÇ áÎÔÏÎ, äÉÌØÍÁÎ çÌÅÂ, íÅÛÉÎ àÒÉÊ É ûÎÕÒÎÉËÏ× éÇÏÒØ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÚÁÄÁÞÉ ÏÌÉÍÉÁÄ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÏÌÏÇÉÉ, Á ÔÁËÖÅ ÏÔ×ÅÔÙ, ÕËÁÚÁÎÉÑ É ÓÓÙÌËÉ ÎÁ ÏÌÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ. îÁ ÏÌÉÍÉÁÄÁÈ ÒÁÚÒÅÛÁÌÏÓØ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÂÅÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÎÑÔÉÑÍÉ É ÔÅÏÒÅÍÁÍÉ ÉÚ ÒÏÇÒÁÍÍÙ 1{2 ËÕÒÓÁ ÍÅÈÍÁÔÁ íçõ. ÷ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ Ñ×ÎÏ ÒÉ×ÏÄÉÔØ, Á ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ.



úÁÄÁÞÉ ÏÌÉÍÉÁÄÙ 6.04.2005 (16.15{19.45)

O; A1 ; : : : ; As É ÞÉÓÌÁ m1 ; : : : ; ms . ÒÑÍÏÊ l ÓÉÓÔÅÍÙ A1 , : : : , As ,

1. îÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÙ ÔÏÞËÉ íÏÍÅÎÔÏÍ ÉÎÅÒ ÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ

m1 , : : : , ms ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ I (l) = m1 jA1 lj2 +


+ msjAs lj2 ; ÇÄÅ jAi lj  ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ÔÏÞËÉ Ai ÄÏ ÒÑÍÏÊ l. âÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÒÑÍÙÅ l ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ O . ðÕÓÔØ I+ É I  ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÍÏÍÅÎÔÁ ÉÎÅÒ ÉÉ I (l) (×ÏÚÍÏÖÎÏ, I+ = I ). ÷ÏÚØÍÅÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ÒÑÍÙÈ l+ , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ I (l+ ) = I+ . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ I (l) = I+ os2 ' + I sin2 ', ÇÄÅ ' = \(ll+ ). 2. òÁÚÒÅÖØÔÅ ÂÕÔÙÌËÕ ëÌÅÊÎÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÌÕÞÉÌÓÑ (ÏÄÉÎ) ÌÉÓÔ í£ÂÉ-

ÕÓÁ. âÕÔÙÌËÏÊ ëÌÅÊÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÉÇÕÒÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÉÚ Ë×ÁÄÒÁÔÁ

ABCD ÓËÌÅÊËÏÊ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ AB Ó CD É BC Ó AD (Ó ÕÞÅÔÏÍ

ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ).

3. ëÁËÉÅ ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÉ ÍÏÇÕÔ ÏÌÕÞÉÔØÓÑ × ÓÅÞÅÎÉÉ ÞÅÔÙÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ?

4. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÓÅ×ÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÈ ÓËÒÅÝÉ×ÁÀÝÉÈÓÑ ÒÑÍÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÉÎÔÏ×ÙÍ Ä×ÉÖÅÎÉÅÍ , Ô. Å. ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÕÇÏÌ ÏÔÎÏÓÉ-

ÔÅÌØÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÏÓÉ É ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÇÏ ÅÒÅÎÏÓÁ ÎÁ ×ÅËÔÏÒ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÜÔÏÊ ÏÓÉ. îÁÊÄÉÔÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÕÀ ÏÓØ, ÕÇÏÌ ×ÒÁÝÅÎÉÑ É ×ÅËÔÏÒ ÅÒÅÎÏÓÁ.

N  ÇÒÁÆÉË ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f : R ! R. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ s; t 2 R ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÉÚÍ M : R2 ! R2 , ÄÌÑ M (N ) = N É M (s; f (s))) = (t; f (t)). ÷ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ f

5. ðÕÓÔØ

ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÞÉÓÅÌ ËÏÔÏÒÏÇÏ

ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁ?

ðÒÉÍÅÞÁÎÉÑ: ÆÕÎË ÉÑ Ó ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ × ÔÏÞËÅ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÊ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ; ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ

M

= (

M1 ; M2 ) : R2

!

R2

óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÏÌÏÇÉÉ

133

ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ , ÅÓÌÉ ÏÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, ÄÌÑ

M2

ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ×ÓÅÈ ÏÒÑÄËÏ× É

M1 M2 x y

M1

É

6

M2 M1 =0 x y

× ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ.

úÁÄÁÞÉ ïÌÉÍÉÁÄÙ 13.04.2006 (16.30{20.00) 1. ðÕÓÔØ

AB 

ÎÁÉÂÏÌØÛÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ

M p3 (BC + CA). 2

ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ +

CM

>

ABC . äÏËÁÖÉÔÅ, AM + BM +

ÌÏÓËÏÓÔÉ ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

n, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÒÉ×ÁÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÉÍÅÀÝÁÑ × ÔÏÞËÅ (0; 1) ËÁÓÁÎÉÅ n-ÇÏ ÏÒÑÄËÁ Ó ÇÒÁÆÉËÏÍ ÆÕÎË ÉÉ y = os x. îÁÏÍÎÉÍ [9, xx 22, 23℄, ÞÔÏ ÅÓÌÉ P  ÏÂÝÁÑ ÔÏÞËÁ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ r1 (t) É r2 (t), ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÉÍÅÀÔ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ËÁÓÁÎÉÅ n-ÇÏ ÏÒÑÄËÁ , ÅÓÌÉ ÅÒ×ÙÅ n ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÏ× r1 (t) É r2 (t) × ÔÏÞËÅ P ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. 3. ðÕÓÔØ K  (Ä×ÕÍÅÒÎÙÊ) ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ É a  ×ÅËÔÏÒ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÂÒÁÚ K + a ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ K ÒÉ ÓÄ×ÉÇÅ ÎÁ ×ÅËÔÏÒ a ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó K , Ô. Å. K \ (K + a) = ?. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×Á ×ÏÚÁ (Ô. Å. ËÒÕÇÁ ÄÉÁÍÅÔÒÁ jaj) ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÏÍÅÎÑÔØÓÑ ÍÅÓÔÁÍÉ ÒÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÍ Ä×ÉÖÅÎÉÉ ÉÈ ÅÎÔÒÏ× Ï K , ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ×ÏÚÙ ÎÅ ÓÔÁÌËÉ×ÁÀÔÓÑ. 4. (a) ðÕÓÔØ (t)  ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁÑ ÌÏÓËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ É (t)  ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë ÎÅÊ ÒÑÍÁÑ × ÔÏÞËÅ P = (0) = (0). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÍÏÄÕÌÉ ×ÅËÔÏÒÏ× ÓËÏÒÏÓÔÉ ËÒÉ×ÏÊ (t) É ÒÑÍÏÊ (t) ÒÁ×ÎÙ ÅÄÉÎÉ Å × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ (Ô. Å. É ËÒÉ×ÁÑ (t), É ÒÑÍÁÑ (t) ÒÏÈÏÄÑÔ ÕÔØ ÄÌÉÎÙ  ÚÁ ÌÀÂÏÊ ÒÏÍÅÖÕÔÏË ×ÒÅÍÅÎÉ ÄÌÉÎÙ  ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÏÄÕÌØ j (0)j d2 ÕÓËÏÒÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÊ (t) × ÔÏÞËÅ P ÒÁ×ÅÎ ( (t); (t)), ÇÄÅ   ÒÁÓ2 2. îÁÊÄÉÔÅ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÅÌÏÅ

00

dt

ÓÔÏÑÎÉÅ.

t=0

(b) òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÏÄÅÌØ ðÕÁÎËÁÒÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ × ×ÅÒÈÎÅÊ

(t)  ËÒÉ×ÁÑ Ó ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ y = 1 (ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÑÍÁÑ) É (t)  ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ Ë (t) ÒÑÍÁÑ (× ÓÍÙÓÌÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ) × ÔÏÞËÅ (0) = (0) = (0; 1). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ É ËÒÉ×ÁÑ (t), É ÒÑÍÁÑ (t) ÒÏÈÏÄÑÔ ÕÔØ ÄÌÉÎÙ  (× ÓÍÙÓÌÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ) ÚÁ ÌÀÂÏÊ ÒÏÍÅÖÕÔÏË ×ÒÅÍÅÎÉ ÄÌÉÎÙ  . d2 ( (t); (t)), ÇÄÅ   ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÎÁ ÌÏÓËÏ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ×ÅÌÉÞÉÎÕ 2

ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ [1, I.10.1℄, [7, x3℄, [6, x3℄. ðÕÓÔØ

ÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ.

dt

t=0

5. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÙ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ

n

É

k

×ÙÑÓÎÉÔÅ, ÓËÏÌØËÏ ÉÍÅÅÔÓÑ

(Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ Ä×ÉÖÅÎÉÊ É ÇÏÍÏÔÅÔÉÊ) ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÉÚ

k

134

á. á. ïÛÅÍËÏ×, á. â. óËÏÅÎËÏ×

n-ÍÅÒÎÏÍ

ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ×

Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏ-

ÒÙÈ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ É ×ÓÅ ÏÁÒÎÙÅ ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ËÏÔÏÒÙÍÉ ÒÁ×ÎÙ. ïÔ×ÅÔÙ, ÕËÁÚÁÎÉÑ É ÓÓÙÌËÉ ÎÁ ÏÌÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ 2005-1.

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÍÏÍÅÎÔ ÉÎÅÒ ÉÉ

ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ ÆÕÎË ÉÊ ×ÉÄÁ

f (')

=

A os2 ' + 2B os ' sin ' + C sin2 ',

Á

ÚÎÁÞÉÔ, É ÓÁÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ ÔÁËÏÇÏ ×ÉÄÁ. ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ.

áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØ-

ÓÔ×Ï ÆÏÒÍÕÌÙ üÊÌÅÒÁ Ï ËÒÉ×ÉÚÎÅ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ , ÓÍ. ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ É ÎÅÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï × [9, x55℄, [1, I.8.3℄.

BC = AD.

2005-2.

îÁÄÏ ÒÅÚÁÔØ Ï

2005-3.

ïÔ×ÅÔ: ÔÅÔÒÁÜÄÒ, ËÕÂ É ÏËÔÁÜÄÒ. ðÏÓËÏÌØËÕ Õ ÞÅÔÙÒÅÈÍÅÒ-

ÎÏÇÏ ËÕÂÁ ×ÏÓÅÍØ ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, ÔÏ Õ ÅÇÏ ÓÅÞÅÎÉÑ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÏÌÅÅ ×ÏÓØÍÉ Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ. ëÕÂÏÍ, ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ ÔÅÔÒÁÜÄÒÏÍ É ÒÁ×ÉÌØÎÙÍ ÏËÔÁÜÄÒÏÍ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÅÞÅÎÉÑ ËÕ-

1 6 xi 6 1, i = 1; 2; 3; 4, ÔÒÅÈÍÅÒÎÙÍÉ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ x1 = 0, x1 + x2 + x3 + x4 = 3 É x1 + x2 + x3 + x4 = 0, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. 2005-4. ïÔ×ÅÔ: ÏÓØÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÁÑ l , ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ÏÂÝÉÊ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ, ÕÇÏÌ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÒÁ×ÅÎ  , Á ÄÌÉÎÁ ×ÅËÔÏÒÁ ÅÒÅÎÏÓÁ ÒÁ×ÎÁ ÕÄ×ÏÅÎÎÏÊ

ÂÁ

ÄÌÉÎÅ ÏÂÝÅÇÏ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÁ. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ

l

ÒÏÅË ÉÉ ÎÁ ÒÑÍÕÀ 2006-1.

ðÕÓÔØ

M

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÞËÉ

0

É ÎÁ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÅÊ ÌÏÓËÏÓÔØ. É

B

0

 ÏÂÒÁÚÙ ÔÏÞÅË M

C . ÏÇÄÁ

MA + MB + MC = AM + MM

0

+M

0

B

0

É

B

ÒÉ Ï×ÏÒÏÔÅ ÎÁ

> AB > 0

p3 2

(CA + CB ):

úÄÅÓØ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÅÔ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ ËÏÓÉÎÕÓÏ× ÉÚ =

\ ACB + =3 > 2=3. ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ.

üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ

=3

\ ACB

0

=

 ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÓÌÕÞÁÊ (ÄÌÑ ÔÒÅÈÔÏÞÅÞÎÏ-

ÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á) ÚÎÁÍÅÎÉÔÏÊ ÇÉÏÔÅÚÙ çÉÌÂÅÒÔÁ { ðÏÌÌÁËÁ (1960): ÏÔÎÏÛÅ-

ÎÉÅ ÄÌÉÎÙ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÄÅÒÅ×Á, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÇÏ ÄÁÎÎÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅ-

p

ÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÌÏÓËÏÓÔÉ, Ë ÄÌÉÎÅ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÇÏ ÄÅÒÅ×Á ÂÅÚ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÂÏÌØÛÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ

3=2. ðÏÄÒÏÂÎÏÓÔÉ ÓÍ. × [3℄.

y = os x ÚÁÄÁÎ × ÁÒÁÍÅx(t) = t, y(t) = os t, Á ËÒÉ×ÁÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ  ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ F (x; y ) = ax2 + bxy + y 2 + px + qy + r = 0, ÇÄÅ F (0; 1) = 0. þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÏÒÑÄÏË ËÁÓÁÎÉÑ ÜÔÉÈ ËÒÉ×ÙÈ × ÔÏÞËÅ (0; 1), ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎË ÉÀ '(t) = F (x(t); y(t)) É ÅÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ × ÔÏÞËÅ t = 0. åÓÌÉ ' (0) = ' (0) = =


= '(n) (0) = 0, ÔÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ËÒÉ×ÙÅ ÉÍÅÀÔ ËÁÓÁÎÉÅ n-ÇÏ 2006-2.

ïÔ×ÅÔ: 5. ðÕÓÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ

ÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ

0

00

óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÏÒÑÄËÁ [9, Ó. 110℄. ÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ + os

135

'(t) = at2 + bt os t +

t + pt + q os t + r × ÔÏÞËÅ t = 0 É ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÉÈ Ë ÎÕÌÀ (Á ÔÁËÖÅ '(0) = 0), ÏÌÕÞÁÅÍ (ÏÄÎÏÒÏÄÎÕÀ) ÓÉÓÔÅÍÕ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ a; b; ; p; q; r . åÓÌÉ ÒÉÒÁ×ÎÑÔØ Ë ÎÕÌÀ ÒÏ2

ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÕÓÌÏ×ÉÅ

ÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÄÏ 5-ÇÏ ÏÒÑÄËÁ ×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ, ÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÒÅ-

'(6) (0) = 0

ÛÅÎÉÅ, Á ÒÉ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ

ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅÔ. ðÏ-

ÜÔÏÍÕ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ËÁÓÁÎÉÑ ÒÁ×ÅÎ 5. ïÎ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÄÌÑ ÇÉÅÒÂÏÌÙ (y

4)2

3x2 = 9.

ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ. òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ÒÉÍÅÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁ-

ÅÍ ÏÂÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ

(t)

ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ËÒÉ×ÕÀ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÅÍÅÊ-

ÓÔ×Á ËÒÉ×ÙÈ (ÚÁ×ÉÓÑÝÉÈ ÏÔ ÁÒÁÍÅÔÒÏ×), ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÉÌÕÞÛÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÉÂÌÉÖÁÅÔ

(t).

üÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÁÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ÁË,

ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÄÎÏ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÉ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ ËÒÉ×ÏÊ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ [9℄. 2006-3. [13, x2℄, [11, ÇÌÁ×Á 1℄. 2006-5. [5℄. ïÔ×ÅÔ: ÏÄÎÁ ÒÉ

ÎÑÀÝÉÈ ÅÎÔÒ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ (k ÎÉ ÏÄÎÏÊ ÒÉ

nk

1 (ÜÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÓÏÅÄÉ-

1)-ÍÅÒÎÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÁ Ó ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ),

1.

òÅÛÅÎÉÅ É ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 2005-5.

ïÔ×ÅÔ: ÄÁ. äÏËÁÖÅÍ ÜÔÏ.

a 2 R 2 n N . òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ a ÄÏ N ÎÅ ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ. úÎÁÞÉÔ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÞËÁ y 2 N , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ja y j ÒÁ×ÎÏ ÜÔÏÍÕ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÀ. ÏÇÄÁ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÒÕÇ D Ó ÅÎÔÒÏÍ × a ÒÁÄÉÕÓÁ ja y j ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ N . ðÒÉ ÌÀÂÏÍ x 2 N ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÉÚÍ M : R 2 ! R 2 , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ y × x É N × N . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ R' Ï×ÏÒÏÔ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁ ÕÇÏÌ ' ×ÏËÒÕÇ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Bl ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË (ÏÔËÒÙÔÙÊ Ä×ÕÍÅÒÎÙÊ) Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÕÇÌÏÍ 2=l ÒÉ ×ÅÒÛÉÎÅ É ×ÙÓÏÔÏÊ ÄÌÉÎÙ 1=l, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÊ ÏÓÉ Oy . ÁË ËÁË M  ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÔÏ M (D )  x + R' Bl ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ l É '. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉ ÌÀÂÏÍ x 2 N ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ l É ', ÞÔÏ () (x + R' Bl ) \ N = ?. ÷ÏÚØÍÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ f'l g, ×ÓÀÄÕ ÌÏÔÎÕÀ ÎÁ [0; 2 ℄. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ Nl := fx 2 N j (x + R'l Bl ) \ N = ?g: ÷×ÉÄÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ () ÉÍÅÅÍ N = [1 l=1 Nl . îÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ Nl ÚÁÍËÎÕÔÏ × N (ÄÏËÁÖÉÔÅ ÉÌÉ ÓÍ. ÄÅÔÁÌÉ × [15, ÌÅÍÍÁ 3.1℄). úÎÁÞÉÔ, Ï ÷ÏÚØÍÅÍ ÔÏÞËÕ

136

á. á. ïÛÅÍËÏ×, á. â. óËÏÅÎËÏ×

y + R' Bl I2 N

N

y

x

0

p

a L

y R' Bl

òÉÓ. 1.

ÔÅÏÒÅÍÅ âÜÒÁ Ï ËÁÔÅÇÏÒÉÉ [2, 4℄ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÔÏÅ ×

N

ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï.

ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÞËÁ

=l

ÎÏÊ ÍÅÎØÛÅ 1 ÏÇÄÁ

Ó ÅÎÔÒÏÍ ×

x

x2N

Nl

ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅÕÓÔÏÅ ÏÔËÒÙ-

I 2 ÓÏ ÓÔÏÒÏN \ I  Nl (ÒÉÓ. 1).

É ÚÁÍËÎÕÔÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ 0 2 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ :=

N

y R' Bl ) [ (y R' Bl )℄ \ N = ? ÒÉ ÌÀÂÏÍ y 2 N : äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ z 2 (y R' Bl ) \ N , ÔÏ y 2 (z + R' Bl ) \ N [( +

l

0

l

l

)

0

0

l

ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ.

íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÒÏÎÏÊ

(

0

 Nl ,

L Ë×ÁÄÒÁÔÁ I 2 É

Ox ÒÁ×ÅÎ 'l . íÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ N Ó×ÑÚÎÏ É ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏ ÏÔÒÅÚËÕ (ÉÎÁÞÅ ÚÁÍÅÎÉÍ N ÎÁ ÍÁÌÕÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ a 2 N , ËÏÔÏÒÁÑ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÁ ÏÔÒÅÚËÕ, ÏÓËÏÌØËÕ N  ÇÒÁÆÉË ÆÕÎË ÉÉ). ÏÇÄÁ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÒÏÅË ÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á N ÎÁ L ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÏÔÒÅÚÏË ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÄÌÉÎÙ. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÏÔÒÅÚÏË ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó L (ÉÎÁÞÅ ÕÍÅÎØÛÉÍ L). îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ q : L ! [0; 1℄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÛÉ Å×ÙÍ , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ s, ÞÔÏ jq (x) q(y)j < sjx yj ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË x; y 2 L. éÚ () ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ N ÅÓÔØ ÇÒÁÆÉË ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÌÉÛÉ Å×ÏÊ ÆÕÎË ÉÉ q : L ! [0; 1℄ (ÒÉ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ I 2 = L  [0; 1℄). æÕÎË ÉÑ q ÉÍÅÅÔ ÔÏÞËÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÓÔÉ [2, 4℄. úÎÁÞÉÔ, É ÉÓÈÏÄÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f ÉÍÅÅÔ ÔÏÞËÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÓÔÉ. ÏÇÄÁ ÉÚ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× M = Ms;t ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ f ÄÉÆÆÅÒÅÎ0

ÏÓØÀ

0

0

0

0

ÉÒÕÅÍÁ × ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÅ. ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ.

ëÁËÏÊ ÆÏÒÍÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÎÏÖÎÙ, ÞÔÏÂÙ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖ-

ÎÏ ÂÙÌÏ ×ÙÔÁÝÉÔØ ÓÁÂÌÀ? íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÜÔÏÇÏ ×ÏÒÏÓÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÏÎÑÔÉÀ. ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

N

ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ (ÉÌÉ

óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÏÌÏÇÉÉ

137

m-ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÉÍÁÎÏ×Ï ÏÂßÅÍÌÅÍÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË x; y 2 N ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Ä×ÉÖÅÎÉÅ (Ô. Å. ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ) h : R 3 ! R3 , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ x × y É N × N . èÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÒÉÍÁÎÏ×Ï ÏÂßÅÍÌÅÍÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ËÒÉ×ÙÍÉ × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÒÑÍÙÅ, ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É ×ÉÎÔÏ×ÙÅ ÌÉÎÉÉ.

á ËÁËÏÊ ÆÏÒÍÙ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÜÌÅËÔÒÉÞÅÓËÉÊ ËÁÂÅÌØ, ÞÔÏÂÙ ÒÏ×ÏÄ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ×ÙÔÁÝÉÔØ ÉÚ ÅÇÏ ÏÂÍÏÔËÉ (ÒÏ×ÏÄ ÍÏÖÎÏ ÇÎÕÔØ, ÎÏ ÎÅÌØÚÑ ÌÏÍÁÔØ)? íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÜÔÏÇÏ ×ÏÒÏÓÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÏÎÑÔÉÀ. ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

N

ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

Rm

ÎÁÚÙ×ÁÅÔ-

ÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏ ÏÂßÅÍÌÅÍÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË

x; y 2 N ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÉÚÍ h : Rm ! Rm , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ x × y É N × N . îÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÉÚÍÁ h ÎÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ.

 Rm ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ x 2 N ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÅÅ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ × R m , ÄÉÆÆÅÏÍÏÒÆÎÁÑ R k  Rm k (ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÍ ÅÅ Ó R k  Rm k ) É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ q : R k ! R m k , ÇÒÁÆÉË ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÓÔØ N \(R k R m k ). (üÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ, ÕÄÏÂÎÏÅ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÉÖÅîÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

N

ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙÍ

ÏÄÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅÍ

ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ, ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍÕ [8℄.) îÁÒÉÍÅÒ, ÇÒÁÆÉË

R !R

ÌÀÂÏÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙÍ ÏÄÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ 2 , Á ÏÂÒÁÚ ËÁÎÔÏÒÏ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á [8, 4.4℄

R

ÒÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ×ÌÏÖÅÎÉÉ × ÌÏÓËÏÓÔØ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙÍ ÏÄÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ 2 .

R

îÅÔÒÕÄÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÅ ÏÄÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏ ÏÂßÅÍÌÅÍÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ. úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï É ÏÂÒÁÔÎÏÅ. ÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏ, ÔÏ

N

N

 Rm

ÚÁÍËÎÕÔÏ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏ ÏÂßÅÍÌÅÍÏ

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙÍ ÏÄÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅÍ

[14,15℄.

ëÒÏÍÅ ÚÁÄÁÞÉ 2005-5, ÜÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ (ÎÏ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÅ) ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ: ËÁÎÔÏÒÏ×Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏ ÏÂßÅÍÌÅÍÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏ ×ÌÏÖÅÎÏ × ÌÏÓËÏÓÔØ .

äÒÕÇÉÅ ÉÎÔÅ-

ÒÅÓÎÙÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ × [16℄. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍÕ ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞÉ 2005-5. óÍ. [16℄, ÇÄÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÏÝÅ ÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÇÏ × [14, 15℄.

òÅÛÅÎÉÅ É ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 2006-4

äÏËÁÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÕÎËÔÁ (Á). ðÒÑÍÁÑ

(t) = (0) + t0 (0). äÌÑ ËÒÉ×ÏÊ (t) ÉÍÅÅÍ 2

(t)

(t) = (0) + t 0 (0) + t2 00 (0) + o(t2 )

ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ

ÒÉ

t ! 0:

138

á. á. ïÛÅÍËÏ×, á. â. óËÏÅÎËÏ×

õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ

(0) = (0) É  (0) = (0), ÏÌÕÞÁÅÍ 0

0



2

( (t); (t)) = j (t) (t)j = t2

00



o t 2 ) =

(0) + (

ïÔËÕÄÁ É ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

t2 2

j

00

j o t2):

(0) + (

d2 ( (t); (t)) = dt2 t=0

j

00

j

(0) .

ïÔ×ÅÔ Ë (b): 1. þÔÏÂÙ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ, ÎÁÏÍÎÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÆÁËÔÙ ÉÚ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ (× ÍÏÄÅÌÉ ðÕÁÎËÁÒÅ ÎÁ ×ÅÒÈÎÅÊ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔÉ

x; y),

Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (

ÇÄÅ

y > 0),

ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ. ïÎÉ

×ÈÏÄÑÔ × ÒÏÇÒÁÍÍÕ ËÕÒÓÁ €ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉс ÄÌÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÍÅÈÍÁÔÁ íçõ [1, I.10.1℄; [7, x3℄; [6, x3℄). äÌÉÎÁ ËÒÉ×ÏÊ

r(t)

2 [a;qb℄, ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ

x t ; y(t)), t

= ( ( )

y t > 0)

ËÁÒÅ ( ( )

ÒÁ×ÎÁ

Rb

2

x (t) 0

2

+ y (t) 0

y (t)

a

× ÍÏÄÅÌÉ ðÕÁÎ-

dt. ðÒÑÍÙÍÉ ÄÌÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ

ÍÏÄÅÌÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ (Å×ËÌÉÄÏ×Ù) ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÅ ÏÓÉ

x, É ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÅ ÏÌÕÒÑÍÙÅ y > 0. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ

ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÄÌÉÎÁ ÏÔÒÅÚËÁ ÒÑÍÏÊ Ó ËÏÎ ÁÍÉ × ÜÔÉÈ ÔÏÞËÁÈ (ÇÄÅ ÓÌÏ×Á €ÄÌÉÎÁ É €ÒÑÍÁс ÏÎÉÍÁÀÔÓÑ × ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ÓÍÙÓÌÅ, Ô. Å. × ÓÍÙÓÌÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ). åÓÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÔÏÞËÉ ÌÏÓËÏÓÔÉ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ ËÁË ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Ó ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔØÀ, ÔÏ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ

z1 É z2

ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ [6, ÚÁÄÁÞÁ 3.31℄:

z 1 j + jz2 z 1 j jz2

(z1 ; z2 ) = ln jjzz2 2

z1 j : z1 j

ðÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÕÎËÔÁ (b). ÷ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ( ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

(t)

t; 1).

= (

x; y)

ËÒÉ×ÁÑ

(t)

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÂÒÁÚ ÜÔÏÊ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÎÎÏÊ

ËÒÉ×ÏÊ ËÁËÏÊ ÎÕÖÎÏ, Á ÅÅ ÁÒÁÍÅÔÒ ÒÁ×ÅÎ ÄÌÉÎÅ ÄÕÇÉ. ëÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ ÒÑÍÁÑ (ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ)

(t) (Ë ËÒÉ×ÏÊ (t)) × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÍÏÄÅÌÉ Ñ×ÌÑx2 + y2 = 1, y > 0. ÷ÙÞÉÓÌÉ× ÄÌÉÎÕ ÄÕÇÉ ÜÔÏÊ

ÅÔÓÑ ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ

ÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÍÅÔÒÉËÅ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ, ÎÁÊÄÅÍ ÅÅ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÀ:

(t) =



 t e2t 1 ; 22t e . 2 t e +1 e +1

éÓÏÌØÚÕÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÎÕÀ ×ÙÛÅ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ, ÍÏÖÎÏ Ñ×ÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ

( (t); (t))

t

ÞÅÒÅÚ . ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÍ ÎÕÖÎÁ ÎÅ

ÓÁÍÁ ÜÔÁ ÆÕÎË ÉÑ, Á ÌÉÛØ ÅÅ ×ÔÏÒÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ × ÎÕÌÅ, ÍÏÖÎÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ

(t) × ÒÑÄ Ï t É ÏÔÂÒÁÓÙ×ÁÑ ÞÌÅÎÙ ÏÒÑÄËÁ ×Ù2
t; 1 t2 + o(t2 ). ïÔÓÀÄÁ

×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÑ ÛÅ 2. ðÏÌÕÞÁÅÍ

(t) =

( (t); (t)) = j ln

1

t2
2

2

j + o(t2) = t2 + o(t2 ):

óÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ Ï ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÏÌÏÇÉÉ

139



d2 ( (t); (t)) = 1. ÷ ÉÔÏÇÅ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÔ×ÅÔ: dt2 t=0 ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ.

ëÒÉ×ÉÚÎÁ ËÒÉ×ÏÊ × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÂÙÞ-

ÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÍÏÄÕÌØ ×ÅËÔÏÒÁ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ ÔÏÞËÉ, Ä×ÉÖÕÝÅÊÓÑ ×ÄÏÌØ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ Ó ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÓËÏÒÏÓÔØÀ. á ËÁË ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ËÒÉ×ÉÚÎÕ ËÒÉ×ÏÊ × €ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×Ḯ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (Ô. Å. × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ó ÎÅÅ×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ ÍÅÔÒÉËÏÊ)? íÏÖÎÏ É ÚÄÅÓØ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÅÅ ËÁË ÄÌÉÎÕ ×ÅËÔÏÒÁ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ ÔÏÞËÉ, Ä×ÉÖÕÝÅÊÓÑ ×ÄÏÌØ ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ Ó ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÓËÏÒÏÓÔØÀ. îÏ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÄÏ Ï-ÎÏ×ÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÓÁÍÕ ÏÅÒÁ ÉÀ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ × ÜÔÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÎÅÌØÚÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ×ÅËÔÏÒ ÕÓËÏÒÅÎÉÑ ËÁË ×ÅËÔÏÒ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ, ÒÁ×ÎÙÍÉ ×ÔÏÒÙÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÔÏÞËÉ Ï ×ÒÅÍÅÎÉ. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ €ÒÁ×ÉÌØÎÏʁ

 ËÏ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÊ  ÏÅÒÁ ÉÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÍ. × [10℄,

[1, I, xx 28,29℄, [12℄.

÷ ÚÁÄÁÞÅ 2006-4 ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÅÝÅ ÏÄÎÏ (ÍÅÎÅÅ ÒÁÓÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÏÅ) ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÒÉ×ÉÚÎÙ ËÒÉ×ÏÊ. ðÕÎËÔ (Á) ÌÉÛØ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ × ÏÂÙÞÎÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÜÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÏÂÙÞÎÏÍÕ. á × ÕÎËÔÅ (b) ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ Ï ÜÔÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÒÉ×ÉÚÎÕ ËÒÉ×ÏÊ ÄÌÑ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ÒÉÍÅÒÁ (ÂÅÚ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÆÏÒÍÕÌ ËÏ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ). ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ ËÒÉ×ÉÚÎÁ ËÒÉ×ÏÊ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ × ÌÀÂÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ó ÒÉÍÁÎÏ×ÏÊ ÍÅÔÒÉËÏÊ.

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1℄ äÕÂÒÏ×ÉÎ â. á., îÏ×ÉËÏ× ó. ð., æÏÍÅÎËÏ á. . óÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ: ÍÅÔÏÄÙ É ÒÉÌÏÖÅÎÉÑ . í.: îÁÕËÁ, 1979.

[2℄ úÏÒÉÞ ÷. á. íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÉÚ . ÏÍ I. í.: íãîíï, 2001. ÏÍ II. í.: íãîíï, 1998. [3℄ é×ÁÎÏ× á. ï., ÕÖÉÌÉÎ á. á. ÅÏÒÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÈ ÓÅÔÅÊ . í., éÖÅ×ÓË: éÎÓÔÉÔÕÔ ËÏÍØÀÔÅÒÎÙÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ, 2003. [4℄ ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× á. î., æÏÍÉÎ ó. ÷. æÕÎË ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÁÎÁÌÉÚ . í.: îÁÕËÁ, 1976. [5℄ íÉÒÚÏÑÎ ÷. á. óÔÒÕËÔÕÒÎÙÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÌÑ Ri -ÏÌÕÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÏÄÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÏÄÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ ÏÌÕÜÊÎÛÔÅÊÎÏ×ÙÈ ÏÄÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ // íÁÔÅÍ. ÓÂ. . 197,

‚7, 2006. ó. 47{76. [6℄ íÉÝÅÎËÏ á. ó., óÏÌÏ×Ø£× à. ð., æÏÍÅÎËÏ á. . óÂÏÒÎÉË ÚÁÄÁÞ Ï ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÔÏÏÌÏÇÉÉ . í.: æÉÚÍÁÔÌÉÔ, 2004.

[7℄ ðÒÁÓÏÌÏ× ÷.÷. çÅÏÍÅÔÒÉÑ ìÏÂÁÞÅ×ÓËÏÇÏ . í: íãîíï, 1995, 2000, 2004. óÍ. ÔÁËÖÅ

http://www.m

me.ru/prasolov.

140

á. á. ïÛÅÍËÏ×, á. â. óËÏÅÎËÏ×

[8℄ ðÒÁÓÏÌÏ× ÷. ÷. üÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÊ ÏÌÏÇÉÉ . í.: íãîíï, 2004.

É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÔÏ-

[9℄ òÁÛÅ×ÓËÉÊ ð. ë. ëÕÒÓ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ . í: õòóó, 2003. [10℄ òÁÛÅ×ÓËÉÊ ð. ë. õòóó, 2004. [11℄ óËÏÅÎËÏ× á. â. ÚÒÅÎÉÑ .

òÉÍÁÎÏ×Á ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ É ÔÅÎÚÏÒÎÙÊ ÁÎÁÌÉÚ .

í:

áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÑ Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÔÏÞËÉ

http://dfgm.math.msu.su/people/skopenkov/obstru t2.ps http://www.m

me.ru/ium/s05

[12℄ óËÏÅÎËÏ× á. â. ïÓÎÏ×Ù ÚÁÄÁÞÁÈ.

ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ × ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ

http://dfgm.math.msu.su/files/skopenkov/DIFGEOM.ps

[13℄ Cavi

hioli A., Repovs D., Skopenkov A. B. Open problems on graphs arising from geometri topology // Topol. Appl. Vol. 84, 1998. P. 207{ 226.  epin E. V. A hara terization of C 1 [14℄ Repovs D., Skopenkov A. B., S homogeneous subsets of the plane // Boll. Unione Mat. Ital. Vol. 7-A, 1993. P. 437{444. [15℄ Repovs D., Skopenkov A. B., S epin E. V. C 1 -homogeneous ompa ta in Rn are C 1 -submanifolds of Rn // Pro . Amer. Math. So . Vol. 124, no 4, 1996. P. 1219{1226.

[16℄ Skopenkov A. A hara terization of submanifolds by a homogeneity dition . Eprint, 2006. www.arxiv.org/math.GT/0606470

on-

á. â. óËÏÅÎËÏ×, ËÁÆÅÄÒÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ, ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÆÁËÕÌØÔÅÔ, íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ, íÏÓË×Á, 119992, òÏÓÓÉÑ; îÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ, â. ÷ÌÁÓØÅ×ÓËÉÊ, 11, íÏÓË×Á, 119002, òÏÓÓÉÑ; íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÉÎÓÔÉÔÕÔ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. E-mail: skopenkom

me.ru á. á. ïÛÅÍËÏ×, ËÁÆÅÄÒÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ, ÍÅÈÁÎÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÆÁËÕÌØÔÅÔ, íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ, íÏÓË×Á, 119992, òÏÓÓÉÑ. E-mail: oshemkovme h.math.msu.su

141

ï ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÈ Ó×ÑÚÎÙÈ ÇÒÁÆÁÈ ë. á. íÁÔ×ÅÅ×

÷ ËÎÉÇÅ ÷. á. óÁÄÏ×ÎÉÞÅÇÏ, á. á. çÒÉÇÏÒØÑÎÁ É ó. ÷. ëÏÎÑÇÉÎÁ €úÁÄÁÞÉ ÓÔÕÄÅÎÞÅÓËÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁā ÒÉ×ÅÄÅÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÚÁÄÁÞÁ.

úÁÄÁÞÁ. ÷ÓÅ ÒÅÂÒÁ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÎÁ

n ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÏËÒÁÛÅÎÙ ×

3 ×ÅÔÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ × ÎÅÍ Ó×ÑÚÎÙÊ ÏÄÇÒÁÆ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÎÅ ÍÅÎÅÅ

n=2

×ÅÒÛÉÎ, ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏËÒÁ-

ÛÅÎÙ × ÏÄÉÎ ×ÅÔ (× ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÏÄÇÒÁÆÙ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÜÔÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÍÉ). ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÅÌØ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÚÁÍÅÔËÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÏÂÏÂÝÅÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, Á ÉÍÅÎÎÏ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÙ.

k

ÅÏÒÅÍÁ 1.

÷ÓÅ Ò£ÂÒÁ ÏÌÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÎÁ

n

×ÅÒÛÉÎÁÈ ÏËÒÁÛÅÎÙ ×

×ÅÔÏ×. ÏÇÄÁ × Î£Í ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Ó×ÑÚÎÙÊ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ ÏÄÇÒÁÆ, ×

ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ

ðÒÉ

n=(k

1) ×ÅÒÛÉÎ.

k = 3  ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÙÛÅÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÉ, Á ÒÉ k = 2 

ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ ÎÅÓ×ÑÚÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ Ó×ÑÚÎÏ.

ðÏÕÔÎÏ ÂÕÄÕÔ ÄÏËÁÚÁÎÙ ÔÁËÖÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÁËÔÙ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÉÎÔÅÒÅÓ É ÓÁÍÉ Ï ÓÅÂÅ. âÕÄÅÔ ÔÁËÖÅ ÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ

k, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ n Ï ÅÎËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ

ìÅÍÍÁ 1 (ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï).

ÔÏÞÎÏÊ.

îÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÞÉ-

a, b, , x1 , . . . , xm , y1 ,. . . , ym ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ x1 +


+ xm 6 b, y1 + : : : + + ym 6 É xi + yi 6 a ÒÉ ÌÀÂÏÍ 1 6 i 6 m . ÏÇÄÁ

ÓÌÁ

x1 y1 +


+ xm ym 6

ab b+

:

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏËÁÖÅÍ ×ÎÁÞÁÌÅ ÔÁËÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:

p1 q1 +


+ pm qm 6

ÒÉ

pi ; qi > 0,

Pp6 Pq6 i

i

1,

i

i

max (pi + (1 16i6m

1, 0

6  6 1.

)qi );

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ 1=x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÏÊ ÒÉ

z; t > 0

É 0

6  6 1 ×ÙÏÌÎÅÎÏ 1=(z + (1

(1)

x > 0, Ô. Å. ÄÌÑ )t) 6 =z + (1 )=t. ÏÇÄÁ

142

ë. á. íÁÔ×ÅÅ×

P pq i

i i

maxi (pi + (1

6 )q )

X

i

i

pi qi

pi + (1

6

)qi

X

=

X i

1

qi

qi + (1 )

i

1 + (1

X

)pi

1

6

pi 6  + (1 ) = 1:

i

xi É yi, ÄÌÑ xi yi = 0, ÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÅ ×ÌÉÑÀÔ ÎÁ ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ, Á ×ÓÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ. åÓÌÉ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ b É ÒÁ×ÎÏ 0, ÔÏ ÎÅÒÁ-

÷ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÉÓÈÏÄÎÏÍÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ É ×ÙËÉÎÅÍ ×ÓÅ ÁÒÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÕÄÕÔ

×ÅÎÓÔ×Ï ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÜÔÏÍÕ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÏÂÁ ÂÏÌØÛÅ 0. ÏÇÄÁ ÏÌÏÖÉÍ

X

pi = xi =b, qi = yi = ,  = b=(b + ). éÍÅÅÍ

xi yi = b

i

X

pi qi 6

i

6 b
max i

 b


x b+ b

i

+


y b+

i



=

b b+


max(x + y ) 6 bab : + i

i

i

n-×ÅÒÛÉÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ G ÏËÒÁÛÅÎÙ × k ×ÅÔÏ×. ai  ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ × Ó×ÑÚÎÏÍ ÏÄÇÒÁÆÅ H ÇÒÁÆÁ G, × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ ÏËÒÁÛÅÎÙ × ×ÅÔ i. ÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ ÇÒÁÆÁ G ÎÅÓ×ÑÚÎÏ, ÔÏ a1 +


+ ak > n. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ ÇÒÁÆÁ G ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ C1 , . . . , Cs (s > 2). ïÔÎÅÓÅÍ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ C1 Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ A, Á ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏÍÏÎÅÎÔ C2 , . . . , Cs Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ B . ÏÇÄÁ × ÇÒÁÆÅ G ÅÓÔØ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ÌÀÂÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÉÚ A É ÌÀÂÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ ÉÚ B . óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÏÌÎÙÊ Ä×ÕÄÏÌØÎÙÊ ÇÒÁÆ ÎÁÚÏ×ÅÍ F , ÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÇÒÁÆÏÍ ÇÒÁÆÁ G. ðÕÓÔØ × ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ A É B ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ l É n l ×ÅÒÛÉÎ. ðÕÓÔØ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ × Ó×ÑÚÎÏÍ ÏÄÇÒÁÆÅ ÇÒÁÆÁ F , × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ ÏËÒÁÛÅÎÙ × ×ÅÔ i, ÒÁ×ÎÏ bi . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ bi 6 ai . ðÏÜÔÏÍÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ b1 +


+ bk > n. ðÕÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÅÂÅÒ ×ÅÔÁ i × ÇÒÁÆÅ F ÒÁ×ÎÏ i l(n l), 0 6 i 6 1. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÍÅÖÄÕ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÇÒÁÆÁ F ÔÏÌØËÏ ÒÅÂÒÁ ×ÅÔÁ i É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÇÒÁÆ Fi . ðÕÓÔØ ÏÎ ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Ó×ÑÚÎÏÓÔÉ P1 , . . . , Pt . ðÒÉ ÜÔÏÍ Pj ÓÏÄÅÒÖÉÔ xj ×ÅÒÛÉÎ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á A É yj ×ÅÒÛÉÎ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á B . ÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÒÅÂÅÒ × ÇÒÁÆÅ Fi ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ x1 y1 +


+ xt yt . îÏ xj + yj 6 bi ÒÉ 1 6 j 6 t. úÎÁÞÉÔ, Ï ÌÅÍÍÅ 1 i l(n l) 6 x1 y1 +


+ xt yt 6 bi l(n l)=n. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, bi > ni . ðÒÏÓÕÍÍÉÒÏ×Á× Ï ×ÓÅÍ i, ÏÌÕÞÁÅÍ b1 +


+ bk > n(1 +


+ k ) = n. ïÔÓÀÄÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ (ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ i) ai > n=k . Ï ÅÓÔØ × ÇÒÁÆÅ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ Ó×ÑÚÎÙÊ ÏÄÇÒÁÆ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÎÅ ÍÅÎÅÅ n=k ìÅÍÍÁ 2. ÷ÓÅ ÒÅÂÒÁ

ðÕÓÔØ

×ÅÒÛÉÎ.

ðÅÒÅÊÄÅÍ ÔÅÅÒØ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÍÙ 1. ÷ÙÂÅÒÅÍ × ÎÁÛÅÍ ÏÌÎÏÍ ÇÒÁÆÅ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ Ï ÞÉÓÌÕ ×ÅÒÛÉÎ Ó×ÑÚÎÙÊ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ ÏÄÇÒÁÆ

ï ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÈ Ó×ÑÚÎÙÈ ÇÒÁÆÁÈ H

143

(ÂÕÄÅÍ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏÓÔÉ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁ ÏËÒÁÛÅÎÙ ×

×ÅÔ 1). ðÕÓÔØ ×ÅÒÛÉÎ. åÓÌÉ

A

B

 ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ,

B

 ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ > ( 1)

ÕÓÔÏ, ÔÏ ×ÙÂÒÁÎÎÙÊ ÏÄÇÒÁÆ ÓÏÄÅÒÖÉÔ

n

n= k

×ÅÒÛÉÎ. åÓÌÉ ÎÅÔ, ÔÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÓÅ ÒÅÂÒÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÚ

B

ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ

k

(ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÉÍÉ ÇÒÁÆ ÎÁÚÏ×ÅÍ

G).

A

É

ïÎÉ ×ÓÅ ÏËÒÁÛÅÎÙ ×

1 ×ÅÔÏ×, ÔÁË ËÁË ÎÁÌÉÞÉÅ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÒÅÂÅÒ ×ÅÔÁ 1 ÒÏÔÉ-

×ÏÒÅÞÉÌÏ ÂÙ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ ÏÄÇÒÁÆÁ

H

(Ë ÎÅÍÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ

ÂÙ ÒÉÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÜÔÏ ÒÅÂÒÏ, Õ×ÅÌÉÞÉ× ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ). ÏÇÄÁ Ï ÌÅÍÍÅ 2 × ÇÒÁÆÅ ÍÅÎÅÅ

G

ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ Ó×ÑÚÎÙÊ ÏÄÇÒÁÆ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÎÅ

n=(k

1) ×ÅÒÛÉÎ, ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÔ ÔÁËÏ×ÙÍ É ÄÌÑ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ.

ÅÅÒØ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ Ï ÅÎËÁ, ÏÌÕÞÅÎÎÁÑ × ÔÅÏÒÅÍÅ 1, ÂÕÄÅÔ × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÔÏÞÎÏÊ. 1=

ÅÏÒÅÍÁ 2. åÓÌÉ k

p



ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ, É n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ

1)2 ,

(k

1 ÔÏÞÎÁÑ.

ÔÏ Ï ÅÎËÁ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ

ðÕÓÔØ

1)2 =

d. òÁÚÏÂØÅÍ ×ÓÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÌ2 ÎÏÇÏ n-×ÅÒÛÉÎÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ ÎÁ p ÍÎÏÖÅÓÔ× ×ÉÄÁ Ai;j (0 i p 1,

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

0

6 6 j

p

n=(k

1), ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ Ï

d

6

6

×ÅÒÛÉÎ ËÁÖÄÏÅ. åÓÌÉ ÒÅÂÒÏ ÓÏÅÄÉÎÑ-

ÅÔ Ä×Å ×ÅÒÛÉÎÙ, ÌÅÖÁÝÉÅ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÜÔÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÔÏ ÏËÒÁÓÉÍ ÅÇÏ × ×ÅÔ 1. ÷ÓÅ ÒÅÂÒÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×

Ai0 ;j 0

É

Ai00 ;j 00 ,

Ï-

ËÒÁÓÉÍ × ÏÄÉÎ ×ÅÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. åÓÌÉ i0 = i00 , ÔÏ ÏËÒÁÓÉÍ ÉÈ × ×ÅÔ 1. åÓÌÉ i0 6= i00 , ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÔÁËÏÅ 0 00 i0 ) (mod p). ÏÇÄÁ ÏËÒÁÓÉÍ ÜÔÉ ÒÅÂÒÁ 06t6p 1, ÞÔÏ (j 00 j )  t(i × ×ÅÔ

H



1 . ðÕÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÏÄÎÏ ×ÅÔÎÙÊ Ó×ÑÚÎÙÊ ÏÄÇÒÁÆ. åÓÌÉ ×ÓÅ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁ Ït

+ 2. ðÕÓÔØ

Bi

ÅÓÔØ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×

Ai;0 ; : : : ; Ai;p

ËÒÁÛÅÎÙ × ×ÅÔ 1, ÔÏ ×ÓÅ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× Bi ,

ÔÏ ÅÓÔØ Õ ÎÅÇÏ ÎÅ ÂÏÌÅÅ

×ÅÔ

t

n=p

×ÅÒÛÉÎ. ðÕÓÔØ ×ÓÅ ÅÇÏ ÒÅÂÒÁ ÏËÒÁÛÅÎÙ ×

6= 1. ÷ÙÂÅÒÅÍ × ÎÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ×ÅÒÛÉÎÕ

ÌÅÖÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ

Ai0 j 0 .

ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×

X.

ðÕÓÔØ ÏÎÁ ÒÉÎÁÄ-

ÏÇÄÁ, Ä×ÉÇÁÑÓØ ÉÚ ÎÅÅ Ï ÒÅÂÒÁÍ ×ÅÔÁ t, ÍÏÖÎÏ ×

Bi

ÏÓÅÔÉÔØ ÔÏÌØËÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

(Á ÉÍÅÎÎÏ, ÄÌÑ ÔÁËÏÇÏ 0 6 j 00 6 p

úÎÁÞÉÔ, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÄÇÒÁÆ

1, ÞÔÏ j 00  (t

H

2)(i

ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ

0 0 i )+j

n=p

(mod

Aij 00 p)).

×ÅÒÛÉÎ.

á×ÔÏÒ ÂÌÁÇÏÄÁÒÅÎ á. ó. ûÔÅÒÎÕ ÚÁ ÌÏÄÏÔ×ÏÒÎÙÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ É í. î. ÷ÑÌÏÍÕ, ÒÅÄÌÏÖÉ×ÛÅÍÕ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÅ Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ 1.

ë. á. íÁÔ×ÅÅ×, ÌÉ ÅÊ ‚66, Ç. ïÍÓË Email:

komatveevyandex.ru

îÏ×ÙÅ ÉÚÄÁÎÉÑ

ä. ÷. áÎÏÓÏ×.

éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íãîíï ïÔ îØÀÔÏÎÁ Ë ëÅÌÅÒÕ.

2006. 272 Ó.

÷ ËÎÉÇÅ ÒÁÓÓËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ÏÂßÑÓÎÉÔØ ÚÁËÏÎÙ ëÅÌÅÒÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÌÁÎÅÔ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÚÁËÏÎÏ× ÍÅÈÁÎÉËÉ.

â. ð. çÅÊÄÍÁÎ, . ÷. é×ÁËÉÎÁ, é. ü. íÉÛÁÒÉÎÁ. õÞÅÂÎÉË ÄÌÑ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÛËÏÌÙ. 1-Å ÏÌÕÇÏÄÉÅ 2006. 120 Ó. 2-Å ÏÌÕÇÏÄÉÅ 2006. 120 Ó. â. ð. çÅÊÄÍÁÎ, é. ü. íÉÛÁÒÉÎÁ. 2006. 116 Ó. ðÏÄ ÒÅÄ. í. á. ãÆÁÓÍÁÎÁ É ÷. ÷. ðÒÁÓÏÌÏ×Á. 2006. 164 Ó. íÁÔÅÍÁÔÉËÁ. 4 ËÌÁÓÓ.

íÅÔÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÒÅËÏÍÅÎÄÁ ÉÉ Ï ÒÁÂÏÔÅ Ó

ËÏÍÌÅËÔÏÍ ÕÞÅÂÎÉËÏ× €íÁÔÅÍÁÔÉËÁ. 4 ËÌÁÓӁ.

çÌÏÂÕÓ. ïÂÝÅÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÓÅÍÉÎÁÒ. ÷ÙÕÓË 3.

ãÅÌØ ÓÅÍÉÎÁÒÁ €çÌÏÂÕӁ



Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÅÄÉÎÓÔ×Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. óÅ-

ÍÉÎÁÒ ÒÁÓÓÞÉÔÁÎ ÎÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ× ×ÓÅÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ, ÁÓÉÒÁÎÔÏ× É ÓÔÕÄÅÎÔÏ×. ÒÅÔÉÊ ×ÙÕÓË ×ËÌÀÞÁÅÔ ÄÏËÌÁÄÙ ó.áÌÅÓËÅÒÁ, ÷.í.âÕÈÛÔÁÂÅÒÁ, ð.äÅÌÉÎÑ, ó.â.ëÁÔÏË, á.î.ðÁÒÛÉÎÁ, á.â.óÏÓÉÎÓËÏÇÏ, á.ç.èÏ×ÁÎÓËÏÇÏ, í.á.ãÆÁÓÍÁÎÁ, ó.â.ûÌÏÓÍÁÎÁ.

ü. ç. çÏÔÍÁÎ.

óÔÅÒÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ É ÍÅÔÏÄÙ ÉÈ ÒÅÛÅÎÉÑ.

úÁÄÁÞÉ íÏÓËÏ×ÓËÉÈ ÇÏÒÏÄÓËÉÈ ÏÌÉÍÉÁÄ Ï ÆÉÚÉËÅ. 1986{2005.

÷. óÅÍ£ÎÏ×Á, á. á. ñËÕÔÙ. 2006. 616 Ó.

ëÏÌÍÏÇÏÒÏ× × ×ÏÓÏÍÉÎÁÎÉÑÈ ÕÞÅÎÉËÏ×.

ÔÅÌØ á. î. ûÉÒÑÅ×. 2006. 472 Ó.

2006. 160 Ó. ðÏÄ ÒÅÄ. í.

óÂÏÒÎÉË ÓÔÁÔÅÊ. òÅÄÁËÔÏÒ-ÓÏÓÔÁ×É-

ò. í. æÅÄÏÒÏ×, á. ñ. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ×, á. ë. ëÏ×ÁÌØÄÖÉ, é. ÷. ñÝÅÎËÏ. ðÏÄ ÒÅÄ. ÷. í. ÉÈÏÍÉÒÏ×Á. 2006. 456 Ó. íÏÓËÏ×ÓËÉÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÌÉÍÉÁÄÙ 1993{2005 Ç.

ëÎÉÇÁ ÂÕÄÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓÎÁ ×ÓÅÍ ÌÀÂÉÔÅÌÑÍ ËÒÁÓÉ×ÙÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÚÁÄÁÞ.

ñ. â. ðÅÓÉÎ. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. ÏÄ ÒÅÄ. à. ó. éÌØÑÛÅÎËÏ. 2006. 144 Ó.

ìÅË ÉÉ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÎÏÓÔÉ É ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÊ

ÜÒÇÏÄÉÞÎÏÓÔÉ.

ëÎÉÇÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ

××ÅÄÅÎÉÅÍ × ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÕÀ ÔÅÏÒÉÀ ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÎÏÓÔÉ.

ëÎÉÇÁ ÒÅÄÎÁÚÎÁÞÅÎÁ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÁÓÉÒÁÎÔÏ× É ÎÁÕÞÎÙÈ ÓÏÔÒÕÄÎÉËÏ× ÆÉÚÉËÏ-ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÓÔÅÊ.

ñ. ð. ðÏÎÁÒÉÎ.

üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. . 2: óÔÅÒÅÏÍÅÔÒÉÑ, ÒÅÏÂÒÁÚÏ×Á-

2006. 256 Ó. . òÁÔ, ä. ï. ëÌÉÆÔÏÎ. ðÅÒ. Ó ÁÎÇÌ. î. á. ûÉÈÏ×ÏÊ. 2006. 104 Ó. ðÏÄ ÒÅÄ. â.á. ðÏÇÏÒÅÌÏ×Á É ÷.î. óÁÞËÏ×Á. 2006. 94 Ó. á. ñ. èÉÎÞÉÎ. 2006. XX + 260 Ó. á.ç. èÏ×ÁÎÓËÉÊ, ó.ð. þÕÌËÏ×. Zn>0 2006. 128 Ó. 18  18 óÏÓÔÁ×ÉÔÅÌÉ î. â. áÌÆÕÔÏ×Á, à. å. åÇÏÒÏ×, á. ÷. õÓÔÉÎÏ×. 2006. 160 Ó. 2006. 96 Ó.

ÎÉÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á.

ðÏÚÉÔÉ×ÎÙÅ ÓÔÒÁÔÅÇÉÉ ÄÌÑ ÒÁÂÏÔÙ É ÖÉÚÎÉ. úÁÞÅÍ

É ËÁË ÎÁÏÌÎÑÔØ ÷£ÄÒÁ?

óÌÏ×ÁÒØ ËÒÉÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÒÍÉÎÏ×.

éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÔÒÕÄÙ Ï ÔÅÏÒÉÉ ÞÉÓÅÌ.

çÅÏÍÅÔÒÉÑ ÏÌÕÇÒÕÙ

. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë

ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÅ, ÁÌÇÅÂÒÅ É ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ. . ÷ÓÔÕÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ æíû ÒÉ íçõ.

XI ÕÒÎÉÒ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÂÏ£× ÉÍ. á. ð. óÁ×ÉÎÁ.

XXVIII ÕÒÎÉÒ ÉÍ. í. ÷. ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á 25 ÓÅÎÔÑÂÒÑ 2005 ÇÏÄÁ. úÁÄÁÎÉÑ, ÒÅÛÅÎÉÑ, ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÉ.

óÏÓÔ. á. ë. ëÕÌÙÇÉÎ. 2006. 142 Ó.

ðÏ ÍÏÔÉ×ÁÍ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс

äÉÓËÒÅÔÎÙÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ó. ç. óÌÏÂÏÄÎÉË

ðÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÏ×ÏÅ, ÂÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÏÅ, ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 5.9Â) ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс.

çÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÎÁ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÅÛÅÔËÅ

ÉÑ

f

:

Z

n

Zn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎË-

! R, ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÒÁ×ÎÏ ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÁÒÉÆ-

ÍÅÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÏÔ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÓÏÓÅÄÅÊ: f (x1 ; : : : ; xn )

=

1 2n

n  X

f (x1 ; : : : ; xi

1; : : : ; xn ) + f (x1 ; : : : ; xi + 1; : : : ; xn )

 :

i=1

ÅÏÒÅÍÁ. çÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ ÎÁ

Zn ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÓÔÏÑÎÎÁ.

þÁÓÔÎÙÍÉ ÓÌÕÞÁÑÍÉ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÕÎËÔÙ Â) É ×) ÚÁÄÁÞÉ 5.9 ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс. ÷ ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ×ÙÕÓËÅ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс ÂÙÌÏ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ [1℄. úÄÅÓØ ÍÙ ÉÚÌÏÖÉÍ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÔÏÞÅË ÒÅÛÅÔËÉ

Zn ÂÕÄÅÍ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÍÁÌÙÅ ÌÁÔÉÎ-

ÓËÉÅ ÂÕË×Ù ÉÌÉ ÚÁÉÓÁÎÎÙÅ × ÓËÏÂËÁÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÔÏÞÅË. þÅÒÅÚ

ek

ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÔÏÞËÕ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0),

ÇÄÅ ÅÄÉÎÉ Á ÓÔÏÉÔ ÎÁ

k -Í

ÍÅÓÔÅ. ÏÞËÕ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ÂÕÄÅÍ

ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ 0.

146

ó. ç. óÌÏÂÏÄÎÉË

ÏÞËÉ ÒÅÛÅÔËÉ ÍÏÖÎÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÏËÏÍÏÎÅÎÔÎÏ. ÷ ÔÁËÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÏÓÔÉ ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁË n 1 X f (x) = 2n

f (x

i=1

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

F

f (x ) > f (0)

íÎÏÖÅÓÔ×Ï

F

2

(1)

Zn ÆÕÎË ÉÊ, ÔÁËÉÈ ÞÔÏ n ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x 2 Z ; (2)

(ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÏÒÍÉÒÏ×ËÉ):

(3)

ÎÅÕÓÔÏ, ÔÁË ËÁË ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÕÀ 1

F

ÆÕÎË ÉÀ u. åÓÌÉ f (x)=f (0)




ei ) :

ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÎÁ

0;

=1

+ e i ) + f (x

F.

f (x)

 ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ ÎÁ Z

n

ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, ÔÏ

íÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ, ÕÓÔÁÎÏ×É×, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ

ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÉËÁËÉÈ ÄÒÕÇÉÈ ÆÕÎË ÉÊ, ËÒÏÍÅ

u.

ðÌÁÎ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÁËÏ×. íÙ ××ÅÄÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÒÑÄÏË ÎÁ ÆÕÎË ÉÑÈ ÉÚ

Zn × R É ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ (É ÍÉÎÉÍÁÌØÎÁÑ) ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ

ÜÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÆÕÎË ÉÉ ×

F

ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÁÍÉ. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ

ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ (ÒÁ×ÎÏ ËÁË É ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ) ÆÕÎË ÉÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ËÏÍÁËÔÎÏÓÔÉ

F

× ÔÏÏÌÏÇÉÉ ÏÔÏÞÅÞÎÏÊ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ. íÙ ÒÉ×ÅÄ£Í ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÅ

ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÝÅÅ ÔÅÏÒÅÍÕ ÉÈÏÎÏ×Á. îÁ ÜÔÏÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔÓÑ: ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÒÁ×ÅÎ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÍÕ, ÏÜÔÏÍÕ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÉÑ

F

ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ ÆÕÎË-

u.

îÁÞÎ£Í ÓÏ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ: ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÒÁÓÔÉ ÏÞÅÎØ ÂÙÓÔÒÏ. á ÉÍÅÎÎÏ, ××ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ

j

x

y

j=

n X

j

j

xi

i=1

(4)

yi :

ÏÇÄÁ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÒÏÓÔÁÑ Ï ÅÎËÁ ÒÏÓÔÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ. ìÅÍÍÁ 1.

ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ

åÓÌÉ x; y

f

 ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ ÎÁ Z ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ, n

2 Z ×ÙÏÌÎÅÎÏ n

jx y j :

f (y ) < f (x)(2n)

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

äÌÑ ÓÌÕÞÁÑ

y

=

x

(5)

+ ek ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (5) ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ

ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÏÓÔÉ É ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ:

h ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÚÁ j 2nf (x) =

f (y )

+ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ x

ÅÒÅÊÔÉ ÉÚ

x

×

y.

y

i

> f (y ):

j ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÛÁÇÏ× Ï ÒÅÛÅÔËÅ Z

óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÒÉ ÏÍÏÝÉ (5) ÚÎÁÞÅÎÉÅ

n

f (x)

Ó

f (0)

= 1, ÏÌÕÞÁÅÍ

ÍÏÖÎÏ



äÉÓËÒÅÔÎÙÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 1. åÓÌÉ

147

f 2 F , ÔÏ (2n) jxj < f (x) < (2n)jxj .

Zn ÓÞÅÔÎÏ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ' : Zn ! N ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ N . þÅÒÅÚ ak ÂÕÄÅÍ ÏÂÏ-

ÁË ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

Zn

ÎÁ

ÚÎÁÞÁÔØ ÔÁËÕÀ ÔÏÞËÕ ÒÅÛÅÔËÉ

x, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ '(x) = k.

Zn

ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ ËÁË ÍÙ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÌÉ ÔÏÞËÉ ÒÅÛÅÔËÉ, ÎÁ ÆÕÎË ÉÑÈ ÉÚ

f  g ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, f (ak ) < g(ak ) ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ k, Á ÎÁ ×ÓÅÈ ÍÅÎØÛÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÆÕÎË ÉÉ ÒÁ×ÎÙ f (ai ) = g (ai ) ÒÉ i < k . ìÅÍÍÁ 2. åÓÌÉ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å F ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÁÑ ÆÕÎË ÉÑ M É ÎÁÉÍÅÎØÛÁÑ ÆÕÎË ÉÑ m, ÔÏ M = m = u. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÌÑ f 2 F ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÆÕÎË ÉÉ Si f : Si f (x) = f (x)f (ei ) f (x + ei )f (0) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x 2 Zn: (6) æÕÎË ÉÑ Si f ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ, ÔÁË ËÁË Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ f (x) É f (x + ei ). ðÒÉ ÜÔÏÍ Si f (0) = 0.

×

R

×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÊ ÏÒÑÄÏË:

ËÏÇÄÁ

éÚ Ï ÅÎËÉ ÒÏÓÔÁ (5) ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ

jS f (x)j 6 jf (x)j
jf (e )j + jf (x + e )j < 4njf (x)j : ðÏÜÔÏÍÕ ÆÕÎË ÉÉ f  (4n) 1 S f ÔÁËÖÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ F . i

åÓÌÉ + (4 ) 1

n

Si f ÎÅ Si f É f

i

i

i

f

(7)

f

ÒÁ×ÎÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ 0, ÔÏ ÌÅÖÉÔ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÖÄÕ + (4 ) 1 i × ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÍ ÏÒÑÄËÅ. ïÔÓÀÄÁ ÚÁ-

n

Sf

ËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ É ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÆÕÎË ÉÊ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

SiM

Si m = 0. Si f = 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i, ÔÏ f = u. éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× Si f (x) = f (x)f (ei ) f (x + ei )f (0) = 0 (8) =

ÅÅÒØ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ

ÓÌÅÄÕÅÔ

e) f (x) = f (ei )f (x): f (x + ei ) = ff((0) ðÏÄÓÔÁ×É× × (9) ×ÍÅÓÔÏ x ×ÅËÔÏÒ x ei , ÏÌÕÞÉÍ f (x ei ) = f (ei ) 1 f (x): i

(9)

(10)

õÓÌÏ×ÉÅ ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÏÓÔÉ × 0 Ó ÕÞ£ÔÏÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (9) É (10) ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ×ÉÄ

n=

2

n X i=1

f (ei ) + f (ei )

a

= 1, ÔÏ ÉÚ (11)




:

(11)

a ÓÕÍÍÁ a + a 1 ÎÅ ÍÅÎØÛÅ 2 É ÒÁ×ÎÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ f (ei ) = 1. îÏ ÔÏÇÄÁ ÉÚ (9)

ÁË ËÁË ÄÌÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ 2 ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ

1

148

ó. ç. óÌÏÂÏÄÎÉË

f

É (10) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÓÏÓÅÄÎÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÒÅÛÅÔËÉ ÆÕÎË ÉÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÎÁ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÁ 1.

ÒÉÎÉÍÁÅÔ



äÌÑ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÆÕÎË ÉÉ ×

F.

F ÚÁÍËÎÕÔÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ n n ÄÉÍÏÓÔÉ : ÅÓÌÉ g (x) = lim f (x) É f 2 F , ÔÏ g 2 F . n!1 ìÅÍÍÁ 3. íÎÏÖÅÓÔ×Ï

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

Ï ÅÎËÉ (5):

ÏÔÏÞÅÞÎÏÊ ÓÈÏ-

ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÅÄÅÌØÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ

n n n jxj g(x) = (2n)jxj nlim !1 f (x) > nlim !1 f (0) = 1:

(2 )

õÓÌÏ×ÉÑ ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÏÓÔÉ É ÎÏÒÍÉÒÏ×ËÉ ÒÉ ÒÅÄÅÌØÎÏÍ ÅÒÅÈÏÄÅ. ìÅÍÍÁ 4. ÷ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å

F

 ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á É ÏÔÏÍÕ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔÓÑ 

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ Ï-

ÒÑÄËÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÁÑ É ÎÁÉÍÅÎØÛÁÑ ÆÕÎË ÉÉ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

äÏËÁÖÅÍ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ, ÓÕÝÅÓÔ×Ï×Á-

ÎÉÅ ÍÉÎÉÍÕÍÁ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 1 ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÒÏÓÔÁ (5) ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÊ ÉÚ

Zn.

F

× ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÎÕÍÅÒÁ-

' ÔÏÞÅË ðÏÓÔÒÏÉÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÌÏÖÅÎÎÙÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× Fi É ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ i Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ: F0 = F; Fi = ff j f 2 Fi 1 ; f (ai ) = i g; i = sup f (ai):

ÉÅÊ

úÁÍËÎÕÔÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÉ ÏÄÎÏ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×

Fi

Fi

f 2Fi

ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÌÅÍÍÅ 3. ðÏÜÔÏÍÕ

=

F0 ÎÅ ÂÏÌØÛÅ M

M ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ M (ak ) = k , Fi . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÌÀÂÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÉÚ

ÎÅ ÕÓÔÏ, Á ÆÕÎË ÉÑ

ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ×ÓÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ

F

1

Ï ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ.



óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1℄ ûÏÌØ Å ð. ï ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÑÈ ÎÁ ÒÅÛÅÔËÅ // íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. ÒÅÔØÑ ÓÅÒÉÑ. ÷Ù. 10. 2005.

ó. 236{242.

ó. ç. óÌÏÂÏÄÎÉË, íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÉÎÓÔÉÔÕÔ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ Email:

sam-slobmail.ru

149

ïÄÎÁ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ ä. á. íÉÈÁÌÉÎ

é. í. îÉËÏÎÏ×

úÁÍÅÔËÁ ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÒÅÛÅÎÉÀ ÚÁÄÁÞÉ 10.10 ÉÚ ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс É ÒÏÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÏÒÏÓÁÍ.

îÁ×ÅÒÎÏÅ, ËÁÖÄÙÊ, ËÔÏ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌ × ÒÁÂÏÔÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÒÕÖËÏ×, ÉÍÅÌ ÄÅÌÏ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅÊ: úÁÄÕÍÁÎÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÍÅÎØÛÅÅ 1024. îÁ ËÁÖÄÙÊ ×ÏÒÏÓ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ €ÄÁ ÉÌÉ €ÎÅԁ. úÁ ËÁËÏÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÏÒÏÓÏ× ÍÏÖÎÏ ÕÇÁÄÁÔØ ÚÁÄÕÍÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ?

üÔÏ ÔÉÉÞÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ ÔÅÍÙ ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ËÏÇÄÁ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÉÚ×ÌÅÞØ ÍÁËÓÉÍÕÍ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ ÉÚ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ (× ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ

 ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ ÏÔ×ÅÔÏ× ÎÁ ×ÏÒÏÓÙ). óÕÝÅ-

ÓÔ×ÕÅÔ ÅÌÙÊ ËÌÁÓÓ ÚÁÄÁÞ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÔÒÅÂÕÀÔ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÎÉÊ, ÎÏ ÈÏÒÏÛÏ ÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÀÔ ÉÄÅÉ ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ: ÜÔÏ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ. ðÕÓÔØ ÄÁÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÍÏÎÅÔ, É ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÏÄÎÁ ÍÏÎÅÔÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ, Á

 ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ×ÅÓÁ, Á ÆÁÌØ ÄÒÕÇÏÇÏ ×ÅÓÁ. ÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÀÝÉÊ ÏÒÅ-

ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÎÁÓÔÏÑÝÉÅ, ÒÉÞÅÍ ×ÓÅ ÎÁÓÔÏÑÝÉÅ ÛÉ×ÁÑ

ÄÅÌÅÎÉÅ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ ÚÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÎÁ ÞÁÛÅÞÎÙÈ ×ÅÓÁÈ ÂÅÚ ÇÉÒØ. ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ (Ô. Å. ÌÅÇÞÅ ÏÎÁ ÉÌÉ ÔÑÖÅÌÅÅ ÎÁÓÔÏÑÝÉÈ), ×

ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÔ; × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÎÏÇÄÁ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ, ÉÎÏÇÄÁ ÎÅÔ. åÓÌÉ ÒÁÚÎÉ Á × ×ÅÓÅ ÍÅÖÄÕ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ É ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÍÏÎÅÔÁÍÉ ÍÅÎØÛÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ×ÅÓÁ ÍÏÎÅÔÙ, ÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÎÁ ÞÁÛËÁÈ ÌÅÖÉÔ ÒÁÚÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÎÅÔ, ÏÒÅÄÅÌÅÎ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, É ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÏÄÉÔØ ÌÉÛØ ÔÁËÉÅ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÍÏÎÅÔ ÎÁ ÞÁÛËÁÈ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ï ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ É ÏÊÄÅÔ ÒÅÞØ. òÁÚÌÉÞÎÙÅ ÔÉÙ ÚÁÄÁÞ ÎÁ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÙ × ËÎÉÇÅ á. í. É é. í. ñÇÌÏÍÏ× €÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ É ÉÎÆÏÒÍÁ Éс [1, Ó. 146{163℄. îÁÉÂÏÌØÛÅÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÕÄÅÌÅÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÓÌÕÞÁÀ: ÓÒÅÄÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÍÏÎÅÔ ÚÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÏÎÅÔÕ É ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÅÅ òÅÄ. á. ñ. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ×, â. ò. æÒÅÎËÉÎ

150

ä. á. íÉÈÁÌÉÎ, é. í. îÉËÏÎÏ×

ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ [1, Ó. 157{162℄. ðÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÚÁ

n

×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÜÔÏ

ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÍÏÎÅÔ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ (3n

3)=2. ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ × ÆÏÌØË-

ÌÏÒÅ ÚÁÄÁÞÉ [2, Ó. 10{11, ÚÁÄÁÞÁ 6Á℄: óÒÅÄÉ

12 ÍÏÎÅÔ ÉÍÅÅÔÓÑ 1 ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ, ÒÉÞÅÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÌÅÇÞÅ ÏÎÁ

ÉÌÉ ÔÑÖÅÌÅÅ. úÁ ÔÒÉ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ ÎÕÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÏÎÅÔÕ É ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ.

÷ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÓÂÏÒÎÉËÅ ä. ï. ûËÌÑÒÓËÏÇÏ, î. î. þÅÎ Ï×Á É é. í. ñÇÌÏÍÁ [2, Ó. 11℄ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÅÒÅÛÅÎÎÏÊ ÂÙÌÁ ÏÓÔÁ×ÌÅÎÁ ÔÁËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ (ÎÏÍÅÒ 6Â): ÓÒÅÄÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÍÏÎÅÔ ÎÁÊÔÉ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÚÁ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ, ÅÓÌÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ É ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ. á×ÔÏÒÁÍ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÓÔÁÔØÉ ÕÄÁÌÏÓØ ÒÅÛÉÔØ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ. íÙ ÏËÁÖÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ:

n

íÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÎÅÔ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÚÁ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ, ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÑÑ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ, ÒÁ×ÎÏ

(3n

1)=2.

üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÏËÌÁÄÙ×ÁÌÓÑ × 1994 Ç. ÎÁ ÎÁÕÞÎÏÊ ËÏÎÆÅÒÅÎ ÉÉ ÛËÏÌØÎÉËÏ× €ðÏÉÓˁ (ÒÅÄÓÅÄÁÔÅÌØ ÏÒÇËÏÍÉÔÅÔÁ á. ñ. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ×, ÎÁÕÞÎÙÊ ÒÕËÏ×ÏÄÉÔÅÌØ ÒÁÂÏÔÙ ó. é. ëÏÍÁÒÏ×). íÙ ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÙ . ëÏÍÒÁÚÕ É á. ñ. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ×Õ ÚÁ ÏÌÅÚÎÏÅ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÅ. þÁÓÔØ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ ÏÕÂÌÉËÏ×ÁÎÁ × ÚÁÍÅÔËÅ [3℄. äÌÑ ÏÌÎÏÔÙ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÒÑÄ ÚÁÄÁÞ (1,

2, 10 , 4) Ï×ÔÏÒÑÅÔ ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ ËÎÉÇÉ á. í. É é. í. ñÇÌÏÍÏ× [1℄. á×ÔÏÒÙ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑÔ ÒÅÄÁËÔÏÒÏ× ÓÔÁÔØÉ á. ñ. ëÁÎÅÌÑ-âÅÌÏ×Á É â. ò. æÒÅÎËÉÎÁ ÚÁ ÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ÍÁÔÅÒÉÁÌ. 1. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÓÌÕÞÁÉ

îÁÞÎÅÍ Ó ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÏÇÏ ×ÏÒÏÓÁ. ûÉÒÏËÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÚÁÄÁÞÁ: úÁÄÁÞÁ 1. äÁÎÏ

3n ÍÏÎÅÔ, ÉÚ ÎÉÈ ÏÄÎÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ. úÁ ËÁËÏÅ ÍÉÎÉ-

ÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÏÎÅÔÕ, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÔÑÖÅÌÅÅ ÎÁÓÔÏÑÝÉÈ ?

òÅÛÅÎÉÅ.

ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÓÅÇÏ ÍÏÎÅÔ 3n , ÔÏ ÒÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÏÔ-

ÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÍ ×ÅÓÅ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÏÎÅÔÕ ÚÁ åÓÌÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÍÏÎÅÔ ÂÏÌØÛÅ

3n , ÔÏ

n

n

×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ.

×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ.

üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÁÌÉÞÉÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ, ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÁÓÔÏÑÝÉÈ ÍÏÎÅÔ.

n

n. óÌÕÞÁÊ n = 0 ÔÒÉ×ÉÁÌÅÎ. ðÕÓÔØ n > 0 É ÄÌÑ 1 ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ. òÁÚÏÂØÅÍ ÍÏÎÅÔÙ ÎÁ ÔÒÉ ÇÒÕÙ Ï 3n 1 ÍÏÎÅÔ

ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÉÎÄÕË ÉÀ Ï

× ËÁÖÄÏÊ É ×Ú×ÅÓÉÍ ÅÒ×ÙÅ Ä×Å. åÓÌÉ ×ÅÓÁ ÒÁ×ÎÙ, ÔÏ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ



× ÏÓÔÁ×ÛÅÊÓÑ ËÕÞÅ. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÌÅÇÞÅ, ÔÏ ÏÎÁ × ÂÏÌÅÅ ÌÅÇËÏÊ ÇÒÕÅ, Á ÅÓÌÉ ÔÑÖÅÌÅÅ



× ÂÏÌÅÅ ÔÑÖÅÌÏÊ. ÷ ÌÀÂÏÍ ÓÌÕ-

ÞÁÅ ÏÓÌÅ ÅÒ×ÏÇÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ ÇÒÕÁ ÍÏÎÅÔ, ÓÒÅÄÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄÅÔ ÏÉÓË,

ïÄÎÁ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ ÕÍÅÎØÛÉÌÁÓØ × ÔÒÉ ÒÁÚÁ. úÎÁÞÉÔ, ÚÁ

n

151

×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÏÎÅÔÕ

ÎÁÊÔÉ ÍÏÖÎÏ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÎÅÌØÚÑ ÏÂÏÊÔÉÓØ ÍÅÎØÛÉÍ ÞÉÓÌÏÍ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ. ðÕÓÔØ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ

k

ÏÄÏÚÒÉÔÅÌØÎÙÈ ÍÏÎÅÔ (ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÄÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÆÁÌØ-

ÛÉ×ÕÀ) É, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÓËÏÌØËÏ-ÔÏ ÍÏÎÅÔ, ÒÏ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÁÓÔÏÑÝÉÅ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÌÀÂÏÇÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÄÏÚÒÉÔÅÌØÎÙÈ ÍÏÎÅÔ ÍÏÖÅÔ ÕÍÅÎØÛÉÔØÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ×ÔÒÏÅ. ÷ÓÅÇÏ ÉÍÅÅÔÓÑ

k

×ÁÒÉÁÎÔÏ× (k ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅ-

ÔÙ.) ëÁÖÄÏÅ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÔÒÉ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÉÓÈÏÄÁ (ÅÒÅ×ÅÓÉÌÁ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÛËÁ, ÅÒÅ×ÅÓÉÌÁ ÒÁ×ÁÑ, ÕÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÌÉÓØ). òÁÚÎÙÍ ÉÓÈÏÄÁÍ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÒÁÚÎÙÅ ×ÁÒÉÁÎÔÙ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÁÒÉÁÎÔÙ ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ ÔÒÉ ÇÒÕÙ. ïÄÎÁ ÉÚ ÇÒÕ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÔÒÅÔÉ ÏÔ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÏÔËÕÄÁ É ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. úÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÓÌÏÖÎÅÅ ÓÒÅÄÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÍÏÎÅÔ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ, ÅÓÌÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ. úÁÄÁÞÁ 2. äÏËÁÖÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ.

Á) åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ ÍÏÎÅÔ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ (3n +1)=2, ÔÏ ÚÁ

n ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÎÅÌØÚÑ

ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÏÎÅÔÕ, ÕÚÎÁ× ÒÉ ÜÔÏÍ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ, ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÎÁÓÔÏÑÝÉÈ ÍÏÎÅÔ.

Â) åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ ÍÏÎÅÔ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ (3n

ÓÔÏÑÝÉÈ ÍÏÎÅÔ, ÔÏ ÚÁ

n

1)=2 É ÎÅÔ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÎÁ-

×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÎÅÌØÚÑ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÏÎÅÔÕ,

ÕÚÎÁ× ÒÉ ÜÔÏÍ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ. òÅÛÅÎÉÅ.

Á) óÌÕÞÁÊ

n=

0 ÔÒÉ×ÉÁÌÅÎ. ðÕÓÔØ

n>0

É ÄÌÑ

n

1 ÕÔ×Å-

ÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ. ðÏÓÌÅ ÅÒ×ÏÇÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙ Ä×Å ÓÉÔÕÁ ÉÉ. 1) ïÓÔÁÌÏÓØ ÎÅ ÍÅÎÅÅ (3n 1 + 1)=2 ÎÅÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÏÎÅÔ. ÏÇÄÁ × ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÑ ×ÓÅ ÏÎÉ ÏÄÏÚÒÉÔÅÌØÎÙ, É Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ

n 1 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÎÅ È×ÁÔÉÔ. 2) ÷Ú×ÅÛÅÎÙ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ 3n 1 ÍÏÎÅÔ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÑ ÌÀÂÁÑ ÉÚ

ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ

ÎÉÈ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ. ÏÇÄÁ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ × ÚÁÄÁÞÅ 1, ÚÁ ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ

n

1 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ (ÄÁÖÅ ÒÉ

ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÍ ×ÅÓÅ), É ÜÔÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÎÁÌÉÞÉÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÎÁÓÔÏÑÝÉÈ ÍÏÎÅÔ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Á) ÄÏËÁÚÁÎÏ. Â) óÌÕÞÁÊ

n

= 0 ÔÒÉ×ÉÁÌÅÎ. ðÕÓÔØ

n >

0 É ÄÌÑ

n

1 ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ

×ÅÒÎÏ. ðÏÓÌÅ ÅÒ×ÏÇÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÉÔÕÁ ÉÉ. 1) ïÓÔÁÌÏÓØ ÎÅ ÍÅÎÅÅ (3n 1 + 1)=2 ÎÅÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÙÈ ÍÏÎÅÔ. ÏÇÄÁ × ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÑ ×ÓÅ ÏÎÉ ÏÄÏÚÒÉÔÅÌØÎÙ, É ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ . Á) ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ

n

1 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÎÅ È×ÁÔÉÔ. 2) ÷Ú×ÅÛÅÎÏ ÎÅ ÍÅÎÅÅ 3n 1 ÍÏÎÅÔ. îÏ ÎÁ ÞÁÛËÁÈ ÒÁ×ÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÍÏÎÅÔ, ÏÜÔÏÍÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×Ú×ÅÛÅÎÎÙÈ ÞÅÔÎÏ É, ÚÎÁÞÉÔ, ÂÏÌØÛÅ 3n 1 .

152

ä. á. íÉÈÁÌÉÎ, é. í. îÉËÏÎÏ×

÷ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÑ ×ÓÅ ÏÎÉ ÏÄÏÚÒÉÔÅÌØÎÙ, É, × ÓÉÌÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÚÁÄÁÞÉ 1, ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ

n

1 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÎÅ È×ÁÔÉÔ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Â) ÄÏËÁÚÁÎÏ.

ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÅÓÌÉ

ÚÁ

n

n>

1 É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÍÏÎÅÔ ÒÁ×ÎÏ (3n

1)=2, ÔÏ

×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ (ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÑÑ ÅÅ ÏÔ-

ÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ ). åÓÌÉ ÖÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÍÏÎÅÔ ÍÅÎØÛÅ (3n

1)=2, ÔÏ

ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ É ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ. üÔÏ ÂÕÄÅÔ ÏËÁÚÁÎÏ × ÒÁÚ-

ÄÅÌÅ 2. óÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÏÄÓÞÅÔÏÍ ÞÉÓÌÁ ÉÓÈÏÄÏ× ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ, ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÒÉÊÔÉ Ë ÏÔÉÍÁÌØÎÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁÍ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ. îÁÄÏ ÔÁË ÏÄÂÉÒÁÔØ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ, ÞÔÏÂÙ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÁÒÉÁÎÔÏ×, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÈ ÔÒÅÍ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÉÓÈÏÄÁÍ, ÄÅÌÉÌÏÓØ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ. ÁË ÍÏÖÎÏ ÒÉÄÕÍÁÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÊ × ÒÁÚÄÅÌÅ 2, É ÄÏËÁÚÁÔØ Ï ÅÎËÕ ÉÚ ÒÁÚÄÅÌÁ 3. õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.

Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÚÁÄÁÞÅ Ï 12 ÍÏÎÅÔÁÈ (ÓÍ. ÎÁÞÁÌÏ

ÓÔÁÔØÉ) ÒÉ ÅÒ×ÏÍ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÌÏÖÉÔØ ÎÁ ÞÁÛËÉ Ï 4 ÍÏÎÅÔÙ, Á 4 ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÎÅ×Ú×ÅÛÅÎÎÙÍÉ. Â) ðÏËÁÖÉÔÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ (Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÒÅÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÍÏÎÅÔ) ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 1.

2. ðÏÄÇÏÔÏ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ

îÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÕÓÌÏÖÎÅÎÎÙÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÚÁÄÁÞÉ 1: úÁÄÁÞÁ

10 . äÁÎÏ 3n ÍÏÎÅÔ, ÉÚ ÎÉÈ ÏÄÎÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ. úÁ ËÁËÏÅ ÍÉÎÉ-

ÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÏÎÅÔÕ, ÅÓÌÉ ÒÏ ËÁÖÄÕÀ ÍÏÎÅÔÕ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ËÁËÏ× ÏËÁÖÅÔÓÑ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ × ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ? òÅÛÅÎÉÅ.

ïÔ×ÅÔ ÓÎÏ×Á

ÔÉ×ÎÙÊ ÅÒÅÈÏÄ ÏÔ

n

1 Ë

n. óÌÕÞÁÊ n = 0 ÔÒÉ×ÉÁÌÅÎ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÉÎÄÕËn. ÷ÓÅ 3n ÍÏÎÅÔ ÒÁÓÁÄÁÀÔÓÑ ÎÁ Ä×Å ÇÒÕÙ:

€ÌÅÇËÕÀ É €ÔÑÖÅÌÕÀ. ÷ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÇÒÕ ÞÅÔÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÍÏÎÅÔ, × ÄÒÕÇÏÊ ÎÅÞÅÔÎÏÅ. ïÔÌÏÖÉÍ × ÓÔÏÒÏÎÕ 3n 1 ÍÏÎÅÔ, ÒÉÞÅÍ × ÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÂÕÄÅÍ ÏÔËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÉÚ €ÎÅÞÅÔÎÏʁ ÇÒÕÙ. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ Õ ÎÁÓ × ËÁÖÄÏÊ ÇÒÕÅ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÞÅÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÎÅÔ (×ÏÚÍÏÖÎÏ, × €ÎÅÞÅÔÎÏʁ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ 0). ÅÅÒØ ËÁÖÄÕÀ ÇÒÕÕ ÒÁÚÄÅÌÉÍ ÏÏÌÁÍ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÞÁÛËÁÍÉ ×ÅÓÏ×. åÓÌÉ ÞÁÛËÉ ÕÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÌÉÓØ, ÔÏ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÓÒÅÄÉ 3n 1 ÏÔÌÏÖÅÎÎÙÈ, É Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ÍÙ ÎÁÊÄÅÍ ÅÅ ÚÁ ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ

n

ÔÁ

1 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ. åÓÌÉ ÞÁÛËÉ ÎÅ ÕÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÌÉÓØ, ÔÏ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅ-

 ÌÉÂÏ ÓÒÅÄÉ €ÌÅÇËÉȁ ÍÏÎÅÔ Ó ÌÅÇËÏÊ ÞÁÛËÉ, ÌÉÂÏ ÓÒÅÄÉ €ÔÑÖÅÌÙȁ Ó

ÔÑÖÅÌÏÊ. ðÏÄÏÚÒÉÔÅÌØÎÙÅ ÍÏÎÅÔÙ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÌÏ×ÉÎÕ ÏÔ ×Ú×ÅÛÅÎÎÙÈ, Ô. Å. ×ÓÅÇÏ ÉÈ 3n 1 , É Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ÎÁÍ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÅÝÅ ÎÅ ÂÏÌÅÅ

n

1 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ. îÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔØ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÞÉÓÌÁ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ

ïÄÎÁ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ

153

(ÄÁÖÅ ÒÉ ÎÁÌÉÞÉÉ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÎÁÓÔÏÑÝÉÈ ÍÏÎÅÔ) ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁË ÖÅ, ËÁË × ÚÁÄÁÞÅ 1.

úÁÄÁÞÁ 3. ðÕÓÔØ n > 0. äÏËÁÖÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ. Á) ðÕÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÍÏÎÅÔ ÒÁ×ÎÏ (3n

1)=2 É ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÏÄÎÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ. ÏÇÄÁ, ÏÌÏÖÉ× ÒÉ ÅÒ×ÏÍ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÉ ÎÁ ÞÁÛËÉ ×ÅÓÏ× Ï (3n 1 1)=2 ÍÏÎÅÔ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÚÁ

n

×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ

ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ.

 ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÉ×

Â) åÓÌÉ ÉÍÅÅÔÓÑ (3n + 1)=2 ÍÏÎÅÔ É ÏÄÎÁ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÁÓÔÏÑÝÁÑ, ÔÏ

ÔÁËÖÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ

n

×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ.

òÅÛÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ n = 1. ÏÇÄÁ × . Á) Õ ÎÁÓ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ ÍÏÎÅÔÁ (ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ). ÷ . Â) Õ ÎÁÓ 2 ÏÄÏÚÒÉÔÅÌØÎÙÈ ÍÏÎÅÔÙ, 1 ÎÁÓÔÏÑÝÁÑ É 1 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅ. óÒÁ×ÎÉ× ÏÄÎÕ ÉÚ ÏÄÏÚÒÉÔÅÌØÎÙÈ ÍÏÎÅÔ Ó ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ, ÎÁÊÄÅÍ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÏÎÅÔÕ. (íÙ ÎÅ ÕÚÎÁÅÍ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ, ÅÓÌÉ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÎÅ×Ú×ÅÛÅÎÎÏÊ.) ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ

n >

1 É ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ×ÅÒÎÙ ÄÌÑ

n.

äÏËÁÖÅÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÄÌÑ

n

1.

ðÕÎËÔ Á). ðÅÒ×ÏÅ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎ-

ÓÔ×Ï (3n

1)=2 = (3n 1

1)=2 + (3n 1

ËÁÖÄÕÀ ÞÁÛËÕ ×ÅÓÏ× (3n 1

1)=2 + (3n 1 + 1)=2. ðÏÌÏÖÉÍ ÎÁ

1)=2 ÍÏÎÅÔ.

óÌÕÞÁÊ 1.1. þÁÛËÉ ÕÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÌÉÓØ. ÏÇÄÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÓÒÅÄÉ

ÔÅÈ (3n 1 + 1)=2 ÍÏÎÅÔ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÎÅ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÌÉ. ÁË ËÁË ÉÍÅÀÔÓÑ ÚÁ-

×ÅÄÏÍÏ ÎÁÓÔÏÑÝÉÅ ÍÏÎÅÔÙ (×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ), Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÏÎÅÔÕ ÚÁ ÏÓÔÁ×ÛÉÅÓÑ

n

1 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ.

óÌÕÞÁÊ 1.2. ðÒÉ ÅÒ×ÏÍ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ÞÁÛÅË (ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÎÏ-

ÓÔÉ, ÌÅ×ÁÑ) ÅÒÅ×ÅÓÉÌÁ. ÏÇÄÁ (3n 1 + 1)=2 ÍÏÎÅÔ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÎÅ ×Ú×ÅÛÉ-

×ÁÌÉ, ÎÁÓÔÏÑÝÉÅ. îÁÚÏ×ÅÍ ÍÏÎÅÔÙ ÎÁ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÛËÅ €ÔÑÖÅÌÙÍɁ (Ô. Å. ÅÓÌÉ



ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÅÓÔØ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ, ÔÏ ÏÎÁ ÔÑÖÅÌÅÅ), Á ÍÏÎÅÔÙ ÎÁ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÛËÅ €ÌÅÇËÉÍɁ. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÍ ÔÁËÏÅ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅ: ÎÁ ÌÅ×ÕÀ ÞÁÛËÕ ÏÌÏÖÉÍ 3n 2 ÎÁÓÔÏÑÝÉÈ É (3n 2 1)=2 €ÔÑÖÅÌÙȁ ÍÏÎÅÔ, Á ÎÁ ÒÁ×ÕÀ ÞÁÛËÕ 3n 2 €ÔÑÖÅÌÙȁ É (3n 2

1)=2 €ÌÅÇËÉȁ. ëÒÏÍÅ ÜÔÏÇÏ, ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ 3n 2 €ÌÅÇËÉȁ ÍÏÎÅÔ

É ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÁÓÔÏÑÝÉÈ.

÷ÔÏÒÏÅ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅ. óÌÕÞÁÊ 2.1. þÁÛËÉ ÕÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÌÉÓØ. ÏÇÄÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÓÒÅÄÉ ÔÅÈ 3n 2 €ÌÅÇËÉȁ ÍÏÎÅÔ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÎÅ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÌÉ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÎÁ ÌÅÇÞÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ ÚÁÄÁÞÉ 1, ÎÁÍ ÔÅÅÒØ È×ÁÔÉÔ

n

2 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ, É ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÛÅÎÁ.

óÌÕÞÁÊ 2.2. ìÅ×ÁÑ ÞÁÛËÁ ÅÒÅ×ÅÓÉÌÁ. ÏÇÄÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ

ÓÒÅÄÉ (3n 2

1)=2 €ÔÑÖÅÌÙȁ ÎÁ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÛËÅ, ÉÌÉ ÓÒÅÄÉ (3n 2

 ÉÌÉ

1)=2 €ÌÅÇ-

ËÉȁ ÎÁ ÒÁ×ÏÊ. îÏ ÔÁËÁÑ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ×ÏÚÍÏÖÎÁ ÏÓÌÅ ÅÒ×ÏÇÏ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ (3n 1 1)=2 ÍÏÎÅÔ (ÔÁË ËÁË ÍÙ ÔÏÇÄÁ ËÌÁÄÅÍ ÎÁ ÞÁÛËÉ Ï (3n 2 1)=2 ÍÏÎÅÔ), É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÏÎÅÔÕ ÚÁ

n

2 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ. úÁÄÁÞÁ ÒÅÛÅÎÁ.

154

ä. á. íÉÈÁÌÉÎ, é. í. îÉËÏÎÏ×

óÌÕÞÁÊ 2.3. ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÛËÁ ÅÒÅ×ÅÓÉÌÁ. ÏÇÄÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÓÒÅÄÉ ÔÅÈ 3n 2 €ÔÑÖÅÌÙȁ ÍÏÎÅÔ, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÛËÅ. óÏÇÌÁÓÎÏ

ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ ÚÁÄÁÞÉ 1, ÎÁÍ ÔÅÅÒØ È×ÁÔÉÔ

n

2 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ

Á) ÄÏËÁÚÁÎÏ.

ðÕÎËÔ Â). ðÅÒ×ÏÅ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅ. ðÏÌÏÖÉÍ ÎÁ ÌÅ×ÕÀ ÞÁÛËÕ ×ÅÓÏ× (3n 1 + 1)=2 ÏÄÏÚÒÉÔÅÌØÎÙÈ ÍÏÎÅÔ, Á ÎÁ ÒÁ×ÕÀ (3n 1 1)=2 ÏÄÏÚÒÉÔÅÌØÎÙÈ É 1 ÎÁÓÔÏÑÝÕÀ.



óÌÕÞÁÊ 1.1. þÁÛËÉ ÕÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÌÉÓØ. ÏÇÄÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÓÒÅÄÉ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ (3n 1 + 1)=2, É Ï ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ ÍÙ ÎÁÊÄÅÍ ÅÅ ÚÁ

n

1 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ (ÒÁÓÏÌÁÇÁÑ ÎÁÓÔÏÑÝÅÊ ÍÏÎÅÔÏÊ). óÌÕÞÁÊ

1.2. þÁÛËÉ ÎÅ ÕÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÌÉÓØ. óÎÉÍÅÍ Ó ×ÅÓÏ× ÎÁÓÔÏÑÝÕÀ ÍÏ-

ÎÅÔÕ. îÁ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÞÁÛÅË ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÞÅÔÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÄÏÚÒÉÔÅÌØÎÙÈ ÍÏÎÅÔ, Á ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ ÎÅÞÅÔÎÏÅ. óÎÉÍÅÍ Ó €ÎÅÞÅÔÎÏʁ ÞÁÛËÉ 3n 2 ÍÏÎÅÔ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÍÏÎÅÔÙ Ó ÜÔÏÊ ÞÁÛËÉ ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÍ ÏÒÏ×ÎÕ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÞÁÛËÁÍÉ. íÏÎÅÔÙ Ó €ÞÅÔÎÏʁ ÞÁÛËÉ ÔÁËÖÅ ÒÁÓÒÅÄÅÌÉÍ ÏÒÏ×ÎÕ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÞÁÛËÁÍÉ.

÷ÔÏÒÏÅ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅ. ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ

óÌÕÞÁÊ

2.1. þÁÛËÉ ÕÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÌÉÓØ. ÏÇÄÁ 2 ÍÏÎÅÔ, ×ÚÑÔÙÈ Ó €ÎÅÞÅÔÎÏʁ

 ÓÒÅÄÉ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ 3n

ÞÁÛËÉ. íÙ ÚÎÁÅÍ, ËÁËÁÑ ÞÁÛËÁ ÅÒÅ×ÅÓÉÌÁ ÒÉ ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÉ

 €ÎÅÞÅÔÎÁс ÉÌÉ €ÞÅÔÎÁс. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ

ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ, É ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ ÚÁÄÁÞÉ 1 ÍÙ ÎÁÊÄÅÍ ÅÅ ÔÅÅÒØ ÚÁ

n

2 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ.

óÌÕÞÁÊ

2.2. þÁÛËÉ ÎÅ ÕÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÌÉÓØ. ÏÇÄÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ

 ÓÒÅ-

ÄÉ ÔÅÈ ÍÏÎÅÔ, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÉÂÏ ÒÉ ÏÂÏÉÈ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑÈ ÂÙÌÉ ÎÁ €ÔÑÖÅÌÏʁ ÞÁÛËÅ, ÌÉÂÏ × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÂÙÌÉ ÎÁ €ÌÅÇËÏʁ. ÁËÉÈ ÍÏÎÅÔ 3n 2 . ðÒÏ ËÁÖÄÕÀ ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ËÁËÉÍ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ ÚÁÄÁÞÉ 10 , ÎÁÍ ÔÅÅÒØ È×ÁÔÉÔ

n

2 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ.

õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Â) ÄÏËÁÚÁÎÏ.

õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÍ ÚÁÁÓÅ ÎÁÓÔÏÑÝÉÈ

ÍÏÎÅÔ (ËÁËÏÍ ÉÍÅÎÎÏ?) ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÓÒÅÄÉ (3n ÍÏÎÅÔ É ÎÁÊÔÉ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ ÚÁ

úÁÄÁÞÁ 4.

äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ

n

(3n

1)=2

×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ. 3)=2 ÍÏÎÅÔ ÚÁ

n

×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ

ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÏÎÅÔÕ É ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ.

òÅÛÅÎÉÅ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 3Á ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÍÏÎÅÔÁ, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÉ ÒÁÚÕ ÎÅ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÌÁÓØ. åÓÌÉ × ËÁËÏÊÔÏ ÍÏÍÅÎÔ ÎÕÖÎÏ ÏÌÏÖÉÔØ ÎÁ ×ÅÓÙ ËÁËÉÅ-ÔÏ ÉÚ ÅÝÅ ÎÅ ×Ú×ÅÛÅÎÎÙÈ ÍÏÎÅÔ, ÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ ÌÀÂÙÅ ÉÚ ÎÉÈ, ÔÁË ËÁË ×ÓÅ ÎÅ×Ú×ÅÛÅÎÎÙÅ ÍÏÎÅÔÙ ÄÌÑ ÎÁÓ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù. ÅÅÒØ ×ÏÚØÍÅÍ (3n

3)=2 ÍÏÎÅÔ É ÍÙÓÌÅÎÎÏ ÄÏÂÁ×ÉÍ

Ë ÎÉÍ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÎÁÓÔÏÑÝÕÀ ÍÏÎÅÔÕ. âÕÄÅÍ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ Ï ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ

ïÄÎÁ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ

155

ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 3, ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚ ×ËÌÀÞÁÑ ×ÏÏÂÒÁÖÁÅÍÕÀ ÍÏÎÅÔÕ × ÞÉÓÌÏ ÎÅ×Ú×ÅÛÅÎÎÙÈ. ðÒÉ ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÅ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÌÉÂÏ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÎÅ×Ú×ÅÛÅÎÎÏÊ (ÎÏ × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ), ÌÉÂÏ ÏÁÄÅÔ ÎÁ ×ÅÓÙ, É ÔÏÇÄÁ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ. õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3.

íÏÄÉÆÉ ÉÒÕÊÔÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÚÁÄÁÞÉ 4 ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ ÍÏ-

ÎÅÔ, ÍÅÎØÛÅÇÏ ÞÅÍ (3n

3)=2.

3. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ

÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÂÕÄÅÔ ÒÅÛÅÎÁ úÁÄÁÞÁ 5. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÚÁ

n

×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÎÅÌØÚÑ ÉÚ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ

1)=2 ÍÏÎÅÔ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ (ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ

(3n

ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ).

òÅÛÅÎÉÅ.

ïÒÅÄÅÌÉÍ ÂÏÌÅÅ ÞÅÔËÏ, ÞÔÏ ÖÅ ÔÁËÏÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅ-

ÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ.

úÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ×ÓÅ

n

ÍÏÎÅÔ. áÌÇÏÒÉÔÍ ×Ú×ÅÛÉ-

×ÁÎÉÑ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ.

.

ÞÁÛËÕ ×ÅÓÏ×, ÍÏÎÅÔÙ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ ×ÁÀÔÓÑ.

.

i1 ; : : : ; ik1 ËÌÁÄÕÔÓÑ ÎÁ ÌÅ×ÕÀ j1 ; : : : ; jk2  ÎÁ ÒÁ×ÕÀ É ×Ú×ÅÛÉ-

îÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÅ ÍÏÎÅÔÙ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ

îÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÅ, × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ, ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÎÏÍÅÒÁ ÍÏÎÅÔ ÄÌÑ ÌÅ×ÏÊ É ÄÌÑ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÛËÉ. úÁÔÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅ.

ðÏÌÏÖÉÍ

ai

ÒÁ×ÎÙÍ 0, ÅÓÌÉ ÒÉ i-ÏÍ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÉ ÞÁÛËÉ ×ÅÓÏ× ÕÒÁ×ÎÏ-

×ÅÓÉÌÉÓØ; 1, ÅÓÌÉ ÅÒÅ×ÅÓÉÌÁ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÛËÁ;

1, ÅÓÌÉ ÅÒÅ×ÅÓÉÌÁ ÌÅ×ÁÑ. îÁ-

ÚÏ×ÅÍ ÒÏÔÏËÏÌÏÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (a1 ; a2 ; : : : ; ak ) ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ×ÅÓÏ× ÒÉ ÜÔÉÈ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅÍ

k

×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑÈ ×Ï ×ÒÅÍÑ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ. îÁÚÏ×ÅÍ

ÍÏÎÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÞÉÓÌÏ

j

(1

6 j 6 n)  ÎÏÍÅÒ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ

ÍÏÎÅÔÙ. ãÅÌØÀ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ.

ÁË ËÁË ÌÀÂÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ × ËÏÎ Å ×ÙÄÁÅÔ ÎÏÍÅÒ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ, ÏÓÎÏ×Ù×ÁÑÓØ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑÈ ×ÅÓÏ× ×Ï ×ÒÅÍÑ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ, ÔÏ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÁË ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÏÔÏËÏÌÏ× × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÍÏÎÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÍÏÎÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ

n

ÍÅÎØÛÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÒÏÔÏËÏÌÏ×, Ô. Å.

n 6 3k .

ëÁË ÏËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ (ÚÁÄÁÞÁ 4), ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÎÅÔ, ÓÒÅÄÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ É ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ ÚÁ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ, ÒÁ×ÎÏ (3k

k

3)=2. îÁ ÅÒ×ÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ,

ËÏÇÄÁ ÎÅ ÎÁÄÏ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ, ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÎÅÔ ÄÏÌÖÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÉ × Ä×Á ÒÁÚÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÄÏÌÖÎÏ ÒÁ×ÎÑÔØÓÑ 3k

3. äÌÑ ÔÒÅÈ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÔÏÇÄÁ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ

156

ä. á. íÉÈÁÌÉÎ, é. í. îÉËÏÎÏ×

ÞÉÓÌÏ ÒÁ×ÎÏ 24, ÎÏ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÏ×ÅÒËÏÊ ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÕÖÅ ÓÒÅÄÉ 14 ÍÏÎÅÔ ÎÅÌØÚÑ ÎÁÊÔÉ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÚÁ 3 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ. ðÏÞÅÍÕ ÖÅ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÍÏÎÅÔ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÍÅÎØÛÅ ÏÖÉÄÁÅÍÏÇÏ? äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÞÔÉ ×Ï ×ÓÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÙ ÕÚÎÁÅÍ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÎÏÍÅÒ ÍÏÎÅÔÙ, ÎÏ É ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ.

  ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ

îÁÚÏ×ÅÍ ÏÄÓÏÓÔÏÑÎÉÅÍ ÍÏÎÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÁÒÕ ÞÉÓÅÌ (j; i), ÇÄÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÍÏÎÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ, Á i (i =

1, ÅÓÌÉ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÌÅÇÞÅ ÎÁÓÔÏÑÝÉÈ, É

i

j

= 1, ÅÓÌÉ ÔÑÖÅÌÅÅ).

îÁÚÏ×ÅÍ ÒÏÔÏËÏÌ (0; 0; : : : ; 0) ÎÕÌÅ×ÙÍ . ÁË ËÁË ËÁÖÄÏÍÕ ÒÏÔÏËÏÌÕ ÍÏÖÅÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÍÏÎÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ

1 ÓÏÓÔÏÑÎÉÊ (É 2(n

n

1) ÏÄÓÏÓÔÏÑÎÉÊ), ËÏÔÏÒÙÍ ÓÏÏÔ×ÅÔ-

ÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÒÏÔÏËÏÌÙ. îÁÚÏ×ÅÍ ÔÁËÉÅ ÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍÉ . ïÓÎÏ×ÎÏÅ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ: ìÅÍÍÁ Ï ÒÉÎÕÄÉÔÅÌØÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. ëÁÖÄÏÍÕ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÍÕ ÒÏÔÏËÏÌÕ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÏÄÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÍÏÎÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ.

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ.

ðÕÓÔØ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÙ É ÓÏÓÔÏ-

ÑÎÉÅ ÍÏÎÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ. ðÕÓÔØ ÒÏÔÏËÏÌ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ, Ô. Å. × ËÁËÏÊ-ÔÏ ÍÏÍÅÎÔ ÏÄÎÁ ÞÁÛËÁ ÅÒÅ×ÅÓÉÌÁ ÄÒÕÇÕÀ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÔÏÇÄÁ ÎÁ ×ÅÓÁÈ ÌÅÖÁÌÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÓÏÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÒ

ÍÏÎÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ, ÎÏ É ÅÅ ÏÄÓÏÓÔÏÑÎÉÅ , Ô. Å. ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÎÏ-

ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ, ÎÏ É ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ .

÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÕÞÁÓÔ×Ï×ÁÌÁ ×Ï ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÉ, ÚÎÁÅÍ ÅÅ ÎÏÍÅÒ É ÎÁ ËÁËÕÀ ÞÁÛËÕ ÏÎÁ ÌÅÇÌÁ. îÏ Ï ÒÏÔÏËÏÌÕ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÑ É ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ÎÁ ËÁËÏÊ ÉÚ Ä×ÕÈ ÞÁÛÅË ÌÅÖÉÔ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ, ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÍ É ÅÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ. ìÅÍÍÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ. ÅÅÒØ ×ÙÂÅÒÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÚÁ ÓÒÅÄÉ

n

k

×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ

ÍÏÎÅÔ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ ÍÏÎÅÔÕ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ, ËÏÌÉÞÅ-

ÓÔ×Ï ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÏÄÓÏÓÔÏÑÎÉÊ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÒÏÔÏËÏÌÏ×, ÔÏ ÅÓÔØ 2(n

1)

6 3k

1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

n

6 (3k + 1)

=2.

äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÅÒÈÎÀÀ Ï ÅÎËÕ ÍÏÖÎÏ ÏÎÉÚÉÔØ ÅÝÅ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ . ðÕÓÔØ

= (3k + 1)=2;

 

m1 ÞÉÓÌÏ ÍÏÎÅÔ, ËÏÔÏÒÙÅ ËÌÁÄÕÔÓÑ ÎÁ ×ÅÓÙ ÒÉ ÅÒ×ÏÍ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÉ; m2 ÞÉÓÌÏ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÏÎÅÔ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ k 1 + 1)=2. ÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ×ÅÓÙ ÕÒÁ×ÎÏ×ÅÓÑÔÓÑ ÒÉ ÅÒ×ÏÍ ×Ú×ÅÛÉm2 > (3 ×ÁÎÉÉ, ÔÏ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ÜÔÉÈ m2 ÍÏÎÅÔ, É ÍÙ ÎÅ n

ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÅÅ ÚÁ

1 ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÅ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÁÂÚÁ Å. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, m2 (3k 1 + 1)=2. ÏÇÄÁ m1 3k 1 . ÁË ËÁË k 1 m1 ÞÅÔÎÏ, ÔÏ m1 > 3 . k

6

>

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ×ÅÓÙ ÒÉ ÅÒ×ÏÍ ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÉ ÎÅ ÕÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÌÉÓØ. ÏÇÄÁ ÆÁÌØÛÉ×ÁÑ ÍÏÎÅÔÁ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ÇÒÕÙ ÉÚ m1 ÍÏÎÅÔ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 2 3k 1 ÒÏÔÏËÏÌÏ×, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÜÔÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ. ÁË




ËÁË ×ÅÓÙ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ ÒÁÚ ÎÅ ÒÉÛÌÉ × ÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÅ, ÔÏ, ÏÒÅÄÅÌÉ× ÎÏÍÅÒ

ïÄÎÁ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ

157

ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ, ÍÙ ÕÚÎÁÅÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÙÊ ×ÅÓ ÍÏÎÅÔÙ, ÔÏ ÅÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÁÚÌÉÞÁÅÔ ÏÄÓÏÓÔÏÑÎÉÑ ÎÁÛÉÈ m1 ÍÏÎÅÔ. ÏÇÄÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÄÓÏÓÔÏÑÎÉÊ m1 ÍÏÎÅÔ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÏÔÏËÏÌÏ×, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÍÅÓÔÅ ÓÔÏÉÔ 1, Ô. Å. 2m1 6 2
3k 1 . úÎÁÞÉÔ, m1 6 3k 1 . îÏ m1 > 3k 1 . ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÚÁ k ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÓÒÅÄÉ n ÍÏÎÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔ ÆÁÌØÛÉ×ÕÀ, ÔÏ n 6 (3k 1)=2. õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4. ðÏËÁÖÉÔÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ (Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÒÅÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÍÏÎÅÔ) ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ×. úÁÄÁÞÁ ÎÁ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ. éÓÓÌÅÄÕÊÔÅ ÓÌÕÞÁÊ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÆÁÌØÛÉ×ÙÈ ÍÏÎÅÔ.

íÅÎÑ ÏÚÎÁËÏÍÉÌ Ó Á×ÔÏÒÁÍÉ ÜÔÏÊ ÓÔÁÔØÉ (ÔÏÇÄÁ ÛËÏÌØÎÉËÁÍÉ) ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÕÞÉÔÅÌØ  óÅÒÇÅÊ çÒÉÇÏÒØÅ×ÉÞ ò ÏÍÁÎ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ÅÇÏ ÕÖÅ ÎÅÔ × ÖÉ×ÙÈ. ûËÏÌØÎÉËÉ ÒÅÛÉÌÉ ÏÔËÒÙÔÙÊ ×ÏÒÏÓ, ÓÔÏÑ×ÛÉÊ ÏËÏÌÏ 20 ÌÅÔ. ëÒÁÔËÏÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÁÌÉÞÉÅ ÓÔÒÁÔÅÇÉÞÅÓËÏÊ, €ÆÉÌÏÓÏÆÓËÏʁ ÉÄÅÉ. é ÔÁËÁÑ ÉÄÅÑ  ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ×ÙÎÕÖÄÅÎÙ ÏÌÕÞÉÔØ,  × ÒÁÂÏÔÅ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ (ÓÍ. ÒÁÚÄÅÌ 3). úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ Á×ÔÏÒÙ, × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ÛËÏÌØÎÉËÉ, ÎÁÛÌÉ ÎÏ×ÙÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÚÁÄÁÞÁÍ ÔÅÏÒÉÉ ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÉ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ , É ÆÏÒÍÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÜÔÏ ÏÎÑÔÉÅ. ÷ÏÏÂÝÅ, Ó ÒÏ ÅÄÕÒÏÊ ÆÏÒÍÁÌÉÚÁ ÉÉ Ó×ÑÚÁÎÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏÅ Ñ×ÌÅÎÉÅ. ïÎÁ ÎÕÖÎÁ ÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ. þÔÏÂÙ ÏËÁÚÁÔØ ÎÁÌÉÞÉÅ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÉÒËÕÌÅÍ É ÌÉÎÅÊËÏÊ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÅÇÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ. æÏÒÍÁÌÉÚÁ ÉÑ ÎÅ ÎÕÖÎÁ  ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÂÝÅÇÏ ÏÎÉÍÁÎÉÑ ÒÏ ÅÄÕÒÙ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÁ ÕÒÏ×ÎÅ ÚÄÒÁ×ÏÇÏ ÓÍÙÓÌÁ. ïÄÎÁËÏ ËÏÇÄÁ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÓÁÍÕ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÒÅ×ÒÁÔÉÔØ × ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÏÂßÅËÔ, Ô. Å. ÆÏÒÍÁÌÉÚÏ×ÁÔØ . ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ ÒÉÍÅÒÙ: ÎÅÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÑÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ × ÒÁÄÉËÁÌÁÈ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ç£ÄÅÌÑ (Ï ÎÁÌÉÞÉÉ ×ÅÒÎÙÈ, ÎÏ ÎÅÄÏËÁÚÕÅÍÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ × ÁÒÉÆÍÅÔÉËÅ). ÷ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÌÁÓØ ÆÏÒÍÁÌÉÚÁ ÉÑ ÏÎÑÔÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á . ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ á. ñ. ëÁÎÅÌØ-âÅÌÏ×Á.

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1℄ ñÇÌÏÍ á. í., ñÇÌÏÍ é. í. 1973 (3-Å ÉÚÄ.).

÷ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ É ÉÎÆÏÒÍÁ ÉÑ .

í.: îÁÕËÁ,

158

ä. á. íÉÈÁÌÉÎ, é. í. îÉËÏÎÏ×

[2℄ ûËÌÑÒÓËÉÊ ä. ï., þÅÎ Ï× î. î., ñÇÌÏÍ é. í. éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ É ÔÅÏÒÅÍÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. þÁÓÔØ

1. í.: æÉÚÍÁÔÌÉÔ, 2001

(6-Å ÉÚÄ.). [3℄ íÉÈÁÌÉÎ ä., îÉËÏÎÏ× é. úÁÄÁÞÁ Ï ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÉ ÆÁÌØÛÉ×ÏÊ ÍÏÎÅÔÙ // æÕÎÄ. É ÒÉËÌ. ÍÁÔÅÍ. . 1, ‚2, 1995. ó. 561{563.

ä. á. íÉÈÁÌÉÎ é. í. îÉËÏÎÏ×

îÁÍ ÉÛÕÔ

é ×ÎÏ×Ø Ï ËÒÉÔÅÒÉÉ ëÕÒÁÔÏ×ÓËÏÇÏ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÏ× á. â. óËÏÅÎËÏ×

á. ó. ÅÌÉÛÅ×

çÒÁÆ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÁÎÁÒÎÙÍ (ÓÉÎÏÎÉÍ: ÌÏÓËÉÍ), ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÂÅÒ (ÔÏ ÅÓÔØ ÒÅÂÒÁ ÂÅÚ ÉÈ ËÏÎ Ï×) ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÌÉÓØ É ÎÅ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅËÁÌÉÓØ. ÅÏÒÅÍÁ ëÕÒÁÔÏ×ÓËÏÇÏ. çÒÁÆ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÁÎÁÒÎÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØ-

ËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÇÒÁÆÁ, ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏÇÏ ÇÒÁÆÕ

ÉÌÉ

K5

K3;3 .

ðÒÏÓÔÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔÉ × ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÒÅÄÌÏÖÅÎÏ × [1℄. üÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÎÅÍÎÏÇÏ ÕÒÏÓÔÉÔØ, ÓÄÅÌÁ× ÅÇÏ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÛÁÇ ÍÅÎÅÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÙÍ ÏÔ ÏÓÔÁÌØÎÏÇÏ. õÒÏÝÅÎÉÅ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÆÁËÔÅ. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÅÂÒÁ xy ÇÒÁÆÁ G ÇÒÁÆ G

ÉËÌÏÍ. ÏÇÄÁ

ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÇÒÁÆÏ×

G

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ÉËÌÅ

G

ðÒÉ

xy

y.

x

n

ðÕÓÔØ

K5

 ÒÅÂÒÏ ÇÒÁÆÁ

= 3 ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ×ÅÒÛÉÎ

b

É

G

ÉËÌÁ

ÉÌÉ

É

G

ðÒÉ G

x

×ÅÒÛÉÎ

n y. a

G

É Ó

x,

É Ó

y.

ðÏÜÔÏÍÕ

=

G

G

y

ÇÒÁÆ

x

ðÏÓËÏÌØËÕ ÇÒÁÆ d

ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ Ó

(É ÎÅ ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ Ó (ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÔ ÒÉ

x), n

ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. ðÒÉ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ Ó

x

É

y

x

G

b

a; b; ; d

= 4) ÎÅ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÎÉ Ó n

x,

y ),

b

×ÅÒÛÉÎÙ ÉËÌÁ ÎÉ Ó

G

G

=

K3;3 .

ÉËÌÁ

ÏÄÎÁ ÉÚ

ÄÒÕÇÁÑ ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ Ó y.

ðÒÉ

n

G

x

y y

> 5 ÏÌÕÞÁÅÍ

= 4 ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÞÅÔÙÒÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÉËÌÁ

ÏÅÒÅÍÅÎÎÏ, ÏÔËÕÄÁ

G

ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ

a; b; ; d

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌÏÍ, ÔÏ ×

(É ÎÅ ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ Ó

Á ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ

y

K5 .

> 4 ×ÏÚØÍÅÍ ÌÀÂÙÅ ÞÅÔÙÒÅ ÓÏÓÅÄÎÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ

É

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ

y

 ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ ×

x

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌÏÍ, ÏÜÔÏÍÕ ÏÓÔÁ×ÛÁÑÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÉËÌÁ (ÒÅÂÒÏÍ) ×

n

x

K3;3 .

G

x

y

160

á. â. óËÏÅÎËÏ×, á. ó. ÅÌÉÛÅ×

ÅÅÒØ ÏËÁÖÅÍ, ËÁË ÕÒÏÓÔÉÔØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ëÕÒÁÔÏ×ÓËÏÇÏ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ÄÏËÁÚÁÎÎÕÀ ÌÅÍÍÕ. âÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÇÒÁÆÙ Ó ÅÔÌÑÍÉ É ËÒÁÔÎÙÍÉ ÒÅÂÒÁÍÉ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÎÁÒÏÔÉ×, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÌÁÎÁÒÎÙÊ ÇÒÁÆ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÏÄÇÒÁÆÏ×, ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÈ ÒÅÍ ÇÒÁÆ ×ÅÒÛÉÎ.

G

K5 ÉÌÉ K3 3 . óÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÇÒÁÆÏ× ×ÙÂÅ;

Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÒÅÂÅÒ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ

÷ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÛÁÇÁÈ É × ÅÒ×ÏÍ ÁÂÚÁ Å ÔÒÅÔØÅÇÏ ÛÁÇÁ [1, Ó. 119{

121℄ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ

G x y ÷ ÏÓÔÁÔËÅ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÛÁÇÁ [1, Ó. 121{122℄ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ () G K5 K3 3 üÔÏ É ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÍÕ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ. ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÌÅÍÍÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ () ÍÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ Ï-ÄÒÕÇÏÍÕ, ÒÉÞÅÍ ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ () (ÂÅÚ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÛÁÇÁ 1 ÉÚ [1℄, ÎÅÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÁ G É ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ×ÌÏÖÅÎÉÑ × 

( )

ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÅÂÒÁ

xy

ÇÒÁÆÁ

G

ÇÒÁÆ

ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÇÒÁÆÏ×

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌÏÍ.

ÉÌÉ

;

.

ÌÏÓËÏÓÔØ).

óÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ [1℄ óËÏÅÎËÏ× á. ÷ÏËÒÕÇ ËÒÉÔÅÒÉÑ ëÕÒÁÔÏ×ÓËÏÇÏ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ ÇÒÁÆÏ× // íÁÔ. ðÒÏÓ×ÅÝÅÎÉÅ. óÅÒ. 3, ×Ù. 9, 2005. ó. 116{128.

á. â. óËÏÅÎËÏ×, íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ ÉÍ. í. ÷. ìÏÍÏÎÏÓÏ×Á, îÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ ÍÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ á. ó. ÅÌÉÛÅ×, ÇÉÍÎÁÚÉÑ ‚77, Ç. îÁÂÅÒÅÖÎÙÅ þÅÌÎÙ

161

ðÏÒÁ×ËÁ å. ä. ëÕÌÁÎÉÎ

ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, × ÓÔÁÔØÅ å. ä. ëÕÌÁÎÉÎÁ €ï ÒÑÍÙÈ óÉÍÓÏÎÁ, ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ É ËÕÂÉËÅ íÁË-ëÜс × 10 ÓÂÏÒÎÉËÅ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс ÚÁ 2006 Ç. ÎÁ Ó. 259 ÄÏÕÝÅÎÁ ÄÏÓÁÄÎÁÑ, ÎÏ ÌÅÇËÏ ÉÓÒÁ×ÉÍÁÑ ÏÛÉÂËÁ: ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÁÓÉÍÔÏÔÙ ËÕÂÉËÉ íÁË-ëÜÑ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÎÅ × ÅÎÔÒÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ, Á × ÅÎÔÒÅ ÔÑÖÅÓÔÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÉÓÒÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ ÔÅÏÒÅÍ É ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ. ÅÏÒÅÍÁ 14. ëÕÂÉËÁ íÁË-ëÜÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÉÍÅÅÔ ÔÒÉ ÁÓÉÍÔÏÔÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÅÎÔÒÅ ÔÑÖÅÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÒÑÍÙÍ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÓÑ × ÅÎÔÒÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ É ÒÏÈÏÄÑÝÉÍ ÞÅÒÅÚ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ Ó ÒÑÍÙÍÉ óÉÍÓÏÎÁ. ÅÏÒÅÍÁ 15. ðÕÓÔØ I  ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÎÁ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÇÉÅÒÂÏÌÅ , ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ F ÜÔÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÙ. ÏÇÄÁ ÁÓÉÍÔÏÔÙ ËÕÂÉË íÁË-ëÜÑ ×ÓÅÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×, ×ÉÓÁÎÎÙÈ × ÇÉÅÒÂÏÌÕ É ÏÉÓÁÎÎÙÈ ÏËÏÌÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ I , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 7. áÓÉÍÔÏÔÙ ËÕÂÉËÉ íÁË-ëÜÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÏÓÑÍ ËÒÉ×ÏÊ ûÔÅÊÎÅÒÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÔÅËÓÔÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÉÓÒÁ×ÌÅÎÉÑ: 1) ÷ ËÏÎ Å ÅÒ×ÏÇÏ ÁÂÚÁ Á × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ 15 ÎÁ Ó. 261 ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÏÕÝÅÎÙ ÓÌÏ×Á €ÎÏ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ 14 ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÁÓÉÍÔÏÔ ËÕÂÉËÉ íÁË-ëÜÑ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. 2) îÁ Ó. 262 × 4-Ê ÓÔÒÏËÅ Ó×ÅÒÈÕ ÏÓÌÅ ÓÌÏ× €Ó ÉÈ ÏÂÝÅÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ üÊÌÅÒÁ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ: €É ÏÜÔÏÍÕ ÓÏ×ÁÄÕÔ ÒÑÍÙÅ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ üÊÌÅÒÁ É ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ËÁÓÁÎÉÑ. ÏÇÄÁ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ 14 ÁÓÉÍÔÏÔÙ ËÕÂÉËÉ íÁË-ëÜÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ á1 ÷1 ó1 ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ÏÓÑÍ ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ á÷ó ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× á1 ÷1 ó1 ÇÏÍÏÔÅÔÉÅÊ Ó ÅÎÔÒÏÍ F , ÔÏ ÁÓÉÍÔÏÔÙ ÉÈ ËÕÂÉË íÁË-ëÜÑ ÔÁËÖÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎف. 3) îÁ Ó. 263 × 7-Ê ÓÔÒÏËÅ ÓÎÉÚÕ ÓÌÏ×Ï €ÏÂÝÉŁ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÚÁÍÅÎÅÎÏ ÎÁ ÓÌÏ×Ï €ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙŁ.

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ×ÎÉÍÁÎÉÀ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÏÄÂÏÒËÁ ÚÁÄÁÞ ÒÁÚÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ ÔÒÕÄÎÙÈ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÁÍÙÅ ÓÌÏÖÎÙÅ!) ÔÒÅÂÕÀÔ ÚÎÁÎÉÑ €ÎÅÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÏʁ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ



ÁÎÁÌÉÚÁ,

ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ É Ô. . óÏÓÔÁ×ÉÔÅÌÑÍ ÜÔÏÊ ÏÄÂÏÒËÉ ËÁÖÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÒÅÄÌÁÇÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏËÁÖÕÔÓÑ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍÉ ËÁË ÄÌÑ ÓÉÌØÎÙÈ ÛËÏÌØÎÉËÏ×, ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÉÈÓÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏÊ, ÔÁË É ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×. íÙ ÏÂÒÁÝÁÅÍÓÑ Ó ÒÏÓØÂÏÊ ËÏ ×ÓÅÍ ÞÉÔÁÔÅÌÑÍ, ÉÍÅÀÝÉÍ Ó×ÏÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÄÂÏÒËÉ ÔÁËÉÈ ÚÁÄÁÞ, ÒÉÓÙÌÁÔØ ÉÈ × ÒÅÄÁË ÉÀ. é, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÍÙ Ó ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÅÍ ÂÕÄÅÍ ÕÂÌÉËÏ×ÁÔØ Ó×ÅÖÉÅ Á×ÔÏÒÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ. ÷ ÓËÏÂËÁÈ ÏÓÌÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÆÁÍÉÌÉÑ Á×ÔÏÒÁ (ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÙ ÞÉÔÁÔÅÌÅÊ ÒÉ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔÓÑ). åÓÌÉ Á×ÔÏÒ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÅÎ, ÔÏ × ÓËÏÂËÁÈ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ €ÆÏÌØËÌÏҁ.

Z1

1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ

dx

2



(1 + x )(1 + x )

0

:

(í. ðÁÎÏ× )

2. îÁÚÏ×ÅÍ ËÕÂÏÉÄÏÍ ×ÙÕËÌÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË × ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÊ ËÕÂÕ (Ô. Å. ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÉÈ ×ÅÒÛÉÁÍÉ, ÒÅÂÒÁÍÉ É ÇÒÁÎÑÍÉ, ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÅÅ ÒÉÍÙËÁÎÉÅ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÇÒÁÎÉ ÔÏÞËÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏÎ. üÔÉ 6 ÔÏÞÅË Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ ÎÅËÔÏÒÏÇÏ ÏËÔÁÜÄÒÁ. ëÁËÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÏÂßÅÍÁ ÜÔÏÇÏ ÏËÔÁÜÄÒÁ Ë ÏÂßÅÍÕ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ËÕÂÏÉÄÁ? 3.

(ò. í. ÒÁ×ËÉÎ )

 Ä×Á ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÎÁ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÉÚÍÅÒÉÍÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á.  ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× É ,  ÌÏÝÁÄØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á . äÏËÁÖÉÔÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: ln( )> ln( )+ ln( )

A1 ; : : : ; An

Ai

X

Bj

É

B1 ; : : : ; Bn

jGj

jSij j


ij

jSij j

X i

Sij

G

jAi j


jAi j

X

jBj j


jBj j :

j

(ë. ûÅÎÎÏÎ ) 4.

d-ÍÅÒÎÁÑ

ÌÁÄØÑ ÂØÅÔ Ï ÒÑÍÙÍ ×ÄÏÌØ ÏÓÅÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ.

Á) ëÁËÏÅ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÁÄÅÊ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÔÁ×ÉÔØ × ËÕÂÅ

n 


 n

ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎÉ ÎÅ ÂÉÌÉ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ?

d-ÍÅÒÎÏÍ

õÓÌÏ×ÉÑ ÚÁÄÁÞ

163

îÁÚÏ×ÅÍ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÕ ÌÁÄÅÊ ÏÌÎÏÊ , ÅÓÌÉ × ÎÅÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÁÄÅÊ. Â) óÌÏÅÍ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ

n

  n

n

ÎÁÚÏ×ÅÍ Ë×ÁÄÒÁÔ

n



n,

ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ

ÉÚ ËÌÅÔÏË Ó ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÔÒÅÔØÅÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÏÊ. ðÕÓÔØ ÅÒ×ÙÅ ÚÁÏÌÎÅÎÙ ÏÌÎÏ (Ô. Å. × ÎÉÈ ÓÔÏÑÔ

nk

k

ÓÌÏÅ×

ÌÁÄØÅÊ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÕ

ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÕ ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÄÏ ÏÌÎÏÊ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÉ ×ÓÅÇÏ ËÕÂÁ. ÷ÅÒÎÏ ÌÉ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÌÑ ÞÅÔÙÒÅÈÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ? ×) ÷ ÔÒÅÈÍÅÒÎÏÍ ËÕÂÅ

n

  n

n

ÒÁÓÓÔÁ×ÉÌÉ ÌÁÄØÉ É ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÌÉ

 

ÕÇÌÏ×ÕÀ ËÌÅÔËÕ. òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÏÄËÕÂÙ (k k

ÏÄÉÎ ÏÄËÕÂ, ×ÓÅÇÏ

k

k,

ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ

ÏÄËÕÂÏ×) Ó ÜÔÏÊ ÕÇÌÏ×ÏÊ ËÌÅÔËÏÊ. ÷ ËÁÖÄÏÍ

n

ÔÁËÏÍ ÏÄËÕÂÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÌÁÄÅÊ ÉÚ ÎÁÛÅÊ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÉ, É × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÄËÕÂÁÈ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÎÏÊ (Ô. Å. ÓÔÏÉÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ

k ).

ëÁËÏ×Ï ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÔÁËÉÈ ÏÄËÕÂÏ× Ó ÏÌÎÏÊ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÏÊ? áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ×ÏÒÏÓ ÄÌÑ 5. HÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÔÍÅÔÉÌÉ

n

d-ÍÅÒÎÏÇÏ

ËÕÂÁ.

(á. ñ. ëÁÎÅÌØ )

ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÏÔÒÅÚËÏ× É

n+2

ÔÏÞËÉ,

ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÜÔÉÈ ÏÔÒÅÚËÁÈ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÕÔÓÑ Ä×Å ÔÏÞËÉ, ËÏÔÏÒÙÅ €×ÉÄÑԁ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ (Ô. Å. ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÉÈ ÏÔÒÅÚÏË ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ÏÔÒÅÚËÉ). 6. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ

(í. ëÏÎ Å×ÉÞ )

s(n)

ÓÕÍÍÕ ÉÆÒ ÞÉÓÌÁ 2 )?

n.

ïÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÌÉ ÏÓÌÅÄÏ-

s(n)=s(n

(ü. ÕÒËÅ×ÉÞ )

7. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; 2n℄, ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÒÁ×ÎÁ

F (0)

1.

= 0 É ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (k; k + 1),

k

2 Z, ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ

a) ëÁËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÂÏÌØÛÅ: ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÉÌÉ ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ f (2n)

= 0?

b) ëÁË ÏÄÓÞÉÔÁÔØ ÞÉÓÌÏ ÆÕÎË ÉÊ, ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ

n=k < f (x) < n=k ?

(á. ñ. âÅÌÏ× ) 8. ÷ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÄÁÎÙ Ä×Å ÇÌÁÄËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

S

ÒÑÍÙÈ

ÅÓÌÉ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ËÁÖÄÕÀ ÒÑÍÕÀ ÉÚ

S,

= (A; B ) :

l

C3 ,

A

C1

É

C1 ; B

C2 .

2

ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÁÑÓÑ Ó

ÔÏ ÏÂÅ ËÒÉ×ÙÅ

ÓÔÉ.

2

C1

É

C2

òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ

C2 .

[

äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ

C2 , ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏC1

(A.Kanel-Belov, J.Kaminsky, M.Tai her )

9. íÏÖÎÏ ÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÙ ÒÁÓËÒÁÓÉÔØ × Ä×Á ×ÅÔÁ (ÞÅÒÎÙÊ É ÂÅÌÙÊ) ÔÁË, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ËÏÎ ÁÍ ÔÒÅÈ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÔÏ ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÉÈ ÂÕÄÅÔ ÞÅÒÎÏÊ, Á Ä×Å ÄÒÕÇÉÅ

 ÂÅÌÙÍÉ?

(ä. íÕÛÔÁÒÉ )

164

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

10. ðÕÓÔØ



A; B

6

ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ det(A) = 1, n N ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ B 1 An B

det(B ) = 0. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á.



2

(æÏÌØËÌÏÒ )

11. äÁÎÏ 2n + 1 ÇÒÕÚÏ× ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÍÁÓÓÙ É ÞÁÛÅÞÎÙÅ ×ÅÓÙ ÂÅÚ ÇÉÒØ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÚÁ 100n ×Ú×ÅÛÉ×ÁÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÍÅÄÉÁÎÕ (Ô. Å. ÓÒÅÄÎÉÊ Ï ÍÁÓÓÅ ÇÒÕÚ).

(æÏÌØËÌÏÒ )

12. ä×ÏÅ Ï ÏÞÅÒÅÄÉ ÎÁ ÄÏÓËÅ ÉÛÕÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔ ÒÅÝÁÅÔÓÑ ÉÓÁÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (1)

R

P

R,

n

ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. úÁ-

ÅÓÌÉ:

ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ËÒÁÔÎÙÈ ÒÁÎÅÅ ÎÁÉÓÁÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏ-

ÞÌÅÎÏ×, Ô. Å.

R

=

k Ri Qi i=1

P

ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ

Qi ;

(2) 1 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ËÒÁÔÎÙÈ ÎÁÉÓÁÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× É ËÒÁÔÎÏÇÏ

R:

1=

k Ri Qi i=1

+ RQ ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ

Qi , Q.

ðÒÏÉÇÒÙ×ÁÅÔ ÔÏÔ, ËÔÏ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ÈÏÄÁ. Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÉÇÒÁ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ. Â) ëÔÏ ×ÙÉÇÒÙ×ÁÅÔ ÒÉ ÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÉÇÒÅ?

(á. âÅÌÏ×, ç. þÅÌÎÏËÏ× )

õÔÏÞÎÅÎÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ õÓÌÏ×ÉÅ ÚÁÄÁÞÉ 7.10 ÚÁÄÁÞÎÉËÁ €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓ×ÅÝÅÎÉс ÂÙÌÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÏ ÎÅÔÏÞÎÏ. ðÒÉ×ÏÄÉÍ ÕÔÏÞÎÅÎÉÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÉ. Á) ÷ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÄÁÎÙ Ä×Å ÇÌÁÄËÉÅ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÄÁÎÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ

f

=0 É

f

S1 É S2 , ÚÁ= 1 É ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ.

éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÕÀ ÔÏÞËÕ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ

S1

ÍÏÖÎÏ ÓÏÅÄÉÎÉÔØ Ó

ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S2 ÔÁËÏÊ ÌÏÍÁÎÏÊ ÄÌÉÎÙ ÎÅ ÂÏÌÅÅ 1, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ 0 < f < 1 (ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ É ËÏÎÅÞÎÏÊ ÔÏÞÅË). íÏÖÎÏ ÌÉ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ É ×ÚÁÉÍÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ

ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÏÞËÉ ÎÁÈÏÄÉÌÉÓØ ÂÙ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ ÍÅÎØÛÅ 106 ? S1

É

S2

Â) áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ×ÏÒÏÓ ÄÌÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ (S0 É ÆÕÎË ÉÉ, ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÅ ÒÑÍÏÊ).

S1

 ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ

165

òÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÙÕÓËÏ×

6.7. õÓÌÏ×ÉÅ. ðÕÓÔØ G  ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÇÒÁÆ, V (n)  ÞÉÓÌÏ ×ÅÒÛÉÎ, × ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÁÓÔØ ÉÚ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ O ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÚÁ n ÛÁÇÏ×. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ limn!1 V (n)=n2 = 0,

ÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁ ÇÒÁÆÁ, × ËÏÔÏÒÕÀ ×ÈÏÄÉÔ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÓÔÒÅÌÏË, ÞÅÍ ×ÙÈÏÄÉÔ. ÷ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÄÁÞÉ ÎÅ ÂÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ, ÎÏ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÏÓØ, ÞÔÏ

òÅÛÅÎÉÅ.

× ÇÒÁÆÅ ÎÅÔ ËÒÁÔÎÙÈ ÓÔÒÅÌÏË (Ò£ÂÅÒ). ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÒÉÞÉÎÁÍ ÌÏÖÎÏ. îÁÚÏ×£Í ÛÁÒÏÍ

B r (O )

ÒÁÄÉÕÓÁ

r

ÓÔÒÅÌËÁÍ ÇÒÁÆÁ. óÆÅÒÏÊ

Sr (O )

O

Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ

ÛÉÎ, × ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÁÓÔØ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎÙ ÒÁÄÉÕÓÁ

r

O

ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒ-

r ÛÁÇÏ× Ï ÔÏÞËÅ O ÎÁÚÏ×£Í

ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÚÁ

Ó ÅÎÔÒÏÍ ×

ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÒÛÉÎ ÇÒÁÆÁ, × ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÁÓÔØ ÚÁ

r

ÛÁÇÏ×, ÎÏ ÎÅÌØÚÑ

ÏÁÓÔØ ÚÁ ÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÛÁÇÏ×. ñÓÎÏ, ÞÔÏ

Sr (O ) = Br (O ) n Br 1 (O ), Á V (r ) = jBr (O )j, jM j ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ M . ðÏÌÏÖÉÍ Tr (O ) = jSr (O )j = V (r ) V (r 1).

ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

ÅÅÒØ ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ×ÙÈÏÄÉÔ ÂÏÌØÛÅ ÓÔÒÅÌÏË, ÞÅÍ ×ÈÏÄÉÔ, É ÒÉÄ£Í Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ. ìÅÍÍÁ 1. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÔÒÅÌÏË, ×ÙÈÏÄÑÝÉÈ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ÛÁÒÁ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÝÉÈÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ×ÎÅ ÛÁÒÁ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

Br (O ),

ÎÅ ÍÅÎØÛÅ

Br (O )

jBr (O)j

É

.

ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÍÅÖÄÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ×ÈÏÄÑ-

ÝÉÈ É ×ÙÈÏÄÑÝÉÈ ÓÔÒÅÌÏË ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÌÁ. ðÏ ÓÄÅÌÁÎÎÏÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ

S

Br (O )

É ÓÌÏÖÉÍ ÜÔÉ ÞÉ-

ÎÅ ÍÅÎØÛÅ

jBr (O)j. ëÁÖ-

ÄÁÑ ÓÔÒÅÌËÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ ×ÅÒÛÉÎÙ ÛÁÒÁ ÄÁ£Ô ÎÕÌÅ×ÏÊ ×ËÌÁÄ × ÓÕÍÍÕ. ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ×ËÌÁÄ (ÒÁ×ÎÙÊ 1) ÄÁÀÔ ÓÔÒÅÌËÉ, ×ÙÈÏÄÑÝÉÅ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ÛÁÒÁ × ×ÅÒÛÉÎÙ ×ÎÅ ÛÁÒÁ. ìÅÍÍÁ 2.

V (r ) 6 T (r )
T (r + 1).

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.

ÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ

Sr (O )

óÔÒÅÌËÉ, ×ÅÄÕÝÉÅ ÉÚ

Br (O ) ÎÁÒÕÖÕ, ÎÁÞÉÎÁÀÔSr+1 (O ). ëÁÖÄÁÑ Á-

É ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÀÔÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ

ÒÁ ×ÅÒÛÉÎ ÓÏÅÄÉÎÅÎÁ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÏÄÎÏÊ ÓÔÒÅÌËÏÊ, ÏÜÔÏÍÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÔÒÅÌÏË ÎÅ ÂÏÌØÛÅ ÌÅÍÍÏÊ.

T (r )
T (r + 1).

ïÓÔÁÌÏÓØ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ

166

úÁÄÁÞÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ

:::

òÉÓ. 1.

ðÒÉÍÅÎÑÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ëÏÛÉ (a + b)=2 ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï V

(r + 1)

V

(r )

V

(r

>

V

1)

(r

1), ÏÌÕÞÁÅÍ

p

>2

(V (r + 1)

V

>

p

ab,

ÌÅÍÍÕ 2, É ÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ

p

(r ))(V (r )

>2

V

V

(r

(r )

p>

1))

>2

V

(r

> 0 ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ p 0=1 n+1 > n + 2 n ïÔÓÀÄÁ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ ÏÌÕÞÁÅÍ Ï ÅÎËÕ n > 2 2, ÚÎÁÞÉÔ, ( ) > ( ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ

s

s

1):

n = V2n , ;

s

s

s

s :

n =

V

r

1)2 =2.

r

ðÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÀ Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÚÁÄÁÞÉ. úÁÍÅÞÁÎÉÅ.

îÁ ÒÉÓ. 1 ÒÉ×ÅÄÅÎ ÒÉÍÅÒ ÇÒÁÆÁ, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ

×ÅÒÛÉÎÙ ×ÙÈÏÄÉÔ ÂÏÌØÛÅ ÓÔÒÅÌÏË, ÞÅÍ ×ÈÏÄÉÔ, Á ÏÂß£Í ÛÁÒÁ =

r (r

V

(r ) =

+ 1)=2, ÔÁË ÞÔÏ Ï ÅÎËÁ × ÚÁÄÁÞÅ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÔÏÞÎÁ. âÏÌÅÅ ÔÏ-

ÇÏ, ÍÏÖÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ

V

(r )

< r (r

+ 1)=2, ÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ

r,

ÔÏ

ÎÁÊÄÅÔÓÑ ×ÅÒÛÉÎÁ, × ËÏÔÏÒÕÀ ×ÈÏÄÉÔ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÓÔÒÅÌÏË, ÞÅÍ ×ÙÈÏÄÉÔ. åÓÌÉ ÖÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

V

(r )