Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik: Lexikon der Stochastik [Reprint 2021 ed.] 9783112574966, 9783112574959

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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik

LEXIKON

DER

STOCHASTIK

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik Herausgegeben von

Prof. Dr. P. H . M Ü L L E R Technische Universität Dresden

LEXIKON DER STOCHASTIK 2., bearbeitete und wesentlich erweiterte Auflage

AKADEMIE-VERLAG • B E R L I N 1975

Autorenkollektiv unter Federführung von Prof. Dr. rer. nat. habil. P. H E I N Z M Ü L L E R Dr. phil. H E L M U T EBERSBERGER D r . r e r . n a t . H E I N Z GILLERT D r . r e r . n a t . U W E KÜCHLER

Dr. rer. nat. habil. R O L F K Ü H N E Prof. Dr. rer. nat. habil. HEINZ LANGER Dr. rer. nat. Dr. paed. GERT MAIBATJM D r . r e r . n a t . P E T E R NETJMANN D r . s c . n a t . VOLKER NOLLATJ D r . r e r . n a t . LOTHAR PARTZSCH D r . r e r . n a t . FRANZ SCHMIDT D r . r e r . n a t . REGINA STORM

Prof. Dr. rer. nat. habil.

WOLFGANG W I N K L E R

D r . r e r . n a t . GISELA WITTWER

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Str. 3—4 © Akademie-Verlag, Berlin, 1975 Lizenznummer: 202 • 100/411/75 Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer", 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 762 181 6 (5771) • LSV 1077 Printed in GDR EVP 2 9 , -

Vorwort zur ersten Auflage

Das Lexikon der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematischen Statistik soll dazu dienen, das Grundwissen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematischen Statistik sowie zugehöriger Anwendungsgebiete anhand alphabetisch geordneter Sachbegriffe darzustellen. Eine exakte Beschreibung dieses Stoffes kann nur mittels mathematischer Formulierungen erfolgen. Dabei werden die etwas schwierigeren und abstrakteren Begriffe einleitend hinsichtlich ihrer Bedeutung und ihres Inhaltes kurz gekennzeichnet, bevor ihre eigentliche mathematische Definition erfolgt. Benutzer, denen es mehr auf unmittelbare Anwendungen (z. B. Tests, Schätzungen, Regression) ankommt, finden die jeweiligen Verfahren und Formeln gebrauchsfertig bereitgestellt. Insbesondere sind eine Vielzahl praktisch bedeutsamer Testverfahren aufgenommen worden, die ansonsten in der Literatur nur sehr verstreut bzw. in schwer zugänglichen Spezialarbeiten vorliegen. Zur Erleichterung für den Leser sind eine Anzahl mathematischer Grundbegriffe, die für das Verständnis unbedingt erforderlich sind, in eigenen Artikeln erläutert. Somit ist zu hoffen, daß das vorliegende Lexikon einem breiten Benutzerkreis gerecht wird. Das Lexikon ist aus einer Artikelserie hervorgegangen, die mit einem Kreis erfahrener Mitarbeiter für das (ebenfalls im Akademie-Verlag erschienene) Mathematische Wörterbuch zum Sachgebiet Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik erarbeitet wurde. Da die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik sowie deren vielfältige Anwendungsgebiete — nicht zuletzt auch im Zusammenhang mit kybernetischen Fragestellungen — eine zweifellos sehr große und überdies zunehmende Bedeutung besitzen, hielt ich es für nützlich, das Begonnene durch Überarbeitung und Erweiterung der Artikel fortzuführen mit dem Ziele, den Studierenden sowie u. a. Naturwissenschaftlern, Ingenieuren, Ökonomen und Medizinern einen bequemen wie aber auch in wissenschaftlicher Hinsicht verläßlichen Ratgeber in die Hand zu geben.

VI

Das Lexikon verdankt sein Zustandekommen vor allem einer guten wissenschaftlichen Kollektivarbeit. So mancher Artikel reifte in lebhaften Diskussionen, die vielfach in einem Seminar unter Einbeziehung von Studierenden durchgeführt wurden. Kritische Hinweise aus dem Benutzerkreis werden gern entgegengenommen. Dresden, den 13. Februar 1970.

P . H . MÜLLER

Vorwort zur zweiten Auflage

Die erste Auflage dieses Lexikons war schnell vergriffen. Zahlreiche Zuschriften aus dem Leserkreis bekundeten ein breites Interesse, so daß sich bald der Entschluß zu einer Neuauflage festigte. Dabei erfolgten neben verschiedentlichen Verbesserungen insbesondere Abrundungen und auch thematische Erweiterungen. Neu hinzugekommen sind außerdem (im Anschluß an den Artikelteil) tabellarische Zusammenstellungen für die gebräuchlichsten Verteilungen und für die wichtigsten Tests sowie alphabetisch angeordnete Sachregister der im Lexikon enthaltenen Artikel in Englisch, Französisch und Russisch mit den entsprechenden deutschsprachigen Bezeichnungen. Des weiteren wurde eine Übersicht vorangestellt, die einerseits den in Teilgebieten gegliederten stofflichen Inhalt des Lexikons kennzeichnet, andererseits bei Benutzung des Lexikons zur systematischen Lektüre die gegenseitige Abhängigkeit und logische Reihenfolge der in Frage kommenden Artikel erkennen läßt. Die vorliegende neue Fassung des Lexikons resultiert aus der Zusammenarbeit eines gegenüber der ersten Auflage noch um einige erfahrene Mitarbeiter erweiterten Autorenkollektivs. Darüber hinaus wurde die Bearbeitung durch vielfältige Anregungen und direkte Unterstützung aus dem Kreis der Leser und insbesondere der Fachkollegen gefördert, wofür allen Beteiligten an dieser Stelle herzlich gedankt sei. Dank gebührt ebenfalls Fräulein Dipl.-Math. R. HELLE, die auch diesmal die redaktionelle Betreuung des Titels beim Akademie-Verlag in bewährter Weise wahrnahm. Insgesamt hoffen wir, neben der erfolgten umfangmäßigen Erweiterung auch eine inhaltliche Vervollkommnung im Sinne der im Vorwort zur ersten Auflage genannten Zielstellung des Lexikons erreicht zu haben. Dresden, den 12. 9. 1975

P. H . M.

Hinweise für den Benutzer

Die Artikel sind alphabetisch geordnet. Bei Artikelbezeichnungen, die aus mehreren Wörtern bestehen, ist der für die Kennzeichnung des Inhalts wesentlichere Begriff vorangestellt; z.B. „Kontingenz, mittlere quadratische", „Versuchsplanung, statistische", „RADON-NIKODYM, Satz von" — jedoch kommen derartige Umstellungen relativ selten vor. Zur Erklärung der Begriffe wird häufiger Gebrauch von dem Verweiszeichen „ > " gemacht: Es verweist auf denjenigen Artikel, der Aufschluß über den betreffenden Begriff gibt. Beim Verweis auf Verteilungen wurden Verweiszeichen zur Vereinfachung der Formulierungen sowohl bei den Substantiven als auch den zugehörigen Adjektiven angebracht, jedoch findet der Leser die Erklärung hierbei stets bei den Substantiven, z. B. „> normalverteilt" steht für ,/ Normalverteilung' '. o In den Artikeln verwendete mathematische Symbole und deren Bedeutung sind — sofern sie nicht zum bekannten Allgemeingut zu zählen sind — am Anfang des Lexikons zusammengestellt. In runden Klammern ( ) stehende Zahlen verweisen auf das Literaturverzeichnis am Schluß des Lexikons; die Bezeichnung (T ) gibt an, daß es sich um ein Tafelwerk handelt. In eckigen Klammern [ ] stehende Zahlen kennzeichnen spezifische Ergänzungsliteratur, die jeweils am Ende des betreffenden Artikels aufgeführt ist. Als Ergänzung zur alphabetischen Anordnung der Artikel ist eine systematische Übersicht vorangestellt, die den Stoff des Lexikons entsprechend dem derzeitig üblichen Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematischen Statistik enthält und dabei dem Leser in pädagogisch aufbereiteter Form einen möglichst direkten Zugang zu einem speziell interessierenden Teilgebiet vermitteln soll. Diese Übersicht enthält in numerierten Kästchen Stichworte, zu denen anschließend in einer Zusammenstellung entsprechend den Nummern zugehörige Artikel des Lexikons aufgeführt sind. Zu den unter | zusammengefaßten Spezialdisziplinen und Anwendungsgebieten sind im Lexikon Übersichtsartikel vorhanden, denen Hinweise auf benötigte Grundlagen entnommen werden können.

(1) Elementare Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Versuch, Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, Ereignisfelder und Wahrscheinlichkeitsalgebren, relative Häufigkeit, klassische Definition der Wahrscheinlichkeit, BERNOULLI-Schema, (Urnenmodelle, Statistiken von M A X W E L L - B O L T Z M A N > , BOSE-EINSTEIN,

FERMI-DIRAC),

geometrische Wahrscheinlichkeit (BERT ß A N D s c h e s Paradoxon), Unabhängigkeit von Ereignissen, bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, totale Wahrscheinlichkeit, B A Y E S s c h e Formel. (2) Allgemeine Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsraum, Zufallsgröße (diskrete Zufallsgröße, stetige Zufallsgröße), zufälliger Vektor, zufällige Variable, gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung (von zufälligen Variablen), Unabhängigkeit zufälliger Variabler, Faltung, Funktionen einer Zufallsgröße, Funktionen eines zufälligen Vektors (Verteilungstyp, stabiler Verteilungstyp, unbeschränkt teilbar), bedingtes Wahrscheinlichkeitsmaß, bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung, Konvergenzarten für Folgen zufälliger Variabler, Konvergenzarten für Folgen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, asymptotische Eigenschaften von Folgen von Zufallsgrößen, Anziehungsbereich einer Verteilungsfunktion, Weiteres siehe (3) bis (8). (3) Spezielle Verteilungen s. Verteilungstabelle, sowie (verallgemeinerte) Binomial Verteilung, Polynomialverteilung, (nichtzentrale) •/"-Verteilung, (nichtzentrale) ¿-Verteilung, (nichtzentrale) F-Verteilung, H O T E L L I N G S T 2-Verteilung, DIRICHLET-Verteilung, WISHART-Verteilung, zusammengesetzte Verteilung.

(8) Stationäre Prozesse lie Funktionen s t a t i o n ä r e r Prozeß, Ergodensatz f ü r s t a t i o n ä r e Prozesse, Prozeß zweiter Ordnung, K o v a r i a n z f u n k t i o n .

(bedingter E r w a r t u n g s E r w a r t u n g ) , Streuung,

tionskoeffizient, Schiefe, enproblem), Ungleichunscheinlichkeitstheorie, Korrelationskoeffizient, rix, (Kontingenz, mittlere

! Funktion, ivarianten.

(9) Allgemeine Grundlagen der Mathematischen Statistik Realisierungen (von zufälligen Variablen), Stichprobe (geschichtete Stichprobe, geo r d n e t e Stichprobe), Likelihood-Funktion, Schätztheorie, Weiteres siehe ( 1 0 ) bis (14), Extremwertstatistik.

erzeugende

ißen Zahlen,

sclies L e m m a , Null-EinsMtovscher Dreireihensatz, (10) Beschreibende Statistik len Zahlen, Gesetz v o m (empirische Größen) thmus, Arcussinus-Gesetz, zenempirische Verteilungsfunktion, Klassen;satz, Grenzwertsatz v o n häufigkeit (Kontingenztafel), Grenz wertsätze, GrenzMittelwerte, S t r e u u n g s m a ß e , ihrscheinlichkeiten großer empirische Momente, empirisches Quantil, empirische K o v a r i a n z m a t r i x , Korrelationstabelle, empirische K o v a r i a n z f u n k 'rozesse tion.

rozeß, lastischer Prozeß, meßicher P r o z e ß , Stetigkeit 'rozesse, Differenzierbarler Prozesse, I n t e g r a t i o n rozesse, verallgemeinerter Prozeß, P r o z e ß zweiter ß m i t orthogonalen Zuscher Prozeß, Martingal,

rozesse ozeß, MakkovscIic K e t t e , shängigen Zuwächsen, ¡, WiENEKscher Prozeß, odesprozeß, P o i s s o s s c h e r >zeß, und

MARKOVsche Pro-

'

Funktschätzungen Punktschätzung, Maximum-Likelihood-Methode, Methode der kleinsten Q u a d r a t e , M o m e n t e n m e t h o de, Minimum-^ 2 -Methode,

(KlEFER-WOLFOWITZ-PrOzeß, Robbins-

MoNEQ-Prozeß, stochastische Optimierung).

(12) Bereichsschätzungen Bereichsschätzungen Konfidenzintervalle f ü r eine u n b e k a n n t e Wahrscheinlichkeit, Konfidenzintervalle f ü r E r w a r t u n g s w e r t u n d S t r e u u n g der Normalverteilung, Konfidenzschätzung f ü r eine u n b e k a n n t e Verteilungsfunktion, Toleranzsehätzung, fiduziale Schätzung.

Elements Wahrsch

Allgeme Wahrsch I i J= £® UUQ> Spezielle Verteilungen ©

Momente, charakteristische Funktionen —

©

Gesetze der großen Zahlen, Grenzwertsätze

©

Allgeme mather beschreibende Statistik (empirische Größen) ,

Punktschätzungen

©

Spieltheorie Cl) « C0) .S -S c g«•S S 3 ¡6 "C (0

i'S s a

Informationstheorie

Bedienungstheorie Versuchsplanung

(13) Tests Testtheorie, Signifikanztest, Parametertest, Anpassungstest, Homogenitätstest, Unabhängigkeitstest, Rangtest, Zufälligkeitstest, Iterationstest, /c-Stichprobenproblem, Zweistichprobenproblem, Likelihood-Quotienten-Test, Weiteres siehe Testtabellc.

Bereichsschätzungen

Entscheidungstheorie (statistische) Ergodentheorie

Warteschlangentheorie

Statistische Qualitätskonti

(14) Analyseverfahren

Varianzanalyse, Kova Korrelationsanalyse, analyse, Regressionsanalyae (I Diskriminanzanalyse, Faktor-Analyse.

ilementare Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Allgemeine Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

© Stochastische Prozesse

Markovsche Prozesse

Allgemeine Grundlagen der mathematischen Statistik

©

Stationäre Prozesse

©

^

0

Statistik stochastischer Prozesse @

ungen

Tests

®

®

Steuerung stochastischer Prozesse

theo ríe

Stochastische Automaten

Zuverlässigkeitstheorie

tätskontrolle

Erneuerungstheorie

Monte-Carlo-Methode

(15) Statistik stochastischer Prozesse

lireu

3, Kovarianzanalyse,

lalyse,

Analyseverfahren

Rangkorrelations-

ilyse (Regression), .nalyse,

Statistik stochastischer Prozesse, Zeitreihenanalyse, autoregressives Modell, gleitende Mittel, Periodogramm.

Symbolverzeichnis

s ^ i] die von den >Zufallsgrößen X„ s i, erzeugte er-'•Algebra, d. h. die kleinste er-Algebra, bezüglich der die Zufallsgrößen X„ s ^ t , sämtlich meßbar (^meßbare Funktion) sind 2i[X, t e T, k = 1 n] die von den Zufallsgrößen Xf>, t e T, k = 1, . . . , n , erzeugte er-y Algebra (analog zu s rg 0 ,

I

0 für x = 0 , — I für a; < 0 . Supremum Variation (•Konvergenzarten für Folgen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, a)) Stichprobenmittel (•empirische Momente) _ = —1 " arithmetisches Mittel, x £x (•empirische Momente) n »= 1( Gamma-Funktion (•Gammaverteilung) i für % *—~ Je = \

'

(KßONECKEE-Symbol)

[0 für i 4= 1c •Semiinvariante der Ordnung v (v natürliche Zahl) Umfang des Kreises mit dem Durchmesser 1 (7i — 3,14159...) •Streuung Verteilungsfunktion der standardisierten •Normalverteilung

XII

0- i _ xp {x\x e E) :— ä x -» f(x) 71 , , /= n

Umkehrfunktion von 0 Menge aller x aus E definierender Doppelpunkt. In „A := B" wird A durch B definiert Implikationszeichen; A B bedeutet: Aus A folgt B. die zu a konjugiert-komplexe Zahl ''Funktion

f+: x -» f+(x) = max (/(x), 0) Positivteil einer reellwertigen Funktion f f~: x -> /"(a;) = — min (/(«), 0) Negativteil einer reellwertigen Funktion / •Familie Konvergenz fast sicher (•Konvergenzarten für Folgen zuf.s. fälliger Variabler, a)) Konvergenz in Wahrscheinlichkeit (•Konvergenzarten für Folgen zufälliger Variabler, c)) f(x + 0 ) = lim / (x + e) rechts ] s|0 -seitiger Grenzwert der Funktion/ / (x — 0) = lim / (x — e) links an der Stelle x ent[a;]

(lies „entier x"), größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist n (n — 1) • • • (n - k + 1) (n reelle Zahl, k natürliche Zahl) 1-2 — JE; C) (lies „n über k"), Binomialkoeffizient A x B •Produkt von Mengen XT = (Xt)teT •stoehastischer Prozeß [Q, 31] •meßbarer Raum, z. B. [Ä1, S31] [Qm, 2lm] •meßbarer Raum [Q, 9i, /i] •Maßraum [ß, 91, P~\ •Wahrscheinlichkeitsraum M{[MM,P]) Grundgesamtheit (•Stichprobe) m m ist ein bezüglich m' •absolutstetiges Maß [ et 1 = /«i + • • • + Betrag ( = Länge) eines Vektors (•Matrix) a = (a1; . . ., an) In x natürlicher Logarithmus von x ( > 0) lg x dekadischer Logarithmus von x 0) ld x dualer Logarithmus von x 0) log z = In r + i

0, 0 ^

Signifikanztest

Ableitung eines stochastischen Prozesses »Differenzierbarkeit stochastischer Prozesse Ableitung eines Verallgemeinerten stochastischen Prozesses absolute Häufigkeit absolutes Moment

»relative Häufigkeit »Momente

absolute Verteilung eines »MARKOvschen Prozesses absolutstetiges Maß: Es seien [Q, 21] ein »meßbarer Baum sowie m und m' zwei »Maße auf [S), 31]. Dann heißt das Maß m absolutstetig bez. m' (Bezeichnung: m m'), wenn für jede Menge N € 2( mit m'(N) = 0 auch m(N) = 0 gilt, mit anderen Worten, wenn jede m'-»NuIlmenge auch eine m-NulImenge ist. absorbierender Zustand einer »MARKovschen Kette ähnlicher Test

»Testtheorie

äquivalente Maße: Zwei Maße m und m' (auf einem »meßbaren Baum [Q, 21]) heißen zueinander äquivalent, wenn sie dieselben »Nullmengen besitzen, d. h., wenn m bez. m' und ebenso m' bez. m »absolutstetig sind. äquivalente stochastische Prozesse: Zwei »stochastische Prozesse XT und YT mit derselben Parametermenge T heißen äquivalent (oder stochastische Modifikationen voneinander), wenn sie über demselben »Wahrscheinlichkeitsraum [ ß , 21, P] gegeben sind, denselben Zustandsraum haben und für jedes (6 i 1 gilt: P({co|Xt(co) =}= Yt(w)}) — 0. Insbesondere stimmen dann die endlichdimensionalen Verteilungen der. beiden Prozesse überein.

Äquivalenzklasse

2

Mitunter nennt man zwei stochastische Prozesse mit derselben Parametermenge und demselben Zustandsraum auch äquivalent oder äquivalent im weiteren Sinne, wenn ihre endlichdimensionalen Verteilungen übereinstimmen. (Zwei im weiteren Sinne äquivalente stochastische Prozesse sind nicht notwendig stochastische Modifikationen voneinander.) Lit.:

(11), (20), (49)

Äquivalenzblasse meßbarer Funktionen ^Äquivalenz tionen)

(meßbarer

Funk-

Äquivalenz (meßbarer Funktionen): Es seien ü , Q ' zwei Mengen, 31 bzw. 31' eine er-*Algebra (oder ein «x-^Ring) von Teilmengen aus Q bzw. Q ' und (i ein Maß auf 3t. Sind zwei (31, 31')-Meßbare Funktionen/: Q ->• Q ' und g\ Q -»• Q' ¡i-*fast überall gleich, d. h., gilt f(co) = g(o>) für /¿-fast alle oo) der Verteilungsfunktionen der Zufallsgrößen Ln : = min = max (S0, . . . , 8n)} (für festes« ist L„ der Index des ersten Maximums der Folge S0,Slt.

. . , Sn),

Mn : = max {k\Sk = min (S0, . . . , Sn)} ,

N„ := Anzahl der Sk, k = 1, . . . , n, die positiv sind. U. a. gilt: Ist (Xk) eine Folge unabhängiger (Unabhängigkeit zufälliger Variabler), identisch verteilter Zufallsgrößen mit •symmetrischer Verteilung bez. 0, dann gilt

(

K

\

2

0 < x Erwartungswerten E et = 0 u n d den gleichen ^Streuungen D2 et = er2. Die ak (h — 0, 1, . . r) sind reelle Zahlen, wobei speziell a0 = 1 u n d ar =)= 0 gilt. Der Prozeß XT ist überdies stationär i. w. S. (Stationärer Prozeß), wenn die Nullstellen des Polynoms T

zk sämtlich außerhalb des Einheitskreises liegen, u n d er besitzt £ k=o in diesem Falle die in ea rationale Spektraldichte r

- 2

iXk (— 7i 5S X < n) . E ak e' k =0 Ein autoregressiver Prozeß r-ter Ordnung (r e N) mit stetiger Zeit ist ein stochastischer ^Prozeß zweiter Ordnung XT = (Xt)teT m i t T = R1, der der stochastischen Differentialgleichung

Aa*d-wSr = £"

genügt. Hierbei bezeichnet (e t ) i e r das sogenannte weiße Rauschen m i t autoregressives Modell) Anwendung u n d besitzt besonders günstige Eigenschaften hinsichtlich der Extrapolation (Stationärer Prozeß). 2*

« « - E

autoregressiver

Prozeß

8

Lit.x (25), (27), (36)

[1] Jbnkins, G. M., Watts, D. G., Spectral analysis and its applications, San Francisco —Cambridge —London—Amsterdam 1969 und Moskau 1971 (russ.).

autoregressiver Prozeß der gleitenden Mittel: Der (gemischte) autoregressive Prozeß der (endlichen) gleitenden Mittel der Ordnung (r, s), r, 5 6 {0, 1, . . .}, ist ein. stochastischer Prozeß XT = (Xt)UT mit T = {. . ., —1, 0, 1, . . .}, der einer Gleichung der Form z ak Xt_k

= ¿bk

et-k ,

teT

,

Jfc=0

k =0

genügt. Hierbei bezeichnet (E^KT e i n e Folge unkorrelierter (''Korrelationskoeffizient) •Zufallsgrößen mit den •Erwartungswerten E et = 0 und den Streuungen X>2 ee = er2. Die ak (k = 0, 1, . . ., r) und bk (k = 0, 1, . . ., s) sind reelle Zahlen, wobei speziell a0 = b0 = 1 und ar 4= 0, b, =j= 0 gilt. Der Prozeß XT ist überdies stationär i. w. S. ( > stationärer r Prozeß), wenn die Nullstellen des Polynoms £ a n z k außerhalb des 4=0

Einheitskreises liegen; er besitzt in diesem Falle die in eix rationale Spektraldichte £bke™ k=0 « « - s

S

2

(— 7t ig A < 7l) .

a*eiU

k=0 Speziell ergibt sich für r = 0 der Prozeß der endlichen gleitenden Mittel und für s = 0 der •autoregressive Prozeß (mit diskreter Zeit). Besitzt r das Polynom £ ak zk die ¿-fache Nullstelle 2 = 1, d € {1, 2, . . ., r } , und fc = o sonst nur Nullstellen außerhalb des Einheitskreises, so spricht man von einem autoregressiven integrierten Prozeß der (endlichen) gleitenden Mittel der Ordnung (r — d, d, s). autoregressives integriertes Modell der gleitenden Mittel •autoregressives Modeü autoregressives Modell: Das autoregressive Modell (mit diskreter bzw. stetiger Zeit) ist ein •stochastisches Modell, das bei der statistischen •Zeitreihenanalyse verwendet wird. Es besteht darin, daß die zu analysierende Zeitreihe als •Realisierung eines stochastischen >autoregressiven Prozesses (mit diskreter bzw. stetiger Zeit) aufgefaßt wird. Analog spricht man von einem autoregressiven Modell der gleitenden Mittel bzw. einem autoregressiven integrierten Modell der gleitenden Mittel, wenn die zu analysierende Zeitreihe als Realisierung der entsprechenden Prozesse (•autoregressiver Prozeß der gleitenden Mittel) aufgefaßt wird. autoregressives Modell der gleitenden Mittel •autoregressives Modell

9

Barttett-Teat

B balanzierter Yersuchsplan

>

Varianzanalyse

BARTLETT-Test: Der BAKTLETT-Tesi ist ein >Signifikanztest zum Prüfen der Hypothese über die Gleichheit der ^Streuungen a\ von p ^normalverteilten unabhängigen (^Unabhängigkeit zufälliger Variabler) ''Zufallsgrößen Ylt . • ., Yp anhand p konkreter ^Stichproben (yn, . . . , ylB 2) gehörenden Grundgesamtheiten. 1. Hypothese H : o\ = • • • = oo) eine >%i-Verteilung mit p — 1 Freiheitsgraden. 3. Kritischer Bereich K*: = {t |t > XP-I; i-«} > dabei ist das •Quantil der Ordnung 1 — « der >y2-Verteilung mit p — 1 Freiieitsgraden und « das Signifikanzniveau. 4. Praktische Durchführung: Auf Grund von p konkreten Stichproben _ 2 _ 1 1 (yn, • • •, Vir») ermittelt man s- =n - 1 - £ yt.) mit2/t. =n — £ yik i i k=1 P Q02R T 2 Jdarausf, = 22,302 (i = 1 , . . . , p) unds 2 = E (ni —1). Wahrscheinlichkeitsraum aus. BAYE8SChes Risiko

>Entscheidungstheorie

Bedienungsorganisation

Bedienungstheorie

Bedienungstheorie: Die Bedienungstheorie ist ein spezielles Anwendungsgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie und beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibimg und Untersuchung von Bedienungssituationen, in denen zufällige Einflüsse eine Rolle spielen. Bedienungssituationen treten in großer Zahl und in vielfältiger Form in vielen gesellschaftlichen

Bedienungstheorie

11

Bereichen auf. Beispiele hierfür sind: „Telefonanrufe verlangen Vermittlung in einer Telefonzentrale", „Kunden fordern Bedienung an einem Schalter", „Reparaturen bedürfen der Erledigung in einer Reparaturwerkstatt". Das Wesen einer Bedienungssituation besteht allgemein in folgendem: Kunden treten zu zufälligen Zeitpunkten in ein Bedienungssystem ein — sog. Kundenstrom — und fordern Bedienung, die durch Bedienungsgeräte erfolgt. Die Zeitdauer einer Bedienung ist ebenfalls zufällig. Eine mathematische Behandlung von Bedienungsproblemen führt daher zwangsläufig auf die Anwendung wahrscheinlichkeitstheoretischer Methoden, wobei die Theorie der >stochastischen Prozesse eine wichtige Rolle spielt. Die mathematische Beschreibung einer Bedienungssituation erfolgt durch die Angabe des Verteilungsgesetzes der zufälligen Punktfolge ^Punktprozeß), die die Zeitpunkte eintreffender Kunden bilden, die Angabe der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Bedienungszeit und die Vereinbarung einer Bedienungsorganisation. Ein besonders markantes Beispiel für den Kundenstrom ist der homogene > PoisSONsehe Prozeß mit der Intensität X. Die zufällige Anzahl Xt der im Zeitintervall [0, t) eintreffenden Kunden genügt dann einer >POISSON-Verteilung mit dem Para-

(At)* k\

meter A t, und es ist P (Xt = Je) = e~xt -—— , k = 0 , 1 , . . . .

Unter einer Bedienungsorganisation versteht man eine Festlegung über das Schicksal von Kunden, die zu einer Zeit in das Bedienungssystem eintreten, zu der alle Bedienungsgeräte mit der Bedienung anderer Kunden beschäftigt sind. Solche Kunden können abgewiesen werden — sog. Verlustsystem — oder bilden eine Warteschlange — sog. Wartesystem —, aus der sie u. U. auch weggehen, bevor sie bedient worden sind — sog. Wartesystem mit teilweisem Verlust. Zur vollständigen Beschreibung eines Wartesystems gehört ferner noch eine Vereinbarung über die Reihenfolge der Bedienung der wartenden Kunden, wie z. B. „Bedienung der Reihe nach", „Bedienung der Dringlichkeit nach", „Festlegung des nächsten zu bedienenden Kunden durch ein Zufallsexperiment".

Die Aufgabe der Bedienungstheorie besteht in der Ausarbeitung und Anwendung von Methoden, die es gestatten, aus der Beschreibung der Bedienungssituation die Verteilung von Kenngrößen zur Beurteilung des Zustandes und der Arbeitsgüte des Bedienungssystems zu gewinnen. Es interessieren z. B. die Verteilung der Anzahl der wartenden Kunden im Bedienungssystem (Warteschlangenlänge), die Verteilung der Wartezeit eines einzelnen Kunden und auch die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein eintreffender Kunde abgewiesen wird (Verlustwahrscheinlichkeit). Zur Lösung von Problemen der Bedienungstheorie werden gegenwärtig im wesentlichen die folgenden mathematischen Hilfsmittel, Methoden und eigenständigen Theorien eingesetzt: die LAPLACE-Transformation, Erzeugende Funktionen, die Theorie der >MARKOVschen Prozesse und 'MABKOV-

bedingte

12

Entropie

sehen Ketten, besonders auch die Methode der eingebetteten MABKOVschen Kette (siehe z.B. (24), Kap. 3), die Theorie der •semi-MABKOVSchen Prozesse und die •Erneuerungstheorie. Bei schwierigen Bedienungsproblemen empfiehlt sich eine angenäherte Lösung durch Monte-Carlo-Simulation (>Monte-Carlo-Methode) der Bedienungssituation. Die Bedienungstheorie geht auf Arbeiten von A. K . EKLANG (1878 bis 1929) zurück, der als erster Telefonprobleme mit Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie löste (•EELAirasche Formel). Ein ausführliches Literaturverzeichnis über moderne Methoden dsr Bedienungstheorie findet man in (67). •Zuverlässigkeitstheorie Lit.:

(24), (67) [1] LE GÄLL, P., Les systèmes avec ou sans attente et les processus stochastiques, Paris 1962.

bedingte Entropie

•Entropie eines Versuches

bedingte Erwartung: X sei eine (reellwertige) •Zufallsgröße über dem •Wahrscheinlichkeitsraum [Q, 21, P ] mit endlichem •Erwartungswert; 9I0 bezeichne eine beliebige Teil-a-•Algebra von SC. Nach dem Satz von •RADON-NIKODYM existiert dann eine — bis auf P- •Äquivalenz — eindeutig definierte (2i0, S31)-meßbare (•meßbare Funktion) Zufallsgröße mit endlichem Erwartungswert, die der Bedingung /E{X\%)

A

dP = JXdP A

für alle A e 2I„

(*)

genügt (vgl. z. B. (3)). £(Z|§t 0 ) heißt die bedingte Erwartung von X bezüglich 2i0. (Die hier dargestellten Begriffe lassen sich für allgemeinere •zufällige Variable formulieren, z. B. insbesondere für komplexwertige Zufallsgrößen.) Genau dann gilt £(X|2C0) = X, wenn X (2l0, Sö^-meßbar ist. Allgemeiner besteht für jede (2i0, SB^-meßbare Zufallsgröße Y die Gleichung E( rX|9t 0 ) = Y E(X|2t0). Ist (Xt)ttT eine •Familie von Zufallsgrößen über [ ß , 3t, P ] und bezeichnet speziell 2Î0 die kleinste