Övningar i Linjär algebra 9789144133553

Citation preview

Övningar i

Linjär algebra Jonas Månsson & Patrik Nordbeck

1·

~ Studentlitteratur

Förord Detta övningshäfte är speciellt anpassat till författarnas bok Linjär algebra, i häftet refererad till som läroboken. Uppgifterna är ordnade på följande sätt: I varje kapitel, som precis motsvarar ett kapitel i läroboken, har vi först en uppsättning uppgifter sorterade efter lärobokens underkapitel. Dessa är tänkta att utgöra ett grundblock, och har i stor utsträckning motsvarigheter i lärobokens exempel. Tanken är att du arbetar med detta grundblock parallellt med läroboken. I slutet av varje kapitel har vi samlat ett antal blandade uppgifter, vilka generellt är lite svårare, och inte lika ofta har en direkt motsvarighet i läroboken. I några av dessa uppgifter kombineras flera olika metoder av det du just gått igenom, och vissa är av mer teoretisk karaktär. Slutligen har vi i ett avslutande kapitel, Kapitel B, samlat ett antal blandade uppgifter för repetition av hela lärobokens innehåll, där du i många fall behöver kombinera metoder från olika delar och kapitel. Vissa uppgifter är märkta med ett T eller ett L. Detta betyder att det till uppgiften finns ett tips respektive en lösning. Varje kapitel är indelat så att själva uppgifterna kommer först, sedan tipsen och svaren, och sist lösningarna. Du kommer att upptäcka att det finns många tips i grundblocket i varje kapitel, men att dessa tips blir glesare i blandat-delen, för att till sist helt upphöra i Kapitel B. 'fanken är att du på detta sätt skall uppmuntras att arbeta mer och mer självständigt med uppgifterna. Alla uppgifter har ett svar, förutom de som är av karaktären att du ombeds visa något samband. Vi har medvetet valt att inte inkludera så många fullständiga lösningar. I stället har många av de grundläggande uppgifterna ett tips, som vanligtvis är en hänvisning till ett direkt motsvarande exempel i läroboken. Vi tror nämligen att det är betydligt mer lärorikt att återskapa en lösning, med de i uppgiften aktuella siffrorna, än att bara skriva av en komplett lösning till problemet. För en del uppgifter är tipset i stället en direkt hänvisning till vilken sats eller vilket resultat som skall användas. Genom att i tipsen refe'rera till läroboken vill vi uppmuntra dig som läsare att arbeta parallellt med denna, vilket vi tror är nyttigt. I de fall vi har inkluderat en fullständig lösning handlar det oftast om en uppgift där det krävs en metod utan direkt motsvarighet i läroboken.

Författarna, dagen innan midsommarafton 2019.

iii

Kapitel 1

Vektorer Vektorbegreppet 1.1

Låt u = (4,0, - 1,3) och v = (2,1,4,-2). Beräkna vektorn 2u-3v.

1.2

Rita ut vektorerna u = (3,1) och v = (-2,2) i samma koordinatsystem. Illustrera additionerna/subtraktionerna u+v, u-v och -u+ ½v geometriskt. Vad blir koordinaterna för dessa vektorer?

1.3

Vektorerna u, v, w i lffi 2 illustreras i figuren till höger. Rita ut vektorerna

1.4

a)

2u+3v

b)

u-v-w

c)

u+2v+w.

Parallellogrammet i figuren har diagonalen u + v. Uttryck den andra diagonalen i vektorerna u och v.

~u +v V

U

Egenskaper hos vektorer

T 1.5 Avgör vilka par av nedanstående vektorer i !ffi3 som är parallella: u=(- 2,4,2),

1.6

G 0