Algebra Lineal Y Geometria I

Citation preview

A L G E B R A L IN E A L Y G E O M E T R ÍA

I

(Ed. revisada y aumentada)

Alfonso Romero Sarabia

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA I (Ed. revisada y aumentada)

Alfonso Romero Sarabia

Editado pon

Editorial La Madraza Cno. Bajo Sfil Telf.: 55 20 85 18100 Armilla (Granada)

Impreso pon Copisteria La Gioconda Melchor Almagro, 16 Granada Depósito Legal - GR-3-1986

A

An a

Alfonso

María, Eduardo

Diego J e s ú s .

y

"Se

riguroso

en

tu

y no c o n f u n d a s

la

matemática

con

aquellos

Ella

nunca

Dijo

el

La los

te

viejo

que

te

percepción

la

muestran.

defraudará". sab io

naturaleza

heleno.

tie ne

científicos

sus leyes;

le i m p o n e m o s

las

n uestras;

unas

Si

y otras

no

coinciden

tienes

un

claro

y profundo

¿cómo

podrás

a veces.

conocimiento de l o s

argumentar

conceptos, con

ellos?

Este libro es el primero de dos que sobre fundamentos de Algebra Lineal y Geometría elemental me he propuesto escribir. buena parte del contenido que he explicado,

En el se recoge

durante varios años, en las

asignaturas Algebra Lineal y Geometría y Geometría I, de primer curso de C. Físicas y C. Matemáticas,

respectivamente.

Notará el lector que se ha puesto especial cuidado en la intro­ ducción de cada lección, en particular de las definiciones que cada en­ tidad lógica encierra. A veces, ra sin haber sido esta definida. mas al contrario, introductorios,

se dan ejemplos de una cierta estructu­ No se trata de una sinrazón lógica,

se ha intentado que el lector,

tras varios ejemplos

intuya que de común tienen estos y llege así a ver na­

tural la definición abstracta de que se trate. Esto tiene a mi entender una doble ventaja.

Por un lado,

los llamados alumnos experimentales

captan mucho mejor los conceptos abstractos desde un proceso inductivo (

al fin y al cabo ¡así se hace la Ciencia!

no experimentales

), por otro,

(fundamentalmente matemáticos)

los alumnos

se desprenden un poco

de ese hermetismo y de esa rigurosidad mal entendida que les hace pen­ sar, por ejemplo,

"hay que dar primero la definición y justificarla

( algunos ni eso) despues". del libro ? Sencillamente,

¿ Cual es el motivo de esta presentación la experiencia me hace pensar que ese "no

se hacer problemas aunque me se muy bien la teoría" y similares,

tienen

como trasfondo el que no se conocen profundamente los conceptos, y por tanto no se saben manejar, mucho menos aplicarlos en problemas no inme­ diatos. También observará el lector que cada lección tiene un desarrollo

similar desde un punto de vista lógico.

Creo que esta sistematización

de la presentación de este libro puede ayudar al estudio y a la c om­ prensión global de cada unidad temática. que el concepto de isomorfismo de grupos,

Por ejemplo, el lector capta tiene uno similar en la

lección de anillos, otro en la de espacios vectoriales, otro en la de espacios vectoriales métricos, etc. Es decir, el ve que tras definir una cierta estructura matemática,

hace falta una "herramienta apropia­

da" que le permita discernir entre dos de tales estructuras. Las lecciones están escritas de forma tal que los conceptos no lle­ guen "de sopetón" al lector, ni los teoremas aparezcan por arte de magia. Por eso, no debe extrañar que, a lo largo del texto,

se cuestione conti­

nuamente al lector mediante preguntas que aparecen de manera natural, ejemplos,

interrelaciones, etc. También se ha procurado dar alguna apli­

cación tras cada resultado demostrado;

otras menos inmediatas, donde el

lector puede poner de manifiesto su creatividad, están recogidas al fi­ nal de cada lección mediante una serie de problemas seleccionados.

Algu­

nos llevan indicaciones o llamadas para que el lector los relacione con alguna parte del texto donde pueda consultar. Finalmente quisiera dar las gracias a todos aquellos alumnos mios que mediante sus preguntas en clase y su interés por el contenido del texto me han hecho meditar sobre cuestiones aisladas pero importantes, y desde luego mejorar el manuscrito primitivo. De ellos es también un poco este libro.

El Autor. Granada, Noviembre de

La presente versión del libro contiene algunas mejoras y correccio­ nes, muchas de ellas tipográficas,

de la anterior.

Se ha ampliado el

número de problemas hasta 234. Unos dan versiones alternativas o gene­ ralizaciones de algún resultado de la lección correspondiente,

otros

completan a los ya existentes en la primera edición y se dedican a al­ gún aspecto no comtemplado en aquellos. También se incluye ahora un apéndice sobre la Cinemática de la Relatividad Especial.

En este las

ecuaciones de Lorentz se obtienen como ecuaciones de cambio de base, entre cierto tipo de bases de un espacio vectorial métrico concreto, y se explican brevemente algunas notas históricas y varias consecuen­ cias básicas en Relatividad Especial. Agradezco a mi alumno Antonio López Montes que me dejara sus apun­ tes de clase,

los cuales me han sido de mucha utilidad;

a mi colega

Francisco J. López Fernández su interés por el contenido del libro, fruto del cual fueron algunas conversaciones con el autor, de las que salieron varias mejoras y correcciones a puntos concretos del anterior texto; a Miguel A. Palacios Iniesta sus observaciones sobre el apéndice, sobre todo desde un punto de vista físico.

El Autor. Granada,

verano de 1.988.

CONTENIDO

P reliminares....................................................

1

Relaciones de equivalencia.

Conjunto c o c i e n t e ...............

2

Aplicaciones entre c o njuntos..................................

6

Problemas....................................................... Lección

12

: Grupos.

Algunos ejemplos introductorios...............................

15

Primeras propiedades ...................

19

Subgrupos de un g r u p o ....... ...................................

23

Grupos c o c ie n t es ........................... ....................

29

Homomorfismos de g r u p o s ............................ ...........

33

Pro bl e m as .................. .....................................

42

Definición de Grupo.

Lección 2*

: Anillos y Cuerpos.

Algunos ejemplos introductorios..............................

47

Definición de Anillo.

Primeras propi e da d e s..................

49

Subanillos e Ideales. Anillos c o c i en t e s .....................

52

Homomorf ismos de a n i ll o s......................................

57

Anillos de integridad.

63

C u e r p o s ............ ...................

Problemas.......................................................

67

Lección 3§ : Espacios vectoriales. Introducción....................................................

71

Definición de espacio vectorial.

74

Subespacios vectoriales:

suma,

Primeras propiedades......

intersección.

Cocientes....

77

Sistemas de generadores. Dependencia e independencia lineal. Bases. Dimensión......................................

35

Probl em a s ....................................................... 102 Lección 4*

: Aplicaciones Lineales. Matrices.

Introducción.

Primeras propiedades. Núcleo e Imagen.

Nulidad y Ra n g o ................................................ 107 Teoremas de isomorfía. Consecuencias sobre dimensiones ........ 113 Expresión analítica de una aplicación lineal: matrices. Operaciones con aplicaciones lineales

y con

m a t r i c e s .......121

Diversas matrices de una aplicación lineal: matrices equivalentes.

Rango de una matriz. Caso particular de un

endomorfismo: matrices semejantes............................. 143 Problemas....................................................... 1 52 Lección 55 : Espacio Dual. Introducción.

Espacio dual. Base d u a l .........................158

Cambio de base en el espacio d u a l ............................. 162 Teorema de Reflexividad:

aplicaciones. A n u la d o r es ........... 163

Trasposición de aplicaciones lineales y matrices. Rango de la traspuesta de una m a t r i z .................. ........ 167 Problemas....................................................... 1 72 Lección 6*

: Tensores.

Introducción.

Concepto de t en s o r............. .............. ..175

Operaciones con tensores: producto tensorial.

suma,

producto por un escalar,

Relación con los endomorfismos. Base

del espacio vectorial de tensores............................. 179 Cambio de base. Definición de tensor por c oo r d enadas........ 192 Otros procedimientos para construir tensores:

contracción,

producto cont r ai d o .............................................. 199 Estudio particular de tensores covariantes: tricos,

tensores simé­

alternados y hemisimétricos. Matrices simétricas y

antisimétricas................................................... 205

Producto exterior de tensores h e m isimétricos. Dimensión del espacio vectorial de tensores hemisimétricos:

ap l i caciones... 217

P r o bl e m as ......... ................................................ 229 Lección 7 5 : Determinantes. Introducción.

Determinante de un endomorfismo................ 234

Determinante de una matriz c u a d r a d a ............................ 239 Cálculo explícito de la matriz inversa de una matriz regular. Cálculo del rango por determinantes: Teorema del R a n g o ....... 249 Sistemas de ecuaciones lineales.

Teorema de R o uc h é-Frobenius:

apl i c aciones.................... ........ .......................... 252 Orientación en un espacio vectorial r e al....................... 262 P r ob l e ma s ......................... ..................................266 Lección 8^

: Diagonaliz a c i ó n .

Introducción. .............................. ......................... 271 Valores y vectores propios de un endomorfismo y una matriz cuadrada.

Conceptos de endomorfismo diagonalizable y de

matriz cuadrada diagonalizable........-......................... 272 Polinomio característico de un endomorfismo y de una matriz cuadrada.

El teorema fundamental de d iagonalización............276

Algunas aplicaciones de la diagonalización..................... 285 P r ob l e ma s ................... . ............................. ......... 287 Lección 9*

: Espacios vectoriales métricos.

Introducción. Métricas. Métricas e u cl í d e as .Ej e m p l o s ............292 Formas cuadráticas. Métricas y e n domorfismos..................296 Relación de perpendicularidad.

Diversos tipos

dem é t r i c a s .... 300

Norma de un vector de un espacio vectorial métrico euclideo. Propiedades.

Desigualdad de Schvarz. Angulo entre dos

vec t or e s ............................................................ 302 Bases o r t onormales. Cambio de base entre bases ortonormales . Matrices ortogonales.............................. 307

Isometrías....................................................... 314 Orientación en un espacio vectorial euclideo. Angulo orientado.

Producto vecto r i a l .......................... 318

Introducción de una métrica en el dual.

Isomorfismos

inducidos entre espacios de tensores.......................... 323 Suplemento ortogonal.

Proyección ortogonal....................331

Endomorfismo adjunto de un endomorfismo. autoadjuntos: su diagonalización. métricas,

Endomorfismos

Consecuencias sobre

formas cuadráticas y matrices simétricas.

El teorema de Sylvester......................................... 336 Clasificación de las isometrías de un espacio vectorial e u clideo............................................... 351 Problemas........................................................ 360 Apéndice

: Geometría y Relatividad e sp e c i a l........................ 366

Bibliografía........................................................... 378 Indice alfabético................................................... .379 Lista de símbolos..................................................... 389

Preliminares.Entenderemos por conjunto toda colección de objetos. definición no es muy precisa, consideramos suficiente. sión

pero,

Esta

para nuestras necesidades la

Un conjunto X puede ser dado por exten­

(enumerando todos y cada uno de los objetos que lo componen)

y por comprensión

(dando una propiedad que identifique de forma

precisa cada objeto de X). Cuando x es un objeto de X diremos que es un elemento suyo y pondremos xeX. Dos conjuntos X e Y son igua­ les cuando

tienen los mismos elementos, es decir XeX si y sólo si

xeY. Dados dos conjuntos A y X, diremos que A es subcon.iunto de X o que A está contenido en X, A c X , bién elemento de X, es decir A C X xeX).

si todo elemento de A es tam­ si y sólo si ( XeA

En lo que sigue representaremos

"entonces" por

como es habitual.

"si y sólo si" por

^ y

Un conjunto X tiene dos tipos

de subconjuntos: los p r o pios, que son A c X , pero no con todos los de X ( A ¿ X ) ,

entonces

A con algún elemento

y los i m p ro p i o s. que son el

mismo X y el subconjunto de X que "no tiene ningún elemento"

0

( ¡ el vacio ! ). Este último se introduce por razones lógicas que pondremos de manifiesto mas adelante. (XeY

son ig u a l e s ) ^ > ( x c i Y

y

YcX).

Es fácil observar que X = Y Al conjunto cuyos elemen­

tos son precisamente los subconjuntos de X se le llama el conjun­ to de las partes de X y se le representa por íP(X).

Obsérvese que

Ac !P(X)** A c X . Si A,Be jp(X ) se define su intersección AflB, el complementario en X de A, X-A, por

su unión A U B

y

A f|B = íxeX / xeA A veces,

y

xeB>f A U B =

( X c X / X c A O XcB), X-A = {XCX / X ¿ A } .

el complementario de A en X, X-A , se

Nótese que A O B e { p ( X )

lee X "menos" A.

ya que cuando A y B no tienen ningún elemen­

to común es AflB = 0. También A U B

y X-A

son subconjuntos de X.

Dados dos conjuntos X e Y definimos su producto cartesiano XxY

por X x Y = {(x,y) / x cX, ycY}.

A cada elemento de X x Y par ordenado,

se le llama par ordenado.

Si (x,y) es un

se dirá que x es la primera componente del par e y

la segunda componente. Esta definición también se puede pensar para el caso X = Y, así tenemos X x X = { (x,y) / x,yeX> donde hay que entender que cabe la posibilidad x = y; es decir, para cada xeX tenemos

( x, x ) e X x X .

No hay que confundir el par or­

denado (x,y), con x,yeX, con el subconjunto {x,y> Relaciones de equivalencia.

de X.

Conjunto c o ci e n t e .-

Vamos primeramente a definir lo que es una relación binaria en un conjunto. Dado un conjunto X hacemos

XxX.

Entonces,

deci­

mos que una relación binaria en X es un subconjunto R de XxX,Rf^>, R cXxX.

Cuando un par (xfy) de X x X

pertenezca a R diremos que

x está relacionado con y según R y escribiremos x R y . Una relación binaria R en X puede verificar alguna de las propiedades siguientes: 1) Propiedad Reflexiva: V xc X es decir,

(x,x)cR

o

VxeX

:

x&x,

todo elemento está relacionado consigo mismo.

(Si (x,y) eR

(y ,x) eR ) o (Si x # y

y&x).

3) Propiedad Tr a n si t i va .Si x # y

Si (x fy)cR

}

j x^z z==p

e yñ z

y (y,z )eR

.

4) Propiedad A n t is i métrica.Si x & y

Si (x,y)eR y (y.x)cR

}

x =y

o e y# x

Uno piensa que las propiedades 2) y 4) bles. Es decir,

}

x =y .

debieran

ser

incompati­

que de verificarse una de ellas necesariamente la

otra no se verifica.

Consideremos el conjunto X

= {1,2,3} y en él

la relación binaria dada por R = {(1,1),(2,2),(3,3)} entonces R es simétrica y antisimétrica a la vez. *Una relación binaria que satisfaga las tres primeras propie­ dades se dice de equiva l e nc i a . Si satisface 1), de orden

3) y 4) se llama

(parcial). Una relación de orden en la que dos elementos

cualesquiera siempre esten relacionados se llama relación de or­ den t o t a l . Nosotros sólo nos vamos a ocupar de las relaciones de equivalencia. En el conjunto de los enteros naturales IN) = { 1,2,3,...} la relación "ser menor o igual" es de orden total. La relación de igualdad es de equivalencia.

En el plano de la Geometría elemen­

tal la relación de equipolencia (dos vectores son equipolentes cuando tienen la misma dirección, lación de equivalencia.

sentido y longitud) es una re­

Sea X un conjunto y ~ (la representaremos por ^ po).

una relación

de equivalencia en X

para hacer mención que es de este ti­

Para cada x eX definimos la clase de equivalencia de repre­

sentante x por C(x) = { y EX / y ~ x } t es decir, mentos

C(x) es el subconjunto de X formado por todos los ele­

relacionados con x. Veamos algunas propiedades de las

clases de equivalencia: Proposición Demostración.

- Si_ y eC (x ) entonces C (y ) = C (x ). En efecto,

yeC(x) ha de ser y ~ x

sea z eC ( y ) ^

z~y,

como por hipótesis

y por la propiedad transitiva z ~ x

con lo

que zeC(x). Así hemos probado que C ( y ) c C ( x ) . Recíprocamente, dado zeC(x) es z ^ x , por la propiedad simétrica x ~ y . zeC(y). Así C ( x ) c C ( y ) .

como y ~ x

Por lo tanto Z'vy,

por s e r ycC(x), lo que prueba

Uniendo ambas partes C ( x ) = C ( y ) .

Este resultado nos dice que en cada clase de equivalencia cualquiera de sus elementos puede servir de representante.

Es de­

cir, de todos los vectores que son equipolentes a uno dado en el plano, cualquiera de ellos

(junto con la relación de equipolencia)

nos determina al resto. Proposición 0.2 - i) V xeX

:

XeC(x).

ii) Para x , y eX, £i C(x}f\C(y) ¿ 0 Demostración,

entonces C(x) =C(y).

i) está claro por la propiedad reflexiva.

mos que existe zeC(x)riC(y),

entonces z ~ x ,

X/^y. .Aplicando la Proposición 0.1

z/^y

Suponga­

y por lo tanto

tenemos C(x) =C(y).

Este resultado afirma,

en primer lugar,

que no hay ninguna

clase de equivalencia vacia ( = 0 ), y, en segundo, de equivalencia distintas

que dos clases

(es decir de representantes no rel ac i o ­

nados) no pueden tener ningún elemento en común. Definición O.3.- Dado un conjunto X una partición suya es una .*no vacias, colección de subconjuntosYde X = f * ( { e ’}). Proposición 1.26.- K e r f es un subgrupo normal de G. Demostración.

Por la

Sean x,yeKerf,

entonces

f (x.y) = f (x ). f (y ) = f(x). f ( y ) = e ' .e ' = e'.e'

= e'.

caracterización dada en el Corolario 1.10

K e r f es un

subgrupo de G. Además es normal ya que si yeG

y

xeKer f ocurre

f(y.x.y) = f(y).f(x).f(y) = f T y ) - e ·.f ( y ) =e·, lo que prueba que y .x.y e Ker f y así se coñcluye. Obsérvese que para grupos arbitrarios G y G' la aplicación f : G ----^G* fismo.

dada por f(x) =e*

para cualquier xeG es un homomor­

Se llama el homomorfismo nulo o trivial de G en G ' ,

Proposición 1.27.- Dado un homomorfismo f : G ----► G 1, su imagen I m f = {f (x) / xcG) Demostración.

es un subgrupo de G 1.

Si x ' . y ' e l m f r ^

3x,yeG

:

f(x)=x',

f(y)=y'.

Así, x'.y» = f(x).f(y) = f (x). f (y) = f ( x . y ) , con lo que x' .y'c Im f y otra vez por el Corolario 1.10, I m f es un subgrupo de G 1. En el siguiente resultado ponemos de manifiesto como los dos subgrupos

(núcleo e imagen) que se pueden definir a partir

de cada homomorfismo nos proporcionan un criterio para ver si es una aplicación inyectiva,

sobreyectiva o biyectiva.

Proposición 1 . 2 8 Dado un homomorfismo f : G --- * G ' , tenemos i) f es inyectiva

^

ii) f es sobreyectiva Demostración,

Ker f ={ e } ^

I m f = G ’.

ii) es inmediato de la definición de aplicación

sobreyectiva. En cuanto a i), es claro que si f es inyectiva el único elemento de G que se aplica en e' es e, es decir K e r f = { e >. Si suponemos ahora esto último cierto, tales que f ( x ) = f ( y ) ,

entonces f ( x ) . f ( y ) = e *

sean x.yeG

f(x.y)=e't

así x.y está en el núcleo de f, debe entonces coincidir con e, y x.y = e

x = y, con lo que f es inyectiva.

Establecimos en la Proposición 0.13 que toda aplicación f se puede descomponer en la forma i 0b 0P » con i inyectiva, biyectiva y p sobreyectiva.

b

Podemos plantearnos si será posi­

ble un resultado similar ahora; es decir,

que si f es un homo-

morfismo ¿ se podrá poner como i 0b 0p con i, b y p, respectiva­ mente mono,

iso y epimorfismo ?

Proposición 1.29.- Sean (G,.), un homomorfismo.

( G ’,.) dos grupos y f : G --- > G f

Entonces f = i 0b 0P

donde

p : G ----* G/Kerf,

p(x)=x.Kerf

VxeG

b : G/Ker f --- ► Im f , b(x Ker f ) = f (x) i : Im f ----► G', i(y) = y son respectivamente, Demostración. un grupo

epimorfismo,

V

x Ker feG/Ker f

Vyelmf isomorfismo y m o n o m o r f is m o .

En primer lugar hay que observar que G / K e r f es

(cociente) por ser K e r f un subgrupo normal de G (ver

Proposición 1.26).

Por otro lado,

la relación de equivalencia

que origina Ker f en G es x , x 1eG, es decir,

x ~x' ^

x . x 'eKer f

f (x) = f (x ' ) ,

se trata de la relación de equivalencia originada en

G por f, considerada esta "sólo" como aplicación.

Entonces pode­

mos aplicar a f el resultado de la Proposición 0.13 y así obte­ nemos f = i 0b 0p · Por otro lado p es un epimorfismo e i un mono­ morf ismo como se vió en los ejemplos a) y b) de la pag. falta ver que b es isomorfismo.

En efecto,

b( (x.Ker f ). (y.Ker f )) = b( (x.y).Ker f ) = f (x.y) =

33. Sólo

= f (x) .f (y) = b( x.Ker f ) .b( y.Ker f ), para cualesquiera clases del cociente.

Con esto se prueba que b es homomorfismo

y cómo ya se sabía que es

biyectiva se concluye.

Tenemos que hacer resaltar un hecho contenido en la ante­ rior proposición.

Se prueba que para cada homomorfismo

f : G --- ► G 1 tenemos un isomorfismo b : G/Ker f ----► Imf. hecho se conoce como el

Este

teorema de isomorfía de grupos"

Para terminar este epígrafe de homomorfismos y con ello la lección primera llamamos la atención sobre la siguiente pregun­ ta ¿ cuando dos grupos

(Gt.) y (G*,.) se pueden considerar

"idénticos" ? Precisando un poco más,lo que queremos decir es ¿ con que criterio podemos afirmar que dos grupos dados son esencialmente idénticos ? Claro está no podemos caer en la sim­ pleza de pensar que cuando G = G' y las operaciones sean iguales. En este caso se trataría del mismo grupo, pero nosotros estamos interesados en un criterio más amplio que este último y más en consonancia con la estructura de grupo. Hagamos un poco de his­ toria.

Supongamos que X e Y son dos conjuntos finitos,

entonces

si tienen el mismo número de elementos se puede definir una apli­ cación biyectiva de X en Y, y el recíproco también es cierto. De modo que si tenemos una colección de conjuntos todos ellos fi­ nitos la relación de equivalencia "tener el mismo número de ele­ mentos" es la misma que "hay una aplicación biyectiva entre dos conjuntos".

Esto nos sugiere que si £

es una colección de conjun­

tos donde estos tiene un número arbitrario de elementos fini­ to o no, entonces podemos definir en fe la siguiente relación de equivalencia: dados X e Y de t decimos que son coordinables si existe una aplicación biyectiva f : X ----► Y. Esta relación descompone a G en clases de equivalencia, en cada una de ellas estarán todos los conjuntos coordinables entre si. Dos conjuntos coordinables pueden considerarse "idénticos" pues no hay criterio matemático que, tinga. Así,

sin más herramientas,

los dis­

las aplicaciones biyectivas nos proporcionan unas

"gafas" con las cuales uno puede decidir cuando son o no idén­ ticos dos conjuntos.

Si pensamos ahora en grupos parece eviden­

te que sólo por el hecho de que entre dos grupos haya una apli­ cación biyectiva sin más no podemos verlos iguales pues esta­ mos olvidando que así no comparamos las correspondientes ope­ raciones binarias. Sea ^ u n a

Las "gafas" deben ser ahora de otra manera.

colección de grupos en donde vamos a definir

una relación binaria.

Si G y G' son grupos de

decimos que

G es isomorfo con G 1, G = G', si existe un isomorfismo f : G ----* G', Esta relación binaria es de equivalencia.

En

cada clase de equivalencia están los grupos isomorfos con uno dado. Dos grupos isomorfos puéíien considerarse "idénticos". Como, en particular, dos grupos isomorfos son coordinables resulta que dos grupos serán indistinguibles como tales si lo son como conjuntos y además las operaciones se comportan

de la misma forma. Veamos unos ejemplos.

En primer lugar, consi­

deremos el conjunto de las soluciones complejas de la ecuación = 1 , C={1,

- 1,

i, - i}. Si dotamos a C del producto de núme­

ros complejos como operación binaria r e s u l t a r e abeliano

( un subgrupo de (C

.

(C,.) un grupo

La tabla de Cayley de C es

1

- 1

i

- i

1

1

- 1

i

- i

- 1

-1

1

-i

i

i

i

-i

-1

1

- i

-i

i

1

-1

Sea ahora el grupo cociente

(2/4.2, + ). Por simplicidad es­

cribiremos [m] en lugar de m + 4.2 para toda clase de 2/4.2. Su tabla de Cayley es

+

[ 0]

PI

[ 2]

[ 3]

[ 0)

[ 0]

m

( 2]

13]

m

m

[ 2]

[ 3]

[ 0]

[ 2]

[

2]

[ 3]

[ 0]

PJ

( 3)

[ 3]

[ 0]

M]

[ 2]

Entonces la aplicación f : C ----► 2/4.2 dada por f(1) = [0], f (- 1 ) = [2 ], f(i) = [1], f(-i) = [3] es un isomorfismo. Así tene­ mos que los grupos C y 2/4.2 son isomorfos.

Observese entonces

que todas las propiedades que tenga el producto de C también tendrá que tenerlas la suma de 2/4.2. Por ejemplo, C es un grupo

conmutativo y 2/4.2 también lo es, C es cíclico y un generador suyo es i, 2/4.2 también es cíclico y justamente la imagen de i por f,

[1], es un generador suyo. En general si dos grupos G y

G' son isomorfos y G cumple una propiedad te a partir de su operación binaria,

(P) definida únicamen­

entonces G' cumple también

(P). Esto nos da condiciones necesarias para saber si dos grupos pueden ser isomorfos. Así,

si G es conmutativo y G' no lo es

ya podemos asegurar que no son grupos isomorfos. Sea ahora G = {a, b, c, d} un grupo cuya operación está dada por la siguiente tabla

a _b c _d G es conmutativo y tiene cuatro elementos como C y 2/4.2, no obstante no puede ser isomorfo con C (y por tanto tampoco con 2/4.2). En efecto, V x e G G claramente, si mismo.

es decir,

:

x + x = a, a es el elemento neutro de

todo elemento de G es el simétrico de

Esto no ocurre en C, y como esta propiedad es común

a dos grupos que sean isomorfos podemos concluir que G y C no lo son. También podía uno haberse dado cuenta que C es un grupo cíclico y que G no lo es.

PROBLEMAS 1

Sea X un conjunto y sea S(X) el conjunto de todas las apli­

caciones biyectivas de X en si mismo (cada oeS(X) se llama una permutación de X). Demostrar que si dotamos a S(X) de la compo­ sición como operación binaria 11 0 M

resulta que ( S ( X ) fo ) es

grupo. Hacer su tabla de Cayley en

el caso particular de que

un

X = {1 , 2, 3> . 2.- Demostrar que todo subgrupo de algún k e N *

(Z, + ) es de la forma k.Z para

(entero positivo o nulo, nótese

que

O.Z= {0}).

3.- Demostrar que si m y n son enteros positivos, m.Zf|n.Z=d.Z donde d es el mínimo común múltiplo de m y n. 4.- Sean (G, . ) y (G',.) dos grupos y consideramos en G x G '

la

siguiente operación (x,x1).( y,y') = (x.y,x'.y·). Demostrar que G x G '

con esta operación binaria es un grupo y que

las aplicaciones p : G x G 1 --- > G, p ( x , x ' ) = x ,

q : G x G 1 ----» G 1 ,

q ( x , x ' ) = x ' son ep imorfismos. Encontrar sus núcleos y aplicar el teorema de isomorfía (ver pag. 38 y problema 8 pag.

13). Aplicar

al caso particular G = G* =JR y como operación en IR la suma usual. Generalizar a un producto cartesiano de n grupos,

aplicarlo tam­

bién cuando todos ellos son iguales a (R,+). 5.- Sean (G, + ) un grupo abeliano

conmutativo

grupos suyos.

, H + H 1, de H y H 1 como

Se define la "suma"

y H, H' dos sub-

H + H' ={ X + X' / XeH, X 'c H ' }. Nótese que el único requisito sobre el grupo G es que sea abeliano. El que la operación se represente como suma no significa nada. (Piénsese en la descomposición polar de un número complejo en (C0 ··))·

Probar que H + H ' es un subgrupo de G. ¿Se puede hacer una defi­ nición igual si G no fuese conmutativo ? Demostrar también que tanto H como H' son subgrupos de H + H ' , y que, además,

si H y H'

también son subgrupos de K, también subgrupo de G, entonces la suma de H y H' es subgrupo de

K. Diremos que G es suma de H

y H'

si G = H + H ' (todo elemento de

G se pone como suma de uno de

H y

otro de H'). Demostrar que si este es el caso,

H O H ' = {0} es

equivalente a que cada elemento de G se escriba de manera única como suma de uno de H y otro de H ' . Cuando G se dice que G es suma directa

= H + H ’ y H 0 H ’= {0}

de H y H 1 y se pone G = H ® H ' .

Bus­

car ejemplos de esta si tuación. ¿ quien es n.Z + m.Z, n.meN, en Z ? 6.- Demostrar que un grupo x.y = x.y

(G,.) es conmutativo si y sólo si

Vx.yeG.

7.- Probar que un grupo

(G,.) en el que todo elemento sea el

simétrico de si mismo es necesariamente conmutativo. 8.- Sea X un conjunto arbitrario y sea

^(X,^)

el conjunto de

todas las aplicaciones de X en IR. Para f,getf(X,R) se define su suma f + g por (f + g)(x) = f(x) + g(x) VxeX. suma

3^(X,R) es un grupo abeliano.

Probar que con esta

Si se supone X = ÍR, demostrar

que Sc9í(R,R) dado en el ejemplo 2) pag.

16 es un subgrupo suyo.

9.- Sean (G,.) y (G',.) dos grupos y sea f : G ----► G* un isomorfismo. Probar que f“ 1 : G 1 ----► G también es un isomorfismo.

A

partir de esto y de Corolario 1.23, demostrar que, en cada co­ lección de grupos ^

la relación binaria "ser isomorfo con" es

de equivalencia. Dar un ejemplo de dos conjuntos que sean coordinables y una estructura de grupo sobre cada uno de ellos de manera que los grupos que resultan no sean isomorfos.

10.- Sea G el conjunto de biyecciones de R

en si mismo

G = H R 2, f, g, h = f 0g} donde f el la simetría respecto al eje de abscisas, g respecto al de ordenadas. Demostrar que G es un p

subgrupo de S(R ) ¿ Es isomorfo G con 2/4.2 ? ¿Es isomorfo con 2/2.2 x 2/2.2 ? (ver prob. 4 pag. 42). 11.- Demostrar que dos grupos cualesquiera con tres elementos son isomorfos

(por tanto isomorfos con 2/3.2). Demostrar que un

grupo con cuatro elementos siempre es conmutativo. Más todavía, probar que si (G,.) tiene 4 elementos,

entonces es isomorfo con

2/4.2 o biea con 2/2.2 x 2/2.2. 12.- Demostrar que (2/n.2, + ) es un grupo cíclico con n elementos. Demostrar que todo grupo cíclico es isomorfo con (2/n.2,+) si tiene n elementos y con (2#+) si no tiene un número finito de e l em e n to s . 13.- Consideremos, los grupos multiplicativos

(®0 »·) y

y se f :

mediante f(n) = n 1 ' siendo 1 ' la unidad de R' y donde se en­ tiende que ni ' es la "potencia" en el grupo (R',+) de 1' y "exponente" ncZ (ver pag.

28). Entonces f es una aplicación

y cumple f(n + m) = f(n) + f ( m ) , f(n.m) = f ( n ).f ( m ) , f ( 1 ) = 1 ' Vn.meZ (compruébese). Los ejemplos a), b) y d) nos muestran aplicaciones entre anillos que respetan las operaciones. Todos son homomorfismos de anillos según la siguiente definición.

El ejemplo c) es una

aplicación que es un homomorfismo "de grupos" entre (IR, + ), pero no "de anillos" entre

(C, + ,.) y (R, + ,.).

Definición 2.12.- Dados dos anillos homomorfismo

(C,+) y

(R,+#.) y ( R f,+,.), un

(de anillos) es una aplicación f

que verifica las tres siguientes condiciones:

:R ---- ► R'

i)

f (r + s) = f (r) + f (s)

ii)

f(r.s) = f ( r ).f (s )

i i i ) f (1) =1' para todos r,scR, donde 1 y 1' son las respectivas unidades de R y R' . Un homomorfismo inyectivo se dirá monomo rf is mo . un homomor­ fismo sobreyectivo se dirá epimorfismo y un homomorfismo biyectivo, isomorfismo. Un homomorfismo de un anillo en sí mismo se dirá endomorfismo; un endomorfismo biyectivo se llama automorfismo. Es conveniente cuando uno habla de homomorfismo ponerle el apellido "de grupos" o bien "de an illos1; según se trate, para que no haya ambigüedad de notación, como pudiera ocurrir en el ejem­ plo c) de la pag. anterior. El ejemplo a) es un monomorfismo de anillos.

El ejemplo b)

es un epimorfismo de anillos. El ejemplo c) es un epimorfismo de grupos pero no de anillos. Por último,

el ejemplo d) es un ho­

momorfismo de anillos que, en general no es de ningún tipo espe­ cial, pues esto dependerá de quien sea R 1 (como veremos más ade­ lante) . Obsérvese que un homomorfismo de anillos es en particular un homomorfismo

(de grupos) entre los correspondientes grupos

aditivos. Así que todas las propiedades anteriores para homo­ morfismos de grupos son ahora también válidas. De hecho van a ser aplicadas en algunos resultados a continuación.

f : R ----► R ' , g : R 1 ----* R" dos homomorfismos de a n i l l o s . Entonces g Qf : R ----► R" es un homomorfismo de a n i l l o s . Demostración.

Por la Proposición 1.22 tenemos que g Qf verifica

i) de la Definición 2.12. Además, (gDf )(r.s) = g (f (r . s ) ) = g(f(r).f(s)) = g(f(r)).g(f(s)) = = (g0f)(r).(g0f)(s)

Vr.ScR

( gcf ) (1) = g ( f (1)) = g d 1) = 1 " donde 1, 1* y 1" son las respectivas unidades de R, R' y R " . Así se concluye la prueba. Corolario 2.14.- La composición de dos monomorfismos de anillos (epimorfismos de anillos) es otro monomorfismo

(epimorfismo).

La composición de dos isomorfismos es otro is om orfismo. La Proposición 1.24 se puede escribir ahora Proposición

2.15.- Sea f : R -- ► R ’ un homomorfismo

dean i l l o s .

E nt o n c e s : i) f (0) = 0'

( O y 0' los resp.

ii) f (- r ) = - f ( r )

"ceros"

de R y

R'

)

Vr e R

Definición 2.16.- Dado un homomorfismo f : R ----► R', defini­ mos su n ú c l e o , Kerf,

como

Ker f = {aeR / f(a)=0'> Es decir,

=f*({0'>).

el núcleo de un homomorfismo de anillos es el mismo

que el núcleo de este considerado sólo como homomorfismo entre

los correspondientes grupos aditivos.

En la Proposición 1.26

probamos que el núcleo de un homomorfismo de grupos era un subgrupo normal del grupo dominio,

ahora para el núcleo de

un homomorfismo de anillos tenemos Proposición 2.17.- Ker f es un ideal de R. Demostración.

Ker f es un subgrupo de

(R, + ) como ya hemos razo­

nado. Además,

si a e K e r f y rcR se verifica

f(a.r) = f(a).f(r) = 0 ' .f(r) = 0' f(r.a) =f(r).f(a) = f ( r ) .0' = 0' por i) de la Proposición 2.3, con lo cual a.r y r.a pertenecen a Ker f . Proposición 2.18.- Dado un homomorfismo de anillos f : R ---- ► R ' , su imagen Im f (como aplicación) es un subanillo de R ' . Demostración. (R ’ ,+)

En primer lugar tenemos que I m f es un subgrupo de

(ver Proposición 1.27). Como f ( 1 ) = 1 ’ tenemos 1'elmf.

Finalmente,

dados r '. s' e l m f existen r,seR tales que f ( r ) = r ' ,

f (s) = s ’ y por tanto r'.s' = f(r).f(s) = f(r.s)elm f . Aplicando ahora la caracterización de la Proposición 2.8* Im f es un subanillo de R '. Análogamente a la Proposición 1.28 podemos enunciar Proposición 2.19.- Dado un homomorfismo de anillos f : R ---* R ' , tenemos i ) f es inyectiva

^

ii) f es sobreyectiva

Ker f = {0} ^

I m f = R'.

Proposición 2.20,- Sean (R,+,.),

(R',+,.) dos anillos y

f : R ---- ► R' un homomorfismo entre ellos.

Entonces

f = i 0b 0P donde

p : R ----* R / K e r f ,

p(r) = r + Ker f

V r eR

b : R/Ker f ----► Im f , b(r + Ker f ) = f (r)

V

r + Ker f eR/Ker f

i : Im f ---- ► R ' , i (r ' ) = r ' V r ' c l m f son respectivamente, Demostración.

e pi morfismo, isomorfismo y m o n om or fi sm o.

Aplicando la Proposición 1.29 a f considerado

como homomorfismo entre los grupos f = i 0b 0p,

donde

las

(R, + ) y (R 1,+ ), tenemos que

aplicaciones en que se descompone f

son homomorfismos de grupos entre los grupos aditivos corres­ pondientes y que i es va. Por otro lado,

inyectiva,

b biyectiva y p sobreyecfti-

en los ejemplos a) y b) de la pag.57

se

ve que i y p son homomorfismos de anillos. Ahora sólo falta ver que b verifica ii) e iii) de la Definición 2.12. En

efecto,

b ( (r + Ker f ). (s + Ker f) ) = b( r.r' + K e r f ) = f (r .r ') = = f (r ).f (r ' ) = b(r + Ker f ). b (r ' + Ker f ) b(1 + Ker f ) = f (1 ) = 1 1 . Nosotros podríamos hacer ahora una discusión similar a la hecha para grupos en las pag. (R ,+,.) y (R

38 y 39. Así, dados dos anillos

, decimos que R es isomorfo a R ' , R = R ’, si

existe f : R ----► R' que es un isomorfismo de anillos.

En toda

colección de anillos 3%, se define de esta forma una relación de

equivalencia, de

la relación "ser isomorfo con" entre los anillos

.El resultado anterior nos dice que el anillo cociente

R/Ker f y el subanillo Im f de R' son isomorfos como anillos. Este

hecho

se

conoce con el nombre de "el teorema de iso-

morfía de anillos". Para acabar es epígrafe vamos a ver que a cada anillo se le puede asociar un número natural,

llamado su característica,

que tiene bastante utilidad a la hora de "distinguir" anillos. Dado un anillo (R',+,.) podemos definir un homomorfismo de anillos f : Z ---- ► R' mediante f(n) = n 1 ', donde 1 1 es la unidad de R 1 (ver ejemplo d) en pag. 57). = {neZ/ f ( n ) = 0 ' } = {neZ/ n 1 ' = 0 ' }

Su núcleo Ker f =

es un ideal de Z por la

Proposición 2.17. Pero todo ideal de Z es de la forma p.Z con pcN * (ver problema 12 pag. 69 ). De modo que o bien f es un monomorfismo

( p = 0 ) o bien f no lo es

( p>0 ). Ahora damos la

siguiente Definición 2.21.- Dado un anillo

(R',+,.) al entero no negativo

p establecido en la discusión anterior lo llamaremos la carac­ terística de R' . Nótese que si R' tiene característica p>0

eso quiere decir

que p es el mínimo entero positivo tal que la unidad 1 ’ de R' sumada consigo misma p veces es igual al cero 0 ’ de R', y que cuando tal entero positivo no existe R' tiene característica 0. El anillo de los números enteros tiene característica 0. El anillo (Z/p.Z, + ,.) tiene característica p.

Como Im f es un subanillo de R 1 isomorfo con 2/Ker f , tene­ mos que R ’ fiene caracterítica 0 si y sólo si Im f = Z, y R' tie­ ne característica p si y sólo si Im f = Z/p.Z

(p>0). Dicho de

otro modo, que R* tiene característica 0 quiere decir que R' contiene un subanillo isomorfo con Z, y que tiene caracterís­ tica p>0 que contiene un subanillo isomorfo con Z/p.Z. Si dos anillos son isomorfos entonces tienen la misma ca­ racterística. Así este número que hemos asociado a cada anillo nos va a servir para distinguir entre dos anillos dados. ejemplo,

Por

de lo anterior se deduce que si R y R 1 son dos anillos

con distinta característica nunca pueden ser isomorfos.

Por otro

lado, dos anillos con igual característica no tienen porque ser isomorfos,

por ejemplo,

la característica del anillo de los nú­

meros enteros es 0 y la del anillo de los racionales también 0, sin embargo estos dos anillos no son isomorfos ya que todo núme­ ro racional no nulo tiene inverso para el producto

(© es un cuer­

po en el sentido que diremos más adelante) y esta propiedad,

que

se conserva por isomorfismos de anillos, no la posee Z. Anillos de integridad.

C u e r po s.-

Consideremos el anillo

(Z,+,.).

una propiedad conocida su­

ya es la siguiente: Si n,meZ son tales que n.m = 0 entonces n = 0

o

No todos los anillos verifican esta propiedad, en Z/4.Z tenemos

[ 2 ]¿

[0]

y [ 2] . [ 2 ] = [ 0 ]

m = 0. por ejemplo,

(ver pag. 56).

Estos ejemplos dan pie a la siguiente

Definición dicen

2 .2 2 . - A o s

d i v is o re s

de

elementos

cero

a .b = 0 y

a^O

l l a ma

y b^O. un

Un

anillo

Un a n il l o g ri da d

si

a nillo

nientras En ción

el

2.22

la

es c ri b e

d e f in i da

por

p ro d u c t o

prob.

4,

x^O

c ua nd o

x + f (b.,,b2 ) ) a.(a1 ,a2 ) = f- 1 ( a.f (a., ,a2 ) ) de donde (a1 ,a2 > + (bn ,b2 ) =

,a2+b2 )

a.(a1 ,a2 ) = (a.at ,a.a2 ) lo cual implica que esta definición .de suma y producto por números reales en IR

no depende de la elección concreta de e ^

e 2 ( con

tal que verifiquen las propiedaddes arriba indicadas). Con esta 2 suma podemos ver que IR es un grupo abeliano; en efecto,, es claro que " + " es una operación binaria

en IR , además la asociatividad

se verifica "componente a componente" por tener esta propiedad la suma en IR. El elemento neutro es (0,0), y el simétrico de (a1 ,a2 ) es

(- a^ -a ^) ,

respectivamente se llaman el "cero", y el "opuesto"

(del par (a.j,a2 ) ). Por último decir que la propiedad conmutativa se cumple en (R

porque la suma es conmutativa en IR (expliqúese los

detalles). Además la multiplicación por escalares verifica formal­ mente las propiedades i), ii), illJ e iv) de la página anterior. De esta forma hemos pasado de un ejemplo geométrico a uno alge­ braico ( los pares ordenados de números reales son una represen­ tación algebraica de los vectores libres de un plano ).

Uno observa enseguida que estas operaciones en ÍR

se pueden

fácilmente generalizar a lRn poniendo i (a 1 ,a2 ,..,an ) + (b 1f b2 f ..,bn ) = (a 1+ b 1 ,a2+ b2 , . . ,an +bn ) a. (a1 va 2 ,.. va ) = (a.a1 ,a.a2 ,..,a.an ). Así,

(lRn ,+) es un grupo abe llano y este producto de escalares por

listas ordenadas de n números reales satisface i), ii),

iii) e iv)

como en el caso n = 2. Cuando se hacen estas verificaciones,

se va

uno dando cuenta que si en lugar de si en lugar de £R se toma C ( el cuerpo de los números complejos) firmaciones para (Cn , más todavía,

podemos hacer todas estas a-

las operaciones descritas arriba

para listas de n elementos de un cuerpo K y el producto de

" " números

de K por listas dotan a Kn de estructura de grupo abeliano y la multiplicación K x Kn ----> Kn verifica las mismas propiedades que antes.

Hagamos notar que este natural n que aparece aquí bien pu­

diera ser 1; en este caso se confunden

"suma de listas de 1 elemen­

to" con la suma del cuerpo K y "producto de números de K por lis­ tas" con el producto del cuerpo K. 3)

Consideremos ahora la ecuación diferencial típica de los

movimientos armónicos f " (x) + f (x) = 0 H donde la "elongación" f es una función dos veces derivable del paM rametro tiempo x de IR en IR. Sea S el conjunto de todas las apli­

,

caciones f : IR --- * IR, derivables 2 veces y que ferifican esta ecuación.

Podemos sumar elementos de S poniendo Vf,geS

= f(x)+g(x)

Vxc R.

Con esta suma S es un grupo abeliano,

: ( f + g)(x) = en efecto,

se trata de un subgrupo del grupo de todas las aplicaciones de IR en IR, yíR.lR), que es claramente abeliano. Además,

podemos multi­

plicar números reales por elementos de S como sigue:

para cada ae(R

y cada feS, ponemos a.f como la aplicación de IR en IR definida por (a.f) (x) = a.f (x)

VxeIR; es decir,

se define este producto utilizan­

do el producto usual de números reales.

Es un fácil ejercicio com­

probar que a.feS

utilizando las propiedades

V adR

yVfeS.

Además,

de la suma y el producto usuales de números reales,

uno puede de­

mostrar que de nuevo se verifican ahora propiedades análogas a i), ii),

iii) e iv) del primer o segundo ejemplos.

Definición de espacio vectorial.

Primeras p ro piedades.-

Los tres ejemplos anteriores tienen en común que en todos hay definida una operación binaria "suma" respecto de la cual tienen estructura de grupo abeliano. Además se pueden multiplicar núme­ ros de un cuerpo por elementos del grupo abeliano,

verificando es­

ta multiplicación propiedades formalmente idénticas en todos los casos y que nos explicitan relaciones entre las cuatro siguientes operaciones : las dos del cuerpo,

la suma del grupo abeliano y la

multiplicación de números del cuerpo por elementos del grupo abe­ liano. La abstracción de todas estar propiedades da lugar a lo que entenderemos por un "espacio vectorial sobre un cuerpo". Definición 3.1.- Un espacio vectorial sobre un cuerpo un grupo abeliano

(K,+,.) es

(V#+ ) junto con una aplicación K x V ----► V,

(a,x) i--- ► a.x, que verifica las siguientes propiedades: i)

a. (x + y ) = a.x + a.y

ii)

(a + b) .x = a.x + b.x

iii)

(a.b).x = a.(b.x)

iv)

1 .x = x

para cualesquiera a,beK

y

x,yeV, y donde 1 es la unidad de K.

Debido al primer ejemplo de la introducción,

a los elementos de V

se les llama vectores y a los de K e sc al a r e s ; con ello,

a la suma

en V se le dice suma de ve ct o r e s , a la suma y producto en K respec­ tivamente suma de escalares y producto de es ca l a r e s . A la aplica­ ción K x V ----- ► V

( que no es una ley de composición interna)

se

le llama la multiplicación de escalares por ve c t o r e s . Las propiedades i) e ii) se llaman distr ib ut iv as ; la iii)

se

llama pseudoasociativa y la iv) m o d u l a r . Todas juntas nos dan las relaciones que hay entre las cuatro operaciones que encierra esta d ef in ic ió n. Nosotros supondremos, aunque para lo anterior no es preciso, que el cuerpo de Qjs.caJLM.eJ5.

En el caso de

que K = IR se dirá )

(ver pag.

y con ello U 1 =

79). También es fácil ver que

todo vector de U 2 es de la forma (a,b,0) con a,beR, con lo que U 2 = L ( {(1,0,0),(0,1,0))). podemos afirmar

donde H =

¿sí, no

lo análogo a c) de la Proposición 3.9 para la in­

tersección de subespacios. que U i = L(Hi )

Nótese que U1 D U 2 = L ({(1,-1,0)});

No obstante,

si U 1 ,U2 ,...,Um son tales

i = 1 ,2, . . ,m, se encuentra que L ( H ) C U 1

U 2 f\ . . . f\Um

f\ H 2 f\ · · · r\Hm se supone no vacio. 3

Nos damos cuenta en este ejemplo que todo vector de R

se puede

3

poner como suma de uno de

y uno de U 2 , es decir que (R =

+

U2 ,

en efecto, (an ,a2 ,a3 ) = 0.(1,0,-1) + (-a3 ).(0,1,-1) + + a 1 .(1,0,0) + (a2 + a ^ ) .(0,1,0), pero esta forma de poner cada vector como suma de uno de U 1 y otro de U 2 no es única ya que también (a1 ,a2 ,a3 ) = ¿ a 1 .(1,0,-1) + (- ¿ a 1 - a 3 ).(0,1,-1 ) + + i a 1 . (1 ,0,0) + (a2 + i a 1 + a ^ ) . (0,1 ,0).

Cambiemos U 1 por U.j = L({ (0,0,1)}), caso, cada vector de (R

entonces (R = U,j + U 2 pero en este

se escribe de forma única como suma de uno

de U-j y uno de U2 · También observamos que

f\ U 2 ¿ {0} y que Uj 0 ü 2 =

= {0} .Despues de esto enunciamos la siguiente Proposición 3.10.- Supongamos que U ^ W son dos subespacios vecto­ riales de V(K) tales que V = U + W. Entonces, i) VzeV

3l(x,y)eUxW

son eq ui valentes:

z = x+y

ii) u n v = {0}. Demostración.

Veamos que i) =^ii).

Si Z e U O W ,

por i ) z se pone de

forma única como suma de un vector de U y otro de W, pero tenemos z = z + 0 = 0 + z, y por la unicidad ha de ser z = 0. Para ver que ii)«^i)

supongamos un vector z EV tal que z = x 1 + y^ = x 2 + y 2 con

x i e U , y i eW, i = 1,2. Entonces y 2 - y 1 = X 1 - x 2 e

U

= {0}, lo que

implica x 1 = x 2 e y 1 = y 2 y así se concluye la prueba. Definición 3.11.- Sean V un espacio vectorial sobre K y U,W dos subespacios suyos tales que V = U + W y U O W = {0} (o bien i) de la Proposición 3.10), entonces diremos que V es suma directa de U y W y pondremos

V = U©W;es

decir, es V = U © W

cuando cada vector de V

se escribe de manera única como suma de uno de U y otro de W. En los ejemplos de arriba tenemos que R J es suma directa de U· y U 2 , y que es suma no directa de U 1 y U 2 Ahora parece lógico hacer#se la siguiente pregunta: puede generalizar la suma directa a m sumandos ? Sean

¿ como se , U 2 ,..,

,Um una familia de m subespacios vectoriales de V(K). Uno piensa que puede establecer un resultado similar al dado en la Proposición 3.10 diciendo que cuando V = U 1 + U2 + ... + U^, el hecho de que todo vector zev se ponga de forma única como z = x. + x n+ ...+x« I ¿ m

con x-eU1 1

va a

ser equivalente con que U.fi U.¡ = {0} con i ¿ j. Pero esto es falso co·*■ J

mo lo pone de manifiesto el tomar V = IR , ^ U 2 = L ( {(0,1,0)})

y

U 3 = L({(0,1,1)>),

Tenemos el siguiente resultado

= L({(1 t0,0),(0,0,l )} ), (ver prob. 13,

pag.104).

, generalización de la Proposi­

ción 3.10, que se probará como ejercicio Proposición 3.12.- Sean U 1 ,U 2 ,...,Um subespacios vectoriales d e V(K) tales que V = U 1 + U 2 + ... + Um . Entonces,

son e qu iv alentes:

i)' VzeV 3! (X1 ,X2 , . . ,Xjn)eU1 X U2 X. .X Um : Z = X 1+X2+ ...+Xm . í i ) · V j e {1

. 2 .........m- 1 ,

:

(ü1 + . . . + ü . ) n t l j + l = (o ).

Nótese que la condición ii)' es mucho más fuerte que suponer Ui 0 U j. = (0} ,

i¿j,

basta observar que

con i V =

Seguimos con nuestro inicial propósito de obtener ejemplos de espacios vectoriales.

Veremos ahora como,

vectorial y un subespacio suyo, vectorial.

a partir de un espacio

podemos construir un nuevo espacio

Asi que sea V(K) y U un subespacio suyo.

En particular

V es un grupo abeliano y U un subgrupo suyo. Entonces podemos cons­ truir el grupo cociente V / U = {x + U / x eV } (ver Proposición 1.19) cuya suma es ( x + U) + ( y + U ) = ( x + y ) + U . Sería deseable que V/U

fuese un espacio

vectorial sobre K y que la

multiplicación de escalares por Mclas es M se hiciese a través de la de escalares por vectores de V, en el mismo sentido que como se defi­ ne la suma de clases.

Definimos entonces para aeK

y

x + UeV/U

a. (x + U) = a.x + U y podemos establecer Proposición 3.24.- Con estas operaciones V/U es un espacio vectorial sobre K. Demostración.

En efecto,

veamos que (a,x + U) \-----* a.x + U nos define

una aplicación de K x V/U en V/U.

Sean x + U = y + U, entonces ha de ser

a.x + U = a.y + U, pero esto es consecuencia de que x - y e U y a . ( x - y ) = = a.x-a.yeU.

Además tenemos

a.( (x + U) + (y + U) = (a.x + U) + (a.y + U)

) = a . ( (x + y) + U ) = a.(x + y) + U = ( a . x + a.y)f U

=

= a.(x + U) + a. (y + U ) .

(a + b ). (x + U ) = ( (a + b ). x ) + U = ( a.x + b.x ) + U = (a .x + U )+ (b .x + U )= = a. (x + U) + b. (x + U ) . (a.b).(x + U) = ( (a.b).x ) + U = ( a.(b.x) ) + U = a. ( (b.x) + U ) = = a.(b.(x + U ) ). 1 . (x + U) = 1 .x + U = x + U. Con lo que se concluye la prueba. En los casos "límites" U = {0} y U = V tenemos sendas aplicacio­ nes biyectivas

V ---- ►V/íO}

y

Xi----► x + {0}

V o ---- ► V/V 0«----> 0 + V

donde V o = {0} es el espacio vectorial trivial sobre K ( su suma está definida por 0 + 0 = 0, y el producto de un escalar por 0, a.0 = 0, es decir, de la única forma posible

).

Bases. Di me n s i ó n .Definición 3.25·- Dado un espacio vectorial V(K), cuando tengamos un subconjunto H de V tal que L(H) = V diremos que H es un sistema de ge­ neradores o un conjunto generador de V. Como L(V) = V (ver pag. 80 ) resulta que trivialmente V es un sis­ tema de generadores de V. Obviamente este caso por trivial es desechable; así,

interesa que H sea lo "más pequeño" posible, y claro está

que sea finito. Pero ¿qué ventaja se aprecia en el hecho de que sea V = L ( H ) con H finito ? Por ejemplo,

en la pag. 79

con sólo dos vec­

tores (y las operacioes de espacio vectorial) podemos conocer todos Q los vectores de U = {(a,b,c) / a + b + c = 0 } c R . Cuando un espacio vectorial V(K) admita un sistema de generado­ res finito diremos que es finitamente generado. Supongamos que H es un sistema de generadores de V(K) y que U es un subespacio vectorial suyo. Entonces H = (x + U / xcH } es un sistema de generadores de V/U.

Enefecto, consideremos una

cla­

se x + U, entonces 3 (x1 , . . . ,xm > c H y 3 , . . . ,am > c K tales que m x = l a - . x ., y por ello i=1 1 1 m m m x + U = ( l a . . x. ) + U = l (a-.x. + U) = l a - .(x. + U) i=1 i=1 1 i=1 que demuestra lo dicho. En particular así se prueba que si V(K) es finitamente generado también lo es V/U, y además podemos decir que el número de generadores encontrado para el que tiene V(K).

V/U es menor o igual que

Que V(K)

sea finitamente generado "depende mucho

to,supongamos el pues (R = L({1)).

de K " . En efec­

espacio vectorial fR(R) que es finitamente generado Según discusiones anteriores

(ver pag. 76)

también

podemos considerar (R como un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números racionales Q. Sin embargo ^

1

a- = a 0= . . . . = am = 0, 2

m

única expresión como com­

binación lineal de los vectores de H. Diremos que H es linealmente dependiente independiente;

es decir,

si no es linealmente

si podemos encontrar escalares a^eK no todos

nulos con a 1 .x1 + a 0 .x 0 + ... + a .x = 0 1 i ¿ ¿ m m Es claro de esta definición que si 0 Como consecuencia tenemos que

.

dim^ V/U = dim^ U ' y por tanto

dim^ V/U = d i m K V - dim^ U donde hemos utilizado que dimK V = d im K U + di m K U ' si V = U ® U ' . Nótese que dim^ V/U¿dimK V para cualquier subespacio U de V, dándose la igualdad si y sólo si U = {0}. Proposición 3.41.- Sean U ^ W dos subespacios vectoriales de V(K). Entonces dimK (U + W) + d im K ( u n W) = d i m K U + di mK W. Demostración.

En efecto,

sea

{x1 ,..,xm > una base de UfiW (si fuese

U f | W = {0} este paso no se daría y la prueba comienza en el siguien­ te). Aplicando el Teorema de ampliación de la base encontramos xm + 1 ,,,,xn cU tales Sue {X1 *··’xm ,xm + 1 ’*’ ,xn } es una base de U

y

xm + 1 ’**,xp eW tales 3ue {xi *··,xm' xm + 1 * * **xp * es una base de W# A s ^ tenemos que u = ( u n w ) » u ' , y V

W=(unw)®W

siendo U 1=L ( {x¿+1 , . . ,x¿ >)

= L( fx;+ 1 ,.. ,x«>). tXl,.. . x ^ x ^ , · · . ^ , x ; +1

mente un sistema de generadores del subespacio U + W .

es claraVeamos que

también es linealmente independiente. m -í a i-x i +

iti 1

1

n 1----

Si se tuviese

p

1 Z b , . x í + H . c k *x ic= 0 jáñ+1 J J k¿m+1 k K j=

entonces

p ¿ 1

m c k-x k = _ H

k = r+ i k

k

n a i-X i ~

i =1 1

1

HL

jáñ+1

b.-x^eu

J

J

pero el miembro izquierdo de esta igualdad es un vector de W, con lo que este vector estaría

en U H W y también en

= {0> con lo cual c^ = 0V k e { m + 1 , . . , p m

V , pero ( U O W )

P\W' =

}. Así

n

I a i-x i + L bj'x ] = o 1=1 1 1 j=m+1 J J lo que implica a i = 0, b^ = 0, V i e {1,2,..,m>, V j e { m + 1 ,..,n }. Con esto se concluye que

»* *,xm ,xm + 1 '* **xn'Xm + 1 '’',xp } es una ba”

se de U + W y c o n e l l o la demostración. Corolario 3.42.- Sean U ^ W dos subespacios vectoriales de V(K)

ta­

les que V = U + W. Entonces V= U 9W Demostración. pag. 98).

v = dimK U + d i m K W.

Es claro

que se verifica la condición necesaria (ver

La suficiente lo que afirma en realidad es que si la di­

mensión deU + W de W entonces

se obtiene como la

suma

de lasdimensiones

U f | W = {0^, pero esto es consecuencia

de

de

U y

lafórmula

de la Proposición 3.41, que en estas condiciones implica di mK (U0W)=O. Podemos generalizar estos resultados a más de dos subespacios. Por ejemplo se puede probar

(se hará como ejercicio) que si U 1*U 2 ,U3

son subespacios vectoriales de V(K)

se cumple:

dimJC(U1+U2+U3 ) + d i m K (U1+ U 2 ) n u 3 + di m K (Uin-U2 ) = dimK U 1 + d i m K U 2 + dimK U 3 .

En general para k subespacios U 1 ,U 2 ,...,U k de V(K) tenemos:

di mK ( Z 1u i ) + ^

=

dimk (ü1 + ··· + V

n V i

=

k Jldim^U. . j=i * 3

Cambio de b a s e .Consideremos primeramente un ejemplo. rial de los polinomios con grado

Sea V el espacio vecto­

s< 2 y coeficientes reales

( es un

subespacio del espacio vectorial de todos los polinomios con coe­ ficientes reales R[x]).

V tiene dimensión 3 como fácilmente se com2 prueba. Sea B = (p1 (x) ,p2 (x) ,p^(x)), con p ^ x ) = 1 + 0 x + 0 x , 2 2 P2 ( x) = 0 + x + 0 x , = 0 + 0 x + x que es una base ordenada de V, en esta el polinomio a + b x + c x

2

tiene justamente coordenadas

(a,b,c). Consideremos otra base ordenada B ' = (q^(x),q2 (x)fq ^ { x ) ) donde q 1 ( x ) = p 1 (x), q 2 (x) = p 1 (x) + P 2 (x), q 3 (x) = p 1 (x)+p2 (x)+p3 (x). Dado cualquier polinomio coordenadas tanto en respectivamente.

p(x)

B como en B',

este tendrá unas determinadas llamémosles (a1fa ^ 9a ^ ) , (a.j , a ^ , a p

Lo que nos preguntamos es si conocidas las coor­

denadas de p(x) en B y las de los vectores de B' también en B (tal es como damos los

) podemos conocer las coordenadas de p(x)

en B'. Uno enseguida se da cuenta que esto se puede hacer del siguien­ te modo p (x ) = a 1l.q1 (x) + a ¿ . q 2 (x) + a^.q3 (x) = = aj.p1 (x) + a¿.(p1 (x) + p 2 (x)) + a^.(p1 (x) + p 2 (x) + p 3 Ker f = {0}.

4. I m f = { f ( x ) yectiva

/ XcV} es un subespacio de V* . Además f es sobre­

Im f = V ' .

Demostración.

1. es una consecuencia inmediata de que f es un homomor­

fismo del grupo (V, + ) en el grupo (V',+)

(ver Prop.

1.24, pag.

35).

2. se obtiene generalizando la Proposición 4.2 por inducción sobre el número de sumandos. ya las conocemos

La segunda afirmación de 3. y también de 4.

(ver Prop.

1.28, pag.

36). Teniendo en cuenta que

Ker f e Im f son subgrupos respectivamente de (V, + ) y (V', + ) (por Prop.

1.26 y 1.27) sólo hay que demostrar VaeK,

N/xcKer f

a . xcKe rf

VacK, V y d m f En efecto, ydm f

3xeV

:

f(a.x) = a.f(x)

a.ydmf. = a.O' = 0'por

la Prop.

3.2,

pag.

76. Dado

:f (x) = y,entonces a.y =a . f ( x ) = f ( a . x ) e l m f . *

En 3. y 4. de la Proposición 4.3 se afirma que f ({O1}) (=Kerf) y f*(V)

(=Imf)

son subespacios de V y V' respectivamente.

Ahora gene-

talizamos estos hechos mediante: Proposición 4.4.- Sean V(K), V'(K) dos espacios vectoriales y sea f : V ---- * V ' una aplicación lineal. En t o n c e s : * a ) Si U' es un subespacio vectorial de V 1 =$> f (U ' ) es un sub­ espacio vectorial de V. b) Si U es un subespacio vectorial de V =*► f*(U) es un subespa­ cio vectorial de V ' . Se demostrará como ejercicio. Definición 4.5.- Dada una aplicación lineal f : V ----+ V' es constumbre llamar a d imK Ker f la nulidad de f, nulidad(f), y a dim K Im f el rango de f, rango(f).

Obsérvese que 0«nulidad(f) una base de V( K) , (xj,..,x¿)eV' x ... x V ' .

Entonces

3 !f : V ----► V ' lineal tal que f (x ^ ) = x|

V i c {1t ..,n }.

Además, f es inyectiva

es linealmente independiente,

f es sobreyectiva

4 =^

f*(£) genera a V'.

f es biyectiva 4=? f*(é) es una base de V'. Este resultado nos dice que conocidas las imágenes de los vec­ tores que forman una base de V(K) queda completamente determinada la aplicación lineal

(es decir,

la imagen de calquier otro vector).

Además, el caracter de f viene dado por condiciones de independen­ cia y generador sobre el conjunto de las imágenes de los vectores de una base de V(K). Demostración.

Supongamos que f existe y sea g : V ----*»Vf lineal

cumpliendo también que g ( x ^ ) = x ^

Vie{l,..,n>.

Vamos a probar que

f = g, con lo que f será única con estas condiciones,

en efecto,

n Sea x = T a..x. cualquier vector de V. Entonces i= 1 1 1 g(x)=g(

l a-.x,)= 1=1

1

1

¡ a , . g(x- )= J a..f(xi ) = f ( J a· .x· ) = f ( x ) . í 1=1 1 1 1 = 1 -1 x

1=1

Para ver la existencia vamos a definir f. Dado xeV sabemos que n x = y a..x. con a.eK V i e { 1 ,2 ,..,n>. Entonces ponemos i= 1 f(x) =

n l a..x: i=1

Como f( l 3 ..X.+ l bi .xi ) = f ( l ( a , + b i ).x.)= l (a- + b± ) .x! = i =1 1 1 1=1 1 1 i =1 1 1 1 i =1 1 1 1 = l (a. .x! + b-.x!) = l a . . x ! + l b . . x : = f ( [ a - . x ^ + f í l b - . x ^ i=1 1 1 1 i =1 i =1 1 1 i =1 1 1 i =1 1 1

y

n n n f (a . ( [ a . . x . ) ) = f ( ¡ a. (a - .x - ) ) = f ( l (a .a . ). x . ) =

i=1 1 1

í =1

n = 1 (a.a.).x!=

i=l

1

1 1

i=1

n n l a .( a..x !) = a . ( J a- .x¡)=a.f(

1 i=1

1 1

i=1

n l a..x.)

i=1

x

tenemos que f es lineal, y además como n X.= l í ^ . x ^ J i =1 13 1

[1

con «!■:=< 10 [O

si i = j =£

f(x. ) = x !

si ijíj

1

Vi e { 1 ,..,n }. '

1

Para ver el caracter de f según sea f*(£) utilizaremos la Proposición 4.3.

Supongamos primeramente que K e r f = { 0 } ,

y sea

a . . x ’ + ... + a „ . x 1 = 0 1. Esto quiere decir que a-.x- + . .. + a .x^ per-

1 1

n n

^

^

1 1

n

n

tenece al núcleo de f, por lo tanto a^.x^ + ...+ an »xn = 0, y como 0 es linealmente independiente a ^ =

0

Vie

{1

,2 , .. ,n}, lo que prueba

que f*(£) es linealmente independiente. Reciprocamente, sea xeKerf, n n x = [ a. .x. , entonces 0 ' =f(x) =[a. .xí, y como ahora suponemos i=i 1 i=i 1 1 u que f*($) es linealmente independiente tenemos a^ = 0 Vie{ 1 ,..,n}. Es decir x = 0 y en consecuencia f inyectiva. Si observamos que L(f*($3)) = Im f , entonces L(f# ( 0 ) ) = V ' sólo si f es sobreyectiva.

si y

Finalmente, uniendo ambos resultados

tenemos, que f es biyectiva si y sólo si f*(£) es una base de V f. Es necesario hacer notar que pudiera ocurrir en las hipóte­ sis del Teorema 4.11, que algún xí coincidiese con otro ^

J

Es

decir, no afirmamos que todas las imágenes de los vectores de B

tengan necesariamente que ser distintos vectores de V'. Como ilus­ tración a esto supongamos x| = 0' Vie{l,..,n>.

El Teorema 4.11 afir­

ma entonces que hay una única aplicación lineal f que f ( x ^ ) = 0 ' Vic{l,..,n>.

: V ----*V'

tal

Esta aplicación lineal verifica fQ (x) =

=0' V x e V y se llama la aplicación lineal "nula" de V en V ’. Nótese además que toda f : V —

► V' lineal se construye usando el Teorema 4.11.

Teorema 4.12.- Sean V

V' espacios vectoriales sobre K. Entonces

V = V'

dimK V = di mK V· .

Demostración. Ya sabemos por la discusión en la pag. 112 que si dos espacios vectoriales tienen la misma dimensión son isomorfos. procamente, biyectiva. rema 4.11

si V y V' son isomorfos existirá f : V ----►V' Entonces,

Reci­

lineal y

si £ = {x^.-.-.x > es una base de V por el Teo­

tenemos que f*($) = {f(x.),...,f(x )> es una base de V 1, i n

por tanto V y V' tienen dimensión n. Veamos ahora algunas consecuencias de este Teorema. Corolario 4.13.- Sea f : V ----y V' una aplicación lineal.

Entonces

d i mK V = n ulidad(f) + r a n g o ( f ). Demostración.

Según el primer Teorema de isomorfía (Teorema 4.8)

V/Ker f = Imf,

entonces di mK V/Ker f = dim^ Im f = rang o ( f ) por el

Teorema 4.12.

Pero sabemos que la dimensión de un espacio vecto­

rial cociente se obtiene

(ver pag.

98) como la diferencia de las

dimensiones entre la del espacio y del subespacio.

Entonces

dim K V/Ker f = di mK V - dimK Ker f = dimK V - nulid ad(f ) = r a n g o ( f ). Obsérvese que como consecuencia de este Corolario tenemos 0 ^rango(f)< mínimo {dimKV,dimKV ' } (ver De'finición 4.5). Razonamientos similares a partir del segundo y tercer Teoremas de isomorfía (Teoremas 4.9 y 4.10) nos permiten establecer:

dim K (U + W) + d i m K ( u n w ) = di m K U + d i m K W. Notemos que esta fórmula ya la conocíamos deducida de otra manera en la Proposición 3.41, pag.

98.

Corolario 4.15.- Sean U y V dos subespacios vectoriales de V(K) tales que U

W. Entonces

dimK V/U = dim^V/W + dim K W/U. La demostración se deja como ejercicio. La fórmula obtenida en el Corolario 4.13 es muy útil como lo pone de manifiesto el siguiente resultado ideal para utilizarlo en supuestos prácticos. Proposición 4.16.- Sean V(K), V'(K) espacios vectoriales con la misma dimensión n, ^ f : V ---- ► V 1 una aplicación lineal.

Entonces

son eq uivalentes: a) f

es biyectiva

b) f

es inyectiva

c) f

es sobreyectiva

d) nu lid ad(f) = 0 e ) ra n g o (f ) = n . Demostración. que d) y e ) 4.3,

Utilizando dim^ V = nul i d a d ( f ) + r a n g o(f) , está claro

son equivalentes.

pag. 1 0 9 . b ) < ^ d )

que a) es

Por otro lado, por la Proposición

y c ) ^ e ) . De modo que sólo resta

probar

equivalente con cualquiera de lasotras 4 condiciones.

Es claro que a)-=^b).

Si ocurre ahora b) tenemos que Im f es un

subespacio de V' con dimensión igual a n, por tanto I m f = V' y f es sobreyectiva, y como ya era inyectiva tenemos a). Para finalizar este epígrafe queremos hacer algunas observa­ ciones.

En primer lugar que a la vista del resultado del Teorema 4.11

la discusión de la pag. 112

piede generalizarse como sigue:

Sean V(K) y V'(K) espacios vectoriales isomorfos.

Sea

f : V ---- ► V' un isomorfismo de V en V ' . Si B = (x1 ,x2 .··.xn ) es una base ordenada de V entonces B ' = (f(x1 ),f(x2 ),...f(xn )) es una base ordenada de V*. Uno puede ahora comprobar que si un vector xev tiene coordenadas

(a^,a2 ,..,an ) en B entonces f(x)

tiene

coordenadas(a^,a2 > ..,an ) en B '. Además podemos construir "muchos" isomorfismos de V en V' (siendo estos espacios isomorfos).

En efecto,

(x)

para cada base orde­

nada B = (x ^ ,x 2 ,..,xn ) de V y cada base ordenada B ' = (x.j,x £ ,..,x ^ ) de V', poniendo x i i---- > x|

V i e {1,2,..,n } , tenemos un isomorfis­

mo de V en V'. De modo que parece conveniente cuando estemos tra­ bajando con un espacio vectorial y otro isomorfo con él, no perder de vista "como" identificamos uno con otro, es decir el isomorfis­ mo que estamos utilizando. El Teorema 4.11 nos da también la posibilidad de construir isomorfismos de V en si mismo. = V. Por ejemplo,

En efecto,

basta aplicarlo con V' =

supongamos que B = (x ^ ,x 2 ,..,xn ) y B 1= (y1 ,y2 ,..,yn )

son dos bases ordenadas de V, entonces poniendo x^ ·----► y^ para todo i e {1,2,..,n } , definimos un automorfismo de V(K). x^ i---- ► x^

Si B = B '

V i e {1,2,..,n}, nos define la identidad en V. Más toda­

vía si B = (x1 ,x2 ,x3 > ..,xn ) y B' = (x2>x 1 .x^,..»*n )7 si ponemos x 1 »----► x 2 , x 2 \----► x^ , x ¿ »----- ► x ¿ Vie(3, ..,n }

tenemos un auto­

morfismo de V(K). Este lleva el vector de V que tiene coordenadas (a-,a p ,a«,..,a ) en B al vector de V que tiene coordenadas J n (a1 ,a 2 ,a^,..,an ) en B'. Es decir el vector J a i*x i en el vector a r x 2 + a 2 -x i + ji 3 aj-x j· (k ) Un isomorfismo que sólo depende de la naturaleza de V y V' se dice natural (no utiliza bases ni otro elemento extra fuera de V y V' para su de finición). En este caso, V y V 1 se dicen naturalmente isomorfos,

Expresión analítica de una aplicación lineal: matrices.

Opera­

ciones con aplicaciones lineales y con m a t r i c e s ,Sean V(K), V*(K) espacios vectoriales y f : V ---- ►V'

una apli­

cación lineal. Fijemos dos bases ordenadas B = ( x 1 t ..,x ) en V y B ' = (x.j, .. ,x¿) en V'. Entonces según el Teorema 4.11,

la aplicación

f está completamente determinada (y de forma única) por las coorde­ nadas de los vectores f(x^),

i=l,..,n,

en B 1. Pongamos entonces

Vje {1 ,...,n}. Esta aplicación lineal con la ayuda de B y B 1 nos proporciona m.n es­ calares de K, que a su vez determinan unívocamente a f, como decimos arriba. Sea xeV, x =

n n n [ a .. x ., entonces f(x) = J a ..f(x .) = Ja j =1 3 3 j =1 J 3 j =1

m ( [ a. .- x !) = J Í =1 13 1

m n = I ( [ a. .. a .) .x·1, de modo que si f(x) se pone i=1 j=i 1J J

f(x)=

m l a?.x! i =1

1

entonces

a! =

1

1

n J a...aj =1 13 3

Vie{l,..,m)

Estas m ecuaciones que nos determinan las coordenadas en B' de la imagen de cada vector de V mediante f, conocidas las coordenadas de este en B y las coordenadas de las imágenes de los vectores de B en la base B', reciben el nombre de lasecuaciones analíticas de con

respecto a

las bases ordenadas B de V y B' de V'.

Por ejemplo las ecuaciones analíticas de 1y : V ---- ► V con res­ pecto a una base ordenada B (tomada tanto V codominio)

en el V dominio como en el

son n

i! = aj

l

f 1 si i = j

«i r a,

j=1 Es decir,

=

Vie{1,..,n}.

J

3

donde 6., =J J

lo

si i ¿ j

f

2 2 Sin embargo la aplicación 1R 2 : IR ----► IR , tomando como base ordenada B = (e1 ,e2 ) en el dominio en el codominio,

y

B 1 = (u1 ,u 2 ).

= e 1 + e 2# u 2= e 1 - e 2

tiene por ecuaciones analíticas a-j = ¿•a 1 + ¿. a 2 a2

Esto nos indica que,

= * * a1 ' * ,a2

si bien fijadas bases ordenadas B en V y B ' en

V' las ecuaciones analíticas son únicas para una aplicación lineal dada f, al variar las bases ordenadas en el dominio o codominio también cambian las ecuaciones analíticas

de f. Para hablar con

propiedad no debemos olvidar nunca que* bases ordenadas en V y V 1 estamos considerando para establecer esta expresión "por coordena­ d a s ” de f. Entonces estos m.n escalares a ^

determinan a f fijada

una base ordenada en el dominio y otra en el codominio,

del mismo

modo que las coordenadas en una base ordenada a un vector.

Son

como "las coordenadas" de f como precisaremos más adelante. Definición 4.17.- Dada una aplicación lineal f : V ---- ►V' y dadas B = (x1 ,x2> . . ,xn ), B 1 = (x.j ,x2 , · · »XjJj) bases ordenadas de V y V f res­ pectivamente,

se define la matriz de f respecto de las bases B de V

B 1 de V ' , M( f ,B ,B ' ) , por

M ( f ,B ,B ')=

a 21

a 12

··· a 1 n\

a 22

··· a 2 n

,am 1 am 2

. .. a

mn/

donde los elementos de este rectángulo de escalares de K vienen dados por f(x.)=

j

m ! a^.x!

i=1

VjE{l,..,n>.

1J

Si a las lineas de escalares horizontales les llamamos filas y a las vecticales columnas,

resulta que el escalar a ^

se encuentra justa­

mente en la intersección de la fila i-ésima con la columna j-ésima.

de M ( f ,B ,B 1 ) se encuentra la coordenada i-ésima de f (xj) en B*. Definición 4.18.- Sea K un cuerpo tativo).

(que recordemos siempre es conmu­

Entenderemos por una matriz de m filas y n columnas con ele­

mentos en K (abreviadamente de orden mxn sobre K) un rectángulo de escalares de K de la forma / # a l2

a ln

a 21 a 22

*2 n

am1 am2

mn

a 11

A =

donde a^· representa el elemento de A que se encuentra en la inter­ sección de la fila i-ésima con la columna j-ésima. Dos matrices de orden mxn son iguales si tienen el mismo escalar en la intersección de la fila i-ésima y la columna j-ésima, Sea

Vic(l,..,m}t Vje{i,..,n}. *

el conjunto de las matrices de orden mxn sobre K. Si V y V'

son espacios vectoriales sobre K con d i m KV = n y d i m KV

FB,B'

f Ies biyectiva. ma 4.11.

mxn

: Hom K ( V ’V ' }

En efecto,

= m la aplicación

(K)

M ( f ,B ,B 1 )

esto no es más que volver a aplicar el Teore­

Si f,g£HomK (V,V') son tales que M ( f , B , B ,)=M ( g , B , B ' )

eso

quiere decir que f y g coinciden sobre los vectores de la base B, por la unicidad f = g. De modo que Fg ^ , es inyectiva. breyectiva tomemos A = (a¿^ )c

Para ver que es so-

K) . Cada columna de A me define un

vector al tomar por coordenadas los escalares de esta respecto de B'. m Así tenemos n vectores de V' y . = J a- ..x·' V je{1 , . . , n > (seguimos

i= 1

1J

con la notación de la página precedente). en el Teorema 4.11, con f ( x .) = y · J

J

. Utilizando la existencia

si f es la única aplicación lineal de V en V'

Vje{1,..,n),

entonces FD o l ( f ) = A .

D ,D

HomK (V,V')

G, rB ,B '

definiendo, para cada matriz A = (a·,.) de orden mxn sobre K, G n D , ( A)

1J

ti,ti

como la única aplicación lineal de V en V' tal que las coordenadas de la imagen de cada x^ de B en la base B' vengan dadas justamente por la columna j-ésima de A.

Entonces Gg g , es una aplicación y

verifica FB , B ,oGB,B' “ 1 c/^nxn(K) y GB,B'°FB , B ’ " 1 Ho mK (V,V* ) por lo que según la Proposición 0.12,

pag.

10, resulta que ambas

son biyectivas y una la inversa de la otra. Dicho de otro modo lo que acabamos de ver es que cada matriz de orden mxn sobre K es la matriz de una única aplicación lineal de V en V' fijadas bases ordenadas B en V y B' en B '. Vamos ahora a estudiar que estructura algebraica tiene el con­ junto HomK (V,V'). A partir de la biyección dar" esta estructura

B , podríamos "trasla­

(en el mismo sentido en que en la pag. 7 2

tras­

ladamos operaciones de vectores libre a pares ordenados de números reles) al conjunto 0^ lxn(K ^· Claro está que las operaciones que pase­ mos a este conjunto en principio podrían depender de quienes fueran B y B'. Pero veremos que no ocurre asi. Proposición 4.19.- Sean V(K), V'(K) espacios vectoriales y sea HomK (V,V') el conjunto de todas las aplicaciones lineales de V en V '. Si definimos una suma y un producto por escalares en HomK (V,V* ) por

(f + g)(x) =f(x) + g(x)

VxeV

(a.f)(x) = a.f(x)

VxeV

siendo f,geHomK (V, Vf) y acK, tenemos que HomK (V,V') es un espacio vectorial sobre K.

Demostración.

Sean f fgeHomK (V, V 1 ), y vamos a ver que f + geHom^ (V , V 1).

(f + g )(x + y ) = f(x + y) + g ( x + y ) = f(x) + f (y) + g(x) + g (y) = = f(x) + g(x) + f (y) + g(y) = (f + g)(x) + (f + g)(y) (f + g) (b.x) = f(b.x) + g(b.x) = b.f(x) + b.g(x) = b.(f + g)(x) Vx.ycV, V bcK. Con lo que la suma es una operación binaria en Hom^ (V , V '). Además cumple f + (g + h ) = (f + g) + h

Vf ,g,h e H o m K ( V , V 1 )

ya que [(f + g) + h ] (x) = (f + g ) (x) + h(x) = ( f(x) + g(x)

)+ h(x) =

= f(x) + (g(x)+h(x) ) = f(x) + (g + h)(x) = [f + (g +

h)](x) VxeV.

(Conviene que se vayan analizando los pasos de cada una de las prue­ bas observando cual es el motivo que permite pasar de un miembro a o t r o ).

g

La aplicación lineal nula (ver pag. nida por fQ (x) =Q*

118)

fQ :

v

---- ► V' , defi­

VxeV es el elemento neutro de la suma por ser

(f + f0 ) ( x ) = f ( x ) + f Q ( x ) = f ( x ) + 0 ' = f (x )

(fQ + f)(x) = f (x) + f (x) = 0' + f(x) = f (x ) f+f = f + f =f O

O

VxeV, que se

expresa

Vf eHom^ (V, V' ). IN.

Dado feHom^ (V. V 1 ) se define su opuesta - f , por ( - f )(x) = -f (x) VxeV,

que es una aplicación lineal de V en V ’ (compruébese) y cumple f + ( - f ) = ( - f) + f = fQ

V f e H o m K ( V , V ) ya que

[f+(-f)](x)=f(x) + ( - f ) ( x ) = f ( x ) - f ( x ) = 0 · [(-f)+f](x) = ( - f ) ( x ) + f ( x ) = - f ( x ) + f ( x ) = 0 ·

VxeV.

Además esta suma verifica la propiedad conmutativa

f+g=g+f

V f ,geHomK (V,V')

ya que

.

(f + g ) (x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f ) (x)

VxeV.

Con lo que acabamos de probar que esta suma convierte a Hom^ (V,V') en un grupo abeliano.

Vamos a ver ahora la multiplicación de esca­

lares por aplicaciones lineales. Sea feHomK (V , V ' ) y sea aeK, entonces a.feHomK (V,V'). En efecto, (a.f) (x + y) = a.f(x + y) = a.( f(x) + f ( y ) ) = a.f(x) + a.f(y) = = (a.f)(x) + (a.f)(y)f (a.f)(b.x) = a.f(b.x) = a.(b.f(x)) = (a.b).f(x) = (b.a).f(x) = = b.(a.f(x)) = b . ( a . f )(x),

Vx.yeV, VbeK. Además tenemos [a.(f + g)](x) = a . (f + g) (x) = a.( f(x)+ g(x) ) = a.f (x) +a.g(x) = = (a.f) (x) + (a.g) (x) = ( a.f + a.g a.(f + g) = a.f + a.g

) (x)

VxeV,

luego

V f , g e H o m K (V,V' ), VaeK.

[ ( a + b ) . f ] ( x ) = ( a + b ) . f ( x ) = a . f ( x ) + b . f ( x ) = ( a . f ) ( x) + ( b . f ) ( x) = = (a.f + b.f).(x)

VxeV, luego

(a + b ).f = a .f + b .f

V f e H o m K (V,V·),

Va,beK.

[(a.b).f](x) = (a.b).f(x) = a.(b.f(x)) = a.[(b.f)(x)]= [a.(b.f)](x) VxeV, luego ( a . b).f = a . ( b . f )VfcHo mK (V , V ·), (1 .f )(x) = 1 .f(x) = f(x) 1.f = f

VxeV,

V a »b e K * Finalmente

luego

Vf eHom^ (V, V ' ), donde

Así concluimos que HomK (V,V') es un

1 es la unidad de

espacio vectorial sobre

Supongamos ahora que V(K) y V'(K) tamente generados.

K. K.

son espacios vectoriales fini­

Parece natural preguntarse si HomK (V,V') es enton­

ces finitamente generado, y si este es el caso si hay alguna relación entre las dimensiones de V, V' y HomK (V,V').

Sobre esto tenemos

Proposición 4.20,- Sean V(K),

V'(K) espacios vectoriales finitamente

genera dos, entonces Hom^ (V,V') es finitamente generado y di mK HomK (V, V ' ) = d i m K V . d i m K V · . Demostración.

Sean 0 = {x 1 , . . . ,xn >, (£' = {x.j , . . . ,x^}

respectivamente.

A partir de ellas vamos a construir una base de

Ho mK (V,V') con m.n elementos,

con ello tendremos las dos afirmacio­

nes de la Proposición a un mismo tiempo. ie{ 1 ,...,m)

bases de V y V'

y cada je{ 1 ,..,n}

sea f ^

En efecto,

para cada

la única aplicación lineal

de V en V' definida por f ij -¡ i (xw k

= 6 jk

i

f1 donde « jk ..= ín Jk {o

si -j = k si j

¿

k

V k e { 1 ,..,n}. Es decir,

f^

lleva en 0' todos los vectores de la base £

a excepción

de x. que tiene por imagen x ^ . 0 dicho de otro modo

f.ij.(a-1 .x.1 + .. + aJ..x . + .. + na n.x ) = a . .x? J j i Estos m.n homomorfismos de V en V', que hemos construido con la ayuda del Teorema 4.11, constituyen una base de HomK (V,V') como comprobamos a continuación. Consideremos una combinación lineal de

{ f^j / i = 1 ,..,m; j = 1 , . . ,n }

igualada al "cero" del espacio vectorial HomK (V,V')

(ya se entiende como varían los índices de este sumatorio).

2 1

1 »J

para cada ke{l,..,n>.

K i j . f i j i v - V ' k ’ - 0, Pero utilizando en esta fórmula la definición

de los f ·. tenemos ^J ^

·· ■ z

Entonces

«■ ■

w

v

■5 v

m

que es una combinación lineal de los vectores de la base = il 1 a ik-x ± y por otro m E

‘i

J

'

W

De modo que ya tenemos que H o mK (V, Vf). Además,

’ ,],·«·*{· {fjj / i = 1,..,m;

j = 1,..,n)

es una base de

si consideramos la base ordenada

(f 1 1 ’··,fm 1 ,f 1 2 *··,fm 2 ’···,fl n ’·

·

de HomK (V,V')

resulta que las coordenadas de f en esta son (a 11

’ · · ’am 1 1 a 1 2 * · · ’am 2 ..... a 1 n ’ * - ’am n }

donde a . ■ es el elemento que se ^J

encuentra en la intersección

de la

fila i-ésima y la columna j-ésima de M ( f ,B ,B '). En otras palabras estas coordenadas vienen dadas por la matriz nos referíamos en la página 1 2 2

de f en B y B'.

A esto

cuando hablamos de que intuitivamen­

te los elementos a - · de la expresión analítica de una aplicación J lineal o lo que es lo mismo, de su matriz en ciertas bases ordenadas

serian como las "coordenadas" de f

en cierta base.

Volvamos ahora a t / ^ n í K ) , pero antes consideremos el siguiente resultado que ya se utilizó en un caso particular en el ejemplo 2 de la pag. 72. Proposición 4.21.- Sea V un espacio vectorial sobre K. Sea X un c onjunto y F : X ---- > V una aplicación biyectiva.

Si definimos una

suma en X y un producto de escalares de K por elementos de X mediante x + y = F _1 (F(x) + F ( y ) ) Yx.yeX,VaeK,

%

a . x = F- 1 (a.F(x))

entonces X es un espacio vectorial sobre K, F un iso-

morfismo de espacios vectoriales y además, esta definición de las operaciones de X es única con la propiedad de que F sea un isomorfismo. La demostración se hará como ejercicio. Hablando de manera informal,

la Proposición 4.21

lo que nos

dice es que mediante una biyección se pueden trasladar las opera­ ciones de V a X. En principio,

para diferentes biyecciones de X en

V tendremos diferentes formas de ser X un espacio vectorial pues en la definición de las operaciones de X es pieza fundamental la aplicación biyectiva considerada. Si V y V' son espacios vectoriales sobre K con d i m ^ V = n di m K V f = m ,

y

cada par# de bases ordenadas B de V y B 1 de V' nos

definían una aplicación biyectiva FB t B . : Ho»K (V.V·) ---- » ‘/£ c n (K) M ( f ,B ,B 1 ) Entonces le podemos aplicar la Proposición 4.21 = Gg 0. con lo que

existe

a la biyección F ~ 1D1= 0,0

una única suma de matrices y un único

producto de escalares por matrices que hacen que FD n , sea un isomor0,0

fismo de espacios vectoriales.

Claro está que si tomamos unas nuevas

bases ordenadas B en V y B ' en V' mediante F~ ~ , se podrían definir otras operaciones que no sabemos si tendrán o no que ver con las de­ finidas por Fd D ,. Luego veremos que estas operaciones en no obstante Kn (K) es igual a que las operaciones de

tiene

( / ^ x n (K).Es claro además

pueden considerarse como una gene-

ralización de las de Kn (K), mirando cada matriz de orden mxn como m vectores de Kn (K) colocados superpuestos.

Podíamos entonces haber

definido la suma de matrices y el producto de escalares por matri­ ces a partir de las operaciones de espacio vectorial de Kn (K). De todas formas parece mas clara esta manera de definir estas operacio­ nes. Además de la definición se saca la razón por la cual se súman matrices de esta manera y se hace el producto de un escalar por una matriz como en la pag. 1 3 1 . Por otro lado, cial a la Definición 4.23,

tras la preparación ini­

las propiedades de estas operaciones re­

sultan de inmediato. Como es natural al elemento neutro para la suma en se le llama la matriz nula de orden mxn

mxn

(K), 0 »

(sobre K). Para cada matriz

Aei/^nxn(K ), a su simétrica en el grupo ma la matriz opuesta de

A ,

y

( c/ífm x n (K ) ,+), - A , se le lla­ $ se obtiene de aquella tomando en la

intersección de la fila i-ésima con la columna j-ésima el opuesto del elemento que ocupa este mismo lugar en A. Vamos a ver ahora, con vistas a definir un "producto“ entre matrices, que conocidas las matrices de dos aplicaciones lineales que se puedan componer también conocemos la matriz de la composi­ ción . Proposición 4.25.“ Sean V(K), V'(K) y V"(K) espacios vectoriales y f : V ---->V',

g : V' ----► V" aplicaciones lineales.

Sean

B = (x^ , , . ,xn ), B ’^x^j , . . »x^), B"=(x^, . . ,x£) bases ordenadas de V, V 1 y V" respectivamente.

Si tenemos m

P

y

entonces

(3°f)(xj ) = i¡1cij-xi

ci j = ¿ , aik'bki

Vjc{1,..,n}

Yie{1,..,p), Vje{1..*.n).

Demostración.

En primer lugar para la aplicación lineal g ef tendre­

mos (gof)(X,) =

J

p l C...XI'.

i=1

J

Pero utilizando la definición de composición de aplicaciones

( g o f X x j ) = g ( f ( x j )) = g ( J b k j .x¿) = J ibk j .g(x¿) =

=

J ia i k .xi:)=

p m í ( í a_.v .b, .) .x'.'. Por la unicidad se concluye la prueba.

i=1 k=1 1K

KJ

1

Siguiendo con las notaciones de la Proposición anterior podemos dar la siguiente Definición 4.26.A .B

Sean

K ) , BE i= 1 ,..,n, donde cada E^ tiene ceros todos sus

elementos salvo el que se encuentra en la fila i-ésima (y en la única colunma) que es igual a 1 . Entonces obtenemos

E± = (C.B).E¿ E ¿ = (B.C )·E ¿ Yie { 1 ,..,n>. Pero esto implica C .B = B.C = In , de modo que C = B ~ 1 , lo que prueba que c es regular y que su matriz inversa se puede obtener como la matriz del cambio inverso al que nos define C. Otra forma de ver esto consiste en poner C = M ( 1 V ,B',B) y B = M ( 1 V>B , B '), entonces C.B = M(1V ,B· ,B).M(1V ,B,B' ) = M ( 1 v o1v=1v ,B· ,B' ) = In B.C = M ( 1 V ,B,B‘ ).M( 1 vfB \ B ) = M( 1y o 1 y=1 v ,B ,B) = In Por último,

si PcGlín.K) y B = ( x 1 ,..,xn ) es una base ordenada de

V(K) afirmamos que existe una única base ordenada B 1 = (x-j , . . ,x^) de V(K)

tal que

tal que

P

d=p.c¿

la pag. anterior.

es la matriz del cambio de base de B 1 a B, es decir á es la ecuación matricial del cambio de base como en En efecto,

basta con tomar cada xj

como el único

vector de V que respecto de B tiene por cooordenadas los elementos de la columna j-ésima de p (compruébese).

Entonces,

por lo de arriba,

P ” 1 se obtiene calculando el cambio de base inverso. Diversas matrices de una aplicación lineal: matrices e q u iva lent es. Rango de una matriz . Caso particular de un eridomorf i s m o : matrices sem ejan tes.Dada una aplicación lineal f : V ----►V* y dadas bases ordenadas B y B' de V y V' respectivamente tenemos definida M ( f ,B ,B 1). Recor­ demos que M ( f ,B , B ') nos da las "coordenadas" de f en cierta base or­ denada del espacio vectorial HomK (V,V')

(ver pag. 128 ). Si tomamos

otras dos bases ordenadas en V y V ' , B y B' tendremos M(f,B,B'). ¿ Que relación hay entre M(f,B,B') y M(f,B,B')

?, o lo que es lo mi s ­

mo, si fijamos en HomK (V,V') dos bases ordenadas,

cada una obtenida

de B, B' y de B, B' ¿ que relación hay entre las correspondientes coordenadas de la aplicación lineal f ?

bases ordenadas de V , B ' % B ' bases ordenadas de V 1 y f : V ---- * V ' una aplicación lineal. Entonces M ( f ,B ,B ') = Q- 1 .M(f,B,B').P donde

P = M ( 1 V ,B,B) ^ Q = M ( 1v ,,B ',B 1) son las correspondientes matri­

ces de cambio de base en V ^ V f. Demostración. Teniendo en cuenta como se puede considerar un cambio de base como la aplicación identidad pero "con diferentes bases" en el dominio y codominio (ver pag.

B

B

B'

139)

tenemos el siguiente esquema

B'

y como f = 1y , 0 f 0 1v utilizando la Proposición 4.25 tenemos M ( f ,B ,B ' ) = M(1v ,0 f 0 1v ,BfB· ) = M( 1 y ,0f ,B ,B ' ) .M( 1y ,B ,B ) = = M (1v ,,B,,B').M(f,B,B,).M(1vfB,B). Esta Proposición motiva la siguiente Definición 4.31.- Sean A,B c) y como f(x) = x, f (y ) - - y, tenemos que M(f,B) =[ ] . ObsérveV° ~ 1 / se que si en lugar de B se toma B' = (y,x) entonces ' ' /-1

M (f ,B ') = |

0\

I que evidentemente es semejate a M(f,B).

V o V soluciones de la ecuación

X

y

Así que las

= ¡2 son las siguientes 1 / 1 ’( 0

°\ J ·P

V p * G 1 (2 ,R) .

1 .- Sean V y V' espacios vectoriales sobre K, y sea V x V ' vectorial producto (ver prob.

5, pag.

103) construido a partir de es­

tos. Demostrar que las aplicaciones p : V x V ' p'

: VxV'

----► V' , p ' ( x , x ' ) = x '

el espacio

----► V, p ( x , x ' ) = x ,

y

son epimorfismos de espacios vecto­

riales (compare con prob. 4, pag. 42). Aplicarles a p y p' el primer Teorema de isomorfia. Demostrar también que las aplicaciones i : V ---- ► V x V ' ,

i(x) = (x,0'),e i ’ : V' ---- ► V x V ' ,

i ' ( x ,) = (Q,x')

son monomorf ismos de espacios vectoriales y que V x V ' = Im i ® Im i ' . 2.- Sea V un espacio vectorial sobre K y sea g e E n d ^ V que verifica

g cg = g.

Demostrar que V = K e r g ® I m g .

C = U®W

siendo U y W los subespacios vectoriales de C(R) dados por

U = {zeC / Imag(z) = 0} y

Aplicar esto para demostrar que

W = { z e(C / Real(z) =0},

donde para cada z eC

Real(z) e Imag(z) representan la parte real e imaginaria de z. To ­ mando V x V 1 en lugar de V, probar V x V' = Im i e Im i ' (de otra forma al problema precedente) considerando el endomorfismo de V x V ’

g da­

do por g ( x , x ' ) = ( x , 0 '). 3.- Sea V un espacio vectorial real que admite un endomorfismo j que verifica j 0 j = “ 1 y· Probar que si V(R) es finitamente generado enton­ ces dim^ V

es par y que definiendo C x V ----r V mediante (a + b i ) . x = a.x + b.j(x)

para cualquier número complejo a + b i , cio vectorial complejo

yxeV,

resulta ser V un espa­

(Esto puede considerarse como una respuesta

al problema planteado en la pag. 7 6 , ver también prob. 7 , pag. 103). o 4.- Encontrar un automorfismof de R (R) de manera que f*(U) =U' siendo U y U ' los subespacios de R U 1 = {(0,c,d)

/ c,dcR).

(R)

U = { (á,b,0) / a,bdR } y

¿ Es posible encontrar más de un automorfis­

mo en estas condiciones ?.

(

*

·

··

H

* 11

1n

21

2n

m1

mn

a2

y A = ( a ^ .). Demostrar que fA es lineal. Demostrar también que M ( B ,B ') = A , siendo B y B* las bases ordenadas usua­ les de Kn y Km respectivamente

(ver pag. 95). Por último comprobar

que esta expresión matricial que define a f^ es justamente la ecua­ ción matricial en las anteriores bases ordenadas. 6

R 3 la aplicación lineal dada por

.- Sea h : R

h(a 1 ,a2 ,a 3 ,a4 ) = (a 1 +a 3 ~a 4 ,a2 +a 4 #a 1 +a 2 + a 3 ). Hallar su ecuación matricial respecto de las bases ordenadas B = (x1 ,x2 ,x3 ,x4 ) de R 4 (IR), x ^ = (-1 ,0, 0,0) , x 2 = (1,-1,0,0), x 3 = ( 1 , 1 ,-1,0) X4 = O ,1 ,i ,-1); y B'^íx-j ,x¿,x^) de R 3 (R), x ^ í o . i . i ) , x ^ = (1,1,0). Encontrar, B 1 de

si ello es posible,

de tal forma que

X¿=(1,0,1), ~ 4 una base B de R y otra

(*\ 0 0 0^ M ( h , B ,B ') =

Calcular el rango de h.

’

0 10

0

0

0

0

0

t

¿ Es h sobreyectiva ? 7.- Sean f,g

: V --- ► V* aplicaciones lineales.

^rango(f) + rango(g).

Probar que rango(f+g)^:

Buscar algún ejemplo en que se de la igualdad.

Sean ahora f : V --- ► V 1 y

h : V' --- + V" aplicaciones lineales. De­

mostrar que rango(h 0 f )^mínimo { r a ngo( h),rang o(f)>. Supongamos que h fuese un isomorfismo,

probar entonces que rang o(h 0 f ) = ran g o ( f ).

Si suponemos que f es isomorfismo y h cualquiera probar que rango(h 0 f) = rango(h).

Utilizando la definición de rango de una ma ­

triz establecer los resultados correspondientes a los anteriores para matrices. 8

.- Se consideran los espacios vectoriales R n (R) y R m (R). Demostrar que

existe un monomorfismo

(resp. epimorfismo) de espacios vectoriales

de IRn en IRm si y solo si n ^ m

(resp.

n^m). Generalizar.

9.- Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial V sobre K, donde K es un cuerpo conmutativo y con característica ¿ 2

(ver pag. 62), que

verifica la propiedad f 0f = 1y. Demostrar que f es un automorfismo de V( K) y que V = U © W siendo U = { x t V / f ( x ) = x >

y

W = { x cV / f ( x ) = - x }

(comprobar previamente que U y W son subespacios de V). Utilizar el problema 2 , pag. 1 5 2 , construyendo a partir de f un endomorfismo g de V(K) de modo que g 0 g = g y aplicar a g el resultado de dicho problep ma. Particularizar al caso K = R, V = (R y f (a,b) = (a,-b). 10.- Sea V = { p(x)elR[x] / grado(p(x) )«2}. Se define para cada número real r una aplicaciob fr : V ----> V mediante fr (aQ +a 1 x+a^x = aQ+ a 1 x+r.a 2 x 2 . Demostrar que V r ER, res de r es f

r

p

)=

fp es lineal ¿ Para que valo­

un automorfismo ?

11.- Se consideran los espacios vectoriales R n (R) y R m (R) y, a partir de ellos,

su espacio producto R n x R m (ver prob.

5, pag. 103 ). Probar

que R n x R m y R n+m son espacios vectoriales isomorfos. 3 12.- En el espacio vectorial R (R) se definen los subespacios vecto­ riales U = L ( {(1 ,1 ,1 ) }) y W = {(a,b,c)ER^ / a + b + c = 0}. Se pide: o

Encontrar una aplicación lineal f : R

i)

o

---- >*R

tal que Ker f = U e

I m f = W. ii)Encontrar la ecuación matricial de f respecto de la base 'i o ordenada usual de R (R). iii) Elegir una base ordenada B' en R~7Kerf o y con respecto a esta y la usual B de R encontrar la ecuación matrio

o

cial de la aplicación lineal R^/Ker f ---- > R 13.- Considerando matrices de que, en general,

, x + Ker f i----^f(x).

(R), probar mediante contraejemplos

no son ciertas las igualdades

(A + B ) 2 = A 2 + 2 .A.B + B2 ,

(A - B) . (A + B) = A 2 - B 2 .

14.- Supongamos que A es una matriz cuadrada de orden n sobre K que verifica la ecuación 15·- Sea C = Probar también plejos .

A 2 + A + I = 0 . Probar que A es regular. J

a,beRj. Demostrar que C es un subanillo de

¿Es esta suma directa ? Estudiar el comportamiento de estos tres con­ juntos de matrices cuadradas frente al producto. 22.- Sean A y B matrices cuadradas de orden n sobre K semejantes. pongamos que A es regular, verifica

probar que entonces B también lo es.

a .A 2 + b .A + c .I = 0 , con a,b,CeK,

Su­

Si A

entonces B también verifi­

ca a.B 2 + b . B + c . In = 0. 23.- Sea A una matriz cuadrada de orden n sobre K. Probar que A si y sólo si (A - In ). (A + In ) = 0 . Si tomamos Bec/^ÍK) 2 probar que A = 2 . B verifica A = In * 24.- Hallar todas las matrices reales Hallar todas las matrices reales

X

tal que

de orden 2 tales que

Y

de orden

2 tales que

(Utilícese un procedimiento análogo

al de la

pag.

mas 2 , pag. 1 5 2

y

9

, pag.

2

= In

B2 = B ,

2

X = X.

2

Y=2. Y

151y los

1 5 4 ).

25.- Sea V un espacio vectorial real de dimensión 2 y feEndR V que cumple f 0f = fQ , siedo fQ el endomorfismo nulo de V(IR) . Demostrar que o bien f = f

o si f / f

es posible encontrar una base ordena-

°

da B de V(R) tal que M(f,B) entonces

/0

1\

\°

0

=[

{f(x),x} es linealmente

](Indicación:

si

independiente).

f(x)

¿ o,

Generalizar a

mayores dimensiones. A partir de esto, encontrar todas las matri­ ces cuadradas reales de orden 2 , X , tales que

X.X = 0 .

. proble­

aplicación.

Probar que f es lineal si y sólo si su grafo G(f)

0.6) es un subespacio del espacio vectorial producto V x V ' 22,

pag. 46 y prob. 1 de esta lección).

(Def.

(ver prob.

Calcular dimK G(f).

27.- Sea V un espacio vectorial realcon dimensión par. Probar que existe je EndR V tal que j 0 j = “ 1 y

¿Qué añade esto a lo obtenido en

el problema 3 ? 28.- Encontrar todas las matrices Ae 4/ ^ n (R) que cumplen A 2 - - I2 n . (Ver prob.

3

y 2 7 ).

29.- a) Sea V un espacio vectorial real con dimR V = n. Sea f€ End^ V que cumple fQf = f. Probar que traza( f ) = rango( f ) . b) Sea Aec/^n (iR) p que cumple A = A. Demostrar que traza (A) = rango (A ) .

4 30.- Encontrar, si es posible,

feEnd^JR

tal que I m f = L({ e 1 - e 2 ,e1 + e^} )

y que cumpla f 0f = f y traza(f) = 2 . 31.- Para cada matriz Ae A , (K) fija, F* :

se considera la aplicación

(K ) ------ y c/^fn (K) definida por F ( X ) = A . X

Probar que F es lineal y encontrar una base B de

para toda Xec/^(K). A

n

(K) de manera

que

M(F,B) A

/n

2

x n

2

Demostrar que traza(F) = n.traza (A) . 32.- a) Sea V un espacio vectorial complejo y

sea

f0f = - 1v · Demostrar que U = { X e V

yW = { x e V

/ f (x) = i.x }

feEnd* V (L

= - i . x } son subespacios vectoriales de V y que cumple V (Indicación,

que cumple

/f(x) = U ®

W.

aplicar el resultado del projb. 9 al endomorfismo i.f).

b) Hallar todas las matrices Ae

3 ((C)

que cumplen A2 = - I^.

=

LECCION 5 1 : ESPACIO DUAL. Introducción.

Espacio

dual.

B a se

d u a l .-

Definición 5.1.- Sea V un espacio tfec£orial aobre K. Una forma lineal sobre V (K) es una aplicación lineal las formas lineales ^

'p , y , etc.

V/# . Debicto a que tí*=Hom

K

de \l en K. El conjunto de todas

sobre 0 (K ) lo representaremos por

(V ,K } (ven pag·

123J

resulta que V* es un

esoacio v/ectorial sobre el nrismo cuenpo K que \ l . A \J el espacio dual

se le llama

de V.

Si V es el esoacio vectorial de todas las funciones derivables de !R en IR y a * F , entonces la aplicación V es una forma lineal

sobre U (IR) .

Las aplicaciones ^2

IR dada por f · 1"* f 1 (a)

^

5

definidas por ^

(z )=Real ( z ) ,

( 2 )= In" ( z ) son formas lineales sobre C(F).Nótese que din^ Hor^ (C ,|R )= 2

y como estas formas lineales tuyen una base de C = Hom El

son independientes resulta que consti-

(C,F).

cuerpo K tiene un papel importante en la anterior

pues (L , considerado como espacio vectorial

real,

definición,

tiene por dual

Hom

(lE,F) y si lo consideramos espacia vectorial complejo su dual (R es Hom (C,C). Las dos aplicaciones anteriores consideradas de C en L C , ni siquiiera son lineales. Observese que si tomamos e^=l+0i , e 2 = 0 +li

Í V ^ que T

1

entonces verifica (e ) = T

J

£ei > e 2^

es una base de C(F)

^ (E 1'e 1 + a 2 'e 2 ^ = 31 y i,jfefl,2 l.

U

pag

mina de forma única quienes son ^ de {e^>e 2^*

de C(R)*

^ ai'0 l 4’a 2'e 2 ^ =

a2

’ COn

10

J

Como por el Teorema 4.11,

unívocamente

^2

y la base

116,

esta última condición deter­

y

resulta que

depende

construcción se generaliza en la si­

guiente : Proposición

única base

5.2.-

Dada

una

= { ^ 1 ’ ^2 ’ * '

Demostración.- C o m o

base

^

>*2 ’ * · * *x n\

—

^ existe

V# cutlpliendo f i (x j) =

sabemos que dim V K

una

y

= dirr V utilizando ls proK

p os i ci ón

3.38

a.s'Píx.) i n

hay

que

demostrar

que L ($*)

= V*.Así,

sea

* y

entonces

( T - y * a . - T ) ( x .) = 'fe*.)“ Z i a -'iT(x )= a ■ ~ 5 i a ··£ · - a *~a * = ° •‘Ti

1 'i

j

n

J

iTl

1 1

J

J

iTl

1 1J

J

J

= ^ Y = ¿ ai-?i · Ya

i=l que

t en e mo s

v e ri f i c a n d o

es

ls m i s m a

una b as e

propiedad

de

que

V*

Supongamos ^

= {,^j ’ ^ * * * *

es

dec ir

= S*. . iJ

vp. (x.) i J

e nt onc es

V ' 3 > * í tJ- T i t - j ) Con lo que f)* es tá D ef i n i c ió n se llama Si de

5 .3 . - La

base 8 =

dual

una

la base

de la base £

la base

de

que

ordenada

lo

Sea

^f= ^

xfcV con Y(x)

que

vectoriales

biendo oc urr ía

cada

oroposición)

^ ase

ordenada

obtenida

% i 2 ) ' ·’ ’ tf(fy) ^

a B* =

de B. 4*20, de

p a g. 1 2 7 , Hom

V se o b t i e n e

d adas

( U j U 1 ). tomando

dos

Pues

b a s es

bien,

como

| 1^

de

e xis te ' f t M *

x^ü,

\J de la f o r ma

correspondiente

ca da

que ? ( * )

'feV*, P

tal

^

b ase

= 1 ¿

que x * X 2 , , # , X nJ*

dual

en

V*. Enton­

0.

'f,^= fo rm a

l i ne a l nula,

e xi s te

/ 0.

Recordemos cios

de

resulta

Observ/ese que para

en la a n t e r i o r

(compruébese).

u n a bas e la

si t om a mo s

Una

una base

Paira c ad a x-eV,

Sea

por

\J.

en la p r o p o s i c i ó n

anterior

5 . 4, -

Demostración.-

ces

de

dual

de u n a base £

en \J = .K según

única

de | l f2 , . . M nJ,

V1 construíamos

dual

P r o p o s i ci ón

f or m a

\J * ( o b t e n i d a

de

permutación

Recordemos de \J y

ba se

t , - t i V i . ( l ..........} ■ d-

(x

h

sobre

c ada

,(K}, nxl

por

b l\

•

l in eal

(a ± y a 2 9 * · 9a n ) *

• b , n

' bJ Reciprocamente

, sea &( u na

forma

li nea l

s o br e

.(K),

entonces

si

I0

lugar

* ( E .) = a . do nd e E . 1

1

1

i

V i€

n^.

\0

vamos

a ver

que

resulta

ser

de esa

forma.

( bi\ ^2

l b l\ = 0C ( ^ b . E

) =

(a

a ,..,a

b2

) .

I

II •H

' —i

I

H II •H

j ib

M t

) =

•

n

b nl

De m od o

que Jxl (K) lxn

con más

p r e c i s i ó n , « ^ x n ( K)

se o u e de

^ x l C O ' — * Desefe e ste

Dunto

de

v i st a

mi ra r

como

y

el

son

espacio isomorfos

fjlM

la ba se

(i) /

=

mediante

·----► ( ^ ( E 1 ),oc(E2 ) , . . , x ( E n )) dual

de usual

ie { 1 ..... n U

0/ # * - { V

de M, ,(K). nxl

Axn«'')

1°) i

dual

P ue

se i d e n t i f i c a

de

,(K) nxl

que Ixn B* = A

Ixn

(K).

Dada

la base

( e . , e _ ,. . ., e ) 1 2 n (k ). Nótese

una base

que

si

ordenada es

identificable

V es un

de

dados

feV*

dual

j

usual

de

sobre

K,

y

la base

y xeV

n x = 5 ” b..x. jTi J J

i .= Ÿ. (x. )= ^ a..b..i. .= Y " a . . b . iTl 1 1 jti J J i,j 1 J 1 J i7j 1 J 1J 1=1 1 1

bl' =

De modo V

y

que

B1 =

(a i ,a2 , . . . , a n ).

la e c u ac i ón

m a t r i ci a l

de

'f

en

B =

(x.,x, , * . . , x ) 1 ¿ n

de

de K es

(1)

bi\ (b

)ix l=

m(f,etB')lxn .

con

ITl(f, B,B' )= ('f(xl ) , 1 ( x 2 ),...'f(xn

J

nxl

O bser v es e

t a mb i én

son i somorfos.

Es claro

que

Un

que

corno diin V = n = diir V* los K * K i s o m o r f i s m o de V en V

la matriz

Bf de V* e s i . n

de este

isomorfismo

en las

e s p ac i os

V y V*

b as e s B de

\J y

Ca m b io Sea

de base

en el

e s o ac i o

dual.-

B =

(x, ,xo f ...,x ) una base o r d e n a d a de V/(K ) y sea 1 2 n B*= (f , , . . , !P ) la base o r d e n a d a de V*(K) dual de B. E n t o n ce s 1 2 n V x t V y V'feV*’ t e ne m os n ix;.x, 1f =

x =

¿LWxJ.P,

1=1 De modo

que

la c o o r d e n a d a

la c o o r d e n a d a Sea base los

de

j=i

j - és i ma

ahora V y

c am b io s

i - é s im a

de ¥

J

J

de x en B es ti (x)

y "dualmente”

en B * es ^(x^.)·

B* = ( x ‘ ,x1 , . . . ,x* Ì y B1* = ( Y , . . . , Y \ una n ueva ' 1 2 n' ' 1 2 n/ su base dual en \1* r e s p e c t i v a m e n t e . \Jamos a de base

en

11y U,

Tendríamos

n

n

f . r f ( ^ ) . f > k'

= 2>;(x).x·. j=l

J

k=1

J

II x

= ¿ I a ii*x i

J

V j € Í l » 2 , . . . fnl

i=l ±J

Z Z p A x i - x 1* = 2 1 ^ ( x j . a i j - X i j=l

J

J

i,j

por

la u n i c i d a d

J

= Z K H a .y (x)).x i=l j=l J J

,

n V.(x)

=

1

a . ..T.(x)

j H 1J

tfx€V lueao

J

nI

W

V! j=■i

V i e j i , :2 f

j

1J

... ,

Si ai \

an

ai 2 ·*·

a2

a 21

a 22

a ni

a n 2 *·*

del

c ambio

a

n / es la

e c u a c i ón

m a t r i ci a l

en t o nc e s Ta e c u a c i ó n

matricial

am

^

*1 1 a2

1

u

” · a2n

del

a nn

de base c ambio

en

\

V (K)

de base

(ver

pag.

en \J v iene

138) dada por

relac

/ai\ ‘2

b

21

b

22

2n

donde

b . . = a .. 1J Ji

l'

n

b nl, b n 2 o

/

\*»/

/

Teor ema- de fief lex-i v i d a d : Aol i cachones-

Anuladores.-

Vamos

dual

o bidual

V

y V son

n_ ^ a c o n s i d e r a r el e s p ac i o n jt dim V = d im V = di m M es

de V . Como

K

v e c to r ia l es cada te

base

isomo rf o s.

de

teorema,

K

V

\¡ en \ l * * d e f i n i d o V y U ^ he m os bases, T eorema

Nosotros

a p ro b ar sin

hacer

construido

B en 'J y B * en 5.5 .-

un

s a be m o s

que

p o d e m os

n i n g un a

isomorfismo

de

:V* --- ► K

decir,

En

que VxfcV

prim er : $ (x)

Veamos

m e n c ió n

que

£)

cada

e s pa c i os

base

\í y

de

, en el

siguien­

un i s o m o r f i s m o

a b as es

(nótese

a c i er t as

corresponder

d ef i ni d a l ugar

= $>x es

Cada

a su bidiial

por

v ea m os una

que

de entre

elecciones

e s pa ci o

que

$ x(w

$

v e ct or ia l

V#* m e d i a n t e

a cada

vector

V

^ X ('P) = 'P(x)

f orma

x (aY) = (af)(x) = a¥(x) = a.f

a h or a

e n co n tr a r

r e f e r i da s

$ x( n Y ) = ( W ( x ) = < p ( x ) + v ( x ) = $ x( m §>

para

no o b s t a n t e

R ef 1 exi vi dad)

que le hace

D em os tr a ci ó n·

que

i s o m o r fi s mo ,

(finitamente g e n e r a d o ) es i s a m o r f o

forma lineal

que

( \J ) = \J

de

V*“.

( T eo r e ma

cion

del

cla r o

K

t enemos

vamos

dual

es

una

lineal

la

a p li c a -

x € V 1a V*.

a p l ic a ci ó n;

sobre

$(y)

^(»x)=a*^(x)

y y/peu* tfa6 K,

Vx,y6v Va€ K.

$ x x.y O P ) = W x + y ) = f ( x ) + W y ) = # x W + # y (¥>) = ( # x+ $ )y ( ? ) con lo que

ó = $ *d> *x+y x *y

es

\l * . En efecto,

es lineal:

(*+y)=

\l( K)

y»ew*

(f)

¡ ^ ( f )='f(S.x) = a.VP(x)=a. § x ('f) = (a.

VféV*

con

lo que

$ax = - §x Como

V y V

^

tie ne n

i s o m o r f i s m o ,según

la P r o p o s i c i ó n

nuli d a d

Sea

nula

($)

esto

i mp l i ca

5.4,

e xi s te ^feV

para

toda

Una te

dimensión 4.16,

x é K e r ^ , eso q ui er e

que

tal

En

efecto,

que yf>( x ) ^ 0 ,

for m a l ineal

aplicación

x=0.

'P sobre

del

pero

V,

t e or e m a

pa r a

pag.

\l* , o lo que es lo m is m o que

sobre

V'Piu

= 0.

/

la m is ma

§

probar

1 1 9 , es decir

(*f)

si x^O, n os o tr o s

es

s u f i c i e n t e ver

que

=o

X

que

es

un que

la forma

V ? e v * = ^ vf(x) = o

según la P r o p o s i c i ó n s a b em o s

que

Y ( x) = 0

tanto x = 0 .

dot

de

ref 1 e x i v id a d

la da

el

siguien­

:

Ccrol ario

5.5.-

Demostración.-

Toda

base

Sea « ■ = { + ' * ·

(£' = ^ rj , r2 ,..., ve c t or e s es una vemos

de

base

de

V* es

% ..... t y

la base

V

x. 1x . . . . . . x

de

V ya que

i 2

n

^

dual

dual

tales es un

de una una

de $' que

S

túnica)

base

en

de

de

\¡.

\¡*, y sea

V/**. C o n s i d e r e m o s

i = P.1 .

isomorfismo

n

E n t o n ce s (6= í x 1 , . . , x >

^ l1

(ver

nJ

T e o r e m a 4 . 1 1 ) . Si

que

^ ( x j) = por la P r o p o s i c i ó n

5.2

En efecto,

que

s abemos

§

ahora

V i , j e ^l ,2 ,. .. tnj

t e n d r ía m os

que

1 m2 2 m n n

tér-

independientes nulos

a

los

Cada

( a . , ta . „ f . . . fa. ) 6 i/l (K) se Duede c o n s i d e r a r íl i2 ín Mxn ' formaa lin e ea al l sobre se (K), y como cada e c u a c i ó n de este puede

cor.o s i st e m a

se

escribir

/ x,\ 1 x

= x r e s ul t a junto

que

de

el

conjuto

v e c to r es

de

0

n

de las

s o lu c i o n e s

de este

(K)

'’a nu l ad o s"

por

nxl

s i st e ma

e stas

es

formas

el

subcon-

line al e s;

es decir:

= | x é c / ^ x l (K)/o °^n } es lifrealmente

conociendo

tendremos

D e fi n i c i ó n

ve ct o ri a l

todas

las

Sea S un

anuí ador

una base

del

s o l u c io n es

subconjunto

de 5,

subesoacio

an(5),

del

v ec t o ri a l

s i s t em a

de jn e s p a c i o

a conti­

sistema dependiente S de

de e c ua ci on e s. v e ct o r i al

\J ( K ) ,

como

sn( S ) = £'f€.V*/'f(x) = 0, V x « s] £ Es claro

que

un s u b e s p a c i o

an(S) de

es un

subesoacio

v ec torial

de

\J ( aunque

S no

sea

V).

£ Si S es

un

subconjunto

de

V (K)

su anuí ador

an ( S ) = [ x e V/ 'f(x)=0 donde

se ha u t i l i z a d o

T e o re m a

su bidwal.

V^e-s]·

la i d e n t i f i c a c i ó n

de R e f l e x i v i d a d

se puede

hacer

es

natural entre

un

que

en

e sp a c io

v i r tu d

del

v e c t o r ia l

y

Proposición 1.- an(S)

5.8.- Sea

es

un s u b e s p a c i o

2 .- ,S i S es un

subespacio

3.- a n (a n (S ))= L (S ). V tenemos

oue

dual.

y sea

S un

subconjunto

v e c to r ia l de

V

de V * .

dim

En p a rt i cu l ar ,

de V.

an(S)=dim

K

si S es

V - di m S K K subespacio

un

vecto ri a l

de

a n ( an ( S) ) =S .

Demostración.1 base

V(K)

1 es

fácil

y se ha ra

como

ej er c ic i o.

Para

2 sea

»x .,···»* \ una base de V tal que íx,,...x V sea una 2 r r+1 n/ l 1 rJ de S y sea , . . . ,^ »···> ^ a c o r r e s p o n d i e n t e base Vamos

a

prp b ar

que

{ ^ + 1 * * * ·*

v/er que L (

=an(S)

lineal men t e

i n de p en d ie n te . vf)(x^) = 0

en p a r t i c u l a r

Así

es una

ya que este

que

base

de a n (S).

Basta

ccjuntp

da fpr m as

es

sea vf € an ( S) ^

Vx€ S

: >f(x)=0,

V j 6 -[l ,2 , . .,r^ . Por otro lado

^ = ¿ ak? k > k= l con lo que

ak= °

f =¿

V k € £l , 2 , . . . ,r^ . Lo

ak-Tk

V

qua implica

an(S)CL(

,...,rn} ).

k=r + l

y de

Además,

como

('ft + 1 M . . . f n| c a n ( S ) ^

aquí

tiene

la

Por

se

ú lt i mo

prpbaremos

i m p l i c a x e a n (a n (S ) ). la ptra

inclusión

3.

Sea

xt5,

Así S C a n ( a n ( S ) )

n ó tese

dim

H

í ^ + i ’‘‘*

C a n (S )

igualdad.

que

a n(an(S))

K

dim^an(S)

e nt o nc e s ^ ( x ^ O

lo que

y L ( S ) O an ( an (S ) ) .P a ra p robar

a n (S )= a n ( L (S )) = dim

V^feanCs)

W -dim

K

= dim^V-dim^.. (S )

y p o r tanto

an(S)

K

lo que

i m p l ic a

d i m ^ a n ( a n ( S )) = dim^_(S)

con lo que cio

de

se

tiene

a n (a n (S ) ) = L (S ) . En

V se tiene L ( S ) = S

y por

alio

p a rt i c u l a r a n( a n( S )) = S.

si

S es un

subespa­

Observese

que

de lo

an te r io r

se d ed u c e

que

si

\l es un e s p ac i o

dim,.\/=n y,o< e\J* independientes; K 1 m e ntonces KerDC O . . . . H Kerrt =an(S), donde S= í * ,. . . 9o( \ , es un i m L 1 m) s ubespacio v e c t or i al de V y por la P r o p o s i c i ó n 5.8, tiene d i m e n s i ó n vectorial

n-m.

sobre

con

Reciprocamente,

es una base dual

K,

de

V,

si U es

donde

íx

L 1

un

subespacio

,. . . ,x 1

p'

es

de

V y ^ = { xj ♦ · * > X p »x p ^.^ » · · » x 0^

una base

de U,

t o me m os

la base

de £ , ^3* =

en la d e m o s t r a c i ó n

de la P r o p o s i c i ó n

5.8

). E n t o n c e s

U = an(S)

y

dim U = p = n-(n-p).

K

Trasposición

de

aplicaciones

puesta de una m a t r i z .P r o p o s i c i ó n 5 .9 . - Sea V (K ) f :V -- ► U1 una

aplicación

lineal.

l i n e a le s

y m at rices.

\J (K ) e s p a ci o s La

aplicación

Ran eo

vectoriales

ge

la

tras­

y sea

^ f : V ,#---V* dada

por

Y I---- ► ylf es l i n e a l . Demostración.sobre

V d:da

Sean

sf>l, y ’g \j'

, e nt o nc e s

t f('f'+vf') es

la

forma

por

t f ( f + t , )(x)

= ('f* r )(f(x )> = M'P'Kx)

= [ t f ( vf ' )

= 'f'tfíx))

+ t f( f

)(x)

+ T'(f(x))

-

=

+ t f ( Y' ) ] ( x )

Vx e v

con lo que t f( vp1* vp1) = Sea ahora

a € K,

'P'e V'*

tf(vf1) +

y v eamos

fcf( vp' ),

V f ' , V ‘£ í»'*

que

= a . M ' f ’) En efecto,

para

cada

x € V teñe mo s

tf(a.r)(x)

-

(

(

f ( x ))

= a. t f CY' ) Cx )

= a. f í f í x ) ) =

= (x).

lineal

Definición c a ción

5 .10.-

traspuesta

Al lo que

asignarle t e n e mo s

A esta de

aplicación

^ f z \ j ' § --- *-V*se

lineal

l l am a la

apli­

f.

a cada

es una

f e Hom

K

(\J ,\J' ) su t r a s p u e s t a

t f e Hcm

K

(V** ,V*)

aplicación

-

Hom ( V , V ' ) + Hom ( V * ,\l*) K , K f ·------- ► llamada

" t r a s p o si c ió n ".

vectoriales

sobre

una a p l i c a c i ó n Proposición

Como

K p a re c e

Hom

K

l ó gi c o

f

(l/,!/1 ) y Hom

K

preguntarse

(V‘* , V* ) son

e sp a ci o s

si la t r a s p o s i c i ó n

es

lineal.

5 . 11 . - Sean

f , g e Hom

V + g )

K

(\¡,\}1 )

a € K e nt o nc e s

= t f+tg

^ (a . f ) = a. Es

d e c i r t la

trasposición

es

una

Demostración

.-

V+ g M ? * )

=

?'.(f+g)

=

t(a.f)(f')

=

f'.(a.f)

= aJíV'.r)

5 .1 2 .- Sea

f 6 Hom

Proposición con

sus

respectivos

f ’. f + f ' . g

b i d u a le s

V n con

lo oue

la

Demostración.de

efecto,

\l en V* . Además,

rema

de

si

se

donde

('f')+t g ( r )

= a . t r ( ' f ,>

( V ,*/1 ),

Vfeu'*

V a6 K

e ntonces,

identificando

V x

V1

t enemos

es

un

tanto

isomorfismo. f como

identifica

la R e f l e x i v i d a d , (T e o r em a

t (t f)(x) y

=

lineal.

= f

trasppsicion En

aplicación

5.5,

^(^f)

son

x con

de

aplicaciones a cu e rd o

con

lineales el T e o ­

pag.163),

=

( $ x . t O ( f ' ) = $ x (t f ( ? ’))= § x ( f . f ) = ('f'. f ) ( x ) = ' f ,( f ( x ) ) = $ ’ ( x ) ( f )

5 :V---* V*# *

x - ^ $ x c o r r e s p o n d ie n te s .

y

:y/'--- ► \j'** y.—

►§;,

son l ° s i s o m o r f i s m o s

n a tu ra le s

Proposici ón

S.ean fe Hom, (V ,V )

5 .1 3. -

K

y ge H o m íy(\y , \¡ ) e n to n c es

~

K

“™ “““”™““

t, t t (g.f) = f. g D e m o st r ac i ón . -

f * e V*

Si

t (g.f)('f")

= 'P*· C Q . f ) =

('f". g). f =

=t g('p’) . f = ( V . S n f ) . Como les,

casi

todos

la t r a s p o s i c i ó n

los

conceptos

se p uede

d e f i n i do s

d ef i ni r

sobre

apicaciones

para m a tr ic es .

Antes

linea­

veamos

la siguiente P r o p o s i c i ó n . 5 . 1 4 .- S e a f : V --- ► \J*

una

aplicación

lineal

B = ( x , , x „ f . . . tx ) , B* = ( x ‘ *x^*...tx* ) b a s e s o r d e n a d a s 1 ¿ n 1 ¿ m tivamente. S u p o n g a m o s que

II» f (x j) = X!.a ij -xi entonces

de

y sean V y_ \ I '

r e s p ec --- -

V j € ^1, 2, . . . ,nj

n

t f (^ ')

=£

a .j.fj

V i « { l , Z ........... }

J=1 donde B* duales

- K - í ..... t*.;) i

en V**

y V*

D e m o s tr a ci ó n. -

b* = c p

, f* , . . . , T n ) son las

Pongamos

t

.

f

e nt o nc e s k=l

y ..1 otro

o rd en a da s

de B 1 y B r e s p e c ti v am e nt e .

1

y por

pases

kl

k

f;c)

- £ \ A ¡

■ °;i

lado

m t:(f(x

)) = z iak j - t (xk ) = S J

Por

k=l

J

k=l

-. = a i·j· ak j · ^ík J

tanto b .. = a . . Ji iJ

lo que p r u e b a Este

r e s u l t a d o dice que

das de f(x.),

J (a., , a . i1 i2

la prooosición.

a

si

(a, .,a_.,,,.,a .) son las c o o r d e n a 1J 2j mj j = l , 2 ,..,n, en· B 1 , e nt o nc e s para cad a i = l , 2 ,..,m t i # . . ) son las c o o r d e n a d a s de fíY.) en B . in7 'i

a 12

···

aln\

a 2 2 ···

a 2 n\

(an a 21

= ‘aml

am 2

/a n

a 21

i

...

a

*··

aml\

mn '

entonces

ai 2 a 2 2 ’ * * am 2

m ( t f ,b ‘*, b *)

=

W n

5.15,- Sea A € A

vectoriales y V

mxn

...

a 2n

a

mn

D ef i ni m os

(k ).

con dim

V=n, dim V* =m y sean B y B 1 b ases K K r e sp e ct i v a m e n t e . S ab e mo s que (ven pag. 123) 3 !feHom

E n t o n c es

K

( V ,V 1 )

o r d e n a da s

de \)

ffl(f,B,B*) = A.

ponemos

t

Está

claro

que

/t

A = m(

esta

I*

f ,B'

definición

,B ) . es

correcta

A

y que

(K) si n xm i n t e r s e c c i ó n de la fi-

A6 t/*C (K). Además, el e l e m e n t o que e s t á en la mxn t la i - é s im a y la c o l u m n a j -e s im a de A es el e le m en t o

que

intersección

de A.

de la

fila

Las proposiciones

j - é s im a y la c o l u m n a i - é s i m a 5.11

y 5.12

tien en

es£a

aho r a la s i g u i e n t e

en la

vers i ón

matricial: P r o p o s i cdón

5 . 1 6. - L a

aplicación

t r a s po s i c i ó n

de m a t r i c e s

A *mxn n < K> t. ve rif i c a : t

t,t ( A + B ) = tA + tB;

En otras toriales,.

palabras,

t ( a . A ) = a . tA; la t r a s p o s ic i ón

( A )=A

V

a

,Be J 't

es un i s o m o r fi s mc

mxn

(K), V a e K .

de e s pa c i os

v ec ­

Proposicion --- ---------

( O e mu e st r es e P ara al de su el

Sean A ( K ) y B^t Í^C (K) ----mxn — nxp t, x t t (A.B) = B. A

5 . 17 . -

utilizando

a c ab a r

el

tema

traspuesta

rango

la P r o p o s i c i ó n v/eamos que

coinciden

de u na m a t ri z

y el

(como de

su

entonces ---------

5.13).

el

r ango

de una a p l i c a c i ó n

consecuencia t ra sp u es t a) .

t a mb ié n Antes

l in e al

y

coincidirán

necesitamos

la si­

guiente: Proposición

5 .1 8 . -

i)

an(Imf)

ii)

an(Kerf)

Sea

: V ---- * M' una

f

aplicación

= I m t f.

I*)

Sea frisan ( I m f ) , e n t o n ce s V x e V

= tf(sP‘) r e s u l t a

que Nf,€ K e r t f.

p rocamente,

si 'f e K e r t f =£►

y'eanílnrf),

y así

l ineal

**

\l con

y \l

V

5.12,

5 . 1 9, -

P a ra

D e m á s t r a c i ó n . Por

cada

ii)

aplicación

de la

la p r o p o s i c i ó n dim

por

»** \I

p o de m o s

K

lineal

tendremos

Corolario

úty

Ver

Problema

f=

lo

4.13 17,

que

a Im^f

a la

implica ( ve r Prop.

f : \l ---- ► V*

= dim

K

5.8,

a nt e ri o r

t en e m o s

an(l(erf). pag. 166,

= dim

K

V - dim K e r f . K

= dim

K

V - n u l id a d( f )

= rango(f),

en pag. 1 1 8 . pag.

i)

an( Im^f ) ^ Ker^ ( ^f )

= rango (^ f)

proposición

an(Kerf)

r a n g o ( t f) el

0

t an t o

a pl i c ar

Así,

por

f

Irr^f = a n ( k e r f ) .

rango(^f) según

con

a n ( a n ( I m ^ f )) es i gual

rango(f)

Pero,

I

pag. 168 , a n C l m ^ f ) ^ Karf

pag. 1 6 6 ) por t a n t o

Corol ario

*( f( x ) )= 0 Vx.eV,

fcf : V/'* ---- ► V* . E n t o n c e s

Prop.

como

esto se p r u e b a an ( Imf )cz Ker . R e c i ­

t f ( V5') ( x:)=

an(an( I m V ) )= a n ( K e r f ) , pero 5.8,

Con

: vP í f ( * ) ) = 0 y

Ker ^ f c: an ( Imf ) .

Identificando

peiro por l a

Se c u m p l e :

= Ker^f

Demostración.-

a pl i ca c ió n

lineal.

174,

para

una p r u e b a

directa.

se

tiene:

Como

consecuencia

Corolario -----------

t e ne m o s

5 .2 0 .- P ar a c a d a m a t r i z ------- ----------rango(A)

mxn

de c o l u m n as

independientes

r e s ul t a

rango(A)

es

se c um ol e --------c—

= rango^A).

\1ícbqs en l a pag·. 148 que rango(A)

que

(K)

de A.

t am bi é n

coincidía

Aplicando el m á x i m o

esto núm.

con

el m á x i mo

a ^A, de

según

filas

número

el Cor.

5.20,

independientes

de A. Esto s

ú l t im o s

corolarios

de e j e m p l o

p o d em o s

p robar

ción l i ne a l lo es.

En

de V (K)

efecto,

en

V (ver t r a n g o (f ) = r a n g o ( f ) ,

si m i s m o

Prop.

pag.

dim

V = di m

y como

K f.No

obstante

homomorfismo

Como

p o de m os

de gru po s

e je r c i c i o p r u é b e s e t si A es regular.

sólo

entonces

que

si y sólo

f es b i y e c t i v a

119), V,

Dero

por

el

A t ítulo

de una a p l i c a ­ si e s ta

tamb i én

si y sólo

si

Corolario

5.19

f es b i y e c t i v a

si y sólo

si

K

decir

e ntre

a p l i c a c i on e s .

traspuesta

es b i y e c t i v a

4.16,

t un

bastantes

que la a p l i c a c i ó n

sea feAut^V,

rango(f)=dim

lo es

tiene

que la t r a s p o s i c i ó n

Aut \l y Aut

K

dada A€»/%(K), n

K

no p r o p o r c i o n a

l/f (u 0 C Prop.

se tiene

A es

5.13, p a g . 169). regular

si y

de grado¿2,

(ver

P RO BLEMAS 1.- Sea \/(R) el prob.

22,

pag.

es p a c i o 105).

v e c t o ri a l

de los p o l i n o m i o s

Se c o n s i d e r a n

las

bases

ordenadas

tes

B = ( l , x , x 2 ) y B 1= ( l , l + x , l + x + x 2 ) . E n c o n t r a r

bio

de base entre

= v/alor de p(x)

B* y B1*. Si

al

hacer

'fe V* está

dada

x = - l , encontrar

las

las

de

M siguien­

e c u a c i o n e s de c a m ­

por 'fíptx)) coordenadas

= p(-l)

=

de 'fen la

base B 1* . 2.- Sea

(IR)

sea t r a z a :

( F ) ---la

a cada m a t r i z bas e

su

de

base $ 3.-

espa c io

de

Sea

traza

(ver

prob.

en la que Jt(2 (R)

U y UJ dos

tal

que

de m a t r i c e s

a p l i c a c i ó n lineal

esté

nS

que le hace

16,

esta

r eales

pag. 155 ).

forma

lineal.

de o rden

2 y

corresponder Encontrar Encontrar

una una

que

subespacios vectoriales

an(U+UJ) = an(U ) f\ an(jj) Dedu c ir

v e c t or i al

y

si V = U$UJ e n t on c e s

an(uOUJ)

de

\l( K).

D e m o s t r ar

= an (U )+an (lli) .

V* = an (U )®an (lli) .

que

4. - En

se

diente como

base

dual

en pag.

c o n s i d e r a la base

en

( (j) >(3)} · O b te ne r

(identificando

la c o r r e s p o n ­

con

4 x l ( R >’

160).

¿1 5.- Se c o n s i d e r a

en R

(R)

el

subespacio

v/ectorial

U = | ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) e R 4/ a 1 + a 2- a 3= 0 j . Encontrar: an(u)

en R

4

(R)

it

.

6 .- Sea Ae^/%(K) y la m a t ri z t r a s p u e s t a de A. D e m o s t r a r qje traza(A) = t n = traza( A) (ven prob. 16, pag. 155). C o n cl u ir que p a ra c ad a f^E nd V, t \J espa ci o v e c t or i al sobre K, se v e ri f i c a traza( f )= t ra za ( f). 7.- Sean A,B€t/ÍT(K). P r o ba r que A y B son s e m e j a n t e s t n B son s e m e j a n t e s (ver pag. 149). 8 .- Para por ^ te,

cada m a t r i z

(X )= traza(

prob a r

que

A.

Aec/Í£(K)

X)

pa ra

d e f i n i mo s

Vxec/Í(K). cada

una

sólo

si ^A

aplicación

Demostrar que

f or m a l ineal

si y

y

^

(K )* . R e c i p r o c a m e n ­

Y sobre c/í (K) n

e x is te

A ( K ) n

:

f.-r. 9.-

3

Sean f

=a+b+c.

: IR

------- »■ R , f ( a , b , c ) = 2 . a + b - c ;

Demostrar

que

f y f son

f o rm a s

{f.ij es linealmente- i n d e p e n d i e n t e de modo

que

f',«*}

se de R ^ ( R ) 10.ta

t

Sea

cuy a

base

f verifica

t

t t

f 0 f=

171, y prob.

11.-

Sean 1/ un e s p a c i o g rupos

de

de

c u e n ci a

2, pag.

R

3

l i n ea l es

(en R ^( R ) * ).

de R ^ ( R )

sea

f y que

-------*■ R , ^ t a , b , c ) = 3 sobre IR (R) Encontrar

. E nc on t ra r

y que

o(€|R^(R)*

también

una

ba­

. Demostrar

que

sua p l i c a c i ó n

V * = a n (K e r f ) ® a n ( I m f ).

(ver

trasoues-

Prop.

5.18,

152).

v ec to ri a l

automorfirmos

de

sobre

\l y V

K, V*su

dual

y

Aut U, Aut V* K K r e s p e c t i v am e nt e . D e m o s t r a r que

V ---► Au t \l* dada por f* ■-» ( ^ f ) ^ es un i s om o rK K g r u p o s .(C o m p á r e s e con la d is c u s i ón en pag. 119). Como c o n s e ­

la a p l i c a c i ó n fismo

dual

feEnd V tal que f«f=f.

pag.

los

sea una base

f:

Au t

demostrar

automorfismo

del

que gru D O

G l ( n , K ) ---► G l ( n , K ) Gl(n,K).

dada

dot

Ai—

^ A ) ^ es

un

12. -

P r ob a r

que

toda ^ ( I R

)

es

= f ! · 3! + r 2 - a2 + r 3 ' a 3 d onde es la basa son las prob.

usual

deíR^(CR)

coordenadas

12

) la base

=

endomorfismo

= Y

+

^ .Y,

y

15.Si

de

parar

^1

una base

con

pag.

el

ma ci ó n

ii)

1 8. - Sea

complajo.

f(^)

(r^ » r 2 ,r3 ^

( Comparar

con

3 de la =

usual

de (R

+ Y 2 ” ^3

Encontrar

matricieles

an(u)

de

un e sp a c io

pro ba r

(sin hacer

se c um pl e

Kerf c K e r ^ par a

uso

que

el

de c am bi o

úni c o

y sea

’

=

endonorfis-

de base

t \*

en V^K)

a

5.14.

v/ectorial

U = an(S)

(A.B)

P r ob a r (usar

que el

c o n s tr u ir

e s pa c io real,

de la Prop.

vectoriales

de la P r o p o s i c i ó n

V un

por

y la P r o p o s i c i ó n

Sea yf e\ J* .

4.11

v ec t or i al

rial de

si

Teorema

cio

= 1^*

e n t on c e s

cac ió n lineal. si y sólo

de B.

(e^e^e.^

que

h = f.

\¡ y V 1 e s pa c io s

Sean

dual

3 ** (IR ) dual

de

d e f i n id o

ecuaciones

de

(íR^)*

y B =

t am bi é n

9.30).

= Y, + Y 9 + Y„.

t

P r ob a r

\l { K)

(ver

con

dim

Prop.

5.8

K

\J = n. y com­

167).

Denuéstrese

y B€t/^f (K) nxp 1 7.-

(íR3 )*

Sea U un s u b e s p a c i o

S es

16.-

de

cum p le

las

que

^

FÍY»)

h que

1 4 . - O bt e n er p ar t i r

(^

de

Y (a., ,a 9 , a^ ) =

i = 1,2,3,

160).

Y en la base

B

f el

mo de IR

pag.

6 ^ y Prop.

Sea

for ia

r i = T ( e jl),

(ver

de la l e cc i ón

13. -

3

de

de la

P robar

Teorema

que

si A €

( K) m xn

A. K y f : \J --- ► V*

exi ste

€. (V * )*

tal

de A m p l i a c i ó n es otra

p r u eb a

que

una a p l i ­ ^of

=tf

de la base

y

de la a f i r ­

5.18). c omplejo.

a Hoít^(\/,IC) de

que Hom

V(C) y V 1 = ) f €H om^ ( \J, I )

B.

sobre

(Esto

v ec to r ia l

dotar

=

5.13)

(V,C) /

Considerando estructura

= \J*&\Jl

f(i.x)

sie n do

= -i.f(x)

a 'J cono

de e s p ac i o V* el

par a

espa­ vecto­

e s o ac i o

todo

X€\/i.

dus

LECCION 6 5 : TENSORES.

I ntroducción. 1) Sea K un producto espacio

en K,

cuerpo

es

ve c to r ia l

ve enseguida

Concepto

que

decir, sobre

de T e n s o r .-

conmutativo

y sea T : KxK

T(a,b)=a.b

V(a,b)eKxK.

K.

T verifica

Cabe las

entonces

---- ► K la S ab e m os

preguntarse

siguiente

si

aplicación

que

KxK

es un

T es lineal.

Uno

p r op i ed a de s :

T ^ al + a2 ’b ^=T ^ai ’b ^+T ^a2 ’b ^ T ( a,b1+ b 2 )=T (a ,b1 ) + T(a, b2 ) T(c.a,b)=T(a,c.b)=c.T(a,b) Pero la ú l ti m a

de

estas

igualdades

V a , b ,c e K .

i m p l ic a

2 T(c.(a,b))=T(c.a,c.b)=c.T(a,c.b)=c lo que nos al fijar lineal, b .---

dice

una por

que

T no es

v a r i ab l e ejemplo,

lineal.

de T la si

a€K

Sin

aplicación

fijo,

la

.T(a,b) embargo, que

nos

r e su l t a

a p l i c a ci ó n

damos

c u e n t a que

de K en K si

de K en K dada

es

por

T (a , b ) es lineal. 2) S e a ahora

T

cación no es l in e al

: KxK x K ---- ► K dad a por peno

T ( a , b , c )= a .b .c . E s t a

apli­

v e r if i ca

T ( a 1 + a 2 , b , c ) = T ( a 1 , b , c ) + T ( a 2 ,b,c) T ( a , b 1+ b 2 , c ) = T ( a , b 1 ,c)-hT(a,b2 ,c) T( a, b ,c + c 2 ) = T ( a , b , c 1 ) + T ( a , b , c 2 ) T ( d . a , b , c ) = T ( a , d . b , c ) = T ( a fb , d . c ) = d . T ( a , b , c ) 3)

En general,

=a,..a r es ul t a 1 n T(a

l

, . ,a +a i i

ser

si T

: Kx

no l ineal

xK

» K está

dada

por

y verifica

, . ,a )=T(a , . , a , . , a )+T(a ,. ,a , . ,a n l i n l i n

T (a , . . , c . a , . . ,a )= c . T ( a _ , . . , a . l i n i i

a ) n

)

T(a^,.,a

)=

para

todo

esta

no es lin e al

n-1

i€ K dada por T ((a ^ ,.,an ) ,(b ^ ,.,b ^ ) ) =^ P a¿ .b ¿

que verifica T( (a , . ,a )+ (a' ,. , a ' ) , (b ,. ,b )) = i n l n l n = T (( a^ , · >

T(

), (b^ , . fb^)) +T (( a^ , . *a ^) >

^

. , a n ) , ( b l f . , b n ) +( b' l f . ,b'n ) ) = = T((a. , . , a l

)',(b

n

T ( c . ( a , ., a ) , (b l n l

n

l

,b

,.,b n

))+T((a

l

, . , a ) , (ti n

l

, . ,b' ) ) n

)) = T ((a.*·, a ) , c . ( b , . , b ) ) l r r l n

=

= c .T (( a^ ,. »a^) ,(b ^ ,. ,b ^ )). N óte s e

por

(a., . ,a ) € K n fijo, la a p l i c a c i ó n 1 n (b ,.,h ) l--- ► T( (a ,.,a ),(b ,.,b )) es lineal. 1 n l n l n 5)

que,

Sea

o ar a

mxn

(K),

A =

(a. .), ij

: K R x K n ----► K

v er if i c a

las

mismas

el caso A = 6) vidad rial

propiedades

de K R en K dada

e n t o n c e s la a p l i c a c i ó n da da por

de a n t e r i o r e s

ej em pl o s

y j us ta m e n te

en

r e s u l t a que Utilizando

(Teorema

5.5,

es la a p li c a c i ó n dada en el e je m p lo 4. n la a p l i c a c i ó n ^ que a pa r ec e en el Teorgria de R e f l e x i -

pag.

\J ( K) la a p li c a c i ó n

163)

p o de m os

T : VxV*

defi n ir

para

--- ► K dada por

T ( x + y f p)

= r(x,f)*T(y,y)

T(x,f+V)

= T ( x , Y ) ^ T ( x f V)

T(a.x,f)

= T(x,a.y)

= a.T(x,y?).

caáa e s p ac i o

T (x ,y>) = y>( x ) que

vecto­ cumple

¿s claro,

oor

consideraciones

T no es lineal

aero

que

las

a n ál o ga s a las h e c ha s

aplicaciones

V --- ► K X —

para 'f* e y

fijos

7)

El

feEndU

y sea

Entonces

si

K

terior,

ej em pl o '6 es un T

t

: V x V * ---- ► K

f=i.. r e s u lt a

y además,

las mismas B)

resoectivamente

por

que

T(x,y,Y’,f/) = f ( x ) . * f ( y ) . 6 y 1 r e su l ta

que

aplicación

e je m pl o

consideremos

T

Teniendo

6

i i — ►T(y,f)

son

del

dada

que

V * ---* K

T (x,f)

particular

o o de m os

y

sí lo

aolicación

T

el

\i * y V,

caso la

la V f lineal,

ser

propiedades

Finalmente

ser

en

anteriormente,

prese nt e.

dada

f (x ) ) .

I

en

a s e g u ra r

Sea

T ( x 9* f )

por

el

e j em p lo

que

an-

v e r i f ic a

( c o mp r ué b es e ).

: V x V x \l* xV*

—

en c u e n t a lo

► K dada dicho

por

en los

e j em p l o s

T verifica

T ( x 1 + x 2 , y , ,f,'f/)

=T ( x 1 ,y , f , f )

T ( x , y 1 + y 2 ,f,V)

= T ( x , y 1 ,f,'í') + T ( x , y ? ,f,r)

T ( x , y ,?1 + 'f2 ,V')

=T í x . y , ^ , ^ )

+ Tíx.y,^,^)

T(x,y,?,'t/1 + ^ )

=T C x . y . f , ^ )

+ T(x,y,»f,f2 )

T (a.x,y , f , V )

= T(x,a.y,y>,V)

+ T(K2 ,y,?,'f/ )

= T ( x , y , f ,a . ?)

= T(x, y ,

=

= a.T(x,y,f,y/). Es decir,

como

menos

tene mo s

una

antes

T no es lineal

que

la a p l i c a c i ó n

oero

al

fijar

resultante

todas

las

es lineal

de

v a r ia b le s

\J*)

V (o

en K . Si que

quisiéramos

d e be m os

d e s e c ha r

vectorial

p r o d u ct o

darnos

que

forma

de

natural,

T como

el

las

"mui t i l i n e a l e s

K.

Una

en U/ es una

de

aplicación

aplicación

bien

cartesiano ve ct or i al

que

s en t id o V

tipo

, . . . ,V

de

a p i i c a c i o n e s ,c ar e c e

c o n s i d e r a r sai· docsÁnio

más

e s pa c i os

el

Sean

de

varios,

aplicaciones

D e f i n i c i ó n . S.l.cuerp o

de

un e s p a ci o

" en

este

la idea

p r od u c t o

un p r o d u c t o

T odas

e st u di a r

lo que

de

e s pa c io s

y considerar

vectoriales constituyen s i gu i e n t e

que

hacer

vectoriales el

mirados los

o s pa c i o

d om i ni o

es

olvi­

es,

de

de cada

"aisladamente” .

e je m pl o s

a n te r i o r e s

son

:

,U/ e s p ac i os

m u lt i l i n e a l

hay

un

c laro

vectoriales

(r veces

li ne a l)

s obre de

el

mis m o

V ^x - . -x V ^

T que

: V , x . . .xV

1

---- ► Ui

r

verifica

para

(1)

J { x 1 , . ,xjL+ x,i , . ,xr ) = T ( x lf . ,x¿f . ,xr ) + T(x

(2)

T ( x^ , . . ,a. x^ , . . , x ^ ) = a. T (x ^ , . . , x ^ , . . , x ^ )

todo

i e | 1 ,2 , . . , r ^ , donde

x^

representa

, . fx* ,. ,x

cualquier

v ector

)

de

\K

y aeK. N óte s e T(a.x lo que

que

pjr

., a . x

i

impi d e

lúe

(2)

1

t e ne mo s

, . ., a . x ) = a » T ( x , . . , x . , . . , x ) r 1 1 r

T sea lineal.

Sin

emb argo,

la

a p li c a c i ó n

V. 1

x con

r-1

v e ct o re s

el m ot i vo cada

.

una

fijos

de l l am a r de

sus

covariante

v s veces

es lineal

a tal

Sea

M un e s p ac i o

v ec to r ia l

c o n t r a v a r i a n t e , o de

En

todos

de un

realidad

tens o r

(n,0)

K n y del

t e n s or e s

trata de

sobre

de

de

tipo K.

los un

tipo

(1,1)

de tipo

ejemplosque

tensor

(3,0)

En el

mis mo tipo

da un tens o r

(1)

sobre

e j em p lo es

de

el

sobre

y (2).

el

ser

K.

Un

el

e j em pl o

4 t en e m o s

y,

(r,s),

dado

(2,0)

e je m ol o

(2 ,2 ) sobre

hemos

tipo

K;

V(K)

sobre

tipo

de \l x . T . l xVx V* x . ? I x\J* en K.

1 se

por

a p l ic ac i ón :

multilineal

e j em p l o

bre

si

Este

lineal

es en

v ariables.

6 . 2 ,-

po

j^i,

multilineal

Definición

ción

x^,

sobre

K;

3 de un

el

a o li c a-

en el

El

e j e mp l o

tensor

de tipo

e j e mp l os

f i na l m e nt e ,

es una

r veces

son tensores.

un tensor

5. Los

tensor

de

ti­

(2,0)

6 y 7 nos e je m p lo

2

s o­

dan 8 se

V (K).

2 La l ineal

aplicación y oor

lineal). pero

La

tanto

si es lin ea l

sobre

no

--- » K dada es un

aplicación

O b s é r ve s e neal

KxK

que

del un

KxK

tensor -

espacio t ensor

V ; un t e n so r

por

(a,b) 1---- ► a .b no

sobre

K ( nótese

K (a,b) »---- ► a vectorial de ti po

de t ip o

KxK

(1,0)

(0 ,1 ) sobre

en sobre

que

es m u l t i ­

t am p oc o

es

no es mul t il i ne a l K.

\l es una for m a l i ­

\¡ es una for ma lineal

\J*y por

sobre

pag. 163) do,

esto

vector

tanto,

se puede nos

el

considerar

viene

a decir

T e or e m a

de R e f l e x i v i d a d

como

vector

que

el

for ma

l ineal

y,

hasta ahora hem o s

visto,

i n cl u so

derar

y de

seg ún

como

tensores

Un t ensor

de

concepto veremos, los

de

V . En c i e r t o

de t en sa r a v a ri os

escalares

5.5,

que

senti­

engloba

más

al

de los

se p u e d en

de

que consi­

(0 ,0 ).

covariante

si

es

de

tipo

(r,0)

y contravarian­

(Q,s).

O p er a c i o n e s

rial

tipo

se dir á

te si es de tipo

to tensorial.

de

como

un

(Teor.

con

t ensores:

Relación

con

suma,

los

producto

por

un

e n d o m o r f i s m o s . Base

escalar,

del

produc­

espacio

vecto­

t e n s o r e s .-

( \J) el c o n j u nt o de todos los t e n s o r e s de tip o (r,s) sor ,s bre un e s o a c i o vect o r ia l V (K ) . D eb i d o a que ^ (\J)=\J y ^ ( \j )= Sea

^

9 = \J , r e s u l t a que K y,

según

lo

0^^

d icho

y

^0

arriba,

1 ^^

SOn

(V)=K

9

e s P a c ^-os

es

sectoriales

también

un

esoacio

J

sobre

K.

P a re c e

n a t ur a l

con las

operaciones

espacio

v e c t or i al

preguntarse,

que

sobre

generalicen K.

La

a la a las

respuesta

v is t a de

la da

de

t ales el

sobre vec t or i al

r

xp (\ l ) , r ,s ej em p lo s , es un esto,

si

s i g u i e nt e

Teo re ma 6.3.— r; (V) es un e s p a c i o v e ct o ri a l sobre K c ua nd o --------v r ,s -----------------------------------se le dota de la s u ma y p r o d u c t o por e s c a l a r e s s i g u i e n t e s :

( T+T, ) ( x 1 , . , x r , ' ^ , . , ' ^ ) = T ( x 1 , . , x r , vf1 , . , v^ ) + T l ( x 1 >. , x r , vf 1 , ( a. T) ( x L , . , xf , ^ , . , Ts ) = a · T( x 1 > · >x r >T, »· * Ts ) donde acK, T , T ,€ rg r g (V) Demostración.(T+T

) (x ^

Si

j_ x e V, 'Pk|£ u *> V j e { l , . ,

T,T V * §| ( \J)

. . ,x^ + x^,. .

=

entonces

, \ / k e ( l , . , s] .

T + T * e ^ r s (V).

^

T ( x ^ »* « » x ^ » . . > x ^ j

f*· t

efecto,

^ * · · »'Tg ) =

^ »·· f

=

En

^

^ y ··r

T(x^,. . ,x^,. . ,x r >

***9 % ^ ^

) + T (x^,..,x^,..,x^,

,.· ,

) sr

) —

T(x^j· ·>X^

.»Xj.»

9**9

^

Y^ »··»Y^.) +

+ T(x^,..,x^,..,x^, Y^ 9·· 9Y^ ) ^ T (x 2»» »>x ^» «»» x^> V^ > · · » ^ ) =

=

p ara gar

(T+T* )( x

todo

i

, . . , x . , . . , x r , ^ , . . , r )+ ( T + T ‘ )(x. ,..,x' i r l s 1 1

ie^l,..,rj>

je{l,..,sj.

y analogamente

corresDondientes

c u an d o

„x.T. r i

Y^

se pone

a a r gu m e n t o s

en

\l*

s

Y* en

- u~

,T, t · · » i s

) =

.

( T + T , )( x 1 , . . , a . x . , . . , * r ,f1 , . . , r s ) =

= T(x,..,a.x,..,x, ^ 1 i r i

f ..,

= a. T (x ^ , . . , x ^ ,..x^ ,

9

· · t Y*s ) ^ a.T , . . ,f ^ )

= a. ( t ( x 1 , . . ,x¿ , . . ,xr ,

= a . (T + T ) (x^ » · · »x^> · · »x r »

para

todo

j e|l

i € { l, . .* , r|

s (\ I )

(a .T ) ( x ^

9

,. . , a .x . * . · » x i r

( x ^, . ., x ^ , . . x ^ , Y ^ , .», ^ ) =

+ T 1 (xx , . . , x i? . . ,xr ,Vfi , . . , y^)) =

··9

)

a argumentos

aeK

y

. >x ,+ x . j · . , x ^

entonces

= a . T (x ^ , . . , x ^ , . . , x^ ,^

de

9··9

= (a.T)(x^,..,x^,..,xr ^

se pone

a. Y*. en el

lugar

\1* .

a.

s (V).

, . . , 'f ^ ) = a . T ( ,

= a . ^ T ( x ^ , . . , x ^ , . . , x r ,y^,..,Y^)

Vie{l,..,r^,

l

y analogamente cuando

f sj c o r r e s p o n d i e n t e Si

) + T (x

s

En

efecto,

. . ,x ^ + x ^ ,. . >x r »

> · · *Y^ ) =

+ T ( x 1 , . . fx i > . . , x r ,f1 >. . fy>s )) =

f s ) + a . T ( x ^ , . . , x ^ , . . , x ^ , ^ ,.., Y^ ) =

9·· 9

+

( a . T ) ( x , .., x^ , .. f x r >

>··> Y s )

y analogamente

( a . T ) ( x 1 , . . , x r ,f1 , . . , f j+'fj‘,..,y>s ) =

+

( a . T ) ( x 1 , . . , x rff!L f . . , ^ lf . . >y>s )

Veamos 6.1

+

y con

aho r a ello

que

que

a.T

a.T

es

verifica un

la

tensor

V j 6 (l,..,s}.

c o n d ic i ón de tipo

(2)

(r,s)

dela sobre

D e f i ni c i ó n V.

( a . T) ( x , . . , b . x f . . , x 1

i

= a.b.T(x

1

, . . ,x

1

V i e { l , . . . , rj·

, 'P-

r

, . . ,x

i

T

s

, f ' ,. . ,

r

1

= a .T (x .,..,b .x ,..tx

)

i

r

Y)

i

=

s

' f ) = h.(a.T) (x , . . ,x , . . , x , ' f , . . , 'P ) 5 a. ± r 1 o

y analogamente

( a . T ) ( x x , . . , x f , . . . f j , . . » b - T j , · - . 'P g )

=b ( a . T) ( x : , .. , x f

, . . , ^

. ,'f s )

Vj e ( l ,···,sj. Estas

operaciones

verifican

( T +f ) + T " =

3 T,« t Tc sstá

- ef i ni d a

se liara

el

Para

,(»)

oor

»

tensor

cada

:

rf 5

está

x^eV,

dauo

nulo

H

tipo

a',

se

conjunto

de

los

a . ( T + T' ) (a

+

L

t ensor

que

b ) . T = a.T

lo que

^

Vx^eV,

:

b

X

1

O

,x ,

, . . ,Y ^')

VT,í' € ^ r ,s («).

esta suma de tioo

da

estructura

(r,s)

sobre

Vi,Te

+ b.T

Va,b«K

V T e ^

Va,beK

V T£

un

I

T.

V Te *5 (V) r ,s es

y

.

V a e K,

= a.(b.T)

„(V)

r ,s

sobre

+ a.T1

l.T = T Con

X

opuesto" de

t en s or e s

= a.T

(a.b).T

/ V

(r,s)

= 0

= -T+T = TD

x

t e nd rí a

:

(U)

(-T ) ( x , . . , x ,Y?!, . . , Y ) - -T ( x , , ..

' f . e / y es el

lo que

- *-

3(-T)6*^J (\l) w r ,s

T+ T' = T' +T , Con

DroDiedades

' + t ")

T. +T = T+ T. = T

de

T € *5 (V) r ,s

-jur

siguientes

T0 ( x^ , . . ,x^ ,Y^ , . . tY^ )

T + (-T) -í

t+(t

las

e so ac i o

v ec to ri a l

de V.

'X

grujo A demáo

a b e li a no tenemos:

(v)

r ,s

g ) +

T^íx.f) Veamos

= f((a.f)(x))

qje

esta

= Y(f(x)

+

T f, (x,y) =

(T f +

= f(a.f(x))

aplicación

es

=

T fl )(x,y)

= a.f(f(x))

i n yectiva. Si

= a.Tf (x,f)

T =To ( = T ^

= (a.Tf )(x,f)

donde f0 ( x )=0

\ f x G V ) t e ne m os T f (x,Y) S abe m os

por

la

= Tc (x.Vf) = 0

Proposicion

con V ( z )¿0 , por z=0.

f ( x) & V

VxéV

f = f0 ( la

quiere

=$

f or m a

decir

n u l id a d

que

(^f)

tal

5.4,

paso

Api i q ue mo s

e nt o n ce s

Otra

el

aquí.

En

lineal

efecto,

n u l 3 de

c u e n t a que ^ f f (x))

rango

c.jda zS\l f

para

F (x)=G

^f(^f)='P for ma lineal = n

V XÉV

contrarrecíproco

que Y ( f ( x ))=0

darse

= 0

pag. 159 que

al

esto

aplicación

es

f(f(x))

esto

\J sn

xérV fijo es

\J ) .

= ^ f ('P) (x ) =

nula sobre

f = r ango

si ^ ( r )=0

s u p o n em o s

como

z¿Q exis t e

0 \/x6 V

\J

^f = 0 ( C or o la r io

5.19,

hay a patir

w

que

observar

de b as es

w

natural,

y tot

que

de End

1/ y de ^ espacios

de m a n e r a

End V,

é

ot r a

de

,(V)

que

que

í(^)

del

Teorema

a s ^ clus

natural.

N ó t es e

dependería

da las

es un

no se d e fi n e

ismorfismo

End

que

uso del

6.4

V y & i(V) son K 1 ,1 t o m a n d o una base de

vectoriales

y hacrendo

iI i

mos un i s o m o r f i s m o No t e mo s

isomorfismo

ello los

i d e n t i fi ca b le s

K

el

Teorema

b as es

4.11

, obtendría-

e legidas.

si

f (x ¡) = H a ^ . x J k=l J K es decir,

IYI ( f , B ) = ( a j )

si

V - J , * 1) . * * ( « . , » De mo d o

que

(i i n d i c a

elemento

la c o m p o n e n t e

de f en B, Dado

nos un

de la

fila

t*

e n t on c es

■ *1

de T^

en la b as e

» · · · »yn® x n )

i columna

prooorciona

t e ns o r

j c o lumna)

• ¿ ■ ' S Y («k )

(V 1® x 1 ,... ,¥’1® x n ,... es el

fila,

las

T de ti:>o

j de

IVl(f,B);

c o m p o n e n t e s de T (1,1)

sobre

T

es

decir,la

en est a

base

m a tr i z de

1 ,1

(\i )

V , si

T = H i.j (t\ (K) . S a be m os J n B = (x . , . . ,x ), e nt o n c es 1 n llamemos

A =

que

3!feEnd.V k

: IYl(f,3)=A,

sie n do

Tr = T * Por

este

r es u lt a do ,

de e n do m or f i smos en l e n gu a je

6.4,

\J y ds' t e n s o r e s

de

se p u ed e

de

tipo

se

e m p l e an

indistintamente

s obre

un

espacio

vec t or i al .

V o l va m os de

a ho ra

(V).

Si

al

problema

nos

damos

que

nos

cuenta,

el

h a bl ar

(1,1)

f í si c o

y " o pe r ad o r"

base

Teorema

los

indistintamente

sobre

V . De hecho,

t é r mi n os

t en so r (l , l)

o r o p u s i m o s : e n c o nt r ar h e ch o

de

tener

un

^ t® la f orma 'f®x par a ¥ e \i*

una

tensor

de

y xeu

n o s ’ha

sido

muy

útil

en el

caso

,(V), >i

vamos de

a generalizar

iOx

a p a rt i r

Definición to

esto

de Y

6 . 5 . - Sean

t e n s or i al

T © T*

Dara

aplicarlo

a

6

(V).

y x es

un caso p a r t i c u l a r

T ^

S (V)

por

la f ó r m u la

V

La

construción

de la si gu i en t e:

T ' c ^ r, g| (V) se def in e

su p r o d u c ­

(t © t ‘ ) ( x1 ,.., *r , xt.+1 ,.., xr+r, .v 1 ,.. ,

( T , T ' ) ----------* T © T* es b i l i n e a l . D em o st r ac i ón . - En

efecto,

(T ® ( T^+ T,2 ) ) ( x 1 , . . , x r t x r f l , . . , x r + r l . f 1

= T(x1 , . . , x r , ' | ^t . . , ^ ) . ( ( T j +

, vf a , 4’s + 1 . · · .'VS+ S ) =

T2 ) ( x r + l ” - ’ Xr + r ‘

})

=

= T ( x 1 , . . . , x r , + 1 ..........'lf8 ) - Ti t xr + i ...........x r +r· ’ ^ +1 ’ ’ · * ’^ S+S' ] + + T(x1 ,..,xr ,^1 ,..,H,S)-T2(^r + 1 ..-..xr + r, ,'I'S+1 » · · · .^S+S

(T v|'S+3

) =

(a.T)(x1 > ...,Xr ,t1 , . . . , f ) . T , (xr + 1 .....xr + r ^ S + 1 , . . · ^ 343’ ) = = a .T (x1 ,..., xr y,...,'l»8 ).T, (xr 4 1 ,...,xr+rl, f + 1 , . . . ^ S+S’ ) =

)

= T ( x 1 , . . , x r , y 1 , . . . fy S ) . ( a . T l ) ( x r f l , . . . , x r f r , , Y S + 1 ............i ^ s + s ' ) = ( T « ( a . T 1 ) ) ( x x , . . , x r , x r + 1 , . . , x r +r J ,V> 1 , . . , f , S , ' p S'*'1 , . . ,V^S+S

) = ------

= a . ( T ® T* ) ( x 1 , . . , x t , x r 4 1 , . . , x r + r l H/ 1 , . . y 8 y 8 + 1 t . . y 8* 8, ) V xj€ V ,

V*

con l o

(a.T) Teorema es V*,

uns

6.7.base

Sea

de

S

T'=

T ® (a.T')

V( K) u n e s p a c i o

V y $ * = I ? 1 , . . . »y 0!

=

.

que

= a.T ® T 1 .

vectorial

sobre

K .

Si p base

-

, . . , x^ J

la

correspondiente

dual

en

.

todos los ín d ic a s varían 1 . .. , . « j i n d e o e n d i e n t e m e n t e de 1 a n /

entonces f i . i i Ÿ ®. . . 0 ^ V V.

e s u n a b a s e de ---------------------------donde n = d i m V . — K Demostración.-

r ,s

Sea

(\l)

T

. # . . . ®x . i,. j J1 s .

Como c o n s e c u e n c i a

^ ( \l) , r ts

entonces

di m. . ^

( \J ) = n r * S K r,s

si

n i , , n i a .'1 . x . . Lr .y = /V “ a r . x . , 1 i, rr — ; r i i = l 1 i =1 r 1 r

r

y 1 =

r&sulta

¿ y . .YJl;. (?. ;y s = ¿ b s V j 1=! J i j s=i Js

:

que

Tí( y , , · · . , y . rV 1 , . . . ,Wr s )\ = .3¿1____ T a 11 . . . a lr . bh 1 . . . bK s . t(.J l ,‘* ' ,Js 1 C i,...,! 1 1 J1Js V ’^ r 1 r j l * · . »j s

donde

Ji»·· ·»J s .J i . Js t. = T.(x. , . . . , x . ,f ,. . . ,f )ér K . 11 ’*’ * *1 r X1 Xr .

En p a r t i c u l a r ,

t omemos

T c o mo T

=

F®x . J1

. . ®x . y entonces Js

(f

. •®'f) r® x . ®. . .«x . ) . (y

J1

Js

, . . . ,y

. ,lf,S) =

1

\ kl kr hl hs í 1! ís \T— t. , =/

esta

(r,s)

equivalencia

..... S

donde

r=s=l

n sobie

K2 *·*·* K r son

cual e s q u i e r a

de 1 a n y

*

p ar a

de

independientemente

de K par a

en la D e f i n i c i ó n

muí t i m a t ri c es r e l a ci ó n

v a rí an

un e s c al a r

^ 9 ** * ,

Está triz

ín d ic e s

Xs

(x*...... x* n) de —

V tal

que

B1 = ( ,

siendo

Há ga se A la (r,s) hace de

- · · » Y ··**x —

1=1

=¿

igualado.

X1

J

,···,] )—

k+1

* xx o x> x

1k-l

t Jl ’ ” ’ ’

v>J s, ,.··,! ,

1

x - »1 f ^1 >··*) 'fjh_1 »vf>*víjh+l «í>js / * * « *x J >) »··»)

í

*k+l

Xr

jh+ l ’’ ‘ ‘ ’Js

1=1 il ’- - ' ,ik - l ’t,ik + l ,' ,,,ir | El

siguiente

resultado

generaliza

lo que

ya

di ji mo s

oara

C-C,

en la pag. 1 9 9. Proposici ón 6 . 1 5 . - L a cont r ac c ió n

C 3 gs

fcr ,s («) SSL ^ r - l , s - l ( U ) · iS_JÍ2£Í£.

una

C¿

aplicación

lineal

de

:

verifica

(1)

C j (T + T ‘ ) = ct't + C-?T'

(2)

C^ ( a .T )

1

1

1

1

= a.C^T

De m o s t r a c i ó n . - V e a m o s

V T,T'

(u)

^ w r,s

V a€ K

sólo

(2 ),

(1 ) se har á como

e je rc i ci o ,

(D (j), n 0 c J ( a . T ) ( y 1 , . . , y r_ 1 ,^1 , . . , ^ S " 1 )= 2 Í (a.T)(y1 ,..,xi , . . , y r _ 1 ,vp1 , . . , ? , . . . t * " 1 1

= 2 1 a .T(y

(J)

U) ,...,x , ...,y

1=1

) =

*

- a . ( d T ) ( y 1 , . . . , y r _ i , f 1 .---,ví,S~ 1 )C¿(a.T)

Se

p ue d en

defi ni r

contracciones

más

w pío.

Sea

T£

= a-C^T

.

gener al e s.

P on g am o s

un ejem-

14 j ,a

( V ). La

contracción

C

’

i,

de

T,

viene

dada

al

igu a-

lar

primer

luego

í n d ic e

sumar,

covariante

con

el

e independientemente

to c o n t r a v a r i a n t e

y también

sumar.

orim e r

el

í nd ic e

s eg u n do

En

contravariante

covariante

con

el

y

cuar­

concr et o :

k ,h para

una base 'n J son

y

dual ^3* = otra

base

^

. »'fn j

de

\J y su

con x

n

n

t

.

0

I1- Y" K 1 'P

t enemos

a

__ t (x .,x

x,vf’:L,f,f,'f,j) = ^ Z Z Z Z Z Z ai-aj-bv bn-T(xk,xh,x,'f> ''f*t.fp)=

i,j

Jl.P,i»j»k,h

=>

T ( x k ,xh , x , ? ^ T , % f P ) =

■t.P.k.h

i

j

J

------ ¿ p · £ · t ( xk , xh , x , ' f , ' f , y/»'pp )~ 5Z t ( xk»xh»x , f P jk jh

con

lo que

)

.kjh

esta

definición

o -t i

k,h

es c o r r e c t a

1

y además

i 9¿

2

siendo

T =

V

/

t .

. 1

J1 *j2 ’'i3 ’j4 '¿l * 2 \d Z . . J ®j ©j ©x .®x . ®x . ®x . 2 3 Ji J 2 33 3¿

Obsérv/ese que

C* ’2 T = C X ( c \ T ) = C i (C 2 T ^ ·

1 y¿

9 (V)

con

n, » · · · *^ Como

ejercicio

T € ^ r , í (V),

defínase

la c o n t r a c c i ó n

p^mí nimo |r, sj* , y c o m p r u é b e s e

gene ra l

_

* ^ T para 1 ’ ’” P a n ál o ga s a lo

l

oropiedades

anterior. D e f i n i c i ó n 6 . 1 6. - Si T ' y si r>o , s>o C^ ( T ®T * ), sor

de

tipo

contraido

( r-l,s-l)

de T

(V ) y t 'c ÍT (l/) e n t o n c e s T g T ' e t ^ (V) r ,o o,s r ,s i € ^ l ,2 , . . . , rj- , je |l , 2 , . . . , s|l es un t e n ­

sobre

V. L l a m a r e m o s

T ' respecto

a la

a 0 ^ (1 0 1* )

variable

i-ésima

el

de

T

p r o du c to j - ésima

de T ' . Haciendo te

uso

de la

Proposición

6.14

p od e mo s

establecer

el

siguien­

r es u l ta d o:

D r o p o s i c i ó n 6 . 1 7 . - Sea T € * j € | l > 2 , . . . fs| . E n t o n c e s

r ,o

(V ) y T t ? >

o ,s

(\ J )

y sean

-------

i £ |l ,2 , . . , r|, v

(i)

/

(j)

c j ( T ® T ,)(y1 ,..,yr_ i ,Y1 ,..,Vf S 1 ) =__ ¿ THv, ( y 1 ,..,xk ,..,yr_ 1 ).T,(r1 ,..,Yk ,..,TS" 1 ) k=l

¿ o n d e (£= |x i ,. . ., X n} A de má s

- F ~

es

una

base

de

V (K ) ^

j f 1 , . . ., su

d u £ 1 en

, si

t..

. í V · . . ? ·

kl.... Rr

h

1

( ¿ i k

1

—

Z^í

k

s

< k

k -t'1

-Y

r®X.

..&X.

hi

Esta

proposición

* = ¿ y . * k

J_1

J

1 ’“ ’ i-l’ ' i+1’" ’ r

.

nos

dice

a demás

®x.

V i

que

' r - t * · * 1

hj n

si

* ’® Xh hs

')·

( T®x )

= 7 "

( ¿ j , fe

—_

. . . a k )V *1 2 ,‘* ,1r JL>

_Q_

((P®T )

)X : ® -- ®X : -6=1

>x) = Z I a k . b k=l

.

Por

si

otro

i

es

2

un

X

T :

tensor

di a n t e

x.

lado

T 6 fT ( V) y xeV l a ^ r ,o

aplicación

\ l x [ T. ~ } x ' J

de

tipo

(r-1,0)

que

se

llama

el

producto

interno

Claramente k,

i x T = ^>

s

( i v T ) ( x k. , . . . , x k

k

).N*

r-1

r-1

/ T V x » x.

v

f***»Xi

Ì

y kr - l

)·l

® · · ·® I

r-1

(^^ahT(xh,xk ,...,xk h

1

n_

.

k.

a

lo

que

))¥* 1®. ..®f r 1

r-1

implica

ÍXT =

k

k

^

k

®-..®yr"

que

C i (T® x ) ·

Análogamente

si

y

fe * \l

la

aolicación

de

me-

: y**

ís._f xU*--► K

(í^t· ) ('k1 ....... Y8-1) = T* C'p.H»1 ......... M»3“1) es un

tens or

diante

?

de

tipo (o, s— l)

N ó t es e

(Tlás g e n e r a l m e n t e

En

tipo

de

T

me—

= Y

i^

■

e i^

covariantes

, si

en un

t en so r

de tipo

y h contravariantes

se

(r,s)

o b t i en e

un

(r-k,s-h).

cuanto

Proposición

= ixt

que

k argumentos

de

produc to interno

que

eje?·*)

tensor

se l l am a

cJ(f®T‘ ) = i^T* .

y

se fijan

que

a propiedades

de l i n e a l i d a d

p o d e mo s

afirmar:

6 . 1 8 , — L a api i c ac i on

( T ,T* ) .----►

c

¿( t ®

t

’)

es P ilineal . Demostración.-

B a s ta

o bs e rv a r

^w r ,o rt(v )xf§ o n ,s « ^ ) --- *

que

( T , t ’ ) >— bilineal

por

la P r o p o s i c i ó n

6.6

en la pag.

186

*

*Sr

T«T!

es

y

--- - ^ - 1 , - 1 (,) T es dos

lineal

(ver

a l t e rn a do s

te ne m os

particular

de

la

6.15, del

pag.

o b je t os

t e ns o r es

son

geométricos

tensores

sólo

20l)

enunciado

que

y que

componiendo

simétricas han

c o v a r i an t es ,

sido es

estas

de la p r o p o s i ci ó n.

c ovari antes: te ns or e s

y hemisimétricos. Matrices

A l gu n o s chillerato

1

Proposición

aplicaciones

Estudio

----*· C?T

simétricos,

y a n t i s i m é b r i c a s .-

t r at a do s decir,

durante

t en so r e s

de

el

b a­

tipo

(r,o ). sor

Por e j e m o l o

real

n2 4,

2x2,

que

pag. 176 pue d e

O b s e r v es e

que

distinguen

que los m is mo

pares

n úm er o

estos

tensores

cual i t ati v/ament e . El ( ( a1 , a 2 ) , (b_L , b ? ))

real

a ^ .b^ +

ten so r

dan

uno

o p ue s t o

el

Estudiaremos entre

E m p e ce m os

por

Proposición t T(x,y)

que

a l gu n os

t e ns o r e s T£

V x , y feU

.- En

tipo

(2,0)

es

un

ten-

a x .b ^ a ^ b 2

(2 ,0 ).

t ie ne n

propiedades

de estos

ejemplos

que cumple

( (b1 ,b 2 ) , ( a1 ,a 2 )) p r o p o r c i o n a n pares

según

el

el

^ ^1 * a 2 ”^ 2 *al >r e s p e c t i v a m e n t e , otro.

tipos

encuentran de

Sea

de

a 2 ' ^ 2 9 P ero e s tos m i s mo s

se

de 0?

" d e t e r m i n a n t e 11 di una m a tr i z 2 2 un tensor IR x IR — ►IR

primero

del

ahora

los

= T( y , x )

y

“ a 2 ’^l

6.19.—

Demostración

como

, t a mb i én

se gu nd o

riantes,

K= IR) o el

dos

o r d i n ar i o"

( (a1 , a 2 ), (b1 ,b 2 )) i--- ►

a . d- b .c

que

son

con

euclídeo

considerarse

( (a , b ) ,(c ,d ) ) i---►

los

" p r o d u ct o

m 2 X ( R 2 --- ► £R ,

(2,0),

( ejemplo

el

tipo

n(^) ¿ ,U

especiales

de

t en s or e s

los dos e je m pl o s

cova­

p r e c ed en t es .

(2,0). : U x V ---K dado

V sea

. Entonces

fcTe

por

g(V)·

efecto,

t T(x + x' , y )=T(y,x + x· )= T(y,x) +T(y,x' ) = tT(x,y)

+ t T ( x ‘ ,y)

Análogamente t T(x,yi-y' )= tT ( x , y ) + t T(x,y· )

t T ( a . x , y ) = T ( y , a . x ) = T ( a . y , x ) = t T ( x , a . y ) = a . t T(x,y).

Definición

6.20.-

se le l l a m a En

el

los

c oi nc id e

Definición

t en s or

t ensor

e j em p lo s

con

" si m ét r i c o "

Al

su

t T d e f i n id o

t r as p u e s t o

de

precedentes

traspuesto

y el

y "antisimétrico" 6 . 2 1 . - Sea

s e g u nd o

en el

T £ * ^ 2 g(V)

Si T = ^ T , esto

es,

si

(2)

Si

es,

si T(x,y)

esto

T(x,y)

y

q

( v )»

T.

, tene mo s

(1)

T =-^T,

a Dartir de cada Te. ^ 2

es

s en t i d o

que el de

el

o pu es t o

= - T(y,x)

de

de

su t ensor

dirá

se dirá

que que

ellos

este,

la s i g u i e n t e

£ ^ 2 g(V)

= T (y , x ) se

p r im e ro

T es

son

: trasp u es t o. s i m é t r i c o '.

T es h e m i s i -*

métrico (3)

Si

o antisimétrico. T(x,x)=0

Uno de

piensa

de q u i é n

Proposición Si

sea

VxeV que el

(2)

pero

T(x+y,x+y)

Si

= T(x,x)

si

se

T(x,x)

tiene

2^0

M

en K,

T es

hemisimétrico.

T es

alternado.

T ( x+ y ,x + y)

=$>

+ T(x,y)

es

T(x,x)

decir

si

= 0

+ T(y,x)

Vx,yeV con

lo que

= -T(x,x)

carac(K)/2

2 .T(x,x) (ver

= 0

D e f .2 .2 1 ,

pag. 62)

= 0 base

ae V

i , j€ £ 1 ,2 , . . . , n^ j Q ( U)

así,"depen­

= -T(y,x).

una

que

^

■/■ 2

T(y,y)

o

Sea

Te

+

II

y no es

efecto,

V

o

alternado.

equivalentes

alternado

=0

T (x ,y ) = -T ( y, x )

Entonces

En

y cara c( K )

T(x,x)

T(x,y) Si

son

K".

T es

T es h e m i s i m é t r i c o

Demostración.-

y (3)

c ue r po

6 . 2 2 · - Si

d i re m os que T es

es

.S a b em o s

una base

(ver pag.

de

190)

) ' Para cac!a

^

tenen os

T = X.t. Entonces

se ve

qus

T es

simétrico

T es

hemisimétrico

T es

alternado

N óte s e

que

si

fci j

^

V i >j

~

4^ t__

\) fuese

un

^ 1 , 2 , . . . , n^ V i » j € ^l,2,...,nj>

= 0 e s p a ci o

v ec t or i al

que

t. . = - 1 .. = t.., de mod o que en este caso ij Ji Ji entre t e n so r es s i m é t r i c o s y h e m i s i m é t r i c o s .

Proposición

6 . 2 3 , - La

a p l i ca c i ó n

^ 2 ,0 ^U ^

verifica

*

*^2,0^

sobre no

hay

2/2. 2 r e su l ta " d is t in c ió n "

fc( T 1- T ' )

= t T + t T'

□ ara c u a l e s q u i e r a d e l e sp ac i o

T ,T

^ , V a ^K. n (V)* 2 ,U

; t ( t T)

Es

decir,

cuyo

= T

es un

i n ve r so

es

au toiror f i smo

el

mismo.

c o mo e j e r c i c i o . Si \J es el

6 .2 4 , -

e s o a c io

v e ct o r i al

sobre

S^(\l)

= { T£ ^ 2

/

T es

simétrico

H 2 (v)

= { t g ' S 2 , o {u) /

T es

hemisimétrico^·

A 2 (W)

= ^ T e ^ 2 Q (V) /

T es

a l t e r n a d o J-

Proposición

de

( a. T ) = a . S

v e c to r ia l

Demuestrese Definición

;

0^

S^(\l) , H (V)

6 .2 5 .-

y A 2 (V)

son

K o o n em o s

subesiacios

s e ct o r i a l e s

^ 2 ,0( U) ·

Demostración.H 2 (V)

5^(\l)

= - ^ T e '^2

=

r, c

T

/ T = ~ T^ = Ker

, £ xe^,

de

x^O.

1^^

x,ye V

base

de ^

expresiones

D e m o st r ar

{ ^ ® xi /

» \i d e f i n i d a

rango(f' )^1.

por

fijos.

y

de

^ ^9 y T ®x y

Se

n=di m

K

V.

t a m bi é n

que

si 'f(x)=l

posible

es

en co n-

la a pl i c a c i ó n

Pr ob a r

considera

f 1 (z)=T (x , z ) . y . P r oba r

Demostrar

¿es

considera

Se

que

i 9 j€· {l j · · rn J J 9

n^2

f ( z )=T( x>, y ) . z VzeV.

traz:a( f )= n . T ( x ,y ) si en d o ■■

=

y son v ec t or e s

ij

coordenadas

V.

a

n ^ ^ y sean 2,0 f : \l ---- ► V d e f i n i d a por

y que

ij

con ' f ^ x ='f>n ) t e n e m o s

(f (x ) , . . ,f (x )) = J Z (_1 1 n a>;y'·*a 2j

a

ani,»· ·> anj·»··»ann

ni

,. . ,a

11!

., . . , a nj nn

» a . a . j , . . ,aln . . ,a . a 0

.,a 0 j

= a .det a . , . . ,a . y ni nj

/ (i

3

nn

(i (j i a 1 1 , . ., al j , .. , a 1 .f .. ,a ln

(j

311 ’ ’ ‘ ,al i ’ * ' ,al j ’ ' ' ,aln a 2 1 ’ ’ " ’a 2 i , " " ,a2 j , ‘ ‘ ,a2 n

= -c!et

3 nii 9 · · 9a ni· 9 · · 93 nj _ ·9 · · >a nno // /

12 1 , #* ,a2 i ’ ’ * ’a° í > * · 'a-

B . >. · >3 . y ni nj

·,

y3

nn /

ni

/ a l.l,' - ’ali+ 2 I b j ‘a i j , , - ’aln det

i2 1 ’ ’ * ’a 2i+ 5 1 b j ,a2 j ’ " ’a2n

ni’

i» · a

.*4* / ni

b .. a .,··,< j nj

= det

1n

all

al 2

a 21

a 22

··*

a2n

a . ni

a

...

a

n2

nn

T en ie n do en c u e n t a nas

se puede

tiene las

una

de A, En

an á lo g a

la

al

pa ra

para

la m a t ri z

cu ant o

cua dra da, ne la

af irm ar

que

det

A = det A, l o

filas;

filas

que

resultante

cá l c u l o

así,

práctico

demostración

de la

por

d i ría

tiene

qu e

del

ejemplo,

: si

por

p o ng a mo s la

se i n t e r c a m b i a n

determinate 7.7,

colum­

propi ed ad

determinante

Proposición

para

-det

de

dos fi­ A.

un matriz

pag. 240 , contie­

sig ui en t e

Proposición

det

7. 1 0 . -

A =

creS

Por rema 7.9,

otro

A =

(_l)t

lado,

p a g . 242»

Proposición

det

Sea

como

det

7.11.-

ahora

proposiciones

Sea

A =

Para

^A en

(a . .)6 ¿ k .

’ al gu nos

7.10

vi rt ud

de

(4)'

del

Teo­

(k),

e n ton ces

. ....

V i € [ l , 2 .... n) que

se le

bases

B

ll ama

coordenadas

las

de

al

ecuaciones

los

de

v e c to r es

parámetros

dar les

cada

todos

v al o re s

se que

si U = [ 0 j no hay

den

con

las

Por donde que las

del

sea

(e^e^e^) U = 2 y que

b as es

B =

de los

las

de base

el

subespacic

es

I a base

las

que

(e ^ + e 2 ,0 l ” 8 3^

b l= ax +

b2= a;L b 3= ‘ a2

se

v ec t or e s

(ver de

de

de

ncs

las rían

x en B y

a ^ . j = l , 2 , . . . , m.se tenga per

U)

estas

ya

que

ecua­

de U en B 1 . O b s é r v e ­

paramétricas

oara

U

paramétricas

pag.

IR^( F) usual

(*U nc se

tie­

confun­

1 0 1 ). U=L ( «[e^ + e^ , e^-e^J) de IR^.

paramétricas

de u y B *=

a2

las

o b t i e ne n

or d e n a d a

ecuaciones

de

dimensión

ecuaciones en \l

n ecuaciones

es c a la r es

posibles

ecuaciones

) y si m=n

estas

de U re s p e c t o

a partir

núm er o

coordenadas

ca mb i o

e j e mp l o

B 1=

dim

base!

U en B*

igual

todas

n i ng u na

las

que

de B en B* . Les

(hay

los

x

ciones

ne

paramétricas

de U y B ' de U * . Nótese

las

llama n

las

E stá

de U con

(e1 »e 2 »e 7 ) de

cl ar o

r e s pe c to 3 ^ son

a

Uno ob te ner las

b^

nadas

pi en sa unas

que de

que

eliminando

"ecuaciones

nos

diga,

dos

parámetros

i n t r í n s e c a s " que nos

a p a rti r

x en B 1, si

los

este

del

vec to r

den

conocimiento pertenece

a^ * a 2 se P u e den una

r e la c ió n

de las

o no

a U.

entre

coorde­

En

efecto,

ob t e ne m os

bl + b3 " b2 = ° 3

de modo

que

(b^jb^fb^) bién

p o dem os

decir

pertenece

p o de m os

a U si

afi rm a r

una de

par ece base

f or ma

están

B*

un

subespacio

(ver

tener

i de á ti c as Dados B 1=

un

unas

pecto

a cada

b^ +

de

coordenadas

b^ - b^

=0.

este U ce

subespacio

de este

tipo

U de

por

las

hecho,pues 1/ como

no se puede

la

bases B de

s ol u ci ó n

deun

que

de

V ).

se hace

s i st e ma s

homo­ pue den

so lu cio nes .

subespacio

vec tor ial

U,

\l di re mos

dim U = m,

K

+

··· + r i n ‘b n = °'

r21-b l + r22 - b2

+

·*· + r2n - b n = 0 \

T-b.-f r 0-b0+ n-ml 1 n-m2 2

ecuaciones

. .. +

r

(o n i

i mc l íc i t a s

de

V/(K ) y una

que

rn - b l + ri2-b 2

(+)

.b = 0 n-mn n p a r a m é t r i c a s ) para U con

b .. x .

íri si

Da r a m é t r i c a s

si s t e m a

" d i f er e nt e s"

de

hacer

U y B'

en d e f i n í t i v a , l o

clar o que

( x, , x_ , . . . , x ) de 1 ¿ n

xfeU

tam­

V a par ti r

a B 1 si para

tiene

^ero

h ec ho efe q le las e c u a c i o n e s

determinados

x =V

se

si

x

cu an d o

del

p a c . 2 55) y está

r

Son

co n t r a

oreocuDarnos

vector

+ 2*3 - 2.b2 = 0

a s i g na r le

u nív oca (en

un

y sólo

\J unas e c u a c i o n e s

ce

géneo

base

al

unívocamente

No debe esdar

que

en

lo mis m o

2^ Así,

que

y sólo

si

1

1

( » . . · » b^)

verifica

(+).

res­

Nótese

que

estas

ecuaciones

subespacio

de V de los

ciones

sistema homogeneo

del

ne dim en si ó n de n-m

dado,

géneo

"ds

el

es

tanto,

subespacio

Un mé t o d o U de d i m e n s i ó n

to a la base

con

m puede

B'=

de

con una

x^U

Entonces

úni ca

que

el

B f de

el

notar

que

solu­

implícitas

co nst a

subespacio

U = |0j

un

sistema

homo­

inde­

( 0 , 0 , · · · , 0 ))l Por

ecuaciones

el

si U t i e ­

y n ecuaciones

s ol u c i ó n

n-m

U como

en B 1 son

\J, por

n incógnitas

de c a l c u l a r ser

coordenadas

ecuaciones

base

U = V no posee

práctico

Supongamos

conjunto

decir,

identifican

(4-) . Hay que ha c er

a c u al q u i e r

re s p e c t o

(por

cuyas

( i nd epe ndi ent es) .

Crame r"

pendie nt es lado,

m cualquier

ecuaciones

viene

ve c t or e s

implícitas

otro

im plí cit as.

ecuaciones

implícitas

oara

sig ui en t e:

tiene

coordenadas

(b, ,b_, . . . ,b ) r e sp e c1 l n V . En t o nc e s, c a l cu l ar las c oor -

(x . ,x_ ,.. ., x

) de 1 2 n cienadas ( a. ,a _ ·.· · ,a ) de x re s p e c t o 1 ¿ m de U eq u i v a l e a res o lv e r el si st e ma

a la base

B =

(y , »y ~ , . · · ,y ) 1 ¿ m

\ alm

a ll

tible

sa be mos

i

m /

~¡ue tiene

y determinado

b

a

nm

\ * m el cual

ai

(pag.

solución 256)

única.

n J Por

tanto,

y como

1

1

a. ........ alm 11

a i l ' ' ‘a im b l =

rango

rango

todas

las

j

submatrices 3

cuadradas

de

. . · · · · a. fa­ ll I m i

a 2 1 --- a2m b 2 a - .... a b ni nm n

tienen

que

a2 1 *'* a 2 m b 2 a , ... a b ni nm n

a „ ...... a ni nm l

será

tener

determinante

nule.

orde n

m+1

de la ma tr iz

compa­

Su po n g a m o s son l i n e a l m e n t e

que

las m p r i m e r a s

in d e p e n d i e n t e s .

filas

de la matr iz

( a_

)

Entonces

/ a 1 1 .... a , _ b

det

a ..... a

mi

a

.. . . a

m+jl

para

b

mm

= 0 m

. b

./

n-m

determinantes

.b

= 0^

mfjm m+j'

j = l ,2 , .. . , n - m . Calculamos

cada

uno

de

estos

+

....

+ r

r 2 1 'bl +

··'·

+

r . b

1 1 1

r

Obs ér ve s e

que

todos

co efi ci en t es .

los

Hemos

en

. . b. + n-m 1 1

ni ng u na

d em o s t r a d o

n-m n

estas

que

n

r2 n - b n = °

. .. + r

de

1n

obteniendo

Jd = 0 n

ecuaciones

son

nulos

simultáneamente

si

n x = >

b . .x .

— ; 1 1= 1

p e rt e ne c e luego

a U en ton c es

U está

coordenadas estas

i nc l ui d o

1

(b _, b _, . ., b ) s a t i s f ac e n-m ec ua c i o n e s lineales; 1 2 n en el su be s p a c i o ü' de 1/ de los v e ct o re s cuyas

en B 1 son s o l u c i o n e s

ecuac ion as. Su po n g a m o s

ahora

que

n x =b . . x . i=l

el

ant er io r

(b_ ,b _ ,. . ,b ) s a t i s f ac e 1 ¿ n

( all det

del

sis te m a

sea

sistema

alm bl \

a ..... a mi mm

b

un

= 0 m

\3 ..a .b i x rm-jl m«tjm nu*j/

homogeneo

voctor

de f in i do

por

de U 1 , e n ton ces

h om o g e n e o

y por

tanto

para

cada

j = l ,2 , . . . , n-m

linealmente

del

resto,

con lo que (ver

a

11

la

problema

.. . · a

lm

b

co l u m n a

de los

1 4 fpag.

269)

ds D sn d e es

decir

1

rango .a

ni4 y esto

implica

que

Consideremos

x £ U.

Así

nm

b

n

h emo s

\J = ÍR^, K = [R

p ro b a d o

que

U = U* .

y U = L({e^-

- V e3

B* = (B l > 82 f 83 ,84 ,e5 ) es la base o r d e n a d a usual B =

(e2 ~ e 2 ,e3^

U r e s p ec t o

0S una base

U y las

de

ecuaciones

J ) donde JR^.

Entonces

paramétricas

de

a B y B 1 son

bl = ai b 2 = - ai b 3 = a2 b4 = 0 b5 = 0 Para

o bt ene r

unas

ecuaciones

implícitas

pOflGíTiOS

/

\ 1 -1

rango

= 2 .

0 o o

Así

de

det

1

o

-1

0

o

1

re su l ta

4- b0 = 0

=

o

pa ra

U r e s p ec t o

a B

bien

!

o

0

0

m a t ri ce s

no

sac amo s

-1

0

0

1

0

0

de t

=

by 4

independíentemente

-1

0

0

1

0

0

Luego

unas

n in g un a

y no

ces

una

que

cada

Veamos t e r mi na n te s La

por

de

tación.

En

blar

"un

de

Luego

E nt o n c e s

= 0

b4 = 0

= o

t>5 = 0

in cl u ía n ellas

para

ni nc ú n daba

una

de estas

dos

sub-

tomamos

U son

luga r

de

ve cto ri al

con

dos

en t on c es la

cosa

y de

su

-v

se

ve cto ria l sencilla hay

po s ib l es

eligiendo

ya que

sabia

ento n-

i m p l í ci ta.

sofisticada

real

vect ori al de giro"

más

v ec t ori al los

ecuac icnes

r e a l .-

es

rect a

en las

e c ua c ió n

orientación

v ec t or ial ),

s e nti do

a una

en un es pa cic

orientación

un plano

pa r ám etr o,

aplicación

orientación

in t u i t i v a

la recta

i

b^.

b^ = 0 y b^_ = 0 a p a r e c í a n

c o i n c i d i e n d o j us t a m e n t e

base

ecuación.

i m pl í c i t a s

últ imo

una

los

b5

f o r m a l i z a c i ó n ) . En una

" r e pr es e nt a r"

sean

en un esp ac io

: la

noc ió n

b

i 1

b3

de

Orientación

0

b2 1

que

paramétricas

-1

b, 1 b

b2

ecuaciones

O bs ér v es e

de t

1 de q ui e ne s

b4

de t

' 1 0

rr 1 1

-i

b, 1 b2

0

1 0

o

Ahora

un

dos

no

representa

se c o m p l i c a Un

de ­

real. (no

tanto

su

orientaciones

sentidos.

vector

opuesto.

de los

Uno

nulo la

puede v (una

otra o r i e n ­

. Uno se nt ido

puede

ha­

de giro

viene

dado

al

considerar

una

base

i n d ic a r giro v^

que

tal

y lue g o

vl

Como

ordenada

nadas

segú n

representan

v e ri f i c a

representan Esto s ta de

la otra,

la m i s m a e je m pl o

orientación Sea

¿T

el

corno m e d i a n t e

una

re l a c i ó n

B* =

(

de

se

de

uso

de los nante

al

(ver

pag. 242 ) es cin

det

un

rf.(ly,B)

cualquiera

el

s e n t i do

encuentra

base

uno

ordenada

de

giro

de a

(^ 2 *^1 ^

inverso.

det

los

dan

in dic ar

que

si

dos

Por y

bas es

ejemplo,

orde­ la

base

(u1 »v 2 ^ y

efecto,

ordenadas p o de mo s

si

B =

y sólo

es. la mat ri z

v e c t o re s

de b'

tanto,

que,

como

e s c al a r

real

no

pues

este

úl t i mo

B de

si

definición

abstrac­

(x

de

V ( IR).

de fi n ir

en

,x 1 2

Vea­

t n

) y

si

,B ' , B ) > 0

reg u la r

sea la base

a una

sigue:

bases

B*v b'

p a g . 138 ) por

en

pie

como

las

En

que IYl(l ,B',B)

de una m a t r i z

se

s e nti do

determinantes

e q u i v a l e nc i a.

ex p r e s a r

de B

nos

todas

de

det Wl(l

obtenido

el

La

o ri e nt aci ón.

establece

, . . . , x 1 ) d e cim os

Recuertíese

elige

primero

de t0 ( - v 2 ,v 1 ) > 0

intuitivos que

el

Queriendo

or ie nt a ci ó n.

conjunto

mos

se

a v^.

me pue de

o no la m i s m a

ordenada

=

(v ,v ) ^ 0 uno pi e n s a que B 1 d e t e r m i n a n t e de los v e c t o r e s de una

el base

así

que

representa / /

B

ordenada

V).

nulo.

del

como

c a mbi o

combinación ,B * ,B ) es

de tIYl(1 sab e mo s

(T e or e ma

(No c o n f u n d i r

caso* det

Nótese,

de base lineal

el

7.9,(5)' ,

det ffl(l^,B',B)

IY1(1 ^ ,B ) = det

ad em as

determi­

1

= 1

que

det IY1(1 y >B 1 , B ) = d e t B (x* , x ^ , . . · ^ ) don d e dual

det

□

=

de B ( ve r Es ta

antes.

Es

y ( 0

det ΙΪΙ(1^,Β',Β)>0 e nt o n c e s

transitiva

det IYI(1

,B ,8 * ) > 0.

F i n al -

ya que

m ( l u , B ' , B ) . m ( l u , B " , B ' ) = ffi(lu , B " tB) y por

tanto det «i(ly,B ' ,B) .det m ( l u , B " , B ‘ ) = det Bl(l

con lo que me nt e

si

det Β Ι ( 1 ^ , Β ' , Β ) > 0

det «1(1 Así,

t e n d r em o s

c(B)

es la

Afirmarnos el em entos. e n ton ces

En

B no

un c o n j u n t o

clase

ah or a

está

Sea B =

, necesaria­

de e q u i v a l e n c i a el

sea

co n j u n t o

B =

y c(B')

del

co c i e n t e

(ver

Definición

0.4,pag .5)

B £ fe J·

( x. , x_ , . . . ,·χ ) otra 1 ¿ n

con

de

co c i e n t e

representada

t /„

c oc i e n t e

(χ^,χ^.-.,χ^

relacionado

c(B)

di s ti n t o s

/

que

efecto,

de e q u i v a l e n c i a mento s

,B" , B ,) > 0

,B" , B ) > G.

t//v=(c(B) donde

y det Bl(l

,B'',B)

B f . Lue go

y

base

(ver

sólo

al me nos

las

clases

B y B 1 son

. Por

dos

(-χ ,χ^,.,.,χ^)

Proposición

ordenada

det (Yl(l ,B * ,B) .det IYI(1

tiene

=

representantes

C /{V

por B.

0.1,

dos

ele­

pag.

4).

la f ó rm u la

,BM ,B 1) = dtt "(1

,BM ,B)

d e du c im o s det «1(1 lo cual

demuestra

Definición

7.18.-

dos

de

cl ases

c(B) llam a

a todas bases

nada que

,Β " , Β 1 ) = -det

que

o .bien B'VvB

Una

orientación

equivalencia las

bases

ordenadas

re p re s e n t e

de

,B 11,B )

o bien B'V\JB'. de \J ( IR)

t /r j

o r de n a d a s

IYI(1

. Si

que

es

cualquiera

el e gi m os

representen

p o s i t i v a m e n t e : a c u a l qu i er

a la

otra

clase

de

de las

una o r i e n t a c i ó n tal

clase

otra

equivalencia

se

base le

se les ordenallama

base

ordenada

negativamente

par

(\/ ( IR),c(B))

una

orientación La

base

donde

usual

B de (R

(e^e^e^)

de fi ne

B^=

(u ^ju ^ju ^)

es

nante

un

v e c t or i al

es p ac i o

orientado

v e c t or i al

real

es

un

y c(B)

define

otra

que

orientación

o r de n a d a

B si y sólo

y la otra

„ "orientación

la

de

3 usual "

posible IR

de ÍR .

3 IR . Si

de

entonces

B^

defin e

la

si IY1(1

3 ,B ,B) tiene d e t e r m i n a n IR 1 si IYI(1 (0 3 »B,tB) tiene d et e r m i in 1

orientación

negativo.

Definición ción

la

3

otra base

orientación

te po si t iv o ,

'J( ÍR) es

esoa ci c

suya.

i B =

misma

. Un

c(B)

7 . 1 9 . - Un si l le v a

automorfismo

bases

f de V ( IR) c o n s e r v a

ordenadas

positivas

en

la

bases

orienta­

or d e n a d a s

pos iti va s . Proposición si

det

7.20.-

demostración det

es

un grupo de las

una

delas

una m a tr i z bas es

fácilmente

de

IY¡(f,B) = ds t NÍ 1

matrices

Además, o bj eto

uno a \¡ (

un

matrices

que en se

Aut

\j

( det

r e g ul a re s

+ (n, IR) = |

positivas

(\/,c(B))

to es

deduce

Aut ^\/ =

de cam bi o

Nótes e par

se

f = det

G1

bia

f conserva

c (B ) si

y sólo

o b s e r va r

que

,B 1 ,B)

(x,,x ,...,x ) es B'= (f (x ),f (x f (x )). i ¿ n i ¿ n c o n j u n t o de los a u t o m o r f i s m o s que c o n s e r v a n la o r i e n t a ­

subgrupo

cada

. E nt o n c e s

si B = El

ción

f e Aut

f> 0 . La

donde

Sea

de

en bases

El

correspondiente

es

Gl(n, R)

G1

de base

f>0^J·.

| det A > o |

n , IR) se (por

ser

pu ede

reg ular)

positivas

interpretar

y ademá s

y negativas

en

que

como

cam­

negativas.

(ó Aut .í \J) de s c r i b e la " g e o m e tr í a" del IR se nti do que Gl(n, IR) lo hacía de \l ( IR).

G1 ^*(n, IR) el mis mo da

cuenta,

IR) el grupo

s u b g ru p o

de de

nuevo,

cada

vez

que

transformaciones

que

conservan

de Gl(n, IR)

que

(ó Aut — V). IR

Esto

se

añade

da pie

tal

un obje­

a pensar

que

debe

obje to s rev/és) fine

h abe r

el

su b gr u po

del

det A;

A£Sl(n,

R),

Ese

que

det

s ub g r u o o s

Por

de

Gl(n, IR) y nuevos

e j e m p l o ,(ah or a lo ha c em o s

e s p e c i a l ” de Gl(n, IR), IR)

homomorfismo

/

det A = lj.

de gr u p os

como

lo

adivina

uno

que

las

f* T =

(det

f = 1 ^ .^ f*

aplicación

decir,

m a tr i c e s

a la

de f i n i c i ó n

f)..T

, t/Té A ( 1Rn ). n i d e n t i d a d de A ( (Rn ), n T ^ T , es decir,

y sólo si c o n s e r v a un T á A,( ÍR ) n n o una base de A ( IR ) que es lo que se ll a ma un e l em e nt o n sobre IRn ( IR ) . es

Sl(n, [R)

la o r i e n t a c i ó n

si v u el v e

de un e n d o m o r f i s m o es la

que

Gl(n, ÍR) --- ► |R-{c},

det:

automorfismos, conservan

algo más

al

Sl(n, IR),se d e ­

Nóte se

Sl(n, fR)CGl^"(n, IRJ.Oe'modo

m i ra d as

determinante

De modo

V ( IR).

" lineal

y que

y "algo más". de

sobre

entre

Sl(n, IR) = | A £ G l ( n ,

nú cle o

A i--->

biyección

geométricos

oor

es el

una

si

de

volu men

PROBLEMAS 1.- Sea que

V un

ex is t en

\J = U ®

es p ac i o dos

lü --- las

f (x)

= f (x )

1

K y sea

v ec t o r i a l e s

f*(UJ)CUJ;

r es p e c t i v a s Vx£U

sobre

f 6 End

U y 111 de

y representemos

restriciones

y f . ( y ) = f(y)

V. S u p on g am o s K 1/ tales que

de

f;

\/y€.Ui.

por

es

: U --- * U

f

decir

Prob ar

que

det

f =

2

= (det

flf

f^ ) .( d et

y C d c / Ti ^ K)

2.-

su b e s p a c i o s

UJ y f ^ ( U ) C U ,

y f^J

es

ve cto ria l

(det Sea

el

Como

determinante

A ) .(det V(K)

d s mo st r ar

pr ob a r

(f(x),f* (x ‘ ))

que

de la m at r iz

esp a ci o s

aplicación

\1 xV 1 (ver p r o b l e m a rior,

d e m o st ra r de

que

orden

si A € ^ b ^(K)

n-fm

^g |

q

j

C )·

y V 1 (K)

que la

(x,x* ) »--- >

consecuencia

su

n2

5,

vectoriales

V x V 1--- ►

es un

es

f £ End

K

V , f*£ End

K

\J x V* dada por

endomorfismo

pag. 103 ) y,

determinante

y sean

del

aplicando

(det

f) .( d et

es p a c i o el

vectorial

D r o b l e m a ante­

f 1 ).

U*.

dado

por

f (x + U ) = f(x) 4- U.

Pro bar

que

f es una

aplicación

y que mj

es

lineal.

Apl ic ar el

Demostrar

esto

para

determinante

pr oba r

de

al

determinante p r o ba r

que

IR).

cuadrado

i8

mostrar

t a mb i én

Qor A +

iB

es

que

I

i-------->

5.- C a l c u l a r

que

del

los

m

que

nú me ro A +

si

es

un

det / ?,J ^ I 1 \-8 I A

c/%

(

y sólo

de

las

=

al

(A +

el

para

regular.

--- > Gl(2m, IR) de

i B )|

ca l c u l a r esto

es

C)

f).

(det A ) . ( cet

A p li c ar

C )).

f ^ ). ( de t

y Ctc/t(K) n

|det

obtenido

si

Gl(m,

(det

Bec/fc (K) m xn

monomorfismo

determinantes

f =

precisamente

complejo

iöe

det

(K),

\ o' |c/

aplicación

w ]

cum ple

fíL-JLj es

r eg u la r

la

se

si

P r ob ar

de la m a t ri z

A +

que

la ma tr i z

m (el m ód u l o

tam bi é n

De-

dada

grupos.

sicuientes

matrices

reales

Gener al izar. a a 6 .- D e m o s t r a r (o in fer ior ) producto

Pro ba r

4 sobre que

problema

de que

Ver

n^ de

para

regular.

si A =

que

Dar

14.

de una m a t r i z p a g . 1 5 6 ) se

su per i or el

so lu c ió n

su p er i or

explícita

pa ra

la

antisimétrica

de

sea

una ma t ri z

como

una

triangular

expresión que

ob t ie n e

Encontrar

una ma tr iz

una

triangular

regular.

1J

det A =

pag.

3

di agonal.

(a. .) es

K se v e r i f i c a

ID,

2 2 2 b c d 3 3 3 b c d

dia go na l

2

det A =

si A es una mat r iz

prob.

21, su

una m at r iz

c a r a c ( K ) ^ 2 , en to n ce s

(*)

determinante

elementos

sea

inversa

Demostrar

orden

el

y suficiente

(o inf er ior )

7.-

(ver

de los

necesaria

m a t ri z

que

2

(ai 2 * a 34 ” al 3 * a ?4

antisimétrica 0.

de

orden

ai 4 ’a 23^

impar

sobre

* K,

B.- Ca l c u l a r

0

el

1 0

rango

de las

si g u i e n t e s

1-1

1

3

2

1

2

2

-1

0

/

2

1

6

de

nú me ros

04

3

-1

-2 -2

-6

9.- U t i l i z a n d o

el

los

c on j u n t o s

t e or e ma

del de

rang o

(Te o re m a 7.15,

v e ct o re s

de

pag.

IR) son

245)

o no

ver

si

ind epe n-

{ ( l ,-1 ,2 ,0 ), ( 1 ,0 ,1 , 2 ),( 1 ,0 ,2 ,1 ) , ( 0 ,-1 ,1 ,-2 ) }

di en te s

((1 ,1 ,-1 ,1 ),(1 ,-1 ,1 ,1 ) , ( - 1 ,1 ,1 ,-1 ),(1 ,1 ,-1 ,-1 )} 1 0 .- D i s cu t ir

3. Xl

y re s ol v er

- 2. x^ + +

4, 2 -

D i s cu t ir

s i s t em a

los

12.- Se

para

X1

sobre

X1

+ a . x 2+ x 3 +

x4 = a

X1

+ x 2 + a . x 3+

x^

X1

+ x2 +

consideran

los

2.

+

= 0

de p a r á m e t r o

real

a el

IR =1

valor

IR

- 3 . x 3= 4

4-

val or es

x^ +

algún

sobre

.

- 3. x^ -f x3 = 1

■2.X jl

d is t i n t o s

+ x^ 4-

sit ema s

X1

=-4 /

de e c u a c i o n e s

R e so l ve r

siguientes

5.x3 = 3

según

a.x^

los

x^ = 1

- x 1 “4“ 3 . x 2 411.-

reales

1

1 3

si g u i e n t e s

4

ma t r i c e s

= a2

x3 + a *x^= de

a que

subespacios

el

s i s t e ma

sea c om pat ibl e.

vectoriales

5/ » F? ( R )

de

U = L ( {(1,0,-1,2,1),(0,1,1,2,0),(1,1,0,4,1)J ) m = L ( f (2 ,1 ,-1 ,6 ,2 ),(1 ,1 ,2 , 1 , 3 ) , ( 1 ,1 ,1 ,1 ,-1 ) , (1 ,0 ;0 ,0 ,1 )} ). Ha l la r 13. una

ec u a c i o n e s

Se base

paramétricas

consideran de

V un esp ac i o

\l y los s u b e s p a c i o s

u 4-2u + 3 u + 4 u

, u — 7u — 6 u +u

pl í citas

^

Ca lcu la r

e i m pl í ci t as

+ b2 + ^

v e ct or i al

real,

vectoriales

^ ) y UJ dado

de U H Ui B =

de \l por

las

y

U + UJ.

(u ^ ,u ^ ,u ^ ,u ^ )

U = L( j|u^-u2+3 u^ , e c ua ci o ne s

im-

= o

3b2 + b3 + b4 = 0 ec u a c i o n e s p a r a m é í r i c a s

e i mp l í c i t a s

de U A lli

y

U 4- Ui.

14,-

Se a

A

ai l ' - " aim+l\

(

= ■

..................

det f a i l ’ " ’a^

3nl ’ ‘ ' a niTi+l

que

det

j

U

0.

V ail ’' * ’ armr

raM “ ,aim Supongamos

con

n>m

,

3lm+l

' mi * * * mm

'

V j = l , 2 , . . ,n-m.

\= 0 m m +1

3m+jl * am + j m am + j m + 1/ Pro ba r

que

Ptc ba r

iiue Aut ^

1.17,pag que

G1

rango

+

3 0 ) . Sea

(n,IR)

ordenada y sólo

(A)= m

\J un e s o ac i o

15.-Sea

de

es

(In dic aci ón,

v/ectorial

V es

un

su b g r u p o

Gl^(n, R) un

normal

normal

que

si íYi( f ,B ) € G1 "*"( n , IR).

de

par a

un

por

Definición

A > 0 1 . Demostrar Sea

tiene

último,

B una

base

f e Aut^l/

que la

iso mo r f ismo

e sp a ci o

v e c t o ri a l

real

de

gruoos

( x , fx_ ,. . ., x ) una base o rd e n a d a 1 ¿ n De m o s t r a r que ex i st e una únic a base

V.

de

\J ( ÍR) tal que IYI(1 lf,B 1 ,B ) = P y adem ás n u o r i e n t a c i ó n qus B( ver pag. 143)· P a r t i c u l i -

B 1=

de fin e

si

aplicación

Sea P € G l * ( n , IR) y sea B =

ordenada B*

Aut ^\i(uer

p \1 se

f £End

Probar,

filas).

A ut ^ V = {f £Au t^v /de t f > 0^.

de Gl(n, IR).

Aut^ V ■ G 1 ^ ( n , [R) , f i--- ► fifi( f ,B ) , es un IR (ver P r o p o s i c i ó n 4 . 2 9 , pag 141). 16 ,-

por

IR y sea

= ÍA e G l( n , IR) / det

su b g r u p o

V ( [R ) . Pr oba r

razonar

sobre

( x ', x i ¿ en \J la mi s ma

x

1 ) de

3

zar

al

caso

\l = IR , B = (e

P = I0

17.- a)

Sea V(K)

D e mo s t r a r ahor a

F(x)

det

=

,e

),

la base

O I

£

Gl + (3, IR)

v e cto ria l

(det F).x v ec t ori al

de A (V ) in d uc i do

n

f = det

1

e s pa c io

\I es un es pa cio

morfismo que

que

un

,e

por

con

y

V = 1 y sea F eE n d \J. K K c o n s i d e r a fC-End V, donde

dim

Vxe V .

b)

sobre

K con

f (ver

usual,

Se

K

dim

K

Definición

V = n.

7.2,

Sea pag.

f

el

236).

endo Pro ba r

f. 3

18.- E n c o n t r a r f(e^)

= e ^ , det

un e n d o m o r f i s m o f = -1

y t r a za

f de IR (IR), f = 1.

si

es

posibl e,

que

cu m pl a

19.-

Pr ob ar

Probar

que V a c K

tam bié n

que

y VAcJ^

(K) se n ) = a .

det(a .I

tiene

det(a.A)

= a R .det

A.

n 20.- Sean det í =

A€c/Í> ^ (K),

(det

A)n

n * 2 , y A la ma t ri z Pr oba r

ta m bi é n

adjunta

que

es

de A.

regula r

P r o ba r

si y sólo

A

lo

es A.

Cu an do

Sea

para

todo

grupo

multiplicativo 22.-

A sea

ae(R existe

c o c i en t e

reg ula r

ob te ner

feEnc^ V

real

A€c/^f>n (K).

G1 (n,!R)/Sl (n,(R)

con

(ver

expresión

p ar a A

dinr^V = n*l.

que

pag.

det 266)

De m o s t r a r

f = a. es

Pro bar

i s o mo r fo

que

que

al

el

grupo

(IR-{0} , · ).

S u po n g a m o s

det A = det

una

de m a n e r a

\l un es pac io ve ct o ri a l

Sean

si

A —1

\J un es p ac i o vec to ri a l

21.-

que

que

f. ¿ P od e mo s

rango

real

con

din^V = n f feEncj^V

A = rango

a se gu r ar

que

f,

exist e

tr aza A =

y

t r az a f y

una base 8 de

V tal

que IY1( f ,B ) = A ? 23.-

a)

Sea A€c/£ (ÍR).

que

e xi st a B€c/^(íR)

que

no

tal

\l un espac io

exi ste

jeEnc^V

de V(tR) es par l e cc i ón

pag.

= -

usar

det A > 0 .

joj =

generado.

De m os t r a r

7.6)

para

b)

Pr ob ar

1^.

f i ni t a m e n t e

Teorema

necesaria

(ver

prob.

S up o n g a m o s

que

la d i m e n s ió n

3 y prob.

Ae V

aj (ver +

Proposición de

\J

t / j e / l ,2....... «n-l V 1 J

= /0 }

aj f i 3.12)

puede

\I

que

el

escribirse

\l

ar

Proposición

8.12.-

Sea

f

un

endomorfismo

subespacio

de

n (K). --------------------------L a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a v1----------suficien---------te para

que

A sea

( l ) 1 La una

tantas

diaoonalizable

ec u a c i ó n

veces

como

es que

p ^ (t ) = 0 tiene su m u l t i p l i c i d a d

se v e r i f i q u e

n so lu c i o n e s ind iqu e

:

(co nt ad a

) en K.

cada

(2)

Pa r a

se c u m p l e

dimV

K a

N ó te s e reg u la r

de

columnas

cada

que

valo r

= multiplicidad si A

o rd e n

(

K

a da A ( s o l u c i ó n

diagonalizable

que P

de A,

-1

que

resultante

a .1 1 m. 1

es

.A»P es

v

ü)

=

n

forman del

y P es una m at r i z

d i ag o n a l una ba s e

tendrá

por

de K R , y

tipo

\

0

0

de P A (t)

de a.

es

K tal

propios

d i a go n al

/

)

°

n sobr e

n vectores

que la m a t r i z

propio

V 0 •

que

es

\

única,

Corolario

0

sa lv o

8.17.-

una

a

reordenación

Sean A

B dos

gonalizables. Entonces A x

r

.I

de las

matrices

B son

m submatrices

de

ord ^n

semejantes

si

a..I

1

n sobre

v sólo

iTI.

K di a-

si

PA (t) Demostración.racterístico

Si A y B son

por

la

semejantes

Proposición

t i e ne n

m

por

tanto,

ello A es

A y B son semejante

Algunas Se a b u sc ar

aplicaciones

de la

\1 un e s p a c i o v e c t or i al

condiciones

diagonalizable Ad emá s,

si

suficientes

ner

cad a

1

a^

una

raiz

m .( a -

t)

¿

a la m i sm a

m . . . ( a - t) r

t)

ma t r i z

r

di ago n al

y por

r

tiene

son l o s una

d i a g o n a l i z a c i ó n .sobre sobr e

cuadrada

y sea .B una base

a.,.··,a

ca ­

a B.

h·h = f (h se l l a m a

que

semejantes

polinomio

8 .8 , pag. 278 . R e c i p r o c a m e n t e ,

(a l

P A ( t ) = P B (t)

igual

de

f par a de

f).

V formada

f € End

que

K

\l.

exista

Vamos h é End

Supongamos por

que

vectores

de

f,

vamos

c u a d r a d a ” en K;

ss

decir,

valores

"raiz

K v sea

Dropios

a

K

V:

f es

propios. a suooque

po-

demos

encontrar

K con

ejempl o,

si K = IR eso

siem pr e)

. S ea h el

base

B,

IYl(h,B),

es

b^.b ^

ocurre

ún i co

Vi

=

cuando

a ^ > 0 ; par a K = C

endomorfismo

d i a go n al

de la

£ { l ,2 , . . . , r

de V(K)

(por

eso

oc urr e

cuy a m a t r i z

en la

for m a

\

b. .1

m.

1

i

b2 - V

b

a .1 1 m, 1 0

r

.1

m

0

7\

3O ¿ ·1m _

•il( f ,B ) a .1 r mi

Como

7

ten emo s m( h„ h , B )

= rn(h,B) .ltl(h,B) = m(f ,B)

h.h = f . La

ve rs i ón

diagonalizable en K e xi s t e Sea

gen eral, mentos que

n

sus

A £ c/%

(K)

A m la cosa no será

no

afirmaría

v a lo r es

propios

y m€ 3 ’ . E s t á

se c o m p l i c a

posible

que

si A € Jc^ví?n i (K)

t ien en

una ley

de A y del

y ve amo s

importando

cla ro

si m as "muy

encontrar

de los

diagonalizable

se nci lla ,

de esto

"raiz

es

cuadrada”

s C. C = A.

(K)

de Am a par t ir

A es

ma muy

y todos

C €. A

ah or a

de ca l c u l a r

ma t r i c i a l

como

qu ien

que

si

grande ",

que nos

e n t er o

m.

En

preten­ además, en

de los

Vamos

A™ se c a l c u l a sea m.

uno

a suo on e r

ah ora

efecto,

ele­

sea

de f o r ­

Pé:Gl(n,K)

tal

qus

P ‘L.A.P = D s i e nd o

D una m a t r i z

di ag on a l.

En­

t onc es

A = P . D . P _1 y

A m = ( P . D . P - 1 ) . ( P . D . P _ 1 ) . . . ( P . O . P - 1 ) = P . D m .P_1 donde

la m a t r i z

v and o

a m"

re g u l a r

los

es di ag o na l

elementos

y p es e n t e r o

Repitiendo cular

D™

el

proceso

y se

de la

o b ti e n e

dia go n al

de

de D.

negativo

tendríamos

anterior

para

A °=

D simplemente Si

ad emá s

A fuese

(A ^ ) m do nde

A ^ en lug a r

"ele­

m = - p f 2^.

de A p o d e m o s

cal­

AP .

PR O B LE M AS

1.-

Sea

que

0 3 s un

valor

2.-

Si a es m ^ a ,m£í

un

que un

f un

endomorfismo pr o p i o

valor

, es

automorfismo

un de

de de

p ro p i o valor

V(K),

un

es p a c i o

f si y sólo de

un

propio

ve c t o r i a l si

f no

es

V (K).

Pr ob a r

in ye ct iva .

e n d o m o r f i s m o f de V(K), pro ba r _m / _ (m _x „ de f ( = f a r. .*f). Si ad e ma s f es

demostrar

que

aP , p £ í - *f o Jf es

un

valor

□ p r op i o 3.-

de

f .

Determinar

guentes

los

matrices

v ec t o r e s

propios

y v a l o re s

propios

de las

si —

r eal es /-1

1

0

0 - 1 1 1

¿Calcular guna

que

derarla

cual no

en

sea

de e l l a s es

diagonalizable

diagonalizable

0^3 (O?.

0-1

en

< fC z ( íp)

en A . y si lo

JR)?. sea

¿Ha y al

al­

consi­

i a J % m (k),

4. - Sea

J%

ft'e

Se c o n s i d e r a la m a t r i z

, J K ) mx ( n- m )

s o br e

K de

y a'Ie

or d en

^ < K)· ^ -m ) x( n -i n j

n

ffl = Demostrar los

que

el

polinomios

pag.

polinomio

característico

característicos

de

de ffl es

A y A*1. (Ver

el

producto

orob.

3,

de

pag. 267 y

283)·

5 .- Dar

tres

ejemplos

pectivamente,

por

endomorfismos

polinomios -(i

(i - t r

de /R^(

A de ord en

- t r . d

n sobre

/

0

IB)

que

tengan,

res­

característicos +

(1 - t ) . ( t Z +

t)

nS 2 , K un cu e rp o y a ^ a ^

6 .- Sean ma tr i z

de

n-1

6 K.

Demostrar

1) que

la

K

0

,

1

. 0

\

0

A =

0 -a tiene

polinomio

x =

si

= (-1)

a 6 K es un valor

( 1 , a ,a ^ , . . . , a R ^)

característico

a los mi s m o s Con

ello

8 .- Pr ob a r tico

las

que

f ó rm u l a

a n ál o g a

pendiente

para

n-1 el

de A de

v ect or valor

p r op i o

a.

que

v e ct o r i a l V (K) y sea t f y f t ien en el mi s m o p o l i n o ­

subespacios de f y V

de

2 y de o rde n de o rd en

cualquier

\J y V* c o r r e s p o n d i e n t e s

ti en e n

la m i s m a

si y sólo

de la pag. 279 pa ra

para m a t r i c e s

de P ^ ( 0

entonces

p r o p io

f es d i a g o n a l i z a b l e

de orden

a

e s p a ci o

P ro b ar

p ro p i o s

fó r mu l a s

de m a t r i c e s

de un

+

a 1 .t+

de A,

vec t or

y que los

va l o re s

p r ob a r

.( aQ+

propio

es un

7.- Sea f un e n d o m o r f i s m o t * f 6 En d^ V su tr a sp ues to. mio

.-a

a. -a 1

o

característico P A (t)

y que

. 1

el

si lo

polinomio

3.

Generalizar

4.

¿Quien

A€/^(K)?

dimens ión .

es

el

es

^f.

caracterís­

obteniendo té rm i no

una

inde­

9.-

A partir

de

or de n

10.nea

del

problema

anterior

2,A con

det A < 0

es

, pro b ar

que

to da m a t r i z

real

diagonalizable.

Sea Aec/'fr (fila

Po ner

( IR) tal que la su m a de los e l e m e n t o s de cad a li n y co l u mn a ) es 1 . D e m o s t r a r que 1 es un valor p r o p i o de A.

al gú n

ejem plo .

3 1 1 . - Se T

=

H

B* =

considera t'.V’J » J

el

B.

te ns or

dond e

(f1 ,^2 ,^3 )su

dual

T de

B =

en

(e

(

tipo

,e ,e J. Z

ÍR3 )

(1,1)

so br e

) es la base

y t¿ = i +

j

J P r o b ar

que

T = ^

t\ ^ . y

y dond e

existe

una

®

base

B =

e'^ , si en d o

t j 1 = 0 si

=

de

(

i / j (T se pue d e

usual

V i ,j IR

6 fl ,2 , 3^

por

y

.

y tal

, 1P*3 ) la diagonalizar

3

de

3

(e^e^e^)

B

IR ( [R) dado

que

base

en

el

dual

de B

sentido

de

la pag. 2 75 ) 12.-

Demostrar

si flecÍ K 2 { IR) e n t o n c e s

que

A2 -

( tr aza

13 .- 5 e a A €e^(IR)

que

(usar

an ter i or ) .

que to

el o

problema

A =

det

Sea A =

3

C 6

Sea

-i

encontrar

problema

23,

( C ) tal

A =

det

A€c/^(tR)

= 0.

A = 0. que

es l i n e a l m e n t e

Pr o b a r

c ump le

que

A^ = 0.

independiente

A^ = 0. Demostrar

y oor

ü\

( 3-2-1

lo

ver

tr a za

(det A ) .I ^

A = 0.

íl

posible

crumple

A = 0 o bien

tr a z a

14 .-

A).A +

) £ c /%

y A

7 . ¿Es

iy

B 6c / ^ 5 ^ ( P) página

que

( IR). C a l c u l a r A* “

tal

que B" = A ?.

27D)

= A ?

. ¿Es (ver

pag.

286).

(Indicación

po s i b l e

:

encontrar

tan­

15. -

Sea

f un e n d o m o r f i s m o

Si su e c u a c i ó n p ro ba r

que

de

un e s p a c i o

característica

e x is t e

una base

p^(t)

vectorial

= 0 tiene

o r d e n a d a B de

l·11 o nr(f ,b > =

12

al rA

22

2n

\/(K),

n=dim

n soluciones

V tal

K

V.

en K,

que

nn dond e pios

los de

elementos

f.

de la

(Indicación

di ag on a l

: utilizar

de IY)(f,B) inducción

son los sobr e

va l o r e s

pro­

n).

2 Se =

considera

(-2a -a

posib le,

,a

el

f de

ÍR ( F)

dado

). ¿ Es

una base

d i a g o n a l i z a b l e ?. Si no lo 2 B de IR donde IYÌ( f ,B ) sea del

16. - Co mo

aplicación

A €j^(C )

(cjue ti ene

del

endomorfismo

del

problema

n v al o r e s

anterior

propios

f(a^,a2 ) =

es e nc o n t r a r , tipo

pr o ba r

en ([jes

por

si

es

ant erior.

que

ca da ma t ri z

semejante

a una

(*)

tipo / a ll

o

\

*12

ln

22

2n

\ o donde 17.-

los Sea

escalares

f un e n d o m o r f i s m o

Demostrar f.

Z

que

verifica

y f = f^ +

(x)

Dado

tiene

existen

se

^

de V(K)

^ 2 € ^ nclK^

son los que

un p o l i n o m i o

n soluciones

p(t)«CCt3,

en C,

(\le a s e

de

valores

tiene

tales

que

f¡? = f (f es el e n d o m o r f i s m o 2 o o f ^ - Í A p l i c a r el p r o b l e m a 15),

su m u l t i p l i c i d a d , que

de la di ag on a l

grad o

n v a lo r es f^

el

II de la obra

pa ra

.

di agonal i z abl e ,

de \l y n = di m V ) K

tantas

una p r u e b a

de A.

p ro p i o s

n v l , la e c u a c i ó n

cad a

da en la B i b l i o g r a f í a

es

nulo

co n t a d a tomo

una

propios

veces

p(t)

como

de Mac Lañe, de

este

= 0

ind iq ue Birkhoff

res ul ta do ) .

10.- Para los

ca da

v a lo r es

A e / £ _ (K), a€K, e n c o n t r a r qué r e l a c i ó n n p r o p i o s de A y de A + a , *n ’ D e m o s trar que

gonalizable

si y sólo

19.-

explícitamente

Probar

lo

vectores

propios

ca da

correspondiente

uno

es

los

Sea

que

si

ún i c o s

valores

a un

dia­

f de un

valo r

p r o p io

A^ =

(el

V (K),

entonces

Demostrar

y

A € i/í’ (C) que c u m p l e A^ = -r.I , r e ÍR, r > 0 . D e m o s t r a r n n ún i co s va l o r e s p r o p i o s p o s i b l e s de A son i . \ í r e -i. v’r.

Probar

que

22. - Se a A Demostrar P r o b ar 23.-

A es

diagonalizable.

que

A es

P r o b ar

que

la ú ni c a

as

diagonalizable

b)

P r o b ar

que

la

ss

prob.

A =

diagonalizable

24.-

Par a

matriz

dado

por F(X)

= A.X

polinomio

Ac A .

0 ( co m p a r a r

es A =

ca d a m a t r i z

el

d i a g o n a l i z a b l e . ( Ind.

única matriz

y es

Calcular

ver

32,

pag.

154).

pag.

157).

(K), K = IR o C , que cum p le A^ = r.A, reK, r ^ 0. n que los ú n i c os v a l o r e s p r o p i o s p o s i b l e s de A son r y 0.

ta m b i é n

a)

(ind.

9,

P r ob a r

21 . -

los

prob.

-Vr.

que

que

que

ver

de

caso m = 2 est á

de A son \fr

(Ind.

vectorial

d i s t i nt o ,

r e (R , r>0.

posibles

diagonalizable.

espacio

c o n Ju n to

también Sea

A es

cumple

propios

A es

0S un

de un e n d o m o r f i s m o

A é < / ^ n ((R) que

entre

A + a # *n *

|x.,...,x \ es l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e i- 1 mJ p r o b a d o en Prop. 8.11, pag. 280). 20 .-

hay

I

n

con

n

ver

(IR) que prob.

prob.

2,

cu mp l e

25,

pag.

pag.

^

152).

= □ y

156).

A e (f t C

(tR) Que c um o l e A~ - 2 . A + I = n n ( c o mp a ra r c o n e j e m p l o 3, pag. 273).

A€YL i=l

o bién

taci ón

por

q (x,y) s

que

re s u l t a que

en

el

(Rn el

ten so r

+ ¿

g

dado

por

®'fj

j=s+l

s = - / a..b. + c.— , 1 1 1=1 e j em p lo

n ^

a..b. (con la m i s m a , J J j=s+l J J

precedente)

para

ca da

no-

s £ £ l ,2 ,·.·,

g

es una m é t r i c a , e u c l i d e a si y sólo si s=0. Así s ( (J?n , g 3 ) es un e s p a c i o v e c t o r ia l metílico, eu c li d e o si y sólo si s = 0 . 3.

el

tensor

Sea A una m a tr i z g^

sobre

IRndado

por

simétrica

de or de n

n sobre

IR. E n t o n c e s

es

simétrico

( ver pag.

dea en ge ne r al ) 4. con

Sea

so bre

IRLxl

coeficientes

el

207) .

Por

ta nto

g

n

es

una

métrica

(no

eucli-

IR . espacio

reales.

Se

v ec t or i al ds f in e

de t odo s

los

g(p(x),q(x))

polinomios

=

p ( t ) .q ( t)

dt

Jo pa r a g

p(x)

, q(x)€lRCx]es

, es el

n úm e ro

polinomios

si

real

e nt re

p ( x ) e lR[x]

entonces

= 0 4=>

sólo

es

5.

g(A,B)

obtenido

En

el

n

p (t )=0

polinomio

tAB

una

integrar g es

producto

una m é t r i c a

=

f1

\ p(t) o

pa ra

2

sobre

y esto

según

de

estos

IRÜx]

dt & 0 ,

ca d a A, B

a. ..b. .€ IR ,

A =

n

(a. .)

iJ

J

rétrica

el

y q(x)

ade m ás

ocu rr e

si

que

g(A,A)^0

,

B =

(b. .).

ij

sobr e

Vi»j£ £ l , 2 ,...,n| Por es

tanto, un

(IR)

una

Si

bién

podemos V^

g es

sí

sobre

métrico

y com o

ij q (A ,A )= ^

a? .

de

sí y sólo

y sólo

si

sobre

si

a ¿j=

0

A es la ma tr i z

,

una

Que

V x e. V

Vx.yeu

construida

asociada

propiedades

a pa rt i r

a la m é t r i c a

(l)

y (2)

que

de q

se

g.

cu mp l e

F

9

p o de mo s

la s i g u i e n t e

siguientes

propiedades:

(1)

F(a.x)

----ÍR una

Sea F :V

= a~.F(x)

sobre

sobre

y que

si

(ver

verifica

Proposición

dim

\¡ = n e n t o n c e s ln

Por

un e s p a c i o

sobre

que

F es

asociada

6.25,

V , S ( \J) , es dim

las

V x e II

entonces

la m é t r i c a

métricas

5 (V)

0» 2.

una

por

fo rm a

g^ ( x ,y )= cuadrá­

a F).

pag.208)

que

el

co n j u n t o

un e s p a c i o ve ct o ri a l real / ,\ = --- ---( P r o p o s i c i ó n 6.26

2

otro la d o

F (V ) = | F

las

D ir e m o s

las

pag. 2 0 8) .

todas

V.

V (g^_ se ll a ma

Recordemos todas

que

g^_: V x M ----- y IR d e f i n i d a

una m é t r i c a

tica

aplicación

V a e (R

(2)

es

métrico

V ae CR

(x)

cuadratica

9.2.-

de

g^x

verifica

ll ama la f or ma

Definición

es

es

·{Fg(x+y) - Fg^x) “ Fg^y^} = 9'x»y)

■—

Definición

g

lo

y e n d o m o r f i s m o s .-

ve ct o ri a l

mediante

9

(2 )

Métricas

un e s p a c i o

aplicación

también

/ F es una

v e ct o ri a l

aplicaciones

real de

fo r m a

cuadrática

(subespacio

V en

(R) .

del

sobre

espacio

vj

ve ct or i al

de

|

P o de m o s Proposición

establecer 9,3.- La

a h or a la

siguiente

aplicación

S 2 (V) -------►

F(V)

g , ---------- es un i s o m o r f i s m o Demostración.-

Fg+g · ( x )

de e s p a c i o s

Pg

vectoriales.

g , g ' e 5 ^ ( \l) 9 e n t o n c e s

Se an

= (g+9')(x»x) = g (* , x)

+g ' ( x . x )

= (F g „ + F n. 9 K x> Con lo

que

F

= F g+g*

F

(x)

= (a. g)( x,x )

si

= a. g( x,x ) =

que

ello

F

= a.F

a.g

es b i y e c t i v a

fácilmente

concluye

la

Es t a una

. Lo g

f or m a

proposición cuadrática

inverso

otro.

sobre

del

afirmar

considerar esto

que

prueba F

el

particular

=

la

y

ac IR

te ne mo s

(a.F )(x) V x e 1/ 9

la l i n e a l i d a d .

Pa ra

pr o ba r

aplicación

S 2 (V)

que

es la

inversa

de la

dada.

Esto

d em o s t r a c i ó n .

de una

el

prueba

----- *

se c o m p r u e b a

g^_ a p a rt i r

podemos

que

consideremos

ca

te

(x) = 9

F(V)

que

geS^(v) y 2

a.F

a .g y por

+ Fgi ( x )

Vx€ u

+ F , . A d em á s g*

g

= Fg( x )

procesos

de

construcción

de

a p ar t ir de una m é t r i c a g, y de una m é t r i 9 f o rm a c u a d r á t i c a son ambos l i n e a l e s y uno

Ademá s, dado

sobre nos

que los

un

cono

e sto s

espacio

isomorfismos

ve ct or i al

real

V

son

naturales

, es e q u i v a l e n ­

\] una m é t r i c a o una fo r ma c ua d rá t ic a .

da un

nuev o

método

de c o n s t r u c c i ó n

En

de m é t r i c a s

\l. De entre

todas

las

métricas

que

podamos

considerar

sobre

un

espacio otras como

v e c t or i al

cosas, pone Sea

base

po r q u e

euclideas

s i rv e n

de m a n i f i e s t o V un e s p a c i o

ordenada

trica

las

lo

V da da

estudiar

real

e j e m p l o 1,

por

más

i nt e r e s a n t e s ,

todas las

demás

entre mé t r i c a s

sigui ent e.

v ec t o r i a l

de V . Del

g sobre

par a

son las

(ver

y sea B =

pag.

( x , , x - , . . . , x ) una 1 2 n d e d u c i m o s que la m é ­

293,

discusión

final

pag.

309)

n

g(x,y)

= 2 1 a V x € V

\ g ( x ,y ) | ¿

(4)

&

> i=l

i»j

a g es un

siquier» tes

x =

sisíico

y en

9 .10. - S_i ( V , g ) es un

que

(3 )

= Wj p ( t ) 2dt '* o

a^ *

(D e s i g u a l d a d | x ,yj

es

linealmente

(D e s i g u a l d a d

primera

de Schiuarz ) , dán d os e

afirmación

la

dependiente.

de Hflinkcuski ) . es cl ar a

de

cómo

se

defi ne

2 la

no r ma

(ver

de un vector.

pag.

296)

demostrada la

la

tomando

laco,

como

cuadradas

de S ch u ar z

g(x»x)

(A) se o b t ie n e

+ 2.\/g(x,x).\J g(y,y)

la

(a.x) = a .F (x) g o t e n em o s (2). S u p o n g a m o s cómo

esta

i m pl ic a

efecto,

, en ton c es ,

pro ba r

F

y v ea mos

2 = 9 (x »x ) + 2. g( x ,y ) + a ( y , y )

+ g(y»y) ^

Pa ra

En

otro

ra í ce s

desigualdad

de Minkoujski.

l|x + y|l

Por

t om a n d o

desigualdad

r a íc e s

4 g(x,x) + g(y»y)

+ 2.|g(x,y)|

+

= ( II xII + II yII )

cu a dr a da s .

de Schiuarz

observemos

que

cuales-

quiera

sean

a fbc(R

se t ien e

g(a.x por

- b.y

, a.x - b . y ) > 0

2

?

a .g (x ,x ) + b ~ . g( y ,y ) Si

t om a mo s

a = g(y,y) ?

9 ( y . y ) “ -g(*»x) es

Vx,y £ U ,

tanto

,

- 2 . a. b . g (x ,y ) > 0 .

b = g(x,y)

+ g(x>y)

2

en la

· gíy.y)

-

fórmula

a n t er i or

2.o(y,y).g(x,y)

2

tenemos:

^ o

decir

c g(y»y)· { g(y*y) *g(x.x)

-

g(x*y)

g(y.y)· { g(y.y).g(x.x)

-

2

-

2.g(x,y)

g(x>y)2 ] * o

2t

j > o

· 2

Como do

g ( y , y ) > 0 t a mb i én

se

da la i g u a l d a d

res l i n e a l m e n t e

s e n ti d o

en(3) ?.

esto

contrario

ra que

ver,

o cu rre

que

que

bién

a ó bién

|x,yj

desigualdad

api i c s c i o n e s . Ya h em os de

es

si x e y son v ec t o2 g(x,y) = 9 (x ,x ) · 9 (y »y )· lo

que g( a .x

distinto es

de Schujarz

demostración

a.x -b.y)

e uc li dea . de cero,

linealmente

= 0 con

T e n em o s

aho­

pero

a=0

si

dependiente

de p en d i e n t e .

es muy

que la

anterior

- b.y,

g una m é t r i c a b es

. ¿ Cuan­

que

rehaciendo

linesin-ente

vi st o

ver

t e nem os

y=0 y c l a r a m e n t e | y = 0 ,x|

en t o n c e s

Es ta

ser

g (y ,y ) . g ( x ,x )^ g(x,y)

fácil

tendríamos

a.x - b.y = 0 por

a /0

Es

o cu r re

lo que

Si

que

dependientes

R e c i p r o c a m e n t e , si en

resulta

importante

de Minkoiuski

es

por

sus mu ch a s

consecuencia

ella. Aplicadas

al

e j em p lo

l,pag.

293, r e s u l t a n

respectivamente:

La

desigualdad

triangular en

el

ejemplo

siempre ot ros

pu es

que lo

que

, pag. 293 ,

que

la

suma

que

nos

también dice

un lado

en

desigualdad

el

de un

caso

de

triangulo

n=2 mide

de los

dos. Aplicadas

dade s

obsérvese

1

me n or

de ITlinkoiuski se l l a m a

al

e st as

ejemplo

4,

dos

desigual­

pag. 2 9 5 ,

nos x+y

proporcionan

las

siguientes

fórmu­

las:

P 1 ( t ) . p 2 (t)

dt I

J

P j ^ t ) 2 dt.

\

\ í

o 2 ( t ) 2 dt

(

O

+ p 2 ( t ) ) 2 dt

Si

en la d e s i g u a l d a d

^

p^ t)* ·

ce S c h w a r z

dt

+

ponemos

y J

p^(x)

o 2 ( t )2 dt

= p(x)

y P.^(x)

= 1

t e ne m os

1

JO

(

Por último,

2 p(t)

pa ra

dt

el

)

ejemplo

a . .. b . . - ” iJ iJ i» J

en

un

x^O,

y¿0.

pag. 2 9 5 ,

1»J

también

v e ct o r i a l

De la

podemos

ha b l a r

,J

del

métricro e u cl ide o.

desigualdad

pag. 303 , t e n e m o s

tenemos

J

■*-* J

que

espacio

5,

1 P (fc) 2 dt .

él/Z

-*-* J

V ea mo s

í J O

-4

de

Schu/arz,

án g u l o En

(3)

de dos

efecto,

sean

vectores x , ye.\¡,

en la P r o p o s i c i ó n

9.10,

g(x,y) -i é ----------

^ i

II x II-II vi De modo

que

exi s te ©'elR,

8^2Tr,que

c um ple

g(x.y) eos Q =

■

M l - M pero

el

cos e no

de 21T-0' y el

de & co inc i de n .

pos ibl es el eccriones pa r a

el

Definición

9.11.-

x,y £_\1,

y, 4 (x,y),

como

Dados

el m e no r

án g u l o

x^O,

de los

eos 4 (x ,y ) =

de x e y. y^O,

De mo do

que

Podemos

dar la

definimos

comprendidos

entr e

el

tenemos

dos

siguiente

anquí o c¡e x e

0 y 2tr tal

que

g(x.y) ------------II*I! · H vil

Nót e se el

áng ul o

que d e b i d a

de x e y y el

más,

es i n m e d i a t o

tido

de la D e f i n i c i ó n

otro lacio, ( (3) sólo

9.5,

aprovechando

de la P r o p o s i c i ó n si

x e y son

la m é t r i c a dos

go si se pued e Una

vez

en

el

definido

ve c t o r e s án g u l o

de

el

vectores

se o bt i e n e

que

forman.

g no

hay

pues

x e y son

se

pag. 30 0 ) si y sólo d ic ho p ar a la

9.10,

que

tr at a

del

t e n e mo s

que

de

ent re

mismo. (en el

4 ( x , y ) = vr/ 2 .

si

desigualdad

pag. 3 0 3 ) ,

distinguir

perpendiculares

Ade­ sen­

Por

Schwarz,

£(x,y)=0°?

si y

dependientes.

desigualdad Por

de Schiuarz

tanto

no

v e c t o ri a l

á ng u l o

de dos

fue

es p o s i b l e métrico

de p e r p e n d i c u l a r i d a d

es la f ó r m u l a usual es pacio)

que

un e s p a c i o

hab la r

de

de y y x,

linealmente de la

g(x.y) que

le

g sea eu c lid ea.

vectores

simetría

án g u l o

comprobar

En la p r u e b a

de

a la

e s en c ia l ha bl a r

vect or es,

de

"g ene r al " ,

(Definición uno

9.5,

puede

el

que

án gulo

sin

embar­

pag. 303). esc ri bi r

= || xII- 1|y 1|· eos 4 ( x . y ) ríe dar libr es;

el p r o d u c t o es

multiplicando

decir,

e sc a l a r

en el pla no

el p r o d u c t o

sus l o n g i t u d e s

por

e s ca la r el

co s e n o

(o en de

dos

del

3 as es

ortonormalas.

Cambio

de base

entre

b as e s

ortonormales.

M a t r i c e s o r t o g o n a l e s .Definición

9.12,-

x de V se dice ortonormal t a ri o s

se

unitario

cualquier

tiene

un

que

de

vectores

Consideremos (ver

uno

ejemplo

{e i ,0 2}

es

en es te

caso

(IR ,g)

num 1,

pag.

o r tc n o r m a l

||x||=

Un a m i r a d a

con

x,

por

dice

son

el

inverso

co nj un t o)

uni­

de

unita­

De mod o que dos

a -Jos,

su m ó d u l o

obtenemos

si

(se s u ­

un n uev o

se rá o r t o n c r m a l .

Entonces

g en el

vec tor

perpendiculares

293).

).e

+

euclidea

r e s u l t a que

sentido

usual

la base

ant er i or .

de (R

usual

Observemos

que

g(x.,e2 ) . e 2

= g ( x , e 1 ) . g ( y , e L ) + g ( x , e? ) . g ( y , e2 )

( g ( x , e 1 )2 +

atenta

g ( x , e 2 )2 ) X^ 2

a e sta s

fórmulas

para

g.

Sería

interesante

cion e

por

,x.

g es la m é t r i c a

de que l a ba se

euclideo

obtendríamos

ortonormal Vamos,

vectcr

c v se

v e ct o re s

t o m a n un

donde

h ec ho

bao e

podemos

vectores

claramente,

el

ccsas,

sus

a saber

en ese

por

vectorial

si to d os

Un

te n e m o s

g(x»y)

mal

s i e m pr e

es tá

p a ra

eucl ide o.

c o n j u n t o £ y^ ,. . ,

decrir,

de el lo s

que,

2

x = g(x,e

sólo

x^O,

no

Un

vectorial

a dos.

formado

el vjector ceno

conjunto

dos

dependiente

ca d a

espacio

j > es

xeV,

conjunto

y multiplicamos

un

si |JxH= 1.

g (y ^ ,y j )=

linealmente

po ne

(V,g)

y perpendiculares

Dado rio

si

Sea

de un

b a s es

la p e r p e n d i c u l a r i d a d

f v B 2}

es

a las

vectorial

vá li d as o r t o n o r-

en t o d o

pues,

arriba

esp ac io

entre

otras

p a r a cu a l q u i e r

e uc lid eo.

a establecer

con

de

son

una base

que

ortonormales

análogas

espacio

en p r i m e r lugar,

i n d i c a que

el p o d e n a s e g u r a r

existiesen fórmulas

usual

nos

un

resultado

la i n d e p e n d e n c i a

li neal.

que

nos

rela­

Proposición

9.13.-Sea. { ^ » · * ymj

no

nulo,

de ellos

que

son

un c o n j u n t o

ortogonales

es l i n e a l m e n t e

independiente·

Demostración.-

Consideremos

dos

de ve c t o r e s

a dos.

de

Entonces

V,

ningu­

{y^»··^^

ir. una c o m b i n a c i ó n

li ne a l

del

tipo

b . .y .= 0. i=l

Entonces·

m 9

pero

( ^L^-y^y;) i=l J

rr.

= 9 ( ° , y ,) = o J

m

-y,· »y ,·) = Z Z b--*9(y,-«yí) = b 5*9(y5*y. ·

ya que al

es o(yJ..yJ.)>o·

ser T e o re ma base

9 . 1 4 . - Tod o

^rtonor ma l,

c u la r es

dos

cio

v e ct o ri a l

fi nid os nar

el

eudideo sigue:

n úm e ro

real

son

decir,

ve c t or i al una base

Sea ^ y^ ,y ? , . · ,y

como

y z

1

es

espacio

métrico

formada

euel ideo

por

pos ee

una

vectores p erpendi­

a dos y u n i t a r i o s .

Demostración.-

z

J

(V , g).

tomamos

una base Sean

cualquiera

z ^ z ^ , . . ,z^

de un

n vectores

Z 2= y 2 ~ ai 2 "Z1 } ^ v'amos

2i= y^>

a . 0 con la c o n d i c i ó n g ( z o ,z.)=0. 12 ¿ i p e r p e n d i c u l a r e s si y solo si

2

espa­ de

V de­

a determi­

Er efecto,

g(z1 ,y2) g (Z i >y 2 ) = a ^ . g í z ^ )

Supongamos

construidos

z^,...,z^

^

al 2 =

a partir

de 0

de

est a

forma.

Enton­

ces p o n e m o s

Z j+1 Como

z^,z‘2 ,..,z^

números

re ale s

el v e c t o r

e Yj +1

y j+1 ” fzí aij+l'Z l son

conocidos

sólo

a]_j+i ’a 2 j+1 ’ - * a j j+1 ’ ^ ara sea p e r p e n d i c u l a r

tengo

que

e l l ° v °y

a z ^ , z 2 ,..,z^.

En

ca lc u l a r

los

a ob l ig a r

que

efecto,

si

j

Y k €.{l,

,j J

:

g ( z k ,z

) = O

t e n em o s

j 9 (zk ' y j + l } con

lo que

a k,j+l

De

esta

oor

forma

construimos

la P r o p o s i c i ó n

n =d im 3.40,

[H

V

t e ne m os

oag.

x.. = — -— x

1

1

96 .z.

ortonormal E st a base

de

9.13,

también

que Iz

,z

resulta

12

Si

que

i

(V ,g).

Lo

demostración

\I p o d e m o s

que es

o b te n e r

se le l l a m a

el

X

q(x .,x .)

es

a h or a =

base

y cono

(ver

^'=

Proposición c on

**2 > · · · >x n l

. . Así, 6 ' es una base

la

demostración pues

o r t o n o r ma l .

proceso

son o r t o g o n a l e s ,

1J

constructiva un a

una

J

concluye

como

independientes

nj

tomamos

k e { i , 2 ..... jj.

z ^ que

son

,...,z

1

de

.nos s e g u i d o

n vectores

)o rt ogo nal .

II zill

V

g ( z k > zk )

del

a oartir

Al

Teorema.

de c u a l q u i e r

procedimiento

de o r t o n o r m a l i z a c i ó n

que

he-

de

Gram-Schmidt. Naturalmente, vectorial das

de

( V/, g)

se

Está tiene

de ba s es

(V,g)

c lar o

que

uno

ortonormales

pu ede

si 3 es

h ab l ar

una

base

en un e s pa c io

de base s

or t o n o r m a l

3l r e c í p r o c o

IYÌ ( g ) = I y que □ n

ordena­ orde­

tam bi é n

cierto. Recordenos

Teorema ordsnada

9.4, 9 de

precisamente de

d i s p on e r

euclideo

ortonormales.

n ad a es

métrico

al

este

métrica

a ho r a

gag.

299»

que se

la m é t r i c a elegía

de

euclidea tal

g que

for m a que

ap ar e c e

pa ra

en

el

una base

V se

t u v i e r a Ifl (g) = I (con esto se a s e g u r a b a uno □ n su c a r a c t e r e uc l id e o) . P od e m o s a fi r ma r , a la vi sta

re s ul t ad o , euclidea

que

en V .

la m é t r i c a

g en el

Teorema

9.4

es c u a l q u i e r -

übservese base

que

ordenada

euclidea

el

T e o r e m a 9.14

de un e s p a c i o

sob re

V ex i st e

afirma

vectorial

P £ G l ( n , IR)

que

real

si

B es

V y g es

, n = dim

c u a l qu i er

una m é t r i c a

V , tal

que

[R

tp ^ B (g)-p =in De rab ot e si

A es una m a tr i z

g es Si

ex i st e

nos

va a dar

s o l u c i ó n ala

s i m é t r i c a de

\¡ d e f i n i d a por

m é t r i c a so bre que

esto

·

o r de n

n

siguiente

s obr e

IYI(g ) = A B

¿

(R

pr egunta:

y g es la única

cuando

p o de m os

afi rma r

e u c l i d e a ?. g fues e

una

una m é t r i c a

base

ordenada I

eu cli dea ,

en

virtud

B de

ortonormal

del

(V,g) y

T e o r e m a 9.14,

por lo

an te ri o r

= t P.«lQ (g).P = fcP .A .P B

n

con lo que t, - 1 . -1 (P ) .P

A = Reciprocamente,

sea A£t/^Cn (

Q e G l ( n , IR).

Consideremos

g la m é t r i c a

dada por IYI

ordenada

de

\¡ da da por

tal

cualquier (g)

1

(R)

que

base

= A. Se a

A = ^Q.Q

ordenada

para alguna de U y sea

también

IT1( l ^ ,B^ ,B^) = Q

B* l a ú n i c a bas e i “1 , e n t o n c e s se tiene

m R . ( g ) = t (Q_ 1 ) . m R ( g ) . Q _1 = Bi

Bi = t (Q- 1 ) . A . Q -1

= t (Q_ 1 ).(tQ.Q ). Q_1 = In

Con lo que tri ca

B|

es una

euclidea Por

tanto

dim

h e mo s d e m o s t r a d o

= n CR

ordenada

ortonormal

de

(V/,g) y g una m é ­

sob re V .

P r o p o s i c ión 9 . 1 5 , ---- ■ --------real,

base

els i g u i e n t e

Sea A€1 < M (tR) n y B u na base

de

resultado

:

y se an \I un e s p a c i o v e c t or i al ----------------------------------V.

Se

considera

la m é t r i c a

g

so bre

V definida

existe

Q

G

G1 (n , IR)

Disponer euclideo uno

(g)

=

A.

Entonces

tal que

A

=

Q.Q.

de bases

(V,g)

de el l os

Proposición B =

oor M

es

ortonormales

importante

se da en

el

en

un e s p a c i o

por m u c h o s

siguiente

g es

motivos

euclidea

v e ct o ri a l

que

iremos

síy sólo sí

métrico viendo;

r e su l ta d o:

9.16.-

Sea (V , g)un e s p a c i o

v e c t o r ia l

(x,.x^.....x ) 1 ¿ n

una base o r t o n o r m a l

ordenada

euclideo

y sea

( \J,q ) .En ton ces :

de

n (1)

X =

9 ( x »x ; ) * x ;

i=l

n

(2)g (x ,y ) = V ” g (x ,x .) ·g (y , x .) iTi

(3)

II x II = \

9(x»xi ) 2

J

v i= l Demostración._______ || x || = y g (x,x)

Es

clar o

. P a ra

que

(l)

(3)

se o b t i e n e

s a be m os

que

si

de

(2) al ser n a..x. entonces

x =

i=l n g(x,x. )

=

J

frl

n T"

1

iH

1

Utilicemos ciona.

a . .g ( x . , x .) =

p a ra

J

(2)

n

expresiones

X l , 2 , . . . , n >.

J

^

de x e

J

y nue(l)

propor­

n

= 9( 2 Z . 9 ( ' 1

x

*x

j

) ,x¡

1=1

dond e

(x

,x

que

,...,x

»2 Z ·_ 1

J=1

se c o n c l u y e

Obsérvese si B =

1J

1

En t on c es :

g(x»y)

de

las

V j£

a. . ó. . = a.

1

1

g(y,x J«x :)= 2 Z 9 ( x , x j ) - g ( y f x J · r . J J > · J ü

1,J

(2 ) y con

(l)

de

esta

ello la p ro p o s i c i ó n . Proposición

) es una base

9 . 16

ortonormal

nos

dice

ordenada

de

que (V,g)

la c o m p o n e n t e

i-ésima

multiplicando

x oor

de un

x^

mediante

un mé t o d o

sistemático

una base.

En un e s p a c i o

ponentes

de

dicen

como

nentes de

o b t e ne r

de

x e y,

y de

(\i,g).

Nótes e

que

en la pag. Sean

307

?

pa ra

( IP~,g)

estas

disponíamos de un

las

vector

(2)

en

com­

y (3)

de las

en una base

nos

compo­

o rt o no r ma l

generalizan

la m é t r i c a

de

prooorciona

fórmulas

y [ x |] a p a rt i r

fórmulas

(g es

nos

dos

x respectivamente, todas

simplemente

euc i i deo ( \J,g ) las

otr as

g(x,y)

no

componentes

ortonormal

g . Las

e s ca l ar

o b t ie n e

ah ora

métrico

en una base

el

Hasta las

ve c t o r i a l

euclidea

x en B se

g.

de c a l c u l a r

un ve ct o r

la p r o p i a m é t r i c a

vec t or

euclidea

las

dadas

usual

2

de

n o r ma l es

( x _ , x _ , . . . , x ) y B*= (x! ,x x 1 ) dos bas es or to 1· ¿ n 1 2 n o r d e n a d a s de ( \J, g ) . S a b em o s que la ma t r i z de ca mb i o

de base

IYI(1 ^ ,9 1 ,B )

B =

normal

es

ma t r iz

de c a mb i o

"más

B y 8 * sea n x 1. = > J iTi

).

es

fuert e"

que

el

"alg o

más"

(donde

de base

= g(^

1— L

que

ah o ra

n

*jk =

Cono

de base ITl(l ,b',B)

ta m b i é n

a. ..x. 1J 1

regular .

el

concepto

pa re ce

ent r e

lógico

dos

regular.

de base

En

b a se s

pe nsa r

que

la

o r t o no r ma l es

efect o,

a. . = g ( x . fx.)). iJ J 1

or to -

pongamos

Ten em o s

n

a ij* xi « S - J U - V

4 -:

b

JK — J.

aij - ajii se l l a m a

" m u si c al e s 11 i n d u c i d o s por

: \} * ---- ► \l

"bemol" y

-Sfr

" s o s t e n i d o ". Est os

isomorfismos

diferente

pa ra

12,

oag.

2 31).

cad a m é t r i c a

V*.

Concretamente

que

hace que ^

A d em á s

euclidea

podemos

ve am os

sea una

que

g indu ce

c ad a

g*

es una m é t r i c a

euclidea

euclidea

( c o m p ár e se o b je t os

con prob.

geo.nétríeos

un a metílica g~* en

num. de

V a

V+ (la ú ni ca

i s o m e tr í a) .

9 . 3 2 . - Si p a r a

única métnica

g),

trasladar

Proposición entonces

identificar: V y \J * (de m a n e r a

nos p e n m i t a n

que

'

f

se pon e

so b re

=

V * , y a d e m á s , g * es la

hace que % (y por lo

ta nt o % )

sea una

isometría. Demostración.lin ea l

y

^es

Se p r o b a r á li ne a l

(ver

que

prob.

= se

g * es b il i n e a l num.

4,

l ue g o = g (f* , $ ) ? 0

cu mpl e

y como li nea l

es un i s o m o r f i s m o nul a

g * es

y g^Cf.f)

(Proposición

de V*) . C l a r a m e n t e

g* (x ^»y ^)

pag.

es una

= g( (x*^)^ . (y^)*)

utilizando 230 ).

que

A de m ás

s im ét ric o.

entonces

si

=

vf^= 0 € V

Vf = vfj> (forma

i s o m e t r í a ya que

= g(x,y)

g*^,^)

Fi na l m e n t e ,

= 0 si y solo

9.30)

g es bi -

y g * es ú n i c a

cumpliendo

es to

pue s

si

g*

e s ot r a

métrica

en

V * tal

demostración. Hay que

hac e r

se ha u t i l i z a d o de mo do que

es

Por

que

lado,

a u c l i d e a por

rada,

g* s er í a Ve a m os

las

en

bases

En V

y

(Y

como

Así,

1 2

9.30,

(Definición

un r e s u l t a d o

no d e g e n e r a d o g * sob re

9.6,

análogo

323,

pag. cu a nd o

(Definición

g f ue s e

solo

sólo

300)

9.8,

V * de la P r o p o s i c i ó n

si la m é t r i c a

las

métricas

euclideas

de x y x*,

(V,g) pag. 9.32

no d e g e n e ­

y por

g y g*" nos p e r m i t e n

t an t o las

de Y y

de U y V*. sea B =

(x. ,x _ , . . . , x ) cualquier: bas e

n

) su dual ,,...,¥* . . . ,

en

con

^

V.

g . . = g(x . , x .)

ij

i

si n

y

x

resulta

ya que

i=l

ordenada

Pongamos

con

E n t on ce s ,

pag.

no d e g e n e ra d a·

componentes

efecto,

B* =

la m é t r i c a

también

relacionar ci er t as

métrico

seiilo g.

ahora

en la P r o p o s i c i ó n

establecer

v e ct o r i a l

otro

que

g es no d e g e n e r a d a

es p o s i b l e

es un e s p a c i o 302 ).

nota r

J

i=l

j

y

de

Y

= ^ 1= 1

c ··^

y

Y ^ d j .x.

j=i dj = ¿ ~

En

lP^=

1 g*j k - c k

V

j e [l , 2 , . . , n j

efecto,

= ? J(f^

Uno

= g * ( ? j /f)

observa

de

= g*(

J

= T( ( ^ f ,(Y>Jf ) =

g * " ^ .x_^ ,

y además

¿

^

kj..= xk J

dual.

es

b

Con lo que Si caso

q ue d a

una ba se

las

B es un a bas e

ortonormal

de

decir

o rt o no r m a l

(V

p

,g

Jk- ‘ ,

que

T = ^

k

(y por

discusión

9.34

al

tanto B * es

de la p a g . 326)

sl k -sí e - \

£

c u an d o

(*) ij

V = JP

3

y g es la m é t r i c a

;

i j

itTTJlz 1 B = (e. ,e_,e_) es

i

9^

9^

Hay que

euclidea

t* J . · · · * s + r ]

kc { s + r + i , . . . , n | .

t om a mo s x

1

_

_ ... . fl "

1

J

o

1

x. = -------.y.

VT7 y

si

j € í s+1 , . . . , s + rl

J

J

x k = y^

resulta

s y_ r , que

enteros

vec­

que

|-1

el

(V ,g ' ) un es pa c i o

B = (x. ,...,x ,x 1 s s+1

g* (x ¿ tx j ) = 0

por

Sea

si

1 si

j

k £ ^ s + r + 1 , . . . ,nj

que B = (X 2 » · · · > x s »x ^+ 1 > · · · > x s + r *x s + r + l » · · · » x n ) c ump le

le

anunciado. Supongamos o t ra

base

que B* =

de V que

( x^ , . . . ,x^ ,x ¿+1 , . . . , x ^ p , x ¿ +p + 1 > · · · »

c u mpl e

g'(x^,x*.)

= 0

i / j f y

ade má s

) es

En p rim er 301

9 '(X j , X j)

=

1

si

j £ 1 t + l » · · · * t+p }

^ ' (Xk ’Xk )

=

0

si

k £ { t + n + l , ...

lu gar

te n e m o s

y pag. 148 ) por

bién

se

t en d r í a

que

tantc

r = p.

rang o IYL(c*) = rane o IT) ,(o' ) (ver pag. □ B s+r = t+p. V ea mos que s = t con lo que ta m ­

En ef ecto,

supongamos

s>t

(t ( n _ t ) + s - n ya que din, fR(U1+ U 2 ) é n De modo

que dim

lo que pues ser

i m pl ic a que

si

Esto

Ser ía

308)·

exi ste

concluye

natural

la

llamarle

ortonormal

de

Entonces

resultado

el

e nu nc i a r

diciendo

una base

o r t on o rm a l.

Utilizando cicio

z e U , P \ U „ , z^O .Pero este es ab su rdo 1 á g 1 ( z ,z ) > 0 y por z £ U n que g ( z , z ) < 0 (por

z € U ^ se tien e

z^O).

base

s-t> 0

el

que

demostración a una base

( V , o') ( c om p ár e se

cada

que

s ig u i e n t e

9.3,

teorema.

ob t en i d a con

acabamos

es p a ci o

la P r o p o s i c i ó n

del

el

en

Teorema

de pr ob a r

v ec t or i al

el

Te o r e m a 9.53 9.14,

pag.

se p od r ía

métrico

(V , g1) tiene

pag. 297 , se p r o b a r á

cono

ejer­

Ccrolario d r át i c a

9.54.-

sobr e

den de F ,

Sea

\¡ un e s p a c i o

é l . Existen

n ú me r os

vectorial enteros

real

s

y F una fo rm a

r , que

sólo

cua­

d ep e n -

v una b a se o rd e g a ila B= ( x i * · · > x s »x s + 1 ♦ · · » x s + r »x s + r + 1 > · · * xn )

de V t al es que

n

F(x)

s+r

= -¿ a , i=l

(compárese Por

con

el

úl t i m o

Ccrolario

+ "

¿ I

a=

j=s+l

J

Corolario

SI k=l

9.52,

ak'Xk

pag. 344 )·

t e ne m os

9.55.-

P e G l ( n , (R) tal

Par a

cad a m a t r iz

simétrica

real

A exis te

que

0 i1!

- 1.

0

1

tP . A .P =

\ oonde

s+r

es el

Obsérvese "sólo"

debe

ello

Corolario De

de

mientras

todo lo

que

0

0

de

la m a t r i z

en C o r o l a r i o ).

matricial

Por

ú l t i mo (como

P que

9.48,

ap ar e ce

pag. 341 ,

consiguiente,

de c a mb i o

una m i s m a

este

de base

pa ra las

(pag. 301 ).

corolario

con

Corolario

es

or­

el C o r o l a r i o

" m ét r ic a "

el

P

es

un

9.48,

No

"ma­ se

re s u l t a d o ver

de

ta m b i é n

pag. 284 ).

an t er i o r

p r o b l em a s,

gu ien te s ,

que

de m a t r i c e s

8.16,

0

0

r

resultado

^P = P ^

confundir

endomorfismos

v ar io s

este

de c o o r d e n a d a s "

por

I

de A.

da la r e l a c i ó n

diagonaliz:ación el

en

( y por ta n to

nos

t r ic es

que

regu lar ,

tog on al 9. 55

rang o

0

se d e du c e que

autoadjuntos ejemplo

se r e s u e l v e n

p o de m o s

de lo cual a p a r t ir

us an d o

la

diagonalizacifin

resolver: s i m u l t á n e a m e n t e son los

del

ci nc o

pr i m e r a

de

enunciados ellos.

si­

(1) que

3 (IR ,g),

Se c o n s i d e r a

don de

g es la m e t r i c a

v ien e

da d a por RI (g) = I , s i en d o B = (e.,e. ,e_ ) 3 3 1 2 3 usual de IR . Sea f e E n d IR dado por IR

nada

3 de IR ,

usuai

la base

orde-

f(al > a2 ’a3 ) = (_al+ a 2+ a 3 ’al ' a2+ a 3 ’al

„ ai " 2 *a 2+

“ J = a 3= °

L ( { e i + e 2+

· (e + e 0+ e_) e V . .

{e^-

e^,

procedimiento

{

W

e^-

W

a3 ' S3

e ^ ^ es una

base

de G r a m - S c h m i d t

de

'

31+

V

(Teorema

V

la

a3= ° J

i

1

que

es

una base

Cono

9 . 1 4 , pag.

308)

v

o

0-2 lo

o r to n o r m a l

1 , 1

A

de

1

,

T-*2-

=3»

(V ^ , g | lf ). IV_2

0 \

0

,

0 -2 / 3

ortonormal

i

f ( e ' ) = e ‘ , f ( e^ )=-2 . e' , f(e*)= -2. e' t en emo s 1 1 ¿ ¿ j j /1

) =

,

^ ' (· ! · ^ ’· e 3 - ^ = - < T · · ! *

de

( CR ,g).

siendo

B'=

(e^e^.e^)

que

'

ortonormalizo

n i en d o

*2*

= 0

^(Teore-

pa g. 340 ). Así

que

(una base

V ^ Q ue e s t a r í a

a 3 - e3 /

U- 2 =

De

(ver

y B es

^·

de

ambas,

W

3

ortonormal

ortonormal

(Proposición

característica 3 e n t o n c e s que IR = V V

Sabemos

-2 . a ^ ;1= i

tan to

De la e c u a c i ó n

(doble).

341) y que

por lo

—z

V = V

-i 1 i\ 1-1 1 I es s i m é t r i c a \ 1 1 -1 /

IYl(f,B) =

3

de

y t=-2

pag.

J1

que

. En e f ect o,

es una base

obte­

-1 -P.

1

1 -1 1

(3)

y (4)

o r d e n a d a B*

que

side f i n i m o s

( T eo r em a

9.4

1

.P

=

l/rt

1 / Ts

1/V3

- 1/\Í2

l/JZ

1/ nT3

0

2 /

a c ab a m o s

r e s u lt a

a g

/

Por

justamente último,

que

f es un

la base

definimos

or t on o r m a l

c tal

(la usuai V*»yeIR

de

IR )

3

e n d o m o r f i s m o de

CR

3

y

/-1 =

1o

g es una m e t r i c a e u c l i d e a 3 por g'(x,y) = g( f ( x) , y)

299)

autoadjuntorespecto

\

t o m an d o

de hallar.

f e E n d tR , pag.

0

0 -2 )

l c

resuelven

0 >

c -2

1//3

se

0

I 1

1 -1

que IYI ( g ) = I . E n t o n c e s y

1\

1

!

I i -i

1

\ 1

1-1

2 Sea B

la base

de

ÍR

obtenida

en

(l).

g'(e|,ej) = g( f ( e!, ) , e^ ) = gie'^e») =1 y g 1 ( e ,e 1 ) = 0

De modo

que

si

e?= e\

1 1

si

Tenemo s,

; g% ( e!,,e^ ) = - 2 ; g1 ( e^ ,e^ )=3’ 3

i^j .

, e U = -i— . e ‘ , e®= —

2 VY

2

resulta

.e¡,

3 VT

que

J cn

li B b=

(e! ,e* ,e*)

1

¿

3

es una base

ordenada

de

tR

y

□

(9 ' )

0-1

Vo es

decir,

métrico

B*

es una

( t R J ,g' ).

base

ortonormal

ordenada

del

espacio

0

o-i, v ec to ria l

Consideremos n = 2 ) y sean

f

el

2 ( IR ,g)

pl an o e u c l i d e o

, 0 ^ 9- IYi(h,B) =

sen 0dond e

B = ( e ] ,e

) es la base

base

B como

de

isometrias una

Entonces

( [R ,g) de

ordenada

podemos

y !Yl(f^,B)

( lR^,g)

ordenada

base

si e n do

0 usual

de

-1

(R . Como

B es

una

2

crtonormal

y h son

eos 0 -

(ver

son m a t r i c e s

pag.

a| = c o s P . a ^

Orientemos

(Definición

Dositivamente

interpretar

314).

or t o g o n a l e s ,

geométricamente

7 . IB,

f^_ seg ún

f 0-

(R^ torrando pac.

el

264).

dib ujo

- sen 6 '. a^

ai, = sen & ,a^ + eos ^ . a ^

Así de

las

es

el

f^_ es

a guj as á ng u lo

orientación pag.

una ds un

"rotación" reloj

orientado

265). Y para

h ten em o s

(f‘6„ =

entre

representada

en el

por

s e n t id o

1

si

x y f(x). B pues

det

contrario

P- =0) .

Nót ese f ^ =1

que

El f

a la m a r c h a

&

ángulo co n s e r v a

(Preposición

la

7.20,

h

Entonces rec ta se ve por

h es una

ve ct ori al como

tant o

" r ef l e x i ó n "

U = L( | e^ | )

f(x)). invierte

Est a

(U es un

isometría

Proposición

de esto

9.56.-

Sea

eu c l i d e o

(V ,g)

con

dim

mal

(V,g)

tal

que

--------B de

que

(h(e

isometría

de un

= 2 · E n t on c es ,

D e m o s t r a c i ó n .- Sea B* =

( y^ *y^ ) c ua lq ui er

Sab em os

, IYl(f,B ) es

308)

que

'ail IY1(f ,B ' ) =

a 22

que

no indu ce

la s ig u i e n t e espacio

ex is t e

'

una

vec to r ia l base

or to n cr -

ffl(f ,B )

base

ortogon al.

|

a 21

x

h = -1,

6 . Nóte se

or to n or ma l Así

al 2

I

det

),h(e_))

p ro b ar

ó bien

(pag.

al mi r a r s e

cu mp le por

de la

(e^e^).

proponemos

f una

Ln

( [R ,g)

la base

respecto

donde

2

representada

que B =

nos

"e s p ej o "

h de

la o r i e n t a c i ó n

h(e.) = e. , h ( e 0 ) = -e_ y 1 2 en £R la m i s m a o r i e n t a c i ó n A la v i s t a

(o sim e tr í a)

t e nd rem os

que

de

(V/, g ) ·

p o n ie nd o

22 2 a il + a 21 = 1 ’

2 a i 2 + a 22 = 1

y

ai l 'a 12 + a 22 * a 21 = °* Las

dos

( a 22 9~ al2 ^

primeras

SQn

y la s i g u i e n t e Como

a^

c lar o f

que,

es

el

entonces sólo

u n it a r i o s que

+ a^

Obsérvese

ceno.

son

respecto

que

en

dicen

(a)

un

(a),

V ea mos

que

si

los

vectores

por

tan to

detf=l

f / 1

o cu r re

y en

en el otro (b)

usual =

(b)

que

caso.

^

de

^a 2 2 *~ai 2 ^*

a ^ = eos 9"

detf=-l.

entonces: el ún ic o

f es la isórnete:!a d a da por

^a i l ,a21^

euclidea

úni c o 0 - , 0 ^ 9’

se tie ne

f(x)

= x si y

si

l

sen ^

-cos®/\a„

es decir (crosO·- l).a ^ se nQ - .a ^ que

se p ue d e

ver como

un

+ sen ^ .a^ = 0 J

■·■ (-1 - c o s 0 ').a2= 0

sistema

ho m o g e n e o

en las

J in c ó g n i t a s

a^ y a^·

Como

r e s u l t a que que

f (x) = x,

(que En

p a r a una i s o m e t r í a

es una

otr as

y por

r ect a

tan t o

el

ve cto r ia l )

pa la b ra s ,

f del

tipo

(b)

subespacio

vectorial

queda

"v e c to r

1 es un valor

fijo

p r c pi o

Sea

entonces

U x 2 | = 1.

Entonces

B =

( x ^ , x 2 ) es un a base

(V,g)

c u m p le

de do nd e por

det

tanto

f = d,

ha de

ser

pero

D e bi d o al

una

9.57.-

iscmetría

y di re mos -1

de e sta

son

dim (V ,g)

de

que

los

Sea

c = 0.

ú ni c os

v a l or e s

En la P r e p o s i c i ó n

9. 56

V = 2,

el e gi r

es p o s i b l e

de tal

f orm a que

si

ííl(f,B)

lo

f es una

reflexión

f = —1 tiene

que ba s e s

f es una

tal

y

pr op i o

x ^ ^ U ^ con o r d e n a d a de

(de la pag.

que

f.

ser

ant eri or)

o r to g on a l

ac a b a la de m os t r a c i ó n . de las

pags.

351

y 352 , y

dam os la s i g u i e n t e vectorial

que f es una si

por

subespacio

ortonormal

Con lo que

det

posibles

para

detf

ortonormales

eos fr

se

y sea

si det

( Ob s é r v e s e

se ha p r o b a d o

rotación

euclideo

rotación

f = -1.

= sen

y si

det

un es p a c i o

reflexión

a vector "

||x^|| = 1

geométrica

(V/, g) . D i r e mo s

f es una

dos

que

demostración (V,g)

con

Como ITl(f,B)

a la in tenpre.tación

desarrollo

Definición

sabíamos

d = - 1.

(pag. 315 ) n e c e s a r i a m e n t e

x^۟

x g V , x^O,

U= ^ yeV/ f (y )=y ^

de f y el

\J^ c o i n c i d e con U.

que

e x is t e

f = 1 que

(pag. 31 3) ) . es

que,

cu and o

ordenadas

t en c a

f

B de

1 y

En

el p r i m e r o

norm al ún ic o

o r d e n a d a B, v e c t o r de

orientado llamarse

xeV,

9.27,

pag.

0 ^el

á n g ul o

que

el

por

ro ta c ió n ).

de

las

319).

Iso(\/,g)

Iso+ (\/,g) S0(n, [R),

Consecuencia un a m a t r i z

x y tal

entr e

de

o rt o-

f(x)

el

que

el

x y f(x)

es

es

án gu l o S uel e

f. de las

iscmetrias

rotaciones- es un s u b g r u p o

normal

de

(al

Iso+ (\/,g)

subconjunto componer

ademá s,

n = dim ^ V

inmediata

A60(2, IR)

entcnces

la base

grup o

El

es,

V mediante

x^O,

que

32l)

de r o t a c i ó n

subconjunto

(ver pag.

ortogonal

si

(Definición

un s u b g r u p o

que

t e n e m o s que

orientamos

longitud

formado

I so(V,g)

si

igual

a

(V,g)

casos,

V con

Nótese de

de los

es

del

de las

dos

reflexiones

isomorfo (pag.

reflexiones

con

el

nos

gru po

nc

es

da una

e s pe c ia l

319).

de la P r o p o s i c i ó n (ortogonalmente)

9.56,

pag. 35" , es

semejante

a una

del

tipo eos d’ -s en & A

(

I o bien

sen 6según

que det

do

generaliza

se

Proposición

eos & /

A = 1

en el

(2 ) _Si a es un

es que

Sea

g( f( x ), y )

(V,g)

un

subespacio

suplemento

Demostración.-

A = -1

respectivamente.

9.60,

pag.

e s pa c i o

(Este

resulta­

3 58).

vectorial

euclideo

y sea

( V ,g ) . E n t o n c e s

(1) _Si. U es un el

det

Corolario

9 . 5 8 . - Sea

f una i s o m e t r í a de

también

ó

v e c to r ia l

ortooonal

valor

UX de. U es

p r o p i o de

xelJ1 . P a r a p r ob a r

= 0

VyeU

de

(pag.

\J i n v a r i a n t e por invariante

f entonces que

a=l

por

c

f ( x ) e U X lo que

33l) . A h o r a

f,

f.

a=-l. hay que

ver

bien

g(f(x)»y) = g(f 1(f?(x)),f 1(y)) = g(x,f 1(y)). per o

como Ues 1 (y))

do que

U*1* es

invariante = 0

VyeU,

invariante

por

f ta m b ié n

lo

lo que i m p l i c a que por

f.

s e r á por f ^ y

por

t ant o

f ( x ) e U 1 . Así q u e d a p r o b a ­

Para

(2)

= g(xfx) a

2

= 1.

se Lo que

Tras

propio.

una

Por

resultado isometría

ej emplo,

v e c t o ri a l

es

que

el

hec ho

de

de que

el

por

is o m e t r i a s f que

no

f de

y sea f una q,

y

Co mo

g (f (x ) , f (x )) =

g ( x , x )>0 por

lo que

ti ene

p o r q ue

distinta n i n gú n

valor

es

a d ju n to f ^

9.22,

son

y de - l y

pro pio .

9.58,

ta mb ié n

pag. 3 1 6) .

autoadjuntas

valor

, en un

La

segunda

e s t á im pl í c i t o

(Definición

(que

la p r i m e ­

t e n e r nin gú n

de 1^

de la P r o p o s i c i ó n

(V,g)

que

dos o b s e r v a c i o n e s ,

9.40,

pag.

337)

es una i s o m e t r í a

Por

tanto,

re s p e c t o

las ú nic as

a o son

aq u el l as

f 0 f=l^.

T e o r e m a 9 . 5 9 . - Sea

p,

no

tiene

endomorfismo

(V,g)

verifican

g a ti vo s

(V,g)

la P r o p o s i c i ó n de

hacer

una r o t a c i ó n

en l a d e m o s t r a c i ó n

(V,g)

n ^ 2,

hay que

eudideo

de una i s o m e t r í a de

x/0.

c o n c l u y e la prueba·

est e

r a es que

p la no

s u p o n g a m o s qu e f(x) = a.x, 2 tendrá, a .g(x,x) = g(x,x)

(V, g)

un

isometría

e s p a ci o de

s con p + q + 2 . s = n

vecrtorial

euclideo

( \J, g ) . En ton c es ,

y una base

con

d i m ^ V = n,

e xi s t e n en te r os

ortonormal

B de

(V ,g)

no ne ­ tal es

que 0

I P 0

-I

(

R(fc l"(f ,B)

« B ))·

dia go na l

y que

si

de IYl(f,B),

s=D no hay

Demostración.- Pongamos U = ^xeV / Tanto

f(x)

U co m o U 1 son

propio mente

si xeU

invariantes e

y e U 1 se

V i n v a r i a n t e por

p ue d e

ser{jD](si

f(x)

=

pr o p i o

a.x

f.

el

discusión

pag.

9j

el

cu la r

Es

el

generan

ant er i or )

valor

decir,

UJ^ , f vec to r

V.

= -xj .

Si 1 es un

valor

U = ^(^(análoga­

que los

pag.

el

pag. 340).

pag.

propio

un s u b e s p a c i o

dos

xelli"1", x^O,

con

X€UJf\lIJx = {.0 }. Como de- 9 |^j- (ver r es p ec t o

diagonalizable,

entonces

de

en p a r t i ­

zelliX , z^O,

tal

que

= b.z

v ec to ria l

z = b.f(z).

ser

de lli‘L z un

y

f(z)

ve cto r p r o p i o

Ui^ = L ( { z , f ( z ) } )

i g ua lda d. es una

ceno.

ortonormal

resulta

vectores

(z no p ue d e

es el

tuviera

h es a u t o a d j u n t o

Sea

de f a Ui“1“

si

respecto

h es

y

Sea e n t o n ­

f

de

341,

be[R.

pues

que

280)

s u b e s o a c i o UJX , que

existiría

de UJ·1" h =

t e n e m o s que

+ f 1 (z)

: UJ^ --- ► Uii 1 fijo

8.11,

z c u mp l e

a la a n t e r i o r

te una base

f(x)

será también

xelli con lo

adjunto

f a ambo s m i e m b r o s

un p l a n o

f d e b id o

que

valor p r o p i o

ocurriría

endomorfismo

un

independientes

= 0 (ver

a = ± 1 , en t o n c e s

f (f (z )) + Observemos

g(x,y)

endomorfismo

f(z) y aplicando

f (Proposición

n i n g ún

T e o r e m a 9.47,

h tien e

h ( z ) =b . z.

de

E n t o n c e s ,( P r o p . 9.58)

a serla

Consideremos

· Por

/

es e n t o n c e s

que U f M j ' s

y también

^ es

vectoriales

por

tien e

no t ien e

valor

U ' = ^xeV

\/=ü©U‘)es i n v a r i a n t e por f y la r e s t r i c c i ó n

f llljxS un

y

U = \l ^ , si no lo

ces Ui = U 0 - U 1 ( nó tes e de

lug a r

y ü* ).

U y U 1 son a de m á s

= x^

subespacios

de f e n t o n c e s con -1

en p r i m e r

de f) es

por

de

(UJ^, g |^ ) cuyo

Por la P r o p o s i c i ó n de

tanto

invariante

Poir ttanto la r e s t r i c c i ó n

isometría

ordenada

que

son l i n e a l m e n t e

9. 5 6 , ^ p a g .

de

por

f a

único

352,

exis­

) tal cIue I a m a t r i z

de

f|^

respecto

a el l a es c o s 6^

-sen©A

sen 6^

cosgy

con 0 < 0^4. 2 j j qus

es un

Vxelli,

subespado

\/ye^^·

se: hizo

* ^ 0a de

Repetimos

p a r a ur*·. Así,

a h o r a UͮU/^

= 0

ahora

y como

el p r o c e s o

t e n e m o s que

1

donde U,

U*, 111^, 1 ^ j ^ s

si x

g(x,y)

= 0.

(x^,..,Xp)

e

f|^

dim

es una base

es una base una base

son

ordenada

de

descomponerse

como

\J i n v a r i a n t e s por

de

subespacios

U = p

ordenada

(Ui ©UJ^)*1· tal

s

a dos

ortonormal

ortonormal

ortonormal

m

para

V p ue d e

subespaclos

y pertenensn

Supongamos

que UlHlli^ = £ 0^)

\J i n v a r i a n t e por f y tal q u e g(x,y)

\j = u e u ' e u L © . . . &\U

ad e m ás

(nótes e

y dim

ln

ordenada

distintos

U = q.

f,

se tien»e

Entonces

si

(U,g |y), (x p+ i 9 * 9 Xp+q^

de

(ü \

de

g| y (x .,x .. ,) y llT P+ P+ J p+ q+ j +1 (llij,gj^ ) tal qu e r e l a t i v o a e l l a

t e n g a por m a t r a z j -se n D”. \

J )

eos 6j ) con

0 < £h < 2 tT, B =

(x

, H

ortonormal

f o r m a re qu er i da .

^ P.A .P

tipo

Demostración.-

de Por

Est o

ordenada concluye

una

de la que

Sea

base

(V ,g)

un

de

(V,g)

se

que IYl(f,B) es de la

Entonces

ex i st e Pe0(n, IR) tal

da en

Teoirema 9.59.

es p a c i o

ortonormal

tal

la d e m o s t r a c i ó n ·

9 . 6 0 . - Se a Ae0(n, CR).

es del

y sea B^

r e s u l t a que

,. . , x ,x . ,. . , x ,x . , . . ,x , ,x ) 1’ p ’ p+1 ’ p + q ’ p + q +1 * n-1 n'

es una base

Corolario

j ¿s,

de

el

ve c t o r i a l

(V,g),

euclideo

entonces

el

\I d e f i n i d o por IYl(f,B^) = A es un a i s o m e t r í a de el

T e o r e m a 9.59

IY1(f ,B ) es

d é l a fo r ma

= M( f, B) ,

que

ex ist e

una

de seada,

es lo que

base pero

se q u e r í a

ortonormal r e s u l t a que

probar.

con

q ua

dim

endomorfismo (V ,g)

B de

V=n f

(pag. 314).

(V,g)

^P.Wl(f ,B

tn

donde

) .P =

Obsérvese f ti e ne -1.

En este

la del

en el

entonces

cas o p es l a d i m e n s i ó n

subespacio

ni n gú n

T e o r e m a 9.59,

vaJ.or prop io,

\J

propio

s¿ü e x i s t e n p l a n o s

y si que

al g ún

que

v ec t o r

pag.

del

Además,

del

ceno

si la i s o m e t u í a

necesariamente subespacio si s=0

v e c t o r i a l e s en

distinto

356»

es

estos

propio

son

1 ó

\J^ y

q

f es d i a g o n a l i z a b l e

V invariantes

por

fijo por

se a p l i c a en

f ni

f en los

su opu est o. Co mo isometría tonces

caso

de u m e s p a c i o

f es

de uno

(l) ( V , g)

particular

f es

tal q u e

del

T e o r e m a 9. 59

vectorial

de los

euclideo

(\/,g)

que

con

si f es una

dim

ln

V=3,

en-

s i g u i e n t e s tipos:

diagonalizable

IYI( f , B ) es

tenemos

ó -I^

y. exis te

una ba se

(respectivamente

o rt o n o r m a l

si

f = ly

B de

ó f= — 1 ^ )

o bien

(2 ) (V/, g ) tal

f no es

diagonalizable

y e xi s te

f·1 ° 0

\ 0 O < 0 * < 2TT Como

cosO-

0\

-sen^

senG”

eos 67

f r é Tr.

,

consecuencia

ve c t o r i a l

euclideo

rial

ve c to r

bié n

or to n or m al

que (Y)( f ,B ) es

o bién

con

una base

se d e d uc e

tridimensional

a vector,

que

toda

deja

o b ié n l l e v a

isometría

invariante ca da

de un

una

v e c to r

e s p ac i o

recta

en su

vecto­

opuesto.

B de

1 .- En

IR

tric as

g,

se c o n s i d e r a la base g' ,

g B dadas

v » - n · que

g es

que

definida

de una m é t r i c a x=e^-2.e2

una m é t r i c a negativa

degenerada

las

mé­

dot

v « i · (■;.;)

De m o s t r a r g1 es

o r d e n a d a usual B = ( e ^ , e 2 ) y

euclidea

y que

sobre

g 1 es

2 ÍR . Pro bar

in de f in i da .

Dar

t amb ién un e j em o lo

2 ^ ÍR^ q de tal mo do que el vec tor

sobre

sea T e r p e n d i c u l a r

- v -

a cualquier

yeCR* s egú n

g(üer Def.

9.6,

o a g . 300). 2.-

Sean

g y g ‘ dos

finición

9.1,

pag.

métricas 296).

\¡ = £ p (x ) e [R O ]

3.- Sea

sobre

P ro bar / g ra do

V ( ÍR) . S u p o n g a m o s

que

que

F^= F^t( D e ­

g=g‘ .

p ( x ) £ 2^.

Ponemos

g(p(x),

q(x))

=

1 p ( t) .q( t)

dt

(considerando

cada p o l i n o m i o

identificado

a la

■X correspondiente euclidea ( V,g).

en V . Proba r

Obtener,

-Schmidt 4,-

Sea

(V ,g)

un

real

te una úni ca oags.

5.- D e m o s t r a r vect or ial

g*

g*

mediante

de

el

una base

que

( V ,g ) en

un

convierte

ort on or ma l

y sean

de

en

de Gra m( \J,g ) .

V 1 un esp a ci o

Demostrar

a f en una

que

exis­

is om e t r í a

( \J1 , g1) .

subespacio

cumpla

g es una m é t r i c a

or t on o rm a l

métrica

un c o n t r a e j e m p l o

que

que

Drocedimiento

V* un i s o m o rf i sm o .

en V*

y U es

en V/U

oor

v e c t o ri a l >

y 316)

ella,

pag. 308)

V

Demostrar

la base *fl,x,x^ J· no es de

e s pa c i o

y f?

métrico

una m é t r i c a

que

9.14,

métrica

315

polinómica).

a p art ir

(T eor e ma

ve c to r ia l

(ver

f u nc i ón

que

si

(V ,g ) es

de \J, no existe,

g 1 (x + U ,y + U )= g (x ,y ).

un es pa cio en

general

6 .- Sea orden

GR) el

n so br e

g dado

por

métrica Sea

IR (ver

g(A,C)

v e c t o r ia l

p ag ,2 1l) ·

= traza(A.C),

e u c i i d e a sob re -^ ( ÍR).

a h or a

(V,g)

lli = |^f e End no rmal

espacio

un e s o a c i o / f es

o r d e n a d a B de

Se

matrices

considera

A , C e ^ n ( IR). ( U t i l i za r

vectorial

autoadjunto (V, g)

de las

sobre

euclideo

se c o n s i d e r a

el

IR) el

Demostrar

ejemplo

respecto

simétricas

que

de

tensor

g es

una

5 y 6 , oag.2 95) .

con

dim

a g|.

[n

Para

V=n

y sea

una base

orto-

isomorfismo

: Ui ---- + A ( CR) , F (f) = lfl(f,B) y sea g la m é t r i c a e u c i i d e a □ n 8 . □ A “"1 ^ / \ so br e tiJ que hace que F sea una i s o m e t n a (ver p r o b l e m a 4).

F

□

Demostrar

que

g n (f,h)

□

= traza

(f0 h)

y que

, por

tanto,

g

no

□

de pe nd e

de B . 7. -

\¡ y V*

Sean

m o r f is mo .

Demostrar

Probar

que

si g*

de un

U en

que

vectoriales si

(R y f : \1 ----- » \J1 un tnono-

sobre

g ‘ es una m é t r i c a

sobre

V 1 el

tensor

\l d e f i n i d o oor g( x ,y )=g' ( f ( x ) , f ( y ) ) es una m é t r i c a sobre

s ob re

cio

espacios

8 .- Sea

euciidea

e s pa c i o v e c t or i al

v ‘¿ q u i e n (V,g)

vectorial

es

de

es

g?

métrico

(ven e je m p l o

un e s p a c i o t e n s or e s

t a m b i é n lo

ve ct o ri a l

métrica

g.

(V1 ,g* )

Si U es un

métrico

V.

subespa-

y f es la i n c l u s i ó n

6 en pag. 295

hemisimétricos

Pr o b a r que existe una única

es

g

y sea

de or d en

de

)· A ^ (V * )' el

r sobre

3* en A ( \J* ) tal r r

e s oa ci o

V*( ver

Ta g. 2 14 ) .

que

. .^xr ,y1 A . . .Ayr ) = det ( g ^ . y ^ ) ) (ver pag. dea

229 y T e o r e m a

también

lo

es g^.

una base

or t o n o r m a l

9. -

(V,g)

Sea

de

6.43

en pag.

Y en el (A^(\/

un e s p a c i o

caso

227). en que

v e c t o ri a l

cualesquiera

x,y £.11,

que

si

g es e u c i i d e a

),g*r ) a p a rt i r euclid eo .

il4-(*-yHI2 + ÜT'(x+y)R 2 = T-0»*«2 par a

Pro ba r

de una Pr ob a r

de

g es

en c o n t r a r

(V,g).

que

eucii­

10 . - En

un es p a c i o

en t o n c e s

x e y son p e r p e n d i c u l a r e s

Dar

una

interpretación

11.-Demostrar si c ió n

v ec t o r i a l

9.10,

con

geométrica

ayu da

pag.

euclideo

n

de este

que si 2

sí

x,ye V 2

^

hecho. de S c h wa r z

a ^ , . . . , a n son

_

pr o ba r

y sólo

de la D e s i g u a l d a d

303 ) que ’si

e n t on c es

sí

(V ,g)

núm er os

( (3)

en P r o p o ­

reales c u a l e s q u i e r a

n

( Z I . 1 )2 4 n . E . Í 1=1 . i=l y se da la i g u a l d a d 12. mal

En aplicando

a la base cion es 13. -

el

el

e s p ac i o

(V , g)

euclideo

respecto

a^. pa r a

3 usual

Demostrar

no deg e ne r ad o .

(respec.

de f i n i d o

de f i n i d o

neg ati vo) .

1 4. -

(V , g ) un e sp a c i o

tado m e d i a n t e u^xu^ = u^

una base (ver

( (R ,g)

(V ,g)

P ro bar sí

también

y sólo

ve c to r ia l

sí

que

Pr ob a r

t a m b ié n

(x,y»x*y)

es una base

(V ,g)

(como

un e s pa c io

(V ,g)

es

de V.

no d e g e n e r a d o

no d e g e n e r a d o

no se pu e d a

métricos sí

is o m e -

y sólo

sí

es e uc l i d e o (repec.

con

que

si

x,y€^

a x e y,y

or t on o r m a l

v e c t o ri a l Si

en pag. 331 ) pr ob a r

(U , g | ) es

ecua­

ce

que

(\/,g) que

e nt o n c e s si

l\x H= |)y ||= 1

de fi ne

la

que B.

sea U un s u b e s p a c i o

establecer

ortonor­

dim „-,^= 3, o r i e n IH o r t o n o r m a l ordenadaB = (u^ ju^ ^u^ ). De m o s t r a r

pag. 321 ).

eu cli d eo ,

ten em os

15 .- Sea

(V,g)

unas

( \l 1 ,g 1 ) es eu cl i d e o

x *y es p e r p e n d i c u l a r

orientación

una base

U = L (^ e ^ + e ^ ,e ^ ).

no d e g e n e r a d o

ve c t o r i a l

m is m a

ta mb i én

de U X s i en do

su pr o du c t o que

o b te ne r

vectoriales es

i , je£l , . . . , n j. .

( Te o r e m a 9 . 1 4 , o a g .308)

Calcular

base,

es p a c i o s

que

n e ga tiv o)

todo

de G r a m - S c h m i d t

a esta

y (\/f ,g' ) dos

(pag.31 5 ) .

( V 1 ,g 1 ) es

que

a¿ =

(e^+ e 3 ,e^+ 2 .e2 >2 .e2+ 3.e^)-

Sean

Sea

si

procedimiento

i m p l í ci ta s ,

tricos

si y solo

(no

se pane U'L= ^ x € \ y

que U -1" es un sí y sólo

se (2)

tien e de

necesariamente

dim

y

/ g ( x ,y ) = 0 V y e uj

subespacio

sí UflU"L=^0].

eu cli deo )

de V y que

Demostrar

U + dim UL = dim J [n iT u' la P r o p o s i c i ó n 9.34)

que

si

(aunque

^ P r o b a r la s s i g u i e n t e s igualdades:: f = f, /\ a ^ f.h = h-# f . (U t i l i z a r la P r o p o s i c i o n 9.41,

17.-

tal

Se c o n s i d e r a A=

^P.A.P

que

18.-

Sea

adjunto que

^

sea una m a tr i z

(V , g ) un e s p a c i o respecto

exi st e

a g.

un ún ico

/\ a. f =

A a.f ,

pag. 337 ).

_ ( CR). E n c o n t r a r

PeO(3,D?)

diagon al.

v e ct o r i a l

Suoongamos

h € End _ V

/\ A. A f+h = f + h ,

euclideo

que

y sea

f e End

VxeV.

g(f(x),x) ^ 0

au toad junto

respecto

U au t oLn Pr oba r

a g y que

ve r i -

IR fica

g(h(x),x)^0

\/x

e

V ta l qje

h«h=f

(compárese

con

Dag.

2 8 6 )·

3 19.-

Se

considera

cuadráticas

sobre r(

( CR ,g) IR

3

s i e n do

dadas

2

\

[R^.

x= a ^ .e^ Encontrar

F 1 fo rma s

2

- a^ - 8 . a ^ . a 3

+ a 2 ' e 2 * a 3 #e3 bas e s

y F,

3 ‘ a i _

da ba s e

Demostrar

{u,vj- de V , s i e nd o

En p a r t i c u l a r

si

{u,v}

metrica

e u c l i d e a u su al

2 8 . - Se

considsra

(V,g),

dota do

define

F^eEnc^V

en

(V,g)

= - F

x

el

29.- Demostrar

=

el p r o d u c t o

(det

f).u*v,

vectorial

pa r a

to3 en ffi .

usual

respecto

de 9 |y>

de

que

f| = IIf (u) *f ( v) ||.

p r o ba r

por ^ ( y )

todo

din ^ V = 2 y sea f un

es o r t o n o r m a l

=

a c(B).

vectorial

vector

qu e p a r a

Para

siendo

yeV

V adjunto

s i e nd o

x ^ 0,

xe’ J,

producto

Ker F^

e

de

respecto

se

ve ct ori al

Im F^.

q u e ^ x (y) = z ? b)

tal

g la

tridimensional

cada

M X M el

Caracterizar

ve cto r

de

|dat

euclideo

c(B).

x *y>

a)

de un

endomorfismo

, pa r a

con

f ( u )* f (v )

de u n a o r i e n t a c i ó n

relativo

q ue

"x"

un e s p a c i o

zelm F^ ¿ e x is t e m á s trar

que

de F

Dadc Demos­

de g es F

=

x. t o d a Aé'íf (IR) se c u m p l e

( t r a z a A )2 ^ n . t r a z a fc2 y se da la i g u a l d a d

si y solo

problemas; 6 y 11

es ta l ec ció n).

30.-

Sea

(V,g)

cualquier

un

de

si A =

a.I

para

n

a lg ún

adR.

espacio v e c t o r i a l euclid eo con din^l/

endomorfismo

de V( IR) .

de \l se c u m p l e

Probar

traza(f)

=

n

que

para

..

(Ind.

= n y

ver

sea f

c u a l q u i e r base

. g ( f ( x .), x^ ). Si r \ - Z

)

j 9 k= l f es a u t o a d j u n t o ,

tr az a(f )

= 0 si y solo

si

g 2 2 * g ( f (x ^ ) , x ^ ) +

+ 91 1 * 9 ( f ’( x 2 ) >x 2^ “ 2 . g l 2 . g ( f ( x 1 ) , x 2 ) = 0. 31.- Saa y se a n a)

( V ,g)

un

f,heEnc^\/,

Probar

r i a n te s

que

por

u n a ba s e

los

espacio

autoadjuntos subespacios

h (resp.

ortonormal

nales.

(Ind.

propio

de f).

v e ct o ri a l

por B de

Diagonalizar

f).

la

euclideo

respecto

a g y qu e

p r o p i o s de

f (resp.

b)

(V,g)

métrico

Demostrar tal

que

que ltl(f,B)

restricción

con dim

cu m pl e n de h)

son

es p o s ib l e y IYl(h,B)

'i = n IR f 0 h = h 0f. inva­

en c on t ra r

sean

diago­

de h a cada su be s p a c i o

APENDICE: GEOMETRIA Y RELATIVIDAD ESPECIAL.

"Es t o y cial so

la c o n s e c u e n c i a

del

pensamiento

filósofos mo

de

ciertos

los

convencido

así

con tr ol ,

que

sido p e r j u d i ­

ha ten id o

fu e ra

conceptos

a las

ha

c i e nt íf i co ,

sa car

de este

de que

del

el

en el p r o g r e ­ em p eñ o

do m i n i o

fundamentales,

do minio, al t u r a s

que

del

empiris­

trasladándo­

est á ba jo

intangibles

de los

n u es t ro

de lo a p r i o -

rístico". A.

"La Te or í a nificó par a del

el

Especial

comienzo

de s c i f r a r se n t i d o

de la R e l a t i v i d a d

de un di fíc il

te o r í a s

co mú n

Einstein

que

y que

aprendizaje

vi ol a n

sólo

sig­

los p r i n c i p i o s

pu ed e n

ser

expresa­

das m a t e m á t i c a m e n t e ' 1. L.

Des de

muy

a n t ig u o

ÍYlecánica clásic a, est a do

de

de dicho

rep o so

el

sigl o

XVI,

como

Nin g ún puede

sistema.

d e c id i r

o movimiento

cu e s t i ó n

enunciarse

físi co

de los

problemas

si e x i s t í a uniforme

que más

una f o r ma

de

UJilliams

preocupaba de

un cuerpo,

en la

determinar desde

el

"dentro”

cuerpo.

Es t á por

era

uno

P ea r ce

quedo dio

su

parcialmente

z a nj a da

r amoso P r i n c i p i o

cua nd o

Galileo,

de R e l a t i v i d a d

que

allá puede

sigue:

experimento c o n du c ir

mecánico

a de s c u b r i r

que

tenga

lug a r

el m o v i m i e n t o

dentro u ni f o r m e

de un de

si st e ma

dicho

Este lu ga r

en

implica

dos l a b o r a t o r i o s

respecto amb os

Drincioio

del

otro,

d eb en

laboratorios.

nico

respecto

Esta

afirmación

Es

de dos es

que

los

fenómenos

"inerciales", expresarse

decir,

mecánicos

uno con

velocidad

de la m i s m a

fo rma

las

ecuaciones

de

observadores

inerciales

ti e ne n

de he c ho

equivalente

al

que

te nga n

uniforme

respecto

de

un e x p e r i m e n t o la m i s m a

Principio

mecá­

forma.

de R e l a t i v i d a d

de Gali le o. Otro

postulado

transcurre

nos

para

de es tas

dos

constante

las

del

hipótesis

un h i p o t é t i c o

relacionan

suceso

de la m e c á n i c a

independientemente

A pa r ti r que,

b ás i c o

mundo

v respecto

observador se o b t e n í a n

0

ecuación

se le t*

que

nos

dice

A p ar t ir

el

consecuencias na

del

que 0,

caracter

de las

mu n d o

v ia j a

es tá n

físico.

t an t o de

cial

velocidad

0

con

v

es Al

se r i as sic a

v e l o c ia d es ,

la

final

ü',

el

hac en

s e g un d o

se nci l le z )

de un mi sm o con

velocidad

.

del

tiem po

de G a l i l e o

"de

ac ue r do "

po d e m o s con

con

nuestra

si

cuando

Otr a

de 0 y O 1 ).

fácilmente

al g un a s

experiencia

que la l o n g i t u d

var ía

a b so lut a.

a saber,

(independiente

se o b t i e n e n

decir

0 ' no

ui r e s p e c t o

del

si glo

dificultades

a a l g un o s

ex i gi ó

de la luz.

Como

para

fenómenos

naturaleza

épo c a

(para may or

Ga lil eo

de una

es m e d i d a

consecuencia

0 M es un te rc e r

de O 1, la v e l o c i d a d

cotidia­

por

v a r il l a o'o por

es la ley

observador

de

iner­

de 0 M re s p e c t o

de

+ vu.

A partir, de los to la

L

de

= t

una c a n t i d a d

adicción

tie mp o

otra

absoluto

Así,

solidariamente

es por

añade

ecuaciones

que

el

ecuaciones

que

y

que

al pr im er o ,

X* = X - V .t A esta

las

espaciales

inerciales

era

inercial.

unidimensional

mediciones

observadores

clásica

trabajos

p a sa d o

a p l i ca r

se

los

de Yo u ng

existencia

este

em p ez ó

relacionados

ondulatoria la

se

su p o n í a

en

cla ro

presupuestos con las

y Fr es ne l ,

de la luz, del

a ver

que

de la

re po s o

física clá­

propiedades que

pusieron

la m e n t a l i d a d

"éter"

existían

como m e d i o absoluto

de la luz. de m a n i f i e s ­

mecanicista

de

de p r o p a g a c i ó n se p en s ó

que

con

algún

tioo

de e x p e r i m e n t o

se el m o v i m i e n t o

que

uniforme

de

la v e l o c i d a d

de la

luz en el

se p en s ó

si

enviaba

se nt i do ces,

que del

como

s i en d o

do un

m o v i m i e n t o de

se gún

c la

Tierra,

se

la

rayo

del

de luz

influenciados artificiosa cía que c + v, algún

tipo

" e m puj e" El c o nt r a

al

de

ri a nt e s

observaba

que

nos

Por

de las

emi sor

el

que

se

ecuaciones

fenómenos

acerca

dió la p r i m e r a

su ar t í c u l o

" Sob re

que

co n ti e n e

su T e o r í a

los

dos p o s t u l a d o s

como

una

nadie

del

c

+ de la

t r a­

una r e s p u e s t a Así,

se

de­

de luz

era

mediante

era un ci ert o

v.

de c -

experimentos

que,

parecía

envian­

de la

" fr en a ba "

cas o

estos

v,

ent on ce s,

rayo

como

consecuencia

de Maxiuell

darse

iba

en

apuntamos

en

de las

c u en t a

ecuacio­

que

en las

no i n t e r v e n í a la v e l o c i d a d

esta s

ecuaciones

no eran

inva­

sn la

resolu­

de Galileo.

y otros

dificultades

Se p en s ó

éter

de v e l o c i d a d e s

curiosamente,

Poincaré

de

ui e n t o n ­

que la v e l o c i d a d

e xp e r i m e n t o .

segundo

resultado

la d o

ecuaciones

el

en l u g ar

obtenía

otro

a que

ver el

opuesto

de la época,

del

En el

c

c.

a

la v e l o c i d a d

rayo.

adicción

y que,

por las

Einstein

de

c d ebi do

hacía

era

a nt er ior ,

de las

mu c h os

de

resultado

y

la v e l o c i d a d

y s en t i d o

el p e n s a m i e n t o

caso s

arrastre

Lor e nt z , ción

por

de ese

de la ley

foco

duda

dirección

r e p i t i ó el e x p e r i m e n t o

igual

de los

de Ga lileo.

del

"asombrosamente"

m/s

ser ía u/ =

se e n c o n t r ó

p o rq u é

problema

soluciones

ca so s

que g

a 3.10

su v e l o c i d a d

v a cí o y v

dirección

ambos

e igual

de v e l o c i d a d e s

Se

detectar­

Supuesto

en la m i s m a

y se m e d í a

en el

p o dr ía

de la Tierra.

luz

primero

se

el

la p á g i n a nes

sin

en el pe ro

era

En

a la luz,

constante

v = ui - c.

en la m i s m a

de la Tierra.

era

un rayo de

de la luz

yectoria rayo

vací o

la T i e r r a

ob t e n e r

de luz

traslación

ley de a d i c c i ó n

velocidad

podríamos

involucrase

que,

contribuyeron desde

de la luz. solución

la

fí s ic a

Pero

si g ui e nt e s:

no

ava nce

clá sic a,

fue

satisfactoria

la e l e c t r o d i n á m i c a es p ec i al

al

de los

presentaban

h a s t a 1. 905

que

A.

con la p u b l i c a c i ó n c u e rp o s

de la R e l a t i v i d a d . Es ta

en m o v i m i e n t o " se bas a

en

( 1 ) La s tod os

los

c i on e s

leyes

dela

sistemas

de la m e c á n i c a .

(2) L a luz temente

del

El

se

postulado

de

ciertos

resultados

les

los

ninguna

Einstein

cuya

del

com o los

dos

segundo

da ba n

(pag.

b a se en tr e espacio b r ev e

de E i n s t e i n ción

es

unidimensional

un o b s e r v a d o r minado

por

respectivamente,

(*)

On ce

dolo, los

sistemas

de

como

sin

a las

de c am b i a r

buscar­

y un eje

de lo

que

pu n to

de

vista.

conducen

a la

v e ct c r i a l

y tras

tra ta

métrico

hemo s

la o b t e n c i ó n

consecuencias

346)

0 de L,

ca da

por

su c e s o

de n ú m e r o s

po se e

tanto,

de las

el

Einstein

medida

observador

reformuló

de la F í s i c a

(x,t)

0.

ti ene n

de dicho

ecuaciones

en c o n t r a p o s i ­

el

de Galileo.

espacio

una

físic o

r ect a L.

que

d esd e

desde

principio

la m i s ma

Para deter­

co r re s p o n d e n ,

0 y al

Conviene

este

,

una

e s t á .p e r f e c t a m e n t e

re ale s

orientada

por

de

incluido

de estas,

de

de ca m b i o

que

d es cr ito ,

ver

no e u c l i d e o

de l a pag.

obv i as

de

introducción

son ecuaciones

sentido

r a z on e s

Se

antes,

in er c ia l es .

en las

de la R e l a t i ­

co mo

le y es

coordena­

ocurría

simplicidad,

tarde

ll eg ó

tem po ra l

ecuaciones

ordenado

que

c u a t r i d i m e n s i o n a l , ob t e n i d o

de las

y es tá

La s

a ce p t a r

367,

redo j que

dic i en d o:

que

de la c i n e m á t i c a

(en el

Por

a la a b s c i s a

años mas

Principio

en la pag.

in e rc i a l

un par

que m a r c a un

por

del

ordinario

de E i n s t e i n

a lg u n a s

a las m e n c i o n a d a s , Consideremos

for m a

co n t r a

espacio

h is t ó r i c a ,

veremos

en

ecua­

emisor.

ecuaciones

nueva

de E i n s t e i n

mé tr ico .

introducción

las

c , independien­

experimentales

las

v i si ó n

ortonormales

vectorial

que

en

último

ecuaciones

ba s es

hechos

"una

una

este

Postulados

que las

i gu a le s

367).

un ^modelo m a t e m á t i c o 1: ci e r t o y de ver

velocidad

no es más

tridimensional

a dar

de sd e

son

v á l id a s

artificiosa.

trasformaba,

vam os

especial

foco

en un e s p a c i o - t i e m p o

de G a l i l e o

No s o t r o s vi d a d

se

óptica

sean

generalización

de a l g u n o s

e sp a c i o

coordenada

ecuaciones

una

y el

que

naturales

f u si ó n

es

ITlinkouiski d e m o s t r ó

(pag. 3 7 4 )

das 41 er an por

Ga lil eo,

explicación

En 1. 90 8

en el v/acío con

de m o v i m i e n t o del

Relatividad

y la que

(*)

propaga

estado

p r i m er

electrodinámica

de r e f e r e n c i a en los

tiempo un

generalizan-

fo rma

en

todos

punt o

de vis ta

su ce so que

te ng a n

o cu r r a

del

que

el

0.

mediante

este

que

ec u a c i ó n

par

A c.t

observador

d es de

las

las m i s m a s

por

vacío.

s uc eso s

que

en la a b s c i s a

representar en el

fí s ic o

x y t i em p o

( r e s p ec t o

describe

con

x

el

espacio

del

2

de L

el

a

de la luz

s u ce so

re s p e c t o

co n j u n t o

de los

2 JR . S u p o n g a m o s

numérico

vi ene

un

de 0 ) lo vam os

c es la v e l o c i d a d

tiampo-luz

de luz

representan

a un su ce so

t = 0 se l a n z a un

rayo

2

esto

0 , identificamos

t i e mp o

el

t

don de

denomina

en L

que

Por

observador

x = 0 y en el

coordenadas

d im e ns i o n e s .

(x,c.t),

se le

ocurren

que

dos

rayo

dada,para

de luz;

la

0 , por

2

- c . t

= 0.

2 Si

definimos

so br e

(R

el

tensor

simétrico

2 vece s

covariante

g por

9 (U’U') = (V a2 }· ( 0 _ j sie n d o

u =

ve c t or i al y tiene 21, pag. 2,

( a ^ , a 2 ), métrico

ín d ic e 363)

1

tu =

»b^),

indefinido (pag.

con

(b

el

363);

espacio

’ (bj) * 2 ( IR ,g)

entonces

9.8), 2 ( IR ,g)

es un e s Da ci o

(Definición

g es no

por

es

tan t o

vectorial

métrico

degenerada

i s o m è t r i c o (prob. 2 ( IR » 9^ ) del e j e mp l o

pag.

294. A la m é t r i c a g la l l a m a r e m o s la m é t r i c a de L o r e n t z 2 2 usual de IR , y a ( IR ,g) el pla no (ve c to r ia l ) de L o r e n t z . 2 El o b s e r v a d o r 0 pu ed e vers e como la base usual de IR , B = ( e ^ , e 9 )

pero lo

importante

la base

B cum p le

es que

con

resoecto

a la m é t r i c a

gCe^e^ = 1 = - g(e2>e2),

de L o r e n t z

g,

gíe^e^ = 0. 2

Así B es una ba se en el

s e n ti d o En

el

(Definición está

la

de la pag.

p la no

por

Nót es e

e cu a c i ó n

que

346

de L o r e n t z

9.5).

d es c ri t o

mismos.

ortonormal

que

del (ver

ha b la r

de luz

,g)

9.53)

de p e r p e n d i c u l a r i d a d de un

rayo

son p e r p e n d i c u l a r e s

coordenadas

un rayo

m é t r i c o ( IR

el T e o r e m a

movimiento

u ^ 0 que

si u tien e

describe

el

v e c t o ri a l

t a m b ié n

p o de m o s

Precisamente vectores

espacio

(x,c.t)

se e s cr i be

en B, ahor a

de luz a ellos en t o n c e s g(u,u)

= G.

Consideremos en L, este

que

se mu e v e

observador

do pa ra de sd e

ahora

0.

x1 =

con

un

s e gu n d o

velocidad

0 * podemos

observador

constante

realizar

v respecto

un a ná l i s i s

En p a r t i c u l a r ,

la

ecuación

0 en el

t*

= 0 vendrá

tiempo

in er ci a l

de un

0*

de 0.

si m i l a r

rayo

, ta mbi én

de luz

al

Para realiza­

e n vi ad o

d ad a por

x · 2 - c2. t · 2 = 0 ya que, para

por

un lado,

0* que l a

Relatividad p a ra

0*

(

369.

01 =

(l)

misma El

par a

ecuaciones

con las

males

B y B* An t es

de p a r t i d a p e ct o

dada por s i en d o

del

de

ve rs e

como

una

el m o v i m i e n t o

de

ca mb io

i n e rc i al

que

re ale s

para

el l e c t o r

hace r

de la luz (2)

de

or to n o r m a l

es i s o m é t r i c o ( IR*,g,), 2,

pag.

saber

de bases.

traspasar

al

las

que,

entonces

En lu gar

usual

ortonor-

de

y g'Ce^e^) Así

el

g

ine rc ia l

espacio

son las m a t r i c e s

duda

sería

un buen

k ¿ j,

de

e s pa ci o

es la m é t r i c a

observador del

como

astá

= 0,

espacio

ah o ra

ordenada

g*

la m é t r i c a

dond e

como

res­

una l i st a or2 ( (R ,g) se u t il i za

idéntico

Cada

mun do

por

donde

de (R^.

si n u e s t r o

ta n to

espacio

las

0 y 0 *, es

base s

(y por

Sin

de luz

cada .suceso,

representa

i = 1,2,3,

294.

ortonormal

interesa

rayo

ot r a m e d i a n t e

e nt r e

notar

( IF^,g' ),

= 1 = - g' Ce^ e ^) ,

tipo

de

,

(x , y, z, c.t ).

(e ^ ,e ^ ,e ^ ,e ^ ) la base

este

base

nos r e l a c i o n e n

de base

0 , se

de Lorentz-IYlinkoujski

ent r e

forma

Postulado

del

una en la

tridimensional,

base

velocidad el

0* pu ed e

la m i s m a

el P r i n c i p i o

otro la

de Lo re nt z .

sido

base

se g ún

con

hubiese

en una

tener

acuerdo

conviene

lYlinkoiuski, y así

sigue.

y por

de c o n t i n u a r

v e c t o r i a l m é t r i c o ) con 4 IR dada en el e j e m p l o

que

370)

de c o o r d e n a d a s

p la n o

Lorentz-IYlinkouiski

convierte

),

describen

ecuaciones

g'Ce^e^

B =

369

que

d0 Lo re n tz .

que

cambio

de n ú m e r o s

espacio

0 (pag.

que p ar a 0,

de un o b s e r v a d o r

denada

tiene

0 *, debe n t r a s f o r m a r s e

de

deci r

por

observador

ecuaciones

0 y pa r a

ecuación

en pag.

d 0 l P l ano Las

el

obtenida

es la

la pag.

est a

sobre se

de L o r e n t z de cam bi o ejercicio

de Lorentz-IYiinkoiuski aq ue l lo

de

Dadas pl a no

las

ba ses

de L or e n t z ,

r e s u lt a

que las

ortonormales

si

ei

1 = al l - ei

1 · + a21'e2

e2

= a 1 2 .e·

+ a^-e'

ecuaciones

buscadas

a

B

será n a

11

12

a

21

c .t

22

f

y B*

no es

son

llegamos

base s

ortonormales

Por

tant o

(Definición

a que la m a t r iz

de

c a re c e

9.17),

re g ul a r

un e s p a c i o

de

pe ro

sentido

en una base

Utilizando

ortonormal

de

7.9,

se

caso l í m i t e es

decir,

de ca m b i o

c u an d o

que los -B'

de ba se

de base

mente,

B y B 1 d e b en

(*)

conjunto

A que c a m p l e n Lorentz

obtenga

dos

de toda s

2,

242,

de la m é t r i c a

obtenemos

un p u n to

estar

de

que

que

f ís i co

el

coinciden

en uno

solo,

cualquier

en l a s e c u a c i o n e s o tr a m a t r i z

de

I . lilas g e o m é t r i c a ^ 2 o r i e n t a c i ó n de ÍR (pag. 264)

la m i s m a

las m a t r i c e s

de

cuadradas

un gru po

y se r e p r e s e n t a

de v is t a

contenido

"continuamente"

^ A .G . A = G fo rm a

de orde n

pag.

observadores

debe

d e f i ni r

en la p a g. 31 2

2 ( IR ,g).

desde

y es p e n s a b l e

ca m b io

El

se

= B,

como

A = t 1.

d e s e c h a pues,

en el

que la mat ri z

(#)

G es la ma t ri z

el T e o r e m a

decir

A cu m pl e

, es decir,

det

caso -1

= líl(L-2 ,B ,B 1 )

ve c t o r i a l m é t r i c o

razonando

fcA . G. A = G

Lorentz

11 12 \

a 22 /

euc lid eo.

A es o r to g o n a l

El

(e^ > e 2 ) d e ^-

A=

Ul que

y B1 =

escribimos

a

donde

B =

por

que

de or de n

se l l a m a

0^(2, (R).

el

2 sobre IR gr upo

de

De la Además,

condición

como

que

A se

o bt i e n e

a^^ ¿ 0 .

que

t e ne m o s c.t*

de la e c u a c i ó n efecto,

v e r i f i c a la m a t r i z

para

= a 2 1 -x ** a 2 2 #c,t

matricial

aquellos

de c am b i o

sucesos

que

de base, o cu r r e n

resulta

a^^>0.

que

en 0 est a

fórmula

En

se es ­

cr ibe c. t si a^^

A cada

a

de si

orientación

es

( co mp a ra r

A = 1

ar ri b a

eq u i v a l e n c i a :

la mi s m a

de e qu i v a l e n c i a .

A«0^( 2, IR) con Se ll a ma . e l

que

0. una

con pag. >0

Se de 264).

es un

especial-temporalde Lorentz.

(v/c)'

__ - ( v / c

—

t'

Vi

Obsérvese de G a l i l e o de x.

Por

(pag. otro

de la luz que

c,

po d e mo s

ción

que,

en c o n t r a

lado,

rí gi d a que

ecuaciones

via j a

- x^.

esta m e d i d a

7 -

Vi Esta de ser

fó rmula,

interpretada

longitud

que mi de

la l o n g i t u d Este pues es

que

las

decir,

fe n ó m e m o ecuaciones la

de la v e l o c i d a d

que

-

las

ecuaciones

t sino

ta mb ié n

con la v e l o c i d a d

** o,

v/c2

son una con

lugar,

respecto

que

a c.

de las

una

su l o n g i t u d

es -6 =

con lo

aproxima­

consecuencias

la l o n g i t u d

~

b ar r a

y encuentra

de la barra, x^ - x ^ .

hace

A par tir

obtenemos

. i

( v / c )2

no i g u a l d a d

l/V/l

0 de la b a r r a que

que mi de

que

como

y

v pequeña

0 * mid e

d e m u e s t r a la

así:

» 1

de L o r e n t z

^

de

comparada

en p ri m e r

0 mide

ecuaciones

-

no sólo

a l gu n a s

y encuentra

t

ocurría.con

de G a l i l e o

pa r a

con 0 *.

También

de las

(v/c)2

( v / c )2

I m ag i ne m os ,

instantanea

la p r i m e r a

-

a d e d uc i r

solidariamente

-

muy p e q u e ñ a

ecuaciones

va mos

Vi

ah o r a

de L o r e n t z

de L o re n tz .

es

de

las

( v / c )2

de lo que

1/Vi

r e s ul t a que

A continuación ecuaciones

m es

-

+

t1 d e pe n d e

si

que

X

( v / c )2

367),

decir

de las

-

)___

Vi

-

en tre

( v / c ) 2 > 1 , si

v i a j a con

0 * es mas

i

y ¿

, pue­

v / 0 , la co r t a que

O 1.

no

se e n t i e n d e

de G a l il e o longitud

relativa

de sd e

nos

la f í si c a

habrían

medida

de 0 * r e s p e c t o

dado

í = í

de la b a r r a de

0.

prerrelativista,

no

(ver

p a g . 367),

dependería

N ó t es e ble,

qu e

de m a n e r a

consigo

el que

velocidad

la l o n g i t u d

el

que

cual

estamos

hem o s

que

"supertren",

que

de

0 y 0*

es

intercambia­

v r e s p e c t o de O 1 , y 0 ll e va

esta

vemos

con

coincide

an de n

mide

por el

de

obteniendo

va a v e l o c i d a d pa s a

que

en el

medido

s e g ún su c o n d u c to r ,

en

observadores

O 1 es m e no r

que la

0.

Imaginemos ca rr il,

de los

si 0 l l e v a

una barra,

que m id e

Un

papel

estación

de

su

longitud

es 10 0 mts.

que

(\ f z / 2 ) . c

v =

la es t a c i ó n

a nd e n y por

una

y,

en

ferro·*

y que nid e

el m o m e n t o

tanto n i de

200 mts.

de cruzar la,

lo mi s m o

que

el;

efecto,

200

i

=

2.1

=

\f iM lo que do

implica

que

= 10 0 mts.

cr u z a la es ta ci ó n,

a velocidad pa ra

el

v/ =

(V 3/ 2). c

conductor

Supongamos medida

desde

observador nes

mide

del

respecto

dos

0 en los

de Lo r e n t z ,

and en

si

l//l

se g ún

el

respecto

-

de

el,

su ce so s

instantes

y

t^

y así

que

t^

del

del

suyo.

intercambiables, el

rel oj

Si

se o b t i e n e n

es t a

viaja r

ande n

t ? . Los

tren el

mide

cuan­

anden 50 mts.

por

en la p o s i c i ó n

t ie mpo s

la s e g u n d a

que

de las

mide

x el

ecuacio­

. (t - t ). K 2

t^ - t^ > ^ 2 - t^ , o sea,

observador

0 1 resulta

que

Pero,

antes,

papeles

de 0 * r e t r a s a

como que

la

del

el

el

reloj

reloj

que

de 0 re tr as a

de 0

y

0'

son

de 0 *, di r á que

suyo.

es t r i d i m e n s i o n a l

dirección

como la c o n t r a c c i ó n

los

si 0 ve

r e sp e c t o

de p a r t i d a

"contracción*en

co no c e

el

del

ocu r re

de m a n e r a

el e sp a c i o

que

al

se p r o d u c e n

y

( v / c ) 2 > 1 , r e s u l t a que

reloj

conductor

res ul ta r á,

t' - t' = ------ ------2 1 |-----------------------------\|l - (v/c)

Co mo

el

s up er tre n.

ahor a

0 1 , t'^

el

Pero,

del

sólo

m o vi m i e n t o .

de L o r e n t z - F i t z q e r a l d .

se v e r i f i c a r á

Este

f e nó m en o

se

Este pues, del

fenómeno

como

sa bemos,

o b s e r va d or ) .

de

50

de b i d a s

años,

o a ra

En

h e r m a n o s g e me l o s " mas

relativista est a

no se el

entiende

t ie m po

su

ti e mp o

dió lu g a r

que,

a un q ue

fue

todavía

sig u e

fundamentalmente

era

en la

absoluto

a la

c lá s i c a

(independiente

famosa paradoja

e x p l i c a d a por

conduciendo

Císi ca

A.

Einstein

a situaciones

a interpretaciones

erróneas

de

"los

hace

ya

extr aña s,

de la

fórmula

an terior. Imaginemos sale

un dia de

v respecto d o re s

viaje

de P que

"inerciales"

h e r m a n o P* ha sa l id o las

dos h e r m a n o s

en un a nave se q u e d a

su nave

en

es

P 1 . Supongamos

Al

cab o

con

velocidad

(ahora

de un

que P 1 constante

nuestros

c i er t o

observa­

ti emp o

T

el

respecto

de P.

De sd e

ha t r a s c u r r i d o ,

se g ún

la s e g u n d a

(pag.

T* =

y

esp ac i al ,

(v.T,c.T)

e s pa c i a l

e c u a c i o n e s de L o r e n t z

P

en la T i e r r a

son P y P 1 ).

se e n c u e n t r a en

g em elo s

374),

- (v/c)2

\jl

-

P1 de

en su reloj

1 - (v/c)2 Vi

que

T

decir t'

En ese man o

instante

ge m el o P.

P* EL

=

regresa tie m po

la f ó r m u l a

pr e ce d e n t e ,

p a r a P han

pas ad o

(v / c )2

a la Ti erra,

de

para

v u e lt a

que p a r a P*

han T1 +

Como V i

-

ge me lo P,

(v/c)^ > 1, resulta

¿ Como dudas

se

soluciona

sobre la v i a b i l i d a d

de m a n e r a

casi

encuentra

es T pa r a

c u an d o

unidades

se

su

her­

P y T * , dado por

P 1 regresa

junto

a P,

de tiempo,

pa s ad o = 2 .\jl

T*

oc u r r e

ser mas

.

dond e

de P*

P 1 . Así,

T + T = 2.T mientras

. T

-

. T

u n i da d es

que P 1, a su e n c u e n t r o

joven

que

práctica pero la

de

tiernoo.

con

su h e rm a no

que

ex i st e n

P.

e st a p a r a d o j a

i n st a n t a n e a ,

( v / c )2

de

? P ar e ce ob t e n e r

ser

velocidades

r e s p u e s t a más

sencilla

muy

serias

alt as

es que

P* por

en el m o m e n t o tanto,

Lorentz

de su

regreso

deja de ser

no se pu e de

aplicar

la c o n s e c u e n c i a

que

acabamos

p l a n t e a la pa r a d o j a , biab le s ,

pues

tiene

Finalmente, 0 ' con

Combinando O 1 , 0*

de P y P 1 en el l a no son

0,

velocidad

a O*, ¿ cual

los

0*

y O 11 son

respecto

de 0

s e r á la v e l o c i d a d las

ecuaciones

obtenemos

las

tres y

tal

ge m el o

observadores

O*' con

relativa

de L o r e n t z

de 0 ,

un h e r m a n o

que

de

se

intercam­

v^

respecto

se o b s e r v a

y,

el

otro.

i n e r c i al e s,

correspondientes

0 M. En e st as

y como

sob re

velocidad

v de ü"

i n e rc i al

ecuaciones

Además ,

papeles

nótese

de las

de deduci r.

cierta prioridad

si

un o b s e r v a d o r

re s p e c t o

de 0 ?

a 0,

0*

y a

que

c La ley

física p r errelativista de

adicción

pequeñas a es ta

de

respecto

hubiese

velocidades de c,

respondido

(pag.

la ley

367).

a est a p r e g u n t a

Nótese

de a d i c c i ó n

que

par a

de v e l o c i d a d e s

con la

V1 y v aproxima

fórmula. .Referencias

P.

G.

B er g m a n n ,

Introduction

to the Th eo ry

of R e l a t i v i t y

, Prentice-

H a l l , 1942. A.

Ei n s t e i n ,

El

significado 4^

A.

E i n st e in ,

A.

edición,

Gr ün b au n ,

A.

de la R e l a t i v i d a d , E s p a s a Calpe, 1980. S.

Eddington

R e l a t i v i d a d , Alianza R.

L.

Faber,

Differential

Geometry

d u c t io n . M a rc e l A.

R.

Lallena,

R e sni k,

A.

Rom ero ,

"Espacios

Yaglo m,

Universidad,

and R e l a t i v i t y

Dekker,

vectoriales

Eps il on,

septiembre

A si mp l e

t eo r ía

de la

1984. Theory,

An

Intro­

1983.

de la R e l a t i v i d a d : 1985,

métricos

y te o r í a

c i n e m á ti c a" ,

num.

a la T e o r í a E s pe c ia l

Li mu sa , I. M.

y o t r o s , La

e s p e ci a l

Introducción

Madrid

5,

pp.

R e v i s t a Mat.

33-37.

de la R e l a t i v i d a d ,

1977.

Non-Euclidean

Heidelberg

Geometry

S c i e n c e L i b r ar y ,

and

its

Springer

Ph ys ic a l Verlag,

Basis, 1979.

BIBLIOGRAFIA

J. de Burgos, Curso de Algebra y Geomet ría, Alhambra, Madrid 1977. J. Dieudonné, Algèbre Lineaire et Geométrie Elémentaire, Hermann, París 1964. F. R. Gantmacher, Théorie des matrices I, II, Dunod,

Paris 1966.

W. Greub, Linear A l g e b r a , (fourth edition) Graduate Texts in Math. Springer Verlag,

New York,

1981.

W. Greub, Multilinear A l g e b r a , (second edition) Universitext, Springer Verlag, New York, J. Heinhold,

1978.

B. Riedmüller, Algebra Lineal y Geometría Analítica 1,11 Rev erte , 1980, 1981 .

P. J. Kahn,

Introducción al Algebra L i n e a l , Castillo, Madrid 1970.

N. H. Kuiper, Linear Algebra and Ge omet ry, (second revised edition) North-Holland Publ. Co. Amsterdam 1965. S. Lang, Al g e b r a , Aguilar, Madrid 1973. S. Lang, Linear Al g e b r a , Addison

Wesley Publ. Co.

Inc.

1966.

A. Lichnerowicz, Elementos de Cálculo T e nso rial , (tercera edición) Aguilar, Madrid 1968. S. Mac Lane, G. Birkhoff, Algèbre I, II, Cahiers Scient. Fase.

XXXV

et XXXVI, Gauthiers-Villars, París 1971. A. I. Malsev,

Fundamentos de Algebra L i n e a l , Mir, Moscú 1972.

K. Nomizu, Fundamentals of Linear A l g e b r a , (second edition) Chelsea Publ. Co. New York 1979. J. de P illis, Linear A l g e b r a , Holt.

Rinehart and Winston Inc. New York

1969. M. Queysanne, Algebra Bá s i c a , V ivens-Vives, Zaragoza 1971. E. Snapper, R. J. Troyer, Metric Affine Ge omet ry, Academic Press, London 1971. F. M. Stewart,

Introducción al Algebra L i n e a l , T e c n o s , Madrid 1971.

INDICE

ALFABETICO

A

Adjunto

de un e l e m e n t o

Angulo

de

Angulo

orientado

An il lo ,

de un a m at riz ,

dos v e c to r es ,

306.

de dos

ve c t or e s,

321.

49.

—

co c ie n te ,

—

conmutativo,

—

de i n t e g r i d a d ,

—

de

las

matrices

—

de

los

endomorfismos

—

de

los

e nt e r o s

modulo

—

de

los

números

en teros,

—

de

los

polinomios,

—

principal,

—

producto

cartesiano

—

tr ivi al,

49.

Anillos

247·

55. 49. 64.

de un e s p a c i o v e ct o ri a l, 48, 47,

de otro s

61.

6.

b i ye c t i v a ,

9.

—

i n ye c t i v a ,

9.

—

inversa

de una b i y ec t iv a , 107,

lineal ,

s o b r e y e c t i v a , 9.

—

traspuesta

d e una

api i cac

Automorfismo

de

a n i l l o s , 58.

Automorfismo

de

e s p a ci o s

vec

Automorfismo

de e s p ac i o s

vec

Automorfismo

de (ver

(ver

10.

108.

— —

Autovector,

56,62-64. 67.

48.

—

Au t o v a l o r ,

p,

165.

Aplicación,

140.

69.

i s om o r f o s ,

A nu l a d o r ,

cu adr a da s ,

g r u p o s , 34. v ec tor valo r

propio ).

pr opio).

dos,

68.

139,

140.

B Base,

c am bio

de,

100,

138,

162,

—

de un e s p a c i o

v/ectorial,

—

dual,

—

o rde nad a,

—

o r d e n a d a dual,

—

ordenada

ortonormal,

—

ordenada

positivamente,

264.

—

ordenada negativamente,

264.

—

o r d e n a d a usual

—

ortonormal,

—

teorema

de a m p l i a c i ó n

—

t e o re m a

de la,

—

usual

192,

312.

89.

159. 94.

de

159.

de

310.

CRn , 95.

308. de la,

96.

92.

CRn , 95.

C

Característica Ca rd ina l, Cla se

de un an illo,

62 •

26.

de e q u i v a l e n c i a ,

C od om o ni o ,

4.

7.

C o m b i n a c i ó n li ne al,

80.

Composición

de a p l i c a c i o n e s ,

Composición

de

Composición

de h o m o m o r f i s m o s

de

anillo s,

Composición

de h o m o m o r f i s m o s

de

grupos,

Co nju nt o,

l i n ea l es ,

111. 59 34.

1.

—

co c ien te,

—

de las

—

ge ner ad or ,

—

or to n or m al ,

—

vacio,

Co nj u n t o s

aplicaciones

8.

5.

p ar tes

de un c onj unt o,

1.

85. 307.

1. c o o r d i n a b l e s , 39.

Con te ni do ,

1.

Contracción

(ver

Coo rd en a da s ,

94,

t ens ore s,

contracción

128,

193,

162,

311.

de)

Corchete

de

Cuaternios Cuerpo, —

dos

matrices

de Ha m il t on ,

233.

70.

65.

conmutativo,

Cuerpos

c ua d ra d as ,

de los

65. números

r a c i o n al e s,

re a le s

y c o m pl e jo s ,

52,

cuadrada

una

57,

D Dependencia Desarrollo fil a

li nea l, del

determinante

o col umna,

Descomposición

87-39. de una m a t r i z

247-249. canónica

de una

apiicación' 1 i n e a l , 113.

Determinante

de un endomcrrf i s m o , 237 , 238.

Determinante

de una m a t r iz

cu adr ada ,

241,

Diagonalización

de un

endomorfismo,

Diagonalización

de un

endomorfismo

Diagonalización

de una m a t ri z

cu a dra da,

Diagonalización

de una m a tr i z

si m ét r ic a ,

Diagonalización

de un

Diagonalización,

t ens or

teorema

Dimensión

de un e sp a c i o

Divisores

de cero,

Do mi ni o,

por

64,

274,

244.

281-283.

autoadjunto,

de tipo

fundamental v e c t o ri a l,

242,

274,

de,

93,

348-349.

284.

341,

(l,l),

341,

348-349.

275.

283.

95,

96,

118.

140.

7.

E Ecuación

característica

de un e n d o m o r f i s m o ,

Ecuación

característica

de una ma t ri z

Ecuaciones

analíticas

Ecuaciones

im p l í c i t a s ,

Ecuaciones

p a r a m é t r i c a s , 257.

E in s te i n,

principio

dB una

cu a dra da,

aplicación

lineal ,

283. 277, 121.

258.

de R e l a t i v i d a d de un

de,

Endomorfismo

ad j u n t o

Endomorfismo

au t oa d j u n t o ,

Endomorfismo

de anillos,

Endomorfismo

de A (V ) i n d u c i d o d o t f, r de e s p a c i o s ve c t o r i a l e s ,

Endomorfismo

277,

369.

endomorfismo,

337.

338. 58. 236. 108,

139,

140.

284.

65.

Epimorfismo

de ani llos,

58.

Epimorfismo

de e s p a c i o s

v e c t o r ia l es ,

Epimorfismo

de gr upos,

Es c a la r es , Es p a c i o

75,

108.

34.

75.

ve c to r ia l ,

74-76.

—

coci ent e,

84,

—

de

las

aplicaciones lineales

de

—

de

las

matrices

sobr e

—

de

los

polinomios

—

de

los

vectores

—

dual,

—

finitamente

—

K n ( K ) , 73,

—

m ét r ic o ,

—

métrico

definido

—

métrico

d e ge n er a do ,

—

métrico

euclideo

—

métrico

i n d e f i n id o ,

—

métrico

no de g en e ra d o,

—

ori en ta d o,

—

85,

97.

de or d en mxn con

\J en \J, 124 -12 8. K,

coeficientes

libre,

reales,

8 6 ,89.

71.

158. ge ne rad o, 76,

89,

8 6 , 90.

85,

95.

292-293. negat ivo ,

302.

302.

(o d e f i n i d o

po s i t i v o ) ,

293,

73,

302.

89,

Espacios

vectoriales

Es p a c i o s

v e c t o ri a le s ,

302.

95.

c om p lej os, producto

73,

8 6 , 89,

cartesiano

103,

de dos,

F Forma

c ua d rá t ic a ,

F or m a

cuadrática

F or m a lineal,

296,

342,

asociada

344.

a una m é tr i c a ,

296¿

158.

6 Galileo,

ecuaciones

Galileo,

principio

Generador.de

302.

265.

£Rn ( tR), 72,

Grafo

13 1-1 33.

un

de,

de R e l a t i v i d a d

grupo

(o gráfico),

367.

cíclico,

6 , 46,

157,

28.

de,

366,

367.

152. 103.

G r a m - S c h m i d t , proceso Grupo,

15 -19,

de o r t o n o r m a l i z a c i ó n

de,

309.

20.

—

cí cl i co ,

28,

46.

—

c oc i en t e,

—

conmutativo

—

de

las p e r m u t a c i o n e s

de

un co nju n to ,

—

de

las i s o m e t r í a s

de

un

espacio

—

de

los a u t o m o r f i s m o s

de

un e s p a c i o

—

de

los e n te r o s

módulo

p,

32,

—

l i n e al

esp ec ia l ,

265,

318.

—

l i ne a l

gene ral ,

—

o r t o g on a l,

—

ortogonal

31,

32.

(o abel ian o) , 2 0 .

141,

313,

iso'norfos,

Gr up os ,

producto

ve c t o r i a l

45. m ét r i c o ,

vectorial,

316.

141.

44.

250.

316.

esp ec ia l ,

G r u p os

42,

318.

39. cartesiano

de dos,

42.

H Homomorfismo

de anillos,

57,

Homomorfismo

de es p ac i o s

vectoriales

Homomorfismo

de

Ideal,

54,

grupos,

33,

ma x im a l ,

—

primo,

aplicación

34.

70. a p l i c a c i ó n , 7.

Im ag en

de

una

aplicación

Imagen

de

un

Im ag en

de un h o m o m o r f i s m o

Im a ge n

di rect a, 7,

I m ag e n

rec í pr oca,

homomorfismo

44, 7,

de una m é t r ic a , 314-317.

line al,

1 1 0 , 113.

de a n i l l o s , 60, de

g r u p o s , 36,

69 , 1 1 0 .

44,

Inctependencia lineal ,

Is o me t rí a ,

( ver

70.

de una

In d ic e

66.

60.

—

Im a ge n

58,

69,

87-89. 363.

110.

61. 37.

lineal).

Is om e t r í a

que

Isometrías

conserva

de un

la o r i e n t a c i ó n ,

es p a ci o

ve c t o r i a l

eu cl id e o,

Isomorfismo

de anillo s,

58,

Isomorfismo

de e sp a c i o s

vectoriales,

Isomorfismo

de

Isomorfismo

natura l,

Isomorfismos

grupos,

34,

319. clasificación

61. 108,

115,

118.

39.

120.

m us i c a l e s ,

324,

325.

L La gr an g e, Ley

teorema

relativista

de,

27.

de a d i c c i ó n

Longitud

de un v ect or

Lor en tz ,

base

L o re n tz ,

el p la n o

Lor en tz ,

gru po

Lo ren tz,

la m e t r i c a

(ver

ortonormal de,

de,

de v e l o c i d a d e s , norma

del

de un

pla n o

de,

377.

vector). 370.

370.

372.

Lorentz-Fitzgerald,

de,

370.

contracción

L o r e n t z - M i n k o w s k i , el

esoacio

de,

de,

374,

375.

371.

M lYlatrices,

123.

—

dia g on a le s ,

—

eq u iv a l e n t e s ,

—

e sc r i t a s

por

cajas,

—

producto

de,

134 -136.

—

suma

131,

—

triangulares

in f er i o r e s ,

156.

—

triangulares

s u p er i or e s,

156.

de,

Matrices

156,

274.

143- 14 8. 155.

132.

c ua d rad as,

operaciones

con,

140.

Itlatriz, —

adjunta,

249,

—

an ti s i m é t r i c a ,

—

columna,

—

de una

—

de un

270. 211,

212,

233,

267.

142.

aplicación

linea l,

e n do m o r f i s m o ,

140,

122, 141,

123, 149.

144,

146.

de,

352-355.

—

i d e n t id a d,

136,

140.

—

nula,

—

or t og o n a l ,

313,

341,

—

, producto

de un e s c a l a r

—

re gu lar ,

—

s i m é t ri c a,

—

traspuesta,

ITlétrica, —

132. 356*

359. por

una,

131,

132.

141. 211,

212,

294,

338,

341,

347,

365.

170-17 2.

293.

definida

n e ga tiv a,

— : degenerada, —

euclidea

—

indefinida,

—

inducida

300,

300.

301.

(o d e f i n i d a p o s i t i v a ) ,

293,

300.

301.

a un su b e s p a c i o ,

—

nb de g en e r a d a ,

—

producto

300,

de ot r as

301.

dos,

lYlinkou/ski, d e s i g u a l d a d

295.

295,

de,

296.

303,

305.

N Norma

de un vector ,

303,

307.

Núcleo

de un homoroorfismo de

anill os,

Núcleo

de un h o m o m o r f i s m o

gr up o s,

Núcleo

de una a p l i c a c i ó n

Nulidad

de una

de

lin eal ,

aplicación

59. 35.

109.

li ne al,

110,

118,

119.

0 Or d en

de un e l e m e n t o

Orientación,

gr up o

finito,

29.

262-265.

—

, automorfismo

—

en un e s p a c i o

—

, isometrías

Orientación

de un

que

c o n s e r v a la,

vectorial que

eu cl i de o ,

consevan

t e mp ora l,

265,

la,

319

266.

31 8-321. (ver

rotació n).

373.

P Paradoja

de los

Pa rt i c i ó n ,

5,

hermanos

27.

gemelos,

376,

377.

Permutación

de

un c o n j u n t o

Pe r m u t a c i ó n ,

n ú me r o

Pe r m u t a c i ó n ,

signatura

Permutaciones

grup o

de i n v e r s i o n e s

par es

Perpendicularidad

(ver

de una,

45,

e impar es,

45.

(ver

relación

de las

de una,

permutaciones).

45,

213.

213.

de p e r p e n d i c u l a r i d a d ) .

Polinomio

característico

de un e n d o m o r f i s m o , 276,

Polinomio

característico

de una ma t r i z

Potencias

en un grupo, cartesiano

Producto

contraído

Producto

diádi co,

Producto

es c al a r

Producto

e xt er ior ,

Producto

interno

Producto

t e n so r ia l ,

182,

186,

187.

Producto

v e c t or i al ,

321,

322,

365.

Proyección

c ua dr ada ,

283.

276 -278,

283.

28.

Pr o d u c t o

de c o n ju n to s , de

277,

ten sor es,

2,

13.

203.

191. (ver m é t r i c a e u c l i d e a ) . 217,

218,

221,

de ten so r es ,

o r to g on a l,

226.

204,

205.

333- 336 .

R R a ng o

de una

R a ng o

de una m atr iz,

Rango

de una m é tr i ca ,

Rango,

a p l i c a c i ó n l i nea l,

t eo r e m a

R e f le xi ó n,

del,

148,

146, 171.

172.

251.

354. de,

163.

Relación

de c o n g r u e n c i a m ó d u l o

Relación

de eq u i v a l e n c i a ,

Relación

de e q u i v a l e n c i a 'en un

un su b gru po,

Relación

de e q u i v a l e n c i a

que

Relación

de o rde n

Relación

de p e r p e n d i c u l a r i d a d ,

(p arcial

de e q u i v a l e n c i a

Relatividad

Es pe c ia l ,

p,

32.

3.

83.

Relaciones

26,

2,

53,

Ro ta ció n,

118, 119,

363.

250,

Reflexividad, teorema

por

110,

grupo

indu ce

abeliano

una a p l ic a ci ó n,

y total),

en un

37,

61,

113.

3.

grupo de la,

354. de,

11,

300.

postulados

Ro u ché- Fro ben ius, teorema

inducida

254,

255.

inducidas 369.

por

un

sub gru po,

26.

Sc hwa rz,

desigualdad

Sistemas

de e c ua c i o n e s ,

—

compatibles

—

de Crame r,

—

determinados

—

homogéneos,

Sistemas

de,

3 0 3- 305 , 137,

e incompatibles,

365.

252,

254.

256.

253. e indeterminados,

256.

255.

de g e n e r a d o r e s ,

Su b a n i l l o ,

164,

362,

85,

89.

53.

Su b c o n j u n t o ,

1.

Su bc u e r p o ,

65.

Subespacio

generado

Subespacio

suplemento

o r t o g on a l,

Subespacio

vec t or i al ,

77,

por

un

conjunto

de v ect ore s,

332.

78.

Subespacios

suplementarios,

Subespacios

vectoriales,

intersección

de,

Subespacios

ve c to r i a l e s ,

suna

79.

Subespacio S u b g ru p o,

vectorial 23,

—

cí cl ic o ,

—

norma l,

Subgrupos Suma

24,

de,

78,

asociado

82,

e i m pr o pi o s, 83,

t e o r e m a de,

de t e r m i n a n t e

Te n s o r

de

tipo

(r,s),

345.

base B,

237,

178,

a l t e r n a d o s , 207,

T e n s o r e s , contracción

23.

99.

e n la

2 1 2 - 225.

d e , 1 9 8- 204.

T e n so r es

c o n t r a v a r i a n t e s , 179,

T en s o r e s

c o v a r i a n t e s , 179,, 205 -229.

229.

78,

79.

a una val or

27.

Te ns o r

T e n s o re s

105.

30.

di recta,

Sylvester,

p r op i o

97,

28.

propios

80.

propio,

279-282.

Te n s o r e s

de tipo

(1,1),

18 2- 18 5 ,

Tensores

h e m i s i m e t r i c o s , 206,

Tensores

simétricos

(ver

208,

de anillos,

Teorema

de grupos,

Teoremas

de i s o m o r f í a

de

de a p l i c a c i o n e s

Trasposición

de m a tr i c e s ,

de un

te ns o r

de

T r a z a de un e n d o m o r f i s m o , T r a z a de una m at r i z

212,

61, 37,

es p a c i o s

Trasposición

Traspuesto

326 -330. 213-228.

también métricas),

T e o r e m a de i s o m o r f í a de i s o m o r f í a

275,

c u a dr a da ,

212-214.

38.

ve c t o r i a l e s , 170,

115.

171.

171.

tipo 155,

208,

62.

li ne a le s ,

170,

206,

(2,0),

206-208.

365. 155,

365.

V Valor

propio

de un e n d o m o r f i s m o ,

Valor

propio

de una m a t r i z

273,

cuadrada*,

Vec to r

libre,

5, 15,

Vecto r

pr o p i o

de un e n d o m o r f i s m o , 273,

Vect or

propio

de una m a t r i z c uad rad a,

Vect or

un it a ri o ,

Ve cto re s ,

276. 273,

276.

71. 280, 273,

339, 280,

307.

75.

—

linealmente

dependientes,

87,

—

linealmente

independientes,

89.

87,

89,

96,

97.

341. 339,

341.

LISTA

DE

SIUflBOLOS

■=: ; £ ; £ ; ^ . I g u a l ; di sti nto ; p er t en e c e ; no p e r t e ne c e.

\< fi

C

Subconjunto

de ;n o

es

subconcunto

de; e n t o n c e s ; e q u i v a l e n ­

cia lógica . ^P(X).

Conjunto

de las p a r t e s

de un c o n j u n t o

X.

n ; U · Intersección;unión. X-A;^. XxY. V

Complementario

Producto

5 3; a» .

31·

cartesiano

Par a

Relación

C(x);X//*.

del

subconjunto del

t o d o ;e x i s t e ;e x i s t e b i n a r i a ; r e í aci ón

Cl as e

de

equivalencia

f :X— *Y ; f ( x ) = y . A p l i c a c i ó n f.

Gr afo

de

f;

X por

el

vacio.

conjunto

Y.

un único.

de e q u i v a l e n c i a . de r e p r e s e n t a n t e

x;conjunto

cocien­

.

te de X sobr e

G(f);Im

conjunto

A de X ; c o n j u n t o

de X en Y;y

im ag e n

de

es la i m a g en p or

f de x.

f.

f (A); f*(B). Imagen d i r e c t a de A; i ma g e n r e c í p r o c a de B. * -1 1 ^ ;f . A p l i c a c i ó n i d e n t i d a d de X. A p l i c a c i ó n i n v e r s a de f biy ectiva. g e f.

Composición

de

g y f ( p ri m er o

ÍN!;Z. Con juntos de les ^ . M e n o r ;m en o r Á 6 ;C(Á§).

núm er o s

Ve ct o r de o r i g en —► por A B .

Cla se s

laterales

k n,n.x.

Nú me r o

Potencias

te

de x se gú n

po m u l t i p l i c a t i v o

Nú cl e o

(resp.).

Ve cto r

lib re

re pr e s e n t a d o

de x.

H.

(c ar d in a l) n £Z,

de X.

en n o t a c i o n e s

de los m ú l t i p l o s

de los

e n te r os

de los

módulo

Gr u po

re ale s

e nt e r o s

del

multiplicativa

y

de

(G,·)

a d it i v o distintos

homomorfismo

en f.

de p;

grupo

cocien­

p.

pos it iv o s.

f:G— ► G 1. Homomorfismo f.

en te cos

x.

( IR>+ );( IR-^o] ,·);( IR^,·)·

Ker

B.

n e u t r o ;s i m é t r i c o

n-é'simas,

p . 2;(2 /p2,+)· Subgrupo

rea l es

A y extremo

de e l e m e n t o s

aditiva,de

de los

números

H/ G= í, Hx/x é g}.

G / H = { x H / x € Gj. ea rd (X) .

n a t u r a l e s y los

g).

o igual.

( G , * ) ; e ; X ^ G r u p o ;el em e nt o xH;Hx.

f y luego

(G1,·)·

de los

nú m e re s

de 0 ;grupo

reales;gru-

multiplicativo

G =* G 1 . G y G* son ^ ( X , IR). S(X); S

g rup os

Conjunto

. G ru p o

de

de las

de { l , 2 ,. . . , Cr3»("l)^^·

Nú m er o

de

i so mor fos .

todas

·) 50»1;~a·

aplicacicnes

permutaciones

inversiones de los

(R/'A ,+ ,·). f : R — ►R*.

Anillo;neutros

A ni l lo

Anillo

carac( R).

cociente

son

de

C ue r po Cu er po

de los

de R sobre

del

Espacio

de los de

U4-Ui;L (H) .S u b e s p a c i o

Q ; \ l =U © 21

U*. Su ma

de e n t er o s

suma

direct a;

opuesto

r a c i o n a l e s ,reales

ideal

de

a.

y complejos.

reales.

A.

(R*, + ,·)·

de las

(R,4*,·)·

elementos

de (R, +, · ) que p o s ee n

de Hami lto n. el

l is t as

c ue r p o de

Kjespacio

n elementos

de U y lli; s u b e s p a c i o U*

inverso.

a^O.

cuaternios

ve c t o r i a l

n2s

el

en

a n ill o

; in v e r s o

de los

y p ro du cto ;

con c o e f i c i e n t e s

\I( K ) ; V*°={o} .E sp a ci o v e c t o r i a l .sobr e K n (K).

de (T.

i so m orf os.

in(R') *Grupo m u l t i p l i c a t i v o

(0H, + ,·)·

permutaciones

e n t e r o s ;an i l l o

de la suma

(R,+,*)

a n i l lo s

Característica

( K f+ , #)»a

de las

de la p e r m u t a c i ó n (T ; s i g n a t u r a n úm e ro s

de p o l i n o m i o s

Homomorfismo

R = R1. R y R*

cru po

íR.

p.

IR, + , · ) 5 ( C , + , · ) · C ue r po ( IRC*]»+»*)·

de X;

de X en

.

( 2 , + , · ) ; ( Z / p Z , · ) .Anil lo módulo

las

ge n e r a d o

es un s u p l e m e n t a r i o

v e c t or i al

trivial.

de K. por

H.

de U en V.

. Su ma tor io.

V/U.

Espacio

IR[x 3 ( IR).

ve cto ria l

Es p a c i o

ci en t e s

ve ct o ri a l

de V sobre

real

de todos

U. los p o l i n o m i o s

con c o e f i ­

reales.

R ) . Espacio

t ( t);C (

c oc i e n t e

v e c t o r ia l

C

sobr e

C;

e sp ac i c

;8 = ( x ^ ,. . ,x ^ ) ;d i m ^ V . B a s e ; b a s e

t sobre F .

v ec to r ia l

o r de nad a;

dimensión

de

V(K).

e ., .., e "l;(e,,..,e ). Ba se usual de K n (K ) ;b a se o r d e n a d a usual d e K n (K). 1 nJ 1 n ( a ^ , . . , a n ). C o o r d e n a d a s en una base o rd ena da; ve ctor de K^(K).

(

f : V— >\l*

— ►V*. A p l i c a c i ó n l in eal ;

aplicación

sK°-- ►V. I s o m o r f i s m o i n d u c i d o por B. o n ul id ad( f); rango( f) . D i m e n s i o n e s (resp.)

lineal

nula.

b

de Ker

\l y V1 son es p a c i o s v e c t o r i a l e s i so mo rfo s. De lt a s ij

J

de K ro nec ker .

f e Im f.

rfl(r,B,B* ); A= (a^j). Hom

K

(V ,V 1 ). E s p a c i o ^(K). Es pa cio

f+h

Matriz

; A+C.

a.fja. A.

•{^ij^í^ijV

Ba s e s

; matri z.

aplicaciones

linealaes

de V en \]\

de las matrices de m filas'y n c o l u m n a s lin ea le s ;

sobre: K.

s u m a de matrices*.

n a t u r a l e s de H o m ^ V , ! / 1) y A n x , ,(K).

f # g;

Composición

de l a m a t r i z A. de a p l i c a c i o n e s lineales;' p r o d u c t o

,B1, B ) . Matriz: d a c a m b io

ErTdK V 5 t/f^(K).

a B y B

de escalares· p o r a p l i c a c i o n e s lineales- y ma t ri c es ·

Rango

IYl(f,B).

de las

S u m a de a p l i c a c i o n e s

ran go (A ).

ID (l

f respecto

v e ct o r i a l

v e c to r ia l

Producto

A.B·

de

Anillos

de ma tri ces .

d a base·

(y e s p a c i o s

Hom ^ (\J f \l)

v e ct o r i a l e s )

ITIatriz de f ^ E n d

tr az a (f )

V en la base o r d e n a d a B. K ; tr aza(A) . T r az a s de f^En d^\J y A 6 VV'-»-V

?-ív·*>ν·

·.·· .·■, ·.· ,. · ■

^.''»"'V w .yw vv '-'vyvtVyv v.w'-* yv;s-

ix:-i>'/.'·;·^

' |'ϊ«■>_'-■·_··,'V

FX/vW'^y