Traité de topologie générale en vue de ses applications 2130482724, 9782130482727

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COLLECTION DIRIGÉE FAR PAUL DEHEUVELS ProJseur ò l'Università de Pari, 2 Pierre ci Marie Curie

MATHÉMATIQUES

Traité de topo logie générale en vite de ses applications PAUL JAFFARD Prafesseur lanoraire à la Faculli des Sciences de Lyon cI a" Cansematoire A'alional des Arer ci Ali! iers

4tr PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE

Somma ire

AVANT-PROPOS ......................................................................................

XI

Ch. O. PRÉLIMINAIRES ............................................................................

1

Définitions et notations employées ....................................... Ch. I.

ENSEMBLES ORDONNÉS ..................................................................

i 5

Ensembles préordonnés et ensembles ordonnés. Ensembles préordonnés et ensembles ordonnés. Définitions diverses. Ensembles inductifs. Ensembles bien ordonnés.................................................

5

Ensembles totalement ordonnés. Composantes convexes. Failies. Groupes totalement ordonnés..........................................................

11

Ch. 11. RELATIONS. RECOUVREMENTS. ÉCARTS .......................................1 9 Relations. Relation d'un ensembie vers un autre. Définitions diverses. Liaisons entre les relations et les recouvrements......................

19

Écarts et distances. Écarts et distances. Exemples. Corps valués. Opérations sur les écarts. Boules. Liaisons ernie un écart et une suite de relations.......................................................................................

23

Ch. III. FIL-rREs ET FAMILLES FILTRANTES ...............................................3 1

Filtres, bases defiltres, faìnillesfiltrantes. Définitions. Filtre engendré par une famille filtrante. Filtres compatibles. Base associée lì une famille de bases................................................................................3 1 ISBN 2130482724 ISSN 0246-3822

Dépòt IégaI

-

U1t rafiltres........................................................................................3 8 édidon 1997, niars

O Presses Univcrsitaires de France, 1997 108, boulevard Saint-Gernrnin, 75006 Paris

Morphisines defiltres. Morphisme d'un fItte 8 vers un fItte 5C Image directe et image réciproque d'un filtre. Famille filtrante

sous-jacente. Extension d'un fitte ...................................................3 9

Traité de topologie générale VII

VI Somniaire

Filtres à base dénombrable. Suites et sous-suites. Filtres à base dénombrable. s-filtres.......................................................................4 6 Ch.IV. CATÉGORIES .................................................................................49

Notions élémentaires sur les catégories. Catégories. Familles monomorphiques. Familles épimorphiques. Isomorphismes. Sections. Rétractions. Foncteurs. Morphismes fonctoriels. Catégorie duale. 49 Transports de struczures. Catégories d'ensembles enrichis. Objet initial défini par une famille d'applications. Sous-objet. Plongement. Objet final défini par une famille d'applications. Objet quotient. Flèche quotient. Flèche harmonieuse. Décomposition canonique d'une fièche................................................................................................5 4

Produits directs. Produit direct d'une famille d'objets. Flèche diagonale. Produit direct d'une famille de flèches. Cas d'une catégorie d'objets enrichis. Produit direct de flèches.......................................62

Sornrnes directes. Somme directe d'une famille d'objets. Flèche codiagonale. Somme directe d'une famille de flèches. Somme directe d'une famille d'ensembles. Cas d'une catégorie d'objets enrichis.............................................................................................70 Ch. V. ESPAcES TOPOLOGIQUES ...............................................................7 5

Ch. VI. VOISINAGES. CONVERGENCE .......................................................

75

Ch. VIII. APPLICATTONS D'ESPACES ToPoLoG1QUflS ................................. Applications continues. Applications continues. Critères de conti-

129

nuité. Prolongement d'une application continue.............................

129

La catégorie des espaces topologiques. Catégorie des espaces topologiques. Homéomorphismes. Topologie initiale, topologie finale définie par une famille d'applications..............................................

136

Applications ouvertes. Applicationsfennées. Défnitions. Caractérisations. Relations d'équivalence ouvertes, fermées.........................

141

Applications harmonieuses. Caractérisations. Conservation des propriétés. Espace séparé associé à un espace vérifiant l'axiome (HS).

147

Ch. IX. ToPoLoulEs JNITIALES. TOPOLOGIES FENALES .............................

152

161 161

87

Espaces co;nplètement réguliers. Ensembles z-ouverts. Espaces

95

complètement réguliers. Topologie engendrée par un ensemble d'écarts. Espaces uniformisables.....................................................

167

95

Co,nplérnents sur les espaces produits. Propriétés des produits d'applications. Produit direct de deux espaces. Double limite. Voisinages de la diagonale. Graphe d'une application continue. Groupe topologique quotient........................................................................

172

te T

Sur la topologie des espaces vectoriels. Topologie usuelle d'un

La convergence. Convergence d'un filtre, d' une famille filtrante. Prolongement des inégalités. Cas d'un espace vérifiant le premier axiome de dénombrabilité. Cas d'un sous-espace............................

Espaces pleinement normaux et espaces paracompacts..................1 24

Topologies initiales. Propriétés d'une topologie initiale. Produit d'espaces topologiques. Espace F-initiaux. Espaces éparpillés......

Voisinages. Filtres des voisinages. Premier axiome de dénombrabilité. Topologie définie par les filtres de voisinages. Topologie sur un groupe invariante par les translations. Voisinages dans la topologie = V ý7. Point adhérent à un fitte............................................

Recouvreinents d'un espace topologique. Enrobages. v-relations.

propriétés. Construction au moyen des topologies saturées. L'exemple des espaces projectifs. Espaces homogènes...............................

Intérieur Adhérence. Frontière. Intérieur. Topologie définie par les intérieurs. Adhérence. Frontière. Ensembles denses. Espaces séparabies. Intérieur et adhérence dans un sous-espace..........................

Ch. VII. QUELQUES PROPRIÉTÉS PARTICULIÈRES ......................................1 15 Propriétés de séparation. Espaces séparés. Espaces réguliers. Espaces normaux. Espaces complètement normaux...............................1 15

Espaces quotients. Espaces quotients. Conservation de quelques

Ensembles ouverts. Ensembles fermés. Espaces topologiques. Ensembles ouvets. Espaces écartelés et espaces métriques. Base des ouverts. Espaces à base dénombrable. Espaces de Lindeldff. Ensembles fermés. Topologie Sup (9)te T Ensembles ordonnés topologiques. Sous-espace. Espace associé à un fitte ouvert....................

Groupes topologiques. Semi-groupes topologiques. Groupes topologiques. Sous-groupes d'un groupe topologique. Anneaux topologiques. Corps topologiques. L'exemple des corps valués. Espaces vectoriels topologiques....................................................................107

101

espace vectoriel de dimension finie. Continuité des applications linéaires et des applications multilindaires......................................

180

VIII Sommaire

Litnites projectives d'espaces compacts. Théorème de Tychonoff.

Topologies finales. Topologie définie par une faniille de sous-espaces. Somme directes d'espaces topologiques...................................183 Ch. X. LIMITEs PROJECTIVES. LIMITES INDUCTIVES ..................................1 87

Liinites projectives. Limite projective d'un foneteur. Cas de la catégorie des ensembles. Cas d'une catégorie d'objets enrichis. Limite projective filtrante d'espaces topologiques......................................1 87

Li'nites inductives. Limite inductive d'un foncteur. Cas de la catégone des ensembles. Cas d'une catégorie d'objets enrichis. Sommes amalgamées dans la catégonie des ensembles et dans la catégonie des espaces topologiques. Sommes directes pointées............................1 94 Ch. XI. LA CONVERGENCE POUR L'ORDItE ...............................................201

La convergencepour l'ordre sur un ensembie ordonné. Limite supérieure et limite inférieune d'un filtre sur un ensembie ondonné. Convergence pour l'ondre. Cas d'un treillis conditionneliement complet

Traité de topologie générale IX

Espaces métnisables compacts. Limites projectives filtrantes d'espaces compacts....................................................................................

233

Généralisations diverses. Espaces dénombrablement compacts. Espaces séquentiellement compacts. Espaces pseudo-compacts. Espaces absolument fermés.............................................................

237

Ch. XIV. ESPACES LOCALEMENT coMPAcTs ............................................

241

Définitions e! premières propri étés.

Espaces localement compacts.

Groupes localement compacts. Produits d'espaces localement compacts. k-espaces................................................................................

241

Compactfication d 'Alexandroff Compactification d' Alexandroff. Espaces localement compacts dénombrables à l'infini. Détermination de certaines compactifications d'Alexandroff..........................

246

Ch. XV. APPLICATIONS PROPRES .............................................................

253

Définitions et pre;nières propriétés. Définitions et critères. Produits 201

d'applications pnopres. Une caractérisation des espaces compacts.

La convergence pour i 'ordre sur un ensembie totalement ordonni.

Reiations d'équivalencepropres. Définition. Relation d'équivalence

Sur un ensembie ordonné topologique la convergence pour l'ondre est la convergence topologique. Caractérisation des limites supérieures et infénieures. Cas d'un ensembie conditionnellement complet. 205

propre sur un espace compact, sur un espace localement compact

Fazniiies sonzmables et séries. Families sommables de nombres réels. Sénies. Continuité de la somme d'une sénie de fonctions. Cas d'une suite d'écarts. Ensembie tniadique de Cantor.........................208 Ch. XII. ESPACES NORMAUX ...................................................................2 15

Les the'orèmes de Tietze et d'Urysohn. Lemme d'Urysohn. Théorème

261

Recouvrements d'un espace écartelable. Divers cnitères de métrisabilité.....................................................................................

261

Ch. XVII. ESPAcES PARACOMPACTS .......................................................

269

Propriétés liées aux recouvrernents. Liens entre diverses propriétés d'un espace topologique lides aux recouvrements de cet espace. Cas des espaces écartelables. Cnitères de compacité d'un espace métrisable

Recouv,-einents normaux. Définition. Critère de paracompacité. Lien

Partition de l'unite' dans un espace norinal. Partition continue de

avec les partitions continues de l'unité............................................

1'unité. Cas d'un espace normal.......................................................2 18

Cas des ensembies ordonnés topologiques. C.n.s. pour qu'un ensembie ordonné topologique soit paracompact......................................

269 274 278

Ch. XVIII. ESPACES UNIFORMES .............................................................2 83

Définitions et propriétés éiéinentaires. Caractérisations diverses d'un espace compact. Sous-ensembles compacts. Cas d'un ensemble ondonné topologique. Action d'une application continue. Le tore.

257

Ch. XVI. ESPACES MÉTRISABLES ............................................................

du prolongement de Tietze. Théorème de métrisabilité d'Urysohn 215

Ch. XIII. ESPACES COMPACTS .................................................................2 23

253

223

Structures uniformes. Définitions. Exemples...................................2 83 Structure uniforme engendrée pur un ensetnbie d'écarts. Structunes

Propriétés de séparation. Voisinages d'un ensemble compact. Pro-

uniformes écartelables. Structures uniformes engendnées par un

longement d'une fonction continue à valeurs dans un espace compact. Topologie sun l'ensembie des idéaux maximaux de l'anneau des fonctions numériques continues sur un espace compact............

ensembie d'écants. Caractérisation d'une stnucture uniforme écartelable. Cas d'un groupe topologique.................................................2 86 230

X Sommaire

Traité de topologie générale XI

Espaces totalement bornés. Filtres de Cauchy. Ensembles totale-

Ch. XXII. ESPACES CONNEXES. ESPACES LOCALEMENT CONNEXES ..........

341

ment bornés. Exemples. Caractérisation. Filtres de Cauchy. Caractérisation d'une famille de Cauchy. Application à la caractérisation des espaces totalement bornés................................................................

291

Espaces connexes. Définition. Exemples. Sous-ensembles connexes. Action d'une application continue. Produit d'espaces connexes. Espaces compacts connexes............................................

341

Ch. XIX. APPLICATIONS UNIFORMÉMENT CONTINUES ...............................

299

Applications uniforméinent continues. Définition. Exemples. Carac-

térisation par les écarts. Propriétés. Catégorie des espaces uniformes. Structure uniforme initiale définie par une famille d'applications. Sous-espace uniforme. Produits d'espaces uniformes. Écarts uniformément continus. Structure uniforme finale définie par une famifle d'applications. Espace uniforme quotient............................ Séparation des espaces unifonnes. Espaces uniformes séparés.

299

Applications uniformément harmonieuses. Espace uniforme séparé associé à un espace uniforme...........................................................

307

Ch. XX. ToPoLoOIE D'UN ESPACE UNIFORME ..........................................

311

Topologie définie per une structure unfonne. Définition. Exemples. Propriétés du foncteur Uni -* Top. Espaces uniformes complets.

Cas d'un espace écartelé..................................................................

311

Sous-espaee dense d'un espace uniforme. Topologie de E x E. Relation entre la structure uniforme d' un espace uniforme E' et celle d'un espace uniforme E dense dans E'.............................................3 18 Complétion. Complété

È d'un espace uniforme séparé E. Existence

de ce complété. Le foncteur E -'.4 E. Complété d'un groupe topologique abélien, d'un anneau topologique. Nombres p-adiques 322

Ch. XXI. ESPACES UNIFORMES ET ESPACES COMPACTS ............................3 31 Strueture unjforme d'un espace compact. C.n.s. pour qu'un espace uniforme séparé soit compact. Un espace compact est, de faon unique, un espace uniforme...................................................................331 Compactifications. Compactifications d'un espace complètement

régulier E. Relation d'ordre entre ces compactifications. El1es correspondent aux structures uniformes totalement bornées qui engendrent la topologie de E. ElIes forment un ensembie complètement réticulé supérieurement....................................................................3 33 Compactfication de Cee/i. Compactification de Cech I (E) d'un espace complètement régulier E. Caractérisations de 3(E). Le foncteur E - (E). Interprétation de f3 (E) comme espace d'idéaux

maximaux.........................................................................................3 37

Co;nposantes connexes. La relation d'équivalence 11 Composantes connexes. Quasi-composantes. Caractérisation de certains espaces topologiques..................................................................................... Espaces localetnent connexes. Définition. Caractérisation. Quotients et produits d'espaces localement connexes. Une caractérisation du groupe topologique .......................................................... Espaces totalement discontinus. Espaces totalement discontinus, espaces totalement séparés, espaces éparpillés. Cas des espaces localement compacts. Composantes connexes d'un groupe localement compact................................................................................... Ch. XXIII. ESPACES DE BAIRE ................................................................ Ensembles rares. Ensembles maigres. Ensembles rares. Exemples. Caractérisation. Ensembles maigres. Exemples. Caractérisation. Espaces de l3aire. Définition. Caractérisation. Théorème de Baire. Application aux groupes localement compacts. L'équivalence de Baire. Tribu de Baire........................................................................ Ch. XXIV. ESPACES FoNcTIoNNELs. LA CONVERGENCE SIMPLE ET LA CONVERGENCE COMPACTE .................................................................. La con vergence simple. Topologie de la convergence simple. Exemples.......................................................................................... La convergence compacte. Topologie de la convergence compacte. Une condition suffisante de convergence compacte. Exemples. Les espacesH(E,F)............................................................................... Ensembles équicontinus. Définition. Convergence simple et convergence compacte sur un ensemble équicontinu. Théorème d'Ascoli. Groupe dual d'un groupe abélien localement compact................... Ch. XXV. ESPACES FoNCTIONNELS. LA coNvERGENCE UNIFORME ........... Convergence uniforme et théorèmes d'approximation. La structure uniforme de la convergence uniforme. Limite uniforme de fonctions continues. La topologie de 61, (E, F). Lemme de Dini. Lorsque E est compact, densité dans 6, (E, R) d'un sous-espace vectoriel coréticulé contenant les constantes, d'une sous-algèbre contenant les constantes. Théorème de Stone-Weierstrass....................................

347

352

355 361 361

366 373 373

375

381 387

387

XII Sammaire La notion gmnérale de convergence uniforme. Structure uniforme de

la convergence uniforme sur un ensembie de parties. Simplification éventuelle de san étude. Structure uniforme de la convergence simpie. Structure uniforme de la convergence uniforme sur les compacts. C.n.s. pour qu'un espace uniforme soit complet, soit compact...................................................................................................

Avant-propos

395

LECTURES SUOOÉRÉES ................................................

403

INDEX DES NOTATIONS .....................

405

INDEX TERMINOLOGIQUE

409

Comme san titre l'indique, cet ouvrage traite des principales notions de Topologie Générale rencontrées par les mathématiciens (étudiants, professeurs, chercheurs) au cours de leurs travaux. Nous pensons que ce texte habituera le lecteur à manier les espaces topologiques sous leurs formes diverses et de toutes les fa9ons possibles. Dans ce but nous avons multiplié les exemples classiques, les plus délicats d'entre eux étant indiqués par les astérisques * et pouvant &re laissés de c8t6, surtout lors d'une première lecture. Nous allons indiquer dans ce qui suit quelques particularités de ce texte Une notion fondamentale en Topologie Générale est celle de «filtre », ou, ce qui revient à peu près au mme, celle de «famille filtrante» (ou «net »). Beaucoup d'auteurs utilisent exclusivement l'un de ces deux aspects. En faisant ainsi ils compliquent inutilement certains résultats et certains raisonnements. (Le lecteur en aura un exemple en regardant la démonstration classique de la proposition XXIV.11.1, démonstration qui est pour nous une simple vérification gràce au théorème XXIV.7.1 dont la démonstration est facile.) Nous utilisons à la fois les filtres et les familles filtrantes. Nous les utilisons méme simultanément: c'est ainsi que le théorème 111.12.1, dont l'énoncé est presque une tautologie, est le plus employé au cours de cet ouvrage. Nous avons consacré le chapitre III à une étude méticuleuse des filtres et des familles filtrantes ainsi qu'à la notion fondamentale de « morphisme de filtres ». Nous avons introduit au chapitre IV les quelques notions sur les catégories indispensables pour exposer en une seule fois les définitions et les propriétés des transports de structure, des sommes et des produits directs et, plus généralement, des limites inductives et projectives. Nous avons accordé une certaine importance aux ensembles ordonnés (chapitres I et XI) et cela pour plusieurs raisons: d'une part une topologie sur un ensemble peut souvent &re définie avantageusement comme limite supérieure de topologies plus simples. D'autre part, comme pour les espaces métriques, les ensembles totalement ordonnés, et en particulier celui des nombres réels, sont munis d'une topologie naturelle qui n'est pas triviale et qu'il est intéressant

Traité de topologie gériérnle XV

XIV Avant-propos

Je veux exprimer ici toute la reconnaissance que je dois au professeur

d'étudier. Enfin on peut définir sur un ensembie ordonné des notions de « limite supérieure » et de « limite inférieure » qui, Iorsqu'elles coyncident, conduisent à la notion de «limite pour 1'ordre ». Cette notion n'est en général pas une

Gustave Choquet qui m'a beaucoup aidé par ses encouragements et par ses critiques au cours de la préparation de cet ouvrage. L'étude si enrichissante de

notion topologique, mais elle coincide avec elle dans le cas de la topologie

ses « Lectures on Analysis » n'est d'ailleurs pas étrangère à cette entreprise.

naturelle d'un ensembie totalement ordonné. La confrontation de ces deux types de limites conduit à des considérations intéressantes lorsque l'on étudie, par exemple, les topologies convenabIes sur un espace de Riesz

veillance d'accueillir ce texte.

Parmi les axiomes de séparation, nous avons donné une piace importante à l'axiome (HS) car tout espace qui le vérifie peut étre traité pratiquement cornme un espace séparé. Or il se trouve que Jes espaces uniformisables, lesquels sont les pius fréquemment rencontrés en Analyse (en particulier les groupes et les espaces vectoriels topologiques), vérifient cet axiome. Par souci de cohérence, nous avons introduit dans divers cas la notion d'espace « ayant la propriété (P) au sens large » pour indiquer qu'un tel espace n'est pas supposé séparé, un espace « ayant la propriété (P) » l'étant nécessairement. C'est ainsi qu'interviennent les espaces « compacts au sens large» et « réguliers au sens large » à còté des espaces compacts et des espaces réguliers. Toutes les notions introduites étant utilisées par la suite, nous avons évité ainsi les généralisations inutiles. D'autre part nous n'avons pas cherché à initier peu à peu le lecteur en lui présentant des cas particuliers avant les cas généraux. (C'est ainsi que les espaces métriques ne sont présentés que comme cas particuliers des espaces topologiques généraux.) Cette disposition, ainsi que le souci de ne présenter les choses qu'en leur temps, après en avoir étudié soigneusement les prémisses, font que la lecture de cet ouvrage risque d'impatienter et de décourager le lecteur qui n'ajamais fait de topologie, méme sous une forme élémentaire, c'est-à-dire qui n'ajamais rencontré les notions de limite d'une suite et de continuité d'une fonction dans le cas des nombres réels. Quoique la lecture de cet ouvrage ne demande que quelques notions familières à tout bachelier scientifique, principalement la connaissance et les propriétés algébriques des nombres réels (nombres que l'on peut supposer définis par le procédé des coupures pour éviter toute pétition de principe), cette lecture sera surtout profitable aux personnes ayant acquis en Mathématiques le niveau « Bac + 1 », ou mieux « Bac + 2 ».

I. Cf « Lectures suggérées. [1]et [6] » voir en fin de volume page 403.

Je terminerai en remerciant le professeur Paul Deheuvels d'avoir eu la bien-

CHAPITRE O

Prélin'zinaires

Ces prélirninaires sont destinés à préciser quelques définitions et quelques notations que nous employons dans cet ouvrage. Nous notons IN l'ensembie {0, 1, 2.....n , ...) des entiers naturels, i ti.....- 1,0, 1 .....n , .. des entiers ordinaires, O l'ensembie l'ensemble { des nombres rationnels, IR celui des nombres réels et C l'ensembie des nombres complexes. Onnote IR= {xe ; Oýx). 0.1

-

. . .,

-

Étant donné un ensembie E, nous noterons 12? 1 ou 1Z'(E) l'ensembie des parties de E et, pour tout entier n ý I nous définirons par récurrence l'ensembie s2?"(E) au moyen des égalités 12?" + '(E) = 0.2

-

,

Nous désinerons par (Éf (E) l'ensemble des parties finies de E. Soit un ensemble E. Pour tout couple (A, B) de parties de E, nous note0.3 ronsA\B l'ensembie (x E E ; x e A et x B } des éléments deA qui n'appartiennent pas à 8. C'est ainsi que E\B est le complémentaire de li dans E. -

Si F est un sous-ensemble de E et si ./ est un ensemble de parties de E, on noteJIFlatrace(XnF)xe,,def5urF.

Soit A et 8 deux sous-ensembles de E. lls sont dits séparés par les sous-ense,nbles Un VdeElorsquel'on a A c U, B c V et Un V = 0. On dit queA et 8 sont séparés pari 'ensetnbie Usi ils sont séparés par les ensembles U et E\U. Étant donné un ensemble / de parties de E, les ensembles A et 8 sont dits séparés par des éiéments de/( lorsqu'ils sont séparés par des éléments Uet Vde/. 0.4 - Soit./'( un ensemble de parties d'un ensemble E. L'ensemble// est dit ferrnépar intersectionsfinies (resp.fertné per réunionsfinies) si, quel que soit le sous-ensemble fini 2 de (,l'intersection (resp. la réunion) des éléments de

Traité de topologie générale

préliminaires

u

2 appartient à7. Pour que.1 soit feimé par intersections finies, il faut et il suffit que E appartienne à/ (cas 2 = 0) et que les relations A1, A2 e entrainent A n A2 E ./. Pour que .7 soit fermé par réunions finies, il faut et il suffit que 0 appartienne à .( et que les relations A , A2 e / entratnent A1 u A, E .1.

X,, ou que l'ensemble (X),e est un recouc'est-lt-dire que l'on a X = teT vrementdeX.

0.5 - Soit une applicationf d'un ensemble E dans un ensembie F.

nous dcrirons A

Nous indiquons quef est une application de E dans E en notantf: E -+ E. L'applicationf est décrite au moyen d'une flèche onduléef: x -4 f(x) . C'est ainsi que l'application identique de E sur E, que nous noterons idE est décrite par id5 x -4 x, et que 1'applicationf: x x2 de IR dans R est 1'élévation au carré. .'

Par abréviation, nous noterons fr' l'application f x f (x, y) s (f(x), f(y)) de E x E dans E x E. Nous noterons la relation d'équivalence sur E définie par x Rfy f(x) = f(y). Lorsque A et fi sont des sous-ensembles respectifs de E et de E tels que l'on ait f(A) c 8, et s'il n'y a pas de risque de confusion, nous parlerons encore de l'applicationf deA dans 8.

0.7 - Étant donnée une famille (A,),

T

de parties d'un ensembie E, et

conformément aux conventions adoptées dans la théorie de la mesure, nous dirons qu'un sous-ensembleA de E est la somme de cette famille de parties, et =

A, lorsque A est la réunion A, et lorsque s ý

teT

0 . Lorsque l'ensembie Test fini, on emploie une notation 8 + C ou A = A + ... + A,,. C'est ainsi que,A etB étant deux

entratne A5 n A, telle que A

=

t

teT

=

parties de E, leur différence symétrique A A 8 est la somme (A\B) Lorsque l'on a E

=

+

(B\A).

A,, nous dirons que la famille (A,), eT est unpar-

,eT

tage de l'ensemble E. Si ce partage est tel que l'on ait A, ý

0 pour tout i E T,

nous dirons qu'il est une pari il/cn de E. À condition de ne pas distinguer deux partitions (A,), T et (B5)5 de E telies qu'il existe une bijection q de T sur S vérifiant A,

= 8,1,0)

pour tout

i E

T, on voit que les partitions de E corres-

pondent biunivoquement aux relations d'équivalence sur E.

0.6 - Une famille (x,), d'éléments d'un ensemble E, indexée par un ensemble T, est, à proprement parler, la donnée d'une application x: t x, de l'ensemble T des indices dans l'ensembie E. L'ensemble x( T) = { y E E 3t E T tel que y = x,) des éléments de la famifle (x,), T est appelé toutefois, par abus de langage, «l'ensembie (x,), T » Il est souvent commode de considérer un ensembleA comme l'ensembie des éléments d'une telle famille, ce que l'on a toujours le droit de faire en posant, par exemple, T = A et en prenant x, = i. Nous dirons dans ce cas queA est auto- indexé. Toute définition concernant les familles d'éléments d'un ensemble E s'étend aux sous-ensembles de E, ceux-ci étant considérés comme auto-indexés. La famille (x,), peut alors ne pas avoir une méme propriété que l'ensemble (x,), T et nous supposerons le lecteur suffisamment averti pour voir lorsqu'il en est ainsi. À titre d'exemple une famille (X,), T de parties d'un ensemble X est dite ponctuelle;nent fin/e si, pour tout élément x de E, 1'ensemble (i E T ; x E X, } est fini. Un ensemble /( de parties de E est donc ponctuellement fini si, pour tout X E E, 1'ensemble { A E .. 7; x E A ) est fini. Il ne revient pas au mme de dire que «la famille (X,), de parties de x est ponctuellement finie» ou que «l'ensembie (X,), T de parties de X est ponctuellement fini ». Par contre, il revient au mme de dire que la famille (X,), T est un recouvrement de X, --

Si E et F sont deux ensembles que l'on peut considérer comine n'ayant pas d'éléments communs, nous admettrons 1'existence d'un ensembie G, noté E F, tel que l'on ait G = E + E. Cette question sera reprise au §4 du chapitre IV.

e

CHAPITRE I

Ensembles ordonnés

Ensembles préordonnés et ensembles ordonnés 1.1 - Rappelons qu'une relation R sur un ensemble E est dite une relation de préordre si elle satisfait aux deux conditions (Pi) On a xRx pour tout x

¬

E.

(P2) Les relations xRy et yRz entratnent toujours xRz. Un ensembie préordonné est un ensembie muni d'une relation de préordre. S'il n'y a pas de risque de confusion, nous noterons ý cette relation. Si R est une relation de préordre sur un ensemble E, la relation R définie par xRy = yRx est dite l'opposée de la relation R. Un sous-ensemble F d'un ensemble préordonné E est lui-méme préordonné parla relation de préordre induite: x ý y dans F x ý y dans E Un sous-ensemble A d'un ensemble préordonné E est dit cofinal (resp. coinitial) si, pour tout x e E, il existe y E A qui vérifie x ý y (resp. y ý x). Un ensembie préordonné E est ditfihtrant à droite (resp.filtrant à gauche) si, pour tout couple (a, b) d'éléments de E, il existe x E E qui vérifie a ý x et b ý x (resp. x a et x ý b ). Tout sous-ensemble cofinal d'un ensembie fihtrant à droite est lui-mme filtrant à droite. Un ensembie ordonné filtrant à droite sera simplement dit un ensemblefiltrant. Dans un ensemble E, toute famille d'éléments indexée par un ensembie filtrant non vide I, sera dite unefa,nillefiltrante d'éléments de E, ou à vaieurs dans E (ce mot correspond au mot anglais « net »). Une telle famille est notée simplement (x) ou (x,) s'il n'y a pas de confusion possible sur l'ensembie I ou si sa définition précise n'intervient pas.

Ensembles ordonnés

Traité de topologie générale

Une application f d'un ensembie préordonné E dans un ensemble préordonné E est dite c,-oissante (resp. décroissante) si la relation x ý y dans E entraine f(x) ýf(y) (resp. f(y) ýf(x)).

manière analogue, b est dit ,nini,nuin de E (resp. éléinent miniinal de E) si on a E = [b,+°°[ (resp.]-o°,b] = {bD. Un élément de E qui est un maximum ou un minimum est dit un extrejnuìn.

Une famille filtrante (x,),0 , à valeurs dans un ensemble préordonné est donc croissante si i ý j entraine x1 ý x.

Soit un sous-ensemble A de E. Un élément in de E est dit une majarante (resp. une inajorante stricte) de A si on a A c ]- °°, a] (resp. A c ]- cc, a[). Si une telle majorante existe, l'ensemble A est dit inajoré. Un élément a de A est dit une borne supérieure de A si a est un minimum de l'ensemble des majorantes deA. Cet élément a, s'il existe, est unique. On le note SupA. Dans le cas où A est un ensemble de la forme (a,),0 T' on note a = "1 a, ou simplement ,eT a =Va,.SiAestdelaforme{a1,..., a,,},onnote:

1.2 Une relation de préordre R sur un ensemble E est dite une relazion d'ordre si: (xRy et ykx) entraine x = y -

Un ensemble muni d'une relation d'ordre est dit un ensembie ardonné. Soit E un ensemble préordonné. On définit sur E une relation d'équivalence Tenposant: xTy (xýy et yýx) En notantfl'application canonique de E sur l'ensembie quotient F on voit que l'on définit une relation d'ordre sur F en posant:

=

E/E,

f(x)ýf(y) xýy Muni de cette relation, E sera dit 1'ensernble ordonné associé à 1'ense,nble préordonné E. L'étude d'un ensembie préordonné se ramène ainsi à celle d'un ensemble ordonné. 1.3 Considérons un ensemble ordonné E. Dans un tel ensemble, la relation (x ý y et x ý y) s'écrit xc y. Étant donnés a, b E E, nous noterons: -

[a,b] [a,b[

= =

{XEE;aýxýb] (XE E; aýxcb)

]a,b]=(xeE;a0.

z = x+a(y- x) = y+(a- 1)(y- x).

etd(y,z) = pa- 1)(y- x)) = Il en résulte que, sur

",

lalS

la- il

3

IS-i- a- bl O, on a A c 8d r et l'inégalité r1 O, il existe i E 1 tel que i ýJ entraine d (xp y1) c r Deux écarts d et e sur E sont dits équivalents si l'on a S,

111.8(1)

-

=

Soit un nombre a> O. On voli que les écarts d et ad sont équivalents. Comme (Bd, ,) < ,-ý est une base du fItte 6',,, on voit que, si a est un ,iombre > O, les écarts d et a A d sont équivalents. Soit d et e deux écarts sur E. L'inégalité d ý e entratne 6',, c 6', car, pour tout r> O, on a 8,, c 8,, Soit d.......d,, des écarts sur E et l'écart d d1 ý ... ý d. Les inégalités dk ý d entra?nent 6',, c 4', pour 1 ý k ý n. =

On en déduit que les filtres 6d est contenu dans 4',,.

'=

ýký;,

sont compatibles et que le filtre

'f

Pour tout i'> O, on a l'inclusion R

=

Comme R est un élément du filtre S', on en déduit c', c 6" et on a donc l'égalité 111.8(2) - Sd v v ''d, + Soit maintenant 2 un ensemble d'écarts sur E. Notons 0' { 0 + } l'ensembie des écarts sur E qui sont la somme (d'un nombre fini) d'éléments de O (on remarquera que l'écart nul appartient à O '). Le corollaire à la proposition 111.7.2 montre que les filtres (6tJ)d,,,, sont compatibles et que le filtre V 6',,, que nous noterons 6k,, est la réunion des filtres {6, ; d'E {0 ; Pour qu'une famille flitrante (x,, , à valeurs dans ExE soit finalement dans le filtre 6' ,il faut et il suffit que, pour tout d e O et tout nombre r> O, il existe i E I tel que i 1) engendre le filtre Le filtre

[

f

7

111.15 PRoposm'oN 11L15.1 : Soli deux ensemblesfiltrés (E, 4') et (F, .7) -

e!

une applicationf de E dans E Les deu.x conditions suivantes sont e'quivalentes: 1) Lesfiltres

f(4') et .7sont coinpatibles.

2) Lefihtre .7 intersectef(E) et lesfiltres 8 et [ '(>9) sont compatibles. L'équivalence des conditions 1) et 2) résulte sans peine de i'équivalence des conditions

2') Xn['(flýø VXES, VYE9 15.2: Soli deux ensembles filtrés (E, 6') et (F, .9). Pour qu 'une applicationf de E dans F soit un morp,hisme de 6' vers .9: ilfaut et il suffit que «7 intersectef (E) et que / 'on alt f (9) c 8. PROPOSITION 1ff

On sait que, sif est un morphisme de 8 vers le filtre «7intersectef(E). Supposons que .7 intersectef (E). L'inclusion f (9') c 6' équivaut à l'inclusion f '(9') c 8 , laquelie signifie quef est un morphisme de 6' vers «7 COROLLA IRE.

Soit une applicationfd'un enseinble E dans un ensembie E

1) Si 6' est unfiltre sur E, le fi/tre 78) intersectef(E) et on a

'(9)

(9) sera dit l'image réciproque du filtre 9"par 1'applicationf.

Remarques 1) Soit deux ensembles fltrés (E, 4'), 8'), une appiicationf de E dans un ensembie F, une application g de Fdans G et l'application li = g ofde E dans G. On a les équivaiences l_ 6 = h '(9)f '(g 'W)) estunebasede& 8 = f

(a,

2) Soit une applicationf d'un ensemble E dans un ensembie E et deux filtres 9: et 9: sur E vérifiant 9: c 9:. Si le filtre 9: intersecte l'ensembief(E), il en est de mme du fitte

X = ['(Z)ef'G9D Si, de plus, 7 est un ultrafiltre, il ei est de pnéme de 'W) [t7) intersecte le sous-ensembieA de E. Supposons, en effet, que le filtre L'ultrafiltre 7 intersecte f(A), ce qui entraine f(A) e .7 et 1(50 . Le flitre [ '(7) est donc bien un ultrafiltre A = [ (f(A)) e f

1') f(XlnYýø VXES, VYE.7 9T

est une base de

3) Soit un ensemble fiitré (E, ,9) et une injectionfd'un ensembie E dans F. [1(9) Si le fi/tre «7 iniersectef (E) un a = ['(9). 71(9) part, xc Il existe d'nutre Soit, '(9)c7 '(9). On a, en effet, f Ye .7vérifiant[ (Y)cX.D'oùZ = Yuf(X)e .7et

9: et on a 7 '(9:) c[

(9:)

7'(76'))c8.

2) Si «7 est unfiltre sur F qui intersectef (E), on a .7c j '(9)). 1) provient de ce quef est un morphisme de 8 vers 78). 2) provient de ce quef est un morphisme de

7

1(7)

vers 9?>

PRopos1TJoNJI1.15.3: Soit un ense;nblefiltré (F, .9), une applicationfd'un ensembie E dans E et une fami/le filtrante (x,)>, à valeurs dans E. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1) Lafamillefiltrante (f(x1)), est finalement dans .7

Traité de topologie générale 45

44 Filtres et families filtrantes

2) Lefiltre 9- intersecte I'ensemblef (E) et lafamille (x1),

,

est finalement

dans f '(39.

x (1) et que les filtres .7et i '(9) sont compatibles. D'après la proposition 111.5.1 il existe une famille filtrante p J

L'implication 2) 1) est évidente. Supposons 1) réalisé. On voit alors que le filtre 3T intersectef (E). voit d'autre part que (x1), , est finalement dans la base f 'V) du filtre f 39, ce qui entraine 2) Exercice

-,

I qui est finalement dans (7et dans

'(9). Dono p est une application cofinale de i dans I telle que la famille filtrante o x, qui est sous-jacente à x, soit finalement dans .9-

un filtre 8 engendré par une fami/le que 8. 11 existe unefarnillefihtrante ,9plus fin filtrante (x,), et unfihtre dans .9finaleinent sous-jacente à (x,)1 qui est CoRoLMsRE

1. Soit, sur un ensemble E, ,,

Soit deux ensembles filtrés (E, 8) et (G, ti), une application f de E dans un ensembie F et une application g de F dans Q. Montrer que, pour que l'application g ofde E dans G soit un morphisme de 8 vers ti, il faut et il suflit que le filtre ti intersecte l'ensemble g (E) et que l'on ait l'inclusion '(ti) c f(6'). En déduire une nouvelle démonstration de la proposition précédente. 111.16 Soit (x), / une famille filtrante à valeurs dans un ensemble E. C'est x1 de I dans E. Soit q une application cofinale d'un une application x: i ensembie filtrant non vide J dans l'ensernble I. L'application y = x o p: est une famille filtrante à valeurs dans E qui sera dite sons-facente I à la famille filtrante x. -

,

En effet, la famille

(x),

/

est fréquemment dans

COROLIÀ!RE 2. Soit 7/ un fi/tre engendré sur un ensemble Epar unefamillefiltrante (x1) ,. Pour que 7/ soit un ultrafiltre, ilfaut et il suffit que 7/ soit engendrépar toutefamihlefiltrante sous-j acente à (x) . Ceci découle du corollaire 1, compte tenu de ce que, par définition, un ultrafiltre est un filtre maximal

..,.

Lefiltre 8 engendrépar lafwnillefiltrante (x,) / est contenu dans lefiltre engendré par lafamillefiltrante sous-jacente (x,0) j. Notons 7 etj les filn-es finaux des ensembles filtrants I et J. Comme p est un morphisme de 7versj, on a ,7c (j)

8

=

/) ci((f))

=

,

d'où

j7)

=

Soit ti un filtre sur E. L'inclusion ti c 8 entraine donc ti c .9, ce qui s'énonce encore: Si lafainillefihtrante (x)1 ,, estfinalementdans lefiltre ti, il eti est de ;néme

de lafainillefiltrante sons-facente (xpù))JE un filtre sur E compatible avec tT. Ce filtre .78 est, afor iori, comSoit patible avec 8, ce qui s'énonce Si lafamillefiltrante sous-jacente (x90) ) , est fre'quemtnent dans lefiltre .5't il en est de ;néme de lafainillefiltrante (x1). ,

PRoPosITIoN III. 16.1 Soit un ensembie filtre' (E, 39 et rene fami/le filtrante à valeurs dans E qui soitfréquerninent dans 9- 11 existe une fami/le / sous-jacente à (x,), ,, qui est finale;nent dans 9filtrante Soit x l'application i

-

x del dans E et ¶71e filtre final del. Les filtres

i(7) et .9- sont compatibles. La proposition 111.15.1 montre que ,9- intersecte

111.17 - Soit un sous-ensemble E d'un ensembie F et l'injection canonique f de E dans E Un filtre 9- sur E sera dit issu de E si l'on a E e .9- Pour qu'il en soit ainsi il faut et il suffit que ¶9- ait une base 2 contenue dans i29(E?. Lorsqu'il en est ainsi, le filtre 9 intersecte l'ensemble E, le filtre 8 = f (9) a pour base f'(2) = 2 et on a 8 = {Ye9; YcE}. Le filtre f(8), de base = 2, s'identifie à 9 Réciproquement, soit un ifitre 8 de base 2 sur l'ensemble E. Le filtre = f(8) sera dit 1'extension à E du filtre 8. Comme il a pour basef(2) = 2 , il est issu de E et le filtre pour base f '(2) = 2 ,s'identifieà 8.

f '(9) ayant ,

On voit donc que l'apphication 8 -.t f(8) est une bijection de l'ensemble desfiltres sur E sur l'ensemble desfiltres sur F qui sonttpus de E. Cette bijection a pour bijection réciproque l'application 9 f (39. -

Il résulte de la proposition 111.13.2 et de la remarque 3) de 111.14 (puisquef est une injection) que, pour que le filtre 8 sur E soit un ultrafiltre, il faut et il suffit que son extension f(8) soit un ultrafiltre. Pour qu'un ensemble/ de parties de E engendre le filtre 8 (resp. soit une base du filtre 8), il faut et il suffit que cet ensembie.! de parties de E engendre le filtre f(8) (resp. soit une base du filtre f(8)). Pour qu'une famille filtrante (x)1, d'éléments de E engendre le filtre (resp. soit finalement dans le flltre

8

8, resp. soit fréquemment dans 8), il faut

Trailé de topologie générale 47

46 Eiltres et families filtrantes

et il suffit que cette famille filtrante (x)

,

d'éléments de E engendre le filtre

f(S) (resp. soit finalement dans le filtre j(8), resp. soit fréquernment dans f(8)). Pour toutes ces raisons, on peut pratiquement identifier le filtre 8 à son extension f(8).

Filtres à base dénombrable

COROLLAIRE. Soit 9: un fi/tre à base déno,nbrabie sur un enseinb/e E ci soit

(x,,) une sulle non vide d'élé,nents de Efréquernment dans 9: Il existe une

sous-suite de (xv) qui est finalernent dans 9: Ce résultat étant immédiat lorsque (x,,) est une suite finie, nous supposerons la suite (x,,) infinie. D'après la proposition précédente, le filtre 9: a une base (E,,), ,, qui fanne une suite décroissante. Soit (k,,,), ,,, une suite d'entiers ainsi définis : L'entier k, est tel que Xk appartienne à E, .Le nombre k,,, -, ayant été choisi, on choisit paur k,,, un entier strictement supérieur à k,,, -, tel que .vk appartienne à E,,, La sous-suite (xk,),,, de (x,,) est finalement dans LT .

111.18 Une suite d'éléments d'un ensemble E est une famille (x) , d'éléments de E telle quel soit un intervalle de l'ensembie IN des entiers naturels. Si -

I n'est pas vide, cette suite est une famille filtrante. Nous choisirons en général I = IN ou I = [1, + oo{ dans le cas d'une suite infinie et I = [O, N] cu I = [1, 1V] dans le cas d'une suite finie. Une suite (y) sera dite une sous-suite de la suite (x,,) , s'il existe k,, de I dans i telle que une application strictement croissante p: n l'ensemble p (i) soit cofinal dans I et telle que l'cn ait Xk = y,, pour tout n E i. Lorsque i n'est pas vide, une telle sous-suite, qui sera notée (xi), ¬

111.20 - Un filtre J sur un ensemble E sera dit un s-filtre s'il est engendré par une suite (x,,). Un tel filtre a la base dénombrable ((x,,,),, F(B)

F(v)F(u).

On exprime que F est un foncteur de a' vers 2 en écrivant F :, I

-,

2.

Exernples

1) Étant donnée une catégorie a', on définit un foncteur F de a' vers a', dit foncteur identique, en posant F(A) = A pour tout objetA de a' et F(u) = ti pour toute flèche ti de .2. 2) On définit un foncteur de la catégorie des groupes vers celle des ensembles en associant à tout groupe G l'ensemble « sous-jacent» G et à tout homomorphismef d'un groupe G dans un groupe H l'applicationf de l'ensembie G dans l'ensemble H. 3) Soit feti deux ensembles préordonnés. La donnée d'un foncteur de la catégode I vers la catégorie i revient à celle d' une application croissante del vers i. Étant donnés trois catégories 1,2, 6, un foncteur F de - / vers 2 et un foncteur G de 2 vers 6, on définit un foncteur Il de a' vers 6 en posant FI(A) = G(F(A)) pour tout objetA dea' et H(u) = G(F(u)) pour toute ..

flèche u de .2. Ce foncteur FI, qui est noté Go F, G F ou GF, est dit le composi ou le produit du foncteur G par le foncteur FI.

JV.4 - A toute catégorie 6 on peut associer une catégorie 60 dite catégorie duale de 6 obtenue «en conservant les mémes objets et en renversant les flèches ». De favon précise, les objets de 6 sont en correspondance biunivoque avec les objets de 6. Si A est un objet de 6, on désigne par A° l'objet correspondant de 6. Pour tout couple (A, E) d'objets de 6, l'ensemble Hom(B°, A°) est en correspondance biunivoque avec l'ensemble Hom (A, 8). En désignant par u0 la flèche 80 -3 A0 qui correspond à la fièche u: A -4 8, on pose u0v0 = (vu)0 pour u: A -4 8 et v: B -+ C.

On a donc (eA)° = CAo pour tout objetA de 6. La catégorie (6°)° s'identifie à la catégorie 6. À toute propriété de la catégorie 6 correspond une propriété de 60. C'est ainsi que, dans la catégorie 6, la famille de flèches (u, : A -+ Bj, est monomorphique si, et seulement si, dans la catégorie 6, la faniille de flèches .

(ti?

8?-) A°)¬

-

est épimorphique.

Exemple

Soit un ensemble préordonné 1, une bijection i i° de I sur un ensemble fo et la relation de préordre sur j0 définie par i0 ý 1° i ý i. Cn voit que la

54 Catégories

Traité de topologie généraie 55

catégorie définie pari' ensemble préordonné j0 est la duale de la catéorie défiie par l'ensemble préordonné L Soit un foncteur F d'une catégorie .yì vers une catégorie 2. Cn peut lui associer un foncteur F° de la catégorie vers la catégorie 20 en posant F°(A°) = (F(A))° pour tout objetA de.1 et F°(u°) = (F(ufl° pour toute flèche u de.?. Le foncteur F° est dit lefoncteur dual du foncteur F. Soit F et G deux foncteurs de /( vers 2. À tout morphisme fonctoriel associé le morphisme fonctoriel p° de Go = (w0, de F vers G est vers F° défini par les égaiités (P°)Ao =

Si, parmi les éléments de O(E), il en existe un plus fin que tous les autres, nous dirons qu'il est i'objet discrei défini sur l'ensembie E. S'il en existe un moins fin que tous les autres, nous dirons qu'il est l'objet grossier défini sur E. Reenarque Soli 6' une catégorie d'ensemb!es enrichis. Cn définit un foncteur de 6' vers la catégorie des ensembles en faisant correspondre à tout objet son ensemble sous-jacent età toute flèchef: A -* 8 de 6' l'applicationf de l'ensemb!eA dans l'ensembie 8.

(PA)°

Transports de structures IV.5 Considérons dans ce qui suit une catégorie 6' telle que la catégorie des ensernbies préordonnés ou celle des ensembles filtrés. Un objetA de 6' est un ensemble muni d'une structure supplémentaire. Cet ensemble est dit sous-jacent à l'objet A et i'objet A est dit défini sur cet enseinble. (Si aucune confusion ne peut en résulter, on note A et on appelle « ensembleA » l'ensemble sous-jacent à l'objetA.) Une flèche de l'objet A vers l'objet B est une application de l'ensembleA dans l'ensembie B qui est assujettie à certaines conditions. La composition des flèches est celle des apphcations et la flèche unité eA est l'application identique de l'ensembie A sur lui-rnme. Il en résulte que, si la flèche a: A -* B est un isornorphisme, l'application a est une bijection et l'isomorphisme réciproque est l'application réciproque iv de l'ensembie 8 sur l'ensemble A.

Ce foncteur « canonique » est encore dit lefoncteur d'oubti de struciure,

IV.6

-

Exeinples

i) La catégorie des groupes est une catégorie d'objets enrichis. La structure d'ordre sur O(E) est ici l'égalité.

-

Rernarque

On vena toutefois que, si a est une flèche de A vers 8 qui a une application réciproque ,r ,celle-ci n'est en gén6ral pas une flèche deB versA. Nous dirons que cette catégorie c? est une catégorie d'ensembles enrichis si

cile satisfait aux deux conditions suivantes I) Quel que soit l'ensembie E, la coilection des objets de (7 qui sont définis sur E est un ensemble Q(E). 2) SoitA et 8 deux objets de 6' définis sur l'ensembie E. Si l'appiication id5 est à la fois une fièche de A vers 8 et une flèche de 8 vers A, on a A = 8. Étant donné un ensemble E, on définit alors une reiation d'ordre sue l'ensemble O(E) en posant: A ý 8 idE est une flèche de 8 vers A. (Cn dit dans ce cas que l'objet 8 est plus fin que l'objetA.)

2) La catégorie des ensembles préordonnés est une catégorie d'objets enrichis. L'ensembie O(E) s'identifie ici à l'ensembie des relations de préordre sur E. La relation de préordre R est pius fine que la relation de préordre .5 si xRy entraine xSy, c'est-à-dire si on a R cS. 3) La catégorie des ensembles filtrés est une catégorie d'objets em'ichis. L'ensemble O(E) s'identifie à l'ensembie des filtres sur E et la relation 5 ý 6' équivaut à ,9 c Li'. IV.7

-

Soit, dans une catégorie 6' d'ensembles enrichis, une famille d'objets un objet A d'ensemble sous-jacent E et une famille d'applications

(f, : E -* A,), e T' Nous écrirons A = mi (f,, A,), e

lorsque, pour toute

application x d'un objet Xdans l'ensemble E, ies deux conditions suivantes sont équivalentes

i) L'application x est une fièche de X vers A. 2) Pour tout tE T, l'application f, o x est une fièche de X vers A,. Il revient au méme de dire que, pour tout t e T, i'application f, est une lìèche deA vers A, et que la condition 2) entratne la condition 1). Remarques 1) Un objet A

=

mi

(f,, A,),

défini sue un ensembleE est, si il existe, le plus

petit élérnent de l'ensembie (Y e fI(E) f, est une tlèche de Y vers A, pour toutte T}. L'objet A est donc déterminé par 1'égaiité A = mi (j,, A,), Cn dit que A est 1'objet initial défini sue l'ensembie E par les applications (f, : E -ý A,), E T'

Traité de topologie générale 57

56 Catégories 2) Pour tout objetA, ori a 1'égalité A

=

pour tout

mi (idA, A).

3) Dans le cas où T est vide, 1'égalité A = In (f,, A,), T signifie queA est un objet grossier et que toute application x d'un objet X dans A est une flèche de X vers A.

Nous dirons que la catégorie d'objets enrichis 6' a des objets initiaux si, pour toute famille d'applications (f, : E -* A,), T d'un ensemble E dans des objets (A,), de 6', il existe un objet initial A = mi (f,, A,), Exempie

Plagons-nous dans la catégorie 6' des ensembles préordonnés. Soit une famille (f,: E -* A,), T d'applications d'un ensemble E dans des ensembles préordonnés (A,),. Notons R la relation de préordre sur E définie pan aRb f,(a) ý f,(b) pour tout i

On a l'égalité (E, R)

=

mi

E

T.

(f,, A,),

PROPOSITION IV. 7.1: Soit une bijectionfd'un objetA sur un objet B. Pour que l'on ait i'égalite' A = mi (f, 8), iifaut et il suffii quefsoit un isoinorphisine de A ve,s 8.

Notons g l'application réciproque J' de 8 surA. Nécessité. Supposons A = mi (f, 8). Alorsf est une flèche deA vers 8 et l'égalité f o g = e8 entraine que g est une flèche de 8 vers A. Doncf est un isomorphisme de A vers 8.

Suffisance. Supposons que f soit un isomorphisme de A vers 8. Alors f est une flèche de A vers 8 et g une flèche de 8 vers A. Soit x une application dans A d'un objetX telle quefo x soit une flèche de X vers 8. Alors x = g o f o x est une flèche de X vers A. D'où l'égalité A = mi (f, 8) IV.8 - Plaons-nous dans la catégorie 6' des ensembles filtrés et identifions l'objet (E, 77) avec le filtre 77 Soit une famille d'applications (f, : E-* E,), d'un ensemble Edans des ensembles filtrés (E,, 9;), Soit une application x d'un ensemble filtré (X, !27) dans l'ensemble E. On a la suite d'équivalences o x est un morphisme du filtre .Q vers le filtre $7, pour tout t E T

f,- '(9;) c ( S)

pour tout t E T

(f,

1())

T, le filtre $7, intersecte i'ensemble f,(E), les filtres c i(SL) compatibles et on a sont T tE

,eT

x est un morphisme du filtre .U vers le filtre V ,eT

j,-

'((9;)

On peut donc énoncer la: PRoPosITION IV.8.1 : Pour qu'il existe un fi/tre initial mi (f,7'7, T' ilfaut et il suffit que, pour tout i E T, leflitre $7, intersecte l'ensembie f,(E) et que iesfihtres (E

(9W))

mi

T soient co;npatibies. Lorsqu 'il en est ainsi, on a

(f,,

T = «T

L- '().

Remarques

1) Supposons que, pour tout i E T, le filtre 9; soit engendré par un sous-ensemble (, de ct(E,). La proposition précédente montre que, pour qu'il existe un filtre 8 = mi (f,, T' il faut et il suffit que l'ensemble = Uf '(.. 7,) de parties de E engendre un filtre. Lorsqu'il en est ainsi, le filtre est engendré pur.!. On en déduit en particulier: Si, pour tout i E T, le fihtre 9; est à base déno,nbrable et si l'ensembie Tesi dénornbrabie, le fi/tre In (f,, '9;) eT est à base déno,nbrable. PRoPOSITION IV.8. 2 :

2)11 résulte de la proposition IV.8.1 que, pour qu'il existe un filtre (f 9;),¬ il faut et il sufflt qu'il existe une famille filtrante (x)1,, li valeurs dans E tefle que, pour tout i E T, la famille filtrante (f,(x1)) / soit finalement dans $7;. En tenant cornpte de la proposition 111.5.1, on peut alors énoncer: PkoPos!T/oN IV.8.3: Pour qu'unefainillefiltrante (x,), à valeurs da;is E soitfinale,nent dans le fi/tre lei (f,, 9), T' ilfaut et il suffii que, pour tout E T, lafarnillefiltrante (f,(x,)), ,, soitfinalement dans lefiltre 9;.

IV.9 T

-

THÉORÈME

=

IV.9.J (Associativité des objets initiaitx): Soit un partage

T, d'un ense,nble T pour twa s E 5 un objet B

et un/amil1e d'applications (f : E -3 ense;nbles (Ba), dans C,.

Pour tout i .

E

8v)se

=

lei (g,, C,), e

d'un ensemble E dans 1cr

T5, on note h, l'application g, o

A

de E

58 Catégories

A A

Traité de topologie générale 59

Pour qu'un objet A défini sur 1'ensemble E vérifie 1'égalité = mi (li,, C,), e il fata et il suffit qu'il vérifie l'égalité = Ini(f,BL¬5.

Ne'cessitei Supposons A = mi (li,, C,), Soit s E S. Pour tout t E T3, l'application g, o f, est une flèche deA vers C,. Donc f est une flèche deA vers E,. "

Exetnple Plaons-nous dans la catégorie des ensembles filtrés. Dire que l'ensembie filtré (E, 6') est l'image réciproque de l'ensemblefiltré (F, .'T) par l'applicationf de E dans F revient à dire que 8 est le filtre f '( 1. Soit un objet E, un sous-ensemble E de E et l'injection canonique i de E dans E. S'il existe un objet A = mi (i, E) nous dirons que A est l'objet induit par E sur l'ensemble E et que A est un sous-objet de E. ,

Soitx une application dans E d'un objet X telle que, pour tout s E S , l'application ,f o x soit une flèche de X vers B Pour tout t e T, l'application o x est alors une flèche de X vers C,. Donc x est une flèche de X vers A et onaA = mi (f,B5)5. Suffisance. Soit A = mi (f,, E,), h,= g,of, estuneflèchedeAvers C,.

Pour tout

tE

,,.

T, l'application

Soitx une application dans E d'un objet X telle que, pout tout t E T, l'application h, o x soit une flèche de X vers C,. Soit s E 5. Pour tout t E T,, l'application g, o f, o x étant une flèche de x vers C,, l'application f, o x est une flèche de X vers E,. Comme ceci est vrai pour tout 5 E 5, l'application xestuneflèchedeXversA etona A = mi (h,, C,), 1: Soit une application i d'un objet A dans un objet E = mi (f,, E,), Soit, pour tOut t E T, une application g, de A dans un objet A, = mi (J,, E,) te/le que l'on ait j, o g, = f, 0 i. COROLLA/RE

,,.

Les égalités A

=

mi (i, E) a A

=

mi (g,, Aj,

sont équivalentes.

.

f, O i. Comme on a E = mai (f,, B,), T' le théorème d'associativité entraine Notons li,

=

1,0 g,

=

l'équivalence A = mi (i, E) 'A = mi (h,, B,), Comme on a A, = mi (J,, E,) pour tout t E T, ce méme théorème montre l'équivalence A = mi (h,, T A = mi (g,, A,), eT D'où le corollaire ,.

Exemples 1) Dans la catégorie des ensembles préordonnés Soit un sous-ensemble E de l'ensemble préordonné E. L'objet induit par E sur E est l'ensemble E muni de la relation de préordre induite sur E par celle de E. 2) Dans la catégorie des ensembles filtrés Pour qu'un ensemble filtré (F, 9fl induise un objet sur le sous-ensemble E de F, il faut et il suffit que le filtre 8 intersecte l'ensemble E. Cet objet induit est alors l'ensemble ffltré (E, 9IE). Remarques I) Soit un objet C, deux sous-ensembles E et F de C tel que l'on ait E c F et tel que C induise sur F un objet E. Il résulte du corollaire 2 au th¬orème IV.9,1 que, pour qu 'un objet A soit induit pur E sur E, ilfaut et il suffit que A soit induit pur CsurE. On peut exprimer ceci en disant que les sous-objets de E sont les sous-objets de C contenus dans E. 2) Soit un objet A = mi (f,, E,), T et A' un sous-objet deA tel que, pour tout t e T, l'ensemble f,(A') soit contenu dans un sous-objet E', de E,. Le corollaire i au théorème IV,9. i montre que l'on a A' = Ini (f E',), T (en notant f l'applicationx -- f,(x) de A' dans E',). ,

INdi Une injection f d'un objet A dans un objet E telle que l'on ait A = mi (f, E) sera dite un plongement de l'objetA dans l'objet E. -

2: 5oit une application f d'un objet A dans un objet E = Ini(g,C). Les égalités A = mni(f,B) et A = Tni(gof,C) sont équivalentes. COROLLA/RE

1) Tout isomorphisme est un plongement.

C'est un cas particulier du théorème IV.9. 1 Notons que les égalités A A = Ini(gof,C).

=

mi

(f, E)

et E

=

mi (g, C) entratnent

JV.1O Soit une applicationf d'un ensemble E dans un objet E. S'il existe un objet initial A = mi (f, E), nous dirons que A est l'itnage réciproque de l'objet E par l'applicationf -

Exemples 2) Si A est un sous-objet d'un objet E, l'injection canonique deA dans E est un plongement. Remarque Il résuite du corollaire 2 au théorème IV.9. 1 que sif est un plonge;nent de A dans E et g un piongetnent de £ dans C, l'application g 0 f est un plongement de A dans C.

60 Catégories

Traité de topologie générale 61

JV.11.1 Dans une catégorie d'objets enrichis toute section est un plongement. PROPOSITION

r'(97)c flj,(,)

,eT

x

est un morphisme du filtre fl

f,(9,)

vers le filtre .97.

flf,(

,eT

Soitdeuxflèchess: A-*B etr: B- A vérifiantros = eA.SoitXune application dans A d'un objetX telle que s o x soit une flèche de X vers fi. Alors x = r o s o x est une flèche deXversA. On a donc A = mi (s, B) L'égalité r o s = id4 montre que s est une injection. Donc s est un plongement de A dans 8

Si on a une égalité 8 = Fin (A, f) directe de l'objetA par l'applicationf.

IV.12 - Soit, dans une catégorie 6 d'ensembles enrichis, une famille d'objets (A,),6 T' un objet A d'ensembie sous-jacent E est une famille d'applications (f, A, -# E),6 T Nous écrirons A = Fin (A,, f),6 lorsque, pour toute application x de l'ensembie E dans un objet X, les deux conditions suivantes sont équivalentes

Soit une relation d'équivalence R sur un ensemble E, l'application canonique f: E -* E/R et soit A un objet défini sue E. Si il esiste, l'objet final Fin (A, f) est dit l'objet quotient de A par la relation d'équivalence R et il est notéA/R.

1) L'application x est une flèche de A vers X. 2) Pour tout tE T, l'application x o f, est une flèche de A, vers X. Il revient au mme de dire que, pour tout tE T, l'application f, est une flèche de A, vers A et que la condition 2) entraine la condition 1). L'objet A, qui est défini de manière unique pur les conditions précédentes, est alors dit l'objetfinal défini sue l'ensemble E par les applications (f, A, -* E),6 Cette définition est analogue à celle d'un objet initial. Elle conduit lì des résultats analogues que nous laissons au lecteur le soin d'énoncer et de démontrer. Une thdorie un peu plus générale que celle présentée dans ce paragraphe permet d'ailleurs de ramener l'étude des objets finaux à celle des objets mitiaux. On a la notion de catégorie 6 qui a des objetsfinaux. Remarque Un objet A = Fin (A,, f,) défini sur un ensemble E est, s'il existe, le plus grand élément de l'ensemble (VE Q(E) f, est une flèche de A, vers Ypour toutte TI. Exe,nple Plaons-nous dans la catégorie des ensembles filtrés. Soit un ensenible non vide T, une famille (E,, T d'ensembles filtrés, un ensemble E et une famille d' applications (f, E, -> E),6 Soit une application x de E dans un ensemble ,

filtré (X, .27). On a la suite d'équivalences: x o f, est, pour tout t T, un morphisme du filtre x 1(27) cf,(9,) pourtout tE T

,

vers le filtre .97

Quand T est non vide, on a donc l'égalité

Les égalités .8 C = Fin (gof,A).

=

9,)

=

Fin (a,,

te T

f)6

T

nous dirons que l'objet B est l'image

Fin (A, f)

et C

=

Fin (8, g) entratnent

Plus généralement, une surjectionfd'un objetA sur un objet 8 telle que l'on ait B = Fin (A, f) sera dite uneflèche quotient.

Si f: A - 8 et g: 8 - C sont deux flèches quotients, la flèche g of: A

-+

C est une flèche quotient.

On démontre, comme pour la proposition IV. 11,1 que, dans une catégorie d'objets enrichis toute rétraction est uneflèche quotient.

JV.13 - Dans une catégorie d'objets enrichis, nous dirons qu'une applicationf d'un objetA dans un objet B est uneflèche har,nonieuse sif est une surjection de 1'ensembleA sur l'ensemble 8 et si on a A = mi (f, 8). PROPOSITION IV.

13.1 Toutefièche har,nonieuse est une rétraction.

Soit une flèche harmonieusef: A -# 8 Commef est une surjection, il esiste une application h de 8 dans A vérifiant f o li = id11 = e11. Commef o h est une flèche de 8 vers 8, l'égalité A = mi (f, 8) montre que h est une flèche de 8 vers A. Doncf est une rétraction .

COROLLAIRE:

Touteflèche harmonieuse est uneflèche quotient.

JV.14 - Dans ce numéro nous envisageons la situation suivante dans une catégorie 6 d'objets enrichis: On se donne une applicationf d'un objetA dans un objet 8. On suppose l'existence d'un objet quotient A/RJ et d'un objet C induit par 8 sue le sous-ensemble f(A) de 8. On notera q la flèche quotient A -, A/RJ et i le plongement C -, 8. Enfin nous noterons g la bijection de A/Rf sur C déflnie pur l'égalité f = i o g o q.

Traité de topologie générale 63

62 Catégories

THÉORÈME I V.14.1 : Pour que f soit une flèche de l'objet A vers l'objet B, il faut a il suffit que g soit une fièche de l'objet quotient A/RJ- vers le

sous-objet C de B. Si g est une flèche, il en est évidemment de m&me de f

=

i o g o q.

Réciproquement, supposons que f soit une flèche de A vers B. L'égalité C = mi (i, B) entratne que g o q est une flèche de A vers C. L'égalité A/Rf = Fin (A, q) entraTne alors que g est une flèche de A/RJ vers C COROLLAIRE I Paur qu 'une injection f de l'objet A dans I 'objet B soit un plongement, il faut e! il suffit que I 'application g soit un isoinorphis;ne de A sur le sous-objet C de 11, L'applicationfétant une injection, elle vérifie l'éalité f = i O g. Comme on a C = mi (i, B),le corollaire 2 au théorème IV.9.1 montre que les égalités A = mi (f, B) et A = mi (g, C) sont équivalentes. La première signifie que f est un plongement de A dans B et, comme g est une bijection, la seconde équivaut à dire que g est un isomorphisme de A sur C (Proposition IV.7.l) COROLLA IRE 2 Paur qu 'une surjectionfde l'obj erA sur I'objet B soit uneflèche quorien!, il faut er il suffit que I 'application g soit un isornorphis,ne de I'objet quotient A/Rf sur l'objet a Ce corollaire est, pour les objets finaux, l'analogue du corollaire 1. Nous laissons au lecteur le soin d'en calquer la démonstration sur celle du théorème précédent

Produits directs IV.15 Soit (E,), une famille d'ensembles. De fa2on habituelle, on appelle produit direct de ces ensembles l'ensemble P ainsi défini -

P

Si T est vide, on prend pour P un ensemble à un élément, par exemple = {O}.

Si Tn'estpas vide, un élément de P est la donnée x x, de E, pourtout te

=

(x,), d'un élément

7'-

À

tout élément t de Test associée la projection d'indice t qui est l'application x, de P dans E,. Lorsque P n'est pas vide, cette projection est une x p, surjection de P sur E,. On remarque que, si l'on se donne une famille (f, X -4 E,), ¬ T d'applications d'un ensemble X dans les ensembles (E,),, il existe une application et une seulefdeXdans P telle que l'on ait p, o f = f, pour tout te T. Celle remarque permet d'étendre la notion de produit direct à une famille d'objets dans une catégorie quelconque. Plaons-nous dans une catégorie 6. On appelle produit direct d' une famille d'objets (A,), toute famille de flèches (p, P -# A,), de méme source P, telle que, pour toute famille de flèches (f, X -' A,), T,il existe une flèche uniquefdeXvers P telle que l'on ait IV.15.(1)p,of

=

f,

pourtoutte T.

La condition d'unicité peut s'exprimer en disant que 1cr flèches T forinent unefarnille rnonomorphique. La flèche p, est dite la pmjection de P vers A,. La flèchefdéfinie par la condition IV.15.(j) est dite la diagonale des flèches (f,), T On la note teT

f,.

Exeinples 1) Lorsque l'ensemble T est vide, un produit direct d'une famille d'objets (A,), T est un objet P tel que, pour tout objet X, il existe une flèche unique de X vers P. Dans la catégorie des ensembles un tel objet P est un ensemble ayant un seul élément. 2) Plaons-nous dans la catégorie des ensernbles préordonnés. Soit (A,), T une famille d'ensembles préordonnés et le produit direct usuel (p, E-*A,), des ensembles (A,), Considérons sur E la relation de préordre définie par: x ý y A35 La flèche diagonale p5 P - Q est dite la = sèS projection du produit A, vers le produit A5.

1) Les applications (p,), sont desflèches de (3 quifor;nent unproduit direci des objets (A,), dans la catégorie 6'.

-

.

-

fleT

fl

seS

Dans le cas où 6' est la catégorie des ensembles et où les produits considérés sont les produits directs usuels, cette projection p r est l'application (x,), Lorsque 5 est un ensemble ponctuel {s}, le produit (x»,e direct Q s'identifie à l'objet A5 et la projection p5 s'identifie à la projection .

.

-

PS.

Si R est un sous-ensemble de 5 et si les objets (A,), E 5 ont un produit direct, on vérifie sans peine l'égalité PR,T Psoposmo,v

=

PR,S O PS,T-

Jl/J9J (Associativité des produits directs): 5oit (A,),E une

famille d'objets d 'une catégorie 6' et un partage T bie T Si, pour tout

sE

5, lafaniille (A,), .

= seS

T5 de I 'ensein-

a un produit direci P5 et si la

famille (P5) s a un produit direct P alors cet objet P est le produit direct de lafamille d'objets (At),e

T

2) Les applications (p,), fonnent un produit direct des ense'nbles (A,), P est l'objet initial mi (p,, A,),E 7-.

,

-

et

1). Supposons 2) réalisé. Les applications (p,), forment une famille monomorphique de flèches de 6'. Soit une famille de flèches 1 des applications (f,), est (f, : X -4 A,), E 7 de 6'. La diagonale i = 2)

entratne

, T

telle que, pour tout tE T, l'application p, o f = f, est une flèche de X vers A,. L'égalité P = mi (p,, A,), entraine donc quef est une flèche de X vers P. D'où la condition 1). 1) entratne 2). Supposons 1) réalisé. Soit (q, : Y -3 A,), un produit direct des ensembles (A,), et 1'objet Q = mi (q,, A,), T On vient de voir que (q, Q -3 A,), e 7- est un produit direct des objets (A,), Il existe donc unisomorphismep: P-+Q telquel'onaitp, = q, o p pourtout tE T.On en déduit la condition 2) COROLLA/RE: Soit, dans une catégorie 6' d'objets enrichis ayant la propriété (P), un produit direct (p, : P -3 A,), d'una famille d'objets (A,), cr Soli

un objetA, unefainille d'applications (f, : A gonale

Soit, pour tout s E 5, un produit direct (q,: PS -3 A,), e 2 et soit un produit direct (r5 PP,)55. Si, pour tout sE 5 et tout tE on pose = q, o r5 on voit sans difficulté que (p, P -3 A,), est le produit direct de la famille (A,), T a

T

A

=

f

mi

=

,\. f,

-3

Aj),e et l'application dia-

de l'ensembie A dans l'ensemble E Les égalités

(f,, At),e et A = mi (f, A) sotit équivalentes.

Comme on a E rèmelV.9.1 a

=

mi (p,, A,), E T Ce résultat est une conséquence du théo-

68 Catégories

Traité de topologie générale 69

Rernarque

PRoPosirloN

Soli (A,), une famille cl'objets d'une catégorie d'objets enrichis ayant la propriété (P). Soit (p, E -ý A,), le produit direct usuel des ensembles (A,), et l'objet P = mi (p,, A,), T" Nous dirons que l'objet P est le produit direct usuel des objets (A,),

Soit, dans tine catégorie d'objets enrichis ayant la propriéte' (P), le produit direct f: A E d 'une fami/le de flèches (f, A,-* B,), " Si l'an a A, = lei (f,, li,) pour tout tE T, on a encore PRoPosITIoN P120. 1 :

-

A

=

Ini(f,B).

Notons p, et q, les projections A A

=

lei (p,, A,),

A

=

lei

-

et A,

(f, o p,, B,), T

=

lei

(f,,

Comme ori a

théorème IV.20.1 entraine 1'égalité A

-

A, et B -* E,. Les égalités

E,) pour tout

f

= mi

= ,EAT(f,

tE

T entrainent

o pj, le corollaire au

11121.2: Soit (p, (E, .9)

-4

(E,, »M,E le produit direct

d'une fami/le d'ense,nbles filtrés. Po,,r qu 'une fami/le fi/trarne (x,). E I

valeurs dans E soitfinalement dans le fi/tre pourtout

tE

9T =

fj9.

T, lafamillefiltrante (p,(x,))1 soitfinalemnentdans lefiltre 9.

On notera que le produit direct d'une famnille dénombrable de filtres à base de'nombrable est encore un fi/tre à base dénomnbrable. IV.22 - Soit deux ensembles flltrés (E, 6') et (E, 9) . Le produit direct usuel 8x9 des filtres 6' et 9T est le filtre sur ExF qui a pour base (Xx Y X

E

4' et Y E 9}. Supposons que les filtres 4' et 9soient engendrés respec-

tivement par les familles filtrantes et (Y»JE

(f, E)

trant I x J (dans lequel on a (i, Dans une catégarie d'objets enrichis ayant la propri été (P), tout produit direct de plongements est un plongement. On voit que, dans ce cas, si A, est, pour tout t E T, un sous-objet de E,, le produit direct usuel des objets COROLLA IRE :

ilfaut et il sufiit que,

J) ý (i', i')

,,.

Soit K l'ensemble fil-

i ý i' et j ýj'). Comme les fil-

tres 6 et t7ont pour bases respectives ((x,.),Otelquel'onaitlix-r,x+rEcU. L'espace IR est un espace métrisable. Plus généralement, la topologie usuelle de l'ensemble est la topologie déduite de sa distance usuelle d (11.12). L'espace (IR", 9,) sera appelé simplement l'espace 1W. XE

.7={ucx;U=Ø ou X\Uestfini) cette topologie est dite la topologie cofinie. 3) Soit un partage X = X d'un ensemble X. te

L'espace IR. Sur l'ensemble IR des nombres réels, la distance usuelle d (définie par d(x, y) = Ix y définit une topologie qui est dite la topologie usuelle de l. L'ensemble muni de cette topologie, est sirnplement dit l'espace IR. C'est le plus important des espaces topologiques. Notons que, pour qu'un sous-ensemble U de IR soit ouvert dans IR, il faut et il suffit qu'il vérifie:

5

d'éléments de (X,), T est une topologie sur X qui est dite déduite dii partage précédent. V.2 Soit un écart d sur un ensemble X. On définit ime topologie 9, sur X, qui est la topologie définie par l'écart d (ou déduite de l'écart d ou engendrée par l'écart d) en convenant qu'un sous-ensemble U de X est ouvert si, et seulement si tout point de U est le centre d'une d-boule contenue dans U, soit: = {UcX;xe U=3r>O avec Bjx]cU} C'est ainsi que la topologie discrète est déduite de l'écart discret et que la topologie grossière est déduite de l'écart grossier. Si d est un écart bivalent sur l'ensemble X, la topologie 9, est la topologie déduite de la partition de X associée à cet écart (11.8 Exemple 4). On peut énoncer: Sur un ensembie X deux écarts équivalents (111.8) définissent la inérne topologie. En particulier, pour tout nombre a> O, les écarts d, ad et a A d définissent la méme topologie. Un ensemble X muni de 1'écart d est toujours considéré comme muni de la topologie 9. On dira donc que (X, d) est un espace écartelé. Lorsque d est une distance, on dit que (X, d) est un espace ine'trique. Un espace topologique est dit écartelable (resp. tne'trisable) si sa topologie peut tre définie par un écart (resp. par une distance). On remarquera que, dans l'espace écartelé (X, d) toute boule Br[XI est un ensembie ouvert. Soit, en effet, y E Br[x] Le nombre a = r d (x, y) > O est tel que 1'indgalité d (y, z) O tel que l'on ait Br[x] c U. Soit un entier n > 2/r et un élément E de 2,, contenant x. La relation y e B entraine d(x,y)< 2/n d'où y e U. On a donc x e EcU, ce qui montre que l'ensemble dénombrable 2 est une base des ouverts de (E, d) O, cette faniille est finale-

I. Les flèches que nous venons d'écrire ne font pas allusion ù une catégorie.

102 Voisinages Convergerice

Traité de topologie générale 103

ment dans la boule Br[X] c'est-à-dire si, pour tout r>0, il existe i e I tel que i ýj entraine d(x x) < r. ,

En particulier, dans l'espace JR, lafamille (x,)1 e! converge vers Osi, et seuleCr. ment si, pour tout no;nbre r> O, il existe i e I tel que i ýj entraine

kI

On en déduit que, dans l'espace écartelé (E, d), unefamille (x,)ie! converge vers x si, e! seulement si, lafainille de noinbres (d(x1, x))1 converge versO. 2) Soit È = E + (co} l'espace associé à un fitte ouvert sur un espace E. Il résulte du numéro VI.7 qu'une famille filtrante (x) à vateurs dans E converge vers o) dans l'espace È si, et seulement si, cette famille est finalement dans le fitte ,9 Cas particulier Soit E un ensemble ordonné topologique non vide n'ayant pas de maximum et le filtre ouvert ,9: de base (]x, + °°D1 " Cn note È = E+ {+ oo) l'espace associé à ce filtre ouvert. Une famille filtrante (x,) à valeurs dans E tend vers + co si, et seulement si, pour tout xc E, il existe i e I tel que i ýj entratne x ý x. 3) PROPOS/T!ON VL9.1 Sait, dans un ensetnble ordonné topologique E, deux famillesfiltrantes (x) et (y), qui convergent respectivement vers des pointsxety. ,

,

Le résultat 1) est connu sous le nom du théorèine de prolongement des inégalités.

4) Reprenons l'exemple du numéro V.6. Soit un ensemble E et l'espace Q des ultrafiltres sur E. L'espace Q ayant pour base des ouverts (A)A cE' tout élément U de Q a pour base de voisinages (A)A Une famille filtrante converge donc vers YI dans l'espace Q si, et seulement si, pour tout ,.

(71i)ie!

Ae W,ilexisteie /telqueiýjentraine Ae

Considérons E comine un sous-ensemble defl Une famille filtrante (xi), d'éléments de E converge donc vers l'ultrafiltre Z si, et seulement si, la famille est finalement dans '/. VI.1O Soit un filtre ,9 sur un espace E. Pour qu' un point x de E soit adhérent à 9 il faut et il suffit qu'il existe un filtre Y qui contienne les filtres 9 et 7 c'est-à-dire qui contienne 9 et qui converge vers x. Lorsque 3Test un ultrafiltre, on a nécessairement /' = 9: D'où: -

PRoPoSITION VLIO. I: Sur un espace E un ultrafiltre converge vers tous les points qui lui sont adhérents. Prenons pour grle fItte engendré par une famille filtrante (xi). Compte tenu du numéro 111.16, ce qui précède entraine:

1) Siona x1ý y pourtoutie I, onaxýy.

PRoPosIT!oN VLJO.2 Pour que, dans un espace E, un point x soit adhérent à

2) Lafainillefiltrante (x, v y1) converge vers xv y.

une famille filtrante (x,), il faut et il suffit qu'il existe une famille filtrante (x (D sous-jacente à (xi) qui converge vers lepointx.

3) Lafamillefiltrante (x1 A y1) converge vers x A y. Supposons y cx. La proposition VI.2. 1 montre l'existence de voisinages respectifs U et V de x et de y tels quel' on ait Vc U. Il existe i0 e I tel que i0 ý i entraine ; e U, y e V et, par suite, y1 c x. L'affirmation 1) est donc démontrée par 1'absurde. La relation i0 ý i entraine x1 v y, x = x v y.

=

x, et par suite (x v y3 converge vers

On voit de mme que la relation xc y entratne la convergence de (x v versy = xvy. Supposons x = y. Soit un voisinage U = la, 3[ de x. Il existe i0 e I tel que i0ý entratne x e U et y e U, d'où x v y e U. On en déduit encore que (x, v y,) converge vers x

=

xv y.

L'affirmation 2) est donc démontr6e. 3) se démontre de manière analogue.

VI.11 - Soit x un point d'un espace E. Comme le filtre 2 est l'intersection de tous les filtres sur E qui convergent vers x, on connait la topologie de E si l'an sai! à quelle condition unfiltre 9 sur E converge vers un point x. Indiquons quelques conséquences, souvent utilisées, de cette remarque: PRoposnioN VL11.1 : Pour que, dans un espace E, un sous-ensemble V soit un voisinage d'un point x, ilfaut e! il suffit que, dans E, toutefamillefiltrante

qui converge vers x soitfinalement dans V La nécessité est évidente. Pour démontrer la suffisance, on considère une famille filtrante (x)1 qui engendre le filtre %. Si elle est fnalement dans 11, on a V e CoRouAIRE. Pour que, dans un espace E, un sous-ensemble U sai! ouvert, il faut e! il suffit que toutefarnillefiltrante qui converge vers un point de U soit finalement dans U.

104 Voisinages

-

Traité de topologie générale 105

Convergence

En effet U est ouvert si, et seulement si il est voisinage de chacun de ses points

PRopos/TIo,v

VI. 12.1: Pour que, dans un espace vérifiant le preinier axiome

de dénombrabilité, unpointx soit adhérent à une sulle (x,j, ilfaut et il suffit que cette state ait une sous-suite qui converge vers x.

VI. 11.2; Pour que, dans un espace E, un point x soit adhérent à un ensetnble A, ilfaut et il suf/it qu 'il existe unefamillefiltrante d'élé,nents de A qui converge vers x.

PROPOSITION VI.

Dire que x est adhérent à A revient à dire qu'il existe un filtre 9qui contient A et 9.

suffit que toute suite qui converge ','ers x soitfinalement da;is V

PRoposiTioN

S'il existe une famille ifitrante (x1) lì valeurs dansA qui converge vers x, elle engendre un filtre qui contientA et q" D'où la suffisance. Réciproquement supposons qu'il existe un filtre .9qui contienneA et et soit (x,)1,, une famille filtrante qui engendre C Il existe i e I tel que i ýj entraine x e A. La fainille filtrante (x1)ý est à valeurs dans A et converge vers x. D'où la nécessité COROLLAIRE. Pour que, dans un espace E, un ense'nble A soitfer,né, ilfaut et il suffit que toutpoint limite d'unefainillefiltrante à valeurs dans A appartienne àA. PRoPosITIoN VI.11.3: Soit 9j et 9 Pour que la topologie 9' soit plus fine

deux topologies sur un ensetnble X. que la topologie U, ilfaut etti suffit que tonte convergence 9-* x dans l'espace E2 = (X, 9) entratne la convergence ,9- xdans l'espace E1 = (X, .7). C'est une conséquence de l'équivalence: 9j c99c IÌf pourtoutxe

x

VI. 11.4: Soit, sur un ensemble X, une famille de topologies (,q), et la topologie 9. Pour qu'unfiltre FTconverge vers un

PRoposITioN

=

point x dans l'espace E

chacundesespaces E

= =

(X, 7), ilfaut et il suffit qu 'il converge vers x dans (X,9). (te T).

Compte tenu de la proposition 111.5.1, c'est une conséquence de l'égalité =

v

te T

VI.12 Considérons dans ce qui suit un espace E qui vérifie le premier axionie de dénombrabilité. Les considérations du paragraphe III.4 montre que l'on peut remplacer dans ce qui précède, l'usage des filtres par celui des suites. Indiquons brièvenient les principaux résultats. -

C'est une conséquence du corollaire à la proposition 111.19.1

12.2: Pour que, da#is un espace vértfiant le preinier axiome de déno,nbrabilité, un ensemble V soit un voisinage d'un point x, ilfaut et il La condition est évidemment nécessaire. Montrons qu'elle est suffisante et supposons pour cela que V ne soli pas un voisinage de x. D'après la proposition 111.20.1, il existe un s-filtre 9 qui contient 7- et ne contient pas V Le filtre 9 est engendré par une suite qui converge vers x et qui n'est pas finalement dans V D'oli laproposition PROPOSITION

VI. 12.3: Pour que, dans un espace vérzfiant le premier axioine

de dénombrabilité, un point x soit adhérent à un ense;nble A, ilfaut et il suffit qu 'il existe une suite d'éléments de A qui converge vers x. La condition est évidemment suffisante. Montrons qu'elle est nécessaire et supposons x adhérent li A. Le filtre i" et le filtre principal de base [A} étant compatibles, l'ensemble {A } u engendre un filtre 'iTqui est à base dénombrable. Ce filtre étant contenu dans un s-filtre, il existe une suite (x,,) qui converge vers x et qui est finalement dans A. Cette suite a une sous-suite à valeurs dans A et qui converge vers x. D'où la proposition Nous laissons au lecteur le soin de caractériser au moyen des suites les ouverts et les fermés d'un espace vérifiant le premier axiome de dénombrabilité. VI.13 Nous considérerons dans ce numéro et dans le suivant un sous-espace F d'un espace E et nous noteronsfl'injection canonique de F dans E. Nous nous appuierons sur le numéro 111.17. -

1/1.13.1 : Si x est un point de F lefiltre des voisinages de x dans F est la trace sur E dufiltre des voisinages de x dans E.

PRoPoSITIoN

Lefiltreq' apourbase {Ve =

95 ; xc

{UnF;xe U et Ue9}

On en déduit l'égalité V2

=

V} =

{Ue9;xe

U}ÌF

99IF

COROLLA/RE. Si I 'espace E vérifie le premier axiome de dénombrabilité, il en est de méine de tout sous-espace F de E.

Traité de topologie générale 107

106 Voisinages - Convergente

La proposition précédente entraine que pourqu 'unefainillefiltrante (x) d'élé,nents de F converge vers un point x dans l'espace E ilfaut et il suffit que tette famille converge vers x dans l'espace E. Ceci revient à dire que, pour qu'un filtre 9- com'erge vers x dans l'espace F, il faut et il suffit que son extension f(9) com'erge vers x dans l'espace E.

Dans le cas où E est un sous-espace ouvert de E, l'égalité 'i7 = f(CJ/) montre que, pour que x soit adhérent dans E à un filtre 6', il faut et il suffit que 8 intersecte F et que x soit adhérent dans E au filtre 81 E.

Soit x E F et soit 8 un filtre sur E.

Groupes topologiques

La convergence 84 x n'entra?ne pas que 8 intersecte F. Supposons que 6' intersecte E. La convergence 84 x entraine 'I F4 x (car IIf c 8 entratne72 = 'PFc6'JF). Pur contre la convergente 8 F 4 x n'entratne pas 84 x.

IV' IF) et on voit alors que la convergence 6' 4 x équivaut à la convergente 6' E 4 x. Supposons maintenant que 8 contienne F. On a 4' =

Dans le cas où F est un sous-espace ouvert de E, lefiltre des voisinages de x dans E est l'extension à E dufiltre des voisinages dcx dans E En effet, on a alors FE d'où l'on déduit =

f(-'I F)

=

f(9Y)

On voli que, x étant un point du sous-espace ouvert E de E, pour qu'un filtre sur E converge vers x dans E, il faut et il suffit qu'il contienne E et que le filtre 6' I F converge vers x dans E. VL14 - Soit encore un espace E, un sous-espace E de E et un point x de E La proposition 111.15.1 entratne les résultats suivants 9- étant unfiltre sur E lepoint x est adhérent aufiltre S'Edans l'espace F si, et seulement si, x est adhe'rent aufiltre f(9-) dans l'espace E.

En effet, les filtres 9- et si, les filtres

'(9Y) sont compatibles si et seulement

= f f(9-) et 'V sont compatibles

Soit 8 un filtre sur E qui intersecte E. Si le point x est adhérent dans E au filtre 8 E, il est adhérent dans E au filtre 6'

I

En effet, les filtres 9" et 6' I E

=

'(6') étant compatibles, les filtres

f(12) et 6' sont compatibles. La relation c méme des filtres et 6'

J('f)) montre qu'il en est de

VL1S - Nous considérerons dans ce qui suit un groupe G écrit multiplicativement et nous noterons e san élément neutre. Une topologie sur G sera dite coin-

patible avec sa strutture de semi-groupe si elle vérifie la condition: (Gt.1) Lesconvergences (x) -* x et (y,) / -* y entratnent toujours la convergente (x,y) -* xy. Cene topologie sera dite compatible m'ct sa strutture de groupe si elle vérifie de plus:

(Gt.2) Toute convergente (x),

,,

-+

(x7 ')

x entratne la convergente x

/

PROPOSITION 1/1.15.1 Pour qu'une topologie sur un groupe O soit compatible avec sa strutture de groupe, ilfaut et il suffit quelle soit invariante par les translations à gauche età droite et que les conditions (Ct.!) et (Gt.2) soient vér,fiées lorsque l'on a x = y = e. Nécessité. Elle est évidente, compte tenu de ce que la convergence (x,)5 -*xentraine (yx)1, -yxet (xy)11 -*xy. -3 y. L'invariance pur translation -3 x et (y1) 1) -* e ,ce qui entratne (f 'x) -4 e et (yy ') -* e. On a donc (f 'xy,y entraìne encore (xy), - xy.

Suffisante. Soit (x1),

,,

D'autre part, la convergence (x 'x)1- e entraine (x7 'x), -, e, d'où 1) -* x par transiation Tout groupe muni d'une topologie compatible avec sa structure de groupe

(x7

est dit un groupe topologique.

Ces défmnitions permettent d'énoncer les remarques suivantes 1) Soit, sur un groupe O, une famille de topologies (9) e 7 et la topologie 9- = V 9 L'équivalence: ,eT

(Gì) (Gr) (xi), x (xi), >x Vte T

108 Voisinages

-

Traité de topologie générale 109

Convergence

montre que, si chaque topologie 7 est compatible avec la structure du groupe G, il en est de mme de la topologie 7. 2) Soit H un sous-groupe d'un groupe topologique G. La topologie induite sur H par celle de G est compatible avec la structure du groupe H. Muni de cette topologie, H est dit un sous-groupe topologique de G. VI.16

-

Exemples

1) Il est trivial que tout groupe muni de sa topologie grossière ou de sa topologie discrète est un groupe topologique.

D'après le lemme 1.12.2, il existeb E Gqui vérifie e < b c b2 O tel que l'on ait x e Br[x] c U L'exemple 2) de V.5 montre que .

l'on a xc

c B,,2[x] c Br[xl c U.

Donc tout espace écartelé est asl-régulier et, par suite, tout espace ,nétrisable est régulier 3) PROPOsITION 1/11.5.1 Tout groupe topologique G est un espace asl-régulier Pour qu'il soit régulier ilfaut et il suffit que l'intersection {e} des voisinages de l'élément neutre e se réduise à l'ensembleponctuel {e}. Soit un ouvert U qui contienne e. Il existe un ouvert V qui vérifie e e Vc V2 c U. La proposition VI.18.3 montre l'égalité V = fl (VX Xc 94 }. Onadonc Vc v2 et e c Vc Vc U . Lefiltre 9% estdoncfermé. Comme la topologie de G est invariante par les translations, on en déduit que G est asl-régulieii Pour qu'il soit régulier, il faut et il suffit qu'il vérifie (T1), c'est-à-dire que tout ensemble ponctuel soit fermé, ou encore que l'on alt {e} = {e}

-

Remarque Dire que l'espace E est asl-régulier revient à dire que si l'on a .r E E \A ,l'ensembie A étant fermé, les ensembles {x} et A sont séparés par des ouverts. Ceci revient donc à dire que, si x n 'appanientpas à unfermé non vide A, le pointx ,,'est pas adhérent aufihtre des voisinages de A. Un espace est dit régulier s'il est à la fois asl-régulier et séparé. PROPOSITION VJL4.1 Tout espace asl-régulier vérifie l'aziome (HS).

Il résulte de la proposition précédente que tout groupe topologique vérifie l'axio,ne (HS). 4) Pla9ons-nous dans l'espace R. Pour tout entier n ý O, l'ensemble = ]n, + oo[\

li est un ouvert qui a pouradhérence X

9de base (A)0 L'espace F

=

,

=

En, + oo[ . Le filtre

est un filtre ouvert auquel n'est adhérent aucun point de IR.

IR + {co} associé au filtre ouvert 9 est donc séparé.

Vn in e IN, l'ensembie iZ n'estpas contenu dans A Le filtre STn'est donc ,

pas fermé, ce qui entratne que le ifitre 7' n'est pas fermé. L'espace F est donc un exeinple d'espace séparé qui n'est pas régulier

Soit x et y deux points d'un espace asl-régulier E tels que l'on ait 92f ý 92" Il existe, par exemple, un ouvert U de E tel que l'on alt x e U et y U. Soit un ouvert Vvérifiant xc VcVc U. Les relations Ve '/ì, et E\Vc

YIII.6 - Cn voit sans peine que tout sous-espace d'un espace asl-régulier est asl-régulier

montrent que les filtres 9% et 9 sont incompatibles

PRoposiTioN VIL6.1

Pour qu'un espace soit régulier il faut et il suffit qu'il soli asl-régulier et qu'il vérifie 1'axiome (T0) (resp. l'a.xiome (T1)). CoRoLL4rnE.

()te

Soli, sur un ensembie E, une fatnille de topologies et la topologie 9= VG7. Si tous les espaces (E,, 9), T sont T

asl-re'guliers, il en est de inéme de l'espace (E, 9).

120

Quelques propriétés particulières

Traité de topologie générale 121

Soit un voisinage Udex dans l'espace (E, 9) D'après la propositionV.7.2, il existe un sous-ensemble fini S de Tet, pout tout t E S, un élément U, de 97 tels que l'on ait xc fl U, c U Par hypothèse, il existe, pour tout te 5, un ieS

ouvert V, et un fermé A, de (E,

97) vérifiant x e V, c A, c U, L'ensemble

fl V, est un ouvert de (E, 9) et A = fl A, en est un fermé qui vérites ies asl-régulier est Donc (E, 9) fient x E Vc A c U V

=

.

VJJ.7 À titre d'exercice, démontrons le résultat suivant que nous utiliserons au chapitre XVI: -

7.1: Étant donné un espace topologique E, les conditions suivantes sont équivalentes: 1) La topologie de E est déduite d'un partage. 2) L'espace E est asl-régulier et, dans E, toutfiltre de voisinage est unfiltre principal. 1) entraEne 2). Supposons la topologie de E déduite du partage PROPOSITION VIL

E

= te T

U, L'appartenance x e U, entraine que le filtre q2 est le filtre prin-

VILS.1: Soit A et E deux sous-ensembles fennés disjoints d'un espace asi-normal E. Il existe des ouverts U et Vde E tels que l'cn ait A c U, PROPOSITION

BcV et UnV

=

0.

La relation A c E\B entraine que l'on peut trouver successivement deux ouverts Wet U tels que l'on ait A c U c c W c W c E\B. On pose alors V = E\W Un espace est dit norma! s'il est à la fois asl-normal et séparé. Tout espace norma! est donc régulieì: On voit sans peine que tout sous-espacefermé d'un espace as!-normal est un espace asl-normal.

VIJ.8.2: Tout espace asl-régulier E qui est un espace de Lindelbff est un espace asl-normal. PROPOSITION

SoitA et E deux fermés de E disjoints. Comme E est asl-régulier, la famille =

{Ue

k; FinE = Ø} est un recouvrement deA. CommeA estun

espace de Lindelisff (d'après la proposition V. 11.1), il existe une suite (Ufl) d'éléments de g qui recouvreA et que l'on peut supposer croissante (en rem-

.

plaant au besoin U,, par U1 u

...

u U,,). Il existe de méme une suite crois-

cipal de base { U, } Comme U, est fermé (V.5. Exemple 3)), E est asl-régulier.

sante (1',,) d'ouverts de Equi recouvre 8, chaque V,, vérifiant n A

2) entra?ne 1). Supposons réalisée la condition 2). Soit x e E. Le ifitre étant principal, il existe un voisinage ouvert U de x tel que tout ouvert contenant x contienne U,. Comme E est asl-régulier, U est fermé. Soit x, y e E. Supposons x U. Comme x est contenu dans l'ouvert U\U on a Uc U\Ud'oÙ U,n U,, = 0 .Larelation U,n Uý0 entra?nedonc x e U,, et U c U Elle entraine de meme U c U et, par suite U, = U. Donc l'ensemble (U) est une partition de E et on voit que la topologie de

Les ensembles U'

.

E est déduite de cette partition

=

u(U\V,,) et V'

=

joints qui vérifient A c U' et E c 1/' Donc E est asl-normal .

Le corollaire à la proposition V.4. i entraine alors CoRoLwRE.

Tout espace asl-régu!ier à base dénombrab!e est un espace

asl-normal. VLL9

-

Exeìnp!es:

1) Tout ensemble muni de la topologie grossière est asl-normal.

Ceci revient à dire que si, dans E, un ferméA est contenu dans un ouvert U,, il existe un ouvert U2 tel que l'on ait A c U2 c U2 c U1 Ceci revient encore à dire que, si A est un fermé de E, les voisinages fermés deA forment une base des voisinages deA. Il en résulte que tout espace asi-normal qui vérifie l'aziome (T1) est

2)

.

asl-régu!ier

0.

LJ(,V,,\ sont deux ouverts dis-

VIL8 Un espace topologique E sera dit nonna! au sens large (ou asl-norma!) si, pour tout couple (A, B) de fermés de E disjoints, il existe des ouverts U et VdeEtelsquel'onait: AcU, BcV et UnV = 0. -

=

Tout espace discret est normal. PRoPosiTiloN

VIL 9.1 : Tout espace écartelab!e est asl-normaL

Soit A et E deux fermés disjoints de l'espace écartelé (E, d). L'égalité An E

=

0 entraine qu'à tout élément a deA on peut associer un nombre E,

tel que d(x, a)

Q tel que d(x, b)c,, entratne x A.

À

tout a e A

Traité de topologie générale 123

122 Quelques propriétés particulières

associons la boule U0 = B,2[a] età tout l e E associons V,, = B,2[b] Pour tout un A ettout L'e B, on a Uafl Vb = 0. Les ensembles ouverts U = u U et V = Li /,, séparent doncA et B, ce qui montre que l'espace aeA

beB

Suffisance. Supposons que tout sous-espace de E soit asl-normal et soitA et E deux sous-ensembles de E séparés l'un de l'autre. lls sont tous deux contenus dans le sous-espace ouvert F = E\(A rì È) de E. On a: Ad5A = FnAdEA = FnÀ = À\(ÀnÈ) =

OnademmeAdB = È\À,d'oùAdAnAdB =

(E, d) est asi-normal CoRoLLA/RE. Tout espace métrisable est un espace nortnaL

VJI.1O Deux sous-ensernbles A et E d'un espace E sont dits séparés l'un de l'autrelorsquel'ona AnB = 0 etAnÈ = 0.

À\».

0.

Comme F est asl-normal, AdFA et AdB sont séparés par deux ouverts U et V de F. Comme U et V sont deux ouverts de E qui séparent A et B, on voit que E est complètement normal

-

Cette notion ne dépend que du sous-espace A u B de E. De favon plus précise Soit F un sous-espace d'un espace E. Pour que deux sous-ensembles A et E de Fsoient séparés l'un de l'autre dans l'espace F ilfaut e! il suffit qu 'ils soient séparés l'un de l'autre dans l'espace E.

Ji en résulte que tout espace complètetnent norinal est asi-normal et que tout sous-espace d'un espace complètement norinal est encore conìplètement nor-

maL Comme tout sous-espace d'un espace écartelable est écartelable, on a le: COROLLA/RE. Tout espace écartelable est complètement normal.

VJJ.12 - PRoPosiTioN V1L12.1 Tout ensemble ordonné topologique E est un espace cotnplètetnent normal.

Ce résultat découle des égalités (AdA)nB = (FnAd5A)nli = (Ad5A)nB Exemples

1) Les ensembiesA et E\A sont séparés l'un de l'autre si A est à la fois ouvert et fermé dans E. O[ et ]O, + oc[ sont séparés l'un de 2) Dans l'espace D, les ensembles ]l'autre. 3) Si A est un sous-ensemble d'un espace E, les ensembles Jnt5A et IntE(E\A) sont séparés l'un de l'autre. 00,

VII.11 Un espace topologique E est dit complètement norinal si deux sous-ensembles de E séparés l'un de l'autre sont toujours séparés par des ouverts. -

PRoPosITION VJLI1.1 Pour qu'un espace E soit complètement normal, ilfaut a il suffit que tout sous-espace de E soit asl-normaL Nécessité. Soit F un sous-espace de l'espace complètement normalE et soit A et E deux fermés de F disjoints. lls sont séparés l'un de l'autre dans F, donc aussi dans E. Par hypothèse, A et B sont séparés par deux ouverts U et V de E. lls sont donc séparés par les ouverts F n U et F n V de F, ce qui montre que F est normal.

SoitAetfideuxsous-ensemblesdeEvérifiantÀnB = 0 etA nÈ = 0. Soit (C,), T l'ensemble auto-indexé des composantes convexes de C = E\(A u E) et, pour tout te T, donnons-nous , e C,. Soit K une composante convexe deA. Nous allons lui associer un ouvert A?. Ona K = K/nKd. Si Kg estouvert,onpose A?8 = K8. Supposons que K8 ne soit pas ouvert et soit E = K3 + X. Il résulte du numéro V.1O que K8 est de la forme ]- oo, b] et que X = iL', + oo[ est un ensemble non vide n'ayant pas de minimum. La relation b e A entraine b È. Donc b a un voisinage de la forme ]- cc, x[ avec x e E et ]-b,x[nB = 0 .Sijb,x[nA n'estpasvide,onchoisitae ]b,x{nA et on pose K'5 = ]- oc a[ Si ]b, 4 n A est vide, l'ensemble ]b, x[ est contenu . On définit K'd de manière dans un ensemble C, et on pose K'8 = ]analogue et on pose K' = K'9 n K'd. On associe de mme à toute composante convexe L de E un ouvert L' contenant L. En examinant les différents cas possibles, on voit que, si K est une composante convexe de A et Lune composante convexe de E, on a K' n L' = 0 (on supposera, par exemple, K < L et on constatera l'égalité K'8 n L', = 0). Les ensembles .

,

U = U{K' K est une composante convexe de A} et V = i3 { L' L est une composante convexe de E } sont ouverts et séparent A et E. Donc E est complètement normal

124

Traité de topologie générale 125

øuelques propriétés particulières

COROLLA/RE. Tout

sous-espace d'un ensemble ordonné topologique est un

T

si, pour toute partie 5 de T, l'adhérence de Li A, est contenue dans

Li E,. La proposition VIII. 13.1 a pour conséquence

espace normal.

'e S

'E 5

CoRoLLAIRE 2. Toutefamille localementfinie (A,),

.

de parties d'un espace

E a pour enrobage lafamille (A,),

Recouvrements d'un espace topologique

VJL14 Nous dirons qu'une relation R sur un espace E et une v-relation si efle est symétrique et si, pour tout x e E, l'ensemble R[x] est un voisinage de E. Une v-relation est donc réfiexive. -

VILJ3 Soit E un espace topologique. Une famille (A,), T de parties de E est dite localementfinie si tout point x de E a un voisinage U tel que l'ensembie {te T; UnA,ýø} soitfini. -

PROPOSITION 1/JL13.1 Si (A,),E T d'un espace E, leurs adhérences

est une fami/le locale,nentfinie departies

(),

qui vér,fie l'égalité Li A,

=

.

forment une fami/le localementfinie

teT tET

Larelation te T\Sentraine A, c E\V d'où A, c E\Vce qui montreque la T

est localement finie. Supposons x E Li A,.

À tout t e 5 on

peut associer un voisinage V, de x qui vérifie V, n A, = 0. Cn voit donc que le voisinage U = Vn(fl V,) de x vérifie Un[UA,] = 0, ce qui zeS

entra?ne x E

eT

Nous avons donc montré c Li A,. L'inclusion

évidente Li A, c LiA,

L'égalité REA] = Li REa] montre en effet que R[A] contient un voisiaeA

nage de chacun des points de A 5

LiA,.

Soit x e E et soit V un voisinage ouvert de x tel que l'ensembie 5 = {te T;VnA,ýØ} soitflni.

famille (),

Si R est une v-relation sur l'espace E, pour toute partie A de E l'ensemble REA] est un voisinage deA:

Si 5 et R sont des v-relations sur 1 'espace E, il en est de méme de la relation

SoR En effet, pour tout x e E, l'ensemble (5 o R) [x] qui contient le voisinage R[x] dex, est un voisinage dex 5 Exemple Si ?/ est un recouvrement ouvert de l'espace E, le recouvrement (// est un recouvrement ouvert et la relation G(W) = j't,, est une v-relation.

Ceci résulte de ce que tJt[x] contenant x E

=

Li{Ue

'/

xe U}

est un ouvert

teT tET

entratne

alors la proposition 5

teT teT

Dans un espace topologique une réunion d'ensembles fermés n'est en général pas un ensembie fermé. La proposition précédente permet cependant d'énoncer: COROLLA/RE 1. Dans un espace topologique, toute réunion d'unefatnille loca-

lementfinie d'ensemblesfermés est encore un ensemble fermé.

PROPOS/TION VII. 14.1 : Soit R une v- relation sur un espace E. Pour toute partie A de E on a les inclusions A c mt R[A] et A c R[A] et l'ense,nble E = Li R"[A] est à lafois ouvert etfermé. Iý

L'inclusion A c Int REA] résulte de ce que REA] est un voisinage deA. Soit y e Z. L'appartenance R[y] e entratne R{y] n A ý 0 .Comme la relation R est symétrique, ceci entratne y e REA] ,d'où l'inclusion A cR[A]. OnaR[B]= Li R"EA]cB,d'oùB=REB]. 2 ýn c

Exempie

Dans l'espace IR, les ensembles ([2n, 2n + l]),, forment une famille localement finie d'ensembles fermés. En fait, leur réunion est le complémentaire de l'ensemble ouvert Li ]2n 1, 2n[. Etant données deux families (A,),E T et (B,), T de sous-ensembles d'un -

espace E, nous dirons que la famille (B,), est un enrohage de la famille

Cn a donc E c Int E et c E, ce qui montre que E est ouvert et fernié E COROLLA/RE. Soit R une v- relation sur un espace E. Toutefamille (A,), E T de parties de E a pour enrobage lafamille (REA,]), E

En effet, pour toute partie 5 de 7', on a: LiA,cRELiA,] tes

=

LiREA,].

reS tcs

126 Quelques propriétés particulières

Un recouvrement 7/ d'un espace topologique E est dit un recouvrementfertné de E si tout élément de 7/ est un fermé de E. VIL1S

-

PRoposiTioN

VIL 15.1

Traité de topologie générale 127

Soit cx = Sup (r) ý 1 et solt b E X tel que l'on ait 3a/4 ý r. Les relations X E X et y E B' entra!nent d(y, b) ý d(y, x)

Étant donné un espace E, les propriétés suivantes sont

équivalentes:

=

1) L'espace E est asi-norinal. 2) Pour tout recouvrement ouvert { U1, U2} de E, il existe un recouvrement fermé{F1,F2} deEvérfiantF1cU1 etF2cU2.

Si on exprime 2) au moyen des complémentaires E\U1, E\U2, E\F1 et on voit que 2) s'identifie à 1) a VH.16 Un espace E est dit p!einement norma! si, pour tout recouvrement ouvert 7/ de E, il existe un recouvrement ouvert 92 qui vérifie 9 ý 7/. Un espace qui est à la fois pleinement noi-mal et séparé est dit paracompact. -

VIL16. 1 : Tout espace pleinement norma! est asi-normaL Soit 7/ = { U1, U2} un recouvrement ouvert d'un espace pleinement noi-mal E. Soient 9') et 7/) des recouvrements ouverts de E qui vérifient 7/2' ý 7/ et qA ý 92)" La proposition 11.6.1 monti-e que l'on a 77* ý 92 ý 7/. Soit 72 = (Vj, En notantR la v-relation a(i)), on a 59* = (R[V1]), i-. Pour i = 1 et 2, notons T = {t E T; R[V,] c U}. La relation 92* 7/ entraTne T = T1 ti "2 ComineR est une v-relation, lafamille (R[V]), T estun enrobage de (Vjte i-.. On a donc, pour i = 1 et 2: PRoposiTioN

.

F1= UV,cUR[V,]cU1. lei- teT

Donc {F1, F2} est un recouvrement fermé de E qui vérifie E1 c U1 et E2 c u2 a COROLLA/RE. Tout

VIL17

-

espace paracompact est nonna!.

THÉORÈME VII. 17.1 Tout espace écartelab!e est pleinement norma!.

Soit un recouvrement ouvert d'un espace écartelé (E, d). Pour tout x E E, il existe un nombre r vérifiant O < r ý 1 et tel que la boule B de centre x et de rayon r soit contenue dans un élément de 7/. Donc PS = (8x)xe E est un recouvrement ouvert de E plus fin que 7/. Pour tout x E E, notons B'2 la boule de centre x et de rayon r /4. Montrons que le recouvrement ouvert 2' = (B')1¬ E vérifie 2' ý 2 Soit A = J't14[a] un élément de 2". Notons X = {x E E; a E B'} de sorte quel'onaA = U B'. xe X

+

d(x, a)

+

d(a, b)


< a pour base { U1 x j2 ; U, U2 e i"f}. Comme à tout couple (U1, U2) de voisinages de x, on peut associer un voisinage ouvert U de x vérifiant U. c n U2, on voit que le filtre a encore pour base { U x U,; L/ est un voisinage ouvert de x} D'où la proposition COROLLAIRE 1. Si le sous-ense'nble V de E x E est un voisinage de la dia gonale A, pour tout poi;ìt x de E l'ense;nble V{x] est un voisinage de x dans E.

Soil U un voisinage ouvert de x vérifiant U x c V. La relation c V[x] entratne le corollaire COROLLA/RE 2.

Soit V un voisinage de la diagonale A dans I 'espace E x E. Sur

l'espace E la relation W Comme (x, y)

-

=

Vn

1'1

est une v-relation.

(y, x) est un homéomorphisme de E x E sur lui-m&me,

l'ensemble V1 est un voisinage deA. Il en est donc de m&me de Wqui est alors une relation syrnétrique telle que W[x] soit, pour tout x

E

E, un voisinage

dexa PROPOsITIoN IX.16.2:

Pour qu'un sous-enseìnble V de Ex E soit un voisi. nage de la diagonale A, ilfaut et il suffit qu'il existe un recouvrernent ouvert 7/ de E tel que la relation a(7/) soli contenue da/Is V Nécessité. Supposons Vun voisinage deA. Associons à tout x E E un voisinage ouvert U, de x vérifiant U. x c V. Le recouvrement ouvert 7/ = (U3xh deEvérifie o(7/)c V. Suffisance. Soit 7/ un recouvrement ouvert de E vérifiant G(7/) c V. Soit x E E et soit U un élément de 7/ contenant x. La relation U. x U, c a( 7/) entraine U x U c V. La proposition IX.16.l entraine alors que Vest un voisinage de A !X.16.3: Soit R une v-relation sur l'espace E. Pour tout sous-enseinble A de E x E, on a les relations A c mt (R o A o R) et A cR0 A oR. PRoposn'/oN

La relation R étant symétrique, on a RoAoR

=

U{R[a] x R[b] ; (a, b) e A}.

Si (a, b) appartient àA, l'ensemble R o A o R contient donc le voisinage REa] x R[b] de (a, b) , d'où la première inclusion. Si (x, y) n'appartient pas R o A o R, le voisinage R[x] x R[y] de (x, y) n'intersecte pas A, d'où (x, y) Ø À et la seconde inclusion COROLLA/RE. Si R est une v- relation sur l'espace E, la relation R2 est un voisinage de la diagonale A de E x E qui contient 1 'adhérence A.

On pose A

=

A dans la proposition précédente

IX.17 Soit deux espaces E et F, leur produit direct usuel E x F avec les projections p: E x F -* E et q: E x E -# E. Considérons une applicationfde E dans E et l'application g = idE Af x (x, f(x)) de E dans E x F. -

-

Poter que l'applicationf de E dans E soit continue, ilfaut et il suffit que l'application g de E dans Ex E soit continue. Comme la diagonale de deux applications continues est continue, la condition est nécessaire. La suffisance découle de l'égalité f = q o g Z Si l'applicationf est continue, l'égalité p o g = id5 montre que l'application g de E dans E x E est aJors une section topologique, donc un plongement et le sous-espace g(E) de Ex E, qui est dit le graphe de l'applicationf, est homéomorphe à l'espace E. Soit, en particuliet une application constantef: x -- b de E dans E. L'application correspondante g: E -# E x E est continue. Cn voit donc que, si A est un sous-ensemble ouvert (resp. fenné de E x F, l'ensemble (A) = { x E E ; (x, b) E A } est ouvert (resp. fenné) dans E. De manière analogue, si a est un point de E, i'ense,nble {y E E; (a,)') E A} est ouvert (resp. fer,né) dans E

IX.18

Dans ce numéro et dans le suivant nous montrons comment on peut utiliser les produits d'applications. -

Soit 5 un semi-groupe, c'est-à-dire un ensemble muni d'une opération interne associative (x, y) xy. Un serni-groupe topologique est la donnée d'un semi-groupe 5 muni d'une topologie telle que l'application (x, y) , xy de l'espace produit s2 dans l'espace 5 soit continue. Un groupe topologique G est donc un groupe muni d'une topologie qui en fait un semi-groupe topologique et telle que l'application x -, r I de O sur G soit continue. -

178 Topologies initia!es. Topologies tinales PRoposlTlo,v

Traité de topologie générale 179

IX.] 8.1 Soit S un se;ni-groupe topologique. Pour tout entier

n ý 1, l'application f,, (x i,..., x) x1x2.

.

.x

de l'espace produit 5"

dans I 'espace 5 est continue.

Supposons à partir de maintenant que H soit un sous-groupe invariant de G. Si x et y appartiennent à G, 1'élément R[xy] (xH) (yH) ne dépend alors que des éléments R[x] et R[y] On définit donc une opération interne sur l'ensembie G/H en posant f(x)fy) f(xy) Muni de cette opération, 1'ensemble Giri est un groupe etf est un homomorphisme du groupe G sur le groupe G/H. Considérons les applications i: x - x de G sur G et i' f(x) f(x) de Giri sur G/H. Les applicationsf: G -* G/H et i: G G étant continues, il en est de méme de l'application f o i i' o f x f(x)' de G sur G/H. Commef est une surjection ouverte de G sur GiH, l'application i' G/H -> G/H est continue. Notons p' l'application (f(x), f(y)) f(x)f(y) de (G/H) x (Giri) sur G/H. Les applications f et p étant continues, il en est de mme de l'application fo p p0 (fxf) (x,y) f(x)f(y) de GxG sur Giri. =

.

Montrons ceci par récunence sur n. L'énoncé est trivial pour a i et résulte de la déflnition pour n 2. Supposons qu'il soit vrai pour n i L'application f,, est la composde 12 0 (f,, x f ) de l'application produit =

=

xf

-

((x1, x,.....x,, ), x,,)

-_.

=

.

-

(x1x2...x,,_ x,,)

-,

et de l'application f2 (x, y) xy. Comme les appiications f1 sont continues, il en est de méme de f -

f,

et f,,

Ceci montre en particulier que les applications (x1,..., x,,) '-t +

...

+ x,, et (x

,...,

x,,)

-

x1...x,,

=

-j..>

=

de l'espace I" dans l'espace FR sont continues.

ILX.19

Reprenons l'étude coimnencée au numéro VIII.33. Soit un groupe topologique G, un sous-groupe H de G, la relation d'équivalence R sur G définie par les égalités R[x] xH, l'espace homogène G/R GIN et l'application ouvertef: x R[x] de G sur G/H. Si x ety appartiennent à G, l'élément R[xy] xR[y] de G/H ne dépend que de x et de R{y], d'où une application g (x, f(y)) -> f(xy) de l'espnce G x (G/H) sur l'espace G/H. Notons p l'application continue (x, y) .-4 xy de l'espace G x G sur l'espace G. L'application fo p (x, y) f(xy) de G x G sur G/H est continue. D'autre part f o p est la composde g O (idG x f) de l'application g et de l'application produit id x f (x, y) - (x, f(y)) de G x G sur G x (G/H).

-

71:

-

=

=

'.-

,

=

GxG

r

>G

>

(GIH)x(GIH)

"

> Giri

Comme f est une surjection ouverte, l'application f x f (x, y) (f(x), f(y)) est une surjection ouverte de G x G sur (G/H) x (G/H) et p' est donc une application continue de (G/H) x (Giri) sur G/H. On voli donc -j->

que le groupe Giri, inuni de la topologie quotint de Gpar la relation d'équivalence R, est un groupe topologique. IX.19. 1: 5oit ri un sous-groupe invariant du groupe topologique G. Pour que le groupe topologique G/H soit séparé, ilfaut et il suffit que ri soil ferme' dans G. PRoposlTlojv

Gx(G/H) > Giri

Soitfl'application canonique de G sur G/H et soit e l'unité de G. Pour que l'espace G/I-I soit séparé, il faut et il suffit, d'après la proposition VhS. 1, que l'ensemble ponctuel {f(e)} soit fermé dans G/H, c'est-à-dire que H soitfermédansG =

Comme id6 etfsont des applications ouvertes, il en est de méme de leur produit id0 x f. L'application idG x f étant une sudection ouverte et l'application g o (ida x f) étant continue, il en résulte (VIH.16.3) que g est une

application continue de l'espace G x (G/H) sur l'espace G/H.

180 Topologies initiales. Topologies finales

Traité de topologie générale 181

Sur la topologie des espaoes vectoriels Dans tatti ce paragraphe, le inot « espace vectoriel » signifie « espace vectoriel de di,nension finie sur le corps IR ». Si E est un espace vectoriel, nous désignerons par E' son dual, c'est-à-dire l'espace vectoriel constitué par les formes linéaires sur E. Sa dimension est celle de l'espace vectoriel E.

IX.20

-

PROPOSITION IX.20. i : Soit un espace vecioriel E et un enseinble X de fornes

linéaires sur E qui engendre linéairement l'espace vectoriel dual E'. La topologie initiale U définie sur Epar les applications (p : E -4 FR)1, de E dans l'espace topologique FR s'identifie à la topologie initiale 1/ définie sur Epar les applications (p E -* lR) e x L'inclusion X cE' entratne r// c .7. Soit p e E'. Il existe des éléments p1,..., p,, de X et des nombres X,..., À,, tels que l'on ait p = 11p1 + ... + Comme chaque application p. de l'espace (E, /7) dans FR est continue, il en est de mème de p. Comme ceci est vrai pour tout pe E',ona 7c W,d'oùl'égalité U= // 6 Application. Soit l'espace vectoriel E = FR". Pour tout entier k vérifiant i ý k ý n, notons Pk la projection x = (x1,..., x,,) - Xk de E sur FR. Comme l'ensemble (Pk)i ýký', engendre le dual E' de E, on voit que la topologie 9est celle de l'espace produit FR", c'est-à-dire la topologie usuelle de FR". Plus généralement, nous dirons que la topologie ,ST définie dans la proposition précédente est la topologie usuelle de l'espace vectoriel E. Dans ce para,

graphe, nous considérerons qu 'un espace vectoriel est inuni de sa topologie usuelle. PROPOSITION IX.20.2: Un espace vectoriel E, inuni de sa topologie usuelle, est un espace vectoriel topologique.

Soit, dans E, deux familles filtrantes (x,) et (y,) , qui convergent respectivement vers les points x et y et soit p e E'. Les convergences p(x,) -* p(x) et p(y,) - p(y) entrainent la convergence de p(x1+ y) = p(x,) + p(y) vers p(x) + p(y) = p(x + y). Comme ceci est vrai pour tout p e E' on en déduit que (x + y,) converge vers x + y. On voit de mme que, si (?Lj)i converge vers X dans FR, la famille (X,x), converge vers 2x dans E. D'où la proposition 6 ,

,

,,

JX.21 - PROPOSITION IX.21.1 : Toute application linéaire u d'un espace vecto-

nel E dans un espace vectoriel E est continue.

Si q est un élément de E', l'application q o u de E dans IR est un élément de E', donc une application continue de E dans FR. L'égalité F = mi (q, FR) . entraine donc la continuité de u 6

.., e,,) une base de l'espace vectoniel E. La bijection a; (,..., 1,,) ?1e1 + ... + Xe,, de FR" sur E est un hoìnéomorphis,ne de I 'espace vectoriel FR" sur l'espace vectoriel E. COROLLA/RE].

Soit (e -'..

C'est une conséquence immédiate de la proposition précédente puisque les applications a: FR" -* E et u : E -* FR" sont linéaires, donc continues 6 CoRoLLA/RE

2. Soit

un

espace vectoriel E Tout sous-espace vectoniel E de E

est un sous-espace topologique

de E

Soit i l'injection canonique de E dans E et p une projection linéaire de F sur E, c'est-à-dire une application linéaire de F sur E telle que la restriction pIE

soit l'application identique idE. La proposition précédente montre que les applications i et p sont continues. L'égalité p o i = idE montre alors que l'injection i de E dans E est une section topologique, ce qui entrane que E est un sous-espace topologique de E 6 Soit un élément non nul a de E. Ce qui précède montre que l'application .-s Àa de FR dans l'espace topologique E est un plongement. IX.21.2: Soit des espaces vectoniels (Ek)I ý k ý,, La topologie usuelle de l'espace vectoriel E = E1 x x E,, est la topologie de l'espace produit des espaces topologiques (Ek)I PROPOS/TION

...

ý k ý,,

Chacune des projections itt E - E, étant une application lindaire, est continue. Sur E la topologie produit '7, qui est celle de l'espace topologique mi (ut, Et), est donc moins fine que la topologie usuelle 9T L'espace vectoriel E est engendré par l'ensemble X = {p o u PE E' et I ýkýn}.CommetoutélémentdeXestunefonc tion continue sur l'espace topologique (E, W), on a Uc '/. D'où l'égalité

116

IX.22 - Étant donnés deux espaces vectoriels E et E, nous noterons ZXE, E) l'espace vectoriel formé par l'ensemble des applications linéaires de E dans F. PRoPosn'sON IX.22.i : Pour qu 'une famillefiltrante (u,),, converge vers u /

dans l'espace t(E, E), ilfaut et il suffit que, pour tout e'lément x de E, la famille (u,(x)) converge vers u(x) dans l'espace vectoniel E

182 Topologies initiales. Topologies finales

Traité de topologie générale 183

tout x e E et tout p e E' associons la forme lindaire f1, u p(u(x)) sur 72(E, E). L'ensemble X = {f1, x e E et pe E'} de ces formes lindaires engendre le dual de 7'(E, E). L'espace topologique f(E, E) est donc l'espace initial mi (f ) Pour que (a,), converge vers u, il faut coiierge vers f1 (u) pour tout x e E et tout et il suffit donc que (f (u,)), tout x e E p(u,(x)) converge vers p e E', c'est-à-dire encore que, pour s'écrit (u,(x)) converge vers condition dernière p(u(x)) Vp e E' Mais cette proposition u(x) dans l'espace E. D'où la

À

Co/loLwRE 3: Soit deux espaces vectoriels E ci E L'application (x, u) -- u(x) de Ex 47(E, E) dansEest continue.

En effet, cette application est multilindaire

,,,

.

CoRouA/RE 4: Soit M,, i 'espace vectoriel foriné par les matrices carre'es d'ordre n. L'application de M,, dans IR qui associe à la matrice X son déterminant det X, est continue.

Soit Xk la k-ième ligne de la matrice X. L'application X (X X,,) permet d'identifier l'espace vectoriel M,, à l'espace vectoriel produit E1 x ... x E,,, chaque espace Ek étant l'espace vectoriel FR". Comme l'application X detXde E1 x ... x E,, dans PR est multilindaire, elle est continue -'

IX.23 Soit des espaces vectoriels (Ek)l ý k ý, et leur produit direct usuel x E,,. Une application q de l'espace vectoriel E dans un espace E = E1 x vectoriel E est dite ;nultiline'aire si, pour tout élément a = (a1,..., a,,) de E et tout entier k vérifiant i ý k ý n l'application -

...

,...,

,.-

,

x

-.-

p(a1,...,

I,

af

a,)

de Ek dans E est lindaire. Une application multilinéaire de E dans l'espace vectoriel IR est dite une forme multilinéaire. THÉ0RÈME !X.23.1 : Soit des espaces vectoriels (Ek)j ý k Toute application x E,, dans un espace vecmultilinéaire p de l'espace vectoriel E = E x toriel F est continue. ...

Soit Pk e E'k (1 ý k ý n). L'application (x i,..., x,,)

.'*

Topologies finales JX.24 - Soit (f , E, des applications d'une famille d'espaces E), dans un espace E. Pour que l'on ait l'égalité E = Fin (E,, f,), Til T faut et il suffit qu'un sous-ensemble U de E soit ouvert (resp. fermé) dans E si, et seulement si, pour tout te T, l'ensembie f, '(U) est ouvert (resp. feriné) dans E,. -

.

p1(x1)p2(x2)...p,,(x,,)

de E dans IR est une forme multilinéaire continue. Toute forme multilindaire sur E, étant une combinaison lindaire de formes de ce type, est donc continue sur E. Soit alors une application multilinéaire p: E -* E. Pour tout p e E', la fonction p o ip est une forme multilindaire sur E. Elle est donc continue, ce qui entrane la continuité de p COROLLAII?E 1. Soit trois espaces vectoriels E, E ci G. L'application (a, v) v o a de 7'(E, E) x 7'(F, G) dans f(E, G) est continue.

En effet, cette application est multilindaire CoROLLA/RE 2. Soit un espace vectoriel E. Mani de sa topologie usuelle, Z'(E, E) est un anneau topologique.

La proposition IX.20.2 montre que 7'(E, E) est un groupe additif topologique. Comme l'application (u, v) a o v de 7'(E, E) x ((E, E) dans _t(E, E) est multilinéaire, elle est continue. D'où le corollaire

JX.25 - Soit (E,), T une famille de sous-espaces d'un espace E. Notons i, l'injection canonique de E, dans E. Dire que E est le sous-espace final Fin (E,, i,), T revient à dire qu'un sous-ensemble A de E est ouvert (resp. fermé) dans E dès qu'il remplit la condition suivante Pour tout te T l'ensemble A n E, est ouvert (resp. fermé) dans l'espace E,. ,

Lorsqu'il en est ainsi, nous dirons que la topologie de E est déterminée par lessous-espaces (Ej,

T

Exenzples

1) Soit (E,), T un recouvrement ouvert d'u,z espace E. Les espaces (E,), déterminent la topologie de E. Soit un sous-ensembie U de E tel que U, = Un E, soit, pour tout i e T, un ouvert de E,. Alors U, est un ouvert de E et U = U, est un ouvert IET deE 2) Soit (E,), T un recouvretnentfermé iocale,nentfini d'un espace E. Les sous-espaces (E,), déter,ninent la topologie de E.

184 Topologies initiales. Topologies finales

Soit un sous-ensemble A de E te! que A,

Traité de topologie générate 185 =

A n E, soit, pour tout t e T, un

fermé de E,. Alors (A,), T est une famille localement finie de fermés de E et l'éga!ité A = u A, entraine, d'après le corollaire à la proposition VII.13.1, 'E

T

que A est un fermé de E

COROLLAIIeE: Soit (a,: E, -* 5), E T une somme directe d'une fami/le d'espaces (E,), T Chacune des applications a, est un plongement et définit un ho;néomorphisme de E, sur le sous-espace à lafois ouvert etfermé a,(E,) de 5.

Ce résultat est trivial lorsque E, est vide.

Remarque

Soit E un espace séparé non discret. ({x})5 ¬ E est un recouvrement fermé deE, mais les sous-espaces ({x})¬ E ne déterminent pas la topologie deE. Soit un espace E et une famille (E,), de sous-espaces de E qui détermine la topologie de E. Soitfune application de E dans un espace F telle que, pour tout te T, la restriction f, = f lE, soit une application continue de E, dans F. Comme E est l'espace final Fin (E,, i,), T on en déduit quef est une application continue de E dans F. Soit, en particulier, un espace non vide F et, pour tout t e T une application continue f, de E, dans F de telle sorte que, pour tout couple (s, t) d'éléments de T, on ait l'égalité f5 E5 nE, = f,IEs n E,. On peut définir une application continuef de E dans F en posant f(x) = f,(x) !orsque x appartient à E, et en prenant pour f(x) n'importe quel élément de F lorsque x n'appartient pas à U E,. ,

,e T

Lorsque E, n'est pas vide, a, étant une section topologique, est un plongement. Donc E, est homéomorphe à a,(E,). Soit A = a,(E,). On a a '(A) = E,. L'inéga!ité s ý t entraine a,(E,) n a,(E,) = 0 et a; '(A) = 0. Pourtout se T,1'ensemble a; '(A) est donc ouvert et fermé dans E, Par sulle A est ouvert et fermé dans 5 .

Soit (a, : E, -* 5),E une somme directe des espaces (E,),. Le corollaire précddent montre que, s'il n'y a pas d'inconvénient à identifier chaque ensemble E, au sous-ensemble a,(E,) de 5, les espaces (E,), apparaissent comme des sous-espaces à la fois ouverts et fermés de E. Nous dirons alors que E est la somme directe usuelle des espaces (E,), E PRoposu-soN IX.26.2 : Soil (E,), E 7 unefamille de sous-espaces d'un espace E. Pour que l'espace E soit la somme directe des espaces (E,), E 7' ilfaut et il suffit que les ensembles (E,),E 7 forment un partage de E et que chaque espace E, soit ouvert (e 'est-à -dire ouvert etferiné) dans E.

La ndcessité résulte de ce qui précède. Suffisance. L'égalité ensembliste E

E, montre que !'ensemble E est

IX.26 - Soit (a, : E, -ý 5), e T des applications d'une famille d'espaces (E,), T dans un espace 5. Des considérations analogues à cel!es faites à pro05 des produits directs montre que, poi-tr cette fami/le (a,), T soit une somme dire cte des espaces (E,), ilfaut et il suffit que les applications (a,), T soit

la somme directe des ensembles (E,),E Comme, d'autre part, (E,),E est

une somme directe des ensembles (E,), et que 5 soit l'espace topologique fino! Fin (E,, a,),

tion canonique de E, dans E) W

Rappelons (proposition IV.24.1) que, lorsqu'il en est ainsi, les applications sont des injections et que l'on a l'égalité 5 = a,(E,). CT

(a,),

,e T

PRoPoS1TJoNJX.26.1 Soit (a,: E, -+5), une somme directe d'une fami/le d'espaces (E,), Si un ensemble E, n'est pas vide, l'application a, est une section topo/o gique. Soit a e E,. Notons f, l'application identique E, .-+ E,. Pour tout

s e T \ { i } , notons f5 1' application constante x a de E, dans E, . La codia-

gonale f

V

= SET

f,

: 5 - E, vérifie I'égalité

f

o a,

=

idE . Comrne a, etf

sont des applications continues, a, est une section topologique

=

eT

un recouvrement ouvert de E, on a E

=

Fin (i,, E,), (en notant i, !'injec-

Exemple

Soit U un sous-espace ouvert d'un ensemble ordonné topologique E et soit (U,), E 7 l'ensemble (auto-indexé) des composantes convexes de U dans E. Comme, d'après la proposition V. 10.!, chaque ensemble U, est ouvert dans E, on voit que l'espace U est !a somme directe de ses sous-espaces (U,), E L'étude d'une somme directe d'espaces topo!ogiques offre, en généra!, peu de difficultés. Montrons, par exemple, le résultat suivant: Pour qu'une somme directe 5 d'une fami/le d'espaces (E,) un

espace asl-normal, ilfaut et il suffit que, pour tout te T, l'espace E, soir asi-normal.

186 Topologies initiales. Topologies finales

Supposons, pour simplifier l'dcriture, que l'on puisse écrire E

=

CHAPITRE X

E,. Si

'e T

E est un espace asl-normal, il en est de mème de chaque espace E, qui est un

Limites projectives. Linzites inductives

sous-espace fermé de E. Réciproquement, supposons les espaces (E,), asl-normaux et soit A et 8 deux fermés de S disjoints. Pour tout t E T, les ensembles A, =

=

A n E, et

E n E, sont deux fermés de E, disjoints. Ils sont donc séparés par deux

ouverts U, et V, de E,. Ces ensembles U, et V, sont ouverts dans E. Donc U

=

u

U, et V

ieT

=

Li V, sont deux ouverts de E qui séparent A et 8.

Limites projectives

teT

L'espace E est donc asi-normal Cn démontrera sans difficulté les résultats suivants Soit (E,), et (F,),5 deux families d'espaces topologiques ayant pour somines directes respectives E et F. Soitf: E-e F la somme directe d'une famille d'applications (f, E, F,), T Pour que l'applicationf de E dans F soit continue (resp. ouverte, resp. fermée), il faut et il suffit que, pour tout i E T, l'application f, de E, dans F, soit continue (resp. ouverte, resp. fermée). Si,pourtout tE T, on a F, = Fin (E,, f,) ,onaalors F = Fin (E, f). On voit donc que, si toutes les applications (f, E, F,), e 2 sont des quotients topologiques, il en est de méme de l'applicationf: E -ý F. .

-

-,

X.1 Une catégorie I est dite une petite catégorie Iorsque la collection de ses objets est un ensemble. S'il en est ainsi, nous noterons encore i E I la relation i E £94 I. -

Dans ce chapitre nous aurons à considérer un foncteur F d'une petite catégorie I vers une catégorie 6. Le cas le plus important sera celui où la catégorie i est un ensemble ordonné. Se donner un foncteur F: / -# 6 revient alors à se donner une famille (f» : F, -* Fi), de flèches de 6 telles que les relations i ý j ý k entrainent

f,

=

fkf

O

fi,.

ý

Dans le cas où Iest l'ensembie ordonné IN des entiers naturels, se donner un foncteur IN - 6 revient à se donner une suite (f,, E

fo A fn de 6, F0 - -, ... -, -*

i

-ý

F,

+

)

,,

de flèches

-,

la flèche f,,, étant définie pur f,,,,, =

f,

- i O

f,,

2 O ...

o f,

De manière analogue, lorsque I est la catégorie duale IN°, se donner un foncteur IN° - 6 revient à se donner une suite de fièches de 6 fo

i;

X.2 - Soit un foncteur F d'une petite catégorie I vers une catégorie 6. Cn appelle F-còne project[ la donnée ji = (j.t,: M d'une famille de flèches de 8 telle que, pour toute fièche u i - i de I, on ait l'égalité IL1 = F11o 1L L' objet M, source commune des flèches (is,) est dit le sornrnet du còne R" ,

,

Traité de topologie générale 189

188 Limites projectives. Limites inductives

On remarquera que, si (!t : M -, F,)1 est un F-càne projectif, il en est de méme de (ji, o f)1 pour toute flèchef de but M. On appelle morphisme du còne projectif ji' = Ut'1: M' -* F) vers le còne projectif R = (l.L,: M -. F,). , toute flèche m: M' -* M de (7 telle que l'on ait .i' = o m pourtout jE I. Étant donné un foneteur F d' une petite catégorie I vers une catégorie 6, on appelle limite projective du foncteur F tout F-còne projectif / ayant la propriété suivante: = (Xi: L Pour tout F-còne projectif js = (ji,: M -+ il existe un morphisme unique m: M -+ L du còne s vers le còne À. Dans cette définition, on peut remplacer la condition d'unicité par la condition: Les flèches (X,), forment une famille monomorphique. Si la catégorie 6' est telle que, pour toute petite catégorie I, tout foncteur del vers 6' a une limite projective, on dit que la catégorie 6 a des limitesprojectives. ,,

Remarques I) Une limite projective ? = (% L - F,), ,, d'un foncteur F est définie li un isomorphisme canonique près. De fa;on précise: Si (2/ : 11-4 est une autre limite projective de F, il existe un isomorphisme unique p de L' vers L qui vérifie %' = o p pour tout i e 1. Réciproquement, si cp: 11 -+ L est un isomorphisme, la famille de flèches (X, o p L' - F,)1 ,, est une limite deF. Pour cette raison, on dit souvent que X est « la» limite projective du foncteur F et on note X = Lim F 2) Soit (? :L -, une limite projective de F. Lorsque les flèches (X,)1 sont déflnies de manière évidente à partir de l'objet 1, on se contente de dire queL est la limite projective du foncteur F et on écrit L = Lim F

Se donner un foncteur F: I -, (7 revient à se donner dans 6,' deux flèches F(cc) : A -4 B et i' = F() : A- 8 UnF-còneprojectifjs: (jì, i) est la donnée d'une flèche Ji0 M -, A qui vérifie l'égalité u o = v o la flèche j1i étant la flèche u o Jto. La donnée d'une limite projective de F revient li celle d'une flèche k: K - A ayant les propriétés suivantes u

=

1. Onauok

-

Une telle flèche k est dite un noyau du couple de flèches (u, v) et elle est notée Ker (a, v). On voit sans peine que tout noyau est un monoinorphisrne. C'est ainsi que, lorsque (7 est la catégorie des ensembles, le noyau du couple d'applications (u, v A - B) est l'injection canonique dansA du sous-ensembleK

sourceOetdebutl 0

4

1.

=

{xEA;u(x)

=

v(x)}.

3) Soli F le foncteur de l'ensemble ordonné IN° vers la catégorie des ensembles ainsi défini On pose F = IN pour tout entier n. L' application F,, + i - est l'application x -.4 x + I . Soit (t M -, F) un F-còne projectif Soit x E M et ji0(x) = a. On a, pour tout n, l'égalité jw(x) = a - n, ce qui contredit !I,,(x) e N pour n> a - L'ensemble M est donc vide et le foncteur F a pour limite projective l'ensemble vide. 4) Soli (7 une catégorie ayant des produits directs et soit un produit direct (p, : P -ý Aj, d'une famille (A,), - d'objets de 6'. Soit Il'ensemble des .

parties finies de Tordonné par U ý V Vc U On définit de la fa9on suivante un foncteur F de / vers 6' : À tout élément U de I on associe le produit direct -

F( U) F(U)

1) Soit T une petite catégorie n'ayant pas d'autres flèches que les fièches unités. Se donner un foncteur F: T - (7 revient à se donner une famille (Fi), T d'objets de 6'. Pour qu'une famille de flèches (X, : L -* F,), « soit une limite projective du foncteur F, il faut et il suffit que ces flèches (%j,0 soient un produit direct des objets (F,), 2) On appelle doublet une catégorie I ayant deux objets, que nous noterons O et 1, et quatre flèches, dont les deux flèches unités et deux flèches a et f3 de

vok.

2. Pour mute flèchef: M -, A vérifiant u o f = v o f, il existe une flèche unique m de M vers K telle que l'on ait f = k o in

4-

X.3 - Exemples

=

=

-

flU A,. À

mute relation U ý V dans I, on associe la projection

'e

F(V) de

projection P -, P -,

fl

A, vers

HA,.

Si, pour tout U e I, ori note la

1eV

H

A, = F( U), on voit sans peine que 'e U F(U)),, est une limite projective du foncteurF.

Soit I un ensemble ordonné filtrant à gauche et un sous-ensemble co-mitial J del. Soit un foncteur F: I -3 6' et le foncteur G: i -3 6, restriction à J du foncteur F. Soit une limite projective (X : L -3 F)je du foncteur G. Soit i e I. Il existe un élément j de J vérifiant i ý i. La fièche o X.4

-

,

190 Limites projectives. Limites inductives

Traité de topologie générale 191

L -i ne dépend que de i. Notons la X'. On voit alors que (X' L est une limite projeetive du foneteur E.

-#

F1) e /

Réciproquement, on voit que, si (?q : L -* F),5 , est une limite projective du foncteur E, les flèches (X L -, F)5 forment une limite projective du foncteur G. On en déduit que, si I est un ensemble ordonné filtrant à gauche ayant un sous-ensemble co-initial dénombrable, la recherche d'une limite projective éventuelle d'un foncteur E: I -* 6 se ramène à celle de la limite projective d'un foncteur G: IN°-+ 6. X.5 - Soit deux foncteurs E et G d' une petite catégorie I vers une catégorie 6, un morphisme fonctoriel q = (p1 : F -+ G) , de E vers G et des limites projectives (X : L et (ji : M -# de ces foncteurs. Les flè,, ches (p, o L -# forment un G-còne projectif. Il existe donc une flèche unique p* de L vers M qui vérifie o p = o pour tout i e I. Nous noterons Lim p cette fièche pt Lim E -* Lim G. On vérifie sans 444peine que, si toutes lesflèches sont des tnono,norphismes, laflèche Lim est un monomorphisme. 4-

Supposons que l'cn se donne un troisième foncteur H del vers 6 ayant une limite projective et un morphisme fonctoriel de G vers H. On vérifie sans peine que le morphisme fonctoriel o p de E vers H vérifie l'égalité:

w

v

Lim(vop)= LimwOLim(p. 4-

4-

4-

Exemple Reprenons l'exemple 1 de X.3. Soit E et G des foncteurs de T vers 6. Un morphisme fonctoriel p de E vers G est la donnée d'une famille de flèches (p, : E -, G,), - et la flèche Lim p est le produit des flèches (),

X.6 - Soit E un foncteur d'une petite catégorie I vers la catégorie des ensembles. Notons (p P -+ Ei), ,, le produit direct usuel des ensembles (E) . Soit L le sous-ensemble de P ainsi défini : L'élément x de P appartient li L si, et seulement si, pour toute flèche u: i -# j de I, on a F,,(x) = x. Pour tout i e I, nous noterons ?'q la restriction à L de la projection p. Montrons que = (?L1 L -# est une limite projective de E. D'abord X est un E-còne projectif. Ensuite les applications (2j)j5 ,. forment une famille séparante. Soit enfin un E-còne projectif jì = (R,: M -+ E) . L'application diagonale d= de M dans P vérifie d(M) cL. L'application in: y - d(y) de M

a i

'E

dans L est un morphisme du E-càne ji vers le E-còne X. Donc (Aq: L E,), ei est une limite projective du foncteur E que nous appellerons sa li;niteprojective usuelle. On peut donc énoncer: THÉORÈME X. 6.1 La catégorie des enseinbles a des li,nites projectives.

Remarques Reprenons les notations précédentes 1) Pour toute flèche a : i -4 i de I, notons X,, le sous-ensemble Ker (pi, E,, o p1) de I'. Le sous-ensemb!e L de P est l'intersection fl{X u E FI l}; 2) Soli une liiniLe projective (X', : E-, F,). du foncteurF. L'application dia/ gonale a À', : L' -+ P s'identifle lì la bijection canonique deL' surL. 'EI

Application. Soit un foncteur E de l'ensemble ordonné N° vers la catégorie des ensembles défini par une suite d'applications

f et soit (Aq, : L

-*

fo ->F1- E0

F,,)0 O tel que K soit contenu dans la boule B[0] ou encore s'il existe un nombre b > O tel que K soit contenu dans le sous-ensemble [- b, b]" de IR". Il résulte de ce qui précède et du corollaire 2 à la proposition

THÉORÈME XIILI8. 1. Éianu donné un espace topologique E, les propri étés sui-

XIII.6.l

3) L'espace E est ho;ne'omorphe à un sous-espace fenné de I 'espace [0, l]N.

,

COROLLAIRE 4. Pour qu 'un sous-enseinble de IR" soli coenpact, ilfaut et il suffu qu 'il solt borné etferené datis FR".

vantes sani équivalentes: 1) L'espace E est métrisable ci compari. 2) L'espace E est compaci ci à base dénombrable.

1) entraine 2). Soli (E, d un espace métrique compact. Pour tout entier ý 1, l'ensembie E est la réunion des boules ouvertes (Bj,,,[x]) "11 existe donc un sous-ensemble finì X,, de E tel que l'on ait

i,

Exemple

C'est ainsi que, dans l'espace FR", la boule unité fermée E = {xeFR" d(O, x) ý l} et la sphère S'I = {xelR" ; d(O,x) des ensembles compacts.

=

COROLLA/RE 7. Toute limite projective d'unefamllle d'espaces conipacts est un

espace cornpact. Soit (X, : L pacts (K,),

-

K,), une limite projective d'une famille d'espaces com-

L'espace produit K T"

=

[I

K, est compact. Comme les espaces

,e T

sont séparés, la proposition X.7.1 montre que l'espace L est homéomorphe à un sous-espace fermé de K. Il est donc compact T

Xffl.17

-

E

l} sont

PRoPos/TIO,v XIII. 17.1 : Pour qu 'un espace soli cornpact, iifaut et il sqf-

fu qu 'il soli homéo,norphe à un sous-espacefenné d'un espace de lafonne [O, lJ.

L'ensemble X

=

=

U{B1,,,[X]

;xe

X,,}.

tu X,, est dense dans E: En effet, soity e E. Pour tout n, I ý,,

il existe x,, e X,, vériflant d(y, x,,) c 1/n et B,,,[y] intersecteX. Donc y est adhérent à X et X est dense dans E. Comme X est dénombrable, il résulte de la proposition V.20.2 que l'espace E est à base dénombrable. 2) entraine 3). Supposons E compact à base dénombrable. Comme E est régulier et comme IR peut étre plongé dans [0, 1], le théorème de métrisabilité d'Urysohn (XII.4.1) entratne que E est homéomorphe à un sous-espace E' de [O l]N. L'espace E', sous-ensemble compact de l'espace séparé [O, 1J,est fermédans [O, 1]. 3) entratne 1). L'espace F = [O, l] est compact d'après le théorème de Tychonoff et il est métrisable puisqu'il est le produit d'une famille dénombra-

Traité de topologie générale 237

236 Espaces compacts

ble d'espaces métrisables (XI. 13). Tout sous-espace fermé de F est donc compact et métrisable D

XIII.19

PRoposiTioN XIIL 19.1 : Soit I un ensemble ordonnéfiltrant à gauche, unfoncleur F de la catégor e I vers la catégorie des espaces topologiques et la limite projective (?L1 L -ý F,)0 / dufoncteur E Si tous les espaces (F)¬1 soiit compacts non vides, l'espace L est coinpact non vide.

tomme tous les espaces (K)1 XIII.19. 1 montre que K =

( 11

F1) est compact non vide. Comme (Aj) est une farnille

'(x) n'est pas vide.

1 G et un espace localetnent compact E L'application p = p x id. de l'espace E x F sur I 'espace G x F est un quotient topologique. Nous utiliserons le:

-

PRoPosirloN XI V5.2 : Pour qu 'un espace séparé E soit un k-espace, ilfaut et

-

Soli deux espaces E et F un ouvert U de E x F et un sous-ense,nble asl-compact K de E L'ensernble W = {x E E; {x} x K c U} est un ouvert de E. LEMME.

Soit x E W. Pour tout z E K, il existe un ouvert A2 de E et un ouvert de F qui vériflent (x, z) E A2 x c U. Comme K est asl-compact, il existe un sous-ensemble fini Z de K tel que l'on ait K c J B2. L'ensemble 2¬ Z

A

=

fl A2 est un voisinage de x contenu dans W. Donc W est un ouvert

2¬ Z

de E Démontrons maintenant la proposition. Soit V un sous-ensemble de G x E tel que U = qr (V) soit un ouvert de E x E. Il nous faut montrer que V est un ouvert de G x E. Soit (y, z) E V et x E p '(y). Comme E est localement compact, la telation (x, z) E U entratne l'existence d'un voisinage compact K de z dans E vérifiant {x} x K c U. D'après le lemme précédent, l'ensemble W = {x' e E; {x'} x K c U} est un ouvert de E qui contient x. L'équivalence {x'} x K c U = {p(x')} x K c V montre que W est -saturé. Comme p est un quotient topologique, l'ensemble p(W) est un ouvert de G. Comme V contient le voisinage p(W) x K de (y, z). on voit que V est un ouvert de G x E

Traité de topologie générale 247

246 Espaces IocaIement compacts

La compactification d'Alexandroff XIV.7 Soit E un espace localement compact non compact. Lorsque K parcourt l'ensemble des parties compactes de E, les ensembles E\K forment la base d'un filtre ouvert / que nous appellerons le filtre d'Alexandroff de l'espace E. Comme tout point de E a un voisinage compact, aucun point de E n'est adhérent au filtre /. D'après la proposition VJJ.2.4, l'espace E' = E ý { w } associti au filtre ouvert.. 7 est donc un espace séparé. Montrons que cet espace E' est compact: Soit 7/ un recouvrement ouvert de E' et soit w e U e 7/ L'ensemble E' \ U est un compact de E. Il existe donc une partie finie 7/' de 7/ qui recouvre E' \ U et '2/' u { U} est un recouvrement fini de E' contenu dans 7/. On peut donc énoncer: -

XIV 7.1 : Si E est un espace localetnent coìnpact non compact, l'espace associé aufiltre d'Alexandroff de E est un espace coinpact. PRoPosIT1o,v

L'espace E est dit un coznpactiflé d'Alexandroff de l'espace E. Comme tous ces compactifiés d'Alexandroff sont canoniquement homéomorphes, on ne les distingue en général pas et on les note E,,. Le point unique de E,,\E est noté cc et il est dit le point à l'infini de E,,. On remarquera que, pour qu'un sous-espace de E soit fermé dans E,,, il faut et il suffit qu'il soit compact. COROLLAIRE 1. Tout espace locale,nent coinpact peut étre plongé dans un

espace compact. D'après XIII.12, le corollaire i a pour conséquence: COROLLA IRE 2.

Tout espace localement compact est complètement régulier

CoRoLL4 IRE 3. Pour qu 'un espace topologique E soit localement compact, il faut et il suffit qu'il soit hoinéomorphe à un sous-espace localementfer,né d'un espace de la forme [O, i]T.

Si E est localement compact, il peut &re plongé dans un compact F qui, d'après la proposition XIII.17.1, peut tre lui-mme plongé dans un espace [O, i ]T. Conime E est localement compact, il est donc homéomorphe à un sous-espace localement fermé de [0, 1] T D'autre part, [0, iF' étant compact, tout sous-espace localement fermé de [0, 1] T est localement compact CoRoLwRE 4. Soit K un sous-ensemble coinpact d'un espace localement compact E. Les voisinages coinpacts de Kforment une base des voisinages de K.

Posons E' = E si E est compact et E' = E,, si E ne l'est pas. Soit U un ouvert de E contenant K. Comme U est un ouvert de E', la proposition XIII. 11.1 montre qu' il existe un voisinage A de K fermé dans E' et contenu dans U. L'ensembie A est donc un voisinage compact de K contenu dans U

XIV.8

Soit .1 le filtre d'Alexandroff d'un espace E localement cornpact non compact. Si une farnille filtrante (xi), , à valeurs dans E est finaleinent dans le filtre/, nous dirons que cettefamillefiltrante tend vers l'infini. Ceci revient à dire qu'elle converge vers cc dans l'espace E,,. -

Soitfune application de E dans un espace F. Si le filtre J(J) converge dans F vers un point y, nous dirons que lafonctionftend vers y à I 'infini. Ceci revient à dire que l'application g de E,, dans F obtenue en prolongeant la fonctionf par 1'égalité g(oc) = y est continue au point code E,,. En particulier, une fonction numériquef: E IR tend vers zéro à l'intimi si, et seulement si, pour tout nombre e> 0, il existe un compact K de E tel que x e E\K entraine If(x)I ce. -

Remarque Soit l'espace produit (p1: E x E-> E)1 I 2 et soit L un compact de E x E. L'ensembie K = p1(L) u p2(L) est un' compact de E tel que l'on alt L c K x K. Le fitte d'Alexandroff de l'espace localement compact E x E a donc pour base {(E\K) x (E\K) K est un compact de E} Il en r¬sulte qu'une fonctionf: Ex E ]R tend vers zdro à l'infini si, et seulement si, pour tout e>0,il existe un compactKde E tel que x, y e E\K entraine If(x, )I ce. .

-,

XIV.9 -

PRoPosITION XIV9. 1 Soli, dans un espace localement cotnpact E, un ensemble compact K contenu dans un ensembie ouvert U. Toute application continue f de l'espace K dans l'espace [0, 1] peut se prolonger en une application continue g de E dans [0, 1] telle que le support de g soit compact et contenu dans U.

Posons E'

=

E si E est compact et E'

=

E,, si E ne l'est pas.

Soit Vun ouvertdeEetLun compactdeEtels quel'on ait K c Vc L c U. Les ensembles K et E' \ V sont des fermés de E' disjoints. L'application f' du fermé K ý (E' \ V) qui prolonge f et qui s'annule sur E' \ V est continue. Le théorème de Tielze (XIL3.1) montre que f' peut se prolonger en une application continue g' de E' dans [0, 1] La restriction g = g' E, qui a son support contenu dans le compact L remplit la condition demandée .

XIV.1O

Un espace localement compact non compact E est dit dénombrable à l'infini lorsque son fitte d'Alexandroff est à base dénombrable. -

248 Espaces tocalement compacts

Traité de topologie générale 249

PROPOSITION XIVIO.1 Pour qu 'un espace localernent compact non cornpact E soit dénombrable à l'infini, ilfaut et il suffit que E sait réunion d'unefamille dénoinbrable d'ensembles coinpacts.

Notons l'ensemble des compacts de E et .J son filtre d'Alexandroff. Nécessite'. Le fitte

/ a pour base (E\K)K .

Suffisance. Supposons que E soit la réunion d'une sufte (K,31Y. 2) entratne 3). C'est trivial. 3) entraine 1). Soit (Tun filtre sur l'espace E. Soit E' l'ensembie E muni de la topologie discrète et Y = E' + (w} l'espace associé au filtre ouvert 9 sur l'espace E'. La projection p: E x Y - Y est, par hypothèse, une application fermée. Le sous-ensemble A = (x, x). E de E x Y vérifie p (A) = E. Comme E est dense dans Y l'ensemble p(A), qui est fermé dans Y est égal à 11/2"

-

1/2"'

=

Soit alors z E E et W la boule ouverte de centre z et de rayon 1/2". Montrons par l'absurde que l'on ne peut avoir simultanément W n V,,, ý 0 et Wn V,, ý 0. Soit x' E Wn V,,, et y' E Wn V,,. L'inclusion {x', y'} c W entraine d(x', y') < 1/2". D'autre pan, il existe x E 8,,, et y E Ba,, avec d(x', x) c 1/2"' et d(y', y) < 1/2". Cn a donc d(x, y) ý d(x, x') + d(x', y') + d(y', y) O, notons t8r le recouvrement t(Br) = (Br[X])xe E et, pour tout entier n ý i posons 74, = Q112,. résulte de 11.13 que l'on a 4t+ ý 74,. D'où 2a). Les relations = G(t(Br)) = B3 c 82r montrent que le voisinage J't[x] estcontenu dans la boule B112,.,[xj D'où 2b). .

2) entratne 3). Supposons réalisée la condition 2) et posons = J't,,, = a(74,). Comnie 74, est un recouvrement ouvert, R,, est une v-relation. La condition 2a) entraine (7/,t+ ) c a(7/,,), soit + i))) c (7/,,) c'est-à-dire o(w(R,, + )) cR, ou R,ý cR,,. D'où 3a). L'égalité R,,[x] = tJ't11[x] montre que 2b) équivaut à 3b). 3) entraine 1). Supposons remplie la condition 3). La proposition XVI.4.1 montre l'existence d'un écart d sur E te! que l'on ait toujours + 2[xJ c B172,,[x] c R211[x]

La condition 3b) entraine que, pour tout x E E, le filtre des voisinages de x est le filtre de base (B112,[x]),,. La topologie de E est donc celle définie par l'écart d XVLS Un espace E est dit développable s'il existe une suite (7/,,) ,, de recouvrements ouverts de E telle que, pour tout x E E, la suite -

XVI. 6.1: Pour qu 'un espace E scit écartelable, ilfaut et il suffit qu 'à tout point x de E on puisse associer une base (U)1 des voisinages de xforniant une suite décroissante de te/le sorte que la condition suivante soit vérifiée: Pour tout éléinent x de E et tout entier n ý i, il existe un entier N = N(x, n) strictement supérieur à n tel qu'une relation n U *0 entratne U c U;.

XVI.6

-

PRoPosITIoN

Ne'cessité. Supposons la topologie de E définie par un écart d. Pour tout x E E et tout n ý 1 , posons U, = 81711[x] On voit, en prenant N(x, n) = 3n, que la condition précédente est vérifiée. .

Suffisance. Supposons remplie la condition indiquée. À tout x E E associons la suite strictement croissante (a(x, nfl1ý,, d'entiers définis par les éga!ités a(x, i) = i eta(x,n+!) = N(x,a(x,n)) Vný!. Notons

74, le recouvrement (U(T,,,))

i) (J't11[x]),, est une base des voisinages de x. Soit U un voisinage de x et k un entier qui vérifie U(Xk) c U. Posons a = a(x,k) et N = a(x,k+ 1). Une relation xE U'., entraine U n U, ý 0, d'où U c c U. Les relations Ný a(y, N) montrent donc que J't,[x] = U{U,N) XE U(yN)} est contenu dans U d'où l'affirmation i). Montrons ensuite

soit une base des voisinages de x.

2) Ona 7/,t+1ý7/,, pourtout ný I

XVI. 5.1: Pour qu 'un espace soit écartelable, il faut et il suffit qu'il soit à lafoispleinement normal et développable.

Soit A

PRoposiTioN

Nécessité. Soit E un espace écartelable. D' après le théorème VII. 17.1,!' espace E est pleinement normal. 11 résulte du théorème précédent que E est développable.

de E. Montrons d'abord:

E

7/

.

Il existe un sous-ensemble Z de E tel que i'on ait

A = u U(z,,+ et (ì U(Z,,+ zeZ

*0.

zGZ

E, une base des voisinages de E. Nous allons définir par récunence une

Soit x E Z vérifiant a(x, a + i) = Inf (a(z, n + ifl z. Posons in = a(x, a) et N = a(x, n + 1). Pour tout z E Z les relations Ný a(z, n + i) et U, n *0 entratnent U, n U *0, d'où l'élément U, = U(,,) de 74,, d'où dans U c U;. Donc A est contenu l'affirmation 2)

suite (12,,) ,, de recouvrements ouverts de E. On pose = 7/ Supposons 7, défini.Alors ¶2 = {Un V ; UE et VE 4,} estunrecouvrement

Les affirrnations 1) et 2) étant vérifiées, le théorème XVI.4.i entraine que l'espace E est écartelable

Suffisance. Soit E un espace pleinement normal et développable. Soit (,,)

, une suite de recouvrements ouverts de E telle que ( J't. [x])1 ,, soit, pour tout x

E

.

266 Espacea métrisables

XVL7 THÈORÈME XVI. 7.1. Soit, sur un espace métrique (E, d) une relation d'équivalencefennée R telle que, pour tout ulémentx de E, lafrontière de R[xj soit une partie coinpacte de E. L'espace quotient E/R est métrisable. -

soitfl'application canonique de E sur l'espace quotient F = E/R. Soit y E F L'ensembie f '(y) est fermé dans E et sa frontière Frt '(y) est un compact contenu dans f (y). À tout entier n ý i associons les ouverts B1,,[Frf- '(y)] = B et U = u mt f '(y) = ti f '(y). La proposition XIII.13.1 montre que (B;) est une base des voisinages du compact Frf '(y) Comme R est une relation d'équivalence fermée, la proposition VIII.18.1 montre que le plus grand ensembie saturti contenu dans U est un ouvert de E qui contient f '(y). L'ensemble W = f(V) est un voisinage ouvert deydansFtelquel'on ait W.1 c W.

Traité de topologie générate 267

a V ,ce qui est une contradiction. Donc w n'est pas intérieur à f- 1(y) , et les relations w E V c u mt f '(y) entrainent w E B. On a donc w e n Il existe, par sulle, des points u E Fr7 '(y) et v E Fr7 '(z) tels que l'on ait dO, v) ý d(u, w) + d(v, w) c 2/N et la condition (2) entraine donc v E V,,, d'où 7 '(z) n V,, ý 0 ce qui entraine f '(z) c Vi,,. On a doncmontrél'inclusion 7 '(z) c .

Les relations 7 1(z) c V,, c Ui,, et f '(z)n7 '(y)

=

B,, ti

mt 7

'(y)

0 entrainent f '(z)cBL,.

Soit u E U. Il existe ve VE

=

f

B,, entraine l'existence de

donc d(s, u) c 1/n, d'où a

'(z) vérifiant dO, v) c c sE

.

La relation

Frf- '(y) vériflant d(s, v) < 1/2n. On a

E C

U, On a donc Ui,, c U. Il en résulte

V, c V et W c W.

Soit l'un voisinage dey. L'ensemble f- 1(Y) est un voisinage de Frf '(y) Il contient donc un ensemble B. On a alors U c f '(Y), d'où V, c f '(Y) et W c Y. Cette inclusion montre que (W),, est une base des voisinages dey.

L'entier N est donc tel que la relation W3, n ý 0 entraine W c W. Il résulte alors de la proposition XVI.6. I que l'espace F est écartelable.

Soit y e F et un entier n ý i Nous allons leur associer un entier N auquel nous imposerons trois conditions. On impose d'abord

Commef est une application fermée de l'espace séparé E sur l'espace F, tout sous-ensemble ponctuel de F est fermé. Comme E' est écartelable, il est séparé et, par suite, métrisable

(i) 2n

Si E est asl-régulier XVII.5 - PROPOS/T/ON X VILS.J : Si 77 est un recouvrement ouvert o-localetnentfini d'un espace E, il existe un recouvrement de E locale'nentfiniplus fin que '/7. Soit '/7 =

u

9'- un recouvrement ouvert de E, chaque enseinble étant

localement fini. Soit U,, la réunion des éléments de U

I i ý,,

'/3. Les ouverts

(U,,)1,, forment une suite croissante qui recouvre E. Posons A1

=

U1 et

Soit 7/ un recouvrement ouvert de E. À tout x e E on peut associer lJ e 7/ et B e (/3 vérifiant x e c LJ. Donc 72 = (8)¬ E estun recouvrement ouvert de E plus fin que 7/ et la relation '/2 c (4 montre que 99 est a-localement fini. La proposition précédente montre qu'il existe un recouvrement localement fini .-( de E plus fin que 99" Donc (est plus fin que 7/ et E ala propriété (RI) COROLLA/RE 5. Tout espace écartelable a la propriété (R2)

Soit 7/ un recouvrement ouvert de l'espace écartelable E. Le théorème XVI.2.l montre qu'il existe un recouvrement ouvert o-discret 99 plus fin que 7/. Comme 99 est évidemment a-localement fini, la proposition précédente

Traité de topologie générale 275

274 Espaces paracompacts mentre qu'il existe un recouvremenL,( localement fini plus fin que 7 donc plus fin que 7/. Par suite, E a la propriété (R1) Comme tout espace écartelable est asl-régulier, il en résulte que E a la propriété (R,) Remargue Ce résultat mentre à nouveau que tout espace carteIable est pleinement normal. XVII.6 THÉORÈME X VIL6. I. Soit E un espace métrisable. Les propriétés suivantes sont équiva!entes: -

On voit, en particulier, qu'un espace topologique E est pleinement nornal

si, et seulement si, tout recouvre;nent ouvert de E est un recouvrenzent normaL TIJÉORÈME XVII. 7.1. Pour qu 'un recouvrement // d'un espace topologique E soit un recouvreinent norma!, ilfaut et il suffit qu 'il existe un écart continu d sur E et un recouvrement ouvert 7) de l'espace (E, d) qui soit plus fin que le recouvrelnent 7/.

Nécessité. Supposons 7/ un recouvrement normal et soit une suite de recouvrements ouverts de E vériflant

1) L'espace E est cornpact. 2) Dans l'espace E toute sui/e a un point adhéi-ent (c'est-à-dire: l'espace E est déno,nbrable,nent compaci). 3) Dans l'espace E toute sui/e a tine sous-suite convergente (c'est-à-dire: I 'espace E est séquentiellement compact). 4) Sur l'espace E toutefonction numérique continue est bornée (c'est-à-dire: I 'espace E est pseudo-compact). Nous avons déjà démontré les assertions 1) 2) (XIII.21), 2) 4) (Proposition XIII.24.l) et 3) = 2) (Proposition XIII.23.l). 2) entraine 1). L'espace E, étant métrisable, a la propriété (R3). Soit 7/ un recouvrement ouvert de E et soiL// un recouvrement ouvert localement fini de E plus fin que 7/. Le recouvrement.,7 est ponctuellement fini. Si E est dénombrablement compact, la proposition XIII.22.1 montre que 7 a un sous-recouvrement fini C8. La relation 4 ý 7/ entraine que 7/ a un sous-recouvrement fini. L'espace E est donc compact. 2) entraine 3). Ceci résulte de la proposition XIII.23. i puisque E vérifie le premier axiome de dénombrabilité. 4) entraine 2). L'espace E, étant métrisable, est un espace normal. La proposition XIII.24.2 mentre donc que, si il est pseudo-compact, il est dénombrablement compact

Recouvrements normaux XVII.7 Un recouvrement 7/ d'un espace topologique E est dit un recouvretnent norma! s'il existe une sulle (7/,,) de recouvrements ouverts de E telle que l'en ait 7/ ý 7/ et 7/ý ý 7/,, pour tout n ý 1. -

Peur tout n ý 1 , la relation R,, = (7/,,) est une v-relation qui vérifie

= a('r(R,,1)) =

(r(o(7/,,ý1)))

= a(//1)co(7/) = R.

D'après la proposition XVI.4. l,il existe un écart continu d sur E tel que l'en ait R2,, +2 cE112, cR21, pour tout n ý i Les relations t(8112)ýt(R2) = t(a(7/,)) = Y/tý7/1ý7/ montrent que le recouvrement 7) = 1(81,2) de E par les d-boules ouvertes de rayon 1/2 estplus fin que 7/.

Suffisance. Supposons remplie la condition indiqude. L'espace (E, d), étant écartelable, est pleinement normal. Il existe donc une suite vrements ouverts de l'espace (E, d) vérifiant:

O.

-I

fl V,

(e 5

entraine e 2. Soit, pour tout t e 5, un élément W, de 4 qui vérifle c V,. L'élément W = fl W, de 2 vérifie W2 c V. On voit donc que le 'CS

filtre 5 est une structure uniforme sur X Il résulte de ce qui précède que, ordonné par inclusion, 1 'ensemble des structures uniforme sur un ensemble X est complètement réticulé. Si ( est un ensemble de relations réflexives sur un ensemble X, la plus petite structure uniforme sur X qui contient I est dite la structure uniforme engendréeparJ. Remarques 1) La structure uniforme engendrée pari est en général distincte dv filtre engendré par f. 2) Si (4) est une famille de structures uniformes surX, la structure uniforme T A 5,, borne inférieure de cette famille, est en général distincte du flltre fl 5, teT teT

Structure uniforme engendrée par un ensembie d'écarts XVIH.5 - Reprenons i'exemple exposé dans 111.8. Soit d un écart sur un ensemble E. Comme, pour tout r> O, la relation est contenu dans la rela-

XVJLI.6 - Exemples 1) Sur un ensemble E la structure uniforme discrète est engendrée par l'écart discret d (déflni par x ý y d (x, y) = 1) et la structure uniforme grossière est engendrée par l'écart grossier e (défini par d (x, y) = O pour x, y e E). 2) Soit d un écart bivalent sur E et la relation d'équivalence R = {(x,y)eExE;d(x,y) = O}. La structure uniforme 5,, est le filtre principal de base {R). 3) Sok G un groupe topologique dont la topologie est déflnie par un écart d invariant par les translations à gauche. Soit un voisinage U = B[e] de l'élément neutre e. Les équivalences (x,y)e UXtYE Ud(e,fty) O}. Lorsque l'ensemble O est flltrant, O est une base du filtre S» En effet les inégalités d1, d2 ý d et r ý r1 A r, entrainent r C Ed, r1 Ed2 r2 6) Lorsque O est l'ensembie vide, la strueture uniforme 6', est la struclure uniforme grossière. Exemple Soit un ensemble E. Pour tout sous-ensemble A de E, notons dA l'écart sur E associé au partage E = A + (E\A), écart défini par les égalités dA(x,y) = O pour{x,y}cA ou{x,y}cE\A et dA(x, y) = i dans le cas contraire. Onvoitquesi E = A1-i+A,, estunepartitionfiniedeEetsidesti'écart associé à cette partition, écart défini par: d(x,y) = O 2iavec {x,y}cA etpard(x,y) = I danslecascontraire, ...

onad=dAv...vdA. Comme la structure uniforme des partitions finies sur E est manifestement engendrée par les écarts associés aux diverses partitions finies de E, on voit que la strueture uniforme des partitions finies est engendrée par l'ensetnble d'écarts (dA)A cE

-

Le théorème 11.14.1 montre 1'existence d'un écart d sur E tel que l'on alt c R21, pour tout n ý 1. Cet écart d répond à la question +2 c Ed /2'

THÉoRÈME X VHL8. 1. Pour qu 'un espace uniforme E soit écartelable, ilfaut et il suffit que lefiltre de ses entourages solt à base dénombrable. La nécessité résulte de la définition de la structure uniforme 6',,. Démontrons la suffisance et donnons-nous une base dénombrable (V)1 ,, des entourages de E. Nous allons définir par récurrence une suite (R,31 , d'entourages V1 n V1. L'élément R,, ayant été choisi, on choisit pour symétrique de E vérifiant R + c R,, rì V,,. + un entourage d'un écart d sur E tel que (R)1 l'existence Le lemme précédent montre est une base des entourages de E, on Comme (Ra),, soit une base du filtre 8,,. E entourages de voit que 6',, est le filtre des de E. On pose R

=

COROLLA/RE. Toute structure uniforme engendrée par un ensemble dénombrabie d'écarts O est écartelable. En effet, le filtre 6 est engendré par l'ensembie dénombrable {Bj/fl;deOetnýi} THÉORÈME XVIIL8.2. Toute structure uniforme est engendrée par un ensetnble d'écarts. Soit 8 une structure uniforme sur un ensembie E. Soit Ve 8. On peut définir, par récurrence sur n, une suite (V,j1 ,, d'éléments symétriques de 6 vérifiant V1 = V n et c V,,. D'après le lemme XVIII.8.l, il existe un écart d sur E tel que (V)1,, soit une base du filtre 6,,. L'égalité 6

=

'I

{ 6',,; V e 6' }

montre que la structure uniforme 8 est engendrée par

l'ensemble d'écarts (d) COROLLA/RE. Toute structure uniforme 6' sur un ensemble E peut étre engendi-de par un enseinble d'écarts qui est filtrant et dont tous les éléments sont majoréspar 1. Le théorème précédent montre l'existence d'un ensembie d'écarts O tel que l'on ait 8 = La structure uniforme 6' est encore engendrée par l'ensernblefiltrantQi' = (O ;+}etparO" = {1 Ad;de O'}quiestunensemble flltrant d'écarts majorés par 1

Traité de topologie générale

290 Espaces uniformes

XVIII.9

-

Donnons une application de ce qui précède:

XVIIL9.1 Soli un groupe topologique G. Pour que sa structure uniforme gauche soli écartelable, ilfaut et il suffit que l'espace topologique G vérifie le prernier alioine de dénornbrabiliié. PRoposiTioN

Tout revient à démontrer que le filtre S est à base dénombrable si, et seulement si, le filtre 72 des voisinages de l'unité e est à base dénombrable. À tout élément U de 72 on associe I'entourage Ug = {(x,y);f'ye U}ee. Pour tout couple U, Ve 7K on a l'équivalence U8 c V U c V et l'égalité Comme {U5; Ue 99} est une base de S, on en déduit que pourqu'un sous-ensemble 2 de 7) soit une base du filtre 7), il faut et il suffit que 2 = { Ug U e 2 } soli une base du filtre 6' .11 résulte de la proUn V

=

(Un

1I).

291

E)

Nous noterons A (E) ou A (6' l'ensemble des écarts d sur E qui satisfont aux conditions équivalentes de la proposition précédente. Nous noterons /, ,E I, A (E) ou A (6 ) 1 ensemble des elements bornés de A (E). Le theoreme ,

XVIII.8.2 montre que l'on a 6' = V{6 de A(6"5}. La siructure uniforme 6' est donc engendre'e par l'ensemble d'e'carts A (6'). Elle est aussi engendre'e pan l'ensemble d'écarts Remarques

1) Si 6' et 62 sont deux structures uniformes sur un ensembleE, on a: A(6)cA(S2) Ab(s)cAb(6). 2) Si d est un écart appartenant àA (6)11 en est de méme de tout écartd' surE qui vérifle d' ý ci et de tout écart a Ad, pour a> O. Si d1,..., d,, appartiennent 'a A (8), il en est de mme de I'écart ci1 + + d,, et de l'écart ci détini par ...

position 111.19.1 que le filtre est à base dénombrable si, et seulement si, il esiste un sous-ensemble dénombrable de 7' tel que 2 soit une base du

ci2 = d+

...

+

filtre S c'est-à-dire tel que 2 soit une base du filtre 92. D'où la proposition ,

COROLLA/RE.

Pour que la siructure uniforme gauche d'un groupe topologique

Espaces totalement bornés. Filtres de Cauchy

G soli écartelable, ilfaut et il suffit qu 'elle soli engendrée par un écart d invanani par les translauons à gauche.

L'exemple 3) de XVIII.6 montre la suffisance. Nécessité. Supposons la structure uniforme 6' écartelable. On déduit de ce qui précède qu'il existe une base (U), des voisinages de l'unité qui vérifient U, = U,, et U,ý1 c U pourtoutn. Soit R = (Un)g" Ona (ax,ay)e R (x,y)e R Va,x,ye G,Vný1.

Il résulte alors du théorème 11.14.1 que la structure uniforme S peut étre définie par un écart d tel que l'on ait identiquement d (al, ay) = d (x, y) XVLII.1O PRoPos/T/ONXVIJLIO.1 Soli un karl d sur un espace unforme E. Les conditions suivantes so1t équivaientes: 1) Ona4'c4'5 -

2) Pour toutefamillefiltrante (xi, y) / à valeurs dans E x E qui est finalement dans 6', lafamille de nombres (d(x1, y1)) / converge vers O.

La condition 2) exprime en effet que toute famille filtrante finalement dans E 8 est finalement dans 6d

XVIII.11 Étant donné une relation V sur un ensemble E, un sous-ensemble A de Eest ditpetitd'ordre Vsi, pour tout couple (x, y) de points deA, on a toujours (x,y) e V c'est-à-dire si l'on a A xA c V. -

Exemples 1) Soit la diagonale de E x E. Les ensembles petits d'ordre A sont l'ensemble vide et les ensembles ponctuels. 2) Plus généralement, si R est une relation d'équivalence, l'ensembleA est petit d'ordre R si, et seulement si, tous les éléments de A sont équivalents. 3) Étant donné 1'écart d sur E et r> O, l'ensembie A est petit d'ordre B et seulement si, on ad (x, y) c r pour tout couple (x, y) de points de A.

r

Remarques 1) Si A est petit d'ordre V, il est petit d'ordre V n 2) Soit V une relation réflexive. Si les ensembiesA et 8 sont petits d'ordre Vet si A n il n'est pas vide, 1'ensembleA uil est petit d'ordre V2.

Traité de topologie générale 293

292 Espaces uniformes

3) Soit Vet W deux relations sur E. Si A est petit d'ordre 1< l'ensemble W [A] est petit d'ordre W o V o W En particulier, si la relation West symétrique, pour tout E, l'ensemble W [i] est petit d'ordre W2. .

i E

XVHL1Z - PRoposiTioN XVIJI.12.1 : Sai! A un sous-ensemble d'un espace uniforme (E, 6'). Les propriétés suivantes sont équivalentes: 1) Paur tout entourage Ve 4', l'ensembie A est réunion d'un nombrefini d'ensenzbles petits d'ordre V 2) Pour tout entourage 1< il existe un sous-ensemblefini X de A tel que l'on ait A c V[X]. 3) Pour tout entourage 1< il existe un sous-enseinblefini X de E tel que i 'on ai! A c V[X]. 1)entraine2).SoitA = A1 u uA11,chaqueA étantpetitd'ordrevOn peut supposer qu'aucun Ah n'est vide. Soit, pour tout k, un point ah de Ak. L'ensemble X = (ah)! ýký,, est tel que l'on ait A c V[X] ...

2) entraine 3). C'est évident. 3) entratne 1). Soit W un entourage symétrique vérifiant W2 c V et soli X un sous-ensemble fini de E tel que l'on ait A c W[X]. L'ensembie A est la réunion des ensembles (An W[x]) x qui sont tous petits d'ordre V Si l'ensembleA vérifie les propriétés précédentes, on dit qu'il est totalement borné (dans l'espace uniforme (E, 6')). En particulier l'espac uniforme (E, 4') est dit totalement borné si l'ensemble E est totalement bomé (on dit alors que la structure uniforme 8 est totalement bornée). Remarques

2) Tout ense;nble E, muni de la srructure unfo;-tne des pari itions finies, est totalement borné. Soit 9? 1' ensemble des relations d' équivalence R sur E telles que EIR soit un ensemble fini. Pour tout R e 9? , il existe un sous-ensemble fini X de E tel que l'on ait E = R CX]. Comme 92 est une base des entourages de E, on voit que E est totalement borné 3) Paur qu'un espace écartelé (E, d soit totalement borné, ilfaut e! il suffit que. pour tout notnbre r>0, l'ense,nble E soit réunion d'un nombre fini de boules de rayon r. Comme (11r)r,,o est une base des entourages, on voit que E est totalement borné si, et seulement si, pour tout r> O, il existe un ensemble tini X tel que l'on ait E = 13r[X] = U Br[X] -te X

4) On en déduit sans peine qu'un sous-ensembleA de l'enseinbie IR des noinbres réels (muni de I 'écart usuel) est totale,nent borné si, et seulenient si, il est borné, c'est-à-dire s'il existe un nombre a tel que l'on alt A c [- a, + a]. Remarque Soit E un ensemble infini muni de l'écart discret d. Cet espace est borné, en ce sens qu'il est contenu dans une boule de rayon 2, mais il n'est pas totalement bomé cari! n'est pas réunion d'un nombre fini de boules de rayon 1/2. L'exemple 4) a pour conséquence: X VIII. 13.1: Soit (E, d) un ensembie écartelé. Si i 'espace uniforme (E, d) est totalement borné, I 'espace topologique (E, d) est à base déno,nbrabie. PsoposlT!Ozv

Pour tout entier n ý 1, il existe un sous-ensemble tini X de E tel que l'on ait E

=

B1,,[X,,]. Soit X

n X,, ý

=

t.J X,, et a e E. Pour tout n ý 1, on a

0.

1) Dans un espace uniforme, toute réunion d'un nombre fini d'ensembles totalement bornés est un ensemble totalement borné. En particulier tout ensemble fini est totalement borné.

L'ensembie X est donc dense dans E et la proposition V.20.2 montre que E est à base dénombrable

Tout sous-ensemble d'un ensembie totalement bomé est totalement borné.

XVHI.14

2) Solt, sur un ensemble E, deux structures uniformes 4' et 6' vérifiant c S2. Si A est un sous-ensemble totalement borné de l'espace uniforme (E, '2)' c'est encore un sous-ensemble totalement borné de (E, ).

la valeur absoluep-adique i '-t

XVIII.13

- Exempies

1) Soit E un espace uniforme discret. Comme la diagonale de Ex E est un entourage, on voit que tout sous-ensemble totalement borné de E est fini.

- Reprenons l'exemple 2) du numéro 11.9. Soit un nombre premierp,

lxi sur le corps O et la distance d sur O définie

lx - yl . Nous allons montrer que, dans l'espace uniforme (O, d) i'ensemble A = B1 [O] = {x eO ; lxi ý i } est totaletnent borné. A est

par d(x, y)

=

1'ensemble des nombres rationnels de la forme premier àp et b un élément de 7.

b_,

où c est un entier naturel

Traité de topologie générale 295

294 Espaces uniformes

SoitNE IN. L'égalitélJ.9.4montrequeB = {(x, y) E O; Ix- y ý TN } est une relation d'équivalence sur O. Tout revient li démontrer qu'il existe un sous-ensemble fini X de O tel que l'on ait A c B[X]. Soit X l'ensembie fini {xE IN; xcpM}.PourtoutzE L,onpeutécrirez = %pN+x avecXE 7 et x E X. On a donc z ¬ B[X], d'où 7 c B[X] et BEL] = B[X] puisque l'on a Xc 7. Soit in un entier nature! premier àp. Si x ety sont des é!éments deX distincts, A'" Les classes (B [mx] ) x sont done toutes m (x y) n'est pas divisib!e par distinctes et, comme e!Ies sont en mflme nombre que !es classes (B[x])¬ x on a B[mX] = BEL].

Comme le filire 5 est engendré par S' = U St, ceci est une conséquence E T immédiate de la proposition précédente En particulier: C0R0LLA1RE2. Soil Q un ensemble d'écarts sur un ensembie E. Pour qu'un

sous-ensemble A de E soil totaletnent borné dans l'espace (E, S), ilfaut el il suffit que. pour tout d E ?J e! tout nombre r>0, l'enseinble A puisse étre recouvertpar un nombrefini de d-boules de rayon r

-

Soit a

=

E A où c est un entier nature! premier àp et li e 7. D'après ce

qui précède, il existe x est divisible

N

E

X te! que l'on ait b E B[cx] c'est-à-dire que b

L ealite a

donc A c B[X] (d ou A

=

-

x

=

b -CX

-

cx

Ce résultat est évident lorsque 6" est une base des entourages. Dans le cas général, donnons-nous un sous-ensemble fini (Vk)j ý k ý de 6'' et considérons

Vk. Pour tout k, il existe un recouvrement fini

1k de A

dont les éléments sont petits d'ordre Vk Alors .

./=

Remarques 1) Tout 5lire plus fin qu un filtre de Cauchy est un filtre de Cauchy 2) Soit et 2 deux structures urnformes surE telies quel on ait ? c 2 7 est un filtre de Cauchy sur 1 espace (E O, il existe un nombre b > O tel que

e(x,y)o

6,F

2) La famille filtrante (xi, x) est finalement dans le fItte Donc la famille (f(x,), f(x)) est finalement dans 6' F,ce qui entraine que est une famille de Cauchy

Remarque La fin de la proposition précédente s'exprime encore en disant que,sif est une application uniformément continue, l'image directe f(9) d'un filtre de Cauchy ,9 est unfiltre de Cauchy.

et ont pour bases respectives Soit E, E et G trois espaces uniformes. On voit immédiatement que, XLX.3 sif est une application unforme'ment continue de E dans E et sig est une application uniformément continue de E dans G, i 'application composée g o f de E dans G est uniformément continue. -

XIX.2

PRoposiTioN XIX. 2.1 : Soit F un espace uniforme dont la structure est engendrée par un enseinble d'écarts 5. Pour qu'une applicationfd'un espace uniforme E dans l'espace uniforme F soit uniformément continue, ilfaut et il suffit que, pour tout élément de CD, l'écart d ofr appartienne à A (E). On s'appuie sur la proposition XVIII.1O.1 et sur XVIII.7. -

Nécessité. Supposonsfuniformément continue et soit de Qi. Si (x,, yJ est une famille filtrante finalement dans

4)5,

la farnille (f(x), f(y)), est finale-

Ceci conduit à définir la catigorie des espaces uniformes que nous noterons Uni, dont les objets sont les espaces uniformes et dont les fièches sont les applications uniformément continues. On voit sans peine que la catégorie des espaces uniformes est une cate'gorie d'ensembles enrichis.

Traité de topologie générale 303

302 Applications unitormément continues

Si E est un espace uniforme, nous considérons souvent que la structure uniforme est un objet de Uni qui s'identifie à E. Soit un ensemb/e T et, pour tout tE T soit un espace E, = (X,, 8,) dont la structure uniforme est ngendrée par un ensemble d'écarts QJ,. Si on se donne, pour tout t E T une application f, d'un ensemb/e X dans / 'ensemnble E,, il existe un espace uniforme initial E = mi (f,, E,), La structure uniforme 8 de E est le fi/tre initial PRoPos1TIoNXIX.3.1 uniforme

.

8 = mi

(f,

6),

.

Elle est engendrée par l'ensembie d'écarts = {d O f,

tE

T et dE

}

Considérons l'espace uniforme E = (X, 6'4. La proposition XIX.2.1 montre que chaque application f, de E dans E, est uniformément continue. Soitfune application dans E d'un espace uniforme F telle que, pour tout t E T, l'application g, = f, o f de F dans E, soit uniformément continue. Soit f,t e=do un élément de QJ. La continuité uniforme de g, entrane ft eo = d oft o f* = do g' E A(F). L'applicationfde F dans E est donc uniformément continue, ce qui entraine E = mi (f,, Ej, T Soit (x1, y,) / une famille filtrante à valeurs dans E x E.

On a les équivalences (x,, yj, est finalement dans 6 d(f,(x,), f,(y,)), converge vers O pour tout d o f E 0 (f7(x, y1))1 est finalement dans 6 pour tout tE T Ceci montre que c est le filtre initial mi (f7, 4',), T COROLLAtRE. Soit un

espace uniforme initia/ E = mi

(f,, E,),

1) Si l'ensemble Test dénombrable Ct si, pour tout t E T l'espace uniforme E, est écartelable, alors l'espace uniforme E est /ui-méme écarte/able. 2) Pour qu'unefamillefiltrante (x),2, à va/eurs dans l'espace uniforme E soit une fami/le de Cauchy, ilfaut et i/ suffìt que, pour tout tE T la fami//e (f,(x,)), soit une fami//e de Cauchy dans /'espace E,. 3) Pour qu'un sous-ensemble A de l'espace uniforme E soit totalement borné, ilfaut et il suffit que, pour tout t E T l'ensembie f,(A) soit totalement borné dans l'espace uniforme E,.

T, l'ensembie f,(A) soit totalement borné dans E, Soit e = d o

f' E O un sous-ensemble fini X de A te! qu'il existe La proposition XVII. 12.1 entraine A c ce qui entraine encore Be, r[X], pie l'on ait f,(A) c Bd r[ft("Oi' soli que A est totalement borné. tE

.

Ce corollaire montre que, si tous les espaces unjfonnes (E,), T sont totalement bornés, il emi est de mémne de /'espace uniforme E = mi (f,, E,), e T

Soit X un sous-ensemble d'un espace uniforme E. Ce qui précède XIX.4 l'existence d'un sous-objet F induit par E sur X. C'est le sous-espace montre F de E. uniforme Les entourages de E sont les traces sur F x E' des entourages de E, soit = ((Fx E') n V) Si la structure uniforme de E est engendrée par l'ensemble d'écart O, celle de E' est engendrée par l'ensemble d'écarts -

(dlFx F),,

.

Un sous-ensemble A de E est totalement borné dans Psi, et seulement si, il est totalement borné dans E. Une famille filtrante à valeurs dans E' est de Cauchy dans E si, et seulement si, elle est de Cauchy dans E. Pnopos'T1oNXIX.4.1: Si ,9 est un fi/tre de Cauchy sur E qui intersecte l'ensemble E le fi/tre 9T1 E' est un fi/tre de Cauchy sur E

Soit (x,),

,

une famille filtrante qui engendre

Exemp/es 1) Soit H un sous-groupe topologique d'un groupe topologique G. L'espace uniforme [I est un sous-espace uniforme de l'espace uniforme Soit, en effet, une famille filtrante (x,, y,),

La proposition XIX.2.2 montre que, si A est totalement borné, il en est de mme de f,(A) pour tout t E T. Réciproquement, supposons que, pour tout

/

à valeurs dans H x H. On a les

équivalences : (x,, y,), est finalement dans (x7 'y1), converge dans H vers 1'unité e (x7 'y,), com'erge dans G vers e (xi, y,), est finalement -

1) se déduit du corollaire au théorème XVIII.8.1 et 2) se déduit de la proposition XVIII. 17.1.

i E.

Cette famille engendre dans E un filtre £7 plus fin que 3 Donc est un filtre de Cauchy sur E. La famille (x,), est donc de Cauchy dans E et, par sulle, de Cauchy dans E. D'où la proposition

,G

dans 6 Ces equivalences entrainent 6 H x 11 = .

.

8

2) Soit E et E deux espaces uniformes dont les structures sont celles des partitions finies, l'ensembie E étant un sous-ensemble de E. Montrons que E est un sous-espace uniforme de E: L' exemple 4 de XIX. i montre E x E c

Traité de topologie générale 305

304 Applications uniformément continues

Soit R la relation d'équivalence sur F déduite d'un partage tini E

= F,. 'e T

Notons Q la relation d'équivalence sur E déduite du partage fini E = (E\fl+ EF,. te T

XIX.6 - Soit (G,), une famille de groupes topologiques. Le produit direct

Ona Qn(FxF)

=

R,d'oùS'c6"1FXF etl'égalité =

SIFXF.

XIX.5 - Ce qui précède montre que la catégorie des espaces unifonnes a des produits directs. De faon précise, il résulte du théorème IV.20.l, que pour qu'une famille (p,: E -# E,), T d'applications d'un espace uniforme E dans des espaces uniformes (E,), soit un produit direct de ces espaces uniformes, il faut et il suffit que la famille d'applications (p,), soit un produit direct des ensembles (E,), et que E soit l'espace uniforme initial mi (p,, E,), Supposons dans ce qui suit qu'il en soit ainsi. Pour qu'une famille filtrante (x,, y,), dans le filtre

8E,

Plus généralement, on voit que tout foncteur F d'une petite catégorie I vers catégorie des espaces uniformes a une limite projective. Nous laissons au la le lecteur soin d'étudier leurs propriétés.

/

à valeurs dans E soit finalement

il faut et il suffit que, pour tout

tE

T, la famille filtrante

(p,(x,), p,(y,)), soit finalement dans le ifitre Si aucun des espaces (E,), T n'est vide, on démontre, comine dans le cas des espaces topologiques, (théorème IX.4.1) que, pour tout tE T, il existe un plongement de l'espace uniforme E, dans l'espace uniforme E. On en déduit en particulier: Pour que le produit direct d'une famille d'espaces uniformes non vides (E,), soit totalement borné, ilfaut et il suffit que, pour tout t E E l'espace

unifonne E, soit totalement borné.

(p, -* G,), eT des espaces topologiques T est muni d'une structure de groupe si on déflnit le produit .xy de deux éléments de G par les égalités p,(xy) = p,(x)p,(y) pour tout t E T. Alors G est un groupe topologique.

Soit (x,, y,), une famille filtrante à valeurs dans G x G. On a les équivalences (x1, y1),

/

est finalement dans

(x7 'y,), converge vers 1'unité dans G (p,(x,) 'p,(y,)), converge, pour tout t E (p,(xj, p,(y,)), est finalement dans Ces équivalences montrent que (p, : espaces uniformes T

Soit des ensembles écartelés (Ek, d,ji ýkýn Le produit direct usuel de ces espaces uniformes est l'espace uniforme E ainsi défini: L'ensemble E est le produit direct usuel des ensembles (Ek)! ýký» et sa structure uniforme est engendrée par les écarts (d'k)I ýký, ainsi définis Si x = (x i,..., x,,) et y,,) sont deux points de E, on a d(x, y) = dk(xk, Yt) Le proy = (y duit direct est donc l'espace écartelé (E, d) où d est l'écart défini par ..,

2 2 = dk(xk,yk). I ý k ýn

d (x,y)

En particulier l'espace uniforme produit IR" est l'ensemble IR" muni de son écart usuel.

-,

(I5,E T

est le produit des

PkoPosn'/ow XIX. 6.1 : Soit G un groupe topologique abélien. L'application f: (x1,..., x,,) x1x2 ......du groupe topologique G" stir le groupe topologique G est uniformément continue. D'après la proposition IX.18.l l'applicationfest continue. Conm2e G est abélien, l'applicationf est un homomorphisme de G" sur G. L'exemple 5 du numéro XIX. 1 entraine alors la proposition

XJX.7 - PROPOSmON XIX. 7.1 Pour qu 'un écart d sur un espace uniforme E appartienne à A (E), ilfaul et il suffit que l'application d: (x, y) -t d(x, y) de l'espace unifonne E continue.

Exemple

E vers l'unité de G,

=

E x E dans l'espace uniforme FR soit unifor,nétnent

Notons p1 et p2 les projections de E sur E. Nécessité. Supposons dE A (E) et soit (u,, v,)1

/

une famille filtrante finale-

ment dans 6''. Il nous faut montrer que la famille (d(u,), d(v,)) est finalement dans

'R

,c'est-à-dire que (d(u,)

Les égaiités d(u,) permettent d'écrire

=

-

dO',)), tend versO.

d(pl(u,), p2(u,)) et d(v,)

=

d(p1(v,), p2(v,))

Id(t,) - d(v,)I ý d(p (u,), p1(v,)) + d(,p2(n,), p2(v,))

Comme les familles filtrantes (pj,u,), p,(v,)), sont finalement dans f;>5 pour

Traité de topologie gériérale 307

306 Applications uniformémerit continueS

Séparation des espaces uniformes

filtrantes i ou 2, la relation d e A (E) entraine que les faniilles d(p,(u,), p,(v,)), tendent versO pour t = i ou 2.

t

=

L'inégalité précédente entraine alors do,)

-

Suffisance. Supposons d uniformément continu et soit (x,, y,),,. une farnille filtrante finalement dans 6. Il nous faut montrer que la famille (d(x,, y,)), tend vers 0. tout i E I associons les éléments ti, = (x,, y,) et v, = (y, y,) de E. Comme les families filtrantes p1(u,, v,) = (x,, y,) et p2(u,, v,) = (y,, y,) 6'E, la famille (a,, v,), est finalement dans S. L'applisont finalement dans famille cation d étant uniformément continue, on en déduit que la 8R c'est-à-dire que d(u,) d(v,) tend (d(u,), d(v,)), est finalement dans versO. Comme on a d(v,) = O, la famille do,) = d(x,, y,) tend versO. D'où la suffisance les La proposition précédente conduit à dire que les éléments de A (E) sont E. uniforme écarts uniforme'nent continus sur l'espace

À

-

,

XJX.9 Soit E = (X, 6') un espace uniforme. Notons 5E la relation sur E qui est l'intersection de tous les éléments de 4'. Soit 0 un ensemble d'écarts sur E qui engendre la structure uniforme 6'. Conime le filtre 6' est engendré par {Bd r dE O et r> O} on a l'équivalence: -

d(v,) -4 0.

,

(x,y)e GE d(x,y)

=

O pourtoutdeC2J.

On voit donc que GE est une relation d'e'quivalence sur E. Lorsque la relation GE est l'égalité (c'est-à-dire la diagonale de E x E), on dit que l'espace uniforme E est séparé. Exemples

i) Si d est une distance sur un ensembie X, l'espace uniforme (X, 6',,) est séparé. 2) On voit sans peine qu'un ensemble muni de la structure uniforme des partitions finies est un espace uniforme séparé. XIX.1O Une applicationf d'un espace uniforme E dans un espace uniforme E sera dite unformén,ent harmonieuse si elle est une flèche harmonieuse dans la catégorie des espaces uniformes, c'est-à-dire sif est une surjection de E sur E telle que E soit l'espace uniforme initial mi (f E). -

PRoPOSITION XIX. & 1: Soit une famille d'espaces unifortnes XIX.8 Il (E,), un ensemble X et una famille d'applications (f, E, -4 X), est existe un espace uniforme final E = Fin (E,, fj, L'ensemble A (E) -

.

l'ensembie »

des écarts

d sur X tels que d o f7 appartienne à A(E,) pour

toUttE T

SoitEl'espace uniforme (X, 6') La proposition XIX.2.1 montre que chaque f, est une application uniformément continue de E, dans E. Soitfune application de E dans un espace uniforme F telle que, pour tout uniformément continue. Soit tE T, l'application f o f, : E, -+ E soit fj* E A(E,), c'est-à-dire dE A (E). Pour tout tE T, on a do (fo F (do f*) o f E A(E,). On a donc d o7 E A (E) et 1'applicationf: E -+ est uniformément continue, ce qui entraine E = Fin (E,, f)6 T La définition de E entraine cA(E). Comme toutes les applications f, sont uniformément continues, on a A(E) c Soit R une relation d' équivalence sur un espace uniforme E. L' objet quotient E/R est dit l'espace uniforme quotient de E par la relation R. Pour des raisons qui apparattront au numéro XX.5, nous ne poursuivrons pas l'étude des espaces uniformes finaux.

Pour qu 'il en soli ainsi, ilfaut et il suffit quef soit une surjection et que i 'on ait i'équivaience:

XIX.1O.(l) - (x,, y,),

/ estfinalementdans6E (f(x,), f(y,)), estfinale-

.

ment dans

On voit qu'alors la structure uniforme de E est déterminée par celle de E. De faQon plus précise THÉORÈME XIX.lal. Soli f une surjection d'un espace unfonne E sur un espace uniforme E Les conditions suivantes sont équivalentes;

i) L'applicationfest un?formélnent harnzonieuse. 2) La relation Rf entraine la relation GE et E est l'espace unifor,nefinal Fin (E,f). 3) OnaA(E)

=

(dOfdEA(p).

Notons QI = (do f*)

A(E)

Traité de topologie générale 309

308 Applications uniformément continues

1) entraine 2). Supposons 1). Le corollaire à la propositiOn IV.13.l montre que l'on a E = Fin (E,J). D' autre part, la structure uniforme de E est engendrée par QI. On a donc: f(x) =f3ì) = e(x,y) = O VeeQ (x,y)e 0E d'oùRfcGE. 2) entrcdne 3). Supposons 2). L'égalité E = Fin (E, entraine quefest uniformément continue. On a donc L» cA(E). Soit e e A (E). La relation Rf c GE montre que l'égalité f(x) = f(y) entraine e (x, y) = O. D'après la proposition 11.11.1, il existe donc un écart d sur E tel que l'on ait e = d ofr. L'égalité F = Fin (E,fl entraine alors de A (E), d'où e e 4 et A (E) = 3) entratne 1). L'égalité A (E) = QI montre que la structure uniforme de E est engendrée par ( , ce qui entraine E = mi (f E) d'un espace COROLLA/RE. Si f est une application uniforinément harmonieuse 5r = f*(8E) l'égalité uniforme E sur un espace uniforme E on a Soit un écart d sur E et l'écart e = d oft sur E. Commefest une surjection, onaft(Ber) = Bar. La condition 3) du théorème précédent montre donc que est l'image 5r" (6E) Comme J est une surjection, on a donc du fitte directe f* = f*(5) Sifest une application uniformément harmonieuse d'un espace uniforme E sur un espace uniforme E, ces espaces uniformes sont liés de très près. En particulier, on démontre sans difficulté les résultats suivants 1) E est écartelable si, et seulement si, E est écartelable. 2) Pour qu'un sous-ensemble A de E soit totalement borné dans E, il faut et il suffit quef(A) soit totalement bomé dans E. 3) Pour qu'une famille fultrante (x)1 / d'éléments de E soit de Cauchy dans E, il faut et il suffit que la famille (f(x)) , soit de Cauchy dans E. PROPOSITIOIV XIX. 10.1 Soit f une application unjforméinent hannonieuse d'titi espace uniforme E sur un espace uniforme E et soit (f, E -, E,) T une famille d'applications de l'ensemble E dans des espaces uniformes Les égalités F = mi (f,, - et E = mi (f, o f, E,), . soni équivalentes. Ce résuitat se vérifie sans peine à partir de I'équivalence XIX.1O.(i) D XIX.11 - Soit un espace uniforme E. Notons 5 (E) l'espace uniforme quotieni uniformément harmoE/GE. L'application canonique p de E sur S(E) est nieuse. Soit 1vE(X) et PE(Y) deux éléments de 5 (E) distincts. La relation

(x, y) 0 GE entraine 1'existence d'un écart e e A (E) tel que l'on ait ex,y)ýO. Comme on a e = do p avec de A(S(E», on a d(PE(x), PE(Y)) ý O. On voit donc que 5 (E) est un espace uniforme séparé, lequel sera dit associa' à I 'espace uniforme E. PRoPOS!T/ONXIX.11.1: Soit fune application uniformément continue d'un espace uniforme E dans un espace uniforme séparé E 11 existe une application uniquef' de 5(E) dans F telle que l'on ait f = f' 'Pa- Cette applicationf' est une application uniformément continue de 5 (E) dans E Comme F est séparé, une inégalité f(x) ýf(y) entraine I'existence de de A (E) tel que l'on ait d (f(x),f(y)) ý O. Commef est uniformément continue, l'écart e = d of appartient à A (E). La relation e (x, y) ý O entraine alors (x, y) ø GE. On a donc GE c R1, ce qui entraine l'existence d'une application f' de 5(E) dans Equi vérifie f' O = f. Comme PE est une surjection, cette applicationf' est unique. Comme l'application f' est uniformément continue, l'égaiité S(E) = Fin (E, p) entratne que f' est uniformément continue S COROLLA/RE 1.

Soitf une application unifonnément continue d'un espace uni-

forme E drnts un espace uniforme E Il existe une application unique 5 ( de 5(E) dans 5 (E) qui vérmjle l'égalité 5(f) 0 PE = Pr f. Cette application 5W est une application uniformément continue de 5 (E) dans 5 (fl. Ceci résulte de la proposition précédente, compte tenu de ce que Pr O f est une application uniformément continue de E dans l'espace uniforme séparé

Remarque Si E est un espace uniforme séparé, on a 5(P) = E et l'applicationf' de 5(E) dans E définie dans la proposition précédente est l'application 5(f).

On définit un foncteur 5 de la catégorie des espaces uniformes vers elle-méme enfaisant correspondre à tout espace uniforme E l'espace uniforme S(E) età toute application uniformémnent continuef : E -+ E l'application unjforme'ment continue 5 W 5(E) -4 5 (E). COROLLA/RE 2.

Si G est unfoncteur d'une petite catégorie I vers la catégorie des espaces

uniformes, lesflèches ()" lefoncteur So G.

/

définissent un mnorphisme dufoncteur G vers

La flèche unité de l'espace uniforme E est l'application identique idE. L'égalité idw(E) ° PE = PE O idE entra?ne S(idE) = idP(E).

310 Applications uniformément continues Soit des applications uniformément continues f: E -4 E et g: E -+ G. Les égalités Pc o g o f = 5(g) o o f = 5(g) o 5(f) 0 PE entrainent 5 (g OJ = 5 (g) 0 5 (J). Donc 5 est bien un foncteur Uni -* Uni. Soit ti: i

->j une flèche de I. Les égalités S(G(u)) o wc = Pc O G(u)

montrent que les flèches (PG),

,,

CHAPITRE XX

Topologie d'un espace unjforme

forment bien le morphisme fonctoriel

annoncé E

XIXJ2

- PROPOSITION XIX.12.1

une égalité E = mi (1)

(f,, Fj

: Dans la catégorie des espaces uniformes, entratne l'e'galité

5(E) = mi (5(fj, S(F)),

eT

= (f) O P" Les égalités E = mi (f,, F1), - et E, = mi (pr, S(Fj) entratnent E = mi (g,, 5(F,fl, T" Comme l'application PE est uniformément harmonieuse, la proposition XIX.lø.1 montre que cette dernière égalité Notons g, l'application p, o

f,

entratne (1) E i un plonge;nent d'un espace uniforme E dans un espace uniforme E L'application 5 (i) est un plongement de 1 'espace uniforme S (E) dans l'espace uniforme 5 (F). La proposition précédente mentre que l'cn a 5 (E) = mi (S (i), 5(P)). Il nous suffit donc de montrer que 5 (i) est une injection de 5 (E) dans 5(P). Soit écart dE A (E) Pr(X) et PE(Y) deux éléments de 5 (E) distincts. Il existe un tel que l'cn alt E A donc d' existe Il (E) tel que Von ait d x, y) *0. d'où (i cx), i (y)) GF, d' (i (x), i (y)) *0. On a donc (i PE (9) (P- (i (D. et mentre que 5 (i) est y)) (i)] * [5 Cette inégalité s'écrit [5 (i)] (PE cx)) (PE CoRoLL.4IRE. 5o1t

une injection E

Topologie définie par une structure uniforme XX.!- THÉoRÈMEXX.1.1. Étant donné un espace uniforme E = (X, 6'), il existe sur X une topologie 9 telle que tout point x de X ait pour base des voisinages (V[x] ) v¬ Si la structure unifonne 6' est engendrée pur l'ensemble d'écarts , la topologie .97s'identifie à la topologie 9. .

Soit l'ensemble d'écarts 0' = { 0 ; +}. Pour la topologie 9 = 9, le point x de X a pour base de voisinages { R, r[X] d E £2)' et r> O }. Comme {Rdr; dE 0' et r> 0} est une base du filtre 8, on voit quexaencore pour base des voisinages (V{x] )v , ce qui démontre le théorème E Cette topologie U sera dite engendrée pur (ou définie pur, ou de'duite de) la structure uniforme 4'. Elle sera notée ,9. Nous considérerons toujours que l'espace uniforme E est muni de cette topologie. Tout espace uniforme est donc un espace topologique. Remarques I) Soit un espace topologique (X, fl. Pour qu 'il existe surX une struciure uniforme qui définisse la topologie 9 ilfaut ci il suffit que cette topologie puisse étre définie par un ensembie d'écarts, c'est-à-dire que l'espace topologique (X, £7) soit uniforinisable, (ce qui explique cette dénomination). 2) Tout entourage symétrique d'un espace uniforme E est une v-relation sur l'espace topologique E. 3) Soit E = (X, 6') un espace uniforme. Sur E la relation d'équivalence = fl 4' s'identifie à la reiation d'équivalence PE définie sur l'espace topoE

E

logique E par (x, y) e PE = On voit donc que l'espace uniforme E est séparési, ci seulement si, l'espace topologique E est séparé.

312 Topologie d'un espace uniforme PROPOSITION XX.].]

(x),

/

Traìté de topologie générale 313

Soit un espace uniforme E. Pour qu 'unefamillefiltrante

converge vers un paint x datis l'espace E, ilfaut et il suffit que la

famillefiltrante (x, (resp. lafamille (xi, x)E soitfinalement dans le fi/tre des entourages de E. Pour que (x) converge vers x, il faut et il suffit que, pour tout entourage V de 4', la famille (xi). soit finalement dans V [x], c'est-à-dire que la famille (x, x) soit finalement dans V, d'où la proposition, le résultat respectif s'en deduisant par i équivalence V e 4

-l

Ve4

Exemples

Supposons A totalement borné et soit un entourage V Soit W un entourage vérifiant W c V .11 existe un sous-ensemble finiXde Evérifiant A c W[X] ,La proposition précédente entraine A c W[AI. On a donc A c W2[X] c V[X]. Ceci montre que A est totalement borné CoRoLL4!R52.

Soit 97un fi/tre de Cauchy sur l'espace uniforme E. Les ad/id-

rences (A )A E yforment la base d'un filtre de Cauchy. Soit un entourage Vet un entourage symétrique Wvérifiant c V. SoitA un élément de 9 petit d'ordre W La proposition précédente entra?ne A c W[A] Donc A est petit d'ordre et, per suite, petit d'ordre 14 D'oCr le corollaire .

1) Soit 4' la structure uniforme discrète sur un ensembie X. Comme la diagonale a de Xx X est un entourage de l'espace uniforme E = (X, 4'), les égalités A [x] = {x) montrent que la structure uniforme discrète engendre la topologie discrète. On voit aussi que la structure uniforme grossière engendre la

topologie grossière. 2) Soit E un espace uniforme dont la structure est celle des partitions finies. Soit xc E. La réunion V de l'ensemble ponctuel {(x, x)} et du produit (E\{x}) x (E\{x}) est un entourage R de E qui vérifle R [x] = (xl. On voit donc que la structure uniforme des partitionsfinies engendre la topo/o gie dixcrète. Reinarque Lorsque l'ensembie X est infini, la structure uniforme discrète 8 difrere de la structure uniforme des partitions finie2 (puisque (X, 2) est un espace uniforme totalement borné et que (X, 8) ne l'est pas). On voit donc que, sur un ensemble, deux structures unifor'nes distinctes peuvent engendrer la inéme topo/o gie.

3) Soit G un groupe topologique. Pour que, dans l'espace uniforme G5, la famille (x,) E / converge vers x, il faut et il suffit que la famille (x, x1), soit finalement dans le fi1tre6', c'est-à-dire que (x 'x,) converge, dans l'espace topologique G, vers l'unité de G, ou encore que (x) converge vers x dans G. On voit donc que la topo/o gie di, groupe G est celle de I 'espace Gg" On voit de méme que la topologie de G est celle de l'espace uniforme G,,. XX.2 PROPOSITION XX.2. 1; Dans un espace uniforme E = (X, 4'), 1 'adhérence A d'unepartieA vérifie l'égalité A = fl{V[A] ; Ve 4'}. -

En effet, un point x de E est adhérent àA si, et seulement si, pour tout entourage symétrique 14 on a V [x] n A * 0, c'est-à-dire x e V Vt]U

Si un sous-ensemble A d'un espace uniforme E est totalement borné, il en est de m&me de son adhérence A. CoRoLM/RE].

THÉORÈME XX.3.]. Toute application uniformément continue f d'un XX.3 espace uniforme E dans un espace uniforme F est une application continue de l'espace topologique E dans l'espace topologique E -

Soit (x,)1 une famille filtrante qui converge vers x dans l'espace E. La famille filtrante (x,, x)1 est finalement dans le flltree5 ce qui entratne que la famille (f(x,), f(x)), est finalement dans le filtre 4 Donc (f(x,fl1 converge versf(x) dans l'espace F, ce qui montre la continuité def .

Ce théorème montre que 1on définit un foncteur de la catégorie des espaces uniformes vers celle des espaces topologiques en faisant correspondre à tout espace uniforme E l'espace topologique E età toute application uniformément continuef: E -4 Fi' application continuef: E -4 E. Ce foncteur est dit lefoncteur canonique de la catégorie Uni vers la catégorie

Top. XX.4

-

PRoPos/TIoNXX.4.1 : Soit un espace uniforme initial E = lui (f,, E,),E T'

L'espace topologique E est l'espace topologique initial mi Ceci est la conséquence des équivalences (x,), -4x = (x,,x), est finalement dans

(f,(x,), f(x)), est finalement dans (f,(x,)), f,(x) pourtoutte T

4,E,

4)5

pour tout te T

(f,, E,),

E

Traité de topologie générale 315

314 Topologie d'un espace uniforme Applications

1) Sif est un plongement d'un espace uniforme E dans un espace uniforme F, alors f est un plongement de l'espace topoloique E dans l'espace topologique F. En particulier, si E est un sous-espace uniforme de F, alors E est un sous-espace topologique de F. 2) Soit un produit direct (p, E -* E,), E T d'une famille d'espaces uniformes (E,), T" La famille d'applications (PI), T est un produit direct des espaces topologiques (E,), -. 3) Plus généralement, soit un foncteur E d'une petite catégorie I vers celle des espaces uniformes et (X : L -* F,) une limite projective de ce foncteur. En notant 'v le foncteur canonique Uni -+ Top, on voit que (')iE, est encore la limite projective du foncteur w o F: 1 -> Top. 4) Soitfune application uniformément harmonieuse d'un espace uniforme E sur un espace uniforme E. La proposition précédente entra?ne que f est une application harmonieuse de l'espace topologique E sur l'espace topologique F. ,,

Il en résulte en particulier que si E est un espace uniforme, l'application canonique de E sur l'espace uniforme séparé associé E/a(E) est encore l'application canonique de l'espace topologique E sur l'espace de Kolmogoroff associé E/p(E) qui est ici un espace séparé (puisque E vérifie (HS), ou encore parce que l'espace uniforme E/a(E) est séparé). XX.5 - Reprenons l'exemple étudié au numéro VIII.30. On considère l'application canoniquef de l'espace IR sur l'espace topologique E, quotient de IR par la relation d'équivalence R qui identifie les points de Q. Nous allons déterminer l'espace uniforme G, quotient de l'espace uniforme R parla relation R. Comme f est une application continue de (R sur G, la topologie de G est moins fine que la topologie de E. Il s'ensuit que tout ouvert de G contient le point w = f(O). Soit d E A (G) et x, y E ci Pour tout r> O, l'ouvert Bd r[X] contient o, ce qui entratned(x,co) = Oetd(x,y)ýd(x,o»+d(w,y) = O. DoncA(G) apour seul élément l'écart nul, ce qui entraine que la structure uniforme de 6 est la structure uniforme grossière. Comme nous savions déjà que l'espace E n'est pas uniformisable, nous pouvions prévoir que la topologie de 6 diffère de celle de F. Fin (E,, f)1

dans la catégorie des E T relation dans la catégorie des espaces uniformes n 'entratne pas cette méme espaces topologiques.

Ceci montre que la re/ation E

=

Nous ne poussons donc pas plus avant l'étude des espaces uniformes finaux dans cet ouvrage consacré à l'étude des espaces topologiques. XX.6 -

THÉORÈME XX. 6.1. Soit un espace unjforme E:

1) Tout fi/tre convergent est un fi/tre de Cauchy. 2) Unfiltre de Cauchy converge vers toutpoint qui lui est adhérent. 1) Soit x E E, un entourage V et un entourage symétrique W vérifiant W2 c V. Le voisinage W [x] de x est petit d'ordre SV2 done petit d'ordre T/ Le filtre des voisinages de x est donc de Cauchy et il en est afortiori de méme de tout filtre qui converge vers x. 2) Soit x un point adhérent à un filtre de Cauchy 9 Soit un entourage V et un entourage symétrique W vérifiant c V. SoitA un élément de (9qui soit petit d'ordre W La relation W [xj n A ý 0 entraine A c W2[xj c V[x]. On a donc V [vi E ce qui montre que 3T converge vers x ,

XX.7 - Un espace uniforme est dit complet si, sur cet espace, tout filtre de Cauchy est convergent. Exemples

1) L'espace uniforme vide est complet. 2) Tout espace uniforme discret est complet: En effet les filtres de Cauchy sont, dans ce cas, les filtres ponctuels. 3) Soit E un espace uniforme dont la structure est celle des partitions finies. Sa topologie est la topologie discrète et les filtres de Cauchy sont les ultrafiltres (Exemple 3 de XVIII. 16). Donc E est complet si, et seulement si, tout ultrafiltre est un filtre ponctuel, c'est-à-dire si, et seulement si, l'ensemble E est fini. PRoPos1TIoNXX.7.1 Soitfune application uniformément harinonieuse d'un

espace uniforme E sur un espace uniforme E Four que E soit complet, ilfaut et il suffit que F soit complet.

Supposons E complet et soit (f(x,)) une famille de Cauchy dans E. La famille (xi), est de Cauchy dans E. Elle converge donc dans E vers un point x. La famille (f(x,)), converge versf(x) dans E. L'espace uniforme E est donc complet. On démontre de manière analogue que E est complet si E est complet PROPOSITION XX.

complet.

7.2 Muni de sa structure uniforme usuelle, / 'ensemble IR est

Traité de topologie générale 317

316 Topologie d'un espace uniforme

Notons d l'écart usuel sur FR. Soit 9r un filtre de Cauchy sur FR. Pour tout nombre r> O, il existe un élément A de (9- petit d'ordre Bd r Etant donné a e A, on a donc A c [a r, a + r] et le filtre (9- est finalement bomé. Comme l'ensemble ordonné FR est conditionnellement complet, la proposition XI.3.2 montre l'existence des nombres a = lim inf ,9 et i = lim sup .9 qui vérifient a r ý a ý j3 ý a + r. Comme r est aussi petit qu'on le veut, on a donc a = 3. Le filtre (9- converge vers a et FR est complet -

-

PRoposiTioN

XX. 7.3: Soit un espace uniforme E et un sous-espace uniforme F

Re,narques I) Soit (E,), une famille d'espaces uniformes séparés non vides. Si leur produit directEest un espace uniforme complet, tous les espaces uniformes (E,), ¬ T sont complets En effet, pour tout t e T, il existe un plongement f1 de E, dans E. CommeEest séparé, l'ensemble f,(E,) est fermédans E, L'espace uniforme E, qui est isomorphe au sous-espace uniforme f,(E,) deEest donc complet. .

unifor2) Soit F un foncteur d'une petite catégorie I vers la catégorie des espaces complet. sépar6 E, soit uniforme l'espace E I, tout i pour Supposons que, mes. La limite projective du foncteur E, qui est isomorphe à un sous-espace uniforme E, ,est un espace uniforme séparé fermé de l'espace uniforme séparé complet I ie complet.

fi

de E.

1) Si i 'espace uniforme E est compiet et si F est fermé dans E, i 'espace uniforme F est compiet.

2) Si i 'espace E est séparé et sii 'espace uniforme E est compia, il est fermé dans E.

1) Supposons E fermé dans E complet. Soit (x,), une famille de Cauchy dans E. Comme (x,), est une famille de Cauchy dans E, elle converge dans E vers un pointx. Comme F est fermé, on a x e E. La famille (x,), converge donc vers x dans E, ce qui entraine que E est complet. 2) Supposons E séparé et E complet. Soit x un point de E adhérent à E et (x,), une famille filtrante à valeurs dans E qui converge vers x dans E. Cette famille (x,), est de Cauchy dans E, donc de Cauchy dans E. Comme E est complet, elle converge vers un point y de E. Comme E est séparé, on a x = y, on a donc x e E et E est fermé dans E Exempies

Soit l'espace uniforme FR et a c b dans IR. Le sous-espace uniforme [a, b] de FR est complet puisqu'il est fermé dans l'espace uniforme complet FR. Les sous-espaces uniformes Ja, b[ et Ode FR ne sont pas complets puisqu'ils ne sont pas fermés dans l'espace séparé FR. XX.8

PsoposlTlo,vXX.8.1: Tout produit direct d'une fainillie (E,), d'espaces unifonnes compiets est un espace uniforme compiet. -

T

Soit (p, E -ý E,), un produit direct des espaces uniformes (E,), Soit (x,),,, une famille filtrante de Cauchy dans l'espace E. Pour tout te T, la famille (p,(x,)), est de Cauchy dans l'espace E,. Elle converge donc vers un point a, de E, et la famille filtrante (x,), converge vers le pointx de E défini par les égalités p,(x) = a, pour tout t e 7'. L'espace E est donc complet .

Soit (A,,), une suite de parties d'un espace écartelé (E, d). Nous XX.9 dirons que la suite des diamètres des ensembles (A,,),, tend vers O si, pour tout nombre a > O, il existe un entier N tel que l'inégalité N ý n entraine que A,, ait un diamètre fini d,, qui vérifie d,, ý a. -

PRoPOSITION XX.9.1

: Soit un espace écarteie' (E, d). Les conditions suivantes

sont équivaientes: 1) L'espace uniforme (E, d) est compiet. 2) Dans i'espace (E, d) toute suite de Cauchy est convergente. 3) Si (A,,),, est une suite décroissante defermés non vides de (E, d) et si la suitedesdiamètresdesensembie5 (A,,),, tend versO, i'intersection A = n 'est pas vide.

1) entratne 2). C'est une trivialité. 2) entratne 3). Supposons remplie la condition 2) et soit (A,,) une suite décroissante de fermés non vides dont les diamètres tendent vers O. Choisissons, pour tout n, un point x,, e A,,. Comme la suite (x,,),, est de Cauchy, elle converge vers un point x. Le point x est adhérent au filtre 9 engendré par les ensembles (A,,),,. Comme ces ensembles sont fermés, on a x e flA,,. 3) entratne 1). Supposons remplie la condition 3) et soit 9- un filtre de Cauchy sur E. À tout entier non peut associer un élément X,, de 5Tdont le diamètre ci X,, on soit inférieur à un. En rempla9ant, au besoin, X,, par X1 ci X2 ci peut supposer la suite (X,,),, décroissante. L'adhérence A,, de X,, a méme ...

diamètre que X,,. La condition 3) entraine donc l'existence de x e flA,,. La relation A,, c 811,,[x] entraine B1,,[x] e 9- et le filtre 9 converge vers x.

L'espace (E, c est donc complet

Traité de topologie générale 319

318 Topologie d'un espace uniforme XX.1O PRopos.'TION XX. 10.1: Soit (E, d un espace métrique complet non vide et une applicationf de E dans E telle qu 'il existe un nombre posil if r c i qui vérjfie d (f(x),f(y)) ý r d (x, y) pour tout couple (x, y) de points de E. L'applicationfa alors un pointfixe x (c 'est-à -dire qui vérifief(x) = 9 et ce pointflxe est unique. -

Ce résultat étant trivial pour r = O, nous supposerons r ý O. Remarquons d'abord que 1'applicationf est uniformément continue Soit e > o. En prenant 0 O, il existe A e ,'7 et B e Lì tels que les relations .rc Aetye Bentratnent Id(x,y)_d*('')tO, il existe un élémentA de 7 qui est petit d'ordre Bd r Soit xc A. On voit que l'on adt (9 9) < r. Il en résulte que E est dense dans Et. Soit (x), une famille filtrante de Cauchy dans l'espace uniforme E. Elle engendre un filtre de Cauchy ,9 Pour tout écart d e A (E), la famille (dt(9.,91) converge vers O. La famille (xi), converge donc vers dans l'espace Et. La proposition XX. 17.2 entraine donc que l'espace Et est complet et on peut énoncer: Ppopos/TJoNXX.1&1: Quel que soit l'espace uniforme E, l'espace uniforme Et desfiltres de C'auchy sur E est complet et l'espace uniforme E est isomorphe à un sous-espace uniforme de Et, dense dans .

Remarque Reprenons la démonstration précédente. L'égalité dt E x E est le prolongement continu de J'écartd.

=

d montre quedt

THÉoRÈMEXX.1&1. Tout espace uniforme séparé E a un espace un?forme complété. Soit p l'application canonique de l'espace uniforme Et sur l'espace uniforme séparé associé S (E). Comme Et est complet et comme p est une application uniformément harmonieuse, 5 (E) est complet. L'application canonique i de E dans Et étant un plongement, le corollaire de la proposition XIX. 12.1 montre qu'il en est de méme de l'application 5 (i) de 5 (E) dans 5 (Et). Comme E est séparé, on a 5 (E) = E et 5(i) est un plongement de E dans l'espace séparé complet 5 (E). Comme ip est une application harmonieuse et comme i (E) est dense dans Et, l'ensembie q (i (E)) = [5 (i)] (E) est dense dans 5 (E). Donc 5 (Et) est un complété de E Exeinple Prenons le cas où E est muni de la strueture uniforme des partitions finies. On sali que l'ensemble Et s'identifie à l'ensemble des ultrafiltres sur E.

Soit X cE et l'écart d sur E associé au partage E = X + (E\X). Détermisur Et. Comme d ne peut prendre que les valeurs O et 1, il en nons l'écart l'écart Soit Y e Et. On a, en reprenant la notation 6 méme de de est introduite dans l'exemple de IX.lO: RAeF7 aBe7 tels que xeA et ye E entrane = O = O d(x,y) 2Ae.9aBeCtelsquel'onaitAUBCX ouAuBcE\X

4

4.

Xe9nYouE\Xe9nC

4

s'identifie do55nc à l'écart 6,. La structure uniforme de E étant engendrée par les écarts (dx)x cE' on voit que la structure uniforme de Et est engendrée par les écarts (6x) Il en résulte que l'espace topologique Et est l'espace des ultrafiltres sur E. Comme celui-ci est un espace séparé (Exemple 7 de VII.2), on voit que le complété È d'un ensemble Emuni de la structure uniforme despartitionsfinies s'identifie I 'ensemble des ultrafiltres sur E muni de la struciure uniforme engendrée par L'écart

a

l'ensemble d'écarts (6x)xcs XX.19 - Pour tout espace uniforme séparéA, nous noterons A le plongement canonique de A dans son complété A. Soitfune application uniformément continue d'un espace uniforme séparé dans un espace uniforme séparé 8. Comme i8 o f est une application uniA formément continue de A dans un espace uniforme complet, la proposition de A XX. 17.1 montre qu'il existe une application uniforinément continue dans E qui est définie par l'égalité ° = i3 o f. (1) Soit g une application uniformément continue de E dans un espace uniforme séparé C. Les égalités i o g o f = k o 's O f = f O i entraine

3'

3'

(2) Remarques 1) Soit 6 la catégorie dont les objets sont les espaces uniformes séparés et dont les flèches sont les applications uniformément continues. Les égalités (2) peuvent s'interpréter en disant que l'on déflnitun foncteurFde 6 vers 6 en faisant correspondre à tout objetA son complété A età toute flèchef la flèche

3'.

Les égalités (1) s'interprètent alors en disant que les flèches (i4)A e Cb 6 définissent un morphisme du foncteur identique 6 .-+ 6 vers le foncteur F. 2) Soit G un foncreur d'une petite catégorie I vers la catégorie des espaces uniformes tel que, pour tout objet a de I, l'espace uniforme G (a) soit séparé. On d6finit un foncteur G de I vers Uni en faisant correspondre à tout objet a de I

326 Topologie d'un espace uniforme

Traité de topologie générale 327

l'espace uniforme a(a) et à toute flèchef: a-* del l'application G(f) famille de tìèches (ia(a)) définit un morphisme fonctoriel du foncteurG, le foncteur G. On a donc une application uniformément continue canoniquc IimG vers limÒ.

XX.20

PRoPosirloN XX.20. i Soit E un espace un?forme séparé complet. il existe un enseinblefiltrant à gauche 2 unfoncteur E de la catégorie T vers la catégorie des espaces uniformes tel que E, sait, pour tout t E T un espace métrique complet et une famille d'applications uniformément continues E -# F,), qui soit une limite projective dufoncteur E -

Soit (d,), 2 un ensemble auto-indexé filtrants d'écarts sur E qui engendre la structure uniforme de E. Ordonné par la relation t ý $ = d3 ý d,, l'ensemble T est fìltrant à gauche. Soit t E T et R, la relation d'équivalence sur E définie par (x,y)E R, d,(x,y) = O. Soit l'application canonique: f, E -# E/R,, la distance d', sur E/R, définie par d', o f7 = d, et l'espace métrique E, = (E/R,, d',). Comme la structure uniforme de E est engendrée par les écarts (d', o ft ) ¬ on voit que E est l'espace uniforme initial mi (f,, E,), T L'espace E étant séparé, la famille d'applications (f)e est séparante. Soit une relation t ý s dans T La relation d' o f, ý d', entraine que l'application f, de E, dans E définie par f5, o f, = f est uniformément continue. Les relations u ý t ý s entratnent f, o f,,, = f,. La correspondance qui, à tout t E T associe le complété

È, de E, et, li cha-

que relation t ý s, associe 1' application , est un foncteur E de T vers la catégode Uni. Soit (ji, : L -, È,), une limite projective de ce foncteur. Comme les espaces uniformes

(È,),

sont séparés et complets, il en est de méme de L

(Remarque 2) de XX.8). Soit i, l'injection canonique de E, dans È, et = i, o f, l'application correspondante de E dans È,. Comme (%,), est un F-còne projectif, il existe une application uniformément continue X de E dans L vérifiant p, o X = %, pour tout t E T. La faniille (f) étant séparante, il en est de méme de la famille (À,), et X est une injection de E dans L. Les égalités E E

=

=

mi

(f,, E,), et E, = mi (i,, È,) Vt E T = mi (?, L).

liii (X,, È,), etE

entrainent

L'application X est donc un plongement de l'espace uniforme E dans l'espace uniforme L. Comine pour tout tE T, l'ensemble X,(È) = i,(E,) est dense dans E, et comme T est filtrant à gauche, la proposition X.8.l montre que ? (E) est dense dans L. Le sous-espace uniforme ? (E) deL, étant isomorphe à E, est complet. Il est donc fermé dans L d'après la proposition XX.7.3. pur suite, on a X (E) = L et ? est un isomorphisme de E sur L. D'où l'égalité (X,:E-È,),ET = limF résultat qui démontre te Ce résultat s'énonce encore en disant que tout espace uniforme séparé compiet est une limite projectivefiltrante d'espaces ;ne'triques complets.

XX.21 -PRopos/TIoNXX.21.1 Soit un espace un?forme initial E = mi (f,, E,), les espaces uniformes E et (E,), e étant séparés. On a l'égalité È = mi (i,, F,), TNotons g, =

F,°

f

Les égalités E = mi E = mi (g,, F,),

T

= J,o

,E

(f,, F,), T et E, = lui (ip, F,) Vt E T entrainent

= mi (J,o

i5,

F,),

Comme E est un sous-espace uniforme dense de È, le corollaire de la proposition XX.16.1 montre que cette dernière égalité entraine È

= mi (Ì, F,)

COROLLA/RE. Si f est un plongement d'un espace uniforme séparé A dans un espace uniforme séparé 13, l 'application f est un plongement de 1 'espace uniforme A dans l'espace uniforme 13. D'après la proposition précédente, l'égalité A = Ini (f 13) entraine A = mi E). Comme A est séparé, cette égalité entraine que f est une injection de A dans E. Donc est un plongement

(J,

XX.21.2 : Soil (p, E -9 E,), T le produit direct d'une famille d'espaces un,formes séparés (E,), Alors (fr, E -9 È,), est le produit direct des espaces uniformes (E,), PRoPosITIoN

Soit (q, P -ý È,), un produit direct des espaces uniformes (È,), L'espace uniforme P est séparé et complet. Comme toutes les applications sont des plongements, il en est de mème de leur produit direct i E -9 P (corollaire au théorème X.7.2). Enfin, puisque chaque espace E, est dense dans l'espace È,, il résulte de la proposition IX.3.2 que i (E) est dense dans P. Cn peut donc poser P

= o p, entraine q,

=

= È et i = i5. Pour tout t E T, l'égalité

/5,

Traité de topologie générale 329

328 Topologie d'un espace uniforme

XX.22 Soit G un groupe topologique abélien séparé et l'espace uniforme complété G. D'après la proposition XIX.6.1, l'application (x, y) -s xy de G x G dans G est uniforrnément continue. On peut donc la prolonger en une application continuef: (x, y) x * y de G x G dans O. -

L'application g1 (x, y, z) f(f(x, y), z) de O x G x O dans Ò est continue car elle est la composée des applications f x id (x, y, z) (f(x, y), z) etf. L'application 82 : (x, y, z) -.t f(x, f(y, z)) de Ò x Ò x Ò dans O est également continue. Comme g et 82 coi'ncident le sous-espace dense O x O x O de O x O x O, elles sont égales. On a donc (x * y) * z = x * (y * z) ce qui montre 1'associativité de l'opération interne *. De manière analogue on montre que cette opération est colmnutative et qu'elle a pour élément neutre l'unité e du groupe O. Comme l'application x -.4 x de O sur O est uniformément continue, on peut la prolonger en une application continue h:

Ò

Ò

_+

Ò"

L'application continue x

.'-

f(x, h(x)) de

dans ò s'identifiant sur O à l'application constante x

x * h (4

=

e pour tout x E

Ò.

.

e, on a

L'opération interne * définit donc sur O une

structure de groupe abélien. Les applications f: O x O -* O et h:

-

étant continues, la topologie de est compatible avec sa structure de groupe.

Soit Uun voisinage de 0 dansA. CommeA est un groupe topologique additif, il existe un voisinage W de O dans A tel que les relations a, b, e, d E W entrainent -a E W et a + b + e + dE U. D'autre part la continuité de l'application (x, y) -'4 xy de A x A dans A entraine l'existence d'un voisinage V de O dans A tel que l'on ait V = - Vet c W. Soit i0E I tel que i0ýi,j entraine x- XE V et y1- yE V. Posons = a, y = b. Soit i1 EI vérifiant i0ýi1 et tel que i1 ýi,j entraine (x

-

xf)b E V2 et a(y

-

y)

E

V2. L'égalité

montre que les inégalités i1 ý i, j entrainent xy - xy1 E U. La famille (xy), , est bien de Cauchy dans A donc de Cauchy dans À. On voit done que, sifdésigne l'application (x, y) -'.-* xy de A x A dansÀ, l'image directe f(9T) d'un filtre de Cauchy Ffsur A x A est un filtre de Cauchy surÀ. La proposition XX.14.1 montre alors que l'applicationf se prolonge en une application continue g de A x A dans A. Des raisonnements analogues à ceux du numéro précédent montrent que, si on pose g (iy) = y, alors A est un anneau topologique et A est un sous-anneau deA. On résume ceci en énonant:

Le groupe O est un sous-groupe topologique du groupe topologique O. Soit 7/ la structure uniforme de l'espace uniforme O. Comme elle induit sur O la

PRoPos!T!oNXX.23.1 : SIA est un anneau topologique séparé, son complétéA

mSme topologie que la structure uniforme usuelle 6'

Remarque L'application (x, y) -.4 xy de A x A n'est en général pas uniforinérnent continue comme le lecteur le constatera sans peine en prenantA = IR.

=

6'

=

6' du groupe

topologique abélien Ò, le corollaire i li la proposition XX. 13.1 montre l'égalité 7/ = 6'. En résumé: PRoPosmoN XX.22.1 : Soit O un groupe topologique abélien. L'espace uniforme O est un groupe topologique abélien muni de sa structure uniforme usuelle et O est un sous-groupe topologique de O. Le groupe topologique O est dit le complété du groupe topologique O. XX.23 SoitA un anneau topologique séparé. CommeA est un groupe abélien topologique, nous le considérerons comme un espace uniforme. Soit (x,, y,)1 une famille filtrante de Cauchy à valeurs dans l'espace uniforme A x A. Montrons que la famille (xy), est de Cauchy dans A: Soli a, b E A. L'application x -4 bx étant un homomorphisme continu du groupe additif A dans lui-méme, est uniformément continue. La famille (bx), est donc de Cauchy dans A et il en est de méme de la famille (ay),. -

est un anneau topologique.

XX.24 Soit K un corps valué et d la distance définie sur K par l'égalité d(x, y) = ix - yj en désignant par lxi la valeur absolue de x. Nous savons que (K, d) est un corps topologique (VI.19). Il résulte donc de la proposition XX.23.1 que le complété K de l'espace uniforme (K, d) est un anneau topologique. Montrons que K est un corps topologique: Soitfl'application x -41/x de K* = K\ (01 dans i. L'ensemble K* est densedansl'espaceK' = K\{0}. -

,

Soit x E K et le filtre 9= 92fK*. Soit (x,)1 une famille filtrante à valeurs dans K* qui engendre le filtre 9 Comme elle converge vers x dans l'espace K', elle est de Cauchy. D'autre part, la relation x ý O montre l'existence ,

330 Topologie d'un espace uniforme

CHAPITRE XXI

d'un nombre a > O et d'un élément i0 E I tel que i0 ý i entratne x4 > a. Les k- Xi relations z ý i, j entrajnent i i = et montrent que la 2 X Xj

k- xi

-

-

-

kjxI a

'

Espaces unzformes et espaces compacts

est de Cauchy. Elle converge, dans l'espace k, vers un point y et le filtre j(g) converge vers y. Il résulte de la proposition VIII.7.3 que famille (l/x,),

l'applicationfpeut se prolonger en une application continuef' de K dans i Les égalités xf(x) = 1, valables pour tout x E K* entra?nent if' (x) = i pour tout x E K'. On voit donc que tout élément non nul de K est inversible et que l'application x l/x de k (O) dans k est continue, ce qui montre bien que

Structure uniforme d'un espace compact

k est un corps topologique. k k

Soit d'le prolongement continu à x de la distance d et soitg l'application continue x d'(O, x) de K dans IR. Cornme giK est la valeur absolue de K, on en ddduit sans peine que g est une valeur absolue sur K. -

Les égalités d(x, y) = Ix yj valables pour x, y E K entrainent d' (x, y) = g (x y) pour x, y E K. Donc d' est la distance définie parla valeur absolue & et le corps topologique K est un corps valué. -

-

Dans le cas où Kest le corps Q muni de la valuationp-adique, les éléments du corps K sont dits les notnbresp-adiques.

THÉORÈME XXI.]. i. Soit E un espace uniforme séparé. Pour qu 'il soit coinpact, ilfaut et il suJjlt qu'il soit à lafois complet et totalemnent borné.

XXI.1

-

Supposons E compact et soit 9 un fitte de Cauchy sur E. Comme E est compact, a un point adhérent x. Comme 9 est de Cauchy, il converge vers x et E est complet. Soit '/ un ultrafiltre sur E. Comme E est compact, il converge vers un point y. Cet ultrafiltre est donc de Cauchy et le théorème XVIII.18.1 montre que E est totalement borné. Réciproquement, supposons E complet et totalement borné. Soit ?/ un ultrafiltre sur E. Comme E est totalement borné, U est de Cauchy. Conime E est complet, 11 est convergent. L' espace E est donc compact Application. Soit p un nombre premier et K le corps des nombres p-adiques. Notons x -4 lxi la valeur absolue sur K qui prolonge la valeur absolue p-adique de O. On sait (XVIII.14) que i'ensemble A = {x E O; lxi ý i } est totalement borné dans O. Son adhérence A dans K est totalementbomée. Comme elle est fermée dans l'espace complet K, l'espace uniforme A est compiet. Il résulte du théorème précédent que l'espace A est compact.

Soit x E K tel que l'on ait lxi < 1/2 et soit (x)6 une famille filtrante à (xi ,il existe valeurs dans O qui converge vers x. Comme i E I tel que i ý i entraine H i On en déduit x E A Dans K, le voisinage {x E K; lxi c i/2} de O est donc contenu dans A .11 en résulte que À est un voisinage compact de O. Pour tout x E K, l'ensemble x + A est un voisinage

(Ix1I) converge vers

.

.

compact de x. Le corps des nombres p-adiques est donc localernent coinpact.

Traité dn topologie générale 333

332 Espaces uniformen et espaces compacts THÉORÈMEXXL2. 1. SoisE un espace compact. Il cxiste surE une strue. ture uniforme unique qui engendre la topologie de E. Cette structure uniforme est lefiltre des vaisinages de la diagonale dans I'espace produit E x E.

Comme conséquence de ce théorème, nous considérerons parla suite qu'un espace topo/o gique co;npact « est » un espace uniforme, ses entourages étant les voisinages de la diagonale.

Soit U un voisinage de cette diagonale D. Tout élément x de E a un voisinage ouvert U qui vérifie U, x U c U. Donc 77 = (U1) est un rec0uv5e E ment ouvert de E qui vérifie a(?/) c U. Comme E est paracompact, il esiste un recouvrement ouvert 7) de E qui vérifie 7) ý 77. La proposition IX.16.2 entratne que V = a(V) est un voisinage de D. On a:

Toute application continue f d'un espace compact E dans un espace uniforme F est uniformément continue. Soit V un entourage de F. C'est un voisinage de la diagonale de F x F. Donc (f*) 1(V) est un voisinage de la diagonale de Ex E, c'est-à-dire un entou-

XXI.2

-

=

a(t(V))

=

a(t(o(7')))

rage de E. L'applicationfest donc uniformément continue

=

À partir de l'inclusion V2 c

U, on voit sans peine que le filtre 4' des s'oisinages de D est une structure uniforme sur E.

Comme E est séparé, la diagonale D est fermée dans Ex E. Comme E x E est compact, l'ensemble fermé D est l'intersection de l'ensemble 6' de ses voisinages. L'espace uniforme (E, 6') est donc séparé. Pour tout x E E et tout voisinage Vde D, l'ensemble V[xj est un voisinage de x (corollaire i à la proposition IX. 16.1). Il en résulte que la topologie 9- de E est plus fine que la topologie 9' définie sur E parla structure uniforme 6'. Comme la topologie 9' est séparée et comme une topologie strictement plus fine qu'une topologie séparée ne peut pas étre une topologie compaete, on a 9r' =9_.

La topologie de E est donc engendrée par la structure uniforme 6'. Soit 4'* une structure uniforme sur E qui engendre la topologie de E. D'après le corollaire à la proposition XX.l 1.1, tout élément de 4'* est un voisinage de la diagonale. On a donc 4'* c 6'. Soit U un voisinage symétrique de la diagonale. Soit x E E. Comme (V[x])¬ est une base des voisinages de x et comme 6 a pour base {V2 VE 4'* et V est un ouvert de Ex E},il existe un ¬16ment V de 6* qui est ouvert et tel que l'on ait V[xJ c U[x]. Comme (V[xJ) E est un recouvrement ouvert du compact E, il existe un sous-ensemble fini X de E tel que l'on ait E = u V[x]. xe X Soitl'élément V = n V de 4'* et (u, v) E V. xe X

Il existe x E X tel que l'on ait u E V{x]. On a alors: VE

COROLLAIRE 1.

V[u] c V[u] c V[xJ c U[x].

On a également (en faisant v = u) u E U[x] D'où (u, v) E U2. L'inclusion VcU2 montrequel'ona U2E 4'*" Comme {U2 ; U 6' et Usymétrique) est une base du filtre 6', on en déduit 4' c 4' et l'égalité 6' = 6* qui achève de démontrer le théorème .

COROLLAIRE 2.

Sur un espace compact E, tout écart continu d est uniformé-

,nent continu.

En effet, d est une application continue du compact Ex E dans l'espace uniforme l 3 (Lemme de Lebesgue). Soit (E, d) un espace métrique compact et 77 un recouVrement ouvert de E. Il existe un noinbre r> O tel que la relation d(x, y) c r entraine l'existence d'un élément U de 7/ tel que l'on ait CoRou.4rnE

x,yE U.

En effet, cr( 7/) = u { U x U ; U E ?/} étant un voisinage de la diagonale, est un entourage de E. Il esiste donc r> O tel que l'on ait Bd r c a( 7/) D'où le résultat annoncé .

Si un groupe topo/o gique G est compact, ses structures uniformes gauche et droite cofncident. CoROLLAIRE 4.

En effet, elles engendrent toutes deux la topologie de G

Compactifications XXI.3 Étant donné un espace topologique E, on appelle coinpactification de E tout plongement p de l'espace topologique E dans un espace compact K tel que «E) soit dense dans K. L'espace K étant complètement régulier, une tel/e -

compactification ne peut exister que si I 'espace E est co;nplètement régulier

Lorsqu'il en est ainsi, pour simplifier le langage, on identifie souvent l'espace E au sous-espace «E) de K et on dit simplement que l'espace K est une compactification de E. L'application p est alors l'injection canonique de E dans K. Avec cette convention, on peut énoncer la:

Traité de topologie générale 335

334 Espaces uniformes et espaces cornpacts

PRoposlTlo,VXXL3.] Soit (P1 E-*K1 E-*K2 deuxcom

tions d'un espace E. Les conditions suivantes sont équivalentes: 1) li t'ciste une application continue f de K1 dans K, qui vériJie (P2 = fo (Pi. 2) SiA et E sont deux sous-enseinbles de K2 fennés et disjoints, les adhérences dans K des ense;nbles A n E et E n E sont disjointes. Lorsqu 'il en est ainsi l'applicationf est unique et c'est zine surjection de K1 sur K2 telle que l'an alt f(KI\E) = K2\E. L'équivalence des conditions 1) et 2) est une conséquence immédiate de la proposition XIII. 14.1. L'ensembie E étant dense dans K1 et K2 étant séparé, l'applicationf est unique. L'ensemble f(KI), image d'un compact par une application continue, est un sous-ensemble compact, donc fermé, dans l'espace séparé K2. La relation E c f(K1) entraine donc K2 = È = f(K1). Soit x e KI\E et y e E. Comme K1 est séparé, les filtres 'f2 et sont incompatibles. Il en est donc de mme des filtres 9"\E = 9 et E

= cJyE

=

I (c/,)K2)

. Par suite, les filtres

p249fl =

et 9Y2 sont

incompatibles, ce qui entratne y ý f(x), c'est-à-dire f(K1 \E) c K2\E. D'où f(K1\E) = K2\E Si p et (P2 sont deux compactifications de Equi remplissent les conditions précédentes, on écrit (P2 (PI Si ces deux compactifications vérifient à la fois (P2 ý (PI et (P ý (P , on dit qu'elles sont équivalentes. On peut alors énoncer le: .

COROLLAIRE. Pour

que deux co;npactifications p E -8

et (P2 E-* K2

d'un espace E soient équivalentes, ilfaut et il suffit qu'il t'ciste un homéomor-

phisme f de 1 'espace K1 sur I 'espace K2 qui laisse invariants les e'léinents de E. Cette condition est évidemment suffisante. Montrons qu'elle est nécessaire: Supposons donc (PI et (P2 équivalentes et soitf: KI -e K2 et g: K2 - K1 les applications continues qui vérifient (P2 = f O (PI et (PI = g O (P2" Alors g o f est une application continue de l'espace séparé K1 sur lui-méme qui induit l'application identique sur le sous-espace dense E. On a donc go f = idK. Onademéme fo g = idK,d'oùlecoroUaire Nous identifierons dans ce qui suit deux compactifications équivalentes. Avec cette convention on voit qu'un espace compact K n'a qu'une seule compactification qui est l'application identique id5 K -* K.

xxL4 - Soit K une compactification d'un espace complètement régulier E. La

structure uniforme de K induit sur E une structure uniforme 6' qui est totalement bornée et qui engendre la topologie de E. Comme E est dense dans K et cornme K est complet, on voit que K est le complété de l'espace uniforme (E,6'). Réciproquement, soit sur E une structure uniforme totalement bornée 6' qui engendre la topologie de E. La proposition XX.12.l montre que le complété K de l'espace uniforme (E, 6') est totalement bonìé, donc compact. L'injection E - K est alors une compactification de E telle que 6' est la structure uniforme induite sur E par celle du compact K. Soit (PI E -4K1 et (P2 : E -4K2 deux compactifications de E et 'I les structures uniformes correspondantes sur E. Si on a (P2 ý , il existe une application continuefdu compact KI sur le compact K2. Comme cette application est uniformément continue, on a 6'2 C "I Réciproquement, supposons l'espace 6'2 c 63I L'application identique de l'espace uniforme (E, 6'I) sur la propoprolonge, d'après et se continue uniforme (E, 6'2) est uniformément du compldté continue uniformément KI de sition XX.17.l, en une application (E, 6'I) dans le complété K2 de (E, 6'2). Comme on a identifié deux complétions équivalentes, on peut donc énoncer: THÉQRÈMEXXI.4.1. Les compactifications d'un espace complètement régulier E

forinent un ensenible qui est en correspondance biunivoque avec l'ensembie des structures unifonnes totale;nent bornées surE qui engendrent la topologie de E. À la compactification K de E correspond la structure uniforme 8 induite sur E par la structure uniforme de K. la structure uniforme 6' correspond la compactification qui est leplongement de E dans le complété de (E, 6'). Si (PI et (P2 sont deux compactifications de E qui correspondent aux deux structures uniforines 6'I et 6',, la relation (P2 ý (PI équivaut à la relation

À

6'2 c 6'. XXLS - Soit E un espace complètement régulier et 6" (E) = (fJ, T l'ensembie des applications continues bornées de E dans IR. Soit, pour tout te T, un intervalle fermé [a,, b,] de IR tel que l'on ait f,(E) c [a,, bj. Soit (p, : E -4 [a,, b,]), un produit des espaces ([a,, b,]), Comme tous les espaces ([a,, b,]),0 sont compacts, il en est de mme de F. Comme E est complètement régulier, il résulte de la remarque 1) de IX.9 que l'application f = f, de E dans E est un plongement. Identifions par l'application f teT

336

Espaces uniformes et espaces compacts

l'espace E au sous-espace f(E) de F. L'adhérence K de E dans F est une compactification de E. On voli d'autre part que, pour tout tE T, l'application f, de E dans [a,, 1',] se prolonge en l'application continue p,/K de K dans [a,, b,] L'espace E est donc C -immergé dans K et on peut énoncer la: .

XX!. 5.1: Tout espace complètement régulier E a tine coinpactflcation K telle que E soit O" -i'ninergé dans K. PRoPos/Tlozv

Traité de topologie générale 337 D'où la proposition a Autrement dit, si K est une compnctification de l'espace localement compact non compact E, l'applicationfde K sur E,, qui prolonge l'inclusion E E,, par l'application x 00 sur K\E, est une application continue de K sur E,,. On en déduit, en particulier, que K\E = 1(00) est fermé, d'où: -

COROLLA/RE. Si K est iine cornpactification de I 'espace localeinent cornpact E, 1 'ensemble E est ouvert dans K.

COROLLA IRE. Soit E un espace topologique coinplèteinent réguliei: L'ense,nble des cornpact,jìcations de E n'est pas vide et, ordonnépar la ,elation P2 ý cet ensembie est coinplètenzent réticulé supérieurement.

Compactification de Cech

La proposition précédente montre que l'ensembie des compactifications de E n'est pas vide. Identifions-le à 1'ensemble D des structures uniformes totalement bornées sur E qui engendrent la topologie de E. La relation P2 ý cor-

XXI.7

respond à la relation 82 c 6', sur S qui est une relation d'ordre. Soit (8,), eT une famille d'éléments de Il résulte du corollaire à la proposition XVIII. 15.1

on la note 3(E).

.

que la structure uniforme 6'

=

Soit E un espace complètement régulier. Le corollaire à la proposition XXI.5.1 montre que, parmi les compactifications de E, il y en a une qui est supérieure à toutes les autres. On l'appelle la cornpactification de Cech de E et -

V 6', est totalement bomée. Comme elle

'CT

engendre la topologie de E, on a 6' E 4, d'où le corollaire

PROPOSITION XX!.

7.1 : Soit K irne coinpacttjication d'un espace cornplèternent régulier E. Les conditions suivantes sont équivalentes 1) K est la cornpactflcation de Cccli de E.

XXI.6

Soit E un espace localement compact non compact. Son compactifié d'Alexandroff E,., = E + {00} est une compactification de E qui est dite sa coinpactfication d'Alexandmff

2) L'espace E est CE -imrnergé dans l'espace K.

XX!. 61 : Soit E un espace localeinent coìnpact non cornpact. La compactijlcation d 'Alexandroff de E est la plus petite des cornpactifications de E.

4) Toute application continue de i 'espace E dans un espace compact K' peut seprolonger en zine application continue de l'espace K dans l'espace K'.

-

PRoposir/ON

Soit K une compactification de E. D'après la proposition XXI.3.1, tout revient à montrer que, siA et B sont deux fermés de E,, disjoints, les adhérences A n E et E n E dans K sont disjointes. L'un au moins des ensembles A et 8, disonsA, ne contient pas oo. L'ensembleA, fermé dans le compact E,est compact. Comine il est contenu dans E, on a A nE = A. Mais A, étant compact, est fermé dans le séparé K. On a donc A n E = A. Si on a également oo E, on a aussi EnE = 8, d'où (AnE)n(BnE) = AnB = ø.Supposonsooe B.CommeBestfermé dans E,,, l'ensembie E n E est fermé dans E et il existe un fermé F de K tel quel'onaitBnE = FnE,d'oùBnEcF.Onaalors (A n E) n (Bn E) =An (E n E) cAn F= (A n E) nF=AnB=Ø

3) Si A et B sont deux sous-enseinbles fonctionnellernent disjoints dwis l'espace E, leurs adhérences A et dans K sont disjointes.

2) entratne 3). Supposons 2) réalisé. SoitA et B deux sous-ensembles fonctionnellement disjoints dans E. Il existe une application continuef de E dans

{ i }. Par hypothèse,fpeut se prolonger en une application continue g de E dans R. Les relations A c g '(0) et Bcg'(l) entratnent Zn = 0. [0, 1] vérifiant f(A) c {0} et f(B) c

3) entratne 4). Supposons 3) réalisé et soitfune application continue de E dans un compact K'. SoitA et E deux fermés de K' disjoints. Comme K' est normal, il existe une application continue g de K' dans [0, 1] qui vérifie g(A) c {0} et g(B) c { i }. L'application continue h = g o f de E dans [0, 1] vérifie lz(f '(A)) c {0} et lz(f '(E)) c { l}. Donc ['(A) et ['(E) sont fonctionnellement disjoints dans E. L'hypothèse 3) entraine

338 Espaces uniI ormes et espaces compacts

Traité de topologie générale 339

(A nE) n (Bn E) = 0 . Il résulte alors de la proposition XIII.14. 1 que f peut se prolonger en une application continue de K dans le compact K'. 4) enti-atne 1). Ceci résulte immédiatement de la définition de 13(E). 1) entraine 2). D'après laproposition XXI.5.1, l'espace E a une compactification K1 telle que E soit C -immergé dans K1 D'après ce qui précède, K1 est la conipactification de Cech de E, ce qui montre que 1) entraine 2) COROLLAIRE. Soit E et E' deux espaces cornplèteinent réguliers. l'cute applica-

tion continue f de E dans E' peut se pro/cn ger de inanière unique en une application 3(E).

! (f)

du compactifié de Cccli 13(E) dans le cotnpactifié de Cech

Soit les injections canoniques ip: E -# 13(E) et p' E' -, 13(E) . La proposition précédente montre que l'application continue p' o f de E dans le compact 3(E) peut se prolonger en une application continue f' de 3(E) dans 13(E). Comme E est dense dans 13(E) et comme 3(E) est séparé, l'application f' est définie de manière unique On en déduit l'existence d'un foncteur f3 de la catégorie dont les objets sont les espaces complètement réguliers et les flèches les applications continues vers la catégorie dont les objets sont les espaces compacts et les flèches les applications continues. Rernarque Soit l'ensemble IN muni de la Lopologie discrète et 13(N) son compactiflé de Cech. Nous allons montrer que, dans l'espace 3(N) ,aucune sous-suite de la suite (n),, n'est convergente. Une telle sous-suite est une suite (u,,),, strictement croissante de nombres entiers et on peut supposer que l'on a u0 = O. Soitp l'application de N dans [0, 1] déflnie par les égalités p([u217, u2,, + i[) = {0} et + I' 2n + 2[) = { 1 } pour tout ti ý 0. Cette fonction est une fonction continue bornée sur IN qui peut se prolonger en une fonction continue bornée p sur 13(N) . Si la suite (u,,) avait une limitex dans l'espace 13(IN ,la suite p(u,,) convergerait vers p*(x) dans IR, mais p(u,,) ne tend vers aucune limite. On voit donc que I 'espace cornpact 13(IN n'est pas séquentielletnent cotnpact.

XXI.8 -

PRoposiTioN XXL& 1: Soit E un espace topologique cotnplèternent régulier et i 'anneau 6* (E) desfonctions numériques continues bornées sur E. On définit une topologie sur l'ensembie., /7 des idéaux rnaxiniaux de 6* (E) en définissant 1'adhérence d'un sous-ensetnbleA deJ/par:

le AAcI L'application x tion de Cccli de E.

{f

e 6'(E) ; f(x)

=

O} est alors une conipactifica-

Soit K une compactification de Cech de E et 6(K) l'anneau des fonctions numériques continues sur K. Identifions, pour simplifier, l'espace E sous-espace correspondant de K. L'applicationf fjE permet d'identifier l'anneau 6(K) à l'anneau 6(E). Il résulte de la proposition XIII.15.1 que l'application x -- l = {f e 6(K); f(x) = O} déflnit un hornéornorphisme de l'espace K sur l'espace .ì/. On en déduit que l'application x '4 dans b' est une compactification de = {f e 6(E) ; f(x) = O} de E CechdeE E un espace compièteinent réguiier et 6*(E) l'annenu des fonctions nuinériques continues bornées sur E. Pour que l'espace E soit conipact, ilfaut et il suflit que, pour tout idéal maxinzai I de 6* (E), il existe un éiéinentx de E tel que l'cn ait: I = {f E 6*(E) ; f(x) = O}. Reprenons les notations précédentes. Pour que E soit compact, il faut et il suffit que 1'injection E -#. // soit une surjection, c'est-à-dire que tout iddal maximal Ide 6(K) = 6*(E) soit de la forme I avec xc E. D'où le COROLLAIRE. Soit

corollaire

CHAPITRE XXII

Espaces connexes. Espaces localeinent connexes

Espaces connexes XXJI.1 Un espace topologique E est dit connexe lorsque 0 et E sont les seuls sous-ensembles de E qui sont à la fois ouverts et fermés. Ceci revient à dire -

qu 'il!? 'y a pas de partition de E en deux enseinbles (non vides) séparés l'un de l'autre. L'égalité A = À\IntA montre que, pour qu'un espace E soit connexe, il fata et il suffit que 0 et E soient les seules parties de E ayant une frontière vide. On voit immédiatement que, pour qu'un espace E soit connexe, il faut et il suffit qu'il n'existe pas de surjection continue de E sur l'espace discret {0, I } à deux éléments.

Rernarques I) Soitfune application harmonieuse d'un espaceE sur un espace F. On vérifie sans peine que les espaces E et F sont connexes en mme temps. 2) Soit et deux topologies sur un ensembie E véHflant c 9. Si l'espace (E, 9) est connexe, il en est de mme de l'espace (E, ,9') Selon les conventions habituelles, un sous-ensemble A d'un espace E sera dit connexe si le sous-espace A de E est un espace connexe. PRoPosIrfov XXIL2. i Poni- qu 'un ensembie ordonné topologique E soit connexe, ilfaut et il suffit qu'il soit conditionnellement complet et qu'il n 'aitpas de couple d'e'léments consécutifs. XXII.2

-

Ne'cessité. Si E a un couple d'éléments consécutifs (a, b) avec a < b , 1'égalité ]_00, a] = ]-oo, b[ montre que E n'est pas connexe. Si E n'est pas conditionneliement complet, la proposition 1.10.1 montre qu'il a une faille non extrérnale E = A + /L L'ensembleA, différent de 0 et de E, est ouvert et fermé.

Traité de topologie générale 343

342 Espaces nonnexes. Espaces ocalement connexes Suffisance. Supposons E conditionnellement complet et non connexe. Soit E = A + B une partition de E en deux ensembles fermés. Soit a E A et b e E avec, par exemple, a < b. L'ensembie A n ]-oo, L'E a une borne supérieure a' qui appartient à A (puisque A est fermé). L'ensembie ]a', + oo{ n B a une borne inférieure b' qui appartient à E. On voit alors que (a', li) est un couple d'éléments consécutifs E Cette proposition montre que i 'espace ÌR est connexe et que i 'espace Q n 'est pas connexe. CORoLLA/RE I. Si un ensembie ordonné topo/o gique E est connexe, les sous-ensembles connexes de E sont les intervalles.

Si A est un intervalle de E, le sous-espace A de E est, d'après la proposition V. 13.1, un ensemble ordonné topologique et la proposition précédente entraine alors que A est connexe. Soit A un sous-ensemble connexe de E et soit a c .v < b avec a, b E A On a x e A, car sans cela 1'égalité A n ]_oo, x] = A rì ]-ao, x[ montrerait queA n'est pas connexe. Donc A est un sous-ensemble convexe de E. Comme E est conditionnellement complet, le corollaire lì la proposition 1.10.1 montre alors que A est un intervalle de E E

Soit d un écart sur un ensemble E. Nous dirons que deux points x et y de E sont d-enchainables si, pour tout nombre r> 0, il existe une suite finie (Xt)ocj0. Il existe un voisinage U1 de a tel que x e U1 entraine If(x) f(a)I ý 8/3. Il existe un entier m vérifiant ý 8/3 et il existe un voisinage U, de tel quex e U, entraine contenu dans A,,,(E), U2 de a ý /3 Le voisinage U1 d'où a e mt A,,,(E) et e C. -

Jf(a) f,,,(a)I If,,,(a) f,,,(x)I

n

-

.

-

a

a est

in

a

Réciproquement, soit e C et soit E> O. Il existe un entier tel que l'on alt a e mt A,,,(e/3) = V1. Soit V2 un voisinage de a tel que x e V2 entraine on a ý /3. En tout point x du voisinage V1 n V2 de est bien defau point Donc C ý E, qui mentre la continuité l'ense;nble des points de continuite' def

f,,,(a)I If(x) f(a)I ce

a.

-

-

a,

Comme l'ensembie A,,,(E) décrott avec E, on a encore C

fl [UmntA,,,(l/n)],

=

I,

d'où l'égalité (1)

E\C

=

ýI

t3 [E\L.jlnt A,,,( 1/ti)] I,

I7

Ceci dit, associons à tout entier in ý i et uì tout nombre E> 0, l'ensemble ý c}. B,(E) = fl {x e E ;

If,,,(x) f,,(x)I -

I,,

La continuité des fonctions pour tout x e E, la suite

(f,,),, entraine que B,,,(E) est fermé. Comme,

(f,,(x)),, converge versf(x), on a

Les résultats respectifs se déduisent immédiatement de ce qui précède Soitfune application harmonieuse d'un espace E sur un espace F et soit A cE. Comme X est Rf -saturd, on a mt f(À) = f(Int A) , ce qui entraine mt f(A) = f(Int A). Cn voit donc queA est rare dans E (resp. maigre dans E) si, et seulement si,f(A) est rare dans F (resp. maigre dans F).

If(x) f,,,(x)I

E

=

U B,,,(s) et B,,,(c) c

I 5,7,

On a donc la suite de relations E\ulnt A,,,(c) cE\Ljlnt Bm(E) 77,

=

[t.J B,,,(e)] \ [Lllnt B,,,(E)] c U [B,,,(e)\Int B,,,(E)]

Comme B,,,(E) est fermé, sa frontière B,,,(E) \Int B,,,(E) est rare. Donc, pour tout e>0, l'ensemble E\ulnt A,,,(E) est maigre. L'égalité (1) mentre donc que E\C est maigre, ce qui démontre le théorème PRoposn'!o,vXXIIL8.1 Solt E un espace inépuisab/e et (f1) XXHL8 unefaini//e defonctions nunze'riques continues sur E tel/e que, pour tout é/é-

Traité de topologie générale 367

366 Espaces de Baire inent x de E, l'ense;nble (f,(x) ), ¬ soit inajoré. Il existe un ouvert non vide U de E te! que l'ensernble LJ f( U) soit inqjoré.

D'après la proposition XXIH.5. 1, un sous-ensemble A de E est maigre si, et seulement si, E\A contient I' intersection fl U,, d'une farnille d'ouverts denses.

{x e E; f,(x) ý n} est fermé et

La condition 4) revient donc à dire qu'un ouvert non vide de Un'est jawais maigre, elle équivaut donc à 1)0

.

zeT

Pour tout entier ti, l'ensemble A, on a E

=

=

n

ICT

u A,,. Comme E n'est pas maire, il existe n tel que l'intérieur U

I ýn

de A,, ne soit pas vide. L'ensembie u f( U) est majoré par n O

XXIJJ.1O -PRoPOSITION XXIII. 10.] Si A est un sous-enseinble inaigre d'un

ICT

espace de Baire E, le sous-espace E\A de E est un espace de Ba ire. Soit 8 un sous-ensernble maigre de l'espace F = E\A. L'ensemble 8 est encore maigre dans E. Donc A u 8 est maigre et F\B = E\A u 8 est dense dans E. Afortiori, F\B est dense dans F, ce qui entraine que F est un espace de Baire O

Espaces de Baire Un espace topologique E est dit un espace de l3aire si un ouvert non vide de E n'est jamais maigre dans E, c'est-à-dire si les sous-espaces ouverts de E sont inépuisables. Il résulte de la proposition XXIII.6.1 que tout sous-espace ouvert d'un espace de Baire est un espace de Baire.

XXIII.9

-

Ppoposrr/oN XXIIL 10.2 Soit E un espace tel que tout point x de E ait un voi-

sinage qui, considéré coinine un sous-espace de E, soit un espace de Baire. Alors E est un espace de Baire. Soit U un ouvert non vide de E et x e U. Soit V un voisinage de x qui soit un espace de Baire et W un voisinage ouvert de x contenu dans V Le sous-espace ouvert W de V est de Baire. L'ouvert non vide Un W de W n'est pas maigre dans W Comme West ouvert, Un Wn'est pas maigre dans E. Afortiori Un'est pas maigre dans E, ce qui entraine que E est un espace de Baire O

Exeinple Tout espace discret est un espace de Baire. Rernarque Soit un espace E, somme directe de l'espace O et d'un espace ponctuel (xl. L'espace E n'est pas un espace de Baire puisque O est un sous-espace ouvert de E qui n'est pas inépuisable. Cependnnt E est inépuìsable puisqu'aucun sous-ensemble rare de E ne peut contenir le point x.

Soitfune application harmonieuse d'un espace E sur un espace F. On vérifie sans peine que les espaces E et F sont de Baire en méme temps.

XXffl.11- THÉoRÈMEXXHI.JJ.1 (Théorè,ne de Thire).

PRoposiTioN XXIJL9. 1: Étant donné un espace E, les propriétés suivantes

Tout espace conpact est un espace de Baire.

sont équivalentes

Tout espace #nétrique co;nplet est un espace de Baire.

1) L'espace E est un espace de Baire. 2) Dans l'espace E tout ensemble inaigre a un intérieur vide. 3) Dans l'espace E tout compléinentaire d'un ense,nble inaigre est dense. 4) Si (U,,),, est une suite d'ensetnbles ouverts et denses dans E, 1'intersection cfl U,, est dense dans E. 1) entratne 2). Supposons E de Baire. Si A est maigre dans E, son intérieur, qui est un ouvert maigre de E, est vide. 2) entratne 3). En effet, siA est maigre, on a E\A

=

E\Int A

=

E.

3) entratne 1). Supposons 3) réalisé. Si U est un ouvert non vide de E, E\U n'est pas dense, donc Un'est pas maigre.

Soit E un espace topologique qui est compact ou métrique complet. Pour montrer que E est de Baire, il nous suffit, d'après la proposition XXITI.9.1, de montrer que, si (U,,),, est une suite d'ouverts denses de E et si V est un ouvert non vide de E, 1'intersection V n [fl U,,] n'est pas vide. Nous allons définir par récurrence une suite (F',,)0

,,

de ferniés de E et une suite (x,,)0 f(z,.) de G dans H(E, E) on définit une bijection 'p de l'espace H( G x E, F) sur l'espace H(G, H(E, E)) Montrons que cette bijection est un homéomorphisme. Soit, dans H(G x E, F) arie famille filtrante (f) et un élémentf On a la suite d'équivalences ,

converge versfdans l'espace H(G x E, E) si les familles filtrantes (x). et (Zk)ke K convergent respectivement dans les espaces E et G vers les points x et z, la famille (f(zk, X»)0 k) converge vers f(z, x) ,

,

si la famille (zk)kE K converge vers z dans G, la famille converge vers f(z, .) dans l'espace H(E, F)

(f,(zk, -o,k)

la famille (ÌÒ converge vers J dans RG, H(E, E)). D'où le résultat annoncé et on peut énoncer la:

Traité de topologie générale 381

Le résultat saivant est utile en topologie algébrique PR oposiTtON XXIV 11.1 : Soli u0 ci ti1 deux applications coniinues honiotopes d'un espace localeineni conipact A dans un espace localeineni coinpaci E ci soit v0 ci i' deu.x applications continues homotopes d 'un espace E dans un espacc 8. Les applicaiions H(u0, v0) ci H(u1, v1) de l'espace H(E, F) dans l'espace H(A, 8) soni alors homotopes. 8 Soit deux applications continues p: A x [0, 1] -* E et t: E x [0, 1] et pour tout aE A vérifiant «a,0) = t0(a), «a, 1) = ui(a) tE [0, 1], /(y, 0) = v0(y), w(Y 1) = 1'I (y) pour tout y E E. Pour tout notons ti, l'application p(.,t) de A dans E et i', l'application w(.,i) de E dans 8. Ori a donc «a, i) = u,(a) pour (a, i) E A x [0, 1] et w(Y i) = v,(y) pour (y, i) E Fx [0, 1]. Nous allons montrer que l'application V: (f, i) v, o fo u = [H(u,, v,)](f) de H(E, E) x [0, 1] dans H(A, 8) est continue. Soit (f,, / (f, i) dans l'espace H(E, E) x [0, 1]. Soit (a1) -ý a dans l'espaceA. -

-

La continuité de p entraine que l'on a (u,(a))1-* u,(a) dans E. La convergence de (f) / vers f dans H(E, F) entraine la convergence de vers f(u,(a)) dans E. La continuité de entraine alors la convergence de (vj.fI(u,.(a4)))11 vers v,(f(u,(a))) dans 8.11 en résulte que la famille (v, o f, o u,) converge vers v o f o ti dans l'espace H(A, 8) L'application cI est donc continue. Les égalités (.,0) = H(u0, v0) et D(., 1) = HO1, v1) entrainent alors le résultat annoncé

j

PROPOS/TION XXIV1O.1

Soli trois espaces iopologiques E, E ci G, les espaces E ci G éiani localerneni cornpacts. L'espace H(G x E, E) est canoniquetneni hornéoinorphe à l'espace H(G, H(E, E)). XXIV.11 - Deux applications continuesfet g d'un espace E dans un espace E sont dites hornotopes s'il existe une application continue p de l'espace produit Ex [0,11 dans l'espace E telle que l'on ait f(x) = p(x, 0) et g(x) = p(x, 1) pourtoutxE E. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que la relation «f et g sont homotopes » est une relation d'équivalence sur l'ensemble C(E, E).

Ensembles équicontinus XXI V.12 - Considérons dans ce qui suit un espace topologique E, un espace uniforme Fet soit a E E. Un ensemble 9d'application de Edans Fest dit équicontinu au pomi a si, pour tout entourage V de E, il exite un voisinage U de a tel que les relations fE 9 et x E U entratnent (f(a), f(x)) E V. Soit 0 une famille d'écarts sur Equi engendre la structure uniforme de E. Il est à peu près évident que,pourque l'ense,nble .9so1i équiconiinu au pomi a, ilfaut ciii suffii qu 'à toui écar d E O ci à tout nombre 8> 0, on puisse associer Un voisinage Ude a tel que les relaiions fE 9T cix E U enirainent d(f(a), f(x)) O. Soit fe 92" Il existe, par hypothèse, un voisinage V defdans .7 et un voisinage Uf de a dans E tels que les relations g e V1 et x e entrainent d(g(x), f(a)) c a/2. On a alors: d(g(x), g(a)) ý d(g(x), f(a)) + d(g(a), f(a)) O. La con-

4 f entraine l'existence de i0 e I tel que i0 ý i entraine d(f(y), f(y)) cr/2 pour tout y e E. La continuité defentratne 1'existence de i1 e I te! que i1 ý i entratne d(f(x), f(x)) cr/2. Les relations i0 ý i et vergence (f 3

i1 ý i entratnent donc d(f(x), f(x)) ý d(f,(x), f(x)) + d(f(x), f(x)) cr/2 + r/2 = r. On voit donc que l'application J est continue au point (f x), ce qui entraine le résultat COROLLA/RE. Sur l'ensemble 6 (E, E) des applications continues d'un espace topologique E dans un espace unifonne E la topologie de la convergence tini-

forme est plus fine que la topologie de la convergence compacte. Soit (f,)1 / 4 f dans l'espace 6,, (E, E) et soit (x)1 x dans l'espace E. La proposition précédente montre que l'on a (f(xp)J) f(x) dans l'espace E. Le théorème XXIV.7.1 montre converge versfdans l'espace 6, (E, F) donc que (f) -

,

-,

continues aupointa estfermédans l'espace uniforme (F'5,,.

,,,

,

Soitf un élément de F5 qui soit limite dans (F5),, d'une famille filtrante , d'éléments de 1/. Soit d un écart appartenant à A (F) et un nombre

t'>O. La convergence (f1) f entraine 1'existence d'un indice i tel que l'on ait d(f(x), f(x)) cr/3 pour tout x e E. La continuité de f en a entra?ne l'existence d'un voisinage U de a dans E tel que x e U entratne d(f,(x), f,(a)) c r/3. La relation x e U entraine donc d(f(x), f(a)) ý d(f(x), f,(x)) + d(f,(x), f,(a)) + d(f(a), f(a)) c r/3 + r/3 ý r/3 = r, c'est-à-dire f(x) e Bd, r[f 02)] -

La fonctionf est donc continue en a

PRoPosiTioN

XXV.3.2: Soit E un espace topologique asi-compact. Sur

l'ensemble 6 (E, E) des applications continues de E dans un espace uniforme F la topologie de la convergence unifonne s'identifie à la topologie de la convergence compacte.

En vertu du corollaire précédent, il nous suffit de montrer que, sur 6 (E, F, la topologie de la convergence compacte est plus fine que la topologie de la convergence uniforme. une famille filtrante qui converge vers f dans l'espace (E, E) Soit un écart de A (E) et un nombre r> O. Comme 1'applicationf 6C est continue,f(E) est un sous-ensemble de Equi est asl-cornpact et donc totalement borné. Il existe un recouvrement fini (Bk)I ýksn def(E) te! que les Soit

(f) .

/

390 Espaces fonctionnels. La convergence uniforme

Traité de topologie générale 391

relations u, v E Bk entrainent d (u, v) ý r/2 pour tout k. En remplaant au besoin 11k par son adhérence dans F, on peut supposer que chaque B est un fermé de E. Pour tout k, l'ensembie Kk = T'(k)' qui est un fermé de E, est asl-compact. L'ensemble Vk = {u E E; d(u, Bk) c r/2} est un ouvert de E qui vérifie f(Kk) c 11k' Donc P(Kk, V) = {g E 6' (E, F) ; g(K) c Vk} est un voisinage defdans 6' (E, E) Il existe pur suite un élément tk del tel que .

tk ý i entratne fl(Kk) c

Soit iE Ivérifiant x E Kk, donc f,(x)

lký

i (lýkýn) et soitxE E. Il existe k tel que l'on alt et la relation f(x)

E

E

Bk entraine d(f,(x), f(x))

Cn a montré que i1,..., i,, ý i entraine d(f1(x), f(x)) Cr pour toutx entraine la convergence uniforme

,

E


O. Pour toutx E E il existe i1 E / te! que l'on ait f(x) - e< f(x). Comme la fonction f - f, est continue, il existe un voisinage U de x dans E tel que y E U entratne f(y) e< f(y) . Comme E est asl-compact, il existe des points x x,, de E tels que l'on ait E = Li U,.

=

=

1.

KcU1u...uU,. La fonction

f

f

=

+

...

+

est un élément de ti qui vérifie O ýfý n,

A

-

..,

Les inégalités i .....i . ý i entratnent a!ors, pour tout y f(y)

- cc f1(y) ý f(y)

,

d'où If()

-

f()I

E, les relations 0. Commef(E) est un sous-ensemble compact de IR, il existe une suite croissante de nombres (aJ1ý,,, telle que l'on ait f(E) c [a1, a,,[ et 0< a,ý 1-a1< pour tout i. Les ensembles A, = {xe E ;f(x)ýa,} et B, = {xE E; f(x)ýa,} sont fermés, donc asl-compacts dans E. Le lemme précédent montre l'existence d'une fonction g, appartenantàtel1equel'onait :0 ýg1ý 1, g,(A, I) c { 1} et g,(B,) c {0}. La fonction g

=

a1+ (a,ý1- a,) g, appartient à 1/. Comme les I i

inégalités a, ý f(x)

0 et 8>0, il existe XXV.6 un polynòine p (y) sans terme constan! tel que l'inégalité lyl ý a entratne -

IIyI-p(y)I