Topologie und Funktionalanalysis: Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen [verbesserte Auflage] 9783486719680, 9783486705300

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Topologie und Funktionalanalysis

Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen von

Prof. Dr. Jürgen Heine 2., verbesserte Auflage

Oldenbourg Verlag München

Prof. Dr. Jürgen Heine lehrte am Institut für Angewandte Mathematik an der Universität Hannover.

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © 2011 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Kathrin Mönch Herstellung: Constanze Müller Satz und Layout: Adrian Pigors Einbandgestaltung: hauser lacour Gesamtherstellung: Grafik + Druck, München Dieses Papier ist alterungsbeständig nach DIN/ISO 9706. ISBN 978-3-486-70530-0

Inhaltsverzeichnis Vorwort

VII

1 1.1 1.2

Grundbegriffe Metrik, Norm, Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvergenz, Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Topologische Räume Spezielle Punkte und Mengen, Hüllenoperatoren . . . . . . Dichtigkeit, Separabilität, Approximation . . . . . . . . . . Basen, Subbasen, Unterräume, Zusammenhang . . . . . . . Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität . . . Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Vollständige pseudometrische Räume Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken . . . . . . . Fortsetzung gleichmäßig stetiger Funktionen, Vervollständigung Fortsetzung stetiger Funktionen, topologische Vollständigkeit . Banachscher Fixpunktsatz (mit Anwendungen) . . . . . . . . . Summation in Banach-Räumen, (L2 (I),
2 ) . . . . . . . . . . Hilbert-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

4 4.1 4.2 4.3 4.4

Kompakte topologische Räume Kompaktheit in pseudometrischen Räumen . Kompaktheit in halbnormierten Vektorräumen Kompaktheit in topologischen Räumen . . . Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen

. . . .

5 5.1 5.2 5.3 5.4

Lebesgue-Integration, Lq -Räume Maßräume, Lebesguesches Maß auf Rn Meßbare Funktionen . . . . . . . . . . Integration, integrierbare Funktionen . . Lq -Räume . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 25

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48 . 48 . 60 . 77 . 93 . 149

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176 176 200 214 220 229 246

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269 269 301 314 333

. . . .

355 356 372 389 406

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INHALTSVERZEICHNIS

VI 6 6.1 6.2 6.3 6.4

Lineare Operatoren Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume . . . . . . . . Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit Trennung konvexer Mengen, Extrempunkte . . . . . . . . . Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren . . . . . . . Lösungsvorschläge

1 2

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439 440 475 499 514 541

Anhang 710 Einige Bezeichnungen und Rechenregeln der Naiven Mengenlehre . . . 710 Einige Bezeichnungen und Rechenregeln für Vektorräume, lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719 Literaturverzeichnis

723

Stichwortverzeichnis

727

Symbolverzeichnis

747

Vorwort Historiquement, les notions de limite et de continuité sont apparues très tôt dans la mathématique, notamment en Géometrie, et leur rôle n’a fait que grandir avec le développement de l’Analyse et ses applications aux sciences expérimentales. C’est qu’en effet ces notions sont intimement liées à celles de détermination expérimentale et d’approximation. N. Bourbaki, 1951

Nicht zuviel und nicht zuwenig soll dieses Buch in einheitlicher Terminologie über Grundlagen der allgemeinen Topologie und Funktionalanalysis sowie einige ihrer Anwendungen zur Verfügung stellen. Die Topologie (τ oπoς, griech.: Ort, Stelle, Raum) hat als eigenständige Disziplin in der heutigen axiomatischen Form ihren Ursprung im wesentlichen in F. Hausdorffs 1914 erschienenen Werk zur Mengenlehre (vgl. [15]) und ist nach Auffassung der französischen Wissenschaftlergruppe N. Bourbaki eine von vier Säulen der Mathematik: Logik, Mengenlehre, algebraische Strukturen, topologische Strukturen. Ansätze zur Vereinheitlichung von Konvergenz- und Stetigkeitstheorie sind jedoch schon in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts im Zusammenhang mit dem in dieser Zeit allgemein verbreiteten Bestreben zur Axiomatisierung, z. B. der Mengenlehre durch G. Cantor, F. Hausdorff, bzw. der Geometrie durch F. Klein, E. Schmidt und D. Hilbert, festzustellen. So schreibt E. Heine in der Einleitung eines 1872 veröffentlichten Aufsatzes über reelle Zahlen, Folgen und Funktionen: Nicht ohne Bedenken veröffentliche ich diese Arbeit, deren erster, wesentlichster Theil „Über Zahlen“ bereits seit längerer Zeit vollendet ist. Abgesehen von der erheblichen Schwierigkeit, einen solchen Stoff darzustellen, trug ich Bedenken, eine Arbeit zu veröffentlichen, welche vorzugsweise die nur durch mündliche Mittheilung überkommenen Gedanken Anderer, besonders des Herrn Weierstrass enthält, so dass mir wenig mehr als die Durchführung angehört, bei der es darauf ankam, keine irgendwie erhebliche Lücke zu lassen. (E. Heine. Die Elemente der Functionenlehre. Journal für die Mathematik von C. W. Borchardt, LXXIV:172–188, Berlin, 1872)

Angaben zur historischen Entwicklung der Topologie findet man in [6] und [13].

VIII

Vorwort

Der Teil der Mathematik, der heute als Funktionalanalysis bezeichnet wird, entwickelte sich in vielfältiger Art nahezu parallel und in enger Verflechtung zur Topologie ab Beginn des 20. Jahrhunderts aus der „klassischen Analysis“. Die Feststellung gemeinsamer allgemeiner Grundlagen für die Analyse von Zahlenfolgen, Funktionen, Folgen von Funktionen usw. in der Form von Vektorräumen mit Konvergenzbegriffen durch F. Riesz, D. Hilbert und andere war eine die Funktionalanalysis generierende Ursache. Reellwertige, in Vektorräumen V definierte Funktionen, wie beispielsweise die Integrale von B. Riemann bzw. später von H. Lebesgue, nennt man (reelle) Funktionale, Konvergenzbegriffe auf V ermöglichen deren Behandlung im Hinblick auf analytische Eigenschaften (Stetigkeit usw.) formal analog zu der der reellen Funktionen. Gegenstand der Funktionalanalysis ist darüber hinaus die Untersuchung von Funktionen zwischen Vektorräumen, sog. Operatoren. Viele Einzelheiten zur Entwicklung dieses Teils der Mathematik, der aus heutiger Sicht für die Zwecke der Analysis und ihrer vielfältigen Anwendungen nicht mehr entbehrlich ist, sind in [36] aufgeführt. Eine umfassende Darstellung der Geschichte der Funktionalanalysis bietet J. Dieudonné in seinem Werk History of Functional Analysis (North Holland, Amsterdam, New York, 1981). Der Versuch der Zuordnung mathematischer Erkenntnisse, insbesondere aus der Zeit vor 1900, zu ihren Entdeckern ist oftmals problematisch, weil Ergebnisse nicht notwendig in schriftlicher Form veröffentlicht, sondern auch mündlich z. B. in Vorlesungen oder bei Diskussionen bekannt gegeben wurden: Die Tatsache, daß eine auf dem Intervall [a, b] stetige reellwertige Funktion gleichmäßig stetig ist (E. Heine, a. a. O., § 3, 6. Lehrsatz; vgl. auch Korollar 4.1-2.1 in Abschnitt 4.1) wurde nicht von E. Heine entdeckt, wie er selbst schreibt, sondern von K. Weierstraß. Aus diesem Grunde sind im vorliegenden Text im wesentlichen nur diejenigen Eigenschaften und Aussagen mit Namen von Wissenschaftlern versehen, bei denen die Urheberschaft überwiegend anerkannt ist. Das Buch bietet eine Einführung in Grundlagen der abstrakten Analysis, die auch für andere Zweige der Mathematik und ihre Anwendungen wesentliche Bestandteile sind. Als bekannt werden neben der naiven Mengenlehre (vgl. Anhang 1) lediglich elementare Kenntnisse der linearen Algebra (vgl. Anhang 2) und der reellen Analysis (vgl. z. B. [32]) vorausgesetzt. Zum Zweck seines leichteren Verständnisses ist deshalb der Inhalt ungewöhnlich detailliert dargestellt, gut Informierte werden an vielen Stellen kürzere Begründungen und Bezeichnungen vorziehen. Zahlreiche Beispiele und Anwendungen sollen die Theorie ergänzen und vertiefen bzw. ihre Nützlichkeit demonstrieren. Jeder Abschnitt schließt mit Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade, auf die in der Form A 12 bzw. 4.2, A 3, wenn sie nicht zum gleichen Abschnitt gehören, verwiesen wird. Lösungsvorschläge findet man im Anschluß an Kapitel 6. Die jeweiligen Themen sind überwiegend auf Forschungsergebnisse zurückzuführen, die bis etwa 1950 erzielt werden konnten, und heute als allgemein bekannt

Vorwort

IX

anzusehen. Angaben zu Aufsätzen in Fachzeitschriften erfolgen daher nur bei Zitaten bzw. neueren Ergebnissen. Kapitel 1 enthält eine Zusammenstellung der bedeutenden Grundbegriffe Metrik, Norm, Skalarprodukt, Konvergenz (auch von Filtern und Netzen) und Topologie. In Kapitel 2 werden topologische Räume in voller Allgemeinheit behandelt. Auf Hüllen- und Dichtigkeitseigenschaften (Weierstraßscher Approximationssatz u. a.) folgen Untersuchungen über Topologie(-Sub)-Basen und den für die Analysis über R unverzichtbaren Zusammenhangsbegriff. Stetigkeit von Funktionen wird allgemein definiert und vielfältig charakterisiert, auch in Beziehung zur Konvexität in Vektorräumen. Produkt- und Quotientenräume stellen wesentliche Konstruktionsmöglichkeiten für (neue) topologische Räume aus bereits vorhandenen dar. Die wichtigsten Trennungseigenschaften und spezielle Metrisationssätze folgen in Abschnitt 2.5. Vollständige (pseudo-)metrische Räume sind Gegenstand von Kapitel 3. Neben der – die klassische (Funktional-)Analysis revolutionierenden – Baire-Eigenschaft werden der Raum der nichtleeren abgeschlossenen Teilmengen mit Hausdorff-Metrik und die topologische Vollständigkeit untersucht, darüber hinaus werden Vervollständigungen konstruiert. Dem Banachschen Fixpunktsatz ist wegen seiner Bedeutung, insbesondere für die Angewandte und Numerische Mathematik, ein eigener Abschnitt gewidmet. Die Ergebnisse zur Summation in Banach-Räumen ermöglichen schließlich eine umfassende Analyse der Hilbert-Räume, die zu ihrer Charakterisierung als sog. L2 -Räume führt. Kompaktheitseigenschaften und ihre Auswirkungen auf topologische, pseudometrische bzw. halbnormierte Räume werden in Kapitel 4 untersucht, dessen Abschluß bilden lokalkompakte Räume und diverse Kompaktifizierungsarten sowie die von M. H. Stone vorgenommene Erweiterung des Weierstraßschen Approximationssatzes für kompakte Intervalle auf lokalkompakte Hausdorff-Räume. Die Anfänge der abstrakten Lebesgueschen Integrationstheorie sind in Kapitel 5 auf herkömmliche Weise dargestellt, sie ermöglichen die Angabe der von F. Riesz um 1910 ausführlich erforschten Lq -Räume, die im Rahmen der Funktionalanalysis für q ≥ 1 wichtige Beispiele für Banach-Räume darstellen. Das abschließende Kapitel 6 enthält neben fünf, als solche gekennzeichneten, Grundsätzen der linearen Funktionalanalysis den Rieszschen Darstellungssatz für HilbertRäume, den Banach-Hahnschen Fortsetzungssatz und Angaben über stetige Dualräume. Der Banach-Hahn-Mazur-Satz über die Trennbarkeit gewisser konvexer Mengen durch abgeschlossene Hyperebenen ermöglicht den Existenznachweis von Extrempunkten nichtleerer kompakter konvexer Mengen in lokalkonvexen hausdorffschen reellen Vektorräumen und ist damit von großer Bedeutung für die konvexe Optimierung. Abschnitt 6.4 gibt einen Einblick in einige weitere elementare Sachverhalte zur Dualität: Satz vom abgeschlossenen Bild, Schauders Kennzeichnung der Kompaktheit linearer Operatoren, Kern-Bild-Satz für Hilbert-Räume. Schließlich werden die ortho-

X

Vorwort

gonalen Projektionen auf Hilbert-Räumen als selbstadjungierte, idempotente, stetige, lineare Operatoren identifiziert. Die Numerierung der Sätze erfolgt in der Form 6.2-1, wobei 6.2 der Abschnitt bzw. 1 die Nummer des Satzes in diesem Abschnitt ist. Die zugehörigen Korollare sind dann beispielsweise 6.2-1.1, 6.2-1.2 und 6.2-1.3. Beispiele werden gesondert gezählt, so bezeichnet (4.3,5) das fünfte Beispiel in Abschnitt 4.3. Das Zeichen ✷ steht für „Ende des Beweises“ bzw. „kein Beweis“,
für „Widerspruch“, die Abkürzung o. B. d. A. für „ohne Beschränkung der Allgemeinheit“ und Äq für die Äquivalenz der darauf folgenden Aussagen. Kurzbegründungen erfolgen in den Klammern  . . . . Im Teil [1] bis [41] des Literaturverzeichnisses sind für die Ergänzung, Erweiterung und Vertiefung der Studien zahlreiche Lehrbücher zu den Bereichen Reelle Analysis, Allgemeine Topologie, Maß- und Integrationstheorie sowie Funktionalanalysis aufgeführt, Teil [42] bis [61] enthält einige Quellenangaben, u. a. zu im Text lediglich zitierten Resultaten. Herr cand. math. Adrian Pigors hat mit großer Sorgfalt den Text und die Graphiken in die Druckfassung umgesetzt und mich mit zahlreichen Anregungen und Hinweisen unterstützt. Herr stud. math. Hasko Schillat ist beim Korrekturlesen behilflich gewesen. Beiden sei an dieser Stelle sehr herzlich für ihre wertvolle Mitarbeit gedankt. Dem Oldenbourg Wissenschaftsverlag gilt mein Dank für die Bereitschaft zur Aufnahme des Textes in das Lehrbuchangebot zur Mathematik und die gute Zusammenarbeit. Hannover

J. Heine

1 Grundbegriffe 1.1 Metrik, Norm, Skalarprodukt Grundlegend für die klassische (reelle bzw. komplexe) Analysis ist der Konvergenzbegriff für Folgen (xn )n ∈ K N , wobei K einer der Körper Q, R oder C ist: (xn )n konvergent in K

:gdw

∃ l ∈ K ∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N ∀ n ∈ N : n ≥ nε ⇒ |xn − l| < ε l heißt dann Grenzwert (Limes) in K der Folge (xn )n , formal (xn )n → l, (xn )n konvergiert gegen l. Mit Hilfe der Konvergenz lassen sich u. a. die Eigenschaften Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit von Funktionen formulieren, z. B. für K, L ∈ {Q, R, C}, f : K −→ L: f stetig

:gdw ∀ (xn )n ∈ K N ∀ l ∈ K : (xn )n → l ⇒ (f (xn ))n → f (l)

Konvergenz einer Folge (xn )n gegen l bedeutet, daß jede „Abstandsschranke ε um l“ schließlich, d. h. ab einem nε unterschritten wird. Elementares Hilfsmittel zur Beschreibung von Konvergenz ist hier die Abstandsmessung von Zahlen l, k ∈ K durch d| | (l, k) := |l − k|. Die Abstandsfunktion d| | bestimmt, welche Folgen gegen welche Zahlen konvergieren, welche Funktionen stetig sind usw. Diese einfache Feststellung ermöglicht die Ausdehnung des Konvergenzbegriffs auf Folgen (xn )n in beliebigen (nichtleeren) Mengen X bzgl. einer Abstandsfunktion d : X × X −→ R+ : (xn )n d-konvergent in X

:gdw

∃ l ∈ X ∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N ∀ n ∈ N : n ≥ nε ⇒ d(xn , l) < ε l heißt dann Grenzwert (Limes) in X der Folge (xn )n , formal (xn )n →d l. Abstandsmessungen können je nach Bedarf auf verschiedene Arten erfolgen:

1 Grundbegriffe

2 Beispiele (1.1,1) (a)

Für K ∈ {Q, R, C} ist


d| | :

K × K −→ R+ (x, y) −→ |x − y|

der Betragsabstand auf K. (b) Für nichtleere Mengen X ist ddis

 +   X × X −→R 0 für x = y :   (x, y) −→ 1 sonst

der diskrete Abstand auf X: Beliebig dicht benachbarte, voneinander verschiedene Elemente existieren nicht. Für Folgen (xn )n ∈ X N gilt: (xn )n ddis -konvergent in X

So ist beispielsweise (c)





1 n+1 n

⇐⇒ ⇐⇒

∃ n0 ∈ N ∀ n ∈ N : xn0 +n = xn0 ∃ n0 ∈ N : (xn )n →ddis xn0

in Q nicht ddis -konvergent!

Für ganze Zahlen m, n bezeichne ggT(m, n) deren größten gemeinsamen Teiler. Ist p ≥ 2 eine Primzahl, so sei für x, y ∈ Q, x = y, die ganze Zahl kp (x, y) definiert durch a x − y = pkp (x,y) , b wobei a, b ∈ Z, ggT(a, p) = ggT(b, p) = 1 gilt.  +   Q × Q −→R 0 für x = y d(p) :   (x, y) −→ p−kp (x,y) sonst heißt p-adischer Abstand auf Q. Voneinander verschiedene rationale Zahlen sind umso enger d(p) -benachbart, je größer der Exponent von p in der Primfaktorzerlegung ihrer Differenz ist. Die Folge (pn )n ist d(p) -konvergent (gegen 0).

(d) In Verallgemeinerung von (a) sei für n ∈ N\{0}, q ∈ R, q ≥ 1  K n × K n −→ R+   n dq : q 1/q (x, y) −→ j=1 |xj − yj | der q-Abstand auf K n (d2 ist der euklidische Abstand auf K n ). Für n = 1 ist natürlich dq = d| | .  n K × K n −→ R+ d∞ : (x, y) −→ max |xj − yj | 1≤j≤n

n

ist der Maximum-Abstand auf K .

1.1 Metrik, Norm, Skalarprodukt (e)

3

In Analogie zu (d) erhält man für q, a, b ∈ R, q ≥ 1, a < b und C([a, b]) := { f : [a, b] −→ C | f stetig bzgl. d| | } durch

 dq :

C([a, b]) × C([a, b]) −→ R+ 1/q  b (f, g) −→ a |f − g|q

den q-Abstand auf C([a, b]). Für jede nichtleere Menge X,  B(X) :=



f : X −→ C sup |f (x)| < ∞ , x∈X

ist


d∞ :

B(X) × B(X) −→ R+ (f, g) −→ supx∈X |f (x) − g(x)|

der Supremum-Abstand auf B(X) (s. auch A 1 (b)).

Abstandsfunktion auf einer nichtleeren Menge X ist hiernach zunächst jede nichtnegative reellwertige Funktion d auf X × X. Bedingt durch die Anschauung bei der euklidischen Abstandsmessung und zur wirkungsvollen Beschreibung von mathematischen Sachverhalten sind zusätzliche „natürliche“ Anforderungen an d zu stellen; diese führen zum Begriff der (Pseudo-)Metrik: Definitionen X sei eine nichtleere Menge, d : X × X −→ R+ (Abstandsfunktion). d Metrik auf X

:gdw d erfüllt

(M-1)

∀ x, y ∈ X :

x = y ⇒ d(x, y) = 0

(M-2)

∀ x ∈ X:

d(x, x) = 0

(M-3)

∀ x, y ∈ X :

d(x, y) = d(y, x)

(M-4)

∀ x, y, z ∈ X : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

(Definitheit) (Symmetrie) (Dreiecksungleichung)

d Pseudometrik auf X

:gdw d erfüllt (M-2), (M-3), (M-4)

d Ultra(pseudo)metrik auf X

:gdw d (Pseudo-)Metrik auf X und d erfüllt




(M-4)

∀ x, y, z ∈ X : d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}

(X, d) (ultra)(pseudo)metrischer Raum

:gdw d (Ultra)(pseudo)Metrik auf X

Ist X ein K-Vektorraum, so heißt d translationsinvariant

:gdw ∀ x, y, z ∈ X : d(x + z, y + z) = d(x, y).

1 Grundbegriffe

4

Man bestätigt leicht, daß die in (1.1,1) (a), (b), (c) angegebenen Abstandsfunktionen Metriken sind, ddis auf X und d(p) auf Q sind sogar Ultrametriken (s. A 1 (a)). Die Abstandsfunktionen dq , 1 ≤ q ≤ ∞, aus (1.1,1) (d), (e) sind ebenfalls Metriken, der Nachweis der Dreiecksungleichung ist für 1 < q < ∞ jedoch aufwendig (vgl. Satz 1.1-3 bzw. Aufgabe A 2). Diese auf einem Vektorraum definierten Metriken stammen – ebenso wie die in (1.1,1) (a) – von einer Norm ab: Definitionen Es sei K ∈ {R, C}, V ein K-Vektorraum und N : V −→ R+ . N Norm auf V

:gdw N erfüllt

(N-1)

∀x∈V:

(N-2)

∀ k ∈ K ∀ x ∈ V : N (kx) = |k| N (x)

(N-3)

∀ x, y ∈ V :

N Halbnorm auf V

x = 0 ⇒ N (x) = 0

(Definitheit) (Absolute Homogenität)

N (x + y) ≤ N (x) + N (y)

(Subadditivität)

:gdw N erfüllt (N-2), (N-3)

(V, N ) (halb)normierter K-Vektorraum

:gdw N (Halb-)Norm auf V

Für Halbnormen N wird gewöhnlich das Symbol  , für Halbnormwerte N (x) dann die Bezeichnung x verwendet. Jeder (halb)normierte C-Vektorraum ist auf natürliche Art auch (halb)normierter R-Vektorraum, die Umkehrung gilt allerdings nicht einmal für C-Vektorräume (A 10). (Halb)normierte R-Vektorräume (V,  ) können jedoch (halb)normerhaltend kanonisch in einen (halb)normierten C-Vektorraum eingebettet werden: Das direkte Produkt VC := V × V ist mit der koordinatenweisen Addition und der Skalarmultiplikation (α + iβ)(x, y) := (αx − βy, αy + βx) für α, β ∈ R, x, y ∈ V ein C-Vektorraum und


N:

eine reelle,


 C :

VC −→ R+ (x, y) −→ √12 (x + y) VC −→ R+ (x, y) −→ supr∈R N (eir (x, y))

eine komplexe (Halb-)Norm auf VC  A 14 und 1.1-6 (b) für N , da die Skalarmultiplikation mit reellen Zahlen gerade die koordinatenweise ist; Aufgabe A 12 für  C . Die injektive Abbildung
V −→ VC µ: x −→ (x, 0)

1.1 Metrik, Norm, Skalarprodukt

5

ist R-linear, und für jedes x ∈ V gilt

  µ(x)C = (x, 0)C = sup N (eir (x, 0)) = sup N ((cos r)x, (sin r)x) r∈R

r∈R

1 1 = sup √ (|cos r| x + |sin r| x) = √ x sup(|cos r| + |sin r|) 2 2 r∈R r∈R √ = x  supr∈R (|cos r| + |sin r|) = 2 . Die erwähnte Abstammung einer (Pseudo-)Metrik von einer (Halb-)Norm regelt Satz 1.1-1 Für den (halb)normierten K-Vektorraum (V,  ) ist
V × V −→ R+ d  : (x, y) −→ x − y eine translationsinvariante (Pseudo-)Metrik auf V , die sog. durch   induzierte (Pseudo-)Metrik. d  ist genau dann eine Metrik, wenn   eine Norm ist. Beweis Für alle x, y, z ∈ V gilt d  (x, x) = x − x = 0 = 0 · x = 0 · x = 0, d  (x, y) = x − y = (−1)(y − x) = |−1| y − x = d  (y, x), d  (x, z) = x − z = (x − y) + (y − z) ≤ x − y + y − z = d  (x, y) + d  (y, z) und d  (x + z, y + z) = x + z − (y + z) = x − y = d  (x, y). Ist   sogar eine Norm, so erhält man für x = y, d. h. x − y = 0, auch 0 = x − y = d  (x, y). Umgekehrt gilt für x = 0 auch x = x − 0 = d  (x, 0) = 0, sofern ✷ d  eine Metrik ist. Es sei erwähnt, daß nicht jede translationsinvariante Metrik auf einem K-Vektorraum V von einer Norm induziert wird, wie das Beispiel (R, ddis ) zeigt (vgl. A 17). Korollar 1.1-1.1 Für jede Pseudometrik d auf dem K-Vektorraum V gilt: Äq (i)

Es gibt eine Halbnorm   auf V , die d induziert.

(ii) d ist translationsinvariant, und d(kx, ky) = |k| d(x, y) für alle x, y ∈ V , k ∈ K.

1 Grundbegriffe

6 Beweis

(i) ⇒ (ii) ist gem. 1.1-1 und d  (kx, ky) = kx − ky = |k| x − y = |k| d  (x, y) richtig. Umgekehrt ist die Funktion
V −→ R+ : x −→ d(x, 0) eine Halbnorm auf V , die d induziert: kx = d(kx, 0) = |k| d(x, 0) = |k| x, x + y = d(x + y, 0) = d(x, −y) ≤ d(x, 0) + d(0, −y) = x + |−1| d(y, 0) = x + y,

 Translationsinvarianz   Dreiecksungleichung   Symmetrie und (ii) 

d  (x, y) = x − y = d(x − y, 0) = d(x, y)  Translationsinvarianz .

✷

Beispiele (1.1,2) (a)

d| | auf dem K-Vektorraum K wird gem. Definition durch den Absolutbetrag (Norm) | | auf K induziert (vgl. (1.1,1) (a)).

(b) d1 bzw. d∞ auf dem K-Vektorraum K n wird durch die Norm  n
n + K −→ R+ K −→ R  1 : bzw.  ∞ : x −→ max |xj | n x −→ j=1 |xj | 1≤j≤n induziert (vgl. (1.1,1) (d)). (c)

d1 auf dem C-Vektorraum C([a, b]) wird durch die Norm
C([a, b]) −→ R+

b  1 : f −→ a |f | induziert (vgl. (1.1,1) (e)). Die Definitheit von  1 folgt aus der Stetigkeit von f und der Definition des (Riemann-)Integrals: f = 0

=⇒ =⇒ =⇒

|f | = 0 =⇒ ∃ x ∈ [a, b] : |f (x)| = 0 ∃ α, β ∈ [a, b] : α < β und ∀ x ∈ [α, β] : |f (x)| = 0  b  β |f | ≥ |f | ≥ (β − α) min |f (x)| > 0. a

α

x∈[α,β]

(d) d∞ auf dem C-Vektorraum B(X) (vgl. (1.1,1) (e)) wird durch die Norm
B(X) −→ R+  ∞ : f −→ supx∈X |f (x)| induziert (s. auch A 1 (b) (ii)).

1.1 Metrik, Norm, Skalarprodukt

7

Die q-Abstände dq auf K n bzw. C([a, b]) (vgl. (1.1,1) (d), (e)) werden für 1 < q < ∞ ebenfalls von Normen induziert, nämlich von den q-Normen 
K n −→ R+ C([a, b]) −→ R+  n   b 1/q bzw.   :  q : 1/q q q x −→ f −→ a |f |q j=1 |xj | (sind also gem. Satz 1.1-1 translationsinvariante Metriken). Die Eigenschaften (N-1), (N-2) sind leicht erkennbar (vgl. auch (1.1,2) (c)), der Nachweis der Dreiecksungleichung (N-3) erfordert – wie bereits erwähnt – einigen Aufwand. Hierzu wird zunächst die bekannte Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetrischem Mittel von zwei nichtnegativen reellen Zahlen a, b √

ab ≤

a+b 2

verallgemeinert (s. auch (5.4,3) (a) für einen weiteren Beweis): Satz 1.1-2 Für alle q, q
∈ R, q > 1, (1/q) + (1/q
) = 1 (q ist konjugiert zu q
) gilt: 

∀ a, b ∈ R+ : a1/q b1/q ≤

a b +
, q q

wobei Gleichheit genau für a = b eintritt. Beweis Die Funktion
+ R −→ R q h: x −→ xq − x + Wegen

1 q




hat die Ableitung h :




R+ −→ R x −→ xq−1 − 1.

  = 0 für x = 1 h
(x) > 0 für x > 1   < 0 für x < 1

folgert man minx∈R+ h(x) = h(1) = 0. Für b = 0 erhält man daher  a 1/q  1 a  a 1/q 1 − +
= 0≤h b q b b q und somit auch  Multiplikation mit b  0≤

b b a a  +
− a1/q b−(1/q)+1 = +
− a1/q b1/q . q q q q

1 Grundbegriffe

8 Für b = 0 ist die Ungleichung trivialerweise richtig. 



Mit a = b ergibt sich a1/q b1/q = a(1/q)+(1/q ) = a und auch (a/q) + (b/q
) = a((1/q) + (1/q
)) = a, also Gleichheit. Umgekehrt folgt für b = 0 aus der Gleichung  a1/q b1/q = (a/q) + (b/q
) sofort a/p = 0, also a = 0, und für b = 0    a 1/q  1 a  a 1/q 1 1 a a1/q b +
= = h − +
− (1/q)−1 b q b b q b q q b  1a b  = +
− a1/q b1/q = 0, b q q gem. obiger Überlegungen somit (a/b)1/q = 1, d. h. a = b.

✷

Korollar 1.1-2.1 (Hölder-Ungleichung, 1889) Für alle q, q
∈ R, q > 1, (1/q) + (1/q
) = 1 gilt:  1/q  1/q n n n  n q q |xj yj | ≤ |xj | |yj | ∀ x, y ∈ C : j=1

j=1

j=1

(Für q = q
= 2 ist dieses die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.) Beweis

 n  n    q 1/q , Y := q  1/q und für Zur Abkürzung setze man X := j=1 |xj | j=1 |yj |   X = 0 (bzw. Y = 0), j = 1, . . . , n auch Xj := |xj |q /X q (bzw. Yj := |yj |q /Y q ). Ist nun X = 0 (oder Y = 0), so folgt xj = 0 (oder yj = 0) für jedes j = 1, . . . , n, die Ungleichung ist hierfür also richtig. Für X = 0 = Y erhält man mit Hilfe von 1.1-2 für jedes j = 1, . . . , n Xj Yj |xj | |yj | ≤ +
, X Y q q woraus durch Summation n n n 1 1 1 1 1  |xj | |yj | ≤ Xj +
Yj = +
= 1, XY q q q q j=1

j=1

j=1

also die Hölder-Ungleichung folgt.

✷

Die Dreiecksungleichung für die q-Norm auf K n erhält man nun verhältnismäßig leicht: Satz 1.1-3 (Minkowski-Ungleichung für Summen, 1896) Für alle q ∈ R, q ≥ 1 gilt: ∀ x, y ∈ Cn : x + yq ≤ xq + yq .

1.1 Metrik, Norm, Skalarprodukt

9

Beweis Für x = y = 0 oder q = 1 ist die Ungleichung richtig  Dreiecksungleichung für den Absolutbetrag auf C verwenden . Es sei daher q > 1 und x = 0 oder y = 0. Man folgert: x + yqq =

n n   |xj + yj |q ≤ (|xj | + |yj |)q j=1

 Monotonie der Potenz 

j=1



  (∗) n n   q−1 |xj |(|xj | + |yj |) + |yj |(|xj | + |yj |)q−1 = j=1

≤

 n

+

j=1

1/q    n    1/q q q−1 q |xj | (|xj | + |yj |)

j=1  n

j=1

1/q    n    1/q q q−1 q |yj | (|xj | + |yj |)

j=1

j=1

 gem. 1.1-2.1 mit (1/q) + (1/q
) = 1   1/q  1/q n n q q (|xj | + |yj |) + yq (|xj | + |yj |) = xq j=1


j=1

 (q − 1)q = q   n 1/q    q (|xj | + |yj |) = xq + yq j=1



 (∗∗)



und somit x + yq ≤

 n

1/q (|xj | + |yj |)

q

j=1

1−(1/q )  n q = (|xj | + |yj |) j=1

≤ xq + yq  Division der Ungleichungsteile (∗) und (∗∗) durch

 n

j=1 (|xj |

+ |yj |)q

1/q

.

✷

Korollar 1.1-3.1 (Minkowski-Ungleichung für Reihen, F. Riesz, 1910) ∞ q q Für alle q ∈ R, q ≥ 1, für alle x, y ∈ CN mit ∞ j=0 |xj | < ∞, j=0 |yj | < ∞ gilt:  1/q  1/q  1/q ∞ ∞ ∞ ∞  q q q q |xj + yj | < ∞ und |xj + yj | ≤ |xj | + |yj | . j=0

j=0

j=0

j=0

1 Grundbegriffe

10 Beweis

Gemäß 1.1-3 gilt für jede natürliche Zahl m  1/q  1/q  1/q m m m |xj + yj |q ≤ |xj |q + |yj |q j=0

j=0

j=0

j=0

j=0

 1/q  1/q ∞ ∞ q q ≤ |xj | + |yj |

 Monotonie der Potenz , die Reihe konvergent, und die Ungleichung gilt.

∞

j=0 |xj

+ yj |q ist somit beschränkt, also ✷

Für die q-Normen auf K n (K ∈ {R, C}) gelten die folgenden, im Hinblick auf numerische Zwecke bedeutsamen Abschätzungen: Satz 1.1-4 Für alle p, q ∈ R+ , 1 ≤ p ≤ q, n ∈ N\{0} gilt

 x q n \{0} = 1, x ∈ C (a) max xp speziell x∞ ≤ xq ≤ xp für jedes x ∈ Cn ,

 x p (b) max x ∈ Cn \{0} = n(q−p)/(pq) , xq speziell xp ≤ n(q−p)/(pq) xq für jedes x ∈ Cn , (c) xp ≤ n1/p x∞ für jedes x ∈ Cn . Beweis Zu (a) Wegen p ≤ q ist ap ≥ aq für jede reelle Zahl 0 ≤ a ≤ 1, woraus n  j=1

aqj ≤

n 

apj

j=1

für jedes (aj )j ∈ [0, 1]n folgt. Diese Ungleichung liefert für x ∈ Cn \{0} mit aj := |xj |/xp zunächst n  n q   1 |xj | q  |xj | p xpp   x = ≤ = = 1,  xp q xp xp xpp j=1

j=1

 n  p 1/p = x für alle j = 1, . . . , n gilt. Speziell weil |xj | = (|xj |p )1/p ≤ p j=1 |xj | ist somit auch x∞ = max |xj | ≤ xq ≤ xp . Schließlich erhält man mit 1≤j≤n

1.1 Metrik, Norm, Skalarprodukt

11

(δ1,j )j=1,...,n p = 1 die behauptete Gleichung. Zu (b) Für p = q ist die Gleichung offenbar richtig. Es sei deshalb q > p, p
:= q/p > 1, q
:= q/(q − p), also (1/p
) + (1/q
) = 1. Mit der HölderUngleichung 1.1-2.1 folgt  1/p  1/q n n n  p q |zj yj | ≤ |zj | |yj | j=1

j=1

j=1

 p/q  (q−p)/q n n = |zj |q/p |yj |q/(q−p) j=1

für alle z, y ∈

j=1

Cn ,

insbesondere also für yj := 1, zj := |xj |p (j = 1, . . . , n)  (q−p)/q p/q  n n n  p p q |xj | ≤ |xj | 1 = n(q−p)/q xpq xp = j=1

j=1

j=1

und daher xp ≤ n(q−p)/(pq) xq . Das Gleichheitszeichen gilt für xj = 1 (j = 1, . . . , n). n n  p   p p |xj | ≤ Zu (c) xp = max |xk | = nxp∞ . j=1

1≤k≤n

j=1

✷

Die Minkowski-Ungleichung für Reihen 1.1-3.1 ermöglicht die Fortsetzung der q-Norm als Norm auf gewisse Folgenräume: Beispiele (1.1,3) Gemäß 1.1-3.1 ist


q

+ :=

  ∞ q x∈C |xj | < ∞ N

j=0

N

ein Untervektorraum des C-Vektorraums C aller Folgen komplexer Zahlen (mit den punktweisen algebraischen Operationen) und  +q −→ R+   ∞  q : q 1/q x −→ j=0 |xj | eine Norm auf +q (die q-Norm), sofern q ∈ R, q ≥ 1. Entsprechend ist +qR := +q ∩ RN mit  q ein normierter R-Vektorraum. Ergänzend definiert man (für q = ∞) +∞ := B(N),

N +∞ R := BR (N) := B(N) ∩ R .

Es ist somit (vgl. (1.1,2) (d)) (+∞ ,  ∞ ) normierter C-Vektorraum und (+∞ R ,  ∞ ) normierter R-Vektorraum.

1 Grundbegriffe

12

Die q-Normen sind wieder – wie in 1.1-4 (a) – vergleichbar, genauer: Satz 1.1-5 Für alle p ∈ R, p ≥ 1, gilt: +p 

 { +r | r ∈ R, r > p } ∩ +∞

und x∞ ≤ xq ≤ xp für jedes x ∈ +p und jedes q ≥ p. Beweis

 ∞  p 1/p = x Für jedes x ∈ +p , q ≥ p und j ∈ N ist |xj | = (|xj |p )1/p ≤ p k=0 |xk | und somit x ∈ +∞ , x∞ = supj∈N |xj | ≤ xp . Da x = (xj )j eine Nullfolge < 1, also für q ≥ p auch |xj |q ≤ |xj |p (in C) ist, gibt es ein j0 ∈ N, so daß |xj | q für alle j ≥ j0 gilt. Die unendliche Reihe ∞ j=0 |xj | hat daher die obere Schranke j0 −1 ∞ q p q j=j0 |xj | , woraus x ∈ + folgt. Mit Hilfe von 1.1-4 (a) erhält man für j=0 |xj | + jedes n ∈ N  1/q  1/p  1/p n n ∞ q p p |xj | ≤ |xj | ≤ |xj | = xp , j=0

j=0

j=0

also auch xq ≤ xp . Schließlich sei r > p und yj := (j + 1)−1/p für jedes j ∈ N. Die Folge y = (yj )j  1 r/p gehört zu +r  ∞ < ∞ wegen r/p > 1 , jedoch nicht zu +p  Die Reihe j=0 j+1 ∞ 1 ✷ j=0 j+1 ist divergent! . Der Beweis zu 1.1-5 zeigt, daß eine analoge Aussage auch für die reellen Folgenräume (+pR ,  p ) gültig ist. In Vektorräumen sind die bei der Abstandsmessung verwendeten Halbnormen häufig aus einfacheren Halbnormen zusammengesetzt. Das folgende Beispiel eines Funktionenraums verdeutlicht diesen Sachverhalt. Beispiel (1.1,4) Für a, b ∈ R, a < b, m ∈ N und jedes j ∈ {0, . . . , m} sei CRm ([a, b]) := { f : [a, b] −→ R | f m-fach stetig differenzierbar } und


N(j) :

+ CRm ([a,b]) −→  R (j)   f −→ f . ∞

  m CR ([a, b]), N(j) ist für jedes j ∈ {0, . . . , m} ein halbnormierter R-Vektorraum (für j ≥ 1 ist N(j) keine Norm), Funktionen f , g ∈ CRm ([a, b]) sind eng benachbart, wenn ihre Ableitungen

1.1 Metrik, Norm, Skalarprodukt

13

der Ordnung j über [a, b] nicht zu sehr voneinander abweichen:   dN(j) (f, g) < ε ⇐⇒ N(j) (f − g) = (f − g)(j) ∞ = sup f (j) (x) − g (j) (x) < ε. x∈[a,b]

Benötigt man, daß die Abweichung für alle Ableitungen bis zur Ordnung k ≤ m nicht zu groß sein soll, so könnte man als Halbnorm beispielsweise
m CR ([a, b]) −→ R+ k Nk : f −→ j=0 N(j) (f ) oder auch  m CR ([a, b]) −→ R+ Nk,max : f −→ max N (f ) (j) 0≤j≤k

bei der Abstandsmessung verwenden. (Nk und Nk,max sind sogar Normen!)

Allgemein ergeben sich u. a. die folgenden wichtigen Möglichkeiten zur Konstruktion von Halbnormen aus bereits vorhandenen: Satz 1.1-6 V und W seien K-Vektorräume, K ∈ {R, C}, m ∈ N, rj ∈ R+ , N und Nj Halbnormen auf V für jedes j ∈ {0, . . . , m}. Es gilt: (a) Für jede K-lineare Funktion ϕ : W −→ V ist N ◦ ϕ eine Halbnorm auf W .  m  V −→ R+ rj Nj sind Halbnormen auf V . (b) Nm,max : x −→ max Nj (x) und 0≤j≤m

j=0

(c) Ker N := { x ∈ V | N (x) = 0 } ist ein K-Untervektorraum von V und
V /Ker N −→ R+  N: x + Ker N −→ N (x) eine Norm auf V /Ker N (die zur Halbnorm N assoziierte Norm). (d) Ist W ein K-Untervektorraum von V , so definiert
V /W −→ R+ NW : x + W −→ inf{ N (x + w) | w ∈ W } eine Halbnorm auf V /W (die Quotientenhalbnorm zu N bzgl. W ), und es gilt: (i)

NW Norm auf V /W , N
W Norm auf W

=⇒

N Norm.

 , die zur Halbnorm N assoziierte Norm. (ii) NKer N = N (V /Ker N , NKer N ) heißt zu (V, N ) assoziierter normierter Raum. (e) Für jede Halbnorm M auf W ergibt (x, y)M,N := max{M (x), N (y)} eine Halbnorm  M,N : W × V −→ R+ auf dem direkten Produkt W × V .

1 Grundbegriffe

14 Beweis

In jedem der Teile (a)–(e) ist die absolute Homogenität (N-2) der zu betrachtenden Funktion unmittelbar zu erkennen. In (c) ist Ker N wegen N (kx) = |k| N (x) = 0,

N (x + y) ≤ N (x) + N (y) = 0

 ist wohldefiniert, für alle x, y ∈ Ker N , k ∈ K ein K-Untervektorraum von V . N d. h. die Funktionswerte sind unabhängig vom Repräsentanten y ∈ x + Ker N , weil 0 = N (y − x) ≥ |N (y) − N (x)| (s. A 11), also N (y) = N (x) für diese x, y gilt.  ist definit, denn x + Ker N = Ker N bedeutet x ∈ Ker N . N Es bleibt somit jeweils die Subadditivität (N-3) zu überprüfen: N ◦ ϕ(x + y) = N (ϕ(x + y)) = N (ϕ(x) + ϕ(y)) ≤ N ◦ ϕ(x) + N ◦ ϕ(y), Nm,max (x + y) = max Nj (x + y) ≤ max (Nj (x) + Nj (y)) 0≤j≤m

0≤j≤m

= max Nj (x) + max Nj (y) = Nm,max (x) + Nm,max (y), 0≤j≤m

 m

0≤j≤m

 rj Nj (x + y) =

j=0

=

=

m 

rj Nj (x + y) ≤

j=0 m 

m 

rj (Nj (x) + Nj (y))

j=0 m 

rj Nj (x) + rj Nj (y) j=0 j=0    m m rj Nj (x) +

j=0



rj Nj (y),

j=0

 (x + Ker N + y + Ker N ) = N  (x + y + Ker N ) N = N (x + y) ≤ N (x) + N (y)  (x + Ker N ) + N  (y + Ker N ), =N NW (x + W + y + W ) = NW (x + y + W ) = inf{ N (x + y + w) | w ∈ W } = inf{ N (x + y + v + w) | v, w ∈ W } ≤ inf{ N (x + v) + N (y + w) | v, w ∈ W } ≤ inf{ N (x + v) | v ∈ W } + inf{ N (y + w) | w ∈ W } = NW (x + W ) + NW (y + W ), (x, y) + (z, t)M,N = (x + z, y + t)M,N = max{M (x + z), N (y + t)} ≤ max{M (x) + M (z), N (y) + N (t)} ≤ max{M (x), N (y)} + max{M (z), N (t)} = (x, y)M,N + (z, t)M,N . Schließlich gilt in (d) noch:

1.1 Metrik, Norm, Skalarprodukt (i)

15

Ist v ∈ V , N (v) = 0, so folgt NW (v + W ) = inf{ N (v + w) | w ∈ W } ≤ N (v) = 0, also NW (v + W ) = 0, d. h. v + W = W . Da auch N
W eine Norm ist, erhält man v = 0 aus (N
W )(v) = N (v) = 0.

(ii) Für alle v ∈ V , x ∈ Ker N ist N (v) = N (v) − N (x) ≤ N (v − x), also gilt  (v + Ker N ) = N (v) ≤ inf{ N (v + x) | x ∈ Ker N } ≤ N (v), woraus N ✷ N (v) = NKer N (v + Ker N ) folgt. Die Normen  2 auf den Vektorräumen Rn , Cn , +2R , +2 (vgl. (1.1,3)), CR ([a, b]), C([a, b]) (s. auch A 18) stammen von einem Skalarprodukt ab: Definitionen Es sei K ∈ {R, C}, V ein K-Vektorraum und S : V × V −→ K. S Skalarprodukt auf V

:gdw S erfüllt

(S-1)

∀ x ∈ V : x = 0 ⇒ S((x, x)) > 0

(Definitheit)

(S-2)

∀ x, y ∈ V : S((x, y)) = S((y, x))

(konjugierte Symmetrie)

(S-3)

∀ x, y, z ∈ V : S((x + y), z) = S((x, z)) + S((y, z))

(S-4)

∀ x, y ∈ V ∀ k ∈ K : S((kx, y)) = kS((x, y))

S Halbskalarprodukt auf V (S-1)


(Additivität) (Homogenität)

:gdw S erfüllt (S-2), (S-3), (S-4) und

∀ x ∈ V : S((x, x)) ≥ 0

(V, S) Prähilbertraum (über K)

:gdw S Skalarprodukt auf V

Für Halbskalarprodukte S wird gewöhnlich das Symbol
, für S((x, y)) dann die Bezeichnung
x, y verwendet. Beispiele (1.1,5)

n Durch
x, y := j=0 xj yj ist ein Skalarprodukt auf Cn definiert (und auch auf Rn , die Konjugation bei y kann dann natürlich unterbleiben). ∞ (b) Für alle x, y ∈ +2 ist die unendliche Reihe j=0 xj yj absolut konvergent:

(a)

m 

|xj yj | ≤

j=0

 m j=0

≤

 ∞ j=0

|xj |2

1/2  1/2 m |yj |2

 1.1-2.1 

j=0

1/2  1/2 ∞ 2 |xj | |yj | 0 und weiter speziell für k := −
x, y/
y, y 0 ≤
x, x − =
x, x −


x, y
x, y
x, y
x, y
x, y +
y, y
x, y −
y, y
y, y
y, y2
x, y
x, y ,
y, y

also |
x, y|2 ≤
x, x
y, y.

✷

In (∗) gilt für Skalarprodukte
 die strikte Ungleichung, der Beweis von 1.1-8 zeigt daher auch Korollar 1.1-8.1 Im Prähilbertraum (V,
) gilt für alle x, y ∈ V : |
x, y| =
x, x1/2
y, y1/2

⇐⇒

x, y sind K-linear abhängig.

✷

Die erwähnte Abstammung einer (Halb-)Norm von einem (Halb-)Skalarprodukt regelt Korollar 1.1-8.2


   :

V −→ R+ x −→
x, x1/2

ist eine Halbnorm auf dem K-Vektorraum V , die sog. durch das Halbskalarprodukt
 induzierte Halbnorm. Weiter gilt:    Norm

⇐⇒


 Skalarprodukt.

Beweis    ist gem. (S-1)
wohldefiniert und erfüllt für alle x, y ∈ V , k ∈ K (N-2): kx  =
kx, kx1/2 = (kk
x, x)1/2 = |k|
x, x1/2 = |k| x  ,

1 Grundbegriffe

18

(N-3): x + y2  =
x + y, x + y = x2  + y2  +
x, y +
y, x,

wobei


x, y +
y, x =
x, y +
x, y = 2 Re
x, y ≤ 2|
x, y| ≤ 2x  y  2   1.1-8  gilt. Es folgt somit x + y2  ≤ x  + y  . Für x = 0 erhält man schließlich auch x  = 0

⇐⇒


x, x = 0,

also ist    genau dann eine Norm, wenn
 definit ist.

✷

Schreibweise für die durch    induzierte Pseudometrik: d  := d   . Die in (1.1,5) angegebenen Skalarprodukte
 induzieren gerade die Norm  2 auf den betreffenden Vektorräumen. Korollar 1.1-8.3 (Parallelogrammgleichung) Es sei
 ein Halbskalarprodukt auf dem K-Vektorraum V , K ∈ {R, C}. Für alle x, y ∈ V gilt: x − y2  + x + y2  = 2x2  + 2y2  . Beweis x − y2  + x + y2  =
x − y, x − y +
x + y, x + y =
x, x −
y, x −
x, y +
y, y +
x, x +
x, y +
y, x +
y, y = 2
x, x + 2
y, y ✷ Die Parallelogrammgleichung hat die geometrische Bedeutung, daß in dem von x, y aufgespannten Parallelogramm die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den vier Seiten genau die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden Diagonalen ergibt. Auf Grund dieser Eigenschaft kann häufig leicht festgestellt werden, daß eine Halbnorm nicht von einem Halbskalarprodukt induziert wird. Beispiel (1.1,6) Es gibt kein Skalarprodukt auf CR ([a, b]), das die Norm  ∞ induziert:


Für f = 1,

g:

[a, b] −→ R 1 x −→ b−a (x − a)

1.1 Metrik, Norm, Skalarprodukt

19

erhält man nämlich f ∞ = 1, g∞ = 1, f + g∞ = 2, f − g∞ = 1, also f + g2∞ + f − g2∞ = 5 = 4 = 2f 2∞ + 2g2∞ .

Es sei bereits hier vermerkt, daß jede die Parallelogrammgleichung erfüllende Halbnorm durch ein Halbskalarprodukt induziert werden kann (vgl. Satz 1.2-3). Dieses ist zunächst als Vermutung naheliegend, weil jedes (Halb-)Skalarprodukt
 aus der induzierten (Halb-)Norm    zurückgewonnen werden kann: Satz 1.1-9 (Polarisationsgleichung) Es sei
 ein Halbskalarprodukt auf dem K-Vektorraum V , K ∈ {R, C}. Für alle x, y ∈ V gilt:

   1 x + y2  − x − y2  4
x, y = 1 3 j j 2 j=0 i x + i y  4

für K = R für K = C.

Beweis Aus x + y2  =
x + y, x + y =
x, x +
x, y +
y, x +
y, y, x − y2  =
x − y, x − y =
x, x −
x, y −
y, x +
y, y folgt durch Subtraktion x + y2  − x − y2  = 2
x, y + 2
y, x,

(∗)

für K = R also bereits die behauptete Darstellung von
x, y. Für K = C gilt gem. (∗) auch x + iy2  − x − iy2  = 2
x, iy + 2
iy, x, und Multiplikation dieser Gleichung mit i und anschließende Addition zu (∗) liefert 3 

ij x + ij y2  = 2
x, y + 2
y, x + 2i
x, iy + 2i
iy, x = 4
x, y

j=0

 i
iy, x = −
y, x und i
x, iy =
x, iiy =
x, y .

✷

Neben der Cauchy-Schwarz-Ungleichung 1.1-8 ist auch die folgende Peetre-Ungleichung für numerische und theoretische Abschätzungen von großer Bedeutung.

1 Grundbegriffe

20 Satz 1.1-10 (Peetre-Ungleichung, 1959)

Es sei
 ein Halbskalarprodukt auf dem K-Vektorraum V und t ∈ R. Für alle x, y ∈ V gilt:

t  |t| 1 + x2  ≤ 2|t| 1 + x − y2  .   t 1 + y2 



Beweis Für t = 0 ist die Ungleichung offensichtlich richtig, es sei daher t = 0. Zunächst gilt für alle x, z ∈ V 1 + x − z2  = 1 +
x − z, x − z = 1 + x2  −
x, z −
z, x + z2  ≤ 1 + 2x2  + 2z2   x2  +
x, z +
z, x + z2  =
x + z, x + z ≥ 0  ≤ 2 + 2x2  + 2z2  + 2x2  z2     = 2 1 + x2  1 + z2  . Mit y := x − z ergibt sich hieraus    für alle x, y ∈ V . 1 + y2  ≤ 2 1 + x2  1 + x − y2 

(∗)

Für t < 0, also −t > 0, folgt durch Potenzieren −t  −t  −t  ≤ 2−t 1 + x2  1 + x − y2  1 + y2  und somit



t  −t 1 + x2  ≤ 2−t 1 + x − y2    t 1 + y2 

wie behauptet. Wegen      1 + x2  ≤ 2 1 + y2  1 + y − x2 

 gem. (∗) 

erhält man für t > 0 ebenso t  t  1 + x2  ≤ 2t 1 + y2  (1 + y − x2  )t , also ebenfalls

t  t 1 + x2  ≤ 2t 1 + y − x2  .   t 1 + y2 



✷

Das abschließende Diagramm vermittelt einen Überblick über die bisher definierten

1.1 Metrik, Norm, Skalarprodukt

21

Klassen von Räumen, ggf. mit den kanonischen Übergängen. pseudometrische R¨aume (X, d)

metrische R¨aume (X, d) d(x,y) = x − y normierte Vektorr¨aume (V,  ) x =
x,x1/2

d(x,y) = x − y halbnormierte Vektorr¨aume (V,  ) x =
x,x1/2 Vektorr¨aume V mit Halbskalarprodukt


Pr¨ahilbertr¨aume (V,
)

Aufgaben zu 1.1 1. (a)

Man verifiziere, daß die in (1.1,1) (a), (b), (c) angegebenen Abstandsfunktionen Metriken sind! ddis auf einer Menge X = ∅ und d(p) auf Q sind Ultrametriken.

(b) X sei eine nichtleere Menge, (Y, d) ein (pseudo)metrischer Raum,   B(X, Y ) := f : X −→ Y sup{ d(f (x), f (x )) | x, x ∈ X } < ∞ die Menge aller beschränkten Funktionen von X in Y (s. auch A 23) und
B(X, Y ) × B(X, Y ) −→ R+ d∞ : (f, g) −→ sup{ d(f (x), g(x)) | x ∈ X }. Man zeige: (i)

(B(X, Y ), d∞ ) ist ein (pseudo)metrischer Raum.

(ii) Ist (Y,  ) ein (halb)normierter K-Vektorraum, d = d  , so wird d∞ durch die (Halb-)Norm
B(X, Y ) −→ R+  ∞ : f −→ sup{ d  (f (x), f (x )) | x, x ∈ X } auf dem K-Vektorraum B(X, Y ) (pktw. algebraische Operationen) induziert. (c)

Für jedes ε ∈ R, ε > 0, ist dε : N × N −→ R+ , definiert durch   1 1 + n+m+1 ε für n = m dε ((n, m)) := 0 für n = m, eine Metrik auf N.

1 Grundbegriffe

22

2. Es seien a, b, q ∈ R, q ≥ 1, a < b und f , g ∈ C([a, b]). Man beweise: (a)

Für q > 1, q 0 ∈ R, (1/q) + (1/q 0 ) = 1 gilt Z b 1/q Z b 1/q0 Z b 0 |f g| ≤ |f |q |g|q a

a

(Hölder-Ungleichung).

a

(Hinweis: Man verwende 1.1-2!) Z b 1/q Z b 1/q Z b 1/q q q q (b) |f + g| ≤ |f | + |g| a

a

(Minkowski-Ungleichung).

a

3. Es seien a, b, q, r ∈ R, 1 ≤ q ≤ r, a < b und f ∈ C([a, b]). Man beweise: o n kf kq ≤ min (b − a)(r−q)/(rq) kf kr , (b − a)1/q kf k∞ !

Man beachte auch das allgemeinere Ergebnis in 5.4-8. (Hinweis: Anwendung der Hölder-Ungleichung (A 2 (a)) mit r/q, r/(r − q) für r 6= q.)

4. Auf der Menge X := {0, 1}n (n ∈ N, n ≥ 1) sei ein Abstand d durch d(x, y) := { j ∈ N | 1 ≤ j ≤ n, xj 6= yj }

erklärt (sog. Hamming-Abstand). Ist d eine Metrik? Für welche n ≥ 1 ist d Ultrametrik?

5. Im pseudometrischen Raum (X, d) sei die Äquivalenzrelation R definiert durch (x, y) ∈ R Man zeige, daß dR :



:gdw

d(x, y) = 0.

X/R × X/R −→ R+ (x/R , y/R ) 7−→ d(x, y)

eine Metrik auf X/R ist! 6. In pseudometrischen Räumen (X, d) gilt die Vierecksungleichung: |d(x, y) − d(z, t)| ≤ d(x, z) + d(y, t)

für alle x, y, z, t ∈ X.

(Beweis!) 7. Es sei X 6= ∅ eine Menge, dj für jedes j ∈ N eine Pseudometrik auf X und ( X × X −→ R+ P∞ d: dj (x,y) (x, y) 7−→ j=0 21j 1+d . j (x,y) Man beweise:

(a)

d ist eine Pseudometrik auf X (sog. Fréchetpseudometrik der Folge (dj )j∈N ). (Hinweis: Die Funktion  + R −→ [0, 1[ α: r r 7−→ 1+r

ist streng monoton wachsend.)

(b) d ist eine Metrik auf X (sog. Fréchetmetrik der Folge (dj )j∈N ), sofern für je zwei x, y ∈ X, x 6= y, ein j ∈ N existiert mit dj (x, y) 6= 0.

1.1 Metrik, Norm, Skalarprodukt

23

8. Es sei (X, d) ein (pseudo)metrischer Raum,
X × X −→ R+ dmin : (x, y) −→ min{1, d(x, y)}. Man zeige, daß dmin eine (Pseudo-)Metrik auf X ist! 9. In ultrapseudometrischen Räumen (X, d) gilt für alle x, y, z ∈ X: d(x, y) = d(y, z)

=⇒

10. Mit

  Re :

d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)}.

Cn −→ R+ x −→ max |Re xj | 1≤j≤n

ist Cn (n ≥ 1) ein halbnormierter R-Vektorraum, jedoch nicht halbnormierter C-Vektorraum. 11. In jedem halbnormierten Vektorraum (V,  ) gilt: x − y ≥ x − y für alle x, y ∈ V . 12. Es sei V ein C-Vektorraum,   eine Halbnorm auf dem R-Vektorraum V . Man zeige, daß durch
V −→ R+  C : x −→ supr∈R eir x eine Halbnorm auf dem C-Vektorraum V erklärt ist. Mit   ist auch  C eine Norm (s. auch 2.4, A 42 und 3.1, A 25). 13. Für q ∈ R, q ≥ 1 und λ ∈ Nn beweise man: (a)

Für alle x ∈ Cn , r ∈ R, r ≥ 1: n 

  |xj |λj ≤ min (1 + xq )λ1 , (1 + xrq )(1/r)λ1 .

j=1

(b) Für alle ν ∈ Nn+1 , ν1 = x ∈ Cn gilt:

n+1 j=1

νj = λ1 gibt es ein Cν ∈ R+ , so daß für alle 

(1 + xq )λ1 ≤

Cν

ν∈N ν1 =λ1

 ν∈Nn+1 ν1 =λ1

(Hinweis: 1.1-4 (a), Polynomialsatz.)

|xj |νj

j=1

n+1

(1 + xqq )λ1 =

n 

Cν

n  j=1

|xj |q νj .

und

1 Grundbegriffe

24

14. (V,  V ) und (W,  W ) seien normierte K-Vektorräume, K ∈ {R, C}. Man zeige, daß die durch  N ((x, y)) := xV + yW bzw. M ((x, y)) := x2V + y2W definierten Funktionen Normen auf dem direkten Produkt V × W sind! Mit L((x, y)) := max{xV , yW } (L ist gem. 1.1-6 (e) ebenfalls eine Norm auf V × W ) gilt L ≤ M ≤ N und N ≤ 15. Man beweise



√

2 L.

   +q q ∈ R+ , q ≥ 1  x ∈ CN x Nullfolge !

 −1/2  (Hinweis: x = (j + 2)−(ln(j+2)) .) j∈N 16. Welche der Normeigenschaften (N-1), (N-2), (N-3) erfüllt die Funktion
V −→ R+ 2  1 N: f −→ 0 |f |1/2 auf dem R-Vektorraum V := { f ∈ CR ([0, 1]) | f (0) = 0 }, welche nicht? 17. Für jedes j ∈ N sei


Nj :

+ C(R) −→   R f −→ f
[−(j + 1), j + 1]∞

und dj die durch die Halbnorm Nj induzierte Pseudometrik auf C(R), d. h. dj (f, g) = Nj (f − g) für alle f , g ∈ C(R). Man zeige, daß die translationsinvariante Fréchetmetrik (vgl. A 7 (b)) der Folge (dj )j∈N nicht durch eine Norm induziert wird! 18. Man bestätige, daß die in Beispiel (1.1,5) (b), (c) angegebenen Funktionen
 Skalarprodukte sind! 19. Für a, b ∈ R, m ∈ N sei



CRm ([a, b]) × CRm ([a, b]) −→ R m b (f, g) −→ j=0 a f (j) g (j) .   Man rechne nach, daß CRm ([a, b]),
m ein Prähilbertraum ist!
m :

20. Es sei n ∈ N, n ≥ 2. Gibt es ein Skalarprodukt auf Cn , das die Norm  ∞ induziert? 21. Man gebe einen R-Vektorraum V mit einem Halbskalarprodukt an, das kein Skalarprodukt ist! 22. Man zeige, daß

  max :

R[x] −→ R+ p(x) −→ max |pj | 0≤j≤np

eine Norm auf dem R-Vektorraum R[x] aller Polynome über R ist! Kann  max durch ein Skalarprodukt induziert werden?

1.2 Konvergenz, Topologie

25

23. Für jede Teilmenge S ⊆ X eines pseudometrischen Raums (X, d) heißt δ(S) := sup{ d(s, s ) | s, s ∈ S } ∈ R+ ∪ {−∞, ∞} (auch δd (S) bezeichnet) Durchmesser von S, Teilmengen S mit δ(S) < ∞ heißen d-beschränkt. Man zeige: Die Vereinigung endlich vieler d-beschränkter Teilmengen von X ist d-beschränkt. 24. (V,
) sei ein Prähilbertraum über C. Für alle x, y, z ∈ V beweise man die ApolloniosGleichung 1 2 x

− y2  + 2z − 12 (x + y)2  = z − x2  + z − y2  .

25. (V,
) sei ein Prähilbertraum über C, T : V −→ V C-linear und
T (v), v = 0 für jedes v ∈ V . Man zeige: T = 0.

1.2 Konvergenz, Topologie Zu Beginn von Abschnitt 1.1 wurde darauf hingewiesen, daß die angegebene Formulierung der Eigenschaft „Konvergenz einer Folge“ lediglich einen Abstandsbegriff erfordert: Definitionen (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, (xj )j ∈ X N . (xj )j konvergent in (X, d) :gdw ∃ a ∈ X ∀ ε > 0 ∃ jε ∈ N ∀ j ≥ jε : d(xj , a) < ε. a heißt dann (ein) Limes der Folge (xj )j , (xj )j konvergent gegen a (in (X, d)), in formaler Schreibweise: d-lim xj := lim xj := a, j

j

d

(xj )j →d a o. ä.,

sonst (xj )j d a.

Satz 1.2-1 (xj )j , (yj )j ∈ X N seien Folgen im pseudometrischen Raum (X, d), a, b ∈ X. Es gilt: (a) (xj )j →d a

⇐⇒

(d(xj , a))j →d| | 0

(b) (xj )j →d a, (yj )j →d b

=⇒

(d(xj , yj ))j →d| | d(a, b)

(c) Ist d eine Metrik, (xj )j →d a und (xj )j →d b, so folgt a = b. (Eindeutigkeit der Limiten in metrischen Räumen)

1 Grundbegriffe

26 Beweis (a) gilt definitionsgemäß, (b), (c) ergeben sich wie folgt: Gem. Vierecksungleichung 1.1, A 6 erhält man für jedes j ∈ N |d(xj , yj ) − d(a, b)| ≤ d(xj , a) + d(yj , b),

also |d(xj , yj )−d(a, b)| < ε für alle j ≥ jε , sofern d(xj , a) < ε/2 und d(yj , b) < ε/2 für jedes j ≥ jε erfüllt ist. 0 ≤ d(a, b) ≤ d(a, xj ) + d(xj , b) < ε für alle j ≥ jε liefert d(a, b) = 0, also a = b. ✷ Für durch Halbnormen oder gar durch Halbskalarprodukte auf K-Vektorräumen induzierte Pseudometriken kann man u. a. eine gewisse Verträglichkeit mit der Addition und Skalarmultiplikation des Vektorraums nachrechnen: Satz 1.2-2 Es sei   eine Halbnorm,
 ein Halbskalarprodukt auf dem K-Vektorraum V , K ∈ {R, C}. Für alle (xj )j , (yj )j ∈ V N , a, b ∈ V , k ∈ K, (kj )j ∈ K N gilt: (a) (xj )j →d  a

=⇒

(xj )j →d| | a

(b) (xj )j →d  a, (yj )j →d  b

=⇒

(xj + yj )j →d  a + b

(c) (xj )j →d  a, (kj )j →d| | k

=⇒

(kj xj )j →d  ka

(d) (xj )j →d  a, (yj )j →d  b

=⇒

(
xj , yj )j →d| |
a, b

Beweis

Zu (a) d| | (xj , a) = xj  − a ≤ xj − a = d  (xj , a)  1.1, A 11 . Nach 1.2-1 (a) folgt die Behauptung. Zu (b) d  (xj + yj , a + b) = xj + yj − a − b ≤ xj − a + yj − b = d  (xj , a) + d  (yj , b) Nach 1.2-1 (a) folgt die Behauptung. Zu (c) Sei 0 < ε < 1 und δ := (ε/2)(|k| + a + 1)−1 . Man wähle ein jε ∈ N, so daß xj − a < δ und |kj − k| < δ für jedes j ≥ jε gilt. Es folgt dann für alle j ≥ jε kj xj − ka = (kj − k)xj + k(xj − a) ≤ |kj − k| xj  + |k| xj − a ≤ δ(xj − a + a) + |k| δ ≤ δ(1 + a + |k|) = ε/2 < ε.

1.2 Konvergenz, Topologie

27

Zu (d) d| | (
xj , yj ,
a, b) = |
xj , yj  −
a, b| = |
xj − a, yj  +
a, yj − b| ≤ |
xj − a, yj | + |
a, yj − b|  1.1-8  ≤ xj − a  yj   + a  yj − b  = d  (xj , a)yj   + a  d  (yj , b) Wegen (yj   )j →d| | b  , (d  (xj , a))j →d| | 0 und (d  (yj , b))j →d| | 0    gem. (a) bzw. 1.2-1 (a)  ergibt sich mit (c) und (b) d| | (
xj , yj ,
a, b) j →d| | 0, also die Behauptung  1.2-1 (a) . ✷ Mit Hilfe von 1.2-2 kann nun – wie bereits vor 1.1-9 angedeutet (Seite 19) – bewiesen werden, daß jede die Parallelogrammgleichung erfüllende Halbnorm durch ein Halbskalarprodukt induziert wird. Die Polarisationsgleichung 1.1-9 liefert die Idee für das Auffinden eines derartigen Halbskalarprodukts. Satz 1.2-3 (Jordan, von Neumann, 1935) Es sei (V,  ) ein halbnormierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C}, die Halbnorm   genüge der Parallelogrammgleichung x − y2 + x + y2 = 2x2 + 2y2 und
 : V × V −→ K werde definiert durch  1 (x + y2 − x − y2 )
x, y := 41 3 j j 2 j=0 i x + i y 4

für alle x, y ∈ V

für K = R für K = C.

Dann ist
 ein Halbskalarprodukt auf V , und es gilt    =  . Beweis Zuerst sei K = R. Für alle x, y, z ∈ V errechnet man
0, y =
y, 0 = 0 und
−x, y =
x, −y = −
x, y direkt aus der Definition von
. Weiter gilt
x, x =

1 4

(x + x2 − x − x2 ) = x2 ≥ 0,


x, y =

1 4

(x + y2 − x − y2 ) =

1 4

(y + x2 − y − x2 ) =
y, x,

also sind (S-1)
und (S-2) erfüllt. Aus der Parallelogrammgleichung folgen die Gleichungen 2x + y2 + 2z + y2 = x + z + 2y2 + x − z2 , 2x − y2 + 2z − y2 = x + z − 2y2 + x − z2 und aus diesen durch Subtraktion

1 Grundbegriffe

28 2x + y2 + 2z + y2 − 2x − y2 − 2z − y2

= x + z + 2y2 − x + z − 2y2 , also 8
x, y + 8
z, y = 4
x + z, 2y. Mit z = 0, x = u + v, u, v ∈ V erhält man durch zweimalige Verwendung dieser Gleichung
u + v, y = 12
u + v, 2y =
u, y +
v, y. Somit gilt auch (S-3). Zur Verifikation von (S-3) ! (S-4) beachte " man, daß !gem. " 1 1
nx, y = n
x, y und daher auch
x, y = (n + 1) n+1 x, y = (n + 1) n+1 x, y , ! 1 " 1
x, y = n+1 x, y für alle natürlichen Zahlen n gilt. Wiederum mit (S-3) d. h. n+1 folgt hieraus q
x, y =
qx, y für jedes q ∈ Q. Für beliebiges k ∈ R wähle man eine gegen k konvergente Folge (qj )j ∈ QN rationaler Zahlen, d. h. (qj )j →d| | k. Gemäß 1.2-2 ergibt sich dann  1 2 2 2 2 1 4 (qj x + y − qj x − y ) j →d| | 4 (kx + y − kx − y ), also (
qj x, y)j →d| |
kx, y. Da
qj x, y = qj
x, y ist, und die Folge (qj
x, y)j im metrischen Raum (R, d| | ) gegen k
x, y konvergiert, folgt mit Hilfe von 1.2-1 (c) k
x, y =
kx, y. Im Fall K = C notiere man, daß gem. der obigen Untersuchung durch
x, yR :=

1 4

(x + y2 − x − y2 )

ein Halbskalarprodukt auf dem R-Vektorraum V definiert ist. Darüber hinaus gilt auch 1 j i x + ij y2
x, y = 4 3

j=0

= (x + y2 − x − y2 ) + 14 (ix + iy2 − ix − iy2 ) =
x, yR + i
x, iyR 1 4

(1)

und weiter
x, ixR =

1 4

(x + ix2 − x − ix2 ) = 0

(2)

 x + ix = (−i)(x + ix) = x − ix ,
ix, iyR = 14 (ix + iy2 − ix − iy2 ) = =
x, yR ,

1 4

(x + y2 − x − y2 )

(3)

1.2 Konvergenz, Topologie

29


ix, y =
ix, yR + i
ix, iyR =
ix, yR + i
x, yR (3)     = i
x, yR − i
ix, yR = i
x, yR − i
−x, iyR (3)   = i
x, yR + i
x, iyR = i
x, y.

(4)

Hieraus folgen die Eigenschaften (S-1)
, (S-2), (S-3) und (S-4):
x, x =
x, xR + i
x, ixR =
x, xR ≥ 0, (1)

(2)


x, y =
x, yR + i
x, iyR =
x, yR + i
ix, −yR (1)

(3)

=
y, xR − i
y, ixR =
y, xR + i
y, ixR =
y, x,

(1)


x + y, z =
x + y, zR + i
x + y, izR (1)

=
x, zR +
y, zR + i
x, izR + i
y, izR =
x, z +
y, z (1)

und für k = a + ib, a, b ∈ R auch
kx, y =
ax + ibx, y =
ax, y +
ibx, y =
ax, y + i
bx, y = a
x, y + ib
x, y (4)

 gem. (1), da
R reelles Halbskalarprodukt  = k
x, y.

✷

Vor der topologischen Interpretation der Konvergenz seien einige Beispiele für Folgenkonvergenz in konkreten Räumen betrachtet: Beispiele (1.2,1) (a)

Jede der Metriken dq auf Cn , 1 ≤ q ≤ ∞, erzeugt denselben Konvergenzbegriff, die sog. koordinatenweise d| | -Konvergenz: Für alle (xj )j ∈ (Cn )N , a ∈ Cn gilt (xj )j →dq a

⇐⇒ ⇐⇒

(dq (xj , a))j →d| | 0  gem. 1.2-1 (a)     n q 1/q   →d| | 0 für q ∈ R k=1 |xj,k − ak | j    für q = ∞  max |xj,k − ak | →d| | 0 1≤k≤n

j

⇐⇒

∀ k = 1, . . . , n : (|xj,k − ak |)j →d| | 0

⇐⇒

∀ k = 1, . . . , n : (xj,k )j →d| | ak

1 Grundbegriffe

30 Man beachte in diesem Zusammenhang auch 1.2-5!

Ein zu (a) analoges Ergebnis erhält man weder für die Folgenräume (`p , dp ) noch für (C([a, b]), dp ): (b) Es seien p ∈ R, q ∈ R ∪ {∞}, q > p ≥ 1, (xj )j ∈ (`p )N , (yj )j ∈ (`∞ )N , ξ ∈ `p und η ∈ `∞ . Offensichtlich gilt (i)

(yj )j →d∞ η

=⇒

∀ k ∈ N : (yj,k )j →d| | ηk (koordinatenweise d| | -Konvergenz).

Mit Hilfe der Normabschätzungen in 1.1-5 folgt (ii) (xj )j →dp ξ =⇒ (xj )j →dq ξ: (man beachte in diesem Zusammenhang auch 1.2-6). Die Umkehrungen in (i) und (ii) gelten nicht (vgl. A 3). (c)

Es seien a, b, p, r ∈ R, a < b, r > p ≥ 1, (fj )j ∈ C([a, b])N und g ∈ C([a, b]). Offensichtlich gilt (i)

(fj )j →d∞ g

=⇒

∀ x ∈ [a, b] : (fj (x))j →d| | g(x) (punktweise d| | -Konvergenz)

Mit Hilfe der Normabschätzungen in 1.1, A3 (vgl. auch 1.2-6) folgt (ii) (fj )j →dr g

=⇒

(fj )j →dp g und (fj )j →d∞ g

=⇒

(fj )j →dp g.

Die Umkehrungen in (i) und (ii) gelten nicht: Für alle j ∈ N, x ∈ [a, b] definiere man (Abb. 1.2-1)   0     2(ja+b) hj (x) := − 2(j+1) b−a x + b−a      2(j+1) x − 2(j+1)a b−a b−a

für a +

b−a j+1

für a +

b−a 2(j+1)

≤x≤b ≤x≤a+

für a ≤ x ≤ a +

b−a 2(j+1)

b−a j+1

1.2 Konvergenz, Topologie

31

y 1 hj a+

a

b−a 2(j+1)

a+

b−a j+1

b

x

Abbildung 1.2-1

und (Abb. 1.2-2)

fj (x) :=

 2   − (j+2) x + b−a  0

(j+2)((j+1)a+b) b−a

1/r

für a ≤ x ≤ a +

b−a j+2

sonst

Abbildung 1.2-2

Die Folge (hj )j ∈ C([a, b])N ist punktweise
d| | -konvergent gegen 0, aberNnicht d∞ -konvergent b−a = 1 K, (fj )j ∈ C([a, b]) ist nicht punktweigegen 0 J d∞ (hj , 0) = hj a + 2(j+1) J Dreiecksfläche K und se d| | -, also nicht d∞ -konvergent gegen 0. Wegen kfj krr = b−a 2 b−a kfj kpp = (1+p/r)(j+2) 1−p/r J elementare Integration K ist (fj )j nicht dr -, jedoch dp -konvergent gegen 0. Zwischen dp -Konvergenz und punktweiser d| | -Konvergenz besteht keine Abhängigkeit (s. o. bzw. A 4)

1 Grundbegriffe

32

Für die betrachteten Konvergenzen erhält man die folgende Übersicht (p, r ∈ R, q ∈ R∪ {∞}, q > p ≥ 1, r > p):

Die topologische Interpretation der Konvergenz begründet sich durch die Tatsache, daß eine Folge (xj )j in einem pseudometrischen Raum (X, d) genau dann d-konvergent gegen ein Element a von X ist, wenn sie für jede Schranke ε > 0 schließlich, d. h. ab einem Folgenelement xjε , nur noch aus Elementen besteht, die zu a ε-benachbart sind, also einen Abstand (bzgl. d) zu a haben, der kleiner als ε ist. Die ε-Nachbarschaften der Punkte a in X entscheiden somit, welche Folgen gegen welche Punkte konvergent sind. Diese Feststellung ermöglicht die Ausdehnung des Konvergenzbegriffs auf grössere Klassen als die der pseudometrischen Räume; benötigt wird lediglich umfassende Kenntnis über die Nachbarschaften (Umgebungen) der Punkte. Zunächst werden daher grundlegende typische topologische Eigenschaften der pseudometrischen Räume herausgestellt. Definitionen Es sei (X, d) ein pseudometrischer Raum, a ∈ X, ε ∈ R, ε > 0, U , O, A ⊆ X. Kεd (a) := { x ∈ X | d(a, x) < ε } bzw.

e d (a) := { x ∈ X | d(a, x) ≤ ε } K ε

ist die offene bzw. abgeschlossene ε-Kugel um a mit dem Radius ε und dem Mittelpunkt a.

1.2 Konvergenz, Topologie

33

U (d-)Umgebung von a

:gdw ∃ ε > 0 : Kεd (a) ⊆ U .

O (d-)offen

:gdw ∀ x ∈ O ∃ ε > 0 : Kεd (x) ⊆ O.

A (d-)abgeschlossen

:gdw X\A (d-)offen.

Die Mengen τd := { O ⊆ X | O (d-)offen } und ατd := { A ⊆ X | A (d-)abgeschlossen } erfüllen die folgenden, für die Topologie charakteristischen Eigenschaften: Satz 1.2-4 In jedem pseudometrischen Raum (X, d) gilt für τ := τd : (O-1) ∅, X ∈ τ

(A-1)

(O-2) ∀ O, P ∈ τ : O ∩ P ∈ τ # (O-3) ∀ O ⊆ τ : O∈τ

und (A-2) (A-3)

∅, X ∈ ατ ∀ A, B ∈ ατ : A ∪ B ∈ ατ $ ∀ A ⊆ ατ : A ∈ ατ .

Beweis (A-1), (A-2) und (A-3) folgen mit Hilfe der de Morganschen Regeln unmittelbar aus (O-1), (O-2) bzw. (O-3). Für X ist (O-1) offensichtlich richtig. ∅ ∈ τ gilt, weil kein Element von ∅ angegeben werden kann (Es#gibt kein Element in ∅!), das keine offene ε-Kugel in ∅ besitzt. Für O ⊆ τ, x ∈ O existiert ein #O ∈ O, das x enthält. # Wegen O ∈ τ gibt es eine offene ε-Kugel um x in O ⊆ O. Daher gehört O zu τ. Schließlich seien O, P ∈ τ, x ∈ O ∩ P , etwa Kεd (x) ⊆ O, Kδd (x) ⊆ P . Mit ✷ γ := min{ε, δ} folgt Kγd (x) ⊆ Kεd (x) ∩ Kδd (x) ⊆ O ∩ P . Definitionen Es sei X eine Menge und τ ⊆ PX. τ Topologie auf X

:gdw τ erfüllt (O-1), (O-2), (O-3) (aus 1.2-4)

(X, τ) topologischer Raum

:gdw τ Topologie auf X

Die Elemente von τ heißen dann offene Mengen in (X, τ), ihre Komplemente abgeschlossene Mengen in (X, τ). ατ := { A ⊆ X | X\A ∈ τ } ist die Menge aller in (X, τ) abgeschlossenen Mengen.

1 Grundbegriffe

34 Beispiele (1.2,2) (a)

In pseudometrischen Räumen (X, d) ist τd gem. 1.2-4 die durch d induzierte Topologie. (i)

 εd (a) ∈ ατ ∀ ε > 0 ∀ a ∈ X : Kεd (a) ∈ τd , K d Sei y ∈ Kεd (a), also d(a, y) < ε, und 0 < δ < ε − d(a, y). Für jedes x ∈ Kδd (y) erhält man d(a, x) ≤ d(a, y) + d(y, x) < ε − δ + δ = ε, folglich Kδd (y) ⊆ Kεd (a).  εd (a), also d(a, y) > ε, und δ := d(a, y) − ε. Für jedes x ∈ K d (y) Sei y ∈ X\K δ gilt dann d(a, x) > ε (für d(a, x) ≤ ε würde d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < ε + δ =  εd (a) und somit K  εd (a) ∈ ατ . d(a, y) folgen
), also Kδd (y) ⊆ X\K d

(ii) Es gilt auch ∀ O ∈ τd : O = =

 Kεd (x) ε > 0, x ∈ X, Kεd (x) ⊆ O   d  εd (x) ⊆ O .  ε (x) ε > 0, x ∈ X, K K



(b) Nicht jede Topologie wird durch eine Pseudometrik im Sinne von (a) induziert:   Sei X := {0, 1}, τ := ∅, {1}, {0, 1} . (X, τ) ist ein topologischer Raum (sog. Sierpinski-Raum). Gäbe es eine Pseudometrik d auf X mit τd = τ, so müßte ein ε > 0 existieren, so daß Kεd (1) ⊆ {1} gilt  {1} wäre (d-)offene Menge . Es wäre damit d(0, 1) ≥ ε, d. h. 1 ∈ Kεd (0). Andererseits ist aber ∅ = Kεd (0) ∈ τd , also Kεd (0) = {0, 1}.
(c)

Auf jeder Menge X gibt es die folgenden Topologien: τin := {∅, X}

(die indiskrete Topologie auf X)

(Für X = ∅ wird τin durch die Pseudometrik
X × X −→ R+ din : (x, y) −→ 0 induziert.) und τdis := PX

(die diskrete Topologie auf X)

(Für X = ∅ wird τdis durch die Metrik ddis induziert.) Offenbar gilt für jede Topologie τ auf X: τin ⊆ τ ⊆ τdis . τc := { O ⊆ X | X\O endlich } ∪ {∅} ist die Topologie der koendlichen Mengen auf X; hierfür gilt (s. A 10) Äq (i)

τc = τdis

(ii) X endlich (iii) τc wird durch eine Pseudometrik induziert (d) Voneinander verschiedene Pseudometriken können dieselbe Topologie induzieren, die Behandlung eines pseudometrischen Raums als topologischer Raum nutzt somit i. a. nicht alle Möglichkeiten des Raums:

1.2 Konvergenz, Topologie

35

Für alle p, q ∈ R, 1 ≤ p ≤ q, gilt τdp = τdq = τd∞ auf Cn : d

d

Für jedes x ∈ Cn , ε > 0 ist Kε p (x) ⊆ Kε q (x) ⊆ Kεd∞ (x) gem. 1.1-4 (a). Hieraus folgt nach Definition sofort τdp ⊇ τdq ⊇ τd∞ . Sei schließlich O ∈ τdp , x ∈ O, etwa ε > 0 mit d dp d∞ Kε p (x) ⊆ O. Aus 1.1-4 (c) erhält man K(n −1/p )ε (x) ⊆ Kε (x) und somit – wiederum nach Definition – O ∈ τd∞ .

(1.2,2) ist der Anlaß für die Definitionen Es seien (X, τ), (V, σ) topologische Räume, V ein K-Vektorraum, K ∈ {R, C}, d und d
Pseudometriken auf X, N und N
Halbnormen auf V . τ (pseudo)metrisierbar

:gdw ∃ D : D (Pseudo-)Metrik auf X, τ = τD

σ (halb)normierbar

:gdw ∃   :   (Halb-)Norm auf V , τ = τd 

d topologisch äquivalent zu d


:gdw τd = τd

N topologisch äquivalent zu N


:gdw dN topologisch äquivalent zu dN 

Im folgenden werden die Kurzschreibweisen τS := τd  , S

τN := τdN

für die von Halbskalarprodukten S (bzw. Halbnormen N ) induzierten Topologien verwendet. Mit wohlbekannten einfachen Hilfsmitteln der reellen Analysis kann über (1.2,1) (a) und (1.2,2) (d) hinaus festgestellt werden, daß je zwei Normen auf Cn topologisch äquivalent sind; genauer gilt: Satz 1.2-5 Es sei V ein K-Vektorraum der K-Dimension dimK V = n ≥ 1, K ∈ {R, C}, {b1 , . . . , bn } eine K-Basis von V und  V −→ R+  n   2 : n 2 1/2 j=1 rj bj −→ j=1 |rj | die 2-Norm auf V . Dann ist jede Norm   auf V topologisch äquivalent zu  2 .

1 Grundbegriffe

36 Beweis τ  ⊆ τ 2 : Wegen   n 1/2  1/2  n n n    2 2   rj bj  ≤ |rj | bj  ≤ |rj | bj   j=1

=

j=1  n

bj 

2

j=1 1/2  n

  

j=1

erhält man mit c :=

 n

j=1 bj 

j=1

 2 1/2 d

 1.1-2.1 

j=1

  rj bj  

2

für jedes x ∈ V , ε > 0 d



Kε/c 2 (x) ⊆ Kε   (x) und hieraus gem. Definition der offenen Mengen τ  ⊆ τ 2 . τ  ⊇ τ 2 : Die Funktion




f:

K n −→ R   (r1 , . . . , rn ) −→  nj=1 rj bj 

ist stetig:

 n  2 1/2 ist. Sei (r1 , . . . , rn ) ∈ K n , ε > 0 und δ := ε/c, wobei wieder c := j=1 bj  Für alle (s1 , . . . , sn ) ∈ K n mit (s1 , . . . , sn ) − (r1 , . . . , rn )2 < δ gilt dann:    n  n      sj bj  rj bj  − |f (s1 , . . . , sn ) − f (r1 , . . . , rn )| =     j=1 j=1   n     vgl. 1.1, A 11  ≤  (sj − rj ) bj  j=1

 n     ≤ c  (sj − rj ) bj   =c

j=1  n

 s. o. 

2

1/2 |sj − rj |2

 per def. 

j=1

< c δ = ε. Die (n − 1)-Sphäre
S

n−1

:=

n   2 r∈K |rj | = 1 n

j=1

ist in (K n ,  2 ) beschränkt und abgeschlossen (also kompakt nach dem Satz von

1.2 Konvergenz, Topologie

37

Heine-Borel-Lebesgue, s. [32, Satz 2.41]), es gibt daher ein r ∈ S n−1 , für das f (r) = inf{ f (s) | s ∈ S n−1 }

  erfüllt ist (s. auch 4.1-6 (a) und 4.1, A 8); wegen r = 0 ist f (r) =  nj=1 rj bj  = 0. Für jedes y = nj=1 sj bj ∈ V , y2 = 1, folgt daher  n     sj bj  y =   = f (s) ≥ f (r) > 0 j=1

 1  x ≥ f (r) für jedes x ∈ V \{0}. Man erhält schließlich auch und somit  x 2 d

d

 1 x2 ≤ f (r) x, also Kεf(r) (x) ⊆ Kε τ  ⊇ τ 2 ergibt.

2

(x) für jedes x ∈ V , woraus sich ✷

Im allgemeinen läßt sich die topologische Äquivalenz zweier Halbnormen mit Hilfe des folgenden Satzes arithmetisch charakterisieren (vgl. 1.2-6.1): Satz 1.2-6 Es seien N , M Halbnormen auf dem K-Vektorraum V , K ∈ {R, C}. Dann gilt: Äq (i)

τ M ⊇ τN

(ii) ∃ C ∈ R> ∀ x ∈ V : N (x) ≤ CM (x) (iii) ∀ (xj )j ∈ V N : (xj )j →dM 0 ⇒ (xj )j →dN 0 Beweis (i) ⇒ (ii) Nach Voraussetzung (i) ist K1dN (0) ∈ τN ⊆ τM  (1.2,2) (a) (i) , es gibt somit ein ε > 0 mit KεdM (0) ⊆ K1dN (0). Für jedes x ∈ V , M (x) < ε, ist daher N (x) < 1. Es folgt für jedes x ∈ V mit M (x) = 0   ε   ε x 0, also auch x ∈ KδdN (0), d. h. N (x) = dN (x, 0) < δ für alle δ > 0  KδdN (0) ∈ τN ⊆ τM , also existiert ein δ
> 0 mit KδdM (0) ⊆ KδdN (0). , woraus N (x) = 0 folgt. Als Schranke kann daher C := 2/ε verwendet werden. (ii) ⇒ (iii) Für (xj )j →dM 0, also (M (xj ))j →d| | 0 gilt auch (CM (xj ))j →d| | 0. Wegen 0 ≤ N (xj ) ≤ CM (xj ) für alle j ∈ N folgt (N (xj ))j →d| | 0, d. h. (xj )j →dN 0  1.2-1 (a) . (iii) ⇒ (i) Es werde τM  τN , etwa O ∈ τN \τM angenommen. Dann gibt es ein x ∈ O, ε > 0 mit KεdN (x) ⊆ O und KεdN (x) ∈ τM  andernfalls wäre O ∈ τM ,

1 Grundbegriffe

38 woraus die Existenz eines y ∈ KεdN (x) mit der Eigenschaft ∀ δ > 0 : KδdM (y) KεdN (x)

dM (y)\KεdN (x) auswählen, folgt. Man kann somit für jedes j ∈ N ein xj ∈ K1/(j+1) und die Folge (xj )j ist dM -konvergent gegen y. Es gilt daher (xj − y)j →dM 0  1.2-2 (b) . Nach Voraussetzung (iii) folgt (xj − y)j →dN 0. Man wähle ein j1 ∈ N mit j11+1 + dN (x, y) < ε und weiter ein j0 ∈ N mit

∀ j ∈ N : j ≥ j0 ⇒ dN (xj , y)
0 }   d d  d (x) ⊆  (x) ⊆ K und Kε (x) ε > 0 Umgebungsbasen von x bzgl. τd .  Kε/2 ε/2 Kεd (x) . Jeder Punkt x besitzt somit auch eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen. Darüber hinaus hat jeder Punkt x eine abzählbare Umgebungsbasis, z. B. d (x) | j ∈ N }. { K1/(j+1) In beliebigen topologischen Räumen ist keine dieser beiden Eigenschaften erfüllt: Im Sierpinski-Raum (X, τ) (vgl. (1.2,2) (b)) hat der Punkt 1 keine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen  {1} ∈ Uτ (1) ∩ τ gem. Definition von τ, jedoch {1} ∈ ατ wegen {0, 1}\{1} = {0} ∈ τ . In (R, τc ), τc die Topologie der koendlichen Mengen (vgl. (1.2,2) (c)) auf R, hat kein Punkt x eine abzählbare Umgebungsbasis: Wäre $ B := { Bj | j ∈ N } eine $ (abzählbare) B\{x} Umgebungsbasis von x bzgl. τc , so würde B = {x} gelten  y ∈ $ =⇒ ∩ U (x) =⇒ ∃ j ∈ N : B ⊆ R\{y}
, also folgte: R\{x} = R\ B= R\{y} ∈ τ c τc j # { R\Bj | j ∈ N } ist eine abzählbare Menge, weil alle R\Bj endlich sind.
Hiermit erhält man erneut (vgl. (1.2,2) (b), (c)): (R, τc ) und der Sierpinski-Raum sind nicht pseudometrisierbar. (c)

Es sei X eine nichtleere Menge, (xj )j ∈ X N , n ∈ N und Bn := { xj | j ≥ n }. { Bn | n ∈ N } ist eine Filterbasis auf X, der von ihr erzeugte Filter heißt Endenfilter der Folge (xj )j .

Definition Es sei (X, τ) ein toplogischer Raum. (X, τ) A1 -Raum

:gdw

∀ x ∈ X ∃ B ⊆ Uτ (x) : B abzählbare Filterbasis und B = Uτ (x) Man sagt in diesem Fall auch: (X, τ) genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom.

1.2 Konvergenz, Topologie

41

In A1 -Räumen (X, τ) besitzt jeder Punkt x eine Umgebungsbasis { Vj | j ∈ N } mit der Eigenschaft: ∀ j ∈ N : Vj+1 ⊆ Vj .  Ist { Uj | j ∈ N } eine Umgebungsbasis von x, so setze man V0 := U0 und Vj+1 := Vj ∩ Uj+1 für jedes j ∈ N.  Gem. (1.2,3) (b) ist jeder pseudometrisierbare topologische Raum ein A1 -Raum, die Umkehrung gilt jedoch nicht! Die Frage nach der Angabe von zur (Pseudo-)Metrisierbarkeit äquivalenten topologischen Bedingungen an (X, τ) ist das (Pseudo-)Metrisationsproblem (s. auch 2.5-15). Die Konvergenz von Folgen läßt sich nun in toplogischen Räumen natürlich erklären: Definition Es sei (X, τ) ein toplogischer Raum, (xj )j ∈ X N . (xj )j konvergent in (X, τ) :gdw ∃ a ∈ X ∀ U ∈ Uτ (a) ∃ jU ∈ N ∀ j ≥ jU : xj ∈ U a heißt dann (ein) Limes der Folge (xj )j , (xj )j konvergent gegen a (in (X, τ)), in formaler Schreibweise τ-lim xj := lim xj := a, j

j

τ

(xj )j →τ a o. ä.,

sonst (xj )j τ a.

In pseudometrisierbaren Räumen ist dieser Konvergenzbegriff gerade der vorher behandelte, d. h. (xj )j →τd a ⇐⇒ (xj )j →d a. Beispiel (1.2,4) Es sei X = ∅ eine Menge, τc die Topologie der koendlichen Mengen auf X, (xj )j ∈ X N und a ∈ X. Es gilt: (xj )j →τc a

⇐⇒

∀ x ∈ X\{a} : { j ∈ N | xj = x } endlich.

„⇒“ Sei x = a, also X\{x} ∈ Uτc (a) ∩ τc . Man wähle ein j0 ∈ N so, daß xj ∈ X\{x} für jedes j ≥ j0 ist. { j ∈ N | xj = x } ⊆ {0, . . . , j0 − 1} ist endlich. „⇐“ Sei o. B. d. A. B ∈ Uτc (a) ∩ τc , etwa B = X\{y1 , . . . , ym } mit y1 , . . . , ym ∈ X. Für jedes k ∈ {1, . . . , m} ist Nk := { j ∈ N | xj = yk } eine endliche Menge, etwa # m k=1 Nk ⊆ {0, . . . , j0 } für ein j0 ∈ N. Man erhält somit xj ∈ {y1 , . . . , ym } für jedes j ≥ j0 + 1, also (xj )j →τc a.

Der Konvergenzbegriff für Folgen in topologischen Räumen läßt sich leicht auf Filter(basen) und Netze erweitern:

1 Grundbegriffe

42 Definitionen

Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, B eine Filterbasis auf X, (A, ≥) eine gerichtete Menge und M : A −→ X ein Netz in X (vgl. Anhang, 1-29). B konvergent in (X, τ)

:gdw ∃ a ∈ X ∀ U ∈ Uτ (a) ∃ B ∈ B : B ⊆ U

M konvergent in (X, τ) :gdw ∃ a ∈ X ∀ U ∈ Uτ (a) ∃ αU ∈ A ∀ α ∈ A : α ≥ αU ⇒ M (α) ∈ U a heißt dann (ein) Limes der Filterbasis B bzw. des Netzes M , B bzw. M konvergent gegen a (in (X, τ)), in formaler Schreibweise B →τ a bzw.

τ-lim B := lim B := a, τ

τ- lim M (α) := lim M (α) := a, α∈A

τ

α∈A

(M (α))α∈A →τ a o. ä.

Veranlaßt wurde die Einführung der Netz-Konvergenz (Moore und Smith, 1922) durch das Beispiel (1.2,5) Für a, b ∈ R, a < b sei Za,b die Menge aller endlichen Zerlegungen Z von [a, b], wobei Z endliche Zerlegung von [a, b] nZ +1

Z ∈ [a, b]

:gdw

∃ nZ ∈ N\{0} :

, z0 = a, znZ = b und ∀ j ∈ {1, . . . , nZ } : zj−1 < zj .

Za,b werde gerichtet durch die Festsetzung Z ≥ Z

:gdw

 ∀ j ∈ {1, . . . , nZ } ∃ k ∈ {1, . . . , nZ  } : [zj−1 , zj ] ⊆ [zk−1 , zk ]

(d. h. Z ist feiner als Z  ). Für jede beschränkte Funktion f : [a, b] −→ R ist
Za,b −→ R RU (f ) : nZ (zj − zj−1 ) inf{ f (x) | x ∈ [zj−1 , zj ] } Z −→ j=1 die Darbouxsche Untersumme von f und entsprechend
Za,b −→ RZ RO (f ) : (zj − zj−1 ) sup{ f (x) | x ∈ [zj−1 , zj ] } Z −→ nj=1 die Darbouxsche Obersumme von f . RU (f ) und RO (f ) sind Netze in R  f ist beschränkt.  und das Riemann-Integral von f existiert definitionsgemäß genau dann, wenn RU (f ), RO (f ) in (R, τ| | ) gegen denselben

b Limes, der dann Riemann-Integral a f (x) dx von f genannt wird, konvergieren: f Riemann-integrierbar

:gdw

∃ r ∈ R : RU (f ) →τ | | r und RO (f ) →τ | | r.

1.2 Konvergenz, Topologie

43

In Analogie zur Konvergenz von unendlichen Reihen wird Netzkonvergenz auch zur Formulierung von „Summierbarkeit“ in mit einer Topologie versehenen Vektorräumen verwendet. Definitionsbereich der Netze ist dabei die gerichtete Menge (Pe I, ⊇) für nichtleere Mengen I: Definition Es sei V ein K-Vektorraum, K ∈ {R, C}, τ eine Topologie auf V , I = ∅ eine Menge, (xi )i ∈ V I und xE := i∈E xi für jedes E ∈ Pe I (x∅ := 0). (xi )i summierbar (in (V, τ))

:gdw ∃ a ∈ V : (xE )E∈Pe I →τ a

a heißt dann Summe von (xi )i , in formaler Schreibweise  xi := lim xE := a. i∈I

Hiernach gilt

i∈I

τ E∈Pe I

τ

xi =τ a genau dann, wenn

∀ U ∈ Uτ (a) ∃ E0 ∈ Pe I ∀ E ∈ Pe I : E ⊇ E0 ⇒



xi ∈ U

i∈E

erfüllt ist. Von großer Bedeutung sind Summierbarkeitsfragen insbesondere in normierten Vektorräumen (vgl. Abschnitt 3.5). Beispiele (1.2,6) Es sei (V,  ) ein halbnormierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C}, I = ∅ eine unendliche Menge, (xi )i ∈ V I und a ∈ V . F := { T ⊆ I | I\T ∈ Pe I } ist ein Filter auf I (der Filter der koendlichen Teilmengen   von I) und somit xF := { xi | i ∈ T } T ∈ F ein Filter auf V (der Endenfilter von (xi )i ). (b) Ist (xi )i summierbar in (V, τ  ), etwa i∈I xi =τ   a, so gilt:

(a)

xF →τ   0 (Man erinnere sich in diesem an die Situation bei unendlichen Reihen: Zusammenhang ∞ Für jede konvergente Reihe i=0 xi in (R, τ| | ) gilt (xi )i →τ | | 0.): Es sei ε > 0. Man wähle ein E0 ∈ Pe I mit     ε  ∀ E ∈ Pe I : E ⊇ E0 ⇒  xi − a   < 2. i∈E

1 Grundbegriffe

44 Für jedes j ∈ I\E0 erhält man speziell     

i∈E0 ∪{j}

woraus

  xj  =  



xi −

i∈E0 ∪{j}



  ε xi − a   < 2,

     xi  ≤

i∈E0

 i∈E0 ∪{j}

         xi − a  +  a − xi   < ε, i∈E0

d

also { xj | j ∈ I\E0 } ⊆ Kε   (0) folgt. Speziell für I := N ergibt sich: Jede summierbare Folge i)i∈N ist eine Nullfolge. Die  (x 1 in (R, τ| | ) beweist. Umkehrung ist nicht richtig, wie das bekannte Beispiel i+1 i∈N

Abschließend sei angeführt, daß summierbare (xi )i ∈ V I in normierten Vektorräumen höchstens abzählbar viele von Null verschiedene Werte annehmen: Satz 1.2-8 Es sei (V,  ) ein normierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C}, I = ∅ eine Menge und (xi )i ∈ V I summierbar (in (V, τ  )). Dann ist { i ∈ I | xi = 0 } abzählbar. Beweis Für jede natürliche Zahl j wähle man Ej ∈ Pe I so, daß      xi − xi  ∀ E ∈ Pe I : E ⊇ Ej ⇒   < i∈I

#

i∈E

1 2(j + 1)

gilt. Die Menge E∞ := j∈N Ej ist als Vereinigung abzählbar vieler endlicher Mengen abzählbar, und für jedes l ∈ I\E∞ , j ∈ N erhält man        xi − xi  xl  =   i∈Ej ∪{l}

   ≤ 

i∈Ej ∪{l}

i∈Ej

xi −

 i∈I

woraus xl  = 0, also xl = 0 folgt.

       1   xi  +  xi − xi   < j + 1, i∈I

i∈Ej

✷

Aufgaben zu 1.2 1. (a)

Im metrischen Raum (X, ddis ) charakterisiere man die ddis -konvergenten Folgen!

(b) Für jedes ε > 0 induziert die Metrik dε (s. 1.1, A 1 (c)) die diskrete Topologie auf N.

1.2 Konvergenz, Topologie (c)

45

Für jedes j ∈ N sei Nj := { i ∈ N | 0 ≤ i ≤ j } und  +   N × N −→ R ( 0 für n, m ∈ N\Nj oder n = m dj :   (n, m) 7−→ 1 sonst.

dj ist eine Pseudometrik auf N. Man bestimme { k ∈ N | (i)i∈N →dj k }!

2. Mit Hilfe von f ∈ CR ([0, 1]), f 6= 0, f (0) = f (1) = 0 sei fj (x) := f (xj ) für x ∈ [0, 1], j ∈ N erklärt. Man zeige: (fj )j ist punktweise d| | -konvergent, aber nicht d∞ -konvergent in CR ([a, b]). 3. Es seien p ∈ R, q ∈ R ∪ {∞}, q > p ≥ 1, (xj )j ∈ (`p )N , (yj )j ∈ (`∞ )N , a ∈ `p und b ∈ `∞ . Man widerlege jeweils (a)

∀ k ∈ N : (yj,k )j →d| | bk

(b) (xj )j →dq a

=⇒

=⇒

(xj ) →dp a

(yj )j →d∞ b

4. Man konstruiere eine Folge (fj )j ∈ C([a, b])N , die punktweise d| | -konvergent gegen 0, jedoch nicht dq -konvergent gegen 0 ist (a, b, q ∈ R, a < b, q ≥ 1)! 5. Für die Folge (xj )j im metrischen Raum (X, d) beweise man: Sind (x2j )j , (x2j+1 )j und (x3j )j d-konvergent, so ist auch (xj )j d-konvergent, und es gilt d-lim xj = d-lim x2j+1 = d-lim x3j = d-lim x2j . j

j

j

j

Folgt die d-Konvergenz von (xj )j auch aus der d-Konvergenz von nur zwei ihrer drei angegebenen Teilfolgen? 6. Es sei X eine nichtleere Menge, für jedes j ∈ N dj eine Pseudometrik auf X, dj ≤ dj+1 (punktweise) und ( X × X −→ R+ P∞ d: dj (x,y) (x, y) 7−→ j=0 21j 1+d j (x,y) die Fréchetpseudometrik gem. 1.1, A 7. Man beweise: (a)

d (x,y)

j + ∀ j ∈ N ∀ x, y ∈ X : d(x, y) ≤ 2 1+d j (x,y)

dj (x,y) 1 2j , 1+dj (x,y)

≤ 2j−1 d(x, y)

(b) ∀ x ∈ X ∀ (xj )j ∈ X N : (xj )j →d x ⇔ ∀ k ∈ N : (xj )j →dk x.

7. Für jedes n ∈ N sei Rn [x] := { p(x) ∈ R[x] | grad p(x) ≤ n } der R-Vektorraum aller Polynome über R, deren Grad höchstens n ist. Man definiere für die paarweise voneinander verschiedenen reellen Zahlen r0 , r1 , . . . , rn  R+ Rn [x] −→P N: n p(x) 7−→ j=0 |p(rj )| und beweise, daß N eine Norm auf dem R-Vektorraum Rn [x] ist! Was bedeutet die dN -Konvergenz von Folgen in Abhängigkeit von r0 , . . . , rn ?

8. In ultrapseudometrischen Räumen (X, d) gilt für alle x, y ∈ X, ε > 0: e εd (x) = K e εd (y) e εd (x) =⇒ K (a) y ∈ Kεd (x) =⇒ Kεd (x) = Kεd (y) und y ∈ K (Jeder Punkt der ε-Kugel ist Mittelpunkt!)

1 Grundbegriffe

46 (b) Kεd (x) ∩ Kεd (y) 6= ∅ =⇒ Kεd (x) = Kεd (y) und e εd (x) ∩ K e εd (y) 6= ∅ =⇒ K e εd (x) = K e εd (y) K (Je zwei ε-Kugeln sind entweder gleich oder disjunkt!) e εd (x) ∈ τd ∩ ατ (c) Kεd (x) ∈ τd ∩ ατ und K d

d

9. Es seien τ, σ Topologien auf der Menge X. Man zeige: (a)

τ ⊆ σ ⇐⇒ ∀ x ∈ X : Uτ (x) ⊆ Uσ (x) (Hieraus folgt: τ = σ ⇐⇒ ∀ x ∈ X : Uτ (x) = Uσ (x).)

(b) τ ∩ σ ist eine Topologie auf X. Ist auch τ ∪ σ Topologie auf X?

10. τc sei die Topologie der koendlichen Mengen auf X 6= ∅ (vgl. (1.2,2) (c)). Man zeige: Äq (i)

τc = τdis

(ii) X endlich (iii) τc ist pseudometrisierbar 11. Es sei σ eine Topologie und V eine Umgebungsfunktion auf der Menge X. Man rechne nach: (a)

τV := { O ⊆ X | ∀ x ∈ O ∃ U ∈ V(x) : U ⊆ O } ist eine Topologie auf X.

(b) V = UτV (c)

σ = τUσ

(d) Die Funktion σ 7→ Uσ ist eine Bijektion (von der Menge aller Topologien auf X auf die Menge aller Umgebungsfunktionen auf X) mit der Inversen V 7→ τV .

12. Es seien a, b ∈ R, a < b, ∅ 6= T ⊆ [a, b] und

C([a, b]; T ) := { f ∈ C([a, b]) | f T = 0 }. Man zeige: C([a, b]; T ) ∈ ατd∞ im Raum C([a, b]). Ist C([a, b]; T ) auch d1 -abgeschlossen? 13. (a)

Die Mengen c := { (xj )j ∈ CN | (xj )j d| | -konvergent }

und

N

c0 := { (xj )j ∈ C | (xj )j →d| | 0 }

bilden abgeschlossene C-Untervektorräume von (`∞ , τd∞ ).

(b) Es seien p, q ∈ R ∪ {∞}, 1 ≤ p < q. `p ist nicht (dq -)abgeschlossen in `q (vgl. 1.1-5), insbesondere gilt τ|| ||q $ τ|| ||p auf `P (vgl. 1.2-6). 14. Es sei n ∈ N und X eine n-elementige Menge. (a)

Man gebe eine obere Schranke für die Anzahl der Topologien auf X an! ∗

(b) Für n ∈ {0, 1, 2, 3} bestimme man sämtliche Topologien auf X. ∗

Die exakte Anzahl der Topologien auf endlichen Mengen ist nicht bekannt.

1.2 Konvergenz, Topologie

47

15. Auf der Menge N × N sei τ := { T ⊆ N × N | (0, 0) ∈ T } 

  ∪ T ⊆ N × N i ∈ N { j ∈ N | (i, j) ∈ T } unendlich endlich . Eine Teilmenge T von N × N gehört demnach genau dann zu τ, wenn sie (0, 0) nicht enthält oder aus fast allen (d. h. aus allen mit höchstens endlich vielen Ausnahmen) Spalten {i} × N fast alle Elemente beinhaltet. Man zeige: (a)

τ ist eine Topologie auf N × N (die sog. Arens-Topologie).

(b) Keine Folge in N × N\{(0, 0)} ist in (N × N, τ) gegen (0, 0) konvergent. (c)

(N × N, τ) ist nicht A1 -Raum (und somit nicht pseudometrisierbar).

16. Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, F ein Filter auf X, (A, ≥) eine gerichtete Menge und M : A −→ X ein Netz in X. Für jedes F ∈ F wähle man ein NF ∈ F und für jedes a ∈ A sei Ea := { b ∈ A | b ≥ a }. Man zeige: NF : F −→ X, NF (F ) := NF , ist ein Netz auf der gerichteten Menge (F , ⊆).   (b) EM := { Mb | b ∈ Ea } a ∈ A ist eine Filterbasis auf X. (EM heißt Endenfilter von M .)

(a)

(c)

Für alle x ∈ X gilt:

%

F →τ x

⇐⇒

∀ NF ∈

(ii) M →τ x

⇐⇒

EM →τ x.

(i)

F ∈F

F : NF →τ x,

17. Es sei (V, N ) ein halbnormierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C}, k ∈ K\{0}, A, B ⊆ V , A + B := { a + b | a ∈ A, b ∈ B }, kA := { ka | a ∈ A }. Man beweise: (a)

A ∈ τN

=⇒

A + B ∈ τN , kA ∈ τN

(b) A ∈ ατN , B endlich

=⇒

kA ∈ ατN , A + B ∈ ατN

Gilt auch „A, B ∈ ατN =⇒ A + B ∈ ατN “? (c)

Ist W ein K-Untervektorraum von V und NW die Quotientenhalbnorm auf V /W zu N bzgl. W (vgl. 1.1-6 (d)), so gilt: W ∈ ατN

=⇒

NW Norm.

18. In jedem pseudometrischen Raum (X, d) bezeichne dist(x, S) := inf{ d(x, s) | s ∈ S } für x ∈ X, S ∈ PX\{∅} die Distanz von x zu S (auch Abstand dS (x) von x zu S). Es sei
∞ + −→ R+ N: x −→ max{x∞ , 2 dist(x, c0 )} (s. A 13 (a)). Man zeige, daß N eine zu  ∞ topologisch äquivalente Norm auf +∞ ist! 19. (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, S ∈ PX\{∅}. Für alle x, x ∈ X gilt |dist(x, S) − dist(x , S)| ≤ d(x , x).

2 Topologische Räume Kapitel 1 hat gezeigt, daß die Formulierung der Konvergenz von Folgen (Netzen und Filtern) in Anlehnung an die in der klassischen reellen Analysis in beliebigen topologischen Räumen möglich ist und daher zu einer Analysis in allgemeineren Strukturen als der der reellen Zahlen mit Absolutbetrag führt. Unter diesem Gesichtspunkt haben die spezielleren pseudometrischen oder gar halbnormierten Räume Gemeinsamkeiten, die nicht für diese Räume jeweils getrennt erforscht werden müssen, sondern in dem sehr viel allgemeineren Konzept topologischer Räume formuliert und bewiesen werden können. Kapitel 2 behandelt daher wichtige grundlegende Eigenschaften von Punkten, Mengen und Funktionen sowie von Topologien.

2.1 Spezielle Punkte und Mengen, Hüllenoperatoren Die folgenden Eigenschaften von Punkten in topologischen Räumen sind von ähnlicher Bedeutung wie die entsprechenden in (R, τ| | ): Definitionen (X, τ) sei ein topologischer Raum, x ∈ X und S ⊆ X. x innerer Punkt von S

:gdw ∃ U ∈ Uτ (x) : U ⊆ S

x äußerer Punkt von S

:gdw x innerer Punkt von X\S

x Berührpunkt von S

:gdw ∀ U ∈ Uτ (x) : U ∩ S = ∅

x Häufungspunkt von S

:gdw ∀ U ∈ Uτ (x) : (U \{x}) ∩ S = ∅

x Randpunkt von S

:gdw ∀ U ∈ Uτ (x) : U ∩ S = ∅, U ∩ (X\S) = ∅

x isolierter Punkt von S

:gdw x ∈ S, ∃ U ∈ Uτ (x) : U \{x} ⊆ X\S

Zwischen den Punktarten gibt es einige leicht ersichtliche Zusammenhänge, beispielsweise (vgl. A 2) x isolierter Punkt von S

⇐⇒

x ∈ S, x nicht Häufungspunkt von S,

x äußerer Punkt von S

⇐⇒

x ∈ S, x nicht Häufungspunkt von S.

2.1 Spezielle Punkte und Mengen, Hüllenoperatoren

49

Die Bedeutung der einzelnen Punktarten wird sich nach und nach herausstellen. Hier sei beispielsweise an die aus der reellen Analysis wohlbekannte Tatsache erinnert, daß jede im (Rn , τd2 ) unendliche beschränkte Menge einen Häufungspunkt besitzt (Satz von Bolzano-Weierstraß, s. 4.1-1). Man veranschauliche sich die obigen Begriffe am Beispiel (2.1,1) In (R, τ| | ) sei S := [1, 2] ∪



1 j+1

 j ∈ N . Für x ∈ R gilt dann:

x innerer Punkt von S

⇐⇒

x ∈ ]1, 2[

x äußerer Punkt von S

⇐⇒

x ∈ R\(S ∪ {0})

x Berührpunkt von S

⇐⇒

x ∈ S ∪ {0}

x Häufungspunkt von S

⇐⇒

x Randpunkt von S

⇐⇒

x isolierter Punkt von S

⇐⇒

x ∈ [1, 2] ∪ {0}   1 j∈N x ∈ {0, 1, 2} ∪ j+1  1  j ∈ N\{0} x ∈ j+1

Definitionen (X, τ) sei ein topologischer Raum, S ⊆ X. Dann heißt τ

S := { x ∈ X | x Berührpunkt von S }

(abgeschlossene) Hülle von S,

S
τ := { x ∈ X | x Häufungspunkt von S } Ableitung von S, S ◦τ := { x ∈ X | x innerer Punkt von S } (offener) Kern (oder Inneres) von S, ∂τ S := { x ∈ X | x Randpunkt von S }

Rand von S

in (X, τ). Zwischen den Mengenarten gibt es natürlich auch wieder leicht einzusehende Bezieτ τ hungen, beispielsweise gilt S = S ∪ S
τ , denn S ∪ S
τ ⊆ S ist gem. Definition τ richtig, und für jedes x ∈ S \S
τ gibt es ein U ∈ Uτ (x) mit (U \{x}) ∩ S = ∅ (und U ∩ S = ∅), also gehört x zu S. Beispiele (2.1,2) (a)

In (R2 , τd2 ) sei S := S

τd2



 & & x, sin x1 x ∈ 0, π1 . Es ist dann S ◦τd2 = ∅ und

= S τd2 = ∂τd2 S = S ∪ { (0, y) | −1 ≤ y ≤ 1 }

(vgl. Abb. 2.1-1). (b) In (R, τ| | ) gilt für jede unendliche Teilmenge B ⊆ R: B beschränkt in (R, τ| | )  Vgl. [32] 

=⇒

B τ | | = ∅

(Weierstraß)

2 Topologische Räume

50 y 1

1 3π

1 2π

x

1 π

−1 Abbildung 2.1-1

Hüllen- und Kernbildung sind zueinander duale Operationen, Hüllen sind abgeschlossene und demgemäß Kerne offene Mengen: Satz 2.1-1 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum und S ⊆ X. τ

τ

und X\S = (X\S)◦τ (a) X\S ◦τ = X\S $ τ (b) S = { A ∈ ατ | S ⊆ A } ∈ ατ .

(Dualität)

Beweis Zu (a) Sei x ∈ X. Es gilt x ∈ X\S ◦τ

⇐⇒

∀ U ∈ Uτ (x) : U ∩ (X\S) = ∅

⇐⇒

x ∈ X\S

τ

und x ∈ X\S

τ

⇐⇒

∃ U ∈ Uτ (x) : U ⊆ X\S

⇐⇒

x ∈ (X\S)◦τ

τ

Zu (b) Für x ∈ S , A ∈ ατ mit S ⊆ A und x ∈ A würde x ∈ X\A ∈ τ, also ∅$ = (X\A) ∩ S ⊆ (X\S) ∩ S folgen. Umgekehrt erhält man für jedes x ∈ { A ∈ ατ | S ⊆ A } und O ∈ τ mit x ∈ O auch O ∩ S = ∅  andernfalls ✷ wäre S ⊆ X\O ∈ ατ und somit x ∈ X\O . Korollar 2.1-1.1 (X, τ) sei ein topologischer Raum, S, T ⊆ X. (a) S ◦τ = (b) S ∈ τ

#

{O ∈ τ | O ⊆ S } ∈ τ

⇐⇒

S = S ◦τ ,

T ∈ ατ

⇐⇒

τ

T =T

⇐⇒

T
τ ⊆ T

2.1 Spezielle Punkte und Mengen, Hüllenoperatoren (c) S ⊆ T S

ττ

=⇒

=S

τ

τ

S∪T =S ∪T (S ∩

τ

und (S ◦τ )◦τ = S ◦τ τ

T )◦τ

τ

S ⊆ T und S ◦τ ⊆ T ◦τ

=

S ◦τ

51

(Monotonie), (Idempotenz),

τ

(Vereinigungstreue),

∩

T ◦τ

(Durchschnittstreue)

Beweis Zu (a) τ

S ◦τ = X\(X\S)  = X\ { A ∈ ατ | X\S ⊆ A } =

{ X\A | A ∈ ατ , X\S ⊆ A }

=

{ X\A | X\A ∈ τ, X\A ⊆ S }

=

{O ∈ τ | O ⊆ S }

 2.1-1 (a)   2.1-1 (b)   de Morgansche Regel 

Zu (b) S ∈ τ ⇐⇒ S = S ◦τ ist gem. (a) offensichtlich richtig. Weiter gilt T
τ ∪ T = τ T = T genau dann, wenn T
τ ⊆ T . Zu (c) Monotonie und Idempotenz folgen direkt aus 2.1-1 (b) bzw. 2.1-1.1 (a). τ τ τ τ τ Darüber hinaus ist somit S ∪ T ⊆ S ∪ T und wegen S ∪ T ⊆ S ∪ T ∈ ατ τ τ τ  2.1-1 (b)  auch S ∪ T ⊆ S ∪ T . Die Durchschnittstreue folgt nun auf Grund der Dualität 2.1-1 (a): τ

X\(S ◦τ ∩ T ◦τ ) = (X\S ◦τ ) ∪ (X\T ◦τ ) = X\S ∪ X\T τ

τ

= (X\S) ∪ (X\T ) = X\(S ∩ T ) = X\(S ∩ T )◦τ . τ

τ

✷

τ

Gem. 2.1-1 (b) ist der Rand ∂τ S = S ∩ X\S einer jeden Teilmenge eines topologischen Raumes (X, τ) abgeschlossen, die Ableitung S
τ ist es i. a. jedoch nicht: Beispiel (2.1,3) Im indiskreten Raum ({0, 1}, τin ) gilt {1}τin = {0} ∈ ατin . Unter der zusätzlichen Voraussetzung „∀ x ∈ X : {x} ∈ ατ “ an den topologischen Raum (X, τ) ist die Ableitung einer jeden Teilmenge S auch abgeschlossen: Sei x ∈ (S τ )τ und U ∈ Uτ (x) ∩ τ. Da x Häufungspunkt von S τ ist, gibt es ein = U ∩ (X\{x}) ∈ τ ist U \{x} (offene) Umgebung y ∈ S τ ∩ (U \{x}).  Wegen U \{x}  von y ∈ S τ , also (U \{x})\{y} ∩ S = ∅ und somit erst recht (U \{x}) ∩ S = ∅.

2 Topologische Räume

52

Man beachte, daß obige zusätzliche Voraussetzung nicht nur in jedem metrisierbaren topologischen Raum erfüllt ist  Ist d eine Metrik auf X, x, y ∈ X, x = y, so folgt wegen d(x, y) > 0 d (y) ⊆ X\{x}. X\{x} ist somit (d-)offen. , sondern beispielsweise auch in sofort Kd(x,y)/2 dem nicht pseudometrisierbaren Raum (R, τc )  vgl. (1.2,3) (b) . Mit ihrer Hilfe erkennt man, daß für jede einelementige Teilmenge {x} wegen {x}τ ⊆ {x} sofort {x}τ ∈ {∅, {x}} ⊆ ατ folgt. Man vgl. hierzu A 5.

Definition (X, τ) sei ein topologischer Raum, S ⊆ X. S perfekt (in (X, τ))

:gdw S
τ = S

Perfekte Mengen sind nach 2.1-1.1 (b) notwendigerweise abgeschlossen, die Umkehrung gilt natürlich nicht. Beispiel (2.1,4) In (R, τ| | ) ist jedes Intervall [a, b], a < b, perfekt, einelementige Mengen sind nicht perfekt  {x}τ | | = ∅ . In (N, τc ) ist die Menge P aller Primzahlen nicht abgeschlossen, also nicht perfekt; es gilt hier Pτc = N  P ist unendlich .

Die perfekten Mengen lassen sich unter den abgeschlossenen leicht charakterisieren: Satz 2.1-2 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, S ⊆ X. Äq (i)

S perfekt

(ii) S ∈ ατ und S hat keinen isolierten Punkt Beweis (i) ⇒ (ii) Sei x ∈ S. Wegen S
τ = S gilt (U \{x}) ∩ S = ∅ für jedes U ∈ Uτ (x), x ist somit nicht isolierter Punkt von S. (ii) ⇒ (i) Nach Voraussetzung (ii) und 2.1-1.1 (b) ist S
τ ⊆ S. Umgekehrt ist kein x ∈ S isolierter Punkt von S, für jede Umgebung U von x also U \{x} X\S, d. h. (U \{x}) ∩ S = ∅. ✷ Die Beschreibung der Hülle bzw. Ableitung einer Menge mit Hilfe der Konvergenz ermöglicht der

2.1 Spezielle Punkte und Mengen, Hüllenoperatoren

53

Satz 2.1-3 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, S ⊆ X und x ∈ X. (a) Äq (i)

x ∈ S
τ

(ii) ∃ M : M Netz in S\{x}, M →τ x (iii) ∃ F : F Filter auf S\{x}, F →τ x (b) Äq (i)

x∈S

τ

(ii) ∃ M : M Netz in S, M →τ x (iii) ∃ F : F Filter auf S, F →τ x Beweis Zu (a) (i) ⇒ (ii) Sei x ∈ S
τ und MU ∈ (U \{x}) ∩ S für jedes U ∈ Uτ (x). Dann ist
Uτ (x) −→ S\{x} M: U −→ MU ein Netz in S\{x} (auf der gerichteten Menge (Uτ (x), ⊆) definiert) mit M →τ x. (ii) ⇒ (iii) Sei M : A −→ S\{x} ein Netz mit M →τ x. Der zugehörige Endenfilter FM := { { Ma | a ≥ b } | b ∈ A } auf S\{x} konvergiert gegen x. (iii) ⇒ (i) Sei F ein Filter auf S\{x} mit F →τ x, U eine Umgebung von x. Es gibt dann ein F ∈ F mit F ⊆ U . Wegen ∅ = F ⊆ S\{x} folgt (U \{x}) ∩ S = ∅, x ist somit Häufungspunkt von S. Zu (b) (i) ⇒ (ii) Für x ∈ S ist




N −→ S j −→ x

ein gegen x konvergentes Netz (Folge), für x ∈ S
τ existiert gem. (a) sogar ein Netz in S\{x}, das gegen x konvergiert. (ii) ⇒ (iii) Wie im Beweis zu (a), (ii) ⇒ (iii) erfüllt der Endenfilter eines jeden gegen x konvergenten Netzes (iii). (iii) ⇒ (i) Konvergiert der Filter F auf S gegen x, so enthält jede Umgebung U von x ein Element von F, also mindestens ein Element aus S, x ist Berührpunkt von S. ✷ Ist der topologische Raum (X, τ) ein A1 -Raum, so gilt 2.1-3 auch für Folgen an Stelle von Netzen, da jeder Punkt des Raumes eine abzählbare Umgebungsbasis { Uj | j ∈ N } mit Uj+1 ⊆ Uj für jedes j ∈ N besitzt. I. a. reichen Folgen jedoch für die Hüllen- bzw. Ableitungsbeschreibung gemäß 2.1-3 nicht aus (vgl. A 1). In metrisierbaren topologischen Räumen kann 2.1-3 (a) dagegen noch verschärft werden:

2 Topologische Räume

54 Äq (i)

x ∈ S
τ

(ii) ∃ (xj )j ∈ (S\{x})N : (xj )j →τ x und ∀ j, k ∈ N : j = k ⇒ xj = xk  Für x ∈ S
τ , ε0 > 0 wähle man x0 ∈ S ∩ (Kεd0 (x)\{x}) und weiter – wenn εj > 0 und xj ∈ S bereits bestimmt wurden – induktiv für εj+1 := min{εj /2, d(x, xj )} ein xj+1 ∈ S ∩ (Kεdj+1 (x)\{x}).  Korollar 2.1-3.1 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, S ⊆ X. Äq (i)

S ∈ ατ

(ii) ∀ M : M Netz in S ⇒ (∀ x ∈ X : M →τ x ⇒ x ∈ S) (iii) ∀ F : F Filter auf S ⇒ (∀ x ∈ X : F →τ x ⇒ x ∈ S) Beweis (i) ⇒ (ii) Sei M ein Netz in S, x ∈ X und M →τ x. Gem. 2.1-3 (b) ist dann x ∈ S (= S gem. (i)).

τ

(ii) ⇒ (iii) Sei F ein Filter auf S, x ∈ X und F →τ x. Für jede Filtermenge F ∈ F wähle man ein MF ∈ F aus. Dann ist
F −→ X M: F −→ MF ein gegen x konvergentes Netz ((F, ⊆) ist gerichtete Menge!), gem. (ii) somit x ∈ S. τ

(iii) ⇒ (i) Für jedes x ∈ S existiert gem. 2.1-3 (b) ein gegen x konvergenter Filter τ ✷ auf S. Nach Voraussetzung (iii) folgt x ∈ S, also S = S. Für topologische Räume mit erstem Abzählbarkeitsaxiom gilt 2.1-3.1 auch mit Folgen anstelle von Netzen. Korollar 2.1-3.2 Für alle Topologien τ, σ auf der Menge X gilt: Äq (i)

τ⊆σ

(ii) ∀ M ∀ x ∈ X : M Netz in X, M →σ x ⇒ M →τ x. Beweis (i) ⇒ (ii) ist nach Definition der Netzkonvergenz richtig. (ii) ⇒ (i) Sei S ∈ τ, also X\S ∈ ατ , M ein Netz in X\S, x ∈ X mit M →σ x. Nach Voraussetzung (ii) gilt dann auch M →τ x, also x ∈ X\S  2.1-3.1 . Es folgt – ✷ wiederum mit 2.1-3.1 – X\S ∈ ασ , d. h. S ∈ σ.

2.1 Spezielle Punkte und Mengen, Hüllenoperatoren

55

Für Topologien τ, σ, die A1 -Räume ergeben, genügen zur Vergleichbarkeit τ ⊆ σ wieder Folgen (A 11). Topologien auf einer Menge X lassen sich vollständig durch Umgebungsfunktionen auf X beschreiben (vgl. 1.2, A 11 (d)), beide Begriffe sind in diesem Sinne gleichwertig. Satz 2.1-3 (b) läßt vermuten, daß Topologien auch durch geeignet abstrakt definierte Konvergenz von Netzen charakterisiert werden können. Dieser Vorgang sei kurz angedeutet. Man legt fest, welche Netze (mit beliebigen gerichteten Mengen als Definitionsbereich) gegen welche Elemente der Menge X konvergieren sollen. Damit ein derartiger Konvergenzbegriff C derjenige zu einer Topologie auf X, d. h. topologisch sein kann, muß er natürlich dessen sämtliche Eigenschaften besitzen, beispielsweise muß die Festlegung ergeben, daß jedes konstante Netz sich als ein gegen diese Konstante C-konvergentes Netz erweist. Die grundlegenden Forderungen (Axiome) der Netzkonvergenz C findet man z. B. in [21, Seite 74]. Die Konstruktion der zugehörigen Topologie (in der also genau dieselben Netze gegen dieselben Punkte konvergieren wie bzgl. C) erfolgt mit Hilfe der Hüllenbildung gem. 2.1-3 (b): Für alle x ∈ X, S ⊆ X: x∈S

:gdw ∃ M : M Netz in S, M C-konvergent gegen x.

Hierdurch erhält man dann einen Hüllenoperator auf X ([21, Seite 74]): Definition Es sei X eine Menge und h : PX −→ PX. h (Kuratowskischer) Hüllenoperator auf X (H-1) ∀ S ⊆ X :

S ⊆ h(S)

(H-2) ∀ S ⊆ X :

h(h(S)) ⊆ h(S)

:gdw h erfüllt

(H-3) ∀ S, T ⊆ X : h(S ∪ T ) = h(S) ∪ h(T ) (H-4) h(∅) = ∅ Mit Hilfe von 2.1-1 (b) und 2.1-1.1 (c) erkennt man sofort, daß in topologischen Räumen (X, τ) durch
PX −→ PX hτ : τ S −→ S ein (Kuratowskischer) Hüllenoperator auf X erklärt ist. Die an die Netzkonvergenz C gestellten Forderungen (Axiome) ergeben, daß
PX −→ PX hC : S −→ S

2 Topologische Räume

56

ein (Kuratowskischer) Hüllenoperator auf X ist. Die Äquivalenz der Begriffe „Topologie τ“ und „Konvergenz C“ ergibt sich dann mit der Gleichwertigkeit von „Topologie τ“ und „(Kuratowskischer) Hüllenoperator h“, letztere wird unter Verwendung der folgenden Bezeichnungen ausführlich beschrieben: HX := { h | h (Kuratowskischer) Hüllenoperator auf X }, TX := { τ | τ Topologie auf X },
TX −→ PX PX und h: τ −→ hτ
HX −→ PPX t: h −→ { O ⊆ X | h(X\O) = X\O }. Satz 2.1-4 h : TX −→ HX und t : HX −→ TX sind zueinander inverse Bijektionen. Beweis Zunächst wird gezeigt, daß t(h) für jeden (Kuratowskischen) Hüllenoperator h eine Topologie auf X ist. Dazu sind für t(h) die Eigenschaften (O-1), (O-2) und (O-3) zu überprüfen: (O-1): X ∈ t(h), weil h(X\X) = h(∅) = ∅ = X\X gem. (H-4) gilt. ∅ ∈ t(h) folgt unmittelbar aus (H-1). (O-2): Es seien O, P ∈ t(h), also h(X\O) = X\O und h(X\P ) = X\P . Wegen (H-3) erhält man h(X\(O ∩ P )) = h((X\O) ∪ (X\P )) = h(X\O) ∪ h(X\P ) = (X\O) ∪ (X\P ) = X\(O ∩ P ). (O-3): Es sei # O ⊆ t(h),#also h(X\O) = X\O für jedes O ∈ O. Die Inklusion X\ O ⊆ h(X\ O) ergibt sich aus (H-1). Für jedes O ∈ O gilt umgekehrt $ P ∈O (X\P ) ⊆ X\O, also   (X\P ) ⊆ h(X\O) h P ∈O

 h ist monoton gem. (H-3) , woraus auch nach Voraussetzung folgt       P =h (X\P ) ⊆ h(X\O) = (X\O) h X\ P ∈O

P ∈O

= X\

O.

O∈O

O∈O

2.1 Spezielle Punkte und Mengen, Hüllenoperatoren

57

Schließlich sei τ eine Topologie und h ein (Kuratowskischer) Hüllenoperator auf X. Wegen   τ  2.1-1.1 (b)  t ◦ h(τ) = t(hτ ) = O ⊆ X X\O = X\O = τ ist t ◦ h die Identität auf TX . Vor dem Beweis von h ◦ t(h) = h sei vermerkt, daß   h ◦ t(h) = h { O ⊆ X | X\O = h(X\O) } , also für jedes A ⊆ X

A ∈ αt(h)

⇐⇒

h(A) = A

gilt. Nach (H-2) in Verbindung mit (H-1) ist h(A) = h(h(A)) und somit h(A) ∈ αt(h) , also t(h) ⊆ h(A). (h ◦ t(h))(A) = A  $ t(h) = B ∈ αt(h) A ⊆ B  2.1-1 (b) , und für jedes Andererseits gilt A B ∈ αt(h) , A ⊆ B, auch h(A) ⊆ h(B) = B, somit h(A) ⊆ A

t(h)

= (h ◦ t(h))(A) ✷

für alle A ⊆ X. h ◦ t ist daher die Identität auf HX .

Abschließend sei erwähnt, daß Topologien infolge der in 2.1-1 (a) aufgeführten Dualität von Hülle und Kern auch durch Kernoperatoren gekennzeichnet werden können (vgl. A 13). Welche der äquivalenten Beschreibungen jeweils verwendet werden, hängt häufig von den konkret zu bearbeitenden Problemen ab. Folgenkonvergenz genügt i. a. jedoch nicht zur Beschreibung von Topologien τ, wenn Aussagen wie x ∈ S
τ

⇐⇒

∃ (xj )j ∈ (X\{x})N : (xj )j →τ x

(vgl. 2.1-3 (a))

gelten sollen (vgl. A 1 und 1.2, A 15 (b)).

Aufgaben zu 2.1 1. N × N sei mit der Arens-Topologie τ versehen (vgl. 1.2, A 15). Man zeige, daß (0, 0) Häufungspunkt der Menge N × N\{(0, 0)} ist! 2. Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, x ∈ X, S, T ⊆ X und S äτ := { y ∈ X | y äußerer Punkt von S }. Man beweise: (a)

x isolierter Punkt von S

(b) x ∈

S äτ

⇐⇒ x ∈ S, x nicht Häufungspunkt von S

⇐⇒ x ∈ S, x nicht Häufungspunkt von S

2 Topologische Räume

58 (c)

X = S ◦τ ∪ S äτ ∪ ∂τ S, und S ◦τ , S äτ , ∂τ S sind paarweise disjunkt zueinander.

(d) ∂τ S ◦τ ⊆ ∂τ S (e) (f)

S ◦τ

∪

τ

S =

T ◦τ

S ◦τ

⊆ (S ∪ T )◦τ

(h) ∂τ S = S

(Gilt auch „=“?)

∪ ∂τ S

(g) ∂τ ∂τ S ⊆ ∂τ S τ

(Gilt auch „=“?)

(Gilt hier „=“? Vgl. auch A 4!)

\S ◦τ

∂τ S ⊆ S ⇐⇒ S ∈ ατ ∂τ S ∩ S = ∅ ⇐⇒ S ∈ τ ⇐⇒ S ∈ τ ∩ ατ . ∂τ S = ∅   3. Man zeige, daß τ := {∅, R} ∪ ]−∞, r[ r ∈ R eine Topologie auf R ist und bestimme {0}τ ! Ist {0}τ ∈ ατ ? (i)

4. Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, S ⊆ X. Man beweise: S ∈ τ ∪ ατ

=⇒

∂τ ∂τ S = ∂τ S.

5. In jedem topologischen Raum (X, τ) gilt ∀ S ⊆ X : S τ ∈ ατ

Äq (i)

(ii) ∀ x ∈ X : {x}τ ∈ ατ . 6. Für jede Teilmenge S eines topologischen Raumes (X, τ) gilt S∈τ

Äq (i)

(ii) ∀ M ∀ x ∈ S : M : A −→ X Netz, M →τ x ⇒ (∃ a ∈ A ∀ b ∈ A : b ≥ a ⇒ M (b) ∈ S) 7. Es sei (X, d) ein pseudometrischer Raum, S, A, O ⊆ X und x ∈ X. Man zeige: (a)

Für S = ∅ gilt:

x∈S

τd

⇐⇒

dist(x, S) = 0

(b) Sind A ∈ ατd , O ∈ τd , so folgt: ∃ (Oj )j ∈ τdN ∃ (Aj )j ∈ ατNd : A =

 j∈N

(c)

S d-beschränkt

=⇒

S

τd

Oj , O =

Aj j∈N

d-beschränkt

8. (V, q) sei ein halbnormierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C}, W ein K-Untervektorraum von V . Man beweise: τq

(a)

W

(b)

W ◦τq

ist K-Untervektorraum von V

(c)

Ist W maximaler K-Untervektorraum von V , so gilt entweder W ∈ ατq oder τq W =V.

= ∅

=⇒

W ∈ τq

=⇒

W ∈ ατq

2.1 Spezielle Punkte und Mengen, Hüllenoperatoren

59

9. Für die Topologien τ, σ auf der Menge X zeige man: Äq (i)

τ⊆σ

(ii) ∀ S ⊆ X : S ◦τ ⊆ S ◦σ σ

(iii) ∀ S ⊆ X : S ⊆ S

τ

10. Für jede Teilmenge S eines A1 -Raums (X, τ) gilt Äq (i)

S∈τ

(ii) ∀ (xj )j ∈ X N ∀ x ∈ S : (xj )j →τ x ⇒ ∃ j0 ∈ N ∀ j ≥ jo : xj ∈ S. 11. Es seien (X, τ), (X, σ) A1 -Räume. Man beweise Äq (i)

τ⊆σ

(ii) ∀ (xj )j ∈ X N ∀ x ∈ X : (xj )j →σ x ⇒ (xj )j →τ x. 12. Im topologischen Raum (X, τ) definiere man für Teilmengen S von X induktiv zwei Folgen αS , βS ∈ (PX)N durch αS (0) := S =: βS (0),  τ αS (j) αS (j + 1) := X\αS (j)  X\βS (j) βS (j + 1) := τ βS (j)

für j gerade für j ungerade, für j gerade für j ungerade.

Man zeige: (a)

αS (3) = αS (7)

(b) KS := { αS (j) | j ∈ N } ∪ { βS (j) | j ∈ N } hat höchstens 14 Elemente (Hüllen-Komplement-Problem von Kuratowski). (c)

In (R, τ| | ) gibt es eine Teilmenge S, für die KS genau 14 Elemente besitzt.

13. Es sei X eine Menge und k : PX −→ PX. k Kernoperator auf X

:gdw

k erfüllt

(K-1) ∀ S ⊆ X :

k(S) ⊆ S

(K-2) ∀ S ⊆ X :

k(k(S)) ⊇ k(S)

(K-3) ∀ S, T ⊆ X : k(S ∩ T ) = k(S) ∩ k(T ) (K-4) k(X) = X Weiter sei KX := { k | k Kernoperator auf X },
PX −→ PX kτ : S −→ S ◦τ für jede Topologie τ auf X, sowie
TX −→ PX PX k: τ −→ kτ ,


t:

KX −→ PPX k −→ { O ⊆ X | k(O) = O }

2 Topologische Räume

60 und
C:

PX −→ PX S −→ X\S.

Man beweise: (a)

Die Abbildungen


KX −→ HX k −→ C ◦ k ◦ C


und

HX −→ KX h −→ C ◦ h ◦ C

sind (wohldefinierte) zueinander inverse Bijektionen. (b) ∀ k ∈ KX ∀ h ∈ HX : t(k) = t(C ◦ k ◦ C), t(h) = t(C ◦ h ◦ C) (c)

∀ τ ∈ TX : k(τ) = C ◦ hτ ◦ C, h(τ) = C ◦ kτ ◦ C

(d) k : TX −→ KX , t : KX −→ TX sind zueinander inverse Bijektionen. (Charakterisierung von Topologien durch Kernoperatoren)

2.2 Dichtigkeit, Separabilität, Approximation Bei der praktischen Behandlung von mathematischen Problemen ist man darauf angewiesen, deren Lösungen (sofern welche existieren) durch bekannte handhabbare Objekte möglichst genau anzunähern. Zur Erläuterung sei als einfaches Beispiel hierfür die Darstellung der Sinusfunktion über [0, 1] auf einem Digitalrechner genannt: Da nur endlich viele Dezimalstellen berücksichtigt werden können, muß die Berechnung der Sinuswerte sin x näherungsweise, z. B. durch Auswertung von Anfangsstücken p der Taylorreihe des Sinus an Stellen x  erfolgen, die dicht bei x liegen und im Rechner dargestellt werden können. Dabei wird also i. a. sowohl das Argument x in [0, 1] als auch die Sinusfunktion durch „gut bekannte Objekte“ – x  ∈ [0, 1]∩Q und Polynome p(x) – ersetzt und sin x approximativ als p( x) errechnet. Die Genauigkeit der Approximation läßt sich dabei zumindest theoretisch durch den Einsatz leistungsfähigerer Rechner beliebig steigern, sofern man x  bzw. p „beliebig dicht“ bei x bzw. sin finden kann. Die Stetigkeit von p und sin sorgt dann nämlich dafür, daß p( x) „hinreichend dicht“ bei sin x liegen wird (Stetigkeit von Funktionen zwischen topologischen Räumen: vgl. Abschnitt 2.4!). Zur Präzisierung des Dichtigkeitsbegriffs die Definitionen Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, D ⊆ X. D dicht in (X, τ) D nirgendsdicht in (X, τ)

τ

:gdw D = X  τ ◦ :gdw D τ = ∅

2.2 Dichtigkeit, Separabilität, Approximation

61

In (X, τ) dichte Teilmengen D enthalten aus jeder Umgebung eines jeden Punktes τ mindestens ein Element, D besteht ausschließlich aus inneren Punkten, wohingegen τ bei nirgendsdichten Mengen D überhaupt kein innerer Punkt in D vorhanden ist. Achtung: „Nirgendsdicht“ ist nicht gleichbedeutend zu „nicht dicht“! Beispiele (2.2,1) n

In (Rn , τdp ), 1 ≤ p ≤ ∞, ist Qn dicht  vgl. 1.2-5 , [0, 1] ist nicht dicht und auch nicht  n τdp ◦τdp n = ]0, 1[ = ∅ . nirgendsdicht  [0, 1] In topologischen Räumen (X, τ), X = ∅, sind nirgendsdichte Teilmengen nicht dicht.

Satz 2.2-1 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, S ⊆ X. (a) Äq (i)

S dicht in (X, τ)

(ii) ∀ O ∈ τ\{∅} : O ∩ S = ∅ (b) Äq (i)

S nirgendsdicht in (X, τ) τ

(ii) ∀ O ∈ τ\{∅} ∃ P ∈ τ\{∅} : P ⊆ O, P ∩ S = ∅ Beweis Zu (a) τ

S =X

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

∀ x ∈ X ∀ U ∈ Uτ (x) : U ∩ S = ∅ ∀ x ∈ X ∀ O ∈ τ : x ∈ O ⇒ O ∩ S = ∅ ∀ O ∈ τ\{∅} : O ∩ S = ∅ τ

τ

Zu (b) (i) ⇒ (ii) Für jedes O ∈ τ\{∅} ist O S , also P := O ∩ (X\S ) = ∅ eine τ offene, zu S disjunkte Teilmenge von O. τ

(ii) ⇒ (i) Ist S nicht nirgendsdicht in (X, τ), also O := (S )◦τ = ∅, so gilt τ ✷ ∅ = P = P ∩ S für jedes P ∈ τ\{∅}, P ⊆ O. Nirgendsdichte Teilmengen S haben ein in (X, τ) dichtes Komplement  Für jedes τ x ∈ X, U ∈ Uτ (x) ist U S und somit auch U S, also U ∩ (X\S) = ∅ , die τ| | τ Umkehrung ist i. a. jedoch nicht richtig: In (R, τ| | ) ist Q | | = R = R\Q . Dagegen gilt Korollar 2.2-1.1 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, S ∈ ατ . Äq (i)

S nirgendsdicht in (X, τ)

(ii) X\S dicht in (X, τ)

2 Topologische Räume

62 Beweis (i) ⇒ (ii) ist klar  s. o. . τ

(ii) ⇒ (i) Aus X\S = X folgt gem. 2.2-1 (a): ∀ O ∈ τ\{∅} : O ∩ (X\S) = ∅. τ

Mit P := O ∩ (X\S) ∈ τ\{∅} gilt P ⊆ O, P ∩ S = P ∩ S = ∅, also ist S gem. 2.2-1 (b) nirgendsdicht in (X, τ). ✷ Beispiel (2.2,2) Für jedes beschränkte Intervall I reeller Zahlen bezeichne +(I) := sup I − inf I dessen Länge. Im Intervall [0, 1] definiere man & ' ' & F0 := {[0, 1]}, F1 := 0, 13 , 23 , 1 , & ' & ' & ' ' & F2 := 0, 19 , 29 , 39 , 69 , 79 , 89 , 1 , allgemein für n ∈ N Fn+1 :=

 ' & min I, min I + 13 +(I) I ∈ Fn '  & ∪ min I + 23 +(I), max I I ∈ Fn .

Auf jeder Stufe n + 1 ist Fn+1 die Menge aller abgeschlossenen Intervalle ' & ' & Il (I) := min I, min I + 13 +(I) , Ir (I) := min I + 23 +(I), max I der Länge 1/3n+1 , die aus den Intervallen I der vorangegangenen Stufe Fn entstehen, wenn man deren zentrales offenes Teilintervall der Länge 1/3n+1 herausnimmt (auswischt). # Man setze Cj := Fj für jedes j ∈ N. (Cj )j ist dann eine absteigende Folge abgeschlossener Mengen in (R, τ| | ).  C := Cj ∈ ατ | | j∈N

heißt Cantorsches Diskontinuum (auch Cantorsche Wischmenge). Es gilt: (a)

C ist nirgendsdicht in (R, τ| | ). Es sei O ∈ τ| | \{∅}. Für O ⊆ R\C gilt O ∩ (R\C) = O = ∅. Ist O ∩ C = ∅, so existiert ein offenes Intervall I positiver Länge in O und darin ein I ∈ Fn für ein hinreichend großes n ∈ N. Es folgt somit O ∩ (R\C) ⊇ I\(Il (I) ∪ Ir (I)) = ∅. Gem. 2.2-1 (a) ist R\C dicht in (R, τ| | ), und wegen der Abgeschlossenheit von C liefert 2.2-1.1 die Behauptung.

(b) C ist die Menge aller reellen Zahlen aus [0, 1], in deren triadischer Darstellung die Ziffer 1 nicht benötigt wird:
  ∞ −j N\{0} xj 3 (xj )j ∈ {0, 2} C= . j=1

Insbesondere ist C nicht abzählbar.

2.2 Dichtigkeit, Separabilität, Approximation „⊆“

63

Sei c ∈ C, also c ∈ Cn für jedes n ∈ N, etwa In (c) dasjenige Intervall der Folge (Fj )j erhält man somit aus Fn mit c ∈ In (c). Nach Konstruktion  In+1 (c) ∈ Il (In (c)), Ir (In (c)) für jedes n ∈ N. Man setze  0, falls Ij (c) = Il (Ij−1 (c)) xj := 2, falls Ij (c) = Ir (Ij−1 (c)) für alle j ∈ N\{0}. Vollständige Induktion ergibt für jedes n ∈ N n 

xj 3−j = min In (c) :

j=1

Für n = 0 hat die Summe definitionsgemäß den Wert 0 = min I0 (c). Ist xn+1 = 0, also In+1 (c) = Il (In (c)), so gilt n+1 

xj 3−j =

j=1

n 

xj 3−j = min In (c) = min In+1 (c).

j=1

Für xn+1 = 2, also In+1 (c) = Ir (In (c)), ergibt sich ebenfalls n+1 

xj 3−j =

j=1

n 

xj 3−j + 2 · 3−(n+1) = min In (c) + 23 +(In (c)) = min In+1 (c).

j=1

Es folgt für jedes n ∈ N  n −j xj 3 − c = |min In (c) − c| ≤ +(In (c)) = 3−n

 c ∈ In (c) ,

j=1

„⊇“

∞ die Reihe j=1 xj 3−j ist daher konvergent gegen c. ∞ n −j N\{0} −j Sei c = ist, sn := und j=1 xj 3 , wobei (xj )j ∈ {0, 2} j=1 xj 3 −n In := [sn , sn + 3 ], also In ∈ Fn für jedes n ∈ N: Für n = 0 ist nämlich I0 = [0, 1] ∈ F0 . Ist xn+1 = 0, so gilt & ' & ' In+1 = sn+1 , sn+1 + 3−(n+1) = sn , sn + 13 · 3−n = Il (In ) ∈ Fn+1 wegen In ∈ Fn . Für xn+1 = 2 ergibt sich (wieder wegen In ∈ Fn ) & ' In+1 = sn + 2 · 3−(n+1) , sn + 2 · 3−(n+1) + 3−(n+1) ' & = sn + 23 · 3−n , sn + 3−n = Ir (In ) ∈ Fn+1 . Es folgt für jedes n ∈ N c − sn =

∞ 

xj 3−j ≤

j=n+1

also c ∈ In ⊆ Cn und somit c ∈

$ n∈N

2 3n+1

Cn = C.

∞  j=0

3−j = 3−n ,

2 Topologische Räume

64 (c)

C ist perfekt in (R, τ| | ). Da C abgeschlossen, also C τ | | ⊆ C ist, muß nur C ⊆ C τ | | überprüft werden: Sei ∞ x = j=1 xj 3−j ∈ C, (xj )j ∈ {0, 2}N\{0} und ε > 0. Man wähle ein n ∈ N\{0} mit 2 · 3−n < ε und setze  xj für j = n yj := 2 − xn für j = n. ∞ Gem. (b) gehört y := j=1 yj 3−j zu C, und es gilt die Abschätzung |y − x| = |yn 3−n − xn 3−n | = 2 · 3−n < ε, d

also y ∈ C ∩ (Kε | | (x)\{x}). x ist daher Häufungspunkt von C. Man beachte außerdem, daß die Gesamtlänge der bei der Konstruktion von C aus [0, 1] „ausgewischten“ Intervalle gerade ∞  2j−1 =1 3j j=1 ist, der Länge nach wurde also das ganze Intervall „ausgewischt“. Die Endpunkte der in jeder Stufe übriggebliebenen Intervalle gehören offensichtlich zu C, es sind aber insgesamt nur abzählbar viele! C enthält wegen (b) noch erheblich mehr Elemente (vgl. A 1).

Das Cantorsche Diskontinuum ist nach Konstruktion der Rand der Vereinigung aller „ausgewischten“ Intervalle, also Rand einer offenen Menge. Dieses gilt allgemeiner für beliebige nirgendsdichte abgeschlossene Mengen: Satz 2.2-2 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, N ⊆ X. Äq (i)

N ∈ ατ , N nirgendsdicht in (X, τ)

(ii) ∃ O ∈ τ : N = ∂τ O (iii) ∃ A ∈ ατ : N = ∂τ A Beweis τ

τ

τ

τ

(i) ⇒ (ii) Die Menge O := X\N ist offen mit ∂τ O = O ∩ X\O = X\N ∩ N , τ τ wobei gem. 2.2-1.1 X\N = X gilt. Es folgt ∂τ O = N = N . (ii) ⇒ (iii) N = ∂τ O = ∂τ (X\O) und X\O ∈ ατ . (iii) ⇒ (i) N = ∂τ A ∈ ατ und   τ ◦ τ ◦ (∂τ A)◦τ = A ∩ X\A τ = A◦τ ∩ X\A τ = A◦τ ∩ (X\A◦τ )◦τ = ∅  2.1-1.1 (c), 2.1-1 (a) 

✷

2.2 Dichtigkeit, Separabilität, Approximation

65

Die Anwendung der in 2.2-2 aufgeführten Charakterisierung abgeschlossener, nirgendsdichter Mengen auf ebene algebraische Kurven A ⊆ R2 liefert, daß jede dieser Kurven Randmenge einer offenen (und auch abgeschlossenen) Teilmenge des R2 ist (Korollar 2.2-3.1). Dabei sei A ⊆ R2 (ebene) algebraische Kurve genannt, wenn A Nullstellenmenge eines Polynoms f (x, y) =

n 

qj (y)xj ∈ R[x, y]\{0}

j=0

(qj (y) ∈ R[y] für j = 0, . . . , n) in zwei Veränderlichen x, y über R ist. Einfache Beispiele der Anschauung sind die durch die Polynome fK (x, y) = x2 + y 2 − 1

(Einheitskreislinie),

fP (x, y) = x2 − y

(Parabel),

fH (x, y) = xy − 1

(Hyperbel)

fA (x, y) = xy

(Koordinatenachsenkreuz)

bzw.

beschriebenen Kurven (vgl. Abb. 2.2-1). y 1

y fK fP

1 1 x 1

y

x

y fH

fA

1

1

1

x

Abbildung 2.2-1

1

x

2 Topologische Räume

66

Algebraische Kurven A sind als Nullstellenmengen von Polynomen (diese sind bekanntlich stetig) abgeschlossen in (R2 , τd2 ). Weiter ist für jedes f (x, y) ∈ R[x, y]\{0} { s ∈ R | ∀ r ∈ R : f (r, s) = 0 } eine endliche Menge: Für jedes s ∈ R mit der Eigenschaft ∀ r ∈ R : 0 = f (r, s) =

n 

qj (s)rj

j=0

muß notwendig qj (s) = 0 für jedes j ∈ {0, . . . , n} gelten. Da nun wenigstens eines der Koeffizientenpolynome qj (y) nicht das Nullpolynom ist, also nur endlich viele Nullstellen hat, existieren nur endlich viele derartige s. Satz 2.2-3 Jede (ebene) algebraische Kurve A ist nirgendsdicht in (R2 , τd2 ). Beweis

n j ∈ R[x, y]\{0} und Sei A die Nullstellenmenge von f (x, y) = j=0 qj (y)x {y1 , . . . , yk } = { s ∈ R | ∀ r ∈ R : f (r, s) = 0 }.  τ ◦ Annahme: A d2 τd2 = ∅. τ Man wähle ein (x0 , y0 ) ∈ R2 , ε0 > 0 mit Kεd02 (x0 , y0 ) ⊆ A d2 = A und dazu ein y0
∈ R\{y1 , . . . , yk } mit y0 < y0
< y0 + ε0 , ε1 > 0 mit Kεd12 (x0 , y0
) ⊆ Kεd02 (x0 , y0 ) (vgl. Abb. 2.2-2). y (x0 + 2ε , y0 )

y0 + ε0 y0 + ε1 y0 y0

y0 − ε0 x1

x4

x0 x0 + ε x2

x3

x

Abbildung 2.2-2

Dann ist f (x, y0
) ∈ R[x] nicht das Nullpolynom, hat somit nur endlich viele

2.2 Dichtigkeit, Separabilität, Approximation

67

Nullstellen x1 , . . . , xl (l ≥ 1). Für δ := min{ |xj − x0 | | 1 ≤ j ≤ l, xj = x0 } (δ = ∞ ist möglich!) und ε := min{δ, ε1 } erhält man einerseits   x0 + 2ε , y0
∈ Kεd12 (x0 , y0
) ⊆ Kεd02 (x0 , y0 ) ⊆ A und auch

  f x0 + 2ε , y0
= 0

 x0 + (ε/2) ∈ {x1 , . . . , xl } .


✷

Korollar 2.2-3.1 Jede (ebene) algebraische Kurve ist Rand einer offenen (bzw. abgeschlossenen) ✷ Teilmenge in (R2 , τd2 ). Eine auch in anderen mathematischen Zusammenhängen auftretende Frage ist die nach der Approximierbarkeit beliebiger reeller Zahlen x durch solche der Form z1 + rz2 , wobei z1 , z2 ∈ Z frei wählbar sind und r eine vorgegebene reelle Zahl ist. In der Terminologie der Topologie ist somit das Problem zu lösen, für welche r ∈ R die Menge Z + rZ dicht in (R, τ| | ) ist. Dieses soll im folgenden geklärt werden (2.2-4.3). Zunächst erhält man für Untergruppen G der additiven Gruppe (R, +) der reellen τ Zahlen, daß auch die topologische Hülle G | | eine Untergruppe von (R, +) ist  vgl. die entsprechende Aussage für Untervektorräume in 2.1, A 8 (a) . Satz 2.2-4 G sei eine Untergruppe von (R, +). Es gilt: (a) { O ∩ G | O ∈ τ| | } = PG (b) G ∈ ατ | |

=⇒

G dicht in (R, τ| | )

=⇒ G = R oder ∃ r ≥ 0 : G = rZ

Beweis Zu (a) Sei x ∈ R und ε > 0. Nach Voraussetzung gibt es ein gε ∈ (G\{0}) ∩ ]−ε, ε[  Andernfalls  erhielte man ]g − ε, g + ε[ ∩ G = {g} für jedes g ∈ G und damit # T = g∈T ]g − ε, g + ε[ ∩ G für alle T ⊆ G im Gegensatz zur Prämisse. , o. B. d. A. sei 0 < gε < ε. Es folgt   R= [ngε , (n + 1)gε ] n ∈ Z , etwa x ∈ [ngε , (n + 1)gε ], und somit ngε ∈ ]x − ε, x + ε[. Wegen ngε ∈ G erhält man d

G ∩ Kε | | (x) = G ∩ ]x − ε, x + ε[ = ∅. Zu (b) Für G ∈ {{0}, R} ist nichts zu beweisen, deshalb sei {0}  G  R. Mit (a)

2 Topologische Räume

68 folgt wegen G ∈ ατ | |

{ O ∩ G | O ∈ τ| | } = PG.

(∗)

Man wähle ein g ∈ G\{0}, o. B. d. A. g > 0. Die Menge G ∩ [0, g] ist beschränkt (und abgeschlossen) in R, hätte somit einen Häufungspunkt x (in G ∩ [0, g]), wenn sie d unendlich wäre (Weierstraß). Man wähle ε > 0 gem. (∗), so daß Kε | | (x) ∩ G = {x} gilt. Hierfür ist dann   d Kε | | (x)\{x} ∩ (G ∩ [0, g]) = ∅, x also nicht Häufungspunkt von G ∩ [0, g]. Daher ist G ∩ [0, g] eine endliche Menge; G besitzt ein kleinstes positives Element r. Natürlich gilt rZ ⊆ G. Umgekehrt sei y ∈ G und m die größte ganze Zahl, die höchstens so groß wie y/r ist, i. Z. m = [y/r], also 0 ≤ y−mr < r  y − mr ≥ r =⇒ y/r ≥ m + 1 . Es folgt wegen y − mr ∈ G sofort y = mr ∈ rZ. ✷ Korollar 2.2-4.1 G sei eine Untergruppe von (R, +), G = R. Äq (i)

{ O ∩ G | O ∈ τ| | } = PG

(ii) G ∈ ατ | | Beweis (i) ⇒ (ii) Nach Voraussetzung (i) gibt es ein a > 0 mit {0} = [−a, a] ∩ G. Sei τ x ∈ G | | , etwa gemäß den Ausführungen im Anschluß an 2.1-3 (b) (xi )i ∈ GN mit τ (xi )i →τ | | x. Aus 1.2-2 (c) folgt (−xi )i →τ | | −x, also −x ∈ G | | . Man wähle ein y ∈ ]−x − a2 , −x + a2 [ ∩ G und ein i0 ∈ N, so daß xi ∈ ]x − a2 , x + a2 [ für jedes i ≥ i0 gilt. Hiermit ergibt sich y + xi ∈ G ∩ [−a, a] = {0} für alle i ≥ i0 und auch (y + xi )i →τ | | y + x  1.2-2 (b) , also x = −y ∈ G. (ii) ⇒ (i) Wegen G

τ|

|

= G = R gilt nach 2.2-4 (a) { O ∩ G | O ∈ τ| | } = PG.

Über 2.2-4.1 hinaus gilt für von zwei reellen Zahlen erzeugte Untergruppen Korollar 2.2-4.2 Es seien a, b ∈ R, G := aZ + bZ. Äq (i)

{ O ∩ G | O ∈ τ| | } = PG

(ii) G ∈ ατ | | (iii) ∃ (q1 , q2 ) ∈ Q2 \{(0, 0)} : q1 a + q2 b = 0 (d. h. a, b sind Q-linear abhängig)

✷

2.2 Dichtigkeit, Separabilität, Approximation

69

Beweis aZ + bZ ist abzählbar, also nicht ganz R. Gem. 2.2-4.1 ist (i) daher äquivalent zu (ii). (ii) ⇒ (iii) Für G = {0} muß a = b = 0 sein, (iii) ist hierfür richtig. Sei also G = {0}, d. h. a = 0 oder b = 0, und gem. 2.2-4 (b) r > 0 mit G = rZ, etwa a = rz1 und b = rz2 , wobei z1 , z2 ∈ Z sind. Es folgt z2 a − z1 b = 0 und (z1 , z2 ) ∈ Q\{(0, 0)}. (iii) ⇒ (i) Sei o. B. d. A. q1 = 0, also a = −(q2 /q1 )b und somit G = (q2 /q1 )bZ + bZ = b((q2 /q1 )Z + Z). Mit q2 /q1 = m/n, m, n ∈ Z, folgt (q2 /q1 )Z + Z = (m/n)Z + Z ⊆ (1/n)Z + Z ⊆ (1/n)Z, also G ⊆ (b/n)Z. Die Behauptung erhält man nun direkt aus { O ∩ (b/n)Z | O ∈ τ| | } = P((b/n)Z) : Für b = 0 ist die Gleichung sofort erkennbar richtig, für (o. B. d. A.) b/n > 0 und x ∈ (b/n)Z ist d| | (x) ∩ (b/n)Z = {x}. Kb/(2n) Somit existiert für jedes x ∈ (b/n)Z ein Ox ∈ τ| | mit Ox ∩ (b/n)Z = {x}, woraus   {x} = (Ox ∩ (b/n)Z) = Ox ∩ (b/n)Z S= x∈S

x∈S

für jede Teilmenge S von (b/n)Z folgt.

x∈S

✷

Korollar 2.2-4.3 Für jede reelle Zahl r gilt: Äq (i)

Z + rZ dicht in (R, τ| | )

(ii) r irrational Beweis (i) ⇒ (ii) Für jedes r ∈ Q sind r, 1 voneinander Q-linear abhängig  r · 1 − 1 · r = 0, (r, 1) = (0, 0) . Nach 2.2-4.2 ist Z + rZ ∈ ατ (und natürlich auch Z + rZ = R). (ii) ⇒ (i) Für jedes r ∈ R\Q sind r, 1 voneinander Q-linear unabhängig  für q1 = 0 ist r ∈ Q wegen q1 r + q2 = 0 , gem. 2.2-4.2 gilt somit { O ∩ (Z + rZ) | O ∈ τ| | } = τ ✷ P(Z + rZ). Aus 2.2-4 (a) erhält man Z + rZ | | = R. Für die zu Beginn von Abschnitt 2.2 angeführte („beliebig genaue“) Approximierbarkeit durch handhabbare bekannte Objekte zeigt das folgende Beispiel zwei für das praktische Rechnen wichtige Möglichkeiten im Raum (BR ([a, b]), τd∞ ).

2 Topologische Räume

70 Beispiele (2.2,3) Es seien a, b ∈ R, a < b. (a)

f : [a, b] −→ R Treppenfunktion

:gdw

∃ (x0 , . . . , xn ) : (x0 , . . . , xn ) endliche Zerlegung von [a, b], ∀ j ∈ {0, . . . , n − 1} : f
[xj , xj+1 [ konstant (vgl. (1.2,5)). Sei Trep R ([a, b]) := { f : [a, b] −→ R | f Treppenfunktion }. Es gilt (Gleichmäßige Approximierbarkeit stetiger Funktionen durch Treppenfunktionen) ∀ f ∈ CR ([a, b]) ∀ ε > 0 ∃ ϕ ∈ Trep R ([a, b]) : d∞ (f, ϕ) < ε : Da f als auf [a, b] stetige Funktion auch gleichmäßig stetig ist (vgl. [32, Satz 4.19] oder auch (2.4,5) (d), 4.1-2.1), kann man ein δ > 0 finden mit ∀ x, y ∈ [a, b] : |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε. Weiter wähle man eine endliche Zerlegung (x0 , . . . , xn ) von [a, b], ξj ∈ ]xj , xj+1 [ für jedes j ∈ {0, . . . , n − 1}, max (xj+1 − xj ) < δ, und setze 0≤j≤n−1

ϕ(x) := f (ξj ) für x ∈ [xj , xj+1 [, 0 ≤ j ≤ n − 1, ϕ(xn ) := f (b). Dann ist ϕ ∈ Trep R ([a, b]), und für jedes x ∈ [a, b] gilt  ( |f (ξj ) − f (x)| für x ∈ [xj , xj+1 [, 0 ≤ j ≤ n − 1 |ϕ(x) − f (x)| = < ε, 0 für x = xn da |ξj − x| < δ für jedes j ∈ {0, . . . , n − 1}. (b)

f ∈ CR ([a, b]) Polygon (linearer Spline)

:gdw

∃ (x0 , . . . , xn ), (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn : (x0 , . . . , xn ) endliche Zerlegung von [a, b], ∀ j ∈ {0, . . . , n − 1} ∀ x ∈ [xj , xj+1 ] : f (x) = aj+1 x + bj+1 . Sei S1 ([a, b]) := { f ∈ CR ([a, b]) | f linearer Spline }. Es gilt (Gleichmäßige Approximierbarkeit stetiger Funktionen durch lineare Splines) τd∞

S1 ([a, b])

= CR ([a, b]) :

Sei f ∈ CR ([a, b]) und ε > 0. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von f gibt es ein δ > 0 mit ∀ x, y ∈ [a, b] : |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε.

2.2 Dichtigkeit, Separabilität, Approximation

71

Man wähle eine endliche Zerlegung (x0 , . . . , xn ) von [a, b] mit

max (xj+1 − xj ) < δ

0≤j≤n−1

und hierzu den linearen Spline ϕ mit den „Ecken“ (xj , f (xj )), d. h. für x ∈ [xj , xj+1 ], j = 0, . . . , n − 1 f (xj+1 ) − f (xj ) f (xj+1 )xj − xj+1 f (xj ) x− xj+1 − xj xj+1 − xj x − xj = f (xj ) + (f (xj+1 ) − f (xj )). xj+1 − xj

ϕ(x) =

Es folgt für alle x ∈ [xj , xj+1 ], j ∈ {0, . . . , n − 1}  x − xj  x − xj f (x) − ϕ(x) = (f (x) − f (xj )) 1 − + (f (x) − f (xj+1 )) , xj+1 − xj xj+1 − xj also

 |f (x) − ϕ(x)| < 1 −

x − xj  x − xj ε+ ε = ε. xj+1 − xj xj+1 − xj

Definition (X, τ) sei ein topologischer Raum. (X, τ) separabel

:gdw ∃ D ⊆ X : D abzählbar und dicht in (X, τ)

Beispiele (2.2,4) (a)

(Rn , τdp ) ist für 1 ≤ p ≤ ∞ separabel, da Qn äquivalent sind  1.2-5 .

τd2

= Rn ist, und alle Normen auf Rn

(b) Diskrete Räume (X, τdis ) sind genau dann separabel, wenn X eine abzählbare Menge ist. (c)

(+pR , τdp ) (und analog (+p , τdp )) ist für jedes p ∈ R, p ≥ 1, separabel: Es sei D := { (xj )j ∈ +pR | ∀ j ∈ N : xj ∈ Q, ∃ j0 ∈ N ∀ j ≥ j0 : xj = 0 } die Menge Zahlen, die schließlich Null sind.  D ist abzählbar # der Folgen rationaler D = { (xj )j ∈ QN | ∀ j ≥ n : xj = 0 } n ∈ N , wobei die Menge { (xj )j ∈ QN | ∀ j ≥ n : xj = 0 } für jedes n ∈ N abzählbar ist.  und dicht in (+pR , τdp ): ∞ Sei (xj )j ∈ +pR , ε > 0 und r ∈ N mit j=r+1 |xj |p < (1/2)εp . Für jedes j ∈ {0, . . . , r}  1 1/p wähle man ein qj ∈ Q mit |xj − qj | < ε 2(r+1) und setze qj = 0 für die übrigen j ≥ r + 1. Dann gilt (qj )j ∈ D und dp ((xj )j , (qj )j )p =

∞ 

|xj − qj |p =

j=0 d

also (qj )j ∈ D ∩ Kε p ((xj )j ).

r ∞   |xj − qj |p + |xj |p < εp 12 + 12 εp = εp , j=0

j=r+1

2 Topologische Räume

72

(d) Einfaches Beispiel für einen (sogar normierbaren) nicht separablen Raum ist (+∞ R , τd∞ ): Die Teilmenge S := {0, 1}N von +∞ R ist überabzählbar (Anhang 1-36 (b)), und für je zwei voneinander verschiedene (xj )j , (yj )j ∈ S ist der Abstand d∞ ((xj )j , (yj )j ) = sup|xj − yj | = 1, j∈N

also gilt d∞ d∞ ((xj )j ) ∩ K1/2 ((yj )j ) = ∅. K1/2 d∞ Jede in (+∞ R , τd∞ ) dichte Teilmenge muß aus jeder der Umgebungen K1/2 ((xj )j ), (xj )j ∈ S, mindestens ein Element enthalten, kann daher nicht abzählbar sein.

Zum Abschluß dieses Abschnitts werden Funktionen f ∈ CR ([a, b]) im Hinblick auf ihre gleichmäßige Approximierbarkeit durch Polynome untersucht. Ergebnis ist dann der klassische Weierstraßsche Approximationssatz 2.2-5. Zunächst zwei Beispiele zu dieser gleichmäßigen Approximation: Beispiele (2.2,5) (a)

Der Absolutbetrag ist über dem Intervall [−1, 1] gleichmäßig durch Polynome approximierbar: Die zur Realisierung führende Idee ist, ausgehend von p0 (x) = 0 durch Erhöhung des Polynomgrades zu einer besseren Näherung für |x|, x ∈ [−1, 1], zu gelangen. Dazu setze man pn+1 (x) := pn (x) + 12 (x2 − pn (x)2 ) für jedes n ∈ N, z. B. p1 (x) = (1/2)x2 usw. (Abb. 2.2-3). y 2

|x|

1 p1 (x) p0 (x) −2

−1

1

2

x Abbildung 2.2-3

Die Polynome pn (x) liegen über [−1, 1] zwischen 0 und |x|, d. h. 0 ≤ pn (x) ≤ |x| für jedes x ∈ [−1, 1], n ∈ N:

(∗)

2.2 Dichtigkeit, Separabilität, Approximation

73

Für n = 0 ist das klar. Wegen 0 ≤ pn (x)2 ≤ |x|2 = x2 , also x2 − pn (x)2 ≥ 0 erhält man (induktiv) pn+1 (x) ≥ 0 und auch   |x| − pn+1 (x) = |x| − pn (x) − 12 |x|2 − pn (x)2   = (|x| − pn (x)) 1 − 12 (|x| + pn (x)) ≥ 0, da |x| − pn (x) ≥ 0 und |x| + pn (x) ≤ 2 nach Induktionsvoraussetzung gilt. Außerdem ist

 |x| n |x| − pn (x) ≤ |x| 1 − 2

(∗∗)

für x ∈ [−1, 1], n ∈ N: Vollständige Induktion (über n) liefert (s. o.)

 |x| − pn+1 (x) = (|x| − pn (x)) 1 −

1 2

 (|x| + pn (x)) ,

n  und wobei gem. (∗) und Induktionsvoraussetzung 0 ≤ |x| − pn (x) ≤ |x| 1 − |x| 2 1 − 12 (|x| + pn (x)) ≤ 1 − 12 |x| gilt. Es folgt daher   |x|  |x| n+1 |x| n  1− = |x| 1 − |x| − pn+1 (x) ≤ |x| 1 − . 2 2 2 Die Behauptung ergibt n0 sich nun unmittelbar mit (∗∗): Zu 0 < ε < 1 wähle man ein  < ε. Für |x| < ε gilt 0 ≤ |x| − pn (x) ≤ |x| < ε für jedes n ∈ N, n0 ∈ N mit 1 − 2ε und für ε ≤ |x| ≤ 1 ist   |x| n ε n  ε n 0 ≤ |x| − pn (x) ≤ |x| 1 − ≤ |x| 1 − ≤ 1−

Dieses Ergebnis kann leicht auf beliebige Intervalle [−r, r], r ∈ R , übertragen werden. p(x) − |x| < ε/r auf [−1, 1], so auch p(x/r) − |x/r| < ε/r auf [−r, r], Ist nämlich also rp(x/r) − |x| < ε für alle x ∈ [−r, r]. Mit p(x) gehört natürlich auch rp(x/r) zum Polynomring R[x].

(b) Es seien m, a, b ∈ R, a < b, ξ ∈ ]a, b[ und f : [a, b] −→ R (Abb. 2.2-4) definiert durch  0 für a ≤ x ≤ ξ f (x) := m(x − ξ) für ξ ≤ x ≤ b. f ist über [a, b] gleichmäßig approximierbar durch Polynome p(x): Sei ε > 0. Man wähle ein r ∈ R> mit ξ − r ≤ a < b ≤ ξ + r (Abb. 2.2-4) und setze für m = 0 (natürlich) p(x) = 0. Wegen f (x) = 12 m(x − ξ) + 12 m|x − ξ| verwende man für m = 0 gem. (a) ein q(x) ∈ R[x] mit |x − ξ| − q(x − ξ) < 2ε |m|

2 Topologische Räume

74 y f

ξ−r

a

ξ

b

ξ+r

x

Abbildung 2.2-4

für jedes x ∈ [ξ − r, ξ + r]  x − ξ ∈ [−r, r] für diese x . Es folgt m  |m| m |x − ξ| − q(x − ξ) < ε (x − ξ) + q(x − ξ) = f (x) − 2 2 2 für jedes x ∈ [a, b], wobei

m 2 (x

− ξ) +

m 2 q(x

− ξ) ∈ R[x] ist.

Satz 2.2-5 (Weierstraßscher Approximationssatz, reell, 1885) Für alle a, b ∈ R, (CR ([a, b]), τd∞ ), d. h.

a < b, liegt die Menge der reellen Polynome dicht in τd∞

R[x]
[a, b]

= CR ([a, b]).

Beweis Es sei f ∈ CR ([a, b]) und ε > 0. Gem. (2.2,3) (b) gibt es eine endliche Zerlegung (x0 , . . . , xn ) von [a, b], so daß der lineare Spline ϕ ∈ S1 ([a, b]) mit den „Ecken“ (xj , f (xj )), j = 0, . . . , n ε |f (x) − ϕ(x)| < 2 für alle x ∈ [a, b] erfüllt. Auf den Teilintervallen [xj , xj+1 ], j = 0, . . . , n − 1, ist ϕ dargestellt durch ϕ(x) = mj x + cj mit f (xj+1 )xj − xj+1 f (xj ) xj+1 − xj (vgl. (2.2,3) (b)). Man zerlege nun den linearen Spline ϕ additiv, d. h. ϕ = nj=1 ϕj , wobei die Summanden ϕj die Form der Funktionen aus (2.2,5) (b) haben: mj :=

f (xj+1 ) − f (xj ) xj+1 − xj

und cj := −

f (x1 ) − f (x0 ) f (x1 )x0 − x1 f (x0 ) x− , x1 − x0 x1 − x0  0 für a ≤ x ≤ x1 ϕ2 (x) := m2 x + c2 − ϕ1 (x) für x1 ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) :=

2.2 Dichtigkeit, Separabilität, Approximation

75

allgemein für j = 0, . . . , n − 1  0 für a ≤ x ≤ xj j ϕj+1 (x) := mj x + cj − k=1 ϕk (x) für xj ≤ x ≤ b. Beispiel (2.2,5) (b) sichert die Existenz von Polynomen pj (x) ∈ R[x] mit |ϕj (x) − pj (x)|
0, p(x) = j=0 pj xj ∈ R[x] mit supx∈[a,b] |f (x) − p(x)| < ε/2 gem. 2.2-5. Man setze c := max{|a|, |b|} und wähle für jedes j = 0, . . . , np ein qj ∈ Q mit |qj − pj | < Dann ist q(x) =

np

j=0 qj x

j

ε . 2(np + 1)cj

∈ Q[x] und für jedes x ∈ [a, b]

  n np np  p ε ε j j |p(x) − q(x)| = (pj − qj )x ≤ |pj − qj | |x| ≤ cj = , j 2(n + 1)c 2 p j=0 j=0 j=0

2 Topologische Räume

76 also

d∞ (f, q[a, b]) ≤ d∞ (f, p[a, b]) + d∞ (p[a, b], q[a, b]) ≤ ε.

Der Weierstraßsche Approximationssatz bietet vielfältige Anwendungsmöglichkeiten, eine findet man in A 6. Oftmals ist die gleichmäßige Approximierbarkeit stetiger Funktionen durch Polynome in einer bestimmten Funktion nützlich (s. 2.4-4.3), z. B. mit Hilfe trigonometrischer Polynome (s. (2.4,5) (e), (3.6,5)).

Aufgaben zu 2.2 1. Es sei C ⊆ [0, 1] das Cantorsche Diskontinuum. Man begünde, daß 1/4 zu C gehört!

2. (X, τ) sei ein topologischer Raum, S ∈ ατ ∪ τ, O ∈ τ und D ⊆ X. Man zeige: (a)

X\∂τ S dicht in (X, τ)

τ

(b) D dicht in (X, τ) =⇒ O ⊆ D ∩ O Ist auch D ◦τ ∪ D äτ dicht in (X, τ)? (Vgl. 2.1, A 2)

3. (Weierstraßscher Approximationssatz, komplex) Man beweise für a, b ∈ R, a < b: C[x][a, b]

τd∞

= C([a, b]).

4. Es sei a, b ∈ R, a < b. Man zeige: (a)

(C([a, b]), τd∞ ) ist separabel (s. auch 4.3-13),

(b) (BR ([a, b]), τd∞ ) ist nicht separabel. 5. Für a, b ∈ R, a < b sei CR ([a, b]; {a, b}) := { f ∈ CR ([a, b]) | f (a) = f (b) = 0 } (vgl. 1.2, A 12) mit der Supremummetrik d∞ versehen. Man zeige:
{ p(x) ∈ R[x] | p(a) = p(b) = 0 }[a, b] ist dicht in CR ([a, b]; {a, b}), τd∞ .

6. Für a, b ∈ R, a < b, f ∈ CR ([a, b]) beweise man Äq (i)

f =0

(ii) ∀ j ∈ N :

Rb a

tj f (t) dt = 0

(Moment j-ter Ordnung bzgl. 0)

7. (X, τc ) ist separabel. (τc ist die Topologie der koendlichen Teilmengen der Menge X.) 8. Es seien a, b, q ∈ R, a < b, 1 ≤ q. Man zeige: (a)

Für die Topologien τd∞ , τdq auf C([a, b]) gilt: τdq $ τd∞ .

(b) (C([a, b]), τdq ) ist separabel. 9. Man zeige, daß der Folgenraum (CN , τd ) bzgl. der Fréchetmetrik d : CN × CN −→ R+ , P∞ |xj −yj | (vgl. 1.1, A 7), separabel ist. d((xj )j , (yj )j ) := j=0 21j 1+|x j −yj |

2.3 Basen, Subbasen, Unterräume, Zusammenhang

77

10. (CR (R) ∩ BR (R), τd∞ ) ist nicht separabel (s. auch 4.3-13). 11. Es sei (X, d) ein pseudometrischer Raum. Ist (X, τd ) separabel, so hat jede offene Überdeckung von X eine abzählbare Teilüberdeckung, d. h. ∀ O ⊆ τd :

O = X ⇒ ∃ O ⊆ O : O abzählbar,

O = X

(sog. Lindelöf-Eigenschaft, vgl. Abschnitt 2.3). 12. Für a, b ∈ R, a < b sei PR ([a, b]) := { f : [a, b] −→ R | f ist Limes einer auf [a, b] gleichmäßig konvergenten Reihe von Polynomen }. Man zeige: CR ([a, b]) = PR ([a, b]). 13. Es sei f ∈ CR (R). Man beweise: Es gibt eine Folge (pj (x))j ∈ R[x]N mit den Eigenschaften (a)

(pj )j ist punktweise d| | -konvergent gegen f (vgl. (1.2,1) (c) (ii)) und

(b) ∀ a ∈ R> : (pj
[−a, a])j →d∞ f
[−a, a]. 14. Es sei (X, τ) ein topologischer Raum und A ∈ ατ . Man zeige: A\A◦τ ist nirgendsdicht in (X, τ). 15. Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, S, T ⊆ X. Man zeige: S ⊆ T, T nirgendsdicht in (X, τ)

=⇒

S nirgendsdicht in (X, τ).

2.3 Basen, Subbasen, Unterräume, Zusammenhang In pseudometrischen Räumen (X, d) kann jede offene Menge O als Vereinigung von offenen ε-Kugeln, also als Vereinigung von speziellen offenen Mengen dargestellt werden: Für jedes x ∈ O gibt es definitionsgemäß ein εx > 0, so daß Kεdx (x) ⊆ O # gilt. Es ist somit O = x∈O Kεdx (x). In diesem Sinne haben die offenen ε-Kugeln die Bedeutung einer Basis für die Topologie τd : Jede Umgebung eines jeden Punktes enthält eine offene Menge der Basis, zu der dieser Punkt gehört. Definitionen Es sei (X, τ) ein topologischer Raum und β ⊆ τ. β Basis von τ β Subbasis von τ

:gdw ∀ x ∈ X ∀ U ∈ Uτ (x) ∃ B ∈ β : x ∈ B ⊆ U $ :gdw { β ∗ | β ∗ ∈ Pe β } Basis von τ.

Man erkennt leicht, daß im pseudometrischen Raum (X, d) die Mengen { Kεd (x) | ε > 0, x ∈ X },

{ Krd (x) | r > 0, r ∈ Q, x ∈ X }

2 Topologische Räume

78 und auch d (x) | n ∈ N, x ∈ X } { K1/(n+1)

Basen von τd sind. Die o. a. Eigenschaft, daß jede offene Menge Vereinigung von Basismengen ist, charakterisiert die Basen unter den Teilmengen der Topologie: Satz 2.3-1 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, β ⊆ τ. Äq (i)

β Basis von τ

(ii) ∀ O ∈ τ ∃ βO ⊆ β : O =

#

βO .

Beweis ein Bx ∈ β mit (i) ⇒ (ii) Für jedes O ∈ τ, x ∈ O ist O ∈ Uτ (x), also existiert # x ∈ Bx ⊆ O. Mit βO := { B ∈ β | B ⊆ O } folgt daher O = βO . (ii) ⇒ (i) # Sei x ∈ X, U ∈ Uτ (x) und O ∈ τ mit x ∈ O ⊆ U . Gem. (ii) ist O = # βO für eine Teilmenge βO von β, es gibt also ein B ∈ βO , so daß ✷ x ∈ B ⊆ βO = O ⊆ U gilt. 2.3-1 wird häufig zur Konstruktion von Topologien aus geeigneten Teilmengen β von PX verwendet: Man erweitere β dadurch, daß man alle Vereinigungen von Elementen aus β zu β hinzufügt. Daß jedoch nicht jede nichtleere, gegen Vereinigungen abgeschlossene Teilmenge β von PX, selbst wenn sie X enthält, eine Topologie ist, zeigt schon das einfache Beispiel (2.3,1)

  Sei X = {0, 1, 2}. β := ∅, {0, 1}, {1, 2}, X ist nicht Basis einer Topologie auf X, weil sonst gem. 2.3-1 {1} = {0, 1} ∩ {1, 2} als Vereinigung von Elementen von β erhältlich wäre.

Ein wichtiges Kriterium für β, Basis einer Topologie zu sein, liefert Satz 2.3-2 Es sei ∅ = β ⊆ PX, Äq (i)

#

β = X.

∃ τ : τ Topologie auf X, β Basis von τ

(ii) ∀ P, Q ∈ β ∀ x ∈ P ∩ Q ∃ R ∈ β : x ∈ R ⊆ P ∩ Q Beweis (i) ⇒ (ii) Ist β Basis von τ, P , Q ∈ β, x ∈ P ∩ Q, so existiert wegen P ∩ Q ∈ τ ∩ Uτ (x) eine Basismenge R mit x ∈ R ⊆ P ∩ Q. # (ii) ⇒ (i) τ := { β ∗ | β ∗ ⊆ β } ist eine Topologie auf X und β eine Basis von τ:

2.3 Basen, Subbasen, Unterräume, Zusammenhang (O-1): ∅ =

#

∅ ∈ τ wegen ∅ ⊆ β, X =

(O-2): Es seien P , Q ∈ τ, etwa βP , βQ gilt P ∩Q=

79

#

β ∈ τ nach Voraussetzung. # # ⊆ β mit P = βP und Q = βQ . Dann (B ∩ C),

B∈βP C∈βQ

und mit (ii) # erhält man für alle B ∈ βP , C ∈ βQ ein βB,C ⊆ β mit B ∩ C = βB,C . Es folgt P ∩Q=

βB,C , B∈βP C∈βQ

also P ∩ Q ∈ τ. (O-3): Sei O ⊆ τ, etwa O =

#

βO mit βO ⊆ β für jedes O ∈ O. Hiermit ergibt sich

O= mit

#

βO = O∈O

{ βO | O ∈ O } ⊆ β, also

#

{ βO | O ∈ O }

O ∈ τ.

✷

Beispiel (2.3,2) Die Menge β :=



 ]a, b] a, b ∈ R, a < b ⊆ PR

ist Basis für eine Topologie τS , die Sorgenfrey-Topologie, auf R ((R, τS ) heißt SorgenfreyGerade): Für alle a, b, c, d, a < b, c < d und x ∈ ]a, b] ∩ ]c, d] gilt x ∈ ]max{a, c}, min{b, d}], 2.3-2 (ii) wird also durch β erfüllt. τS

(R, τS ) ist separabel  Q

= R , jedoch nicht pseudometrisierbar:

Sei d eine Pseudometrik auf R, τd = τS . Dann gilt ∀ x ∈ R ∃ ε > 0 ∃ δ > 0 : ]x − δ, x] ⊆ Kεd (x) ⊆ ]−∞, x]  vgl. 1.2, A 9 . Mit

 d x ∈ R ]x − (1/m), x] ⊆ K1/n (x) ⊆ ]−∞, x] # (für alle m, n ∈ N\{0}) erhält man daher R = n,m≥1 An,m . An,m :=



Es gibt somit n0 , m0 ∈ N\{0}, für 1] eine überabzählbare  Menge ist  die An0 ,m0 ∩ [0,  andernfalls wäre [0, 1] abzählbar , ]x − (1/m0 ), x] x ∈ An0 ,m0 ∩ [0, 1] kann mithin nicht aus paarweise disjunkten Mengen bestehen  höchstens m0 + 1 viele paarweise disjunkte ]x − (1/m0 ), x], x ∈ [0, 1], überdecken bereits [0, 1] . Es seien x, y ∈ An0 ,m0 ∩ [0, 1] gewählt mit x < y und ]x − (1/m0 ), x] ∩ ]y − (1/m0 ), y] = ∅. Dann gilt d y ∈ ]−∞, x] ⊇ K1/n (x) 0

2 Topologische Räume

80 und auch d (y), x ∈ ]y − (1/m0 ), y] ⊆ K1/n 0

woraus 1/n0 ≤ d(x, y) < 1/n0 folgt.


An dieser Stelle sei vermerkt, daß jede Teilmenge β ⊆ PX, die X überdeckt,$d. h. # β = X erfüllt, Subbasis für eine Topologie τβ auf X ist, die Menge β ∗ := { β
|
β ∈ Pe β } ist sogar abgeschlossen gegen die Bildung von Durchschnitten endlich vieler Elemente. In τβ erhält man gerade die ⊆-kleinste Topologie τ auf X, die β umfaßt  τ Topologie auf X, τ ⊇ β =⇒ τ ⊇ β ∗ =⇒ τ ⊇ τβ gem. 2.3-1 . A1 -Räume sind definitionsgemäß diejenigen topologischen Räume, die in jedem Punkt, also lokal eine abzählbare (Umgebungs-)Basis besitzen. Entsprechend legt man global fest: Definition Es sei (X, τ) ein topologischer Raum. (X, τ) A2 -Raum

:gdw ∃ β ⊆ τ : β abzählbar und β Basis von τ

Man sagt in diesem Fall auch: (X, τ) genügt dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom. Separabilität, A1 - bzw. A2 -Eigenschaft beeinflussen sich nur teilweise gegenseitig: Beispiele (2.3,3) (X, τ) sei ein topologischer Raum. (a)

(X, τ) A2 -Raum

=⇒

(X, τ) A1 -Raum

 Für jede Basis β von τ und jedes x ∈ X ist βx := { O ∈ β | x ∈ O } eine Umgebungsbasis von x.    Die Sorgenfrey-Gerade (R, τS ) ist ein A1 -Raum, denn ]r, x] r ∈ Q, r < x ist abzählbare Umgebungsbasis von x. Der topologische Raum (R, τS ) ist separabel  (2.3,2) , erfüllt jedoch nicht das zweite Abzählbarkeitsaxiom: Es sei β eine Basis von τS . Für jedes r ∈ R wähle man Br ∈ β mit r ∈ Br ⊆ ]r − 1, r]. Wegen sup Br = r ist die Funktion
R −→ β r −→ Br injektiv, β somit überabzählbar. (b) (X, τ) A2 -Raum

=⇒

(X, τ) separabel:

Sei β eine abzählbare Basis von τ. Für jedes B ∈ β\{∅} wähle man ein xB ∈ B aus. Dann ist D := { xB | B ∈ β\{∅} } eine abzählbare dichte Teilmenge in (X, τ): Für x ∈ X, U ∈ Uτ (x) sei B ∈ β mit x ∈ B ⊆ U . Es folgt xB ∈ B ∩ D ⊆ U ∩ D, also τ x∈D .

2.3 Basen, Subbasen, Unterräume, Zusammenhang

81

Separable Räume sind i. a. nicht A2 -Räume  (a) , sogar nicht einmal A1 -Räume: (R, τc ) ist separabel  2.2, A 7 , jedoch kein A1 -Raum  (1.2,3) (b) . (c)

A1 -Räume sind i. a. nicht separabel  (R, τdis ) .

Die folgende Übersicht faßt die Ergebnisse zusammen: =  ⇒ 

=⇒

(X, τ) A1 -Raum

(X, τ) separabel

⇒=

=

⇒

=  ⇒

⇒= 

(X, τ) A2 -Raum

Eine weitere wichtige globale Abzählbarkeitsbedingung für Topologien ist die in 2.2, A 11 für separable pseudometrisierbare topologische Räume festgestellte Überdeckungseigenschaft. Definition Es sei (X, τ) ein topologischer Raum. (X, τ) Lindelöf-Raum ∀ O ⊆ τ:

:gdw O = X ⇒ ∃ O
⊆ O : O
abzählbar und

O
= X.

(Jede offene Überdeckung von X hat eine abzählbare Teilüberdeckung; Lindelöf, 1903, für (Rn , τ  ).) Satz 2.3-3 (Lindelöf) Jeder A2 -Raum (X, τ) ist Lindelöf-Raum. Beweis Es sei β ⊆ τ eine abzählbare Basis von τ, O ⊆ τ mit

also O =

#

#

O = X und für jedes O ∈ O

βO := { B ∈ β | B ⊆ O }, # βO . Dann ist β
:= { βO | O ∈ O } ⊆ β abzählbar und β
=

βO =

O = X.

O∈O

β


wähle man OB ∈ O mit B ⊆ OB aus. O
:= { OB | B ∈ β
} ⊆ O Für jedes B ∈ # # ✷ ist abzählbar und O
⊇ β
= X. Weitere Verbindungen zwischen der Lindelöf-Eigenschaft und den einzelnen, vorher behandelten Abzählbarkeitsbedingungen bestehen nicht:

2 Topologische Räume

82 Beispiele (2.3,4) (X, τ) sei ein topologischer Raum. (a)

(X, τ) Lindelöf-Raum

=⇒  (X, τ) A2 -Raum:

Es sei X eine überabzählbare Menge, x∗ ∈ X  z. B. x∗ := X . Man definiere eine Umgebungsfunktion U : X ∪ {x∗ } −→ PP(X ∪ {x∗ }) durch  { S ⊆ X ∪ {x∗ } | x ∈ S } für x = x∗ U(x) := { S ∪ {x∗ } | S ⊆ X, X\S ∈ Pe X } für x = x∗ . Es ist leicht zu bestätigen, daß U Umgebungsfunktion für eine Topologie τU auf X ∪{x∗ } ∗ ⊆ τU , ist # [vgl. Abschnitt 1.2 und 1.2,∗A 11 (a)]. (X ∪{x }, τU ) ist ein Lindelöf-Raum  O O = X =⇒∃ O ∈ O : x ∈ O =⇒∃ S ⊆ X : X\S ∈ Pe X und S ∪ {x∗ } ⊆ O =⇒X\O ∈ Pe X. Daher wird X von O und sogar endlich vielen weiteren Mengen aus O überdeckt.  Da X überabzählbar und {x} ∈ τU für jedes x ∈ X ist, erhält man: (X ∪ {x∗ }, τU ) ist nicht separabel, also gem. (2.3,3) (b) auch nicht A2 -Raum. Dieses Beispiel zeigt sogar (b) (X, τ) Lindelöf-Raum

=⇒  (X, τ) separabel

Umgekehrt gilt auch (c)

=⇒  (X, τ) Lindelöf-Raum:

(X, τ) separabel

Auf R definiere man eine Umgebungsfunktion U wie folgt: Für jedes (a, b) ∈ R2 sei U((a, b)) der von den Mengen {(a, b)} ∪ S erzeugte Filter, wobei S eine offene ε-Kugel bzgl. d2 um (a, b) bezeichnet, aus der höchstens Punkte von höchstens endlich vielen Geraden durch (a, b) herausgenommen wurden (Abb. 2.3-1). 2

y S b

a

x

Abbildung 2.3-1

U ist Umgebungsfunktion für eine Topologie σ := τU auf R2 . (R2 , σ) heißt geschlitzte σ Ebene und ist wegen Q2 = R2 zwar separabel, jedoch kein A1 -Raum. Gem. 1.2, A 9  d2 ((0, 0)) zu ασ . Die offene Überdeckung gilt σ ⊇ τd2 , also gehört K 1 

  d2 ((0, 0)) R2 \K 1

  ∪ K2d2 ((0, 0))\{ (x, 0) | 0 < x ≤ 1 } ∪ {(ξ, 0)} 0 < ξ ≤ 1 ⊆ σ

hat keine abzählbare Teilüberdeckung  ]0, 1] ist überabzählbar! .

2.3 Basen, Subbasen, Unterräume, Zusammenhang (d) (X, τ) A1 -Raum

=⇒ 

83

(X, τ) Lindelöf-Raum:

(R, τdis ) ist A1 -Raum, jedoch nicht Lindelöf-Raum. (e)

=⇒ 

(X, τ) Lindelöf-Raum

(X, τ) A1 -Raum:

Der in (a) angegebene Lindelöf-Raum (X ∪ {x∗ }, τU ) ist kein A1 -Raum, da x∗ keine abzählbare Umgebungsbasis besitzt  Die Menge der koendlichen Teilmengen einer überabzählbaren Menge X ist überabzählbar! . Die Übersicht in (2.3,3) kann wie folgt erweitert werden:

= ⇒ 

=

=   ⇒

 ⇒= 

= ⇒

⇒

⇒=

(X, τ) Lindel¨of-Raum

=  ⇒

=

⇒

⇒= 

⇒=

= ⇒ ⇒ (X, τ) separabel (X, τ) A1 -Raum = 

(X, τ) A2 -Raum

In pseudometrisierbaren topologischen Räumen bedeuten die drei globalen Abzählbarkeitseigenschaften dagegen dasselbe: Satz 2.3-4 Es sei (X, d) ein pseudometrischer Raum. Äq (i)

(X, τd ) Lindelöf-Raum

(ii) (X, τd ) A2 -Raum (iii) (X, τd ) separabel. Beweis

 d  (x) x ∈ X eine offene (i) ⇒ (ii) Für jedes n ∈ N ist On := K1/(n+1) Überdeckung von X, besitzt also eine abzählbare Teilüberdeckung On
. Die Menge # β := n∈N On
ist abzählbar  da Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen  und auch Basis von τd : d (x) ⊆ O. Da Für jedes x ∈ X, O ∈ τd mit x ∈ O existiert ein n ∈ N mit K1/(n+1)
eine Überdeckung von X ist, liegt x in einer Kugel K d O2(n+1)

1 2(n+1)

Kd

1 2(n+1)

(y), und wegen

d (y) ⊆ K1/(n+1) (x) folgt die Behauptung.

(ii) ⇒ (iii)  (2.3,3) (b)  (iii) ⇒ (i)  2.2, A 11 

✷

2 Topologische Räume

84 d

Im Raum (R, τ| | ) bilden die offenen Intervalle Kε | | (x) = ]x−ε, x+ε[ mit rationalem Radius ε und rationalem Mittelpunkt x eine abzählbare Basis der Topologie, jede offene Menge ist daher Vereinigung abzählbar vieler offener Intervalle  2.3-1 . Darüber hinaus gilt sogar Satz 2.3-5 Menge J Zu jeder offenen Menge O in (R, τ| | ) gibt es genau eine abzählbare # paarweise disjunkter, offener, nichtleerer Intervalle, so daß O = J gilt. (Für O = ∅ heißen die Elemente von J Zusammenhangskomponenten von O; s. die allgemeinen Ausführungen hierzu im Anschluß an 2.3-7.) Beweis Für O = ∅ ist J = ∅ wählbar. Sei also O = ∅ und Ix :=

{ I | x ∈ I ⊆ O, I offenes Intervall }

für jedes x ∈ O. Die Menge Ix enthält x und ist als Vereinigung offener Mengen offen, sogar ein Intervall: Für alle a, b ∈ Ix , etwa a ∈ I, b ∈ I
für offene Intervalle I, I
mit x ∈ I ∩ I
, I ∪ I
⊆ O, und alle z ∈ ]a, b[ (o. B. d. A. a < b) gilt  I für z ≤ x z∈ I
für z > x, also z ∈ Ix . Ix ist somit das ⊆-größte offene Intervall in O, das x enthält. Es folgt Ix ,

O=

∀ x, y ∈ O : Ix = Iy oder Ix ∩ Iy = ∅

x∈O

 Für Ix ∩ Iy = ∅ ist Ix ∪ Iy ein offenes Intervall in O, das x und y enthält, also gilt Ix = Ix ∪ Iy = Iy , und J := { Ix | x ∈ O } ist abzählbar  Für jedes x ∈ O wähle man rIx ∈ Ix ∩ Q. Ist Ix = Iy , also Ix ∩ Iy = ∅, so folgt rIx = rIy , die Funktion
J −→ Q Ix −→ rIx ist daher injektiv . Menge Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei angenommen, daß J
eine abzählbare # paarweise disjunkter, offener, nichtleerer Intervalle ist, für die O = J
und J
= J gilt. Es existiert dann ein x ∈ O und ein J
∈ J
mit J
= Ix und x ∈ J
. Da Ix das ⊆-größte x enthaltende offene Intervall in O ist, muß J
 Ix gelten. Damit liegt

2.3 Basen, Subbasen, Unterräume, Zusammenhang

85

jedoch einer der Endpunkte des Intervalls J
in O, also in einem von J
verschiedenen ✷ Element J

von J
, woraus J
∩ J

= ∅ folgt.
Vor der Präzisierung des Begriffs „Zusammenhang“ für topologische Räume werden zunächst deren Unterstrukturen (Unterräume) erklärt und einige grundlegende Eigenschaften festgestellt. Definition Es sei (X, τ) ein topologischer Raum und S ⊆ X. τ|S := { O ∩ S | O ∈ τ } heißt Spurtopologie (von τ auf S) und (S, τ|S) Unterraum von (X, τ). Wie man leicht einsieht, ist τ|S eine Topologie auf S. Satz 2.3-6 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum und A ⊆ S ⊆ X. (a) Äq (i)

A ∈ ατ|S

(ii) ∃ B ∈ ατ : A = B ∩ S (b) A
τ|S = A
τ ∩ S (c) A

τ|S

τ

=A ∩S

(d) (X, τ) A1 - (bzw. A2 -)Raum

=⇒

(S,τ|S) A1 - (bzw. A2 -)Raum

(e) Ist (X, τ) pseudometrisierbar durch d, so kann (S, τ|S) für S = ∅ durch d
S × S pseudometrisiert werden. Beweis Zu (a) A ∈ ατ|S

⇐⇒

S\A ∈ τ|S

⇐⇒

∃ O ∈ τ : S\A = O ∩ S

⇐⇒ ⇐⇒

∃ O ∈ τ : A = (X\O) ∩ S ∃ B ∈ ατ : A = B ∩ S

Zu (b) Für alle x ∈ S gilt: x ∈ A
τ|S

Zu (c) A

τ|S

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

∀ O ∈ τ : x ∈ O ⇒ ((O ∩ S)\{x}) ∩ A = ∅ ∀ O ∈ τ : x ∈ O ⇒ (O\{x}) ∩ A = ∅  da A ⊆ S 
τ x∈A τ

= A ∪ A
τ|S = A ∪ (A
τ ∩ S) = (A ∪ A
τ ) ∩ (A ∪ S) = A ∩ S

2 Topologische Räume

86

Zu (d) Man schneide die Umgebungsbasismengen von x ∈ S (bzw. Basismengen) in (X, τ) mit S! Zu (e) d
S × S ist eine Pseudometrik auf S, und für jedes x ∈ S, ε > 0 gilt Kεd
S×S (x) = { y ∈ S | d(x, y) < ε } = S ∩ Kεd (x)

✷

Eigenschaften, die von einem topologischen Raum auf jeden seiner Unterräume übertragbar sind, nennt man erblich. Separabilität ist ebensowenig erblich wie die Lindelöf-Eigenschaft: Beispiele (2.3,5) (a)

Der in (2.3,4) (a) angegebene Lindelöf-Raum (X ∪{x∗ }, τU ) besitzt den überabzählbaren diskreten Unterraum (X, τU |X) = (X, τdis ), dieser ist nicht Lindelöf-Raum.

(b) Selbst abgeschlossene Unterräume separabler Räume sind nicht notwendig separabel: Man definiere in der in R2 gelegenen oberen Halbebene M := { (x, y) ∈ R2 | y ≥ 0 } die Umgebungsfunktion U : M −→ PPM (Abb. 2.3-2) durch  { S ⊆ M | ∃ ε : 0 < ε < y, Kεd2 (x, y) ⊆ S } für y > 0  U((x, y)) :=  > d2 für y = 0. S ⊆ M ∃ z ∈ R : Kz (x, z) ∪ {(x, 0)} ⊆ S

y

y

(x,y) (x , z)

z

(x , 0) x

x

x

Abbildung 2.3-2

Es ist leicht zu überprüfen, daß U Umgebungsfunktion für eine Topologie µ := τU auf M ist  vgl. Abschnitt 1.2 und 1.2, A 11 (a) . (M, µ) heißt Moore-Ebene. µ

(M, µ) ist separabel  M ∩ (Q × Q) = M  und auch ein A1 -Raum  Die entsprechenden Kugeln mit rationalem Radius bilden jeweils eine Umgebungsbasis. . Die Teilmenge S := { (x, 0) | x ∈ R } ⊆ M ist überabzählbar, S ∈ αµ  M \S ∈ µ  und µ|S die diskrete Topologie auf S, (S, µ|S) somit nicht separabel. Hiermit erhält man auch noch,

2.3 Basen, Subbasen, Unterräume, Zusammenhang

87

daß (M, µ) kein A2 -Raum ist  sonst wäre (S, µ|S) gem. 2.3-6 (d) A2 -Raum und nach (2.3,3) (b) doch separabel. .

Im Gegensatz zur Separabilität überträgt sich die Lindelöf-Eigenschaft auf abgeschlossene Unterräume: Satz 2.3-7 Es sei (X, τ) ein Lindelöf-Raum und S ∈ ατ . (S, τ|S) ist ein Lindelöf-Raum. Beweis Sei O ⊆ τ|S eine Überdeckung von S. Für jedes O ∈ τ wähle man ein O
∈ τ mit O
∩ S = O. Dann ist {X\S} ∪ { O
| O ∈ O } ⊆ τ eine Überdeckung von X und besitzt daher eine abzählbare Teilüberdeckung P. Die Menge { P ∩ S | P ∈ P }\{∅} ist eine abzählbare Teilüberdeckung von O. ✷ Eine für die Analysis bedeutende Eigenschaft topologischer Räume ist die des Zusammenhangs. Definitionen Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, O, P ∈ τ\{∅}. (O, P ) offene Zerlegung von (X, τ) (X, τ) zusammenhängend

:gdw O ∩ P = ∅ und O ∪ P = X

:gdw

∀ (O, P ) ∈ (τ\{∅}) × (τ\{∅}) : O ∪ P = X ⇒ O ∩ P = ∅ Die Elemente O, P einer offenen Zerlegung von (X, τ) sind zugleich offen und abgeschlossen. Ein topologischer Raum (X, τ) ist dann und nur dann zusammenhängend, wenn er keine offene Zerlegung zuläßt (sonst nennt man ihn unzusammenhängend). Beispiele (2.3,6) (a)

(X, τin ) ist zusammenhängend; (X, τdis ) unzusammenhängend, sofern X mindestens zwei Elemente hat.   (b) Für jede Irrationalzahl r ∈ R\Q ist ]−∞, r[ ∩ Q, ]r, ∞[ ∩ Q eine offene Zerlegung von (Q, τ| | |Q), dieser Raum ist also unzusammenhängend.

(c)

(X, τc ) zusammenhängend

⇐⇒ X unendlich oder höchstens einelementig:

Ist X endlich mit mindestens zwei Elementen, so gilt τc = τdis , (X, τc ) ist also unzusammenhängend. Für X = ∅ oder X = {x} ist τin die einzige Topologie auf X, (X, τc ) also zusammenhängend. Sei also X eine unendliche Menge, O, P ∈ τc \{∅} mit

2 Topologische Räume

88

O ∪ P = X. Dann sind X\O, X\P und somit auch X\(O ∩ P ) = (X\O) ∪ (X\P ) endliche Mengen. Es folgt O ∩ P = ∅.

Die zusammenhängenden Unterräume von (R, τ| | ) sind gerade die Intervalle, insbesondere ist (R, τ| | ) selbst zusammenhängend. Satz 2.3-8 Es sei S ⊆ R. Äq (i)

(S, τ| | |S) zusammenhängend

(ii) S Intervall in R Beweis so gibt es a, b ∈ S, x ∈ R mit a < x < b und x ∈ S. (i) ⇒ (ii) Ist S kein Intervall,  ]−∞, x[ ∩ S, ]x, ∞[ ∩ S ist dann eine offene Zerlegung von (S, τ| | |S). (ii) ⇒ (i) Es sei (O, P ) ∈ (τ| | |S\{∅}) × (τ| | |S\{∅}) eine offene Zerlegung von (S, τ| | |S). Wegen O, P ∈ ατ | | |S gibt es A, B ∈ ατ | | mit O = A ∩ S und P = B ∩ S  2.3-6 (a) . Es folgt A ∩ B ∩ S = O ∩ P = ∅,

(A ∪ B) ∩ S = O ∪ P = S,

A ∩ S = O = ∅,

B ∩ S = P = ∅,

etwa a ∈ A ∩ S, b ∈ B ∩ S, a < b (o. B. d. A.). Man setze (Abb. 2.3-3) s := sup{ x ∈ S | x ∈ A, a ≤ x ≤ b }, i := inf{ x ∈ S | x ∈ B, s ≤ x ≤ b } s

i

O 

P  A

a 



b  B



R

Abbildung 2.3-3

und erhält s ∈ A, i ∈ B  A, B ∈ ατ | |  und s = b  b ∈ B ∩ S, A ∩ B ∩ S = ∅ . Für i = s ist s ∈ A ∩ B, also s ∈ S, S somit kein Intervall. Auch für s < i ist S wegen ]s, i[ ∩ S = ∅ kein Intervall. ✷ Ein wichtiges Instrument zur Gewinnung ⊆-großer zusammenhängender Unterräume ist der folgende

2.3 Basen, Subbasen, Unterräume, Zusammenhang

89

Satz 2.3-9 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, A ⊆ PX, (A, τ|A) zusammenhängend und A ∩ B = ∅ für alle A, B ∈ A. # # ( A, τ| A) ist zusammenhängend. Beweis

# # Für alle O, P ∈ (τ| A)\{∅} mit O ∪ P = A wähle man AO , AP ∈ A so, daß O ∩ AO = ∅ = P ∩ AP gilt. Dann folgt AO ⊆ O und AP ⊆ P  wegen AO = (AO ∩ O) ∪ (AO ∩ P ) wäre sonst (AO ∩ O, AO ∩ P ) eine offene Zerlegung ✷ von (AO , τ|AO ); entsprechend für P , also ∅ = AO ∩ AP ⊆ O ∩ P . Korollar 2.3-9.1 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, A ⊆ PX, ∅ = B ⊆ X, (B, τ|B) und (A,τ|A) # zusammenhängend  #  für alle A ∈ A. Ist A ∩ B = ∅ für jedes A ∈ A, so ist B ∪ A, τ| B ∪ A zusammenhängend. Beweis 2.3-9 ist zunächst (B ∪ A, τ|(B ∪ A)) Gem.  für jedes A ∈ A und somit auch # # { B ∪ A | A ∈ A }, τ| { B ∪ A | A ∈ A } zusammenhängend. ✷ Definition Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, ∅ = C ⊆ X. C Zusammenhangskomponente in (X, τ)

:gdw (C, τ|C) zusammenhängend,

∀ S ⊆ X : C ⊆ S, (S, τ|S) zusammenhängend ⇒ C = S. Zusammenhangskomponenten C ergeben ⊆-maximale zusammenhängende Unterräume von (X, τ), für x ∈ C nennt man C Zusammenhangskomponente von x in (X, τ). Gem. 2.3-9.1 liefert die Zusammenhangskomponente Cx von x in (X, τ) den ⊆-größten, x enthaltenden, zusammenhängenden Unterraum von (X, τ), Cx ist daher eindeutig bestimmt. Satz 2.3-10 In jedem topologischen Raum (X, τ) gilt: $ (a) ∀ x ∈ X : Cx ⊆ { O ∈ τ ∩ ατ | x ∈ O } (b) ∀ x ∈ X : Cx ∈ ατ (c) ∀ x, y ∈ X : Cx = Cy ⇒ Cx ∩ Cy = ∅

2 Topologische Räume

90 Beweis

Zu (a) Sei x ∈ O ∈ τ ∩ ατ . Wenn Cx keine Teilmenge von O wäre, so erhielte man in (Cx ∩ O, Cx ∩ (X\O)) eine offene Zerlegung von (Cx , τ|Cx ).  τ τ Zu (b) Mit (A, τ|A) ist A , τ|A zusammenhängend in (X, τ) (s. auch 2.4-4.1):  τ  τ τ τ Ist O ∩ A , P ∩ A mit O, P ∈ τ eine offene Zerlegung von A , τ|A , so folgt τ τ τ  P ∩ A (da O ∩ A = ∅ =  P ∩A ) A = A ∩ A = (O ∩ A) ∪ (P ∩ A), O ∩ A = ∅ = und (O ∩ A) ∩ (P ∩ A) = ∅. Also ist (A, τ|A) unzusammenhängend. Zu (c) Für Cx ∩ Cy = ∅ ist (Cx ∪ Cy , τ|Cx ∪ Cy ) gem. 2.3-9 zusammenhängend, ✷ x, y ∈ Cx ∪ Cy . Es folgt Cx ∪ Cy ⊆ Cx ∩ Cy , also Cx = Cy . In 2.3-10 (a) gilt i. a. nicht Gleichheit: Beispiel (2.3,7) In R2 sei X :=



  1 x ∈ [0, 1], j ∈ N ∪ { (x, 0) | x ∈ [0, 1]\{ 1 } } x, j+1 2

(vgl. Abb. 2.3-4), τ := τd2 |X und x0 := ( 14 , 0). y 1

1 2 1 3

0

x0

( 12 , 0)

1

x

Abbildung 2.3-4

Offensichtlich ist Cx0 = { (x, 0) | 0 ≤ x < 12 }. Für jedes O ∈ τ ∩ ατ mit x0 ∈ O erhält man die Mengen { (x, 0) | 0 ≤ x < 12 }, { (x, 0) | 12 < x ≤ 1 } { (x,0) | 12 < x ≤ 1 } ⊆ O, denn  1 und x, j+1 0 ≤ x ≤ 1 (j ∈ N) ergeben zusammenhängende Unterräume von (X, τ). Es folgt  Cx0 = { O ∈ τ ∩ ατ | x0 ∈ O }.

Die Bedeutung des Zusammenhangs für die Analysis besteht u. a. darin, daß man in zusammenhängenden Räumen in jeder offenen Überdeckung des Raums entlang einer einfachen offenen Kette von einem Punkt zum anderen gelangen kann (s. 2.3-11).

2.3 Basen, Subbasen, Unterräume, Zusammenhang

91

Definition Es sei X eine Menge, a, b ∈ X, n ∈ N\{0} und (E1 , . . . , En ) ∈ (PX)n . (E1 , . . . , En ) einfache Kette (von a nach b) in X

:gdw

∀ i, j ∈ {1, . . . , n} : Ei ∩ Ej = ∅ ⇔ |i − j| ≤ 1 (und a ∈ E1 , b ∈ En ) Alle Ei sind also nichtleer, und nur (über den Index) benachbarte Mengen haben gemeinsame Elemente. Satz 2.3-11 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum. Äq (i)

(X, τ) zusammenhängend # (ii) ∀ O ⊆ τ : O = X ⇒ ∀ a, b ∈ X ∃ n ∈ N\{0} ∃ (O1 , . . . , On ) ∈ On : (O1 , . . . , On ) einfache Kette von a nach b

Beweis (i) ⇒ (ii) Man setze V := { x ∈ X | ∃ n ∈ N\{0} ∃ (O1 , . . . , On ) ∈ On : (O1 , . . . , On ) einfache Kette von a nach x }. # Wegen X = O gehört a zu V , also ist V = ∅. Weiter gilt für jedes x ∈ V , etwa (O1 , . . . , On ) einfache Kette von a nach x, auch On ⊆ V  Für jedes y ∈ On ist (O1 , . . . , On ) ebenfalls einfache Kette von a nach y. , also V ∈ τ. Schließlich sei τ x ∈ V , O ∈ O mit x ∈ O und y ∈ O ∩ V , (O1 , . . . , On ) ∈ On einfache Kette von a nach y. Mit m := min{ i ∈ {1, . . . , n} | O ∩ Oi = ∅ } ist (O1 , . . . , Om , O) ∈ Om+1 einfache Kette von a nach x, also x ∈ V . Wegen des Zusammenhangs von (X, τ) folgt V = X  A 4 . (ii) ⇒ (i) Wenn (X, τ) unzusammenhängend ist, existiert eine offene Zerlegung (O, P ) von (X, τ), {O, P } ist also eine offene Überdeckung von X, und für alle a ∈ O, b ∈ P gibt es keine einfache Kette in {O, P } von a nach b. ✷ Korollar 2.3-11.1 In jedem offenen, zusammenhängenden Unterraum (O, τd2 |O) von (Rn , τd2 ) lassen sich je zwei Punkte a, b durch einen in O gelegenen Polygonzug verbinden. Beweis Für jedes x ∈ O wähle ε > 0 mit Kεdx2 (x) ⊆ O. In der offenen man ein  x  d Überdeckung Kεx2 (x) x ∈ O von O gibt es gem. 2.3-11 eine einfache Kette

2 Topologische Räume

92

 d  Kεx2 (x1 ), . . . , Kεdx2r (xr ) von a nach b (Abb. 2.3-5). Für i ∈ {1, . . . , r − 1} sei 1 yi ∈ Kεdx2 (xi ) ∩ Kεdx2 (xi+1 ). Der Polygonzug von a nach b über die Punkte yi liegt i i+1 ganz in O. ✷

O x4

a x1 y3

y1

y4 x5

x2

y2

x3

b

Abbildung 2.3-5

Die Eigenschaft „Zusammenhang“ kann durch den Begriff „Wegzusammenhang“ noch verschärft werden, vgl. hierzu 2.4, A 17. Eine weitere für die Analysis wichtige Eigenschaft, die Kompaktheit topologischer Räume, wird in Kapitel 4 behandelt.

Aufgaben zu 2.3 1. Auf der Menge R der reellen Zahlen sei τS die Sorgenfrey-Topologie und τc die Topologie der koendlichen Mengen. Man untersuche, für welche σ, τ ∈ {τ| | , τS , τc } die strikte Ungleichung τ  σ gilt! 2. Für β :=



 ]a, b[ a, b ∈ R, a < b ∪ { {z} | z ∈ Z }

beweise man: (a)

β ist Basis einer Topologie τβ auf R, und (R, τβ ) ist ein A2 -Raum (also separabel und Lindelöf-Raum).

(b) Für alle z ∈ Z ist ]z, z + 1[ ∈ τβ ∩ ατβ eine perfekte Menge in (R, τβ ). (c)

Für alle r, s ∈ R mit r ≤ s, s ∈ Z ist ]r, s[ keine perfekte Menge in (R, τβ ).

3. (X, τ) sei ein pseudometrisierbarer separabler topologischer Raum und S ⊆ X. Man beweise: (S, τ|S) ist separabel.

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

93

4. (X, τ) sei ein topologischer Raum. Man beweise: Äq (i)

(X, τ) zusammenhängend

(ii) ∀ S ∈ τ ∩ ατ : S ∈ {∅, X} (iii) ∀ x, y ∈ X ∃ S ⊆ X : x, y ∈ S und (S, τ|S) zusammenhängend 5. Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, O, P ∈ τ, O ⊆ P , P ∩ ∂τ O = ∅ und ZP := { C | C Zusammenhangskomponente in (P, τ|P ) }. Man zeige: S.

∃ S ⊆ ZP : O =

6. (X, τ) sei ein topologischer Raum, T ⊆ S ⊆ X. Es gilt:  τ|S ◦τ|S  τ ◦τ T = ∅ =⇒ T =∅ (d. h. ist T nirgendsdicht in (S, τ|S), so auch in (X, τ)). 7. Die Sorgenfrey-Gerade (R, τS ) (vgl. (2.3,2)) ist ein Lindelöf-Raum. (Hinweis: Man # beachte, daß (R, τ| | ) ein # A2 -Raum ist, und berücksichtige, daß für jedes O ⊆ τS mit O = R die Menge R\ O∈O O◦τ | | gem. 2.3-5 abzählbar ist!) 8. (X, τ) sei ein topologischer Raum, S, T ⊆ X, S ⊆ T . Es gilt: S

τ|T

=T

=⇒

S

τ|T

τ

τ

=T .

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität Die Stetigkeit von reellwertigen reellen Funktionen wurde in den vorangegangenen Abschnitten als aus der reellen Analysis bekannt bereits mehrfach verwendet. Die ε-δ-Definition der Stetigkeit von f : [a, b] −→ R im Punkt x0 ∈ [a, b]: f stetig in x0

:gdw

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ [a, b] : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε läßt sich analog für Funktionen zwischen topologischen Räumen mit Hilfe von Umgebungen formulieren: Definitionen Es seien (X, τ), (Y, σ) topologische Räume, f : X −→ Y und x ∈ X. f stetig in x (bzgl. (τ, σ))

:gdw ∀ U ∈ Uσ (f (x)) ∃ V ∈ Uτ (x) : f [V ] ⊆ U

2 Topologische Räume

94 f stetig (bzgl. (τ, σ)) (auch (τ, σ)-stetig)

:gdw

∀ x ∈ X : f stetig in x (bzgl. (τ, σ)) Sei C(X, Y ) := { f : X −→ Y | f stetig (bzgl. (τ, σ)) }, speziell in der bisherigen Notation C(X, C) = C(X), CR (X) = C(X, R). Beispiele (2.4,1) (X, τ), (Y, σ) seien topologische Räume, f : X −→ Y . (a)

f konstant

=⇒ f stetig

(b) σ = τin oder τ = τdis (c)

=⇒ f stetig

Für X = Y gilt Äq (i)

idX stetig (bzgl. (τ, σ))

(ii) σ ⊆ τ, denn σ⊆τ

⇐⇒ ⇐⇒

∀ x ∈ X : Uσ (x) ⊆ Uτ (x)  gem. 1.2, A 9 (a)  ∀ x ∈ X ∀ U ∈ Uσ (x) ∃ V ∈ Uτ (x) : V ⊆ U

(d) (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, ∅ = A ⊆ X. Die Abstandsfunktion zu A
dA :

X −→ R x −→ inf{ d(x, a) | a ∈ A }

ist stetig (bzgl. (τd , τ| | )): Die Stetigkeit von dA folgt unmittelbar aus ∀ x, y ∈ X : |dA (x) − dA (y)| ≤ d(x, y)

(∗)

(vgl. 1.2, A 19: dA (x) = dist(x, A) ist der Abstand von x zu A in (X, d)).

Stetigkeit von Funktionen zwischen topologischen Räumen läßt sich wegen der äquivalenten Beschreibung der Umgebungsräume durch Begriffe wie Hüllen- bzw. Kernoperator, offene bzw. abgeschlossene Mengen, Filter- oder Netzkonvergenz auf vielfältige Art charakterisieren. In der Praxis werden dann die jeweils am geeignetsten erscheinenden verwendet.

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

95

Satz 2.4-1 (X, τ), (Y, σ) seien topologische Räume, S eine Subbasis von σ und f : X −→ Y . Äq (i) (ii)

f stetig ∀ x ∈ X ∀ U ∈ Uσ (f (x)) : f −1 [U ] ∈ Uτ (x)

(iii) ∀ S ∈ S : f −1 [S] ∈ τ (iv) ∀ O ∈ σ : f −1 [O] ∈ τ ∀ A ∈ ασ : f −1 [A] ∈ ατ ' τ& σ (vi) ∀ B ⊆ X : f B ⊆ f [B] ' σ& τ (vii) ∀ A ⊆ Y : f −1 [A] ⊆ f −1 A

(v)

(viii) ∀ A ⊆ Y : f −1 [A◦σ ] ⊆ (f −1 [A])◦τ (ix) ∀ x ∈ X ∀ F : F Filter auf X, F →τ x ⇒ f [[F]] →σ f (x) (x)

∀ x ∈ X ∀ M : M Netz in X, M →τ x ⇒ f ◦ M →σ f (x)

Beweis (i) ⇒ (ii) Zu jedem U ∈ Uσ (f (x)) existiert gem. (i) ein V ∈ Uτ (x) mit f [V ] ⊆ U , d. h. V ⊆ f −1 [U ]. Daher gilt f −1 [U ] ∈ Uτ (x). (ii) ⇒ (iii) Sei S ∈ S und x ∈ f −1 [S], d. h. f (x) ∈ S. Nach (ii) ist wegen S ∈ Uσ (f (x)) die Urbildmenge f −1 [S] ∈ Uτ (x) und somit f −1 [S] ∈ τ. (iii) ⇒ (iv) f −1 ist durchschnitts- und vereinigungstreu (Anhang 1-26 (b)). (iv) ⇒ (v) Sei A ∈ ασ , d. h. Y \A ∈ σ. Gem. (iv) folgt X\f −1 [A] = f −1 [Y ]\f −1 [A] = f −1 [Y \A] ∈ τ,

d. h. f −1 [A] ∈ ατ .

) * ) * σ σ (v) ⇒ (vi) Mit (v) folgt f −1 f [B] ∈ ατ , wegen B ⊆ f −1 f [B] also auch ) * σ τ B ⊆ f −1 f [B] . Man erhält daher ) ) ** ) * σ σ τ ⊆ f [B] . f B ⊆ f f −1 f [B] (vi) ⇒ (vii) Für alle A ⊆ Y gilt nach (vi) * ) τ σ σ f f −1 [A] ⊆ f [f −1 [A]] ⊆ A ,

' σ& τ also f −1 [A] ⊆ f −1 A .

(vii) ⇒ (viii) Für alle A ⊆ Y gilt nach (vii) und mit 2.1-1 (a) ) * τ σ X\f −1 [A◦σ ] = f −1 [Y \A◦σ ] = f −1 Y \A ⊇ f −1 [Y \A] = X\(f −1 [A])◦τ .

96

2 Topologische Räume

(viii) ⇒ (ix) Sei x ∈ X, F ein gegen x konvergenter Filter auf X und (o. B. d. A.) U ∈ Uσ (f (x))∩σ. Nach (viii) ist x ∈ f −1 [U ] = (f −1 [U ])◦τ , also f −1 [U ] ∈ τ ∩Uτ (x)  2.1-1.1 (b) . Man wähle ein F ∈ F mit F ⊆ f −1 [U ] und erhält f [F ] ⊆ U . (ix) ⇒ (x) Sei x ∈ X, M : D −→ X ein Netz in X, M →τ x. Der Endenfilter zu M , EM := { { Ma | a ≥ b } | b ∈ D }, konvergiert gegen x, und nach (ix) konvergiert der Bildfilter     f [[EM ]] = f [{ Ma | a ≥ b }] b ∈ D = { f ◦ M (a) | a ≥ b } b ∈ D gegen f (x). Für alle U ∈ Uσ (f (x)) ist { f ◦ M (a) | a ≥ bU } ⊆ U für ein bU ∈ D, d. h. es gilt f ◦ M →σ f (x). (x) ⇒ (i) Ist f nicht stetig, etwa nicht stetig in x ∈ X, so existiert eine Umgebung U ∈ Uσ (f (x)), so daß f [V ] U , d. h. V f −1 [U ] für jedes V ∈ Uτ (x) gilt. Man wähle ein MV ∈ V \f −1 [U ] für jedes V ∈ Uτ (x). Dann ist
Uτ (x) −→ X M: V −→ MV ein Netz in X ((Uτ (x), ⊆) ist gerichtete Menge!), das (natürlich) gegen x konvergiert. Dagegen konvergiert das Bildnetz f ◦ M nicht gegen f (x)  für alle V ∈ Uτ (x) ist ✷ f (MV ) ∈ U . Korollar 2.4-1.1 (X, τ), (Y, σ), (Z, I) seien topologische Räume, f : X −→ Y und g : Y −→ Z stetig (bzgl. (τ, σ) bzw. (σ, I)). Dann ist g ◦ f stetig (bzgl. (τ, I)). Beweis

& ' Für jedes O ∈ I gilt (g ◦ f )−1 [O] = f −1 g −1 [O] ∈ τ gem. 2.4-1 (iv).

✷

Korollar 2.4-1.2 Sind (X, τ), (Y, σ) topologische Räume, S ⊆ X und f : X −→ Y stetig, so ist f
S stetig. Beweis Für jedes O ∈ σ gilt (f
S)−1 [O] = S ∩ f −1 [O] ∈ τ|S.

✷

Ist der Definitionsbereich der Funktion f ein A1 -Raum, so genügen gewöhnliche Folgen an Stelle von Netzen bzw. Filtern zur Charakterisierung der Stetigkeit, insbesondere läßt sich die zu Beginn des Abschnitts 1.1 mit Hilfe von Folgenkonvergenz

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

97

gegebene Stetigkeitsdefinition für Funktionen f : K −→ L, K, L ∈ {Q, R, C}, hier einordnen. Korollar 2.4-1.3 (X, τ), (Y, σ) seien topologische Räume, f : X −→ Y und (X, τ) A1 -Raum. Äq (i)

f stetig

(ii) ∀ x ∈ X ∀ (xj )j ∈ X N : (xj )j →τ x ⇒ (f (xj ))j →σ f (x) Beweis (i) ⇒ (ii) gilt gem. 2.4-1, da Folgen auch Netze sind. τ

(ii) ⇒ (i) Es sei B ⊆ X und x ∈ B . Es gibt somit eine Folge (xj )j ∈ B N , die gegen x konvergiert  vgl. die Bemerkung im Anschluß an 2.1-3, Seite 53 , gem. (ii) σ folgt daher (f (xj ))j →σ f (x). Wegen (f (xj ))j ∈ (f [B])N erhält man f (x) ∈ f [B] ; nach 2.4-1 ist f stetig. ✷ Ist der Bildraum einer Funktion f sogar ein pseudometrisierbarer Raum, so kann die Stetigkeit von f mit Hilfe der Oszillation gekennzeichnet werden: Definition (X, τ) sei ein topologischer, (Y, d) ein pseudometrischer Raum, S ⊆ X, f : S −→ Y τ und x ∈ S . ωS (f, x) := inf{ δ(f [U ∩ S]) | U ∈ Uτ (x) } ∈ R ∪ {∞} heißt Oszillation von f bei x (auf S), ω(f, x) := ωX (f, x). (δ(f [U ∩ S]) ist der Durchmesser von f [U ∩ S] in (Y, d); vgl. 1.1, A 23.) Korollar 2.4-1.4 (X, τ) sei ein topologischer, (Y, d) ein pseudometrischer Raum, x ∈ X und f : X −→ Y . Äq (i)

f (τ, τd )-stetig in x

(ii) ω(f, x) = 0 Beweis

& ' (i) ⇒ (ii) Sei ε > 0. Gem. 2.4-1 ist f −1 Kεd (f (x)) ∈ Uτ (x), und es gilt &    ' δ f f −1 [Kεd (f (x))] ≤ δ Kεd (f (x)) ≤ 2ε, woraus ω(f, x) = 0 folgt. (ii) ⇒ (i) Zu ε > 0 wähle man gem. (ii) ein U ∈ Uτ (x) mit δ(f [U ]) < ε. Hierfür gilt f [U ] ⊆ Kεd (f (x))  x
∈ U =⇒ d(f (x
), f (x)) < δ(f [U ]) < ε , f ist stetig in x. ✷

2 Topologische Räume

98

Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen sind gem. 2.4-1 genau diejenigen Funktionen, deren Urbilder sämtlicher Subbasismengen offen sind. Für reellwertige Funktionen f auf dem topologischen Raum (X, τ) bedeutet dieses in Hinblick auf die kanonische Subbasis der Topologie τ| | auf R: ' & ' & ∀ r ∈ R : f −1 ]r, ∞[ , f −1 ]−∞, r[ ∈ τ. Die für Approximations-, insbesondere Integrationszwecke so wichtigen charakteristischen Funktionen χS zu Teilmengen S topologischer Räume (X, τ) sind i. a. nicht stetig  A 3 (a) , die Theorie der stetigen Funktionen ist daher für sie zu eng. Ist S ∈ τ, so gilt jedoch immerhin noch ' & ]r, ∞[ ∈ τ, ∀ r ∈ R : χ−1 S denn

 ∅ ' &  −1 χS ]r, ∞[ = S   X

für r ≥ 1 für 0 ≤ r < 1 für r < 0

ist offen. Diese Feststellung gibt Anlaß zu folgenden Definitionen Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, x ∈ X und f : X −→ R. f unterhalbstetig in x

:gdw ∀ ε > 0 ∃ U ∈ Uτ (x) : f [U ] ⊆ ]f (x) − ε, ∞[

f oberhalbstetig in x

:gdw −f unterhalbstetig in x

f unterhalbstetig

:gdw ∀ x ∈ X : f unterhalbstetig in x

f oberhalbstetig

:gdw ∀ x ∈ X : f oberhalbstetig in x

Beispiel (2.4,2) (X, τ) sei ein topologischer Raum, S ⊆ X mit der charakteristischen Funktion χS . Es gilt: S∈τ

⇐⇒

χS unterhalbstetig

S ∈ ατ

⇐⇒

χS oberhalbstetig.

und

„⇒“ Sei x ∈ X und ε > 0. Für x ∈ S ist S ∈ Uτ (x) mit χS [S] = {1} ⊆ ]χS (x) − ε, ∞[ = ]1 − ε, ∞[, und für x ∈ X\S erhält man X ∈ Uτ (x) und χS [X] ⊆ {0, 1} ⊆ ]χS (x) − ε, ∞[ = ]−ε, ∞[. & ' „⇐“ Sei x ∈ S. Man wähle U ∈ Uτ (x) mit χS [U ] ⊆ 1 − 12 , ∞ , also χS [U ] = {1}. Es folgt U ⊆ S, also S ∈ τ.

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

99

Damit ist die erste Äquivalenz begründet; die zweite folgt hieraus so: Wegen −χS = χX\S − 1 gilt S ∈ ατ

⇐⇒

X\S ∈ τ

⇐⇒

⇐⇒

−χX\S oberhalbstetig

⇐⇒

χS oberhalbstetig

χX\S unterhalbstetig ⇐⇒

χS − 1 oberhalbstetig

Satz 2.4-2 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, f : X −→ R. Äq (i)

f unterhalbstetig ' & (ii) ∀ r ∈ R : f −1 ]r, ∞[ ∈ τ ' & (iii) ∀ r ∈ R : f −1 ]−∞, r] ∈ ατ

Beweis (i) ⇒ (ii) Für jedes r ∈ R, x ∈ X mit f (x) > r gibt es gem. (i) ein U ∈ Uτ (x) mit f [U ] ⊆ ]f' (x) − &(f (x) − r), ∞[ = ]r, ∞[, also gilt f (u) > r für jedes u ∈ U , d. h. U ⊆ f −1 ]r, ∞[ . ' & ' & (ii) ⇒ (iii) f −1 ]−∞, r] = X\f −1 ]r, ∞[ ∈ ατ ' & −1 ]f (x) − ε, ∞[ = (iii) ⇒ (i) Sei x ∈ X, ε > 0. Gem. (iii) ist x ∈ f ' & ' −1 ' && −1 ]−∞, f (x) − ε] ∈ τ, und es gilt f f ]f (x) − ε, ∞[ ⊆ ]f (x) − ε, ∞[. X\f ✷ Satz 2.4-2 zeigt, daß genau die zugleich unter- und oberhalbstetigen Funktionen f : X −→ R stetig sind (s. auch 2.4-13.1). Eine weitere Charakterisierung der Unterhalbstetigkeit erfolgt in 2.4-13. Separabilität und Lindelöf-Eigenschaft lassen sich durch stetige Funktionen auf die Bildräume übertragen (s. 2.4-4.2, 4.1-6 (a) für weitere übertragbare Eigenschaften): Satz 2.4-3 (X, τ) und (Y, σ) seien topologische Räume, f ∈ C(X, Y ) surjektiv. (a) (X, τ) separabel

=⇒ (Y, σ) separabel

(b) (X, τ) Lindelöf-Raum =⇒ (Y, σ) Lindelöf-Raum Beweis Zu (a) Ist D eine abzählbare, in (X, τ) dichte Teilmenge, so ist auch f [D] abzählbar,

2 Topologische Räume

100 und es folgt nach 2.4-1 ' τ& σ Y = f [X] = f D ⊆ f [D] ⊆ Y.

Zu (b) Sei O ⊆ σ eine Überdeckung von Y . Dann ist { f −1 [O] | O ∈ O } ⊆ τ eine Überdeckung von X, es existiert somit eine abzählbare Teilmenge O∗ ⊆ O, so daß { f −1 [O] | O ∈ O∗ } = X # gilt. Hieraus folgt Y = f [X] = O∗  f [f −1 [O]] = O .

✷

Allgemeiner als in 2.4-3 (a) ist die (oftmals nützliche) Aussage: σ

τ

(X, τ), (Y, σ) seien topologische Räume, f ∈ C(X, Y ), D = X und f [X] = Y . ' τ &σ σ σ σ ⊆ f [D] ⊆ Y (gem. 2.4-1).  Dann gilt f [D] = Y .  Y = f [X] = f D Stetige Bilder von A1 - bzw. A2 -Räumen sind i. a. nicht wieder A1 - bzw. A2 -Räume  vgl. (2.4,13) . Mit Hilfe stetiger Funktionen kann ein einfaches, sehr nützliches Kriterium über den Zusammenhang topologischer Räume aufgestellt werden: Satz 2.4-4 (X, τ) sei ein topologischer Raum, {0, 1} trage die diskrete Topologie. Äq (i)

(X, τ) zusammenhängend

(ii) ∀ f ∈ C(X, {0, 1}) : f [X] = {0, 1} Beweis

  (i) ⇒ (ii) Für f ∈ C(X, {0, 1}) mit f [X] = {0, 1} ist f −1 [{0}], f −1 [{1}] eine offene Zerlegung von (X, τ). (ii) ⇒ (i) Ist (O, P ) eine offene Zerlegung von (X, τ), so erhält man in χP eine stetige surjektive Funktion  (2.4,2) . ✷ Die beiden folgenden Korollare zeigen Anwendungsmöglichkeiten von 2.4-4. Korollar 2.4-4.1 τ

Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, S, T ⊆ X und S ⊆ T ⊆ S . Mit (S, τ|S) ist auch (T, τ|T ) zusammenhängend. Beweis Sei f ∈ C(T, {0, 1}). Gem. 2.4-1.2 ist f
S stetig und nach Voraussetzung und 2.4-4 nicht surjektiv, etwa (o. B. d. A.) f [S] ⊆ {0}. Gäbe es ein Element t ∈ T mit f (t) = 1,

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

101

so wäre t ∈ f −1 [{1}] ∈ τ|T ∩ Uτ|T (t). Da t ein Berührpunkt von S ist, müßte f −1 [{1}] ∩ S = ∅ sein. Somit gilt auch f [T ] ⊆ {0}. ✷ Insbesondere ist für jeden zusammenhängenden Unterraum auch dessen topologische Hülle wieder zusammenhängend (Eine direkte Begründung hierfür enthält der Beweis zu 2.3-10 (b)). Korollar 2.4-4.2 (X, τ) und (Y, σ) seien topologische Räume, f ∈ C(X, Y ) surjektiv. Mit (X, τ) ist auch (Y, σ) zusammenhängend. Beweis Ist (Y, σ) unzusammenhängend, so sei g ∈ C(Y, {0, 1}) gem. 2.4-3 eine Surjektion. Nach 2.4-1.1 ist g ◦ f stetig (und surjektiv), (X, τ) also unzusammenhängend. ✷ 2.4-4.2 ist auch unter dem Namen Zwischenwertsatz bekannt: Beispiele (2.4,3) (a)

(X, τ) sei ein topologischer Raum. Ist (X, τ) zusammenhängend, so gilt die Zwischenwerteigenschaft: ∀ f ∈ CR (X) ∀ a, b ∈ f [X] ∀ c ∈ R : a ≤ c ≤ b ⇒ ∃ x ∈ X : f (x) = c.  Nach 2.4-4.2 ist (f [X], τ| | |f [X]) zusammenhängend, also f [X] gem. 2.3-8 ein Intervall.  Die Umkehrung ist ebenfalls richtig  A 6 .

(b) Eine Anwendung der Zwischenwerteigenschaft: Es seien a, b ∈ R, a < b, g ∈ CR ([a, b]) −1 ∈ CR [g(a), g(b)] streng streng monoton wachsend (bzw. fallend). Dann   ist g −1 monoton wachsend (bzw. g ∈ CR [g(b), g(a)] streng monoton fallend): ' & Sei o. B. d. A. g streng monoton wachsend  Sonst betrachte man −g. ' . Es & gilt g [a, b] ⊆ [g(a), g(b)] wegen der Monotonie von g und darüber hinaus g [a, b] = [g(a), g(b)] nach (a) und 2.3-8, weil ([a, b], τ| | |[a, b]) zusammenhängend  2.3-8  und g(a), g(b) ∈ [g(a), g(b)] ist. Für alle ξ, η ∈ [g(a), g(b)], etwa x, y ∈ [a, b], g(x) = ξ, g(y) = η, folgt aus ξ < η auch g −1 (ξ) = x < y = g −1 (η)  x ≥ y =⇒ ξ = g(x) ≥ g(y) = η , g −1 ist daher streng monoton wachsend. Die Stetigkeit von g −1 erhält man nach 2.4-1, weil ' & ' & (g −1 )−1 ]α, β[ = g ]α, β[ = ]g(α), g(β)[, ' & (g −1 )−1 [a, β[ = [g(a), g(β)[ und ' & (g −1 )−1 ]α, b] = ]g(α), g(b)] für alle α, β ∈ [a, b], α < β, zu τ| | |[g(a), g(b)] gehören. (c)

Das folgende Beispiel demonstriert, daß beim Umgang mit dem Begriff „Zusammenhang“ Vorsicht geboten ist:

2 Topologische Räume

102

 2 2  R \Q , τd2 |R2 \Q2 ist zusammenhängend, obwohl die Menge Q2 der „Löcher“ in gilt: Für jede abzählbare Teilmenge S von Rn (n ≥ 2) (R2, τd2 ) dicht liegt. Allgemeiner  n n ist R \S, τd2 |R \S zusammenhängend. Es sei nämlich x0 ∈ Rn \S  Rn ist überabzählbar!  und gx0 ⊆ Rn \S eine Gerade durch x0  Nur abzählbar viele Geraden durch x0 treffen einen Punkt aus S, es gibt jedoch überabzählbar viele Geraden durch x0 ! . Für jedes x ∈ Rn \S existiert dann eine Gerade gx durch x mit gx ⊆ Rn \S und gx ∩ gx0 = ∅  Nur abzählbar viele Geraden durch x treffen einen Punkt aus S, es gibt jedoch überabzählbar viele Geraden durch x, die gx0 schneiden! . Hiermit folgt Rn \S =

gx , x∈Rn \S

und da jede Gerade als stetiges Bild des zusammenhängenden Raums (R, τ| | )  2.3-8  zusammenhängend ist  2.4-4.2 , erhält man mit 2.3-9.1 die Behauptung. Anmerkung: Der erste Teil dieses Beispiels kann noch verallgemeinert werden; vgl. A 37.

Korollar 2.4-4.3 (Weierstraßscher Approximationssatz, reell) Es sei g ∈ CR ([a, b]) streng monoton (wachsend bzw. fallend), a, b ∈ R, a < b, R[g] die Menge aller reellen Polynome in g. Dann gilt CR ([a, b]) = R[g]
[a, b]

τd∞

.

Beweis O. B. d. A. sei g streng monoton wachsend  Sonst betrachte man −g; R[−g] = R[g] . Nach (2.4,3) (b) ist g −1 ∈ CR ([g(a), g(b)]). Sei f ∈ CR ([a, b]) und ε > 0. Da f ◦ g −1 stetig ist  2.4-1.1 , existiert gem. 2.2-5 ein p(x) ∈ R[x] mit   sup |f (g −1 (ξ)) − p(ξ)| ε > d∞ f ◦ g −1 , p
[g(a), g(b)] = ξ∈[g(a),g(b)]

= sup |f (t) − p(g(t))| = d∞ (f, p ◦ g). t∈[a,b]

Wegen p(g) ∈ R[g] folgt die Behauptung.


Die Funktion cos2π :

✷

[0, 12 ] −→ [−1, 1] ∈ CR ([0, 12 ]) x −→ cos(2πx)

ist streng monoton fallend, nach 2.4-4.3 gilt daher τd∞

CR ([0, 12 ]) = R[cos2π ]
[0, 12 ]

.

Jedes f ∈ CR ([0, 12 ]) kann also durch ein Polynom der Form nj=0 cj (cos2π )j auf ' 1& 0, 2 gleichmäßig approximiert werden. Aus den für alle k ∈ N, t ∈ R gültigen

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität Gleichungen (mit i =

√

103

−1)

cos kt + i sin kt = (eit )k = (cos t + i sin t)k =

k  k  j k−j t sinj t j i cos j=0

erhält man durch Vergleich der Realteile für k ∈ {2m, 2m + 1} cos kt =

r m m    k  k r k−2(r−j) (−1)r 2r (−1)r+j 2r t cosk−2r t sin2r t = j cos r=0

r=0 j=0

und hieraus mit Hilfe vollständiger Induktion über k auch cosk t = kj=0 aj,k cos jt mit n reellen Koeffizienten aj,k . Die o. a. Approximation von f erfolgt daher durch j=0 dj cos2πj mit gewissen dj ∈ R. Funktionen der Art nj=0 (aj cos2πj +bj sin2πj ), n ∈ N, aj , bj ∈ R, heißen (reelle) trigonometrische Polynome auf [0, 1], sie bilden wegen cos2πj cos2πk = 12 (cos2π(j−k) + cos2π(j+k) ), cos2πj sin2πk = 12 (sin2π(k−j) + sin2π(k+j) ) und sin2πj sin2πk = 12 (cos2π(k−j) − cos2π(k+j) ) eine R-Unteralgebra TP R ([0, 1]) von CR ([0, 1]) (vgl. auch A 5; zur Definition der R-Algebra s. Abschnitt 4.3, Seite 323). Wegen der 1-Periodizität der trigonometrischen Polynome p auf [0, 1] werden keine unterschiedlichen Bezeichnungen für p und p
[0, 1] verwendet. Die obige Approximationsaussage in (CR ([0, 12 ]), d∞ ) mit trigonometrischen Polynomen auf [0, 1] ist sinngemäß auch in der Menge der 1-periodischen stetigen Funktionen { f ∈ CR ([0, 1]) | f (0) = f (1) } noch gültig (vgl. (2.4,5) (e)). Als nächstes werden weitere Eigenschaften von Funktionen zwischen topologischen Räumen angegeben und untersucht. Definitionen (X, τ) und (Y, σ) seien topologische Räume, f : X −→ Y . f offen

:gdw ∀ O ∈ τ : f [O] ∈ σ

f abgeschlossen

:gdw ∀ A ∈ ατ : f [A] ∈ ασ

f (τ, σ)-Homöomorphismus

:gdw f bijektiv, f stetig, f −1 stetig

(X, τ) homöomorph zu (Y, σ)

:gdw

∃ g : X −→ Y : g (τ, σ)-Homöomorphismus

2 Topologische Räume

104

f heißt dann auch topologischer Isomorphismus bzw. (X, τ) topologisch isomorph zu (Y, σ). Für zueinander homöomorphe Räume (X, τ), (Y, σ) wird die Schreibweise (X, τ) ∼ = (Y, σ), top.

wenn ein bestimmter Homöomorphismus g angegeben werden soll auch (X, τ) ∼ = (Y, σ) top. g

verwendet. Derartige Räume können aus topologischer Sicht nicht unterschieden werden, da durch die Umbenennung der Elemente von X entlang g auch die Topologie τ entsprechend übertragen wird; (Y, σ) ist lediglich eine andere Darstellung von (X, τ). Beispiele (2.4,4) (a)

Für alle p, q ∈ R ∪ {∞}, 1 ≤ p, q ≤ ∞ ist idRn : Rn −→ Rn ein (τdp , τdq )Homöomorphismus  (1.2,2) (d) .

(b) Es sei für n ≥ 1
S n :=

n+1   2 (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 xj = 1 j=1

die (reelle) n-Sphäre (vgl. Beweis zu 1.2-5) mit Nordpol N := (δj,n+1 )j=1,...,n+1 (und dem Südpol S := −N ), σ sei die Spurtopologie von τd2 (im Rn+1 ) auf S n \{N }. Es gilt (Abb. 2.4-1): (S n \{N }, σ) ∼ = (Rn , τd2 ). top.

x2 N (x1 , x2 ) 1 1−x2 x1

−1

1

S

x1

Abbildung 2.4-1

Die stereographische Projektion (mit Zentrum im Nordpol)
n S \{N } −→ Rn h: (x1 , . . . , xn+1 ) −→ 1−x1n+1 (x1 , . . . , xn )

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

105

ist ein (σ, τd2 )-Homöomorphismus (A 11) (Man veranschauliche sich diesen Sachverhalt für n = 2 anhand von Abb. 2.4-1!). Dabei werden Punkte auf der oberen Halbsphäre (xn+1 ≥ 0) auf Punkte außerhalb, die der unteren (xn+1 ≤ 1) auf solche innerhalb der (n − 1)-Sphäre abgebildet. (c)

Für alle a, b ∈ R, a < b, gilt (s. z. B. Abb. 2.4-2)       ]a, b[, τ| | |]a, b[ ∼ = (R, τ| | ) ∼ = ]−∞, a[, τ| | |]−∞, a[ ∼ = ]a, ∞[, τ| | |]a, ∞[ . top.

top.

top.

y a+b 2

a ξ  h(ξ  )

a+b 2

h(ξ) b

ξ

x

Abbildung 2.4-2

Sind die topologischen Räume (X, τ), (Y, σ) mit zusätzlicher Information, wie z. B. mit die Topologien induzierenden Pseudometriken, Halbnormen oder sogar Halbskalarprodukten versehen, so muß man bei ihrer Identifizierung gegebenenfalls berücksichtigen, daß entsprechende Eigenschaften wie Abstände, Halbnorm- bzw. Halbskalarproduktwerte erhalten bleiben. Beispielsweise sind die topologischen Räume (Rn , τdp ), (Rn , τdq ) für alle 1 ≤ p, q ≤ ∞ einander gleich  (2.4,4) (a) , die Identität idRn erhält aber für p = q nicht die Abstände. Definitionen (X, d) und (Y, e) seien pseudometrische Räume, f : X −→ Y . f (d, e)-Isometrie

:gdw f bijektiv, ∀ x, x
∈ X : d(x, x
) = e(f (x), f (x
))

(X, d) isometrisch zu (Y, e)

:gdw ∃ g : X −→ Y : g (d, e)-Isometrie

Für zueinander isometrische Räume (X, d), (Y, e) wird die Schreibweise (X, d) ∼ = (Y, e), isom.

wenn eine bestimmte Isometrie g angegeben werden soll auch (X, d) verwendet.

∼ =

isom. g

(Y, e)

2 Topologische Räume

106

Jede (d, e)-Isometrie ist natürlich ein (τd , τe )-Homöomorphismus, die Umkehrung gilt nicht  (2.4,4) (a) . Satz 2.4-5 V , W seien K-Vektorräume, K ∈ {R, C},
 (bzw. [ ]) ein Halbskalarprodukt auf V (bzw. W ) und ϕ : V −→ W ein K-linearer Monomorphismus. Äq (i)

∀ v, v
∈ V :
v, v
 = [ϕ(v), ϕ(v
)] (ϕ ist halbskalarprodukterhaltend, auch unitär für K = C, orthogonal für K = R)

(ii) ∀ v ∈ V : v  = ϕ(v)[ ] (ϕ ist halbnormerhaltend)   (iii) ϕ ist d  , d[ ]
(ϕ[V ] × ϕ[V ]) -Isometrie Beweis (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) sind definitionsgemäß richtig. (iii) ⇒ (i) Mit Hilfe der Polarisationsgleichung 1.1-9 ergibt sich  v + v
2  − v − v
2  für K = R 1 3
v, v
 = j j
2 4 für K = C j=0 i v + i v    1 d  (v + v
, 0)2 − d  (v − v
, 0)2 für K = R 3 = j j
2 4 für K = C j=0 i d  (v + i v , 0)  1 d[ ] (ϕ(v + v
), 0)2 − d[ ] (ϕ(v − v
), 0)2 für K = R 3 = j j
2 4 für K = C j=0 i d[ ] (ϕ(v + i v ), 0)  1 ϕ(v) + ϕ(v
)2[ ] − ϕ(v) − ϕ(v
)2[ ] für K = R 3 = j j
2 4 für K = C j=0 i ϕ(v) + i ϕ(v )[ ] = [ϕ(v), ϕ(v
)] ✷ Der Beweis zu 2.4-5 zeigt auch, daß K-lineare Isomorphismen zwischen halbnormierten K-Vektorräumen dann und nur dann halbnormerhaltend sind, wenn sie sich als Isometrien bzgl. der durch die Halbnormen induzierten Pseudometriken erweisen. In pseudometrischen Räumen sind Umgebungsbasen für alle Punkte gleichmäßig, z. B. als Mengen von ε-Kugeln wählbar. Der Stetigkeitsbegriff kann daher verschärft werden:

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

107

Definition (X, d), (Y, e) seien pseudometrische Räume, f : X −→ Y . f gleichmäßig stetig (bzgl. (d, e))

:gdw

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, x
∈ X : d(x, x
) < δ ⇒ e(f (x), f (x
)) < ε Beispiele (2.4,5) (a)

Isometrien zwischen pseudometrischen Räumen sind gleichmäßig stetig, gleichmäßig stetige Funktionen sind stetig. Stetige Funktionen sind nicht notwendig gleichmäßig stetig:
R −→ R x −→ x2 ist stetig (bzgl. (τ| | , τ| | )), nicht gleichmäßig stetig (bzgl. (d| | , d| | )).

(b) (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, ∅ = A ⊆ X. Die Abstandsfunktion dA zu A (vgl. (2.4,1) (d)) ist gleichmäßig stetig (bzgl. (d, d| | ))  |dA (x) − dA (y)| ≤ d(x, y) für alle x, y ∈ X; 1.2, A 19 . (c)

(X, d), (Y, e), (Z, f ) seien pseudometrische Räume, ϕ : X −→ Y , ψ : Y −→ Z gleichmäßig stetig. Dann ist ψ ◦ ϕ gleichmäßig stetig: Sei ε > 0. Wähle δ1 > 0 mit ∀ y, y  ∈ Y : e(y, y  ) < δ1 ⇒ f (ψ(y), ψ(y  )) < ε und δ2 > 0 mit ∀ x, x ∈ X : d(x, x ) < δ2 ⇒ e(ϕ(x), ϕ(x )) < δ1 . Für alle x, x ∈ X mit d(x, x ) < δ2 gilt dann f (ψ ◦ ϕ(x), ψ ◦ ϕ(x )) < ε wegen e(ϕ(x), ϕ(x )) < δ1 .

(d) B ∈ ατ | | sei beschränkt in (R, d| | ), (X, d) pseudometrischer Raum und f : B −→ X stetig (bzgl. (τ| | |B, τd )). f ist gleichmäßig stetig (bzgl. (d| |
B ×B, d)) (s. auch 4.1-2.1):

Andernfalls gibt es ein ε > 0 mit ∀ j ∈ N ∃ bj , bj ∈ B : |bj − bj |
ε. j+1

O. B. d. A. sei { bj | j ∈ N } unendlich  Wären { bj | j ∈ N } und { bj | j ∈ N } endlich, m := min{ |bj − bj | | j ∈ N }, k ∈ N mit 1/(k + 1) < m, so müßte m ≤ |bk − bk | < 1/(k + 1) sein.
 und b ∈ B ein Häufungspunkt von { bj | j ∈ N }  Weierstraß, (2.1,2) (b) . Wegen der Stetigkeit von f existiert dann ein δ > 0 mit d d (f (b)) und zu j ∈ N, 1/(j + 1) < δ ein bj0 mit f [Kδ | | (b) ∩ B] ⊆ Kε/4 |bj0 − b|
2(j + 1).

2 Topologische Räume

108 Es folgt |bj0 − b| ≤ |bj0 − bj0 | + |bj0 − b| < also

(e)

1 1 1 + < < δ, j0 + 1 2(j + 1) j+1

ε < d(f (bj0 ), f (bj0 )) ≤ d(f (bj0 ), f (b)) + d(f (b), f (bj0 ))
0 ein δε ∈ ]0, 14 [ mit ε ∀ x, x ∈ [0, 1] : |x − x | ≤ δε ⇒ |ν(x) − ν(x )| < . 2 Man ändere ν durch die folgenden Festsetzungen ab:     ν 12 − y , ∀ y ∈ [0, 12 ] : ν y + 12 = −  & ' 0 für y ∈ [0, δε ] ∪ 12 − δε , 12 ' &  y−δε  ν(y) = für y ∈ δε , 12 − δε . ν 1−4δ ε Dann ist ν ∈ CR ([0, 1]), und es gilt ε ∀ x ∈ [0, 1] : | ν (x) − ν(x)| < . 2 & ' 1  Für x ∈ [0, δε ] ∪ 12 − δε , 12 ist ν(x) = 0 = ν(0) = ν( | ν (x) − ν(x)| = 2 ), also ' 1 & x−δε ≤ δε ebenfalls |0 − ν(x)| < ε/2. Für x ∈ δε , 2 − δε erhält man wegen x − 1−4δ ε  x−δε  |ν(x) − ν(x)| = ν(x) − ν 1−4δε < ε/2.  Die durch  & ' & ' ν
(x) für x ∈ δε , 12 − δε ∪ 12 + δε , 1 − δε sin 2πx  ν (x) :=  0 sonst

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

109

    auf [0, 1] definierte Funktion ν  ist stetig und erfüllt  ν 12 + y = ν   12 − y für jedes y ∈ [0, 12 ], es gibt daher ein trigonometrisches Polynom p(cos2π ) ∈ R[cos2π ] mit ε   ν, p = sup  d∞  ν(x) − p(cos 2πx) < , 2 x∈[0,1] also

ε ∀ x ∈ [0, 1] :  ν (x) − p(cos 2πx) < ,  2

woraus ε ε ν (x) − sin(2πx)p(cos 2πx) ≤ |sin(2πx)| ≤ ,  ∀ x ∈ [0, 1] : sin(2πx) 2 2 d. h. d∞ ( ν , sin2π ·p(cos2π )) ≤

ε 2

folgt. Insgesamt erhält man ν , sin2π ·p(cos2π )) ≤ ε, d∞ (ν, sin2π ·p(cos2π )) ≤ d∞ (ν, ν) + d∞ ( wobei mit p(cos2π ) auch sin2π ·p(cos2π ) zu TP R ([0, 1]) gehört.

Die gleichmäßige Stetigkeit der Abstandsfunktion dA  (2.4,5) (b)  ist dadurch begründet, daß die Bilder je zweier Elemente mindestens so dicht beieinander liegen wie die Urbilder, dA sich also kontraktiv verhält. Derartige Funktionen sind gleichmäßig stetig und gehören zur Klasse der Lipschitzstetigen Funktionen: Definitionen (X, d), (Y, e) seien pseudometrische Räume, f : X −→ Y . f Lipschitz-stetig (L-stetig) (bzgl. (d, e))

:gdw

∃ L > 0 ∀ x, x
∈ X : e(f (x), f (x
)) ≤ Ld(x, x
) L heißt dann eine Lipschitzkonstante für f (bzgl. (d, e)). f strenge Kontraktion (bzgl. (d, e))

:gdw

∃ L ∈ [0, 1[ : L Lipschitz-Konstante für f L heißt dann (eine) Kontraktionszahl für f (bzgl. (d, e)). f Kontraktion (bzgl. (d, e))


:gdw

∀ x, x ∈ X : x = x
⇒ e(f (x), f (x
)) < d(x, x
)

2 Topologische Räume

110 Beispiele (2.4,6) (a)

L-stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig. Gleichmäßig stetige Funktionen zwischen pseudometrischen Räumen sind nicht notwendig L-stetig:    [0, 1] −→  [0, 1] π x cos 2x für x = 0 g: x −  →   0 für x = 0 ist gleichmäßig stetig, jedoch nicht L-stetig: Für L-stetige Funktionen f : [a, b] −→ R mit Lipschitz-Konstante L gilt:
  n |f (xj+1 ) − f (xj )| n ∈ N\{0}, (x0 , . . . , xn+1 ) ∈ Za,b V (f ) := sup j=0

≤ sup


 n j=0

 L|xj+1 − xj | n ∈ N\{0}, (x0 , . . . , xn+1 ) ∈ Za,b

= L(b − a) (V (f ) heißt Variation von f ).

 1  1 Für obige Funktion g und die endliche Zerlegung 0, 2n , 2n−1 , . . . , 12 , 1 von [0, 1] ist 2n−1 

|g(xj+1 ) − g(xj )| =

j=0

n−1  j=0

1 , j+1

woraus V (g) = ∞ folgt. (b) Es sei f : R −→ R differenzierbar, a, b ∈ R, a < b und f 
[a, b] beschränkt. Dann ist f
[a, b] L-stetig: Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es für alle x, y ∈ [a, b] ein z ∈ [a, b] mit |f (x) − f (y)| = |f  (z)| |y − x|. Es gilt daher   |f (x) − f (y)| ≤ sup |f  (z)| |y − x|, z∈[a,b]

L := supz∈[a,b] |f  (z)| ist eine Lipschitz-Konstante für f . Speziell für f = cos, a = 0, b = 1 erhält man eine strenge Kontraktion: sup |cos (z)| = sin 1 < 1. z∈[0,1]

(c)

Die Funktion


f:

R+ −→ R+ 1 x −→ x + x+1

ist eine Kontraktion, jedoch keine strenge Kontraktion:

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

111

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es für alle x, y ∈ R+ ein z ∈ R+ mit   1 |x − y|. |f (x) − f (y)| = |f  (z)| |x − y| = 1 − 2 (1 + z)   1 Wegen 1 − (1+z) < 1 erhält man |f (x) − f (y)| < |x − y| für x = y, f ist daher eine 2 Kontraktion. Sei L eine Lipschitz-Konstante für f . Dann gilt für alle n ∈ N  1  1 , L|0 − n| ≥ |f (0) − f (n)| = 1 − n + =n−1+ n+1 n+1 also für alle n ≥ 1 L≥1−

1 1 + , n (n + 1)n

woraus L ≥ 1 folgt; f ist keine strenge Kontraktion.

Die bereits in einigen Funktionenräumen verwendete punktweise Konvergenz (vgl. (1.2,1) (c) u. a.) kann direkt für Netze von Funktionen allgemein formuliert werden: Definitionen X, Y = ∅ seien Mengen, σ eine Topologie und d eine Pseudometrik auf Y , (G, ≥) eine gerichtete Menge und f : G −→ Y X ein Netz in Y X , ϕ ∈ Y X . f punktweise σ-konvergent gegen ϕ

:gdw

∀ x ∈ X : (fγ (x))γ∈G →σ ϕ(x) f punktweise σ-konvergent ∃ϕ∈Y

X

:gdw

: f punktweise σ-konvergent gegen ϕ

Schreibweisen: f −−−−→ ϕ, σ-pktw.

f d-gleichmäßig konvergent gegen ϕ

lim fγ

γ∈G

=

σ-pktw.

ϕ

o. ä.

:gdw

∀ ε > 0 ∃ γε ∈ G ∀ γ ≥ γε ∀ x ∈ X : d(fγ (x), ϕ(x)) < ε f d-gleichmäßig konvergent ∃ϕ∈Y

X

:gdw

: f d-gleichmäßig konvergent gegen ϕ

Schreibweisen: f −−−→ ϕ, d-glm.

lim fγ = ϕ o. ä.

γ∈G

d-glm.

2 Topologische Räume

112 Beispiele (2.4,7) (a)

X sei eine nichtleere Menge, (Y, d) ein pseudometrischer Raum und (B(X, Y ), d∞ ) der pseudometrische Raum der beschränkten Funktionen von X in Y (1.1, A 1 (b) (i)). Für jedes Netz f : G −→ B(X, Y ), ϕ ∈ B(X, Y ) gilt f →d∞ ϕ

⇐⇒

f −−−→ ϕ, d-glm.

denn f →d∞ ϕ

⇐⇒

∀ ε > 0 ∃ γε ∈ G ∀ γ ≥ γε : d∞ (fγ , ϕ) ≤ ε

⇐⇒ ⇐⇒

∀ ε > 0 ∃ γε ∈ G ∀ γ ≥ γε ∀ x ∈ X : d(fγ (x), ϕ(x)) ≤ ε f −−−→ ϕ. d-glm.

(b) Allgemein gilt: f −−−→ ϕ d-glm.

=⇒

f −−−−−→ ϕ. τd -pktw.

Die Umkehrung ist nicht richtig, wie (1.2,1) (c) zeigt (vgl. auch A 23 (a) und 3.1, A 29).

Satz 2.4-6 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, (Y, d) pseudometrischer Raum, ϕ : X −→ Y und f : G −→ C(X, Y ) ein Netz. Es gilt: f −−−→ ϕ d-glm.

=⇒

ϕ ∈ C(X, Y ).

Beweis Es sei x0 ∈ X und ε > 0. Man wähle ein γε ∈ G mit ∀ γ ≥ γε ∀ x ∈ X : d(fγ (x), ϕ(x)) < ε/3, d (fγε (x0 )). Für jedes x ∈ U gilt dann und weiter ein U ∈ Uτ (x0 ) mit fγε [U ] ⊆ Kε/3

d(ϕ(x0 ), ϕ(x)) ≤ d(ϕ(x0 ), fγε (x0 )) + d(fγε (x0 ), fγε (x)) + d(fγε (x), ϕ(x)) ε ε ε < + + = ε, 3 3 3 also ϕ[U ] ⊆ Kεd (ϕ(x0 )).

✷

X Die punktweise σ-Konvergenz von Netzen %in Y kann zur koordinatenweisen Konvergenz von Netzen in direkten Produkten i∈I Xi von topologischen Räumen (Xi , τi ) kanonisch verallgemeinert werden:

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

113

Definition ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume (Xi , τi ),
  Xi = f : I −→ Xi ∀ i ∈ I : f (i) ∈ Xi i∈I

i∈I

das direkte Produkt der Familie ( Xi | i ∈ I ), ϕ ∈ ein Netz. f koordinatenweise konvergent gegen ϕ

% i∈I

Xi und f : G −→

% i∈I

Xi

:gdw ∀ i ∈ I : (fγ (i))γ∈G →τi ϕ(i)

f koordinatenweise konvergent

:gdw  Xi : f koordinatenweise konvergent gegen ϕ ∃ϕ∈ i∈I

Schreibweisen: f −−−−→ ϕ, koordw.

lim fγ

γ∈G

=

koordw.

ϕ o. ä.

% Die Frage, ob die koordinatenweise Konvergenz in i∈I Xi topologisch ist (d. h. von % einer Topologie auf i∈I Xi abstammt), kann positiv beantwortet werden (2.4-8) und führt zum Begriff Produkttopologie: Definition ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume, für jedes j ∈ I sei
% i∈I Xi −→ Xj πj : ϕ −→ ϕ(j) % die (kanonische) j-te Projektion. Die Topologie i∈I τi auf i∈I Xi mit der Subbasis  −1  πj [Oj ] j ∈ I, Oj ∈ τj %  % heißt Produkttopologie auf i∈I Xi , i∈I τi Produktraum (auch topoi∈I Xi , logisches direktes Produkt) der Familie ( (Xi , τi ) | i ∈ I ). Für endliche Mengen I = {i1 , . . . , in } schreibt man auch τi1 τi2 . . . τin . Eine Basis von i∈I τi ist definitionsgemäß (vgl. Abschnitt 2.3, Seite 77) 
 ∗ −1 ∗ πi [Oi ] I ∈ Pe I, ∀ i ∈ I : Oi ∈ τi i∈I ∗

=




 Oi ∀ i ∈ I : Oi ∈ τi , { i ∈ I | Oi = Xi } ∈ Pe I ,

i∈I

ihre Elemente heißen basisoffen.

2 Topologische Räume

114 Satz 2.4-7

Es sei ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) 6= ∅ eine Familie Q nichtleerer topologischer Räume, (Y, σ) ein topologischer Raum und f : Y −→ i∈I Xi . Q (a) i∈I τi ist die ⊆-kleinste Topologie τ auf i∈I Xi , so daß alle πj stetig (bzgl. (τ, τj )) sind.
(b) Für jedes j ∈ I ist πj offen (bzgl. i∈I τi , τj ).
(c) f stetig (bzgl. σ, i∈I τi ) ⇐⇒ ∀ j ∈ I : πj ◦ f stetig (bzgl. (σ, τj )) (πj ◦ f heißt j-te Koordinatenfunktion zu f .)

Beweis


Zu (a) Definitionsgemäß sind alle πj stetig (bzgl. i∈I τi , τj ). Sei also πj stetig (bzgl. (τ, τj )) für jedes j ∈ I. Dann gehört πj−1 [Oj ] zu τ für jedes j ∈ I, Oj ∈ τj . Somit ist i∈I τi ⊆ τ. Zu (b) Es sei O ∈ i∈I τi , j ∈ I und xj ∈ πj [O], etwa x ∈ O mit xj = πj (x). Man wähle eine Basismenge wie folgt: x∈

r \

k=1

πi−1 [Oik ] ⊆ O k

Es folgt für jedes j ∈ I xj = πj (x) ∈

(

(Oik ∈ τik für k ∈ {1, . . . , r}).

für j = ik , k ∈ {1, . . . , r} sonst

Oik Xj

)

⊆ πj [O]

J da die πj surjektiv sind K.

Zu (c) Sind alle πj ◦ f stetig, so erhält man für jedes j ∈ I, Oj ∈ τj   f −1 πj−1 [Oj ] = (πj ◦ f )−1 [Oj ] ∈ σ.

Da { πj−1 [Oj ] | j ∈ I, Oj ∈ τj } (definitionsgemäß) eine Subbasis für die Produkttopologie ist, folgt die Stetigkeit von f gem. 2.4-1. Die Umkehrung ergibt sich mit 2.4-1.1. 2 Beispiele (2.4,8) (a)

Es sei n ∈ N\{0}, 1 ≤ p ≤ ∞. Dann gilt (R , τdp ) = n



n n

R ,

τ| | i=1



:

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

115

Gem. 1.2-5 ist τdp = τd∞ . Für jedes x ∈ Rn , ε > 0 erhält man Kεd∞ (x) =



n

 y ∈ Rn sup |yi − xi | < ε = ]xi − ε, xi + ε[, 1≤i≤n

also Uτd∞ (x) = U n τ | | (x), i=1 %n und die i=1 ]xi − ε, xi + ε[ n τdp = i=1 τ| | .

i=1

da die Kεd∞ (x) eine Umgebungsbasis von x bzgl. τd∞ n eine bzgl. i=1 τ| | bilden. Nach 1.2, A 9 (a) folgt

(b) (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) seien (pseudo)metrische Räume.
(X1 × X2 ) × (X1 × X2 ) −→ R+ dsum : ((x1 , x2 ), (x1 , x2 )) −→ d1 (x1 , x1 ) + d2 (x2 , x2 ),
(X1 × X2 ) × (X1 × X2 ) −→ R+ dmax : ((x1 , x2 ), (x1 , x2 )) −→ max{d1 (x1 , x1 ), d2 (x2 , x2 )} sind offensichtlich (Pseudo-)Metriken auf X1 ×X2 , und es gilt τdsum = τd1 τd2 = τdmax : Wegen dmax ≤ dsum ≤ 2dmax ist τdsum = τdmax , und weiter erhält man für alle (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 , ε > 0   Kεdmax ((x1 , x2 )) = (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 max{d1 (x1 , x1 ), d2 (x2 , x2 )} < ε = { (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 | d1 (x1 , x1 ) < ε, d2 (x2 , x2 ) < ε } =

2 

{ (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 | di (xi , xi ) < ε }

i=1 ' & π1−1 Kεd1 (x1 )

' & ∩ π2−1 Kεd2 (x2 ) .  d  Kε max ((x1 , x2 )) (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 , ε > 0 ist eine Basis von τdmax , 

' ' & & π1−1 Kεd1 (x1 ) ∩ π2−1 Kεd2 (x2 ) x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 , ε > 0 =

eine von τd1 (c)

τd2 . (S. auch A 19.)

( (Xi , τi ) | 1 ≤ i ≤ n + m ) sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume, m, n ∈ N\{0}. Dann gilt  n i=1

Xi ×

n+m  j=n+1

 (insbesondere Rn × Rm , Die Funktion

n

Xj , i=1 n i=1



n+m

τi τ| |

τj j=n+1 n+m j=n+1

∼ =

top.

n+m  k=1

  τ| | ∼ = Rn+m , top.



n+m

Xk ,

τk k=1 n+m k=1

 τ| | ):

 n n+m n+m    X ×  X −→  X i j k a: i=1 j=n+1 k=1   ((x1 , . . . , xn ), (xn+1 , . . . , xn+m )) −→ (x1 , . . . , xn+m )

2 Topologische Räume

116

ist bijektiv. Die Projektionen  n n+m n    X ×  X −→  X i j i p1 : i=1 j=n+1 i=1   ((x1 , . . . , xn ), (xn+1 , . . . , xn+m )) −→ (x1 , . . . , xn ),  n n+m n+m    X ×  X −→  X i j j p2 : i=1 j=n+1 j=n+1   ((x1 , . . . , xn ), (xn+1 , . . . , xn+m )) −→ (xn+1 , . . . , xn+m ),  r    X −→ X (s,r) i j πj : für j = s, . . . , r (s, r ∈ N\{0}, s ≤ r)   i=s (xs , . . . , xr ) −→ xj sind stetig  nach Definition der Produkttopologie . Die Stetigkeit von a folgt nun leicht mit 2.4-7 (c): Für alle j ∈ {1, . . . , n + m} ist  (1,n) πj ◦ p1 für j ∈ {1, . . . , n} (1,n+m) ◦a= πj (n+1,n+m) πj ◦ p2 für j ∈ {n + 1, . . . , n + m} stetig. Da auch die Projektionen  n+m n     Xk −→ Xi q1 : und i=1 k=1   (x1 , . . . , xn+m ) −→ (x1 , . . . , xn )  n+m n+m    X −→  X k j q2 : j=n+1   k=1 (x1 , . . . , xn+m ) −→ (xn+1 , . . . , xn+m ) (1,n)

(1,n+m)

(n+1,n+m)

(1,n+m)

stetig sind  πj ◦ q1 = πj , πj ◦ q2 = πj sind stetig; 2.4-7 (c) , folgt wiederum nach 2.4-7 (c) wegen p1 ◦ a−1 = q1 und p2 ◦ a−1 = q2 die Stetigkeit von a−1 . Mit den gleichen Mitteln kann man sogar beweisen (s. A 21 (b)): ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume, { Ij | j ∈ J } eine Partition von I und σ : I −→ I Bijektion (Permutation von I). % %     % ∼ , X , τ X τ (i) = i i i i i∈I j∈J i∈Ij i∈I j∈J i∈Ij top.

(Assoziativität)   % ∼ % Xσ(i) , (ii) i∈I Xi , i∈I i∈I τi = top.

(Kommutativität) (d) Die  kanonischen  Projektionen πj : ): τ , τ i j i∈I

% i∈I

i∈I

τσ(i)



Xi −→ Xj sind i. a. nicht abgeschlossen (bzgl.

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität A := { (x, y) ∈ R2 | xy = 1 } ist in (R2 , τ| | ((xi , yi ))i∈N ∈ AN , ((xi , yi ))i∈N →τ | |

117

τ| | ) abgeschlossen:

τ|

|

(a, b), (a, b) ∈ R2

=⇒

(xi )i →τ | | a, (yi )i →τ | | b

 gem. 2.4-7 (a) 

=⇒

(xi yi )i →τ | | ab

 Die Multiplikation in R ist stetig. 

Wegen (xi yi )i = (1)i gilt ab = 1, also (a, b) ∈ A. Die kanonische Projektion (Abb. 2.4-3)
R × R −→ R π1 : (x, y) −→ x ergibt wegen π1 [A] = R\{0} eine nicht abgeschlossene Bildmenge. y

A

x

π1 [A] A

Abbildung 2.4-3

(e)

Für jedes i ∈ I sei Si ⊆ Xi . Dann gilt 

i∈I

Si

i∈I

Einerseits ist wegen  i∈I

Si

τi

=

 i∈I

τi

=



Si

τi

:

i∈I

 Xi \

 ' τj & ∈α πj−1 Xj \Sj

i∈I

τi

j∈I

% % τi τi die Menge i∈I Si i∈I in i∈I Si enthalten. Andererseits existiert auch zu jedem % $r τi x ∈ i∈I Si und jeder basisoffenen Umgebung k=1 πi−1 [Oik ] von x wegen πik (x) ∈ k % τik S ik ∩ Oik ein sik ∈ Oik ∩ Sik für k ∈ {1, . . . , r}, jedes Element y ∈ i∈I Si mit $r [Oik ]. πik (y) = sik , k ∈ {1, . . . , r}, liegt also in k=1 πi−1 k

Satz 2.4-8 | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume, ( (Xi , τi ) % % % f : G −→ i∈I Xi ein Netz und F ein Filter auf i∈I Xi , ϕ ∈ i∈I Xi . Dann gilt:

2 Topologische Räume

118 (a) Äq (i)

F→

i∈I

τi

ϕ

(ii) ∀ j ∈ I : πj [[F]] →τj πj (ϕ) (b) Äq (i)

f→

i∈I

τi

ϕ

(ii) ∀ j ∈ I : πj ◦ f →τj πj (ϕ). Beweis (i) ⇒ (ii) gilt in (a) und (b) gem. 2.4-7 (a), 2.4-1. $ [Ojk ] eine (o. B. d. A.) basisoffene Umgebung von ϕ (ii) ⇒ (i) Sei ϕ ∈ rk=1 πj−1 k bzgl. i∈I τi . Für jedes k ∈ {1, . . . , r} gibt es ein Fk ∈ F bzw. $ ein γk ∈ G mit πjk [Fk ] ⊆ Ojk bzw. fγ (jk ) ∈ Ojk für alle$γ ≥ γk . Mit F := rk=1$Fk ∈ F bzw. γ0 ∈ G, γ0 ≥ γ1 , . . . , γr erhält man F ⊆ rk=1 πj−1 [Ojk ] bzw. fγ ∈ rk=1 πj−1 [Ojk ] k k ✷ für jedes γ ≥ γ0 . Die folgende Aussage über die Dichtigkeit spezieller Mengen in Produkträumen erweist sich manchmal als hilfreich (vgl. z. B. den Beweis zu 2.4-10): Satz 2.4-9 ( (Xi , τi ) | i%∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume, ϕ ein Element von i∈I Xi . Die Menge
 
Xi { i ∈ I | xi = ϕi } endlich X := x ∈ ist dicht in

% i∈I

Xi ,

i∈I τi



i∈I

.

Beweis

% $ [Ojk ] = ∅ eine basisoffene Menge. Man definiere x ∈ i∈I Xi Sei O := rk=1 πj−1 k durch xi := ϕi für jedes i ∈ {j1 , . . . , jk },% xjk ∈ Ojk für k ∈ {1, . . . , r}. Dann ist x ∈ O ∩ X
. Gem. 2.2-1 (a) ist X
dicht in ✷ i∈I τi . i∈I Xi , Eigenschaften, die sich auf das topologische direkte Produkt übertragen, sofern sie jedem Koordinatenraum zukommen, nennt man multiplikativ. Zu ihnen gehört der Zusammenhang: Satz 2.4-10 ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume.  % Äq (i) i∈I τi zusammenhängend i∈I Xi , (ii) ∀ i ∈ I : (Xi , τi ) zusammenhängend

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

119

Beweis (i) ⇒ (ii) Die kanonischen Projektionen πi sind stetig und surjektiv. Gem. 2.4-4.2 ist (Xi , τi ) zusammenhängend. %  % (ii) ⇒ (i) Es sei ϕ ∈ i∈I Xi gewählt, f ∈ C i∈I Xi , {0, 1} und
 
Xi { i ∈ I | xi = ϕi } endlich . X := x ∈ i∈I

Nach 2.4-4 ist nachzuweisen, daß f konstant ist. Hierzu setze man für jedes j ∈ I als kanonische Einbettung  %   Xj −→+ i∈IXi , ξ für i = j ηjϕ : .   ξ −→ i → ϕ sonst i Für alle j, k ∈ I ist dann

 idXk πk ◦ ηjϕ = ϕk

für j = k für j = k

eine stetige Funktion von Xj in Xk , nach 2.4-7 (c) ist daher ηjϕ und somit auch f ◦ ηjϕ  2.4-1.1  für jedes j ∈ I stetig. Da (Xj , τj ) zusammenhängend ist, muß f ◦ ηjϕ konstant sein, nämlich ∀ ξ ∈ Xj : f ◦ ηjϕ (ξ) = f ◦ ηjϕ (ϕj )

(∗)

gelten  2.4-4 . Für jedes x ∈ X
, etwa {i1 , . . . , irx } := { i ∈ I | xi = ϕi } paarweise verschieden, sei (induktiv definiert) für jedes i ∈ I   xi für i = i1 ϕrx −1 (i) für i = irx 1 rx , . . . , ϕ (i) := ϕ (i) := ϕi für i = i1 ϕi für i = irx . Es gilt dann (vollständige Induktion)   1   1 f (x) = f ηiϕ1 (xi1 ) = f ηiϕ1 (ϕi1 )  1  = f (ϕ1 ) = f ηiϕ2 (xi2 )   1 = f ηiϕ2 (ϕi2 ) = f (ϕ2 ) .. . = f (ϕrx ) = f (ϕ)

1

 x = ηiϕ1 (xi1 ); (∗) für ϕ1  1

 ϕ1 = ηiϕ2 (xi2 )   (∗) für ϕ1  1

 ϕ2 = ηiϕ2 (ϕi2 ) 

2 Topologische Räume

120 für alle x ∈ X
. Schließlich folgt mit 2.4-9 und 2.4-1 f

-

. ) Xi = f X


i∈I

τi

*

τdis

⊆ f [X
]

= {f (ϕ)}

τdis

= {f (ϕ)},

i∈I

✷

f ist somit konstant. Beispiel (2.4,9)

 Sei I = ∅ eine Menge, ∅ =  J ⊆ R ein Intervall. J I ,

i∈I (τ|

|

 |J) ist zusammenhängend.

Satz 2.4-11  Si ⊆ Xi ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume, ∅ = für jedes i ∈ I. Es gilt:  (τi |Si ) = i∈I

i∈I

  τi Si , i∈I

d. h. die Produkttopologie der Spurtopologien ist die Spurtopologie der Produkttopologie. Beweis

% „⊆“ Sei O ∈ i∈I (τi |Si ) o. B. d. A. basisoffen, d. h. O = i∈I (Oi ∩ Si ), wobei O { i ∈ I | O%i = Xi } endlich ist. Wegen % o. B. d. A.% %i ∈ τi für alle i ∈ I und O ∈ τ und O ∩ i∈I i∈I i i∈I Si = i∈I (Oi ∩ Si ) = O gehört O  i  i∈I % i zu i∈I τi i∈I Si . % „⊇“ Sei O ∈ i∈I τi o. B. d. A. basisoffen, d. h. O = i∈I Oi , wobei Oi ∈ τi für alle i ∈ I und { i ∈ I | Oi = Xi } endlich ist. Es folgt  i∈I

 Oi

∩



Si =

i∈I



(Oi ∩ Si ) ∈

i∈I

(τi |Si ). i∈I

✷ Korollar 2.4-11.1

% x ∈ i∈I Xi ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume,  % und Cx die Zusammenhangskomponente von x in i∈I τi . Es gilt: i∈I Xi , Cx =

 i∈I

Cxi .

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

121

Beweis Gem. 2.4-11 und 2.4-10 ist +   Cxi , i∈I

i∈I

,     τi Cxi = Cxi , %

i∈I

i∈I

 (τi |Cxi ) i∈I

%

zusammenhängend, wegen x ∈ i∈ICxi gilt daher Cx⊇ i∈I Cxi . Umgekehrt folgt mit 2.4-4.2 der Zusammenhang von πi [Cx ], τi |πi [Cx ] , wegen xi = πi (x) ∈ πi [Cx ] also πi [Cx ] ⊆ Cxi für jedes i ∈ I. Man erhält   πi [Cx ] ⊆ Cxi . x ∈ Cx ⊆ i∈I i∈I ✷ Lokale bzw. globale Abzählbarkeitseigenschaften der Topologie sind i. a. nicht multiplikativ, vielmehr gilt: Satz 2.4-12 ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume. %  Äq (i) i∈I τi A1 - (bzw. A2 -)Raum i∈I Xi , (ii) ∀ i ∈ I : (Xi , τi ) A1 - (bzw. A2 -)Raum und { i ∈ I | τi = τin } abzählbar Beweis (i) ⇒ (ii) Die kanonischen Projektionen πi sind stetig, offen und surjektiv  2.4-7 (a), (b) , also ist jedes (Xi , τi ) A1 - (bzw. A2 -)Raum  A 9 . Zum Nachweis, daß die Menge J := { i ∈ I | τi = τ% in } abzählbar ist,  genügt die A1 -Eigenschaft X , τ  A2 -Räume sind A1 -Räume!  von i i∈I i . Für jedes j ∈ J wähle man i∈I ein Oj ∈ τj \{∅, Xj } und ein xj ∈ Oj , für j ∈ I\J sei xj irgendein Element von Xj . Das Element x = (x% i )i∈I besitzt gem. (i) eine abzählbare Umgebungsbasis Bx , und für jedes B ∈ Bx sei i∈I OB,i eine basisoffene Menge mit  OB,i ⊆ B x∈ i∈I

(IB := { i ∈ I | OB,i = Xi } ist endlich). Dann ist

Annahme: J ist überabzählbar. # Es gibt ein j ∈ J\ B∈Bx IB , und πj−1 [Oj ] ∈ U Man wähle ein B ∈ Bx mit B ⊆ % y ∈ i∈I Xi durch

πj−1 [Oj ]

 yj y(i) := xi

#

B∈Bx IB

i∈I

τi (x)

abzählbar. ∩

i∈I τi

 xj ∈ Oj .

und weiter ein yj ∈ Xj \Oj und definiere für i = j für i = j.

2 Topologische Räume

122

 −1 % Dann ist y ∈ i∈I OB,i \πj [Oj ]  OB,j = Xj wegen j ∈ IB , andererseits gilt % jedoch i∈I OB,i ⊆ B ⊆ πj−1 [Oj ].
(ii) ⇒ (i) Sei J := { i ∈ I | τi = τin } abzählbar. A2 : Für jedes i ∈ I sei Bi ⊆ τi eine abzählbare Basis von τi . Dann ist auch 
 −1 πi [Bi ] E ∈ Pe J, ∀ i ∈ E : Bi ∈ Bi β := i∈E

abzählbar  Pe J und die Bi sind abzählbar  und eine Basis von i∈I τi : $ % −1 Sei x ∈ i∈I Xi , U ∈ U τ (x), etwa x ∈ i∈E πi [Bi ] ⊆ U , wobei i∈I i E ∈ Pe I und Bi ∈ Bi für jedes i ∈ E ist. Mit F := E ∩ J folgt   πi−1 [Bi ] = πi−1 [Bi ] ⊆ U. x∈ i∈F

i∈E

A1 : Für jedes i ∈ I, xi ∈ Xi sei Bxi eine abzählbare Umgebungsbasis von xi . Die Menge
  −1 B := πi [Bi ] E ∈ Pe J, ∀ i ∈ E : Bi ∈ Bxi i∈E

ist abzählbar  Pe J und die Bxi sind abzählbar  und eine Umgebungsbasis von x = (xi )i∈I : (x) und für jedes U ∈ U (x) gibt es ein E ∈ Pe I und für B ⊆ U i∈I τi i∈I τi jedes i ∈ E ein Bi ∈ Bxi , so daß  πi−1 [Bi ] ⊆ U i∈E

gilt. Mit F := E ∩ J folgt wieder   πi−1 [Bi ] = πi−1 [Bi ] ⊆ U. x∈ i∈F

i∈E

✷

Mit 2.4-12 erhält man beispielsweise, daß die Produkträume     I I τ| | (τ| | |[a, b]) (für a < b) und [a, b] , R , i∈I

i∈I

für überabzählbare Mengen I keine A1 -Räume und infolgedessen nicht pseudometrisierbar sind (s. auch A 20). Separabilität (vgl. 2.5-7) und Lindelöf-Eigenschaft (vgl. 2.5, A 6) sind ebenfalls nicht multiplikativ. Eine weitere Charakterisierung der Unterhalbstetigkeit von Funktionen (vgl. 2.4-2) ergibt sich mit Hilfe ihrer Epigraphen.

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

123

Definition Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, f : X −→ R. Ep(f ) := { (x, r) ∈ X × R | r ≥ f (x) } heißt Epigraph von f (Abb. 2.4-4). R

Ep(f )

f

X Abbildung 2.4-4

Hiermit erhält man als Ergänzung zu Satz 2.4-2 den Satz 2.4-13 (X, τ) sei ein topologischer Raum, f : X −→ R. Äq (i)

f unterhalbstetig

(ii) Ep(f ) ∈ ατ

τ|

|

Beweis (i) ⇒ (ii) Sei (x, r) ∈ (X × R)\ Ep(f ), also f (x) > r. Man wähle ε > 0 mit r + ε < f (x) und dazu wegen der Unterhalbstetigkeit von f ein U ∈ Uτ (x) mit d d f [U ] ⊆ ]r + ε, ∞[. Dann ist U × Kε | | (r) ∈ Uτ τ | | ((x, r)), und es gilt U × Kε | | (r) ⊆ d

(X × R)\ Ep(f )  u ∈ U , s ∈ Kε | | (r) =⇒f (u) > r + ε > s . ' & (ii) ⇒ (i) Sei r ∈ R und x0 ∈ f −1 ]r, ∞[ , also f (x0 ) > r. Gem. (ii) folgt (x0 , r) ∈ (X × R)\ Ep(f ) ∈ τ τ| | , es gibt somit ein ε > 0 und ein U ∈ Uτ (x0 ) mit d

U × Kε | | (r) ⊆ (X × R)\ Ep(f ). ' & Es folgt U ⊆ f −1 ]r, ∞[ und gem. 2.4-2 die Unterhalbstetigkeit von f .

✷

Eine Kennzeichnung der Unterhalbstetigkeit für Funktionen auf pseudometrischen Räumen findet man in A 30 (d).

2 Topologische Räume

124 Korollar 2.4-13.1 (X, τ) sei ein topologischer Raum, f : X −→ R. Äq (i)

f stetig (bzgl. (τ, τ| | ))

(ii) f unter- und oberhalbstetig Beweis (i) ⇒ (ii) gem. 2.4-2, da mit f auch −f stetig ist. (ii) ⇒ (i) Es sei x ∈ X und ε > 0. Man wähle nach (ii) U , V ∈ Uτ (x) mit f [U ] ⊆ ]f (x) − ε, ∞[ und (−f )[V ] ⊆ ]−f (x) − ε, ∞[. Dann ist U ∩ V ∈ Uτ (x) d ✷ und f [U ∩ V ] ⊆ ]−∞, f (x) + ε[ ∩ ]f (x) − ε, ∞[ = Kε | | (f (x)). Satz 2.4-14 (X, τ) sei ein topologischer Raum, x0 ∈ X, f, g : X −→ R, a, b ∈ R+ und ∅ = F ⊆ RX mit sup F(x) = supf ∈F f (x) < ∞ für alle x ∈ X. =⇒ af + bg unterhalbstetig in x0

(a) f , g unterhalbstetig in x0

(b) (∀ f ∈ F : f unterhalbstetig in x0 ) =⇒ sup F unterhalbstetig in x0 Beweis Zu (a) Sei ε > 0. Für a = b = 0 ist af +bg die Nullfunktion und somit also' & stetig. Sei ε ,∞ a + b > 0. Nach Voraussetzung gibt es U , V ∈ Uτ (x0 ) mit f [U ] ⊆ f (x0 ) − a+b ' & ε , ∞ . Es folgt U ∩ V ∈ Uτ (x0 ) und und g[V ] ⊆ g(x0 ) − a+b & (af + bg)[U ∩ V ] ⊆ af (x0 ) −

aε a+b , ∞

'

& + bg(x0 ) −

bε a+b , ∞

'

⊆ ](af + bg)(x0 ) − ε, ∞[. Zu (b) Sei ε > 0. Man wähle ein ϕ ∈ F mit sup F(x0 ) − U ∈ Uτ (x0 ) mit ϕ[U ] ⊆ ]ϕ(x0 ) − 2ε , ∞[. Dann gilt

ε 2

≤ ϕ(x0 ) und ein

(sup F)[U ] ⊆ ]sup F(x0 ) − ε, ∞[ : Für alle u ∈ U ist sup F(u) ≥ ϕ(u) > ϕ(x0 ) −

ε 2

≥ sup F(x0 ) −

Beispiel (2.4,10) Die Funktion
[]:

R −→ R x −→ max{ z ∈ Z | z ≤ x }

ε 2

− 2ε .

✷

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

125

ist oberhalbstetig: −1

[]

'

 ]−∞, r[ ' ]−∞, r[ = { x ∈ R | [x] < r } = & −∞, [r] + 1 &

für r ∈ Z für r ∈ Z

( ∈ τ| |

für jedes r ∈ R. Nach 2.4-2 folgt die Oberhalbstetigkeit von [ ].

Für in x0 unterhalbstetige Funktionen f , g ist f ∧ g und, wenn f , g zusätzlich nichtnegativ sind, auch f · g unterhalbstetig in x0 (vgl. A 28 (c), (d)). Produkttopologien (Produkträume) sind spezielle Initialtopologien (Initialräume): Ist ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ eine Familie topologischer Räume, ∅ = X eine Menge und ( fi | i ∈ I ) eine Familie von Funktionen fi : X −→ Xi (i ∈ I), so heißt die Topologie τ auf X mit der Subbasis { fi−1 [Oi ] | i ∈ I, Oi ∈ τi } Initialtopologie ((X, τ) Initialraum) der Familie ((Xi , τi ), fi )i∈I . Sie ist die ⊆-kleinste % Topologie τ
auf X, bzgl. der alle fi stetig (bzgl. (τ
, τi )) sind. (Für X = i∈I Xi , fi = πi ist die Initialtopologie gerade die Produkttopologie.) Die hierzu duale Situation entsteht, wenn die Funktionen fi von Xi nach X abbilden. Dann ist { O ⊆ X | ∀ i ∈ I : fi−1 [O] ∈ τi } eine Topologie σ auf X, die Finaltopologie auf X ((X, σ) Finalraum) der Familie ((Xi , τi ), fi )i∈I . Sie ist die ⊆-größte Topologie σ
auf X, bzgl. der alle fi stetig (bzgl. (τi , σ
)) sind. Einen wichtigen Spezialfall hiervon beschreibt die Definition (Y, τ) sei ein topologischer Raum, R ⊆ Y ×Y eine Äquivalenzrelation über Y mit der Partition Y /R und der kanonischen Projektion πR : Y −→ Y /R . Die Finaltopologie −1   [O] ∈ τ τ/R = O ⊆ Y /R πR Familie ((Y, τ), πR ) heißt Quotiententopologie von τ nach R, der (einelementigen)  Y /R , τ/R Quotientenraum von (Y, τ) nach R (Abb. 2.4-5). Beispiele (2.4,11) (a)

In R sei die Äquivalenzrelation R definiert durch (x, y) ∈ R

:gdw

x − y ∈ Z.

Mit [x] := max{ z ∈ Z | z ≤ x } (größte ganze Zahl kleiner oder gleich x) gilt {x − [x]} = πR (x) ∩ [0, 1[

2 Topologische Räume

126

X /R

X πR



  ∈τ



  ∈ τ /R

Abbildung 2.4-5

für alle x ∈ R, die Funktion (Abb. 2.4-6)
[0, 1[ −→ R/R f: ξ −→ ξ/R (= ξ + Z) ist daher bijektiv, und R/R kann vermöge f durch [0, 1[ repräsentiert werden. Die Quotiententopologie τ| | /R wird mit Hilfe von f auf [0, 1[ übertragen: O ∈ σf :gdw f [O] ∈ τ| | /R .   R/R , τ| | /R ist homöomorph (vermöge f ) zu ([0, 1[, σf ). πR

R −1

x

0

−1

1

f −1

R/R

0

1

[0, 1[

0

1

Abbildung 2.4-6

Man beachte σf = τ| | |[0, 1[. (Es gilt sogar ([0, 1[, σf ) 

  [0, 1[, τ| | |[0, 1] , da

top.

([0, 1[, σf ) kompakt ist; vgl. Kapitel 4.)   Eine weitere Darstellung von R/R , τ| | /R ist (S 1 , τd2 |S 1 ) (s. Abb. 2.4-7), da
[0, 1[ −→ S 1 h: ξ −→ (cos 2πξ, sin 2πξ) ein Homöomorphismus (bzgl. (σf , τd2 |S 1 ) ist.  Zum Beweis der Stetigkeit von h verwende man 2.4-15 (a).  (b) In R × [0, 1] sei die Äquivalenzrelation S definiert durch ((x, y), (z, t)) ∈ S

:gdw

y = t und x − z ∈ Z.

Gem. (a) kann R × [0, 1]/S durch [0, 1[ × [0, 1] vermöge
[0, 1[ × [0, 1] −→ R × [0, 1]/S g: (ξ, t) −→ (ξ, t)/S

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

127

h

Abbildung 2.4-7

repräsentiert werden (Abb. 2.4-8), die Topologie τ| | g auf [0, 1[ × [0, 1] übertragen:  R × [0, 1]/S , τ| |

O ∈ σg

:gdw g[O] ∈ τ| | (τ| | |[0, 1])/S .  (τ| | |[0, 1])/S ist homöomorph (vermöge g) zu ([0, 1[ × [0, 1], σg ). πS

R × [0, 1]

0

g −1

R × [0, 1]/S

1

−1

(τ| | |[0, 1])/S wird mit Hilfe von

[0, 1[ × [0, 1]

1

−1

1

0

1

0

1

Abbildung 2.4-8

Wie in (a) ist auch hier σg = τd2 |([0, 1[ × [0, 1]). Es gilt sogar   ([0, 1[ × [0, 1], σg )  [0, 1[ × [0, 1], τd2 |([0, 1[ × [0, 1]) , top.

da ([0, 1[ × [0, 1], σg ) kompakt ist; vgl. Kapitel 4.   Der Zylinder S 1 × [0, 1], τd2 |(S 1 × [0,  1]) (s. Abb. 2.4-9) ist eine weitere Darstellung von R × [0, 1[/S , τ| | (τ| | |[0, 1[)/S , da
[0, 1[ × [0, 1] −→ S 1 × [0, 1] η: (ξ, t) −→ ((cos 2πξ, sin 2πξ), t) ein Homöomorphismus (bzgl. (σg , τd2 |(S 1 × [0, 1]))) ist.  Zum Beweis der Stetigkeit von η verwende man wieder 2.4-15 (a). 

Satz 2.4-15 (X, τ) und (Y, σ) seien topologische Räume, R eine Äquivalenzrelation über X und f : X/R −→ Y .   (a) Äq (i) f stetig (bzgl. τ/R , σ ) (ii) f ◦ πR stetig (bzgl. (τ, σ))

2 Topologische Räume

128 η

0

1

Abbildung 2.4-9

  πR offen (bzw. abgeschlossen) (bzgl. τ, τ/R ) & ' −1 πR [O] ∈ τ (ii) ∀ O ∈ τ : πR & ' −1 πR [A] ∈ ατ ) (bzw. ∀ A ∈ ατ : πR  # D ∈ X/R D ⊆ A ∈  ατ (iii) ∀ A ∈ ατ : # D ∈ X/R D ⊆ O ∈ τ) (bzw. ∀ O ∈ τ :

(b) Äq (i)

Beweis Zu (a) (i) ⇒ (ii) ist klar  2.4-1.1 . (ii) ⇒ (i) Für jedes S ∈ σ gilt gem. Definition f −1 [S] ∈ τ/R

⇐⇒

& ' −1 −1 (f ◦ πR )−1 [S] = πR f [S] ∈ τ.

Zu (b) Wegen

& ' −1 πR [S] ∈ τ ⇐⇒ πR [S] ∈ τ/R πR & & ' ' −1 −1 und πR X/R \πR [S] = X\πR πR [S] für jedes S ⊆ X ist (i) ⇔ (ii). (ii) ⇔ (iii) erhält man aus ∀ S ⊆ X:



' &  −1 πR [X\S] . D ∈ X/R D ⊆ S = X\πR

„⊆“ Für x ∈ πR (x) = D ⊆ S und y' ∈ X\S gilt & πR (x) ∩ πR (y) = ∅ und somit −1 πR (x) ∈ πR [X\S], also x ∈ πR πR [X\S] . & ' −1 „⊇“ Sei x ∈ X\πR πR [X\S] , d. h. πR (x) ∈ πR [X\S], also πR (x) ∩ πR (y) = ∅ für jedes y ∈ X\S, d. h.  (X\πR (y)) = X\ πR (y). πR (x) ⊆ y∈X\S

y∈X\S

Wegen πR (y) ⊆ X\(X\S) = S

X\ y∈X\S

folgt x ∈ πR (x) ⊆ S.

✷

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

129

Nach 2.4-15 (b) ist beispielsweise für die Abgeschlossenheit der kanonischen Projektion πR notwendig und hinreichend, daß die Vereinigung aller in einer offenen Teilmenge von X liegenden Äquivalenzklassen jeweils wieder eine offene Menge ist. Vereinigungen von Äquivalenzklassen heißen R-saturiert. Definition Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, R eine Äquivalenzrelation über X. X/R τ-halbstetig

:gdw ∀ x ∈ X ∀ O ∈ τ : πR (x) ⊆ O ⇒ ∃ Q ∈ τ : πR (x) ⊆ Q ⊆ O und Q R-saturiert

Die Eigenschaft (iii) in 2.4-15 (b) kann dann äquivalent umformuliert werden: Korollar 2.4-15.1 Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, R Äquivalenzrelation über X. Äq (i)

πR abgeschlossen

(ii) X/R τ-halbstetig Beweis (i) ⇒ (ii) Sei O ∈ τ, x ∈ X mit πR (x) ⊆ O. Nach 2.4-15 (b) folgt   D ⊆ X/R D ⊆ O ⊆ O, πR (x) ⊆ wobei die Vereinigung eine offene R-saturierte Menge ist. (ii) ⇒ (i) Sei O ∈ τ, D ∈ X/R mit D ⊆ O. Gem. (ii) gibt es eine R-saturierte Menge QD ∈ τ mit D ⊆ QD ⊆ O, folglich gilt     D ∈ X/R D ⊆ O = QD D ∈ X/R , D ⊆ O ∈ τ. ✷

Nach 2.4-15 (b) ist πR abgeschlossen. Beispiele (2.4,12) (a)

Es sei R die zur Partition R/R = {R\Q, Q+ , Q< } gehörende Äquivalenzrelation über R. Die Quotiententopologie τ| | /R ist indiskret, denn O ∈ τ| | /R \{∅}

=⇒

−1 πR [O] ∈ τ| | \{∅}

=⇒

R\Q ∈ O

=⇒

=⇒

−1 πR [O] ∩ (R\Q) = ∅

−1 R\Q ⊆ πR [O]

−1 =⇒ R = πR [O] =⇒ R/R = πR [R] ⊆ O. ' & ' & πR ist weder offen  πR ]−1, 0[ = {R\Q, Q< }  noch abgeschlossen  πR [0, 1] = {R\Q, Q+ } .

2 Topologische Räume

130

(b) Es sei R die zur Partition R/R = {R\Q, Q} gehörende Äquivalenzrelation über R. Die −1 Quotiententopologie τ| | /R ist indiskret  O ∈ τ| | /R \{∅} =⇒ πR [O] ∩ Q = ∅ = −1 −1 πR [O] ∩ (R\Q) =⇒ R = πR [O] =⇒ R/R = O . πR ist offen  O ∈ τ| | \{∅} =⇒ O ∩ Q = ∅ = O ∩ (R\Q) =⇒ πR [O] = {Q, R\Q} = R/R , jedoch nicht abgeschlossen  πR [{1}] = {Q} ∈ ατ | | /R . (c)

Es bezeichne R die zur Partition R/R = {R\Q+ , Q+ } gehörende Äquivalenzrelation −1 über R. Die Quotiententopologie τ| | /R ist indiskret  πR [{Q+ }] = Q+ ∈ τ| | und −1 + + πR [{R\Q }] = R\Q ∈ τ| | . ' & + πR ist ' weder &offen  πR+ ]−2, −1[ = {R\Q } ∈ τ| | /R , noch abgeschlossen  πR [−2, −1] = {R\Q } ∈ ατ | | /R .

Neben den durch Partitionen angegebenen sind auch die als Faserungen Fas f von Funktionen f : X −→ Y beschriebenen Äquivalenzrelationen von praktischer Bedeutung: ∀ x, x
∈ X : (x, x
) ∈ Fas f :gdw f (x) = f (x
). Hierfür gilt der Satz 2.4-16 (Homöomorphiesatz) (X, τ), (Y, σ) seien topologische Räume, f : X −→ Y surjektiv, stetig und offen (bzw. abgeschlossen).
Y −→ X/Fas f hf : y −→ f −1 [{y}]   ist ein σ, τ/Fas f -Homöomorphismus. Also: Stetige offene (bzw. abgeschlossene) Bilder topologischer Räume sind homöomorph zum Quotientenraum des Urbildraums nach Fas f . Beweis hf ist bijektiv  y = y
=⇒ f −1 [{y}] ∩ f −1 [{y
}] = ∅, 'also ist& hf injektiv. x ∈ X =⇒ x/Fas f = { x
∈ X | f (x
) = f (x) } = f −1 {f (x)} , also ist hf −1 surjektiv.  und h−1 f stetig  hf ◦ πFas f = f ; 2.4-15 (a) .

Da σ die Finaltopologie auf Y der Familie ((X, τ), f ) ist  f offen (bzw. abgeschlossen), stetig und surjektiv!  und hf ◦ f = πFas f gilt, folgt auch die Stetigkeit von hf . ✷ Eigenschaften topologischer Räume, die auf jeden ihrer Quotientenräume übertragen werden, heißen divisibel. Von den bisher behandelten Eigenschaften sind divisibel: Zusammenhang  2.4-4.2 , Lindelöf-Raum  2.4-3 (b) , Separabilität  2.4-3 (a) , Wegzusammenhang  A 17 (c) .

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

131

Die Abzählbarkeitseigenschaften „A1 - bzw. A2 -Raum“ übertragen sich zwar auf Quotientenräume, sofern die kanonische Projektion offen ist  A 9 , sind jedoch nicht divisibel: Beispiel (2.4,13) In R2 sei die Äquivalenzrelation R definiert durch ((x, y), (z, t)) ∈ R :gdw (x, y) = (z, t) oder y = t = 0.   Der Quotientenraum R2 /R , τd2 /R ist nicht A1 -Raum (also kein A2 -Raum gem. (2.3,3) (a)):   Annahme: B := { Bi | i ∈ N } ist eine abzählbare Umgebungsbasis von Uτd2 /R πR ((0, 0)) . −1 [Bi ] | i ∈ N } eine Umgebungsbasis von R × {0} Wegen πR ((0, 0)) = R × {0} ist B := { πR −1 ∈ τ , R × {0} ⊆ O gibt es ein i ∈ N mit πR [Bi ] ⊆ O. (bzgl. τd2 ), d. h. für 'jedes O d 2 & −1  Wegen O = πR πR [O] ist πR [O] ∈ τd2 /R und πR ((0, 0)) ∈ πR [O]. Es gibt somit ' & −1 πR ((0, 0)) ⊆ ein i ∈ N mit πR ((0, 0)) ∈ Bi ⊆ πR [O], woraus R × {0} = πR ' & −1 −1 πR [O] = O folgt.  Für jedes i ∈ N wähle man nun ein εi ∈ ]0, 1[ mit [Bi ] ⊆ πR πR −1 [Bi ], εi > εi+1 für alle i ∈ N, und setze Kεdi2 ((i, 0)) ⊆ πR

   U := ]−∞, 0[ × R ∪ [i, i + 1[ × ]−εi /2, εi /2[ i ∈ N −1 (Abb. 2.4-10). Dann ist U ∈ τd2 , R × {0} ⊆ U , jedoch πR [Bi ] U für alle i ∈ N  wegen d2 Kεi ((i, 0)) U .


y 1 U

Kεd02 ((0, 0)) Kεd22 ((2, 0))

1

−1

2

3

x

Kεd32 ((3, 0)) −1

Kεd12 ((1, 0))

Abbildung 2.4-10

Man beachte, daß hier die kanonische Projektion πR sogar abgeschlossen ist.  R2 /R ist τd2 -halbstetig, wie man leicht erkennt.  Natürlich ist πR nicht offen, denn ' &   πR K1d2 ((0, 0)) = {R × {0}} ∪ {(x, y)} x2 + y 2 < 1, y = 0 ∈ τd2 /R ) ' &* −1 πR K1d2 ((0, 0)) = (R × {0}) ∪ K1d2 ((0, 0)) ∈ τd2 .  πR

2 Topologische Räume

132

In speziellen Situationen können häufig auch besondere Stetigkeitsfeststellungen für Funktionen getroffen werden. So haben beispielsweise zusätzliche algebraische Eigenschaften der topologischen Räume und der Funktionen zwischen ihnen unter Umständen Einfluß auf deren Stetigkeitsverhalten (vgl. hierzu A 13–A 15). Zum Abschluß dieses vom Begriff Stetigkeit geprägten Abschnitts wird eine Anwendung des geometrischen Konzepts „Konvexität in R-Vektorräumen“ behandelt (2.4-20, 2.4-20.1, 2.4-20.2). Definitionen V sei ein R-Vektorraum, C ⊆ V und f : C −→ R. C konvex

:gdw ∀ x, y ∈ C ∀ r ∈ [0, 1] : rx + (1 − r)y ∈ C

(d. h. mit je zwei Punkten aus C sind auch alle Punkte der sie verbindenden Strecke aus C). Sei C konvex. f konvex

:gdw

∀ x, y ∈ C ∀ r ∈ ]0, 1[ : f (rx + (1 − r)y) ≤ rf (x) + (1 − r)f (y) f konkav

:gdw −f konvex

f affin

:gdw f konvex und konkav

Abb. 2.4-11 zeigt eine konvexe Funktion f . R f

r f(x) + (1 − r)f (y) C

0 x

r x + (1 − r)y

y

V

Abbildung 2.4-11

Beispiele (2.4,14) V sei ein R-Vektorraum. (a)

 εdN (v) (ε > 0, v ∈ V ) Für jede Halbnorm N auf V sind die ε-Kugeln KεdN (v), K konvex:

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

133

Sind w, z ∈ KεdN (v), r ∈ [0, 1], so folgt   N (rw + (1 − r)z − v) = N rw + (1 − r)z − (rv + (1 − r)v) ≤ rN (w − v) + (1 − r)N (z − v) < rε + (1 − r)ε = ε.  εdN (v) analog!) (Für K (b) ∀ v ∈ V : {v} konvex  rv + (1 − r)v = v ∈ {v}  (c)

C, D ⊆ V konvex, a ∈ R

=⇒ C + D, aC konvex:

Seien c1 , c2 ∈ C und d1 , d2 ∈ D, r ∈ [0, 1]. Dann gilt r(c1 + d1 ) + (1 − r)(c2 + d2 ) = rc1 + (1 − r)c2 + rd1 + (1 − r)d2 ∈ C + D und r(ac1 ) + (1 − r)(ac2 ) = a(rc1 + (1 − r)c2 ) ∈ aC. $ (d) (C ⊆ PV, ∀ C ∈ C : C konvex) =⇒ C konvex: $ $ $ Für C = ∅ ist C = V konvex. Sei C ∈ C und v, w ∈ C ( C = ∅ ist konvex!), $ also v, w ∈ C. Für jedes r ∈ [0, 1] ist dann rv +(1−r)w ∈ C und somit rv +(1−r)w ∈ C. (e)

Sei C ⊆ V konvex, f : C −→ R. f affin

(f)

⇐⇒

∀ x, y ∈ C ∀ r ∈ ]0, 1[ : f (rx + (1 − r)y) = rf (x) + (1 − r)f (y)

Sei W ein R-Vektorraum, ϕ : V −→ W linear, C ⊆ V konvex und D ⊆ W konvex. Dann sind ϕ[C] und ϕ−1 [D] konvex: Für alle x, y ∈ C, r ∈ [0, 1], z, t ∈ ϕ−1 [D] gilt rϕ(x) + (1 − r)ϕ(y) = ϕ(rx + (1 − r)y) ∈ ϕ[C] und wegen ϕ(z), ϕ(t) ∈ D auch ϕ(rz + (1 − r)t) = rϕ(z) + (1 − r)ϕ(t) ∈ D, also rz + (1 − r)t ∈ ϕ−1 [D].

(g) ( Vi | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie von R-Vektorräumen, ∅ =  Ci ⊆ Vi konvex für jedes i ∈ I.   Ci konvex (im direkten Produkt Vi ) ⇐⇒ ∀ i ∈ I : Ci konvex i∈I

i∈I

„⇒“ Die kanonischen Projektionen πi sind linear; (f). „⇐“ Es wird koordinatenweise addiert und skalarmultipliziert.

2 Topologische Räume

134 Satz 2.4-17 V sei ein R-Vektorraum, C ⊆ V . Äq (i)

C konvex

(ii) ∀ n ∈ N\{0} ∀ (r1 , . . . , rn ) ∈ (R+ )n ∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ C n : n n   ri = 1 ⇒ ri xi ∈ C i=1 i=1 (Konvexe Mengen enthalten jede Konvexkombination ni=1 ri xi ihrer Elemente x1 , . . . , xn .) Beweis (ii) ⇒ (i) Man verwende n = 2. (i) ⇒ (ii) durch vollständige Induktion über n: Für n ∈ {1, 2} ist (ii) nach Voraussetzung bzw. (i) richtig. Sei (r1 , . . . , rn+1 ) ∈ n+1
n1 (r1 , . . . , rn ) ∈ (R+ )n (R+ )n+1 , i=1 ri = 1, o. B. d. A. rn+1 = 1. Es ist j=1 rj mit ni=1
n1 rj ri = 1, gem. Induktionsvoraussetzung also ni=1
n1 rj ri xi ∈ C j=1

für alle (x1 , . . . , xn ) ∈ C n , woraus   n+1 n n  1 n rk xk = rj k=1

j=1

i=1

j=1 rj

für alle (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ C n+1 nach (i) folgt.

j=1

 ri xi

+ rn+1 xn+1 ∈ C ✷

Eine weitere charakteristische Beschreibung der Konvexität von Mengen ist in A 32 aufgeführt. In halbnormierten R-Vektorräumen sind der offene Kern und die abgeschlossene Hülle konvexer Teilmengen ebenfalls konvex, genauer gilt: Satz 2.4-18 (V, N ) sei ein halbnormierter R-Vektorraum, C ⊆ V konvex. Es gilt:   τ (a) ∀ x ∈ C ◦τN ∀ y ∈ C N : v ∈ V ∃ r ∈ ]0, 1] : v = rx + (1 − r)y ⊆ C ◦τN (b) C ◦τN , C

τN

sind konvex.

Beweis τ

Zu (a) Es sei x ∈ C ◦τN , y ∈ C N , r ∈ ]0, 1] und v := rx + (1 − r)y. Für r = 1 ist v = x ∈ C ◦τN , sei also 0 < r < 1. Dann ist 0 = r(x−v)+(1−r)(y −v), wobei gem. τN τ A 18 (a) x − v ∈ −v + C ◦τN = (−v + C)◦τN , y − v ∈ −v + C N = (−v + C) r r gilt. Wegen y − v = r−1 (x − v) ∈ r−1 (−v + C)◦τN ∈ τ  A 18 (a)  gibt es ein

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

135

r r z ∈ (−v + C) ∩ r−1 (−v + C)◦τN , etwa z = r−1 t mit t ∈ (−v + C)◦τN ⊆ −v + C (konvex gem. (2.4,14) (b), (c)), und es folgt r t ∈ −v + C. 0 = rt + (1 − r) r−1

Hieraus ergibt sich sofort

 r t a ∈ (−v + C)◦τN ∈ τ 0 ∈ ra + (1 − r) r−1   r  A 18 (a)  und ra + (1 − r) r−1 t a ∈ (−v + C)◦τN ⊆ −v + C  −v + C ist konvex , also 0 ∈ (−v + C)◦τN = −v + C ◦τN  A 18 (a)  und somit v ∈ C ◦τN . Zu (b) Die Konvexität von C ◦τN folgt direkt aus (a), die von C rC

τN

+ (1 − r)C

τN

⊆ rC + (1 − r)C ⊆C

τN

τN

τN

wegen

 A 18 (a), 2.4-1, (2.4,8) (e)   C konvex .

✷

Man beachte, daß zum Beweis von 2.4-18 (a), (b) nur die Stetigkeit der Addition (bzgl. (τN τN , τN )) und der Skalarmultiplikation (bzgl. (τ| | τN , τN )) in V verwendet wurde. Der Satz gilt daher auch in jedem R-Vektorraum V mit einer Topologie τ, bzgl. der die Addition und Skalarmultiplikation stetige Funktionen sind. (V, τ) nennt man unter diesen Gegebenheiten einen topologischen R-Vektorraum (bzw. topologischen C-Vektorraum, wenn V ein C-Vektorraum ist). Die Konvexität von Funktionen läßt sich in Anlehnung an 2.4-17 wie folgt charakterisieren: Satz 2.4-19 V sei ein R-Vektorraum, C ⊆ V konvex und f : C −→ R. Äq (i)

f konvex

(ii) ∀ n ∈ N\{0} ∀ (r1 , . . . , rn ) ∈ (R+ )n ∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ C n :    n n n  ri = 1 ⇒ f ri xi ≤ ri f (xi ) i=1

i=1

(iii) Ep(f ) konvex (im R-Vektorraum V × R). In diesem Fall ist { x ∈ C | f (x) ≤ r } für jedes r ∈ R konvex. Beweis (i) ⇒ (ii) durch vollständige Induktion über n:

i=1

2 Topologische Räume

136

Für jedes n ∈ {1, 2} ist (ii) nach (i) richtig. Sei (r1 , . . . , rn+1 ) ∈ (R+ )n+1 , n+1 i=1 ri = 1, rn+1 = 1 (o. B. d. A.). Wegen n+1 

ri xi =

 n

i=1

und f

n i=1

n+1 


nri

j=1 rj

 n

j=1

r n i



j=1 rj

i=1

xi

+ rn+1 xn+1

xi ∈ C für alle (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ C n+1 folgt

 ri xi

rj

≤

i=1

≤

 n j=1  n j=1

  n r n i rj f rj

i=1  n

j=1 rj

r n i

i=1



j=1 rj

xi

+ rn+1 f (xn+1 )

 gem. (i) 

 f (xi ) + rn+1 f (xn+1 )

 Induktionsvoraussetzung  =

n+1 

ri f (xi ).

i=1

(ii) ⇒ (iii) Es seien (v1 , r1 ), (v2 , r2 ) ∈ Ep(f ) und I ∈ [0, 1]. Wegen f (Iv1 + (1 − I)v2 ) ≤ If (v1 ) + (1 − I)f (v2 ) ≤ Ir1 + (1 − I)r2 gilt

 gem. (ii) 

  I(v1 , r1 ) + (1 − I)(v2 , r2 ) = Iv1 + (1 − I)v2 , Ir1 + (1 − I)r2 ∈ Ep(f ).

(iii) ⇒ (i) Für alle x, y ∈ C gilt (x, f (x)), (y, f (y)) ∈ Ep(f ) und somit gem. (iii) auch r(x, f (x))+(1−r)(y, f (y)) ∈ Ep(f ) für jedes r ∈ [0, 1], also f (rx+(1−r)y) ≤ rf (x) + (1 − r)f (y).

Zum Zusatz: Die kanonische Projektion
V × R −→ V πV : (x, r) −→ x ist R-linear, und es gilt πV [Ep(f ) ∩ C × {r}] = { x ∈ C | f (x) ≤ r }.

✷

Die Stetigkeit konvexer Funktionen auf konvexen offenen Teilmengen normierter R-Vektorräume beschreibt der Satz 2.4-20 (V,  ) sei ein normierter R-Vektorraum, C ∈ τ  konvex, f : C −→ R konvex und c0 ∈ C. Dann gilt

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität Äq (i)

137

f stetig in c0

 εd  (c0 ) ⊆ C und f
K  εd  (c0 ) nach oben beschränkt. (ii) ∃ ε > 0 : K Beweis (i) ⇒ (ii) gilt auch ohne die Voraussetzung „f konvex“:  εd  (c0 ) ⊆ C  C ∈ τ   und Man wähle ein ε > 0 mit K & ' d   ε (c0 ) ∩ C ⊆ K d| | (f (c0 )) ⊆ ]−∞, f (c0 ) + 1[ f K 1  f stetig in c0 .  ε   (c0 ) ⊆ C und (ii) ⇒ (i) Gem. (ii) sei ε > 0 mit K d

 ε   (c0 ) : f (y) ≤ S. ∀y∈K d

Für c ∈ C\{c0 } setze man Θ := 0 < Θ < 1). Dann gilt y − c0 =

c−c0  ε+c−c0 

und y :=

(1) 1 Θ (c0

− (1 − Θ)c) (es ist

1−Θ ε (c0 − c) = (c0 − c), Θ c − c0 

 εd  (c0 ) ist f (y) ≤ S. Da c0 = Θy + (1 − Θ)c und also y − c0  = ε. Wegen y ∈ K f konvex ist, folgt f (c0 ) ≤ Θf (y) + (1 − Θ)f (c) ≤ ΘS + (1 − Θ)f (c) und hieraus (1 − Θ)f (c0 ) ≤ Θ(S − f (c0 )) + (1 − Θ)f (c). Division dieser Ungleichung durch (1 − Θ) ergibt (für c = c0 trivial!) Θ (S − f (c0 )) 1−Θ S − f (c0 ) c − c0 . = f (c) + ε

∀ c ∈ C : f (c0 ) ≤ f (c) +

(2)

0  εd  (c0 )\{c0 } (also 0 < η ≤ 1) für jedes c ∈ K Schließlich setze man η := c−c ε und z := η1 (c − (1 − η)c0 ). Dann ist z − c0 = η1 (c − c0 ), also z − c0  = ε,  εd  (c0 ) ⊆ C, woraus gem. (1) wieder f (z) ≤ S folgt. z∈K

2 Topologische Räume

138

Da c = ηz + (1 − η)c0 und f konvex ist, erhält man (für c = c0 trivial!)  ε   (c0 ) : f (c) ≤ ηf (z) + (1 − η)f (c0 ) ∀c∈K ≤ η(S − f (c0 )) + f (c0 ) S − f (c0 ) = f (c0 ) + c − c0 . ε (3) in Verbindung mit (2) ergibt d

 εd  (c0 ) : |f (c) − f (c0 )| ≤ S − f (c0 ) c − c0 . ∀c∈K ε f ist daher stetig bei c0 .

(3)

✷

Korollar 2.4-20.1 (V,  ) sei ein normierter R-Vektorraum, C ∈ τ  konvex, c0 ∈ C, f : C −→ R konvex und stetig in c0 . Dann ist f stetig (bzgl. (τ  |C, τ| | )). Beweis  εd  (c0 ) ⊆ C und f (y) ≤ S für jedes Nach 2.4-20 wähle man ein ε > 0, S ≥ 0 mit K  εd1  (c1 ) ⊆ C  C ∈ τ  ,  εd  (c0 ). Sei c1 ∈ C\{c0 }, ε1 > 0 mit K y∈K

 ε1 ε ε1 , α := ∈ ]0, 1[ δ := min ε1 , ε1 + c1 − c0  ε1 + c1 − c0  − c0 ). Wegen c2 − c1 = α  d  1−α c1 − c0  = ε1 , also c2 ∈ Kε1 (c1 ) ⊆ C.

und c2 := c0 +

1 1−α (c1

α 1−α (c1

− c0 ) ist c2 − c1  =

 εd  (c0 )  z − c0 =  d  (c1 ) gehört z := α−1 (y + αc0 − c1 ) zu K Für jedes y ∈ K δ ε1 ε = ε , α−1 (y − c1 ) =⇒ z − c0  = α−1 y − c1  ≤ α−1 δ ≤ ε1 +cε11 −c0  ε1 +c 1 −c0  nach Voraussetzung gilt daher f (z) ≤ S, und es folgt f (y) = f (αz − αc0 + c1 ) = f (αz + (1 − α)c2 ) ≤ αf (z) + (1 − α)f (c2 ) ≤ αS + (1 − α)f (c2 ).

 (1 − α)c2 = (1 − α)c0 + c1 − c0 = c1 − αc0   f konvex 

 d  (c1 ), f gem. T := αS + (1 − α)f (c2 ) ist somit eine obere Schranke für f auf K δ ✷ 2.4-20 also stetig in c1 . Im normierten R-Vektorraum (Rn ,  q ), 1 ≤ q ≤ ∞, ist jede auf einer konvexen, offenen, nichtleeren Teilmenge definierte konvexe Funktion stetig:

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

R2

139

Kεd2 (c0 ) c2 x = c0 +

n 

rj (cj − c0 )

j= 1

x

P

mit

c1

c0

n 

rj < 1

j= 1

Abbildung 2.4-12

Korollar 2.4-20.2 Es sei ∅ = C ⊆ Rn konvex und offen, f : C −→ R. Es gilt: f konvex

=⇒

f stetig (bzgl. (τd2 |C, τd2 ))

Beweis  d2 (c0 ) ⊆ C. Man wähle c1 , . . . , cn ∈ K  d2 (c0 ) so, daß Sei c0 ∈ C, ε > 0 mit K ε ε  d2 (c0 ) ist konvex  (2.4,14) (a) , { cj −c0 | j ∈ {1, . . . , n} } R-linear unabhängig ist. K ε also gilt 
 n n  + n+1  d2 (c0 ) rj cj (r0 , . . . , rn ) ∈ (R ) , rj = 1 ⊆ K P := ε j=0

j=0

 2.4-17 , P = ∅, und f
P ist nach oben beschränkt, denn  2.4-19     n n n  rj cj ≤ rj f (cj ) ≤ |f (cj )|. f j=0

j=0

j=0

Die Stetigkeit von f ergibt sich nun nach 2.4-20 und 2.4-20.1 aus P ◦τd2 = ∅:   Da die Menge cj − c0 j ∈ {1, . . . , n} R-linear unabhängig ist und nj=0 rj cj = c0 + nj=1 rj (cj − c0 ) für alle (r0 , . . . , rn ) ∈ (R+ )n+1 mit nj=0 rj = 1 gilt, liegt 
n n   > n rj (cj − c0 ) (r1 , . . . , rn ) ∈ (R ) , rj < 1 c0 + j=1

im konvexen Polytop P , vgl. Abb. 2.4-12 für n = 2.

j=1

✷

2 Topologische Räume

140

Wie die Stetigkeit einer linearen Funktion in einem Punkt x0 (vgl. A 14) hat auch die Unterhalbstetigkeit in x0 selbst bei nur noch als konvex vorausgesetzten Funktionen f Auswirkungen auf das Verhalten von f in den anderen Punkten ihres Definitionsbereichs: Satz 2.4-21 (V, N ) sei ein halbnormierter R-Vektorraum, ∅ = C ⊆ V konvex, f : C −→ R konvex und c0 ∈ C. Äq (i)

f unterhalbstetig in c0 ' &  dN (c0 ) ⊆ ]f (c0 ) − ε, ∞[ und (ii) ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : f C ∩ K δ    dN (c0 ) : f (c) > f (c0 ) − ε N (c − c0 ) ∀ c ∈ C ∩ V \K δ δ

Beweis (ii) ⇒ (i) ist offensichtlich richtig.

& ' dN  (c0 ) ∩ C ⊆ (i) ⇒ (ii) Zu ε > 0 wähle man gem. (i) ein δ > 0 mit f K δ ]f (c0 ) − ε, ∞[, d. h.  dN (c0 ) ∩ C : f (c) > f (c0 ) − ε. ∀c∈K δ δ  dN (c0 ) gilt N (c − c0 ) > δ, also α := Für jedes c ∈ C\K δ N (c−c0 ) < 1. Mit a := αc + (1 − α)c0 ∈ C  C konvex  ist N (a − c0 ) = N (α(c − c0 )) = δ und daher f (a) > f (c0 ) − ε. Es folgt

αf (c) + (1 − α)f (c0 ) ≥ f (a) > f (c0 ) − ε  f konvex  und hieraus f (c) >

ε ε 1 (αf (c0 ) − ε) = f (c0 ) − = f (c0 ) − N (c − c0 ). α α δ

Aufgaben zu 2.4 1. Es seien (X, τ), (Y, σ) topologische Räume und f : X −→ Y , x ∈ X. (a)

Für τf := { f −1 [O] | O ∈ σ } zeige man: (i)

τf ist eine Topologie auf X

(ii) f ist stetig (bzgl. (τ, σ) (b) Äq (i) (ii) (iii) (iv)

⇐⇒ τf ⊆ τ

f stetig in x ∀ U ∈ Uσ (f (x)) : f −1 [U ] ∈ Uτ (x) ∀ F : F Filter auf X, F →τ x ⇒ f [[F ]] →σ f (x) ∀ M : M Netz in X, M →τ x ⇒ f ◦ M →σ f (x)

✷

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität (c)

141

(Z, I) sei ein topologischer Raum, g : Y −→ Z. f stetig in x, g stetig in f (x) =⇒ g ◦ f stetig in x

2. Mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation ist C(X) ein C-Vektorraum für jeden topologischen Raum (X, τ) (s. auch A 5). 3. Es sei (X, τ) ein topologischer Raum und χS : X −→ {0, 1} die charakteristische Funktion auf X zu S (Anhang 1-18). Man zeige: (a)

χS ∈ C(X, {0, 1})

⇐⇒

S ∈ ατ ∩ τ

(b) (X, τ) zusammenhängend ⇐⇒ ∀ S ∈ PX\{∅, X} : χS nicht stetig (bzgl. (τ, τdis )) 4. (a)

Jede stetige Funktion f : [0, 1] −→ [0, 1] besitzt einen Fixpunkt, d. h. Fix f = { x ∈ [0, 1] | f (x) = x } = ∅.

(b) (X, d) sei ein metrischer Raum, f : X −→ X eine Kontraktion. f hat höchstens einen Fixpunkt. 5. Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, f , g ∈ RX ,
X −→ R f ·g : das punktweise Produkt, x −→ f (x)g(x)  { x ∈ X | g(x) = 0 } −→ R f : der punktweise Quotient, (x) x −→ fg(x) g
X −→ R f ∨g : das punktweise Maximum, x −→ max{f (x), g(x)}
X −→ R f ∧g : das punktweise Minimum von f und g, x −→ min{f (x), g(x)}
X −→ R |f | : der punktweise Betrag von f , x −→ |f (x)| y ∈ X mit f , g stetig in y. Man zeige: f · g, f ∨ g, f ∧ g, |f | und für g(y) = 0 auch f /g sind stetig in y. Für f · g, f /g und |f | gilt die analoge Aussage auch für f , g ∈ CX . 6. Jeder topologische Raum mit Zwischenwerteigenschaft (vgl. (2.4,3) (a)) ist zusammenhängend. 7. Für jeden metrischen Raum (X, d) mit mindestens zwei Elementen gilt: (X, τd ) zusammenhängend

=⇒

X überabzählbar.

8. Es sei (X, τ) ein zusammenhängender topologischer Raum, für jedes f ∈ CR (X), x ∈ X mit f (x) = 0 gebe es ein U ∈ Uτ (x) mit f
U = 0. Man zeige: f = 0 oder 0 ∈ f [X].

2 Topologische Räume

142

9. (X, τ), (Y, σ) seien topologische Räume, f ∈ C(X, Y ) surjektiv und offen. Man beweise: Mit (X, τ) ist auch (Y, σ) A1 - (bzw. A2 -)Raum. 10. (X, τ), (Y, σ) seien topologische Räume, f : X −→ Y bijektiv. Man zeige: (a)

Äq (i) f offen (ii) f −1 stetig (iii) f abgeschlossen

(b) Äq (i) f Homöomorphismus (ii) f stetig und offen (iii) f stetig und abgeschlossen 11. Man rechne nach, daß die Funktion
n S \{N } −→ Rn h: (x1 , . . . , xn+1 ) −→

1 1−xn+1 (x1 , . . . , xn )

ein Homöomorphismus von der im Nordpol N gelochten n-Sphäre mit der Spurtopologie des (Rn+1 , τd2 ) auf (Rn , τd2 ) ist (vgl. (2.4,4) (b))! 12. Es sei (X, d) ein (pseudo)metrischer Raum. (a)

dmin sei die (Pseudo-)Metrik auf X zu d aus 1.1, A 8. Man zeige: idX ist ein (τd , τdmin )-Homöomorphismus. (Jeder (pseudo)metrische Raum (X, d) ist vermöge idX homöomorph zu einem (pseudo)metrischen Raum (X, dmin ) mit endlichem Durchmesser δ(X) := sup{ dmin (x, y) | x, y ∈ X } ≤ 1.)

(b) Es sei P ∈ τd \{∅, X},
P −→ R+ aP : x −→ 1


und DP :

dX\P (x)

P × P −→ R+ (x, y) −→ d(x, y) + |aP (x) − aP (y)|.

Man bestätige, daß DP eine (Pseudo-)Metrik auf P mit τDP = τd |P ist! (Hinweis: aP ist (τd |P, τ| | )-stetig.) 13. Für den halbnormierten K-Vektorraum (V, N ), K ∈ {R, C}, zeige man: N ist stetig (bzgl. (τN , τ| | )) und sogar L-stetig bzgl. (dN , d| | ) mit Lipschitzkonstante 1. 14. (V, N ), (W, M ) seien normierte K-Vektorräume und f : V −→ W K-linear. Äq (i)

f gleichmäßig stetig (bzgl. (dN , dM ))

(ii) f stetig (bzgl. (τN , τM )) (iii) f stetig in 0 (bzgl. (τN , τM )) (iv) f L-stetig (bzgl. (dN , dM )) 15. (V,  ) sei ein normierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C} und f : V −→ K K-linear. Äq (i)

f stetig (bzgl. (τ  , τ| | ))

(ii) Ker f ∈ ατ   (Erster Grundsatz der linearen Funktionalanalysis; s. auch 6.1-3, Seite 445)

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

143

16. Es sei I := [1, 2] ⊆ R, K := { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 4 }

und S := { (x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9 }.

Man zeige: (K × I, τd2 |K × I) ∼ = (S, τd2 |S). top.

(Dabei ist τd2 die durch d2 induzierte Topologie auf R3 bzw. R2 .) 17. Wegzusammenhang Es sei (X, τ) ein topologischer Raum. f : [0, 1] −→ X Weg in X

f stetig (bzgl. (τ| | |[0, 1], τ))

:gdw

(f heißt dann Weg mit Anfangspunkt f (0) und Endpunkt f (1).) (X, τ) wegzusammenhängend

:gdw

∀ x, y ∈ X : x = y ⇒ ∃ f : f Weg in X, f (0) = x, f (1) = y (Je zwei voneinander verschiedene Punkte in X können durch einen Weg in X miteinander verbunden werden!) Man beweise: (a)

Es seien a, b, c ∈ X, f ein Weg von a nach b, g ein Weg von b nach c. Dann ist h : [0, 1] −→ X, definiert durch  h(x) :=

f (2x) für 0 ≤ x ≤ 1/2 g(2x − 1) für 1/2 ≤ x ≤ 1,

ein Weg von a nach c. (b) (X, τ) wegzusammenhängend die Umkehrung gilt nicht. (Hinweis: Man betrachte X := (c)

=⇒ (X, τ) zusammenhängend, 

(x, y) ∈ R2 0 < x ≤

1 π,

 y = sin x1 .)

(Y, σ) sei ein topologischer Raum, f : X −→ Y surjektiv und stetig. (X, τ) wegzusammenhängend

=⇒ (Y, σ) wegzusammenhängend

(d) Es sei A ⊆ PX, (A, τ|A) wegzusammenhängend und A∩B = ∅ für alle A, B ∈ A. # # ( A, τ| A) ist wegzusammenhängend. (e)

(f)

( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume.  % τ wegzusammenhängend Äq (i) i∈I Xi , i∈I i (ii) ∀ i ∈ I : (Xi , τi ) wegzusammenhängend     I Für jede nichtleere Menge I sind RI , i∈I τ| | und [0, 1] , i∈I τ| | |[0, 1] wegzusammenhängend. In Analogie zur Zusammenhangskomponente definiert man für ∅ =  C ⊆ X:

2 Topologische Räume

144 C Wegzusammenhangskomponente in (X, τ) :gdw

(C, τ|C)wegzusammenhängend und ∀ S ⊆ X : C ⊆ S, (S, τ|S) wegzusammenhängend ⇒ C = S (d. h. (C, τ|C) ist ⊆-maximaler wegzusammenhängender Unterraum von (X, τ)). Für x ∈ C nennt man C Wegzusammenhangskomponente von x in (X, τ). Gem. (d) liefert die Wegzusammenhangskomponente Cxweg von x in (X, τ) den ⊆-größten, x enthaltenden, wegzusammenhängenden Unterraum von (X, τ), Cxweg ist daher eindeutig bestimmt. (g) ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume. Für jedes x ∈ X gilt  Cxweg = Cxweg . i i∈I

(h) Es sei ∅ = O ⊆ Rn , O ∈ τd2 . In (O, τd2 |O) ist Cxweg = Cx für jedes x ∈ O. (Hinweis: Cx ∈ τd2 .) (i)

Cxweg ist i. a. nicht abgeschlossen.

18. V sei ein K-Vektorraum, K ∈ {R, C}. (a)

N sei eine Halbnorm auf V . In V sind die Addition (bzgl. (τN τN , τN )) und die Skalarmultiplikation (bzgl. (τ| | τN , τN )) stetig, (V, τN ) ist ein topologischer K-Vektorraum.

(b) (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, M ein K-Untervektorraum von V . Es τ gilt: M ist ein K-Untervektorraum von V . (Maximale K-Untervektorräume von V sind daher entweder abgeschlossen oder dicht in (V, τ)!).   V /M , τ/RM ist ein topologischer K-Vektorraum (wobei (v, w) ∈ RM :gdw v − w ∈ M ). (c)

S sei ein Halbskalarprodukt auf V .   S ist τ S τ S , τ| | -stetig.

19. (V,  V ) und (W,  W ) seien normierte K-Vektorräume, K ∈ {R, C}. Für die durch L((x, y)) := max{xV , yW },  M ((x, y)) :=

x2V + y2W ,

N ((x, y)) := xV + yW auf V × W erklärten Normen zeige man τL = τM = τN = τ V

τ W .

20. ( (Xi , di ) | i ∈ N ) sei eine Folge (pseudo)metrischer Räume, di,min die gem. 1.1, A 8

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität

145

durch di,min (x, y) := min{1, di (x, y)} definierte (Pseudo-)Metrik auf Xi und
% % + i∈N Xi × i∈N Xi −→ R d: ∞ (x, y) −→ i=0 21i di,min (xi , yi ). % Man zeige, daß d eine (Pseudo-)Metrik auf i∈N Xi ist, die die Produkttopologie τ induziert. i∈N di 21. ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume. (a)

Für jedes i ∈ I habe Xi mindestens zwei Elemente. Man beweise: Äq (i) (ii)

i∈I τi diskret I endlich und ∀ i ∈ I : τi diskret.

(b) { Ij | j ∈ J } sei eine Partition von I, σ : I −→ I eine Permutation. Man zeige: +    ,     Xi , τi ∼ Xi , τi = i∈I

top.

i∈I

∼ =

j∈J



top.

i∈Ij

j∈J

Xσ(i) ,

i∈I

i∈Ij

 τσ(i) . i∈I

22. Die Moore-Ebene (M, µ) ist zusammenhängend. 23. Es sei f ∈ CR ([0, 1]), f (0) = 0 = f (1), f = 0 und
[0, 1] −→ R fj : x −→ f (xj ) für jedes j ∈ N. Man bestätige: (a)

(fj )j −−−−−→ 0 τ | | -pktw.

und

(fj )j −−−−  −→ 0 d| | -glm.

(b) ∀ r ∈ ]0, 1[ : (fj
[0, r])j −−−−−→ 0 d| | -glm.

24. In R2 sei die Äquivalenzrelation R definiert durch ((x, y), (z, t)) ∈ R

x − z ∈ Z, y − t ∈ Z.   Wie in (2.4,11) (a) gebe man Darstellungen des Quotientenraums R2 /R , τd2 /R mit Hilfe von [0, 1[ × [0, 1[ bzw. S 1 × S 1 ! :gdw

25. In [0, 1] × [0, 1] sei die Äquivalenzrelation R definiert durch   z = 1, t = 1 − y für x = 0 ((x, y), (z, t)) ∈ R :gdw z = 0, t = 1 − y für x = 1   (x, y) = (z, t) für x ∈ ]0, 1[.   Man beschreibe eine Darstellung von [0, 1] × [0, 1]/R , (τd2 |[0, 1] × [0, 1])/R im (R3 , τd2 ) (Möbiusband)!

2 Topologische Räume

146

26. Im pseudometrischen Raum (X, d) sei die Äquivalenzrelation R definiert durch (x, y) ∈ R

:gdw

d(x, y) = 0

und dR die Metrik auf X/R aus 1.1, A 5. Es gilt: τd /R = τdR .   ( X/R , dR heißt zu (X, d) assoziierter metrischer Raum.) 27. Es sei (V, N ) ein halbnormierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C}, W ein K-Untervektorraum von V und NW die Quotientenhalbnorm auf V /W zu N bzgl. W (vgl. 1.1-6 (d)). Man beweise: (a)

τNW = τN /RW , wobei RW die durch (x, y) ∈ RW

:gdw

x−y ∈W

auf V definierte Kongruenzrelation ist. (b) NW Norm

⇐⇒ W ∈ ατN

28. (X, τ) sei ein topologischer Raum, x ∈ X, f, g : X −→ R,   σ := {∅, R} ∪ ]r, ∞[ r ∈ R (ist eine Topologie auf R). Man beweise: (a)

⇐⇒ f stetig in x (bzgl. (τ, σ))

f unterhalbstetig in x

(b) ∃ U ∈ Uτ (x) ∀ y ∈ U : f (y) ≥ f (x) =⇒ f unterhalbstetig in x (x ist relative Minimumstelle von f .) Gilt auch die Umkehrung? (c)

=⇒ f ∧ g unterhalbstetig in x

f , g unterhalbstetig in x

(d) f , g unterhalbstetig in x, f ≥ 0, g ≥ 0

=⇒ f · g unterhalbstetig in x  J N ∞ mit j=0 fj (x) konvergent, 29. Es sei J ⊆ R ein nichtleeres Intervall, (fj )j ∈ R+ ∞ etwa f (x) := j=0 fj (x) für jedes x ∈ J. Man zeige: (∀ j ∈ N : fj unterhalbstetig)

=⇒

f unterhalbstetig.

Gilt auch: (∀ j ∈ N : fj oberhalbstetig)

=⇒

f oberhalbstetig?

30. (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, R := R ∪ {−∞, ∞} die Menge der um −∞, ∞ erweiterten reellen Zahlen, f, g : X −→ R und x ∈ X. Man definiere (mit Werten in R):   (Limes inferior von f in x), lim inf f (y) := sup inf f (y) y→x

ε>0 y∈Kεd (x)



lim sup f (y) := inf y→x

ε>0

sup

 f (y)

(Limes superior von f in x).

y∈Kεd (x)

Man zeige: (a)

inf X f ≤ lim inf y→x f (y) ≤ f (x) ≤ lim supy→x f (y) ≤ supX f

(b) f ≤ g

=⇒

lim sup f (y) ≤ lim sup g(y) und lim inf f (y) ≤ lim inf g(y) y→x

y→x

y→x

y→x

2.4 Stetigkeit, Produkt- und Quotientenräume, Konvexität (c)

147

Ist f + g punktweise definiert (d. h. Summationen der Form ∞ + (−∞), −∞ + ∞ kommen an keiner Stelle y ∈ X vor), so gilt: lim sup(f + g)(y) ≤ lim sup f (y) + lim sup g(y) und y→x

y→x

y→x

lim inf (f + g)(y) ≥ lim inf f (y) + lim inf g(y). y→x

y→x

y→x

(d) Für jedes f : X −→ R gilt: Äq (i) (ii)

f unterhalbstetig in x f (x) ≤ lim inf y→x f (y)

31. (V, τ) sei ein topologischer R-Vektorraum, C ⊆ V konvex. Man beweise: (C, τ|C) zusammenhängend. (Insbesondere ist (V, τ) zusammenhängend.) Ist (C, τ|C) sogar wegzusammenhängend? (Vgl. A 17.) 32. V sei ein R-Vektorraum, C ⊆ V . Äq (i)

C konvex

(ii) ∀ r, s ∈ R+ : rC + sC = (r + s)C 33. (V, N ) sei ein halbnormierter R-Vektorraum, C ⊆ V konvex mit C ◦τN = ∅. Man zeige: τN

τN

C ◦τN =C (Gilt die Gleichung auch für C ◦τN = ∅ bzw. in topologischen K-Vektorräumen (V, τ)?)  τN ◦τN = C ◦τN (b) C (a)

Anmerkung: Die Gleichung in (b) gilt für C ◦τN = ∅ i. a. nicht, vgl. die Ausführungen im Anschluß an 6.1-3.1 und Beispiel (6.1,2)! 34. V sei ein R-Vektorraum, n ∈ N\{0}, T , C1 , . . . , Cn ⊆ V , C1 , . . . , Cn nichtleer und konvex und  konv T := { C ⊆ V | T ⊆ C, C konvex } die konvexe Hülle von T . Man beweise: (a)

T

konv

ist konvex.  m (b) T = . . , rm ) ∈ (R> )m , j=1 rj xj m ∈ N\{0}, (r1 , .  m m j=1 rj = 1, (x1 , . . . , xm ) ∈ T  n konv #n = , rn ) ∈ (R+ )n , (c) j=1 Cj j=1 rj xj (r1 , . . .  %n n j=1 rj = 1, (x1 , . . . , xn ) ∈ j=1 Cj konv

konv

die Menge 35. Für alle n ∈ N\{0}, T ⊆ Rn ist die konvexe Hülle T 
n+1 n+1   rj xj (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ T n+1 , (r1 , . . . , rn+1 ) ∈ (R+ )n+1 , rj = 1 . j=1

j=1

2 Topologische Räume

148

36. V sei ein R-Vektorraum, C ⊆ V konvex, ϕ : V −→ R, f, g : C −→ R, a, b ∈ R+ . (a)

ϕ R-linear

=⇒ ϕ2 konvex

(b) f und g konvex

=⇒ af + bg und f ∨ g konvex

37. (X, Räume, S  X, T  Y . Dann ist   τ), (Y, σ) seien zusammenhängende topologische (X × Y )\(S × T ), τ σ|((X × Y )\(S × T )) zusammenhängend. 38. (X, τ), (Y, σ), (Z, I) seien topologische Räume, f : X × Y −→ Z surjektiv und in jeder Variablen partiell stetig (d. h. für alle x ∈ X, y ∈ Y sind die partiellen Funktionen

Y −→ Z X −→ Z und f · y : fx · : η −→ f (x, η) ξ −→ f (ξ, y) stetig). Sind (X, τ) und (Y, σ) zusammenhängend, so auch (Z, I). 39. (X, τ) mit X = ∅ sei ein topologischer, (Y, d) ein pseudometrischer Raum und Cb (X, Y ) := C(X, Y ) ∩ B(X, Y ). Man beweise: Cb (X, Y ) ist abgeschlossen in (B(X, Y ), τd∞ ).

$ 40. (X, τ) sei ein topologischer Raum, (Sj )j∈N ∈ (PX)N , S = j∈N Sj und 
 Sj ∀ j, k ∈ N : f (j) = f (k) . ∆S := f ∈ j∈N

Es gilt: (S, τ|S) ∼ =

top.

  ∆S ,

  τ|Sj ∆S . j∈N

τ

41. (X, τ) sei ein topologischer Raum, D = X, f , g ∈ CR (X). Es gilt: f
D ≥ g
D

=⇒

f ≥ g.

42. Es sei V ein C-Vektorraum, (V,  ) normierter R-Vektorraum,
V −→ V Im : x −→ ix (τ  , τ  )-stetig und


 C :

V −→ R+ x −→ supr∈R eir x

die Norm aus 1.1, A 12. Man zeige: Die Normen  ,  C auf dem R-Vektorraum V sind topologisch äquivalent (s. auch 3.1, A 25). 

43. Die durch F (f ) :=

[0, 1] −→ R

x x −→ 0 f (t) dt

definierte Funktion F : CR ([0, 1]) −→ CR ([0, 1]) ist (d∞ , d∞ )-gleichmäßig stetig, jedoch keine Kontraktion.

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen

149

44. Man gebe eine Kontraktion f : [0, 1] −→ [0, 1] an, die keine strenge Kontraktion ist! 45. Für den Prähilbertraum (CR ([0, 1]),
) (s. (1.1,5) (c)) beweise man τ

CR ([0, 1]) = TP R ([0, 1])



.

(Hinweis: (2.4,5) (e).)

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen Metrische Räume unterscheiden sich von pseudometrischen durch eine topologische Eigenschaft: Von je zwei voneinander verschiedenen Punkten hat einer eine Umgebung, die den d anderen nicht enthält  x = y =⇒ d(x, y) > 0 und y ∈ Kd(x,y)/2 (x) , es gibt sogar d d zueinander disjunkte Umgebungen  Kd(x,y)/2 (x) ∩ Kd(x,y)/2 (y) = ∅ für alle x = y .

Trennungseigenschaften dieser und ähnlicher Art bieten weitere Möglichkeiten zur Klassifizierung topologischer Räume und lassen eine detaillierte Analysis in ihnen zu. In diesem Abschnitt werden grundlegende Trennungseigenschaften toplogischer Räume behandelt. Zur Einführung der Begriffe werden zunächst in dieser Hinsicht wichtige Eigenschaften pseudometrischer Räume angegeben: Beispiel (2.5,1) (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, A, B ∈ ατd , a, b ∈ R und a < b. Es gilt: A∩B =∅

=⇒

∃ fa,b ∈ C(X, [a, b]) : fa,b [A] ⊆ {a}, fa,b [B] ⊆ {b}

(∗)

(d. h. je zwei disjunkte abgeschlossene Mengen lassen sich mit einer auf X stetigen Funktion in [a, b] durch a und b trennen): Man wähle fa,b = a für A = ∅ = B, fa,b = b für A = ∅ = B, fa,b = a für A = ∅ = B und setze (vgl. (2.4,1) (d))  X −→ [0, 1] f0,1 : dA (x) x −→ dA (x)+d B (x) für A = ∅ = B, wobei dA , dB die Abstandsfunktion zu A bzw. B bezeichnet. f0,1 ist wohldefiniert, da dA (x) + dB (x) > 0 für jedes x ∈ X gilt (vgl. 2.1, A 7 (a)), und auch stetig (bzgl. (τd , τ| | |[0, 1])) mit f0,1 [A] = {0}, f0,1 [B] = {1}. fa,b := (b−a)f0,1 +a ∈ C(X, [a, b]) erfüllt dann obige Bedingungen. Entsprechend zeigt man für alle y ∈ X (A 1): y ∈ B

=⇒

∃ ga,b ∈ C(X, [a, b]) : ga,b (y) = a, ga,b [B] ⊆ {b}

(∗∗)

(d. h. Punkt und abgeschlossene Mengen, die den Punkt nicht enthalten, lassen sich mit einer auf X stetigen Funktion in [a, b] durch a und b trennen).

2 Topologische Räume

150

In beiden Fällen ist die Trennbarkeit durch a, b wegen der affinen Transformationsmöglichkeit äquivalent zur Trennbarkeit durch 0 und 1. Mit (∗) und (∗∗) ergeben sich wichtige Trennungseigenschaften (ihre Numerierung ist historisch bedingt): (T-4) ∀ A, B ∈ α'τd : A ∩ &B = ∅ ⇒ ∃ 'O, P ∈ τ&d : A ⊆ O, B ⊆ P, O ∩ P = ∅ −1 −1 a+b  O := fa,b [a, a+b 2 [ , P := fa,b ] 2 , b]  (T-3a) ∀ y ∈ X ∀ B ∈ ατd : y ∈ B ⇒ ∃ f ∈ C(X, [0, 1]) : f (y) = 0, f [B] ⊆ {1} (T-3) ∀ y ∈ X ∀ B ∈ ατd : y ∈ B ⇒ ∃ O, P ∈ τd : y ∈ O, B ⊆ P, O ∩ P = ∅ Ist d sogar eine Metrik, also {x} ∈ ατd für jedes x ∈ X, so erhält man aus (T-3) speziell (T-2)

∀ y ∈ X ∀ x ∈ X : x = y ⇒ ∃ O, P ∈ τd : y ∈ O, x ∈ P, O ∩ P = ∅,

die eingangs des Abschnitts erwähnte Trennungseigenschaft.

Definitionen (X, τ) sei ein topologischer Raum. (X, τ) T2 -Raum (Hausdorff-Raum, hausdorffsch) (T-2)

∀ x, y ∈ X : x = y ⇒ ∃ U ∈ Uτ (x) ∃ V ∈ Uτ (y) : U ∩ V = ∅

(X, τ) T3 -Raum (Viëtoris-Raum) (T-3)

:gdw (X, τ) erfüllt

:gdw (X, τ) erfüllt

∀ x ∈ X ∀ A ∈ ατ : x ∈ A ⇒ ∃ U ∈ Uτ (x) ∃ O ∈ τ : A ⊆ O, U ∩ O = ∅

(X, τ) T4 -Raum (Tietze-Raum) (T-4)

:gdw (X, τ) erfüllt

∀ A, B ∈ ατ : A ∩ B = ∅ ⇒ ∃ O, P ∈ τ : A ⊆ O, B ⊆ P, O ∩ P = ∅

(X, τ) T3a -Raum (Tychonoff-Raum) (T-3a)

:gdw (X, τ) erfüllt

∀ x ∈ X ∀ A ∈ ατ : x ∈ A ⇒ ∃ f ∈ C(X, [0, 1]) : f (x) = 0, f [A] ⊆ {1}

In dieser Terminologie ist (X, τd ) T3 -, T3a - und T4 -Raum für jeden pseudometrischen Raum (X, d)  (2.5,1)  und darüber hinaus genau dann' hausdorffsch, wenn & & ' d eine Metrik ist. T3a -Räume (X, τ) sind T3 -Räume  x ∈ f −1 [0, 12 [ , A ⊆ f −1 ] 12 , 1] , die Umkehrung gilt nicht (vgl. (2.5,4)). Die Eigenschaften (T-2), (T-3), (T-4) sind paarweise voneinander unabhängig: Beispiele (2.5,2) (a)

(T-2) =⇒  (T-3),

(T-2) =⇒  (T-4):

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen Auf R ist U : R −→ PPR, definiert durch  Uτ | | (x)

U(x) :=   1  n ∈ N U ∈ Uτ (0)  U\ | | n+1

151

für x = 0 für x = 0,

eine Umgebungsfunktion, induzierte  Topologie τU ist wegen τU ⊇ τ| | hausdorffsch.  1 die n ∈ N ∈ ατU lassen sich offensichtlich nicht durch Die Mengen {0}, n+1 Umgebungen trennen. (b) (T-3) =⇒  (T-2),

(T-4) =⇒  (T-2):

({0, 1}, τin ) ist T3 - und T4 -Raum (trivialerweise), jedoch sind 0, 1 nicht durch Umgebungen trennbar. (c)

(T-3) =⇒  (T-4): Die Ebene (M, µ) (s. (2.3,5) (b)) ist T3 -, aber nicht T4 -Raum, da die Mengen (s. A 2) { (x, 0) | x ∈ Q }, { (x, 0) | x ∈ R\Q } ∈ αµ nicht durch offene Mengen trennbar sind.

(d) (T-4) =⇒  (T-3): Der Sierpinski-Raum (vgl. (1.2,2) (b)) ist T4 -Raum (trivialerweise), 1 und die abgeschlossene Menge {0} sind nicht durch offene Mengen trennbar.

Auch (T-2), (T-3a), (T-4) sind paarweise voneinander unabhängig: Beispiele (2.5,3) (a)

(T-4) =⇒  (T-3a), andernfalls würde auch (T-4) =⇒ (T-3) gelten.


(b) (T-3a) =⇒  (T-4): Die Moore-Ebene (M, µ) ist T3a - und nicht T4 -Raum  A 2 . (c)

(T-3a) =⇒  (T-2): ({0, 1}, τin ) ist T3a -, aber nicht T2 -Raum.

(d) (T-2) =⇒  (T-3a): Die geschlitzte Ebene (R2 , σ) (vgl. (2.3,4) (c) ) ist wegen σ ⊇ τd2 ein T2 -Raum. Wäre (R2 , σ) T3a -, also T3 -Raum, so müßten (0, 0) und { (x, 0) | x = 0, x ∈ R } ∈ ασ durch offene Mengen trennbar sein.


Der folgende Satz liefert ein sich häufig als nützlich erweisendes Kriterium zur Feststellung, daß ein gegebener topologischer Raum nicht T4 -Raum ist (vgl. A 2). Satz 2.5-1 (X, τ) sei ein topologischer Raum mit einer dichten Teilmenge D und einer abgeschlossenen A, für die τ|A diskret ist und eine injektive Funktion ϕ : PD −→ A existiert. Dann ist (X, τ) nicht T4 -Raum.

2 Topologische Räume

152 Beweis

Annahme: (X, τ) T4 -Raum. Wegen PA ⊆ ατ  B ⊆ A =⇒ B ∈ ατdis = ατ|A ⊆ ατ , da A ∈ ατ  gibt es nach obiger Annahme für jedes B ⊆ A disjunkte Mengen OB , PB ∈ τ mit B ⊆ OB , A\B ⊆ PB . Die Funktion
PA −→ PD ψ: B −→ OB ∩ D ist injektiv  Für alle B, B
⊆ A, B\B
= ∅, gilt OB ∩ PB  ⊇ B ∩ (A\B
) = B\B
= ∅, also auch OB ∩ PB  ∩ D = ∅ gem. 2.2-1 (a). Wegen OB  ∩ D ⊆ X\PB  folgt OB ∩ D = OB  ∩ D.  und somit auch ϕ ◦ ψ. Sei B :=



 x ∈ ϕ ◦ ψ[PA] x ∈ (ϕ ◦ ψ)−1 (x) ⊆ A.

Für ϕ ◦ ψ(B) ∈ B würde auch ϕ ◦ ψ(B) ∈ (ϕ ◦ ψ)−1 (ϕ ◦ ψ(B)) = B gelten, was aber nicht möglich ist. Daher erhält man ϕ ◦ ψ(B) ∈ B = (ϕ ◦ ψ)−1 (ϕ ◦ ψ(B)), woraus wiederum ϕ ◦ ψ(B) ∈ B folgt.
✷ T3 - (bzw. T4 -)Räume lassen sich mit Hilfe von speziellen Umgebungsbasen ihrer Punkte (bzw. abgeschlossenen Mengen) charakterisieren. Für Teilmengen T eines topologischen Raums (X, τ) definiert man in Analogie zu den Umgebungsfiltern (Umgebungsbasen) von Punkten Uτ (T ) := { U ⊆ X | ∃ O ∈ τ : T ⊆ O ⊆ U } als Umgebungsfilter von T in (X, τ). Satz 2.5-2 (X, τ) sei ein topologischer Raum. Äq (i)

(X, τ) T4 - (bzw. T3 -)Raum

(ii) ∀ A ∈ ατ : Uτ (A) ∩ ατ Basis von Uτ (A) (bzw. ∀ x ∈ X : Uτ (x) ∩ ατ Basis von Uτ (x)) Beweis (für (T-3) analog) (i) ⇒ (ii) Sei A ∈ ατ , U ∈ Uτ (A) ∩ τ, also X\U ∈ ατ und A ∩ (X\U ) = ∅. Gem. (i) gibt es offene Mengen O, P ∈ τ mit A ⊆ O, (X\U ) ⊆ P , O ∩ P = ∅, woraus A ⊆ O ⊆ X\P ⊆ U und X\P ∈ ατ folgt. (ii) ⇒ (i) Es seien A, B ∈ ατ , A ∩ B = ∅. Dann ist X\A ∈ Uτ (B) ∩ τ, und gem. (ii) gibt es ein V ∈ Uτ (B) ∩ ατ mit V ⊆ X\A. Es folgt X\V ∈ τ, A ⊆ X\V , ✷ V ◦τ ∩ (X\V ) = ∅ und B ⊆ V ◦τ .

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen

153

T3 -Räume, die nicht die Trennungseigenschaft (T-3a) besitzen, sind nicht leicht zu finden (vgl. [46], [47], [57]). Eine verhältnismäßig einfache Konstruktion gab Mysior 1981 an (vgl. [56]): Beispiel (2.5,4) In der Menge X := (R × R+ ) ∪ {P ∗ }, P ∗ ∈ R × R+ bezeichne Iξ := { (ξ, η) | 0 ≤ η < 2 }, Jξ := { (ξ + η, η) | 0 ≤ η < 2 } für jedes ξ ∈ R und Un := { (ξ, η) | ξ > n + 1 } ∪ {P ∗ } für jedes n ∈ N (vgl. Abb. 2.5-1). R+ (ξ, η) U5

U3 2 Iξ

ξ

Jξ

J4

ξ

4

6

P∗

R

Abbildung 2.5-1

Man definiere nun B : X −→ PPX durch   {(ξ, η)}  B((ξ, η)) :=  {(ξ, 0)} ∪ S S ⊆ Iξ ∪ Jξ , (Iξ \Jξ )\S endlich

für η > 0 für η = 0

und B(P ∗ ) := { Un | n ∈ N }. Die Menge B(x) ist für jedes x ∈ X eine Filterbasis, erzeugt also einen Filter U(x), und die Funktion U ist offensichtlich eine Umgebungsfunktion (vgl. 1.2) auf X. In der durch U induzierten Topologie τU ist B(x) ⊆ τU für jedes x ∈ X, B(x) ⊆ ατU τU für jedes x ∈ X\{P ∗ }, {P ∗ } ∈ ατU und Un+2 ⊆ Un für alle n ∈ N (vgl. Abb. 2.5-1). Nach 2.5-2 ist (X, τU ) ein T3 -Raum, die Mysior-Ebene. Die (T-3a)-Eigenschaft wird von (X, τU ) jedoch nicht erfüllt, denn für A := { (ξ, 0) | ξ ≤ 1 } ∈ ατU gilt f (P ∗ ) = 0 für alle f ∈ C(X, R) mit f [A] = {0}: Gezeigt wird durch vollständige Induktion ∀ n ∈ N : f −1 [{0}] ∩ { (ξ, 0) | n ≤ ξ ≤ n + 1 } ist unendlich, ∗

jede Umgebung Un von P enthält dann nämlich unendlich viele Elemente aus f τU woraus P ∗ ∈ f −1 [{0}] = f −1 [{0}] folgt.

(∗) −1

[{0}],

Für n = 0 liegt { (ξ, 0) | 0 ≤ ξ ≤ 1 } in f −1 [{0}]. Es sei daher C eine abzählbar −1 unendliche 'Teilmenge von & f [{0}] ∩ { (ξ, 0) | n ≤ ξ ≤ n + 1 }, (c, 0) ∈ C und 1 1 , k+1 [ ∈ τU für jedes k ∈ N. Dann ist Ok := f −1 ]− k+1  f −1 [Ok ] = (Jc \f −1 [Ok ]) (c, 0) ∈ Jc \f −1 [{0}] = Jc \ k∈N

k∈N

2 Topologische Räume

154

und Ak := Jc \f −1 [Ok ] ∈ ατU |Jc , (c, 0) ∈ Jc \Ak ∈ τU |Jc und somit Ak endlich # für jedes k ∈ N.#Als Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen Jc \f −1 [{0}] = k∈N Ak ist JC := { Jc \f −1 [{0}] | (c, 0) ∈ C } ebenfalls abzählbar, die Menge { (ξ, 0) | n + 1 ≤ ξ ≤ n + 2 }\{ (ξ, 0) | ∃ η ∈ R+ : (ξ, η) ∈ JC } daher unendlich. Wegen Iξ ∩ Jc ∩ f −1 [{0}] = ∅ für alle (ξ, η) ∈ JC , (c, 0) ∈ C erhält man (ξ, 0) ∈ f −1 [{0}] für jedes (ξ, η) ∈ JC  f −1 [{0}] ∈ ατU , also ist auch die Menge f −1 [{0}] ∩ { (ξ, 0) | n + 1 ≤ ξ ≤ n + 2 } unendlich.

T3 -Räume sind zwar i. a. keine T4 -Räume, wie das Beispiel der Moore-Ebene  (2.5,2) (c)  zeigt, unter geeigneten zusätzlichen topologischen Bedingungen wird (T-4) jedoch erzwungen: Satz 2.5-3 (Lemma von Tychonoff, 1930) (X, τ) sei ein Lindelöf-Raum. Es gilt: (X, τ) T3 -Raum

=⇒

(X, τ) T4 -Raum

Beweis Es seien A, B ∈ ατ \{∅}, A ∩ B = ∅ und Ua ∈ Uτ (a) ∩ τ, Vb ∈ Uτ (b) ∩ τ τ τ mit Ua ∩ B = ∅ = Vb ∩ A  2.5-2  für jedes a ∈ A, b ∈ B ausgewählt. Da (X, τ) ein Lindelöf-Raum ist, haben die offenen Überdeckungen { Ua | a ∈ A } bzw. { Vb | b ∈ B } von A bzw. B gem. 2.3-7 abzählbare Teilüberdeckungen { Uai | i ∈ N } bzw. { Vbi | i ∈ N }. Man definiere (induktiv) τ

U0
:= Ua0 ,

V0
:= Vb0 \U0
, τ

U1
:= Ua1 \V0
,

V1
:= Vb1 \(U0
∪ U1
)

τ

und, wenn Un
, Vn
∈ τ konstruiert sind,
:= Uan+1 \ Un+1

#

τ

n

Vj
j=0

#


und Vn+1 := Vbn+1 \

n+1

τ

Uj
. j=0

Für U
:= n∈N Un
, V
:= n∈N Vn
∈ τ gilt dann A ⊆ U
, B ⊆ V
 Aus Uaj bzw. Vbj wird kein Element aus A bzw. B # herausgenommen!  und U
∩ V
= ∅



✷  Un ∩ Vm = ∅ =⇒ m ≥ n =⇒ Vm = Vbm \ m j=0 Uj
. (T-4) ist nicht erblich (s. auch (4.4,3)): Beispiel (2.5,5) Es sei (X, τ) ein topologischer Raum, der nicht T4 -Raum ist (vgl. (2.5,2) (a) (c)), ∞ ein Element, das nicht zu X gehört (z. B. ∞ := X), X ∗ := X ∪ {∞} und τ ∗ := τ ∪ {X ∗ }. Man

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen

155

bestätigt leicht, daß (X ∗ , τ ∗ ) ein topologischer Raum und τ ∗ |X = τ ist. Sei A ∈ ατ ∗ \{∅}, also X ∗ \A ∈ τ ∗ und X ∗ \A = X ∗ . Es folgt X ∗ \A ∈ τ und somit ∞ ∈ A. (X ∗ , τ ∗ ) ist daher ein T4 -Raum.  Für A, B ∈ ατ ∗ mit A = ∅ oder B = ∅ ist die Trennung von A, B mit X ∗ , ∅ ∈ τ ∗ möglich! 

Dagegen sind (T-2), (T-3), (T-3a) erblich: Satz 2.5-4 (X, τ) sei ein topologischer Raum, S ⊆ X und i ∈ {2, 3, 3a}. Es gilt: (X, τ) Ti -Raum

=⇒

(S, τ|S) Ti -Raum

Beweis (T-2): Für x, y ∈ S, x = y, wähle man U ∈ Uτ (x), V ∈ Uτ (y) mit U ∩ V = ∅. Dann ist U ∩ S ∈ Uτ|S (x), V ∩ S ∈ Uτ|S (y) und (U ∩ S) ∩ (V ∩ S) = ∅. (T-3): Für x ∈ S, U ∈ Uτ (x) wähle man gem. 2.5-2 ein A ∈ Uτ (x) ∩ ατ mit A ⊆ U . Dann ist A ∩ S ∈ ατ|S ∩ Uτ|S (x), A ∩ S ⊆ U ∩ S. Nach 2.5-2 folgt die Behauptung. (T-3a): Für A ∈ ατ , x ∈ S\A sei f ∈ C(X, [0, 1]) mit f (x) = 0, f [A] ⊆ {1} gewählt. Dann ist f
S ∈ C(S, [0, 1])  2.4-1.2 , (f
S)(x) = f (x) = 0 und (f
S)[S ∩ A] ⊆ f [A] ⊆ {1}. ✷ (T-4) ist nicht multiplikativ (vgl. A 5). Dagegen sind (T-2), (T-3), (T-3a) multiplikativ: Satz 2.5-5 ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume, k ∈ {2, 3}.  % Äq (i) i∈I τi Tk -Raum i∈I Xi , (ii) ∀ i ∈ I : (Xi , τi ) Tk -Raum Beweis Für jedes j ∈ I, a ∈

%

Xi sei
 := x ∈ Xi i∈I

Xa,j

 ∀ i ∈ I\{j} : xi = ai

i∈I

und ηa,j

   Xj −→+Xa,j  x :   x −→ i → a i

für i = j sonst

, .

2 Topologische Räume

156

    Dann ist ηa,j ein Homöomorphismus (bzgl. τj , i∈I τi Xa,j ) (s. A 11 (a)). %      (i) ⇒ (ii) Mit i∈I τi ist gem. 2.5-4 auch Xa,j , i∈I τi Xa,j und i∈I Xi , somit (Xj , τj ) ein Tk -Raum für k ∈ {2, 3, 3a} und jedes j ∈ I. (ii) ⇒ (i)

% (T-2): Für x, y ∈ i∈I Xi , x = y, etwa j ∈ I mit xj = yj , gibt es U ∈ τj ∩ Uτj (xj ), V ∈ τj ∩ Uτj (yj ) mit U ∩ V = ∅. Es folgt x ∈ πj−1 [U ] ∈

y ∈ πj−1 [V ] ∈

τi , i∈I

τi i∈I

und πj−1 [U ] ∩ πj−1 [V ] = ∅. $ % [Ujk ] ∈ i∈I τi mit Ujk ∈ τjk wähle man (T-3): Für x ∈ i∈I Xi , x ∈ rk=1 πj−1 k gem. 2.5-2 Ajk ∈ ατjk ∩ Uτjk (xjk ), Ajk ⊆ Ujk für alle k ∈ {1, . . . , r}. Man erhält r r   πj−1 [A ] ⊆ πj−1 [Ujk ] x∈ jk k k k=1

und

r 

πj−1 [Ajk ] ∈ α k

k=1

i∈I

τi

∩U

i∈I

τi (x).

k=1

Nach 2.5-2 folgt die Behauptung.

✷

Die Multiplikativität von (T-3a) läßt sich bequem mit Hilfe der Umformulierung auf Subbasismengen beweisen: Satz 2.5-6 (X, τ) sei ein topologischer Raum, S eine Subbasis von τ. Äq (i)

(X, τ) T3a -Raum

(ii) ∀ x ∈ X ∀ U ∈ Uτ (x) ∩ S ∃ f ∈ C(X, [0, 1]) : f (x) = 0, f [X\U ] ⊆ {1} Beweis (i) ⇒ (ii) ist klar.

$ (ii) ⇒ (i) Sei A ∈ ατ , x ∈ X\A. Man wähle S1 , . . . , Sr ∈ S mit x ∈ rj=1 Sj ⊆ X\A und gem. (ii) für jedes j ∈ / {1, . . . , r} ein fj ∈ C(X, [0, 1]) mit fj (x) = 0, fj [X\Sj ] ⊆ {1}. Es folgt f := rj=1 fj := sup1≤j≤r fj ∈ C(X, [0, 1])  2.4, A 5 , f (x) = 0 und . r r  Sj = f [X\Sj ] ⊆ {1}. f [A] ⊆ f X\ j=1 j=1 ✷

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen

157

Korollar 2.5-6.1 ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume. Äq (i)

% i∈I

Xi ,

i∈I τi



T3a -Raum

(ii) ∀ i ∈ I : (Xi , τi ) T3a -Raum Beweis (i) ⇒ (ii) s. Beweis zu 2.5-5. % −1 (ii) ⇒ (i) Sei x ∈ i∈I Xi , j ∈ I, Uj ∈ Uτj (xj ) ∩ τj , also πj [Uj ] eine kanonische Subbasisumgebung von x. Man % wähle fj ∈ C(Xj , [0, 1]) mit fj (xj ) = 0, fj [Xj \Uj ] ⊆ {1}. Dann ist fj ◦πj ∈ C i∈I Xi , [0, 1] , fj ◦πj (x) = fj (xj ) = 0 und & '% fj ◦ πj i∈I Xi \πj−1 [Uj ] ⊆ fj [Xj \Uj ] ⊆ {1}, aus 2.5-6 folgt die Behauptung. ✷ In 2.4 wurde bereits erwähnt, daß Separabilität keine multiplikative Eigenschaft ist. Satz 2.5-7 (Marczewski, 1947) ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie von T2 -Räumen, jede der Mengen Xi habe mindestens zwei Elemente. Äq (i)

% i∈I

Xi ,

i∈I τi



separabel

(ii) ∀ i ∈ I : (Xi , τi ) separabel und ∃ ϕ : ϕ : I −→ PN, ϕ injektiv Beweis (Comfort, 1969)

% (i) ⇒ (ii) Gem. 2.4-3 (a) ist (Xi , τi ) für jedes i ∈ I separabel. Sei D ⊆ i∈I Xi eine dichte abzählbare Teilmenge, Oi , Pi ∈ τ\{∅} mit Oi ∩ Pi = ∅ und Di := D ∩ πi−1 [Oi ] für jedes i ∈ I. Die Funktion ψ : I −→ PD, ψ(i) := Di , ist injektiv: Für alle i, j ∈ I, i = j, würde aus Di = Dj auch ∅=  D ∩ (πi−1 [Oi ] ∩ πj−1 [Pj ]) = D ∩ πj−1 [Oj ] ∩ πj−1 [Pj ] = ∅ folgen.
Wegen der Abzählbarkeit von D gibt es eine Injektion α : PD −→ PN, und ϕ := α◦ψ ist injektiv. (k)

(ii) ⇒ (i) Sei o. B. d. A. I ⊆ [0, 1] und Di = { di | k ∈ N } ⊆ Xi dicht in (Xi , τi ) für jedes i ∈ N. Weiter definiere man für jedes k ∈ N die Menge Jk := { (I0 , . . . , Ik ) | ∀ i ∈ {0, . . . , k} : Ik ⊆ [0, 1] Intervall, inf Ik , sup Ik ∈ Q und ∀ i, j ∈ {0, . . . , k} : Ii ∩ Ij = ∅ }

2 Topologische Räume

158

und für alle (m0 , . . . , mk ) ∈ Nk+1 , (I0 , . . . , Ik ) ∈ Jk , i ∈ I die Funktionswerte  (m ) di j , falls i ∈ Ij für ein j ∈ {0, . . . , k} P ((I0 , . . . , Ik ), (m0 , . . . , mk ))(i) := (0) di sonst. Die Menge D := { P ((I0 , . . . , Ik ), (m0 , . . . , mk )) | k ∈ N, (m0 , . . . , mk ) ∈ Nk+1 , (I0 , . . . , Ik ) ∈ Jk }  % ist abzählbar  Anhang 1-36 (a)  und dicht in i∈I τi : i∈I Xi , ' & $ Oij = ∅ basisoffen mit Oij ∈ τij \{∅}, ij = ir für alle Sei O := kj=0 πi−1 j (m )

j, r ∈ {0, . . . , k}, j = r. Für jedes j ∈ {0, . . . , k} wähle man ein dij j ∈ Dij ∩ Oij und hierzu ein (I0 , . . . , Ik ) ∈ Jk mit ij ∈ Ij , j = 1, . . . , k. Dann ist P ((I0 , . . . , Ik ), (m0 , . . . , mk )) ∈ O, denn P ((I0 , . . . , Ik ), (m0 , . . . , mk ))(ij ) = (m ) ✷ dij j für jedes j ∈ {0, . . . , k}. Beispiel (2.5,6) Keine der Eigenschaften (T-k), k ∈ {2, 3, 3a, 4} ist divisibel: Mit X := [0, 1], τ := τ| | |[0, 1] ist (X, τ) Tk -Raum für jedes k ∈ {2, 3, 3a, 4}  (X, τ) ist metrisierbar; (2.5,1) . Die Äquivalenzrelation R auf [0, 1] sei definiert durch (x, y) ∈ R

:gdw x = y oder x, y ∈ Q.   Für jedes k ∈ {2, 3, 3a, 4} ist dann X/R , τ/R kein Tk -Raum: Es seien x ∈ [0, 1] ∩ Q, −1 [{πR (y)}] = {y} ∈ ατ | | |[0,1] , aber jede y ∈ [0, 1]\Q. Es ist {πR (y)} ∈ ατ/R  πR   Umgebung von {πR (y)} enthält πR (x). X/R , τ/R ist daher für k ∈ {2, 3, 4} kein Tk -Raum und, weil T3a -Räume auch T3 -Räume sind, somit kein T3a -Raum.

Die Bedeutung der (T-2)-Eigenschaft für die Topologie und Analysis liegt darin, daß Limiten (von Netzen bzw. Filtern) eindeutig bestimmt sind. Satz 2.5-8 (X, τ) sei ein topologischer Raum. Äq (i)

(X, τ) T2 -Raum

(ii) ∀ M ∀ x, y ∈ X : M Netz in X, M →τ x, M →τ y ⇒ x = y Beweis (i) ⇒ (ii) Es sei M : D −→ X ein Netz in X ((D, ≥) gerichtete Menge), x, y ∈ X, x = y und M →τ x, M →τ y. Nach (i) existieren U ∈ Uτ (x), V ∈ Uτ (y) mit

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen

159

U ∩ V = ∅. Wegen der Konvergenz von M gegen x und y existiert ein δ ∈ D mit M (δ) ∈ U ∩ V
. (ii) ⇒ (i) Es seien x, y ∈ X, x = y und U ∩ V = ∅ für alle U ∈ Uτ (x), V ∈ Uτ (y) etwa MU,V ∈ U ∩ V . Dann ist
Uτ (x) × Uτ (y) −→ X M: (U, V ) −→ MU,V ein Netz in X  Uτ (x) × Uτ (y) gerichtet durch: (U, V ) ≥ (U
, V
) :gdw U ⊆ U
und ✷ V ⊆ V
, das gegen x und y τ-konvergent ist. Satz 2.5-9 (X, τ), (Y, σ) seien topologische Räume, (Y, σ) T2 -Raum. Es gilt: f ∈ C(X, Y )

=⇒

f ∈ ατ

σ

Beweis Sei (x, y) ∈ (X × Y )\f , d. h. y = f (x). Nach Voraussetzung gibt es O, P ∈ σ mit f (x) ∈ O, y ∈ P und O ∩ P = ∅. Wegen der Stetigkeit von f erhält man f [U ] ⊆ O für ein U ∈ Uτ (x) ∩ τ, und es folgt (x, y) ∈ U × P ⊆ (X × Y )\f.

✷

In der Situation von 2.5-9 sagt man, f hat einen abgeschlossenen Graphen. Aussagen über Funktionen f zwischen topologischen Räumen der Art, daß aus der Eigenschaft „f hat einen abgeschlossenen Graphen“ die Stetigkeit von f folgt, nennt man einen Satz vom abgeschlossenen Graphen (vgl. hierzu speziell 6.2-1.3 (a)). Korollar 2.5-9.1 τ

(X, τ), (Y, σ) seien topologische Räume, (Y, σ) T2 -Raum, D ⊆ X mit D = X, f , g ∈ C(X, Y ). Es gilt: (a) { x ∈ X | f (x) = g(x) } ∈ ατ (b) f
D = g
D

=⇒

f = g.

Beweis Zu (a) ∆Y = { (y, y) | y ∈ Y } ∈ ασ σ nach 2.5-9, da idY stetig ist. Gem. 2.4-7 (c) folgt die Stetigkeit (bzgl. (τ, σ σ)) der Funktion
X −→ Y × Y h: x −→ (f (x), g(x)), also ist { x ∈ X | f (x) = g(x) } = h−1 [∆Y ] ∈ ατ .

2 Topologische Räume

160

τ

Zu (b) Nach Voraussetzung ist D ⊆ { x ∈ X | f (x) = g(x) }, also X = D = { x ∈ X | f (x) = g(x) } gem. (a). 2 Eine zu (T-3a) analoge Trennbarkeitsforderung (T-4a) für zueinander disjunkte abgeschlossene Mengen ergibt gegenüber (T-4) – im Gegensatz zur Situation bei (T-3a), (T-3) – keine zusätzliche Information. Es gilt nämlich: Satz 2.5-10 (Lemma von Urysohn, 1924) (X, τ) sei ein topologischer Raum. Äq (i)

(X, τ) T4 -Raum

(ii) ∀ A, B ∈ ατ : A ∩ B = ∅ ⇒ ∃ f ∈ C(X, [0, 1]) : f [A] ⊆ {0}, f [B] ⊆ {1} Beweis

      (ii) ⇒ (i) Es ist f −1 [0, 12 [ ∩ f −1 ] 12 , 1] = ∅, A ⊆ f −1 [0, 12 [ ∈ τ und   B ⊆ f −1 ] 12 , 1] ∈ τ.

(i) ⇒ (ii) Die Konstruktion einer geeigneten stetigen Funktion f erfolgt durch iterierte Anwendung (vollständige Induktion) von 2.5-2: n = 0: Sei U

0 20

:= A, U

1 20

:= X\B ∈ Uτ (A) ∩ τ.

n = 1: Gem. 2.5-2 existiert ein U A=U

1 21

∈ Uτ (A) ∩ τ mit τ

⊆ U 1 ⊆ U 1 ⊆ U 1∙2 = X\B.

0 21

2

n = 2: Gem. 2.5-2 existieren U 1 , U 22

A=U

0 22

⊆U

1 22

⊆U

τ

⊆U

1 22

3 22

2 22

21

2

∈ τ mit

⊆U

τ 2 22

⊆U

3 22

⊆U

τ 3 22

⊆ U 1∙22 = X\B. 22

, U 2k+2 ∈ τ mit Sind für n ≥ 1 die Mengen U 2k+1 n n 2

2

τ

τ

⊆ U 2k+1 ⊆ U 2k+2 U 2kn ⊆ U 2k+1 n n n 2

2

2

2

für alle k ∈ {0, 1, . . . , 2n−1 − 1} bereits gewählt, so sichert 2.5-2 die Existenz von offenen Mengen U 2m+1 ∈ τ für alle m ∈ {0, 1, . . . , 2n − 1} mit 2n+1

U

τ 4k 2n+1

τ

τ

τ

⊆ U 4k+1 ⊆ U 4k+1 ⊆ U 4k+2 ⊆ U 4k+2 ⊆ U 4k+3 ⊆ U 4k+3 ⊆ U 4k+4 2n+1

2n+1

für jedes k ∈ {0, 1, . . . , 2n−1 − 1}.

2n+1

2n+1

2n+1

2n+1

2n+1

Die für die Indizierung verwendeten rationalen Zahlen sind die dyadisch rationalen

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen

161

Zahlen aus [0, 1]: Für n ≥ 1 sei  2m + 1 r ∈ Q ∃ m ∈ N : 2m + 1 < 2n , r = . Q(2) n := 2n # (2) Q(2) := n≥1 Qn ist die Menge der dyadisch rationalen Zahlen in ]0, 1[. Mit Hilfe obiger Konstruktion definiere man f : X −→ [0, 1] durch  $ 0 für x ∈ t∈Q(2) Ut   f (x) := sup t ∈ Q(2) x ∈ Ut sonst.   Es gilt dann f [A] ⊆ {0}, f [B] ⊆ sup Q(2) = {1}. Die Stetigkeit von f wird mit 2.4-1 (iii) nachgewiesen:     [0, a[ a ∈ R, 0 < a < 1 ∪ ]a, 1] a ∈ R, 0 < a < 1 ist eine Subbasis der Topologie τ| | |[0, 1], und für jedes a ∈ ]0, 1[ erhält man wegen f (x) < a

⇐⇒

∃ t ∈ Q(2) : t < a, x ∈ Ut

f (x) > a

⇐⇒

∃ t ∈ Q(2) : t > a, x ∈ Ut

bzw. τ

 ∀ s, t ∈ Q(2) : s ≤ t ⇒ Us ⊆ Ut ; Q(2) ist dicht in ([0, 1], τd2 |[0, 1]).  sowohl ' & Ut ∈ τ f −1 [0, a[ = { x ∈ X | f (x) < a } = t∈Q(2) t (o. B. d. A.)  s = 0 =⇒ f = 0, also ist F = 0 wählbar . Wegen f ∈ C(A, [−s, s]) und supA 1s f = 1 gibt es nach (1) ein F ∈ C(X, [−1, 1]), F
A = 1s f , supX |F| = 1, es folgt also F := sF ∈ C(X, R), ✷ F
A = f und supX |F | = s supX |F| = s = supA |f |. Auf beliebigen Teilmengen von T4 -Räumen definierte stetige Funktionen sind i. a. nicht stetig fortsetzbar.

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen

165

Beispiel (2.5,7) (X, τ) := ([0, 1], τ| | |[0, 1]) ist ein T4 -Raum  da metrisierbar ,
f:

]0, 1] −→ [−1, 1] x −→ sin x1

ist stetig, besitzt jedoch keine stetige Fortsetzung auf [0, 1].  f nimmt in jeder Umgebung von 0 jeden Wert aus [−1, 1] an! 

Ein erprobtes Hilfsmittel der Analysis zur Lokalisierung von globalen Problemen ist die additive Zerlegung der (konstanten Funktion) Eins in endlich viele stetige, [0, 1]-wertige Funktionen. Definitionen (X, τ) sei ein topologischer Raum, f : X −→ C, (f1 , . . . , fn ) ∈ C(X, [0, 1])n . τ

Tr f := { x ∈ X | f (x) = 0 } heißt Träger von f . (f1 , . . . , fn ) Zerlegung der Eins

:gdw ∀ x ∈ X :

n 

fj (x) = 1

j=1

(f1 , . . . , fn ) sei Zerlegung der Eins, (O1 , . . . , On ) ∈ τ n mit (f1 , . . . , fn ) ist (O1 , . . . , On ) untergeordnet

#n

j=1 Oj

= X.

:gdw ∀ j ∈ {1, . . . , n} : Tr fj ⊆ Oj

(s. Abb. 2.5-2 für n = 4)

R

f1

1 f2

f3

O2 O1

0

f4

O4 O3

X

Abbildung 2.5-2

In T4 -Räumen besitzt jede endliche offene Überdeckung eine ihr untergeordnete Zerlegung der Eins (vgl. 2.5-13). Hierzu wird die in 2.5-2 angegebene Charakterisierung der T4 -Räume angepaßt:

2 Topologische Räume

166 Satz 2.5-12 (X, τ) sei ein topologischer Raum. Äq (i)

(X, τ) T4 -Raum

#n (ii) ∀ n ∈ N\{0} ∀ (O1 , . . . , On ) ∈ τ n : j=1 Oj = X #n τ n ⇒ ∃ (P1 , . . . , Pn ) ∈ τ : j=1 Pj = X, ∀ j ∈ {1, . . . , n} : Pj ⊆ Oj

Beweis

# # (i) ⇒ (ii) Sei (O1 , . . . , On ) ∈ τ n , nj=1 Oj = X, n ≥ 1, A1 := X\ nj=2 Oj ∈ ατ . τ Wegen A1 ⊆ O O1 , also #1n ∈ τ gibt es gem. 2.5-2 ein P1 ∈ τ mit A1 ⊆ P1 ⊆ P1 ⊆ τ ist X = P1 ∪ i=2 Oi . Sind P1 , . . . , Pk ∈ τ für ein k < n gewählt mit Pj ⊆ Oj für # # jedes j ∈ {1, . . . , k}, X = kj=1 Pj ∪ nj=k+1 Oj , so sei k

n

Pj ∪

Vk+1 = j=1

Oj . j=k+2

Hiermit folgt X = Vk+1 ∪ Ok+1 , also X\Vk+1 ∈ ατ und X\Vk+1 ⊆ Ok+1 . Nach τ 2.5-2 existiert ein Pk+1 ∈ τ mit X\Vk+1 ⊆ Pk+1 ⊆ Pk+1 ⊆ Ok+1 , also ist k+1

n

Pj ∪

X= j=1

Für k = n − 1 erhält man X =

#n

j=1 Pj ,

Oj . j=k+2 τ

Pj ⊆ Pj ⊆ Oj für jedes j ∈ {1, . . . , n}.

(ii) ⇒ (i) Für alle A, B ∈ ατ , A ∩ B = ∅, ist (X\A, X\B) ∈ τ 2 mit (X\A) ∪ (X\B) = X, nach (ii) gibt es daher PA , PB ∈ τ, für die PA ∪ PB = X, τ τ τ τ PA ⊆ X\A und PBτ ⊆ X\B gilt. Es folgt A ⊆ X\PA ∈ τ, B ⊆ X\PB ∈ τ und τ X\PA ∩ X\PB = ∅. ✷ Satz 2.5-13 (X, τ) sei ein topologischer Raum. Äq (i)

(X, τ) T4 -Raum

n n (ii) ∀ n ∈ N\{0} #n ∀ (O1 , . . . , On ) ∈ τ ∃ (f1 , . . . , fn ) ∈ C(X, [0, 1]) : j=1 Oj = X und (f1 , . . . , fn ) ist eine (O1 , . . . , On ) untergeordnete Zerlegung der Eins

Beweis (i) ⇒ (ii) Durch zweimalige Verwendung von 2.5-12 wähle man (P1 , . . . , Pn ), # # τ τ (Q1 , . . . , Qn ) ∈ τ n mit nj=1 Pj = nj=1 Qj = X und Qj ⊆ Qj ⊆ Pj ⊆ Pj ⊆ Oj für jedes j ∈ {1, . . . , n}. Nach dem Lemma von Urysohn  2.5-10  kann man zu

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen

167

jedem j ∈ {1, . . . , n} ein ϕj ∈ C(X, [0, 1]) finden, für das ) * τ ϕj Qj ⊆ {1} und ϕj [X\Pj ] ⊆ {0} τ

erfüllt ist. Es gilt dann Tr ϕj ⊆ Pj ⊆ Oj für jedes j ∈ {1, . . . , n} und ϕ(x) := n [0, 1]) erklärten j=1 ϕj (x) > 0 für jedes x ∈ X. Für die durch fj := ϕj /ϕ ∈ C(X, Funktionen folgt Tr fj = Tr ϕj ⊆ Oj für jedes j ∈ {1, . . . , n} und nj=1 fj (x) = 1 für alle x ∈ X. (ii) ⇒ (i) Es seien A, B ∈ ατ \{∅}, A ∩ B = ∅ und (fA , fB ) eine (X\A, X\B) untergeordnete Zerlegung der Eins. Dann gilt fA [A] = {0}  Tr fA ⊆ X\A  und fA [B] = {1}  Für fA (b) < 1 mit b ∈ B müßte fB (b) > 0 sein, was wegen ✷ Tr fB ⊆ X\B nicht möglich ist. . Mit 2.5-10 folgt die Behauptung. T3a -Räume werden in 4.3-5, 4.3-8 gekennzeichnet. Mit Hilfe der Regularität kann das Metrisationsproblem für A2 -Räume gelöst werden (s. 2.5-15). Dabei macht man Einbettbarkeit derarti  Gebrauch von der topologischen ger Räume in den Quader [0, 1]N , j∈N τ| | |[0, 1] (dieser ist metrisierbar gem. 2.4, A 20). Als Vorbereitung hierauf wird die Einbettung von Initialräumen (vgl. 2.4) in das zugehörige topologische Produkt hergestellt. Definitionen X = ∅, I = ∅ seien Mengen, (X, τ), (Xi , τi ) topologische Räume, fi : X −→ Xi für jedes i ∈ I. (fi )i∈I trennt Punkte in X

:gdw ∀ x, x
∈ X : x = x
⇒ ∃ i ∈ I : fi (x) = fi (x
)

(fi )i∈I trennt Punkte von abgeschlossenen Mengen in (X, τ)

:gdw τi

∀ x ∈ X ∀ A ∈ ατ : x ∈ A ⇒ ∃ i ∈ I : fi (x) ∈ fi [A] % Die Funktion e : X −→ i∈I Xi , e(x)(i) := fi (x), heißt Auswertung von (fi )i∈I . Es gilt dann fi = πi ◦ e für jedes i ∈ I, e(x) beschreibt daher die Wirkung von (fi )i auf x ∈ X simultan. Satz 2.5-14 X = ∅, I = ∅ seien Mengen, (X, τ), (Xi , τi ) topologische Räume, fi : X −→ Xi für jedes i ∈ I.   (a) Äq (i) e stetig bzgl. τ, i∈I τi (ii) ∀ i ∈ I : fi stetig bzgl. (τ, τi )

2 Topologische Räume

168 (b) Äq (i)

e injektiv

(ii) (fi )i∈I trennt Punkte in X (c) Für jedes i ∈ I sei fi ∈ C(X, Xi ). (fi )i∈I trennt Punkte von abgeschlossenen Mengen in (X, τ)   (ii) fi−1 [Oi ] i ∈ I, Oi ∈ τi ist eine Basis von τ.

Äq (i)

Beweis (a) gilt wegen fi = πi ◦ e, i ∈ I, gem. 2.4-7 (c). Zu (b) Für alle x, x
∈ X, x = x
gilt e(x) = e(x
)

⇐⇒ ⇐⇒

∃ i ∈ I : πi ◦ e(x) = e(x)(i) = e(x
)(i) = πi ◦ e(x) ∃ i ∈ I : fi (x) = fi (x
)

Zu (c) (i) ⇒ (ii) Sei O ∈ τ, x ∈ O. Dann ist x ∈ X\O ∈ ατ , nach (i) existiert τi somit ein i ∈ I, fi (x) ∈ fi [X\O] . Sei Oi ∈ Uτi (fi (x)) ∩ τi so ausgewählt, daß Oi ∩ fi [X\O] = ∅ gilt. Es folgt x ∈ fi−1 [Oi ] ⊆ O. (ii) ⇒ (i) Sei A ∈ ατ , x ∈ X\A ∈ τ und gem. (ii) i ∈ I, Oi ∈ τi mit x ∈ fi−1 [Oi ] ⊆ X\A. Wegen fi−1 [Oi ] ∩ A = ∅ erhält man Oi ∩ fi [A] = ∅, also τi ✷ fi (x) ∈ fi [A] . Korollar 2.5-14.1 X = ∅, I = ∅ seien Mengen, (X, τ), (Xi , τi ) topologische Räume, fi ∈ C(X, Xi ) für alle i ∈ I, (fi )i∈I trenne Punkte von abgeschlossenen Mengen in (X, τ). Es gilt: (a) τ ist die Initialtopologie der Familie ((Xi , τi ), fi )i∈I .   (b) e ist offen bzgl. τ, i∈I τi |e[X] . Beweis (a) folgt direkt mit 2.5-14 (c). & ' Zu (b) Es genügt, e fi−1 [Oi ] ∈ i∈I τi |e[X] für jede Basismenge fi−1 [Oi ], i ∈ I & ' zu beweisen  2.3-1 . Dieses folgt aus e fi−1 [Oi ] = e[X] ∩ πi−1 [Oi ]: % Für alle (xj )j ∈ j∈I Xj gilt (xj )j ∈ e[X] ∩ πi−1 [Oi ]

⇐⇒

∃ x ∈ X : (xj )j = e(x) und πi (e(x)) ∈ Oi

⇐⇒

∃ x ∈ X : (xj )j = e(x) und x ∈ fi−1 [Oi ] ' & (xj )j ∈ e fi−1 [Oi ] .

⇐⇒

✷

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen

169

Satz 2.5-15 (Alexandroff-Urysohnscher Metrisationssatz, 1925) (X, τ) sei ein topologischer Raum. Äq (i)


(X, τ) ist topologisch einbettbar in [0, 1]N , j∈N τ| | |[0, 1] (d. h. es gibt

einen Homöomorphismus η : X −→ η[X] (bzgl. τ, j∈N τ| | η[X] ))

(ii) (X, τ) ist separabel und metrisierbar (iii) (X, τ) ist regulärer A2 -Raum. Beweis


(i) ⇒ (ii) [0, 1]N , j∈N τ| | |[0, 1] ist A2 -Raum J 2.4-12 K und metrisierbar J 2.4, A 20 K, also gem. (i) auch (X, τ) J Man übertrage die Metrik auf η[X] entlang η auf X! K. Nach (2.3,3) (b) ist (X, τ) separabel.

(ii) ⇒ (iii) ergibt sich aus 2.3-4 und (2.5,1).

(iii) ⇒ (i) Es sei B ⊆ τ eine abzählbare Basis von τ und τ

C := { (U, V ) ∈ B × B | U ⊆ V } (C ist als Teilmenge von B × B abzählbar.). Nach dem Lemma von Tychonoff 2.5-3 J in Verbindung mit 2.3-3 K ist (X, τ) normal, es existiert daher zu jedem (U, V ) ∈ C ein fU,V ∈ C(X, [0, 1]) mit J s. 2.5-10 K h i τ fU,V U ⊆ {0} und fU,V [X\V ] ⊆ {1}.

(fU,V )(U,V )∈C trennt Punkte von abgeschlossenen Mengen in (X, τ) J Für alle x ∈ X, A ∈ ατ , x 6∈ A gibt es ein V ∈ B mit x ∈ V ⊆ X\A, wegen der T3 -Eigenschaft also τ noch ein U ∈ B mit x ∈ U ⊆ U ⊆ V ⊆ X\A (s. 2.5-2). Es folgt (U, V ) ∈ C, τ| | fU,V (x) = 0 6∈ {1} ⊇ fU,V [A] . K und, da die Mengen {x} für jedes x ∈ X abgeschlossen in (X, τ) sind, auch Punkte in X. Die Auswertung e : X −→ [0, 1]C , e(x)((U, V )) := fU,V (x), der Familie (fU,V )(U,V )∈C ist nach 2.5-14 (a), (b) stetig und injektiv und gem. 2.5-14.1 (b) offen. Es sei h : [0, 1]C −→ [0, 1]N (bzw. hn : [0, 1]C −→ [0, 1]n , falls |C| = n) ein Homöomorphismus. Für |C| = n definiere man h : [0, 1]C −→ [0, 1]N durch ( hn (ϕ)(k + 1) für 0 ≤ k ≤ n − 1 h(ϕ)(k) := 0 sonst Fällen) h ein Homöomorphismus von für jedes ϕ ∈ [0, 1]C , k ∈ N.
Dann ist  (in beiden 
 C 
h [0, 1] τ |[0, 1] . Mit η := [0, 1]C , (U,V )∈C τ| | |[0, 1] auf h [0, 1]C , j∈N | | h ◦ e ist die Existenz einer topologischen Einbettung im Sinne von (i) gesichert. 2

2 Topologische Räume

170

Die Pseudometrisierbarkeit topologischer K-Vektorräume läßt sich lokal beschreiben (s. 2.5-16). Pseudometrisierbare topologische K-Vektorräume sind zwar i. a. nicht halbnormierbar (s. 1.1, A 17), ihre Topologie kann jedoch durch eine Pseudohalbnorm induziert werden (s. 2.5-16). Definition V sei ein K-Vektorraum, ν : V −→ R. ν Pseudohalbnorm (PN-1)

:gdw ν erfüllt

(PN-2)

ν(0) = 0  d| | (0) ∀ v ∈ V : ν(kv) ≤ ν(v) ∀k∈K 1

(PN-3)

∀ v, w ∈ V : ν(v + w) ≤ ν(v) + ν(w)

ν Pseudonorm (PN-4)

:gdw ν Pseudohalbnorm und ν erfüllt

∀ v ∈ V : ν(v) = 0 ⇒ v = 0

Beispiele (2.5,8) V sei ein K-Vektorraum, ν eine Pseudohalbnorm auf V . (a)

ν ist nichtnegativ  (PN-2) mit k = 0, (PN-1) , und
dν :

V × V −→ R+ (v, w) −→ ν(v − w)

ist eine translationsinvariante Pseudometrik auf V . dν ist genau dann eine Metrik, wenn ν Pseudonorm ist. (b) Pseudohalbnormen ν induzieren über dν i. a. keine Vektorraumtopologien (s. auch A 18 (b), A 19):  CR (R) −→ R+ ν: |f | f −→ sup 1+|f |

(c)

ist eine Pseudohalbnorm auf dem R-Vektorraum CR (R), τdν jedoch keine Vektorraumtopologie  A 17 . ∞   Für q ∈ ]0, 1[ sei +q := x ∈ CN j=0 |xj |q < ∞ (vgl. (1.1,3) für q ≥ 1). +q ist ein C-Untervektorraum von CN : Seien x, y ∈ +q , k ∈ C. Dann gilt ∞  j=0

|kxj |q = |k|q

∞  |xj |q < ∞ j=0

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen

171

und ∞ ∞ ∞     q 2 max{|xj |, |yj |} |xj + yj |q ≤ (|xj | + |yj |)q ≤ j=0

j=0

j=0

  ∞ ∞ ∞   ≤ 2q (|xj |q + |yj |q ) = 2q |xj |q + |yj |q < ∞. j=0

νq : +q −→ R, νq (x) :=

∞

q j=0 |xj |

j=0

j=0

ist eine Pseudonorm (s. auch 5.4-3, (5.4,2) (d)).

Satz 2.5-16 (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum. Äq (i)

(V, τ) ist pseudometrisierbar.

(ii) Uτ (0) hat eine abzählbare Basis. (iii) (V, τ) ist translationsinvariant pseudometrisierbar. (iv) ∃ ν : ν Pseudohalbnorm auf V , τdν = τ. Beweis (i) ⇒ (ii) und (iv) ⇒ (i) sind offensichtlich richtig. (ii) ⇒ (iii) Sei { Uj | j ∈ N } eine Basis von Uτ (0), die o. B. d. A.  induktive Auswahl  U0 = V,

 d| | (0)Uj ⊆ Uj , Uj+1 + Uj+1 + Uj+1 ⊆ Uj ∀ j ∈ N: K 1 d

erfüllt  Man wähle U , W ∈ Uτ (0), ε > 0 mit U + U + U ⊆ Uj , Kε | | (0)W ⊆ U d

und setze Uj+1 := Kε | | (0)W ! . f : V × V −→ R+ , definiert durch  $ 0 für v − w ∈ { Uj | j ∈ N } f (v, w) := 2−j−1 für v − w ∈ Uj \Uj+1 , ist translationsinvariant  v + x − (w + x) = v − w , und für alle v, w ∈ V ,  d| | (0) gilt f (kv, kw) ≤ f (v, w), denn für v − w ∈ ${ Uj | j ∈ N } ist wegen k∈K 1  d| | (0)Uj ⊆ Uj ebenfalls kv − kw ∈ ${ Uj | j ∈ N } und für v − w ∈ Uj \Uj+1 K 1 auch kv − kw ∈ Uj , also f (kv, kw) ≤ 2−j−1 . Man definiere nun d : V × V −→ R+ durch d(v, w) := 
 m m+2 f (vj , vj+1 ) m ∈ N, (v0 , . . . , vm+1 ) ∈ V , v0 = v, vm+1 = w . inf j=0

2 Topologische Räume

172

d ist offensichtlich eine translationsinvariante Pseudometrik auf V , und es gilt τd = τ: Zunächst ist τd ⊆ τ, denn für alle v ∈ V , j ∈ N liegt v + Uj in K2d−j (v)  w − v ∈ Uj =⇒ f (w, v) ≤ 2−j−1 =⇒ d(w, v) < 2−j . Die Umkehrung τd ⊇ τ erhält man wegen K2d−j−1 (v) ⊆ v + Uj (für alle v ∈ V , j ∈ N). Diese Ungleichung folgt aus ∀ m ∈ N ∀ (vj )0≤j≤m+1 ∈ V

m+2

: f (v0 , vm+1 ) ≤ 2

m 

f (vj , vj+1 ),

(∗)

j=0 −j−1 m+2 , v = v, v denn 0 m+1 = w, m für d(v, w) < 2 −j−1existiert ein (vj )0≤j≤m+1 ∈ V f (v , v ) < 2 , also j j+1 j=0

f (v, w) = f (v0 , vm+1 ) ≤ 2

m 

f (vj , vj+1 ) < 2−j

j=0

und somit w − v ∈ Uj . Der Beweis von (∗) erfolgt durch vollständige Induktion über m, wobei die Ungleichung (∗) für m = 0 richtig ist. Sei o. B. d. A. s := m j=0 f (vj , vj+1 ) = 0; für s = 0 $ ist f (vj , vj+1 ) = 0, also vj − vj+1 ∈ { Uk | k ∈ N } für jedes $j ∈ {0, . . . , m}, und somit wegen Uk+1 + Uk+1 + Uk+1 ⊆ Uk auch v0 − vm+1 ∈ { Uk | k ∈ N }, d. h. f (v0 , vm+1 ) = 0. Man setze nun    max i ≤ m ij=0 f (vj , vj+1 ) ≤ s/2 für f (v0 , v1 ) ≤ s/2 k := −1 sonst. Dann ist m j=k+2 f (vj , vj+1 ) ≤ s/2, denn für k = −1 wäre andernfalls auch noch k+1 j=0 f (vj , vj+1 ) ≤ s/2  k = −1 ist klar! . Nach Induktionsvoraussetzung ist die entsprechende Ungleichung in (∗) für jedes k < m erfüllt, insbesondere gilt f (v0 , vk+1 ) ≤ 2 2s und f (vk+2 , vm+1 ) ≤ 2 2s . Mit i0 := min{ i ∈ N | 2−i−1 ≤ s } erhält man für i0 ∈ {0, 1}, also s ≥ 2−2 : v0 − vm+1 ∈ U0 = V und somit f (v0 , vm+1 ) ≤ 1/2 ≤ 2s, und für i0 ≥ 2: v0 − vk+1 ∈ Ui0 , vk+2 − vm+1 ∈ Ui0 , vk+1 − vk+2 ∈ Ui0 , also v0 − vm+1 ∈ Ui0 + Ui0 + Ui0 ⊆ Ui0 −1 , woraus f (v0 , vm+1 ) ≤ 2−i0 ≤ 2s folgt. (iii) ⇒ (iv) Sei d die in (ii) ⇒ (iii) konstruierte Pseudometrik und ν : V −→ R+ definiert durch ν(v) := d(v, 0). ν ist eine Pseudohalbnorm auf V , denn ν(0) = d(0, 0) = 0, ν(v + w) = d(v + w, 0) = d(v, −w) ≤ d(v, 0) + d(0, −w) = ν(v) + d(w, 0) = ν(v) + ν(w) d  für alle v, w ∈ V m Translationsinvarianz von m f (kv , kv ) ≤ f und ν(kv) = d(kv, 0) ≤ i i+1 j=0 j=0 (vi , vi+1 )  s. o.  für d| |  (0), v ∈ V , (v0 , . . . , vm+1 ) ∈ V m+2 mit v0 = v, vm+1 = 0 alle k ∈ K 1  kv0 = kv, kvm+1 = 0 , also ν(kv) ≤ d(v, 0) = ν(v). Schließlich gilt auch

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen

173

d(v, w) = d(v − w, 0) = ν(v − w) = dν (v, w) für alle v, w ∈ V , insbesondere ✷ τdν = τd = τ.

Aufgaben zu 2.5 1. (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, B ∈ ατd , a, b ∈ R, a < b und y ∈ X\B. Man zeige: ∃ ga,b ∈ C(X, [a, b]) : ga,b (y) = a, ga,b [B] ⊆ {b}. 2. Die Moore-Ebene (M, µ) ist T3a -, also T3 -Raum, aber nicht T4 -Raum. (Hinweis: Man verwende 2.5-1 für D = Q × Q> , A = R × {0}!) 3. Die geschlitzte Ebene (R2 , σ) (vgl. (2.3,4) (c)) ist kein T4 -Raum. 4. Die Sorgenfrey-Gerade (R, τS ) (vgl. (2.3,2)) ist ein T4 -Raum. 5. Die (T-4)-Eigenschaft ist nicht multiplikativ. (Hinweis: (R × R, τS τS ), 2.5-1) 6. Die Lindelöf-Eigenschaft ist nicht multiplikativ. (Hinweis: 2.5-3) 7. (X, τ) sei ein topologischer Raum. Äq (i)

(X, τ) T2 -Raum

(ii) ∀ F ∀ x, y ∈ X : F Filter auf X, F →τ x, F →τ y ⇒ x = y 8. (X, τ) sei ein topologischer Raum. Äq (i)

∀ x ∈ X : {x} ∈ ατ

(ii) ∀ x, y ∈ X : x = y ⇒ ∃ U ∈ Uτ (x) ∃ V ∈ Uτ (y) : x ∈ V, y ∈ U 9. (X, τ) sei ein normaler topologischer Raum, A ∈ ατ \{X} und f ∈ C(A, [0, 1]). Man zeige: { F ∈ C(X, [0, 1]) | F
A = f } ist überabzählbar. 10. (X, τ) sei ein T4 -Raum, A ∈ ατ . (A, τ|A) ist T4 -Raum. 11. ( (X% i , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume, für jedes j ∈ I, a ∈ i∈I Xi sei
  Xi ∀ i ∈ I\{j} : xi = ai Xa,j := x ∈ i∈I

und ηa,j Man beweise:

   Xj −→+Xa,j  x :   x −→ i → a i

für i = j sonst

, .

2 Topologische Räume

174 (a)

  ηa,j ist ein Homöomorphismus bzgl. τj ,

(b) (∀ i ∈ I : (Xi , τi ) T2 -Raum)

=⇒

i∈I

  τi Xa,j .

Xa,j ∈ α

i∈I

τi

12. (X, τ) sei ein topologischer Raum, f, g : X −→ C und z ∈ C\{0}. Man zeige: (a)

Tr(f · g) ⊆ Tr f ∩ Tr g,

Tr(f + g) ⊆ Tr f ∪ Tr g

(Gilt Gleichheit für f , g ∈ C(X)?) (b) Tr(zf ) = Tr f 13. (V, N ) sei ein halbnormierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C}, f : V −→ K, k ∈ K\{0} und v0 ∈ V . Für die Funktionen

V −→ K V −→ K ϕ: ψ: v −→ f (v − v0 ), v −→ f (kv) gilt Tr ϕ = v0 + Tr f und Tr ψ =

1 k

Tr f .

$ 14. (X, τ) sei ein T2 -Raum, (Sj )j∈N ∈ (PX)N , S = j∈N Sj und 
 ∆S := f ∈ Sj ∀ k, j ∈ N : f (j) = f (k) . j∈N

Es gilt: ∆S ∈ α

j∈N

τ|Sj .

15. (X, τ), (X, σ) seien T2 -Räume, f : X −→ X (τ, σ)-stetig und τ ⊇ σ oder τ ⊆ σ. Man beweise Fix f ∈ ατ . 16. X = ∅, I = ∅ seien Mengen, (X, τ), (Xi , τi ) topologische Räume, fi : X −→ Xi für % alle i ∈ I und e : X −→ i∈I Xi die Auswertung von (fi )i∈I .   τi e[X] ) (a) Äq (i) e : X −→ e[X] Homöomorphismus (bzgl. τ, i∈I

(ii)

τ Initialtopologie von ((Xi , τi ), fi )i∈I , (fi )i∈I trennt Punkte in X

(b) (X, τ) T1 -Raum, Xi = ∅, fi ∈ C(X, Xi ) für alle i ∈ I, (fi )i∈I trenne Punkte von abgeschlossenen in (X, τ). e : X −→ e[X] ist ein Homöomorphismus Mengen   (bzgl. τ, i∈I τi e[X] ). |f | 17. ν : CR (R) −→ R+ , ν(f ) := sup 1+|f | , ist eine Pseudonorm, (CR (R), τdν ) ist kein topologischer R-Vektorraum.

18. ν sei eine Pseudohalbnorm auf dem K-Vektorraum V .   (a) ∀ k ∈ K ∀ v ∈ V : ν(|k|v) = ν(kv) ≤ [|k|] + 1 ν(v) ([r] := max{ z ∈ Z | z ≤ r } für jedes r ∈ R.) τdν , τdν )-stetig, für jedes k ∈ K (b) Addition und Subtraktion in V sind (τdν ist die Multiplikation mk : V −→ V , mk (v) := kv, L-stetig bzgl. (dν , dν ) mit Lipschitzkonstante [|k|] + 1. (c)

ν ist L-stetig bzgl. (dν , d| | ) mit Lipschitzkonstante 1.

2.5 Trennungseigenschaften, Zerlegung der Eins, Metrisationen 19. (a)

175

ν sei eine Pseudohalbnorm auf dem K-Vektorraum V .

Äq (i) (V, τdν ) topologischer K-Vektorraum (ii) ∀ v ∈ V ∀ (kj )j ∈ K N : (kj )j →τ | | 0 ⇒ (ν(kj v))j →τ | | 0   (b) +q , τdνq ist für jedes q ∈ ]0, 1[ ein topologischer C-Vektorraum. 20. W sei ein K-Untervektorraum des K-Vektorraums V , ν eine Pseudohalbnorm auf V . (a)

Die Funktion


νW :

V /W −→ R v + W −→ inf{ ν(v + w) | w ∈ W }

ist eine Pseudohalbnorm auf V /W , die Quotientenpseudohalbnorm zu ν bzgl. W . (Hinweis: Vgl. 1.1-6 (d).) (b) τdνW = τdν /RW , wobei RW die durch (x, y) ∈ RW

:gdw

x−y ∈W

auf V definierte Kongruenzrelation ist. (c)

νW Pseudonorm

⇐⇒ W ∈ ατdν

(d) A := { v ∈ V | ν(v) = 0 } ist ein K-Untervektorraum von V und νA eine Pseudonorm auf V /A , νA (v + A) = ν(v) für jedes v ∈ V .   ( V /A , νA heißt zu (V, ν) assoziierter pseudonormierter Raum.) (Hinweis zu (b), (c), (d): 2.4, A 27 und 1.1-6 (c), (d).) 21. (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, M ⊆ V K-Untervektorraum von V und S ⊆V. $ τ (a) S = { S + U | U ∈ Uτ (0) } (b) (V, τ) T2 -Raum

⇐⇒ {0} ∈ ατ

(c)

(V, τ) T3 -Raum   (d) V /M , τ/RM T2 -Raum (s. 2.4, A 18 (b))

⇐⇒ M ∈ ατ

3 Vollständige pseudometrische Räume In der reellen Analysis spielt das Cauchysche Konvergenzkriterium für Folgen (xj )j (xj )j konvergent in (R, τ| | ) ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N ∀ n, m ≥ nε : |xn − xm | < ε eine wichtige Rolle, gestattet es doch ggf. die Feststellung der Konvergenz ohne Kenntnis des Limes der Folge. Pseudometrische Räume, in denen dieses (sinngemäß formulierte) Konvergenzkriterium erfüllt ist, nennt man vollständig. Bedeutende Eigenschaften vollständiger pseudometrischer Räume sind in Cantors Durchschnittssatz (3.1-3), dem Baireschen Kategoriesatz (3.1-5.1) und dem Banachschen Fixpunktsatz (Abschnitt 3.4) enthalten. Einige Probleme der vollständigen Pseudometrisierbarkeit topologischer Räume werden in 3.3 behandelt, nachdem die natürliche Einbettung metrischer Räume in vollständige metrische Räume in 3.2 erfolgt ist. Untersuchungen zur Summierbarkeit in normierten K-Vektorräumen (vgl. Abschnitt 1.2), deren zugehöriger metrischer Raum vollständig ist (sog. Banach-Räume), werden in 3.5 fortgesetzt und in 3.6 zur Charakterisierung der Hilbert-Räume verwendet.

3.1 Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken Die o. a., die Konvergenz von Folgen in (R, τ| | ) charakterisierende Eigenschaft wird nach Cauchy benannt: Definition Es sei (X, d) ein pseudometrischer Raum und (xj )j ∈ X N . (xj )j Cauchy-Folge (auch Fundamentalfolge) in (X, d) :gdw ∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N ∀ n, m ≥ nε : d(xn , xm ) < ε Eine sinngemäße Übertragung dieses Begriffs auf Folgen in topologischen Räumen ist i. a. nicht möglich, da er auf der Gleichförmigkeit der ε-Umgebungen in (X, d)

3.1 Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken

177

gegründet ist. In pseudometrischen Räumen sind konvergente Folgen auch CauchyFolgen  Für (xj )j →d ξ, ε > 0 wähle man nε ∈ N so, daß d(xj , ξ) < ε/2 für jedes j ≥ nε gilt. Es folgt dann d(xn , xm ) ≤ d(xn , ξ) + d(ξ, xm ) < ε für alle n, m ≥ nε . ; umgekehrt sind Cauchy-Folgen zwar beschränkt (vgl.  1 A 1 (a)), im jedoch nicht notwendig konvergent, wie das einfache Beispiel der Folge j+1 j∈N   metrischen Raum ]0, 1], d| | zeigt. Ein Konvergenzkriterium für Cauchy-Folgen läßt sich mit Hilfe von Häufungspunkten dieser Folgen gewinnen (vgl. 3.1-1). Definition (X, τ) sei ein topologischer Raum, M : A −→ X ein Netz in X und ξ ∈ X. ξ Häufungspunkt von M in (X, τ) :gdw ∀ U ∈ Uτ (ξ) ∀ α ∈ A ∃ β ∈ A : β ≥ α und M (β) ∈ U. Häufungspunkte von Netzen M : A −→ X dürfen nicht mit Häufungspunkten der Menge { M (α) | α ∈ A } (vgl. Abschnitt 2.1) verwechselt werden: Die konstante Folge (1)j∈N hat in (R, τ| | ) den Häufungspunkt 1 und {1}
τ | | = ∅ (s. auch A 2). Zur Charakterisierung der Häufungspunkte von Netzen betrachte man 4.3-2! Satz 3.1-1 Es sei (xj )j ∈ X N eine Cauchy-Folge im pseudometrischen Raum (X, d). Äq (i)

(xj )j konvergent in (X, d)

(ii) (xj )j hat eine in (X, d) konvergente Teilfolge (iii) (xj )j hat einen Häufungspunkt in (X, d) Beweis (i) ⇒ (ii) ist klar.   (ii) ⇒ (iii) Sei xνj j eine gegen ξ in (X, d) konvergente Teilfolge von (xj )j . Für jedes U ∈ Uτd (ξ) gibt es dann ein jU ∈ N mit ∀ j ≥ jU : xνj ∈ U. Zu k ∈ N erhält man mit m := max{k, jU } demnach xνm ∈ U und νm ≥ k  Teilfolge! . ξ ist somit Häufungspunkt der Folge (xj )j . Man beachte, daß für diese Implikationen die Cauchy-Eigenschaft der Folge (xj )j nicht erforderlich ist (s. auch A 3)! Der eigentliche Wert obiger Äquivalenz besteht daher in (iii) ⇒ (i) Sei ξ ein Häufungspunkt von (xj )j in (X, d) und ε > 0. Man wähle ein

3 Vollständige pseudometrische Räume

178 nε ∈ N mit

∀ n, m ≥ nε : d(xn , xm )
0. Man wähle ein jε ∈ N mit    max |xj,i − xk,i | für q = ∞  ∀ j, k ≥ jε : dq (xj , xk ) = 1≤i≤n < ε.  n |x − x |q 1/q für q < ∞  j,i k,i i=1

3.1 Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken

179

Insbesondere gilt somit für jedes i ∈ {1, . . . , n} ∀ j, k ≥ jε : |xj,i − xk,i | < ε, (xj,i )j ist also eine Cauchy-Folge in (R, d| | ) (bzw. (C, d| | )) und daher konvergent, etwa (xj,i )j →d| | ξi . Hieraus folgt (vgl. (1.2,1) (a)) die Konvergenz von (xj )j in (Rn , dq ) (bzw. (Cn , dq )) gegen (ξ1 , . . . , ξn ). (b) X sei eine nichtleere Menge, (Y, d) vollständiger pseudometrischer Raum. (B(X, Y ), d∞ ) ist vollständig: Sei (fj )j ∈ B(X, Y )N eine Cauchy-Folge in (B(X, Y ), d∞ ). Für jedes x ∈ X ist dann auch (fj (x))j eine Cauchy-Folge in (Y, d).  Zu jedem ε > 0 gibt es ein nε ∈ N mit d∞ (fn , fm ) < ε für alle n, m ≥ nε , also d(fn (x), fm (x)) < ε für alle x ∈ X, n, m ≥ nε .  Man wähle ein yx ∈ Y als d-Limes von (fj (x))j aus und setze
X −→ Y ϕ: x −→ yx . Dann ist ϕ ∈ B(X, Y ) und (fj )j →d∞ ϕ: Sei ε > 0, nε ∈ N mit d∞ (fn , fm ) < ε für alle n, m ≥ nε . Für jedes x ∈ X, n, m ≥ nε gilt dann d(fn (x), ϕ(x)) ≤ d(fn (x), fm (x)) + d(fm (x), ϕ(x)) ≤ d∞ (fn , fm ) + d(fm (x), ϕ(x)) < ε + d(fm (x), ϕ(x)), woraus wegen der Konvergenz (fm (x))m →d ϕ(x) folgt ∀ n ≥ nε ∀ x ∈ X : d(fn (x), ϕ(x)) ≤ ε, also (fj )j →d∞ ϕ. Für alle x, x ∈ X erhält man weiter d(ϕ(x), ϕ(x )) ≤ d(ϕ(x), fnε (x)) + d(fnε (x), fnε (x )) + d(fnε (x ), ϕ(x )) ≤ 2ε + sup{ d(fnε (y), fnε (y  )) | y, y  ∈ X }, also ϕ ∈ B(X, Y ).

Vollständigkeit läßt sich ebenso wie die Cauchy-Eigenschaft nicht allein mit topologischen Mitteln beschreiben (s. auch A 1 (b)):  1  j ∈ N und d := d| |
X × X. Es gilt τd = τdis = τd (ddis ist die Sei X := j+1

dis

diskrete Metrik auf X gem. (1.1,1) (b)), (X, ddis ) ist vollständig  Cauchy-Folgen in (X, ddis ) sind schließlich  1 konstant, also konvergent! , und (X, d) ist nicht vollständig in (X, d) ist nicht konvergent! . Ein weiteres Beispiel ist  Die Cauchy-Folge j+1 j in A 6 angegeben. In der Definition der Vollständigkeit pseudometrischer Räume wird „nur“ verlangt, daß jede Cauchy-Folge konvergent ist. Ebenso natürlich ist die scheinbar weitergehende

3 Vollständige pseudometrische Räume

180

Forderung nach der Konvergenz aller (analog definierten) Cauchy-Netze bzw. CauchyFilterbasen : Definitionen Es sei (X, d) ein pseudometrischer Raum, B eine Filterbasis auf X und M : A −→ X ein Netz in X. B Cauchy-Filterbasis (auch Fundamentalfilterbasis) auf (X, d)

:gdw

∀ ε > 0 ∃ B ∈ B ∀ x, y ∈ B : d(x, y) < ε M Cauchy-Netz (auch Fundamentalnetz) in (X, d)

:gdw

∀ ε > 0 ∃ αε ∈ A ∀ α, β ≥ αε : d(M (α), M (β)) < ε Satz 3.1-2 Es sei (X, d) ein pseudometrischer Raum. Äq (i)

(X, d) vollständig

(ii) ∀ B : B Cauchy-Filterbasis auf (X, d) ⇒ B konvergent in (X, d) (iii) ∀ M : M Cauchy-Netz in (X, d) ⇒ M konvergent in (X, d) Beweis (i) ⇒ (ii) Sei B eine Cauchy-Filterbasis auf (X, d) und (Bj )j ∈ B N (induktiv gewählt) mit ∀ j ∈ N ∀ x, y ∈ Bj : Bj+1 ⊆ Bj und d(x, y) < 21j . % Dann ist jede Folge (xj )j ∈ j∈N Bj eine Cauchy-Folge in (X, d)  Für 1/2j < ε gilt d(xk , xl ) < 1/2j < ε für alle k, l ≥ j. , also existiert gem. (i) ein lx ∈ X mit (xj )j →d lx . Es folgt B →d lx : Sei ε > 0, jε ∈ N mit 1/2jε < ε/2 und d(xj , lx ) < ε/2 für alle j ≥ jε. Danngilt Bjε ⊆ Kεd (lx ).  Für jedes y ∈ Bjε erhält man d(y, lx ) ≤ d y, xjε + d xjε , lx < (1/2jε ) + (ε/2) < ε.  (ii) ⇒ (iii) Sei M : A −→ X ein Cauchy-Netz in (X, d) mit der Endenfilterbasis EM = { M(α) | α ∈ A }, M(α) := { M (β) | β ≥ α }. EM ist eine CauchyFilterbasis auf (X, d), also gem. (ii) konvergent, EM →d x für ein x ∈ X. Somit gilt auch M →d x  1.2, A 16 (c) (ii) . (iii) ⇒ (i) ist klar.

✷

Eine weitere wichtige Charakterisierung der Vollständigkeit ergibt sich als Verallgemeinerung aus einer Feststellung Cantors (1880) über (R, d| | ):

3.1 Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken

181

Satz 3.1-3 (Cantors Durchschnittssatz, Hausdorff, 1914, Kuratowski, 1930) (X, d) sei ein pseudometrischer Raum. Äq (i)

(X, d) vollständig  N (ii) ∀ (Aj )j ∈ ατd \{∅} :    (δ(Aj ))j →d| | 0, ∀ j ∈ N : Aj+1 ⊆ Aj ⇒ Aj = ∅ j∈N

Beweis (i) ⇒ (ii) Für jedes j ∈ N ist Aj := { Ak | k ≥ j } eine Cauchy-Filterbasis auf (X, d). Gem. (i) und 3.1-2 gilt A0 →d x für ein x ∈ X, also auch Aj →d x für jedes j ∈ N, woraus mit 2.1-3 (b)   τd Aj = Aj x∈ j∈N

j∈N

folgt. (ii) ⇒ (i) Es sei (xj )j ∈ X N eine Cauchy-Folge in (X, d). Man wähle (induktiv) für jedes j ∈ N ein νj ∈ N mit   1 . ∀ j ∈ N : νj+1 > νj und ∀ k ≥ νj : d xk , xνj < 2j+1        d j xν für jedes j ∈ N  d x, xν  d j+1 xν ⊆K ≤ 1/2j+1 =⇒ Dann gilt K j+1 j j+1 1/2 1/2       d x, xνj ≤ d x, xνj+1 + d xνj+1 , xνj < (1/2j+1 ) + (1/2j+1 ) = 1/2j , und    d   $  d j xν . Somit  j xν ≤ 1/2j−1 gibt es gem. (ii) ein x ∈ j∈N K wegen δ K j j 1/2 1/2     folgt xνj j →d x, die Cauchy-Folge (xj )j hat also eine konvergente Teilfolge xνj j . Nach 3.1-1.2 ist (X, d) vollständig. ✷ Korollar 3.1-3.1 (Cantors Durchschnittssatz) (X, d) sei ein metrischer Raum. Äq (i)

(X, d) vollständig  N (ii) ∀ (Aj )j ∈ ατd \{∅} :    Aj = 1 (δ(Aj ))j →d| | 0, ∀ j ∈ N : Aj+1 ⊆ Aj ⇒ j∈N

Beweis $ $ j∈N Aj enthält höchstens ein Element: Für alle x, y ∈ j∈N Aj , jedes j ∈ N ist ✷ d(x, y) ≤ δ(Aj ), also folgt d(x, y) = 0. Da d eine Metrik ist, gilt x = y.

3 Vollständige pseudometrische Räume

182

Die Bedeutung vollständiger (pseudo)metrischer Räume (X, d) für die Analysis und Funktionalanalysis liegt u. a. darin (s. 3.1-5), daß in ihnen – mit Ausnahme der leeren Menge – keine offene Teilmenge Vereinigung abzählbar vieler in (X, τd ) nirgendsdichter Mengen (s. 2.2) ist. Zum Nachweis der Existenz von Elementen mit einer gewissen Eigenschaft realisiert man in derartigen Räumen, daß die Menge ihrer Elemente ohne diese Eigenschaft Vereinigung abzählbar vieler nirgendsdichter Mengen ist, den Raum daher nicht ganz ausschöpft. Ein typisches Beispiel hierfür ist (3.1,3), Seite 188. Definitionen (X, τ) sei ein topologischer Raum, S ⊆ X. S Menge 1. Kategorie in (X, τ) :gdw ∃ (Sj )j ∈ (PX)N : S =

Sj und ∀ j ∈ N : Sj nirgendsdicht in (X, τ) j∈N

S Menge 2. Kategorie in (X, τ) :gdw S nicht Menge 1. Kategorie in (X, τ) (X, τ) Baire-Raum

:gdw ∀ O ∈ τ\{∅} : O Menge 2. Kategorie in (X, τ)

Jeder offene, nichtleere Unterraum (O, τ|O) eines Baire-Raums ist wieder ein BaireRaum: Jedes P ∈ τ|O\{∅} ⊆ τ\{∅} ist eine Menge 2. Kategorie in (X, τ), also gem. A 8 auch in (O, τ|O) (s. auch A 11 und 3.3-2.1). Teilmengen von Mengen 1. Kategorie sind ebenfalls Mengen 1. Kategorie: # Für T ⊆ S, # S = j∈N Sj , Sj nirgendsdicht in (X, τ) für jedes j ∈ N gilt T = j∈N (T ∩ Sj ), wobei die T ∩ Sj nirgendsdicht in (X, τ) gem. 2.2, A 15 sind. Satz 3.1-4 (X, τ) sei ein topologischer Raum. Äq (i)

(X, τ) Baire-Raum   $ τ τ (ii) ∀ (Oj )j ∈ τ N : ∀ j ∈ N : Oj = X ⇒ j∈N Oj = X   # ◦τ ◦ =∅ (iii) ∀ (Aj )j ∈ ατN : ∀ j ∈ N : Aj τ = ∅ ⇒ j∈N Aj

Beweis

$ τ τ (i) ⇒ (ii) Sei (Oj )j ∈ τ N , ∀ j ∈ N : Oj = X und j∈N Oj = X. Dann $ τ ist O := X\ j∈N Oj ∈ τ\{∅} und Pj := O\Oj nirgendsdicht in (X, τ)  Pj ⊆  τ ◦ τ τ X\Oj =⇒ Pj ⊆ X\Oj =⇒ Pj $τ ⊆ (X\Oj#)◦τ = X\Oj = ∅ gem. 2.1-1 (a)  für jedes j ∈ N. Wegen O = O\ j∈N Oj = j∈N Pj erweist sich O als Menge 1. Kategorie in (X, τ).

3.1 Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken

183

◦

(ii) ⇒ (iii) Sei (Aj )j ∈ ατN , Aj τ = ∅ und Oj := X\Aj für alle j ∈ N. Da Oj ∈ τ, τ ◦ Oj = X\Aj τ = X  gem. 2.1-1 (a)  für jedes j ∈ N gilt, erhält man mit (ii) ◦τ  ◦τ   τ  ∅ = X\ Oj = X\ Oj = Aj j∈N

j∈N

j∈N

 gem. 2.1-1 (a) . (iii) ⇒ (i) Sei (Sj )j∈ (PX)N , Sj nirgendsdicht in (X, τ) für jedes j ∈ N. Nach (iii) # # τ ◦ τ Sj τ = ∅ und daher O j∈N Sj für alle O ∈ τ\{∅}. Es folgt gilt dann j∈N # ✷ O = j∈N Sj für jedes O ∈ τ\{∅}. Satz 3.1-5 (X, d) sei ein vollständiger pseudometrischer Raum. (X, τd ) ist ein Baire-Raum. Beweis τ

Es sei (Oj )j ∈ τ N , Oj d = X für alle j ∈ N, x ∈ X und ε > 0. Wegen O0 gibt es ein x0 ∈ X, 0 < ε0 < ε/4 mit

τd

=X

d (x) ∩ O0 . Kεd0 (x0 ) ⊆ Kε/4

Sind x0 , . . . , xk ∈ X, ε0 , . . . , εk ∈ R so ausgewählt, daß Kεdj (xj ) ⊆ Kεdj−1 /4 (xj−1 ) ∩ Oj und 0 < εj < εj−1 /4 für jedes&j ∈ {1, ' . . . , k} gilt, so kann man wegen Ok+1 εk ein xk+1 ∈ X und ein εk+1 ∈ 0, 4 finden mit

τd

=X

Kεdk+1 (xk+1 ) ⊆ Kεdk /4 (xk ) ∩ Ok+1 . Man erhält insgesamt für jedes j ∈ N  d   d (xj ) ⊆ Kεd (xj ) und δ K  (x ) ≤ εj < Kεdj+1 (xj+1 ) ⊆ K j j εj /2 εj /2 Nach Cantors Durchschnittssatz 3.1-3 existiert ein ξ ∈ ξ∈



Kεdj (xj )

⊆

d Kε/4 (x)

j=1

j∈N

und somit gilt

∩ O0 ∩

∞  

$

j∈N Oj

τd

$

d j∈N Kεj /2 (xj ).

ε 4j+1

.

Es folgt

  d (x) ∩ Oj , K dεj−1 (xj−1 ) ∩ Oj ⊆ Kε/4 4

= X. Nach 3.1-4 folgt die Behauptung.

Der folgende Kategoriesatz wurde von Baire (1889) für (R, d| | ) bewiesen.

j∈N

✷

3 Vollständige pseudometrische Räume

184

Korollar 3.1-5.1 (Bairescher Kategoriesatz, Hausdorff, 1914) (X, d) sei ein vollständiger pseudometrischer Raum. X ist eine Menge 2. Kategorie in (X, τd ). ✷ Mit Hilfe von 3.1-5 kann in vielen Fällen festgestellt werden, daß ein topologischer Raum (X, τ) ein Baire-Raum ist, nämlich für (X, τ) ∼ = (Y, τd ), wobei (Y, d) top.

vollständiger pseudometrischer Raum ist. Definitionen (X, τ) sei ein topologischer Raum, S ⊆ X. S Fσ -Menge in (X, τ)

:gdw ∃ (Aj )j ∈ ατN : S =

S Gδ -Menge in (X, τ)

:gdw ∃ (Oj )j ∈ τ N : S =

Aj j∈N



Oj

j∈N

(σ steht für Summe – das früher für Vereinigung verwendete Wort –, δ für Durchschnitt abzählbar vieler Mengen.) Offensichtlich ist S genau dann eine Fσ -Menge, wenn X\S Gδ -Menge ist. Weitere Möglichkeiten der Charakterisierung von Baire-Räumen bietet der Satz 3.1-6 (X, τ) sei ein topologischer Raum. Äq (i)

(X, τ) Baire-Raum τ

(ii) ∀ S ∈ PX : S Menge 1. Kategorie in (X, τ) ⇒ X\S = X (iii) ∀ S ∈ PX : S Menge 1. Kategorie in (X, τ), S Fσ -Menge in (X, τ) τ ⇒ X\S = X # # ◦ τ (iv) ∀ (Aj )j ∈ ατN : X = j∈N Aj ⇒ j∈N Aj τ = X Beweis (i) ⇒ (ii) Ist S ⊆ X eine Menge 1. Kategorie in (X, τ), so auch die Teilmenge τ τ S ◦τ = X\(X\S)  2.1-1 (a) . Gem. (i) muß daher X\S = X sein. (ii) ⇒ (iii) ist klar.

# (iii) ⇒ (iv) Es sei (Aj )j ∈ ατN , X = j∈N Aj . Für jedes j ∈ N ist die Menge # ◦ Sj := Aj \Aj τ ∈ ατ nirgendsdicht in (X, τ)  2.2, A 14 , also ist S := j∈N Sj eine # τ ◦ τ Fσ -Menge von 1. Kategorie in (X, τ). Nach (iii) gilt daher X = X\S = j∈N Aj τ # ◦  X\S ⊆ j∈N Aj τ .

3.1 Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken (iv) ⇒ (i) Sei O ∈ τ\{∅} eine Menge 1. Kategorie in (X, τ), etwa O = wobei Sj für jedes j ∈ N nirgendsdicht in (X, τ) ist. # τ Wegen X = (X\O) ∪ j∈N Sj folgt gem. (iv) 

X = (X\O)◦τ ∪

Sj

τ ◦τ

τ

185 #

j∈N Sj ,

 τ ◦ τ = (X\O)◦τ = X\ O τ = X.


j∈N

✷

Im folgenden wird die Verwendbarkeit der Baire-Eigenschaft in einigen Situationen aufgezeigt. Satz 3.1-7 (X, τ) sei ein Baire-Raum, ∅ = F ⊆ RX eine Menge unterhalbstetiger Funktionen auf X. Es gilt: (a) ∀ f ∈ F ∃ P ∈ τ\{∅} : supx∈P f (x) < ∞ (d. h. unterhalbstetige Funktionen sind auf einer nichtleeren offenen Teilmenge nach oben beschränkt). (b) Ist F punktweise nach oben beschränkt (d. h. ∀ x ∈ X : supf ∈F f (x) < ∞), so auch gleichmäßig nach oben beschränkt auf einer nichtleeren, offenen Teilmenge (d. h. ∃ P ∈ τ\{∅} : sup{ f (x) | f ∈ F, x ∈ P } < ∞). Beweis Zu (a) Für jedes j ∈ N ist Aj := { x ∈ X | f (x) ≤ j } ∈ ατ  2.4-2 , und es gilt # ◦ X = j∈N Aj . Nach 3.1-6 (iv) muß Aj τ = ∅ für ein j ∈ N sein. Zu (b) Für jedes x ∈ X sei g(x) := supf ∈F f (x). Gem. 2.4-14 (b) ist g : X −→ R ✷ unterhalbstetig, also nach (a) supx∈P g(x) < ∞ für ein P ∈ τ\{∅}. Korollar 3.1-7.1 (V,  ) sei ein normierter R-Vektorraum, C ∈ τ  \{∅} konvex, f : C −→ R konvex und unterhalbstetig. (V, d  ) vollständig

=⇒ f stetig

Beweis (V, τ  ) ist ein Baire-Raum  3.1-5 , also auch (C, τ  |C). Aus 3.1-7 (a) ergibt sich die Existenz einer nichtleeren, offenen Teilmenge P von C, für die supx∈P f (x) < ∞ gilt, und aus 2.4-20 erhält man die Stetigkeit von f in jedem Punkt von P . Nach 2.4-20.1 ist f stetig. ✷

3 Vollständige pseudometrische Räume

186

Aussagen wie die in 3.1-7 (b) werden als Prinzipien von der gleichmäßigen Beschränktheit bezeichnet (vgl. auch 6.2-5). Korollar 3.1-7.2 (V,  V ), (W,  W ) seien normierte R-Vektorräume, ∅ = F ⊆ W V eine Menge stetiger, R-linearer Abbildungen, beschränkt ist (d. h. für jedes x ∈ V  die punktweise  ist supf ∈F f (x)W < ∞). Ist V, d V vollständig, so existiert eine Umgebung P ∈ Uτ V (0) ∩ τ V ,

d

P ⊆ K1

V

(0),

auf der F gleichmäßig beschränkt ist (d. h. sup{ f (x)W | f ∈ F, x ∈ P } < ∞). Beweis N := {  W ◦ f | f ∈ F } ist eine nichtleere, punktweise nach oben beschränkte Menge stetiger und somit nach 3.1-7 (b) auf einer offenen Teilmenge   Funktionen Q = ∅ von V, τ V gleichmäßig nach oben beschränkt durch ein S > 0, d. h. sup{ g(x) | g ∈ N , x ∈ Q } ≤ S. Sei x0 ∈ Q und R := Q − x0 . Dann ist R ∈ τ V und für alle x ∈ Q, f ∈ F gilt ( W ◦ f )(x − x0 ) = f (x − x0 )W = f (x) − f (x0 )W ≤ f (x)W + f (x0 )W ≤ 2S. d

Mit P := R ∩ K1

V

✷

(0) erhält man die Behauptung.

Eine typische Anwendung der Baire-Eigenschaft in der reellen Analysis ist der Existenznachweis für im Intervall [0, 1] nirgends differenzierbare, stetige Funktionen. K. Weierstraß gab wohl als erster eine derartige Funktion f an: f (x) :=

∞ 

rj cos(2m + 1)j πx,

m ∈ N, r ∈ ]0, 1[, r >

1 2m+1



 1 + 32 π .

j=0

Weitere bekannte Beispiele sind ähnlich kompliziert. Dadurch entsteht die Vermutung, daß nirgends differenzierbare Funktionen in C([0, 1]) nur sehr selten sind. Aus topologischer Sicht trifft jedoch das Gegenteil hiervon zu (Einzelheiten in (3.1,3)), wenn man den Banach-Raum (C([0, 1]),  ∞ ) zugrunde legt (St. Banach, 1931). Definition (V,  ) sei ein normierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C}. (V,  ) Banach-Raum

:gdw (V, d  ) vollständig

3.1 Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken

187

Beispiele (3.1,2) (a)

Für jedes n ∈ N\{0}, 1 ≤ q ≤ ∞ sind (Rn ,  q ), (Cn ,  q ) Banach-Räume  (3.1,1) (a) . Mit 1.2-5 erweist sich jeder endlichdimensionale normierte K-Vektorraum als Banach-Raum.

(b) X sei eine nichtleere Menge, (Y,  ) ein Banach-Raum. (B(X, Y ),  ∞ ) ist ein Banach-Raum: Die Norm  ∞ induziert die Metrik d∞ auf B(X, Y )  1.1, A 1 (b) (ii)  und nach (3.1,1) (b) ist (B(X, Y ), d∞ ) vollständig. Insbesondere ist (+∞ ,  ∞ ) ein Banach-Raum. (c)

(X, τ) mit X = ∅ sei ein topologischer Raum, (Y,  ) ein Banach-Raum, Cb (X, Y ) = C(X, Y ) ∩ B(X, Y ). (Cb (X, Y ),  ∞ ) ist ein Banach-Raum:     Ist (fj )j eine Cauchy-Folge in Cb (X, Y ), d ∞ , so auch in B(X, Y ), d ∞ . Es gibt daher ein ϕ ∈ B(X, Y ) mit (fj )j →d ∞ ϕ.   Da Cb (X, Y ) in B(X, Y ), τ ∞ abgeschlossen ist  2.4, A 39 , gehört ϕ zu Cb (X, Y )  2.1-3.1 . Insbesondere ist (C([a, b]),  ∞ ) für a, b ∈ R, a < b ein Banach-Raum.

(d) Für q, a, b ∈ R, a < b, 1 ≤ q ist (CR ([a, b]),  q ) kein Banach-Raum: Es sei c ∈ ]a, b[ und j0 ∈ N\{0} mit c − (1/j0 ) > a gewählt. Für jedes j ≥ j0 ist  [a, b] −→ [0, 1]     1  für a ≤ x ≤ c − j+1  0 fj : für c < x ≤ b x −→ 1     1/q   1 (j + 1)x − (j + 1)c + 1 für c − j+1 0. Man wähle ein p(x) ∈ C[x] mit d ∞ (f, p
[0, 1]) < ε/2  2.2, A 3  und dazu ϕ ∈ C([0, 1]) mit ϕ∞ ≤ ε/2 als „Sägezahn“ (vgl. Abb. 3.1-1) mit den Steigungen ±(j + 1 + 3p
[0, 1]∞ ). Es ist dann g := p
[0, 1] + ϕ ' 1]∞ + ϕ∞ < ε ' ∈ C([0,& 1]), f − g∞ ≤ f& − p
[0, und g ∈ Rj : Für jedes x ∈ 0, 1 − 1j wähle man ein h ∈ 0, 1j mit den Eigenschaften |p(x + h) − p(x)|/h ≤ 2p
[0, 1]∞ und |ϕ(x + h) − ϕ(x)|/h = j + 1 + 3p
[0, 1]∞ .

3.1 Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken

189

y ε 2

ϕ

0

1

− 2ε

x

Abbildung 3.1-1

Dann folgt

(c)

|p(x + h) − p(x) + ϕ(x + h) − ϕ(x)| |g(x + h) − g(x)| = h h |ϕ(x + h) − ϕ(x)| |p(x + h) − p(x)| − ≥ h h  ≥ j + 1 + 3p
[0, 1]∞ − 2p
[0, 1]∞ > j.   Daß Lj nirgendsdicht in C([0, 1]), τ ∞ ist, begründet man analog.   N ([0, 1]) ist dicht und Menge 2. Kategorie in C([0, 1]), τ ∞ : Es ist   C([0, 1])\N ([0, 1]) = f ∈ C([0, 1]) ∃ x ∈ ]0, 1[ : f differenzierbar in x   ⊆ f ∈ C([0, 1]) ∃ x ∈ [0, 1[ : f rechtsseitig differenzierbar in x ⊆

Rj . j∈N\{0}

  # Mit j∈N\{0} Rj ist auch C([0, 1])\N ([0, 1]) Menge 1. Kategorie in C([0, 1]), τ ∞ .     Da C([0, 1]), d ∞ vollständiger metrischer Raum  (3.1,2) (c) , C([0, 1]), τ ∞ also Baire-Raum  3.1-5  ist, folgt mit 3.1-6 die Dichtigkeit von N ([0, 1]). Nach 3.1-5.1 ist  N ([0, 1]) als Komplement einer Menge 1. Kategorie eine Menge 2. Kategorie in C([0, 1]), τ ∞ , weil andernfalls C([0, 1]) eine Menge 1. Kategorie wäre.

Eine einfache Anwendung des in 3.1-7.2 angegebenen Prinzips von der gleichmäßigen Beschränktheit ist der Nachweis der Unvollständigkeit des normierten R-Vektorraums (R[x],  max ) aller Polynome über R (vgl. 1.1, A 22): Beispiel (3.1,4) Für jedes m ∈ N werde das R-lineare Funktional Fm : R[x] −→ R durch Fm (p(x)) :=

m  j=0

pj

3 Vollständige pseudometrische Räume

190

definiert, wobei pj := 0 für alle j > np , np := grad p(x), gesetzt wird. Wegen |Fm (p(x))| ≤

m 

|pj |

j=0

 ≤

(m + 1)p(x)max ≤ (np + 1)p(x)max (m + 1)

für jedes p(x) ∈ R[x]  d max (0) für jedes p(x) ∈ K 1

ist Fm stetig in 0  2.4-20 , also stetig  2.4, A 14 , und  F := { Fm| m ∈ N } ist punktweise beschränkt. F ist jedoch auf keiner Nullumgebung in R[x], τ max gleichmäßig beschränkt:  (k)  k j  (x)max = ε und Sei ε > 0 und p(k) (x) := j=0 εx für jedes k ∈ N. Es folgt p  (k)  k Fk p (x) = j=0 ε = (k + 1)ε. Wegen 3.1-7.2 kann (R[x],  max ) nicht Banach-Raum sein.

Zum Nachweis der Vollständigkeit von (Cb (X, Y ), d ∞ ) für Banach-Räume (Y,  ) wird in (3.1,2) (c) die Abgeschlossenheit von Cb (X, Y ) in (B(X, Y ),  ∞ ) verwendet. Allgemein gilt für Unterräume pseudometrischer Räume: Satz 3.1-8 (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, ∅ = S ⊆ X. (a) (X, d) vollständig, S ∈ ατd

=⇒

(b) d Metrik, (S, d
S × S) vollständig

(S, d
S × S) vollständig =⇒

S ∈ ατd

Beweis Zu (a) Sei (xj )j ∈ S N eine Cauchy-Folge in (S, d
S × S), also auch Cauchy-Folge τ in (X, d), und ξ ∈ X mit (xj )j →d ξ. Dann gehört ξ zu S d  2.1-3 (b) . Da S abgeschlossen ist, folgt ξ ∈ S. Natürlich gilt auch (xj )j →d
S×S ξ. τ

Zu (b) Es sei ξ ∈ S d , etwa (xj )j ∈ S N mit (xj )j →d ξ  vgl. Text im Anschluß an 2.1-3 . (xj )j ist in (S, d
S × S) eine Cauchy-Folge und somit konvergent, etwa (xj )j →d
S×S ζ für ein ζ ∈ S. Es folgt (xj )j →d ζ und (d ist Metrik!) gem. 2.5-8 ✷ ξ = ζ ∈ S. Nach 2.1-1.1 (b) ist S ∈ ατd . In vollständigen metrischen Räumen (X, d) sind genau die nichtleeren, abgeschlossenen Unterräume wieder vollständig. Diese Feststellung schließt nicht aus, daß noch (S, ist und andere Unterräume (S, τd |S) eine Metrik e zulassen, für e) vollständig   die 1 j ∈ N mit e = ddis in τe = τd |S gilt, wie das bereits erwähnte Beispiel S = j+1 (R, d| | ) zeigt. Einige weitere Ergebnisse hierzu sind in 3.3 zusammengestellt. Die Menge ατd \{∅} aller im metrischen Raum (X, d) abgeschlossenen nichtleeren Teilmengen ist in vielerlei Hinsicht von Bedeutung, beispielsweise für Stabilitätsunter-

3.1 Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken

191

suchungen bei Optimierungsproblemen. Eine vereinfachte Situation aus der Ökonomie kann dieses verdeutlichen: Ein Produzent stellt mit Hilfe einer Maschine ein Produkt (z. B. Schrauben) her, das bei jeder Maschineneinstellung y ∈ Y theoretisch eine gewisse Qualität q(y) ∈ X aufweist, die sich mit der Einstellung stetig verändert. Für jede Qualität x ∈ X zahlt ein Kunde des Produzenten einen festen Preis p(x), der sich wiederum mit der Qualität stetig ändert. In dieser – nur theoretisch vorhandenen – Situation würde sich gem. 2.4-1.1 der zu erzielende Preis p(q(y)) stetig mit der Maschineneinstellung y ändern, also keine Sprünge aufweisen, was aus ökonomischen Gründen wünschenswert erscheint (Stabilität). In der Realität produziert die Maschine durch Störungen bedingt bei jeder Einstellung y jedoch verschiedene Qualitäten A(y) ⊆ X, denen dann die Menge p[A(y)] von Preisen zugeordnet ist. Der Kunde akzeptiert aber für eine Lieferpartie genau den höchsten Preis p∗ (y), der nicht höher als jeder Einzelpreis der gelieferten Stücke ist, d. h. p∗ (y) = inf p[A(y)]. Die gewünschte Stabilität (s. 4.1-13; 4.1-13.1) kann durch Einführung einer Topologie auf { A(y) | y ∈ Y }, bzgl. der A : Y −→ { A(y) | y ∈ Y } und
{ A(y) | y ∈ Y } −→ R p : A(y) −→ inf{ p(x) | x ∈ A(y) } stetig sind, gem. 2.4-1.1 gesichert werden  p ◦ A(y) = p∗ (y) . Die Frage nach der Größe von p∗ (y), also die Berechnung des Infimums von p auf A(y), ist das zur Einstellung y gehörende Optimierungsproblem. Die Analysis mengenwertiger Funktionen A ist schon gut entwickelt, eine ausführliche Darstellung findet man in [3]. Im folgenden wird { A(y) | y ∈ Y } ⊆ ατd \{∅} für beschränkte metrische Räume (X, d) angenommen und auf der Menge Ad := ατd \{∅} eine Topologie durch eine Metrik induziert, die Stabilitätsfeststellungen in einem allgemeineren Rahmen als dem der obigen Situation zuläßt (s. 4.1-12, 4.1-13.1). Dabei ist die Voraussetzung der Beschränktheit von (X, d) wegen 2.4, A 12 (a) für topologische Zwecke unschädlich. Für jedes x0 ∈ X, A ∈ Ad ist
X −→ R ∈ Cb (X, R) : ϕx0 ,A : x −→ dist(x, A) − d(x, x0 ) Gem. 1.2, A 19 gilt |ϕx0 ,A (x) − ϕx0 ,A (x
)| = |dist(x, A) − dist(x
, A) − (d(x, x0 ) − d(x
, x0 ))| ≤ |dist(x, A) − dist(x
, A)| + |d(x, x0 ) − d(x
, x0 )| ≤ d(x, x
) + d(x
, x)

3 Vollständige pseudometrische Räume

192

für alle x, x
∈ X. Die Funktion ϕx0 ,A ist somit gleichmäßig stetig auf X, und für jedes ε > 0 kann ein δ > 0 sogar so gewählt werden, daß ' & d ∀ x ∈ X ∀ x0 ∈ X ∀ A ∈ Ad : ϕx0 ,A Kδd (x) ⊆ Kε | | (ϕx0 ,A (x)) gilt (sog. gleichgradige gleichmäßige Stetigkeit von { ϕx0 ,A | x0 ∈ X, A ∈ Ad }; s. auch Abschnitt 4.1, Seite 286). Außerdem erhält man aus obiger Abschätzung noch   sup |ϕx0 ,A (x) − ϕx0 ,A (x
)| x, x
∈ X ≤ 2δ(X) < ∞. Ist ϕx0 ,A = ϕx0 ,A∗ , also dist(x, A) = dist(x, A∗ ) für jedes x ∈ X, so ergibt sich speziell für die Elemente x aus A 0 = dist(x, A) = dist(x, A∗ ) und damit A ⊆ A∗ Injektion

τd

= A∗  2.1, A 7 (a) . Aus Symmetriegründen folgt A = A∗ . Die
ϕ x0 :

Ad −→ Cb (X, R) A −→ ϕx0 ,A

gestattet nun die Übertragung der Metrik d ∞ auf Ad durch die Festsetzung
Ad × Ad −→ R+  Dx0 : (A, A∗ ) −→ ϕx0 ,A − ϕx0 ,A∗ ∞ (Hausdorff-Metrik auf Ad zu x0 ). Die Abstandsmessung in (Ad , Dx0 ) läßt sich in (X, d) anschaulich beschreiben (s. 3.1-9 (a)): Dx0 (A, A∗ ) ist der größere der beiden „Maximalabstände“ der Elemente aus A∗ zu A bzw. aus A zu A∗ . Weiter zeigt sich, daß (X, d) auf natürliche Weise in (Ad , Dx0 ) isometrisch eingebettet (s. 3.1-9 (b)) und (Ad , Dx0 ) im Fall der Vollständigkeit von (X, d) auch vollständig (s. 3.1-10) ist. Wegen Dx0 (A, A∗ ) = supx∈X |dist(x, A) − dist(x, A∗ )| ist es naheliegend, die durch Dx+0 (A, A∗ ) := sup (dist(x, A) − dist(x, A∗ )) bzw. x∈X

Dx−0 (A, A∗ ) := sup (dist(x, A∗ ) − dist(x, A)) = Dx+0 (A∗ , A) x∈X

definierten „Hilfsfunktionen“ zur Analyse von Dx0 zu verwenden. Satz 3.1-9 (X, d) sei ein beschränkter metrischer Raum, Ad := ατd \{∅}, x0 ∈ X und Dx0 die Hausdorff-Metrik auf Ad zu x0 . (a) Dx0 = Dx+0 ∨ Dx−0 und ∀ A, A∗ ∈ Ad : Dx+0 (A, A∗ ) = sup{ dist(a∗ , A) | a∗ ∈ A∗ }

3.1 Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken (b) Die Funktion

193




X −→ Ad Ix0 : x −→ {x}   ist eine d, Dx0
Ix0 [X] × Ix0 [X] -Isometrie und ∀ x, x
∈ X : Dx0 ({x}, {x
}) = Dx+0 ({x}, {x
}) = Dx−0 ({x}, {x
}).

Beweis Zu (a) Allgemein gilt für f, g : X −→ R sup |f (x) − g(x)| = sup max{f (x) − g(x), g(x) − f (x)} x∈X

 = max sup (f (x) − g(x)), sup (g(x) − f (x)) ,

x∈X

x∈X

x∈X

also auch Dx0 = Dx+0 ∨ Dx−0 . In bezug auf die zweite Gleichung stellt man zunächst sup{ dist(a∗ , A) | a∗ ∈ A∗ } = sup{ dist(a∗ , A) − dist(a∗ , A∗ ) | a∗ ∈ A∗ } ≤ sup{ dist(x, A) − dist(x, A∗ ) | x ∈ X } = Dx+0 (A, A∗ ) fest. Wegen d(x, a) ≤ d(x, a∗ ) + d(a, a∗ ) für alle x ∈ X, a ∈ A, a∗ ∈ A∗ folgt dist(x, A) ≤ d(x, a∗ ) + dist(a∗ , A) ≤ d(x, a∗ ) + supa∗ ∈A∗ dist(a∗ , A), also auch dist(x, A) ≤ dist(x, A∗ ) + supa∗ ∈A∗ dist(a∗ , A), d. h. Dx+0 (A, A∗ ) ≤ supa∗ ∈A∗ dist(a∗ , A). Zu (b) Gem. (a) ist Dx+0 ({x}, {x
}) = d(x, x
) = d(x
, x) = Dx−0 ({x}, {x
}), also gilt   Dx0 ({x}, {x
}) = max Dx+0 ({x}, {x
}), Dx−0 ({x}, {x
}) = d(x, x
). ✷

Ix0 ist injektiv und somit auch Isometrie wie behauptet. Satz 3.1-10 (X, d) sei ein beschränkter metrischer Raum, x0 ∈ X.   (X, d) vollständig =⇒ Ad , Dx0 vollständig Beweis ∗ (Aj )j ∈ AN d sei eine Cauchy-Folge in (Ad , Dx0 ). Für A := wird gezeigt: A∗ ∈ Ad und (Aj )j →Dx0 A∗ .

$

# j∈N

k≥j

Ak

τd

∈ ατd

Zu jedem ε > 0 wähle man ein jε ∈ N, so daß Dx0 (Aj , Ak ) < ε für alle j, k ≥ jε gilt. Man setze n0 := jε und konstruiere ausgehend von einem an0 ∈ An0 induktiv die

3 Vollständige pseudometrische Räume

194   Folge ani i∈N durch

 ni+1 := min j ∈ N ni < j, ∀ k ≥ j : Dx0 (Aj , Ak ) < ani+1 ∈



    x ∈ Ani+1 d ani , x ≤ dist ani , Ani+1 +

  ani i ist eine Cauchy-Folge in (X, d):

ε 2i+3

ε 2i+2



      i+k−1  i+k−1   dist anν , Anν+1 + d anν , anν+1 ≤ d ani , ani+k ≤ ≤ ≤

ν=i i+k−1  

ν=i

  Dx0 Anν , Anν+1 +

ν=i i+k−1   ν=i

ε 2ν+2

+

ε  2ν+2


0 sei (N, dε ) der metrische Raum aus 1.1, A 1 (c), Nj := { n ∈ N | n ≥ j } für jedes j ∈ N. Man zeige: (a)

(N, dε ) ist vollständig und ∀ j ∈ N : Nj ∈ ατdε .

(b) (δ(Nj ))j →| | ε. (In Kenntnis dieser Situation betrachte man noch einmal den Cantorschen Durchschnittssatz 3.1-3!) 14. (X, τ) sei ein Baire-Raum, X = ∅ und T ⊆ X. Man beweise: T Menge 1. Kategorie in (X, τ) =⇒ X\T Menge 2. Kategorie in (X, τ). Gilt auch die Umkehrung? 15. (X, d) sei ein vollständiger pseudometrischer Raum, f : X −→ R mit Sf := { x ∈ X | f (τd , τ| | )-stetig in x }

3.1 Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken und Sf (a)

τd

197

= X. Man beweise:

Sf Menge 2. Kategorie in (X, τd ).

(b) { g : R −→ R | Sg = Q } = ∅ für (X, d) = (R, d| | ). (Hinweis: Man verwende die offenen dichten Teilmengen  Pj := x ∈ X O(x) − U (x)
0 ∈ R ∪ {∞},   U (x) := sup inf{ f (y) | y ∈ Kεd (x) } ε > 0 ∈ R ∪ {−∞}

für jedes x ∈ X ist.) 16. (X, d), (Y, e) seien pseudometrische Räume, f : X −→ Y , (fj )j ∈ C(X, Y )N und (fj )j −−−−→ f . Dann ist τe -pktw.

Uf := { x ∈ X | f nicht (τd , τe )-stetig in x } eine Menge 1. Kategorie in (X, τd ). (Man beachte in diesem Zusammenhang 2.4-6!) (Hinweis: Man verwende für j, k ∈ N die Mengen '  &  e Nj := x ∈ X ∀ ε > 0 : f Kεd (x) K1/(j+1) (f (x)) ,   1 Sj,k := x ∈ X ∀ n ≥ k : e(fn (x), f (x)) < j+1 .) 17. Welche der folgenden normierten Räume sind Banach-Räume, welche nicht? (a)

(+q ,  q ) für q ∈ R, q ≥ 1

(b) (c,  ∞ ), (c0 ,  ∞ ) (s. 1.2, A 13 (a))   (c) C(N) ,  ∞ , (R[x]
[a, b],   ∞ ), (C([a, b]; S),  ∞ ),   wobei C(N) := (xj )j ∈ CN ∃ j0 ∈ N ∀ j ≥ j0 : xj = 0 , a, b ∈ R, a < b, S ⊆ [a, b] und C([a, b]; S) := { f ∈ C([a, b]) | f
S = 0 } ist.   (d) Ist +q , dνq für q ∈ ]0, 1[ vollständig? (Vgl. (2.5,8) (c).) 18. (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, R die durch (x, y) ∈ R

:gdw

d(x, y) = 0

definierte Äquivalenzrelation in X mitder Quotientenmetrik dR auf X/R (s. 1.1, A 5). (X, d) vollständig =⇒ X/R , dR vollständig. 19. (V, N ) sei ein halbnormierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C}, W ein K-Untervektorraum von V und NW die Quotientenhalbnorm auf V /W zu N bzgl. W (s. 1.1-6 (d)). Man zeige:   =⇒ V /W , dNW vollständig (a) (V, dN ) vollständig   τN (b) (V, dN ) vollständig, W = W =⇒ V /W , NW Banach-Raum   (c) V /W , dNW , (W, dN
W ) vollständig =⇒ (V, dN ) vollständig   (d) V /W , NW , (W, N
W ) Banach-Räume =⇒ (V, N ) Banach-Raum.

3 Vollständige pseudometrische Räume

198

Anmerkung: (a) und (c) gelten auch für Pseudohalbnormen N und ihre Quotientenpseudohalbnormen! 20. (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, dmin die durch dmin (x, x ) := min{1, d(x, x )} definierte Pseudometrik auf X (s. 1.1, A 8). Man beweise: (X, d) vollständig ⇐⇒ (X, dmin ) vollständig. 21. ( (Xi , di ) | i ∈ N ) sei eine Folge pseudometrischer Räume, di,min die gem. 1.1, A 8 definierte Pseudometrik auf Xi und
% % Xi × i∈N Xi −→ R+ i∈N d: ∞ (x, y) −→ i=0 21i di,min (xi , yi ) % die Pseudometrik auf i∈N Xi aus 2.4, A 20. Man beweise:   Xi , d vollständig. (∀ i ∈ N : (Xi , di ) vollständig) =⇒ i∈N

22. Für jedes j ∈ N sei (X, dj ) ein vollständiger metrischer Raum, dj ≤ dj+1 (punktweise) und d die durch ∞  1 dj (x, x ) d(x, x ) := 2j 1 + dj (x, x ) j=0 auf X definierte Fréchetmetrik (s. 1.1, A 7 (b)). Man zeige, daß (X, d) vollständig ist! Ist (X, d) auch vollständig, wenn alle (X, dj ) nur vollständige pseudometrische Räume sind und d eine Metrik? (Hinweis: Man verwende die Pseudometriken aus 1.2, A 1 (c)!) 23. Es sei (X, d) ein pseudometrischer Raum und Cbb (X) := { f ∈ Cb (X) | Tr f beschränkt }. (a)

(Cbb (X),  ∞ ) ist ein normierter C-Vektorraum.

(b) (Cbb (R),  ∞ ) ist kein Banach-Raum. 24. N , M seien topologisch äquivalente Halbnormen auf dem K-Vektorraum V . Man zeige: (V, dN ) vollständig =⇒ (V, dM ) vollständig. 25. Es sei V ein C-Vektorraum, (V,  ) ein normierter R-Vektorraum und  C die Norm aus 1.1, A 12 auf dem C-Vektorraum V . Man begründe: (V,  ) Banach-Raum ⇐⇒ (V,  C ) Banach-Raum (über R). 26. Für jedes j ∈ N sei dj die durch die Halbnorm
C(R) −→ R+ Nj : f −→ f
[−(j + 1), j + 1]∞ auf C(R) induzierte Pseudometrik, d die Fréchetmetrik zu (dj )j∈N (s. 1.1, A 17). Man zeige: (C(R), d) ist vollständig. (Achtung: A 22 kann nicht zur Begründung verwendet werden, weil (C(R), dj ) für alle j ∈ N kein metrischer Raum ist!)

3.1 Vollständigkeit, Baire-Räume, Hausdorff-Metriken

199

27. (X, τ) sei ein topologischer Raum, X = ∅, p ∈ Cb (X, R), inf{ p(x) | x ∈ X } > 0 für alle x ∈ X und
Cb (X, C) −→ R Np : f −→ pf ∞ . Man zeige: Np ist eine zu  ∞ topologisch äquivalente Norm und (Cb (X, C), Np ) ist ein Banach-Raum. 28. (X, τ) mit X = ∅ sei ein topologischer Raum, (Y, d) ein vollständiger pseudometrischer Raum. Man zeige: (Cb (X, Y ), d∞ ) ist ein vollständiger pseudometrischer Raum. 29. (Y, e) sei ein pseudometrischer Raum, X = ∅ eine Menge, f ∈ Y X und (fj )j eine Cauchy-Folge in (B(X, Y ), d∞ ). Es gilt: (fj )j −−−−→ f τe -pktw.

=⇒

(fj )j −−−→ f. e-glm.

Ist darüber hinaus (X, τ) ein topologischer Raum, (fj )j ∈ Cb (X, Y )N , so ist f stetig. 30. Es seien a, b ∈ R, a < b, m ∈ N.   (a) CRm ([a, b]), Nm,max ist ein Banach-Raum. (Hinweis: (1.1,4). Aus der Konvergenz von (fj )j ∈ CR1 ([a, b])N in einem Punkt  (1)  x0 ∈ [a, b] und der gleichmäßigen Konvergenz von fj j gegen g folgt die gleichmäßige Konvergenz von (fj )j gegen eine Funktion f ∈ CR1 ([a, b]) mit f (1) = g; [32, Satz 7.17].)   m (b) Der topologische  m Vektorraum CR ([a, b]), τNm,max ist homöomorph R-linear isomorph zu R × CR ([a, b]), τ  , wobei die Norm   durch m    ((c1 , . . . , cm ), f ) := |cj | + f ∞ j=1

erklärt ist. (Hinweis: Man verwende die zu Nm,max topologisch äquivalente Norm Nm auf CRm ([a, b]) (s. (1.1,4) und 1.2-6.1).) 31. (V,  ) sei ein Banach-Raum über K. Man zeige: dimK V ∈ N =⇒ dimK V überabzählbar. (Hinweis: 3.1-5.1.)

200

3 Vollständige pseudometrische Räume

3.2 Fortsetzung gleichmäßig stetiger Funktionen, Vervollständigung Auf die Bedeutung der Vollständigkeit pseudometrischer Räume wurde in 3.1 bereits hingewiesen. Bei nichtvollständigen pseudometrischen Räumen kann für CauchyFolgen aufgrund des Cauchy-Kriteriums die Frage nach der Existenz von Limiten eventuell dadurch beantwortet werden, daß man zunächst Grenzwerte in einem größeren vollständigen pseudometrischen Raum feststellt und anschließend überprüft, ob diese bereits zum ursprünglichen Raum gehören. Notwendige Voraussetzung für den Erfolg dieser Vorgehensweise ist natürlich, daß ein vollständiger pseudometrischer Oberraum überhaupt existiert. Der Komplettierungssatz von Hausdorff (3.2-3 bzw. 3.2-4) sichert die Existenz derartiger Räume für jeden (pseudo)metrischen Raum. Hiermit läßt sich die Vollständigkeit durch die Fortsetzungseigenschaft gleichmäßig stetiger Funktionen kennzeichnen (3.2-4.1). Zunächst gilt notwendigerweise Satz 3.2-1 (Y, e) sei ein vollständiger pseudometrischer Raum. Für jeden pseudometrischen τ Raum (X, d), jede dichte Teilmenge S ⊆ X, S d = X und jede (d
(S × S), e)gleichmäßig stetige Funktion f : S −→ Y gibt es eine (d, e)-gleichmäßig stetige Funktion F : X −→ Y , die f fortsetzt (d. h. F
S = f ). (Sprechweise: (Y, e) hat die Fortsetzungseigenschaft für gleichmäßig stetige Funktionen.) F ist eindeutig bestimmt, sofern (Y, e) metrischer Raum ist. Beweis Die Eindeutigkeit der (gleichmäßig) stetigen Fortsetzung folgt aus 2.5-9.1 (b). Zum Nachweis ihrer Existenz sei für jedes x ∈ X\S eine Folge (xj )j ∈ S N mit (xj )j →d x und für x ∈ S die Folge (xj )j = (x)j∈N gewählt. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von f sind die Bilder (f (xj ))j Cauchy-Folgen in (Y, e)  3.1, A 1 (b), (xj )j CauchyFolge in (S, d
S × S) , also konvergent, etwa (f (xj ))j →e yx für ein yx ∈ Y . Für x ∈ S wähle man yx = f (x). Die Funktion
X −→ Y F : x −→ yx ist eine Fortsetzung von f  deswegen die Wahl yx = f (x) für x ∈ S  und auch gleichmäßig stetig: Sei ε > 0. Da f gleichmäßig stetig ist, gibt es ein δ > 0 mit ε ∀ s, s
∈ S : d(s, s
) < δ ⇒ e(f (s), f (s
)) < . 2 Für alle x, x
∈ X, d(x, x
) < δ, folgt (d(xj , x
j ))j →| | d(x, x
) < δ  1.2-1 (b) ,

3.2 Fortsetzung gleichmäßig stetiger Funktionen, Vervollständigung

201

es existiert daher ein jδ ∈ N, d(xj , x
j ) < δ, also e(f (xj ), f (x
j )) < ε/2 für jedes j ≥ jδ . Wiederum nach 1.2-1 (b) gilt auch   e(f (xj ), f (x
j )) j →| | e(yx , yx ), man erhält somit

e(F (x), F (x
)) = e(yx , yx ) ≤

ε 0.
(Fj)j ist somit eine Folge nirgendsdichter Teilmengen, R([a, b]) also eine  Menge 1. Kategorie  in R([a, b]), τ 1 . Gem. Baireschem Kategoriesatz 3.1-5.1 kann R([a, b]), d 1 nicht vollständig sein.

Anmerkung: Durch Erweiterung des Integralbegriffs zum Lebesgue-Integral (s. Kapitel 5) kann eine Vervollständigung des normierten R-Vektorraums (CR ([a, b]),  1 ) in der Form ((L1 ([a, b]),  1 ), ˆı) mit einem „Funktionenraum“ L1 ([a, b]) und einer „Integralnorm“  1 angegeben werden (s. (5.4,5)). Für (CR ([a, b]),  q ), q ∈ R, q ≥ 1, führen analoge Überlegungen zum entsprechenden Ergebnis.

3 Vollständige pseudometrische Räume

210

Ist die (Halb-)Norm N des zu vervollständigenden (halb)normierten K-Vektorraums (V, N ) durch ein (Halb-)Skalarprodukt auf V induziert, so kann in der Vervollstänˆ ), ˆı) auch N ˆ durch ein (Halb-)Skalarprodukt induziert werden (3.2-9, digung ((Vˆ , N 3.2-9.1). Definition (V,
), (Vˆ ,
ˆ) seien mit (Halb-)Skalarprodukten versehene K-Vektorräume und ˆı : V −→ Vˆ K-linearer Monomorphismus. ((Vˆ ,
ˆ), ˆı) Vervollständigung (auch Komplettierung) von (V,
) :gdw   τˆ Vˆ , dˆ vollständig, ˆı[V ]   = Vˆ , ˆı (
,
ˆ)-(halb)skalarprodukterhaltend Man beachte auch hier, daß (Vˆ ,
ˆ) für Prähilberträume (V,
) ebenfalls ein Prähilbertraum sein soll!

Satz 3.2-8 (Vervollständigung von Prähilberträumen: Eindeutigkeit) ˆ ˆ  (V,
), (Vˆ ,
ˆ), Vˆ ,
ˆ seien Prähilberträume über K, K ∈ {R, C}, ((Vˆ ,
ˆ), ˆı)  ˆ ˆ    ˆ und Vˆ ,
ˆ , ˆ ˆı Vervollständigungen von (V,
). Es gibt genau einen
ˆ,
ˆ ˆ skalarprodukterhaltenden K-linearen Isomorphismus I : Vˆ −→ Vˆ mit I ◦ ˆı = ˆˆı. Beweis    ˆ    ˆı sind Vervollständigungen des normierten K-VekVˆ ,  ˆ , ˆı und Vˆ ,  ˆˆ , ˆ torraums (V,    ). Gem. 3.2-5 gibt es genau einen K-linearen Isomorphismus   ˆ I : Vˆ −→ Vˆ , der  ˆ ,  ˆˆ -normerhaltend ist und I ◦ ˆı = ˆˆı erfüllt. Nach 2.4-5   ˆ ˆˆ  ˆ ist I auch
ˆ,
ˆ -skalarprodukterhaltend. Da umgekehrt
,
 -skalarprodukter  haltende K-lineare Isomorphismen auch  ˆ ,  ˆˆ -normerhaltend sind, folgt die Behauptung. ✷ Satz 3.2-9 (Vervollständigungen der Räume mit Halbskalarprodukt: Existenz) Jeder K-Vektorraum mit Halbskalarprodukt (V,
), K ∈ {R, C} besitzt eine Vervollständigung ((Vˆ ,
ˆ), ˆı). Beweis

  Vˆ ,    , ˆı eine Vervollständigung des halbnormierten K-Vektorraums (V,    )  3.2-6 . Die Halbnorm    genügt der Parallelogrammgleichung auf Vˆ (s. 1.1-8.3):

Es sei



3.2 Fortsetzung gleichmäßig stetiger Funktionen, Vervollständigung Die Funktion  p:

211

Vˆ × Vˆ −→ R 2 2 2 2 (ˆ v , w) ˆ −→ ˆ v + w ˆ   + ˆ v − w ˆ   − 2ˆ v   − 2 w ˆ 

  ist τ
τ
    , τ| | -stetig  1.2-2, 2.4-1, 2.4-8 (b), 2.4, A 5  und stimmt auf der in   τ
dichten Teilmenge ˆı[V ] × ˆı[V ] mit der konstanten Funktion 0 Vˆ × Vˆ , τ
    überein  ˆı ist halbnormerhaltend, und    erfüllt die Parallelogrammgleichung auf V gem. 1.1-8.3 . p ist somit nach 2.5-9.1 (b) die konstante Funktion 0.      1.2-3 . ˆı ist    ,    Sei
ˆ ein Halbskalarprodukt auf Vˆ mit  ˆ =  halbnormerhaltend, also auch (
,
ˆ)-halbskalarprodukterhaltend  2.4-5 . Insgesamt erweist sich ((Vˆ ,
ˆ), ˆı) als Vervollständigung von (V,
).

✷

Korollar 3.2-9.1 (Vervollständigung von Prähilberträumen: Existenz) Jeder Prähilbertraum (V,
) über K, K ∈ {R, C}, besitzt eine Vervollständigung. Beweis   sind Normen, das im Beweis zu 3.2-9 verwendete Halbskalarprodukt
ˆ    ,    sogar ein Skalarprodukt  1.1-8.2 . ✷ ist wegen  ˆ =  Prähilberträume (V,
) (über K, K ∈ {R, C}), für die (V,    ) Banach-Raum ist, nennt man Hilbert-Raum. Hilbert-Räume werden in Abschnitt 3.6 behandelt. Vervollständigungen pseudo(halb)normierter K-Vektorräume definiert man in Anlehnung an die der (halb)normierten K-Vektorräume: Definition (V, ν), (Vˆ , νˆ) seien pseudo(halb)normierte K-Vektorräume, ˆı : V −→ Vˆ K-linearer Monomorphismus. ((Vˆ , νˆ), ˆı) Vervollständigung (auch Komplettierung) von (V, ν) :gdw   τd Vˆ , dνˆ vollständig, ˆı[V ] νˆ = Vˆ und ˆı pseudo(halb)normerhaltend (d. h. ∀ v ∈ V : νˆ(ˆı(v)) = ν(v)) Für pseudonormierte K-Vektorräume (V, ν) soll auch (Vˆ , νˆ) pseudonormiert sein! Die Sätze 3.2-5, 3.2-6 und 3.2-7 gelten sinngemäß auch für pseudo(halb)normierte K-Vektorräume. Der Vollständigkeit wegen werden die (analogen) Beweise angegeben.

3 Vollständige pseudometrische Räume

212

Satz 3.2-10 (Vervollständigung pseudonormierter Räume: Eindeutigkeit) ˆ     ˆ   (V, ν), (Vˆ , νˆ), Vˆ , νˆ ˆ seien pseudonormierte K-Vektorräume, (Vˆ , νˆ), ˆı , Vˆ , νˆˆ , ˆˆı   Vervollständigungen von (V, ν). Es gibt genau einen νˆ, νˆˆ -pseudonormerhaltenden ˆ K-linearen Isomorphismus I : Vˆ −→ Vˆ mit I ◦ ˆı = ˆˆı. Beweis      ˆ ˆı sind Vervollständigungen des metrischen Raums (V, dν ) (Vˆ , dνˆ ), ˆı und Vˆ , dνˆˆ , ˆ  ˆı ist (dν , dνˆ )-Isometrie, denn dνˆ (ˆı(v), ˆı(w)) = νˆ(ˆı(v)−ˆı(w)) = ν(v−w) = dν (v, w) ˆ für alle v, w ∈ V . Gem. 3.2-2 sei I : Vˆ −→ Vˆ die (dνˆ , dνˆˆ )-Isometrie mit I ◦ ˆı = ˆˆı. I ist additiv  wie im Beweis zu 3.2-5 , und für jedes k ∈ K ist  ˆ ˆ ˆ Ik : V −→ V x −→ I(kx) − kI(x) (τdˆ, τ ˆˆ)-stetig  2.5, A 18 (b)  mit Ik
ˆı[V ] = 0  Ik (ˆı(v)) = I(kˆı(v)) − kI(ˆı(v)) = d I(ˆı(kv)) − kI(ˆı(v)) = ˆ ˆı(kv) − kˆ ˆı(v) = 0 . Nach 2.5-9.1 (b) folgt Ik = 0, d. h. I(kx) = kI(x) für alle k ∈ K, x ∈ Vˆ .   I ist somit K-linearer Isomorphismus und νˆ, νˆˆ -pseudonormerhaltend  νˆˆ(I(x)) = ✷ dνˆˆ (I(x), 0) = dνˆ (x, 0) = νˆ(x) für alle x ∈ Vˆ . Satz 3.2-11 (Vervollständigungen pseudohalbnormierter Räume: Existenz) Jeder pseudohalbnormierte K-Vektorraum (V, ν) besitzt eine Vervollständigung. Beweis    Vˆ , d5ν , ˆı sei die im Beweis zu 3.2-4 konstruierte Vervollständigung des pseudometrischen Raums (V, dν ), also   Vˆ = (vj )j ∈ V N (vj )j Cauchy-Folge in (V, dν ) , d5ν ((vj )j , (wj )j ) = lim dν (vj , wj ) und ˆı(v) = (v)j∈N . j

Vˆ ist ein K-Untervektorraum von V N : Für (vj )j , (wj )j ∈ Vˆ , ε > 0 sei dν (vj , vi ) < ε/2, dν (wj , wi ) < ε/2 für alle j, i ≥ j0 . Dann folgt dν (vj +wj , vi +wi ) = ν(vj −vi +wj −wi ) ≤ ν(vj −vi )+ν(wj −wi ) < ε für alle j, i ≥ j0 ; (vj )j +(wj )j ist eine Cauchy-Folge in (V, dν ). Weiterhin erhält man für jedes k ∈ K auch dν (kvj , kvi ) = ν(k(vj − vi )) ≤ ([|k|] + 1)ν(vj − vi ) < ([|k|] + 1) 2ε  2.5, A 18 (a) ; k(vj )j ist eine Cauchy-Folge in (V, dν ). νˆ : Vˆ −→ R, νˆ((vj )j ) := limj ν(vj ), ist eine Pseudohalbnorm: (PN-1): νˆ((0)j ) = limj ν(0) = 0

3.2 Fortsetzung gleichmäßig stetiger Funktionen, Vervollständigung

213

 d| | (0), (PN-2): νˆ(k(vj )j ) = limj ν(kvj ) ≤ limj ν(vj ) = νˆ((vj )j ) für alle k ∈ K 1 (vj )j ∈ Vˆ . (PN-3): Für alle (vj )j , (wj )j ∈ Vˆ gilt νˆ((vj )j + (wj )j ) = lim ν(vj + wj ) ≤ lim ν(vj ) + lim ν(wj ) j

j

j

≤ νˆ((vj )j ) + νˆ((wj )j ). dνˆ = d5ν ((Vˆ , dνˆ ) ist also vollständig): Für alle (vj )j , (wj )j ∈ Vˆ gilt dνˆ ((vj )j , (wj )j ) = νˆ((vj − wj )j ) = lim ν(vj − wj ) = lim dν (vj , wj ) j

j

= d5ν ((vj )j , (wj )j ). ˆı ist (ν, νˆ)-pseudonormerhaltender K-linearer Monomorphismus: ˆı ist offensichtlich K-linear (und injektiv) mit νˆ(ˆı(v)) = νˆ((v)j ) = limj ν(v) = ν(v) τ τd ✷ für jedes v ∈ V . Schließlich gilt auch Vˆ = ˆı[V ] dν = ˆı[V ] νˆ  s. o. . Satz 3.2-12 (Vervollständigung pseudonormierter Räume: Existenz) Jeder pseudonormierte K-Vektorraum (V, ν) besitzt eine Vervollständigung. Beweis    Vˆ , νˆ , ˆı sei eine Vervollständigung des pseudohalb normierten K-Vektorraums       (V, ν)  3.2-11 , A := x ∈ Vˆ νˆ(x) = 0 und Vˆ /A , νˆA der zu Vˆ , νˆ assoziierte pseudonormierte K-Vektorraum  vgl. 2.5, A 20 (d) . Gem. 3.1, A 19 (a)  (Anmerkung) ist Vˆ /A , dνˆA vollständig. Weiter gilt ) * ' &τd τd Vˆ /A = πRA [Vˆ ] = πRA ˆı[V ] νˆ ⊆ πRA ˆı[V ] νˆA    πRA ist τdνˆ , τdνˆ /RA -stetig, τdνˆ /RA = τdνˆA gem. 2.5, A 20 (b) , πRA ◦ ˆı[V ] ist   also dicht in Vˆ /A , τdνˆA . πRA ◦ ˆı ist (ν, νˆA )-pseudonormerhaltender K-linearer Monomorphismus: Mit ˆı, πRA ist auch πRA ◦ ˆı K-linear. Weil aus πRA ◦ ˆı(v) = 0 definitionsgemäß ˆı(v) ∈ A, also 0 = νˆ(ˆı(v)) = ν(v) und somit v = 0 folgt, ist πRA ◦ ˆı injektiv. Wegen νˆA (πRA ◦ ˆı(v)) = νˆA (ˆı(v) + A) = νˆ(ˆı(v))  2.5, A 20 (d)  = ν(v) ist πRA ◦ ˆı ✷ (ν, νˆA )-pseudonormerhaltend.

Aufgaben zu 3.2 1. (X, d) sei ein pseudometrischer Raum mit der in 3.2-4 konstruierten Vervollständigung ˆ , dˆ), ˆı). Besitzt X wenigstens zwei Elemente, so ist dˆ keine Metrik auf X ˆ. ((X

3 Vollständige pseudometrische Räume

214

ˆ , dˆ), ˆı) eine Vervollständigung von (X, d) 2. (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, ((X   ˆ ˆ ˆ ˆ und X /R , dR der zu (X , d) assoziierte metrische Raum (vgl. 2.4, A 26). Man beweise:  ˆ / , dˆR , πR ◦ ˆı Vervollständigung von (X, d). (X, d) metrischer Raum =⇒ X R 3. (V, N ), (W, M ) seien normierte K-Vektorräume, K ∈ {R, C}, D ein K-UntervektorτN raum von V , D = V und f : D −→ W K-linear und (τN |D, τM )-stetig. Man zeige: Ist (W, dM ) ein Banach-Raum, so hat f genau eine K-lineare, (τN , τM )-stetige Fortsetzung F auf V .

ˆ , dˆ), ˆı) sei Vervollständigung des metrischen Raums (X, d). Man beweise: 4. ((X Äq (i)

(X, d) vollständig

(ii) ˆı surjektiv.

3.3 Fortsetzung stetiger Funktionen, topologische Vollständigkeit Topologische Räume (X, τ), deren Topologie τ durch eine vollständige Pseudometrik bzw. Metrik induziert werden kann, bezeichnet man als vollständig (pseudo)metrisierbar oder auch topologisch vollständig. In dieser Terminologie sind gem. 3.1-8 (a) nichtleere, abgeschlossene Unterräume vollständiger pseudometrischer Räume topologisch vollständig. Ein analoges Resultat ist auch für nichtleere, offene Unterräume zu erzielen (s. A 2), es läßt sich für vollständige metrische Räume sogar auf beliebige nichtleere Gδ -Mengen erweitern (3.3-2; man beachte, daß gem. 2.1, A 7 (b) jede abgeschlossene Teilmenge eines pseudometrischen Raums eine Gδ -Menge ist!). Dieses Ergebnis ist insofern optimal, als mit Hilfe eines Fortsetzungssatzes für Homöomorphismen in vollständigen metrischen Räumen (3.3-4, Lavrentieff) die Erkenntnis gewonnen werden kann, daß außer den nichtleeren Gδ -Mengen keine weiteren Unterräume metrischer Räume topologisch vollständig sein können (3.3-5). Die Frage nach der topologischen Vollständigkeit ist i. a. nicht leicht zu beantworten. Wichtige Beispiele für topologisch vollständige Quotienten sind in 3.1, A 18 und A 19 (a), (b) angegeben. Für Produkträume gilt immerhin Satz 3.3-1 ( (Xi , τi ) | i ∈ N ) sei eine Folge nichtleerer T2 -Räume. Äq (i)

%

i∈N Xi ,

i∈N τi



topologisch vollständig

(ii) ∀ j ∈ N : (Xj , τj ) topologisch vollständig

3.3 Fortsetzung stetiger Funktionen, topologische Vollständigkeit Beweis (i) ⇒ (ii) Sei a ∈

%

j ∈ N,

i∈N Xi ,


x∈

Xa,j :=

215



 Xi ∀ i ∈ N\{j} : xi = ai

i∈N

und ηa,j

   Xj −→+Xa,j  x :   x −→ i → a i

für i = j sonst

,

 % der Homöomorphismus aus 2.5, A 11 (a). Da i∈N τi topologisch i∈N Xi , % vollständig und gem. 2.5-5 T2 -Raum ist, gibt es eine vollständige Metrik d auf i∈N Xi mit τd = i∈N τi . Nach 2.5, A 11 (b) ist Xa,j ∈ α τ = ατd , der metrische Raum i∈N i (Xa,j , d
Xa,j ×Xa,j ) somit vollständig  3.1-8 (a) . Wegen τd
Xa,j ×Xa,j = τd |Xa,j =   i∈N τi Xa,j  2.3-6 (e)  erhält man die topologische Vollständigkeit von (Xj , τj )  A 1 . (ii) ⇒ (i) Für jedes j ∈ N sei (Xj , dj ) vollständiger metrischer Raum, τdj = τj und dj,min die Metrik gem. 1.1, A 8. Dann ist %(Xj , dj,min) vollständig  3.1, A 20 , τdj,min = τdj = τj  2.4, A 12 (a)  und j∈N Xj , d vollständig, wobei d die 1
) definierte Metrik ist  3.1, A 21 . Da d die d (x , x durch d(x, x
) := ∞ j j=0 2j j,min j %  Produkttopologie j∈N τdj = j∈N τj induziert  2.4, A 20 , ist i∈N τi i∈N Xi , topologisch vollständig. ✷ Umformuliert lautet 3.3-1 Korollar 3.3-1.1 ((Xi , τi ))i∈N sei eine Folge nichtleerer T2 -Räume. Äq (i)

%

i∈N Xi ,

i∈N τi



vollständig metrisierbar

(ii) ∀ j ∈ N : (Xj , τj ) vollständig metrisierbar

✷

Satz 3.3-2 (X, d) sei ein vollständiger metrischer Raum, ∅ =  G ⊆ X eine Gδ -Menge in (X, τd ). (G, τd |G) ist topologisch vollständig. Beweis Es sei (Pj )j∈N ∈ τdN , G =

$

j∈N Pj .

Für jedes j ∈ N ist (Pj , τd |Pj ) topologisch

3 Vollständige pseudometrische Räume

216

 % vollständig  A 2  und daher auch j∈N τd |Pj  3.3-1 . Wegen j∈N Pj , 
 Pj ∀ j, k ∈ N : f (j) = f (k) ∈ α ∆G := f ∈ τd |Pj j∈N

j∈N

     2.5, A 14  ist ∆G , j∈N τd |Pj ∆G topologisch vollständig  3.1-8 (a)  und wegen der Homöomorphie zu (G, τd |G)  2.4, A 40  ergibt sich die topologische Vollständigkeit von (G, τd |G) nach A 1. ✷ Da topologisch vollständige Räume gem. 3.1-5 Baire-Räume sind, erhält man noch Korollar 3.3-2.1 (X, d) sei ein vollständiger metrischer Raum, G ⊆ X eine Gδ -Menge in (X, τd ). ✷ (G, τd |G) ist ein Baire-Raum. Beispiel (3.3,1) Gem. 3.3-2.1 ist (R\Q, τ| | |R\Q) ein Baire-Raum, denn die Menge R\Q der # Irrationalzahlen ist eine Gδ -Menge im vollständigen metrischen Raum (R, d| | )  Q = q∈Q {q} ist eine Fσ -Menge in (R, τ| | ) .

Die Folgerung in 3.3-2 kann in vielen, insbesondere für die Funktionalanalysis bedeutenden Räumen (X, d) für gewisse Teilmengen noch verschärft werden (s. A 3): Ist (X, d) nicht nur ein vollständiger metrischer Raum, sondern (X, τd ) auch noch ein topologischer K-Vektorraum (s. Anmerkung an 2.4-18, Seite 135), so gilt für jeden K-Untervektorraum M von X: M Gδ -Menge in (X, τd )

⇐⇒

M ∈ ατd .

Für den Nachweis, daß topologisch vollständige Unterräume metrisierbarer topologischer Räume in diesen Gδ -Mengen sind, erweisen sich gewisse Fortsetzungseigenschaften stetiger Funktionen als überaus nützlich. Satz 3.3-3 (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, S ⊆ X, (Y, e) vollständiger metrischer Raum und f : S −→ Y (τd |S, τe )-stetig. Es gibt eine Gδ -Menge G in (X, τd ) mit τ S ⊆ G ⊆ S d und eine (τd |G, τe )-stetige Funktion F : G −→ Y , die f fortsetzt. Beweis Mit ωS (f, x) sei wieder (vgl. 2.4, 2.4-1.4) die Oszillation von f bei x (auf S) bezeichnet. Man setze G := { x ∈ S

τd

| ωS (f, x) = 0 }

3.3 Fortsetzung stetiger Funktionen, topologische Vollständigkeit und Gj :=



x∈S

τd

ωS (f, x)
0 mit δ f [Kεd (x) ∩ S] < 1/(j + 1), woraus Kεd (x) ∩ S d ⊆ Gj folgt. . Als Gδ -Menge  τ τ  τ in S d , τd |S d ist G auch Gδ -Menge in (X, τd )  S d ist Gδ -Menge in (X, d) gem. 2.1, A 7 (b). . Zur Konstruktion einer stetigen Fortsetzung F von f auf G verfahre man wie folgt: Für jedes x ∈ G, (xj )j ∈ S N , (xj )j →d x ist (f (xj ))j eine Cauchy-Folge in (Y, e)    Sei ε > 0. Wegen ωS (f, x) = 0 existiert ein ε
> 0 mit δ f [Kεd (x) ∩ S] < ε, und zu ε
gibt es ein jε ∈ N, so daß xj ∈ Kεd (x) für jedes j ≥ jε ist. Für alle j, k ≥ jε   erhält man daher e(f (xj ), f (xk )) ≤ δ f [Kεd (x) ∩ S] < ε . Sei yx := e-limj f (xj ) (yx ist im T2 -Raum (Y, τe ) eindeutig bestimmt!) und setze F (x) := yx . yx ist unabhängig von der Folgenwahl (xj )j →d x: Gilt für (x
j )j ∈ S N ebenfalls (x
j )j →d x, so wähle man obiges jε ∈ N so, daß xj , x
j ∈ Kεd (x) für alle j ≥ jε erfüllt ist. Es folgt dann e(f (xj ), f (x
j )) < ε für jedes j ≥ jε und nach 1.2-1 (b) für yx
:= e-limj f (x
j ) auch e(yx , yx
) ≤ ε für jedes ε > 0, also yx = yx
. Wegen (x)j →d x ist F (x) = e-limj f (x) = f (x) für jedes x ∈ S, also F
S = f . Die (τd |G, τe )-Stetigkeit von F ergibt sich wie folgt: Sei x ∈ G, (xj )j ∈ GN , (xj )j →d x und ε > 0. Wegen ωS (f, x) = 0 existiert ein U ∈ Uτd (x) ∩ τd mit δ(f [U ∩ S]) < ε/2. Man wähle eine Folge (sj )j ∈ (U ∩ S)N , die gegen x konvergiert. Dann gilt (f (sj ))j →e F (x), es gibt daher ein jε ∈ N mit ε ∀ j ≥ jε : xj ∈ U, e(f (sj ), F (x)) < . 2   (j)     (j)  (j) →e F (xj ). Für jedes j ≥ jε sei sk k ∈ (U ∩ S)N , sk k →d xj , also f sk k Es folgt e(F (xj ), F (x)) ≤ e(F (xj ), f (sj )) + e(f (sj ), F (x))  ε   (j)  < e lim f sk , f (sj ) + k 2   (j)   ε  1.2-1 (b)  = lim e f sk , f (sj ) + k 2 ε ≤ δ(f [U ∩ S]) + 2 0 ∀ (τ, t) ∈ [0, 1] × [0, 1] ∀ x, y ∈ R : |K(τ, x, t) − K(τ, y, t)| ≤ L|x − y|, für jedes g ∈ CR ([0, 1]) eine Lösung in CR ([0, 1]) besitzt, stellt man unter Umständen zunächst fest, daß der Banachsche Fixpunktsatz 3.4-1 nicht angewendet werden kann, wenn man den vollständigen metrischen Raum (CR ([0, 1]), d∞ ) zugrunde legt. Die Funktion
CR ([0, 1]) −→ CR ([0, 1])  

t F : f −→ t → g(t) + 0 K(τ, f (τ ), t) dτ ist dann nämlich i. a. keine strenge Kontraktion:
[0, 1] × R × [0, 1] −→ R K: (τ, x, t) −→ x ist stetig und genügt einer über [0, 1] × [0, 1] gleichmäßigen Lipschitz-Bedingung bzgl. der zweiten Variablen mit L = 1. Nach 2.4, A 43 ist F nicht einmal eine Kontraktion. Verwendet man jedoch die zu  ∞ äquivalente Norm
CR ([0, 1]) −→ R N: f −→ supt∈[0,1] e−2Lt f (t) (s. 3.1, A 27), so ergibt sich für alle f , ϕ ∈ CR ([0, 1])   N (F (f ) − F (ϕ)) = sup e−2Lt |F (f )(t) − F (ϕ)(t)| t∈[0,1]

 t   −2Lt = sup e K(τ, f (τ ), t) − K(τ, ϕ(τ ), t) dτ t∈[0,1]

0

t∈[0,1]

0

 K(τ, f (τ ), t) − K(τ, ϕ(τ ), t) dτ t∈[0,1] 0    t ≤ sup e−2Lt L|f (τ ) − ϕ(τ )| dτ   −2Lt ≤ sup e

t

3 Vollständige pseudometrische Räume

226 = sup

   t Le2Lτ |f (τ ) − ϕ(τ )|e−2Lτ dτ e−2Lt

t∈[0,1]

0

≤ N (f − ϕ)L sup

   t e2Lτ dτ e−2Lt

t∈[0,1]

0

    1 −2Lt 2Lt = N (f − ϕ)L sup e e −1 2L t∈[0,1]   1 = N (f − ϕ) sup 1 − e−2Lt 2 t∈[0,1]  1 = 1 − e−2L N (f − ϕ) 2 1 ≤ N (f − ϕ), 2 F ist daher eine strenge Kontraktion (mit Kontraktionszahl λ = 1/2) auf dem BanachRaum (CR ([0, 1]), N ) und besitzt gem. 3.4-1 genau einen Fixpunkt, die Lösung der obigen Volterra-Integralgleichung (für g ∈ CR ([0, 1])). (b) Mit Hilfe von (a) erhält man eine weitere wichtige Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes: Die Anfangswertaufgabe y  (t) = f (t, y(t)),

t ∈ [0, 1]

y(0) = p, wobei f : [0, 1] × R −→ R stetig ist und bzgl. der zweiten Variablen einer (über [0, 1] gleichmäßigen) Lipschitz-Bedingung genügt, hat für jeden Anfangswert p ∈ R genau eine stetig differenzierbare Lösung y (Globaler Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard, 1890, und Lindelöf, 1894): Für stetige Funktionen y : [0, 1] −→ R gilt  t f (τ, y(τ )) dτ Äq (i) ∀ t ∈ [0, 1] : y(t) = p + 0

(ii) y(0) = p

und

∀ t ∈ [0, 1] : y  (t) = f (t, y(t)).

Gem. (a) gibt es genau eine Funktion y ∈ CR ([0, 1]), die (i) erfüllt und somit auch stetig differenzierbar ist. Lokale Existenz und Eindeutigkeit (Cauchy, Lipschitz) werden in (4.1,7) nachgewiesen.

Der in (3.4,4) (a) behandelte Integraloperator F – und infolgedessen auch sein Fixpunkt – ist von der stetigen Funktion g, einem Parameter, abhängig. Die qualitative (und möglichst auch quantitative) Beschreibung dieser Abhängigkeit ist für praktische Anwendungen von großer Bedeutung: Wie (und in welcher Größenordnung) verändert sich der Fixpunkt mit der Wahl von g? Speziell für die Anfangswertaufgabe in (3.4,4) (b) stellt sich die Frage nach dem Einfluß des Anfangswerts p auf die Lösung y der Aufgabe:

3.4 Banachscher Fixpunktsatz (mit Anwendungen)

227

Wie wirkt sich ein kleiner „Wackler“ bei p (bedingt durch Ungenauigkeiten bei Messungen, Maschineneinstellungen o. ä.) auf y aus? Der folgende Satz gibt eine Antwort auf diese Frage nach der Stabilität: Satz 3.4-4 (X, d), (P, e) seien metrische Räume, (X, d) vollständig, dmax die durch dmax ((x, p), (x
, p
)) := max{d(x, x
), e(p, p
)}

  auf X × P definierte Metrik (s. (2.4,8) (b)), Φ ∈ C(X × P, X) (bzgl. τdmax , τd ),
X −→ X Φ·p : x −→ Φ(x, p) für jedes p ∈ P eine strenge Kontraktion mit Kontraktionszahl λp und Fixpunkt xp . Für λ := supp∈P λp < 1 ist
P −→ X Fix : p −→ xp (τe , τd )-stetig (Stetige Abhängigkeit des Fixpunkts vom Parameter, Stabilität). Beweis Es sei p ∈ P und ε > 0. Da Φ stetig ist, gibt es ein δ > 0 mit d d (Φ(xp , p)) = K(1−λ)ε (xp ) ∀ x ∈ Kδd (xp ) ∀ p ∈ Kδe (p) : Φ(x, p) ∈ K(1−λ)ε

 (2.4,8) (b) . Sei p ∈ P . Dem Beweis für 3.4-1 zufolge ist der Fixpunkt xp  (j)  von Φ · p der Limes der Folge Φ · p (xp ) j∈N der Picard-Iterierten. Hierfür folgt mit der Dreiecksungleichung j−1 j−1  (k+1)        (j) (k) d Φ · p (xp ), Φ · p (xp ) ≤ λk d Φ · p(xp ), xp d Φ · p (xp ), xp ≤ k=0

  = d Φ · p(xp ), xp

k=0 j−1  k=0

λk ≤

  1 d Φ · p(xp ), xp 1−λ

für jedes j ∈ N, also    (j)  (j) d(xp, xp ) = d lim Φ · p (xp ), xp = lim d Φ · p (xp ), xp ≤

  1 d Φ · p(xp ), xp . j j 1−λ   Für jedes p ∈ Kδe (p) gilt daher d(xp, xp ) < ε wegen d Φ · p(xp ), xp < (1 − λ)ε. ✷

3 Vollständige pseudometrische Räume

228 Beispiel (3.4,5)

Für das Anfangswertproblem (3.4,4) (b) kann aus dem Beweis von 3.4-4 auch eine quantitative Stabilitätsaussage wie folgt hergeleitet werden: Hier ist X = CR ([0, 1]), d = dN , wobei N (y) = supt∈[0,1] e−2Lt y(t) die Norm aus (3.4,4) (a) bezeichnet (L > 0 ist eine (über [0, 1] gleichmäßige) Lipschitz-Konstante bzgl. der zweiten Variablen von f ), (P, e) = (R, d| | ) und
X × P −→ X   ∈ C(X × P, X)

t Φ: (y, p) −→ t → p + 0 f (τ, y(τ )) dτ (bzgl. der Maximummetrik dmax zu dN , d| | auf X × P und dN auf X)  Die Stetigkeit von Φ ist leicht zu bestätigen, wenn man anstelle von dmax die gem. (2.4,8) (b) topologisch äquivalente Maximummetrik zu d∞ , d| | auf X × P und d∞ auf X verwendet! . Mit den Kontraktionszahlen λp = 1/2 (s. (3.4,4) (a)) folgt für die Lösungen y, y (zu p bzw. p) der Anfangswertaufgabe aus den Ungleichungen   1 dN Φ · p
(y), y  aus dem Beweis zu 3.4-4  1−λ    t −2Lt ≤ 2 sup e f (τ, y(τ )) dτ − y(t) p + t∈[0,1] 0 −2Lt

t = 2 sup e  y(t) = p + 0 f (τ, y(τ )) dτ  ( p − p)

dN ( y , y) ≤

t∈[0,1]

≤ 2| p − p| die grobe Fehlerabschätzung y (t) − y(t))e2Lt ≤ e2L dN ( y , y) ≤ 2e2L | p − p|.  y − y∞ = sup e−2Lt ( t∈[0,1]

Aufgaben zu 3.4 1. Ist die Aussage in 3.4-1 auch richtig, wenn man f nur als Kontraktion voraussetzt? 2. Ist die Aussage in 3.4-1.2 auch richtig, wenn man A nur als nichtleere Teilmenge von X voraussetzt? 3. Die durch

 −2x für x ≤ 0 f (x) := − 13 x für x > 0

definierte Funktion f : R −→ R ist keine (strenge) Kontraktion. Gibt es eine PicardIterierte f (j) , die strenge Kontraktion ist?


4. Die Funktion F :

CR ([0, 1]) −→ 

xCR ([0, 1]) f −→ x → 0 f (t) dt

ist gem. 2.4, A 43 keine Kontraktion. Gibt es eine Picard-Iterierte F (j) , die strenge Kontraktion ist?

3.5 Summation in Banach-Räumen, (L2 (I),
2 )

229

5. (X, d) sei metrischer Raum, f : X −→ X, x0 ∈ X, (xj )j ∈ X N die Folge der PicardIterierten xj+1 = f (xj ) und ξ ∈ X ein Häufungspunkt von (xj )j . Man zeige: (a)

f Kontraktion, ξ ∈ Fix f

(b) f strenge Kontraktion

=⇒ =⇒

(xj )j →d ξ

(xj )j →d ξ und ξ ∈ Fix f .

(j) 6. (X, d) sei ein vollständiger metrischer Raum, f : X −→ X, jede Picard-Iterierte ∞ f , j ∈ N, sei L-stetig mit Lipschitz-Konstante λj > 0, x0 ∈ X. Ist die Reihe j=0 λj in (R, d| | ) konvergent, so besitzt f genau einen Fixpunkt x∗ , und für alle j ∈ N gilt    d f (j) (x0 ), x∗ ≤ λk d(f (x0 ), x0 ). k≥j

7. (X, d) sei ein vollständiger metrischer Raum, x0 ∈ X, ε > 0 und f : Kεd (x0 ) −→ X eine strenge Kontraktion mit Kontraktionszahl λ ∈ ]0, 1[, d(f (x0 ), x0 ) < ε(1 − λ). Man beweise: f hat genau einen Fixpunkt. 8. Man bestimme ein Intervall [−a, a] ⊆ R, a > 0, so daß die Integralgleichungen über CR ([0, 1]) mit dem Kern K ∈ CR ([0, 1] × [0, 1])  1 K(τ, t)f (τ ) dτ + g(t), t ∈ [0, 1] f (t) = x 0

für jedes g ∈ CR ([0, 1]), x ∈ [−a, a] jeweils genau eine Lösung besitzen! 9. (X, τ) sei ein topologischer Raum, f ∈ Cb (X × R, R), λ ∈ ]0, 1[ und ∀ x ∈ X ∀ r, s ∈ R : |f (x, r) − f (x, s)| ≤ λ|r − s|. Man beweise, daß die Funktionalgleichung u(x) = f (x, u(x)), x ∈ X, genau eine Lösung u in Cb (X, R) besitzt!

3.5 Summation in Banach-Räumen, (L2(I),
2) Die in Abschnitt 1.2 eingeführte Summierbarkeit von Familien (xi )i∈I ∈ V I von Elementen eines K-Vektorraums V bzgl. einer Topologie τ auf V ist u. a. für die Analysis in Banach-Räumen und die Strukturtheorie vollständiger Prähilberträume von Bedeutung (3.6-7.2). zum  k  Cauchyschen Konvergenzkriterium für ∞ In Analogie unendliche Reihen i=0 xi (= i=0 xi k∈N , Folge der Partialsummen) in (R, τ| | ), ∞ 

xi konvergent in (R, τ| | ) ⇐⇒

i=0

 k i=0

 xi

Cauchy-Folge in (R, d| | ) k∈N

kε +i+j  xν < ε ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ kε ∈ N ∀ i, j ∈ N : ν=kε +i

gilt hier

3 Vollständige pseudometrische Räume

230 Satz 3.5-1

(V,  ) sei ein K-Banach-Raum, I = ∅ eine Menge und (xi )i ∈ V I . Äq (i)

(xi )i summierbar (in (V, τ  ))

  (ii) ∀ ε > 0 ∃ Eε ∈ Pe I ∀ E ∈ Pe I : E ∩ Eε = ∅ ⇒  i∈E xi  < ε

Beweis (i) ⇒ (ii) Sei

i∈I

xi =τ   a und ε > 0. Man wähle ein Eε ∈ Pe I mit     ε  xi − a ∀ E ∈ Pe I : E ⊇ Eε ⇒   < 2. i∈E

Insbesondere gilt dann für alle E ∈ Pe I, E ∩ Eε = ∅,                           xi  =  xi − xi  ≤  xi − a +  xi − a  < ε.  i∈E

i∈E∪Eε

i∈Eε

i∈E∪Eε

i∈Eε

  (ii) ⇒ (i) Gem. 3.1-2 ist zu zeigen, daß i∈E xi E∈Pe I in (V, d  ) ein CauchyNetz ist. Sei daher ε > 0 und gem. (ii) Eε/2 ∈ Pe I zu ε/2 gewählt. Für alle E ∈ Pe I, E ⊇ Eε/2 gilt dann           ε    xi − xi  =  xi    < 2, i∈E

i∈Eε/2

i∈E\Eε/2

also folgt                     xi − xi  ≤  xi − xi  +  xi − xi   0 und gem. 3.5-1 Eε ∈ Pe I so gewählt, daß für jedes E ∈ Pe I, E ∩ Eε = ∅      xi  < ε (bzw.  xi    < ε für (b)) i∈E

i∈E

  gilt. Es folgt dann  i∈E xi  ≤ i∈E xi  < ε, also die Summierbarkeit von (xi )i∈I gem. 3.5-1. Für (b) beachte man, daß wegen  Eε ∩J ∈ Pe J und E ∩ Eε = ∅ für jedes E ∈ Pe J mit E ∩ (Eε ∩ J) = ∅ auch  i∈E xi  < ε gilt  s. o. , wiederum nach 3.5-1 also die Summierbarkeit von (xi )i∈J folgt. ✷ Die Umkehrung in 3.5-1.1 (b) ist natürlich auch richtig, die von 3.5-1.1 (a) jedoch nicht (s. A 2). Beispiel (3.5,1)

 1  In (R, | |) ist (xi )i∈N = i+1 nicht summierbar: Sonst müßte es gem. 3.5-1 ein E1 ∈ Pe N i∈N 1 geben, für das i∈E i+1 < 1 für jedes E ∈ Pe N, E ∩ E1 = ∅ gilt.


Satz 3.5-2 (V,  ) sei ein K-Banach-Raum, K ∈ {R, C}, I = ∅ eine Menge, { Ij | j ∈ J } eine Partition von I, (xi )i ∈ V I summierbar (in (V, τ  )),   xi = a und xi = aj für jedes j ∈ J i∈I

τ



τ

i∈Ij



(s. 3.5-1.1 (b)). Dann ist (aj )j∈J summierbar, und es gilt  aj = a j∈J

τ



(Assoziativität der Summation). Beweis Es sei ε > 0, Eε ∈ Pe I mit

    ε  xi − a ∀ E ∈ Pe I : E ⊇ Eε ⇒   < 2. i∈E

3 Vollständige pseudometrische Räume

232

Jε := { j ∈ J | Ij ∩ Eε = ∅ } ist eine endliche Teilmenge von J, und es gilt        ∀ L ∈ Pe J : L ⊇ Jε ⇒  aj − a  0 wähle man ein Eε ∈ Pe I mit      xi − xi  ∀ E ∈ Pe I : E ⊇ Eε ⇒    < ε. i∈E

Dann ist

σ −1 [Eε ]

i∈I

∈ Pe I, und für jedes F ∈ Pe I, F ⊇ σ −1 [Eε ] folgt              xσ(i) − xi  xj − xi  =  < ε.  i∈F

i∈I

j∈σ[F ]

i∈I

✷

in normierten K-Vektorräumen (V,  ) ist die Für summierbare Folgen (xi )i∈N x gegen n := max Eε ist unendliche Reihe ∞ i=0 i  n i∈N xi konvergent  Mit  Nnε ε     Obermenge von Eε , also gilt i=0 xi − i∈N xi = i∈Nn xi − i∈N xi < ε

3 Vollständige pseudometrische Räume

234

für jedes n ≥ nε . K; umgekehrt kann aus der Konvergenz der unendlichen Reihe nicht die Summierbarkeit gefolgert werden (s. auch (3.5,4)): Beispiel (3.5,3) (a)

i

In (R, | |) sei die Folge (xi )i∈N durch xi := (−1) i+1 definiert. Die alternierende harmonische Reihe ∞ ∞ X X (−1)i xi = i+1 i=0 i=0

ist (gegen ln 2) konvergent. Wäre (xi )i∈N summierbar, so auch (x2i+1 )i∈N nach 3.5-1.1(b). Die unendliche Reihe  ∞ ∞  P P P −1 x2i+1 = x2i+1 konvergieren (vgl. Vorbemerkung 2(i+1) müßte dann gegen

i=0

i=0

i∈N

zu diesem Beispiel) und gemäß 1.2-2(c) erhielte man die Konvergenz der harmonischen Reihe ∞ ∞ X X 1 x2i+1 = (−2) 1 i + i=0 i=0 P in (R, ||) (gegen (−2) x2i+1 ) . i∈N

Daß die Folge (xi )i∈N nicht summierbar ist, ergibt sich anschließend auch direkt aus 3.5-5.1. P∞ (b) Die den summierbaren Folgen (xi )i∈N zugeordneten P∞ unendlichen Reihen i=0 xi haben die P Eigenschaft, daß jede ihrer Umordnungen i=0 xσ(i) (gegen denselben Grenzwert i∈N xi ) konvergiert. Derartige Reihen nennt man unbedingt konvergent, sie lassen sich in K-Banach-Räumen (V, k k) wie folgt charakterisieren (s. auch 4.2-9): P∞ Äq (i) i=0 xi unbedingt konvergent P∞ (ii) ∀ v ∈ {−1, 1}N : i=0 vi xi konvergent P∞ (i) ⇒ (ii) Sei v ∈ {−1, 1}N , i=0 vi xi nicht konvergent, etwa ε > 0 mit

X

m

∀ j ∈ N ∃ m, n ∈ N : m > n ≥ j, vi xi

≥ ε. i=n+1

P mj

Es existieren Folgen (mj )j , (nj )j ∈ NN mit nj < mj < nj+1 und i=n vx ≥ε j +1 i i für jedes j ∈ N. Man setze nun Sj := { i ∈ N | nj + 1 ≤ i ≤ mj },

Sj+ := { i ∈ Sj | vi = 1 }, Sj− := { i ∈ Sj | vi = −1 }

P

P

für j ∈ N. Es gilt i∈S + xi ≥ ε/2 oder i∈S − xi ≥ ε/2. Man wähle daher j j

P

S Sej ∈ {Sj+ , Sj− } mit i∈Sej xi ≥ ε/2 und definiere S := N\ j∈N Sej . Die Reihe

3.5 Summation in Banach-Räumen, (L2 (I),
2 )

235

∞

xi kann dann folgendermaßen zu einer nicht konvergenten Reihe umgeordnet werden: i=0

∞ i=0

xσ(i)

1. Fall: S unendlich, s : N −→ S bijektiv   Sei σ0 : N|S
0 |−1 −→ S0 bijektiv, σ0 |S0 | := s0 , und wähle   σ1 : |S0 | + 1, . . . , |S0 | + |S1 | −→ S1 bijektiv. Ist σn für n ≥ 1 bereits bestimmt, so setze man   n  σn n + |Sj | := sn j=0

und wähle σn+1 :


 n n+1   n+1+ |Sj |, . . . , n + |Sj | −→ Sn+1 j=0

j=0

bijektiv. Die durch  σk (n) σ(n) := σ0 (n)

  k−1 k für n ∈ k + j=0 |Sj |, . . . , k + j=0 |Sj | , k ≥ 1   für n ∈ 0, . . . , |S0 | ∞ definierte Funktion σ : N −→ N ist bijektiv. Wäre i=0 xσ(i) konvergent, so gäbe es ein nε ∈ N mit     ε  m  ∀ n, m ∈ N : m > n ≥ nε ⇒  xσ(i)   < 2. i=n+1

  j gilt dagegen  m = Für m > n ≥ n , j ∈ N mit σ[{n + 1, . . . , m}] = S x ε σ(i) i=n+1    
xi ≥ ε/2. i∈Sj

2. Fall: |S| = k ∈ N Für jedes j ∈ N sei
 j−1 j     σj : k + |Si |, . . . , k − 1 + |Si | −→ Sj i=0

i=0

bijektiv. Die durch 

  n für n ∈ 0, . . . , k − 1   σ(n) := j−1 j σj (n) für n ∈ k + i=0 |Si |, . . . , k − 1 + i=0 |Si | ∞ definierte Funktion σ : N −→ N ist bijektiv, und wie in (1) folgt, daß i=0 xσ(i) nicht konvergent ist. ∞ (ii) ⇒ (i) Sei σ : N −→ N bijektiv und i=0 xσ(i) nicht konvergent, also ∃ε>0∀n∈N

∃ kn , kn :

n ≤ kn ≤

kn ,

  k   n  xσ(i)   ≥ ε,  i=kn

3 Vollständige pseudometrische Räume

236

o. B. d. A. kn ≤ kn < kn+1 für jedes n ∈ N. Sei Jn := σ[{ i ∈ N | kn ≤ i ≤ kn }], mn := min Jn , mn := max Jn , also Jn ⊆ In := { i ∈ N | mn ≤ i ≤ mn } für alle n ∈ N. Man wähle eine Teilfolge Inr r∈N aus paarweise disjunkten Mengen und setze ur := i∈Jnr xi , wr := i∈Inr \Jnr xi für jedes r ∈ N. Dann gilt 1 2 (ur + wr  + ur − wr ) ≥ ur  ≥ ε, also ur + wr  ≥ ε oder ur − wr  ≥ ε. Nun definiere man v ∈ {−1, 1}N durch  vi :=

−1, +1

falls ∃ r ∈ N : i ∈ Jnr und ur − wr  ≥ ε gilt sonst.

Es folgt          x + xi   i     ,    i∈Inr \Jnr i∈J nr   vi xi      =      i∈Inr xi − xi    ,  i∈Inr \Jnr

die Reihe

∞ i=0

  falls ur + wr  ≥ ε      falls ur − wr  ≥ ε    

i∈Jnr

≥ ε;

vi xi ist nicht konvergent.

In vollständigen normierten K-Vektorräumen (V,  ) sind die absolut summierbaren Familien auch summierbar (s. 3.5-1.1 (a)). Umgekehrt muß (V, d  ) vollständig sein, wenn jede absolut summierbare Familie summierbar sein soll (s. 3.5-6). Als Vorbereitung für den Beweis wird zunächst die Summierbarkeit im C-Banach-Raum (C, | |) genauer untersucht. Für jede Familie (xi )i∈I ∈ (R+ )I sei
 xi sx := sup

 E ∈ Pe I ∈ R+ ∪ {∞}.

i∈E

Für sx ∈ R+ ist (xi )i∈I summierbar (in (C, | |)) mit gilt

i∈I

xi = sx , und für sx = ∞

∀ C > 0 ∃ EC ∈ Pe I ∀ E ∈ Pe I : E ⊇ EC ⇒



xi > C,

i∈E

eine der Summierbarkeit (mit Summe ∞) ähnliche Aussage. Man verwendet deshalb auch hierfür und allgemeiner für Familien (xi )i∈I ∈ (R+ ∪ {∞})I die Schreibweisen    xi := lim xi := sx i∈I

i∈E

E∈Pe I

((xi )i ist uneigentlich summierbar). Mit diesen Bezeichnungen erhält man

3.5 Summation in Banach-Räumen, (L2 (I),
2 )

237

Satz 3.5-5 I, J seien nichtleere Mengen, (xi )i∈I ∈ (R+ )I , (yj )j∈J ∈ (R+ )J .   xi ≤ yi (a) (I = J, ∀ i ∈ I : xi ≤ yi ) =⇒ i∈I

i∈I

Speziell: (yi )i∈I summierbar

=⇒

(xi )i∈I summierbar

((yi )i ist Majorante für (xi )i .) (b) Für jede Partition { Il | l ∈ L } von I gilt    xi = xi i∈I



(c)

xi yj =



l∈L

xi



i∈I

(i,j)∈I×J

(Assoziativität).

i∈Il

 (mit 0 · ∞ := ∞ · 0 := 0)

yj

j∈J

Beweis

xi ≤ i∈E yi . Zu (b) Ist (xi )i summierbar, so wende man 3.5-2 an. Für i∈I xi = ∞, jedes E ∈ Pe I folgt wegen     xi = xi ≤ xi

Zu (a) Für jedes E ∈ Pe I gilt nach Voraussetzung



i∈E



l∈L i∈Il ∩E



i∈E

l∈L i∈Il

xi = ∞.   Zu (c) Mit der Partition {i} × J i ∈ I von I × J erhält man aus (b)       xi yj = xi yj = yj . xi auch

l∈L

i∈Il

(i,j)∈I×J

i∈I

j∈J

i∈I

j∈J

Dabei gilt die letzte Gleichung wegen der Stetigkeit der Multiplikation (falls (yj )j∈J summierbar) bzw. der Vereinbarungen (s. Anhang 1-37)  0 für xi = 0 xi · ∞ := ∞ für xi > 0 und j∈J xi yj = ∞ für xi = 0 (falls j∈J yj = ∞). Hieraus folgt mit der analogen Begründung     xi yj = yj xi , (i,j)∈I×J

j∈J

i∈I

3 Vollständige pseudometrische Räume

238

sofern (yj )j summierbar ist. Sei also y = ∞. Sind alle xi = 0, so gilt  j∈J j  yj definitionsgemäß. Mit xi0 = 0 (für (i,j)∈I×J xi yj = 0 = i∈I xi  j∈J  ein i0 ∈ I) ist j∈J xi0 yj = xi0 j∈J yj = ∞ und damit i∈I xi j∈J yj =    ✷ ∞= i∈I xi j∈J yj  i∈I xi ≥ xi0 . Im Gegensatz zur allgemeinen Situation bei Banach-Räumen (s. A 2) gilt für (C, | |): Korollar 3.5-5.1 I = ∅ sei eine Menge, (xj )j∈I ∈ CI . Äq (i)

(xj )j∈I absolut summierbar

(ii) (xj )j∈I summierbar Beweis (i) ⇒ (ii) folgt nach 3.5-1.1 (a). (ii) ⇒ (i) Für (xj )j∈I ∈ RI sei Ipos := { j ∈ I | xj ≥ 0 } und

Ineg := { j ∈ I | xj < 0 }.

Gem. 3.5-1.1 (b) ist (xj )j∈Ipos (bzw. (xj )j∈Ineg und damit (−xj )j∈Ineg  A 1 ) summierbar, sofern Ipos = ∅ (bzw. Ineg = ∅) ist. Wegen I = Ipos ∪ Ineg folgt nach 3.5-3 die Summierbarkeit von (|xj |)j∈I , d. h. (xj )j ist absolut summierbar. Für summierbare (xj )j ∈ CI sind auch die Familien (xj )j∈I der Konjugierten  Konjugation ist stetig und additiv auf (C, | |) , der Realteile (Re xj )j∈I bzw. der 1 (xj − xj ); A 1  Imaginärteile (Im xj )j∈I  Re xj = 12 (xj + xj ), Im xj = 2i summierbar, woraus die Summierbarkeit der Majorante (|Re xj | + |Im xj |)j∈I von (|xj |)j∈I  |xj | ≤ |Re xj | + |Im xj |  folgt  s. o. ; A 1 . Nach 3.5-5 (a) ist (xj )j∈I absolut summierbar. ✷ Summierbarkeit in CI läßt sich als Summierbarkeit bzgl. eines noch zu definierenden Integrals interpretieren (s. 5.3-5, 5.3, A 9). 3.5-5.1 ist daher gerade die entsprechende Aussage für diese Integrale (s. 5.3-3, (5.3,3)). Die Äquivalenz in 3.5-5.1 ist auch leicht für R-Banach-Räume endlicher R-Dimension zu beweisen: Korollar 3.5-5.2 (V,  ) sei ein R-Banach-Raum, dimR V = n ∈ N\{0}, I = ∅ eine Menge und (xi )i ∈ V I . Äq (i)

(xi )i∈I absolut summierbar

(ii) (xi )i∈I summierbar

3.5 Summation in Banach-Räumen, (L2 (I),
2 )

239

Beweis (ii) ⇒ (i) Da jede Norm auf V topologisch äquivalent zu  2  1.2-5  und
V −→ Rn ϕ : n i=1 ri bi −→ (r1 , . . . , rn ) ((b1 , . . . , bn ) R-Basis von V ) ein R-linearer, ( 2 ,  2 )-normerhaltender Isomorphismus ist, kann man o. B. d. A. (V,  ) = (Rn ,  2 ) voraussetzen  A 4 . Sei also  (xi )i ∈ (Rn )I summierbar in Rn , τ 2 . Wegen τ 2 = nk=1 τ| |  (2.4,8) (a)  ist gem. 2.4-8 (b) jede der Koordinatenfamilien (xi,k )i ∈ RI , 1 ≤ k ≤ n, summierbar in (R, τ| | ), also absolut summierbar in (R, | |)  3.5-5.1 . Da die Addition
n R −→ R (r1 , . . . , rn ) −→ nk=1 rk  n  n k=1 τ| | , τ| | -stetig ist, folgt die absolute Summierbarkeit von (xi )i in (R ,  1 ) n und damit in (R ,  2 )  1.2-5, A 4 (b) . ✷ Beispiele (3.5,4) (a)

Für Folgen (xi )i ∈ (R+ )N kann nicht zwischen (uneigentlicher) Konvergenz der Reihe ∞ i=0 xi und (uneigentlicher) Summierbarkeit unterschieden werden, es gilt nämlich für jedes a ∈ R+ ∪ {∞}: ∞ Äq (i) i=0 xi = a (ii) i∈N xi = a. (ii) ⇒ (i) gilt – wie im Anschluß an 3.5-4 schon erwähnt – in jedem normierten Vektorraum, sofern (xi )i∈N summierbar ist. Für i∈N xi = ∞ gibt es zu jedem C > 0 max E ∞ ein EC ∈ Pe N mit i=EC xi > C, also i=0 C xi > C. Es folgt i=0 xi = ∞. ∞ (i) ⇒ (ii) Für i=0 xi = ∞ existiert definitionsgemäß zu jedem C > 0 ein nC ∈ N mit n n . Insbesondere erhält man C i∈E xi für alle E ∈ Pe N, i=0 xi ≥ C für jedes n ≥ die E ⊇ NnC erfüllen, also i∈N xi = ∞. n ∞ Sei also a ∈ R+ , i=0 xi = a und ε > 0. Man wähle ein nε ∈ N mit i=0 xi −a < ε für jedes n ≥ nε . Man erhält dann für jedes E ∈ Pe N, E ⊇ Nnε : −ε
1 gilt. Die Funktion
{ r ∈ R | r > 1 } −→ R+ ζ: ∞ r −→ j=1 j1r heißt Riemannsche ζ-Funktion.

3 Vollständige pseudometrische Räume

240

Nach (a) erhält man den (ggf. uneigentlichen) Grenzwert der Reihe ∞  1 = jr j=1

 j∈N\{0}

für jedes r ∈ R, und gem. 3.5-5 (b) folgt   1 = r |z| z∈Z\{0}

z∈N\{0}

1 jr

1 + zr

 z∈N\{0}

1 zr



  N\{0}, { z ∈ Z | −z ∈ N\{0} } ist eine Partition von Z\{0}. . Daher gilt für alle r ∈ R  1 < ∞ ⇐⇒ r > 1. |z|r z∈Z\{0}

Diese Äquivalenz läßt sich analog auf Zm \{0}, m > 1 übertragen: Für alle r ∈ R gilt mit einer beliebigen Norm   auf Rm  z∈Zm \{0}

1 m.

Zum Beweis darf   =  ∞ angenommen werden, da je zwei Normen auf Rm topologisch äquivalent sind  1.2-5; A 4 (b) . Für jedes n ∈ N\{0}, 1 ≤ j ≤ m definiere man m Zm n := { z ∈ Z \{0} | z∞ = n },   m zj ∈ {n, −n} . Zm n,j := z ∈ Zn m m Dann ist { Zm n | n ∈ N\{0} } eine Partition von Z \{0}, Zn = m−1 und |Zm n,j | = 2(2n + 1)

#m j=1

Zm n,j mit

m−1 nm−1 ≤ |Zm ≤ 2m(3n)m−1 = 2 · 3m−1 mnm−1 n | ≤ 2m(2n + 1)

für alle n ∈ N\{0}, 1 ≤ j ≤ m. Es folgt 1 nr−m+1

=

 1 nm−1 2 · 3m−1 mnm−1 2 · 3m−1 m ≤ ≤ = r−m+1 r r r n z∞ n n m

und somit gem. 3.5-5 (a), (b)  1 ≤ r−m+1 n n∈N\{0}

z∈Zn

 z∈Zm \{0}

Schließlich ergibt sich daher  1 < ∞ ⇐⇒ zr∞ m z∈Z \{0}

1 ≤ 2 · 3m−1 m zr∞ 

n∈N\{0}

1 nr−m+1

 n∈N\{0}

0.

3.5 Summation in Banach-Räumen, (L2 (I),
2 )

241

Satz 3.5-6 (V,  ) sei ein normierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C}. Äq (i)

(V,  ) Banach-Raum

(ii) ∀ I = ∅ ∀ (xi )i ∈ V I : (xi )i absolut summierbar ⇒ (xi )i summierbar ∞ ∞ (iii) ∀ (xi )i ∈ V N : i=0 xi  konvergent ⇒ i=0 xi konvergent Beweis (i) ⇒ (ii) ist 3.5-1.1 (a). (ii) ⇒ (iii) Es sei ∞ i=0 xi  konvergent. Gem. (3.5,4) (a) ist (xi )i∈N summierbar, ) absolut summierbar. Nach (ii) also (x i i∈N folgt die Summierbarkeit von (xi )i∈N , die ∞ Reihe i=0 xi konvergiert daher (gegen i∈N xi ). (iii) ⇒ (i) (xi )i∈N ∈ V N sei eine Cauchy-Folge in (V, d  ). Für jedes i ∈ N wähle man ein ki (induktiv), so daß ∀ j, l ≥ ki : xj − xl 
ki

 ∞    ist konvergent  ∞ 1i ist eine gilt. Die unendliche Reihe i=0 xki+1 − xki i=0 2 konvergente , nach   Voraussetzung (iii) existiert daher ein Element v in V ∞Majorante mit v = i=0 xki+1 − xki . Mit der für alle n ∈ N gültigen Gleichung n  





 xki+1 − xki = xkn+1 − xk0

i=0

folgert man xkn+1 n∈N →τ   v + xk0  1.2-2 (b) . Die Cauchy-Folge (xi )i∈N hat   ✷ also die konvergente Teilfolge xkn+1 n∈N und ist somit gem. 3.1-1 konvergent. Dieser Abschnitt schließt mit der Konstruktion eines Hilbert-Raums (L2 (I),
2 ), der sich als Prototyp für die Hilbert-Räume auszeichnet (s. 3.6-7.2). I = ∅ sei eine Menge, K ∈ {R, C},     L2 (I) := (zi )i ∈ K I |zi |2 i∈I summierbar in (K, τ| | )
2 L (I) × L2 (I) −→  K
2 :  (zi )i∈I , (wi )i∈I −→ i∈I zi wi .

und


2 ist wohldefiniert: Für jedes i ∈ I gilt |zi |2 + |wi |2 ≥ 2|zi | |wi | wegen (|zi | − |wi |)2 ≥ 0. Sind also (|zi |2 )i , (|wi |2 )i summierbar in (K, τ| | ), so ist es gem. A 1 und 3.5-5 (a) auch (|zi | |wi |)i∈I = (|zi wi |)i∈I . Da (K, | |) ein Banach-Raum ist, folgt aus der absoluten Summierbarkeit die Summierbarkeit von (zi wi )i∈I  3.5-1.1 oder 3.5-6 .

3 Vollständige pseudometrische Räume

242

L2 (I) ist mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation ein K-Vektorraum (K-Untervektorraum von K I ): Für alle k ∈ K, (zi )i , (wi )i ∈ L2 (I) ist (|kzi |2 )i = (|k|2 |zi |2 )i und auch (|zi |2 + |wi |2 )i summierbar in (K, τ| | )  A 1 . Wegen |zi + wi |2 ≤ 2|zi |2 + 2|wi |2 für jedes i ∈ I folgt mit dem Majorantenkriterium 3.5-5 (a) und A 1 die Summierbarkeit von (|zi + wi |2 )i . (L2 (I),
2 ) ist ein Prähilbertraum (über K)  A 8 . Satz 3.5-7 I = ∅ sei eine Menge, K ∈ {R, C}. (L2 (I),
2 ) ist ein Hilbert-Raum (über K). Beweis Zuzeigen ist nur noch die Vollständigkeit. Sei (xj )j∈N ∈ (L2 (I))N eine Cauchy-Folge  in L2 (I), d 2 , xj = (xj,i )i∈I für jedes j ∈ N, ε > 0. Man wähle ein jε ∈ N mit  |xj,i − xl,i |2 < ε2 ∀ j, l ≥ jε : xj − xl 2 2 = i∈I

und zu jedem j, l ≥ jε ein Eε,j,l ∈ Pe I mit ∀ E ∈ Pe I : E ⊇ Eε,j,l ⇒

 |xj,i − xl,i |2 < ε2 . i∈E

Für jedes F ∈ Pe I erhält man hieraus 

|xj,i − xl,i |2 < ε2 ,

i∈Eε,j,l ∪F



also i∈F |xj,i − xl,i |2 < ε2 , speziell |xj,i − xl,i |2 < ε2 für alle i ∈ I, j, l ≥ jε . (xj,i )j ist somit für jedes i ∈ I eine Cauchy-Folge in (K, d| | ), etwa (xj,i )j →| | zi , zi ∈ K. Es folgt (zi )i ∈ L2 (I) und (xj )j∈N →   (zi )i∈I : 2

Für alle j ≥ jε , F ∈ Pe I gilt  s. o.    |xj,i − xl,i |2 = |xj,i − zi |2 , ε2 ≥ lim l

i∈F



i∈F

also auch ε2 ≥ i∈I |xj,i − zi |2 . Hieraus ergibt sich zunächst xjε − (zi )i∈I ∈ L2 (I), d. h. (zi )i∈I ∈ L2 (I)  xjε ∈ L2 (I), L2 (I) ist K-Vektorraum , und darüber hinaus ✷ die Konvergenz (xj )j →   (zi )i∈I . 2

Für abzählbare Mengen I = ∅ ist (L2 (I),
2 ) im wesentlichen, d. h. bis auf skalarprodukterhaltende K-lineare Isomorphie, einer der in (1.1,3), (1.1,5) (a), (b) definierten Hilberträume (K n ,
2 ), (+2 ,
2 ), (+2R ,
2 ) (vgl. (3.1,2) (a); 3.1, A 17 (a)):

3.5 Summation in Banach-Räumen, (L2 (I),
2 )

243

Satz 3.5-8 I = ∅ sei eine abzählbare Menge, K ∈ {R, C}. Es gilt: (a) (L2 (I),
2 ) ist unitär K-linear isomorph zu (K n ,
2 ), falls |I| = n ∈ N\{0}, (b) (L2 (I),
2 ) ist unitär (bzw. orthogonal) K-linear isomorph zu (+2 ,
2 ) (bzw. (+2R ,
2 )), falls I abzählbar unendlich ist. Beweis Zu (a) Es sei I = {i1 , . . . , in }. Wegen L2 (I) = K I ist
2 n L (I) −→  K  ϕ: x −→ j → xij ein K-linearer Isomorphismus und auch unitär (bzw. orthogonal), denn
x, y2 =

n 

xij yij =

j=1

n 

ϕ(x)(j)ϕ(y)(j) =
ϕ(x), ϕ(y)2 .

j=1

Zu (b) Es sei i : N −→ I bijektiv und
2 2 L (I) −→  +  ϕ: x −→ j → xij . ϕ ist wohldefiniert, denn gem. (3.5,4) (a) ist 

∞    2 2 |xk | = |xij | = |ϕ(x)(j)| = |ϕ(x)(j)|2 , 2

j∈N

k∈I

j=0

j∈N

K-linearer Isomorphismus und auch unitär (bzw. orthogonal): Für alle x, w ∈ L2 (I) ist (xk wk )k∈I summierbar in (K, | |)  s. Text vor 3.5-7 , also    xk wk = xij wij = ϕ(x)(j)ϕ(w)(j)
x, w2 = =

k∈I ∞ 

j∈N

ϕ(x)(j)ϕ(w)(j)

j∈N

 s. Text vor (3.5,3) 

j=0

=
ϕ(x), ϕ(y)2 . Korollar 3.5-8.1 I = ∅ sei eine Menge, K ∈ {R, C}.   Äq (i) L2 (I), τ 2 separabel (ii) I abzählbar

✷

3 Vollständige pseudometrische Räume

244 Beweis

(i) ⇒ (ii) I sei überabzählbar und x(j) : I −→ K für jedes j ∈ I definiert durch  1 für i = j (j) x (i) := 0 sonst. Für alle j, l ∈ I, j = l, ist dann x(j) = x(l) und 1/2

d 2 (x(j) , x(l) ) = x(j) − x(l)  2 =
x(j) − x(l) , x(j) − x(l) 2  1/2 √ =
x(j) , x(j) 2 +
x(l) , x(l) 2 = 2,   d  d  d  also K1/2 2 (x(j) ) ∩ K1/2 2 (x(l) ) = ∅. Die Menge K1/2 2 (x(j) ) j ∈ I ⊆ τ 2 ist überabzählbar und jedes ihrer Elemente enthält aus jeder dichten Teilmenge D von L2 (I) ein Element, D kann deshalb nicht abzählbar sein. (ii) ⇒ (i) gem. 3.5-8 und (2.2,4) (a), (c).

✷

Aufgaben zu 3.5 1. (V,  ) sei ein normierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C}, I = ∅ eine Menge, (xi )i , (yi )i ∈ V I , k ∈ K, a, b ∈ V und i∈I xi =τ   a, i∈I yi =τ   b. Man zeige: (kxi )i , (xi + yi )i sind summierbar, und es gilt        kxi = k xi , (xi + yi ) = xi + yi . i∈I

τ



i∈I

τ

i∈I



i∈I

i∈I

2. Man gebe eine Folge in (+2R ,  2 ) an, die summierbar, aber nicht absolut summierbar ist!   3. (V,  ) sei ein K-Banach-Raum, K ∈ {R, C}, x(i,j) (i,j)∈N×N ∈ V N×N summierbar (in (V, τ  )). Man beweise    x(i,j) = x(i,j) = x(i,j) ! (i,j)∈N×N

i∈N j∈N

j∈N i∈N

4. (V, N ) und (W, M ) seien normierte K-Vektorräume, ϕ : V −→ W (N, M )-normerhaltend, I = ∅ eine Menge und (vi )i ∈ V I . (a)

(vi )i absolut summierbar in (V, N ) ⇐⇒ (ϕ(vi ))i absolut summierbar in (W, M )

(b) Für V = W , N topologisch äquivalent zu M gilt (vi )i absolut summierbar in (V, N )

⇐⇒

(vi )i absolut summierbar in (V, M ).

5. Man gebe eine in (+2 ,  2 ) unbedingt konvergente unendliche Reihe an, die nicht absolut konvergiert!

3.5 Summation in Banach-Räumen, (L2 (I),
2 )

245

6. I = ∅ sei eine Menge, x, y ∈ [0, 1[, p ∈ R, (xj )j∈I ∈ (R+ )I summierbar in (R, τ| | ). Man zeige: (a)

(xn y m )(n,m)∈N×N summierbar,

(b) p ≥ 1

=⇒

(xpj )j∈I summierbar

in (R, τ| | ). 7. I = ∅ = J seien Mengen, (V,
) ein Prähilbertraum, (xi )i∈I ∈ V I und (yj )j∈J ∈ V J summierbar in (V, d  ). Man zeige: 6     7  xi , yj =
xi , yj  =
xi , yj  . i∈I

j∈J

i∈I

j∈J

j∈J

i∈I

8. I = ∅ sei eine Menge. Man rechne nach, daß (L2 (I),
2 ) ein Prähilbertraum ist! 9. (V, τ) sei ein T2 -topologischer K-Vektorraum, ν eine Pseudonorm auf V mit τdν = τ. Äq (i)

(V, τ) topologisch vollständig ∞ ∞ (ii) ∀ (vj )j ∈ V N : j=0 ν(vj ) konvergent ⇒ j=0 vj konvergent

(Hinweis: 3.3-6, Beweis zu 3.5-6) 10. Es seien a, b ∈ R, a < b, BV ([a, b]) := { f : [a, b] −→ R | V (f ) < ∞ } die Menge aller reellwertigen Funktionen f von beschränkter Variation V (f ) (vgl. (2.4,6) (a)) auf [a, b], BV 0 ([a, b]) := { f ∈ BV ([a, b]) | f (a) = 0 } und  V : BV ([a, b]) −→ R+ definiert durch f V := |f (a)| + V (f ). Man zeige: (a)

(BV ([a, b]),  V ) ist ein Banach-Raum über R, V eine Halbnorm, jedoch keine Norm auf BV ([a, b]).

(b) (BV 0 ([a, b]), V ) ist ein Banach-Raum.

3 Vollständige pseudometrische Räume

246

3.6 Hilbert-Räume In Prähilberträumen (V, S) steht neben den algebraischen Operationen des Vektorraums V und den analytischen Eigenschaften des normierten Vektorraums (V,  S ) noch ein geometrisches Instrument, das der Winkelmessung, zur Verfügung: Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung 1.1-8 gilt |S(x, y)| ≤ 1 für alle x, y ∈ V \{0}. xS yS Im R-Vektorraum V kann man daher den Winkel αx,y zwischen x, y analog wie im S(x,y) definieren. Dadurch wird (Rn ,
2 ) durch (den Hauptwert in ]−π, π]) arccos x S yS dann beispielsweise die sinngemäße Übertragung der Orthogonalität   (⇐⇒ S(x, y) = 0) x orthogonal zu y :gdw αx,y ∈ − π2 , π2 ermöglicht, und diejenigen Eigenschaften des euklidischen Raums (Rn ,
2 ), die allein mit den Mitteln des Hilbertraums (Rn ,
2 ) beweisbar sind, haben die entsprechende Bedeutung in jedem R-Hilbert-Raum. Diese Erkenntnis führt zu einer ergebnisreichen Analysis in, bzw. Funktionalanalysis über Hilbert-Räumen mit vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten. Für die Optimierung und damit für zahlreiche numerische Verfahren ist der folgende Satz über den Minimalabstand eines jeden Elements x zu einer vollständigen konvexen Teilmenge C von elementarer Bedeutung, da er die bestmögliche Approximation von x durch ein Element von C ermöglicht. Satz 3.6-1

  (V,
) sei ein Prähilbertraum, ∅ =  C ⊆ V konvex, x ∈ V . Ist C, d 
C × C vollständig, so gibt es genau ein c0 ∈ C, für das dist(x, C) = x − c0   gilt. Beweis N Es sei D :=  dist(x, C) = inf{ x − c  | c ∈ C} und (xj )j ∈ C , x − xj   j →τ | | D. Dann ist (xj )j eine Cauchy-Folge in C, d  :

Die Parallelogrammgleichung 1.1-8.3 liefert für die Elemente x − xj , x − xk die Abschätzung 2x − xj 2  + 2x − xk 2  = x − xj − (x − xk )2  + x − xj + (x − xk )2   2 = xk − xj 2  + 4x − 12 (xj + xk )  ≥ xk − xj 2  + 4D2  12 (xj + xk ) ∈ C, da C konvex . Aus x − xj 2  − D2 < ε/4 für alle j ≥ jε folgt

3.6 Hilbert-Räume daher

247

    xk − xj 2  ≤ 2 x − xj 2  − D2 + 2 x − xk 2  − D2 < ε

für alle j, k ≥ jε . Sei c0 ∈ C  der Limesvon (xj )j in C. Wegen der Stetigkeit  2.4, A 13  der Norm    gilt x − xj   j →τ | | x − c0   , also D = x − c0   .   Ist für c1 ∈ C ebenfalls x − c1   = D, so auch x − 12 (c0 + c1 )  ≥ D, weil 1 2 (c0 + c1 ) wegen der Konvexität von C zu C gehört. Die Parallelogrammgleichung 1.1-8.3 ergibt für x − c0 , x − c1 dann wie vorher c1 − c0 2  ≤ 2x − c1 2  + 2x − c0 2  − 4D2 = 0, also c0 = c1 .

✷

Der Beweis zu 3.6-1 liefert noch Korollar 3.6-1.1

  (V,
) sei ein Prähilbertraum, x ∈ V , ∅ = C ⊆ V konvex und C, d 
C × C vollständig. Für jede Folge (xj )j ∈ C N gilt:   Äq (i) x − xj   j →τ | | dist(x, C)   (ii) (xj )j konvergent in C, d 
C × C und dist(x, C) = d  (x, limj xj ). ✷ Das gem. 3.6-1 den Minimalabstand von x zu C liefernde Element c0 bezeichnet man als orthogonale Projektion πC (x) von x auf C (s. auch die Interpretation im Anschluß an 3.6-3, Seite 252). Die Berechnung von πC (x) erfolgt in 3.6-3 (für endlichdimensionale Untervektorräume C) bzw. 3.6-4.2 (für beliebige vollständige Untervektorräume). Beispiel (3.6,1) In normierten Vektorräumen (V,  ) gilt eine zu 3.6-1 analoge Aussage i. a. nicht: In (R2 ,  ∞ ) sei C := { (x, y) ∈ R2 | y ≥ 1 } (∈ ατ ∞ konvex). Jedes Element aus   (x, 1) ∈ C |x| ≤ 1 hat den Minimalabstand dist((0, 0), C) = 1, Eindeutigkeit ist daher nicht vorhanden. Auch die Existenz eines den Minimalabstand liefernden Elements kann i. a. nicht einmal in Banach-Räumen nachgewiesen werden (s. (6.1,11)).

Die folgenden Begriffe sind – wie eingangs erwähnt – der Geometrie des Anschauungsraums (Rn ,
2 ) entnommen.

3 Vollständige pseudometrische Räume

248 Definition

(V,
) sei ein Prähilbertraum über K, K ∈ {R, C}, x, y ∈ V und S, T ⊆ V . x orthogonal zu y

:gdw
x, y = 0

x orthogonal zu T

:gdw ∀ t ∈ T :
x, t = 0

S orthogonal zu T

:gdw ∀ s ∈ S ∀ t ∈ T :
s, t = 0

Als Schreibweisen werden dann x ⊥ y, x ⊥ T bzw. S ⊥ T verwendet. S Orthogonalmenge

:gdw 0 ∈ S, ∀ s, s
∈ S : s = s
⇒ s ⊥ s


S Orthonormalmenge

:gdw S Orthogonalmenge, ∀ s ∈ S : s  = 1

S ⊥ := { x ∈ V | x ⊥ S } heißt Orthogonalraum zu S (in (V,
)). Beispiele (3.6,2) (a)

In (Rn ,
2 ) ist



δi,j

 i

 ∈ Rn 1 ≤ j ≤ n eine Orthonormalmenge.

Allgemeiner: I = ∅ seieine Menge. Im Prähilbertraum (L2 (I),
2 ) (s. 3.5-7) ist   δi,j i ∈ L2 (I) j ∈ I eine Orthonormalmenge.

b (b) Es seien a, b ∈ R, a < b und
 das auf C([a, b]) gem. (1.1,5) (c) durch
f, g := a f g √ definierte Skalarprodukt. Für jedes k ∈ Z sei (mit i = −1)   [a, b] −→ C t−a 1 expk : e2πik b−a .  t −→ √ b−a Wegen !

"



b

expk , expj = a

ist



1 expk expj = b−a





b

e

t−a 2πi(k−j) b−a

dt =

a

1 für k = j 0 für k = j

 expk k ∈ Z eine Orthonormalmenge in (C([a, b]),
).

Satz 3.6-2 (V,
) sei ein Prähilbertraum über K, K ∈ {R, C}, S ⊆ V eine Orthogonalmenge und B ∈ Pe V eine Orthonormalmenge in (V,
), x, y ∈ V . (a) Für K = R ist Äq (i)

x⊥y

(ii) x + y2  = x2  + y2 

(Pythagoras)

und für K = C: x⊥y

=⇒

x + y2  = x2  + y2  .

3.6 Hilbert-Räume

249

(b) S ist K-linear unabhängig. 2 2 (c) (Bessel-Ungleichung) und b∈B |
x, b| ≤ x  2 2 Äq (i) b∈B |
x, b| = x  (ii) x = b∈B
x, bb. (allgemeine Bessel-Ungleichung) (d) b∈B |
x, b| |
y, b| ≤ x  y  Beweis Zu (a) Es ist x + y2  =
x + y, x + y =
x, x +
x, y +
x, y +
y, y  2
x, y für K = R 2 2 = x  + y  + 2 Re(
x, y) für K = C. Zu (b) Sind s1 , . . . , sn ∈ S paarweise verschieden und (k1 , . . . , kn ) ∈ K n , so folgt für jedes l ∈ {1, . . . , n} 0 =
0, sl  =

6 n

7 kj sj , sl

=

j=1

n 

n

j=1 kj sj

= 0 für ein

kj
sj , sl  = kl
sl , sl ,

j=1

also kl = 0.

  Zu (c) {
x, bb | b ∈ B } ∪ x − b∈B
x, bb besteht aus paarweise zueinander orthogonalen Elementen, denn 7 6  


x, bb,
x, b b =
x,
x, b
b
 −
x, b
b,
x, b
b
 x− b∈B

b∈B

=


x, b

x, b


−
x, b

x, b
 = 0.

Gem. (a) folgt daher x  2

  2     = 
x, bb + x −
x, bb   b∈B

=

 b∈B


x, bb2 

 

b∈B

 2     + x −
x, bb  b∈B

 2     2  = |
x, b| + x −
x, bb  , b∈B

b∈B

 

 

3 Vollständige pseudometrische Räume

250

woraus man x2  ≥ b∈B |
x, b|2 und weiter wegen 2      x −
x, bb
x, bb  = 0 ⇐⇒ x =   

b∈B

b∈B

auch die behauptete Äquivalenz erhält. Zu (d) 

|
x, b| |
y, b| ≤

b∈B



|
x, b|

2

b∈B

1/2 

1/2 |
y, b|

2

 1.1-2.1 

b∈B

≤ x  y 

 (c) 

✷

Die Bessel-Ungleichungen 3.6-2 (c), (d) gelten für beliebige Orthonormalmengen: Korollar 3.6-2.1 B sei eine Orthonormalmenge im Prähilbertraum (V,
) über K, x, y ∈ V . 2 2 (Bessel-Ungleichung) (a) b∈B |
x, b| ≤ x  Insbesondere ist { b ∈ B |
x, b = 0 } abzählbar. (allgemeine Bessel-Ungleichung) (b) b∈B |
x, b| |
y, b| ≤ x  y  Beweis

Zu (a) Für alle E ∈ Pe B gilt gem. 3.6-2 (c) x2  − b∈E |
x, b|2 ≥ 0, also ist auch
   2 2 |
x, b| = sup |
x, b| E ∈ Pe B ≤ x2  . b∈B

b∈E

Die Abzählbarkeit von { b ∈ B |
x, b = 0 } folgt nun nach 1.2-8. Der Beweis zu (b) ergibt sich mit 3.6-2 (d) analog zu dem von (a).

✷

Die Berechnung von Projektionen πC (x) für endlichdimensionale Untervektorräume C von V (s. 3.6-3) ist insbesondere im Hinblick auf die numerische Minimalabstandsbestimmung von x zu vollständigen Untervektorräumen U von V wichtig. Eine einfache Situation mag dies verdeutlichen: Beispiel (3.6,3) (Cn )n∈N sei eine Folge endlichdimensionaler K-Untervektorräume Cn im Hilbert-Raum # τ  (V,
), Cn ⊆ Cn+1 für jedes n ∈ N und U = n∈N Cn , x ∈ V . Gem. 3.6-1 gibt es genau ein u ∈ U mit dist(x, U ) = d  (x, u). Die (numerische) Berechnung von u und

3.6 Hilbert-Räume

251

d  (x, u) kann dann dadurch erfolgen, daß man das Minimalabstandsproblem cn ∈ Cn   für jedes n ∈ N löst, den Limes u der Folge (cn )n in U, τ  |U und den Abstand d    (x, U ) = d  (x, u) bestimmt. Zur Begründung ist gem. 3.6-1.1 nur die Konvergenz d  (x, cn ) n →τ | | dist(x, U ) zu zeigen  U ist als abgeschlossene Teilmenge des Hilbertraums (V,
) vollständig! : # # τ  Sei also ε > 0, y ∈ n∈N Cn mit d  (x, y) < dist(x, U ) + (ε/2) und z ∈ n∈N Cn mit d  (y, z) < ε/2, etwa z ∈ Cnε für ein nε ∈ N. Dann gilt für jedes n ≥ nε dist(x, Cn ) = d  (x, cn ),

dist(x, U ) ≤ d  (x, cn ) ≤ d  (x, z)

 z ∈ Cn 

≤ d  (x, y) + d  (y, z) < dist(x, U ) + ε. Hier sei angemerkt, daß dieses Verfahren zum gleichen Ergebnis führt, wenn man (Cn )n nur als aufsteigende Folge abgeschlossener konvexer, nichtleerer Teilmengen des Hilbert-Raums # τ  (V,
) voraussetzt  U = n∈N Cn ist konvex gem. 2.4-18 (b). .

Die Berechnung der Minimalstelle und des Minimalabstands erfolgt zunächst für endlichdimensionale Untervektorräume: Satz 3.6-3 (V,
) sei ein Prähilbertraum über K, ∅ = B ∈ Pe V eine Orthonormalmenge und x ∈ V . Es gilt:       lin  
x, bb und = x − dist x, B   

b∈B

  lin 2 = x2  − |
x, b|2 . dist x, B b∈B

Beweis Für alle k ∈ K B errechnet man 2  6 7       x − kb b kb
b, x − kb
x, b + kb b, kb b  =
x, x −  b∈B

 

b∈B

= x  + 2

−





b∈B

b∈B

b∈B

|kb | − kb
x, b − kb
x, b +
x, b
x, b 2



b∈B


x, b
x, b

b∈B

= x2  +

 b∈B

|kb −
x, b|2 −



|
x, b|2 ,

b∈B

wobei der kleinste Wert genau für die Wahl kb =
x, b, b ∈ B, erreicht wird.

✷

3 Vollständige pseudometrische Räume

252

Im Anschauungsraum (R3 ,
2 ) bedeutet 3.6-3, daß der Minimalabstand von x zu lin

einem Untervektorraum W = {b1 , b2 } der Dimension 2 genau für die Projektion πW (x) =
x, b1 b1 +
x, b2 b2 angenommen wird (vgl. Abb. 3.6-1). Daher die Bezeichnung orthogonale Projektion πW (x) von x auf W .

b3

x

x − πW (x)
x,b2 b2


x,b1 b1

b2 πW (x)

b1

Abbildung 3.6-1

Die hier zu bemerkende Beziehung x − πW (x) ∈ W ⊥ gilt auch allgemein und charakterisiert πW (x): Satz 3.6-4 (V,
) sei ein Prähilbertraum über K, x ∈ V , W ein K-Untervektorraum von V und w ∈ W . Es gilt: Äq (i)

dist(x, W ) = d  (x, w)

(ii) x − w ∈ W ⊥ . In diesem Fall nennt man w = πW (x) ebenfalls die (gem. Beweis zu 3.6-1 eindeutig bestimmte) orthogonale Projektion von x auf W . Beweis (i) ⇒ (ii) Für jedes z ∈ W \{0} ist y := w + x − y  2

x−w,z z z2 

∈ W , und es gilt

8
x − w, z 9 = x − w, x − w − z z2  8
x − w, z
x − w, z 9 z, x − w − z − z2  z2 

3.6 Hilbert-Räume

253

= x − w2  − +


x − w, z
x − w, z
x − w, z −
z, x − w 2 z  z2 

|
x − w, z|2
z, z z4 

= x − w2  −

|
x − w, z|2 , z2 

woraus
x − w, z = 0 folgt  Sonst wäre x − y  < x − w  . . (ii) ⇒ (i) Für jedes z ∈ W ist z −w ∈ W und daher (z −w)⊥(x−w) gem. (ii). Nach 3.6-2 (a) erhält man z −w2  +x−w2  = x−z2  , also x−z  > x−w  für jedes z = w. Somit ist w = πW (x). ✷ Korollar 3.6-4.1 (V,
) sei ein Prähilbertraum über K, W ein K-Untervektorraum von V .   Ist W, d 
W × W vollständig, so gilt (a) V = W ⊕ W ⊥

(orthogonale Zerlegung von V )

(b) W ⊥⊥ = W . Beweis Zu (a) Gem. A 1 (b) ist W ⊥ ein (abgeschlossener) K-Untervektorraum von V , und für jedes z ∈ W ∩ W ⊥ gilt
z, z = 0, also z = 0. Die Summe W + W ⊥ ⊆ V ist daher direkt. Für jedes x ∈ V erhält man mit 3.6-4 x − πW (x) ∈ W ⊥ , d. h. x ∈ πW (x) + W ⊥ . Zu (b) Sei x ∈ W ⊥⊥ . Wegen x − πW (x) ∈ W ⊥  3.6-4  folgt 0 =
x, x − πW (x) =
πW (x) + (x − πW (x)), x − πW (x) =
πW (x), x − πW (x) + x − πW (x)2  = x − πW (x)2 

 πW (x) ∈ W , x − πW (x) ∈ W ⊥ ,

also x = πW (x) ∈ W . W ⊆ W ⊥⊥ gilt für jede Teilmenge W von V  A 1 (a) .

✷

In Hilbert-Räumen (V,
) hat 3.6-4.1 (a) zufolge jeder abgeschlossene Untervektorraum W einen abgeschlossenen direkten Summanden, nämlich W ⊥ . In BanachRäumen ist eine derartige direkte Zerlegung i. a. nicht möglich, beispielsweise gilt +∞ = c0 ⊕ W für jeden abgeschlossenen Untervektorraum W von (+∞ ,  ∞ ) (vgl. [55]). Man kann darüber hinaus sogar beweisen, daß die angegebene Zerlegungseigenschaft charakteristisch für die Hilbert-Räume ist. Es gilt nämlich:

3 Vollständige pseudometrische Räume

254

Ist (V,  ) ein Banach-Raum, in dem jeder abgeschlossene Untervektorraum W einen abgeschlossenen direkten Summanden U mit V = W ⊕ U besitzt, so kann τ  durch ein Skalarprodukt auf V induziert werden (vgl. [51]). Definitionen B sei eine Orthonormalmenge im Prähilbertraum (V,
) über K. B Orthonormalbasis von (V,
) :gdw ∀ x ∈ V ∀ b ∈ B ∃ kb (x) ∈ K : x =



kb (x)b.

b∈B

Die Koeffizienten kb (x) in dieser Darstellung sind (für beliebige Orthonormalmengen B) infolge 7 6  kb (x)b
, b = kb (x)
b
, b  2.4, A 18 (c) 
x, b = b ∈B

b ∈B

= kb (x) bestimmt und heißen Fourier-Koeffizienten von x (bzgl. b ∈ B). Das Netz  eindeutig
x, bb heißt orthogonale Entwicklung (auch Fourier-Reihe) von x b∈E E∈Pe B (bzgl. der Orthonormalmenge B). Beispiel (3.6,4) Es sei { expk | k ∈ Z } die Orthonormalmenge im Prähilbertraum (C([a, b]),
) aus (3.6,2) (b). Die Funktionen ck , sk : [a, b] −→ R seien für jedes k ∈ N\{0} durch : :   2 2 t − a t − a cos 2πk sin 2πk ck (t) := , sk (t) := b−a b−a b−a b−a definiert. Dann ist T := {exp0 } ∪ { ck | k ∈ N\{0} } ∪ { sk | k ∈ N\{0} } eine Orthonormalmenge in (C([a, b]),
) (also auch in (CR ([a, b]),
)): Für jedes k ∈ N\{0} gilt ck =

expk + exp−k √ 2

und sk =

expk − exp−k √ . i 2

Speziell für a = 0, b = 1 erhält man für f ∈ C([0, 1]) die folgenden (wohlbekannten) Fourier-Koeffizienten bzgl. T :  1
f, exp0  = f (t) dt, 

0 1


f, ck  =

f (t)ck (t) dt = 0

√  2

1

f (t) cos(2πkt) dt 0

und

3.6 Hilbert-Räume

255 

1


f, sk  =

f (t)sk (t) dt =

√  2

0

1

f (t) sin(2πkt) dt.

0

Die Bessel-Ungleichung 3.6-2.1 (a) lautet daher 

1 0

+ ∞   2  f (t) dt + 2 k=1

0

1

2  f (t) cos(2πkt) dt +

1 0

2 , f (t) sin(2πkt) dt 

1

|f (t)|2 dt

≤ 0

 (3.5,4) (a) , wobei sogar Gleichheit (Parsevalsche Gleichung) gegeben ist (s. (3.6,5)).

3.6-3 und das folgende Korollar 3.6-4.2 beschreiben die Minimaleigenschaften der Fourier-Koeffizienten. Korollar 3.6-4.2 (Minimaleigenschaft der Fourier-Koeffizienten) W sei ein K-Untervektorraum des Prähilbertraums (V,
), (W,

W × W ) ein Hilbert-Raum mit der Orthonormalbasis B, x ∈ V mit der Projektion πW (x) ∈ W . Dann ist 
x, bb. πW (x) = b∈B

Beweis Gem. 3.6-4 ist x − πW (x) ∈ W ⊥ . Für jedes b ∈ B folgt daher
x, b =
x − πW (x), b +
πW (x), b =
πW (x), b, also πW (x) = b∈B
πW (x), bb = b∈B
x, bb.

✷

Die Frage nach der Existenz von Orthonormalbasen wird für Hilbert-Räume in 3.6-7 positiv beantwortet. Für jede Orthonormalmenge B = ∅ gehört die Familie (
x, b)b∈B der FourierKoeffizienten von x (bzgl. B) zu L2 (B)  3.6-2.1 (a) , und die Fourier-Abbildung
V −→ L2 (B) fB : x −→ (
x, b)b∈B ist K-linear, denn fB (kx + ly)(b) =
kx + ly, b = k
x, b + l
y, b = kfB (x)(b) + lfB (y)(b) für alle k, l ∈ K, x, y ∈ V , b ∈ B. Die Surjektivität von fB für Hilbert-Räume folgt aus

3 Vollständige pseudometrische Räume

256 Satz 3.6-5 (Riesz, Fischer, 1907)

B = ∅ sei eine Orthonormalmenge im Hilbert-Raum (V,
) über K, (zb )b∈B ∈ K B . Es gilt: Äq (i)

(zb )b∈B ∈ L2 (B)

  (ii) (zb b)b∈B summierbar in V, τ 

Beweis (i) ⇒ (ii) Gem. 3.6-2 (a) ist      2  zb b zb b2  = |zb |2  =  b∈E

 

b∈E

b∈E

  für jedes E ∈ Pe B erfüllt. Da nach (i) |zb |2 b∈B summierbar in (R, τ| | ) ist, folgt aus 3.5-1  |zb |2 < ε2 , ∀ ε > 0 ∃ Eε ∈ Pe B ∀ E ∈ Pe B : E ∩ Eε = ∅ ⇒ b∈E

2  2 wegen  b∈E zb b  = b∈E |zb | also wiederum nach 3.5-1 die Summierbarkeit von (zb b)b∈B  (V, d  ) ist vollständig! . (ii) ⇒ (i) Für x = b∈B zb b = limE∈Pe B b∈B zb b erhält man nach 2.4-8 (b)   
zb b, zb b →τ  τ  (x, x) b∈E

b ∈E

E∈Pe B

und wegen der Stetigkeit des Skalarprodukts  2.4, A 18 (c)  7 6 
zb b, zb b →τ | |
x, x, b∈E

b ∈E

E∈Pe B

" !
=
2 wobei b∈E zb b, b ∈E zb b b∈E b ∈E zb zb
b, b  = b∈E |zb | für jedes E ∈ Pe B gilt. ✷ Korollar 3.6-5.1 B = ∅ sei eine Orthonormalmenge im Hilbert-Raum (V,
) über K. Die FourierAbbildung
V −→ L2 (B) fB : x −→ (
x, b)b∈B ist ein K-linearer Epimorphismus.

3.6 Hilbert-Räume

257

Beweis 2 Für jedes (zb )b∈B ∈ L (B) ist (zb b)b∈B gem. 3.6-5 summierbar in (V, τ  ), etwa ✷ z = b∈B zb b. Es folgt
z, b = zb für jedes b ∈ B, also (zb )b∈B = fB (z).

Aus 3.6-5 kann nicht  gefolgert werden, daß jedes x ∈ V Grenzwert seiner orthogonalen Entwicklung b∈E
x, bb E∈Pe B , also B Orthonormalbasis von (V,
) ist: 2 Wegen der Bessel-Ungleichung 3.6-2.1 (a) gehört zwar (
x, b)b∈B zu L (B), d. h. (
x, bb)b∈B ist summierbar in (V,
), und mit y := b∈B
x, bb gilt auch fB (y) = fB (x), jedoch i. a. nicht x = y (fB ist also i. a. nicht injektiv!)  Dieses ist bereits in (R2 ,
2 ) erkennbar. .

Die Injektivität von fB ist genau dann gegeben, wenn B eine Orthonormalbasis im Hilbert-Raum (V,
) ist: Ist fB injektiv, x ∈ V , so gibt es gem. 3.6-5 ein y ∈ V mit y = b∈B
x, bb, also gilt fB (y) = (
y, b)b∈B = (
x, b)b∈B = fB (x) und daher x = y. Umgekehrt folgt für Orthonormalbasen B für alle x, y ∈ V , x = b∈B
x, bb, y = b∈B
y, bb aus fB (x) = fB (y) sofort x = y, da Limiten in metrischen Räumen eindeutig sind. Zur Charakterisierung der Orthonormalbasen und ihrer Existenz zunächst Satz 3.6-6 B sei eine Orthonormalmenge im Prähilbertraum (V,
) über K. Es gilt: (a) B ist in einer in (V,
) maximalen Orthonormalmenge enthalten. (b) Äq (i)

B maximale Orthonormalmenge in (V,
)

(ii) ∀ x ∈ V : x ⊥ B ⇒ x = 0 (Orthonormalmengen B, die (ii) erfüllen, heißen vollständig.) (c) B Orthonormalbasis von (V,
)

=⇒

B maximale Orthonormalmenge

Beweis Zu (a) Es sei B := { T ⊆ V | B ⊆ T, T Orthonormalmenge in (V,
) }. # Wegen B ∈ B ist B = ∅. Jede ⊆-aufsteigende Kette K ⊆ B hat K ∈ B als obere Schranke. Nach dem Zornschen Lemma (Anhang 1-16) besitzt B ein maximales Element Bmax , das maximale Orthonormalmenge in (V,
) ist mit B ⊆ Bmax .   Zu (b) (i) ⇒ (ii) Sei x ∈ V \{0}, x ⊥ B. Dann ist B ∪ x1 x eine Orthonor  malmenge in (V,
), die B als echte Teilmenge enthält.

3 Vollständige pseudometrische Räume

258

(ii) ⇒ (i) Ist B keine maximale Orthonormalmenge in (V,
), so gibt es gem. (a) eine Orthonormalmenge Bmax in (V,
), die B echt enthält. Für jedes x ∈ Bmax \B gilt dann x ⊥ B und x = 0. Zu (c) Es sei x ∈ V , x ⊥ B. Da B Orthonormalbasis von (V,
) ist, erhält man ✷ x = b∈B
x, bb = 0, und die Behauptung folgt nach (b). Satz 3.6-7 B sei eine Orthonormalmenge im Prähilbertraum (V,
) über K. (a) Äq (i)

B ist Orthonormalbasis von (V,
)

(ii) B

lin

τ



=V 2 2 (Parsevalsche Gleichung) (iii) ∀ x ∈ V : b∈B |
x, b| = x  (iv) ∀ x, y ∈ V : b∈B
x, b
y, b =
x, y (allgemeine Parsevalsche Gleichung)

(b) Ist (V,
) ein Hilbert-Raum, so gilt Äq (i)

B maximale Orthonormalmenge in (V,
)

(ii) B Orthonormalbasis von (V,
) Beweis Zu (a) (i) ⇒ (ii) Für jedes x ∈ V gilt gem. (i) x=




x, bb = lim

E∈Pe B

b∈B




x, bb ∈ B

lin

τ

x  −



.

b∈E

(ii) ⇒ (iii) Es sei x ∈ V und ε > 0. Nach (ii) wähle man ein 2   x − b∈E cb b   < ε erfüllt. Dann gilt auch  3.6-3  2





b∈E cb b

 2     lin 2 |
x, b| = 
x, bb in+k , und yn+k+1 := xin+k+1 . Die Menge C := O∪{ yn+j+1 | j ∈ N } lin

lin

lin

τ



⊇ X , also C = V . Das Schmidtsche ist K-linear unabhängig und C Orthonormalisierungsverfahren auf C = { cj | j ∈ N } mit  bj für 0 ≤ j ≤ n cj := yj für j ≥ n + 1 angewendet ergibt die Orthonormalmenge B = { bj | j ∈ N }  b0 , . . . , bn waren bereits paarweise orthonormal, werden also durch das Verfahren nicht verändert! . Nach 3.6-9 (b) ist B Orthonormalbasis von (V,
), und es gilt O ⊆ B. ✷ In Erweiterung von 3.6-7.3 erhält man Korollar 3.6-9.2 (V,
) sei ein Prähilbertraum (über K), V = {0}. Äq (i)

(V, τ  ) separabel

(ii) ∃ B ⊆ V : B abzählbar und B Orthonormalbasis von (V,
) Beweis (i) ⇒ (ii) gem. 3.6-9.1. (ii) ⇒ (i) Für jede abzählbare Orthonormalbasis B von (V,
) ist 
 E qb b E ∈ Pe B, (qb )b∈E ∈ Q für K = R b∈E




 E qb b E ∈ Pe B, (qb )b∈E ∈ (Q + iQ)

bzw.

für K = C

b∈E τ  lin lin  lin   = V eine abzählbare dichte Teilmenge von B , τ  |B , also auch von B  3.6-7 (a) . ✷

3 Vollständige pseudometrische Räume

264

Anmerkung: Nichtseparable Prähilberträume (über K) besitzen i. a. keine Orthonormalbasis (s. [7, Chap. 5, § 2, Exercise 2 b)]). Als weitere Anwendung des Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens 3.6-8 werden mit Hilfe von 3.6-9 Legendre-Polynome über [a, b] konstruiert: Beispiel (3.6,6) Es seien a, b ∈ R, a < b und (CR ([a, b]),
) der Prähilbertraum (über R) mit dem durch

b
f, g := a f g definierten Skalarprodukt, für jedes k ∈ N bezeichne µk (t) das Monom tk . lin

Approximationssatz 2.2-5 ist { µk
[a, b] | k ∈ N } dicht in  Nach dem Weierstraßschen CR ([a, b]), τ ∞ , also auch dicht in (CR ([a, b]), τ  )     =  2 , (1.2,1) n(c) (i) . Dabei n ist die Menge { µk
[a, b] | k ∈ N } R-linear unabhängig  0 = j=0 rj tj = j=0 rj µj (t) für jedes t ∈ [0, 1] ergibt r0 = r1 = · · · = rn = 0, da vom Nullpolynom verschiedene Polynome nur endlich viele Nullstellen besitzen. . Für jedes k ∈ N sei qk (t) die k-te Ableitung des Polynoms ((t − a)(t − b))k und pk (t) werde als l1k qk (t) definiert, wobei lk := qk
[a, b]  ist. Es gilt pk (t) ∈ R[t], grad pk (t) = k; pk (t) heißt k-tes Legendre-Polynom. Die Menge L := { pk
[a, b] | k ∈ N } ist eine Orthonormalmenge in (CR ([a, b]),
): Wegen der Linearität des Skalarprodukts in jeder Variablen muß ∀ k ∈ N\{0} ∀ j = 0, . . . , k − 1 :
µj
[a, b], qk
[a, b] = 0 gezeigt werden. Für j = 0 erhält man  b k *b ) dk−1 d k k ((t − a)(t − b)) dt = ((t − a)(t − b))
1, qk
[a, b] = k dtk−1 t=a a dt b

= [(t − a)(t − b)r(t)]t=a = 0,

für ein r(t) ∈ R[t]

und wenn j > 0 ist
µj
[a, b], qk
[a, b]  b dk = tj k ((t − a)(t − b))k dt dt a  b ) dk−1 *b dk−1 −j tj−1 k−1 ((t − a)(t − b))k dt = tj k−1 ((t − a)(t − b))k dt dt t=a a  b k−1 d tj−1 k−1 ((t − a)(t − b))k dt  s. o.  = −j dt a ) *b dk−j−1 = (−1)j j! k−j−1 ((t − a)(t − b))k  vollständige Induktion  dt t=a =0  s. o. . Sei nun { bj | j ∈ N } die gem. 3.6-8 aus { µk
[a, b] | k ∈ N } konstruierte Orthonormalmenge, also lin lin pk
[a, b] ∈ { µj
[a, b] | 0 ≤ j ≤ k } = { bj | 0 ≤ j ≤ k }

3.6 Hilbert-Räume

265 lin

für alle k ∈ N  3.6-8 . Hieraus folgt bk ∈ { pj
[a, b] | 0 ≤ j ≤ k } für alle k ∈ N  A 11  und somit lin lin { pj
[a, b] | 0 ≤ j ≤ k } = { bj | 0 ≤ j ≤ k } für alle k ∈ N, insbesondere { pj
[a, b] | j ∈ N } Wegen

lin

τ



lin

= { µj
[a, b] | j ∈ N }

τ



= CR ([a, b]).

τ   lin   ⊥ = { pj
[a, b] | j ∈ N }⊥ {0} = { pj
[a, b] | j ∈ N }

 A 1 (c)  ist die Menge der Legendre-Polynomfunktionen pj
[a, b] gem. 3.6-6 eine maximale Orthonormalmenge in (CR ([a, b]),
). Aus 3.6-9 (a) erhält man noch ∀ j ∈ N ∃ kj ∈ R : pj
[a, b] = kj bj , die nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren konstruierten bj sind daher bis auf das Vorzeichen kj gerade die j-ten Legendre-Polynomfunktionen pj
[a, b]. Nach 3.6-7 (a) ist L eine Orthonormalbasis von (CR ([a, b]),
).

Die eindeutige Darstellung eines jeden Elements x eines Prähilbertraums (V,
) mit den Elementen einer Orthonormalbasis B und den zugehörigen Fourier-Koeffizienten in der Form  x=
x, bb b∈B

ist die orthogonale Entwicklung von x bzgl. B, also eine Entwicklung in bezug lin auf die paarweise orthogonalen eindimensionalen Untervektorräume {b} , b ∈ B. Die entsprechende Entwicklung kann auch bzgl. paarweise orthogonaler vollständiger τ # lin   gilt. Untervektorräume Ui , i ∈ I, durchgeführt werden, für die V = i∈I Ui Satz 3.6-10 (V,
) sei ein Prähilbertraum (über K), I = ∅ eine Menge, { Ui | i ∈ I } eine τ # lin   , Menge paarweise orthogonaler K-Untervektorräume von V , U := i∈I Ui × U ) vollständig für jedes i ∈ I. Dann gibt es zu jedem x ∈ U genau ein (Ui , d 
U% i i (ui )i∈I ∈ i∈I Ui mit  ui x= i∈I

(orthogonale Entwicklung von x bzgl. (Ui )i∈I ). Beweis

% Eindeutigkeit: Für alle (ui )i , (vi )i ∈ i∈I Ui mit i∈I ui = i∈I vi gilt    (ui − vi ) = ui − vi = 0, i∈I

i∈I

i∈I

3 Vollständige pseudometrische Räume

266

 2 also auch i∈I ui − vi 2  = 0  i∈E ui − vi 2  =  i∈E (ui − vi )  für jedes E ∈ Pe I gem. 3.6-2 (a) . Es folgt ui = vi für jedes i ∈ I. #  lin N Existenz: Sei x ∈ U , (xn )n ∈ U mit (xn )n →τ  x, wobei die Elemente i∈I i rn
xn = k=1 un,ik,n mit un,ik,n ∈ Uik,n und ik,n = ik ,n für k = k angenommen werden; für jedes j ∈ I\ i1,n , . . . , irn ,n setze man un,j := 0. Dann ist  un,j xn = j∈I

(nur endlich viele von 0 verschiedene Summanden) die eindeutige K-Linearkombination aus Elementen von Uj , j ∈ I. Da (xn )n eine Cauchy-Folge in (V, d  ) ist, gibt es zu jedem ε > 0 ein nε ∈ N mit  2     2 2 un,j − um,j  un,j − um,j 2  ∀ n, m ≥ nε : ε > xn − xm   =    = j∈I

 

j∈I

j∈I

 3.6-2 (a) , speziell ist un,j − um,j   < ε für jedes j ∈ N, (un,j )n also eine Cauchy-Folge in (Uj , d 
Uj × Uj ). Sei (un,j )n∈N →τ  uj , uj ∈ Uj . Dann gilt x = j∈I uj : Sei ε > 0. Wähle nε ∈ N mit (s.o.) ∀ n ≥ nε : x − xn   < ε und

∀ n, m ≥ nε :

 un,j − um,j 2  < ε2 j∈I

  und setze Eε := i1,nε , . . . , irnε ,nε ∈ Pe I. Für jedes F ∈ Pe I, F ⊇ Eε , erhält man                   x −     ui  ≤ x − xnε   + xnε − ui  ≤ ε +  unε ,i − ui    i∈F

 

i∈F

     =ε+ unε ,i − lim un,i   n

 

i∈F

 

i∈F

n

   2 1/2   unε ,i − un,i   = ε + lim n

i∈F

 

i∈F

   2 1/2 unε ,i − un,i  ≤ ε + lim ≤ 2ε.   n

 

     = ε + lim unε ,i − un,i  

i∈I

Unter den Bedingungen von 3.6-10 verwendet man die Schreibweise ⊥ Ui . U= i∈I

✷

3.6 Hilbert-Räume

267

U ist die orthogonale Summe der Familie (Ui )i∈I paarweise orthogonaler vollständiger K-Untervektorräume von (V,
).

Aufgaben zu 3.6 1. (V,
) sei ein Prähilbertraum über K, S ⊆ V . Man zeige: (a)

S ⊆ S ⊥⊥

(b) S ⊥ ∈ ατ  und S ⊥ K-Untervektorraum von V .  lin ⊥  τ  ⊥  τ  lin ⊥  lin τ  ⊥ = S = S = S (c) S ⊥ = S (d) S ⊥⊥ = S

lin

τ



, falls (V,
) Hilbert-Raum ist.

2. (V,
) sei ein Prähilbertraum, W ein K-Untervektorraum von V , vollständig und
V −→ W πW : x −→ πW (x)

  W, d 
W × W

die orthogonale Projektion zu W . (a)

πW ist (τ  , τ  |W )-stetig, K-linear und surjektiv.

(b) πW ◦ πW = πW (c)

(Idempotenz)

∀ x, y ∈ V :
x, πW (y) =
πW (x), y

(Selbstadjungiertheit)

3. (V,
) sei ein Prähilbertraum über K, W ∈ ατ  ein K-Untervektorraum von V . Man widerlege: V = W ⊕ W ⊥. 4. Es sei I eine unendliche Menge. Man gebe in (L2 (I),
2 ) eine Orthonormalbasis an!   5. C = ∅ sei eine konvexe Teilmenge des Prähilbertraums (V,
) (über K), C, d 
C×C vollständig, x ∈ V , y ∈ C. Man beweise: Äq (i)

y = πC (x)

(ii) ∀ c ∈ C : Re
x − y, y − c ≥ 0. 6. Gilt in jedem Prähilbertraum (V,
) über C ∀ x, y ∈ V : x + y2  = x2  + y2  ⇒ x ⊥ y ? 7. W sei ein K-Untervektorraum des Prähilbertraums (V,
) (über K), x ∈ V . Man beweise: Äq (i)

x ∈ W⊥

(ii) ∀ w ∈ W : x  ≤ w − x  .

3 Vollständige pseudometrische Räume

268

1 8. Im Prähilbertraum (CR ([0, 1]),
) über R (
f, g := 0 f g, s. (3.6,2) (b)) berechne man den Abstand dist(g, P1 ), wobei
[0, 1] −→ R g: t −→ t3   und P1 := p
[0, 1] p(t) ∈ R[t], grad p(t) ≤ 1 ist! Gibt es ein f ∈ P1 mit g − f   = dist(g, P1 )? 9. W ∈ ατ  \{0} sei ein K-Untervektorraum des Hilbert-Raums (V,
) (über K). Man beweise: (V, τ  ) separabel =⇒ (W, τ  |W ) separabel (Vgl. auch (2.3,5) (b)!). 10. (V,
) sei ein Prähilbertraum (über K), v ∈ V \{0}. Man zeige:   ∀ x ∈ V : dist x, {v}⊥ =

1 |
x, v|. v 

11. (V,
) sei ein Prähilbertraum (über K), (vj )j , (wj )j ∈ V N Folgen aus jeweils paarweise verschiedenen Elementen, { vj | j ∈ N }, { wj | j ∈ N } Orthonormalmengen in (V,
). Man beweise: Äq (i)

∀ n ∈ N : wn ∈ { vj | 0 ≤ j ≤ n }

lin lin

(ii) ∀ n ∈ N : vn ∈ { wj | 0 ≤ j ≤ n } . 12. (V,
) sei ein Prähilbertraum (über K), B, D ⊆ V , B Orthonormalmenge in (V,
), τ  D = V . Man gebe eine injektive Funktion B −→ D an! 13. (V,
) sei ein Prähilbertraum (über K), I = ∅ eine Menge, (Ui )i∈I eine Familie paarweise orthogonaler vollständiger K-Untervektorräume#von (V,
), Bi Orthonormalbasis von (Ui ,

Ui × Ui ) für jedes i ∈ I. Man beweise: i∈I Bi ist eine Orthonormalbasis   ⊥  ⊥ ⊥ von i∈I Ui ,

i∈I Ui × i∈I Ui .

4 Kompakte topologische Räume Die Vollständigkeit eines pseudometrischen Raums (X, d) (vgl. Kapitel 3) bedeutet, daß jede Cauchy-Folge in (X, d) eine in (X, τd ) konvergente Teilfolge besitzt  3.1-1.2 . Die weitergehende Forderung nach der Existenz konvergenter Teilfolgen für jede Folge in X führt zu einem Kompaktheitsbegriff, der sich vielfältig charakterisieren und sogar in topologischen Räumen formulieren läßt und – ebenso wie der Zusammenhang (vgl. Abschnitt 2.3) – für die Analysis und ihre Anwendungen von großer Bedeutung ist. Einige Kompaktheitsauswirkungen in (R, d| | ), z. B. die Beschränktheit kompakter Mengen, die gleichmäßige Stetigkeit und Beschränktheit stetiger (komplexwertiger), auf einem Kompaktum definierter Funktionen usw. wurden bereits in den Beispielen und Aufgaben als bekannt vorausgesetzt und verwendet. In Abschnitt 4.1 werden die in diesem Zusammenhang wichtigsten Begriffe und Eigenschaften allgemeiner in pseudometrischen Räumen behandelt, sie stehen dann auch (rückwirkend) speziell in (R, d| | ) zur Verfügung. 4.2 enthält einige bedeutende Ergebnisse zur Kompaktheit in (halb)normierten R-Vektorräumen. Die Untersuchung der Kompaktheit in topologischen Räumen erfolgt in 4.3, dort wird auch der Weierstraßsche Approximationssatz 2.2-5 für auf einem kompakten Raum (statt auf [a, b]) definierte stetige Funktionen im Sinne von M. H. Stone erweitert. Als wichtige Ergänzung dieser globalen, d. h. für den gesamten Raum geforderten Kompaktheit, stellt 4.4 einige Ergebnisse zur lokalen Situation vor.

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen In pseudometrischen Räumen läßt sich Kompaktheit in vielerlei Hinsicht beschreiben und somit auch definieren. Aus Kontinuitätsgründen wird hier eine Definition (für topologische Räume) gewählt, die direkt erkennen läßt, daß es sich bei diesem Begriff um eine Verschärfung der Vollständigkeit handelt  3.1-1.2 . Definitionen (X, τ) sei ein topologischer Raum. (X, τ) folgenkompakt

:gdw N

∀ (xj )j ∈ X : (xj )j hat eine in (X, τ) konvergente Teilfolge (d. h. jede Folge (xj )j ∈ X N besitzt einen Häufungspunkt in (X, τ))

4 Kompakte topologische Räume

270

(X, τ) hat Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft (B-W-E)

:gdw

∀ S ∈ PX : S unendlich ⇒ S
τ = ∅ Beispiel (4.1,1) Folgenkompakte topologische Räume (X, τ) haben B-W-E: Sei S ⊆ X unendlich, etwa (xj )j ∈ S N mit xi= xj für alle i = j. Man wähle eine in (X, τ) konvergente Teilfolge xjk k von (xj )j , etwa xjk k →τ ξ. In jeder Umgebung von ξ liegen dann (unendlich viele) voneinander verschiedene Folgenelemente, ξ ist daher Häufungspunkt der Menge S. Umgekehrt sind nicht einmal A1 -Räume mit B-W-E folgenkompakt (A 1): In (N, τ) mit τ := {∅, N} ∪ { Nk | k ∈ N } hat die Folge (j)j∈N keine konvergente Teilfolge, (N, τ) # besitzt jedoch die B-W-E  Für jede nichtleere Teilmenge S ⊆ N ist die Ableitung S τ = { N\Ns | s ∈ S }. . Dagegen erhält man bei Vorliegen der Trennungseigenschaft (T-1) (vgl. 2.5, A 8) die Äquivalenz beider Begriffe:

Satz 4.1-1 (Bolzano, Weierstraß, um 1850) (X, τ) sei ein A1 - und T1 -Raum. Äq (i)

(X, τ) folgenkompakt

(ii) (X, τ) hat B-W-E Beweis (i) ⇒ (ii) gem. (4.1,1). (ii) ⇒ (i) Sei (xj )j ∈ X N . Wenn es ein ξ ∈ X gibt, das unendlich oft in der Folge (xj )j vorkommt, d. h. { j ∈ N | xj = ξ } unendlich ist, so wächst
N −→ N   µ: k −→ min j ∈ N j ∈ { µ(i) | 0 ≤ i ≤ k − 1 }, xj = ξ   streng monoton, und die Teilfolge xµ(k) k = (ξ)k von (xj )j konvergiert (gegen ξ). Es werde daher angenommen, daß { j ∈ N | xj = ξ } für jedes ξ ∈ X eine endliche, insbesondere { xj | j ∈ N } eine unendliche Menge ist. Nach (ii) sei ξ ein Häufungspunkt von { xj | j ∈ N } und weiter { Uj | j ∈ N } ⊆ Uτ (ξ) eine abzählbare Basis von Uτ (ξ) mit Uj+1 ⊆ Uj für jedes j ∈ N. Man wähle (induktiv) xj0 ∈ U0 \{ξ} und für jedes k ≥ 1 ein Uik mit Uik ∩ { xν | 0 ≤ ν ≤ jk−1 } = ∅  T1 -Raum! , xjk ∈ Uik \{ξ}. Dann ist xjk k∈N eine (gegen ξ) konvergente Teilfolge von (xj )j∈N . ✷ Die B-W-E wird verstärkt durch Kompaktheit:

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen

271

Definition (X, τ) sei ein topologischer Raum, S ⊆ X. #
# O =X (X, τ) kompakt :gdw ∀ O ⊆ τ : O = X ⇒ ∃ O
∈ Pe O : (Jede offene Überdeckung von X hat eine endliche Teilüberdeckung.) S kompakt (in (X, τ))

:gdw (S, τ|S) kompakt

Jeder kompakte topologische Raum ist auch ein Lindelöf-Raum (s. 2.3). Beispiele (4.1,2) (a)

Jeder kompakte topologische Raum (X, τ) hat die B-W-E: Es sei S ⊆ X, S τ = ∅, d. h. ∀ x ∈ X ∃ Ox ∈ Uτ (x) ∩ τ : Ox ∩ S ⊆ {x}.   Man wähle eine endliche Teilüberdeckung Ox1 , . . . , Oxn von { Ox | x ∈ X } aus und erhält n

S=S∩

Oxi ⊆ { xi | 1 ≤ i ≤ n }. i=1

(b) (X, τ) sei ein A1 -Raum. (X, τ) kompakt

=⇒

(X, τ) folgenkompakt:

τ

N

Sei (xj )j ∈ X und En := { xj | j ≥ n } für jedes n ∈ N. Dann ist die Menge $ n∈N En nichtleer: Andernfalls wäre { X\En | n ∈ N } ⊆ τ eine Überdeckung  von X, hätte also eine endliche Teilüberdeckung X\Ej1 , . . . , X\Ejk . Es würde  $k $k #k  X\ ν=1 Ejν = ν=1 X\Ejν = X und ∅ = ν=1 Ejν = Emax{ jν |1≤ν≤k } = ∅ folgen.
$ Jeder Punkt ξ ∈ n∈N En ist ein Häufungspunkt der Folge (xj )j . Man wähle eine Basis { Uk | k ∈ N } ⊆ Uτ (ξ) von Uτ (ξ) mit Uk+1 ⊆ Uk für alle k ∈ N. Zu jedem k ∈ N existiert ein jk ∈ N mit xjk ∈ Uk , o. B. d. A. jk+1 > jk für alle k ∈ N. Dann ist xjk k eine gegen ξ konvergente Teilfolge von (xj )j .

(c)

Kompakte topologische Räume sind i. a. nicht folgenkompakt  (4.3,2) . Man kann auch zeigen, daß aus B-W-E (bzw. sogar Folgenkompaktheit) i. a. nicht auf Kompaktheit geschlossen werden darf [21, Chap. 5, Problem E(e)].  τ τ In T3 -Räumen (X, τ) ist die topologische Hülle S , τ|S für kompakte Unterräume (S, τ|S) ebenfalls kompakt (insbesondere somit in (X, τd ) für pseudometrische Räume (X, d)). Für alle O ⊆ τ gilt nämlich S⊆

O

⇐⇒

τ

S ⊆

O:

„⇒“ Da (X, τ) ein # T3 -Raum ist, gibt es gem. 2.5-2 zu jedem s ∈ S ein Us ∈ Uτ (s) ∩ τ τ mit Us ⊆ O. Die offene Überdeckung { Us | s ∈ S } von S hat eine endliche

4 Kompakte topologische Räume

272

  Teilüberdeckung Us1 , . . . , Usm , es gilt somit τ

m

S ⊆

τ

Usj ⊆

O.

j=1

„⇐“ ist klar. Dagegen muß die topologische Hülle kompakter Unterräume i. a. nicht einmal in T1 -Räumen wieder kompakt sein (s. 4.3, A 5)! (d) Die Vereinigung C endlich vieler kompakter Unterräume (C1 , τ|C1 ), . . . , (Cm , τ|Cm ) eines topologischen Raums (X, τ) ist kompakt: Ist O ⊆ τ # eine Überdeckung von C, so gibt es für jedes j ∈ {1, . . . , m} ein Oj ∈ Pe O #m mit Cj ⊆ Oj , und j=1 Oj ∈ Pe O ist eine endliche Teilüberdeckung von C.

In metrischen Räumen sind jedoch Kompaktheit und B-W-E äquivalent (s. 4.1-3.4). Zum Beweis sind einige Vorbereitungen erforderlich. Definition (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, O ⊆ τd eine Überdeckung von X und a ∈ R> . a Lebesgue-Zahl von O

:gdw ∀ S ⊆ X : δ(S) < a ⇒ ∃ O ∈ O : S ⊆ O

Beispiel (4.1,3) (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, ε > 0, O := { Kεd (x) | x ∈ X }. Dann ist ε LebesgueZahl von O: Sei (o. B. d. A.) ∅ = S ⊆ X, δ(S) < ε und s ∈ S. Für jedes x ∈ S gilt dann d(x, s) ≤ δ(S) < ε, also x ∈ Kεd (s).

Satz 4.1-2 (Lebesguescher Überdeckungssatz, 1921) (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, (X, τd ) folgenkompakt und O ⊆ τd eine Überdeckung von X. O hat eine Lebesgue-Zahl. Beweis Man nenne Teilmengen S ⊆ X genau dann O-groß, wenn S O für jedes O ∈ O gilt. O-große Teilmengen haben also wenigstens zwei Elemente. Sind alle S ⊆ X nicht O-groß, so ist jede positive Zahl a Lebesgue-Zahl von O. Sei also GO := { S ⊆ X | S O-groß } = ∅ und a
:= inf{ δ(S) | S ∈ GO } (a
∈ [0, ∞]). Für a
> 0 ist jedes a ∈ ]0, a
]∩R Lebesgue-Zahl von O  Für jedes S ⊆ X, δ(S) < a, ist S ∈ GO , d. h. es gibt ein O ∈ O mit S ⊆ O. . Die verbleibende Möglichkeit a
= 0 kommt wegen der Folgenkompaktheit von (X, τd ) nicht vor: Man wähle sonst für jedes j ∈ N ein Sj ∈ GO , 0 ≤ δ(Sj ) < 1/(j  +1), und ein xj ∈ Sj . Die Folge (xj )j hat dann eine konvergente Teilfolge xjk k , etwa

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen

273



 xjk k →τd ξ für ein ξ ∈ X. Sei O ∈ O, ξ ∈ O, ε > 0 mit Kεd (ξ) ⊆ O und   d (ξ). Wegen δ Snε < 1/(nε + 1) < ε/2 schließlich nε ∈ N, nε > 2/ε, xnε ∈ Kε/2     ist Snε ⊆ Kεd (ξ) ⊆ O  d(s, ξ) ≤ d s, xnε + d xnε , ξ < nε1+1 + 2ε < ε für jedes ✷ s ∈ Snε , also Snε ∈ GO .
Korollar 4.1-2.1 (X, d), (Y, e) seien pseudometrische Räume, f ∈ C(X, Y ) und (X, τd ) folgenkompakt. f ist gleichmäßig stetig. Beweis

  e (f (x))] x ∈ X ⊆ τd hat nach 4.1-2 Es sei ε > 0. Die Überdeckung f −1 [Kε/2 eine Lebesgue-Zahl a. Für alle x, x
∈ X mit δ({x, x
}) = d(x, x
) < a gibt es daher e (f (x

))] gilt, und es folgt ein x

∈ X, so daß {x, x
} ⊆ f −1 [Kε/2 e(f (x), f (x
)) ≤ e(f (x), f (x

)) + e(f (x

), f (x
))
0 und S ⊆ X. S ε-Kette in (X, d)

Kεd (s) = X

:gdw S endlich und s∈S

(X, d) totalbeschränkt

:gdw ∀ ε > 0 ∃ S ⊆ X : S ε-Kette in (X, d)

Vollständigkeit und Totalbeschränktheit ergeben gerade die Kompaktheit von (X, τd ) (s. 4.1-3.2, Seite 275). Beispiele (4.1,4) (X, d) sei ein pseudometrischer Raum. (a)

(X, d) totalbeschränkt

=⇒ X beschränkt in (X, d)

 als Vereinigung endlich vieler beschränkter Mengen . Beschränkte pseudometrische Räume sind i. a. nicht totalbeschränkt (s. (4.1,6)). (b) (X, d) totalbeschränkt =⇒ (X, τd ) separabel  (k) (k)  1 Für jedes k ∈ N sei x1 , . . . , xnk eine k+1 -Kette in (X, d). Die Vereinigungsmenge  (k) # (k)  ist abzählbar und dicht in (X, τd ): k∈N x1 , . . . , xnk Sei x ∈ X, ε > 0, k ∈ N mit 1/(k + 1) < ε. Dann existiert ein j ∈ {1, . . . , nk } mit  (k)  (k) d d xj , also xj ∈ K1/(k+1) x ∈ K1/(k+1) (x) ⊆ Kεd (x).

4 Kompakte topologische Räume

274 (c)

Für alle S ∈ PX\{∅} gilt (S, dS × S) totalbeschränkt

⇐⇒

τd

S , dS

„⇐“ gem. A 2.

τd

×S

τd


totalbeschränkt : τd

„⇒“ Sei ε > 0 und {s1 , . . . , sm } ⊆ S eine 2ε -Kette in (S, dS × S). Für jedes x ∈ S gilt dist(x, S) = 0 J 2.1, A 7 (a) K, es gibt daher ein s ∈ S mit d(x, s) < ε/2. Für d s ∈ Kε/2 (sj ) folgt d(x, sj ) ≤ d(x, s) + d(s, sj ) < ε. Also ist {s1 , . . . , sm } eine τd τd τd
ε-Kette in S , dS × S .

Satz 4.1-3

(X, d) sei ein pseudometrischer Raum. (X, d) totalbeschränkt
(ii) ∀ (xj )j ∈ X N ∃ xjk k ∈ X N :

xjk k Teilfolge von (xj )j und xjk k Cauchy-Folge in (X, d)

Äq (i)

Beweis

 (n) (n) 1 -Kette in (X, d), also (i) ⇒ (ii) Für jedes n ∈ N sei s1 , . . . , skn eine n+2

Skn (n) (0) d N X = j=1 K1/(n+2) sj . Sei xj j ∈ X . Es gibt ein j0 ∈ {1, . . . , k0 }, so daß (1)
(0)
(0)
(r)
d sj0 liegt. Ist die Teilfolge xj j eine Teilfolge xj j von xj j ganz in K1/2 (r−1)
von xj für r ≥ 1 ausgewählt, so existiert wiederum ein jr ∈ {1, . . . , kr } j (r+1)
(r)
(r)
d von xj j , die ganz in K1/(r+2) sjr liegt. Die Folge und eine Teilfolge xj j (r)

(0)
xj j r∈N von Teilfolgen von xj j ist daher (induktiv) wohldefiniert und die (Diagonal-)Folge  N −→ X y: (i) i 7−→ xi (0)
ebenfalls eine Teilfolge von xj j . y ist auch eine Cauchy-Folge in (X, d), denn es gilt für alle n > m ≥ 1 (m−1)


d(yn , ym ) ≤ d xn(n) , sjm−1
n > m K.

(ii) ⇒ (i) Ist (X, d) nicht totalbeschränkt, so gibt es ein ε > 0 mit [ ∀ S ∈ Pe X : X 6= Kεd (s). s∈S

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen

275

Sei x0 ∈ X. Wegen Kεd (x0 ) = X existiert ein x1 ∈ X\Kεd (x0 ). Ist xk für ein k ≥ 1 #k d gewählt, so sei xk+1  ∈ X\ i=0 Kε (xi ). Die (induktiv wohldefinierte) Folge (xj )j hat keine Teilfolge xjk k , die auch Cauchy-Folge ist  Sonst gäbe es ein kε ∈ N mit   ✷ d xjk , xjk < ε/2 für alle k, k
≥ kε im Widerspruch zur Konstruktion. . Korollar 4.1-3.1 (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, (X, τd ) folgenkompakt. Dann ist (X, d) totalbeschränkt und (X, τd ) kompakt. Beweis Da (X, τd ) folgenkompakt ist, hat jede Folge sogar eine konvergente Teilfolge (diese ist Cauchy-Folge), gem. 4.1-3 ist (X, d) totalbeschränkt. # O = X, a eine Lebesgue-Zahl von O  4.1-2 Sei O ⊆ τd ,  d  und {x1 , .2a. . , xn } a eine 3 -Kette in (X, d). Für jedes j ∈ {1, . . . , n} ist dann δ Ka/3 (xj ) ≤ 3 < a, d (xj ) ⊆ Oj . {O1 , . . . , On } ist daher eine endliche also existiert ein Oj ∈ O mit Ka/3 Teilüberdeckung von X. ✷

Korollar 4.1-3.2 (X, d) sei ein pseudometrischer Raum. Äq (i)

(X, τd ) kompakt

(ii) (X, τd ) folgenkompakt (iii) (X, d) totalbeschränkt und vollständig Beweis (i) ⇔ (ii) gilt nach (4.1,2) (b) und 4.1-3.1. (ii) ⇒ (iii) Totalbeschränktheit ist gem. 4.1-3.1 gegeben, die Vollständigkeit folgt mit 3.1-1.2.   (iii) ⇒ (ii) Sei (xj )j ∈ X N . Gem. 4.1-3 gibt es eine Teilfolge xjk k von (xj )j , die Cauchy-Folge, also nach (iii) konvergent in (X, d) ist. ✷ Mit 3.1-8 (a) ergibt sich Korollar 4.1-3.3 (X, d) sei ein vollständiger pseudometrischer Raum, A ∈ ατd . Äq (i)

(A, τd |A) kompakt

(ii) (A, d
A × A) totalbeschränkt

✷

4 Kompakte topologische Räume

276

Für metrische Räume erhält man über 4.1-3.2 hinaus mit 4.1-1 noch Korollar 4.1-3.4 (X, d) sei ein metrischer Raum. Äq (i)

(X, τd ) kompakt ✷

(ii) (X, τd ) hat B-W-E

Auf die Art der Konvergenz von Folgen stetiger reellwertiger Funktionen auf einem pseudometrischen Raum hat dessen Kompaktheit (d. h. (X, τd ) kompakt) eine große Wirkung, es gilt nämlich (s. auch (1.2,1) (c)) als Verallgemeinerung eines Resultats von Dini (1878) für Intervalle [a, b] Satz 4.1-4 (Dini) (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, (X, τd ) kompakt, (fj )j ∈ CR (X)N und f ∈ CR (X) mit (fj )j −−−−−→ f . Es gilt: τ | | -pktw.

(a)



 ∃ c ≥ 1 ∀ i, k ∈ N : i ≤ k ⇒ |f − fk | ≤ c|f − fi |

=⇒

(fj )j −−−−−→ f d| | -glm.

(b) Ist (fj )j punktweise monoton fallend (oder wachsend), so folgt (fj )j −−−−−→ f . d| | -glm.

Beweis Zu (a) Sei ε > 0. Für jedes x ∈ X wähle man ein kx ∈ N mit ∀ k ≥ kx : |f (x) − fk (x)| ≤

ε . 3c

Da f , fkx stetig sind, gibt es ein δx > 0 mit ε ε ∀ y ∈ Kδdx (x) : fkx (y) − fkx (x) ≤ , |f (y) − f (x)| ≤ . 3c 3c   d Nun ist Kδx (x) x ∈ X eine offene Überdeckung von (X, τd ), besitzt also # eine endliche Teilüberdeckung, etwa X = ni=1 Kδdx (xi ) mit x1 , . . . , xn ∈ X. Sei i   kmax := max kx 1 ≤ i ≤ n und x ∈ X, etwa x ∈ K d (xj ), j ∈ {1, . . . , n}. i

δxj

Für jedes k ≥ kmax erhält man  nach Voraussetzung  |f (x) − fk (x)| ≤ c f (x) − fkxj (x)   ≤ c |f (x) − f (xj )| + f (xj ) − fkxj (xj ) + fkxj (xj ) − fkxj (x) ε ε ε + + = ε. ≤c 3c 3c 3c

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen

277

Zu (b) Es sei o. B. d. A. (fj )j monoton wachsend  sonst betrachte man (−fj )j . Für alle i, k ∈ N, i ≤ k, gilt dann 0 ≤ f − fk ≤ f − fi , nach (a) folgt daher die gleichmäßige Konvergenz. ✷ Beispiel (4.1,5)

√ Die Quadratwurzelfunktion : [0, 1] −→ [0, 1] ist stetig und kann daher nach dem Weierstraßschen Approximationssatz 2.2-5 gleichmäßig durch reelle Polynome approximiert werden. Mit Hilfe des Satzes von Dini 4.1-4 kann man die Approximation ähnlich wie die der Absolutbetragsfunktion in (2.2,5) ohne Verwendung von 2.2-5 durchführen und erhält damit eine andere Beweismöglichkeit für 2.2-5 (s. Abschnitt 4.3, Seite 323). In R[x] definiere man (induktiv) pn+1 (x) := pn (x) + 12 (x − p2n (x)) für alle n ∈ N. √ Für jedes r ∈ [0, 1], n ∈ N gilt 0 ≤ pn (r) ≤ r ≤ 1: p0 (x) := 0,

Für n = 0 ist die Ungleichungskette offensichtlich richtig; der Induktionsschritt kann so erfolgen:   √ √ √ √ r − pn+1 (r) = r − pn (r) − 12 (r − p2n (r)) = ( r − pn (r)) 1 − 12 ( r + pn (r)) √ √ ≥ ( r − pn (r))(1 − r) ≥ 0 √ √ √ √  r − pn (r) ≥ 0, r + pn (r) ≤ 2 r nach Induktionsvoraussetzung, r ≤ 1  und pn+1 (r) = pn (r) + 12 (r − p2n (r)) = 12 (r + pn (r)) + 12 (pn (r) − p2n (r)) ≥ 0, da p2n (r) ≤ pn (r) wegen 0 ≤ pn (r) ≤ 1 nach Induktionsvoraussetzung erfüllt ist. Insbesondere gilt somit pn
[0, 1] ≤ pn+1
[0, 1]  r − p2n (r) ≥ 0 für alle √ r ∈ [0, 1] . Für jedes beschränkt (durch r), also konvergent in r ∈ [0, 1] ist (pn (r))n∈N monoton wachsend und √ : (R, τ| | ), etwa f (r) := limn pn (r). Es gilt f =   √ √ Für jedes r ∈ [0, 1] konvergiert die Folge ( r − pn (r)) 1 − 12 ( r + pn (r)) n =   √ √ √ √ ( r−pn+1 (r))n einerseits gegen ( r−f (r)) 1− 12 ( r+f (r)) = r−f (r)− 12 (r−f 2 (r)), √ andererseits gegen r − f (r), also muß r = f 2 (r) sein. Nach dem Satz von Dini 4.1-4 folgt (pn
[0, 1])n −−−−−→ d| | -glm.

√

.

In speziellen metrischen Räumen sind häufig über 4.1-3.2 und 4.1-3.4  hinauswertvolle weitere Kompaktheitskriterien bekannt, beispielsweise gilt in Cn , d 2 für alle S ⊆ Cn :   S kompakt ⇐⇒ S ∈ ατ 2 und S beschränkt in Cn , d 2 (Satz von Heine-Borel-Lebesgue, 1872/1895/1905; s. [32, Satz 2.41]). In beliebigen Banach-Räumen ist eine derart einfache Charakterisierung der Kompaktheit nicht zu erwarten:

4 Kompakte topologische Räume

278 Beispiel (4.1,6) Es sei 1 ≤ q ≤ ∞ und (xj )j ∈ (+q )N die durch x0 := 0, xj (k) := δj,k

für j, k ∈ N, j ≥ 1 d

definierte Folge. Die Menge X := { xj | j ∈ N }⊆ K2 q(x0 ) ist unendlich und beschränkt in (+q , dq ), besitzt jedoch keinen Häufungspunkt in +q , τdq : Gäbe es ein x ∈ X τdq , so auch n, m ∈ N\{0}, m > n mit x − xn q < 1/2 und x − xm q < 1/2. Es würde dann  1 für q = ∞ 1 > xn − xm q = 1/q 2 für q ∈ R folgen.
X ist daher eine beschränkte, abgeschlossene Teilmenge in (+q , dq ), die nicht kompakt (also gem. 4.1-3.3 auch nicht totalbeschränkt) ist.

Kompakte Unterräume pseudometrischer Räume (X, d) sind zwar immer beschränkt  4.1-3.2, (4.1,4) (a) , jedoch i. a. nicht abgeschlossen in (X, d), wie das einfache Beispiel der indiskreten Pseudometrik din auf einer wenigstens zweielementigen Menge X zeigt (s. (1.2,2) (c)). In metrischen Räumen (X, d) sind kompakte Unterräume (S, τd |S) auch abgeschlossen  4.1-3.2; 3.1-8 (b) . Allgemeiner gilt Satz 4.1-5 (X, τ) sei ein topologischer Raum und S ⊆ X. (a) (X, τ) kompakt, S ∈ ατ

=⇒ S kompakt

(b) (X, τ) T2 -Raum, S kompakt

=⇒ S ∈ ατ

Beweis

# Zu (a) Es sei O ⊆ τ mit O ⊇ S. Dann ist O
:= O ∪ {X\S} ⊆ τ eine Überdeckung von X, besitzt also eine endliche Teilüberdeckung O∗ ⊆ O
. O∗ \{X\S} ⊆ O ist eine endliche Teilüberdeckung von O. Zu (b) Es sei x ∈ X\S. Für jedes s ∈ S wähle man ein Vs ∈ Uτ (x) ∩ τ, { Us$| s ∈ S } von S hat Us ∈ Uτ (s) ∩ τ mit Vs ∩ Us = ∅. Die   offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung, etwa Us1 , . . . , Usn . Für V := ni=1 Vsi ∈ Uτ (x) ∩ τ gilt dann V ∩ S = ∅. ✷ Quotienten kompakter topologischer Räume sind kompakt. Dieses folgt direkt aus Teil (a) von

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen

279

Satz 4.1-6 (X, τ), (Y, σ) seien topologische Räume, f ∈ C(X, Y ) surjektiv und (X, τ) kompakt. (a) (Y, σ) ist kompakt (b) f injektiv, (Y, σ) T2 -Raum Beweis Zu (a) Es sei P ⊆ σ,

#

=⇒ f ist Homöomorphismus

P = Y . Wegen der Stetigkeit von f ist

O := { f −1 [P ] | P ∈ P } ⊆ τ

und

O = X,

# also existiert ein O∗ ∈ Pe O mit O∗ = X. Da f surjektiv ' −1 ist, & erhält man in ∗ { f [O] | O ∈ O } eine endliche Teilüberdeckung von P  f f [P ] = P . Zu (b) Für jedes A ∈ ατ ist (A, τ|A) kompakt  4.1-5 (a) , also (f [A], σ|f [A]) ✷ kompakt  (a)  und f [A] ∈ ασ  4.1-5 (b) . Kompaktheit für topologische Räume ist ebenfalls eine multiplikative Eigenschaft (s. 4.3-7), jedoch ist der Nachweis hierfür sehr viel komplizierter und aufwendiger als der für Divisibilität. Die Kompaktheit von direkten Produkten abzählbar vieler kompakter pseudometrischer Räume läßt sich dagegen leicht mit Folgenkompaktheit  4.1-3.2  feststellen (s. A 19), insbesondere ist das Produkt zweier kompakter pseudometrischer Räume ebenfalls kompakt. Diese Tatsache ermöglicht auf derartigen Produkten die gleichmäßige Approximation stetiger komplexwertiger Funktionen durch Linearkombinationen von Tensorprodukten der Koordinatenfunktionen (s. 4.1-7). Definition X, Y seien Mengen, f : X −→ C, g : Y −→ C, F ⊆ CX und G ⊆ CY .
X X×Y C × CY −→  C  ⊗: (f, g) −→ (x, y) → f (x)g(y) heißt Tensorprodukt auf CX × CY ,
X × Y −→ C f ⊗g : (x, y) −→ f (x)g(y) Tensorprodukt von f mit g und lin

F ⊗ G := ⊗[F × G] Tensorprodukt von F mit G.

4 Kompakte topologische Räume

280 Satz 4.1-7

(X, d), (Y, e) seien pseudometrische Räume, (X, τd ), (Y, τe ) kompakt. τd∞

C(X, C) ⊗ C(Y, C)

= C(X × Y, C).

Beweis Es ist C(X, C) ⊗ C(Y, C) ⊆ C(X × Y, C)  2.4-8 (b); 2.4-1 , τdsum = τd τe  (2.4,8) (b) , (X × Y, τd τe ) kompakt  A 19  und C(X × Y, C) = Cb (X × Y, C)  4.1-6 (a) . Sei ε > 0, h ∈ C(X × Y, C). Nach 4.1-2.1 (und 4.1-3.2) ist h gleichmäßig stetig, es gibt daher ein δ > 0 mit ∀ (x, y), (x
, y
) ∈ X × Y : d(x, x
) < δ, e(y, y
) < δ ⇒ |h(x, y) − h(x
, y
)| < ε. Da (X, τd ), (Y, τe ) kompakt sind, existieren x1 , . . . , xn ∈ X, y1 , . . . , ym ∈ Y mit #m #n d e i=1 Kδ (xi ) = X, j=1 Kδ (yj ) = Y . Nach 2.5-13 wähle man Zerlegungen der Eins (ϕ1 , . . . , ϕn ) auf X bzw. (ψ1 , . . . , ψm ) auf Y , die (Kδd (x1 ), . . . , Kδd (xn )) bzw. (Kδe (y1 ), . . . , Kδe (ym )) untergeordnet sind. Dann ist (ϕi ⊗ ψj )(i,j)∈{1,...,n}×{1,...,m} eine Zerlegung der Eins auf X × Y , denn m n  

ϕi (x)ψj (y) =

i=1 j=1

n   i=1

ϕi (x)

m 

n   ψj (y) = ϕi (x) = 1

j=1

i=1

für alle (x, y) ∈ X × Y . Man setze hε :=

m n  

h(xi , yj )ϕi ⊗ ψj

(∈ C(X × Y, C)).

i=1 j=1

Es folgt d∞ (h, hε ) ≤ ε: Für alle (x, y) ∈ X × Y ist nämlich |h(x, y) − hε (x, y)| n m m n     (ϕi ⊗ ψj )(x, y)h(x, y) − h(xi , yj )(ϕi ⊗ ψj )(x, y) = i=1 j=1

≤

m n  

i=1 j=1

|h(x, y) − h(xi , yj )|(ϕi ⊗ ψj )(x, y),

i=1 j=1

wobei für (ϕi ⊗ ψj )(x, y) > 0 insbesondere x ∈ Kδd (xi ) und y ∈ Kδe (yj ), also |h(x, y) − h(xi , yj )| < ε gilt  Tr ϕi ⊆ Kδd (xi ), Tr ψj ⊆ Kδe (yj ) . Die

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen

281

Ungleichungen ergeben daher d∞ (h, hε ) =

|h(x, y) − hε (x, y)| ≤

sup (x,y)∈X×Y

sup

m n  

ε(ϕi ⊗ ψj )(x, y)

(x,y)∈X×Y i=1 j=1

= ε.

✷

Die durch 4.1-7 gegebene globale Approximationsmöglichkeit durch Linearkombinationen von Tensorprodukten besteht auch für stetige Funktionen auf Produkten (endlich vieler) kompakter T2 -Räume (s. hierzu das allgemeinere Resultat 4.4-16). Eine Anwendung von 4.1-6 (a) (in Verbindung mit dem Banachschen Fixpunktsatz in der Form 3.4, A 7) ergibt Beispiel (4.1,7) Es sei ∅ =  Ω ⊆ Rn , Ω ∈ τ  , ∅ =  I ⊆ R, I offenes Intervall, f ∈ C(I × Ω, Rn ), d 2  (xP0 ) ⊆ Ω, [t0 − ε, t0 + ε] ⊆ I (Abb. 4.1-1). (t0 , xP0 ) ∈ I × Ω, δ, ε > 0 mit K δ

Rn

  

 d  (xP0 ) K δ

I ×Ω (t0 , xP0 ) x

xP0

Ω

t0 − ε

t0 − β

t0

t0 + β

t0 + ε

I

R

Abbildung 4.1-1

 d 2 (xP0 ), f genüge einer Lipschitz-Bedingung in der zweiten Variablen über [t0 −ε, t0 +ε]× K δ d. h.   2 (xP0 ) : ∃ L > 0 ∀ t ∈ [t0 − ε, t0 + ε] ∀ xP1 , xP2 ∈ K δ f (t, xP1 ) − f (t, xP2 )2 ≤ LxP1 − xP2 2 d

(sog. lokale Lipschitz-Bedingung in (t0 , xP0 )). Gibt es ein β > 0, β < ε, für das die Anfangswertaufgabe x (t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = xP0

t ∈ [t0 − β, t0 + β]

4 Kompakte topologische Räume

282

genau eine (stetig differenzierbare) Lösung x ∈ C([t0 − β, t0 + β], Ω) besitzt (sog. lokale Lösung bei (t0 , xP0 ))? Wie in (3.4,4) (b) stellt man auch hier leicht fest, daß für jedes x ∈ C([t0 − β, t0 + β], Ω) gilt Äq (i)

x ist differenzierbar und löst die Anfangswertaufgabe  t (ii) ∀ t ∈ [t0 − β, t0 + β] : x(t) = xP0 + f (s, x(s)) ds t0

(Dabei ist die Integration koordinatenweise zu verstehen, s. A 17.) Nach 4.1-6 (a) ist    d 2 (xP0 ), t ∈ [t0 − ε, t0 + ε] ∈ R M := max f (t, Px)2 Px ∈ K δ    d 2 (xP0 ) von Rn+1 , τ  ,  f ist stetig auf der kompakten Teilmenge [t0 − ε, t0 + ε] × K 2 δ A 8 . Es folgt (mit diesen Bezeichnungen):   δ α , hat die obige Anfangswertaufgabe Für jedes α ∈ ]0, 1], β ∈ R, 0 < β < min ε, M +δL ,L genau eine Lösung x ∈ C([t0 − β, t0 + β], Ω) (Lokaler Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Cauchy, 1835, Lipschitz, 1876). Zur Begründung verwende man die konstante Funktion
[t0 − β, t0 + β] −→ Rn cxB0 : t −→ xP0 

und F :

C([t0 − β, t0 + β], Rn ) ∩ Kδd∞ (cxB0 ) −→ C([t0 − β, t0 + β], Rn )  

t x −→ t → xP0 + t0 f (s, x(s)) ds .

F ist wohldefiniert, denn für jedes x ∈ C([t0 − β, t0 + β], Rn ) ∩ Kδd∞ (cxB0 ) und jedes   d s ∈ [t0 − β, t0 + β] gilt x(s) ∈ Kδ  2 (xP0 ) ⊆ Ω  x(s) − xP0 2 ≤ x − cxB0 ∞ < δ , und F (x) ist stetig  x, f und das Integral (in Abhängigkeit von der oberen Integrationsgrenze) sind stetig. . Man erhält weiter für alle x, y ∈ C([t0 − β, t0 + β], Rn ) ∩ Kδd∞ (cxB0 ): F (x) − F (y)∞ = =

sup

F (x)(t) − F (y)(t)2

t∈[t0 −β,t0 +β]

sup

  t       f (s, x(s)) − f (s, y(s)) ds  

t∈[t0 −β,t0 +β]



≤

sup t∈[t0 −β,t0 +β]

 A 17 (a)  ≤

sup

t0



2

t

|t − t0 |

f (s, x(s)) − f (s, y(s))22 ds t0

 1/2 |t − t0 |2 L2 x − y2∞

t∈[t0 −β,t0 +β]

≤ βLx − y∞ .

1/2

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen

283

Wegen βL < α ≤ 1 ist F eine strenge Kontraktion (mit Kontraktionszahl βL). Mit Hilfe von 3.4, A 7 wird nun noch nachgewiesen, daß F genau einen Fixpunkt x in der Menge C([t0 − β, t0 + β], Rn ) ∩ Kδd∞ (cxB0 ) besitzt (x ist dann die Lösung der Anfangswertaufgabe!). Hierfür genügt die Bestätigung von     F cxB − cxB  < δ(1 − βL): 0 0 ∞ Für alle t ∈ [t0 − β, t0 + β] ist  t        F cxB (t) − cxB (t) =   f (s, x P ) ds 0 0 0   2 t0 2  1/2  t ≤ |t − t0 | f (s, xP0 )22 ds t0 2

 A 17 (a) 

≤ (|t − t0 |M |t − t0 |)1/2 ≤ βM

 f (s, xP0 )22 ≤ M 2 

< δ(1 − βL)

β
0 ∃ jε ∈ N ∀ (xj )j ∈ S : j=jε |xj | < ε Beweis (i) ⇒ (ii) S muß den Vorbemerkungen zufolge abgeschlossen und beschränkt sein. Es sei ε > 0, und es werde angenommen, daß ∀i∈N∃



(i)  xj j

∞  (i) q x ≥ ε ∈ S: j j=i

   (i)   richtig ist. Die Folge xj j i ∈ S N hat gem. 4.1-3.2 eine in S, τdq |S konvergente  (i )   q Teilfolge xj k j k →τdq |S (xj )j , (xj )j ∈ S. Man wähle ν1 ∈ N mit ∞ j=ν1 |xj | < ε/(2q ) und hierzu ein ν2 ≥ ν1 mit  (i )   ε1/q ∀ k ≥ ν2 : dq xj k j , (xj )j < 2

4 Kompakte topologische Räume

284

und erhält für jedes k ≥ ν2     ∞ ∞ (ik ) q 1/q (ik ) q 1/q ε1/q ≥ > xj − xj x j − xj 2 j=0 j=ik    1/q ∞ ∞ (ik ) q 1/q q xj ≥ − |xj | j=ik

j=ik

 gem. Dreiecksungleichung in (+q , dq )   1/q ∞ 1/q q |xj |  gem. obiger Annahme  ≥ε − j=ik

≥ ε1/q − =

ε1/q

 ik ≥ k ≥ ν2 ≥ ν1 

2

ε1/q
2

(ii) ⇒ (i) Gem. 3.1-8 (a) ist (S, d
S × S) vollständig, zu zeigen ist daher nur noch |x |q < εq /(2q+1 ) die Totalbeschränktheit  4.1-3.2 . Sei ε > 0, νε ∈ N mit ∞  j=νε j   ν   x0 , . . . , xνε −1 (xj )j ∈ S in C ε , dq für jedes (xj )j ∈ S. Dann ist Aνε := beschränkt, denn ∞ ε −1     ν 1/q  1/q |xj − x
j |q ≤ |xj − x
j |q dq x0 , . . . , xνε −1 , x
0 , . . . , x
νε −1 = j=0

j=0

dq ((xj )j , (x
j )j )

< δ(S) < ∞   für alle (xj )j , (x
j )j ∈ S, also totalbeschränkt in Cνε , dq  A 3 . Man wähle in  (1)   (n)  (1)  (n)  ε -Kette x0 , . . . , xνε −1 , . . . , x0 , . . . , xνε −1 und Aνε , dq
Aνε × Aνε eine 21/q    (i)  (i) (i) für jedes i ∈ {1, . . . , n} ein ξj j ∈ S mit ξj = xj für alle j ∈ 0, . . . , νε − 1 .  (n)    (1)  ξj j , . . . , ξj j ist eine ε-Kette in (S, dq
S × S):   Für jedes (ξj )j ∈ S ist ξ0 , . . . , ξνε −1 ∈ Aνε , etwa   (k)  dq (k)  x0 , . . . , xνε −1 ξ0 , . . . , ξνε −1 ∈ Kε/(2 1/q ) =

für ein k ∈ {1, . . . , n}. Wegen   ∞ 1/q  (k)    ξj − ξ (k) q dq (ξj )j , ξj j = j j=0

ν  ∞ ε −1 q  q 1/q (k) (k) ξj − ξ + ξj − ξ = j j j=0

j=νε

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen  < + ≤

285

1/q ∞  εq (k) q ξj − ξj + 2 j=νε

εq + 2

  ∞ j=νε

1/q |ξj |

q

+

 ∞

(k) q ξ j

1/q q ,1/q

j=νε q

 gem. Dreiecksungleichung in (+ ,  q )   εq  ε ε q 1/q + =ε + ≤ 2 2 · 21/q 2 · 21/q d  (k)   gehört (ξj )j zu Kε q ξj j .

✷

Die Kompaktheit der Vervollständigung eines pseudometrischen Raums (X, d) kann – wie nach 4.1-3.2 zu vermuten ist – bereits aus der Totalbeschränktheit von (X, d) gefolgert werden: Satz 4.1-9    ˆ dˆ , ˆı sei Vervollständigung des pseudometrischen Raums (X, d). X,   ˆ τ ˆ kompakt Äq (i) X, d (ii) (X, d) totalbeschränkt Beweis

    ˆ ı[X] × ˆı[X] ˆ dˆ totalbeschränkt, also auch ˆı[X], d
ˆ (i) ⇒ (ii) Nach 4.1-3.2 ist X,  A 2 . ˆı−1 ist als Isometrie gleichmäßig stetig  (2.4,5) (a)  und daher (X, d) totalbeschränkt  A 7 .   ˆ ı[X] ׈ı[X] totalbeschränkt  A 7  und somit auch (ii) ⇒ (i) Mit (X, d) ist ˆı[X], d
ˆ      τˆ  ˆ dˆ  (4.1,4) (c) . Aus 4.1-3.2 folgt die Kompaktheit von X, ˆ τˆ . ˆı[X] d , dˆ = X, d ✷   Zur Vorbereitung eines Kompaktheitskriteriums in C(X, Y ), τd∞ ((X, d) kompakter pseudometrischer Raum, (Y, e) vollständiger metrischer Raum) wird die im Zusammenhang mit Hausdorff-Metriken in Abschnitt 3.1 bereits erwähnte Eigenschaft der gleichgradigen (gleichmäßigen) Stetigkeit von Funktionenmengen festgelegt, da diese eine notwendige Voraussetzung für die Kompaktheit darstellt (s. (4.1,8) (c)): Definitionen (X, d), (Y, e) seien pseudometrische Räume, F ⊆ Y X und x ∈ X. F gleichgradig stetig in x

:gdw

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ f ∈ F ∀ x
∈ X : d(x, x
) < δ ⇒ e(f (x), f (x
)) < ε

4 Kompakte topologische Räume

286 F gleichgradig stetig

:gdw ∀ x ∈ X : F gleichgradig stetig in x

F gleichgradig gleichmäßig stetig

:gdw


∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ f ∈ F ∀ x, x ∈ X : d(x, x
) < δ ⇒ e(f (x), f (x
)) < ε Beispiele (4.1,8) (X, d), (Y, e) seien pseudometrische Räume, F ⊆ Y X . (a)

Es seien L, p ∈ R, p > 0 mit ∀ f ∈ F ∀ x, x ∈ X : e(f (x), f (x )) ≤ Ld(x, x )p (d. h. jedes f ∈ F ist p-Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L). Dann ist F gleichgradig gleichmäßig stetig. Die Voraussetzung ist insbesondere für F ⊆ C([0, 1], R) mit p = 1 erfüllt, wenn jedes f ∈ F differenzierbar ist, und ∃L>0∀f ∈F:

sup |f  (z)| ≤ L z∈[0,1]

gilt  vgl. (2.4,6) (b) . (b) Leicht einzusehen sind die folgenden Implikationen: F gleichgradig gleichm¨aßig stetig

∀ f ∈ F : f gleichm¨aßig stetig =⇒

=⇒

(1)

(3) =⇒

F gleichgradig stetig

=⇒ (2)

(4)

∀ f ∈ F : f stetig

Ihre Umkehrungen sind jeweils falsch: Für (1), (4) verwende man eine einelementige Menge F , die aus einer stetigen, nicht gleichmäßig stetigen Funktion besteht  s. (2.4,5) (a) , und für (2), (3) die Menge F := { f : R −→ R | ∃ r ∈ R ∀ x ∈ R : f (x) = rx } aller Nullpunktsgeraden in R2 . Jedes f ∈ F ist gleichmäßig stetig, F ist jedoch nicht gleichgradig stetig. Andernfalls existierte zu ε = 1 ein δ > 0 mit ∀ f ∈ F ∀ x ∈ R : |x| < δ ⇒ |f (x)| < 1. Für die durch g(x) := 2δ x definierte Funktion g ∈ F erhielte man jedoch |g( 2δ )| = 1.
. Ist (X, τd ) kompakt, so sind die Umkehrungen von (1), (4) richtig  A 6 bzw. 4.1-2.1  (die für (2), (3) nicht, wie man dem obigen Gegenbeispiel entnehmen kann, wenn man die Funktionen f auf [0, 1] betrachtet).

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen (c)

287

(X, τd ) sei kompakt, ∅ = F ⊆ Cb (X, Y ) (= C(X, Y ) wegen 4.1-6 (a)). Die gleichgradige (gleichmäßige) Stetigkeit von F muß notwendigerweise gegeben sein, wenn (F, d∞
F × F ) totalbeschränkt sein soll: Sei ε > 0. Man wähle eine 3ε -Kette {f1 , . . . , fn } in (F, d∞
F × F ) und (wegen der gleichmäßigen Stetigkeit der fj , 1 ≤ j ≤ n) ein δ > 0 mit ∀ x, x ∈ X ∀ j ∈ {1, . . . , n} : d(x, x ) < δ ⇒ e(fj (x), fj (x ))
0. Da F gleichgradig gleichmäßig stetig ist  (4.1,8) (b) , gibt es ein δ > 0 mit ∀ x, x
∈ X ∀ f ∈ F : d(x, x
) < δ ⇒ e(f (x), f (x
)) < 4ε . { Kδd (x) | x ∈ X } ⊆ τd ist eine Überdeckung von X, hat somit eine endliche Teilüberdeckung, etwa { Kδd (xi ) | 1 ≤ i ≤ n }. Nach Voraussetzung (ii) ist # τe τe { f (xi ) | 1 ≤ i ≤ n, f ∈ F } = ni=1 F (xi ) kompakt in (Y, τe ), es gibt daher endlich viele Elemente y1 , . . . , yp in Y mit { f (xi ) | 1 ≤ i ≤ n, f ∈ F }

τe

p

⊆

e Kε/4 (yj ). j=1

Man setze nun Bn,p := {1, . . . , p}{1,...,n} (Endliche Menge von Funktionen!) und für jedes β ∈ Bn,p     Fβ := f ∈ F ∀ i ∈ {1, . . . , n} : e f (xi ), yβ(i) < ε/4 . # Nach Wahl der y1 , . . . yp ist F = β∈Bn,p Fβ . Für diejenigen β ∈ Bn,p mit Fβ = ∅  εd∞ (fβ ), { fβ | β ∈ Bn,p , Fβ = ∅ } also wähle man ein fβ ∈ Fβ . Dann ist Fβ ⊆ K eine ε-Kette in (F, d∞
F × F ): Sei g ∈ Fβ und x ∈ X, etwa i ∈ {1, . . . , n} mit d(x, xi ) < δ. Dann ist e(fβ (x), fβ (xi )) < ε/4, e(g(x), g(xi )) < ε/4, e(fβ (xi ), yβ(i) ) < ε/4 und e(g(xi ), yβ(i) ) < ε/4, also e(fβ (x), g(x)) < ε. Es folgt d∞ (fβ , g) = supx∈X e(fβ (x), g(x)) ≤ ε.   Der Beweis zu 4.1-10 zeigt, daß für kompaktes F, τd∞ |F die Bedingung  τe τe  ∀ x ∈ X : F (x) , τe |F (x) kompakt

✷

nur scheinbar schwächer (s. (4.1,2) (c)) als ∀ x ∈ X : (F (x), τe |F (x)) kompakt ist und durch diese ersetzt werden kann. Speziell für Mengen F Rn -wertiger Funktionen gilt Korollar 4.1-10.1 (Arzelà) (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, (X, τd ) kompakt und F ⊆ C(X, Rn ).   Äq (i) F, τd∞ |F kompakt (ii) F ∈ ατd∞ , F beschränkt in (C(X, Rn ), d∞ ), und F ist gleichgradig stetig.

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen

289

Beweis

  (i) ⇒ (ii) erhält man mit 4.1-10, denn aus der Kompaktheit von F, τd∞ |F folgt mit 4.1-3.2 und (4.1,4) (a) die Beschränktheit von F in (C(X, Rn ), d∞ ). (ii) ⇒ (i) Ist F beschränkt in (C(X, Rn ), d∞ ), so auch F (x) in (Rn , d  ) für jedes x ∈ X, denn δ(F (x)) = sup{ d  (f (x), g(x)) | f, g ∈ F } ≤ sup{ d∞ (f, g) | f, g ∈ F } = δ(F ).  τd τd  Gem. A 3 ist (F (x), d 
F (x) × F (x)) totalbeschränkt, F (x)   , τd  |F (x)   daher für jedes x ∈ X kompakt  4.1-9 . Nach 4.1-10 folgt die Behauptung. ✷ Eine Anwendung dieses Satzes von Arzelà bietet das Beispiel (4.1,9) d

Es sei t0 ∈ R, ε > 0, I := [t0 − ε, t0 + ε], f ∈ Cb (I × Rn , Rn ), etwa f [I × Rn ] ⊆ KC 2 (0) für ein C > 0. Die Anfangswertaufgabe x (t) = f (t, x(t)),

t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]

x(t0 ) = xP0 hat eine Lösung x ∈ C([t0 − ε, t0 + ε], Rn ) (Globaler Existenzsatz von Peano, 1885). Zunächst wird die Existenz einer Lösung y ∈ C([t0 , t0 +ε], Rn ) der Anfangswertaufgabe über [t0 , t0 + ε] nachgewiesen. Hierzu definiere man für jedes j ∈ N  & ' ε für t ∈ t0 , t0 + j+1 xP0 ε yj+1 (t) := & &

t− ε , t0 + ε xP0 + t0 j+1 f (s, yj+1 (s)) ds für t ∈ t0 + j+1 & ' ε , sukzes(koordinatenweise Integration, vgl. A 17), wobei yj+1 , ausgehend von t0 , t0 + j+1 & (k+1)ε & kε sive in den Intervallen t0 + j+1 , t0 + j+1 , k = 1, . . . , j als stetige Funktion  A 17 (b)    errechnet wird. Man erhält so eine in C([t0 , t0 + ε], Rn ), d∞ beschränkte Folge (yj+1 )j∈N : Für jedes j ∈ N gilt  & ' ε 0 für t ∈ t0 , t0 + j+1 ε  yj+1 (t) − xP0 2 =  t− j+1 & &  t f (s, yj+1 (s)) ds für t ∈ t0 + ε , t0 + ε 2

0

j+1

≤ Cε,   t− ε  da  t0 j+1 f (s, yj+1 (s)) ds2 ≤ t − (yj+1 )j∈N ist gleichgradig stetig:

ε j+1

 − t0 f ∞ < εC gem. A 17 (a) ist.

4 Kompakte topologische Räume

290

  Sei t ∈ [t0 , t0 + ε] und ε > 0. Für t = t0 erhält man mit δ := 12 min Cε
, ε für jedes  j∈N t ∈ [t0 , t0 + δ[,  ε 0 für t ≤ t0 + j+1  ε yj+1 (t0 ) − yj+1 (t )2 =  t − j+1  ε  t f (s, yj+1 (s)) ds2 für t > t0 + j+1 0 ≤ C δ < ε  A 17 (a) .   Für t > t0 sei j0 := min j ∈ N t0 + j0ε+1 < t und δ := 

Es gilt dann t > t0 +

ε j+1

  min Cε
, ε, t − t0 +  t + δ[,  also für jedes j ≥ j0 und alle t ∈ ]t − δ, 



1 2

ε j0 +1



.

ε t − j+1

yj+1 (t ) = xP0 +

f (s, yj+1 (s)) ds t0

und somit

  yj+1 (t) − yj+1 (t )2 =  

ε t − j+1

ε t− j+1

    f (s, yj+1 (s)) ds  ≤ |t − t|C < δC < ε. 2

erhält man eine gegen ein y ∈ C([t0 , t0 + ε], Rn ) d∞ -konvergente Teilfolge  Mit 4.1-10.1 yjk +1 k von (yj+1 )j  A 13 (b) . Die Funktion y löst die Integralgleichung  t f (s, y(s)) ds, t ∈ [t0 , t0 + ε] y(t) = xP0 + t0

(y ist daher Lösung der obigen Anfangswertaufgabe über [t0 , t0 + ε]!): Sei t > t0 , k0 ∈ N, t > t0 +

ε jk +1



t− j

yjk +1 (t) = xP0 + 

t0 t

= xP0 +

für jedes k ≥ k0 . Dann ist ε k +1

  f s, yjk +1 (s) ds

  f s, yjk +1 (s) ds −

t0



t

t− j

ε k +1

  f s, yjk +1 (s) ds.

 t     t    Wegen  t− ε f s, yjk +1 (s) ds2 ≤ C jkε+1 ist t− ε f s, yjk +1 (s) ds k∈N eine jk +1 jk +1  Nullfolge in Rn , d 2 . Es genügt somit zu zeigen, daß  t   t   f s, yjk +1 (s) ds →d 2 f (s, y(s)) ds t0

k∈N

t0

 d 2 gilt. Sei also ε > 0. Es ist yjk +1 (s) ∈ K Cε+xB0 2 (0) für jedes s ∈ [t0 , t], k ∈ N  s. o.  n+1  d 2 ,  2 ) beschränkten abgeschlossenen Menge [t0 , t] × K (0) und f auf der in (R gleichmäßig stetig  4.1-2.1 . Man wähle ein δ  > 0, so daß

Cε+xB0 2

 d 2 ∀ (t , Px ), (t , Px ) ∈ [t0 , t] × K Cε+xB0 2 (0) : (t , Px ) − (t , Px )2 < δ  ⇒ f (t , Px ) − f (t , Px )2 < ε

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen

291

erfüllt ist, und weiter ein kδ mit

  ∀ k ≥ kδ ∀ s ∈ [t0 , t] : yik +1 (s) − y(s)2 < δ  .

Für jedes s ∈ [t0 , t], k ≥ kδ ist dann     s, yi +1 (s) − (s, y(s)) < δ  , k 2 also

    f s, yi +1 (s) − f (s, y(s)) < ε . k 2   Mit gk (s) := f s, yik +1 (s) , g(s) := f (s, y(s)) hat man daher (gk )k −−−−−−→ g d

gezeigt, woraus



t

2 -glm.

  f s, yik +1 (s) ds

(auf [t0 , t])



t0

 k

→d 2

t

f (s, y(s)) ds t0

folgt  [32, Satz 7.16]; 2.4-8 (b); (2.4,8) (a) . Ebenso erhält man die Existenz einer Lösung z ∈ C([t0 − ε, t0 ], Rn ) der Anfangswertaufgabe über [t0 − ε, t0 ]. Die Funktion  y(t) für t ∈ [t0 , t0 + ε] x(t) := z(t) für t ∈ [t0 − ε, t0 ] ist auf [t0 − ε, t0 + ε] differenzierbar mit x (t0 ) = f (t0 , y(t0 )) = f (t0 , xP0 ) = f (t0 , z(t0 )) und löst die Anfangswertaufgabe über [t0 − ε, t0 + ε].   Die Lösungsmenge der Anfangswertaufgabe ist kompakt in C([t0 − ε, t0 + ε], Rn ), τd∞  A 18 (b) .

Ebenso wie die Vollständigkeit (s. 3.1-10) wird auch die Kompaktheit eines (be schränkten) metrischen Raums (X, d) auf den Raum Ad , Dx0 seiner abgeschlossenen nichtleeren Teilmengen mit Hausdorff-Metrik übertragen. Die Bezeichnungen entnehme man dem Abschnitt 3.1, Seiten 191–195! Satz 4.1-11

  (X, d) sei ein metrischer Raum, (X, τd ) kompakt, x0 ∈ X. Ad , τDx0 ist kompakt. Beweis

  (X, d) ist totalbeschränkt und vollständig  4.1-3.2 , Ad , Dx0 also vollständig  3.1-10 . Da
Ad −→ Cb (X, R) ϕ x0 : A −→ ϕx0 ,A   nach Definition von Dx0 eine Isometrie bzgl. D , d
ϕ [A ] × ϕ [A ] ist, überx ∞ x x d d 0 0 0     trägt ϕx0 die Vollständigkeit von Ad , Dx0 auf ϕx0 [Ad ], d∞
ϕx0 [Ad ] × ϕx0 [Ad ] .

4 Kompakte topologische Räume

292

  abgeschlossen. Die gleichgradige Nach 3.1-8 (b) ist ϕx0 [Ad ] in Cb (X, R), τ d ∞   (gleichmäßige) Stetigkeit der Menge ϕx0 (A) A ∈ Ad wurde (sogar für beliebige beschränkte metrische Räume (X, d)) bereits in 3.1 festgestellt, ihre Beschränktheit in (Cb (X, R), d∞ ) ergibt sich aus   ∀ A ∈ Ad : ϕx0 (A)∞ = sup ϕx0 (A)(x) = sup |dist(x, A) − d(x, x0 )| x∈X

x∈X

≤ 2δ(X).     Die Kompaktheit von Ad , τDx0 folgt nun aus der von ϕx0 [Ad ], τd∞ |ϕx0 [Ad ]  4.1-10.1, 4.1-6 (a) . ✷   Die Konvergenz von Folgen in Ad , Dx0 beschreibt Satz 4.1-12 (X, d) sei ein kompakter metrischer Raum, x0 ∈ X, D (Aj )j ∈ AN d. Äq (i)

τd

= X, A ∈ Ad ,

(Aj )j →Dx0 A

(ii) ∀ x ∈ D : (dist(x, Aj ))j →d| | dist(x, A) Beweis (i) ⇒ (ii)

=⇒

 ϕx0 (Aj ) j →d∞ ϕx0 (A)   ∀ x ∈ X : ϕx0 (Aj )(x) j →d| | ϕx0 (A)(x)

⇐⇒

∀ x ∈ X : (dist(x, Aj ) − d(x, x0 ))j →d| | dist(x, A) − d(x, x0 )

⇐⇒

 nach Definition von ϕx0  ∀ x ∈ X : (dist(x, Aj ))j →d| | dist(x, A)

(Aj )j →Dx0 A

⇐⇒



 (2.4,7) 

(ii) ⇒ (i) Da (X, τd ) kompakt und mit ϕx0 [Ad ] auch ϕx0 [{ Aj | j ∈ N }] gleichA 16 (b) die Existenz eines ϕ ∈ C(X, R) mit  ist, folgt aus (ii) und gradig stetig τ ϕx0 (Aj ) j →d∞ ϕ. Wegen D d = X, ϕ
D = ϕx0 (A)
D gilt ϕ = ϕx0 (A)   ✷  2.5-9.1 (b)  und somit ϕx0 (Aj ) j →d∞ ϕx0 (A), d. h. (Aj )j →Dx0 A. Die Behandlung der in Abschnitt 3.1 (Seite 191) angekündigten Stabilität, d. h. der Stetigkeit der „Preisfunktion“
Y −→ R p∗ = p ◦ A : y −→ inf x∈A(y) p(x) erfolgt in zwei Teilen 4.1-13 (a), (b) gemäß der folgenden

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen

293

Definition (X, d) sei ein beschränkter metrischer Raum, (Y, σ) topologischer Raum, y ∈ Y , x0 ∈ X und A : Y −→ Ad . A oberhalbstetig in y

:gdw

∀ ε > 0 ∃ U ∈ Uσ (y) ∀ y
∈ U : Dx+0 (A(y), A(y
)) < ε A unterhalbstetig in y

:gdw

∀ ε > 0 ∃ U ∈ Uσ (y) ∀ y
∈ U : Dx−0 (A(y), A(y
)) < ε Wegen Dx0 = Dx+0 ∨ Dx−0  3.1-9 (a)  gilt dann:   A stetig (bzgl. σ, τDx0 ) in y ⇐⇒ A ober- und unterhalbstetig in y. Satz 4.1-13 (X, d), (Y, e) seien metrische Räume, (X, d) beschränkt, x0 ∈ X, y ∈ Y , A : Y −→ Ad , p : Y × X −→ R mit inf{ p(y
, x
) | x
∈ A(y
) } > −∞ für jedes y
∈ Y ,
Y −→ R ∗ p : y
−→ inf{ p(y
, x
) | x
∈ A(y
) }. (a) Mit A unterhalbstetig in y, p oberhalbstetig (bzgl. (τe τd , τ| | )) ist p∗ oberhalbstetig in y. (b) Ist A oberhalbstetig in y, p unterhalbstetig (bzgl. (τe τd , τ| | )), (A(y), τd |A(y)) kompakt, so ist p∗ unterhalbstetig in y. Beweis Es sei ε > 0. Zu (a) Man wähle x ∈ A(y) mit p(y, x) ≤ p∗ (y) + (ε/2) und erhält ∀ y
∈ Y ∀ x
∈ A(y
) : p∗ (y
) − p∗ (y) ≤ p(y
, x
) − p(y, x) +

ε 2

(∗)

 p∗ (y
) ≤ p(y
, x
) . Da p oberhalbstetig (in (y, x)) ist, gibt es ein δ > 0 mit ε ∀ x
∈ Kδd (x) ∀ y
∈ Kδe (y) : p(y
, x
) − p(y, x) < . 2 Wegen der Unterhalbstetigkeit von A in y existiert ein η > 0, η < δ, mit Dx−0 (A(y), A(y
)) < δ/2 für jedes y
∈ Kηe (y). Für alle Elemente y
∈ Kηe (y), d x
∈ A(y
) ∩ Kdist(x,A(y  ))+(δ/2) (x) gilt dann d(x, x
) < dist(x, A(y
)) +

δ δ δ δ ≤ Dx−0 (A(y), A(y
)) + < + = δ, 2 2 2 2

also p(y
, x
) − p(y, x) < ε/2 und mit (∗) p∗ (y
) − p∗ (y) < ε.

4 Kompakte topologische Räume

294

Zu (b) Da p unterhalbstetig ist, gibt es für jedes x ∈ X ein δx > 0 mit ∀ x
∈ Kδdx (x) ∀ y
∈ Kδex (y) : p(y, x) < p(y
, x
) + ε. (∗∗) #n d Man wähle x1 , . . . , xn ∈ A(y), A(y) ⊆ i=1 Kδxi (xi )  (A(y), τd |A(y)) ist kompakt!  und hierzu ein δ > 0 mit n

A(y) ⊆ Kδd (A(y)) ⊆

Kδdx (xi ) i=1

i


< δ }, s. A 21). Weil A oberhalbstetig in y (Kδd (A(y)) := { x
∈ X | dist(x  , A(y)) ist, gibt es ein η > 0, η < min δxi 1 ≤ i ≤ n mit

∀ y
∈ Kηe (y) : Dx+0 (A(y), A(y
)) < δ. Hiermit folgt

∀ y
∈ Kηe (y) : p∗ (y) < p∗ (y
) + ε

(d. h. p∗ ist unterhalbstetig in y): Sei y
∈ Kηe (y). Aus

  Dx+0 (A(y), A(y
)) = sup dist(x, A(y)) − dist(x, A(y
)) < δ x∈X

erhält man speziell dist(x, A(y)) < δ für alle x ∈ A(y
), also A(y
) ⊆ Kδd (A(y)) ⊆

n

Kδdx (xi ). i=1

i

Sei z ∈ A(y
), etwa z ∈ Kδdx (xi ). Mit (∗∗) ergibt sich dann i

∗

p (y) ≤ p(y, xi ) ≤ p(y
, z) + ε

 xi ∈ A(y)   (∗∗), η < δxi .

Daher ist p∗ (y) ≤ inf{ p(y
, z) | z ∈ A(y
) } + ε = p∗ (y
) + ε, wie behauptet.

✷

Korollar 4.1-13.1 (X,  d), (Y,  e) seien metrische Räume, (X, d) beschränkt, x0 ∈ X, A : Y −→ Ad τe , τDx0 -stetig, p : Y × X −→ R stetig (bzgl. (τe τd , τ| | )) und (A(y), τd |A(y)) für jedes y ∈ Y kompakt. Dann ist
Y −→ R ∗ p : y −→ inf{ p(y, x) | x ∈ A(y) } stetig.

✷

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen

295

Der Fixpunktbegriff läßt sich kanonisch auf mengenwertige Funktionen ausdehnen, und man erhält unter gewissen Voraussetzungen eine zum Banachschen Fixpunktsatz 3.4-1 analoge Aussage über die Existenz von Fixpunkten (s. 4.1-14). Definition (X, d) sei ein beschränkter metrischer Raum, A : X −→ Ad und x ∈ X. x Fixpunkt von A

:gdw x ∈ A(x)

Speziell für a : X −→ X mit der zugehörigen mengenwertigen Funktion
X −→ Ad A: x −→ {a(x)} ist x genau dann ein Fixpunkt von A, wenn x ∈ Fix a gilt. Satz 4.1-14 (X, d) sei ein beschränkter, vollständiger  metrischer Raum, x0 ∈ X, A : X −→ Ad  eine strenge Kontraktion (bzgl. d, Dx0 ) mit Kontraktionszahl λ ∈ [0, 1[. Ist (A(x), τd |A(x)) für jedes x ∈ X kompakt, so besitzt A einen Fixpunkt. Beweis Die Existenz eines Fixpunkts ergibt sich wie in 3.4-1 mit Hilfe der Picard-Iteration : Sei y0 ∈ X. Da (A(y0 ), τd |A(y0 )) kompakt ist, existiert ein y1 ∈ A(y0 ) mit dist(y0 , A(y0 )) = d(y0 , y1 )  A 9 (a) . Ist yn gewählt, so ergibt dasselbe Argument die Existenz eines Elements yn+1 ∈ A(yn ) mit dist(yn , A(yn )) = d(yn , yn+1 ). Die Folge (yj )j∈N der PicardIterierten erfüllt für jedes n ≥ 1 die Ungleichungen d(yn+1 , yn ) = dist(yn , A(yn )) − dist(yn , A(yn−1 )) ≤ ≤ Dx0 (A(yn ), A(yn−1 )) ≤ λd(yn , yn−1 ) ≤ λn d(y1 , y0 ) = λn dist(y0 , A(y0 )) Dx+0 (A(yn ), A(yn−1 ))

 dist(yn , A(yn−1 )) = 0 

 nach Definition von Dx+0 , vgl. 3.1   3.1-9 (a)   A ist Kontraktion mit Kontr.-Zahl λ   vollständige Induktion über n 

4 Kompakte topologische Räume

296 und weiter für alle m ∈ N d(yn+m , yn ) ≤ ≤

m−1 

d(yn+ν+1 , yn+ν ) ≤

ν=0 λn

1−λ

m−1 

λn+ν dist(y0 , A(y0 ))

ν=0

dist(y0 , A(y0 )).

(yj )j∈N ist somit eine Cauchy-Folge in (X, d) und daher konvergent, (yj )j → y für τd ein y ∈ X. Wegen y ∈ A(y) = A(y)  4.1-5 (b)  ist y Fixpunkt von A: Aus dist(yn , A(y)) − d(yn+1 , yn ) = dist(yn , A(y)) − dist(yn , A(yn )) ≤ Dx0 (A(y), A(yn )) ≤ λd(y, yn ) folgt dist(yn , A(y)) ≤ λd(y, yn ) + d(yn+1 , yn ), also auch dist(y, A(y)) = 0, d. h. τd ✷ y ∈ A(y)  2.1, A 7 (a) . Kompaktheit hat vornehmlich wegen 4.1-6 (a) (s. auch A 8, A 22, A 23) eine große Bedeutung für die Optimierung. Sind X, Y nichtleere Mengen, f : X × Y −→ R,
Y −→ R fx · : y −→ f (x, y) für jedes x ∈ X nach oben beschränkt, etwa fx · (y) ≤ C für alle y ∈ Y , so gilt für jede Funktion ϕ : X −→ Y inf f (x, ϕ(x)) ≤ inf sup f (x, y),

x∈X

x∈X y∈Y

woraus supϕ∈Y X inf x∈X f (x, ϕ(x)) ≤ inf x∈X supy∈Y f (x, y) folgt. Weiterhin gibt es nach Definition des Supremums für jedes ε > 0, x ∈ X ein ψx ∈ Y mit sup f (x, y) − ε ≤ f (x, ψx ), y∈Y

also gilt inf sup f (x, y) − ε ≤ inf f (x, ψx ) ≤ sup inf f (x, ϕ(x)).

x∈X y∈Y

x∈X

ϕ∈Y X x∈X

Insgesamt erhält man in dieser Situation inf sup f (x, y) = sup inf f (x, ϕ(x)).

x∈X y∈Y

ϕ∈Y X x∈X

Bei der Infimumberechnung als Supremum werden hier alle Funktionen ϕ : X −→ Y berücksichtigt. Sind X, Y mit Topologien versehen, so sind häufig nur die stetigen

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen

297

Funktionen als natürlich anzusehen, und es stellt sich die Frage nach Bedingungen, unter denen die entsprechende Gleichung mit C(X, Y ) anstelle von Y X richtig ist. Eine Teilantwort auf diese Frage ist Satz 4.1-15 (J.-M. Lasry, um 1973) (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, (V,  ) halbnormierter R-Vektorraum, Y ⊆ V konvex, f : X × Y −→ R,
Y −→ R fx · : y −→ f (x, y) konkav und nach oben beschränkt für jedes x ∈ X,
X −→ R f·y : x −→ f (x, y) unterhalbstetig für jedes y ∈ Y . Ist (X, τd ) kompakt, so gilt inf sup f (x, y) =

x∈X y∈Y

sup

inf f (x, ϕ(x)).

ϕ∈C(X,Y ) x∈X

Beweis „≥“

ist wegen C(X, Y ) ⊆ Y X nach der Vorbetrachtung erfüllt.

„≤“

Sei ε > 0 und ψ(x) ∈ Y für jedes x ∈ X gewählt mit sup f (x, y) − ε ≤ f (x, ψ(x) ).

y∈Y

Da f · y für jedes y ∈ Y unterhalbstetig ist, existiert zu jedem x ∈ X ein δx > 0 mit & ' f · ψ(x) Kδdx (x) ⊆ ]f · ψ(x) (x) − ε, ∞[.  Kδdx (x) x ∈ X ist eine offene Überdeckung von (X, τd ), hat also   eine endliche Teilüberdeckung Kδdx (xi ) 1 ≤ i ≤ m . Nach 2.5-13 i   wähle man eine Kδdx (x1 ), . . . , Kδdx (xm ) untergeordnete Zerlegung der m 1 m  (X, τ ) ist T -Raum.  und definiere die ) ∈ C(X, [0, 1]) Eins (f1 , . . . , fm 4 d Y )  2.4, A 18 (a), 2.4-17 . Da fx · für Funktion ϕ := m i=1 ψ(xi )fi ∈ C(X, f (x) = 1 jedes x ∈ X konkav ist, folgt mit m i i=1 

fx · (ϕ(x)) ≥

m 

fi (x)fx · (ψ(xi ))

(∗)

i=1

 2.4-19 . Für diejenigen i ∈ {1, . . . , m}, für die fi (x) = 0 ist, gehört x zu

4 Kompakte topologische Räume

298 Tr fi ⊆ Kδdx (xi ), also gilt  s. o.  i

& ' fx · (ψ(xi )) = f · ψ(xi ) (x) ∈ f · ψ(xi ) (xi ) − ε, ∞ ,

woraus sich fx · (ψ(xi )) ≥ f · ψ(xi ) (xi ) − ε ≥ sup f (xi , y) − 2ε y∈Y

ergibt. Mit (∗) erhält man m   fi (x) = sup f (xi , y) − 2ε fx · (ϕ(x)) ≥ sup f (xi , y) − 2ε y∈Y

y∈Y

i=1

≥ inf sup f (ξ, y) − 2ε, ξ∈X y∈Y

also auch inf f (x, ϕ(x)) ≥ inf sup f (x, y) − 2ε.

x∈X

x∈X y∈Y

Es folgt sup

inf f (x, ϕ(x)) ≥ inf sup f (x, y).

ϕ∈C(X,Y ) x∈X

x∈X y∈Y

✷

Man beachte, daß 4.1-15 für kompakte T4 -Räume (X, τ) anstelle von (X, d) und topologische R-Vektorräume (V, σ) für (V,  ) ebenfalls richtig ist (s. Beweis).

Aufgaben zu 4.1 1. (X, τ) sei ein A1 -Raum mit B-W-E. Ist (X, τ) folgenkompakt? (Hinweis: (4.1,1)) 2. (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, ∅ = S ⊆ X. Mit (X, d) ist auch (S, d
S × S) totalbeschränkt. 3. (a)

Im Raum (Cn , dq ), n ∈ N\{0}, 1 ≤ q ≤ ∞ gilt für jedes ∅ = S ⊆ Cn : S beschränkt in (Cn , dq )

⇐⇒

(S, dq
S × S) totalbeschränkt.

(b) ∅ = A ⊆ R, (A, τ| | |A) kompakt

=⇒

inf A, sup A ∈ A.

4. Man gebe einen beschränkten metrischen Raum an, der nicht totalbeschränkt ist! 5. (X, d) sei ein totalbeschränkter pseudometrischer Raum. (X, τd ) ist ein A2 -Raum. 6. (X, d), (Y, e) seien pseudometrische Räume, (X, τd ) kompakt und F ⊆ Y X gleichgradig stetig. F ist gleichgradig gleichmäßig stetig. 7. (X, d), (Y, e) seien pseudometrische Räume, f : X −→ Y gleichmäßig stetig. (X, d) totalbeschränkt =⇒ (f [X], e
f [X] × f [X]) totalbeschränkt

4.1 Kompaktheit in pseudometrischen Räumen

299

8. (X, d) sei ein metrischer Raum. Äq (i)

C(X, R) = Cb (X, R)

(ii) (X, τd ) kompakt (iii) ∀ f ∈ C(X, R) : inf f [X], sup f [X] ∈ f [X]. (Hinweis: Man verwende 2.5-11!) 9. (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, S, T ∈ PX\{∅}, (S, τd |S) kompakt und dist(S, T ) := inf{ d(s, t) | s ∈ S, t ∈ T }. (a)

∃ s ∈ S : dist(s, T ) = dist(S, T )

(b) Ist T ∈ ατd , so Äq (i) (ii)

dist(S, T ) = 0 S ∩ T = ∅.

10. In 4.1-4 (b) (Satz von Dini) kann auf keine der drei Voraussetzungen „(X, τd ) kompakt“, „f stetig“, „(fj )j punktweise monoton fallend (oder wachsend)“ verzichtet werden! 11. (X, d) sei ein metrischer Raum, f : X −→ X eine strenge Kontraktion. (f [X], τd |f [X]) kompakt

=⇒

Fix f = ∅,

d. h. f hat genau einen Fixpunkt (s. 2.4, A 4 (b)). 12. In (CR ([a, b]), d∞ ), a, b ∈ R, a < b, zeige man:  d∞   (0), τd |K  d∞ (0) ist nicht kompakt. (a) K ∞ 1 1    d∞ (0) ∀ x, x ∈ [a, b] : |f (x) − f (x )| ≤ L|x − x | , L > 0, (b) FürSL := f ∈ K 1 ist SL , τd∞ |SL kompakt. (c)

G ⊆ CR ([a, b]) sei gleichgradig stetig, G(x) := { g(x) | g ∈ G } beschränkt in (R, d| | ) für ein x ∈ [a, b]. Dann ist G beschränkt in (CR ([a, b]), d∞ ). Ist jede gleichgradig stetige Menge G beschränkt in (CR ([a, b]), d∞ )?

13. (X, d), (Y, e) seien pseudometrische Räume, (X, τd ) kompakt, G ⊆ C(X, Y ). (a)

Äq (i) (ii)

G gleichgradig stetig τd G ∞ gleichgradig stetig

(b) Ist G gleichgradig stetig und beschränkt in (C(X, Rn ), d∞ ), so besitzt jede Folge (gj )j ∈ GN eine d  -gleichmäßig konvergente Teilfolge. 14. Es sei (fj )j ∈ CR ([a, b])N , a, b ∈ R, a < b, C > 0, x0 ∈ [a, b], { fj (x0 ) | j ∈ N } beschränkt in (R, d| | ). Ist fj auf [a, b] differenzierbar mit sup[a,b] |fj | ≤ C für jedes j ∈ N, so hat (fj )j eine d| | -gleichmäßig konvergente Teilfolge. 15. (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, (X, τd ) kompakt, (Y, e) vollständiger metrischer Raum und F ⊆ C(X, Y ). τd   τd∞ F , τd∞ F ∞ kompakt Äq (i)  τe τe  (ii) F ist gleichgradig stetig, ∀ x ∈ X : F (x) , τe F (x) kompakt

4 Kompakte topologische Räume

300

16. (X, d), (Y, e) seien pseudometrische Räume, (X, τd ) kompakt, (fj )j ∈ C(X, Y )N gleichgradig stetig (d. h. { fj | j ∈ N } gleichgradig stetig), f ∈ C(X, Y ). (a)

(fj )j −−−−→ f

(fj )j →d∞ f

=⇒

τe -pktw.

τd

(b) (Y, e) sei vollständig, D = X, (fj (x))j für jedes x ∈ D konvergent in (Y, τe ). Dann gibt es ein ϕ ∈ C(X, Y ) mit (fj )j →d∞ ϕ. 17. Es seien a, b ∈ R, a < b, f ∈ C([a, b], Rn ),  b   b f (s) ds := πi ◦ f (s) ds a

a

,

i∈{1,...,n}

wobei πi die i-te Projektion von Rn auf R bezeichnet.  b   1/2  b   2   (a)  f (s) ds ≤ (b − a) f (s)2 ds ≤ (b − a)f ∞ a




(b) I :

a

2

[a, b] −→ Rn

t ist stetig. t −→ a f (s) ds

18. Es sei xP0 ∈ Rn , t0 ∈ R, ε > 0, I := [t0 − ε, t0 + ε], f ∈ Cb (I × Rn , Rn ) und L ⊆ C(I, Rn ) die Menge aller Lösungen der Anfangswertaufgabe x (t) = f (t, x(t)),

t∈I

x(t0 ) = xP0 . |L| ≥ 2 =⇒ L unendlich   (b) L, τd∞ L ist kompakt. (a)

19. ((Xj , dj ))j∈N sei eine Folge pseudometrischer Räume.  % Äq (i) j∈N Xj , j∈N τdj kompakt (ii) ∀ j ∈ N : (Xj , τdj ) kompakt 20. (X, d) sei ein beschränkter metrischer Raum, (Y, σ) topologischer Raum, y ∈ Y , x0 ∈ X, a : Y −→ X und
Y −→ Ad A: y −→ {a(y)}. Äq (i)

a stetig in y

(ii) A oberhalbstetig in y (iii) A unterhalbstetig in y (iv) A stetig in y 21. (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, ∅ =  S ⊆ X, (S, τd |S) kompakt. Man zeige: ∀ U ∈ Uτd (S) ∃ δ > 0 : Kδd (S) ⊆ U (Kδd (S) := { x ∈ X | dist(x, S) < δ }).

4.2 Kompaktheit in halbnormierten Vektorräumen

301

22. (X, τ) sei ein kompakter topologischer Raum, X = ∅ und f : X −→ R unterhalbstetig. f ist nach unten beschränkt und inf f [X] ∈ f [X]. 23. Y = ∅ sei eine Menge, (X, τ) ein kompakter topologischer Raum, X = ∅ und f : X × Y −→ R. Ist
Y −→ R fx · : y −→ f (x, y) für jedes x ∈ X beschränkt und


f·y :

X −→ R x −→ f (x, y)

für jedes y ∈ Y unterhalbstetig, so gibt es ein xmin ∈ X mit inf sup f (x, y) = sup f (xmin , y)

x∈X y∈Y

y∈Y

(Hinweis: A 22).

4.2 Kompaktheit in halbnormierten Vektorräumen Im normierten R-Vektorraum (Rn ,  2 ) sindgenau die  beschränkten abgeschlosn senen Teilmengen kompakte Unterräume von R , τ 2 (s. Satz von Heine-Borel d 2 (0) kompakt. Mit Hilfe Lebesgue), insbesondere ist die abgeschlossene Kugel K 1

   (0) (und damit jede eines Lemmas von Riesz (4.2-2) kann bewiesen werden, daß K 1  rd  (x)) genau dann kompakt im normierten K-Vektorraum (V,  ) ist, wenn Kugel K V endliche K-Dimension hat. d

Satz 4.2-1 (V,  ) sei ein normierter K-Vektorraum, dimK V = n, n ≥ 1, S ⊆ V . Äq (i)

(S, τ  |S) kompakt

(ii) S ∈ ατ   und S beschränkt in (V, d  ) Beweis Nach 1.2-5 ist τ  = τ 2 , wobei  V −→ R+  n   2 : n 2 1/2 j=1 rj bj −→ j=1 |rj | die 2-Norm auf V bzgl. der K-Basis {b1 , . . . , bn } von V bezeichnet. Die Funktion
V −→ K n ϕ : n j=1 rj bj −→ (r1 , . . . , rn )

4 Kompakte topologische Räume

302

ist ein ( 2 ,  2 )-normerhaltender K-linearer Isomorphismus. Somit folgt: S ∈ ατ   und S beschränkt in (V, d  )

  ⇐⇒ S ∈ ατ 2 und S beschränkt in V, d 2   ⇐⇒ ϕ[S] ∈ ατ 2 und ϕ[S] beschränkt in K n , d 2   ⇐⇒ ϕ[S], τ 2 ϕ[S] kompakt  Heine-Borel-Lebesgue    ⇐⇒ S, τ 2 S kompakt ⇐⇒ (S, τ  |S) kompakt. ✷

Satz 4.2-2 (Lemma von Riesz, 1918) (V,  ) sei ein normierter K-Vektorraum, U , W K-Untervektorräume von V mit U  W und U ∈ ατ   . Es gilt: ∀ ε ∈ ]0, 1[ ∃ w ∈ W : w = 1, ∀ u ∈ U : w − u ≥ ε (d. h. mindestens ein Element auf dem Rand der 1-Kugel um 0 in W hat wenigstens den Abstand ε von U , dist(w, U ) ≥ ε, gleichgültig wie dicht ε ∈ ]0, 1[ bei 1 liegt). Beweis τ

Sei z ∈ W \U , also a := dist(z, U ) > 0  U   = U , und ε ∈ ]0, 1[. Dann ist 1 (z − uε ) a/ε > a, es gibt somit ein uε ∈ U mit a ≤ z − uε  ≤ a/ε. Für w := z−u ε gilt: w ∈ W, w = 1, ∀ u ∈ U : w − u ≥ ε  w −u =

1 z−uε  z −(uε +z −uε u)

≥

a z−uε 

≥ ε, weil uε +z −uε u ∈ U . ✷

Für ε = 1 gibt es in 4.2-2 i. a. kein w ∈ W mit w = 1 und w − u ≥ 1 für alle u ∈ U  A 6 . Korollar 4.2-2.1 (Zweiter Grundsatz der linearen Funktionalanalysis) (V,  ) sei ein normierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C}. d    d    (0), τ  K (0) kompakt Äq (i) K 1 1 (ii) dimK V endlich Beweis (ii) ⇒ (i) gem. 4.2-1. (i) ⇒ (ii) Die K-Dimension von V sei unendlich, x0 ∈ V , x0  = 1 und U0 der von {x0 } erzeugte K-Untervektorraum. (U0 ,  
U0 ) ist ein Banach-Raum (über K)

4.2 Kompaktheit in halbnormierten Vektorräumen

303

 (3.1,2) (a) , also U0 ∈ ατ    3.1-8 (b)  und U0  V  dimK U0 = 1 . Gem. 4.2-2 wähle man ein x1 ∈ V mit x1  = 1 und dist(x1 , U0 ) ≥ 1/2. Man setze lin

U1 := {x0 , x1 } . Dann ist dimK U1 = 2  x1 ∈ U0 , und U1 ∈ ατ   \{V }. Durch induktive Wahl erhält man so eine Folge (xi )i ∈ V N mit 1 und ∀ j, k ∈ N : j = k ⇒ xj − xk  ≥ , 2

∀ i ∈ N : xi  = 1

 d  (0) nicht (xi )i∈N hat daher keine konvergente Teilfolge. Nach (4.1,2) (b) ist K 1 kompakt. ✷ In hausdorffschen topologischen K-Vektorräumen (V, τ) ist die konvexe Hülle (s. 2.4, A 34) von kompakten Teilmengen i. a. nicht abgeschlossen, also auch nicht kompakt (s. [7, Chap. II, § 4, Exercise 3]): Beispiel (4.2,1) 

 RC([0,1],R) , f ∈C([0,1],R) τ| | ist (mit den koordinatenweisen Operationen) ein hausdorffscher topologischer R-Vektorraum  2.5-5 , die Auswertung
[0, 1] −→ RC([0,1],R) e: x −→ (f → f (x)) ' & ist gem. 2.5-14 (a) stetig. Sei I := e [0, 1] und
C([0, 1], R) −→ R

1 I: f −→ 0 f (t) dt das Riemann-Integral. konv

: I ist kompakt  4.1-6 (a)  und I ∈ I m konv , etwa I = Für i=1 ri e(xi ), ri > 0, xi ∈ [0, 1] für jedes i ∈ {1, . . . , m}, mI ∈ I i=1 ri = 1 (s. 2.4, A 34 (b)), würde für jedes f ∈ C([0, 1], R)  1 m m   I(f ) = f (t) dt = ri e(xi )(f ) = ri f (xi ) 0

i=1

i=1

gelten. Dagegen ist aber für f ≥ 0, f = 0, f (xi ) = 0 für alle i = 1, . . . , m,  1 m  f (t) dt > 0 = ri f (xi )
. 0 konv

i=1 konv

f ∈C([0,1],R)

τ|

|

ist nicht abgeschlossen, denn I ∈ I :   Für jede endliche Zerlegung Z = z0 , . . . , znZ ∈ Z0,1 von [0, 1]  s. (1.2,5)  sei ϕ(Z) := max{ zi+1 − zi | 0 ≤ i ≤ nZ − 1 } die Feinheit von Z, B(Z) := (ζZ,0 , . . . , ζZ,nZ −1 ) ∈ %nZ −1 nZ −1 i=0 [zi , zi+1 ] eine Belegung von Z und R(Z, B(Z))(f ) := i=0 (zi+1 − zi )f (ζZ,i ) die

I

4 Kompakte topologische Räume

304

Riemannsche Summe der beschränkten Funktion f : [0, 1] −→ R bzgl. (Z, B(Z)). Ist f stetig, N mit (ϕ(Zk ))k →τ | | 0 und jede Belegungsfolge so gilt für jede Zerlegungsfolge (Zk )k ∈ Z0,1 (B(Zk ))k   R(Zk , B(Zk ))(f ) k →τ | | I(f )  vgl. [5, Band II, (12.12)] . Die durch Mk (f ) := R(Zk , B(Zk ))(f ) definierte Funktionenfolge M = (Mk )k∈N ∈ (RC([0,1],R) )N konvergiert daher bzgl. f ∈C([0,1],R) τ| | gegen I  2.4-8 (b) . Wegen nZk −1

Mk (f ) =



nZk −1

(zk,i+1 − zk,i )f (ζZk ,i ) =

i=0

und

nZk −1 i=0



(zk,i+1 − zk,i )e(ζZk ,i )(f )

i=0

(zk,i+1 − zk,i ) = 1 gehört Mk = konv

also gem. 2.1-3 (b) I ein Berührpunkt von I

nZk −1 i=0

(zk,i+1 − zk,i )e(ζZk ,i ) zu I

konv

, ist

.

Es gilt jedoch (s. auch A 2 und 4.3, A 21) Satz 4.2-3 (V,  ) sei ein halbnormierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C}, Cj ⊆ V konvex und # konv kompakt in (V, τ  ). kompakt in (V, τ  ) für j = 1, . . . , n. Dann ist nj=1 Cj Beweis

# konv die Menge Nach 2.4, A 34 (c) ist nj=1 Cj 
 n n n   + n rj cj (r1 , . . . , rn ) ∈ (R ) , rj = 1, (c1 , . . . , cn ) ∈ Cj . j=1

j=1

j=1

#n   n konv N (k) (k) Cj , etwa x(k) = GleiSei x(k) k∈N ∈ j=1 j=1 r j cj  gem. obiger  n n n + n chung. Da S := (s1 , . . . , sn ) ∈ (R ) j=1 sj = 1 in [0, 1] , τ 2 [0, 1]    (k)   abgeschlossen, also kompakt ist, besitzt rj j=1,...,n k∈N eine in S, τ 2 S kon (kν )     (k )  rj →τ 2 s. vergente Teilfolge rj ν j=1,...,n ν∈N . Sei s ∈ S, j=1,...,n ν∈N j = 1, . . . , n, existiert (o. B. d. A.) für jedes Wegen der Kompaktheit vonCj ,   (k )  (kν ) von cj ν ν∈N und ein cj ∈ Cj mit j ∈ {1, . . . , n} eine Teilfolge cj l 

l∈N

(kνl )

cj



l∈N

→τ   cj .

  (k )   x νl l∈N ist eine Teilfolge von x(k) k∈N , und es gilt   n n   (kν )  (kν ) (kν ) rj l cj l →τ   sj cj . x l l= j=1

l∈N

j=1

✷

4.2 Kompaktheit in halbnormierten Vektorräumen

305

Korollar 4.2-3.1 (V,  ) sei ein halbnormierter K-Vektorraum, K ∈ {R, C} und E ∈ Pe V . konv   konv ist kompakt. ✷ E , τ  E In Beispiel (2.4,5) (e) wurden periodische Funktionen fR ∈ CR (R) der Periode 1 – repräsentiert durch ihren Anteil f := fR
[0, 1], f (0) = f (1) – gleichmäßig durch trigonometrische Polynome aus TP R ([0, 1]) approximiert. Für komplexwertige periodische Funktionen fC ∈ C(R, C) der Periode 1 zieht dieses die gleichmäßige Approximierbarkeit durch (komplexe) trigonometrische Polynome der Form p(x) =

m 

cj e2πijx ,

x ∈ [0, 1], cj ∈ C

j=−m

nach sich  Trennung von Real- und Imaginärteil in fC ; Eulersche Formeln cos t = 1 it −it ), sin t = 1 (eit − e−it ) . 2 (e + e 2i Läßt man in p(x) anstelle der ganzzahligen Frequenzen −m ≤ j ≤ m beliebige reelle Zahlen rj zu, so erhält man die Menge TP (R) der trigonometrischen Polynome auf R, p(x) =

m 

cj eirj x ,

x ∈ R.

j=0

Wegen TP (R) ⊆ Cb (R, C) stellt sich wie bei den trigonometrischen Polynomen auf τd [0, 1] die Frage nach der Charakterisierung der Elemente von TP (R) ∞ . Die Lösung dieses Approximationsproblems ist mit sehr viel mehr Aufwand verbunden als die des entsprechenden Problems über [0, 1]: Die durch TP (R) gleichmäßig approximierbaren Funktionen aus Cb (R, C) sind gerade die fastperiodischen Funktionen (vgl. [20, Chap. VI]).   Mit Hilfe geeigneter kompakter Unterräume von Cb (R, C), τ ∞ und den bis hierher zur Verfügung stehenden Mitteln können fastperiodische Funktionen charaksie bilden eine abgeschlossene C-Unteralgebra FP (R) von terisiert werden (4.2-6);   Cb (R, C), τ ∞ (4.2-7). Die Dichtigkeit von TP (R) in FP (R), τ ∞ FP (R) erfordert weiterreichende Untersuchungen ([20, 5.18 Theorem]). Definition Es sei f : R −→ C, ε, p ∈ R, ε > 0. p ε-Fastperiode von f

:gdw sup|f (x − p) − f (x)| < ε x∈R

p = 0 ist offensichtlich ε-Fastperiode für jedes ε > 0.

4 Kompakte topologische Räume

306 Beispiele (4.2,2) (a)

f : R −→ C sei periodisch mit Periode p > 0, d. h. f (x + p) = f (x) für alle x ∈ R. Für jedes ε > 0, k ∈ Z ist kp ε-Fastperiode von f  ∀ x ∈ R : |f (x − kp) − f (x)| = 0 .

(b) f : R −→ C sei gleichmäßig stetig, ε > 0. Man wähle ein δ > 0 mit ∀ x, x ∈ R : |x − x | < δ ⇒ |f (x) − f (x )| < ε. Jedes p ∈ ]−δ, δ[ ist ε-Fastperiode von f  ∀ x ∈ R : |(x − p) − x| = |p| < δ, also |f (x − p) − f (x)| < ε .

Ist f : R −→ C periodisch mit Periode p > 0, so enthält jedes Intervall I ⊆ R der Länge +(I) = 2p eine Periode von f  I habe die Endpunkte x, x + 2p. Sei m := max{ k ∈ Z | kp ≤ x }. Dann ist (m + 1)p ∈ I Periode von f . . Entsprechend dieser Eigenschaft für periodische Funktionen erklärt man mit ε-Fastperioden allgemeiner (s. (4.2,3) (a)) Definition Sei f ∈ C(R, C). f fastperiodisch

:gdw ∀ ε > 0 ∃ l ≥ 0 ∀ I ⊆ R : I Intervall, +(I) = l ⇒ ∃ p ∈ I : p ε-Fastperiode von f

FP (R) := { f ∈ C(R, C) | f fastperiodisch } Beispiele (4.2,3) (a)

Periodische Funktionen f : R −→ C mit Periode p ≥ 0 sind fastperiodisch  Jedes Intervall der Länge l = 2p enthält eine (ε-Fast-)Periode von f ; s. o. .

(b) Sei f ∈ FP (R), z ∈ C, r ∈ R. (i)

zf ∈ FP (R): zf ∈ C(R, C) und für z = 0 periodisch. Sei also z = 0, ε > 0 und l ≥ 0 mit ∀ I ⊆ R : I Intervall, +(I) = l ⇒ ∃ pI ∈ I : pI

ε |z| -Fastperiode

von f .

pI ist ε-Fastperiode von zf . (ii) f ∈ FP (R) (Der Querstrich bedeutet Konjugation.)  |f | = |f | . (iii) Für jede Translation tr : R −→ R, tr (x) := x − r, gilt f ◦ tr ∈ FP (R): sup|f ◦ tr (x − p) − f ◦ tr (x)| = sup|f (x − r − p) − f (x − r)| x∈R

x∈R

= sup|f (y − p) − f (y)|. y∈R

(iv) |f | ∈ FP (R)  |f (x − p)| − |f (x)| ≤ |f (x − p) − f (x)| gem. 1.1, A 11 

4.2 Kompaktheit in halbnormierten Vektorräumen

307

Satz 4.2-4 FP (R) ⊆ Cb (R, C) und alle f ∈ FP (R) sind gleichmäßig stetig. Beweis Sei f ∈ FP (R). Man wähle ein l ≥ 0 zu ε = 1, so daß jedes Intervall I der Länge l eine 1-Fastperiode von f enthält; speziell gibt es für jedes x ∈ R eine 1-Fastperiode px ∈ [x − l, x] von f . Es folgt 0 ≤ x − px ≤ l und |f (x − px ) − f (x)| < 1, also |f (x)| < 1 + |f (x − px )| ≤ 1 + sup |f (y)| < ∞ y∈[0,l]

gem. 4.1-6 (a). f ist daher beschränkt. Zum Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit von f sei ε > 0 vorgegeben und l ≥ 0 zu ε/3 so gewählt, daß jedes Intervall I der Länge l eine 3ε -Fastperiode pI von f enthält. Für l = 0 gilt |f (x) − f (x
)| < ε/3 für alle x, x
∈ R, für l > 0 gibt es wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von f
[−l, 2l]  4.1-2.1  ein 0 < δ < l mit ε ∀ t ∈ ]−δ, δ[ ∀ x ∈ [0, l] : |f (x + t) − f (x)| < . 3 Es folgt für jedes y ∈ R, t ∈ ]−δ, δ[ mit pI ∈ I := [y − l, y] |f (y + t) − f (y)| ≤ |f (y + t) − f (y − pI + t)| + |f (y − pI + t) − f (y − pI )| + |f (y − pI ) − f (y)| ε ε < + |f (y − pI + t) − f (y − pI )| + 3 3  pI ist 3ε -Fastperiode von f .  ε 2  wegen y − pI ∈ [0, l]  < ε+ 3 3 = ε.

✷

Beispiel (4.2,4) Mit f ∈ FP (R) ist auch f 2 ∈ FP (R), denn f 2 ∈ C(R, C)  2.4, A 5 , und für f ∞ = 0, g := 2f1∞ f gilt wegen    g 2 (x − p) − g 2 (x) = g(x − p) + g(x) g(x − p) − g(x)

auch |g 2 (x − p) − g 2 (x)| ≤ (|g(x − p)| + |g(x)|)|g(x − p) − g(x)| ≤ 2g∞ |g(x − p) − g(x)| = |f (x − p) − f (x)|; jede ε-Fastperiode von f ist daher ε-Fastperiode von g 2 . Nach (4.2,3) (b) (i) ist die Funktion f 2 = 4f 2∞ g 2 ∈ FP (R).

4 Kompakte topologische Räume

308

Eine Charakterisierung von FP (R) in (Cb (R, C), d∞ ) gelingt mit Hilfe der Menge T (f ) := { f ◦ tr | r ∈ R }, wobei tr : R −→ R, tr (x) := x − r, die Translation bei r bezeichnet ((4.2,3) (b) (iii)). Satz 4.2-5 FP (R) = { f ∈ Cb (R, C) | (T (f ), d∞
T (f ) × T (f )) totalbeschränkt }. Beweis „⊆“ Sei ε > 0, f ∈ FP (R). Man wähle ein l ≥ 0, so daß jedes Intervall der Länge l eine 5ε -Fastperiode von f enthält. Für l = 0 gilt |f (x) − f (x
)| < ε/5 für alle x, x
∈ R, also f ◦ tr − f ∞ ≤ ε/5 < ε für jedes r ∈ R, und {f } ist somit eine ε-Kette in (T (f ), d∞
T (f ) × T (f )). Für l > 0 gibt es wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von f
[−l, l]  4.1-2.1  ein 0 < δ < l mit ε ∀ x, x
∈ [−l, l] : |x − x
| < δ ⇒ |f (x) − f (x
)| < . 5 # d| | Man wähle x1 , . . . , xm ∈ [0, l] so, daß [0, l] ⊆ m i=1 Kδ (xi ) gilt. Für jedes x ∈ [0, l] existiert dann ein i ∈ {1, . . . , m} mit |x − xi | < δ, |f (x) − f (xi )| < ε/5. Sei y ∈ R und py ∈ [y − l, y] eine 5ε -Fastperiode von f . Wegen y − py ∈ [0, l], also y − py − x, y − py − xi ∈ [−l, l], |y−py −x−(y−py −xi )| = |x−xi | < δ ist |f (y−py −x)−f (y−py −xi )| < ε/5, und es folgt |f (y − x) − f (y − xi )| ≤ |f (y − x) − f (y − py − x)| + |f (y − py − x) − f (y − py − xi )| + |f (y − py − xi ) − f (y − xi )| 3 ε ε ε < + + = ε, 5 5 5 5 3 f ◦ tx − f ◦ txi ∞ = sup|f (y − x) − f (y − xi )| ≤ ε. 5 y∈R Für jedes y ∈ R gibt es zu y − py ∈ [0, l] daher ein j ∈ {1, . . . , m} mit 3 f ◦ ty−py − f ◦ txj ∞ ≤ ε, 5 und weil py

ε 5 -Fastperiode

von f ist, gilt auch

  f ◦ ty − f ◦ ty−py  ≤ ε . ∞ 5

4.2 Kompaktheit in halbnormierten Vektorräumen

309

Insgesamt erhält man       f ◦ ty − f ◦ tx  ≤ f ◦ ty − f ◦ ty−py  + f ◦ ty−py − f ◦ tx  j ∞ j ∞ ∞ 4 ≤ ε < ε, 5   f ◦ tx j = 1, . . . , m ist also eine ε-Kette in (T (f ), d∞
T (f ) × T (f )). j

„⊇“

Sei ε > 0, f ∈ Cb (R, C) und {f1 , . . . , fm } ⊆ T (f ) eine ε-Kette in (T (f ), d∞
T (f ) × T (f )), etwa fj = f ◦ txj für j = 1, . . . , m. Sei weiter l := 3 max1≤j≤m |xj | und I ⊆ R ein Intervall der Länge l mit dem Mittelpunkt mI = 12 (sup I + inf I). Man wähle ein j ∈ {1, . . . , m}, so daß  f ◦ tm − f ◦ tx  < ε gilt. Dann ist pI := mI − xj ∈ I  |xj | ≤ l/3  eine j ∞ I ε-Fastperiode von f :   f ◦ tp − f  = sup|f (x − pI ) − f (x)| = sup|f (x + xj − mI ) − f (x)| I ∞ x∈R

x∈R

= sup|f (y − mI ) − f (y − xj )| y∈R   = f ◦ tmI − f ◦ txj ∞ < ε.

✷

Eine weitere wichtige Charakterisierung von FP (R) in (Cb (R, C), d∞ ) kann mit Hilfe der abgeschlossenen konvexen Hülle AC (f ) :=

{ T (rf ) | r ∈ [−1, 1] }

konv

τd∞

für f ∈ Cb (R, C) angegeben werden. Satz 4.2-6 FP (R) =



   f ∈ Cb (R, C) AC (f ), τd∞ AC (f ) kompakt .

Beweis „⊇“

Wegen T (f ) ⊆ AC (f ), (AC (f ), d∞
AC (f ) × AC (f )) totalbeschränkt (und vollständig)  4.1-3.2  ist (T (f ), d∞
T (f )×T (f )) totalbeschränkt  4.1, A 2 , und daher f ∈ FP (R) gem. 4.2-5.

„⊆“

Sei f ∈ FP (R). AC (f ) ist definitionsgemäß abgeschlossen im BanachRaum (Cb (R, C),  ∞ )  (3.1,2) (c) , nach 4.1-3.3 ist also zu zeigen, daß ist. Dieses gilt gem. A 1 (b), (AC (f ), d∞
AC (f ) × AC (f )) totalbeschränkt # (4.1,4) (c) und 4.1, A 2 genau dann, wenn { T (rf ) | r ∈ [−1, 1] }, d∞
. . . totalbeschränkt ist. Für f = 0 ist AC (f ) = {0} kompakt. Sei also f = 0 und # d| | ε > 0. Man wähle e1 , . . . , ek ∈ [−1, 1] mit [−1, 1] ⊆ kj=1 Kε/(2f ∞ ) (ej ) und   ε weiter eine 2 -Kette f ◦tx1 , . . . , f ◦txm ⊆ T (f ) in (T (f ), d∞
T (f )×T (f )).

4 Kompakte topologische Räume

310

  1 ≤ j ≤ k, 1 ≤ i ≤ m eine ε-Kette in Dann ist (e f ) ◦ t j x i  # { T (rf ) | r ∈ [−1, 1] }, d∞
. . . :   d| | d∞ Sei r ∈ [−1, 1], x ∈ R, etwa r ∈ Kε/(2f ∞ ) (ej ), f ◦ tx ∈ Kε/2 f ◦ txi für ein j ∈ {1, . . . , k}, i ∈ {1, . . . , m}. Es folgt   (rf ) ◦ tx − (ej f ) ◦ tx  = sup|rf (ξ − x) − ej f (ξ − xi )| i ∞ ξ∈R

≤ sup|rf (ξ − x) − ej f (ξ − x)| + sup|ej f (ξ − x) − ej f (ξ − xi )| ξ∈R

ξ∈R

  ε ε ≤ |r − ej | f ∞ + |ej | f ◦ tx − f ◦ txi ∞ < + |ej | ≤ ε. 2 2

✷

Satz 4.2-7 FP (R) ist eine abgeschlossene C-Unteralgebra von (Cb (R, C),  ∞ ). Beweis Für alle f , g ∈ FP (R) ist f + g ∈ Cb (R, C) und AC (f + g) ⊆ AC (f ) + AC (g)  Für alle r ∈ [−1, 1] gilt T (r(f + g)) ⊆ T (rf ) + T (rg) ⊆ AC (f ) + AC (g), τd also AC (f + g) ⊆ AC (f ) + AC (g) ∞ = AC (f ) + AC (g) gem. (2.4,14) (c), 4.1-6 (a) und 4.1-5 (b). . Nach 4.2-6, (4.2,3) (b) (i) ist FP (R) ein C-Untervektorraum von Cb (R, C) und wegen f · g = 12 ((f + g)2 − f 2 − g 2 ) gem. (4.2,4) sogar eine C-Unteralgebra. τd

Sei f ∈ Cb (R, C), f ∈ FP (R) ∞ und ε > 0. Man wähle ein g ∈ FP (R) mit f − g∞ < ε/3. Sei p eine 3ε -Fastperiode von g. Wegen f ◦ tp − f ∞ ≤ f ◦ tp − g ◦ tp ∞ + g ◦ tp − g∞ + g − f ∞ 2 ε = 2g − f ∞ + g ◦ tp − g∞ < ε + = ε 3 3 ist p eine ε-Fastperiode von f und somit f ∈ FP (R).

✷

In gewissen Mengen stetiger affiner Selbstabbildungen kompakter konvexer Teilmengen normierter R-Vektorräume besitzen die Abbildungen einen gemeinsamen Fixpunkt: Satz 4.2-8 (Fixpunktsatz von Markoff, 1936, Kakutani, 1938) (V,  ) sei ein normierter R-Vektorraum, ∅ = T ⊆ V konvex, (T, τ  |T ) kompakt, ∅ = A ⊆ C(T, T ) mit ∀ α, β ∈ A : α affin und α ◦ β = β ◦ α. Dann existiert ein t ∈ T , so daß α(t) = t für jedes α ∈ A gilt.

4.2 Kompaktheit in halbnormierten Vektorräumen

311

Beweis Für jedes α ∈ A ist Fα := { t ∈ T | α(t) = t } = { t ∈ T | (α − idT )(t) = 0 } ∈ ατ    T ∈ ατ   gem. 4.1-5 (b)  und konvex  Für alle t, t
∈ Fα , r ∈ [0, 1] gilt α(rt + (1 − r)t
) = rα(t) + (1 − r)α(t
) = rt + (1 − r)t
∈ Fα . . Darüber hinaus enthält jedes Fα wenigstens ein Element: 1 n j 0 Sei t ∈ T und tn := n+1 j=0 α (t) für jedes n ∈ N, wobei α := idT und αj+1 := α ◦ αj für alle j ∈ N ist. Wegen  der  Konvexität von T gehört  (tn )n∈N zu T N , hat also eine konvergente Teilfolge tnk k , etwa s ∈ T mit tnk k →τ   s  T kompakt, 4.1-3.2 . Es folgt    (α − idT ) tnk k →τ   (α − idT )(s)  α − idT ist stetig! , wobei   (α − idT ) tnk =

k 1 1  (α − idT ) ◦ αj (t) = (αnk +1 − idT )(t) nk + 1 nk + 1

n

j=0

 gilt. Die Folge (αnk +1 − idT )(t) k ∈ (T − T )N ist beschränkt  T − T ist kompakt als stetiges Bild des Kompaktums (T × T, τ  |T τ  |T ) (vgl. 4.1-6 (a); 4.1, A 19). , man erhält daher auch  1       αnk +1 − idT (t) →τ   0 (α − idT ) tnk k = nk + 1 k 

und nach 2.5-8 (α − idT )(s) = 0, d. h. s ∈ Fα . Die Existenz eines allen α ∈ A gemeinsamen Fixpunkts folgt nun mit einem typischen Kompaktheitsargument (s. auch 4.3-1): '$ & $m Fαj = ∅. Dann ist αm+1 m Fαj ⊆ Es seien α1 , . . . , αm , αm+1 ∈ A, j=1 j=1 $m $m j=1 Fαj  Für jedes t ∈ j=1 Fαj , j ∈ {1, . . . , m} gilt αj (αm+1 (t)) = $ αm+1 (αj (t)) = αm+1 (t). . Da m j=1 Fαj = ∅ konvex und kompakt ist, gibt es  s. o.  $ $m ein s ∈ j=1 Fαj mit αm+1 (s) = s, also s ∈ m+1 j=1 Fαj . Damit ist der Durchschnitt je endlich vieler Elemente der Menge { Fα | α ∈ A } nichtleer, die Vereinigung ihrer Komplemente in T ergibt also nicht ganz T . Wegen der Kompaktheit von T kann deshalb { T \Fα | α ∈ A } ⊆#τ  |T keine Überdeckung $ von T sein, woraus die ✷ Existenz eines Elements t ∈ T \ α∈A (T \Fα ), d. h. t ∈ α∈A Fα folgt. Es sei darauf hingewiesen, daß 4.2-8 sogar für beliebige hausdorffsche topologische R-Vektorräume (V, τ) analog bewiesen werden kann, wenn man den Beweis von „Fα = ∅“ mit der Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft  (4.1,2) (a)  anstelle der Folgenkompaktheit führt und dabei den folgenden Beschränktheitsbegriff in (V, τ) verwendet (s. A 5 und Abschnitt 6.1):

4 Kompakte topologische Räume

312

d

S ⊆ V beschränkt in (V, τ) :gdw ∀ U ∈ Uτ (0) ∃ ε > 0 : Kε | | (0)S ⊆ U Kompakte Mengen sind dann nämlich beschränkt und Produkte aus Nullfolgen in (R, τ| | ) mit beschränkten Folgen in (V, τ) Nullfolgen in (V, τ) (s. A 4). Von großer Bedeutung für die Analysis und ihre Anwendungen ist auch der Brouwersche Fixpunktsatz (1910): Ist ∅ =  C ⊆ Rn konvex und kompakt, f : C −→ C stetig, so gilt Fix f = ∅. Für einen Beweis sei auf die Literatur verwiesen (z. B. [28, Theorem 9.4.1.2]). Dieser Abschnitt schließt mit einem für die Theorie der Summierbarkeit bedeutenden Ergebnis über unbedingt konvergente Reihen. Satz 4.2-9 (Gelfand, 1938) (V,  ) sei ein Banach-Raum über K, K ∈ {R, C}, (xi )i ∈ V N , konvergent in (V, τ  ). Die Menge 
 ∞ N vi xi v ∈ {−1, 1}

∞

i=0 xi

unbedingt

i=0

ist kompakt in (V, τ  ). Beweis   {−1, 1}N , j∈N τdis ist nach 4.1, A 19 kompakt  Die diskrete Topologie τdis auf {−1, 1} wird durch die diskrete Metrik ddis induziert; (1.2,2) (c). , die Funktion
N {−1, 1} ∞−→ V c: v −→ i=0 vi xi ist gem. (3.5,3) (b) wohldefiniert. Wegen 4.1-6 (a) folgt die behauptete Kompaktheit,  τ , τ ist. Es gilt wenn c stetig bzgl. j∈N dis    ∞    N  (∗) vj xj  ∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N ∀ v ∈ {−1, 1} :   < ε, j=nε

denn andernfalls gäbe es ein ε > 0 und für jedes n ∈ N ein v (n) ∈ {−1, 1}N mit  r0   ∞ (m0 )     xj  ≥ ε/2 j=m0 vj j=n vj xj ≥ ε. Man wähle dann r0 > m0 := 0 mit und definiere m1 := r0 + 1. Ist rk > mk ausgewählt, so sei mk+1 := rk + 1,  rk+1 (m )  v k+1 xj  ≥ ε/2. Mit rk+1 > mk+1 , v (mk+1 ) ∈ {−1, 1}N mit  j=m k+1 j (m ) w x nicht w ∈ {−1, 1}N , wj := vj k für jedes k ∈ N, mk ≤ j ≤ rk wäre ∞  rj=0 j j  k wj xj  = konvergent.
 Sonst wäre für hinreichend große k ∈ N speziell  j=m k   r (m )  k v k xj  < ε/2.
 j=mk

j

4.2 Kompaktheit in halbnormierten Vektorräumen

313

  Zum Nachweis der Stetigkeit von c sei v ∈ {−1, 1}N und v (n) n eine Folge in   {−1, 1}N mit v (n) n → τdis v, also j∈N

(m)

∀ j ∈ N ∃ mj ∈ N ∀ m ≥ mj : vj = vj    2.4-8 (b) . Gem. (∗) erhält man für jedes n ≥ max m0 , . . . , mnε −1  ∞   ∞   n ε −1 ε −1   (n)    (n)    (n)  n     c v vj xj  =  vj xj − vj xj  =  vj xj  − 

1 2

&

1 2



,

⊆ {1}. ✷

In 4.3-5 kann anstelle von [0, 1] auch [a, b], a < b, verwendet werden  s. Beweis zu 2.5-10.1 . Die Trennungseigenschaften (T-2), (T-3) sind nicht divisibel (s. (2.5,6)), unter gewissen Bedingungen lassen sie sich jedoch auf Quotienten übertragen (s. auch A 8). Satz 4.3-6 (X, τ) sei ein topologischer Raum, R eine Äquivalenzrelation über X mit der Partition X/R und der kanonischen Projektion πR , (πR (x), τ|πR (x)) kompakt  für jedes x ∈ X und X/R τ-halbstetig. Ist (X, τ) ein T2 - (bzw. T3 -)Raum, so auch X/R , τ/R . Beweis (T-2): Es seien x, x
∈ X, πR (x) = πR (x
), d. h. πR (x) ∩ πR (x
) = ∅. Nach 4.3-3 wähle man Ox , Ox ∈ τ mit Ox ∩ Ox = ∅, πR (x) ⊆ Ox , πR (x
) ⊆ Ox und weiter Px , Px ∈ τ R-saturiert mit πR (x) ⊆ Px ⊆ Ox , πR (x
) ⊆ Px ⊆ Ox . Dann folgt πR [Px ], πR [Px ] ∈ τ/R , πR [Px ] ∩ πR [Px ] = ∅, πR (x) ∈ πR [Px ] und πR (x
) ∈ πR [Px ]. (T-3): Sei x ∈ X, AR ∈ ατ/R , πR (x) ∈ AR und gem. 4.3-4 Ox , PAR ∈ τ −1 [AR ] ⊆ PAR und Ox ∩ PAR = ∅. Wegen der mit πR (x) ⊆ Ox , πR # −1 [AR ] τ-Halbstetigkeit von X/R existieren für jedes a ∈ AR = πR ∈ τ mit π (x) ⊆ Q ⊆ O und π (a) ⊆ Q R-saturierte Mengen Qx , Q x x a ⊆ R R #a −1 −1 [A ] } ist R-saturiert, π [A PAR . Die Menge QAR := { Qa | a' ∈ πR R & ' R &R ] ⊆ QAR ⊆ PAR , πR [Qx ] ∈ τ/R , πR QAR ∈ τ/R , πR [Qx ] ∩ πR QAR = ∅ & ' −1 (x) ∈ π [Q ] und A = π [A ] ⊆ π  wegen der R-Saturiertheit , π x R R R R R R ' & πR QAR . ✷

4.3 Kompaktheit in topologischen Räumen

321

Kompaktheit ist eine multiplikative Eigenschaft (s. auch 4.1, A 19): Satz 4.3-7 (Tychonoff, 1930) ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume. %  Äq (i) i∈I τi kompakt i∈I Xi , (ii) ∀ i ∈ I : (Xi , τi ) kompakt Beweis (i) ⇒ (ii) nach 4.1-6 (a).

% (ii) ⇒ (i) Sei F ein Ultrafilter auf i∈I Xi . Gem. A 7 (c) ist dann auch πi [[F]] ein Ultrafilter auf Xi für jedes%i ∈ I, nach 4.3-1.2 existiert daher ein xi ∈ Xi mit πi [[F]] →τi xi . Für x ∈ i∈I %Xi mit x(i) := xi für jedes i ∈ I ergibt sich x  2.4-8 (a) , also ist ✷ F→ τi i∈I τi kompakt  4.3-1.2 . i∈I Xi , i∈I

Beispiel (4.3,2) Kompakte T2 -Räume sind nicht notwendig folgenkompakt (s. auch (4.1,2) (b)): %  Nach 4.3-7 ist τ |[0, 1] kompakt (und T2 -Raum gem. 2.5-5). Es sei ν∈NN [0, 1], ν∈NN | | M := { (νk )k ∈ NN | (νk )k streng monoton wachsend } und Mm := { (νk )k ∈ M | ∃ k ∈ N : m = ν2k }   für jedes m ∈ N. Die Folge χMm m∈N der charakteristischen Funktionen χMm auf NN hat keine konvergente Teilfolge, denn für jedes j ∈ N, jede Folge (νk )k ∈ M liegt  (νk )k in Mν2j \Mν2j+1 , d. h. χMν ((νk )k ) = 1 und χMν ((νk )k ) = 0; χMν ((νk )k ) j∈N ist 2j j 2j+1   also nicht konvergent in ([0, 1], τ| | |[0, 1]). Nach 2.4-8 (b) ist χMν j∈N nicht konvergent in j %  [0, 1], τ |[0, 1] . N N | | ν∈N ν∈N

Der Satz von Tychonoff 4.3-7 ermöglicht weitere Charakterisierungen der vollständig regulären Räume (s. 4.3-8.1), die daher auch Tychonoff-Räume genannt werden. Satz 4.3-8 (X, τ) sei ein topologischer Raum. Äq (i)

(X, τ) T3a -Raum

(ii) C(X, [0, 1]) trennt Punkte von abgeschlossenen Mengen in (X, τ) Beweis (i) ⇒ (ii) Sei x ∈ X, A ∈ ατ , x ∈ A und f ∈ C(X, [0, 1]) mit f (x) = 0, τ| | τ f [A] ⊆ {1}  (T-3a) . Dann ist f (x) ∈ f [A] wegen f [A] ⊆ {1}.

4 Kompakte topologische Räume

322

(ii) ⇒ (i) Sei A ∈ ατ , x ∈ X\A und f ∈ C(X, [0, 1]) mit f (x) ∈ f [A]  τ| | ε := dist f (x), f [A] > 0.

τ|

|

, also

Für f (x) = 0 (analog für f (x) = 1) definiere man g : [0, 1] −→ [0, 1] durch  1 für r ∈ [ε, 1] g(r) = 1 ε r für r ∈ [0, ε[. g ◦ f ∈ C(X, [0, 1]) erfüllt g ◦ f (x) = 0 und g ◦ f [A] ⊆ {1}. Ist 0 < f (x) < 1, so sei γ := min{f (x), ε, 1−f (x)} und g : [0, 1] −→ [0, 1] definiert durch   für r ∈ ]f (x) − γ, f (x) + γ[ 1 1 1 für r ∈ [f (x), f (x) + γ] g(r) = γ r − γ f (x)   1 1 − γ r + γ f (x) für r ∈ [f (x) − γ, f (x)]. g ◦ f ∈ C(X, [0, 1]) erfüllt g ◦ f (x) = 0 und g ◦ f [A] ⊆ {1}.

✷

Korollar 4.3-8.1 (X, τ) sei ein topologischer Raum. Äq (i)

(X, τ) vollständig regulär

  (ii) ∃ I ∃ S ⊆ [0, 1]I : (X, τ) ∼ = S, top.

i∈I

  τ| | |[0, 1] S

(iii) ∃ (Y, σ) ∃ S ⊆ Y : (Y, σ) kompakter T2 -Raum, (X, τ) ∼ = (S, σ|S) top.

Beweis Sei (o. B. d. A.) X = ∅. (i) ⇒ (ii) Nach 4.3-8 trennt C(X, [0, 1]) Punkte von abgeschlossenen Mengen in (X, τ), die Auswertung e : X −→ [0, 1]C(X,[0,1]) ist daher ein Homöomorphismus auf  S := e[X] (bzgl. τ, f ∈C(X,[0,1]) τ| | |[0, 1] e[X] )  2.5, A 16 (b) .   (ii) ⇒ (iii) ist klar, weil [0, 1]I , i∈I τ| | |[0, 1] kompakter T2 -Raum ist  4.3-7, 2.5-5 . (iii) ⇒ (i) (Y, σ) ist als kompakter T2 -Raum normal  4.3-3.1 , also vollständig regulär  2.5-10 . Für jedes S ⊆ Y ergibt sich nach 2.5-4 die vollständige Regularität von (S, σ|S) und somit die von (X, τ) gem. (iii). (Der „Umweg“ über das Urysohnsche Lemma 2.5-10 ist erforderlich, denn die ✷ T4 -Eigenschaft vererbt sich i. a. nicht auf Unterräume  (2.5,5) !) Der Weierstraßsche Approximationssatz 2.2-5 (bzw. 2.2, A 3) für stetige Funktionen auf [a, b] stellt die Dichtigkeit der R-Unteralgebra R[x]
[a, b] in der normierten

4.3 Kompaktheit in topologischen Räumen

323

R-Algebra (CR ([a, b]),  ∞ ) fest. In dieser nicht mehr an den Polynombegriff gebundenen Formulierung kann 2.2-5 auf (C(X, R),  ∞ ) für kompakte topologische Räume (X, τ) erweitert werden (M. H. Stone, 1937). Definitionen A sei ein K-Vektorraum, K ∈ {R, C}, ◦ : A × A −→ A. :gdw ∀ a, b, c ∈ A ∀ k ∈ K :

A K-Algebra

a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c, a ◦ (b + c) = a ◦ b + a ◦ c, (a + b) ◦ c = a ◦ c + b ◦ c und k(a ◦ b)

= (ka) ◦ b = a ◦ (kb)

(A,  ) sei ein (halb)normierter K-Vektorraum, A eine K-Algebra. (A,  ) (halb)normierte K-Algebra

:gdw ∀ a, b ∈ A : a ◦ b ≤ a b

Beispiele (4.3,3) (a)

Mit der gewöhnliche Körpermultiplikation sind (R, | |) bzw. (C, | |) normierte R-Algebren, (C, | |) ist normierte C-Algebra. Beide sind vollständig bzgl. d| | , die Multiplikation ist kommutativ und läßt ein Einselement zu (sog. kommutative Banach-Algebren mit Eins).

(b) (X, τ) sei ein topologischer Raum, X = ∅, K ∈ {R, C}. C(X, K) ist mit der punktweise definierten Skalarmultiplikation, Addition, Multiplikation eine (kommutative) K-Algebra (mit der konstanten Funktion 1 als Einselement). Mit den punktweisen Operationen sind auch Cc (X, K) := { f ∈ C(X, K) | Tr f kompakt }, C0 (X, K) := { f ∈ C(X, K) | ∀ ε > 0 ∃ C ⊆ X : C kompakt und ∀ x ∈ X\C : |f (x)| ≤ ε } und Cb (X, K) (kommutative) K-Algebren. (Cb (X, K),  ∞ ) ist K-Banach-Algebra  (3.1,2) (c)  mit dem Einselement 1. Wegen Cc (X, K) ⊆ C0 (X, K) ⊆ Cb (X, K) sind (Cc (X, K),  ∞ ) und (C0 (X, K),  ∞ ) normierte K-Algebren (i. a. ohne Einselement). (C0 (X, K),  ∞ ) ist eine K-BanachAlgebra, (Cc (X, K),  ∞ ) i. a. nicht (s. A 10 und 4.4, A 11).

Satz 4.3-9 (X, τ) sei ein topologischer Raum, A eine R-Unteralgebra von Cb (X, R). (a) A

τ

∞

ist eine R-Unteralgebra von Cb (X, R). τ

(b) ∀ f, g ∈ A

∞

: f ∧ g, f ∨ g ∈ A

τ

∞

4 Kompakte topologische Räume

324 Beweis τ

Zu (a) Gem. 2.4, A 18 (b) ist A  ∞ ein R-Untervektorraum von Cb (X, R). Ebenso τ folgt für alle f , g ∈ A  ∞ , etwa (fj )j , (gj )j ∈ AN , (fj )j → ∞ f , (gj )j → ∞ g, τ wegen der Stetigkeit der Multiplikation  A 11  (fj gj )j → ∞ f g, also f g ∈ A  ∞ . τ

Zu (b) Es seien f , g ∈ A  ∞ . Wegen f ∧ g = 12 (f + g − |f − g|), f ∨ g = τ ∞ 1 gezeigt zu werden. 2 (f + g + |f − g|) braucht nach (a) nur |f | ∈ A Sei ε > 0 und o. B. d. A. f ∞ ≤ 1  Sonst verwende man f1∞ f ! . Da die √ : [0, 1] −→ [0, 1] stetig ist, √ gibt es gem. (4.1,5) [oder auch Quadratwurzelfunktion ∞ < ε/2, also speziell 2.2-5] ein Polynom p(x) ∈ R[x] mit p
[0, 1] − p0 ∈ R den konstanten Summanden in p(x) bezeichnet. Es folgt |p0 | < ε/2, wobei √ ∞ < ε. Wegen (p − p0 )
[0, 1] − ; √ (p − p0 ) ◦ f 2 − ◦ f 2 ∞ = sup (p − p0 )(f 2 (x)) − f 2 (x) x∈X

≤ sup |(p − p0 )(r) −

√

r| < ε

r∈[0,1] τ

und (p − p0 ) ◦ f 2 ∈ A  ∞ gem. (a)  Der konstante Term im Polynom (p(x) − p0 ) τd∞ √ τ τ ◦ f 2 zu A d∞ = A d∞ . ✷ ist Null!  gehört |f | = Satz 4.3-10 (M. H. Stone, 1937, Weierstraß (kompakt, reell)) (X, τ) sei ein kompakter topologischer Raum, A eine R-Unteralgebra von C(X, R), die 1 enthält und Punkte in X trennt.   τ A liegt dicht in C(X, R), τ ∞ , d. h. A d∞ = C(X, R). Beweis Es sei f ∈ C(X, R) und ε > 0. Für alle x, y ∈ X, x = y, wähle man ein hx,y ∈ A mit hx,y (x) = hx,y (y) und definiere gx,y : X −→ R durch gx,y (z) :=

hx,y (z) − hx,y (x) . hx,y (y) − hx,y (x)

gx,y ist stetig und gehört wegen 1 ∈ A zu A, gx,y (x) = 0, gx,y (y) = 1. Die Funktion
X −→ R fx,y : z −→ (f (y) − f (x))gx,y (z) + f (x) ist stetig, erfüllt fx,y (y) = f (y), fx,y (x) = f (x) und liegt ebenfalls in A. Weiter ist Ux,y := { z ∈ X | fx,y (z) < f (z) + ε } ∈ Uτ (x) ∩ τ ∩ Uτ (y)

 x, y ∈ Ux,y ,

Wx,y := { z ∈ X | fx,y (z) > f (z) − ε } ∈ Uτ (y) ∩ τ ∩ Uτ (x)

 x, y ∈ Ux,y 

4.3 Kompaktheit in topologischen Räumen

325

  und daher Ux,y x ∈ X\{y} für jedes y ∈ X eine offene Überdeckung von (X, τ); sei Ux1 (y),y , . . . , Uxmy (y),y eine endliche Teilüberdeckung. Dann ist < my τ fy := j=1 fxj (y),y ∈ A  ∞  4.3-9 (b) , fy (z) < f (z) + ε für jedes z ∈ X   $m y Wxj (y),y . Sei Wy1 , . . . , Wyk eine und fy (t) > f (t) − ε für jedes t ∈ Wy := j=1 / endliche Teilüberdeckung in { Wy | y ∈ X }. Die Funktion ϕ := kj=1 fyj liegt in τ A  ∞  4.3-9 (b) , und für jedes z ∈ X ist |ϕ(z) − f (z)| < ε  ϕ(z) − f (z) < ε gilt wegen fyj (z) < f (z) + ε, j = 1, . . . , k; für z ∈ Wyi ist darüber hinaus ϕ(z) ≥ fyi (z) > f (z) − ε, also f (z) − ϕ(z) < ε. . Es folgt ϕ − f ∞ ≤ ε und somit f ∈A

τ

τ ∞  ∞

=A

τ

∞

.

✷

Korollar 4.3-10.1 (M. H. Stone, Weierstraß (kompakt, komplex)) (X, τ) sei ein kompakter topologischer Raum, A eine C-Unteralgebra von C(X, C), die  1 enthält und Punkte τind∞X trennt. Ist f ∈ A für jedes f ∈ A, so liegt A dicht in = C(X, C). C(X, C), τ ∞ , d. h. A Beweis Für jedes f ∈ A sind 1 1 Re f = (f + f ), Im f = (f − f ) ∈ A. 2 2i AR := { ϕ ∈ C(X, R) | ∃ f ∈ A : ϕ = Re f oder ϕ = Im f } ⊆ A ist eine RUnteralgebra von C(X, R)  A 12 , die 1 enthält und Punkte in X trennt  x = y =⇒ ∃ f ∈ A : f (x) = f (y) =⇒ Re f (x) = Re f (y) oder Im f (x) = Im f (y) . Nach τ 4.3-10 gilt AR  ∞ = C(X, R). Sei f ∈ C(X, C), also Re f , Im f ∈ C(X, R), und ε > 0. Man wähle ϕr , ϕi ∈ AR mit Re f − ϕr ∞ < ε/2, Im f − ϕi ∞ < ε/2. Es folgt f − (ϕr + iϕi )∞ < ε und ϕr + iϕi ∈ A. ✷ Für topologische Räume (X, τ), die nicht kompakt sind, ist 4.3-10 bzw. 4.3-10.1 für Cb (X, K) i. a. nicht richtig. Beispiel (4.3,4) A := { f ∈ C(R, R) | ∃ I ⊆ R : I beschränktes Intervall, f
R\I konstant } ist eine R-Unteralgebra von Cb (R, R), 1 ∈ A  A enthält alle konstanten Funktionen!  und A trennt τ  Punkte in R. Für alle f ∈ A gilt cos −f ∞ ≥ 1 (also A ∞  Cb (R, R)): Sei I ⊆ R ein beschränktes Intervall, r ∈ R und f
R\I = r, x, y ∈ R\I mit cos x = −1, cos y = 1. Dann ist |cos x − f (x)| ≥ 1 für r ≥ 0 und |cos y − f (y)| > 1 für r < 0.

Die gegenüber 4.3-10 in 4.3-10.1 zusätzliche Voraussetzung „∀ f ∈ A : f ∈ A“ muß für die Gültigkeit von 4.3-10.1 erfüllt sein.

4 Kompakte topologische Räume

326 Beispiel (4.3,5)

 d| | (0) ⊆ C die abgeschlossene Kreisscheibe um 0 vom Radius 1, τ die Es sei X := K 1  d| | (0). Die Menge A := C[x]
K  d| | (0) bildet eine C-Unteralgebra von Spurtopologie τ| | |K 1 1 C(X, C), 1 ∈ A, und A trennt Punkte in X  Für z, z  ∈ X, z = z  wähle man τ  p(x) := x − z ∈ C[x]. Dann ist p(z) = 0 = z  − z = p(z  ). , aber A ∞ = C(X, C): Der Absolutbetrag | | ist stetig, jedoch nicht komplex differenzierbar (an der Stelle (0, 0) ∈  d| | (0)) und somit nicht Grenzwert einer auf K  d| | (0) gleichmäßig konvergenten Folge von K 1 1 Polynomen  denn diese sind komplex differenzierbar, also auch ihr d∞ -Limes .

In der Klasse der vollständig regulären Räume (X, τ) ist der Stone-Weierstraßsche Approximationssatz 4.3-10 insofern optimal, als seine Aussage für Cb (X, R) auf keinen vollständig regulären Raum, der nicht kompakt ist, ausgedehnt werden kann (s. auch (4.3,4)). Satz 4.3-11 (E. Hewitt, 1947) (X, τ) sei ein vollständig regulärer Raum, jede R-Unteralgebra A   von Cb (X, R), die 1 enthält und Punkte in X trennt, liege dicht in Cb (X, R), τd∞ . Dann ist (X, τ) kompakt. Beweis Es sei (X, τ) nicht kompakt, etwa A ∈ ατ \{X}, (A, τ|A) nicht kompakt  4.3-1 , O ⊆ τ eine Überdeckung von A ohne endliche Teilüberdeckung, b ∈ X\A und a ∈ Oa ∈ O für jedes a ∈ A. B(a) a , b ∈ U } ist eine # := { U ∈ Uτ (a)#∩ τ | U ⊆ O# Basis von Uτ (a), und für B := a∈A B(a) ⊆ τ gilt B ⊇ A und B ∗ ⊇ A für kein B ∗ ∈ Pe B. Man wähle nun für jedes a ∈ A, B ∈ B mit a ∈ B ein fa,B ∈ Cb (X, R) mit (∗) fa,B (a) = 1 und fa,B
X\B = 0  (T-3a) . Ebenso werde für jedes r ∈ X\(A ∪ {b}) die Basis   B
(r) := U ∈ Uτ (r) ∩ τ U ⊆ X\(A ∪ {b}) # von Uτ (r) definiert, B
:= { B
(r) | r ∈ X\(A ∪ {b}) } gesetzt und für alle B
∈ B
mit r ∈ B
ein gr,B  ∈ Cb (X, R) so gewählt, daß gr,B  (r) = 1 und gr,B 
X\B
= 0

(∗∗)

gilt. Die Funktionenmenge F := { fa,B | a ∈ A, B ∈ B, a ∈ B }∪{ gr,B  | r ∈ X\(A∪{b}), B
∈ B
, r ∈ B
} trennt Punkte in X: Es seien x, y ∈ X, x = y. Für x ∈ A (oder y ∈ A) gibt es ein B ∈ B mit x ∈ B, y ∈ B, also gilt fx,B (x) = 1, fx,B (y) = 0 gem. (∗) (analog für y ∈ A). Sind dagegen

4.3 Kompaktheit in topologischen Räumen

327

x, y ∈ A, o. B. d. A. x = b, so existiert ein B
∈ B
mit x ∈ B
, y ∈ B
, also folgt gx,B  (x) = 1, gx,B  (y) = 0 gem. (∗∗). Es sei nun A die von F ∪ {1} erzeugte R-Unteralgebra von Cb (X, R), ϕ ∈ Cb (X, R) mit ϕ(b) = 0, ϕ
A = 1  (T-3a) . A ⊇ F  ∪ {1} trenntτ Punkte in X und enthält 1, liegt jedoch nicht dicht in Cb (X, R), τd∞ , weil ϕ ∈ A  ∞ gilt: τ

Für ϕ ∈ A  ∞ gäbe es ein ψ ∈ A mit ϕ − ψ∞ < 1/2, wobei ψ ein Polynom in endlich vielen Elementen aus F ist, etwa p(x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) ∈  ∈ F und R[x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ], fa1 ,B1 , . . . , fan ,Bn , gr1 ,B1 , . . . , grm ,Bm    . ψ = p fa1 ,B1 , . . . , fan ,Bn , gr1 ,B1 , . . . , grm ,Bm $n #n #n Man wähle ein a ∈ A\ j=1 Bj = j=1 (A\Bj )  j=1 Bj  A . Dann ist #m

a ∈ A\ i=1 Bi  Bi ⊆ X\(A ∪ {b}) , faj ,Bj (a) = 0 für jedes j ∈ {1, . . . , n} gem. (∗) und gri ,Bi (a) = 0 für jedes i ∈ {1, . . . , m} gem. (∗∗). Es würde einerseits   1  > ϕ(a) − p fa1 ,B1 , . . . , fan ,Bn , gr1 ,B1 , . . . , grm ,Bm (a) = |1 − p0 |, 2 also |p0 | > 1/2 gelten (p0 ist der konstante Summand in p(x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ).), andererseits nach Konstruktion der fai ,Bi , grj ,Bj , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m jedoch auch   1  > ϕ(b) − p fa1 ,B1 , . . . , fan ,Bn , gr1 ,B1 , . . . , grm ,Bm (b) = |0 − p0 |.
✷ 2 Der Stone-Weierstraß-Satz 4.3-10 kann auf punktetrennende R-Unteralgebren A von C(X, R) ausgedehnt werden, die Zusatzbedingung 1 ∈ A sichert nur, daß kein τ Element von X durch alle a ∈ A d∞ auf Null abgebildet wird. Satz 4.3-12 (M. H. Stone, Weierstraß (kompakt, reell)) (X, τ) sei ein kompakter topologischer Raum, A eine R-Unteralgebra von C(X, R), die Punkte in X trennt. Dann gilt: A

τd∞

= C(X, R) oder

∃ x ∈ X: A

τd∞

= { f ∈ C(X, R) | f (x) = 0 }.

Beweis (in zwei Teilen) (1)

∃ x ∈ X ∀ b ∈ A : b(x) = 0 τd∞

(dann folgt A

= { f ∈ C(X, R) | f (x) = 0 } für ein x ∈ X) τ

Für jedes f ∈ A d∞ ist dann f (x) = 0. Umgekehrt sei f ∈ C(X, R), f (x) = 0, ε > 0 und A1 := { a + r1 | a ∈ A, r ∈ R } die von A ∪ {1} erzeugte R-Unteralgebra von C(X, R). Nach 4.3-10 existiert ein a ∈ A, r ∈ R mit f − (a + r1)∞ < ε/2, speziell |r| = |f (x) − r| < ε/2. Es folgt τ f − a∞ ≤ f − (a + r1)∞ + |r| < ε. Somit gehört f zu A d∞ .

4 Kompakte topologische Räume

328 (2)

∀ x ∈ X ∃ b ∈ A : b(x) = 0 (dann folgt A τd∞

Nach 4.3-9 (b) sind f ∧ g, f ∨ g ∈ A  A 13  A

τd∞

=A

τd∞ τd∞

=



τd∞

= C(X, R))

für alle f , g ∈ A

τd∞

, es gilt daher

τ f ∈ C(X, R) ∀ ε > 0 ∀ x, y ∈ X ∃ gx,y ∈ A d∞ :  |gx,y (x) − f (x)| < ε, |gx,y (y) − f (y)| < ε .

(x) b, Sei f ∈ C(X, R), ε > 0 und x, y ∈ X. Für x = y setze man gx,y := fb(x) wobei b ∈ A mit b(x) = 0 gewählt ist. Für x = y sei a ∈ A, a(x) = a(y), o. B. d. A. a(x) = 0. Die Wahl von a kann so durchgeführt werden, daß auch a(y) = 0 gilt. Ist nämlich a(y) = 0, so gehe man wie folgt vor:

Sei b ∈ A, b(y) = 0, o. B. d. A. b(y) = 1. Für b(x)= 0, b(x)  = b(y) erfüllt b die 1 an a gestellte Bedingung. Für b(x) = 0 erhält man a(x) a−b (y) = −b(y) = −1,   1 1 a − b (x) = 1, also kann man a(x) a − b ∈ A anstelle von a verwenden. Für a(x)   1   1 a + b (x) = 1 + b(y) = 2, und b(x) = b(y) ist a(x) a + b (y) = b(y) = 1, a(x) 1 a + b ∈ A anstelle von a verwenden. man kann a(x) Die Existenz eines a ∈ A, das 0 = a(x) = a(y) = 0 erfüllt, sichert nun die Lösbarkeit des Gleichungssystems b(x) = r,

b(y) = s

in A für beliebig vorgegebene r, s ∈ R  Man setze b := αa + βa2 und bestimme α, β ∈ R aus αa(x)+βa(x)2 = r, αa(y)+βa(y)2 = s!  Speziell für r = f (x), s = f (y) existiert ein b ∈ A mit b(x) = f (x),

b(y) = f (y),

also |b(x) − f (x)| = 0 < ε, |b(y) − f (y)| = 0 < ε.

✷

Korollar 4.3-12.1 (M. H. Stone, Weierstraß (kompakt, komplex)) (X, τ) sei ein kompakter topologischer Raum, A eine C-Unteralgebra von C(X, C), die Punkte in X trennt. Ist f ∈ A für jedes f ∈ A, so gilt A

τd∞

= C(X, C)

τd∞

oder ∃ x ∈ X : A

= { f ∈ C(X, C) | f (x) = 0 }.

Beweis AR := { ϕ ∈ C(X, R) | ∃ f ∈ A : ϕ = Re f oder ϕ = Im f } ⊆ A ist eine R-Unteralgebra von C(X, R), die Punkte in X trennt  Beweis zu 4.3-10.1 , nach τ τ 4.3-12 gilt daher AR d∞ = C(X, R) oder AR d∞ = { ϕ ∈ C(X, R) | ϕ(x) = 0 } für τd∞ τd∞ = C(X, R) folgt AR = C(X, C)  Beweis zu 4.3-10.1 . ein x ∈ X. Aus AR τ Sei AR d∞ = { ϕ ∈ C(X, R) | ϕ(x) = 0 }. Für f ∈ C(X, C), f (x) = 0 ist

4.3 Kompaktheit in topologischen Räumen τ

329

τ

τ

τ

Re f , Im f ∈ AR d∞ , also f ∈ AR d∞ + iAR d∞ ⊆ A d∞ . Umgekehrt erhält man τ für f ∈ A d∞ , etwa aε ∈ A mit f − aε ∞ < ε, auch Re aε , Im aε ∈ AR , also Re aε (x) = Im aε (x) = 0, und es folgt |f (x)| = |f (x) − aε (x)| ≤ f − aε ∞ < ε für jedes ε > 0, d. h. f (x) = 0. ✷   In  2.2, A 4 (a) bzw. 2.2, A 10 wird behauptet, daß C([a, b]), τd∞ separabel bzw. Cb (R, R), τd∞ nicht separabel ist. Mit Hilfe von 4.3-10 kann die Frage nach der Separabilität von Cb (X, C), τd∞ für beliebige metrische Räume (X, d) beantwortet werden: Satz 4.3-13 (X, d) sei ein metrischer Raum.   Äq (i) Cb (X, C), τd∞ separabel (ii) (X, τd ) kompakt Beweis Durch von Real- und Imaginärteil erkennt   man, daß Separabilität   Einzelbetrachtung für Cb (X, C), τd∞ genau dann gegeben ist, wenn sie für Cb (X, R), τd∞ vorliegt. Es ist daher die Äquivalenz von (i), (ii) für Cb (X, R) zu zeigen. (i) ⇒ (ii) Sei (X, τd ) nicht kompakt, also nicht folgenkompakt  4.1-3.2 , etwa (xj )j ∈ X N eine Folge paarweise verschiedener Elemente, die keinen Häufungspunkt  d (x0 ) für jedes j ≥ 1  x0 ist nicht besitzt. Dann gibt es ein ε0 > 0 mit xj ∈ K ε0 Häufungspunkt von (xj )j ; (T-2) . Ist εn > 0 gewählt, so bestimme man εn+1 ≤ εn  d (xn+1 ) ⊆ X\ #n K d d so, daß K εn+1 j=0 εj (xj ) und xj ∈ Kεn+1 (xn+1 ) für jedes j ≥ n+2   d  (xj ) paarweise disjunkter Kugeln in (X, d) erfüllt sind. Man erhält eine Folge K εj

j

mit den Abstandsfunktionen
X −→ R   ∈ Cb (X, R)\{0} fj : x −→ dist x, X\Kεdj (xj )  (2.4,1) (d), d(x, y) ≤ d(x, xj ) + d(xj , y) < εj + d(xj , y) für alle x ∈ Kεdj (xj ),     y ∈ X\Kεdj (xj ), also dist x, X\Kεdj (xj ) ≤ εj + dist xj , X\Kεdj (xj ) für alle  d (xj ), j ∈ N, gehört, also x ∈ X . Da jedes x ∈ X zu höchstens einer der Kugeln K εj

fj (x) > 0 für höchstens ein j gilt, ist
X −→ R sN : x −→ j∈N

1 fj ∞ fj (x)

für alle N ∈ PN\{∅} wohldefiniert und durch 1 beschränkt. Die Stetigkeit der sN

4 Kompakte topologische Räume

330 folgt wegen  sN
X\

 Kεdj (xj )

=0

 d (xj ) = und sN
K εj

j∈N

1  d (xj ) fj
K εj fj ∞

für jedes j ∈ N , weil Urbilder abgeschlossener Mengen A bzgl. sN wieder abgeschlossen sind:    −1  # # −1 d d Es ist s−1 N [A] = sN [A] ∩ X\ j∈N Kεj (xj ) ∪ sN [A] ∩ j∈N Kεj (xj ) , wobei 

 d (xj ) = K εj

s−1 N [A] ∩ j∈N

j∈N

= j∈N

 gem. 3.1, A 4  und  [A] ∩ X\ s−1 N

 Kεdj (xj ) j∈N

 d s−1 N [A] ∩ Kεj (xj )



 −1 1  d (xj ) ∈ ατ fj [A] ∩ K εj fj ∞

 ( # X\ j∈N Kεdj (xj ) für 0 ∈ A = ∈ ατ ∅ für 0 ∈ A

gilt. Sind nun N , N
∈ PN\{∅} voneinander verschieden, etwa j ∈ N \N
, so gilt sN − sN  ∞ ≥

sup

|sN (x) − sN  (x)| =

 εd (xj ) x∈K j

sup  εd (xj ) x∈K j

|sN (x)| = 1.

  Gäbe es eine abzählbare dichte Teilmenge A in Cb (X, R), τd∞ , so müßte in jeder d∞ (sN ), N ∈ PN\{∅}, ein der überabzählbar vielen, paarweise disjunkten Kugeln K1/2 Element von A sein.
(ii) ⇒ (i) Sei (X, τd ) kompakt und B := { Bj | j ∈ N } ⊆ τd eine abzählbare Basis von τd  2.3-4 ,
X −→ R fj : x −→ dist(x, X\Bj ) die Distanzfunktion zu X\Bj für j ∈ N und schließlich # A die von {1} ∪ { fj | j ∈ N } erzeugte R-Unteralgebra von C(X, R). Die Menge ∞ k=0 Q[x0 , . . . , xk ] ist abzählbar, also ergibt AQ := { p(f0 , . . . , fk ) | k ∈ N, p ∈ Q[x0 , . . . , xk ] } eine abzählbare τ dichte Teilmenge in A, τd∞ A . Gem 4.3-10 ist A d∞ = C(X, R)  1 ∈ A und { fj | j ∈ N } ⊆ A trennt Punkte in X: Für alle x, y ∈ X, x = y, gibt es ein j ∈ N mit x ∈ Bj , y ∈ Bj . Es folgt fj (x) > 0 = fj (y) gem. 2.1, A 7 (a). . Hieraus erhält man τd∞ τ τ τ AQ d∞ = AQ d∞ ⊇ A d∞ = C(X, R). ✷

4.3 Kompaktheit in topologischen Räumen

331

Aufgaben zu 4.3 1. Man beweise Korollar 4.3-1.1! 2. (R, τS ) sei die Sorgenfrey-Gerade (s. (2.3,2)), (xj )j ∈ RN streng monoton fallend und i := inf j xj ∈ R. (a)

{ xj | j ∈ N } und {i} ∪ { xj | j ∈ N } sind nicht kompakt in (R, τS ).

(b) Für alle K ⊆ R gilt: (K, τS |K) kompakt

=⇒

K abzählbar.

3. (X, τ) sei ein topologischer Raum, f ∈ Cc (X, R), (fj )j eine Folge in Cc (X, R)N mit (fj )j −−−−−→ f . Man zeige (Satz von Dini; s. auch 4.1-4 (b)): τ | | -pktw.

Ist (fj )j punktweise monoton fallend (oder wachsend), so folgt (fj )j −−−−−→ f . d| | -glm.

4. (X, τ)#sei ein T3 -Raum, (Kj )j ∈ (PX)N , (Kj , τ|Kj ) kompakt für jedes j ∈ N, X = j∈N Kj . Man zeige: (X, τ) ist ein T4 -Raum.  τ τ 5. Die topologische Hülle S , τ S kompakter Unterräume (S, τ|S) von T1 -Räumen (X, τ) ist nicht notwendig kompakt (s. hierzu auch (4.1,2) (c)). (Hinweis: X := N × N,   τ := {∅} ∪ P ⊆ N × N ∀ n ∈ N : { m ∈ N | (m, n) ∈ P } endlich , S := N × {0}.) 6. (X, τ) sei ein topologischer Raum, (Y, σ) T3 -Raum, f ∈ C(X, Y ), S ⊆ X. Man beweise: σ τ S kompakt =⇒ f [S] kompakt. 7. X, Y seien Mengen, F ein Filter auf X und f : X −→ Y surjektiv. (a)

Es gibt einen Ultrafilter Fmax auf X mit Fmax ⊇ F.

(b) Äq (i) (ii) (c)

F Ultrafilter auf X ∀ T ⊆ X : T ∈ F oder X\T ∈ F

F Ultrafilter auf X

=⇒

f [[F ]] Ultrafilter auf Y

8. (X, τ) sei ein topologischer Raum, R eine Äquivalenzrelation über X mit der Partition X/R und der kanonischen Projektion πR , (πR (x), τ|πR (x)) kompakt für jedes x ∈ X und X/R τ-halbstetig.   X/R , τ/R A2 -Raum. (X, τ) A2 -Raum =⇒ 9. (X, τ), (X, σ) seien T2 -Räume, (X, σ) kompakt. Es gilt: τ⊆σ

=⇒

τ = σ.

10. (X, τ) sei ein topologischer Raum, K ∈ {R, C}, X = ∅. (a)

(C0 (X, K),  ∞ ) ist eine K-Banach-Algebra.

(b) (Cc (R, R),  ∞ ) ist keine R-Banach-Algebra.

4 Kompakte topologische Räume

332

11. (A,  ) sei eine halbnormierte K-Algebra. Ihre Multiplikation ◦ ist stetig bzgl. der Topologien τ  τ  , τ  . 12. (X, τ) sei ein topologischer Raum, A eine C-Unteralgebra von Cb (X, C), f ∈ A für jedes f ∈ A, AR = { ϕ ∈ Cb (X, R) | ∃ f ∈ A : ϕ = Re f oder ϕ = Im f }. AR ist eine R-Unteralgebra von Cb (X, R) und A = AR + iAR . 13. (X, τ) sei ein kompakter topologischer Raum, F ⊆ C(X, R) und für alle f , g ∈ F gelte f ∧ g, f ∨ g ∈ F. Man zeige: F

τd∞

= { f ∈ C(X, R) | ∀ ε > 0 ∀ x, y ∈ X ∃ gx,y ∈ F : |gx,y (x) − f (x)| < ε, |gx,y (y) − f (y)| < ε }

14. (X, τ) sei ein topologischer Raum, C ⊆ S ⊆ X und (C, (τ|S)|C) kompakt. (C, τ|C) ist kompakt. 15. (X, τ) sei ein kompakter T3 -Raum, G ⊆ X eine Gδ -Menge in (X, τ). (G, τ|G) ist ein Baire-Raum. 16. X sei eine unendliche Menge, x∗ ∈ X und ηx∗ := P(X\{x∗ }) ∪ { S ⊆ X | X\S endlich }. Man zeige: (a)

(X, ηx∗ ) ist ein T2 -Raum, {x∗ } ∈ αηx∗ \ηx∗ und ∀ x ∈ X\{x∗ } : {x} ∈ αηx∗ ∩ ηx∗ .

(b) Für jedes S ⊆ X gilt: S

 ηx∗

= 

S ◦ηx∗

(c)

=

S, S ∪ {x∗ }, S, S\{x∗ },

falls S endlich falls S unendlich, falls X\S endlich falls X\S unendlich.

(X, ηx∗ ) ist kompakt (also normal). (S. auch (2.3,4) (a).)

17. (X, τ), (Y, σ) seien topologische Räume, f : X −→ C, g : Y −→ C. (a)

Tr f ⊗ g = Tr f × Tr g

(b) Cc (X, C) ⊗ Cc (Y, C) ⊆ Cc (X × Y, C) (c)

Cc (X, C) ⊗ Cc (Y, C) ist eine C-Unteralgebra von Cc (X × Y, C).

18. ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume, die Menge % { i ∈ I | (Xi , τi ) nicht kompakt } sei unendlich und K ⊆ i∈I Xi .     ◦ τ i∈I i = ∅. Ist K, i∈I τi K kompakt, so hat K keinen inneren Punkt, d. h. K

4.4 Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen

333

19. (X, d) sei ein pseudometrischer Raum, K ∈ {R, C} und f ∈ Cc (X, K). f ist gleichmäßig stetig (bzgl. (d, d| | )). 20. (X, τ) sei ein kompakter T2 -Raum, F ⊆ CR (X) abzählbar und F trenne Punkte in X. Man zeige: (X, τ) ist metrisierbar. 21. (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, Cj ⊆ V konvex und kompakt in (V, τ) für j = 1, . . . , n. konv #n ist kompakt in (V, τ). (Hinweis: 2.4, A 34 (c); s. auch 4.2-3.) j=1 Cj 22. (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, A ∈ ατ , C ⊆ V kompakt in (V, τ) und A ∩ C = ∅. Es existiert ein U ∈ Uτ (0) mit (A + U ) ∩ (C + U ) = ∅. 23. (V, τ) sei ein T2 -topologischer K-Vektorraum, n ∈ N\{0}, Sj ⊆ V mit Sj kompakt in (V, τ) für jedes j ∈ {1, . . . , n}. Es gilt: konv

n

τ

Sj

n

=

j=1

Sj

konv

τ

konv

τ

konv

.

j=1

(Hinweis: Anmerkung an 2.4-18; A 21)

4.4 Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen Die für die (reelle bzw. komplexe) Analysis grundlegenden topologischen Räume (R, τ| | ) bzw. (C, τ| | ) sind ebensowenig kompakt wie die für die Funktionalanalysis bedeutenden normierten K-Vektorräume (V,  ) für V = {0}  Für v0 ∈ V \{0} gilt kv0  = |k| v0 , (V, d  ) ist also nicht beschränkt. . Die bisher erzielten Ergebnisse zur Kompaktheit können daher global, d. h. auf dem jeweiligen gesamten Raum, nicht verwendet werden, sondern allenfalls für topologische Unterräume. Berücksichtigt man, daß viele analytische Begriffe lokal, d. h. in Punkten, definiert sind (Stetigkeit in x, Differenzierbarkeit in x u. a.), so wird verständlich, daß das Vorhandensein kompakter Umgebungen der Punkte eines topologischen Raums vorteilhaft für die lokalen Untersuchungen sowohl des Raums selbst als auch der auf ihm erklärten Funktionen ist. Definition (X, τ) sei ein toplogischer Raum, S ⊆ X. (X, τ) lokalkompakt

:gdw ∀ x ∈ X ∃ U ∈ Uτ (x) : U kompakt

S lokalkompakt (in (X, τ))

:gdw (S, τ|S) lokalkompakt

Jeder kompakte topologische Raum ist lokalkompakt.

4 Kompakte topologische Räume

334

In der Klasse der T2 - (bzw. T3 -)Räume ist Lokalkompaktheit gleichbedeutend mit der Existenz von Umgebungsbasen aus kompakten Umgebungen für jeden Punkt des Raums. Jeder lokalkompakte T2 -Raum ist daher regulär  2.5-2, 4.1-5 (b) . Satz 4.4-1 (X, τ) sei ein T2 - (bzw. T3 -)Raum. Äq (i)

(X, τ) lokalkompakt

(ii) ∀ x ∈ X : { U ∈ Uτ (x) | U kompakt } Basis von Uτ (x) Beweis (ii) ⇒ (i) ist klar. (i) ⇒ (ii) gilt für T3 -Räume wegen 2.5-2 und 4.1-5 (a). Sei also (X, τ) ein T2 -Raum, x U ∈ Uτ (x) und C kompakt gem. (i). Für W := U ∩ C ∈ Uτ (x) ist  ∈τ X, C, τ τ W , τ W kompakter T2 -Raum  W ⊆ C , also normal  4.3-3.1 . Es gibt daher τ ein V ∈ Uτ|W τ (x) ∩ ατ|W τ mit V ⊆ W , etwa x ∈ O ∩ W ⊆ V für ein O ∈ τ. Die τ

τ

Umgebung V liegt in U und ist wegen V = V ⊆ W kompakt.

✷

Korollar 4.4-1.1 (X, τ) sei ein lokalkompakter T2 - (bzw. T3 -)Raum, C ⊆ X kompakt. { W ∈ Uτ (C) | W kompakt } ist eine Basis von Uτ (C). Beweis Sei U ∈ Uτ (C) und für jedes x ∈ C gem. 4.4-1 Ux ⊆ U , Ux ∈ Uτ (x) kompakt. ◦τ Die Überdeckung  ◦offene #m{ Ux | x ∈ C } von C hat eine endliche Teilüberdeckung ◦τ  τ Ux1 , . . . , Uxm , und j=1 Uxj ⊆ U ist kompakte Umgebung von C  (4.1,2) (d) . ✷ Beispiele (4.4,1)  εd  (x) beschränkt und (Rn , τ  ) ist lokalkompakt  Für jedes x ∈ Rn , ε > 0 ist K abgeschlossen, also kompakt. .    εd q (0) ist für kein ε > 0 (b) +q , τ q ist für 1 ≤ q ≤ ∞ nicht lokalkompakt, denn K kompakt: Für jedes j ∈ N sei x(j) ∈ +q definiert durch x(j) (i) := εδi,j . Die Folge  d q N  (j)  ε ∈ K (0) hat wegen x

(a)

j

  (j) x − x(k)  = q für j = k keine konvergente Teilfolge.

 ε21/q ε

für q < ∞ für q = ∞

4.4 Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen

335

Umfassender als in (4.4,1) kann für normierte K-Vektorräume (V,  ), K ∈ {R, C}, festgestellt werden, daß (V, τ  ) genau dann lokalkompakt ist, wenn V endliche K-Dimension hat  4.2-2.1  (Zweiter Grundsatz der linearen Funktionalanalysis). Lokalkompakte T3 -Räume (und somit auch lokalkompakte T2 -Räume) sind sogar T3a -Räume. Dieses folgt mit dem verallgemeinerten Urysohnschen Lemma 4.3-5 aus Satz 4.4-2 (X, τ) sei ein lokalkompakter T3 -Raum, A ∈ ατ , a, b ∈ R, a < b, K ⊆ X kompakt, A ∩ K = ∅. Dann existiert ein f ∈ C(X, [a, b]) mit f [A] ⊆ {a} und f [K] ⊆ {b} (und auch ein h ∈ C(X, [a, b]) mit h[A] ⊆ {b} und h[K] ⊆ {a}). Beweis mit W Für jedes k ∈ K wähle man ein Wk ∈ Uτ (k) ∩ατ kompakt k ⊆ X\A. ◦ ◦ { Wk τ | k ∈ K } hat eine endliche Teilüberdeckung Wkjτ 1 ≤ j ≤ m von K, es gilt damit m

◦

m

Wkjτ ⊆

K⊆ j=1

Wkj ⊆ X\A, j=1

# also W := m j=1 Wkj ∈ ατ ∩ Uτ (K). Es sei daher o. B. d. A. K ∈ ατ  Andernfalls beginne man den Beweis erneut mit W anstelle von K! . (W, τ|W ) ist als kompakter T3 -Raum auch T4 -Raum  4.3-4 , es gibt deswegen eine Funktion f ∈ C(W, [a, b]) mit f [K] ⊆ {a} und f [W \W ◦τ ] ⊆ {b}. Die durch  f (x) für x ∈ W g(x) := b für x ∈ X\W definierte Funktion g : X −→ [a, b] erfüllt g[K] ⊆ {a}, g[A] ⊆ g[X\W ] ⊆ {b} und ist stetig: Für jedes S ∈ ατ | | |[a,b] erhält man wegen g −1 [S] ∩ W = f −1 [S] ∈ ατ|W ⊆ ατ und  ( X\W ◦τ für b ∈ S −1 ◦τ ∈ ατ g [S] ∩ (X\W ) = ∅ sonst auch g −1 [S] = (g −1 [S] ∩ W ) ∪ (g −1 [S] ∩ (X\W ◦τ )) ∈ ατ . Entsprechend findet man auch ein h mit den angegebenen Eigenschaften. ✷ Korollar 4.4-2.1 Jeder lokalkompakte T3 -Raum ist T3a -Raum, jeder lokalkompakte T2 -Raum vollständig regulär. ✷ Lokalkompakte T3 -Räume sind i. a. keine T4 -Räume  (4.4,3) .

4 Kompakte topologische Räume

336 Der Beweis zu 4.4-2 ergibt noch das Korollar 4.4-2.2

(X, τ) sei ein lokalkompakter T3 -Raum, K ⊆ X kompakt und U ∈ Uτ (K). Dann existiert ein kompaktes W ∈ ατ ∩ Uτ (K) und eine Funktion g ∈ C(X, [0, 1]) (bzw. h ∈ C(X, [0, 1])) mit W ⊆ U , g[K] ⊆ {1} und g[X\W ] ⊆ {0} (bzw. h[K] ⊆ {0} ✷ und h[X\W ] ⊆ {1}). Insbesondere ist Uτ (K) ∩ ατ eine Basis von Uτ (K). Wie in 4.4-2 können auch in 4.4-2.2 beliebige Intervalle [a, b] mit a < b verwendet werden. Für die (abstrakte) Integrationstheorie über lokalkompakten Räumen (X, τ) ist es wichtig zu wissen, ob man (X, τ) auf geeignete Weise durch abzählbar viele kompakte Unterräume ausschöpfen kann (s. 4.4-3). Hierzu die (vgl. auch 4.3, A 4) Definition (X, τ) sei ein topologischer Raum. (X, τ) σ-kompakt

:gdw

∃ (Kj )j ∈ (PX)N :

Kj = X und ∀ j ∈ N : (Kj , τ|Kj ) kompakt j∈N

Stetige Bilder σ-kompakter Räume sind σ-kompakt  4.1-6 (a), Anhang 1-26 (a) , σ-kompakte T3 -Räume sind T4 -Räume  4.3, A 4 . Satz 4.4-3 (X, τ) sei ein σ-kompakter lokalkompakter T3 -Raum. Dann existiert eine Folge  τ τ # τ (Oj )j ∈ τ N mit j∈N Oj = X, Oj , τ Oj kompakt und Oj ⊆ Oj+1 für alle j ∈ N. Jeder kompakte Unterraum C von (X, τ) ist Unterraum eines (Oj , τ|Oj ). Beweis Es sei X =

#

j∈N Cj ,

Cj für jedes j ∈ N kompakt. Für jedes x ∈ X wähle man eine τ

Umgebung U (x) ∈  Uτ (x)∩τ mitU (x)kompakt. { U (x) | x ∈ C0 } hat eine endliche Teilüberdeckung U (x1 ), . . . , U xn0 . Sind die Elemente xni−1 +1 , . . . , xni ∈ X (n−1 := 0) für alle i ≤ k so gewählt, daß ni−1

Ci ∪

τ

ni

U (xj ) ⊆ j=1

U (xj ) j=ni−1 +1

# k τ U (xj ) Elemente gilt, dann existieren wegen der Kompaktheit von Ck+1 ∪ nj=1 # k #nk+1 τ U (xj ) ⊆ j=n U (xj ). Man setze nun xnk +1 , . . . , xnk+1 in X mit Ck+1 ∪ nj=1 k +1

4.4 Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen Ok := τ

#nk

j=1 U (xj )

337

für jedes k ∈ N und erhält damit

Ok ⊆ Ok+1  nach Konstruktion  und auch Ok für jedes k ∈ N.

τ

#

= X  Ck ⊆ Ok , # k τ kompakt  Ok = nj=1 U (xj )  k∈N Ok

Ist schließlich C ⊆ X kompakt, so gibt es ein m ∈ N mit C ⊆ behauptet.

τ

#m

j=0 Oj

= Om wie ✷

Unterräume σ-kompakter lokalkompakter T3 -Räume sind i. a. weder σ-kompakt noch lokalkompakt. Beispiele (4.4,2) (R, τ| | ) ist σ-kompakter lokalkompakter T3 -Raum. (a)

(R\Q, τ| | |R\Q) ist nicht lokalkompakt: Sei x ∈ R\Q, (rj )j ∈ QN monoton wachsend, (sj )j ∈ QN monoton fallend, (rj )j →τ | | x, (sj )j →τ | | x. Für jedes j ∈ N ist dann (R\Q) ∩ [rj , sj ] ∈ (τ| | |R\Q) ∩ ατ | | |R\Q und { (R\Q) ∩ [rj , sj ] | j ∈ N } eine Basis von Uτ | | |R\Q (x). Keine der Mengen (R\Q) ∩ [rj , sj ] ist kompakt. Andernfalls gäbe es zu der offenen Überdeckung { [ti , ti+1 ] ∩ (R\Q) | i ∈ N }, wobei t0 = rj und (ti )i ∈ (Q\{sj })N monoton wachsend, (ti )i →τ | | sj ist, eine endliche Teilüberdeckung.


(b) Für a, b ∈ Q, a < b ist [a, b] ∩ (R\Q) nicht σ-kompakt. Andernfalls wäre auch [a+z(b−a), b+z(b−a)]∩(R\Q) für jedes z ∈ Z σ-kompakt  [a+z(b−a), b+z(b−a)] = z(b − a) + [a, b], t → z(b − a) + t ist#ein Homöomorphismus auf R. , woraus die  σ-Kompaktheit von R\Q folgte  R\Q = z∈Z [a + z(b − a), b + z(b − a)] ∩ (R\Q) . Somit wäre R\Q eine Fσ -Menge in (R, τ| | ), denn jeder kompakte Unterraum von (R\Q, τ| | |R\Q) ist auch kompakter Unterraum von $ (R, τ| | )  4.3, A 14 , also Q eine Gδ -Menge in (R, τ| | ), etwa (Oj )j ∈ τ|N| mit Q = j∈N Oj . Da (R, τ| | ) ein Baire-Raum ist  3.1-5 , würde nach 3.1-4   ∅ = Q ∩ (R\Q) = Oj ∩ (R\{x}) = ∅ 

folgen  { Oj | j ∈ N } ∪ dichten offenen Mengen .


j∈N

x∈Q

 R\{x} x ∈ Q besteht aus abzählbar vielen in (R, τ| | )

Satz 4.4-4 (X, τ) sei ein lokalkompakter T2 -Raum, S ⊆ X. Äq (i)

(S, τ|S) lokalkompakt

(ii) S ∈ τ|S

τ

(iii) ∃ O ∈ τ ∃ A ∈ ατ : S = O ∩ A Beweis (i) ⇒ (ii) Sei x ∈ S, U ∈ Uτ|S (x) ∩ τ|S mit U

τ|S

kompakt, O ∈ τ, O ∩ S = U .

4 Kompakte topologische Räume

338 τ

τ

Wegen S ∩ O ∩S = U ∩S = U τ also auch S ∩ O ⊆ S:

τ|S

τ

τ

∈ ατ  4.1-5 (b)  gilt S ∩ O ⊆ S ∩ O ∩S ⊆ S,

τ

τ

Für jedes z ∈ S ∩ O, W ∈ Uτ (z) gilt W ∩ O ∩ S = ∅ und somit z ∈ O ∩ S ⊆ S. τ

τ

(ii) ⇒ (iii) Für S ∈ τ|S gibt es ein O ∈ τ mit S = S ∩ O. (iii) ⇒ (i) Sei x ∈ O ∩ A = S, O ∈ τ, A ∈ ατ und U ∈ Uτ (x) kompakt, U ⊆ O. ✷ Dann ist U ∩ A kompakt und U ∩ A = U ∩ A ∩ O ∈ Uτ|S (x). Korollar 4.4-4.1 τ

(X, τ) sei ein lokalkompakter T2 -Raum, D ⊆ X, D = X. Äq (i)

(D, τ|D) lokalkompakt

(ii) D ∈ τ

✷

Beispiel (4.4,3) Es seien n∗ ∈ N, r∗ ∈ R (z. B. n∗ = N, r∗ = R), N := N ∪ {n∗ }, R := R ∪ {r∗ } und ηn∗ (bzw. ηr∗ ) die in 4.3, A 16 angegebene Topologie auf N (bzw. R). (N, ηn∗ ), (R, ηr∗ ) sind kompakte T2 -Räume, also auch (N × R, ηn∗  ηr∗ )  4.3-7, 2.5-5 . Gem. 4.4-4 ist  N × R\{(n∗ , r∗ )}, ηn∗ ηr∗ |(N × R\{(n∗ , r∗ )}) ein lokalkompakter T2 -Raum (eine sogenannte Tychonoff-Planke)  N × R\{(n∗ , r∗ )} ∈ ηn∗ ηr∗ . A r∗

(0, r∗ )

(1, r∗ )

(2, r∗ )

(n ,r∗ )

(n∗ , r∗ )

(0, s)

(1, s)

(2, s)

(n ,s)

(n∗ , s)

(0, r)

(1, r)

(2, r)

(n ,r)

(n∗ , r)

R

s r

0

1

2

n

N

B

n∗

Abbildung 4.4-1

(N × R\{(n∗ , r∗ )}, τ) mit τ := ηn∗

ηr∗ |(N × R\{(n∗ , r∗ )}) ist kein T4 -Raum, denn die

4.4 Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen

339

abgeschlossenen Mengen A := N × {r∗ }, B := {n∗ } × R, z. B. A = (N × {r∗ }) ∩ (N × R\{(n∗ , r∗ )}),

N × {r∗ } ∈ αηn∗

ηr ∗ ,

sind disjunkt und lassen sich nicht durch offene Umgebungen trennen (vgl. Abb. 4.4-1): ∗ somit ein Seien U , V ∈ τ, A ⊆ U , B ⊆ V . Für jedes # n ∈ N ist (n, r ) ∈ A, es gibt # En ∈ Pe R mit {n} × (R\En ) ⊆ U . Die Menge n∈N En ist abzählbar. Sei r ∈ R\ n∈N En . τ Dann liegt N × {r} in U , (n∗ , r) ∈ B ⊆ V , und es gilt (n∗ , r) ∈ N × {r}  Für jedes ∗ W  also W ∩ N = ∅. Es folgt (W × {r}) ∩ (N × {r}) = ∅. Da  ∈ Uηn∗ (n ) ist N \W endlich, W × {r} W ∈ Uηn∗ (n∗ ) eine Basis von Uηn∗ ηr∗ ((n∗ , r)) ist, erkennt man, daß (n∗ , r) ein Berührpunkt von N × {r} ist. . Insgesamt ergibt sich hieraus

∅ = V ∩ (N × {r}) ⊆ V ∩ U. Dieses Beispiel zeigt insbesondere, daß Unterräume von normalen topologischen Räumen (bzw. lokalkompakte T3 -Räume) i. a. nicht T4 -Räume sind.

Stetige Bilder lokalkompakter T2 -Räume sind i. a. nicht lokalkompakt  (Q, τ| | |Q) ist nicht lokalkompakt (vgl. 4.4-4.1), idQ ist (τdis , τ| | |Q)-stetig. . Es gilt jedoch Satz 4.4-5 (X, τ), (Y, σ) seien topologische Räume, f ∈ C(X, Y ) surjektiv und offen. Ist (X, τ) lokalkompakt, so auch (Y, σ). Beweis Es sei y ∈ Y , x ∈ X, f (x) = y und U ∈ Uτ (x) kompakt. Gem. 4.1-6 (a) ist f [U ] ✷ kompakt. Weil f offen ist, gehört f [U ] zu Uσ (f (x)). Insbesondere sind Quotienten lokalkompakter Räume lokalkompakt, sofern die kanonische Projektion offen ist. Bei abgeschlossener kanonischer Projektion überträgt sich die Lokalkompaktheit i. a. nicht auf den Quotientenraum. Beispiel (4.4,4) In der Tychonoff-Planke (X, τ) := (N × R\{(n∗ , r∗ )}, τ) (s. (4.4,3)) identifiziere man gemäß der Äquivalenzrelation I: (n, r) = (m, s) oder (n, r), (m, s) ∈ N × {r∗ }.    2.4-15.1 . X/I , τ/I X/I ist τ-halbstetig, die kanonische Projektion πIalso abgeschlossen  r ∈ R lassen sich nicht durch ist ein T2 -, jedoch kein T3 -Raum  N × {r∗ } und {(n∗ , r)}   Mengen aus τ/I trennen; (4.4,3). . Der Quotientenraum X/I , τ/I kann nach 4.4-2.1 nicht lokalkompakt sein. ((n, r), (m, s)) ∈ I

:gdw

 Lokalkompaktheit ist nicht multiplikativ  RR , es gilt nämlich

r∈R τ|

 |

ist nicht lokalkompakt! ,

4 Kompakte topologische Räume

340 Satz 4.4-6

( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume.  % Äq (i) i∈I τi lokalkompakt i∈I Xi , (ii) ∀ i ∈ I : (Xi , τi ) lokalkompakt, { i ∈ I | (Xi , τi ) nicht kompakt } endlich Beweis (i) ⇒ (ii) Die kanonischen Projektionen πi sind stetig und offen% 2.4-7 (a), (b) , (Xi , τi ) gem. 4.4-5 also für jedes i ∈ I lokalkompakt. Sei x ∈ i∈I Xi , W eine ' &   $ −1 Umgebung von x, etwa W ⊇ m k=1 πik Uik , wobei Uik ∈ Uτik xik für jedes k = 1, . . . , m ist. Für kompaktes W ist auch πj [W ] für jedes j ∈ I kompakt  4.1-6 (a) . Es folgt { i ∈ I | (Xi , τi ) nicht kompakt } ⊆ {i1 , . . . , im }. % (ii) ⇒ (i) Sei x ∈ i∈I Xi , {i1 , . . . , im } := { i ∈ I | (Xi , τi ) nicht kompakt } und   ' & $ −1 Uik ∈ Uτik xik kompakt für jedes k ∈ {1, . . . , m}. Dann ist U := m k=1 πik Uik ∈ U τi (x) kompakt: Mit i∈I

ist U =

 Uik Vj := Xj % j∈I

für j = ik , k ∈ {1, . . . , m} sonst

Vj , und die Kompaktheit folgt nach 4.3-7.

✷

Der Einbettungsaussage 4.3-8.1 zufolge ist jeder vollständig reguläre Raum (X, τ), insbesondere jeder lokalkompakte T2 -Raum  4.4-2.1  homöomorph zu einem dichten Unterraum eines kompakten T2 -Raums (Y, σ), wobei (Y, σ) als     f ∈C(X,[0,1]) τ | | |[0,1] f ∈C(X,[0,1]) τ | | |[0,1] e[X] , τ| | |[0, 1] e[X] f ∈C(X,[0,1])

gewählt werden kann. Vollständig reguläre Räume lassen sich also „kompaktifizieren“. Definition (X, τ), (Y, σ) seien topologische Räume, h : X −→ Y . ((Y, σ), h) (T2 -)Kompaktifizierung von (X, τ) :gdw σ

(Y, σ) kompakter (T2 -)Raum, h[X] = Y und h Homöomorphismus (bzgl. (τ, σ|h[X])) Man beachte, daß gem. 4.3-3.1 und 2.5-10 höchstens vollständig reguläre Räume T2 -Kompaktifizierungen zulassen! Anders als bei der Vervollständigung metrischer Räume sind die T2 -Kompaktifizierungen nicht eindeutig in dem Sinne bestimmt, daß

4.4 Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen

341

es zu je zwei T2 -Kompaktifizierungen ((Yi , σi ), hi ), i = 1, 2, von (X, τ) genau einen Homöomorphismus H : Y1 −→ Y2 mit H ◦ h1 = h2 gibt. Beispiele (4.4,5) (a)

Einpunktkompaktifizierung von (R, τ| | ): Sei r∗ ∈ R, R∗ := R ∪ {r∗ } und   τ|∗| := τ| | ∪ O ⊆ R∗ R∗ \O ∈ ατ | | kompakt . τ∗

(R∗ , τ|∗| ) ist kompakter T2 -Raum  A 2 (a), 4.4-7 , R | | = R∗  U ∈ Uτ ∗| | (r∗ ) ∩ τ|∗| =⇒ R∗ \U kompakt =⇒ R∗ \U  R =⇒ ∃ r ∈ R : r ∈ U  und idR ein (τ| | , τ|∗| |R)Homöomorphismus  τ|∗| |R = τ| | . ((R∗ , τ|∗| ), idR ) ist somit eine T2 -Kompaktifizierung, die sog. Einpunktkompaktifizierung von (R, τ| | ). (b) Zweipunktkompaktifizierung von (R, τ| | ): Es seien u∗ , u∗∗ ∈ R, u∗ = u∗∗ . Man erweitere die gewöhnliche Ordnung ≤ von R als Ordnung auf R∗∗ := R ∪ {u∗ , u∗∗ } durch die Festlegung u∗ < r < u∗∗ für alle r ∈ R. Die Menge B∗∗ := τ| | ∪ { ]z, u∗∗ ] | z ∈ Z } ∪ { [u∗ , z[ | z ∈ Z } ist Basis für eine Topologie τ|∗∗| auf R∗∗  2.3-2 , (R∗∗ , τ|∗∗| ) kompakter T2 -Raum, τ ∗∗

R | | = R∗∗ und idR ein (τ| | , τ|∗∗| |R)-Homöomorphismus. ((R∗∗ , τ|∗∗| ), idR ) ist daher eine T2 -Kompaktifizierung, die sogenannte Zweipunktkompaktifizierung von (R, τ| | ), und es existiert kein (τ|∗| , τ|∗∗| )-Homöomorphismus H : R∗ −→ R∗∗ mit H ◦ idR = idR  H müßte r∗ auf u∗ und u∗∗ abbilden, um surjektiv zu sein. . Gewöhnlich werden die Bezeichnungen u∗ = −∞, u∗∗ = +∞ verwendet.

Die Konstruktion in (4.4,5) (a) kann für jeden topologischen Raum durchgeführt werden: Definition (X, τ) sei ein topologischer Raum, x∗ ∈ X, X ∗ := X ∪ {x∗ } und τ ∗ := τ ∪ { O ⊆ X ∗ | X ∗ \O ∈ ατ kompakt }. ((X ∗ , τ ∗ ), idX ) heißt Einpunktkompaktifizierung von (X, τ). Satz 4.4-7 (Alexandroff, 1924) (X, τ) sei ein nichtkompakter topologischer Raum. (a) ((X ∗ , τ ∗ ), idX ) ist Kompaktifizierung von (X, τ). (b) Äq (i)

(X ∗ , τ ∗ ) T2 -Raum

(ii) (X, τ) lokalkompakter T2 -Raum

4 Kompakte topologische Räume

342 Beweis

Zu (a) Wegen τ ∗ |X = τ  A 2 (a)  ist idX ein (τ, τ ∗ |X)-Homöomorphismus. Da (X, τ) nicht kompakt ist, gibt es zu jedem O ∈ τ ∗ \{∅} ein x ∈ O ∩ X  Für O ∈ τ ist das klar, und für O ∈ τ muß X ∗ \O = X, also O ∩ X = X\(X ∗ \O) = ∅ sein! . Zu (b) (i) ⇒ (ii) Wegen τ ∗ |X = τ ist (X, τ) ein T2 -Raum, und die Lokalkompaktheit folgt nach 4.4-4.1 aus X = X ∗ \{x∗ } ∈ τ ∗ . (ii) ⇒ (i) ist direkt aus der Definition von τ ∗ zu ersehen.

✷

Mit 4.4-7 (b) erhält man wegen 4.3-3.1 erneut, daß lokalkompakte T2 -Räume vollständig regulär sind (vgl. 4.4-2.1). Die Bezeichnungen Ein- und Zweipunktkompaktifizierung beruhen auf der Anzahl der Elemente in der Restmenge X ∗ \X bzw. X ∗∗ \X. Allgemeiner nennt man Kompaktifizierungen ((Y, σ), idX ) von (X, τ) m-Punktkompaktifizierung von (X, τ), wenn die Restmenge Y \X aus genau m Elementen besteht. Durch Identifizierung von Elementen der (endlichen) Restmenge erhält man Satz 4.4-8 (X, τ) sei ein topologischer Raum, ((Y, σ), idX ) eine T2 -Kompaktifizierung von (X, τ) mit endlicher Restmenge, |Y \X| = m. Dann existiert zu jedem j ∈ {1, . . . , m} eine T2 -Kompaktifizierung ((Yj , σj ), idX ) von (X, τ) mit |Yj \X| = j. Beweis Es sei Y \X = {x∗1 , . . . , x∗m } die Restmenge von ((Y, σ), idX ) und R die durch (y, y
) ∈ R

:gdw y = y
oder {y, y
} ⊆ {x∗j , . . . , x∗m }   definierte Äquivalenzrelation über Y . Der Quotientenraum Y /R , σ/R ist kompakter T2 -Raum, da (Y, σ) normal  4.3-3.1  und {x∗j , . . . , x∗m } ∈ ασ ist (s. auch 4.3-6). ' σ& σ/R π [X] ⊇ π X Weiter gilt = Y /R , und πR
X : X −→ πR [X] ist ein R R stetig und gem. Definition (τ, σ/R πR [X])-Homöomorphismus  πR
X ist injektiv,  von R offensichtlich auch offen bzgl. τ, σ/R πR [X] . .    , σ/ , π
X von (X, τ) mit Somit erhält mandie T2 -Kompaktifizierung Y /R R R  ∗ ∗ ∗ ∗ Y /R \πR [X] = {x1 }, . . . , {xj−1 }, {xj , . . . , xm } . Definiert man nun die Menge   Yj := (Y \{x∗j , . . . , x∗m }) ∪ {x∗j , . . . , x∗m } , ηj : Y /R −→ Yj , ηj ({y}) := y für alle y ∈ Y \{x∗j , . . . , x∗m } und ηj ({x∗j , . . . , x∗m }) := {x∗j , . . . , x∗m }, so ist ηj bijektiv  ''  && von mit ηj ◦(πR
X) = idX , Yj , ηj σ/ also eine T2 -Kompaktifizierung , id X R   ✷ (X, τ) mit der Restmenge Yj \X = x∗1 , . . . , x∗j−1 , {x∗j , . . . , x∗m } . Zur Existenz von T2 -m-Punktkompaktifizierungen:

4.4 Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen

343

Satz 4.4-9 (Magill jr., 1965) (X, τ) sei ein vollständig regulärer Raum, m ∈ N\{0}. Äq (i)

Es gibt eine T2 -Kompaktifizierung ((Y, σ), idX ) von (X, τ) mit |Y \X| = m.

m (ii) (X, # τ) ist lokalkompakt,  und  (O1 , . . . , Om ) ∈ (τ\{∅}) mit #m es gibt m X\ j=1 Oj kompakt, X\ j=1 Oj ∪ Ok für jedes k ∈ {1, . . . , m} nicht kompakt und (O1 , . . . , Om ) paarweise disjunkt.

Beweis (i) ⇒ (ii) Es sei Y \X = {x∗1 , . . . , x∗m }. Wegen X = Y \{x∗1 , . . . , x∗m } ∈ σ ist (X, τ) gem. 4.4-4.1 lokalkompakt. Man wähle Oj
∈ σ ∩ Uσ (x∗j ) für jedes j ∈ {1, . . . , m},
paarweise disjunkt sind, und setze O := O
∩ X (∈ τ\{∅}) für so daß O1
, . . . , Om j j # #m
j = 1, . . . , m. Dann ist X\ m j=1 Oj = Y \ j=1 Oj ∈ ασ , also kompakt. Darüber hinaus gilt     m m m
Oj ∪ Ok = X\ Oj = Y \ Oj ∩ (Y \{x∗k }) X\ j=1

j=1 j=k

j=1 j=k

  # für jedes k ∈ {1, . . . , m}, X\ m j=1 Oj ∪ Ok ist daher nicht kompakt  Sonst wäre m  m Oj
∪ {x∗k } ∈ σ, also {x∗k } = Ok
∩ Oj
∪ {x∗k } ∈ σ im das Komplement j=1 j=k σ

j=1 j=k

Widerspruch zu X = Y . . (ii) ⇒ (i) O1 , . . . , Om ∈ τ\{∅} seien gem. (ii) gewählt, x∗1 , . . . , x∗m paarweise verschiedene Elemente, die nicht zu X gehören, Y := X ∪ { x∗j | 1 ≤ j ≤ m }, # } und C := X\ m j=1 Oj , Oj := { O ∈ τ | (X\O) ∩ (C ∪ Oj ) kompakt #
Oj
:= { O ∪ {x∗j } | O ∈ Oj } für jedes j ∈ {1, . . . , m}. Dann ist τ ∪ m j=1 Oj #m Basis für eine Topologie σ auf Y  2.3-2 , denn τ ∪ j=1 Oj
ist stabil gegen die Bildung von Durchschnitten endlich vieler Elemente. Weiter gilt Oj ∈ Oj für jedes j ∈ {1, . . . , m}  (X\Oj ) ∩ (C ∪ Oj ) = C  und σ|X = τ. (Y, σ) ist T2 -Raum: Seien y, y
∈ Y , y = y
. Für {y, y
} ⊆ X gibt es nach Voraussetzung O, P ∈ τ ⊆ σ mit y ∈ O, y
∈ P , O ∩ P = ∅, und es ist (Oj ∪ {x∗j }) ∩ (Ok ∪ {x∗k }) = ∅ für y = x∗j ,
∗
y
= x∗k . Sei #malso y ∈ X und y = xk , k ∈ {1, . . . , m}, K ∈ Uτ (y ) kompakt. Dann ist O := j=1 Oj \K ∈ τ und (X\O) ∩ (C ∪ Ok ) = (C ∪ K) ∩ (C ∪ Ok ) ∈ ατ m

 C ∪ Ok = X\ und K ∩ (O ∪

Oj ∈ ατ , also kompakt  C ∪ K kompakt . Es folgt O ∈ Ok

j=1 j=k {x∗k })

= ∅.

4 Kompakte topologische Räume

344

(Y, σ) ist kompakt: # Sei O ⊆ σ, O = Y , Q1 , . . . , Qm ∈ O, Pj ∈ Oj mit {x∗j } ∪ Pj ⊆ Qj für j = 1, . . . , m. Wegen der Kompaktheit von m  m m m Pj = (C ∪ Oj ) \ Pk ⊆ ((C ∪ Oj )\Pj ) X\ j=1

j=1 m

((C ∪ Oj ) ∩ (X\Pj )),

= j=1

der Abgeschlossenheit von X\ 

m

X\ j=1

j=1

k=1

#m

Pj , σ X\

j=1 Pj m

Pj j=1

ist 

 = X\

m

Pj , τ X\

j=1

m

Pj



j=1



kompakt, daher auch der abgeschlossene Unterraum Y \ O läßt also eine endliche Teilüberdeckung zu.

#m

j=1 Qj , σ

#m  Y \ j=1 Qj .

σ

X =Y: Für jedes j ∈ {1, . . . , m}, O ∈ Oj , Q := {x∗j } ∪ O ist (X\O) ∩ (C ∪ Oj ) kompakt ✷ in (X, τ), C ∪ Oj jedoch nicht. Es folgt Q ∩ X ⊇ O = ∅. Beispiel (4.4,6) (R, τ| | ) besitzt keine T2 -3-Punktkompaktifizierung (also gem. 4.4-8 auch keine T2 -m-Punktkompaktifizierung für m ≥ 3): Andernfalls gibt es nach 4.4-9 paarweise disjunkte Mengen O1 , O2 , O3 ∈ τ| | \{∅}, so daß   #3 #3 R\ j=1 Oj kompakt und R\ j=1 Oj ∪ Ok für kein k ∈ {1, 2, 3} kompakt ist. Man setze C := R\

#3

3

j=1 Oj . Für jedes k ∈ {1, 2, 3} ist C ∪ Ok = R\

Oj ∈ ατ | | , also j=1 j=k

unbeschränkt, da nicht kompakt. Sei mC := min C, MC := max C  4.1, A 3 (b) . Dann haben wenigstens zwei der O1 , O2 , O3 voneinander verschiedene Elemente, die größer als MC sind, oder wenigstens zwei besitzen voneinander verschiedene Elemente, die kleiner als mC sind  Unbeschränktheit in (R, d| | )! . Seien o. B. d. A. x1 ∈ O1 , x2 ∈ O2 mit x2 > x1 > MC und s := sup{ x ∈ O1 | x < x2 }, also s ∈ C. s gehört auch nicht zu #3 j=1 Oj , denn für s ∈ Ok , etwa ]s − ε, s + ε[ ⊆ Ok , muß (nach Definition von s) k > 1 1 < x2 für ein sein  Sonst wäre O1 ∩ O2 = ∅ für s = x2 bzw. für s < x2 auch s < s + n+1 n ∈ N.
, und wegen O1 ⊆ R\(O2 ∪ O3 ) ∈ ατ | | folgt s ∈ R\(O2 ∪ O3 ). Insgesamt würde   #3 s ∈ R\ C ∪ j=1 Oj = ∅ gelten.


Einpunkt- und Zweipunktkompaktifizierungen von (R, τ| | ) zeigen, daß es mehrere wesentlich voneinander verschiedene Möglichkeiten der T2 -Kompaktifizierung vollständig regulärer Räume (X, τ) geben kann. Neben den T2 -m-Punktkompaktifizierungen

4.4 Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen

345

ˇ ist ein weiterer Typ, die von Tychonoff bereits 1930 angegebene Stone-Cech-Kompaktifizierung, von Bedeutung. Die Namensgebung erfolgte aufgrund einer von M. H. Stoˇ ˇ ne und Cech 1936/37 bewiesenen, die Stone-Cech-Kompaktifizierung charakterisierenden Fortsetzungseigenschaft für auf (X, τ) definierte stetige Funktionen in kompakte T2 -Räume (s. 4.4-12). (X, τ) sei ein vollständig regulärer Raum. Für jedes f ∈ Cb (X, R) sei  If := { I ⊆ R | I kompaktes Intervall, f [X] ⊆ I }. Gem. 4.3-8 trennt Cb (X, R) Punkte von abgeschlossenen Mengen in (X, τ), nach 2.5-14, 2.5-14.1 ist also die Auswertung %
X −→ f ∈Cb (X,R) If e: x −→ (f → f (x))     ein τ, f ∈Cb (X,R) τ| | |If e[X] -Homöomorphismus. Definition (X, τ) sei vollständig regulär, βX := e[X] und

f ∈Cb (X,R)

 βτ := f ∈Cb (X,R)

τ | | |If

 τ| | |If βX.

ˇ ((βX, βτ), e) heißt Stone-Cech-Kompaktifizierung von (X, τ). ((βX, βτ), e) ist (nach Konstruktion) eine T2 -Kompaktifizierung von (X, τ) und besitzt die Fortsetzungseigenschaft für stetige Funktionen in kompakte T2 -Räume (∗): ˇ Satz 4.4-10 (M. H. Stone, Cech, 1936/37) (X, τ) sei ein vollständig regulärer, (K, κ) ein kompakter T2 -Raum. Es gilt: ∀ ϕ ∈ C(X, K) ∃ Φ ∈ C(βX, K) : Φ ◦ e = ϕ. βτ

(Die Fortsetzung Φ ist wegen e[X] Beweis

(∗)

= βX eindeutig bestimmt!)

% Es sei e
: K −→ g∈C(K,R) Ig die Auswertung, e
ist ein Homöomorphismus bzgl.  
  κ, g∈C(K,R) τ| | |Ig e [K] . Das folgende Diagramm stellt die Gegebenheiten dar

4 Kompakte topologische Räume

346 (durchgezogene Pfeile): Y

If

Y

H

f ∈Cb (X,R)

Ig

g∈C(K,R)

idβX idβK

βX H¹βX ide[X]

e0 [K] = βK

e[X]

e0

e X

ϕ

K

Die Fortsetzung Φ wird mit Hilfe einer stetigen Funktion H, die H[βX] ⊆ e0 [K] und H ◦ e = e0 ◦ ϕ erfüllt, in der Form Φ := e0−1 ◦ HβX konstruiert (gestrichelte Pfeile im Diagramm). Man definiere H durch Y H(t)(g) := t(g ◦ ϕ) für alle t ∈ If , g ∈ C(K, R). f ∈Cb (X,R)

H ist wegen g ◦ ϕ ∈ C(X, Ig◦ϕ ) für g ∈ C(K, R) wohldefiniert und nach 2.4-7 (c) stetig J ∀ g ∈ C(K, R) : πg ◦ H = πg◦ϕ stetig K, außerdem gilt H ◦ e = e0 ◦ ϕ J ∀ g ∈ C(K, R) ∀ x ∈ X : (H ◦ e(x))(g) = H(e(x))(g) = e(x)(g ◦ ϕ) = g ◦ ϕ(x) = e0 (ϕ(x))(g) = (e0 ◦ ϕ(x))(g) K. Es folgt    τ | | |Ig βτ  ⊆ H e[X] g∈C(K,R) H[βX] = H e[X]   τ | | |Ig = e0 ϕ[X] g∈C(K,R) ⊆ e0 [K],


Φ ist daher wohldefiniert, stetig und erfüllt Φ ◦ e = ϕ J Φ ◦ e = e0−1 ◦ HβX ◦ e = 2 e0−1 ◦ (H ◦ e) = e0−1 ◦ e0 ◦ ϕ = ϕ K. Korollar 4.4-10.1

(X, τ) sei ein vollständig regulärer Raum, ((K, κ), k) eine T2 -Kompaktifizierung von (X, τ). (K, κ) ist topologisch isomorph zu einem Quotienten von (βX, βτ).

4.4 Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen

347

Beweis Gem. 4.4-10 gibt es genau ein Φ ∈ C(βX, K) mit Φ ◦ e = k. Φ ist surjektiv ' βτ & κ = Φ[βX] ∈ ακ , also K = k[X] ⊆ Φ[βX]   k[X] = Φ ◦ e[X] ⊆ Φ e[X] und abgeschlossen  4.1-5 (b), 4.1-6 (a) . Nach dem Homöomorphiesatz 2.4-16 folgt   (K, κ) ∼ = βX/Fas Φ , βτ/Fas Φ . top. ✷ Die Fortsetzungseigenschaft (∗) in 4.4-10 gibt Anlaß zur Einführung einer Vergleichsrelation zwischen Kompaktifizierungen: Definition ((Ki , κi ), ki ) seien für i = 1, 2 Kompaktifizierungen des topologischen Raums (X, τ). ((K1 , κ1 ), k1 ) ≥ ((K2 , κ2 ), k2 )

:gdw ∃ Φ ∈ C(K1 , K2 ) : Φ ◦ k1 = k2

((K1 , κ1 ), k1 ) ∼ = ((K2 , κ2 ), k2 ) :gdw top. äq.

((K1 , κ1 ), k1 ) ≥ ((K2 , κ2 ), k2 ) und ((K2 , κ2 ), k2 ) ≥ ((K1 , κ1 ), k1 ) Die topologische Äquivalenz

∼ =

top. äq.

von T2 -Kompaktifizierungen wird charakterisiert

durch Satz 4.4-11 ((Ki , κi ), ki ) seien für i = 1, 2 T2 -Kompaktifizierungen des vollständig regulären Raums (X, τ). Äq (i)

((K1 , κ1 ), k1 ) ∼ = ((K2 , κ2 ), k2 ) top. äq.

(ii) ∃ η : K2 −→ K1 : η ◦ k2 = k1 , η (κ2 , κ1 )-Homöomorphismus Beweis (i) ⇒ (ii) Gem. (i) existieren Φ1 ∈ C(K1 , K2 ), Φ2 ∈ C(K2 , K1 ) mit Φ1 ◦ k1 = k2 und Φ2 ◦ k2 = k1 , woraus Φ1 ◦ Φ2 ◦ k2 = k2 , also Φ1 ◦ Φ2
k2 [X] = idk2 [X] und nach 2.5-9.1 (b) somit Φ1 ◦ Φ2 = idK2 folgt. Aus Symmetriegründen ist auch Φ2 ◦ Φ1 = idK1 , also η := Φ2 = Φ−1 1 ein (κ2 , κ1 )-Homöomorphismus. (ii) ⇒ (i) ist klar, weil auch η −1 ein (κ1 , κ2 )-Homöomorphismus mit η −1 ◦ k1 = k2 ist. ✷ Beispiele (4.4,7) (a)

(X, τ) sei ein kompakter T2 -Raum. Bis auf topologische Äquivalenz ist ((X, τ), idX ) die einzige T2 -Kompaktifizierung von (X, τ):

4 Kompakte topologische Räume

348

κ

Ist ((K, κ), k) eine T2 -Kompaktifizierung, also k[X] = k[X] = K, so ist k gem. 4.1-6 (b) ein Homöomorphismus (mit k ◦ idX = k). Nach 4.4-11 folgt ((X, τ), idX ) ∼ = ((K, κ), k). top. äq.

(b) (X, τ) sei ein vollständig regulärer Raum. ˇ Die Stone-Cech-Kompaktifizierung ((βX, βτ), e) ist die bis auf topologische Äquivalenz größte T2 -Kompaktifizierung von (X, τ) (s. 4.4-10). (c)

(X, τ) sei ein lokalkompakter T2 -Raum, der nicht kompakt ist. Die Einpunktkompaktifizierung ((X ∗ , τ ∗ ), idX ) ist bis auf topologische Äquivalenz die kleinste T2 -Kompaktifizierung von (X, τ): Es sei ((K, κ), k) eine T2 -Kompaktifizierung von (X, τ). Die Restmenge K\k[X] ist κ abgeschlossen in (K, κ), denn k[X] ist lokalkompakter T2 -Raum mit k[X] = K  4.4-4.1 . Man definiere Φ : K −→ X ∗ durch  x∗ für y ∈ K\k[X] Φ(y) := x für y = k(x), x ∈ X. Dann ist Φ ◦ k = idX und Φ ∈ C(K, X ∗ ): Sei y ∈ K\k[X] und U ∈ τ ∗ ∩ Uτ ∗ (x∗ ), also X ∗ \U = X\U ∈ ατ kompakt. Es folgt y ∈ Φ−1 [U ] = (K\k[X]) ∪ k[X ∩ U ] = K\(k[X] ∩ (K\k[X ∩ U ])) = K\(k[X]\k[X ∩ U ]) = K\k[X\U ] ∈ κ

 4.1-6 (a), 4.1-5 (b) .

Für y = k(x), x ∈ X und O ∈ τ ∩ Uτ ∗ (x) ist y ∈ Φ−1 [O] = k[O]  z ∈ Φ−1 [O] ⇐⇒ Φ(z) ∈ O ⇐⇒ ∃ t ∈ O : z = k(t) ⇐⇒ z ∈ k[O] , wobei k[O] ∈ κ|k[X] ⊆ κ gilt  s. o. .

Satz 4.4-12 (X, τ) sei ein vollständig regulärer Raum mit der T2 -Kompaktifizierung ((K, κ), k). Äq (i)

((K, κ), k) ∼ = ((βX, βτ), e) top. äq.

(ii) Für jeden kompakten T2 -Raum (L, λ) gilt: ∀ ϕ ∈ C(X, L) ∃ Φ ∈ C(K, L) : Φ ◦ k = ϕ. Beweis (i) ⇒ (ii) Gem. 4.4-11 sei η : K −→ βX ein (κ, βτ)-Homöomorphismus, η ◦ k = e. Nach 4.4-10 existiert ein Ψ ∈ C(βX, L) mit Ψ◦e = ϕ. Es folgt Φ := Ψ◦η ∈ C(K, L) und Ψ ◦ η ◦ k = ϕ.

4.4 Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen

349

(ii) ⇒ (i) ((βX, βτ), e) ≥ ((K, κ), k) gilt nach 4.4-10, ((K, κ), k) ≥ ((βX, βτ), e) nach Voraussetzung (ii). ✷ Beispiele (4.4,8) (a)

  Die Einpunktkompaktifizierung ([0, 1], τ| | |[0, 1]), id]0,1] von (]0, 1], τ| | |]0, 1]) ist nicht ˇ topologisch äquivalent zur Stone-Cech-Kompaktifizierung ((β]0, 1], βτ| | |]0, 1]), e), andernfalls wäre nämlich gem. 4.4-12 die stetige Funktion
]0, 1] −→ [−1, 1] ϕ: x −→ sin x1 stetig fortsetzbar auf ([0, 1], τ| | |[0, 1])  (2.5,7) .

ˇ (b) In der Stone-Cech-Kompaktifizierung vollständig regulärer Räume ist die Restmenge i. a. sehr groß. Für den abzählbaren diskreten topologischen Raum (N, τdis ) kann βN (und R damit auch βN\e[N]) auf [0, 1] abgebildet werden (sogar bijektiv, d. h. die Mächtigkeit c der Menge βN ist 2 , wobei c die Mächtigkeit des Kontinuums R bezeichnet):   R [0, 1] , r∈R τ| | |[0, 1] ist kompakt  4.3-7  und separabel (2.5-7), besitzt also eine R abzählbare dichte Teilmenge D ⊆ [0, 1] . Sei ϕ : N −→ D bijektiv. Wegen C(N, D) =  R N D ist ϕ stetig und hat daher gem. 4.4-10 eine stetige Fortsetzung Φ ∈ C βN, [0, 1] mit Φ ◦ e = ϕ. Es folgt [0, 1]R = D

r∈R

⊆ Φ[βN]

τ | | |[0,1] r∈R

= ϕ[N]

τ | | |[0,1]

r∈R

τ | | |[0,1]

' & = Φ e[N]

r∈R

τ | | |[0,1]

= Φ[βN],

R

also Φ[βN] = [0, 1] .

Mit Hilfe der Einpunktkompaktifizierung kann die Aussage des Tietze-Urysohnschen Fortsetzungssatzes 2.5-11 auf den kompakten T2 -Räumen (Diese sind gem. 4.3-3.1 normal!) auf lokalkompakte T2 -Räume (Diese sind i. a. nicht normal, (4.4,3)!) und ihre kompakten (anstelle der abgeschlossenen) Unterräume übertragen werden. Für lokalkompakte T2 -Räume gilt also nicht nur ein verallgemeinertes Urysohnsches Lemma (vgl. 4.4-2.1, 4.3-5), sondern auch ein verallgemeinerter Tietze-Urysohnscher Fortsetzungssatz. Satz 4.4-13 (Verallgemeinerter Tietze-Urysohnscher Fortsetzungssatz) (X, τ) sei ein lokalkompakter T2 -Raum, ∅ = K ⊆ X kompakt, f ∈ C(K, R). Für jede Umgebung U ∈ Uτ (K) existiert eine stetige Fortsetzung F ∈ C(X, R) von f , deren Träger Tr F in U liegt und für die supX |F | = supK |f | gilt. Beweis Ist (X, τ) kompakt, also normal  4.3-3.1 , so folgt die Behauptung unmittelbar

4 Kompakte topologische Räume

350

mit dem Urysohnschen Lemma 2.5-10 und dem Tietze-Urysohnschen Fortsetzungssatz 2.5-11 (vgl. auch die folgenden Ausführungen). Sei also (X, τ) nicht kompakt und ((X ∗ , τ ∗ ), idX ) die Einpunktkompaktifizierung von (X, τ). (X ∗ , τ ∗ ) ist ein kompakter T2 -Raum  4.4-7 , also normal  4.3-3.1 . Sei U ∈ Uτ (K) ∩ τ. Wegen τ ⊆ τ ∗ existiert gem. 2.5-10 ein ϕ ∈ C(X ∗ , [0, 1]) τ∗ mit ϕ[K] = {1} und ϕ[X ∗ \U ] ⊆ {0}, also Tr ϕ ⊆ U . Sei F ∗ ∈ C(X ∗ , R) eine Fortsetzung von f mit supX ∗ |F ∗ | = supK |f |  2.5-11  und F := (F ∗
X)(ϕ
X) (pktw. Produkt). Dann gilt F ∈ C(X, R), F
K = F ∗
K = f , Tr F ⊆ Tr(ϕ
X) ⊆ τ∗ τ X ∩ U = U  2.5, A 12 (a), 2.3-6 (c)  und   sup|f | ≤ sup|F | = sup F ∗
X ϕ
X ≤ sup F ∗
X ≤ sup|F ∗ | = sup|f |. K

X

X

X∗

X

K

✷

Die Behauptung folgt nun nach 4.4-2.2.

Der verallgemeinerte Tietze-Urysohnsche Fortsetzungssatz 4.4-13 ermöglicht nun den Beweis zu Satz 4.4-14 (Zerlegung der Eins) (X, τ) sei ein lokalkompakter T2 -Raum, ∅ = K ⊆ X kompakt, (O1 , . . . , Om ) ∈ τ m , # m m j=1 Oj ⊇ K. Dann gibt es ein (f1 , . . . , fm ) ∈ C(X, [0, 1]) mit m  j=1

fj ≤ 1,

 m

 fj
K = 1 und ∀ j ∈ {1, . . . , m} : Tr fj ⊆ Oj .

j=1

Beweis Für jedes x ∈ K wähle man nach 4.4-2.2 eine offene Umgebung Ux ∈ Uτ (x) ∩ τ so τ τ ist und Ux ⊆ Oj für jedes j ∈ {1, . . . , m} mit x ∈ Oj gilt. Sei aus,  daß Ux kompakt  Ux1 , . . . , Uxr eine endliche Teilüberdeckung von K und   τ Uxk k ∈ {1, . . . , r}, Uxk ⊆ Oj , Vj := τ

also Vj ⊆ Oj kompakt für jedes j ∈ {1, . . . , m}. Wiederum nach 4.4-2.2 ) *existieren Pj ∈ τ, ϕ, gj ∈ C(X, [0, 1]) mit Vj

τ

⊆ Pj ⊆ Pj

τ

τ

⊆ Oj , gj Vj = {1}, #m gj [X\Pj ] ⊆ {0}, ϕ[K] = {1} und ϕ[X\V ] ⊆ {0}, wobei V := j=1 Vj ist. Wegen m τ j=1 gj (t) > 0 für jedes t ∈ V ist 1 τ j=1 gj
V

f := m τ

τ

wohldefiniert und stetig auf V  2.4, A 5 . Sei F ∈ C(X, R), F
V = f  4.4-13 

4.4 Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen

351

und fj := gj F ϕ für jedes j ∈ {1, . . . , m}. Dann folgt τ

Tr fj ⊆ Tr gj ⊆ Pj ⊆ Oj ,

fj ∈ C(X, [0, 1]) τ

für alle j ∈ {1, . . . , m}  fj (t) ∈ [0, 1], da Tr ϕ ⊆ V , 0 ≤ fj (t)  ≤ gj (t)F (t) = m τ ✷ f ≤ 1 und f gj (t)f (t) ≤ 1 für jedes t ∈ V gilt. , m j=1 j j=1 j
K = 1. Dieser Abschnitt schließt mit einem Approximationssatz in (Cc (X, K),  ∞ ) über lokalkompakten T2 -Räumen (X, τ) (s. auch 4.3-10, 4.3-10.1) und einer seiner Anwendungen 4.4-16. Satz 4.4-15 (M. H. Stone, Weierstraß (lokalkompakt, reell)) (X, τ) sei ein lokalkompakter T2 -Raum, A eine R-Unteralgebra von Cc (X, R), die Punkte in X trennt. Gibt es zu jedem x ∈ X ein a ∈ A mit a(x) = 0, so liegt A dicht  τ in Cc (X, R), τ ∞ , d. h. A d∞ = Cc (X, R). Beweis Ist (X, τ) kompakt, also Cc (X, R) = C(X, R), so folgt die Behauptung mit Teil (2) des Beweises zu 4.3-12. Sei also (X, τ) nicht kompakt, ((X ∗ , τ ∗ ), idX ) die Einpunktkompaktifizierung von (X, τ)  4.4-7  und f ∗ ∈ C(X ∗ , R) für jedes f ∈ Cc (X, R) die durch f ∗ (x∗ ) := 0 definierte eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung von f  A 8 . A∗ := { a∗ | a ∈ A } = { g ∈ C(X ∗ , R) | g
X ∈ A } ist dann eine R-Unteralgebra von C(X ∗ , R), die Punkte in X ∗ trennt, denn für jedes x ∈ X gibt es nach Voraussetzung ein a ∈ A mit a∗ (x) = a(x) = 0 = a∗ (x∗ ). Wegen τ τ  ∈ X ∗ mit C(X ∗ , R) = A∗ d∞  1 ∈ C(X ∗ , R)\A∗ d∞  gibt es gem. 4.3-12 ein x τ d A∗ ∞ = { f ∈ C(X ∗ , R) | f ( x) = 0 }. Es ist x  = x∗ , weil nach Voraussetzung zu ∗ jedem x ∈ X ein a ∈ A mit a (x) = a(x) = 0 existiert. Sei schließlich ε > 0, f ∈ Cc (X, R), also f ∗ ∈ C(X ∗ , R) mit f ∗ (x∗ ) = 0 und a ∈ A mit a∗ − f ∗ ∞ < ε. Dann gilt speziell a − f ∞ = sup |a(x) − f (x)| = sup |a∗ (t) − f ∗ (t)| = a∗ − f ∗ ∞ < ε. x∈X

t∈X ∗

✷

Korollar 4.4-15.1 (M. H. Stone, Weierstraß (lokalkompakt, komplex)) (X, τ) sei ein lokalkompakter T2 -Raum, A eine C-Unteralgebra von Cc (X, C), die a enthält. Gibt Punkte in X trennt und mit jedem a auch die konjugierte Funktion   es zu jedem x ∈ X ein a ∈ A mit a(x) = 0, so liegt A dicht in Cc (X, C), τ ∞ , d. h. τ A d∞ = Cc (X, C). ✷ Der Beweis kann unter Verwendung von 4.3-12.1 analog zu dem von 4.4-15 erfolgen.

4 Kompakte topologische Räume

352

Die in 4.1-7 festgestellte Approximationseigenschaft von C(X, C) ⊗ C(Y, C) in C(X × Y, C) für kompakte pseudometrische Räume (X, τd ), (Y, τe ) gilt global auch für kompakte T2 -Räume, lokal, d. h. in Cc (X × Y, C), sogar für lokalkompakte T2 -Räume. Satz 4.4-16 (X, τ), (Y, σ) seien lokalkompakte T2 -Räume, f ∈ Cc (X × Y, C). Es gibt eine kompakte Umgebung K ∈ Uτ σ (Tr f ), für die ∀ ε > 0 ∃ g ∈ Cc (X, C) ⊗ Cc (Y, C) : |f − g| ≤ εχK   gilt. Insbesondere liegt Cc (X, C) ⊗ Cc (Y, C) dicht in Cc (X × Y, C), τ ∞ . Beweis Es ist Tr f ⊆ πX [Tr f ] × πY [Tr f ], wobei πX : X × Y −→ X, πY : X × Y −→ Y die kanonischen Projektionen bezeichnen. Nach 4.4-2.2 wähle man OX ∈ τ, OY ∈ σ τ σ τ σ mit πX [Tr f ] ⊆ OX , πY [Tr f ] ⊆ OY , OX , OY kompakt und K := OX × OY . Dann ist K kompakt  4.3-7, 2.4-11 , K ∈ Uτ σ (Tr f ), (OX × OY , τ σ|OX × OY ) lokalkompakter T2 -Raum  4.4-6, 4.4-4.1 . A := Cc (OX , C) ⊗ Cc (OY , C) ist eine C-Unteralgebra von Cc (OX × OY , C)  4.3, A 17 (c) , die Punkte in OX × OY trennt, mit jedem a auch die konjugierte Funktion a enthält und darüber hinaus zu jedem gibt es zu (x, y) ∈ OX × OY ein a mit a((x, y)) = 0 zuläßt  A 16 . Nach 4.4-15.1 a jedem ε > 0 ein gε ∈ A mit f
OX × OY − gε ∞ < ε, etwa gε = m j=1 j ⊗ bj mit aj ∈ Cc (OX , C), bj ∈ Cc (OY , C) für j ∈ {1, . . . , m}. Man definiere aj : X −→ C, bj : Y −→ C durch   aj (x) für x ∈ OX bj (y) für y ∈ OY bzw. bj (y) := aj (x) := 0 sonst 0 sonst. Es folgt aj ∈ Cc (X, C), bj ∈ Cc (Y, C) für jedes j = 1, . . . , m, |f − g| ≤ εχK mit g :=

m 

aj ⊗ bj ∈ Cc (X, C) ⊗ Cc (Y, C).

j=1

Wegen Cc (X, C) ⊗ Cc (Y, C) ⊆ Cc (X × Y, C)  4.3, A 17 (b)  folgt hieraus insbesondere die behauptete Dichtigkeit. ✷

Aufgaben zu 4.4 1. (Q, τ| | |Q) ist nicht lokalkompakt. 2. (X, τ) sei ein topologischer Raum, x∗ ∈ X, X ∗ := X ∪ {x∗ } und τ ∗ := τ ∪ { O ⊆ X ∗ | X ∗ \O ∈ ατ kompakt }.

4.4 Lokalkompakte Räume, Kompaktifizierungen

353

Man zeige: (a)

(X ∗ , τ ∗ ) ist kompakter topologischer Raum und τ ∗ |X = τ.

(b) Äq (i) (ii)

(X, τ) kompakt x∗ ist isolierter Punkt in (X ∗ , τ ∗ ).

1 3. Es sei i : N −→ R definiert durch i(k) := k+1 .   (i[N] ∪ {0}, τ| | |i[N] ∪ {0}), i ist T2 -Kompaktifizierung von (N, τdis ) und

(i[N] ∪ {0}, τ| | |i[N] ∪ {0}) ∼ = (N∗ , τ ∗ ). top.

4. ((C∗ , τ|∗| ), idC ) sei die Einpunktkompaktifizierung von (C, τ| | ) gem. 4.4-7 (a). Man zeige: (C ∗ , τ|∗| ) ∼ (Riemannsche Zahlenkugel). = (S 2 , τ  |S 2 ) top.

(Hinweis: A 5) 5. (X, τ) sei lokalkompakter T2 -Raum mit der Einpunktkompaktifizierung ((X ∗ , τ ∗ ), idX ), (Y, σ) ein kompakter T2 -Raum, y0 ∈ Y und h : Y \{y0 } −→ X ein (σ|Y \{y0 }, τ)Homöomorphismus. Man zeige: ϕ : Y −→ X ∗ , ϕ(y0 ) := x∗ , ϕ
(Y \{y0 }) := h, ist ein (σ, τ ∗ )-Homöomorphismus. 6. (X, τ) sei ein topologischer Raum. Äq (i)

(X, τ) vollständig regulär

(ii) ∃ ((Y, σ), h) : ((Y, σ), h) T2 -Kompaktifizierung von (X, τ) (s. auch 4.3-8.1) 7. Jeder lokalkompakte T2 -Raum ist ein Baire-Raum. 8. (X, τ) sei ein lokalkompakter T2 -Raum, der nicht kompakt ist, ((X ∗ , τ ∗ ), idX ) Einpunktkompaktifizierung von (X, τ) und f ∈ Cc (X, C). Es gibt genau eine stetige Fortsetzung f ∗ ∈ C(X ∗ , C) von f (s. auch A 19). 9. Für alle m, n ≥ 2 besitzt (Rn , τ  ) keine T2 -m-Punktkompaktifizierung. 10. # (X, τ) sei ein lokalkompakter T2 -Raum, K ⊆ X kompakt, (O1 , . . . , Om ) ∈ τ m , m j=1 Oj ⊇ K. #m Für jedes j ∈ {1, . . . , m} gibt es ein kompaktes Kj ⊆ K ∩ Oj , so daß j=1 Kj = K gilt. 11. (X, τ) sei ein lokalkompakter T3 -Raum, X = ∅. Äq (i)

(Cc (X, C),  ∞ ) C-Banach-Algebra

(ii) (X, τ) kompakt (iii) C0 (X, C) hat ein Einselement (s. auch (4.3,3) (b)) (Hinweis: Man verwende 4.4-2.2!)

4 Kompakte topologische Räume

354

12. (X, (O1 , . . . , Om ) ∈ τ m , c (X, C), #m τ) sei ein lokalkompakter T2 -Raum, f ∈ C m m j=1 Oj ⊇ Tr f . Es gibt (f1 , . . . , fm ) ∈ Cc (X, C) mit f = j=1 fj und Tr f ⊆ Oj für jedes j ∈ {1, . . . , m}. (Hinweis: 4.4-14 und A 10.) 13. (X, τ) sei ein lokalkompakter T3 - und A2 -Raum. (X, τ) ist σ-kompakt und jede offene Menge O ∈ τ eine Fσ -Menge. 14. Für die topologischen Räume (N, τdis ), (Q, τ| | |Q) und (R, τ| | ) beweise man die Existenz surjektiver Funktionen ϕ : βN −→ βQ und ψ : βQ −→ βR. 15. (X, τ) sei ein lokalkompakter T2 -Raum, K ⊆ X kompakt und f ∈ Cc (X, R). (a)

∀ r > 0 : { x ∈ X | f (x) ≥ r } kompakte Gδ -Menge in (X, τ)

(b) ∀ O ∈ τ : K ⊆ O ⇒ ∃ G ∈ Uτ (K) : G ⊆ O, G kompakte Gδ -Menge in (X, τ) K Gδ -Menge

=⇒

∃ g ∈ Cc (X, [0, 1]) : K = { x ∈ X | g(x) = 0 }

(d) K Gδ -Menge

=⇒

∃ g ∈ Cc (X, [0, 1]) : K = { x ∈ X | g(x) = 1 }

(c)

16. (X, τ), (Y, σ) seien lokalkompakte T2 -Räume, A := Cc (X, C) ⊗ Cc (Y, C). Es gilt: (a)

A trennt Punkte in X × Y

(b) ∀ f ∈ A : f ∈ A (c)

∀ (x, y) ∈ X × Y ∃ f ∈ A : f ((x, y)) = 0

17. ( (Xi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie nichtleerer topologischer Räume.  % Äq (i) i∈I Xi , i∈I τi σ-kompakt (ii) ∀ i ∈ I : (Xi , τi ) σ-kompakt und { i ∈ I | (Xi , τi ) nicht kompakt } endlich ˇ 18. ((βX, βτ), e) sei die Stone-Cech-Kompaktifizierung des vollständig regulären Raums (X, τ). Äq (i)

(βX, βτ) zusammenhängend

(ii) (X, τ) zusammenhängend (Hinweis: 2.4-4, 4.4-10) 19. (X, τ) sei ein lokalkompakter T2 -Raum, der nicht kompakt ist, ((X ∗ , τ ∗ ), idX ) Einpunktkompaktifizierung von (X, τ) und f ∈ C(X, C). Äq (i)

∃ F ∈ C(X ∗ , C) : F
X = f

(ii) ∀ ε > 0 ∃ K ⊆ X : K kompakt, ∀ x, y ∈ X\K : |f (x) − f (y)| < ε

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume Beispiel (3.1,2) (d) zeigt, daß der (halb)normierte R-Vektorraum (CR ([a, b]),  q ) für q ∈ R, q ≥ 1, kein R-Banach-Raum ist und daher gem. 3.2-6 eine echte Vervoll   ([a, b]), 4 q , ˆı besitzt. Der Versuch, für CR ([a, b]) die Menge der ständigung CR 4 Riemann-integrierbaren Funktionen R([a, b]), für  q die durch das Riemann-Integral

definierte Halbnorm  q und für ˆı die Identität idCR ([a,b]) zu verwenden, um eine „natürliche“ Vervollständigung zu erhalten, führt nicht zum Erfolg (s. (3.2,3)). Unter Verwendung eines leistungsfähigeren Integralbegriffs (Lebesgue, 1901) gelangt man auf diesem Wege jedoch an das gewünschte Ziel (s. (5.4,5)). Dazu sei zunächst daran erinnert, daß das Riemann-Integral beschränkter Funktionen f : [a, b] −→ R mit Hilfe Darbouxscher Unter- und Obersummen zu Zerlegungen ihres Definitionsbereichs [a, b] erklärt wird (s. (1.2,5)). Zerlegt man dagegen jeweils das den Bildbereich von   f : [a, b] −→ R+ umfassende Intervall [inf f, sup f ], etwa durch Z = z0 , . . . , znZ , und bildet die „Lebesguesche Untersumme“  Z −→ R   a,b n −2 Z  ' '  &  & LU (f ) := zj m f −1 [zj , zj+1 [ + znZ −1 m f −1 [znZ −1 , znZ ] , Z −  →   j=0

& ' −1 [z , z [ bzw. wobei m in geeigneter Weise die „Größe“ der Teilmengen f j j+1 & ' −1 f [znZ −1 , znZ ] mißt, so erhält man durch die Forderung ∃ r ∈ R : LU (f ) →τ | | r einen geeigneten Integralbegriff. Die hierbei auftretende offensichtliche Schwierigkeit besteht in der Definition einer passenden, d. h. mit der Anschauung 'übereinstimmen& −1 [z , z [ bzw. den 'Größenfunktion m, denn die zu messenden Urbildmengen f j j+1 & f −1 [zj , zj+1 ] sind i. a. keine Intervalle, denen man als Größe natürlich ihre Länge zuordnen würde, sondern u. U. äußerst komplizierte Mengen. Beispielsweise würde sich für die durch  0 für t ∈ Q ∩ [a, b] f (t) := 1 sonst definierte Funktion f : [a, b] −→ R+ ergeben: & & ' ' f −1 [0, 12 [ = [a, b] ∩ Q und f −1 [ 12 , 1] = [a, b]\Q.

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

356

Bevor gem. obiger Beschreibung festgestellt werden kann, ob eine Funktion integrierbar ist, muß daher eine Größenmessung m für gewisse Teilmengen von [a, b] vereinbart werden. Natürlich erscheinende Forderungen an m sind neben dem Wunsch, möglichst viele Teilmengen messen zu können, die, daß Intervalle ihre Länge als Größe erhalten, die Vereinigung (abzählbar vieler) paarweise disjunkter Mengen als Größe die evtl. uneigentliche Summe der Größen der zu vereinigenden Mengen hat und schließlich die Größe einer Menge sich beim Verschieben nicht ändert (Translationsinvarianz von m für Teilmengen von R). Die Verifikation dieser Forderungen führt zum Lebesgueschen Maßraum (5.1) und zum Lebesgueschen Integralbegriff (5.2, 5.3). Abschnitt 5.4 enthält die Lösung des eingangs dieses Kapitels aufgeführten Problems der Konstruktion einer Vervollständigung von (CR ([a, b]), k kq ) in Form eines durch eine Integralnorm k kq normierten Raums von zur q-ten Betragspotenz integrierbaren Funktionen (sog. Lq -Räume).

5.1 Maßräume, Lebesguesches Maß auf Rn Die pseudometrischen bzw. topologischen Fragestellungen wurden in den Kapiteln 1 bis 4 nicht speziell für Intervalle [a, b] behandelt, sondern in einem sehr viel umfangreicheren Rahmen. Ebenso lassen sich bei der in diesem Kapitel anstehenden Problematik die Sachverhalte überwiegend allgemein formulieren und beweisen, ohne daß dafür ein wesentlicher Mehraufwand erforderlich wäre. Definitionen X sei eine Menge, A ⊆ PX. A (Mengen-)Algebra über X

:gdw

X ∈ A, ∀ A, B ∈ A : A ∪ B ∈ A, X\A ∈ A

A σ-Algebra über X

:gdw

A Algebra über X, ∀ (Aj )j∈N ∈ AN :

(X, A) meßbarer Raum

:gdw

[

j∈N

Aj ∈ A

A σ-Algebra über X

Die Elemente einer σ-Algebra heißen meßbare Mengen. Beispiele (5.1,1) (a)

A sei eine Algebra über X, A, B ∈ A. Dann ist ∅ = X\X ∈ A, A ∩ B = X\((X\A) ∪ (X\B)) ∈ A und A\B = A ∩ (X\B) ∈ A.

(b) PX ist die größte, {∅, X} die kleinste (σ-)Algebra über X. Da der Durchschnitt von (σ-)Algebren eine (σ-)Algebra ist, existiert für jedes S ⊆ PX die kleinste (σ-)Algebra A(σ) (S), die S enthält (die sog. von S erzeugte (σ-)Algebra).

5.1 Maßräume, Lebesguesches Maß auf Rn (c)

357

Für jeden topologischen Raum (X, τ) heißt Aσ (τ) Borel-σ-Algebra über (X, τ), die Elemente von Aσ (τ) sind die Borel-Mengen in (X, τ). Über (R, τ| | ) sei I die Menge aller offenen Intervalle,     C+ := [a, ∞[ a ∈ R , H+ := ]a, ∞[ a ∈ R ,     H− := ]−∞, a[ a ∈ R , C− := ]−∞, a] a ∈ R . Dann gilt Aσ (τ| | ) = Aσ (I) A 1 = Aσ (H+ ) = Aσ (C+ ) = Aσ (H− ) = Aσ (C− ) :   Wegen Aσ (τ| | ) = Aσ ατ | | ist Aσ (τ| | ) ⊇ Aσ (H+ ) ∪ Aσ (C+ ) ∪ Aσ (H− ) ∪ Aσ (C− ). Umgekehrt erhält man beispielsweise (Rest analog!) für C− : & & 1 −∞, b − j+1 ∈ Aσ (C− ) ]−∞, b[ = ]a, ∞[ = R\]−∞, a] ∈ Aσ (C− ), j∈N

und daher ]a, b[ ∈ Aσ (C− ) für alle a, b ∈ R ∪ {∞, −∞}, woraus Aσ (τ| | ) ⊆ Aσ (C− ) folgt  2.3-5 .

Definitionen (X, A) sei ein meßbarer Raum, µ : A −→ R+ ∪ {∞}. µ Maß auf X

:gdw µ(∅) = 0 und ∀ (Aj )j ∈ AN :    ∀ i, j ∈ N : i = j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅ ⇒ µ

 Aj j∈N

=

∞ 

µ(Aj )

j=0

(σ-Additivität) (X, A, µ) heißt dann Maßraum, µ(A) ist die gewünschte (eventuell uneigentliche) Größe der Menge A ∈ A. Beispiele (5.1,2) (X, A) sei ein meßbarer Raum. Die folgenden Funktionen sind Maße auf X:
A −→ R+ ∪ {∞} µ0 : (triviales Maß) A −→ 0  R+ ∪ {∞}   A −→  |A| für A endlich (Zählmaß) µZ :   A −→ ∞ sonst  R+ ∪ {∞}   A −→  0 für x0 ∈ A µ(x0 ) : (Dirac-Maß bei x0 ∈ X)   A −→ 1 für x ∈ A 0

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

358

Einige elementare Eigenschaften von Maßen enthält Satz 5.1-1 (X, A, µ) sei ein Maßraum. (a) ∀ A, B ∈ A : A ⊆ B ⇒ µ(A) ≤ µ(B),

(Monotonie)

µ(A) < ∞ ⇒ µ(B\A) = µ(B) − µ(A) #  (b) ∀ (Aj )j ∈ AN : µ j∈N Aj ≤ ∞ j=0 µ(Aj )

(σ-Subadditivität)   # (c) ∀ (Aj )j ∈ AN : (Aj )j monoton wachsend ⇒ µ j∈N Aj = limj µ(Aj ) (d) ∀ (Aj )j ∈ AN : (Aj )j monoton fallend, µ(A0 ) < ∞$  ⇒ µ j∈N Aj = limj µ(Aj ) Beweis

Zu (a) Aus B = A ∪ (B\A) folgt µ(B) = µ(A) + µ(B\A) ≥ µ(A). # Zu (b), (c) Man setze A
0 := A0 und A
j+1 := Aj+1 \ jk=0 Ak . Es ist (A
j )j ∈ AN # # paarweise disjunkt, j A
j = j Aj ,      ∞ ∞ 

Aj = µ Aj = µ(Aj ) ≤ µ(Aj )  (a) , µ j∈N

j=0

j∈N

j=0

und für monoton wachsende (Aj )j gilt ∞ 

µ(A
j )

= lim k

j=0

k 

µ(A
j )

j=0

 = lim µ k

k

A
j

 = lim µ(Ak ). k

j=0

Zu (d) Gemäß (a) gilt       Aj = µ A0 \ Aj = µ µ(A0 ) − µ j

j

 (A0 \Aj ) j

= lim µ(A0 \Aj )

 (c) 

= lim(µ(A0 ) − µ(Aj ))

 (a) 

j j

= µ(A0 ) − lim µ(Aj ),  $ also µ j Aj = limj µ(Aj ).

j

Beispiele (5.1,3) (a)

In 5.1-1 (b) gilt i. a. nicht das Gleichheitszeichen:

✷

5.1 Maßräume, Lebesguesches Maß auf Rn

359

(X, A) sei ein meßbarer Raum, x0 ∈ X, µ(x0 ) das Dirac-Maß bei x0 , A, B ∈ A mit x0 ∈ A ∩ B. Dann ist µ(x0 ) (A ∪ B) = 1 = 2 = µ(x0 ) (A) + µ(x0 ) (B). (b) In 5.1-1 (d) darf die Voraussetzung „µ(A0 ) < ∞“ nicht fehlen: man Aj := { k ∈ N | k ≥ j } für j ∈ N. Es gilt Im $µZ ) betrachte  $ Maßraum (N, PN, = 0, aber µZ (Aj ) = ∞ für jedes j ∈ N. A = ∅, also µ A Z j j j j

Die Konstruktion von Maßen (einschließlich der σ-Algebra, auf der sie definiert sind) kann mit Hilfe äußerer Maße erfolgen. Definition X sei eine Menge, µä : PX −→ R+ ∪ {∞}. µä äußeres Maß auf X

:gdw

∀ A, B ∈ PX : A ⊆ B ⇒ µä (A) ≤ µä (B),    ∞ N Aj ≤ µä (Aj ) ∀ (Aj )j ∈ (PX) : µä µä (∅) = 0,

j∈N

j=0

Beispiele (5.1,4) (Äußeres Lebesgue-Maß auf R) (a)

Für jedes beschränkte Intervall ∅ = I ⊆ R mit den Endpunkten a, b bezeichne +(I) := b − a die Länge von I, +(∅) := 0 und für jede Folge (Ij )j∈N beschränkter Intervalle Ij sei ∞  L((Ij )j ) := +(Ij ) ∈ R+ ∪ {∞} j=0

die totale Länge von (Ij )j . Man definiere λä : PR −→ R+ ∪ {∞} durch  λä (S) := inf L((Ij )j ) ∀ j ∈ N : Ij ∈ τ| | beschränktes Intervall,

Ij ⊇ S .

j∈N

λä heißt äußeres Lebesgue-Maß auf R und ist ein äußeres Maß auf R: N λä (∅) ≤ +(∅) = 0, also λä (∅) # = 0. Für alle S,#T ⊆ R, S ⊆ T , jede Folge (Ij )j ∈ τ| | beschränkter Intervalle mit j∈N Ij ⊇ T ist j∈N Ij ⊇ S, also λä (T ) ≥ λä (S). Zum ∞ Nachweis der σ-Subadditivität von λä sei (Sj )j ∈ (PR)N , o. B. d. A. j=0 λä (Sj ) < ∞   und ε > 0. Für jedes j ∈ N wähle man eine Folge I(j,k) k∈N ∈ τ|N| beschränkter # Intervalle mit Sj ⊆ k∈N I(j,k) und

   L I(j,k) k < λä (Sj ) +

ε . 2j+1

  Sei β : N −→ N × N bijektiv. Iβ(i) i∈N ∈ τ|N| ist eine Folge beschränkter Intervalle, die

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

360 # j∈N

Sj ⊆

#

i∈N Iβ(i)

und

∞  ∞  ∞       L (Iβ(i) )i = + I(j,k) ≤ λä (Sj ) +

erfüllt. Es folgt λä

#

j=0 k=0 j∈N

j=0

ε  2j+1

 ∞ Sj ≤ j=0 λä (Sj ).

=

∞ 

λä (Sj ) + ε

j=0

Weiter gilt: (i)

∀ S ⊆ R : S abzählbar ⇒ λä (S) = 0: Sei ε > 0, S = { sj | j ∈ N } und # Ij ∈ τ| | ein beschränktes ∞Intervall mit sj ∈ Ij , +(Ij ) = ε/(2j+1 ). Dann ist S ⊆ j∈N Ij und L((Ij )j ) = j=0 +(Ij ) = ε, woraus λä (S) = 0 folgt.

(ii) ∀ I ⊆ R : ∅ = I beschränktes Intervall mit Endpunkten a, b ⇒ λä (I) = b − a: Wegen λä (]a, b[) ≤ λä (I) ≤ λä ([a, b]) ≤ λä ({a} ∪ {b} ∪ ]a, b[) ≤ λä (]a, b[)  gem. (i)  kann I = [a, b] und λä (I) ≤ b − a angenommen werden. Sei (Ij )j ∈ τ|N| eine Folge # beschränkter Intervalle mit [a, b] ⊆ j∈N Ij . Da ([a, b], τ| | |[a, b]) kompakt ist, gibt   #r r es j1 , . . . , jr ∈ N mit [a, b] ⊆ k=1 Ijk , also b − a = +([a, b]) ≤ k=1 + Ijk ≤ L((Ij )j ). Man erhält λä ([a, b]) ≥ b − a. (iii) ∀ I ⊆ R : I unbeschränktes Intervall ⇒ λä (I) = ∞: # Sei o. B. d. A. I = ]−∞, a], also I = j∈N [a − (j + 1), a]. Wegen der Monotonie von λä folgt nach (ii) λä (I) ≥ λä ([a − (j + 1), a]) = j + 1 für jedes j ∈ N. (b) Analog, wenn auch mit größerem Aufwand, erhält man das äußere Lebesgue-Maß λn,ä auf Rn für n ≥ 2 mit Hilfe von Quadern anstelle der Intervalle (A 4): Für j = 1, . . . , n sei Ij ⊆ [aj , bj ] ∩ R ein Intervall mit den Endpunkten aj , bj in R ∪ {−∞, ∞}. Das direkte Produkt Q :=

n 

Ij

j=1

heißt n-Quader, v(Q) :=

n 

+(Ij ) ∈ R+ ∪ {∞}

j=1

n-Volumen von Q, wobei v(∅) := 0 und 0 · ∞ := ∞ · 0 := 0 zu setzen ist (Anhang 1-37). Für jede Folge (Qj )j∈N (in (Rn , d  )) beschränkter Quader Qj sei V ((Qj )j ) :=

∞ 

v(Qj )

j=0

das totale n-Volumen von (Qj )j . Man definiere λn,ä : PRn −→ R+ ∪ {∞} durch 

Qj ⊇ S . λn,ä (S) := inf V ((Qj )j ) ∀ j ∈ N : Qj ∈ τ  beschr. n-Quader, j∈N

5.1 Maßräume, Lebesguesches Maß auf Rn

361

n λn,ä heißt äußeres Lebesgue-Maß auf Rn und ist ein äußeres %n Maß auf R . Für jeden beschränkten n-Quader Q gilt λn,ä (Q) = v(Q). Ist Q = j=1 Ij unbeschränkt, wobei Ij ⊆ [aj , bj ] ∩ R Intervall mit den Endpunkten aj , bj ∈ R ∪ {−∞, ∞}, aj < bj für jedes j ∈ {1, . . . , n} ist, so erhält man λn,ä (Q) = v(Q) = ∞.

Definition µä sei ein äußeres Maß auf der Menge X, S ⊆ X. S meßbar (bzgl. µä )

:gdw

∀ T ∈ PX : µä (T ) = µä (S ∩ T ) + µä ((X\S) ∩ T ) Meßbare Mengen S zerlegen jede Teilmenge von X in zwei Teile, deren Summe der äußeren Maße gerade das äußere Maß von S ergibt. Wegen der Subadditivität äußerer Maße gilt „≤“ in der Meßbarkeitsbedingung immer. Für µä (T ) = ∞ folgt daher Gleichheit. Infolgedessen ist S dann und nur dann meßbar, wenn ∀ T ∈ PX : µä (T ) < ∞ ⇒ µä (T ) ≥ µä (S ∩ T ) + µä ((X\S) ∩ T ) erfüllt ist. Beispiel (5.1,5) µä sei ein äußeres Maß auf X, S, T ∈ PX. (a)

µä (S) = 0 oder µä (X\S) = 0 =⇒ (Speziell sind ∅ und X meßbar!):

S meßbar (bzgl. µä )

Wegen der Monotonie von µä ist µä (S ∩ T ) = 0 oder µä ((X\S) ∩ T ) = 0, also µä (T ) ≥ µä (S ∩ T ) + µä ((X\S) ∩ T ) wiederum aus Monotoniegründen. (b) S meßbar (bzgl. µä ) (c)

S, T meßbar (bzgl. µä )

=⇒ =⇒

X\S meßbar (bzgl. µä ) S ∪ T meßbar (bzgl. µä ):

Für alle R ∈ PX gilt wegen der Meßbarkeit von S: µä (R ∩ (S ∪ T )) = µä (R ∩ (S ∪ T ) ∩ S) + µä (R ∩ (S ∪ T ) ∩ (X\S)) = µä (R ∩ S) + µä (R ∩ T ∩ (X\S)), also   µä (R ∩ (S ∪ T )) + µä R ∩ (X\(S ∪ T )) = µä (R ∩ S) + µä (R ∩ T ∩ (X\S)) + µä (R ∩ (X\S) ∩ (X\T )) = µä (R ∩ S) + µä (R ∩ (X\S))  T meßbar  = µä (R)  S meßbar .

Mµä := { S ∈ PX | S meßbar (bzgl. µä ) } ist gem. (5.1,5) (a), (b), (c) eine Algebra über X. Darüber hinaus gilt sogar

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

362 Satz 5.1-2

  Für jedes äußere Maß µä auf der Menge X ist X, Mµä , µä
Mµä ein Maßraum, der durch µä induzierte Maßraum. Beweis Sei (Aj )j ∈ MN µä o. B. d. A. paarweise disjunkt; sonst setze man wie im Beweis zu #
5.1-1 (b), (c) A0 := A0 , A
j+1 := Aj+1 \ jk=0 Ak . Da Mµä eine Algebra über X ist, folgt A
j ∈ Mµä für jedes j ∈ N. Mit Hilfe vollständiger Induktion über n erhält man ∀ n ∈ N ∀ T ∈ PX : µä (T ) =

n 



n 

µä (T ∩ Aj ) + µä T ∩

j=0

 (X\Aj ) .

(∗)

j=0

Für n = 0 gilt (∗), da A0 meßbar ist. Wegen der Meßbarkeit von An+1 ist     n n   (X\Aj ) = µä An+1 ∩ T ∩ (X\Aj ) µä T ∩ j=0

j=0



+ µä (X\An+1 ) ∩ T ∩

n 

 (X\Aj )

j=0



= µä (An+1 ∩ T ) + µä T ∩

n+1 

 (X\Aj ) ,

j=0

nach Induktionsvoraussetzung somit µä (T ) =

n+1 

 µä (T ∩ Aj ) + µä T ∩

n+1 

j=0

 (X\Aj ) .

j=0

Aus (∗) folgt weiter mit der Monotonie von µä µä (T ) ≥

n 

 µä (T ∩ Aj ) + µä T ∩

j=0



 (X\Aj )

j∈N

für jedes T ∈ PX, n ∈ N, also µä (T ) ≥

∞ 







µä (T ∩ Aj ) + µä T ∩ X\

j=0

 ≥ µä T ∩

 Aj j∈N

 + µä

Aj j∈N

 T ∩ X\

 Aj

j∈N

(∗∗)

5.1 Maßräume, Lebesguesches Maß auf Rn

363

 σ-Subadditivität . Mµä ist daher eine σ-Algebra über X  (5.1,5) , und speziell für # T := j∈N Aj erhält man aus (∗∗)       ∞ ∞ Aj ≥ µä (Aj ) + µä (∅), also µä Aj = µä (Aj ) µä j∈N

j=0

j∈N

j=0

 µä (∅) = 0, σ-Subadditivität .

✷

Beispiele (5.1,6) (a)

λä sei das äußere Lebesgue-Maß auf R (s. (5.1,4) (a)).   (R, Λ, λ) := R, Mλä , λä
Mλä heißt Lebesguescher Maßraum über R. Bzgl. λä ist jede Borel-Menge in (R, τ| | ) meßbar, d. h. Aσ (τ| | ) ⊆ Λ: Es sei a ∈ R, T ⊆ R, λä (T ) < ∞. Zum Nachweis der Meßbarkeit von ]−∞, a] (vgl. (5.1,1) (c)) muß λä (T ) ≥ λä (T ∩ ]−∞, a]) + λä (T ∩ ]a, ∞[) gezeigt werden. Sei ε > 0, (Ij )j ∈ τ|N| eine Folge beschränkter Intervalle mit # − j∈N Ij ⊇ T und L((Ij )j ) < λä (T ) + ε. Für jedes j ∈ N sind Ij := Ij ∩ ]−∞, a] + und Ij := Ij ∩ ]a, ∞[ disjunkte Intervalle (evtl. leer), man kann daher beschränkte − + j+1 Intervalle Lj ∈ τ| | finden, für die # Ij ⊆ Lj und +(Lj ) +#+(Ij ) ≤ +(Ij ) + ε/(2 ) gilt. Es folgt T ∩ ]−∞, a] ⊆ j∈N (Ij ∩ ]−∞, a]) ⊆ j∈N Lj und T ∩ ]a, ∞[ ⊆ # # ∞ ∞ + λä (T ∩ ]−∞, a]) ≤ j=0 λä (Lj ) = j=0 +(Lj ) j∈N (Ij ∩ ]a, ∞[) = j∈N Ij , also ∞  (5.1,4) (a)  und λä (T ∩ ]a, ∞[) ≤ j=0 +(Ij+ ). Hiermit erhält man ∞ ∞   + λä (T ∩ ]−∞, a]) + λä (T ∩ ]a, ∞[) ≤ (+(Lj ) + +(Ij )) ≤ ε + +(Ij ) j=0

j=0

< λä (T ) + 2ε. (b) Analog zu (a) heißt

  (Rn , Λn , λn ) := Rn , Mλn,ä , λn,ä
Mλn,ä

für n ≥ 1 Lebesguescher Maßraum über Rn . Es ist somit (R, Λ1 , λ1 ) = (R, Λ, λ). n )  A 5 , wobei Mit Hilfe von Aσ (τ  ) = Aσ (C−
  n n C− := ]−∞, aj ] (a1 , . . . , an ) ∈ Rn j=1

bezeichnet, erhält man wie in (a) Aσ (τ  ) ⊆ Λn  A 6 .

  In durch äußere Maße µä auf X induzierten Maßräumen X, Mµä , µä
Mµä sind Teilmengen von Mengen vom Maß Null wieder meßbar  (5.1,5) (a)  und haben somit das Maß Null.

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

364 Definition (X, A, µ) sei ein Maßraum. (X, A, µ) vollständig

:gdw

∀ S ∈ PX ∀ A ∈ A : S ⊆ A, µ(A) = 0 ⇒ S ∈ A Dann heißt auch µ vollständig. Insbesondere sind die Lebesgueschen Maßräume (Rn , Λn , λn ), n ≥ 1 vollständig. Satz 5.1-3 (X, A, µ) sei ein vollständiger Maßraum, S, T , A ⊆ X, S, A ∈ A, µ(A) = 0. Liegt die symmetrische Differenz T ; S in A, so ist T ∈ A, und es gilt µ(T ) = µ(S). Beweis Wegen der Vollständigkeit von (X, A, µ) und (T \S) ∪ (S\T ) = T ; S ⊆ A ist T \S, S\T ∈ A. Es folgt T = (S ∪ (T \S))\(S\T ) ∈ A und µ(T ) = µ(S ∪ (T \S)) − µ(S\T ) = µ(S) + µ(T \S) = µ(S)

 5.1-1 (a), µ(S\T ) = 0   µ(T \S) = 0 .

✷

Die Lebesgueschen Maßräume wurden mit Hilfe der Topologie τ  des Rn (offene n-Quader bzw. Intervalle) konstruiert. Dabei sind alle kompakten Teilmengen (als abgeschlossene Mengen) meßbar und haben ein endliches Lebesgue-Maß, weil sie jeweils bereits durch endlich viele beschränkte offene n-Quader (bzw. Intervalle) überdeckt werden können und deren Maß endlich ist. Darüber hinaus (s. (5.1,7)) sind für die Analysis wichtige Approximationsmöglichkeiten durch kompakte bzw. offene Teilmengen gegeben, s. (R-3), (R-4) in der folgenden Definition (X, τ) sei ein T2 -Raum, Kτ := { C ⊆ X | (C, τ|C) kompakt } und (X, A, µ) ein Maßraum. (X, A, µ) regulär (bzgl. τ) :gdw µ erfüllt (R-1)

τ⊆A

(R-2)

∀ C ∈ Kτ : µ(C) < ∞

(R-3)

∀ O ∈ τ : µ(O) = sup{ µ(C) | C ∈ Kτ , C ⊆ O } (Innenregularität)

(R-4)

∀ A ∈ A : µ(A) = inf{ µ(O) | O ∈ τ, A ⊆ O }

(Außenregularität)

5.1 Maßräume, Lebesguesches Maß auf Rn

365

In diesem Fall nennt man auch µ regulär. Erfüllt das Maß µ (R-1) und (R-2), so heißt µ
Aσ (τ) Borel-Maß auf (X, τ). Beispiele (5.1,7) (a)

Das Lebesgue-Maß λ auf R ist regulär: (R-1)  gem. (5.1,6) (a)  und (R-2)  s. o.  sind erfüllt. Sei A ∈ Λ, λ(A) < ∞  Für λ(A) = ∞ ist (R-4) wegen der Monotonie von λ richtig! #  und ε > 0. Man wähle eine Folge (Ij )j ∈ τ|N| beschränkter Intervalle mit P := j∈N Ij ⊇ A und L((Ij )j ) < λ(A) + ε. Wegen λ(P ) ≤ L((Ij )j ) folgt inf{ λ(O) | O ∈ τ, O ⊇ A } ≤ λ(A)  ε > 0 ist beliebig vorgegeben  und somit (R-4). (R-3) gilt hier für beliebige Mengen O ∈ Λ. Zur Begründung genügt (wieder aus   Monotoniegründen) λ(O) ≤ sup µ(C) C ∈ Kτ | | , C ⊆ O : Zunächst sei O beschränkt in (R, d| | ), ε > 0 und A ∈ ατ | | beschränkt, O ⊆ A. Gem. (R-4) existiert ein P ∈ τ| | , A\O ⊆ P und λ(P ) < λ(A\O) + ε. Weiter ist C := A\P ∈ ατ | | ∩ Kτ | |  C ist beschränkt!  und A ⊆ C ∪ P , also λ(A) ≤ λ(C) + λ(P ). Es folgt C ⊆ O und wegen  λ(O) − ε < λ(A) − λ(P ) ≤ λ(C),  λ(O) < ∞ und 5.1-1 (a) auch also λ(O) ≤ sup λ(K) K ∈ Kτ | | , K ⊆ O . Ist O unbeschränkt in (R, d| | ), r ∈ R, r < λ(O), so erhält man für die Mengen Oj := O ∩ ]−j  −1, j + 1[, j ∈ N, gem. 5.1-1 (c) λ(O) = limj λ(Oj ). Es gibt daher ein j0 ∈ N mit λ Oj0 > r. Man wähle nun  s. o.  ein Cj0 ∈ Kτ | | mit Cj0 ⊆ Oj0 und λ Cj0 > r.   Da r < λ(O) beliebig vorgegeben ist, folgt sup λ(K) K ∈ Kτ | | , K ⊆ O ≥ λ(O).

(b) Verwendet man in (a) n-Quader anstelle von Intervallen, so erhält man völlig analog die Regularität von λn auf Rn für n ≥ 2.

Die in (5.1,7) getroffene Feststellung, daß im Lebesgueschen Maßraum (Rn , Λn , λn ) für n ≥ 1 die Innenregularität (R-3) des Maßes sogar für beliebige meßbare Mengen zutrifft, kann allgemein auch für reguläre Maße auf T2 -Räumen zumindest für meßbare Mengen endlichen Maßes erfolgen (s. 5.1-4 (a)). Darüber hinaus sind meßbare Mengen, die Vereinigung abzählbar vieler meßbarer Mengen endlichen Maßes sind (sog. σ-endliche Mengen), vom Maße her durch σ-kompakte Teilmengen und offene Obermengen approximierbar (s. 5.1-4 (b)). Satz 5.1-4 (X, τ) sei ein T2 -Raum, (X, A, µ) regulärer Maßraum. (a) ∀ A ∈ A : µ(A) < ∞ ⇒ µ(A) = sup{ µ(C) | C ∈ Kτ , C ⊆ A } (b) ∀ ε > 0 ∀ A ∈ A : A σ-endlich ⇒ ∃ K ⊆ X ∃ O ∈ τ : (K, τ|K) σ-kompakt, K ⊆ A ⊆ O, µ(O\K) < ε

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

366 Beweis

Zu (a) Sei ε > 0 und gem. (R-4) O ∈ τ mit A ⊆ O, µ(O) < µ(A) + (ε/2). Wegen µ(O\A) = µ(O) − µ(A) < ε/2  5.1-1 (a)  existiert (wiederum nach (R-4)) ein P ∈ τ mit O\A ⊆ P , µ(P ) < ε/2. Nach (R-3) wähle man ein K ∈ Kτ , K ⊆ O, µ(K) > µ(O) − (ε/2). Dann ist K\P ∈ Kτ , K\P ⊆ A und µ(K\P ) = µ(K) − µ(P ) > µ(O) − (ε/2) − µ(P ) > µ(O) − ε ≥ µ(A) − ε, also µ(A) ≤ sup{ µ(C) | C ∈ Kτ , C ⊆ A }. # Zu (b) Sei (Aj )j ∈ AN , ε > 0, A = j∈N Aj und µ(Aj ) < ∞ für jedes j ∈ N. Nach (R-4) und (a) existieren für jedes j ∈ N Mengen Kj ∈ Kτ , Oj ∈ τ mit ε ε Kj ⊆ #Aj ⊆ Oj , µ(Kj ) > µ(Aj#) − 2j+3 und µ(Oj ) < µ(Aj ) + 2j+3 . Dann ist K := j∈N Kj σ-kompakt, O := j∈N Oj ∈ τ, K ⊆ A ⊆ O und  µ(O\K) = µ

 Oj \ j∈N

Kj j∈N

  ∞ (Oj \Kj ) ≤ µ(Oj \Kj )

 ≤µ

=

j=0 ∞  j=0

j=0

j∈N

∞ ∞    (µ(Oj ) − µ(Kj )) ≤ µ(Aj ) + = j=0

ε 2j+3

 − µ(Aj ) −

ε  2j+3

ε ε = < ε. 2j+2 2

✷

Korollar 5.1-4.1 (X, τ) sei ein T2 -Raum, (X, A, µ) regulärer Maßraum. (a) ∀ A ∈ A : A σ-endlich ⇒ µ(A) = sup{ µ(C) | C ∈ Kτ , C ⊆ A } (b) ∀ A ∈ A : A σ-endlich ⇒ ∃ G, S ⊆ X : G Gδ -Menge, (S, τ|S) σ-kompakt, S ⊆ A ⊆ G und µ(G\S) = 0 Beweis Zu (a) Sei (Aj )j ∈ AN , für jedes j ∈ N. Es folgt

#

j∈N Aj

= A, µ(Aj ) < ∞ und Aj ⊆ Aj+1 (o. B. d. A.)

µ(A) = sup µ(Aj )

 5.1-1 (c) 

j∈N

= sup sup{ µ(C) | C ∈ Kτ , C ⊆ Aj }

 5.1-4 (a) 

j∈N

≤ sup{ µ(C) | C ∈ Kτ , C ⊆ A } ≤ µ(A). Zu (b) Gem. 5.1-4 (b) wähle man zu jedem j ∈ N ein Oj ∈ τ, (S #  # j , τ|Sj ) σ-kompakt Sj , τ j∈N Sj mit Sj ⊆ A ⊆ Oj , µ(Oj \Sj ) < 1/(j + 1). Dann ist j∈N # $ σ-kompakt, G := j∈N Oj Gδ -Menge, j∈N Sj ⊆ A ⊆ G, und für jedes k ∈ N

5.1 Maßräume, Lebesguesches Maß auf Rn gilt



 µ G\

Sj

        Oi \Sj (Oj \Sj ) =µ ≤µ

j∈N

j∈N

  # also µ G\ j∈N Sj = 0.

367

i∈N

j∈N

1 , ≤ µ(Ok \Sk ) < k+1 ✷

Definitionen (X, A, µ) sei ein Maßraum. (X, A, µ) σ-endlich

:gdw X σ-endlich # (d. h. ∃ (Aj )j ∈ AN : j∈N Aj = X, ∀ j ∈ N : µ(Aj ) < ∞) (X, A, µ) saturiert

:gdw

∀ S ⊆ X : (∀ A ∈ A : µ(A) < ∞ ⇒ A ∩ S ∈ A) ⇒ S ∈ A Dann heißt auch µ σ-endlich (bzw. saturiert). Beispiele (5.1,8) (a)

Die Lebesgueschen Maßräume (Rn , Λn , λn ), n ≥ 1, sind σ-endlich: R=

[−j, j], j∈N

 n

Rn = j∈N

 [−j, j] .

k=1

(b) Sei X eine überabzählbare Menge, µZ : PX −→ R+ ∪ {∞} das Zählmaß. (X, PX, µZ ) ist saturiert, jedoch nicht σ-endlich  Sonst wäre X abzählbar! . (c)

(X, A, µ) σ-endlicher Maßraum =⇒ (X, A, µ) saturiert: # ⊆ X mit A∩S ∈ A Sei (Aj )j ∈ AN , j∈N Aj = X, µ(Aj ) < ∞ für jedes j#∈ N und S # für jedes A ∈ A, µ(A) < ∞. Dann ist S = S∩X = S∩ j∈N Aj = j∈N (S∩Aj ) ∈ A.

Ein Kriterium für die Saturiertheit regulärer, vollständiger Maßräume liefert der Satz 5.1-5 (X, τ) sei ein T2 -Raum, (X, A, µ) Maßraum, µ vollständig und regulär. Äq (i)

µ saturiert

(ii) ∀ S ⊆ X : (∀ C ∈ Kτ : C ∩ S ∈ A) ⇒ S ∈ A

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

368 Beweis

(ii) ⇒ (i) ist klar, da µ(C) < ∞ für jedes C ∈ Kτ . (i) ⇒ (ii) Sei S ⊆ X, C ∩ S ∈ A für jedes C ∈ Kτ und A ∈ A, µ(A) < ∞. Gem. 1 . 5.1-4 (a) gibt es zu jedem j ∈ N ein Cj ∈ Kτ mit Cj ⊆ A und µ(Cj ) > µ(A) − j+1 # j
O. B. d. A. sei Cj ⊆ Cj+1 für jedes j ∈ N  Sonst verwende man Cj := k=0 Ck ! , #  also µ j∈N Cj = limj µ(Cj )  5.1-1 (c) . Es folgt     Cj = µ(A) − µ Cj = lim(µ(A) − µ(Cj )) = 0 µ A\ j∈N

und

 S∩A=  =



 S ∩ A\ 

Cj j∈N

S ∩ A\

#

 ∪ S∩

 Cj j∈N

 Cj

j∈N



j

j∈N

∪

(S ∩ Cj ) ∈ A, j∈N



denn S ∩ A\ j∈N Cj ∈ A  (X, A, µ) vollständig  und S ∩ Cj ∈ A  nach Voraussetzung (i)  für jedes j ∈ N. Da µ saturiert ist, erhält man S ∈ A. ✷ Gem. 5.1-4.1 (a) sind reguläre Maße µ auf der Menge aller σ-endlichen Mengen bereits durch µ
Kτ eindeutig bestimmt. Der folgende Satz gibt ein hinreichendes Kriterium dafür, daß µ durch µ
Kτ vollständig festgelegt ist (s. 5.1-6.1). Satz 5.1-6 (X, τ) sei ein T2 -Raum, (X, A, µ), (X, B, ν) reguläre Maßräume, µ
Kτ = ν
Kτ . Ist ν vollständig und saturiert, so gilt A ⊆ B und ν
A = µ. Beweis Zunächst gilt µ
τ = ν
τ, denn für jedes O ∈ τ ist gem. (R-3) µ(O) = sup{ µ(C) | C ∈ Kτ , C ⊆ O } = sup{ ν(C) | C ∈ Kτ , C ⊆ O } = ν(O). Mit (R-4) folgt µ
Aσ (τ) = ν
Aσ (τ). Sei A ∈ A, µ(A) < ∞. Nach 5.1-4.1 gibt es eine monoton wachsende Folge (Cj )j ∈ KτN und eine monoton fallende Folge # $ (Oj )j ∈ τ N , µ(O0 ) < ∞ (o. B. d. A.) mit j∈N Cj ⊆ A ⊆ j∈N Oj und     Oj \ Cj = 0 = ν Oj \ Cj . µ j∈N

Wegen A =

#

j∈N

j∈N

j∈N

 #  $ # # j∈N Cj ∪ A\ j∈N Cj , A\ j∈N Cj ⊆ j∈N Oj \ j∈N Cj gehört

5.1 Maßräume, Lebesguesches Maß auf Rn

369

A zu B  ν vollständig . Ist nun A irgendein Element von A, so folgt C ∩ A ∈ A, µ(C ∩ A) ≤ µ(C) < ∞, also C ∩ A ∈ B für jedes C ∈ Kτ und somit A ∈ B  5.1-5, ν saturiert . Man erhält insgesamt A ⊆ B und mit (R-4) ν
A = µ wie gewünscht. ✷ Korollar 5.1-6.1 (X, τ) sei ein T2 -Raum, (X, A, µ), (X, B, ν) vollständige, saturierte, reguläre Maßräume mit µ
Kτ = ν
Kτ . Dann ist (X, A, µ) = (X, B, ν). ✷ Vollständige, saturierte, reguläre Maße werden auch Radon-Maße genannt, sie sind im Sinne von 5.1-6.1 eindeutig bestimmt. Das Lebesgue-Maß auf Rn ist ein Radon-Maß auf Rn und auch translationsinvariant, d. h. es gilt (A 12) ∀ M ∈ Λn ∀ x ∈ Rn : x + M ∈ Λn , λn (x + M ) = λn (M ). Die Translationsinvarianz von λ auf R (beispielsweise) ermöglicht mit Hilfe des Auswahlaxioms den Nachweis der Existenz nicht meßbarer Teilmengen von R, d. h. es gilt PX = Λ (s. [10, Theorem 1.4.7]). Λ ist auch eine echte Obermenge von Aσ (τ| | ) ([10, Proposition 2.1.9]). In der Menge aller Radon-Maße auf Rn ist das Lebesgue-Maß λn das einzige, das jedem n-Quader Q ⊆ Rn sein Volumen als Maß zuweist. Diese Eindeutigkeit wird abschließend bewiesen (5.1-6.2). Hierzu wird zunächst festgestellt, daß jede in Rn offene Menge Vereinigung von abzählbar vielen n-Quadern (einer bestimmten Art) ist: Für jedes (z1 , . . . , zn ) ∈ Zn , k ∈ N sei  n Q(z1 ,...,zn ),k := (x1 , . . . , xn ) ∈ R ∀ j ∈ {1, . . . , n} : Qk := { Q(z1 ,...,zn ),k | (z1 , . . . , zn ) ∈ Zn }

zj 2k+1

≤ xj
k gilt: ∀ Q ∈ Ql ∃ R ∈ Qk : Q ⊆ R. Ist nun O ∈ τ  , so definiere man (induktiv) O0 := ∅

und

Ok := Ok−1 ∪ { Q ∈ Qk | Q ⊆ O, ∀ R ∈ Ok−1 : R ∩ Q = ∅ } für k ≥ 1 und setze

 := Q

Ok . k∈N

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

370

 besteht aus abzählbar vielen paarweise disjunkten n-Quadern, und es gilt # Q  ⊆ O. Q Umgekehrt sei x ∈ O, kx := min{ k ∈ N | ∃ Q ∈ Qk : x ∈ Q ⊆ O }  kx ∈ N wegen { k ∈ N | ∃ Q ∈ Qk : x ∈ Q ⊆ O } = ∅  und Qx ∈ Qkx mit x ∈ Qx ⊆ O  also ist x ∈ Qx ⊆ # Q.  gewählt. Dann gehört Qx zu Q, Korollar 5.1-6.2 (Rn , A, µ) sei ein vollständiger, saturierter, regulärer Maßraum (d. h. µ Radon-Maß auf Rn ), µ(Q) = v(Q) für jeden n-Quader in Q. Dann gilt: (Rn , A, µ) = (Rn , Λn , λn ). Beweis  ⊆ Q von paarweise disjunkten n-QuaFür jedes O ∈ τ  wähle man eine Menge Q #  dern mit O = Q aus. Es folgt    µ(O) = µ(Q) = v(Q) = λn (Q) = λn (O)  Q∈Q

 Q∈Q

 Q∈Q

und wegen der Regularität der Maße λn , µ gem. (R-4) speziell µ
Kτ   = λn
Kτ   . Mit 5.1-6.1 erhält man die Behauptung. ✷

Aufgaben zu 5.1 1. Die Borel-σ-Algebra Aσ (τ| | ) über R wird von der Menge aller offenen Intervalle erzeugt. 2. Sei S eine Algebra über der Menge X. Äq (i)

S = Aσ (S)

(ii) ∀ (Sj )j ∈ S N : (Sj )j monoton fallend ⇒

$ j∈N

(iii) ∀ (Sj )j ∈ S N : (Sj )j monoton wachsend ⇒

#

Sj ∈ S

j∈N

Sj ∈ S

(iv) S σ-Algebra über X 3. (X, A, µ) sei ein Maßraum, µä : PX −→ R+ ∪ {∞} sei definiert durch µä (S) := inf{ µ(A) | A ∈ A, S ⊆ A }. µä ist ein äußeres Maß auf X. 4. Es sei n ≥ 2, λn,ä das äußere Lebesgue-Maß auf Rn . λn,ä ist ein äußeres Maß auf Rn . %n (b) Sei Q = j=1 [aj , bj ], aj , bj ∈ R, aj ≤ bj , für jedes j ∈ {1, . . . , n}. Es gilt λn,ä (Q) = v(Q). % (c) Sei Q = nj=1 Ij , aj , bj ∈ R, aj ≤ bj , und Ij ⊆ [aj , bj ] Intervall mit den Endpunkten aj , bj für jedes j ∈ {1, . . . , n}. Es gilt λn,ä (Q) = v(Q). (a)

5.1 Maßräume, Lebesguesches Maß auf Rn

371

%n (d) Sei Q = j=1 Ij , aj , bj ∈ R ∪ {−∞, ∞}, aj < bj , Ij ⊆ [aj , bj ] ∩ R Intervall mit den Endpunkten aj , bj für jedes j ∈ {1, . . . , n}. Ist Q unbeschränkt, so gilt λn,ä (Q) = ∞ = v(Q). 5. Es sei n ≥ 2, n C− :=


 n j=1

 ]−∞, aj ] (a1 , . . . , an ) ∈ Rn ⊆ PRn .

n ). Man zeige Aσ (τ  ) = Aσ (C−

6. Für n ≥ 2 zeige man Aσ (τ  ) ⊆ Λn (über Rn )! 7. Man gebe eine nicht abzählbare Teilmenge von R an, die das Lebesgue-Maß Null hat! (Hinweis: (2.2,2)) 8. Borel-Maße auf T2 -Räumen (X, τ) sind i. a. nicht innenregulär. (Hinweis: (X, τdis )) 9. (X, τ) sei ein T2 -Raum, (X, A, µZ ) Maßraum mit Zählmaß µZ und A ⊇ Aσ (τ). Äq (i)

µZ regulär

(ii) τ = τdis 10. (X, τ) sei ein T2 -Raum, x0 ∈ X und A ⊇ Aσ (τ) eine σ-Algebra über X. Das Dirac-Maß µ(x0 ) bei x0 ist regulär. 11. (X, τ) sei ein T2 -Raum, (X, A, µ) Maßraum, µ regulär, ∅ = O ⊆ τ, ∅ = C ⊆ ατ . (a)

Ist O aufwärts gerichtet (d. h. ∀ O, P ∈ O ∃ Q ∈ O : Q ⊇ O ∪ P ), so ist   µ O = sup{ µ(O) | O ∈ O }.

(b) Ist C abwärts gerichtet (d. h. ∀ C, D ∈ C ∃ E ∈ C : E ⊆ C ∩ D) und existiert ein C0 ∈ C mit µ(C0 ) < ∞, so ist   µ C = inf{ µ(C) | C ∈ C }. Darf hier die Voraussetzung „∃ C0 ∈ C : µ(C0 ) < ∞“ fehlen? 12. Das Lebesgue-Maß auf Rn ist translationsinvariant. 13. (X, τ) sei ein lokalkompakter T2 -Raum, (X, A, µ), (X, B, µ) Maßräume, µ, ν RadonMaße und µ(C) = ν(C) für jede Gδ -Menge C ∈ Kτ . Dann ist (X, A, µ) = (X, B, ν). (Hinweis: 4.4, A 15 (b)) 14. A sei eine σ-Algebra über der Menge X, S ⊆ X. A|S := { A ∩ S | A ∈ A } ist eine σ-Algebra über S, die Spur-σ-Algebra von A auf S. 15. (X, τ) sei ein topologischer Raum, S ⊆ X. Man zeige: Aσ (τ|S) = Aσ (τ)|S.

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

372

∞ 16. (X, A, µ) sei ein Maßraum, (Aj )j ∈ AN , j=0 µ(Aj ) < ∞.   x ∈ X { j ∈ N | x ∈ Aj } unendlich ist meßbar und hat Maß 0. (Satz von Borel, Cantelli) 17. Es sei τ| |C die Betragstopologie auf C,   HRe := { z ∈ C | Re z > a } a ∈ R   HIm := { z ∈ C | Im z > a } a ∈ R .   Man zeige: Aσ (HRe ∪ HIm ) = Aσ τ| |C .

und

5.2 Meßbare Funktionen Damit das Ziel der Integration von Funktionen f : X −→ R nach der zu Beginn des Kapitels 5 angedeuteten Methode erreicht werden kann, muß Mengen der Form f −1 [I], wobei I ein Intervall in R ist, ein Maß (eine Größe) zugeordnet werden. Dieses erfordert über einem Maßraum (X, A, µ), daß die Mengen f −1 [I] zu A gehören. Da { S ⊆ R | f −1 [S] ∈ A } eine σ-Algebra über R ist  A 1 (a) , die dann alle Intervalle, also auch alle offenen Mengen in R enthält, lautet die Forderung f −1 [[Aσ (τ| | )]] ⊆ A, d. h. Urbilder Borel-meßbarer Teilmengen von R sind meßbar. Diese Überlegung führt zur folgenden allgemeineren Definition (X, A), (Y, B) seien meßbare Räume, f : X −→ Y . f meßbar (bzgl. (A, B)) (auch (A, B)-meßbar)

:gdw f −1 [[B]] ⊆ A

Man beachte die formale Analogie zur Stetigkeit 2.4-1 (iv)! Speziell für (Y, B) = (R∗∗ , Aσ (τ|∗∗| )) heißt f dann Borel-meßbar, bzw. BorelFunktion, wenn zusätzlich (X, τ) ein topologischer Raum und A = Aσ (τ) ist. Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: M((X, A), (Y, B)) := { f : X −→ Y | f (A, B)-meßbar },   L0 (X, A) := M (X, A), (R∗∗ , Aσ (τ|∗∗| )) .

Satz 5.2-1 X, Y seien Mengen, T ⊆ PY und f : X −→ Y .   f −1 [[Aσ (T )]] = Aσ f −1 [[T ]]

5.2 Meßbare Funktionen

373

Beweis f −1[[Aσ (T )]] ist eine σ-Algebra über X  A 1 (b) , die f −1 [[T ]] enthält, also gilt Aσ f −1 [[T ]] ⊆ f −1 [[Aσ (T )]].    Umgekehrt ist auch B := B ⊆ Y f −1 [B] ∈ Aσ f −1 [[T ]] eine σ-Algebra über Y A 1 (a) , die T enthält, also ist Aσ (T ) ⊆ B. Es folgt f −1 [[Aσ (T )]] ⊆ f −1 [[B]] ⊆ Aσ f −1 [[T ]] . ✷ Korollar 5.2-1.1 (X, A) sei ein meßbarer Raum, Y eine Menge, T ⊆ PY und f : X −→ Y .   Äq (i) f ∈ M (X, A), (Y, Aσ (T )) (ii) f −1 [[T ]] ⊆ A Beweis (i) ⇒ (ii) ist klar.

  (ii) ⇒ (i) Nach 5.2-1 ist f −1 [[Aσ (T )]] = Aσ f −1 [[T ]] ⊆ A gem. (ii).

✷

Beispiele (5.2,1) (a)

(X, τ), (Y, I) seien topologische Räume. Jede stetige Funktion f : X −→ Y ist meßbar bzgl. (Aσ (τ), Aσ (I)), d. h.   C(X, Y ) ⊆ M (X, Aσ (τ)), (Y, Aσ (I)) : Für jedes f ∈ C(X, Y ) gilt f −1 [[I]] ⊆ τ ⊆ Aσ (τ). Nach 5.2-1.1 ist f (Aσ (τ), Aσ (I))meßbar.

(b) (X, A) sei ein meßbarer Raum, f : X −→ R∗∗ ,     ∗∗ ∗∗ C+ := ]a, ∞] a ∈ R , := [a, ∞] a ∈ R , H+     ∗∗ ∗∗ H− C− := [−∞, a[ a ∈ R , := [−∞, a] a ∈ R .  ∗∗   ∗∗   ∗∗  Wie in (5.1,1) (c) erhält man Aσ (τ|∗∗| ) = Aσ H+ = Aσ H− = A σ C+ =  ∗∗  Aσ C− . Nach 5.2-1.1 gilt daher: Äq (i)

f ∈ L0 (X, A)

(ii) ∀ a ∈ R : { x ∈ X | f (x) > a } ∈ A (iii) ∀ a ∈ R : { x ∈ X | f (x) < a } ∈ A (iv) ∀ a ∈ R : { x ∈ X | f (x) ≥ a } ∈ A (v) ∀ a ∈ R : { x ∈ X | f (x) ≤ a } ∈ A. (c)

Sei (X, A) ein meßbarer Raum, A ∈ A, f, g : X −→ R∗∗ und
X −→ R∗∗ cr : x −→ r

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

374 für jedes r ∈ R∗∗ die konstante Funktion zu r. (i)

cr ∈ L0 (X, A): Sei a ∈ R. Für r ∈ R ist

 X { x ∈ X | cr (x) ≥ a } = ∅

für r ≥ a für r < a,

und für r = ∞ erhält man { x ∈ X | cr (x) ≥ a } = X, für r = −∞ folgt { x ∈ X | cr (x) ≤ a } = X. (i) kann verallgemeinert werden (man setze A = ∅) zu (ii) f ∈ L0 (X, A), f
A = g
A, g
(X\A) = cr
(X\A) (s. auch A 14):

=⇒

g ∈ L0 (X, A)

Für alle a ∈ R gilt

 (X\A) ∪ ({ x ∈ X | f (x) > a } ∩ A) für a < r { x ∈ X | g(x) > a } = { x ∈ X | f (x) > a } ∩ A für a ≥ r.

Für die „Summe“ Borel-meßbarer Funktionen gilt: (iii) f , g ∈ L0 (X, A), r ∈ R

=⇒

{ x ∈ X | f (x) > r − g(x) } ∈ A:

{ x ∈ X | f (x) > r − g(x) }   { x ∈ X | f (x) > q } ∩ { x ∈ X | r − g(x) < q } = q∈Q

=

  { x ∈ X | f (x) > q } ∩ { x ∈ X | g(x) > r − q } ∈ A.

q∈Q

In (iii) wird der Ausdruck „f (x) > r − g(x)“ anstelle von „f (x) + g(x) > r“ gewählt, weil f (x) + g(x) für kein x aus der Menge Nf,g := { x ∈ X | f (x) = ∞, g(x) = −∞ } ∪ { x ∈ X | f (x) = −∞, g(x) = ∞ } definiert ist (s. auch Seite 384).

Die wichtigsten elementaren arithmetischen bzw. analytischen Eigenschaften Borelmeßbarer Funktionen enthält der folgende Satz 5.2-2 (X, A) sei ein meßbarer Raum, h : X −→ R∗∗ , r ∈ R∗∗ , f , g ∈ L0 (X, A) und (fj )j ∈ L0 (X, A)N . , +  r für x ∈ Nf,g (a) ∀ x ∈ X : h(x) = =⇒ h ∈ L0 (X, A) f (x) + g(x) für x ∈ X\Nf,g

5.2 Meßbare Funktionen (b) r · f,

375

1 ∈ L0 (X, A) f

(c) f ≥ 0, r ∈ R, r > 0

f r ∈ L0 (X, A)

=⇒

(d) sup fj , inf fj , lim sup fj , lim inf fj ∈ L0 (X, A) j

j

j

j

(Alle Operationen sind punktweise auszuführen!) Beweis

    Zu (a) Nf,g = f −1 [{∞}] ∩ g −1 [{−∞}] ∪ f −1 [{−∞}] ∩ g −1 [{∞}] ∈ A wegen . Nach (5.2,1) (c) (ii) sind die Funktionen f, g : X −→ R∗∗ , {−∞}, {∞} ∈ ατ ∗∗ | |  r für x ∈ Nf,g f(x) := f (x) sonst

 0 und g(x) := g(x)

für x ∈ Nf,g sonst

Borel-meßbar, und es gilt h = f + g. Für jedes a ∈ R erhält man deshalb { x ∈ X | h(x) > a } = { x ∈ X | f(x) > a − g(x) } ∈ A  (5.2,1) (c) (iii) . Zu (b) Sei a ∈ R. Für r = 0 ist rf = c0 ∈ L0 (X, A)  (5.2,1) (c) (i) . Weiter gilt für jedes x ∈ X  (  f (x) ≥ 0 für a < 0   für r = ∞    f (x) > 0 für a ≥ 0    (   f (x) < 0 für a ≥ 0 für r = −∞ rf (x) > a ⇐⇒  f (x) ≤ 0 für a < 0    (    f (x) > ar für r > 0   für r ∈ R\{0},   f (x) < a für r < 0 r also rf ∈ L0 (X, A). Schließlich erhält man mit Z := { x ∈ X | f (x) = 0 } ∈ A, U∞ := { x ∈ X | f (x) = ∞ } ∈ A, U−∞ := { x ∈ X | f (x) = −∞ } ∈ A, R := X\(Z ∪ U∞ ∪ U−∞ ) ∈ A

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

376 definitionsgemäß (vgl. Anhang 1-37)  1   f (x) 1 (x) = 0  f  ∞

für x ∈ R für x ∈ U∞ ∪ U−∞ für x ∈ Z

und somit 1 

x ∈ X (x) > a f 1      0 < f (x) < 1 > a = Z ∪ x ∈ R für a > 0 Z ∪ x ∈ R  a f (x)  1     für a = 0 = Z ∪ x ∈ R f (x) > a = Z ∪ x ∈ R f (x) > 0  1    für a < 0, Z ∪ U∞ ∪ U−∞ ∪ x ∈ R f (x) > a 1     > a = x ∈ R f (x) < a1 ∪ { x ∈ R | f (x) > 0 } für wobei x ∈ R f (x) a < 0 ist, also f1 ∈ L0 (X, A). Zu (c) Es ist

 X für a ≤ 0 { x ∈ X | f r (x) ≥ a } = 1/r { x ∈ X | f (x) ≥ a } für a > 0

für jedes a ∈ R, also f r ∈ L0 (X, A). Zu (d) Für alle a ∈ R gilt { x ∈ X | sup fj (x) > a } = j

{ x ∈ X | fj (x) > a } ∈ A j∈N

und ebenso { x ∈ X | inf fj (x) < a } = j

{ x ∈ X | fj (x) < a } ∈ A, j∈N

woraus (vgl. Anhang 1-31) 



lim sup fj = inf sup fj j

und auch

∈ L0 (X, A)

j≥k

  lim inf fj = sup inf fj ∈ L0 (X, A) j

folgt.

k

k

j≥k

✷

5.2 Meßbare Funktionen

377

Korollar 5.2-2.1 (X, A) sei ein meßbarer Raum, h : X −→ R∗∗ , f , g ∈ L0 (X, A) und (fj )j eine Folge in L0 (X, A). −−−→ h (a) (fj )j −− ∗∗ τ | | -pktw.

=⇒

h ∈ L0 (X, A)

(b) f ∨ g, f ∧ g, |f |, f · g ∈ L0 (X, A) Beweis Zu (a) h = lim supj fj = lim inf j fj ∈ L0 (X, A)  5.2-2 (d) . Zu (b) f ∨g, f ∧g ∈ L0 (X, A) folgt direkt aus 5.2-2 (d), somit sind auch f + := f ∨c0 und f − := (−f ) ∨ c0 Borel-meßbar. Es folgt |f | = f + + f − ∈ L0 (X, A)  5.2-2 (a) . Wegen f ·g = f + g + +f − g − −f − g + −f + g − (ausrechnen!) kann schließlich o. B. d. A. f ≥ 0, g ≥ 0 angenommen werden. Für f > 0, g > 0 folgt die Borel-Meßbarkeit von f · g nach 5.2-2 (a), (b), (c) wegen  1 (f (x) + g(x))2 − 12 (f 2 (x) + g 2 (x)), x ∈ X\N 1 (f +g)2 , − 1 (f 2 +g2 ) 2 2 f (x)g(x) = 2 ∞ sonst. Für f ≥ 0, g ≥ 0 ist Z :={ x ∈ X | f (x)g(x) = 0 } ={ x ∈ X | f (x) = 0 } ∪ { x ∈ X | g(x) = 0 } ∈ A, die Funktionen f, g : X −→ R∗∗ , definiert durch f
Z := g
Z := c1 , f
(X\Z) := f , g
(X\Z) := g, sind Borel-meßbar  (5.2,1) (c) (ii)  und f > 0, g > 0, also f · g ∈ L0 (X, A)  s. o. . Wiederum nach (5.2,1) (c) (ii) erhält man f · g ∈ L0 (X, A)  (f g)
(X\Z) = (fg)
(X\Z), f g
Z = 0 . ✷ Man beachte, daß die 5.2-2.1 (a) entsprechende Aussage in C(X, R) (anstelle von L0 (X, A)) nicht richtig ist  (1.2,1) (c) ! Korollar 5.2-2.2 (X, A) sei ein meßbarer Raum. L0R (X, A) := L0 (X, A) ∩ RX ist (mit den punktweisen Operationen) eine kommutative R-Algebra mit Eins c1 , die stabil gegen die Bildung von Minima, Maxima, Inversen (in RX ) und punktweisen ✷ Limiten (in RX ) von Folgen ist. Aufgabe A 12 (d) enthält die komplexe Version von 5.2-2.2.

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

378 Beispiel (5.2,2)

Nach 5.2-2.1 (b) ist |f | ∈ L0 (X, A) für jede Borel-meßbare Funktion f . Die Umkehrung gilt jedoch nicht : Es sei A := Aσ



 {r} r ∈ R = { S ⊆ R | S abzählbar oder R\S abzählbar }

und f : R −→ R∗∗ ,

 1 f (x) := −1

für x < 0 für x ≥ 0.

Dann ist |f | = c1 ∈ L0 (R, A)  (5.2,1) (c) (i) , jedoch { x ∈ R | f (x) ≥ 1 } = { x ∈ R | x < 0 } ∈ A, also f ∈ L0 (R, A).

Wie C(X, R) ist auch L0 (X, A) sehr unübersichtlich; es ist daher wichtig, Approximationsmöglichkeiten durch Funktionen einfacher Bauart, z. B. Polynome bzw. Treppenfunktionen in C([a, b], R) (vgl. 2.2-5, (2.2,3) (a)) zu kennen. Für die Konstruktion des Riemann-Integrals haben die Treppenfunktionen grundlegende Bedeutung. Die zu Beginn dieses Kapitels beschriebene angestrebte Integrationsmethode nach Lebesgue macht Gebrauch von einfachen Funktionen. Definition (X, A) sei ein meßbarer Raum, f ∈ L0R (X, A). f A-einfach

:gdw f [X] endlich

Die Menge ER0 (X, A) := { f ∈ L0R (X, A) | f A-einfach } ist (mit den punktweisen Operationen) eine kommutative R-Algebra mit Eins c1 , die stabil gegen die Bildung von Minima, Maxima und Inversen (in RX ) ist (s. 5.2-2.2). Bausteine für die A-einfachen Funktionen sind die charakteristischen Funktionen meßbarer Mengen (s. A 2): Satz 5.2-3 (X, A) sei ein meßbarer Raum, f ∈ ER0 (X, A). Es gibt jeweils genau ein n ∈ N, {r1 , . . . , rn } ∈ Pe R mit Ai ∩ Aj = ∅, ri = rj für alle {A1 , . . . , An } ∈ Pe (A\{∅}), # j ∈ {1, . . . , n}, X = nj=1 Aj und f=

n  j=1

rj χAj

(kanonische Darstellung von f ).

5.2 Meßbare Funktionen

379

Beweis Es sei f [X] = {r1 , . . . , rn }, |f [X]| = n und Aj := f −1 [{rj }] für j = 1, . . . , n. n eine kanonische Darstellung von f . Zum Nachweis der Dann ist f = j=1 rj χAj Eindeutigkeit sei auch f = m i=1 si χBi eine kanonische Darstellung von f . Es folgt f [X] = {r1 , . . . , rn } = {s1 , . . . , sm }, also n = m, und wegen Bi = f −1 [{si }] für ✷ i = 1, . . . , m gilt {A1 , . . . , An } = {B1 , . . . , Bm }. Die kanonische Darstellung einfacher Funktionen ist – bis auf die Reihenfolge ihrer Summanden – eindeutig. Satz 5.2-4 (X, A) sei ein meßbarer Raum, f ∈ L0 (X, A). (a) f : X −→ R beschränkt

=⇒

∃ (ϕj )j ∈ ER0 (X, A)N : (ϕj )j −−−−−→ f d| | -glm.

−−−→ f (b) ∃ (ϕj )j ∈ ER0 (X, A)N : (ϕj )j −− ∗∗ τ | | -pktw.

Beweis

' ' für jedes n ∈ N\{0}, k ∈ Z. Zu (a) Sei c ∈ R, c ≥ 0, |f | ≤ c und Ik,n := nk , k+1 n | k ∈ Z } eine Zerlegung von R. Man wähle für jedes n ≥ 1 Für jedes n ≥ 1 ist { Ik,n # n I und setze ein zn ∈ N mit [−c, c] ⊆ zk=−z n k,n Fn :=

zn 

k n χIk,n

∈ ER0 (R, Aσ (τ| | )).

k=−zn

Dann gilt ∀ t ∈ [−c, c] : t −

1 < Fn (t) ≤ t. n

(∗)

Die Funktion ϕn := Fn ◦ f ∈ L0R (X, A)  A 1 (d)  hat nur endlich viele Funktionswerte, gehört also zu ER0 (X, A). Gem. (∗) folgt für jedes x ∈ X |ϕn (x) − f (x)| = |Fn (f (x)) − f (x)| ≤

1 . n

' & [−n, n] , X∞ := f −1 [{∞}], Zu (b) Für jedes n ∈ N\{0} sei Xn := f −1 # ∞ X−∞ := f −1 [{−∞}] (also X = X∞ ∪ X−∞ ∪ n=1 Xn ) und fn := f χXn + nχX∞ − nχX−∞ . Jede dieser Funktionen fn : X −→ R ist beschränkt (durch n) und Borel-meßbar  5.2-2 (a), (b), 5.2-2.1 (b), A 2 , nach (a) existiert somit ein ϕn ∈ ER0 (X, A) mit

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

380

d∞ (ϕn − fn ) ≤ 1/n. Hieraus folgt wegen (fn )n −− −−−→ f ∗∗ τ | | -pktw.

−−−→ f. (ϕn )n −− ∗∗ τ | | -pktw.

✷

Über regulären, vollständigen, σ-endlichen Maßräumen bedeutet Borel-Meßbarkeit „beinahe“ Stetigkeit auf jedem Kompaktum, genauer: Satz 5.2-5 (Lusin, 1912) (X, τ) sei ein T2 -Raum, (X, A, µ) ein regulärer, vollständiger, σ-endlicher Maßraum und f : X −→ R. Äq (i)

f ∈ L0R (X, A)

(ii) ∀ K ∈ Kτ ∀ ε > 0 ∃ L ∈ Kτ : µ(K\L) ≤ ε, f
L ∈ C(L, R) # (iii) ∀ K ∈ Kτ ∃ (Kj )j ∈ KτN : (Kj )j paarweise disjunkt, j∈N Kj ⊆ K,   # µ K\ j∈N Kj = 0, ∀ j ∈ N : f
Kj ∈ C(Kj , R) # (iv) ∀ A ∈ A ∃ (Kj )j ∈ KτN : (Kj )j paarweise disjunkt, j∈N Kj ⊆ A,   # µ A\ j∈N Kj = 0, ∀ j ∈ N : f
Kj ∈ C(Kj , R) Beweis (i) ⇒ (ii) Sei f ∈ L0R (X, A) o. B. d. A. beschränkt: Für jeden Homöomorphismus ϕ : R −→ ]−1, 1[  (2.4,4) (c)  ist ϕ◦f ∈ L0R (X, A) beschränkt  (5.2,1) (a), A 1 (d) . Ist also L ∈ Kτ , µ(K\L) ≤ ε, ϕ ◦ f
L ∈ C(L, R), so gilt auch f
L ∈ C(L, R). Gem. 5.2-4 (a) gibt es eine Folge (ϕj )j ∈ ER0 (X, A)N mit (ϕj )j −−−−−→ f . d| | -glm.

Wenn (ii) für jedes ϕj erfüllt werden kann, etwa $ durch Lj ∈ Kτ , µ(K\Lj ) ≤ ε/(2j+1 ), ϕj
Lj ∈ C(Lj , R), so folgt mit L := j∈N Lj ∈ Kτ auch   ∞ (K\Lj ) ≤ µ(K\Lj ) ≤ ε

 µ(K\L) = µ j∈N

j=0

und wegen (ϕj
L)j −−−−−→ f
L ist f
L ∈ C(L, R)  2.4-6 . d| | -glm.

Zum Nachweis von (ii) für f ∈ ER0 (X, A) kann schließlich f = rχA für ein A ∈ A, r ∈ R o. B. d. A. angenommen werden: m 0 Sei f = i=1 ri χAi ∈ ER (X, A) in kanonischer Darstellung vorgegeben  5.2-3  und Lj ∈ Kτ , µ(K\Lj ) ≤ ε/m, rj χAj
Lj ∈ C(Lj , R) für jedes j ∈ {1, . . . , m} m $ Lj ∈ Kτ , µ(K\L) ≤ gewählt. Dann ist L := m j=1 j=1 µ(K\Lj ) ≤ ε und   m j=1 rj χAj
L ∈ C(L, R).

5.2 Meßbare Funktionen

381

Sei also f = rχA , r ∈ R, A ∈ A. Da A∩K, K\A ∈ A endliches Maß haben, gibt es nach 5.1-4 (a) C1 , C2 ∈ Kτ mit C1 ⊆ A∩K, C2 ⊆ K\A, µ(C1 ) > µ(A∩K)−(ε/2), µ(C2 ) > µ(K\A) − (ε/2). Es folgt mit L := C1 ∪ C2 ∈ Kτ µ(L) = µ(C1 ) + µ(C2 ) > µ(K) − ε, also µ(K\L) = µ(K) − µ(L) < ε, und rχA
L ∈ C(L, R)  C1 , C2 ∈ τ|L ∩ ατ|L . (ii) ⇒ (iii) Gem. 5.1-4 (a) wähle man ein L ∈ Kτ mit L ⊆ K und µ(L) > µ(K) − (1/2). Nach Voraussetzung (ii) gibt es ein K0
∈ Kτ mit µ(L\K0
) ≤ 1/2 und f
K0
∈ C(K0
, R). Man setze K0 := L∩K0
, also K\K0 = (K\L)∪(L\K0
). Es gilt K0 ∈ Kτ , K0 ⊆ K, f
K0 ∈ C(K0 , R) und µ(K\K0 ) ≤ µ(K\L) + µ(L\K0
) ≤ 1.   # #n Seien nun K0 , . . . , Kn ∈ Kτ mit Kn ⊆ K\ n−1 j=0 Kj , µ K\ j=0 Kj < 1/(n + 1), ausgewählt. 5.1-4 (a) existiert ein f
Kn ∈ C(Kn , R)   Nach #nfür ein n ∈ N bereits # n 1 L ∈ Kτ , L ⊆ K\ j=0 Kj , µ(L) > µ K\ j=0 Kj − 2(n+2) . Gem. (ii) wähle man 1



∈ Kτ mit µ(L\Kn+1 ) < 2(n+2) und f
Kn+1 ∈ C(Kn+1 , R) und setze ein Kn+1
Kn+1 := L ∩ Kn+1 . Dann ist Kn+1 ∈ Kτ , 

n+1

Kj ⊆

K\

K\

j=0

also Kn+1 ⊆ K\



n

Kj


), \L ∪ (L\Kn+1

j=0

#n

j=0 Kj ,

   n+1 Kj ≤ µ K\ µ K\ j=0



n

Kj


)< \L + µ(L\Kn+1

j=0

1 n+2

und f
Kn+1 ∈ C(Kn+1 , R). Die Folge (Kn )n∈N erfüllt (iii) für K gem. 5.1-1 (d). (iii) ⇒ (iv) Nach 5.1-4.1 (a) konstruiere man zunächst eine (Lj)j ∈ KτN aus  Folge # # paarweise disjunkten Mengen Lj mit j∈N Lj ⊆ A und µ A\ j∈N Lj = 0: Man wähle induktiv L0 ∈ Kτ , L0 ⊆ A, µ(A\L0 ) < 1 und für jedes j ∈ N ein # Lj+1 ∈ Kτ mit Lj+1 ⊆ A\ jk=0 Lk ,  j+1   Lk = µ A\ µ A\ k=0

j

 Lk \Lj+1

k=0


a }. Gem.  eine  (iv) # existiert Folge (Kj )j ∈ KτN aus paarweise disjunkten Mengen Kj mit µ X\ j∈N Kj = 0 und f
Kj ∈ C(Kj , R), also A ∩ Kj = { x ∈ Kj | f (x) > a } ∈ τ|Kj ⊆ Aσ (τ) ⊆ A für jedes j ∈ N. Es folgt



A=

 Kj

A\





∪ A∩

j∈N

Kj

∈ A,

j∈N

# # denn aus A\ j∈N Kj ⊆ X\ j∈N Kj und der Vollständigkeit von (X, A, µ) ergibt # ✷ sich A\ j∈N Kj ∈ A. Beispiel (5.2,3) Die Riemann-integrierbaren Funktionen f ∈ B([a, b], R) sind (Λ|[a, b], Aσ (τ| | ))-meßbar, d. h. R([a, b]) ⊆ L0R ([a, b], Λ|[a, b]). Zunächst kann gezeigt werden, daß U := { x ∈ [a, b] | f nicht stetig in x } für jedes f ∈ R([a, b]) eine meßbare Menge mit Lebesgue-Maß Null ist∗ : Für jedes k ∈ N sei  1 Uk := x ∈ [a, b] ω(f, x) ≥ , k+1 # also U = k∈N Uk gem. 2.4-1.4. Sei ε > 0 und Z = (z0 , . . . , zn ) eine Zerlegung von [a, b] mit RO (f )(Z) − RU (f )(Z) ≤ ε  s. (1.2,5) . Man setze   TZ,k := j ∈ {1, . . . , n} [zj−1 , zj ] ∩ Uk = ∅ , VZ,k := {1, . . . , n}\TZ,k und erhält mit

MjZ

:=

sup x∈[zj−1 ,zj ]

ε≥

inf

x∈[zj−1 ,zj ]

f (x)

      MjZ − mZ MjZ − mZ j (zj − zj−1 ) + j (zj − zj−1 ) j∈TZ,k

∗

f (x), mZ j :=

j∈VZ,k

Umgekehrt ist jedes f ∈ B([a, b], R) mit λ(U ) = 0 auch in R([a, b]) (Riemann-Integrabilitätskriterium von H. Lebesgue, s. [9, Chap. I, Theorem 5.1])

5.2 Meßbare Funktionen ≥

383

    MjZ − mZ j (zj − zj−1 ) ≥ j∈TZ,k

j∈TZ,k

   1 L [zj−1 , zj ] j∈T = Z,k k+1

1 (zj − zj−1 ) k+1

# und Uk ⊆ j∈TZ,k [zj−1 , zj ]. Das äußere Lebesgue-Maß λä (Uk ) ist daher Null  (5.1,4) (a)  und Uk ∈ Λ  (5.1,5) (a)  mit λ(Uk ) = 0 für jedes k ∈ N. Es folgt λ(U ) = 0. Die Meßbarkeit von f folgt nun mit 5.2-5: Sei K ∈ Kτ | | |[a,b] , ε > 0 und gem. 5.1-4 (a) L ∈ Kτ | | |[a,b] mit L ⊆ K\U , λ(L) > λ(K\U ) − ε. Dann ist f
L ∈ C(L, R) und ε > λ(K\U ) − λ(L) = λ(K) − λ(L) = λ(K\L).

Nach dem zitierten Riemann-Integrabilitätskriterium von Lebesgue ist es für die Riemann-Integrierbarkeit beschränkter Funktionen auf [a, b] völlig unbedeutend, welche Werte sie auf einer Menge vom Maß Null annehmen, wenn nur in jedem Punkt der Restmenge Stetigkeit vorliegt; Riemann-integrierbare Funktionen sind also „im wesentlichen“ stetig. Über vollständigen Maßräumen wird auch die Meßbarkeit einer meßbaren Funktion nicht beeinträchtigt, wenn man sie auf einer Menge vom Maß Null abändert  A 4 . Man identifiziert daher Funktionen, die sich höchstens auf einer Menge vom Maß Null unterscheiden, miteinander: (X, A, µ) sei ein Maßraum, A0 := { A ∈ A | µ(A) = 0 }, Y eine Menge und f, g : X −→ Y . f =g µ

:gdw ∃ A ∈ A0 : { x ∈ X | f (x) = g(x) } ⊆ A.

Ebenso erklärt man für f, g : X −→ R∗∗ : f ≤ g (bzw. g ≥ f ) µ

µ

:gdw ∃ A ∈ A0 : { x ∈ X | f (x) > g(x) } ⊆ A.

Es gilt dann f =g µ

⇐⇒

f ≤ g und g ≤ f µ

µ

 { x ∈ X | f (x) = g(x) } = { x ∈ X | f (x) > g(x) } ∪ { x ∈ X | g(x) > f (x) } . Die Relation =µ ist eine Äquivalenzrelation über Y X  A 6 (a) , ihre Einschränkung auf S × S für jedes S ⊆ Y X somit Äquivalenzrelation über S (Bezeichnung für die Einschränkung ebenfalls =µ ). Schreibweisen für zugehörige Partitionen und ihre Elemente: Mµ ((X, A), (Y, B)) := M((X, A), (Y, B))/= µ

L0 (X, A, µ) := L0 (X, A)/= µ

für meßbare Räume (Y, B),

und L0R (X, A, µ) := L0R (X, A)/= , µ

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

384

f bezeichnet jeweils die f enthaltende Äquivalenzklasse. =µ ist eine Kongruenzrelation über der R-Algebra L0R (X, A) (s. Anhang 2-6), L0R (X, A, µ) also eine R-Algebra  A 6 (b) . In L0 (X, A) ist die (punktweise) Multiplikation ebenfalls mit =µ verträglich, denn für f , f
, g, g
∈ L0 (X, A), f =µ f
, g =µ g
gilt { x ∈ X | f (x)g(x) = f
(x)g
(x) } ⊆ { x ∈ X | f (x) = f
(x) } ∪ { x ∈ X | g(x) = g
(x) }. Die (punktweise) Addition ist in L0 (X, A) nicht überall erklärt  ∞+(−∞), −∞+∞ sind nicht definiert! . Für alle f , g ∈ L0 (X, A) sei deshalb (vgl. auch (5.2,1) (c) (iii)) Nf,g := { x ∈ X | (f (x) = ∞, g(x) = −∞) oder (f (x) = −∞, g(x) = ∞) } die Ausnahmemenge (Nf,g ∈ A!) und f , g µ-addierbar

:gdw Nf,g ∈ A0

Für µ-addierbare f , g ∈ L0 (X, A) setze man  ∗∗   X −→R f (x) + g(x) für x ∈ X\Nf,g f +g :   x −→ 0 sonst. Die so partiell auf L0 (X, A) erklärte Addition  A 7 (a)  ist mit =µ verträglich, d. h. für alle f , f
, g, g
∈ L0 (X, A) gilt  A 7 (b) : f = f
, g = g
, f, g µ-addierbar µ

=⇒

µ

f
, g
µ-addierbar und f + g = f
+ g
. µ

Unter Beachtung obiger Schreibweise liegt in L0 (X, A, µ) eine Skalarmultiplikation     = , eine Multiplikation f, g → f=g und eine partielle Addition für r, f → rf   µ-addierbare f , g in der Form f, g → f + g vor (s. auch 5.4-3 für L1 (X, A, µ)). Die punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen wird wie folgt erweitert: Definition (X, A, µ) sei ein Maßraum, (Y, I) topologischer Raum, (fj )j ∈ (Y X )N . (fj )j µ-pktw. konvergent

:gdw

∃ f ∈ Y X ∃ A ∈ A0 : { x ∈ X | (fj (x))j G f (x) } ⊆ A Schreibweisen: (fj )j −−−→ f, µ-f.ü.

lim fj = f. j

µ

5.2 Meßbare Funktionen

385

Man beachte bei dieser „Konvergenz fast überall bzgl. µ“, daß Limiten auch dann nicht notwendig eindeutig bestimmt sind, wenn (Y, I) ein T2 -Raum ist! Gilt fj =µ gj für jedes j ∈ N und (fj )j −−−→ f , so auch (gj )j −−−→ f  A 8 (a) , µ-f.ü.

µ-f.ü.

der folgende Konvergenzbegriff ist daher wohldefiniert: Definition

 N   (X, A, µ) sei ein Maßraum, (Y, I) topologischer Raum, fj j ∈ Y X /=µ .   fj j µ-pktw. konvergent Schreibweisen:

:gdw ∃ f ∈ Y X : (fj )j −−−→ f µ-f.ü.

  fj j −−−→ f, µ-f.ü.

lim fj = f µ

j

Ist (Y, I) ein T2 -Raum, so sind Limiten bzgl. „Konvergenz fast überall bzgl. µ“ in Y X /=µ eindeutig bestimmt  A 8 (b) ! Satz 5.2-6

  (X, A, µ) sei ein vollständiger Maßraum, (Y, d) metrischer Raum, fj j eine Folge in     Mµ (X, A), (Y, Aσ (τd )) , f ∈ Y X und fj j −−−→ f. µ-f.ü.

    Dann liegt f in M (X, A), (Y, Aσ (τd )) , d. h. f ∈ Mµ (X, A), (Y, Aσ (τd )) . Beweis Sei A ∈ A0 mit (fj
X\A)j −−−−−→ f
X\A, y0 ∈ Y . Man setze τd -pktw.

 f (x) ϕ(x) := y0

für x ∈ X\A für x ∈ A,

 fj (x) ϕj (x) := y0

für x ∈ X\A für x ∈ A

 N für jedes j ∈ N. Es gilt (ϕj )j ∈ M (X, A), (Y, Aσ (τd ))  A 5 , (ϕj )j −−−−−→ ϕ, τd -pktw.   also ϕ ∈ M (X, A), (Y, Aσ (τd ))  A 9 . Wegen f =µ ϕ folgt die Meßbarkeit von f   ✷ mit A 4, also f ∈ Mµ (X, A), (Y, Aσ (τd )) . Für Folgen meßbarer reellwertiger Funktionen bedeutet „Konvergenz fast überall bzgl. µ“ beinahe gleichmäßige Konvergenz, sofern der Maßraum endliches Maß hat und vollständig ist:

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

386 Satz 5.2-7 (Egorov, 1911)

(X, A, µ) sei ein vollständiger Maßraum, µ(X) < ∞, f : X −→ R, (fj )j eine Folge in L0R (X, A).   Äq (i) fj j −−−→ f µ-f.ü.

(ii) ∀ ε > 0 ∃ Aε ∈ A : µ(X\Aε ) ≤ ε, (fj
Aε )j −−−−−→ f
Aε d| | -glm.

Beweis (i) ⇒ (ii) Nach 5.2-6 ist f ∈ L0R (X, A) und nach 5.2-2.2 (fj − f ) ∈ L0R (X, A) für     0 kann o. B. d. A. fj j −−−→  0 angenommen jedes j ∈ N. Wegen fj − f j −−−→  µ-f.ü.

µ-f.ü.

werden, etwa (fj
X\N )j −−−→ 0 für ein N ∈ A0 . Für jedes j ∈ N setze man pktw.

 fj (x) für x ∈ X\N ϕj (x) := 0 für x ∈ N . Gem. A 5 ist (ϕj )j ∈ L0R (X, A)N , und es gilt (ϕj )j −−−→ 0. Nach 5.2-2 (d) ist pktw.

L0R (X, A)

für jedes j ∈ N, (gj )j (punktweise) monoton fallend gj := supk≥j ϕk ∈ und (gj )j −−−→ 0. Man kann daher o. B. d. A. auch noch (fj )j monoton fallend mit pktw.

(fj )j −−−→ 0 annehmen. pktw.

Für alle k, j ∈ N setze man nun  Ak,j := x ∈ X ∀ m ≥ j : fm (x) <

1 2k+1

∈ A.

# Dann gilt Ak,j ⊆ Ak,j+1 für jedes j ∈ N, j∈N Ak,j = X für jedes k ∈ N  punktweise Konvergenz von (fj )j gegen 0 , also µ(X) = limj µ(Ak,j )  5.1-1 (c)  für jedes k ∈ N. Sei ε > 0, jε,k ∈ N mit µ(X) − ε 2−(k+1) < µ(Ak,j ), also $ µ(X\Ak,j ) < ε 2−(k+1) für alle j ≥ jε,k . Die Menge Aε := k∈N Ak,jε,k gehört  ∞  zu A, µ(X\Aε ) ≤ k=0 µ X\Ak,jε,k ≤ ε, und für jedes x ∈ Aε , k ∈ N gilt 1 fj (x) < 2k+1 für alle j ≥ jε,k  x ∈ Ak,jε,k . (ii) ⇒ (i) Nach Voraussetzung (ii) existiert zu jedem k ∈ N ein A 1 ∈ A mit   # k+1 1 µ(X\A 1 ) ≤ k+1 und fj
A 1 j −−−−−→ f
A 1 . Mit A := k∈N A 1 ∈ A k+1

k+1

folgt (fj
A)j −−−−−→ f
A, d| | -pktw.

für alle k ∈ N, also µ(X\A) = 0.

d| | -glm.

k+1

 µ(X\A) ≤ µ X\A

k+1

 1 k+1

≤

1 k+1 ✷

5.2 Meßbare Funktionen

387

In 5.2-7 kann auf die Voraussetzung „µ(X) < ∞“ nicht verzichtet werden: Beispiel (5.2,4) 1 Über dem Maßraum (N, PN, µZ ) sei fj : N −→ R, fj (x) := j+1 x für jedes j ∈ N. Dann  −−→ 0. Aussage 5.2-7 (ii) ist daher nicht erfüllbar ist (fj )j −−−−−→ 0, aber (fj )j −−− d| | -pktw.

 µZ (A) < 1 =⇒ A = ∅ .

d| | -glm.

Aufgaben zu 5.2 1. (X, A), (Y, B), (Z, C) seien meßbare Räume, f : X −→ Y , g : Y −→ Z. (a)

{ T ⊆ Y | f −1 [T ] ∈ A } ist σ-Algebra über Y .

(b) f −1 [[B]] ist σ-Algebra über X. Für jedes S ⊆ X ist A|S (s. 5.1, A 14) die kleinste σ-Algebra S über S, für die idS (S, A)-meßbar ist.   (d) f ∈ M((X, A), (Y, B)), g ∈ M (Y, B), (Z, C) =⇒ g ◦ f ∈ M((X, A), (Z, C)) (c)

(e)

f ∈ M((X, A), (Y, B)), S ⊆ X

=⇒

f
S ∈ M((S, A|S), (Y, B))

2. (X, A) sei ein meßbarer Raum, A ⊆ X. Äq (i)

A∈A

(ii) χA ∈ L0R (X, A) 3. (X, A) sei ein meßbarer Raum, f ∈ L0 (X, A), f ≥ 0. Es gibt eine monoton wachsende Folge (ϕj )j ∈ ER0 (X, A)N nichtnegativer Funktionen ϕj , die τ|∗∗| -punktweise gegen f konvergiert. 4. (X, A, µ) sei ein vollständiger Maßraum, (Y, B) meßbarer Raum, f, g : X −→ Y und U := { x ∈ X | f (x) = g(x) } ∈ A mit µ(U ) = 0. Äq (i)

f ∈ M((X, A), (Y, B))

(ii) g ∈ M((X, A), (Y, B)) (Hinweis: 5.1-3) 5. (X, A), (Y, B) seien meßbare Räume, N ∈ (A
X\N, B) meßbare Funktion. Dann ist F  f (x) F (x) := y

A, y ∈ Y und f : X\N −→ Y eine bzgl. : X −→ Y , für x ∈ X\N für x ∈ N ,

(A, B)-meßbar. 6. (X, A, µ) sei ein Maßraum, Y eine Menge. (a)

=µ ist eine Äquivalenzrelation über Y X .

(b) =µ ist eine Kongruenzrelation über der R-Algebra L0R (X, A).

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

388

7. (X, A, µ) sei ein Maßraum, f , f  , g, g  ∈ L0 (X, A) und f , g µ-addierbar. (a)

f + g ∈ L0 (X, A)

(b) f =µ f  , g =µ g 

f  , g  µ-addierbar und f + g =µ f  + g  N    8. (X, A, µ) sei ein Maßraum, (Y, I) topologischer Raum, fj j ∈ Y X /=µ , gj ∈ fj für jedes j ∈ N, g, f ∈ Y X . (a)

(fj )j −−−→ f µ-f.ü.

=⇒

=⇒

(gj )j −−−→ f µ-f.ü.

    (b) (Y, I) T2 -Raum, fj j −−−→ f, fj j −−−→ g µ-f.ü.

µ-f.ü.

=⇒

f = g

 N 9. (X, A) sei meßbarer, (Y, d) metrischer Raum, (fj )j ∈ M (X, A), (Y, Aσ (τd )) , g ∈ Y X und (fj )j −−−−−→ g. Man zeige: τd -pktw.

  g ∈ M (X, A), (Y, Aσ (τd )) .  (Hinweis: Für O ∈ τd , j ∈ N sei Oj := x ∈ O dist(x, Y \O) >   $ # g −1 [O] = j,m∈N k≥m fk−1 [Oj ] .)

1 j+1



. Es ist

10. (X, τ) sei ein topologischer Raum, (Y, d) pseudometrischer Raum, f : X −→ Y und Sf := { x ∈ X | f (τ, τd )-stetig in x }. Es gilt Sf ∈ Aσ (τ). (Sf ist sogar Gδ -Menge in (X, τ)!) 11. (X, A) sei ein meßbarer Raum. Man zeige:   L0R (X, A) = M (X, A), (R, Aσ (τ| | )) . 12. (X, A) sei ein meßbarer Raum,

    L0C (X, A) := M (X, A), C, Aσ τ| |C ,

wobei τ| |C die Betragstopologie auf C bezeichnet. (a)

L0R (X, A) = L0C (X, A) ∩ RX

(b) L0C (X, A) ⊆ L0C (X, A) (Konjugation) und ∀ z ∈ C : zL0C (X, A) ⊆ L0C (X, A) (c)

∀ f ∈ CX : f ∈ L0C (X, A) ⇔ Re f, Im f ∈ L0R (X, A) (Hinweis: 5.1, A 17)

(d) L0C (X, A) ist (mit den punktweisen Operationen) eine kommutative C-Algebra mit Eins c1 , die stabil gegen die Bildung von punktweisen Limiten von Folgen und Inversen (in CX ) (und Konjugation gem. (c)) ist. (e)

∀ f ∈ L0C (X, A) : |f | ∈ L0R (X, A).

13. (X, A) sei ein meßbarer Raum, f ∈ L0 (X, A). Man zeige: sgn f ∈ ER0 (X, A) 14. (X, A) sei ein meßbarer Raum, A ∈ A, f ∈ L0 (A, A|A), r ∈ R∗∗ und f ∗ : X −→ R∗∗ , definiert durch f ∗ (x) := f (x) für x ∈ A, f ∗ (x) := r für x ∈ X\A. Dann ist f ∗ ∈ L0 (X, A).

5.3 Integration, integrierbare Funktionen

389

5.3 Integration, integrierbare Funktionen Dieser Abschnitt enthält die zu Beginn des Kapitels angedeutete Integrationsmethode nach H. Lebesgue und einige für die Integrationstheorie grundlegende Eigenschaften integrierbarer Funktionen. Definitionen (X, A, sei ein Maßraum, f ∈ L0 (X, A), f ≥ 0, A ∈ A, ϕ ∈ ER0 (X, A), ϕ ≥ 0, µ) n ϕ = j=1 rj χAj (kanonische Darstellung). 

∗

ϕ :=

n 

rj µ(Aj )

j=1

heißt µ-Integral von ϕ,
  f := sup µ-Integral von f und

∗

 0 ψ 0 ≤ ψ ≤ f, ψ ∈ ER (X, A) 

 f :=

f χA

A

µ-Integral von f über A. Weitere Schreibweisen:    f (x) dµ(x) := f dµ := f



 f (x) dµ(x) :=

bzw. A

 f dµ :=

A

f. A

Einfache Rechenregeln für das µ-Integral nichtnegativer meßbarer Funktionen: Satz 5.3-1

m n 0 (X, A, µ) sei ein Maßraum, ϕ = j=1 rj χAj , ψ = j=1 sj χBj ∈ ER (X, A) (kanonische Darstellungen), f , g ∈ L0 (X, A), ϕ, ψ, f , g nichtnegativ.



∗ ϕ = ϕ, ∀ A ∈ A : A ϕ = nj=1 rj µ(A ∩ Aj ) (a) (i)



(ii) ∀ A, B ∈ A : A ∩ B = ∅ ⇒ A∪B ϕ = A ϕ + B ϕ  

   

(ϕ + ψ) = ϕ + ψ (iii) ∀ r ∈ R+ : (rϕ) = r ϕ ,

f =0 (b) (i) f =µ 0 ⇐⇒

(ii) ∀ A ∈ A0 : A f = 0



(iii) ∀ A ∈ A : f
A ≤ g
A ⇒ A f ≤ A g  

(iv) ∀ r ∈ R+ : (rf ) = r f



(v) ∀ A, B ∈ A : A ⊆ B ⇒ A f ≤ B f

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

390 Beweis

Zu (a) Für ψ ≤ ϕ gilt     ∗ n m m n m    ψ= sj µ(Bj ) = sj µ(Bj ∩ Ak ) ≤ rk µ(Bj ∩ Ak ) = also



j=1 n 

rk

 m

∗

j=1 k=1

k=0

   n µ(Bj ∩ Ak ) = rk µ(Ak ) =

j=1

k=1

ϕ=

j=1

∗

ϕ,

k=1

ϕ  ϕ ≤ ϕ .

Man erhält daher mit der Darstellung ϕχA =

∗ ϕχA = ϕχA = nj=1 rj µ(A ∩ Aj ).

n

j=1 rj χA∩Aj

(vgl. auch A 2 (b))

Sind A, B ∈ A, A ∩ B = ∅, so folgt   n n   ϕ+ ϕ= rj µ(A ∩ Aj ) + rj µ(B ∩ Aj ) A

B

j=1

=

n 

j=1 n    rj µ (B ∩ Aj ) ∪ (A ∩ Aj ) = rj µ((A ∪ B) ∩ Aj )

j=1

j=1



ϕ.

= A∪B

 

Für alle r ∈ R+ ist (rϕ) = nj=1 rrj µ(Aj ) = r nj=1 rj µ(Aj ) = r ϕ . Wegen (ϕ + ψ)(x) = rj + sk für alle x ∈ Aj ∩ Bk , j ∈ {1, . . . , n}, k ∈ {1, . . . , m} ist  (ϕ + ψ) = (rj + sk )µ(Aj ∩ Bk ) = rj µ(Aj ∩ Bk ) + sk µ(Aj ∩ Bk ) Aj ∩Bk   ϕ+ ψ, = #n

#m

Aj ∩Bk

Aj ∩Bk

woraus mit j=1 k=1 Aj ∩ Bk = X schließlich  m  m  n  n    (ϕ + ψ) = (ϕ + ψ) =

=

j=1 k=1 Aj ∩Bk m  n   j=1 k=1

Aj ∩Bk

ϕ+

m  n   j=1 k=1

ϕ+

Aj ∩Bk

j=1 k=1



 

ψ 

ψ=

ϕ+



∗

Aj ∩Bk

ψ

Aj ∩Bk

folgt.

Zu (b) Für f =µ 0, ϕ ≤ f ist auch ϕ = µ 0, also f = 0. Umgekehrt sei Ek := x ∈ X f (x) ≥

ϕ =  1

k+1

ϕ = 0 und damit für jedes k ∈ N, also

5.3 Integration, integrierbare Funktionen

391

  # { x ∈ X | f (x) > 0 } = k∈N Ek , µ { x ∈ X | f (x) > 0 } = limk µ(Ek )  5.1-1 (c) . Wegen     1 1 χ Ek = µ(Ek ) 0= f ≥ k+1 k+1   für jedes k ∈ N folgt µ { x ∈ X | f (x) > 0 } = 0. Ist A ∈ A0 , ϕ ∈ ER0 (X, A), 0 ≤ ϕ ≤ f χA , etwa ϕ = m j=1 rj χAj (kanonische Darstellung), so ist Aj ⊆ A für jedes j ∈ {1, . . . , m} mit rj = 0, also gilt  ϕ=

m 

rj µ(Aj ) = 0.

j=1

Es folgt



Af

= 0.



Für ϕ ≤ f χA ≤ gχA ist ϕ ≤ f χA  nach Definition , also
      0 f = f χA = sup g. ϕ 0 ≤ ϕ ≤ f χA , ϕ ∈ ER (X, A) ≤ gχA = A

A





Ist r = 0, so gilt (rf ) = 0 = 0 = r f  0 · ∞ = 0! , und für r > 0 erhält man 
  0 (rf ) = sup ϕ 0 ≤ ϕ ≤ rf, ϕ ∈ ER (X, A) 
   1  0 1 = sup r r ϕ 0 ≤ r ϕ ≤ f, ϕ ∈ ER (X, A) 
 0 = r sup ψ 0 ≤ ψ ≤ f, ψ ∈ ER (X, A)  =r f  Mit ϕ schöpft auch 1r ϕ die Menge ER0 (X, A) aus. .





Schließlich ist f χA ≤ f χB für A ⊆ B, also A f = f χA ≤ f χB = B f .

✷

Eine wichtige analytische Eigenschaft des Integrals stellt das Lemma von Fatou heraus: Satz 5.3-2 (Lemma von Fatou, 1906) (X, A, µ) sei ein Maßraum, (fj )j ∈ L0 (X, A)N , fj ≥ 0 für alle j ∈ N. Es gilt:      fj . lim inf fj ≤ lim inf j

j

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

392 Beweis

lim inf j fj und gk := inf j≥k fj für jedes k ∈ N sind nichtnegativ und gehören zu 0 L0 (X, A)

 5.2-2 (d) . Es sei ϕ ∈ ER (X, A), 0 ≤ ϕ ≤ lim inf j fj . Im Fall ϕ = ∞ gibt es ein A ∈ A mit ϕ
A > 0 und µ(A) = ∞, etwa a ∈ R> , a < ϕ
A  ϕ[X] ist endlich! . Für jedes k ∈ N ist Ak := { x ∈ X | ∀ j ≥ k : gj (x) > a } ∈ A, # Ak ⊆ Ak+1 und A ⊆ k∈N Ak  (gk )k ist monoton wachsend, limk gk (x) = f (x) ≥ ϕ(x) für jedes x ∈ X , also limk µ(Ak ) = ∞. Wegen fj ≥ lim inf j j

gj ≥ aµ(Ak ) für jedes j ≥ k  5.3-1 (b) (iii), (a) (i)  folgt   lim inf fj = sup inf fj ≥ sup aµ(Ak ) = ∞, j



k j≥k

k



und man erhält lim inf j fj = ϕ = ∞ = lim inf j fj .

Sei nun ϕ < ∞, 0 < ε < 1 und P := { x ∈ X | ϕ(x) > 0 }, also µ(P ) < ∞. Für jedes k ∈ N ist Pk := { x ∈ X | ∀ j ≥ k : gj (x) > (1 − ε)ϕ(x) } ∈ A # $5.2-2 (a) , Pk ⊆ Pk+1 und P ⊆ k∈N Pk , also P \Pk ⊇ P \Pk+1 und k∈N (P \Pk ) = ∅. Wegen µ(P \P0 ) ≤ µ(P ) < ∞ erhält man mit 5.1-1 (d) 0 = µ(∅) = limk µ(P \Pk ); es existiert somit ein kε ∈ N, so daß µ(P \Pk ) < ε für jedes k ≥ kε gilt. Mit der Ungleichungskette  s. 5.3-1         gk ≥ (1 − ε)ϕ = (1 − ε) ϕ = (1 − ε) ϕ− ϕ gk ≥ Pk Pk Pk P P \Pk       ϕ− ϕ= ϕ−ε ϕ − ϕ ≥ (1 − ε) P P \Pk P \Pk   ≥ ϕ − ε ϕ − ε sup ϕ für alle k ≥ kε folgt nun      ϕ + sup ϕ , lim inf fj ≥ lim inf gj ≥ ϕ − ε j

j





also lim inf j fj ≥ ϕ. Folglich gilt lim inf j fj ≥ lim inf j fj nach Definition des Integrals. ✷ Die Ungleichung in 5.3-2 kann i. a. nicht zu einer Gleichung verschärft werden:

5.3 Integration, integrierbare Funktionen

393

Beispiel (5.3,1) Über dem Lebesgueschen Maßraum (R, Λ, λ) definiere man  χ[0,1] für j ungerade fj := χ]1,2[ für j gerade.



Dann ist fj = 1 für jedes j ∈ N, also lim inf j fj = 1, aber lim inf fj = 0 wegen lim inf j fj = 0.

Korollar 5.3-2.1 (Lebesguescher Satz von der monotonen Konvergenz, 1902) (X, A, µ) sei ein Maßraum, (fj )j ∈ L0 (X, A)N monoton wachsend, fj ≥ 0 für jedes j ∈ N. Dann ist   lim fj = lim j

j

fj .

Beweis



lim j fj = lim inf j fj ≤ lim inf j fj gilt nach 5.3-2. Wegen fk ≤ limj fj , also f k ≤ limj fj , ist auch lim supj fj ≤ limj fj , woraus sich wegen ✷ lim inf j fj ≤ lim supj fj die behauptete Gleichung ergibt. Korollar 5.3-2.2 (X, A, µ) sei ein Maßraum, f , g ∈ L0 (X, A) nichtnegativ. −−−→ f , limj (a) ∃ (ϕj )j ∈ ER0 (X, A)N : (ϕj )j monoton w., (ϕj )j −− ∗∗ (b)



(f + g) =

(c) f ≤µ g



=⇒

f+



τ | | -pktw.

g

f≤





ϕj =



f

g

Beweis Zu (a) folgt mit 5.2, A 3 und 5.3-2.1. Zu (b) Gem. 5.2-2 (a) ist f +g ∈ L0 (X, A) und nichtnegativ. Es seien (ϕj )j , (ψj )j ∈ −−−→ f , (ψj )j −− −−−→ ER0 (X, A)N monoton wachsende Folgen mit (ϕj )j −− τ ∗∗ -pktw. τ ∗∗ -pktw. | | | |



g, limj ϕj = f und limj ψj = g  nach (a) . Dann ist (ϕj + ψj )j ∈ −−−→ f + g, also gilt gem. 5.3-2.1 ER0 (X, A)N monoton wachsend, (ϕj + ψj )j −− ∗∗ τ | | -pktw.

bzw. 5.3-1 (a) (iii)     (f + g) = lim (ϕj + ψj ) = lim ϕj + lim ψj j j j     = lim ϕj + lim ψj = f + g. j

j

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

394

Zu (c) Sei { x ∈ X | f (x) > g(x) } ⊆ U , U ∈ A0 . Mit (b) und 5.3-1 (b) (ii), (iii) folgt         f+ f= f≤ g= g+ g = g. f= X\U U X\U X\U X\U U ✷ Aus 5.3-2.2 (b) erhält man für jede nichtnegative Funktion f ∈ L0 (X, A) und alle A, B ∈ A, A ∩ B = ∅, wegen χA∪B = χA + χB sofort       f = f χA∪B = f χA + f χB = f+ f A∪B

A

B

(vgl. Beweis zu 5.3-2.2 (c)). Summation und Integration dürfen vertauscht werden: Korollar 5.3-2.3 (B. Levi, 1906) (X, A, µ) sei ein Maßraum, (fj )j ∈ L0 (X, A)N , fj ≥ 0 für jedes j ∈ N. Dann ist      ∞ ∞  fj = fj . j=0

j=0

Beweis   j 0 N Es ist k=0 fk j ∈ L (X, A)  5.2-2 (a)  monoton wachsend,  j

 fk

k=0

−− −−−→ ∗∗

j τ | | -pktw. j=0

 nach Definition des Reihenwerts , also somit gem. 5.3-2.1, 5.3-2.2 (b)   ∞ j=0

 fj

= lim j

  j k=0

 fk

∞ 

∞

j=0 fj

fj

∈ L0 (X, A)  5.2-2.1 (a) , und

    j  ∞  = lim fk = fj . j

✷

j=0

k=0

Die Erweiterung des Integrals auf meßbare Funktionen erfolgt nun kanonisch: Definitionen (X, A, µ) sei ein Maßraum, A ∈ A, f ∈ L0 (X, A). Ist so heißt    + f := f − f −



f + < ∞ oder



f − < ∞,

5.3 Integration, integrierbare Funktionen

395

µ-Integral von f und f µ-integrierbar. Sofern f χA µ-integrierbar ist, heißt     + − f := (f χA ) − (f χA ) = f χA A

µ-Integral von f über A und f µ-integrierbar über A. Weitere Schreibweisen:       f (x) dµ(x) := f dµ := f f (x) dµ(x) := f dµ := f bzw. A



f + < ∞ und

A



A

f− < ∞

f µ-summierbar

:gdw

f µ-summierbar über A

:gdw f χA µ-summierbar

L1 (X, A, µ) := { f ∈ L0 (X, A) | f µ-summierbar }, L1R (X, A, µ) := L1 (X, A, µ) ∩ L0R (X, A) Zur Vereinfachung der Schreibweisen wird definiert: L1 (A, . . .) := L1 (A, A|A, µ
(A|A)).   Man beachte, daß µ-integrierbare Funktionen f A, Aσ (τ|∗∗| ) -meßbare Funktionen und µ-integrierbar über jedem A ∈ A sind  (f χA )+ ≤ f + , (f χA )− ≤ f − , 5.3-1 (b) (iii) ! Satz 5.3-3 (X, A, µ) sei ein Maßraum, f ∈ L0 (X, A). Äq (i)

f ∈ L1 (X, A, µ)

(ii) |f | ∈ L1 (X, A, µ)  



Es gilt dann |f | = f + + f − und x ∈ X f (x) ∈ {−∞, ∞} ∈ A0 . Beweis f + , f − ∈ L0 (X, A) gilt nach 5.2-2.1 (b), (5.2,1) (c) (i). Darüber hinaus:   1 + f < ∞, f− < ∞ f ∈ L (X, A, µ) ⇐⇒ 



 (f + + f − ) = f + + f −  ⇐⇒ (f + + f − ) < ∞  ⇐⇒ (f + + f − )+ < ∞  (f + + f − )− = 0  ⇐⇒

|f | ∈ L1 (X, A, µ).

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

396

Für f ∈ L1 (X, A, µ) ist demgemäß       + − + − + |f | = |f | − |f | = (f + f ) = f + f − . Mit A 5 folgt schließlich



 x ∈ X f (x) ∈ {−∞, ∞} ∈ A0 .

✷

Grundlegende Rechenregeln sind im folgenden Satz zusammengestellt. Satz 5.3-4 (X, A, µ) sei ein Maßraum, f , g ∈ L1 (X, A, µ), r ∈ R und A, B ∈ A.

(a) ∀ h ∈ L0 (X, A) : A ∈ A0 ⇒ A h = 0







(f + g) = f + g (b) rf , f + g ∈ L1 (X, A, µ), (rf ) = r f ,

f =0 (c) f =µ 0 =⇒



(d) A ∩ B = ∅ =⇒ A∪B f = A f + B f



f≤ g (e) f ≤µ g =⇒

(f) f ≤ |f | Gleichheit liegt genau dann vor, wenn 0 ≤µ f oder f ≤µ 0 ist. Beweis Zu (a) 

 h=

 hχA =

 (hχA ) − +

−

(hχA ) =



 h χA − +

h − χA = 0

A

 5.3-1 (b) (ii) . Zu (b) rf , f + g ∈ L0 (X, A) gem. 5.2-2 (b) bzw. 5.2, A 7 (a)  Nf,g ∈ A0 nach 5.3-3 .



Für r ≥ 0 ist (rf )+ = rf + , (rf )− = rf − , also (rf )+ , (rf )− < ∞  5.3-1 (b) (iv) ,        + − + − f − f =r f (rf ) = (rf ) − (rf ) = r + − − + 1 (−f

) = f , (−f ) = f ist −f ∈ L (X, A, µ) und

 gem. Definition

− . Wegen + (−f ) = f − f = − f . Ist schließlich r < 0, also rf = −|r|f , so folgt     (rf ) = − (|r|f ) = −|r| f = r f.

f , g sind µ-addierbar  A 5 . f + g ist µ-summierbar, weil (f + g)+ ≤ f + + g + ,

5.3 Integration, integrierbare Funktionen

397





g)− ≤ f − + g − , also (f + g)+ ≤ f + + g + < ∞ und (f + g)− ≤

(f + f − + g − < ∞  5.3-1 (b) (iii), 5.3-2.2 (b)  gilt. Wegen  f + − f − + g + − g − auf X\Nf,g + − (f + g) − (f + g) = f + g = 0 auf Nf,g , also

  ( f − + g − auf X\Nf,g f + + g + auf X\Nf,g − = (f + g) + (f + g) + 0 auf Nf,g 0 auf Nf,g ,

folgt nach 5.3-2.2 (b)  Nf,g 0 = 0        + − − − + f + g = (f + g) + f + g+ (f + g) + +

X\Nf,g

X\Nf,g

X\Nf,g

X\Nf,g

und hieraus nach (a)       + − − − + (f + g) + f + g = (f + g) + f + g + .



Da f + g µ-summierbar ist, erhält man (f + g) = f + g.

+

− + − Zu (c)

f =µ 0 =⇒ f =µ 0, f =µ 0 =⇒ f = 0, f = 0  5.3-2.2 (c) , also f = 0. Zu (d) Da A ∩ B = ∅ ist, gilt χA∪B = χA + χB und somit gem. (b)       f = f χA∪B = f χA + f χB = f+ f. A∪B

A

B

Zu

> g(x) } ⊆ N ∈ A0 ist gem. (d), (a) das Integral

(e) Für { x ∈ X | f (x) f = X\N f + N f = X\N f und ebenso g = X\N g. Aus (f
(X\N ))+ ≤

(g
(X\N ))+ , (f
(X\N ))− ≥ (g
(X\N ))− folgt nach 5.3-1 (b) (iii) X\N f + ≤



+ − − X\N g , X\N f ≥ X\N g , also nach (a)         + − + − f= f= f − f ≤ g − g = g = g. X\N

X\N

X\N

X\N

X\N

X\N





f ≤ |f |, −f ≤ |f | gilt gem. (e), (b) f ≤ |f |, − f ≤ |f |, also Zu

(f) Wegen

f ≤ |f |.







Sei f = |f |. Für f ≥ 0 ist dann f = |f | und nach (b) (|f | − f ) = 0  Nf,−|f | ∈ A 0 ; 5.3-3 . Es folgt

f =µ |f |  5.3-1 (b) (i) , also 0 ≤µ f . Ebenso erhält man im Fall f < 0, daß |f | = − f und daher (|f | + f ) = 0 gilt, woraus −|f | =µ f , also f ≤µ 0 folgt.

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

398



Umgekehrt sei 0 ≤µ f , also |f | =µ f . Nach (e) ist

dann 0 ≤ f = |f |. Für f ≤µ 0 ✷ ist |f | =µ −f , und es gilt nach (b), (e) |f | = − f = f . Korollar 5.3-4.1 (X, A, µ) sei ein Maßraum, h : X −→ R∗∗ , f , g ∈ L1 (X, A, µ).



f= g (a) f =µ g =⇒ (b) Falls (X, A, µ) vollständig oder h ∈ L0 (X, A) ist, gilt:   1 f = h =⇒ h ∈ L (X, A, µ), h = f. µ

Beweis Zu (a) folgt direkt aus 5.3-4 (e). A, µ). Zu (b) Nach 5.2, A 4 ist h ∈ L0 (X, A) im Fall der Vollständigkeit

+ von

(X, + = h+ , f − = h− erhält man mit 5.3-4 (e), (b) + < ∞, h = f Aus f µ µ



− − ✷ h = f < ∞, also h ∈ L1 (X, A, µ) und h = f . Die in Abschnitt 1.2 (Seite 43) eingeführte, in 3.5 eingehender untersuchte Summation von Funktionen (Summierbarkeit) erweist sich nun als Integration über einem Maßraum (µ-Summierbarkeit), wobei die Summe gerade das Integral summierbarer Funktionen ist. Satz 5.3-5 X sei eine nichtleere Menge, f : X −→ R. Äq (i)

f summierbar (im Sinn von Abschnitt 1.2)

(ii) f ∈ L1R (X, PX, µZ ) In diesem Fall ist

 f dµZ =



f (x).

x∈X

Beweis Wegen 3.5-5.1 und 5.3-3 kann zur Bestätigung der Äquivalenz f ≥ 0 angenommen werden, f ∈ L0 (X, PX) ist klar. (i) ⇒ (ii) Sei f ≥ 0 summierbar, s := x∈X f (x) und ε > 0. Dann existiert ein Eε ∈ Pe X mit  f (x) > s − ε. ∀ E ∈ Pe X : E ⊇ Eε ⇒ x∈E

5.3 Integration, integrierbare Funktionen Es ist ϕε :=



399

f (x)χ{x} ∈ ER0 (X, PX), 0 ≤ ϕε ≤ f und    f (x) = f (x)µZ ({x}) = ϕε s−ε
0, ϕ ∈ (ii) ⇒ (i) Sei f ∈ L1R (X,  PX),  wobei

ER (X, m f − ε ist. 0 ≤ ϕ ≤ f , etwa ϕ = j=1 rj χAj (kanonische Form), und ϕ >



Wegen ϕ ≤ f < ∞  5.3-1 (b) (iii)  gilt

Sei J :=  ϕ=



∀ j ∈ {1, . . . , m} : rj = 0 ⇒ Aj ∈ Pe X.  j ∈ {1, . . . , m} rj = 0 , also



rj µZ (Aj ) =

j∈J



rj |Aj | =

|Aj |  j∈J i=1

j∈J

rj ≤



f (x) =

j∈J x∈Aj

  x∈ j∈J Aj

f (x)

#  (Aj )j∈J paarweise disjunkt, 3.5-5 (b) . Es ist A := j∈J Aj ∈ Pe X, und für alle E ∈ Pe X, E ⊇ A gilt      f (x) ≥ f (x) ≥ ϕ > f − ε. x∈E

Wegen

 x∈E

f (x) =

x∈A

 x∈E

f (x)µZ ({x}) =

  x∈E

 f (x)χ{x}

 ≤

f

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

400

0  0 ≤ x∈E f (x)χ{x} ≤ f , x∈E f (x)χ{x} ∈ ER (X, PX)  ist f summierbar mit

Summe x∈X f (x) = f . Schließlich gilt für alle f ∈ L1R (X, PX, µZ ) (⇐⇒ f + , f − ∈ L1R (X, PX, µZ ) gem. Definition) mit den obigen Feststellungen     f+ = f + (x), f− = f − (x) x∈X

x∈X

und somit nach 3.5, A 1       f + (x) − f − (x) = f (x). f = f+ − f− = x∈X

x∈X

x∈X

✷

Der folgende Satz (Majorantenkriterium) bietet eine Möglichkeit zur Feststellung der µ-Summierbarkeit von Funktionen f : X −→ R∗∗ und zur Berechnung ihrer µ-Integrale über Maßräumen (X, A, µ). Satz 5.3-6 (Lebesguescher Konvergenzsatz, 1904) (X, A, µ) sei ein Maßraum, f : X −→ R∗∗ , (fj )j ∈ L0 (X, A)N , g ∈ L1 (X, A, µ), |fj | ≤ g für jedes j ∈ N und limj fj =µ f . Ist (X, A, µ) vollständig oder f ∈ L0 (X, A), so gilt: (a) f ∈ L1 (X, A, µ) und



 lim j

fj dµ =

f dµ

(b) limj |fj − f | dµ = 0. Beweis (R∗∗ , τ|∗∗| ) ist ein regulärer A2 -Raum (s. (4.4,5) (b), 4.3-3.1), also metrisierbar  2.5-15 . Nach 5.2-6 ist f ∈ L0 (X, A), sofern (X, A, µ) vollständig ist. Zu (a) Es genügt, den Beweis unter den Voraussetzungen „|fj | ≤ g für jedes j ∈ N und limj fj = f “ durchzuführen: Man wähle Nullmengen A, Aj ∈ A0 für jedes j ∈ N, so daß   x ∈ X |fj (x)| > g(x) ⊆ Aj , 

x ∈ X (fj (x))j −−  ∗∗ → f (x) ⊆ A #

τ|

|

gilt. Mit B := A ∪ j∈N Aj ∈ A0 , f ∗ := f χX\B , fj∗ := fj χX\B sind dann fj∗ , f ∗ ∈ L0 (X, A)  5.2-2.1 (b) , |fj∗ | ≤ g für jedes j ∈ N und limj fj∗ = f ∗ ,

5.3 Integration, integrierbare Funktionen

401



also fj∗ , f ∗ ∈ L1 (X, A, µ) und limj fj∗ = f ∗ . Nach 5.3-4.1 (b) erhält man





fj = fj∗ für alle j ∈ N, woraus sich f , fj ∈ L1 (X, A, µ) und f = f ∗ ,



limj fj = f ergibt.



Wegen

|fj | ≤ g für alle j ∈ N ist auch |f | ≤ g, also |fj | ≤ g < ∞ für jedes j ∈ N und |f | ≤ g. Somit sind |fj | für jedes j ∈ N und |f | µ-summierbar. Mit 5.3-3 folgt f , fj ∈ L1 (X, A, µ) für jedes j ∈ N. Gem. 5.3-4 (b) sind die nichtnegativen Funktionen g + fj , g + (−fj ) µ-summierbar (insbesondere (A, Aσ (τ|∗∗| ))-meßbar), nach dem Lemma von Fatou  5.3-2  erhält man daher     g + f = (g + f ) = lim inf (g + fj ) j    ≤ lim inf (g + fj ) = g + lim inf fj j

und



  (g + (−f )) = lim inf (g − fj ) ≤ lim inf (g − fj ) j j     = g + lim inf (−fj ) = g − lim sup fj .

 g−

j



f=

j

Da



j

g eine reelle Zahl ist, folgt aus diesen Ungleichungen    lim sup fj ≤ f ≤ lim inf fj , j

j

also



f = limj



fj  lim inf j



fj ≤ lim supj



fj gilt definitionsgemäß immer .

Zu (b) Mit f , fj ∈ L1 (X, A, µ)  Beweis zu (a)  sind auch |f − fj | ∈ L1 (X, A, µ) für alle j ∈ N  5.3-4 (b), 5.3-3 , und es gilt |f − fj | ≤ |f | + |fj | ≤ g + g = 2g µ

für jedes j ∈ N. Nach (a) folgt deshalb   lim |f − fj | = lim|f − fj | = 0 j

j

 limj |f − fj | =µ 0, 5.3-4 (c) . Summation und Integration dürfen unter gewissen Bedingungen vertauscht werden:

✷

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

402 Korollar 5.3-6.1

∞

(X, A, µ) sei ein Maßraum, (fj )j ∈ L1 (X, A, µ)N , j=0 |fj | < ∞. Es gibt ein f ∈ L1 (X, A, µ) mit  ∞ ∞    fj = f und f= fj . j=0

µ

j=0

Beweis Man definiere ϕ : X −→ R+ ∪ {∞} durch ϕ(x) :=

∞ 

|fj (x)|.

j=0

Dann ist ϕ ∈ L0 (X, A)  5.2-2.1 (a), (b), 5.2-2 (a)  mit       ∞ ∞  |fj | < ∞ ϕ= |fj | = j=0

j=0

 5.3-2.3, Voraussetzung , also ϕ ∈ L1 (X, A, µ). Nach ∞ A 5 ist das Maß der Menge { x ∈ X | ϕ(x) = ∞ } Null, d. h. die Reihe j=0 |fj | ist µ-pktw. konvergent ∞   |fj (x)| = ∞ ⊆ A ∈ A0 . Nach 3.5-6 gilt in (R, τ| | ), etwa x ∈ X j=0 ∞ ∗ 0 j=0 fj (x) ∈ R für jedes x ∈ X\A, und mit fj := fj χX\A ∈ LR (X, A) für jedes j ∈ N und f : X −→ R,  ∞ j=0 fj (x) für x ∈ X\A f (x) := 0 für x ∈ A, ∞ ∗ 0 erhält man ∞ j=0 fj = f , also f ∈ LR (X, A)  5.2-2.1  und j=0 fj =µ f . Weiter gilt

 ∞ ∞  fj ≤ |fj | = ϕ, |f | = µ µ j=0



j=0



also |f | ∈ L1 (X, A, µ)  |f | ≤ ϕ < ∞ gem. 5.3-2.2 (c)  und somit die Funktion f ∈ L1 (X, A, µ) nach 5.3-3. Schließlich ist wegen nj=0 fj ≤µ ϕ für alle n ∈ N, limn nj=0 fj =µ f und ϕ ∈ L1 (X, A, µ) nach dem Lebesgueschen Konvergenzsatz  5.3-6 (a)  und 5.3-4 (b)     n n   fj . fj = lim f = lim n

j=0

n

j=0

✷

5.3 Integration, integrierbare Funktionen

403

Die Riemannsche Integrationsmethode für beschränkte Funktionen auf kompakten Intervallen [a, b] ⊆ R wird durch die Lebesgue-Integration wesentlich erweitert (s. auch A 3 und (5.4,5)): Beispiel (5.3,2) Es seien a, b ∈ R, a < b. (a)

R([a, b]) ⊆ L1R ([a, b], . . .), d. h. jede Riemann-integrierbare Funktion auf [a, b] ist Lebesgue-summierbar:

Gem. (5.2,3) gilt R([a, b]) ⊆ L0R ([a, b], Λ|[a, b]). Da jedes f ∈ R([a, b]) beschränkt ist, |f | ≤ sup[a,b] |f | = f ∞ , gehört mit der konstanten Funktion cf ∞ auch f zu L1R ([a, b], . . .)  5.3-3 .



b (b) ∀ f ∈ R([a, b]) : a f (x) dx = f (= f dλ
(Λ|[a, b]))   Zur Begründung dieser Gleichung sei Zk := z0 , . . . , z2k ∈ Za,b für jedes k ∈ N\{0} eine äquidistante Zerlegung von [a, b], zj − zj−1 =

b−a , 2k

(k)

ij

(k)

:= inf f
[zj−1 , zj ],

sj

:= sup f
[zj−1 , zj ]

für jedes j ∈ {1, . . . , 2k }, k

ϕk :=

2 

(k)

ij χ[zj−1 ,zj [ + f (b)χ{b}

und

j=1 k

ψk :=

2 

(k)

sj χ[zj−1 ,zj [ + f (b)χ{b} .

j=1

Für jedes k ∈ N\{0} sind dann ϕk , ψk ∈ ER0 ([a, b], Λ|[a, b])  A 2 (a) , ϕk ≤ f ≤ ψk , 

ϕk (x) dx = RU (f )(Zk ) = a





k

b

2 

(k) ij (zj

− zj−1 ) =

ϕk

und

j=1



k

b

ψk (x) dx = RO (f )(Zk ) = a

2 

(k)

sj (zj − zj−1 ) =

ψk

j=1

 (1.2,5), A 2 (b) . Wegen f ∈ R([a, b]) folgt  b   f (x) dx = lim ψk lim ϕk = k

a

k

 (1.2,5), limk≥1 RU (f )(Zk ) = limZ∈Za,b RU (f )(Z) = limZ∈Za,b RO (f )(Z) = limk≥1 RO (f )(Zk ) . Man setze nun ϕ := lim ϕk

 (ϕk )k ist monoton wachsend. ,

ψ := lim ψk

 (ψk )k ist monoton fallend. 

k≥1

k≥1

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

404

und erhält ϕ ≤ f ≤ ψ, ϕ, ψ ∈ L0R ([a, b], Λ|[a, b])  5.2-2.1 (a) . Nach 5.3-6 folgt ϕ, ψ ∈ L1R ([a, b], . . .) und     ϕ = lim ϕk , ψ = lim ψk . k≥1

Somit gilt



ϕ=



k≥1

ψ, also mit 5.3-4 (e)





b

f (x) dx =

 ϕ≤

 f≤

 ψ=

a

b

f (x) dx. a

Abschließend sei vermerkt, daß mit L1C (X, A, µ) := { f ∈ L0C (X, A) | Re f, Im f ∈ L1R (X, A, µ) } (s. 5.2, A 12) durch



 f :=

 f dµ :=

 Re f dµ + i

Im f dµ

für f ∈ L1C (X, A, µ) das µ-Integral auf L1R (X, A, µ) zu einem komplexen µ-Integral auf L1C (X, A, µ) mit analogen Eigenschaften auf natürliche Weise erweitert werden kann (s. A 7, A 8, A 9). Beispiel (5.3,3) (X, A, µ) sei ein Maßraum, f ∈ L0C (X, A). (a)

(vgl. 5.3-3)

f ∈ L1C (X, A, µ) ⇐⇒ |f | ∈ L1R (X, A, µ)



Ist nämlich f ∈ L1C (X, A, µ),

also |Re f |, |Im f | < ∞  5.3-3 , so folgt wegen |f | ≤ |Re f | + |Im f | auch |f | < ∞  5.3-1 (b) (iii), 5.3-2.2 (b) . Umgekehrt sind für |f | ∈ L1R (X, A, µ) wegen |Re f |, |Im f | ≤ |f | die nichtnegativen Funktionen |Re f |, |Im f | in L1R (X, A, µ), und gem. 5.3-3 folgt Re f , Im f ∈ L1R (X, A, µ), also gilt f ∈ L1C (X, A, µ). (Die Meßbarkeit der Funktionen erhält man jeweils aus 5.2, A 12 (c), (e) bzw. 5.2-2.1 (b).)



(b) | f | ≤ |f | für jedes f ∈ L1C (X, A, µ).



Zur Begründung der Ungleichung verwende man f in Polardarstellung f = reiϕ , r ∈ R+ , ϕ ∈ [0, 2π[ und setze g := e−iϕ f ∈ L0C (X, A)  5.2, A 12 (d) . Es folgt       f = e−iϕ f = r = e−iϕ f = g = Re g ≤ |f |  A 7 (b), Re g ≤ |g| = |f | .

5.3 Integration, integrierbare Funktionen

405

Aufgaben zu 5.3 1. (X, τ) sei ein T2 -Raum, (X, A, µ) regulärer Maßraum (bzgl. τ). Man zeige: Cc (X, R) ⊆ L1R (X, A, µ). 2. (X, A, µ) sei ein Maßraum, m ∈ N, rj ∈ R+ , Aj ∈ A für jedes j ∈ {1, . . . , m} und m ϕ := j=1 rj χAj . ϕ ∈ ER0 (X, A)

m (b) ϕ = j=1 rj µ(Aj ).

(a)

3. Es sei ϕ : [0, 1] −→ R+ definiert durch  0 für x ∈ Q ϕ(x) = 1 für x ∈ R\Q. Man zeige ϕ ∈ L1R ([0, 1], . . .)\R([a, b]). 4. (X, A) sei ein meßbarer Raum, x0 ∈ X, µ(x0 ) : A −→ R das Dirac-Maß bei x0 und f ∈ L0 (X, A).

(a) f ist µ(x0 ) -integrierbar, f dµ(x0 ) = f (x0 ). (b) f ∈ L1 (X, A, µ)

⇐⇒

f (x0 ) ∈ R.

5. (X, A, µ) sei ein Maßraum, f ∈ L1 (X, A, µ). Man zeige: { x ∈ X | f (x) = ∞ }, { x ∈ X | f (x) = −∞ } ∈ A0 . 6. (X, A, µ) sei ein Maßraum. Für alle f , g ∈ L1 (X, A, µ) sind auch f ∧ g, f ∨ g ∈ L1 (X, A, µ). 7. (X, A, µ) sei ein Maßraum, A, B ∈ A, f , g ∈ L1C (X, A, µ), z ∈ C und h ∈ L0C (X, A).



h := hχA = 0 (a) A ∈ A0 =⇒ A







(b) zf , f + g ∈ L1C (X, A, µ) und zf = z f , (f + g) = f + g

(c) f =µ 0 =⇒

f = 0

(Also: f =µ g =⇒ f = g)



f = Af + Bf (d) A ∩ B = ∅ =⇒ A∪B 8. (X, A, µ) sei ein vollständiger Maßraum, h, k : X −→ C, f ∈ L1C (X, A, µ) und g ∈ L1 (X, A, µ), (fj )j ∈ L0C (X, A)N , limj fj =µ k und |fj | ≤ g für jedes j ∈ N.



(a) f =µ h =⇒ h ∈ L1C (X, A, µ), h = f .



(b) k ∈ L1C (X, A, µ), limj fj = k und limj |fj − k| = 0. 9. X sei eine nichtleere Menge, f : X −→ C. Äq (i)

f summierbar (im Sinn von Abschnitt 1.2)

(ii) f ∈ L1C (X, PX, µZ ).

In diesem Fall ist f dµZ = x∈X f (x).

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

406

10. L1R (N, PN, μZ ) = `1R (s. (1.1,3)) und L1C (N, PN, μZ ) = `1 .

11. (X, A, μ) sei ein Maßraum, f , g ∈ L1 (X, A, μ). Gilt f ∙ g ∈ L1 (X, A, μ)? (Hinweis: Man verwende (R, Λ, λ)!) 12. (X, A, μ) sei ein Maßraum und f ∈ L1 (X, A, μ). Man zeige: Z ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ A ∈ A : μ(A) < δ ⇒ |f | < ε. A

(Hinweis: Indirekt, 5.3-6.)

5.4 Lq -Räume Die Lq -Räume sind wichtige Beispiele für vollständige normierte Räume (BanachRäume), sie können häufig auch als Vervollständigung normierter Funktionenräume verwendet werden, z. B. von (C([a, b]), k kq ) (vgl. (3.2,3), (5.4,5)). Wegen 5.3-5 und (3.5,4) (a) stellen die Lq -Räume vor dem Hintergrund der Lebesgue-Integration eine natürliche Erweiterung der Folgenräume (`q , k kq ) (über dem Maßraum (N, PN, μZ ); 5.3, A 10) zu Funktionenräumen über beliebigen Maßräumen dar. Definitionen (X, A, μ) sei ein Maßraum, q ∈ R, q > 0, g ∈ L0 (X, A).  Lq (X, A, μ) := f ∈ L0 (X, A) |f |q μ-summierbar

ist die Menge der R zur q-ten Betragspotenz μ-summierbaren Borel-meßbaren Funktionen, kf kq := ( |f |q )1/q für jedes f ∈ Lq (X, A, μ) die Lq -Halbnorm von f .  wes sup g := inf r ∈ R∗∗ g ≤ r μ

heißt wesentliches Supremum von g (bzgl. μ),  wes inf g := sup r ∈ R∗∗ r ≤ g μ

wesentliches Infimum von g (bzgl. μ). g μ-wesentlich beschränkt Es bezeichne

:gdw

wes sup|g| < ∞

L∞ (X, A, μ) := { f ∈ L0 (X, A) | f μ-wesentlich beschränkt }, und kf k∞ := wes sup|f | für jedes f ∈ L∞ (X, A, μ) die L∞ -Halbnorm von f . Für A ∈ A, q ∈ R> ∪ {∞} wird wieder abgekürzt:

Lq (A, . . .) := Lq (A, A|A, μ(A|A)).

5.4 Lq -Räume

407

Satz 5.4-1 (X, A, µ) sei ein Maßraum, f , g ∈ L0 (X, A). (a) f ≤µ wes sup f = − wes inf(−f ) (b) f , g µ-addierbar

=⇒

wes sup(f + g) ≤ wes sup f + wes sup g

Beweis Zu (a) Man betrachte E := { x ∈ X | f (x) > wes sup f } und für jedes j ∈ N   1 + wes sup f . Dann ist µ(Ej ) = 0, die Mengen Ej := x ∈ X f (x) > j+1 # Ej ⊆ Ej+1 für jedes j ∈ N und E = j∈N Ej . Nach 5.1-1 (c) folgt µ(E) = limj µ(Ej ) = 0. Weiter gilt     wes sup f = inf r ∈ R∗∗ f ≤ r = inf r ∈ R∗∗ −r ≤ −f µ µ   ∗∗ −r ≤ −f = − wes inf(−f ). = − sup −r ∈ R µ

Zu (b) Nach (a) gilt f + g ≤µ wes sup f + wes sup g, also definitionsgemäß wes sup(f + g) ≤ wes sup f + wes sup g. ✷ Beispiel (5.4,1) In 5.4-1 (b) kann die strenge Ungleichung gelten: Über dem Lebesgueschen Maßraum (R, Λ, λ) sei f := χ[−1,0[ − χ[0,1] und g := −f . Dann ist wes sup f = 1 = wes sup g, aber wes sup(f + g) = 0.

Die Relation =µ (s. Abschnitt 5.2) ist für jedes q ∈ ]0, ∞] eine Äquivalenzrelation über Lq (X, A, µ). Als Bezeichnungen für die zugehörige Partition und ihre Elemente werden (wie in 5.2) Lq (X, A, µ) := Lq (X, A, µ)/= , µ

L (A, . . .) := L (A, . . .)/= q

q

µ

für jedes A ∈ A

und f (die f enthaltende Äquivalenzklasse) für jedes f ∈ Lq (X, A, µ) verwendet. Für q ∈ R> nennt man auch Lq (X, A, µ) die Menge der zur q-ten Betragspotenz µ-summierbaren Borel-meßbaren reellwertigen Funktionen, was selbstverständlich nicht korrekt ist, dem Informierten erfahrungsgemäß jedoch keinerlei Schwierigkeiten bereitet. Die Begründung für diese Sprechweise liegt darin, daß jede Äquivalenzklasse f eine reellwertige Funktion g enthält und mit ihr identifiziert werden kann, weil Nullmengen für die Berechnung von Integralen bedeutungslos sind  5.3-4 (a) :

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

408 Satz 5.4-2

(X, A, µ) sei ein Maßraum, q ∈ ]0, ∞] und f ∈ Lq (X, A, µ). Dann ist f ∩ RX = ∅. Beweis Für q ∈ R> setze man

 f (x) für x ∈ X\f −1 [{−∞, ∞}] g(x) := 0 sonst.   |f (x)|q = ∞ = 0 und somit das Maß |f |q ist µ-summierbar, also µ x ∈ X   der Menge x ∈ X f (x) ∈ {−∞, ∞} Null. Wegen g =µ f folgt |g| q =µ |f |q . Gem. 5.2, A 5 ist g ∈ L0 (X, A), und nach 5.3-4.1 (a) erhält man |g|q = |f |q < ∞  |g|q ∈ L0 (X, A) gem. 5.2-2.1 (b), 5.2-2 (c) , also g ∈ Lq (X, A, µ).   Für q = ∞ sei N := x ∈ X |f (x)| > wes sup|f | , also N ∈ A0 , und  f (x) für x ∈ X\N g(x) := 0 sonst. Nach 5.2, A 5 ist g ∈ L0 (X, A), weiter gilt g =µ f , wes sup|g| = wes sup|f | < ∞, ✷ also g ∈ L∞ (X, A, µ). Wegen 5.4-2 kann man in vielen Situationen für f ∈ Lq (X, A, µ) o. B. d. A. annehmen, daß f ∈ RX ist. Satz 5.4-3 = bzw. f+ (X, A, µ) sei ein Maßraum, q, r ∈ ]0, ∞]. Mit der durch af := af g := f +g q (a ∈ R, f , g ∈ L (X, A, µ)) definierten Skalarmultiplikation und Addition ist Lq (X, A, µ) ein R-Vektorraum, und es gilt für µ(X) < ∞, q ≤ r: Lr (X, A, µ) ⊆ Lq (X, A, µ),

also Lr (X, A, µ) ⊆ Lq (X, A, µ).

Beweis Skalarmultiplikation und Addition sind wohldefiniert, wie man den entsprechenden Ausführungen in Abschnitt 5.2 entnimmt, denn f , g sind für alle f , g ∈ Lq (X, A, µ) µ-addierbar  5.3-3  und f + g ∈ L0 (X, A)  5.2, A 7 (a) . f + g ∈ L∞ (X, A, µ) folgt nach 5.4-1 (b), für q ∈ R> ergibt       q q q q q |f | + |g|q |f + g| ≤ (|f | + |g|) ≤ (2(|f | ∨ |g|)) ≤ 2    q q q =2 |f | + |g| < ∞

5.4 Lq -Räume

409

 5.2-2.1 (b), 5.3-1 (b) (iii), 5.3-2.2 (b) , daß f + g ∈ Lq (X, A, µ) gilt. 0, die Inversen(Lq (X, A, µ), +) ist eine abelsche Gruppe mit dem neutralen Element  q ). Die übrigen R-Vektorraumbildung erfolgt für jedes f ∈ L (X, A, µ) durch (−f axiome lassen sich nun mit Hilfe der entsprechenden Eigenschaften in Lq (X, A, µ) erfüllen. Sei µ(X) < ∞, q < r und f ∈ Lr (X, A, µ). Ist r = ∞, so erhält man gem. 5.4-1 (a) |f | ≤µ wes sup|f |, also |f |q ≤µ (wes sup|f |)q < ∞. Wegen µ(X) < ∞ ist die konstante Funktion (wes sup|f |)q µ-summierbar, und es folgt |f |q ∈ L1 (X, A, µ), q Für r < ∞ ergibt sich aus |f |q ≤ 1 + |f |r unmittelbar d.

h. qf ∈ L (X, A, µ). r |f | ≤ µ(X) + |f | < ∞, also f ∈ Lq (X, A, µ). ✷ Im zweiten Teil von 5.4-3 kann auf die Voraussetzung „µ(X) < ∞“ nicht verzichtet werden (s. 1.1-5 oder A 2). Definitionen (X, A, µ) sei ein Maßraum, q ∈ ]0, ∞[.
q L (X, A, µ) −→ R+ 

1/q  q :  f −→ |f |q heißt Lq -Norm auf Lq (X, A, µ),  ∞ +   L (X,A, µ) −→ R wes sup|f | für µ(X) = 0  ∞ :    f −→ 0 für µ(X) = 0 L∞ -Norm auf L∞ (X, A, µ). Die Lq -Norm ist wohldefiniert, denn für alle f ∈ Lq (X, A, µ), g ∈ f gilt wegen



q g qq . Für g =µ f auch |g|q =µ |f |q , gem. 5.3-2.2 (c) also fq = |f |q = |g|q =      g ∈ f ∈ L∞ (X, A, µ) ist g = wes sup|g| = wes sup|f | = f . ∞

Satz 5.4-4 (X, A, µ) sei ein Maßraum, q ∈ ]0, ∞[.   0 (a) ∀ f ∈ Lq (X, A, µ) : fq = 0 ⇔ f =      (b) ∀ r ∈ R ∀ f ∈ Lq (X, A, µ) : rfq = |r| fq (c) (L∞ (X, A, µ),  ∞ ) ist normierter R-Vektorraum.

∞

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

410 Beweis Zu (a) Es gilt für alle f ∈ Lq (X, A, µ):    f = 0 ⇐⇒ |f |q = 0 ⇐⇒ q ⇐⇒

f =0 µ

⇐⇒

|f |q = 0

 5.3-1 (b) (i) 

µ

f =  0.

    



1/q 1/q = |r| |f |q = |r| fq für alle r ∈ R, und Zu (b) Es ist rfq = |rf |q f ∈ Lq (X, A, µ). Zu (c) Es gilt   f

∞

= wes sup|f | = 0

⇐⇒

|f | = 0 µ

⇐⇒

f =  0,

    rf = wes sup|rf | = |r| wes sup|f | = |r| f , ∞ ∞   f + g = wes sup|f + g| ≤ wes sup(|f | + |g|) ≤ wes sup|f | + wes sup|g| ∞      5.4-1 (b), da f , g µ-addierbar sind  = f + g ∞

∞

für alle f, g ∈ L∞ (X, A, µ), r ∈ R.

✷

Für q ∈ [1, ∞[ ist (Lq (X, A, µ),  q ) ebenfalls ein normierter R-Vektorraum. Zum (noch ausstehenden) Beweis der Dreiecksungleichung wird wie im Abschnitt 1.1 für (+q ,  q ) zunächst die Hölder-Ungleichung (s. 1.1-2.1) entsprechend formuliert und begründet. Satz 5.4-5 (Hölder-Ungleichung, F. Riesz, 1910) (X, A, µ) sei ein Maßraum, q, r ∈ [1, ∞], (1/q) + (1/r) = 1. Es gilt:       f g 1 ≤ fq gr . ∀ f ∈ Lq (X, A, µ) ∀ g ∈ Lr (X, A, µ) : f=g ∈ L1 (X, A, µ), = (Für q = r = 2 heißt die Ungleichung Cauchy-Schwarz-Ungleichung.) Beweis Zuerst sei festgestellt, daß f g ∈ L0 (X, A) ist  5.2-2.1 (b) . Für q = 1, r = ∞ erhält man |f g| ≤µ |f | wes sup|g| ∈ L1 (X, A, µ), also auch f g ∈ L1 (X, A, µ) und

|f g| ≤ (wes sup|g|) |f | = g∞ f 1 . Ist 1 < q < ∞ und damit auch 1 < r < ∞,         so sei o. B. d. A. fq = 0 = gr (Für fq = 0 oder gr = 0 ist f g =µ 0 und die Ungleichung erfüllt!). Nach 1.1-2 folgt 1 |f |q 1 |g|r |f | |g|  ≤  q +  r ∈ L1 (X, A, µ)    f g q f r gr r q q

5.4 Lq -Räume

411

und weiter durch Integration    1 1 1 1 1 q   |f g| ≤  q |f | + |g|r = + = 1,     r      f g q r r g r q f q q r woraus man die gewünschte Ungleichung erhält.

✷

In der Hölder-Ungleichung für q, r ∈ ]1, ∞[ gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn es ein a ∈ R+ gibt mit |f |q =µ a|g|r oder |g|r =µ a|f |q  A 3 . Der folgende Satz ist für die Funktionalanalysis auf Lq (X, A, µ) von großer Bedeutung (vgl. 6.1, A 11): Satz 5.4-6 (X, A, µ) sei ein Maßraum, r ∈ ]1, ∞], q ∈ R, q ≥ 1, (1/q) + (1/r) = 1. Für jedes f ∈ Lq (X, A, µ) ist
      g ∈ Lr (X, A, µ), g ≤ 1 . f = max f g q r Ist (X, A, µ) σ-endlich, so gilt
      1   f = sup f g g ∈ L (X, A, µ), g 1 ≤ 1 ∞ für jedes f ∈ L∞ (X, A, µ). Beweis

Zunächst sei festgestellt, daß gem. 5.4-5 die Integrale f g für jedes g ∈ Lr (X, A, µ) existieren und nach 5.3-2.2 (c) für  g r ≤ 1 gilt         f g ≤ |f | |g| ≤ fq gr ≤ fq . Zum Beweis der inversen Ungleichung „≤“ für q = 1, r = ∞ sei

g := sgn

f gesetzt. ∞ g ∞ ≤ 1 und f g = f sgn f = Dann ist g ∈ L (X, A, µ)  5.2, A 13  mit   

0 zu f =µ 0, und für f =  0, o. B. d. A. |f | = f1 . Für 1 < q < ∞ wähle man g =    f = 1, erhält man im Fall f ≥µ 0, etwa { x ∈ X | f (x) < 0 } ⊆ A ∈ A0 , q

r A 5; 5.2-2 (c) , daß |g| = mit g ∈ L0 (X, A), g
X\A = (f
X\A)q−1  5.2,  

q

(q−1)r q r   = |f | = 1, also g ∈ L (X, A, µ) mit g r = 1 und f g = |f | = 1 |f | gilt. Ist f µ 0, so betrachte man |f | = f sgn f und erhält aus dem vorherigen Fall  



f = |f |g = f g sgn f mit g ∈ L0 (X, A), g =µ |f |q−1 ,  g r = 1. Wegen q     sgn f r ≤ gr = 1. |g sgn f |r ≤ |g|r gehört g sgn f zu Lr (X, A, µ) mit g   Schließlich sei f ∈ L∞ (X, A, µ), c := f∞ > 0 (o. B. d. A.). Für jedes ε > 0

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

412

gibt es dann ein A ∈ A, µ(A) > 0, mit |f (x)| > c − ε für alle x ∈ A. Da (X, A, µ) σ-endlich ist, kann µ(A) < ∞ angenommen  

werden. Man setze nun 1 1   g := µ(A) χA sgn f und erhält g ∈ L (X, A, µ), g 1 = |g| = 1 und    1 1 1 χA f sgn f = χA |f | ≥ (c − ε)µ(A) = c − ε fg = µ(A) µ(A) µ(A)     

  5.3-2.2 (c) . Es folgt sup f g g ∈ L1 (X, A, µ), g1 ≤ 1 ≥ c = f∞ . ✷ Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung ergibt sich die noch fehlende Dreiecksungleichung für die Lq -Norm (1 < q < ∞): Satz 5.4-7 (Minkowski-Ungleichung für Lebesgue-Integration, F. Riesz, 1910) (X, A, µ) sei ein Maßraum. Für alle q ∈ [1, ∞[ gilt:       ∀ f, g ∈ Lq (X, A, µ) : f + gq ≤ fq + gq . (Lq (X, A, µ),  q ) ist ein normierter R-Vektorraum. Beweis Für q = 1 ist die Ungleichung wegen der Additivität und Monotonie des Integrals für nichtnegative Borel-meßbare Funktionen offensichtlich richtig  5.3-2.2 (b), 5.3-1 (b) (iii) . Es sei daher 1 < q < ∞ und r := q/(q − 1), also (1/q) + (1/r) = 1. Dann ist (|f +g|q−1 )q/(q−1) = |f +g|q ∈ L1 (X, A, µ), also |f +g|q−1 ∈ Lr (X, A, µ), woraus nach 5.4-5 folgt: f |f + g|q−1 ∈ L1 (X, A, µ) und g|f + g|q−1 ∈ L1 (X, A, µ),     f + gq = |f + g|q = |f + g| |f + g|q−1 q   q−1 ≤ |f | |f + g| + |g| |f + g|q−1         ≤ fq |f  + g|q−1 r + gq |f  + g|q−1 r  1/r       q/r     q      = f q + g q = fq + gq f + gq |f + g| mit q/r = q−1. Division des ersten und letzten Glieds dieser Ungleichungskette durch           f + gq−1 liefert f + g ≤ f + g (Für f + g = 0 ist die Minkowskiq

q

q

q

q

✷

Ungleichung sowieso richtig!).

In der Minkowski-Ungleichung gilt das Gleichheitszeichen genau dann  A 4 , wenn { x ∈ X | sgn f (x) sgn g(x) = −1 } ∈ A0

für q = 1 bzw.

∃ a ∈ R+ : f = ag oder g = af

für q > 1.

µ

µ

5.4 Lq -Räume

413

Definiert man auf LqR (X, A, µ) := Lq (X, A, µ) ∩ L0R (X, A) analog zur Lq -Norm
q LR (X, A, µ) −→ R+ 

1/q für q ∈ [1, ∞[  q : f −→ |f |q


und  ∞ :

+ L∞ R (X, A, µ) −→ R f −→ wes sup|f |,

so ist (LqR (X, A, µ),  q ) ein halbnormierter R-Vektorraum. Mit A := { f ∈ LqR (X, A, µ) | f q = 0 } q erhält man gem. (c), (d) den zu (L  1.1-6  R (X, A, µ),  q ) assoziierten normierten q R-Vektorraum LR (X, A, µ)/A , ( q )A . Es gilt dann  A 12  für den zugehörigen metrischen Raum   q ∼ LR (X, A, µ)/A , d( q )A = (Lq (X, A, µ), d q ), isom. g

wobei g als R-linearer Isomorphismus gewählt werden kann. Beispiel (5.4,2) Sei 0 < q < 1. (a)

Für 0 < q < 1 ist die Minkowski-Ungleichung 5.4-7 nicht richtig:     χ   Über (R, Λ, λ) sind χ[0,1] , χ]1,2] ∈ Lq (R, Λ, λ) mit χ [0,1] q = 1 = ]1,2] q und   1/q χ   > 2. [0,1] + χ ]1,2] q = 2

Es gilt für Maßräume (X, A, µ), 0 < q < 1, f , g ∈ Lq (X, A, µ) immerhin noch:       (b) f ≥µ 0, g ≥µ 0 =⇒ f + gq ≥ fq + gq : Wegen q < 1 gilt |f + g|q ≤ (|f | + |g|)q ≤ |f |q + |g|q , denn für |f (x)| = ∞ oder |g(x)| = ∞ ist die zweite Ungleichung richtig, und für alle r, s ∈ R+ ist (r + s)q ≤ rq + sq : q  q  Sei o. B. d. A. r = 0. Dann ist 1 + rs ≤ 1 + rs zu zeigen. Für s = 0 stimmen beide Seiten überein, und für die Ableitungen der Funktionen
+
+ R −→ R R −→ R ϕ: ψ : x −→ (1 + x)q , x −→ 1 + xq gilt ϕ (x) =

q (1+x)1−q


0.

Es folgt daher durch Integration    q/(q−1)  ≤ |f |q + |g|q < ∞, |f + g|q−1 also |f + g|q−1 ∈ Lq/(q−1) (X, A, µ).

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

414

  Die zu begründende Ungleichung ist für f + gq = 0 wegen f + g =µ 0, also   q f =µ 0 =µ g, richtig. Für f + gq > 0 erhält man mit r := q−1   q |f + g| = |f + g| |f + g|q−1   = |f | |f + g|q−1 + |g| |f + g|q−1  f ≥µ 0, g ≥µ 0    ≥ f

 q

r  |f + g|q−1

     = fq + gq

(c)

1/r

  + gq



r  |f + g|q−1

1/r A 6

(q−1)/q

 |f + g|q

,

  1/q   

≥ fq + gq . also |f + g|q           f + gq ≤ fq + gq , k fq ≤ fq für jedes k ∈ R, |k| ≤ 1: q q q q q Es ist |kf |q ≤ |f |q und wie in (b) begründet |f + g|q ≤ |f |q + |g|q , Integration liefert daher die gewünschte Ungleichung.

(d) Die Funktion

 νq :

Lq (X,  A, µ) −→ R+ q   f −→ fq

ist eine Pseudonorm auf Lq (X, A, µ)  (c) ,  + Lq (X, A, µ) × Lq (X, q A, µ) −→ R dq :       f , g −→ f − g q eine translationsinvariante Metrik  dq = dνq , (2.5,8) (a) .

Nach 5.4-3 ist über Maßräumen (X, A, µ), µ(X) < ∞, die Funktion
r L (X, A, µ) −→ Lq (X, A, µ) idLr (X,A,µ) :  f −→ f für alle q, r ∈ ]0, ∞], r ≥ q, wohldefiniert. Für r ≥ q ≥ 1 sind diese Einbettungen sogar stetig (vgl. auch 2.4, A 14 und Abschnitt 6.1, Seite 447), genauer Satz 5.4-8 (X, A, µ) sei ein Maßraum, µ(X) < ∞, q, r ∈ [1, ∞], r > q. Die Einbettungen  idLr (X,A,µ) : Lr (X, A, µ) −→ Lq (X, A, µ) sind stetig (bzgl. τ r , τ q ), und es gilt:     für r < ∞ hr hq ≤ µ(X)(r−q)/(qr)  (a) ∀  h ∈ Lr (X, A, µ) :      hq ≤ µ(X)1/q  h∞ für r = ∞. (b) ∀  h ∈ L∞ (X, A, µ) : 

5.4 Lq -Räume

415

Beweis Die Stetigkeit von idLr (X,A,µ) folgt mit (a) bzw. (b) aus 2.4, A 14. Zu (a) Für q
:= r/q, r
:= r/(r − q) gilt (1/q
) + (1/r
) = 1, nach der HölderUngleichung 5.4-5 somit  q/r  (r−q)/r      r/q r/(r−q)      |f g| ≤ f q g r = |f | |g|   für alle f ∈ Lq (X, A, µ), g ∈ Lr (X, A, µ), speziell mit g = 1, f := |h|q  µ(X) < ∞!   q/r  q/r    q q r/q (r−q)/r (r−q)/r r  |f | |h| hq = |h| = |f | ≤ µ(X) = µ(X) ,

    hq ≤ µ(X)(r−q)/(qr)  hr . also  Zu (b) Es ist nach 5.4-1 (a)  1/q     1/q   q   h∞ µ(X)1/q . |h| ≤ wes sup|h|q µ(X) =  h q=

✷

Neben der Hölder- und Minkowski-Ungleichung sind auch die Tschebyscheff-  A 7  und Jensen-Ungleichung von großer Bedeutung: Satz 5.4-9 (Jensen-Ungleichung für Integrale, 1906) (X, A, µ) sei ein Maßraum, µ(X) = 1, f ∈ L1 (X, A, µ), a, b ∈ R, a < b, f [X] ⊆ ]a, b[. Für jede konvexe Funktion ϕ : ]a, b[ −→ R gilt    ϕ f ≤ ϕ ◦ f. Beweis



Wegen

µ(X) = 1 ist

I := f ∈ ]a, b[, denn a ≤ f ≤ b folgt nach 5.3-4 (e), und für f = b würde (b − f ) = 0, also b =µ f folgen  5.3-1 (b) (i)  (entsprechend a =µ f für f = a). Man setze

 ϕ(I) − ϕ(t) s := sup t ∈ ]a, I[ ; I −t für jedes t ∈ ]a, I] ist dann ϕ(I) − ϕ(t) ≤ (I − t)s. Die Ungleichung ϕ(I) − ϕ(r) ≤ (I − r)s gilt auch für jedes r ∈ ]I, b[: Zunächst ist

ϕ(r) − ϕ(t) ϕ(r) − ϕ(I) ϕ(I) − ϕ(t) ≤ ≤ I −t r−t r−I

(1)

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

416

r−I I−t für alle t ∈ ]a, I[, r ∈ ]I, b[, denn wegen I−t r−t + r−t = 1, r−t r + Konvexität von ϕ ist r−I I −t ϕ(r) + ϕ(t), ϕ(I) ≤ r−t r−t

≤ ϕ(r)−ϕ(t) und weiter woraus ϕ(I)−ϕ(t) I−t r−t der letzten beiden Ungleichungen ergibt ϕ(t) ≥

r−t r−I ϕ(I)

≤

= I und der

I−t r−I ϕ(r)+ϕ(t) folgt. Die zweite

r−t r−t r−t ϕ(I) + ϕ(r) − ϕ(r) = (ϕ(I) − ϕ(r)) + ϕ(r), r−I r−I r−I

also

ϕ(t) − ϕ(r) ϕ(I) − ϕ(r) ≥ r−t r−I

und somit

r−I r−t t

ϕ(r)−ϕ(t) r−t

≤

ϕ(r)−ϕ(I) . r−I

(2)

Insgesamt folgt

ϕ(I) − ϕ(ξ) ≤ (I − ξ)s für jedes ξ ∈ ]a, b[,

(3)

speziell ϕ(I) − ϕ(f (x)) ≤ (I − f (x))s, also ϕ(f (x)) ≥ ϕ(I) + (f (x) − I)s für jedes x ∈ X. Gem. 2.4-20.2 ist ϕ stetig und damit Borel-meßbar  (5.2,1) (a) . Da die Funktion ϕ(I) + (f − I)s nach Voraussetzung µ-summierbar

ist, existiert das µ-Integral von ϕ ◦ f ∈ L0 (X, A)  5.2, A 1 (d)  und ϕ ◦ f ≥ (ϕ(I) + (f − I)s) + und (ϕ ◦ f )− ≤ (ϕ(I) + (f − I)s)− folgt + (f − I)s)  Aus (ϕ ◦ f )+ ≥ (ϕ(I)



+ − (ϕ ◦ f )− ≥ (ϕ(I) + (f − I)s)+ − (ϕ(I) + (f − I)s)− = ϕ ◦ f = (ϕ ◦ f )

(ϕ(I) + (f − I)s) gem. 5.3-1 (b) . Man erhält      ϕ ◦ f ≥ ϕ(I) + s (f − I) = ϕ(I)µ(X) + s f − Iµ(X)   = ϕ(I) = ϕ f . ✷ Korollar 5.4-9.1 (X, A, µ) sei ein Maßraum, µ(X) = 1, f ∈ L1 (X, A, µ), a, b ∈ R, a < b, f [X] ⊆ ]a, b[ und ϕ : ]a, b[ −→ R streng konvex, d. h. ∀ x, y ∈ ]a, b[ ∀ r ∈ ]0, 1[ : x = y ⇒ ϕ(rx + (1 − r)y) < rϕ(x) + (1 − r)ϕ(y). Es gilt

 

f = ϕ◦f

(ii) f =µ f (konstant).

Äq (i)

Beweis

ϕ

 

t ∈ ]a, I[ . Wegen Wie im Beweis zu 5.4-9 sei I := f und s := sup ϕ(I)−ϕ(t) I−t der strengen Konvexität von ϕ gilt in der Ungleichungskette (1) im Beweis zu 5.4-9

5.4 Lq -Räume

417

jeweils das strenge Ungleichheitszeichen ϕ(r) − ϕ(t) ϕ(r) − ϕ(I) ϕ(I) − ϕ(t) < < I −t r−t r−I für alle a < t < I < r < b. Entsprechend erhält man für a < ξ < t < I < b ϕ(I) − ϕ(t) ϕ(I) − ϕ(ξ) < ≤s I −ξ I −t und für a < I < r < ξ < b, t ∈ ]a, I[ ϕ(I) − ϕ(t) ϕ(r) − ϕ(I) ϕ(ξ) − ϕ(I) < < , I −t r−I ξ−I also s≤

ϕ(ξ) − ϕ(I) ϕ(r) − ϕ(I) < . r−I ξ−I

In (3) ist daher die Gleichung genau für ξ = I richtig,

speziell gilt somit ϕ(f (x)) = ϕ(I) + (f (x) − I)s genau dann, wenn f (x) = I = f erfüllt ist. Wegen ϕ ◦ f ≥ ϕ(I) + (f − I)s folgt mit 5.3-1 (b) (i) aus (i) ϕ ◦ f =µ ϕ(I) + (f − I)s, also f =µ I = f  s. o. .   Umgekehrt ergibt sich aus (ii) ϕ ◦ f =µ ϕ f und nach 5.3-4 (e)         ϕ◦f = ϕ f =ϕ f µ(X) = ϕ f . ✷ Beispiele (5.4,3) (a)

Die Exponentialfunktion


exp :

R −→ R+ x −→ ex

ist streng konvex. 

Sind q, q  ∈ R, q > 1, (1/q)+(1/q  ) = 1, a, b ∈ R+ , so gilt a1/q b1/q ≤ (a/q)+(b/q  ), wobei Gleichheit genau für a = b eintritt (vgl. 1.1-2 für einen anderen Beweis): O. B. d. A. seien a, b > 0. Dann folgt 1  1  1 1 b a ln a +  ln b ≤ exp ◦ ln a +  exp ◦ ln b = +  a1/q b1/q = exp q q q q q q und wegen der strengen Konvexität von exp Gleichheit genau für a = b (ln ist der Logarithmus naturalis!). (b) Sei (X, A, µ) ein Maßraum, µ(X) = 1, a, b ∈ R, 0 < a < b, f : X −→ ]a, b[, f ∈ L0 (X, A). Ist ln ◦f ∈ L1 (X, A, µ), so gilt    exp ln ◦f ≤ f :

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

418

exp ist (streng) konvex, und mit der Jensen-Ungleichung folgt     exp ln ◦f ≤ exp ◦ ln ◦f = f.

Zur weiteren Untersuchung der normierten R-Vektorräume (Lq (X, A, µ),  q ) für q ≥ 1 sei zunächst vermerkt, daß für q = 2 ein Skalarprodukt
2 auf L2 (X, A, µ) existiert, das  2 induziert: Beispiel (5.4,4) (X, A, µ) sei ein Maßraum.
2 :




L2 (X, A, µ) × L2 (X, A, µ) −→ R  

f, g −→ f g

ist ein Skalarprodukt auf L2 (X, A, µ) mit   2 =  2 (s. Abschnitt 1.1): Es seien f, g,  h ∈ L2 (X, A, µ) und r ∈ R. ! "

(S-1): Ist f =  0, so folgt f, f 2 = |f |2 > 0. ! " ! "



(S-2): f, g = f g = gf = g, f 2

"

2

! " ! "

f + g,  h 2 = (f + g)h = f h + gh = f,  h 2 + g,  h 2 ! " ! " ! "



= , g = rf g = r f g = r f, g (S-4): rf, g 2 = rf 2 2    2 1/2         Darüber hinaus ist f   = |f | = f 2. (S-3):

!





2

Für q = 2 existiert gewöhnlich kein die Lq -Norm  q induzierendes Skalarprodukt  A 10 . Wie für q = 1 (vgl. die Anmerkung im Anschluß an (5.3,2)) kann mit LqR (X, A, µ) auch der C-Vektorraum LqC (X, A, µ) := { f ∈ L0C (X, A) | Re f, Im f ∈ LqR (X, A, µ) } für jedes q ∈ ]0, ∞] definiert werden. Es gilt dann  A 11    LqC (X, A, µ) = f ∈ L0C (X, A) |f |q µ-summierbar und

für q < ∞

0 L∞ C (X, A, µ) = { f ∈ LC (X, A) | wes sup|f | < ∞ }.

Setzt man LqC (X, A, µ) := LqC (X, A, µ)/=µ , so wird durch
q L (X, A, µ) −→ R+ 

1/q für q ∈ [1, ∞[ bzw.  q : C f −→ |f |q
∞ L (X, A, µ) −→ R+  ∞ : C f −→ wes sup|f |

5.4 Lq -Räume

419

eine Norm auf LqC (X, A, µ) erklärt. Für q = 2 ist
2 LC (X, A, µ) × L2C (X, A, µ) −→ C 


2 :   f , g −→ f g ein Skalarprodukt, das die Norm  2 induziert  Beweis wie in (5.4,4), wobei (S-2) ! " ! "



aus f, g 2 = f g = f g = f g = g, f 2 nach Definition des Integrals folgt. . Ist q = 2, so existiert i. a. kein die Norm  q induzierendes Skalarprodukt  A 10 . Der folgende Vollständigkeitssatz wurde 1907 für q = 2 und 1910 für beliebige q ∈ [1, ∞] bewiesen: Satz 5.4-10 (Fischer, Riesz, 1907) (X, A, µ) sei ein Maßraum, 1 ≤ q ≤ ∞. (Lq (X, A, µ),  q ) ist ein Banach-Raum (über R). Beweis   Es sei fj j ∈ Lq (X, A, µ)N , o. B. d. A. fj : X −→ R für jedes j ∈ N  5.3-3 ,  ∞  ∞   M := j=0 fj q < ∞. Nach 3.5-6 ist die Konvergenz der Reihe j=0 fj in q (L (X, A, µ),  q ) zu beweisen. Dieses geschieht in zwei Schritten: ∞ 

  fj −−−→ f und fq ≤ M

j=0

µ-f.ü.

∞ 

für ein f ∈ Lq (X, A, µ)

fj = f (bzgl.  q ).

(1)

(2)

j=0

k q Für jedes k ∈ N setze man Fk := j=0 |fj | ∈ L (X, A, µ) und definiere −−−→ F . Gem. 5.2-2.1 (a) ist F Borel-meßbar, F : X −→ R+ ∪ {∞} durch (Fk )k −− ∗∗ τ | | -pktw.

d. h. F ∈

L0 (X, A).

Der Minkowski-Ungleichung 5.4-7 zufolge gilt k       fj  ≤ M < ∞. = ∀ k ∈ N : Fk q ≤ q

(∗)

j=0

Für q = ∞ folgt hieraus F ≤µ M , etwa { x ∈ X | F (x) > M } ⊆ A ∈ A0 , die Reihe ∞ j=0 fj (x) ist daher für jedes x ∈ X\A absolut konvergent, also konvergent in (R, τ| | ). Sei f : X −→ R definiert durch  ∞ j=0 fj (x) für x ∈ X\A f (x) := 0 sonst.

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

420

  Nach 5.2-2 (d) und 5.2, A 5 ist f ∈ L0 (X, A). Darüber hinaus gilt f∞ ≤ M : Sei ε > 0. Für jedes x ∈ X\A wähle man ein kε (x) ∈ N mit ∞ j=kε (x)+1 fj (x) < ε, also kε (x) ∞ kε (x)    fj (x) + fj (x) < ε + |fj (x)| |f (x)| ≤ j=0

j=kε (x)+1

j=0

  ≤ ε + Fkε (x) (x) ≤ ε +  Fkε (x) ∞ ≤ ε + M µ

   gem. 5.4-1 (a) und (∗) . Es folgt |f | ≤µ ε + M und daher f∞ ≤ ε + M für jedes   ε > 0, also f∞ ≤ M . Damit ist f ∈ L∞ (X, A, µ) und (1) für q = ∞ bewiesen. Sei 1 ≤ q < ∞. Nach Lebesgues Satz von der monotonen Konvergenz 5.3-2.1 und (∗) gilt    F q = lim Fkq = lim Fkq ≤ lim M q = M q , k

k

k

also F q ∈ L1 (X, A, µ). Gem. 5.3-3 ist A := { x ∈ X | F (x) = ∞ } = { x ∈ X | F q (x) = ∞ } ∈ A0 , die Reihe ∞ j=0 fj (x) somit für jedes x ∈ X\A absolut konvergent in (R, τ| | ). Sei f : X −→ R definiert durch  ∞ j=0 fj (x) für x ∈ X\A f (x) := 0 sonst. 0 q Nach   5.2-2 (d) und 5.2, A 5 ist f ∈ L (X, A). Darüber hinaus gilt f ∈ L (X, A, µ), f ≤ M : q q  k q = Fk (x)q ≤ F (x)q , Für jedes k ∈ N, x ∈ X ist kj=0 fj (x) ≤ j=0 |fj (x)| nach dem Lebesgueschen Konvergenzsatz 5.3-6 folgt daher |f |q ∈ L1 (X, A, µ), also





q k f ∈ Lq (X, A, µ), und |f |q = limk j=0 fj ≤ limk F q = F q ≤ M q .

Zur Bestätigung der Gleichung (2) setze man zunächst fj∗ := fj χX\A für jedes j ∈ N. ∞ ∗ ∗  Dann gilt fj∗ =µ fj (also f= j=0 fj (x) für alle x ∈ X, j ∈ N. j = fj ) und f (x) =   r    Zu ε > 0 sei k ∈ N gewählt mit j=k+1 fj q < ε für jedes r ∈ N, r ≥ k + 1. Für q = ∞, x ∈ X\A erhält man für jedes l ≥ k r l r    ∗ f (x) − f (x) = lim f (x) ≤ lim |fj∗ (x)|, j j j=0

r

j=l+1

r

j=k+1

5.4 Lq -Räume

421

    wegen |fj∗ | ≤µ wes sup|fj∗ | = = fj∗ ∞ = fj ∞  5.4-1 (a)  somit   l     f −  f j  

∞

j=0

und für 1 ≤ q < ∞ folgt q   l      f − fj   =  j=0

q

r    fj  ≤ ε, ≤ lim ∞ r

j=k+1

q  r l   ∗ q ∗ f − fj = lim fj r j=0

q   r ∗ ≤ lim inf fj r   = lim inf   r

j=l+1 q r 

j=l+1

j=l+1

 5.3-2 

 fj   ≤ limrinf q

  r   q fj  ≤ εq . q j=l+1

✷

Aus dem Beweis zu 5.4-10 ergibt sich noch Korollar 5.4-10.1 (Verallgemeinerte Minkowski-Ungleichung)      (X, A, µ) sei ein Maßraum, 1 ≤ q ≤ ∞, fj j ∈ Lq (X, A, µ)N , ∞ j=0 fj q < ∞. ∞   Dann existiert ein f ∈ Lq (X, A, µ) mit ∞ j=0 fj =µ f , j=0 fj = f (bzgl.  q ) und   ∞    ∞    ≤ fj  .  f j   q q ✷ j=0 j=0 Völlig analog (mit C anstelle von R) zum Beweis von 5.4-10 zeigt man Korollar 5.4-10.2 (Fischer, Riesz) (X, A, µ) sei ein Maßraum, 1 ≤ q ≤ ∞. (LqC (X, A, µ),  q ) ist ein Banach-Raum (über C). ✷ Verwendet man im Beweis zu 5.4-10 anstelle von  qq die Pseudonorm νq und für 3.5-6 die Aufgabe 3.5, A 9 in Verbindung mit 3.3-6, so erhält man Korollar 5.4-10.3 (X, A, µ) sei ein Maßraum, q ∈ ]0, 1[. (Lq (X, A, µ), dνq ) ist vollständig.

✷

Als vollständiger normierter Vektorraum kann (Lq (X, A, µ),  q ) für q ∈ [1, ∞] u. U. für Vervollständigungszwecke verwendet werden. So läßt sich beispielsweise das Vervollständigungsproblem für (CR ([a, b]),  q ), 1 ≤ q < ∞ lösen (vgl. (3.1,2) (d) und (3.2,3)):

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

422 Beispiele (5.4,5) (a)

Für q, a, b ∈ R, a < b, q ≥ 1,
CR ([a, b]) −→ Lq ([a, b], . . .) ˆı : f −→ f   ist (Lq ([a, b], . . .),  q ), ˆı eine Vervollständigung des normierten R-Vektorraums (CR ([a, b]),  q ):

ˆı ist wohldefiniert, denn für jedes f ∈ CR ([a, b]) gilt f ∈ L0 ([a, b], Λ|[a, b])  (5.2,1) (a) ,

|f |q ≤ (b − a) sup|f |q < ∞  5.3-1 (b) (iii), (5.1,4) (a) (ii) . Darüber hinaus ist die Einbettung ˆı normerhaltend, weil Riemann- und Lebesgue-Integral von f übereinstim 

b

men  (5.3,2) (a), (b) , |f |q = a |f (x)|q dx, also f q = fq . '  &  Wegen 5.4-10 bleibt nur die Dichtigkeit von ˆı CR ([a, b]) in Lq ([a, b], . . .), τ q nachzurechnen : Sei f ∈ Lq ([a, b], . . .), o. B. d. A. f : [a, b] −→ R, und ε > 0. Nach 5.3, A 12 gibt es ein δ ∈ ]0, b − a[, so daß  εq |f |q < q+1 2 A

für jedes A ∈ Λ|[a, b] mit λ(A) < δ gilt. Der Satz von Lusin 5.2-5 sichert die Existenz eines Kompaktums A ∈ Kτ | | |[a,b] mit λ([a, b]\A) < δ und f
A ∈ C(A, R); speziell gilt  εq |f |q < q+1 . 2 [a,b]\A Die behauptete Approximationsmöglichkeit von f ist daher gegeben, wenn f
A auf geeignete Weise stetig auf [a, b] fortgesetzt werden kann. Für A = [a, b] kann ˆı(f ) als f approximierendes Element dienen. Ist A = [a, b], so sei F ∈ C([a, b], R) gem. dem Tietze-Urysohnschen Fortsetzungssatz 2.5-11 erst einmal überhaupt eine stetige Fortsetzung von f
A. Man kann nun F so zu einer stetigen Funktion F ∗ auf [a, b]   =∗ − f < ε gilt (vgl. Abb. 5.4-1): verändern, daß F q q } und P := [a, b]\A. Gem. 2.3-5 existiert eine abzählbare Sei M  := max[a,b] {1, |F |    Menge ]aj , bj [ j ∈# N (∅ = N  ⊆ N) paarweise disjunkter, offener, nichtleerer Intervalle mit R\A = j∈N  ]aj , bj [, also

]aj , bj [ =

P = [a, b] ∩ j∈N 

([a, b] ∩ ]aj , bj [). j∈N 

Sei N := { j ∈ N  | [a, b] ∩ ]aj , bj [ = ∅ } und Ij := [a, b] ∩ ]aj , bj [ mit den Endpunkten aj , bj , aj < bj für jedes j ∈ N . Man wähle nun eine endliche Teilmenge Ne ∈ Pe N so aus, daß   εq λ Ij ≤ q+2 2 M j∈N \Ne

gilt  vgl. (5.1,4) (a) . Für jedes j ∈ Ne sei ∅ = ]αj , βj [  Ij ein zu Ij konzentrisches

5.4 Lq -Räume

423

Intervall, also Ij := αj − aj = bj − βj > 0, und Fj   0 F (a ) F (a ) Fj (x) := − Ejj x + Ejj αj   F (bj ) F (bj ) E j x − E j βj

: [aj , bj ] −→ R definiert durch für x ∈ ]αj , βj [ für x ∈ [aj , αj ] für x ∈ [βj , bj ]

(vgl. Abb. 5.4-1 für |Ne | = 2). R

R f

F

f

f A

a

b

a

x

R

A

b

x

R

a α0 a0

I0

β0

F∗

F2

F1

A b0

α1 a1

β1 b

x

a α0

b1

I1

a0

I0

β0

A b0

α1 a1

β1 b I1

b1

Abbildung 5.4-1

Die zusammengesetzte Funktion F ∗ : [a, b] −→ R,  # F (x) für x ∈ [a, b]\ j∈Ne Ij ∗ F (x) := Fj (x) für x ∈ Ij , j ∈ Ne ist stetig und genügt der Integralabschätzung    ∗ q q |F | = |F | +  |F ∗ |q  P

P\

 e ≤ Mλ P\ j∈N

Ij

 Ij

j∈Ne

≤M

εq 2q+2 M

+

j∈N

+

 

j∈Ne

Ij

e  

j∈Ne

|Fj |q . Ij

|F ∗ |q Ij

 5.3-1 (b) (iii), 5.3-2.2 (b) 

x

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

424

Wählt man die konzentrischen Intervalle ]αj , βj [ in Ij für alle j ∈ Ne so groß, daß

εq q |F | < 2q+2 (|N gilt, so folgt weiter Ij j e |+1) 

εq

|F ∗ |q ≤

2q+2

P

+

εq 2q+2

=

εq 2q+1

∗

und damit wegen F
A = F
A = f
A     |f − F ∗ |q = |f − F ∗ |q + |f − F ∗ |q = |f − F ∗ |q A

 ≤

1/q |f |q

P q

P



+

P

|F ∗ |q

1/q q  5.4-7 für (P, Λ|P, λ
(Λ|P )) 

P

 ε 1/q  εq 1/q q εq < εq , + = 2q+1 2q+1 2     =∗  < ε. also f − ˆı(F ∗ )q = f − F q ≤

(b) Mit Hilfe von (a) erhält man für q ∈ [1, ∞[ 

τ q f ∈ Lq (R, Λ, λ) f ∈ CR (R) = Lq (R, Λ, λ) :

#  Es ist R = m∈Z [m, m + 1] und f
[m, m + 1] ∈ Lq ([m, m + 1], . . .) für jedes f ∈ Lq (R, Λ, λ), m ∈ Z. Sei f ∈ Lq (R, Λ, λ), o. B. d. A. f : R −→ R, ε > 0 und gem. (a) gm : R −→ R, gm
[m, m + 1] ∈ CR ([m, m + 1]), gm
(R\[m, m + 1]) = 0   ε   mit f
[m, m + 1] − gm
[m, m + 1]q < 2|m|+3 (in (Lq ([m, m + 1], . . .),  q )). Da die ∞ ∞ zusammengesetzte Funktion g = m∈Z gm = m=0 gm + m=−1 gm i. a. nicht stetig   ε ∗ ∗  = ersetzt, daß g= ist, werden die gm so durch stetige gm m−g m q < 2|m|+3 gilt: & 1' ∗ : R −→ R durch Für δm ∈ 0, 2 definiere man gm   für x ∈ R\([m, m + δm ] ∪ [m + 1 − δm , m + 1])   gm (x) ∗ gm (x) :=

  

gm (m+δm ) m) x − mgm (m+δ δm δm m) m) x + (m+1)gmδ(m+1−δ − gm (m+1−δ δm m

für x ∈ [m, m + δm ]

für x ∈ [m + 1 − δm , m + 1]

εq ∗ q | < 2(|m|+3)q gilt. Dann ist die Funktion und wähle δm so klein, daß |gm − gm ∗ ∗ ∈ CR (R), f − g ∗ = m∈Z (f χ[m,m+1[ − gm χ[m,m+1[ ) und g ∗ := m∈Z gm     ∗    f χ    [m,m+1[ − gm χ[m,m+1[ q ≤ f χ[m,m+1[ − gm χ [m,m+1[ q   ∗    + gm χ [m,m+1[ − gm χ[m,m+1[ q ε ε ε < |m|+3 + |m|+3 = |m|+2 2 2 2 ∗  f χ[m,m+1[ − gm χ[m,m+1[ =λ f χ[m,m+1] − gm und gm χ[m,m+1[ − gm χ[m,m+1[ =λ   ∗ ∗     gm − gm für alle m ∈ Z , also m∈Z f χ[m,m+1[ − g χ[m,m+1[ q < ε. Nach 5.4-10.1

5.4 Lq -Räume

425

folgt f − g ∗ ∈ Lq (R, Λ, λ), also g∗ ∈ Lq (R, Λ, λ), und     ∗  f χ  f − g∗  ≤ [m,m+1[ − g χ[m,m+1[ q < ε. q m∈Z

Für q = ∞ sind die entsprechenden in (5.4,5) beschriebenen Approximationseigenschaften stetiger Funktionen nicht vorhanden. Ist nämlich I ⊆ R ein Intervall mit unendlich vielen Elementen, r ∈ I ◦τ | | , so gehört χr := χ{ x∈I|x≤r }
I zu L∞ (I, . . .)   =r  < 1/2: und für keine Funktion f ∈ CR (I) ∩ L∞ (I, . . .) gilt f − χ ∞

Für f (r) > 1/2 (bzw. f (r) < 1/2) existiert wegen der Stetigkeit von f eine Umgebung U ∈ Uτ | | (r) ∩ τ| | , U ⊆ I mit f
U > 1/2 (bzw. f
U < 1/2), also ist mit U+ := { x ∈ U | x > r }, U− := { x ∈ U | x < r } gem. 5.4-1 (a) und A 13 wes sup|f − χr | ≥ wes sup|(f − χr )
U |  wes sup|f
U+ | > 12 ≥ wes sup|(f − 1)
U− | >

1 2

für f (r) > 12 für f (r) < 12 .

Ist f (r) = 1/2, so wähle man zu jedem n ∈ N ein V (n) ∈ Uτ | | (r) ∩ τ| | , V (n) ⊆ I, (n)

mit |f (x) − 12 | < 1/(n + 1) für alle x ∈ V (n) . Mit V− := { x ∈ V (n) | x < r } gilt dann 1 1 1 1 |f (x) − χr (x)| = |f (x) − 1| ≥ − f (x) − ≥ − 2 2 2 n+1 (n)

für jedes x ∈ V− , also (n)

wes sup|f − χr | ≥ wes sup|(f − χr )
V− | ≥   Insgesamt folgt f − χ =r ∞ ≥ 1/2.

1 1 − . 2 n+1

Die in (5.4,5) (b) gezeigte Approximationsmöglichkeit der Elemente aus Lq (R, Λ, λ) für q ∈ R, q ≥ 1, durch stetige Funktionen ist für die Analysis in und über (Lq (R, Λ, λ),  q ) bereits sehr nützlich. Allerdings ist die Menge der stetigen Funktionen in Lq (R, Λ, λ) noch sehr umfangreich und unübersichtlich. Wünschenswert erscheint daher die Approximation durch Elemente einer gut zu handhabenden Teilmenge der stetigen Funktionen. Hierzu gehört Cc (R, R) (s. auch (5.4,6), Seite 429, für ein Anwendungsbeispiel). Im folgenden wird

τ

Cc (Ω, R)

q

= Lq (Ω, . . .)

für jedes n ∈ N\{0}, q ∈ R, q ≥ 1, ∅ = Ω ⊆ Rn , Ω ∈ τ  bewiesen. Zunächst sind charakteristische Funktionen meßbarer Teilmengen (endlichen Maßes) von Ω wie angegeben approximierbar; genauer:

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

426 Satz 5.4-11

Es seien ∅ = Ω ⊆ Rn , Ω ∈ τ  , A ⊆ Ω, A ∈ Λn , λn (A) < ∞, q ∈ R, q ≥ 1. Dann existiert eine Folge (gj )j ∈ Cc (Ω, [0, 1])N mit (gj )j −−−−→ χA und (gj )j → q χ= A. λn -f.ü.

Beweis Wegen der Regularität des Lebesgue-Maßes λn  (5.1,7)  existieren nach 5.1-4 (a) für jedes j ∈ N ein Cj ∈ Kτ   und Pj ∈ τ  mit Cj ⊆ A ⊆ Pj ⊆ Ω, λn (Cj ) > 1 1 λn (A) − 2(j+1) q , λn (Pj ) < λn (A) + 2(j+1)q . Sei o. B. d. A. Cj ⊆ Cj+1 , Pj+1 ⊆ Pj ◦τ

für jedes j ∈ N. Gem. 4.4-1.1 kann man Kj ∈ Kτ   , Cj ⊆ Kj   ⊆ Kj ⊆ Pj ,   ◦τ wählen und erhält Uj := Ω\Kj = ∅, dist(Cj , Uj ) > 0  Cj ∩ Rn \Kj   = ∅, ◦τ

Uj ⊆ Rn \Kj   . Sei f ∈ C(R, [0, 1]) eine Funktion mit f (t) = 0 für t > 1/2 und f (t) = 1 für t ≤ 0, gj : Ω −→ R definiert durch  dist(x, Uj )  . gj (x) := f 1 − dist(Cj , Uj ) Dann ist gj ∈ C(Ω, [0, 1])  (2.4,1) (d), 1.2-2 (b), (c), 2.4-1.1 , Tr gj ⊆ Kj , also gj ∈ Cc (Ω, [0, 1]), und χCj ≤ gj ≤ χKj ≤ χPj . Aus −χA\Cj = −(χA − χCj ) ≤ gj − χA ≤ χPj − χA = χPj \A folgt |gj − χA | ≤ χPj \A ∨ χA\Cj = χPj \Cj , also |gj − χA |q ≤ χPj \Cj . Durch Integration ergibt sich   q  5.3-1 (b) (iii)  |gj − χA | ≤ χPj \Cj  5.1-1 (a)  = λn (Pj \Cj ) = λn (Pj ) − λn (Cj ) = (λn (Pj ) − λn (A)) + (λn (A) − λn (Cj )) 1 < (j + 1)q   und damit gj − χ=A q < 1/(j + 1), also (gj )j → q χ=A . Schließlich ist   (Pj \Cj ) = lim λn (Pj \Cj ) = lim(λn (Pj ) − λn (Cj )) λn j∈N

j

 ≤ lim λn (A) + j

j

  1 1 − λ (A) − n 2(j + 1)q 2(j + 1)q

1 =0 j (j + 1)q   $  5.1-1 (d), (a) , und für jedes x ∈ Ω\ j∈N (Pj \Cj ), etwa x ∈ Ω\ Pj0 \Cj0 , j0 ∈ N, gilt |gj (x) − χA (x)| ≤ χPj \Cj (x) = 0 für alle j ≥ j0 , also (gj (x))j →τ | | χA (x). Somit ist auch (gj )j −−−−→ χA . ✷ = lim

λn -f.ü.

5.4 Lq -Räume

427

Korollar 5.4-11.1

Es sei A ∈ Λn , f ∈ L1 (A, . . .) und (ϕ
A)f = 0 für jedes ϕ ∈ Cc (Rn , R). Dann ist f =  0. Beweis

Gem. A 18 genügt es zu zeigen, daß B f = 0 für jedes B ∈ Λn |A mit λn (B) < ∞ gilt. Sei (ϕj )j ∈ Cc (Rn , [0, 1])N , (ϕj )j −−−−→ χB  5.4-11 , also λn -f.ü.

((ϕj
A)f )j −−−−−−−−−→ (χB
A)f und |(ϕj
A)f | ≤ |f |. Mit Hilfe des Lebesgueλn
(Λn |A)-f.ü.

schen Konvergenzsatzes 5.3-6 (a) erhält man    0 = lim (ϕj
A)f = (χB
A)f = f. j

✷

B

Für q ∈ ]1, ∞] gilt eine zu 5.4-11.1 analoge Aussage in Lq (A, . . .)  A 17 . Zum Beweis kann die folgende Dichtigkeitseigenschaft der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger verwendet werden. Satz 5.4-12 Es seien ∅ = Ω ⊆ Rn , Ω ∈ τ  , q ∈ R, q ≥ 1. τ

(Ω, R) Cc

q

= Lq (Ω, . . .).

Beweis Für jedes f ∈ Cc (Ω, R) ist    q q |f | = |f | + Ω

Ω\ Tr f

 |f | =

|f |q ≤ λn (Tr f ) max|f |q < ∞

q

Tr f

Tr f

Tr f

 5.3-1 (b) (iii) , also f ∈ Lq (Ω, . . .)  (5.2,1) (a) . Die Dichtigkeit wird durch Reduktion auf die Situation in 5.4-11 nachgewiesen. Sei f ∈ Lq (Ω, . . .), o. B. d. A. f : Ω −→ R  5.4-2 , ε > 0. Mit f sind auch f + , f − in Lq (Ω, . . .)  f + , f − ∈ L0 (Ω, Λn |Ω) gem. 5.2-2.1 (b), f + , f − ≤ |f |, also  



+ q − q q + − g  < ε/2, f= 1 q Ω (f ) , Ω (f ) ≤ Ω |f | < ∞ . Sind g1 , g2 ∈ Cc (Ω, R),          = = − − g  < ε/2, so folgt f − g − g  ≤ f + − g  + g − f −  < ε und f= 2 1 2 1 2 q

q

q

g1 − g2 ∈ Cc (Ω, R). Deshalb sei o. B. d. A. f ≥ 0.

q

Darüber hinaus kann o. B. d. A. Ω beschränkt angenommen werden:    #  d (pktw.) monoton wachsend Wegen Ω = j∈N Ω ∩ Kj   (0) ist f q χ d  j∈N und limj

f qχ

d 

Ω∩Kj

(0)

=

f q.

Ω∩Kj

(0)

Nach dem Lebesgueschen Satz von der monotonen

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

428 Konvergenz 5.3-2.1 ergibt sich

fq < j ∈ N mit d  Ω\Kj

d Kj 

(0)



f q = limj f q χ , es existiert daher ein d  Ω∩Kj (0)



εq q = q +  f f f q . Die d  d  2 Ω\Kj

(0)

Ω∩Kj

(0)



(0) ∩ Ω ∈ τ  ist beschränkt und o. B. d. A. nichtleer  sonst ist die   d Nullfunktion eine geeignete Approximierende! . Sei g ∈ Cc Kj   (0) ∩ Ω, R mit    d  f
K   (0) ∩ Ω − g < εq und g ∗ : Ω −→ R definiert durch j 2 q  d g(x) für x ∈ Kj   (0) ∩ Ω ∗ g (x) := 0 sonst. Menge

Dann gilt g ∗ ∈ Cc (Ω, R) und     f − g∗ q = |f − g ∗ |q = q εq < + 2

 d 

Ω\Kj



|f − g ∗ |q

q

d  Ω∩Kj (0)

f +

d 

(0)

Ω∩Kj

(0)

|f − g|q < εq .

Weiterhin kann f ∈ ER0 (Ω, Λn |Ω) vorausgesetzt werden:

Gem. 5.2-4 (b) sei (ϕj )j ∈ ER0 (Ω, Λn |Ω)N , (ϕj )j −−−−−→ f , o. B. d. A. (ϕj )j τ | | -pktw.

monoton wachsend und ϕj ≥ 0 für jedes j ∈ N  5.2, A 3 . Wegen (f − ϕj )q ≤ f q , (f − ϕj )qj −−−−−→ 0 folgt mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz 5.3-6 τ | | -pktw.



 lim j

(f − ϕj ) = q

0 = 0.

    q 1/q  f −ϕjε < ε/2. Für g ∈ Cc (Ω, R) Es existiert daher ein jε mit f− ϕ= jε q =      < ε/2 ergibt sich f − g < ε. mit ϕ= jε − g q

q 0 f ∈ ER (Ω, Λn |Ω), f ≥ 0, Ω beschränkt in (Rn , d  ), etwa in kanonischer m i=0 ri χAi mit λn (Ai ) < ∞ für i = 0, . . . , m  Ai ⊆ Ω . Nach 5.4-11

Es sei also Form f = wähle man für jedes i ∈ {1, . . . , m} ein gi ∈ Cc (Ω, R) mit    −1  gi − χ > Ai q < ε (m + 1) max{ rj + 1 | 0 ≤ j ≤ m }    aus. Dann ist r> i gi − r i χAi q < ε/(m + 1), und es folgt  m m m        r>   r > g − r  χ ≤ i i i Ai  i gi − r i χAi q < ε,  wobei

m

i=0 ri gi

i=0

i=0

q

i=0

∈ Cc (Ω, R) ist  (4.3,3) (b) .

✷

5.4 Lq -Räume

429

Korollar 5.4-12.1 Für jedes q ∈ R, q ≥ 1, A ∈ Λn gilt τ q  = Lq (A, . . .). f>
A f ∈ Cc (Rn , R) Beweis Sei f ∈ Lq (A, . . .), o. B. d. A. f : A −→ R, ε > 0 und f ∗ : Rn −→ R definiert durch  f (x) für x ∈ A f ∗ (x) := 0 für x ∈ A. Dann ist f ∗ ∈ L0 (Rn , Λn )  5.2, A 5  und wegen     |f ∗ |q = |f |q < ∞ |f ∗ |q = |f |q + Rn \A

A

A

  sogar f=∗ ∈ Lq (Rn , Λn , λn ). Nach 5.4-12 gibt es ein g ∈ Cc (Rn , R) mit g−f=∗ q < ε. Schließlich ist g
A ∈ C(A, R) und       ∗ q > − fq = |g − f |q ≤ |f − g|q + g
A |g − f | = |g − f ∗ |q < εq . q n ✷ A A R \A Beispiel (5.4,6) Es sei q ∈ R, q ≥ 1, f ∈ Lq (Rn , Λn , λn ), o. B. d. A. f : Rn −→ R, und für jedes a ∈ Rn
n R −→ Rn Ta : (Translation bei a). x −→ x + a Die Funktion (s. A 14)



Rn −→ Lq (Rn , Λn , λn ) a −→ f ◦ Ta   ist stetig im Nullpunkt (bzgl. τ  , τ q ):   Die Menge S := g ∈ Lq (Rn , Λn , λn ) Fg stetig im Nullpunkt ist abgeschlossen in     Lq (Rn , Λn , λn ), denn für alle fj ∈ S N , g ∈ Lq (Rn , Λn , λn ) mit fj →  g gilt Ff :

j

j

q

  g ◦ Ta − gq Fg (a) − Fg (0)q =        =    =   g ◦ Ta − f ≤  jε ◦ T a q + f jε ◦ T a − f jε q + f jε − g q     =    = 2g − f= jε q + f jε ◦ T a − f jε q < ε   d q < ε/3 und δ > 0 zu ε so gewählt wird, daß für alle a ∈ Kδ   (0), wenn jε mit f= jε − g   d  = f (0) erfüllt ist. Die Stetigkeit von Ff im Nullpunkt jε ◦ Ta − fjε q < ε/3 für jedes a ∈ Kδ folgt nun nach 5.4-12 aus Cc (Rn , R) ⊆ S:

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

430

Sei f ∈ Cc (Rn , R) und ε > 0. Gem. 4.3, A 19 ist f gleichmäßig stetig, also existiert ein δ > 0 mit ε ∀ x, y ∈ Rn : x − y < δ ⇒ |f (x) − f (y)| <  1/q . 2(1 + λn (Tr f )) Hieraus folgt ε d ∀ x ∈ Rn ∀ a ∈ Kδ   (0) : |f (x + a) − f (x)| <  1/q 2(1 + λn (Tr f )) d

und weiter für jedes a ∈ Kδ   (0)   f ◦ Ta − fq =

 



1/q |f ◦ Ta − f |q

1/q

= Tr(f ◦Ta )∪Tr f

|f ◦ Ta − f |q

1/q ε  λn (Tr(f ◦ Ta ) ∪ Tr f ) ≤  2(1 + λn (Tr f ))  1/q ε ≤ 1/q λn (Tr(f ◦ Ta )) + λn (Tr f ) 2(1 + λn (Tr f )) q

, q ≥ 1 ist Lq (A, . . .), τ q separabel. L∞ (I, . . .), τ ∞ ist für kein Intervall I mit unendlich vielen Elementen separabel  A 16 . Allgemeiner kann gezeigt werden, daß (Lq (A, . . .), τq ) mit τq := τ q für q ≥ 1, τq := τνq für q ∈ ]0, 1[ für jedes n ≥ 1 und jede Menge A ∈ Λn separabel ist (vgl. [37, (8.15), (8.16)]). Ein hinreichendes Kriterium für die Separabilität von Lq (X, A, µ), τ q findet man z. B. in [10, Proposition 3.4.5]. Zum Schluß dieses Abschnitts werden Sobolev-Räume W m,q ([a, b]) mit einigen grundlegenden Eigenschaften, die zum Teil in (6.2,6), Seite 483, benötigt werden, zur Verfügung gestellt. Hierzu zunächst eine Verschärfung der gleichmäßigen Stetigkeit von Funktionen: Definition Es seien a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] −→ C. :gdw ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ n ∈ N ∀ ([aj , bj ])j ∈ (P[a, b])n+1 : n+1    |f (bj ) − f (aj )| < ε ([aj , bj ])j paarweise disjunkt, L ([aj , bj ])j < δ ⇒

f absolut stetig

j=1

  L ([aj , bj ])j = n+1 j=1 (bj − aj ) ist die totale Länge von ([aj , bj ])j ; (5.1,4) (a).

5.4 Lq -Räume

431

Beispiele (5.4,7) Sei f : [a, b] −→ R. (a)

f absolut stetig

=⇒

f gleichmäßig stetig (bzgl. d| | )

(b) r, s ∈ R, g : [a, b] −→ R, f , g absolut stetig =⇒ rf + sg absolut stetig (c)

Sei f ∈ L1 ([a, b], Λ|[a, b], λ
Λ|[a, b]), r ∈ R und F (x) := r + [a,x] f für jedes x ∈ [a, b], also F (a) = r. Die Funktion F : [a, b] −→ R ist absolut stetig:

Sei ε > 0. Gem. 5.3, A 12 existiert ein δ > 0 mit A |f | < ε für alle A ∈ Λ|[a, b] mit λ(A) < δ. Besteht also ([aj , bj ])j=1,...,n+1 aus paarweise disjunkten Intervallen, für die  #n+1   λ j=1 [aj , bj ] = L ([aj , bj ])j=1,...,n+1 < δ gilt, so folgt nach 5.3-4 (d), (f) n+1 

n+1  

j=1

j=1

|F (bj ) − F (aj )| =



[aj ,bj ]

n+1   f ≤ j=1

[aj ,bj ]

 |f | =

n+1 j=1

|f | < ε. [aj ,bj ]

Mit weitreichenden zusätzlichen Mitteln der Maß- und Integrationstheorie (vgl. [17, Chap. V, § 18]) kann u. a. die Umkehrung von (5.4,7) (c) bewiesen werden: Hauptsatz der Differential- und Lebesgue-Integralrechnung Es seien f : [a, b] −→ R und Nf := { x ∈ [a, b] | f nicht differenzierbar in x }, wobei a, b ∈ R, a < b, sind. Äq (i)

f absolut stetig

(ii) ∃ g ∈ L1 ([a, b], . . .) ∃ c ∈ R ∀ x ∈ [a, b] : f (x) = c + Es gilt dann λ(Nf ) = 0 und

df dx (x)



[a,x] g

= g(x) für jedes x ∈ [a, b]\Nf .

✷

Für Funktionen f : [a, b] −→ R mit Nf ∈ Λ0 definiere man f
: [a, b] −→ R durch  df (x) für x ∈ Nf
f (x) := dx 0 für x ∈ Nf . Beispiele (5.4,8) Sei f : [a, b] −→ R. (a)

f ∈ C 1 ([a, b])

=⇒

f absolut stetig:

Nach dem Hauptsatz Differential- und Integralrechnung (vgl. [32, Satz 6.21]) gilt

x der  f (x) = f (a) + a f (t) dt für jedes x ∈ [a, b], wegen f ∈ L1 ([a, b], . . .) und

x 

f (t) dt = [a,x] f  für jedes x ∈ [a, b]  (5.3,2) (b)  ist somit f absolut stetig. a (b) Sei f absolut stetig und f  =λ 0. Dann ist f konstant:

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

432

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Lebesgue-Integralrechnung existiert ein Ele

0 = f = g, also f (x) = c ment g ∈ L1 ([a, b], . . .), c ∈ R mit f (x) = c + [a,x] g und  für jedes x ∈ [a, b].

Definition Es seien a, b ∈ R, a < b, m ∈ N\{0}, q ∈ R ∪ {∞}, q ≥ 1, W m,q ([a, b]) die Menge   (m) ∈ Lq ([a, b], . . .) f : [a, b] −→ R f (m−1) existiert und ist absolut stetig, f> und

m  > f (j)  Nm,q (f ) := q j=0

für jedes f ∈ W m,q ([a, b]). (W m,q ([a, b]), Nm,q ) heißt (reeller) (m, q)-Sobolev-Raum und Nm,q (m, q)-SobolevNorm. Ergänzend setze man W 0,q ([a, b]) := Lq ([a, b], . . .), N0,q :=  q . In Analogie zu 3.1, A 30 (b) erhält man Satz 5.4-13 Es seien a, b ∈ R, a < b, m ∈ N\{0} und q ∈ R ∪ {∞}, q ≥ 1. Der normierte R-Vektorraum (W m,q ([a, b]), Nm,q ) ist homöomorph R-linear isomorph zu (Rm × Lq ([a, b], . . .),  ), also ein Banach-Raum.     Dabei sei   durch  c, f  := c1 + fq definiert. Beweis (W m,q ([a, b]), Nm,q ) ist offensichtlich ein normierter R-Vektorraum  (5.4,7) (b), Linearität des Ableitungsoperators, Eigenschaften von  q . Für jedes j ∈ {1, . . . , m} definiere man ϕj : W j,q ([a, b]) −→ R × W j−1,q ([a, b]) durch  (f (a), f
) für j ≥ 2  ϕj (f ) :=  f (a), f
für j = 1. Die ϕj sind dann wohldefinierte R-lineare Operatoren. Da jedes f ∈ W j,q ([a, b]) absolut stetig ist  (5.4,8) (a) für j ≥ 2 , gilt nach

dem Hauptsatz der Differential- und Lebesgue-Integralrechnung f (x) = f (a) + [a,x] f
für jedes x ∈ [a, b]. Aus ϕj (f ) = ϕj (g) folgt daher f = g, d. h. ϕj ist injektiv.

5.4 Lq -Räume

433

  q 1 Sei r, g ∈ R × Lq ([a,

b], . . .). Wegen L ([a, b], . . .) ⊆ L ([a, b], . . .)  5.4-3  ist die durch f (x) := r + [a,x] g definierte Funktion f : [a, b] −→ R nach dem Hauptsatz   absolut stetig mit f (a) = r und g = f
, also f ∈ W 1,q ([a, b]) und ϕ1 (f ) = r, g .

Für j ≥ 2, (r, g) ∈ R × W j−1,q ([a, b]) ist g (absolut) stetig und die durch f (x) := x r + a g(t) dt definierte Funktion f : [a, b] −→ R in W j,q ([a, b])  f (j−1) = g (j−2)  (j) = g (j−1) ∈ Lq ([a, b], . . .)  und ϕ (f ) = (f (a), f
) = (r, g). absolut stetig, f> j Daher ist ϕj für jedes j ∈ {1, . . . , m} ein R-linearer Isomorphismus. Man setze nun (r, g)1,j,q := |r| + Nj−1,q (g) für jedes j ≥ 1 und alle Paare (r, g) ∈ R × W j−1,q ([a, b]). Gemäß 2.4, A 19 gilt τ 1,j,q = τ| | τNj−1,q .   ϕj ist für jedes j ∈ {1, . . . , m} τNj,q , τ 1,j,q -stetig (vgl. 2.4, A 14): Sei zunächst j ≥ 2. Für jedes f ∈ W j,q ([a, b]) gilt im Fall q = ∞   ϕj (f )1,j,q = (f (a), f
)1,j,q = |f (a)| + Nj−1,q (f
) ≤ fq + Nj−1,q (f
) = Nj,q (f )

x Ist q < ∞, so folgt wegen f (x) = f (a) + a f
(t) dt aus  b     |f
(t)| dt = |f (x)| + f
1 ≤ |f (x)| + (b − a)(q−1)/q f
q |f (a)| ≤ |f (x)| + a

 5.4-8 (a)  durch Integration  b  b   |f (a)| dx ≤ |f (x)| dx + (b − a)(q−1)/q (b − a)f
q (b − a)|f (a)| = a a     (q−1)/q   f q + (b − a)(2q−1)/q f
q , ≤ (b − a)     also |f (a)| ≤ (b − a)−1/q fq + (b − a)(q−1)/q f
q und somit ϕj (f )1,j,q ≤   1 + (b − a)(q−1)/q + (b − a)−1/q Nj,q (f ). Für j = 1 erhält man analog     ϕ1 (f )1,1,q =  f (a), f
1,1,q = |f (a)| + f
q     f + f
 = N1,q (f ) q  ≤  q 1 + (b − a)(q−1)/q + (b − a)−1/q N1,q (f )

für q = ∞ für q < ∞.

  m} τ 1,j,q , τNj,q -stetig: ϕ−1 j ist für jedes j ∈ {1, . . . ,

 

x −1 Es ist ϕ−1 r, g (x) = r + [a,x] g, j ((r, g))(x) = r + a g(t) dt für j ≥ 2 und ϕ1 also für j ≥ 2 



Nj,q ϕ−1 j ((r, g))

j j    −1   −1    (k)     g (k−1)  , = = ϕ ((r, g)) + ϕj ((r, g)) j q q q k=0

k=1

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

434 wobei für q < ∞

   −1  1/q  ϕ ((r, g)) ≤ ϕ−1 j j ((r, g)) ∞ (b − a) q    x 1/q |g(t)| dt |r| + sup ≤ (b − a) ≤ (b − a)

1/q

≤ (b − a)

1/q

 

 5.4-8 (b) 

x∈[a,b] a

   |r| + g 1

   |r| + (b − a)(q−1)/q gq

 5.4-8 (a) 

abgeschätzt werden kann. Insgesamt gilt mit C := 1 + (b − a)1/q + (b − a) 



Nj,q ϕ−1 j ((r, g))

 j−1  > (k) g  = C(r, g)1,j,q ≤ C |r| + q 

k=0

für q < ∞ und mit D := 1 + b − a auch 



Nj,∞ ϕ−1 j ((r, g))

 ≤ |r| +

b

a

j   g (k−1)  |g(t)| dt + ∞ k=1

j        g (k−1)  ≤ |r| + (b − a) g ∞ + ∞



 ≤ D |r| +

j−1 

> g (k)  ∞



k=1

k=1

= D(r, g)1,j,∞ . Für j = 1 erhält man analog       −1    
 r, g = ϕ1 r, g q + ϕ−1 r, g q N1,q ϕ−1 1 1    für q < ∞ C  r, g 1,1,q   ≤ für q = ∞. D r, g  1,1,∞

Somit ist ϕj für jedes j ∈ {1, . . . , m} ein R-linearer Homöomorphismus, also auch  W m,q ([a, b]) −→ Rm × Lq ([a, b], . . .)   (m) f −→ (f (a), . . . , f (m−1) (a)), f>   (bzgl. τNm,q , τ  . Da mit (Rm ,  1 ) und (Lq ([a, b], . . .),  q ) auch der normierte Raum (Rm × Lq ([a, b], . . .),  ) vollständig ist, erweist sich (W m,q ([a, b]), Nm,q ) als Banach-Raum  3.1, A 24; 1.2-6; 1.2-6.1 . ✷

5.4 Lq -Räume

435

In 5.4-8 (Seite 414) wurde für alle r, q ∈ R, r ≥ q ≥ 1 die Stetigkeit der kanonischen Einbettungen (L∞ ([a, b], . . .),  ∞ ) −→ (Lr ([a, b], . . .),  r ) −→ (Lq ([a, b], . . .),  q ) ∞  festgestellt. Da auch  die Funktion CR ([a, b]) −→ L ([a, b], . . .), f −→ f , stetig  bzgl. τ ∞ , τ ∞ ist, folgt die Stetigkeit der kanonischen Einbettungen

(CRm ([a, b]), Nm ) −→ (W m,∞ ([a, b]), Nm,∞ ) −→ (W m,r ([a, b]), Nm,r ) −→ (W m,q ([a, b]), Nm,q ) für jedes m ∈ N\{0}, wobei Nm die Norm aus (1.1,4) bezeichnet. Darüber hinaus gilt noch Satz 5.4-14 Es seien a, b, q ∈ R, a < b, q ≥ 1 und m ∈ N\{0}. Die kanonische Einbettung (W m,q ([a, b]), Nm,q ) −→ (CRm−1 ([a, b]), Nm−1 ) ist stetig. ({ (W m,q ([a, b]), Nm,q ) | q ∈ R ∪ {∞}, q ≥ 1 } ist eine Skala von Banach-Räumen zwischen CRm ([a, b]) und CRm−1 ([a, b]).) Beweis Nach den obigen Vorbemerkungen kann q = 1 angenommen werden. Sei also f ∈ W m,1 ([a, b]). Für jedes j ∈ {1, . . . , m} kann wie folgt abgeschätzt werden:  b (j−1) (j−1) −1 f f (a) = (b − a) (a) dt a  b   (j−1) −1 f (a) − f (j−1) (t) + f (j−1) (t) dt ≤ (b − a) a  b    −1 (j) (j−1)   = (b − a) f dt + f 1 a

−1

≤ (b − a)

[a,t]

 b  a

[a,b]

   (j)  (j−1)  f dt + f 1

    (j)  + (b − a)−1 f (j−1)  ≤ f> 1 1 und weiter für jedes x ∈ [a, b]  (j−1) (j−1) f (x) = f (a) +

[a,x]

f



(j)

 >    (j)  ≤ 2f (j)  + (b − a)−1 f (j−1)  , ≤ f (j−1) (a) + f> 1 1 1

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

436 also

  (j−1)     (j)  + (b − a)−1 f (j−1)  . f  ≤ 2f> ∞ 1 1

Es folgt Nm−1 (f ) =

m   (j−1)  f  ∞ j=1

m−1 m     >  (j)  f (j)  + (b − a)−1 f> ≤ (b − a)−1 f1 + 2 1 1 j=1

j=1

m >   −1 f (j)  ≤ 2 + (b − a) 1



−1



j=0

= 2 + (b − a) Nm,1 (f ),   also die τNm,1 , τNm−1 -Stetigkeit der Identität  2.4, A 14 .

✷

Aufgaben zu 5.4 1. (X, A, µ) sei ein Maßraum, q ∈ ]0, ∞], f ∈ Lq (X, A, µ), g ∈ L0 (X, A) und h : X −→ R∗∗ . (a)

g =µ f

=⇒

g ∈ Lq (X, A, µ)

(b) h =µ f , (X, A, µ) vollständig

=⇒

h ∈ Lq (X, A, µ)

2. Man zeige: ∀ q, r ∈ ]0, ∞] : q < r ⇒ Lr (R, Λ, λ) Lq (R, Λ, λ). 3. (X, A, µ) sei ein Maßraum, q, r ∈ ]1, ∞[, (1/q) + (1/r) = 1, f ∈ Lq (X, A, µ), g ∈ Lr (X, A, µ).      Äq (i) |f g| = fq gr (ii) ∃ a ∈ R+ : |f |q = a|g|r oder |g|r = a|f |q µ

4. (X, A, µ) sei ein Maßraum, q ∈ [1, ∞[, f, g ∈ Lq (X, A, µ).       Äq (i) f + g = f + g q

q

q

(ii) q = 1 und { x ∈ X | (sgn f (x))(sgn g(x)) = −1 } ∈ A0 q > 1 und ∃ a ∈ R+ : f =µ ag oder g =µ af

oder

5. Gibt es eine Funktion g ∈ L0 (R, Λ) mit der Eigenschaft wes sup g < sup g (bzgl. λ)? 6. (X, A, µ) sei ein Maßraum, 0 < q < 1, r ∈ R, (1/q) + (1/r) = 1, also r < 0, 1/r 

f ∈ Lq (X, A, µ), g ∈ L0 (X, A), 0 < |g|r < ∞, gr := |g|r , f ≥ 0, g ≥ 0.  

   Man zeige f g ≥ f q gr .

5.4 Lq -Räume

437

7. (X, A, µ) sei ein Maßraum, q ∈ ]0, ∞[, f ∈ Lq (X, A, µ), g ∈ L0 (X, A), ε > 0 und A+ := { x ∈ X | g(x) ≥ 0 }.

(a) µ({ x ∈ X | g(x) > ε }) ≤ 1ε A+ g (Tschebyscheff-Ungleichung für meßbare Funktionen)   q ?  (b) µ x ∈ X |f (x)| > ε ≤ f εq q

(Tschebyscheff-Ungleichung für Lq -Funktionen) 8. (X, A, µ) sei ein Maßraum, 0 < q < r < ∞ und s ∈ ]q, r[. Man zeige: Lq (X, A, µ) ∩ Lr (X, A, µ) ⊆ Ls (X, A, µ). 9. (X, A, µ) sei ein Maßraum, µ(X) < ∞ und f ∈ L∞ (X, A, µ).     Es gilt f = limq→∞ f . ∞

q

10. Es sei q ∈ [1, ∞], q = 2. Man beweise, daß es kein Skalarprodukt auf Lq (R, Λ, λ) gibt, das die Lq -Norm  q induziert. (Hinweis: 1.1-8.3) 11. (X, A, µ) sei ein Maßraum, q ∈ ]0, ∞[. Man zeige:   LqC (X, A, µ) = f ∈ L0C (X, A) |f |q µ-summierbar und 0 L∞ C (X, A, µ) = { f ∈ LC (X, A) | wes sup|f | < ∞ }.

12. (X, A, µ) sei ein Maßraum,  q ∈ [1, ∞] und mit A := Ker q (vgl. 1.1-6 (c), (d)) LqR (X, A, µ)/A , ( q )A der zu (LqR (X, A, µ),  q ) assoziierte normierte R-Vektorraum. Man zeige   q   q ∼ L (X, A, µ), d q , LR (X, A, µ)/A , d( q )A = isom. ϕ wobei ϕ als R-linearer Isomorphismus gewählt werden kann. 13. (X, A, µ) sei ein Maßraum, A ∈ A, g ∈ L0 (X, A). Man bestätige wes sup g ≥ wes sup g
A. 14. Es sei q ∈ R, q ≥ 1, f ∈ Lq (Rn , Λn , λn ) und Ta die Translation auf Rn bei a (s. (5.4,6)). (a)

◦ Ta ∀ g ∈ f: f ◦ Ta = g

    (b) f ◦ Ta ∈ Lq (Rn , Λn , λn ) und fq = f ◦ Ta q 15. (X, A, µ) sei ein Maßraum, A ∈ A und q ∈ ]0, ∞].   q   q L (A, . . .), τdq separabel L (X, A, µ), τdq separabel =⇒ (Hier ist dq := d q für q ≥ 1, bzw. dq die translationsinvariante Metrik aus (5.4,2) (d) für 0 < q < 1.)

5 Lebesgue-Integration, Lq -Räume

438

16. Es sei q ∈ [1, ∞[, I ⊆ R ein Intervall mit unendlich vielen Elementen und A ∈ Λ.
(a) L∞ (I, . . .), τk k∞ ist nicht separabel.
(b) Lq (A, . . .), τk kq ist separabel. (Hinweis: A 15, 5.4-12, (2.2,6))
(c) LqC (A, . . .), τk kq ist separabel. R 17. Es sei q ∈ ]1, ∞], A ∈ Λn , fe ∈ Lq (A, . . .) und (ϕA)f = 0 für jedes ϕ ∈ Cc (Rn , R). 0. Man zeige: fe = e (Hinweis: 5.4-12.1, 5.4-6) R 18. (X, A, μ) sei ein σ-endlicher Maßraum, fe ∈ L1 (X, A, μ) und A f = 0 für jedes A ∈ A, μ(A) < ∞. Man zeige: fe = e 0. 19. Es seien a, b ∈ R, a < b, m ∈ N\{0} und h i(m) : W m,2 ([a, b]) × W m,2 ([a, b]) −→ R durch m Z X hf, gi(m) := f (j) g (j) j=0

[a,b]

definiert. (W m,2 ([a, b]), h i(m) ) ist ein Hilbert-Raum.

20. Für q ∈ R ∪ {∞}, q ≥ 1, gilt

LqR (N, P N, μz ) = `qR

und

Lq (N, P N, μz ) = `q

6 Lineare Operatoren Funktionen zwischen K-Vektorräumen werden aus Gründen der besseren Unterscheidbarkeit gewöhnlich als Operatoren (bzw. als Funktionale, sofern der Bildraum in K liegt) bezeichnet, weil häufig ihr Definitionsbereich selbst schon aus Funktionen besteht. So ist beispielsweise das Lebesgue-Integral
1 L (X, A, µ) −→ R

f −→ f ein R-lineares Funktional auf dem R-Vektorraum L1 (X, A, µ). Aus der reellen Analysis ist bekannt: R-lineare Operatoren T : Rn −→ Rm sind stetig (s. auch (6.1,4)). In der linearen Funktionalanalysis sind lineare Operatoren zwischen (halb-)normierten (bzw. allgemeiner topologischen) Vektorräumen der Hauptgegenstand des Interesses. Jeder lineare Operator ist dann und nur dann stetig, wenn Stetigkeit bei Null vorliegt (2.4, A 14), lineare Funktionale sind es genau dann, wenn ihr Kern abgeschlossen ist (2.4, A 15 bzw. 6.1-3). Normierte K-Vektorräume unendlicher K-Dimension lassen i. a. auch unstetige lineare Funktionale zu (s. 6.1, A 6 und A 7), die Untersuchung linearer Operatoren im Hinblick auf ihre Stetigkeit unterscheidet sich daher wesentlich von der linearer Operatoren des Rn . Das vorliegende Kapitel 6 enthält einige der für die Funktionalanalysis grundlegenden Eigenschaften der vornehmlich zwischen normierten Vektorräumen definierten stetigen linearen Operatoren. Abschnitt 6.1 behandelt zunächst Beschränktheit in topologischen Vektorräumen und Stetigkeit in Verbindung mit Beschränktheit, sowie Räume stetiger linearer Funktionale, sog. stetige Dualräume (z. B. Banach-Hahn-Satz 6.1-12), insbesondere über Hilbert-Räumen (Rieszscher Darstellungssatz 6.1-6). Die Grundsätze der linearen Funktionalanalysis (vgl. 2.4, A 15, 4.2-2.1) werden in 6.2 mit dem Prinzip vom offenen linearen Operator bzw. abgeschlossenen Graphen (s. 6.2-1.3) und dem der gleichmäßigen Beschränktheit (6.2-5) fortgesetzt. Darüber hinaus enthält dieser Abschnitt  elementare Eigenschaften der schwach∗ -Topologie σ V s  , V , z. B. die Kompaktheit     d op (0) im stetigen Dualraum V s  , σ V s  , V (6.2-7). Anschlieder Kugel K 1 ßend werden in 6.3 Trennungssätze für abgeschlossene reelle Hyperebenen, insbesondere in lokalkonvexen topologischen K-Vektorräumen formuliert und bewiesen (6.3-3.2, 6.3-3.3). Grundlegend hierfür ist der Satz von Banach, Hahn und Mazur (6.3-3) über die Möglichkeit der Erweiterung von Untervektorräumen, die zu einer nichtleeren, offenen, konvexen Teilmenge disjunkt sind, zu abgeschlossenen maxima-

6 Lineare Operatoren

440

len derartigen Untervektorräumen. Die gewonnenen Trennungseigenschaften werden zum Nachweis der Existenz von Extrempunkten nichtleerer, konvexer, kompakter Mengen verwendet (s. 6.3-5.1 oder auch den Satz von Krein-Milman 6.3-5.2), eine für die konvexe Optimierung bedeutende Eigenschaft. Den Abschluß dieses Kapitels bildet der Abschnitt 6.4 über elementare Aspekte zur Dualität zwischen topologischen (insbesondere normierbaren) Vektorräumen und ihren stetigen Dualräumen. Der Satz vom abgeschlossenen Bild 6.4-5, der Satz von Schauder über kompakte lineare Operatoren 6.4-8 und der Kern-Bild-Satz für HilbertRäume 6.4-9.1 sind hier die wichtigsten Resultate.

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume Die in 2.4, A 14 angeführten, zur Stetigkeit K-linearer Operatoren f : V −→ W zwischen normierten K-Vektorräumen (V, N ), (W, M ) gleichwertigen Eigenschaften (i), (iii), (iv) können um eine weitere ergänzt werden, es gilt nämlich Äq (iv) f L-stetig (bzgl. (dN , dM )) ' dN &  (0) dM -beschränkt: (v) f K 1

Zunächst folgt aus der L-Stetigkeit von f , daß M (f (x) − f (x
)) ≤ LN (x − x
) für ein L > 0 und alle x, x
∈ V , also speziell M (f (x)) ≤ LN (x) ≤ L für jedes ' &  dN (0) gilt. Umgekehrt sei M f [K  dN (0)] ⊆ [0, L] für ein L > 0. Dann ist x ∈ K 1 1 1
 dN N (x−x ) (x − x ) ∈ K1 (0), also    1 1

)) = M f ) ≤L M (f (x) − f (x (x − x N (x − x
) N (x − x
) für x = x
und somit M (f (x) − f (x
)) ≤ LN (x − x
) für alle x, x
∈ V . Stetigkeit von f bedeutet daher, daß jede dN -beschränkte Teilmenge S von V auf eine dM -beschränkte Teilmenge von W abgebildet wird  Mit c > 0: N [S] ⊆ [0, c] =⇒ '1 & ' & 1 1  dN dM -beschränkt =⇒ f [S] = cf 1c S dM -bec S ⊆ K1 (0) =⇒ c f [S] = f c S schränkt  und ebenso, daß f auf einer Nullumgebung in (V, N ) beschränkt ist. Durch eine der Situation in (halb)normierten Vektorräumen angepaßte Definition der Beschränktheit kann die zweitgenannte Kennzeichnung der Stetigkeit auf lineare Operatoren f : V −→ W zwischen topologischen K-Vektorräumen (V, τ), (W, σ), wobei (W, σ) eine beschränkte Nullumgebung besitzt, ausgedehnt werden (s. 6.1-2 (b)), denn diese sind ebenfalls noch genau dann stetig, wenn Stetigkeit bei Null gegeben ist: Sei x ∈ V , (xα )α∈A ∈ V A ein Netz mit (xα )α∈A →τ x. Da (V, τ) topologischer Vektorraum ist, folgt (xα − x)α∈A →τ 0 und damit (f (xα − x))α∈A →σ 0, d. h. (f (xα ))α →σ f (x), falls f stetig bei Null ist.

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

441

Definitionen (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, S ⊆ V . S kreisförmig in (V, τ)

 d| | (0)S ⊆ S :gdw K 1

S beschränkt in (V, τ)

:gdw ∀ U ∈ Uτ (0) ∃ ε > 0 : Kε | | (0)S ⊆ U

(V, τ) lokalbeschränkt

:gdw ∃ U ∈ Uτ (0) : U beschränkt in (V, τ)

d

Beispiel (6.1,1) (V, N ) sei ein halbnormierter K-Vektorraum, S ⊆ V . Äq (i)

S beschränkt in (V, dN )

(ii) S beschränkt in (V, τN ) (V, τN ) ist somit ein lokalbeschränkter topologischer K-Vektorraum: d

| | (0)S ⊆ KεdN (0), also Einerseits gilt mit N [S] ⊆ [0, a], a > 0 und ε > 0 die Inklusion Kε/a

d

d

(i) ⇒ (ii), andererseits erhält man mit ε > 0, k ∈ Kε | | (0)\{0}, Kε | | (0)S ⊆ K1dN (0) auch |k|N (s) = N (ks) < 1, also N (s) < 1/|k| für jedes s ∈ S.

Der folgende Satz faßt einige einfache Eigenschaften des Beschränktheitsbegriffs in (V, τ) zusammen. Satz 6.1-1 (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, S, T ⊆ V , k ∈ K, v ∈ V , (vj )j ∈ V N und (vj )j →τ v. (a) S, T beschränkt in (V, τ)

S + T , S ∪ T , kT beschränkt in (V, τ)

=⇒

(b) { vj | j ∈ N } ist beschränkt in (V, τ). T beschränkt in (V, τ) (c) (T, τ|T ) kompakt (s. 4.2, A 4 (a)) (d) Äq (i)

=⇒

=⇒

τ

T beschränkt in (V, τ)

T beschränkt in (V, τ)

T beschränkt in (V, τ)

(ii) ∀ (tj )j ∈ T N ∀ (kj )j ∈ K N : (kj )j →τ | | 0 ⇒ (kj tj )j →τ 0  1  tj j →τ 0 (iii) ∀ (tj )j ∈ T N : j+1 (e) Ist (V, τ) T2 -Raum, so gilt Äq (i)

V beschränkt in (V, τ)

(ii) V = {0}.

6 Lineare Operatoren

442 Beweis

Zu (a) Zu U ∈ Uτ (0) wähle man ein W ∈ Uτ (0), δ, ε > 0 mit W + W ⊆ U , d

d

d

d

Kε | | (0)T ⊆ W , Kε | | (0)S ⊆ W und kKδ | | (0) ⊆ Kε | | (0)  Stetigkeit der Addition in (V, τ) und der Multiplikation in (K, τ| | ) . Mit γ := min{ε, δ} folgt d

d

d

d

d

d

Kγ | | (0)(S + T ) ⊆ Kε | | (0)S + Kε | | (0)T ⊆ W + W ⊆ U, Kγ | | (0)(S ∪ T ) ⊆ Kε | | (0)S ∪ Kε | | (0)T ⊆ W ⊆ U d

d

 0 ∈ W ,

d

Kγ | | (0)(kT ) ⊆ kKδ | | (0)T ⊆ Kε | | (0)T ⊆ W ⊆ U. d

Zu (b) Zu U ∈ Uτ (0) wähle man ein R ∈ Uτ (0), δ > 0 mit Kδ | | (0)(v+R) ⊆ U und d

dann j0 ∈ N mit { vj | j ≥ j0 } ⊆ v +R. Sei ε ∈ ]0, δ[, Kε | | (0){v0 , . . . , vj0 −1 } ⊆ U . d

Dann gilt Kε | | (0){ vj | j ∈ N } ⊆ U , { vj | j ∈ N } ist daher beschränkt. Ist T beschränkt in (V, τ), U ∈ Uτ (0), so sei W ∈ Uτ (0), ε > 0 mit W + W ⊆ U d und Kε | | (0)T ⊆ W . Dann ist d

d

τ

Kε | | (0)T ⊆ Kε | | (0)

τ|

|

d

τ

τ

τ

T ⊆ Kε | | (0)T ⊆ W ⊆ W + W ⊆ U

wegen 2.5, A 21 (a) und der Stetigkeit der Skalarmultiplikation in (V, τ)  2.4-1, d

Kε | | (0)

τ|

|

τ

d

× T = Kε | | (0) × T

τ|

|

τ

gem. 2.4-8 (b) und 2.1-3 (b) .

Zu (c) s. 4.2, Lösung zu A 4 (a), Seite 643. d

Zu (d) (i) ⇒ (ii) Sei U ∈ Uτ (0), ε > 0 mit Kε | | (0)T ⊆ U und jε ∈ N mit d d kj ∈ Kε | | (0) für jedes j ≥ jε . Dann gilt kj tj ∈ Kε | | (0)T ⊆ U für alle j ≥ jε . (ii) ⇒ (iii) ist klar (iii) ⇒ (i) Wenn T nicht beschränkt ist, so existiert definitionsgemäß ein U ∈ Uτ (0) d mit Kε | | (0)T U für jedes ε > 0. Sei o. B. d. A. U kreisförmig  A 1 . Es folgt d  εd| | (0)T = εT U für jedes ε > 0, denn für εT ⊆ U würde man Kε | | (0)T ⊆ K  d| | (0)U ⊆ U erhalten. Zu jedem j ∈ N ist daher ein tj ∈ T mit  d| | (0)εT ⊆ K K 1 1 1 t ∈  U wählbar. j j+1

Zu (e) (i) ⇒ (ii) Es sei v ∈ V \{0}, U ∈ Uτ (0) mit v ∈ U  (T-2) . Man wähle ein   d ε > 0, so daß Kε | | (0)V ⊆ U gilt, und erhält v = 2ε 2ε v ∈ U .
(ii) ⇒ (i) ist klar. In bezug auf die Stetigkeit K-linearer Operatoren ergibt sich

✷

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

443

Satz 6.1-2 (V, τ), (W, σ) seien topologische K-Vektorräume, ϕ : V −→ W K-linear. (a) Ist ϕ stetig, so gilt ∀ T ⊆ V : T beschränkt in (V, τ) ⇒ ϕ[T ] beschränkt in (W, σ). (b) Für lokalbeschränkte (W, σ) ist Äq (i)

ϕ stetig

(ii) ∃ U ∈ Uτ (0) : ϕ[U ] beschränkt in (W, σ). Beweis Zu (a) Sei ϕ stetig und U ∈ Uσ (0). Wegen ϕ−1 [U ] ∈ Uτ (0) existiert ein ε > 0 mit ' d & d d Kε | | (0)T ⊆ ϕ−1 [U ], woraus Kε | | (0)ϕ[T ] = ϕ Kε | | (0)T ⊆ U folgt. −1 Zu (b)' (i) ⇒ (ii) & Sei R ∈ Uσ (0) beschränkt in (W, σ). Dann ist ϕ [R] ∈ Uτ (0) −1 und ϕ ϕ [R] ⊆ R beschränkt in (W, σ). d

(ii) ⇒ (i) Sei R ∈ Uσ (0), ε > 0 mit Kε | | (0)ϕ[U ] ⊆ R. Es folgt ϕ−1 [R] ⊇ d Kε | | (0)U ∈ Uτ (0), also ist ϕ stetig bei Null und somit stetig. ✷ Man beachte, daß in 6.1-2 (b) die Implikation (ii) ⇒ (i) auch ohne die Voraussetzung „(W, σ) lokalbeschränkt“ richtig ist! Korollar 6.1-2.1 ( (Vi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie topologischer K-Vektorräume, V ein K-Vektorraum, ϕi : V −→ Vi K-linear für jedes i ∈ I und τ die Initialtopologie auf V der Familie ((Vi , τi ), ϕi )i∈I . Dann ist (V, τ) ein topologischer K-Vektorraum, und es gilt für alle T ⊆ V : Äq (i)

T beschränkt in (V, τ)

(ii) ∀ i ∈ I : ϕi [T ] beschränkt in (Vi , τi ). Beweis

$  −1 Die Menge Basis für die i∈I0 ϕi [Oi ] I0 ∈ Pe I, ∀ i ∈ I0 : Oi ∈ τi ist eine $ Initialtopologie τ  s. Seite 125 . Es seien x, y ∈ V , k ∈ K und x+y ∈ i∈I0 ϕ−1 i [Oi ] $ −1 (bzw. kx ∈ i∈I0 ϕi [Oi ]). Dann ist ϕi (x)+ϕi (y) = ϕi (x+y) ∈ Oi (bzw. kϕi (x) = ϕi (kx) ∈ Oi ) für jedes i ∈ I0 , und nach Voraussetzung gibt es Pi ∈ Uτi (ϕi (x)) ∩ τi , d

Qi ∈ Uτi (ϕi (y)) ∩ τi und εi > 0 mit Pi + Qi ⊆ Oi (bzw. Kεi| | (k)Pi ⊆ Oi ). Es folgt   d| |  ϕ−1 y∈ ϕ−1 k∈ Kεi (k), x∈ i [Pi ], i [Qi ], i∈I0

i∈I0

i∈I0

6 Lineare Operatoren

444 

ϕ−1 i [Pi ] +

i∈I0



ϕ−1 i [Qi ] ⊆

i∈I0



ϕ−1 i [Oi ] bzw.

i∈I0

    d| | −1 Kεi (k) ϕi [Pi ] ⊆ ϕ−1 i [Oi ].

 i∈I0

i∈I0

i∈I0

(i) ⇒ (ii) gem. 6.1-2 (a) $ (ii) ⇒ (i) Sei i∈I0 ϕ−1 i [Oi ] eine (Basis-)Umgebung von 0 bzgl. τ  s. o. . Für jedes d

i ∈ I0 existiert nach Voraussetzung ein εi > 0 mit Kεi| | (0)ϕi [T ] ⊆ Oi , also gilt  $ $ d| | −1 ✷ i∈I0 Kεi (0) T ⊆ i∈I0 ϕi [Oi ]. Einen wichtigen Spezialfall eines K-Vektorraums mit Initialtopologie enthält die folgende Definition V sei ein K-Vektorraum mit dem algebraischen Dualraum V a := { ϕ : V −→ K | ϕ K-linear }, ∅ = S ⊆ V a . Die Initialtopologie σ(V, S) auf V der Familie ((K, τ| | ), ϕ)ϕ∈S heißt die durch S auf V induzierte schwache Topologie auf V . Es gilt dann für alle ∅ = S, T ⊆ V a : S⊆T wobei S

lin

=⇒

 lin  σ(V, S) ⊆ σ(V, T ), σ(V, S) = σ V, S ,

den von S erzeugten K-Untervektorraum von V a bezeichnet  A 3 (a) .

Ist τ eine K-Vektorraumtopologie auf V , so heißt V sτ := V a ∩ C(V, K) stetiger Dualraum von (V, τ), die Elemente von V sτ sind die stetigen linearen Funktionale auf (V, τ). Für Topologien, die von einer Pseudometrik d, Pseudonorm ν, Halbnorm N bzw. einem Halbskalarprodukt
 induziert werden, wird die Bezeichnung V sd , V sν , V sN bzw. V s  verwendet. Korollar 6.1-2.2 (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, ϕ ∈ V a . Äq (i)

ϕ ∈ V sτ

(ii) ∃ U ∈ Uτ (0) : ϕ[U ] beschränkt (in (K, τ| | )) Der Beweis folgt direkt nach 6.1-2, da (K, τ| | ) lokalbeschränkt ist.

✷

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

445

Der in 2.4, A 15 für normierte K-Vektorräume formulierte erste Grundsatz der linearen Funktionalanalysis kann nun auf topologische K-Vektorräume ausgedehnt werden: Satz 6.1-3 (Erster Grundsatz der linearen Funktionalanalysis) (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, ϕ ∈ V a . Äq (i)

ϕ ∈ V sτ

(ii) Ker ϕ ∈ ατ Beweis (i) ⇒ (ii) ist klar, da {0} ∈ ατ | | . (ii) ⇒ (i) Für alle ϕ ∈ V a \V sτ , U ∈ Uτ (0) ist ϕ[U ] nicht beschränkt in (K, τ| | )  6.1-2.2 , und es gilt ϕ[U ] = K: Ist k ∈ K\{0}, so existiert ein u ∈ U mit |ϕ(u)| ≥ |k|, weil andernfalls ϕ[U ] doch beschränkt wäre. U kann o. B. d. A. als kreisförmig vorausgesetzt werden  A 1 , also ist k = k(ϕ(u))−1 ϕ(u) ∈ ϕ[U ]  ϕ[U ] ist kreisförmig . Man kann daher für jedes v ∈ V ein uv ∈ U finden, für das −ϕ(v) = ϕ(uv ), also τ uv + v ∈ (Ker ϕ) ∩ (v + U ) gilt. Somit ist V = Ker ϕ = Ker ϕ  nach (ii) , woraus s ϕ = 0 ∈ V τ folgt.
✷ Korollar 6.1-3.1 (V, τ), (W, σ) seien topologische K-Vektorräume, (W, σ) T2 -Raum, ϕ ∈ V a , w ∈ W , w = 0 und ϕw : V −→ W , ϕw (v) := ϕ(v)w. Äq (i)

ϕ ∈ V sτ

(ii) ϕw ∈ C(V, W ) Beweis d

(i) ⇒ (ii) Sei R ∈ Uσ (0). Man wähle ε > 0, U ∈ Uτ (0) mit Kε | | (0)w ⊆ R und d

d

ϕ[U ] ⊆ Kε | | (0). Dann ist ϕw [U ] = ϕ[U ]w ⊆ Kε | | (0)w ⊆ R, die Funktion ϕw also stetig (bei Null). (ii) ⇒ (i) Es ist wegen w = 0 und {0} ∈ ασ  (T-2)  Ker ϕ = Ker ϕw = ϕ−1 w [{0}] ∈ ατ , nach 6.1-3 daher ϕ ∈ V sτ .

✷

Auf unendlichdimensionalen halbnormierten K-Vektorräumen (V, N ) gibt es unstetige K-lineare Funktionale ϕ (s. A 18 für ein umfassenderes Resultat), deren Kerne sind somit gemäß 6.1-3 nicht abgeschlossen, also auch nicht offen in (V, τN )

6 Lineare Operatoren

446

#  Ker ϕ = V \ { v + Ker ϕ | v ∈ V \ Ker ϕ } wäre sonst abgeschlossen! , und besitzen daher keinen inneren Punkt, d. h. (Ker ϕ)◦τN = ∅. Nach 2.4, A 18 (b) τ gilt Ker ϕ N = V  Ker ϕ ist maximaler K-Untervektorraum von V gem. Anhang 2-10. . Insbesondere gilt für die konvexe Menge Ker ϕ die strikte Ungleichung  τ ◦ Ker ϕ N τN  (Ker ϕ)◦τN (vgl. 2.4, A 33 (b)). Die konkrete Angabe eines dichten, echten R-Untervektorraums in einem normierten R-Vektorraum von reellen Zahlenfolgen erfolgt in Beispiel (6.1,2) Es sei


V :=

  ∞ (rj )j ∈ R rj konvergent in (R, τ| | ) N

j=0

und   : V −→ R+ definiert durch  m (rj )j  := sup rj . m∈N j=0

(a)

(V,  ) ist ein normierter R-Vektorraum: V ist mit koordinatenweiser Addition und Skalarmultiplikation offensichtlich ein R-Vektorraum. Weiterhin ist   wegen 6.1-1 (b) wohldefiniert. Die Normeigenschaften (N-1), (N-2), (N-3) (vgl. 1.1) ergeben sich nun aus  m  m rj = 0 =⇒ ∀ m ∈ N : rj = 0 =⇒ (rj )j = 0, (rj )j  = sup m∈N j=0

j=0

 m k(rj )j  = (krj )j  = sup krj = |k| (rj )j  m∈N j=0

und  m (rj )j + (sj )j  = (rj + sj )j  = sup (rj + sj ) m∈N j=0

m    m  ≤ sup rj + sj = (rj )j  + (sj )j . m∈N j=0

j=0

(b) U := { (rj )j ∈ V | ∀ j ∈ N : r2j+1 = 0 }, G := { (rj )j ∈ V | ∀ j ∈ N : r2j = 0 } sind R-Untervektorräume von V , U ∩ G = {0}  klar  und U + G = V :     1 1 ∈ V  alternierende harmonische Reihe . Wäre (−1)j j+1 = Es ist (−1)j j+1 j j 1 1 (uj )j + (gj )j für ein (uj )j ∈ U , (gj )j ∈ G, so müßte g2j+1 = − 2j+2 und u2j = 2j+1 ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 gelten, und es wäre j=0 gj = − j=0 2j+2 = −∞, j=0 uj = j=0 2j+1 = ∞.


6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume (c)

τ

U +G



447

=V:

Es sei j )j ∈ V , ε > 0. Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium existiert ein mε (r n mit j=m rj < ε/2 für alle n ≥ m > mε . Man definiere nun für jedes j ∈ N  rj für j ∈ {0, . . . , mε }, j gerade uj := 0 sonst,  rj für j ∈ {0, . . . , mε }, j ungerade gj := 0 sonst d

und erhält (uj )j ∈ U , (gj )j ∈ G und (uj )j + (gj ) j ∈ Kε   ((r j )j ) aus der m Ungleichungskette (rj )j − (uj )j − (gj )j  = supm≥mε +1 j=mε +1 rj ≤ ε/2 < ε.

Lineare Operatoren ϕ : V −→ W zwischen halbnormierten K-Vektorräumen (V, N ), (W, M ) sind gem. 6.1-2 (b) genau dann stetig, wenn sie auf einer Nullumgebung KεdN (0) in (V, τN ) beschränkt sind, d. h.  nach (6.1,1)  wenn es ein c ≥ 0 gibt mit & '  dN (0)] ⊆ [0, c]. Die Inklusion gilt wiederum genau dann, wenn M (ϕ(x)) ≤ M ϕ[K ε c ε N (x) für jedes x ∈ V erfüllt ist  A 4 . Diese Überlegungen führen zu den Definitionen (V, N ), (W, M ) seien halbnormierte K-Vektorräume, c ∈ R+ und ϕ : V −→ W K-linear. c Schranke für ϕ

:gdw ∀ x ∈ V : M (ϕ(x)) ≤ cN (x)

ϕ beschränkter linearer Operator

:gdw ∃ S ∈ R+ : S Schranke für ϕ

Beschränktheit eines linearen Operators ϕ darf nicht mit Beschränktheit der Funktion ϕ verwechselt werden, denn vom Nullfunktional verschiedene stetige K-lineare Funktionale ϕ sind beispielsweise surjektiv  daher im gewöhnlichen Sinne nicht  k und x = k . beschränkt  ϕ(x) = 0, k ∈ K =⇒ ϕ ϕ(x) Für topologische K-Vektorräume (V, τ), (W, σ) sei L(V, W ) := { ϕ : V −→ W | ϕ (τ, σ)-stetig und K-linear },

L(V ) := L(V, V ).

Sind (V, N ), (W, M ) halbnormierte K-Vektorräume, so gilt L(V, W ) = { ϕ : V −→ W | ϕ beschränkt und K-linear },


und  op :

L(V, W ) −→ R+    dN (0) ϕ −→ sup M (ϕ(x)) x ∈ K 1

heißt Operatorhalbnorm zu (N, M ) (bzw. Operatornorm zu (N, M ), falls M eine  dN (0) = εK  dN (0) wohldefiniert! . Norm ist)   op ist wegen K ε 1

6 Lineare Operatoren

448 Satz 6.1-4

(V, N ), (W, M ) seien halbnormierte K-Vektorräume und ϕ ∈ L(V, W ). (a) ϕop = inf{ c ∈ R+ | c Schranke für ϕ }, ∀ x ∈ V : M (ϕ(x)) ≤ ϕop N (x) (b) (L(V, W ),  op ) ist ein halbnormierter K-Vektorraum. (c) Ist M eine Norm auf W , so auch  op auf L(V, W ). Beweis Zu (a) Ist c ∈ R+ eine Schranke für ϕ, so gilt insbesondere M (ϕ(x)) ≤ cN (x) ≤ c  dN (0) und somit M (ϕ(x)) ≤ inf{ c ∈ R+ | c Schranke für ϕ }, d. h. für jedes x ∈ K 1    dN (0) ≤ inf{ c ∈ R+ | c Schranke für ϕ }. ϕop = sup M (ϕ(x)) x ∈ K 1  dN (0) auch M (ϕ(x)) ≤ Nach A 4 folgt aus M (ϕ(x)) ≤ ϕop für alle x ∈ K 1 ϕop N (x) für jedes x ∈ V , ϕop ist daher Schranke für ϕ. Zu (b) L(V, W ) ist (mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation) ein K-Vektorraum, die Halbnormeigenschaften (N-2), (N-3) folgen aus    dN (0) kϕop = sup M (kϕ(x)) x ∈ K 1    dN (0) = |k| ϕop = |k| sup M (ϕ(x)) x ∈ K 1

und    dN (0) ϕ + ψop = sup M (ϕ(x) + ψ(x)) x ∈ K 1      dN (0)  dN (0) + sup M (ψ(x)) x ∈ K ≤ sup M (ϕ(x)) x ∈ K 1

1

= ϕop + ψop . Zu (c) Ist M eine Norm auf W , so gilt auch (N-1):    dN (0) 0 = ϕop = sup M (ϕ(x)) x ∈ K 1  dN (0) : M (ϕ(x)) = 0 =⇒ ∀ x ∈ K 1  =⇒ ∀ x ∈ K1dN (0) : ϕ(x) = 0  M ist Norm  =⇒ ∀ x ∈ V : ϕ(x) = 0  N (x) = 0 =⇒ M (ϕ(x)) = 0 gem. (a), also ϕ(x) = 0.    dN (0) =⇒ ϕ 1 x = 0, also ϕ(x) = 0 . N (x) = 0 =⇒ N 1(x) x ∈ K 1 N (x)

✷

Korollar 6.1-4.1 (V, N ), (W, M ) seien normierte K-Vektorräume, U ⊆ V ein K-Untervektorraum von τ V und U N = V , E : L(V, W ) −→ L(U, W ) definiert durch E(ϕ) := ϕ
U .

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

449

(a) E ist ein ( op ,  op )-normerhaltender K-linearer Operator. (b) (W, M ) Banach-Raum

=⇒

E surjektiv

Beweis E ist wohldefiniert, K-linear und gem. 2.5-9.1 (b) injektiv. Zu (a) Zunächst gilt

 M (ϕ(v))

 M (ϕ(u)) ϕ
U op = sup u ∈ U \{0} ≤ sup v ∈ V \{0} N (u) N (v) = ϕop für jedes ϕ ∈ L(V, W ). Zum Nachweis von ϕop ≤ ϕ
U op sei v ∈ V und ε > 0 ' & vorgegeben. Wegen der Stetigkeit von ϕ gibt es ein δ ∈ ]0, ε[ mit ϕ KδdN (0) ⊆   KεdM (0). Sei u ∈ U ∩ v + KδdN (0) . Dann ist |N (v) − N (u)| ≤ N (v − u) < δ und somit M (ϕ(v − u)) < ε. Es folgt M (ϕ(v)) < ε + M (ϕ(u)) ≤ ε + ϕ
U op N (u) ≤ ε + ϕ
U op (δ + N (v)), und man erhält aus M (ϕ(v)) ≤ ϕ
U op N (v)  ε > δ > 0 beliebig  die gewünschte Ungleichung ϕop ≤ ϕ
U op . ✷

Zu (b) folgt direkt aus 3.2, A 3. Beispiele (6.1,3) (a)

(X, A, µ) sei ein Maßraum.
ϕ:

L1 (X, A, µ) −→ R

f −→ f

  ist ein τ 1 , τ| | -stetiges lineares Funktional (s. auch A 11), denn      ϕ f ≤ |f | = f  5.3-4 (f) , 1 also ϕop ≤ 1. Die Schranke 1 für ϕ kann i. a. nicht verbessert (d. h. verkleinert) werden, denn über [0, 1] gilt beispielsweise mit f = 1 die Gleichung   1     ϕ f = f = 1 dx = 1 = f1 . 0

(b) Auf dem normierten R-Vektorraum (R[x]
[0, 1],  ∞ ) ist der Ableitungsoperator
D:

R[x]
[0, 1] −→ R[x]
[0, 1]  d  p(x)
[0, 1] −→ dx p(x)
[0, 1]

mit

  k k  d  j pj x := jpj xj−1 dx j=0 j=1

6 Lineare Operatoren

450 (wie üblich), zwar linear, jedoch nicht stetig:

  Für jedes j ∈ N sei mj (x) := xj , also mj (x)
[0, 1]∞ = sup |tj | t ∈ [0, 1] = 1 und  0 für j = 0 D(mj (x)
[0, 1]) = jmj−1 (x)
[0, 1] sonst. Dann gilt D(mj (x)
[0, 1])∞ = j = jmj (x)
[0, 1]∞ für alle j ∈ N, D ist daher kein beschränkter linearer Operator. (c)

Es sei k ∈ CR ([0, 1] × [0, 1]) und Ik : CR ([0, 1]) −→ CR ([0, 1]) der durch  1 k(t, x)f (t) dt Ik (f )(x) := 0

definierte Fredholmsche Integraloperator mit Kern k (s. auch (6.4,4), Seite 526). Ik ist wohldefiniert, d. h. Ik (f ) ∈ CR ([0, 1]) für alle f ∈ CR ([0, 1]): Sei ε > 0. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von k auf [0, 1] × [0, 1]  4.1-2.1  existiert insbesondere ein δ > 0, so daß für alle t, x, x ∈ [0, 1] mit |x − x | < δ |k(t, x) − k(t, x )| < ε/(f ∞ + 1) gilt. Es folgt  1 |Ik (f )(x) − Ik (f )(x )| = (k(t, x) − k(t, x ))f (t) dt 

0 1

≤

|k(t, x) − k(t, x )| |f (t)| dt

0

≤

ε f ∞ < ε. f ∞ + 1

Ik ist offensichtlich linear. Aus Ik (f )∞

(   1 = max k(t, x)f (t) dt x ∈ [0, 1] 0
 1  ≤ max |k(t, x)| |f (t)| dt x ∈ [0, 1] 0

≤ k∞ f ∞ folgt die Stetigkeit von Ik (mit Ik op ≤ k∞ ).

Wie in (6.1,3) (a) kann in einigen Fällen die Operatornorm beschränkter linearer Operatoren exakt bestimmt werden (s. auch A 9). Beispiel (6.1,4) ϕ : Rn−→ Rn sei R-linear mit der Matrixdarstellung (aij )i,j=1,...,n bzgl. der kanonischen R  Basis (δi,j )j=1,...,n i ∈ {1, . . . , n} , ϕ∞ op die Operatornorm von ϕ zu ( ∞ ,  ∞ ). Es ist
  n |aij | 1 ≤ i ≤ n , ϕ∞ op = max j=1

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

451

die sog. maximale Zeilensummennorm von ϕ: Wegen ϕ(x)∞

(   n
  n  x∞ = max aij xj 1 ≤ i ≤ n ≤ max |aij | 1 ≤ i ≤ n j=1

j=1

 n  1 ≤ i ≤ n . Es sei weiterfür alle x ∈ Rn gilt zunächst ϕ∞ op ≤ max j=1 |aij | , n} die Nummer einer Zeile der Matrix hin mit i0 ∈ {1, . . .  (aij )i,j bezeichnet, für die n n 1 ≤ i ≤ n gilt, und x  := xj j definiert durch a = max |a | i j ij 0 j=1 j=1  1 für ai0 j ≥ 0 xj := für j = 1, . . . , n. −1 sonst   n n ∞ ≤ 1, j = j=1 ai0 j und somit Dann ist x j=1 ai0 j x (  n 
 n n      ϕ x   ∞ = max aij xj 1 ≤ i ≤ n ≥ |aij | 1 ≤ i ≤ n . ai0 j = max j=1

Insgesamt gilt ϕ∞ op

j=1

j=1

  n = max j=1 |aij | 1 ≤ i ≤ n wie behauptet.

Für die näherungsweise Lösung von linearen Operatorgleichungen der Form ϕ(x) = x,

x∈V

(s. auch (3.4,1)), wobei ϕ ∈ L(V ) und (V,  ) ein normierter K-Vektorraum ist, kann die Kenntnis der Operatornorm ϕop u. U. von großer Bedeutung sein. Für ϕop < 1 ist nämlich ϕ eine strenge Kontraktion von (V, d  ) in sich  ϕ(x) − ϕ(y) = ϕ(x − y) ≤ ϕop x − y . Wenn also (V,  ) ein Banach-Raum ist, so liefert der Banachsche Fixpunktsatz 3.4-1 die Existenz einer eindeutig bestimmten Lösung x, die durch Picard-Iteration mit irgendeinem Anfangselement aus V beliebig genau (bzgl.  ) berechnet werden kann, und die a priori- und a posteriori-Abschätzungen (s. die Ausführungen im Anschluß an 3.4-1.1, Seite 222) stehen mit λ = ϕop für Fehlerabschätzungen zur Verfügung. Auf diesen Erkenntnissen basieren zahlreiche numerische Methoden, u. a. ein einfaches Gesamtschrittverfahren zur iterativen Lösung linearer Gleichungssysteme: Beispiel (6.1,5) Sei ϕ : Rn −→ Rn ein R-linearer A = (aij )i,j=1,...,n mit Matrixdarstellung   Isomorphismus bzgl. der kanonischen R-Basis (δi,j )j=1,...,n 1 ≤ i ≤ n des Rn , y ∈ Rn . Berechnet werden soll die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = y,

d. h. ϕ(x) = y.

(∗)

Nach dem folgenden Gesamtschrittverfahren löse man hierzu für i = 1, . . . , n die i-te Gleichung nach xi auf (aii = 0 für i = 1, . . . , n vorausgesetzt; ggf. sind hierfür Zeilen-

6 Lineare Operatoren

452 bzw. Spaltenvertauschungen im Gleichungssystem erforderlich): n

xi =

X aij yi − xj , aii j=1 aii

i = 1, . . . , n.

j6=i

Mit den Matrizen L = (lij )i,j=1,...,n , R = (rij )i,j=1,...,n und D = (dij )i,j=1,...,n , wobei ( ( aij für i > j aij für i < j rij := dij := δi,j aij lij := 0 sonst, 0 sonst, für alle i, j ∈ {1, . . . , n} gesetzt wird, erhält man diese Gleichungen in Matrixschreibweise x = D−1 y − D −1 (L + R)x.

(∗∗)

Bezeichnet ψ : R −→ R , ψ(x) := −D (L + R)x den R-linearen Operator mit der Matrixdarstellung −D−1 (L + R), und ist f : Rn −→ Rn , f (x) := D −1 y + ψ(x), so gilt für alle x, x0 ∈ Rn und je zwei Normen k k, k k0 auf Rn n

n

−1

kf (x) − f (x0 )k = kψ(x) − ψ(x0 )k ≤ kψkop kx − x0 k0 ,

wenn kψkop die Operatornorm von ψ zu (k k0 , k k) bedeutet.

Kann man also Normen k k, k k0 auf Rn so finden, daß kψkop < 1 gilt, so läßt sich die Lösung von (∗∗), d. h. die Lösung von (∗) durch Picard-Iteration x(j+1) := D−1 y − D−1 (L + R)x(j) ,

x(0) ∈ Rn

(Jacobi-Verfahren)

näherungsweise berechnen; beispielsweise dann, wenn die maximale Zeilensummennorm von ψ, ( n ) X |aij | 1≤i≤n , kψk∞ op = max |aii | j=1 j6=i

oder die maximale Spaltensummennorm von ψ (vgl. A 9), ( n ) X |aij | 1≤j≤n , kψk1 op = max |aii | i=1 i6=j

kleiner als 1 ist (sog. Dominanz der Diagonalelemente in der Matrix A).

Satz 6.1-5 (V, N ) sei ein halbnormierter K-Vektorraum, (W, k k) ein Banach-Raum über K und k kop die Operatornorm zu (N, k k) auf L(V, W ). (L(V, W ), k kop ) ist ein Banach-Raum über K.

Beweis Gem. 6.1-4 (b), (c) ist k kop eine Norm auf dem K-Vektorraum L(V, W ), es ist daher nur die Vollständigkeit nachzuweisen.

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

453

Sei (ϕj )j ∈ L(V, W )N mit ∞  < ∞. Nach 3.5-6 muß die Konvergenz der j=0 ϕ  j op  ∞ Reihe j=0 ϕj in L(V, W ), τ op gezeigt werden. Zunächst gilt ∞ ∞ ∞    ϕj (x) ≤ ϕj op N (x) = N (x) ϕj op < ∞ j=0

j=0

j=0

für jedes x ∈ V , nach 3.5-6 existiert somit ein wx ∈ W mit ∞ j=0 ϕj (x) = wx (in (W, τ )). Der Operator T : V −→ W , T (x) := w ist linear  T (rx + sy) =   x ∞ ∞ ∞ ϕ (rx + sy) = r ϕ (x) + s ϕ (y) = rT (x) + sT (y) , beschränkt j j=0 j j=0 j j=0  ∞ ∞ ∞  T (x) =  j=0 ϕj (x) ≤ j=0 ϕj (x) ≤ N (x) j=0 ϕj op für jedes x ∈ V , ∞ also T op ≤ ∞ j=0 ϕj op < ∞  und erfüllt T = j=0 ϕj (in (L(V, W ),  op )): Für jedes k ∈ N ist   k    T − ϕj    j=0

op


  k      = sup T (x) − ϕj (x) x ∈ V, N (x) ≤ 1 j=0

 
    ∞  x ∈ V, N (x) ≤ 1 ϕ (x) = sup  j   j=k+1


 ∞ ≤ sup ϕj op N (x) x ∈ V, N (x) ≤ 1 j=k+1

≤

∞ 

ϕj op .

j=k+1

Die Konvergenz ergibt sich nun aus

 ∞



j=k+1 ϕj op k∈N

→τ | | 0.

✷

Korollar 6.1-5.1

  (V, N ) sei ein halbnormierter K-Vektorraum. V sN ,  op ist ein Banach-Raum (über K). ✷ Im Zusammenhang mit der Behandlung stetiger Dualräume V sτ topologischer K-Vektorräume (V, τ) ergeben sich drei grundsätzliche Fragen: (1) V sτ = {0}? (2) Kann V sτ bis auf R-lineare (bzw. C-konjugiertlineare) Isomorphie durch einen bekannten K-Vektorraum gekennzeichnet werden? (3) Kann (V sN ,  op ) für den halbnormierten K-Vektorraum (V, N ) bis auf isometrische R-lineare (bzw. C-konjugiertlineare) Isomorphie durch einen bekannten normierten K-Vektorraum gekennzeichnet werden?

6 Lineare Operatoren

454

Die Frage (1) ist i. a. zu verneinen  (6.1,6) , für normierte K-Vektorräume (V, N ), V = {0}, jedoch positiv zu beantworten  6.1-12.1 (b), Seite 464 . Beispiele (6.1,6) Es seien a, b, q ∈ R, a < b, q > 0 und Lq ([a, b], . . .)sq der stetige Dualraum von Lq ([a, b], . . .) bzgl.  q für q ≥ 1 bzw. νq für q ∈ ]0, 1[.   (a) Sei ϕ ∈ Lq ([a, b], . . .)sq \{0}. Für jedes f0 ∈ Lq ([a, b], . . .) mit ϕ f0 ≥ 1 gibt es ein f1 ∈ Lq ([a, b], . . .) mit  q  q   ϕ f1 ≥ 1 und f1 q = 2q−1 f0 q : Die Funktionen gx := f0 χ[a,x[ , hx := f0 χ[x,b] gehören für jedes x ∈ [a, b] zu Lq ([a, b], . . .). Wegen 5.3, A 12 ist F0 : [a, b] −→ R, F0 (x) := gx qq , stetig, und es gilt  q F0 (a) = ga qq = 0, F0 (b) = gb qq = f0 q .  q  q hξ q = Nach (2.4,3) (a) existiert ein ξ ∈ [a, b] mit F0 (ξ) = 12 f0 q , und aus gξ qq + =  q        =ξ ≥ 1/2  Sonst wäre ϕ f0 = ϕ(gξ ) + ϕ h =ξ < 1
, f0  folgt max ϕ(gξ ), ϕ h q   etwa ϕ(gξ ) ≥ 1/2. Mit f1 := 2gξ ist dann f1 ∈ Lq ([a, b], . . .), ϕ f1 ≥ 1 und  q   f1  = 2q gξ qq = 2q−1 f0 q . q q (b) Für q ∈ ]0, 1[ gilt Lq ([a, b], . . .)sq = {0}:

  Existierte ein ϕ ∈ Lq ([a, b], . . .)sq \{0}, etwa f0 ∈ Lq ([a, b], . . .) mit ϕ f0 ≥ 1  ϕ ist   surjektiv! , so gäbe es gem. (a) eine Folge fj j∈N ∈ Lq ([a, b], . . .)N , so daß   ϕ fj ≥ 1

 q   q−1   q  und f> fj q j+1 q = 2

für alle j ∈ N richtig wäre. Es würde daher gelten:      0 und ϕ fj j τ | | 0.
fj j →τνq 

Die Beantwortung der Fragen (2) und (3) ist i. a. äußerst schwierig und erfordert dann häufig einen großen Aufwand. Zu den einfach zu handhabenden Räumen gehören die folgenden Beispiele (6.1,7) (a)

Für (Rn ,  2 ) und das Skalarprodukt
2 ist
n R −→ (Rn )s 2 Φ: r −→ Tr

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

455

mit Tr (x) :=
x, r2 ein ( 2 ,  op )-normerhaltender R-linearer Isomorphismus: Nach A 12 ist Φ wohldefiniert mit Tr op = r 2 = r2 . Gemäß Definition des Skalarprodukts ist Φ auch R-linear und darüber hinaus surjektiv, denn für ϕ ∈ (Rn )s 2 , ϕ((δi,j )j=1,...,n ) = ri für i = 1, . . . , n, erhält n man mit den kanonischen i-ten Projektionen πi : Rn −→ R die Darstellung ϕ = i=1 ri πi , also ϕ(x) =

n 

ri πi (x) =

i=1

n 

ri xi =
x, r2 = Tr (x).

i=1

Über dem komplexen Zahlkörper C ist analog
n C −→ (Cn )s 2 Φ: z −→ Tz n mit Tz (u) := j=1 zj uj ein ( 2 ,  op )-normerhaltender C-linearer Isomorphismus: n Wegen Tz (z) = j=1 zj zj = z22 ist Tz op ≥ z2 . Die übrigen Eigenschaften erhält man wie die entsprechenden beim Rn . Der durch Ψ(z)(u) :=
u, z2 definierte Operator Ψ : Cn −→ (Cn )s 2 ist ebenfalls ( 2 ,  op )-normerhaltend, jedoch ein C-konjugiertlinearer Isomorphismus, d. h. bijektiv, additiv mit Ψ(cz) = cΨ(z) für alle c ∈ C, z ∈ Cn . (b) Für q, r ∈ R, q, r > 1, (1/q) + (1/r) = 1 ist
q + −→ (+r )s r Φ: x −→ Tx ∞ mit Tx (y) := j=0 yj xj ein ( q ,  op )-normerhaltender C-linearer Isomorphismus: ∞ Nach der Hölder-Ungleichung 5.4-5 (oder auch 1.1-2.1) gilt j=0 yj xj ≤ xq yr , also ist Φ(x) ∈ (+r )s r mit Φ(x)op ≤ xq , Φ daher wohldefiniert (und C-linear). Die Surjektivität von Φ erhält man so: ∞ r Sei ϕ ∈ (+r )s r und y ∈ +r , also ∞y = i=0 yi (δi,j )j∈N (Limes in (+ , τ r )). Da ϕ stetig und linear ist, gilt ϕ(y) = i=0 yi ϕ((δi,j )j∈N ). Mit  q |si | für i ≤ j, si = 0 (j) si si := ϕ((δi,j )j∈N ), yi := 0 sonst für alle i, j ∈ N ergibt sich j ∞       (j) |si |q = yi ϕ((δi,j )j∈N ) = ϕ y (j) ≤ ϕop y (j) r i=0

i=0

   1/r j j (j) r 1/r r(q−1) yi = ϕop = ϕop |si | i=0

 1/r j q = ϕop |si | i=0

i=0

 r(q − 1) = q ,

6 Lineare Operatoren

456

wobei ϕop die Operatornorm von ϕ zu ( r , | |) ist. Division dieser Ungleichun  j q 1/r = 0 liefert (si )i∈N q ≤ ϕop . Es folgt (si )i ∈ +q , gen durch i=0 |si | Φ((si )i∈N ) = ϕ. Schließlich ist Φ auch injektiv und ( q ,  op )-normerhaltend, denn für alle x, x ∈ +q , x = x , etwa xi = xi , gilt Φ(x)((δi,j )j∈N ) = xi = xi = Φ(x )((δi,j )j∈N ), also Φ(x) = Φ(x ), Φ(x)op = Tx op ≥ xq  s. o.  und   Φ(x)op = sup |Φ(x)(y)| y ∈ +r , yr ≤ 1
  ∞ r = sup xj yj y ∈ + , yr ≤ 1 j=0

≤ sup{ xq yr | y ∈ +r , yr ≤ 1 } ≤ xq ,

 5.4-5 oder 1.1-2.1 

also Φ(x)op = xq . (c)

Die Funktion


Φ:

mit Tx (y) := mus:

∞ j=0

+∞ −→ (+1 )s 1 x −→ Tx

yj xj ist ein ( ∞ ,  op )-normerhaltender C-linearer Isomorphis-

Wiederum nach der Hölder-Ungleichung ∞ 5.4-5 ist Φ wohldefiniert (injektiv und C-linear), Φ(x)op ≤ x∞  |Φ(x)(y)| ≤ j=0 |xj yj | ≤ x∞ y1 , also Φ(x)op ≤ x∞ . Für ϕ ∈ (+1 )s 1 , xj := ϕ((δi,j )i∈N ) für jedes j ∈ N erhält man x ∈ +∞ , x∞ ≤ ϕop  |xj | = |ϕ((δi,j )i∈N )| ≤ ϕop (δi,j )i∈N 1 = ϕop < ∞, also x∞ ≤ ϕop  und Φ(x) = ϕ, also x∞ = Φ(x)op für jedes x ∈ +∞ :   j Sei y ∈ +1 , y (j) := i=0 yi (δi,k )k∈N für jedes j ∈ N. Dann gilt y (j) j →τ 1 y und somit j  ϕ(y) = lim ϕ(y (j) ) = lim yi xi = Φ(x)(y). j

j

i=0

Eine (6.1,7) (b), (c) entsprechende Aussage ist offensichtlich auch für
q +R −→ (+rR )s r Φ: x −→ Tx mit Tx (y) := ∞ j=0 yj xj richtig. Der C-lineare Operator


Φ:

+1 −→ (+∞ )s ∞ x −→ Tx

∞ mit Tx (y) := j=0 yj xj ist ebenfalls ( 1 ,  op )-normerhaltend (s. A 13), also injektiv, jedoch nicht surjektiv (s. (6.1,9), Seite 465).

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

457

Mit zusätzlichen Mitteln der Funktionalanalysis und der Maß- und Integrationstheorie kann man für Maßräume (X, A, µ), q, r ∈ R, 1 < q, (1/q) + (1/r) = 1 beweisen, daß  Lq (X, A, µ) −→ (Lr (X, A, µ))s r Φ:  f −→ Tf  

mit Tf g := f g ein ( q ,  op )-normerhaltender K-linearer Isomorphismus ist. Für q = ∞, r = 1 gilt dieses auch noch über σ-endlichen Maßräumen (s. [24]), wohingegen für q = 1, r = ∞ der lineare Operator Φ zwar noch ( 1 ,  op )normerhaltend  A 13 , also injektiv, jedoch i. a. nicht mehr surjektiv ist (vgl. (6.1,9) und auch die Anmerkungen im Anschluß an 6.3-5.1 auf Seite 510). In Verallgemeinerung von (6.1,7) (a) und (b) (für q = r = 2) gilt über beliebigen Hilbert-Räumen, also auch über (L2 (X, A, µ),
2 ) für beliebige Maßräume (X, A, µ)  (5.4,4), 5.4-10  der von Fréchet und Riesz 1907 bewiesene Satz 6.1-6 (Rieszscher Darstellungssatz) (V,
) sei ein Hilbert-Raum über K, ϕ ∈ V s  . Es gibt genau ein v ∈ V mit ∀ x ∈ V : ϕ(x) =
x, v. Darüber hinaus gilt ϕop = v  . Beweis Sind v1 , v2 ∈ V mit
x, v1  = ϕ(x) =
x, v2  für jedes x ∈ V , so folgt
x, v1 − v2  = 0, also v1 = v2  1.1-7 (b)  und damit die Eindeutigkeit. Für ϕ = 0 ist v = 0 wählbar. Daher sei ϕ = 0, also Ker ϕ ∈ ατ  \{V }  6.1-3  ein maximaler K-Untervektorraum von V  Anhang 2-10 . Nach dem Satz von der orthogonalen Zerlegung  3.6-4.1 (a)  gilt V = Ker ϕ ⊕ (Ker ϕ)⊥ . Man wähle ein w ∈ (Ker ϕ)⊥ \{0} und definiere λ := ϕ(w) = 0  w ∈ Ker ϕ  und v := wλ2 w.  

Für jedes x ∈ V , etwa x = u + s mit u ∈ Ker ϕ, s ∈ (Ker ϕ)⊥ , erhält man ϕ(x) = ϕ(u) + ϕ(s) = ϕ(s) =
x, v: Es ist s − λ−1 ϕ(s)w ∈ (Ker ϕ)⊥ , ϕ(s − λ−1 ϕ(s)w) = ϕ(s) − λ−1 ϕ(s)ϕ(w) = 0, also auch s − λ−1 ϕ(s)w ∈ Ker ϕ, woraus s = λ−1 ϕ(s)w folgt. Somit gilt 8
x, v = x, =

9 λ λ λ w =
x, w = (
u, w +
s, w) 2 2 w  w  w2 

λ
λ−1 ϕ(s)w, w = ϕ(s). w2 

ϕop = v  folgt mit A 12.

✷

6 Lineare Operatoren

458 Korollar 6.1-6.1 (V,
) sei ein Hilbert-Raum über K. Der Riesz-Operator
V −→ V s  RV : v −→ Tv

mit Tv (x) :=
x, v ist ein (   ,  op )-normerhaltender R-linearer (bzw. C-konjugiertlinearer) Isomorphismus. ✷ Für R-Hilbert-Räume sind die Fragen (1), (2), (3) (Seite 453) gem. 6.1-6.1 po sitiv beantwortet, für C-Hilbert-Räume (V,
) ist V s  ,  op isometrisch Ckonjugiertlinear isomorph zu (V,    ). Der Rieszsche Darstellungssatz 6.1-6 läßt sich dahingehend erweitern, daß anstelle des Skalarprodukts in der Darstellung ϕ(x) =
x, v eine beliebige koerzitive, beschränkte Bilinearform auf (V,
) verwendet werden darf (s. 6.1-8, Seite 460). Definitionen V sei ein K-Vektorraum, B : V × V −→ K. B Bilinearform auf V (B-1)

:gdw B erfüllt

∀ x, y, z ∈ V : B(x + y, z) = B(x, z) + B(y, z), B(x, y + z) = B(x, y) + B(x, z)

(B-2)

∀ x, y ∈ V ∀ k ∈ K : B(kx, y) = kB(x, y), B(x, ky) = kB(x, y).

Sei B eine Bilinearform auf V . B hermitesch

:gdw ∀ x, y ∈ V : B(x, y) = B(y, x)

Sei (V,
) ein Prähilbertraum. B beschränkt

:gdw ∃ c ∈ R+ ∀ x, y ∈ V : |B(x, y)| ≤ cx  y 

Für beschränkte Bilinearformen B auf Prähilberträumen (V,
) heißt

 |B(x, y)| Bop : = sup x, y ∈ V \{0} x  y    = sup |B(x, y)| x, y ∈ V, x  = 1 = y  Operatornorm von B. Beispiel (6.1,8) Für jeden Prähilbertraum (V,
) (über K) ist
 eine hermitesche Bilinearform, die gem. Cauchy-Schwarz-Ungleichung 1.1-8 auch beschränkt mit 
op ≤ 1 ist. Für V = {0}, etwa v ∈ V \{0}, erhält man wegen
v, v = v2  sogar 
op = 1.

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

459

Satz 6.1-7 (V,
) sei ein Hilbert-Raum (über K). (a) Für jedes f ∈ L(V ) ist


Bf :

V × V −→ K (x, y) −→
x, f (y)

(und auch f B, definiert durch f B(x, y) :=
f (x), y) eine beschränkte Bilinearform auf (V,
) mit Bf op = f op . (b) Zu jeder beschränkten Bilinearform B auf (V,
) existiert genau ein f ∈ L(V ) mit ∀ x, y ∈ V : B(x, y) =
x, f (y) (Eindeutige Darstellbarkeit beschränkter Bilinearformen B durch stetige K-lineare Operatoren f von (V,
)). Beweis Zu (a) Bf (und auch f B) ist eine Bilinearform auf V mit  1.1-8  |Bf (x, y)| = |
x, f (y)| ≤ x  f (y)  ≤ x  y  f op für alle x, y ∈ V , also Bf op ≤ f op (analog f Bop ≤ f op ). Die Ungleichung Bf op ≥ f op folgt mit dem Beweis zu (b). Zu (b) Gilt B(x, y) =
x, f (y) =
x, g(y) für f , g ∈ L(V ) und alle x, y ∈ V , so erhält man
x, f (y) − g(y) = 0, also f (y) = g(y) für alle y ∈ V , d. h. f = g  1.1-7 (b) . Es existiert daher höchstens ein f ∈ L(V ) mit der gewünschten Eigenschaft. Zum Beweis der Existenz setze man
V −→ K gy : x −→ B(x, y) für jedes y ∈ V . Wegen gy ∈ V s   |gy (x)| = |B(x, y)| ≤ Bop x  y  , gy linear  gibt es nach dem Rieszschen Darstellungssatz 6.1-6 genau ein vy ∈ V mit gy (x) =
x, vy  für jedes x ∈ V , und es gilt vy   = gy op ≤ Bop y   s. o. . Der Operator f : V −→ V , f (y) := vy , ist K-linear und beschränkt mit f op ≤ Bop (Ergänzung zu (a)!): f ist K-linear, denn für alle x, y, z ∈ V , k, l ∈ K errechnet man
x, vky+lz  = gky+lz (x) = B(x, ky + lz) = kB(x, y) + lB(x, z) = kgy (x) + lgz (x) = k
x, vy  + l
x, vz  =
x, kvy + lvz , woraus gem. 1.1-7 (b) vky+lz = kvy + lvz , also f (ky + lz) = kf (y) + lf (z) folgt.

6 Lineare Operatoren

460

Die Beschränktheit von f ergibt sich aus f (y)  = vy   ≤ Bop y   s. o. , also f op ≤ Bop . Schließlich gilt noch B(x, y) = gy (x) =
x, vy  =
x, f (y) für alle x, y ∈ V .

✷

Korollar 6.1-7.1 (V,
) sei ein Hilbert-Raum über K, f ∈ L(V ).   f op = sup |
x, f (y)| x, y ∈ V, x  = 1 = y    = sup |
f (x), y| x, y ∈ V, x  = 1 = y 

✷

Definition (V,
) sei ein Prähilbertraum über K, B eine Bilinearform auf V . B koerzitiv (auch V -elliptisch)

:gdw ∃ δ > 0 ∀ x ∈ V : |B(x, x)| ≥ δx2 

δ heißt dann (eine) Koerzitivitätskonstante. Skalarprodukte sind Beispiele für (hermitesche) koerzitive Bilinearformen  |
x, x| =
x, x = 1 · x2   (s. auch A 29). Der folgende Satz dehnt daher die Aussage des Rieszschen Darstellungssatzes auf koerzitive Bilinearformen, die nicht notwendig hermitesch sind, aus. Diese erweiterte Form wird u. a. in der Theorie partieller Differentialgleichungen angewendet. Satz 6.1-8 (Lax-Milgram-Lemma, 1954) (V,
) sei ein Hilbert-Raum über K, B eine beschränkte, koerzitive Bilinearform auf (V,
) mit Koerzitivitätskonstante δ. Zu jedem stetigen K-linearen Funktional ϕ ∈ V s  existiert genau ein v ∈ V mit ∀ x ∈ V : B(x, v) = ϕ(x), d. h. die Operatorgleichung B(·, v) = ϕ ist für ein v ∈ V eindeutig lösbar. Für die Lösung v gilt v  ≤ 1δ ϕop , d. h. die Lösung v ist stetig von ϕ abhängig. Beweis Die Eindeutigkeit ergibt sich mit Hilfe der Koerzitivität gem. B(x, v) = ϕ(x) = B(x, w), d. h. B(x, v−w) = 0 für alle x ∈ V , aus 0 = B(v−w, v−w) ≥ δv−w2  ; die stetige Abhängigkeit der Lösung v von ϕ folgt für v = 0 (für v = 0 klar) aus  |ϕ(x)|

 |B(x, v)|

ϕop = sup x ∈ V \{0} = sup x ∈ V \{0} x  x  |B(v, v)| ≥ δv  . ≥ v 

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

461

Es bleibt somit die Existenz einer Lösung der Operatorgleichung nachzuweisen. Sei f ∈ L(V ) mit B(x, y) =
x, f (y) für alle x, y ∈ V  6.1-7 (b) . Wegen δx2  ≤ B(x, x) =
x, f (x) ≤ x  f (x)  für alle x ∈ V gilt für x = 0 auch f (x)  ≥ δx  > 0, f ist daher injektiv. Weiterhin ist f [V ] ∈ ατ  , denn für jedes y ∈ V , (xj )j ∈ V N mit (f (xj ))j →τ  y ist mit (f (xj ))j auch (xj )j eine Cauchy-Folge in (V, d  ), etwa (xj )j →τ  x für ein x ∈ V . Da f stetig ist, folgt (f (xj ))j →τ  f (x), also y = f (x) ∈ f [V ]. Der Operator f ist auch surjektiv,

weil für f [V ] = V , also V = f [V ] ⊕ f [V ]⊥ mit f [V ]⊥ = {0}  3.6-4.1 (a) , ein w ∈ f [V ]⊥ \{0} existiert mit B(w, x) =
w, f (x) = 0 für jedes x ∈ V , speziell für x = w daher B(w, w) = 0 und somit w = 0  Koerzitivität von B  gilt.


Schließlich sei w ∈ V gem. 6.1-6 das ϕ mit Hilfe des Skalarprodukts darstellende Element, d. h. ϕ(x) =
x, w für alle x ∈ V . Für v := f −1 (w) erhält man dann B(x, v) = B(x, f −1 (w)) =
x, w = ϕ(x)  nach Wahl von f zu B  für jedes x ∈ V .

✷

Zur Beantwortung der die Existenz stetiger linearer Funktionale auf normierten K-Vektorräumen betreffenden Frage (1) (Seite 453) können die folgenden Fortsetzungseigenschaften dienen (s. 6.1-12.1 (b), Seite 464). Satz 6.1-9 (V, N ) sei ein halbnormierter R-Vektorraum, W ein maximaler R-Untervektorraum von V (d. h. codimR,V W = 1), ϕ ∈ W a und ϕ ≤ N
W . Es existiert ein R-lineares Funktional F auf V , das ϕ fortsetzt und der Ungleichung F ≤ N genügt. Beweis lin

Es sei v0 ∈ V \W , also V = W ⊕ {v0 } , ξ ∈ R und Fξ : V −→ R definiert durch Fξ (w + rv0 ) := ϕ(w) + rξ, wobei w ∈ W , r ∈ R ist. Die Funktion Fξ ist eine R-lineare Fortsetzung von ϕ auf V (für jedes ξ ∈ R). Durch geeignete Wahl von ξ kann Fξ ≤ N erreicht werden: Für alle w1 , w2 ∈ W gilt ϕ(w1 ) − ϕ(w2 ) = ϕ(w1 − w2 ) ≤ N (w1 − w2 ) ≤ N (w1 + v0 ) + N (−w2 − v0 ), also −N (−w2 − v0 ) − ϕ(w2 ) ≤ N (w1 + v0 ) − ϕ(w1 ). Mit b1 := sup{ −N (−w2 − v0 ) − ϕ(w2 ) | w2 ∈ W } und b2 := inf{ N (w1 + v0 ) − ϕ(w1 ) | w1 ∈ W }

6 Lineare Operatoren

462 folgt b1 ≤ b2 und

−N (−w − v0 ) − ϕ(w) ≤ b1 ≤ ξ ≤ b2 ≤ N (w + v0 ) − ϕ(w) für alle w ∈ W , ξ ∈ [b1 , b2 ]. Für jedes v = w + rv0 , w ∈ W , r ∈ R erhält man im Fall r = 0 Fξ (v) = ϕ(w) ≤ N (w) = N (v),    1 für r > 0 wegen ξ ≤ N r w + v0 − ϕ 1r w Fξ (v) = ϕ(w) + rξ ≤ N (w + rv0 ) = N (v)     und ebenso wegen ξ ≥ −N − 1r w − v0 − ϕ 1r w für r < 0 Fξ (v) = ϕ(w) + rξ ≤ N (w + rv0 ) = N (v).

✷

Der Beweis von 6.1-9 zeigt, daß die eindeutige Fortsetzbarkeit von ϕ wohl nicht gegeben ist, denn Fξ ist für jedes ξ ∈ [b1 , b2 ] eine Fortsetzung der gewünschten Art, für b1 < b2 existieren also mehrere Fortsetzungen. Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann der in 6.1-9 beschriebene Erweiterungsvorgang leicht auf über beliebigen R-Untervektorräumen definierte R-lineare Funktionale ausgedehnt werden: Satz 6.1-10 (Banach-Hahnscher Fortsetzungssatz, reell, 1929) (V, N ) sei ein halbnormierter R-Vektorraum, W ein R-Untervektorraum von V , ϕ ∈ W a und ϕ ≤ N
W . Es existiert ein R-lineares Funktional F auf V , das ϕ fortsetzt und der Ungleichung F ≤ N genügt. Beweis Die Menge U := { (g, U ) | W ⊆ U ⊆ V, U R-Untervektorraum von V , g ∈ U a , g
W = ϕ, g ≤ N
U } werde durch (g1 , U1 ) ≤ (g2 , U2 ) :gdw U1 ⊆ U2 , g2
U1 = g1 # geordnet. Jede ≤-Kette K := { (gα , Uα ) | α ∈ A } besitzt mit U := { Uα | α ∈ A }, g : U −→ R, g(x) := gα (x) für x ∈ Uα die obere Schranke (g, U ) in U . Nach dem Zornschen Lemma existiert ein maximales Element (F, X) in (U, ≤), und es gilt X =V: Gäbe es ein Element v0 ∈ V \X, so wäre X ein maximaler R-Untervektorraum in lin

V1 := X ⊕ {v0 } , nach 6.1-9 existierte daher ein F1 ∈ V1a mit F1
X = F , ✷ F1 ≤ N
V1 , also wäre (F1 , V1 ) ∈ U und (F, X)  (F1 , V1 ).


6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

463

Es sei angemerkt, daß für jedes F ∈ V a aus F ≤ N auch |F | ≤ N folgt, denn für F (v) < 0 ist |F (v)| = −F (v) = F (−v) ≤ N (−v) = N (v). Zur Erweiterung des Banach-Hahnschen Fortsetzungssatzes auf halbnormierte C-Vektorräume werden zunächst die C-linearen Funktionale durch ihren Real- bzw. Imaginärteil (s. A 14) charakterisiert. Satz 6.1-11 (Bohnenblust, Sobczyk, 1938) V sei ein C-Vektorraum, R : V −→ R R-linear und F ∈ V a . (a) ∀ v ∈ V : F (v) = (Re F )(v) − i(Re F )(iv)
V −→ C ∈Va (b) FR : v −→ R(v) − iR(iv) Beweis Zu (a) Aus (Re F )(iv) + i(Im F )(iv) = F (iv) = iF (v) = i(Re F )(v) − (Im F )(v) für jedes v ∈ V folgt (Re F )(iv) = −(Im F )(v)  Vergleich von Real- und Imaginärteil , also F (v) = (Re F )(v) − i(Re F )(iv). Zu (b) Für alle a, b ∈ R, v, w ∈ V gilt: FR (v + w) = R(v + w) − iR(iv + iw) = R(v) − iR(iv) + R(w) − iR(iw) = FR (v) + FR (w) und FR ((a + ib)v) = R((a + ib)v) − iR((−b + ia)v) = aR(v) + bR(iv) − i(−bR(v) + aR(iv)) = aFR (v) + b(R(iv) + iR(v)) = aFR (v) + ibFR (v) = (a + ib)FR (v).

✷

Dritter Grundsatz der linearen Funktionalanalysis ist der Satz 6.1-12 (Banach-Hahnscher Fortsetzungssatz∗ ) (V, N ) sei ein halbnormierter K-Vektorraum, W ein K-Untervektorraum von V , ϕ ∈ W a und |ϕ| ≤ N
W . Es existiert ein K-lineares Funktional F auf V , das ϕ fortsetzt und der Ungleichung |F | ≤ N genügt. Beweis Wegen 6.1-10 sei o. B. d. A. K = C angenommen. Re ϕ ist ein R-lineares Funktional auf W mit (Re ϕ)(w) ≤ |ϕ(w)| ≤ N (w) für jedes w ∈ W . Nach 6.1-10 existiert ∗

Bewiesen von Murray (1936), Soukhomlinov (1938), Bohnenblust und Sobczyk (1938).

6 Lineare Operatoren

464

ein R-lineares Funktional R auf V , das Re ϕ fortsetzt und R ≤ N erfüllt. Die Funktion FR : V −→ C, FR (v) := R(v) − iR(iv), gehört dann zu V a  6.1-11 (b) , FR
W = ϕ  FR (w) = R(w) − iR(iw) = (Re ϕ)(w) − i(Re ϕ)(iw) = ϕ(w) gem. 6.1-11 (a) , und es gilt |FR | ≤ N :   |FR (v)|2 = FR (v)FR (v) = FR (v) |FR (v)|e−i arg FR (v)  Polardarstellung von FR (v)  für jedes v ∈ V ergibt   R > |FR (v)| = FR (v)e−i arg FR (v) = FR e−i arg FR (v) v      Realität von FR e−i arg FR (v) v  = R e−i arg FR (v) v   ≤ N e−i arg FR (v) v = N (v)  e−i arg FR (v) = 1 .

✷

Korollar 6.1-12.1 (V, N ) sei ein halbnormierter K-Vektorraum, W ein K-Untervektorraum von V , ϕ ∈ W sN
W und v0 ∈ V . (a) ∃ F ∈ V sN : F
W = ϕ und F op = ϕop (Fortsetzbarkeit stetiger K-linearer Funktionale bei Erhalt der Operatornorm) Ist N eine Norm∗ auf V , so gilt (b) V = {0}

=⇒

V sN = {0}

(c) v0 = 0 =⇒ ∃ F ∈ V sN : F op = 1 und F (v0 ) = N (v0 )   =⇒ v0 = 0. (d) ∀ F ∈ V sN : F (v0 ) = 0 Beweis Zu (a) Für ϕ = 0 erfüllt F = 0 die Forderungen. Sei ϕ = 0, o. B. d. A. ϕop = 1  Sonst verwende man ϕ−1 op ϕ; 6.1-4 (c) . Dann gilt |ϕ(w)| ≤ ϕop N (w) = N (w) für jedes w ∈ W , und nach 6.1-12 existiert ein F ∈ V a mit F
W = ϕ, |F | ≤ N , woraus F ∈ V sN mit F op ≤ 1 = ϕop folgt  |F (v)| ≤ N (v) für jedes v ∈ V . Schließlich erhält man wegen |ϕ(w)| = |F (w)| ≤ F op N (w) für jedes w ∈ W auch 1 = ϕop ≤ F op , also F op = 1 = ϕop . lin

Zu (b) Sei v ∈ V \{0}, W := {v} und ϕ : W −→ K, ϕ(kv) := kN (v). Dann ist ϕ ∈ W a \{0} und |ϕ(kv)| = |k|N (v) = N (kv) für jedes k ∈ K, also ϕ ∈ W sN
W mit ϕop = 1  N (v) = 0 . Gem. (a) existiert ein F ∈ V sN , F
W = ϕ und F op = ϕop = 1, also F ∈ V sN \{0}. ∗

Hier braucht N ebenfalls nur Halbnorm zu sein, sofern es ein v ∈ V mit N (v) = 0 gibt (Teil (b)) bzw. v0 mit N (v0 ) = 0 (Teile (c) und (d)) vorausgesetzt wird.

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

465

Zu (c) folgt direkt mit dem Beweis zu (b). Zu (d) Für v0 = 0 existiert nach (c) ein F ∈ V sN mit F (v0 ) = N (v0 ) = 0.

✷

6.1-12.1 (c) ergibt, daß der stetige Dualraum eines jeden normierten K-Vektorraums (V, N ) Punkte in V trennt. Mit der Kenntnis des stetigen Dualraums V sN kann N (v) für jedes v ∈ V in derselben Art wie ϕop für jedes ϕ ∈ V sN berechnet werden (vgl. auch 6.4-2 (a)): Korollar 6.1-12.2 (V, N ) sei ein normierter K-Vektorraum. Für jedes v ∈ V gilt   N (v) = max |ϕ(v)| ϕ ∈ V sN , ϕop ≤ 1 . Beweis |ϕ(v)| ≤ ϕop N (v) ≤ N (v) ist nach 6.1-4 (a) für alle ϕ ∈ V sN , ϕop ≤ 1 erfüllt, und für v = 0 existiert gem. 6.1-12.1 (c) ein ϕ ∈ V sN , ϕop = 1, ϕ(v) = N (v). ✷ Der Banach-Hahnsche Fortsetzungssatz hat vielfältige Erkenntnisse zur Konsequenz und ist einer der bedeutendsten Sätze der linearen Funktionalanalysis. Beispiel (6.1,9) Der C-lineare Operator


Φ:

mit Tx (y) :=

∞ j=0

+1 −→ (+∞ )s ∞ x −→ Tx

xj yj ist ( 1 ,  op )-normerhaltend  A 13 , jedoch nicht surjektiv:

c := { x ∈ CN | x konvergent in (C, τ| | ) } ist ein C-Untervektorraum von +∞ ,
c −→ C ∈ cs ∞
c ϕ: x −→ limj xj mit ϕop = 1  |ϕ(x)| = |limj xj | = limj |xj | ≤ x∞ , also ϕop ≤ 1; ϕ((1)j ) = 1 = (1)j ∞ , also ϕop ≥ 1 . Nach 6.1-12.1 (a) existiert ein F ∈ (+∞ )s ∞ mit F
c = ϕ und F op = ϕop = 1. Wäre ∞ F = Φ(a) für ein a ∈ +1 , also F (x) = Φ(a)(x) = j=0 aj xj für jedes x ∈ +∞ , so erhielte     man speziell für x(k) = (δj,k )j∈N ∈ c auch ak = F x(k) = ϕ x(k) = 0 für jedes k ∈ N, also a = 0 und somit F = 0. Es gilt jedoch F ((1)j∈N ) = ϕ((1)j∈N ) = 1 = 0. Φ ist daher nicht surjektiv. Man kann in diesem Beispiel leicht feststellen, daß es überhaupt keinen ( 1 ,  op )- 1 ∞ s ∞ gibt, denn +1 , τ 1 normerhaltenden  Isomorphismus von + auf (+ )  ∞C-linearen ist separabel,  + , τ ∞ nicht  (2.2,4) (c), (d) , und aus der Separabilität des stetigen Dualraums V sN ,  op folgt die des normierten K-Vektorraums (V, N ) in jedem Fall (s. 6.1-13).

6 Lineare Operatoren

466 Satz 6.1-13 (V, N ) sei ein halbnormierter K-Vektorraum.   Mit V sN , τ op ist auch (V, τN ) separabel. Beweis

    2.3-4, 2.3-6 (d) ist R, τ Es sei R := ϕ ∈ V sN ϕop = 1 . Gem.  op separabel,   etwa { ϕj | j ∈ N } ⊆ R dicht in R, τ op |R . Zu jedem j ∈ N wähle man  dN (0) mit |ϕj (vj )| > 1/2 und setze W = { vj | j ∈ N }lin . Dann gilt ein vj ∈ K W

τN

1

=V:

τ

τ

W N ∈ ατN ist ein K-Untervektorraum von V  2.4, A 18 (b) , für jedes v ∈ V \W N τ existiert daher nach A 15 ein ϕ ∈ V sN , ϕ(v) = 0, ϕ
W N = 0, o. B. d. A. ϕop = 1. Sei j ∈ N mit ϕ − ϕj op < 1/2. Wegen ϕ(vj ) = 0 folgt 1 1 < |ϕj (vj )| = |ϕj (vj ) − ϕ(vj )| ≤ ϕj − ϕop N (vj ) ≤ ϕj − ϕop < .
2 2 (V, τN ) ist separabel, da die abzählbare Menge 
 k rj vj k ∈ N, ∀ j ∈ {0, . . . , k} : rj ∈ Q j=0

 k ∈ N, ∀ j ∈ {0, . . . , k} : rj , sj ∈ Q ) dicht im R(bzw. j=0 (rj + isj )vj τ   τ (bzw. C-)Vektorraum (W, τN |W ), also auch dicht in W N , τN W N liegt:  −1 Ist kj=0 kj vj ∈ W , |rj − kj | < ε 1 + kj=0 N (vj ) , so gilt  k

N

 k

kj vj −

j=0

k 

 rj vj

   k k (kj − rj )vj ≤ |kj − rj |N (vj ) < ε =N

j=0

(vgl. 2.3, A 8; analog für K = C).

j=0

j=0

✷

Eine weitere Anwendungsmöglichkeit des Banach-Hahnschen Fortsetzungssatzes be  steht in der Bestimmung der stetigen R-linearen Funktionale auf CR ([a, b]), τ ∞ : Beispiel (6.1,10) Es seien a, b ∈ R, a < b und g ∈ BV ([a, b]) (s. (2.4,6) (a) und 3.5, A 10). Für jedes

b f ∈ CR ([a, b]) bezeichne a f (t) dg(t) das Riemann-Stieltjes-Integral von f bzgl. g (s. [27]).
CR ([a, b]) −→ R

b Ig : f −→ a f (t) dg(t) ist R-linear und wegen |Ig (f )| ≤ f ∞ V (g) auch stetig, also Ig ∈ (CR ([a, b]))s ∞  vgl. [27, Kap. VIII, § 6, Satz 1, § 7, Satz 1] .

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

467

Umgekehrt sind die Riemann-Stieltjes-Integrale bzgl. Funktionen von beschränkter Variation die einzigen stetigen linearen Funktionale auf (CR ([a, b]),  ∞ ), genauer: ∀ ϕ ∈ (CR ([a, b]))s ∞ ∃ g ∈ BV ([a, b]) : g(a) = 0, ϕop = V (g),



∀ f ∈ CR ([a, b]) : ϕ(f ) =

b

f (t) dg(t) a

Für ϕ = 0 kann man offensichtlich g = 0 wählen. Es sei daher ϕ = 0. Nach 6.1-12.1 (a) existiert ein F ∈ (B([a, b], R))s ∞ mit F
CR ([a, b]) = ϕ und F op = ϕop . Man definiere nun χa := 0, χs := χ[a,s] für jedes s ∈ ]a, b] und g : [a, b] −→ R durch g(s) := F (χs ). Es gilt V (g) ≤ ϕop : Sei (t0 , . . . , tn ) ∈ Za,b eine endliche Zerlegung von [a, b], aj := sgn(g(tj ) − g(tj−1 )) für jedes j ∈ {1, . . . , n}∗ und h : [a, b] −→ R erklärt durch  a1 für t ∈ [a, t1 ] h(t) := aj für t ∈ ]tj−1 , tj ], j ∈ {2, . . . , n}.   n Dann ist h ∈ B([a, b], R), h∞ ≤ 1 und h = j=1 aj χtj − χtj−1 , woraus F (h) =

n 

n n        aj F χtj − F χtj−1 = aj (g(tj ) − g(tj−1 )) = |g(tj ) − g(tj−1 )|

j=1

j=1

j=1

und wegen |F (h)| ≤ F op h∞ ≤ F op = ϕop somit V (g) ≤ ϕop folgt. Weiterhin ist ϕ durch das Riemann-Stieltjes-Integral bzgl. g darstellbar, d. h.  b ∀ f ∈ CR ([a, b]) : ϕ(f ) = f (t) dg(t) : a

Für jede endliche Zerlegung (t0 , . . . , tn ) ∈ Za,b von [a, b] bezeichne hf :=

n 

  f (tj−1 ) χtj − χtj−1 ,

j=1

n

also F (hf ) = j=1 f (tj−1 )(g(tj )−g(tj−1 )). Sei ε > 0. Da f gleichmäßig stetig ist, existiert ein δ > 0, so daß hf − f ∞ < ε/(2F op ) und   b n ε f (tj−1 )(g(tj ) − g(tj−1 )) − f (t) dg(t) < 2 a j=1 ∗

Für (C([a, b]),  ∞ ) verwende man hier
e−i arg(g(tj )−g(tj−1 )) aj := 0

für g(tj ) = g(tj−1 ) sonst.

Man erhält dann eine entsprechendes Ergebnis für C([a, b])s ∞ .

6 Lineare Operatoren

468

für jedes (t0 , . . . , tn ) ∈ Za,b mit sup{ tj − tj−1 | 1 ≤ j ≤ n } < δ gilt  Definition des Riemann-Stieltjes-Integrals . Es folgt  b  b F (f ) − ≤ |F (f ) − F (hf )| + F (hf ) − f (t) dg(t) f (t) dg(t) a

a

ε ε ≤ |F (f − hf )| + ≤ F op f − hf ∞ + < ε, 2 2 also ϕ(f ) = F (f ) =

b a

f (t) dg(t).

b Schließlich erhält man wegen |ϕ(f )| = a f (t) dg(t) ≤ V (g)f ∞ auch ϕop ≤ V (g). Der R-lineare Operator


I:

BV ([a, b]) −→ CR ([a, b])s ∞ g −→ Ig

 vgl. [27, Kap. 8, § 6]  ist gemäß obiger Rechnung surjektiv mit Ig op ≤ V (g) für jedes g ∈ BV ([a, b]). I ist jedoch nicht injektiv, denn beispielsweise gilt Ig = Ig+r nach Definition des Riemann-Stieltjes-Integrals für jedes g ∈ BV ([a, b]), r ∈ R. Man kann einen abgeschlossenen R-Untervektorraum des Banach-Raums (BV ([a, b]),  V ) (vgl. 3.5, A 10) angeben, auf dem I ein normerhaltender R-linearer Isomorphismus ist. Zur Durchführung sind einige Vorbereitungen erforderlich: Sei g : [a, b] −→ R, c ∈ [a, b[. Ist g(c+) := limj g(xj ) = limj g(yj ) ∈ R für alle (xj )j , N (yj )j ∈ ]c, b] mit (xj )j →τ | | c, (yj )j →τ | | c, so heißt g(c+) rechtsseitiger Limes von g bei c. Für b setze man g(b+) := g(b). g r-stetig in c

:gdw

g(c+) = g(c)

Die r-Stetigkeit von g in c ist  2.4-1, 2.4-1.3 analog  äquivalent zu ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ t ∈ [c, c + δ[ : |g(t) − g(c)| < ε. Für g ∈ BV ([a, b]) existiert g(c+) für jedes c ∈ [a, b], g ist aber nicht notwendig r-stetig in c. Man kann auch leicht nachrechnen, daß für je zwei g, h ∈ BV ([a, b]) Ig = Ih ist, sofern es ein r ∈ R gibt mit g(c+) = h(c+) + r für jedes c ∈ [a, b]. Es liegt daher nahe, den folgenden R-Untervektorraum von BV ([a, b]) zu verwenden: R0 BV ([a, b]) := { g ∈ BV ([a, b]) | g(a) = 0, ∀ c ∈ [a, b] : g r-stetig in c }. Für die durch  g∼h

:gdw

∀ f ∈ CR ([a, b]) :



b

b

f (t) dg(t) = a

f (t) dh(t) a

über BV ([a, b]) erklärte Äquivalenzrelation gilt: (i)

g ) ≤ V (g) ∀ g ∈ BV ([a, b]) ∃ g ∈ R0 BV ([a, b]) : g ∼ g und V ( Man setze g(x) := g(x+) − g(a+) für jedes x ∈ [a, b]. Dann ist g r-stetig in c ∈ [a, b] und g(a) = 0. Darüber hinaus gehört g zu BV ([a, b]) mit V ( g ) ≤ V (g):

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

469

Sei (t0 , . . . , tn ) ∈ Za,b , n ≥ 1, eine endliche Zerlegung von [a, b] und ε > 0. Man n wähle auf Grund der Existenz rechtsseitiger Limiten von g ein (r0 , . . . , rn−1 ) ∈ [a, b] mit tj < rj ≤ tj+1 und |g(tj +) − g(rj )| < ε/(2(n + 1)) für alle j ∈ {0, . . . , n − 1}. Es folgt g(tj+1 ) − g(tj ) = g(tj+1 +) − g(tj +) = g(tj+1 +) − g(rj+1 ) − (g(tj +) − g(rj )) + g(rj+1 ) − g(rj ) für jedes j ∈ {0, . . . , n − 2}, also n−1 

n−2 

j=0

j=0

| g (tj+1 ) − g(tj )| = | g (tn ) − g(tn−1 )| +

| g (tj+1 ) − g(tj )|

≤ |g(tn ) − g(tn−1 +)| +

n−2 

 |g(tj+1 +) − g(rj+1 )|

j=0

 + |g(tj +) − g(rj )| + |g(rj+1 ) − g(rj )| n−2  ≤ |g(tn ) − g(tn−1 +)| + |g(rj+1 ) − g(rj )| + j=0

≤ |g(tn ) − g(rn−1 )| + |g(rn−1 ) − g(tn−1 +)| + +

ε  n+1

n−1 ε n+1

n−2 

|g(rj+1 ) − g(rj )|

j=0


0, d. h. V ( g ) ≤ V (g). Analog begründet man mit Hilfe der Definition des Riemann-Stieltjes-Integrals die Äquivalenz g ∼ g. (ii) ∀ g, h ∈ R0 BV ([a, b]) : g ∼ h ⇒ g = h (Nach (i) ist daher R0 BV ([a, b]) eine Auswahlmenge von BV ([a, b])/∼ ; Anhang 1-35.)

b

b

b Wegen g ∼ h ist (g − h) ∼ 0  a f (t) dg(t) = a f (t) dh(t) =⇒ a f (t) d(g − h)(t) =

b

b 0 = a f (t) d0(t) , speziell gilt 0 = a d(g − h)(t) = (g − h)(b) − (g − h)(a), also (g − h)(a) = (g − h)(b), d. h. g(b) = h(b)  g(a) = 0 = h(a) . Sei c ∈ ]a, b[, 0 < ε < b − c und f : [a, b] −→ R definiert durch   1 f (x) := 0   1−

x−c ε

für x ∈ [a, c] für x ∈ ]c + ε, b] für x ∈ ]c, c + ε].

6 Lineare Operatoren

470 Es folgt 



 c+ε d(g − h)(t) + f (t) d(g − h)(t) a a c   = (g − h)(c) − (g − h)(a) + f (c + ε)(g − h)(c + ε) − f (c)(g − h)(c)  1   c+ε − − (g − h)(t) dt  partielle Integration  ε c  1 c+ε (g − h)(t) dt = (g − h)(c) + (−(g − h)(c)) + ε c  c+ε 1 (g − h)(t) dt = ε c

c+ε und somit 0 = limε→0+ 1ε c (g − h)(t) dt = (g − h)(c+)  analog zu [32, Satz 6.20] mit r-Stetigkeit und r-Differenzierbarkeit , also g(c) = g(c+) = h(c+) = h(c) wegen der r-Stetigkeit von g, h in c. b

0=

c

f (t) d(g − h)(t) =

Der eingangs dieses Beispiels durchgeführten Berechnung zufolge ist I
R0 BV ([a, b]) gem. (i), (ii) ein ( V ,  op )-normerhaltender R-linearer Isomorphismus, denn zu jedem Element g ∈ R0 BV ([a, b]) gibt es ein g ∈ BV ([a, b]) mit g ∼ g, Ig
op = V (g), also Ig
op ≤ V ( g ) ≤ V (g) = Ig
op , woraus Ig
op = V ( g ) =  g V folgt.

Zum Schluß dieses Abschnitts wird das in 3.6 für Prähilberträume behandelte Problem des Minimalabstands von Punkten zu vollständigen, konvexen, nichtleeren Teilmengen (vgl. 3.6-1 und (3.6,1)) in Banach-Räumen betrachtet. In (3.6,1) wurde bereits darauf hingewiesen, daß ein zu 3.6-1 analoger Satz in Banach-Räumen nicht existiert. Beispiel (6.1,11) (V,  ) sei ein Banach-Raum über K, V = {0}. Nach 6.1-12.1 (b) existiert ein Funktional ϕ ∈ V s  \{0}. Die Menge U := ϕ−1 [{1}] ist nichtleer  ϕ = 0 , abgeschlossen in (V, τ  )  ϕ stetig, {1} ∈ ατ | | , konvex  (2.4,14) (f)  und dist(0, U ) = ϕ−1 op : Zunächst gilt wegen 1 = ϕ(u) ≤ ϕop u für jedes u ∈ U die Ungleichung ϕ−1 op ≤ inf{ u | u ∈ U } = dist(0, U ). Wäre hier die strenge Ungleichung richtig, etwa ϕop inf{ u | u ∈ U } ≥ 1 + δ für ein δ > 0, so folgte 1 + δ ≤ ϕop ϕ(x)−1 x, also (1 + δ)|ϕ(x)| ≤ ϕop x für jedes x ∈ V \ Ker ϕ und somit |ϕ(x)| ≤ (1 + δ)−1 ϕop x für alle x ∈ V
 (1 + δ)−1 ϕop < ϕop . Gilt nun ∀ x ∈ V : x = 1 ⇒ |ϕ(x)| = ϕop , (∗)   −1   so folgt−1u  > dist(0, U ) für jedes u ∈ U , denn u u = 1, also ϕop = ϕ u u = u−1 gem. (∗).

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

471

Für den Nachweis, daß dist(0, U ) i. a. kein Minimalabstand ist, genügt hiernach die Angabe eines Banach-Raums (V,  ) und eines stetigen linearen Funktionals ϕ ∈ V s  , die (∗) erfüllen: Es sei V := CR ([0, 1]; {1}) = { f ∈ CR ([0, 1]) | f (1) = 0 },
CR ([0, 1]) −→ R

1 F : f −→ 0 tf (t) dt und ϕ := F
CR ([0, 1]; {1}). Dann ist (V,  ∞ ) ein Banach-Raum über R  3.1, A 17 (c) ,

1 F ∈ CR ([0, 1])s ∞ mit F op = 1/2  F ist R-linear, |F (f )| ≤ 0 t|f (t)| dt ≤  1  t dt f ∞ = 12 f ∞ für jedes f ∈ CR ([0, 1]), F (1) = 1/2, also F op = 1/2  0 und F op = ϕop : ϕop ≤ F op gilt definitionsgemäß, und mit fj : [0, 1] −→ R,  & ' 1 1 für t ∈ 0, 1 − j+1 & & fj (t) := 1 −(j + 1)t + j + 1 für t ∈ 1 − j+1 ,1 erhält man  ϕ(fj ) =



1



1 1− j+1

tfj (t) dt = 0

0

1

t dt +

 1 2 −1 1   3 = 3+ + 2 6 1+ j j j

t(−(j + 1)t + j + 1) dt 1 1− j+1

für jedes j ∈ N\{0}. Somit ist auch ϕop ≥ 1/2 = F op . Ist nun f ∈ V , f ∞ = 1, so existiert wegen der Stetigkeit von f (bei 1) ein ε ∈ ]0, 1[, so daß |f (t)| < 1/2 für jedes t ∈ [1 − ε, 1] gilt, und es folgt  1  1−ε  1 t (1 − ε)2 1 1 dt = + < = ϕop . t|f (t)| dt ≤ f ∞ t dt + |ϕ(f )| ≤ 4 4 2 0 0 1−ε 2

Aufgaben zu 6.1 1. (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum. { U ∈ Uτ (0) | U ∈ τ, U kreisförmig }, { U ∈ Uτ (0) | U ∈ ατ , U kreisförmig } sind Basen von Uτ (0). 2. ( (Vi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie topologischer K-Vektorräume, V ein K-Vektorraum, ϕi : V −→ Vi K-linear für jedes i ∈ I und τ die Initialtopologie auf V der Familie ((Vi , τi ), ϕi )i∈I . (a)

Äq (i) (ii)

(V, τ) T2 -Raum ∀ x ∈ V \{0} ∃ i ∈ I ∃ Ui ∈ Uτi (0) : ϕi (x) ∈ Ui

(b) (Vi , τi ) sei für jedes i ∈ I ein T2 -Raum. Äq (i) (V, τ) T2 -Raum (ii) ∀ x ∈ V \{0} ∃ i ∈ I : ϕi (x) = 0 (iii) (ϕi )i∈I trennt Punkte in V

6 Lineare Operatoren

472 3. V sei ein K-Vektorraum, ∅ = S ⊆ V a . Man zeige:  lin  (a) σ(V, S) = σ V, S (b) dimK V unendlich

=⇒

σ(V, S)  τ  für jede Norm   auf V .

((V, σ(V, S)) ist insbesondere nicht normierbar!) 4. (V, N ), (W, M ) seien halbnormierte K-Vektorräume, ϕ : V −→ W K-linear, ε, c > 0. ' &  εdN (0)] ⊆ [0, c] Äq (i) M ϕ[K (ii) ∀ x ∈ V : M (ϕ(x)) ≤ εc N (x) 5. (V,  V ), (W,  W ) seien normierte K-Vektorräume,  op die Operatornorm zu ( V ,  W ) auf L(V, W ) und ϕ ∈ L(V, W ). Man bestätige ϕop = sup{ ϕ(x)W | x ∈ V, xV = 1 } = sup{ x−1 V ϕ(x)W | x ∈ V \{0} } = sup{ ϕ(x)W | x ∈ V, xV < 1 }. 6. Für jedes k ∈ N sei Ck : R[x]
[0, 1] −→ R das durch    ∞ j pj x
[0, 1] := pk Ck j=0

∞ definierte k-te Koeffizientenfunktional, wobei in der Darstellung j=0 pj xj des Polynoms alle Koeffizienten pj mit Ausnahme endlich vieler Null sind. C0 ist stetiges, Ck für k ≥ 1 kein stetiges lineares Funktional auf (R[x]
[0, 1],  ∞ ), und es gilt C0 op = 1. 7. Es seien a, b, c ∈ R, a < c < b und Ac : CR ([a, b]) −→ R das durch Ac (f ) := f (c) definierte Auswertungsfunktional bei c. Man zeige Ac ∈ CR ([a, b])s ∞ \CR ([a, b])s 2 . 8. Für ∆ ∈ R> sei T∆ : B(R, R) −→ B(R, R) der durch T∆ (f )(x) := f (x−∆) definierte Verzögerungsoperator bei ∆. T∆ ist linearer, bzgl. ( ∞ ,  ∞ ) beschränkter Operator. 9. ϕ : Rn −→ Rn sei R-linear mit der Matrixdarstellung (aij )i,j=1,...,n bzgl. der kanoni schen R-Basis (δi,j )j=1,...,n 1 ≤ i ≤ n , ϕ1 op die Operatornorm von ϕ zu ( 1 ,  1 ). Man zeige:
  n |aij | 1 ≤ j ≤ n , ϕ1 op = max i=1

die sog. maximale Spaltensummennorm von ϕ. 10. (V,  V ), (W,  W ) seien normierte K-Vektorräume, ϕ : V −→ W surjektiv und K-linear, c ∈ R, c > 0 und ϕ(x)W ≥ cxV für jedes x ∈ V . Man zeige: ϕ−1 ∈ L(W, V ) und ϕ−1 op ≤ 1/c. (Für die lineare Operatorgleichung ϕ(x) = y bedeutet dieses die eindeutige Lösbarkeit und stetige Abhängigkeit der Lösung vom vorgegebenen Wert y ∈ W !)

6.1 Beschränktheit, Stetigkeit, stetige Dualräume

473

11. (X, A, µ) sei ein Maßraum, q, r ∈ [1, ∞], (1/q) + (1/r) = 1, g ∈ Lq (X, A, µ) und  

ϕg
: Lr (X, A, µ) −→ R definiert durch ϕg
f := f g. (a)

ϕg
ist ein beschränktes R-lineares Funktional, und für q ∈ R, q ≥ 1 gilt g q . ϕg
op = 

(b) (X, A, µ) σ-endlich, q = ∞

=⇒

g ∞ ϕg
op = 

12.
 sei ein Halbskalarprodukt auf dem K-Vektorraum V . Für jedes v ∈ V ist das durch Tv (x) :=
x, v definierte Funktional Tv : V −→ K in V s  , und es gilt Tv op = v  . 13. (X, A, µ) sei ein Maßraum, r ∈ ]1, ∞], q ∈ [1, ∞[, (1/q) + (1/r) = 1.  

Der R-lineare Operator Φ : Lq (X, A, µ) −→ (Lr (X, A, µ))s r , Φ f ( g ) := f g, ist ( q ,  op )-normerhaltend. Für σ-endliche Maßräume (X, A, µ) ist auch Φ : L∞ (X, A, µ) −→ (L1 (X, A, µ))s ∞ ,  

Φ f ( g ) := f g, ( 1 ,  op )-normerhaltend. 14. V sei ein C-Vektorraum, F ∈ V a . Man gebe eine 6.1-11 (a) entsprechende Darstellung von F mit Hilfe von Im F an! 15. (V, N ) sei ein halbnormierter K-Vektorraum, W ∈ ατN ein K-Untervektorraum von V , v ∈ V \W . Man zeige { ϕ ∈ V sN | ϕ(v) = 0, ϕ
W = 0 } = ∅, d. h. V sN trennt Punkte von abgeschlossenen K -Untervektorräumen. (Hinweis: 2.4, A 27 (a), (b). Vgl. auch 6.3, A 6 (a).) 16. (V, N ) sei ein halbnormierter K-Vektorraum, W ein K-Untervektorraum von V . Äq (i)

W

τN

=V

(ii) ∀ ϕ ∈ V sN : ϕ
W = 0 ⇒ ϕ = 0 (S. auch 6.3, A 8.) 17. (V,  ) sei ein normierter K-Vektorraum, S ∈ L(V ). (a)

Die Operatoren





L(V ) −→ L(V ) L(V ) −→ L(V ) und S M : R −→ R ◦ S R −→ S ◦ R   sind K-linear, τ op , τ op -stetig mit MS op ≤ Sop und S M op ≤ Sop . MS :

(b) (V,  ) sei ein Banach-Raum, k ∈ K, Sop < |k|. Dann ist (S + k idV )−1 ∈ L(V ). ∞ (Hinweis: Man untersuche k1 j=0 S ◦ S j für jedes j ∈ N.)

(−1)j j kj S

in (L(V ),  op ); S 0 := idV , S j+1 :=

  18. ν sei eine Pseudohalbnorm auf dem K-Vektorraum V , dimK V unendlich und V, τdν ein topologischer K-Vektorraum. Man zeige V sdν = V a .

6 Lineare Operatoren

474

19. Es seien a, b, c ∈ R, a ≤ c ≤ b und Ac : BV ([a, b]) −→ R das durch Ac (f ) := f (c) definierte Auswertungsfunktional bei c. Man zeige: Ac ∈ BV ([a, b])s V und Ac op = 1. 20. (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, (vi )i ∈ V I ein Netz in V , v ∈ V . (a)

(vi )i −−−−−s−→ v

Äq (i)

σ(V,V

τ)

∀ ϕ ∈ V sτ : (ϕ(vi ))i →τ | | ϕ(v)

(ii)

  (b) σ V, V sτ ist die ⊆-kleinste Topologie σ auf V , für die V sσ = V sτ gilt.   (c) (V,  ) normierter K-Vektorraum =⇒ σ V, V s  ist hausdorffsch 21. (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, n ∈ N\{0} und ϕ : K n −→ V K-linear.   n ϕ ist j=1 τ| | , τ -stetig. 22. (V, τ) sei ein T2 -topologischer K-Vektorraum, dimK V = 1. (a)

V a = V sτ

(b) (V, τ) ist K-linear homöomorph zu (K, τ| | ).

  23. Es sei c0 := { a ∈ RN | (aj )j →τ | | 0 } und a∞ := sup |aj | j ∈ N für jedes a ∈ c0 .   s Man zeige, daß der stetige Dualraum c0 ∞ ,  op isometrisch isomorph zu (+1R ,  1 ) ist. 24. Für den Lebesgueschen Maßraum ([0, 1], Λ|[0, 1], λ
Λ|[0, 1]) zeige man, daß der durch  

I( g ) f := [0,1] f g für alle g ∈ L1 ([0, 1], . . .), f ∈ L∞ ([0, 1], . . .) definierte R-lineare Operator I : L1 ([0, 1], . . .) −→ L∞ ([0, 1], . . .)s ∞ nicht surjektiv ist.   (Hinweis: ϕ ∈ CR ([0, 1])s ∞ , ϕ(f ) := f 12 ; 6.1-12.1 (a).) 25. (V, τ) sei ein topologischer R-Vektorraum, Nϕ := { v ∈ V | ϕ(v) < 0 },

Pϕ := { v ∈ V | ϕ(v) ≥ 0 }

für jedes ϕ ∈ V a . Ist ϕ ∈ V a \V sτ , so gilt: ∀ S ∈ {Nϕ , Pϕ } : S = ∅, S konvex, S

lin

τ

= V, S = V.

26. Bestimmung des stetigen Dualraums (+q )sνq für q ∈ ]0, 1[: (a)

Für jedes ϕ ∈ (+q )a : Äq (i) (ii)

ϕ ∈ (+q )sνq ∃ S > 0 ∀ x ∈ +q : |ϕ(x)| ≤ Sνq (x)1/q

Für jedes ϕ ∈ (+q )sνq sei ϕ(q) := inf{ S > 0 | ∀ x ∈ +q : |ϕ(x)| ≤ Sνq (x)1/q }, also |ϕ(x)| ≤ ϕ(q) νq (x)1/q für alle x ∈ +q . (b)  (q) ist eine Norm auf (+q )sνq .   (c) ∀ ϕ ∈ (+q )sνq : ϕ(q) = sup |ϕ(x)| x ∈ +q , νq (x) ≤ 1

6.2 Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit (d) Die Funktion


Φ:

475

q sνq +∞ −→   (+ ) ∞ b −→ x → j=0 bj xj

  ist ein  ∞ ,  (q) -normerhaltender C-linearer Isomorphismus. 27. V sei ein K-Vektorraum, M ein K-Untervektorraum des algebraischen Dualraums V a . Es gilt V sσ(V,M ) = M . (Hinweis: Anhang 2-11.) 28. (V,  V ) und (W,  W ) seien normierte K-Vektorräume. Mit Φ : V −→ W ist auch    : V s V −→ W s W , definiert durch Φ(ϕ)(w)  Φ := ϕ Φ−1 (w) , ein normerhaltender K-linearer Isomorphismus. 29. Es sei g ∈ CR ([0, 1]) mit m := min{ g(x) | x ∈ [0, 1] } > 0 und  L2 ([0, 1], . . .) × L2 ([0, 1], . . .) −→ R

G :    f , h −→ [0,1] f hg. Man zeige: G ist eine koerzitive Bilinearform. 30. (V, N ), (W, M ) seien halbnormierte K-Vektorräume,  op die Operatorhalbnorm zu (N, M ) auf L(V, W ), (fj )j ∈ L(V, W )N und f ∈ L(V, W ). Es gilt: (fj )j → op f

=⇒

(fj )j −−−−−→ f. M -pktw.

6.2 Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit In diesem Abschnitt werden u. a. zwei weitere Grundsätze der linearen Funktionalanalysis eingeführt. Zunächst steht die Offenheit (stetiger) linearer Operatoren im Mittelpunkt des Interesses. Satz 6.2-1 charakterisiert die Offenheit stetiger linearer Operatoren zwischen (vollständig) metrisierbaren topologischen Vektorräumen durch ihre Fastoffenheit. Einer der beiden Grundsätze besteht aus der Tatsache, daß Stetigkeit bzw. Offenheit linearer Operatoren zwischen vollständig metrisierbaren topologischen Vektorräumen mit Hilfe der Abgeschlossenheit ihrer Graphen nachgewiesen werden kann (6.2-1.3). Der Zwei-Norm-Satz und der Sardsche Quotientensatz werden als Folgerungen hieraus angegeben. Ein im wesentlichen bereits in 3.1 (3.1-7, 3.1-7.2, Seiten 185, 186) angeführtes Prinzip von der gleichmäßigen Beschränktheit (6.2-5) ist ein weiterer Grundsatz. Am Schluß des Abschnitts steht der Satz von Banach-AlaogluBourbaki über die Kompaktheit der  op -abgeschlossenen ε-Kugeln im stetigen Dualraum bzgl. der noch zu definierenden schwach∗ -Topologie, sowie eine Charakterisierung der Metrisierbarkeit dieser Topologie. Die Offenheit eines K-linearen Operators ϕ : V −→ W zwischen topologischen K-Vektorräumen (V, τ), (W, σ) ist gleichwertig zu ∀ U ∈ Uτ (0) : ϕ[U ] ∈ Uσ (0),

6 Lineare Operatoren

476

denn für alle P ∈ τ, w ∈ ϕ[P ], etwa w = ϕ(p) mit p ∈ P , ist −p + P ∈ Uτ (0), also dann −ϕ(p) + ϕ[P ] = ϕ(−p + P ) ∈ Uσ (0), d. h. ϕ[P ] ∈ Uσ (ϕ(p)) = Uσ (w). Offene K-lineare Operatoren bilden offensichtlich Nullumgebungen auf Nullumgebungen ab. Definition (V, τ), (W, σ) seien topologische K-Vektorräume, ϕ : V −→ W K-linear. σ

:gdw ∀ U ∈ Uτ (0) : ϕ[U ] ∈ Uσ (0)

ϕ fastoffen (bzgl. (τ, σ)) Beispiele (6.2,1)

(V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum. (a)

K-lineare Funktionale auf V sind nicht notwendig stetig (vgl. 6.1, A 18); dagegen ist jedes Funktional ϕ ∈ V a \{0} offen: Es sei v ∈ V , ϕ(v) = 0 und U eine Nullumgebung in (V, τ). Da die Skalarmultiplikation d in (V, τ) stetig ist, kann man eine reelle Zahl ε > 0 so finden, daß Kε | | (0)v ⊆ U gilt. Wegen der Linearität von ϕ erhält man ' d & d Kε | | (0)ϕ(v) = ϕ Kε | | (0)v ⊆ ϕ[U ]. d

d

Mit Kε | | (0) ist auch Kε | | (0)ϕ(v) und somit ϕ[U ] eine Nullumgebung in (K, τ| | ). Daher ist ϕ nach der Vorbemerkung eine offene Funktion. τ

(b) M ⊆ V sei ein echter K-Untervektorraum von V und M = V (vgl. z. B. (6.1,2)). −→ V ist K-linear und stetig, jedoch nicht offen  Sonst wäre M ∈ τ, also idM : M # M = V \ { v + M | v ∈ M } ∈ ατ , und somit M = V . . idM ist aber fastoffen: τ

τ

τ

Für jedes U ∈ Uτ (0) ∩ τ gilt U ⊆ U ∩ M = idM [U ∩ M ] , also U ∩ M ∈ Uτ (0).

(c)

(V, τ), (W, σ) seien topologische K-Vektorräume, ϕ : V −→ W K-linear.  σ ◦σ ϕ fastoffen ⇐⇒ ∀ U ∈ Uτ (0) : ϕ[U ] = ∅: „⇒“ ist klar. Zur Begründung von „⇐“ seien U , R ∈ Uτ (0) mit R − R ⊆ U und  σ ◦σ . Dann gilt w ∈ ϕ[R] σ

σ

σ

σ

ϕ[U ] ⊇ ϕ[R] − ϕ[R] ⊇ ϕ[R] − ϕ[R]

 2.4-1 

σ

⊇ ϕ[R] − w ∈ Uσ (0). (d) ϕ[V ] Menge 2. Kategorie in (W, σ)

=⇒

ϕ fastoffen:

Sei U ∈ Uτ (0). Wegen der Stetigkeit der Skalarmultiplikation gibt es zu jedem v ∈ V d ein ε > 0 # mit Kε | | (0)v ⊆ U , für j ∈ N, 1/(j#+ 1) < ε ist deshalb v ∈ (j + 1)U . Es gilt somit j∈N (j + 1)U = V , also ϕ[V ] = j∈N (j + 1)ϕ[U ]. Da ϕ[V ] eine Menge  σ ◦σ = ∅ für ein j ∈ N gelten, woraus 2. Kategorie in (W, σ) ist, muß (j + 1)ϕ[U ]  σ ◦σ ϕ[U ] = ∅ folgt  Multiplikation in W mit j + 1 ist ein Homöomorphismus! .

6.2 Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit

477

Über die Offenheit stetiger K -linearer Operatoren gibt der folgende Satz Auskunft. Satz 6.2-1 (V, τ) sei ein vollständig metrisierbarer, (W, σ) ein metrisierbarer topologischer K-Vektorraum, ϕ ∈ L(V, W ). (a) Äq (i)

ϕ fastoffen

(ii) ϕ offen (b) (W, σ) vollständig metrisierbar, ϕ surjektiv

=⇒

ϕ offen

Beweis Zu (a) Gem. 2.5-16, (2.5,8) (a) seien ν, µ Pseudonormen auf V bzw. W mit τdν = τ,  dν (0) ⊆ U . Aus τdµ = σ. Zu jedem U ∈ Uτ (0) wähle man ein ε > 0 mit K ε ' dν &σ ϕ Kε/2 (0) ⊆ ϕ[U ] folgt dann (i) ⇒ (ii), (ii) ⇒ (i) ist ohnehin klar. ' dν &σ d (0) . Nach (i) gibt es zu jedem j ∈ N ein δj > 0 mit Kδjµ (0) ⊆ Sei y ∈ ϕ Kε/2 ' dν &σ ϕ Kε/(2 , o. B. d. A. δj > δj+1 für alle j ∈ N und (δj )j →τ | | 0. Da y j+1 ) (0) & ' dν d dν (0) ist, existiert ein v0 ∈ Kε/2 (0) mit ϕ(v0 ) ∈ y + Kδ1µ (0), Berührpunkt von ϕ Kε/2 ' dν &σ dν . Sind vj ∈ Kε/(2 also y − ϕ(v0 ) ∈ ϕ Kε/(2 2 ) (0) j+1 ) (0) für alle j ∈ {0, . . . , k} so ' dν &σ k gewählt, daß y − j=0 ϕ(vj ) ∈ ϕ Kε/(2k+2 ) (0) gilt, so gibt es ein Element vk+1 in k k+1 dµ dν Kε/(2 k+2 ) (0) mit ϕ(vk+1 ) ∈ y − j=0 ϕ(vj ) + Kδk+2 (0), also liegt y − j=0 ϕ(vj ) ' dν &σ in ϕ Kε/(2k+3 ) (0) . Für die auf diese Weise (induktiv) definierte Folge (vj )j∈N ∞ gilt somit y = ϕ(v ) (Limes in (W, σ)). Wegen ν(vj ) < ε/(2j+1 ) für jedes j=0 ∞ j j ∈ N ist die Reihe j=0 ν(vj ) konvergent, und nach 3.5, A 9 folgt die Konvergenz  k  ∞ k von ∞ ≤ j=0 vj in (V, τ), etwa v = j=0 vj . Weil ν j=0 vj j=0 ν(vj ) < k ε d  ν (0), und man erhält j+1 ≤ ε für jedes k ∈ N gilt, gehört v zu K ε

j=0 2

y=

∞ 

ϕ(vj ) = lim ϕ

j=0

 k

k

 vj

=ϕ

j=0

 ∞

 vj

' dν &  (0) ⊆ ϕ[U ]. = ϕ(v) ∈ ϕ K ε

j=0

Zu (b) Nach (6.2,1) (d) ist ϕ fastoffen und gem. (a) offen. Korollar 6.2-1.1 (V, τ), (W, σ) seien vollständig metrisierbare topologische K-Vektorräume. (a) ϕ ∈ L(V, W ) bijektiv (b) V = W , τ ⊆ σ

=⇒

=⇒

ϕ Homöomorphismus

τ=σ

✷

6 Lineare Operatoren

478 Beweis Zu (a) folgt mit 6.2-1 (b), weil ϕ surjektiv ist.

Zu (b) idV ist K-linear und (σ, τ)-stetig, nach (a) also ein Homöomorphismus.

2

Korollar 6.2-1.2 (Zwei-Norm-Satz) (V, k k), (V, k k0 ) seien Banach-Räume über K, C ∈ R, C > 0 mit kvk ≤ Ckvk0 für jedes v ∈ V . Dann existiert ein D ∈ R, D > 0 mit kvk0 ≤ Dkvk für jedes v ∈ V , k k und k k0 sind daher topologisch äquivalent. Beweis Aus der Voraussetzung folgt gem. 1.2-6 τk k0 ⊇ τk k und nach 6.2-1.1 (b) τk k = τk k0 . Mit 1.2-6, 1.2-6.1 erhält man die Behauptung. 2 Beispiel (6.2,2) Auf die Vollständigkeit kann in 6.2-1.2 nicht verzichtet werden: Es seien p ∈ R, q ∈ R ∪ {∞}, q > p ≥ 1. (`p , k kp ) ist ein Banachraum J 3.1, A17(a) K und wegen `p ⊆ `q J 1.1-5 K ist (`p , k kq ) ein normierter Vektorraum über C. Die Normabschätzung in 1.1-5 kxk∞ ≤ kxkq ≤ kxkp (für jedes x ∈ `p )

zeigt, daß die Voraussetzung in 6.2-1.2 mit C = 1 erfüllt ist. Gäbe es ein D ∈ R> mit der Eigenschaft (für jedes x ∈ `p ), kxkp ≤ Dkxkq so folgte nach 1.2-6 der Widerspruch ∀(xj )j ∈ (`p )N : (xj )j →dq 0

=⇒

(xj )j →dp 0

(vgl. 1.2, A3(b)).

Insbesondere ist (`p , k kq ) kein Banachraum J 6.2-1.2 K.

Korollar 6.2-1.3 (Vierter Grundsatz der linearen Funktionalanalysis) (V, τ), (W, σ) seien vollständig metrisierbare topologische Vektorräume über K und ϕ : V −→ W K-linear. (a) Satz vom abgeschlossenen Graphen (Banach, 1932) ϕ ∈ ατ

σ

=⇒

ϕ (τ, σ)-stetig

(b) Satz vom offenen linearen Operator (Banach, 1929) ϕ ∈ ατ

σ,

ϕ surjektiv

=⇒

ϕ (τ, σ)-stetig und offen

6.2 Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit

479

Beweis Zu (a) Es ist ϕ = { (v, ϕ(v)) | v ∈ V } ein abgeschlossener K-Untervektorraum von (V × W, τ σ) und daher vollständig metrisierbar J 3.1, A 21; 2.4, A 20; 3.1-8 (a) K. Mit den kanonischen Projektionen πV : V × W −→ V , πW : V × W −→ W definiere man pV := πV ϕ und pW := πW ϕ. Dann ist pV bijektiv J (v, ϕ(v)) 6= (v 0 , ϕ(v 0 )) =⇒ v 6= v 0 oder ϕ(v) 6= ϕ(v 0 ) =⇒ v 6= v 0 , Surjektivität ist klar K, K-linear und (τ σ|ϕ, τ)-stetig, nach 6.2-1.1 (a) also ein Homöomorphismus. Wegen ϕ = pW ◦ p−1 σ|ϕ, σ) ist auch ϕ stetig. V und der Stetigkeit von pW bzgl. (τ Zu (b) Nach (a) ist ϕ (τ, σ)-stetig und nach 6.2-1 (b) offen.

2

Auf die Vollständigkeit kann in 6.2-1.3 wieder nicht verzichtet werden: Beispiele (6.2,3) (a)



id`1 : `1 −→ `1 ist τk k1 , τk k∞ -stetig J gilt gem. (1.2,1)(b)(ii) K und nicht τk k∞ , τk k1 stetig J τk k1 * τk k∞ gem. (1.2, A13(b)) K. Nach 2.5-9 folgt id`1 ∈ ατk k1 τk k∞ , also id`1 ∈ ατk k∞ τk k1 .

(b) Der Ableitungsoperator



CR1 ([a, b]) −→ CR ([a, b]) d f 7−→ dx f 1
ist R-linear und nicht stetig bzgl. τk k∞ CR ([a, b]), τk k∞ J sonst wäre D(R[x][a, b]) stetig; (6.1,3) (b) K. Es gilt jedoch D ∈ ατk k∞ |CR1 ([a,b]) τk k∞ : D:

Sei (fj )j ∈ CR1 ([a, b])N , f ∈ CR1 ([a, b]), g ∈ CR ([a, b]) mit (fj , Dfj )j → (f, g) bzgl. τk k∞ |CR1 ([a, b]) τk k∞ . Wegen der gleichmäßigen Konvergenz (Dfj )j → g folgt Df = g, [32, Satz 7.17], d. h. (f, g) ∈ D.

In konkreten Anwendungssituationen sind lineare Operatoren – wie der Differentialoperator D in (6.2,3) (b) auf CR1 ([a, b]) $ CR ([a, b]) – häufig nicht auf dem gesamten gerade betrachteten topologischen Vektorraum, sondern nur auf einem echten Untervektorraum erklärt. Man erweitert aus diesem Grund den Abgeschlossenheitsbegriff: Definition (V, τ), (W, ω) seien topologische K-Vektorräume, U ⊆ V ein K-Untervektorraum von V und ϕ : U −→ W K-linear. ϕ abgeschlossener Operator in (V × W, τ

ω)

:gdw

ϕ ∈ ατ

ω

Dieser Abgeschlossenheitsbegriff für ϕ darf natürlich nicht mit der auf Seite 103 angegebenen Eigenschaft „ϕ[A] ∈ αω für alle A ∈ ατ “ verwechselt werden (s. A 6).

Die Abgeschlossenheit des Operators ϕ hängt definitionsgemäß wesentlich von seinem angenommenen Vorbereich ab:

6 Lineare Operatoren

480 Beispiel (6.2,4) Der Ableitungsoperator



CR1  ([−1, 1]) −→ L2 ([−1, 1]) f −→ f für f ∈ CR1 ([−1, 1])   ist in L2 ([−1, 1], . . .) × L2 ([−1, 1], . . .), τ 2 τ 2 nicht abgeschlossen: D:

D ist wohldefiniert, denn für jedes f ∈ CR ([−1, 1]) ist f ∩ CR ([−1, 1]) = {f }: Sind f , g in CR ([−1, 1]), f = g, etwa x0 ∈ [−1, 1] mit f (x0 ) > g(x0 ), so existiert ein ε > 0, so daß f (y) > g(y) für alle y ∈ [−1, 1] ∩ ]x0 − ε, x0 + ε[ gilt. Wegen λ([−1, 1] ∩ ]x0 − ε, x0 + ε[) > 0 folgt f =λ g. 1/2  1 , f (x) := |x|. Dann gilt Für jedes j ∈ N, x ∈ [−1, 1] sei fj (x) := x2 + j+1 (fj )j ∈ CR1 ([−1, 1])N , f ∈ CR1 ([−1, 1]), (fj )j → ∞ f , nach (1.2,1) (c) (i) somit   fj j → 2 f. Mit g := χ]0,1] − χ[−1,0[ ist g ∈ L2 ([−1, 1], . . .) und wegen   0 2 2 id 2  1 x     [−1,1] x D fj − g2 = − 1 + 1 − g = dx + dx 2 f f (x) f (x) j j [−1,1] 0 −1 j  1 x 2 =2 dx 1− fj (x) 0       1 1 1 1 =2 2−2 1 + j+1 − j+1 arctan  − j+1 1 j+1

    fj ist eine gerade Funktion  für alle j ∈ N folgt D fj j → 2 g. Insgesamt erhält      ([−1, 1]) ist  h ∈ CR1 ([−1, 1]), man fj , D fj j →τ 2 τ 2 f, g , wobei f ∈ CR1   h = f =⇒ f = h
. Dagegen ist der Ableitungsoperator  ([−1, 1]) −→ L2 ([−1, 1]) W 1,2 D: f −→ f für f ∈ W 1,2 ([−1, 1])  2  in L ([−1, 1], . . .) × L2 ([−1, 1], . . .), τ 2 τ 2 ein abgeschlossener linearer Operator:      Sei (fj )j ∈ W 1,2 ([−1, 1])N , f, g ∈ L2 ([−1, 1], . . .) mit fj j → 2 f, D fj j → 2 g. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Lebesgue-Integralrechnung gilt für alle j ∈ N, x ∈ [−1, 1]  fj ,

fj (x) − fj (−1) = [−1,x]

und wegen  Hölder-Ungleichung 5.4-5        fj − g ≤ |fj − g| ≤ [−1,x]

[−1,x]

[−1,x]

 ≤

[−1,1]

|fj − g|

[−1,1]

|fj

1/2  − g|

1/2

1

2

1 dt −1

=

√     2D fj − g2

6.2 Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit

481

folgt (fj − fj (−1))j → ∞ h, wobei h(x) := [−1,x] g für jedes x ∈ [−1, 1] bezeichnet, h also absolut stetig mit h = g ist. Schließlich erweist sich (fj (−1))j als Cauchy-Folge in (R, d| | ), denn es gilt   1 1/2 1 2 |fj (−1) − fk (−1)| dx |fj (−1) − fk (−1)| = 2 −1 2 1/2   1  1   fj (x) − fk (x) + = (f − f ) k j dx 2 −1 [−1,x] 2 1/2   1       ≤ 2−1/2 fj − fk 2 + (f − f ) k j dx −1

[−1,x]

 1.1, A 2 (b) ,    

wobei fj j Cauchy-Folge in (L2 ([−1, 1], . . .),  2 ) und für hj (x) := [−1,x] fj auch hj j Cauchy-Folge in (L∞ ([−1, 1], . . .),  ∞ ), also in (L2 ([−1, 1], . . .),  2 ) ist  5.4-8 (b) . Sei r := limj fj (−1), a(x) := r + h(x) für jedes x ∈ [−1, 1]. Dann ist a absolut stetig mit   a = g, also a ∈ W 1,2 ([−1, 1]), D( a) = g und  a = f  (fj )j → ∞ a =⇒ fj j → 2  a .    Es folgt f , g = ( a, D( a)) ∈ D.

Mit Hilfe von 6.2-1.1 (a) können über (6.1,10) hinaus die stetigen linearen Funktionale des Banach-Raums (CRm ([a, b]), Nm,max )  vgl. 3.1, A 30  bestimmt werden: Beispiel (6.2,5) Es seien a, b ∈ R, m ∈ N und ϕ : CRm ([a, b]) −→ Rm × CR ([a, b]) definiert durch    ϕ(f ) := f (a), f (1) (a), . . . , f (m−1) (a) , f (m) .   Offensichtlich ist ϕ R-linear und τNm,max , τ  τ ∞ -stetig, Injektivität erhält man mit Hilfe vollständiger Induktion gemäß ϕ(f ) = ϕ(g) =⇒





t

∀ t ∈ [a, b] : f (m−1) (t) − f (m−1) (a) =

t

f (m) (x) dx = a

g (m) (x) dx a

= g (m−1) (t) − g (m−1) (a) =⇒

f (m−1) = g (m−1) .

Zum Nachweis der Surjektivität von ϕ sei ((x0 , . . . , xm−1 ), f ) ∈ Rm × CR ([a, b]). Dann

t ist die durch fm−1 (t) := a f (x) dx + xm−1 definierte Funktion fm−1 in CR1 ([a, b]), (1) fm−1 = f und fm−1 (a) = xm−1 . Durch vollständige Induktion definiert man schließlich

t (1) f0 (t) := a f1 (x) dx + x0 und erhält f0 = f1 , f0 (a) = x0 , also f0 ∈ CRm ([a, b]), (m) (k) f0 = f und f0 (a) = xk für jedes k ∈ {0, . . . , m − 1}, d. h. ϕ(f0 ) = ((x0 , . . . , xm−1 ), f ). Nach 6.2-1.1 (a) ist ϕ somit ein R-linearer Homöomorphismus.

6 Lineare Operatoren

482

sτ 

Sei nun ψ ∈ CRm ([a, b])sNm,max und ξ := ψ ◦ ϕ−1 , also ξ ∈ (Rm × CR ([a, b])) ϕ

CRm ([a,b])



τ

∞

:

Rm × CR ([a,b])

ψ

ξ R

Nach dem Rieszschen Darstellungssatz 6.1-6 für den Raum (Rm ,
2 ) gibt es genau ein  (ψ) (ψ)  Element c0 , . . . , cm−1 ∈ Rm mit ξ((x0 , . . . , xm−1 ), 0) =

m−1 

(ψ)

c k xk

k=0

für jedes (x0 , . . . , xm−1 ) ∈ Rm , und es folgt für alle f ∈ CRm ([a, b])      ψ(f ) = ξ ◦ ϕ(f ) = ξ f (a), f (1) (a), . . . , f (m−1) (a) , 0 + ξ 0, f (m) =

m−1 

  (ψ) ck f (k) (a) + ξ 0, f (m) .

k=0

Sei gψ ∈ R0 BV ([a, b]) diejenige Funktion mit  b h(x) dgψ (x) ξ((0, h)) = a

für jedes h ∈ CR ([a, b])  (6.1,10) . Man erhält somit schließlich ψ(f ) =

m−1 

 (ψ) ck f (k) (a)

k=0

für jedes f ∈

b

f (m) (x) dgψ (x)

+ a

CRm ([a, b]).

Natürlich ergibt auf diese Weise jedes Element (c0 , . . . , cm−1 ) von Rm und jede Funktion g ∈ R0 BV ([a, b]) ein stetiges lineares Funktional auf CRm ([a, b]), τNm,max , und der Operator
m (CR ([a, b]))sNm,max −→ Rm × R0 BV ([a, b])   (ψ) T : (ψ)  ψ −→ c0 , . . . , cm−1 , gψ ist ein R-linearer Isomorphismus (vgl. Frage (2) in Abschnitt 6.1, Seite 453).

Eine für Anwendungen (z. B. in der numerischen Quadratur, (6.2,6)) wichtige Folgerung aus 6.2-1.1 (a) ist der Satz 6.2-2 (Sardscher Quotientensatz, 1948) (V, τ), (W, σ), (Z, I) seien vollständig metrisierbare topologische K-Vektorräume, ϕ ∈ L(V, W ) surjektiv, ψ ∈ L(V, Z) mit Ker ϕ ⊆ Ker ψ. Dann existiert ein ξ ∈ L(W, Z) mit ψ = ξ ◦ ϕ (d. h. ψ ist durch ϕ teilbar).

6.2 Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit

483

Beweis Nach 2.5-16 gibt es eine Pseudonorm ν auf V mit τν = τ, und nach 3.3-6 ist 3.1, A 19 (a) (mit Anmerkung) ergibt die Vollständigkeit (V, dν ) vollständig. Aufgabe   von V /Ker ϕ , dνKer ϕ , also ist V /Ker ϕ , τ/RKer ϕ vollständig metrisierbar  2.5, A 20 (b), (c) . Die Operatoren

V /Ker ϕ −→ W V /Ker ϕ −→ Z ϕ : ψ : v + Ker ϕ −→ ϕ(v), v + Ker ϕ −→ ψ(v) sind wohldefiniert  Ker ϕ ⊆ Ker ψ , K-linear und stetig  2.4-15 (a) , ϕ  ist darüber hinaus bijektiv  Anhang 2-8 . V/Ker ϕ πKer ϕ ϕ  V

ϕ

ψ

W ξ ψ Z

Nach 6.2-1.1 (a) ist ϕ  ein Homöomorphismus und somit ξ := ψ ◦ ϕ −1 ∈ L(W, Z). Schließlich gilt auch  + Ker ϕ) = ψ(v) −1 ◦ ϕ  ◦ πKer ϕ (v) = ψ(v ξ ◦ ϕ(v) = ψ ◦ ϕ −1 ◦ ϕ(v) = ψ ◦ ϕ für jedes v ∈ V .

✷

Beispiel (6.2,6) Es seien a, b ∈ R, a < b, N , m ∈ N\{0}, A ∈ RN +1 , (x0 , . . . , xN ) ∈ Za,b eine endliche Zerlegung von [a, b] und  R[a,b] −→ R N Q: f −→ j=0 Aj f (xj ). Bei der numerischen Integration nennt man die Teilpunkte xj Knoten, die Zahlen Aj Gewichte der Quadraturformel Q, und  CR ([a, b]) −→ R

b N ϕ: f −→ a f (t) dt − j=0 Aj f (xj ) ist das Fehlerfunktional zu Q auf CR ([a, b]) (s. auch A 8). Die Einschränkung F := ϕ
W m,∞ ([a, b]) der Funktion ϕ ist ein stetiges lineares Funktional auf dem Sobolev-Raum (W m,∞ ([a, b]), Nm,∞ ) (vgl. 5.4-13, 5.4-14):

6 Lineare Operatoren

484

Mit ϕ ist auch F R-linear. Die Stetigkeit von F folgt aus  b  b N N   |F (f )| = f (t) dt − Aj f (xj ) ≤ |f (t)| dt + f ∞ |Aj | a

a

j=0

≤ (b − a)f ∞ + f ∞

j=0

N 

|Aj | ≤ CNm,∞ (f )

j=0

mit C := (b − a) +

N

j=0 |Aj |.

Dm

Der Ableitungsoperator  W m,∞ ([a, b]) −→ L∞ ([a, b], . . .) : (m) f −→ f>

  (m)  ist R-linear, stetig  Dm (f )∞ = f> ≤ Nm,∞ (f )  und surjektiv: ∞

∞ Für g ∈ L ([a, b], . . .) ist die durch g1 (x) := [a,x] g definierte Funktion g1 : [a, b] −→ R nach dem Hauptsatz der Differential- und Lebesgue-Integralrechnung (vgl. Seite 431) absolut stetig mit g1 = g. Sukzessive definiert man nun Funktionen g2 , . . . , gm ∈ CR1 ([a, b]) durch x gj (x) = a gj−1 (t) dt und erhält Dm (gm ) = g. Ist die Quadraturformel Q exakt für jedes Polynom p(x) ∈ R[x] mit grad p(x) ≤ m, d. h. (m) =  F (p) = 0 für jedes der Polynome p(x), so gilt Ker Dm ⊆ Ker F  Dm (f ) = f> 0 =⇒ f (m−1) konstant (gem. (5.4,8) (b)) =⇒ ∃ p(x) ∈ R[x] : grad p(x) ≤ m − 1, p = f =⇒ 0 = F (p) = F (f ) =⇒ f ∈ Ker F . Nach dem Sardschen Quotientensatz 6.2-2 existiert ein ξ ∈ L∞ ([a, b], . . .)s ∞ mit F = ξ ◦ Dm : W m,∞ ([a, b])

Dm

L∞ ([a,b], . . .) ξ

F R

Der Konstruktion in (6.1,10) zufolge gehört die durch h(t) := ξ(χt ) erklärte Funktion h zu BV ([a, b]) mit V (h) ≤ ξop (χa := 0, χt := χ[a,t] für jedes t ∈ ]a, b]), und es gilt   b ξ f = a f (t) dh(t) für jedes f ∈ CR ([a, b]). Setzt man  (x−t)m für x ≤ t m! αt (x) := 0 für x ≥ t für alle x, t ∈ [a, b], so erhält man wegen χ  [a,t] = Dm (αt ) αt ∈ W m,∞ ([a, b]),

h(t) = ξ(χt ) = ξ(Dm (αt )) = F (αt )  

b (m) (m) = für jedes t ∈ [a, b]. Schließlich ist F (f ) = ξ ◦ Dm (f ) = ξ f> f (t) dh(t) für a jedes f ∈ CRm ([a, b]), also ergibt sich F (f )  partielle Integration  als  b  b  b f (m) (t) dh(t) = f (m) (b)h(b) − f (m) (a)h(a) − h(t) df (m) (t) = − h(t) df (m) (t) a

a

a

6.2 Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit

485

 h(a) = 0 = F (αb ) = ξ(= χb ) = h(b) wegen αb (x) ∈ R[x], grad αb (x) ≤ m . Mit (x−t)m βt : [a, b] −→ R, βt (x) := m! −αt (x) ist (βt +αt )(x) ∈ R[x] und grad(βt +αt )(x) = m für jedes t ∈ [a, b] und daher gem. obiger Voraussetzung über die Exaktheit von Q 0 = F (βt + αt ) = F (βt ) + F (αt ), d. h. F (βt ) = −F (αt ) = −h(t) für jedes t ∈ [a, b]. Es folgt für jedes f aus CRm+1 ([a, b])  b  b F (f ) = − h(t) df (m) (t) = F (βt )f (m+1) (t) dt. a

a

Die Funktion PF : [a, b] −→ R, PF (t) := F (βt ), heißt Peano-Kern von F (und ist abhängig von den Knoten xj , Gewichten Aj , j = 0, . . . , N der Quadraturformel Q). Für die bekannte Trapezregel (N = 1)
[a,b] −→ R R Q: f −→ b−a 2 (f (a) + f (b)) und m = 1 ist


F :

W 1,∞ ([a, b]) −→ R

b f −→ a f (t) dt − Q(f )

das Fehlerfunktional, und die Quadraturformel Q exakt für jedes Polynom p(x) ∈ R[x] mit grad p(x) ≤ 1 = m. Der Peano-Kern von F errechnet sich mit  0 für x ≤ t βt (x) = x − t für x ≥ t zu



b−a PF (t) = F (βt ) = (0 + b − t) = βt (x) dx − 2 a (b − t)(a − t) . = 2 b



b

(x − t) dx − t

(b − a)(b − t) 2

Bei Anwendung der Trapezregel auf Funktionen f ∈ CR2 ([a, b]) entsteht der Quadraturfehler  b  b (b − t)(a − t)   f (t) dt F (βt ) df (t) = [27, Kap. VIII, § 7, Satz 2] F (f ) = 2 a a  f  (t0 ) b (b − t)(a − t) dt für ein t0 ∈ [a, b] = 2 a  Mittelwertsatz der Integralrechnung; vgl. [5, Analysis II, (12.10)]  =

f  (t0 ) (a − b)3 . 12

Zum Prinzip von der gleichmäßigen Beschränktheit 6.2-5 mit Anwendungen erfolgen noch einige Vorbereitungen. Die gleichgradige bzw. gleichgradig gleichmäßige Stetigkeit von Funktionenmengen zwischen pseudometrischen Räumen wurde in Abschnitt 4.1 (Seite 285) definiert. Entsprechend erklärt man gleichgradige Stetigkeit von Mengen K-linearer Operatoren durch die

6 Lineare Operatoren

486 Definition

(V, τ), (W, σ) seien topologische K-Vektorräume, F eine Menge K-linearer Operatoren von V in W . F gleichgradig stetig

:gdw

∀ U ∈ Uσ (0) ∃ R ∈ Uτ (0) :

{ f [R] | f ∈ F } ⊆ U.

Gleichgradig stetige Mengen F K-linearer Operatoren bilden # beschränkte Teilmengen B von V auf beschränkte Teilmengen von W ab, d. h. { f [B] | f ∈ F } ist beschränkt in (W, σ) (Verallgemeinerung von 6.1-2 (a); A 7), insbesondere ist { f (v) | f ∈ F } für jedes v ∈ V beschränkt in (W, σ). Umgekehrt folgt hieraus bereits die gleichgradige Stetigkeit von F , sofern (V, τ) ein Baire-Raum und jedes f ∈ F stetig ist: Satz 6.2-3 (Banach-Steinhaus, 1927) (V, τ), (W, σ) seien topologische K-Vektorräume, (V, τ) Baire-Raum, F ⊆ L(V, W ). Äq (i)

F gleichgradig stetig

(ii) ∀ v ∈ V : { f (v) | f ∈ F } beschränkt in (W, σ) (d. h. F ist auf V punktweise beschränkt) Beweis (i) ⇒ (ii) S. A 7. eine kreisförmige Umgebung (ii) ⇒ (i) Es sei U ∈ Uσ (0). Gem. 6.1, A 1 gibt es $ R ∈ Uσ (0)∩ασ mit R−R ⊆ U . Die Menge F −1 [R] := { f −1 [R] | f ∈ F } ∈ ατ ist d kreisförmig, und zu jedem v ∈ V existiert gem. (ii) ein ε > 0 mit Kε | | (0)v ⊆ F −1 [R] d d (0){ f (v) | f ∈ F } ⊆ R =⇒ Kε | | (0)v ⊆ F −1 [R] . Hieraus folgt  Kε | | # V = { (n + 1)F −1 [R] | n ∈ N }, es existiert daher ein n ∈ N, O ∈ τ\{∅} mit O ⊆ (n + 1)F −1 [R]. Wegen 0∈

1 1 O− O ⊆ F −1 [R] − F −1 [R] =: S n+1 n+1

ist S ∈ Uτ (0), und die gleichgradige Stetigkeit erhält man aus f [S] ⊆ R − R ⊆ U für jedes f ∈ F . ✷ Korollar 6.2-3.1 (V, τ), (W, σ) seien topologische Vektorräume über K, (V, τ) Baire-Raum, (W, σ) T2 -Raum, (fj )j ∈ L(V, W )N und (fj (v))j konvergent in (W, σ) für jedes v ∈ V (d. h. (fj )j ist σ-punktweise konvergent). Dann gehört der durch f (v) := limj∈N fj (v) definierte Operator f : V −→ W zu L(V, W ).

6.2 Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit

487

Beweis f ist wohldefiniert und K-linear  (W, σ) T2 -Raum . Da { fj (v) | j ∈ N } für jedes v ∈ V beschränkt in (W, σ) ist  6.1-1 (b) , folgt nach 6.2-3 die gleichgradige σ Stetigkeit von { fj |#j ∈ N }. Zu jedem U ∈ Uσ (0), o. B. d. A. U = U , gibt es daher ein R ∈ Uτ (0) mit { fj [R] | j ∈ N } ⊆ U , und man erhält f (v) = limj∈N fj (v) ∈ σ U = U für jedes v ∈ R. ✷ Unter den Voraussetzungen von 6.2-3.1 ist L(V, W ) somit σ-punktweise-folgenabge schlossen in W V , v∈V σ . Die Voraussetzung in 6.2-3 „(V, τ) Baire-Raum“ ist erfüllt, wenn es in (V, τ) eine Menge S 2. Kategorie gibt, die einen abgeschlossenen K-Untervektorraum erzeugt (vgl. auch 3.1, A 10): Satz 6.2-4 (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, S ⊆ V eine Menge 2. Kategorie in (V, τ).  lin lin  ist ein Baire-Raum. (a) S , τ S (b) S

lin

τ

=V

Beweis

lin Zu (a) Mit O ∈ τ S \{∅} ist auch O − s ∈ Uτ|S lin (0) für jedes s ∈ O eine Menge  lin lin  # lin und somit ebenfalls S = { (n + 1)(O − s) | n ∈ N }. 1. Kategorie in S , τ S lin

Gem. 3.1, A 8 ist S , also S eine Menge 1. Kategorie in (V, τ).
lin

lin

τ

keinen inneren Punkt Zu (b) Wenn S nicht dicht in (V, τ) liegt, so besitzt S lin (S und somit S ist dann eine Menge 1. Kategorie in (V, τ)
):   τ τ τ lin ◦τ lin ◦τ lin , also auch 0 ∈ S , etwa U ∈ Uτ (0) mit U ⊆ S , so Wäre x ∈ S τ # lin folgen.
✷ würde V = { (n + 1)U | n ∈ N } ⊆ S Korollar 6.2-4.1 (V, τ), (W, σ) seien topologische K-Vektorräume, S ⊆ V Menge 2. Kategorie in (V, τ) und F ⊆ L(V, W ).   lin Äq (i) f
S f ∈ F gleichgradig stetig (ii) ∀ s ∈ S : { f (s) | f ∈ F } beschränkt in (W, σ) Beweis (i) ⇒ (ii) ist klar.

6 Lineare Operatoren

488

 lin lin  (ii) ⇒ (i) Da S , τ S ein Baire-Raum ist, muß gem. 6.2-3 nur die punktweise lin

lin

Beschränktheit von F auf S überprüft werden. Für jedes Element v ∈ S , etwa n k v v = j j , kj ∈ K, vj ∈ S für j ∈ {1, . . . , n}, f ∈ F folgt aus j=1 f (v) = nj=1 kj f (vj ) offensichtlich { f (v) | f ∈ F } ⊆ nj=1 kj { f (vj ) | f ∈ F }, wobei die Obermenge beschränkt in (W, σ) ist  6.1-1 (a) . ✷ Fünfter Grundsatz der linearen Funktionalanalysis ist der Satz 6.2-5 (Prinzip von der gleichmäßigen Beschränktheit) (V,   V ), (W,  W ) seien normierte K-Vektorräume, S ⊆ V Menge 2. Kategorie in V, τ V und F ⊆ L(V, W ). Äq (i)

∀ s ∈ S : sup{ f (s)W | f ∈ F } < ∞ (d. h. F ist punktweise auf S beschränkt)

(ii) sup{ f op | f ∈ F } < ∞ (d. h. F ist beschränkt in (L(V, W ),  op )) Beweis (ii) ⇒ (i) ist wegen f (v)W ≤ f op vV  6.1-4 (a)  klar.   lin f ∈ F gleichgradig stetig, also existiert (i) ⇒ (ii) Nach 6.2-4.1 ist f
S lin

ein ε ∈ ]0, 1[, so daß f (v)W ≤ 1 für alle f ∈ F , v ∈ S , vV ≤ ε, lin gilt. Man wähle ein δ ∈ ]0, ε[ und für jedes v ∈ S \{0} ein nv ∈ Z mit δ nv +1 ≤ vV < δ nv , insbesondere δ −(nv −1) v V < δ < ε. Für jedes f ∈ F    ist dann f δ −(nv −1) v W ≤ 1, also f (v)W ≤ δ nv −1 ≤ δ −2 vV , woraus     lin  lin sup f
S op f ∈ F ≤ δ −2 folgt. Nach 6.2-4 (b) liegt S dicht in V, τ V ,  lin  und aus 6.1-4.1 (a) erhält man f
S op = f op für jedes f ∈ L(V, W ), ✷ insbesondere gilt sup{ f op | f ∈ F } ≤ δ −2 . In 6.2-5 kann „S Menge 2. Kategorie, ∀ s ∈ S : sup{ f (s)W | f ∈ F } < ∞“ nicht durch „∀ v ∈ V : sup{ f (v)W | f ∈ F } < ∞“ ersetzt werden: Beispiel (6.2,7)

  np Es sei V := R[x]
R und p := sup |pk | 0 ≤ k ≤ np für jedes p(x) = k=0 pk xk in R[x]. Dann ist (V,  ) ein normierter R-Vektorraum, der nicht vollständig ist  Die Cauchy n xk  Folge k=0 k!
R n∈N ist nicht konvergent! . Für jedes n ∈ N ist die durch min{n,np }

fn (p) :=



k=0

pk

6.2 Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit

489

auf V definierte Funktion fn R-linear und auch stetig mit fn op = n + 1: min{n,n } p   |fn (p)| = pk ≤ (n + 1) sup |pk | 0 ≤ k ≤ min{n, np } ≤ (n + 1)p k=0

  n   k = n + 1, wobei  n xk
R = 1 ist. Es folgt für das Supremum und fn k=0 x
R k=0 sup{ fn op | n ∈ N } = ∞.   Dagegen gilt sup |fn (p)| n ∈ N < ∞ für jedes p ∈ V : np Sei p(x) = k=0 pk xk . Für jedes n ∈ N erhält man min{n,n } p   |fn (p)| = pk ≤ (np + 1) sup |pk | 0 ≤ k ≤ np = (np + 1)p, k=0

 also ist sup |fn (p)| n ∈ N ≤ (m + 1)p < ∞. 

Korollar 6.2-5.1

  V, τ V Baire-Raum, (fj )j (V,  V ), (W,  W ) seien normierte K-Vektorräume,  eine Folge in L(V, W ) und (fj (v))j konvergent in W, τ W für jedes v ∈ V . Dann gilt mit f (v) := limj∈N fj (v): f ∈ L(V, W )

und f op ≤ lim inf fj op < ∞. j∈N

Beweis f ∈ L(V, W ) folgt gem. 6.2-3.1. Darüber hinaus erhält man für jedes v ∈ V     f (v)W = lim fj (v) = limfj (v)W ≤ (lim inf fj op )vV j∈N

W

j∈N

j∈N

≤ (sup{ fj op | j ∈ N })vV , wobei sup{ fj op | j ∈ N } < ∞ nach 6.2-5 gilt. Korollar 6.2-5.2 (V,  V ), (W,  W ) seien normierte Vektorräume über K, (W,  W ) Banach-Raum und (fj )j ∈ L(V, W )N . Äq (i)

✷ 

 V, τ V Baire-Raum,

∃ f ∈ L(V, W ) ∀ v ∈ V : (fj (v))j → W f (v)

(ii) sup{ fj op | j ∈ N } < ∞ und τ ∃ D ⊆ V : D  V = V , (fj
D)j punktweise τ W -konvergent Beweis (i) ⇒ (ii) Wegen der punktweisen Konvergenz der Folge (fj )j (gegen f ) ist die

6 Lineare Operatoren

490

  Menge { fj (v) | j ∈ N } für jedes v ∈ V in W, τ W beschränkt, also gilt sup{ fj (v)W | j ∈ N } < ∞  (6.1,1)  und nach 6.2-5 sup{ fj op | j ∈ N } < ∞. (ii) ⇒ (i) Sei C := sup{ fj op | j ∈ N } und ϕ : D −→ W definiert durch ϕ(v) := limj∈N fj (v). Die Funktion ϕ ist gleichmäßig stetig: ε und v, v
∈ D mit v − v
V < δ. Man wähle ein j0 ∈ N mit Sei ε > 0, δ := 3(C+1)     ϕ(v) − fj (v) < ε/3, ϕ(v
) − fj (v
) < ε/3 und erhält 0 0 W W    
ϕ(v) − ϕ(v )W ≤ ϕ(v) − fj0 (v)W + fj0 (v) − fj0 (v
)W   + fj0 (v
) − ϕ(v
)W   2 < ε + fj0 op v − v
V ≤ ε. 3

Sei f : V −→ W die gleichmäßig stetige Fortsetzung von ϕ  3.2-1 . Nach 6.2-3.1 ist nur noch (fj (v))j →τ W f (v) für jedes v ∈ V zu zeigen: ε mit Sei v ∈ V , ε > 0, (vj )j ∈ DN , (vj )j →τ V v und 0 < δ ≤ 3(C+1) stetig! . f (x) − f (y)W < ε/3 für alle x, y ∈ V , x −  yV 0 ∀ m ∈ N: j=0

j

a

und

6.2 Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit

491

  CR ([a, b]), τ ∞ ist nämlich ein Baire-Raum  3.1-5 , (Qm )m ∈ L(CR ([a, b]), R)N Nm (m) τ  mit Qm op = für jedes m ∈ N  A 8  und R[x]
[a, b] ∞ = j=1 Aj CR ([a, b])  2.2-5. Da das Riemann-Integral ein stetiges R-lineares Funktional auf CR ([a, b]), τ ∞ ist  (6.1,3) (c) im wesentlichen , folgt (ii) aus (i) gem. 6.2-5.2. Umgekehrt erhält man – ebenfalls nach 6.2-5.2 – ein ψ ∈ L(CR ([a, b]), R) mit (Qm )m −−−−−→ ψ, und weil gem. (ii) ψ
(R[x]
[a, b]) das Riemann-Integral ist, muß ψ τ | | -pktw.

das Riemann-Integral auf CR ([a, b]) sein  2.5-9.1 (b) . (b) Konvergenzsatz von Polya (1933) N Für jedes n ∈ N sei R[x]n := { p(x) ∈ R[x]  | gradR p(x)  ≤ n }, (µm )m ∈ N mit ∞ (vgl. (4.4,5) (b)). Ist Qm
R[x]µm
[a, b] für jedes m ∈ N exakt, so (µm )m →τ ∗∗ | | gilt:

b Äq (i) ∀ f ∈ CR ([a, b]) : (Qm (f ))m →τ | | a f (t) dt Nm (m) ≤ C. (ii) ∃ C > 0 ∀ m ∈ N : j=0 Aj

Die Implikation (i) ⇒ (ii) ist in (a) enthalten und hiernach ist zur Begründung der Umkehrung (ii) ⇒ (i) nur noch die τ| | -punktweise Konvergenz von (Qm )m auf R[x]
[a, b] gegen das Riemann-Integral zu überprüfen: Sei p(x) ∈ R[x]n und m0 ∈ N mit µm ≥ n für alle m ≥ m0 . Wegen Qm (p
[a, b]) =

b p(t) dt für jedes m ≥ m0  Exaktheit von Qm auf R[x]µm
[a, b]  gilt natürlich a

b (Qm (p
[a, b]))m →τ | | a p(t) dt.

Nach 6.1-5 ist (L(V, W ),  op ) für normierte K-Vektorräume (V,  V ), (W,  W ) ein Banach-Raum, sofern (W,  W ) vollständig ist. Für die Produkttopologie  τp := τ L(V, W ) erhält man Folgenvollständigkeit, wenn zusätzlich V, τ V v∈V  W als Baire-Raum vorausgesetzt wird (s. (6.2,9) (a)). Hierzu zwei Definitionen (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, (vj )j ∈ V N . (vj )j Cauchy-Folge in (V, τ) :gdw ∀ U ∈ Uτ (0) ∃ jU ∈ N ∀ j, k ≥ jU : vj − vk ∈ U (V, τ) folgenvollständig

:gdw

N

∀ (vj )j ∈ V : (vj )j Cauchy-Folge in (V, τ) ⇒ ∃ v ∈ V : (vj )j →τ v Halbnormierte K-Vektorräume (V, N ) sind offensichtlich genau dann vollständig, wenn (V, τN ) folgenvollständig ist, und stetige K-lineare Operatoren bilden CauchyFolgen auf Cauchy-Folgen ab  A 10 .

6 Lineare Operatoren

492 Beispiele (6.2,9)

(V,  V ), (W,   W ) seien normierte K-Vektorräume, (W,  W ) ein Banach-Raum und τp := v∈V τ W L(V, W ).   (a) Für Baire-Räume V, τ V ist (L(V, W ), τp ) folgenvollständig: Sei (fj )j ∈ L(V, W )N Cauchy-Folge im topologischen K-Vektorraum (L(V, W ), τp ). Da die kanonischen Projektionen
L(V, W ) −→ W πv : f −→ f (v) stetig und K-linear sind, ist auch (fj (v))j für jedes v ∈ V eine Cauchy-Folge in (W,  W )  A 10 (c), (a)  und somit konvergent, etwa (fj (v))j →τ W wv . Nach 6.2-3.1 bzw. 6.2-5.1 gehört der durch f (v) := wv definierte Operator f zu L(V, W ), und es gilt (fj )j →τp f . Eine Anwendung der Folgenvollständigkeit von (L(W ), τp ) ergibt (b) Für jedes ϕ ∈ L(W ), idW −ϕop < 1, ist ϕ bijektiv, ϕ−1 ∈ L(W ) und die Inverse ∞ von ϕ ergibt sich zu k=0 (idW −ϕ)k bzgl. τp (Neumann-Reihe zu ϕ). Dabei bezeichnet (idW −ϕ)0 := idW und (idW −ϕ)k+1 := (idW −ϕ) ◦ (idW −ϕ)k für jedes k ∈ N. Die Konvergenz der Neumann-Reihe ist nach 6.1-5 und 3.5-6 sogar bzgl. τ op gegeben (s. 6.1, A 17, A 30). n Zu ε > 0 sei N ∈ N so gewählt, daß k=m idW −ϕkop < ε für alle n ≥ m ≥ N gilt. Man erhält dann (vgl. 6.1, A 17 (b))   n n     n k k   (idW −ϕ) (w) ≤ (idW −ϕ) (w)W ≤ idW −ϕkop wW  W

k=m

k=m

k=m

< εwW ,

   −ϕ)k (w) n ist also für jedes w ∈ W eine Cauchy-Folge in W, d W . ∞ Nach (a) existiert ein ψ ∈ L(W ) mit ψ = k=0 (idW −ϕ)k bzgl. τp (sogar bzgl. τ op !).

 n

k=0 (idW

Schließlich gilt für jedes w ∈ W noch (Limiten bzgl. τ W )   ∞ (idW −ϕ)k (w) ϕ(ψ(w)) = ϕ k=0

= lim(idW −(idW n

= lim n

 n

  n k −ϕ)) (idW −ϕ) (w) k=0

(idW −ϕ)k (w) −

k=0

 (idW −ϕ)k (w)

n+1  k=1

= lim(idW −(idW −ϕ)

n+1

n

)(w)

= idW (w) − lim(idW −ϕ)n+1 (w) = w n

 (idW −ϕ) (w)W ≤ idW −ϕn+1 op wW für alle n ∈ N . Ebenso folgt ψ(ϕ(w)) = w, insgesamt daher ψ = ϕ−1 . n+1

6.2 Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit

493

Das Prinzip von der gleichmäßigen Beschränktheit 6.2-5 liefert auch die Erkenntnis, daß in normierten K-Vektorräumen (V,  ) genau diejenigen Teilmengen beschränkt sind, die es bereits bzgl. der schwachen Topologie σ(V, V s  ) sind (6.2-6). Man beachte hierbei, daß σ(V, V s  )  τ  für unendlichdimensionale K-Vektorräume V gilt  6.1, A 3 (b) . Der Beweis mit Hilfe von 6.2-5 stützt sich auf die Vollständigkeit von (V s  ,  op )  6.1-5.1  und Eigenschaften der sogenannten schwach∗ -Topologie auf V s  . Definition (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum und av : V sτ −→ K, av (ϕ) := ϕ(v), für jedes v ∈ V die Auswertung bei v. Die Funktion
V −→ (V sτ )a ΓV : v −→ av heißt Gelfand-Operator auf V , die schwache Topologie σ(V sτ , V ) := σ(V sτ , ΓV [V ]) wird schwach∗ -Topologie auf V sτ genannt. Die schwach∗ -Topologie ist hausdorffsch  A 11 , und für normierte K-Vektorräume s  (V,  ) in τ op enthalten  A 12 (a) ; für die Auswertungen gilt av ∈ V s   op und av 
op = v für jedes v ∈ V  A 12 (b) , wobei  
op die Operatornorm s  auf V s   op zu ( op , | |) bezeichnet. Der Gelfand-Operator ΓV ist daher eine ( ,  
op )-normerhaltende K-lineare Abbildung. Das Bild ΓV [V ] ist ein K-Unter a s s  vektorraum von V s  , nach 6.1, A 27 ist deshalb ΓV [V ] = V s  σ(V   ,V ) . Satz 6.2-6 (V,  ) sei ein normierter K-Vektorraum, S ⊆ V . S beschränkt in (V, τ  )    (ii) S beschränkt in V, σ V, V s 

Äq (i)

Beweis

  (i) ⇒ (ii) gilt wegen τ  ⊇ σ V, V s   6.1, A 20 (b) .    (ii) ⇒ (i) Sei S beschränkt in V, σ V, V s  . Gem. 6.1-2.1 ist ϕ[S] für jedes s  ϕ ∈ V s  in (K,  τ| | ) beschränkt, d. h. ΓV [S] ist punktweise aufs V beschränkt. s  ,  op ein Banach-Raum  6.1-5  und ΓV [S] ⊆ L V   , K  s. o.  ist, Da V folgt nach 3.1-5 und 6.2-5 sup{ v | v ∈ S } = sup{ ΓV (v)
op | v ∈ S } < ∞, ✷ d. h. die Beschränktheit von S in (V, τ  )  (6.1,1) .

6 Lineare Operatoren

494

Das folgende Ergebnis über die schwach∗ -Kompaktheit der abgeschlossenen 1-Kugel  s  ,  op wurde 1932 von St. Banach für separable vollständig normierte in V K-Vektorräume und schwach∗ -Folgenkompaktheit, 1940 von L. Alaoglu ohne die Voraussetzung der Separabilität und schließlich 1946 von N. Bourbaki in allgemeiner Form bewiesen. In Verbindung mit dem Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit 6.2-5  Heine-Borel-Lebesgue-Satz ähnliches Kompaktheitskriterium  sliefertes sein dem     ,σ V , V für Banach-Räume (V,  ) (s. 6.2-7.1). in V Satz 6.2-7 (Banach-Alaoglu-Bourbaki) (V,  ) sei ein normierter K-Vektorraum.     d op (0) ist kompakt in V s  , σ V s  , V . K 1 Beweis

d| |  %  d| |  Der Produktraum v∈V τ| | Kv (0) ist nach dem Satz von Tyv∈V Kv (0), chonoff 4.3-7 kompakt, der Beweis also erbracht, wenn sich die abgeschlossene 1-Kugel als homöomorph zu einem abgeschlossenen Unterraum dieses Produkts er d| | (0), I(ϕ) := ϕ,  d op (0) −→ % K weist  4.1-5 (a) . Die Identität I : K 1

v∈V

v

d

 op (0)  und ist wohldefiniert  |ϕ(v)| ≤ ϕop v ≤ v für jedes ϕ ∈ K  s1    d op  (0), σ V   , V . . . zu offensichtlich injektiv. Die Homöomorphie von K 1 d| |    ' d op &    (0) , I K v∈V τ| | Kv (0) . . . ergibt sich wie folgt: 1 

 d op (0) und ϕ ∈ K  d op (0). Es gilt  Konvergenz in InitialSei (ϕn )n ein Netz in K 1 1 räumen, z. B. 2.4-8 (b)  (ϕn )n →σ(V s  ,V ) ϕ

⇐⇒

∀ v ∈ V : (ΓV (v)(ϕn ))n →τ | | ΓV (v)(ϕ)

⇐⇒

∀ v ∈ V : (ϕn (v))n →τ | | ϕ(v) d| | I(ϕ). (I(ϕn ))n →  τ | | K (0)

⇐⇒

v∈V

v

' d op &  (0) Nach 2.4-1 sind I, I −1 stetig. Somit bleibt die Abgeschlossenheit von I K 1 im Produktraum zu überprüfen. d| | ' d op & v∈V τ | | K v (0)  (0) ein Berührpunkt, ε > 0, v, w ∈ V , k, l ∈ K Sei ψ ∈ I K 1 ' d op &  (0) mit und ϕ ∈ I K 1   max |ϕ(v) − ψ(v)|, |ϕ(w) − ψ(w)|, |ϕ(kv + lw) − ψ(kv + lw)| < ε.  d op (0) , folgt Da ϕ K-linear ist  I(ϕ) = ϕ ∈ K 1

6.2 Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit

495

|ψ(kv + lw) − kψ(v) − lψ(w)| = |(ψ − ϕ)(kv + lw) + k(ϕ − ψ)(v) + l(ϕ − ψ)(w)| < ε + |k|ε + |l|ε, und man erhält  ε > 0 beliebig!  ψ(kv + lw) = kψ(v) + lψ(w), ψ ist also K-linear. Darüber hinaus ergibt ϕop ≤ 1, also |ϕ(v)| ≤ v für jedes v ∈ V , auch noch |ψ(v)| < |ϕ(v)| + ε ≤ v + ε und somit |ψ(v)| ≤ v für jedes v ∈ V , d. h. ψ ∈ V s  mit ψop ≤ 1.

✷

Korollar 6.2-7.1 (V,  ) sei ein Banach-Raum über K, Φ ⊆ V s  .    Äq (i) Φ kompakt in V s  , σ V s  , V (schwach∗ -kompakt) (ii) Φ ∈ ασ(V s  ,V ) (schwach∗ -abgeschlossen) und   Φ beschränkt in V s  ,  op (stark-beschränkt) Beweis -Abgeschlossenheit von Φ folgt aus A 11 und 4.1-5 (b). Da (i) ⇒(ii) Dieschwach∗ s  s  ,σ V , V beschränkt ist  6.1-1 (c) , existiert zu jedem v ∈ V ein Φ in V & ' d d| |  εv > 0 mit Kεv (0)Φ ⊆ ΓV (v)−1 K1 | | (0) , insbesondere also εv |ΓV (v)(ϕ)| < 1, d. h. |ϕ(v)| < 1/εv für jedes ϕ ∈ Φ. Die Menge Φ ist daher punktweise auf V beschränkt, und nach 6.2-5 folgt wegen der Vollständigkeit von (V, d  ) und 3.1-5.1 sup{ ϕop | ϕ ∈ Φ } < ∞.     d op (0) kompakt in V s  , σ V s  , V . Sei k ein (ii) ⇒ (i) Gem. 6.2-7 ist K 1  d op (0) (kompakt  d op (0)  (ii) , also Φ ⊆ 1 K Element mit kΦ ⊆ K 1 k 1   s in K\{0} in V   , σ V s  , V ). Nach 4.1-5 (a) folgt die schwach∗ -Kompaktheit von Φ. ✷ In 6.2-7.1 kann die starke Beschränktheit von Φ gem. 6.2-6 durch schwach∗ -Beschränktheit äquivalent  ersetzt s werden, sofern der Gelfand-Operator ΓV auf den stetigen Bidualraum V s   op abbildet. (V,  ) heißt dann reflexiv, und das Kompaktheitskriterium ist analog zum Heine-Borel-Lebesgue-Satz formuliert. Am Ende dieses Abschnitts wird die Metrisierbarkeit der schwach∗ -Topologie für topologische Vektorräume mit punktetrennendem stetigen Dualraum charakterisiert. Satz 6.2-8 (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum und V sτ trenne Punkte in V .    Äq (i) V sτ , σ V sτ , V metrisierbar (ii) dimK V abzählbar

6 Lineare Operatoren

496 Beweis

Für jede K-Basis B von V ist
  & ' d| | −1 ΓV (b) K1/(n+1) (0) n ∈ N, E ∈ Pe B b∈E

eine Umgebungsbasis von Uσ(V sτ ,V ) (0): m Sei v ∈ V , etwa v = i=1 ki bi mit bi ∈ B, ki ∈ K für i = 1, . . . , n, und d| | d| | ε > 0. Man wähle ein n ∈ N mit m i=1 ki K1/(n+1) (0) ⊆ Kε (0). Für jedes & ' $ −1 K d| | (0) gilt dann ϕ∈ m i=1 ΓV (bi ) 1/(n+1) ΓV (v)(ϕ) = ϕ(v) =

m  i=1

ki ϕ(bi ) ∈

m 

d

d

| | ki K1/(n+1) (0) ⊆ Kε | | (0),

i=1

& ' d also ϕ ∈ ΓV (v)−1 Kε | | (0) .    gem. 2.5-16 und A 11 (ii) ⇒ (i) Für abzählbare Basen B ist V sτ , σ V sτ , V metrisierbar. (i) ⇒ (ii) Sei { Un | n ∈ N } ⊆ Uσ(V sτ ,V ) (0) eine Umgebungsbasis, o. B. d. A. Un+1 ⊆ Un für jedes n ∈ N. Dann existiert für jedes n ∈ N ein mn ∈ N, En ∈ Pe B ' d| | & $ # mit b∈En ΓV (b)−1 K1/(m (0) ⊆ Un . Für B ∗ := n∈N En ist daher n +1)


−1

ΓV (b)

'

& d| | (0) K1/(n+1)

 n ∈ N, E ∈ Pe B ∗

b∈E

eine Umgebungsbasis. Wäre nun B überabzählbar, so gäbe es ein b0 ∈ B\B ∗ . Hierfür würde dann  ' d| | ' d & & ΓV (b)−1 K1/(n+1) (0) ΓV (b0 )−1 K1 | | (0) b∈E

für jedes n ∈ N, E ∈ Pe B ∗ gelten (ein Widerspruch!): Mit E ∪ {b$ 0 } ist auch {ΓV (b0 )} ∪ { ΓV (b) | b ∈ E } K-linear unabhängig  A 15  und daher b∈E Ker ΓV (b) Ker ΓV (b0 ) (vgl. Anhang 2-11). Es existiert also ein ϕ ∈ V sτ mit ΓV (b)(ϕ) = 0 für jedes b ∈ E und ΓV (b0 )(ϕ) > 1 (o. B. d. A.), woraus  ' d| | ' d & & ΓV (b)−1 K1/(n+1) (0) \ΓV (b0 )−1 K1 | | (0) ϕ∈ b∈E

folgt.

✷

6.2 Offenheit linearer Operatoren, gleichmäßige Beschränktheit

497

Aufgaben zu 6.2 1. (W, ω) sei ein metrisierbarer, (V, τ) ein vollständig metrisierbarer topologischer K-Vektorraum, ϕ ∈ L(V, W ) und ϕ[V ] Menge 2. Kategorie in (W, ω). Dann ist ϕ surjektiv und offen. 2. V sei ein K-Vektorraum, (W, ω) topologischer K-Vektorraum, ϕ : V −→ W K-linear und surjektiv, τ die Initialtopologie auf V der Familie ((W, ω), ϕ). Dann ist ϕ offen. 3. (V,  V ), (W,  W ) seien Banach-Räume über K, M K-Untervektorraum von V ,  ϕ : M −→ W K-linearer, in V × W, τ V τ W abgeschlossener Operator und
M −→ R+ N: v −→ vV + ϕ(v)W .   (a) (M, N ) ist ein Banach-Raum über K, ϕ τN , τ W -stetig   (b) ϕ surjektiv =⇒ ϕ offen bzgl. τ V |M, τ W   (c) ϕ bijektiv =⇒ ϕ−1 τ W , τ V |M -stetig   (d) ϕ τ V |M, τ W -stetig =⇒ M ∈ ατ V 4. (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, A, B ⊆ V K-Untervektorräume von V mit V = A ⊕ B (algebraisch direkte Summe) und der kanonischen Projektion πA : V −→ A auf A. (a)

Äq (i) (ii)

πA ∈ ατ B ∈ ατ

τ|A

(b) (V, τ) vollständig metrisierbar, A, B ∈ ατ

=⇒

πA stetig und offen

5. (V,  V ) und (W,  W ) seien K-Banach-Räume, ϕ ∈ L(V, W ) surjektiv und A ⊆ V . (a)

∃ C > 0 ∀ w ∈ W ∃ v ∈ V : ϕ(v) = w, vV ≤ CwW

(b) Äq (i) (ii)

ϕ[A] ∈ ατ W A + Ker ϕ ∈ ατ V

6. Es sei W := { (xj )j ∈ +2R | ∀ j ∈ N : x2j+1 = 0 },
2 +R −→ W ϕ: (xj )j −→ (xj )j χ{ 2k|k∈N } und

 cos U :=

A := U (a)

τ

2



lin  1  1  χ χ + sin , j∈N j + 1 {2j+1} j + 1 {2j}

[χS bezeichnet die charakteristische Funktion auf N zu S ⊆ N!]. Man zeige:

ϕ ∈ L(+2R , W ) (bzgl. τ 2 , τ 2 |W ), ϕ surjektiv

(b) ϕ[A] ∈ ατ 2 |W 7. (V, τ), (W, σ) seien topologische K-Vektorräume, F eine Menge gleichgradig stetiger K-linearer Operatoren von V in W und B ⊆ V beschränkt in (V, τ). Man zeige: # { f [B] | f ∈ F } beschränkt in (W, σ).

6 Lineare Operatoren

498

8. Es seien a, b ∈ R, a < b, N ∈ N\{0}, A ∈ RN +1 , (x0 , . . . , xN ) ∈ Za,b eine endliche Zerlegung von [a, b] und
CR ([a, b]) −→ R N Q: f −→ j=0 Aj f (xj ) eine Quadraturformel mit den Knoten xj und den Gewichten Aj für j ∈ {0, . . . , N }. N Man zeige: Q ∈ CR ([a, b])s ∞ mit Qop = j=0 |Aj |. 9. Für jedes m ∈ N sei

 Qm :

CR ([a, b]) −→ R Nm (m)  (m)  f −→ j=0 Aj f xj (m)

eine Quadraturformel mit nichtnegativen Gewichten Aj , j ∈ {0, . . . , Nm } und (µm )m eine Folge in N mit (µm )m →τ ∗∗ ∞. | |  

b Ist Qm
R[x]µm
[a, b] für jedes m ∈ N exakt, so gilt (Qm (f ))m →τ | | a f (t) dt für alle f ∈ CR ([a, b]). (Konvergenzsatz von Steklov, 1933) 10. (V, N ) sei ein halbnormierter, (W, σ) bzw. (Z, I) ein topologischer K-Vektorraum, (vj )j ∈ V N und ϕ ∈ L(W, Z). (a)

Äq (i) (ii)

(b) Äq (i) (ii) (c)

(vj )j Cauchy-Folge in (V, dN ) (vj )j Cauchy-Folge in (V, τN ) (V, dN ) vollständig (V, τN ) folgenvollständig

∀ (wj )j ∈ W N : (wj )j Cauchy-Folge in (W, σ) ⇒ (ϕ(wj ))j Cauchy-Folge in (Z, I)

11. (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum. Die schwach∗ -Topologie σ(V sτ , V ) ist hausdorffsch. 12. (V,  ) sei ein normierter K-Vektorraum.   (a) σ V s  , V ⊆ τ op (b) ∀ v ∈ V : ΓV (v)op = v (Hinweis: 6.1-12.1 (c)) 13. (V, τ) sei ein separabler topologischer K-Vektorraum. Ist C eine kompakte Teilmenge von V sτ bzgl. σ(V sτ , V ) (d. h. C schwach∗ -kompakt) so ist (C, σ(V sτ , V )|C) metrisierbar. (Hinweis: 4.3, A 20) 14. (V,  ) sei ein Banach-Raum über K, dimK V ∈ N.  s   V   , σ V s  , V ist nicht metrisierbar. 15. (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, E ∈ PV \{∅} K-linear unabhängig, V sτ trenne Punkte in V . Man zeige: { ΓV (b) | b ∈ E } K-linear unabhängig.

6.3 Trennung konvexer Mengen, Extrempunkte

499

6.3 Trennung konvexer Mengen, Extrempunkte Als Ergänzung zum Banach-Hahnschen Fortsetzungssatz 6.1-12 enthält dieser Abschnitt Resultate zur Trennbarkeit konvexer Teilmengen eines topologischen K-Vektorraums (V, τ) durch abgeschlossene reelle Hyperebenen { v ∈ V | ϕ(v) = r } (r ∈ R, ϕ stetiges R-lineares Funktional auf dem topologischen R-Vektorraum (V, τ)). Grundlegend hierfür ist der Satz von Banach-Hahn-Mazur 6.3-3 über die Möglichkeit der Abgrenzung konvexer, offener, nichtleerer Teilmengen in V , die die Null nicht enthalten, gegen einen abgeschlossenen maximalen K-Untervektorraum (Kern eines echten stetigen K-linearen Funktionals). 6.3-3 wird deshalb auch als geometrische Form des Banach-Hahnschen Fortsetzungssatzes aufgefaßt, und der Beweis verläuft analog zu dem von 6.1-12. Eine Anwendung von 6.3-3 ergibt die für die konvexe Optimierung bedeutsame Existenz von Extrempunkten bei nichtleeren, kompakten, konvexen Mengen (6.3-5.1). Satz 6.3-1 (V, τ) sei ein topologischer R-Vektorraum, M ein R-Untervektorraum von V der Kodimension codimR,V M > 1, O ∈ τ\{∅} konvex mit O ∩ M = ∅. Es existiert ein v ∈ V \M , so daß O ∩ M ∪ {v} Beweis Für den Kegel K := M +

#

lin

= ∅.

{ rO | r ∈ R, r > 0 } ∈ τ ist

−K = M +

{ rO | r ∈ R, r < 0 }

und auch K ∩ (−K) = ∅  a, b ∈ O, m, n ∈ M , r < 0, s > 0 und m + ra = n + sb würde m − n = sb − ra ∈ (s − r)O gem. 2.4, A 32, also (s − r)−1 (m − n) ∈ O ∩ M ergeben.
. Darüber hinaus kann M ∪ K ∪ (−K) = V

(∗)

lin

gezeigt werden, woraus M ∪ {v} ∩ O = ∅ für jedes v ∈ V \(M ∪ K ∪ (−K)) folgt. Wäre nämlich r ∈ R\{0}, m ∈ M und m + rv ∈ O, so erhielte man v ∈ M + 1r O ⊆ K ∪ (−K).
Zur Begründung der Ungleichung (∗) werde M ∪ K ∪ (−K) = V angenommen. Da die Kodimension codimR,V M > 1 ist, gilt M ∪ {k} lin

lin

= V für jedes k ∈ K.

Sei etwa vk ∈ V \M ∪ {k} , also vk ∈ K ∪ (−K). Es gibt deswegen ein Element  lin   k
:= vk für vk ∈ −K bzw. k
:= −vk für vk ∈ K . k
∈ (−K) ∩ V \M ∪ {k}
Für den Weg (von k nach k) (vgl. 2.4, A 17)
[0, 1] −→ V ϕ: r −→ rk
+ (1 − r)k

6 Lineare Operatoren

500

sind die Mengen ϕ−1 [K], ϕ−1 [−K] ∈ τ| | |[0, 1] disjunkt, 0 ∈ ϕ−1 [K], 1 ∈ ϕ−1 [−K], und es gilt τ|

s := sup ϕ−1 [K] ∈ ϕ−1 [K]

|

τ|

∩ [0, 1]\ϕ−1 [K]

|

⊆ ([0, 1]\ϕ−1 [−K]) ∩ ([0, 1]\ϕ−1 [K]) = [0, 1]\(ϕ−1 [−K] ∪ ϕ−1 [K]). Somit folgt ϕ(s) ∈ K ∪ (−K), also s = 0 und ϕ(s) ∈ M  laut obiger Annahme . Man erhält schließlich sk
+ (1 − s)k = ϕ(s) ∈ M und daher k
= s−1 (ϕ(s) − (1 − s)k) ∈ M ∪ {k}

lin

lin

im Widerspruch zu k
∈ M ∪ {k} .

✷

6.3-1 legt die Vermutung nahe, daß es einen abgeschlossenen R-Untervektorraum W der Kodimension codimR,V W = 1 mit W ⊇ M und W ∩O = ∅ gibt, denn maximale Untervektorräume W sind gem. 2.4, A 18 (b) entweder abgeschlossen oder dicht in (V, τ), wobei Dichtigkeit hier wegen W ∩ O = ∅ nicht in Betracht kommt. Bestätigt wird die entsprechende Aussage in 6.3-3 sogar für topologische K-Vektorräume. Als weitere Vorbereitung hierzu Satz 6.3-2 V sei ein C-Vektorraum, M ein R-Untervektorraum von V der (reellen) Kodimension codimR,V M = 1. Der C-Untervektorraum M ∩ iM hat die (komplexe) Kodimension codimC,V (M ∩ iM ) = 1. Beweis Es sei v ∈ V \(M ∩ iM ), o. B. d. A. v ∈ M (Für v ∈ iM verwende man iv anstelle von v!). Dann ist iv ∈ iM , und wegen codimR,V iM = 1 existiert ein r ∈ R, y ∈ iM mit v = riv + y, also gehört y nicht zu M  y ∈ iM ∩ M =⇒ iy ∈ M ∩ iM =⇒ (1 + r2 )v = (1 + ri)(v − riv) = (1 + ri)y ∈ M
. Zu jedem w ∈ V gibt es daher ein s ∈ R, m ∈ M mit w = sy + m und weiter zu m ein t ∈ R, m
∈ iM mit m = t(iy) + m
, also m
= m − t(iy) ∈ M . Man erhält schließlich w = sy + t(iy) + m
= (s + it)y + m
= (s + it)(1 − ir)v + m
lin

∈ {v} ∪ (M ∩ iM ) .

✷

Satz 6.3-3 (Banach, Hahn, Mazur, 1933) (V, τ) sei ein topologischer Vektorraum über K, M ein K-Untervektorraum von V , O ∈ τ\{∅} konvex mit O ∩ M = ∅. Es existiert ein abgeschlossener K-Untervektorraum H von (V, τ) der Kodimension codimK,V H = 1 mit M ⊆ H und H ∩ O = ∅.

6.3 Trennung konvexer Mengen, Extrempunkte

501

Beweis Für K = R besitzt { N ⊆ V | N R-Untervektorraum von V , M ⊆ N, O ∩ N = ∅ } nach dem Zornschen Lemma ein (bzgl. ⊆) maximales Element H, gem. 6.3-1 ist codimR,V H = 1, H also entweder abgeschlossen oder dicht in (V, τ). Wegen O ∩ H = ∅ folgt H ∈ ατ . Für K = C sei dem bisherigen Beweis folgend HR ein abgeschlossener R-Untervektorraum von (V, τ) mit codimR,V HR = 1, M ⊆ HR und HR ∩ O = ∅. Dann ist codimC,V (HR ∩ iHR ) = 1  6.3-2 , M = M ∩ iM ⊆ HR ∩ iHR ∈ ατ und ✷ (HR ∩ iHR ) ∩ O = ∅. Satz 6.3-3 hat vielfältige Auswirkungen insbesondere auf lokalkonvexe topologische K-Vektorräume: Definition (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum. :gdw { U ∈ Uτ (0) | U konvex } Basis von Uτ (0)

(V, τ) lokalkonvex

Die offenen (bzw. abgeschlossenen), kreisförmigen und konvexen Nullumgebungen bilden dann eine Basis für den Umgebungsfilter Uτ (0) (s. A 2 (a)). Beispiele (6.3,1) (a)

(V, N ) halbnormierter K-Vektorraum  (2.4,14) (a) 

=⇒

(V, τN ) lokalkonvex

(b) ( (Vi , τi ) | i ∈ I ) = ∅ sei eine Familie lokalkonvexer topologischer R-Vektorräume, V ein R-Vektorraum und ϕi : V −→ Vi R-linear für jedes i ∈ I. Der Initialraum (V, τ) der Familie ((Vi , τi ), ϕi )i∈I ist lokalkonvex, denn 
 E ∈ P { ϕ−1 [W ] | i ∈ E } I, ∀ i ∈ I : W ∈ U (0) konvex i e i τi i ist eine Basis von Uτ (0) aus konvexen Mengen  (2.4,14) (f), (d) .

(c)

Insbesondere sind Produkträume lokalkonvexer topologischer R-Vektorräume und auch R-Vektorräume mit schwacher Topologie lokalkonvex.   Der topologische R-Vektorraum +q , τdνq  vgl. 2.5, A 19 (b)  ist für q ∈ ]0, 1[ nicht lokalkonvex (s. auch A 5): Andernfalls gäbe es gemäß A 2 (a) eine Umgebungsbasis der Null aus offenen, kreisförmigen, konvexen Mengen, speziell ein U ∈ Uτdνq (0) ∩ τdνq kreisförmig und konvex und dν

dν

ein ε ∈ R> mit Kε q (0) ⊆ U ⊆ K1 q (0), was zu einem Widerspruch führt:

6 Lineare Operatoren

502

Zunächst gilt nämlich für die durch pU (x) := inf{ r ∈ R+ | x ∈ rU } definierte Halbnorm pU : +q −→ R+  vgl. A 1  und die Lq -Norm  q (vgl. 5.4)  q ≤ pU ≤ ε−1/q  q : Ist r ∈ R> , x ein Element in +q , so erhält man aus pU (x) < r, d. h. x ∈ rU , sofort dνq 1 1 1 1/q < 1, woraus xq < r und somit r x ∈ U ⊆ K1 (0), also  r xq = νq ( r x) −1/q xq < r, d. h.  1r xq < ε1/q , die xq ≤ pU (x) folgt. Ebenso ergibt sich aus ε dν

Ungleichung νq ( 1r x) < ε, also 1r x ∈ Kε q (0) ⊆ U und pU (x) ≤ r. Es gilt daher auch pU (x) ≤ ε−1/q xq . Sei nun x ∈ +1 \+q , beispielsweise xj = (j + 1)−1/q für jedes j ∈ N  0 < q < 1 . Es ist y (j) := xj (δj,i )i∈N ∈ +q ∩ +1 für jedes j ∈ N, und man erhält für alle m ∈ N  m

1/q |xj |

j=0

q

     m m  m (j)    (j)   = y  ≤ pU y pU y (j) ≤ ≤

q

j=0 m 

j=0

j=0

m m     ε−1/q y (j) q = ε−1/q (|xj |q )1/q = ε−1/q |xj |

j=0

≤ε

j=0

−1/q

j=0

x1 ,

also x ∈ +q .


Ist P = ∅ eine Menge von Halbnormen auf dem K-Vektorraum V und τP die Initialtopologie auf V der Familie ((V, τN ), idV )N ∈P , so erhält man den lokalkonvexen topologischen K-Vektorraum (V, τP ). Man nennt einen topologischen K-Vektorraum (V, τ) verallgemeinert halbnormierbar, sofern τ = τP für eine Menge P = ∅ von Halbnormen auf V gilt. Verallgemeinert halbnormierbare topologische K-Vektorräume sind somit lokalkonvex. Die Umkehrung ist ebenfalls richtig (s. [24, Theorem 2.3.1]). Für die Topologie σ(V, S) auf V , ∅ = S ⊆ V a , ist  schwache  beispielsweise P := |ϕ| ϕ ∈ S eine Menge von Halbnormen auf V mit τP = σ(V, S)  A 3 . Verallgemeinert halbnormierbare Vektorräume sind i. a. nicht halbnormierbar, wie das folgende Beispiel zeigt: Beispiel (6.3,2) Es sei CR∞ ([0, 2π]) := { f : [0, 2π] −→ R | ∀ m ∈ N : f m-fach stetig differenzierbar } und Nk : CR∞ ([0, 2π]) −→ R+ die durch Nk (f ) :=

k   (j)  f 

∞

j=0

6.3 Trennung konvexer Mengen, Extrempunkte

503

für jedes k ∈ N erklärte Norm Nk auf CR∞ ([0, 2π]) (vgl. (1.1,4)). Die durch die MenInitialtopologie τP auf CR∞ ([0, 2π]) ge von Normen   ∞P := { Nk | k ∈ N } gegebene der Familie CR ([0, 2π]), τNk , idCR∞ ([0,2π]) k∈N ist zwar gem. 2.5-16 (pseudo)metrisierbar   dNk  K1/(j+1) (0) k, j ∈ N ist eine abzählbare Basis von UτP (0)! , jedoch nicht halbnormierbar: Sei N eine Halbnorm auf CR∞ ([0, 2π]) mit τN = τP und U ∈ UτP (0) beschränkt  (6.1,1) , d. h. dN d ∀ ε > 0 ∀ k ∈ N ∃ δ > 0 : Kδ | | (0)U ⊆ Kε k (0). Es folgt ∀ k ∈ N ∃ Mk > 0 ∀ f ∈ U : Nk (f ) < Mk , denn für ε = 1, Mk := 2/δ erhält man wegen δ/2 ∈ dN K1 k (0),

d Kδ |

|

(∗)

(0) und der vorangegangenen

Inklusion (δ/2)f ∈ also Nk (f ) < 2/δ = Mk . Man wähle nun ein ε > 0, dNm m ∈ N\{0} mit Kε (0) ⊆ U und erkläre hb : [0, 2π] −→ R durch hb (t) :=

ε sin bt 2mbm (j)

für jedes b ∈ R, b > 1. Jede der Ableitungen hb ε cos bt ± 2mb m−j definierten Funktionen, woraus Nm (hb ) =

m   (j)  h  b

∞

ε sin bt ist dann eine der durch ± 2mb m−j bzw.

ε  1 ε (m + 1) ≤ ε, < 2m j=0 bm−j 2m m

≤

j=0 d

also hb ∈ Kε Nm (0) ⊆ U folgt. Gem. (∗) gibt es daher zu jedem k ∈ N eine Schranke Mk  (k)   (k)  mit hb ∞ ≤ Nk (hb ) < Mk für jedes b > 1. Andererseits ist hb ∞ für k > m und geeignetes b > 1 beliebig großer Werte fähig.


Die Bedeutung lokalkonvexer topologischer K-Vektorräume liegt darin, daß es auf derartigen Räumen nichttriviale stetige K-lineare Funktionale gibt, der stetige Dualraum daher nicht nur aus dem Nullfunktional besteht (vgl. Frage (1), Seite 453): Korollar 6.3-3.1 (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum. Äq (i)

V sτ = {0}

(ii) ∃ O ∈ τ\{∅, V } : O konvex Beweis (i) ⇒ (ii) Für jedes ϕ ∈ V sτ \{0} ist



 v ∈ V |ϕ(v)| < 1 ∈ τ\{∅, V } konvex.

(ii) ⇒ (i) Sei v ∈ V \O, also {0} ∩ (−v + O) = ∅. Gem. 6.3-3 existiert ein abgeschlossener K-Untervektorraum H von V mit H ∩ (−v + O) = ∅ und Kodimension 1. ✷ Sei ϕ ∈ V a \{0} mit Ker ϕ = H. Nach 6.1-3 ist ϕ stetig.

6 Lineare Operatoren

504

  An dieser Stelle sei angemerkt, daß +q , τνq für q ∈ ]0, 1[ nicht lokalkonvex ist  (6.3,1) (c) , nach 6.1, A 26 jedoch ebenfalls einen nichttrivialen stetigen Dualraum und somit echte offene konvexe Teilmengen besitzt. Korollar 6.3-3.2 (1. Trennungssatz) (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, O, P ⊆ V konvex, O ∩ P = ∅, O = ∅ und P = ∅. (a) Ist O ∈ τ, so existiert ein R-lineares stetiges Funktional ϕ auf (V, τ) und ein r ∈ R mit ∀ (x, y) ∈ O × P : ϕ(x) < r ≤ ϕ(y), d. h. O liegt echt links und P rechts von der abgeschlossenen R-Hyperebene { v ∈ V | ϕ(v) = r }. (b) Sind O, P ∈ τ, so existiert ein R-lineares stetiges Funktional ϕ auf V und ein r ∈ R mit ∀ (x, y) ∈ O × P : ϕ(x) < r < ϕ(y), d. h. O wird von P durch die abgeschlossene R-Hyperebene { v ∈ V | ϕ(v) = r } streng getrennt. Beweis Es ist 0 ∈ O − P ∈ τ\{∅} konvex, nach 6.3-3 existiert somit ein abgeschlossener R-Untervektorraum H von (V, τ) mit codimR,V H = 1 und H ∩ (O − P ) = ∅. Sei ϕ ∈ V a ein R-lineares Funktional mit Ker ϕ = H. Dann ist ϕ ∈ V sτ  6.1-3 , ϕ[O] ∩ ϕ[P ] = ∅, und ϕ[O], ϕ[P ] sind konvexe  (2.4,14) (f)  Teilmengen von R, also Intervalle. Es gibt daher ein r ∈ R mit ϕ(x) ≤ r ≤ ϕ(y) für alle x ∈ O, y ∈ P (o. B. d. A.). Nach (6.2,1) (a) ist mit O (und P ) auch ϕ[O] (und ϕ[P ]) offen, und es gilt ϕ(x) < r (und r < ϕ(y) für alle y ∈ P ) für alle x ∈ O. ✷ Korollar 6.3-3.3 (2. Trennungssatz) (V, τ) sei ein lokalkonvexer topologischer K-Vektorraum, A, C ⊆ V konvex, A ∈ ατ , A ∩ C = ∅, A = ∅ = C und C kompakt in (V, τ). (a) Es existiert ein R-lineares stetiges Funktional ϕ auf (V, τ) und ein r ∈ R mit ∀ (a, c) ∈ A × C : ϕ(a) < r < ϕ(c), d. h. A wird von C durch die abgeschlossene R-Hyperebene { v ∈ V | ϕ(v) = r } streng getrennt. (b) Ist A kreisförmig, so existiert ein ψ ∈ V sτ mit     sup |ψ(a)| a ∈ A < inf |ψ(c)| c ∈ C .

6.3 Trennung konvexer Mengen, Extrempunkte

505

Beweis Sei U ∈ Uτ (0) ∩ τ kreisförmig und konvex, (A + U ) ∩ (C + U ) = ∅ J 4.3, A 22; A 2 (a) K. Gem. 6.3-3.2 (b) existiert ein R-lineares stetiges Funktional ϕ auf V und ein r ∈ R mit ∀ (x, y) ∈ (A + U ) × (C + U ) : ϕ(x) < r < ϕ(y), woraus insbesondere (a) folgt.

Ist darüber hinaus A kreisförmig und K = R, so folgt |ϕ(a)| < r für jedes a ∈ A J −ϕ(a) = ϕ(−a) und −a ∈ A K, also sup |ϕ(a)| a ∈ A ≤  r. Aus der Kompaktheit von ϕ[C] J 4.1-6(a) K und r ≥ 0 ergibt sich noch r < inf |ϕ(c)| c ∈ C . Für K = C setze man ψ(v) := ϕ(v) − iϕ(iv) für jedes v ∈ V . Gem. 6.1-11 gehört ψ zu V a und ist stetig. Aus

|ψ(a)| = ψ(a)e−i arg ψ(a) = ψ e−i arg ψ(a) a = Re ψ e−i arg ψ(a) a
= ϕ e−i arg ψ(a) a < r  für jedes a ∈ A J s. o., e−i arg ψ(a) a ∈ A K folgt r > 0 und sup |ψ(a)| a ∈ A ≤ r. Für alle c ∈ C gilt dagegen
1/2
1/2 = ϕ(c)2 + (Im ψ(c))2 ≥ ϕ(c) > r |ψ(c)| = (Re ψ(c))2 + (Im ψ(c))2  J s. o. K und wegen der Kompaktheit von C wiederum inf |ψ(c)| c ∈ C > r. 2

Eine Erweiterung der Aussage in 6.1, A 15 (s. auch A 6 (a)), daß V sτN in (V, τN ) Punkte von abgeschlossenen K-Untervektorräumen trennt, enthält das folgende Korollar 6.3-3.4

(V, τ) sei ein lokalkonvexer topologischer K-Vektorraum, A ∈ ατ \{∅} kreisförmig und konvex, v ∈ V \A. Es existieren ϕ, ψ ∈ V sτ mit ϕ(v) = 1, |ψ(v)| > 1 und |ϕ(a)| < 1, |ψ(a)| < 1 für jedes a ∈ A. Beweis {v} ist konvex und kompakt in (V, τ), gem. 6.3-3.3 (b) gibt es daher ein χ ∈ V sτ und ein r ∈ R mit  sup |χ(a)| a ∈ A < r < |χ(v)|.

1 Für ϕ := χ(v) χ, ψ := 1r χ erhält man ϕ(v) = 1 und |ϕ(a)| =  sup |ψ(a)| a ∈ A < 1 < ψ(v) für jedes a ∈ A.

|χ(a)| |χ(v)|

< 1, 2

Hiernach gibt es speziell für abgeschlossene K-Untervektorräume A von (V, τ) ein ϕ ∈ V sτ mit ϕ(v) = 1
und |ϕ(a)| < 1 für jedes a ∈ A, woraus ϕA = 0 folgt 1 a = 1 K (vgl. 6.1, A 15). J ϕ(a) 6= 0 =⇒ ϕ ϕ(a)

6 Lineare Operatoren

506

Wie zu Beginn des Abschnitts erwähnt wurde, ist der Banach-Hahn-Mazur-Satz 6.3-3 (mit Folgerungen) von grundlegender Bedeutung für die konvexe Optimierung. Diese Anwendung von 6.3-3 wird nun mit Hilfe der folgenden Begriffe näher beschrieben. Definitionen C ⊆ V sei eine konvexe Teilmenge des R-Vektorraums V , x, y ∈ V , v ∈ C und ∅ = E ⊆ C. Dann heißt [x, y] := { z ∈ V | ∃ r ∈ [0, 1] : z = (1 − r)x + ry } abgeschlossene, [x, y[ := { z ∈ V | ∃ r ∈ [0, 1[ : z = (1 − r)x + ry } bei y halboffene, ]x, y] := { z ∈ V | ∃ r ∈ ]0, 1] : z = (1 − r)x + ry } bei x halboffene bzw. ]x, y[ := { z ∈ V | ∃ r ∈ ]0, 1[ : z = (1 − r)x + ry } offene Strecke zwischen x, y mit den Endpunkten x, y und dem Mittelpunkt 12 (x + y). v Extrempunkt von C

:gdw ∀ x, y ∈ C : x = y ⇒ v ∈ ]x, y[

(d. h. keine echte offene Strecke in C enthält v) Es wird die Bezeichnung ext C := { v ∈ C | v Extrempunkt von C } verwendet. E Extremalmenge in C

:gdw ∀ x, y ∈ C : ]x, y[ ∩ E = ∅ ⇒ x, y ∈ E

(d. h. Endpunkte jeder offenen Strecke in C, die Punkte aus E enthält, liegen in E) Beispiele (6.3,3) V sei ein R-Vektorraum, ∅ = C ⊆ V konvex, x, y ∈ C. (a)

a, b, c ∈ R2 seien drei nicht zueinander kollineare Punkte (s. Abb. 6.3-1), D die Menge aller Elemente der Dreicksmenge mit den Ecken a, b, c. Es ist ext D = {a, b, c}. c

D a

b

Abbildung 6.3-1

Die Seiten [a, b], [b, c], [c, a], die Eckpunktmengen {a}, {b}, {c} sowie Vereinigungen dieser Mengen sind die Extremalmengen in D und somit i. a. nicht konvex. (b) ]x, x[ = ]x, x] = [x, x[ = [x, x] = {x}, x = y (c)

=⇒

]x, y[ ∩ {x, y} = ∅

C ist Extremalmenge in C.

6.3 Trennung konvexer Mengen, Extrempunkte

507

Der folgende Satz stellt alternative Charakterisierungen von Extrempunkten bzw. Extremalmengen zur Verfügung. Satz 6.3-4 C ⊆ V sei eine konvexe Teilmenge des R-Vektorraums V , v ∈ C und ∅ = E ⊆ C. (a) Äq (i)

v ∈ ext C

(ii) ∀ x, y ∈ C : v ∈ [x, y] ⇒ v ∈ {x, y} (iii) ∀ x, y ∈ C : v = 12 (x + y) ⇒ x = y (iv) ∀ x, y ∈ C : v ∈ ]x, y[ ⇒ x = y (v) C\{v} konvex (b) Äq (i)

E Extremalmenge in C

(ii) ∀ x, y ∈ C : ]x, y[ ∩ E = ∅ ⇒ [x, y] ⊆ E Beweis Zu (a) (i) ⇒ (ii) Es seien x, y ∈ C, r ∈ [0, 1] und v = rx + (1 − r)y. Für x = y ist v = x, und für x = y folgt v ∈ ]y, x[ gem. (i), also r ∈ {0, 1}, und somit v ∈ {x, y}. (ii) ⇒ (iii) Sind x, y ∈ C, v = 12 (x + y), so ergibt (ii) v ∈ {x, y}, also x = y. (iii) ⇒ (iv) Es seien x, y ∈ C, r ∈ ]0, 1[ und v = (1 − r)x + ry. Für r = 1/2 erhält man nach (iii) x = y, und für r < 1/2, etwa 1 − r = (1/2) + s mit s > 0, ergibt sich v = 12 x + sx + ry = 12 (2ry + 2sx) + 12 x, wobei 2ry + 2sx wegen 2r + 2s = 1 zu C gehört. Gem. (iii) folgt x = 2ry + 2sx, also x = y. (iv) ⇒ (v) Für alle x, y ∈ C\{v}, r ∈ [0, 1] gilt zunächst  ( y für r = 0 rx + (1 − r)y = ∈ C\{v}, x für r = 1 und für 0 < r < 1 ist rx + (1 − r)y ∈ C und v = rx + (1 − r)y  Sonst x = y = v gem. (iv) . (v) ⇒ (i) Ist v kein Extrempunkt von C, so existieren definitionsgemäß voneinander verschiedene Elemente x, y in C derart, daß die offene Strecke ]x, y[ zwischen x, y das Element v enthält, d. h. v = rx + (1 − r)y für eine reelle Zahl r ∈ ]0, 1[. Es folgt v ∈ {x, y}, denn aus x = v oder y = v würde sich (1 − r)x = (1 − r)y bzw. rx = ry, also x = y ergeben (vgl. auch (6.3,3) (b)). Wegen x, y ∈ C\{v} und v ∈ C\{v} ist die Menge C\{v} nicht konvex. Zu (b) (i) ⇒ (ii) Es seien x, y ∈ C und v ∈ ]x, y[ ∩ E. Gem. (i) gehören x, y zu E, für x = y ist daher [x, y] = {x} ⊆ E. Ist x = y, so wähle man ein ξ ∈ ]x, y[\{v},

6 Lineare Operatoren

508

also v ∈ ]x, ξ[ oder v ∈ ]ξ, y[. Wiederum mit (i) folgt dann x, ξ ∈ E oder ξ, y ∈ E und somit ξ ∈ E. Insgesamt ergibt sich [x, y] ⊆ E. (ii) ⇒ (i) ist klar.

✷

Korollar 6.3-4.1 C sei eine konvexe Teilmenge des R-Vektorraums V , v ∈ C. Äq (i)

v ∈ ext C

(ii) {v} Extremalmenge in C Beweis (i) ⇒ (ii) Für alle x, y ∈ C, ]x, y[ ∩ {v} = ∅, gehört v zu ]x, y[. Gem. 6.3-4 (a) folgt x = y = v ∈ {v}. (ii) ⇒ (i) Seien x, y ∈ C, v ∈ ]x, y[. Nach 6.3-4 (b) ist [x, y] ⊆ {v}, also x = y = v und v ∈ ext C gem. 6.3-4 (a). ✷ Die Existenz von Extrempunkten konvexer Mengen ist i. a. nicht gegeben: Beispiele (6.3,4) (a)

d

(V,  ) sei ein normierter R-Vektorraum, V = {0}. Dann ist ext K1   (0) = ∅: d

d

Sei v ∈ K1   (0). Wegen 0 = 12 y + 12 (−y) für alle y ∈ K1   (0)\{0} gehört 0 nicht zu d

ext K1   (0)  y = −y, 6.3-4 (a) . Für v = 0 gilt 1 1 − v  1  1 − v  v + v , v= v− v+ 2 2v 2 2v wobei v −

1−v 2v v,

v+

1−v 2v v

d

∈ K1   (0) voneinander verschieden sind. Es folgt

d

v ∈ ext K1   (0)  6.3-4 (a) .  d  (0) = ∅ gelten:  d  (0) kann ext K (b) Auch für abgeschlossene Kugeln K 1 1 (X, A, µ) sei ein atomloser Maßraum, d. h. ein Maßraum mit µ = 0, in dem ∀ A ∈ A : µ(A) > 0 ⇒ ∃ B, C ∈ A : B ∩ C = ∅, B ∪ C = A, µ(B) > 0, µ(C) > 0 gilt, z. B. der Lebesguesche Maßraum (R, Λ, λ).    d 1  0 = ∅ (s. auch A 14): In (L1 (X, A, µ),  1 ) ist ext K 1     d 1     Gem. A 13 (a) liegt ext K1 0 in f ∈ L1 (X, A, µ) f1 = 1 . Daher sei   f ∈ L1 (X, A, µ) (o. B. d. A. f : X −→ R nach 5.4-2), f1 = 1 und Nf die Menge  



{ x ∈ X | f (x) = 0 }, also µ(Nf ) > 0  1 = f = |f | = |f | gem. 1

Nf

5.3-1 (b) . Man wähle N , M ∈ A mit N ∪ M = Nf , N ∩ M = ∅, µ(N ) > 0

6.3 Trennung konvexer Mengen, Extrempunkte

509

 −1      −1 und µ(M ) > 0 und setze fN := χ> N f 1 χN f , fM := χM f 1 χM f . Dann ist           =  = χ>f  < 1, f = χ>f  f= f= =  =   + χ N 1 = fM 1 = 1, fN = f = fM , N N M f 1 fM 1 1 N        d 1   + χ  = 1. Gem. 6.3-4 (a) gehört f nicht zu ext K  0 . und χ> Nf Mf 1

1

1

Die Bedeutung der Extrempunkte für die konvexe Optimierung resultiert aus Satz 6.3-5 (V, τ) sei ein lokalkonvexer, T2 -topologischer R-Vektorraum, ∅ = C ⊆ V konvex und kompakt in (V, τ) und f : C −→ R konvex und oberhalbstetig. Dann existiert ein v0 ∈ ext C mit f (v0 ) = supC f , d. h. das Supremum von f wird in einem Extrempunkt von C angenommen. Beweis Es sei E := { E ⊆ C | E ∈ ατ \{∅}, E Extremalmenge in C }. Gem. (6.3,3) (c) gehört C zu E und nach 6.3-4.1 ist ein Element v von C genau dann . Weiterhin $ ein Extrempunkt von C, wenn {v} in E$liegt  τ ist hausdorffsch! $ ist F ∈ E für jede Teilmenge F ⊆ E mit F =  ∅, denn F ∈ α $ $ τ und für alle x, y ∈ C mit ]x, y[ ∩ F = ∅ sind x, y ∈ F für jedes F ∈ F, F ist also auch Extremalmenge in C. Darüber hinaus gilt   YE,g := v ∈ E g(v) = sup g ∈ E E

für alle E ∈ E und jede konvexe oberhalbstetige Funktion g : C −→ R: Nach 4.1, A 22 existiert ein v ∈ E mit g(v) = supE g, d. h. v ∈ YE,g und somit ∅ = YE,g = g −1 [{supE g}] ∩ E = E ∩ { x ∈ V | g(x) ≥ supE g } ∈ ατ . YE,g ist auch eine Extremalmenge in C, denn für alle x, y ∈ C, r ∈ ]0, 1[ mit rx + (1 − r)y ∈ ]x, y[ ∩ YE,g ⊆ E sind x, y ∈ E  E Extremalmenge in C  und supE g = g(rx + (1 − r)y) ≤ rg(x) + (1 − r)g(y) ≤ supE g  g konvex, x, y ∈ E , woraus g(x) = supE g = g(y), d. h. x, y ∈ YE,g folgt  g(x) < g(y) (o. B. d. A.) =⇒ supE g < rg(y) + (1 − r)g(y) = g(y) ≤ supE g
. Man setze nun Ef := { E ∈ E$ | E ⊆ YC,f }. Es ist Ef = ∅  YC,f ∈$Ef , und für jede Kette K ⊆ Ef liefert$ K eine untere Schranke von K in Ef  K = ∅, da C kompakt in (V, τ), also K ∈ Ef . Dem Zornschen Lemma zufolge besitzt (Ef , ⊆) ein minimales Element M . Für jedes R-lineare stetige Funktional ϕ ∈ V sτ gilt daher YM,ϕ = M  YM,ϕ ∈ E, YM,ϕ ⊆ M , M minimal in Ef , ϕ ist somit auf M konstant (= supM ϕ). Da V sτ Punkte in V trennt∗  A 6 (b) , muß M = {v0 } für ein v0 ∈ V sein. Gem. obiger Feststellung ist v0 ein Extrempunkt von C, und es gilt ✷ f (v0 ) = supC f definitionsgemäß. ∗

Nur an dieser Stelle des Beweises wird die Voraussetzung der lokalen Konvexität von (V, τ) benötigt!

6 Lineare Operatoren

510 Korollar 6.3-5.1

(V, τ) sei ein lokalkonvexer, T2 -topologischer R-Vektorraum, C ⊆ V , C = ∅ konvex und kompakt in (V, τ). Es gilt: ext C = ∅. Beweis Das Nullfunktional 0 auf C ist konvex und stetig. Nach 6.3-5 existiert daher ein ✷ Extrempunkt v0 von C. Für viele Anwendungen genügt die folgende Spezialisierung von 6.3-5.1: Ist (V, τ) ein topologischer Vektorraum über R, so besitzt jede konvexe, schwach∗ kompakte, nichtleere Teilmenge C von V sτ einen Extrempunkt, d. h. ext C = ∅.  (V sτ , σ(V sτ , V )) ist lokalkonvexer T2 -topologischer R-Vektorraum gem. (6.3,1) (b); 6.2, A 11.  Insbesondere läßt nach dem Satz von Banach-Alaoglu-Bourbaki 6.2-7 die abge d op (0) im stetigen Dualraum V s  eines normierten R-Vekschlossene Kugel K 1 torraums (V,  ) mindestens einen Extrempunkt zu. Nach (6.3,4) (b) kann daher (L1 (X, A, µ),  1 ) über einem atomlosen Maßraum (X,  A, µ) nicht isometrisch-Rs  ,   linear-isomorph zum stetigen Dualraum V eines normierten R-Vektorop   raums (V,  ) sein, also auch nicht zu L∞ (X, A, µ)s ∞ ,  op (s. auch (6.1,9)). Erheblich tiefere Erkenntnisse als Korollar 6.3-5.1 liefert das Korollar 6.3-5.2 (Krein, Milman, 1940) (V, τ) sei ein lokalkonvexer, T2 -topologischer R-Vektorraum und ∅ = C ⊆ V eine konvexe, kompakte Teilmenge. Es gilt: C = ext C

konv

τ

.

Beweis „⊇“ gilt, weil C konvex und abgeschlossen in (V, τ) ist. „⊆“ Es werde die Existenz eines Elements v0 ∈ C\ext C konv

konv

τ

τ

angenommen. Man

= ∅  A 2 (a)  und gem. wähle ein U ∈ Uτ (v0 ) ∩ τ, U konvex, U ∩ ext C 6.3-3.2 (a)  6.3-5.1, 2.4-18 (b) mit anschließender Bemerkung  ein ϕ ∈ V sτ , r ∈ R mit ϕ(x) ≤ r < ϕ(y) für alle x ∈ ext C

konv

τ

, y ∈ U . Dann ist

τ  konv  sup ϕ(x) x ∈ ext C ≤ r < ϕ(v0 ).

Sei mC := supC ϕ und wie im Beweis zu 6.3-5 YC,ϕ := { x ∈ C | ϕ(x) = mC }

6.3 Trennung konvexer Mengen, Extrempunkte

511

(nichtleere, in (V, τ) konvexe abgeschlossene Extremalmenge in C). Nach 6.3-5.1 ist ext YC,ϕ = ∅, darüber hinaus gilt ext YC,ϕ ⊆ ext C: Sei v ∈ ext YC,ϕ , also {v} Extremalmenge in YC,ϕ  6.3-4.1 . Die Menge {v} ist auch Extremalmenge in C, denn für alle x, y ∈ C mit ∅ = ]x, y[ ∩ {v} ⊆ ]x, y[ ∩ YC,ϕ sind x, y ∈ YC,ϕ  YC,ϕ Extremalmenge in C , somit x, y ∈ {v}  {v} Extremalmenge in YC,ϕ . Wiederum nach 6.3-4.1 folgt v ∈ ext C. Schließlich erhält man hiermit für jedes v ∈ ext YC,ϕ den Widerspruch τ  konv  ≤ r < ϕ(v0 ) ≤ mC = ϕ(v). ϕ(v) ≤ sup ϕ(x) x ∈ ext C

✷

Beispiele (6.3,5) (a)

 d op (0) im stetigen Dualraum (V s  ,  op ) eines Für die abgeschlossene Kugel K 1 normierten R-Vektorraums (V,  ) gilt nach 6.3-5.2  d K 1

op

(0) =

 d ext K 1

op

konv

σ(V

s  ,V

)

(0)

.

(b) Es seien a, b ∈ R, a < b. Der normierte R-Vektorraum (CR ([a, b]),  ∞ ) ist nicht isometrisch-R-linear-isomorph zum stetigen Dualraum (V s  ,  op ) eines normierten R-Vektorraums (V,  ): konv

  ∞ (0) = {1, −1} in (CR ([a, b]),  ∞ ), also ext K   ∞ (0) Gem. A 15 ist ext K 1 1  s  kompakt in CR ([a, b]), τ ∞  4.2-3.1 . Sei α : CR ([a, b]) −→ V als ( ∞ ,  op )konv & '  d ∞ (0) isometrischer R-linearer Isomorphismus angenommen. Dann ist α ext K 1 kompakt in (V s  , τ op ) und σ(V s  , V) ⊆ τ op  6.2, A 12 (a)  auch kompakt  wegen s  , σ(V s  , V )  6.2, A 11 . Gem. (a) erhält man aus und damit abgeschlossen in V d

d

'

konv &  d ∞ (0) = K  d op (0) = ext K  d op (0) α K 1 1 1

 d K 1

∞

 d ext K 1

∞

= ext α =α

' '

'

&konv (0) (0)

  ∞ (0) = α ext K 1 d

σ(V

σ(V konv &

s  ,V

)

s  ,V

)

σ(V

s  ,V

)

konv &

auch konv

 d ∞ (0) = ext K  d ∞ (0) K 1 1

= { r − (1 − r) | r ∈ [0, 1] } = { 2r − 1 | r ∈ [0, 1] },

die Menge der konstanten Funktionen zwischen −1 und 1.


6 Lineare Operatoren

512

Aufgaben zu 6.3 1. (V, τ) sei ein topologischer R-Vektorraum und U ∈ Uτ (0) kreisförmig und konvex. Die durch pU (x) := inf{ r ∈ R+ | x ∈ rU } definierte Funktion pU : V −→ R+ ist eine Halbnorm auf V (das sog. Minkowski-Funktional zu U ). 2. (V, τ) sei ein lokalkonvexer topologischer K-Vektorraum. (a)

Die Mengen { U ∈ Uτ (0) | U ∈ τ kreisförmig, konvex }

und

{ U ∈ Uτ (0) | U ∈ ατ kreisförmig, konvex } sind Basen von Uτ (0). (b) Mit S ⊆ V sind auch S

konv

und S

konv

τ

beschränkt in (V, τ).   3. V sei ein K-Vektorraum, ∅ = S ⊆ V und P := |ϕ| ϕ ∈ S . Es gilt τP = σ(V, S). a

4. (V, τ) sei ein lokalkonvexer topologischer K-Vektorraum, M ∈ ατ ein K-Untervektorraum von V . Es gilt:  M = { H ∈ ατ | M ⊆ H, H K-Untervektorraum von V , codimK,V H = 1 }. 5. Für alle q ∈ ]0, 1[, a, b ∈ R, a < b ist (Lq ([a, b], . . .), τdq ) nicht lokalkonvex. τ

6. (V, τ) sei ein lokalkonvexer topologischer K-Vektorraum, S ⊆ V konvex und v ∈ V \S . Man zeige  τ| |  = ∅. (Vgl. auch 6.1, A 15.) (a) ϕ ∈ V sτ ϕ(v) ∈ ϕ[S] (b) (V, τ) T2 -Raum

=⇒

V sτ trennt Punkte in V .

7. (V, τ) sei ein lokalkonvexer topologischer K-Vektorraum, A ∈ ατ \{∅} konvex, S ⊆ V , s VR τ := V sτ ∩ RV die Menge der R-linearen stetigen Funktionale auf V . Für jedes s ϕ ∈ VR τ bezeichne (Ker ϕ)+ r := { v ∈ V | ϕ(v) ≥ r }

die rechte, bzw.

(Ker ϕ)− r := { v ∈ V | ϕ(v) ≤ r }

die linke abgeschlossene R-Halbhyperebene zu ϕ.

(a)

Es ist A= =

 

τ − { (Ker ϕ)− r | r ∈ R, ϕ ∈ VR , A ⊆ (Ker ϕ)r }

s

s

τ + { (Ker ϕ)+ r | r ∈ R, ϕ ∈ VR , A ⊆ (Ker ϕ)r },

d. h. jede nichtleere abgeschlossene konvexe Menge A ist Durchschnitt der sie enthaltenden abgeschlossenen R-Halbhyperebenen. (b) Äq (i) (ii)

S⊆A ∀ ϕ ∈ C(V, R) : ϕ affin, ϕ
A ≥ 0 ⇒ ϕ
S ≥ 0

6.3 Trennung konvexer Mengen, Extrempunkte

513

8. (V, τ) sei ein lokalkonvexer topologischer K-Vektorraum und W ein K-Untervektorraum von V . τ

W =V

Äq (i)

(ii) ∀ ϕ ∈ V sτ : ϕ
W = 0 ⇒ ϕ = 0

d op   d op   (0), σ(V sN , V ) K (0) 9. (V, N ) sei ein halbnormierter K-Vektorraum und K 1 1 metrisierbar. (V, τN ) ist separabel. (Hinweis: Man verwende A 8.) 10. (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, C, D ⊆ V konvex, C ◦τ = ∅ = D und C ∩ D = ∅. Es gibt ein R-lineares stetiges Funktional ϕ auf (V, τ) und ein r ∈ R mit ∀ (c, d) ∈ C × D : ϕ(c) ≤ r ≤ ϕ(d). 11. (V, τ) sei ein lokalkonvexer topologischer K-Vektorraum, ∅ = C ⊆ V konvex. τ

Es gilt C = C

σ(V,V sτ )

.

12. C ⊆ V sei eine konvexe Teilmenge des R-Vektorraums V , c ∈ C, v, w ∈ V . (a)

v = w

(b) Äq (i) (ii)

=⇒

∀ x ∈ ]v, w[ ∃ z ∈ ]v, w[ : x ∈ ]v, z[

c ∈ ext C n ∀n∈   N\{0} ∀ (v1 , . . . , v+n )n∈ C :n n ∃ (r1 , . . . , rn ) ∈ (R ) : j=1 rj = 1, c = j=1 rj vj ⇒ ∃ j ∈ {1, . . . , n} : c = vj

(iii) ∀ S ⊆ C : c ∈ S

konv

⇒c∈S

13. (V,  ) sei ein normierter R-Vektorraum, V = {0}. (a)

   (0) ⊆ { v ∈ V | v = 1 } ext K 1 d

(b) (V,
) Prähilbertraum

=⇒

 d  (0) = { v ∈ V | v  = 1 } ext K 1

14. In (L1 (N, PN, µZ ),  1 ) ist  d 1 (0) = { r(δij )j | i ∈ N, |r| = 1 }. ext K 1  d ∞ (0) im normierten R-Vektorraum (CR ([a, b]),  ∞ ), a, b ∈ R, 15. Für die Kugel K 1  d ∞ (0) = {1, −1} (s. auch A 16). a < b ist ext K 1 16. (X, A, µ) sei ein Maßraum. In (L∞ (X, A, µ),  ∞ ) gilt      d ∞  0 = f ∈ L∞ (X, A, µ) |f | = 1 . ext K 1 µ

(Hinweis: ∀ a, b ∈ R : |a + b| = |a| + |b| ⇔ ab = |a| |b|) 17. (X, A, µ) sei ein Maßraum, µ = 0, q ∈ ]1, ∞[. In (Lq (X, A, µ),  q ) gilt  ext K 1

d

(Hinweis: 5.4, A 4)

q

       0 = f ∈ Lq (X, A, µ) fq = 1 .

6 Lineare Operatoren

514

18. Es sei c0 := { (xj )j ∈ RN | (xj )j →τ | | 0 }. Der normierte R-Vektorraum (c0 ,  ∞ ) ist nicht isometrisch-R-linear-isomorph zum stetigen Dualraum (V s  ,  op ) eines normierten R-Vektorraums. (Hinweis: 6.3-5.1) 19. V und W seien R-Vektorräume, ϕ : V −→ W R-linear und ∅ = C ⊆ V konvex. (a)

ϕ injektiv

=⇒

ext ϕ[C] = ϕ[ext C]

(b) Sind (V, τ), (W, σ) T2 -topologische R-Vektorräume, (V, τ) lokalkonvex, C kompakt in (V, τ) und ϕ ∈ L(V, W ), so ist ext ϕ[C] ⊆ ϕ[ext C]. Gilt hier Gleichheit? 20. (V, τ) sei ein lokalkonvexer T2 -topologischer R-Vektorraum und A ∈ ατ \{∅} mit konv

A

τ

kompakt in (V, τ). Es gilt konv

ext A

τ

⊆ A.

(Hinweis: A 12 (b); 4.3, A 23)

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren Fragestellungen zur gegenseitigen Beeinflussung von topologischen Vektorräumen und ihren stetigen Dualräumen nennt man Dualitätsprobleme. Oftmals lassen sich Untersuchungen in einem der Räume dadurch erfolgreich durchführen, daß man sie in den jeweils anderen Raum geeignet übersetzt und dort behandelt. So ist beispielsweise ein halbnormierter K-Vektorraum (V, N ) schon dann separabel, wenn dieses auf (V sN ,  op ) zutrifft (s. 6.1-13). Die Optimierungsaufgabe der Bestimmung des Abstandes dist(x, C) eines Punktes x von einer konvexen abgeschlossenen Menge C = ∅ in einem geeigneten pseudometrisierten Vektorraum läßt sich in HilbertRäumen als Minimumproblem abhandeln (s. 3.6-1), in normierten Vektorräumen, ja sogar in Banach-Räumen ist dieses i. a. nicht möglich (s. (3.6,1)), nicht einmal für Untervektorräume C (s. (6.1,11)). Durch entsprechende Umformulierung erscheint diese Aufgabe jedoch im stetigen Dualraum als Maximumproblem (vgl. 6.4-2 (a)). Gegenstand dieses Abschnitts 6.4 sind Ausweitungen und Vertiefungen der Erkenntnisse über Wechselwirkungen zwischen topologischen (vornehmlich normierbaren) Vektorräumen und ihrem stetigen Dualraum. Hierzu werden Annullatoren und adjungierte Operatoren, speziell Hilbert-Adjungierte definiert und behandelt. Zu den für zahlreiche Anwendungen wichtigen Ergebnissen gehören die Sätze vom abgeschlosssenen Bild 6.4-5, von Schauder 6.4-8 über kompakte lineare Operatoren und der Kern-Bild-Satz 6.4-9.1 für stetige lineare Operatoren zwischen Hilbert-Räumen. Die orthogonalen Projektionen eines Hilbert-Raums sind gerade die selbstadjungierten, idempotenten, stetigen linearen Operatoren (s. 6.4-13).

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren

515

Definitionen (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, S ⊆ V und Φ ⊆ V sτ . S ⊥ := { ϕ ∈ V sτ | ∀ s ∈ S : ϕ(s) = 0 } ⊥

Φ := { v ∈ V | ∀ ϕ ∈ Φ : ϕ(v) = 0 }

heißt Annullator von S in V sτ , Annullator von Φ in V .

Für halbnormierte K-Vektorräume (V, N ), τ = τN , heißt  d op (0) S1⊥ := S ⊥ ∩ K 1 ⊥ 1Φ

Einsannullator von S in V sτ ,

 dN (0) := ⊥ Φ ∩ K 1

Einsannullator von Φ in V .

Die Annullatoren S ⊥ bzw. ⊥ Φ sind K-Untervektorräume von V sτ bzw. V . Zur Schreibweise vergleiche man die Bemerkung vor 6.4-9.1, Seite 531! Satz 6.4-1 (V,  ) sei ein normierter K-Vektorraum, S ⊆ V , Φ ⊆ V s  und M ein K-Untervektorraum von V , Ψ K-Untervektorraum von V s  . (a) S ⊥ , S1⊥ ∈ ασ(V s  ,V ) und ⊥ Φ, ⊥ 1 Φ ∈ ατ   . (b) (⊥ Ψ)⊥ = Ψ

σ(V

s  ,V

)

und M

τ



= ⊥ (M ⊥ ).

(Man beachte σ(V s  , V ) ⊆ τ op ; 6.2, A 12 (a).) Beweis s

Zu (a) Wegen ΓV (s) ∈ (V s  ) S ⊥ = { ϕ ∈ V s 

s σ(V   ,V )

 Bemerkungen vor 6.2-6, Seite 493  gilt  | ∀ s ∈ S : ϕ(s) = 0 } = { Ker ΓV (s) | s ∈ S } ∈ ασ(V s  ,V ) .

d

 op (0) kompakt und somit abgeschlossen in (V s  , σ(V s  , V )) Nach 6.2-7 ist K 1  6.2, A 11 , woraus S1⊥ ∈ ασ(V s  ,V ) folgt. Wegen  ⊥ Φ = { Ker ϕ | ϕ ∈ Φ } ∈ ατ   

ist auch ⊥ 1 Φ ∈ ατ   . τ

Zu (b) Ist M ein K-Untervektorraum von V , so ergibt sich M   als  s. 6.3, A 4   τ { H ∈ ατ   | H K-Untervektorr. von V, codimK,V H = 1, M   ⊆ H }  = { H ∈ ατ   | H K-Untervektorraum von V, codimK,V H = 1, M ⊆ H }   = { Ker ϕ | ϕ ∈ V s  , M ⊆ Ker ϕ } = { Ker ϕ | ϕ ∈ M ⊥ } = ⊥ (M ⊥ ).

6 Lineare Operatoren

516 Weiterhin ist zunächst ϕ(v) = 0 für jedes ϕ ∈ Ψ, v ∈ (⊥ Ψ)⊥ ∈ ασ(V s  ,V )  gem. (a) , und es folgt Ψ σ(V

s  ,V

σ(V

s  ,V

)

⊥ Ψ,

also gehört ϕ zu

⊆ (⊥ Ψ)⊥ . Ist umgekehrt

)

, so ergibt die Anwendung von 6.3-3.4 auf den lokalkonvexen ϕ ∈ V s  \Ψ s s T2 -topologischen K-Vektorraum (V s  , σ(V s  , V )) mit ΓV [V ] = (V s  ) σ(V   ,V )  vgl. Bemerkung vor 6.2-6, Seite 493  die Existenz eines v ∈ V mit ΓV (v)(ϕ) = 1 s  σ(V s  ,V )  σ(V   ,V ) = ⊥ Ψ  A 1  und = 0. Somit ist v ∈ ⊥ Ψ und ΓV (v)
Ψ ⊥ ⊥ ✷ ϕ ∈ ( Ψ) wegen ϕ(v) = ΓV (v)(ϕ) = 1. Die zuvor erwähnte Möglichkeit der Umformulierung des Abstandsproblems in eine Maximumbestimmung im stetigen Dualraum (vgl. 6.1-12.2 für den Abstand von Null) ergibt sich nebst einer dualen Aussage aus Satz 6.4-2 (V,  ) sei ein normierter R-Vektorraum, v ∈ V , M ⊆ V ein R-Untervektorraum von V , ψ ∈ V s  . (a) dist(v, M ) = max{ ϕ(v) | ϕ ∈ M1⊥ } ⊥ (b) dist(ψ, M ⊥ ) = min{ ψ − ϕop | ϕ ∈ M ⊥ } = sup{ ψ(v) | v ∈ ⊥ 1 (M ) }

Beweis Zu (a) „≥“ Sei (mj )j ∈ M N , (v − mj )j →τ | | dist(v, M ) und ϕ ∈ M1⊥ . Dann ist ϕ(v) = ϕ(v − mj ) ≤ ϕop v − mj  ≤ v − mj  für jedes j ∈ N, also ϕ(v) ≤ dist(v, M ). „≤“ Sei o. B. d. A. v ∈ M . Das durch ϕ(m + rv) := r dist(v, M ) definierte Funktional ϕ : M ∪ {v}

lin

−→ R ist offensichtlich linear und wegen   |ϕ(m + rv)| = |r| dist(v, M ) ≤ |r|  1r m + v  = m + rv

 lin lin  mit ϕop ≤ 1. für r ∈ R\{0} auch stetig auf M ∪ {v} ,  
M ∪ {v} lin

= ϕ und Nach 6.1-12.1 (a) existiert ein F ∈ V s  mit F
M ∪ {v} F op = ϕop ≤ 1. Insbesondere ist F (v) = ϕ(v) = dist(v, M ) und F (m) = ϕ(m) = 0 für jedes m ∈ M , also F ∈ M1⊥ und  s. o.  dist(v, M ) ≥ sup{ ψ(v) | ψ ∈ M1⊥ } ≥ F (v) = dist(v, M ). ⊥ Zu (b) dist(ψ, M ⊥ ) ≥ sup{ ψ(v) | v ∈ ⊥ 1 (M ) } erhält man wie zu (a): ⊥ N ⊥ Sei (ψj )j ∈ (M ) , (ψ − ψj op )j →τ | | dist(ψ, M ⊥ ) und w ∈ ⊥ 1 (M ). Dann ist ψ(w) = (ψ − ψj )(w) ≤ ψ − ψj op w ≤ ψ − ψj op für jedes j ∈ N, also ψ(w) ≤ dist(ψ, M ⊥ ).

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren „≤“

517

τ

ψ0 := ψ
M   = ψ
⊥ (M ⊥ )  6.4-1 (b)  ist ein stetiges lineares Funktional auf (⊥ (M ⊥ ),  
⊥ (M ⊥ )), besitzt daher nach 6.1-12.1 (a) eine auf (V,  ) stetige lineare Fortsetzung F0 mit F0 op = ψ0 op . Das lineare Funktional G := ψ − F0 ist stetig auf (V,  ), G ∈ M ⊥  m ∈ M =⇒ G(m) = ψ(m) − F0 (m) = ψ0 (m) − ψ0 (m) = 0  und ⊥ dist(ψ, M ⊥ ) ≤ ψ − Gop = F0 op = ψ0 op = sup{ ψ0 (v) | v ∈ ⊥ 1 (M ) } ⊥ ⊥ = sup{ ψ(v) | v ∈ ⊥ 1 (M ) } ≤ dist(ψ, M )

 s. o. .

⊥ ⊥ Es folgt sup{ ψ(v) | v ∈ ⊥ 1 (M ) } = dist(ψ, M ) = ψ − Gop = ✷ min{ ψ − ϕop | ϕ ∈ M ⊥ }.

Als eine Anwendung von 6.4-2 (b) betrachte man über dem normierten R-Vektorraum (V,  ) das folgende Optimierungsproblem: Es seien v1 , . . . , vn ∈ V , r1 , . . . , rn ∈ R und J := { ϕ ∈ V s  | ∀ j ∈ {1, . . . , n} : ϕ(vj ) = rj } die Menge der stetigen linearen Interpolationsfunktionale. Für J = ∅ ist inf{ ϕop | ϕ ∈ J } zu berechnen (sog. Normoptimierung)! lin

Gem. 6.4-2 (b) kann dieses Problem mit M := {v1 , . . . , vn } , ϕ0 ∈ J, also J = { ϕ0 − ϕ | ϕ ∈ M ⊥ }, in eine Minimumberechnung wie folgt (äquivalent) umformuliert werden: Man bestimme dist(ϕ0 , M ⊥ ) = min{ ϕ0 − ϕop | ϕ ∈ M ⊥ }! Wiederum nach 6.4-2 (b) kann folgendermaßen gerechnet werden: min{ ϕ0 − ϕop | ϕ ∈ M ⊥ } ⊥ = sup{ ϕ0 (v) | v ∈ ⊥ 1 (M ) }

= sup{ ϕ0 (v) | v ≤ 1, v ∈ M

τ



}  6.4-1 (b) 

   (0) ∩ M } = sup{ ϕ0 (v) | v ∈ K 1

 (3.1,2) (a), 3.1-8 (b) 

   (0) ∩ M } = max{ ϕ0 (v) | v ∈ K 1
 n aj rj (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , = max

 4.2-2.1; 4.1, A 22   n       aj vj  ≤ 1 . 

d

d

j=1

j=1

Eine konkrete Situation aus der Steuerungstheorie (vgl. [35]) mag die Nützlichkeit dieses dualen Vorgehens demonstrieren:

6 Lineare Operatoren

518 Beispiel (6.4,1)

Ein Wagen der Gesamtmasse m soll unter Einwirkung einer zeitabhängigen Kraft in der Zeit T von einem Ort ξ0 zu einem anderen ξ1 so bewegt werden, daß die („wesentlich“-)maximal wirkende Kraft zur Vermeidung von Unfällen, Energieverschwendung, Materialverschleiß o. ä. möglichst klein ist. Anfangs- und Endgeschwindigkeit sollen 0 sein. Nach Einführung dimensionsloser, normierter Größen m = 1, T = 1, t0 = 0, t1 = 1, ξ0 = 0, ξ1 = 1 ergibt sich für die Position x(t) des Wagens in Abhängigkeit von der Zeit t ∈ [0, 1] bei Vernachlässigung der Reibung und anderer Einflüsse nach dem Newtonschen Bewegungsgesetz die Randwertaufgabe x (t) = K(t), λ

t ∈ [0, 1]

x(0) = 0,

x(1) = 1

x (0) = 0,

x (1) = 0

für die Bahnkurve x ∈ { f ∈ CR1 ([0, 1]) | f  absolut stetig }. Lösung der hierin enthaltenen Anfangswertaufgabe (bei t = 0) ist die durch  x(t) := (t − σ)K(σ) dλ(σ) [0,t]

Bedingungen bei t = 1 ergeben wegen x (t) =



definierte Funktion x, die zusätzlichen K(σ) dλ(σ) die Gleichungen [0,1] (1 − σ)K(σ) dλ(σ) = 1 und [0,1] K(σ) dλ(σ) = 0 [0,t] (Beim Abbremsen ist K(σ) negativ!). Das Steuerungsproblem besteht nun in der Berechnung von
   ∈ L∞ ([0, 1], . . .),    K ∞ K inf    K(σ) dλ(σ) = 0, (1 − σ)K(σ) dλ(σ) = 1 . [0,1]

(1)

[0,1]

 

g ) := [0,1] f g Mit der Identifizierung Φ : L∞ ([0, 1], . . .) −→ L1 ([0, 1], . . .)s ∞ , Φ f ( (vgl. die Hinweise vor 6.1-6; 6.1, A 13∗ ), den Funktionen f1 , f2 : [0, 1] −→ R, f1 (σ) := 1, f2 (σ) := 1 − σ, also f1 , f2 ∈ L1 ([0, 1], . . .), den reellen Zahlen r1 := 0, r2 := 1 und          ∈ L∞ ([0, 1], . . .) Φ K  f1 = r1 , Φ K  f2 = 1 J := K     ∈ J , in dualer Formulierung  s. o.  die  K bedeutet (1) die Berechnung von inf K ∞ von     ∈ M⊥ , =0 − K  K min K (2) ∞  lin =0 ∈ J und M = f1 , f2 wobei K ist. Das Minimum (2) wiederum ist gerade     max a1 r1 + a2 r2 (a1 , a2 ) ∈ R2 , a1 f1 + a2 f2 1 ≤ 1 ,

∗

(3)

Anstelle von (L∞ ([0, 1], . . .),  ∞ ) kann hier nicht (CR ([0, 1]),  ∞ ) verwendet werden, denn dieser Raum ist nicht isometrisch-isomorph zum stetigen Dualraum eines normierten Raumes
(6.3,5) (b) .

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren

519

 

1 hier ist also µ := max a2 (a1 , a2 ) ∈ R2 , 0 |a1 + a2 (1 − σ)| dσ ≤ 1 zu berechnen:

1 Für a1 = −2, a2 = 2 ist 0 |a1 + a2 (1 − σ)| dσ = 1 und somit µ ≥ 2. Sei also a2 ≥ 2 .

1 Für a1 ≥ 0 gilt „ 0 |a1 + a2 (1 − σ)| dσ = a1 + a22 ≤ 1 ⇐⇒ a2 ≤ 2 − 2a1 “ (keine 2 “ werden zwei Vergößerung!). Sei also a1 < 0 . Wegen „a1 + a2 (1 − σ) ≥ 0 ⇐⇒ σ ≤ a1a+a 2 Fälle unterschieden: (i)

2 ≤ 0 (⇐⇒ a2 ≤ −a1 ) ist |a1 + a2 (1 − σ)| = −a1 − a2 (1 − σ), also Für a1a+a 2

1 „ 0 |a1 + a2 (1 − σ)| dσ = −a1 − a22 ≤ 1 ⇐⇒ a2 ≥ −2 − 2a1 “, maximaler Wert für a2 somit 2 (s. Abb. 6.4-1, keine Vergrößerung!).

a2

2 a2 = 2

−2

a1

2 a2 = −a1 −2

a2 = −2a1 − 2 Abbildung 6.4-1

(ii) Für 0 < 

a1 +a2 a2

(< 1) erhält man

1

|a1 + a2 (1 − σ)| dσ 0



a1 +a2 a2

= 0

 (a1 + a2 (1 − σ)) dσ +

1 a1 +a2 a2

(−a1 − a2 (1 − σ)) dσ = a1 +



1 und somit „ 0 |a1 + a2 (1 − σ)| dσ ≤ 1 ⇐⇒ a1 + a2

a2 − 42 ≥ 0, d. h. a2 ≤ 4 gelten. Für a1 = −2, a2 = 2  a2 und a1 + a22 = 0 = a2 − 42 .

 a2 2 2

a2 a2 + 1 2 a2

a22 4 “. Es muß daher 2 4 ist tatsächlich 0 < a1a+a = 12 < 1 2

≤ a2 −

    < 4 kann das Die Lösung des Steuerungsproblems (1) ist µ = 4. Für Kräfte K mit K ∞ Bewegungsproblem nicht gelöst werden, d. h. der Wagen erreicht sein Ziel in der vorgegebenen Zeit nicht! Die Bahnkurve x (s. Abb. 6.4-2) ergibt sich für  4 für 0 ≤ t ≤ 12 K(t) := −4 für 12 ≤ t ≤ 1

6 Lineare Operatoren

520 (sog. Bang-Bang-Kraft: Volle Kraft voraus, dann Vollbremsung!) zu  2t2 für 0 ≤ t ≤ 12 x(t) = −2t2 + 4t − 1 für 12 ≤ t ≤ 1.

x 1

1 2

1 2

1

t

Abbildung 6.4-2

Die in der linearen Algebra betrachteten algebraischen Adjungierten
a W −→V a ∗  T : w∗ −→ v → w∗ (T (v)) zu K-linearen Opratoren T : V −→ W zwischen den K-Vektorräumen V und W sind K-linear. Das stetige Analogon hierzu liefert die Definition (V, τ), (W, σ) seien topologische K-Vektorräume, T ∈ L(V, W ).
s sτ W σ −→
 V  T :
w −→ v → w
(T (v)) heißt (topologisch-)adjungiert zu T . Es gilt dann T
(w
) = w
◦ T für jedes w
∈ W sσ . Für normierte K-Vektorräume (V,  V ), Wegen T
= T ∗
W sσ ist T
K-linear.  (W,  W ) ist T
auch τ op , τ op -stetig mit T
op ≤ T op :     T
(w
)op = sup |T
(w
)(v)| vV ≤ 1 = sup |w
(T (v))| vV ≤ 1   ≤ sup w
op T (v)W vV ≤ 1   ≤ sup w
op T op vV vV ≤ 1 ≤ T op w
op .

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren

521

Beispiel (6.4,2) Es sei q ∈ [1, ∞[ und L : +q −→ +q durch L((xj )j ) := (xj+1 )j erklärt (Linksshift). Für r ∈ ]1, ∞], (1/q) + (1/r) = 1 ist
r + −→ (+q )s q  ∞ Φ: (yj )j −→ (xj )j → j=0 xj yj gem. (6.1,7) (b), (c) ein ( r ,  op )-normerhaltender C-linearer Isomorphismus. Sei ϕ ∈ (+q )s q , etwa ϕ = Φ((yj )j ) mit (yj )j ∈ +r . Für jedes (xj )j ∈ +q gilt dann L (ϕ)((xj )j ) = ϕ(L((xj )j )) = ϕ((xj+1 )j ) =

∞ 

yj xj+1 = 0 · x0 +

j=0

∞ 

yj−1 xj

j=1

= Φ((yj )j )((xj )j ),  0 yj := yj−1

wobei

für j = 0 für j ≥ 1

gesetzt wurde. Es folgt L (ϕ) = Φ((yj )j ). Identifiziert man +r mit (+q )s q (über Φ), so hat L die Wirkung des Rechtsshifts R, R((yj )j ) := (yj )j , auf +r .

Satz 6.4-3 (V,  ), (W,  W ) und (Z,  Z ) seien normierte K-Vektorräume. (a) Die Funktion


α:

  L(V, W ) −→ L W s W , V s  T −→ T


ist ein ( op ,  op )-normerhaltender K-linearer Monomorphismus. (b) Für alle T ∈ L(V, W ), S ∈ L(W, Z) ist (S ◦ T )
= T
◦ S
. (c) Für alle T ∈ L(V, W ) gilt ' &σ(V s  ,V ) = ⊥ (Ker T
) und T
W s W = (Ker T )⊥  ' & (ii) Ker T
= T [V ]⊥ und Ker T = ⊥ T
W s W

(i)

τ

T [V ]

W

Beweis Zu (a) Wegen     α(aT + bS)(ψ) (v) = ψ (aT + bS)(v) = ψ(aT (v) + bS(v)) = aψ(T (v)) + bψ(S(v)) = aT
(ψ)(v) + bS
(ψ)(v)     = aα(T )(ψ) + bα(S)(ψ) (v) = (aα(T ) + bα(S))(ψ) (v)

6 Lineare Operatoren

522

für alle v ∈ V , ψ ∈ W s W folgt α(aT + bS) = aα(T ) + bα(S) für alle a, b ∈ K, S, T ∈ L(V, W ), α ist daher K-linear. Weiter gilt α(T )op = T
op = sup{ T
(ψ)op | ψop ≤ 1 } 

  = sup sup |T
(ψ)(v)| v ≤ 1 ψop ≤ 1

   = sup sup |ψ(T (v))| v ≤ 1 ψop ≤ 1

   = sup sup |ψ(T (v))| ψop ≤ 1 v ≤ 1 = sup{ T (v)W | v ≤ 1 } = T op .

 6.1-12.2 oder 6.4-2 (a) 

Zu (b) Für alle v ∈ V , ζ ∈ Z s Z gilt (S ◦ T )
(ζ)(v) = ζ(S ◦ T (v)) = S
(ζ)(T (v)) = T
(S
(ζ))(v), also (S ◦ T )
= T
◦ S
. Zu (c) (i)

' & T [V ] bzw. T
W s W ist ein K-Untervektorraum von W bzw. V s  , nach ' &σ(V s  ,V ) τ  = 6.4-1 (b) folgt daher T [V ] W = ⊥ (T [V ]⊥ ) und T
W s W &⊥ ⊥
' s  W T W . Die Behauptungen ergeben sich somit aus (ii).

(ii) Für jedes ψ ∈ W s W gilt: ψ ∈ Ker T


⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

T
(ψ) = 0 ∀ v ∈ V : ψ(T (v)) = T
(ψ)(v) = 0 ' & ψ T [V ] = {0} ⇐⇒ ψ ∈ T [V ]⊥ .

Für jedes v ∈ V gilt: v ∈ Ker T

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

T (v) = 0 ∀ ψ ∈ W s W : ψ(T (v)) = 0 ∀ ψ ∈ W s W : T
(ψ)(v) = 0  ' & v ∈ ⊥ T
W s W .

 6.1-12.1 (d) 

Die Zuordnung α der Adjungierten gem. 6.4-3 (a) ist i. a. nicht surjektiv: Beispiel (6.4,3) Sei (c0 ,  ∞ ) der Banach-Raum aller Nullfolgen in (R, τ| | ). Die Operatoren
1 s + −→c0 ∞  Φ: R  6.1, A 23 , ∞ x −→ a → j=0 xj aj

✷

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren
Ψ: : Φ




1 s 1 +∞ R −→   (+R ) ∞ b −→ x → j=0 bj xj

523  (6.1,7) (c) 

s  s (+1R )s 1 −→ c0 ∞  op ϕ −→ ψ → ϕ(Φ−1 (ψ))

und

 6.1, A 28 

   ◦ Ψ(y) (Φ(x)) =  ◦ Ψ
c0 = Γc  Φ sind normerhaltende R-lineare Isomorphismen, es gilt Φ 0 ∞ (y) Ψ(y)(x) = j=0 xj yj = Φ(x)(y) = Γc0 (Φ(x)) für alle y ∈ c0 , x ∈ +1R . Sei




s

s

 ∞ c0 ∞ −→ c 0   ∞ Φ(x) −→ Φ j=0 xj (δ0,j )j .  ∞  1 S ist wohldefiniert  x ∈ +1R , R-linear  offensichtlich  j=0 xj (δ0,j )j ∈ +R für jedes    S(Φ(x)) und( op ,  op )-beschränkt op = sup |S(Φ(x))(y)| y ∈ c0 , y∞ ≤ 1 =  ∞ sup y0 j=0 xj y0 ∈ R, |y0 | ≤ 1 ≤ x1 = Φ(x)op für jedes x ∈ +1R . Für den zu S s s    s  s   adjungierten Operator S  : c0 ∞  op −→ c0 ∞  op gilt S  Φ◦Ψ(b) = Φ◦Ψ((b 0 )j ) ∞ für jedes b ∈ +R :

S:

    ∞        ◦ Ψ(b) (Φ(x)) = Φ  ◦ Ψ(b) S(Φ(x)) = Φ(Ψ(b))  Φ S Φ xj (δ0,j )j j=0

   ∞ ∞  = Ψ(b) xj (δ0,j )j = b0 xj = Ψ((b0 )j )(x) j=0

   Ψ((b0 )j ) (Φ(x)) =Φ

j=0

für alle x ∈ +1R .

   ◦ Ψ((b0 )j ) ∈ Γc [c0 ]. Gem. Speziell für b ∈ c0 mit b0 = 0 ist (b0 )j ∈ c0 , also S  Γc0 (b) = Φ 0 A 4 (b) existiert kein Operator T ∈ L(c0 , c0 ), dessen Adjungierter T  mit S übereinstimmt.

Mit Hilfe von 6.4-3 (c) kann die Frage der Lösbarkeit linearer Operatorgleichungen dual formuliert werden: Korollar 6.4-3.1 (V,  V ) und (W,  W ) seien normierte K-Vektorräume, w ∈ W und T ∈ L(V, W ) mit T [V ] ∈ ατ W (d. h. T hat ein abgeschlossenes Bild). Äq (i)

∃ v ∈ V : T (v) = w

(ii) ∀ ψ ∈ Ker T
: ψ(w) = 0 Beweis τ

Elemente w ∈ W gehören genau dann zu T [V ] = T [V ] ψ(w) = 0 für jedes ψ ∈ Ker T
ist.

W

=

⊥ (Ker T
),

wenn ✷

6 Lineare Operatoren

524

Bei konkreten Anwendungen von 6.4-3.1 kann Ker T
oftmals leicht bestimmt werden. So ist beispielsweise Ker T
= {0} für injektive T
und damit T surjektiv, die Operatorgleichung T (v) = w dann also für jedes w ∈ W lösbar. Die Eindeutigkeit der Lösung charakterisiert A 5 (c). Mehr Schwierigkeiten bereitet i. a. die Verifikation der Voraussetzung „T hat ein abgeschlossenes Bild“. Diese Bedingung wird nun über 6.4-3 (c) (i) hinaus für Operatoren zwischen Banach-Räumen äquivalent beschrieben (s. 6.4-5), wobei die folgenden Aussagen Verwendung finden. Satz 6.4-4 (V,  V ), (W,  W ) seien Banach-Räume über K und T ∈ L(V, W ). (a) Ist T [V ] ∈ ατ W , so existiert ein a ∈ R+ mit ∀ w ∈ T [V ] ∃ v ∈ V : T (v) = w, vV ≤ awW . (b) Wenn es ein c > 0 gibt, so daß cψop ≤ T
(ψ)op für jedes ψ ∈ W s W gilt, so ist T offen (also surjektiv). Beweis (a) folgt direkt aus 6.2, A 5 (a), da (T [V ],  W |T [V ]) ein Banach-Raum ist  3.1-8 (a) . ' d  &τ W ∈ Uτ W (0), d. h. die Fastoffenheit von Zu (b) Gem. 6.2-1 (a) ist T K1 V (0) ' d  &τ W d  verifiziert: T zu zeigen. Hierzu wird die Inklusion Kc W (0) ⊆ T K1 V (0) τ   ' d  & W d  und nach 6.3-3.4 ψ ∈ W s W , |ψ(w)| > 1 Sei w ∈ Kc W (0)\T K1 V (0) ' d  &τ W  ∈ ατ W \{∅} kreisförmig und und |ψ(w
)| < 1 für jedes w
∈ T K1 V (0) d

konvex! . Es folgt |T
(ψ)(v)| = |ψ(T (v))| < 1 für jedes v ∈ K1

V

(0) und hiermit

T
(ψ)op ≤ 1 < |ψ(w)| ≤ ψop wW ≤ cψop ≤ T
(ψ)op .
Schließlich ist T [V ] ∈ τ W , also T [V ] ∈ ατ W , woraus sich mit 2.4, A 31 die Surjektivität von T ergibt. ✷ Satz 6.4-5 (Satz vom abgeschlossenen Bild, Banach, 1929) (V,  ) und (W,  W ) seien Banach-Räume über K, T ∈ L(V, W ). Äq (i)

T [V ] = ⊥ (Ker T
)

(ii) T [V ] ∈ ατ W ' & (iii) T
W s W = (Ker T )⊥ ' & (iv) T
W s W ∈ ατ op

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren

525

Beweis (i) ⇔ (ii) gilt gem. 6.4-3 (c) (i). (ii) ⇒ (iii) In (iii) gilt „⊆“ auch ohne die Abgeschlossenheit von T [V ]  T
(ψ)(v) = ψ(T (v)) = 0 für alle ψ ∈ W s W , v ∈ Ker T . Sei also ϕ ∈ (Ker T )⊥ und ψ : T [V ] −→ K definiert durch ψ(T (v)) := ϕ(v)  wohldefiniert wegen T (v) = T (v
) =⇒ v − v
∈ Ker T =⇒ ϕ(v) = ϕ(v
) . ψ ist K-linear und auch stetig (auf (T [V ],  W
T [V ])), denn nach 6.4-4 (a) existiert ein a ∈ R+ mit ∀ w ∈ T [V ] ∃ v ∈ V : T (v) = w, v ≤ awW , woraus |ψ(w)| = |ψ(T (v))| = |ϕ(v)| ≤ ϕop v ≤ ϕop awW folgt. Sei Ψ ∈ W s W eine Fortsetzung von ψ (mit ψop = Ψop )  6.1-12.1 (a) . Für jedes v ∈ V ist dann T
(Ψ)(v) = Ψ(T (v)) = ψ(T (v)) = ϕ(v), also T
(Ψ) = ϕ. (iii) ⇒ (iv) Nach 6.4-1 (a) ist (Ker T )⊥ ∈ ασ(V s  ,V ) ⊆ ατ op . (iv) ⇒ (ii) Man behandele T als Operator T : V −→ T [V ] W , T(v) = T (v). Zu zeigen ist dann die Surjektivität von T, was mit Hilfe von 6.4-4' (b) geschieht. τ  & T
ist gem. 6.4-3 (c) (i) injektiv, denn für alle ψ ∈ Ker T
gilt ψ T [V ] W = & ' & ' & '  τ  s = {0}. Wegen T
T [V ] W  W
... = T
W s W  A 6  ψ ⊥ Ker T
Isomorphismus des Banach-Raums erweist sich der Operator T
als stetiger  ' K-linearer τ W s 
... τ W s 
... &
 W W T [V ] ,  op auf T T [V ] (Banach-Raum mit  op 
−1  nach (iv)) und ist gem. 6.2-1.1 (a) offen, d. h. T ist stetig. Es gibt daher ein c > 0 
  τ W s 
...    W . Nach 6.4-4 (b) ist T mit cψop ≤ T (ψ) op für jedes ψ ∈ T [V ] τ W . ✷ surjektiv, d. h. T [V ] = T ] = T [V ] τ



In 6.4-5 kann (iv) durch die scheinbar stärkere, in konkreten Anwendungssituationen oftmals leicht zu überprüfende Eigenschaft ' & T
W s W ∈ ασ(V s  ,V ) ersetzt werden: Korollar 6.4-5.1 (V,  ) und (W,  W ) seien Banach-Räume über K, T ∈ L(V, W ). Äq (ii) T [V ] ∈ ατ W ' & (v) T
W s W ∈ ασ(V s  ,V ) Beweis

  Wegen σ V s  , V ⊆ τ op folgt (ii) über (iv) in 6.4-5 aus (v).

6 Lineare Operatoren

526 (ii) ⇒ (v) Wegen

' &σ(V s V ,V ) ' & = T
W s W (Ker T )⊥ = T
W s W  6.4-3 (c) (i)  gilt (ii) gem. 6.4-5.

✷

Eine wichtige Eigenschaft linearer Operatoren T zwischen Banach-Räumen, die dual untersucht werden kann, ist die Kompaktheit (Vollstetigkeit bei F. Riesz)  6.4-8 . Kompakte Operatoren stellen eine direkte Verallgemeinerung der bereits gut erforschten Operatoren endlichen Ranges dar. Dabei heißt ein K-linearer Operator T : V −→ W von endlichem Rang, sofern dimK T [V ] < ∞ ist. Für topologische K-Vektorräume (V, τ), (W, σ) sei E(V, W ) := { T ∈ L(V, W ) | T hat endlichen Rang },

E(V ) := E(V, V ).

Die Definition der Kompaktheit resultiert nun aus der Beobachtung, daß die Operatoren T ∈ E(V, W ) jede in (V, τ) beschränkte Menge B in die im normierten τ  K-Vektorraum (W,  W ) kompakte Menge T [B] W abbilden: T [B] ist gem. 6.1-2 (a) im endlichdimensionalen normierten Vektorraum (T [V ],  ),  d  (0) für ein k ∈ K\{0}, wobei   :=  W
T [V ], beschränkt, d. h. kT [B] ⊆ K 1  d  (0) in (T [V ], τ  ) kompakt ist  4.2-2.1 . K 1

Definition (V, τ) und (W, σ) seien topologische K-Vektorräume, T : V −→ W K-linear. T kompakter (vollstetiger) Operator

:gdw σ

∀ B ⊆ V : B beschränkt in (V, τ) ⇒ T [B] kompakt in (W, σ). K(V, W ) := { T : V −→ W | T kompakter Operator },

K(V ) := K(V, V )

Da kompakte Mengen beschränkt sind  6.1-1 (c) , ist jeder zwischen lokalbeschränkten topologischen K-Vektorräumen (V, τ), (W, σ) definierte kompakte Operator stetig  6.1-2 (b) , eine analoge Situation wie bei den K-linearen Operatoren auf endlichdimensionalen normierten K-Vektorräumen. Beispiel (6.4,4) Es seien α, β, a, b ∈ R, α < β, a < b und k ∈ CR ([α, β] × [a, b]). Der Fredholmsche Integraloperator Ik : CR ([a, b]) −→ CR ([a, b]),  b Ik (f )(ξ) := k(ξ, x)f (x) dx, a

mit Kern k ist kompakt (s. auch (6.1,3) (c)):

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren

527

Sei B ⊆ CR ([a, b])  ∞ -beschränkt, etwa f ∞ ≤ S für jedes f ∈ B und ein S > 0. Wegen  b k(ξ, x)f (x) dx ≤ f ∞ (b − a) sup sup |k(ξ, x)| Ik (f )∞ = sup ξ∈[α,β]

ξ∈[α,β] x∈[a,b]

a

≤ S(b − a)k∞ ist Ik [B] beschränkt in (CR ([a, b]),  ∞ ). Nach 4.1-10.1 und 4.1, A 13 (a) folgt die τ  Kompaktheit von Ik [B] ∞ nun aus der gleichgradigen Stetigkeit von Ik [B]: Da k auf [α, β] × [a, b] gleichmäßig stetig ist  4.1-2.1 , gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 mit ε ∀ ξ, ξ  ∈ [α, β] ∀ x ∈ [a, b] : |ξ − ξ  | < δ ⇒ |k(ξ, x) − k(ξ  , x)| < , S(b − a) und es folgt weiter für jedes f ∈ B, |ξ − ξ  | < δ ε |Ik (f )(ξ) − Ik (f )(ξ )| ≤ S(b − a) 



b

|f (x)| dx ≤ ε. a

Für lokalbeschränkte topologische K-Vektorräume (V, τ), (W, σ) sind E(V, W ) und K(V, W ) K-Untervektorräume von L(V, W )  A 8 (a)  und speziell für (V, τ) = (W, σ) zweiseitige K-Algebra-Ideale in der K-Algebra L(V ), d. h. es gilt zusätzlich ∀ S ∈ L(V ) ∀ T ∈ E(V ) ∀ R ∈ K(V ) : S ◦ T, T ◦ S ∈ E(V ) und S ◦ R, R ◦ S ∈ K(V )  A 8 (b), (c) . Satz 6.4-6 (V,  V ), (W,  W ) seien normierte K-Vektorräume, (W,  W ) ein BanachRaum. K(V, W ) ist abgeschlossen im Banach-Raum (L(V, W ),  op ), und daher ist (K(V, W ),  op
K(V, W )) ein Banach-Raum. Beweis Nach 6.1-5 ist (L(V, W ),  op ) ein Banach-Raum, es ist somit nur K(V, W ) K(V, W ) zu überprüfen.

τ

op

=

Sei T ∈ L(V, W ), (Tj )j ∈ K(V, W )N , (Tj )j →τ op T und B ⊆ V beschränkt in (V,  V ), etwa c > 0 mit bV ≤ c für jedes b ∈ B. Nach 4.1-3.2 und (4.1,4) (c)   τ W T [B] genau dann kompakt in W, τ ist  W , wenn T [B] totalbeschränkt in   ε W, d W ist. Sei also ε > 0 vorgegeben und jε ∈ N so gewählt, daß T −Tj op < 4c für jedes j ≥ jε gilt. Es ist dann T (b) − Tj (b)W ≤ T − Tj op bV < ε/4 für  ' &τ W  kompakt in W, τ W ist, existiert eine 4ε -Kette alle b ∈ B, j ≥ jε . Da Tjε B ' &τ W ' & ' &τ W # d W , also Tjε B ⊆ Tjε B ⊆ m (wi ). {w1 , . . . , wm } in Tjε B i=1 Kε/4 #m d W d W Es folgt T [B] ⊆ i=1 Kε/2 (wi ), wobei o. B. d. A. T [B] ∩ Kε/2 (wi ) = ∅ für

6 Lineare Operatoren

528 d



i = 1, . . . , m angenommen werden kann, etwa T (bi ) ∈ Kε/2 W (wi ) mit bi ∈ B. Die ✷ Menge { T (bi ) | i = 1, . . . , m } ist dann eine ε-Kette in T [B]. Nach 6.4-6 ist insbesondere K(V ) ein abgeschlossenes zweiseitiges K-Algebra-Ideal in (L(V ),  op ), sofern (V,  V ) ein Banach-Raum über K ist. Außerdem erweist sich gem. 6.4-6 jeder K-lineare Operator T , der  op -Limes einer Folge K-linearer Operatoren Tj ∈ E(V, W ) ist, als kompakt. Dagegen ist die für numerische Zwecke bedeutende Frage nach der  op -Approximierbarkeit aller kompakten K-linearen Operatoren durch K-lineare Operatoren endlichen Ranges für Hilbert-Räume zwar positiv, für Banach-Räume i. a. jedoch negativ zu beantworten, wie Enflo 1973 durch ein Gegenbeispiel belegen konnte. Der folgende Satz gibt ein hinreichendes Kriterium für die Dichtigkeit von E(V, W ) in (K(V, W ),  op ): Satz 6.4-7 (V,  V ), (W,  W ) seien Banach-Räume über K und (Sj )j ∈ E(W )N mit (Sj (w))j →τ W w für jedes w ∈ W (τ W -punktweise Konvergenz von (Sj )j gegen idW ). Dann gilt τ  E(V, W ) op = K(V, W ). Beweis Es sei T ∈ K(V, W ). Wegen (Sj ◦ T )j ∈ E(V, W )N  A 8 (b)  genügt als Begründung (Sj ◦ T )j →τ op T . ' d V &τ W # d W  (0) ⊆ m (wi ) und jε ∈ N Sei ε > 0, w1 , . . . , wm ∈ W mit T K 1 i=1 Kε gewählt mit ∀ i ∈ {1, . . . , m} ∀ j ≥ jε : Sj (wi ) − wi W < ε.  d V (0), etwa T (v) ∈ Kεd W (wi ) für ein i ∈ {1, . . . , m}, und jedes Für jedes v ∈ K 1 j ≥ jε erhält man Sj ◦ T (v) − T (v)W ≤ Sj (T (v)) − Sj (wi )W + Sj (wi ) − wi W + wi − T (v)W ≤ Sj op T (v) − wi W + 2ε ≤ Sj op ε + 2ε. Nach dem Prinzip von der gleichmäßigen Beschränktheit 6.2-5 existiert ein c > 0 mit sup{ Sj op | j ∈ N } < c, also gilt Sj ◦ T − T op ≤ ε(c + 2) für alle j ≥ jε . ✷ Zur Verifikation der Existenz einer gegen idW τ W -punktweise konvergenten Folge (Sj )j ∈ E(W )N für spezielle Räume betrachte man die Lösungsvorschläge zu A 9 und A 10, Seite 707.

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren

529

Satz 6.4-8 (Schauder, 1930) (V,  V ), (W,  W ) seien Banach-Räume über K, T ∈ L(V, W ). T ∈ K(V, W )   (ii) T
∈ K W s W , V s V

Äq (i)

Beweis

  (i) ⇒ (ii) Sei B
⊆ W s W beschränkt in W s W ,  op , etwa ψop ≤ a für ' d V &τ W  A := T K (0) ist gem. (i) kompakt, also jedes ψ ∈ B
. Die Menge 1  beschränkt in W, τ W , etwa wW ≤ b für alle w ∈ A. Wegen der Vollständigkeit   τ  von V s V ,  op  6.1-5.1  muß zum Nachweis der Kompaktheit von T
[B
] op gem. 4.1-3.3, (c)und 4.1-3 gezeigt ∈ (B
)N eine   werden, daß jede Folge  (ψ  j )j   (4.1,4) s V
, τ op konvergenter Bildfolge T ψjk k zuläßt. Teilfolge ψjk k mit in V Sei also (ψj )j ∈ (B
)N . Wegen ψj
A∞ = sup |ψj (w)| ≤ sup ψj op wW ≤ ab w∈A

und

w∈A

 ≤ ψj op w − w  W ≤ aw − w  W |ψj (w) − ψj (w)| ist { ψj
A | j ∈ N } ⊆ CR (A) beschränkt in (CR (A),  ∞ ) und stetig.   gleichgradig Nach 4.1, A 13 (b) existiert ein f ∈ CR (A) und eine Teilfolge ψjk k von (ψj )j mit       ψjk
A k →τ ∞ f , ψjk
A k ist daher eine Cauchy-Folge in CR (A), d ∞ . Aus der Abschätzung 
          T ψj − T
ψj  = sup T
ψj (v) − T
ψj (v) v ∈ V, vV ≤ 1 i i k k op   = sup ψjk (T (v)) − ψji (T (v)) v ∈ V, vV ≤ 1   ≤ ψjk
A − ψji
A∞      ergibt sich auch T
ψjk k als Cauchy-Folge, die somit in V s V , τ op konvergiert. (ii) ⇒ (i) Mit T
ist auch (T
)
und gem. A 8 (c) (T
)
◦ ΓV = ΓW ◦ T  A 4 (a)  ' d V &τ op  (0) kompakt in ein kompakter K-linearer Operator, demgemäß ΓW ◦ T K 1 &τ W & s op  ' ' d V  s  , τ op . Die Teilmenge ΓW T K (0) ist abgeschlossen W  W 1
im Banach-Raum (ΓW [W ],  op
ΓW [W ])  ΓW ist ( W ,  
op )-normerhaltender s   K-linearer Operator, vgl. Seite 493 , also auch in W s W  op ,  
op und damit kompakt. ✷ In der speziellen Situation stetiger K-linearer Operatoren T : V −→ W zwischen Banach-Räumen (V,  V ), (W,  W ), die selbstdual, d. h. normerhaltend K-(konjugiert)linear isomorph zu ihrem stetigen Dualraum, etwa vermöge RV : V −→ V s V

6 Lineare Operatoren

530

bzw. RW : W −→ W s W , sind, kann der (topologisch-)adjungierte Operator T
mit Hilfe der Identifizierungen RV , RW als stetiger K-linearer Operator T ✷ : W −→ V interpretiert werden: T ✷ := RV−1 ◦ T
◦ RW . Für Hilbert-Räume (V,
V ), (W,
W ) liegt dieser Sachverhalt dem Rieszschen Darstellungssatz zufolge (s. 6.1-6.1) vor, T ✷ heißt dann Hilbert-adjungierter Operator zu T . Dieser Abschnitt schließt mit einigen einfachen Untersuchungen über Hilbert-Adjungierte, insbesondere werden bisherige Ergebnisse über (topologisch-)Adjungierte an die speziellen Gegebenheiten angepaßt. Im folgenden bezeichne RV : V −→ V s  , RV (x)(y) :=
y, x, den Riesz-Operator (vgl. 6.1-6.1) auf dem Hilbert-Raum (V,
). Satz 6.4-9 (V,
V ), (W,
W ), (Z,
Z ) seien Hilbert-Räume über K. (a) Die Adjunktion


η:

L(V, W ) −→ L(W, V ) T −→ T ✷

ist ein ( op ,  op )-normerhaltender K-(konjugiert)linearer Isomorphismus und (T ✷ )✷ = T für jedes T ∈ L(V, W ). (b) Für alle T ∈ L(V, W ), S ∈ L(W, Z) ist (S ◦ T )✷ = T ✷ ◦ S ✷ . Beweis Zu (a) Für alle a, b ∈ K, S, T ∈ L(V, W ) gilt (aT + bS)✷ = RV−1 ◦ (aT + bS)
◦ RW = RV−1 ◦ (aT
+ bS
) ◦ RW =

(aRV−1




◦T +

bRV−1




✷

 6.4-3 (a) 

✷

◦ S ) ◦ RW = aT + bS ,

−1 −1 ◦ (T ✷ )
◦ RV = RW ◦ (RW ◦ T ) (T ✷ )✷ = RW = T,

 A 11 (b) 

speziell ist η surjektiv, und schließlich T ✷ op = RV−1 ◦ T
◦ RW op ≤ T
op = T op   = (T ✷ )✷  ≤ T ✷ op op

 RV , RW sind normerhaltend!   6.4-3 (a)   gem. vorstehender Ungleichung .

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren

531

Zu (b) (S ◦ T )✷ = RV−1 ◦ (S ◦ T )
◦ RZ = RV−1 ◦ T
◦ S
◦ RZ =

RV−1




◦ T ◦ RW ◦

−1 RW




✷

 6.4-3 (b) 

✷

◦ S ◦ RZ = T ◦ S .

✷

In Prähilberträumen (V,
) über K sei S ⊥V := { v ∈ V | ∀ s ∈ S :
s, v = 0 } der Orthogonalraum zur Teilmenge S ⊆ V (vgl. Abschnitt 3.6). Hierfür gilt ' & S ⊥V = RV−1 ϕ ∈ V s  ϕ
S = 0 = RV−1 [S ⊥ ] (Annullator von S in V s  ), was die verwendete Schreibweise S ⊥ für den Annullator von S begründet. Korollar 6.4-9.1 (Kern-Bild-Satz) (V,
V ), (W,
W ) seien Hilbert-Räume über K, T ∈ L(V, W ). (a) Ker T ✷ = (T [V ])⊥W , τ

(b) T [V ]

W

Ker T = (T ✷ [W ])⊥V

= (Ker T ✷ )⊥W ,

τ

T ✷ [W ]

V

= (Ker T )⊥V

Beweis Zu (a) Für jedes w ∈ W gilt: w ∈ Ker T ✷

⇐⇒

RV−1 ◦ T
◦ RW (w) = 0

⇐⇒

 6.4-3 (c) (ii)  RW (w) ∈ Ker T
= T [V ]⊥ ' ⊥& ⊥W −1 w ∈ RW T [V ] = T [V ] .

⇐⇒

⇐⇒

T
◦ RW (w) = 0

Wegen (T ✷ )✷ = T  6.4-9 (a)  erhält man hiermit auch die zweite Gleichung Ker T = Ker(T ✷ )✷ = (T ✷ [W ])⊥V . τ

Zu (b) Es ist (Ker T ✷ )⊥W = (T [V ]⊥W )⊥W = T [V ] τ  ebenso (Ker T )⊥V = (T ✷ [W ]⊥V )⊥V = T ✷ [W ] V .

W

 (a); 3.6, A 1 (d)  und ✷

Beispiel (6.4,5) (Matrixdarstellung der Hilbert-Adjungierten) (V,
V ), (W,
W ) seien Hilbert-Räume über K mit den Orthonormalbasen BV bzw. BW  3.6-7 (b) , T ∈ L(V, W ) und v ∈ V . Wegen
T (b), eW =
b, T ✷ (e)V  A 11 (a)  und ✷ ✷ b∈BV
v, bV
T (e), bV =
v, T (e)V  3.6-7 (a)  erhält man  b∈BV


v, bV
T ✷ (e), bV e =
v, T ✷ (e)V e =
T (v), eW e

6 Lineare Operatoren

532

 Stetigkeit der Skalarmultiplikation in (W,
W ), A 11 (a) , also   
v, bV
T (b), eW e =
T (v), eW e = T (v). e∈BW b∈BV

e∈BW

Sei nun MT : BV × BW −→ K, MT ((b, e)) :=
T (b), eW (Matrixdarstellung von T bzgl. (BV , BW ); s. auch A 14). Aus
T (v), eW = b∈BV
v, bV
T (b), eW ergibt sich mit der Fourier-Abbildung fBW : W −→ L2 (BW ), fBW (w) := (
w, eW )e∈BW (vgl. 3.6-5.1), die Darstellung von fBW (T (v)) = (
T (v), eW )e∈BW in der Form des (formalen) Matrixprodukts (MT (b, e))(b,e)∈BV ×BW · fBV (v). Die die Hilbert-Adjungierte T ✷ von T darstellende Matrix MT ✷ : BW × BV −→ K erhält man aus MT ✷ (e, b) =
T ✷ (e), bV =
e, T (b)W

 A 11 (a) 

=
T (b), eW = MT (b, e) als konjugiert-transponierte Matrix MTt zu MT , wobei durch MTt (e, b) := MT (b, e) die zu MT transponierte Matrix MTt erklärt ist.

Ein für die Theorie der Differential- und Integralgleichungen wichtiger K-Untervektorraum von L(V, W ) zwischen E(V, W ) und K(V, W ) wird durch die HilbertSchmidt-Operatoren gebildet, ihre Hilbert-Adjungierten sind ebenfalls vom HilbertSchmidt-Typ (vgl. 6.4-10). Definition (V,
V ), (W,
W ) seien Hilbert-Räume über K, T ∈ L(V, W ). T Hilbert-Schmidt-Operator

:gdw

∃ BV ⊆ V : BV Orthonormalbasis von (V,
), T HS :=

 b∈BV

T (b)2

 W

1/2



T (b)2 W < ∞.

b∈BV

heißt dann Hilbert-Schmidt-Norm von T .

HS (V, W ) := { T ∈ L(V, W ) | T Hilbert-Schmidt-Operator }, HS (V ) := HS (V, V ).

Mit zusätzlichen Mitteln der Integrationstheorie (Satz von Fubini) und der Funktionalanalysis (nukleare Operatoren) kann gezeigt werden, daß die Hilbert-SchmidtOperatoren von L2 ([a, b], . . .) in sich gerade die Fredholmschen Integraloperatoren Ik : L2 ([a, b], . . .) −→ L2 ([a, b], . . .),        k(ξ, x)f (x) dλ(x) , Ik f := ξ → [a,b]

mit Kern  k ∈ L2 ([a, b]2 , . . .) sind (vgl. [36, Satz VI.6.3]).

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren

533

Satz 6.4-10 (V,
V ), (W,
W ) seien Hilbert-Räume über K, BV , CV ⊆ V bzw. BW ⊆ W Orthonormalbasen in V bzw. W , T ∈ L(V, W ). (a)

b∈BV

T (b)2 W =



e∈BW T

✷ (e)2

 V

Speziell gilt 2 2 (i) b∈BV T (b) W = c∈CV T (c) W ,

(ii) ∀ T ∈ L(V, W ) : T ∈ HS (V, W ) ⇔ T ✷ ∈ HS (W, V ), (iii) ∀ T ∈ HS (V, W ) : T HS = T ✷ HS . (b) HS (V, W ) ist ein K-Untervektorraum von K(V, W ),  HS eine Norm auf HS (V, W ), T op ≤ T HS für alle T ∈ HS (V, W ). Beweis Zu (a) Es ist 

T (b) W = 2

b∈BV

 

|
T (b), eW |

e∈BW

b∈BV

=



 

e∈BW

b∈BV

e∈BW

b∈BV

 3.6-7 (a) 

2

 |
T (b), eW |

2

   2 ✷ =
T (e), bV =



T ✷ (e)2 V

 3.5-5 (b)   A 11 (a)   3.6-7 (a) .

e∈BW

Die Zusätze (i), (ii)  mit 6.4-9 (a)  und (iii) sind nun offensichtlich richtig. Zu (b) Für alle T , S ∈ HS (V, W ) gilt:   2 (T + S)(b)2 W ≤ T (b) W + S(b) W b∈BV

b∈BV

   2    ≤  T (b) W b∈B 2 +  S(b) W b∈B 2 V

V

 3.5-7  = (T HS + SHS )2 < ∞, also T + S ∈ HS (V, W ) mit T + SHS ≤ T HS + SHS . Wegen der Gleichung 2 2 2 b∈BV (kT )(b)W = |k| b∈BV T (b)W ist kT ∈ HS (V, W ), HS (V, W ) somit ein K-Untervektorraum  von L(V, W ) und  HS eine Halbnorm auf HS (V, W ). Weiter ist T (v) = T b∈BV
v, bV b = b∈BV
v, bV T (b) für jedes v ∈ V , also

6 Lineare Operatoren

534 für jedes E ∈ Pe BV 2     T (v) −
v, bV T (b)   b∈E

 W

 2     =
v, bV T (b)  ≤

 

2

|
v, bV | T (b) W

b∈BV \E

≤

 3.5-1.1 (b); 3.5-2 

 W

b∈BV \E

 

|
v, bV |2

b∈BV \E

 

 T (b)2 W

b∈BV \E

 1.1-8 in (L (BV \E),
2 ) gem. 3.5-7     2 2 T (b) W ≤ v V  3.6-2 (c) . 2

b∈BV \E

Für E = ∅ erhält man T (v) W ≤ T HS v V , also T op ≤ T HS . Die Hilbert-Schmidt-Norm ist daher eine Norm auf HS (V, W )  T HS = 0 =⇒ T op = 0 =⇒ T = 0 . Schließlich gehört TE : V −→ W , TE (v) := b∈E
v, bT (b), für jedes E ∈ Pe BV zu E(V, W ), und gem. obiger Abschätzung ist   1/2 2 T (b) W , T − TE op ≤ b∈BV \E

woraus wegen T ∈ HS (V, W ) die Konvergenz des Netzes (TE )E∈Pe BV gegen T in ✷ (L(V, W ),  op ) folgt. Nach 6.4-6 ergibt sich T ∈ K(V, W ). HS (V, W ) ist i. a. ein echter K-Untervektorraum von K(V, W ): Beispiel (6.4,6) Für jedes j ∈ N sei kj := (j + 1)−1/2 . Dann ist (kj )j∈N beschränkt in (C, | |) und (supj∈N\E kj )E∈Pe N →τ | | 0.∗ Man definiere T : +2 −→ +2 durch  ! " T (x) := (j + 1)−1/2 x, (δi,j )i 2 (δi,j )i . j∈N

Gem. A 13 ist T ∈ K(+2 ). Wegen    T ((δi,j )i )22 = (j + 1)−1/2 (δi,j )i 22 = (j + 1)−1 = ∞ j∈N

j∈N

j∈N

gehört T nicht zu HS (+2 ). ∗

Definitionsbereich des Netzes ist hier die gerichtete Menge (Pe N, ⊇).

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren

535

Für Hilbert-Räume (V,
) über K ist gem. 6.4-9 (a) die Frage nach Fixpunkten von η : L(V ) −→ L(V ), η(T ) := T ✷ , sinnvoll. Sind B und C Orthonormalbasen von (V,
), MT bzw. MT ✷ die Matrixdarstellungen von T bzgl. (B, C) bzw. von T ✷ bzgl. (C, B), so ist gem. (6.4,5) T = T ✷ genau dann richtig, wenn MT = MT ✷ = MTt gilt, d. h. MT eine hermitesche (symmetrische für K = R) Matrix ist. Definition (V,
) sei ein Hilbert-Raum über K, T ∈ L(V ). :gdw T = T ✷

T selbstadjungiert

In diesem Fall heißt T auch hermitesch für K = C bzw. symmetrisch für K = R. Selbstadjungierte Operatoren T sind infolge des Kern-Bild-Satzes 6.4-9.1 (b) genau dann injektiv, wenn ihr Bild T [V ] in (V, τ  ) dicht liegt: τ

T [V ]



= (Ker T ✷ )⊥V = (Ker T )⊥V .

In Analogie zur Darstellbarkeit komplexer Zahlen z in der Form z = a + ib mit „selbstkonjugierten“ (d. h. reellen) Zahlen a = a, b = b, läßt sich jeder Operator T aus L(V ) auf C-Hilbert-Räumen (V,
) eindeutig als Linearkombination T = T1 + iT2 1 mit T1✷ = T1 , T2✷ = T2 ∈ L(V ) schreiben, denn T1 := 12 (T +T ✷ ), T2 := 2i (T −T ✷ ) sind selbstadjungiert  6.4-9 (a)  mit T = T1 + iT2 , und für selbstadjungierte S1 , S2 ∈ L(V ), T = S1 + iS2 erhält man T ✷ = S1✷ − iS2✷ = S1 − iS2 , also T + T ✷ = 2S1 und T − T ✷ = 2iS2 . Satz 6.4-11 (V,
) sei ein Hilbert-Raum über K, T ∈ L(V ). (a) T selbstadjungiert

=⇒

∀ v ∈ V :
T (v), v ∈ R

(b) Für K = C gilt: Äq (i)

T selbstadjungiert

(ii) ∀ v ∈ V :
T (v), v ∈ R Beweis Zu (a)
T (v), v =
v, T ✷ (v) =
v, T (v) =
T (v), v für jedes v ∈ V . Zu (b) (ii) ⇒ (i) Wegen
T ✷ (v), v =
v, T (v) =
T (v), v =
T (v), v ist ✷
(T ✷ − T )(v), v = 0 für jedes v ∈ V , also T ✷ − T = 0  1.1, A 25 . In 6.4-11 (a) gilt die Umkehrung für K = R offensichtlich nicht, denn
T (v), v ∈ R ist für alle T ∈ L(V ), v ∈ V richtig, wohingegen T genau für symmetrische MT = MTt selbstadjungiert ist.

6 Lineare Operatoren

536

Für die Operatornorm von T ∈ L(V ) wurde in 6.1-7 (a)   T op = BT op = sup |BT (v, w)| v, w ∈ V, v  = w  = 1 festgestellt, wobei BT : V × V −→ K, BT (v, w) :=
v, T (w) die zu T gehörige beschränkte Bilinearform ist. Für selbstadjungierte Operatoren T ist eine einfachere Berechnung von T op durch die Bestimmung des Supremums von |BT | auf der Diagonale { (v, v) ∈ ∆V | v  = 1 } möglich: Satz 6.4-12 (V,
) sei ein Hilbert-Raum über K, T ∈ L(V ) selbstadjungiert. Es gilt:   T op = sup |
T (v), v| v ∈ V, v  = 1 . Beweis Zu zeigen ist wegen 6.1-7 (a) nur noch   mT := sup |
T (v), v| v ∈ V, v  = 1 ≥ T op . 1/2

Sei o. B. d. A. T = 0, etwa x ∈ V , x  ≤ 1 und T (x) = 0. Mit r := T (x)  definiere man v := rx + r−1 T (x) und w := rx − r−1 T (x). Es folgt 1 1  1.1-8.3  v2  + w2  = v + w2  + v − w2  2 2 ≤ 2r2 + 2r−2 T (x)2  = 4T (x)  .

(∗)

−1 2 Wegen |
T (y), y| = y2  |
T (y−1   y), y  y| ≤ y  mT für jedes y ∈ V \{0} gilt nach (∗) auch


T (v), v −
T (w), w ≤ |
T (v), v| + |
T (w), w| ≤ (v2  + w2  )mT ≤ 4mT T (x) 

(∗∗)

wobei
T (v), v −
T (w), w =
rT (x) + r−1 T (T (x)), rx + r−1 T (x) −
rT (x) − r−1 T (T (x)), rx − r−1 T (x) =
rT (x) + r−1 T (T (x)), rx +
rT (x) + r−1 T (T (x)), r−1 T (x) −
rT (x) − r−1 T (T (x)), rx +
rT (x) − r−1 T (T (x)), r−1 T (x) = 2
r−1 T (T (x)), rx + 2
rT (x), r−1 T (x) = 4
T (x), T (x) = 4T (x)2  ist. Es folgt T (x)  ≤ mT für jedes x ∈ V , x  ≤ 1, also T op ≤ mT .

✷

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren

537

Besonders einfache selbstadjungierte Operatoren auf V sind die orthogonalen Projektionen πW (vgl. 3.6-4; 3.6-4.1) zu abgeschlossenen K-Untervektorräumen W von (V, τ  ): πW : W ⊕ W ⊥V −→ W , πW (w + v) := w, ist K-linear und surjektiv, stetig  πW (w + v)2  = w2  ≤ w2  + v2  = w + v2  (gem. 3.6-2 (a))  mit πW op ≤ 1 und πW op = 1 für W = {0}  w ∈ W \{0} =⇒ πW (w)  = w  = 0 , selbstadjungiert wegen
πW (w + v), w
+ v
 =
w, w
 +
w, v
 =
w + v, w
 =
w + v, πW (w
+ v
), idempotent, d. h. πW ◦ πW = πW , und es gilt πW + πW ⊥V = idV  w + v = πW (w + v) + πW ⊥V (w + v) für alle w ∈ W , v ∈ W ⊥V . Idempotenz und Selbstadjungiertheit charakterisieren die orthogonalen Projektionen in L(V ), weshalb man auch definiert: (V,
) sei ein Hilbert-Raum über K, T ∈ L(V ). T orthogonale Projektion

:gdw T ◦ T = T und T ✷ = T

Satz 6.4-13 (V,
) sei ein Hilbert-Raum über K, T ∈ L(V ). Äq (i)

T selbstadjungiert und idempotent

(ii) T = πFix T Beweis (ii) ⇒ (i) Fix T = { v ∈ V | T (v) = v } = Ker(T − idV ) ist abgeschlossener K-Untervektorraum von V, τ  , πFix T ∈ L(V ) selbstadjungiert und idempotent. (i) ⇒ (ii) Zunächst ist wegen τ

(Fix T )⊥V = (Ker(T − idV ))⊥V = (T − idV )✷ [V ] τ

= (T − idV )[V ]





 6.4-9.1 (b) 

 T ✷ = T , id✷ V = idV ; 6.4-9 (a) 

und T
(T −idV )[V ] = 0  T ((T −idV )(v)) = T (T (v)−v) = T (v)−T (v) = 0  auch T
(Fix T )⊥V = 0  2.5-9.1 (b) . Für alle v ∈ Fix T , w ∈ (Fix T )⊥V gilt deshalb ✷ T (v + w) = T (v) + T (w) = T (v) = v = πFix T (v + w), also T = πFix T . Korollar 6.4-13.1 (V,
) sei ein Hilbert-Raum über K, W ∈ ατ  ein K-Untervektorraum von V und A⊆V. (a) Ist T ∈ L(V ) selbstadjungiert und idempotent mit T [V ] = W , so ist T die orthogonale Projektion πW zu W .

6 Lineare Operatoren

538 (b) Äq (i)

A ∈ ατ  K-Untervektorraum von V

(ii) Es gibt genau einen selbstadjungierten, idempotenten Operator T in L(V ) mit T [V ] = A. Beweis Zu (a) Gem. 6.4-13 ist T = πFix T , und es gilt T [V ] = Fix T  T (T (v)) = T (v) für alle v ∈ V , w = T (w) ∈ T [V ] für alle w ∈ Fix T . Zu (b) (i) ⇒ (ii) T := πA ∈ L(V ) ist selbstadjungiert und idempotent, πA [V ] = A. Die Eindeutigkeit folgt mit (a). (ii) ⇒ (i) A = T [V ] ist ein K-Untervektorraum von V , der wegen A = Fix T ✷  s. Beweis zu (a)  auch abgeschlossen in (V, τ  ) sein muß. Die orthogonalen Projektionen werden in der Spektralanalyse stetiger K-linearer Operatoren T als einfache Bausteine für die Darstellung von T verwendet. So kann man beispielsweise kompakte selbstadjungierte Operatoren T ∈ L(V ) über HilbertRäumen in der Form ∞  kj Pj (v) ∀ v ∈ V : T (v) = j=0

(Limes in (V,    )) darstellen, wobei Pj ∈ L(V ) für jedes j ∈ N eine orthogonale Projektion ist (Konsequenz aus dem sog. Spektralsatz für kompakte selbstadjungierte Operatoren; vgl. [24, Theorem 13.15.1]).

Aufgaben zu 6.4  τ ⊥ 1. (V, τ) sei ein topologischer K-Vektorraum, S ⊆ V und Φ ⊆ V sτ . Es gilt S ⊥ = S s  σ(V τ ,V )  . und ⊥ Φ = ⊥ Φ 2. (X, A, µ) sei ein Maßraum,  h ∈ L∞ (X, A, µ) und M
h : L2 (X, A, µ) −→ L2 (X, A, µ)   =. erklärt durch M
h f := hf   (a) M
h ist ein τ 2 , τ 2 -stetiger R-linearer Operator. (b) Man bestimme M
h ! 3. Es sei q ∈ [1, ∞[, y ∈ +∞ und My : +q −→ +q durch My (x) := (xj yj )j definiert.   (a) My ist ein τ q , τ q -stetiger C-linearer Operator. (b) Man bestimme My ! 4. (V,  V ), (W,  W ) seien normierte K-Vektorräume,
 s V −→ V s V  op ΓV : v −→ (ϕ → ϕ(v))

6.4 Dualität: Annullatoren, adjungierte Operatoren

539

der Gelfand-Operator auf V (bzw. ΓW der auf W ). (a)

∀ T ∈ L(V, W ) : (T  ) ◦ ΓV = ΓW ◦ T , d. h. V

T

ΓV (V s V )s op

W ΓW

 

(W s W )s op

(T )

(Bei Identifikation von V mit ΓV [V ] und W mit ΓW [W ]  vgl. Bemerkungen s vor 6.2-6  kann (T  ) als stetige K-lineare Fortsetzung von T auf V s V  op angesehen werden!)   (b) Für jedes S ∈ L W s W , V s V gilt: Äq (i) (ii)

 ∃ T' ∈ L(V, & W): T = S  S ΓV [V ] ⊆ ΓW [W ]

5. (V,  ) und (W,  W ) seien normierte K-Vektorräume, T ∈ L(V, W ). (a)

Ker T  ∈ ασ(W s W ,W )

(b) Äq (i) (ii) (c)

Äq (i) (ii)

τ



T [V ] W = W T  injektiv ' &σ(V s  ,V ) T  W s W = V s  T injektiv

6. (V,  V ), (W,  W ) seien normierte K-Vektorräume und für jedes T ∈ L(V, W ) der τ  Operator T : V −→ T [V ] W definiert durch T(v) := T (v). Man zeige ' & ' & τ  s T  W s W = T T [V ] W  W
... . 7. (V, N ) und (W, M ) seien halbnormierte K-Vektorräume, T : V −→ W K-linear. (a)

Äq (i) (ii)

T ∈ K(V, W ) ' dN &τM  (0) T K kompakt in (W, τM ) 1

(b) Gilt eine der Gleichungen E(V, W ) = K(V, W ), K(V, W ) = L(V, W )?   1 xj j ) (Hinweis: T : +2 −→ +2 , T (x) := j+1 (c)

Besitzt T ∈ K(V, W ) ein abgeschlossenes Bild (d. h. T [V ] ∈ ατM ) und sind (V, N ), (W, M ) Banach-Räume, so hat T endlichen Rang.

8. (V, τ), (W, σ), (Z, I) seien topologische K-Vektorräume. (a)

Sind (V, τ) und (W, σ) lokalbeschränkt, so gilt: E(V, W ) ist K-Untervektorraum von L(V, W ), K(V, W ) ist K-Untervektorraum von L(V, W ).

6 Lineare Operatoren

540

(b) ∀ S ∈ L(V, W ) ∀ T ∈ L(W, Z) : S ∈ E(V, W ) oder T ∈ E(W, Z) ⇒ T ◦ S ∈ E(V, Z) (c)

∀ S ∈ L(V, W ) ∀ T ∈ L(W, Z) : S ∈ K(V, W ) oder T ∈ K(W, Z) ⇒ T ◦ S ∈ K(V, Z)

9. (V,  V ) sei ein Banach-Raum über R, q ∈ [1, ∞[ und (W,  W ) einer der normierten R-Vektorräume (c0 ,  ∞ ), (+qR ,  q ). Man zeige: τ

E(V, W )

op

= K(V, W ).

10. (V,  ) sei ein Banach-Raum über R, für jedes f ∈ CR ([0, 1]) und jedes j ∈ N\{0} bezeichne j  k  j   f Bj,f (x) := xk (1 − x)j−k ∈ R[x] j k k=0

das j-te Bernstein-Polynom zu f . Es gilt dann (Bj,f
[0, 1])j →τ ∞ f (s. [1, Kap. V, § 6, Satz 23]).   Man zeige für CR ([0, 1]), τ ∞ : τ

E(V, CR ([0, 1]))

op

= K(V, CR ([0, 1])).

11. (V,
V ), (W,
W ) seien Hilbert-Räume über K, x ∈ W , y ∈ V , T ∈ L(V, W ). (a)

Äq (i) (ii)

T ✷ (x) = y ∀ z ∈ V :
T (z), xW =
z, yV

(also gilt
T (z), xW =
z, T ✷ (x)V für alle x ∈ W , z ∈ V ) (b) (T ✷ ) ◦ RV = RW ◦ T 12. Man bestimme den Hilbert-adjungierten Operator I✷ für den Rechtsshift I : +2 −→ +2 ,  0 für j = 0 I(x)(j) := xj−1 für j ≥ 1, und die I bzw. I✷ darstellenden Matrizen bzgl. der Orthonormalbasis { (δk,j )j | k ∈ N }! B 13. B ⊆ V sei eine Orthonormalbasis des Hilbert-Raums (V,
) über K, (kb )b∈B ∈ K beschränkt in (K, | |) und T : V −→ V definiert durch T (v) := b∈B kb
v, bb.

(a)

T ist wohldefiniert und K-linear.   (b) supb∈B\E |kb | E∈Pe B →τ | | 0 =⇒

T ∈ K(V )

14. (V,
V ), (W,
W ) seien Hilbert-Räume über K mit den Orthonormalbasen BV bzw. BW , MT ((b, e)) :=
T (b), eW für jedes (b, e) ∈ BV × BW , T ∈ L(V, W ) und M : L(V, W ) −→ K BV ×BW , M (T ) := MT . M ist injektiv.

Lösungsvorschläge Lösungen zu 1.1 Lösung zu A 1 (a)

(i)

Sei K ∈ {Q, R, C}, x, y, z ∈ K. Wegen   für x > 0 x |x| = 0 für x = 0   −x für x < 0 gilt d| | (x, y) = |x − y| = 0

⇐⇒

x = y,

d| | (x, y) = |x − y| = |y − x| = d| | (y, x) und d| | (x, z) = |x − z| = |(x − y) + (y − z)| ≤ |x − y| + |y − z| = d| | (x, y) + d| | (y, z). (ii) Für alle x, y ∈ X gilt gem. Definition ddis (x, y) = 0

⇐⇒

x = y,

ddis (x, y) = ddis (y, x).

Schließlich erhält man für alle z ∈ X auch ddis (x, z) ≤ max{ddis (x, y), ddis (y, z)}, denn für x = z ist x = y oder y = z. (iii) Ist p ≥ 2 eine Primzahl und d(p) der p-adische Abstand auf Q, so gilt gem. Definition d(p) (x, y) = 0

⇐⇒

x = y,

d(p) (x, y) = d(p) (y, x).

für alle x, y ∈ Q. Wegen x − z = x − y + (y − z) erhält man kp (x, y) ≥ min{kp (x, y), kp (y, z)}, d. h. −kp (x, z) ≤ max{−kp (x, y), −kp (y, z)} und somit   d(p) (x, z) = p−kp (x,z) ≤ max p−kp (x,y) , p−kp (y,z)   = max d(p) (x, y), d(p) (y, z) für alle x, y, z ∈ Q, x = z, x = y, y = z. Hiermit folgt die Gültigkeit der Dreiecksungleichung (M-4) .

Lösungsvorschläge

542 (b) (i)

d∞ ist (wie angegeben) wohldefiniert: Sei x0 ∈ X. Für jedes x ∈ X gilt dann (wegen (M-4) für d) d(f (x), g(x)) ≤ d(f (x), f (x0 )) + d(f (x0 ), g(x0 )) + d(g(x0 ), g(x)) ≤ sup{ d(f (y), f (y  )) | y, y  ∈ X } + d(f (x0 ), g(x0 )) + sup{ d(g(y), g(y  )) | y, y  ∈ X } < ∞, also d∞ (f, g) = sup{ d(f (x), g(x)) | x ∈ X } < ∞. Die Eigenschaften (M-2), (M-3), (M-4) gelten für d∞ , da sie für d erfüllt sind. Ist d sogar eine Metrik, so erhält man aus d∞ (f, g) = 0, also d(f (x), g(x)) = 0 für jedes x ∈ X auch f = g.

(ii) Mit f , g ∈ B(X, Y ), k ∈ K sind auch f + g, kf Elemente von B(X, Y ): Für alle x, x ∈ X gilt   d  (f + g)(x), (f + g)(x ) = (f + g)(x) − (f + g)(x ) = f (x) − f (x ) + g(x) − g(x ) ≤ f (x) − f (x ) + g(x) − g(x ) = d  (f (x), f (x )) + d  (g(x), g(x )) und

  d  (kf )(x), (kf )(x ) = kf (x) − kf (x ) = |k| f (x) − f (x ) = |k|d  (f (x), f (x )).

B(X, Y ) ist also ein K-Vektorraum. Weiter gilt     kf ∞ = sup d  (kf )(x), (kf )(x ) x, x ∈ X = |k| sup{ d  (f (x), f (x )) | x, x ∈ X }  s. o.  = |k| f ∞ und     f + g∞ = sup d  (f + g)(x), (f + g)(x ) x, x ∈ X ≤ sup{ d  (f (x), f (x )) | x, x ∈ X } + sup{ d  (g(x), g(x )) | x, x ∈ X }  s. o.  = f ∞ + g∞ .  ∞ ist somit eine Halbnorm auf B(X, Y ), die offensichtlich d∞ (für d  auf Y ) induziert. Mit   ist auch  ∞ eine Norm gem. (b) (i) und 1.1-1. (c)

dε ist wohldefiniert, und (M-1), (M-2), (M-3) sind offensichtlich richtig. Die Dreiecksungleichung (M-4) ergibt sich wie folgt: dε (n, m) ≤ dε (n, k) + dε (k, m) ist für |{k, m, n}| < 3 erfüllt. Sei also |{k, m, n}| = 3.     1 1 1 ε ≤ 2ε ≤ 2 + + ε dε (n, m) = 1 + n+m+1 k+m+1 k+n+1     1 1 = 1+ ε+ 1+ ε = dε (n, k) + dε (k, m). k+m+1 k+n+1

Lösungen zu 1.1

543

Lösung zu A 2 (a)

Für f = 0 oder g = 0 ist die Ungleichung offensichtlich richtig, für f 6= 0, g 6= 0, x ∈ [a, b] erhält man mit Hilfe von 1.1-2 0

|f (x)| |g(x)| 1 |f (x)|q 1 |g(x)|q ≤ 0 , q + 0 kf kq kgkq0 q kf kq q kgkqq0 also durch Integration Z b Z b Z b 0 1 1 1 1 1 1 q |f | |g| ≤ |f | + |g|q = + 0 = 1. 0 q q kf kq kgkq0 a qkf kq a q q q 0 kgkq0 a (b) Für q = 1 ist die Ungleichung offensichtlich richtig, es werde also q > 1 vorausgesetzt. Man erhält für jedes x ∈ [a, b] wegen |f (x) + g(x)|q ≤ |f (x) + g(x)|q−1 |f (x)| + |f (x) + g(x)|q−1 |g(x)| mit Hilfe der Hölder-Ungleichung (a) – angewendet auf jeden der beiden Summanden – Z b  0 Z b 1/q Z b 1/q 
q0 1/q |f + g|q−1 |f |q + |g|q , kf + gkqq ≤ a

a

a

wobei (1/q) + (1/q ) = 1 die Zahl q festlegt. Unter Beachtung von (q − 1)q 0 = q ergibt für f + g 6= 0 (für f + g = 0 ist die Minkowski-Ungleichung richtig) die Division durch
1/q0 kf + gkqq sofort 0

0

0

) ≤ kf kq + kgkq , kf + gkq−(q/q q

wobei q − (q/q 0 ) = 1 ist. Lösung zu A 3 Für r > q setze man q 0 := r/q, q 00 := r/(r − q). Dann ist q 0 > 1 und (1/q 0 ) + (1/q 00 ) = 1. Die Hölder-Ungleichung (A 2 (a)) ergibt für |f |q und g = 1 kf kqq =

Z

b a

|f |q |g| ≤

Z

b a

(|f |q )q

= kf kqr (b − a)(r−q)/r

0

1/q0 Z

b a

1/q00 Z b q/r 1 = |f |r (b − a)(r−q)/r a

und somit kf kq ≤ kf kr (b − a)(r−q)/(qr) . Wegen |f |q ≤ kf kq∞ gilt kf kq ≤ (b − a)1/q kf k∞ . Lösung zu A 4 d : X × X −→ R+ erfüllt (M-1), (M-2) und (M-3) definitionsgemäß. Darüber hinaus gilt für alle x, y, z ∈ X wegen { j ∈ N | 1 ≤ j ≤ n, xj 6= zj } ⊆ { j ∈ N | 1 ≤ j ≤ n, xj 6= yj } ∪ { j ∈ N | 1 ≤ j ≤ n, yj 6= zj }

Lösungsvorschläge

544

auch d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). d ist also eine Metrik auf X. Für n = 1 ist d sogar Ultrametrik, denn es gilt dann immer  0 für x = z d(x, z) = ≤ max{d(x, y), d(y, z)}. 1 für x = z Für n > 1 ist d keine Ultrametrik: x := (δ1,j )j=1,...,n ,

y := 0,

z :=

n 

(δi,j )j=1,...,n

i=2

ergeben die Abstände d(x, z) = n, d(x, y) = 1, d(y, z) = n − 1. Lösung zu A 5 dR ist wohldefiniert, denn für x ∈ x/R , y  ∈ y/R gilt d(x , y  ) ≤ d(x , x) + d(x, y) + d(y, y  ) = d(x, y), also aus Symmetriegründen d(x , y  ) = d(x, y). Die Eigenschaften (M-1) bis (M-4) sind nun offensichtlich durch dR erfüllt. Lösung zu A 6 Gemäß Dreiecksungleichung gilt d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, t) + d(t, y)

und auch

d(z, t) ≤ d(z, x) + d(x, y) + d(y, t),

woraus man mit Hilfe von (M-3) d(x, y) − d(z, t) ≤ d(x, z) + d(y, t) bzw. auch

d(z, t) − d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, t)

erhält. Lösung zu A 7 (a)

∞ dj (x,y) dj (x,y) d ist wohldefiniert, denn die Reihe j=0 21j 1+d ist wegen 0 ≤ 1+d ≤ 1 j (x,y) j (x,y) konvergent. (M-2) und (M-3) gelten trivialerweise, (M-4) folgt mit Hilfe der angegebenen Eigenschaften der Funktion α: Für alle j ∈ N, x, y, z ∈ X gilt dj (x, z) ≤ dj (x, y) + dj (y, z), also auch dj (x, z) dj (x, y) + dj (y, z) dj (x, y) dj (y, z) ≤ ≤ + , 1 + dj (x, z) 1 + dj (x, y) + dj (y, z) 1 + dj (x, y) 1 + dj (y, z)

woraus unmittelbar d(x, z) =

∞ ∞ ∞    1 dj (x, z) 1 dj (x, y) 1 dj (y, z) ≤ + j 1 + d (x, z) j 1 + d (x, y) j 1 + d (y, z) 2 2 2 j j j j=0 j=0 j=0

= d(x, y) + d(y, z) folgt.

Lösungen zu 1.1

545

(b) Es seien x, y ∈ X, x = y und j ∈ N mit dj (x, y) = 0. Dann ist auch ∞

0 =

 1 dk (x, y) 1 dj (x, y) ≤ = d(x, y). j 2 1 + dj (x, y) 2k 1 + dk (x, y) k=0

Lösung zu A 8 Es seien x, y, z ∈ X. Offensichtlich ist dmin (x, y) = min{1, d(x, y)} = min{1, d(y, x)} = dmin (y, x), und für d(x, y) + d(y, z) ≥ 1 folgt min{1, d(x, y)} + min{1, d(y, z)} ≥ 1, also dmin (x, z) ≤ 1 ≤ dmin (x, y) + dmin (y, z). Es sei daher d(x, y) + d(y, z) < 1, also d(x, y) < 1, d(y, z) < 1 und auch d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < 1; man erhält somit dmin (x, z) = d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) = dmin (x, y) + dmin (y, z). Ist d sogar eine Metrik, x = y, also d(x, y) > 0, so gilt dmin (x, y) = min{1, d(x, y)} > 0. Lösung zu A 9 Es sei d(x, y) < d(y, z), also d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)} = d(y, z) ≤ max{d(x, y), d(x, z)}. Hieraus folgt d(y, z) ≤ d(x, z) und somit d(x, z) = d(y, z) = max{d(x, y), d(y, z)}. Lösung zu A 10 Für alle r ∈ R, x, y ∈ Cn gilt rxRe = max |Re rxj | = max |r Re xj | = |r| max |Re xj | = |r| xRe 1≤j≤n

1≤j≤n

1≤j≤n

und x + yRe = max |Re(xj + yj )| = max |Re xj + Re yj | 1≤j≤n

1≤j≤n

≤ max |Re xj | + max |Re yj | = xRe + yRe . 1≤j≤n

1≤j≤n

 Re ist somit eine Halbnorm auf dem R-Vektorraum Cn . Für x := i(δ1,j )j=1,...,n gilt dagegen xRe = max |Re xj | = 0 und (δ1,j )j=1,...,n Re = 1, 1≤j≤n

woraus i(δ1,j )j=1,...,n Re = xRe = 0 = 1 = |i| (δ1,j )j=1,...,n Re folgt. Lösung zu A 11 Für alle x, y ∈ V gilt x = x − y + y ≤ x − y + y, also x − y ≤ x − y.

Lösungsvorschläge

546 Lösung zu A 12  C ist wohldefiniert, denn für jedes r ∈ R, x ∈ V gilt

eir x = (cos r + i sin r)x = (cos r)x + (sin r)ix ≤ |cos r| x + |sin r| ix ≤ x + ix < ∞, also xC ≤ x + ix. Weiter gilt für alle x, y ∈ V x + yC = supeir (x + y) ≤ sup(eir x + eir y) r∈R

r∈R

≤ supeir x + supeir y = xC + yC r∈R

und für alle s ∈ R

r∈R

sxC = supeir (sx) = |s| supeir x = |s| xC , r∈R

r∈R

woraus für alle s, t ∈ R, s + it = 0 folgt   s + it  s + it      (s + it)xC = |s + it| x = |s + it| supeir x; |s + it| C |s + it| r∈R 

mit eir =

s+it |s+it| ,

r ∈ R erhält man wegen R + R = R hieraus    (s + it)xC = |s + it| supei(r+r ) x = |s + it| xC . r∈R

Schließlich folgt aus 0 = xC = supr∈R eir x ≥ x auch x = 0, sofern   eine Norm ist. Lösung zu A 13 (a)

Es gilt n  j=1

|xj |λj ≤

n 

xλq j

 |xj | ≤ xq für j = 1, . . . , n 

j=1 n

= xq

j=1

λj

=

1 xλ q

=



(1/r)λ1 xrq

(b) Mit Hilfe des Polynomialsatzes  k m  k! %m aj = ν∈Nm ν1 =k

j=1

m 

j=1 νj ! j=1

für a1 , . . . , am ∈ R erhält man für alle x ∈ Cn  λ1 n    q λ1 q 1 + xq = 1+ |xj | = j=1

 (1 + xq )λ1 ≤  (1/r)λ1 1 + xrq .

 ν∈Nn+1 ν1 =λ1

ν

aj j

n (λ1 )!  |xj |qνj %n+1 j=1 νj ! j=1

Lösungen zu 1.1 und auch

547

 λ1 1 + xq ≤ (1 + x1 )λ1  1.1-4 (a)  n  (λ1 )!  = |xj |νj . %n+1 ν ! j n+1 j=1 j=1 ν∈N ν1 =λ1

Als Konstanten (unabhängig von x) sind daher (λ1 )! Cν := %n+1 j=1 νj !

für ν ∈ Nn+1 , ν1 = λ1

wählbar. Lösung zu A 14 N, M : V × W −→ R+ sind wohldefiniert, für alle x ∈ V , y ∈ W , k ∈ K ist N ((x, y)) = 0

⇐⇒ ⇐⇒

xV + yW = 0 (x, y) = (0, 0),

⇐⇒

xV = 0, yW = 0

M ((x, y)) = 0

⇐⇒ ⇐⇒

x2V + y2W = 0 (x, y) = (0, 0),

⇐⇒

xV = 0, yW = 0

N (k(x, y)) = N ((kx, ky)) = kxV + kyW = |k| xV + |k| yW = |k|N ((x, y)),   M (k(x, y)) = kx2V + ky2W = |k|2 x2V + |k|2 y2W = |k|M ((x, y)), und schließlich gilt auch für alle z ∈ V , t ∈ W noch N ((x, y) + (z, t)) = N ((x + z, y + t)) = x + zV + y + tW ≤ xV + yW + zV + tW = N ((x, y)) + N ((z, t)),  M ((x, y) + (z, t)) = x + z2V + y + t2W ; ≤ (xV + zV )2 + (yW + tW )2 = (xV + zV , yW + tW )2 in R2 ≤ (xV , yW )2 + (zV , tW )2  gem. 1.1-3  = M ((x, y)) + M ((z, t)). Darüber hinaus sind die Normen L, M , N im angegebenen Sinn vergleichbar: L((x, y)) = max{xV , yW } ≤ (xV , yW )2 = M ((x, y)) ≤ (xV , yW )1

in R

in R2

2

 gem. 1.1-4 (a)   gem. 1.1-4 (a) 

= N ((x, y)) und  gem. 1.1-4 (b)  N ((x, y)) = (xV , yW )1 ≤ 21/2 (xV , yW )2 =

√ 2M ((x, y)).

Lösungsvorschläge

548 Lösung zu A 15

  q q Für jedes x ∈ +q , q ≥ 1, ist die Reihe ∞ j=0 |xj | konvergent, |xj | j∈N somit eine Nullfolge in C, also auch x. Die im Hinweis angegebene Folge x ist eine Nullfolge: √ 1 − ln(j+2) xj = = e , 1 √ (j + 2) ln(j+2) ; wobei ln(j + 2) > 0 für jedes j ∈ N ist und ( ln(j + 2))j gegen ∞ divergiert. ; Für jedes q ≥ 1 wähle man ein j; ln(j + 2) ≥ q für jedes j ≥ jq . Man erhält q ∈ N, jq ≥ 1, dann für jedes j ≥ jq wegen q/ ln(j + 2) ≤ 1 offensichtlich 1

|xj |q =

(j + 2) und somit

∞  j=0

√

q ln(j+2)

jq −1

|xj |q =



|xj |q +

j=0

≥

∞ 

1 j+2

|xj |q = ∞.

j=jq

Lösung zu A 16 (N-1) und (N-2) sind trivialerweise erfüllt. (N-3) gilt nicht: Für  2x für 0 ≤ x ≤ f (x) := x, g(x) := 1 sonst rechnet man N (f ) =

4 , 9

N (g) =

25 36

und N (f + g) =

1 2

√ 38 − 16 3 9

und somit N (f + g) − N (f ) − N (g) > 0 aus. Lösung zu A 17 Der Name Fréchetmetrik (gem. A 7 (b)) ist hier zulässig, denn für f , g ∈ C(R), f = g, gibt es ein j ∈ N mit f
[−(j + 1), j + 1] = g
[−(j + 1), j + 1], also dj (f, g) = 0. Wäre   eine die Fréchetmetrik d induzierende Norm, so müßte gem. 1.1-1.1 für alle f , g ∈ C(R), z ∈ C d(zf, zg) = zf − zg = |z| f − g = |z|d(f, g) gelten. Dagegen erhält man aber beispielsweise für f = 1, g = 0 und z = 1/2 d(f, g) =

∞ ∞   1 Nj (f − g) 1 1 = =1 j 2 1 + Nj (f − g) j=0 2j 2 j=0

d(zf, zg) =

∞ ∞   1 Nj (zf − zg) 1 21 = 2j 1 + Nj (zf − zg) j=0 2j 1 + j=0

und 1 2

=

2 . 3

Lösungen zu 1.1

549

Lösung zu A 18 Zu (1.1,5) (b) Es seien x, y, z ∈ +2 , k ∈ C. Man erhält: x = 0

∃ j ∈ N : xj = 0, also 0 = xj xj = |xj |2 ∞ ∞  
x, x = xl xl = |xl |2 ≥ |xj |2 > 0,

=⇒ =⇒

l=0


x, y =

∞ 

xj y j =

∞ 

j=0

xj y j =

∞ 

j=0

l=0

xj y j

 Konjugation ist stetig in C 

j=0

=
y, x,
x + y, z =

∞ 

(xj + yj )zj =

∞ 

j=0

(xj zj + yj zj ) =

j=0

∞  j=0

xj zj +

∞ 

yj zj

j=0

 + ist stetig in C, beide Reihen auf der rechten Seite sind gem. (1.1,5) (b) (absolut) konvergent  =
x, z +
y, z,
kx, y =

∞ 

kxj yj = k

∞ 

j=0

 die Multiplikation in C mit k ist stetig 

xj y j

j=0

= k
x, y. Zu (1.1,5) (c) Für auf [a, b] stetige Funktionen f , g wird
f, g durch Riemann-Integrale stetiger Funktionen berechnet, ist also wohldefiniert. Man erhält für alle f , g, h ∈ C([a, b]), k ∈ C: f = 0

=⇒ =⇒

|f |2 = 0 und stetig  b  b
f, f  = ff = |f |2 > 0 a





b


f, g =



b

fg =

b

fg =

a

 vgl. (1.1,2) (c) ,

a

a

fg

 gem. Definition des Integrals 

a

=
g, f ,  b  b
f + g, h = (f + g)h = (f h + gh) a



a



b

b

fh +

= a

=
f, h +
g, h,  b 
kf, g = (kf )g = k a

= k
f, g.

 Additivität des Integrals 

gh a

a

b

fg

 Homogenität des Integrals 

Lösungsvorschläge

550 Lösung zu A 19

h im ist wohldefiniert, da f (j) , g (j) ∈ CR ([a, b]) für alle j = 0, . . . , m gilt. Es seien f , g, h ∈ CRm ([a, b]), r ∈ R. Man erhält: f 6= 0 hf, gim = hf + g, him = =

m Z X j=0

m Z X j=0

m Z X j=0

hrf, gim =

hf, f im =

=⇒

m Z X j=0

b

(f + g)

(j) (j)

f a


(j) 2

=

m Z X j=0

b

f (j) h(j) +

a

m Z X j=0

b

(rf )(j) g (j) =

a

Lösung zu A 20

b a

≥

Z

b

f 2 > 0,

a




b

f

(j) (j)

h

+

a

Z

b

g

(j) (j)

h

a



g (j) h(j) = hf, him + hg, him ,

m Z X j=0

1 2 , 1, 0, . . . , 0

kxk∞ = 1,

h

a

= rhf, gim .

Nein, denn für x =

j=0

b

f (j) g (j) = hg, f im ,

a b

m Z X

b

rf (j) g (j) = r

a

m Z X j=0

b

f (j) g (j) a

, y = (1, 0, . . . , 0) erhält man

kyk∞ = 1,

kx + yk∞ =

3 , 2

kx − yk∞ = 1,

die Parallelogrammgleichung 1.1-8.3 ist nicht erfüllt. Lösung zu A 21 Für a, b ∈ R, a < b sei h i(1) :



CR1 ([a, b]) × CR1 ([a, b]) −→ R Rb (f, g) 7−→ a f 0 g 0 .

h i(1) ist ein Halbskalarprodukt auf CR1 ([a, b]) J vgl. A 19 K, für f = 1 gilt jedoch f 6= 0 und Rb hf, f i(1) = a (f 0 )2 = 0. Lösung zu A 22

k kmax ist wohldefiniert, und für alle r ∈ R, p(x), q(x) ∈ R[x], etwa p(x) = Pnq q(x) = j=0 qj xj , np ≤ nq (o. B. d. A.) gilt: kpkmax = 0

⇐⇒

∀ j ∈ {0, . . . , np } : pj = 0

⇐⇒

p = 0,

P np

j=0

pj x j ,

Lösungen zu 1.1

551

rpmax = max |rpj | = |r| max |pj | = |r| pmax 0≤j≤np

0≤j≤np

und

    p + qmax = max |pj + qj | j ∈ {0, . . . , np } ∪ |qj | j ∈ {np + 1, . . . , nq } ≤ max |pj | + max |qj | = pmax + qmax . 0≤j≤np

0≤j≤nq

Für p(x) = 1 + x, q(x) = 1 + x2 ist wegen p − q2max = p2max = q2max = 1 und p + q2max = 4 die Parallelogrammgleichung 1.1-8.3 nicht erfüllt,  max kann daher nicht durch ein Skalarprodukt induziert werden. Lösung zu A 23 PX\{∅} d-beschränkt, n ≥ 1. Man wähle si ∈ Si Wegen δ(∅) = −∞ seien S1 , . . . , Sn ∈ # n für jedes i ∈ {1, . . . , n}. Für alle x, y ∈ j=1 Sj , o. B. d. A. x ∈ S1 , y ∈ Sn gilt gem. (M-4) d(x, y) ≤ d(x, s1 ) +

n−1 

d(si , si+1 ) + d(sn , y) ≤ δ(S1 ) +

i=1

also auch

 δ

Sj j=1

d(si , si+1 ) + δ(Sn ),

i=1



n

n−1 

≤ δ(S1 ) +

n−1 

d(si , si−1 ) + δ(Sn ) < ∞.

i=1

Lösung zu A 24 Die Apollonios-Gleichung erhält man aus der Parallelogrammgleichung 1.1-8.3 für das Parallelogramm mit den Seiten z − 12 (x + y), 12 (x − y):  2  2 2z − 12 (x + y)  + 2 12 (x − y)   2  2 = z − 12 (x + y) − 12 (x − y)  + z − 12 (x + y) + 12 (x − y)  ergibt

 2 2z − 12 (x + y)  + 12 x − y2  = z − x2  + z − y2  .

Lösung zu A 25 Für alle v, w ∈ V gilt 4
T (v), w =
T (v + w), v + w −
T (v − w), v − w + i
T (v + iw), v + iw − i
T (v − iw), v − iw =0  nach Voraussetzung , also T (v) = 0  1.1-7 (b) .

Lösungsvorschläge

552

Lösungen zu 1.2 Lösung zu A 1 (a)

In jedem metrischen Raum (X, d) ist jede schließlich konstante Folge (xj )j ∈ X N gegen eben diese Konstante d-konvergent. Für ddis gilt auch die Umkehrung: Sei (xj )j ∈ X N , a ∈ X, (xj )j →ddis a und ε := 1/2. Man wähle ein jε ∈ N, so daß ∀ j ≥ jε : ddis (xj , a) < ε,

also

∀ j ≥ jε : x j = a

gilt. Somit erhält man { (xj )j ∈ X N | (xj )j ddis -konvergent }

= { (xj )j ∈ X N | ∃ a ∈ X ∃ j0 ∈ N ∀ j ≥ j0 : xj = a }.

(b) Für jedes ε > 0, n ∈ N gilt

(c)

Kεdε (n) = {n},
1 denn für m ∈ N\{n} ist dε (n, m) = 1 + n+m+1 ε > ε.

Definitionsgemäß gilt dj (n, n) = 0 und dj (n, m) = dj (m, n) für alle n, m ∈ N. Die Dreicksungleichung erhält man mit einer naheliegenden Fallunterscheidung: Es seien n, m, k ∈ N, n 6= m, n ∈ Nj , m ∈ Nj (In den anderen Fällen ist dj (n, m) = 0 ≤ dj (n, k) + dj (k, m) offensichtlich erfüllt.). Dann ist dj (n, m) = 1 und k 6= n oder k 6= m, also dj (n, k) = 1 oder dj (k, m) = 1. Schließlich gilt { k ∈ N | (i)i∈N →dj k } = N\Nj : (i)i∈N →dj k

⇐⇒

∃ i0 ∈ N\Nj ∀ i ≥ i0 : dj (i, k) = 0

⇐⇒

k ∈ N\Nj .

J dj [N × N] = {0, 1} K

Lösung zu A 2 (fj )j ist punktweise d| | -konvergent gegen 0 J (xj )j ist für x ∈ [0, 1[ eine Nullfolge in R, also auch (f (xj ))j K. Wäre (fj )j d∞ -konvergent, so würde (fj )j →d∞ 0

nach (1.2,1) (c) (i) folgen, was aber wegen d∞ (fj , 0) = sup |fj (x)| = sup |f (xj )| = sup |f (y)| > 0 x∈[0,1]

x∈[0,1]

y∈[0,1]

nicht möglich ist. Lösung zu A 3 (a)

Die durch yj,k := bk + δj,k erklärte Folge (yj )j ∈ (`∞ )N ist koordinatenweise dk -konvergent gegen b, wegen d∞ (yj , b) = supk∈N |yj,k − bk | = 1 jedoch nicht d∞ -konvergent gegen b.

Lösungen zu 1.2

553

(b) Für q ∈ R, q > p, wähle man ein r ∈]1, q/p[ und betrachte die durch ( r/q für 0 ≤ k ≤ j (1/(j + 1)) xj,k := 0 sonst erklärte Folge (xj )j ∈ (`p )N . Wegen dq (xj , 0) = (j + 1)(1−r)/q ist (xj )j dq - (und gem. (1.2,1)(b)(ii) auch d∞ -) konvergent gegen 0. Da für jedes j ∈ N dp (xj , 0) = (j + 1)1/p−r/q und 1/p − r/q > 0 gilt, ist (xj )j nicht dp -konvergent gegen 0. Lösung zu A 4 Man definiere für j ∈ N, x ∈ [a, b] (Abb. L-3)   0   1/q 2(j+1)(q+1)/q x + 2(j+1)b−a(ja+b) fj (x) := − b−a    2(j+1)(q+1)/q x − 2a(j+1)(q+1)/q b−a

b−a

für a + für a +

b−a j+1 ≤ b−a 2(j+1)

x≤b

≤x≤a+

für a ≤ x ≤ a +

b−a j+1

b−a 2(j+1) .

y (j + 1)1/q fj

a

a+

b−a 2(j+1)

a+

b−a j+1

b

x

Für alle x ∈ [a, b] gilt (fj (x))j →d| | 0 J klar K. Wegen dq (fj , 0)q =

Z

b

a

|fj |q = 2

Z

(2(j + 1))q+1 = (b − a)q

a

b−a a+ 2(j+1) 

Z

b−a a+ 2(j+1)

a

ist (fj )j nicht dq -konvergent gegen 0.

Abbildung L-3

2a(j + 1)(q+1)/q q 2(j + 1)(q+1)/q x− dx b−a b−a (x − a)q dx =

b−a >0 q+1

Lösungsvorschläge

554 Lösung zu A 5

Es seien a = d-limj x2j , b = d-limj x2j+1 und c = d-limj x3j . Zu ε > 0 wähle man demgemäß ein jε ∈ N mit der Eigenschaft ∀ j ≥ jε : d(a, x2j ) < ε, d(b, x2j+1 ) < ε, d(c, x3j ) < ε. Für jedes j ≥ jε gilt dann insbesondere d(a, x3j ) < ε,

falls j gerade ist, und

d(b, x3j ) < ε

für ungerades j,

woraus mit Hilfe von 1.2-1 (c) a = c und b = c, also a = b = c und (xj )j →d a folgt  ∀ j ≥ jε : d(a, x2j ) < ε und d(a, x2j+1 ) < ε . Die Zusatzfrage ist bereits in (X, d) := (R, d| | ) zu verneinen: Man setze für jedes j ∈ N x2j := 0 und x2j+1 := 1 bzw.  0, falls 2j + 1 = 3k für ein k ∈ N x2j := 0 und x2j+1 := j sonst  0, falls 2j = 3k für ein k ∈ N x2j+1 := 0 und x2j := j sonst.

bzw.

Lösung zu A 6 (a)

Es gilt d(x, y) =

j ∞   1 dk (x, y) 1 dk (x, y) + 2k 1 + dk (x, y) 2k 1 + dk (x, y)

k=0

k=j+1

dj (x, y) ≤ 1 + dj (x, y) 

dk (x,y) 1+dk (x,y)

≤2

≤

j  k=0

∞  1 1 + 2k 2k k=j+1

dk+1 (x,y) 1+dk+1 (x,y)

< 1; vgl. 1.1, A 7 

1 dj (x, y) + 1 + dj (x, y) 2j

und ebenso j−1 ∞   1 1 dk (x, y) 1 dk (x, y) dj (x, y) d(x, y) = + ≥ j−1 2k 1 + dk (x, y) 2k 1 + dk (x, y) 2 1 + dj (x, y) k=0

k=j

 der erste Summand ist nichtnegativ,

dk (x,y) 1+dk (x,y)

≥

dj (x,y) 1+dj (x,y)

für jedes k ≥ j .

(b) „⇒“ Sei k ∈ N und ε > 0. Man wähle ein jε ∈ N mit ∀ j ≥ jε : d(xj , x) ≤

ε 1 . 2k−1 1 + ε

Lösungen zu 1.2

555

Mit (a) folgt hieraus ε dk (xj , x) ≤ , 1 + dk (xj , x) 1+ε also dk (xj , x) < ε für jedes j ≥ jε  strenge Monotonie der Funktion α aus 1.1, A 7 (a) . „⇐“ Sei ε > 0, k ∈ N mit 1/2k ≤ ε/2 und gem. Voraussetzung jε ∈ N mit ε . 4

∀ j ≥ jε : dk (xj , x) ≤ Es folgt für jedes j ≥ jε d(xj , x) ≤ 2

Lösung zu A 7 (N-1): N (p(x)) = 0 ⇐⇒

n 

1 ε ε dk (xj , x) ε + ≤ 2dk (xj , x) + ≤ + = ε. 1 + dk (xj , x) 2k 2 2 2

|p(ri )| = 0 ⇐⇒ ∀ i = 0, . . . , n : p(ri ) = 0 ⇐⇒ p(x) = 0

i=0

 Mit Ausnahme des Nullpolynoms hat jedes Polynom vom Grad ≤ n höchstens n Nullstellen.  n n   |kp(ri )| = |k| |p(ri )| = |k|N (p(x)) (N-2): N (kp(x)) = i=0

(N-3):

N (p(x) + q(x)) =

n 

i=0

|(p(x) + q(x))(ri )| ≤

i=0

n 

|p(ri )| +

i=0

n 

|q(ri )|

i=0

= N (p(x)) + N (q(x)) Für jede Folge (pj (x))j ∈ Rn [x]N und jedes p(x) ∈ Rn [x] gilt: (pj (x))j →dN p(x)

⇐⇒

(dN (pj (x), p(x)))j →τ | | 0

⇐⇒

(N (pj (x) − p(x)))j →τ | | 0   n |pj (ri ) − p(ri )| →τ | | 0

⇐⇒

i=0

 1.2-1 (a) 

j

⇐⇒

∀ i = 0, . . . , n : (|pj (ri ) − p(ri )|)j →τ | | 0

⇐⇒

∀ i = 0, . . . , n : (pj (ri ))j →τ | | p(ri ).

Also: (pj (x))j ist genau dann dN -konvergent gegen p(x), wenn (pj (x))j an jeder Stelle ri , i = 0, . . . , n, gegen p(ri ) konvergiert. Lösung zu A 8 (a)

 εd (x)]. Dann folgt Sei z ∈ Kεd (x) [bzw. z ∈ K d(z, y) ≤ max{d(z, x), d(x, y)} < ε [bzw. ≤ ε],

Lösungsvorschläge

556

 εd (x) ⊆ K  εd (y)]. Umgekehrt erhält man für z ∈ Kεd (y) also Kεd (x) ⊆ Kεd (y) [bzw. K  εd (y)] ebenso [bzw. z ∈ K d(z, x) ≤ max{d(z, y), d(y, x)} < ε [bzw. ≤ ε],  εd (y) ⊆ K  εd (x)]. also Kεd (y) ⊆ Kεd (x) [bzw. K (b) Für z ∈ Kεd (x) ∩ Kεd (y) gilt gem. (a) Kεd (x) = Kεd (z) = Kεd (y). Entsprechend für die abgeschlossenen ε-Kugeln.  εd (x) ∈ ατ gilt gem. (1.2,2) (a) (i). Für alle z ∈ X\Kεd (x) ist (c) Kεd (x) ∈ τd und K d

Kεd (z) ∩ Kεd (x) = ∅  wegen (b)  und somit X\Kεd (x) ∈ τd , d. h. Kεd (x) ∈ ατd .  εd (x) auch Kεd (z) ⊆ K  εd (z) = K  εd (x), also K  εd (x) ∈ τd . Schließlich gilt für alle z ∈ K

Lösung zu A 9 (a)

„⇒“ gilt gem. Definition der Umgebung.

„⇐“ Sei O ∈ τ. Für jedes x ∈ O ist dann#O ∈ Uτ (x) ⊆ Uσ (x), also existiert ein Px ∈ σ mit x ∈ Px ⊆ O. Es folgt O = x∈O Px ∈ σ. # (b) ∅, X ∈ τ ∩ σ, ∀ O, P ∈ τ ∩ σ : O ∩ P ∈ τ ∩ σ und ∀ O ⊆ τ ∩ σ : O ∈ τ ∩ σ sind direkt aus der Definition der Topologie ersichtlich. τ ∪ σ ist i. a. keine Topologie: Man betrachte auf X = {0, 1, 2} die Topologien     τ := ∅, X, {0}, {1, 2} und σ := ∅, X, {1}, {0, 2} . Es ist {0}, {1} ∈ τ ∪ σ, jedoch {0} ∪ {1} = {0, 1} ∈ τ ∪ σ. Lösung zu A 10 (i) ⇒ (ii) Ist X unendlich, so existiert eine unendliche Teilmenge T ⊆ X, für die auch X\T unendlich ist  Sei A ⊆ X abzählbar unendlich, etwa a : N −→ A eine Bijektion, T := { a2j | j ∈ N } . Keine der Mengen T , X\T gehört zu τc . (ii) ⇒ (iii) Ist X endlich, so gilt natürlich τc = PX = τdis , und τdis ist metrisierbar durch ddis  (1.2,2) (c) . (iii) ⇒ (i) Sei τc pseudometrisierbar durch d, d. h. τd = τc . Besteht X nur aus einem einzigen Element, so gilt natürlich τc = τdis . X habe also mindestens zwei Elemente. Dann gibt es auch x, y ∈ X mit 0 < d(x, y)  andernfalls wäre Kδd (z) = X für alle z ∈ X, δ > 0, also (τc =) τd = τin
. Mit ε := d(x, y) erhält man: d d (x), Kε/2 (y) ∈ τd \{∅} (= τc \{∅}) Kε/2 d d (x) ∩ Kε/2 (y) = ∅  d(x, z) < ε/2, d(y, z) < ε/2 =⇒ d(x, y) ≤  (1.2,2) (a) (i)  und Kε/2 d d (x), X\Kε/2 (y) endliche Mengen, also ist auch d(x, z) + d(z, y) < ε
. Somit sind X\Kε/2 d d d d (x) ∩ Kε/2 (y)) = (X\Kε/2 (x)) ∪ (X\Kε/2 (y)) endlich. Es folgt τc = τdis . X = X\(Kε/2

Lösungen zu 1.2

557

Lösung zu A 11 (a)

Natürlich gehören X und ∅ zur Menge τV J Man kann keinen Punkt x in ∅ angeben (es gibt keinen!), für den kein U ∈ V(x) mit U ⊆ ∅ existiert! K. Sind O, P ∈ τV und x ∈ O ∩ P , so gibt es nach Voraussetzung V , W ∈ V(x) mit V ⊆ O und W ⊆SP , woraus V ∩ W ∈ V(x) J (U-2) K, V ∩ W ⊆ O ∩ P folgt. Für O S ⊆ τV und x ∈ O existiert ein O ∈ O mit x ∈ O, also ein V ∈ V(x) mit V ⊆ O ⊆ O.

(b) UτV ⊆ V: Sei x ∈ X, U ∈ UτV (x). Nach Definition des Umgebungsfilters UτV (x) existiert ein O ∈ τV mit x ∈ O ⊆ U , und nach Definition der Topologie τV gilt V ⊆ O für ein V ∈ V(x). Gem. (U-3) erhält man daher U ∈ V(x). UτV ⊇ V: Sei x ∈ X, U ∈ V(x). Wegen (U-4) gibt es ein V ∈ V(x) mit V ⊆U (c)

und ∀ y ∈ V : V ∈ V(y).

Nach Definition der Topologie τV gehört V zu τV , U also zu UτV (x) J (U-3) K.

Für die Topologie σ ist Uσ eine Umgebungsfunktion auf X J 1.2-7 K.

σ ⊆ τUσ : Sei O ∈ σ, x ∈ O, also O ∈ Uσ (x). Gem. Definition der Topologie τV ist O ∈ τ Uσ .

σ ⊇ τUσ : Sei O ∈ τUσ , x ∈ O. Nach Definition von τV existiert ein Vx ∈ Uσ (x) mit Vx ⊆ O. Hieraus folgt O ∈ σ: Man S wähle ein Px ∈ σ mit x ∈ Px ⊆ Vx J Umgebungsdefinition K. Es gilt dann O = x∈O Px ∈ σ J (O-3) K.

(d) Beide Funktionen sind gem. 1.2-7 bzw. (a) wohldefiniert. Die Aufgabenteile (b), (c) ergeben die Bijektivität und die Tatsache, daß beide Abbildungen zueinander invers sind (s. auch Anhang 1-19). Lösung zu A 12

Es sei f ∈ C([a, b])\C([a, b]; T ), etwa x ∈ T mit f (x) 6= 0. Mit ε := |f (x)| ist dann Kεd∞ (f ) ∩ C([a, b]; T ) = ∅: Für alle g ∈ C([a, b]; T ) erhält man nämlich wegen g(x) = 0 d∞ (f, g) = sup |f (y) − g(y)| ≥ |f (x) − g(x)| = |f (x)| = ε, y∈[a,b]

woraus g 6∈ Kεd∞ (f ) folgt. Somit gilt C([a, b])\C([a, b]; T ) ∈ τd∞ , also C([a, b]; T ) ∈ ατd∞ . Die Zusatzfrage ist mit nein zu beantworten: Man betrachte T = {a} und für jedes j ∈ N die durch ( j+1 j+1 x − b−a a für a ≤ x ≤ a + fj (x) := b−a 1 sonst

b−a j+1

auf [a, b] erklärte Funktion fj ∈ C([a, b]; T ). Die auf [a, b] konstante Funktion 1 gehört nicht zu C([a, b]; T ), und es gibt keine ε-Kugel um 1 (bzgl. d1 ), die ganz im Komplement von C([a, b]; T ) liegt:

Lösungsvorschläge

558 Man wähle j0 ∈ N mit

b−a 2(j0 +1)

< ε. Für jedes j ≥ j0 folgt dann

d1 (fj , 1) =

b−a b−a ≤ < ε, 2(j + 1) 2(j0 + 1)

also fj ∈ Kεd1 (1). Lösung zu A 13 (a)

Sei (xj )j ∈ +∞ \c0 , etwa ε > 0 mit

∀ j ∈ N ∃ nj ≥ j : xnj ≥ 2ε.

Dann gilt Kεd∞ ((xj )j ) ⊆ +∞ \c0 (c0 ist also (d∞ -)abgeschlossen): Für (yj )j ∈ c0 gibt es ein jε ∈ N mit ∀ j ≥ jε : |yj | < ε, und man erhält

d∞ ((xj )j , (yj )j ) = sup|xj − yj | ≥ xnjε − ynjε ≥ xnjε − ynjε j

≥ 2ε − ε = ε, also (yj )j ∈ Kεd∞ ((xj )j ). Sei nun (xj )j ∈ +∞ \c.

Annahme: ∀ ε > 0 : Kεd∞ ((xj )j ) ∩ c = ∅. Für δ > 0 wähle man dann gem. Annahme ein (yj )j ∈ c mit d∞ ((xj )j , (yj )j ) = sup|xj − yj | < j

δ 4

und weiter ein jδ ∈ N mit δ ∀ j ≥ jδ : yj − lim yk < . k 4 Für alle i, j ≥ jδ folgt

|xj − xi | ≤ |xj − yj | + yj − lim yk + lim yk − yi + |yi − xi | < δ, k

k

(xj )j ist somit (gem. dem Cauchyschen Konvergenzkriterium in C) konvergent in (C, d| | ).
c und c0 sind nach 1.2-2 (b), (c) Untervektorräume von +∞  In (C, d| | ) konvergente Folgen sind beschränkt. . $ ∈ { +r | r ∈ R ∪ {∞}, r > p }\+p . Für jedes (b) Gem. 1.1-5 existiert eine Folge (xj )j ∞ ε > 0 wähle man ein jq ∈ N mit j=jq |xj |q < εq für q ∈ R bzw. |xj | < ε/2 für ≥ jq , falls q = ∞.  Wegen (xj )j ∈ +p+1 gibt es ein jq ∈ N mit ∞alle j p+1 < (ε/2)p+1 , woraus |xj | < ε/2 für jedes j ≥ jq folgt.  Die durch j=jq |xj |  xj für j ∈ {0, . . . , jq − 1} yj := 0 für j ≥ jq

Lösungen zu 1.2

559 d

definierte Folge (yj )j gehört zu +p ∩ Kε q ((xj )j ), denn  supj |xj − yj | = supj≥jq |xj | ≤ 2ε < ε    ∞ dq ((xj )j , (yj )j ) =  ∞ q 1/q q 1/q = 0 mit K εdN (a)  dN dN A + {b} b ∈ B muß nur noch K|k|ε (y) = kKε (a) ⊆ kA, und wegen A + B = A + {b} ∈ τN für jedes b ∈ B gezeigt werden: Sei a ∈ A, ε > 0, KεdN (a) ⊆ A. Es folgt KεdN (a + b) = KεdN (a) + {b} ⊆ A + {b}.

(b)  (a)  A ∈ ατN =⇒ V \A ∈ τN =⇒ V \kA = k(V \A) ∈ τN  # und A + B = A + {b} b ∈ B ∈ ατN  V \(A + {b}) = (V \A) + {b} . Für abgeschlossene Mengen A, B ist i. a. A + B nicht wieder abgeschlossen: Man betrachte im R-Vektorraum (R2 ,  2 ) die abgeschlossenen Mengen (Abb. L-4)   1 . A := { (x, 0) | x ∈ R } und B := (x, y) ∈ R2 x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1 − 1+x Es gilt dann A + B = { (x, y) ∈ R2 | x ∈ R, 0 ≤ y < 1 } ∈ ατ 2 .

y 1

A+B

A (c)

B

0

x

Abbildung L-4

Für W = V ist nichts zu beweisen. Sei also x ∈ V \W ∈ τN . Dann existiert ein ε > 0 mit KεdN (x) ⊆ V \W , d. h. W ⊆ V \KεdN (x). Es folgt: ∀ w ∈ W : dN (x, w) = N (x − w) ≥ ε. Wegen NW (x + W ) = inf{ N (x + w) | w ∈ W } ≥ ε > 0 folgt die Behauptung.

Lösungsvorschläge

562 Lösung zu A 18 Zunächst gilt für alle x, y ∈ +∞ , k ∈ C\{0}

    dist(kx, c0 ) = inf{ kx − ν∞ | ν ∈ c0 } = inf |k| x − k1 ν ∞ ν ∈ c0 = |k| inf{ x − ν∞ | ν ∈ c0 }

 c0 ist C-Vektorraum! ,

dist(x + y, c0 ) = inf{ x + y − ν∞ | ν ∈ c0 } = inf{ x + y − (ν + µ)∞ | ν, µ ∈ c0 } ≤ inf{ x − ν∞ + y − µ∞ | ν, µ ∈ c0 } ≤ inf{ x − ν∞ | ν ∈ c0 } + inf{ y − µ∞ | µ ∈ c0 } = dist(x, c0 ) + dist(y, c0 ), woraus N (kx) = |k|N (x)  Für k = 0 ist die Gleichung auch richtig.  und N (x + y) ≤ N (x) + N (y) folgt. Ist N (x) = max{x∞ , 2 dist(x, c0 )} = 0, so folgt x∞ = 0, also x = 0. Daher ist N eine Norm auf +∞ , und es gilt x∞ ≤ N (x) = max{x∞ , 2 dist(x, c0 )} ≤ 2x∞ wegen dist(x, c0 ) = inf{ x − ν∞ | ν ∈ c0 } ≤ x∞ . Gem. 1.2-6.1 sind  ∞ , N topologisch äquivalent. Lösung zu A 19 Für alle s ∈ S gilt dist(x, S) − d(x, x ) ≤ d(x, s) − d(x, x ) ≤ d(s, x ), also dist(x, S) − d(x, x ) ≤ inf s∈S d(s, x ) = dist(x , S) und somit dist(x, S) − dist(x , S) ≤ d(x, x ). Aus Symmetriegründen folgt die Behauptung.

Lösungen zu 2.1 Lösung zu A 1 Es sei o. B. d. A. P ∈ τ ∩ Uτ ((0, 0)). Nach Definition der Arens-Topologie enthält P aus fast allen Spalten fast alle Elemente, speziell gilt somit     P \{(0, 0)} ∩ N × N\{(0, 0)} = ∅, (0, 0) ist also Häufungspunkt von N × N\{(0, 0)}. Lösung zu A 2 (a)

x isolierter Punkt von S

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x ∈ S, ∃ U ∈ Uτ (x) : U \{x} ⊆ X\S x ∈ S, ∃ U ∈ Uτ (x) : (U \{x}) ∩ S = ∅ x ∈ S, x nicht Häufungspunkt von S

Lösungen zu 2.1 (b)

(c)

563

x äußerer Punkt von S

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x innerer Punkt von X\S ∃ U ∈ Uτ (x) : U ⊆ X\S ∃ U ∈ Uτ (x) : U ∩ S = ∅

⇐⇒ ⇐⇒

x nicht Berührpunkt von S x ∈ S und x nicht Häufungspunkt von S

Sei x ∈ X\(S ◦τ ∪ S äτ ), also für alle U ∈ Uτ (x) U S

und

U X\S,

d. h. U ∩ (X\S) = ∅ und U ∩ S = ∅. x ist dann Randpunkt von S. Wegen S ◦τ ⊆ S, S äτ ⊆ X\S ist S ◦τ ∩ S äτ = ∅. Für x ∈ S ◦τ existiert ein U ∈ Uτ (x) mit U ⊆ S, also x ∈ ∂τ S und somit S ◦τ ∩ ∂τ S = ∅. Entsprechend gibt es für jedes x ∈ S äτ ein U ∈ Uτ (x) mit U ⊆ X\S, x gehört also nicht zu ∂τ S. (d)

τ

τ

τ

∂τ S ◦τ = S ◦τ ∩ X\S ◦τ = S ◦τ ∩ X\S =

τ S ◦τ

∩ X\S

ττ

 2.1-1 (a) 

τ

 2.1-1.1 (c) 

τ

τ

⊆ S ∩ X\S = ∂τ S „=“ gilt nicht: Für S := {1} in (R, τ| | ) ist ∂τ | | S = {1}, ∂τ | | S ◦τ | | = ∂τ | | ∅ = ∅. (e)

Wegen S, T ⊆ S ∪ T folgt mit 2.1-1.1 (c) S ◦τ , T ◦τ ⊆ (S ∪ T )◦τ , d. h. S ◦τ ∪ T ◦τ ⊆ (S ∪ T )◦τ . „=“ gilt nicht, denn für S := Q ∩ ]0, 1[ und T := (R\Q) ∩ ]0, 1[ in (R, τ| | ) erhält man S ◦τ | | = T ◦τ | | = ∅, es ist jedoch (S ∪ T )◦τ | | = ]0, 1[.

(f)

τ

τ

τ

τ

Natürlich ist S ⊇ S ◦τ , S ∩ X\S = ∂τ S. Umgekehrt sei x ∈ S \S ◦τ . Für jedes U ∈ Uτ (x) ist dann U ∩ S = ∅ und U S, d. h. U ∩ (X\S) = ∅, also x ∈ ∂τ S.

(g) Nach Definition gilt τ

τ

τ

∂τ ∂τ S = ∂τ S ∩ X\∂τ S ⊆ ∂τ S = ∂τ S. „=“ gilt nicht: ∂τ | | ∂τ | | Q = ∂τ | | R = ∅ und ∂τ | | Q = R in (R, τ| | ). τ

τ

τ

(h) Für x ∈ ∂τ S = S ∩ X\S , U ∈ Uτ (x) gilt x ∈ S und U ∩ (X\S) = ∅, also U S. τ τ Es folgt x ∈ S \S ◦τ . Umgekehrt sei x ∈ S \S ◦τ und U ∈ Uτ (x), also U ∩ S = ∅ und U S (d. h. U ∩ (X\S) = ∅). Es folgt x ∈ ∂τ S. (i) S ∈ ατ

S∈τ

⇐⇒

τ

S =S S ◦τ

 2.1-1.1 (b) 

⇐⇒ ⇐⇒

S= ∪ ∂τ S ∂τ S ⊆ S

 (f)   (f) ,

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

X\S ∈ ατ ∂τ (X\S) ⊆ X\S ∂τ S ∩ S = ∅

 s. o.   ∂τ (X\S) = ∂τ S ,

Lösungsvorschläge

564 S ∈ τ ∩ ατ

⇐⇒ ⇐⇒

∂τ S ⊆ S ∩ (X\S) ∂τ S = ∅.

 s. o. 

Lösung zu A 3

# τ erfüllt offensichtlich (O-1) # und (O-2). Sei O ⊆ τ. Für O = ∅ oder O = {∅} ist O = ∅ ∈ τ und für R ∈ O gilt O = R ∈ τ. Daher sei o. B. d. A. ∅, R ∈ O, O = ∅, etwa O = { ]−∞, r[ | r ∈ R } für ein ∅ = R ⊆ R. Man erhält dann  R für sup R = ∞ O= ]−∞, s[ für s := sup R < ∞, # also O ∈ τ. Es ist {0}τ = ]0, ∞[:   Sei x ∈ R. Für x > 0 gilt ]−∞, x + r[\{x} ∩ {0} = {0} für alle r > 0, also x ∈ {0}τ . Für x = 0 ist natürlich (U \{0}) ∩ {0} = ∅ für alle U ∈ Uτ (0), also 0 ∈ {0}τ . Schließlich erhält ' & τ man für x < 0 beispielsweise −∞, x − x2 ∩ {0} = ∅, also sogar x ∈ {0} . {0}τ ist nicht abgeschlossen in (R, τ), weil R\{0}τ = ]−∞, 0]  s. o.  nicht zu τ gehört. Lösung zu A 4 Wegen ∂τ S = ∂τ (X\S) sei o. B. d. A. S ∈ τ. Es folgt:  τ τ ∂τ ∂τ S = ∂τ S ∩ X\S  τ ττ τ τ τ = S ∩ X\S ∩ X\ S ∩ X\S  τ τ τ τ = S ∩ X\S ∩ X\S ∪ S  2.1-1.1 (b) mit 1.2-4, X\S ∈ ατ  τ   τ τ  2.1-1.1 (c)  = ∂τ S ∩ X\S ∪ S τ

 ∂τ S ⊆ S .

= ∂τ S

Lösung zu A 5 Zu zeigen ist nur (ii) ⇒ (i). τ

Sei S ⊆ X, x ∈ S τ und U ∈ Uτ (x) ∩ τ. Wegen (U \{x}) ∩ {x} = ∅ ist x ∈ {x}τ , und nach Voraussetzung (ii) gilt X\{x}τ ∈ τ, V := U \{x}τ = U ∩ (X\{x}τ ) ist somit eine offene Umgebung von x. Man wähle ein v ∈ V ∩ S τ . Für v = x ist x ∈ S τ . Sei also v = x. Da v nicht Häufungspunkt von {x} ist, gibt es eine Umgebung W von v mit (W \{v}) ∩ {x}= ∅, d. h. x ∈ W . Da v Häufungspunkt von S und V ∩ W ∈ Uτ (v) ist, existiert ein z ∈ (V ∩ W )\{v} ∩ S, insbesondere ist z ∈ V ∩ S, z = x  x ∈ W , woraus sich z ∈ (V \{x}) ∩ S ⊆ (U \{x}) ∩ S, also ebenfalls x ∈ S τ ergibt. Insgesamt erhält man τ S τ ⊆ S τ , d. h. S τ ∈ ατ  2.1-1.1 (b) . Lösung zu A 6 (i) ⇒ (ii) gilt gem. Definition der Konvergenz.

Lösungen zu 2.1

565

(ii) ⇒ (i) Ist S nicht offen, so existiert ein x ∈ S mit ∀ U ∈ Uτ (x) : U S. Für jedes U ∈ Uτ (x) wähle man ein MU ∈ U ∩ (X\S). Die durch M (U ) := MU definierte Funktion M ist ein Netz in X\S (mit der gerichteten Menge (Uτ (x), ⊆) als Definitionsbereich), das gegen x konvergiert  Für alle V , U ∈ Uτ (x) gilt: V ⊆ U =⇒ M (V ) ∈ U . . Lösung zu A 7 x∈S

(a)

τd

⇐⇒

∀ U ∈ Uτd (x) : U ∩ S = ∅

⇐⇒ ⇐⇒

∀ ε > 0 : Kεd (x) ∩ S = ∅ ∀ ε > 0 ∃ sε ∈ S : d(x, sε ) < ε

⇐⇒

inf{ d(x, s) | s ∈ S } = 0.

(b) Für jedes j ∈ N setze man  Oj := x ∈ X

inf{ d(x, a) | a ∈ A }
0. Für jedes y ∈ W gilt dann d d Kε q (y) = y − x + Kε q (x) ⊆ W , also ist W ∈ τq . Darüber hinaus ist d

W =V\

{ z + W | z ∈ V, z ∈ W } ∈ ατq ,

da mit W auch z + W eine offene Menge ist  1.2, A 17 (a) . (c)

τq

Mit W ist gem. (a) auch W ein K-Untervektorraum von V . Maximalität von W ergibt τq τq daher W = W oder W = V , wobei wegen W  V nicht beide Gleichungen gelten können.

Lösungsvorschläge

566 Lösung zu A 9 (i) ⇒ (ii) Wegen τ ⊆ σ gilt gem. 2.1-1.1 (a) S ◦τ =

{ O ∈ σ | S ⊆ O } = S ◦σ .

{O ∈ τ | S ⊇ O} ⊆

(ii) ⇒ (iii) Nach 2.1-1 (a) erhält man τ

σ

S = X\(X\S)◦τ ⊇ X\(X\S)◦σ = S . (iii) ⇒ (i) Für jedes O ∈ τ ist X\O ∈ ατ , also gem. (iii) und 2.1-1.1 (b) σ

τ

X\O ⊆ X\O = X\O. σ

Es folgt X\O = X\O, d. h. X\O ∈ ασ  2.1-1.1 (b) . Lösung zu A 10 (i) ⇒ (ii) ist klar gem. Definition der Konvergenz. (ii) ⇒ (i) Sei S ∈ τ, etwa x ∈ S mit ∀ U ∈ Uτ (x) : U S. Ist { Uj | j ∈ N } eine abzählbare Umgebungsbasis von x, o. B. d. A. Uj+1 ⊆ Uj für alle j ∈ N, so wähle man xj ∈ Uj \S für jedes j ∈ N. Die Folge (xj )j ∈ (X\S)N ist τ-konvergent gegen x. Lösung zu A 11 (i) ⇒ (ii) ist klar gem. Definition der Konvergenz. (ii) ⇒ (i) Sei S ∈ τ, x ∈ S und (xj )j ∈ X N mit (xj )j →σ x. Nach Voraussetzung (ii) erhält man (xj )j →τ x, also existiert ein j0 ∈ N mit ∀ j ≥ j0 : xj ∈ S. Es folgt S ∈ σ  A 10 . Lösung zu A 12 Der kürzeren (und übersichtlicheren) Schreibweise wegen werden die Bezeichnungen S − := S

τ

und

S c := X\S

verwendet. (a)

Es gilt S cc = S, S −− = S −  2.1-1.1 (c)  und S −c ⊆ S −c− , also auch S − = S −cc ⊇ S −c−c , woraus

S −− = S − ⊇ S −c−c−

folgt. Verwendet man die letzte Ungleichung für die Menge S −c anstelle von S, so ergibt sich S −c− ⊇ S −c−c−c− ,

Lösungen zu 2.1

567

andererseits ist nach derselben Ungleichung auch S −c− ⊆ S −c−c−c− . (b) Nach (a) sind die Folgen αS , βS periodisch mit der Periode 4: αS (j + 4) = αS (j) für alle j ≥ 3, βS (j + 4) = βS (j)

für alle j ≥ 4

 βS (k + 1) = αX\S (k) für jedes k ∈ N . Es folgt: KS = {S} ∪ { αS (j) | j = 1, . . . , 6 } ∪ { βS (j) | j = 1, . . . , 7 } hat höchstens 14 Elemente. (c)

Man betrachte beispielsweise die Menge S := {0} ∪ ]1, 2[ ∪ ]2, 3[ ∪ ([4, 5] ∩ Q).

Lösung zu A 13 (a)

Die Abbildungen sind wohldefiniert, denn für alle S, T ⊆ X, k ∈ KX , h ∈ HX gilt: C ◦ k ◦ C(S) = X\k(X\S) ⊇ X\(X\S) = S

und

C ◦ h ◦ C(S) = X\h(X\S) ⊆ X\(X\S) = S, (C ◦ k ◦ C) ◦ (C ◦ k ◦ C)(S) = C ◦ k ◦ k ◦ C(S) ⊆ C ◦ k ◦ C(S) und (C ◦ h ◦ C) ◦ (C ◦ h ◦ C)(S) = C ◦ h ◦ h ◦ C(S) ⊇ C ◦ h ◦ C(S), C ◦ k ◦ C(S ∪ T ) = C ◦ k(C(S) ∩ C(T )) = C(k ◦ C(S) ∩ k ◦ C(T )) = C ◦ k ◦ C(S) ∪ C ◦ k ◦ C(T )

und

C ◦ h ◦ C(S ∩ T ) = C ◦ h(C(S) ∪ C(T )) = C(h ◦ C(S) ∪ h ◦ C(T )) = C ◦ h ◦ C(S) ∩ C ◦ h ◦ C(T ), C ◦ k ◦ C(∅) = C ◦ k(X) = C(X) = ∅ und C ◦ h ◦ C(X) = C ◦ h(∅) = C(∅) = X. Die Abbildungen sind (zueinander inverse) Bijektionen wegen C ◦ C = idPX . (b) t(k) = { O ⊆ X | k(O) = O } = { O ⊆ X | C ◦ C ◦ k ◦ C ◦ C(O) = O } = { O ⊆ X | C ◦ k ◦ C(C(O)) = C(O) } = t(C ◦ k ◦ C)

 C ◦ C = idPX 

Lösungsvorschläge

568 und t(h) = { O ⊆ X | h(X\O) = X\O } = { O ⊆ X | h ◦ C(O) = C(O) } = { O ⊆ X | C ◦ h ◦ C(O) = O } = t(C ◦ h ◦ C)

 C ◦ C = idPX 

(c) k(τ)(S) = kτ (S) = S ◦τ = X\X\S = C ◦ hτ ◦ C(S)

τ

 2.1-1 (a) 

und τ

h(τ)(S) = S = X\(X\S)◦τ = C ◦ kτ ◦ C(S)

 2.1-1 (a) 

für alle τ ∈ TX , S ⊆ X. (d) Der Beweis kann (natürlich!) analog zu dem von 2.1-4 geführt werden. Alternative: Die Abbildungen k  gem. 2.1-1.1  und t  gem. (b), (a) und 2.1-4  sind wohldefiniert, und es gilt für jedes k ∈ KX , τ ∈ TX : k ◦ t(k) = k ◦ t(C ◦ k ◦ C) = C ◦ ht(C◦k◦C) ◦ C   = C ◦ h ◦ t(C ◦ k ◦ C) ◦ C = C ◦ (C ◦ k ◦ C) ◦ C =k

 (b)   (c) 

t ◦ k(τ) = t(C ◦ hτ ◦ C) = t(hτ ) =τ

 (c)   (b)   2.1-4 .

 2.1-4 

und

Lösungen zu 2.2 Lösung zu A 1 Wegen

∞

∞

 2 1 1 = = xj 3−j j 4 9 j=0 9 j=1

gehört 1/4 wegen (2.2,2) (b) zu C.

mit

 0 für j ungerade xj := 2 für j gerade

Lösungen zu 2.2

569

Lösung zu A 2 (a)

Wegen ∂τ S ∈ ατ ist gem. 2.2-1.1 zu zeigen: ∂τ S nirgendsdicht in (X, τ). Letzteres folgt für offene (bzw. abgeschlossene) Mengen S aus 2.2-2.

(b) Sei x ∈ O, also O ∈ Uτ (x) und somit U ∩ O ∈ Uτ (x) für jede Umgebung U von x. Da D dicht in (X, τ) ist, folgt ∅ = (U ∩ O) ∩ D = U ∩ (D ∩ O) τ

für jedes U ∈ Uτ (x), also O ⊆ D ∩ O . Zusatzfrage: Gem. 2.1, A 2 (c) gilt D◦τ ∪ Däτ = X\∂τ D für jedes D ⊆ X. In (R, τ| | ) erhält man für D := Q beispielsweise ∂τ D = R, d. h. R\∂τ D = ∅. X\∂τ D ist daher nicht notwendig dicht in (X, τ). Lösung zu A 3 Es sei f ∈ C([a, b]), ε > 0. Wegen Im f , Re f ∈ CR ([a, b]) gibt es gem. 2.2-5 Polynome p(x), q(x) ∈ R[x] mit d∞ (Re f, p) < ε/2 und d∞ (Im f, q) < ε/2, woraus p(x) + iq(x) ∈ C[x] und d∞ (p + iq, f ) = p + iq − Re f − i Im f ∞ ≤ p − Re f ∞ + q − Im f ∞ = d∞ (p, Re f ) + d∞ (q, Im f ) < ε folgt. Lösung zu A 4 (a)

Mit Hilfe von (2.2,6) erhält man durch Approximation des Real- und Imaginärteils von  f ∈ C([a, b]) wie in A 3, daß (Q[x] + iQ[x])
[a, b] eine (abzählbare) in C([a, b]), τd∞ dichte Teilmenge ist.

(b) Endliche Teilmengen des (unendlichen) metrischen  b]), d∞ ) sind abge Raums (BR ([a, schlossen (vgl. (2.1,3)) und daher nicht dicht in BR ([a, b]), τd∞ . Sei A ⊆ BR ([a, b]) abzählbar unendlich, A = { an | n ∈ N } eine Aufzählung von A und    b−a 0 für an a + n+1 ≥1 αn := 2 sonst für jedes n ∈ N. Die durch

 αn , f (x) := 0

falls x = a + sonst

b−a n+1

für ein n ∈ N τd

definierte beschränkte Funktion f gehört wegen A ∩ K1d∞ (f ) = ∅ nicht zu A ∞ :   b−a b − a  d∞ (f, an ) = sup |f (x) − an (x)| ≥ f a + − an a + n+1 n+1 x∈[a,b]

Lösungsvorschläge

570  b − a  = αn − an a + n+1     an a + b−a für an a + n+1   = 2 − an a + b−a sonst n+1

b−a n+1

(  ≥1

≥1

für jedes n ∈ N. Lösung zu A 5 Sei f ∈ CR ([a, b]; {a, b}), ε > 0 und gem. 2.2-5 ein p(x) ∈ R[x] mit d∞ (f, p) < ε/2 gewählt. Für das Polynom bp(a) − ap(b) p(b) − p(a) x+ ∈ R[x] b−a b−a (geradlinige Verbindung der Punkte (a, p(a)), (b, p(b))) gilt für alle t ∈ [a, b] wegen f (a) = 0 = f (b)   ε |q(t)| ≤ max |p(a)|, |p(b)| < . 2 Mit r(x) := p(x) − q(x) ∈ R[x] folgt r(a) = 0 = r(b) und q(x) :=

d∞ (r, f ) = d∞ (p − q, f ) ≤ d∞ (p − q, p) + d∞ (p, f ) = d∞ (0, q) + d∞ (p, f )  1.1-1.1  ε ε < + = ε. 2 2 Lösung zu A 6 (i) ⇒ (ii) ist klar. (ii) ⇒ (i) Sei f ∈ CR ([a, b]) mit M := 1 + maxt∈[a,b] |f (t)|, ε > 0. Gem. 2.2-5 wähle man ε , also ein Polynom p(x) ∈ R[x] mit d∞ (p, f ) < M (b−a) ∀ t ∈ [a, b] : p(t) −

ε ε < f (t) < p(t) + . M (b − a) M (b − a)

Für f (t) ≥ 0 folgt hieraus f (t)2 ≤ p(t)f (t) +

ε ε f (t) ≤ p(t)f (t) + M (b − a) b−a

und für f (t) < 0 ebenfalls f (t)2 ≤ p(t)f (t) − Somit ergibt sich





b

ε ε f (t) ≤ p(t)f (t) + . M (b − a) b−a 

b

b

ε dt = ε, a a a b−a

b

b da nach Voraussetzung (ii) a p(t)f (t) dt = 0 gilt. Es ist also a f (t)2 dt = 0, was wegen der Stetigkeit von f 2 ≥ 0 nur f = 0 erfüllt. f (t) dt ≤ 2

p(t)f (t) dt +

Lösungen zu 2.2

571

Lösung zu A 7 Für endliche Mengen X ist nichts zu beweisen. Es sei daher X unendlich und D ⊆ X eine abzählbar unendliche Teilmenge. Jedes x ∈ X ist (sogar) Häufungspunkt von D: Für jedes U ∈ Uτc (x) ∩ τc (o. B. d. A.) ist X\U und damit auch D\U eine endliche Menge J U 6= ∅ K. U enthält also unendlich viele Elemente von D. Es folgt (U \{x}) ∩ D 6= ∅. Lösung zu A 8

Aus (1.2,1) (c) (ii) und 1.2-6 folgt τdq ⊆ τd∞ und auch τdq 6= τd∞ .
(b) (Q[x] + iQ[x])[a, b] ist dicht in C([a, b]), τ J A 4 (a) K und wegen τdq ⊆ τd∞ auch d ∞
in C([a, b]), τdq .

(a)

Lösung zu A 9

Für jedes n ∈ N sei Dn :=



(xj )j ∈ (Q + iQ)N ∀ j ≥ n : xj = 0 .

S Die Menge D := n∈N Dn ist abzählbar und dicht in (CN , τd ): Sei (xj )j ∈ CN und ε > 0. Man wähle ein n ∈ N mit 1/2n < ε/2 und dazu für jedes j ∈ {0, . . . , n} rationale Zahlen rj , sj mit |Re xj − rj |
1

≥ 1.

Lösung zu A 11

# Sei A ⊆ X eine abzählbare in (X, τd ) dichte Teilmenge und O ⊆ τd mit O = X. Für jedes O ∈ O setze man   d (a) ⊆ O . βO := K ⊆ X ∃ a ∈ A ∃ n ∈ N : K = K1/(n+1) # d βO ist abzählbar und O = βO  Sei x ∈ O, n ∈ N mit K1/(n+1) (x) ⊆ O. Man wähle ein d d (x) ∩ A und erhält x ∈ K d 1 (a) ⊆ K1/(n+1) (x) ⊆ O. . a ∈ K1/(n+1) 3(n+1)   d # (a) a ∈ A, n ∈ N abzählbar und β := { βO | O ∈ O } ist als Teilmenge von K1/(n+1) # # # # β = O∈O βO = O = X. Schließlich wähle man für jedes K ∈ β ein OK ∈ O mit K ⊆ OK . Dann ist { OK | K ∈ β } ⊆ O abzählbar und

OK ⊇ K∈β

β = X.

Lösungen zu 2.2

573

Lösung zu A 12 „⊇“

Jeder Limes einer auf [a, b] gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist stetig ([32, Satz 7.12] oder auch 2.4-6).

„⊆“

Sei f ∈ CR ([a, b]). Für jedes n ∈ N wähle man gem. 2.2-5 ein pn (x) ∈ R[x] mit d∞ (f, pn
[a, b])
0, nε ∈ N, so daß nε ≥ a und 1/(nε + 1) < ε gilt. Für alle n ≥ nε erhält man d∞ (f
[−a, a], pn
[−a, a]) =

sup |f (t) − pn (t)| ≤ t∈[−a,a]


0, nε ∈ N, so daß nε ≥ |t| und 1/(nε + 1) < ε gilt. Für alle n ≥ nε folgt dann   |f (t) − pn (t)| ≤ d∞ f
[−(n + 1), n + 1], pn
[−(n + 1), n + 1]
0 mit ]x − ε&x , x + εx [ ⊆ O. Wegen x − εx , x + ε2x ⊆ ]x − εx , x + εx [ folgt O = x∈O x − εx , x + ε2x ∈ τS . Dagegen gilt z. B. ]0, 1] ∈ τS \τ| | . τc  τS ist nun klar. Lösung zu A 2 (a)

Es gilt β = ∅,

#

β = R und auch

∀ P, Q ∈ β ∀ x ∈ P ∩ Q ∃ R ∈ β : x ∈ R ⊆ P ∩ Q : Für x ∈ Z  ist nämlich {x}  ∈ β und x ∈ {x} ⊆ P ∩ Q, und für x ∈ R\Z gehören P , Q nicht zu {z} z ∈ Z , sind also Intervalle der Form P = ]aP , bP [, Q = ]aQ , bQ [, aP < bP , aQ < bQ , womit man x ∈ ]max{aP , aQ }, min{bP , bQ }[ ⊆ P ∩ Q und wegen max{aP , aQ } < min{bP , bQ } auch ]max{aP , aQ }, min{bP , bQ }[ ∈ β erhält. Gem. 2.3-2 ist β Basis für eine Topologie τβ auf R.

  β ∗ := { ]r, s[ | r, s ∈ Q, r < s } ∪ {z} z ∈ Z

ist eine abzählbare Basis von τβ , (R, τβ ) somit A2 -Raum. (b) Für jedes z ∈ Z ist ]z, z + 1[ ∈ τβ gem. Definition von β, wegen   ]k, k + 1[ k ∈ Z\{z} ∈ τβ R\]z, z + 1[ = Z ∪ τ

folgt auch ]z, z+1[ ∈ ατβ und somit ]z, z+1[ β ⊆ ]z, z+1[. Schließlich sei x ∈ ]z, z+1[, also  x ∈ Z, und (o. B. d. A.) x ∈ ]a, b[ ∈ Uτβ (x) mit z ≤ a < b ≤ z + 1. Dann gilt ]a, b[\{x} ∩ ]z, z + 1[ = ∅, x ist daher Häufungspunkt von ]z, z + 1[. (c)

τβ

s ∈ ]r, s[

\]r, s[.

Lösungen zu 2.3

575

Lösung zu A 3 Es sei d eine D ⊆ X abzählbare dichte Teilmenge in auf X, die τ induziert,   Pseudometrik d (δ) δ ∈ D, n ∈ N ist auch (X, τ). Mit K1/(n+1)   d D := K1/(n+1) (δ) ∩ S δ ∈ D, n ∈ N \{∅} d eine abzählbare Menge. Man wähle aus jeder der Mengen K1/(n+1) (δ) ∩ S = ∅ genau ein Element xn,δ aus. Dann ist   d DS := xn,δ n ∈ N, δ ∈ D, K1/(n+1) (δ) ∩ S = ∅

eine abzählbare in (S, τ|S) dichte Teilmenge: Sei s ∈ S, n ∈ N und δ ∈ K d

1 2(n+1)

(s) ∩ D, also s ∈ S ∩ K d

1 2(n+1)

    d x2(n+1),δ , s ≤ d x2(n+1),δ , δ + d(δ, s) < d also DS ∩ K1/(n+1) (s) = ∅. Somit ist DS

τ|S

(δ). Es folgt

1 1 1 + = , 2(n + 1) 2(n + 1) n+1

= S.

Alternativ: (X, τ) separabel und pseudometrisierbar

=⇒ =⇒

(X, τ) A2 -Raum (S, τ|S) A2 -Raum

 2.3-4   2.3-6 (d) 

=⇒

(S, τ|S) separabel

 (2.3,3) (b) 

Lösung zu A 4 (i) ⇒ (ii) Für S ∈ ατ ∩ τ, ∅ = S = X ist (S, X\S) eine offene Zerlegung von (X, τ). (ii) ⇒ (iii) Wenn es x, y ∈ X gibt, für die (S, τ|S) unzusammenhängend für alle S ⊆ X, die x, y enthalten, ist, so ist speziell (X, τ) unzusammenhängend, besitzt somit eine offene Zerlegung (O, P ). Es folgt O ∈ τ ∩ ατ und ∅ = O = X. (iii) ⇒ (i) Sei x0 ∈ X  Für X = ∅ ist nichts zu beweisen!  und wähle gem. (iii)#für jedes x ∈ X$ein Sx ⊆ X mit x0 , x ∈ Sx und (Sx , τ|Sx ) zusammenhängend. Wegen X = x∈X Sx , x0 ∈ x∈X Sx folgt (i) aus 2.3-9. Lösung zu A 5 Man definiere S := { C ∈ ZP | C ∩ O = ∅ }.

Annahme: ∃ C ∈ S : C O. Dann gilt: τ

∅ = O ∩ C ∈ ατ|C , ∅ = (P \O) ∩ C = (X\O) ∩ C ∈ ατ|C ,   τ ((P \O) ∩ C) ∪ O ∩ C ⊇ ((P \O) ∩ C) ∪ (O ∩ C) = ((P \O) ∪ O) ∩ C = C und   τ τ τ τ ((P \O) ∩ C) ∩ O ∩ C ⊆ ((X\O) ∩ C) ∩ O ⊆ X\O ∩ C ∩ O ⊆ ∂τ O ∩ P = ∅.

Lösungsvorschläge

576   τ (P \O) ∩ C, O ∩ C ist somit eine offene Zerlegung von (C, τ|C).
# Wegen P = ZP erhält man O =O∩P =O∩ =

ZP =

{ O ∩ C | C ∈ ZP }

{ O ∩ C | C ∈ ZP , O ∩ C = ∅ } =

S.

Lösung zu A 6  τ ◦τ τ , etwa U ∈ Uτ (x) ∩ τ mit U ⊆ T . Dann existiert ein t ∈ T ∩ U . Wegen Sei x ∈ T  τ|S ◦τ|S τ τ|S T ∩U ⊆S∩U ⊆S∩T =T  2.3-6 (c) , S ∩ U ∈ Uτ|S (t) folgt t ∈ T . Lösung zu A 7 # Sei O ⊆ τS , O = R, I(O) := O◦τ | | für jedes O ∈ O und β| | eine abzählbare Basis von τ| | . Man setze β ∗ := { B ∈ β| | | ∃ O ∈ O : B ⊆ I(O) } OB ∈ O mit B ⊆ I(OB ). Dann ist { OB | B ∈ β ∗ } ⊆ O und wähle für # jedes B ∈ β ∗ ein# abzählbar und B∈β ∗ I(OB ) = O∈O I(O)  „⊆“ ist klar; „⊇“: Für jedes O ∈ O, x ∈ I(O) wähle man# ein B ∈ β| | mit x ∈ B ⊆ I(O), also B ∈ β ∗ . Es folgt x ∈ B ⊆ I(OB ).  Die Menge R\ O∈O I(O) ist abzählbar: Sei J die gem. 2.3-5 eindeutig bestimmte Menge paarweise disjunkter, offener, # abzählbare # # # nichtleerer Intervalle mit O∈O I(O) = J , x ∈ R\ O∈O I(O). Wegen O = R gibt es J1 , J2 ∈ J mit sup J1 ≤ x ≤ inf J2 . Falls sup J1 < x < inf J2 , so existiert für x ∈ O ∈ O ein Intervall ]a, b], a < b, mit x ∈ ]a, b] ⊆ O ∩ ]sup J1 , inf J2 [, # also ist ∅ = ]a, b[ ⊆ I(O) ⊆ J und somit x = b. Man kann in diesem Fall J1 so wählen, daß sup J1 = x gilt. x ist daher Endpunkt eines der abzählbar vielen Intervalle aus J . # wähle man ein Ox ∈ O mit x ∈ Ox aus. Die Menge Für x ∈ R\ O∈O I(O)  jedes  # Ox x ∈ R\ O∈O I(O) ∪ { OB | B ∈ β ∗ } ⊆ O ist dann eine abzählbare Überdeckung von R. Lösung zu A 8 τ

Es sei O ∈ τ|T \{∅}. Dann ist O ∩ T ∈ τ|T \{∅}, also nach Voraussetzung O ∩ S = ∅.

Lösungen zu 2.4 Lösung zu A 1 (a)

(i)

∅ = f −1 [∅], X = f −1 [Y ], also ∅, X ∈ τf . Für alle O, P ∈ σ gilt f −1 [P ] = f −1 [O ∩ P '] #∈ τ&f , und für jede Teilmenge O ⊆ σ erhält f −1 [O] # ∩ −1 man { f [O] | O ∈ O } = f −1 O ∈ τf .

Lösungen zu 2.4

577

(ii) Gem. 2.4-1 gilt f stetig (bzgl. (τ, σ))

⇐⇒

∀ O ∈ σ : f −1 [O] ∈ τ

⇐⇒

τf ⊆ τ.

(b) (i) ⇒ (ii) Für jedes U ∈ Uσ (f (x)) gibt es per definitionem ein V ∈ Uτ (x) mit f [V ] ⊆ U , d. h. V ⊆ f −1 [U ]. Es folgt f −1 [U ] ∈ Uτ (x). (ii) ⇒ (iii) Sei U ∈ Uσ (f (x)), also gem. (ii) f −1 [U ] ∈ Uτ (x). Wegen F →τ x gibt es ein F ∈ F mit F ⊆ f −1 [U ], d. h. f [F ] ⊆ U . Es folgt f [[F ]] →σ f (x). (iii) ⇒ (iv) Wörtlich wie im Beweis (ix) ⇒ (x) zu 2.4-1. (iv) ⇒ (i) Wörtlich wie im Beweis (x) ⇒ (i) zu 2.4-1. (c)

in x ist, gilt gem. (b) Sei W ∈ UE (g ◦ f (x)). Da g stetig in f (x) 'und f stetig & g −1 [W ] ∈ Uσ (f (x)) und (g ◦ f )−1 [W ] = f −1 g −1 [W ] ∈ Uτ (x). Wiederum nach (b) folgt die Stetigkeit von g ◦ f in x.

Lösung zu A 2 C(X) ist eine Teilmenge des C-Vektorraums CX (mit den punktweisen Operationen), zu zeigen ist daher nur ∀ z ∈ C\{0} ∀ f ∈ C(X) : zf ∈ C(X)  für z = 0 ist zf = 0 konstant, also stetig  und ∀ f, g ∈ C(X) : f + g ∈ C(X) : Es sei x ∈ X und ε > 0. Man wähle eine Umgebung U ∈ Uτ (x) mit d

d

d

| | | | f [U ] ⊆ Kε/|z| (f (x)) ∩ Kε/2 (f (x)),

| | g[U ] ⊆ Kε/2 (g(x))

d

und erhält (zf )[U ] ⊆ Kε | | ((zf )(x)) und d

d

d

| | | | (f + g)[U ] ⊆ f [U ] + g[U ] ⊆ Kε/2 (f (x)) + Kε/2 (g(x)) ⊆ Kε | | ((f + g)(x)).

Lösung zu A 3 (a)

Für χS ∈ C(X, {0, 1}) folgt S = χ−1 S [{1}] ∈ τ ∩ ατ gem. 2.4-1. Die Stetigkeit von χS −1 für S ∈ τ ∩ ατ erhält man mit χ−1 S [{1}] = S ∈ τ und χS [{0}] = X\S ∈ τ.

(b) Da χS für jedes S ∈ PX\{∅, X} surjektiv ist, folgt für den zusammenhängenden Raum (X, τ) gem. 2.4-4, daß χS ∈ C(X, {0, 1}) gilt. Ist umgekehrt (X, τ) unzusammenhängend, etwa (O, P ) eine offene Zerlegung von (X, τ), so ist χO stetig gem. (a). Lösung zu A 4 (a)

Mit f und id[0,1] ist auch f − id[0,1] stetig  A 2 , die Mengen         P := x ∈ [0, 1] f − id[0,1] (x) < 0 , Q := x ∈ [0, 1] f − id[0,1] (x) > 0 sind somit offen in ([0, 1], τ| | |[0, 1]).

Lösungsvorschläge

578

Annahme: ∀ x ∈ [0, 1] : f (x) = x. Hiermit erhält man [0, 1] = P ∪ Q  ∀ x ∈ [0, 1] : f (x) > x oder f (x) < x , P ∩ Q = ∅ und P = ∅ = Q  1 ∈ P , 0 ∈ Q , (P, Q) ist daher eine offene Zerlegung von [0, 1].
 2.3-8  (b) Es seien x, x ∈ Fix f , also d(x, x ) = d(f (x), f (x )). Für x = x würde d(f (x), f (x )) < d(x, x ) gelten.
Lösung zu A 5 Sei ε > 0. f · g:

Sei δ :=

min{1, ε} . 3 max{|f (y)|, |g(y)|, 1} d

d

Man wähle ein U ∈ Uτ (y) mit f [U ] ⊆ Kδ | | (f (y)) und g[U ] ⊆ Kδ | | (g(y)). Dann gilt für jedes x ∈ U : |(f g)(x) − (f g)(y)| = |f (x)g(x) − f (y)g(x) + f (y)g(x) − f (y)g(y)| ≤ |g(x)| |f (x) − f (y)| + |f (y)| |g(x) − g(y)| ≤ |g(x) − g(y)| |f (x) − f (y)| + |f (x) − f (y)| |g(y)| + |f (y)| |g(x) − g(y)| < δ 2 + δ|g(y)| + |f (y)|δ ε ε ε < + + = ε. 3 3 3 d

Es folgt (f g)[U ] ⊆ Kε | | ((f g)(y)). f ∨ g: Sei

 δ :=

ε   min ε, |f (y)−g(y)| 2 d

für f (y) = g(y) für f (y) = g(y). d

Man wähle ein U ∈ Uτ (y) mit f [U ] ⊆ Kδ | | (f (y)) und g[U ] ⊆ Kδ | | (g(y)). Dann kann |(f ∨ g)(x) − (f ∨ g)(y)| für jedes x ∈ U wie folgt abgeschätzt werden: f (y) = g(y): |(f ∨ g)(x) − (f ∨ g)(y)| = |(f ∨ g)(x) − f (y)|  |f (x) − f (y)| für f (x) ≥ g(x) = |g(x) − g(y)| für f (x) < g(x) < δ = ε. f (y) > g(y): Wegen f (y) + g(y) |f (y) − g(y)| = 2 2 |f (y) − g(y)| ≥ g(y) + δ > g(x) = g(y) + 2

f (x) ≥ f (y) − δ ≥ f (y) −

Lösungen zu 2.4

579

folgt |(f ∨ g)(x) − (f ∨ g)(y)| = |f (x) − f (y)| < δ ≤ ε. f (y) < g(y): Wegen f (y) + g(y) |f (y) − g(y)| = 2 2 |f (y) − g(y)| = f (y) + ≥ f (y) + δ ≥ f (x) 2

g(x) ≥ g(y) − δ ≥ g(y) −

folgt |(f ∨ g)(x) − (f ∨ g)(y)| = |g(x) − g(y)| < δ ≤ ε. d Insgesamt somit (f ∨ g)[U ] ⊆ Kε | | ((f ∨ g)(y)). f ∧ g: Analog zu f ∨ g mit demselben δ und U . d

|f |:

Man wähle ein U ∈ Uτ (y) mit f [U ] ⊆ Kε | | (f (y)). Für alle x ∈ U gilt dann |f (x)| − |f (y)| ≤ |f (x) − f (y)| < ε  1.1, A 11 , also |f |[U ] ⊆ Kεd| | (|f |(y)).

f /g:

Es sei y ∈ X, g(y) = 0, o. B. d. A. g(y) > 0. Wegen der Stetigkeit von g in y gibt es ein U ∈ Uτ (y), so daß g(x) > 0 für jedes x ∈ U gilt. Man bestätigt durch Nachrechnen leicht die Gleichung f (x) f (y) f (x) − f (y) f (y) g(x) − g(y) − = − g(x) g(y) (g(x) − g(y)) + g(y) g(y) (g(x) − g(y)) + g(y) für jedes x ∈ U . Es sei (xα )α∈A ein Netz in X mit (xα )α →τ y, o. B. d. A. xα ∈ U für jedes α ∈ A, ε > 0. Wegen der Stetigkeit von f , g in y gibt es ein αε ∈ A mit ∀ α ≥ αε : |f (xα ) − f (y)|
0 gilt KεDP (x) ⊆ Kεd (x). τDP ⊆ τd |P : Sei x ∈ P , ε > 0. Wegen der Stetigkeit von aP gibt es ein U ∈ Uτd |P (x) mit ε ∀ y ∈ U : |aP (y) − aP (x)| < , 2 d woraus U ∩ Kε/2 (x) ⊆ KεDP (x) folgt  Für jedes y ∈ U , d(x, y) < ε/2 ergibt sich DP (x, y) = d(x, y) + |aP (x) − aP (y)| < ε. . 1.2, A 9 (a) liefert die Behauptung.

Lösung zu A 13 (V, τN ) ist ein A1 -Raum, gem. 2.4-1.3 ist daher (N (xj ))j →τ | | N (x) für jede Folge (xj )j ∈ V N , jedes x ∈ V mit (xj )j →τN x zu zeigen. Wegen (xj )j →τN x

⇐⇒

(xj )j →dN x

folgt die Behauptung aus 1.2-2 (a). Die L-Stetigkeit (und damit erneut die Stetigkeit) folgt direkt aus ∀ x, y ∈ V : |N (x) − N (y)| ≤ N (x − y) = dN (x, y)  1.1, A 11 . Lösung zu A 14 (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) und (iv) ⇒ (i) sind klar. (iii) ⇒ (iv) Ist f nicht L-stetig, so gibt es für jedes n ∈ N\{0} Elemente xn , xn ∈ V mit M (f (xn − xn )) = M (f (xn ) − f (xn )) = dM (f (xn ), f (xn )) > ndN (xn , xn ) = nN (xn − xn ),

Lösungen zu 2.4

583

also folgt ∀ n ∈ N\{0} : M wobei



1

nN (xn −xn ) (xn

−



xn ) n



1 nN (xn −

xn )

 f (xn − xn ) > 1,

→τN 0 gilt. f ist daher nicht stetig in 0.

Lösung zu A 15 (i) ⇒ (ii) Ker f = f −1 [{0}] ∈ ατ   , da {0} ∈ ατ | | und f stetig ist  2.4-1 . (ii) ⇒ (i) Für f = 0, d. h. Ker f = V , ist f als konstante Funktion stetig. Sei x ∈ V \{0}, ε x, also f (y) = ε. Dann ist y ∈ Ker f , d. h. 0 ∈ y + Ker f . Da f (x) = 0, ε > 0 und y := f (x) y + Ker f ∈ ατ   ist  Die Funktion
V −→ V x −→ x + y ist für jedes y ∈ V eine Isometrie (x − z = x + y − (z + y)) und daher ein d Homöomorphismus. , gibt es ein δ > 0 mit Kδ   (0) ∩ (y + Ker f ) = ∅. Es folgt: d

∀ z ∈ Kδ   (0) : |f (z)| < ε. d

d

ε  Aus |f (z)| ≥ ε, z ∈ Kδ   (0) würde man für t := f (z) z ∈ Kδ   (0) wegen f (t − y) =  ε  f f (z) z − f (y) = ε − ε = 0 auch t ∈ y + Ker f erhalten.
 f ist somit stetig in 0 und nach A 14 sogar stetig.

Lösung zu A 16 Gem. Abb. L-6 verschaffe man sich einen Homöomorphismus h : K × I −→ S durch   h((x, y, z)) := z − 12 (x, y). h ist wohldefiniert und gem. 2.4-7 (c) stetig, da beide Koordinatenfunktionen von h stetig sind.     1 Aus z1 − 21 (x1 , y1) = h((x 1 , y1 ,z1 )) = h((x2 , y2 , z2 )) = z2 − 2 (x2 , y2 ) folgt h injektiv:    z1 − 12 x1 = z2 − 12 x2 und z1 − 12 y1 = z2 − 12 y2 , und wegen x21 + y12 = x22 + y22 = 4 erhält man hieraus 2  2 2 2 2 2      4 z1 − 12 = z1 − 12 x21 + z1 − 12 y12 = z2 − 12 x22 + z2 − 12 y22 = 4 z2 − 12 . Da z1 , z2 ∈ [1, 2] sind, ist somit z1 = z2 und daher auch x1 = x2 und y1 = y2 . h surjektiv: Für (ξ, η) ∈ S setze man 1 2 (ξ 2 + η 2 )1/2 + . (ξ, η), z := 2 1/2 2 2 +η ) & ' Dann ist x2 + y 2 = 4 und z ∈ 12 + 12 , 32 + 12 = [1, 2]  da 1 ≤ ξ 2 + η 2 ≤ 9 gilt , also (x, y, z) ∈ K × I und (x, y) :=

(ξ 2

h((x, y, z)) =

2 (ξ 2 + η 2 )1/2 (ξ, η) = (ξ, η). 2 (ξ 2 + η 2 )1/2

Lösungsvorschläge

584

h

y 3

K ×I z −2

2

I

−2

1

S

1 −3

−1

1

3 x

−1

K 2

2 x

y

−3

Abbildung L-6

h−1 stetig: Für alle (ξ, η) ∈ S ist  s. o.  h−1 ((ξ, η)) =



1 2 2 (ξ 2 + η 2 )1/2 + , ξ, η, 2 2 (ξ 2 + η 2 )1/2 (ξ 2 + η 2 )1/2

h−1 hat also stetige Koordinatenfunktionen und ist gem. 2.4-7 (c) stetig. Lösung zu A 17 (a)

h ist stetig und h(0) = f (0) = a, h(1) = g(1) = c.

(b) Sei (X, τ) unzusammenhängend, (O, P ) eine offene Zerlegung ' & von '(X, τ), & a ∈ O, b ∈ P und f ein Weg in' X von a nach b. Dann ist f [0, 1] ∩ O, f [0, 1] ∩ P eine & & ' offene Zerlegung von f [0, 1] , τ f [0, 1] .
(X, τd2 |X) ist zusammenhängend  sogar wegzusammenhängend! , gem. 2.4-4.1 also τd auch (Y, τd2 |Y ) für Y := X 2 . (Y, τd2 |Y ) ist jedoch nicht wegzusammenhängend (vgl. Abb. 2.1-1 zu (2.1,2) (a)):   Annahme: f ist ein Weg in Y von π1 , 0 nach (0, 0). ' & ' & Dann gilt X ⊆ f [0, 1]  andernfalls ist f [0, 1] offen zerlegbar , es gibt somit ein  & 1&  1 x1 ∈ ]0, 1], y1 ∈ 0, π mit f (x1 ) = y1 , sin y1 = (y1 , −1), ebenso existiert ein &  & & &  x2 ∈ ]x1 , 1] ∩ 12 , 1 , y2 ∈ 0, π1 mit f (x2 ) = y2 , sin y12 = (y2 , +1) und (induktiv) & & & & 1 für jedes i ≥ 2 ein xi ∈ ]xi−1 , 1] ∩ 1 − 2i−1 , 1 , yi ∈ 0, π1 mit    (yi , +1) für i gerade 1 f (xi ) = yi , sin yi = (yi , −1) für i ungerade.

Lösungen zu 2.4

585

Die Folge (xi )i≥1 konvergiert in ([0, 1], τ| | |[0, 1]) gegen 1 und somit  f ist stetig; 2.4-1.3  gilt (f (xi ))i≥1 →τd2 f (1) = (0, 0), woraus wegen der koordinatenweisen   Konvergenz  2.4-8 (b)  (−1)i i≥1 →τ | | 0 folgt.
Es seien y1 , y2 ∈ Y , y1 = y2 , etwa x1 , x2 ∈ X mit f (x1 ) = y1 , f (x2 ) = y2 . Wegen x1 = x2 gibt es einen Weg g in X von x1 nach x2 , und f ◦ g ist dann ein Weg in Y von y1 nach y2 . # (d) Man wähle a, b ∈ A, a = b, etwa a ∈ A ∈ A und b ∈ B ∈ A, und x ∈ A ∩ B.#Für x = a oder x = b gehören a, b zu B bzw. zu A und können durch einen Weg in A verbunden werden. Sei also x = a und x = b. Nach Voraussetzung gibt es einen Weg f in A von a nach x und # einen Weg g in B von x nach b. Aus (a) folgt die Existenz eines Weges in A ∪ B ⊆ A von a nach b. (c)

(e)

(i) ⇒ (ii) gem. (c), da die kanonischen Projektionen surjektiv und stetig sind. % (ii) ⇒ (i) Es seien x, y ∈ i∈I Xi , x = y, für jedes j ∈ { i ∈ I | xi = yi } sei fj : [0, 1] −→ Xj ein Weg in Xj von xj nach yj , für j ∈ I\{ i ∈ I | xi = yi } sei
[0, 1] −→ Xj fj : r −→ xj (konstant). Dann ist f :




% I [0, 1] −→ i∈I Xi r −→ (i → fi (ri ))

   gem. 2.4-7 (a), (c) stetig (bzgl. i∈I (τ| | |[0, 1]), i∈I τi )  πj ◦ f (r) = fj (rj ) = % I fj ◦ pj (r), wobei πj bzw. pj die kanonische j-te Projektion für i∈I Xi bzw. [0, 1] bezeichnet . Da auch
I [0, 1] −→ [0, 1] ∆: r −→ (i → r)   stetig (bzgl. τ| | |[0, 1], i∈I (τ| | |[0, 1]) ) ist  2.4-7 (c); pj ◦ ∆ = id[0,1] , erhält man in % w := f ◦ ∆ einen Weg in i∈I Xi , wobei w(0) = f(∆(0)) = f((0)i∈I ) = (fi (0))i∈I = (xi )i∈I = x und analog w(1) = y gilt. (f)

(R, τ| | ) und ([0, 1], τ| | |[0, 1]) (wie alle Intervalle J in R) sind wegzusammenhängend  Für a, b ∈ J, a = b ist durch f (x) := (b − a)x + a ein Weg in J von a nach b definiert. . Die Behauptung ergibt sich nun mit (e).

(g) Gem. 2.4-11 und (e) ist  Cxweg , i i∈I

   weg τi Cxi Cxweg , = i i∈I

i∈I

wegzusammenhängend, wegen x ∈ kehrt folgt mit (c)

%

i∈I weg i∈I Cxi

 τi |Cxweg i i∈I

gilt daher Cxweg ⊇

(πi [Cxweg ], τi |πi [Cxweg ]) wegzusammenhängend,

% i∈I

Cxweg . Umgei

Lösungsvorschläge

586

wegen xi = πi (x) ∈ πi [Cxweg ] also πi [Cxweg ] ⊆ Cxweg für jedes i ∈ I. Man erhält i   x ∈ Cxweg ⊆ πi [Cxweg ] ⊆ Cxweg . i i∈I

i∈I

(h) Gem. (b) gilt Cxweg ⊆ Cx für jedes x ∈ O. Für jedes y ∈ Cx ⊆ O gibt es ein ε > 0 mit Kεd2 (y) ⊆ O. Da (Kεd2 (y), τd2 |Kεd2 (y)) zusammenhängend ist, folgt Kεd2 (y) ⊆ Cx , also Cx ∈ τd2 . Nach 2.3-11.1 (angewendet auf die offene zusammenhängende Menge Cx ) erhält man mit (a), daß (Cx , τd2 |Cx ) wegzusammenhängend ist, also Cx ⊆ Cxweg . (i)

Es sei X :=



(x, y) ∈ R2 0 < x ≤

1 π,

y = sin x1



(vgl. (b)) und Y := X C(weg 1 π ,0)

τd2

= X ∪ { (0, y) | −1 ≤ y ≤ 1 }.

= X ist nicht abgeschlossen in (Y, τd2 |Y ).

Lösung zu A 18 (a)

Seien x, y ∈ V , k ∈ K und ε > 0. Man wähle ein δ > 0 mit δ < ε/2 und (δ + |k|)δ + δ|x| < ε. Dann gilt d

Kδ | | (k) × KδdN (x) ∈ Uτ | |

τN ((k, x)),

d

Kδ | | (k)KδdN (x) ⊆ KεdN (kx),

KδdN (x) × KδdN (y) ∈ UτN

τN ((x, y)),

KδdN (x) + KδdN (y) ⊆ KεdN (x + y),

wie man durch Nachrechnen sofort bestätigt. (b) Aus der Stetigkeit der Addition a und der Skalarmultiplikation s in V folgt mit 2.4-1, (2.4,8) (e) ' ' τ τ τ& τ τ& τ ⊆ a[M × M ] ⊆ M a M ×M =a M ×M und ebenso ' ' τ τ& τ| | τ& τ ⊆ s[K × M ] ⊆ M , s K ×M =s K ×M τ

M ist daher K-Untervektorraum von V . Für maximale K-Untervektorräume M von V τ τ τ gilt wegen M ⊆ M also M = M oder M = V .   Die Addition in V /M ist τ/RM τ/RM , τ/RM -stetig: Seien v +M , w +M ∈ V /M , # −1 O ∈ Uτ/R (v + w + M ) ∩ τ/RM . Wegen v + w ∈ O = πR [O] ∈ τ existieren M M # P ∈ Uτ (v)∩τ, Q ∈ Uτ (w)∩τ mit P +Q ⊆ O. Es folgt v +M ∈ P +{M } ∈ τ/RM , # −1 [P +{M }] = P +M = { P +m | m ∈ M } ∈ τ  w +M ∈ Q+{M } ∈ τ/RM  πR #M und P + {M } + Q + {M } ⊆ O + {M } = O.   Die Skalarmultiplikation in V /M ist τ| | τ/RM , τ/RM -stetig: Es sei k ∈ K, v+M ∈ # −1 V /M und O ∈ Uτ/R (kv + M ) ∩ τ/RM . Wegen kv ∈ O = πR [O] ∈ τ existieren M M # d| | ε > 0 und P ∈ Uτ (v) ∩ τ mit Kε (k)P ⊆ O. Somit ist v + M ∈ P + {M } ∈ τ/RM # d d und Kε | | (k)(P + {M }) = Kε | | (k)P + {M } ⊆ O + {M } = O.

Lösungen zu 2.4 (c)

587

    Mit V, τ S ist auch V × V, τ S τ S ein A1 -Raum  2.4-12 . Gem. 2.4-1.3 seien daher (xi )i , (yi )i ∈ V N , x, y ∈ V mit ((xi , yi ))i →τ S τ S (x, y). Nach 2.4-8 (b) folgt (xi )i →τ S x und (yi )i →τ S y und nach 1.2-2 (d) (S(xi , yi ))i →τ | | S(x, y).

Lösung zu A 19 Gem. 1.1, A 14 sind L, M , N Normen auf V × W mit L ≤ M ≤ N und N ≤ 1.2-6 gilt daher τL = τM = τN . d



d

√

2L, nach



Aus KεdL ((x, y)) = Kε V (x) × Kε W (y) für alle ε > 0, x ∈ V , y ∈ W folgt UτL ((x, y)) = Uτ V τ W ((x, y)), mit 1.2, A 9 (a) somit τL = τ V τ W . Lösung zu A 20 erfüllt (M-2), (M-3)und auch (M-4)  d(x, z) = d ist wegen 0 ≤ di,min ≤  1∞wohldefiniert, ∞ 1 ∞ 1 1 d d (x , z ) ≤ (x , y ) + d (y , z ) = i i i,min i i i,min i i i,min i i i=0 2 i=0 2 i=0 2i di,min (xi , yi ) + % ∞ 1 i∈N Xi . i=0 2i di,min (yi , zi ) = d(x, y) + d(y, z) für alle x, y, z ∈ Wenn alle % di sogar Metriken sind, so sind es auch alle di,min  1.1, A 8 , und man erhält für x, y ∈ i∈N Xi , x = y, etwa xj = yj , d(x, y) =

∞  1 1 di,min (xi , yi ) ≥ j dj,min (xj , yj ) > 0. i 2 2 i=0

% d ist somit eine (Pseudo-)Metrik auf i∈I Xi . Gem. A 12 (a) gilt τdi = τdi,min für jedes i ∈ N, also auch i∈N τdi = i∈N τdi,min . Es ist daher zu zeigen: τd =

τdi,min . i∈N

„⊇“

„⊆“

% Sei O ∈ i∈N τdi,min eine basisoffene Menge, etwa O = i∈N Oi , wobei Oi ∈ τdi,min für alle i ∈ N und Oi = Xi für alle i ≥ i0 ist. Für jedes x ∈ O, i ∈ {0, . . . , i0 } wähle   d 2−i0 min εi i ∈ {0, . . . , i0 } . man ein εi > 0 mit Kεii,min (x) ⊆ Oi und setze ε := ∞ Es folgt Kεd (x) ⊆ O  y ∈ Kεd (x) =⇒ d(x, y) = i=0 2−i di,min (xi , yi ) < ε =⇒ ∀ i ∈ {0, . . . , i0 } : 2−i di,min (xi , yi ) < ε, also di,min (xi , yi ) < 2i ε ≤ 2i0 2−i0 εi =⇒ d ∀ i ∈ {0, . . . , i0 } : yi ∈ Kεii,min (xi ) ⊆ Oi =⇒ y ∈ O . Sei x ∈ X, ε > 0 und i0 ∈ N mit 1/2i0 < ε/2. Für alle i ∈ {0, . . . , i0 } setze man % di,min Oi := Kε/4 (xi ) und für i > i0 sei Oi := Xi . Dann ist x ∈ i∈N Oi ∈ i∈N τdi,min % % ∞ −i und i∈N Oi ⊆ Kεd (x)  y ∈ i∈N Oi =⇒ d(x, y) = i=0 2 di,min (xi , yi ) ≤ i0 −i ∞ −i < 2 4ε + 2−i0 < 2ε + 2ε = ε =⇒ y ∈ Kεd (x) . i=0 2 di,min (xi , yi ) + i=i0 +1 2

Lösung zu A 21 (a)

(ii) ⇒ (i) Da I endlich ist und alle τi diskret sind, gilt für jedes x ∈  {x} = {xi } ∈ τi . i∈I

i∈I

% i∈I

Xi

Lösungsvorschläge

588 Somit ist

τi diskret. % (i) ⇒ (ii) Für jedes x ∈ i∈I Xi ist {x} % ∈ i∈I τi . Da jedes Xi aus mindestens zwei Elementen besteht, muß I wegen % {x} = i∈I {xi } endlich sein. Sei schließlich j ∈ I und xj ∈ Xj . Man wähle ein y ∈ i∈I Xi mit yj = xj . Nach (i) ist {y} ∈ i∈I τi , und es folgt {xj } = πj [{y}] ∈ τj  2.4-7 (b) . i∈I

(b) Die Funktion

 %
% % Xi −→ i∈I Xi j∈J i∈I j  a:  j → (i → xi ) −→ (i → xi )

ist bijektiv. Die Stetigkeit von a, a−1 folgt wie in (2.4,8) (c) aus 2.4-7 (c) mit Hilfe der Stetigkeit der kanonischen Projektionen (für k ∈ J, r ∈ Ik )  %
% %
% Xi −→ i∈Ik Xi j∈J i∈I i∈Ik Xi −→ Xr j  pIk :  πr(Ik ) : (i → xi ) −→ xr , j → (i → xi ) −→ (i → xi ),
% % i∈I Xi −→ i∈Ik Xi qIk : (i → xi ) −→ (i → xi )  πr k ◦qIk = πr für alle r ∈ Ik  wegen πr ◦a = πr k ◦pIk für r ∈ Ik , pIk ◦a−1 = qIk . Schließlich ist auch
% % Xi −→ i∈I Xσ(i) i∈I b: f −→ f ◦ σ (I )

(I )

bijektiv und wegen πi ◦ b−1 = πσ−1 (i) , πi ◦ b = πσ(i) ein Homöomorphismus. Lösung zu A 22 (R, τ| | ), (R> , τ| | |R> ) sind gem. 2.3-8 zusammenhängend. Nach 2.4-10 ist der topologische Raum (R × R> , τ| | (τ| | |R> )) = ((R × R> ), (τ| | τ| | )|(R × R> ))  2.4-11  zusammenhänµ gend. Wegen M = R × R> und (τ| | τ| | )|(R×R> ) = µ|(R×R> ) folgt der Zusammenhang von (M, µ) aus 2.4-4.1. Lösung zu A 23 (a)

Sei x ∈ [0, 1]. Für x = 1 gilt fj (x) = f (xj ) = f (1) = 0 für jedes j ∈ N, also (fj (x))j →τ | | 0, für x < 1 ist   lim fj (x) = lim f (xj ) = f lim xj = f (0) = 0 j→∞

j→∞

j→∞

 f ist stetig . Insgesamt folgt (fj )j −−−−−→ 0. τ | | -pktw.

Sei schließlich y ∈ ]0, 1[, f (y) =  0 und ε := |f (y)|, xj := y 1/(j+1) , also |fj+1 (xj )| = |f (y)| = ε für jedes j ∈ N. Wegen supx∈[0,1] |fj+1 (x)| ≥ |f (y)| = ε für alle j ∈ N gilt (fj )j −−−−−→ 0. d| | -glm.

(b) Sei 0 < r < 1 und ε > 0. Da f stetig, f (0) = 0 ist, gibt es ein δ > 0 mit ∀ x ∈ [0, 1] : |x| < δ ⇒ |f (x)| < ε.

Lösungen zu 2.4

589

Man wähle jδ ∈ N mit rjδ < δ. Für jedes x ∈ [0, r], j ≥ jδ erhält man |fj (x)| = |f (xj )| < ε, also sup |fj (x)| ≤ ε, x∈[0,r]

woraus (fj
[0, r])j −−−−−→ 0 folgt. d| | -glm.

Lösung zu A 24 Die Funktion


g:

[0, 1[ × [0, 1[ −→ R2 /R (ξ, η) −→ (ξ, η)/R = (ξ + Z) × (η + Z)

ist bijektiv  πR ((x, y)) ∩ ([0, 1[ × [0, 1[) = {(x − [x], y − [y])} , die Quotiententopologie τd2 /R werde mit Hilfe von g auf [0, 1[ × [0, 1[ übertragen (Abb. L-7): O ∈ σg 

:gdw

g[O] ∈ τd2 /R .

 R2 /R , τd2 /R ist somit (per definitionem) homöomorph zu ([0, 1[ × [0, 1[, σg ). y

R2 / R

2 g −1 1 1 −2

−1

0

1

2

x 0

−1

−2 Abbildung L-7

Wegen ([0, 1[, σf ) ∼ = (S 1 , τd2 |S 1 ) mit h aus (2.4,11) (a) gilt auch top. h

([0, 1[ × [0, 1[, σg ) ∼ = (S 1 × S 1 , τd2 |S 1 top.

τd2 |S 1 )

1

Lösungsvorschläge

590

   (ξ, η) → (cos 2πξ,sin 2πξ), (cos 2πη, sin 2πη) ist ein Homöomorphismus. . Im (R3 , τd2 ) kann R2 /R , τd2 /R durch den Torus T 2 dargestellt werden (Abb. L-8: „Verheften“ der gestrichelten mit der gegenüberliegenden durchgezogenen Kante in [0, 1[ × [0, 1[!).

Abbildung L-8

Lösung zu A 25 Siehe Abb. L-9. [0, 1] × [0, 1]/R 1

0

1 Abbildung L-9

Lösung zu A 26 Für alle x ∈ X, ε > 0 gilt

' dR  &   −1 Kε x/R und πR [Kεd (x)] = KεdR x/R , Kεd (x) = πR

denn:   ∀ y ∈ X : ε > d(y, x) = dR y/R , x/R

⇐⇒ ⇐⇒

  y/R ∈ KεdR x/R ' dR  & −1 y ∈ πR Kε x/R .

Die kanonische Projektion πR ist daher stetig (bzgl. τd , τdR ), also gilt τd /R ⊇ τdR . Umgekehrt   −1 sei O ∈ Uτd /R x/R ∩ τd /R , also x ∈ πR [O] ∈ τd . Dann gibt es ein ε > 0 mit

Lösungen zu 2.4

591

  ' −1 & −1 Kεd (x) ⊆ πR [O], also gilt wegen KεdR x/R = πR [Kεd (x)] ⊆ πR πR [O] = O auch τdR ⊇ τd /R . Lösung zu A 27 (a)

τNW ⊆ τN /RW : Die kanonische Projektion πRW ist stetig (bzgl. (τN , τNW )): Für jedes x ∈ V , ε > 0 ist  dN  dN Kε W x/RW = Kε W (x + W ) = { y + W | y ∈ V, NW (y − x + W ) < ε } = { y + W | y ∈ V, ∃ w ∈ W : N (y − x + w) < ε }   = y + W y ∈ { KεdN (x − w) | w ∈ W } , also

' dNW & −1 πR Kε (x + W ) = W + W

{ KεdN (x − w) | w ∈ W } ∈ τN

 1.2, A 17 (a) .

# −1 [O] = O. τNW ⊇ τN /RW : Sei O ∈ τN /RW , x + W ∈ O, also x + W ⊆ πR W # # O für ein ε > 0. Hiermit erhält man Es folgt x ∈ O ∈ τN , etwa KεdN (x) ⊆ dN Kε W (x + W ) ⊆ O (also O ∈ τNW ): dN

Sei z +W ∈ Kε W (x+W ), d. h. NW (x−z +W ) = inf{ N (x−z +w) | w#∈ W } < ε. Es gibt somit ein w ∈ W mit N (x − z + w) < ε, d. h. z − w ∈ KεdN (x) ⊆ O, woraus z + W ∈ O folgt. (b) „⇐“ S. 1.2, A 17 (c). „⇒“ NW ist stetig (bzgl. (τNW , τ| | ))  A 13  und somit −1 [{0}] ∈ ατNW {W } = { x + W | x ∈ V, NW (x + W ) = 0 } = NW −1  NW Norm . Es folgt W = πR [{W }] ∈ ατN  τNW = τN /RW gem. (a) . W

Lösung zu A 28 (a)

f unterhalbstetig in x

⇐⇒ ⇐⇒

∀ ε > 0 ∃ U ∈ Uτ (x) : f [U ] ⊆ ]f (x) − ε, ∞[ f stetig in x (bzgl. (τ, σ))

(b) Sei ε > 0. Für jedes y ∈ U gilt f (y) ≥ f (x) > f (x) − ε, also f [U ] ⊆ ]f (x) − ε, ∞[. In x unterhalbstetige Funktionen haben nicht notwendig in x ein relatives Minimum: idR ist stetig (bzgl. (τ| | , σ)), hat jedoch keine relative Minimumstelle. (c)

Sei ε > 0, U , V ∈ Uτ (x) mit f [U ] ⊆ ]f (x) − ε, ∞[, g[V ] ⊆ ]g(x) − ε, ∞[. Dann ist U ∩ V ∈ Uτ (x) und (f ∧ g)[U ∩ V ] ⊆ ](f ∧ g)(x) − ε, ∞[.

(d) Sei ε > 0. Für f (x) = 0 oder g(x) = 0, also f g(x) = 0, gilt f g[X] ⊆ ]−ε, ∞[ = ]f g(x) − ε, ∞[. Es sei daher f (x) > 0, g(x) > 0. Man wähle 0 < δ < min{f (x), g(x)} mit δ(f (x) + g(x) − δ) < ε  Stetigkeit der Multiplikation und Subtraktion in (R, τ| | )! 

Lösungsvorschläge

592

und weiter U , V ∈ Uτ (0) mit f [U ] ⊆ ]f (x) − δ, ∞[, g[V ] ⊆ ]g(x) − δ, ∞[. Hieraus folgt U ∩ V ∈ Uτ (x) und f g[U ∩ V ] ⊆ ](f (x) − δ)(g(x) − δ), ∞[ = ]f g(x) − δ(f (x) + g(x) − δ), ∞[ ⊆ ]f g(x) − ε, ∞[. Lösung zu A 29

  n ∞ Für jedes x ∈ J ist f (x) = j=0 fj (x) = sup j=0 fj (x) n ∈ N , gem. 2.4-14 folgt die Unterhalbstetigkeit von f . Die analoge Aussage für Oberhalbstetigkeit gilt nicht : Sei J := R und für jedes n ∈ N  0 an := n−1 1 j=0 2n+2 +

1 2j+1

für n = 0 für n ≥ 1,

bn :=

n  j=0

1 2j+1

und An := [an , bn ]. Nach (2.4,2) ist χ[an ,bn ] oberhalbstetig für jedes n ∈ N. Die An sind n m−1 1 1 1 paarweise disjunkt  n < m =⇒ bn = j=0 2j+1 < 2m+2 + j=0 2j+1 = am , also # # ∞ τ| | # gilt n=0 χAn = χn∈N An . Wegen n∈N An ∈ ατ | |  1 ∈ n∈N An \ n∈N An  ist χn∈N An gem. (2.4,2) nicht oberhalbstetig. Lösung zu A 30 (a)

inf X f ≤ inf y∈Kεd (x) f (y) ≤ f (x) ≤ supy∈Kεd (x) f (y) ≤ supX f für jedes ε > 0 ergibt inf f ≤ sup X

inf

ε>0 y∈Kεd (x)

f (y) ≤ f (x) ≤ inf

ε>0

f (y) ≤ sup f.

sup

X

y∈Kεd (x)

(b) Für alle ε > 0 ergeben f (y) ≤

sup y∈Kεd (x)

sup

g(y) und

inf

y∈Kεd (x)

y∈Kεd (x)

f (y) ≤

inf

y∈Kεd (x)

g(y)

die beiden Ungleichungen. (c) sup (f (y) + g(y)) ≤ y∈Kεd (x)

und

inf

(f (y) + g(y)) ≥

y∈Kεd (x)

gelten für alle κ, λ ≥ ε > 0. Es folgt:   inf sup (f (y) + g(y)) ≤ ε>0

y∈Kεd (x)

sup inf

d y∈Kκ (x)

sup

y∈Kεd (x)

κ>0

sup

g(y)

d y∈Kλ (x)

f (y) +

f (y) +

d y∈Kκ (x)

für alle κ, λ > 0, also   inf sup (f (y) + g(y)) ≤ inf ε>0

f (y) +

d y∈Kκ (x)

sup d y∈Kκ (x)

inf

d y∈Kλ (x)

sup

g(y)

g(y)

d y∈Kλ (x)

f (y) + inf

λ>0

sup d y∈Kλ (x)

g(y)

Lösungen zu 2.4

593

und analog  sup

 (f (y) + g(y)) ≥ sup

inf

ε>0 y∈Kεd (x)

inf

d κ>0 y∈Kκ (x)

f (y) + sup

inf

d λ>0 y∈Kλ (x)

g(y).

(d) (i) ⇒ (ii) Sei ε > 0. Man wähle δ > 0 mit f [Kδd (x)] ⊆ ]f (x) − ε, ∞[, also f (x) − ε ≤ inf y∈K d (x) f (y) ≤ lim inf y→x f (y)  (a) . Es folgt δ

f (x) ≤ lim inf f (y). y→x

(ii) ⇒ (i) Sei ε > 0 und gem. (ii) δ > 0 gewählt mit f (x) − ε ≤

inf

y∈Kδd (x)

f (y),

also f [Kδd (x)] ⊆ ]f (x) − ε, ∞[. Lösung zu A 31 Für C = ∅ ist nichts zu beweisen. Sei c0 ∈ C und für jedes c ∈ C Sc0 (c) := { rc0 + (1 − r)c | r ∈ [0, 1] } die Strecke von c nach c0 . Da




[0, 1] −→ V r −→ rc0 + (1 − r)c

  stetig (bzgl. (τ| | |[0, 1], τ)) ist  A 18 (a) in Verbindung mit$2.4-1.2 , muß Sc0 (c), # τ Sc0 (c) zusammenhängend sein  2.3-8, 2.4-4.2 . Wegen c0 ∈ c∈C Sc0 (c), C = c∈C Sc0 (c)  Sc0 (c) ⊆ C, da C konvex  folgt aus 2.3-9 der Zusammenhang von (C, τ|C). (C, τ|C) ist gem. obiger Konstruktion sogar wegzusammenhängend. Lösung zu A 32 (ii) ⇒ (i) Es seien x, y ∈ C, r ∈ [0, 1]. Gem. (ii) gilt rx + (1 − r)y ∈ (r + (1 − r))C = C, C ist somit konvex. (i) ⇒ (ii) Es seien r, s ∈ R+ . Wegen (r + s)C ⊆ rC + sC ist nur (r + s)C ⊇ rC + sC nachzuweisen: Für r = s = 0 ist die Ungleichung richtig, es darf somit r = 0 oder s = 0 angenommen werden. Hierfür erhält man mit I := r/(r+s) ∈ [0, 1] nach Voraussetzung IC+(1−I)C ⊆ C, r s C + r+s C ⊆ C, d. h. rC + sC ⊆ (r + s)C. wegen 1 − I = s/(r + s) also r+s Lösung zu A 33 Für jede Teilmenge C von V gilt natürlich C ◦τN (a)

τN

⊆C

τN

 τN ◦τN und C ⊇ C ◦τN . τN

(a) gilt Sei c0 ∈ C ◦τN  existiert nach Voraussetzung  und c ∈ C . Nach 2.4-18  1 1 c ∈ C ◦τN für c0 + 1− n+1 rc0 +(1−r)c ∈ C ◦τN für jedes r ∈ ]0, 1], speziell somit n+1     1 τN 1 c n →τN c  1.2-2 (b), (c)  gehört c zu C ◦τN c0 + 1 − n+1 alle n ∈ N. Wegen n+1

Lösungsvorschläge

594

 2.1-3 (b) . In topologischen K-Vektorräumen gilt die Gleichung ebenfalls  Anmerkung an 2.4-18 .  τN ◦τN τN τN , etwa ε > 0 mit KεdN (c0 ) ⊆ C = C ◦τN  (a) . Man wähle ein (b) Sei c0 ∈ C τN dN ◦τN ◦τN  c0 Berührpunkt von C ! . Es ist 2c0 − c1 ∈ KεdN (c0 ) ⊆ C c1 ∈ Kε (c0 ) ∩ C  N (2c0 − c1 − c0 ) = N (c0 − c1 ) < ε  und mit 2.4-18 (a) folgt c0 = 12 c1 + 12 (2c0 − c1 ) ∈ C ◦τN . Ohne die Voraussetzung „C ◦τN = ∅“ ist die Gleichung in (a) i. a. nicht richtig: Man betrachte (R2 ,  2 ), a, b ∈ R, a < b, C := [a, b] × {0}. C ist konvex, C ◦τ 2 = ∅, τ 2 τ  also gilt C ◦τ 2 = ∅  C = C 2. Lösung zu A 34 (a)

folgt mit (2.4,14) (d).

(b) T

konv

konv

ist konvex  (a) , also gilt wegen T ⊇ T gem. 2.4-17
 m konv T ⊇ rj xj m ∈ N\{0}, (r1 , . . . , rm ) ∈ (R> )m , j=1

m 

 rj = 1, (x1 , . . . , xm ) ∈ T m .

j=1

Umgekehrt ist nur zu zeigen, daß die Menge
  m m  rj xj m ∈ N\{0}, (r1 , . . . , rm ) ∈ (R> )m , rj = 1, (x1 , . . . , xm ) ∈ T m j=1

j=1

T enthält  für t ∈ T gilt t = 12 t + 12 t  und konvex ist: Für jedes I ∈ ]0, 1[, (x1 , . . . , xm ) ∈ T m , (y1 , . . . , yk ) ∈ T k , (r1 , . . . , rm ) ∈ (R> )m , m k (s1 , . . . , sk ) ∈ (R> )k mit j=1 rj = 1 = i=1 si erhält man I

m 

rj xj + (1 − I)

j=1

k  i=1

si yi =

m 

Irj xj +

j=1

k 

(1 − I)si yi ,

i=1

wobei Irj , (1 − I)si ∈ R> für alle j ∈ {1, . . . , m}, i ∈ {1, . . . , k} gilt und m  j=1

(c)

Irj +

k  (1 − I)si = I + (1 − I) = 1. i=1

Nach 2.4-17 ist konv

n

Cj j=1

⊇
 n j=1

 n n   + n rj xj (r1 , . . . , rn ) ∈ (R ) , rj = 1, (x1 , . . . , xn ) ∈ Cj . j=1

j=1

Lösungen zu 2.4

595

Zum Beweis der Umkehrung muß wegen ∀ i ∈ {1, . . . , n} :
 n Ci ⊆ r j xj j=1

 n n   (r1 , . . . , rn ) ∈ (R+ )n , r = 1, (x , . . . , x ) ∈ C j 1 n j j=1

j=1

nur die Konvexität dieser alle Ci % umfassenden Menge gezeigt werden: Für alle I ∈ [0, 1], n + n mit (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) ∈ j=1 Cj , (r1 , . . . , rn ), (s1 , . . . , sn ) ∈ (R ) n n r = s = 1 erhält man j=1 j j=1 j I

n 

rj xj + (1 − I)

j=1

n  j=1

sj yj =

n  (Irj xj + (1 − I)sj yj ), j=1

wobei für diejenigen j ∈ {1, . . . , n} mit Irj +(1−I)sj = 0 wegen der Konvexität von Cj   Erj (1−E)sj die Konvexkombination Erj +(1−E)s xj + Erj +(1−E)s yj zu Cj gehört. Die behauptete j j Konvexität folgt nun aus   Irj (1 − I)sj Irj xj + (1 − I)sj yj = (Irj + (1 − I)sj ) xj + yj Irj + (1 − I)sj Irj + (1 − I)sj n wegen j=1 (Irj + (1 − I)sj ) = I + (1 − I) = 1. Lösung zu A 35 Nach A 34 (a) ist noch
n+1  n+1   konv n+1 + n+1 T ⊆ rj xj (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ T , (r1 , . . . , rn+1 ) ∈ (R ) , rj = 1 j=1

j=1

zu beweisen:

m konv Sei x ∈ T , o. B. d. A. gem. A 34 (b) x = j=1 rj xj mit m > n + 1, (x1 , . . . , xm ) ∈ T m , m (r1 , . . . , rm ) ∈ (R> )m , j=1 rj = 1. Da x1 − xm , . . . , xm−1 − xm voneinander R-linear m−1 abhängig sind, gibt es ein (s1 , . . . , sm−1 ) ∈ Rm−1 \{0} mit j=1 sj (xj − xm ) = 0, wobei m−1 m m wenigstens ein sj > 0 ist. Mit sm := − j=1 sj ist j=1 sj = 0 und j=1 sj xj = 0. Man wähle j0 ∈ {1, . . . , m}, so daß r

r j0 j = min j ∈ {1, . . . , m}, sj > 0 s j0 sj gilt. Dann folgt x=

m 

r j xj =

j=1

m  j=1

r j xj −

m m   r j0  rj  s j xj = r j − 0 s j xj , sj0 j=1 s j0 j=1 j=j0

wobei rj −

rj0 sj0 sj

∈ R für jedes j ∈ {1, . . . , m}\{j0 } und

m   j=1 j=j0

+

rj −

m m m rj0   rj   rj  sj = rj − 0 sj = 1 rj − 0 sj = s j0 s j0 sj0 j=1 j=1 j=1

Lösungsvorschläge

596

ist. x ist somit auch Konvexkombination aus m − 1 Punkten. Durch Wiederholung obiger Konstruktion erhält man nach m − (n + 1) Schritten die Behauptung. Lösung zu A 36 (a)

Für alle x, y ∈ V , r ∈ ]0, 1[ gilt: rϕ2 (x) + (1 − r)ϕ2 (y) − ϕ2 (rx + (1 − r)y) = rϕ2 (x) + (1 − r)ϕ2 (y) − (rϕ(x) + (1 − r)ϕ(y))2

 ϕ R-linear 

= ϕ (x)(r − r ) + ϕ (y)(1 − r − (1 − r) ) − 2r(1 − r)ϕ(x)ϕ(y) 2

2

2

2

= r(1 − r)(ϕ(x) − ϕ(y))2 ≥ 0. (b) Für alle x, y ∈ C, r ∈ ]0, 1[ gilt: (af + bg)(rx + (1 − r)y) = af (rx + (1 − r)y) + bg(rx + (1 − r)y) ≤ arf (x) + a(1 − r)f (y) + brg(x) + b(1 − r)g(y)  f , g konvex, a, b ≥ 0  = r(af + bg)(x) + (1 − r)(af + bg)(y) und f ∨ g(rx + (1 − r)y) = f (rx + (1 − r)y) ≤ rf (x) + (1 − r)f (y) ≤ r(f ∨ g)(x) + (1 − r)(f ∨ g)(y).

(o. B. d. A.)  f konvex 

Lösung zu A 37 Es seien O, P ∈ (τ

σ)|((X × Y )\(S × T )), O ∩ P = ∅, O = ∅ und

O ∪ P = (X × Y )\(S × T ) =

({x} × Y ) ∪

(X × {y}). y∈Y \T

x∈X\S

Da ({x} × Y, (τ σ)|({x} × Y )) und (X × {y}, (τ  2.4-10 , muß für jedes x ∈ X, y ∈ Y

σ)|(X × {y})) zusammenhängend sind

{x} × Y ⊆ O

oder

{x} × Y ⊆ P,

X × {y} ⊆ O

oder

X × {y} ⊆ P

gelten. Da O = ∅ ist, existiert (o. B. d. A.) ein x ∈ X\S mit {x} × Y ⊆ O. Für jedes y ∈ Y \T ist dann X × {y} ⊆ O  Sonst wäre O ∩ P = ∅! . Mit demselben Argument folgt hieraus {x} × Y ⊆ O für alle x ∈ X\S, insgesamt also (X × Y )\(S × T ) ⊆ O, P = ∅. Lösung zu A 38 Es seien O, P ∈ I, O ∩ P = ∅, O = ∅ und O∪P =Z =

fx · [Y ] = x∈X

f · y [X]. y∈Y

Lösungen zu 2.4

597

Da (fx · [Y ], I|fx · [Y ]) und (f · y [X], I|f · y [X]) zusammenhängend sind  2.4-4.2 , muß für jedes x ∈ X, y ∈ Y fx · [Y ] ⊆ O

oder

fx · [Y ] ⊆ P,

f · y [X] ⊆ O

oder

f · y [X] ⊆ P

gelten. Da O = ∅ ist, existiert (o. B. d. A.) ein x ∈ X mit fx · [Y ] ⊆ O. Für jedes y ∈ Y ist dann f · y [X] ⊆ O  Sonst wäre O ∩ P = ∅! . Mit demselben Argument folgt hieraus fx · [Y ] ⊆ O für alle x ∈ X, insgesamt also Z ⊆ O, P = ∅. Lösung zu A 39 Gem. 2.1-3.1 sei f ein Netz (Folge reicht auch!) in Cb (X, Y ), ϕ ∈ B(X, Y ) mit f →τd∞ ϕ, d. h. f −−−→ ϕ nach (2.4,7) (a). Mit 2.4-6 erhält man ϕ ∈ C(X, Y ), also ϕ ∈ Cb (X, Y ). d-glm.

τd∞

Daraus folgt Cb (X, Y )

= Cb (X, Y )  2.1-3.1 .

Lösung zu A 40 Für S = ∅ ist auch ∆S = ∅, und damit liegt die behauptete Homöomorphie vor. Sei S = ∅. Die Funktion η : S −→ ∆S , definiert durch η(s)(j) := s für jedes s ∈ S, j ∈ N, ist ein Homöomorphismus: η ist bijektiv  s = s =⇒ η(s)(j) = s = s =   η(s  j ∈ N), also η(s) = η(s ). Für f ∈ ∆S gilt η(f (0)) = f . ,  )(j)  (sogar für jedes ∆ -stetig  ∀ j ∈ N : π τ|S ◦ η = idS (τ|S, τ|Sj )-stetig, 2.4-7 (c)  und τ|S, j S j       j∈N −1 τ|S, j∈N τ|Sj ∆S -offen  ∀ P ∈ τ|S : η[P ] = π0 [P ] ∩ ∆S ∈ j∈N τ|Sj ∆S , denn π0 ◦ η(s) = s für jedes s ∈ S . Lösung zu A 41 Sei f  g, etwa x ∈ X mit f (x) < g(x), d. h. (f − g)(x) < 0. Wegen f − g ∈ CR (X)  A 2  gibt es eine Umgebung U ∈ Uτ (x), für die (f − g)[U ] ⊆ ]−∞, 0[ gilt. Man wähle ein y ∈ D ∩ U und erhält (f − g)(y) < 0, d. h. f (y) < g(y). Also gilt f
D  g
D. Lösung zu A 42 Die Funktion Im ist R-linear und (τ  , τ  )-stetig, nach A 14 somit sogar L-stetig (bzgl. (d  , d  )), d. h. ∃ L > 0 ∀ x ∈ V : Im(x) ≤ Lx. Es folgt  vgl. 1.1, Lösung zu A 12  x ≤ xC ≤ x + ix ≤ x + Lx = (L + 1)x. Nach 1.2-6.1 folgt die topologische Äquivalenz von  ,  C . Lösung zu A 43 Für jedes f ∈ CR ([0, 1]) ist F (f ) : [0, 1] −→ R stetig:

Lösungsvorschläge

598 Für alle x, x ∈ [0, 1], |x − x | < ε gilt

 x  x  x |F (f )(x) − F (f )(x )| = f (t) dt − f (t) dt = f (t) dt 0 x 0  max{x,x } ≤ |f (t)| dt ≤ f ∞ |x − x | ≤ f ∞ ε. 

min{x,x }

F ist somit wohldefiniert. Die gleichmäßige Stetigkeit von F folgt aus  x F (f ) − F (g)∞ = sup |F (f )(x) − F (g)(x)| = sup (f (t) − g(t)) dt x∈[0,1]

 0

0

1

|(f − g)(t)| dt ≤

≤ sup x∈[0,1]

x∈[0,1]



x

|(f − g)(t)| dt 0

≤ f − g∞ für alle f , g ∈ CR ([0, 1]). F ist keine Kontraktion, denn für −g = f = 1/2 gilt  x  x (f (t) − g(t)) dt = sup 2f (t) dt F (f ) − F (g)∞ = sup x∈[0,1]

x∈[0,1]

0

0

= 1 = f − g∞ .

Lösung zu A 44 Sei f : [0, 1] −→ [0, 1] durch f (t) := t − t2 definiert. f ist Kontraktion: Für alle s, t ∈ [0, 1] gilt |f (s) − f (t)| = |s − s2 − t + t2 | = |s + t − 1| |t − s|, und für s = t ist |s + t − 1| < 1. f ist keine strenge Kontraktion: Für jedes λ ∈ [0, 1[ erhält man für s := (1 − λ)/4, t := (1 − λ)/2 beispielsweise s = t und |s + t − 1| = (3/4)λ + (1/4) > λ. Lösung zu A 45

' & Es sei f ∈ CR ([0, 1]), m ∈ N\{0}, f [0, 1] ⊆ [−m, m] und ε > 0. Man wähle ' & ε2 ε2 1− m durch die die 0 < ε < ε /3, so daß m 2 < 1 ist, und ändere f im Intervall 2,1    ε2 ε2 Punkte 1 − m2 , f 1 − m2 , (1, f (0)) verbindende Gerade ab: fm (x) :=  2  m ε2 f (0) − f 1 − f (x)

ε2 m2



 x+ 1−

m2 ε2



f (0) +

m2 ε2 f

 1−

ε2 m2



' für x ∈ 1 − sonst.

&

ε2 m2 , 1

' & Dann ist fm ∈ CR ([0, 1]), fm (0) = fm (1), fm [0, 1] ⊆ [−m, m], gem. (2.4,5) (e) existiert

Lösungen zu 2.5

599

somit ein trigonometrisches Polynom p ∈ TP R ([0, 1]) mit fm − p∞ < ε. Es folgt f − p  ≤ f − fm   + fm − p   1 1/2  1 1/2 2 2 = |f (t) − f (t)| dt + |f (t) − p(t)| dt m m 2 ε 1− m 2

0

ε ≤ 2m + ε < ε . m

Lösungen zu 2.5 Lösung zu A 1
dB :

X −→ R+ x −→ inf{ d(x, b) | b ∈ B }

bezeichne für B = ∅ die Abstandsfunktion zu B (vgl. (2.4,1) (d)). Man wähle ga,b = a für B = ∅ und setze  X −→ [0, 1] g0,1 : dB (x) x −→ d(x,y)+d B (x) für B = ∅. Die Funktion g0,1 ist wohldefiniert, da d(x, y) + dB (x) > 0 für jedes x ∈ X gilt  für x ∈ X\B ist dB (x) > 0, und für x ∈ B folgt d(x, y) ≥ dB (y) > 0 . Die Stetigkeit von g0,1 erhält man mit 2.4, A 5. ga,b := (a − b)g0,1 + b ∈ C(X, [a, b]) erfüllt die Behauptung. Lösung zu A 2 (M, µ) ist T3a -Raum: Es sei P ∈ M und V eine kanonische Basisumgebung (vgl. (2.3,5) (b)) von P mit dem Radius r (Abb. L-10). Man definiere fV : M −→ R+ durch fV (Q) := 1 für Q ∈ M \V und fV (Q) :=

PQ r

bzw.

für Q ∈ V , wobei P Q die Länge der Strecke zwischen P und Q bezeichnet. fV (Q) := Es ist dann fV (P ) = 0, fV ∈ C(M, [0, 1])  Die Stetigkeit kann mit Folgenkonvergenz gem. 2.4-1.3 leicht überprüft werden! , und für alle A ∈ αµ , A ⊆ M \V gilt definitionsgemäß fV [A] ⊆ {1}. (M, µ) ist nicht T4 -Raum: Die Begründung hierfür erfolgt mit 2.5-1: PQ P Q

Es ist A := R × {0} ∈ αµ , µ|A = τdis , D := Q × Q> abzählbar und D α : N −→ D bijektiv (eine Aufzählung von D) und
PD −→ A  ϕ: ∞ 1 B −→ j=0 χB (α(j)) 3j , 0 , wobei χB : D −→ {0, 1} die charakteristische Funktion zu B ist. ϕ ist injektiv:

µ

= M . Sei

Lösungsvorschläge

600 y

y V V r

bzw.

Q

P

Q

r Q x

P

x

Abbildung L-10

Für alle B, C ∈ PD, B = C, gilt χB = χC , es existiert somit ein j0 ∈ N mit χB (α(j0 )) = χC (α(j0 )); j0 sei minimal gewählt, d. h. j0 := min{ j ∈ N | χB (α(j)) = χC (α(j)) }. Es folgt  ∞  1 χB (α(j)) − χC (α(j)) j |ϕ(B) − ϕ(C)| = 3 j=j0

∞  1    1 = j0 χB (α(j0 )) − χC (α(j0 )) + χB (α(j)) − χC (α(j)) j 3 3 j=j0 +1

 ∞  1 1 ≥ j0 − χB (α(j)) − χC (α(j)) j 3 3 j=j +1 0

≥

∞ 

1 − 3j0 j=j

0

1 1 = > 0. j 3 2 · 3j0 +1

Lösung zu A 3 (R2 , σ) ist T2 -Raum  σ ⊇ τd2  und nicht T3 -Raum  (2.5,3) (d) . Da {x} ∈ ασ für jedes x ∈ R2 gilt, kann (R2 , σ) nicht T4 -Raum sein. Lösung zu A 4 Es seien A, B ∈ τS \{∅}, A ∩ B = ∅, also A ⊆ R\B ∈ τS (und B ⊆ R\A ∈ τS ). Man wähle zu jedem a ∈ A, b ∈ B ein xa < a, yb < b mit ]xa , a] ⊆ R\B, ]yb , b] ⊆ R\A. Dann gilt: ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B : ]xa , a] ∩ ]yb , b] = ∅.  Für (o. # B. d. A.) a < b, ]xa , a]∩]yb , b] = ∅ würde a ∈ ]yb , b] folgen.  Mit O := P := b∈B ]yb , b] ∈ τS erhält man A ⊆ O, B ⊆ P und O ∩ P = ∅.

#

a∈A ]xa , a],

Lösungen zu 2.5

601

Lösung zu A 5 Die Sorgenfrey-Gerade (R, τS ) ist T4 -Raum  A 4 , (R × R, τS

τS ) ist kein T4 -Raum:

τS τS

= R × R  (]a, a ] × ]b, b ]) ∩ Sei D := Q × Q und A := { (−r, r) | r ∈ R }. Es gilt D   (Q × Q) = ∅ für alle a < a , b < b ; 2.2-1  (a) , A ∈ ατS τS  (a, b) ∈ A =⇒ (o. B. d. A.) a+b , a] × ]b − , b] ∩ A = ∅  und (τS τS )|A = τdis  Für alle r ∈ R: −a < b =⇒ ]a − a+b 2 2 {(−r, r)} = A ∩ (]−r − 1, −r] × ]r − 1, r]). . Nach 2.5-1 genügt die Angabe einer Injektion ϕ : PD −→ A: Man definiere ϕ durch (vgl. A 2)   ∞ 1 ϕ(B) := χB (α(j)) j (−1, 1), 3 j=0 wobei α : N −→ D bijektiv ist. ϕ ist injektiv, denn für B = C, d. h. χB = χC , folgt mit j0 := min{ j ∈ N | χB (α(j)) = χC (α(j)) } wie in A 2  ∞ ∞  ∞ 1 1 1   ≥ 1 > 0. = χ χ (α(j)) − χ (α(j)) (α(j)) − χ (α(j)) B C B C j j j 3 3 3 2 · 3j0 j=0 j=0 j=j 0

Lösung zu A 6 (R, τS ) ist Lindelöf-Raum  2.3, A 7  und T3 -Raum  (R, τS ) ist T4 -Raum gem. A 4, und für jedes x ∈ R ist {x} ∈ ατS (s. auch 2.3, A 1) . Somit ist auch (R × R, τS τS ) ein T3 -Raum  2.5-5 , nach A 5 aber kein T4 -Raum. Mit dem Lemma von Tychonoff 2.5-3 folgt, daß (R × R, τS τS ) kein Lindelöf-Raum ist. Lösung zu A 7 (i) ⇒ (ii) Sei F ein Filter auf X, x, y ∈ X, x = y und F →τ x, F →τ y. Gem. (i) wähle man U ∈ Uτ (x), V ∈ Uτ (y) mit U ∩ V = ∅. Wegen der Konvergenz von F gegen x und y existiert ein F ∈ F mit F ⊆ U ∩ V , also gilt ∅ ∈ F.
(ii) ⇒ (i) Es seien x, y ∈ X, x = y, und für alle O, P ∈ τ mit x ∈ O, y ∈ P gelte O ∩ P = ∅. Dann ist F := { U ∩ V | U ∈ Uτ (x), V ∈ Uτ (y) } ein Filter auf X, der gegen x und y τ-konvergiert, nach (ii) gilt also x = y.
Lösung zu A 8 (i) ⇒ (ii) Für alle x, y ∈ X, x = y gilt mit (i) x ∈ X\{y} ∈ τ, y ∈ X\{x} ∈ τ und y ∈ X\{y}, x ∈ X\{x}. (ii) ⇒ (i) Es seien x, y ∈ X, y ∈ X\{x}, also x = y. Nach (ii) wähle man ein V ∈ Uτ (y) mit x ∈ V . Dann ist V ⊆ X\{x} und somit X\{x} ∈ τ, d. h. {x} ∈ ατ . Lösung zu A 9 Es sei x0 ∈ X\A und r ∈ [0, 1]. Da {x0 } nach Voraussetzung abgeschlossen ist, gilt auch A ∪ {x0 } ∈ ατ , und Fx0 ,r : A ∪ {x0 } −→ [0, 1], definiert durch  f (x) für x ∈ A Fx0 ,r (x) := r für x = x0 ,

Lösungsvorschläge

602

ist stetig, denn die Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Nach dem TietzeUrysohnschen Fortsetzungssatz 2.5-11 läßt sich Fx0 ,r durch ein Φx0 ,r ∈ C(X, [0, 1]) auf X fortsetzen. Für alle r, s ∈ [0, 1], r = s, gilt Φx0 ,r = Φx0 ,s . Lösung zu A 10 Dieses folgt direkt aus der Definition des T4 -Raums: Für B, C ∈ ατ|A ⊆ ατ  A ∈ ατ !  existieren O, P ∈ τ mit B ⊆ O, C ⊆ P und O ∩ P = ∅. Man erhält daher O ∩ A, P ∩ A ∈ τ|A, B ⊆ O ∩ A, C ⊆ P ∩ A und (O ∩ A) ∩ (P ∩ A) = ∅. Lösung zu A 11 (a)

  ηa,j ist bijektiv  x, x ∈ Xj , x = x =⇒  = x = x = ηa,j (x )(j);  ηa,j (x)(j) τ Xa,j -stetig  πj ◦ ηa,j = idXj , ϕ ∈ Xa,j =⇒ ηa,j (ϕ(j)) = ϕ  und τj , i∈I i −1 erhält πi ◦ ηa,j = ai (konstant) für i = j sind stetig; 2.4-7 (c) . Die Stetigkeit von ηa,j man nach 2.4-1 so: ϕ. Dann gilt Sei M : A −→ Xa,j ein Netz in Xa,j , ϕ ∈ Xa,j und M → (

auch M →

i∈I

τi

i∈I

τi ) Xa,j

ϕ und gem. 2.4-8 (b) speziell πj ◦ M →τj πj (ϕ), woraus wegen

−1 −1 (ϕ) und (πj ◦ M )(α) = M (α)(j) = ηa,j (M (α)) für alle α ∈ A πj (ϕ) = ϕ(j) = ηa,j −1 nach 2.4-1 die Stetigkeit von ηa,j folgt. % (b) Gem. 2.1-3.1 sei M : A −→ Xa,j ein Netz in Xa,j , ϕ ∈ i∈I Xi und M → τ ϕ, i∈I i also ∀ i ∈ I : πi ◦ M →τi πi (ϕ)  2.4-8 (b) . Wegen (πi ◦ M )(α) = M (α)(i) = ai für jedes α ∈ A, i ∈ I\{j} gilt auch πi ◦ M →τi ai , also gem. 2.5-8 ϕ(i) = πi ◦ ϕ = ai für jedes i ∈ I\{j}. Somit gehört ϕ zu Xa,j .

Lösung zu A 12 (a)

(f · g)(x) = 0 ⇐⇒ f (x) = 0 und g(x) = 0, also τ

Tr(f · g) = { x ∈ X | (f · g)(x) = 0 }

= { x ∈ X | f (x) = 0 } ∩ { x ∈ X | g(x) = 0 }

τ

τ

τ

⊆ { x ∈ X | f (x) = 0 } ∩ { x ∈ X | g(x) = 0 } = Tr f ∩ Tr g. Gleichheit gilt für f , g ∈ C(R) beispielsweise nicht :   x für x ≥ 0 x für x ≤ 0 f (x) := g(x) := 0 sonst, 0 sonst. Wegen f · g = 0 ist Tr(f · g) = ∅  {0} = Tr f ∩ Tr g. (f + g)(x) = 0 =⇒ f (x) = 0 oder g(x) = 0, also τ

Tr(f + g) = { x ∈ X | (f + g)(x) = 0 }

⊆ { x ∈ X | f (x) = 0 } ∪ { x ∈ X | g(x) = 0 } τ

τ τ

= { x ∈ X | f (x) = 0 } ∪ { x ∈ X | g(x) = 0 } = Tr f ∪ Tr g.

Lösungen zu 2.5

603

Gleichheit gilt für f , g ∈ C(R) beispielsweise nicht : f = 0, g := −f

=⇒

Tr(f + g) = ∅  Tr f = Tr f ∪ Tr g.

(b) (zf )(x) = 0 ⇐⇒ f (x) = 0, also τ

τ

Tr(zf ) = { x ∈ X | (zf )(x) = 0 } = { x ∈ X | f (x) = 0 } = Tr f. Lösung zu A 13 Wegen w ∈ { v ∈ V | ϕ(v) = 0 }

⇐⇒ ⇐⇒

ϕ(w) = 0 ⇐⇒ f (w − v0 ) = 0 w − v0 ∈ { v ∈ V | f (v) = 0 }

erhält man { v ∈ V | ϕ(v) = 0 } = v0 + { v ∈ V | f (v) = 0 }
V −→ V und somit gem. 1.2-2 (b) ( ist ein (τN , τN )-Homöomorphismus!) v −→ v0 + v τN

Tr ϕ = { v ∈ V | ϕ(v) = 0 }

τN

= v0 + { v ∈ V | f (v) = 0 } τN

= v0 + { v ∈ V | f (v) = 0 }

= v0 + Tr f.

Ebenso folgt aus „w ∈ { v ∈ V | ψ(v) = 0 } ⇐⇒ kw ∈ { v ∈ V | f (v) = 0 }“ { v ∈ V | ψ(v) = 0 } =
und mit 1.2-2 (c) (

1 { v ∈ V | f (v) = 0 } k

V −→ V ist ein (τN , τN )-Homöomorphismus!) v −→ k1 v

Tr ψ = { v ∈ V | ψ(v) = 0 } =

τN

1 { v ∈ V | f (v) = 0 } k 1 = Tr f. k

τN

=

τN 1 { v ∈ V | f (v) = 0 } k

Lösung zu A 14 % Sei f ∈ j∈N Sj \∆S , etwa f (i) = f (k) für gewisse i, k ∈ N. Da (X, τ) hausdorffsch ist, gibt es disjunkte, offene Umgebungen U ∈ Uτ|Si (f (i)) ∩ τ|Si , V ∈ Uτ|Sk (f (k)) ∩ τ|Sk , U ∩ V = ∅. Es folgt f ∈ πi−1 [U ] ∩ πk−1 [V ] ∈ j∈N τ|Sj und ∆S ∩ (πi−1 [U ] ∩ πk−1 [V ]) = ∅. Lösung zu A 15 Gem. 2.1-3.1 sei M : A −→ Fix f ein Netz und x ∈ X mit M →τ x. Mit 2.4-1 folgt dann f ◦ M →σ f (x), wegen f ◦ M = M also M →σ f (x). Für τ ⊆ σ (bzw. τ ⊇ σ) gilt somit auch M →τ f (x) (bzw. M →σ x). Nach 2.5-8 erhält man in beiden Fällen f (x) = x, d. h. x ∈ Fix f . Fix f ist gem. 2.1-3.1 abgeschlossen in (X, τ).

Lösungsvorschläge

604 Lösung zu A 16 (a)

(i) ⇒ (ii) e ist gem. (i) insb. injektiv, also trennt (fi )i∈I Punkte in X  2.5-14 (b) . , τ ), π
e[X])i∈I  i∈I τi e[X] ist die i∈I τi e[X] ist die Initialtopologie von ((X i% i i   Initialtopologie der einelementigen Familie und i∈I τi i, i∈I X i∈I τi , ide[X] && '' e[X] Initialtopologie die der Familie ((Xi , τi ), πi )i∈I . . Damit ist τ = e−1 τ i i∈I von ((Xi , τi ), πi ◦ e)i∈I . Wegen πi ◦ e = fi ist (ii) bewiesen. (ii) ⇒ (i) Jedes fi ist gem. (ii) stetig, also auch e  2.5-14 (a) . Da (fi )i Punkte in X trennt, folgt die Injektivität von e mit 2.5-14 (b). Schließlich sei i ∈ I, Oi ∈ τi , also fi−1 [Oi ] ∈ τ gem. (ii). Dann gilt & ' τi e[X] e fi−1 [Oi ] = πi−1 [Oi ] ∩ e[X] ∈  fi−1 [Oi ]

'

&

πi−1 [Oi ]

'

−1

πi−1 [Oi ] ∩ e[X]

&

i∈I

=e =e . Weil { fi−1 [Oi ] | i ∈ I, Oi ∈ τi } eine Subbasis von τ und e : X −→ e[X] bijektiv ist, folgt die Offenheit von e. −1

(b) Nach 2.5-14.1 (a) ist τ die Initialtopologie von ((Xi , τi ), fi )i∈I . Da (X, τ) ein T1 -Raum ist, also {x} ∈ ατ für jedes x ∈ X gilt, trennt (fi )i∈I Punkte in X, und gem. (a) ist e : X −→ e[X] ein Homöomorphismus. Lösung zu A 17 Es ist ν(0) = 0,

|kf | |f | ≤ sup = ν(f ) 1 + |kf | 1 + |f | x für alle k ∈ R, |k| ≤ 1, f ∈ C(R, R)  x → 1+x ist monoton wachsend!  und  |f | |f | + |g| |g|  |f + g| ≤ sup ≤ sup + = ν(f ) + ν(g) ν(f + g) = sup 1 + |f + g| 1 + |f | + |g| 1 + |f | 1 + |g| ν(kf ) = sup

für alle f , g ∈ CR (R).

  1   idR j∈N konverDie Skalarmultiplikation in CR (R) ist nicht τ| | τdν , τdν -stetig, denn j+1 giert bzgl. dν nicht gegen 0: ν



1 j+1

 idR = sup

1

1 j+1 |idR | 1 + j+1 |idR |

≥

1

1 j+1 |idR (j + 1)| 1 + j+1 |idR (j + 1)|

=

1 . 2

Lösung zu A 18 (a)

Für k = |k|ei arg k (Polardarstellung) erhält man wegen |e±i arg k | = 1, (PN-2) und (PN-3) ν(kv) = ν(ei arg k |k|v) ≤ ν(|k|v) = ν(e−i arg k kv) ≤ ν(kv), also ν(kv) = ν(|k|v), und

    ν(kv) = ν(|k|v) = ν (|k| − [|k|])v + [|k|]v ≤ ν (|k| − [|k|])v + ν([|k|]v) ≤ ν(v) + [|k|]ν(v)  0 ≤ |k| − [|k|] < 1  = ([|k|] + 1)ν(v).

Lösungen zu 2.5

605

dν dν (b) Für alle v, w ∈ V , ε > 0 gilt Kε/2 (v) ± Kε/2 (w) ⊆ Kεdν (v ± w): dν dν (v), y ∈ Kε/2 (w), also ν(v − x) < ε/2, ν(w − y) < ε/2. Es folgt Es seien x ∈ Kε/2

dν (x ± y, v ± w) = ν(x − v ± y ∓ w) ≤ ν(x − v) + ν(y − w) < ε, also x ± y ∈ Kεdν (v ± w). Weiterhin ist für k ∈ K dν (mk (v), mk (w)) = ν(k(v − w)) ≤ ([|k|] + 1)ν(v − w) = ([|k|] + 1)dν (v, w)  (PN-3), (a) . (c)

Für alle v, w ∈ V gilt |ν(v) − ν(w)| ≤ ν(v − w) = dν (v, w)  (PN-3) .

Lösung zu A 19 (a)

(i) ⇒ (ii) ist klar. (ii) ⇒ (i) Es seien (kj )j ∈ K N , (vj )j ∈ V N , k ∈ K, v ∈ V mit (kj )j →τ | | k und (vj )j →τdν v. Wegen kj vj − kv = k(vj − v) + (kj − k)v + (kj − k)(vj − v) erhält man nach (PN-3) und A 18 (a) ν(kj vj − kv) ≤ ([|k|] + 1)ν(vj − v) + ν((kj − k)v) + ([|kj − k|] + 1)ν(vj − v),

also (ν(kj vj − kv))j →τ | | 0  (ii), A 18 (c) , d. h. (kj vj )j →τdν kv. ∞ (b) Nach (a) wegen νq (kj x) = |kj |q i=0 |xi |q für alle x ∈ +q , kj ∈ C. Lösung zu A 20 (a) νW (W ) = inf{ ν(w) | w ∈ W } = ν(0) = 0

 (PN-1), (2.5,8) (a) ,

νW (k(v + W )) = inf{ ν(kv + w) | w ∈ W } = inf{ ν(k(v + w)) | w ∈ W } ≤ inf{ ν(v + w) | w ∈ W }  d| | (0), = νW (v + W ) für alle v ∈ V , k ∈ K 1 νW (v + W + x + W ) = νW (v + x + W ) = inf{ ν(v + x + w) | w ∈ W }         ≤ inf ν v + 12 w w ∈ W + inf ν x + 12 w w ∈ W = νW (v + W ) + νW (x + W ).   (b) τdνW ⊆ τdν /RW : Die kanonische Projektion πRW ist stetig bzgl. τdν , τdνW : Für jedes v ∈ V , ε > 0 ist    dν  dν Kε W v/RW = Kε W (v + W ) = x + W x ∈ V, νW (x − v + W ) < ε = { x + W | x ∈ V, ∃ w ∈ W : ν(x − v + w) < ε } 

= x + W x ∈ { Kεdν (v − w) | w ∈ W } ,

Lösungsvorschläge

606 also

' dνW & −1 πR Kε (v + W ) = W + W

{ Kεdν (v − w) | w ∈ W } ∈ τdν .

# −1 τdνW ⊇ τdν /RW : Sei O ∈ τdν /RW , v + W ∈ O, also v + W ⊆ πR [O] = O. W # # O für ein ε > 0. Hiermit erhält man Es folgt v ∈ O ∈ τdν , etwa Kεdν (v) ⊆ dνW Kε (v + W ) ⊆ O (also O ∈ τdνW ): dν

Sei z + W ∈ Kε W (v + W ), d. h. νW (v − z + W ) = inf{ ν(v − z + w) | w#∈ W } < ε. Es gibt somit ein w ∈ W mit ν(v − z + w) < ε, d. h. z − w ∈ Kεdν (v) ⊆ O, woraus z + W ∈ O folgt. (c)

Für W = V ist nichts zu beweisen. Sei also v ∈ V \W ∈ τdν , ε > 0 mit Kεdν (v) ⊆ V \W , d. h. W ⊆ V \Kεdν (v). Es folgt dν (v, w) = ν(v − w) ≥ ε für alle w ∈ W und somit νW (v + W ) = inf{ ν(v + w) | w ∈ W } ≥ ε > 0. Umgekehrt sei νW eine Pseudonorm auf V /W . Aus der Stetigkeit von νW bzgl. τdνW , τ| |  A 18 (c)  folgt −1 {W } = { v + W | v ∈ V, νW (v + W ) = 0 } = νW [{0}] ∈ ατdν

W

und somit W =

−1 πR [{W }] W

∈ ατdν  τdν /RW = τdνW gem. (b) .

(d) Für alle a, b ∈ A, k ∈ K gilt ν(ka) ≤ ([|k|] + 1)ν(a) = 0  A 18 (a)  und ν(a + b) ≤ ν(a) + ν(b) = 0  (PN-3) , also gem. (2.5,8) (a) ka, a + b ∈ A. Da ν stetig bzgl. τdν , τ| | ist, folgt A ∈ ατdν , also ist νA eine Pseudonorm  (c) . Schließlich ist auch ν(v − a) ≥ ν(v) − ν(a) = ν(v) für alle v ∈ V , a ∈ A, also ν(v) ≤ inf{ ν(v + a) | a ∈ A } ≤ ν(v) und somit νA (v + A) = ν(v). Lösung zu A 21 τ

Sei x ∈ S und U ∈ Uτ (0), also x$− U ∈ Uτ (x). Dann ist (x − U ) ∩ S = ∅, also x ∈ U + S. Gehört umgekehrt x zu { S + U | U ∈ Uτ (0) } und ist W ∈ Uτ (x), also x − W ∈ Uτ (0) und somit x ∈ S + x − W , etwa x = s + x − w mit s ∈ S, w ∈ W , so folgt s = w, und es ist S ∩ W = ∅. $ τ (b) „⇒“ Für T2 -Räume (V, τ) gilt nach (a) {0} = Uτ (0) = {0} . $ $ τ „⇐“ Gem. (a) ist {0} = Uτ (0), also {0} = Uτ (0). Für alle x, y ∈ V , x = y, existiert daher ein U ∈ Uτ (0) mit x − y ∈ U . Man wähle ein W ∈ Uτ (0) mit W − W ⊆ U und erhält (x + W ) ∩ (y + W ) = ∅. (a)

(c)

Es seien U , W ∈ Uτ (0), W + W ⊆ U . Gem. (a) folgt  τ W = { W + T | T ∈ Uτ (0) } ⊆ W + W ⊆ U, τ

τ

also v + W = v + W ⊆ v + U für alle v ∈ V , und nach 2.5-2 die (T-3)-Eigenschaft.

Lösungen zu 3.1

607

  V /M , τ/RM T2 -Raum

(d)

⇐⇒

{M } ∈ ατ/R

⇐⇒

−1 M = πM [{M }] ∈ ατ .

M

 (b) 

Lösungen zu 3.1 Lösung zu A 1 (a)

Man wähle zu ε = 1 ein nε ∈ N mit d(xn , xm ) < 1 für alle n, m ≥ nε und zu nε ein r ∈ R mit r > max {1} ∪ { d(xj , xnε ) | 0 ≤ j ≤ nε − 1 } . Für jedes j ∈ N ist dann xj ∈ Krd (xnε ) und somit δ({ xj | j ∈ N }) = sup{ d(xn , xm ) | n, m ∈ N } ≤ 2r.

(vgl. 2.4, A 12)

(b) Sei ε > 0. Da f gleichmäßig stetig ist, gibt es ein δ > 0 mit ∀ x, x ∈ X : d(x, x ) < δ ⇒ e(f (x), f (x )) < ε. Zu δ > 0 wähle man ein jε ∈ N, so daß d(xj , xk ) < δ für alle j, k ≥ jε gilt. Es folgt dann e(f (xj ), f (xk )) < ε für alle j, k ≥ jε . Für stetige Funktionen f ist (f (xj ))j i. a. keine Cauchy-Folge in (Y, e): (X, d) := (R> , d| |
R> × R> ), (Y, e) := (R, d| | ),
X −→ Y f: x −→ x1  1  und (xj )j = j+1 . j Lösung zu A 2 Nτ = N\{0}: Für jedes j ≥ 1, U ∈ Uτ (j) gilt Nj+1 ⊆ U , also 0 ∈ U \{j}. Umgekehrt ist 0 wegen {0} = N1 ∈ Uτ (0) nicht Häufungspunkt der Menge N. (j)j∈N hat keinen Häufungspunkt in (N, τ): Für jedes k ∈ N ist Nk+1 ∈ Uτ (k) und Nk+1 ∩ { j ∈ N | j ≥ k + 1 } = ∅. Lösung zu A 3 Es sei { Vj | j ∈ N } eine Umgebungsbasis von ξ in (X, τ) (vgl. 1.2) mit Vj+1 ⊆ Vj für jedes j ∈ N. Da ξ Häufungspunkt von (xj )j in (X, τ) ist, gibt es zu jedem j ∈ N ein νj ∈ N, νj ≥ j, νj−1 und xνj ∈ Vj (ν−1 := 0).   xνj j∈N ist eine in (X, τ) gegen ξ konvergente Teilfolge von (xj )j . Lösung zu A 4 # Sei y ∈ X\ j∈N Aj . Da y nicht Häufungspunkt von (xj )j ist, existiert ein ε > 0 und ein j0 ∈ N mit d(y, xj ) ≥ ε, ε ≥ 2εj0 für jedes j > j0 . Sei δ := min({ dist(y, Aj ) | 0 ≤ j ≤ j0 } ∪ { 2ε − εj0 }).

Lösungsvorschläge

608 Dann ist δ > 0  y ∈ Aj für alle j ∈ N  und Kδd (y) ⊆ X\

# j∈N

Aj :

Gäbe es ein j ∈ N, a ∈ Kδd (y) ∩ Aj , so wäre ε ≤ d(y, xj ) ≤ d(y, a) + d(a, xj ) ≤ δ + εj ≤ für j > j0 und auch

ε ε − ε0 + ε0 =
2 2

δ ≤ dist(y, Aj ) ≤ d(y, a) < δ


für j ≤ j0 . Lösung zu A 5 Wegen der Monotonie des Hüllenoperators  2.1-1.1 (c)  gilt   τ  τ F F ∈ EM = { M (a) | a ≥ b } . b∈A

(i) ⇒ (ii) Für jedes b ∈ A, U ∈ Uτ (ξ) gibt es ein a ∈ A mit a ≥ b und M (a) ∈ U ; daher τ gilt ξ ∈ { M (a) | a ≥ b } . τ

(ii) ⇒ (i) Sei U ∈ Uτ (ξ) und b ∈ A. Wegen ξ ∈ { M (a) | a ≥ b } ist der Durchschnitt U ∩ { M (a) | a ≥ b } = ∅, also existiert ein a ≥ b mit M (a) ∈ U . Lösung zu A 6 Es ist D ≥ 0, für alle x, y, z ∈ R gilt D(x, y) = D(y, x), x y y z − + − D(x, z) = 1 + |x| 1 + |y| 1 + |y| 1 + |z| x y y z ≤ − − + = D(x, y) + D(y, z), 1 + |x| 1 + |y| 1 + |y| 1 + |z| x y y x und aus D(x, y) = 1+|x| = 0 folgt 1+|x| − 1+|y| = 1+|y| , also auch x = y  Vgl. Hinweis zu A 7 (a) in Abschnitt 1.1! . D ist somit eine Metrik auf R. Die Folge (j)j ∈ RN ist eine Cauchy-Folge in (R, D): Zu jedem ε > 0 wähle man jε ∈ N, so daß (jε + 1)ε > 1 gilt. Für alle n ≥ m ≥ jε erhält man n n m m m 1 1 D(n, m) = − − ≤1− = ≤ < ε. = 1+n 1+m 1+n 1+m 1+m 1+m 1 + jε Die Behauptung folgt daher mit τD = τ| | : Gemäß 2.1, A 11 ist für alle (xj )j ∈ RN , x ∈ R zu zeigen: (xj )j →D x

⇐⇒

(xj )j →d| | x.

„⇐“ Aus (xj )j →d| | x folgt wegen der Stetigkeit der Betragsfunktion, der Addition und der Division in (R, τ| | ) sofort   x x j , →d| | 1 + |xj | j 1 + |x| also (xj )j →D x.

Lösungen zu 3.1

609

 xj  x „⇒“ Es gelte (xj )j →D x, also 1+|x →d| | 1+|x| . Weil die Funktion η : R −→ ]−1, 1[, j| j x η(x) := 1+|x| , ein Homöomorphismus ist  s. u. , folgt die d| | -Konvergenz von  xj   x   . gegen x = η −1 1+|x| (xj )j = η −1 1+|x j j| η ist ein Homöomorphismus: Aus |y| 1+|y|

x 1+|x|

=

y 1+|y|

folgt sgn x = sgn y, also

|x| 1+|x|

=

= = und somit |x| = |y|, woraus sich x = y ergibt. η y für y ∈ [0, 1[ ist daher injektiv. Die Surjektivität erhält man aus η −1 (y) = 1−y      y  −1 −1 y y y y y −1  η 1−y = 1−y 1 + 1−y = 1−y 1 + 1−y = y  und η (y) = 1+y für      y  −1 −1 y y y y = 1+ 1− y ∈ ]−1, 0]  η = = y . Die Stetigkeit x sgn x 1+|x|

y sgn y 1+|y|

1+y

1+y

von η −1 ist nun wegen η −1 (y) =

1+y y 1−|y|

1+y

1+y

wie die von η zu begründen.

Lösung zu A 7 FB := { F ∩ B | F ∈ B } ist eine Cauchy-Filterbasis auf (B, d
B × B), also gilt FB →d
B×B b für ein b ∈ B. Es folgt FB →d b und wegen FB = B auch B →d b. Lösung zu A 8

 τ|S ◦τ|S # = ∅ für alle j ∈ N. Gem. 2.3, A 6 gilt Sei (Sj )j ∈ (PS)N , j∈N Sj = S und Sj  τ ◦τ dann auch Sj = ∅ für jedes j ∈ N, also ist S Menge 1. Kategorie in (X, τ). # Die Umkehrung ist nicht richtig: N = j∈N {j} ist eine Menge 1. Kategorie in (R, τ| | ), wegen τ| | |N = τdis jedoch Menge 2. Kategorie in (N, τ| | |N). Lösung zu A 9 Jede Teilmenge S von Q ist Menge 1. Kategorie in (Q, τ| | |Q): # τ | | |Q = {s} hat keinen inneren Punkt  {s} ∈ τ| | |Q . S = s∈S {s} ist abzählbar, und {s} Lösung zu A 10 Es sei S ⊆ V mit S

lin

τN

 lin τN ◦τN τ lin N = V . Dann gilt S = ∅  Andernfalls wäre S in lin

τN ∩ ατN gem. 2.1, A 8 und daher (V, τN ) nicht zusammenhängend (vgl. 2.4, A 31) , S lin   lin kein Baire-Raum, und somit auch S also Menge 1. Kategorie in (V, τN ). Wäre S , τN S lin   lin lin so gäbe es eine Menge O ∈ τN |S \{∅} 1. Kategorie in S , τN S . Für jedes x ∈ O, # lin n ∈ N wäre auch (n + 1)(O − x) und daher S = n∈N (n + 1)(O − x) Menge 1. Kategorie lin   lin lin 1  Sei s ∈ S , ε > 0 mit KεdN (0) ⊆ O − x. Es gilt n+1 s ∈ KεdN (0) für in S , τN S jedes n ∈ N mit

1 n+1 N (s)

< ε. . Nach A 8 ist S

lin

, also S Menge 1. Kategorie in (V, τN ).

Lösung zu A 11 (A, d
A × A) ist ein vollständiger pseudometrischer Raum  3.1-8 (a) , (A, τd
A×A ) = (A, τd |A)  2.3-6 (e)  also ein Baire-Raum  3.1-5 . Da O∩A ∈ τd |A ist, folgt die Behauptung mit A 8.

Lösungsvorschläge

610 Lösung zu A 12 (i) ⇒ (ii) ist klar.

(ii) ⇒ (i) Sei (yj )j ∈ X N eine Cauchy-Folge in (X, d). Da D in (X, τd ) dicht ist, gibt es zu jedem j ∈ N ein xj ∈ D mit d(yj , xj ) < 1/(j + 1). (xj )j ist eine Cauchy-Folge in (X, d)  Zu jedem ε > 0 wähle man ein nε ∈ N mit 1/(nε + 1) < ε/3 und d(yn , ym ) < ε/3, also d(xn , xm ) ≤ d(xn , yn ) + d(yn , ym ) + d(ym , xm ) < ε für alle n, m ≥ nε . . Gem. (ii) sei ξ ∈ X d-Limes der Folge (xj )j . Dann gilt auch (yj )j →d ξ  Zu jedem ε > 0 wähle man ein nε ∈ N mit 1/(nε + 1) < ε/2 und d(xn , ξ) < ε/2, also d(yn , ξ) ≤ d(yn , xn ) + d(xn , ξ) < ε für jedes n ≥ nε . . Lösung zu A 13 (a)

Es ist τdε = τdis  1.2, A 1 (b)  und somit Nj ∈ ατdε für jedes j ∈ N. Wegen 1 ε > ε für alle n = m ist jede Cauchy-Folge in (N, dε ) dε (n, m) = 1 + n+m+1 schließlich (d. h. für alle n ab einem geeignet zu wählenden n0 ) konstant, also auch konvergent in (N, τdis ).

(b)

dε (j, j + 1) ≤ δ(Nj ) = sup{ dε (n, m) | n, m ∈ Nj }

  1 = sup 1 + ε n, m ∈ Nj , n = m n+m+1   1 ≤ 1+ ε = dε (j, j + 1), j+j+1+1   1 ε für jedes j ∈ N. also δ(Nj ) = 1 + 2(j+1)

Lösung zu A 14  τ ◦τ # Es sei T = j∈N Tj , Tj = ∅ für jedes j ∈ N. Wäre X\T Menge 1. Kategorie in (X, τ),  τ ◦τ # etwa X\T = K , K = ∅ für jedes j ∈ N, so würde man X = T ∪ (X\T ) = j j j∈N # A erhalten, wobei A eine Aufzählung von { Tj | j ∈ N } ∪ { Kj | j ∈ N } ist. X wäre j∈N j daher Menge 1. Kategorie in (X, τ) im Widerspruch zur Voraussetzung. Die Umkehrung ist nicht richtig: (N, d| |
N × N) ist vollständiger metrischer Raum  N ist abgeschlossen im vollständigen metrischen Raum (R, d| | ); 3.1-8 (a) , und für jedes T ∈ PN\{∅} gilt: T Menge 2. Kategorie  τdis ◦τdis # in (N, τdis )  T = j∈N Tj , T = ∅ =⇒ ∃ j ∈ N : Tj = ∅. Wegen ∅ = Tj = Tj ist Tj nicht nirgendsdicht in (N, τdis ). . Lösung zu A 15 (a)

Mit den im Hinweis verwendeten Bezeichnungen  1 ist O(x) ≥ f (x), U (x) ≤ f (x) für jedes x ∈ X, Pj ∈ τd : Für x ∈ Pj , cx := 12 j+1 − (O(x) − U (x)) > 0 gibt es ein ε > 0, so daß sup{ f (y) | y ∈ Kεd (x) } − O(x) < cx

und U (x) − inf{ f (y) | y ∈ Kεd (x) } < cx ,

d d denn O(x), U (x) ∈ R. Für jedes y ∈ Kε/2 (x) erhält man Kε/2 (y) ⊆ Kεd (x) und d d O(y) − U (y) ≤ sup{ f (z) | z ∈ Kε/2 (y) } − inf{ f (z) | z ∈ Kε/2 (y) }

Lösungen zu 3.1

611 ≤ sup{ f (z) | z ∈ Kεd (x) } − inf{ f (z) | z ∈ Kεd (x) } 1 , < 2cx + O(x) − U (x) = j+1

d also Kε/2 (x) ⊆ Pj .

Weiter gilt Sf ⊆ Pj : Für jedes x ∈ Sf gibt es ein ε > 0 mit ∀ y ∈ Kεd (x) : |f (y) − f (x)|
0 wähle man k ∈ N, δ > 0 mit 1/(k + 1) < ε und 1 1 , U (x) − inf{ f (y) | y ∈ Kδd (x) } < 2(k+1) sup{ f (y) | y ∈ Kδd (x) } − O(x) < 2(k+1) j∈N

 O(x), U (x) ∈ R , es gilt dann für jedes z ∈ Kδd (x) |f (z) − f (x)| ≤ sup{ f (y) | y ∈ Kδd (x) } − inf{ f (y) | y ∈ Kδd (x) } 1 1 = 0 eine Basis von Uτ (x)  h Homöomorphismus  ist, folgt gem. h Kε (h(x)) 1.2, A 9 (a) τ = τe . Schließlich ist (X, e) auch vollständig, weil h  nach Definition von e  eine (e, d)-Isometrie ist. Lösung zu A 2 Für P = X ist nichts zu beweisen. Sei P ∈ τd \{∅, X} und DP die Pseudometrik aus 2.4, A 12 (b). Für jede Cauchy-Folge (xj )j ∈ P N in (P, DP ), jedes ε > 0 gibt es ein jε ∈ N mit ∀ j, k ≥ jε : DP (xj , xk ) < ε, es gilt daher auch ∀ j, k ≥ jε : d(xj , xk ) < ε, |aP (xj ) − aP (xk )| < ε (aP (x) = 1/dX\P (x) für jedes x ∈ P ). Sei ξ ∈ X, (xj )j →d ξ. Wegen   ε > aP (xk ) − aP xjε =

1 1 1 1   ≥   − − dX\P (xk ) dX\P xjε dX\P (xk ) dX\P xjε    > 0 für alle k ≥ jε , es gibt somit ein C > 0 folgt dX\P (xk ) ≥ 1/ ε + dX\P xjε mit dX\P (xj ) ≥ C für jedes j ∈ N  ∀ x ∈ P : dX\P (x) > 0 . Damit gehört ξ zu { x ∈ X | dX\P (x) ≥ C } ∈ ατd  dX\P ist gem. (2.4,1) (d) (τd , τ| | )-stetig. , also dX\P (ξ) > 0, d. h. ξ ∈ P  2.1, A 7 (a) .

Lösungen zu 3.4

621

Lösung zu A 3

 $ #  τd τd Es sei (Oj )j ∈ τdN , M = j∈N Oj ∈ ατd , also M \M = j∈N M \Pj , wobei ◦ ◦  τd  τd τd τd τd Pj := Oj ∩M und M \Pj τd |M = ∅ für jedes j ∈ N ist  Für M \Pj τd |M = ∅  τd   τd τd  insbesondere M \Pj ∩ M = ∅ müßte wegen der Dichtigkeit von M in M , τd M τd   τd τd τd sein.
. M \M ist daher Menge 1. Kategorie in M , τd M . Sei x ∈ M \M . τd Dann ist x + M ⊆ M \M , also auch x + M und damit M  Translationen  axτd: V −→τdV, ax (x ) := x + x, sind (τd , τd )-Homöomorphismen!  Menge 1. Kategorie in M , τd M . τd   τd   τd τd ist, kann gem. 3.1-5.1 Da nun M = M ∪ M \M Menge 1. Kategorie in M , τd M   τd τd τd nicht vollständig sein. Nach 3.1-8 (a) ist (V, d) nicht vollständig. M , d
M × M Lösung zu A 4 Für jedes j ∈ N gilt Uj ∈ τd

und D ⊆ Uj :

Sei x ∈ Uj , etwa Vx,j ∈ Uτd (x) ∩ τd mit δd (Vx,j ) < 1/(j + 1), δe (Vx,j ∩ D) < 1/(j + 1). Dann ist Vx,j ⊆ Uj , denn für jedes x ∈ Vx,j ist Vx,j ∈ Uτd (x ) ∩ τd mit δd (Vx,j ) < 1/(j + 1), δe (Vx,j ∩ D) < 1/(j + 1). Uj ist daher eine offene Menge. Für jedes x ∈ D wähle man Px,j ∈ τd mit Px,j ∩ D = K e

1 2(j+1)

k > j mit Vx,j := K d

1 2(k+1)

(x) und weiter ein k ∈ N,

(x) ⊆ Px,j . Hierfür gilt dann δd (Vx,j ) ≤ 1/(k + 1) < 1/(j + 1)

und δe (Vx,j ∩ D) < 1/(j + 1); x gehört also zu Uj . $ $ Es folgt D ⊆ j∈N Uj , und die Behauptung ergibt sich aus j∈N Uj ⊆ D: $ Sei x ∈ j∈N Uj und Vx,j für jedes j ∈ N gem. Definition von Uj gewählt. Da (X, τd ) ein T3 -Raum ist  (2.5,1) , gibt es Ax,j ∈ Uτd (x) ∩ ατd mit Ax,j ⊆ Vx,j  2.5-2 , und man erhält ∅ = Ax,j ∩ D ∈ ατd |D = ατe , δe (Ax,j ∩ D) < 1/(j + 1) für jedes j ∈ N. $ Nach 3.1-3.1 existiert genau ein Element $yx in j∈N (Ax,j ∩ D), nämlich yx = x  Für alle j ∈ N ist d(yx , x) < 1/(j + 1)! . D = j∈N Uj ist somit Gδ -Menge in (X, τd ).

Lösungen zu 3.4 Lösung zu A 1 (R+ , d| |
R+ × R+ ) ist ein vollständiger metrischer Raum  3.1-8 (a)  und
+ R −→ R+ f: 1 x −→ x + x+1 eine Kontraktion  (2.4,6) (c) , wobei f (x) = x + daher für Kontraktionen nicht richtig!

1 x+1

= x für jedes x ∈ R+ gilt. 3.4-1 ist

Lösung zu A 2 Es sei A := ]0, 1] ⊆ R und f : A −→ A, f (a) := 12 a. Wegen |f (a) − f (a )| = 12 |a − a | ist

Lösungsvorschläge

622 f eine strenge Kontraktion. In R gilt jedoch a = 12 a

⇐⇒

a = 0.

3.4-1.2 ist daher ohne die Voraussetzung A ∈ ατd nicht richtig! Lösung zu A 3 Wegen |f (0) − f (−1)| = 2 > 1 = |0 − (−1)| ist f keine Kontraktion. Dagegen gilt für j = 1 f (j) (x) = 23 x für jedes x ∈ R, f (1) ist daher eine strenge Kontraktion mit Kontraktionszahl λ = 23 . Lösung zu A 4 F (1) ist eine strenge Kontraktion: Für alle f , g ∈ CR ([0, 1]), x ∈ [0, 1] gilt  x  x (f (t) − g(t)) dt ≤ |f (t) − g(t)| dt ≤ f − g∞ x |F (f )(x) − F (g)(x)| = 0

0

und daher

 x (F (f )(t) − F (g)(t)) dt |F (1) (f )(x) − F (1) (g)(x)| = |F (F (f ))(x) − F (F (g))(x)| =  x  x0 ≤ |F (f )(t) − F (g)(t)| dt ≤ tf − g∞ dt 0

0

x2 f − g∞ , = 2   (1) woraus F (f ) − F (1) (g)∞ ≤ 12 f − g∞ folgt. Lösung zu A 5 (a)

Sei ε > 0 und xk ∈ Kεd (ξ). Für alle j ∈ N\{0} gilt d(ξ, xk+j ) = d(f (ξ), f (xk+j−1 )) < d(ξ, xk+j−1 ), also (vollständige Induktion) d(ξ, xk+j ) < d(ξ, xk ) < ε.

(b) (xj )j ist eine Cauchy-Folge in (X, d)  Beweis zu 3.4-1 , also gilt (xj )j →d ξ  Beweis zu 3.1-1 , und somit ist (xj+1 )j = (f (xj ))j gegen f (ξ) und ξ d-konvergent. Es folgt f (ξ) = ξ  1.2-1 (c) . Lösung zu A 6 ∞ Wegen j=0 λj < ∞ ist (λj )j eine Nullfolge in (R, d| | ), es gibt daher ein j0 ∈ N mit λj0 < 1. Gem. 3.4-3 hat f genau einen Fixpunkt x∗ = limk f (j0 +k) (x0 ). Wegen j+k  (j+k+1)     (j) d f (x0 ), f (x0 ) ≤ d f (ν) (x0 ), f (ν+1) (x0 ) ν=j j+k j+k   (ν)   (ν) = d f (x0 ), f (f (x0 )) < λν d(x0 , f (x0 )) ν=j

ν=j

Lösungen zu 3.4

623

für alle j, k ∈ N, folgt mit der Stetigkeit von d     d(x∗ , f (j) (x0 )) = d lim f (j+j0 +k+1) (x0 ), f (j) (x0 ) = lim d f (j+j0 +k+1) (x0 ), f (j) (x0 ) k

≤ lim

k

j+j 0 +k 

k

λν d(x0 , f (x0 )) = d(x0 , f (x0 ))

ν=j



λν .

ν≥j

Lösung zu A 7 Picard-Iteration xj+1 = f (xj ) ergibt x1 ∈ Kεd (x0 )  d(x1 , x0 ) = d(f (x0 ), x0 ) < ε(1 − λ)  und d(xj+1 , xj ) = d(f (xj ), f (xj−1 )) ≤ λd(xj , xj−1 ) ≤ λj d(x1 , x0 ) für alle j ≥ 1, also d(xj+1 , x0 ) ≤

j 

d(xν+1 , xν ) ≤

ν=0

j 

ν

λ d(f (x0 ), x0 )
0 so, daß aK∞ < 1 ist, so ergibt sich nach 3.4-1 das gewünschte Resultat. Lösung zu A 9 F : Cb (X, R) −→ Cb (X, R), F (u)(x) := f (x, u(x)), ist eine strenge Kontraktion:   F ist wohldefiniert, da x → f (x, u(x)) beschränkte stetige Funktion für jedes u ∈ Cb (X, R) ist. Weiter gilt wegen |F (u)(x) − F (v)(x)| = |f (x, u(x)) − f (x, v(x))| ≤ λ|u(x) − v(x)| ≤ λu − v∞ für alle x ∈ X, u, v ∈ Cb (X, R) auch F (u) − F (v)∞ ≤ λu − v∞ . Die Behauptung folgt nun aus 3.4-1.

Lösungsvorschläge

624

Lösungen zu 3.5 Lösung zu A 1 Gem. 2.4, A 18 (a) sind die Addition und  Skalarmultiplikation  τ  ) stetige Funktionen,  in (V,  x → a, y wegen der Voraussetzungen τ  i∈E i E∈Pe I i∈E i E∈Pe I →τ   b folgt nach 2.4-1, 2.4-8 (b) daher      (xi + yi ) = xi + yi →τ   a + b und i∈E

E∈Pe I

 i∈E

Lösung zu A 2 Für jedes k ∈ N sei xk =

i∈E

 (kxi )



E∈Pe I



1 k+1 δi,k i∈N .

E∈Pe I

i∈E

E∈Pe I

→τ   ka.

Wegen

 ∞ xk 2 = i=0

ist (xk )k ∈

i∈E

   = k xi

2 1/2 1 1 δi,k = k+1 k+1

(+2R )N .

(xk )k ist nicht absolut summierbar in (+2R ,  2 ), denn sonst müßte gemäß 3.5-1 ein E1 ∈ Pe N mit  xk 2 < 1 ∀ E ∈ Pe N : E ∩ E1 = ∅ ⇒ k∈E

existieren. Mit n1 := max E1 müßte insbesondere n1 +1+n

xk 2 =

k=n1 +1

für jedes n ∈ N gelten.
Dagegen ist (xk )k summierbar mit

n1 +1+n k=n1 +1







1 i+1 i∈N : 1 2 i=nε +1 (i+1)2 < ε .

xk =τ 2 ∞

k∈N

1 0 gibt es ein nε ∈ N mit Für alle E ∈ Pe N, E ⊇ Nnε gilt dann 2  2 2       ∞   ∞   1 1   1   xk − = xk (i) − = xk (i) −  i + 1 i∈N 2 i=0 i + 1 i + 1 i=0 k∈E

k∈E

≤

k∈E

∞  i=nε

Lösung zu A 3 Man wende 3.5-2 mit den Partitionen

1 < ε2 . 2 (i + 1) +1



   {i} × N i ∈ N bzw. N × {j} j ∈ N an!

Lösungen zu 3.5

625

Lösung zu A 4 (a)

⇐⇒

(vi )i absolut summierbar in (V, N )

⇐⇒

(N (vi ))i summierbar in (R, τ| | )   M (ϕ(vi )) i summierbar in (R, τ| | )

⇐⇒

(ϕ(vi ))i absolut summierbar in (W, M )

(b) Gem. 1.2-6.1 seien C, D ∈ R> mit ∀ x ∈ V : CM (x) ≤ N (x) ≤ DM (x) gewählt. Es gilt dann: (vi )i absolut summierbar in (V, N )

=⇒

(N (vi ))i summierbar in (R, τ| | )  1 N (vi ) summierbar in (R, τ| | )  i C M (vi ) i summierbar in (R, τ| | )

=⇒

(vi )i absolut summierbar in (V, M ).

=⇒ =⇒

A 1  3.5-5 (a) 

Aus Symmetriegründen folgt die Behauptung. Lösung zu A 5   1 ∞ δi,k+1 i∈N ist nicht absolut konvergent in (+2 ,  2 ) Die Reihe k=0 xk mit xk := k+1 ∞ 1  xk 2 = k+1 , k=0 xk 2 = ∞ , jedoch unbedingt konvergent: 1 Sei c ∈ +2 definiert durch c0 := 0, ci+1 := i+1 für jedes i ∈ N, σ : N −→ N eine Bijektion, ∞ 1 ε > 0, nε ∈ N mit i=nε +1 i2 < ε und mε := max{ σ −1 (i) | i ∈ Nnε }. Dann ist & ' Nnε ⊆ σ Nmε , also mε  ∀ i ∈ Nnε : xσ(k) (i) − ci = 0, k=0

und für jedes m ≥ mε gilt 2  2  ∞  ∞  m m    x − c = x (i) − c ≤ i σ(k) σ(k)   k=0

Man erhält daher

∞ k=0

2

i=0 k=0

i=nε

1 < ε. 2 i +1

xσ(k) = c.

Alternative mit A 2: (xk )k∈N ∈ (+2R )N sei summierbar, jedoch nicht absolut summierbar in ∞ konvergent. Nach )i∈N (+2R ,  2 ). Gem. (3.5,4) (a) ist k=0 xk nicht absolut 3.5-4 ist (x σ(i) ∞ für jede Permutation σ von N summierbar mit Summe x = x = xk , k σ(i) i∈N k∈N k=0 ∞ ∞ also i=0 xσ(i) = k=0 xk  vgl. die Ausführungen im Anschluß an 3.5-4, Seite 233 . Lösung zu A 6 (a)

Gem. 3.5-5 (c) gilt (evtl. uneigentlich)

(n,m)∈N×N

xn y m =

 n∈N

xn

 m∈N

 ym ,

Lösungsvorschläge

626 und mit (3.5,4) (a) folgt 

xn =

∞ 

xn =

n=0

n∈N



1 , 1−x

∞ 

ym =

ym =

m=0

m∈N

n m

Daher ist (x y )(n,m)∈N×N summierbar (mit Summe

1 . 1−y

1 (1−x)(1−y) ).

(b) Die Menge X1 := { j ∈ I | xj ≥ 1 } ist endlich, denn nach 3.5-1 gibt es ein E1 ∈ Pe I mit  xj < 1. ∀ E ∈ Pe I : E ∩ E1 = ∅ ⇒ j∈E

Gem. 3.5-5 (b) gilt

 j∈I

wobei

(xpj )j∈I\X1

wegen

xpj



xpj =



xpj +

j∈X1

xpj ,

j∈I\X1

≤ xj (j ∈ I\X1 ) nach 3.5-1.1 (b), 3.5-5 (a) summierbar ist.

Lösung zu A 7 Da das Skalarprodukt
 stetig auf (V × V, τ  τ  ) ist  2.4, A 18 (c) , erhält man mit 2.4-1 6 6  7 6  7  7  xi , yj = xi , yj = lim xi , yj lim i∈I

j∈J

E∈Pe I

i∈E

E∈Pe I

j∈J

i∈E

j∈J

 6  7 6  7  = lim yj = yj = . . . =
xi , yj  xi , xi , E∈Pe I

i∈E

j∈J

i∈I

j∈J

i∈I

j∈J

 ebenso für die zweite Variable in
 . Wenn man zuerst die zweite Variable in
 analog behandelt, folgt die andere Gleichung (Alternativ: Stetigkeit der Konjugation in K). Lösung zu A 8 Zu bestätigen ist nur noch, daß
2 ein Skalarprodukt auf L2 (I) ist (vgl. Seite 15).  0, etwa i ∈ I mit zi = 0, erhält man Seien (xj )j , (yj )j , (zj )j ∈ L2 (I), k ∈ K. Für (zj )j = 
(zj )j , (zj )j 2 = zj zj ≥ |zi |2 > 0  3.5-5 (a) . j∈I

Weiterhin gilt:
(xj )j , (yj )j 2 =



xj y j =

j∈I



xj y j

 Konjugation ist stetig in (K, τ| | ). 

j∈I

=
(yj )j , (xj )j 2 ,  
(xj )j + (yj )j , (zj )j 2 = (xj + yj )zj = (xj zj + yj zj ) j∈I

=

 j∈I

xj zj +



j∈I

yj zj

A 1

j∈I

=
(xj )j , (zj )j 2 +
(yj )j , (zj )j 2

Lösungen zu 3.5

627

und
k(xj )j , (yj )j 2 =



(kxj )yj = k

j∈I



xj y j

A 1

j∈I

= k
(xj )j , (yj )j 2 .

Lösung zu A 9

 k+m  k+m (i) ⇒ (ii) Gem. 3.3-6 ist (V, dν ) vollständig, und wegen ν vj ≤ j=k j=k ν(vj ) ist   ∞ j=0 vj eine Cauchy-Folge in (V, dν ), also konvergent in V, τdν = (V, τ). (ii) ⇒ (i) Sei (vj )j ∈ V N eine Cauchy-Folge in (V, dν ) und jk ∈ N für jedes k ∈ N so gewählt, daß ∀ n, m ≥ jk : dν (vn , vm ) = ν(vn − vm ) < 2−k  ∞ −k ∞  und (o. B. d. A.) jk+1 > jk für jedes k ∈ N gilt. Dann ist  k=0 ν vjk+1  − vjk ≤ k=0 2 ∞ konvergent und somit gem. (ii) k=0 vjk+1 − vjk = vjk − vj0 k∈N\{0} konvergent in   (V, τ). Da die Addition in (V, τ) stetig ist, folgt die Konvergenz der Teilfolge vjk k∈N\{0} von (vj )j∈N . Nach 3.1-1 ist auch (vj )j konvergent in (V, τ). Lösung zu A 10 (a)

Für alle f , g ∈ BV ([a, b]) läßt sich V (f + g) abschätzen durch sup


 n j=0

 |(f + g)(xj+1 ) − (f + g)(xj )| n ∈ N\{0}, (x0 , . . . , xn+1 ) ∈ Za,b


 n n  ≤ sup |f (xj+1 ) − f (xj )| + |g(xj+1 ) − g(xj )| n ∈ N\{0}, j=0

j=0

 (x0 , . . . , xn+1 ) ∈ Za,b

≤ V (f ) + V (g) < ∞, also ist f + g ∈ BV ([a, b]), und weiter für alle r ∈ R
  n V (rf ) = sup |(rf )(xj+1 ) − (rf )(xj )| n ∈ N\{0}, (x0 , . . . , xn+1 ) ∈ Za,b j=0

= |r|V (f ) < ∞, also rf ∈ BV ([a, b]), f + gV = |(f + g)(a)| + V (f + g) ≤ |f (a)| + |g(a)| + V (f ) + V (g) = f V + gV , rf V = |(rf )(a)| + V (rf ) = |r| |f (a)| + |r|V (f ) = |r| f V f V = 0

=⇒

f =0

und

 0 = f V = |f (a)| + V (f ) =⇒ f = 0 .

Lösungsvorschläge

628

(BV ([a, b]),  V ) ist somit ein normierter R-Vektorraum und V eine Halbnorm auf BV ([a, b]), die keine Norm ist (Jede konstante Funktion hat die Variation ∞ Null!). Zum Nachweis der Vollständigkeit sei gem. 3.5-6 (fj )j ∈ BV ([a, b])N mit j=0 fj V < ∞. Für jedes x ∈ [a, b], j ∈ N gilt |fj (x)| ≤ |fj (a)| + |fj (x) − fj (a)| ≤ |fj (a)| + V (fj ) = fj V , ∞ die Reihe j=0 fj (x) ist daher absolut konvergent und somit konvergent  3.5-6  in (R, τ| | ), etwa f (x) := ∞ j=0 fj (x). Ist (x0 , . . . , xn+1 ) ∈ Za,b , so ergibt sich n n  ∞    ∞ |f (xk+1 ) − f (xk )| = fj (xk+1 ) − fj (xk ) k=0

≤ =

k=0 j=0 ∞ n  

j=0

|fj (xk+1 ) − fj (xk )|

k=0 j=0 ∞  n 

|fj (xk+1 ) − fj (xk )| ≤

j=0 k=0

also V (f ) ≤

∞ 

∞ 

V (fj ),

j=0

V (fj ) ≤

j=0

∞  fj V < ∞. j=0

∞ f ist von beschränkter Variation auf [a, b] und f = ([a, b]),  V ) j=0 f j in (BV       ∞ ∞ ∞ m     ≤  f − j=0 fj V = j=m+1 fj V = j=m+1 fj (a) + V j=m+1 fj ∞ ∞ f  + f  gem. obiger Abschätzungen . j V j V j=m+1 j=m+1 (b) (BV 0 ([a, b]), V ) ist ein normierter R-Vektorraum (vgl. die Ausführungen zu (a)),  V
BV 0 ([a, b]) = V und BV 0 ([a, b]) abgeschlossen in (BV ([a, b]), τ V ): d



V Sei f ∈ BV ([a, b])\BV 0 ([a, b]) und g ∈ K|f (a)|/2 (f ). Es folgt

|g(a)| = |f (a) − (f (a) − g(a))| ≥ |f (a)| − |f (a) − g(a)| |f (a)| > 0, 2 also g ∈ BV ([a, b])\BV 0 ([a, b]). Die Vollständigkeit ergibt sich nun aus 3.1-8 (a). ≥ |f (a)| − f − gV ≥

Lösungen zu 3.6 Lösung zu A 1 (a)

Für alle x ∈ S, z ∈ S ⊥ gilt
x, z = 0, also x ∈ S ⊥⊥ .

(b) Für alle x, y ∈ S ⊥ , k, l ∈ K, z ∈ S ist
kx + ly, z = k
x, z + l
y, z = 0, ⊥

also kx + ly ∈ S . Sei (xj )j ∈ (S ⊥ )N , v ∈ V mit (xj )j →   v. Für jedes z ∈ S erhält man mit 1.2-2 (d) (
xj , z)j →τ | |
v, z und wegen
xj , z = 0 für alle j ∈ N auch (
xj , z)j →τ | | 0, woraus
v, z = 0, d. h. v ∈ S ⊥ folgt.

Lösungen zu 3.6 (c)

629

τ  lin ⊥ τ  τ  lin lin   Zunächst gilt S ⊥ = S offensichtlich. Wegen S ⊆ S ⊆ S ⊆ S  2.4, A 18 (b)  erhält man daher  lin ⊥  τ  ⊥  τ  lin ⊥  lin τ  ⊥ S⊥ = S ⊇ S ⊇ S ⊇ S ,

 lin τ  ⊥ und es bleibt S ⊥ ⊆ S zu zeigen: τ  lin ⊥  lin N lin   Sei z ∈ S ⊥ = S , t∈S , etwa (tj )j ∈ S mit (tj )j →   t. Nach 1.2-2 (d) folgt (
z, tj )j →  
z, t, also
z, t = 0.  lin τ  ⊥⊥  lin τ  ⊥⊥ τ lin   (d) S ⊥⊥ = S gem. (c) und S =S nach 3.6-4.1 (b).

Lösung zu A 2 (a)

Für alle x, y ∈ V , k, l ∈ K gilt wegen x − πW (x), y − πW (y) ∈ W ⊥  3.6-4  und A 1 (b) kx + ly − kπW (x) − lπW (y) = k(x − πW (x)) + l(y − πW (y)) ∈ W ⊥ , wiederum nach 3.6-4 also πW (kx + ly) = kπW (x) + lπW (y). Für jedes w ∈ W ist πW (w) = w, πW daher surjektiv. Die Stetigkeit von πW folgt aus πW (x)2  ≤ x − πW (x)2  + πW (x)2  = x − πW (x) + πW (x)2 

 3.6-2 (a) 

= x  . 2

(b) Wegen πW (x) ∈ W gilt πW (πW (x)) = πW (x) für jedes x ∈ V . (c)


x, πW (y) =
x − πW (x) + πW (x), πW (y) =
πW (x), πW (y)  x − πW (x) ∈ W ⊥ , πW (y) ∈ W  und ebenso
πW (x), y =
πW (x), πW (y).

Lösung zu A 3 Es sei V := { x ∈ +2 | ∃ j ∈ N ∀ k ≥ j : xk = 0 }  1    W := x ∈ V x ⊥ j+1 in (+2 ,
2 ) . j

und

(V,
2
V × V ) ist ein Prähilbertraum über K, W ∈ ατ 2 |V  A 1 (b)  und W ⊥ = {0}: Für jedes k ∈ N sei y (k) ∈ V definiert durch   für j = k k + 1 (k) y (j) := −k − 2 für j = k + 1   0 sonst. " ! 1 1 1 Dann ist { y (k) | k ∈ N } ⊆ W  y (k) , ( j+1 )j 2 = (k + 1) k+1 − (k + 2) k+2 = 0 , für jedes ⊥ (k) x ∈ W gilt daher 0 =
x, y 2 = (k + 1)xk − (k! + 2)xk+1  " x ∈ V also x = 0. Es  ,1wegen = 1 . folgt V = W + W ⊥ = W  (δ0,j )j ∈ V \W wegen (δ0,j )j , j+1 j 2

Lösungsvorschläge

630 Lösung zu A 4

{ (δi,j )i∈I | j ∈ I } ist eine Orthonormalbasis in (L2 (I),
2 ):   1 für j = k
(δi,j )i∈I , (δi,k )i∈I 2 = δi,j δi,k = 0 für j = k i∈I für alle j, k ∈ I. Sei x ∈ L2 (I), x ⊥ (δi,j )i∈I . Dann ist xj = i∈I xi δi,j = 0 für jedes j ∈ I. Nach 3.6-6 (a), 3.6-7 (b) folgt die Behauptung. Lösung zu A 5 (i) ⇒ (ii) Für jedes ε ∈ ]0, 1], c ∈ C ist x − πC (x)2  ≤ x − (1 − ε)πC (x) − εc2 

 C ist konvex. 

= x − πC (x) + ε(πC (x) − c)  2

= x − πC (x)2  + ε2 πC (x) − c2  + 2ε Re
x − πC (x), πC (x) − c, also 0 ≤ επC (x) − c2  + 2 Re
x − πC (x), πC (x) − c, woraus Re
x − πC (x), πC (x) − c ≥ 0 folgt. (ii) ⇒ (i) Für alle c ∈ C gilt x − c2  = (x − y) + (y − c)2  = x − y2  + y − c2  + 2 Re
x − y, y − c ≥ x − y2  . Lösung zu A 6 Im Hilbert-Raum (C,
2 ) gilt für alle a ∈ R\{0}, x = a + ia, y = −a + ia:
x, y2 = (a + ia)(−a − ia) = −2ia2 = 0, x + y2 2 = 2ia2 2 = 4a2 = x2 2 + y2 2 .

Lösung zu A 7 (i) ⇒ (ii) Für alle x ∈ W ⊥ , w ∈ W gilt gem. 3.6-2 (a) x + (−w)2  = x2  + w2  ≥ x2  . (ii) ⇒ (i) Sei w ∈ W , etwa
x, w = |
x, w|eiα mit α ∈ R (Polardarstellung), ε > 0. Da W K-Untervektorraum von V ist, folgt εeiα w ∈ W und nach (ii) x2  ≤ x − εeiα w2  = x2  + ε2 w2  + 2 Re
x, −εeiα w = x2  + ε2 w2  − 2ε Re(e−iα
x, w) = x2  + ε2 w2  − 2ε|
x, w|. Somit gilt |
x, w| ≤ 2ε w2  für jedes ε > 0, also x ⊥ w.

Lösungen zu 3.6

631

Lösung zu A 8 P1 ist ein zweidimensionaler R-Untervektorraum von CR ([0, 1])  id[0,1] und die konstante Funktion 1 sind R-linear unabhängig.  und daher P1 , d 
P1 ×P1 vollständig  (3.1,2) (a) . Gem. 3.6-1 gibt es genau ein f ∈ P1 mit g − f   = dist(g, P1 ), die Berechnung von dist(g, P1 ) (und damit die von f ) erfolgt nach 3.6-3 mit einer Orthonormalbasis von P1 , die aus {1, id[0,1] } gem. dem Orthonormalisierungsverfahren 3.6-8 errechnet wird:  x0 = 1,

y0 := 1,

1/2

1

y0   =

1 dt

= 1,

also

0

 b0 = 1,

1


id[0,1] , b0  =

t dt = 0



1 y1 = id[0,1] −
id[0,1] , b0 b0 = id[0,1] − , 2

1 . 2

1

y1   =

t−

0

 1 2 2

1/2 dt

1 = √ , 2 3

also

√   b1 = 2 3 id[0,1] − 12 . Gem. 3.6-8 ist {1, von g sind

√

3(2 id[0,1] −1)} eine Orthonormalbasis von P1 . Die Fourier-Koeffizienten 

1


g, b0  =

1 t dt = 4 3

0

 und


g, b1  =

1

√ √ 3 3 . t (2t − 1) 3 dt = 20 3

0

Der Abstand dist(g, P1 ) ist gem. 3.6-3 der von g zu √ 3 3 1 1 b1 = (9 id[0,1] −2), f := b0 + 4 20 10 wegen  s. 3.6-3  g − f   = g  − 2

also dist(g, P1 ) =

2

 1 2 4

+

 3√3 2  20

=

9 700

√ 3 7 70 .

Lösung zu A 9 (W,

W × W ) ist ein Hilbert-Raum (über K), besitzt daher eine Orthonormalbasis B  3.6-7 (b) . Die Menge O := { C ⊆ V | C ⊇ B, C Orthonormalmenge in (V,
) } # ist nichtleer, und jede ⊆-Kette K ⊆ O hat eine obere Schranke K in O. Nach dem Zornschen Lemma hat O ein ⊆-maximales Element Cmax . Gem. 3.6-7 (b) ist Cmax eine Orthonormalbasis von (V,
), also abzählbar nach 3.6-7.3. Damit ist auch B abzählbar und (W, τ  |W ) separabel  3.6-7.3 . Alternativ: 2.3, A 3.

Lösungsvorschläge

632 Lösung zu A 10

 lin ⊥ lin , und gem. 3.6-4.1 (a) ist V = {v} ⊕ {v}⊥ . Sei Nach A 1 (c) gilt {v}⊥ = {v} lin

x = xv + xv ∈ V , wobei xv ∈ {v}

und xv ∈ {v}⊥ sind. Für alle w ∈ {v}⊥ ist

x − w2  = xv + (xv − w)2  = xv 2  + xv − w2  ≥ xv 2   3.6-2 (a) , also dist(x, {v}⊥ ) ≥ xv   . Umgekehrt erhält man auch dist(x, {v}⊥ ) = inf{ x − w  | w ∈ {v}⊥ } ≤ x − xv   = xv   . Wegen





1 v

8 xv = π{v}lin (x) = x,

9 1  1 v v v  v 

 lin v ist Orthonormalbasis von {v} ; 3.6-3  folgt  dist(x, {v}⊥ ) = xv   =

1 |
x, v|. v2

Lösung zu A 11 Aus Symmetriegründen genügt der Nachweis von (i) ⇒ (ii): lin

Für n = 0 ist w0 ∈ {v0 } v0 =

1 k0 w0

lin

gem. (i), also w0 = k0 v0 für ein k0 ∈ K\{0}. Es folgt

∈ {w0 } . Für den Induktionsschritt nehme man für alle i ≤ n vi ∈ { wj | 0 ≤ j ≤ i }

lin

i lin an, etwa vi = j=0 ki,j wj . Nach Voraussetzung (i) ist wn+1 ∈ { vj | 0 ≤ j ≤ n + 1 } , n+1 etwa wn+1 = i=0 ln+1,i vi . Durch Einsetzen erhält man ln+1,n+1 vn+1 = wn+1 −

n 

ln+1,i vi = wn+1 −

i=0

n  i=0

ln+1,i

i 

ki,j wj

j=0

lin

∈ { wj | 0 ≤ j ≤ n + 1 } , und wegen der K-linearen Unabhängigkeit von { wj | 0 ≤ j ≤ n + 1 } ist ln+1,n+1 = 0. Lösung zu A 12 Für alle b, b ∈ B gilt

 

b − b   =

0 für b = b √  2  1/2 b  + b 2  = 2 für b = b . d

 (b) ∩ D. Die Funktion d : B −→ D, d(b) := db , Man wähle für jedes b ∈ B ein db ∈ K√2/2

d

d

  ist injektiv wegen K√2/2 (b) ∩ K√2/2 (b ) = ∅ für alle b, b ∈ B, b = b .

Lösungen zu 4.1

633

Lösung zu A 13 # B := i∈I Bi ist eine Orthonormalmenge in (V,
), und für jedes j ∈ I gilt nach Voraussetzung Uj = Bj

lin

τ  |Uj

= Bj

lin

τ



lin

⊆

τ



Bi i∈I

 Uj ∈ ατ  gem. 3.1-8 (b) . Es folgt ⊥ i∈I

i∈I

# i∈I

τ



⊇

Bi i∈I

also auch ⊥

lin

Ui ⊇

lin

Ui ⊇

Bi i∈I

Uj , j∈I

τ



lin

⊇

Uj

τ



=

j∈I

⊥ i∈I

Ui .

Bi ist daher  3.6-7 (a)  eine Orthonormalbasis der orthogonalen Summe

⊥ i∈I

Ui .

Lösungen zu 4.1 Lösung zu A 1 τ := {∅, N} ∪ { Nk | k ∈ N } ist eine Topologie auf N. (N, τ) genügt dem 1. Abzählbarkeitsaxiom  τ ist sogar abzählbar!  und hat die B-W-E  Sei s ∈ S ⊆ N, k ≥ 1, U ∈ Uτ (s + k), also Ns+k ⊆ U und somit s ∈ U . Wegen s = s + k ist s + k Häufungspunkt von S. . Sei (jk )k∈N eine Teilfolge von (j)j∈N und n ∈ N. Aus (jk )k →τ n würde folgen: ∃ k0 ∈ N ∀ k ≥ k0 : jk ∈ Nn , { jk | k ∈ N } wäre also endlich.
Lösung zu A 2 d Es sei ε > 0 und E ∈ Pe X eine 2ε -Kette in (X, d), ES := { e ∈ E | Kε/2 (e) ∩ S = ∅ } d (e) ∩ S für jedes e ∈ ES . Die Menge { ye | e ∈ ES } ist eine ε-Kette in und ye ∈ Kε/2 (S, d
S × S): d (e). Es folgt d(s, ye ) ≤ d(s, e) + d(e, ye ) < ε. Sei s ∈ S, etwa e ∈ E mit s ∈ Kε/2

Lösung zu A 3 (a)

„⇐“ folgt mit (4.1,4) (a). τd

„⇒“ Sei S beschränkt in (Cn , dq ). Dann ist gem. 2.1, A 7 (c) auch S q beschränkt  τd τd τd τd  (und abgeschlossen) in (Cn , dq ), also S q kompakt. S q , dq
S q × S q ist τd nach 4.1-3.2 totalbeschränkt  τdq
S τdq ×S τdq = τdq |S q . Mit A 2 folgt die Totalbeschränktheit von (S, dq
S × S).

Lösungsvorschläge

634

1 (b) Für jedes i ∈ N sei ai ∈ A mit ai > sup A − i+1 gewählt. (aj )j∈N ist eine Cauchy-Folge in (A, d| |
A × A), also konvergent in (A, τ| | |A) gegen sup A. Analog für inf A.

Lösung zu A 4  dq (0) beschränkt, jedoch nicht totalbeschränkt  Sonst wäre In (+q , dq ), 1 ≤ q ≤ ∞, ist K 1  dq (0) gem. 4.1-3.2 kompakt. Die unendliche Menge { (δj,i )i∈N | j ∈ N } ⊆ K  dq (0) hat K 1 1 jedoch keinen Häufungspunkt (s. (4.1,6)). . Lösung zu A 5 Nach (4.1,4) (b) ist (X, τd ) separabel und gem. 2.3-4 ein A2 -Raum. Lösung zu A 6 Sei ε > 0. Nach Voraussetzung gibt es zu jedem x ∈ X ein δx > 0 mit ∀ f ∈ F ∀ x ∈ X : d(x, x ) < δx ⇒ e(f (x), f (x ))
0. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von f gibt es ein δ > 0 mit ∀ x, x ∈ X : d(x, x ) < δ ⇒ e(f (x), f (x )) < ε. Sei {x1 , . . . , xn } eine δ-Kette in'# (X, d). Dann& ist#{f (x1 ), . . . , f (xn )} #neine ε-Kette in n n (f [X], e
f [X] × f [X])  f [X] = f i=1 Kδd (xi ) = i=1 f [Kδd (xi )] ⊆ i=1 Kεe (f (xi )) . Lösung zu A 8 (i) ⇒ (ii) Ist (X, τd ) nicht kompakt, so existiert nach 4.1-3.4 eine unendliche Menge S ⊆ X mit S τd = ∅. Sei A = { aj | j ∈ N} ⊆ S, aj = ak für alle j = k, also auch Aτd = ∅. Dann ist A ∈ ατd und τd |A diskret  Für aj0 ∈ τd |A, j0 ∈ N, gilt aj0 ∈ Aτd . . Die Funktion
A −→ R f: aj −→ j ist stetig und besitzt gem. 2.5-11 eine stetige Fortsetzung F : X −→ R. F ist nicht beschränkt. (ii) ⇒ (iii) Für jedes f ∈ C(X, R) ist (f [X], τ| | |f [X]) kompakt  4.1-6 (a) , also inf f [X], sup f [X] ∈ f [X]  A 3 (b) . (iii) ⇒ (i) Sei C(X, R) = Cb (X, R), etwa f ein Element aus C(X, R)\Cb (X, R). Dann ist inf f [X] = −∞ oder sup f [X] = ∞  X = ∅ , also inf f [X] ∈ f [X] oder sup f [X] ∈ f [X].

Lösungen zu 4.1

635

Lösung zu A 9 (a)

Die Distanzfunktion dT :



S −→ R s 7−→ dist(s, T )

ist stetig J (2.4,1) (d) K, also (dT [S], τ| | |dT [S]) kompakt J 4.1-6 (a) K. Gem. A 3 (b) folgt inf dT [S] ∈ dT [S], d. h. es gibt ein s ∈ S mit dT (s) = inf dT [S] = dist(S, T ).

(b) (i) ⇒ (ii) Aus dist(S, T ) = 0, etwa dist(s, T ) = 0 für ein s ∈ S gem. (a), folgt τd s ∈ T = T J 2.1, A 7 (a) K. (ii) ⇒ (i) Für x ∈ S ∩ T gilt 0 = d(x, x) ≥ dist(S, T ) ≥ 0.

Lösung zu A 10 (X, d) kompakt: Auf (X, d) := (R, d| | ) sei f0 := 0 und für jedes j ∈ N\{0} fj : R −→ R definiert durch  für x ∈ ]−j, −(j − 1)[ x + j   −x + j für x ∈ ]j − 1, j[ fj (x) :=  1 für x ∈ [−(j − 1), j − 1]    0 sonst.

(fj )j ∈ CR (R)N ist punktweise monoton wachsend und (fj )j −−−−−→ 1. Dagegen konverτ | | -pktw.

giert (fj )j nicht d| | -gleichmäßig gegen 1. f stetig: Auf (X, d) := ([0, 1], d| | [0, 1] × [0, 1]) sei fj : [0, 1] −→ R für jedes j ∈ N definiert durch (   1 (j + 1)x für x ∈ 0, j+1   fj (x) := 1 1 für x ∈ j+1 ,1 .

(fj )j ∈ CR ([0, 1])N ist punktweise monoton wachsend und (fj )j −−−−−→ χ]0,1] . Dagegen τ | | -pktw.

konvergiert (fj )j nicht d| | -gleichmäßig gegen χ]0,1] J 2.4-6 K. (fj )j punktweise monoton wachsend (oder fallend): Auf (X, d) := ([0, 1], d| | [0, 1] × [0, 1]) sei fj : [0, 1] −→ R für jedes j ∈ N definiert durch (vgl. (1.2,1)(c))    1 für x ∈ 0, j+2  (j + 2)x  1  2 fj (x) := −(j + 2)x + 2 für x ∈ j+2 , j+2   0 sonst. (fj )j ∈ CR ([0, 1])N konvergiert τ| | -punktweise, jedoch nicht d| | -gleichmäßig gegen 0. Lösung zu A 11 Es sei x0 ∈ X und xj+1 = f (xj ) für jedes j ∈ N. Da (f [X], τd |f [X])

kompakt, d. h. folgenkompakt ist, hat (f (xj ))j eine konvergente Teilfolge, etwa f xjk k →τd x für ein x ∈ f [X]. x ist dann Häufungspunkt der Folge (f (xj ))j = (xj+1 )j , und gem. 3.4, A 5 (b) gilt x ∈ Fix f .

Lösungsvorschläge

636

Lösung zu A 12  d∞ (0) ist zwar beschränkt und abgeschlossen in (CR ([a, b]), d∞ ), jedoch nicht gleich(a) K 1 gradig stetig (nach 4.1-10.1 somit nicht kompakt): Für jedes j ∈ N sei

 fj :

[a, b] −→ R j  x −→ x−a b−a .

 d∞ (0) ist nicht gleichgradig stetig, denn zu jedem 0 < ε < 1, { fj | j ∈ N } ⊆ K 1  j 0 < δ < b − a, x ∈ ]b − δ, b[ gibt es ein j ∈ N mit x−a ≤ 1 − ε, also b−a |fj (x) − fj (b)| = 1 − fj (x) ≥ ε. (b) SL ist beschränkt  δ(SL ) ≤ 2 , gleichgradig stetig  Für δ := ε/L, f ∈ SL und x, x ∈ [a, b], |x − x | < δ gilt |f (x) − f (x )| ≤ L|x − x | < ε.  und abgeschlossen: τd

Sei f ∈ SL ∞ , etwa (fj )j ∈ SLN mit (fj )j →d∞ f , ε > 0. Man wähle ein jε ∈ N mit d∞ (fj , f ) < ε/2. Für alle x, x ∈ [a, b] gilt dann |f (x)−f (x )| ≤ f (x)−fjε (x) + fjε (x)−fjε (x ) + fjε (x )−f (x ) < ε+L|x−x |. Es folgt |f (x) − f (x )| ≤ L|x − x |, d. h. f ∈ SL .   Nach 4.1-10.1 erhält man die Kompaktheit von SL , τd∞ SL . (c)

Es sei C > 0, G(x) ⊆ [−C, C]. G ist gleichgradig gleichmäßig stetig  A 6 , also gibt es zu ε = 1 ein n ∈ N\{0} mit ∀ g ∈ G ∀ x , x ∈ [a, b] : |x − x | ≤

b−a ⇒ |g(x ) − g(x )| < 1. n

Für jedes x ∈ [a, b] sei (z0 , . . . , zm ) ∈ [a, b] , m ≤ n, so gewählt, daß z0 = x , zm = x und |zj − zj+1 | ≤ (b − a)/n für jedes j ∈ {0, . . . , m − 1} erfüllt ist. Dann folgt für jedes g ∈ G m

|g(x )| ≤

m−1 

|g(zj ) − g(zj+1 )| + |g(zm )| < m + |g(x)| ≤ n + C,

j=0

 d∞ (0) beschränkt. also ist G ⊆ K n+C I. a. sind gleichgradig stetige Mengen G ⊆ CR ([a, b]) nicht d∞ -beschränkt: Für jedes j ∈ N sei


gj :

[a, b] −→ R x −→ j.

G := { gj | j ∈ N } ist nicht d∞ -beschränkt, jedoch gleichgradig stetig. Lösung zu A 13 (a)

(i) ⇒ (ii) Sei x ∈ X und ε > 0. Man wähle gem. (i) ein δ > 0 mit ∀ x ∈ X ∀ g ∈ G : d(x, x ) < δ ⇒ e(g(x), g(x ))
0 erhält man    1      d∞ D fj j ∈ N ⊆ f ∈ K1 (0) ∀ x, x ∈ [a, b] : |f (x) − f (x )| ≤ C|x − x | =: SC ,  1   wobei SC , τd∞ SC gem. A 12 (b) kompakt ist. D fj j hat somit eine d∞ -konvergente     1 1 Teilfolge D fjk k , und fjk k = D D fjk k ist daher d| | -gleichmäßig konvergent. Lösung zu A 15 τd

(i) ⇒ Nach 4.1-10 ist F ∞ gleichgradig stetig, also auch F , und für jedes x ∈ X  (ii) τe τe τe τe τd∞ τ τd d ist F (x) , τe F ∞ (x) kompakt. Wegen F (x) ⊆ F ∞ (x) ist gem. 4.1-5 (a)  τe τe  ebenfalls kompakt. F (x) , τe F (x) (ii) ⇒ (i) Gem. A 13 (a) ist F Projektion

τd∞

gleichgradig stetig. Für jedes x ∈ X ist die kanonische


πx : 

C(X, Y ) −→ Y f −→ f (x)

 τd∞ , τe -stetig  Sei (fj )j ∈ C(X, Y )N , f ∈ C(X, Y ), (fj )j →d∞ f . Nach (2.4,7) (a), (b) folgt (fj )j −−−−→ f , d. h. ∀ x ∈ X : (fj (x))j →τe f (x), also (πx (fj ))j →τe πx (f ). Gem. τe -pktw.

2.4-1.3 ist πx stetig. . Mit 2.4-1 erhält man für jedes x ∈ X ' τd & τe τe τd F ∞ (x) = πx F ∞ ⊆ πx [F ] = F (x) und somit F

τd∞

τe

(x)

τe

= F (x)

τd   τd  s. (i) ⇒ (ii) . Nach 4.1-10 ist F ∞ , τd∞ F ∞ kompakt.

Lösungsvorschläge

638 Lösung zu A 16 (a)

Sei ε > 0. Da {f } ∪ { fj | j ∈ N } gleichgradig gleichmäßig stetig ist  A 6 , gibt es ein δ > 0 mit ∀ x, x ∈ X : d(x, x ) < δ ⇒ ∀ j ∈ N : e(fj (x), fj (x )) < Seien x1 , . . . , xn ∈ X so gewählt, daß X = weiter jε ∈ N mit

#n j=1

ε ε , e(f (x), f (x )) < . 3 3

Kδd (xj ) gilt  (X, τd ) kompakt  und

∀ i ∈ {1, . . . , n} ∀ j ≥ jε : e(fj (xi ), f (xi ))
0. Wähle δ > 0 mit ∀ j ∈ N ∀ x ∈ X : d(x, x ) < δ ⇒ e(fj (x), fj (x ))
0 wie oben gewählt. Wegen (fj (x))j →τe ϕx und (fj (x ))j →τe ϕx ergibt sich die Konvergenz   e(fj (x), fj (x )) j →τ | | e(ϕx , ϕx ), also e(ϕx , ϕx ) ≤ ε/3 für alle x ∈ Kδd (x). . Die Behauptung folgt nun aus (a). Lösung zu A 17 Wegen der Stetigkeit von πi ◦ f  2.4-7 (c)  ist

b a

f (s) ds wohldefiniert.

(a)    

a

b

  n    f (s) ds = 2

i=1

≤

b a

 n  i=1

2 1/2  2 1/2 n  b πi ◦ f (s) ds ≤ |πi ◦ f (s)| ds i=1



b

b

|πi ◦ f (s)|2 ds a

12 ds a

a

1/2

Lösungen zu 4.1

639  b 2  b  b   a |πi ◦ f (s)| ds ≤ a |πi ◦ f (s)|2 ds a 12 ds gem. 1.1, A 2 (a)   1/2 n  b  = (b − a) |πi ◦ f (s)|2 ds 

 =

n b

(b − a)

=

a

i=1





1/2

|πi ◦ f (s)| ds 2

a i=1

1/2

b

(b − a)

f (s)22 ds

 ≤



a

= ((b − a)

2

a

f 2∞ )1/2

1/2

b

(b − a)

f 2∞ ds

= (b − a)f ∞ .

(b) Für alle t, t ∈ [a, b], t < t gilt

 t      f (s) ds I(t) − I(t )2 =   ≤ (t − t )f ∞  

t

 (a) .

2

Lösung zu A 18 (a)

Für den Beweis kann o. B. d. A. n = 1 angenommen werden. Es seien x, y ∈ L, x = y, etwa x(t1 ) < y(t1 ) für ein t1 ∈ [t0 − ε, t0 + ε], t1 < t0 (o. B. d. A.). Nach dem Beweis des globalen Existenzsatzes von Peano (4.1,9) gibt es zu jedem c ∈ ]x(t1 ), y(t1 )[ eine Lösung xc der Anfangswertaufgabe x (t) = f (t, x(t)),

t∈I

x(t1 ) = c.  Für t1 ∈ ]t0 − ε, t0 + ε[ setze man xc aus Lösungen η, ζ dieser Anfangswertaufgabe über den Teilintervallen [t1 , t0 + ε] bzw. [t0 − ε, t1 ] zusammen! . Die Menge A := { t ∈ [t1 , t0 ] | y(t) = xc (t) oder x(t) = xc (t) } enthält wenigstens ein Element t∗  Wegen der Stetigkeit der Funktionen xc − x, y − xc , (xc − x)(t1 ) > 0, (y − xc )(t1 ) > 0 würde aus (y − xc )(t) = 0, (xc − x)(t) = 0 für alle t ∈ [t1 , t0 ] natürlich (y − xc )
[t1 , t0 ] > 0 und (xc − x)
[t1 , t0 ] > 0 folgen im Widerspruch zu y(t0 ) = xP0 = x(t0 ).  Sei o. B. d. A. y(t∗ ) = xc (t∗ ) und  xc (t) für t ≤ t∗ y(t) := y(t) für t∗ ≤ t. Dann ist y(t0 ) = y(t0 ) = xP0 , y differenzierbar, denn lim y (t) = lim∗ xc (t) = lim∗ f (t, xc (t)) = f (t∗ , xc (t∗ ))

t→t∗∗ tt

Lösungsvorschläge

640

und für alle t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]\{t∗ } ist y ebenfalls differenzierbar in t. Für die Ableitung von y gilt  (  ( xc (t) für t ≤ t∗ f (t, xc (t)) für t ≤ t∗  y (t) = = = f (t, y(t)). y  (t) für t∗ ≤ t f (t, y(t)) für t∗ ≤ t (b) Die Kompaktheit von L wird mit 4.1-10.1 nachgewiesen. L beschränkt in (C(I, Rn ), d∞ ): Für jedes x ∈ L gilt mit der konstanten Funktion cxB0 : I −→ Rn , cxB0 (t) := xP0 ,  t       f (s, x(s)) ds d∞ x, cxB0 = supx(t) − xP0 2 = sup  t∈I

t∈I

t

t0

2

 x(t) = xP0 + t0 f (s, x(s)) ds für jedes t ∈ I     A 17 (a)  ≤ sup |t − t0 | f ∞ t∈I

= εf ∞ . Daher ist δ(L) ≤ 2εf ∞ . L ist gleichgradig stetig: Für alle x ∈ L, t, t ∈ I gilt  1/2 n |πi ◦ x(t) − πi ◦ x(t )|2 x(t) − x(t )2 = i=1

 1/2 n 2  2 = |πi ◦ f (ξi , x(ξi ))| |t − t | i=1

für ein ξi aus dem von t, t begrenzten Intervall  |πi ◦ x(t) − πi ◦ x(t )| = |πi ◦ x (ξi )| |t − t | für ein ξi zwischen t, t nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung  √ ≤ |t − t | nf ∞  1.1-4 (c)    L ist abgeschlossen in C(I, Rn ), τd∞ : Es sei (xj )j ∈ LN , x ∈ C(I, Rn ), (xj )j →d∞ x. Wie in (4.1,9) erhält man für jedes t ∈ I  t   t f (s, xj (s)) ds →d 2 f (s, x(s)) ds t0

und mit xj (t) − xP0 =

t t0

t0

j

f (s, xj (s)) ds  xj ∈ L  nach (2.4,7) (a), (b) auch 

t

x(t) − xP0 =

f (s, x(s)) ds, t0

d. h. x ∈ L. Lösung zu A 19 (i) ⇒ (ii) gem. 4.1-6 (a)  ∀ j ∈ N : πj ist surjektiv und stetig .

Lösungen zu 4.1

641

% (ii) ⇒ (i) Gem. 2.4, A 20 gibt es eine Pseudometrik d auf j∈N Xj mit τd = j∈N τdj .  % Nach 4.1-3.2 ist die Folgenkompaktheit von j∈N Xj , j∈N τdj nachzuweisen. Sei al (k)  N  (k)  % (k) so x die j-te Koordinate von x(k) für jedes ∈ , xj = πj x j∈N Xj k   (k)    µ (k)  j ∈ N. Da X0 , τd0 kompakt ist, hat x0 k eine konvergente Teilfolge x0 0 , k wobei µ0 : N −→ N streng monoton wachsend ist. Hat man die konvergente (Teil-)Folge  µn ◦...◦µ0 (k)   µn ◦...◦µ0 (k)  , µn : N −→ N streng monoton wachsend gewählt, so besitzt xn+1 xn k k  µn+1 ◦µn ◦...◦µ0 (k)  ebenfalls eine konvergente Teilfolge xn+1 wegen der Kompaktheit von k   Xn+1 , τdn+1 , wobei µn+1 : N −→ N streng monoton wachsend ist. Für jedes n ∈ N sei ξn ∈ Xn mit  µn ◦...◦µ0 (k)  →τdn ξn . xn k  µ ◦...◦µ (k)    0 Dann ist x k eine Teilfolge von x(k) k , die gegen (ξk )k∈N konvergiert k∈N  2.4-8 (b) . Lösung zu A 20


Gem. 3.1-9 ist

X −→ Ad x −→ {x}   eine Isometrie bzgl. d, Dx0
Ix0 [X] × Ix0 [X] und Dx0 ({x}, {x }) = Dx+0 ({x}, {x }) = Dx−0 ({x}, {x }). Wegen A = Ix0 ◦ a gilt deshalb (i) ⇒ (ii), (i) ⇒ (iii) und (i) ⇒ (iv), aus der Ober- (bzw. Unter-)halbstetigkeit von A in y folgt auch die Stetigkeit von A in y, also die von a in y. Ix0 :

Lösung zu A 21 Für jedes s ∈ S gibt es ein δs > 0 mit Kδds (s) ⊆ U  U ∈ Uτd (s) . Da S kompakt ist, #n existieren s1 , . . . , sn ∈ S mit i=1 Kδds /2 (si ) ⊇ S  { Kδds /2 (s) ∩ S | s ∈ S } ist eine offene i   Überdeckung von S. . Sei δ := 12 min δsi 1 ≤ i ≤ n . Für jedes x ∈ Kδd (S) gilt dann dist(x, S) < δ, etwa s ∈ S mit d(x, s) < δ, s ∈ Kδds /2 (si ) für ein i ∈ {1, . . . , n}, also i

d(x, si ) ≤ d(x, s) + d(s, si ) < δ +

δsi ≤ δsi , 2

woraus x ∈ Kδds (si ) ⊆ U folgt. i

Lösung zu A 22  &  −1 ' ]r, ∞[ r ∈ R ist eine offene Überdeckung von (X, τ)  2.4-2 , besitzt somit eine f endliche Teilüberdeckung: n ' & X= f −1 ]ri , ∞[ . i=1

Für r := min{ ri | 1 ≤ i ≤ n } gilt dann

' & X = f −1 ]r, ∞[ ;

Lösungsvorschläge

642 f ist nach unten beschränkt.

N Sei s := sup{ r ∈ R | f [X] ⊆ ]r, ∞[ } = inf f [X] und (r i )i−1∈' R , ri &> ri+1 für  alle i ∈ N, ]ri , ∞[ i ∈ N von (X, τ) (ri )i →τ | | s. Für s ∈ f [X] hat die offene Überdeckung f eine endliche Teilüberdeckung. Es gibt daher (wieder) ein r ∈ R, r > s, mit f [X] ⊆ ]r, ∞[.
Somit gilt inf f [X] = s ∈ f [X].

Lösung zu A 23 Die Funktion f : X −→ R, f(x) := supy∈Y f (x, y), ist unterhalbstetig:  ' &  f−1 ]a, ∞[ = x ∈ X f(x) > a ' & = { x ∈ X | f (x, y) > a } = f −1 · y ]a, ∞[ ∈ τ y∈Y

y∈Y

für alle a ∈ R gem. 2.4-2. Nach A 22 existiert ein xmin ∈ X mit f(xmin ) = inf f], d. h. supy∈Y f (xmin , y) = inf x∈X supy∈Y f (x, y), wie behauptet.

Lösungen zu 4.2 Lösung zu A 1 (a)

d

d

Sei r > 0, S ⊆ Kr   (0). Kr   (0) ist konvex  (2.4,14) (a) , also S nach Definition der konvexen Hülle  2.4, A 34 .

(b) Sei ε > 0 und {s1 , . . . , sn } ⊆ S eine konv

{s1 , . . . , sn }

S

ε 2 -Kette

konv

d

⊆ Kr   (0)

in (S, d 
S × S). Gem. 4.2-3.1 ist

kompakt. Es gilt

konv

konv

⊆ {s1 , . . . , sn }

konv

es gibt y1 , . . . , ym ∈ {s1 , . . . , sn }

⊆S

konv

{s1 , . . . , sn }

d

  + Kε/2 (0)

konv m

⊆

 (2.4,14) (a), (c) ,

mit   d  yj + Kε/2 (0)

j=1

 konv  konv d  ist offene Überdeckung von {s1 , . . . , sn }  y + Kε/2 (0) y ∈ {s1 , . . . , sn } ;  konv konv konv  konv S , d 
S ×S ⊆ 4.2-3.1. . {y1 , . . . , ym } ist dann eine ε-Kette in S   #m #m  #m  d  d  d  d  (0) = j=1 Kε (yj ) . j=1 yj + Kε/2 (0) + Kε/2 (0) ⊆ j=1 yj + Kε Lösung zu A 2 Nach 2.4, A 35 gilt
n+1  konv S = rj sj j=1

 n+1  (s1 , . . . , sn+1 ) ∈ S n+1 , (r1 , . . . , rn+1 ) ∈ (R+ )n+1 , rj = 1 , j=1

Lösungen zu 4.2

643

und der Beweis kann analog zu dem von 4.2-3 durchgeführt werden:   konv N  n+1 (k) (k) , etwa x(k) = rj sj , und (r1 , . . . , rn+1 ) ∈ (R+ )n+1 , Sei x(k) k∈N ∈ S  (kν )     j=1 (k)  rj eine Teilfolge von rj j=1,...,n+1 k mit j=1,...,n+1 ν∈N   (k )  rj ν j=1,...,n+1 →τ 2 (r1 , . . . , rn+1 ). ν∈N

Wegen der Kompaktheit von S existiert (o. B. d. A.) für jedes j ∈ {1, . . . , n + 1} eine Teilfolge  (k )   (kνl )  von sj ν ν∈N und ein sj ∈ S mit sj l∈N  (k )  ν sj l →τ | | sj . l∈N

Es folgt

  x(kνl )

=

n+1 

l∈N

(kν ) (kν ) rj l sj l

 →τ   l∈N

j=1

n+1 

rj sj .

j=1

Lösung zu A 3 Für jedes r ∈ R ist


expr :

R −→ C x −→ eirx

periodisch (mit Periode 2π r ), also expr ∈ FP (R)  (4.2,3) (a) . Nach 4.2-7 gilt TP (R) ⊆ τd∞ FP (R) = FP (R) . Es folgt f ∈ FP (R). Lösung zu A 4 (a)

Sei U ∈ Uτ (0), c ∈ C. Wegen der Stetigkeit der Skalarmultiplikation bei (0, c) d d gibt es Umgebungen Kεc| | (0), Uc ∈ Uτ (c) ∩ τ mit Kεc| | (0)Uc ⊆ U  2.4-1 . Die ∈ C } ist eine offene Überdeckung Menge { Uc | c  von C, besitzt  also eine endliche  Teilüberdeckung Uc1 , . . . , Ucm . Für ε := min εcj 1 ≤ j ≤ m gilt dann m d

d

Kε | | (0)C ⊆ Kε | | (0)

Ucj ⊆ U. j=1

(b) Sei U ∈ Uτ (0). Man wähle ε > 0 mit d

Kε | | (0){ vk | k ∈ N } ⊆ U und weiter ein jε ∈ N mit

d

∀ j ≥ jε : rj ∈ Kε | | (0). Es folgt d

∀ j ≥ jε : rj vj ∈ Kε | | (0){ vk | k ∈ N } ⊆ U, also (rj vj )j →τ 0.

Lösungsvorschläge

644 Lösung zu A 5

n 1 j Wie im Beweis zu 4.2-8 sei t ∈ T und tn := n+1 j=0 α (t) für jedes n ∈ N. Wegen der Konvexität von T ist { tn | n ∈ N } ⊆ T , die Folge (tn )n besitzt daher einen Häufungspunkt s in T  Wenn { tn | n ∈ N } endlich ist, so kommt ein tn unendlich oft in der Folge vor, ist also Häufungspunkt. Unendliche { tn | n ∈ N } haben gem. (4.1,2) (a) einen Häufungspunkt in T , dieser ist auch Häufungspunkt der Folge (tn )n : Für jedes U ∈ Uτ|T (s), n ∈ N wähle man W ∈ Uτ|T (s) mit {t0 , . . . , tn } ∩ W = ∅ ((T-2)!), W ⊆ U . Ist tk ∈ W \{s}, so folgt k ≥ n.  Wegen α − idT ∈ C(T, V ) ist (α − idT )(s) Häufungspunkt von ((α − idT )(tn ))n , wobei 1 (αn+1 − idT )(t) gilt. Die Folge ((αn+1 − idT )(t))n ∈ (T − T )N ist (α − idT )(tn ) = n+1 beschränkt  T −T ist kompakt, also beschränkt in (V, τ) gem. A 4 (a) ; daher gilt gem. A 4 (b)   1 n+1 (α − id )(t) → 0, woraus (α − idT )(s) = 0, d. h. s ∈ Fix α folgt. T τ n+1 n Lösung zu A 6 (a)

1 U ist als Kern der stetigen R-linearen Funktion I : W −→ R, I(f ) := 0 f(t) dt  |I(f ) − I(g)| ≤ f − g∞ für alle f , g ∈ W  abgeschlossen in W, τ ∞ , und wegen I = 0  I(1) = 1  gilt U = W .

(b) Sei f ∈ W , f ∞ = 1 und inf{ f − u∞ | u ∈ U } = 1 (Das Infimum ist nicht  1  1 −1

1 . Dann größer als 1!), g ∈ W \U , also 0 g(t) dt = 0, rg := 0 f (t) dt 0 g(t) dt ist f − rg g ∈ U und somit 1 ≤ f − (f − rg g)∞ = rg g∞ gem. obiger Vereinbarung. Es folgt  1  1  1 ≤ rg g∞ = g∞ g(t) dt g(t) dt f (t) dt 0

0

0

und hieraus speziell für jedes n ∈ N,
[0, 1] −→ R gn : ∈ W \U, t −→ t1/(n+1) 1 1 1 = 0 gn (t) dt ≤ 0 f (t) dt , also 0 f (t) dt ≥ 1. Da jedoch f stetig mit 1 f (0) = 0 und f ∞ = 1 ist, muß 0 f (t) dt < 1 sein.
 Man verwende 4.1-6 (a) und (2.4,3) (a)!  n+1 n+2

Lösungen zu 4.3 Lösung zu A 1 Die Behauptung folgt aus 4.3-1 mit der für alle x ∈ X gültigen Äquivalenz x ∈ Adh F

⇐⇒

∃ F  ⊆ PX : F  Filter auf X, F  ⊇ F, F  →τ x.

„⇒“ Für jedes x ∈ Adh F ist F  := { U ∩ F | U ∈ Uτ (x), F ∈ F } ein gegen x konvergenter Filter auf X, F  ⊇ F. „⇐“ s. Beweis zu 4.3-1, (iii) ⇒ (iv).

Lösungen zu 4.3

645

Lösung zu A 2     (a) ]i − 1, i] ∪ ]xj+1 , xj ] j ∈ N ⊆ τS ist eine Überdeckung von { xj | j ∈ N } ∪ {i} ohne endliche Teilüberdeckung. Analog für { xj | j ∈ N }. (b) Für jedes x ∈ K gibt es ein qx ∈ Q mit x < qx und ]x, qx ] ∩ K = ∅  Andernfalls gäbe es eine streng monoton fallende Folge (kj )j ∈ (K ∩ ]x, ∞[)N , und mit i := inf j∈N kj ≥ x würde {i} ∪ { kj | j ∈ N } ∈ ατ | | ⊆ ατS (s. 2.3, A 1) gelten. {i} ∪ { kj | j ∈ N } wäre demnach als abgeschlossene Teilmenge des kompakten Raums (K ∪ {i}, τS |(K ∪ {i})) gem. 4.1-5 (a) kompakt im Widerspruch zu (a). . Die Funktion


K −→ Q x −→ qx

ist streng monoton fallend, also injektiv  Für alle x, z ∈ K, x < z gilt x < qx < z < qz wegen ]x, qx ] ∩ K = ∅. . Lösung zu A 3 Sei (fj )j monoton wachsend (o. B. d. A.). Dann ist (f − fj )j monoton fallend, und es gilt (f − fj )j −−−−−→ 0. Für jedes j ∈ N ist Tr(f − fj ) ⊆ Tr(f − f0 ). Sei ε > 0. τ | | -pktw.   Man wähle für jedes x ∈ Tr(f  − f0 ) ein mx ∈ N mit f − fmx (x) < ε und dazu ein Ux ∈ Uτ (x) ∩ τ mit f − fmx [Ux ] ⊆ [0, ε[  f − fmx ∈ C(X, R). Die offene Überdeckung  { Ux | x ∈  Tr(f − f0 ) } besitzt  eine endliche Teilüberdeckung Ux1 , . . . , Uxk . Weiter sei µ := max mxj 1 ≤ j ≤ k . Dann gilt für jedes x ∈ X, etwa x ∈ Uxj , und jedes m ≥ µ (f − fm )(x) ≤ (f − fµ )(x) < ε  Für x ∈ X\ Tr(f − fµ ) ist (f − fµ )(x) = 0. . Lösung zu A 4 (X, τ) ist ein Lindelöf-Raum: # #kj (j) (j) (j) Sei O ⊆ τ, O = X. Für jedes j ∈ N gibt es Ok1 , . . . , Okj ∈ O mit Kj ⊆ r=1 Okr .  (j)  O j ∈ N, r ∈ {1, . . . , kj } ist eine abzählbare Teilüberdeckung von X. kr

Nach dem Lemma von Tychonoff 2.5-3 ist (X, τ) ein T4 -Raum. Lösung zu A 5 Teilmengen ∅ = P ⊆ N × N gehören genau dann zu τ, wenn sie aus allen Zeilen N × {n} alle Elemente – mit Ausnahme höchstens endlich vieler – enthalten. Mit dieser Beschreibung ist leicht einzusehen, daß τ eine Topologie auf N × N ist, die auch die Trennungseigenschaft (T-1) besitzt  (m, n) = (m , n ) =⇒ (m , n ) ∈ N × N\{(m , n )} ∈ Uτ ((m, n)) . # (N × {0}, τ|N × {0}) ist kompakt: Sei O ⊆ τ, N × {0} ⊆ O und P ∈ O\{∅}. Dann ist (N × {0})\P =: {(n1 , 0), . . . , (nk , 0)} eine endliche Menge. Man wähle P1 , . . . , Pk ∈ O mit

Lösungsvorschläge

646 (nj , 0) ∈ Pj für j = 1, . . . , k. Es folgt k

N × {0} ⊆ P ∪

Pj . j=1

τ

N × {0} = N × N: Es sei (m, n) ∈ N × N und P ∈ Uτ ((m, n)) ∩ τ. Da die Menge { k ∈ N | (k, 0) ∈ P } endlich ist, gibt es ein k ∈ N mit (k, 0) ∈ P ∩ (N × {0}), (m, n) ist also Berührpunkt von N × {0}. (N × N, τ) ist nicht kompakt: Für jedes n ∈ N sei An := { (0, k) ∈ N × N | k ≥ n }. Dann ist $ An ∈ ατ für jedes n ∈ N, { Am | m ∈ N } hat die endliche Durchschnittseigenschaft und m∈N Am = ∅. Nach 4.3-1 ist (N × N, τ) nicht kompakt. Lösung zu A 6 ' τ &σ ' τ& σ gem. (4.1,2) (c). Da f [S] abgeschlossene f S ist kompakt  4.1-6 (a) , also auch f S σ ' τ& Teilmenge von f S ist, folgt die Behauptung nach 4.1-5 (a). Lösung zu A 7 (a)

GF := { G ⊆ PX | G Filter auf X, G ⊇ F } ist eine nichtleere Menge  F # ∈ GF , in G hat die obere Schranke K ∈#GF ⊆ eine# Ordnung auf GF und jede ⊆-Kette K F # #  ∅ = K ist ein Filter auf X, denn ∅ ∈ K, X ∈ K und#für alle S, T ∈ K, etwa # S ∈ G ∈ K, T ∈ H ∈ K, G ⊆ H, gilt S ∩ T ∈ H ⊆ K. Natürlich ist auch F ⊆ K. . Sei Fmax ein maximales Element in (GF , ⊆). Fmax ist definitionsgemäß ein Ultrafilter auf X und enthält F .

(b) (i) ⇒ (ii) Sei F ein Ultrafilter auf X und T ⊆ X. Wenn ein F ∈ F mit T ∩ F = ∅, d. h. F ⊆ X\T , existiert, so gehört X\T zu F . Andernfalls folgt aus T ∩ F = ∅ (für jedes F ∈ F) sofort, daß FT := { F ∩ T | F ∈ F } eine Filterbasis auf X und somit FT = F , also T ∈ F ist. (ii) ⇒ (i) Ist G ein Filter auf X, F  G, etwa G ∈ G\F, so folgt gem. (ii) X\G ∈ F ⊆ G, also ∅ = G ∩ (X\G) ∈ G.
(c)

f [[F ]] ist ein Filter auf Y : f [[F ]] = ∅  F = ∅ , ∅ ∈ f [[F ]]  ∅ ∈ F , ∀ F ∈ F ∀ S ⊆ Y : f [F ] ⊆ S ⇒ S ∈ f [[F ]] ' &  Wegen der Inklusionen f −1 [S] ⊇ f −1 f [F ] ⊇ F ∈ F gehört f −1 [S] zu F , also & ' −1 S = f f [S] ∈ f [[F ]]  und ∀ F, F  ∈ F : f [F ] ∩ f [F  ] ∈ f [[F ]]  f [F ] ∩ f [F  ] ⊇ f [F ∩ F  ] ∈ f [[F ]] . f [[F ]] ist Ultrafilter:

' & Sei T ⊆ Y , T ∈ f [[F ]], also f −1 [T ] ∈ F  f' f −1 [T ] = & T , da' f surjektiv&. Gem. (b) folgt X\f −1 [T ] ∈ F und somit Y \T = f f −1 [Y \T ] = f X\f −1 [T ] ∈ f [[F ]]. Wiederum nach (b) erweist sich f [[F ]] als Ultrafilter.

Lösungen zu 4.3

647

Lösung zu A 8 Sei B ⊆ τ eine abzählbare Basis τ, o. B. d. A. B stabil gegen Vereinigungen endlich vieler #von B∗ ∈ B). Elemente (d. h. ∀ B∗ ∈ Pe B :   ◦ B := πR [B] τ/R B ∈ B ⊆ τ/R ist eine (abzählbare) Basis von τ/R : −1 Sei x ∈ X, OR ∈ τ/R , πR (x) ∈ OR , also πR (x) ⊆ πR [OR ]. Da B eine Basis von τ ist, gibt −1 es zu jedem y ∈ πR (x) ein By ∈ B mit y ∈ By ⊆ πR [OR ]. Die offene   Überdeckung { By | y ∈ πR (x) } von πR (x) besitzt eine endliche Teilüberdeckung By1 , . . . , Bym . #m ◦ Für B := j=1 Byj ∈ B  s. o.  gilt dann πR (x) ∈ πR [B] τ/R ⊆ OR  Sei Q ∈ τ R-saturiert, πR (x) ⊆ Q ⊆ B. Es folgt πR (x) ∈ πR [Q] ⊆ πR [B], wobei πR [Q] ∈ τ/R ' & −1 πR [Q] = Q ∈ τ ist. . wegen πR

Lösung zu A 9 Es sei S ∈ σ, also X\S ∈ ασ . Gem. 4.1-5 (a) ist (X\S, σ|X\S) kompakt, und wegen τ ⊆ σ folgt die Kompaktheit von (X\S, τ|X\S). Da (X, τ) T2 -Raum ist, erhält man mit 4.1-5 (b) X\S ∈ ατ , d. h. S ∈ τ. Lösung zu A 10 (a)

C0 (X, K) ist eine K-Unteralgebra von Cb (X, K), denn für alle f , g ∈ C0 (X, K), k ∈ K, ε > 0, Cf , Cg ⊆ X mit (Cf , τ|Cf ), (Cg , τ|Cg ) kompakt, |f (x)| < ε für jedes x ∈ X\Cf , |g(x)| < ε für jedes x ∈ X\Cg gilt |kf (x)| = |k| |f (x)| < |k|ε, |(f + g)(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| < 2ε

und |(f g)(x)| = |f (x)| |g(x)| < ε2

für alle x ∈ X\(Cf ∪ Cg ), und Cf ∪ Cg ist kompakt. Sei (fj )j ∈ C0 (X, K)N eine Cauchy-Folge (bzgl. d ∞ ). Gem. (3.1,2) (c) gibt es ein ϕ ∈ Cb (X, K) mit (fj )j → ∞ ϕ. Für ε > 0 sei jε ∈ N so gewählt, daß fj − ϕ∞ < ε/2 für jedes j ≥ jε gilt, und weiter C ⊆ X kompakt mit ε ∀ x ∈ X\C : fjε (x) < . 2 Dann folgt |ϕ(x)| ≤ |(ϕ − fjε )(x)| + |fjε (x)| < ε für jedes x ∈ X\C, ϕ gehört somit zu C0 (X, K). (b) Für jedes k ∈ N sei fk : R −→ R definiert durch  0 für x ∈ R\[k, k + 1]   & '   1 für x ∈ k + 14 , k + 34 k+1 & ' fk (x) := 4 4k  für x ∈ k, k + 14  k+1 x − k+1  ' &  4 − k+1 x + 4 für x ∈ k + 34 , k + 1 . / Dann ist fk ∈ Cc (R, R)  Tr fk = [k, k +1]  und somit auch gj := jk=0 fk ∈ Cc (R, R)  Tr gj = [0, j + 1] . Die Folge (gj )j ist eine Cauchy-Folge in (Cc (R, R), d∞ ), also auch

Lösungsvorschläge

648

in Cb (R, R). Sei ϕ ∈ Cb (R, R), (gj )j →d∞ ϕ. Wegen Tr ϕ = R+  (gj )j −−−−−→ ϕ τ | | -pktw.

gem. (2.4,7) (a), (b)  gehört ϕ nicht zu Cc (R, R). Lösung zu A 11 Es ist x0 y − x0 y   ≤ x y − y   + x − x  y  . Lösung zu A 12

1 Wegen Re f = 12 (f + f ), Im f = 2i (f − f ) ∈ A für jedes f ∈ A gilt AR + iAR = A. Es folgt für alle r ∈ R, ϕ, ψ ∈ AR ⊆ A: rϕ = Re rϕ ∈ AR , ϕ + ψ = Re(ϕ + ψ) ∈ AR und ϕψ = Re ϕψ ∈ AR .

Lösung zu A 13 τd∞

„⊆“

ist wegen der gleichmäßigen Approximierbarkeit der Elemente von F von F klar.

„⊇“

Sei f ∈ C(X, R), ε > 0. Für alle x, y ∈ X wähle man ein gx,y ∈ F mit |gx,y (x) − f (x)| < ε, |gx,y (y) − f (y)| < ε und setze Lx,y := { z ∈ X | gx,y (z) < f (z) + ε },

durch die

Rx,y := { z ∈ X | gx,y (z) > f (z) − ε }.

Für jedes y ∈ X ist { Lx,y | x ∈X } eine offene Überdeckung von (X, τ), besitzt  (f − ε)
Ry . { Ry | y ∈ X } ist eine offene Überdeckung von (X, τ), besitzt somit eine endliche   /k Teilüberdeckung Ry1 , . . . , Ryk . Für g := j=1 gyj ∈ F erhält man f − ε < g < f + ε, also f − g∞ ≤ ε. Lösung zu A 14 Es ist (τ|S)|C = τ|C. Lösung zu A 15

 τ τ τ Sei o. B. d. A. G = X  G , τ G ist kompakter T3 -Raum gem. 4.1-5 (a), 2.5-4. , (Oj )j $ τ|G eine Folge in τ mit G = j∈N Oj und (Pj )j ∈ (τ|G)N mit Pj = G für jedes j ∈ N, etwa τ Pj = Qj ∩ G, Qj ∈ τ. Es gilt Oj = X und nach 2.3-6 (c) τ

τ

τ

Qj ⊇ Pj ⊇ Pj ∩ G = Pj τ

τ|G

= G,

τ

also Qj ⊇ G = X für jedes j ∈ N. Nach 4.3-1.3 ist (X, τ) ein Baire-Raum, also  3.1-4  τ    τ  τ Qj ∩ Oi = Qj ∩ G = Pj X= j∈N

und somit G = G ∩  3.1-4 .

$

τ

j∈N

Pj =

i∈N

$ j∈N

Pj

j∈N τ|G

j∈N

 2.3-6 (c) . (G, τ|G) ist daher ein Baire-Raum

Lösungen zu 4.3

649

Lösung zu A 16 (a)

ηx∗ ist eine Topologie auf X  s. auch (2.3,4) (a) : ∅ ∈ P(X\{x∗ }), X\X = ∅ endlich, also ∅, X ∈ ηx∗ . Sind T ∈ P(X\{x∗ }) und S ⊆ X, X\S endlich, so ist S ∩ T ∈ P(X\{x∗ }) ⊆ ηx∗ und X\(S ∪ T ) ⊆ X\S endlich, also S ∪ T ∈ ηx∗ . P(X\{x∗ }) und auch { S ⊆ X | X\S endlich } sind stabil gegen Vereinigungen und Durchschnittsbildung endlich vieler Mengen. Für alle x, y ∈ X\{x∗ }, x = y gehören {x}, {y}, X\{x} zu ηx∗ , und es gilt {x} ∩ {y} = ∅ = {x} ∩ X\{x}. (X, ηx∗ ) ist daher T2 -Raum, {x} ∈ ηx∗ ∩ αηx∗ für jedes x ∈ X\{x∗ } und {x∗ } ∈ αηx∗  X\{x∗ } ∈ P(X\{x∗ }) ⊆ ηx∗ , {x∗ } ∈ ηx∗  X ist unendlich .

(b) Sei S ⊆ X. Ist S (bzw. X\S) endlich, so folgt S ∈ αηx∗ gem. (a) (bzw. S ∈ ηx∗ gem. Definition von ηx∗ ).

(c)

Sei S (bzw. X\S) unendlich. Für jedes U ∈ Uηx∗ (x∗ ) ist X\U endlich, U enthält η ∗ daher ein Element von S. Es folgt S ∪ {x∗ } ⊆ S x . Für alle y ∈ X\(S ∪ {x∗ }) gilt η ∗ ∗ {y} ∩ ({x } ∪ S) = ∅, {y} ∈ ηx∗ und somit S ∪ {x∗ } = S x . (Für jedes U ∈ Uηx∗ (x∗ ) ist X\U endlich, also U S für unendliche X\S und somit S ◦ηx∗ ⊆ S\{x∗ }. Umgekehrt gilt S\{x∗ } ⊆ S ◦ηx∗ gem. (a).) # Sei O ⊆ ηx∗ , O = X. Es existiert ein O ∈ O mit x∗ ∈ O. Die Menge X\O ist endlich und daher in der #mVereinigung endlich vieler Elemente O1 , . . . , Om ∈ O enthalten. Somit gilt X = O ∪ j=1 Oj . Die Normalität von (X, ηx∗ ) folgt nach 4.3-3.1.

Lösung zu A 17 (a)

Für Funktionen ϕ : M −→ C bezeichne Nϕ := { x ∈ M | ϕ(x) = 0 } ihre Nichtnullstellenmenge in der Menge M . Es gilt dann für alle x ∈ X, y ∈ Y (x, y) ∈ Nf × Ng

⇐⇒

f (x) = 0 und g(y) = 0

⇐⇒

(x, y) ∈ Nf ⊗g ,

⇐⇒

f (x)g(y) = 0

woraus τ

σ

Tr f × Tr g = Nf × Ng = Nf × Ng

τ σ

= Nf ⊗g

τ σ

= Tr f ⊗ g

folgt. C(X × Y, C) gilt gem. 2.4-8 (b), 2.4-1 und 2.4, A 5. Darüber (b) Cc (X, C) ⊗ Cc (Y, C) ⊆ m hinaus folgt für alle j=1 aj ⊗ bj , aj ∈ Cc (X, C), bj ∈ Cc (Y, C) für j = 1, . . . , m auch   m m aj ⊗ b j ⊆ Tr aj ⊗ bj  2.5, A 12 (a)  Tr j=1

j=1 m

=

(Tr aj × Tr bj )

 (a) ,

j=1

 m  also Tr j=1 aj ⊗ bj kompakt  4.3-7, (4.1,2) (d), 4.1-5 (a) .

Lösungsvorschläge

650 (c)

Cc (X, C) ⊗ Cc (Y, C) ist definitionsgemäß ein C-Untervektorraum (von Cc (X × Y, C) m n nach (b)), und für alle j=1 aj ⊗ bj , k=1 a =k ⊗ bk , (x, y) ∈ X × Y gilt  m

aj ⊗ b j

j=1

 n

a =k ⊗ bk

 (x, y) =

 m

  n  aj (x)bj (y) a =k (x)bk (y)

j=1

k=1

=

k=1

m  n 

aj (x)= ak (x)bj (y)bk (y)

j=1 k=1

=

 m  n

 aj a =k ⊗ bj bk (x, y),

j=1 k=1

=k ∈ Cc (X, C), bj bk ∈ Cc (Y, C) gem. (4.3,3) (b) sind. wobei aj a Lösung zu A 18

◦

basisoffene Umgebung von x, Gäbe es ein x ∈ K i∈I τi , so existierte eine in K gelegene $ etwa E ∈ Pe I, Ui ∈ Uτi (xi ) ∩ τi für jedes i ∈ E, i∈E πi−1 [Ui ] ⊆ K. Für alle j ∈ I\E '$ & würde Xj = πj i∈E πi−1 [Ui ] ⊆ πj [K], also (Xj , τj ) kompakt sein  4.1-6 (a) .
Lösung zu A 19 Sei ε > 0. Für jedes x ∈ Tr f gibt es aufgrund der Stetigkeit von f ein δx > 0, so daß die  Abschätzung |f (y) − f (x)| < ε/2 für jedes y ∈ Kδdx (x) gilt. Kδdx /2 (x) x ∈ Tr f ist eine offene Überdeckung von Tr f und besitzt damit eine endliche Teilüberdeckung   δx   d Kδx /2 (xj ) j ∈ {1, . . . , m} . Sei δ := min 2j j ∈ {1, . . . , m} . Dann ergibt j

sich für alle x ∈ Tr f , etwa x ∈ Kδdx

j

/2 (xj ),

und alle z ∈ X mit d(x, z) < δ < δxj /2 auch

d(z, xj ) ≤ d(z, x) + d(x, xj ) < δxj , also |f (z) − f (xj )| < ε/2 und |f (x) − f (xj )| < ε/2, woraus |f (x) − f (z)| < ε folgt. Für alle x, y ∈ X\ Tr f gilt schließlich |f (x) − f (y)| = 0. Lösung zu A 20 Sei F = { fj | j ∈ N } und o. B. d. A. |fj | ≤ 1 für jedes j ∈ N. Durch d(x, y) :=

∞  |fj (x) − fj (y)| j=0

2j

ist eine (τ τ, τ| | )-stetige Metrik auf X × X definiert  Die Reihe ist auf X × X gleichmäßig konvergent, d also stetig gem. 2.4-6. , es gilt τd ⊆ τ  Kεd (x) = { y ∈ X | d(x, y) < ε } ∈ τ für alle x ∈ X, ε > 0, 2.4-7 (b)  und nach 4.3, A 9 τd = τ. Lösung zu A 21 n   %n Mit H := (r1 , . . . , rn ) ∈ (R+ )n j=1 rj = 1 und ϕ : H × j=1 Cj −→ V , n    ϕ (r1 , . . . , rn ), (v1 , . . . , vn ) := rj vj j=1

Lösungen zu 4.3

651

für alle (r1 , . . . , rn ) ∈ H, (v1 , . . . , vn ) ∈ C, gilt gem. 2.4, A 34 (c) . n  Cj = ϕ H× j=1

konv

n

Cj

.

j=1

H ist beschränkt und abgeschlossen in (Rn , τ  ), denn n    H = (R+ )n ∩ (r1 , . . . , rn ) ∈ Rn rj = 1 ∈ ατ   , j=1

also ist H kompakt. Nach 4.3-7 ist der Produktraum H × Stetigkeit von ϕ folgt die Behauptung nach 4.1-6 (a).

%n j=1

Cj kompakt, und wegen der

Lösung zu A 22 Es sei o. B. d. A. C = ∅  Sonst (A + V ) ∩ (C + V ) = ∅ wegen C + V = ∅!  und für jedes c ∈ C eine kreisförmige Umgebung Uc ∈ Uτ (0) mit c + Uc + Uc + Uc ⊆ V \A gewählt. Dann ist (c + Uc + Uc ) ∩ (A + Uc )#= ∅ für jedes c ∈ C, und wegen der $nKompaktheit von C n existieren c1 , . . . , cn ∈ C mit C ⊆ k=1 ck + Uck . Die Menge U := k=1 Uck ∈ Uτ (0) ist kreisförmig, und mit  n  n     ck + Uck ck + Uck + Uck C +U ⊆ +U ⊆ k=1

k=1

folgt n

(C + U ) ∩ (A + U ) ⊆

    ck + Uck + Uck ∩ Uck + A = ∅.

k=1

Lösung zu A 23 „⊆“

n

n

Sj ⊆ j=1

Sj

konv

konv

n

τ

=⇒

⊆

Sj

j=1

n

j=1

Sj

konv

τ

konv

j=1

(kompakt, also abgeschlossen in (V, τ), A 21) konv

n

=⇒

τ n

⊆

Sj j=1

„⊇“

Sk

konv

⊆

#n

j=1 Sj

konv

, also Sk

konv

n

Sk k=1



#n

j=1 Sj

konv

τ

⊆

konv

τ

Sj

konv

τ

konv

.

j=1

#n

j=1 Sj

konv

konv

τ

konv

n

⊆

für jedes k ∈ {1, . . . , n}, ergibt τ

Sj j=1

τ

ist konvex gem. Anmerkung an 2.4-18, Seite 135 .

Lösungsvorschläge

652

Lösungen zu 4.4 Lösung zu A 1 Gäbe es eine kompakte Umgebung U ∈ Uτ | | |Q (0), so auch ein r ∈ R> mit [−r, r] ∩ Q ⊆ U und [−r, r] ∩ Q kompakt, also müßte die Menge [−r, r] ∩ Q kompakt in (R, τ| | ) sein  4.3, A 14 . Es ist jedoch [−r, r] ∩ Q ∈ ατ | |  4.1-5 (b) . Lösung zu A 2 (a)

τ ∗ ist eine Topologie auf X ∗ : Zunächst gilt ∅ ∈ τ ⊆ τ ∗ und X ∗ \X ∗ = ∅, also X ∗ ∈ τ ∗ . Es seien O, P ∈ τ ∗ . Für O, P ∈ τ ist auch O ∩ P ∈ τ ⊆ τ ∗ , für O ∈ τ, P ∈ τ erhält man O ∩ P = O ∩ (X ∩ P ) = O ∩ (X\(X ∗ \P )) ∈ τ, und für O, P ∈ τ ist X ∗ \(O ∩ P ) = (X ∗ \O) ∪ (X ∗ \P ) ∈ ατ kompakt  (4.1,2) (d) , also O ∩ P ∈ τ ∗ . Darüber hinaus folgt für O ∈ τ, P ∈ τ auch noch X\(O ∪ P ) = (X\O) ∩ (X\P ) ∈ ατ kompakt  4.1-5 (a) , also O ∪ P ∈ τ ∗ . Da τ und { O#⊆ X ∗ | X ∗ \O ∈ ατ kompakt } stabil gegen die Bildung von Vereinigungen sind, gilt O ∈ τ ∗ für jedes O ⊆ τ ∗ . τ ∗ |X = τ: Ist O ⊆ X ∗ , X ∗ \O ∈ ατ , so folgt O ∩ X = X\(X ∗ \O) ∈ τ. (X ∗ , τ ∗ ) ist kompakt: Sei O ⊆ τ ∗ eine Überdeckung von X ∗ , etwa x∗ ∈ P ∈ O. Dann ist X ∗ \P kompakt und { O ∩ X | O ∈ O } ⊆# τ eine Überdeckung von m X ∗ \P , es gibt daher O1 , . . . , Om ∈ O mit X ∗ \P ⊆ j=1 (Oj ∩ X). Damit gilt # m X ∗ = P ∪ (X ∗ \P ) = P ∪ j=1 Oj .

(b) (i) ⇒ (ii) Ist (X, τ) kompakt, so gehört die einelementige Menge {x∗ } wegen der Kompaktheit von X ∗ \{x∗ } = X ∈ ατ zu τ ∗ , also ist x∗ isolierter Punkt. (ii) ⇒ (i) Für {x∗ } ∈ τ ∗ muß definitionsgemäß (X, τ) = (X ∗ \{x∗ }, τ|(X ∗ \{x∗ })) kompakt sein. Lösung zu A 3 (i[N]∪{0}, τ| | |i[N]∪{0}) ist kompakter T2 -Raum, da i[N]∪{0} beschränkt und abgeschlossen in (R, | |) ist. Die stetige Injektion i ist auch offen bzgl. (τdis , τ| | |i[N]), denn es gilt  1 k ∈ N = τdis (auf i[N]). Schließlich liegt i[N] auch dicht in τ| | |i[N] = P k+1 1 (i[N] ∪ {0}, τ| | |i[N] ∪ {0}), weil jede Umgebung von 0 ein (sogar unendlich viele!) k+1 ∗ ∗ enthält. η : N −→ i[N] ∪ {0}, η(n) := 1/(n + 1), η(n ) := 0, ist ein Homöomorphismus. Lösung zu A 4 Es sei N der Nordpol von S 2 und h : S 2 \{N } −→ C die stereographische Projektion (mit Zentrum in N ) (vgl. (2.4,4) (b)). (S 2 , τ  |S 2 ) ist kompakter T2 -Raum, da S 2 abgeschlossen und beschränkt in (R3 ,  ) ist, h ein (τ  |S 2 \{N }, τ| | )-Homöomorphismus. Man definiere  2 ∗   S −→C h(x) für x = N , ϕ:   x −→ c∗ für x = N , wobei c∗ ∈ C, C∗ = C ∪ {c∗ } ist. ϕ ist gem. A 5 ein Homöomorphismus.

Lösungen zu 4.4

653

Lösung zu A 5 ϕ ist bijektiv und stetig: Sei O ∈ τ ∗ . Für O ∈ τ ist ϕ−1 [O] = h−1 [O] ∈ σ|(Y \{y0 }) ⊆ σ  (T-2) . Gehört O nicht zu τ, so ist (X ∗ \O, τ|X ∗ \O) kompakt, und es folgt Y \ϕ−1 [O] = ϕ−1 [X ∗ \O] = h−1 [X ∗ \O] ∈ ασ , denn (h−1 [X ∗ \O], σ|h−1 [X ∗ \O]) ist kompakt  4.1-5 (b) . Gem. 4.1-6 (b) ist ϕ ein Homöomorphismus. Lösung zu A 6 (i) ⇒ (ii) Gem. 4.3-8.1 sei (Z, I) ein kompakter T2 -Raum, S ⊆ Z und h : X −→ S ein E (τ, I|S)-Homöomorphismus. Für die Menge Y := S ist ((Y, I|Y ), h) eine T2 -Kompaktifizierung von (X, τ). (ii) ⇒ (i) (Y, σ) ist als kompakter T2 -Raum normal  4.3-3.1 , also vollständig regulär. Somit ist (h[X], σ|h[X])  2.5-4  und damit auch (X, τ) vollständig regulär. Lösung zu A 7 Sei (X, τ) ein lokalkompakter T2 -Raum, wegen 4.3-3.1 o. B. d. A. (X, τ) nicht kompakt. Nach 4.4-7 ist ((X ∗ , τ ∗ ), idX ) eine T2 -Kompaktifizierung von (X, τ). (X ∗ , τ ∗ ) ist ein Baire-Raum  4.3-3.1  und X ∈ τ ∗  {x∗ } ∈ ατ ∗ , also Gδ -Menge in (X ∗ , τ ∗ ). Nach 4.3, A 15 ist (X, τ) ein Baire-Raum. Lösung zu A 8 τ∗

= X ∗ existiert höchstens eine stetige Fortsetzung  2.5-9.1 (b) . Man setze Wegen X ∗ ∗ f : X −→ C,  0 für x = x∗ ∗ f (x) := f (x) sonst. ' d & Für jedes x ∈ X ist f ∗ stetig in x  Für jedes ε > 0 gilt (f ∗ )−1 Kε | | (f ∗ (x)) ⊇ ' & d f −1 Kε | | (f (x)) ∈ Uτ (x), Uτ (x) ⊆ Uτ ∗ (x). . Darüber hinaus ist x∗ ∈ O := (X\ Tr f ) ∪ {x∗ } ∈ τ ∗ , denn X ∗ \O = Tr f ∈ ατ ist kompakt, also f ∗ [O] = f ∗ [X\ Tr f ] ∪ {f ∗ (x∗ )} = {0}. Lösung zu A 9 Nach 4.4-8 kann man m = 2 annehmen. Hätte (Rn , τ  ) eine T2 -2-Punktkompaktifizierung, so gäbe es gem. 4.4-9 paarweise disjunkte O1 , O2 ∈ τ  \{∅}, für die mit C := Rn \(O1 ∪ O2 ) der Raum C kompakt, C ∪ O1 und C ∪ O2 jedoch nicht kompakt wären. Man erhielte damit Rn = C ∪ O1 ∪ O2 , wobei O1 , O2 in (Rn , d  ) unbeschränkt sind  wie in (4.4,6) . Man d d d wähle ein r > 0 mit C ⊆ Kr   (0), x1 ∈ O1 \Kr   (0), x2 ∈ O2 \Kr   (0) und eine d stetige injektive Funktion f : [0, 1] −→ Rn \Kr   (0)mit f (0) = x 1 , 'f (1) &= x2  fist z. B. als Polygonzug wählbar, da n > 1! . Sei s := sup x ∈ [0, 1] f [0, x] ⊆ O1 . Dann

Lösungsvorschläge

654 d

d

gilt s < 1, f (s) ∈ C  f (s) ∈ Rn \Kr   (0), C ⊆ Kr   (0)  und f (s) ∈ O1 ∪ O2  Sonst wäre f [I] ⊆ O1 bzw. f [I] ⊆ O2 , wobei I = [0, 1] ∩ ]s − ε, s + ε[ für ein ε > 0 ist, was in beiden Fällen der Definition von s widerspricht. . Man würde somit schließlich f (s) ∈ C ∪ O1 ∪ O2 = Rn erhalten.
Lösung zu A 10 Für m = 1 ist nichts zu zeigen, und es reicht, einen Beweis für m = 2 zu führen. Sei Hi := K\Oi für i = 1, 2. Es ist H1 ∩ H2 = ∅, H1 , H2 sind kompakt, nach 4.4-2.2 gibt τ τ τ es ein W1 ∈ Uτ (H1 ) ∩ τ mit W1 kompakt und W1 ⊆ X\H2 . Die Menge W2 := X\W1 ist dann eine zu W1 disjunkte offene Umgebung von H2 , und mit Ki := K\Wi ⊆ Oi ist Ki kompakt für i ∈ {1, 2}, K1 ∪ K2 = K\(W1 ∩ W2 ) = K. Lösung zu A 11 Ist (X, τ) kompakt, so gilt Cc (X, C) = C0 (X, C) = Cb (X, C), und die konstante Funktion 1 ist das Einselement. Es gilt daher (ii) ⇒ (iii) und (ii) ⇒ (i)  (3.1,2) (c) . (iii) ⇒ (ii) Sei e ∈ C0 (X, C) Einselement und x ∈ X. Gem. 4.4-2.2 gibt es eine kompakte Umgebung W ∈ ατ ∩ Uτ (x) und ein g ∈ C(X, [0, 1]) mit g(x) = 1 und g[X\W ] ⊆ {0}, τ also Tr g ⊆ W = W . Es ist daher g ∈ Cc (X, C) ⊆ C0 (X, C) und somit eg = g, speziell e(x)g(x) = g(x), woraus e(x) = 1 folgt. (X, τ) muß also kompakt sein. (i) ⇒ (ii) (X, τ) sei nicht kompakt, x0 ∈ X, U0 ∈ Uτ (x0 ) ∩ ατ kompakt  4.4-2.2 . #k Sind xk ∈ X, Uk ∈ Uτ (xk ) ∩ ατ kompakt gewählt, so existiert ein xk+1 ∈ X\ j=0 Uj #k  j=0 Uj ist kompakt!  und gem. 4.4-2.2 ein kompaktes Uk+1 ∈ Uτ (xk+1 ) ∩ ατ mit #k #k Uk+1 ⊆ X\ j=0 Uj  j=0 Uj ∈ ατ . Für jedes k ∈ N wähle man nun (wiederum nach ◦ ◦ 4.4-2.2) kompakte Wk , Vk ∈ Uτ (xk ) ∩ ατ mit Wk ⊆ Vk τ ⊆ Vk ⊆ Uk τ . Da (X, τ) ein T3a Raum ist  4.4-2.1 320) zu jedem k ∈ N &es gemäß der Anmerkung  ' , gibt  1  an 4.3-5 (Seite ◦ 1 mit fk [Wk ] = k+1 und fk [X\Vk τ ] ⊆ {0}, also Tr fk ⊆ ein fk ∈ C X, 0, k+1 /j ◦ τ Vk τ ⊆ Vk und somit fk ∈ Cc (X, C). Mitgj := k=0 fk erhält man die Cauchy-Folge (gj )j in Cc (X, C), d ∞ , die gem. (i) in Cc (X, C), τ ∞ konvergent sein muß. Nach # / / # (2.4,7) (b) folgt τ ∞ -limj gj = j∈N gj , wobei Tr j∈N gj = j∈N Tr fj ⊆ j∈N Vj ist.  / ◦ Tr j∈N gj ist nicht kompakt, weil die offene Überdeckung { Uj τ | j ∈ N } keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Lösung zu A 12

#m Nach A 10 wähle man für jedes j ∈ {1, . . . , m} ein kompaktes Kj ⊆ Oj mit j=1 Kj = Tr f τ τ und weiter gem. 4.4-2.2 Pj ∈ τ mit Kj ⊆ Pj ⊆ Pj ⊆ Oj , Pj kompakt.  m Aus 4.4-14 folgt die m Existenz eines (g1 , . . . , gm ) ∈ C(X, [0, 1])m , das j=1 gj ≤ 1, j=1 gj
Tr f = 1 und τ Tr gj ⊆ Pj für jedes j ∈ {1, . . . , m} erfüllt. Man erhält Tr f gj ⊆ Tr gj ⊆ Pj ⊆ Pj ⊆ Oj , also f gj ∈ Cc (X, C) für jedes j ∈ {1, . . . , m} und schließlich auch Tr f gj kompakt, m m j=1 f gj = f j=1 gj = f .

Lösungen zu 4.4

655

Lösung zu A 13 Es sei β eine abzählbare Basis von τ und für jedes O ∈ τ τ

τ

βO := { B ∈ β | B ⊆ O, B kompakt }.

# Nach 4.4-2.2 gilt O = βO , denn zu jedem x ∈ O gibt es ein kompaktes U ∈ Uτ (x) ∩ ατ , U ⊆ O, und zu U eine Basismenge B ∈ β mit x ∈ B ⊆ U . Wegen  τ  O= βO = B B ∈ βO ist (O, τ|O) σ-kompakt und O eine Fσ -Menge in (X, τ). Lösung zu A 14 Es seien α : N −→ Q bijektiv, eN : N −→ βN, eQ : Q −→ βQ und eR : R −→ βR die jeweiligen Auswertungen. Wegen eQ ◦ α ∈ C(N, βQ), eR ◦ idQ ∈ C(Q, βR) gibt es nach 4.4-10 ein ϕ ∈ C(βN, βQ), ψ ∈ C(βQ, βR) mit ϕ ◦ eN = eQ ◦ α bzw. ψ ◦ eQ = eR ◦ idQ . Aus ' ' & & ' βτdis & ⊇ ϕ eN [N] = eQ α[N] = eQ [Q] ϕ[βN] = ϕ eN [N] bzw. analog ψ[βQ] ⊇ eR [R] und der Kompaktheit von ϕ[βN] bzw. ψ[βQ] folgt β(τ | | |Q)

ϕ[βN] ⊇ eQ [Q]

= βQ und

ψ[βQ] ⊇ βR.

Lösung zu A 15 (a)

Es gilt Tr f ⊇ { x ∈ X | f (x) ≥ r } =

∞  

x ∈ X f (x) > r −

1 j+1

 .

j=0

Die Behauptung folgt nach 2.4-1, 4.1-5 (a). τ

τ

(b) Gem. 4.4-2.2 wähle man ein W ∈ τ ∩ Uτ (K), g  ∈ C(X, [0, 1]) mit W  ⊆ O, W kompakt, g[K] ⊆ {1} und g[X\W ] ⊆ {0}. G := x ∈ X g(x) ≥ 12  ist nach (a) eine kompakte Gδ -Menge in (X, τ), und es gilt K ⊆ x ∈ X g(x) > 12 ⊆ G ⊆ O. $ (c) Sei (Oj )j ∈ τ N und K = gem. 4.4-2 ein j∈N Oj . Für jedes j ∈ N existiert &  '  1  1 mit gj [K] ⊆ {0} und gj [X\Oj ] ⊆ . Die unendliche C X, 0, 2j+1 gj ∈ 2j+1 ∞ ∞ 1 Reihe j=0 gj ist auf X gleichmäßig konvergent  Majorante j=0 2j+1 , ihr Limes g somit stetig  2.4-6 . Weiter gilt g[K] ⊆ {0}, und für x ∈ X\K, etwa x ∈ Oj , ist 1 1 , also g(x) ≥ 2j+1 > 0. gj (x) = 2j+1 τ

(d) Man wähle ein O ∈ τ ∩ Uτ (K), h ∈ Cc (X, [0, 1]) mit O kompakt, h[K] ⊆ {1} und h[X\O] ⊆ {0}  4.4-2.2 . Nach (c) existiert eine Funktion ϕ in C(X, [0, 1]) mit K = { x ∈ X | ϕ(x) = 0 }. Mit g := (1 − ϕ)h folgt die Behauptung. Lösung zu A 16 (a)

Es seien (x, y), (x , y  ) ∈ X × Y , (x, y) = (x , y  ), etwa x = x . Nach 4.4-2.2 existiert ein a ∈ Cc (X, [0, 1]) mit 1 = a(x) = a(x ) = 0 und ebenso ein b ∈ Cc (Y, [0, 1]) mit

Lösungsvorschläge

656 1 = b(y) (und b(y  ) = 0, sofern y  = y ist). Es folgt a ⊗ b((x, y)) = a(x)b(y) = 1, (b) (c)

m j=1

aj ⊗ b j =

m j=1

a ⊗ b((x , y  )) = a(x )b(y  ) = 0.

aj ⊗ bj und mit a ist auch a in Cc (X, C)  Tr a = Tr a .

Nach 4.4-2.2 existieren a ∈ Cc (X, [0, 1]), b ∈ Cc (Y, [0, 1]) mit a(x) = 1, b(y) = 1, woraus a ⊗ b((x, y)) = 1 = 0 folgt.

Lösung zu A 17

# % (i) ⇒ (ii)' Es sei & i∈I Xi = n∈N Kn , wobei Kn für jedes n ∈ N kompakt ist. Wegen # # Xi = πi n∈N Kn = n∈N πi [Kn ] ist (Xi , τi ) für jedes i ∈ I σ-kompakt. Wäre J := { i ∈ I | (Xi , τi ) nicht kompakt } unendlich, etwa j : N −→ J injektiv, so gäbe \πj(n) [Kn ]. Jedes Element es wegen %πj(n) [Kn ] = Xj(n) für jedes n ∈ N ein xj(n) ∈ Xj(n)# (yi )i ∈ i∈I Xi mit yj(n) = xj(n) für alle n ∈ N gehört nicht zu n∈N Kn .
# (i ) (ii) ⇒ (i) Es sei {i1 , . . . , in } = { i ∈ I | (Xi , τi ) nicht kompakt } und Xik = m∈N Kmk , (ik )   (ik ) Km , τik Km kompakt für jedes k ∈ {1, . . . , n}. Für alle (m1 , . . . , mn ) ∈ Nn , i ∈ I sei  für i ∈ {i1 , . . . , in } Xi (m1 ,...,mn ) := Yi (ik ) Kmk für i = ik , k ∈ {1, . . . , n}. Dann ist



Xi =

i∈I

und

%

(m1 ,...,mn ) i∈I Yi

 (m1 ,...,mn )∈Nn

 (m ,...,mn ) Yi 1

i∈I

kompakt für jedes (m1 , . . . , mn ) ∈ Nn .

Lösung zu A 18 (i) ⇒ (ii) Ist (X, τ) nicht zusammenhängend, so gibt es gem. 2.4-4 eine surjektive Funktion f ∈ C(X, {0, 1}), wobei {0, 1} mit der diskreten Topologie τdis versehen ist. Gem. 4.4-10 sei F ∈ C(βX, {0, 1}), F ◦ e = f . Die Funktion F ist surjektiv, (βX, βτ) daher nicht zusammenhängend  2.4-4 . (ii) ⇒ (i) Ist (βX, βτ) nicht zusammenhängend, F ∈ C(βX, {0, 1}) surjektiv  2.4-4 , so ist auch F ◦ e ∈ C(X, {0, 1}) surjektiv, denn aus F ◦ e[X] ⊆ {0} (beispielsweise) würde ' &τdis ' βτ & ⊆ F e[X] ⊆ {0} {0, 1} = F [βX] = F e[X] folgen. Nach 2.4-4 ist (X, τ) nicht zusammenhängend. Lösung zu A 19 (i) ⇒ (ii) Da F stetig in x∗ ist, existiert ein U ∈ Uτ ∗ (x∗ ) ∩ τ ∗ mit |F (x) − F (x∗ )| < ε/2 für jedes x ∈ U . K := X ∗ \U ist kompakt in (X, τ) und |f (x) − f (y)| = |F (x) − F (y)| ≤ |F (x) − F (x∗ )| + |F (x∗ ) − F (y)| < ε für alle x, y ∈ X\K = U \{x∗ }.

Lösungen zu 5.1

657

(ii) ⇒ (i) Für jedes kompakte K ⊆ X wähle man ein xK ∈ X\K. Es ist (xK )K ein Netz in X, denn ({ K ⊆ X | K kompakt }, ⊇) ist eine gerichtete Menge  (4.1,2) (d) , und (f (xK ))K ein Cauchy-Netz in (C, d| | )  Zu jedem ε > 0 wähle man eine kompakte Menge Kε gem. (ii). Für alle Kompakta K, L ⊇ Kε gilt dann |f (xL ) − f (xM )| < ε. . Sei (f (xK ))K →τ | | z, z ∈ C, und  f (x) für x ∈ X F (x) := z für x = x∗ . F ist eine Fortsetzung von f und auch stetig: Für x ∈ X existiert ein kompaktes U ∈ Uτ (x), also gilt x∗ ∈ U . Wegen F
U = f
U ist F stetig in x. Sei (yα )α ein Netz in X (o. B. d. A.) mit (yα )α →τ ∗ x∗ , ε > 0. Gem. (ii) wähle man zu ε/2 ein kompaktes K ⊆ X mit |f (xK ) − z| < ε/2 und α0 mit yα ∈ X ∗ \K für alle α ≥ α0 . Dann gilt |F (yα ) − F (x∗ )| ≤ |f (yα ) − f (xK )| + |f (xK ) − z| < ε für alle α ≥ α0 , also (F (yα ))α →τ | | F (x∗ ). Nach 2.4-1 ist F stetig.

Lösungen zu 5.1 Lösung zu A 1 Es sei J die Menge aller offenen Intervalle. Wegen J ⊆ τ| | gilt Aσ (J ) ⊆ Aσ (τ| | ). Umgekehrt folgt mit 2.3-5 τ| | ⊆ Aσ (J ), also Aσ (τ| | ) ⊆ Aσ (J ). Lösung zu A 2 # $ (i) ⇒ (ii) j∈N Sj = X\ j∈N (X\Sj ) ∈ S (ii) monoton wachsende Folgen (Sj )j ist (X\Sj )j monoton fallend, also gem. (ii) # ⇒ (iii) Für$ S = X\ j j∈N j∈N (X\Sj ) ∈ S. #j (iii) ⇒ (iv) Sei (Tj# )j ∈ S N und # Sj := k=0 Tk ∈ S für jedes j ∈ N. (Sj )j ist monoton wachsend, also gilt j∈N Tj = j∈N Sj ∈ S. (iv) ⇒ (i) ist klar. Lösung zu A 3 Für jedes A ∈ A gilt µä (A) = µ(A), speziell µä (∅) = 0. µä ist auch monoton, denn für alle S, T ⊆ X, S ⊆ T ist µä (S) = inf{ µ(A) | S ⊆ A, A ∈ A } ≤ inf{ µ(A) | T ⊆ A, A ∈ A } = µä (T ). ∞ Schließlich sei (Aj )j ∈ PX N , o. B. d. A. j=0 µä (Aj ) < ∞, ε > 0. Für jedes # j ∈ N wähle ε . Dann ist B := j∈N Bj ∈ A, man ein Bj ∈ A mit Aj ⊆ Bj , µ(Bj ) < µä (Aj ) + 2j+1 #  ∞ ∞ # Aj ⊆ B und µ(B) ≤ µ(Bj ) ≤ ε + j=0 µä (Aj ), also µä j∈N Aj ≤ j∈N j=0 ∞ j=0 µä (Aj ).

Lösungsvorschläge

658 Lösung zu A 4 (a)

λn,ä (∅) ≤ v(∅) = 0, also λn,ä (∅) = 0. Für#alle S, T ⊆ Rn , #S ⊆ T , jede Folge (Qj )j ∈ τ  N beschränkter n-Quader mit j∈N Qj ⊇ T ist j∈N Qj ⊇ S, also ∞ λn,ä (T ) ≥ λn,ä (S). Sei (Sj )j ∈ (PR)N , o. B. d. A. j=0 λn,ä (Sj ) < ∞ und ε > 0. N Für jedes j ∈ N wähle man  (Q(j,k) )k∈N ∈ε τ  beschränkter n-Quader mit  eine Folge # Sj ⊆ k∈N Q(j,k) und V (Q(j,k) )k < λn,ä (Sj ) + 2j+1 . Sei β : N −→ N × N bijektiv. # # (Qβ(i) )i∈N ∈ τ  N ist eine Folge beschränkter n-Quader, die j∈N Sj ⊆ i∈N Qβ(i) und ∞  ∞  ∞     V (Qβ(i) )i∈N = v(Q(j,k) ) ≤ λn,ä (Sj ) + j=0 k=0

erfüllt. Es folgt λn,ä

# j∈N

j=0

ε  2j+1

=ε+

∞ 

λn,ä (Sj )

j=0

 ∞ Sj ≤ j=0 λn,ä (Sj ).

(b) Da (Q, τ  |Q) kompakt ist, seien o. B. d. A. beschränkte n-Quader Q0 , . . . , Qk ∈ τ  #k mit m=0 Qm ⊇ Q vorgegeben. Man zerteile nun Q in endlich viele abgeschlossene ◦τ n-Quader P0 , . . . , Pr , so daß deren Inneres Pi   in einem Qmi , mi ∈ {1, . . . , k} liegt und je zwei von ihnen höchstens Randpunkte gemeinsam haben (Abb. L-11 für n = 2). Q1 Q2 Q

P1

P2 Q0 P0

Abbildung L-11

Es gilt dann v(Q) =

r  j=0

v(Pj ) ≤

k 

v(Qm ),

m=0

also v(Q) ≤ λn,ä (Q). Zum Nachweis der Gleichheit sei ε > 0 vorgegeben und dazu δ > 0 so gewählt  Stetigkeit der Multiplikation , daß n  j=1

((bj − aj ) + δ) < ε +

n  j=1

(bj − aj )

Lösungen zu 5.1

659

erfüllt ist. Wegen Q ⊆ λn,ä (Q) ≤ v

 n

' %n & δ δ j=1 aj − 2 , bj + 2 gilt

  n n  & ' aj − 2δ , bj + 2δ (bj − aj + δ) < ε + (bj − aj ) = ε + v(Q), =

j=1

j=1

j=1

also λn,ä (Q) ≤ v(Q). (c)

Wegen    τ    = λn,ä Q◦τ   ∪ ∂τ   Q λn,ä Q◦τ   ≤ λn,ä (Q) ≤ λn,ä Q     ≤ λn,ä Q◦τ   + λn,ä ∂τ   Q und ∂τ   Q =


 n j=1

  Jj ∀ j ∈ {1, . . . , n} : Jj ∈ [aj , bj ], {aj }, {bj } , ∃ j0 ∈ {1, . . . , n} : Jj0

   ∈ {aj0 }, {bj0 } ,

  also λn,ä ∂τ   Q = 0  gem. (b) und der Subadditivität von λn,ä , folgt λn,ä (Q) =  τ   τ  =v Q = v(Q)  (b) . λn,ä Q   (d) Sei U := j ∈ {1, . . . , n} Ij unbeschränkt . Für jedes j ∈ U existiert ein x ∈ Ij o. B. d. A. so, daß Ij,m := [x + 1, x + m + 1] ⊆ Ij für jedes m ∈ N gilt. Man setze Ij,m := Ij für jedes m ∈ N und j ∈ {1, . . . , n}\U . Dann folgt für jedes m ∈ N: λn,ä (Q) ≥ λn,ä

 n



=v

 n

 Monotonie von λn,ä 

Ij,m

j=1

  (c) 

Ij,m

j=1

=

n 

+(Ij,m ) = m|U |

j=1

n 

(bj − aj ),

j=1 j∈U

also λn,ä (Q) = ∞  |U | ≥ 1 . Lösung zu A 5

  n n Wegen C− ⊆ ατ   gilt Aσ (C− ) ⊆ Aσ ατ   = Aσ (τ  ). J

n

:=


 n

 n ]aj , bj [ (aj )j , (bj )j ∈ Q

j=1

ist gem. 1.2-5, (2.4,8) (a) eine abzählbare Basis der Topologie τ  , also Aσ (τ  ) = Aσ (J n ). n n ) genügt daher J n ⊆ Aσ (C− ): Zur Bestätigung der Inklusion Aσ (τ  ) ⊆ Aσ (C−

Lösungsvorschläge

660 Sei (aj )j , (bj )j ∈ Qn . Dann ist n ∞  n  & −∞, bj − ]−∞, bj [ = j=1

1 k+1

 &

n ∈ Aσ (C− )

j=1

k=0

und auch (ausrechnen!) n 

 n

n

]aj , ∞[ = Rn \

j=1

 & &  n −∞, aj + 1 − δk,j l ∈ Aσ (C− ),

j=1

k=1 l∈N

woraus n 

]aj , bj [ =

j=1

 n

   n n ]−∞, bj [ ∩ ]aj , ∞[ ∈ Aσ (C− )

j=1

j=1

folgt. Lösung zu A 6 n Gem. A 5 ist C− ⊆ Λn zu zeigen. n , λn,ä (T ) < ∞, ε > 0 und (Qm )m ∈ τ  N eine Folge Sei (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , T ⊆ R# beschränkter n-Quader mit T ⊆ m∈N Qm , V ((Qm )m ) < λn,ä (T ) + ε. Für jedes m ∈ N ist %n Qm ∩ j=1 ]−∞, aj ] ein beschränkter n-Quader und

 Qm ∩ R \ n

n 

 ]−∞, aj ] = Qm ∩

j=1

n

 n

j=1



wobei Rj,i :=

R ]aj , ∞[

 Rj,i

n

 Qm ∩

=

i=1

j=1

n 

 Rj,i ,

i=1

für i = j für i = j

%n definiert wird und Qm∩ i=1 %nRj,i für jedes j ∈ {1, . . . , n} ein offener beschränkter n-Quader ist. Somit kann Qm ∩ Rn \ j=1 ]−∞, aj ] als Vereinigung endlich (etwa km -)vieler paarweise disjunkter beschränkter n-Quader dargestellt werden. Man wähle hierzu offene beschränkte n-Quader Lm und Mm,ν für ν = 1, . . . , km , so daß Qm ∩

n 

  n  n Qm ∩ R \ ]−∞, aj ] ⊆

]−∞, aj ] ⊆ Lm ,

j=1 km 

v(Mm,ν ) ≤ v(Qm ) +

ν=1

Mm,ν ν=1

j=1

v(Lm ) +

km

ε 2m+1

erfüllt ist. Es folgt dann T∩

n  j=1

 ]−∞, aj ] ⊆

Qm ∩ m∈N

n  j=1

 ]−∞, aj ] ⊆

Lm m∈N

und

und

Lösungen zu 5.1

661

  n  T ∩ Rn \ ]−∞, aj ] ⊆ j=1

also

   n  ]−∞, aj ] ⊆ Q m ∩ Rn \

 λn,ä T ∩

n 

  ∞ ∞  ]−∞, aj ] ≤ λn,ä (Lm ) = v(Lm ) m=0

j=1

 λn,ä

Mm,ν , m∈N ν=1

j=1

m∈N

km

und

m=0

   km n ∞   n ]−∞, aj ] ≤ v(Mm,ν ), T∩ R \ m=0 ν=1

j=1

woraus sich      n n   ]−∞, aj ] + λn,ä T ∩ Rn \ ]−∞, aj ] λn,ä T ∩ j=1

≤ ergibt.

%n

∞  

m=0

j=1

v(Lm ) +

km 

  ∞  v(Qm ) + v(Mm,ν ) ≤

ν=1

j=1 ]−∞, aj ]

m=0

ε 2m+1



≤ λn,ä (T ) + 2ε

ist daher  ε > 0 ist beliebig vorgegeben!  meßbar (bzgl. λn,ä ).

Lösung zu A 7 Das Cantorsche Diskontinuum C in [0, 1] ist nicht abzählbar  (2.2,2) (b)  und hat nach 5.1-1 (a), (5.1,4) (a) (ii) das Lebesgue-Maß Null. Lösung zu A 8 Es sei µ : Aσ (τdis ) −→ R+ ∪ {∞}, µ(S) :=



0 für abzählbares S ∞ sonst.

µ ist ein Borel-Maß auf (X, τdis ), und µ ist genau für abzählbare X innenregulär:   „⇒“ Gem. (R-3) gilt µ(X) = sup µ(C) C ∈ Kτ = Pe X = 0, also ist X abzählbar. dis

„⇐“ Ist X abzählbar, so ist µ = 0 und (R-3) natürlich erfüllt. Lösung zu A 9 (i) ⇒ (ii) Für τ = τdis existiert ein x ∈ X, so daß jede offene Umgebung von x unendlich ist  (T-2) , und es folgt µZ ({x}) = 1 < ∞ = inf{ O ∈ τ | x ∈ O }. (ii) ⇒ (i) Für τ = τdis gilt Kτ = Pe X und somit (R-2). Ist O ∈ τ ∩ Pe X, so folgt µZ (O) = sup{ µZ (C) | C ⊆ O }, und für unendliche Mengen O ∈ τ natürlich auch µZ (O) = ∞ = sup{ µZ (C) | C ⊆ O, C ∈ Pe X }. Wegen A ⊇ Aσ (τdis ) = PX ist µZ (A) = inf{ µZ (O) | O ∈ τdis , O ⊇ A } für alle A ∈ A.

Lösungsvorschläge

662 Lösung zu A 10

(R-1)  nach Voraussetzung  und (R-2)  µ(x0 ) : A −→ R+  sind offensichtlich erfüllt. Sei O ∈ τ (bzw. A ∈ A). Für x0 ∈ O (bzw. x0 ∈ A) gilt{x0 } ∈ Kτ , {x0 } ⊆ O (bzw. x0 ∈ P für jedes P ∈ τ, P ⊇  µ(x0 ) (C) C ∈ Kτ , C ⊆ O (bzw.  A), also µ (x0 ) (O) = 1 = sup µ(x0 ) (A) = 1 = inf µ(x0 ) (P ) P ∈ τ, P ⊇ A ).Ist x0 ∈ O, so auch x0 ∈ C für  jede Menge C ∈ Kτ , C ⊆ O, also µ(x0 ) (O) = 0 = sup µ(x0 ) (C) C ∈ Kτ , C ⊆ O . Für A wähle man zu jedem a ∈ A ein Pa ∈ Uτ (a) ∩ τ, so daß x0 ∈ Pa  (T-2) . Dann ist x0 ∈ # P := a∈A Pa ∈ τ, P ⊇ A und x0 ∈ P , also   µ(x0 ) (A) = 0 = inf µ(x0 ) (Q) Q ∈ τ, Q ⊇ A .

Lösung zu A 11 (a)

#  # Sei r ∈ R, r < µ O . Gem. (R-3) gibt es ein K ∈ Kτ mit K ⊆ O und µ(K) > r. Da (K, τ|K) kompakt und O aufwärts gerichtet ist, gilt K ⊆ P für ein #  P ∈ O, also r < µ(K) ≤ µ(P ) und damit  r < µ O ist beliebig vorgegeben!  #  µ O ≤ sup{ µ(O) | O ∈ O }.

(b) Gem. (R-4) wähle man eine offene Menge O (in τ) mit C0 ⊆ O, µ(O) < ∞ und setze O :=${ O\C | C ∈ C, C ⊆ C0 }. $ Die Menge O ⊆ τ ist aufwärts gerichtet mit # O = O\ { C ∈ C | C ⊆ C0 } = O\ C, und es folgt      µ(O) − µ C = µ O\ C  5.1-1 (a)  = sup{ µ(P ) | P ∈ O }

 (a) 

= sup{ µ(O\C) | C ∈ C, C ⊆ C0 } = sup{ µ(O) − µ(C) | C ∈ C, C ⊆ C0 } = µ(O) − inf{ µ(C) | C ∈ C, C ⊆ C0 },

 5.1-1 (a) 

also  µ(O) < ∞!    µ C = inf{ µ(C) | C ∈ C, C ⊆ C0 } = inf{ µ(C) | C ∈ C }. Auf die Voraussetzung „∃ C0 ∈ C : µ(C0 ) < ∞“ kann i. a. nicht verzichtet werden: Für unendliche Mengen X betrachte man (X, τdis ), (X, PX, µZ ) und definiere noch C := { C ⊆ X | X\C endlich }. Die Menge C ist abwärts gerichtet, µZ (C) = ∞ für jedes C ∈ C, also   inf{ µZ (C) | C ∈ C } = ∞ > 0 = µZ (∅) = µZ C .

Lösung zu A 12 Für jeden n-Quader Q ⊆ Rn gilt v(x + Q) = v(Q) für alle x ∈ Rn , also zunächst λn,ä (x + T ) = λn,ä (T ) für jedes T ⊆ Rn und weiter auch ∀ M ⊆ Rn : x + M ∈ Λ n ⇔ M ∈ Λ n :

Lösungen zu 5.1

663

Nach Definition der Meßbarkeit ist x + M ∈ Λn

  ⇐⇒ ∀ T ⊆ Rn : λn,ä (T ) = λn,ä (T ∩ (x + M )) + λn,ä T ∩ (Rn \(x + M )) ⇐⇒ ∀ T ⊆ Rn : λn,ä (T ) = λn,ä ((−x + T ) ∩ M ) + λn,ä ((−x + T ) ∩ (Rn \M ))  T ∩ (x + M ) = x + ((−x + T ) ∩ M ), T ∩ (Rn \(x + M )) = x + ((−x + T ) ∩ (Rn \M ))  ⇐⇒ M ∈ Λn

 Mit T durchläuft auch −x + T alle Teilmengen von Rn . . Lösung zu A 13 Sei K ∈ Kτ . Gem. 4.4, A 15 (b) existiert zu jedem O ∈ Uτ (K) ∩ τ ein G ∈ Uτ (K) ∩ Kτ , G Gδ -Menge mit G ⊆ O. Es folgt µ(K) = inf{ µ(O) | O ∈ τ, K ⊆ O } = inf{ µ(G) | G ∈ Kτ Gδ -Menge, K ⊆ G } = inf{ ν(G) | G ∈ Kτ Gδ -Menge, K ⊆ G } = inf{ ν(O) | O ∈ τ, K ⊆ O } = ν(K). Nach 5.1-6.1 ergibt sich (X, A, µ) = (X, B, ν). Lösung zu A 14 Es  S\(A ∩ S) = (X\A) ∩ S N∈ A|S für jedes A ∈ A und # ist S = X ∩ S# ∈ A|S, ∩ S ∈ A|S für alle (Aj )j ∈ A . (A ∩ S) = A j j j∈N j∈N Lösung zu A 15 Wegen τ|S ⊆ Aσ (τ)|S ist Aσ (τ|S) ⊆ Aσ (τ)|S. Für den Beweis der anderen Inklusion verifiziere man, daß B := { A ∈ Aσ (τ) | A ∩ S ∈ Aσ (τ|S) } eine σ-Algebra über X ist, die τ enthält (Es folgt dann nämlich Aσ (τ)|S ⊆ Aσ (τ|S)!): τ ⊆ B wegen τ|S ⊆ Aσ (τ|S), speziell ist daher X ∈ B. Für jedes A ∈ B folgt Ist schließlich (Aj )j ∈ BN , so gilt X\A # ∈ B aus (X\A) # ∩ S = S\(A ∩ S) ∈ Aσ (τ|S). # j∈N Aj ∩ S = j∈N (Aj ∩ S) ∈ Aσ (τ|S), also j∈N Aj ∈ B. Lösung zu A 16

# Für jedes m ∈ N sei Bm := j≥m Aj . Die Folge (Bm )m∈N ist monoton fallend, wegen der ∞ σ-Subadditivität ist µ(Bm ) ≤ j=m µ(Aj ) für jedes m ∈ N, also (µ(Bm ))m →τ | | 0. Nach  $ 5.1-1 (d) folgt µ m∈N Bm = 0 und wegen    Bm = x ∈ X { j ∈ N | x ∈ Aj } unendlich m∈N

die Behauptung.

Lösungsvorschläge

664 Lösung zu A 17

  Zunächst sei festgestellt, daß Aσ (HRe ∪ HIm ) ⊆ Aσ τ| |C wegen HRe ∪ HIm ⊆ τ| |C gilt. Weiterhin sind für jedes a ∈ R auch   1 { z ∈ C | Re z ≥ a } = z ∈ C Re z > a − j+1 ∈ Aσ (HRe ∪ HIm ) j∈N

und ebenso { z∈ C | Im z ≥ a } ∈ Aσ (HRe ∪ HIm ). Da für alle a, b, c, d ∈ Q, a < b, c < d  die in C, τ| |C offenen Rechtecke { z ∈ C | a < Re z < b, c < Im z < d } = { z ∈ C | Re z > a } ∩ (C\{ z ∈ C | Re z ≥ b }) ∩ { z ∈ C | Im z > c } ∩ (C\{ z ∈ C | Im z ≥ d }) ∈ Aσ (HRe ∪ HIm )   eine abzählbare Basis für die Topologie τ| |C bilden, folgt auch Aσ (HRe ∪ HIm ) ⊇ Aσ τ| |C .

Lösungen zu 5.2 Lösung zu A 1 (a)

−1 −1 −1 −1 Es ist '#f [Y ]& = #X ∈ A, f [Y \T ] = X\f [T ] ∈ A, falls f [T ] ∈ A und f −1 j∈N Tj = j∈N f −1 [Tj ] ∈ A, sofern f −1 [Tj ] ∈ A für jedes j ∈ N.

−1 (b) # X = f −1 [Y ] ∈ f −1'[[B]], X\f [B] = f −1 [Y \B] ∈ f −1 [[B]], falls B ∈ B und & # −1 −1 −1 [Bj ] = f [[B]], sofern (Bj )j ∈ BN . j∈N f j∈N Bj ∈ f

idS ist (A|S, A)-meßbar  id−1 S [A] = A ∩ S ∈ A|S für jedes A ∈ A . Sei S σ-Algebra über S mit idS ∈ M((S, S), (X, A)). Für jedes A ∈ A gilt dann A ∩ S = id−1 S [A] ∈ S, also S ⊇ A|S. ' & (d) Für alle C ∈ C gilt (g ◦ f )−1 [C] = f −1 g −1 [C] ∈ A.

(c)

(e)

f
S = f ◦ idS ∈ M((S, A|S), (Y, B))  (c), (d) .

Lösung zu A 2 (i) ⇒ (ii) χA
A = c1
A, c1 ∈ L0R (X, A)  (5.2,1) (c) (i)  und χA
X\A = 0, also χA ∈ L0R (X, A)  (5.2,1) (c) (ii) . (ii) ⇒ (i) A = { x ∈ X | χA (x) ≥ 1 } ∈ A. Lösung zu A 3 Für jedes n ∈ N sei Xn := { x ∈ X | f (x) > n } und k−1  k für k = 1, 2, . . . , n2n . < f (x) ≤ Xn,k := x ∈ X 2n 2n n2n k−1 ϕn := k=1 2n χXn,k + nχXn ist A-einfach, ϕn+1 ≥ ϕn für jedes $ n ∈ N und f (x) für alle x ∈ X  Ist f (x) = ∞, so liegt x in (ϕn (x))n →τ ∗∗ n∈N Xn , also ist | |

Lösungen zu 5.2

665

ϕn (x) = n für jedes n ∈ N. Für f (x) < ∞ gibt es ein nx ∈ N, so daß x ∈ also |ϕn (x) − f (x)| ≤ 1/2n für jedes n ≥ nx gilt. .

$

n≥nx (X\Xn ),

Lösung zu A 4 Für jedes B ∈ B liegt die symmetrische Differenz f −1 [B] ; g −1 [B] in U . Nach 5.1-3 gilt daher f −1 [B] ∈ A ⇐⇒ g −1 [B] ∈ A.

Lösung zu A 5 Sei B ∈ B. Für y ∈ B ist F −1 [B] = N ∪ f −1 [B] ∈ A  f −1 [B] ∈ A|X\N , und für y ∈ X\B gilt F −1 [B] = f −1 [B] ∈ A|X\N ⊆ A. Lösung zu A 6 (a)

Es ist { x ∈ X | f (x) = f (x) } = ∅ ∈ A0 , also f =µ f , { x ∈ X | f (x) = g(x) } = { x ∈ X | g(x) = f (x) }, also f =µ g =⇒ g =µ f , { x ∈ X | f (x) = g(x) } ∪ { x ∈ X | g(x) = h(x) } ⊇ { x ∈ X | f (x) = h(x) }, also f =µ g, g =µ h =⇒ f =µ h.

(b) Es seien f , f  , g, g  ∈ L0R (X, A), f =µ g und f  =µ g  , r ∈ R. Dann ist  ∅ für r = 0 { x ∈ X | rf (x) = rg(x) } = { x ∈ X | f (x) = g(x) } für r = 0, also rf =µ rg, { x ∈ X | (f + f  )(x) = (g + g  )(x) } ⊆ { x ∈ X | f (x) = g(x) } ∪ { x ∈ X | f  (x) = g  (x) }, also f + f  =µ g + g  und ebenso f f  =µ gg  . Lösung zu A 7 (a)

Für jedes x ∈ X\Nf,g , a ∈ R gilt (vgl. (5.2,1) (c) (iii)) f (x) > a − g(x)

⇐⇒

∃ q ∈ Q : f (x) > q > a − g(x).

Es folgt { x ∈ X | (f + g)(x) > a } = { x ∈ Nf,g | (f + g)(x) > a } ∪ { x ∈ X\Nf,g | (f + g)(x) > a }  ( ∅ für a > 0 { x ∈ X\Nf,g | f (x) > q, g(x) > a − q } ∈ A. = ∪ Nf,g für a < 0 q∈Q

Lösungsvorschläge

666 (b) Sei

{ x ∈ X | f (x) = f  (x) oder g(x) = g  (x) } ⊆ A ∈ A0 .

Wegen Nf  ,g ⊆ ((X\A) ∩ Nf,g ) ∪ A ∈ A0 sind f  , g  µ-addierbar, und es folgt { x ∈ X | (f + g)(x) = (f  + g  )(x) } ⊆ Nf,g ∪ A ∈ A0 , also f + g =µ f  + g  . Lösung zu A 8 (a)

Es seien A, Aj ∈ A0 mit gj
X\Aj = fj für jedes j ∈ N und die Folge # (fj
X\A)j sei I-punktweise konvergent gegen f
X\A. Dann gehört B := A ∪ j∈N Aj zu A0 , (fj
X\B)j −−−−→ f
X\B und (gj
X\B)j = (fj
X\B)j . E-pktw.

(b) Es seien A, B ∈ A0 mit (fj
X\A)j −−−−→ f
X\A und (fj
X\B)j −−−−→ g
X\A. Dann ist C := A ∪ B ∈ A0 , und aus

E-pktw.

(fj
X\C)j −−−−→ f
X\C,

E-pktw.

(fj
X\C)j −−−−→ g
X\C

E-pktw.

E-pktw.

folgt f
X\C = g
X\C  (T-2) , also f = g. Lösung zu A 9 Für jedes j ∈ N, O ∈ τd setze man   1 . Oj := x ∈ O dist(x, Y \O) > j+1 # τd Dann ist O = j∈N Oj und Oj ⊆ Oj+1 für jedes j ∈ N. Die Meßbarkeit von g folgt nun gem. 5.2-1.1 aus   fk−1 [Oj ] ∈ A : g −1 [O] = $

j,m∈N

k≥m

−1 k≥m fk [Oj ],

„⊇“

Für j, m ∈ N, x ∈ also fk (x) ∈ Oj für alle k ≥ m, gilt τd g(x) = limk fk (x) ∈ Oj ⊆ Oj+1 ⊆ O, also x ∈ g −1 [O].

„⊆“

Sei x ∈ g −1 [O], etwa g(x) ∈ Oj für ein j ∈ N. Wegen der punktweisen Konvergenz von (f $ g gibt es einm ∈ N, so daß fk (x) ∈ Oj für jedes k ≥ m gilt, woraus #j )j gegen x ∈ j,m∈N k≥m fk−1 [Oj ] folgt.

Lösung zu A 10

 Für jedes k ∈ N sei Sk := x ∈ X ω(f, x) < Beweis von Sf ∈ Aσ (τ) genügt daher Sk ∈ τ:

1 k+1



. Nach 2.4-1.4 ist Sf =

$ k∈N

Sk , zum

Sei x ∈ Sk , etwa U ∈ Uτ (x) ∩ τ mit d(f (y), f (z)) < 1/(k + 1) für alle y, z ∈ U . Dann gilt wegen U ∈ Uτ (u) für jedes u ∈ U auch U ⊆ Sk . Lösung zu A 11 Definitionsgemäß ist L0R (X, A) = L0 (X, A) ∩ RX , und für jedes f : X −→ R gilt: f ∈ L0 (X, A)

⇐⇒

∀ a ∈ R : { x ∈ X | f (x) > a } ∈ A

Lösungen zu 5.2

667

 (5.2,1) (b) , wegen Aσ (τ| | ) = Aσ (H+ )  (5.1,1) (c)  also   f ∈ L0 (X, A) ⇐⇒ f ∈ M (X, A), (R, Aσ (τ| | )) .

Lösung zu A 12 (a)

  Für jedes f ∈ L0R (X, A), P ∈ Aσ τ| |C gilt f −1 [P ] = f −1 [P ∩ R] ∈ A wegen P ∩ R ∈ Aσ τ| |C R = Aσ (τ| | )  5.1, A 15 , also f ∈ L0C (X, A). 0 X Umgekehrt  ist für f ∈ LC (X, A) ∩ R und P ∈ Aσ (τ| | ), etwa P = PC ∩ R für ein PC ∈ Aσ τ| |C , auch f −1 [P ] = f −1 [PC ] ∈ A, also f ∈ L0R (X, A).

(b) Da die Funktionen


C −→ C C −→ C und t −→ zt z −→ z      stetig, also Aσ τ| |C , Aσ τ| |C -meßbar  (5.2,1) (a)  sind, gilt für alle f ∈ L0C (X, A) auch f , zf ∈ L0C (X, A)  A 1 (d) .

(c)




Für jede Funktion f : X −→ C und jedes a ∈ R gilt:

' & f −1 [{ z ∈ C | Re z > a }] = (Re f )−1 ]a, ∞[ , ' & f −1 [{ z ∈ C | Im z > a }] = (Im f )−1 ]a, ∞[ .

Die behauptete Äquivalenz folgt nun mit 5.1, A 17 nach 5.2-1.1. (d) Für alle f , g ∈ L0C (X, A) gilt: f + g = (Re f + Re g) + i(Im f + Im g) ∈ L0C (X, A)

und

f · g = (Re f )(Re g) − (Im f )(Im g) + i((Re f )(Im g) + (Im f )(Re g)) ∈ L0C (X, A)  (c), 5.2-2.2 . Ist f invertierbar in CX , so folgt mit derselben Begründung und nach (b) 1 1 = (Re f − i Im f ) ∈ L0C (X, A). f (Re f )2 + (Im f )2 Schließlich erhält man für jede Folge (fj )j ∈ L0C (X, A)N und jedes f ∈ CX aus (fj )j −−−−−−→ f τ|

|C -pktw.

⇐⇒

(Re fj )j −−−−−→ Re f, (Im fj )j −−−−−→ Im f τ | | -pktw.

τ | | -pktw.

wiederum nach (c) und 5.2-2.2 f ∈ L0C (X, A). (e) f ∈ L0C (X, A)

=⇒

Re f, Im f ∈ L0R (X, A)

 (c) 

=⇒

(Re f ) , (Im f ) ∈ L0R (X, A) (Re f )2 + (Im f )2 ∈ L0R (X, A)   2 2 1/2

 5.2-2.1 (b) 

=⇒ =⇒

2

2

|f | = (Re f ) + (Im f )

 5.2-2 (a) 

∈ L0R (X, A)  5.2-2 (c) 

Lösungsvorschläge

668 Lösung zu A 13   für f (x) > 0 1 (sgn f )(x) = 0 für f (x) = 0   −1 für f (x) < 0

Es ist

definitionsgemäß, also sgn f = χ{ x∈X|f (x)>0 } −χ{ x∈X|f (x) 0 }, { x ∈ X | f (x) < 0 } aus A sind  (5.2,1) (b), A 2 . Lösung zu A 14 Gem. (5.2,1) (b) sei a ∈ R. Wegen { x ∈ A | f (x) > a } ∈ A|A ⊆ A gilt  ( { x ∈ A | f (x) > a } für a ≥ r { x ∈ X | f ∗ (x) > a } = ∈ A. { x ∈ A | f (x) > a } ∪ (X\A) für a < r

Lösungen zu 5.3 Lösung zu A 1 Nach (5.2,1) (a) gilt C(X, R) ⊆ L0R (X, A)  5.2, A 11 , also Cc (X, R) ⊆ L0R (X, A) ⊆ L0 (X, A). Sei f ∈ Cc (X, R) und m := maxX |f |  4.1-6 (a) . Da f + , f − ∈ L0 (X, A)  5.2-2.1 (b) , f + , f − ≤ |f | ≤ mχTr f , mχTr f ∈ ER0 (X, A) ⊆ L0 (X, A) gilt, folgt nach 5.3-1 (b) (iii)     − + f , f ≤ mχTr f = m χTr f = mµ(Tr f ) < ∞  5.3-1 (a) (iii), χTr f ∈ ER0 (X, A) . Somit ist f definitionsgemäß µ-summierbar. Lösung zu A 2 Gem. 5.2, A 2 ist χAj ∈ L0R (X, A) für jedes j = 1, . . . , m, nach 5.2-2.2 folgt   E ⊆ {1, . . . , m} ⊆ Pe R, ϕ ∈ L0R (X, A). Darüber hinaus ist ϕ[X] ⊆ j∈E rj also ϕ ∈ ER0 (X, A). #m (b) Sei ϕ[X] = {w1 , . . . , wk }. Ist (A1 , . . . , Am ) paarweise disjunkt mit j=1 Aj = X, so   setze man Ei := j ∈ {1, . . . , m} rj = wi für jedes i ∈ {1, . . . , k}. Dann ist k  i=1 wi χ j∈E Aj kanonische Darstellung von ϕ und

(a)

i



 j ∈ {1, . . . , m} Aj = ∅ ∪

k

Ei = {1, . . . , m}. i=1

Es folgt:   k  ϕ= wi µ i=1

 Aj j∈Ei

=

k   i=1 j∈Ei

wi µ(Aj ) =

k   i=1 j∈Ei

rj µ(Aj ) =

m  j=1

rj µ(Aj ).

Lösungen zu 5.3

669

Ist (A1 , . . . , Am ) paarweise disjunkt, so füge man Am+1 := X\ hinzu. Die Behauptung folgt dann wie vorher.

#m j=1

Aj und rm+1 := 0

Für beliebige (A1 , . . . , Am ) ∈ Am führt nun vollständige Induktion über m zum Ziel (m = 1 s. o.): k m m+1 Sei ϕ = j=1 rj χAj und i=1 wi χBi kanonische Darstellung von j=1 rj χAj , also k 

ϕ= 

wi χBi + rm+1 χAm+1 =

k 

i=1

#k i=1

wi χBi \Am+1 +

i=1

k 

(wi + rm+1 )χBi ∩Am+1

i=1

Bi = X . Es folgt  s. o. 

 ϕ=

k 

wi µ(Bi \Am+1 ) +

i=1

=

k 

wi µ(Bi ) + rm+1

  k 

=

(wi + rm+1 )µ(Bi ∩ Am+1 )

i=1

i=1

=

k 

i=1  m

+ rm+1 µ(Am+1 )

 r j χA j

µ(Bi ∩ Am+1 )

i=1

 wi χBi

k 

+

   rm+1 χAm+1

 Induktionsvoraussetzung 

j=1

=

 m+1 

 5.3-1 (a) (iii) .

r j χA j

j=1

Lösung zu A 3 ϕ ∈ ER0 ([0, 1], Λ|[0, 1]) hat die kanonische Darstellung χ[0,1]\Q , also ϕ ∈ L0 ([0, 1], Λ|[0, 1])

und ϕ = λ([0, 1]\Q) = 1  λ(Q) = q∈Q λ({q}) = 0 . Andererseits gehört ϕ nicht zu R([a, b]), da die Darbouxschen Untersummen RU (f ) = 0 und die Obersummen RO (f ) = 1 sind. Lösung zu A 4 (a)

Es ist

 ϕ dµ(x0 ) ϕ ∈ ER0 (X, A), 0 ≤ ϕ ≤ f + ≤ f + (x0 ), m denn für jedes ϕ ∈ ER0 (X, A), ϕ = j=1 rj χAj (kanonische Form), 0 ≤ ϕ ≤ f + , gilt

m ϕ dµ(x0 ) = j=1 rj µ(x0 ) (Aj ) = rj0 für x0 ∈ Aj0 , also  ϕ dµ(x0 ) = ϕ(x0 ) ≤ f + (x0 ). 0≤






f + dµ(x0 ) = sup

Für f + (x0 ) < ∞ erhält man darüber hinaus auch ψ := f + (x0 )χ{x0 } ∈ ER0 (X, A) und

0 ≤ ψ ≤ f + , ψ dµ(x0 ) = f + (x0 ): Für f + (x0 ) = ∞ ist ψn := nχ{x0 } ∈ ER0 (X, A),

Lösungsvorschläge

670



0 ≤ ψn ≤ f + und ψn dµ (x0 ) = n für jedes n ∈ N. Insgesamt folgt f + dµ(x0 ) = f + (x0 ). Ebenso erhält man f − dµ(x0 ) = f − (x0 ).

Daher ist f µ(x0 ) -integrierbar mit f dµ(x0 ) = f (x0 ). (b) folgt direkt aus (a). Lösung zu A 5 U∞ := { x ∈ X | f (x) = ∞ } = f −1 [{∞}] ∈ A, denn f ist (A, Aσ (τ|∗∗| ))-meßbar. Für alle n ∈ N ist nχU∞ ∈ ER0 (X, A), 0 ≤ nχU∞ ≤ f + , also
    + 0 + ϕ ϕ ∈ ER (X, A), 0 ≤ ϕ ≤ f ∞ > f = sup ≥ nχU∞ = nµ(U∞ ). Es folgt µ(U∞ ) = 0. Analog erhält man µ(U−∞ ) = 0 für U−∞ := f −1 [{−∞}]. Lösung zu A 6 Es ist f ∨ g = 12 (f + g + |f − g|) ∈ L1 (X, A, µ) gem. 5.3-4 (b), 5.3-3 und ebenso f ∧ g = 12 (f + g − |f − g|) ∈ L1 (X, A, µ). Lösung zu A 7 (a)

Es ist Re(hχA ) = (Re h)χA , Im(hχA ) = (Im h)χA , Re h, Im h ∈ L0R (X, A)  5.2, A 12 (c)  und gem. 5.3-4 (a) A Re h = A Im h = 0, also (Re h)χA , (Im h)χA ∈ L1R (X, A, µ), d. h. hχA ∈ L1C (X, A, µ). Hiermit folgt     h = hχA = (Re h)χA + i (Im h)χA = 0. A

(b) Wegen Re(f + g) = Re f + Re g, Im(f + g) = Im f + Im g, Re(zf ) = (Re z)(Re f ) − (Im z)(Im f ), Im(zf ) = (Re z)(Im f ) + (Im z)(Re f ) L1C (X, A, µ)

 5.3-4 (b) , und es gilt nach 5.3-4 (b) sind f + g, zf ∈    (f + g) = (Re f + Re g) + i (Im f + Im g)       = Re f + i Im f + Re g + i Im g = f + g, 

(c)



  (zf ) = (Re z)(Re f ) − (Im z)(Im f ) + i    = (Re z) f + i(Im z) f = z f.

Nach 5.3-4 (c) gilt:



f = 0 =⇒ Re f = 0, Im f = 0 =⇒ µ



µ

µ

  (Re z)(Im f ) + (Im z)(Re f )

 Re f = 0,

 Im f = 0 =⇒

f = 0.

Lösungen zu 5.3

671 

f =g

=⇒

µ

f −g =0 µ

=⇒

 f−

 (f − g) = 0

g=

 (b) .

(d) f χA∪B = f χA + f χB , also mit (b)       f = f χA∪B = f χA + f χB = f+ f. A∪B

A

B

Lösung zu A 8 (a)

f =µ h

=⇒



Re f =µ Re h, Im f =µ Im h

 Re h =

 Re f,

=⇒

Re h, Im h ∈ L1R (X, A, µ),

 Im h =

Im f 

=⇒

h ∈ L1C (X, A, µ),

 h=

 Re h + i

 Im h =

f.

(b) Aus den Voraussetzungen erhält man (Re fj )j , (Im fj )j ∈ L0R (X, A)N  5.2, A 12 (c) , |Re fj |, |Im fj | ≤ |fj | ≤ g für jedes j ∈ N, limj Re fj =µ Re k, limj Im fj =µ Im k. 1 Nach dem Lebesgueschen Konvergenzsatz



5.3-6 folgt Re k, Im k ∈ LR (X, A, µ), limj Re fj = Re k, limj Im fj = Im k, limj |Re fj − Re k| = 0 und limj |Im fj − Im k| = 0. Man erhält deshalb k ∈ L1C (X, A, µ)  k ∈ L0C (X, A, µ) gem. 5.2, A 12 (c) ,       lim fj = lim Re fj + i lim Im fj = Re k + i Im k = k j

und lim j

j

j



 |fj − k| ≤ lim j

 |Re fj − Re k| +

 |Im fj − Im k| = 0

 5.3-1 (b) .

Lösung zu A 9 Wegen „f summierbar ⇐⇒ |f | summierbar“  3.5-5.1  und f ∈ L1C (X, PX, µZ )

⇐⇒

|f | ∈ L1R (X, PX, µZ )

 (5.3,3) (a) 

folgt die Äquivalenz von (i) und (ii) nach 5.3-5. Darüber hinaus gilt für jedes Element f ∈ L1C (X, PX, µZ ) auch  5.3-5; 3.5, A 1       f dµZ = Re f dµZ + i Im f dµZ = (Re f )(x) + i (Im f )(x) x∈X

   Re f (x) + i Im f (x) = f (x). = x∈X

x∈X

x∈X

Lösungsvorschläge

672 Lösung zu A 10 Nach 5.3-3, 5.3-5 bzw. (3.5,4) (a) gilt: f ∈ L1R (N, PN, µZ )

⇐⇒

|f | ∈ L1R (N, PN, µZ ) ⇐⇒ |f | summierbar ∞  |f (j)| < ∞ ⇐⇒ f ∈ +1R

⇐⇒

j=0

und nach (5.3,3) (a) somit auch f ∈ L1C (N, PN, µZ )

⇐⇒

|f | ∈ L1R (N, PN, µZ )

⇐⇒

|f | ∈ +1R

⇐⇒

f ∈ +1 .

Lösung zu A 11 Über (R, Λ, λ) betrachte man die durch  f (x) :=

√1 x

für x ∈ ]0, 1]

0

sonst

definierte Funktion f und setze g := f . Gem. 5.2, A 5 und (5.2,1) (a) ist f ∈ L0 (R, Λ), denn die Wurzelfunktion ist stetig, also meßbar über ]0, 1]. Für jedes j ∈ N gilt  1    1 1 = f (x) dx = 2 1 − f χ[ j+1 ,1] 1 (j + 1)1/2 j+1  

1 1  (5.3,2) (b) , also limj f χ[ j+1 ,1] = 2. Wegen f χ[ j+1 ,1] j −−−−−→ f folgt nach 5.3-2.1 d| | -pktw.  

1 f = 2  f χ[ j+1 ist monoton wachsend . ,1] j Dagegen ist f g nicht λ-summierbar, denn sonst würde nach 5.3-1 (b) (v) und (5.3,2) (b)  1    1  1 dx = − ln fg = fg ≥ 1 1 x j+1 [ j+1 ,1] j+1 für jedes j ∈ N, also



f g = ∞ gelten.


Lösung zu A 12

Sei ε > 0 und Aj ∈ A mit µ(Aj ) < 1/2j und Aj |f | ≥ ε, fj := f χX\ k≥j Ak ∈ L0 (X, A) für jedes j ∈ N. Dann ist |fj | ≤ |f | ∈ L1 (X, A, µ)  5.3-3  für alle j ∈ N und (fj )j −−−→ f : µ-f.ü. # Sei x ∈ X. Ist x ∈ k≥j Ak für ein j ∈ N, so gilt fk (x) = f (x) für alle k ≥ j, also  #  $ # (fk (x))k → f (x). Es genügt daher, µ j∈N k≥j Ak = 0 zu zeigen. Wegen µ k∈N Ak ≤ ∞ 1 ∞ k=0 µ(Ak ) ≤ k=0 2k = 2 ist gem. 5.1-1 (d)  µ j∈N k≥j

 Ak

 = lim µ j

k≥j

 Ak

≤ lim j

∞  k=j

µ(Ak ) ≤ lim j

∞  1 1 = lim j−1 = 0. j 2 2k k=j

Lösungen zu 5.4

673

Nach dem Lebesgueschen Konvergenzsatz 5.3-6 folgt     0 = lim |fj − f | = lim f χX\ k≥j Ak − f = lim f χk≥j Ak j j j  ≥ lim f χAj ≥ ε.
j

Lösungen zu 5.4 Lösung zu A 1 (a)



g =µ f =⇒ |g|q =µ |f |q =⇒ |g|q = |f |q < ∞  5.3-2.2 (c)  für alle q ∈ R, q > 0. Für alle r ∈ R∗∗ gilt |g| ≤ r µ

⇐⇒

|f | ≤ r, µ

woraus wes sup|g| = wes sup|f | < ∞ folgt. (b) Gem. 5.2, A 4 ist mit f auch g in L0 (X, A), und die Behauptung folgt aus (a). Lösung zu A 2 Für r = ∞ ist die konstante Funktion c1 = 1 in L∞ (R, Λ, λ), jedoch nicht in Lq (R, Λ, λ) für 0 < q < ∞  c1 = 1λ(R) = ∞ . Sei also r < ∞ und f : R −→ R definiert durch  x−1/q für x ≥ 1 f (x) := 0 sonst.   Nach 5.2, A 5 und (5.2,1) (a) ist f ∈ L0R (R, Λ). Für jedes w > 0 ist die Folge |f |w χ[1,j] j in L0R (R, Λ) monoton wachsend mit limj |f |w χ[1,j] = |f |w . Gem. Lebesgues Satz von der monotonen Konvergenz 5.3-2.1 erhält man mit (5.3,2) (b)    j  ∞ 1 1 |f |w = lim |f |w χ[1,j] = lim dx = dx w/q w/q j j x 1 x 1

(uneigentliches Riemann-Integral), also ist |f |w < ∞ genau dann, wenn w/q > 1 gilt. Es folgt daher f ∈ Lr (R, Λ, λ)\Lq (R, Λ, λ). Lösung zu A 3    

(i) ⇒ (ii) Sei |f g| = fq  g r . Für fq  g r = 0 ist (ii) mit a = 0 erfüllt  5.3-1 (b) (i) .   g r . Nach 1.1-2 ist Sei also f = 0 =  q

|f | |g| 1 |f |q 1 |g|r ≤  q + ,   f  q f r  g rr g r q q

Lösungsvorschläge

674 also folgt mit (i) 1 1=   f  g r q



1 |f g| ≤  q  q fq

 |f |q +

1 r g rr

 |g|r =

1 1 + = 1. q r

Hieraus ergibt sich nach 5.3-1 (b) (i) mit 5.3-3 und 5.3-2.2 (c) 1 1 1 |g|r −   |f g| = 0  q |f |q + r µ       r g r q f q g r f q  und wiederum nach 1.1-2 |f |q |g|r ,  q = f µ  g rr

also

|f | = q

µ

q

 q f q

 g rr

|g|r .

(ii) ⇒ (i) Sei |f |q =µ a|g|r (o. B. d. A.), a ∈ R+ . Dann folgt   |f g| = a1/q |g|1+(r/q)  5.3-2.2 (c)   = a1/q |g|r  1 + (r/q) = r   g r/q g r = a1/q  g r = a1/q  r   =  g r

1/q a|g|r

1/r r/q |g|r

  =  g r fq .

Lösung zu A 4     (i) ⇒ (ii) Sei f + gq = fq +  g q .

q = 1: Es ist (|f | + |g| − |f + g|) = 0, also |f | + |g| =µ |f + g|  5.3-1 (b) (i)  und somit |f |2 + 2|f | |g| + |g|2 = |f + g|2 = f 2 + 2f g + g 2 , µ

µ

woraus |f | |g| =µ f g folgt. Wegen sgn|f | |g| =µ sgn f g =µ (sgn f )(sgn g) ist die Menge { x ∈ X | (sgn f (x))(sgn g(x)) = −1 } ∈ A0 .     g q = 0 ist (ii) mit a = 0 erfüllt. Sei f = 0 =  g q . Es gilt q > 1: Für f = 0 oder  q

 Beweis zu 5.4-7      f + gq ≤ |f | |f + g|q−1 + |g| |f + g|q−1 q

q

      ≤ fq |f  g q |f  + g|q−1 r +  + g|q−1 r mit (1/q) + (1/r) = 1 q−1    = fq +  + g q g q f  q/r = q − 1  q   nach (i) , = f + gq

Lösungen zu 5.4

675



also (|f | + |g|)|f + g|q−1 = |f + g|q , woraus nach 5.3-1 (b) (i) (|f | + |g|)|f + g|q−1 = |f + g|q µ

und wegen f + g =  0 auch |f | + |g| =µ |f + g| folgt. Es ist daher { x ∈ X | f (x)g(x) = 0 und sgn f (x) = sgn g(x) } ∈ A0 . Außerdem erhält man aus obiger (Un-)Gleichungskette         |f | |f + g|q−1 = fq |f  |g| |f + g|q−1 =  g q |f  + g|q−1 r , + g|q−1 r  wegen 5.4-5 , und nach A 3 existieren c, d ∈ R+ mit r r   |f |q = c |f + g|q−1 oder |f + g|q−1 = c|f |q , µ

µ

r r   |g|q = d |f + g|q−1 oder |f + g|q−1 = d|g|q , µ

µ

also |f | = c1/q |f + g| oder |f + g| = c1/q |f |, µ

µ

|g| = d1/q |f + g| oder |f + g| = d1/q |g|. µ

µ

Voraussetzungsgemäß sind c = 0 = d, und es ergibt sich  c 1/q  c 1/q |f | = |g| oder |f | = (cd)1/q |g| oder |g| = (cd)1/q |f | oder |g| = |f |, µ µ µ µ d d also |f | =µ a|g| und somit f =µ ag für ein a > 0.

    g 1 = f + g 1 . Für (ii) ⇒ (i) Für q = 1 folgt |f | + |g| =µ |f + g| aus (ii), also f1 +  q > 1 sei o. B. d. A. f =µ ag, a ∈ R+ . Es folgt   f + g = q



1/q |f + g|

q

 =

1/q |ag|

q

  1/q 1/q q q = (a + 1) |g| =a |g| +  g q

  +  g q = fq +  g q .

Lösung zu A 5 Für g := χQ ist wegen λ(Q) = 0 die Frage zu bejahen: wes sup g = 0  1 = sup g.

Lösung zu A 6

r

Wegen g = |g|r < ∞ ist { x ∈ X | g(x) = 0 } ∈ A0  5.3, A 5 . Sei o. B. d. A.

f g < ∞. Es ist f q =µ (f g)q g −q , (f g)q ∈ L1/q (X, A, µ)  (f g)q ∈ L0 (X, A)

Lösungsvorschläge

676

1/q



−1 gem. 5.2-2.1 (b), 5.2-2 (c); (f g)q = f g < ∞  und g −q ∈ L(1−q) (X, A, µ)



−1  g −q ∈ L0 (X, A) gem. 5.2-2 (b), (c); (g −q )(1−q) = g r < ∞ wegen −q/(1 − q) = r . Mit q  := q −1 , r := (1 − q)−1 ist (1/q  ) + (1/r ) = 1, q  , r > 1, und nach 5.4-5 folgt  1/q  1/r       q q −q qq  −qr  q −q   >  f = (f g) g ≤ (f g) q g = (f g) g r  =

q 

1−q gr

fg

,

   (q−1)/q  q  r q−1  q r

g also f ≤ f g  g > 0 . Man erhält fq g r ≤ f g, also  

f gr ≤ f g  (q − 1)/q = 1/r . q Lösung zu A 7 (a)

Aε := { x ∈ X | g(x) > ε } ⊆ A+ ist in A  (5.2,1) (b) , nach 5.3-1 (b) gilt also      g. εµ(Aε ) = ε χAε = εχAε ≤ gχAε ≤ gχA+ = A+

(b) Es sei Aε := { x ∈ X | |f (x)| > ε }. Dann ist Aε ∈ A  5.2-2.1 (b), (5.2,1) (b)  und      q εq µ(Aε ) = εq χAε = εq χAε ≤ |f |q χAε ≤ |f |q = fq . Lösung zu A 8 Sei t ∈ ]0, 1[ so gewählt, daß s = tq +(1−t)r gilt. Für alle f ∈ Lq (X, A, µ)∩Lr (X, A, µ) ist dann |f |tq ∈ L1/t (X, A, µ) und |f |(1−t)r ∈ L1/(1−t) (X, A, µ). Mit der Hölder-Ungleichung 5.4-5 folgt |f |s = |f |tq |f |(1−t)r ∈ L1 (X, A, µ), also f ∈ Ls (X, A, µ). Lösung zu A 9

  Zunächst ist gem. 5.4-3 L∞ (X, A, µ) ⊆ Lq (X, A, µ), fq also wohldefiniert für jedes     q > 0. Nach 5.4-8 (b) gilt fq ≤ µ(X)1/q f∞ für alle q ≥ 1, q ∈ R+ , und es folgt       lim supfq ≤ f∞ lim sup µ(X)1/q = f∞ q

q

(gerichtete Menge ({ q ∈ R | q ≥ 1 }, ≥); Anhang 1-31). Andererseits erhält man wegen       f = inf r ∈ R∗∗ |f | ≤ r ≤ sup r ∈ R∗∗ µ({ x ∈ X | |f (x)| > r }) > 0 ∞ µ

  '  &    Für jedes ε > 0 existiert ein r ∈ f∞ − ε, f∞ mit x ∈ X |f (x)| > r ∈ A0 .      auch f∞ ≤ lim inf q fq , weil für jedes A ∈ A, µ(A) > 0, und jedes r ∈ R+ , |f
A| ≥ r 

  also r ≤ lim inf q fq gilt.



1/q

rµ(A)1/q ≤

rq A

≤ A



1/q

|f |q

≤

1/q

|f |q

  = fq ,

Lösungen zu 5.4

677

Lösung zu A 10 Nach 1.1-8.3 müßte andernfalls  q der Parallelogrammgleichung genügen. Mit f := χ[−1,0[ und g := χ[0,1[ , also f + g = χ[−1,1[ = |f + g| und |f − g| = χ[−1,1[ erhält man jedoch für         q = ∞: f∞ = wes sup|f | = 1 = wes sup|g| = g∞ , f + g∞ = 1 = f − g∞ und somit  2  2  2  2 2f∞ + 2g∞ = 4 = 2 = f + g∞ + f − g∞ , und für     1/q 1/q 1/q 



 q q < ∞: fq = |f |q = 1 = |g|q =  g q , f+ g q = χ[−1,1[ = 21/q =   f − g und somit  q = 2  q

2  2  2  2fq + 2 g 2q = 4 = 2 · 22/q = f + gq + f − gq .

Lösung zu A 11 Für f ∈ LqC (X, A, µ) sind Re f , Im f ∈ LqR (X, A, µ), also sind auch |Re f |, |Im f | und |Re f | + |Im f | in LqR (X, A, µ). Es folgt   |f |q ≤ (|Re f | + |Im f |)q < ∞, |f |q ist somit µ-summierbar. so erhält Ist umgekehrt f ∈ L0C (X, A), |f |q µ-summierbar,

man wegen |Re f |, |Im f | ≤ |f |, also |Re f |q , |Im f |q ≤ |f |q , auch |Re f |q , |Im f |q ≤ |f |q , und daher sind Re f , Im f in LqR (X, A, µ)  5.2, A 12 (c) . Wegen |f | ≤ |Re f | + |Im f | und |Re f | ≤ |f |, |Im f | ≤ |f | gilt wes sup|f | ≤ wes sup|Re f | + wes sup|Im f | und wes sup|Re f | ≤ wes sup|f |,

wes sup|Im f | ≤ wes sup|f |

und daher die zweite Gleichung wie behauptet. Lösung zu A 12 Die Funktion ϕ : LqR (X, A, µ)/A −→ Lq (X, A, µ), ϕ(f + A) := f, ist ein isometrischer R-linearer Isomorphismus: Wegen a ∈ A ⇐⇒ aq = 0 ⇐⇒ a =µ 0 für jedes a ∈ LqR (X, A, µ) ist f + a =µ f , also f + a = f für alle f ∈ LqR (X, A, µ), a ∈ A, ϕ daher wohldefiniert. Aus ϕ(f + A + g + A) = = = rf folgt die ϕ(f + g + A) = f + g = f + g und ϕ(r(f + A)) = ϕ(rf + A) = rf R-Linearität von ϕ. Die Funktion ϕ ist auch bijektiv, denn aus  0 = ϕ(f + A) = f, also f =µ 0, erhält man f ∈ A, also f + A = A, und für f ∈ Lq (X, A, µ), o. B. d. A. f : X −→ R gem. 5.4-2, ist f + A das Urbild von f bzgl. ϕ. Schließlich gilt auch   f + Aq A = inf{ f + aq | a ∈ A }  definitionsgemäß  = inf{ f q | a ∈ A }  f + a =µ f =⇒ f + aq = f q    = f q = fq = ϕ(f + A)q .

Lösungsvorschläge

678 Lösung zu A 13

Es ist { x ∈ A | g(x) > r } ⊆ { x ∈ X | g(x) > r } für jedes r ∈ R∗∗ , also     r ∈ R∗∗ { x ∈ A | g(x) > r } ∈ A0 ⊇ r ∈ R∗∗ { x ∈ X | g(x) > r } ∈ A0 , woraus

 wes sup g
A = inf r ∈ R∗∗  ≤ inf r ∈ R∗∗

 { x ∈ A | g(x) > r } ∈ A0  { x ∈ X | g(x) > r } ∈ A0 = wes sup g

folgt. Lösung zu A 14 (a)

Ta ist stetig, also Borel-meßbar  (5.2,1) (a) . Nach 5.2, A 1 (d) ist auch g ◦ Ta Borelmeßbar. Es folgt { x ∈ Rn | g ◦ Ta (x) = f ◦ Ta (x) } = { x ∈ Rn | g(x + a) = f (x + a) } = −a + { y ∈ Rn | g(y) = f (y) } und für { y ∈ Rn | g(y) = f (y) } = N ∈ (Λn )0 somit { x ∈ Rn | g ◦ Ta (x) = f ◦ Ta (x) } = −a + N,

wobei −a + N ∈ (Λn )0 wegen der Translationsinvarianz von λn ist  5.1, A 12 .



(b) Weil |f ◦ Ta |q = |f |q ◦ Ta ist, wird |f |q ◦ Ta ∈ L1 (Rn , Λn , λn ) und |f |q ◦ Ta = |f |q gezeigt. Definitionsgemäß werden die Integrale wie folgt berechnet  5.3-1 (a) :
   ψ 0 ≤ ψ ≤ |f |q ◦ Ta , ψ ∈ ER0 (Rn , Λn ) |f |q ◦ Ta = sup
  = sup ψ 0 ≤ ψ ◦ T−a ≤ |f |q , ψ ∈ ER0 (Rn , Λn ) ,


 |f | = sup q

 ψ 0 ≤ ψ ≤ |f |q , ψ ∈ ER0 (Rn , Λn ) .

Da mit ψ auch durch ψ ◦ Ta alle nichtnegativen Funktionen aus ER0 (Rn , Λn ) erreicht werden, ist (b) bewiesen, wenn   n ψ = ψ ◦ T−a für alle ψ ∈ ER0 (Rn , Λn ) ∩ (R+ )R bestätigt werden kann. m n Sei also ψ = j=0 rj χAj ∈ ER0 (Rn , Λn ) ∩ (R+ )R in kanonischer Form dargestellt. Dann ist m m   rj χAj ◦ T−a = rj χa+Aj ≥ 0 ψ ◦ T−a = j=0

j=0

und nach 5.1, A 12   m m   ψ ◦ T−a = rj λn (a + Aj ) = rj λn (Aj ) = ψ. j=0

j=0

Lösungen zu 5.4

679

Lösung zu A 15

 
A f ∈ D ist Sei D ⊆ Lq (X, A, µ) abzählbar und in (Lq (X, A, µ), dq ) dicht. DA := f> q 0 q  abzählbare Teilmenge von

Lq (A, . . .), denn f
A ∈ L (A, A|A) für jedes f ∈ L (X, A, µ),

q q |f
A| = A |f | ≤ |f | < ∞ für q < ∞ und wes sup|f
A| ≤ wes sup|f | < ∞ gem. τd A 13. Die Dichtigkeit DA q = Lq (A, . . .) folgt so: Sei f ∈ Lq (A, . . .), f ∗ : X −→ R∗∗ mit  f (x) für x ∈ A ∗ f (x) := 0 sonst.



Dann ist f ∗ ∈ L0 (X, A)  5.2, A 14  und X |f ∗ |q = A |f ∗ |q = A |f |q < ∞ für q < ∞ und wes sup|f ∗ | = wes sup|f | < ∞, also f=∗ ∈ Lq (X, A, µ). Nach Voraussetzung gibt es zu  



jedem ε > 0 ein g ∈ D mit dq f=∗ , g < ε. Wegen |f ∗ − g|q ≥ A |f ∗ − g|q = A |f − g
A|q   ∗  > bzw.  q wes sup|f  − g| ≥ wes sup|f − g
A| ist auch dq f , g
A < ε, DA also dicht in L (A, . . .), τdq . Lösung zu A 16 (a)

Es sei D ⊆ L∞ (I, . . .), D ∞ = L∞ (I, . . .), r ∈ I ◦τ | | und fr := χ{ x∈I|x 0,  f ∈ Lq (R, Λ, λ), ϕ ∈ Cc (R, R), m ∈ N\{0}, Tr ϕ ⊆ [−m, m]  < ε/2  5.4-12 . Nach (2.2,6) gibt es ein Polynom p(x) in Q[x] mit mit f − ϕ q

ε supt∈[−m,m] |ϕ(t) − p(t)| < 2(2m) 1/q . Es folgt   |ϕ − pm |q ≤ 2m |ϕ − pm |q = [−m,m]

und somit

 ε q εq = 2q (2m) 2

         + ϕ f − p=   < ε + ε = ε.  − p = m q ≤ f −ϕ m q q 2 2

Lösungsvorschläge

680 (c)

>f , Sei D ⊆ Lq (A, . . .) eine abzählbare dichte Teilmenge und f ∈ LqC (A, . . .), d. h. Re   q >  >    q < ε/2,  ψ ∈ D mit Re f − ϕ Im f ∈ L (A, . . .). Zu ε > 0 wähle man ϕ,   >f − ψ < ε/2. Dann ist Im q

      >f − ϕ >f − ψ < ε. f − (ϕ q + Im + iψ)q ≤ Re q Lösung zu A 17 Sei r ∈ [1, ∞[, (1/r) + = 1. Nach der Hölder-Ungleichung 5.4-5 ist f=g ∈ L1 (A, . . .)  (1/q) 



 und f g ≤ |f g| ≤ f q  g r für jedes g ∈ Lr (A, . . .), die Funktion
r L (A, . . .) −→ R Φf
: g −→ f g   > ϕ ∈ Cc (Rn , R) = 0 also stetig (bei Null)  Φf
ist R-linear, 2.4, A 14 . Wegen Φf

ϕ
A

(nach Voraussetzung) folgt aus 5.4-12.1 und 2.5-9.1 (b) Φf
= 0, d. h. f g = 0 für alle   0. g ∈ Lr (A, . . .). Gem. 5.4-6 erhält man f = 0  (A, . . .) ist σ-endlich , also f =  q

Lösung zu A 18 Sei f =  0, etwa A ∈ A, µ(A) > 0, f (x) = 0 für alle x ∈ A. Für A− := { x ∈ A | f − (x) = 0 }

A+ := { x ∈ A | f + (x) = 0 },

ist dann µ(A+ ) > 0 oder µ(A− ) > 0  A = A+ ∪ A− . Sei o. B. d. A. µ(A+ ) > 0 und µ(A+ ) < ∞  (X, A, µ) σ-endlich, 5.1-1 (c) , also nach Voraussetzung 0 = A+ f =

f + . Nach 5.3-1 (b) (i) ist dann f +
A+ =µ 0.
A+ Lösung zu A 19
(m) ist offensichtlich wohldefiniert (s. 5.4-5) und ein Skalarprodukt auf W m,2 ([a, b])  entsprechende Eigenschaften des Lebesgue-Integrals und der Summation . Für die durch
(m) induzierte Norm  (m) gilt 1/2

f (m) =
f, f (m) =

 m  j=0

≤

m 

1/2 |f (j) |2 [a,b]

=

 m

(j) 2 f> 2

1/2

j=0

(j)  f> 2

 1.1-4 (a) 

j=0

= Nm,2 (f ) ≤ (m + 1)

1/2

 m

(j) 2 f> 2

1/2  Cauchy-Schwarz-Ungleichung 1.1-2.1 

j=0

2

= (m + 1)

 m  j=0

[a,b]

1/2 |f

|

(j) 2

= (m + 1)1/2 f (m) .

Lösungen zu 6.1

681

Nach 1.2-6.1 sind k k(m) und Nm,2 topologisch äquivalent und gem. 3.1, A 24; 5.4-13 ergibt
m,2 ([a, b]), dk k(m) . sich die Vollständigkeit von W

Lösung zu A20

Für q = ∞ wegen wessup |f | = sup |f | und für q ∈ R gem. (3.5, 4)(a) richtig.

Lösungen zu 6.1 Lösung zu A 1 d

Sei W ∈ Uτ (0). Man wähle ε > 0, U ∈ Uτ (0) ∩ τ mit Kε | | (0)U ⊆ W . Dann ist S d d Kε | | (0)U = kU k ∈ Kε | | (0)\{0} ∈ τ und kreisförmig J s. auch 6.1-1 (c), Beweis K. Gem. 2.5-2; 2.5, A 21 (c) sei A ∈ Uτ (0) ∩ ατ , A ⊆ W . Dann existiert eine kreisförmige τ e d| | (0)U τ ⊆ Umgebung U ∈ Uτ (0) mit U ⊆ A J s. o. K. Mit U ist auch U kreisförmig J K 1 τ τ τ τ d| | e K (0)U ⊆ U K, und es gilt U ⊆ A = A ⊆ W . 1

Lösung zu A 2

(i) ⇒ (ii) Sei x ∈TV \{0} und nach Voraussetzung I0 ∈ Pe I, Ui ∈ Uτi (0) für jedes −1 i ∈ I0 mit x 6∈ i∈I0 ϕ−1 i [Ui ]. Dann existiert ein i ∈ I0 mit x 6∈ ϕi [Ui ], d. h. ϕi (x) 6∈ Ui . (ii) ⇒ (i) Sind x, y ∈ V , x 6= y, d. h. x − y 6= 0, so gibt es gem. (ii) ein i ∈ I, Ui ∈ Uτi (0) mit ϕi (x) − ϕi (y) = ϕi (x − y) 6∈ Ui . Man wähle ein Wi ∈ Uτi (0), −1 −1 Wi − Wi ⊆ Ui . Dann ist (x + ϕ−1 i [Wi ]) ∩ (y + ϕi [Wi ]) = ∅, x + ϕi [Wi ] ∈ Uτ (x) −1 und y + ϕi [Wi ] ∈ Uτ (y). (b) (i) ⇒ (ii) ist klar gem. (a). (ii) ⇒ (iii) Für alle x, y ∈ V , x 6= y, ist x − y 6= 0, also existiert gem. (ii) ein i ∈ I mit ϕi (x) − ϕi (y) = ϕi (x − y) 6= 0. (iii) ⇒ (i) folgt mit (a): Sei x ∈ V \{0}. Gem. (iii) gibt es ein i ∈ I mit ϕi (x) 6= ϕi (0) = 0 und, weil (Xi , τi ) T2 -Raum ist, ein Ui ∈ Uτi (0) mit ϕi (x) 6∈ Ui . (a)

Lösung zu A 3 (a)

lin lin
Offensichtlich erhält man wegen S ⊆ S auch σ(V, S) ⊆ σ V, S . Umgekehrt sei Pm lin ϕ := j=1 kj ϕj ∈ S mit ϕj ∈ S, kj ∈ K\{0} (o. B. d. A.) für jedes j ∈ {1, . . . , m} J Für ϕ = 0 ist ϕ−1 [U ] = V ∈ Uσ(V,S) (0) für alle U ∈ Uτ | | (0)! K, U ∈ Uτ | | (0) ∩ τ| | . Tm Pm Man wähle ein W ∈ Uτ | | (0) ∩ τ| | mit j=1 W ⊆ U und setze P := j=1 kj−1 ϕ−1 j [W ]. Dann ist P ∈ σ(V, S) ∩ Uσ(V,S) (0) J klar K und P ⊆ ϕ−1 [U ]: Für jedes x ∈ P , j ∈ {1, . . . , m} ist x ∈ kj−1 ϕ−1 j [W ], d. h. ϕj (kj x) ∈ W , und es folgt

ϕ(x) =

m X j=1

kj ϕj (x) =

m X j=1

ϕj (kj x) ∈

m X j=1

W ⊆ U.

Da Vektorraumtopologien τ eindeutig durch den zugehörigen Umgebungsfilter der Null bestimmt sind J Stetigkeit von Addition und Skalarmultiplikation, 1.2, A 9 (a) K, folgt lin
⊆ σ(V, S). σ V, S

Lösungsvorschläge

682

(b) Angenommen, es gibt eine Norm   auf V mit σ(V, S) ⊇ τ  . Sei U ∈ Uσ(V,S) (0) mit $m d d| | U ⊆ K1   (0), etwa j=1 ϕ−1 j [Kε (0)] ⊆ U mit ε > 0, ϕ1 , . . . , ϕm ∈ S. Dann ist $m {0} = j=1 Ker ϕj ⊆ U , denn sonst wäre die K-lineare Abbildung Φm : V −→ K m , Φm (x) := (ϕ$ 1 (x), . . . , ϕm(x)), injektiv, also dimK V ≤ m. Es folgt  1 kx ∈ U für alle m   \{0}, also kx < 1 und speziell 1 = Ker ϕ k ∈ K, x ∈ j j=1 x x < 1.
Lösung zu A 4 (i) ⇒ (ii) Nach 6.1-2 (b), (6.1,1) ist ϕ stetig, zu jedem γ > 0 existiert $ somit ein δ > 0 mit ϕ[KδdN (0)] ⊆ KγdM (0). Sei x ∈ V . Für N (x) = 0 ist x ∈ δ>0 KδdN (0), also $ ϕ(x) ∈ γ>0 KγdM (0), und es folgt M (ϕ(x)) = 0 ≤ εc N (x). Ist N (x) = 0, so liegt N ε(x) x in     εdN (0), und nach (i) gilt M ϕ ε x ≤ c, d. h. M (ϕ(x)) ≤ c N (x). K N (x)

(ii) ⇒ (i) Für x ∈

 εdN (0) K

ε

gilt gem. (ii) M (ϕ(x)) ≤

c ε N (x)

≤ c.

Lösung zu A 5 Es ist sup{ ϕ(x)W | x ∈ V, xV < 1 } ≤ sup{ ϕ(x)W | x ∈ V, xV ≤ 1 } = ϕop ≤ sup{ x−1 V ϕ(x)W | x ∈ V \{0} } −1  x ∈ V \{0}, xV ≤ 1 =⇒ x−1 V ≥ 1 =⇒ ϕ(x)W ≤ xV ϕ(x)W  ≤ sup{ ϕ(x)W | x ∈ V, xV = 1 }    x−1 x = 1, x−1 ϕ(x)W = ϕ(x−1 x)W  V

V

V

V

≤ sup{ ϕ(x)W | x ∈ V, xV ≤ 1 } ≤ sup{ ϕ(x)W | x ∈ V, xV < 1 }, j denn für jedes Element x ∈ V , xV ≤ 1, erhält man mit xj := j+1 x, j ∈ N, j 1 daß xj V = j+1 xV < 1 und (xj )j →τ V x gilt  x − xj = j+1 x , woraus ϕ(x)W = limj ϕ(xj )W ≤ sup{ ϕ(y)W | y ∈ V, yV < 1 } folgt  ϕ und  W sind stetig! .

Lösung zu A 6

j Ck ist offensichtlich für jedes k ∈ N linear. C0 ist stetig, denn für p(x) = ∞ j=0 pj x ∈ R[x], p(x)
[0, 1]∞ ≤ 1 gilt |C0 (p(x)
[0, 1])| = |p0 | ≤ p(x)
[0, 1]∞ , also C0 op ≤ 1. Für p(x) = 1 ist p(x)
[0, 1]∞ = 1 = |p0 | = |C0 (p(x)
[0, 1])| und somit C0 op = 1. m   j j (m) (x)
[0, 1]∞ = Für k ≥ 1, m ∈ N, p(m) (x) = (1 − x)m = j=0 m j (−1) x ist p   m t ∈ [0, 1] = 1 und sup |1 − t| |Ck (p

(m)

(x)
[0, 1])| =

     m (−1)k = m k

0

k

für m ≥ k sonst.

Lösungen zu 6.1

683

Es folgt daher   sup |Ck (p(x)
[0, 1])| p(x) ∈ R[x], p(x)
[0, 1]∞ ≤ 1   ≥ sup |Ck (p(m) (x)
[0, 1])| m ≥ k    = sup m m ≥ k = ∞, k

Ck ist also kein beschränkter linearer Operator. Lösung zu A 7 Das Auswertungsfunktional Ac ist offensichtlich linear und wegen |Ac (f )| = |f (c)| ≤ f ∞   auch τ ∞ , τ| | -stetig mit Ac op = 1  f = 1 =⇒ |Ac (f )| = f ∞ .   1 1 + c−a und für jedes j ∈ N, j ≥ j0 , Ac ist nicht τ 2 , τ| | -stetig: Es sei j0 ∈ N, j0 > b−c fj : [a, b] −→ R definiert durch (s. Abb. L-12)   für a ≤ t < c − 1j , c + 1j ≤ t ≤ b  0   1/2 fj (t) := j 2 t − j 2 c − 1j für c − 1j ≤ t < c       −j 2 t + j 2 c + 1 1/2 für c ≤ t < c + 1 . j

j

y j

fj2

√ j fj

a

c−

1 j

c

c+

1 j

b

t

Abbildung L-12

b √ fj ist stetig, fj 22 = a fj2 (t) dt = 1 und Ac (fj ) = fj (c) = j für jedes j ≥ j0 . Es folgt √ |Ac (fj )| = jfj 2 , also sup{ |Ac (f )| | f ∈ CR ([a, b]), f 2 ≤ 1 } ≥ sup{ |Ac (fj )| | j ∈ N, j ≥ j0 } ; = sup{ j | j ∈ N, j ≥ j0 } = ∞, Ac ist kein bzgl. ( 2 , | |) beschränktes lineares Funktional. Lösung zu A 8 T∆ ist wohldefiniert, d. h. T∆ (f ) ∈ B(R, R) für jedes f ∈ B(R, R): Wegen |T∆ (f )(x)| = |f (x − ∆)| ≤ f ∞ für alle x ∈ R ist T∆ (f ) beschränkt.

Lösungsvorschläge

684 T∆ ist R-linear:

T∆ (rf + sg)(x) = (rf + sg)(x − ∆) = rf (x − ∆) + sg(x − ∆) = rT∆ (f )(x) + sT∆ (g)(x) = (rT∆ (f ) + sT∆ (g))(x). T∆ ist stetig:

    T∆ (f )∞ = sup |T∆ (f )(x)| x ∈ R = sup |f (x − ∆)| x ∈ R = f ∞ ,

also ist 1 eine Schranke für T∆ . Lösung zu A 9 Wegen        n  n    n  n     aik (δi,j )j  ≤ aik (δi,j )j  ϕ(x)1 =  xk |xk |  =

k=1 n  

|xk |

k=1

i=1 n  i=1

1

k=1

1

i=1

 
 n |aik | ≤ max |aik | 1 ≤ k ≤ n x1 i=1

  n für alle x ∈ Rn gilt ϕop ≤ max ik | 1 ≤ k ≤ n  . Sei k0 ∈ {1, . . . , n} die i=1 |a  n n Nummer einer Spalte der Matrix (aik )i,k mit i=1 aik0 = max i=1 |aik | 1 ≤ k ≤ n . Dann gilt   
 n n      n   ϕ δk0 ,j  =   1 ≤ k ≤ n , a (δ ) = |a | = max |a | ik0 i,j j  ik0 ik  j 1 i=1

1

    δk ,j  = 1, also folgt die Behauptung. 0 j 1

i=1

i=1

Lösung zu A 10 ϕ ist injektiv, denn aus ϕ(x) = 0 folgt 0 = ϕ(x)W ≥ cxV , also x = 0. ϕ−1 ist stetig: Für ϕ(x) = y gilt ϕ−1 (y)V = xV ≤ 1c ϕ(x)W = 1c yW , für ϕ−1 .

1 c

ist daher eine Schranke

Lösung zu A 11 Nach der Hölder-Ungleichung 5.4-5 ist f=g ∈ L1 (X, A, µ) und     f g ≤ |f g| ≤  g q fr  5.3-4 (f) . ϕg
ist somit wohldefiniert und R-linear  5.3-4 (b), 5.3-4.1 (a) ,  g q eine Schranke für ϕg
. (a)

Nach 5.4-6 erhält man für q ∈ R, q ≥ 1, mit 6.1-4 (a)
      r  ϕg
 ≤    g q = max f g f ∈ L (X, A, µ), f r ≤ 1 op
      r    = max f g f ∈ L (X, A, µ), f r ≤ 1 = ϕg
op .

Lösungen zu 6.1

685

(b) Wiederum nach 5.4-6 folgt mit 6.1-4 (a)
      1   ϕg
 ≤   f ∈ L f g  = sup f g (X, A, µ), ≤ 1 ∞ op 1
      = sup f g f ∈ L1 (X, A, µ), f1 ≤ 1 = ϕg
op . Lösung zu A 12 Tv ist linear  nach Definition  und stetig  1.2-2 (d) . Für jedes x ∈ V gilt |Tv (x)| = |
x, v| ≤ x  v   1.1-8 , also ist Tv op ≤ v  . Wegen Tv (v) =
v, v = v2  folgt auch Tv op ≥ v  . Lösung zu A 13

    g ) = f g ≤ fq  g r , Φ ist nach der Hölder-Ungleichung 5.4-5 wohldefiniert  Φ f (            also Φ f op ≤ f q  (und linear). Gem. 5.4-6 gilt für 1 ≤ q < ∞ auch
       f = max g ∈ Lr (X, A, µ),  f g g  ≤ 1 ≤ Φ f op r q und für q = ∞ ((X, A, µ) ist σ-endlich vorausgesetzt!)
       1 f = sup f g g ∈ L (X, A, µ),  g 1 ≤ 1 ≤ Φ f op . ∞

Lösung zu A 14 Aus (Re F )(iv) + i(Im F )(iv) = −(Im F )(v) + i(Re F )(v) für jedes v ∈ V  vgl. Beweis zu 6.1-11 (a)  folgt durch Vergleich der Real- und Imaginärteile (Im F )(iv) = (Re F )(v), also F (v) = (Im F )(iv) + i(Im F )(v). Lösung zu A 15 Es sei NW die Quotientenhalbnorm auf V /W zu N bzgl. W  1.1-6 (d) . Nach 2.4, A 27 (b) ist NW eine Norm auf V /W . Wegen πW (v) = W (das Nullelement in V /W !) existiert  sNW gemäß 6.1-12.1 (d) ein F ∈ V /W mit F (πW (v)) = 0. Das K-lineare Funktional ϕ := F ◦ πW ist stetig  πW und F sind stetig; 2.4, A 27 (a)  und erfüllt ϕ(v) = 0, ϕ(w) = F (πW (w)) = F (W ) = 0. Lösung zu A 16 (i) ⇒ (ii) gem. 2.5-9.1 (b). τN

(ii) ⇒ (i) W ist ein abgeschlossener K-Untervektorraum von (V, τN )  2.4, A 18 (b) . Für τN τN existiert nach A 15 ein ϕ ∈ V sN mit ϕ(v) = 0 und ϕ
W = 0, also jedes v ∈ V \W ϕ
W = 0.

Lösungsvorschläge

686 Lösung zu A 17 (a)

MS K-linear: MS (kR + k  R )(v) = (kR + k  R ) ◦ S(v) = kR(S(v)) + k R (S(v)) = k(R ◦ S)(v) + k (R ◦ S)(v) = (kMS (R) + k  MS (R ))(v). MS beschränkt: MS (R)op = R ◦ Sop = sup{ R ◦ S(v) | v ∈ V, v ≤ 1 } ≤ sup{ Rop S(v) | v ∈ V, v ≤ 1 } ≤ sup{ Rop Sop v | v ∈ V, v ≤ 1 } ≤ Sop Rop , also MS op ≤ Sop ; analog für S M .

(b) Für jedes j ∈ N ist S j ∈ L(V ) mit S j op ≤ Sjop  S j+1 (v) = S ◦ S j (v) ≤ Sop S j (v) ≤ Sj+1 op v für jedes j ∈ N, v ∈ V (vollständige Induktion über j), j ∞ 0 j S op = idV op = 1 = S0op . Die unendliche Reihe k1 j=0 (−1) kj S ist somit  (−1)j j  j 1 1 absolut konvergent   kj S op ≤ |k| Sop , |k| Sop < 1 . Da (L(V ),  op ) j ∞ j ein Banach-Raum über K ist  6.1-5 , existiert ein R ∈ L(V ) mit R = k1 j=0 (−1) kj S  3.5-6 . Schließlich gilt R ◦ (S + k idV ) = idV = (S + k idV ) ◦ R, also R = (S + k idV )−1 ∈ L(V ), denn R ◦ (S + k idV ) = R ◦ S + kR = =

∞  (−1)j j=0

k j+1

∞ 1  (−1)j

k

S j+1 +

j=0 ∞  j=0

kj

∞   (−1)j j Sj ◦ S + S kj j=0

(−1)j j S kj

   Verkettung mit S ist K-linear und τ op , τ op -stetig gem. (a).  = idV und ebenso (S + k idV ) ◦ R = idV . Lösung zu A 18 { bj | j ∈ N } sei eine K-linear unabhängige Teilmenge von V , bj = bk für alle j = k. Man wähle zu jedem j ∈ N ein rj ∈ R, rj > 0, ν(rj bj ) < 1/(j + 1). Dann ist K-BasisB von ergänzt { rj bj | j ∈ N } K-linear unabhängig, kann also zu einer  m V m := k x werden. Man definiere ϕ(b) := 1 für jedes b ∈ B und ϕ j=1 j j j=1 kj für alle m ∈ N, (k1 , . . . , km ) ∈ K m , (x1 , . . . , xm ) ∈ B m (K-lineare Fortsetzung). Es ist ϕ definitionsgemäß ein K-lineares Funktional auf V , jedoch nicht stetig, denn (rj bj )j →τdν 0 und (ϕ(rj bj ))j = (1)j konvergiert nicht gegen 0 (in (K, τ| | )).

Lösungen zu 6.1

687

Lösung zu A 19 Ac ist ein R-lineares Funktonal, und für jedes f ∈ BV ([a, b]) gilt |Ac (f )| = |f (c)| ≤ |f (a)| + |f (c) − f (a)| ≤ |f (a)| + V (f ) = f V , also Ac op ≤ 1. Darüber hinaus folgt wegen    1 für a < c V χ[c,b] = 0 für a = c auch |Ac (χ[c,b] )| = 1 = χ[c,b] V , also Ac op ≥ 1. Lösung zu A 20 (a)

(i) ⇒ (ii) Jedes ϕ ∈ V sτ ist nach Definition der Initialtopologie σ(V, V sτ ) auch (σ(V, V sτ ), τ| | )-stetig, gem. 2.4-1 gilt daher (ϕ(vi ))i →τ | | ϕ(v). K-Vektorraum, zu zeigen (ii) ⇒ (i) Nach 6.1-2.1 ist (V, σ(V, V sτ )) ein topologischer $m s ist daher (vi − v)i →σ(V,V sτ ) 0. Sei also o. B. d. A. j=1 ϕ−1 j [Uj ] ∈ Uσ(V,V τ ) (0) mit Uj ∈ Uτ | | (0), ϕj ∈ V sτ für j = 1, . . . , m. Nach Voraussetzung (ii) existiert zu jedem j ∈ {1, . . . , m} ein ij ∈ I mit ϕj (vi −v) ∈ Uj für alle i ≥ ij . Man wähle i0 ∈ I, i0 ≥ ij für jedes j ∈ $ {1, . . . , m}. Dann ist ϕj (vi − v) ∈ Uj für alle i ≥ i0 , j ∈ {1, . . . , m}, m also vi − v ∈ j=1 ϕ−1 j [Uj ] für alle i ≥ i0 .

(b) Ist σ eine Topologie auf V mit V sσ = V sτ , also insbesondere jedes ϕ ∈ V sτ auch (σ, τ| | )-stetig, so folgt nach Definition der Initialtopologie σ(V, V sτ ) ⊆ σ. Es ist somit nur noch V sσ(V,V sτ ) = V sτ zu zeigen, wobei V sτ ⊆ V sσ(V,V sτ ) wiederum nach Definition der Initialtopologie σ(V, V sτ ) gilt. Wegen σ(V, V sτ ) ⊆ τ gilt auch die Umkehrung V sσ(V,V sτ ) ⊆ V sτ . (c)

σ(V, V s  ) ist gem. A 2 (b) hausdorffsch, weil V s  nach 6.1-12.1 (c) Punkte in V trennt.

Lösung zu A 21 Da ϕ K-linear ist, muß nur die Stetigkeit bei 0 überprüft werden. Für jedes j ∈ {1, . . . , n} sei ej := (δi,j )i=1,...,n ∈ K n , {e1 , . . . , en } also eine K-Vektorraumbasis von K n . Sei n d U ∈ Uτ (0). Man wähle ein ε > 0 mit j=1 Kε | | (0)ϕ(ej ) ⊆ U  Stetigkeit der Addition und Skalarmultiplikation in (V, τ) . Es folgt - . - .  n n n d d d ϕ Kε | | (0) = ϕ Kε | | (0)ej = Kε | | (0)ϕ(ej ) ⊆ U. j=1

j=1

j=1

Lösung zu A 22 Sei {v} eine K-Basis von V , d. h. v ∈ V \{0}. (a)

Jedes ϕ ∈ V a \{0} ist wegen 0 = ϕ(kv) = kϕ(v)

=⇒

k=0

=⇒

kv = 0

Lösungsvorschläge

688

und k = ϕ(kϕ(v)−1 v) bijektiv, also Ker ϕ = {0} ∈ ατ  2.5, A 21 (b) , und somit stetig  6.1-3 . (b) β : K −→ V , β(k) := kv, ist ein K-linearer Isomorphismus, also stetig gem. A 21 und β −1 ∈ V a = V sτ  (a) . Lösung zu A 23 s

Man definiere Φ : +1R −→ c0 ∞ durch Φ((xj )j )((aj )j ) :=

∞ 

xj a j .

j=0

Dann ist Φ wohldefiniert, denn für jedes (xj )j ∈ +1R ist Φ((xj )j ) wohldefiniert, R-linear und stetig mit Φ((xj )j )op ≤ (xj )j 1 auf c0 wegen  ∞ ∞   |Φ((xj )j )((aj )j )| = xj aj ≤ sup |aj | j ∈ N |xj | = (aj )j ∞ (xj )j 1 . j=0

j=0

Der Operator Φ ist offensichtlich R-linear und darüber hinaus injektiv  Φ((xj )j ) = 0 =⇒ ∀ k ∈ N : 0 = Φ((xj )j )((δk,j )j ) = xk =⇒ (xj )j = 0 . Bleibt die Surjektivität von Φ und Φ((xj )j )op ≥ (xj )j 1 für alle (xj )j ∈ +1R zu zeigen: s

Sei T ∈ c0 ∞ und (aj )j ∈ c0 , also   ∞ T ((aj )j ) = T aj (δk,j )k

(Limes der Reihe in (c0 ,  ∞ ))

j=0

=

∞ 

aj T ((δk,j )k )

s

 T ∈ c0 ∞ .

j=0

Für jedes n ∈ N setze man nun xn :=

n    sgn T ((δk,j )k ) (δk,j )k ∈ c0 . j=0

  Wegen j=0 |T ((δk,j )k )| = T (xn ) ≤ T op xn ∞ ≤ T op gehört T ((δk,j )k ) j zu +1R       mit  T ((δk,j )k ) j 1 ≤ T op , und es gilt Φ T ((δk,j )k ) j = T . Schließlich folgt aus   ∞ ∞    |T ((aj )j )| = aj T ((δk,j )k ) ≤ |aj ||T ((δk,j )k )| ≤ (aj )j ∞  T ((δk,j )k ) j 1 n

j=0

j=0

      auch T op ≤  T ((δk,j )k ) j 1 und somit Φ(x)op =  Φ(x)((δk,j )k ) j 1 = x1 für jedes x ∈ +1R . Lösung zu A 24 Das R-lineare Auswertungsfunktional (vgl. A 7)
CR ([0, 1])  R  −→ ϕ: f −→ f 12

Lösungen zu 6.1

689

  ist τ ∞ , τ| | -stetig, gem. 6.1-12.1 (a) existiert daher ein Φ ∈ L∞ ([0, 1], . . .)s ∞ mit   g ) = Φ für ein g ∈ L1 ([0, 1], . . .) Φ f = ϕ(f ) für jedes f ∈ CR ([0, 1]). Es werde I(  

∞ angenommen, also Φ f = [0,1] f g für jedes f ∈ L ([0, 1], . . .). Speziell für f ∈ CR ([0, 1])   1 würde dann f 12 = 0 f (x)g(x) dx folgen. Definiert man nun beispielsweise für jedes j ∈ N die Funktionen fj : [0, 1] −→ [0, 1] durch  ' & 1 1 für x ∈ 12 − j+3 , 12 + j+3  0  ' &  1 fj (x) := (j + 3)x + 1 − j+3 für x ∈ 12 − j+3 , 12 2   ' &   1 für x ∈ 12 , 12 + j+3 , −(j + 3)x + 1 + j+3 2 so erhält man wegen limj fj g =λ 0 und |fj g| ≤ |g| für jedes j ∈ N nach dem Lebesgueschen Konvergenzsatz 5.3-6    0 = lim fj g = lim fj 12 = 1.
j

j

[0,1]

Lösung zu A 25 Wegen ϕ ∈ V a \V sτ ist ϕ = 0, etwa ϕ(v) > 0 (o. B. d. A.), also v ∈ Pϕ , −v ∈ Nϕ . Die Konvexität von Nϕ , Pϕ folgt nach (2.4,14) (f). Weiter ist ϕ(v) ≥ 0 oder ϕ(v) < 0, d. h. lin

v ∈ Pϕ oder −v ∈ Pϕ für jedes v ∈ V , also V = Pϕ . Für ϕ(v) ≥ 0 und w ∈ Nϕ  s. o.  ist ϕ(v) − (ϕ(v) + 1)ϕ(w)−1 ϕ(w) = −1 < 0, d. h. v − (ϕ(v) + 1)ϕ(w)−1 w ∈ Nϕ , woraus v = (ϕ(v) + 1)ϕ(w)−1 w + (v − (ϕ(v) + 1)ϕ(w)−1 w) ∈ Nϕ und somit V = Nϕ

lin

lin

folgt  ϕ(v) < 0 =⇒ v ∈ Nϕ .

Schließlich ist Ker ϕ ∈ ατ  6.1-3, Anhang 2-10  ein maximaler R-Untervektorraum von V , τ also Ker ϕ = V  2.4, A 18 (b) , und für jedes v ∈ Pϕ gilt v + Ker ϕ ⊆ Pϕ . Es folgt τ τ τ τ Pϕ ⊇ v + Ker ϕ = v + Ker ϕ = V (und ebenso Nϕ = V ). Lösung zu A 26 (a)

  Nach 2.5, A 19 (b) ist +q , τνq ein topologischer C-Vektorraum, wobei νq die Pseudonorm aus (2.5,8) (c) bezeichnet. (i) ⇒ (ii) Für jedes ϕ ∈ (+q )sνq existiert gem. 6.1-2 (b) ein ε > 0 und S  > 0 mit  εdνq (0) : |ϕ(x)| ≤ S  , ∀x∈K also ∀ x ∈ +q : |ϕ(x)| ≤ ε−1/q S  νq (x)1/q  ε q (0) =⇒ ε1/q νq (x)−1/2 |ϕ(x)| ≤ S    x ∈ +q \{0} =⇒ ε1/q νq (x)−1/q x ∈ K dν

 q (0), also ist (ii) ⇒ (i) Nach (ii) erhält man |ϕ(x)| ≤ Sνq (x)1/q ≤ S für jedes x ∈ K 1 ϕ stetig  6.1-2 (b) . dν

Lösungsvorschläge

690

(b) Es ist 0(q) = 0, und umgekehrt folgt aus ϕ(q) = 0 auch |ϕ(x)| ≤ 0 für jedes x ∈ +q , also ϕ = 0. Ist k ∈ C\{0} und ϕ ∈ (+q )sνq , so gilt kϕ(q) = inf{ S > 0 | ∀ x ∈ +q : |kϕ(x)| ≤ Sνq (x)1/q } = inf{ S > 0 | ∀ x ∈ +q : |ϕ(x)| ≤ S|k|−1 νq (x)1/q } = |k| inf{ S > 0 | ∀ x ∈ +q : |ϕ(x)| ≤ Sνq (x)1/q } = |k| ϕ(q) . Ist schließlich auch ψ ∈ (+q )sνq , so erhält man ϕ + ψ(q) = inf{ S > 0 | ∀ x ∈ +q : |ϕ(x) + ψ(x)| ≤ Sνq (x)1/q } ≤ inf{ S > 0 | ∀ x ∈ +q : |ϕ(x)| ≤ Sνq (x)1/q } + inf{ S > 0 | ∀ x ∈ +q : |ψ(x)| ≤ Sνq (x)1/q } = ϕ(q) + ψ(q) . (c)

Zunächst sei S > 0, |ϕ(x)| ≤ Sνq (x)1/q für alle x ∈ +q  (a) , also |ϕ(x)| ≤ S für jedes  dνq (0). Dann ist x∈K 1

   dνq (0) ≤ inf{ S > 0 | ∀ x ∈ +q : |ϕ(x)| ≤ Sνq (x)1/q } sup |ϕ(x)| x ∈ K 1 = ϕ(q) . Umgekehrt gilt für alle ε > 0, x ∈ +q |ϕ(x)| = (νq (x) + ε)1/q |ϕ((νq (x) + ε)−1/q x)|,   wobei νq (νq (x) + ε)−1/q x = (νq (x) + ε)−1 νq (x) < 1 ist, also   |ϕ(x)| ≤ (νq (x) + ε)1/q sup |ϕ(y)| y ∈ +q , νq (y) ≤ 1 .   Hieraus folgt |ϕ(x)| ≤ νq (x)1/q sup |ϕ(y)| y ∈ +q , νq (y) ≤ 1 und daher definitionsgemäß ϕ(q) ≤ sup |ϕ(y)| y ∈ +q , νq (y) ≤ 1 . ∈ R+  s. (5.4,2) (b)  (d) Φ ist wohldefiniert, denn b)q ≤ aq + bq für alle a, b q wegen  ∞ ∞ (a + ∞ q q ≤ j=0 |xj | < ∞ für jedes x ∈ + , also j=0 |xj | ≤ νq (x)1/q , gilt auch j=0 |xj | woraus ∞ ∞   |bj xj | ≤ b∞ |xj | ≤ b∞ νq (x)1/q j=0

j=0

für jedes x ∈ +q , b ∈ +∞ folgt; Φ(b) ist daher (C-linear und) stetig mit Φ(b)(q) ≤ b∞  (a) . Φ ist eine surjektive Isometrie: Sei ϕ ∈ (+q )sνq und Ii := ϕ((δi,j )j∈N ) für jedes i ∈ N. Es ist (Ii )i ∈ +∞  weil νq ((δi,j )j ) = 1 ist, folgt |Ii | = |ϕ((δi,j )j )| ≤ ϕ(q) , und wegen   ∞ ∞ ∞ ∞    Φ((Ii )i )(x) = I i xi = ϕ((δi,j )j )xi = ϕ(xi (δi,j )j ) = ϕ xi (δi,j )j i=0

= ϕ(x)

i=0

i=0

i=0

Lösungen zu 6.1

691

für alle x ∈ +q gilt Φ((Ii )i ) = ϕ. Schließlich ist   Φ((Ii )i )(q) = ϕ(q) ≥ sup |Ii | i ∈ N = (Ii )i ∞ ≥ Φ((Ii )i )(q)  s. o. , und die Injektivität von Φ folgt aus Φ(b)((δi,j )j ) = bi , denn für b = b , etwa bi = bi , ist hiernach Φ(b)((δi,j )j ) = bi = bi = Φ(b )((δi,j )j ). Lösung zu A 27 M ⊆ V sσ(V,M ) gilt nach Definition der schwachen Topologie. Sei also ϕ ∈ V sσ(V,M ) . Wegen der (σ(V, M ), τ| | )-Stetigkeit von ϕ gibt es ϕ1 , . . . , ϕn ∈ M und ein ε > 0 mit - . n ' d| | &  ε (0) ⊆ K  d| | (0). K ϕ ϕ−1 1 j j=1

' d| | & $n  (0) für jedes δ > 0, also K Sei v ∈ V . Für ϕ1 (v) = · · · = ϕn (v) = 0 ist v ∈ j=1 ϕ−1 j δ d| |  ϕ(v) ∈ KE (0) für jedes I > 0 und somit ϕ(v) = 0. Ist ϕj (v) = 0 für ein j ∈ {1, . . . , n}, so  ' d| | &  $n  ε (0) und K erhält man mit sv := sup |ϕj (v)| 1 ≤ j ≤ n zunächst sεv v ∈ j=1 ϕ−1 j   sv 1 dann |ϕ(v)| ≤ ε = ε sup n |ϕj (v)| 1 ≤ j ≤ n  s. o. . Anhang 2-11 zufolge existieren r1 , . . . , rn ∈ K mit ϕ = j=1 rj ϕj ∈ M . Lösung zu A 28  ist wohldefiniert, denn Φ(ϕ)  Φ ist offensichtlich K-linear und wegen  Φ(ϕ)(w) = |ϕ(Φ−1 (w))| ≤ ϕop Φ−1 (w)V ≤ ϕop Φ−1 op wW  K-linear  Φ(aϕ  für alle w ∈ W auch stetig für jedes ϕ ∈ V s V . Weiter ist Φ + bψ)(w) =   −1 −1 −1   (aϕ+bψ)(Φ (w)) = aϕ(Φ (w))+bψ(Φ (w)) = aΦ(ϕ)+bΦ(ψ) (w) , normerhaltend       Φ(ϕ)op = sup    Φ(ϕ)(w) wW ≤ 1 = sup |ϕ(Φ−1 (w))| wW ≤ 1 =   ' d V &   d W (0)  und surjektiv sup |ϕ(v)| vV ≤ 1 = ϕop wegen Φ K (0) = K 1 1  ◦ Φ)(w) = ψ ◦ Φ(Φ−1 (w)) = ψ(w) für jedes  ψ ∈ W s W =⇒ ψ ◦ Φ ∈ V s V und Φ(ψ w ∈ W . Lösung zu A 29 Für jedes f ∈ L2 ([0, 1], . . .) gilt nach 5.3-4 (e)     G f, f = G f, f =

 [0,1]

 2 f 2 g ≥ mf2 .

Lösung zu A 30 Gem. 6.1-4 (a) erhält man M (fj (v) − f (v)) = M ((fj − f )(v)) ≤ fj − f op N (v) für alle v ∈ V , j ∈ N, woraus (fj (v))j →M f (v) folgt.

Lösungsvorschläge

692

Lösungen zu 6.2 Lösung zu A 1 Gem. (6.2,1) (c) ist ϕ fastoffen, nach 6.2-1 (a) also offen. # Speziell ist ϕ[V ] ∈ ω und, weil ϕ[V ] ein K-Untervektorraum von W ist, auch ϕ[V ] = W \ { w + ϕ[V ] | w ∈ ϕ[V ] } ∈ αω . Da (W, ω) zusammenhängend ist  2.4, A 31 , folgt ϕ[V ] = W . Lösung zu A 2 Nach 6.1-2.1 ist (V, τ) ein topologischer' K-Vektorraum, { ϕ−1 [O] | O ∈ ω } eine Basis von & −1 τ. Wegen der Surjektivität von ϕ folgt ϕ ϕ [O] = O für jedes O ∈ ω, also ' ϕ

& { ϕ−1 [O] | O ∈ O } =

 ' −1 &  ϕ ϕ [O] O ∈ O =

O∈ω

für alle O ⊆ ω. Lösung zu A 3 (a)

N ist eine Norm auf M , denn für alle v, w ∈ M , k ∈ K gilt: N (v) = 0

vV + ϕ(v)W = 0

⇐⇒

⇐⇒

vV = 0

⇐⇒

v = 0,

N (kv) = kvV + ϕ(kv)W = |k|(vV + ϕ(v)W ) = |k|N (v), N (v + w) ≤ N (v) + N (w), da  V und  W ◦ ϕ subadditiv sind. (M, N ) ist vollständig: Sei (vj )j ∈ M N eine Cauchy-Folge in (M, N ), also (vj )j Cauchy-Folge in (M,  V
M ) und (ϕ(vj ))j Cauchy-Folge in (W,  W ), etwa v ∈ V , w ∈ W mit (vj )j → V v, (ϕ(vj ))j → W w. Da ϕ ein abgeschlossener Operator ist, folgt ϕ(v) = w, also (vj )j →N v.   ϕ τN , τ W -stetig: Für alle v ∈ M gilt ϕ(v)W ≤ ϕ(v)W + vV = N (v), also ist ϕ stetig mit ϕop ≤ 1.   (b) Nach 6.2-1.3 (b) ist ϕ offen bzgl. τN , τ W  (M,  N ) ist gem. (a) ein Banach-Raum!  und wegen τN ⊇ τ V M erst recht offen bzgl. τ V M, τ W . (c)

folgt direkt aus (b).

(d) Sei v ∈ V , (vj )j ∈ M N mit (vj )j → V v. Dann ist (ϕ(vj ))j eine Cauchy-Folge in W,  A 1 (b) , also konvergent, etwa (ϕ(vj ))j → W w, w ∈ W . Es  d W  3.1, folgt (vj , ϕ(vj )) j →τ V τ W (v, w), und somit ist (v, w) ∈ ϕ, d. h. v ∈ M und ϕ(v) = w. Lösung zu A 4 (a)

τ

I (i) ⇒ (ii) Sei v ∈ B , (bi )i ∈ B I ein Netz in B, (bi )i →τ v. Dann ist ((bi , 0))i ∈ πA und ((bi , 0))i →τ τ|A (v, 0). Da πA gem. (i) ein abgeschlossener Operator ist, folgt (v, 0) ∈ πA , d. h. πA (v) = 0, und somit v ∈ Ker πA = B.

(ii) ⇒ (i) Sei (v, w) ∈ πA τ

τ|A

I und ((ai + bi , ai ))i ∈ πA ein Netz in πA , so daß

Lösungen zu 6.2

693

((ai + bi , ai ))i →τ τ|A (v, w). Dann gilt (ai + bi )i →τ v und (ai )i →τ|A w und daher (bi )i →τ v − w. Nach (ii) gehört v − w zu B, also (v, w) = (w + (v − w), w) ∈ πA . (b) Mit (V, τ) ist auch (A, τ|A) vollständig metrisierbar  3.1-8 (a) . Da πA ∈ ατ gem. (a), erhält man nach 6.2-1.3 (b), daß πA stetig und offen ist.

τ|A

Lösung zu A 5 (a)

& ' d  Nach 6.2-1.3 (b), 2.5-9 ist ϕ offen, also ϕ K1 V (0) ∈ τ W . Es gibt daher ein ' &  d W (0) ⊆ ϕ K d V (0) und somit zu jedem w ∈ W \{0} ein δ > 0 mit δ K 1 1 d

v ∗ ∈ K1 vV =

V

wW δ

wW ∗ δ ∗ wW w = ϕ(v ). Für v := δ v ist 1 ∗ v V ≤ δ wW . Für w = 0 wähle man v = 0.

(0) mit

dann ϕ(v) = w und

(b) Nach dem Homomorphiesatz für K-lineare Epimorphismen ist ϕ  : V /Ker ϕ −→ W , ϕ(v  + Ker ϕ) := ϕ(v), ein K-linearer Isomorphismus (vgl. Anhang 2-8).      τ V /Ker ϕ , τ W Da V /Ker ϕ ,  Ker ϕ ein Banach-Raum  3.1, A 19 (b)  und ϕ   stetig ist  ϕ◦π  Ker ϕ = ϕ τ V , τ W -stetig , ergibt sich nach 6.2-1.3 (b) die Offenheit von ϕ.  ' & (i) ⇒ (ii) Aus ϕ[A] ∈ ατ W folgt A + Ker ϕ = ϕ−1 ϕ[A] ∈ ατ V . (ii) ⇒ (i) Wegen ϕ[A] = ϕ  ◦ πKer ϕ [A] muß nur noch πKer ϕ [A] ∈ ατ V /Ker ϕ gezeigt werden. Sei also (aj )j ∈ AN , v ∈ V mit (πKer ϕ (aj ))j →τ V /Ker ϕ v + Ker ϕ,   d. h. aj − v + Ker ϕKer ϕ j →τ | | 0  2.4, A 27 (a) , wobei definitionsgemäß aj − v + Ker ϕKer ϕ = inf{ aj − v + v ∗ V | v ∗ ∈ Ker ϕ } ist. Man wähle (vj∗ )j ∈ (Ker ϕ)N mit (aj − v + vj∗ )j →τ V 0, d. h. (aj + vj∗ )j →τ V v. Wegen (aj + vj∗ )j ∈ (A + Ker ϕ)N und A + Ker ϕ ∈ ατ V erhält man v ∈ A + Ker ϕ, also v + Ker ϕ ∈ πKer ϕ [A]. Lösung zu A 6 (a)

W ist ein R-Untervektorraum von +2R und ϕ R-linear und surjektiv. Wegen   ϕ((xj )j )2 = (xj )j χ{ 2k|k∈N } 2 =

 ∞

1/2 |x2j |2

≤ (xj )j 2

j=0

ist ϕ stetig (mit ϕop ≤ 1).

  (b) Mit Hilfe von (1.2,1) (b) erhält man die Abgeschlossenheit von W in +2R , τ 2 , (W,  2
W ) ist daher ein Banach-Raum. Gem. A 5 (b) ist A + Ker ϕ ∈ ατ 2 zu zeigen: Sei x := (xj )j ,

 xj :=

für alle j ∈ N. Wegen

∞ sin j=0

1 sin i+1 0

1 2 j+1

≤

für j = 2i sonst

∞ 

2 1 j=0 j+1

< ∞ gehört x zu +2R , und aus

Lösungsvorschläge

694

Ker ϕ = { (yj )j ∈ +2R | ∀ j ∈ N : y2j = 0 } und + m ,   m       1 1 1 cos j+1 χ{2j+1} + sin j+1 χ{2j} − cos j+1 χ{2j+1} x =  2 -lim m

j=0

j=0

m 

    1 1 folgt x ∈ A + Ker ϕ 2  j=0 cos j+1 χ{2j+1} + sin j+1 χ{2j} ∈ U ⊆ A,  m  1 cos χ ∈ Ker ϕ . Wäre x ∈ A + Ker ϕ, etwa x = a + k, a ∈ A, {2j+1} j=0 j+1 N k ∈ Ker ϕ, also k2j = 0 für alle j  ∈ N, so gäbe es eine (an )n ∈ U mit  Folge mn 1 1 (an )n →τ 2 a, etwa an = j=0 Cn,j cos j+1 χ{2j+1} + sin j+1 χ{2j} , Cn,j ∈ R für alle n ∈ N, j ∈ {0, . . . , mn }. Insbesondere müßte (Cn,j )n →τ | | 1, also auch   1 1 1 Cn,j cos j+1 →τ | | cos j+1 und damit k2j+1 = − cos j+1 für jedes j ∈ N gelten. n 2 ∞ 1 2 cos Wegen k ∈ + wäre dann < ∞.
τ

R

j=0

Lösung zu A 7 Sei U ∈ Uσ (0), R ∈ Uτ (0) mit d Kε | | (0)B ⊆ R. Dann gilt d

Kε | | (0)

j+1

# { f [R] | f ∈ F } ⊆ U . Man wähle ein ε > 0 mit

{ f [B] | f ∈ F } =

 

= ⊆

r



d { f [B] | f ∈ F } r ∈ Kε | | (0)

d { f [rB] | f ∈ F } r ∈ Kε | | (0)

{ f [R] | f ∈ F } ⊆ U.

Lösung zu A 8 Q ist offensichtlich R-linear und wegen      N N N   |Q(f )| = Aj f (xj ) ≤ |Aj | sup |f (xj )| 0 ≤ j ≤ N ≤ |Aj | f ∞ j=0

j=0

auch stetig mit Qop ≤

j=0

N

j=0 |Aj |.

Sei Ai = 0 für ein i ∈ {0, . . . , N } und f : [a, b] −→ R der durch  sgn A0 für x = a = x0 f (x) := x−xj sgn Aj + xj+1 −xj (sgn Aj+1 − sgn Aj ) für x ∈ ]xj , xj+1 ], j ∈ {0, . . . , N − 1} definierte Polygonzug. Es ist f ∞ = 1 und Q(f ) =

N  j=0

also Qop =

N

j=0 |Aj |.

Aj f (xj ) =

N  j=0

  N Aj sgn Aj = |Aj | f ∞ , j=0

Lösungen zu 6.2

695

Lösung zu A 9

b Zunächst gilt (Qm (p
[a, b]))m →τ | | a p(t) dt für jedes p(x) ∈ R[x]: Sei n ∈ N, p(x) ∈ R[x]n und m0 ∈ N mit µm ≥ n für jedes m ≥ m0 . Wegen Qm (p
[a, b]) =

b

b p(t) dt für jedes m ≥ m0  Exaktheit von Qm  folgt (Qm (p
[a, b]))m →τ | | a p(t) dt. a Weiter erhält man speziell für p(x) := (b − a)−1  1=

b

p(t) dt = lim Qm (p
[a, b]) = lim m

a

m

Nm 

(m)

Aj

(b − a)−1 ,

j=0

Nm (m) Nm (m) Nm (m) Aj = also b − a = limm j=0 Aj . Daher ist j=0 ≤ b − a für jedes j=0 Aj m ∈ N, und die Behauptung ergibt sich aus (6.2,8) (b). Lösung zu A 10 (a)

Für jedes ε > 0 und alle j, k ∈ N gilt definitionsgemäß: N (vj − vk ) < ε

⇐⇒

vj − vk ∈ KεdN (0).

(b) (i) ⇒ (ii) Sei (vj )j eine Cauchy-Folge in (V, τN ). Nach (a) existiert gem. (i) ein v ∈ V mit (vj )j →τN v. (ii) ⇒ (i) ergibt sich analog. (c)

Sei U ∈ UE (0). Da ϕ stetig ist, gibt es ein R ∈ Uσ (0) mit ϕ[R] ⊆ U . Sei jR ∈ N so gewählt, daß wj − wk ∈ R für alle j, k ≥ jR gilt. Dann ist auch ϕ(wj ) − ϕ(wk ) = ϕ(wj − wk ) ∈ ϕ[R] ⊆ U für alle j, k ≥ jR .

Lösung zu A 11 Da (K, τ| | ) hausdorffsch ist, muß gem. 6.1, A 2 (b) nur ∀ ϕ ∈ V sτ \{0} ∃ v ∈ V : ΓV (v)(ϕ) = 0 gezeigt werden, was jedoch wegen ΓV (v)(ϕ) = ϕ(v) offensichtlich richtig ist. Lösung zu A 12 (a)

d

| | s Sei ε > 0 und v ∈ V , also a−1 v [Kε (0)] ∈ Uσ(V   ,V ) (0) eine Subbasisumgebung.

d

d

| | op Für v = 0 ist av = 0, also V ⊆ a−1 v [Kε (0)], und für v = 0 gilt Kε/v (0) ⊆

d

d



| | op a−1 v [Kε (0)] wegen |av (ϕ)| = |ϕ(v)| ≤ ϕop v < ε für jedes ϕ ∈ Kε/v (0). Aus Uσ(V s  ,V ) (0) ⊆ Uτ op (0) folgt σ(V s  , V ) ⊆ τ op  1.2, A 9 (a) . 

(b) ΓV (v)op ≤ v gilt gem. Beweis zu (a) und 6.1-4 (a). Umgekehrt wähle man zu v = 0 nach 6.1-12.1 (c) ein ϕ ∈ V s  mit ϕop = 1 und ϕ(v) = v. Man erhält |ΓV (v)(ϕ)| = |ϕ(v)| = v = v ϕop , also ΓV (v)op = v.

Lösungsvorschläge

696 Lösung zu A 13 Sei { vj | j ∈ N } dicht in (V, τ). Für jedes j ∈ N ist
s V τ −→ K ΓV (vj ) : ϕ −→ ϕ(vj )

definitionsgemäß (σ(V sτ , V ), τ| | )-stetig, und { ΓV (vj ) | j ∈ N } trennt Punkte in V sτ : Seien ϕ, ψ ∈ V sτ mit ΓV (vj )(ϕ) = ΓV (vj )(ψ), d. h. ϕ(vj ) = ψ(vj ) für jedes j ∈ N. Nach 2.5-9.1 (b) folgt ϕ = ψ. Mit 4.3, A 20 erhält man die Metrisierbarkeit. Lösung zu A 14 Nach 3.1, A 31 ist dimK V überabzählbar und gem. 6.1-12.1 (d) trennt V s  Punkte in V . Die Behauptung folgt daher aus 6.2-8. Lösung zu A 15 Es seien b, b1 , . . . , bm ∈ E, k1 , . . . , km ∈ K mit ΓV (b) = gilt dann ϕ(b) = ΓV (b)(ϕ) =

m 

ki ΓV (bi )(ϕ) =

i=1

also gilt b =

m i=1

m 

m i=1

ki ΓV (bi ). Für jedes ϕ ∈ V sτ

  m ki ϕ(bi ) = ϕ ki bi ,

i=1

i=1

ki bi , da V sτ Punkte in V trennt.

Lösungen zu 6.3 Lösung zu A 1 d

Für jedes x ∈ V existiert ein ε > 0 mit Kε | | (0)x ⊆ U , also ist x ∈ ε−1 U und somit pU (x) ≥ 0. Offensichtlich ist pU (0) = 0, und für k ∈ R\{0}, r ∈ R+ gilt kx ∈ rU

⇐⇒

x∈

r U |k|

 U kreisförmig ,

woraus  pU (kx) = inf{ r ∈ R+ | kx ∈ rU } = inf r ∈ R+ x ∈

r |k| U



= |k| inf{ r ∈ R+ | x ∈ rU } = |k|pU (x) folgt. Sind x ∈ rU , y ∈ sU , r, s ∈ R+ , so ergibt sich mit t := r + s für t = 0 auch r = s = 0, x = y = 0, also pU (x + y) = 0 = pU (x) + pU (y). Für t > 0 ist 1t x ∈ rt U ⊆ U , 1 s 1 r 1 s r s t y ∈ t U ⊆ U  U kreisförmig , etwa v, u ∈ U mit t x = t u, t y = t v. Wegen t + t = 1 erhält man x + y ∈ tU aus der Konvexität von U , also pU (x + y) ≤ t = r + s und damit pU (x + y) ≤ pU (x) + pU (y).

Lösungen zu 6.3

697

Lösung zu A 2 (a)

Sei U ∈ Uτ (0) konvex. Nach der Anmerkung an 2.4-18 (Seite 135) ist U ◦τ konvex.  konv ◦τ konv Sei W ∈ Uτ (0) kreisförmig, W ⊆ U ◦τ , also W ⊆ U ◦τ . Dann ist W ∈ Uτ (0) ∩ τ konvex und kreisförmig, denn aus     d| |   d| | (0) W konv ◦τ = K  (0)\{0} W konv ◦τ ∈ τ K und 1 1  konv ◦τ konv konv d| | d| |  (0) W  (0)W K ⊆K ⊆W 1 1      d| | (0) W konv ◦τ ⊆ W konv ◦τ .  2.4, A 34 (b)  folgt K 1 Sei zusätzlich U ∈ ατ  2.5, A 21 (c); Anmerkung an 2.4-18 . Dann erhält man τ τ τ konv τ konv  d| | (0)W konv ⊆ W ⊆ U = U , und W ∈ ατ ist konvex und kreisförmig  K τ

1

τ

 d| | (0)W konv ⊆ W konv , da W konv kreisförmig ist (vgl. 2.4, A 34 (b)) . K 1  εd| | (0)S ⊆ U . Nach 2.4, A 34 (b) folgt (b) Sei U ∈ Uτ (0) konvex, ε > 0 mit K
 m  εd| | (0), (r1 , . . . , rm ) ∈ (R> )m ,  εd| | (0)S konv = K zrj sj m ∈ N\{0}, z ∈ K j=1

m 

⊆


 m j=1

 rj = 1, (s1 , . . . , sm ) ∈ S

m

j=1

rj uj m ∈ N\{0}, (r1 , . . . , rm ) ∈ (R> )m , m 

 rj = 1, (u1 , . . . , um ) ∈ U m

j=1

=U S S

konv konv

τ

konv

= U,

ist daher beschränkt. Nach 6.1-1 (b) erhält man auch die Beschränktheit von .

Lösung zu A 3 Für jedes ϕ ∈ V a ist offensichtlich |ϕ| eine Halbnorm auf V . Weiter gilt für jedes ε > 0, ϕ ∈ S d

d

ϕ−1 [Kε | | (0)] = { v ∈ V | ϕ(v) ∈ Kε | | (0) } =



 d v ∈ V |ϕ(v)| < ε = Kε |ϕ| (0).

Lösung zu A 4 Sei v ∈ V \M ∈ τ, U ∈ Uτ (0) ∩ τ konvex mit v + U ⊆ V \M . Nach 6.3-3 existiert ein abgeschlossener K-Untervektorraum H von V der Kodimension 1, der H ∩ (v + U ) = ∅ und M ⊆ H erfüllt, insbesondere gehört v nicht zu H. Die umgekehrte Inklusion ist natürlich auch richtig.

Lösungsvorschläge

698 Lösung zu A 5

q Nach (6.1,6) (b)  qund 6.3-3.1 ist L ([a, b], . . .) die einzige nichtleere konvexe offene Teilmenge. Gem. A 2 ist L ([a, b], . . .), τdq nicht lokalkonvex.

Lösung zu A 6 (a)

Für S = ∅ ist nichts zu beweisen. Sei S = ∅ und U ∈ Uτ (x) ∩ τ konvex mit v + U ⊆ τ V \S . Weil 0 ∈ (v + U ) − S ∈ τ konvex ist, gibt es nach 6.3-3 einen abgeschlossenen K-Untervektorraum H von V der Kodimension 1 mit H ∩ ((v + U ) − S) = ∅. Sei τ| | ϕ ∈ V sτ mit Ker ϕ = H. Dann gilt ϕ[v + U ] ∩ ϕ[S] = ∅ und somit ϕ(v) ∈ ϕ[S] , weil ϕ(v) ∈ ϕ[v + U ] ∈ τ| |  (6.2,1) (a)  ist. τ

(b) Für alle v, w ∈ V , v = w, gilt v ∈ {w} = {w} , nach (a) existiert daher ein ϕ ∈ V sτ τ| | mit ϕ(v) ∈ ϕ[{w}] = {ϕ(w)}. Lösung zu A 7 (a)

„⊆“ gilt offensichtlich. Sei also v ∈ V \A. Gem. 6.3-3.3 (a) existiert ein R-lineares stetiges Funktional ϕ auf V und ein r ∈ R mit ϕ(a) < r < ϕ(v) für jedes a ∈ A. − Es gilt somit v ∈ { w ∈ V | ϕ(w) ≤ r } = (Ker ϕ)− r und A ⊆ (Ker ϕ)r .

(b) Aus (i) folgt natürlich (ii). (ii) ⇒ (i) Sei v ∈ S\A und gem. 6.3-3.3 (a) ϕ ein R-lineares stetiges Funktional, r ∈ R mit ϕ(a) < r < ϕ(v) für jedes a ∈ A. Das Funktional −ϕ + r ist stetig und auch affin, denn (−ϕ + r)(av + (1 − a)w) = −aϕ(v) − (1 − a)ϕ(w) + r = a(−ϕ + r)(v) + (1 − a)(−ϕ + r)(w) für alle a ∈ ]0, 1[, v, w ∈ V . Darüber hinaus gilt (−ϕ + r)(v) < 0 und (−ϕ + r)(a) = −ϕ(a) + r > 0 für jedes a ∈ A. Lösung zu A 8 (i) ⇒ (ii) gilt wegen 2.5-9.1 (b).

  (ii) ⇒ (i) Der topologische Quotientenvektorraum V / τ , τ/R τ (s. 2.4, A 18 (b)) ist W W  τ τ lokalkonvex, denn U + {W } U ∈ Uτ (0) ∩ τ konvex ist eine Basis von Uτ/R τ (W ) W

τ

aus konvexen Mengen  U + {W } = πRW τ [U ] ist konvex gem. (2.4,14) (f). . Für jedes   τ v ∈ V \W existiert gem. 6.3-3.4 ein K-lineares stetiges Funktional Φ auf V / τ , τ/R τ W W τ τ τ mit Φ(v + W ) = 1 und Φ(W ) = 0  {W } ∈ ατ/R τ nach 2.5, A 21 (d) . Die Funktion W

τ

ϕ := Φ ◦ πRW τ ist ein K-lineares stetiges Funktional auf (V, τ) mit ϕ(v) = 1 und ϕ
W = 0. Lösung zu A 9 Wegen der Metrisierbarkeit der abgeschlossenen 1-Kugel um 0 in (V sN ,  op ) gibt es eine Folge (Un )n basisoffener Nullumgebungen Un ∈ σ(V sN , V ) mit    d op (0) n ∈ N = {0}. Un ∩ K 1

Lösungen zu 6.3

699

Für jedes n ∈ N sei Un =

$mn j=1

' d| | & (n) a−1 bj ∈ V für alle (n) Kεn (0) , wobei εn > 0, bj

j ∈ {1, . . . , mn } sind und av : V sN −→ K, av (ϕ) := ϕ(v), die Auswertung bei v ∈ V bezeichnet (vgl. 6.2, Seite 493). Der von der Menge B :=



(n)

bj

 n ∈ N, j ∈ {1, . . . , mn }

über Q + iQ (bzw. für K = R über Q) erzeugte Vektorraum WB ist abzählbar, und es τN

lin

τN

lin

gilt WB = B . Gem. A 8 sei ϕ ∈ V sN , ϕ
B = 0. Dann ist ϕ = 0, denn für $ d op 1  ϕ = 0 erhält man den Widerspruch ϕop ϕ ∈ K1 (0) ∩ n∈N Un = {0}. Also gilt WB

τN

=B

lin

τN

= V  A 8 .

Lösung zu A 10 Nach der Anmerkung an 2.4-18 (Seite 135) ist C ◦τ konvex. Wegen C ◦τ ∩D = ∅ existiert nach 6.3-3.2 (a) ein R-lineares stetiges Funktional ϕ auf (V, τ) und ein r ∈ R mit ∀ (c, d) ∈ C ◦τ × D : ϕ(c) < r ≤ ϕ(d), d. h. ϕ[D] ⊆ [r, ∞[ und ϕ[C ◦τ ] ⊆ ]−∞, r[. Es folgt ) τ* ) * τ ϕ[C] ⊆ ϕ C = ϕ C ◦τ  2.4, A 33 (a) Anmerkung  ⊆ ϕ[C ◦τ ]

τ|

|

⊆ ]−∞, r].

Lösung zu A 11 τ

σ(V,V sτ )

τ

C ⊆ C gilt wegen τ ⊇ σ(V, V sτ ). Zum Beweis der Gleichung sei v ∈ V \C τ gewählt. Nach der Anmerkung an 2.4-18 (Seite 135) ist C konvex, es gibt daher nach 6.3-3.3 (a) ein R-lineares stetiges Funktional ϕ auf (V, τ) und ein r ∈ R mit ϕ(v) < r < ϕ(c) τ für jedes c ∈ C  {v} ist kompakt in (V, τ)! . Für jedes Netz (cα )α∈A ∈ C A konvergiert daher (ϕ(cα ))α nicht gegen ϕ(v), das Netz (cα )α∈A somit bzgl. σ(V, V sτ ) nicht gegen v  6.1, A 20 (a)  im Fall K = R. Für K = C ist durch ψ(v) := ϕ(v) − iϕ(iv) ein C-lineares stetiges Funktional auf (V, τ) definiert  6.1-11 (b) , und (ψ(cα ))α∈A konvergiert nicht gegen ψ(v), also (cα )α∈A bzgl. σ(V, V sτ ) nicht gegen v wiederum nach 6.1, A 20 (a). Insgesamt erhält man v ∈ C

σ(V,V sτ )

.


Lösung zu A 12 (a)

Sei x = sv + (1 − s)w mit s ∈ ]0, 1[, r ∈ ]0, s[ und z := rv + (1 − r)w. Dann s−r 1−s s−r 1−s (x − sv), also x = 1−r z + 1−r v mit 1−r ∈ ]0, 1[ und ist x − z = (s − r)v − 1−s 1−s s−r 1−r + 1−r = 1, woraus x ∈ ]v, z[ folgt.

(b) (i) ⇒ (ii) Für n = 1 ist nichts zu beweisen, und für n = 2 ergibt sich die Behauptung aus 6.3-4 (a). Vollständige Induktion über n ≥ 2 beweist dann (ii): n Sei c = j=1 rj vj + rn+1 vn+1 , (v1 , . . . , vn+1 ) ∈ C n+1 , (r1 , . . . , rn+1 ) ∈ (R+ )n+1 ,

Lösungsvorschläge

700 n+1 j=1

rj = 1, o. B. d. A. rj = 0 für alle j ∈ {1, . . . , n + 1}. Es folgt c=

 n j=1

rj

 n  n i=1

−1 rj

ri vi + rn+1 vn+1 ,

j=1

−1 n  n wobei i=1 ri vi ∈ C ist. Nach Induktionsannahme erhält man zunächst j=1 rj  −1  n  n c ∈ vn+1 , i=1 ri vi und dann c ∈ {v1 , . . . , vn+1 }. j=1 rj n konv (ii) ⇒ (iii) Sei c ∈ S , etwa c = j=1 rj vj , wobei n ∈ N\{0}, (v1 , . . . , vn ) ∈ S n , n (r1 , . . . , rn ) ∈ (R+ )n mit j=1 rj = 1 ist  2.4, A 34 (b) . Nach (ii) existiert ein j ∈ {1, . . . , n}, c = vj ∈ S. (iii) ⇒ (i) Seien x, y ∈ C, c ∈ [x, y], etwa c = rx + (1 − r)y, r ∈ [0, 1]. Dann ist konv

c ∈ {x, y}

, nach (iii) somit c ∈ {x, y}. Aus 6.3-4 (a) folgt (i).

Lösung zu A 13 (a)

d  d  (0)\{0} ist v = 0 = 1 w + 1 (−w), Sei v ∈ K1   (0). Für v = 0, w ∈ K 1 2 2  d  (0)  6.3-4 (a) . Für v = 0 ist v nicht in ext K  d  (0), weil also v ∈ ext K 1 1  1  v . v = (1 − v) · 0 + v v d

    (0), r ∈ ]0, 1[ mit v  = 1 und v = ry + (1 − r)z. Dann (b) Es seien v, y, z ∈ K 1 gilt r2 + (1 − r)2 + 2r(1 − r) = (r + (1 − r))2 = 1 = v2  = ry + (1 − r)z2  = r2
y, y + 2r(1 − r)
y, z + (1 − r)2
z, z, also r2 (1 −
y, y) + (1 − r)2 (1 −
z, z) + 2r(1 − r)(1 −
y, z) = 0. Wegen 1 −
y, y, 1 −
z, z, 1 −
y, z ∈ R+ und 0 < r < 1 folgt
y, y =
z, z =
y, z = 1 und hiermit
y − z, y − z =
y, y − 2
y, z +
z, z = 0, d. h. y = z. Nach  d  (0). 6.3-4 (a) ist v ∈ ext K 1 Lösung zu A 14 „⊇“

 d 1 (0) und (δi,j )j ∈ ]x, y[, etwa (δi,j )j = sx + (1 − s)y mit Es seien x, y ∈ K 1 s ∈ ]0, 1[. Dann gilt 1 = δi,i = sxi + (1 − s)yi ≤ s|xi | + (1 − s)|yi | ≤ 1  |xi |, |yi | ≤ 1 , also sxi + (1 − s)yi = s|xi | + (1 − s)|yi | = 1, woraus |xi | = |yi | = 1 und weiter xi = yi = 1 folgt. Wegen x1 , y1 ≤ 1 erhält man noch xj = yj = 0 für  d 1 (0). jedes j ∈ N\{i}. Insgesamt ergibt sich x = y = (δi,j )j , also (δi,j )j ∈ ext K 1  d 1 (0). Entsprechend begründet man −(δi,j )j ∈ ext K 1

„⊆“

 d 1 (0)\{ r(δi,j )j | i ∈ N, |r| = 1 } Es werde die Existenz eines x ∈ ext K 1 angenommen. Gem. A 13 (a) ist x1 = 1, also hat Nx := { j ∈ N | xj = 0 }

Lösungen zu 6.3

701

mindestens zwei Elemente. Es gibt daher N , M ⊆ N mit N = N ∪ M , N ∩ M = ∅, N ∩ Nx 6= ∅ 6= M ∩ Nx . Man definiere xN := kχN xk−1 1 χN x,

xM := kχM xk−1 1 χM x

und erhält kxN k1 = 1 = kxM k1 , xN 6= x 6= xM und x = kχN xk1 xN + kχM xk1 xM , wobei kχM xk1 < 1 und kχN xk1 + kχM xk1 =

X

j∈N

|xj | +

X

j∈M

|xj | =

∞ X j=0

|xj | = 1

d

e k k1 (0). ist J (3.5,4) (a), 3.5-3 K. Nach 6.3-4 gehört x nicht zu ext K 1

Lösung zu A 15 „⊇“

e dk k∞ (0) und 1 = 1 (f + g). Dann ist 1 = f = g, denn andernfalls Es seien f , g ∈ K 1 2 gäbe es ein t ∈ [a, b] mit (o. B. d. A.) 0 < f (t) < 1, also 1 = 12 (f (t) + g(t)) < 1. d

„⊆“

e k k∞ (0). Entsprechendes gilt für −1. Nach 6.3-4 (a) ist 1 ein Extrempunkt von K 1

e dk k∞ (0)\{1, −1}, etwa x, y ∈ [a, b] mit f (x) 6= 1 und f (y) 6= −1. Für Sei f ∈ ext K 1 t0 := x = y ist −1 < f (t0 ) < 1 und für (o. B. d. A.) x < y existiert nach 2.4-4.2 ein t0 ∈ [x, y] mit f (t0 ) = 12 (f (x) + f (y)) ∈ ]−1, 1[. Zu ε := 1 − |f (t0 )| wähle man aufgrund der Stetigkeit von f ein δ > 0 mit ∀ x ∈ [a, b] : |x − t0 | < δ ⇒ |f (x) − f (t0 )|
0 mit |f A| < 1, etwa o. B. d. A. 0 ≤ f (t) < 1 für jedes

Lösungsvorschläge

702 t ∈ A, so wären durch  f (t) f1 (t) := f (t) + 1−f2 (t)

„⊇“

für t ∈ A für t ∈ A

 und f2 (t) :=

f (t) f (t) −

1−f (t) 2

für t ∈ A für t ∈ A

    meßbare Funktionen f1 , f2 mit den Eigenschaften f1 ∞ , f2 ∞ ≤ 1, f1 = f = f2      d ∞  0 .
und f = 12 f1 +f2 erklärt. Nach 6.3-4 (a) wäre f nicht Extrempunkt von K 1   d   ∞ ∞   Es sei f ∈ L (X, A, µ), |f | =µ 1, f1 , f2 ∈ K 0 , r ∈ R, 0 < r < 1 1      mit f = rf1 + (1 − r)f2 und o. B. d. A. f , f1 , f2 ∈ RX . Dann ist f1 ∞ =           f2  = f = 1  1 = f ≤ rf1  + (1 − r)f2  ≤ 1 , und auch ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1 = |f (x)| ≤ r|f1 (x)| + (1 − r)|f2 (x)| ≤ 1, also |f1 (x)| = |f2 (x)| = |f (x)| = 1 und |rf1 (x) + (1 − r)f2 (x)| = r|f1 (x)| + (1 − r)|f2 (x)| für jedes x ∈ X\N für eine µ-Nullmenge N ∈ A0  5.4-1 (a) . Es folgt (f1 (x) − f2 (x))2 = (f1 (x))2 + (f2 (x))2 − 2|f1 (x)| |f2 (x)| = 0 für alle x ∈ X\N  rf1 (x)(1 − r)f2 (x) = r|f1 (x)|(1 − r)|f2 (x)| gem. Hinweis  und    d ∞  0 . somit f1 = f2 = f. Nach 6.3-4 (a) ist f ein Extrempunkt von K 1

Zum Hinweis: |a + b| = |a| + |b|

⇐⇒

|a + b|2 = (|a| + |b|)2

⇐⇒

a2 + b2 + 2ab = a2 + b2 + 2|a| |b|

⇐⇒

ab = |a| |b|

(s. auch 5.4, A 4). Lösung zu A 17 „⊆“ „⊇“

gilt gem. A 13 (a).

     d q  Sei f ∈ Lq (X, A, µ), fq = 1, g1 , g2 ∈ K 0 , r ∈ ]0, 1[. Für die 1  Konvexkombination f = rg1 + (1 − r)g2 gilt   1 = fq = rg1 + (1 − r)g2 q ≤ rg1 q + (1 − r)g2 q ≤ 1, also g1 q = g2 q = 1 und rg1 + (1 − r)g2 q = rg1 q + (1 − r)g2 q . Gem. 5.4, A 4 existiert ein t ∈ R+ mit t(rg1 ) =µ (1 − r)g2 oder rg1 =µ t(1 − r)g2 , also srg1 = (1−r)g2 für ein s > 0  g1 =  0 = g2 , 0 < r < 1 . Aus srg1 q = (1−r)g2 q   1−r 1−r  d q  0 . folgt s = und weiter g1 = g2 = g2 . 6.3-4 (a) ergibt f ∈ ext K r

sr

1

Lösung zu A 18  d ∞ (0) = ∅ in Nach den Anmerkungen im Anschluß an 6.3-5.1 (Seite 510) genügt ext K 1 (c0 ,  ∞ ) zum Beweis:

Lösungen zu 6.3

703

 d ∞ (0), also −1 ≤ xj ≤ 1 für jedes j ∈ N, und (xj )j →τ 0. Man wähle Sei (xj )j ∈ K 1 | | ein j0 ∈ N mit −1 < xj0 < 1 und definiere (yj )j , (zj )j ∈ c0 durch yj := zj := xj für alle j = j0 und   xj0 + 12 (1 − xj0 ) für xj0 ≥ 0 xj0 − 12 (1 − xj0 ) für xj0 ≥ 0 := yj0 := z j 0 xj0 + 12 (1 + xj0 ) für xj0 < 0, xj0 − 12 (1 + xj0 ) für xj0 < 0. Dann ist (yj )j = (xj )j = (zj )j , (xj )j = 12 (yj )j + 12 (zj )j und (yj )j ∞ ≤ 1, (zj )j ∞ ≤ 1.  d ∞ (0)  6.3-4 (a) . Es folgt (xj )j ∈ ext K 1

Lösung zu A 19 (a)

Da ϕ injektiv ist, gilt ϕ[C\{v}] = ϕ[C]\{ϕ(v)} für jedes v ∈ V . Mit 6.3-4 (a) folgt daher für alle v ∈ C: ϕ(v) ∈ ext ϕ[C]

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

ϕ[C]\{ϕ(v)} = ϕ[C\{v}] konvex C\{v} konvex  (2.4,14) (f)  v ∈ ext C ϕ(v) ∈ ϕ[ext C].

(b) Sei w ∈ ext ϕ[C], etwa v ∈ C mit ϕ(v) = w. Die Menge Cϕ,w := { x ∈ C | ϕ(x) = w } ist dann nichtleer, konvex  (2.4,14) (f)  und kompakt in (V, τ)  Cϕ,w ∈ ατ|C , C kompakt . Nach 6.3-5.1 existiert ein x0 ∈ ext Cϕ,w , und gem. 6.3-4 (a) gilt ∀ x, x ∈ Cϕ,w : x0 =

1 (x + x ) ⇒ x = x = x0 . 2

(∗)

Es folgt x0 ∈ ext C, denn für alle y, y  ∈ C mit x0 = 12 (y + y  ) ist w = ϕ(x0 ) = 1    2 (ϕ(y) + ϕ(y )), also ϕ(y) = ϕ(y ) = w  w ∈ ext ϕ[C] , d. h. y, y ∈ Cϕ,w , und  y = y = x0 nach (∗). Man erhält somit w = ϕ(x0 ) ∈ ϕ[ext C]. ext ϕ[C] ⊇ ϕ[ext  C] gilti. a. nicht, wie das Beispiel der durch die Punkte (−1, 0), (1, 0), (0, 1) in R2 , τ 2 bestimmten abgeschlossenen Dreiecksmenge C unter der kanonischen Projektion
2 R −→ R ϕ: (x, y) −→ x zeigt  ϕ((0, 1)) ∈ ext ϕ[C] . Lösung zu A 20 konv

τ

konv

A ist konvex  Anmerkung an 2.4-18, Seite 135  (und kompakt). Sei v ∈ ext A τ Gezeigt wird v ∈ A (= A): konv

τ

τ

.

Da A ⊆ A abgeschlossen, also kompakt in (V, τ) ist, gibt es zu jeder kreisförmigen, konvexen, abgeschlossenen Umgebung U ∈ Uτ (0) Elemente a1 , . . . , an ∈ A mit A⊆

{ aj + U | 1 ≤ j ≤ n },

Uj := A ∩ (aj + U ) für j = 1, . . . , n,

Lösungsvorschläge

704 also A = man

τ # konv { Uj | 1 ≤ j ≤ n }. Für die kompakten konvexen Mengen Wj := Uj erhält

konv

n

Wj

n

=

j=1

Uj

konv

j=1 konv

=A

τ

konv

konv

n

=

Uj

τ

 4.3, A 23 

j=1 τ

.

n Nach 2.4, A 34 (c) existieren r1 , . . . , rn ∈ R+ , wj ∈ Wj für j ∈ {1, . . . , n} mit j=1 rj = 1 τ τ n konv konv und v = j=1 rj wj . Da v Extrempunkt von A , Wj ⊆ A für jedes j ∈ {1, . . . , n} konv

τ

⊆ aj0 + U  konvex ist, muß gemäß A 12 (b) v = wj0 , also v ∈ A ∩ (aj0 + U ) und abgeschlossen!  für ein j0 ∈ {1, . . . , n} gelten. Es folgt aj0 ∈ v − U = v + U , also (v + U ) ∩ A = ∅.

Lösungen zu 6.4 Lösung zu A 1

 σ(V sτ ,V )  ⊥  τ ⊥ τ ⊆ Φ. Umgekehrt sei v ∈ S , ϕ ∈ S ⊥ , ⊆ S ⊥ und ⊥ Φ Offensichtlich gilt S σ(V sτ ,V )

ψ ∈ Φ und w ∈ ⊥ Φ. Man wähle Netze (vi )i ∈ S I , (ψj )j ∈ ΦJ mit (vi )i →τ v und (ψj )j →σ(V sτ ,V ) ψ. Da ϕ(vi ) = 0, ψj (w) = 0 für jedes i ∈ I, j ∈ J ist, folgt  τ ⊥ , und ψ(w) = 0  punktweise Konvergenz , also ϕ(v) = 0  ϕ stetig , also ϕ ∈ S  σ(V sτ ,V )  ⊥ . w∈ Φ Lösung zu A 2 (a)

M
h ist wohldefiniert, denn hf ∈ L0 (X, A, µ)  5.2-2.1 (b)  und     2  2  2 2 2 2   h∞ f2 < ∞. |hf | = |h| |f | ≤ h ∞ |f |2 = 

  2  2  2

h∞ f2 auch M
h ist offensichtlich R-linear und wegen M
h f 2 = |h|2 |f |2 ≤    stetig mit M
h op ≤  h∞ .  

(b) Nach 6.1-6.1 ist Φ : L2 (X, A, µ) −→ L2 (X, A, µ)s 2 , Φ f ( g ) := f g, ein normerhaltender R-linearer Isomorphismus bzgl. ( 2 ,  op ). Sei ϕ ∈ L2 (X, A, µ)s 2 , etwa ϕ = Φ( g ) mit g ∈ L2 (X, A, µ). Für jedes f ∈ L2 (X, A, µ) gilt dann                = f = Φ M
(  g ) M
h f = f hg = Φ hg M
h (ϕ) f = ϕ M
h f = Φ( h g) f , also ist M
h (Φ( g )) = Φ(M
h ( g )) für jedes g ∈ L2 (X, A, µ), d. h. M
h ◦ Φ = Φ ◦ M
h . Identifiziert man L2 (X, A, µ) mit L2 (X, A, µ)s 2 (über Φ), so hat M
h dieselbe Wirkung wie M
h .

Lösungen zu 6.4

705

Lösung zu A 3 (a)

∞ q q q My ist wohldefiniert, denn My (x)qq = j=0 |xj yj | ≤ y∞ xq < ∞. My ist offensichtlich C-linear und stetig mit My op ≤ y∞ .

(b) Für r ∈ ]1, ∞], (1/q) + (1/r) = 1 ist
r + −→ (+q )s q  ∞ Φ: (zj )j −→ (xj )j → j=0 xj zj gem. (6.1,7) (b), (c) ein ( r ,  op )-normerhaltender C-linearer Isomorphismus. Sei ϕ ∈ (+q )s q , etwa Φ((zj )j ) = ϕ mit (zj )j ∈ +r . Für jedes (xj )j ∈ +q gilt dann ∞    My (ϕ)((xj )j ) = ϕ My ((xj )j ) = Φ((zj )j )((xj yj )j ) = xj yj zj j=0

  = Φ((yj zj )j )((xj )j ) = Φ My ((zj )j ) ((xj )j ),     also ist My Φ((zj )j ) = Φ My ((zj )j ) für jedes (zj )j ∈ +r , d. h. My ◦ Φ = Φ ◦ My . Identifiziert man +r mit (+q )s q (über Φ), so wirkt My wie My . Lösung zu A 4 (a)

Für jedes v ∈ V , ψ ∈ W s W gilt:     (T ) ◦ ΓV (v) (ψ) = ΓV (v)(T  (ψ)) = T  (ψ)(v) = ψ(T (v)) = ΓW (T (v))(ψ), also (T  ) ◦ ΓV = ΓW ◦ T .

(b) (i) ⇒ (ii) Aus S = T  folgt S  = (T  ) und ' ' & & S  ΓV [V ] = (T  ) ΓV [V ] = ΓW ◦ T [V ] ⊆ ΓW [W ]

 (a) .

s s    (ii) ⇒ (i) Es ist S  ∈ L V s V  op , W s W  op , also der lineare Operator s W  T := Γ−1 W ◦ S ◦ ΓV ∈ L(V, W )  wohldefiniert gem. (ii) . Für alle v ∈ V , ψ ∈ W erhält man T  = S aus −1   T  (ψ)(v) = ψ(T (v)) = ψ(Γ−1 W ◦ S ◦ ΓV (v)) = ΓW (ΓW ◦ S ◦ ΓV (v))(ψ) = (S  ◦ ΓV (v))(ψ) = ΓV (v)(S(ψ)) = S(ψ)(v),

Lösung zu A 5 (a)

⊥

Ker T  = T [V ] ∈ ασ(W s W ,W ) gem. 6.4-3 (c) (ii), 6.4-1 (a). τ



(b) (i) ⇒ (ii) W = T [V ] W = ⊥ (Ker T  )  6.4-3 (c) (i)  ergibt Ker T  = {0}, weil ΓW [W ] Punkte in W s W trennt. τ

(ii) ⇒ (i) T [V ] (c)

W

= ⊥ (Ker T  ) = ⊥ {0} = W .

Es gilt T injektiv

⇐⇒ ⇐⇒

{0} = Ker T ⇐⇒ (Ker T )⊥ = V s V ' &σ(V s V ,V ) T  W s W = V s V

 6.1-12.1 (d)   6.4-3 (c) (i) .

Lösungsvorschläge

706 Lösung zu A 6

 τ   Zunächst gilt T  (ψ) = T ψ
T [V ] W für jedes ψ ∈ W s W wegen    τ   τ   T  (ψ)(v) = ψ(T (v)) = ψ
T [V ] W T(v) = T ψ
T [V ] W (v)  τ  s für alle v ∈ V . Hiermit folgt direkt „⊆“. Umgekehrt sei ψ ∈ T [V ] W  W
... und gem. 6.1-12.1 (a) Ψ ∈ W s W eine Fortsetzung von ψ. Man erhält  s. o.   ' & τ   T (ψ) = T Ψ
T [V ] W = T  (Ψ) ∈ T  W s W .

Lösung zu A 7 (a)

(i) ⇒ (ii) ist klar.  εdN (0) für ein ε > 0, also (ii) ⇒ (i) Sei B ⊆ V beschränkt in (V, N ), etwa B ⊆ K τ M ' & τ 1  dN (0). Es folgt: T [B] M ⊆ εT K  dN (0) B⊆K ist kompakt in (W, τM ). ε

1

1

(b) Keine der Gleichungen ist richtig:

' dN &τN  (0)  dN (0) nicht kompakt in =K Für dimK V ∈ N ist idV ∈ L(V ), jedoch idV K 1 1 (V, N ), also K(V )  L(V ). Der C-lineare Operator
2 + −→ +2   T : 1 (xj )j −→ j+1 xj j

ist stetig  T ((xj )j )2 = 

 1 2 1/2 j=0 (j+1)2 |xj |

 ∞ 

1 j+1 xj j

=





1 j+1 yj j

≤ (xj )j 2  und injektiv wegen

=⇒

(xj )j = (yj )j ,

also T ∈ E(+2 ). Dagegen ist T kompakt, denn ' d 2 &   (0) ⊆ (xj )j ∈ +2 ∀ j ∈ N : |xj | ≤ T K 1  ∞ und diese Obermenge ist beschränkt  (xj )j 2 ≤ j=0   sen in +2 , τ 2  (1.2,1) (b)  und erfüllt die Forderung ∀ ε > 0 ∃ j0 ∈ N ∀ (xj )j :

∞ 

|xj |2 =

j=j0

 Nach 4.1-8 ist (xj )j ∈ +2 ∀ j ∈ N : |xj | ≤   2 kompakt in + , τ 2 . (c)

∞  j=j0

1 j+1



1 j+1

1/2 1 (j+1)2



,

 und abgeschlos-

1 < ε. (j + 1)2

' d 2 &τ 2  und damit auch T K (0) 1

(T [V ], M
T [V ]) ist ein Banach-Raum, T : V −→ T [V ] daher ein offener Operator τM

 6.2-1 (b)  und (T [V ], M
T [V ]) lokalkompakt  T [KεdN (0)] ein ε > 0 . Nach 4.2-2.1 folgt dimK T [V ] < ∞.

⊆ K1dM (0) ∩ T [V ] für

Lösungen zu 6.4

707

Lösung zu A 8 (a)

K(V, W ) ⊆ L(V, W ) folgt mit 6.1-2 (b) aus der Lokalbeschränktheit von (V, τ) und (W, σ). Es seien a, b ∈ K, S, T ∈ E(V, W ), P , R ∈ K(V, W ) und B ⊆ V beschränkt in (V, τ). Dann gilt: dimK (aS + bT )[V ] ≤ dimK S[V ] + dimK T [V ] < ∞, σ

σ

σ

σσ

σ

(aP + bR)[B] ⊆ aP [B] + bR[B] kompakt, (aP + bR)[B] ⊆ aP [B] + bR[B] also kompakt in (W, σ)  (4.1,2) (c); 2.5, A 21 (c) .

(b) Es sei S ∈ L(V, W ), T ∈ L(W, Z), also T ◦ S ∈ L(V, Z). Für T ∈ E(W, Z) ist dimK (T ◦ S)[V ] ≤ dimK T [W ] < ∞, und für S ∈ E(V, W ), etwa S[V ] = lin

lin

{S(v1 ), . . . , S(vm )} , ist auch T ◦ S[V ] ⊆ {T ◦ S(v1 ), . . . , T ◦ S(vm )} dimensional. (c)

endlich-

σ

Sei B ⊆ V beschränkt in (V, τ). Für S ∈ K(V, W ) ist S[B] kompakt in (W, σ), also ' ' σ& E σ &E T S[B] kompakt in (Z, I). Es folgt: T ◦ S[B] ⊆ T S[B] kompakt in (Z, I) ' &E  (4.1,2) (c); 2.5, A 21 (c) . Für T ∈ K(W, Z) ist T S[B] kompakt in (Z, I), denn S[B] ist beschränkt in (W, σ).

Lösung zu A 9 Für jedes j ∈ N ist der R-lineare Operator Sj : W −→ W , Sj ((xk )k ) :=

j 

xk (δk,i )i ,

k=0

stetig  Sj ((xk )k )W ≤ (xk )k W  und von endlichem Rang  dimR Sj [W ] ≤ j + 1 . Wegen (Sj ((xk )k ))j →τ W (xk )k für jedes (xk )k ∈ W folgt die Behauptung gem. 6.4-7. Lösung zu A 10 Für jedes j ∈ N\{0} sei Sj : CR ([0, 1]) −→ CR ([0, 1]) definiert durch Sj (f ) := Bj,f
[0, 1]. Sj ist R-linear, stetig wegen j    

 j   k j ≤ (j + 1)f ∞ max |Sj (f )(t)| = |Bj,f (t)| ≤ f 0≤k≤j k k j k=0

und somit von endlichem Rang  Sj [CR ([0, 1])] ⊆ { p
[0, 1] | p(x) ∈ R[x], grad p(x) ≤ j }  für jedes j ∈ N\{0}. Mit der Konvergenz (Sj (f ))j≥1 = (Bj,f
[0, 1])j≥1 →τ ∞ f folgt die Dichtigkeit nach 6.4-7. Lösung zu A 11 (a)

T ✷ (x) = y

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

RV−1 ◦ T  ◦ RW (x) = y ⇐⇒ T  ◦ RW (x) = RV (y) ∀ z ∈ V : (T  ◦ RW (x))(z) = (RV (y))(z) ∀ z ∈ V : RW (x)(T (z)) =
z, yV ∀ z ∈ V :
T (z), xW =
z, yV .

Lösungsvorschläge

708

(b) Für alle x ∈ W , y ∈ V gilt:  ✷   (T ) ◦ RV (y) (x) = RV (y)(T ✷ (x)) = RV (y)(RV−1 ◦ T  ◦ RW (x)) = RV (y)(RV−1 (RW (x) ◦ T ))  T  ◦ RW (x) = T  (RW (x)) = RW (x) ◦ T  =
RV−1 (RW (x) ◦ T ), yV =
y, RV−1 (RW (x) ◦ T )V   = RV RV−1 (RW (x) ◦ T ) (y) = RW (x) ◦ T (y) =
T (y), xW =
x, T (y)W = RW (T (y))(x). Es folgt (T ✷ ) ◦ RV (y) = RW (T (y)), also (T ✷ ) ◦ RV = RW ◦ T . Lösung zu A 12 Für alle a, b ∈ +2 gilt gem. A 11 (a):
a, I✷ (b)2 =
I(a), b2 =

∞ 

aj−1 bj =

j=1

∞ 

aj bj+1 =
a, b2 ,

j=0

wobei bj := bj+1 für jedes j ∈ N gesetzt wurde. Es folgt I✷ (b) = b = λ(b) für jedes b ∈ +2 und somit I✷ = λ (Linksshift). Die I darstellende Matrix ME errechnet sich aus   ME (δk,j )j , (δl,j )j =
I((δk,j )j ), (δl,j )j 2 = δk+1,l für alle k, l ∈ N zu ME = (δk+1,l )k,l∈N , also ist ME✷ = (δl+1,k )k,l  (6.4,5) . Lösung zu A 13 (a)

Die Summierbarkeit von (kb
v, bb)b∈B folgt mit (kb
v, b)b∈B ∈ L2 (B)  3.6-2.1 (a)  aus 3.6-5, T ist also wohldefiniert. Die K-Linearität von T ergibt sich gem.   kb
αv + βw, bb = (αkb
v, bb + βkb
w, bb) T (αv + βw) = b∈B

=α



kb
v, bb + β

b∈B



b∈B

kb
w, bb

b∈B

= αT (v) + βT (w) für alle α, β ∈ K, v, w ∈ V . (b) Für jedes E ∈ Pe B sei TE : V −→ V definiert durch  kb
v, bb. TE (v) := b∈E

Dann ist TE ∈ E(V ), und für jedes v ∈ V gilt   2    k
v, bb (T − TE )(v)2  =  b   b∈BV \E

 

 3.5-2 

Lösungen zu 6.4

709 

=

|kb |2 |
v, b|2

b∈BV \E

≤ ≤

 

sup |kb |2

b∈BV \E





|
v, b|2

 3.5-5 (a) 

b∈BV \E

 sup |kb |2 v2 

b∈BV \E

 3.6-2 (a) 

 3.6-2.1 (a) ,

also T − TE ∈ L(V ) mit T − TE op ≤ supb∈BV \E |kb |. Es folgt (nach Voraussetzung) (TE )E∈Pe B →τ op T , und nach 6.4-6 gehört T zu K(V ). Lösung zu A 14 Für alle T , S ∈ L(V, W ), T = S, existiert ein b ∈ BV mit T (b) = S(b)  sonst wäre T (x) = b∈BV
x, bV T (b) = b∈BV
x, bV S(b) = S(x) für jedes x ∈ V  und nach 1.1-7 (b) ein e ∈ BW mit
T (b), eW =
S(b), eW . Es gilt daher MT ((b, e)) = MS ((b, e)).

Anhang 1

Einige Bezeichnungen und Rechenregeln der Naiven Mengenlehre

1-1 Zahlbereiche N sei die Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich 0), Z, Q, R, C die der ganzen, rationalen, reellen bzw. komplexen Zahlen, (N, +), (N, ·) sind Halbgruppen mit neutralem Element 0 bzw. 1, (Z, +) ist eine Gruppe, (Q, +, ·), (R, +, ·) und (C, +, ·) sind Körper.

Mengen 1-2 A, B seien Mengen. A ⊆ B (bzw. B ⊇ A) :gdw

∀ a ∈ A: a ∈ B

(Teilmenge)

(sonst A B bzw. B  A) A=B

:gdw

A ⊆ B und B ⊆ A

(sonst A = B) A  B (bzw. B  A) :gdw

A ⊆ B und A = B

(echte Teilmenge)

Schreibweisen für Mengen: { x ∈ A | E(x) } ist die Menge aller x ∈ A mit der Eigenschaft E, { x | E(x) } die Menge aller x mit der Eigenschaft E, speziell: {a} := { x | x = a }

(Singleton),

{a, b} := { x | x = a oder x = b }

(ungeordnetes Paar),

{a1 , . . . , an } := { x | x = a1 oder . . . oder x = an } ∅ := { x | 1 = 1 } PA := { B | B ⊆ A }

(ungeordnetes n-Tupel), (leere Menge), (Potenzmenge von A)

Mengenoperationen 1-3 A sei eine Menge, deren Elemente Mengen sind.  A := { x | ∀ A ∈ A : x ∈ A }

Durchschnitt für A = ∅,

1 Einige Bezeichnungen und Rechenregeln der Naiven Mengenlehre 

A := X

für ∅ = A ⊆ PX,

A := { x | ∃ A ∈ A : x ∈ A }

Vereinigung von A

Speziell für A = {A, B}: A ∩ B :=



A,

A ∪ B :=

711

A,

für A = {A1 , . . . , An }: n 

Aj :=



n

A,

j=1

Aj :=

A.

j=1

A\B := { x ∈ A | x ∈ B }

Differenzmenge (Komplement) von B zu A,

A ; B := (A\B) ∪ (B\A)

symmetrische Differenz von A und B

A disjunkt zu B

:gdw

A∩B =∅

A paarweise disjunkt

:gdw

A ⊆ PA Überdeckung von A

:gdw

∀ A, B ∈ A : A = B ⇒ A ∩ B = ∅ # A= A

∅ = A ⊆ PA Partition von A :gdw

∅ ∈ A, A paarweise disjunkt und A =

#

A

1-4 Es gilt: A∪B =B∪A

(Kommutativität)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(Assoziativität)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(Distributivität)

A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C)

(de Morgansche Regel)

Entsprechende Aussagen gelten bei Vertauschung von ∩ mit ∪.

✷

Relationen

  1-5 (a, b) := {a}, {a, b} geordnetes Paar 1-6 (a, b) = (c, d)

⇐⇒

✷

a = c, b = d

1-7 Für Mengen A, B, R bezeichnet A × B := { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B } das direkte Produkt von A mit B, R Relation von A nach B

:gdw

R ⊆A×B

Schreibweise hierfür: xRy

:gdw

(x, y) ∈ R

Anhang

712 R[A] := { y ∈ B | ∃ x ∈ A : xRy }

Bild von A bzgl. R,

Vb(R) := { x | ∃ y : xRy }

Definitionsbereich (Vorbereich) von R,

Nb(R) := { y | ∃ x : xRy }

Bildbereich (Nachbereich) von R,

R[[A]] := { R[B] | B ∈ A }

für A ⊆ PA

∆A := { (a, a) | a ∈ A }

Diagonale in A

Relationenoperationen 1-8 R, S seien Relationen, A eine Menge. R ◦ S := { (x, z) | ∃ y : (x, y) ∈ S und (y, z) ∈ R }

Verkettung von R mit S,

R−1 := { (y, x) | (x, y) ∈ R }

Inverse zu R,

R
A := R ∩ (A × Nb(R))

Einschränkung von R auf A

1-9 Für Relationen R, S, T und Mengen A, B gilt: Vb(S ◦ R) ⊆ Vb(R), (T ◦ S) ◦ R = T ◦ (S ◦ R),

Nb(S ◦ R) ⊆ Nb(S), ' & S ◦ R[A] = S R[A] ,

(R−1 )−1 = R,

(S ◦ R)−1 = R−1 ◦ S −1 ,

R[A ∪ B] = R[A] ∪ R[B],

R[A ∩ B] ⊆ R[A] ∩ R[B] und

R ◦ ∆Vb(R)∪Nb(R) = R = ∆Vb(R)∪Nb(R) ◦ R.

Äquivalenzrelationen 1-10 Spezielle Relationen R ⊆ A × A: R reflexiv über A

:gdw

∆A ⊆ R

R total über A

:gdw

∀ x, y ∈ A : (x, y) ∈ R oder (y, x) ∈ R

R symmetrisch

:gdw

∀ x, y : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R (gdwR−1 ⊆ R)

R antisymmetrisch

:gdw

∀ x, y : (x, y) ∈ R und (y, x) ∈ R ⇒ x = y

R transitiv

:gdw

∀ x, y, z : (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R

R Äquivalenzrelation auf A

:gdw

R reflexiv über A, symmetrisch und transitiv

✷

1 Einige Bezeichnungen und Rechenregeln der Naiven Mengenlehre

713

1-11 (a)

R sei Äquivalenzrelation auf A, xR := { y ∈ A | (x, y) ∈ R } = R[{x}] für jedes x ∈ A.

A/R := { xR | x ∈ A } ist eine Partition von A. (b) P sei eine Partition von A. RP := { (x, y) ∈ A × A | ∃ P ∈ P : x ∈ P und y ∈ P } ist eine Äquivalenzrelation auf A. (c)

S sei eine Äquivalenzrelation auf A, P eine Partition von A. RA/S = S und A/RP = P.

✷

Ordnungsrelationen 1-12 Transitive Relationen nennt man auch Halbordnung. Sei A = ∅. R Ordnung in A

:gdw

R reflexiv über A, R transitiv und antisymmetrisch

R lineare (totale) Ordnung in A :gdw R Richtung in A

:gdw

R Ordnung in A und R total über A

R reflexiv über A, R transitiv und ∀ x, y ∈ A ∃ z ∈ A : (z, x) ∈ R und (z, y) ∈ R

(A, R) heißt dann halbgeordnete, geordnete, linear geordnete bzw. gerichtete Menge, linear geordnete Mengen nennt man auch Ketten. 1-13 (A, R) sei eine halbgeordnete Menge, x ∈ A und B ⊆ A. x obere Schranke von B

:gdw

∀ y ∈ B : y = x oder (y, x) ∈ R

x untere Schranke von B

:gdw

∀ y ∈ B : y = x oder (x, y) ∈ R

x Supremum von B

:gdw

x obere Schranke von B und

∀ y ∈ A : y obere Schranke von B ⇒ y = x oder (x, y) ∈ R x Infimum von B

:gdw

x untere Schranke von B und

∀ y ∈ A : y untere Schranke von B ⇒ y = x oder (y, x) ∈ R Schreibweisen: sup B bzw. inf B. 1-14 (A, R) sei eine geordnete Menge. Jede Teilmenge B von A besitzt höchstens ein Supremum (bzw. Infimum) in A. 1-15 In halbgeordneten Mengen (A, R) schreibt man für alle x, y ∈ A x ≤ y (bzw. y ≥ x)

:gdw

(x, y) ∈ R,

x < y (bzw. y > x)

:gdw

x = y, (x, y) ∈ R.

✷

Anhang

714 x maximales Element von (A, ≤)

:gdw

∀ y ∈ A: x ≤ y ⇒ x = y

x minimales Element von (A, ≤)

:gdw

∀ y ∈ A: y ≤ x ⇒ x = y

x größtes Element von (A, ≤)

:gdw

∀ y ∈ A: y ≤ x

x kleinstes Element von (A, ≤)

:gdw

∀ y ∈ A: x ≤ y

1-16 Zornsches Lemma (A, R) sei eine geordnete Menge, A = ∅. Besitzt jede nichtleere Teilmenge B von A, für die (B, R
B) eine Kette ist, eine obere Schranke (in A), so hat (A, R) ein maximales Element. ✷ 1-17 Intervalle I ⊆ A Intervall in (A, ≤)

:gdw

∀ a, b ∈ I ∀ x ∈ A : a ≤ x, x ≤ b ⇒ x ∈ I

Für alle a, b ∈ A erhält man in ]a, b[ := { x ∈ A | a < x, x < b }

das offene,

]a, b] := { x ∈ A | a < x, x ≤ b }

bzw.

[a, b[ := { x ∈ A | a ≤ x, x < b }

halboffene bzw.

[a, b] := { x ∈ A | a ≤ x, x ≤ b }

abgeschlossene Intervall

mit den Endpunkten a, b. Die gewöhnliche lineare Ordnung ≤ auf R wird kanonisch auf R∗∗ := R∪{−∞, ∞} erweitert durch die Festsetzung −∞ < r

und r < ∞ für jedes r ∈ R.

R+ := [0, ∞[ und R> := ]0, ∞[ in (R, ≤), Q> := Q ∩ R> .

Funktionen 1-18 f ⊆ A × B Funktion

:gdw

∀ x ∈ A ∀ y, z ∈ B : (x, y), (x, z) ∈ f ⇒ y = z

Schreibweisen (für Vb(f ) = A): f : A −→ B


bzw. f :

A −→ B x −→ f (x).

Für jedes x ∈ A ist dabei f (x) dasjenige Element aus B mit der Eigenschaft (x, f (x)) ∈ f . Die Funktion f : A −→ B heißt konstant auf A, sofern f [A] = {b} für ein b ∈ B ist; Schreibweise: f = cb oder auch f = b. Für jede Teilmenge B von A, jede Funktion f : B −→ A heißt Fix f := { b ∈ B | f (b) = b } Fixpunktmenge von f .

1 Einige Bezeichnungen und Rechenregeln der Naiven Mengenlehre χB : A −→ {0, 1},

 χB (x) :=

715

1 für x ∈ B 0 für x ∈ A\B,

ist die charakteristische Funktion (auf A) zu B. δ : A × A −→ {0, 1},

 δ((x, y)) :=

1 für x = y 0 für x = y,

ist die Kronecker-Funktion auf A (δ = χ∆A ), man schreibt δx,y := δ((x, y)). Für jede Äquivalenzrelation R auf A ist πR :




A −→ A/R x −→ xR

die kanonische Projektion zu R. Für Mengen A, B sei B A := { f | f : A −→ B }, B n := B {1,...,n} für jedes n ∈ N\{0}. Die Funktion f ∈ B A heißt surjektiv

:gdw

Nb(f ) = B

injektiv

:gdw

∀ x, y ∈ A : f (x) = f (y) ⇒ x = y

bijektiv

:gdw

f injektiv und surjektiv

1-19 A, B, C seien Mengen, f : A −→ B, g : B −→ C. Es gilt (a)

g ◦ f surjektiv

(b) g ◦ f injektiv

=⇒

g surjektiv

=⇒

f injektiv

✷

Für B ⊆ A ist die Identität idB := ∆B auf B injektiv. 1-20 Sind A, B, C Mengen, B ⊆ A, f ∈ C B , g ∈ C A , so heißt g Fortsetzung von f auf A, f Einschränkung von g auf B

:gdw

f ⊆g

Schreibweisen: g
B = f , B

idB

A g

f C

1-21 K sei eine Menge von Mengen, (K, ⊆) eine Kette, M eine Menge, fA : A −→ M für jedes A ∈ K, für alle#A, B ∈ K mit B ⊆ # A gelte fA
B = fB (d. h. ({ fA | A ∈ K }, ⊆) ist ✷ eine Kette). Dann ist { fA | A ∈ K } : K −→ M .

Anhang

716

1-22 Mengenfamilien Für Mengen A, B nennt man f ∈ B A auch Familie von Elementen aus B mit der Indexmenge A und schreibt f = (fa )a∈A oder f = ( fa | a ∈ A ). Ist B ⊆ PM für eine Menge M , so heißt f auch Mengenfamilie oder (durch A) indiziertes Mengensystem. Funktionen f mit Vb(f ) = N heißen Folgen (in Nb(f )). 1-23 Für Mengenfamilien (fa )a∈A schreibt man { f (a) | a ∈ A } =

fa :=

Nb(f )

a∈A

und für A = ∅ auch 

fa :=



{ f (a) | a ∈ A } =



Nb(f ).

a∈A

(Für A = ∅ setzt man gewöhnlich Verwechslungsmöglichkeit besteht!)

$ a∈∅

fa :=

#

B, wenn f ∈ B A ist und keine

1-24 Assoziativität # (ij )j∈J sei eine Mengenfamilie, K := j∈J ij , (fk )k∈K eine Mengenfamilie. Es gilt    fk = fk und fk = fk , k∈K

j∈J k∈ij

k∈K

j∈J k∈ij

falls K = ∅ und ij = ∅ für jedes j ∈ J ist.

✷

1-25 de Morgansche Regeln A, B, M seien Mengen, A = ∅, B ⊆ PM und f : A −→ B.   X\ fa = (X\fa ) und X\ fa = a∈A

a∈A

a∈A

(X\fa ). a∈A

✷

1-26 A, B, I, J seien Mengen, I = ∅, J = ∅, f : A −→ B, X : I −→ PA, Y : J −→ PB, A ⊆ A und B  ⊆ B. & # & $ '$ '# (a) f i∈I Xi = i∈I f [Xi ] und f i∈I Xi ⊆ i∈I f [Xi ] '# & # '$ & $ (b) f −1 i∈I Xi = i∈I f −1 [Xi ] und f −1 i∈I Xi = i∈I f −1 [Xi ] (c)

f [A\A ] ⊆ f [A]\f [A ] für injektives f , B\f [A ] ⊆ f [A\A ] für surjektives f , f −1 [B\B  ] = A\f −1 [B  ]

✷

1-27 Ordnung von Funktionen A sei eine Menge, (B, ≤) und (C, @) halbgeordnete Mengen, f, g : A −→ B, h : B −→ C. f ≤g

:gdw

∀ x ∈ A : f (x) ≤ g(x)

1 Einige Bezeichnungen und Rechenregeln der Naiven Mengenlehre f 0 s · ∞ := ∞ · s := , −∞ für s < 0,

1 1 := := 0, −∞ ∞

1 = ∞, 0

∞r := ∞ für r > 0.

1-38 Signum sgn : R ∪ {−∞, ∞} −→ {−1, 0, 1},

  1 sgn(s) := 0   −1

für s > 0 für s = 0 für s < 0,

heißt Signumfunktion.

2

Einige Bezeichnungen und Rechenregeln für Vektorräume, lineare Funktionale

Vektorräume 2-1 Morphismen K sei ein (kommutativer) Körper, V und W K-Vektorräume, f : V −→ W K-linear, S ⊆ V . f Monomorphismus :gdw

f injektiv

f Epimorphismus

:gdw

f surjektiv

f Isomorphismus

:gdw

f bijektiv

2-2 Lineare Hülle S

lin

:=



{ Z | Z K-Untervektorraum von V , S ⊆ Z }

heißt K-lineare Hülle von S in V .

Anhang

720

2-3 Sind W , Z K-Untervektorräume von V , so heißt W + Z := { w + z | w ∈ W, z ∈ Z } Summe und W ⊕ Z := W + Z für W ∩ Z = {0} direkte Summe von W mit Z. Für W = {w} schreibt man w + Z anstelle von {w} + Z. % 2-4 Für jede Familie (Vi )i∈I , I = ∅, von K-Vektorräumen ist i∈I Vi mit den koordinatenweisen algebraischen Operationen ((k · v)(i) := kv(i), (v + w)(i) := v(i) + w(i) für alle % k ∈ K, v, w ∈ i∈I Vi ) ein K-Vektorraum, das direkte Produkt der Familie (Vi )i∈I . Speziell ist K I (mit den punktweisen algebraischen Operationen) ein K-Vektorraum. 2-5 W , Z seien K-Untervektorräume von V , W ∩ Z = {0}.
W × Z −→ W ⊕ Z f: (w, z) −→ w + z ✷

ist ein K-linearer Isomorphismus. 2-6 Kongruenzrelationen R sei eine Äquivalenzrelation auf V . R Kongruenzrelation

:gdw

∀ x, x , y, y  ∈ V ∀ k ∈ K :

(x, x ), (y, y  ) ∈ R ⇒ (kx, kx ) ∈ R, (x + y, x + y  ) ∈ R Ist V sogar eine K-Algebra mit der Multiplikation ◦, so fordert man zusätzlich ∀ x, x , y, y  : (x, x ), (y, y  ) ∈ R ⇒ (x ◦ y, x ◦ y  ) ∈ R. 2-7 Quotientenvektorraum W sei ein K-Untervektorraum von V , RW ⊆ V × V definiert durch (v, v  ) ∈ RW (a)

:gdw

v − v  ∈ W.

RW ist eine Kongruenzrelation auf V , RW [{v}] = v + W für jedes v ∈ V , insbesondere RW [{0}] = W .

(b) S sei eine Kongruenzrelation auf V . S[{0}] ist ein K-Untervektorraum von V , RS[{0}] = S. (c)

V /W := V /RW = { v + W | v ∈ V } ist mit den durch k(v + W ) := kv + W und (v + W ) + (v  + W ) := v + v  + W definierten algebraischen Operationen ein K-Vektorraum, der sog. K-Quotientenvektorraum von V nach W , die kanonische ✷ Projektion πW : V −→ V /W , πW (v) := v + W ist K-linearer Epimorphismus.

2-8 Homomorphiesatz (für K-Vektorräume) V , W seien K-Vektorräume, f : V −→ W K-linearer Epimorphismus mit dem Kern Ker f := f −1 [{0}].
V /Ker f −→ W F : v + Ker f −→ f (v) ist ein K-linearer Isomorphismus.

✷

Einige Bezeichnungen u. Rechenregeln für Vektorräume, lineare Funktionale

721

Lineare Funktionale, Kerne, Hyperebenen 2-9 Jede K-lineare Funktion ϕ : V −→ K heißt K-lineares Funktional auf V , V a := { ϕ | ϕ K-lineares Funktional auf V } ist der algebraische Dualraum zu V , V a ist ein K-Untervektorraum von K V . 2-10 V sei ein K-Vektorraum, UV := { W | W K-Untervektorraum von V } und W ∈ UV . Äq (i)

W ist maximales Element in (UV , ⊆)

(ii) ∃ ϕ ∈ V a \{0} : W = Ker ϕ

Beweis lin

lin

(i) ⇒ (ii) Sei v ∈ V \W , also W ∪ {v} = W ⊕ {v} = V , ϕ : V −→ K definiert durch ϕ(w + kv) := k für alle w ∈ W , k ∈ K. Dann ist ϕ ∈ V a \{0} mit Ker ϕ = W . (ii) ⇒ (i) Wegen ϕ = 0 existiert ein v0 ∈ V \ Ker ϕ. Für jedes v ∈ V ist dann v −

ϕ(v) ϕ(v0 ) v0

lin

ein Element von Ker ϕ, also V = Ker ϕ ⊕ {v0 } . Es ist daher W = Ker ϕ ein maximales ✷ Element in (UV , ⊆). Die maximalen Elemente in (UV , ⊆) sind gerade die K-Untervektorräume W von V mit der Kodimension codimK,V W = 1, d. h. für jedes v0 ∈ V \W gilt lin

V = W ⊕ {v0 } , was wiederum äquivalent zu dimK V /W = 1 ist. Die Kongruenzklassen v + W , v ∈ V , heißen dann K-Hyperebenen in V . 2-11 V$ sei ein K-Vektorraum, n ∈ N\{0}, ϕ, ϕj ∈ V a für jedes j ∈ {1, . . . , n} und n D := j=1 Ker ϕj . n Äq (i) ∃ (k1 , . . . , kn ) ∈ K n : ϕ = j=1 kj ϕj (ii) ∃ S ∈ R : S > 0, ∀ v ∈ V : |ϕ(v)| ≤ S sup1≤j≤n |ϕj (v)| (iii) D ⊆ Ker ϕ

Beweis

n n  n  (i) ⇒ (ii) |ϕ(v)| = j=1 kj ϕj (v) ≤ j=1 |kj | |ϕj (v)| ≤ j=1 |kj | sup1≤j≤n |ϕj (v)|. (ii) ⇒ (iii) ist klar. (iii) ⇒ (i) (Vollständige Induktion über n) Es seien o. B. d. A. ϕ, ϕ1 , . . . , ϕn ∈ V a \{0}. lin

n = 1: Für Ker ϕ1  Ker ϕ, etwa v ∈ Ker ϕ\ Ker ϕ1 , ist V = Ker ϕ1 ⊕ {v} ϕ = 0.
ϕ1 : Somit gilt Ker ϕ1 = Ker ϕ, und für v ∈ V \ Ker ϕ erhält man ϕ = ϕϕ(v) 1 (v)

⊆ Ker ϕ, also

Anhang

722 lin

Sei w ∈ Ker ϕ ⊕ {v} , etwa w = ν + kv mit ν ∈ Ker ϕ, k ∈ K. Dann ist ϕ(w) = kϕ(v), ϕ1 (w). ϕ1 (w) = kϕ1 (v), also ϕ(w) = ϕϕ(v) 1 (v) n → n + 1: Wenn es ein j0 ∈ {1, . . . , n + 1} gibt mit n+1 

Ker ϕj ⊆ Ker ϕ,

so erhält man

ϕ=

j=1 j=j0

n+1 

kj ϕj

j=1 j=j0

n+1 nach Induktionsvoraussetzung und für kj0 := 0 somit ϕ = j=1 kj ϕj . $n+1 $n+1 Sei also j=1 Ker ϕj Ker ϕ für jedes i ∈ {1, . . . , n + 1}. Dann ist j=1 Ker ϕj Ker ϕi j=i

j=i

für jedes i ∈ {1, . . . , n + 1} gem. (iii), etwa vi ∈

n+1 

 Ker ϕj \ Ker ϕi ,

j=1 j=i

o. B. d. A. ϕj (vi ) = δi,j für alle j ∈ {1, . . . , n + 1}. Es folgt   n+1 n+1   ϕj (v)vj = ϕi (v) − ϕj (v)ϕi (vj ) = 0 ϕi v − j=1

j=1

  n+1 für alle v ∈ V , i ∈ {1, . . . , n + 1} und somit gem. (iii) ϕ v − j=1 ϕj (v)vj = 0, d. h. n+1 ϕ = j=1 ϕ(vj )ϕj . ✷

Polynome 2-12 K[x] bezeichne die K-Algebra aller Polynome p(x) in x über dem Körper K. Für m p(x) ∈ K[x], p(x) = j=0 pj xj mit p0 , . . . , pm ∈ K, pm = 0, heißt m Grad von p(x) über K. Schreibweise: np := grad p(x) := m. np j p : K I −→ K I durch Jedes Polynom p(x) = j=0 pj x ∈ K[x] induziert eine Funktion np np j p(f )(i) := j=0 pj f (i) und ebenso p : K −→ K, p(k) := j=0 pj k j (Substitution). 2-13 Für die Nullstellenmenge p−1 [{0}] des Polynoms p(x) ∈ K[x]\{0} gilt |p−1 [{0}]| ≤ grad p(x).

✷

Literaturverzeichnis Auswahl von Lehrbüchern vornehmlich über Reelle Analysis, Allgemeine Topologie, Maß- und Integrationstheorie bzw. Funktionalanalysis [1] P. S. Alexandroff. Einführung in die Mengenlehre und die Theorie der reellen Funktionen. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1964. [2] J.-P. Aubin. Applied Abstract Analysis. Wiley & Sons, New York – London – Sydney – Toronto, 1977. [3] J.-P. Aubin und H. Frankowska. Set-Valued Analysis. Birkhäuser, Boston – Basel – Berlin, 1990. [4] St. Banach. Théorie des opérations linéaires (Warschau 1932). Chelsea, New York, 1955. [5] C. Blatter. Analysis I, II, III. Springer, Berlin – Heidelberg – New York, 1974. [6] N. Bourbaki. General Topology Part 1, Part 2. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts – Palo Alto – London – Don Mills, Ontario, 1966. [7] N. Bourbaki. Topological Vector Spaces. Springer, Berlin – Heidelberg – New York, 1987. [8] D. S. Bridges. Foundations of Real and Abstract Analysis. Springer, Berlin – Heidelberg – New York, 1998. [9] S. B. Chae. Lebesgue Integration. Marcel Dekker, New York – Basel, 1980. [10] D. L. Cohn. Measure Theory. Birkhäuser, Boston – Basel – Berlin, 1997. [11] J. Dieudonné. Grundzüge der modernen Analysis, Bd. 1, 2. Vieweg + Sohn, Braunschweig, 1975. [12] J. Dixmier. General Topology. Springer, Berlin – Heidelberg – New York, 1984. [13] R. Engelking. General Topology. Heldermann, Berlin, 1989. [14] C. W. Groetsch. Elements of Applicable Functional Analysis. Marcel Dekker, New York – Basel, 1980. [15] F. Hausdorff. Grundzüge der Mengenlehre (Berlin 1914). Chelsea, New York, 1965.

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Auswahl von Zeitschriftenartikeln zu Ergebnissen, die nur zitiert wurden bzw. in den Lehrbüchern zur Topologie noch nicht unbedingt zu finden sind [42] J. W. Alexander. Ordered sets, complexes and the problem of compactifications. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 25:296–298, 1939. [43] W. W. Comfort. A short proof of Marczewski’s separability theorem. Amer. Math. Monthly, 76:1041–1042, 1969. [44] P. Enflo. A counterexample to the approximation property in Banach spaces. Acta Math., 130:309–317, 1973. [45] I. Gelfand. Abstrakte Funktionen und lineare Operatoren. Mat. Sb., 4(46):235– 286, 1938. [46] H. Herrlich. Wann sind alle stetigen Abbildungen in Y konstant? Math. Zeitschr., 90:152–154, 1965. [47] E. Hewitt. On two problems of Urysohn. Ann. Math, 47:503–509, 1946. [48] E. Hewitt. Certain generalisations of the Weierstraß approximation theorem. Duke Math. J., 14:419–427, 1947. [49] M. Lavrentieff. Contribution à la théorie des ensembles homéomorphes. Fund. Math., 6:149–160, 1924. [50] P. Lax und A. N. Milgram. Parabolic equations, contribution to the theory of partial differential equations. Ann. Math. Studies, 33:167–190, 1954. [51] J. Lindenstrauss und L. Tzafriri. On the complemented subspace problem. Israel J. Math., 9:263–269, 1971.

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Stichwortverzeichnis a posteriori-Abschätzung, 222 a priori-Abschätzung, 222 A-einfach, 378 A1 -Raum, 40 A2 -Raum, 80 abgeschlossene Funktion, 103 abgeschlossene konvexe Hülle, 309 abgeschlossene Menge, 33 abgeschlossener Operator, 479 Ableitung, 49 Ableitungsoperator, 449, 480 absolut stetig, 430 absolut summierbar, 230 Absolutbetrag, 6 Abstand, 47 auf B(X) Supremum-, 3 auf C([a, b]) q-, 3, 7 auf K n Maximum-, 2 auf K n q-, 2, 7 Betrags-, 2 diskret, 2 euklidisch auf K n , 2 Hamming, 22 Minimal-, 246 p-adisch, 2 Abstandsfunktion, 94, 107 Abstandsproblem, 516 abzählbar, 718 Abzählbarkeitsaxiom erstes, 40 zweites, 80 Adhärenzmenge, 315 adjungiert, 520 Adjungierte, 520 adjungierter Operator algebraisch, 520 Hilbert-, 530 topologisch, 520 Adjunktion, 530

Äquivalenzrelation, 712 Partition, 713 äußeres Lebesgue-Maß, 361 auf R, 359 auf Rn , 360 äußeres Maß, 359 affin, 132, 310 Alexanders Subbasissatz, 318 Alexandroff, 341 Alexandroff-Urysohnscher Metrisationssatz, 168 Algebra (halb)normierte, 323 Banach-, 323 Borel-σ-, 357 erzeugte (σ-), 356 K-, 323 kommutativ, 323 Mengen-, 356 Polynom-, 722 σ-, 356 Spur-σ-, 371 Algebra-Ideal, 527 algebraische Kurve, 65–67 algebraischer Dualraum, 444, 721 allgemeine Bessel-Ungleichung, 249, 250 allgemeine Parsevalsche Gleichung, 258 Annullator, 515 antiton, 717 Apollonios-Gleichung, 25 Approximation bestmöglich, 246 glm. durch lineare Splines, 70 glm. durch Polynome, 72–76 glm. durch Treppenfunktionen, 70 Hewitt, 326 Stone-Weierstraß kompakt, komplex, 325, 328 kompakt, reell, 324, 327

728 lokalkompakt, komplex, 351 lokalkompakt, reell, 351 Weierstraß, 74, 76 Arens-Topologie, 47, 57 Arzelà, 288 Arzelà-Ascoli, 287 Assoziativität, 116, 231 assoziierter metrischer Raum, 146 assoziierter normierter Raum, 13 assoziierter pseudonormierter Raum, 175 atomlos, 508 Außenregularität, 364 Aufzählung, 718 Auswahlaxiom, 718 Auswahlfunktion, 718 Auswahlmenge, 718 Auswertung, 167 Auswertungsfunktional, 472 Baire-Raum, 182, 216 Bairescher Kategoriesatz, 183 Banach-Alaoglu-Bourbaki, 494 Banach-Algebra, 323 Banach-Hahn-Mazur, 500 Banach-Hahnscher Fortsetzungssatz, 462 Banach-Raum, 186 Dimension, 199 selbstdual, 529 Banach-Steinhaus, 486 Banachscher Fixpunktsatz, 220–228 Bang-Bang-Kraft, 520 Basis, 77 basisoffen, 113 Bedingung glm. Lipschitz-, 225 lokale Lipschitz-, 281 Belegung, 303 Berührpunkt, 48 Bernstein-Polynom, 540 beschränkt, 312, 441, 447, 458 Bessel-Ungleichung, 249, 250 Betragsabstand, 2 Bilinearform, 458 beschränkt, 458 Darstellung durch linearen Operator, 459

Stichwortverzeichnis hermitesch, 458 koerzitiv (s. V -elliptisch), 460 Koerzitivitätskonstante, 460 Operatornorm, 458 V -elliptisch (s. koerzitiv), 460 Bohnenblust-Sobczyk, 463 Bolzano-Weierstraß, 270 Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft (B-W-E), 270 Borel-Cantelli, 372 Borel-Funktion, 372 Borel-Maß, 365 Borel-meßbar, 372 Borel-Menge, 357 Borel-σ-Algebra, 357 Brouwerscher Fixpunktsatz, 312 Cantor, G., 62, 718 Cantors Durchschnittssatz, 181 Cantorsches Diskontinuum, 62 Cauchy-Filterbasis, 180 Cauchy-Folge, 176, 491 Cauchy-Netz, 180 Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 8, 16, 410 charakteristische Funktion, 715 Comfort, 157 d-beschränkt, 25 d-konvergent, 1 Darbouxsche Obersumme, 42 Darbouxsche Untersumme, 42 de Morgansche Regeln, 711, 716 dicht, 60 Dini, 276 Dirac-Maß, 357, 371 direkte Summe, 720 direktes Produkt, 718, 720 Diskontinuum (Wischmenge), 62 diskret, 34 diskreter Abstand, 2 Distanz, 47 divisibel, 130 Dualität Hülle-Kern, 50 Dualraum algebraisch, 444, 721

Stichwortverzeichnis stetig, 444 V a , 444 V sτ , 444 Durchmesser, 25, 142 dyadisch rationale Zahl, 161 Ebene geschlitzt, 82, 151, 173 Moore-, 86, 145, 151, 173 Mysior-, 153 eDE (endliche Durchschnittseigenschaft), 314 Egorov, 386 Eigenschaft B-W-E, 270 eDE, 314 Einbettung kanonisch, 435 einfache Funktion, 378 kanonische Darstellung, 378 einfache Kette, 91 Einpunktkompaktifizierung, 341 Einsannullator, 515 Einschränkung, 715 Element größtes, 714 kleinstes, 714 maximales, 714 minimales, 714 Elementfamilie, 716 absolut summierbar, 230 Summe, 43 summierbar, 43–44 summierbar im Banach-Raum, 230 uneigentlich summierbar, 236 Endenfilter, 40, 43, 47 endliche Durchschnittseigenschaft (eDE), 314 endlicher Rang, 526 Endpunkt, 506 Entwicklung orthogonal, 265 Epigraph, 123 ε-Fastperiode, 305 ε-Kette, 273 ε-Kugel, 32

729 abgeschlossene, 32 Mittelpunkt, 32 offene, 32 Radius, 32 erblich, 86 erzeugter Filter, 39 euklidischer Abstand, 2 Extremalmenge, 506–511 Extrempunkt, 506–511, 513 fastoffen, 476 fastperiodisch, 306 Fehlerabschätzung a posteriori, 222 a priori, 222 Fehlerfunktional, 483 Peano-Kern, 485 Quadraturfehler, 485 feiner, 42 Feinheit, 303 Filter, 39 Adhärenzmenge, 315 Enden-, 40, 43, 47 erzeugter, 39 koendliche Mengen, 43 Ultra-, 315 Umgebungs-, 152 Filter der koendlichen Teilmengen, 43 Filterbasis, 39 Cauchy-, 180 Fundamental-, 180 Finalraum, 125 Finaltopologie, 125 Fischer-Riesz, 419, 421 Fixpunkt, 141, 295 stetige Abhängigkeit vom Parameter, 227 Fixpunktmenge, 714 Fixpunktproblem, 220 Fixpunktsatz Banach, 220–228 Brouwer, 312 Markoff-Kakutani, 310 Folge, 41 Cauchy-, 176 Fundamental-, 176

730 Grenzwert, 1 konvergent, 1, 25, 41 konvergent gegen a, 25 Limes, 1, 25, 41 Moore-Smith-, 717 µ-pktw. konvergent, 384, 385 Teil-, 717 folgenkompakt, 269 folgenvollständig, 491 Fortsetzung, 715 Fortsetzungseigenschaft gleichmäßig stetige Funktionen, 200 stetige Funktionen in kompakte T2 Räume, 345 Fortsetzungssatz Banach-Hahn, 462, 463 Lavrentieff, 217 stetige Funktionen, 216 ˇ Stone-Cech, 345 Tietze-Urysohn, 162 verallg. Tietze-Urysohn, 349 Fourier-Abbildung, 255, 256 Injektivität, 257 Fourier-Entwicklung, 260 Fourier-Koeffizient, 254 Minimaleigenschaft, 255 Fourier-Reihe, 254 Fréchet, 45 Fréchetmetrik, 22, 24, 76, 198 Fréchetpseudometrik, 22 Fredholmscher Integraloperator, 450, 526, 532 Fσ -Menge, 184 Fundamentalfilterbasis, 180 Fundamentalfolge, 176 Fundamentalnetz, 180 Funktion, 714 A-einfach, 378 kanonische Darstellung, 378 abgeschlossen, 103 abgeschlossener Graph, 159 absolut stetig, 430 Abstands- (auch Distanz-), 94 affin, 132, 310 Auswahl-, 718 Auswertung, 167

Stichwortverzeichnis Borel-, 372 Borel-meßbar, 372 charakteristische, 715 Distanz-, 47 Einschränkung, 715 Epigraph, 123 ε-Fastperiode, 305 fastperiodisch, 306–310 Fixpunkt, 295 Fixpunktmenge, 714 Fortsetzung, 715 Fourier-Abbildung, 255, 256 Funktional, siehe Funktional, lineares Funktional gleichmäßig stetig, 107 halbnormerhaltend, 106 halbskalarprodukterhaltend, 106 Homöomorphismus), 103 idempotent, 267 Isometrie, 105 konkav, 132 Kontraktion, 109 konvex, 132–140, 415 Koordinaten-, 114 Kronecker-, 715 Limes inferior, 146 Limes superior, 146 Lipschitz-stetig (L-stetig), 109 Maß, 357 meßbar, 372 Moment, 76 Morphismus, 719 µ-addierbar, 384, 388 µ-Integral, 389, 395 µ-Integral (komplex), 404 µ-Integral über A, 389, 395 µ-integrierbar, 395 µ-summierbar, 395 µ-summierbar über A, 395 µ-wesentlich beschränkt, 406 nirgends differenzierbar, 188 normerhaltend, 106 oberhalbstetig, 98, 293 offen, 103 Operator, siehe Operator, linearer Operator

Stichwortverzeichnis Oszillation, 97 p-Lipschitz-stetig, 286 partiell stetig, 148 r-stetig, 468 rechtsseitiger Limes, 468 Riemann-integrierbar, 42 Riemanns ζ-, 239 Riemannsche Summe, 304 Signum, 719 skalarprodukterhaltend, 106 Spline, 70 stetig, 1, 93, 94 streng konvex, 416 strenge Kontraktion, 109 Tensorprodukt, 279 topologischer Isomorphismus, 104 Träger, 165 Translation, 429 translationsinvariant, 3 Treppen-, 70 Umgebungs-, 39 unterhalbstetig, 98, 123, 293 Variation, 110 Weg, 143 wesentliches Infimum, 406 wesentliches Supremum, 406 Funktional, 439, 721 Auswertungs-, 472 Fehler-, 483 Interpolations-, 517 Koeffizienten-, 472 linear, 721 Minkowski-, 512 stetig linear, 142, 444 unstetig linear, 473 Funktionalgleichung, 229 Funktionenfamilie trennt Punkte, 167 trennt Punkte von abgeschlossenen Mengen, 167 Funktionenmenge gleichgradig gleichmäßig stetig, 192, 286 gleichgradig stetig, 285, 486 Tensorprodukt, 279

731 Gδ -Menge, 184 Gelfand, 312 Gelfand-Operator, 493, 539 geordnete Menge, 713 Gerade Sorgenfrey-, 79, 80, 92, 93, 173 gerichtete Menge, 713 Gesamtschrittverfahren (s. auch JacobiVerfahren), 451 geschlitzte Ebene, 82, 151, 173 gleichgradig gleichmäßig stetig, 192, 286 gleichgradig stetig, 285, 486 gleichmäßig konvergent, 111 gleichmäßig stetig, 107 gleichmächtig, 718 Gleichung allgemeine Parseval-, 258 Apollonios-, 25 Fixpunktproblem, 220 Funktional-, 229 Parallelogramm-, 18 Parseval-, 258, 260 Polarisations-, 19 transzendente, 222 Globaler Existenz- und Eindeutigkeitssatz, 226 Globaler Existenzsatz von Peano, 289 größtes Element, 714 Grenzwert, 1 Grundsatz der linearen Funktionalanalysis erster, 142, 445 zweiter, 302 dritter, 463 vierter, 478 fünfter, 488 Häufungspunkt, 48, 177 Halbhyperebene, 512 Halbnorm, 4 assoziierte Norm, 13 durch Halbskalarprodukt induziert, 17 Kern, 13 Lq -, 406 L∞ -, 406 Quotienten-, 13

Stichwortverzeichnis

732 topologisch äquivalent, 35–38 halbnormerhaltend, 106 halbnormierbar, 35 halbnormierte K-Algebra, 323 halbnormierter Vektorraum, 4–15 assoziierter normierter Vektorraum, 13 (BV 0 ([a, b]), V ), 245 (CRm ([a, b]), N(j) ), 12 (CRm ([a, b]), Nk ), 13 (CRm ([a, b]), Nk,max ), 13 separabel, 466 Vervollständigung, 207 Vervollständigung (Komplettierung), 206 Halbskalarprodukt, 15, 27 halbskalarprodukterhaltend, 106 halbstetig, 129 Hamming-Abstand, 22 Hauptsatz der Differential- und LebesgueIntegralrechnung, 431 Hausdorff-Metrik, 192 Hausdorff-Raum, 150 Hausdorff-Umgebungsaxiom, 39 hausdorffsch, 150 Heine-Borel-Lebesgue, 37 hermitesch, 458, 535 Hewitt, 326 Hilbert-adjungierter Operator, 530 Matrixdarstellung, 531, 540 Hilbert-Raum, 211 (L2 (I),
2 ), 241–244 (W m,2 ([a, b]),
(m) ), 438 Hilbert-Schmidt-Norm, 532 Hilbert-Schmidt-Operator, 532 Hölder-Ungleichung, 8, 22, 410 homöomorph, 103 Homöomorphiesatz, 130 Homöomorphismus, 103 Homomorphiesatz (für K-Vektorräume), 720 Hülle, 49 abgeschlossen konvex, 309 konvex, 147, 303 linear, 719 Hüllen-Komplement-Problem, 59

Hüllenoperator, 55 Hyperebene, 721 Halb-, 512 Idempotenz, 267 indiskret, 34 induzierte Topologie, 34 induzierter Maßraum, 362 Infimum, 713 wesentlich, 406 Initialraum, 125 beschränkt, 443 lokalkonvex, 501 Initialtopologie, 125 Innenregularität, 364 Inneres, 49 Integral Lebesgue, 389, 395 Riemann, 42 Riemann-Stieltjes, 466 Integralgleichung, 223, 229 Fredholm-, 526, 532 nichtlinear, 223 Volterra-, 225 Integration koordinatenweise, 300 µ-Integral, 389 µ-Integral über A, 389 numerisch, 483 Quadraturformel, 483 Interpolationsfunktional, 517 Intervall, 88, 714 Intervallfolge totale Länge, 359 Isometrie, 105 isometrisch, 105 Isomorphismus konjugiertlinear, 455 Jacobi-Verfahren (s. auch Gesamtschrittverfahren), 452 Jensen-Ungleichung für Integrale, 415 Jordan-von Neumann, 27 K-Algebra, 323 kanonische Darstellung, 378

Stichwortverzeichnis kanonische Projektion, 715 Kegel, 499 Kern, 13, 49, 720 Fredholmscher Integraloperator, 450 Peano-, 485 Volterra-, 225 Kern-Bild-Satz, 531 Kernoperator, 59 Kette, 713 einfache, 91 ε-, 273 kleinstes Element, 714 Kodimension, 500, 721 Koeffizientenfunktional, 472 koerzitiv, 460 Koerzitivitätskonstante, 460 Kommutativität, 116, 233 kompakt, 271, 314, 317 kompakter Operator, 526 Kompaktheit   n C , d 2 , 277 (C(X, Rn ), d∞ ), 288 (C(X, Y ), d∞ ), 287 (K n , d  ), 301 konvexe Hülle, 303–305, 333 Kugel, 302 Kugel schwach∗ -, 494 (+q , dq ), 283 metrischer Raum, 276 Produktraum, 300, 321 pseudometrischer Raum, 275 Quotientenraum, 279 Raum der abgeschlossenen Mengen, 291 schwach∗ -, 495 topologische Hülle, 331 Unterraum, 278 Vervollständigung, 285 Kompaktifizierung, 340 Einpunkt-, 341 m-Punkt-, 342–344 Restmenge, 342 ˇ Stone-Cech-, 345 topologisch äquivalent, 347 Vergleich, 347 Zweipunkt-, 341

733 Komplettierung, 201, 206, 210, 211 Kongruenzrelation, 720 konjugiertlinearer Isomorphismus, 455 konkav, 132 Kontraktion, 109 Kontraktionszahl, 109 konvergent, 1, 25, 41, 42 Konvergenz, 25–32 Filterbasis, 42 gleichmäßig, 111 koordinatenweise, 29 Moore-Smith-, 42 Netz, 42 punktweise, 30 Konvergenzsatz Polya, 491 Steklov, 498 Szegö, 490 konvex, 132 streng, 416 konvexe Funktion, 132–140 stetig, 137–140 konvexe Hülle, 147, 303 konvexe Optimierung, 509 Konvexkombination, 134 Koordinatenfunktion, 114 koordinatenweise konvergent, 29, 113 Krein-Milman, 510 kreisförmig, 441 Kronecker-Funktion, 715 Kuratowski, 55, 59 Kurve ebene algebraische, 65 L-stetig, 109 Lasry, J.-M., 297 Lax-Milgram-Lemma, 460 Lebesgue-Zahl, 272 Lebesguesche Untersumme, 355 Lebesguescher Überdeckungssatz, 272 Lebesguescher Konvergenzsatz, 400 Lebesguescher Maßraum über R, 363 Lebesguescher Maßraum über Rn , 363 Lebesguescher Satz von der monotonen Konvergenz, 393 Legendre-Polynom, 264

734 Lemma von Fatou, 391 Lemma von Riesz, 302 Lemma von Tychonoff, 154 Lemma von Urysohn, 160 Levi, B., 394 Limes, 1, 25, 41 Filterbasis, 42 Folge, 25, 41 Netz, 42 rechtsseitig, 468 Summe, 43 Limes inferior, 146, 717 Limes superior, 146, 717 Lindelöf, 77, 226 Lindelöf-Raum, 81, 83, 154 lineare Hülle, 719 linearer Operator abgeschlossen, 479 abgeschlossenes Bild, 523 Ableitungs-, 449 algebraisch adjungiert, 520 beschränkt, 442, 447 endlicher Rang, 526 fastoffen, 476 Fredholmscher Integraloperator, 450 Hilbert-adjungiert, 530 Kern, 720 kompakt (s. vollstetig), 526 nicht offen, 476 offen, 475, 477 Operator(halb)norm, 447 orthogonal, 106 Schranke, 447 selbstadjungiert, 267, 535 stetig, 440, 442 stetig invers, 492 topologisch adjungiert, 520 unitär, 106 unstetig, 449, 479 vollstetig (s. kompakt), 526 lineares Funktional, 721 Kern, 721 offen, 476 stetig, 444, 445 unstetig, 473 Linksshift, 521

Stichwortverzeichnis Lipschitz-Bedingung, 225 Lipschitz-stetig, 109 Lipschitzkonstante, 109 lokalbeschränkt, 441 lokale Lipschitz-Bedingung, 281 Lokaler Existenz- und Eindeutigkeitssatz, 282 lokalkompakt, 333 lokalkonvex, 501 +q , 11 Lq -Halbnorm, 406 Lq -Norm, 409 +∞ , 11 L∞ -Halbnorm, 406 L∞ -Norm, 409 Lusin, 380 m-Punktkompaktifizierung, 342 Magill jr., 342 Majorantenkriterium, 400 Marczewski, 157 Markoff-Kakutani, 310 Maß, 357 äußeres, 359 äußeres Lebesgue-Maß auf R, 359 äußeres Lebesgue-Maß auf Rn , 360, 361 außenregulär, 364 Borel-, 365 Dirac-, 357 durch äußeres Maß induziert, 362 innenregulär, 364 Monotonie, 358 Radon-, 369 regulär, 364 saturiert, 367 σ-Additivität, 357 σ-endlich, 365, 367 σ-Subadditivität, 358 translationsinvariant, 369 triviales, 357 vollständig, 364 Zähl-, 357 Maßraum, 357 atomlos, 508 außenregulär, 364

Stichwortverzeichnis durch äußeres Maß induziert, 362 innenregulär, 364 Lebesgue über R, 363 Lebesgue über Rn , 363 regulär, 364 saturiert, 367 σ-endlich, 367 vollständig, 364 Matrixdarstellung der Hilbert-Adjungierten, 531, 540 maximale Spaltensummennorm, 452 maximale Zeilensummennorm, 451 maximales Element, 714 Maximum-Abstand auf K n , 2 meßbar, 361, 372 meßbare Menge, 356 meßbarer Raum, 356 Menge 1. Kategorie, 182 2. Kategorie, 182 A0 , 383 abgeschlossen, 33 Ableitung, 49 abzählbar, 718 AC (f ), 309 Adhärenz-, 315 Aufzählung, 718 Auswahl-, 718 basisoffen, 113 beschränkt, 25, 312, 441 Borel-, 357 dicht, 60 Durchmesser, 25 dyadisch rationale Zahlen, 161 Einsannullator S1⊥ , ⊥ 1 Φ, 515 Epigraph, 123 ext, 506 Extremal-, 506 Fixpunkt-, 714 Fσ -, 184 Gδ -, 184, 366 geordnet, 713 gerichtet, 713 gleichmächtig, 718 Hülle, 49 Kegel, 499

735 Kern (Inneres), 49 kompakt, 271 konvex, 132 kreisförmig, 441 Kτ , 364 lokalkompakt, 333 meßbar, 356, 361 n-Quader, 360 n-Sphäre, 36 Nf,g , 374, 384 nirgendsdicht, 60 offen, 33 Orthogonal-, 248 Orthonormal-, 248 perfekt, 52 Quader, 167 R-saturiert, 129 Rand, 49 σ-endlich, 365 Strecke, 506 überabzählbar, 718 Mengen-Algebra, 356 Mengenfamilie, 716 Metrik, 3, 5 durch Norm induziert, 5 Fréchet-, 22, 24, 76 Hausdorff-, 190–195, 291–298 translationsinvariant, 5 Metrisationsproblem, 41, 167 Metrisationssatz Alexandroff-Urysohn-, 168 topologischer Vektorraum, 171 metrisierbar, 35 Metrisierbarkeit schwach∗ -Topologie, 495, 498 Minimalabstand, 246, 251, 252, 470 Minimaleigenschaft Fourier-Koeffizienten, 255 Minimaleigenschaft der Fourier-Koeffizienten, 255 minimales Element, 714 Minkowski-Funktional, 512 Minkowski-Ungleichung, 22, 412 für Reihen, 9 für Summen, 8 Mittelpunkt, 506

736 Möbiusband, 145 Moment j-ter Ordnung, 76 monoton, 717 Moore und Smith, 42 Moore-Ebene, 86, 145, 151, 173 Moore-Smith-Folge, 717 Morphismus, 719 µ-addierbar, 384 µ-Integral, 389, 395 µ-Integral (komplex), 404 µ-Integral über A, 389, 395 µ-integrierbar, 395 µ-integrierbar über A, 395 µ-pktw. konvergent, 384, 385 µ-summierbar, 395 µ-summierbar über A, 395 µ-wesentlich beschränkt, 406 Multiplikationsoperator, 538 multiplikativ, 118 Murray, 463 Mysior-Ebene, 153 Netz, 717 Cauchy-, 180 Fourier-Reihe, 254 Fundamental-, 180 glm. konvergent, 111 Häufungspunkt, 177, 196, 316 koordinatenweise konvergent, 113 Moore-Smith-Folge, 717 orthogonale Entwicklung, 254 pktw. konvergent, 111 Neumann-Reihe, 492 nirgendsdicht, 60 Norm, 4 Absolutbetrag, 6 auf C([a, b]) q-, 7 auf K n q-, 7, 10 auf +q q-, 11 auf +∞ , 11 Hilbert-Schmidt-, 532 Lq -, 409 L∞ -, 409 Nm,q , 432 Operator-, 447, 458, 536 Sobolev-, 432

Stichwortverzeichnis Spaltensummen-, 452, 472 Zeilensummen-, 452 normal, 162 normierbar, 35 normierter Vektorraum, 4–15 (BV ([a, b]),  V ), 245 (B(X),  ∞ ), 6 (B(X, Y ),  ∞ ), 21 (C0 (X, K),  ∞ ), 323 (C([a, b]),  1 ), 6 (Cab (X),  ∞ ), 205 (Cbb (X),  ∞ ), 198 (Cc (X, K),  ∞ ), 323 (CRm ([a, b]), Nm,max ), 199 dichter Untervektorraum, 446 (K n ,  1 ), 6 (K n ,  q ), 10 (K n ,  ∞ ), 6 (LqC (X, A, µ),  q ), 418 (L∞ C (X, A, µ),  ∞ ), 418 (+q ,  q ), 11 (Lq (X, A, µ),  q ), 412 (+∞ ,  ∞ ), 11, 12 (L∞ (X, A, µ),  ∞ ), 409 (L(V, W ),  op ), 447 (R[x],  max ), 24 Vervollständigung, 206, 208 (W m,q ([a, b]), Nm,q ), 432 Normoptimierung, 517 numerische Integration, 483 obere Schranke, 713 oberhalbstetig, 98, 293 Obersumme Darboux, 42 offene Funktion, 103 offene Menge, 33 offene Überdeckung, 271 offene Zerlegung, 87 Operator, 439 Ableitungs-, 480, 484 Gelfand-, 493, 539 Hüllen-, 55 hermitesch, 535 Hilbert-adjungiert, 530 Hilbert-Schmidt-, 532

Stichwortverzeichnis Kern-, 59 linear, siehe linearer Operator Linksshift, 521 Multiplikations-, 538 orthogonal, 106 orthogonale Projektion, 537–538 Rechtsshift, 521, 540 Riesz-, 458, 530 selbstadjungiert, 267, 535, 537 stetig linear, 142, 440 symmetrisch, 535 unitär, 106 Verzögerungs-, 472 Operatorhalbnorm, 447 Operatornorm, 447, 458, 536 max. Spaltensummennorm, 452, 472 max. Zeilensummennorm, 450, 452 Optimierung konvex, 509 Norm-, 517 Optimierungsproblem, 517 Ordnung, 713 Ordnung von Funktionen, 716 orthogonal, 106, 246, 248 orthogonale Entwicklung, 254, 265 orthogonale Projektion, 247, 252, 267, 537 orthogonale Summe, 267 orthogonale Zerlegung, 253 Orthogonalmenge, 248 Orthogonalraum, 248 Orthonormalbasis, 254, 263, 264 Orthonormalisierung Schmidt, E., 261 Orthonormalmenge, 248 vollständig, 257 Oszillation, 97 p-adischer Abstand, 2 p-Lipschitz-stetig, 286 Parallelogrammgleichung, 18, 27 Parsevalsche Gleichung, 258, 260 partiell stetig, 148 Partition, 713 Äquivalenzrelation, 713 halbstetig, 129 Peetre-Ungleichung, 20

737 perfekt, 52 Picard, 226 Picard-Iteration, 221, 295 Polarisationsgleichung, 19 Polynom, 722 Bernstein-, 540 Legendre-, 264 Nullstellenmenge, 722 Substitution, 722 trigonometrisch, 103 trigonometrisch auf R, 305 zwei Variable, 65 Polynomialsatz, 23, 546 Prähilbertraum, 15 (CRm ([a, b]),
m ), 24 orthogonale Zerlegung, 253 Orthogonalmenge, 248 Orthogonalraum, 248 Orthonormalbasis, 254, 263, 264 Orthonormalmenge, 248 Vervollständigung, 210, 211 Prinzip von der gleichmäßigen Beschränktheit, 185, 186, 488 Produktraum, 113 A1 , A2 , 121 Assoziativität, 116 Kommutativität, 116 kompakt, 300, 321 Lindelöf, 173 lokalkompakt, 340 lokalkonvex, 501 Pseudometrisierbarkeit, 145 separabel, 157 σ-kompakt, 354 T4 , 173 topologische Vollständigkeit, 214 Trennungseigenschaften, 155, 157 vollständig, 198 wegzusammenhängend, 143 zusammenhängend, 118 Produktrichtung, 316 Produkttopologie, 113 Projektion, 718 abgeschlossen, 128, 129 kanonisch, 715 offen, 114, 128

738 orthogonal, 247, 252, 267, 537 stereographisch, 104 Pseudohalbnorm, 170 pseudohalbnormierter Vektorraum Vervollständigung, 212 Pseudometrik, 3, 5 durch Halbnorm induziert, 5 Fréchet-, 22, 45 topologisch äquivalent, 35 translationsinvariant, 5 Pseudometrisationsproblem, 41 pseudometrischer Raum totalbeschränkt, 273 Vervollständigung (Komplettierung), 201 vollständig, 178 pseudometrisierbar, 35 Pseudometrisierbarkeit topologischer Vektorräume, 170 Pseudonorm, 170 pseudonormierter Vektorraum Lq ([a, b], . . .), 0 < q < 1, 454 (Lq (X, A, μ), νq ), 0 < q < 1, 413, 421 Vervollständigung, 211–213 Punkt äußerer, 48 Berühr-, 48 Extrem-, 506–511 Fix-, 141 Häufungs-, 48 innerer, 48 isolierter, 48 Rand-, 48 punktweise Konvergenz, 30 punktweise σ-konvergent, 111 punktweise-folgenabgeschlossen, 487 Pythagoras, 248 q-Abstand auf C([a, b]), 3, 7 q-Abstand auf K n , 2, 7 q-Norm, 7, 10, 11 Quader, 167 n-Quader, 360 n-Volumen, 360 totales n-Volumen, 360

Stichwortverzeichnis Quadraturfehler, 485 Quadraturformel, 490 exakt, 484 Fehlerfunktional, 483 Gewicht, 483 Knoten, 483 Konvergenz, 490, 491, 498 Trapezregel, 485 Quotientenhalbnorm, 13 Quotientenpseudohalbnorm, 175 Quotientenraum, 125 A2 , 331 kompakt, 279 lokalkompakt, 339 σ-kompakt, 336 Trennungseigenschaften, 158, 320 Quotiententopologie, 125 Quotientenvektorraum, 720 R-saturiert, 129 r-stetig, 468 Radon-Maß, 369 Rand, 49 Randpunkt, 48 Raum A1 -, 40 A2 -, 80 assoziierter metrischer, 146 assoziierter pseudonormierter, 175 Baire-, 182 Banach-, 186 (βX, βτ), 345 BV 0 ([a, b]), 245 BV ([a, b]), 245, 466 B(X), 3 B(X, Y ), 21, 179 c, 46 c0 , 46 C0 (X, K), 323 C([a, b]), 3 C([a, b]; S), 46, 197 Cab (X), 205 Cbb (X), 198 Cb (X, K), 323 Cb (X, Y ), 148, 187

Stichwortverzeichnis Cc (X, K), 323 (Cc (X, R), d∞ ), 351 CRm ([a, b]), 12, 13 CR∞ ([0, 2π]), 502 C(X, Y ), 94 der abgeschlossenen Mengen, 190– 195, 291–298 ER0 (X, A), 378 Final-, 125 folgenkompakt, 269 FP (R), 306 halbnormierter, siehe halbnormierter Vektorraum Hausdorff-, 150 Hilbert-, 211 homöomorph, 103 Initial-, 125 isometrisch, 105 kompakt, 271, 314 L0 (X, A), 372 L0 (X, A, µ), 383 L1 (A, . . .), 395 L1 (X, A, µ), 395 (L2 (I),
2 ), 229 L0C (X, A), 388 L1C (X, A, µ), 404 LqC (X, A, µ), 418 LqC (X, A, µ), 418 L∞ C (X, A, µ), 418 L∞ C (X, A, µ), 418 Lindelöf-, 77, 81, 83, 154, 173 lokalkompakt, 333 +q , 11 Lq (A, . . .), 407 Lq (A, . . .), 406 Lq (X, A, µ), 407 Lq (X, A, µ), 406 L0R (X, A), 377 L0R (X, A, µ), 383 L1R (X, A, µ), 395 +∞ , 11 L∞ (A, . . .), 407 L∞ (A, . . .), 406 L∞ (X, A, µ), 407 L∞ (X, A, µ), 406 L(V, W ), 447

739 Maß-, 357 meßbarer, 356 Mµ ((X, A), (Y, B)), 383 M((X, A), (Y, B)), 372 metrisch, 3 n-Sphäre, 104 normal, 162 normierter, siehe normierter Vektorraum Prähilbert-, 15 Produkt-, 113 pseudometrisch, 3 Quotienten-, 125 R0 BV ([a, b]), 468 regulär, 162 Rn [x], 45 S1 ([a, b]), 70 separabel, 71 Sierpinski-, 34, 40, 151 σ-kompakt, 336, 365, 366 Sobolev-, 432 T1 -, 161 T2 -, 150 (T2 -)Kompaktifizierung, 340 T3 -, 150 T3a -, 150, 321 T4 -, 150 Tietze-, 150 topologisch, 33 topologisch direktes Produkt, 113 topologisch isomorph, 104 topologisch vollständig, 214 TP (R), 305 TP R ([0, 1]), 103 Trep R ([a, b]), 70 Tychonoff-, 150 Tychonoff-Planke, 338 ultra(pseudo)metrisch, 3 Umgebungs-, 39 Unter-, 85 unzusammenhängend, 87 Vektor-, siehe Vektorraum Viëtoris-, 150 vollständig (pseudo)metrisierbar, 214 vollständig regulär, 162, 322, 353 wegzusammenhängend, 143

740 W m,q ([a, b]), 432 zusammenhängend, 87 rechtsseitiger Limes, 468 Rechtsshift, 521, 540 regulär, 162, 364 Reihe Fourier-, 254, 260 Neumann-, 492 summierbar, 234 unbedingt konvergent, 234, 312 Relation, 711 Äquivalenz-, 712 Kongruenz-, 720 Ordnungs-, 713 Richtung, 713 Restmenge, 342 Richtung, 713 Produkt-, 316 Riemann-Integral, 42 Riemann-integrierbar, 42 Riemann-Stieltjes-Integral, 466 Riemannsche Summe, 304 Riemannsche Zahlenkugel, 353 Riemannsche ζ-Funktion, 239 Riesz, F., 410, 412 Riesz-Fischer, 255 Riesz-Operator, 458, 530 Rieszscher Darstellungssatz, 457 Sardscher Quotientensatz, 482 saturiert, 367 Satz abgeschlossener Graph, 478 Alexanders Subbasis-, 318 Alexandroff, 341 Alexandroff-Urysohn, 168 Arzelà, 288 Arzelà-Ascoli, 287 Bairescher Kategorie-, 183 Banach-Alaoglu-Bourbaki, 494 Banach-Hahn-Fortsetzungs-, 462, 463 Banach-Hahn-Mazur-Trennungs-, 500 Banach-Steinhaus, 486 Banachs Fixpunkt-, 220 Bohnenblust-Sobczyk, 463 Bolzano-Weierstraß, 49, 270

Stichwortverzeichnis Borel-Cantelli, 372 Brouwers Fixpunkt-, 312 Cantor, 718 Cantors Durchschnitts-, 181 Cauchy-Lipschitz, 282 Cauchy-Schwarz, 410 Dini, 276, 299 Egorov, 386 Fischer-Riesz, 419, 421 Fixpunkt-, 295 Fortsetzung stetiger Funktionen, 216 Gelfand, 312 Grundsatz der linearen Funktionalanalysis erster, 142, 445 zweiter, 302 dritter, 463 vierter, 478 fünfter, 488 Hauptsatz Differential- u. LebesgueIntegralrechnung, 431 Hausdorffs Vervollständigungs-, 202, 203 Heine-Borel-Lebesgue, 37, 277 Hewitt, 326 Hölder, 410 Homöomorphie-, 130 Homomorphie-, 720 Jensen, 415 Jordan-von Neumann, 27 Kern-Bild-, 531 Krein-Milman, 510 Lasry, 297 Lavrentieffs Fortsetzungssatz, 217 Lax-Milgram-Lemma, 460 Lebesgues Überdeckungs-, 272 Lebesgues Konvergenz-, 400 Lebesgues monotone Konvergenz, 393 Lemma von Fatou, 391 Lemma von Riesz, 302 Lemma von Tychonoff, 154 Lemma von Urysohn, 160 Levi, B., 394 Lindelöf, 81 Lusin, 380

Stichwortverzeichnis Magill jr., 342 Marczewski, 157 Markoff-Kakutani, 310 Metrisations-, 168 Minkowski, 412, 421 offener linearer Operator, 478 Peano, 289 Picard-Lindelöf, 226 Plancherels Struktur-, 260 Polya, 491 Polynomial-, 23, 546 Prinzip von der gleichmäßigen Beschränktheit, 488 Pythagoras, 248 Riesz-Fischer, 255 Rieszscher Darstellungs-, 457 Sards Quotienten-, 482 Schauder, 529 Schmidts Orthonormalisierungs-, 261 Steklov, 498 ˇ Stone-Cech-Fortsetzungs-, 345 Stone-Weierstraß kompakt, komplex, 325, 328 kompakt, reell, 324, 327 lokalkompakt, komplex, 351 lokalkompakt, reell, 351 Szegö, 490 Tietze-Urysohn, 162 Trennungserster, 504 zweiter, 504 Tschebyscheff, 437 Tychonoff, 321 verallg. Tietze-Urysohn-, 349 verallgemeinertes Lemma von Urysohn, 319 vom abgeschlossenen Bild, 524 Weierstraß, 49 Weierstraß-Approximations-, 74, 102 Weierstraß-Approximations- (trigonometrisch), 108 Zerlegung der Eins, 350 Zornsches Lemma, 714 Zwei-Norm-, 478 Zwischenwert-, 101 Schauder, 529

741 Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren, 261 Schranke, 447 obere, 713 untere, 713 schwach∗ -Topologie, 493 Extrempunkt, 510 lokalkonvex, 510 metrisierbar, 495 schwache Topologie, 444 selbstadjungiert, 267, 535 selbstdual, 529 separabel, 71 Separabilität (C([a, b]), τdq ), 76  Cb (X, C), τd∞ , 329 (CN , τd ), 76 (CR ([a, b]), τd∞ ), 75 (CR (R) ∩ BR (R), τd∞ ), 77 geschlitzte Ebene, 82 halbnormierter Vektorraum, 466 Hilbert-Raum,  261  2 L (I), τ 2 , 243 p (+   Rq, τdp ), 71 L (A, . . .), τ q , 438 (+∞ , τd∞ ), 72 Moore-Ebene, 86 Prähilbertraum, 263 Produktraum, 157 (Rn , τdp ), 71 Sorgenfrey-Gerade, 79 Untervektorraum, 268 (X, τc ), 76 Sierpinski-Raum, 34, 40, 151 σ-Additivität, 357 σ-Algebra, 356 σ-endlich, 365, 367 σ-kompakt, 336 σ-Subadditivität, 358 Signum, 719 Skala von Banach-Räumen, 435 Skalarprodukt, 15 skalarprodukterhaltend, 106 Sobolev-Norm, 432 Sobolev-Raum, 432–436 Sorgenfrey-Gerade, 79, 80, 92, 93, 173

742 Sorgenfrey-Topologie, 79, 92 Soukhomlinov, 463 Spaltensummennorm, 452, 472 Sphäre, 36 n-, 104 Spline linear, 70 Spur-σ-Algebra, 371 Spurtopologie, 85 Stabilität qualitativ, 227 quantitativ, 227 stereographische Projektion, 104 stetig, 1, 93, 94 absolut, 430 gleichgradig, 285, 486 gleichgradig gleichmäßig, 192 gleichmäßig, 107 Lipschitz-, 109 partiell, 148 r-, 468 stetiger Dualraum, 444, 503 (c0 ,  ∞ ), 474 (CR ([a, b]),  ∞ ), 466–470 (CRm ([a, b]), Nm,max ), 481 Hilbert-Raum, 457 (+1 ,  1 ), 456 (+q ,  q ), 455 (+q , νq ), 0 < q < 1, 474 (Lq (X, A, µ),  q ), 457 (L∞ (X, A, µ),  ∞ ), 510 (Rn ,  2 ), 454 stetiges lineares Funktional, 444 Steuerungsproblem, 518 ˇ Stone-Cech-Kompaktifizierung, 345 Stone-Weierstraß, 324, 325, 327, 328, 351 kompakt, komplex, 325, 328 kompakt, reell, 324, 327 lokalkompakt, komplex, 351 lokalkompakt, reell, 351 Strecke, 506 abgeschlossen, 506 Endpunkt, 506 halboffen, 506 Mittelpunkt, 506 offen, 506

Stichwortverzeichnis streng antiton, 717 streng konvex, 416 streng monoton, 717 strenge Kontraktion, 109 Struktursatz von Plancherel, 260 Subbasis, 77 Summation µ-Summierbarkeit, 398 Summe, 43, 720 µ-addierbarer Funktionen, 384 orthogonal, 267 summierbar, 43 uneigentlich, 236 Summierbarkeit Assoziativität, 231–233, 237 Kommutativität, 233 Majorante, 237 Produkt-, 237 Supremum, 713 wesentlich, 406 symmetrisch, 535 T1 -Raum, 161 T2 -Raum, 150 T3 -Raum, 150 T3a -Raum, 150 T4 -Raum, 150 Teilfolge, 717 Teilnetz, 717 Teilüberdeckung, 271 Tensorprodukt, 279 Tietze-Raum, 150 Tietze-Urysohnscher Fortsetzungssatz, 162 Topologie, 33 (halb)normierbar, 35 Arens-, 47, 57 Basis, 77 d induziert, 34 diskret, 34 Final-, 125 indiskret, 34 Initial-, 125 koendliche Mengen, 34, 40, 41 Produkt-, 113 (pseudo)metrisierbar, 35 Quotienten-, 125

Stichwortverzeichnis schwach, 444 schwach∗ -, 493, 498 Sorgenfrey-, 79 Spur-, 85 Subbasis, 77 topologisch äquivalent, 35 topologisch isomorph, 104 topologisch vollständig, 214 topologischer Isomorphismus, 104 topologischer Raum, 33 topologischer Vektorraum, 135, 144 Cauchy-Folge, 491 folgenvollständig, 491 lokalbeschränkt, 441 lokalkonvex, 501 (Lq ([a, b], . . .), νq ), 512 pktw.-folgenabgeschlossen, 487 pseudohalbnormierbar, 170 pseudometrisierbar, 170, 171 pseudonormierbar, 170 stetiger Dualraum, 444 topologisch vollständig, 219, 245 verallgemeinert halbnormierbar, 502, 512 topologisches direktes Produkt, 113 totalbeschränkt, 273 totale Länge, 359 totales n-Volumen, 360 Träger, 165 Translation, 429 translationsinvariant, 3, 5, 369 Trapezregel, 485 Trennung von Punkten, 167 von Punkten und abgeschlossenen Mengen, 167 Trennungseigenschaft, 150 Trennungssatz erster, 504 zweiter, 504 Treppenfunktion, 70 trigonometrisches Polynom, 103, 305 triviales Maß, 357 Tschebyscheff-Ungleichung, 437 Tychonoff, 321 Tychonoff-Planke, 338

743 Tychonoff-Raum, 150 überabzählbar, 718 Überdeckung, 711 Lebesgue-Zahl, 272 offene, 271 Teil-, 271 Ultra(pseudo)metrik, 3 ultra(pseudo)metrischer Raum, 3 Ultrafilter, 315, 331 Umgebung, 33, 38 pseudometrisch, 33 topologisch, 38 Umgebungsbasis, 40 Umgebungsfilter, 40, 152 Umgebungsfunktion, 39 Umgebungsraum, 39 Umgebungssystem, 38 unbedingt konvergent, 234, 312 uneigentlich summierbar, 236 Ungleichung allgemeine Bessel-, 249, 250 Bessel-, 249, 250 Cauchy-Schwarz-, 8, 16, 410 geometr.-arithm. Mittel (verallg.), 7, 417 Hölder-, 8, 22, 410 Jensen-, 415 Minkowski für Reihen, 9 Minkowski für Summen, 8 Minkowski-, 22, 412 Peetre-, 20 Tschebyscheff-, 437 verallgemeinerte Minkowski-, 421 Vierecks-, 22 unitär, 106 untere Schranke, 713 untergeordnet, 165 Untergruppe von (R, +), 67–69 unterhalbstetig, 98, 123, 293 Unterraum, 85 kompakt, 278 lokalkompakt, 337, 338 σ-kompakt, 337 Trennungseigenschaften, 155 vollständig, 190

744 Untersumme Darboux, 42 Lebesgue, 355 Untervektorraum abgeschlossen, 216, 219 dicht, 446 unzusammenhängend, 87 V -elliptisch, 460 Variation, 110 Vektorraum algebraischer Dualraum, 721 Annullator S ⊥ , ⊥ Φ, 515 direkte Summe, 720 direktes Produkt, 720 Dualraum, 444 E(V ), 526 E(V, W ), 526 halbnormiert, siehe halbnormierter Vektorraum HS (V ), 532 HS (V, W ), 532 Hyperebene, 721 Kodimension, 500, 721 K(V ), 526 K(V, W ), 526 mit Halbskalarprodukt, 15–21 mit Skalarprodukt (s. auch Prähilbertraum), 15–21 normiert, siehe normierter Vektorraum Orthogonal-, 531 Quotienten-, 720 Summe, 720 topologischer, 135 Vektorraum mit Halbskalarprodukt Vervollständigung, 210 verallgemeinert halbnormierbar, 502 Verallgemeinerte Minkowski-Ungleichung, 421 Verallgemeinerter Tietze-Urysohnscher Fortsetzungssatz, 349 Verallgemeinertes Urysohnsches Lemma, 319 Vervollständigung, 201,  206, 210, 211  Cbb (X), d ∞ , 205

Stichwortverzeichnis   CR ([a, b]), d q , 422 (C[x]
[a, b], d∞ ), 202 halbnormierter Raum, 207 metrischer Raum, 202 normierter Raum, 206, 208 Prähilbertraum, 210, 211 pseudohalbnormierter Raum, 212 pseudonormierter Raum, 212, 213 Raum mit Halbskalarprodukt, 210 Vervollständigungssatz von Hausdorff, 202, 203 Verzögerungsoperator, 472 Vierecksungleichung, 22 Viëtoris-Raum, 150 vollständig, 178, 364 vollständig (pseudo)metrisierbar, 214 vollständig regulär, 162 vollständige Orthonormalmenge, 257 Vollständigkeit Raum der abgeschlossenen Mengen, 193 Volterra-Integralgleichung, 225 Volterra-Kern, 225 Volumen, 360 Weg, 143 Anfangspunkt, 143 Endpunkt, 143 wegzusammenhängend, 143 Wegzusammenhangskomponente, 144 Weierstraß, 49 Weierstraßscher Approximationssatz komplex, 76 reell, 74, 102 trigonometrisch, 108 wesentliches Infimum, 406 wesentliches Supremum, 406 Zählmaß, 357, 371 Zeilensummennorm, 452 Zerlegung Belegung, 303 endliche, 42 feiner, 42 Feinheit, 303 offene, 87

Stichwortverzeichnis orthogonale, 253 Zerlegung der Eins, 165, 350 untergeordnete, 165 Zornsches Lemma, 714 zusammenhängend, 87 Zusammenhangskomponente, 84, 89 Zwei-Norm-Satz, 478 Zweipunktkompaktifizierung, 341 Zwischenwerteigenschaft, 101 Zwischenwertsatz, 101

745

Symbolverzeichnis (xj )j →d a, (xj )j 9d a, d-limj xj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(xj )j →τ a, (xj )j 9τ a, τ-limj xj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B →τ a, τ-lim B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(M (α))α∈A →τ a, τ-limα∈A M (α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f −−−−→ ϕ, limγ∈G fγ =σ-pktw. ϕ σ-pktw.

f −−−→ ϕ, limγ∈G fγ =d-glm. ϕ d-glm.

f −−−−→ ϕ, limγ∈G fγ =koordw. ϕ koordw.

25 41 42 42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

(fj )j −−−→ f, limj fj =μ f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 μ-f.ü. P 43, 236 i∈I xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d| | , ddis , din , d(p) , dq , d∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2, 3, 34

dR , dmin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22, 23

δ(S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dist(x, S), dist(S, T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dA (x), dA

25

47, 299

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

k k, k kC , dk k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4, 5

N(j) , Nk , Nk,max , NW , k kM,N

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12, 13

kϕkop , k kop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

447

kav k0op ,

kBkop , k kop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

458

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

493

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

532

hx, yi, h i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

kkHS

k

k0op

h im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 fe, ge 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e εd (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kεd (a), K

24 418 32

Symbolverzeichnis

748

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

τd , α τd , α τ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34, 35

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38, 39

τin , τdis , τc , τS , τN Uτ (x), Uτ , U

τU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uτ (T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40 152

τ

0τ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

äτ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

◦τ

S , S , S , ∂τ S S

33

Adh F Cx ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cxweg

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

315

89, 144

HX , TX , h, t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

τi , τ/R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85, 113, 125 Kτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 τ|S,

i∈I

F , E M , EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39, 47

Rn [x], Qn [x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45, 75

Za,b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

Qn , Q(2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ωS (f, x), ω(f, x)

42 161

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

Ep(f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

V (f )

f ∧ g, f ∨ g, |f |, f ∙ g,

f g

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nf,g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

374, 384

Tr f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

Auswertung e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

279

f ⊗ g, F ⊗ G

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fx ∙ , f ∙ y

tr , T (f )

296, 297

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

308

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309

If . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

345

Ta (x), Ta

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

429

(X, τ) ∼ = (Y, σ), (X, τ) ∼ = (Y, σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

(X, d) ∼ = (Y, e), (X, d) ∼ = (Y, e)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

347

AC (f )

top.

top. g

isom.

isom. g

((K1 , κ1 ), k1 ) ∼ = ((K2 , κ2 ), k2 ) top. äq.

Symbolverzeichnis

749

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

332

(X , τ ), (R , τ| | ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

341

η x∗ ∗

∗

∗∗

∗∗

(βX, βτ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

345

konv

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

ext C

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

506

[x, y], [x, y[, ]x, y], ]x, y[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

506

pU (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

512

T

Ad , Dx0 (A, A∗ ), Dx0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dx+0 (A, A∗ ),

Dx−0 (A, A∗ ),

Dx−0

191, 192

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

Ix0 (x), Ix0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

ˆ , dˆ), ˆı) ((X

201

Dx+0 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ˆ ), ˆı
, ((Vˆ , νˆ), ˆı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206, 211 (Vˆ , N ((Vˆ , hˆi ), ˆı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 x ⊥ y, x ⊥ T, S ⊥ T, S ⊥

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

248

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

252

fB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X⊥ Ui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

256

A(S), Aσ (S)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

356

H+ , H− , C+ , C− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

357

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

372

πW (x), πW

i∈I

HRe , HIm

∗∗ H+ ,

∗∗ H− ,

∗∗ C+ ,

∗∗ C−

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A0 , f =μ g, f =μ g, f ≤μ g, g ≥μ f

266

373

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

383

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

357

μä , `(I), L((Ij )j ), λä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

359

λn,ä , v(Q), V ((Qj )j ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

360

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

361

μ0 , μZ , μ(x0 )

M μä

(R, Λ, λ), (R , Λn , λn ) n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363

A|S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 R∗ R R R R ϕ, f, A f, f dμ, A f (x) dμ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389, 394, 395

Symbolverzeichnis

750 Rb

f (t) dg(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

466

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

444

L(V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

447

RV , T v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

458

Bf (x, y), Bf ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

459

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

493

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

512

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

515

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

520

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

530

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

531

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

532

a

σ(V, S), V

sτ

f B(x, y), f B

, V ), ΓV [v], ΓV . sτ − VR , (Ker ϕ)+ r , (Ker ϕ)r S ⊥ , ⊥ Φ, S1⊥ , ⊥ 1Φ . . . . ∗ ∗ ∗ 0 0 0 σ(V

sτ

T (w ), T , T (w ), T

T (w), T 2

S

⊥V

MT

2

E(V, W ), E(V ), K(V, W ), K(V )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

526

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

532

(M-1), (M-2), (M-3), (M-4), (M-4)0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

(N-1), (N-2), (N-3)

4

HS (V, W ), HS (V ), kkHS

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(S-1), (S-2), (S-3), (S-4), (S-1)

0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

(O-1), (O-2), (O-3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

(A-1), (A-2), (A-3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

(U-1), (U-2), (U-3), (U-4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

(F-1), (F-2), (F-3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

(H-1), (H-2), (H-3), (H-4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

(K-1), (K-2), (K-3), (K-4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

(T-1), (T-2), (T-3), (T-4), (T-3a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

(PN-1), (PN-2), (PN-3), (PN-4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170

(R-1), (R-2), (R-3), (R-4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

364