Theoretische Grundlagen der zerstörungsfreien Materialprüfung mit Ultraschall 9783486598599, 9783486588811

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Theoretische Grundlagen der zerstörungsfreien Materialprüfung mit Ultraschall von Karl-Jörg Langenberg, René Marklein und Klaus Mayer

Oldenbourg Verlag München

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Geleitwort Theoretische Grundlagen der zerst¨orungsfreien Materialpr¨ ufung mit Ultraschall Karl-J¨org Langenberg Ren Marklein Klaus Mayer Die Pr¨ ufung mit Ultraschall hat sich seit den ersten Anwendungen durch Sergej J. Sokolow 1929 neben der R¨ontgentechnik zur wichtigsten zerst¨orungsfreien Pr¨ ufung entwickelt, diese in vielen Bereichen sogar wesentlich u ¨bertroffen. Obwohl die Physik der Entstehung und der Ausbreitung von Ultraschall in Festk¨orpern, die durch die Newton Cauchy Gleichungen beschrieben werden, im letzten Jahrhundert nicht wesentlich erg¨anzt oder revidiert werden musste, haben sich dennoch die darauf basierenden mathematischen Methoden zur Beschreibung des Ultraschalls erheblich erweitert. Erm¨oglicht wurde dies vor allem durch die Verf¨ ugbarkeit schneller und leistungsf¨ahiger Rechner. Bildgebende Algorithmen und der Einsatz von simulierten berechneten Ausbreitungswegen transversaler, longitudinaler oder Rayleighwellen und von Modentransfers erlaubten nun auch die Anwendung der Ultraschalltechnik in komplexen Geometrien und in Materialien mit anisotropen und/oder stark schallschw¨achenden Eigenschaften, z.B. Austenite und Faserverbundwerkstoffe. Die Modellierung der Ausbreitung des Ultraschalls erfordert, bedingt durch ihre Komplexit¨at, mathematische N¨aherungsverfahren, deren Kenntnis unabdingbar ist f¨ ur das Verst¨andnis der Grenzen und M¨oglichkeiten dieser Methoden. Den Autoren Langenberg, Marklein und Mayer ist es gelungen, die komplexen Zusammenh¨ange physikalisch/mathematisch umfassend darzustellen und in einem logischen Kontext miteinander zu verbinden. Ein Flussdiagramm, das den Inhalt beschreibt, hilft, die Verbindungen zwischen den Kapiteln herzustellen. Besonders hervorzuheben ist, dass dem Leser, der zweifellos einen ingenieur- bzw. naturwissenschaftlichen Hintergrund haben sollte, die mathematischen Grundlagen in moderner Schreibweise verst¨andlich und f¨ ur die sp¨ateren Berechnungen in diesem Werk vollst¨andig dargeboten werden. Die Deutsche Gesellschaft f¨ ur zerst¨orungsfreie Pr¨ ufung e.V. bem¨ uht sich seit vielen Jahren um eine wissenschaftlich technische Aufarbeitung der theoretischen Grundlagen bei der Materialpr¨ ufung mit Ultraschall. Sie gratuliert dem Oldenbourg-Verlag, dass es ihm gelungen ist, dieses einzigartige Lehrbuch herausgeben zu k¨onnen. Es wird zweifellos das Nachschlagewerk u ¨ber die theoretischen Grundlagen und ein Muss f¨ ur das Studium der Ultraschalltechnik sein. Dr. rer. nat. Rainer Link

Die Förderung der Zerstörungsfreien Prüfung ist unsere Aufgabe

MIT ZfP IN DIE ZUKUNFT Aus- und Weiterbildung Ausgabe von Kompetenzzertifikaten Tagungen und Seminare Veröffentlichungen und Vorträge Erstellen und Harmonisieren von Normen und Richtlinien auf nationaler und internationaler Ebene

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Vorwort Das von Karl-J¨org Langenberg und seinen Mitautoren Ren´e Marklein und Klaus Mayer vorgelegte Buch u ufung mit ¨ber die theoretischen Grundlagen der zerst¨orungsfreien Werkstoffpr¨ Ultraschall ist im Bereich der akademischen Lehre sicher hervorragend geeignet, Studierende in ein spezielles Gebiet der Forschung, ingenieurm¨aßigen Entwicklung und Lehre einzuf¨ uhren, es aber dennoch nur als ein weiteres unter vielen Lehrb¨ uchern zu besprechen, w¨ urde einerseits den Intentionen der Autoren und andererseits dem Wert des Ergebnisses nicht gerecht werden. Dieses Werk ist eben nicht allein ein — wenn auch hervorragend gelungenes — Lehrbuch, nein, es ist die Kompilation und geschlossene Darstellung eines signifikanten Teils des bisherigen wissenschaftlichen Lebenswerkes von Karl-J¨org Langenberg unter Beteiligung seiner langj¨ahrigen Mitarbeiter Ren´e Marklein und Klaus Mayer. Der Verfasser der vorliegenden Rezension hatte das große Gl¨ uck, von Anfang an das Wirken von Karl-J¨org Langenberg auf dem Gebiet der zerst¨orungsfreien Pr¨ ufung ortsnah zu verfolgen; dies begann bereits 1979 im Rahmen einer Kooperation zwischen dem Lehrstuhl f¨ ur Theoretische Elektrotechnik an der Universit¨at des Saarlandes, dem Karl-J¨org Langenberg als Assistenzprofessor zugeordnet war, und dem Fraunhofer-Institut f¨ ur zerst¨orungsfreie Pr¨ ufverfahren unter der damaligen Leitung von Paul H¨oller. In der zerst¨orungsfreien Werkstoffpr¨ ufung war unter dem Gesichtspunkt der bruchmechanischen Bewertung von Werkstoffunregelm¨aßigkeiten (Werkstofffehler) in sicherheitsrelevanten Komponenten und Anlagen die Forderung nach abbildenden Methoden aktuell geworden. Aus der Abbildung sollten — m¨oglichst geometriegenau — Daten, wie z.B. Rissl¨ange und -tiefe, extrahiert werden, die als Eingangsgr¨oßen f¨ ur eine — damals rein deterministische — Lebensdauerabsch¨atzung dienen sollten. Als abbildende Techniken kamen unter Nutzung von Ultraschallwellen die Verwendung der Mehrwinkel-Impuls-Echo-Technik und die Tandemtechnik zum technischen Einsatz, die aber nur begrenzte M¨oglichkeiten einer geometrischen Abbildung besaßen. In den USA, wo die Kerntechnik schon l¨anger als in Deutschland neuere Entwicklungen zur zerst¨orungsfreien Pr¨ ufung stimulierte, gab es theoretische Ans¨atze, die Ultraschallreflexion, -streuung und -beugung an realen Werkstoffung¨anzen modellhaft durch die entsprechende Wechselwirkung des Ultraschalls an kanonischen Geometrien, wie etwa Kugel, Ellipsioide, etc. zu beschreiben, f¨ ur die analytische L¨osungen zug¨anglich waren. Die Geometriedaten der Modellfehler sollten die bruchmechanische Bewertung erm¨oglichen. Die kritische Analyse dieser Strategie f¨ uhrte sehr schnell zur Erkenntnis, dass diese Art der Abbildung allenfalls eingeschr¨ankt auf bestimmte, wenige Typen von Ung¨anzen, die bei der Fertigung von Komponenten entstehen k¨onnen, anwendbar war und insbesondere Werkstofffehlerarten, wie z.B. interkristalline Risskorrosion oder Erm¨ udungsrissbildung, die im Betrieb induziert werden k¨onnen, nicht zuverl¨assig beschreiben konnten. Es gab ab 1976 erste Ans¨atze mit abtastenden (scannenden) Verfahren auf der Basis von Ultraschall, ¨ahnlich der optischen Holographie, Hologramme von Werkstoffung¨anzen zu erzeugen. Apparativ — die Ger¨ate kamen aus den USA — wurde tats¨achlich ein optisches Hologramm generiert und in einem Film zwischengespeichert. Frequenzbereiche zwischen 1 MHz und 10 MHz waren zug¨anglich. Die in den Hologrammen verschl¨ usselte Information u ¨ber den untersuchten Volumenbereich wurde optisch ausgelesen und das Bild der Werkstofffehler aus verschiedenen Tiefenlagen nacheinander auf einen Monitor ausgegeben. Das Prinzip beruhte auf der Methode

VIII

Vorwort

der Sampling Holographie mit optischer Rekonstruktion; ¨ahnliche Umwege u ¨ber die optische Speicherung ging man zu dieser Zeit auch in der Gefechtsfeldaufkl¨arung vom Flugzeug aus nach der Side-Looking-Radar-Technik oder bei der medizinischen R¨ontgen-CT oder auch beim NMR-Imaging, wobei hier die Filme als Speichermedium allerdings von einer energieschwachen R¨ontgenr¨ohre belichtet wurden. Durch die n¨ahere Besch¨aftigung mit dieser Aufgabe und den Abbildungsfehlern der Rekonstruktion wurde offenbar, wie weit man noch entfernt davon war, belastbare geometrische Abbildungsdaten zu generieren. Es wurde aber ebenso erkannt, wie wenig die theoretischen Grundlagen — auch abgesichert durch sorgf¨altige Experimente — aufgearbeitet waren. Nach Analyse dieser Ausgangslage reifte im IZFP der Entschluss, diesen Nachholbedarf zu befriedigen und eine Arbeitsgruppe Theoretische Grundlagen zu etablieren. Karl-J¨org Langenberg u ¨bernahm dieselbe 1980 als Privatdozent und leitete sie bis Ende des Jahres 1982; nach seiner Berufung als Universit¨atsprofessor in den Fachbereich Elektrotechnik f¨ ur das Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik wechselte er an die Universit¨at Kassel. Damit verließ zwar die Person die Fraunhofergesellschaft, sie blieb dem IZFP und seinen Forschungszielen jedoch weiter durch einen Kooperationvertrag verbunden, ja, mehr noch, diese Forschungsziele stellten f¨ ur Karl-J¨org Langenberg und seine Mitarbeiter, Studenten und Doktoranden ein Programm dar, das gewissenhaft und zuverl¨assig u ¨ber die Jahre hinweg abgearbeitet wurde. Ein großes, weit ausgedehntes Feld wurde bestellt und die Beschreibung der Fr¨ uchte dieser Arbeit findet sich in dem vorgelegten Buch. Das genannte Programm l¨asst sich mit wenigen S¨atzen charakterisieren: • Entwickele mathematisch numerische Werkzeuge, welche die Ultraschallausbreitung in realen technischen Werkstoffen berechenbar und damit physikalisch verstehbar machen; • erm¨ogliche mit diesen Werkzeugen die optimale Planung und Vorbereitung von Pr¨ ufaufgaben der Praxis; • leite aus dem erzeugten Verst¨andnis Algorithmen zur Rekonstruktion von Fehlergeometrien her, die auf Daten der Ultraschallpr¨ ufung zur¨ uckgreifen. Folgt man der in Kapitel 1 beschriebenen Darstellung des Inhaltes des vorgelegten Werks, dann ist das Flussdiagramm von Abbildung 1 die didaktisch elegante Methode, den Gesamtzusam¨ menhang mathematisch komplizierter Entwicklungen und ihrer Ergebnisse im Uberblick zu diskutieren. Aus diesem Grunde muss dies hier im Detail nicht wiederholt werden. Das vorgeschlagene Programm, Werkzeuge zu erarbeiten und dem Praktiker zur Nutzung in die Hand zu geben, die es erlauben, auf einem Arbeitsrechner die Ergebnisse einer modellhaften Vorw¨artsrechnung mit den Ergebnissen einer Rekonstruktion aus Pr¨ ufdaten zu vergleichen und durch iterative Anpassung im Sinne einer Computer-Aided-Inspection zu verbessern und einem Optimum zuzuf¨ uhren, konnte f¨ ur die Praxis zuverl¨assig umgesetzt werden. Dies betrifft nicht nur die Behandlung homogener Medien, sondern durch Arbeiten gerade in den letzten Jahren auch die Behandlung elastisch anisotroper und inhomogener Medien. Durch das Gesamtwerk der Autoren hat die Interpretation der Ergebnisse der zerst¨orungsfreien Ultraschallpr¨ ufung erheblich an Qualit¨at und G¨ ute bei der quantitativen Bewertung gewonnen, was sich f¨ ur uns alle — insbesondere in sicherheitsrelevanten Anwendungen — mit einem Gewinn an Sicherheit, Vertrauen in die Technik und damit an Lebensqualit¨at auszahlt. Dr. rer. nat. Dr.-Ing E.h. Gerd Dobmann, Fraunhofer-IZFP Saabr¨ ucken, Dezember 2008

Inhaltsverzeichnis 1

Inhalt

1

1.1

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Inhalt als Flussdiagramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2

Mathematische Grundlagen

11

2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4

Skalar-, Vektor- und Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalar- und Vektorfelder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produkte von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 14 16 25

2.2 2.2.1 2.2.2

33 34

2.2.3 2.2.4

Vektor- und Tensoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nabla-Operator: Gradientendyade, Gradient, Divergenz, Rotation . . . . . . . . . . . . . . . Anwendung des Nabla-Operators auf Produkte von Feldgr¨oßen; Kettenregeln; Delta-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrals¨atze von Gauß; Integralformeln von Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zylinder- und Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 44 46

2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5

Zeitliche und r¨aumliche Spektralanalyse mittels Fourier-Transformation . . . . . . . . . Komplexe Zahlen und komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen . . . . Zeitliche Spektralanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildungsgesetze der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hilbert-Transformation und analytisches Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R¨aumliche Spektralanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52 52 56 60 61 65

2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5

Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Delta-Funktion als Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechenregeln f¨ ur die Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Delta-Funktion und Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Delta-Funktion im Dreidimensionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Singul¨are Funktion einer Fl¨ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 67 68 70 71 72

3

Elastodynamische Grundgleichungen

75

3.1

Newton-Cauchy’sche Bewegungsgleichung und Deformationsratengleichung im Zeitund im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6

Physikalische Begr¨ undung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Massenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvektive zeitliche Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impulserhaltung: Newton-Cauchy’sche Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drehimpulserhaltung: Symmetrie des Spannungstensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deformationsratengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Newton-Cauchy’sche Bewegungsgleichung und Deformationsratengleichung der l inearen Elastodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 79 81 82 84 86

X

Inhaltsverzeichnis ¨ Ubergangsund Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Homogene und inhomogene Ubergangsbedingungen an einer Sprungstelle elastischer Materialeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Randbedingungen an einer unendlichen Sprungstelle elastischer Materialien . . . . . . ¨ Homogene und inhomogene Ubergangsbedingungen an der Trennfl¨ache elastischer und fluider Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Homogene und inhomogene Ubergangsbedingungen an der Trennfl¨ache zweier elastischer Materialien mit Fl¨ ussigkeitskopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

4

Materialgleichungen; elastodynamische Grundgleichungen; Energiesatz

97

4.1

Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3

Lineare nichtdissipative Materialien: Cauchy-Hooke’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Anisotrope Materialien; Voigt-Notation; transversal-isotrope Materialien . . . . . . . . . 98 Isotrope Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Elastodynamische Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3 4.3.1 4.3.2

Energiesatz im Zeit- und Frequenzbereich f¨ ur nichtdissipative Materialien . . . . . . . . 102 Elastodynamischer Poynting-Vektor im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Komplexer elastodynamischer Poynting-Vektor im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . 105

4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4

Lineare dissipative Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maxwell-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elastodynamischer Energiesatz: Dissipationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rayleigh- und Kelvin-Voigt-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaxationsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 4.5.1 4.5.2

Piezoelektrizit¨at und Magnetostriktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Piezoelektrizit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Magnetostriktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5

Akustik

5.1 5.2

Grundgleichungen der Akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 ¨ Ubergangsund Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3

Wellen- und Schwingungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4

Ebene longitudinale Druckwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3

Akustische Quellenfelder in homogenen Materialien: Punktquellensynthese . . . . . . . Green’sche Funktionen f¨ ur Druckquellenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Green’sche Funktionen f¨ ur Teilchengeschwindigkeitsquellenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . Begr¨ undung des Distributionsterms im akustischen Green’schen Tensor zweiter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.3

Huygens’sches Prinzip f¨ ur akustische Streufelder in homogenen Materialien . . . . . . Huygens’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Akustische Streufelder schallweicher und schallharter K¨orper; Kirchhoff-N¨aherung Akustische Streufelder penetrabler Streuk¨orper; Born’sche N¨aherung . . . . . . . . . . . .

132 132 133 137

6

Elektromagnetismus

143

6.1 6.1.1 6.1.2

Maxwell’sche Gleichungen; Poynting’scher Satz; Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Maxwell’sche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Maxwell’sche Gleichungen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4

87 91 92 94

108 108 110 112 113

121

127 127 128

Inhaltsverzeichnis 6.1.3 6.1.4

XI

6.2

Poynting’scher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 ¨ Ubergangsund Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3

Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Permittivit¨at, Permeabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suszeptibilit¨atskerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leitf¨ahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 6.4.1 6.4.2

Wellen- und Schwingungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Wellengleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Schwingungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.5 6.5.1 6.5.2

Ebene transversale Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Nichtdissipative Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Dissipative Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4 6.6.5

Elektromagnetische Quellenfelder in homogen-isotropen Materialien . . . . . . . . . . . . . Elektrisches skalares Potential und magnetisches Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrischer Green’scher Tensor zweiter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fernfeldn¨aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hertz’scher Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetischer Green’scher Tensor zweiter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156 157 158 159 160 160

6.7 6.7.1 6.7.2

161 161

6.7.5 6.7.6

Elektromagnetische Streufelder: Huygens’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektromagnetische Fassung des Huygens’schen Prinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektromagnetische Streufelder ideal elektrisch leitender Streuk¨orper: EFIE und MFIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kirchhoff-N¨aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektromagnetische Streufelder penetrabler Streuk¨orper: Lippmann-SchwingerIntegralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Born’sche N¨aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Streutensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.8 6.8.1 6.8.2

Zweidimensionaler Elektromagnetismus: TM- und TE-Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . 169 TM-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 TE-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7

Vektorielle Wellengleichungen

173

7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4

Wellengleichungen f¨ ur anisotrope und isotrope nichtdissipative Materialien . . . . . . . Inhomogen-anisotrope Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homogen-anisotrope Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homogen-isotrope Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inhomogen-isotrope Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173 173 177 177 178

7.2

Helmholtz-Zerlegung f¨ ur homogen-isotrope Materialien: Druck- und Scherwellen . 178

7.3

Entkopplung skalarer SH-Wellen f¨ ur inhomogen-isotrope zweidimensionale Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.4 7.4.1 7.4.2

Schwingungsgleichungen f¨ ur nichtdissipative und dissipative Materialien . . . . . . . . . 183 Schwingungsgleichungen f¨ ur nichtdissipative Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Schwingungsgleichungen f¨ ur dissipative Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.7.3 6.7.4

148 148 148 150

163 165 165 168 169

XII

Inhaltsverzeichnis

8

Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

8.1 8.1.1

Homogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien . . . . . . . . . . . . . . 185 Ebene Wellen im Eindimensionalen: Prim¨are Longitudinal- und sekund¨are Transversalwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Ebene Wellen im Dreidimensionalen: Prim¨are longitudinale Druck- und sekund¨are transversale Scherwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

8.1.2

185

8.2

Inhomogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien . . . . . . . . . . . . . 210

8.3 8.3.1 8.3.2

Ebene Wellen in anisotropen nichtdissipativen Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Ebene Wellen in anisotropen Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Ebene Wellen in transversal-isotropen Materialien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8.4 8.4.1 8.4.2

Ebene Wellen in isotropen dissipativen Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Homogene ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Inhomogene ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

9

Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen 247

9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3

Spannungsfreie ebene Grenzfl¨ache eines elastischen Halbraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfallende prim¨are longitudinale Druckwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfallende sekund¨are transversal-vertikale Scherwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfallende sekund¨are transversal-horizontale Scherwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2

Ebene Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Einfallende SH-Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Einfallende P- bzw. SV-Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

9.2.1 9.2.2 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3

247 247 259 275

Ebene Trennfl¨ache eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums . . . . Inhomogene ebene elastische Wellen in isotropen Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inhomogene ebene SH-Wellen in transversal-isotropen Materialien . . . . . . . . . . . . . . . Reflexion und Transmission ebener SH-Wellen an der ebenen Trennfl¨ache zwischen homogen-isotropen und homogen-transversal-isotropen nichtdissipativen Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reflexion, Transmission und Modekonversion einer ebenen SV-Welle an der ebenen Trennfl¨ache zwischen homogen-isotropen und homogen-transversal-isotropen nichtdissipativen Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

300 300 302

10

Rayleigh’sche Oberfl¨ achenwellen

323

10.1

Ebene Grenz߬achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

10.2

Schwach gekr¨ ummte Grenzfl¨achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

11

R¨ aumliches Spektrum ebener Wellen

329

11.1 11.1.1 11.1.2 11.1.3

R¨aumliches Spektrum akustischer ebener Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R¨aumliches Spektrum ebener Wellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propagator als Raumfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N¨aherungsauswertung mit der Methode der Station¨aren Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . .

329 329 331 333

11.2

R¨aumliches Spektrum elastischer ebener Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

9.3.4

305 315

Inhaltsverzeichnis

XIII

12

Ultraschallstrahlen und Wellenpakete

341

12.1

Gauß’sche Strahlen als paraxiale N¨aherung eines Spektrums ebener Wellen . . . . . . 341

12.2

Gepulste Strahlen als exakte L¨osungen einer approximierten Wellengleichung . . . . 347

12.3 12.3.1 12.3.2

Gepulste Strahlen als N¨aherungsl¨osungen von Eikonal- und Transportgleichungen 353 Eikonal- und Transportgleichungen akustischer Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Eikonal- und Transportgleichungen elastischer Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

13 Punktquellen im homogen-isotropen Vollraum; elastodynamische Quellenfelder 363 13.1 13.1.1 13.1.2 13.1.3 13.1.4

Skalare Green’sche Funktion des homogenen unendlichen Raumes . . . . . . . . . . . . . . . 363 Zeitharmonische Green’sche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Green’sche Funktion im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 Fernfeldn¨aherung der Green’schen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Punktquellensynthese skalarer Quellenfelder mit der skalaren Green’schen Funktion376

13.2 13.2.1 13.2.2 13.2.3 13.2.4

Green’sche Tensoren der Elastodynamik im homogen-isotropen unendlichen Raum 379 Green’scher Tensor zweiter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 Teilchenverschiebung einer punktf¨ormigen Kraftdichtequelle; Punktrichtwirkungen 384 Green’scher Tensor dritter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 Teilchenverschiebung einer punktf¨ormigen Deformationsratenquelle; Punktrichtwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 Green’scher Tensor vierter Stufe: Spannungstensor punktf¨ormiger Deformationsratenquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

13.2.5 13.3 13.3.1 13.3.2 13.3.3 13.3.4

13.4 13.4.1 13.4.2

Zwei- und dreidimensionale elastodynamische Quellenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elastodynamische Punktquellensynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fernfeldn¨aherungen dreidimensionaler elastodynamischer Quellenfelder . . . . . . . . . . Fernfeldn¨aherungen zweidimensionaler elastodynamischer Quellenfelder . . . . . . . . . . Beispiele drei- und zweidimensionaler elastodynamischer und akustischer Quellenfernfelder: fl¨achig-rechteckige, fl¨achig-runde und fl¨achig-streifenf¨ormige Kraftdichteverteilungen mit konstanter Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

404 404 404 408 413

Elementare Kugelwellen und ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Dreidimensionale skalare Green’sche Funktion als Spektrum ebener Wellen: Weyl’sche Integraldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Dreidimensionale skalare Green’sche Funktion als Spektrum von Zylinderwellen: Sommerfeld’sche Integraldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

14

Fl¨ achenquellen auf homogen-isotropen Halbr¨ aumen; Pru ¨ fkopfschallfelder429

14.1 14.1.1

Akustische Halbr¨aume mit schallweichen oder schallharten Oberfl¨achen . . . . . . . . . . AFIT-Wellenfronten des linien- und streifenf¨ormigen fest eingespannten Aperturstrahlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalare Halbraum-Green-Funktionen; Rayleigh-Sommerfeld-Integrale; spektrale Zerlegung nach ebenen Wellen (Integraldarstellungen vom Weyl’schen Typ) . . . . . . Fernfeldauswertung von Rayleigh-Sommerfeld- und Weyl-Integralen . . . . . . . . . . . . .

14.1.2 14.1.3 14.2 14.2.1 14.2.2

429 429 430 440

Streifenf¨ormige Normal- und Tangentialkr¨afte auf der Oberfl¨ache eines Halbraums 441 EFIT-Wellenfonten des linien- und streifenf¨ormigen Aperturstrahlers auf der spannungsfreien Oberfl¨ache eines elastischen Halbraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 Streifenf¨ormige Normal- und Tangentialkraftdichteverteilung auf der spannungsfreien Oberfl¨ache eines elastischen Halbraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

XIV 14.2.3 14.2.4

Inhaltsverzeichnis Spektrale Zerlegung nach ebenen Wellen des zweidimensionalen Green’schen Tensors zweiter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 Fernfeld-Richtwirkungen f¨ ur linienf¨ormige Normal- und Tangentialkraftdichten auf einem spannungsfreien Halbraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

14.3 14.3.1 14.3.2

Kreisf¨ormige Normalkraft auf der Oberfl¨ache eines Halbraums: Punktrichtwirkungen451 Integraldarstellung vom Sommerfeld-Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 Punktrichtwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

14.4

Schallfelder piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

15

Streuk¨ orper im homogen-isotropen nichtdissipativen Vollraum

475

15.1 15.1.1

Huygens’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Begr¨ undung des elastodynamischen Huygens’schen Prinzips aufgrund physikalischer Argumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Herleitung des Huygens’schen Prinzips skalarer akustischer Felder Mathematische Herleitung des Huygens’schen Prinzips elastodynamischer Felder .

476

15.1.2 15.1.3 15.2 15.2.1 15.2.2 15.2.3 15.3 15.3.1 15.3.2 15.3.3 15.4 15.4.1 15.4.2 15.4.3 15.4.4

477 482 486

Integralgleichungen f¨ ur die a¨quivalenten Quellen eines spannungsfreien Streuk¨orpers489 Integralgleichungsbeziehung zwischen sekund¨aren Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 Streuk¨orper mit spannungsfreier Oberfl¨ache: Displacement Field Integral Equation und Stress Field Integral Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 Kirchhoff-N¨aherung in der Elastodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 Integralgleichungen f¨ ur die ¨aquivalenten Quellen eines penetrablen Streuk¨orpers . 506 Integralgleichungen f¨ ur die ¨aquivalenten Volumenquellen inhomogen-anisotroper Streuk¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 Born’sche N¨aherung f¨ ur inhomogen-anisotrope Streuk¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 System gekoppelter Integralgleichungen f¨ ur die ¨aquivalenten Fl¨achenquellen homogenisotroper Streuk¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 Streutensor; Streufernfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Streutensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweidimensionale skalare Streuprobleme: SH-Impuls-Streufernfelder des kreiszylindrischen Hohlraums und des streifenf¨ormigen Risses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweidimensionale Streuprobleme: P-SV-Impuls-Streufernfelder des kreiszylindrischen Hohlraums und des streifenf¨ormigen Risses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dreidimensionale Streuprobleme: P-S-Impuls-Streufernfelder des kugelf¨ormigen Hohlraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

510 510 514 525 535

15.5

3D-Systemmodell der Ultraschallimpulsstreuung in Kirchhoff-N¨aherung . . . . . . . . . . 554

16

Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren

16.1

SAFT: Synthetic Aperture Focusing Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

16.2 16.2.1 16.2.2 16.2.3 16.2.4 16.2.5

FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique . . . . . . . . . . . Skalare sekund¨are Quellen: Kontrastquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrastquelleninversion (CSI): Contrast Source Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verallgemeinerte Holographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique . . . . . . . . . . . Exakte Herleitung der Impuls-Echo-Version von SAFT f¨ ur ebene Messfl¨achen . . . .

574 574 577 578 580 587

A

Formelsammlung

593

A.1

Vektoridentit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

567

Inhaltsverzeichnis

XV

A.2 A.2.1 A.2.2 A.2.3 A.2.4 A.2.5

Tensoridentit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Permutationstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adjungierte und Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

594 594 596 598 599 600

A.3 A.3.1

Koordinatensysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 Kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

A.4

Orthogonale krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

A.5

Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

A.6

Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

A.7 A.7.1

Nabla-Identit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 Allgemeine Skalar-, Vektor- und Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

A.8

Spezielle Ortsvektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

B

Literaturverzeichnis

Index

623 635

Ultraschall-Prüfung von KARL DEUTSCH seit 1951 Digital-ECHOGRAPH 1090 Prüfgerät Anwendungsbeispiel: Ultraschall-Prüfung an SchwebebahnAchsen, Stadtwerke Wuppertal ECHOMETER Wanddickenmessgerät Anwendungsbeispiel: Restwanddicken-Messung an Rohrleitungen ECHOGRAPH 1094 Multiplexer Anwendungsbeispiel: Mobiles Prüfgerät für die Grobblech-Prüfung ECHOGRAPH 1093 Prüfelektronik Anwendungsbeispiel: Prüfelektronik bis 8 Kanäle, z.B. für die Tauchtankprüfung ECHOGRAPH 1155 Prüfelektronik Anwendungsbeispiel: Schweißnaht-Prüfanlage mit 30 Prüfköpfen und 48 Prüfkanälen

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1

Inhalt

1.1

Einleitung

Die zerst¨orungsfreie Pr¨ ufung mit Ultraschall (US-zfP) beruht auf der Erzeugung, Ausbreitung und Beugung elastischer Wellen in Festk¨orpern; weder vom physikalischen Verst¨andnis noch von der mathematischen Formulierung her ist diese Thematik besonders einfach. Der Grund liegt insbesondere auch darin, dass elastische Wellen (im isotropen Material) in zwei Moden“, ” n¨amlich als Druck- und Scherwellen (Long- und Transwellen) unterschiedlicher Geschwindigkeit auftreten. Dadurch wird die Interpretation von Ultraschallsignalen sehr erschwert, sie ist h¨aufig allein auf der Grundlage gesunden Menschenverstandes“ gar nicht m¨oglich; man ben¨otigt ” die Hifsmittel der mathematisch-numerischen Modellierung elastischer Wellenausbreitung. Damit lassen sich sodann heuristisch eingef¨ uhrte Begriffe wie Ultraschallstrahl“ oder Reflektor“ ” ” pr¨azisieren. Die zfP spricht z.B. vom Schalldruck, der in einem A-Bild dargestellt ist; gemeint ist damit die skalare Feldgr¨oße Druck“ p(R, t) an einem bestimmten Messpunkt, den wir durch seinen ” Ortsvektor R kennzeichnen, als Funktion der Zeit t. Der Druck ist eine skalare Gr¨oße, da er durch Angabe einer (dimensionsbehafteten) Zahl festgelegt ist. Die physikalisch grundlegende Feldgr¨oße elastischer Wellen ist jedoch die vektorielle Teilchenverschiebung u(R, t) mit im Allgemeinen drei skalaren Komponenten; diese wiederum definiert den (symmetrischen) Deformationstensor S(R, t) mit neun skalaren Komponenten, der u ¨ber das Hooke’sche Gesetz als Materialgleichung mit dem ebenfalls symmetrischen Spannungstensor T(R, t) verkn¨ upft ist. Dies macht deutlich, dass die Physik elastischer Wellen durch eine Theorie orts- und zeitabh¨angiger Skalar-, Vektor- und Tensorfelder zu beschreiben ist. Wir wollen im Folgenden versuchen, diese Theorie zu skizzieren und anhand von Beispielen plausibel zu machen. Es soll daf¨ ur durchaus die jeweils notwendige Mathematik benutzt werden, wir versuchen aber, die Bedeutung einzelner Formalismen anschaulich zu erkl¨aren. Wir definieren zun¨achst ortsabh¨angige Skalar-, Vektor- und Tensorfelder und deren algebraische Verkn¨ upfungen; sodann sprechen wir u ¨ber r¨aumliche und zeitliche Ver¨anderungen derartiger Felder, insbesondere u ¨ber Gradienten, Quell- und Wirbeldichten. Der Zeit t steht als konju” gierte Variable“ die (Kreis-)Frequenz ω gegen¨ uber, quantifiziert wird der Frequenzgehalt eines Impulssignals durch die Fourier-Transformation. Zur Beschreibung eines Ultraschallstrahls ist jedoch auch die Fourier-Transformierte bez¨ uglich r¨aumlicher (kartesischer) Koordinaten von Nutzen. Elastische (Ultraschall-)Wellen werden von Pr¨ ufk¨opfen“ erzeugt: Den Zusammenhang ” zwischen dem Schallfeld und seinen Quellen vermitteln Green’sche Funktionen, die nichts anderes als die Wellenfelder von idealisierten punktf¨ormigen Quellen darstellen. Zur mathematischen Beschreibung ist deshalb die Definition einer solchen Punktquelle erforderlich, und dies gelingt mit der (Dirac’schen) Deltafunktion, die jedoch keine Funktion im klassischen Sinn“, sondern ” eine Distribution ist, sodass wir diese Begriffsbildung n¨aher erl¨autern m¨ ussen und werden. Mit diesem mathematischen R¨ ustzeug wenden wir uns der Untersuchung der vier fundamentalen zfP-relevanten Probleme zu: Ausbreitung elastischer Wellen in isotropen und anisotropen Materialien — idealisiert als ebene Wellen und Punktquellen-Elementarwellen —, Abstrahlung von Volumen- und Fl¨achenquellen, Streuung an Materialinhomogenit¨aten und Abbildung derartiger Inhomogenit¨aten, sprich: Materialfehlern.

2

1 Inhalt

Wir beschreiben im Folgenden das Flussdiagramm in Abb. 1.2.1, das quasi den roten Faden dieser Ausarbeitung darstellt.

1.2

Inhalt als Flussdiagramm

Grundlage der linearen Elastodynamik, und damit elastischer Wellen, ist zum einen die Newton¨ Cauchy’sche Bewegungsgleichung — sie verkn¨ upft die zeitliche Anderung der Impulsdichte mit der Quelldichte des Spannungstensors und a¨ußeren (vorgegebenen) Kraftdichten — und zum anderen die Deformationsratengleichung als Definition der zeitlichen Ableitung des Deformationstensors durch den symmetrischen Anteil der Gradientendyade der Teilchengeschwindigkeit; vorgegebene Quelle in dieser Gleichung ist die injizierte Deformationsrate. An Materialsprung¨ stellen, z.B. dem unstetigen Ubergang zwischen Basismaterial und Ung¨anze, reduzieren sich ¨ diese Gleichungen auf Ubergangsbedingungen f¨ ur die Komponenten der Teilchengeschwindigkeit und des Traktionsvektors als Projektion des Spannungstensors auf den Normalenvektor der Sprungfl¨ache. Da in beiden Gleichungen jeweils unterschiedliche Feldgr¨oßen vorkommen, k¨onnen sie so noch nicht kombiniert und gemeinsam gel¨ost werden: Es bedarf einer Aussage u ¨ber die Materialeigenschaften — Verkn¨ upfungen der Feldgr¨oßen in Form von Materialgleichungen —, die nicht unmittelbar aus den Grundgleichungen folgen, sondern aufgrund der physikalischen Eigenschaften der Materialien postuliert werden m¨ ussen. Mit derartigen Materialgleichungen ergeben sich die eigentlichen“ elastodynamischen Grundgleichungen als gekoppeltes System ” partieller Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Materialgleichungen d¨ urfen dabei physikalische Grundprinzipien, z.B. den Energiesatz elastodynamischer Felder, nicht verletzen, und dies hat gewisse Symmetrien der involvierten Materialtensoren zur Folge, in der linearen nichtdissipativen Materialgleichung Cauchy-Hooke’sches Gesetz“ eine charakteristische Symmetrie ” des Steifigkeitstensors vierter Stufe. Die so entstandenen elastodynamischen Grundgleichungen gilt es nun entsprechend den Fragestellungen der US-zfP zu l¨osen; je mehr sich die Fragestellung an einer komplexen Realit¨at orientiert — z.B.: Fehlerabbildung in einer Mischschweißnaht —, umso unwahrscheinlicher ist es, dass man eine L¨osung mit Papier und Bleistift“, d.h. mit ana” lytischen Methoden, finden wird. Es sind numerische Methoden gefragt. Diese k¨onnen einerseits nach analytischer Vorarbeit greifen, sie k¨onnen andererseits aber auch direkt den elastodynamischen Grundgleichungen angepasst werden. Ein von uns entwickeltes Verfahren der zweiten Kategorie ist die Elastodynamic Finite Integration Technique — der EFIT-Code —, der außer den Grundgleichungen, den vorgegebenen Quellen, der vorgegebenen Materialstruktur und den ¨ Ubergangsbedingungen nichts ben¨otigt. Wir werden in der vorliegenden Ausarbeitung h¨aufig Ergebnisse diskutieren, die mit dem EFIT-Code gewonnen wurden, wir werden das Verfahren hier aber nicht weiter beschreiben, da es an anderer Stelle hinreichend dokumentiert ist (Fellinger, 1991; Fellinger et al., 1995; Marklein, 1997; Langenberg et al., 2002; Marklein, 2002; Bihn, 1998). Die formale Struktur der Grundgleichungen der linearen Elastodynamik ist identisch mit derjenigen der Grundgleichungen der linearen Akustik — Newton-Gleichung, Dilatationsratengleichung — und derjenigen der Maxwell-Gleichungen als Grundgleichungen des Elektromagnetismus; abgesehen nat¨ urlich von der physikalischen Bedeutung der Feldgr¨oßen sind allein die Ortsdifferentiationen unterschiedlich, wobei sich die Maxwell-Gleichungen dadurch auszeichnen, dass jeweils ¨ in beiden Gleichungen der Rotationsoperator auftritt. Aufgrund dieser Ahnlichkeit weisen auch ¨ die L¨osungen Ahnlichkeiten auf, und deshalb erscheint es uns zweckm¨aßig, der vorliegenden Ausarbeitung Abschnitte u ¨ber die Grundl¨osungen der Akustik und des Elektromagnetismus hinzuzuf¨ ugen: ebene Wellen, Green’sche Funktionen, Huygens’sches Prinzip. Das ist nat¨ urlich auch f¨ ur zfP-Anwendungen an sich“ von Interesse. Dar¨ uber hinaus dienen uns akustische, d.h. ” skalare Felder, h¨aufig dazu, den roten Faden in den mitunter durch Vektor- und Tensorrech-

1.2 Inhalt als Flussdiagramm

........................................................................... ........................................................................... ............................................................................................................... ... ... ... ..... ..... .. ... ¨ ... Elektro... Lineare Elastodynamik:.... . ... ... ............................................. Ubergangsbed.,..... .... . ... magnetismus: .... . . Newton-Cauchy-Gl., ... .. .. .. . .... . Randbed. . . . ..... . ... ... ... Deformationsratengl. ... .. . . . . . . ... Maxwell-Gln. .... . ............................................................................ ................................................................................................................ ........................................................................ ... ... ... ... ... ... Energiesatz ... ..... ..... .............................................................................................................. ... ... .. ... ... .... ......... ......... .......... ......... . . . . ... .. ... ................................................................................................................. ............................................................................ ............................................................................. ................................................................................................................. ... ... ... ... ... ... ... . . ..... . ... ... . . Elastodynamische .... .... .... ... ... Maxwell-Gln.: .... . .. . .. ... ... .... ... ................................................. Materialgleichungen ................................................... EFIT ... . . . . EQS-N¨ a herung Grundgleichungen . . . . . .... . ... . . . ... .... .... .. ... .... ... ... ... ................................................................................................................ ............................................................................................................ .......................................................................... ............................................................................ ... ... ... ... .. . ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .... aniso diss .......... hom, iso piezoel. .................... n.-diss........... hom, iso n.-diss........... hom, aniso n.-diss..........inhom, . .... .... .... ... ... ... ........................................................................... ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................. ............................................................................ ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... .... .... ... ... .... .... .... .... .... .... .... ..... Helmholtz- ............. ..... WellenWellenWellenWellenWellen... . ... . .... .... .... ... .... ... ..................... .... .... .... .. .... . . . . Gleichung v Gleichung v Gleichung v Gleichung v Gleichung v ... . . . . . . Potentiale . . . . . . . . . . ... ..... ..... ..... ..... ..... ... ... ... ... ... ... ... ............................................................................ ................................................................................ ............................................................................ ............................................................................. ............................................................................ ......................................................................... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .. ................................. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ................................................................ .... .... ... .... ... ... .... .... ..... .. .............................. ..... ... ... ... ......... .......... .......... .......... .. ............................ ........... . .. .. ........................................ ........................................ ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................. .... .... .............................................................................. .... .............................................................................. ... . .... ..... ..... ..... ... .... .... . .... .... .... ... .... .... ... ... ... ... ... ... .... piezoel. ged. u. inh. ..... Rayleigh... ... .... .... .... hom./inhom. ... .... .... hom./inhom. ... . . .. .. .. ... .. .. ... ... .... . .... .... . . .. . . . . . . . .... ..... ebene Wellen ..... .... ebene Wellen ..... .... ..... Wellen ..... .... .... .... ebene Wellen ..... .... .... ebene Wellen ..... ... ... ... ... ... .. . . ... ... . ... ... ... ... . . . . . .... ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ... .... .............................................................................. ... ............................................................................. . . .... .... .... .... ..... ..... ..... .... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . .... .... .... ........................................................................... ..... ............................................ ......................... .... .... .. ... .. .. .. ... ... ... ......... ......... ......... ......... .. .......................................... .... ............................................................................... .... ............................................................................... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................... .. .... ... .... .. ... .... ... ... . .. . . . .... ... Reflexion, Reflexion, . . ... ... . ... .. ... ... . . . . . . . . aquivalente ... ¨ Moden im ... .. ... .. .. .... ... .. . . . .... ..... . . . ... .. Transmission .. .. .. Transmission .. ... . .. Wellenleiter .... ... . ... .. . Quellen .... . . . . . . ... .. ... ... . . ... ... . . ... . . . . . . . . . . .Modekonversion . .Modekonversion . . . .... ........................................................................... .... ........................................................................... ............................................................................ ........................................................................... ..... .... ..... ... .... ... ... ... ... .. .... .... ................................................. ... ... . .... .... .. .. ...... . .. . ... .... .......................................... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ..... ..... ..... .... .... .... .... ... Green’sche ...... ... ... ... ................................................ ............. .. . .... .... . .... . ..... Funktionen ... ... ... ... .. .. . . . . . .... ... . ........................................................................... .... .... . ... . . . . .... .... ... .. . .... .... ... ... ... ... ... .... . .. .. . ..... . . . . . . . . . . ................................................................................................ . .... ... ..... ..... .... .... .... . ... . ... .. ......... ......... . ......... . .......... . . ... ... . ... . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... ........................................................................ ......................................................................... ......................................................................... .. . .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . ... ... . . . . .. . Strahlen, Strahlen, . . . . ... . . . Spektren ..... ..... .... ...Volumenquellen-.... .... ... .. .. .. .... . ... . . Gauß’sche Gauß’sche .................................. ebener Wellen ..... .................. . . . .... . . . . . . felder ..... Wellenpakete ..... ... ... .... .... .... .... .... Wellenpakete .... ..... . . ... ........................................................................... ........................................................................... ... ........................................................................... ... ........................................................................... .... ..... ..... .... .... .... ... ... ... ....................................................................... . ... ... .... ..... ... .... ... ......... ......... ......... ... .. .. .. . ........................................................................... ... ............................................................................... ... .. .... ... . . ... . . . ......... .... ..... ... ..... .... HuygensDatengl. . .. ... ... . . . . . ........................................................ . ..................................................... ... ..... ... .... .... .....sekund. Quellen.... . Prinzip .... .... .. .... .... .. .... . . . .. .. . ... ... ... . . . . . ....................................................................... .. ........................................................................ ... ... ... ..... ..... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... ..... ..... .... .... ... ........ ........ ... ... ... ... ... . . . . ......................................................................... . .......................................................................... .... ..... ..... .... ... ... .... .. Objektgl.: .. .. .. .. .... . ... . . Fl¨ achen... . ... ... . ............................................................. . . . . . . . . . . . ......................................................... .... ..... ... .... Integralgl. ...... ..... ..... (Lippmann- ...... .... .... .... ... ... ... Schwinger-Gl.) ... ... ... ... . ......................................................................... ... ........................................................................... ... ..... ..... ... ... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ..... ..... ..... ..... ..... .... .......... .......... .......... .......... . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................ .......................................................................... .......................................................................... .......................................................................... .. ........................................................................... .... .... .... .... .. ... ... ... ... ... ... . . .... Punktquellen- .... .... .... Punktquellen- ... .... .... .... Kirchhoff’sche ...... ...... ...... Born’sche ... ... ..... .... ................................. ............................... .. ... ... . .. . . GTD .... .... . .. . . . . .... . . . . N¨ aherung N¨ aherung synthese synthese . . .. .. . ..... .... .... ..... .. ... ... ... .. .. ... .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. ..... ............................................................................... .... ... ... ... ... ......... .. . . .......................................................................... .... .. .... .... ... .... SAFT“ .... .... ” ... .... .... .........................................................................

............................................................................................................... ... .... Lineare Akustik: ... .... ... .... Newton-Gl., ..... .... .... Dilatationsratengl. .. ..............................................................................................................

Abb. 1.2.1: Inhalt als Flussdiagramm

3

4

1 Inhalt

nung etwas verschleierten Gedankeng¨angen der Elastodynamik aufzufinden. Schlussendlich ist die Elastodynamik im Zweidimensionalen f¨ ur horizontal polarisierte Scherwellen streng skalar. Das gekoppelte System partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung der elastodynamischen Grundgleichungen f¨ ur die Teilchengeschwindigkeit und den Spannungstensor kann f¨ ur die unterschiedlichsten Materialien in je eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung f¨ ur die Teilchengeschwindigkeit bzw. den Spannungstensor allein entkoppelt werden: Es entstehen Wellengleichungen, von denen diejenige f¨ ur die Teilchengeschwindigkeit v(R, t) in der Regel Grund¨ lage weiterer Uberlegungen ist. Am einfachsten wird sie f¨ ur lineare nichtdissipative homogene isotrope Materialien. In diesem Fall kann man durch Einf¨ uhrung der Helmholtz-Potentiale eine weitere Entkopplung in Druck- und Scherwellen vornehmen. Dieser einfachen“ Wellengleichung ” ur lineare nichtdissipative inhomogene und/oder anisotrope f¨ ur v(R, t) stellen wir diejenigen f¨ Materialien gegen¨ uber und diskutieren des Weiteren das Vorhandensein von Dissipation. Falls Materialien den piezoelektrischen Effekt zeigen, sind die elastodynamischen Grundgleichungen mit den Maxwell’schen Gleichungen gekoppelt, man gelangt zu einer piezoelektrischen Wellen” gleichung“ f¨ ur die elastischen Wellen, wenn man die Maxwell’schen Gleichungen in der elektroquasistatischen N¨aherung benutzt. Hierzu finden sich Details bei Marklein (1997). ur lineare nichtdissipative homogene isotrope Materialien liefert Die v(R, t)-Wellengleichung f¨ uns in Form ihrer Grundl¨osungen — ebene Wellen, Green’sche Funktionen als Elementarwellen von Punktquellen — die Basis der US-zfP-Terminologie: Long- und Transwellen, Ultraschallstrahlen, Punktquellensynthese. Zum einen sind ebene Wellen fundamental f¨ ur das Verst¨andnis der Ausbreitung elastischer Wellen im Allgemeinen und zum anderen stellen sie Bausteine zur mathematischen Beschreibung realistischer Schallfelder dar. Ebene Wellen ergeben sich als einfachste L¨osungen der homogenen Wellengleichung, d.h. der Wellengleichung ohne vorgegebene Quellen, die man mit dem Ansatz Welle mit ebener Phasenfl¨ache“ als Eigenwertpro” blem schreibt: Ihre Phasengeschwindigkeiten sind die Eigenwerte und ihre Polarisationsvektoren sind die Eigenvektoren. Im isotropen Material fallen zwei der drei Eigenwerte zusammen, sie beschreiben sekund¨are ebene Wellen, w¨ahrend der verbleibende Eigenwert prim¨are ebene Wellen beschreibt, die deswegen so benannt sind, weil sie wegen der gr¨oßeren Phasengeschwindigkeit stets zuerst an einem Beobachtungspunkt ankommen. Die Polarisation ebener prim¨arer Wellen ist longitudinal und diejenige ebener sekund¨arer Wellen ist transversal, und zwar wegen der beiden zusammenfallenden Eigenwerte beliebig transversal zur Ausbreitungsrichtung. Die US-zfP-Terminologie Long- und Transwellen“ kann also f¨ ur ebene Wellen synonym zu ” prim¨ar/sekund¨ar“ benutzt werden. Allgemeiner, weil auch f¨ ur Schallfelder von piezoelektri” schen Pr¨ ufkopfen g¨ ultig, ist die Bezeichnung Druck- und Scherwellen“, denn im homogenen ” isotropen Material sind prim¨are Wellen stets Druck- und sekund¨are Wellen stets Scherwellen. Im nichtdissipativen homogenen isotropen Material fallen die Phasen- und Amplitudenfl¨achen ebener Wellen entweder zusammen, es sind homogene ebene Wellen, oder sie stehen senkrecht aufeinander, es sind inhomogene ebene Wellen. Letztere begegnen uns bei der Reflexion ebener Wellen an ebenen Grenz- oder Trennfl¨achen elastischer Halbr¨aume, es sind querged¨ampfte Oberfl¨achenwellen. Die Reflexion, Modekonversion und Transmission ebener elastischer Wellen — seien es Druckwellen oder Scherwellen in horizontaler oder vertikaler Polarisation — an der ebenen Grenzoder Trennfl¨ache von nichtdissipativen homogenen isotropen Halbr¨aumen ist f¨ ur die US-zfP eine wichtige kanonische, weil analytisch l¨osbare Aufgabenstellung, deren L¨osung wir ausgiebig diskutieren werden; sie ist zudem ein Beispiel f¨ ur die Entkopplung der beiden Scherwellenpolarisationen bei streng zweidimensionalen Problemen. Bei dieser Gelegenheit werden wir auch den Begriff des Schalldrucks kritisch beleuchten: Er kann f¨ ur ebene Wellen zwar u ¨ber den Spannungstensor definiert werden, er stellt aber keine Feldgr¨oße dar, die an Materialsprungstellen ¨ Ubergangsoder Randbedingungen erf¨ ullt.

1.2 Inhalt als Flussdiagramm

5

¨ Die amplitudenm¨aßig fein abgestimmte“ Uberlagerung querged¨ampfter Druck- und Scherwellen ” an der spannungsfreien Grenzfl¨ache eines elastischen Halbraums f¨ uhrt zur Rayleigh-Welle als spezieller L¨osung der homogenen Wellengleichung. Hinsichtlich der modalen Ausbreitung elastischer Wellen in Wellenleitern, seien es horizontal polarisierte Scherwellen oder Lambwellen, verweisen wir auf die Literatur (Rose, 1999). Ebene Wellen mit ihren unendlich ausgedehnten Phasen- und Amplitudenfl¨achen haben eine unendlich große elastodynamische Energie, sie sind also physikalisch nicht realistisch. Nichtsdestoweniger kann man sie in einem r¨aumlichen Spektrum ebener Wellen zur Modellierung realistischer Schallfelder verwenden. Dies gilt insbesondere dann, wenn man die Green’schen Funktionen als von Punktquellen ausgehende elastische Elementarwellen nicht analytisch kennt, was beispielsweise bereits f¨ ur den nichtdissipativen homogenen isotropen Halbraum mit ebener spannnungsfreier Oberfl¨ache der Fall ist: Man kennt nur deren spektrale Zerlegung nach ebenen elastischen Wellen, kann auf diese aber die Methode der Station¨aren Phase anwenden, um im Fernfeld die f¨ ur Schallfelder piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe so wichtigen Miller-Pursey-Faktoren zu berechnen. Mit dem r¨aumlichen Spektrum ebener Wellen gelangt man durch Einf¨ uhrung der paraxialen N¨aherung zu einer mathematischen Darstellung zeitharmonischer Gauß’scher Strahlen, den — zun¨achst skalaren — Ultraschallstrahlen. Die Verallgemeinerung auf gepulste Gauß’sche Strahlen oder Gauß’sche Wellenpakete erweist sich auf dieser Schiene aber problematisch: Man startet besser von einer parabolisch approximierten Wellengleichung, l¨ost diese aber exakt. Entsprechende Strahll¨osungen findet man auch f¨ ur die Wellengleichungen (schwach) inhomogener isotroper und sogar anisotroper Materialien, sie treten in derartigen Materialien an die Stelle der nicht mehr existenten ebenen Wellen, sind zwar mathematisch komplexer aber gleichzeitig physikalisch realistischer! Bis dato waren noch keine Quellen elastischer Wellen ins Spiel gekommen, dies geschieht unter dem Stichwort Green’sche Funktionen“. Bevor wir jedoch darauf eingehen, seien die Varianten ” von Wellengleichungen f¨ ur Materialien mit weitergehenden Eigenschaften angesprochen. F¨ ur nichtdissipative homogene anisotrope Materialien l¨asst die zugrunde liegende homogene Wellengleichung ebenfalls ebene Wellen als L¨osungen zu, wobei zun¨achst die Entartung der f¨ ur isotrope Materialien zusammenfallenden Scherwelleneigenwerte aufgehoben ist: Es existieren drei voneinander unabh¨angige Wellenmoden mit jeweils unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten. Deren Polarisationen sind auch nicht mehr long“ oder trans“, sondern nur noch quasi ” ” longitudinal bzw. quasi -transversal, wobei die Polarisationsvektoren ein orthogonales Dreibein bilden, das nunmehr allerdings zwingend vorgegeben ist, d.h. auch die quasi-transversalen Polarisationen sind durch die Anisotropie festgelegt. Ebenso wie die longitudinale und transversale Polarisation geht auch die physikalische Eigenschaft von Druck- und Scherwellen verloren: quasilongitudinale ebene Wellen sind nur noch quasi-Druckwellen — bei schwacher Ansiotropie gehen sie in longitudinale Druckwellen u ¨ber — und quasi-transversale ebene Wellen sind nur noch quasi-Scherwellen, die bei schwacher Anisotropie in transversale Scherwellen u ur ¨bergehen. Die f¨ die US-zfP wichtigsten Konsequenzen der Anisotropie sind allerdings die folgenden: Die Phasengeschwindigkeiten der drei Wellenmoden h¨angen von der Ausbreitungsrichtung der Phase ab, und die Richtung der Energieausbreitung — gegeben durch den elastodynamischen PoyntingVektor und beschrieben durch den Vektor der Energiegeschwindigkeit — f¨allt nicht mehr mit der Richtung der Phasenausbreitung zusammen, d.h. die Energiegeschwindigkeit steht nicht mehr senkrecht auf den Phasenfl¨achen. Ein f¨ ur isotropen — ferritischen — Stahl dimensionierufkopf erzeugt in austenitischem Stahl einen Ultraschallstrahl in v¨ollig ter 45o -Scherwellen-Pr¨ anderer Richtung! F¨ ur einen Ultraschallimpuls ist deshalb stets Betrag und Richtung der Energiegeschwindigkeit als Ausbreitungsgeschwindigkeit zu verwenden. Im Detail besprechen wir die obigen Ergebnisse nur f¨ ur den einfachsten Fall der Anisotropie, die sich durch eine Vorzugsrich-

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1 Inhalt

tung auszeichnet, senkrecht zu der das Material nach wie vor isotrop ist: Man spricht von einer derart eingeschr¨ankten Isotropie als transversaler Isotropie. F¨ ur diesen Fall, der z.B. n¨aherungsweise f¨ ur austenitischen Stahl und kohlefaserverst¨arkten Kunststoff realisiert ist, diskutieren wir auch die Reflexion, Modekonversion und Transmission an der ebenen Trennfl¨ache zwischen einem isotropen und einem transversal-isotropen Halbraum. Die Selektion physikalisch m¨oglicher Wellenmoden erfolgt dabei stets mit dem Energiegeschwindigkeitsdiagramm (nicht mit dem Slowness-Diagramm wie im isotropen Fall); auch die Querd¨ampfung inhomogener Wellen ist bez¨ uglich der Richtung der Energiegeschwindigkeit definiert. Die Wellengleichung f¨ ur nichtdissipative inhomogene Materialien, seien sie isotrop oder anisotrop, ist insofern komplizierter als sich die r¨aumlichen Differentiationen — Nabla-Operationen — auch auf die Materialparameter erstrecken, im isotropen Material auf die Lam´e’schen Parameter, im anisotropen Material auf den Steifigkeitstensor. Der Ansatz ebener elastischer Wellen funktioniert deshalb nicht mehr! Man versucht es mit einer Verallgemeinerung und setzt lokal ebene Wellen mit nichtlinear ortsabh¨angiger Phase und ortsabh¨angiger Amplitude an. Damit man nicht sogleich mit dem Vektor- und Tensorformalismus elastischer Wellen konfrontiert wird, ist es zweckm¨aßig, zun¨achst skalare akustische Wellen mit einem entsprechenden Ansatz in Materialien zu untersuchen, in denen die Schallgeschwindigkeit ¨ortlich variiert; falls das Material u ur ¨ber einer Wellenl¨ange nur langsam ver¨anderlich ist, findet man eine Differentialgleichung f¨ die Phase — die Eikonalgleichung — und eine Differentialgleichung, in der die Phase und die Amplitude gekoppelt sind, die Transportgleichung. Die L¨osungen der Eikonalgleichung sind die — nicht ebenen — Fl¨achen konstanter Phase, senkrecht darauf steht der Phasenvektor, der damit eine Strahltrajektorie definiert, die im Englischen als ray bezeichnet wird, im Unterschied zum (Gauß’schen) Strahl, dem beam. Da wir im Deutschen nur das Wort Strahl“ kennen, ” benutzen wir Ray und Beam zur Unterscheidung. Interessanterweise gelangt man durch eine Taylorentwicklung der Phase zu einem Beam, der sich im inhomogenen Material entlang des Rays, der Strahltrajektorie, ausbreitet. Nunmehr ist man ger¨ ustet, Rays und Beams elastischer Wellen zu untersuchen. Man findet Parallelen zu den ebenen Wellen in homogenen Materialien: In inhomogen-isotropen Materialien k¨onnen sich unabh¨angig voneinander longitudinale und transversale Beams entlang prim¨arer und sekund¨arer (Phasen-)Rays ausbreiten, in inhomogenanisotropen Materialien sind die Polarisationen wieder mit dem Zusatz quasi“ zu versehen, ” und die Ausbreitung erfolgt entlang den Strahltrajektorien f¨ ur die Energie. Die entsprechenden Impulsl¨osungen sind sodann (Gauß’sche) Wellenpakete in derartigen Materialien. Die in der Wellengleichung f¨ ur nichtdissipative inhomogene (an)isotrope Materialien zus¨atzlich auftretenden Differentiationen der Materialparameter kann man insbesondere dann quasi zum Verschwinden bringen, wenn die Inhomogenit¨at des Materials auf Ung¨anzen“, d.h. auf endliche ” Volumina, konzentriert ist: Man fasst alle derartigen Terme auf der rechten Seite der Wellengleichung, auf der gew¨ohnlich sowieso die vorgegebenen (prim¨aren) Quellen stehen, zusammen und definiert damit sekund¨are Quellen, die der Wirkung der Ung¨anze ¨aquivalent sind und damit auch als ¨aquivalente Quellen bezeichnet werden. Man kann sodann ihre (Streu-)Strahlung formal genauso wie die Strahlung vorgegebener Quellen berechnen. Formal ist diese L¨osung deswegen, weil die ¨aquivalenten Quellen von ihrem eigenen Strahlungsfeld abh¨angen, man kennt sie also zun¨achst gar nicht explizit und muss sie deshalb als L¨osungen von Integralgleichungen erst bestimmen. Die Ber¨ ucksichtigung elastodynamischer Dissipation gelingt u ¨ber den Entwurf“ entsprechender ” Materialgleichungen. Dabei d¨ urfen keine physikalischen Grundprinzipien verletzt werden; das Kausalit¨atsprinzip hat unmittelbar die Frequenzabh¨angigkeit der Materialparameter und damit die Dispersion von Impulswellen zur Folge. Phasen- und Amplitudenfl¨achen zeitharmonischer ebener Wellen in homogenen dissipativen Materialien k¨onnen, entsprechend einer D¨ampfung in Ausbreitungsrichtung, zusammenfallen, oder sie k¨onnen einen beliebigen Winkel miteinander

1.2 Inhalt als Flussdiagramm

7

bilden, der aber nicht 90o sein darf. Derartige inhomogene ebene Wellen werden in dissipativen Halbr¨aumen durch Einfall ebener Wellen unter beliebigem Winkel angeregt: Die D¨ampfung erfolgt stets senkrecht zur Grenzfl¨ache und nicht in Ausbreitungsrichtung! Bisher haben wir nur u ¨ber idealisierte Grundl¨osungen homogener Wellengleichungen gesprochen, kamen dabei mit den Ultraschallstrahlen der mathematischen Beschreibung von Sendeschallfeldern aber schon recht nahe. Ultraschall muss jedoch erzeugt werden, es ist also nunmehr ein mathematischer Zusammenhang zwischen vorgegebenen Quellen — Kraftdichten und Deformationsraten — und deren elastodynamischem Strahlungsfeld gefragt (Wir ber¨ ucksichtigen stets beide Quellen, weil dies f¨ ur das elastodynamische Huygens’sche Prinzip von grundlegender Bedeutung ist.). Wieder sind es idealisierte Grundl¨osungen inhomogener Wellengleichungen, die uns weiterhelfen: Man gibt Punktquellen vor, berechnet deren Strahlungsfeld als sogenannte Green’sche Funktionen (der Wellengleichungen) und benutzt diese sodann aufgrund der Linearit¨at der elastodynamischen Grundgleichungen in einer Punktquellensynthese r¨aumlich verteilter Quellen, d.h. man zerlegt“ eine ausgedehnte Quelle in Punktquellen und superponiert ” deren Strahlungsfelder. Green’sche Funktionen sind nichts anderes als elastodynamische Elementarwellen, die von punktf¨ormigen Kraftdichten und Deformationsraten ausgehen; da man Ung¨anzen, wie bereits erw¨ahnt, durch sekund¨are oder ¨aquivalente Quellen beschreiben kann, wird auch deren Streufeld als Punktquellensynthese darstellbar sein, d.h. Green’sche Funktionen stellen letztendlich die mathematischen Bausteine zur L¨osung zweier fundamentaler Probleme der US-zfP dar: des Strahlungs- und des Streuproblems; dies unterstreicht deren eminente Bedeutung. Wir gehen deshalb auf die Berechnung Green’scher Funktionen detalliert ein. Da die elastodynamischen Wellengleichungen vektorielle Differentialoperatoren enthalten, die, auf die Teilchengeschwindigkeit oder -verschiebung angewandt, gerade die vorgegebenen Quellen liefern, wird es nicht ganz einfach sein, diese Operatoren zu invertieren, um die Teilchengeschwindigkeit oder -verschiebung explizit durch die Quellen darzustellen. Man spaltet deshalb das Problem auf: in die Invertierung der Differentiationen und die Invertierung der vektoriellen Operatoren. Letztere entfallen f¨ ur die Druck-Wellengleichung skalarer akustischer Wellen, also wird es zweckm¨aßig sein, zun¨achst deren (skalare) Green’sche Funktion zu berechnen und als Elementarwelle zu diskutieren. Wir tun dieses sowohl f¨ ur zeitharmonische als auch f¨ ur gepulste Punktquellen, und zwar sowohl in drei als auch in zwei Raumdimensionen, da eine konkrete US-Pr¨ ufsituation oft vereinfacht zweidimensional modelliert werden kann. Mit diesem R¨ ustzeug und der daraus resultierenden skalaren Punktquellensynthese akustischer Wellenfelder k¨onnen wir uns sodann der Elastodynamik zuwenden: Es stellt sich heraus, dass die soeben gefundene skalare Green’sche Funktion auch in diesem Fall eine zentrale Rolle spielt, es kommen zum einen schlicht und einfach die noch nicht ber¨ ucksichtigten invertierten Vektoroperationen ins Spiel und zum anderen ist der Tatsache Rechnung zu tragen, dass von Punktquellen (in homogenen isotropen Materialien) prim¨are Druck- und sekund¨are Scherwellen ausgehen, man also zwei skalare Green’sche Funktionen f¨ ur die entsprechenden Elementarwellen unterschiedlicher Geschwindigkeit ben¨otigt. Ergebnis sind tensorielle Green’sche Funktionen, und zwar tats¨achlich in der Mehrzahl, denn die vektoriellen Operationen m¨ ussen ja ber¨ ucksichtigen, ob wir beispielsweise die Teilchenverschiebung einer punktf¨ormigen Kraft oder einer punktf¨ormigen Deformationsrate berechnen wollen. Im ersten Fall ben¨otigt man einen Green’schen Tensor zweiter Stufe und im zweiten Fall einen Green’schen Tensor dritter Stufe; beide bestehen aber stets aus einem Druck- und einem Scherterm. Die unterschiedlichen tensoriellen Operationen an der prim¨aren und an der sekund¨aren skalaren Green’schen Funktion bestimmen die richtungsabh¨angigen Am¨ plituden der entsprechenden, im homogenen isotropen Material im Ubrigen kugelf¨ormigen, Elementarwellen, im Fernfeld also ihre Punktrichtwirkungen. Es sei explizit darauf hingewiesen, dass Druck-Elementarwellen nur im Fernfeld longitudinal und Scher-Elementarwellen nur im Fernfeld transversal sind. Falls man nicht nur die Teilchengeschwindigkeit oder die Teilchenverschiebung als Punktquellensynthese vorgegebener Quellen, sondern auch den Spannungstensor

8

1 Inhalt

entsprechend berechnen will, tritt zum einen wieder der Green’sche Tensor dritter Stufe — er repr¨asentiert die Spannungselementarwelle einer Kraftdichte —, zum anderen aber auch noch ein Green’scher Tensor vierter Stufe auf, der die Spannungselementarwelle einer Deformationsrate darstellt. Mit der Kenntnis der mathematischen Struktur elastodynamischer Elementarwellen in Form Green’scher Funktionen k¨onnen wir nun die Punktquellensynthese vorgegebener Volumenquellen, d.h. in nichtdissipative homogen-isotrope Materialien unendlicher Ausdehnung eingebrachte Kraft- oder Deformationsratenquellen, als Volumenintegral u ¨ber die Quellen multipliziert mit den passenden“ Green’schen Funktionen, formulieren. Wir untersuchen ganz all” gemein deren Fernfeldapproximation in zwei und drei Raumdimensionen und definieren elastodynamische Richtdiagramme. Spezialf¨alle von Volumenquellen sind fl¨achenhafte Quellen, die, sofern sie im elastischen Vollraum angesiedelt sind, eine Vorstufe des Aperturstrahlers der USzfP darstellen; wir diskutieren deshalb insbesondere derartige Beispiele, und zwar, wie fast stets in dieser Ausarbeitung, auch f¨ ur Impulsabstrahlung. Green’sche Funktionen stellen physikalische Wellenfelder dar, die in dem Halbraum, der die Punktquelle nicht enth¨alt, einer homogenen Wellengleichung gen¨ ugen. Derartige Wellenfelder konnten wir r¨aumlich spektral nach ebenen Wellen zerlegen, folglich existieren auch spektrale Zerlegungen von kugelf¨ormigen Elementarwellen nach ebenen Wellen, oder, mathematisch ausgedr¨ uckt, Darstellungen Green’scher Funktionen durch zweidimensionale inverse FourierIntegrale (Weyl’sche Integraldarstellungen). Diese werden uns f¨ ur die Berechnung von Schallfeldern in elastischen Halbr¨aumen mit ebenen spannungsfreien Grenzfl¨achen ¨außerst n¨ utzlich sein. In der Tat sind es ja nicht Volumen- oder Fl¨achenquellen im unendlich ausgedehnten Material, die in der US-zfP eine Rolle spielen, sondern es sind Aperturstrahler auf den Oberfl¨achen von Bauteilen, die in der Regel als spannungsfrei angesehen werden k¨onnen. Das Schallfeld eines dort angesiedelten Aperturstrahlers muss dann aber auch die Randbedingung der Spannungsfreiheit erf¨ ullen, und mit unserer bisherigen Punktquellensynthese geht das nicht, da wir darin ja Green’sche Funktionen des unendlichen Raums verwenden; es m¨ ussen Green’sche Funktionen gefunden werden, die mit dieser Randbedingung vertr¨aglich sind! F¨ ur skalare akustische Wellen ist die L¨osung vergleichsweise einfach, da die entsprechenden Green’schen Funktionen — sofern die in Rede stehend Fl¨ache eine ebene Fl¨ache ist — durch Spiegelung einer Punktquelle an der Fl¨ache berechnet werden k¨onnen. Aufgrund der Modekonversion gilt jedoch f¨ ur elastische Wellen das Spiegelungsprinzip nicht, und deswegen findet man auch keinen expliziten analytischen ucke f¨ ur die relevanten Green’schen Tensoren: Man findet nur Integraldarstellungen vom Ausdr¨ Weyl’schen Typ! Mit der Methode der Station¨aren Phase kann man diese Integraldarstellungen im Fernfeld aber in explizite Ausdr¨ ucke verwandeln“, man erh¨alt die Punktrichtwirkungen von ” Miller und Pursey, mit denen sich sodann eine approximative Punktquellensynthese begr¨ unden l¨asst, die man auch zur Berechnung des Nahfeldes von Aperturstrahlern auf spannungsfreien Grenzfl¨achen verwenden kann. Damit ist eine wesentliche Grundaufgabe der US-zfP gel¨ost. Es verbleibt die Berechnung der Streufelder von Ung¨anzen, wof¨ ur sich die mathematische Formulierung des Huygens’schen Prinzips als grundlegend erweist; auch hierin spielen Elementarwellen, also Green’sche Funktionen, die entscheidende Rolle. Interessanterweise kann man ein Strahlungsfeld auch berechnen, wenn man nicht dessen Quellen, sondern das Feld selbst auf einer beliebigen, die Quellen einschließenden Fl¨ache kennt. Christiaan Huygens fomulierte dies als Huygens’sches Prinzip“ im 17. Jahrhundert: Von jedem ” Punkt einer solchen Fl¨ache gehen Elementarwellen — Kugelwellen — aus, die mit der jeweiligen dort zu findenen Feldamplitude gewichtet sind; das Feld außerhalb der geschlossenen Fl¨ache ist sodann die Einh¨ ullende all dieser Eelementarwellen. Zus¨atzlich fordert Huygens, dass sich die Elementarwellen im Inneren der Fl¨ache zu einem Nullfeld u ¨berlagern. Da Elementarwellen Green’sche Funktionen sind, muss es eine wellengleichungsbasierte Theorie des Huygens’schen

1.2 Inhalt als Flussdiagramm

9

Prinzips geben! Zweckm¨aßigerweise formuliert man diese Theorie zun¨achst wieder f¨ ur skalare akustische Felder, indem man der zweiten Green’schen Formel physikalisches Leben einhaucht: Man findet außerhalb der geschlosssenen Fl¨ache, die die Quellen im Inneren enth¨alt, das Feld als Integral u ¨ber die Fl¨ache, wobei das Huygens’sche Prinzip dahingehend zu erweitern ist, dass nicht nur u ¨ber isotrope Kugelwellen, sondern auch u ¨ber Dipolwellen — Kugelwellen mit einer Dipolrichtcharakteristik — zu summieren ist. Erstere werden (im skalaren akustischen Fall) mit der Normalenableitung des Drucks und letztere mit dem Druck selbst gewichtet. In der Tat liefert dieses Integral im Inneren der Fl¨ache ein Nullfeld, so wie es von Huygens ¨ heuristisch gefordert wurde. Zun¨achst ist das Huygens’sche Prinzip ein Aquivalenzprinzip: Die Fl¨achenintegration u ¨ber Feldgr¨oßen ist ¨aquivalent zur Quellenintegration. Seine eigentliche Bedeutung bekommt es aber zur Berechnung von Streufeldern; wenn die Huygens-Fl¨ache“ einen ” Streuk¨orper einschließt, auf dem das Feld gewisse Randbedingungen — dessen Oberfl¨ache sei etwa schallweich oder schallhart — erf¨ ullen muss, kontrahiert man die Huygens-Fl¨ache auf die Streuk¨orperoberfl¨ache und setzt die Randbedingungen explizit ein, womit entweder der Druck oder die Normalenableitung im Integral verschwindet. Die verbleibende Gr¨oße kann sodann als ¨aquivalente (sekund¨are) Quelle des Streufeldes angesehen werden. Genauso wie die ¨aquivalenten Volumenquellen ist diese ¨aquivalente Fl¨achenquelle aber vom Feld selbst abh¨angig, sie muss erst berechnet werden. Dazu erf¨ ullt man mit der Huygens’schen Integraldarstellung die Randbedingung erneut und findet eine Integralgleichung f¨ ur die ¨aquivalente Quelle. Nach deren L¨osung kann man das Feld mit dem Huygens-Integral u ¨berall außerhalb des Streuk¨orpers berechnen. Die mit dem Huygens’schen Prinzip gewonnene Fl¨achenintegralgleichung und deren L¨osung ist deshalb die Vorstufe einer Punktquellensynthese von Streufeldern, die auf der Oberfl¨ache von Streuk¨orpern Randbedingungen erf¨ ullen. Nunmehr zahlt es sich aus, dass wir in dieser Ausarbeitung konsequent beide Quellen elastodynamischer Felder — Kr¨afte und Deformationsraten — ber¨ ucksichtigt haben, denn ebendiese treten nun in einer elastodynamischen Version des Huygens-Integrals als feldabh¨angige ¨aquivalente Fl¨achenquellen auf, die mit den zugeh¨origen Green’schen Tensoren gewichtet sind, d.h. diese Tensoren sind gleichzeitig die Huygens’schen Elementarwellen der Elastodynamik. Wenn wir in der US-zfP am Streuverhalten von Rissen interessiert sind, k¨onnen wir deren Oberfl¨ache oft modellhaft als spannungsfrei betrachten, d.h. die ¨aquivalente Quelle Fl¨achenkraftdichte“ verschwin” det, es verbleibt die Fl¨achendeformationsrate als Quelle der mit dem Green’schen Tensor dritter Stufe korrespondierenden Elementarwelle. Zu deren Berechnung dienen sodann Fl¨achenintegralgleichungen. Man beachte: Das Strahlungsfeld eines piezoelektrischen Pr¨ ufkopfs modellieren wir durch Vorgabe der prim¨aren Quelle Fl¨achenkraftdichte“ auf einer spannungsfreien Fl¨ache, das ” Streufeld einer Ung¨anze mit spannungsfreier Oberfl¨ache wird Huygens-konform durch die Berechnung der sekund¨aren Quelle Fl¨achendeformationsrate“ modelliert, zu den beiden Feldern ” geh¨oren also ganz andere Elementarwellen; in Strahlungsfeldern ist es der Green’sche Tensor zweiter Stufe, in Streufeldern der Green’sche Tensor dritter Stufe! Beispielhaft formulieren wir die Fl¨achenintegralgleichung f¨ ur die Streuung an einem zweidimensionalen Rissmodell und pr¨asentieren Ergebnisse einer numerischen L¨osung. Zur Reduzierung des numerischen Aufwandes der Berechnung von Streufeldern beliebiger Streuk¨orpergeometrien (mit spannungsfreien Oberfl¨achen) diskutieren wir eine in der US-zfP sehr oft angewandte N¨aherungsmethode zur Berechnung der ¨aquivalenten Quellen, n¨amlich die aus der Theorie elektromagnetischer Felder stammende Kirchhoff-N¨aherung. Man approximiert die Streuk¨orperoberfl¨ache durch ebene Fl¨achenpatches und verwendet als sekund¨are Quelle die sich aus der Reflexion und Modekonversion ebener Wellen an ebenen Grenzfl¨achen ergebende Deformationsrate. Auf der Grundlage ebendieser Kirchhoff-N¨aherung formulieren wir das StandardSystemmodell der US-zfP: Sende-Pr¨ ufkopf, Streuer, Empfangs-Pr¨ ufkopf. Falls die Ung¨anze kein Riss oder keine Pore, sondern ein Einschluss ist, muss dieser durch einen

10

1 Inhalt

— eventuell inhomogen-anisotropen — penetrablen Streuk¨orper modelliert werden. In unserem Flussdiagramm hatten wir derartige Streuer bereits durch ¨aquivalente Volumenquellen beschrieben, die jedoch, ebenso wie die Huygens’schen Fl¨achenquellen, feldabh¨angig sind. Nichtsdestoweniger kann man sie in ein Volumenquellenintegral einsetzen, man erh¨alt eine Datengleichung analog zum Huygens-Integral. Wie dort m¨ ussen nun die ¨aquivalenten Quellen berechnet werden; man schreibt dazu das Volumenquellenintegral f¨ ur Aufpunkte innerhalb des Streuk¨orpers, dies resultiert in einer Objektgleichung, die als Lippmann-Schwinger-Integralgleichung — eine Volumenintegralgleichung — die Fl¨achenintegralgleichungen spannungsfreier Streuk¨orper erg¨anzt. Grunds¨atzlich muss diese ebenfalls numerisch gel¨ost werden; es bietet sich aber auch hier eine Approximation, die Born’sche N¨aherung an: Man ersetzt das zun¨achst unbekannte Feld innerhalb des Streuk¨orpers durch das bekannte einfallende Feld, was f¨ ur schwache Streuer sicher zul¨assig ist. Auch f¨ ur penetrable Streuk¨orper, die in homogene isotrope Materialien eingebettet sind, resultiert eine Punktquellensynthese zur Berechnung der Streufelder. F¨ ur einige kanonische Streuk¨orpergeometrien (mit spannungsfreier Oberfl¨ache) — Zylinder und Kugel — kann man die numerische L¨osung einer Fl¨achenintegralgleichung umgehen, indem man die Wellengleichungen direkt in dem jeweiligen passenden“ Koordinatensystem mittels ” Entwicklung nach Eigenfunktionen — Zylinder- und Kugelfunktionen — analytisch l¨ost. Wir werden diese Rechnungen durchf¨ uhren und beispielhaft Ergebnisse diskutieren. Derartige analytische L¨osungen f¨ ur kanonische Probleme — dazu geh¨ort auch die Streuung an der Kante — kann man benutzen, um das Streufeld eines in ein Ensemble charakteristischer Streuzentren aufgel¨osten Streuk¨orpers durch Superposition der Streuzentrenbeitr¨age zu berechnen; dies ist vor allem im Hochfrequenzfall h¨aufig m¨oglich, die zugeh¨orige Methode heißt in ihrer Grundversion GTD f¨ ur Geometric Theory of Diffraction. Wir verweisen dazu aber auf die Literatur (Achenbach et al., 1982). Es verbleibt die Diskussion des eigentlichen Problems der US-zfP: der Abbildung von Materialfehlern. Unter dem Akronym SAFT f¨ ur Synthetic Aperture Focusing Technique hat sich eine auf heuristischen Argumenten beruhende L¨osung etabliert, die jedoch im Rahmen einer inversen Streutheorie auf festen mathematischen Boden gestellt werden kann und dabei gleichzeitig effektive algorithmische Varianten — FT-SAFT f¨ ur Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique — liefert. Wieder sind Green’sche Funktionen die Grundlage! Man kann sagen: Ebene Wellen und Green’sche Funktionen stellen die theoretische Grundlage der US-zfP dar.

2

Mathematische Grundlagen

2.1

Skalar-, Vektor- und Tensorfelder

2.1.1

Ortsvektor

Um einen Punkt im Raum, beispielsweise auf der Oberfl¨ache eines Bauteils, zu charakterisieren, ben¨otigen wir Koordinaten; am einfachsten sind die kartesischen Koordinaten L¨ange, Breite, ” H¨ohe“, die wir mit x, y, z oder mit x1 , x2 , x3 (xi , i = 1, 2, 3) bezeichnen. Abbildung 2.1.1 zeigt 1 ein (rechtsh¨andiges ) kartesisches Koordinatensystem mit den speziellen Koordinaten x0 , y0 , z0 z

... ........ ........ ... .... .. ... ... .. .... . ..... .. . .... .... ..... ... .. ... ..... .. .. ..... ... .. ... ..... ... .. ... ..... .. ... ..... ... .. ... .... .. ... ... ... . ... ... ... ... . ... . . ... ... ... . ... .. . ... ... ... .. ... .... . ..... . ..... .............. ... ... . .. .... ... ... ... ............................................................................................................................................................................................... ..... ...... ... ....... ..... ..... ......... ... ..... ..... . . . .. ..... ... ... ..... ..... ... ... ..... .... . . . . . . . . .. . .. ..... ... ............................ .... .... . ..... .. . ..... ... ..... .... ... ..... .. ..... ..... ... . ..... . . . . . . . . ..... . ..... ..... .. .... ... ..... ..... ..... ... .... ..... . ..... ..... ..... ....... .... . . . . . . . . . . .... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ..... ..... ..... .... ..... .... . . . . . . ......... ............... ........

z0

O

. ..• ... ... . . . ... ... ... . . ... ... ϑ ... R0 0 . . . .............. .. .. ... ... . . ... ...

...... . ............................... ϕ0

P0 (x0 , y0 , z0 )

y0

y

r0

x0

x

Abb. 2.1.1: Kartesische Koordinaten; Zylinder- und Kugelkoordinaten

eines Raumpunktes P0 (x0 , y0 , z0 ). Die Lage dieses Punktes ist bekannt, wenn die drei Zahlen x0 , y0 und z0 bekannt sind. Voraussetzung ist die Kenntnis des beliebig, aber fest gew¨ahlten Koordinatenursprungs O und die ebenfalls beliebige, aber fest gew¨ahlte Orientierung der Koordinatenachsen. Abbildung 2.1.1 zeigt ferner, dass P0 auch durch Angabe der Zylinderkoordinaten r0 , ϕ0 , z0 oder der Kugelkoordinaten R0 , ϑ0 , ϕ0 charakterisiert werden kann. Es ist sofort ersichtlich, dass die folgenden Koordinatentransformationsformeln gelten: x0 = r0 cos ϕ0 , 1 Heinrich

Hertz schreibt (1890): Wir nehmen an, dass das benutzte Coordinatensystem der x, y, z von solcher Beschaffenheit ist, dass, wenn die Richtung der positiven x nach vorn, die der positiven z nach oben geht, alsdann die y von links nach rechts hin wachsen.

12

2 Mathematische Grundlagen y0 = r0 sin ϕ0 , z0 = z0 ;

(2.1.1)

x0 = R0 sin ϑ0 cos ϕ0 , y0 = R0 sin ϑ0 sin ϕ0 , z0 = R0 cos ϑ0 .

(2.1.2)

Bei gegebenem Koordinatenursprung O — siehe Abb. 2.1.2 — k¨onnen wir die Lage von P0 auch

........P . . .... . . . . .... . . . . .... R . . . . .. .....

0

O Abb. 2.1.2: Ortsvektor R

z

... ........ ........ .. ... ... ... ... .. ... ..... .... ........ .... ........ ..... .... ..... ..... .... ..... ..... ... ..... .... ..... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ..... ..... ... ..... ..... .... ..... .... . ..... .... .... .... ... ... .... .... .... .... .... .... ... ... .... .... .... .... .... .... ... .... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .. ... ................................................................................................................................................................................................. . ..... ......... .... . . . ..... ....... . ..... ..... ..... . . . ..... . . . .... ..... .... ... ..... ..... ..... .... ..... .... .... . . . . . . . . . . . . ..... . ... ..... ..... ..... .... . ..... .... ..... ..... ..... ..... .... .... ..... ..... .... ..... ..... ..... . ..... . . . . . . . . . . . ..... . ..... ..... ..... .... ..... ..... .... ..... .... ........ ..... .... ..... .. ..... ..... ..... ... ..... .... . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................................ ..... .... ..... .... ..... ..... . . . . . ... ........ ................ ......

z

....... P (x, y, z) . R .. . .... ... . e . .. ...... e . y O ....................... . . . .. ...... e ..........r ..... ... z

y

y

x

x

x

Abb. 2.1.3: Ortsvektor R im kartesischen Koordinatensystem

durch die Richtung und die L¨ange des sogenannten Ortsvektors R beschreiben2 . Anhand einer 2 Vektoren werden zum Unterschied zu skalaren Gr¨ oßen durch einmal unterstrichene fette Buchstaben gekennzeichnet; damit ergibt sich die M¨ oglichkeit, Tensoren zweiter und h¨ oherer Stufe durch eine entsprechende Anzahl von Strichen unter ebenfalls fetten Buchstaben zu beschreiben, also etwa S f¨ ur den Deformationstensor zweiter Stufe und c f¨ ur den Steifigkeitstensor vierter Stufe.

2.1 Skalar-, Vektor- und Tensorfelder

13

Zeichnung ist dies unmittelbar anschaulich, es stellt sich aber die Frage, wie R mathematisch darzustellen ist. Wir betrachten dazu Abb. 2.1.3, wo wir zun¨achst die Richtung kartesischer Koordinatenachsen durch drei jeweils zueinander senkrecht stehende Einheitsvektoren3 ex , ey , ez angegeben haben; ein Einheitsvektor hat per definitionem die L¨ange 1. Man nennt das System dieser drei Vektoren ein orthonormiertes Dreibein. Zeichnen wir nun den Ortsvektor R zum Punkt P (x, y, z) mit den Koordinaten x, y, z, so wird sofort ersichtlich, dass die Projektionen von R auf die jeweiligen Koordinatenachsen gleich den Koordinaten des Punktes sind: Die (skalaren) Komponenten des Ortsvektors sind die Koordinaten des Punktes, den er bezeichnet. Nunmehr bilden wir die drei Vektoren xex , yey und zez ; sie haben die Richtung des orthonormierten Dreibeins, sind also ebenfalls orthogonal, aber nicht mehr (auf 1) normiert, da ihre L¨ange jeweils x, y und z ist4 . Definieren wir nun die Addition zweier Vektoren R1 und R2 wie in Abb. 2.1.4, so ergibt sich der in Abb. 2.1.3 eingezeichnete Vektor r offenbar als

........ . . . . . . . . . . . . R ......... ......... . . . . . . . . . . . . ...........................................R.......+.....R........................................... . . . . . . . . . . . . . . O ... .. ..... ..... . R ....... ..... ..... ..

2

1

1

....... .......

2

...... ....... ....... .... ... .. . . . . ....... ....... ....... .......

..... ..

..... ..

..... ..

..... ..

..... ..

..... ..

..... .. . ....... ..... ... .. . . . . ...... . . . .... ....... .......

Abb. 2.1.4: Addition zweier Vektoren

r = xex + yey

(2.1.3)

R = r + zez = xex + yey + zez ;

(2.1.4)

sowie der Ortsvektor R als

x, y, z sind die skalaren Komponenten und xex , yey , zez die vektoriellen Komponenten von R. Wenn wir im Folgenden Komponenten“ sagen, meinen wir immer die skalaren Komponenten. ” Nach dem Satz von Pythagoras erhalten wir die L¨ange r — den Betrag r = |r| — des Vektors r gem¨aß ' r = x2 + y 2 (2.1.5) und die L¨ange R — den Betrag R = |R| — des Ortsvektors R gem¨aß √ R = 'r 2 + z 2 =

x2 + y 2 + z 2 .

(2.1.6)

Die L¨ange — den Betrag — eines Vektors bezeichnen wir stets durch denselben, nicht fett gedruckten Buchstaben. Der Betrag |R| des Ortsvektors von P ist offenbar gleich der radialen Kugelkoordinate R von P . In der Theorie elastischer Wellen muss h¨aufig zwischen zwei Ortsvektoren R und R+ unterschieden werden (Abbildung 2.1.5); R+ , der Ortsvektor zum Quellpunkt Q (auch RQ genannt), 3 Außer einigen Standardeinheitsvektoren“ (z.B.: e , e , e , n) charakterisieren wir einen solchen durch ein H¨ utchen“, also z.B. x y z ” ” ˆ = R/R. R 4 Wir haben implizit vorausgesetzt, dass x, y, z gr¨ oßer als null sind; falls beispielsweise x < 0 w¨ are, erg¨ abe sich die L¨ ange von xex zu |x|.

14

2 Mathematische Grundlagen z

... ........ ........ ... .... .. ... ... .. ... ... ... ...... . ... ..... .............. ........ .... ....... ....... ... ....... ....... .... ....... ....... .... ........ ....... .... ....... ....... ... ....... .... ....... ...... ........ . .... .... ........ ... .... ......... ..... .... ... ..... .... ..... .... ..... .... .... ..... .... ... .... .... ....... . .... .... ... .... . ... .... ... .... .... . .... ... .... .... . ... ... ... . .... .... .... ... . ... .... .... ... .... . . .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... .... ..... ... .... ...... ................................................................................................................................................................................................................................... . . . .. ..... ......................... .... ..... ..... . . . . . ....... . . . .... . ..... ........ .... .... . . . .... . . ..... . . . . . . . . . . . ..... ....... .. . ... ..... .. . ..... .... ..... ..... ..... ..... ................ ........ .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .. ............ .. .... ..... ..... ... ..... ........ ..... ..... ....... ............ .... .... ..... ....... ..... ....... ............................................................................ .... ......... ....... ..... ....... . ....... .... . . . . . . . . ....... .. ..... . .. .. ..... ........................................................................................................................................................................ ..... .... ..... ..... . . . ... . ...... ........ ............... ........

z

.......... . . . . . . . . ... . ............. R. . R ........ y O .. z+

R − R+

+

+

x

x

y

y

x+

Abb. 2.1.5: Abstand zwischen Aufpunkt R und Quellpunkt R%

variiert in einem Quellvolumen, in dem die die elastischen Wellen erzeugenden Kr¨afte und Deformationen von null verschieden sind, und R, der Ortsvektor zum Aufpunkt P (auch RP genannt) ist derjenige Punkt, an dem die jeweilige elastische Welle gerade beobachtet“ wird. In ” homogen-isotropen Materialien h¨angt die den Zusammenhang zwischen Quelldichte am Ort R+ und Wellenteilchenverschiebung am Ort R vermittelnde Green’sche Funktion nur vom Betrag des Abstandes zwischen R und R+ ab. Ordnen wir gem¨aß R + = x+ e x + y + e y + z + e z

(2.1.7)

+

R die Koordinaten x+ , y + , z + des Quellpunkts als Komponenten zu, so erhalten wir R − R+ = (x − x+ )ex + (y − y + )ey + (z − z + )ez

(2.1.8)

und folglich durch Anwendung des Satzes von Pythagoras |R − R+ | =

'

(x − x+ )2 + (y − y + )2 + (z − z + )2

(2.1.9)

in Analogie zu (2.1.6).

2.1.2

Skalar- und Vektorfelder

In Abb. 2.1.6 ist ein Messpunkt PM (R) = PM (x, y, z) auf der Oberfl¨ache eines Bauteils durch seinen Ortsvektor R bezeichnet; Abb. 2.1.7 skizziert ein A-Bild, beipielsweise den am Punkt PM gemessenen Schalldruck5 p(R, t) als Funktion der Zeit t. Wir bezeichnen p(R, t) als skalare Feldgr¨oße und wissen mit (2.1.4), dass diese eine Funktion der drei Ortskoordinaten x, y, z und eine Funktion der Zeit, also eine Funktion von vier Variablen ist; wir schreiben deshalb urzung. ausf¨ uhrlich p(x, y, z, t) und betrachten p(R, t) als Abk¨ 5 Wir werden in Abschnitt 9.1.1 sehen, dass es in einem Festk¨ orper mit μ 4= 0 (λ, μ: Lam´ e’sche Konstanten) nur f¨ ur ebene Wellen zul¨ assig ist, von einem Schalldruck zu reden; folglich kann man ihn strenggenommen nicht messen.

2.1 Skalar-, Vektor- und Tensorfelder ................................................................................................................................................................................................................................................................ ...... ..... .. ..... . ..... .. ..... ..... .... ..... .... .... ..... . . ..... . ..... .... .... . . . . . . . . ... . . ... ... .. .... ..... ..... ..... ..... . . . . . .... . . . . .... .... . . . . . . . .... . . ..... ..... . . . . . . . .... . .. ..... ..... . . . . . . . ... .... .... . . . . . . .... . . . . ..... ..... . . . . . . .... . . ..... ..... . . . . .... . . . .. .... .... . . . . . . . .... . . . ..... ..... . . . . . . ... .. ..... ..... . . . . . .... . . . .... .... . . . . . . .... . . .. .... .... . . . . . . . . . .... . . ... ... .... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... ..... ... .. .... .... ... ... .... . ....... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ .............. .... . . ... . . . . . . . . .... . . .. .... ..... .... .. ..... .... ..... ..... .... .... .. .... ..... ... ..... . .... . . . . . .... . . . . ..... ..... ..... .... .... .. .... ..... .... .... .... ... .... ..... .. ..... .... ..... . . . ... ..... .. .... .... .... .... ... ..... .... .. ..... .... ..... ..... .... . ..... .. . . . . . . . . ... . ... ..... .... ..... . ..... ..... .... .... ... .... ........ ..... ...... ... ....... ....... ...............................................................................................................................................................................................................................................................

P (R) = P ........ .. . . .. . . .. . . . R ... .. . . .. . . .. . . .. M

O

15

M (x, y, z)

Abb. 2.1.6: Messpunkt auf einer Bauteilober߬ ache . ........

p(R, t) ......................

... .... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... . .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .. .... ....... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .

t

Abb. 2.1.7: Gemessenes A-Bild eines Schalldrucks

Prim¨ar ist eine elastische Welle in einem Festk¨orper mit Verschiebungen infinitesimal kleiner Volumenelemente verbunden, man spricht von der Teilchenverschiebung u(R, t) am Ort R zur Zeit t, die naturgem¨aß eine vektorielle Feldgr¨oße ist, da die Volumenelemente nach Betrag und Richtung verschoben sind. Anhand von Abb. 2.1.8 illustrieren wir eine derartige Teilchenverschiebung. Zur Definition der (skalaren) kartesischen Komponenten ux , uy , uz von u zeichnen wir ein parallelverschobenes (gestricheltes) Koordinatensystem mit Ursprung am Endpunkt des Ortsvektors R und projizieren u auf dessen Koordinatenachsen. Analog zu (2.1.4) erhalten wir sodann die (kartesische) Komponentendarstellung der Teilchenverschiebung: u(R, t) = u(x, y, z, t) = ux (R, t) ex + uy (R, t) ey + uz (R, t) ez = ux (x, y, z, t) ex + uy (x, y, z, t) ey + uz (x, y, z, t) ez .

(2.1.10)

Wir halten fest: Jede (kartesische) Komponente des Vektors der Teilchenverschiebung h¨angt von jeder (kartesischen) Koordinate ab. Diese Eigenschaft vektorieller Feldgr¨oßen erfordert die Definition bestimmter Differentialoperatoren — Gradient, Divergenz, Rotation — zur Berechnung ¨ physikalisch bedeutungsvoller r¨aumlicher Anderungen der Feldgr¨oßen (Abschnitt 2.2).

16

2 Mathematische Grundlagen

Den Betrag u(R, t) von u(R, t) erhalten wir analog zu (2.1.6): u(R, t) =

2.1.3

'

u2x (R, t) + u2y (R, t) + u2z (R, t) .

(2.1.11)

Produkte von Vektoren

Wir unterscheiden drei verschiedene Produkte von Vektoren, die wir nach ihrem jeweiligen Ergebnis benennen: • Skalarprodukt, • Vektorprodukt, • dyadisches Produkt. ...... ........ . .. . .. . ... ...... ... .... .. ... .. .... . .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . .. . ... .. . . .. . ... .. ............ . .. .. ... .... .. ... .. .. ... ..... .. .. ... ... .. ... .... .. .. .... .. ... .. .... .. .. ... .... .. .. ... ... .. .... ... .. ... .... ... .. ... ... ... ......... .. . ... ... ..... ............... . ........ . .... . ... ........ .. . ........ . .... . ........ . ........ ... .... . ........ .. .. ... ........ ........ ... ... .... ........ . ........ ... ... .... .. ... .......... . .. .... . ........... .... .... .... .... .... .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ........ .... .............. ..... . .... . .. ... ... ... ... . .. . . . ... .. ... .. .. ... . . . . . ... . . . . . . ... .... .... ... ... .... . ... .... ... .... ... ... ..... .. .... ... .... .. ... ... ... .. .... .. . . . . .... . . .. .. ... ... ....... .... .. ... .. ... .... .. ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ .... ............. . .. ... ... ..... .. .... ....... ..... .. . ... ....... ..... .... .. .... . . . . . . . . . . . . . . . . .......... ... .. ..... . .. . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ............ ...... ... ..... ... .... ....... ..... .. ... .... .... . ........ ... ..... .... ..... ... .... ....... .... .... ..... .. ... ....... ... ..... ..... ... .. .... ....... . ........ ... . .. ..... . . . . . . . . . . . . . . . ....... .. .... .. .. ... . . ..... .. .. ... .... .. .. ..... .......................................................................................................................................................................... .. . .. ..... .. .. .. .... .... .... .. ..... .... ...... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ... .... . .... . ..... .... ........... .. ..... ..... ..... . . . . .. ..... ....... .................. ......

uz (R, t)

z

...... u(R, t) . .. . . .. . . ..... R ........... . ........ . . . . . . . . ...

O

uy (R, t)

y

ux (R, t)

x

Abb. 2.1.8: Vektor der Teilchenverschiebung

Skalarprodukt Das durch einen Punkt bezeichnete Skalarprodukt A · B zweier Vektoren A und B l¨asst sich anschaulich sehr sch¨on interpretieren. Abbildung 2.1.9 zeigt einen Vektor A, der auf einen ˆ projiziert wird, das Ergebnis ist Einheitsvektor e A · eˆ = A cos φ ,

(2.1.12)

ˆ durch einen Vektor B mit wenn φ den Winkel zwischen A und eˆ bezeichnet. Ersetzen wir e dem Betrag B, so definiert in Verallgemeinerung von (2.1.12) A·B = B·A = AB cos φ

(2.1.13)

2.1 Skalar-, Vektor- und Tensorfelder

........ . . . . . . . . ........ . . . . . . . . ........ . . . . . . . . ........φ . . . . . . . . . ...............................................................

17

.. .... ... . .... . .. .. .. .. .. ... .. ... ... ... ... .. ... ... ... ... .. .. ... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ..... .. ... ... .. .... ... .. .. .. ... .... .. . ... .. .. .. ... . .. .. .. ............................................................................................................................................................................................................................................. . ..

A

eˆ

ˆ A cos φ = A · e Abb. 2.1.9: Illustration des Skalarprodukts

das (kommutative) Skalarprodukt A · B. Offensichtlich ist A · B = 0, wenn A und B senkrecht aufeinander stehen; infolgedessen charakterisiert man die Orthogonalit¨at zweier Vektoren durch den Wert null ihres Skalarprodukts. F¨ ur das orthonormierte Dreibein der kartesischen Koordinaten ergibt sich also: ex · e y e x · ez e y · ez ex · ex ey · ey e z · ez

= = = = = =

0 0 0 1 1 1

, , ; , , .

(2.1.14)

(2.1.15)

Wenn wir die kartesischen Koordinaten in der durchnummerierten Form xi , i = 1, 2, 3, mit dem Dreibein exi , i = 1, 2, 3, schreiben, k¨onnen wir unter Verwendung des Kronecker-Symbols 1

δij =

1 f¨ ur i = j 0 f¨ ur i = > j

(2.1.16)

die sechs Gleichungen (2.1.14) und (2.1.15) als eine einzige Gleichung schreiben: ur i, j = 1, 2, 3 . exi · exj = δij f¨

(2.1.17)

Wir k¨onnen das Skalarprodukt dazu verwenden, die Komponenten eines Vektors A z.B. in kartesischen Koordinaten zu berechnen; mit (2.1.12) folgt ja definitionsgem¨aß Ax = A · ex , Ay = A · ey , Az = A · ez .

(2.1.18)

A · B = (Ax ex + Ay ey + Az ez ) · (Bx ex + By ey + Bz ez )

(2.1.19)

Wir berechnen nun mit der (kartesischen) Komponentendarstellung von A und B und finden formal durch Ausmultiplizieren und Verwendung von (2.1.17) bei Beachtung der Kommutativit¨at des Skalarproduktes A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz .

(2.1.20)

18

2 Mathematische Grundlagen

Damit haben wir eine M¨oglichkeit, den Wert des Skalarproduktes anzugeben, wenn die kartesischen Komponenten der beteiligten Vektoren bekannt sind. Ebenso folgt f¨ ur den Winkel zwischen zwei Vektoren, deren Betr¨age ungleich null sind: cos φ =

A·B AB Ax Bx + Ay By + Az Bz

= '

'

A2x + A2y + A2z Bx2 + By2 + Bz2

.

(2.1.21)

Die Wurzel aus dem Skalarprodukt A · A liefert offensichtlich den Betrag von A: '

A=

'

=

A·A A2x + A2y + A2z ;

(2.1.22)

ferner ergibt ˆ = A A A = √ =

A A·A

Ax Ay Az e + e + e A x A y A z

(2.1.23)

ˆ Angewendet auf den Ortsvektor liefert (2.1.23): den A zugeordneten Einheitsvektor A. ˆ =√ R

y z x ex + √ 2 ey + √ 2 ez . x2 + y 2 + z 2 x + y2 + z2 x + y2 + z2

(2.1.24)

Wir zitieren noch zwei weitere — abk¨ urzende — Schreibweisen f¨ ur das Skalarprodukt. Mit (2.1.18) in durchnummerierter Form, also Axi = A · exi f¨ ur i = 1, 2, 3

(2.1.25)

und entsprechend f¨ ur B ergibt sich anstelle von (2.1.19): A·B=

3 M i=1

Ax i B x i .

(2.1.26)

Wenn die xi — wie hier — vereinbarungsgem¨aß kartesische Koordinaten sind, kann man gem¨aß Axi =⇒ Ai , Bxi =⇒ Bi (2.1.26) auch noch k¨ urzer schreiben: A·B=

3 M i=1

Ai Bi .

(2.1.27)

Die (Einstein’sche) Summenkonvention k¨ urzt weiter ab und l¨asst in (2.1.27) auch noch das Summenzeichen weg: A · B = Ai Bi . (2.1.28) Man liest (2.1.28) so: Wenn auf der einen Seite einer Gleichung ein Index — hier i — mindestens zweimal vorkommt und auf der anderen Seite gar nicht, so ist dar¨ uber von i = 1 bis i = 3 zu summieren — zu kontrahieren, wie man auch sagt6 ; wenn der Index auf der anderen 6 Ein Punktprodukt (Skalarprodukt) A · B ist deshalb die Kontraktion bez¨ uglich der Indizes der skalaren Komponenten der unmittelbar benachbart zum Punkt stehenden Vektoren.

2.1 Skalar-, Vektor- und Tensorfelder

19

Seite ebenfalls auftritt, wird dar¨ uber nicht summiert. Diese Summenkonvention wird in der Literatur u ¨ber Elastodynamik ausgiebig verwendet (z.B.: Achenbach, 1973; de Hoop 1995); wir bevorzugen dennoch im Allgemeinen statt (2.1.28) die koordinatenfreie Darstellung A · B, da sie f¨ ur analytische Herleitungen u ¨bersichtlicher ist; will man jedoch konkrete Zahlen als Ergebnisse eines physikalischen Problems angeben, muss man zu Koordinaten u ¨bergehen. Wir betrachten nun erneut ein Bauteil wie in Abb. 2.1.6 und stellen uns vor, dass ein punktf¨ormiger piezoelektrischer Pr¨ ufkopf“ am Messpunkt PM (R) dort ausschließlich die Komponente des ” Teilchenverschiebungsvektors u(R, t) senkrecht zur Oberfl¨ache misst (Abbildung 2.1.10). Zur

...... .... . ... ..... ... .. ... ... ..... n .. ........ P .. . . .. . . .. . . . R ... .. . . .. . . .. . . .. u(R, t)

.... .... .... .... .... .... .... ..... ... . ...... ... .......... ... .... ... .... ... ... .. ....................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . ..... ..... .. . . . . . ..... . .... ... ..... ... . ..... .... . . . ... . . . ..... ... .... ..... ... .... ..... . ..... ..... . . . . . . .... . . . . . ... . ... ... .... ..... ..... ..... . ..... ..... . . . . . . . . . . .... . . . .. ..... ..... . . . . . . . . . . .... . ......... ... .... . . . . . . . . . . . . . . ... . .. ...... . ..... ..... . . . . . . .... . . . ..... ..... . . . . . .... . . . .. .... .... . . . . . . . . . . ... ..... ..... . . . . . . . . . .. .. ..... ..... . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . ... ... ..... ..... ..... ... ..... ..... .... .... .... . ..... ..... ... ... .... .... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .... .... .... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... ... .. .... .......... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ............ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ .... . .. ... . . .... . . .... ... . . . .... ..... . . .... ..... .... .. .... .... .... ..... ... . .... .... .... ..... ..... . ..... . . . . .... . . . .... ..... ..... .... .... . ... ..... ..... ... ..... .... .... ..... .. .... ..... .... . . .... . . ... ..... .... ..... ..... .... ..... .... .. .... .... .... ..... ... . ..... .... . . .... . ..... ... .... .... ..... .. .... .... ... ..... ... . .... ........ .... ..... . .. .............................................................................................................................................................................................................................................................................

un (R, t)

M (R)

O

Abb. 2.1.10: Normalkomponente der Teilchenverschiebung

mathematischen Berechnung dieser Normalkomponente“ un (R, t) definieren wir einen Einheits” vektor n, der in jedem Punkt der Bauteiloberfl¨ache senkrecht auf ihr steht7 . Per definitionem ist dann un (R, t) = u(R, t) · n = n · u(R, t) .

(2.1.29)

Da es in der Tat schwierig ist, gleichzeitig die Tangential komponenten von u(R, t) zu messen, ist un (R, t) f¨ ur alle Punkte R auf einer Messfl¨ache SM und alle Zeitpunkte t die in der UltraschallzfP im Allgemeinen maximal verf¨ ugbare Information. Wir werden im Zusammenhang mit den abbildenden Verfahren sehen, was man damit maximal anfangen kann. Vektorprodukt Zur Definition des Vektorprodukts A × B — sprich: A Kreuz B — verweisen wir auf Abb. 2.1.11. Die beiden Vektoren A and B spannen ein Parallelogramm mit der Fl¨ache F = AB sin φ

(2.1.30)

7 Da dieser Einheitsvektor h¨ aufig in immer derselben Bedeutung verwendet wird, lassen wir das H¨ utchen zur Charakterisierung der Einfachheit halber weg. Zur Berechnung von n muss die zugeh¨ orige Fl¨ ache in irgendeiner Form mathematisch parametrisiert“ ” sein.

20

2 Mathematische Grundlagen

........ C = A × B ... ... ....... . ... . . . .... B ... F =C . . . . . ... . . . ... ........ φ ......... ............................................................................................ π 2

................... ......... ....... ...... ..... ................. ....... .. ...... ..... .... ... ... ... ... ... ... .

π 2

.... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... ... .... .... .... . ... .... .... .... .... . . .. .... .... .... .... . . . . .... .... .... .... ... . .... ....

A

Abb. 2.1.11: Zur Definition des Vektorprodukts

auf; der Vektor C, der als L¨ange die Zahl F hat und (rechtsh¨andig8 ) senkrecht auf der Parallelogrammfl¨ache steht, heißt Vektorprodukt C=A×B .

(2.1.31)

Wegen der die Definition (2.1.31) implizierenden Rechtsh¨andigkeit ist das Vektorprodukt nicht kommutativ; es gilt vielmehr9 : B × A = −A × B . (2.1.32) Zwei Vektoren sind offensichtlich genau dann parallel oder antiparallel, wenn ihr Vektorprodukt gleich null ist. Folglich gilt: e x × ex = 0 , ey × ey = 0 , ez × ez = 0 .

(2.1.33)

Mit 0 bezeichnen wir den Nullvektor, also einen Vektor mit skalaren kartesischen Komponenten, die allesamt gleich null sind. Ebenso wie (2.1.33) verifiziert man sofort: ey × ez = ex , ex × ey = ez , ez × e x = e y .

(2.1.34)

Mit der Komponentendarstellung von A und B folgt durch formales Ausmultiplizieren unter Verwendung von (2.1.33) und (2.1.34) C = (Ax ex + Ay ey + Az ez ) × (Bx ex + By ey + Bz ez ) = (Ay Bz − Az By ) ex + (Az Bx − Ax Bz ) ey + (Ax By − Ay Bx ) ez

(2.1.35)

f¨ ur die Komponenten von C. Da das Vektorprodukt zweier Vektoren stets senkrecht auf beiden Vektoren steht, gilt A · (A × B) = 0 , B · (A × B) = 0 . 8 Durch

(2.1.36)

das Senkrechtstehen von C auf der Parallelogrammfl¨ ache ist zun¨ achst nur der Pfeilschaft von C festgelegt. Hinsichtlich der Spitze hat man die Wahl nach oben“ oder nach unten“. Man entscheidet sich willk¨ urlich f¨ ur nach oben“ und pr¨ azisiert dies ” ” ” durch die Rechte-Hand-Regel: Wenn f¨ ur das Vektorprodukt A × B die gekr¨ ummten Finger der rechten Hand von A nach B zeigen, soll C = A × B in Richtung des Daumens der rechten Hand zeigen. Wegen dieser Wahlm¨ oglichkeit spricht man vom Vektorprodukt auch als einem axialen Vektor oder einem Pseudovektor. 9 Man vergleiche Fußnote 8.

2.1 Skalar-, Vektor- und Tensorfelder

21

Das sogenannte Spatprodukt A · (B × C) = C · (A × B) = B · (C × A)

(2.1.37)

gibt das Volumen des von A, B, C aufgespannten Parallelepipeds an. Ferner definiert

n × u(R, t) = utan (R, t)

(2.1.38)

einen Tangentialvektor der Teilchenverschiebung — ihre Tangential komponente“ — zur Ober” fl¨ache, die durch den Normalenvektor n beschrieben wird. Mit beispielsweise elektromagnetischen Ultraschallwandlern oder Laservibrometern k¨onnen auch diese Komponenten gemessen werden. Man beachte: Die (vektorielle) Tangentialkomponente utan (R, t) steht senkrecht auf n und u(R, t), sie liegt also nicht in der durch n und u(R, t) aufgespannten Ebene, wie es f¨ ur die vektorielle Tangentialkomponente ut (R, t) (Gleichung (2.1.97); Abb. 2.1.12) der Fall ist. Dyadisches Produkt Wir definieren nun ein dyadisches Produkt zweier Vektoren; hier ergibt sich die anschauliche Interpretation erst nach der Definition, sodass wir zun¨achst formal vorgehen und einfach zwei Vektoren ohne Punkt oder Kreuz nebeneinander schreiben und ihre kartesische Komponentendarstellung benutzen: A B = (Ax ex + Ay ey + Az ez )(Bx ex + By ey + Bz ez ) .

(2.1.39)

Ausmultiplikation ergibt die entsprechenden dyadischen Produkte der Einheitsvektoren: A B = Ax Bx ex ex + Ax By ex ey + Ax Bz ex ez + +Ay Bx ey ex + Ay By ey ey + Ay Bz ey ez + +Az Bx ez ex + Az By ez ey + Az Bz ez ez =

3 3 M M i=1 j=1

Axi Bxj exi exj

(2.1.40) (2.1.41)

= Axi Bxj exi exj (Summenkonvention) .

(2.1.42)

¨ Summenkonvention heißt: Uber die auf der rechten Seite doppelt vorkommenden Indizes i und j wird jeweils von 1 bis 3 summiert. Den Vektor mit der Komponentendarstellung A = Ax ex + Ay ey + Az ez k¨onnen wir auch als Ein-Spaltenmatrix ( Spaltenvektor“) ” ⎛ ⎞ Ax ⎜ A = ⎝ Ay ⎟ ⎠ Az oder als Ein-Zeilenmatrix ( Zeilenvektor“) ”

W

AT = Ax Ay Az

/

(2.1.43)

(2.1.44)

(2.1.45)

als Transponierung — daher der obere Index T — der Ein-Spaltenmatrix anschreiben10 . Die Einheitsvektoren in (2.1.43) geben dabei an, an welchem Platz“ in dem jeweiligen Matrixschema ” 10 Wir

m¨ ussen nur wissen, in welchem Koordinatensystem die Komponenten gegeben sind.

22

2 Mathematische Grundlagen

die skalare Komponente steht. Ebenso k¨onnen wir f¨ ur das dyadische Produkt (2.1.40) — die Dyade A B — das Schema ⎛ ⎞ Ax Bx Ax By Ax Bz ⎟ AB = ⎜ (2.1.46) ⎝ Ay Bx Ay By Ay Bz ⎠ Az Bx Az By Az Bz einer 3×3-Matrix w¨ahlen. Offensichtlich geben die dyadischen Produkte exi exj , i, j = 1, 2, 3, den Platz in der Matrix an, an den das Element Axi Bxj zu schreiben ist, wenn wir den ersten Index als Zeilenindex und den zweiten Index als Spaltenindex vereinbaren. Wir halten fest: In diesem Sinne hat eine Dyade neun skalare Komponenten, im Gegensatz zu den drei skalaren Komponenten eines Vektors; allerdings sind im vorliegenden Fall die neun Komponenten durch die sechs Vektorkomponenten der am dyadischen Produkt beteiligten Vektoren zu berechnen. Man entnimmt der Berechnungsvorschrift der Komponenten, dass das dyadische Produkt nicht kommutativ ist, d.h. es gilt (2.1.47) A B >= B A . Anschauliche Bedeutung bekommt ein dyadisches Produkt, wenn es per Punktprodukt (Kontraktion) von links oder von rechts auf einen Vektor angewendet wird. Wir versuchen also, die Operation AB · C (2.1.48) oder

C · AB

(2.1.49)

sinnvoll zu interpretieren, wozu wir zun¨achst A B · C komponentenweise schreiben AB · C =

3 M 3 M i=1 j=1

Axi Bxj exi exj ·

3 M k=1

Cx k ex k

(2.1.50)

und zum Ausrechnen (2.1.17) verwenden: AB · C =

3 M 3 M 3 M i=1 j=1 k=1

= ⇑

3 M 3 M i=1 k=1

Ax i B x j C x k e x i e x j e x j · e x k
T berechnet man durch elementare Integration zu (Abbildung 2.3.3) F {qT (t)} =

2 sin T ω . ω

(2.3.44)

Man erkennt: • Eine Zeitfunktion endlicher Dauer hat ein unendlich breitbandiges Spektrum; dies ist stets richtig und gilt ebenso umgekehrt (Spektren endlicher Bandbreite geh¨oren zu Zeitfunktionen unendlicher Dauer). • Die sogenannte Spaltfunktion (2.3.44) hat Nullstellen bei ω = ±nπ/T , n = 1, 2, 3, . . .. Definieren wir deshalb eine Bandbreite B (der Hauptkeule“) etwa durch B = 2π/T , so ” wird B gr¨oßer, wenn T kleiner wird und umgekehrt: Kurze Impulse sind breitbandig, lange Impulse schmalbandig, man spricht von der Unsch¨arferelation. • Die Spaltfunktion (2.3.44) ist nicht absolut integrierbar; man muss deshalb das Inversionsintegral als Cauchy’schen Hauptwert definieren, und das Ergebnis ist nicht (2.3.43), sondern ein Rechteckimpuls, der f¨ ur t = ±T den Wert 1/2 besitzt, w¨ahrend (2.3.43) dort gar nicht definiert ist. 2. RCN (t)-Impuls: Zur Veranschaulichung und f¨ ur Simulationszwecke w¨ahlen wir in der vorliegenden Ausarbeitung sehr oft einen Normimpuls“, den wir als RCN (t)-Impuls bezeichnen; hierbei steht RC f¨ ur raised ” cosine und N f¨ ur die Anzahl der Schwingungen der Dauer T0 , die der Tr¨ager(kreis)frequenz ω0 gem¨aß T0 = 2π/ω0 entsprechen: ⎧% S π ω0 π ⎪ ⎪ ⎪ t cos ω0 t f¨ ur − N 1 + cos ≤t≤N ⎪ ⎨ ω0 ω0 O: N U RCN (t) = ⎪ < ⎪ = eN (t) ⎪ ⎪ ⎩0 sonst

.

(2.3.45)

58

2 Mathematische Grundlagen qT (t)

.. ...... ....... ... ..... ... .... ... .. ............................................................................. . . ... ... ... .... ... ... ... ... ..... . . ... ... ... ... ..... ... ... .................................................................................................................................................................................................................................... ..... .... .. . ..... .... ... ..

1

−T

T

t

2 sin T ω ω 2T

... ......... ....... ... ..... .. .. ... .. ............ . . . . . . . . . . . . . ............... .... ......................... . . . . . . . ....... . ...... . . ...... . . . .... ..... ..... . . . ..... .... . ... ..... .... ..... ..... ..... . .... . . . . .... .. .... . . .... . . . .... . .... . . . . .... . .. .... .... . . . . . .... .. .... .... . . . . . ..... .. .... . . . ..... . . . ..... ......................................................... .. ..... . . ......................................................... . . .................. . .... ... . ................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . ............ ....... . . . . ..... . . .......... . . ............... ........ ...... .. .............. . . . . . .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................. ............................................................ . ..... .. ..... ..

π T

π − T

2π − T

2π T

ω

Abb. 2.3.3: Ursprungssymmetrischer Rechteckimpuls und Spektrum

Die Gesamtdauer von RCN (t) ist folglich N T0 , die Amplitude der ω0 -Oszillationen ist gem¨aß einem angehobenen Cosinus“ (raised cosine), der Einh¨ ullenden eN (t), moduliert. Abbildung ” 2.3.4 illustriert einen RC2(t)- und einen RC4(t)-Impuls samt den Betr¨agen ihrer Spektren (wir verwenden f¨ ur Spektren oft den gleichen Funktionsbuchstaben, geben aber stets das Argument an) RCN (ω) = (−1)

N +1

%

S

⎡

⎤

ω π 2ω ω ⎥ + sin N ω ⎢ − 2 ⎣ ⎦ , W W /2 /2 2 N +1 N −1 ω0 ω − ω 2 2 2 2 0 ω − N ω − N ω0 ω0 (2.3.46)

die wir durch elementare Auswertung des Fourier-Integrals unter Beachtung von (2.3.21) und e±jN π = (−1)N berechnen. Offensichtlich haben die Spektrenbetr¨age ihr Maximum bei ω = ω0 ; je mehr Schwingungen der RCN (t)-Impuls bei gleichem T0 enth¨alt, desto schmalbandiger ist sein Spektrum (Unsch¨arferelation!). 3. Ursprungssymmetrische Exponentialfunktion: Im Zusammenhang mit der Reflexion ebener SV-Impulswellen an einer spannungsfreien ebenen ur Grenzfl¨ache eines Halbraums ben¨otigen wir die inverse Fourier-Transformation von e−αz|ω| f¨ α > 0, z > 0 (Abschnitt 9.1.2); wir berechnen 1 ; ∞ −αzsign(ω)ω −jωt e e dω 2π −∞ ; 0 1 1 ; ∞ −αzω−jωt = eαzω−jωt dω + e dω 2π −∞ 2π 0 1 αz . = π α 2 z 2 + t2

F −1 {e−αz|ω| } =

(2.3.47)

2.3 Zeitliche und r¨aumliche Spektralanalyse mittels Fourier-Transformation

RC2(t) .

... ...... ........ ... .... ... .... ... .. . .......... .... .... .... ... ... ... ... .... .... . . . ... ... ... ..... ... ... .. ............................................................................................................................................................................................................... ... .. . . . ..... .. ... ..... .... ... .. .. .. .. .. ... .. .. ... . ..... .... .... .... ... ..... ... ... .

RC4(t) .

... ...... ........ ... .... ... .... ... .. ...... . . ......... . . . .... .... ..... . . .... .... ... ... .... ... .... ... .... ... ... ... ... .... ... .... .. ... .... .... .... ..... ... . . ... ............................................................................................................................................................................................................................. ... ........... . . .. . ........... ..... ... ... ... .. ... ... ... .... .... .... . ... ... ... ... .... ... .. ... ... .... ... .... ... .. .... ... .... .... ... ... .

t

|RC2(ω)|

... ......... ....... ... .... .. .. ... ... ... ... ... ...... ... .... ....... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... .. . ... . ... . . ... .. ... . .. . ... ... .... ... . .... ..... ..... ...... .............................................................................................................................................................................................................. ..... ..... .... ... .... .... .

ω0

59

t

|RC4(ω)|

.... .. ... ... ... ... ........ ... ... ....... .... .... ... .... .. . .... .. ... ... ... ..... .. ... ... ... ... .. . . ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... . ... ... ... . ... ... ... ... . ... ... .. . ... ... ... . .. ... .. .. . ... ... ... . ... ... .. ... . . ... . .. ..... . ........................................................................................................................................................................................................................... ..... ..... .... ... .... .... .

ω

ω0

ω

Abb. 2.3.4: RC2(t)- und RC4(t)-Impulse samt den Betr¨ agen ihrer Spektren f¨ ur ω > 0 (f¨ ur ω < 0 sind die Spektren symmetrisch zu erg¨ anzen)

Also gilt

αz 1 ◦—• e−αz|ω| . 2 π α z 2 + t2 In Abschnitt 9.1.2 ist u ubergang z −→ 0 von Interesse: ¨brigens auch der Grenz¨ lim

z→0

1 αz = δ(t) . π α 2 z 2 + t2

4. Gauß-Impuls: Wir zitieren die Korrespondenz

(2.3.48)

(2.3.49)

P

π − ω2 (2.3.50) e 4α α als Beispiel daf¨ ur, dass Zeitfunktion und Spektrum vom selben Typ — einer Gaußfunktion — sein k¨onnen. Wieder illustriert diese Korrespondenz die Unsch¨arferelation. 2

e−αt ◦—•

Hinsichtlich weiterer Korrespondenzen verweisen wir auf Tabellen (Doetsch, 1967; Erd´elyi, 1954). Manchmal tut u ¨brigens die Relation F (t) ◦—• 2πf (−ω)

(2.3.51)

gute Dienste; sie ergibt sich aus der Symmetrie von Fourier- und inverser Fourier-Transformation und bedeutet: Man fasse ein vorliegendes Spektrum F (ω) einer Zeitfunktion f (t) selber als Zeitfunktion auf, und dann ist deren Fourier-Transformierte die urspr¨ ungliche Zeitfunktion mit dem Argument −ω (mal 2π). Standardfunktionen in der Feldtheorie — z.B. die Einheitssprungfunktion u(t), die Vorzeichenfunktion sign(t) = 2u(t) − 1, die komplexe Exponentialfunktion e±jω0 t , die Hyperbelfunktion

60

2 Mathematische Grundlagen

t−1 — sind nicht absolut integrierbar, Fourier-Transformierte sind deshalb erst im Raum der (temperierten) Distributionen definierbar (Doetsch, 1967). Wir greifen vor (Abschnitt 2.4.3): F {u(t)} = πδ(ω) + j PV

1 , ω

1 , ω F {e±jω0 t } = 2πδ(ω ± ω0 ) , F {cos ω0 t} = π[δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )] , F {sin ω0 t} = jπ[δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )] , 1 F {πδ(t) − jPV } = 2πu(ω) , t 1 F {PV } = jπ sign(ω) ; t F {sign(t)} = 2j PV

(2.3.52) (2.3.53) (2.3.54) (2.3.55) (2.3.56) (2.3.57) (2.3.58)

hierin ist δ(ω) die Delta- Funktion“ (Delta-Distribution), und PV bedeutet, dass das Fourier” Inversionsintegral von ω −1 (oder das Fourier-Integral von t−1 ) im Sinne des Cauchy’schen Hauptwerts (PV f¨ ur principal value) zu berechnen ist. F¨ ur unsere Anwendungen von entscheidender Bedeutung sind die Abbildungsgesetze der FourierTransformation.

2.3.3

Abbildungsgesetze der Fourier-Transformation

Gewisse Operationen an Zeitfunktionen — z.B. zeitliche Verschiebung, Differentiation, Faltung — haben ein, meist einfacheres, Pendant im Spektralbereich. Wir zitieren im Folgenden diese als Abbildungsgesetze bezeichneten Relationen. ¨ Ahnlichkeitssatz Es sei F (ω) die Fourier-Transformierte von f (t); dann ist F (ω/a)/|a| die Fourier-Transformierte von f (at), wobei a >= 0 ein reeller Parameter ist. Wir schreiben: f (at) ◦—•

1 F |a|

%

ω a

S

.

(2.3.59)

Wenn wir folglich bei der Bemaßung einer Zeitachse statt der Einheit s die Einheit μs verwenden, m¨ ussen wir die Bemaßung der Frequenzachse von Hz in MHz ¨andern: a ist gleich 10−6 . Verschiebungssatz Die Verschiebung einer Zeitfunktion um ±t0 auf der t-Achse hat die Modulation des Spektrums mit e∓jt0 ω zur Folge: f (t ± t0 ) ◦—• e∓jt0 ω F (ω) . (2.3.60) Man beachte: Ehemals reelle Spektren (z.B. Gleichung (2.3.44)) werden dadurch auf jeden Fall komplex, d.h. der im Nullpunkt beginnende Rechteckimpuls qT (t − T ) hat das komplexe Spektrum 2e,jT ω sin T ω/ω. Modulationssatz Die Symmetrie zwischen Fourier-Transformation und inverser Fourier-Transformation beschert in der Regel symmetrische Abbildungsgesetze, d.h. die Modulation der Zeitfunktion bewirkt eine spektrale Verschiebung um die Modulationsfrequenz: f (t) e±jω0 t ◦—• F (ω ± ω0 ) .

(2.3.61)

2.3 Zeitliche und r¨aumliche Spektralanalyse mittels Fourier-Transformation

61

Differentiationssatz Die Grundgleichungen jedweden Wellenvorgangs sind partielle Differentialgleichungen in Raum und Zeit, d.h. sie enthalten r¨aumliche und zeitliche Differentiationen der Feldgr¨oßen. Im Falle der Linearit¨at dieser Grundgleichungen lassen sich zun¨achst zeitliche Ableitungen sehr vorteilhaft eliminieren, indem mit der Fourier-Transformation zu Spektren der Feldgr¨oßen u ¨bergegangen wird und dabei der Differentiationssatz angewendet wird. Unter gewissen Voraussetzungen gilt n¨amlich (die Zeitfunktion und s¨amtliche Ableitungen m¨ ussen f¨ ur t −→ ±∞ verschwinden (Doetsch, 1967): (2.3.62) f (n) (t) ◦—• (−jω)n F (ω) , n = 1, 2, 3, . . . . Integrationssatz F¨ ur n = 1 lautet die Inversion“ von (2.3.62): ” ; t

−∞

f (τ ) dτ ◦—•

F (ω) , (−jω)

(2.3.63)

wobei allerdings die Voraussetzung F (0) = 0, d.h. die Mittelwertfreiheit von f (t), zu beachten ist (Doetsch, 1967). Faltungssatz Das Faltungsintegral f (t) = g(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ g(t) =

; ∞

−∞

h(t − τ )g(τ ) dτ

(2.3.64)

zweier Zeitfunktionen g(t) und h(t) wird durch die Fourier-Transformation in das Produkt der Spektren G(ω) und H(ω) abgebildet: g(t) ∗ h(t) ◦—• G(ω)H(ω) .

(2.3.65)

Faltungssatz im Spektralbereich Der zu (2.3.65) symmetrische Faltungssatz im Spektralbereich lautet: g(t)h(t) ◦—•

1 G(ω) ∗ H(ω) , 2π

(2.3.66)

wobei G(ω) ∗ H(ω) = H(ω) ∗ G(ω) =

2.3.4

; ∞

−∞

H(ω − ω + )G(ω + ) dω + .

(2.3.67)

Hilbert-Transformation und analytisches Signal

Die Hilbert-Transformation (Doetsch, 1967; mit umgekehrten Vorzeichen: Hahn, 1997) f (t) = H{g(τ )} ; ∞ g(τ ) 1 = − PV dτ π −∞ t − τ

(2.3.68)

62

2 Mathematische Grundlagen

ist eine Integraltransformation mit einem Faltungskern, wobei das Inversionsintegral g(τ ) = H−1 {f (t)} ; ∞ f (t) 1 dt = PV π −∞ τ − t

(2.3.69)

bis auf das Vorzeichen genauso aussieht; PV steht wieder f¨ ur principal value, also f¨ ur den Cauchy’schen Hauptwert. Im Umfeld der Fourier-Transformation spielt die Hilbert-Transformation eine wichtige Rolle. Der Faltungskern der Hilbert-Transformation hat in Verbindung mit dem Faltungssatz (2.3.65) der Fourier-Transformation und der Korrespondenz (2.3.58) F {f (t)} = F (ω) = F {H{g(τ )}} 1 1 = − F {PV ∗ g(t)} π t 1 1 = − F {PV }G(ω) π t = −j sign(ω)G(ω)

(2.3.70)

zur Folge. F¨ ur die Fourier-Spektren zweier Hilbert-Transformierter stellt sich die Hilbert-Transformation als Filter mit dem Frequenzgang −j sign(ω) dar, d.h. G(ω) wird f¨ ur positive Frequenzen mit −j und f¨ ur negative Frequenzen mit j multipliziert. Die Beziehung (2.3.70) l¨asst sich zur analytischen und numerischen Berechnung eines Hilbert-Transformationspaares benutzen: f (t) = F −1 {−j sign(ω)F {g(t)}} .

(2.3.71)

Mit (2.3.70) und den Korrespondenzen (2.3.55), (2.3.56) zeigt man unmittelbar

also

H{sin ω0 τ } = cos ω0 t , H{cos ω0 τ } = − sin ω0 t ,

(2.3.72) (2.3.73)

e−jω0 t = cos ω0 t + j H{cos ω0 τ } .

(2.3.74)

Falls a(t) ≥ 0 als Amplitudenmodulation a(t) cos ω0 t einer reellen Tr¨agerschwingung mit der (Kreis-)Frequenz ω0 mit bandbegrenztem Spektrum A(ω) ≡ 0 f¨ ur |ω| > ωmax < ω0 definiert wird45 , zeigt man sogar

und folglich

H{a(τ ) sin ω0 τ } = a(t) cos ω0 t , H{a(τ ) cos ω0 τ } = −a(t) sin ω0 t

(2.3.75) (2.3.76)

a(t) e−jω0 t = a(t) cos ω0 t + j H{a(τ ) cos ω0 τ } .

(2.3.77)

Aus der amplitudenmodulierten reellen Tr¨agerschwingung wird durch imagin¨are Erg¨anzung mit ihrer Hilbert-Transformierten eine amplitudenmodulierte komplexe Tr¨agerschwingung, aus der sich die Modulation — die Einh¨ ullende — mittels Betragsbildung errechnen l¨asst. Falls a(t) nicht bandbegrenzt ist, treten bei der Hilbert-Transformation von beispielsweise a(t) sin ω0 t Korrekturterme“ ” H{a(τ ) sin ω0 τ } = a(t) cos ω0 t − F −1 {A(ω − ω0 )u(−ω)} − F −1 {A(ω + ω0 )u(ω)} (2.3.78) 45 Obwohl der RCN (t)-Impuls von endlicher Dauer ist, kann man die Voraussetzung f¨ ur a(t) n¨ aherungsweise f¨ ur eN (t) als erf¨ ullt ansehen.

2.3 Zeitliche und r¨aumliche Spektralanalyse mittels Fourier-Transformation

63

auf, die die dann nicht verschwindenden spektralen Anteile von A(ω − ω0 ) f¨ ur negative Frequenzen und von A(ω + ω0 ) f¨ ur positive Frequenzen ber¨ ucksichtigen. Man verallgemeinert (2.3.77) in Form des sogenannten analytischen Signals (Gabor, 1946) f+ (t) = f (t) + j H{f (τ )}

(2.3.79)

und definiert mit |f+ (t)| die Einh¨ ullende von f (t). Bei der Signalverarbeitung mit abbildenden Verfahren greift man darauf gerne zur¨ uck (Langenberg et al., 1993). Wir hatten bereits erw¨ahnt, dass reelle Zeitfunktionen Spektren haben, die f¨ ur negative Frequenzen keine neue Information enthalten; wie, wenn man diese Information ganz entfernte? Wir betrachten also Spektren F (ω), die aufgrund der Identit¨at F (ω) = F (ω)u(ω)

(2.3.80)

f¨ ur ω < 0 gleich null sind. Die formale Fourier-Inversion von (2.3.80) unter Verwendung des Faltungssatzes liefert f (t) = f (t) ∗ F −1 {u(ω)} , (2.3.81) und mit (2.3.57) sowie (2.4.17) ergibt sich f (t) = woraus

j 1 1 f (t) − f (t) ∗ PV , 2 2π t

(2.3.82)

; ∞ f (τ ) 1 dτ (2.3.83) f (t) = −j PV π −∞ t − τ als Hilbert-Transformationsbeziehung folgt. In (2.3.83) kann f (t) nicht reell sein, sodass wir nach Real- und Imagin¨arteil aufspalten: ; ∞ 1 2{f (τ )} PV dτ , π t−τ −∞ ; ∞ 6{f (τ )} 1 dτ . 2{f (t)} = − PV π t−τ −∞

6{f (t)} =

Also gilt

f (t) = 6{f (t)} + j H{6{f (τ )}}

oder

def

f+ (t) = f (t) + jH{f (t)}

(2.3.84) (2.3.85) (2.3.86) (2.3.87)

mit f (t) als reeller Zeitfunktion. Zeitfunktionen, deren Spektren f¨ ur ω < 0 gleich null sind, sind also komplex, jedoch ist der Imagin¨arteil nicht unabh¨angig vom Realteil, er ist dessen Hilbert-Transformierte: f+ (t) gem¨aß (2.3.87) ist ein analytisches Signal, das Spektrum F {f+ (t)} beschr¨ankt sich auf positive Frequenzen: daher der Index an f+ (t). Wie h¨angt das Spektrum von f+ (t) mit F (ω), dem Spektrum von f (t) zusammen? Wir berechnen F {f+ (t)}

= = (2.3.58)

=

=

1 ; ∞ f (τ ) dτ } π −∞ t − τ 1 1 F {f (t)} + jF {− f (t) ∗ PV } π t

F {f (t)} + jF {−

F (ω) + F (ω)sign (ω) 1 2F (ω) f¨ ur ω > 0 0 f¨ ur ω < 0 .

(2.3.88)

64

2 Mathematische Grundlagen

Also ergibt sich die analytische inverse Fourier-Transformation 1;∞ F (ω) e−jωt dω π 0 = F+−1 {F (ω)} .

f+ (t) =

(2.3.89)

ur komplexe Zeiten Der Verzicht“ auf negative Frequenzen in (2.3.89) erlaubt es sogar, f+ (t) f¨ ” mit negativem Imagin¨arteil zu definieren, denn das Integral (2.3.89) ist in einer unteren komplexen t-Halbebene eine analytische Funktion von t, daher der Begriff analytisches Signal. Im Grenzfall reeller t-Werte hat f+ (t) sodann die Darstellung (2.3.87). Beispielsweise l¨asst (2.3.89) die Definition von f+ (t − jγ) mit γ > 0 gem¨aß 1;∞ F (ω)e−γω e−jωt dω π 0 1;∞ 1;∞ = 6{ F (ω)e−γω e−jωt dω} + j2{ F (ω)e−γω e−jωt dω} π 0 π 0 def = fγ (t) + jH{fγ (τ )}

f+ (t − jγ) =

(2.3.90)

(2.3.91)

mit der reellen Zeitfunktion fγ (t) zu, denn die Fourier-Inversion eines Spektrums F (ω)e−γω ohne negative Frequenzen definiert ein analytisches Signal, in diesem Fall also die Aufspaltung von f+ (t − jγ) in Real- und Imagin¨arteil. Verwenden wir als analytisches Signal f+ (t) = e−jω0 t mit ω0 > 0, so folgt F (ω) = πδ(ω − ω0 ) und damit f+ (t − jγ) =

; ∞

δ(ω − ω0 )e−γω e−jωt dω

0 −γω0 −jω0 t

=e e , fγ (t) = e−γω0 cos ω0 t , H{fγ (τ )} = −e−γω0 sin ω0 t ,

(2.3.92) (2.3.93) (2.3.94)

ein Ergebnis, das wir f¨ ur diesen Fall auch schlicht durch Einsetzen gefunden h¨atten. Aber, und das werden wir im Zusammenhang mit gepulsten Ultraschallstrahlen (Abschnitt 12.2) ben¨otigen, (2.3.90) gilt eben f¨ ur beliebige F (ω). Die Symmetrie zwischen Fourier-Transformation und inverser Fourier-Transformation l¨asst uns vermuten, dass kausale Zeitfunktionen, d.h. Zeitfunktionen, die f¨ ur t < 0 gleich null sind, Spektren haben, deren Real- und Imagin¨arteil gegenseitige Hilbert-Transformierte sind. In der Tat finden wir durch Fourier-Transformation der Kausalit¨atsbedingung“ ” f (t) = f (t)u(t) , (2.3.95) Anwendung des Faltungssatzes im Spektralbereich, Benutzung der Korrespondenz (2.3.52) sowie der Faltungsbeziehung (2.4.17) sofort ; ∞ 1 2{F (ω + )} 6{F (ω)} = − PV dω + , π ω − ω+ −∞ ; ∞ 6{F (ω + )} 1 dω + . 2{F (ω)} = PV π ω − ω+ −∞

(2.3.96) (2.3.97)

Hinsichtlich der mathematischen Voraussetzungen, unter denen die Beziehungen (2.3.84), (2.3.85) bzw. (2.3.96), (2.3.97) gelten, verweisen wir wieder auf Doetsch (1967); im Wesentlichen ist die zeitliche bzw. spektrale Kausalit¨at durch die quadratische Integrierbarkeit (endliche Energie) der Zeitfunktion bzw. des Spektrums zu erg¨anzen.

2.3 Zeitliche und r¨aumliche Spektralanalyse mittels Fourier-Transformation

65

Falls F (ω) das komplexwertige Spektrum eines Materialparameters in einer linearen Materialgleichung ist, heißen die Beziehungen (2.3.96), (2.3.97) Kramers-Kronig-Relationen (Langenberg, 2005). Als Konsequenz sind Phasengeschwindigkeit und D¨ampfung einer Welle nicht unabh¨angig voneinander und: Materialien ohne Verluste kann es strenggenommen gar nicht geben. In der Theorie der Wellenausbreitung treffen wir ¨ofter auf (komplexwertige) Spektren F (ω) mit F (−ω) = F ∗ (ω), die gem¨aß F (ω)e jϕ mit einem offensichtlich frequenzunabh¨angigen Faktor multipliziert sind (Abschnitt 9.1.2). Wenn zu F (ω)e jϕ aber eine reelle Zeitfunktion geh¨oren soll, ur negative Frequenzen fortzusetzen, und man findet dann ist gem¨aß F (ω)e jϕ sign(ω) f¨ F −1 {e jϕ sign(ω) F (ω)} = cos ϕ f (t) − sin ϕ H{f (τ )} ;

(2.3.98)

die resultierende reelle Zeitfunktion enth¨alt sodann ebenfalls die Hilbert-Transformierte von f (t) = F −1 {F (ω)}.

2.3.5

R¨aumliche Spektralanalyse

Die Bezeichnung der Fourier-Variablen ist nat¨ urlich beliebig, sodass die Schreibweise F (Kx ) = f (x) =

; ∞

−∞

f (x) e−jKx x dx ,

; 1 ∞

2π

−∞

(2.3.99)

F (Kx ) e jKx x dKx

(2.3.100)

ebenfalls erlaubt“ ist. Die Verwendung von x als Urbildraumvariabler deutet in der Tat auf ” eine kartesische Ortskoordinate hin, sodass (2.3.99) als r¨aumliches Spektrum der ortsabh¨angigen Funktion f (x) zu interpretieren ist; Kx hat sodann die Dimension einer reziproken L¨ange, also die Einheit m−1 . Man beachte: Wir haben gleichzeitig — auch diese Beliebigkeit ausnutzend — das Vorzeichen im Kern von Fourier- und inverser Fourier-Transformation gegen¨ uber (2.3.1) und (2.3.40) ge¨andert; dies hat gute Gr¨ unde, auf die wir hier jedoch nicht eingehen wollen. Es sei aber darauf hingewiesen, dass die Verwendung der konjugiert komplexen Kerne Konsequenzen f¨ ur die Abbildungsgesetze der r¨aumlichen Fourier-Transformation hat: In (2.3.60), (2.3.61) und (2.3.62) ist j durch −j zu ersetzen. Ortsfunktionen sind in der Wellenfeldtheorie Funktionen von drei kartesischen Koordinaten; wir k¨onnen deshalb φ(x, y, z) nacheinander bez¨ uglich x, y und z r¨aumlich Fourier-transformieren, wobei wir die Fourier-Variablen mit Kx , Ky und Kz bezeichnen: Φ(Kx , Ky , Kz ) = φ(x, y, z) =

; ∞ L; ∞ L; ∞ −∞

−∞

−∞

-

L L 1 ;∞ 1 ;∞ 1 ;∞

2π

−∞

2π

-

φ(x, y, z) e−jKx x dx e−jKy y dy e−jKz z dz ,

−∞

2π

−∞

-

(2.3.101) -

Φ(Kx , Ky , Kz ) e jKx x dKx e jKy y dKy e jKz z dKz . (2.3.102)

Wenn wir wie u ¨blich x, y, z zum Ortsvektor R = xex + yey + zez

(2.3.103)

zusammenfassen, k¨onnen wir dasselbe f¨ ur die Fourier-Variablen Kx , Ky , Kz tun: K = Kx e x + Ky e y + Kz e z ; damit schreiben sich (2.3.101) und (2.3.102) abk¨ urzend Φ(K) = F3D {φ(R)}

(2.3.104)

66

2 Mathematische Grundlagen = φ(R) = =

; ∞ ; ∞ ; ∞

φ(R) e−jK·R d3 R ,

−∞ −∞ −∞ −1 F3D {Φ(K)} ; ∞ ; ∞ 1

(2π)3

−∞

; ∞

−∞

−∞

Φ(K) e jK·R d3 K

(2.3.105)

(2.3.106)

als dreidimensionale r¨aumliche Fourier- und inverse Fourier-Transformation mit den vektoriellen Variablen R und K; der Bildraum der r¨aumlichen Fourier-Transformation wird deshalb K-Raum genannt. Bei Bracewell (1978) finden sich einige Korrespondenzen zu (2.3.105) und (2.3.106); insbesondere ist die dreidimensionale Fourier-Transformierte des Balls“ u(a − R) vom Radius R durch die ” dreidimensionale Verallgemeinerung der Spaltfunktion gegeben: F3D {u(a − R)} = 4π

sin aK − aK cos aK . K3

(2.3.107)

Im Distributionssinne gilt ferner F3D {e±jk·R } = (2π)3 δ(K ∓ k)

(2.3.108)

als Verallgemeinerung von (2.3.54). Wenn wir antizipieren, dass e jk·R (zusammen mit der Zeitfunktion e−jω0 t ) eine sich in k-Richtung ausbreitende zeitharmonische ebene Welle darstellt (Abschnitt 8.1.2), wissen wir mit (2.3.108), dass deren r¨aumliches Spektrum durch eine δSingularit¨at bei K = k im K-Raum gegeben ist: Der zeitharmonischen Schwingung e−jω0 t ist gem¨aß (2.3.54) eine Spektrallinie bei der Schwingungskreisfrequenz ω = ω0 zugeordnet, der raumharmonischen Schwingung e jk·R ist gem¨aß (2.3.108) ein δ-punktf¨ormiges Spektrum bei der (vektoriellen) Raumfrequenz K = k zugeordnet, d.h. der Fourier-Vektor K zeigt in Richtung des Phasenausbreitungsvektors k der ebenen Welle und hat dessen L¨ange k = ω/c. Variieren wir deshalb bei fester Frequenz die Ausbreitungsrichtung, variiert K auf der sogenannten Ewald-Kugel K = k. Wir zitieren im Folgenden die dreidimensionalen Versionen der f¨ ur uns relevanten Abbildungsgesetze. Verschiebungssatz 3D

%

φ(R ± R+ ) ◦—• Φ(K) e±jK·R .

(2.3.109)

3D

(2.3.110)

Modulationssatz φ(R) e±jk·R ◦—• Φ(K ∓ k) . Differentiationssatz 3D

∇φ(R) ◦—• jKΦ(K) .

(2.3.111)

Faltungssatz 3D

φ(R) ∗ ∗ ∗ ψ(R) ◦—• Φ(K)Ψ(K) ,

(2.3.112)

2.4 Delta-Funktion

67

wobei φ(R) ∗ ∗ ∗ ψ(R) = =

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞ ; ∞

−∞ ; ∞

−∞ ; ∞

−∞

−∞

−∞

φ(R − R+ )ψ(R+ ) d3 R+ φ(x − x+ , y − y + , z − z + )ψ(x+ , y + , z + ) dx+ dy + dz + . (2.3.113)

Wellenfeldgr¨oßen sind oft vektorielle oder tensorielle Feldgr¨oßen; deren dreidimensionale FourierTransformation, etwa ; ; ; V(K) =

∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

v(R) e−jK·R d3 R ,

(2.3.114)

ist sodann kartesisch-komponentenweise zu verstehen.

2.4

Delta-Funktion

2.4.1

Delta-Funktion als Distribution

Es war der Wunsch des Physikers Paul Dirac, eine Funktion δ(x) zur Verf¨ ugung zu haben, die bis auf die Stelle x = 0 u ur x = 0 aber so stark unendlich“ ist, dass sie ¨berall gleich null ist, f¨ ” aus dem Integral ; ∞

−∞

δ(x)φ(x) dx = φ(0)

(2.4.1)

den Wert von φ(x) heraussiebt“. Man nennt (2.4.1) Siebeigenschaft der Delta-Funktion (Dirac” Funktion, Dirac-Impuls). Es zeigt sich aber sehr schnell, dass es eine Funktion mit der Eigenschaft (2.4.1) gar nicht geben kann, sodass man entweder — streng mathematisch — einen Raum von Distributionen definiert, dem dann auch δ angeh¨ort, in dem ein Funktional“ wie (2.4.1) ” Sinn macht (Doetsch, 1967), oder man versteht (2.4.1) — ingenieurwissenschaftlich anschaulich — symbolisch gem¨aß ; ∞

−∞

s

δ(x)φ(x) dx = φ(0)

(2.4.2)

und versucht, mit (2.4.2) Rechenregeln — Algebra und Analysis — f¨ ur eine δ- Funktion“ zu ” begr¨ unden (Dudley, 1994; Langenberg, 2005). Wenn man die so gefundenen Eigenschaften von ¨ δ mit der mathematischen Theorie der Distributionen in Ubereinstimmung bringen kann, ist gegen (2.4.2) nichts einzuwenden. Wir sprechen dann — symbolisch — von der Delta-Funktion, obwohl wir die Delta-Distribution meinen. Schon mit (2.4.1), aber erst recht mit (2.4.2), ist klar, dass wir der Delta-Funktion f¨ ur x = 0 ¨ keinen Funktionswert zuweisen k¨onnen. Ahnlich ist dies in der Analysis f¨ ur Funktionen, die an Sprungstellen-Unstetigkeiten nicht differenzierbar sind, die Ableitung hat dort keinen Funktionswert. Wir betrachten als Beispiel die Einheitssprungfunktion u(x) (Abbildung 2.4.1); f¨ ur x >= 0 gilt u+ (x) = 0, und f¨ ur x = 0 ist u(x) nicht differenzierbar, d.h. u+ (x) hat f¨ ur x = 0 keinen Funktionswert (Abbildung 2.4.1). Die Regel der partiellen Integration ; b a

!b !

; b

a

a

f + (x)g(x) dx = f (x)g(x)! −

f (x)g + (x) dx

(2.4.3)

sagt uns aber, dass wir, insbesondere bei verschwindendem ausintegrierten Bestandteil f (x)g(x)|ba die Diferentiation von f (x) auf g(x) hin¨ uberw¨alzen“ k¨onnen; Vorteil: Eine Operation, die an ” f (x) nicht erlaubt ist, kann an g(x) durchaus erlaubt sein. Wir konkretisieren diesen Gedanken f¨ ur die Einheitssprungfunktion, indem wir zun¨achst Testfunktionen“ g(x) =⇒ φ(x) so ”

68

2 Mathematische Grundlagen

u+ (x)

u(x)

.... ....... ....... ... ..... .. ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .... .. ... ... ... ..... . ........................................................................................................................................................... ..... .... .... ..

1

.... ....... ....... ... ..... .. ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... . ............................................................................................................................................................ ..... ..... .. ...

............................

............................

+

u (0) ex. nicht

......................................................

x

x

Du(x)

.... ....... ....... ... ..... .. ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ..... ..... ........................................................................................................................................................... ..... .... .... ..

........ δ(x) ... ... ........................................................ 1

x

Abb. 2.4.1: Einheitssprungfunktion, Ableitung und Derivierte

w¨ahlen, dass der ausintegrierte Bestandteil, insbesondere f¨ ur unendliche Integrationsgrenzen, wegen φ(±∞) = 0 stets verschwindet; die resultierende Beziehung ; ∞

−∞

s

u+ (x)φ(x) = −

; ∞

−∞

u(x)φ+ (x) dx

(2.4.4)

kann nat¨ urlich nur in dem oben erw¨ahnten symbolischen Sinne gelten, da — man kann es drehen und wenden, wie man will — die linke Seite von (2.4.4) nicht existiert. Allerdings kann man ihr nunmehr durch die rechte Seite den Sinn ; ∞

s

−∞

geben, da −

; ∞ −∞

u+ (x)φ(x) dx = φ(0)

u(x)φ+ (x) dx = −

; ∞ 0

(2.4.5)

φ+ (x) dx !∞

= −φ(x)!! = φ(0) .

0

(2.4.6)

Diesen neuen Sinn bringt man durch die Schreibweise ; ∞

−∞

s

Du(x) φ(x) dx = φ(0)

(2.4.7)

der Derivierten Du(x) von u(x) zum Ausdruck. Die Derivierte von u(x) ist nicht die Ableitung von u(x), sondern deren symbolische (distributionstheoretische) Verallgemeinerung. Da φ(x) eine beliebige Testfunktion (aus dem wohldefinierten Raum der Testfunktionen) ist, enth¨ ullt der Vergleich von (2.4.7) mit (2.4.2), dass offensichtlich δ(x) = Du(x)

(2.4.8)

gilt. Die symbolische Darstellung von (2.4.8) findet sich ebenfalls in Abb. 2.4.1: δ(x) als Pfeil mit, im Sinne von (2.4.2), der Einheits amplitude“. ”

2.4.2

Rechenregeln f¨ ur die Delta-Funktion

Rechenregeln f¨ ur δ(x) (und andere Distributionen) findet man immer nach dem obigen Schema: Hin¨ uberw¨alzen einer noch nicht definierten Operation auf die Testfunktion. Rein anschaulich

2.4 Delta-Funktion

69

1

... ........ ...... ... ..... ... ... ... .. ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . . .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... ..................................................................................................................................................................................................................................................................... .....

........ δ(x − x ) ... ... ... ... .. 0

x = x0

x

Abb. 2.4.2: Illustration der δ-Funktion

stellt δ(x−x0 ) einen Einheitspfeil“ bei x = x0 dar (Abbildung 2.4.2); in symbolischer Rechnung ” finden wir: ; ∞

−∞

s

δ(x − x0 )φ(x) dx = s

; ∞

−∞

δ(x)φ(x + x0 ) dx

= φ(x0 ) .

(2.4.9)

Genauso zeigt man, dass αδ(x) einen δ-Pfeil mit α- Amplitude“ gem¨aß ” ; ∞

−∞

s

αδ(x)φ(x) dx = αφ(0)

(2.4.10)

darstellt. Ebenso findet man f¨ ur reelles a >= 0 δ(ax) =

1 δ(x) , |a|

(2.4.11)

wobei dies bedeutet, dass δ(ax) bei dimensionsloser Variabler x die reziproke Einheit des eventuell dimensionsbehafteten Parameters a hat, mit anderen Worten, δ(t) hat die Einheit s−1 , wenn t die Zeit ist, und δ(x) hat die Einheit m−1 , wenn x Ortskoordinate ist. Außerdem impliziert (2.4.11) δ(−x) = δ(x) . (2.4.12) Die δ(x − x0 )-Distribution kann zur Abtastung einer Funktion α(x) verwendet werden: ; ∞ −∞

s

α(x)δ(x − x0 )φ(x) dx = s

; ∞ −∞

δ(x − x0 )α(x)φ(x) dx

= α(x0 )φ(x0 ) s

= α(x0 ) ; ∞ s

= folglich gilt46

−∞

δ(x − x0 )φ(x) dx

α(x0 )δ(x − x0 )φ(x) dx ;

(2.4.13)

α(x)δ(x − x0 ) = α(x0 )δ(x − x0 ) .

(2.4.14)

(x − x0 ) δ(x − x0 ) = 0 .

(2.4.15)

Daraus folgt 46 Nicht

−∞

; ∞

richtig ist: α(x)δ(x − x0 ) = α(x0 ).

70

2 Mathematische Grundlagen

Auch die δ-Distribution l¨asst sich derivieren: ; ∞

−∞

s

Dδ(x)φ(x) dx = −φ+ (0) .

(2.4.16)

Wir schreiben der Einfachheit halber Dδ(x) = δ + (x). Selbst die Faltung von δ(x) mit einer Funktion α(x) ist mit der Siebeigenschaft symbolisch berechenbar47 : s

δ(x) ∗ α(x) =

; ∞

−∞

δ(x − x+ )α(x+ ) dx+

= α(x) ; ferner gilt

(2.4.17)

α(x) ∗ δ(x − x0 ) = α(x − x0 ) .

(2.4.18)

K¨ uhn werden wir nun, wenn wir in (2.4.17) α(x) = δ(x − x0 ) setzen und behaupten, dass

ja sogar

δ(x) ∗ δ(x − x0 ) = δ(x − x0 ) ,

(2.4.19)

δ(x − x1 ) ∗ δ(x − x2 ) = δ(x − x1 − x2 )

(2.4.20)

gilt. Tats¨achlich kann man die obigen Beziehungen distributionstheoretisch beweisen (Doetsch, 1967).

2.4.3

Delta-Funktion und Fourier-Transformation

Ebenso wie (2.4.17) k¨onnen wir die Fourier-Transformierte der δ-Funktion mit der Siebeigenschaft plausibel machen (zur Fourier-Transformation von Distributionen konsultiere man Doetsch (1967)): ; ∞

−∞

s

δ(t − t0 ) e jωt dt = e jt0 ω ;

(2.4.21)

daraus folgt: δ(t) ◦—• 1 , δ(t ± t0 ) ◦—• e∓jt0 ω .

(2.4.22) (2.4.23)

Wenn wir andererseits 2πδ(ω ± ω0 ) invers Fourier-transformieren, finden wir: 1 ;∞ s 2πδ(ω ± ω0 ) e−jωt dω = e±jω0 t ; 2π −∞

(2.4.24)

folglich sollte im distributionstheoretischen Sinne e±jω0 t ◦—• 2πδ(ω ± ω0 )

(2.4.25)

gelten. Mit den Euler’schen Formeln (2.3.21), (2.3.22) folgen daraus die Korrespondenzen (2.3.55), (2.3.56) sowie 1 ◦—• 2πδ(ω) . (2.4.26) Ebenso wie (2.4.25) und (2.4.26) k¨onnen die Fourier-Transformierten von u(t) und sign(t) nur im symbolischen bzw. distributionstheoretischen Sinne existieren. Um sie zu finden, berechnen wir 47 Da α(x) nicht unbedingt eine der Testfunktionen sein muss, sind wir bereits vom Pfad der Distributionen“ abgewichen (man ” schaue bei Doetsch (1967) zwecks einer korrekten Rechnung nach).

2.4 Delta-Funktion

71

zun¨achst F {t−1 }, m¨ ussen dieses Integral aber wegen der Singularit¨at von t−1 als Cauchy’schen Hauptwert berechnen: 1 1 def F { } = F {PV } t t ; ∞ 1 jωt = PV e dt −∞ t %; ∞ S ; −g 1 jωt 1 jωt def = lim e dt + e dt g→0 t g −∞ t ; ∞ W / 1 jωt = lim e − e−jωt dt g→0 g t ; ∞ sin ωt = 2j lim dt g→0 g t ; ∞ sin ωt = 2j dt t ⎧0 π ⎪ ⎪ f¨ ur ω > 0 ⎨ = 2j ⎪ 2 π ⎪ ⎩− f¨ ur ω < 0 2 = jπ sign(ω) .

(2.4.27)

Das vorletzte Gleichheitszeichen von (2.4.27) gilt aufgrund der Definition des Integralsinus’. Mit sign(ω) = 2u(ω) − 1 folgt aus (2.4.27) j 1 1 PV } = u(ω) , F { δ(t) − 2 2π t

(2.4.28)

Mit der Symmetriebeziehung (2.3.51) folgt aus (2.4.27) ferner: sign(t) ◦—• 2j PV

1 ω

u(t) ◦—• πδ(ω) + j PV

2.4.4

(2.4.29) 1 . ω

(2.4.30)

Delta-Funktion im Dreidimensionalen

Wenn die Variable in δ(x) eine kartesische Ortskoordinate ist, steht sofort die Erweiterung auf δ(y) und δ(z) zur Definition einer r¨aumlichen Punkt quelle“ mit der dreidimensionalen ” Siebeigenschaft ; ; ; ∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

s

δ(x)δ(y)δ(z)φ(x, y, z) dxdydz = φ(0, 0, 0)

(2.4.31)

ins Haus. Wohlgemerkt: Da jedes Integral in (2.4.31) symbolisch (distributionstheoretisch: als Funktional) aufzufassen ist, ist δ(x)δ(y)δ(z) auch nur ein symbolisches Produkt von δ-Funktionen. urzende Schreibweise Wir f¨ uhren mit δ(R) = δ(x)δ(y)δ(z) die abk¨ ; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

ein und erweitern sie auf

−∞

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

−∞

−∞

−∞

s

δ(R)φ(R) d3 R = φ(0)

s

δ(R − R+ )φ(R) d3 R = φ(R+ ) .

(2.4.32)

(2.4.33)

72

2 Mathematische Grundlagen

Wichtig f¨ ur die Siebeigenschaft (2.4.33) ist, dass R+ im Integrationsbereich liegt; bei unendlichen Integrationsgrenzen ist dies stets der Fall, nicht jedoch, wenn nur u ¨ber einen endlichen Bereich V des IR3 integriert wird: 1

; ; ;

+

V

+ s

3

δ(R − R )φ(R) d R =

φ(R+ ) f¨ u r R+ ∈ V > V . 0 f¨ u r R+ ∈

(2.4.34)

Letztlich ist das Ausl¨oschungstheorem der Helmholtz’schen Integralformulierung des Huygens’schen Prinzips eine Konsequenz von (2.4.34) (Abschnitt 15.1.2). Mit (2.4.33) macht man auch sehr schnell die Korrespondenzen 3D

δ(R) ◦—• 1 ,

(2.4.35)

3D

%

δ(R ± R+ ) ◦—• e±jK·R , e

±jk·R

3D

(2.4.36)

3

◦—• (2π) δ(K ∓ k)

(2.4.37)

der dreidimensionalen Fourier-Transformation plausibel. Hinsichtlich der Darstellung von δ(R) in anderen als kartesischen Koordinaten verweisen wir auf Langenberg (2005).

2.4.5

Singul¨are Funktion einer Fl¨ache

Die singul¨are Funktion γ(R) einer geschlossenen Fl¨ache S hat die mehrdimensionale Siebeigenschaft, ein Volumenintegral auf ein Fl¨achenintegral zu reduzieren (Bleistein, 1984; Bamler, 1989): ; ; ; ; ; ∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

γ(R)φ(R) dV =

S

φ(R) dS .

(2.4.38)

Wie machen wir dies plausibel und wie definieren wir γ(R)? Wir erinnern daran, dass die Derivierte der Einheitssprungfunktion dieselbe Siebeigenschaft wie die δ-Funktion hat (Gleichung (2.4.8)). Als Beispiel einer geschlossenen Fl¨ache betrachten wir zun¨achst die Oberfl¨ache einer Kugel vom Radius a; das Innere der Kugel wird durch ihre charakteristische Funktion 1

u(a − R) =

1 f¨ ur R < a 0 f¨ ur R > a

(2.4.39)

beschrieben, deren Abh¨angigkeit von der radialen Koordinate R in Abb. 2.4.3 dargestellt ist. Offenbar liefert eR · ∇u(a − R)

u(a − R)

1

... ........ ...... ... ..... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ................................................................................ . ... .... .. .... ... .... . ... .... .. ..... .... .......................................................................................................................................................... .....

a

... ........ ...... ... ..... ... .... ... .. ... ... ... ... ... ... ... . .... .. ... ... ... ..... . ............................................................................................................................................................ ..... .... .. ... ... ... . ...... ... ... ...

... ..... a

R 1

Abb. 2.4.3: Zur Illustration der singul¨ aren Funktion einer Kugelfl¨ ache

R

2.4 Delta-Funktion

73 eR · ∇u(a − R) = −δ(a − R)

(2.4.40)

eine δ-Funktion, die auf der ganzen Kugeloberfl¨ache singul¨ar ist; diese singul¨are Funktion unschte Eigenschaft γa (R) = δ(a − R) der Kugel hat die gew¨ ; 2π ; π ; R 0

0

0

δ(a − R)φ(R, ϑ, ϕ) R2 sin ϑ dRdϑdϕ =
∇v(R, t) + [∇v(R, t)]21 + h(R, t) . = ∂t 2

(3.1.1) (3.1.2)

Die durch sie linear verkn¨ upften elastodynamischen Feldgr¨oßen sind die folgenden: • Impulsdichtevektor j(R, t), • symmetrischer Spannungstensor T(R, t) zweiter Stufe, • symmetrischer Deformationstensor S(R, t) zweiter Stufe, • Teilchengeschwindigkeitsvektor v(R, t); unter dem • Kraftdichtevektor f (R, t) und dem • symmetrischen Tensor zweiter Stufe h(R, t) der injizierten Deformationsrate verstehen wir eingepr¨agte (vorgegebene2 ) Volumenquellen, die wir als physikalische Ursache des elastodynamischen Feldes bzw. als mathematische Inhomogenit¨aten der Grundgleichungen ansehen. 1 Klassisches Beispiel ist das Experiment von Heinrich Hertz zur Erzeugung elektromagnetischer Wellen, die von der Maxwell’schen Theorie unmittelbar vorhergesagt werden. 2 Wenn f (R, t) beispielsweise die von einem EMUS erzeugte Lorentzkraftdichte ist, ist sie nicht wirklich vorgegeben, sondern sie muss aufgrund der Maxwell’schen Gleichungen erst berechnet werden; vorgegeben“ heißt dann, dass wir diesen Schritt als bereits ” durchgef¨ uhrt ansehen.

76

3 Elastodynamische Grundgleichungen

Zur L¨osung von (3.1.1) und (3.1.2) bedarf es einer mathematisch-physikalischen Verkn¨ upfung der Feldgr¨oßen, die als Materialgleichungen (Abschnitt 4) ebenfalls festk¨orperphysikalisch be¨ gr¨ undbar sind. Ahnlich m¨ ussen u ¨brigens die Maxwell’schen Gleichungen (sofern man nicht im Vakuum arbeitet“) durch (elektromagnetische) Materialgleichungen erg¨anzt werden. ” Mit der Definition von Fourier-Spektren der Feld- und Quellgr¨oßen gem¨aß j(R, ω) = T(R, ω) = S(R, ω) = v(R, ω) = f (R, ω) = h(R, ω) =

; ∞

−∞ ; ∞ −∞

; ∞

−∞ ; ∞ −∞ ; ∞ −∞ ; ∞ −∞

j(R, t) e jωt dt ,

(3.1.3)

T(R, t) e jωt dt ,

(3.1.4)

S(R, t) e jωt dt ,

(3.1.5)

v(R, t) e jωt dt ,

(3.1.6)

f (R, t) e jωt dt ,

(3.1.7)

h(R, t) e jωt dt

(3.1.8)

gehen wir zu den elastodynamischen Grundgleichungen −jω j(R, ω) = ∇ · T(R, ω) + f (R, ω) , G 1 > −jω S(R, ω) = ∇v(R, ω) + [∇v(R, ω)]21 + h(R, ω) 2

(3.1.9) (3.1.10)

im Frequenzbereich u uber den Zeit¨ber. Man beachte: Die spektralen Gr¨oßen enthalten gegen¨ bereichsgr¨oßen den Faktor Sekunde in der Einheit; wir behalten dennoch die physikalische Nomenklatur der Zeitbereichsgr¨oßen bei; anstatt umst¨andlich beispielsweise von der Fouriertransformierten injizierten Deformationsrate h(R, ω) zu sprechen, bleiben wir bei der Bezeichnung injizierte Deformationsrate f¨ ur h(R, ω). Mit den L¨osungen von (3.1.9) und (3.1.10) f¨ ur ω ≥ 0 und der Fortsetzungsbedingung (2.3.42) f¨ ur negative Frequenzen gelangen wir u ¨ber die inversen Fourier-Integrale j(R, t) = T(R, t) = S(R, t) = v(R, t) = f (R, t) = h(R, t) =

1 2π 1 2π 1 2π 1 2π 1 2π 1 2π

; ∞ −∞ ; ∞ −∞ ; ∞ −∞ ; ∞ −∞ ; ∞ −∞ ; ∞ −∞

j(R, ω) e−jωt dt ,

(3.1.11)

T(R, ω) e−jωt dt ,

(3.1.12)

S(R, ω) e−jωt dt ,

(3.1.13)

v(R, ω) e−jωt dt ,

(3.1.14)

f (R, ω) e−jωt dt ,

(3.1.15)

h(R, ω) e−jωt dt

(3.1.16)

wieder zu den reellen Feldgr¨oßen im Zeitbereich als L¨osung von (3.1.1) und (3.1.2). Da dies so ist, k¨onnen wir uns wahlweise im Raum der Spektren oder im Raum der Zeitfunktionen aufhalten“, wovon wir in dieser Ausarbeitung reichlich Gebrauch machen werden; grob gesagt: ” Es rechnet sich oft einfacher im Frequenzbereich, und oft sind die Ergebnisse im Zeitbereich anschaulicher.

3.2 Physikalische Begr¨ undung

77

Alternativ zur Fourier-Transformation von (3.1.1) und (3.1.2) k¨onnen wir den Ansatz reellzeitharmonischer Felder der Kreisfrequenz ω0 > 0 machen, also etwa stellvertretend f¨ ur die Impulsdichte: > G (3.1.17) j(R, t) =⇒ j(R, t, ω0 ) = 6 j(R, ω0 ) e−jω0 t . Hierin wird j(R, ω0 ), der Nomenklatur der Elektrotechnik folgend, als (komplexwertiger) Phasor bezeichnet. Dies ergibt die elastodynamischen Grundgleichungen −jω0 j(R, ω0 ) = ∇ · T(R, ω0 ) + f (R, ω0 ) , (3.1.18) G 1 > −jω0 S(R, ω0 ) = (3.1.19) ∇v(R, ω0 ) + [∇v(R, ω0 ]21 + h(R, ω0 ) 2 f¨ ur die Phasoren. Wenn wir allerdings aus dem Fourier-Spektrum j(R, ω) zwei Spektrallinien bei ω = ±ω0 , ω0 > 0, ausw¨ahlen und gem¨aß def

j(R, ω, ω0 ) = πj(R, ω)δ(ω − ω0 ) + πj∗ (R, ω)δ(ω + ω0 ) = πj(R, ω0 )δ(ω − ω0 ) + πj∗ (R, ω0 )δ(ω + ω0 )

(3.1.20)

kombinieren, so liefert die Fourier-Inversion mit der Korrespondenz (2.3.54) offensichtlich die reell-zeitharmonische Feldgr¨oße: >

G

1 1 j(R, ω0 ) e−jω0 t + j∗ (R, ω0 ) e jω0 t 2> G2 = 6 j(R, ω0 ) e−jω0 t

F −1 j(R, ω, ω0 ) =

= j(R, t, ω0 ) ;

(3.1.21)

ω0 -Phasoren und konjugiert komplexe ω0 -Phasoren (multipliziert mit π) sind also nichts anderes als die Amplituden von Spektrallinien reell-zeitharmonischer Feldgr¨oßen bei ω = ±ω0 , und als solche stellen sie eine diskrete Auswahl“ aus dem kontinuierlichen Fourier-Spektrum dar. ”

3.2

Physikalische Begr¨undung

3.2.1

Massenerhaltung

Zur physikalischen Begr¨ undung der elastodynamischen Grundgleichungen (3.1.1) und (3.1.2) geben wir im Wesentlichen den Gedankengang A. T. de Hoops (1995) wieder, benutzen aber nicht die Indexschreibweise mit Summenkonvention sondern die koordinatenfreie Formulierung, die unserer Meinung nach u ¨bersichtlicher ist. De Hoop geht von der Kontinuumshypothese aus, dass sich die Teilchenverteilung am Ort R zur Zeit t — R ist der Ortsvektor in einem festen Bezugssystem — durch eine (st¨ uckweise) stetige Teilchendichte n(R, t) beschreiben l¨asst, die als Teilchenanzahl Ng (R, t) pro (kleinem) Referenzuhrt volumen Vg (R) definiert ist. Die makroskopische (Teilchen-)Driftgeschwindigkeit v(R, t) f¨ er nun als arithmetischen Mittelwert der vektoriellen Geschwindigkeiten einzelner Teilchen in Vg (R) ein, wobei sich chaotische (thermische) Anteile herausmitteln. Die Berechnung der zeit¨ lichen Anderung der Gesamtzahl N (t) von Teilchen in einem Volumen V (t) auf der Grundlage von ; ; ; n(R, t) dV (3.2.1) N (t) = V (t)

f¨ uhrt sofort auf das Erhaltungsgesetz ; ; ; V (t)

; ; ∂n(R, t) n(R, t) v(R, t) · dS = 0 dV + ∂t S(t)

(3.2.2)

78

3 Elastodynamische Grundgleichungen

f¨ ur den Teilchenfluss n(R, t)v(R, t), sofern weder Teilchen erzeugt noch vernichtet werden3 ; hierin ist S(t) die Oberfl¨ache4 von V (t) und dS deren vektorielles Fl¨achenelement. Offensichtlich ist n(R, t)v(R, t) · dS Δt die (mittlere) Anzahl von Teilchen, die im Zeitintervall Δt durch dS hindurchtreten und damit die Teilchendichte in V (t) ¨andern. Da (3.2.2) f¨ ur jedes Volumen V (t) gelten muss, folgt durch Anwendung des Gauß’schen Satzes die Kontinuit¨atsgleichung ∂n(R, t) + ∇ · [n(R, t) v(R, t)] = 0 ∂t

(3.2.3)

des Teilchenflusses. In der Elastodynamik interessieren uns vor allem die materiellen Eigenschaften der Teilchen5 , sodass de Hoop nun die (Volumen-)Massendichte ρ(R, t) als volumenbezogenen Mittelwert der Einzelmassen der Teilchen (einer herausgegriffenen Teilchensorte) definiert. Falls die Einzelmassen (dieser Sorte) alle gleich m sind, folgt ρ(R, t) = m n(R, t)

(3.2.4)

f¨ ur die Massendichte und

j(R, t) = ρ(R, t)v(R, t) (3.2.5) f¨ ur die Massenflussdichte (Impulsdichte des linearen Impulses: Driftimpuls als arithmetisches Mittel der Teilchenimpulse mal Teilchendichte), die als makroskopische Gr¨oße durch arithmetische Mittelung der mikroskopischen vektoriellen Teilchenimpulse entsteht. Gegebenenfalls ist zur Ermittlung der Gesamtmassendichte und der Gesamtmassenflussdichte u ¨ber die verschiedenen Teilchensorten zu summieren. Aus der Teilchenerhaltung (3.2.2) folgt damit sofort die Massenerhaltung ; ; ; V (t)

; ; ∂ρ(R, t) dV + j(R, t) · dS = 0 , ∂t S(t)

(3.2.6)

und aus der Kontinuit¨atsgleichung (3.2.3) f¨ ur den Teilchenfluss folgt die Kontinuit¨atsgleichung des Massenflusses (der betrachteten Teilchensorte): ∂ρ(R, t) + ∇ · j(R, t) = 0 . ∂t

(3.2.7)

Wenn Ψ(R, t) irgendeine Funktion ist, die einem Teilchen angeheftet“ ist, berechnet de Hoop ” unter der Voraussetzung verschwindender Teilchenerzeugung und -vernichtung die totale zeitli¨ che Anderung von Ψ(R, t) in V (t) zu6 : ; ; ; ; ; d ;;; ∂Ψ(R, t) dV + Ψ(R, t) dV = Ψ(R, t)v(R, t) · dS . dt ∂t V (t) V (t) S(t)

(3.2.8)

Gleichung (3.2.8), die man unter Verwendung des Gauß’schen Satzes noch in

1 , ; ; ; d ;;; ∂Ψ(R, t) Ψ(R, t) dV = + ∇ · [v(R, t)Ψ(R, t)] dV dt ∂t V (t) V (t)

(3.2.9)

3 Ansonsten steht auf der rechten Seite von (3.2.2) nicht null, sondern die Differenz von Erzeugungs- und Vernichtungsraten (de Hoop, 1995). 4 Zur Zeitabh¨ angigkeit von V (t) und S(t) ist folgendes anzumerken: Im Zeitintervall Δt ¨ andert sich S(t) in S(t + Δt) und zwar entsprechend v(R, t)Δt, worin v(R, t) die vektorielle Driftgeschwindigkeit v(R, t) der Teilchendichte eines jeden Oberfl¨ achenpunktes ¨ von S(t) ist. Wenn keine Teilchen erzeugt oder vernichtet werden, bedeutet Teilchenerhaltung“, dass die zeitliche Anderung der ” Gesamtteilchenzahl in diesem zeitabh¨ angigen Volumen V (t) gleich null ist. Das Erhaltungsgesetz (3.2.2) dr¨ uckt diesen Sachverhalt in Worten folgendermaßen aus: Wenn sich im Volumen V (t) zum festen Zeitpunkt t die Teilchendichte n(R, t) ¨ andert, muss dies durch den Teilchenfluss n(R, t)v(R, t) normal zu S(t) kompensiert werden. 5 Im Elektromagnetismus sind es die elektrischen und magnetischen Eigenschaften. 6 Man beachte: Gem¨ ¨ aß Fußnote 4 ist V (t) ein ganz speziell zeitabh¨ angiges Volumen, dessen zeitliche Anderung auf der linken Seite von (3.2.8) mitdifferenziert werden muss; wie, das sagt die rechte Seite von (3.2.8).

3.2 Physikalische Begr¨ undung

79

umrechnen kann, heißt Reynolds’sches Transporttheorem. F¨ uhrt man gem¨aß ; ; ; δΨ(R, t) d ;;; dV Ψ(R, t) dV = dt δt V (t) V (t)

(3.2.10)

˙ einen Operator δ/δt ein (de Hoop schreibt Ψ(R, t)), so impliziert (3.2.9) die Definition δΨ(R, t) ∂Ψ(R, t) = + ∇ · [v(R, t)Ψ(R, t)] . δt ∂t

3.2.2

(3.2.11)

Konvektive zeitliche Differentiation

Es sei nunmehr Ψ(R, t) irgendeine einer bestimmten Teilchensorte zugeordnete (skalare) makroskopische physikalische Gr¨oße (z.B.: Masse, Dichte, kartesische Impuls- oder Drehimpulskompo¨ nenten, kinetische Energie); die zeitliche Anderung von Gesamt-Ψ(R, t) aller in V (t) enthaltenen Teilchen ergibt sich aus dem Reynolds’schen Transporttheorem (3.2.8) bei expliziter Einarbeitung des Teilchenerhaltungssatzes zu: ; ; ; ∂ d ;;; n(R, t)Ψ(R, t) dV= [n(R, t)Ψ(R, t)] dV + dt V (t) V (t) ∂t

+

; ;

S(t)

n(R, t)Ψ(R, t)v(R, t) · dS .

(3.2.12)

Anwendung des Gauß’schen Satzes, Ausf¨ uhrung der zeitlichen und r¨aumlichen Ableitungen und Ber¨ ucksichtigung der Teilchenkontinuit¨atsgleichung (3.2.3) f¨ uhrt auf ; ; ; d ;;; DΨ(R, t) dV , n(R, t)Ψ(R, t) dV = n(R, t) dt Dt V (t) V (t)

(3.2.13)

wobei der Ableitungsoperator D/Dt abk¨ urzend f¨ ur D ∂ = + v(R, t) · ∇ Dt ∂t steht. Mit dR = v(R, t)dt und der abgebrochenen Taylorentwicklung @

(3.2.14) $

∂Ψ(R, t) Ψ(R + dR, t + dt) ; Ψ(R, t) + + v(R, t) · ∇Ψ(R, t) dt ∂t DΨ(R, t) ; Ψ(R, t) + dt (3.2.15) Dt in Raum und Zeit sieht man sofort, dass D/Dt die Bedeutung einer konvektiven Zeitableitung ¨ hat: Dies ist die zeitliche Anderung f¨ ur einen Beobachter, der sich mit der Driftgeschwindigkeit mitbewegt. Wir wenden die Berechnungsvorschrift (3.2.13) nacheinander auf verschiedene Realisierungen von Ψ(R, t) an. Teilchenmasse: Ψ(R, t) = m Da Dm/Dt ≡ 0, folgt

d ;;; d ;;; n(R, t) m dV = ρ(R, t) dV = 0 , dt dt V (t) V (t)

(3.2.16)

und dies ist nichts anderes als die Massenerhaltung (3.2.6) in anderer Schreibweise7 . 7 Die linke Seite von (3.2.16) berechnet mit (3.2.4) und (3.2.1) die zeitliche Anderung ¨ der Gesamtmasse in dem zeitver¨ anderlichen Volumen V (t); gem¨ aß Fußnote 4 bewegt sich dieses aber gerade mit dem Massenfluss auf S(t), sodass, eben aufgrund der ¨ Massenerhaltung, die zeitliche Anderung der Gesamtmasse in dem zeitver¨ anderlichen Volumen gleich null sein muss.

80

3 Elastodynamische Grundgleichungen

Kartesische Komponente des Teilchenimpulses: Ψ(R, t) = m v(R, t) · exi ; ; ; Dv(R, t) · exi d ;;; n(R, t) m v(R, t) · exi dV = n(R, t) m dV ; (3.2.17) dt Dt V (t) V (t) alle drei Komponenten zum Impulsvektor zusammengesetzt, ergibt die Berechnungsvorschrift ¨ der zeitlichen Anderung des Gesamtimpulses des Volumens V (t): ; ; ; Dv(R, t) d ;;; ρ(R, t) v(R, t) dV = ρ(R, t) dV . dt Dt V (t) V (t)

(3.2.18)

Kartesische Komponente des Teilchendrehimpulses: Ψ(R, t) = m R × v(R, t) · exi Wir schreiben sofort die vektorielle Zusammensetzung der Komponenten an: ; ; ; D[R × v(R, t)] d ;;; ρ(R, t) ρ(R, t)R × v(R, t) dV = dV . dt Dt V (t) V (t)

Da

D[R × v(R, t)] ∂[R × v(R, t)] = + v(R, t) · ∇[R × v(R, t)] , Dt ∂t

m¨ ussen wir

∂R × v(R, t) ∂v(R, t) ∂R × v(R, t) + R × = ∂t ∂t ∂t = j, Scherspannungen.

3.2.5

Deformationsratengleichung

Wir berechnen mit dem Konzept der Driftgeschwindigkeit die relative Lage¨anderung zweier Massen punkte“ im Zeitintervall Δt; dies wird uns auf den Begriff der (linearen) Deformations” rate eines Festk¨orpers f¨ uhren. In Abb. 3.2.2 sind die beiden Punkte mit PR und PQ bezeichnet; im PR%

v(R, t) Δt ....................... ........ .... .......Q − R . . . . . . . . . . . . P ...... ..... ...... .............. .... .. ........ Q − R .................P . .... ... . ... R..... ................................... ........ v(Q, t) Δt . . R .. ...... ................ .... .............. .... ..... ...............Q... ... ... ............ ............... P ............................................................................ Q .. +

+

R

Q%

+

+

Q

O

Abb. 3.2.2: Relative Lage¨ anderung zweier Massen punkte“ PR und PQ im Zeitintervall Δt ”

Zeitintervall Δt bewegen sie sich mit den jeweiligen Driftgeschwindigkeiten v(R, t) und v(Q, t) nach PR% bzw. PQ% , sodass die neuen Ortsvektoren R+ und Q+ zum Zeitpunkt t + Δt mit den alten Ortsvektoren R und Q zum Zeitpunkt t gem¨aß R+ ; R + v(R, t) Δt , Q+ ; Q + v(Q, t) Δt

(3.2.45) (3.2.46)

3.2 Physikalische Begr¨ undung

85

verkn¨ upft sind; der Fehler, den man mit diesen abgebrochenen Taylorentwicklungen macht, geht mit Δt −→ 0 gegen null. Andererseits k¨onnen wir v(Q, t) aus v(R, t) f¨ ur kleine Betr¨age |Q − R| gem¨aß (3.2.47) v(Q, t) ; v(R, t) + (Q − R) · ∇v(R, t) berechnen; der n¨achste Term der Taylorentwicklung (3.2.47) w¨are quadratisch in |Q − R|. Die ¨ Geschwindigkeit der relativen Anderung des Punkteabstandes Q − R — die Deformationsrate“ ” — ist deshalb in linearer N¨aherung durch (Q+ − R+ ) − (Q − R) = v(Q, t) − v(R, t) Δt→0 Δt = (Q − R) · ∇v(R, t) lim

(3.2.48)

gegeben. Eine den beiden Punkten gemeinsame Translationsgeschwindigkeit des gesamten Festk¨orpers f¨allt in dieser Definition heraus. In der linearen N¨aherung (3.2.48) ist die Deformati” onsrate“ — wir benutzen Anf¨ uhrungszeichen, weil wir die eigentliche“ Deformationsrate auch ” 10 noch ohne die Rotationsgeschwindigkeit des Festk¨orpers definieren — offensichtlich durch die Gradientendyade der Driftgeschwindigkeit ∇v(R, t) vollst¨andig spezifiziert. Im Folgenden wollen wir zeigen, dass ∇v(R, t) tats¨achlich auch die (Festk¨orper-)Rotation von PR um O enth¨alt, und wie wir diesen Rotationsanteil abziehen“ k¨onnen. ” Die Bahngeschwindigkeit w(R, t) des Punktes PR bei Rotation um O mit r¨aumlich konstanter Winkelgeschwindigkeit Ω(t) ist durch w(R, t) = Ω(t) × R

(3.2.49)

gegeben; im vorliegenden Zusammenhang interessiert es uns, wie sich w(R, t) gegebenenfalls aus ∇w(R, t) berechnen l¨asst. Dazu bilden wir11 ∇ × w(R, t) = = = =

∇ × [Ω(t) × R] −Ω(t) · ∇R + (∇ · R)Ω(t) −Ω(t) + 3Ω(t) 2Ω(t)

(3.2.50)

und setzen dies in (3.2.49) ein: 1 [∇ × w(R, t)] × R 2 1 = {[w(R, t)∇] · R − [∇w(R, t)] · R} 2 1 = R · {∇w(R, t) − [∇w(R, t)]21 } 2 = R · [∇w(R, t)]a ;

w(R, t) =

(3.2.51)

es folgt: Der antisymmetrische Anteil von ∇w(R, t) ist, nach einer (3.2.48) entsprechenden Projektion, f¨ ur die Rotations(bahn)geschwindigkeit verantwortlich, die keine lokale Deformation 10 Auf 11 Die

Fußball bezogen: Wir sind weder am Drive noch am Effet, sondern an der Deformation des getretenen Balles interessiert. unmittelbare Berechnung ∇w(R, t) = ∇[Ω(t) × R] = −(∇R) × Ω(t) = −I × Ω(t) = −Ω(t) × I

liefert mit Ω(t) × I die allgemeine Darstellung eines antisymmetrischen Tensors, wobei sich Ω gem¨ aß Ω = − 21 (∇w21 / = berechnen l¨ asst. Dies ist dasselbe Ergebnis wie (3.2.50).

1 (∇w/ 2

86

3 Elastodynamische Grundgleichungen

zur Folge hat. Deshalb definiert man den symmetrischen Anteil [∇v(R, t)]s = 12 {∇v(R, t) + [∇v(R, t)]21 } als Deformationsratentensor (zweiter Stufe) G 1 > (3.2.52) ∇v(R, t) + [∇v(R, t)]21 . D(R, t) = 2 In der Newton-Cauchy’schen Bewegungsgleichung ist die rechte Seite ∇ · T(R, t) + f (R, t) Ursa¨ che der zeitlichen Anderung δ/δt der Impulsdichte j(R, t); hier ist die Deformationsrate D(R, t) ¨ Ursache der zeitlichen Anderung δ/δt der dadurch definierten Deformation S(R, t), die damit ebenfalls ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe ist. Diese Deformation ist urs¨achlich durch Spannungen induziert; daneben k¨onnen wir jedoch noch einen Quellterm12 −h(R, t) als von außen eingepr¨agten — symmetrischen — Deformationsratentensor ber¨ ucksichtigen, sodass sich schließlich G δS(R, t) 1 > = (3.2.53) ∇v(R, t) + [∇v(R, t)]21 + h(R, t) δt 2 als Deformationsratengleichung ergibt. Unter Verwendung des I+ -Tensors vierter Stufe gem¨aß (2.1.109) k¨onnen wir (3.2.53) in abgek¨ urzter Form schreiben: δS(R, t) = I+ : ∇v(R, t) + h(R, t) . δt

3.2.6

(3.2.54)

Newton-Cauchy’sche Bewegungsgleichung und Deformationsratengleichung der l inearen Elastodynamik

Die Kontinuumshypothese und der Teilchenerhaltungssatz f¨ uhrten uns zum Reynolds’schen Tranporttheorem (3.2.9); dessen Verwendung im Newton’schen Erhaltungssatz des linearen Impulses ergab nach Einf¨ uhrung des Spannungstensors anstelle von Traktionen die Newton-Cauchy’sche Bewegungsgleichung (3.2.35). Eine entsprechende Formulierung des Drehimpulserhaltungssatzes zusammen mit der Materialgleichung (3.2.5) lieferte die Symmetrie des Spannungstensors. Zur physikalischen Begr¨ undung der Deformationsratengleichung (3.2.53) bedurfte es der geometrischen Linearisierung der Deformationsrate (3.2.48) und der Elimination der Festk¨orperrotation mit der Konsequenz der Symmetrie des Deformationsratentensors. Schreiben wir die elastodynamischen Gleichungen (3.2.35) und (3.2.53) unter expliziter Verwendung des Operators (3.2.11) gem¨aß ∂j(R, t) (3.2.55) + ∇ · [v(R, t)j(R, t)] = ∇ · T(R, t) + f (R, t) , ∂t G > ∂S(R, t) 1 ∇v(R, t) + [∇v(R, t)]21 + h(R, t) , + ∇ · [v(R, t)S(R, t)] = ∂t 2 (3.2.56) so erkennt man sehr sch¨on, dass diese Gleichungen in den elastodynamischen Feldgr¨oßen nichtlinear sind. In der US-zfP sind die Amplituden der zeitver¨anderlichen Feldgr¨oßen im Allgemeinen jedoch so klein, dass man die entsprechenden Terme vernachl¨assigen kann. Ergebnis dieser Approximation sind die linearen Gleichungen ∂j(R, t) = ∇ · T(R, t) + f (R, t) , ∂t G ∂S(R, t) 1 > ∇v(R, t) + [∇v(R, t)]21 + h(R, t) , = ∂t 2

(3.2.57) (3.2.58)

12 Wir w¨ ahlen im Gegensatz zu de Hoop aus formalen Gr¨ unden −h(R, t) als Quellterm, damit, in Analogie zu den Maxwell’schen Gleichungen in der Schreibweise (6.1.1) und (6.1.2), die beiden Quellterme f und h auf den rechten Seiten mit demselben Vorzeichen auftreten.

¨ 3.3 Ubergangsund Randbedingungen

87

der Elastodynamik, die wir als elastodynamische Grundgleichungen (3.1.1) und (3.1.2) dieser Ausarbeitung zugrunde legen. In einem weiteren Schritt gilt es nun, diese Gleichungen miteinander zu verkn¨ upfen: das Stichwort heißt Materialgleichungen“ (Abschnitt 4). ”

3.3

¨ Ubergangsund Randbedingungen

3.3.1

¨ Homogene und inhomogene Ubergangsbedingungen an einer Sprungstelle elastischer Materialeigenschaften

Selbst ohne Kenntnis der genauen Eigenschaften elastischer Materialien sind wir bereits in der Lage zu spezifizieren, welche Bedingungen elastodynamische Felder an der Sprungstelle elastischer Materialeigenschaften erf¨ ullen m¨ ussen: Diese Bedingungen folgen unmittelbar aus den elastodynamischen Grundgleichungen (3.1.1) und (3.1.2). Wir beziehen uns auf die Skizze in Abb. 3.3.1: Das homogene oder inhomogene, isotrope oder

...................... ............ .... ......... ... ....... ... ....... .. ....................... ........... . . . . . . . . . ...... ........ . . . . . ... . . . . . . . ... ...... .... ...... . . . . . . . . . . .. .. ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... ... ... ..... ..... ... ... ..... ..... .. .. ..... ..... ... ..... ... .... .. .. ..... . . . ..... . . . . . . . ... ... ... ... ..... ... .. ... ..... ... ..... ..... ... ... ..... ..... ... ... ..... ..... . . . ... . . . . . . . . . . ... .. .... ... .... ..... ... ... .... ..... ... ... .... ..... ..... ...... ..... ...... ...... ..... . . ... ... . . . . . . . . ....... ...... .... .. ......... ..... ..................... ..... .... ... ..... ... ..... .. . . . . . . .. . ..... ... ..... .. ..... ... ..... ... ..... .. ..... . . . . . . . . ...... ... ...... ...... ..... ...... ... ....... ... ....... . . . . . . ..... . ....................................

....... ... V .... ......... S ... . . . . .... ΔS . . ... V ..... ......

ni

S

(1)

(2)

n

a)

V .. n ..... ..... .......... ΔS .. ........... . . . .... ... −n .. .. ..... R ..... . ...... O n ΔS

i

i

...................... .... ............ ......... ... ....... ... ....... .. ...... . . . . . . ..... . . . . . . . ... . . . . . . . . ... ............... ..... . . . . . . .. .............. ..... . . . . . . . . . ..... ...... ...... ... ..... ..... ..... .. ..... ...... ...... ... ..... .... ...... ... ..... ..... ..... ............ ......... .. . . . . . . .... .... .... .. ..... ..... ..... ... ..... ..... ..... ... ..... ..... ..... .. ..... ..... ..... ... ... ............. ........ . . . . . .. ... .. . ... ..... .... ..... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ..... ... ... .. ..... . . . . .... .... .... .... ....... .... ..... ............. ..... .... ... ..... ... ..... .. . . . . . . .. . ..... ... ..... .. ..... ... ..... ... ..... .. ..... . . . . . . . . ...... ... ...... ...... ..... ...... ... ....... ... ....... . . . . . . ..... . ....................................

(1)

S

(2)

−→

i→∞

(1)

S

(2)

b)

¨ Abb. 3.3.1: Zur Herleitung der Ubergangsbedingungen

anisotrope, dissipative oder nichtdissipative Material (1) enthalte einen Einschluss“ V mit den ” Materialeigenschaften (2), die ebenso willk¨ urlich sein k¨onnen wie die des Materials (1), allein auf der Oberfl¨ache S des Einschlusses sollen sich die Materialeigenschaften unstetig — sprunghaft — ¨andern; mit n bezeichnen wir die ¨außere Normale13 auf S. Nunmehr w¨ahlen wir ein sehr ” kleines“ St¨ uck ΔS von S aus — es sei so klein, dass es als eben angesehen werden kann — und h¨ ullen es in ein Volumen Vi mit der Oberfl¨ache Si und der ¨außeren Normalen ni ein; Vi enth¨alt also sowohl Material (1) als auch Material (2) (Abbildung 3.3.1a). Wir untersuchen im Folgenden die Volumenintegrale ; ; ; ; ; ; ∂j(R, t) f (R, t) dV , (3.3.1) ∇ · T(R, t) dV + dV= ∂t Vi Vi Vi ; ; ; ; ; ; > ; ; ; G ∂S(R, t) 1 ∇v(R, t) + [∇v(R, t)]21 dV + h(R, t) dV dV= ∂t 2 Vi Vi Vi ; ; ;

13 Wir setzen voraus, dass S h¨ ochstens abgerundete“ Kanten und Ecken hat, so dass eine Normale u ¨berall existiert. Des Weiteren ” nehmen wir an, dass die Teilchenbewegungen auf S so klein sind, dass S als zeitunabh¨ angig angenommen werden kann.

88

3 Elastodynamische Grundgleichungen (3.3.2)

der elastodynamischen Grundgleichungen (3.1.1) und (3.1.2), wobei wir, entsprechend dem ¨ Ubergang von Abb. 3.3.1a nach Abb. 3.3.1b, den Grenz¨ ubergang i −→ ∞ einer Folge von Volumina Vi im Auge haben; dieser Grenz¨ ubergang soll so beschaffen sein, dass sich die Volumina mehr und mehr wie eine sehr flache Dose dem Fl¨achenst¨ uck ΔS von beiden Seiten her anschmiegen, sodass eine ¨außere Schmiegungsfl¨ache“ ΔS (1) und eine innere Schmiegungs” ” fl¨ache“ ΔS (2) entsteht, deren jeweils (¨außere) Normalen aus ni f¨ ur i −→ ∞ entstehen und durch n und −n gegeben sind. Wenden wir nunmehr auf die jeweils ersten Integrale auf den rechten Seiten von (3.3.1) und (3.3.2) Gauß’sche S¨atze an, so ist der Grenz¨ ubergang i −→ ∞ an den Gleichungen ; ; ;

; ; ; ; ; ∂j(R, t) ni · T(R, t) dS + f (R, t) dV , dV= ∂t Vi Si Vi ; ; ; ; ; ; ; ; ∂S(R, t) 1 h(R, t) dV [ni v(R, t) + v(R, t)ni ] dS + dV= ∂t 2 Vi Si Vi

(3.3.3)

(3.3.4)

zu vollziehen. Betrachten wir zun¨achst die Volumenintegrale elastodynamischer Felder auf der linken Seite: Wenn die Felder sich physikalisch vern¨ unftig“ verhalten, d.h. mathematisch singularit¨atenfrei ” sind, geht mit dem Integrationsvolumen das sich dar¨ uber erstreckende Integral gegen null14 . Die Fl¨achenintegrale in (3.3.3), (3.3.4) gehen f¨ ur i −→ ∞ in Integrale u ¨ber ΔS (1) und ΔS (2) (2) ur das negative Vorzeichen sorgt: u ¨ber, wobei die Normale −n auf ΔS f¨ lim

; ;

i→∞

Si

ni · T(R, t) dS =

; ;

ΔS (1)

n · T(R, t) dS −

; ;

ΔS (2)

n · T(R, t) dS ,

1; ; [ni v(R, t)+v(R, t)ni ] dS = i→∞ 2 Si 1; ; [n v(R, t) + v(R, t)n] dS − 2 ΔS (1) ; ; 1 [n v(R, t) + v(R, t)n] dS . − 2 ΔS (2)

(3.3.5)

lim

(3.3.6)

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (Burg et al., 1990) finden wir auf ΔS stets einen Ortsvektor RS — er liegt aufgrund der Anschmiegung“ von ΔS (1) und ΔS (2) an ΔS ebenso ” ur den auf ΔS (1) und ΔS (2) —, f¨ ; ;

1 2

; ; ΔS (j)

ΔS (j)

n · T(R, t) dS = n · T(j) (RS , t)ΔS ,

[n v(R, t) + v(R, t)n] dS =

10 2

(3.3.7) X

n v(j) (RS , t) + v(j) (RS , t)n ΔS , j = 1, 2 ;

(3.3.8)

mit T(j) (RS , t), v(j) (RS , t) bezeichnen wir die Grenzwerte der Feldgr¨oßen T(R, t), v(R, t), wenn R in dem Material (j) gegen RS strebt. Es verbleibt die Untersuchung der Vi -Volumenintegrale u ¨ber die eingepr¨agten Quellen f (R, t), h(R, t): Wir unterscheiden im Folgenden zwei F¨alle. 14 In

einem Nullvolumen“ gibt es nichts zum Aufsummieren, d.h. zu integrieren. ”

¨ 3.3 Ubergangsund Randbedingungen

89

¨ Homogene Ubergangsbedingungen: Stetigkeit des Traktionsvektors und des Fl¨achendeformationsratentensors bzw. des Teilchenverschiebungsvektors ur singularit¨atenfreie Volumenquellen Die vorgegebenen Quellfunktionen f (R, t), h(R, t) sollen f¨ stehen; dann liefern sie f¨ ur i −→ ∞ ebenfalls keinen Beitrag zum Grenzwert der Gleichungen (3.3.1), (3.3.2), und die elastodynamischen Grundgleichungen (3.3.3), (3.3.4) reduzieren sich ¨ damit wegen (3.3.5), (3.3.6), (3.3.7) und (3.3.8) auf die homogenen Ubergangsbedingungen n · T(1) (RS , t) − n · T(2) (RS , t) = 0 , RS ∈ S , n v(1) (RS , t) + v(1) (RS , t)n − n v(2) (RS , t) − v(2) (RS , t)n = 0 , RS ∈ S ;

(3.3.9) (3.3.10)

durch das zwar kleine, aber endlich große Fl¨achenst¨ uck ΔS konnten wir dividieren, und damit ergibt sich eine Unabh¨angigkeit der resultierenden Gleichungen von der beliebig gew¨ahlten Teilfl¨ache ΔS von S, sodass RS in (3.3.9), (3.3.10) schließlich ein Ortsvektor zu einem beliebi¨ gen Punkt auf S sein darf. Die homogenen Ubergangsbedingungen (3.3.9) und (3.3.10) fordern also die Stetigkeit des Traktionsvektors n · T(R, t) als Fl¨achentraktionsdichte und des Tensors n v(R, t) + v(R, t)n als Fl¨achendeformationsrate beim Wechsel von R von der einen Seite von S im Material (1) auf die andere Seite von S im Material (2), und zwar auch dann, wenn sich ¨ auf S die Materialeigenschaften sprunghaft ¨andern. Uber das Verhalten anderer Vektor- und Tensorkomponenten sagen die elastodynamischen Grundgleichungen nichts aus. ¨ Die homogene Ubergangsbedingung (3.3.10) l¨asst sich noch vereinfachen. Dazu schreiben wir (3.3.10) abk¨ urzend (3.3.11) n v + v n = stetig und bilden von dieser Tensorgleichung nacheinander Projektionen in Richtung der Normalen von S und tangential zu S. Also: n · (n v + v n) = v + v · n n = vt + 2v · n n = stetig ;

(3.3.12)

hier haben wir v durch die Vektorsumme v = vt + vn des Tangentialvektors vt = (I − n n) · v und des Normalvektors

vn = v · n n

ersetzt. Als n¨achstes: (I − n n) · (n v + v n) = (v − v · n n) n = stetig ; < O: U = vt

(3.3.13)

diese Projektion fordert die Stetigkeit von vt , in Verbindung mit (3.3.12) ist deshalb die Stetig¨ keit von vn zu fordern. Beides zusammen resultiert in der homogenen Ubergangsbedingung v(1) (RS , t) − v(2) (RS , t) = 0 , RS ∈ S ,

(3.3.14)

der Stetigkeit des Teilchengeschwindigkeitsvektors. Um daraus auf die Stetigkeit des Teilchenverschiebungsvektors zu schließen, bedarf es einer kleinen Zusatzbetrachtung (de Hoop, 1995): ¨ Die Ubergangsbedingung (3.3.14) ist wegen des Zusammenhangs v(R, t) =

∂u(R, t) ∂t

(3.3.15)

90

3 Elastodynamische Grundgleichungen

zwischen Teilchengeschwindigkeit und Teilchenverschiebung ¨aquivalent zu ∂u(1) (RS , τ ) ∂u(2) (RS , τ ) = , ∂τ ∂τ

(3.3.16)

also ergibt sich durch zeitliche Integration ; t ∂u(1) (RS , τ )

∂τ

0

dτ = u(1) (RS , t) + u(1) (RS , 0) = u(2) (RS , t) + u(2) (RS , 0) .

(3.3.17)

Wir gehen sinnvollerweise davon aus, dass elastodynamische Felder zu einem bestimmten Zeitpunkt angeschaltet“ wurden und davor identisch null waren; also legen wir den Zeitnullpunkt ” so weit in die Vergangenheit, dass u(1) (RS , 0) = u(2) (RS , 0) ≡ 0 ist, d.h. wir betrachten kausale Felder. Gem¨aß (3.3.17) gilt sodann f¨ ur diese elastodynamischen Felder die Stetigkeit des Teilchenverschiebungsvektors: u(1) (RS , t) − u(2) (RS , t) = 0 , RS ∈ S .

(3.3.18)

¨ Die homogenen Ubergangsbedingungen (3.3.9) und (3.3.18) gelten nat¨ urlich ebenso f¨ ur die Fou15 rierspektren : n · T(1) (RS , ω) − n · T(2) (RS , ω) = 0 , RS ∈ S , (1)

(2)

u (RS , ω) − u (RS , ω) = 0 , RS ∈ S .

(3.3.19) (3.3.20)

¨ Inhomogene Ubergangsbedingungen: Definition von Fl¨achenquelldichten Als angek¨ undigten zweiten Fall setzen wir neben singularit¨atenfreien eingepr¨agten Volumenquelldichten die Existenz von auf S eingepr¨agten Fl¨achenquellen voraus. In mathematischer Darstellung sind Fl¨achenquelldichten die Amplituden“ von auf S δ-singul¨aren Volumenquell” dichten16 gem¨aß — wir benutzen die singul¨are Funktion γS (R) der Fl¨ache S — f S (R, t) = t(R, t)γS (R) , hS (R, t) = g(R, t)γS (R) ,

(3.3.21) (3.3.22)

denn genau dann bleibt bei der Vi -Volumenintegration von f S und hS etwas u ¨brig“: ” ; ; ;

Vi

f S (R, t) dV = =

; ; ; ; ;

Vi

ΔS

t(R, t)γS (R) dV

t(R, t) dS

= t(RS , t)ΔS ;

(3.3.23)

15 Es sieht zun¨ achst“ so aus, als ob (3.3.20) aus der Fourier-transformierten Gleichung (3.3.14) ohne weitere Voraussetzungen ” folgt; (3.3.14) f¨ uhrt jedoch auf die Fourier-transformierte Gleichung

D

5

ω u(1) (RS , ω) − u(2) (RS , ω) = 0 , und daraus kann man nur

u(1) (RS , ω) − u(2) (RS , ω) = u0 (RS )δ(ω)

mit beliebigem Vektor u0 (RS ) erschließen, da ωδ(ω) = 0. Der Vergleich mit (3.3.17) enth¨ ullt, dass u0 (RS ) = u(1) (RS , 0) − u(2) (RS , 0), sodass erst die Forderung kausaler Felder im Zeitbereich auf u0 (RS ) ≡ 0 f¨ uhrt. 16 Die Dimension (der Komponenten) von t ist demzufolge Kraft/Fl¨ ache und die Dimension (der Komponenten) von g L¨ ange/Sekunde, denn die Dimension von γS ist L¨ ange−1 .

¨ 3.3 Ubergangsund Randbedingungen

91

das letzte Gleichheitszeichen impliziert wieder die Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung. Gleichermaßen ergibt sich ; ; ;

Vi

hS (R, t) dV = g(RS , t)ΔS .

(3.3.24)

¨ Mit (3.3.23) und (3.3.24) sowie (3.3.25)–(3.3.28) folgen deshalb inhomogene Ubergangsbedingungen (3.3.25) n · T(1) (RS , t) − n · T(2) (RS , t) = −t(RS , t) , RS ∈ S , X 1 0 (1) n v (RS , t) + v(1) (RS , t)n − n v(2) (RS , t) − v(2) (RS , t)n = −g(RS , t) , 2 RS ∈ S , (3.3.26)

f¨ ur den Traktionsvektor und den Tensor der Fl¨achendeformationsrate, sofern Fl¨achenquellen auf S (wie auch immer) eingepr¨agt sind. Derartige eingepr¨agte Quellen haben also eine Unstetigkeit der entsprechenden Feldgr¨oßen zur Folge. ¨ Man kann die inhomogenen Ubergangsbedingungen (3.3.25) und (3.3.26) aber auch von links nach rechts lesen: Sollten auf einer Fl¨ache S (warum auch immer) der Vektor n · T(R, t) und der Tensor n v(R, t) + v(R, t)n unstetig sein, so definiert eine derartige Unstetigkeit Fl¨achenquelldichten. Diese Lesart wird uns bei der heuristischen Begr¨ undung des Huygens’schen Prinzips der Elastodynamik enorm von Nutzen sein (Abschnitt 15.1.3). Die spektralen Versionen von (3.3.25), (3.3.26) lauten nat¨ urlich: n · T(1) (RS , ω) − n · T(2) (RS , ω) = −t(RS , ω) , RS ∈ S ,

(3.3.27)

X 1 0 (1) n v (RS , ω) + v(1) (RS , ω)n − n v(2) (RS , ω) − v(2) (RS , ω)n = −g(RS , ω) , 2 RS ∈ S ; (3.3.28)

f¨ ur das Fourier-Spektrum des Fl¨achendeformationstensors (n u+u n)/2 erhalten wir aus (3.3.27): X 1 0 (1) j n u (RS , ω) + u(1) (RS , ω)n − n u(2) (RS , ω) − u(2) (RS , ω)n = − g(RS , ω) , 2 ω

RS ∈ S ,

(3.3.29)

¨ Die Einfachversion“ (3.3.20) gibt es im Fall der inhomogenen Ubergangsbedingung nicht mehr. ”

3.3.2

Randbedingungen an einer unendlichen Sprungstelle elastischer Materialien

Hinsichtlich seiner elastischen Eigenschaften ist das Vakuum unendlich nachgiebig; es erlaubt daher keine Ausbreitung elastischer Wellen. Dasselbe gilt f¨ ur die Idealisierung eines Materials mit unendlich großer Dichte. Man u ¨bernimmt die Terminologie der Akustik und spricht von ideal schallweichen und ideal schallharten Materialien. Besteht unser Einschluss V aus einem derartigen Material, sind grunds¨atzlich v(2) (R, t) und T(2) (R, t) in V identisch null zu setzen. Das ideal schallweiche Material erzwingt sodann auf seiner Oberfl¨ache die Randbedingung der Spannungsfreiheit — genauer: der Traktionsfreiheit — n · T(RS , t) = 0 , RS ∈ S , 1 [n v(RS , t) + v(RS , t)n] = −g(RS , t) , RS ∈ S , 2

(3.3.30) (3.3.31)

92

3 Elastodynamische Grundgleichungen

denn die unendlich nachgiebige Oberfl¨ache erlaubt zwar Deformationen (Fl¨achendeformationsraten), unterst¨ utzt jedoch keine Traktionen (Fl¨achenkraftdichten). Komplement¨ar dazu ist auf der Oberfl¨ache eines ideal schallharten Materials die Randbedingung der (Fl¨achen-)Deformations(raten)freiheit17 : n · T(RS , t) = −t(RS , t) , RS ∈ S , v(RS , t) = 0 , RS ∈ S .

(3.3.32) (3.3.33)

In Abb. 3.3.2 sind die beiden idealen Randbedingungen einander gegen¨ ubergestellt. Es ist klar,

.....................

V

S

n

S

ideal

schallweiches

schallhartes

Material

Material

n · T=0

a)

V

n

ideal

1 (n v 2

.....................

............................ .......... ... ........ ... ....... ... ....... . ....... . . . . .. . ..... . . ... . . . ... ...... . . . . . . .. ..... . . . . . . .. ... ..... .. ..... ..... ... ..... ... ..... ... .... . . . . . . . ... ... ..... ..... ... ..... ... ..... ... ..... .. . . . . . . .. .... ... .... .... ... .... ... ..... ... ..... .. . . . . . . .. ..... ... .... ... ..... .... .. ..... ... ..... . ... . . . . . .. ..... ..... ... ..... ... ..... .. ...... ... ..... . . . ..... . ...... .. ...... .... ...... ....... ... ....... ... ....... . . . . ..... . . . . ..................................

............................ .......... ... ........ ... ....... ... ....... . ....... . . . . .. . ..... . . ... . . . ... ...... . . . . . . .. ..... . . . . . . .. ... ..... .. ..... ..... ... ..... ... ..... ... .... . . . . . . . .... ... ..... ..... ... ..... ... ..... ... .. ..... . . . . . .. .... ... .... .... ... .... ... ..... ... ..... .. . . . . . . .. ..... ... .... ... ..... .... .. ..... ... ..... . ... . . . . . .. ..... ..... ... ..... ... ..... .. ...... ... ..... . . . ..... . ...... .. ...... .... ...... ....... ... ....... ... ....... . . . . ..... . . . . ..................................

n · T = −t

+ v n) = −g

v=0

b)

Abb. 3.3.2: Randbedingungen auf der Ober߬ ache ideal schallweicher (a) und ideal schallharter (b) Materialien

dass die Randbedingung der Spannungsfreiheit f¨ ur die zfP besonders wichtig ist, simuliert sie doch die Oberfl¨ache von Bauteilen (im Vakuum) sowie — n¨aherungsweise — luftgef¨ ullte Poren und, bei unendlich flachem“ Volumen V , ideale Risse. ” Offensichtlich bestehen die hier diskutierten Randbedingungen aus je einer homogenen und einer inhomogenen Randbedingung. Eine durchaus nicht formale Frage ist, ob jeweils beide Randbedingungen homogen sein d¨ urfen, d.h. ob wir g(RS , t) in (3.3.31) bzw. t(RS , t) in (3.3.32) beliebig vorgeben, also auch gleich null setzen d¨ urfen. Die Antwort ist: nein! Eine spannungsfreie Fl¨ache muss deformiert sein, und eine deformationsfreie Fl¨ache muss Spannungen aufweisen, sofern das Material außerhalb von V mit elastischen Wellen erf¨ ullt“ ist, denn u ¨ber die Erzwingung der ” Randbedingung induzieren“ die Wellen die Fl¨achenquellen. Anders ausgedr¨ uckt: Ausschließ” lich homogene Randbedingungen kann es nur f¨ ur elastodynamische Felder geben, die im ganzen unendlichen Raum gleich null sind. Dies ist eine unmittelbare Konsequenz des Huygens’schen Prinzips elastischer Wellen (Abschnitt 15.1.3) als mathematischer L¨osung der elastodynamischen Grundgleichungen.

3.3.3

¨ Homogene und inhomogene Ubergangsbedingungen an der Trennfl¨ache elastischer und fluider Materialien

In der US-zfP wird h¨aufig in Tauchtechnik gearbeitet, d.h. es grenzt ein Material mit elasti¨ schen Eigenschaften an eine Fl¨ ussigkeit. Wie sind die Ubergangsbedingungen (3.3.9), (3.3.18) 17 F¨ ur

g(RS , t) ≡ 0 ist die Summe der dyadischen Produkte n v und v n genau dann gleich null, wenn v gleich null ist.

¨ 3.3 Ubergangsund Randbedingungen

93 ∂j =∇·T+f ∂t

∂j =∇·T+f ∂t X ∂S 10 ∇v + (∇v)21 + h = ∂t 2 n (1): Festk¨orper

...... ..

......................................................................................................................................................................................................................

(2): Fl¨ ussigkeit

∂S =∇·v+h ∂t

Spur =⇒

(1): Festk¨orper

S

......................................................................................................................................................................................................................

(2): Fl¨ ussigkeit

T = −p I =⇒

∂j = −∇p + f ∂t

...... n ..

S

∂j =∇·T+f ∂t

∂S =∇·v+h ∂t

∂S =∇·v+h ∂t

¨ Abb. 3.3.3: Zur Herleitung der Ubergangsbedingungen an der Trennfl¨ ache elastischer und fluider Materialien

bzw. (3.3.25), (3.3.26) in diesem Fall zu modifizieren? In Abb. 3.3.3 sind auf der linken Seite die jeweils relevanten Grundgleichungen f¨ ur das Festk¨orpermaterial (1) und das fluide Material (2) eingetragen (Gleichungen (3.1.1), (3.1.2) bzw. (5.1.1), (5.1.2)). Die Inkompatibilit¨at“ ” zwischen beiden Gleichungssystemen beseitigen wir dadurch, dass wir f¨ ur die Fl¨ ussigkeit foruhren und indem wir von der tensoriellen mal einen Spannungstensor T(R, t) = −p(R, t) I einf¨ Deformationsratengleichung des Festk¨orpers die Spur bilden und S(R, t) = spur S(R, t) sowie h(R, t) = spur h(R, t) definieren, denn offensichtlich sagt die entsprechende Gleichung in der Fl¨ ussigkeit nur etwas u ¨ber die kubische Dilatation18 S(R, t) aus. Damit sind wir beim rechten Teil von Abb. 3.3.3 angekommen und k¨onnen nunmehr so wie in Abb. 3.3.1 verfahren. Es ¨ ergeben sich unmittelbar die folgenden inhomogenen Ubergangsbedingungen (man vgl. auch Schmerr (1998)): n · T(1) (RS , t) + p(2) (RS , t)n = −t(RS , t) , RS ∈ S , (1)

(2)

n · v (RS , t) − n · v (RS , t) = −h(RS , t) , RS ∈ S ,

(3.3.34) (3.3.35)

da n · T(2) (RS , t) = −p(2) (RS , t)n · I = −p(2) (RS , t); t(RS , t) und h(RS , t) sind eingepr¨agte Traktionen und Fl¨achendilatationsraten. Die Vektorgleichung (3.3.34) spaltet man zweckm¨aßigerweise in Normal- und Tangentialkomponenten relativ zu S auf: 0

X

n · n · T(1) (RS , t) + p(2) (RS , t) = −n · t(RS , t) , RS ∈ S , 0

X

(1)

(I − n n) · n · T (RS , t) = −tt (RS , t) , RS ∈ S ,

(3.3.36) (3.3.37)

wobei tt = (I − n n) · t der Tangentialanteil der eingepr¨agten Traktion ist. ¨ Falls keine Fl¨achenquellen in der Trennfl¨ache eingepr¨agt sind, erhalten wir die homogenen Ubergangsbedingungen 0

X

n · n · T(1) (RS , t) + p(2) (RS , t) = 0 , RS ∈ S , 0

18 Als

(1)

X

(3.3.38)

(I − n n) · n · T (RS , t) = 0 , RS ∈ S ,

(3.3.39)

n · u(1) (RS , t) − n · u(2) (RS , t) = 0 , RS ∈ S ,

(3.3.40)

(isotrope) Dilatation definiert man

1 3

I spur S(R, t) (de Hoop, 1995).

94

3 Elastodynamische Grundgleichungen

wobei wir wie von (3.3.14) nach (3.3.18) wieder zum Teilchenverschiebungsvektor u ¨bergegangen ¨ sind. Die Bedingungsgleichungen (3.3.38)–(3.3.40) zerfallen in der Tat in zwei homogene Ubergangsbedingungen f¨ ur die Normalkomponenten der Vektoren u(RS , t) und n · T(RS , t) und eine Rand bedingung f¨ ur die vektorielle Tangentialkomponente von n · T(RS , t). Die zeitharmonische Version von (3.3.38)–(3.3.40) sieht nat¨ urlich formal ganz genauso aus.

¨ Homogene und inhomogene Ubergangsbedingungen an der Trennfl¨ache zweier elastischer Materialien mit Fl¨ ussigkeitskopplung

3.3.4

Gem¨aß (3.3.39) werden Scherkr¨afte an der Oberfl¨ache eines elastischen Materials nicht in die dar¨ in angrenzende Fl¨ ussigkeit u f¨ ur fl¨ ussigkeits¨bertragen; deswegen sollten Ubergangsbedingungen gekoppelte elastische Materialien dieser Tatsache Rechnung tragen. Abbildung 3.3.4 illustriert X

0

n1 · n1 · T(1) (RS1 , t) + p(f ) (RS1 , t) = 0 0

n1

...... ... ... .. ... ... ... ......

X

(I − n1 n1 ) · n1 · T(1) (RS1 , t) = 0 (1)

n1 · u(1) (RS1 , t) − n1 · u(f ) (RS1 , t) = 0

n

...... ... ... ..

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

(f )

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

(2)

S1

....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

0

X

n2 · n2 · T(2) (RS2 , t) + p(f ) (RS2 , t) = 0 0

X

(I − n2 n2 ) · n2 · T(2) (RS2 , t) = 0 (2)

(f )

n2 · u (RS2 , t) − n2 · u

S2

S

n2

(RS2 , t) = 0

¨ Abb. 3.3.4: Zur Herleitung der (homogenen) Ubergangsbedingungen an der Trennfl¨ ache zweier elastischer Materialien mit Fl¨ ussigkeitskopplung

eine derartige Kopplung u ussigkeitsschicht (f ): F¨ ur beide Trennfl¨achen S1 und S2 po¨ber die Fl¨ ¨ stulieren wir homogene Ubergangsbedingungen (3.3.38)–(3.3.40), wobei RS1 ∈ S1 und RS2 ∈ S2 . F¨ ur eine sehr d¨ unne Fl¨ ussigkeitsschicht gilt RS1 ; RS , RS2 ; RS , n1 = n, n2 = −n, so¨ dass sich aus den beiden Ubergangsbedingungssystemen durch Elimination von p(f ) (RS , t) und (f ) n · u (RS , t) ein einziges ergibt: 0

X

0

X

n · n · T(1) (RS , t) − n · n · T(2) (RS , t) = 0 , RS ∈ S , (1)

(2)

n · u (RS , t) − n · u (RS , t) = 0 , RS ∈ S , 0

(1)

X

(3.3.41) (3.3.42)

(I − n n) · n · T (RS , t) = 0 , RS ∈ S ,

(3.3.43)

(I − n n) · n · T(2) (RS , t) = 0 , RS ∈ S .

(3.3.44)

0

X

Die Normalkomponente des Traktionsvektors t = n · T wird stetig u ¨bertragen, ebenso die Normalkomponente der Teilchenverschiebung u, w¨ahrend die Scherkomponenten des Traktionsvektors zwar ebenfalls stetig sind, jedoch einen Nulldurchgang aufweisen. Die Unabh¨angigkeit

¨ 3.3 Ubergangsund Randbedingungen

95

der Gleichungen (3.3.43) und (3.3.44) kommt insbesondere dann deutlich zum Ausdruck, wenn, etwa im Material (1), tangentiale Fl¨achenkraftdichten entsprechend (3.3.37) eingepr¨agt sind: Sie werden nicht in das Material (2) u ¨bertragen. Die inhomogene Variante von (3.3.41)–(3.3.44) lautet deshalb sinnvollerweise: 0

X

0

X

n · n · T(1) (RS , t) − n · n · T(2) (RS , t) = −n · t(RS , t) , RS ∈ S , (1)

(2)

n · u (RS , t) − n · u (RS , t) = −h(RS , t) , RS ∈ S , 0

(1)

X

(3.3.45) (3.3.46)

(I − n n) · n · T (RS , t) = 0 , RS ∈ S ,

(3.3.47)

(I − n n) · n · T(2) (RS , t) = 0 , RS ∈ S ,

(3.3.48)

0

X

wobei n · t und h Differenzen von auf S1 bzw. auf S2 vorgegebenen Fl¨achenquelldichten sein k¨onnen. ¨ Mitunter werden die hier diskutierten Ubergangsbedingungen einfach hingeschrieben“; wir leg” ten aber Wert darauf zu zeigen, dass sie nicht nur aus den elastodynamischen Grundgleichungen hergeleitet werden k¨onnen sondern hergeleitet werden m¨ ussen.

4

Materialgleichungen; elastodynamische Grundgleichungen; elastodynamischer Energiesatz

4.1

Materialgleichungen

Die elastodynamischen Grundgleichungen, ob linear oder nicht, machen Aussagen u ¨ber zeitliche ¨ und r¨aumliche Anderungen von Feldgr¨oßen (Gleichung (3.2.36), Gleichung (3.2.54)): δj(R, t) (4.1.1) = ∇ · T(R, t) + f (R, t) , δt δS(R, t) (4.1.2) = I+ : ∇v(R, t) + h(R, t) . δt Offensichtlich kommen in der Newton-Cauchy’schen Bewegungsgleichung (4.1.1) andere Feldgr¨oßen als in der Deformationsratengleichung (4.1.2) vor, sodass — in allgemeinster Form — Verkn¨ upfungsoperatoren j, S gem¨aß 0 X δj(R, t) (4.1.3) = j v(R, t), T(R, t) , δt 0 X δS(R, t) (4.1.4) = S v(R, t), T(R, t) , δt sogenannte Materialgleichungen, gefragt sind (de Hoop, 1995). Diese sind festk¨orperphysikalisch zu begr¨ unden, sie folgen insbesondere nicht aus den oben formulierten Grundgleichungen. Die Modellbildung des Festk¨orpers wird man nat¨ urlich den Kriterien Realit¨atsn¨ahe“ und Einfach” ” heit“ unterwerfen. Letzterer opfert“ man in der Regel die Abh¨angigkeit der Operatoren j und ” S von jeweils beiden Feldgr¨oßen. Man n¨ahert:

δj(R, t) = j [v(R, t)] , δt 0 X δS(R, t) = S T(R, t) . δt Sodann spezifiziert man in Anlehnung an (3.2.18) δj(R, t) Dv(R, t) = ρ(R) · , δt Dt DT(R, t) δS(R, t) = s(R) : δt Dt und linearisiert gem¨aß δ/δt =⇒ ∂/∂t, D/Dt =⇒ ∂/∂t ∂j(R, t) ∂v(R, t) , = ρ(R) · ∂t ∂t ∂T(R, t) ∂S(R, t) = s(R) : ∂t ∂t

(4.1.5) (4.1.6)

(4.1.7) (4.1.8)

(4.1.9) (4.1.10)

98

4 Materialgleichungen; elastodynamische Grundgleichungen; Energiesatz

mit der Konsequenz j(R, t) = ρ(R) · v(R, t) ,

(4.1.11)

S(R, t) = s(R) : T(R, t) .

(4.1.12)

Die Materialgleichungen (4.1.7), (4.1.8) sowie die linearen Materialgleichungen (4.1.11), (4.1.12) definieren den Massendichtetensor zweiter Stufe ρ(R) und den Nachgiebigkeitstensor vierter Stufe s(R). Beide Tensoren charakterisieren ein zeitinvariantes augenblicklich reagierendes inhomogenes lokal reagierendes anisotropes Material: zeitinvariant, weil sie selbst nicht von der Zeit abh¨angen, und augenblicklich reagierend, weil j(R, t) bzw. S(R, t) zum Zeitpunkt t nur von v(R, t) und T(R, t) zum selben Zeitpunkt abh¨angen. In eben diesem Sinne ist das Material (4.1.11), (4.1.12) ortsvariant (inhomogen) und lokal reagierend: inhomogen, weil ρ(R) und s(R) vom Ortsvektor R abh¨angen und lokal reagierend, weil j(R, t) bzw. S(R, t) am Ort R nur von ¨ v(R, t) bzw. T(R, t) am selben Ort abh¨angen. Anisotrop ist das Material, weil die Anderung ¨ nur einer (kartesischen) Komponente von v bzw. T die Anderung aller Komponenten von j bzw. S zur Folge hat, d.h. die relative Orientierung von z.B. v und j ist abh¨angig von der Richtung von v: Das Material hat eine makroskopische innere Struktur. Wichtige Spezialisierungen von (4.1.11), (4.1.12) sind Homogenit¨at und Isotropie (Abschnitt 4.2.2) des Materials. Ebenfalls wichtige Verallgemeinerungen sind nicht augenblicklich reagierende Materialien zur mathematischen Beschreibung physikalischer Dissipation (Abschnitt 4.4).

4.2

Lineare nichtdissipative Materialien: Cauchy-Hooke’sches Gesetz

4.2.1

Anisotrope Materialien; Voigt-Notation; transversal-isotrope Materialien

Anisotrope Materialien: Symmetrien des Nachgiebigkeitstensors Obwohl es in der Geophysik gute Gr¨ unde gibt, einen Massendichtetensor einzuf¨ uhren (de Hoop, 1995), wollen wir in der weiteren Ausarbeitung der Wellenausbreitung davon absehen und die Massendichte ρ(R) als skalare Gr¨oße ansetzen: j(R, t) = ρ(R)v(R, t) .

(4.2.1)

Das eigentliche Hooke’sche Gesetz ist die lineare Beziehung zwischen der Dehnung einer Feder und dem angeh¨angten Gewicht. Hier wollen wir jede lineare Beziehung zwischen Spannungstensor und Deformationstensor (oder umgekehrt) als Hooke’sches Gesetz“ (Cauchy” Hooke’sches Gesetz) bezeichnen: S(R, t) = s(R) : T(R, t) .

(4.2.2)

Die Materialgleichungen (4.2.1) und (4.2.2) stehen f¨ ur ein lineares zeitinvariantes augenblicklich reagierendes inhomogen-anisotropes lokal reagierendes Material. Da T(R, t) symmetrisch ist, muss s(R) symmetrisch bez¨ uglich der letzten beiden Indizes sein, und da S(R, t) symmetrisch uglich der ersten beiden Indizes sein: ist, muss s(R) symmetrisch bez¨ s1234 = s1243 = s2143 = s2134 ;

(4.2.3)

4.2 Lineare nichtdissipative Materialien: Cauchy-Hooke’sches Gesetz

99

in Indexschreibweise lautet (4.2.3) sijkl = sijlk = sjilk = sjikl .

(4.2.4)

In Abschnitt 4.3.1 werden wir sehen, dass der elastodynamische Energiesatz f¨ ur augenblicklich reagierende (nichtdissipative) Materialien auch noch die Symmetrie s1234 = s3412 ⇐⇒ sijkl = sklij

(4.2.5)

erzwingt. Steifigkeitstensor Oft benutzt man statt des Nachgiebigkeitstensors den Steifigkeitstensor c(R), der durch die Inversion von (4.2.2) definiert ist: T(R, t) = c(R) : S(R, t) ;

(4.2.6)

wegen (2.1.116) und der Symmetrie von S bzw. T muss c(R) : s(R) = s(R) : c(R) = I+

(4.2.7)

gelten. Nat¨ urlich besitzt c dieselben Symmetrien wie s. Voigt-Notation Ein Tensor vierter Stufe hat 81 Komponenten, dargestellt durch eine 3×3-Matrix, deren neun Elemente jeweils 3×3-Matrizen sind. Die Symmetrie von s bzw. c bez¨ uglich der ersten beiden Indizes reduziert die Anzahl unabh¨angiger Komponenten auf 54, die zus¨atzliche Symmetrie bez¨ uglich der letzten beiden Indizes auf 36. Wegen der Symmetrie (4.2.5) verbleiben schließlich nur noch 21 unabh¨angige Komponenten. Diese lassen sich — beispielsweise f¨ ur den Steifigkeitstensor — gem¨aß ⎞ ⎛ c11 c12 c13 c14 c15 c16 ⎜c c c c c c ⎟ ⎜ 12 22 23 24 25 26 ⎟ ⎜c c c c c c ⎟ ⎜ 13 23 33 34 35 36 ⎟ ⎟ C =⎜ (4.2.8) ⎜ c14 c24 c34 c44 c45 c46 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ c15 c25 c35 c45 c55 c56 ⎠ c16 c26 c36 c46 c56 c66 in einer symmetrischen 6×6-Matrix anordnen1 . Man spricht von der Voigt-Notation des Steifigkeitstensors (Nachgiebigkeitstensors). Es ist jedoch zu beachten, dass C eine Matrix und kein Tensor ist! Die Symmetrie von S und T bel¨asst beiden Tensoren sechs unabh¨angige Komponenten, die man gem¨aß ⎛

⎛

Txx

⎜ ⎝ Txy

Txz

⎛

Sxx Sxy

⎜ ⎝ Sxy Syy

Sxz Syz

1 Die

⎞

T1 ⎜T ⎟ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 2⎟ Txy Txz T1 T6 T5 ⎜T ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 3⎟ Tyy Tyz ⎠ =⇒ ⎝ T6 T2 T4 ⎠ =⇒ ⎜ ⎜ ⎟=T ⎜ T4 ⎟ ⎜ ⎟ Tyz Tzz T5 T4 T3 ⎝ T5 ⎠ T6 ⎛ ⎞ S1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎜S ⎟ ⎞ S1 2 S6 2 S5 ⎜ 2⎟ Sxz ⎜S ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ 3⎟ 1 Syz ⎠ =⇒ ⎜ 2 S6 S2 2 S4 ⎟ =⇒ ⎜ ⎜ ⎟=S ⎜ S4 ⎟ ⎠ ⎝ ⎜ ⎟ Szz 1 1 ⎝ S S S3 S5 ⎠ 2 5 2 4 S6

explizite Transformation der cijkl , i, j, k, l = 1, 2, 3, in die Cαβ , α, β = 1, . . . , 6, findet sich bei Helbig (1994).

(4.2.9)

(4.2.10)

100

4 Materialgleichungen; elastodynamische Grundgleichungen; Energiesatz

durchnummerieren und zu 6×1-Matrizen (Spalten vektoren“) zusammenfassen kann. Das Hoo” ke’sche Gesetz lautet dann2 ⎛

⎞

⎛

T1 c11 ⎜T ⎟ ⎜c ⎜ 2⎟ ⎜ 12 ⎜T ⎟ ⎜c ⎜ 3⎟ ⎜ 13 ⎜ ⎟=⎜ ⎜ T4 ⎟ ⎜ c14 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ T5 ⎠ ⎝ c15 T6 c16

c12 c22 c23 c24 c25 c26

c13 c23 c33 c34 c35 c36

c14 c24 c34 c44 c45 c46

c15 c25 c35 c45 c55 c56

⎞⎛

⎞

c16 S1 ⎜ ⎟ c26 ⎟ T (R, t) = C (R)S (R, t) , ⎟ ⎜ S2 ⎟ ⎜S ⎟ c36 ⎟ ⎟⎜ 3⎟ ⎟⎜ ⎟ ⇐⇒ Tα (R, t) = Cαβ (R)Sβ (R, t) , ⎜S ⎟ c46 ⎟ ⎟⎜ 4⎟ α, β = 1, . . . , 6 . c56 ⎠ ⎝ S5 ⎠ c66 S6

(4.2.11)

Wir bevorzugen jedoch in dieser Ausarbeitung die tensorielle Form (4.2.6) bzw. (4.2.2), da sie sich durch Projektion auf das orthonormierte Dreibein eines Koordinatensystems unmittelbar in Koordinaten schreiben l¨asst. Als Referenzen f¨ ur Steifigkeitsanisotropie seien Auld (1973), Ben-Menahem und Singh (1981), Royer und Dieulesaint (2000) sowie Helbig (1994) genannt. Transversal-isotrope Materialien Entsprechend den Kristallsymmetrien von Festk¨orpern lassen sich verschiedene, im Komplexit¨atsgrad zunehmende Modelle der Anisotropie formulieren. Das einfachste3 , auf hexagonale Kristalle zutreffende Modell ist das der transversalen Isotropie senkrecht zu einer Vorzugsrichˆ, wobei f¨ tung a unf elastische Konstanten λ⊥ , λ9 , μ⊥ , μ9 , ν (statt der 21 im Allgemeinen Fall) involviert sind (Spies, 1992; Spies, 1994): ctriso (R) = λ⊥ Iδ + 2μ⊥ I+ + ˆa ˆa ˆ+ +[λ⊥ + 2μ⊥ + λ9 + 2μ9 − 2(ν + 2μ9 )]ˆ aa ˆa ˆa ˆ+a ˆ I) + +(ν − λ⊥ )(I a ˆa ˆ1324 + a ˆ I1324 + I a ˆa ˆ1342 + a ˆ I1342 ) . ˆa ˆa +(μ9 − μ⊥ )(I a

(4.2.12)

Die Inhomogenit¨at von ctriso (R) kann dabei sowohl in den elastischen Konstanten λ⊥ (R), μ⊥ (R), ˆ(R) stecken“. Ein λ9 (R), μ9 (R), ν(R) als auch in der Ortsabh¨angigkeit der Vorzugsrichtung a ” Beispiel f¨ ur ortsunabh¨angige Konstanten und ortsabh¨angige Vorzugsrichtung ist der gekr¨ ummte ¨ Stengelkristall einer austenitischen Schweißnaht (Langenberg et al., 2000); im Ubrigen ben¨otigt man daf¨ ur nur vier unabh¨angige Konstanten, da ν = λ⊥ − μ⊥ + μ9 gelten muss (Neumann et ˆ = ex — damit entf¨allt nat¨ al., 1995). F¨ ur a urlich die Ortsabh¨angigkeit der Vorzugsrichtung — lautet der Steifigkeitstensor (4.2.12) in Voigt-Notation: ⎞

⎛

ν(R) ν(R) 0 0 0 λ9 (R) + 2μ9 (R) ⎜ λ⊥ (R) + 2μ⊥ (R) λ⊥ (R) 0 0 0 ⎟ ν(R) ⎟ ⎜ ⎜ ν(R) λ⊥ (R) λ⊥ (R) + 2μ⊥ (R) 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ triso ⎟ ; C (R) = ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 μ (R) 0 0 ⊥ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 μ9 (R) 0 ⎠ 0 0 0 0 0 μ9 (R) (4.2.13) 2 Man erweitert die Summenkonvention dahingehend, dass uber doppelt vorkommende griechische Indizes von 1 bis 6 summiert ¨ wird. 3 Noch einfacher ist ein hypothetisches uniaxiales Modell (Lindell und Kiselev, 2000):

ˆa ˆa ˆ . cuni = αIδ + βI+ + γˆ aa

4.2 Lineare nichtdissipative Materialien: Cauchy-Hooke’sches Gesetz

101

nat¨ urlich ist die Zuordnung der Lam´e-Parameter zu den Voigt-Parametern koordinatenabh¨angig, ˆ = ez erh¨alt man denn f¨ ur — beispielsweise — a ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ C triso (R) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞

λ⊥ (R) ν(R) 0 0 0 λ⊥ (R) + 2μ⊥ (R) λ⊥ (R) λ⊥ (R) + 2μ⊥ (R) ν(R) 0 0 0 ⎟ ⎟ νR) λ9 (R) + 2μ9 (R) 0 0 0 ⎟ ν(R) ⎟ ⎟ ; 0 0 0 μ9 (R) 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 0 0 μ9 (R) 0 ⎠ 0 0 0 0 0 μ⊥ (R) (4.2.14)

Weitere koordinatenfreie Darstellungen von Steifigkeitstensoren f¨ ur die h¨oheren Anisotropiegrade anderer Kristallklassen (kubisch, orthorhombisch, tetragonal) samt ihren Voigt-Notationen findet man bei Marklein (1997).

4.2.2

Isotrope Materialien

F¨ ur isotrope Materialien muss der Steifigkeitstensor definitionsgem¨aß eine Darstellung besitzen, die keine makroskopischen Strukturparameter des Materials enth¨alt; ferner muss seine Doppelkontraktion mit dem symmetrischen Deformationstensor den symmetrischen Spannungstensor liefern. Dies wird in allgemeiner Form mit dem Tensor I vierter Stufe gem¨aß (2.1.107) mit α3 = 0 erreicht; u ¨blicherweise schreibt man ciso (R) = λ(R) Iδ + 2μ(R) I+ = λ(R) I I + μ(R)(I I1342 + I I1324 )

(4.2.15)

mit den Lam´e’schen Konstanten λ(R) und μ(R). Offenbar lautet dann das Hooke’sche Gesetz: T(R, t) = ciso (R) : S(R, t) = λ(R) I spur S(R, t) + 2μ(R)S(R, t) .

(4.2.16)

Der Nachgiebigkeitstensor siso (R) hat eine zu (4.2.15) analoge Struktur: siso (R) = Λ(R)Iδ + 2M (R)I+ ,

(4.2.17)

wobei4 (de Hoop, 1995) λ(R) , 2μ(R)[3λ(R) + 2μ(R)] 1 . M (R) = 4μ(R) Λ(R) = −

4 Diese

Formeln sind reziprok: Λ(R) , 2M (R)[3Λ(R) + 2M (R)] 1 . μ(R) = 4M (R) λ(R) = −

(4.2.18) (4.2.19)

102

4 Materialgleichungen; elastodynamische Grundgleichungen; Energiesatz

Der Steifigkeitstensor (4.2.15) schreibt sich folgendermaßen als Voigt-Matrix : ⎛

⎞

λ(R) λ(R) 0 0 0 λ(R) + 2μ(R) ⎜ λ(R) + 2μ(R) λ(R) 0 0 0 ⎟ λ(R) ⎟ ⎜ ⎜ λ(R) λ(R) λ(R) + 2μ(R) 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ iso ⎟ . C (R) = ⎜ ⎜ 0 ⎟ 0 0 0 μ(R) 0 ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 μ(R) 0 ⎠ 0 0 0 0 0 μ(R)

4.2.3

(4.2.20)

Elastodynamische Grundgleichungen

Mit den Materialgleichungen (4.1.11) und (4.1.12) lauten die elastodynamischen Grundgleichungen: ∂v(R, t) (4.2.21) = ∇ · T(R, t) + f (R, t) , ∂t G ∂T(R, t) 1> s(R) : ∇v(R, t) + [∇v(R, t)]21 + h(R, t) . (4.2.22) = ∂t 2 Sie beschreiben die Ausbreitung elastischer Wellen in linearen zeitinvarianten augenblicklich und lokal reagierenden inhomogen-anisotropen nichtdissipativen Materialien. ρ(R) ·

4.3

Elastodynamischer Energiesatz im Zeit- und Frequenzbereich f¨ur nichtdissipative Materialien

4.3.1

Elastodynamischer Poynting-Vektor im Zeitbereich

In der Elastostatik definiert man mit gutem Grund (Ben-Menahem und Singh, 1981) 1 (4.3.1) S(R) : T(R) 2 als elastische potentielle Deformationsenergiedichte, die in dem statischen Deformations-Spannungsfeld S(R), T(R) lokal enthalten ist. Bei der Verallgemeinerung auf die Elastodynamik ur zeitabh¨angige Deformationen und wird man zun¨achst versuchsweise“ die Gleichung (4.3.1) f¨ ” urlich die kinetische EnerSpannungen S(R, t), T(R, t) hinschreiben; zus¨atzlich muss man nat¨ gie(dichte) der zeitver¨anderlich bewegten Material teilchen“ ber¨ ucksichtigen, sodass sich als ” Ansatz f¨ ur die elastodynamische Energiedichte schließlich der Hamilton’sche Ausdruck w(R) =

1 1 j(R, t) · v(R, t) + S(R, t) : T(R, t) 2 2 ergibt (Ben-Menahem und Singh, 1981). wel (R, t) =

(4.3.2)

Ein Energie(erhaltungs)satz ist eine Bilanzgleichung f¨ ur die Energiedichte: Wenn diese sich lokal zeitlich a¨ndert, wird entweder Energie transportiert oder erzeugt/vernichtet. Also untersuchen wir die zeitliche Ableitung von (4.3.2) ∂wel (R, t) 1 ∂v(R, t) 1 ∂j(R, t) = · v(R, t) + j(R, t) · + ∂t 2 ∂t 2 ∂t ∂T(R, t) 1 ∂S(R, t) 1 + : T(R, t) + S(R, t) : . (4.3.3) 2 ∂t 2 ∂t Nunmehr sollten wir die elastodynamischen Grundgleichungen ins Spiel bringen, um der Ela¨ stodynamik, d.h. der zeitlich-r¨aumlichen Anderung der Felder tats¨achlich Rechnung zu tragen;

4.3 Energiesatz im Zeit- und Frequenzbereich f¨ ur nichtdissipative Materialien

103

¨ schließlich wollen wir den zeitlich-r¨aumlichen Energietransport charakterisieren. Uber ∂j/∂t und ∂S/∂t machen die (linearisierten) elastodynamischen Grundgleichungen in der Tat unmittelbar eine Aussage, u ¨ber ∂v/∂t und ∂T/∂t jedoch nur, wenn wir Materialgleichungen hinzunehmen. Wir postulieren mit j(R, t) = ρ(R)v(R, t) , S(R, t) = s(R) : T(R, t)

(4.3.4) (4.3.5)

ein lineares zeitinvariantes augenblicklich reagierendes (nichtdissipatives und damit nichtdispersives) und lokal reagierendes inhomogen-anisotropes Material und erhalten anstelle von (4.3.2) 1 1 ρ(R)v(R, t) · v(R, t) + s(R) : T(R, t) : T(R, t) 2 2 1 1 2 = ρ(R)|v(R, t)| + s(R) : T(R, t) : T(R, t) 2 2

wel (R, t) =

(4.3.6)

und folglich anstelle von (4.3.3): ∂T(R, t) ∂wel (R, t) ∂v(R, t) 1 = ρ(R) · v(R, t) + s(R) : : T(R, t) + ∂t ∂t 2 ∂t ∂T(R, t) 1 + s(R) : T(R, t) : , 2 ∂t

(4.3.7)

wobei wir die ersten beiden Terme von (4.3.3) sofort zu einem zusammenfassen konnten. Die beiden letzten Terme k¨onnen wir jedoch nur dann zusammenfassen, wenn die Vertauschung s(R) :

∂T(R, t) ∂T(R, t) : T(R, t) = s(R) : T(R, t) : ∂t ∂t

(4.3.8)

erlaubt ist, und diese setzt die Symmetrie s1234 = s3412 ⇐⇒ sijkl = sklij

(4.3.9)

des Nachgiebigkeitstensors voraus. Mit der Symmetrie (4.3.9) lautet (4.3.7): ∂T(R, t) ∂v(R, t) ∂wel (R, t) : T(R, t) . = ρ(R) · v(R, t) + s(R) : ∂t ∂t ∂t

(4.3.10)

Schlussendliches Einsetzen der elastodynamischen Grundgleichungen (4.2.21) und (4.2.22) f¨ uhrt uns nun auf — wir nutzen die Symmetrie von T(R, t) aus — ∂wel (R, t) = ∇ · T(R, t) · v(R, t) + ∇v(R, t) : T(R, t) + ∂t + f (R, t) · v(R, t) + h(R, t) : T(R, t) .

(4.3.11)

Die beiden letzten Terme auf der rechten Seite obiger Gleichung identifizieren wir als zeitliche Energiedichte¨anderung ∂wQ (R, t) = f (R, t) · v(R, t) + h(R, t) : T(R, t) , ∂t

(4.3.12)

die lokal von eingepr¨agten Kraftdichten f und Deformationsraten h in das Spannungs-Bewegungsfeld T(R, t), v(R, t) injiziert“ wird; damit m¨ ussen die beiden ersten Terme auf der rechten ”

104

4 Materialgleichungen; elastodynamische Grundgleichungen; Energiesatz

Seite von Gleichung (4.3.11) die Bedeutung weg/zustr¨omender Energiedichte haben, und um dies offensichtlich werden zu lassen, fassen wir sie als Divergenz eines Vektors5 gem¨aß

S(R, t) = −v(R, t) · T(R, t)

(4.3.13)

−∇ · S(R, t) = ∇v(R, t) : T(R, t) + ∇ · T(R, t) · v(R, t)

(4.3.14)

unter Ausnutzung der Symmetrie von T zusammen. Es ergibt sich der elastodynamische Energiesatz ∂wQ (R, t) ∂wel (R, t) = −∇ · S(R, t) + (4.3.15) ∂t ∂t f¨ ur nichtdissipative Materialien. Das Minuszeichen in (4.3.13) ist folgendermaßen begr¨ undet: Wenn der Vektor S(R, t) die physikalische Bedeutung einer Energiestromdichte“, d.h. einer ” Energie pro Zeit pro Fl¨ache bzw. einer Leistungsfl¨achendichte haben soll, entspricht einer lokal positiven Divergenz von S(R, t) eine Wegstr¨omung von Energie, d.h. ∂wel (R, t)/∂t muss — bei verschwindender Energiezuf¨ uhrung ∂wQ (R, t)/∂t ≡ 0 — negativ sein; entsprechend hat eine lokal negative Divergenz von S(R, t) f¨ ur ∂wQ (R, t)/∂t ≡ 0 die Zunahme der lokalen Energiedichte zur Folge. Der Vektor S(R, t) ist das elastodynamische Analogon zum Poynting-Vektor elektromagnetischer Wellen und wird deshalb mitunter elastodynamischer Poynting-Vektor genannt. Die obige Herleitung des Energiesatzes geht von einer physikalisch plausiblen Definition der elastodynamischen Energiedichte unter Verwendung der elastodynamischen Grundgleichungen zusammen mit speziell gew¨ahlten Materialgleichungen aus und hat die ebenfalls physikalisch sinnvolle Definition des elastodynamischen Poynting-Vektors S(R, t) gem¨aß (4.3.13) zur Folge; S(R, t) ist damit aber nicht eindeutig definiert, denn man k¨onnte die Rotation eines beliebigen Vektors hinzuf¨ ugen, ohne den Energiesatz zu ver¨andern. Allerdings hat sich die Definition (4.3.13) von S(R, t) bisher immer bew¨ahrt. Wenn wir umgekehrt wie oben vorgehen, wird die Symmetrieforderung (4.3.9) f¨ ur den Nachgiebigkeitstensor zwingend, damit die elastodynamische Energiedichte konsistent formuliert werden kann: Wir bilden mit (4.3.14) die negative Divergenz des als Energiestromdichte postulierten elastodynamischen Poynting-Vektors S(R, t), schreiben ∇v : T aufgrund der Symmetrie von T als 21 [∇v + (∇v)21 ] : T und setzen die elastodynamischen Grundgleichungen in der Form (3.1.1), (3.1.2), d.h. noch ohne die Spezifikation von Materialgleichungen, ein: −∇ · S(R, t) =

∂j(R, t) ∂S(R, t) · v(R, t) − : T(R, t) + ∂t < ∂t O: U ∂w (R, t) ! el = ∂t −h(R, t) : T(R, t) − f (R, t) · v(R, t) .


v(R, t, ω0 ) = 6 v(R, ω0 ) e−jω0 t >

T(R, t, ω0 ) = 6 T(R, ω0 ) e

G

−jω0 t

G

,

(4.3.18) (4.3.19)

an und berechnen die Spektren v(R, ω, ω0 ) = π v(R, ω0 )δ(ω − ω0 ) + π v∗ (R, ω0 )δ(ω + ω0 ) , T(R, ω, ω0 ) = π T(R, ω0 )δ(ω − ω0 ) + π T∗ (R, ω0 )δ(ω + ω0 ) .

(4.3.20) (4.3.21)

Mit (2.4.20) berechnen wir gem¨aß (4.3.17): 1 ;∞ v(R, ω + , ω0 ) · T(R, ω − ω + , ω0 ) dω + 2π −∞ π = − v(R, ω0 ) · T(R, ω0 ) δ(ω − ω0 ) ∗ δ(ω − ω0 ) − O: U < 2 = δ(ω − 2ω0 ) π − v(R, ω0 ) · T∗ (R, ω0 ) δ(ω − ω0 ) ∗ δ(ω + ω0 ) − < O: U 2 = δ(ω) π − v∗ (R, ω0 ) · T(R, ω0 ) δ(ω + ω0 ) ∗ δ(ω − ω0 ) − < O: U 2 = δ(ω) π − v∗ (R, ω0 ) · T∗ (R, ω0 ) δ(ω + ω0 ) ∗ δ(ω + ω0 ) O: U < 2 = δ(ω + 2ω0 )

S(R, ω, ω0 ) = −

(4.3.22)

und erhalten tats¨achlich drei Spektrallinien bei ω = 0, ±2ω0 . Dementsprechend lautet der zeitharmonische Poynting-Vektor zeitharmonischer Felder: 9

7

9

1 1 S(R, t, ω0 ) = 6 − v(R, ω0 ) · T∗ (R, ω0 ) + 6 − v(R, ω0 ) · T(R, ω0 ) e−2jω0 t 2 2

7

.

(4.3.23)

106

4 Materialgleichungen; elastodynamische Grundgleichungen; Energiesatz

Im Falle zeitlicher Mittelung 7 9 1 1 ; T0 S(R, t, ω0 ) dt = 6 − v(R, ω0 ) · T∗ (R, ω0 ) T0 0 2

(4.3.24)

verschwindet der mit 2ω0 oszillierende Term in (4.3.23), da ; T0 0

e−2jω0 t dt = 0 ,

(4.3.25)

und es verbleibt nur der Gleich spannungs“term. Das Ergebnis der zeitlichen Mittelung ist der ” Realteil des Phasors 1 (4.3.26) SK (R, ω0 ) = − v(R, ω0 ) · T∗ (R, ω0 ) 2 als Produkt von Phasoren, welches offensichtlich in Verallgemeinerung auf beliebige ω0 =⇒ ω als spektrale Variante“ von (4.3.13) angesehen werden kann6 , wenn man die Phasoren gem¨aß ” (3.1.20) als spektrale Amplituden auffasst. Man nennt 1 SK (R, ω) = − v(R, ω) · T∗ (R, ω) 2

(4.3.27)

komplexen elastodynamischen Poynting-Vektor und weiß mit (4.3.24), dass sein Realteil die zeitlich gemittelte Energiestromdichte reell-zeitharmonischer Felder angibt. Zur Formulierung eines Energiesatzes f¨ ur zeitliche Mittelwerte reell-zeitharmonischer Felder ist zun¨achst analog zu (4.3.23) die entsprechende zeitharmonische Energiedichte 9

7

1 1 wel (R, t, ω0 ) = 6 j(R, ω0 ) · v∗ (R, ω0 ) + S(R, ω0 ) : T∗ (R, ω0 ) + (4.3.28) 4 4 7 9L 1 1 +6 j(R, ω0 ) · v(R, ω0 ) + S(R, ω0 ) : T(R, ω0 ) e−2jω0 t 4 4 zeitharmonischer Felder auf der Grundlage von (4.3.2) zu definieren. Bilden wir mit (4.3.28) die zeitliche Ableitung und sodann den zeitlichen Mittelwert 1 ; T0 ∂wel (R, t, ω0 ) dt ≡ 0 , T0 0 ∂t

(4.3.29)

so ist dieser stets — offenbar unabh¨angig von einer zu postulierenden Materialgleichung! — gleich null. F¨ ur verschwindende Phasoren der Volumenkraftdichte f (R, ω0 ) und der Deformationsrate h(R, ω0 ) folgt deshalb f¨ ur zeitharmonische Felder durch zeitliche Mittelung des Energiesatzes (4.3.15): (4.3.30) ∇ · 6 {SK (R, ω0 )} = 0 . Dies verwundert: Das Material k¨onnte ja dissipativ sein, und dies m¨ usste eine lokal negative Divergenz der zeitlich gemittelten Energiestromdichte zur Folge haben! Allerdings ist das Ergebnis (4.3.30) unbedingt plausibel f¨ ur nichtdissipative Materialien, wie sie durch die Materialgleichungen (4.3.4) und (4.3.5) beschrieben werden. Es folgt: F¨ ur dissipative Materialien kann die Definition (4.3.28) — ebenso wie (4.3.2) — noch nicht der Weisheit letzter Schluss sein. 6 In

der Elektrotechnik bringt man mitunter den Faktor 1/2 zum Verschwinden“, indem man Effektivwerte der Phasoren, z.B. ” v(R, ω0 ) veff (R, ω0 ) = √ 2

¨ definiert. Im Ubrigen: W¨ are man von S(R, t) = −T(R, t)·v(R, t) ausgegangen, h¨ atte man nun SK (R, ω0 ) = −T(R, ω0 )·v∗ (R, ω0 )/2, also den konjugiert komplexen Ausdruck, erhalten; allerdings bleibt der physikalisch bedeutsame Realteil von SK (R, ω0 ) dabei unver¨ andert.

4.3 Energiesatz im Zeit- und Frequenzbereich f¨ ur nichtdissipative Materialien

107

Wie zuvor — im Zeitbereich — auch schon, gehen wir deshalb von (4.3.16) aus und bilden zeitliche Mittelwerte f¨ ur zeitharmonische Felder: 9

7

jω0 jω0 S(R, ω0 ) : T∗ (R, ω0 ) − j(R, ω0 ) · v∗ (R, ω0 ) − 2 2 9 7 1 1 −6 h(R, ω0 ) : T∗ (R, ω0 ) + f (R, ω0 ) · v∗ (R, ω0 ) , 2 2 (4.3.31)

−∇ · 6 {SK (R, ω0 )}=6 −

wobei wir den Phasor beispielsweise von ∂S(R, t, ω0 )/∂t gem¨aß G > ∂S(R, t, ω0 ) = 6 −jω0 S(R, ω0 ) e−jω0 t ∂t

(4.3.32)

berechnen; der Vollst¨andigkeit halber ber¨ ucksichtigen wir auch eingepr¨agte Kraftdichten und Deformationsraten. Aber auch f¨ ur f = 0, h = 0 kann in Gleichung (4.3.31) rechtsseitig etwas ” u ur die Materialgleichungen ¨brig bleiben“. F¨ j(R, ω0 ) = ρ(R)v(R, ω0 ) , S(R, ω0 ) = s(R) : T(R, ω0 )

(4.3.33) (4.3.34)

eines bei der Frequenz ω0 nichtdissipativen Materials sollte sich allerdings — wie in Gleichung (4.3.30) — 9

6 −

7

jω0 jω0 s(R) : T(R, ω0 ) : T∗ (R, ω0 ) − ρ(R)v(R, ω0 ) · v∗ (R, ω0 ) = 0 2 2

(4.3.35)

ergeben. Da v(R, ω0 ) · v∗ (R, ω0 ) = |v(R, ω0 )|2 stets reell ist, muss nur der erste Term u uft ¨berpr¨ werden. Da f¨ ur den Realteil einer komplexen Zahl z 1 6z = (z + z ∗ ) 2

(4.3.36)

geschrieben werden kann, sollte −

jω0 jω0 s(R) : T∗ (R, ω0 ) : T(R, ω0 ) = 0 s(R) : T(R, ω0 ) : T∗ (R, ω0 ) + 4 4

(4.3.37)

gelten, und dies gilt in der Tat, wenn s(R) die Symmetrie s(R)1234 = s(R)3412

(4.3.38)

aufweist. Unter der Voraussetzung (4.3.38) ergibt sich im zeitlichen Mittel der elastodynamische Energiesatz reell-zeitharmonischer Felder f¨ ur nichtdissipative Materialien: ∇ · 6 {SK (R, ω0 )} = 6

9

1 1 f (R, ω0 ) · v∗ (R, ω0 ) + h(R, ω0 ) : T∗ (R, ω0 ) 2 2

7

.

(4.3.39)

F¨ ur die zeitlich gemittelte Energiedichte 1 ; T0 wel (R, t, ω0 ) dt = ,wel (R, t, ω0 )7 T0 0

(4.3.40)

108

4 Materialgleichungen; elastodynamische Grundgleichungen; Energiesatz

reell-zeitharmonischer Felder gilt sodann ρ(R) |v(R, ω0 )|2 + 4 ρ(R) = |v(R, ω0 )|2 + 4

,wel (R, t, ω0 )7 =

1 s(R) : T(R, ω0 ) : T∗ (R, ω0 )o 4 1 S(R, ω0 ) : c(R) : S∗ (R, ω0 ) , 4

(4.3.41)

denn unter der Voraussetzung (4.3.38) ist s(R) : T(R, ω0 ) : T∗ (R, ω0 ) und damit S(R, ω0 ) : c(R) : S∗ (R, ω0 ) stets reell. Ersetzt man Phasoren durch spektrale Amplituden, so gilt (4.3.39) f¨ ur die Fourierspektren: ∇ · 6 {SK (R, ω)} = 6

4.4

9

1 1 f (R, ω) · v∗ (R, ω) + h(R, ω) : T∗ (R, ω) 2 2

7

,

(4.3.42)

Lineare dissipative Materialien

In der Literatur werden verschiedene Modelle elastodynamischer Dissipation diskutiert (z.B.: Auld, 1973; Ben-Menahem und Singh, 1981; de Hoop, 1995). Wir wollen hier nicht auf deren physikalische Begr¨ undung zu sprechen kommen, sondern es sollen insbesondere die Konsequenzen jedweder Dissipation f¨ ur die Ausbreitung elastischer Wellen diskutiert werden.

4.4.1

Maxwell-Modell

Maxwell-Modell In v¨olliger formaler Analogie zu Leitf¨ahigkeitsverlusten des Energieinhalts elektromagnetischer Felder — beispielsweise formuliert durch das lineare Ohm’sche Gesetz: Jl (R, t) = σ e (R)·E(R, t) — postuliert man entsprechende Verluste elastodynamischer Energiedichte durch die zus¨atzlichen linearen Maxwell-Terme K(R) · v(R, t) und Γ(R) : T(R, t) in den Materialgleichungen (4.1.9), (4.1.10) (Ben-Menahem und Singh, 1981; de Hoop, 1995): ∂j(R, t) ∂v(R, t) + K(R) · v(R, t) , = ρ(R) · ∂t ∂t ∂S(R, t) ∂T(R, t) + Γ(R) : T(R, t) . = s(R) : ∂t ∂t

(4.4.1) (4.4.2)

Hierin ist K(R) der tensorielle Koeffizient (zweiter Stufe) einer Reibungskraft und Γ(R) der tensorielle Koeffizient (vierter Stufe) einer inversen Viskosit¨at ( Nicht-Z¨ahigkeit“: inviscidness), ” ullen muss; an K m¨ ussen der per definitionem die Symmetrien Γ1234 = Γ1243 = Γ2143 = Γ2134 erf¨ keine Symmetrieforderungen gestellt werden. Elastodynamische Grundgleichungen; D¨ampfung und Dispersion ebener Wellen Mit den Materialgleichungen (4.4.1), (4.4.2) lauten die elastodynamischen Grundgleichungen: ∂v(R, t) (4.4.3) = ∇ · T(R, t) − K(R) · v(R, t) + f (R, t) , ∂t ∂T(R, t) s(R) : (4.4.4) = I+ : ∇v(R, t) − Γ(R) : T(R, t) + h(R, t) , ∂t wobei deutlich wird, dass K · v in der Tat ein feldinduzierter Kraftdichteterm ist, der wegen des negativen Vorzeichens der ¨außeren antreibenden“ Kraftdichte entgegenwirkt, also bremst“. ” ” Ebenso ist Γ : T der ¨außeren Deformationsrate entgegengerichtet. ρ(R) ·

4.4 Lineare dissipative Materialien

109

Die erneute zeitliche Ableitung von (4.4.3) und nachfolgendes Einsetzen von (4.4.4) liefert die um Dissipationsterme erweiterte Gleichung (7.1.3): ∇ · c(R) : ∇v(R, t) − ρ(R) ·

∂ 2 v(R, t) ∂v(R, t) − K(R) · − ∇ · c(R) : Γ(R) : T(R, t) = 2 ∂t ∂t ∂f (R, t) − − ∇ · c(R) : h(R, t) . ∂t (4.4.5)

Um zu u ur die Ausbreitung ebener ¨berblicken, welche Konsequenzen die Dissipationsterme f¨ Wellen haben, betrachten wir die homogene Gleichung (4.4.5) und setzen der Einfachheit halber den Γ-Term gleich null: ∇ · c(R) : ∇v(R, t) − ρ(R) ·

∂ 2 v(R, t) ∂v(R, t) − K(R) · =0 ; 2 ∂t ∂t

(4.4.6)

nach der Fourier-Transformation bez¨ uglich t k¨onnen wir ρ(R) und K(R) zu einem komplexen (frequenzabh¨angigen) Materialtensor ρ (R) zusammenfassen: c

0

K(R) X · v(R, ω) = 0 . O: ω U = ρ (R)

∇ · c(R) : ∇v(R, ω) + ω 2 ρ(R) + j
0 entsprechend den Imagin¨arteilen der komplexen Wellenzahlen exponentiell ged¨ampft sind (falls man das richtige — positive! — Vorzeichen der Imagin¨arteile gew¨ahlt hat). Physikalische Ursache der D¨ampfung ist der Reibungskoeffizient K in ρc , er vermittelt Dissipation. Nebst der Dissipation vermittelt K auch Dispersion, da die komplexen Wellenzahlen nicht mehr nur proportional zur Frequenz sind wie im verlustlosen Fall; die Phasengeschwindigkeiten ω0 (4.4.16) cP,S (ω0 ) = 6kP,Sc (ω0 ) werden in dissipativen Materialien frequenzabh¨angig! Infolgedessen erf¨ahrt ein Impuls, der sich in einem dissipativen Material ausbreitet, eine mit z zunehmende Verzerrung8 . Apropos Impulsausbreitung: Zur inversen Fourier-Transformation in den Zeitbereich fassen wir frequenzabh¨angige Funktionen, also auch ρc (ω), als komplexe Spektren auf; deren Zeitfunktionen sind aber nur dann physikalisch realistisch, wenn sie kausal sind und endliche Energie besitzen. Laut Abschnitt 2.3.4 hat dies aber zur Voraussetzung, dass 6ρc (ω) und 2ρc (ω) Kramers-Kronig-Relationen gen¨ ugen, also gegenseitige Hilbert-Transformierte sind. Dies ist aber f¨ ur das Maxwell-Modell (4.4.9) nicht der Fall (Langenberg, 2005), sodass es sicher nur in eingeschr¨ankten Frequenzbereichen brauchbar ist.

4.4.2

Elastodynamischer Energiesatz: Dissipationsenergie

Elastodynamischer Energiesatz im Zeitbereich Elastodynamische Dissipation muss sich in einem elastodynamischen Energiesatz a¨ußern. Wir greifen auf (4.3.16) zur¨ uck und setzen die Maxwell-Materialgleichungen (4.4.1), (4.4.2) ein (wir nutzen sogleich die Symmetrie (4.2.3) von s und Γ aus): ∂T(R, t) ∂v(R, t) + + v(R, t) · ρ(R) · ∂t ∂t U < O: ∂wel (R, t) = ∂t +T(R, t) : Γ(R) : T(R, t) + v(R, t) · K · v(R, t) −

−∇ · S(R, t) = T(R, t) : s(R) :


= R+ nicht singul¨aren skalaren Green’schen Funktion l¨asst sich problemlos ausf¨ uhren (wir w¨ahlen der Einfachheit halber R+ = 0): e jkR 1 ∇∇ , R >= 0 k2 4πR L - jkR ˆR ˆ − j (I − 3R ˆ R) ˆ + 1 (I − 3R ˆ R) ˆ e . = R kR k 2 R2 4πR

def

G(0) (R, ω) = − v

(5.5.12)

• In der resultierenden11 Quellenfelddarstellung v(R, ω) = =

; ; ; V ⊃VQ

; ; ;

V ⊃VQ

G v (R − R+ , ω) · [∇+ h(R+ , ω) − jωκ f (R+ , ω)] d3 R+ [∇+ h(R+ , ω) − jωκ f (R+ , ω)] · G v (R − R+ , ω) d3 R+ (5.5.13)

der Teilchengeschwindigkeit k¨onnen wir grunds¨atzlich Aufpunkte außerhalb und innerhalb des endlichen Quellvolumens w¨ahlen. F¨ ur Aufpunkte außerhalb trifft der vorstehende Spiegelpunkt zu, f¨ ur Aufpunkte innerhalb ist nun zum einen der δ-Term in (5.5.10) relevant, und zum anderen macht die ∇∇-Differentiation der dann f¨ ur R+ = R singul¨aren skalaren Green’schen Funktion Probleme: Man weiß ja z.B. aufgrund der Gleichung (5.5.1), dass eine zweifache ∇-Differentiation der singul¨aren skalaren Green’schen Funktion grunds¨atzlich distributionstheoretisch aufzufassen ist, sie kann auf δ-Terme f¨ uhren. Ferner ist der letzte Term in (5.5.12) offensichtlich ∼ R−3 , und das Integral (5.5.13) u ¨ber einen derartig (hyper)singul¨aren Term konvergiert nicht im gew¨ohnlichen Sinne (Martensen, 1968), unter gewissen Voraussetzungen12 (Langenberg, 2005) jedoch im Sinne eines Cauchy’schen Hauptwertes (PV f¨ ur principal value). Eine genaue Untersuchung13 dieser Singularit¨aten” problematik“ f¨ uhrt auf G v (R − R+ , ω) = −

1 I δ(R − R+ ) + k2

+ PV G(0) (R − R+ , ω) + v =−

1 I δ(R − R+ ) 3k 2

2 I δ(R − R+ ) + PV G(0) (R − R+ , ω) . v 3k 2

(5.5.14)

Um (5.5.13) auf eine (5.5.6) vergleichbare Form zu bringen, benutzt man am besten wieder die ˜ (K, R+ = 0, ω) —: ˜ (K, ω) = G dreidimensionale Fourier-Transformation — es ist G v v ˜ ˜ (K, ω) . ˜ (K, ω) −jωκ ˜f (K, ω) · G ˜ (K, ω) = jK h(K, v ω) · G v v
= R+ kann man den Gradienten ohne Konvergenzprobleme unter das Integral ziehen und in −∇+ verwandeln“. Es ergibt sich (5.5.16). ” Green’sche Funktionen lassen sich gleichermaßen f¨ ur inhomogene ρ(R)κ(R)-Materialien definieren; allerdings gibt es nur in Sonderf¨allen analytische Ausdr¨ ucke: Ein typisches Beispiel ist das eindimensional geschichtete Material (Chew, 1990). Aus diesem Grunde ist die praktische Berechnung von Quellenfeldern mit der Punktquellensynthese in der Regel auf homogene ρκMaterialien beschr¨ankt. 14 Das Minuszeichen in −h∇% G r¨ uhrt daher, dass die Anwendung des Differentiations- und Faltungssatzes der dreidimensionalen Fourier-Transformation auf den Unterklammerterm in (5.5.15) zun¨ achst ∇[h(R, ω) ∗ G(R, ω)] liefert.

5.5 Akustische Quellenfelder in homogenen Materialien: Punktquellensynthese

5.5.3

131

Begr¨ undung des Distributionsterms im akustischen Green’schen Tensor zweiter Stufe

Mit Fußnote 10 hatten wir angek¨ undigt, f¨ ur den δ-Term in (5.5.10) eine Begr¨ undung zu geben. F¨ ur R ∈ VQ muss 1 1 v(R, ω) = (5.5.18) ∇p(R, ω) − f (R, ω) jωρ jωρ gelten. Mit der auch f¨ ur R ∈ VQ g¨ ultigen Quellenfelddarstellung (5.5.6) des Drucks ergibt sich f¨ ur v(R, ω) gem¨aß (5.5.18): v(R, ω) = ; ; ; 1 [∇+ G(R − R+ , ω) · f (R+ , ω) + jωρh(R+ , ω)G(R − R+ , ω)] d3 R+ − ∇ jωρ VQ 1 − (5.5.19) f (R, ω) . jωρ

Wohl wissend, dass wir die Konvergenz des VQ -Integrals u ¨ber den resultierenden ∇+ ∇+ G-Term + genauer untersuchen m¨ ussen, ziehen wir ∇ =⇒ −∇ unter das Integral: v(R, ω) = 1 jωρ

; ; ; VQ

[−∇+ ∇+ G(R − R+ , ω) · f (R+ , ω) − jωρh(R+ , ω)∇+ G(R − R+ , ω)] d3 R+ − −

Unter Beachtung von

; ; ; VQ

1 f (R, ω) . jωρ

δ(R − R+ ) I · f (R+ , ω) d3 R+ = f (R, ω)

(5.5.20)

(5.5.21)

f¨ ur R ∈ VQ k¨onnen wir den isolierten f -Term in (5.5.20) gem¨aß v(R, ω) =

1 ;;; > [ −∇+ ∇+ G(R − R+ , ω) − δ(R − R+ ) I ] · f (R+ , ω)− < O: U jωρ VQ = k 2 G v (R − R+ , ω) G

− jωρ h(R+ , ω)∇+ G(R − R+ , ω) d3 R+

(5.5.22)

einem Green’schen Tensor zweiter Stufe zuschlagen, der sich im Vergleich mit (5.5.16) als k 2 G v (R − R+ , ω) entpuppt. Warum enthalten die Green’schen Funktionen in (5.5.6) keinen zus¨atzlichen δ-Term? F¨ ur R ∈ VQ gilt doch analog zu (5.5.18) p(R, ω) =

1 1 ∇ · v(R, ω) + h(R, ω) . jωκ jωκ

(5.5.23)

Wenn wir hier (5.5.16) einsetzen, lautet das Pendant zu (5.5.20): p(R, ω) = ; ; ; VQ

@

$

1 ∇ · G v (R − R , ω) · f (R , ω) + h(R+ , ω)Δ+ G(R − R+ , ω) d3 R+ + jωκ +

+

+

132

5 Akustik +

1 h(R, ω) . jωκ

(5.5.24)

Mit (5.5.1) sieht man, dass sich f¨ ur R ∈ VQ der h-Term außerhalb des Integrals weghebt, ihm muss nicht durch einen extra“ δ-Term Rechnung getragen werden; ferner berechnet man mit ” (5.5.10) ebenfalls unter Verwendung von (5.5.1), dass ∇+ · G v = ∇+ G gilt, sodass schließlich aus (5.5.24) die f¨ ur R ∈ VQ g¨ ultige Darstellung (5.5.6) entsteht.

5.6

Huygens’sches Prinzip f¨ur akustische Streufelder in homogenen Materialien

5.6.1

Huygens’sches Prinzip

Bei Anwesenheit eines Streuk¨orpers mit dem Volumen Vc und der Oberfl¨ache Sc — wir brauchen dessen Materialeigenschaften zun¨achst gar nicht zu spezifizieren — ist das Quellenfeld, das wir

Sc ρ, κ ......................... ............... ...... ..... .......... ........ ... ....... ... ....... ... ...... . . . . ... . ...... . ... . . . ... ..... . . . . ..... . ... . . . ... .... . . . . . . .. .... . . . . . . . . ..... ... ..... ... .... .. ... ... ... .. . ... . . . . ... ... ... ... .. .. ... ... ... ... . . . .. .. ... ... ..... ... ..... .. ..... ... ..... . . . ..... .... .. ..... ..... ..... ..... ... ...... ... ...... . . . . . ... .... ... ...... ...... ... ..... ........ ....... ........ ...............................................

h(R+ , ω) f (R+ , ω)

VQ

n ......... . ... . . . . ....

.................................... ......... ......... ..... ........ ..... ....... ....... ... ...... ... ...... . . . ...... ...... .... ..... .... ..... ... ..... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ..... ... ..... ... ..... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ..... . ...... ... ...... ...... ... . ...... .. . ....... . ....... .. . . ........ . .... .......... ...... ................ ........................

t = n+c p(R+ , ω)

=⇒−p , −v i

g = −n+c · v(R+ , ω) ps , v s

+

i

i

Vc

⇓

.......... .......... =⇒ ........ p = p + p . . ......... p , v . .......... .... v = v + v . . R . . ......... .... R ............. • i

+ c

i

s

i

s

O

Abb. 5.6.1: Akustisches Streuproblem: Fl¨ achenquellen des Huygens-Prinzips

nun als einfallendes Feld pi (R, ω), vi (R, ω) bezeichnen, durch ein Streufeld ps (R, ω), vs (R, ω) zu erg¨anzen: Das einfallende Feld weiß“ von dem Streuk¨orper nichts und kann demzufolge auf ” ¨ erf¨ ullen; diese Bedingungen Sc auch nicht die notwendigen Rand- oder Ubergangsbedingungen erzwingen deshalb die Existenz des Streufeldes gerade so, dass sie vom Gesamtfeld p(R, ω), ¨ von einfallendem und gestreutem Feld erf¨ ullt werden15 (Abbildung v(R, ω) als Uberlagerung 5.6.1). Das Huygens’sche Prinzip postuliert nun eine Punktquellensynthese des Streufeldes mittels Elementarkugelwellen, die mit den Feldwerten auf Sc gewichtet sind, u ¨berlagern sich im ¨ Außeren von Vc zum Streufeld und kompensieren im Inneren von Vc das einfallende Feld, sodass das Gesamtfeld dort zum Nullfeld wird (extinction theorem). Die exakte mathematische 15 Voraussetzungsgem¨ aß gelten die Quellen des einfallenden Feldes als eingepr¨ agte Quellen, auf die das Streufeld nicht r¨ uckwirkt: VQ ist kein Streuk¨ orper f¨ ur das Streufeld. Dies ist nat¨ urlich eine Idealisierung.

5.6 Huygens’sches Prinzip f¨ ur akustische Streufelder in homogenen Materialien

133

Herleitung f¨ ur skalare Wellenfelder (z.B.: Langenberg, 2005; Abschnitt 15.1.2) offenbart16 , dass neben den Kugelwellen mit richtungsunabh¨angiger Amplitude und Phase auch noch Dipolwellen zu ber¨ ucksichtigen sind und pr¨azisiert in Form des Helmholtz-Integrals die Feldwichtung der Kugel- und Dipolwellen (representation theorem) . Hier wollen wir eine zwar zwingende, aber heuristische Begr¨ undung angeben, die von J. Larmor (1903) f¨ ur elektromagnetische Wellen vorgeschlagen wurde: Aufgrund des Ausl¨oschungstheorems gehen wir von einem feldfreien ¨ Volumen Vc aus; dann definieren die Ubergangsbedingungen (5.2.1) und (5.2.2) feldabh¨angige Fl¨achenquellen t(R+ , t) = n+c p(R+ , t) , g(R+ , t) = −n+c · v(R+ , t)

(5.6.1) (5.6.2)

f¨ ur R+ ∈ Sc , wobei n+c die ¨außere Normale im Quellpunkt auf Sc ist. Genau diese Fl¨achenquellen sind die Quellen des Streufeldes (Abbildung 5.6.1)! Man nennt sie deshalb ¨aquivalente oder auch sekund¨are Quellen. Also verwenden wir die Quellenfelddarstellung (5.5.6) in der Reduktion17 auf Sc und setzen die zeitharmonischen Fl¨achenquellen (5.6.1) und (5.6.2) ein: ps (R, ω) =

; ;

Sc

[−jωρn+c · v(R+ , ω)G(R − R+ , ω) + p(R+ , ω)n+c · ∇+ G(R − R+ , ω)] dS + . (5.6.3)

Mit (5.5.17) k¨onnen wir den ersten Term in (5.6.3) durch die Normalenableitung des Drucks darstellen: ps (R, ω) =

; ;

Sc

[ p(R+ , ω)∇+ G(R − R+ , ω) − G(R − R+ , ω)∇+ p(R+ , ω)] · n+c dS + ;

(5.6.4)

dies ist die exakte Fassung des Huygens’schen Prinzips, n¨amlich das Helmholtz-Integral als Punktquellensynthese des Streufeldes18 . Man beachte: Das Helmholtz-Integral (5.6.4) — ergo die Integraldarstellung (5.6.3) — liefert tats¨achlich das Ausl¨oschungstheorem p(R, ω) = ur R ∈ Vc , also ps (R, ω) = −pi (R, ω) f¨ ur R ∈ Vc ; deshalb macht diese pi (R, ω) + ps (R, ω) = 0 f¨ ¨ Punktquellensynthese nur im Außeren von Vc Sinn. Da wir zun¨achst in (5.6.4) bzw. (5.6.3) Aufpunkte auf Sc wegen der Singularit¨at der Green’schen Funktion ausschließen, gibt es keine mathematischen Probleme, wenn wir (5.5.17) auf (5.6.3) anwenden, um die Formulierung der Punktquellensynthese f¨ ur das gestreute Teilchengeschwindigkeitsfeld zu erhalten: vs (R, ω) =

=

; ;

Sc

; ; Sc

@

n+c · v(R+ , ω)∇+ G(R − R+ , ω) − $

1 − p(R+ , ω)n+c · ∇+ ∇+ G(R − R+ , ω) dS + jωρ [n+c · v(R+ , ω)∇+ G(R − R+ , ω) − − jωκ p(R+ , ω)n+c · G v (R − R+ , ω)] dS + .

(5.6.5)

Dasselbe Resultat ergibt sich nat¨ urlich, wenn wir (5.6.1) und (5.6.2) in (5.5.16) verwenden.

5.6.2

Akustische Streufelder schallweicher und schallharter K¨orper; Kirchhoff-N¨aherung

Die Punktquellensynthese des Streufeldes ist zwar physikalisch sehr anschaulich, f¨ ur konkret vorliegende Streuk¨orper nutzt sie uns jedoch noch nichts: Unter dem Integral stehen zwei unbekannte 16 Das

Huygens-Prinzip wird damit eine mathematische Konsequenz der Helmholtz’schen Schwingungsgleichung. definieren Volumenquellen, indem wir die Fl¨ achenquellen (5.6.1), (5.6.2) mit der singul¨ aren Funktion γc (R) von Sc multiplizieren, womit das Volumenintegral der Quellenfelddarstellung ein Fl¨ achenintegral wird (Abschnitt 2.4.5). 18 Man erkennt die rechte Seite der zweiten Green’schen Formel (2.2.70) wieder, mit der die Darstellung (5.6.4) hergeleitet wird. 17 Wir

134

5 Akustik

Gr¨oßen, n¨amlich die Randwerte n+c · v(R+ , ω), p(R+ , ω) bzw. n+c · ∇+ p(R+ , ω), p(R+ , ω) des Gesamtfeldes, dessen Streufeldanteil wir ja erst mittels (5.6.3) oder (5.6.4) berechnen wollen. Wie geht man deshalb zur Berechnung der Randwerte vor? Man f¨ uhrt mit den Integraldarstellungen den Grenz¨ ubergang R −→ Sc aus! Dies muss allerdings wegen der Singularit¨at der Green’schen Funktion sehr vorsichtig“ geschehen; es zeigt sich, dass der Term mit ∇+ G(R − R+ , ω) in der ” Tat Probleme macht, die aber l¨osbar sind. Man erh¨alt z.B. mit (5.6.4) (Colton und Kress, 1983; Langenberg, 2005): ps (R, ω) = +

; ;

Sc

1 p(R, ω)+ 2

[p(R+ , ω)∇+ G(R − R+ , ω) − G(R − R+ , ω)∇+ p(R+ , ω)] · n+c dS + , R ∈ Sc .

(5.6.6)

Ersetzt man auf der linken Seite ps durch p − pi , findet man 1 p(R, ω) = pi (R, ω)+ 2 ;; +

Sc

[p(R+ , ω)∇+ G(R − R+ , ω) − G(R − R+ , ω)∇+ p(R+ , ω)] · n+c dS + , R ∈ Sc ,

(5.6.7)

als Integralgleichungsbeziehung zwischen den beiden unbekannten Gr¨oßen; dies erhellt, dass beide nicht unabh¨angig voneinander sind, die Vorgabe einer der beiden macht die andere berechenbar. Sinnvolle, wenn auch idealisierte Vorgaben kommen nun durch die tats¨achliche physikalische Natur des Streuk¨orpers ins Spiel: Man kann Vc nicht nur Huygens-feldfrei“, sondern ” physikalisch feldfrei halten, indem man die Randbedingung entweder ideal schallweicher oder ideal schallharter Streuk¨orper vorgibt. Die Dirichlet-Randbedingung (5.2.6) charakterisiert den schallweichen Streuk¨orper; in (5.6.7) eingesetzt, ergibt sich die Integralgleichung erster Art (die gesuchte Gr¨oße steht nur unter dem Integral) ; ; Sc

G(R − R+ , ω)∇+ p(R+ , ω) · n+c dS + = pi (R, ω) , R ∈ Sc ,

(5.6.8)

ur die gewichtete Normalkomponente f¨ ur die Normalenableitung n+c ·∇+ p(R+ , ω) des Drucks bzw. f¨ jωρn+c · v(R+ , ω) der Teilchengeschwindigkeit. Damit ist die Fl¨achendeformation gem¨aß (5.2.7) grunds¨atzlich berechenbar. Die Neumann-Randbedingung (5.2.8) charakterisiert den schallharten Streuk¨orper; in (5.6.7) eingesetzt, ergibt sich die Integralgleichung zweiter Art (die gesuchte Gr¨oße steht auch außerhalb des Integrals) ; ; 1 p(R+ , ω)n+c · ∇+ G(R − R+ , ω) dS + = pi (R, ω) , R ∈ Sc , p(R, ω) − 2 Sc

(5.6.9)

f¨ ur den Druck auf Sc . Nur f¨ ur wenige Streuk¨orpergeometrien lassen sich die Integralgleichungen (5.6.8) und (5.6.9) analytisch l¨osen (Bowman et al., 1987); in der Regel ist man auf numerische Methoden angewiesen, die als Momentenmethoden vor allem zur Simulation elektromagnetischer Felder entwickelt wurden (Harrington, 1968; Wilton, 2002); neuerdings baut man auch auf schnelle Mulipolmethoden (Chew et al., 2002; Michielssen et al., 2002). Die Integralgleichung zweiter Art ist jedoch einer sehr anschaulichen physikalischen Interpretation — und damit einer einleuchtenden N¨aherung — zug¨anglich: Von jedem Punkt R+ der Fl¨ache

5.6 Huygens’sches Prinzip f¨ ur akustische Streufelder in homogenen Materialien

135

Sc gehen elementare Dipolwellen aus, die an jedem Aufpunkt R auf Sc registriert“ werden, ” d.h. das Integral in (5.6.9) repr¨asentiert die Strahlungswechselwirkung der Oberfl¨achenpunkte des Streuk¨orpers. Falls es physikalische Argumente gibt, die Strahlungswechselwirkung zu vernachl¨assigen, ist eine N¨aherungsl¨osung von (5.6.9) durch p(R, ω) ; 2pi (R, ω) , R ∈ Sc ,

(5.6.10)

gegeben. Dies ist die Kirchhoff’sche N¨aherung der Physikalischen Optik19 (PO: Abschnitt 15.2.3). ur die (5.6.10) exakt ist? Ja, ebene Fl¨achen: Da ∇+ G(R − R+ , ω) ∼ Gibt es Fl¨achen Sc , f¨ R − R+ ein Vektor in der ebenen Fl¨ache ist, steht n+c stets senkrecht darauf, das Skalarprodukt n+c ·∇+ G(R−R+ , ω) ist identisch null. Daraus folgt anschaulich: Die Kirchhoff-N¨aherung wird eine brauchbare N¨aherung sein, wenn die Oberfl¨ache des Streuk¨orpers im Vergleich zur Wellenl¨ange nur schwach gekr¨ ummt ist; die Kirchhoff-N¨aherung ist eine Hochfrequenzn¨aherung! Konvexe Streuk¨orper mit geschlossener Oberfl¨ache weisen deshalb, ebenso wie der unendlich große ebene gelochte Schirm, f¨ ur den die Kirchhoff-N¨aherung erfunden“ wurde, eine beleuchtete“ Seite ” ” und eine Schattenseite“ auf, und man erg¨anzt (5.6.10) durch die Forderung: p(R, ω) = 0 auf ” der Schattenseite von Sc . Setzt man diese Kirchhoff-N¨aherung in die Integraldarstellung (5.6.3) ein, erh¨alt man eine Punktquellensynthese in PO-N¨aherung“ f¨ ur das Streufeld, die unmittelbar ” ausgewertet werden kann, denn das einfallende Feld wird ja als bekannt vorausgesetzt. In der Verallgemeinerung auf die Elastodynamik liegt damit eine der Simulationsmethoden der USzfP vor (Abschnitt 15.5). Da dies so ist, wollen wir mit den Abbildungen 5.6.2 und 5.6.3 einen Vergleich exakter und Kirchhoff-Streufelder diskutieren, um f¨ ur einen zfP-relevanten Fall auf die wesentlichen Unterschiede hinzuweisen. Wir w¨ahlen der Einfachheit halber ein zweidimensionales Problem; Streu k¨orper“ sei ein ebener ” Riss“ der Breite 2a mit Neumann’scher Randbedingung, das einfallende Feld sei eine ebene ” Impulswelle. Man kann einen derartigen zweidimensionalen Streifen als Grenzfall eines Zylinders mit elliptischem Querschnitt ansehen. Die Eigenfunktionen der elliptischen Zylinderkoordinaten sind die Mathieufunktionen (Sch¨afke, 1967); die Koeffizienten einer Reihenentwicklung von p(R, ω), R ∈ Sc , nach Mathieufunktionen lassen sich mit der Integralgleichung (5.6.9) exakt berechnen, wobei die resultierende Streufelddarstellung gem¨aß (5.6.3) dann besonders einfach wird, wenn man f¨ ur die Normalenableitung der (zweidimensionalen) Green’schen Funktion die Fernfeldn¨aherung f¨ ur R : a und R : λ — λ gleich Wellenl¨ange — einsetzt (Abschnitt 13.1.3). Geht man f¨ ur jede Frequenz im Spektrum des einfallenden Impulses pi (t) genauso vor, so l¨asst sich durch Fourier-Inversion von (5.6.3) das Impulsstreufeld berechnen. In den beiden Abbildungen ist f¨ ur pi (t) jeweils ein RC2(t)-Impuls gew¨ahlt (Abbildung 2.3.4), aufgetragen ist das bez¨ uglich des Koordinatenursprungs (in der Mitte des Streifens) retardierte Impulsˆ als Funktion der Zeit. Typische streu(fern)feld ps (R, t − R/c) f¨ ur verschiedene Richtungen R Features dieses Streufeldes sind die folgenden: • In Richtung spiegelnder Reflexion“ wird nur ein einzelner Streuimpuls beobachtet; ” • in R¨ uckstreurichtung (beispielsweise) erkennt man sehr sch¨on die beiden Rissspitzenimpulse mit entgegengesetzter Phase und ungleicher Amplitude; • vor allem zwischen Spiegel- und R¨ uckstreurichtung erkennt man kleine Impuls nachl¨aufer“: ” Sie sind auf die Strahlungswechselwirkung der Rissspitzen (sogenannte Resonanzen) zur¨ uckzuf¨ uhren. 19 Obwohl Licht eine elektromagnetische Vektorwelle ist, gen¨ ugt h¨ aufig eine skalare Betrachtung. Das Helmholtz-Integral beschreibt sodann die Lichtbeugung physikalisch als Welle, womit sich die Physikalische Optik gegen¨ uber der geometrischen Optik abgrenzt. Heute steht der Begriff PO“ explizit f¨ ur die Approximation (5.6.10) skalarer Wellenfelder. ”

136

5 Akustik

Abb. 5.6.2: Akustische Streu(fern)feldimpulse in verschiedenen Richtungen eines schallharten, von einer ebenen Welle unter 45o angestrahlten zweidimensionalen Streifens: exakte Berechnung

Die mit der Kirchhoff-N¨aherung gewonnenen — die Auswertung des Integrals (5.6.3) ist elementar — und in Abbildung 5.6.3 dargestellten Ergebnisse unterschieden sich wesentlich in zwei Punkten: • Die Rissspitzen haben stets gleiche Amplituden und • die Strahlungswechselwirkungsimpulse fehlen (Kirchhoff-definitionsgem¨aß). Hingegen wird der spiegelnd reflektierte Impuls exakt geliefert. Zeitharmonisch gesprochen heißt das: Fernfeldhauptkeulen eines Streufeldes werden mit der Kirchhoff-N¨aherung zufriedenstellend berechnet, Nebenkeulen i.a. nicht. Diese pauschale Aussage zur Genauigkeit der Kirchhoff-N¨aherung trifft stets zu. Mit der Punktquellendarstellung (5.6.5) f¨ ur die Teilchengeschwindigkeit l¨asst sich u ur ¨brigens f¨ das Dirichlet-Problem die Integralgleichung zweiter Art

; ; 1 n+c · v(R+ , ω)nc · ∇G(R − R+ , ω) dS + , R ∈ Sc = nc · vi (R, ω) , (5.6.11) nc · v(R, ω) + 2 Sc

angeben, die damit in genau der gleichen Art und Weise wie f¨ ur das Neumann-Problem die Begr¨ undung der Kirchhoff-N¨aherung f¨ ur schallweiche Streuk¨orper zul¨asst. F¨ ur das Neumann-Problem liefert (5.6.5) die Integralgleichung erster Art: −jωρ nc · vi (R, ω) = PVg

; ;

Sc

p(R+ , ω)nc n+c : ∇+ ∇G(R − R+ , ω) dS + , R ∈ Sc ;

(5.6.12)

5.6 Huygens’sches Prinzip f¨ ur akustische Streufelder in homogenen Materialien

137

Abb. 5.6.3: Akustische Streu(fern)feldimpulse in verschiedenen Richtungen eines schallharten, von einer ebenen Welle aherung unter 45o angestrahlten zweidimensionalen Streifens: Kirchhoff-N¨

hierin deutet der speziell zu definierende Hauptwert PVg (Langenberg, 2005) an, dass man sich wegen der doppelten Normalenableitung der singul¨aren Green’schen Funktion in der Tat einige Gedanken machen muss.

5.6.3

Akustische Streufelder penetrabler Streuk¨orper; Born’sche N¨aherung

Spezifiziert man den Streuk¨orper als penetrabel f¨ ur akustische Wellen, so kann die Materialf¨ ullung von Vc prinzipiell homogen oder inhomogen sein. Im ersten Fall ist im Inneren nunmehr die homogene Schwingungsgleichung (5.4.1) mit den entsprechenden Materialparametern ¨ ¨ zu l¨osen und vermittels der Ubergangsbedingungen an die L¨osung im Außeren anzupassen. Zweckm¨aßigerweise w¨ahlt man f¨ ur diese L¨osung ebenfalls eine Helmholtz-Integraldarstellung20 mit der Green’schen Funktion des homogenen Innenraummaterials (sie unterscheidet sich in der Wellenzahl von der Außenraum-Greenfunktion); das Ausl¨oschungstheorem f¨ ur diese Darstellung ¨ sagt u (5.2.3) und ¨brigens, dass sie außen ein Nullfeld liefert. Wegen der Ubergangsbedingungen (5.2.4) ben¨otigen wir aber nunmehr sowohl außen als auch innen die entsprechenden Integraldarstellungen (5.6.5) als L¨osung von (5.4.2). Mit den Grenz¨ uberg¨angen R −→ Sc ( von außen“) in va ” den Integraldarstellungen des Außenfeldes und R −→ Sc ( von innen“) in den Integraldarstelvi ” lungen des Innenfeldes erh¨alt man sodann ein gekoppeltes System zweier Integralgleichungen f¨ ur die gesuchten Huygens’schen Fl¨achenquellen (z.B.: Langenberg, 2005). 20 Wegen

des Ausl¨ oschungstheorems st¨ ort“ die Integraldarstellung des Außenraumfeldes im Inneren nicht. ”

138

5 Akustik

Eine alternative Vorgehensweise l¨asst sich sowohl auf homogene als auch auf inhomogene21 Materialf¨ ullungen von Vc anwenden, man ben¨otigt dazu nur die Kenntnis der Green’schen Funktion des homogenen Außenraummaterials. Grundlage ist die in Abb. 7.1.2 (f¨ ur den elastischen Fall) skizzierte Einbettung eines inhomogenen ρ(i) (R)κ(i) (R)-Volumens ins homogene ρκ-Einbettungsmaterial. Mit der charakteristischen Funktion Γc (R) von Vc bilden wir Rho- und Kappa-Kontrastfunktionen X 1 0 (i) (5.6.13) ρ (R) − ρ Γc (R) , ρ X 1 0 (i) χκ (R) = κ (R) − κ Γc (R) , (5.6.14) κ die damit außerhalb von Vc gleich null sind. In den allgemeinen Differentialgleichungen (5.3.5) und (5.3.8) f¨ ur p(R, ω) und v(R, ω) des inhomogenen ρ(R)κ(R)-Materials brauchen wir nun nur noch

χρ (R) =

1

ρ(R) = ρ [1 + χρ (R)] = 1

κ(R) = κ [1 + χκ (R)] =

ρ f¨ ur R >∈ Vc (i) ρ (R) f¨ u r R ∈ Vc ,

(5.6.15)

κ f¨ ur R >∈ Vc κ(i) (R) f¨ u r R ∈ Vc

(5.6.16)

zu setzen und die resultierenden Terme in (5.3.5) und (5.3.8) so zu sortieren22 , dass auf der linken Seite der Differentialgleichungen nur noch die Differentialoperatoren (5.3.11) und (5.3.12) des homogenen Einbettungsmaterials stehen: X 0 ∂ 2 p(R, t) = ∇ · f (R, t) + f ρ (R, t) + 2 ∂t ∂ +ρ [h(R, t) + hκ (R, t)] , ∂t ∂ 2 v(R, t) ∇∇ · v(R, t) − κρ = −∇ [h(R, t) + hκ (R, t)] − ∂t2 X ∂ 0 f (R, t) + f ρ (R, t) . −κ ∂t

Δp(R, t) − κρ

Die Terme

0

f ρ (R, t) = Γc (R) ρ − ρ(i) (R)

(5.6.17)

(5.6.18)

X ∂v(R, t)

, (5.6.19) ∂t 0 X ∂p(R, t) hκ (R, t) = −Γc (R) κ − κ(i) (R) (5.6.20) ∂t entstehen dabei als ¨aquivalente, den Streuk¨orper repr¨asentierende sekund¨are Volumenquellen. Man beachte: Sie sind wie die Huygens’schen Fl¨achenquellen feldabh¨angig, und zwar ebenfalls vom Gesamtfeld. Dies wird sofort deutlich, wenn wir die rechten Seiten von (5.6.17), (5.6.18) streng formal als Inhomogenit¨aten auffassen und, nach der Fourier-Transformation bez¨ uglich t, analog zur Herleitung von (5.5.6) und (5.5.16) die Methode der Punktquellensynthese mit den Green’schen Funktionen des homogenen ρκ-Materials zur L¨osung verwenden: p(R, ω) = ; ; ;

VQ 21 Wenn

(5.6.21)

[ jωρh(R+ , ω)G(R − R+ , ω) + f (R+ , ω) · ∇+ G(R − R+ , ω)] d3 R+ +

man die Green’schen Funktionen kennt, funktioniert auch die vorstehende Methode. Man setze zun¨ achst Kontrastfunktionsdarstellungen gem¨ aß (5.6.15) und (5.6.16) f¨ ur 1/ρ(R) und 1/κ(R) an und mache dies sp¨ ater“ wieder r¨ uckg¨ angig. ” 22 Hinweis:

5.6 Huygens’sches Prinzip f¨ ur akustische Streufelder in homogenen Materialien +

; ; ;

0

Vc

X

jωρhκ (R+ , ω)G(R − R+ , ω) + f ρ (R+ , ω) · ∇+ G(R − R+ , ω) d3 R+ ,

v(R, ω) = ; ; ;

0

VQ

+

; ; ;

139

(5.6.22) X

−jωκf (R+ , ω) · G v (R − R+ , ω) − h(R+ , ω)∇+ G(R − R+ , ω) d3 R+ +

0

X

−jωκf ρ (R+ , ω) · G v (R − R+ , ω) − hκ (R+ , ω)∇+ G(R − R+ , ω) d3 R+ .

Vc

Es entstehen jeweils zwei Volumenintegrale, einmal u ¨ber VQ >⊂ Vc mit den wahren Quellen — sie sind ja nur in VQ ungleich null — und einmal u ¨ber Vc mit den sekund¨aren Quellen — sie sind ja nur in Vc >⊂ VQ ungleich null. Offensichtlich repr¨asentieren die Integraldarstellungen (5.6.21) und (5.6.22) eine Aufspaltung des Gesamtfeldes p(R, ω), v(R, ω) in einfallendes Feld pi (R, ω) = ; ; ;

VQ

(5.6.23)

[ jωρh(R+ , ω)G(R − R+ , ω) + f (R+ , ω) · ∇+ G(R − R+ , ω)] d3 R+ ,

vi (R, ω) = ; ; ;

0

VQ

(5.6.24) X

−jωκf (R+ , ω) · G v (R − R+ , ω) − h(R+ , ω)∇+ G(R − R+ , ω) d3 R+

und Streufeld ps (R, ω) = ; ; ;

0

Vc

(5.6.25) X

jωρhκ (R+ , ω)G(R − R+ , ω) + f ρ (R+ , ω) · ∇+ G(R − R+ , ω) d3 R+ ,

vs (R, ω) = ; ; ;

0

Vc

(5.6.26) X

−jωκf ρ (R+ , ω) · G v (R − R+ , ω) − hκ (R+ , ω)∇+ G(R − R+ , ω) d3 R+ .

Eben darum h¨angen die sekund¨aren Quellen (5.6.19) und (5.6.20), wie sie in die Streufeldintegrale (5.6.25), (5.6.26) eingehen, vom Gesamtfeld p(R, ω), v(R, ω) ab, d.h. die Volumenpunktquellensynthese des Streufeldes eines penetrablen Streuk¨orpers n¨ utzt uns zun¨achst zur konkreten Berechnung desselben genauso wenig wie die Huygens’sche Fl¨achenpunktquellensynthese (5.6.3), (5.6.5) des Streufeldes eines ideal schallharten oder schallweichen Streuk¨orpers. Aber ebenso wie dort l¨auft die Berechnung des Gesamtfeldes in Vc auf die L¨osung von Integralgleichungen hinaus. Hier kann dieses System sogenannter Lippmann-Schwinger-Integralgleichungen sofort hingeschrieben werden, denn wir brauchen ja nur zu realisieren, dass (5.6.21) im ganzen Raum, also auch innerhalb von Vc gilt: p(R, ω) = pi (R, ω)+ +

; ; ;

Vc

0

(5.6.27) X

jωρhκ (R+ , ω)G(R − R+ , ω) + f ρ (R+ , ω) · ∇+ G(R − R+ , ω) d3 R+ , R ∈ Vc .

140

5 Akustik

Lediglich mit (5.6.22) ist wegen der bereits diskutierten Singularit¨at von G v etwas Vorsicht geboten; Gleichung (5.5.14) teilt uns jedoch das explizite Quellpunktsverhalten von G v (R − ur R = R+ ∈ Vc mit, sodass wir dies bei der Auswertung der Integralgleichung R+ , ω) f¨ v(R, ω) = vi (R, ω)+ +

; ; ;

Vc

0

(5.6.28) X

−jωκf ρ (R+ , ω) · G v (R − R+ , ω) − hκ (R+ , ω)∇+ G(R − R+ , ω) d3 R+ , R ∈ Vc ,

einfach nur im Hinterkopf“ behalten m¨ ussen. Man beachte: Man erh¨alt zwei gekoppelte Inte” gralgleichungen, sofern sowohl in der Dichte als auch in der Kompressibilit¨at ein nicht verschwindender Kontrast des Streuk¨orpers bez¨ uglich des Einbettungsmaterials vorliegt. Ferner: Ein alleiniger Kontrast in der Dichte f¨ uhrt auf eine vektorielle Integralgleichung — die LippmannSchwinger-Integralgleichung (5.6.28) —, w¨ahrend ein alleiniger Kontrast in der Kompressibilit¨at die eine skalare Lippmann-Schwinger-Gleichung (5.6.27) liefert. Ebenso wie bei der Fl¨achenintegralgleichung (5.6.9) sind die beiden Volumenintegrale in (5.6.27) und (5.6.28) f¨ ur die Strahlungswechselwirkung innerhalb des Streuk¨orpers verantwortlich; ist diese nur schwach, wird man p(R, ω) ; pi (R, ω) , v(R, ω) ; vi (R, ω)

(5.6.29) (5.6.30)

f¨ ur R ∈ Vc approximieren und in (5.6.25), (5.6.26) einsetzen. Man spricht von der Born’schen N¨aherung. Zur G¨ ultigkeit der Born’schen N¨aherung kann man nur pauschal sagen: Sie ist eine Niederfrequenzn¨aherung f¨ ur schwachen Kontrast (Chew, 1990). Die eigentliche Konsequenz der Born’schen N¨aherung (und auch der Kirchhoff-N¨aherung) wollen wir anhand von (5.6.27) f¨ ur verschwindenden Dichtekontrast erl¨autern; die skalare LippmannSchwinger-Gleichung lautet dann explizit: p(R, ω) = pi (R, ω) + k 2

; ; ;

Vc

χκ (R+ )p(R+ , ω)G(R − R+ , ω) d3 R+ , R ∈ Vc .

(5.6.31)

Diese Integralgleichung kann man sehr sch¨on abk¨ urzend (I − Vc ){p}(R, ω) = pi (R, ω)

(5.6.32)

schreiben, wenn man einen Volumenstreuoperator Vc {p}(R, ω) = k 2

; ; ;

Vc

χκ (R+ )p(R+ , ω)G(R − R+ , ω) d3 R+ , R ∈ Vc ,

(5.6.33)

und den Identit¨atsoperator I mit I{p}(R, ω) = p(R, ω) definiert. Die formale L¨osung von (5.6.32) erh¨alt man durch Inversion des Operators I − Vc gem¨aß p(R, ω) = (I − Vc )−1 {pi }(R, ω) , R ∈ Vc .

(5.6.34)

Nunmehr sieht man explizit, dass der in Vc enthaltene Kontrast χκ nichtlinear in das innere Gesamtfeld und damit in das ¨außere Streufeld eingeht23 : Das ist die eigentliche Schwierigkeit bei der L¨osung eines Streuproblems, obwohl ja die Grundgleichungen selbst linear sind. Was tut nun die Born’sche N¨aherung? Sie linearisiert das Streuproblem penetrabler Streuk¨orper, da sie Vc in (5.6.34) einfach streicht! 23 Wenn

wir an der Geometrie oder an den Materialeigenschaften von Vc additiv etwas a ¨ndern, a ¨ndert sich das Feld nicht additiv.

5.6 Huygens’sches Prinzip f¨ ur akustische Streufelder in homogenen Materialien

141

Ebenso ist u ¨brigens der Effekt der Kirchhoff-N¨aherung eine Linearsierung der Streuung an schallweichen oder schallharten Streuk¨orpern. Und damit nicht genug: Auch das an sich ebenfalls nichtlineare inverse Streuproblem, d.h. das Problem der Abbildung von Streuk¨orpern bei Kenntnis des (gemessenen) Streufeldes wird durch die Kirchhoff- bzw. die Born-N¨aherung linearisiert, weswegen das Abbildungsverfahren SAFT (Synthetic Aperture Focusing Technique) unter anderem ebendiese Linearisierung impliziert (Langenberg, 1987; Langenberg et al., 1993a; Langenberg et al., 1999a; Langenberg, 2002a). Nicht zuletzt deswegen sind Kirchhoff- und BornN¨aherung so beliebt, denn nichtlineare Inversion macht erhebliche M¨ uhe (z.B.: van den Berg, 1999; Belkebir und Saillard, 2001). Die Linearisierungen nach Born und Kirchhoff, obwohl physikalisch anschaulich, sind physikalisch unsinnig: Die Born’sche N¨aherung bricht den Energieerhaltungssatz und die Kirchhoff’sche N¨aherung das Reziprozit¨atstheorem (Langenberg, 2002a).

6

Elektromagnetismus

6.1

Maxwell’sche Gleichungen; Poynting’scher Satz; Lorentzkraft

6.1.1

Maxwell’sche Gleichungen

Grundlage des (makroskopischen) Elektromagnetismus sind die Maxwell’schen Gleichungen ∂D(R, t) ∂t ∂B(R, t) ∂t ∇ · D(R, t) ∇ · B(R, t)

= ∇ × H(R, t) − Je (R, t) ,

(6.1.1)

= −∇ × E(R, t) − Jm (R, t) ,

(6.1.2)

= Ye (R, t) , = Ym (R, t)

(6.1.3) (6.1.4)

f¨ ur die Feldgr¨oßen • elektrische Feldst¨arke E(R, t), • magnetische Feldst¨arke H(R, t), • elektrische Flussdichte D(R, t), • magnetische Flussdichte B(R, t) und die Quellgr¨oßen • elektrische Stromdichte Je (R, t), • magnetische Stromdichte Jm (R, t), • elektrische Raumladungsdichte Ye (R, t), • magnetische Raumladungsdichte Ym (R, t). Wirklich physikalische Bedeutung hat nur die elektrische Stromdichte Je (R, t), die als Trans” port elektrischer Ladung“ definiert ist; heften wir n¨amlich einer Teilchen(sorten)dichte n(R, t) statt Masse gem¨aß (3.2.4) elektrische Ladung q an, entsteht die elektrische Raumladungsdichte Ye (R, t) = q n(R, t) ,

(6.1.5)

und Je (R, t) ist in Analogie zur mechanischen Impulsdichte (Gleichung (3.2.5)) als deren Transportgr¨oße Je (R, t) = Ye (R, t)v(R, t) (6.1.6) definiert. Entsprechend hat die Massenerhaltung (3.2.7) die Ladungserhaltung ∇ · Je (R, t) +

∂Ye (R, t) =0 ∂t

(6.1.7)

144

6 Elektromagnetismus

als Kontinuit¨atsgleichung zur Folge (de Hoop, 1995). Wenn es magnetische Ladungen physikalisch tats¨achlich g¨abe, w¨ urde man die magnetische Stromdichte Jm (R, t) = Ym (R, t)v(R, t)

(6.1.8)

entsprechend (6.1.6) definieren und erhielte die Kontinuit¨atsgleichung ∂Ym (R, t) =0 . (6.1.9) ∂t Tats¨achlich sind jedoch magnetische Ladungs- und Stromdichten nur Hilfsgr¨oßen“, die zun¨achst ” aus Symmetriegr¨ unden in den Maxwell’schen Gleichungen stehen. Es stellt sich allerdings heraus, dass gewisse elektrisch-physikalische Ph¨anomene — atomare elektrische Kreisstr¨ome stellen magnetische Momente dar, deren zeitliche Ableitung einer magnetischen Stromdichte entspricht — magnetisch gedeutet werden k¨onnen; ferner definiert der Sprung der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes auf einer beliebigen geschlossenen Fl¨ache eine magnetische Fl¨achenstromdichte, die im elektromagnetischen Huygens-Prinzip eine wichtige Rolle spielt (Langenberg, 2005). ∇ · Jm (R, t) +

Die Divergenzbeziehungen (6.1.3), (6.1.4) werden als Kompatibilit¨atsbedingungen bezeichnet, da sie f¨ ur kausale Felder mit (6.1.7) und (6.1.9) aus den eigentlichen“ Maxwell-Gleichungen ” (6.1.1) und (6.1.2) folgen (de Hoop, 1995), von jedem physikalischen Maxwell-Feld aber explizit erf¨ ullt werden m¨ ussen.

6.1.2

Maxwell’sche Gleichungen im Vakuum

Im Gegensatz zu akustischen und elastischen Wellen breiten sich elektromagnetische Wellen auch im Vakuum aus. Dort sind die Feldst¨arken und Flussgr¨ossen u ¨ber die Materialgleichungen des ” Vakuums“ D(R, t) = l0 E(R, t) , B(R, t) = μ0 H(R, t)

(6.1.10) (6.1.11)

miteienander verkn¨ upft, worin die magnetische Feldkonstante μ0 = 4π · 10−7 H/m und die elektrische Feldkonstante l0 auftreten; letztere ist u ¨ber die Festlegung der Lichtgeschwindigkeit c0 = 299792458 m/s gem¨aß l0 = 1/(μ0 c20 ) ; 8.8541878 · 10−12 F/m gegeben. Die Maxwell’schen Gleichungen lauten dann ∂E(R, t) = ∇ × H(R, t) , ∂t ∂H(R, t) μ0 = −∇ × E(R, t) , ∂t l0

∇ · E(R, t) = 0 , ∇ · H(R, t) = 0 ,

(6.1.12) (6.1.13) (6.1.14) (6.1.15)

ur einen relativ zum R-Koordinatensystem ruhenden worin die Feldst¨arken E(R, t), H(R, t) (f¨ Beobachter) als Kr¨afte auf eine winzig kleine“, das Feld nicht st¨orende Probeladung q, die sich ” mit der Geschwindigkeit v(R, t) bewegt, definiert sind. Die Gesamtkraft ist die Summe aus der ubten Coulomb-Kraft und der von H ausge¨ ubten Lorentz-Kraft (Abschnitt 6.1.4): von E ausge¨ F(R, t) = qE(R, t) + qμ0 v(R, t) × H(R, t) .

(6.1.16)

Nat¨ urlich m¨ ussen elektromagnetische Felder von Quellen erzeugt werden; infolgedessen siedelt man diese als eingepr¨agte (feldunabh¨angige) Ladungs- und Stromdichten in einem r¨aumlich beugt sie den Vakuum-Maxwell-Gleichungen (6.1.12)–(6.1.15) grenzten Quellvolumen VQ an und f¨

6.1 Maxwell’sche Gleichungen; Poynting’scher Satz; Lorentzkraft

145

hinzu: ∂E(R, t) = ∇ × H(R, t) − Je (R, t) , (6.1.17) ∂t ∂H(R, t) μ0 (6.1.18) = −∇ × E(R, t) − Jm (R, t) , ∂t 1 ∇ · E(R, t) = Ye (R, t) , (6.1.19) l0 1 ∇ · H(R, t) = Ym (R, t) . (6.1.20) μ0 Im Nicht-Vakuum ist das Quellvolumen in Materie eingebettet, und wir m¨ ussen auf die Maxwell’schen Gleichungen (6.1.1)–(6.1.4) zur¨ uckgreifen, in denen der Zusammenhang zwischen D und E bzw. B und H durch Materialgleichungen spezifiziert werden muss. l0

6.1.3

Poynting’scher Satz

Man definiert den Vektor der elektromagnetischen Energiestromdichte (Energie pro Zeit pro Fl¨ache), den Poynting’schen Vektor, gem¨aß S(R, t) = E(R, t) × H(R, t) .

(6.1.21)

Durch Divergenzbildung und Einsetzen der Maxwell’schen Gleichungen (6.1.1)–(6.1.4) ensteht der Poynting’sche Energiesatz −H(R, t) · Jm (R, t) − E(R, t) · Je (R, t) −∇ · S(R, t) =


+ H(R, ω) · 2{χ (R, ω)} · H∗ (R, ω) + H∗ (R, ω) · 2{χ (R, ω)} · H(R, ω) + m m 4 G ∗ ∗ +j[H(R, ω) · 6{χ (R, ω)} · H (R, ω) − H (R, ω) · 6{χ (R, ω)} · H(R, ω) . (6.3.10) m

m

Man beachte: Die rechte Seite von (6.3.10) ist keine Aufspaltung nach Real- und Imagin¨arteil, sie ist reell. Mit (6.3.10) wird deutlich, dass Real- und Imagin¨arteile der Suszeptibilit¨ats¨ kernspektren, die im Ubrigen gegenseitige Hilbert-Transformierte sein m¨ ussen, f¨ ur Dissipation zust¨andig“ sind. F¨ ur isotrope Kerne — χ (R, t) = χe,m (R, t) I — folgt e,m ” 1 − 6{H(R, ω) · J∗m (R, ω) + E(R, ω) · J∗e (R, ω)} − ∇ · SK (R, ω) = 2 ωl0 ωμ0 (6.3.11) 2{χe (R, ω)}|E(R, ω)|2 + 2{χm (R, ω)}|H(R, ω)|2 ; 2 2 ebenso gilt 1 − 6{H(R, ω) · J∗m (R, ω) + E(R, ω) · J∗e (R, ω)} − ∇ · SK (R, ω) = 2 ωl0 ωμ0 (6.3.12) 2{χ (R, ω)} : E∗ (R, ω)E(R, ω) + 2{χ (R, ω)} : H∗ (R, ω)H(R, ω) ; e m 2 2 f¨ ur die symmetrischen Kerne eines reziproken Materials — χ (R, t) = χ21 (R, t). In beiden e,m e,m F¨allen stehen allein die Suszeptibilit¨atskerne f¨ ur Dissipation.

150

6.3.3

6 Elektromagnetismus

Leitf¨ahigkeit

Bekanntermaßen entspricht die (endliche) elektrische Leitf¨ahigkeit eines Materials einem Ohm’schen Widerstand, der elektromagnetische Energie in thermische Energie umwandelt. Im Allgemeinen tr¨agt man diesen Verlusten durch einen Leitungsstrom-Term Je (R, t) =⇒ Je (R, t) + Jl (R, t)

(6.3.13)

Rechnung, der die in der Maxwell’schen Gleichung (6.1.1) stehende elektrische Stromdichte erg¨anzt. Das Ohm’sche Gesetz Jl (R, t) = σ e (R) · E(R, t)

(6.3.14)

mit dem reellwertigen Tensor zweiter Stufe der elektrischen Leitf¨ahigkeit σ e (R) postuliert eine lineare Augenblicksreaktion zwischen elektrischer Feldst¨arke und Leitungsstromdichte. Zum selben Ergebnis — erg¨anzt um den reellwertigen Tensor zweiter Stufe der magnetischen Leitf¨ahigkeit σ m (R) — kommt man mit den Materialgleichungen ∂D(R, t) ∂E(R, t) (6.3.15) = l0 )r (R) · + σ e (R) · E(R, t) , ∂t ∂t ∂B(R, t) ∂H(R, t) (6.3.16) = μ0 μ (R) · + σ m (R) · H(R, t) r ∂t ∂t des Maxwell-Modells elektrisch-magnetischer Leitf¨ahigkeit (man vergleiche das Maxwell-Modell ¨ (4.4.1), (4.4.2) elastodynamischer Dissipation). Die zeitliche Anderung elektromagnetischer Energiedichte ∂w(R, t) ∂D(R, t) ∂B(R, t) = E(R, t) · + H(R, t) · (6.3.17) ∂t ∂t ∂t enth¨alt sodann den Term ∂we,m (R, t)/∂t, wie er sich aus (6.3.7) ergibt sowie den Term der ¨ zeitlichen Anderung der Dissipationsenergiedichte: ∂w(R, t) ∂ μ0 ∂ l0 = )r (R) : [E(R, t)E(R, t)] + μ (R) : [H(R, t)H(R, t)] + r ∂t ∂t ∂t O: 2 U = 0, sondern auch Wellendispersion zur Folge hat. F¨ ur den durch σe /ω : l0 lr definierten Grenzfall sehr großer Leitf¨ahigkeit bei vergleichsweise niedrigen Frequenzen, kann man den Realteil von kc2 (ω) vernachl¨assigen, wodurch Wirbelstromfelder definiert werden; die Differentialgleichung (6.4.10) — es fehlt der Term mit der zweiten zeitlichen Ableitung — ist dann keine Wellengleichung mehr, sondern eine Diffusionsgleichung. ¨ Man muss deshalb mit der Ubertragung von Begriffen der Wellenausbreitung — z.B.: Fernfeld — auf Wirbelstromfelder sehr vorsichtig sein.

6.5

Ebene transversale elektromagnetische Wellen als L¨osungen der homogenen elektromagnetischen Wellengleichungen in homogen-isotropen Materialien

6.5.1

Nichtdissipative Materialien

Die L¨osungen der homogenen vektoriellen Helmholtz-Gleichung ΔE(R, ω) + k 2 E(R, ω) = 0

(6.5.1)

m¨ ussen die Kompatibilit¨atsbedingung ∇ · E(R, ω) = 0 erf¨ ullen; f¨ ur die spezielle L¨osung ebene ” Welle“ ±jk·R (6.5.2) E(R, ω) = E(ω) e muss deshalb die Dispersionsrelation k · k = ω 2 l0 lr μ 0 μ r

(6.5.3)

f¨ ur den Wellenzahlvektor und die Orthogonalit¨atsbedingung E(ω) · k = 0

(6.5.4)

f¨ ur die vektorielle Amplitude E(ω) erf¨ ullt sein. Wir befriedigen (6.5.3) beispielsweise2 durch ˆ . k = kk 1 Man

2 Auch

bel¨ asst den Divergenzterm auf der linken Seite. der komplexe Vektor k = .k + j,k befriedigt (6.5.3), falls .k · ,k = 0 , (.k)2 − (,k)2 = k2 .

Dies sind genau die Bedingungen f¨ ur evaneszente ebene Wellen in nichtdissipativen Materialien (Abbildung 9.1.7).

(6.5.5)

154

6 Elektromagnetismus

ˆ Gem¨aß (6.5.4) darf E(ω) keine Komponenten in k-Richtung haben; mit der Wahl zweier orthoˆ ˆ v ˆ mit ˆ ˆ , die senkrecht auf k stehen und in der Reihenfolge h, ˆ, k gonaler Einheitsvektoren h und v ˆ der Ausbreitungsrichtung +k ein rechtsh¨andiges orthogonales Dreibein bilden, kann ˆ + Ev (ω)ˆ E(ω) = Eh (ω)h v (6.5.6) als zweikomponentiger sogenannter Jones-Vektor angesetzt werden, wobei Eh (ω) = |Eh (ω)|e jφh (ω) , Ev (ω) = |Ev (ω)|e jφv (ω) zwei beliebige komplexe Vektorkomponenten in der Polarisationsbasis ˆ v ˆ sind. h, Aus der zeitharmonischen Maxwell-Gleichung (6.1.1) ergibt sich das zu (6.5.2) geh¨orende Magnetfeld: 1 ∇ × E(R, ω) H(R, ω) = jωμ0 μr 1 ˆ ˆ =± k × E(ω) e±jkk·R , (6.5.7) Z < O: U = H(ω) worin

C

μ0 μr (6.5.8) l0 lr der Wellenwiderstand des lr μr -Materials ist. Die vektorielle Amplitude des Magnetfeldes ˆ × E(ω) H(ω) = k Z=

ˆ + Eh (ω)ˆ v = −Ev (ω)h

(6.5.9)

ˆ und wegen H(ω) · E(ω) = 0 senkrecht auf E(ω): Eine ebene elektromagnesteht senkrecht auf k tische Welle im lr μr -Material ist transversal elektromagnetisch polarisiert. Der Energietransport ˆ erfolgt in ±k-Richtung, da der komplexe Poynting-Vektor durch SK (R, ω) = ± gegeben ist.

|Eh (ω)|2 + |Ev (ω)|2 ˆ k 2Z

In der Schreibweise E(R, ω) = Eh (ω) e

ˆ jkk·R

@

ˆ + Ev (ω) v ˆ h Eh (ω)

(6.5.10) $

(6.5.11)

von (6.5.2) mit (6.5.6) definiert Ev (ω) Eh (ω) = |A(ω)| e jΔφ(ω)

A(ω) =

(6.5.12)

die komplexe Polarisationszahl, worin Δφ(ω) = φv (ω) − φh (ω) die Phasendifferenz der beiden ˆ Polarisatiorthogonalen Feldst¨arkekomponenten ist. F¨ ur A = 0 liegt offenbar linear horizontale ˆ ertikale Polarisation vor. F¨ ur A = j (|A| = 0 ; Δφ = π/2) onund f¨ ur3 A = ∞ (Eh (ω) = 0) linear v bewegt sich die Spitze des reell-zeitharmonischen E-Feldvektors >

ˆ ˆ + jˆ E(R, t) = 6 Eh (ω) e jkk·R e−jωt (h v)

G

ˆ · R − φh ) h ˆ + cos(ωt − k k ˆ · R − φh − π ) v ˆ] = |Eh |[cos(ωt − k k 2U O: < ˆ · R − φh ) = sin(ωt − k k

3 In

der komplexen A-Ebene gibt es einen Punkt ∞ (Behnke und Sommer, 1965).

(6.5.13)

6.5 Ebene transversale Wellen

155

ˆ · R = ζ = const senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, z.B. in der Ebene in einer festen Ebene k ζ = 0, als Funktion der Zeit auf einem Kreis mit der Winkelgeschwindigkeit ωt und der Anfangsphase −φh : Man spricht (in der Elektrotechnik!) von rechtszirkularer Polarisation, da die Bewegung in Richtung der gekr¨ ummten Finger der rechten Hand verl¨auft, wenn der Daumen ˆ zeigt (Abbildung 6.5.1). Schaut man der Welle hinterher, bewegt in Ausbreitungsrichtung k ... ....... ......... ... .... .. ..... .... .. ............................................ . . . . . . . . . . . . . . . .......... ......... . . ........ . . . . . ..... . ....... ........ . ....... . . . .... . ... ...... ...... ...... .... ...... ..... . . . . . . ..... .... .. . ..... . . . . . ..... .. ..... . . . .... . . . ... ... ... . . ... ... ... ... . . ... .. ... . . . ... ... ... ... . . . .. ... . . . . ... . .. . . . . ... .......... . . ........ ... .... ..... .... ... ... .... ..... ... ... ... .... ... ... ... . . .... . . . . ... .. ...... ........... ..... . . ... . ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ... .... ... ..... .... .. ... ... . ........... ... . ... ... ..... ... ... . . . . ... .. ... ... .... ... .. ... .... ... ... ... .... ... ... .. . . . . ... . . ... ... ..... ... .. ... ... ... ... .... ... ... .. . . . . ... . ... .... ..... .... ..... ..... ..... .. .... ..... ... ..... ..... ... ..... ...... . . . . . . .. ...... ...... ....... ..... ....... ........ .... ........ ......... ......... ............ .............................................................. .. .. ... ... ... ... ..

E(ζ = 0, t) .... . ˆ .. v ... ..... ... ... ωt ...... ................................ hˆ • .......... −φ ˆ k .......... ......... E(ζ = 0, t = 0) h

Abb. 6.5.1: Rechtszirkulare Polarisation

sich E(ζ = 0, t) in Richtung des Uhrzeigers, also heißt rechtszirkulare Polarisation auch CWPolarisation (clockwise) Auf diese Weise definiert jeder Wert der Polarisationszahl A(ω) in einer komplexen Zahlenebene eine bestimmte Polarisation — im allgemeinen Fall rechts- oder ˆv ˆ -Basis —, man linkselliptische Polarisation mit beliebiger Ellipsenorientierung relativ zur h spricht vom Polarisationsdiagramm (Langenberg, 2005). Die Polarisations¨anderung bei Reflexi¨ on, Beugung oder Streuung einer elektromagnetischen Welle ¨außert sich in der Anderung der Polarisationszahl, also in der Transformation des Jones-Vektors der einfallenden (ebenen) Welle in den Jones-Vektor der gestreuten Welle4 ; diese Transformation wird durch 2×2-Matrizen, die Jones- und Sinclair-Matrizen, vermittelt, wobei der Unterschied lediglich in der Wahl der Polarisationsbasen f¨ ur einfallende und gestreute Welle liegt. Diese Matrizen enthalten die gesamte Information u ¨ber den Streuer, ihre algebraische Analyse ist also ein exzellentes Werkzeug der zerst¨orungsfreien Pr¨ ufung mit Mikrowellen (Cloude, 2002). Die Polarisation elektromagnetischer Wellen ist zun¨achst ein Konzept f¨ ur (reell-)zeitharmonische ebene Wellen. F¨ ur beliebige Zeitabh¨angigkeit erlaubt die Fourier-Inversion von (6.5.2) mit ∗ (ω) — (6.5.6) gem¨aß — es sei Eh,v (−ω) = Eh,v Q

E(R, t) = Eh t ∓

E

Q

E

ˆ ˆ·R k ˆ + Ev t ∓ k · R v ˆ h c c

(6.5.14)

nur dann eine einfache Interpretation, wenn Eh (t) = Ev (t) gesetzt wird, also lineare Polarisation vorliegt. Wenn dies nicht der Fall ist, geht man zu zeitlichen Mittelwerten u ¨ber (Langenberg, 2005). 4 Im

Fernfeld eines Streuers ist die Streuwelle lokal eine ebene Welle.

156

6.5.2

6 Elektromagnetismus

Dissipative Materialien

Wir setzen ein elektrisch homogen-isotrop leitf¨ahiges lr μr -Material mit der Leitf¨ahigkeit σe voraus. Mit (6.4.18) lautet dann die Dispersionsrelation entsprechend (6.5.3) k · k = kc2 (ω) = ω 2 l0 lr μ0 μr + jωμ0 μr σe ,

(6.5.15)

5

d.h. der Wellenzahlvektor ist komplex, er kann gem¨aß ˆ k = kc (ω)k

(6.5.16)

gew¨ahlt werden. Berechnung der komplexen Wurzel ergibt (Gleichungen (2.3.38), (2.3.39)) B @ C K % S$ K1 σe 4 1+ 1+ , 6kc (ω) = k

(6.5.17)

B @ C K % S$ K1 σe 4 2kc (ω) = k , −1 + 1 +

(6.5.18)

2 2

ωl0 lr

ωl0 lr

ˆ·R=ζ — wobei mit dieser Vorzeichenfestlegung die ebene Welle (6.5.2) gem¨aß — es ist k E(ζ, ω) = E(ω)e jζ.kc (ω) e−ζ,kc (ω)

(6.5.19)

bei Ausbreitung in +ζ-Richtung im Halbraum ζ > 0 exponentiell ged¨ampft ist. Da (6.5.17) und (6.5.18) nicht mehr, wie im nichtdissipativen Material, frequenzproportional sind, erf¨ahrt die (6.5.19) korrespondierende Impulswelle Dispersion (ein numerisches Beispiel findet sich in (Langenberg, 2005)). Diese muss bei Laufzeitberechnungen (z.B. elektromagnetischer Wellen in feuchtem Mauerwerk) ber¨ ucksichtigt werden.

6.6

Elektromagnetische Quellenfelder in homogen-isotropen Materialien; tensorielle elektrische und magnetische Green-Funktionen

Die Differentialgleichung (6.4.17) mit ihrem dyadischen Differentialoperator l¨asst unmittelbar erkennen, dass die Definition einer (zeitharmonischen) Green’schen Dyade durch die Differentialgleichung 0 X (Δ + k 2 ) I − ∇∇ · G e (R, R+ , ω) = −I δ(R − R+ ) (6.6.1) sinnvoll ist; wir bezeichnen sie als elektrische Green’sche Dyade G e (R, R+ , ω), da sie schließlich zwischen elektrischer Stromdichte und elektrischer Feldst¨arke in Form einer Punktquellensynthese vermitteln soll. Mit derselben Argumentation wie in Abschnitt 13.1.1 schließen wir, dass G e (R, R+ , ω) = G e (R − R+ , ω) gilt. Bevor wir diesen Gedanken einer Green’schen Dyade weiter ausarbeiten und im elektromagnetischen Huygens-Prinzip erfolgreich nutzen, sei aber die in der Theorie elektromagnetischer Quellenfelder — in der Antennentheorie — g¨angige Vorgehensweise u ¨ber die elektromagnetischen Potentiale zitiert. 5 Die

allgemeine L¨ osung von (6.5.15) lautet: k = .k + j,k mit

(.k)2 − (,k)2 = ω 2 g0 gr μ0 μr , 1 ωμ0 μr σe , .k · ,k = 2 worin im Gegensatz zu Fußnote 2 .k · ,k 4= 0 sein muss; dieser Fall tritt f¨ ur die transmittierte Welle ein, wenn eine ebene elektromagnetische Welle auf ein leitf¨ ahiges Material trifft: Die Ausbreitungsrichtung der Phase gehorcht dem Snellius’schen Brechungsgesetz f¨ ur .k, und ,k ist stets senkrecht zur Oberfl¨ ache ausgerichtet (Langenberg, 2005). F¨ ur .k parallel zu ,k ergibt sich der obige Fall.

6.6 Elektromagnetische Quellenfelder in homogen-isotropen Materialien

6.6.1

157

Elektrisches skalares Potential und magnetisches Vektorpotential

Wir beschr¨anken uns auf elektrische Strom- und Ladungsdichten, die ausschließlich im Quellvolumen VQ ungleich null sein sollen, und l¨osen“ die resultierende Maxwell’sche Kompatibilit¨ats” gleichung (6.1.4) der Divergenzfreiheit von B(R, t) durch den Ansatz B(R, t) = ∇ × A(R, t)

(6.6.2)

eines magnetischen Vektorpotentials A(R, t). Die Maxwell’sche Gleichung (6.1.2) schl¨agt sodann f¨ ur die Darstellung der elektrischen Feldst¨arke ∂A(R, t) (6.6.3) ∂t die Einf¨ uhrung eines skalaren elektrischen Potentials Φ(R, t) vor, wobei das Minuszeichen von ∇Φ aus der Spannungsdefinition der Elektrostatik u ¨bernommen wird. Die verbleibenden Gleichungen (6.1.1) und (6.1.3) liefern schließlich f¨ ur lr μr -Materialien d’Alembert’sche Wellengleichungen E(R, t) = −∇Φ(R, t) −

1 ∂ 2 Φ(R, t) 1 =− Ye (R, t) , c2 ∂t2 l0 lr 1 ∂ 2 A(R, t) = −μ0 μr Je (R, t) , ΔA(R, t) − 2 c ∂t2 falls die Potentiale u ¨ber die sogenannte Lorentz-Konvention ΔΦ(R, t) −

(6.6.4) (6.6.5)

1 ∂Φ(R, t) =0 (6.6.6) c2 ∂t verkn¨ upft werden; mit einer Eichtransformation der Potentiale ist dies aber immer m¨oglich (Langenberg, 2005). Die Gleichungen (6.6.4) und (6.6.5) enth¨ ullen, dass die elektrischen Strom- und Ladungsdichten unmittelbar als Quellen der Potentiale auftreten, und: Wir haben die beiden vektoriellen Wellengleichungen (6.4.8), (6.4.9) f¨ ur die Feldst¨arken auf eine vektorielle Wellengleichung und eine skalare Wellengleichung reduziert. Die L¨osung ∇ · A(R, t) +

W

/

|R−R% | + 1 ; ; ; Ye R , t − c Φ(R, t) = d 3 R+ 4πl0 lr |R − R+ | VQ

(6.6.7)

von (6.6.4) (Gleichung (13.1.59)) finden wir mit der skalaren Green’schen Funktion im Zeitbereich (Gleichung (13.1.25)). Zur L¨osung von (6.6.5) schreiben wir die drei skalaren kartesischen Komponenten dieser Gleichung hin, l¨osen jede einzelne mit der skalaren Green’schen Funktion und setzen die drei L¨osungen hinterher zu einem Vektor zusammen6 : W

/

|R−R% | + μ0 μr ; ; ; J e R , t − c A(R, t) = d 3 R+ . 4π |R − R+ | VQ

(6.6.8)

Die L¨osungen (6.6.7) und (6.6.8) werden als retardierte Potentiale bezeichnet. Ihre FourierSpektren 1 ;;; e jk|R−R | 3 + dR , Φ(R, ω) = Ye (R+ , ω) 4πl0 lr |R − R+ | VQ % e jk|R−R | 3 + μ0 μr ; ; ; A(R, ω) = Je (R+ , ω) dR 4π |R − R+ | VQ %

(6.6.9) (6.6.10)

6 Das ortsunabh¨ angige kartesische Dreibein kann aus dem Volumenintegral heraus oder in das Volumenintegral hinein gezogen werden.

158

6 Elektromagnetismus

bilden die Grundlage zur Berechnung der Fourier-Spektren der Felder: B(R, ω) = ∇ × A(R, ω) , E(R, ω) = −∇Φ(R, ω) + jωA(R, ω) ; zu (6.6.12) gibt es die Alternative7 Maxwell-Gleichung (6.1.1)“: ” j E(R, ω) = [∇ × B(R, ω) − μ0 μr Je (R, ω)] ωl0 lr μ0 μr jω = 2 [∇ × ∇ × A(R, ω) − μ0 μr Je (R, ω)] O: U k < = ∇∇ · A − ΔA − μ0 μr Je (R, ω) = ∇∇ · A + k 2 A % S 1 = jω I + 2 ∇∇ · A(R, ω) . k

(6.6.11) (6.6.12)

(6.6.13)

Aufgrund der Lorentz-Konvention kommt man also mit dem Vektorpotential alleine aus.

6.6.2

Elektrischer Green’scher Tensor zweiter Stufe

Mit (6.6.10) ergibt (6.6.13) die Quellenfelddarstellung: %

% S ; ; ; e jk|R−R | 1 + E(R, ω) = jωμ0 μr I + 2 ∇∇ · Je (R , ω) d 3 R+ k 4π|R − R+ | VQ % S % ; ; ; 1 e jk|R−R | Je (R+ , ω) · I + 2 ∇∇ = jωμ0 μr d 3 R+ k 4π|R − R+ | VQ

= jωμ0 μr

; ; ;

VQ

Je (R+ , ω) · G e (R − R+ , ω) d3 R+ ,

(6.6.14)

wobei %

S

%

1 e jk|R−R | G e (R − R , ω) = I + 2 ∇∇ k 4π|R − R+ | % S % e jk|R−R | 1 = I + 2 ∇+ ∇+ k 4π|R − R+ | +

(6.6.15)

der symmetrische8 elektrische Tensor zweiter Stufe, die elektrische dyadische Green’sche Funktion, ist, denn f¨ ur R >∈ VQ ist die Differentiation unter dem Integral v¨ollig unproblematisch; G e (R − R+ , ω) ist eine dyadische Green’sche Funktion, da sie zeitharmonische elektromagnetische (Kugel-)Elementarwellen beschreibt, die vom Quellpunkt R+ ∈ VQ ausgehen und deren Je (R+ , ω)-gewichtete (Punktquellen-)Synthese gem¨aß (6.6.14) die elektrische Feldst¨arke der Je Quelle ergibt. Tats¨achlich ist die Feldst¨arke EPQe (R, ω) = jωμ0 μr G e (R, ω) · ˆe = jωμ0 μrˆe · G e (R, ω) einer Je -(Einheits-)Punktquelle 7 Man

Je (R, ω) = ˆe δ(R)

(6.6.16) (6.6.17)

kann auch in (6.6.12) den Gradienten der zeitharmonischen Version der Lorentz-Konvention (6.6.6) einsetzen. der Symmetrie des Differentialoperators kann man in (6.6.14) die Kontraktion mit Je entweder bez¨ uglich des ersten oder des zweiten Indexes machen. 8 Wegen

6.6 Elektromagnetische Quellenfelder in homogen-isotropen Materialien

159

im Koordinatenursprung gerade die mit jωμ0 μr multiplizierte und mit ˆe kontrahierte Green’sche Dyade. Die physikalische Bedeutung des elektrischen Green’schen Tensors zweiter Stufe muss sich mathematisch in einer Differentialgleichung f¨ ur G e (R − R+ , ω) widerspiegeln; offensichtlich ist (6.6.1) ebendiese Differentialgleichung, da die Anwendung des dadurch definierten Differentialoperators auf (6.6.14) sofort enth¨ ullt, dass (6.6.14) L¨osung der Differentialgleichung (6.4.17) f¨ ur Jm ≡ 0 ist. Mittels dreidimensionaler r¨aumlicher Fourier-Transformation zeigt man (man vergleiche Abschnitt 13.2.1), dass die Green’sche Dyade (6.6.15) in der Tat L¨osung der Differentialgleichung (6.6.1) ist. Insofern beschreibt (6.6.15) auch das korrekte Quellpunktsverhalten von uhrung der ∇∇-Differentiation an der f¨ ur R = R+ sinG e ; allerdings ist bei der expliziten Ausf¨ gul¨aren skalaren Green’schen Funktion Vorsicht geboten. Wie bereits in Abschnitt 5.5 erw¨ahnt, erh¨alt man (van Bladel, 1961; van Bladel, 1991; Chew, 1990; Langenberg, 2005) (R − R+ , ω) − G e (R − R+ , ω) = PV G(0) e mit

1 I δ(R − R+ ) 3k 2

L

(6.6.18)

-

jkR j ˆ R) ˆ R) ˆ − 1 (I − 3R ˆ e (I − 3R . (6.6.19) 2 2 kR k R 4πR Hierin ist PV ein wohldefinierter Cauchy’scher Hauptwert zur Auswertung des Integrals (6.6.14), ur R >= R+ gilt der auch noch — und insbesondere — f¨ ur den R−3 -Term in (6.6.19) existiert. F¨ nat¨ urlich (R − R+ , ω) . (6.6.20) G e (R − R+ , ω) = G(0) e

ˆR ˆ+ G(0) (R, ω) = I − R e

6.6.3

Fernfeldn¨aherung

ˆ (Gleichung (13.1.47)) entsteht aus (6.6.15), und damit aus Mit der Substitution“ ∇ =⇒ jk R ” (6.6.14), die Fernfeldn¨aherung Efern (R, ω) =

e jkR e ˆ HE (R, ω) R

mit der vektoriellen Richtcharakteristik ; ; ; ˆ % ˆ R) ˆ ω) = jω μ0 μr (I − R ˆ · HeE (R, Je (R+ , ω)e−jkR·R d3 R+ 4π VQ

(6.6.21)

(6.6.22)

der elektrischen Feldst¨arke. Offensichtlich gilt ˆ =0 , Efern (R, ω) · R

(6.6.23)

d.h. elektromagnetische Wellen sind im Fernfeld einer beliebigen Stromverteilung transversal zur ˆ polarisiert, denn f¨ Ausbreitungsrichtung R ur die sich (6.1.2) ergebende Fernfeldmagnetfeldst¨arke Hfern (R, ω) = mit HeH (R, ω) = gilt ebenfalls die Orthogonalit¨at

e jkR e ˆ HH (R, ω) R

jk ˆ ; ; ; ˆ % Je (R+ , ω)e−jkR·R d3 R+ R× 4π VQ ˆ =0 ; Hfern (R, ω) · R

(6.6.24)

(6.6.25) (6.6.26)

160

6 Elektromagnetismus

ˆ R)·J ˆ ˆ ˆ dar¨ uber hinaus liefert die Umformung (I− R at e = (R×Je )× R auch noch die Orthogonalit¨ ˆ , Efern (R, ω) = ZHfern (R, ω) × R

(6.6.27)

ˆ Efern und Hfern bilden ein rechtsh¨andig orientiertes orthogonales Dreibein: Das elektrod.h. R, magnetische Fernfeld einer beliebigen elektrischen Stromverteilung verh¨alt sich lokal wie eine ebene Welle. Wir werden im n¨achsten Abschnitt sehen, dass dies auch f¨ ur die Quellenfelder magnetischer Stromdichten gilt; dann m¨ ussen aber auch Streufelder, die als Quellen induzierte Stromdichten besitzen, diese Eigenschaft haben. Folglich lassen sich f¨ ur einfallende Felder und Streufelder Polarisationsbasen definieren, in denen der Wechsel des Polarisationszustandes beim Streuvorgang durch Streumatrizen — Jones- bzw. Sinclair-Matrizen — beschrieben werden kann (Ulaby und Elachi, 1990; Langenberg, 2005).

6.6.4

Hertz’scher Dipol

In der Antennentheorie hat die Punktquelle (6.6.17) aus historischen Gr¨ unden einen Namen: ¨ Hertz’scher Dipol. Dessen elektrisches Feld (6.6.16) weist wegen (6.6.19) Nah-, Ubergangsund Fernfeld auf. Letzteres hat die Struktur EPQe ,fern (R, ω) = jω

μ0 μr e jkR ˆ · ˆ ; ˆ R) (I − R e 4π R

(6.6.28)

mit der Wahl ˆe = ez ist EϑPQe ,fern (R, ω) die einzige von null verschiedene Feldst¨arkekomponente mit der Proportionalit¨at zu sin ϑ, d.h. der Hertz’sche Dipol strahlt nicht in Richtung seiner Achse.

6.6.5

Magnetischer Green’scher Tensor zweiter Stufe

In der Schwingungsgleichung (6.4.17) f¨ ur die elektrische Feldst¨arke steht auf der rechten Seite nicht nur die elektrische Stromdichte, sondern auch noch die Rotation der magnetischen Stromdichte. Setzen wir alternativ zum vorigen Paragraphen Jm ≡ 0, so lautet die L¨osung von (6.4.17) ; ; ; E(R, ω) = −

VQ

[∇+ × Jm (R+ , ω)] · G e (R − R+ , ω) d3 R+ ,

(6.6.29)

wenn wir die elektrische Green’sche Dyade verwenden. Mit der Identit¨at (∇+ × Jm ) · G e = ∇+ · (Jm × G e ) + Jm · (∇+ × G e )

(6.6.30)

und derselben Argumentation wie in Abschnitt 5.5 k¨onnen wir den Rotationsoperator in (6.6.29) auf G e hin¨ uberw¨alzen: E(R, ω) = −

; ; ;

VQ

Jm (R+ , ω) · ∇+ × G e (R − R+ , ω) d3 R+ ,

(6.6.31)

wodurch der magnetische Green’sche Tensor zweiter Stufe G m (R − R+ , ω) = −∇+ × G e (R − R+ , ω) = ∇ × G e (R − R+ , ω)

= ∇ × [G(R − R+ , ω) I] = ∇G(R − R+ , ω) × I = −∇+ G(R − R+ , ω) × I

(6.6.32)

6.7 Elektromagnetische Streufelder: Huygens’sches Prinzip

161

mit den Eigenschaften G21 (R − R+ , ω) = −G m (R − R+ , ω) , m +

(6.6.33)

+

G m (R − R , ω) = −G m (R − R, ω)

(6.6.34)

entsteht. Die Superposition von (6.6.14) und (6.6.31) ergibt schließlich die L¨osung von (6.4.17) f¨ ur Je >= 0 und Jm = > 0: E(R, ω) =

; ; ;

0

VQ

X

jωμ0 μr Je (R+ , ω) · G e (R − R+ , ω) + Jm (R+ , ω) · G m (R − R+ , ω) d3 R+ .

(6.6.35) Damit k¨onnen wir die L¨osung der Fourier-transformierten Wellengleichung (6.4.9) f¨ ur die magnetische Feldst¨arke auch sofort hinschreiben: H(R, ω) =

; ; ;

0

VQ

X

jωl0 lr Jm (R+ , ω) · G e (R − R+ , ω) − Je (R+ , ω) · G m (R − R+ , ω) d3 R+ .

(6.6.36) Im Gegensatz zur Akustik und zur Elastodynamik ben¨otigt der Elektromagnetismus nur zwei Green’sche Tensoren (Funktionen); dies ist eine Konsequenz der Symmetrie der Maxwell’schen Gleichungen (6.1.1) und (6.1.2). Abbildung 6.6.1 gibt diesen Sachverhalt graphisch wieder. ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... ... .... Q ..... . . ... . . .... ........... ........... .... . . .... .... .... .... ... .. .. . . .... .... ... ... . . .... .... .. ... . . ... .... .. ... .... . .. .... ... .... ... .. . .... ... ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ..... .... ... .... . .... .... ..... .... ... ... .. . .... .... .... ... . .... .... .... .. . ... .... .... ................................... .... .... .... .... ... ... .... .... .... ... .... .... .... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... .... .... ......... ......... ... ..... ..... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... Q .... .. ... .... . .... .. . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

E=

; ; ;

W

V

/

jωμ0 μr Je · G e + Jm · G m dV +

−jωl0 lr E = ∇ × H − Je

−jωμ0 μr H = −∇ × E − Jm

H=

; ; ;

V

W

/

jωl0 lr Jm · G e − Je · G m dV +

Abb. 6.6.1: Zuordnung Green’scher Funktionen homogen-isotroper elektromagnetischer Materialien zu den Quelldichten Je und Jm

6.7

Elektromagnetische Streufelder; elektromagnetische Fassung des Huygens’schen Prinzips

6.7.1

Elektromagnetische Fassung des Huygens’schen Prinzips

Die mathematische Formulierung des Huygens’schen Prinzips umfasst das representation theorem — die Darstellung eines Wellenfeldes auf der einen Seite einer (mathematisch fiktiven) geschlossenen Fl¨ache Sg durch die Randwerte ebendieses Feldes auf Sg — und das extinction theorem — die Ausl¨oschung des Wellenfeldes auf der jeweils anderen Seite der Fl¨ache (Abschnitt 5.6 und Abschnitt 15.1.2): Die Darstellung des Feldes außerhalb Sg erzwingt ein Nullfeld innerhalb Sg und umgekehrt.

162

6 Elektromagnetismus

Sc lr , μ r ......................... ............... ...... ..... .......... ........ ... ....... ... ...... . ... . . . . ... ...... . . . . ... .... . . . . .. . ..... . . . . .. ..... . ... . . . ... .... . . . . . . . .... ... ..... .. ..... ... ..... ... ... .. .. . . . . . .. ... ... .. ... ... .. ... ... ... ... . . . . ... ... .. .... ... ..... ... ..... ... ..... . . . . . . .. ..... ... ..... ..... ... ..... .... ..... ... ...... . . . . ... .... ... ...... ... ....... .... ....... ...... ........ ......... ........ ......................................

Je

Ke = n+c × H Km = −n+c × E

E s , Hs

Jm

VQ

n ......... .... . . . . ...

......................................... ......... ........ ........ ..... ....... .... ....... ... . ...... . . ...... ..... ...... ..... ... ..... ... ..... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ..... ... ..... . ..... ...... ... ...... ... ...... ... ...... . . ....... . . . ....... . ........ ..... .......... ...... ................ .......................

=⇒−E , −H V ⇓ i

+

i

i

i

c

........... .......... =⇒ ....... E = E + E . . ......... E , H . . .......... ... H = H + H R ......... ........R .............. • i

+ c

i

s s

O

Abb. 6.7.1: Elektromagnetisches Streuproblem: Fl¨ achenstr¨ ome des Huygens-Prinzips

¨ Von J. Larmor (1903) stammt der Gedanke, die Randwerte des Wellenfeldes durch die Ubergangsbedingungen (6.2.1), (6.2.2) zu definieren. Es sei beispielsweise das Innere von Sg , beschrieben durch den Index (2), feldfrei, dann definieren n × H(RS , t) = Ke (RS , t) , RS ∈ Sg , n × E(RS , t) = −Km (RS , t) , RS ∈ Sg ,

(6.7.1) (6.7.2)

Fl¨achenstromdichten genau so, dass sie den Unstetigkeitssprung vom inneren Nullfeld zum a¨ußeren E(R, t), H(R, t)-Feld aufrecht erhalten; vereinbarungsgem¨aß zeigt die Normale von (2) nach ¨ (1), also ins Außere von Sg und damit weg vom Nullfeld. Nunmehr sei Sg die physikalisch tats¨achlich vorhandene Oberfl¨ache Sc eines in ein lr μr -Material eingebetteten Streuk¨orpers, der vom einfallenden Feld Ei , Hi einer Quellverteilung beleuchtet“ wird; damit werden Ke und ” Km zu Quellen des Streufeldes Es , Hs , das sich außerhalb von Sc dem einfallenden Feld zum Gesamtfeld E = Ei + Es , H = Hi + Hs u ¨berlagert und das innerhalb von Sc das einfallende Feld kompensiert, weshalb das Gesamtfeld dort zum Nullfeld wird (Abbildung 6.7.1). Wir k¨onnen deshalb die Quellenfelddarstellungen (6.6.35) und (6.6.36) zur Grundlage der Berechnung des zeitharmonischen Streufeldes Es (R, ω), Hs (R, ω) machen, wenn wir dort Volumenstromdichten Je,m (R+ , ω) = Ke,m (R+ , ω) γc (R+ ) , R+ ∈ Sc ,

(6.7.3)

einsetzen, die aufgrund der Siebeigenschaft (2.4.38) der singul¨aren Funktion γc (R+ ) von Sc die Volumenintegrale (6.6.34) und (6.6.36) auf Fl¨achenintegrale ; ;

Es (R, ω)=

Sc

; ;

=

0

Sc

0

X

jωμ0 μr Ke (R+ , ω) · G e (R − R+ , ω) + Km (R+ , ω) · G m (R − R+ , ω) dS + (6.7.4) jωμ0 μr n+c

+

+

× H(R , ω) · G e (R − R , ω)−

6.7 Elektromagnetische Streufelder: Huygens’sches Prinzip

163

X

−n+c × E(R+ , ω) · G m (R − R+ , ω) dS + , ; ;

Hs (R, ω)=

0

Sc

=−

X

jωl0 lr Km (R+ , ω) · G e (R − R+ , ω) − Ke (R+ , ω) · G m (R − R+ , ω) dS +

; ;

0

Sc

(6.7.5) jωl0 lr n+c × E(R+ , ω) · G e (R − R+ , ω)+ X

+n+c × H(R+ , ω) · G m (R − R+ , ω) dS + reduzieren. Wir haben die mathematische Formulierung des Huygens’schen Prinzips elektromagnetischer Wellen gefunden! Die spezielle mathematische Version (6.7.4), (6.7.5) kommt ganz nat¨ urlich“ als Punktquellensynthese mit Green’schen Tensoren und elektrischen und ma” gnetischen Fl¨achenstromdichten (Wir ben¨otigen deshalb von Anfang an beide Stromdichten!), weshalb die Wellenfeldrandwerte in (6.7.5), (6.7.6) nur Tangential komponenten der Feldst¨arken sein k¨onnen. Die analytische Herleitung von (6.7.5), (6.7.6) stammt von W. Franz (Langenberg, 2005), sodass man von der Franz-Larmor-Version spricht. Diese ist zwar physikalisch zwingend, hat jedoch wegen der Hypersingularit¨at von G e Probleme mit einer Numerik; deshalb bringt man Umformungen ins Spiel — Stratton-Chu-Version —, die nur noch die skalare Green’sche Funktion enthalten (Langenberg, 2005). ¨ ¨ Ubrigens: Im Sinne eines Aquivalenzprinzips sind die Fl¨achenstromdichten Ke und Km , auch wenn sie auf einer mathematisch fiktiven Fl¨ache fließen“, ¨aquivalent zum physikalisch vor” handenen Streuk¨orper; man k¨onnte ihn wegnehmen“, ohne dem Streufeld etwas anzumerken. ”

6.7.2

Elektromagnetische Streufelder ideal elektrisch leitender Streuk¨orper: EFIE und MFIE

Die Streufeldintegrale (6.7.4)–(6.7.6) sind insofern nur eine formale L¨osung des elektromagnetischen Streuproblems als sie unbekannte Quellen enthalten: n+c × E und n+c × H sind ja Tangentialkomponenten des Gesamtfeldes9 , die auch die Tangentialkomponenten des Streufeldes enthalten, das wir ja gerade erst berechnen wollen. Wie im skalaren akustischen Fall (Abschnitt 5.6) formuliert man deshalb Integralgleichungen, indem man mit dem Aufpunkt R den Grenz¨ ubergang R −→ Sc in den sich aus (6.7.4)–(6.7.6) ergebenden Tangentialkomponenten ugend Vorsicht walten — es ist ein vollzieht. L¨asst man wegen der Hypersingularit¨at von Ge gen¨ spezieller PVε -Hauptwert zu definieren (Langenberg, 2005) —, so erh¨alt man f¨ u r R + ∈ Sc 1 − Km (R, ω) = nc × Ei (R, ω)+ 2 ; ; +PVε nc ×

0

Sc

(6.7.6) X

jωμ0 μr Ke (R+ , ω) · Ge (R − R+ , ω) + Km (R+ , ω) · Gm (R − R+ , ω) dS + ,

aus (6.7.4) beziehungsweise 1 K (R, ω) = nc × Hi (R, ω)+ 2 e ; ; +PVε nc ×

0

Sc

(6.7.7) X

jωl0 lr Km (R+ , ω) · Ge (R − R+ , ω) − Ke (R+ , ω) · Gm (R − R+ , ω) dS +

aus (6.7.5). Beide Integralgleichungsbeziehungen (6.7.6) und (6.7.7) enth¨ ullen, dass Ke und ur die Praxis Km nicht unabh¨angig voneinander sind . Konzentrieren wir uns deshalb auf den f¨ 9 Der

Unstetigkeitssprung vom Nullfeld zum E, H-Feld wurde ja f¨ ur das Gesamtfeld postuliert.

164

6 Elektromagnetismus

wichtigen Fall — obwohl eine Idealisierung — eines ideal elektrisch leitenden Streuk¨orpers, so ist Km ≡ 0; damit reduziert sich (6.7.6) auf die Electric Field Integral Equation (1. Art: EFIE) jωμ0 μr PVε nc ×

; ;

Sc

Ke (R+ , ω) · Ge (R − R+ , ω) dS + = −nc × Ei (R, ω) , R ∈ Sc ,

(6.7.8)

und (6.7.7) auf die Magnetic Field Integral Equation (2. Art: MFIE) ; ; 1 Ke (R, ω) + nc × Ke (R+ , ω) · Gm (R − R+ , ω) dS + = nc × Hi (R, ω) , R ∈ Sc , (6.7.9) 2 Sc

jeweils f¨ ur die gesuchte elektrische Fl¨achenstromdichte Ke . In (6.7.9) kann man wegen der fehlenden elektrischen dyadischen Green’schen Funktion auf die PVε -Auswertung verzichten. Nur f¨ ur wenige Geometrien — darunter die ideal elektrisch leitende Kugel — lassen sich die Integralgleichungen (6.7.8) bzw. (6.7.9) analytisch l¨osen, wobei selbst im Fall der Kugel diese L¨osung eine unendliche Summe u ¨ber Kugelfunktionen ist (Stratton, 1941; Bowman et al., 1987), deren numerische Auswertung keineswegs trivial ist. F¨ ur eine auf eine ideal elektrisch leitende Kugel vom Radius a im Vakuum einfallende linear polarisierte ebene Welle ˆ

ˆ0 Ei (R, ω) = F (ω) e jk0 ki ·R E

(6.7.10)

Abb. 6.7.2: ϑ-Komponente des elektrischen Streufernfeldes im Zeitbereich f¨ ur verschiedene ϑ und ϕ = 0 (links); ϕKomponente des elektrischen Streufernfeldes im Zeitbereich f¨ ur verschiedene ϑ und ϕ = π/2 (rechts)

mit einem Gauß-f¨ormigen Spektrum

P

F (ω) =

π − ω2 e 4α α

(6.7.11)

6.7 Elektromagnetische Streufelder: Huygens’sches Prinzip

165

ˆ i = −ez , E ˆ 0 = ex und α = 177.85 c20 /a2 die ϑ- und ϕ-Fernfeldkomponenten des eleksind f¨ ur k trischen Gaußimpuls-Streufeldes f¨ ur verschiedene Werte von ϑ als Funktion der Zeit in Abb. 6.7.2 dargestellt. F¨ ur Winkel ϑ in der Umgebung der R¨ uckstreuung erkennt man sehr sch¨on den (in der ϑ-Komponente mit umgekehrtem Vorzeichen) spiegelnd reflektierten Gaußimpuls, gefolgt von den Streubeitr¨agen der Umgebung des Spiegelpunktes; die danach folgenden Impulse sind den um die Kugel herumlaufenden Stromimpulsen zugeordnet, sie heißen (Franz’sche) Kriechwellen10 (H¨onl et al., 1961). Falls keine analytische L¨osung f¨ ur die EFIE und MFIE zur Hand ist, muss man auf numerische Methoden zur¨ uckgreifen: die klassische Momentenmethode (Harrington, 1968; Poggio und Miller, 1987; Wilton, 2002) oder die modernen schnellen Multipolmethoden (Chew et al., 2002; Michielssen et al., 2002).

6.7.3

Kirchhoff-N¨aherung

Wie f¨ ur den skalaren akustischen Fall (Abschnitt 5.6) ist die Kirchhoff-N¨aherung der Physikalischen Optik (man beachte Fußnote 19) auch f¨ ur die Streuung elektromagnetischer Wellen eine unter Umst¨anden (hochfrequente Felder; konvexe Streuk¨orper) brauchbare N¨aherungsmethode. Die Integralgleichung (6.7.9) suggeriert sofort, das Strahlungswechselwirkungsintegral zu vernachl¨assigen — f¨ ur ebene Fl¨achen Sc ist es exakt gleich null — und KPO e (R, ω) = 2nc × Hi (R, ω)

(6.7.12)

als PO-gen¨aherte Fl¨achenstromdichte f¨ ur R auf der beleuchteten Seite von Sc zu verwenden; f¨ ur R auf der Schattenseite setzt man KPO e (R, ω) ≡ 0. Vor allem in der Theorie der inversen Streuung elektromagnetischer Wellen spielt die Kirchhoff-N¨aherung eine entscheidende Rolle zur Linearisierung des Problems (Langenberg et al., 1994; Langenberg et al., 1999b). Berechnet man die Gaußimpuls-Streufernfelder einer ideal elektrisch leitenden Kugel in KirchhoffN¨aherung, so stellt man fest, dass diese N¨aherung, abgesehen von kleineren Unterschieden in der Umgebung der spiegelnden Reflexion, vor allen Dingen keine Kriechwellen liefert.

6.7.4

Elektromagnetische Streufelder penetrabler Streuk¨orper: Lippmann-Schwinger-Integralgleichungen

Auch die Streuung elektromagnetischer Wellen an einem penetrablen Streuk¨orper l¨asst sich, in Analogie zur Akustik (Abschnitt 5.6), mittels der Definition ¨aquivalenter Volumenquellen (R)μ(i) (R)formal l¨osen (Langenberg, 2005). Wir betrachten einen inhomogen-anisotropen )(i) r r Streuk¨orper des Volumens Vc in einem lr μr -Einbettungsmaterial, in dem auch das Quellvolumen VQ mit Je,m (R, ω) >= 0 liegt. In Analogie zu (5.6.13) und (5.6.14) definieren wir Kontrasttensoren11 X 1 0 (i) )r (R) − lr I Γc (R) , e lr X 1 0 (i) χ (R) = μ (R) − μr I Γc (R) , m μr r

χ (R) =

(6.7.13) (6.7.14)

die aufgrund der charakteristischen Funktion Γc (R) von Vc außerhalb von Vc gleich dem Nulltensor sind. In den Differentialgleichungen (6.4.3) und (6.4.4) f¨ ur E(R, t) und H(R, t) des 10 Damit ist dieser Begriff besetzt, und man sollte ihn nicht ein zweites Mal — siehe Kriechwellenpr¨ ufkopf — f¨ ur ein anderes physikalisches Ph¨ anomen verwenden. (i) (i) 11 Die χ (R)-Tensoren sind die Suszeptibilit¨ atstensoren eines # (R)μ (R)/gr μr -Materials. e,m

r

r

166

6 Elektromagnetismus

inhomogen-anisotropen )r (R)μ (R)-Materials setzen wir nun12 r

⎧ ⎨

lr f¨ ur R >∈ Vc )r (R) = lr I + χ (R) = ⎩ (i) e u r R ∈ Vc , )r (R) f¨

(6.7.15)

μr f¨ ur R >∈ Vc μ (R) = μr I + χ (R) = ⎩ (i) r m μ (R) f¨ u r R ∈ Vc

(6.7.16)

0

X

0

X

⎧ ⎨

r

ein und sortieren so, dass auf der linken Seite der resultierenden Differentialgleichungen nur noch die Differentialoperatoren (6.4.5) und (6.4.6) des homogen-isotropen Einbettungsmaterials stehen: 1 ∂ 2 E(R, t) ∂ = −μ0 μr [Je (R, t) + Jec (R, t)] − c2 ∂t2 ∂t −∇ × [Jm (R, t) + Jmc (R, t)] , ∂ 1 ∂ 2 H(R, t) = −l0 lr [Jm (R, t) + Jmc (R, t)] + ∇ × ∇ × H(R, t) + 2 2 c ∂t ∂t +∇ × [Je (R, t) + Jec (R, t)] ; ∇ × ∇ × E(R, t) +

die Terme

)(i) (R) ∂E(R, t) Jec (R, t) = −l0 lr Γc (R) I − r · lr ∂t ∂E(R, t) = l0 lr χ (R) · , e ⎡ ∂t ⎤ (i) μ (R) ∂H(R, t) ⎦· Jmc (R, t) = −μ0 μr Γc (R) ⎣I − r μr ∂t m

(6.7.18)

$

@

= μ0 μr χ (R) ·

(6.7.17)

∂H(R, t) ∂t

(6.7.19)

(6.7.20)

entstehen dabei als ¨aquivalente, den Streuk¨orper repr¨asentierende sekund¨are Volumenquellen. Sie sind ebenso wie die Huygens’schen Fl¨achenquellen vom Gesamtfeld abh¨angig. Nach der Fourier-Transformation der Differentialgleichungen (6.7.17) und (6.7.18) bez¨ uglich der Zeit finden wir mit den Green’schen Tensoren G e und G m des homogen-isotropen Einbettungsmaterials die Integraldarstellungen ; ; ;

Ei (R, ω) = jωμ0 μr + 12 Es

VQ

; ; ; VQ

Je (R+ , ω) · G e (R − R+ , ω) d3 R+ +

Jm (R+ , ω) · G m (R − R+ , ω) d3 R+ ,

ist zweckm¨ aßig, auch die inversen Materialtensoren

5 1 D I + ı (R) , e gr 5 1 D μ−1 (R) = I + ı (R) m μr r #−1 (R) = r

durch inverse“ Kontrastfunktionen (Kontrastfunktionen der inversen Materialtensoren) ” X 0 1 I , ı (R) = gr #−1 (R) − e r gr 0 X 1 ı (R) = μr μ−1 (R) − I m μr r darzustellen.

(6.7.21)

6.7 Elektromagnetische Streufelder: Huygens’sches Prinzip Hi (R, ω) = jωl0 lr −

; ; ;

; ; ;

R ∈ IR

VQ 3

167

Jm (R+ , ω) · G e (R − R+ , ω) d3 R+ −

VQ

Je (R+ , ω) · G m (R − R+ , ω) d3 R+ ,

(6.7.22)

,

f¨ ur das einfallende Feld (Gleichungen (6.6.35)–(6.6.36)). Dabei ist zu beachten, dass f¨ u r R ∈ VQ dem Distributionsanteil in G e Rechnung getragen und ein geeigneter Hauptwert des Integrals definiert werden muss; mit Gleichung (6.6.18) ist f¨ ur das lr μr -Medium beides bekannt. In v¨olliger Analogie erhalten wir f¨ ur R ∈ IR3 das elektromagnetische Streufeld Es (R, ω) = jωμ0 μr +

Vc

; ; ; Vc

Hs (R, ω) = jωl0 lr −

; ; ;

Jmc (R+ , ω) · G m (R − R+ , ω) d3 R+ ,

; ; ;

; ; ; Vc

Jec (R+ , ω) · G e (R − R+ , ω) d3 R+ +

Vc

(6.7.23)

Jmc (R+ , ω) · G e (R − R+ , ω) d3 R+ −

Jec (R+ , ω) · G m (R − R+ , ω) d3 R+ ;

(6.7.24)

ur R ∈ Vc ins Spiel. diesmal kommt die Hypersingularit¨at von G e f¨ Mit dieser formalen L¨osung ist auch sofort klar, wie man das vorliegende Streuproblem auf ein inhomogen-anisotropes Einbettungsmedium verallgemeinern kann: Man verwende in (6.7.21), (6.7.22) und (6.7.23), (6.7.24) die Green’schen Tensoren des entsprechenden Materials (de Hoop, 1995)! F¨ ur den Fall verschwindenden Permeabilit¨atskontrastes wollen wir noch — analog zum skalaren Fall in Abschnitt 5.6 — die Integralgleichung vom Lippmann-Schwinger-Typ f¨ ur das elektrische Gesamtfeld innerhalb Vc aufschreiben (object equation 13 ), indem wir in (6.7.23) auf beiden Seiten Ei (R, ω) addieren: E(R, ω) = Ei (R, ω) + k 2 f¨ u r R ∈ Vc .

; ; ;

Vc

[χ (R+ , ω) · E(R+ , ω)] · G e (R − R+ , ω) d3 R+ e

(6.7.25)

In Analogie zu (5.6.34) k¨onnen wir (6.7.25) formal nach dem Streufeld aufl¨osen: Es (R, ω) = (I − V c )−1 · V c {Ei }(R, ω) , R ∈ Vc ,

(6.7.26)

wenn wir den tensoriellen Integraloperator V c gem¨aß V c {E}(R, ω) = k 2

; ; ;

Vc

G e (R − R+ , ω) · χ (R+ , ω) · E(R+ , ω) d3 R+ , R ∈ Vc , e

(6.7.27)

definieren, dessen Anwendung auf einen Vektor wieder einen Vektor liefert. Setzen wir Ei (R, ω) ˆ i , ω) an — es ist beispielsweise als ebene Welle mit der Amplitude (dem Jones-Vektor) E0i (k ˆ ·R jkk ˆ ˆ dann Ei (R, ω, ki ) = E0i (ki , ω) e i —, so zeigt (6.7.26) gem¨aß ˆ i ) = (I − V )−1 · V {e jkkˆ i ·R% }(R, ω) · E0i (k ˆ i , ω) Es (R, ω, k c c ˆ i ) · E0i (k ˆ i , ω) , R ∈ Vc , = Σc (R, ω, k

def 13 Man

(6.7.28)

beachte: In der object equation ist R, R% ∈ Vc , d.h. die beiden Variablen des Integraloperators variieren im selben Bereich.

168

6 Elektromagnetismus

dass Es linear von ebendiesem Amplitudenfaktor abh¨angt: Dies ist nat¨ urlich eine Konsequenz der Linearit¨at der Maxwell’schen Gleichungen! Gegen¨ uber dem skalaren Fall ist die Numerik zur L¨osung von (6.7.25) mit der unangenehmen Hypersingularit¨at der Green’schen Dyade f¨ ur R = R+ konfrontiert, sodass man besondere Vorsichtsmaßnahmen ergreifen muss. Diskretisiert man das Volumen Vc beispielsweise mittels kugelf¨ormiger Zellen (voxel ), kann man (6.6.18) verwenden, und dies ergibt explizit: L

I+

-

1 χ (R, ω) · E(R, ω) = Ei (R, ω)+ 3 e

+k 2 PV

; ; ;

Vc

[χ (R+ , ω) · E(R+ , ω)] · G(0) (R − R+ , ω) d3 R+ f¨ u r R ∈ Vc . e e

(6.7.29)

F¨ ur kubische Zellen sieht die resultierende Integralgleichung genauso aus wie (6.7.29), jedoch ist der Integral hauptwert“ als Pseudofunktion zu verstehen (Langenberg und Fellinger, 1995); f¨ ur ” andere Voxelgeometrien sieht auch der Distributionsanteil in G e anders aus (van Bladel, 1991; Chew, 1990). Hat man schließlich E(R, ω) f¨ ur R ∈ Vc bestimmt, l¨asst sich mithilfe von (6.7.23) f¨ ur R ∈ IR3 \V c , der dann sogenannten data equation 14 , das Streufeld außerhalb des Streuk¨orpers vergleichsweise leicht berechnen: Das Streuproblem ist gel¨ost! Falls Permittivit¨ats- und Permeabilit¨atskontrast ungleich null sind, muss man ein gekoppeltes System von Lippmann-Schwinger-Gleichungen unter Verwendung von (6.7.21), (6.7.23) und (6.7.22), (6.7.24) aufstellen und l¨osen. Die Lippmann-Schwinger-Integralgleichungen haben den Vorteil, dass man selbst f¨ ur beliebige inhomogen-anisotrope Streuk¨orper mit den bekannten Green’schen Tensoren des homogenisotropen Einbettungsmaterials auskommt; sie haben den Nachteil, Volumenintegralgleichungen mit hohem Diskretisierungsaufwand zu sein. Falls der Streuk¨orper ebenfalls aus homogenisotropem Material besteht, schl¨agt man deshalb einen anderen Weg ein: Man formuliert die zu (6.7.6), (6.7.7) korrespondierenden Fl¨achenstromintegralgleichungen des Inneren von Vc , indem man in den entsprechenden Franz-Larmor-Integralgleichungen des elektromagnetischen uhrt; in diesen Integralen Huygens-Prinzips den Grenz¨ ubergang R −→ Sc von innen her durchf¨ stehen die Green’schen Tensoren des homogen-isotropen Streuk¨orpermaterials, die sich ja in ¨ der Wellenzahl von denen des Außenraums unterscheiden. Die Ubergangsbedingungen fordern die Stetigkeit der Fl¨achenstromdichten f¨ ur das ¨außere und innere Streufeld, und so entsteht ein gekoppeltes System zweier Fl¨achenintegralgleichungen (Langenberg, 2005).

6.7.5

Born’sche N¨aherung

F¨ ur im Vergleich zum Streuk¨orper große Wellenl¨angen und geringen Kontrast sind die Volumenstromdichten JBorn ec (R, ω) = −jωl0 lr χ (R) · Ei (R, ω) ,

(6.7.30)

JBorn mc (R, ω) = −jωμ0 μr χ (R) · Hi (R, ω)

(6.7.31)

e

m

eine brauchbare N¨aherung. Mit den Integralen (6.7.23), (6.7.24) kann sodann das Streufeld eines derartigen Streuk¨orpers in Born’scher N¨aherung unmittelbar berechnet werden. 14 Man beachte: In der data equation ist R% ∈ V und R ∈ IR3 \V , d.h. die beiden Variablen des Integraloperators variieren in c c unterschiedlichen Bereichen.

6.8 Zweidimensionaler Elektromagnetismus: TM- und TE-Entkopplung

6.7.6

169

Streutensor

In der Fernerkundung (remote sensing) mit elektromagnetischen Wellen interessiert man sich insbesondere f¨ ur die Polarisation der Streuwelle in Abh¨angigkeit von der Polarisation der einfallenden Welle (Ulaby und Elachi, 1990; Cloude, 2002). Mit der Streufelddarstellung (6.7.23), der Darstellung (6.7.19) einer — beispielsweise — a¨quivalenten elektrischen Stromdichte sowie dem ˆi) ˆ ω, k Ergebnis (6.7.28) zeigt man unmittelbar, dass sich f¨ ur die vektorielle Amplitude E0s (R, des Streufeldes die lineare Abh¨angigkeit ˆ Efern s (R, ω, ki ) =

e jkR ˆ i ) · E0i (k ˆ i , ω) ˆ ω, k Σ(R, O: U R < ˆi) ˆ ω, k = E0s (R,

(6.7.32)

vom Jones-Vektor der einfallenden (ebenen) Welle ergibt, worin der Streutensor ; ; ; 0 X k2 ˆ )·R% 3 + ˆ k ˆ i ) e−jkkˆ i ·R% + I e−jk(R− ˆ · ˆ R) i (I − R χ (R+ ) · Σ c (R+ , ω, k dR e 4π Vc (6.7.33) die gesamte Information u ¨ber den Streuk¨orper enth¨alt. Der Streutensor ist tats¨achlich ein Tensor zweiter Stufe mit 9 Komponenten in einem definierten Koordinatensystem, der sich jedoch auf ˆ i , ω) bez¨ ˆi eine 2×2-Streumatrix herunterdividieren l¨asst, wenn man beachtet, dass E0i (k uglich k ˆ ˆ ˆ und E0s (R, ω, ki ) bez¨ uglich R orthogonal ist, dass also die Jones-Vektoren sowohl der einfallenden als auch der fernen Streuwelle durch jeweils nur zwei Komponenten in einer geeigneten Polarisationsbasis gegeben sind. In Abh¨angigkeit der Polarisationsbasis entstehen so die 2×2Jones- und Sinclair-Streumatrizen (Langenberg, 2005), deren Messung und Auswertung Gegenstand des Remote Sensing ist. Die grunds¨atzliche Erweiterung auf die Elastodynamik wird in Abschnitt 15.4.1 angedacht.

ˆi) = ˆ ω, k Σ(R,

6.8

Zweidimensionaler Elektromagnetismus: TM- und TE-Entkopplung

Zur mathematischen Beschreibung akustischer Wellen steht der Druck als skalare Feldgr¨oße zur Verf¨ ugung, und zwar sowohl in zwei als auch in drei Raumdimensionen. F¨ ur den dreidimensionalen Elektromagnetismus und die dreidimensionale Elastodynamik ist eine derartige Vereinfachung im Allgemeinen nicht gegeben, jedoch ist f¨ ur den zweidimensionalen Elektromagnetismus unter Umst¨anden eine Aufspaltung in skalare, voneinander unabh¨angige Teilfelder m¨oglich15 , die mathematisch v¨ollig ¨aquivalent zur zweidimensionalen skalaren Akustik sind. In der Elastodynamik entf¨allt selbst dieses: Nur zweidimensionale SH-Wellen sind der skalaren Akustik vergleichbar.

6.8.1

TM-Feld

Wir postulieren Zweidimensionalit¨at f¨ ur die Maxwell’schen Gleichungen mit ∂/∂y ≡ 0 und behaupten: Nullsetzen der Feld- und Stromkomponenten gem¨aß Hy (x, z, t) = 0 , Ex (x, z, t) = Ez (x, z, t) = 0 ;

(6.8.1)

15 Der Satz von Bromwich (Langenberg, 2002a) definiert Materialinhomogenit¨ aten in bestimmten Koordinatensystemen, f¨ ur die im Dreidimensionalen ebenfalls eine Aufspaltung in zwei skalare TM- bzw. TE-Teilfelder m¨ oglich ist.

170

6 Elektromagnetismus Jmy (x, z, t) = 0 , Jex (x, z, t) = Jez (x, z, t) = 0

(6.8.2)

ur die ergibt unter der Voraussetzung lr (x, z), μr = const ein konsistentes Gleichungssystem f¨ verbleibenden Feldkomponenten Hx (x, z, t) >= 0, Hz (x, z, t) >= 0 und Ey (x, z, t) >= 0 bei Anregung durch die Stromkomponenten Jmx (x, z, t) >= 0, Jmz (x, z, t) >= 0 sowie Jey (x, z, t) >= 0, wobei Ey (x, z, t) als skalares Potential gew¨ahlt werden kann, aus dem Hx (x, z, t), Hz (x, z, t) bei Vorgabe der Stromkomponenten und der Inhomogenit¨at der Permittivit¨at lr (x, z) berechnet werden k¨onnen. Dieses Feld ist transversalmagnetisch zur Zweidimensionalit¨atsachse y, denn das Magnetfeld hat in dieser Richtung keine Komponente; Abb. 6.8.1a illustriert die Komponenten des TM-Feldes. a) Skalares TM-Feld

b) Skalares TE-Feld

z

. ....... ......... ... .... ... ..... ... ... .. ... ... .... .. ... ... ... ... ... ...... ...................... ... ... .. ... ..... . .... ... . . . . . ... ..... . .... ..... .... .... .. ..... ... ..... . . . ... ..... .... ... ..... ..... ... ..... ... ..... . . . ... ... ..... ... ........ . ... ........................................................................................................................................................................................................ ... .......

y ........ H e . ..... ...... E e ... ....... .............................................

z

lr (x, z) μr

Hx e x

y ........ E e ... μ (x, z) ... ...... H e l ............. .......................................... z z

z z

y y

. ....... ......... ... .... ... ..... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ....... ...................... .. ... .. ... ..... . .... ... . . . . . ... ..... .... ... ..... .... ... ..... ... ..... . . . ... ..... .... .. ..... .. ..... ..... .... .. ..... . . . ... ... ..... ... ........ . ... ........................................................................................................................................................................................................ ... .......

r

r

y y

x

Ex e x

x

Abb. 6.8.1: Zweidimensionale elektromagnetische TM- und TE-Felder: ∂/∂y ≡ 0

Zum Beweis schreiben wir die Maxwell’schen Gleichungen (6.1.1) und (6.1.2) unter den obigen Voraussetzungen hin: ∂Dy (x, z, t) ∂Hx (x, z, t) ∂Hz (x, z, t) = − − Jey (x, z, t) , ∂t ∂z ∂x ∂Bx (x, z, t) ∂Ey (x, z, t) = − Jmx (x, z, t) , ∂t ∂z ∂Bz (x, z, t) ∂Ey (x, z, t) =− − Jmz (x, z, t) . ∂t ∂x

(6.8.3) (6.8.4) (6.8.5)

Differentiation von (6.8.4) nach z und (6.8.5) nach x, Subtraktion der sich ergebenden Gleichungen und Einsetzen von (6.8.3) unter Ber¨ ucksichtigung der Materialgleichungen Bx,z (x, z, t) = μ0 μr Hx,z (x, z, t) , Dy (x, z, t) = l0 lr (x, z)Ey (x, z, ω)

(6.8.6) (6.8.7)

resultiert f¨ ur Ey (x, z, t) in einer Wellengleichung: Δxz Ey (x, z, t) − l0 lr (x, z)μ0 μr

∂ 2 Ey (x, z, t) ∂Jey (x, z, t) − ey · ∇xz × Jm (x, z, t) . (6.8.8) = μ0 μr 2 ∂t ∂t

6.8 Zweidimensionaler Elektromagnetismus: TM- und TE-Entkopplung

171

Damit ist die Behauptung bewiesen. Falls u uglich der Permeabilit¨at sein sollte — ganz egal, ob ¨brigens das Material inhomogen bez¨ die Permittivit¨at homogen oder inhomogen ist —, tritt auf der rechten Seite von (6.8.8) noch ein Term ∇ ln μr (x, z) · ∇Ey (x, z, t) auf. Wenn die inhomogene Permittivit¨at auf zweidimensionalen Oberfl¨achen“, also auf Kurven in ” ¨ der xz-Ebene, Sprungstellen hat, m¨ ussen dort die Ubergangsbedingungen (6.2.1), (6.2.2) erf¨ ullt sein. Ohne eingepr¨agte Fl¨achenstromdichten folgt aus (6.2.1) sofort, dass Ey stetig sein muss. Des Weiteren folgt aus (6.2.2) die Stetigkeit der Normalenableitung n · ∇xz Ey des skalaren Potentials“ Ey ; man verwendet dazu die Gleichungen (6.8.3), (6.8.4) in der allein von null ” verschiedenen y-Komponente von (6.2.2). Der zweidimensionale elektromagnetische TM-Fall entspricht damit der (zweidimensionalen) skalaren Akustik, wenn die Dichte konstant und die Kompressibilit¨at unstetig ist. Falls die Kurven Streuk¨orper mit idealer elektrischer Leitf¨ahikeit beranden, muss die elektrische Tangentialkomonente Ey als skalares Potential“ gleich null sein, ” und n × H definiert sodann die in y-Richtung induzierte elektrische Fl¨achenstromdichte. In diesem Fall entspricht das zweidimensionale elektromagnetische TM-Streuproblem einem skalaren Dirichlet-Problem.

6.8.2

TE-Feld

Wie in Abb. 6.8.1b skizziert, f¨ uhren die allein von null verschiedenen Komponenten Hy >= 0, Ex , Ez >= 0 auf ein transversalelektrisches, ein TE-Feld. Unter den Voraussetzungen μr (x, z), ur das lr = const sowie Jmy >= 0, Jex , Jez >= 0 erh¨alt man diesmal eine skalare Wellengleichung f¨ Potential“ Hy (x, z, t): ” ∂ 2 Hy (x, z, t) ∂Jmy (x, z, t) Δxz Hy (x, z, t) − l0 lr μ0 μr (x, z) = l0 lr − ey · ∇xz × Je (x, z, t) . (6.8.9) ∂t2 ∂t Wieder ist man bei zus¨atzlicher oder alternativer Inhomogenit¨at des komplement¨aren“ Mate” rialparameters, also der Permittivit¨at, mit einem zus¨atzlichen Term ∇ ln lr (x, z) · ∇Hy (x, z, t) konfrontiert; man bleibt dann besser bei einer vektoriellen Wellengleichung f¨ ur die elektrische Feldst¨arke. ¨ Potenzielle Ubergangsbedingungen fordern die Stetigkeit von Hy und die Stetigkeit der Normalenableitung von Hy ; f¨ ur ideale elektrische Leitf¨ahigkeit u ¨bersetzt sich n × E = 0 diesmal in eine Neumann’sche Randbedingung f¨ ur Hy , und n × H definiert sodann die induzierten Kex,z Fl¨achenstromdichtekomponenten. Im TM-Fall fließen also ausschließlich axiale Str¨ome und im TE-Fall ausschließlich Str¨ome in Umfangsrichtung.

7

Vektorielle Wellengleichungen

Die elastodynamischen Grundgleichungen (4.2.21) und (4.2.22) stellen nach der Einf¨ uhrung von Materialgleichungen linearer zeitinvarianter augenblicklich reagierender inhomogen-anisotroper Materialien, die wir in diesem Abschnitt stets zugrunde legen, ein in den Feldgr¨oßen v(R, t) und T(R, t) gekoppeltes System partieller Differentialgleichungen erster Ordnung dar. Zur Aufhebung dieser Kopplung, d.h. zur Entkopplung, setzt man beide Gleichungen ineinander ein: ur Ergebnis sind partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung entweder f¨ ur v(R, t) oder f¨ T(R, t). Da diese Gleichungen Wellen als L¨osungen zulassen, nennen wir sie ganz allgemein Wellengleichungen“; allerdings sind sie — auch in homogen-isotropen Materialien — mathema” tisch von komplizierterer Struktur als die einfache“ d’Alembert’sche Wellengleichung (5.3.11), ” sodass man in der Literatur mitunter auch von Navier’schen Wellengleichungen spricht. Eine weitere M¨oglichkeit zur Entkopplung, allerdings nur f¨ ur homogen-isotrope Materialien, zitieren wir mit der Helmholtz-Zerlegung eines Vektors durch Potentiale.

7.1

Wellengleichungen f¨ur anisotrope und isotrope nichtdissipative Materialien

Wir wollen den Schritt des Ineinandereinsetzens der elastodynamischen Grundgleichungen (4.2.21) und (4.2.22) nacheinander f¨ ur inhomogen-anisotrope, homogen-anisotrope und homogen-isotrope Materialien durchf¨ uhren. Damit wird uns zun¨achst die allgemeine mathematische Struktur der Wellengleichung bewußt, und wir haben sodann zwei f¨ ur die US-zfP sehr wichtige Spezialf¨alle homogener Materialien zur Verf¨ ugung.

7.1.1

Inhomogen-anisotrope Materialien

Von der Newton-Cauchy’schen Bewegungsgleichung (4.2.21) bilden wir die zeitliche Ableitung ∂T(R, t) ∂f (R, t) ∂ 2 v(R, t) =∇· + 2 ∂t ∂t ∂t und setzen die Deformationsratengleichung (4.2.22) in der Form ρ(R)

(7.1.1)

∂T(R, t) (7.1.2) = c(R) : ∇v(R, t) + c : h(R, t) ∂t ein; die Symmetrie des Steifigkeitstensors bez¨ uglich der beiden letzten Indizes erlaubt es uns, die Doppelkontraktion von c mit 12 (∇v + ∇v21 ) zu c : ∇v zusammenzuziehen. Ergebnis ist die

Navier-Gleichung1 L

-

∇ · c(R) : ∇v(R, t) − ρ(R)

L

∂ 2 v(R, t) ∂f (R, t) =− − ∇ · c(R) : h(R, t) ∂t2 ∂t

-

(7.1.3)

1 In der Elastodynamik interessieren wir uns prim¨ ar f¨ ur die Teilchengeschwindigkeit oder Teilchenverschiebung als Feldgr¨ oße, wohingegen unser Interesse in der Akustik dem Druck gilt. Diesem w¨ urde hier der Spannungstensor korrespondieren, sodass wir als elastodynamisches Pendant zu (5.3.5) die Differentialgleichung

I+ : ∇

0

X X ∂h(R, t) 0 ∂ 2 T(R, t) 1 1 ∇ · T(R, t) − s(R) : f (R, t) − = −I+ : ∇ ρ(R) ∂t2 ρ(R) ∂t

erhalten w¨ urden; wir haben der Einfachheit halber den Symmetrisierungstensor I+ gem¨ aß (2.1.109) benutzt.

174

7 Vektorielle Wellengleichungen

f¨ ur v(R, t) (das akustische Pendant ist Gleichung (5.3.8)). Man beachte: F¨ ur in das inhomogenanisotrope ρ(R)c(R)-Material eingebettete, auf das Volumen VQ begrenzte Quellen f (R, t), h(R, t) (Abbildung 7.1.1) geht die c(R)-Inhomogenit¨at des Materials (innerhalb VQ ) in die Inhomogenit¨at der Differentialgleichung ein. In der Regel — und typischerweise in der US-zfP

................................ ...... ............ ......... .... ... ........ ....... ... ...... . . ... . . . ... ...... . . . . ... ..... . . . .. . ..... . . . . ... .... . . ... . . .... ... . . . . . . . .... ... ..... .. ..... ... .... ... ... .. .. . . . . . .. ... ... .. ... ... .. ... ... ... ... . . . . . ... ... ... .... .... ... ..... ... ..... . . ..... . .... .. ..... ... ..... .... ..... ..... ... ..... . . . ... . . .. ... ...... ... ...... ....... ... ..... ....... ........ ....... ...............................................

VQ

Material ρ(R), c(R)

f (R, t)

h(R, t)

Abb. 7.1.1: Quellvolumen VQ elastischer Wellen im inhomogen-anisotropen Material

— treffen wir aber auf die Situation, die in Abb. 7.1.2 skizziert ist: Das inhomogen-anisotrope

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VQ

f (R, t)

h(R, t)

.......................................... ......... ....... ........ ..... ....... .... ....... ... ...... .. . . ...... . ...... .... ..... ..... .... ..... ... ..... ... ..... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ............... ... ... ... ... ................. ... ... ............. ....... ... . ............. .............. ... ............. ..... . ... . . . . . . . . . . . ..... ... .......... ..... ... ............. ..... ............. ... ..... ............. ... ..... ............. ... ......................... . . . . . ... . . . . ..... ........... . . . .. . . . . . . . . . . . . . ..... ........... . . . . . . . ... . . . . . . . . . ...... ........... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... .. ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... .. ............ ....... ... ........ ..... .......... ................. .................... ........

ρ(i) (R) c(i) (R)

ρ(e) (R) c(e) (R)

ζ2

ζ

Vc

ζ1

ρ(ζ)

... ....... ...... ... ..... ... .... ... .. ... .......................... ......... ...... ... ....... ..... ..... ........ .... ... .... ....... ... ... ... ... . . ... ... .. ... . . . ... ... .. ...................... . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. . .............. ....................................................................................... . .......... ........... ......... ................ ... .... . .... .... (e) (i) ..... .... .... ... ... ... . . .... ........... ........... ..... ... .................................................................................................................................................................................................... . . .....

ρ

(ζ)

ρ

ζ1

(ζ)

ζ2

ζ

Abb. 7.1.2: Quellvolumen VQ elastischer Wellen im inhomogen-anisotropen Material

Einbettungsmaterial mit den Materialparametern ρ(e) (R), c(e) (R) enth¨alt ein Kontrastvolu” men“ Vc mit den Materialparametern ρ(i) (R), c(i) (R), wobei sich VQ und Vc nicht u ¨berlappen sollen; damit stellt Vc die Ung¨anze oder den Defekt der US-zfP dar, der von den Quellen in VQ

7.1 Wellengleichungen f¨ ur anisotrope und isotrope nichtdissipative Materialien

175

angestrahlt wird. Wir wollen zeigen, wie man den Defekt durch einen Trick in einem zus¨atzlichen Inhomogenit¨atsterm der Differentialgleichung (7.1.3) verstecken“ kann (Snieder, 2002). ” Wir definieren zun¨achst den (dimensionslosen) Kontrast des Defektes χρ (R) =

1 ρ(e) (R)

0

X

ρ(i) (R) − ρ(e) (R) Γc (R)

(7.1.4)

in der Dichte und den (dimensionslosen) Kontrast L

-

χ (R) = s(e) (R) : c(i) (R) − c(e) (R) Γc (R)

(7.1.5)

c

im Steifigkeitstensor, wobei s(e) (R) mit s(e) (R) : c(e) (R) = c(e) (R) : s(e) (R) = I+

(7.1.6)

der Nachgiebigkeitstensor des Einbettungsmaterials ist; aufgrund der charakteristischen Funktion Γc (R) sind χρ (R) und χ (R) tats¨achlich außerhalb von Vc gleich null. Die Materialinhoc

mogenit¨aten in (7.1.3) k¨onnen wir nun gem¨aß 1

ρ(R) = ρ(e) (R) [1 + χρ (R)] = @

$ +

(e)

ρ(e) (R) f¨ ur R >∈ Vc ρ(i) (R) f¨ u r R ∈ Vc ,

(7.1.7)

⎧ ⎨ c(e) (R) f¨ ur R >∈ Vc

c(R) = c (R) : I + χ (R) = ⎩ (i) c (R) f¨ u r R ∈ Vc c

(7.1.8)

schreiben; wir haben ρ(R) in Abb. 7.1.2 anhand eines Schnittes durch Vc entlang der Koordinate ζ skizziert. Setzen wir (7.1.7), (7.1.8) in (7.1.3) ein, so ergibt sich nach Sortierung einzelner Terme: -

L

∇ · c(e) (R) : ∇v(R, t) − ρ(e) (R)

∂ 2 v(R, t) = ∂t2 -

L

∂f (R, t) ∂ 2 v(R, t) − − − ∇ · c(e) (R) : h(R, t) + ρ(e) (R)χρ (R) ∂t2 ∂t $

@

− ∇ · c(e) (R) : χ (R) : ∇v(R, t) L

-

c

;

(7.1.9)

im Term ∇ · c(R) : h k¨onnen wir c(R) durch c(e) (R) ersetzen, weil VQ mit h >= 0 vereinbarungsgem¨aß im Einbettungsmaterial außerhalb von Vc liegt. In der Schreibweise (7.1.9) sieht es so aus, als ob f¨ ur v(R, t) eine Navier-Gleichung des inhomogen-anisotropen Einbettungsmaterials mit einer erweiterten“, das Vc -Kontrastvolumen repr¨asentierenden Inhomogenit¨at vorliegt. ” Dies ist nat¨ urlich nicht wirklich so, da diese erweiterte Inhomogenit¨at“ ja die gesuchte Feldgr¨oße ” selbst enth¨alt; nichtsdestoweniger ist die Form (7.1.9) zur approximativen L¨osung von Beugungsproblemen (Stichwort: Born’sche N¨aherung; Abschnitt 15.3.2) von Vorteil, sodass man konse-$ @ quenterweise noch weiter geht und die beiden Terme ρ(e) χρ ∂ 2 v/∂t2 bzw. ∇ · c(e) : χ : ∇v c

176

7 Vektorielle Wellengleichungen

explizit durch (¨aquivalente) Quellen f ρ bzw. h c ausdr¨ uckt, wobei f ρ (R, t) = −ρ(e) (R)χρ (R) 0

∂v(R, t) ∂t

= Γc (R) ρ(e) (R) − ρ(i) (R)

X ∂v(R, t)

∂t

h c (R, t) = χ (R) : ∇v(R, t) c

= χ (R) : s(i) (R) : c

L

,

(7.1.10)

∂T(R, t) ∂t -

= Γc (R) s(e) (R) − s(i) (R) :

∂T(R, t) , ∂t

(7.1.11)

denn dann lautet (7.1.9): L

-

∇ · c(e) (R) : ∇v(R, t) − ρ(e) (R) 9

0

X ∂ 2 v(R, t) ∂ 0 f (R, t) + f ρ (R, t) − =− 2 ∂t ∂t

−∇ · c(e) (R) : h(R, t) + h c (R, t)

X7

.

(7.1.12)

Um die letzte Zeile von (7.1.11) zu finden, muss man die Symmetrie des Materialanisotropietensors und die im Kontrastvolumen Vc homogene Newton-Cauchy-Gleichung (4.2.21) verwenden2 . In der Navier-Gleichung (7.1.12) ist das Kontrastvolumen Vc den Quellen f ρ (R, t), h c (R, t) ¨aquivalent, weswegen man von ¨aquivalenten Quellen spricht. Sie heißen auch sekund¨are (oder induzierte) Quellen, da sie vom einfallenden Feld vi (R, t) mit den Quellen f (R, t), h(R, t) in ¨ Uberlagerung mit ihrem eigenen Streufeld vs (R, t) zum Gesamtfeld v(R, t) = vi (R, t)+vs (R, t) uckkopplung“ erzeugt werden. Diese Abh¨angigkeit der ¨aquivalenten Quelin Vc sozusagen in R¨ ” len vom Gesamtfeld kann man einerseits dazu ausnutzen, um eine Volumen-Integralgleichung zu ¨ ihrer Berechnung zu formulieren (Abschnitt 15.3.1), und andererseits legt es die lineare Uberlagerung von einfallendem und gestreutem Feld nahe, das Streufeld in Vc zu vernachl¨assigen: Dies ist die sogenannte Born’sche N¨aherung (Abschnitt 15.3.2; Akustik: Abschnitt 5.6). Die Navier-Gleichung (7.1.12) gilt im ganzen Raum (R ∈ IR3 ). Wir k¨onnen sie allerdings auf R >∈ Vc und R ∈ Vc spezialisieren, indem wir ber¨ ucksichtigen, dass die ¨aquivalenten Quellen auf Vc beschr¨ankt sind3 : L

-

∇ · c(e) (R) : ∇v(R, t) − ρ(e) (R)

L

-

∂f (R, t) ∂ 2 v(R, t) =− − ∇ · c(e) (R) : h(R, t) 2 ∂t ∂t f¨ ur R >∈ Vc ; (7.1.13)

innerhalb von Vc gilt nat¨ urlich die homogene Gleichung (7.1.3) mit den Materialparametern von Vc : L ∂ 2 v(R, t) = 0 f¨ u r R ∈ Vc . (7.1.14) ∇ · c(i) (R) : v(R, t) − ρ(i) (R) ∂t2 Es soll bereits an dieser Stelle nicht unerw¨ahnt bleiben, dass sich auch die Beugung/Streuung an einem Hohlraum im Einbettungsmaterial — unser bisheriges Kontrastvolumen war ja ein Einschluss“ — auf ¨aquivalente (Oberfl¨achen-)Quellen zur¨ uckf¨ uhren l¨asst (Abschnitt 15.1.3). ” 2 Das

3 Man

akustische Pendant zu (7.1.12) (f¨ ur ein homogenes Einbettungsmaterial) ist Gleichung (5.6.18) mit (5.6.13) und (5.6.14). sagt: Sie haben einen kompakten Tr¨ ager.

7.1 Wellengleichungen f¨ ur anisotrope und isotrope nichtdissipative Materialien

7.1.2

177

Homogen-anisotrope Materialien

Die Spezialisierung der Wellengleichung (7.1.3) auf homogen-anisotrope Materialien ρ(R) = ρ, urlich sofort hingeschrieben: c(R) = c ist nat¨ ∂ 2 v(R, t) ∂f (R, t) − ∇ · c : h(R, t) . =− (7.1.15) 2 ∂t ∂t Man beachte: Um den R-unabh¨angigen c-Tensor vor den Divergenzoperator zu ziehen, bedarf es einer Elementvertauschung; es ergibt sich ∇ · c : ∇v(R, t) − ρ

∂ 2 v(R, t) ∂f (R, t) . . c2341 : ∇∇v(R, t) − ρ =− − c2341 : ∇h(R, t) . 2 ∂t ∂t

(7.1.16)

Die Spezialisierung von (7.1.12) auf ein homogen-anisotropes Einbettungsmaterial f¨ ur inhomogen-anisotrope Kontrastvolumina lautet entsprechend: ∇ · c : ∇v(R, t) − ρ

X ∂ 2 v(R, t) ∂ 0 f (R, t) + f ρ (R, t) − =− 2 ∂t ∂t 0 X −∇ · c : h(R, t) + h c (R, t) ,

(7.1.17)

wobei in f ρ ρ(e) =⇒ ρ und in h c c(e) =⇒ c ersetzt werden muss.

7.1.3

Homogen-isotrope Materialien

F¨ ur ein homogen-isotropes Material m¨ ussen wir dessen Steifigkeitstensor c = λ Iδ + 2μ I+

(7.1.18)

mit den Lam´e-Konstanten λ und μ in (7.1.15) einsetzen und dabei (2.1.115) und (2.1.116) beachten: λ∇ · I spur [∇v(R, t)] +


T(R, t) = λ I ∇ · u(R, t) + μ ∇u(R, t) + [∇u(R, t)]21

G

,

(7.1.23)

worin u(R, t) gem¨aß (3.3.15) die Teilchenverschiebung ist. Falls h der Nulltensor ist, schreibt man (7.1.20) und (7.1.21) ebenfalls oft in der Teilchenverschiebung anstatt in der Teilchengeschwindigkeit: ∂ 2 u(R, t) = −f (R, t) , ∂t2 2 ∂ u(R, t) (λ + 2μ)∇∇ · u(R, t) − μ∇ × ∇ × u(R, t) − ρ = −f (R, t) . ∂t2 μΔu(R, t) + (λ + μ)∇∇ · u(R, t) − ρ

7.1.4

(7.1.24) (7.1.25)

Inhomogen-isotrope Materialien

F¨ ur inhomogen-isotrope Materialien ist der isotrope Steifigkeitstensor (7.1.18) c(R) = λ(R) Iδ + 2μ(R) I+

(7.1.26) L

-

und die Massendichte ρ(R) ortsabh¨angig; bei der Berechnung von ∇ · c(R) : ∇v(R, t) in (7.1.3) treten deshalb zus¨atzlich zu den Termen μ(R) Δv(R, t) und [λ(R) + μ(R)] ∇∇ · v(R, t) ¨ weitere auf, die von der Differentiation von c(R) herr¨ uhren (der Ubersichtlichkeit halber unterlassen wir die Ausf¨ uhrung dieser Differentiation auf der rechten Seite): ∂ 2 v(R, t) + ∂t2 + [∇λ(R)] [∇ · v(R, t)] + [∇μ(R)] · [∇v(R, t)] + [∇v(R, t)] · [∇μ(R)] = ∂f (R, t) − − ∇ · c(R) : h(R, t) . ∂t [λ(R) + μ(R)] ∇∇ · v(R, t) + μ(R)Δv(R, t) − ρ(R)

(7.1.27)

Diese Differentialgleichung dient zur Berechnung der Strahlausbreitung in inhomogen-isotropen Materialien (Abschnitt 12.3.2).

7.2

Helmholtz-Zerlegung f¨ur homogen-isotrope Materialien: Druck- und Scherwellen

Die Helmholtz-Zerlegung eines Vektorfeldes, beispielsweise der Teilchenverschiebung u(R, t), in ein skalares Potential Φ(R, t) und ein Vektorpotential Ψ(R, t) gem¨aß u(R, t) = ∇Φ(R, t) + ∇ × Ψ(R, t)

(7.2.1)

7.2 Helmholtz-Zerlegung f¨ ur homogen-isotrope Materialien: Druck- und Scherwellen mit der Eichung5

∇ · Ψ(R, t) = 0

179 (7.2.2)

ist stets m¨oglich, da man Φ und Ψ aus u berechnen kann (Achenbach, 1973; Achenbach et al., 1982). Offenbar ist (7.2.1) die Zerlegung von u(R, t) in einen divergenzfreien Scheranteil ∇ × Ψ(R, t) und einen rotationsfreien Druckanteil ∇Φ(R, t). Gehen wir zur Helmholtz-Zerlegung der Teilchengeschwindigkeit v(R, t) = ∇

∂Ψ(R, t) ∂Φ(R, t) +∇× ∂t ∂t

(7.2.3)

u ur homogen-isotrope Materialien ¨ber, so wird offensichtlich, dass die Navier-Gleichung (7.1.21) f¨ aufgrund der darin auftretenden Divergenz und Rotation in voneinander unabh¨angige Gleichungen f¨ ur die Potentiale entkoppelt. Durch Einsetzen von (7.2.1) in (7.1.21) ergibt sich n¨amlich unmittelbar @

$

∂ ∂ 2 Φ(R, t) ∇ (λ + 2μ)ΔΦ(R, t) − ρ + ∂t ∂t2 @ $ ∂ ∂ 2 Ψ(R, t) +∇ × −μ∇ × ∇ × Ψ(R, t) −ρ O: U ∂t < ∂t2

(7.2.4)

(7.2.2)

= μΔΨ(R, t)

f¨ ur die linke Seite von (7.1.21). Wenn wir nun die Inhomogenit¨at auf der rechten Seite von (7.1.21) gleichermaßen in einen (rotationsfreien) Gradienten- und einen (divergenzfreien) Rotationsterm aufspalten, lassen sich jeweils die rotationsfreien und die divergenzfreien Terme als Helmholtz-Zerlegungen der linken und rechten Seite von (7.1.21) gleichsetzen. Dem Kraftdichtevektor f (R, t) ordnen wir sofort gem¨aß f (R, t) = (λ + 2μ)∇Φf (R, t) + μ∇ × Ψf (R, t) , ∇ · Ψf (R, t) = 0 ,

(7.2.5)

ur den symmetrischen Tensor der injiHelmholtz-Potentiale (λ+2μ)Φf (R, t) und μΨf (R, t) zu. F¨ ur jeden festgehaltenen Wert des zweiten Indexes zierten Deformationsrate h(R, t) machen wir f¨ eine (7.2.5) entsprechende Helmholtz-Zerlegung und setzen die drei Gleichungen anschließend zu einer Tensorgleichung (zweiter Stufe) zusammen, m¨ ussen dabei aber die Symmetrie erzwingen: h(R, t) =

wobei

G 1> ∇Θh (R, t) + [∇Θh (R, t)]21 + 2 G 1> + ∇ × Ξh (R, t) + [∇ × Ξh (R, t)]21 , 2

∇ · Ξ(R, t) = 0

als Eichung gefordert wird. F¨ ur die (7.2.4) erg¨anzende rechte Seite m¨ ussen wir nun λ∇ spur h(R, t) + 2μ∇ · h(R, t) = λ∇∇ · Θh (R, t) + μ∇ · ∇Θh (R, t) + μ∇∇ · Θh (R, t) + + λ∇ spur [∇ × Ξ(R, t)] + 5 Ein

1 μ∇ × ∇ · Ξ21 (R, t) 2

Vektor — hier: Ψ — ist erst dann eindeutig festgelegt, wenn u ugt ist. ¨ber Rotation und Divergenz verf¨

(7.2.6) (7.2.7)

180

7 Vektorielle Wellengleichungen

ausrechnen; spalten wir auch noch ∇ · ∇Θh in ∇∇ · Θh − ∇ × ∇ × Θh auf, so ergibt die Gleichsetzung der jeweils divergenz- bzw. rotationsfreien Terme von (7.2.4) mit den entsprechenden Termen der Inhomogenit¨at schließlich die beiden entkoppelten Gleichungen f¨ ur Φ(R, t) und Ψ(R, t): ρ ∂ 2 Φ(R, t) (7.2.8) = −Φf (R, t) − ∇ · Θh (R, t) − λ + 2μ ∂t2 ; t λ − Ξh (R, τ ) dτ ] , spur [∇ × λ + 2μ 0 ; t ρ ∂ 2 Ψ(R, t) ΔΨ(R, t) − Θh (R, τ ) dτ − (R, t) + ∇ × = −Ψ f μ ∂t2 0 ; t 1 Ξ21 (R, τ ) dτ . (7.2.9) − ∇· h 2 0 Da sich die Inhomogenit¨aten der Differentialgleichungen f¨ ur die Potentiale vergleichsweise kompliziert aus den wahren“ physikalischen Quellen f (R, t) und h(R, t) ableiten, benutzt man ” im Allgemeinen nur die homogenen Versionen von (7.2.8) und (7.2.9) (z.B.: Abschnitt 8.1.2; Schmerr, 1998), hat dann aber im Gegensatz zur homogenen Navier-Gleichung (7.1.21) d’Alembert’sche Wellengleichungen vorliegen, von denen eine sogar eine skalare Gleichung ist. Gleichzeitig stellt die mathematische Entkopplung in zwei d’Alembert-Gleichungen eine physikalische Entkopplung in Druck- und Scherwellen dar, sodass man zumindest f¨ ur Druckwellen eine Skala”¨ risierung“ erreicht hat. Durch die Druck-Scherwellen-Kopplung aufgrund von Rand- und Ubergangsbedingungen wird dies allerdings wieder zunichte gemacht, sodass man besser gleich bei der Navier-Gleichung bleibt, und zwar insbesondere auch deswegen, weil einem in inhomogenen und/oder anisotropen Materialien sowieso nichts anderes u ¨brig bleibt. Selbst ebene Wellen entkoppeln in unendlich ausgedehnten homogenen anisotropen Materialien nicht mehr in Druckund Scherwellen, sie sind auch nicht mehr longitudinal oder transversal polarisiert (Abschnitt 8.3.1). In inhomogenen isotropen Materialien gibt es eine entsprechende Aufspaltung in longitudinale Druck- und transversale Scherwellen auch nur dann, wenn die Materialeigenschaften ˇ im Rahmen einer Hochfrequenzn¨aherung langsam ver¨anderlich sind (Cerven´ y, 2001; Abschnitt 12.3). ΔΦ(R, t) −

7.3

Entkopplung skalarer SH-Wellen f¨ur inhomogen-isotrope zweidimensionale Materialien

Es gibt eine M¨oglichkeit der v¨olligen Skalarisierung der Ausbreitung elastischer Wellen — genauer: elastischer Scher wellen —: Man postuliere nur eine von null verschiedene kartesische Komponente von v(R, t) und verlange Unabh¨angigkeit der Wellenausbreitung von ebendieser kartesischen Koordinate, d.h. man beschr¨anke sich auf ein zweidimensionales Problem mit z.B. ∂/∂y ≡ 0 f¨ ur v(R, t) = vy (x, z, t)ey . Dieses zweidimensionale SH-Wellenausbreitungsproblem ist mathematisch v¨ollig ¨aquivalent zum zweidimensionalen elektromagnetischen TE-Problem. Wir legen ein inhomogen-isotropes Material, also die Navier-Gleichung (7.1.13) mit c(e) (R) = λ(R) Iδ + 2μ(R) I+

(7.3.1)

f¨ ur R ∈ IR3 , zugrunde. Unter den Voraussetzungen ∂ ≡0 , ∂y v(R, t) = vy (x, z, t)ey

(7.3.2) (7.3.3)

7.3 Entkopplung skalarer SH-Wellen f¨ ur inhomogen-isotrope zweidimensionale Materialien 181 reduziert sich deren linke Seite auf die alleinige y-Komponente — es ist ∇·v ≡ 0 und ∇μ·v ≡ 0 — Q

μ(x, z)

E

∂ 2 vy (x, z, t) ∂ 2 vy (x, z, t) ∂ 2 vy (x, z, t) + . (7.3.4) + ∇μ(x, z) · ∇vy (x, z, t) − ρ(x, z) 2 2 ∂x ∂z ∂t2

Damit auch die rechte Seite nur eine y-Komponente liefert, m¨ ussen wir f (R, t) ex · ∇[λ(x, z) spur h(x, z, t)] ez · ∇[λ(x, z) spur h(x, z, t)] ∇ · [μ(x, z)h(x, z, t)] · ex ∇ · [μ(x, z)h(x, z, t)] · ez

= = = = =

fy (x, z, t)ey , 0 , 0 , 0 , 0

(7.3.5) (7.3.6) (7.3.7) (7.3.8) (7.3.9)

fordern. Unter der Voraussetzung (7.3.2) ergibt sich sodann μ(x, z)Δvy (x, z, t) + ∇μ(x, z) · ∇vy (x, z, t) − ρ(x, z)

∂ 2 vy (x, z, t) = ∂t2

∂ ∂fy (x, z, t) ∂ (7.3.10) − 2 [μ(x, z)hxy (x, z, t)] − 2 [μ(x, z)hzy (x, z, t)] ∂t ∂x ∂z als zweidimensionale skalare Wellengleichung f¨ ur Scherwellen, deren Polarisation parallel zur Unabh¨angigkeitsachse“ y ist. Im homogen-isotropen Material reduziert sich (7.3.10) auf die ” d’Alembert’sche Wellengleichung −

Δvy (x, z, t) −

1 ∂fy (x, z, t) ρ ∂ 2 vy (x, z, t) ∂hxy (x, z, t) ∂hzy (x, z, t) =− −2 −2 . μ ∂t2 μ ∂t ∂x ∂z

z

.................................... ......... ......... ........ ...... .... ....... ....... ... ... .. ...... .......... . . . ...... . ... ...... ..... ... .... ... ...... .. .. ..... . ..... ... ..................... . . . . ... . . . . . . . . . . . ..... . ....... ... ... .......... ..... . . . . . . . . . . . ... ..... .... ....... ... . . ..... . . . . . . ... ... ..... ...... ... . . . . . . . ..... . . ... ... ... ...... ..... . . . . . . ... ... ... ..... ... . . . ... . . . ... ... .. ..... ... . . . . . . . ... ... .. ..... ... . . ... . . . . . . ... ... .... .. ... . . . . . . . ... ... .... .. ... . . ... . . . . . . ... ... .. ... ..... . . . . . . . ... ... ... ... ... . ... . . . . .... ... .. .. ... . . . . . . . ..... ... ... ... ... . . . ... . . ..... ... ..... ... ... ... . . ..... ... .. .. ... . . . . . . ..... ... ... ... ..... ... . .. . . ..... .. ... .. . . . . . . . ... ...... . .. ... ...... . ... . . .... . . ...... .. ... .. .... . . . . . . . . . . ....... . . ... ... ....... ... ..... ... ........ ... ..... ... ..... ......... ..... ............. ...... ... ... ..... .............................. ..... ..... ... . . . . . . . ... ... ...... ... ..... ... ... ...... ...... ... ... ....... .... ....... . . ... ...... . . . . . . ........ .... ... ...................................... ... ... ... .. ... .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... .......

ρ(i) (r)

VQ

μ(i) (r)

ρ(e) (r)

μ(e) (r)

Vc

uy stetig

∂ ≡0 ∂y

μ

∂uy stetig ∂nc

... .. ........ n

Sc

c

v(r, t) = vy (x, z, t)ey

Abb. 7.3.1: Zweidimensionales skalares SH-Wellen-Streuproblem (r = xex + zez )

x

(7.3.11)

182

7 Vektorielle Wellengleichungen

Auch in Gegenwartvon (zweidimensionalen6 ) Einschluss- oder Defekt volumina“ Vc (Ober fl¨a” ” che“ Sc mit ¨außerer Normalen nc : Abb. 7.3.1) mit Materialparametern ρ(i) (r), μ(i) (r) eines (e) (e) inhomogen-isotropen Materials, die ins ρ (r)μ (r)-Material eingebettet sind, bleibt uns die skalare Zweidimensionalit¨at erhalten. Spannungstensor und Teilchenverschiebung m¨ ussen n¨amlich ¨ die Ubergangsbedingungen (3.3.9) und (3.3.18) erf¨ ullen; mit (7.1.23) berechnen wir im vorliegenden zweidimensionalen Fall den Spannungstensor gem¨aß T(x, z, t) = μ(x, z)[∇uy (x, z, t)ey + ey ∇uy (x, z, t)] ,

(7.3.12)

sodass sich (3.3.9) wegen nc · ey = 0 auf nc · T(e) (rS , t) − nc · T(i) (rS , t) =

(7.3.13)

(i) (i) μ(e) (rS )nc · ∇u(e) y (r, t)|r=rS ey − μ (rS )nc · ∇uy (r, t)|r=rS ey = 0 , rS ∈ Sc ,

reduziert, wobei r = xex + zez .

(7.3.14)

¨ Die Ubergangsbedingungsgleichung (7.3.13) hat nur eine y-Komponente, n¨amlich — wir verweisen auf die Schreibweise (2.2.14) der Normalenableitung — !

!

! ∂uy(e) (r, t) !! ∂u(i) y (r, t) ! (i) ! ! ) = μ (r μ (rS ) S ∂nc !r=r ∂nc !r=r (e)

S

, r S ∈ Sc ,

(7.3.15)

S

¨ sodass sich schließlich die (homogenen) Ubergangsbedingungen als Stetigkeitsforderungen der Teilchenverschiebungskomponente gem¨aß (Gleichung (3.3.18)) (i) u(e) y (rS , t) = uy (rS , t) , rS ∈ Sc ,

(7.3.16)

und deren mit μ multiplizierter Normalenableitung gem¨aß (7.3.14) darstellen. F¨ ur ideal schallweiche Einschl¨ usse“ entartet (7.3.15) zur Neumann’schen Randbedingung ” !

∂uy (r, t) !! ! = 0 , r S ∈ Sc , ∂nc !r=r

(7.3.17)

S

und f¨ ur ideal schallharte Einschl¨ usse“ entartet (7.3.16) zur Dirichlet’schen Randbedingung ” uy (rS , t) = 0 , rS ∈ Sc ,

(7.3.18)

f¨ ur die Teilchenverschiebungskomponente. Die Streuung elastischer Scherwellen, die parallel zur Unabh¨angigkeitsachse eines zweidimensionalen schallweichen Streuk¨orpers“ — eines zweidi” mensionalen (Vakuum-)Hohl raums“ mit spannungsfreier Randbedingung — polarisiert sind ” (SH-Wellen f¨ ur shear-horizontal ), ist folglich ein skalares Neumann’sches Randwertproblem7 . Man beachte: Die entsprechende Streuung einer Druck welle in der Akustik ist ein skalares Dirichlet-Problem (f¨ ur den Druck). Ferner: Die zweidimensionale P-SV-Wellen-Streuung mit senkrecht zur Unabh¨angigkeitsachse orientierten Polarisationsvektoren ist kein skalares Problem. 6 Zweidimensionale Volumina“ sind Bereiche des IR2 , deren Oberfl¨ ache“ Kurven im IR2 sind. Statt den mathematischen Be” ” zeichnungen Ω und ∂Ω f¨ ur Bereiche und deren R¨ ander bleiben wir bei den anschaulicheren Bezeichnungen V und S. 7 Es entspricht damit dem zweidimensionalen elektromagnetischen TE-Problem (Langenberg, 2005).

7.4 Schwingungsgleichungen f¨ ur nichtdissipative und dissipative Materialien

7.4

183

Schwingungsgleichungen f¨ur nichtdissipative und dissipative Materialien

Mittels Fourier-Transformation bez¨ uglich der Zeit geht eine reellwertige orts- und zeitabh¨angige Feldgr¨oße — beispielsweise v(R, t) — in das komplexwertige orts- und (kreis-)frequenzabh¨angige Fourierspektrum v(R, ω) mit der Eigenschaft v(R, −ω) = v∗ (R, ω) u ¨ber. Der Differentiationssatz der Fourier-Transformation (2.3.62) macht“ aus jeder zeitlichen Ableitung der Feldgr¨oße ” v(R, t) eine Multiplikation des Spektrums mit −jω: ∂ v(R, t) ◦—• −jω v(R, ω) , ∂t ∂2 v(R, t) ◦—• −ω 2 v(R, ω) , ∂t2

(7.4.1) (7.4.2)

sodass der d’Alembert-Operator einer skalaren Wellengleichung (zum Beispiel: Gleichung (5.3.11)) Δ−

1 ∂2 c2 ∂t2

(7.4.3)

in den Helmholtz-Operator

ω (7.4.4) c einer skalaren Schwingungsgleichung u ¨bergeht; man spricht auch von einer reduzierten Wellengleichung. Schwingungsgleichung heißt sie deswegen, weil gem¨aß Gleichung (3.1.21) das FourierSpektrum f¨ ur eine feste (Kreis-)Frequenz ω0 dem Phasor der reell-zeitharmonischen Feldgr¨oße v(R, t, ω0 ) zugeordnet werden kann, die demzufolge an jedem Raumpunkt mit der unterschiedlichen Amplitude v(R, ω0 ), aber der stets gleichen (Kreis-)Frequenz ω0 schwingt. Δ + k 2 mit k =

7.4.1

Schwingungsgleichungen f¨ ur nichtdissipative Materialien

Wegen (7.4.1) und (7.4.2) k¨onnen f¨ ur s¨amtliche in Abschnitt 7.1 hergeleiteten Wellengleichungen sofort die korrespondierenden Schwingungsgleichungen angegeben werden; da dies nahezu trivial ist, wollen wir auf das explizite Hinschreiben verzichten, jeweils an geeigneter Stelle aber davon Gebrauch machen. Man beachte jedoch: Diese elementare“ Fourier-Transformation der ” Wellengleichungen ist an die Voraussetzung augenblicklich reagierender Materialien gekn¨ upft, d.h. in den entsprechenden Schwingungsgleichungen treten (zun¨achst) nur frequenzunabh¨angige Materialparameter auf. Nat¨ urlich bleibt es uns unbenommen, in einer ω0 -Schwingungsgleichung diejenigen Materialparameter einzusetzen, die f¨ ur ω = ω0 gerade vorliegen; damit haben wir aber grunds¨atzlich Materialgleichungen dissipativer , und damit nicht augenblicklich reagierender Materialien zugrunde gelegt. Dies ist Thema des folgenden Abschnitts.

7.4.2

Schwingungsgleichungen f¨ ur dissipative Materialien

F¨ ur dissipative (lineare) Materialien legen wir die physikalisch konsistenten Relaxationsmodelle (4.4.33), (4.4.34) der Dissipation zugrunde, worin die Relaxationskerne μ(R, t) und χ(R, t) voraussetzungsgem¨aß, weil physikalisch zwingend, kausale quadratintegrable Zeitfunktionen sein sollen. Konsequenz ist: Die Felder sind kausal und besitzen endliche Energie (Karlsson und Kristensson, 1992). Eine weitere Konsequenz: Die Real- und Imagin¨arteile der notwendigerweise komplexwertigen Fourierspektren μ(R, ω) und χ(R, ω) (s¨amtliche Komponenten dieser Tensoren) sind gegenseitige Hilbert-Transformierte, sie sind also nicht unabh¨angig voneinander vorgebbar (Abschnitt 2.3.4).

184

7 Vektorielle Wellengleichungen

Einsetzen der Materialgleichungen (4.4.33), (4.4.34) in die elastodynamischen Grundgleichungen (3.1.1), (3.1.2) f¨ uhrt auf das Gleichungssystem8 ∂v(R, t) ; t ∂v(R, τ ) μ(R, t − τ ) · + dτ = ∇ · T(R, t) + f (R, t) , ∂t ∂τ 0 ; t ∂T(R, t) ∂T(R, τ ) s(R) : χ(R, t − τ ) : + dτ = I+ : ∇v(R, t) + h(R, t) , ∂t ∂τ 0 ρ(R) ·

(7.4.5) (7.4.6)

und dessen Fourier-Transformation ergibt 0

X

−jω ρ(R) + μ(R, ω) · v(R, ω) = ∇ · T(R, ω) + f (R, ω) ,

(7.4.7)

−jω s(R) + χ(R, ω) : T(R, ω) = I+ : ∇v(R, ω) + h(R, ω)

(7.4.8)

@

$

aufgrund des Faltungssatzes (2.3.65). Elimination von T(R, ω) liefert die Schwingungsgleichung ∇ · c (R, ω) : ∇v(R, ω) + ω 2 ρ (R, ω) · v(R, ω) = jωf (R, ω) − c (R, ω) : h(R, ω) , (7.4.9) c

c

c

wobei s (R, ω) = s(R) + χ(R, ω) ,

(7.4.10)

c (R, ω) = s−1 (R, ω) ,

(7.4.11)

ρ (R, ω) = ρ(R) + μ(R, ω)

(7.4.12)

c c

c

c

komplexwertige frequenzabh¨angige Materialtensoren sind, die an die Stelle reellwertiger augenblicklich reagierender und damit nichtdissipativer Materialien treten: Die Schwingungsgleichung (7.4.9) ist das Pendant zu (7.1.3) f¨ ur relaxationsdissipative Materialien. Falls uns das MaxwellModell (4.4.1), (4.4.2) der Dissipation gen¨ ugt, entsteht die entsprechende Schwingungsgleichung durch Fourier-Transformation von (4.4.5), und falls das Rayleigh-Kelvin-Voigt-Modell brauchbar ist, finden wir die zugeh¨orige Schwingungsgleichung unter der Nummer (4.4.32). Es sei aber noch einmal betont, dass allein die Relaxationsmodelle (4.4.33), (4.4.34) physikalisch stimmig sind, alle anderen Modelle k¨onnen nur eine eingeschr¨ankte G¨ ultigkeit haben.

8 Wir

verwenden der k¨ urzeren Schreibweise wegen den Symmetrisierungsoperator I+ : ∇v =

5 1D ∇v + (∇v)21 . 2

8

Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

8.1

Homogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien

Ebene Wellen ergeben sich als ganz spezielle L¨osungen homogener Wellengleichungen1 f¨ ur homogene Materialien, d.h. im isotropen nichtdissipativen Fall fragen wir nach L¨osungen der homogenen Gleichung (7.1.20): ∂ 2 v(R, t) (8.1.1) =0 ; ∂t2 diese Gleichung k¨onnen wir nat¨ urlich durch einmalige zeitliche Integration genauso gut in der Teilchenverschiebung schreiben (Gleichung (7.1.24)): μ Δv(R, t) + (λ + μ)∇∇ · v(R, t) − ρ

μ Δu(R, t) + (λ + μ)∇∇ · u(R, t) − ρ

8.1.1

∂ 2 u(R, t) =0 , ∂t2

(8.1.2)

Ebene Wellen im Eindimensionalen: Prim¨are Longitudinal- und sekund¨are Transversalwellen

Eindimensional“ heißt: alle Feldgr¨oßen sollen nur von einer (kartesischen) Koordinate abh¨angen. ” Wir w¨ahlen die z-Koordinate, postulieren also Unabh¨angigkeit von x und y durch Nullsetzen aller Ableitungen nach x und y: ∂ ∂ ≡0 , ≡0 . (8.1.3) ∂x ∂y Mit (2.2.50) und (2.2.48) bzw. (2.2.54) liefern die Forderungen (8.1.3): ∂ 2 u(z, t) ∂ 2 uz (z, t) ∂u(z, t) + (λ + μ) ez − ρ =0 . (8.1.4) 2 ∂z ∂z 2 ∂t2 Von dieser eindimensionalen Vektorwellengleichung bilden wir die drei kartesischen Komponenten: ∂ 2 ux (z, t) ∂ 2 ux (z, t) μ − ρ =0 , (8.1.5) ∂z 2 ∂t2 2 2 ∂ uy (z, t) ∂ uy (z, t) μ −ρ =0 , (8.1.6) 2 ∂z ∂t2 ∂ 2 uz (z, t) ∂ 2 uz (z, t) −ρ =0 . (8.1.7) (λ + 2μ) 2 ∂z ∂t2 Wir halten fest: Es entstehen drei voneinander unabh¨angige (entkoppelte) Gleichungen der stets gleichen mathematischen Struktur f¨ ur jeweils eine der Komponenten von u(z, t), die wir deshalb auch unabh¨angig voneinander l¨osen k¨onnen. Beispielsweise k¨onnen wir von vornherein f¨ ur jeweils zwei Gleichungen triviale L¨osungen, also etwa ux (z, t) = uy (z, t) ≡ 0 oder ux (z, t) = uz (z, t) ≡ 0 oder uy (z, t) = uz (z, t) ≡ 0 ansetzen. μ

1 Gauß’sche Wellenpakete oder Spektren ebener Wellen sind beispielsweise andere spezielle L¨ osungen der homogenen Wellengleichung (Abschnitt 12).

186

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

Prim¨are longitudinale Impulswellen Wir w¨ahlen f¨ ur (8.1.5) und (8.1.6) triviale L¨osungen und untersuchen die bez¨ uglich t Fouriertransformierte Gleichung (8.1.7), also die (8.1.7) entsprechende Schwingungsgleichung: (λ + 2μ)

∂ 2 uz (z, ω) + ω 2 ρuz (z, ω) = 0 . ∂z 2

(8.1.8)

Da nur noch eine Differentialgleichungsvariable im Spiel ist, k¨onnen wir (8.1.8) auch als gew¨ohnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung d2 uz (z, ω) + ω 2 ρuz (z, ω) = 0 dz 2 mit konstanten Koeffizienten schreiben, die, wenn wir sie in der Form (λ + 2μ)

d2 uz (z, ω) + kP2 uz (z, ω) = 0 dz 2 mit den Abk¨ urzungen

C

kP = ω =

ω cP

(8.1.9)

(8.1.10)

ρ λ + 2μ (8.1.11)

anschreiben, sicher sin kP z und/oder cos kP z als L¨osungen hat. Mit (2.3.29) fassen wir beide M¨oglichkeiten zu den komplexen L¨osungen uz (z, ω) = u(ω) e±jkP z

(8.1.12)

2

zusammen , wobei, wegen der Homogenit¨at der Differentialgleichung (8.1.10), u(ω) als frei w¨ahlbare Amplitude auftritt, die aber von dem in kP versteckten“ Differentialgleichungsparameter ” ω abh¨angen kann; wir fassen deshalb u(ω) als Funktion von ω, d.h. als eventuell komplexes Spektrum der dann ebenfalls frei w¨ahlbaren Zeitfunktion u(t) auf, wobei u(t) ◦—• u(ω) .

(8.1.13)

Man beachte: u(t) hat die Einheit m und u(ω) die Einheit m s. Zur Beantwortung der Frage, welches der beiden Vorzeichen im Exponenten der Exponentialfunktion (8.1.12) gew¨ahlt werden kann oder muss, transformieren wir die L¨osungen (8.1.12) in den Zeitbereich, indem wir den Verschiebungssatz (2.3.60) der Fourier-Transformation anwenden: uz (z, t) = F −1 {uz (z, ω)} = F −1 {u(ω) e±jkP z } ±j

z

ω

= F −1 {u(ω) e cP } S % z = u t∓ . cP

(8.1.14)

Gleichung (8.1.14) stellt die L¨osung ebene Welle“ der Wellengleichung (8.1.7) dar; warum ist ” dies eine Welle? Wir untersuchen zun¨achst das obere der beiden m¨oglichen Vorzeichen gem¨aß %

uz (z, t) = u t − 2 Auf

z cP

S

die physikalische Bedeutung der Sinus- und Cosinus-L¨ osungen kommen wir noch zu sprechen.

(8.1.15)

8.1 Homogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien

187

und w¨ahlen einen bestimmten Ort, z.B. z = 0 aus: Ein Beobachter der ebenen Welle misst“ ” dort die Zeitfunktion — den Impuls — uz (0, t) = u(t) (Abbildung 8.1.1b; u(t) ist ein RC2(t)Impuls, den wir auf der t-Achse um seine halbe Dauer nach rechts verschoben haben: Abschnitt 2.3.2). Ein Beobachter am Ort z0 > 0 misst mit uz (z0 , t) = u(t − z0 /cP ) den gleichen Impuls, jedoch verz¨ogert um die Zeit t = z0 /cP (Abbildung 8.1.1a): Der Impuls — die Impulswelle — hat sich in der Zeit z0 /cP mit der Geschwindigkeit cP in Richtung positiver z-Werte ausgebreitet. Am Ort z = −z0 , z0 > 0, hat der dortige Beobachter den Impuls bereits zur Zeit t = −z0 /cP gemessen (Abbildung 8.1.1c), d.h. die eindimensionale ebene Welle (8.1.15) hat die z-Achse als Ausbreitungsrichtung, sie kommt aus dem negativ Unendlichen und breitet sich in Richtung positiver z ins positiv Unendliche aus. Entsprechend breitet sich die eindimensionale ebene Welle t) uz (z, .

. ....... ........... ... .... .. ..... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. ... .. ... ... .. ... . ... . ... ... ... ..... .. . ... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .. ... . .... .. ... ... .. ... ..... .. .. .. ... . ... . . ... ... .. ... ... ..... ... .... . .. .... . . . .. .. ....................................................................................................................................... . . ... ..... .. .... .... .... ... .... ........ .... ... ... .. ... .... .. .. .... ... .... ... ... ... .. ..... .. ... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .. . ... . ..... .. .... .. ... ..... .. .. .. .. . .... . ... . ... .. ..... ...... ... .... .... .... .... ... .... .... .... ..... . .... . .... .... ... .... ... ... .. ... .... ... .... .... . ... . . . ..... . . ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . ... . .. .. ..... .. .. .... ..... .. ... ... .. . . . . . . . ... .. . .. ... .. ..... .... ..... .. .. . ... .. .. ... ................................................................................................................................... . . .. ... .. .. .. . .. ..

u(t − z0 /cP )

a)

z = z0

t

z0 /cP

t = z0 /cP

u(t)

b)

z=0

t

u(t + z0 /cP )

c)

z = −z0

t = −z0 /cP

t

z0 /cP

Abb. 8.1.1: Ausbreitung einer eindimensionalen Impulswelle mit der Geschwindigkeit cP : Zeitabh¨ angigkeit f¨ ur verschiedene Orte

%

uz (z, t) = u t +

z cP

S

(8.1.16)

mit der Geschwindigkeit cP in negative z-Richtung aus. Beide Vorzeichen in (8.1.14) sind also physikalisch sinnvoll — mathematisch m¨oglich sind sie sicher3 —, denn sie charakterisieren die Ausbreitungsrichtung. Da uz (z, t) eine Funktion von zwei Variablen ist, k¨onnen wir alternativ zu Abb. 8.1.1 — dort ist die Abh¨angigkeit von t f¨ ur feste Werte von z diskutiert — auch die Abh¨angigkeit von z f¨ ur feste Werte von t darstellen (Abbildung 8.1.2). Zum Zeitpunkt t = 0 (Abbildung 8.1.2b) ist die Wellenamplitudenverteilung durch u(−z/cP ), d.h. durch den am Nullpunkt gespiegelten 3 Bei der Herleitung der Green’schen Funktion werden wir sehen, dass mathematisch m¨ ogliche Vorzeichen nicht unbedingt physikalisch sinnvoll sein m¨ ussen (Abschnitt 13.1).

188

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

Zeitimpuls u(t) mit umnormiertem Argument gegeben: Wenn der Zeitimpuls u(t) die Dauer T (in Sekunden) besitzt, dann ist der Ortsimpuls“ T cP Meter lang4 . F¨ ur den hier gew¨ahlten ” t) uz (z, . ... ...... ........ ... ... ... .... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...... ... .. .. .. ... ... .. .. ... .. .... . . ... ... ... ... ... ..... . ... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .. . ... ..... .. .... ... .. ... .. ..... . . .. .. .. .. .. ... . ... .. .... . ... ... ........ ....... ... ... .... ... .... .. . . . .. .. .. .. ... ................................................................................................................................... . . .. ... ..... ... .... ... .... ... ... .... . ... .... ...... .. .... ... .... . . ... .... ... .... ... .... ... ... ... .... ... ..... ... . ..... .. . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .. . . ... .. ..... .. ... .. ... ... ... .. .. .. . . .. . .. .... ....... .... ..... .... ... .... .. ... ..

u(t0 − z/cP )

a)

............... uz e z

t = t0

t 0 cP

b)

z

z = t 0 cP

t=0

z

u(−z/cP )

Abb. 8.1.2: Ausbreitung einer eindimensionalen Impulswelle mit der Geschwindigkeit cP : Ortsabh¨ angigkeit f¨ ur verschiedene Zeiten

symmetrischen Zeitimpuls sieht“ man also genau denselben Impuls auch im Ortsbereich, wo ” er sich — man vergleiche Abb. 8.1.2a — in der Zeit t0 vom Ort z = 0 zum Ort z = t0 cP ausbreitet. In der Ortsdarstellung k¨onnen wir nat¨ urlich auch den Teilchenverschiebungsvektor uz ez skizzieren. Die sogenannten Phasen

z (8.1.17) cP der ebenen (∓)-Wellen sind konstant auf allen Ebenen senkrecht zur Ausbreitungskoordinate: Man spricht deshalb von ebenen Wellen. Gleichzeitig sind auch die Amplituden konstant auf allen Ebenen senkrecht zur Ausbreitungskoordinate, d.h. die Fl¨achen konstanter Phase fallen mit den Fl¨achen konstanter Amplitude zusammen: Es sind homogene ebene Wellen. Die Geschwindigkeit φ(z, t) = t ∓

C

cP =

λ + 2μ ρ

(8.1.18)

der eindimensionalen homogenen ebenen Wellen ist offenbar die Geschwindigkeit, mit der sich deren Phase ausbreitet, man spricht deshalb von der Phasengeschwindigkeit5 . Betrachten wir n¨amlich zwei z-Werte z1 , z2 und zwei Zeitpunkte t1 , t2 , f¨ ur die die zugeh¨origen Phasen gleich sein sollen, so erhalten wir φ(z1 , t1 ) − φ(z2 , t2 ) = 0 = t1 − t2 ∓

z1 − z2 cP

(8.1.19)

4 Ein Longitunalwellenimpuls in Stahl der Dauer 1 μs ist folglich 5900 μm lang. In den Abbildungen 8.1.1 und 8.1.2 haben wir die Zeit- und Ortsimpulse jedoch geometrisch gleich lang gezeichnet; dahinter steckt entweder die Normierung der Geschwindigkeit auf 1 oder, wem das zu brutal“ erscheint, eine dimensionslose Achsenbemaßung: t in Abb. 8.1.1 kann z.B. auf die Impulsdauer T und ” z in Abb. 8.1.2 auf die Impulsl¨ ange T cP normiert sein. Damit sind Laufzeiten geometrisch gleich Laufstrecken. 5 In Abschnitt 8.1.2 definieren wir die Geschwindigkeit der Energieausbreitung, und in Abschnitt 8.3 stellen wir fest, dass sich diese von der Phasengeschwindigkeit in Betrag und Richtung unterscheiden kann.

8.1 Homogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien

189

oder

Δz ; cP gehen wir zu differentiellen Zeit- und Ortsintervallen u ¨ber, so folgt Δt = ±

(8.1.20)

dz (8.1.21) = ±cP dt als Orts¨anderung der konstanten Phasen mit der Zeit, d.h. als Phasengeschwindigkeit. Die Teilchenverschiebung der eindimensionalen Welle (8.1.15) hat nur eine z-Komponente, sie zeigt in Ausbreitungsrichtung (Abbildung 8.1.2), d.h. wir haben eine longitudinale (homogene ebene) Welle mit der Phasengeschwindigkeit cP vorliegen. Bei der L¨osung der Wellengleichungen (8.1.5) und (8.1.6) im n¨achsten Paragraphen werden wir feststellen, dass die dann auftretende Phasengeschwindigkeit stets kleiner als (8.1.18) ist, sodass die hier diskutierte Welle stets zuerst an einem bestimmten Beobachtungspunkt ankommt, es ist die prim¨are Welle; daher erkl¨art sich — zun¨achst — der Index P, den wir der Phasengeschwindigkeit (8.1.18) anheften. In Abschnitt 8.1.2 werden wir sodann sehen, dass P auch f¨ ur pressure stehen kann, d.h. die prim¨are Welle ist aus physikalischer Sicht eine Druck welle. Eine streng longitudinale Welle ist die prim¨are oder Druckwelle aber nur dann, wenn sie tats¨achlich eine homogene ebene Welle ist; deshalb verwenden wir nicht die sonst (z.B.: Kutzner, 1983; J. und H. Krautkr¨amer, 1986) u ur die sekund¨are oder Scherwelle, ¨bliche Bezeichnung cL (bzw. cT f¨ die als homogene ebene Welle transversal polarisiert ist). Wir haben implizit angenommen (Abbildungen 8.1.1 und 8.1.2), dass die beliebig w¨ahlbare6 Zeitfunktion u(t) ein Impuls endlicher Dauer ist; das muss aber keineswegs so sein, sodass wir auch eine zeitharmonische Funktion unendlicher Dauer wie sin ω0 t oder cos ω0 t, −∞ < t < ∞, nehmen k¨onnen. Zeitharmonische Longitudinalwellen Wir w¨ahlen zun¨achst die komplexe zeitharmonische Funktion7 u(t, ω0 ) = f (ω0 ) e−jω0 t

(8.1.22)

als komplexe Kombination von cos ω0 t und sin ω0 t mit der Kreisfrequenz ω0 = 2πf0 — die Frequenz f0 hat die Einheit Hz, die Kreisfrequenz die Einheit s−1 — und der m¨oglicherweise ebenfalls komplexwertigen Amplitude f (ω0 ). Zu (8.1.22) geh¨ort als Spektrum eine einzige Spektrallinie bei ebendieser Kreisfrequenz mit der Amplitude 2πf (ω0 ): u(ω, ω0 ) = 2πf (ω0 ) δ(ω − ω0 ) .

(8.1.23)

Unsere zeitharmonischen eindimensionalen homogenen ebenen Longitudinalwellen werden sodann durch W

−jω0 t∓ cz

/

uz (z, t, ω0 ) = f (ω0 ) e = f (ω0 ) e±jkP z e−jω0 t P

(8.1.24)

beschrieben, worin nunmehr in den Zeitfunktionen uz (z, t, ω0 ) die zu ω0 geh¨orende sogenannte Wellenzahl ω0 (8.1.25) kP = cP 6 Wenn 7 Das

Ansatz

sie nicht beliebig w¨ ahlbar w¨ are, g¨ abe es keine Ultraschall-zfP. Vorzeichen im Exponenten ist dem Vorzeichen des Kerns der inversen Fourier-Transformation (2.3.40) angepasst. Mit dem

u(t, ω0 ) = f (ω0 ) e jω0 t muss man in allen in dieser Ausarbeitung hergeleiteten komplexwertigen Formeln zum konjugiert Komplexen u ¨bergehen.

190

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

der prim¨aren Welle auftritt: Mit (8.1.11) definierten wir sie als Abk¨ urzung in den Spektren (8.1.12). Die komplexe Exponentialfunktion e jϕ ist bez¨ uglich ϕ 2π-periodisch, die Zeitfunktion uglich ω0 t 2π-periodisch; wir nennen das zeitliche Periodizit¨atsintervall e−jω0 t also bez¨ T0 =

2π ω0

(8.1.26)

Periodendauer der zeitharmonischen Wellen. Entsprechend ist die Ortsfunktion e±jkP z in kP z 2π-periodisch; wir nennen das r¨aumliche Periodizit¨atsintervall λP =

2π kP

(8.1.27)

Wellenl¨ange der zeitharmonischen ebenen Longitudinalwellen. Zeitharmonische ebene Longitudinalwellen sind in Raum und Zeit periodisch, wobei wegen (8.1.25) die beiden Periodizit¨atsintervalle nicht unabh¨angig voneinander sind: λP = c P T 0 cP = . f0

(8.1.28)

Diese fundamentale Beziehung zwischen Frequenz, Wellenl¨ange und Phasengeschwindigkeit ist eine unmittelbare Konsequenz der Wellengleichung; in der Form ω = cP kP

(8.1.29)

heißt sie — aus hier nicht unbedingt ersichtlichen Gr¨ unden — Dispersionsrelation8 des als Ausbreitungsmedium dienenden Materials. Wir kommen darauf aber noch mehrfach zur¨ uck. Es sei explizit darauf hingewiesen, dass der Begriff Wellenl¨ange“ urs¨achlich mit zeitharmoni” schen Wellen verkn¨ upft ist. Bei Impulsen muss man sich deshalb auf eine bestimmte spektrale Komponente, z.B. auf die Tr¨agerfrequenz des RCN (t)-Impulses (2.3.45), festlegen. Mitunter schreibt man die zeitharmonischen ebenen Wellen (8.1.24) mit unterdr¨ uckter Zeitabh¨angigkeit: def

uz (z, ω0 ) = uz (z, t, ω0 ) e jω0 t = f (ω0 ) e±jkP z .

(8.1.30)

In (8.1.24) ist sofort ersichtlich, dass die Vorzeichenkombination +jkP z mit −jω0 t eine sich in positive z-Richtung ausbreitende und die Vorzeichenkombination −jkP z mit −jω0 t eine sich in negative z-Richtung ausbreitende zeitharmonische Welle liefert. Um anhand von (8.1.30) die Ausbreitungsrichtung zu erkennen, muss man hingegen wissen, welche Zeitabh¨angigkeit gew¨ahlt wurde; es h¨atte ja auch e+jω0 t sein k¨onnen, und dann vertauschen sich die die Ausbreitungsrichtung festlegenden Vorzeichen: Die Welle e−jkP z e jωt breitet sich n¨amlich in positive z-Richtung und die Welle e jkP z e jωt in negative z-Richtung aus. Zeitharmonische Wellen sind nat¨ urlich Idealisierungen, aber das sind ebene Wellen auch schon: Sie ben¨otigen“ ja den ganzen unendlichen Raum. Nichtsdestotrotz sind beide Begriffsbildun” gen ¨außerst n¨ utzlich zur Konstruktion von weniger idealisierten Wellenfeldern, z.B. den Schallfeldern von Pr¨ ufk¨opfen. Man braucht ja nur von der einen Spektrallinie zu einem zeitlichen Fourier-Spektrum und von der einen Ausbreitungsrichtung zu einem r¨aumlichen Spektrum“ ” von Richtungen u ¨berzugehen! 8 Die Dispersionsrelation (8.1.29) des homogenen isotropen nichtdissipativen Materials ist eine lineare Beziehung zwischen Frequenz und Wellenzahl; ein Material mit dieser Dispersionsrelation hat gerade keine Dispersion eines sich ausbreitenden Wellenimpulses zur Folge (Abbildungen 8.1.1 und 8.1.2).

8.1 Homogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien

191

Wen es st¨ort, dass die zeitharmonischen ebenen Longitudinalwellen (8.1.24) komplexwertig sind — in der zfP mit Ultraschall ist doch alles reell! —, der gehe von der einen Spektrallinie bei ω = ω0 — Gleichung (8.1.23) — zu zwei Spektrallinien bei ω0 = ω0 und ω = −ω0 u ¨ber, die sodann jeweils die halbe Amplitude bekommen (Gleichung (3.1.20)): u(ω) = π[f (ω0 ) δ(ω − ω0 ) + f ∗ (ω0 ) δ(ω + ω0 )] .

(8.1.31)

Wenn, wie angenommen, die Amplitude bei ω = −ω0 , auch noch konjugiert komplex zur Amplitude bei ω = ω0 ist, erhalten wir u(t, ω0 ) = 6{f (ω0 ) e−jω0 t }

(8.1.32)

durch inverse Fourier-Transformation von (8.1.31) und folglich uz (z, t, ω0 ) = 6{f (ω0 ) e±jkP z e−jω0 t } . Man nennt f (ω0 ) e

ω ±j c 0 z P

(8.1.33)

Phasor der zeitharmonischen Welle (8.1.33) (Abschnitt 3.2.6).

Noch ein Wort zu den sin kP z- und/oder cos kP z-L¨osungen von (8.1.10): Wir erhalten sie aus (8.1.12), wenn wir hin- und r¨ ucklaufende zeitharmonische Wellen gleicher oder entgegengesetzt gleicher Amplitude gem¨aß /

W

uz (z, t) = f (ω0 ) e jkP z ± e−jkP z e−jω0 t 1

= f (ω0 ) e

−jω0 t

2 cos kP z f¨ ur das positive Vorzeichen 2j sin kP z f¨ ur das negative Vorzeichen

(8.1.34)

u ¨berlagern. Es handelt sich offensichtlich um stehende Wellen“, die an einem festen Ort z ” mit der jeweiligen Sinus- oder Cosinusamplitude im Takt der Kreisfrequenz ω0 oszillieren, d.h. es handelt sich um zeitabh¨angige elastische Schwingungen, ¨ahnlich den Schwingungen einer ¨ Geigensaite. Aus solchen Schwingungen k¨onnen wir im Ubrigen die Moden in einem elastischen Wellenleiter zusammensetzen (Rose, 1999). Sekund¨are transversale Impulswellen Wir wenden uns nun den verbleibenden Differentialgleichungen (8.1.5), (8.1.6) zu, k¨onnen uns dabei aber k¨ urzer fassen, da wir die wesentlichen Fakten u ¨ber Wellen bereits kennengelernt haben. Wir selektieren (8.1.5), indem wir willk¨ urlich uy (z, t) ≡ 0 setzen. Wieder gehen wir mit einer Fourier-Transformation bez¨ uglich der Zeit t zur Schwingungsgleichung f¨ ur das Frequenzspektrum u ¨ber: ∂ 2 ux (z, ω) μ + ω 2 ρux (z, ω) = 0 . (8.1.35) ∂z 2 Mit der Einf¨ uhrung der Sekund¨arwellenzahl und der Sekund¨arwellengeschwindigkeit — der Index S steht aus physikalischer Sicht auch f¨ ur shear : Scherwelle (Abschnitt 8.1.2) — C

kS = ω =

ω cS

ρ μ (8.1.36)

finden wir entsprechend (8.1.12) die L¨osungen von

ux (z, ω) = u(ω) e±jkS z

(8.1.37)

d2 ux (z, ω) + kS2 ux (z, ω) = 0 . dz 2

(8.1.38)

192

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

Die inverse Fourier-Transformation von (8.1.37) f¨ uhrt uns auf die eindimensionalen sekund¨aren ebenen Impulswellen % S z ux (z, t) = u t ∓ , (8.1.39) cS die sich je nach Vorzeichen mit der Phasengeschwindigkeit cS in ±z-Richtung ausbreiten. In der Tat sind (8.1.38) sekund¨are Wellen, da mit C

cS =

μ ρ

(8.1.40)

stets cS < cP gilt. Die Zeitdarstellung der sekund¨aren Impulswelle % S z (8.1.41) ux (z, t) = u t − cS f¨ ur verschiedene Orte sieht prinzipiell genauso aus wie diejenige der prim¨aren Welle in Abb. 8.1.1, es ist dort lediglich cP durch cS zu ersetzen. In einer zu Abb. 8.1.1 maßstabsgerechten Darstellung muss allerdings die Laufzeit z0 /cS der sekund¨aren Welle zum Ort z0 gr¨oßer als die Laufzeit z0 /cP der prim¨aren Welle zum gleichen Ort z0 gew¨ahlt werden. Aus diesem Grunde laufen prim¨are und sekund¨are Wellen mit zunehmender Zeit auseinander, eine Tatsache, die wir in Abb. 8.1.3 skizziert haben; man beachte: Beiden Wellen wurde derselbe Impuls u(t) aufgepr¨agt“, was nat¨ urlich nicht notwendigerweise der Fall sein muss. In der Ultraschall-zfP ” nutzt man dieses Auseinanderlaufen zur Separation von prim¨aren und sekund¨aren Wellen, indem man im Empfangsger¨at Zeitfenster setzt. Nat¨ urlich trifft die Skizze in Abb. 8.1.3 gleichermaßen auf uy (z, t) zu, denn als L¨osungen von (8.1.6) erhalten wir S % z . (8.1.42) uy (z, t) = u t ∓ cS ux,y,z (z, t)

... ...... ........ ... ... ... .... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. .. ..... ..... ... .. .. .. .. .. ... .. ... ... .. .. .. .. ... .. .... .. .... . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ..... . . ... ... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .. . ... . . .. ... ..... .. .... .. ..... .. ... .. ........ ...... .. .. .. .. . .. .. .. .. . .... . ... ... . ... .. .. ..... .. .. ..... ...... .... .... .... . .. ... .... . .. .. .. .. ... .................................................................................................................................. ... . . .. ..... .. ... ........ ........ .. .......................................................................................................................................................... . . .. .... .... . .... ....... .... ... ... .. .. .... .. .. ... .... ... . ... .... ... ... ..... .. ... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . .. .. . ..... .. ... .. ... ..... .. .. ... .. ... .. ... .. .... ....... .... .... .... ... ..... ... .... .

u(t − z0 /cP )

a)

z = z0

u(t − z0 /cS ) t

z0 /cP

z0 /cS

b)

z=0

t

u(t)

Abb. 8.1.3: Ausbreitung eindimensionaler P- und S-Impulswellen

Die mit Abb. 8.1.2 vergleichbare Ortsdarstellung der sekund¨aren Impulswelle zeigen wir in Abb. 8.1.4; zwei Dinge fallen auf:

8.1 Homogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien

193

t) ux (z, .

... ........ ...... ... ..... ... .... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ..... ... .. ... .. .. ... .. ... ... .. ... . . .. ... ... ... ... ..... ... ... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .. .. .. ..... .... .. .. . ... ... .... ... . .. .. . . . . . . . . . ... .... ... .. .. .. .. .... .... .... ... ... ... .... ... ... .. .. .. .. .......................................................................................................... ... . . .. ... .... .... ... ... .... .... ... .... ... .. ... .... ... .... ... .... .. .... ... .... ... .... ... ... .... .... .... ... ... . ..... . .. .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .. .. .. ... .. ..... . . . .. . ... .. . ... .. .. .. .. . ... .. .. ... ..... .. .. ... ... ..... .... ... .

u(t0 − z/cS )

a)

..... .. u e

t = t0

x x

t 0 cS

b)

t=0

z

z = t0 c S

z

u(−z/cS )

Abb. 8.1.4: Ortsdarstellung der Ausbreitung einer eindimensionalen S-Impulswelle mit der Geschwindigkeit cS

• Der f¨ ur t = 0 gespiegelte Impuls u(−z/cS ) weist eine andere Normierung der z-Koordinate auf; da cP < cS , erscheint er gegen¨ uber u(−z/cP ) gestaucht9 ; wegen der (8.1.28) korrespondierenden Beziehung λS = cS /f0 ist die zur Tr¨agerfrequenz des RC2(t)-Impulses geh¨orende Wellenl¨ange λS kleiner als λP . • Im selben Zeitraum t0 , den wir Abb. 8.1.2 zugrunde legten, hat die sekund¨are Impulswelle erst den Ort z = t0 cS < t0 cP erreicht, sie trifft als sekund¨are Impulswelle an diesem Beobachtungspunkt ein. Der Teilchenverschiebungsvektor der sekund¨aren Wellen (8.1.39) hat nur eine x-Komponente und ist folglich senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gerichtet: Es liegen transversale (homogene ebene) Wellen vor. In Abbildung 8.1.4 ist dies durch einen Vektorpfeil angedeutet. Die Skizzen 8.1.2 und 8.1.4 werden noch etwas intuitiver, wenn man die eindimensionalen homogenen ebenen P- und S-Impulswellen in einem zweidimensionalen xz-Raum (oder yz-Raum) — einer zweidimensionalen xz-Ebene (oder yz-Ebene) — im Wortsinne (wie in einem Film) laufen ” l¨asst“; dazu stellt man die Wellenamplituden u(ti − z/cP,S ), i = 1, 2, 3, . . . , I, farb- oder grauwertcodiert inklusive kleiner Pfeilchen, die die Richtung longitudinaler oder transversaler Polarisation angeben, in einer xz-Ebene f¨ ur eine dichte Folge von Zeitpunkten ti , i = 1, 2, 3, . . . , I, dar. In Abb. 8.1.5 sind zwei Zeitpunkte t = t1 und t = t2 > t1 herausgegriffen: Wellenfronten von ebenen P- und S-Impulswellen werden auf diese Weise sehr anschaulich; insbesondere erkennt man auch sehr sch¨on, dass die Fl¨achen konstanter Phase und konstanter Amplitude senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung stehen, dass es sich also um homogene ebene Impulswellen handelt. Es sei auch noch besonders betont, dass ebene P- und S-Wellen im unendlich ausgedehnten homogenen Material v¨ollig unabh¨angig voneinander sind. Die sogenannte Modekonversion P =⇒ S und S =⇒ P tritt erst in inhomogenen Materialien, also beispielsweise an der ebenen 9 Man beachte Fußnote 4: Wir hatten die Prim¨ arwellengeschwindigkeit cP auf 1 normiert; dies korrespondiert der normierten Achsenbemaßung z/T cP in Abb. 8.1.4.

194

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien ...... ................................................................................................................................................................................................................................................ ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... .... .. ......... ........ ..

x

t = t1

P

S

z

t = t2

P

S

Abb. 8.1.5: Ebene P- und S-Wellenfronten: Zweidimensionale Ortsdarstellung — Fenster zum unendlichen Raum — eindimensionaler homogener ebener P- und S-Impulswellen f¨ ur zwei Zeitpunkte t1 und t2 > t1 (RC2-Impulse)

Trennfl¨ache zwischen zwei unendlich ausgedehnten Halbr¨aumen — und auch dann nur bei nichtsenkrechtem Einfall —, auf. Ebenso wie die transversalen sekund¨aren Wellen (8.1.39) sind die sekund¨aren Wellen (8.1.42) transversal, sie haben nur eine y-Komponente. Sollten beide Komponenten ux (z, t) und uy (z, t) ungleich null sein, k¨onnen wir sie — gleiche Impulsstruktur u(t) vorausgesetzt10 — mit unterschiedlichen Amplituden ux und uy zum Transversalvektor %

S

z (ux ex + uy ey ) cS % S z = u t∓ uS cS

uS (z, t) = u t ∓

(8.1.43)

ˆ S normieren u ¨berlagern. Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit l¨asst sich uS als Einheitsvektor u (wir verstecken“ den Betrag von uS in u(t)): ” S % z ˆS , uS (z, t) = u t ∓ (8.1.44) u cS 10 Auf

den allgemeineren Fall ungleicher Impulsstruktur gehen wir im Zusammenhang mit den zeitharmonischen Wellen ein.

8.1 Homogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien

195

ˆ S · ez = 0; man spricht von in Richtung u ˆ S linear polarisierten Transversalwellen. Da wobei u es im homogenen unendlich ausgedehnten Material (das wir im Augenblick betrachten) keine Vorzugsrichtung gibt, l¨asst sich ein kartesischen Koordinatensystem stets so anordnen, dass die ˆ S -Richtung zeigt. z-Achse in Ausbreitungsrichtung und — beispielsweise — die x-Achse in u Sollte es Vorzugsrichtungen oder -ebenen geben, ist dies nicht mehr m¨oglich; man muss sodann die Ausbreitungsrichtung ebener Wellen im Dreidimensionalen festlegen (Abschnitt 8.1.2), wobei die lineare transversale Polarisation in zwei wohl unterscheidbare transversale Wellen (z.B. SH und SV) zerf¨allt. Zeitharmonische Transversalwellen Genauso wie im Paragraphen u ¨ber zeitharmonische Longitudinalwellen k¨onnen wir Transversalwellen zeitharmonisch mit der Kreisfrequenz ω0 anregen“. Anstelle von (8.1.24) erhalten wir ” sodann ux,y (z, t, ω0 ) = f (ω0 ) e±jkS z e−jω0 t (8.1.45) mit der Sekund¨arwellenzahl

ω cS

(8.1.46)

cS . f0

(8.1.47)

kS =

und mit der Sekund¨arwellenl¨ange λS =

Die Wellenl¨angen zeitharmonischer ebener P- und S-Wellen derselben Frequenz verhalten sich also wie die entsprechenden Phasengeschwindigkeiten. ¨ Uberlagern wir x- und y-Komponenten zeitharmonischer ebener transversaler S-Wellen, die sich in +z-Richtung ausbreiten, gem¨aß 0

uS (z, t, ω0 ) = e jkS z−jω0 t ux (ω0 ) ex + uy (ω0 ) ey = e jkS z−jω0 t uS (ω0 ) ,

X

(8.1.48)

so ist die Wahl gleicher Amplituden der beiden Komponenten keineswegs zwingend: Wir k¨onnen ux (ω0 ) und uy (ω0 ) f¨ ur jede Kreisfrequenz11 ω0 unterschiedlich komplexwertig w¨ahlen. Das sodann im Allgemeinen komplexe Verh¨altnis A(ω0 ) =

uy (ω0 ) ux (ω0 )

(8.1.49)

heißt in der Theorie elektromagnetischer Wellen Polarisationszahl. Der Zeiger von A(ω0 ) in einer komplexen A-Ebene gibt eindeutig an, welche Kurve die Spitze des Vektors uS (z0 , t, ω0 ) in der xy-Ebene f¨ ur einen festen Ort z0 als Funktion der Zeit beschreibt. Beispielsweise bedeutet A(ω0 ) = j rechtszirkulare Polarisation (RC: right-circular ) der zeitharmonischen ebenen Welle: Wenn man f¨ ur die sich in +z-Richtung ausbreitende Welle den Daumen der rechten Hand in Ausbreitungsrichtung zeigen l¨asst, bewegt sich die Spitze von uS (z0 , t, ω0 ) auf einem Kreis in Richtung der gekr¨ ummten Finger der rechten Hand und damit im Uhrzeigersinn (CW: clockwise), wenn man der Welle hinterherschaut; beim Hinterherschauen ist also RC dasselbe wie usste man n¨amlich bei CW und LC (left-circular ) dasselbe wie CCW (counter-clockwise)12 . M¨ 11 Deswegen ist das Konzept der Wellenpolarisation zun¨ achst nur auf zweitharmonische Wellen anwendbar. F¨ ur Impulse muss man auf zeitliche Mittelungen zur¨ uckgreifen (Langenberg, 2005). 12 Man beachte: Dies ist die Definition der Elektrotechnik; in der Physik/Optik-Literatur (z.B.: Born und Wolf, 1975) h¨ alt man den Daumen entgegen der Ausbreitungsrichtung. Zur Beschreibung des Drehsinns der elektrotechnisch rechtszirkular-CW-polarisierten Welle ben¨ otigt man dann die linke Hand — dieselbe Welle ist also optisch-LC polarisiert —, und beim Entgegenschauen entspricht dies wieder CCW. Außerdem ist die Zuordnung des Polarisationszustandes zum Punkt A(ω0 ) in der komplexen Ebene abh¨ angig von der gew¨ ahlten Zeitfunktion e−jω0 t oder e jω0 t : F¨ ur e jω0 t entspricht A(ω0 ) = j (elektrotechnisch) linkszirkularer Polarisation.

196

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

gleicher Daumenorientierung die linke Hand zu Hilfe nehmen, um beim Hinterherschauen den Drehsinn entgegen dem Uhrzeigerrichtung zu beschreiben, w¨are die Welle linkszirkular polarisiert. Mangels geeigneter Pr¨ ufk¨opfe zur Erzeugung beliebig elliptisch polarisierter elastischer Transversalwellen sind entsprechende Begriffsbildungen in der Ultraschall-zfP noch wenig verbreitet. In der Theorie elektromagnetischer Wellen gr¨ undet jedoch ein wesentlicher Teil der Kommunikations- und Radartechnik auf dem Konzept der Polarisation (Cloude, 2002; Langenberg, 2005).

8.1.2

Ebene Wellen im Dreidimensionalen: Prim¨are longitudinale Druckund sekund¨are transversale Scherwellen

Mathematische Darstellung homogener ebener Wellen im Dreidimensionalen Wie bereits erw¨ahnt: Im homogen-isotropen (unendlich ausgedehnten) Material — im elastischen Vollraum — reicht uns die vorstehende Er¨orterung eindimensionaler ebener Wellen, da wir ein kartesisches Koordinatensystem stets so drehen k¨onnen, dass — beispielsweise — die z-Achse in Ausbreitungsrichtung zeigt. Bereits f¨ ur das einfachste inhomogene Material, den einseitig unendlich ausgedehnten homogen-isotropen elastischen Halbraum, definiert dessen ebene Grenzfl¨ache eine Vorzugsebene“, deren Einbettung in eine Koordinatenfl¨ache eines kartesischen ” Koordinatensystems f¨ ur die Berechnung der Reflexion und Modekonversion elastischer Wellen zwar nicht zwingend notwendig, aber ¨außerst zweckm¨aßig ist. W¨ urden wir daf¨ ur die xy-Ebene w¨ahlen, st¨ unde uns die z-Achse als eindimensionale Ausbreitungsrichtung zur Verf¨ ugung, wir m¨ ussten uns damit jedoch auf senkrechten Einfall auf die Grenzfl¨ache beschr¨anken, Winkelpr¨ ufk¨opfe k¨amen nicht vor“. Folglich ben¨otigen wir die mathematische Darstellung ebener ” Wellen, die sich in einem festen kartesischen Koordinatensystem in irgendeiner, beispielsweise ˆ vorgegebenen Richtung dreidimensional“ ausbreiten. In Abb. 8.1.6 durch den Einheitsvektor k ˆ definieren” wir eine Koordinatenlinie ζ, entlang derer ist diese Situation skizziert: In Richtung k z

.... ....... ........ .. ... ... . .... .. ... ...... ... ... .... ... . ... ... ..... .. ... ... .... ... .... ... ... .... ......................... ... ... .... .................... ... .. ...... ... ... .......... ..... ............. .... ........... ... .... ... ....... .... . ... . . . . . . . .. ............... ... . ... . .... ....... .... ... ........ .. ......... ... ... ........ ... ....... ... ... ................ ... ... ... ........ ... ........ ... ... . .......... .. ....... . ... ........ ........................................................................................................................................................................ . . . . . . . . . .. ..... .. . ....... ..... ... .... .... .. .... ... ... ........ ......... . . . . . . . . ..... . ..... ....... ... ... ....... .... ........ .. ........ .... ... ..... ... .... ... ....... ..... .... ... ........ ..... .. ....... . ..... . . . . . . .. . .. ..... ... ..... ... ... ..... ..... ... ... .... ............ . ..... ................. .. ......

. ........ . ..... kˆ ...... . ........................ R

x

π 2

ζ

ˆ·R ζ=k y

Abb. 8.1.6: Ausbreitungskoordinate ζ einer eindimensionalen ebenen Welle im dreidimensionalen xyz-Raum

sich ebene Wellen eindimensional im dreidimensionalen xyz-Raum ausbreiten sollen. Wir postulieren also ebene elastische Impulswellen mit der Phasengeschwindigkeit c und der linearen

8.1 Homogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien

197

ˆ gem¨aß — longitudinalen oder transversalen — Polarisation u Q

u(ζ, t) = u t ∓

E

ζ ˆ . u c

(8.1.50)

Wir wissen, dass die Phasen und Amplituden homogener ebener Wellen per definitionem in Ebenen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung konstant sind. Wir m¨ ussen also als geometrischen Ort derjenigen Ortsvektoren R, f¨ ur die φ(ζ, t) = φ[ζ(R), t] ζ(R) (8.1.51) = t∓ c ˆ finden. Die Abbildungen 8.1.6 und 2.1.9 f¨ ur feste Zeitpunkte konstant ist, Ebenen senkrecht zu k ˆ · R = ζ(R) = const beschrieben werden13 , veranschaulichen, dass derartige Ebenen durch k sodass die mathematische Darstellung homogener ebener elastischer Impulswellen im dreidiˆ in die Argumentliste der mensionalen R-Raum lautet — wir nehmen den Ausbreitungsvektor k Teilchenverschiebung auf — Q

E

ˆ ˆ =u t∓ k·R u ˆ . u(R, t, k) c

(8.1.52)

Wir wissen nat¨ urlich ebenfalls, dass nunmehr zwischen den Phasengeschwindigkeiten c = cP ˆ und transverˆ P C k) und c = cS prim¨arer und sekund¨arer Wellen mit longitudinaler (ˆ u = u ˆ Polarisation zu unterscheiden sein wird. Aber genau dies wollen wir auf ˆ S ⊥ k) saler (ˆ u = u formal-mathematischem Weg herausfinden, da uns bei der Diskussion der Wellenausbreitung in homogen-anisotropen Materialien gar keine andere M¨oglichkeit bleibt. Es ist deshalb durchaus n¨ utzlich, das hier vorliegende Problem der Ausbreitung ebener elastischer Wellen im homogenisotropen Material, dessen L¨osung wir prinzipiell schon kennen, ebenfalls als sogenanntes Eigenwertproblem zu formulieren und zu l¨osen. Phasengeschwindigkeiten und Polarisationen ebener Wellen im Dreidimensionalen: L¨osung eines Eigenwertproblems Phasengeschwindigkeiten und Polarisationen ebener elastischer Wellen ergaben sich zwangswei” se“ aus den bez¨ uglich der kartesischen Komponenten von u(R, t) entkoppelten Wellengleichungen (8.1.5)–(8.1.7). Diese Entkopplung war eine Konsequenz der Voraussetzung ∂/∂y ≡ 0, die wir hier nicht machen k¨onnen, sodass wir mit der vektoriellen Wellengleichung (8.1.2) arbeiten m¨ ussen. Die Fourier-Transformation bez¨ uglich der Zeit f¨ uhrt uns zur homogenen vektoriellen Schwingungsgleichung μ Δu(R, ω) + (λ + μ)∇∇ · u(R, ω) + ω 2 ρ u(R, ω) = 0

(8.1.53)

f¨ ur das Frequenzspektrum u(R, ω) der Teilchenverschiebung. Zur L¨osung dieser Differentialgleichung machen wir nun den Ansatz homogener14 ebener Wellen ˆ = u(ω, k) ˆ e u(R, ω) = u(R, ω, k)

±j

ˆ k·R ˆ ω c(k)

,

(8.1.54)

indem wir (8.1.51) Fourier-transformieren und dar¨ uber hinaus prinzipiell zulassen, dass der ˆ der vektoriellen Amplitude ˆ (k) Polarisationsvektor u ˆ =u ˆ ˆ (k)u(ω) u(ω, k) 13 F¨ ur

14 Das

ˆ = e erhalten wir wie zuvor ζ = z, d.h. Ebenen senkrecht zur z-Achse. k z ˆ reell vorausgesetzt wird (Abschnitt 8.2). ist deswegen ein Ansatz homogener ebener Wellen, weil k

(8.1.55)

198

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

ˆ von dem Parameter Ausbreitungsrichtung k“ ˆ abh¨angen15 . und die Phasengeschwindigkeit c(k) ” ˆ = ∇·∇u(R, ω, k) ˆ Wenn wir nun u(R, ω) gem¨aß (8.1.54) in (8.1.53) einsetzen, muss Δu(R, ω, k) ˆ und ∇∇ · u(R, ω, k) berechnet werden; wir verwenden dazu die in Abschnitt 2.2.2 angegebenen ˆ · R]: Produkt- und Kettenregeln sowie das Ergebnis (2.2.43) der Berechnung16 von ∇[ jk k ˆ ∇u(R, ω, k)

(2.2.42)

=

$

@

ω ˆ ˆ k · R u(R, ω, k) ∇ ±j ˆ c(k) O:


0 stets gr¨oßer als null und gleich null nur f¨ ur R = 0. Deswegen sind seine Eigenwerte — die Quadrate der Phasengeschwindigkeiten — gr¨oßer als null, d.h. die Phasengeschwindigkeiten selbst sind, wie es sein muss, positiv-reell. Wir werden dies sogleich explizit sehen. ˆ ist die Determinante des homogenen Gleichungssystems Zur Berechnung der Eigenwerte c2 (k) @

$

μ λ+μ ˆˆ ˆ I ·u ˆ =0 ˆ (k) I+ k k − c2 (k) ρ ρ

(8.1.65)

gleich null zu setzen (Gleichung (2.1.131)). Dazu schreiben wir (8.1.65) in der Standardform von Chen (1983) @ $ ˆ μ − ρc2 (k) ˆ ˆ =0 ˆ (8.1.66) I + k k ·ˆ u(k) λ+μ
t1

ˆ Abb. 8.1.7: Zweidimensionale Ortsdarstellung der Impulswellenfronten einer sich in (+k)-Richtung ausbreitenden ebenen ˆ steht senkrecht auf den elastischen P-Welle f¨ ur zwei verschiedene Zeitpunkte t = t1 und t = t2 > t1 ; man beachte: k Wellenfronten

ist die Ausbreitung eines P-RC2(t)-Impulses in einer Abb. 8.1.5 vergleichbaren Art und Weise illustriert. Die koordinatenfreien Darstellungen (8.1.82)–(8.1.85) bzw. (8.1.87)–(8.1.89) ebener elastischer Wellen k¨onnen wir — sehr oft m¨ ussen wir es! — in ein z.B. kartesisches Koordinatensystem ˆ u ˆ u ˆ =k ˆ×u ˆ beispielsweise die ˆ S1 (k), ˆ S2 (k) ˆ S1 (k) einbetten. In Abb. 8.1.8a haben die Vektoren k, Komponenten (2.2.93) des orthonormierten Dreibeins der Kugelkoordinaten zum Polarwinkel ϑk und zum Azimutwinkel ϕk (man vergleiche Abb. 2.2.4): ˆ = sin ϑk cos ϕk ex + sin ϑk sin ϕk ey + cos ϑk ez , k ˆ = cos ϑk cos ϕk ex + cos ϑk sin ϕk ey − sin ϑk ez , ˆ S1 (k) u ˆ = − sin ϕk ex + cos ϕk ey . ˆ S2 (k) u

(8.1.90) (8.1.91) (8.1.92)

ˆ · R ergibt sich sodann zu Das Skalarprodukt k ˆ · R = sin ϑk cos ϕk x + sin ϑk sin ϕk y + cos ϑk z . k

(8.1.93)

ˆ auf Vektoren in W¨ahlen wir speziell ϕk = 0, d.h. beschr¨anken wir die Ausbreitungsrichtung k der xz-Ebene (Abbildung 8.1.8b), so folgt: ˆ = sin ϑk ex + cos ϑk ez , k

(8.1.94)

8.1 Homogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien z

....... kˆ ................... uˆ ....... ˆ u

ˆ SV u

a)

k

ˆ k

y

ϕk

x

...... ... .................. uˆ . ...... . . ϑ

SH

S1

....... kˆ ..

... ... ........ ....... ........... ........ ... .... ... ... ..... . ... .... ... .... ... ... .. ... ... . . ... ... .... . ... .... .... ... . . .. ... ..... ... .... ... .... .... ... .... .... ...... .... .... ..... .. . ..... ... ..... . . . . ... ..... .... . ... ... .... ... ... ... .... ... .. .... ... .... ... ... . . . . . . . . . . ... ...... .... . . .. . . . . ... ..... ... ... .. ... .... ... ... ... ... ... ... . . . . ... ... .. ... ... ... .. ... ...... ... ....... .... ... ... ........................................................................................................................................................... ... ... . . . . . . .. .. . . .. .. ... .. ... .. ... ... ... ..... . ... ...... ... ... ... . . ... ... .. ... ... . .. ... ......... ............. ......

ˆ k

S2

ϑk

z

ζ.

ζ

... ...... ...... ........ ........ ............. ... ... ... ... . . . .... . ... ... .. .. . ... ... .......... .. . .... .... . ... .... ... .. .... .... ... .... ... .... .... .... .... . ..... .... ... .. ... .. ... ..... ... . ... ... . .... . . .... ... . ... .. ... .. .. .... .. ... ... .. .... . .. .... ... ... ................. .... ... ... ........... ... . .... . . ... .... .... .. .... ..... .... .... ... ... .... ... .... ... .. ....... ....... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................... . .. ..... .... . . . ... . ... ..... . . . . ... ... ...... . . . . . . . . . . . . . . .. .. ..... .............................. .... ... .... .... .. ..... .... .... ..... ..... . . . ..... . . . .... . . . . . ..... .... ..... .... ..... ..... . . . ..... .... ..... ..... ... ..... ................. . . ... .......

203

x

...... ... ..

y

b)

Abb. 8.1.8: Orthogonale Polarisation sekund¨ arer Wellen: SH- und SV-Wellen

ˆ = cos ϑk ex − sin ϑk ez ˆ S1 (k) u def ˆ , ˆ SV (k) = u ˆ = ey ˆ S2 (k) u

ˆ ; ˆ SH (k) = u

def

ˆ · R = sin ϑk x + cos ϑk z . k

(8.1.95) (8.1.96) (8.1.97)

Sollte die xy-Ebene eine Referenzebene sein — Trennfl¨ache zwischen zwei Materialien, Bauteilˆ = u ˆ = ey zur horizontalen Polarisation der transversalen ˆ S2 (k) ˆ SH (k) oberfl¨ache —, so wird u ˆ =u ˆ zur Polarisation der SV-Welle, welche ˆ SV (k) ˆ S1 (k) Sekund¨arwelle, d.h. zur SH-Welle, und u im Allgemeinen eine von null verschiedene vertikale Komponente bez¨ uglich der xy-Ebene hat; die Bezeichnungen20 SH und SV beziehen sich also stets auf eine Referenzebene (beziehungsweise ˆ = ez auf die Unabh¨angigkeitsachse eines zweidimensionalen Problems; Abschnitt 7.3)! F¨ ur k ˆ SH = ey sind sodann beide ˆ SV = ex , und mit u (Abbildungen 8.1.2 und 8.1.4) wird nat¨ urlich u transversalen Wellenmoden horizontal und damit physikalisch ununterscheidbar. Mit (8.1.75), (8.1.76) bzw. (8.1.79), (8.1.80) haben wir die Polarisationsvektoren ebener elastischer Wellen durch Hinschauen“ gefunden; in Abschnitt 2.1.4 hatten wir jedoch eine formale ” ˆ c2 ) Vorgehensweise zitiert, die auf der Kenntnis der Adjungierten des Wellentensors adj W(k, beruht. Mit der Chen-Formel (Chen, 1983) adj (β I + C D) = β [(β + C · D) I − C D]

(8.1.98)

20 Abbildung 8.1.8a vermittelt sofort, dass u ˆ S2 und u ˆ S1 nat¨ urlich ebenfalls SH und SV bez¨ uglich der xy-Ebene sind; dennoch steht Abbildung 8.1.8b f¨ ur die eigentliche“ SH- und SV-Definition, n¨ amlich, im Fall SH, f¨ ur die Orientierung parallel zu einer ” Unabh¨ angigkeitsachse — hier: y — eines zweidimensionalen Problems. Ferner: Wenn die xz-Ebene zu einer Einfallsebene deklariert wird (Abschnitt 9), ist SH eine zur Einfallsebene senkrechte und SV eine zur Einfallsebene parallele Polarisation.

204 berechnen wir

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien 2 ˆ c2 ) = μ − ρc adj W(k, λ+μ

Q

λ + 2μ − ρc2 ˆk ˆ I−k λ+μ

E

(8.1.99)

und folglich ˆ , ˆ c2 ) = k ˆk adj W(k, P ˆ c2 ) = 0 ; adj W(k, S

(8.1.100) (8.1.101)

0 ist der Nulltensor. Mit (8.1.75) und (8.1.79) halten wir also fest: Ein Tensor zweiter Stufe (hier: W), dessen Determinante identisch null ist, ist entweder, wie man sagt (Chen, 1983), planar (grob gesagt: er besteht aus zwei Termen: Gleichung (8.1.75)), dann ist der adjungierte Tensor (8.1.100) linear (dyadisches Produkt zweier Vektoren, eine Dyade), oder der Tensor ist linear (Gleichung (8.1.79)), dann ist der adjungierte Tensor der Nulltensor. Im ersten Fall ist ˆ Eigenvektor, im zweiten der Spaltenvektor (Linksvektor) des adjungierten Tensors (hier: k) ˆ Fall ist jeder Vektor senkrecht zum Zeilenvektor (Rechtsvektor) des Tensors selbst (hier: k) Eigenvektor. Der Fall, dass der Tensor linear und der adjungierte Tensor der Nulltensor ist, ist typisch f¨ ur einen zweifachen Eigenwert. Diese sogenannte Entartung — die beiden zugeh¨origen Eigenvektoren sind zwar orthogonal zum dritten Eigenvektor, ansonsten aber beliebig — ist charakteristisch f¨ ur isotrope Materialien, in anisotropen Materialien wird sie aufgehoben. Prim¨are longitudinale Druck- und sekund¨are transversale Scherwellen Die longitudinale Polarisation prim¨arer homogener ebener Wellen und die transversale Polarisation sekund¨arer homogener ebener Wellen in isotropen Materialien ergibt sich ebenso — und tats¨achlich etwas weniger formal als im vorigen Paragraphen — mithilfe der HelmholtzZerlegung (Abschnitt 7.2); damit wird auch offensichtlich, dass prim¨are Wellen Druck- und sekund¨are Wellen Scherwellen sind: Die Buchstaben P und S stehen dann f¨ ur pressure und shear. Es sei aber noch einmal betont: In anisotropen Materialien f¨ uhrt diese Vorgehensweise nicht zum Ziel, sodass man in diesem Fall auch nur mit ebenen quasi -Druck- und ebenen quasi -Scherwellen rechnen kann. Die Helmholtz-Zerlegung (7.2.1) des Vektors der Teilchenverschiebung lieferte mit der Eichung (7.2.2) in homogen-isotropen Materialien die entkoppelten d’Alembert’schen Wellengleichungen (7.2.8), (7.2.9) f¨ ur das skalare Potential Φ(R, t) und das vektorielle Potential Ψ(R, t), deren homogene und bez¨ uglich t Fourier-transformierte Versionen ρ (8.1.102) Φ(R, ω) = 0 , ΔΦ(R, ω) + ω 2 λ + 2μ ρ ΔΨ(R, ω) + ω 2 Ψ(R, ω) = 0 (8.1.103) μ wir hier untersuchen. Mit den (8.1.54) entsprechenden Ans¨atzen ˆ k·R

ˆ ω ˆ = Φ(ω, k) ˆ e±j c(k) , Φ(R, ω, k)

ˆ = Ψ(ω, k) ˆ e Ψ(R, ω, k)

±j

ˆ k·R ˆ ω c(k)

(8.1.104) (8.1.105)

ebener Wellen erhalten wir −

ω2 ˆ + ω 2 ρ Φ(R, ω, k) ˆ =0 , Φ(R, ω, k) 2 ˆ λ + 2μ c (k)

(8.1.106)

ω2 ˆ + ω 2 ρ Ψ(R, ω, k) ˆ =0 , Ψ(R, ω, k) 2 ˆ μ c (k)

(8.1.107)

−

8.1 Homogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien

205

wenn wir (2.2.43), (2.2.40), (2.2.42) und (2.2.35) verwenden21 . Da die Exponentialfunktionen in (8.1.104), (8.1.105) stets von null verschieden sind, sind die Gleichungen (8.1.106), (8.1.107) ¨aquivalent zu Q

E

ρ 1 ˆ =0 , − ω 2 Φ(ω, k) ˆ λ + 2μ c2 (k)

(8.1.108)

1 ρ ˆ =0 . − ω 2 Ψ(ω, k) 2 ˆ μ c (k)

(8.1.109)

Q

E

ˆ und Ψ(ω, k) ˆ beliebige Amplituden sind, folgt, dass die Klammern in (8.1.108) und Da Φ(ω, k) ˆ die Werte (8.1.109) gleich null sein m¨ ussen22 , also nimmt c(k) C

λ + 2μ , ρ C μ cS = ρ

cP =

(8.1.110) (8.1.111)

an. Wie u ur die Phasengeschwindig¨blich haben wir die beiden m¨oglichen Klammerl¨osungen“ f¨ ” keiten durch die Indizes P und S gekennzeichnet, und nat¨ urlich sind beide im isotropen Material ˆ Anstelle von ω/cP,S schreiben wir in (8.1.104), (8.1.105) wieder die Welkeine Funktionen von k. lenzahlen kP,S . Das Potential Φ(R, ω) ist eine skalare Feldgr¨oße, nach dessen Polarisation“ brauchen wir des” ˆ Kenner der Theorie elekhalb nicht zu fragen. Anders f¨ ur das vektorielle Potential Ψ(R, ω, k): tromagnetischer Wellen wissen, dass die Divergenzbedingung (7.2.2) die Transversalit¨at von ˆ impliziert. Wir berechnen Ψ(ω, k) X

0

ˆ ˆ ˆ e±jkS k·R ˆ e±jkS k·R ˆ ∇ · Ψ(ω, k) · [±jkS k] = Ψ(ω, k) ˆ

ˆ ·k ˆ ; = ±jkS e±jkS k·R Ψ(ω, k)

(8.1.112)

gem¨aß (7.2.2) soll das Ergebnis dieser Rechnung stets gleich null sein, und wegen der von null verschiedenen Exponentialfunktion muss deshalb ˆ · Ψ(ω, k) ˆ =0 k

(8.1.113)

ˆ muss transversal zur Ausbreitungsrichtung sein. Dies ist die (f¨ ur ω > 0) gelten, d.h. Ψ(ω, k) ur das Vektorpotential sekund¨arer Wellen. Konsequenz der — willk¨ urlichen23 — Eichung (7.2.2) f¨ Mit (7.2.1) ergibt sich nun — wir benutzen (2.2.40), (2.2.41), (2.2.43) — ˆ = ∇Φ(R, ω, k) ˆ + ∇ × Ψ(R, ω, k) ˆ u(R, ω, k) X 0 X 0 ˆ ˆ ˆ e±jkP k·R ˆ e±jkS k·R = ∇ Φ(ω, k) + ∇ × Ψ(ω, k) ˆ ˆ ˆ ± jkS e±jkS k·R ˆ × Ψ(ω, k) ˆ e±jkP k·R ˆ . k k = ±jkP Φ(ω, k)

(8.1.114)

Man erkennt sofort: Der Prim¨aranteil der Teilchenverschiebung ebener elastischer Wellen ist longitudinal und der Sekund¨aranteil transversal polarisiert (unabh¨angig von der willk¨ urlichen @

21 Wir

ˆ e berechnen damit Δ Ψ(ω, k)

22 Selbstredend

±j

ˆ k·R ˆ c(k)

$

ω

koordinatenfrei, also ohne viel Schreibarbeit!

interessiert uns vor allem der Fall ω = 4 0. elektromagnetische ebene Wellen ist die Divergenzfreiheit der elektrischen Flussdichte ein durch die Maxwell’schen Gleichungen formuliertes physikalisches Gesetz. 23 F¨ ur

206

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

Eichung!). Dar¨ uber hinaus weiß man nun aufgrund der Gleichungen (2.2.56), (2.2.57) sofort, dass der Prim¨aranteil rotationsfrei und der Sekund¨aranteil divergenzfrei ist (explizit ausrechnen kann man dies mit (8.1.114) nat¨ urlich auch: Fußnote 18). W¨ahlen wir nun speziell (man vergleiche Fußnote 15 und Gleichung (8.1.55)) ˆ = Φ(ω) , Φ(ω, k) ˆ = Ψ( ˆ ˆ k)Ψ(ω) , Ψ(ω, k)

(8.1.115) (8.1.116)

so liefert der Vergleich mit (8.1.82), (8.1.83) die folgenden Beziehungen zwischen den Impulsspektren Φ(ω), Ψ(ω) der Potentiale und den Impulsspektren uP (ω), uS (ω) der Teilchenverschiebungen: uP (ω) = jkP Φ(ω) , uS (ω) = jkS Ψ(ω) ;

(8.1.117) (8.1.118)

f¨ ur die Zeitfunktionen selbst bedeutet dies: 1 dΦ(t) , cP dt 1 dΨ(t) uS (t) = − . cS dt

uP (t) = −

(8.1.119) (8.1.120)

ˆ ˆ u ˆ und Ψ( ˆ k) ˆ S2 (k) ˆ S1 (k), Hinsichtlich des Zusammenhangs zwischen den Polarisationsvektoren u ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S1 (k) SV-orientiert“ oder haben wir die Wahl: Wir k¨onnen Ψ(k) entweder gem¨aß Ψ(k) = u ˆ =u ˆ × Ψ( ˆ und im ˆ SH-orientiert“ ansetzen; im ersten Fall ist u ˆ ”= k ˆ k) ˆ k) ˆ S2 (k) ˆ S2 (k) gem¨aß Ψ( ” ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S1 (k) = Ψ(k) × k. In (kartesischen) Koordinaten heißt dies (man vergleiche zweiten Fall ist u ˆ in der xz-Ebene liefert Ψ ˆ Ψ ˆ =Ψ ˆ = ey , ˆ x ex + Ψ ˆ z ez eine SH-Welle mit u ˆ SH = k× Abb. 8.1.8): Mit k ˆ = uˆSVx ex + uˆSVz ez . ˆ = ey ergibt eine SV-Welle mit u ˆ ×k ˆ SV = Ψ und Ψ Schalldruck ebener elastischer Wellen Ganz allgemein gibt es die Feldgr¨oße Schalldruck“ im Sinne der Akustik (Abschnitt 5) dann ” und nur dann, wenn der Spannungstensor gleich dem isotropen Drucktensor ist: T(R, t) = P(R, t) = −p(R, t) I .

(8.1.121)

Mit (7.1.23), dem Spannungstensor f¨ ur homogen-isotrope elastische Materialien, berechnen wir unter Verwendung von (8.1.58) und (8.1.56) f¨ ur ebene Wellen: ˆ ˆ = jkP uP (ω) e jkP k·R ˆ k) ˆ , TP (R, ω, k) (λ I + 2μ k ˆ ˆ = jkS μ uS (ω) e jkS k·R ˆu ˆ +u ˆ k] ˆ . ˆ S (k) ˆ S (k) [k TS (R, ω, k)

(8.1.122) (8.1.123)

ˆ der λ-Term. Offenbar sind die Wegen der Divergenzfreiheit der Scherwelle fehlt in TS (R, ω, k) beiden Tensoren (8.1.122), (8.1.123) nicht proportional zum Einheitstensor24 , sodass es p(R, t) bzw. p(R, ω) im Sinne von (8.1.121) in elastischen Materialien nicht gibt. Dennoch l¨asst sich in Analogie zu (5.4.15) f¨ ur ebene elastische Wellen ein skalarer Schalldruck aus dem Spannungstenˆ und sor ableiten, indem man (8.1.122) und (8.1.123) zun¨achst auf die Ausbreitungsrichtung k ˆ ˆ ˆ S (k) der ebenen elastischen Welle projiziert25 : sodann auf die jeweilige Polarisation k bzw. u ˆ ˆ def ˆ :k ˆk ˆ = −jωZP uP (ω) e jkP k·R = −TP (R, ω, k) pP (R, ω, k)


0

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. ....

.. .....

.. ....

.. .....

.. ....

.. .....

.. ....

. .....

.. ....

. .....

.. ....

. .....

.. ....

. .....

.. ....

..

6k

2k · R < 0

e j.k·R

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. ....

.. .....

.. ....

........ R . ..... ........... 6k . ... .............. ........ ..... ..... ..... ........ 2k .. .....

.. ....

.. .....

.. ....

. .....

.. ....

. .....

.. ....

. .....

.. ....

. .....

.. ....

..

e−j.k·R

a)

b)

Abb. 8.2.1: Querged¨ ampfte inhomogene ebene Wellen (im elastischen Vollraum)

Wir brauchen die Dispersionsrelationen (8.2.4) oder (8.2.5) aber nicht durch den Ansatz (8.2.6) zu befriedigen, sondern wir k¨onnen durchaus komplexe Wellenzahlvektoren

zulassen, wenn wir nur

k = 6k + j2k

(8.2.7)

6k · 2k = 0

(8.2.8)

fordern. Diese Nebenbedingung stellt sicher, dass k · k = |6k|2 − |2k|2 + 2j 6k · 2k
= 0 erlaubt wird. Tats¨achlich erzeugt“ der Ansatz (8.2.7) gem¨aß ” ˆ (k) (8.2.10) u(R, ω, k) = u(ω) e±j.k·R e∓,k·R u mit (8.2.7) eine bez¨ uglich des Phasenausbreitungsvektors 6k querged¨ampfte inhomogene ebene Welle, wenn wir, je nach Ausbreitungsrichtung, den D¨ampfungsvektor 2k in den richtigen“ ” Halbraum zeigen lassen. Abbildung 8.2.1 illustriert dieses: F¨ ur Ausbreitung in (+6k)-Richtung −,k·R eine exponentielle D¨ampfung f¨ ur denjenigen Halbraum, in den (Abbildung 8.2.1a) ist e auch 2k zeigt, denn dann ist 2k · R > 0; f¨ ur Ausbreitung in (−6k)-Richtung (Abbildung ur denjenigen Halbraum, in den 2k 8.2.1b) ist e ,k·R hingegen eine exponentielle D¨ampfung f¨ nicht zeigt, denn dann ist 2k · R < 0. Der komplexe Wellenzahlvektor k hat als Realteil den Phasenausbreitungsvektor 6k und als Imagin¨arteil den (Amplituden-)D¨ampfungsvektor 2k, 29 Die

Verallgemeinerung auf inhomogene Materialien in Form von Eikonalgleichungen diskutieren wir in Abschnitt 12.3.

212

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

dessen Richtung entsprechend einer D¨ampfung festgelegt werden muss. Derartige inhomogene ebene Wellen in nichtdissipativen Materialien werden uns zum ersten Mal bei der Diskussion der Totalreflexion ebener SV-Wellen an der ebenen Grenzfl¨ache eines elastischen Halbraums begegnen (Abschnitt 9.1.2). Komplexe Polarisationsvektoren Prim¨are ebene Wellen in isotropen Materialien sind als Druckwellen rotationsfrei, und sekund¨are ebene Wellen sind als Scherwellen divergenzfrei; wir bestimmen deshalb die Polariˆ P,S (k) u sations(einheits)vektoren u ¨ber die Forderungen:

Offensichtlich wird (8.2.11) durch

ˆ P (kP ) = 0 , kP × u ˆ S (kS ) = 0 . kS · u

(8.2.11) (8.2.12)

ˆ P (kP ) ∼ kP u

(8.2.13)

befriedigt, da auch f¨ ur komplexe Wellenzahlvektoren kP = 6kP + j2kP stets kP × kP ≡ 0 gilt. ˆ P (kP ) ebenfalls komplex, sodass wir den P-Polarisationseinheitsvektor u ˆ P (kP ) Mit (8.2.13) ist u im Hermite’schen Sinne durch k ˆ P (kP ) = ' P (8.2.14) u kP · k∗P ˆ P (kP ) · u ˆ ∗P (kP ) = 1. Mit (8.2.7) und (8.2.14) ergibt sich das in definieren, denn dann gilt u a)

........................................................ .... .... 6k 6ˆ u . . . . ... .... 2ˆu ........... ........ 2k P

b)

S

P

R

ˆ S2 u

.........................................................•.............................. .... .... 2ˆu 6k . . . . ... .. ........... ....... 2k . R ........ 6ˆ u

P

P

S1

S

S1

Abb. 8.2.2: a) Polarisation einer inhomogenen ebenen Druckwelle im nichtdissipativen Material; b) S1/S2-Polarisation inhomogener ebener Scherwellen im nichtdissipativen Material

Abb. 8.2.2a skizzierte Bild der Polarisation einer inhomogenen Druckwelle im nichtdissipativen Material. Bei Ausbreitung in positiver 6k-Richtung ergibt sich die exponentielle Querd¨ampfung f¨ ur den durch R angedeuteten Halbraum. ˆ S (kS ) erf¨ Die Forderung (8.2.12) ist f¨ ur jeden komplexen Vektor u ullt, f¨ ur den 6kS · 6ˆ uS (kS ) − 2kS · 2ˆ uS (kS ) = 0 , uS (kS ) + 6kS · 2ˆ uS (kS ) = 0 2kS · 6ˆ

(8.2.15) (8.2.16)

ˆ S (kS ) kein Senkrechtstehen im geomegilt, mit (8.2.12) wird also f¨ ur komplexe Vektoren kS , u trischen Sinn vermittelt. Wie im vorstehenden Abschnitt im Falle reeller Wellenzahlvektoren ˆ S2 reell, also 2ˆ uS2 = 0, sodass gem¨aß w¨ahlen wir u ˆ S2 6kS · u

(8.2.15)

0 ,

(8.2.17)

ˆ S2 2kS · u

(8.2.16)

0

(8.2.18)

= =

8.2 Inhomogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien

213

ˆ S2 unabh¨angig von kS stets senkrecht auf der von 6kS und 2kS aufgespannten Ebene steht. u In Anlehnung an Abb. 8.1.8a definieren wir nun ˆ S1 (kS ) = ' u

ˆ S2 × kS u u∗S2 × k∗S ) (ˆ uS2 × kS ) · (ˆ

ˆ × kS u = 'S2 , kS · k∗S

(8.2.19)

ˆ S2 · kS = 0, u ˆ S2 · k∗S = 0, u ˆ S2 = 1 dieselbe Normierung wie f¨ ˆ P (kP ) ˆ S2 · u wobei sich wegen u ur u ergibt. Die Definition (8.2.19) sichert ˆ S1 (kS ) · kS = 0 , u ˆ S2 = 0 ; ˆ S1 (kS ) · u u

(8.2.20) (8.2.21)

sie ist wegen30 ˆ S2 × 6kS u , 6ˆ uS1 (kS ) = ' kS · k∗S ˆ S2 × 2kS u 2ˆ uS1 (kS ) = ' kS · k∗S

(8.2.22) (8.2.23)

eine spezielle L¨osung von (8.2.15); die Beziehungen (8.2.22) und (8.2.23) ergeben dann zusammen mit (8.2.8) und (8.2.16) die in Abb. 8.2.2b skizzierten Verh¨altnisse. Nat¨ urlich k¨onnen wir auch, entsprechend Abb. 8.1.8b, in einem kartesischen Koordinatensystem kP,S · ey = 0 postulieren; dann folgt ˆ P (kP ) · ey = 0 , u ˆ SH = ey , ˆ S2 =⇒ u u e × kS ˆ S1 (kS ) =⇒ u ˆ SV (kS ) = 'y u . kS · k∗S

(8.2.24) (8.2.25) (8.2.26)

Phasengeschwindigkeiten Entsprechend (8.1.54), dem Ansatz homogener ebener Wellen, definiert cP,S (kP,S ) =

ω |6kP,S |

(8.2.27)

im Ansatz (8.2.10) inhomogener ebener Wellen deren Phasengeschwindigkeit, da wir die Phase gem¨aß |6kP,S | 2 6kP,S · R = 6kP,S · R ω (8.2.28) ω schreiben k¨onnen. Als vektorielle Phasengeschwindigkeit entsprechend (8.1.145) ergibt sich folglich ω 2 6k (8.2.29) cP,S (kP,S ) = P,S . |6kP,S | 30 Man beachte: .ˆ uS1 , .ˆ uS2 , .kS bilden stets unser gewohntes“ rechtsh¨ andiges orthogonales Dreibein der Scherwellenpolarisa” tionen; ,ˆ uS1 ist jedoch an den Imagin¨ arteilvektor ,kS gekoppelt, welcher bei Ausbreitung in (+.kS )-Richtung in den Querd¨ amp” fungshalbraum“ zeigen muss.

214

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

Wegen kP,S + k∗P,S = 26kP,S k¨onnen wir cP,S (kP,S ) explizit in Abh¨angigkeit der komplexen Vektoren kP,S schreiben: cP,S (kP,S ) = '

2 kP,S · kP,S +

k∗P,S

· k∗P,S + 2kP,S · k∗P,S

ω .

(8.2.30)

Aufgrund der Dispersionsrelationen (8.2.4), (8.2.5) nichtdissipativer Materialien folgt kP,S · 2 2 kP,S = kP,S und k∗P,S · k∗P,S = kP,S , also B K K cP,S (kP,S ) = 4 2 k

2 ω . ∗ P,S + kP,S · kP,S

(8.2.31)

¨ Uber kP · k∗P k¨onnen wir nur f¨ ur homogene ebene Wellen weitere Aussagen machen (Abschnitt 8.1.2 und Abschnitt 8.4.1). Mit ˆ P,S = kP,S k (8.2.32) kP,S definieren wir allerdings im vorliegendenn Fall nichtdissipativer Materialien komplexe Einheitsˆ P,S im nicht-Hermite’schen Sinne31 , denn die Dispersionsrelationen lauten dann vektoren k ˆ P,S = 1 . ˆ P,S · k k Damit ergibt sich schließlich

B K ˆ P,S ) = K 4 cP,S (k

2 cP,S . ˆ ˆ∗ 1 + kP,S · k P,S

(8.2.33)

(8.2.34)

Die Phasengeschwindigkeiten homogener und inhomogener ebener Wellen unterscheiden sich! In ˆ P ) f¨ Abschnitt 9.1.2 werden wir cP (k ur einen konkret vorliegenden Wellenzahlvektor kP angeben. 2 ˆ P,S |2 + ˆ P,S = |6k ˆ P,S | − |2k ˆ P,S |2 = 1, folgt |6k ˆ P,S | ≥ 1, und wegen k ˆ P,S · k ˆ ∗ = |6k ˆ P,S · k Da k P,S ∗ ˆ P,S · k ˆ ≥ 1 (Fußnote 31) mit dem Resultat cP,S (k ˆ P,S ) ≤ cP,S . ˆ P,S |2 ist deshalb k |2k P,S

Energiegeschwindigkeiten f¨ ur komplexe Druck- und Scherwellenzahlvektoren Zur Berechnung von Energiegeschwindigkeiten inhomogener ebener Wellen m¨ ussen wir zun¨achst den komplexen Poynting-Vektor und die zeitlich gemittelte Energiedichte zeitharmonischer Wellen der Kreisfrequenz ω0 f¨ ur komplexe Wellenzahlvektoren ausrechnen. Wir greifen auf (8.1.129) zur¨ uck: X ω0 0 6SK (R, ω0 , k) = j u(R, ω0 , k) · T∗ (R, ω0 , k) + u∗ (R, ω0 , k) · T(R, ω0 , k) ; 4 mit

(8.2.35)

T(R, ω0 , k) = c : S(R, ω0 , k) =

j c : [k u(R, ω0 , k) + u(R, ω0 , k)k] 2

liefert der Ansatz (8.2.1) mit (8.2.7) f¨ ur isotrope Materialien ω0 ˆ (k)ˆ ˆ ∗ (k)ˆ u(k) + k · u u∗ (k)] + 6SK (R, ω0 , k) = |u(ω0 )|2 e−2,k·R {λ [k∗ · u 4 ˆ (k)ˆ ˆ ∗ (k)ˆ + μ(k + k∗ ) + μ [k∗ · u u∗ (k) + k · u u(k)]} ; 31 Mit

ˆ (8.2.33) gilt: k P,S ·

ˆ∗ k P,S

ˆ ≥ 1, und das Gleichheitszeichen gilt nur f¨ ur ,k P,S = 0.

(8.2.36)

(8.2.37)

8.2 Inhomogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien

215

ˆ (k) · u ˆ ∗ (k) = 1 ber¨ Wir haben dabei u ucksichtigt. Mit (8.1.135) erhalten wir analog f¨ ur die zeitlich gemittelte Energiedichte: 0 1 ,w(R, t, ω0 , k)7 = |u(ω0 )|2 e−2,k·R Yω02 + 4 u∗ (k) : k∗ k + μk · k∗ + μˆ u(k) : k∗ k] . u∗ (k)ˆ +λˆ u(k)ˆ

(8.2.38)

Offensichtlich liegt im Falle komplexer Wellenzahlvektoren, sei es f¨ ur inhomogene ebene Wellen in nichtdissipativen oder f¨ ur homogene/inhomogene ebene Wellen in dissipativen Materialien, nicht mehr die Gleichheit von (zeitlich gemittelter) potentieller und kinetischer Energiedichte vor32 . Die Spezialisierung von (8.2.37) und (8.2.38) auf Druckwellen ergibt sich durch Einsetzen von (8.2.14): λ (k∗P · k∗P kP + kP · kP k∗P ) + 2μkP · k∗P (kP + k∗P ) ω0 6SKP (R, ω0 , kP )= |u(ω0 )|2 e−2,kP ·R , 4 kP · k∗P (8.2.39) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 2 1 λ (k k + k : k k (k + k · k k ) + 2μk · k · P P P P kP ) P P P P P P P . ,wP (R, t, ω0 , kP )7= |u(ω0 )|2 e−2,kP ·R 4 kP · k∗P (8.2.40) Bis zu dieser Stelle haben wir noch keine Dispersionsrelationen benutzt; f¨ ur inhomogene ebene Druckwellen in nichtdissipativen Materialien suchen wir jedoch komplexe Wellenzahlvektoren kP , deren Skalarprodukt mit sich selbst reell ist, also gilt kP · kP = kP2 sowie k∗P · k∗P = kP2 . In Erg¨anzung zu (8.1.132) und (8.1.138) erhalten wir deshalb ∗

2 ˆ ˆ ˆ P ) = ω0 |u(ω0 )|2 e−2kP ,kˆ P ·R λ + 2μkP∗· kP 6k ˆP , 6SKP (R, ω0 , k ˆP · k ˆ 2cP k P 2 / ˆ ˆ∗ W ω λ + 2μ k P · kP ˆP · k ˆ∗ ˆ P )7 = 0 |u(ω0 )|2 e−2kP ,kˆ P ·R ,wP (R, t, ω0 , k 1+k ∗ P 2 ˆ ˆP · k 4cP k

(8.2.41) (8.2.42)

P

und folglich ˆP) = cEP (k

2cP ˆP ; 6k ˆ∗ ˆP · k 1+k

(8.2.43)

P

die Energiestr¨omung erfolgt also senkrecht zu den Phasenfl¨achen, wie es auch f¨ ur homogene ebene Wellen der Fall ist. Aber nicht nur die Richtungen von Phasen- und Energiegeschwindigkeit sind gleich, die Betr¨age der Geschwindigkeiten sind es ebenso; durch Betragsbildung von ˆ P )| = cP (k ˆ P ). (8.2.43) finden wir n¨amlich mit (8.2.27), (8.2.32) und (8.2.31): |cEP (k Wegen des Auftretens komplexer und konjugiert komplexer Einheitsvektoren in (8.2.37) und (8.2.38) k¨onnen wir davon ausgehen, dass sich f¨ ur Scherwellen unterschiedliche Ausdr¨ ucke f¨ ur ˆ S2 - als auch f¨ die S2/SH- und die S1/SV-Polarisation ergeben. Sowohl f¨ ur reellwertigen u ur ˆ S1 (kS )-Vektor ist kS · u ˆ S2/S1 = 0 und k∗S · u ˆ ∗S2/S1 = 0; f¨ ˆ S2 gilt aber zudem komplexwertigen u ur u ∗ ˆ S2 = 0, sodass sich (8.2.37) und (8.2.38) auf kS · u ω0 (8.2.44) 6SKS2 (R, ω0 , kS ) = μ |u(ω0 )|2 e−2,kS ·R 6kS , 2 W / 1 ,wS2 (R, t, ω0 , kS )7 = |u(ω0 )|2 e−2,kS ·R Yω02 + μkS · k∗S 4 W / 1 (8.2.45) = μ |u(ω0 )|2 e−2,kS ·R kS2 + kS · k∗S 4 32 F¨ ur

elektromagnetische Wellen gilt dies gleichermaßen (Chen, 1983).

216

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

reduzieren. Mit der (8.2.32) analogen Definition ˆ S = kS k kS

(8.2.46)

folgt weiter: Yω02 ˆ ˆS , cS |u(ω0 )|2 e−2kS ,kS R 6k 2 W / Yω02 ˆ ˆS · k ˆ∗ . ,wS2 (R, t, ω0 , kS )7 = |u(ω0 )|2 e−2kS ,kS ·R 1 + k S 4 6SKS2 (R, ω0 , kS ) =

Es ergibt sich ˆS) = cES2 (k

2cS ˆS 6k ˆS · k ˆ∗ 1+k

(8.2.47) (8.2.48)

(8.2.49)

S

ˆ S ) als Energiegeschwindigkeit. Die Ausdr¨ ˆ S )| = cS2 (k mit — siehe oben — |cES2 (k ucke (8.2.44), (8.2.45) bzw. (8.2.47), (8.2.48) sowie (8.2.49) gelten f¨ ur jeden reellen S2-Polarisationsvektor, ˆ SH = ey . ˆ S2 = u also auch f¨ ur u Mit der Identit¨at (A × B)(C × D) = (A × B) · (C × D) I + (A · D)C B + (B · C)D A − −(A · C)D B − (B · D)C A

(8.2.50)

errechnen wir 2k · k∗ (k + k∗S ) − (k∗S · k∗S kS + kS · kS k∗S ) 1 μ |u(ω0 )|2 e−2,kS ·R S S S , 4 kS · k∗S (8.2.51) ∗ ∗ ∗ 2 ∗ 2 1 k · k (k + kS · kS ) + (kS · kS ) − kS kS : k∗S kS ,wS1 (R, t, ω0 , kS )7 = μ |u(ω0 )|2 e−,kS ·R S S S 4 kS · k∗S (8.2.52) 6SKS1 (R, ω0 , kS ) =

f¨ ur die S1-Polarisation. Mit der Dispersionsrelation nichtdissipativer Materialien und der Definition (8.2.46) folgt weiter: ˆ∗ − 1 ˆ ·k 2k Yω02 ˆ ˆS , cS |u(ω0 )|2 e−2kS ,kS ·R S S ∗ 6k ˆS · k ˆ 2 k S /W / W ˆ ∗ 2k ˆS · k ˆ∗ − 1 ˆS · k 1 + k Yω02 S S ˆ . ,wS1 (R, t, ω0 , kS )7 = |u(ω0 )|2 e−2kS ,kS ·R ˆS · k ˆ∗ 4 k S 6SKS1 (R, ω0 , kS ) =

(8.2.53) (8.2.54)

Energie- und Energiestromdichte unterscheiden sich also f¨ ur reell- und komplexwertige S-Polarisationsvektoren. Im Ausdruck ˆS) = cES1 (k

2cS ˆS 6k ˆS · k ˆ∗ 1+k

(8.2.55)

S

ˆ S )| f¨ ur die Energiegeschwindigkeit heben sich diese Unterschiede aber weg; es gilt nat¨ urlich |cES1 (k ˆ S ). = cS1 (k ˆ S1 = u ˆ SV mit u ˆ SV · ey = 0 a¨ndert auch hier an den Ergebnissen nichts. Die Spezialisierung u

8.3 Ebene Wellen in anisotropen nichtdissipativen Materialien

8.3

217

Ebene Wellen in anisotropen nichtdissipativen Materialien

Wir behandeln in diesem Abschnitt zun¨achst den wichtigen Fall homogener ebener Wellen; auf inhomogene ebene Wellen (in nichtdissipativen) Materialien gehen wir im Zusammenhang mit ihrem physikalischen Auftreten bei der Reflexion/Transmission an der ebenen Trennfl¨ache zwischen isotropen und anisotropen (transversal-isotropen) Halbr¨aumen ein (Abschnitt 9.3).

8.3.1

Ebene Wellen in anisotropen Materialien

Wellentensor F¨ ur die spektrale Teilchenverschiebung u(R, ω) lautet die Fourier-transformierte homogene Wellengleichung (7.1.15) f¨ ur homogen-anisotrope Materialien wie folgt: ∇ · c : ∇u(R, ω) + ρω 2 u(R, ω) = 0 .

(8.3.1)

Analog zu (8.1.54) machen wir zur L¨osung den Ansatz homogener ebener Wellen ˆ k·R

ˆ ω ˆ = u(ω, k) ˆ e±j c(k) u(R, ω) =⇒ u(R, ω, k) ,

(8.3.2)

ˆ der (reelle) Einheitsvektor der (Phasen-)Ausbreitungsrichtung ist, von dem, wie wir wobei k ˆ explizit abh¨angen wird. Auch der Polarisationssehen werden, die Phasengeschwindigkeit c(k) ˆ ˆ vektor u(ω, k) h¨angt wesentlich von k ab; wir faktorisieren wie in (8.1.55) ˆ =u ˆ ˆ (k)u(ω) . u(ω, k)

(8.3.3)

Mit dem Ansatz (8.3.2) ergibt sich aus (8.3.1) das Pendant zu (8.1.61) f¨ ur homogen-anisotrope Materialien: $ @ 1ˆ ˆ − c2 (k) ˆ I · ω 2 u(R, ω, k) ˆ =0 . (8.3.4) k·c·k ρ Infolgedessen stellt sich die Berechnung der Phasengeschwindigkeit und der Polarisation homogener ebener Wellen in homogen-anisotropen Materialien als Eigenwertproblem ˆ ·u ˆ = c2 (k)ˆ ˆ u(k) ˆ ˆ (k) Daniso (k)

(8.3.5)

heraus, wobei

ˆ = 1k ˆ ˆ·c·k (8.3.6) Daniso (k) ρ wegen der Symmetrien (4.2.3), (4.2.5) der reell-symmetrische Kelvin-Christoffel-Tensor ist. ˆ reell ist, m¨ ˆ positiv sein; das Damit die Phasengeschwindigkeit c(k) ussen die Eigenwerte c2 (k) aniso ˆ aniso ˆ sind sie genau dann, wenn D (k) positiv-definit ist. Dazu muss R · D (k) · R stets gr¨oßer als null und gleich null nur dann sein, wenn R = 0 ist. Diese Forderung u ¨bertr¨agt sich wegen ˆ R = Rk ˆ auf den Steifigkeitstensor: R k ˆ ˆ : c : Rk ˆ : c : k der Definition (8.3.6) von Daniso (k) ˆ = 0 ist. Da muss stets gr¨oßer als null und gleich null nur dann sein, wenn R = 0, also R k

gem¨aß (4.3.2) 12 S(R, t) : c : S(R, t) die Bedeutung der elastodynamischen potentiellen Deformationsenergiedichte f¨ ur beliebige zeitabh¨angige Felder hat, ist diese Forderung gew¨ahrleistet. F¨ ur homogen-isotrope Materialien haben wir mit (8.1.64) die Eigenschaft der positiven Definitheit ˆ explizit best¨atigt. von D(k)

ˆ muss die Determinante des Wellentensors Zur Berechnung der Eigenwerte c2 (k) ˆ c2 ) = k ˆ·c·k ˆ − ρ c2 (k) ˆ I Waniso (k,

(8.3.7)

218

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

ˆ L¨osungen des homogenen Gleichungssyˆ (k) gleich null gesetzt werden, da die Eigenvektoren u stems (der Kelvin-Christoffel-Gleichung) 0

X

ˆ = 0 ⇐⇒ ˆ I ·u ˆ − c2 (k) ˆ (k) Daniso (k)

0

X

ˆ·c·k ˆ =0 ˆ − ρ c2 (k) ˆ I ·u ˆ (k) k


t1 ; sie sind orthogonal zum ˆ und damit zum Phasengeschwindigkeitsvektor c(k) ˆ = c(k) ˆ k. ˆ Die Phasenausbreitungsvektor k Amplitude einer (homogenen) ebenen Welle ist per definitionem auf ihrer Wellenfront konstant, ˆ abweichende Richtung des Energiegeschwindigkeitsvektors cE (k) ˆ lediglich sodass sich die von k in einer konstanten Drift der aus dem Unendlichen kommenden und entlang der Wellenfront ins Unendliche strebenden Energie ¨außert. Gehen wir jedoch zu r¨aumlich (und zeitlich) begrenzten Wellenpaketen u ¨ber (Abbildung 8.3.2b), wird diese Energiedrift unmittelbar sichtbar. Die Ausbreitungsrichtung eines ebenen (Impuls-)Wellenpakets manifestiert sich folglich durch die Energiegeschwindigkeit, d.h. die formale Fourier-Inversion von (8.3.2) macht physikalisch keinen Sinn, wir m¨ ussen stattdessen Q

E

ˆl · R ˆ (ˆl) u(R, t, ˆl) = u t ± u cE (ˆl) schreiben. ˆ — oder ˆl(k) ˆ — und k ˆ als skewing-Winkel. Man bezeichnet den Winkel zwischen cE (k)

(8.3.30)

8.3 Ebene Wellen in anisotropen nichtdissipativen Materialien

221

.... cˆ (kˆ ) . . . . .... . . . . ...... ˆ ... ˆ ) .. .... ds(k).......... cˆ s(k . .. .... ....d. kˆ ............. . . ˆ .. ................ s(k) . ˆ . ... k . .. ˆ .......................k............ aˆ +

E

............................................. ........ ....... ....... ...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . ..... .... . . . .... .... .... . . . .... .... .... . . . ... ... . ... . .. ... . . ... ... ... . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. ... .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... . . ... ... ... .. ... ... ... ... .... .... . .... . . .... ... .... .... ..... ..... ..... .... ..... ..... ..... ..... . . . ...... . . .... ....... ....... ......... ..........................................

+

ˆ

E (k)

+

ˆ s(k)

ˆ Abb. 8.3.1: Orientierung des (Einheits-)Vektors der Energiegeschwindigkeit relativ zur Slowness-Fl¨ ache s(k).

ˆ der zu einem vorgegebenen Strahlvektor l(k) ˆ geh¨ort, ¨ Ubrigens: Der Phasenausbreitungsvektor k, steht ebenfalls senkrecht auf der von den Endpunkten der Strahlvektoren gebildeten sogenannten Wellenfl¨ache. Dazu bilden wir den ∇ˆl -Gradienten von cE (ˆl), d.h. des Energiegeschwindigkeitsvektors bez¨ uglich der Strahlrichtung ˆl, die zu einer vorgegebenen Phasenausbreitungsrichtung ˆ k geh¨ort. Wegen (8.3.19) und (8.3.21) gilt

und folglich

cE (ˆl) · k = ω

(8.3.31)

ˆ=0 . ∇ˆl cE (ˆl) · k

(8.3.32)

Andererseits ist der differentielle Vektor dcE (ˆl) = dˆl · ∇ˆl cE (ˆl)

(8.3.33)

tangential zur Wellenfl¨ache, sodass mit (8.3.32) ˆ=0 dcE (ˆl) · k

(8.3.34)

folgt. Gruppengeschwindigkeiten F¨ ur homogene ebene Wellen in nichtdissipativen Materialien gibt es noch eine weitere Berechnungsformel — neben (8.3.17) und (8.3.24) — f¨ ur die Energiegeschwindigkeit, die sie mit der unter gewissen Annahmen definierbaren Gruppengeschwindigkeit verkn¨ upft. Dazu bringen wir gem¨aß L ˆ (k) = 0 k · c · k − ρ ω 2 (k) I · u

(8.3.35)

222

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien t 2 > t1

a)

t1

.... .... .... .. .... .... .... .. . . .. .. . ... .. . . .. .. . .... .... .... .. .... .... .... . .. .. . .. .. . .. .. . .. .... .... .... .. .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .. . .. .. .. . .... .. . .. .. .. . .... .... .... .. .... .... .... . .. .. . .. .. . .. .. . .. .... .... .... .. .... .... .... .. . .. .. .. . .... .. . .. .. .. . .... .... .... .. .... .... .... .... .... .... .. .... .... .... . .. .. . .. .. . .. .. . .. .... .... .... .. .... .... .... .. . .. .. .. . .... .. . .. .. .. . .... .... .... .. .... .... .... . .. .. . .. .. . .. .. . .. .... .... .... .. .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .. . .. .. .. . .... .. . .. .. .. . .... .... .... .. .... .... .... . .. .. . .. .. . .. .. . .. .... .... .... .. .... .... .... .... .... .... .. .... .... .... .. . .. .. .. . .... .. . .. .. .. . .... .... .... .. .... .... .... . .. .. . .. .. . .. .. . .. .... .... .... .. .... .... .... .... .... .... .. .... .... .... .. . .. .. .. . .... .. . .. .. .. . .... .... .... .. .... .... .... . .. .. . .. .. . .. .. . .. ... k) .... .... .... c( .... .... .... ˆ . .. . .. . .. . .... .... .... .. .... .... .... .... .... .... .. .... .... .... ˆ. .. .. .. .. ... .. .. ...... .. .. .. .. ... .. .. .... .... .... .. .... .... ....cE (k) .. . .. .. . ... .. . .. .. . .... .... .... .. .... .... .... . .. .. . .. .. . .. .. . .. .... .... .... .. .... .... .... .... .... .... .. .... .... .... .. . .. .. .. . .... .. . .. .. .. .... .... .... ... .... .... .... . .. .. . .. .. . .. .. .... .... .... .. .... .... .... .... .... .... .. .... .... .... .. . .. .. .. . .... .. . .. .... .... .... .. .... .... .... . .. .. . .. .. . .. .... .... .... .. .... .... .... .... .... .... .. .... .... .... .. . .. .. .. . .... .... .... .... .. .... .... .... . .. .. . .. .. .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .. .... .... .... .. . .. .. .. . .... .... ..... .. .... .... .... . .. .. . .... .... ... .. .... .... .... .. . .. .. .... .... .... .. .... .... .... . . . . . . .. . . . . . . . ˆ . . . . . . ˆ .... .... .... ... .... .... .... k c(k) ˆ........................ ............................ . .. cE (k) ... ... ... .. ... ... ...

..... . . . ...... ..... . .... . . ....... .... ...

.. . . .....

t 2 > t1

b)

t1

..... ..... ......... ... ... ... ..... .. .. . . .... ................. .... ...... .............. ... .. ... ....... . ... . ..... . ................... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ˆ ... c(...k) ... ... ˆ cE (k) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ˆ c(k) ... ˆ cE (k) ... .

.. . . . . . . . . ˆ k

Abb. 8.3.2: Konsequenz der unterschiedlichen Richtung von Phasen- und Energiegeschwindigkeitsvektor

den Phasenvektor (8.3.20) in die Eigenwertgleichung (8.3.8) ein und definieren ω 2 (k) als Eigenwert. Die Bildung des ∇k -Gradienten von (8.3.35) f¨ uhrt in Analogie zu (8.3.22) auf L

-

ˆ (k)ˆ u(k) = 0 , c · k − ρ ω(k)∇k ω(k) I : u

(8.3.36)

sodass sich mit (8.3.17) und (8.3.20) cE (k) = ∇k ω(k) def ∂ω(k) = ∂k

(8.3.37)

ergibt. Unter gewissen Voraussetzungen ist ∇k ω(k) der Gruppengeschwindigkeitsvektor cgr (k) eines Wellenpakets. Letzteres synthetisieren wir durch Integration eines vorgegebenen k-Spektrums

8.3 Ebene Wellen in anisotropen nichtdissipativen Materialien

223

ˆ dk des k-Raums gem¨aß ˆ ebener Wellen mit dem Volumenelement d3 k = k 2 d2 k u(k) = u(ω, k) 1 ; ∞; ; ˆ dk u(k) e jk·R−jω(k)t k 2 d2 k (2π)3 0 S2 1 ;∞;∞;∞ = u(k) e jk·R−jω(k)t d3 k , (2π)3 −∞ −∞ −∞

u(R, t) =

(8.3.38)

ˆ 0 ω0 /c(k ˆ 0 ) konzentriert wobei wir annehmen, dass u(k) um den spektralen Schwerpunkt“ k0 = k ” ˆ 2 ist; S ist die Einheitskugel, auf der die Richtungen k lokalisiert sind. Falls ω(k) in dem durch u(k) okkupierten Volumen langsam ver¨anderlich ist — dies ist im Wesentlichen die genannte Voraussetzung —, k¨onnen wir eine Taylorreihenentwicklung nach dem linearen Term abbrechen: !

ω(k) = ω(k0 ) + (k − k0 ) · ∇k ω(k)!!

k=k0

Mit der Abk¨ urzung

.

!

cgr (k0 ) = ∇k ω(k)!!

k=k0

(8.3.39) (8.3.40)

definieren wir offensichtlich einen Geschwindigkeitsvektor, der nach Einsetzen von (8.3.39) in (8.3.38) die Retardierung der Einh¨ ullenden A k0 (R) des Wellenpakets bestimmt: 0

X

u(R, t) ; A k0 R − cgr (k0 )t e jk0 ·R−jω(k0 )t , wobei 0

X

A k0 R − cgr (k0 )t =

1 ;∞;∞;∞ u(k) e j(k−k0 )·[R−cgr (k0 )t] d3 k . (2π)3 −∞ −∞ −∞

(8.3.41)

(8.3.42)

Der Geschwindigkeitsvektor der Phase des Wellenpakets ist also durch c(k0 ) = ω(k0 ) k0

(8.3.43)

und der Gruppengeschwindigkeitsvektor durch (8.3.40) gegeben. Anhand von Abb. 8.3.2 wird deutlich, welches die Konsequenz der unterschiedlichen Richtungen von c(k0 ) und cgr (k0 ) auf die Ausbreitung eines Wellenpakets ist. Die dort skizzierten Wellenpakete entstehen durch Impulsabstrahlung eines Pr¨ ufkopfs, dessen Strahlungsfeld entsteht — mathematisch — durch Punktquellensynthese; also vermittelt uns physikalische Intuition, dass das Impulsstrahlungsfeld einer Punktquelle die Richtungsabh¨angigkeit des Gruppen(Energie)geschwindigkeitsvektors (einer ebenen Welle) in Form von Zeitbereichswellenfronten (wave surfaces) sichtbar werden l¨asst36 (Helbig, 1994; Snieder, 2002; Langenberg et al., 2002b). Die EFIT-Simulation der Abb. 8.3.14 best¨atigt dies f¨ ur transversal-isotrope Materialien. Schalldruck ebener Wellen Die Gleichung (8.1.125) definiert auch im anisotropen Material den Schalldruck eines ebenen Wellenmodes: ˆ = −T(R, ω, k) ˆ :k ˆu ˆ ; ˆ (k) p(R, ω, k) (8.3.44) mit

ˆ = T(R, ω, k)

jω

ˆ c(k)

ˆ

ˆu ˆ , ˆ (k) u(ω) e jkk·R c : k

(8.3.45)

36 Das folgende Zitat (Born und Wolf, 1975) ist deshalb nur f¨ ur ebene Wellen relevant: It may be noted that the ray velocity, being derived from the Poynting vector shares with it a certain degree of arbitrariness. It is nevertheless a useful concept although, like the phase velocity, it has no directly verifiable physical significance.

224

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

den c-Symmetrien und Gleichung (8.3.15) ergibt sich n¨amlich 1 ˆ ˆ ˆ ˆ = −jωu(ω) e jkk·R ˆu ˆ ˆ (k) : c : k ˆ (k) p(R, ω, k) ku ˆ < c(k) O: U 2 ˆ = ρ c (k) ˆ ˆ u(ω) e jkk·R = −jω ρ c(k) .

(8.3.46)

< O: U

ˆ = Z(k)

8.3.2

Ebene Wellen in transversal-isotropen Materialien

Wellentensor Wir spezifizieren c gem¨aß (4.2.12), betrachten also ein Material mit transversaler Isotropie, ˆ gegeben ist, d.h. in Ebenen senkrecht zu a ˆ ist das Material wobei die Vorzugsrichtung durch a isotrop. F¨ ur den entsprechenden Wellentensor erhalten wir durch Ausrechnen: ˆk ˆ + γ3 a ˆ , ˆ c 2 ) = γ1 I + γ 2 k ˆa ˆ k) ˆa ˆ + γ4 ( k ˆ+a Wtriso (k,

(8.3.47)

ˆ·a ˆ , ˆ)2 − ρ c2 (k) γ1 = μ⊥ + (μ9 − μ⊥ )(k γ 2 = λ⊥ + μ⊥ , ˆ·a ˆ ) 2 + μ9 − μ⊥ , γ3 = (λ⊥ + 2μ⊥ + λ9 − 2μ9 − 2ν)(k ˆ·a ˆ . γ4 = (μ9 − μ⊥ + ν − λ⊥ )k

(8.3.48) (8.3.49)

wobei

(8.3.50) (8.3.51)

Phasengeschwindigkeiten

ˆ von Dtriso (k) ˆ schreiben wir den Wellentensor in der Form Zur Berechnung der Eigenwerte c2 (k) ˆ + γ4 a ˆ , ˆ (γ2 k ˆ c 2 ) = γ1 I + k ˆ) + a ˆ + γ4 k) ˆ (γ3 a Wtriso (k,

(8.3.52)

damit wir die Chen-Formel (Chen, 1983) 0

det (α I + A1 C1 + A2 C2 ) = α α2 + α(A1 · C1 + A2 · C2 ) + (C1 × C2 ) · (A1 × A2 )

X

(8.3.53)

zur Determinantenberechnung verwenden k¨onnen: 0

>

ˆ·a ˆ c2 ) = γ1 γ 2 + γ1 (γ2 + γ3 + 2γ4 k ˆ·a ˆ) + (γ2 γ3 − γ42 ) 1 − (k ˆ )2 det Wtriso (k, 1

XG

.

(8.3.54)

ˆ in γ1 versteckt ist, sodass wir durch Nullsetzen von (8.3.54) den ersten Man beachte, dass c2 (k) Eigenwert aus (8.3.55) γ1 = 0 zu ˆ = c2SH (k)

ˆ·a ˆ )2 μ⊥ + (μ9 − μ⊥ )(k ρ

(8.3.56)

erhalten. Die Orientierung des zugeh¨origen Eigenvektors vorwegnehmend, haben wir den Index ˆ h¨angt f¨ SH angeheftet. Wir halten fest: Die Phasengeschwindigkeit cSH (k) ur μ9 >= μ⊥ tats¨achlich ˆ ab, d.h. es liegt ein anisotropes Material vor! explizit von der Phasenausbreitungsrichtung k

8.3 Ebene Wellen in anisotropen nichtdissipativen Materialien

225

ˆ·a ˆ ˆ transversale Isotropie vor, sodass wir f¨ ˆ = 0 den k-unabh¨ Allerdings liegt zu a ur k angigen (isotropen) Wert μ⊥ ˆ ⊥a ˆ) = c2SH (k (8.3.57) ρ erhalten; damit wird auch die Bezeichnung des Lam´e’schen Parameters μ⊥ erhellt. Konsequenz ˆ einer der transversalen Isotropie ist ferner, dass das Phasengeschwindigkeitsdiagramm cSH (k) ˆ ˆ-Ebene rotationssymmetrisch um a ˆ ist. festen k a triso ˆ Den zweiten und dritten Eigenwert von D (k) erhalten wir durch Nullsetzen der geschweiften Klammer von (8.3.54) aus den L¨osungen37 1 1' ˆ·a ˆ·a ˆ·a ˆ) ∓ ˆ)2 − 4(γ2 γ3 − γ42 )[1 − (k ˆ)2 ] (8.3.58) (γ2 + γ3 + 2γ4 k γ1 = − (γ2 + γ3 + 2γ4 k 2 2 der in γ1 quadratischen Gleichung ˆ·a ˆ·a ˆ) + (γ2 γ3 − γ42 )[1 − (k ˆ )2 ] = 0 γ12 + γ1 (γ2 + γ3 + 2γ4 k

(8.3.59)

unter Beachtung der Abk¨ urzung γ1 und Gleichung (8.3.56) zu: qP,qSV

ˆ − γ1 ˆ = c2 (k) c2qP,qSV (k) SH

ˆ + = c2SH (k)

(8.3.60)

ρ 1 2

±

ˆ·a ˆ) (γ2 + γ3 + 2γ4 k ± ρ ' 1 ˆ·a ˆ·a ˆ)2 − 4(γ2 γ3 − γ42 )[1 − (k ˆ )2 ] (γ2 + γ3 + 2γ4 k

2

ρ

.

(8.3.61)

Als Konsequenz der transversalen Isotropie sind die Diagramme der Phasengeschwindigkeiten ˆ einer festen k ˆa ˆ. Die Indizes stehen f¨ ˆ-Ebene rotationssymmetrisch um a cqP,qSV (k) ur quasi-P und quasi-SV, was uns aber erst dann verst¨andlich wird, wenn wir die zugeh¨origen Eigenvektoren, √ √ und qSV =⇒ − in d.h. die Polarisationsvektoren, berechnen. Die Zuordnung qP =⇒ + ˆ auf die Isotropie(8.3.61) wird uns aber sofort deutlich, wenn wir erneut die k-Spezialisierung ˆ ˆ = 0 ergibt sich ebene untersuchen: F¨ ur k · a λ⊥ + 2μ⊥ √ ˆ ⊥a ˆ) = c2qP (k f¨ ur + ρ μ9 √ 2 ˆ ˆ) = f¨ ur − cqSV (k ⊥ a ρ

,

(8.3.62)

,

(8.3.63)

√ tats¨achlich die Prim¨arwellengeschwindigkeit f¨ ur die ⊥-Lam´e-Parameter d.h. wir finden f¨ ur + √ die Sekund¨arwellengeschwindigkeit f¨ ur die C-Lam´e-Parameter. Mit Abb. 8.3.3 anund f¨ ur − tizipieren wir die zugeh¨orige Orientierung der Eigen-, also der Polarisationsvektoren; da f¨ ur ˆ·a ˆ = 0 alle Eigenwerte verschieden sind, m¨ ussen die Eigenvektoren ein orthogonales Dreik bein bilden, das aber offensichtlich nichts quasi“artiges hat: Abgesehen von der Tatsache, ” dass die beiden Sekund¨arwellenpolarisationsvektoren wegen der unterschiedlichen Eigenwerte 37 Das Minuszeichen vor der Wurzel f¨ uhrt nach Auswertung von (8.3.78) zu den in den Abbildungen 8.3.6 und 8.3.7 eingezeichneten qP-Polarisationsvektoren; das positive Vorzeichen ergibt mit (8.3.78) zwar eine qSV-Polarisation senkrecht zur SH- und qP-Polarisation, jedoch entgegengesetzt zu den in den genannten Abbildungen eingezeichneten qSV-Polarisationsvektoren. Mit der ˆ qP , u ˆ qSV , u ˆ SH liefern, Wahl von (8.3.70) f¨ ur die SH-Polarisation w¨ urde dies aber kein rechtsh¨ andiges orthonormiertes Dreibein u sodass wir die Auswertung von (8.3.78) mit einem negativen Vorzeichen versehen.

226

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

senkrecht aufeinander stehen m¨ ussen, finden wir die u ¨blichen Polarisationsvektoren einer (homogenen) ebenen Welle in einem isotropen Material (man vergleiche Abb. 8.1.8), allerdings mit ˆ qSV nicht, wie im isotropen Fall, um die Ausˆ SH , u der Besonderheit, dass wir das Zweibein u ˆ drehen k¨onnen, u ˆ-Richtung zeigen. Eine beliebig vorgegebene ˆ qSV muss in a breitungsrichtung k ˆ ˆ qSV -Polarisationen auf, ˆ SH - und u (ˆ uS ⊥k)-Polarisation spaltet demnach in die zwei orthogonalen u die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten; nach Durchlaufen einer endlichen Strecke resultiert daraus eine Phasendifferenz, die urspr¨ unglich linear polarisierte Scherwelle ist nunmehr elliptisch polarisiert38 .

ˆ qP =⇒ u ˆ P : λ⊥ + 2μ⊥.. ....... u ..... ˆ ...... ....... k

.. ....

.. .....

.. ....

.. .....

.. ....

.. .....

...... .. ..... .... .. .. .. .. ... .. ... .. ... . ... ... . .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... . ... . .. ... .. .....

Ebene der transversalen Isotropie

...... ... ....... uˆ : μ ... . . . . . ... ..... ......... .............................................. aˆ, uˆ

.. .....

.. ....

.. .....

.

.. ..... ..... ... .. ... .. ... .. ... .. . .... .... ... .. .. .... .. ... ..... .. . . . . .. ... .. .. ..... .. ... ..... .. .. ..... ... .. .. ..... ... .. .. ..... .. ... ..... .. .. ..... ... . . . . .. . .. .. ... ..... .. .. ..... ... . .. ...... . .. ......

SH

⊥

qSV

ˆ SV : μ9 =⇒ u

Abb. 8.3.3: Polarisationsvektoren und Phasengeschwindigkeiten der Wellenmoden f¨ ur Phasenausbreitung in der Ebene transversaler Isotropie senkrecht zur Vorzugsrichtung

ˆ a = 1, f¨ uhrt ebenfalls auf einen einfachen Phasenausbreitung entlang der Vorzugsrichtung, also k·ˆ Spezialfall; wir finden μ9 ˆ Ca ˆ) = , (8.3.64) c2SH (k ρ λ9 + 2μ9 ˆ Ca ˆ) = c2qP (k , (8.3.65) ρ μ9 ˆ Ca ˆ) = c2qSV (k . (8.3.66) ρ Die zugeh¨origen Polarisationsvektoren zeigt Abb. 8.3.4; da in diesem Fall nur C-Lam´e-Parameter involviert sind und außerdem die Eigenwerte (8.3.64) und (8.3.66) gleich sind, liegt eine ganz ” normale“ (homogene) ebene Welle vor (Abbildung 8.1.8): Die beiden Scherwellenpolarisationen kann man orthogonal zueinander w¨ahlen, muss man aber nicht, denn jeder Vektor senkrecht zu 38 Derselbe Effekt tritt beispielsweise bei der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in einem biaxialen Material entlang einer Hauptachse auf; er wird in der Spannungsoptik genutzt (Born und Wolf, 1975; Wolf, 1976).

8.3 Ebene Wellen in anisotropen nichtdissipativen Materialien

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

.. .....

...... .. ..... ..... ... . ... . .... . .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. ... . ... ... . .. .. .. .. .. .. ... .. .. ... . . . . ..

Ebene der transversalen Isotropie

........ uˆ : μ . . .... . . . . ... ... ............................................. aˆ, k,ˆ uˆ ... ... ... ... . ....... . uˆ =⇒ uˆ : μ

..... ... .. ... .. ... .. ... .. .. ... ... .. ... .. .. ..... .. ... .... .. ..... . . ... .. .. .... .. ... ..... .. . . . . .. ... .. .. ..... ... .. .. .... .. ... ..... .. .. .... ... .. .. ..... .. ... .... .. .. ..... ... .. ...... . . .. ......

qSV

227

9

SH

qP

SV

ˆ P : λ9 + 2μ9 =⇒ u

9

Abb. 8.3.4: Polarisationsvektoren und Phasengeschwindigkeiten der Wellenmoden f¨ ur Phasenausbreitung senkrecht zur Ebene transversaler Isotropie parallel zur Vorzugsrichtung

ˆ bzw. a ˆ qSV )-Zweibein ˆ ist Eigenvektor zum Eigenwert μ9 /ρ; dieses Mal kann man das (ˆ k uSH , u ˆ-Achse drehen. auch um die a Polarisationsvektoren ˆ ist γ1 = 0 (Gleichung (8.3.55)), und deshalb sieht man sofort, dass F¨ ur den Eigenwert c2SH (k) triso ˆ 2 W (k, cSH ) gem¨aß (8.3.52) ein planarer Tensor (Summe zweier dyadischer Produkte) ist. Als ˆ c2 ) ein linearer Tensor (ein einziges dyadisches Produkt) sein Konsequenz muss adj Wtriso (k, SH (Chen, 1983). Mit der Chen-Formel adj (α I + A1 C1 + A2 C2 ) = α[(α + A1 · C1 + A2 · C2 )I − A1 C1 − A2 C2 ] + (C1 × C2 )(A1 × A2 )

(8.3.67)

berechnen wir 0

X

ˆ c2 ) = γ1 (γ1 + γ2 + γ3 + 2γ4 k ˆa ˆ − γ3 a ˆ+k ˆk ˆ·a ˆ ) I − γ2 k ˆ − γ4 (ˆ ˆ) + ˆa ak adj Wtriso (k, ˆ×a ˆ×a ˆ)(k ˆ) , +(γ2 γ3 − γ42 )(k

(8.3.68)

ˆ×a ˆ c2 ) = (γ2 γ3 − γ 2 )(k ˆ×a ˆ)(k ˆ) adj Wtriso (k, 4 SH

(8.3.69)

und offensichtlich ist

228

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien a)

.. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .. ....... . . . ..... .. .. . ..... ... ... .. . . . . .. ... ..... .... .. . ..... . . . . .. . .. .... ..... .. ... ..... . . ..... ....... ....... ....... .......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........... ..... .. ... . ... . .. .. .. ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ..... ... .. .. ..... ..... .. .... .... .... .... .... .... .... ...... .... .... .... .... ..... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....................... . . . . . . . . ... .. ... ..... ..... ... .... ... ...... .... ... ... . .... .. .. .. .... ... . .... .. .. ..... ..... .... ... . .... . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . .. .... ... ..... ..... ..... .... ... ... ... .... ..... ...... . .. .... ... ....... . .... .... . ..................... .. ...... .... .... .. . .. .. . .... .................. . .. .... ... ............................. ........... ....... ......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............. . ... ... .. ... ... .. ..... ... .. . . . .... ..... .. ....

.. .....

ˆ ...... k ........ . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................... ..... ˆ a ...... ..... π/2

π/2

ˆ SH u

b)

z

... ........ ...... ... ..... ... .... ... .. ... ... ... . ......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......... .... .. .. .. .. .. ..... . ... ..... ... ... ... ..... . . .. .. . ... .... .................. ... . . . . . . .. . . . . ... .. .... ... ..... ... ..... . ... ..... . .. ... .. ..... .. ..... ... .... .... ... .... . . . . . . . . .. .. ... ..... ..... ........ . .. .. ..... ...... ....... ....... ....... .......... ..................... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ... .. ... .. .. ... ........ . . ..... . ...... .... ....... ....... ....... ....... ......... ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ........ . . . .... . ... .. ..... . . . . .... . ... .... .. . . . . . . . . ... . . .. ..... ... .. . .... .... ..... ..... .... ... .. .. .... .. ..... .... .. ..... ..... . . . . . . . .... . ... . ... ... ... . .. ... ......... . .. ..... .......... . .. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . ..... .. . .. ... ... .. ... ...

y

....... ............... . . . ................. kˆ . . . . . .. ................... .......... aˆ .......... .......... ˆ SH u

x

Abb. 8.3.5: Orientierung der SH-Polarisation im transversal-isotropen Material ohne (a) und mit (b) Referenzebene

ˆ ist proportional zum Linksvektor k ˆ×a ˆ SH (k) ˆ des dyadilinear! Konsequenz: Der Eigenvektor u 39 ˆ ˆ| ergibt sich schen Produkts (8.3.69), d.h. durch Normierung auf |k × a ˆ =' ˆ SH (k) u

ˆ×a ˆ k . ˆ ˆ )2 1 − (k · a

(8.3.70)

ˆ und Dieser die SH-Polarisationsrichtung angebende Eigenvektor steht senkrecht auf der von k ˆ aufgespannten Ebene (Abbildung 8.3.5); dies erkl¨art nicht die Bezeichnung SH f¨ ur sheara horizontal. Die Bezeichnung wird wie u ¨blich erst dann sinnvoll, wenn eine Referenzebene, z.B. ˆ und a ˆ eine Ebene senkrecht dazu die xy-Ebene als ebene Bauteiloberfl¨ache, vorliegt, und k ˆ horizontal zu dieser ˆ SH (¨ aufspannen (Abbildung 8.3.5b); dann ist u ubrigens unabh¨angig von k) ¨ ˆ SH eine echte“ Scherwelle, denn sie ist divergenzfrei. Ebene. Im Ubrigen definiert u ” ˆ ⊥a ˆ Ca ˆ ist in (8.3.69) und (8.3.70) enthalten, der Sonderfall k ˆ jedoch nicht, Der Sonderfall k 2 2 ˆ ˆ ˆ, c ) linear sein: ˆ, c ) der Nulltensor. Also muss W(k C a denn dann ist adj W(k C a SH

SH

W 39 Nat¨ urlich

triso

ˆ Ca ˆ, c2SH ) (k

ˆa ˆ . = (γ2 + γ3 + 2γ4 ) a

(8.3.71)

ˆ×a ˆ w¨ ˆ=a ˆ×k k¨ onnen wir auch −k ahlen (Spies, 1992), wir bleiben aber bei der Konvention von Abb. 8.1.8.

8.3 Ebene Wellen in anisotropen nichtdissipativen Materialien

229

ˆ der Damit ist der Eigenvektor proportional zu jedem Vektor senkrecht zum Rechtsfaktor a Dyade (8.3.71), genau so wie wir es in Abb. 8.3.4 beispielhaft gezeichnet haben. Mit der Kenntnis aller Eigenwerte und eines Eigenvektors sowie der Tatsache der reellen Symˆ vor Augen, schließen wir, dass die beiden restlichen Eigenvektoren u ˆ ˆ qP (k) metrie von Dtriso (k) ˆ ˆ ˆ ˆ aufgespannten Ebene liegen, weil sie senkrecht zu u ˆ SH (k) sein ˆ qSV (k) in der von k und a und u m¨ ussen; außerdem m¨ ussen sie zueinander orthogonal sein. Wir machen deshalb den Ansatz 40 ˆ ∼ αqP,qSV k ˆ + βqP,qSV a ˆ ˆ qP,qSV (k) u

(8.3.72)

und bestimmen βqP,qSV /αqP,qSV aus der Gleichung ˆ ˆ c2 ˆ) ≡ 0 Wtriso (k, qP,qSV ) · (αqP,qSV k + βqP,qSV a

(8.3.73)

des Eigenwertproblems. Mit (8.3.52) liefert (8.3.73) 0

X

ˆ·a ˆ ˆ·a ˆ) + βqP,qSV (γ2 k ˆ + γ4 ) k+ αqP,qSV (γ1qP,qSV + γ2 + γ4 k 0

X

ˆ·a ˆ·a ˆ + γ4 ) + βqP,qSV (γ1qP,qSV + γ3 + γ4 k ˆ) a ˆ=0 ; + αqP,qSV (γ3 k

(8.3.74)

ˆ und a ˆ Wir haben die beiden L¨osungen von (8.3.59) gem¨aß (8.3.58) als γ1qP,qSV geschrieben. Da k ˆ ˆ betrachten wir getrennt —, m¨ als linear unabh¨angig gelten k¨onnen — den Sonderfall k C a ussen die eckigen Klammern in (8.3.74) jede f¨ ur sich gleich null sein; daraus resultiert das homogene Gleichungssystem ˆ·a ˆ·a ˆ) + βqP,qSV (γ2 k ˆ + γ4 ) = 0 , αqP,qSV (γ1qP,qSV + γ2 + γ4 k qP,qSV ˆ·a ˆ ˆ + γ4 ) + βqP,qSV (γ1 ˆ) = 0 αqP,qSV (γ3 k · a + γ3 + γ4 k

(8.3.75) (8.3.76)

ˆa ˆ- Koordinatensystem“. Dieses Gleichungssystem f¨ ur die Komponenten der Eigenwerte im k ” ˆ c2 hat eine nichttriviale L¨osung, da seine Koeffizientendeterminante gleich det Wtriso (k, qP,qSV ) und damit gleich null ist. Wir finden βqP,qSV def = γqP,qSV αqP,qSV

ˆ·a ˆ γ1qP,qSV + γ2 + γ4 k ˆ ˆ γ4 + γ2 k · a 2 2 ˆ·a ˆ ρ c − ρ cqP,qSV + γ2 + γ4 k ; = − SH ˆ ˆ (ν + μ9 )k · a = −

(8.3.77)

nach Einsetzen von γ1qP,qSV bzw. cSH,qP,qSV und Normierung folgt41 ˆ ˆ ˆ = k + γqP,qSV a ˆ qP,qSV (k) u UqP,qSV =

ˆ− k

1 (γ −γ3 )∓ 12 2 2

√

ˆ a)2 −4(γ2 γ3 −γ 2 )[1−(k·ˆ ˆ a )2 ] (γ2 +γ3 +2γ4 k·ˆ 4 ˆ a ˆa γ4 +γ2 k·ˆ

UqP,qSV

,

(8.3.78)

40 Die formalen Wege uber die Adjungierte von W bzw. uber die von Chen (1983) angegebenen Formeln f¨ ur (elektromagnetisch) ¨ ¨ biaxiale Materialien sind ungleich un¨ ubersichtlicher. 41 Das Ergebnis sieht erheblich einfacher aus als das von Spies (1992) angegebene und publizierte (1994).

230

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

wobei ˆ + γqP,qSV a ˆ| UqP,qSV = |k P

=

2 ˆ·a ˆ . + 2γqP,qSV k 1 + γqP,qSV

(8.3.79)

Anhand einer kleinen Rechnung u uft man, dass tats¨achlich ¨berpr¨ ˆ ·u ˆ =0 ˆ qSV (k) ˆ qP (k) u

(8.3.80)

gilt. ˆ·a ˆ = 0 wird γ4 = 0, sodass (8.3.78) nicht unmittelbar brauchbar ist. Wir F¨ ur den Spezialfall k ˆ c2 ) wie folgt um: formen deshalb adj Wtriso (k, >

G

ˆ·a ˆ c2 ) = γ1 (γ1 + γ2 + γ3 + 2γ4 k ˆ·a ˆ) + (γ2 γ3 − γ42 )[1 − (k ˆ )2 ] I − adj Wtriso (k,
cSH,qSV (k) ˆ gilt43 , bezieht sich der Zuˆ-Richtung42 . Da in der Regel cqP (k) bez¨ uglich der a satz quasi -P und quasi -SV offensichtlich nicht auf die Charakterisierung der Wellenmoden nach 42 Spies (1992) diskutiert auch die Abh¨ ˆ , wenn die Diagramme in einer festen Ebene (der Einfallsebene) senkrecht angigkeit von a ˆ und n zu einer Referenzebene dargestellt sind; wenn n die Normale auf der Referenzebene ist, wird die Einfallsebene durch k aufgespannt. 43 Es gibt Ausnahmen (Royer und Dieulesaint, 2000): TeO . 2

8.3 Ebene Wellen in anisotropen nichtdissipativen Materialien

231

ˆ qP u

... ... ... . .............u.ˆ................... uˆ SH

.... .... ....

qSV

.... ....

................................. uˆ ... ... ..... uˆ

ˆ SH............ u

.... .... .... ... . ....

.. .......... . .................................... .................. .... ............................. .............. ........ ........ ......... ......... ....... ...... .. ...... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ...... ... .... ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . ..... . . . . ..... . . . . . . .... .... ... .... ..... . . . . . . .... . . ...... .. .... .... .................... . ... .. . ... . ................... ........................ . ... ... . . . . ........ .... ... .... ... . . . . ... ... . ... . . . ... . . . . . .............................................. ... ... .... ... ............ ..... .. .. .... .. ......... ... .. .... .. ... ..... ... . .. ... .. . .. .. .... ... .. . . .. . . .. .. .. ... .... .. .. . .. ..... .. ..... . . .. . . . . .. ..... .. . ... ... . . . . .. ...... ... . . ..... . .. ................ ... ... .................................. ... ... ... .. . ... ... ... ... .... ... ... .... .... ...... ...................... ......................... ... ... . . ... ... ... .... .... ........................... .... .... .... .... ..... .... ..... .... ..... ..... .... . . . . . . . . . . ..... . . ..... . .... ...... ..... ..... ..... ...... ...... ..... ...... ....... ....... ...... ...... ......... ....... ......... ........ .............. .......... ................... ...................................... ............................

ˆ cqP (k)

ˆ k . . . . .... . . . . . ............................. aˆ

ˆ cqSV (k)

ˆ cSH (k)

qP

qSV

...............u.ˆ................... uˆ ... ... . ... SH

qP

ˆ qSV u

ˆ cqSV (k) ˆ und cqP (k) ˆ und Polarisationsvektoren f¨ Abb. 8.3.6: Phasengeschwindigkeiten cSH (k), ur kohlefaserverst¨ arkten Kunststoff: λ⊥ + 2μ⊥ = 13.5, μ⊥ = 3.4, λ# + 2μ# = 145.8, μ# = 6.8, ν = 10.2 [GPa]; ρ = 1.6 g/cm3

Prim¨ar- und Sekund¨arwellen — unterschieden nach Geschwindigkeiten —, sondern auf die Polarisation (und auf die Nicht-Rotations- bzw. Nicht-Divergenzfreiheit); Abbildung 8.3.6 entnimmt man beispielhaft, dass die Longitudinalabweichung des qP-Modes bzw. die Transversalabweichung des qSV-Modes erheblich sein kann, d.h. die Prim¨arwelle ist quasi-longitudinal und die sekund¨are SV-Welle quasi-transversal polarisiert, w¨ahrend der Polarisationsvektor des SH-Modes ˆa ˆ-Ebene, und damit auf der Ausbreitungsrichtung, steht. Aus diesem immer senkrecht auf der k Grunde ist die qP-Welle auch nur eine quasi -Druckwelle, da ihre Rotation nicht verschwindet, und die qSV-Welle ist nur eine quasi -Scherwelle, da ihre Divergenz nicht verschwindet: Im anisotropen Material gibt es keine Helmholtz-Zerlegung (7.2.1) der Teilchenverschiebung. In Abb. 8.3.8 haben wir die Longitudinalabweichung des qP-Polarisationsvektors f¨ ur die beiden Mateˆ ·a ˆ = cos αkˆ aˆ , d.h. als Funktion des Phasenausbreitungswinkels relativ rialien als Funktion von k ˆ dargestellt44 : Offensichtlich ist f¨ zu a ur Austenit 308 die Longitudinalabweichung des qP-Modes und damit auch die Transversalabweichung des qSV-Modes nur gering. Zur Herleitung der Reflexions-, Brechungs- und Modekonversionsgesetze ebener Wellen dient die Phasenanpassung in einer (ebenen) Trennfl¨ache zweier Materialien, und zur geometrischen Konstruktion der jeweiligen Phasenausbreitungsrichtungen benutzt man die Slowness-Diagramme (Abschnitt 9). Aus diesem Grunde haben wir mit Abb. 8.3.9 auch noch die den Abbildungen 8.3.6 und 8.3.7 korrespondierenden Slowness-Diagramme gezeichnet. Wie wir in Abschnitt 8.3.1 ˆ = 1/c(k) ˆ f¨ gesehen haben, sind die Fl¨achen konstanter Slowness s(k) ur anisotrope Materialiˆ en noch aus einem weiteren Grund von Bedeutung: Der Energiegeschwindigkeitsvektor cE (k) steht stets senkrecht auf der jeweiligen Slowness-Fl¨ache, d.h. mit der Kenntnis des Slownessˆ kann man sofort die Strahlrichtung ˆl(k) ˆ konstruieren, die ja nur im isotropen Diagramms s(k) ˆ Fall mit der Phasenausbreitungsrichtung k zusammenf¨allt (Abschnitt 8.1.2). 44 Berechnet man auch noch das Vorzeichen von (k ˆ×u ˆ SH ) · u ˆ qP , so erh¨ alt man tats¨ achlich die in Abb. 8.3.6 eingezeichnete ˆ und a ˆ“. ˆ qP zwischen k Orientierung von u ”

232

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien ˆ qP u

... ... ... ..............uˆ................... uˆ SH

ˆ u . . . .... . . . . . ...............uˆ ..... ..... ....

qP

qSV

.... .......................................................................... .... .............. ........ ........ ...... .... ...... . . . . . . . . . . . . ..... ..... .... .... ....... .... .. .... ... .... ...... .... ... .... .................... . .. ... . . . . .... .. ... . .. .. . . . . . .. .. .. .. .. ................................................................. .. .. .. ....... ............... . . . . . . ... . ....... .. .. . ...... . . .. . . . . . . . . ... . . . ..... ... .. . .... . . . . . .. . . ... . . . .... ... .. .... .... . .. . . . . .. . . .... ... .. .. . .. . ... . . . . .. . . . . . . . . .......... .. .. .. ....... .... .. ............... . . . .. ..... ... . ...... . .. . . . . . . . . ... .... .. . .. . ...... ... ...... ... ... ... .... .. .. ... .... .. . ... ... .... .. ...... . . . . . .... . .. ... ... ... .. .. .... . .. .. ...... ..... .. .. .. ... ....... ...... .... .. .. ......... ........ ... .. .. .. ....... .......... .. ... .. ... ... .... . .. . . .... . ... . .. . .... ... . . . . .. . .. . . . . ..... ... .. . .... . ...... . . .. . . .. . . . .. ....... . . ..... .. . . . . . . . . . . . . . . . .......... .. . .. ........................................................................ .. .. .. . ... .. ... .. .... .. .. ... .... .. ... ....... .......... ... ...... .... . . . .... .... .... .... .... .... ..... .... ..... ..... ...... ..... . . ........ . . . ..... .............. ..........................................................................

.... ....

.... .... .... .... ... . ....

.. .... .... .... ... . ....

... . . . . .... . . . . ............................. aˆ

SH

ˆ qSV u

ˆ k

ˆ cqSV (k)

ˆ cqP (k)

ˆ cSH (k)

.............u.ˆ................... uˆ ... ... . ... SH

qP

ˆ qSV u

ˆ und cqP (k) ˆ und Polarisationsvektoren f¨ ˆ cSH (k) ur Austenit 308: λ⊥ +2μ⊥ = Abb. 8.3.7: Phasengeschwindigkeiten cqSV (k), 262.75, μ⊥ = 82.25, λ# + 2μ# = 216, μ# = 129, ν = 145 [GPa]; ρ = 8 g/cm3

Wie wir weiter unten noch sehen werden, f¨ uhren die konkaven Einbuchtungen der qSV-SlownessDiagramme in Abb. 8.3.9 zu mehrdeutigen Phasenausbreitungsvektoren in Richtung bestimmter Strahlvektoren.

Energiegeschwindigkeiten Da uns die Phasengeschwindigkeiten und Polarisationsvektoren f¨ ur das transversal-isotrope Material explizit vorliegen, benutzen wir zur Berechnung der Energiegeschwindigkeiten die Gleichung45 (8.3.17). Mit (4.2.12) gem¨aß ctriso = λ⊥ Iδ + 2μ⊥ I+ + ˆa ˆa ˆ+a ˆ I) + ˆa ˆa ˆa ˆ + α2 (I a +α1 a ˆa ˆa ˆa ˆ+a ˆ I)1324 + α3 (I a ˆa ˆ+a ˆ I)1342 , +α3 (I a

(8.3.85)

wobei α1 = λ⊥ + 2μ⊥ + λ9 + 2μ9 − 2(ν + 2μ9 ) , α 2 = ν − λ⊥ , α 3 = μ9 − μ⊥ , 45 Die

Gleichung (8.3.37) wird von Spies (1992,1994) verwendet; sie f¨ uhrt aber auf erheblich kompliziertere Ausdr¨ ucke.

(8.3.86) (8.3.87) (8.3.88)

8.3 Ebene Wellen in anisotropen nichtdissipativen Materialien

233

ˆ ˆ·u ˆ qP (k) k 1

0

... ...... ........ ... ... ... .... ... .. ........................................... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..................... ............. .... .... .... .... . .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ........ ..... . ..... ...... ........ ........ ...... ... ........ ..... ......... .... ..... ......... ..... . . . . . . . .... . .. ..... .......... ..... .... ......... ..... .......... ..... .... .......... ...... ........... ... ...... ............ . . ....... . . . . . . . . .... . . .... ........ ............. .............. .... ......................................................... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .... .. ... ... ... ... ... .... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . ......

0 ˆ ⊥a ˆ k

1 ˆ Ca ˆ k

ˆ·a ˆ = cos αkˆ aˆ k

Abb. 8.3.8: Longitudinalabweichung des qP-Polarisationsvektors f¨ ur kohlefaserverst¨ arkten Kunststoff (—) bzw. Austenit 308 (- - -)

berechnen wir sofort46 ˆ·u ˆ + ˆu ˆu ˆ = λ⊥ k ˆ+u ˆ I + μ⊥ ( k ˆ k) ctriso : k ˆ·a ˆ·a ˆ·u ˆ·u ˆa ˆ + α2 ( k ˆ·u ˆa ˆ) + ˆa ˆa ˆa ˆI+k ˆa +α1 k ˆ+u ˆa ˆ·a ˆ·a ˆa ˆ+u ˆk ˆ+k ˆu ˆ) ˆu ˆ ·a ˆa ˆ·a ˆk ˆa +α3 (k

(8.3.89)

und daraus ˆ = cE (k)

1

0

ˆ·u ˆ + μ⊥ k ˆ·u ˆ + μ⊥ k ˆ+ ˆu ˆu λ⊥ k ˆ ρ c(k) ˆ·a ˆ·u ˆ·a ˆ + α2 ( k ˆ·u ˆ+k ˆ ·a ˆ) + ˆ(ˆ ˆ )2 a ˆa ˆu ˆu ˆa +α1 k u·a

ˆ+k ˆa ˆ·a ˆ·a ˆa ˆu ˆ·u ˆu ˆ ·a ˆa ˆk ˆa ˆ·u ˆ+a ˆ ·k ˆ+u ˆ·u ˆ) +α3 (k

X

.

(8.3.90)

ˆ = 0 und u ˆ ·a ˆ sofort zu: ˆ·u ˆ SH (k) ˆ SH (k) ˆ = 0 ergibt sich cESH (k) Mit k ˆ ˆ ˆa ˆ ˆ = μ⊥ k + (μ9 − μ⊥ )k · a . cESH (k) ˆ ρ cSH (k)

(8.3.91)

Abgesehen von den Spezialf¨allen ˆ ⊥a ˆ , ˆ ⊥a ˆ) = cSH (k ˆ) k cESH (k ˆ Ca ˆ Ca ˆ ˆ) = cSH (k ˆ) k cESH (k 46 Beispielsweise

gilt: ˆu ˆn u ˆa ˆ I1342 : k ˆ = a ˆi a ˆj δkl exi exk exl exj : k ˆ m exn exm a ˆn u = a ˆi a ˆj δkl δjn δlm k ˆ m exi exk ˆn u = a ˆi a ˆn k ˆ m exi exm ˆ·a ˆ )ˆ ˆ . au = (k

(8.3.92) (8.3.93)

234

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

........................................... ......... ....... ....... ...... ...... ..... ..... ..... . . . . ..... ..... . ..... . . .... .... . . .... . .... .... . . . .... . ... .... . ... ............... .. . . . . ... . . . .... ... .. .... ... . . . ... ... .. . ... . .. . . . .... ... .. . . .. . . . . . . . ....... .. ...... . . . .. .. . . . . . . . . . . . ......... .. ................. ....... . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . ...... ... .. ..... .. . . .. . . . . . . . . . .... .. .. . .... . . .. .. . . . . . . . . . ..... .. .. . ..... . . .. . . . . . . . . . . . ..... ... . . .... ..... .... .... ... ... ....... .... .. ... ... .. ... ..... ... ... .. .. ... ..... ... .. ... ... .. ... ... .. .. .. ... ..... .. ... ... ... ...... .... ... ... ....... ... ..... ... .. .... .... ... .. .. ... ... ... .. . ... .. . . .. .. .. . . .. . . .. ... .... ..... ... ... .... . . . .... .... . . . . . . .... ... .... .. .. ... .. .. ... ... . .. .. .. .. ... ... ... .. .. .. .. ... .. .. .. ... ... .. .... ... .... .. . . . . . .. ..... . .. ... ... .. ... ..... ... ..... .. ..... .. .. ..... .. .. ..... .. .. ..... .. .... .. .. .. .... .. ..... .. .. .. .. ..... . . . .. . . . . . . . . . . . .. .... ........ .. ...... . . .. ........ . ................... . . . . . . .. ........ .. .. ........ ...... .. ...... .. .... .. ..... .... .. .. .... ... ... ... ... ... ... ... .. .... . . . . ... . ..... ..... . ... ......... ... .... .... .... .... .... .... .... .... . ..... . . . ..... ..... ..... .... ..... ..... ...... ..... ...... ...... ........ ....... . . . ............ . . . . . .........................

.... kˆ . . . . ... ............................... aˆ

ˆ sqP (k)

ˆ sSH (k)

ˆ sqSV (k)

.... kˆ . . . . ... ............................... aˆ

.................................................................................................................................. . .... .. ... ..... ................. ................. .......... ... ... ..... ......... ..... ... ... ..... ... .... ... ... .. .. ... .. .. .. . .. ... .. ................. .. . . . . . . . . . .. ... ..... . .. ..... . . . . . . ... . ... . . . . ..... . . .. ..... ... ... ..... .. .... .... .. .. .... .. .. .... .... .. .. .. .. .... .... ... .. .. .. ... .... .... .... .. ... ... ... . .. . .... .. .. ..... ... .. ..... ..... .... ... ..... .. ... .... .... .. .. .... .. ... .... . .. .... . . . . . . . . ... ..... . .. ... .. ... ..... ..... .. ... ..... ..... .. ... .. ...... ..... .. ... .. ... ..................... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... . .. . ... . .... . . .. .. ..... ... ... ...... .................................... ......... . ... .............. .............. .. .... . . . . . . . . . . . . . ................................... ................ ................ ................................... .....

ˆ sqP (k)

ˆ sqSV (k)

ˆ sSH (k)

ˆ sqSV (k) ˆ und sqP (k) ˆ f¨ Abb. 8.3.9: Slownesses sSH (k), ur kohlefaserverst¨ arkten Kunststoff (links) und Austenit 308 (rechts)

ˆ f¨ ur μ9 >= μ⊥ in der Tat nicht die Richtung des hat der Energiegeschwindigkeitsvektor cESH (k) Phasengeschwindigkeitsvektors. F¨ ur μ9 = μ⊥ — beispielsweise f¨ ur das SH-Phasengeschwindigkeitsdiagramm der Abb. 8.3.7 — ist die Ausbreitung des SH-Wellenmodes isotrop. ˆ ist es zweckm¨aßig, die entspreZur expliziten — numerischen — Berechnung von cEqP,qSV (k) chenden Polarisationsvektoren ˆ ˆ ˆ = k + γqP,qSV a ˆ qP,qSV (k) u (8.3.94) UqP,qSV ˆa ˆ-Komponentenzerlegung der Geschwindigkeitsvektoren entsteht: so einzusetzen, dass eine k > ˆ EqP,qSV (k)= ˆ μ⊥ + α 3 u ˆa ˆ qP,qSV + ˆ qP,qSV · a ˆ·u ρ cqP,qSV (k)c +

1

0

ˆ·u ˆ·a ˆ·u ˆ qP,qSV + (α2 + α3 )k ˆa ˆ qP,qSV (λ⊥ + μ⊥ )k

UqP,qSV > ˆ·a ˆ·u ˆ·u ˆa ˆ qP,qSV + α2 k ˆ qP,qSV )ˆ ˆ+ + (α1 k uqP,qSV · a

XG

ˆ+ k

ˆ·u ˆ·a ˆ qP,qSV · a ˆ+k ˆ qP,qSV u ˆ) + +α3 (k 0 XG γqP,qSV ˆ·a ˆ·u ˆ qP,qSV + (α2 + α3 )k ˆa ˆ qP,qSV a ˆ·u ˆ . (λ⊥ + μ⊥ )k UqP,qSV (8.3.95) Mit Abb. 8.3.1 erschließen wir aus den Slowness-Diagrammen der Abb. 8.3.9 sofort, dass alle ˆ ⊥a ˆ Ca ˆ haben; ˆ f¨ ˆ und k ˆ die Richtung von k ur k Energiegeschwindigkeitsvektoren cESH,qP,qSV (k) tats¨achlich gilt aber als Vervollst¨andigung von (8.3.92), (8.3.93) sogar: ˆ ⊥a ˆ ⊥a ˆ , ˆ) = cqP,qSV (k ˆ) k cEqP,qSV (k ˆ Ca ˆ Ca ˆ . ˆ) = cqP,qSV (k ˆ) k cEqP,qSV (k

(8.3.96) (8.3.97)

8.3 Ebene Wellen in anisotropen nichtdissipativen Materialien

235

Zur numerischen Auswertung von (8.3.91) bzw. (8.3.95), d.h. zur Darstellung von Energiegeˆ ˆ = cESH,qSV,qP (k) ˆ schwindigkeitsdiagrammen, gibt man k-Vektoren vor und tr¨agt |cESH,qSV,qP (k)| ˆ in Richtung der Einheitsvektoren cˆESH,qSV,qP (k), d.h. in Richtung der Strahl(einheits)vektoren ˆl(k) ˆ auf, wobei die Funktionen ˆl(k) ˆ f¨ ur die drei Wellenmoden im Allgemeinen nichtlinear sind. F¨ ur unser Modell des kohlefaserverst¨arkten Kunststoffs ergeben sich so die Diagramme der Abb. 8.3.10 und f¨ ur unser Modell Austenit 308 diejenigen der Abb. 8.3.11. Auffallend sind

.. .... kˆ . .....c (ˆl) ........ . . . . . . . . . . . ˆ .....ˆ.............................l aˆ

................................................... ............................. .................... ................... ................. ............ . ................ .............. . ... ............... .............. ............. ...................................................................................................................... ............ . . . ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .......... .......... ... . . . ......... . . . . . . . . . ........ .. ...................................................... .... ....... . . . . . ....... . . . . ...... .. . ........ ...... ....... . . . . . . . . . . . . ..... . ...... ....... .... ..... . . . . . . ... .. ..... .. ... .... ..... . .. . .. ... . . ... ... ... ..... ..... .... .... . ...... ..... .... ..... . . . . . . . .. ...... ...... ..... .... ... . . .. ..... . . ....... . . . . . . . . .. . ... ............. ........ ........ ....................................... .... ......... ... ......... .......... .. . .......... ............ .................................................................................................................. ............ ............. ................ ............. .. ..... .............. ........ .............. .............. . ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ................... ........................... ........................................................

EqP

cEqP (ˆl)

cEqSV (ˆl)

cESH (l)

ˆ cEqSV (k) ˆ und cEqP (k) ˆ kohlefaserverst¨ Abb. 8.3.10: Energiegeschwindigkeiten cESH (k), arkten Kunststoff: λ⊥ +2μ⊥ = 13.5, μ⊥ = 3.4, λ# + 2μ# = 145.8, μ# = 6.8, ν = 10.2 [GPa]; ρ = 1.6 g/cm3

............... kˆ . . . . . . . . . .... c (ˆl) . . . . ... ˆl . . . . . .............................. aˆ

....................................................................... ............ .................. ........... ........ ........ ...... ...... ..... ..... ..... . . . ... ... . ... .............................................................. ... ... . . . . . . . ...... ... ...... .. ...... . . . . . ... ..... ....... . . . . ... ... . ............................................................................... . . . . . . . .. . . . . ... . ..... ....... .. ...... .... . . . . . . . . . . . . ... . ... . . . ..... ...... .... ..... . . . .. . . . . . . . . . . . ... ..... ..... .. .... ... .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . .... ..... .... .. .. .... .... . . . . . . . ..... .... . . .. . . ... . ..... ... .. .... ... .. ..... . . . . . . . . . . . ... .. .... .. ..... .... . .. .... .... .. . . . . . . . . . ... . . . .. .. .. .. .... .. ....... ... ... .... ... . . . . . .... . . .... .... .. .... ... ... .... ...... ... .. ... ... ... ...... ...... .. .... . . . . ... .. ...... ....... .. . .. . . . . ... . . . . ... .. . ...... .. ... .... ....... . . . ... ........ .... . .... . ... ..... . .... .... . . ...... . . .. . . . . . . . ... .. .... . .. ... ... . ..... .. ... .. .. ..... .. ..... .... ... ... ...... .. ..... .. ..... .... .... .. ... ....... ..... .. ..... ..... .. ..... .... ... ..... .. ..... ..... .. .. ..... .. .... . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... .. . ..... ...... ... ..... .. ..... ....... ...... ..... . .. .. .............. ......... ......... .................. .. .. .............................................................. ... .. ... ... ..... .......... . . . . . . . ...... .. ...... ...... .. ... ...... ... .. ............................................................... .. ... ... ..... ..... ..... . . . . . ...... ........ ...... ............ ....... ........... .................. ........................................................................

EqP

cEqSV (ˆl)

cESH (ˆl)

cEqP (ˆl)

ˆ cEqSV (k) ˆ und cEqP (k) ˆ f¨ Abb. 8.3.11: Energiegeschwindigkeiten cESH (k), ur Austenit 308: λ⊥ +2μ⊥ = 262.75, μ⊥ = 82.25, λ# + 2μ# = 216, μ# = 129, ν = 145 [GPa]; ρ = 8 g/cm3

insbesondere die Schwalbenschw¨anze“ (cusps) der qSV-Diagramme, deren Ursache Mehrdeu” ˆ ˆl)-Funktion sind. Bevor wir dies anhand der Abb. 8.3.13 diskutietigkeiten der zugeh¨origen k( ren, sei zun¨achst der einfachere (und nicht mehrdeutige) Fall eines qP-Diagramms betrachtet (Abbildung 8.3.12). Wir wissen ja aus Abschnitt 8.3.1 (Gleichung (8.3.29)), dass f¨ ur einen vorˆ ˆ ˆ gegebenen Strahlvektor l(k) der Phasenausbreitungsvektor k stets senkrecht auf der Oberfl¨ache des Energiegeschwindigkeitsdiagramms — der Wellenfl¨ache — steht. Dies ist in Abb. 8.3.12 f¨ ur mehrere Strahlvektoren am Beispiel des qP-Diagramms von Austenit 308 illustriert. Wir ˆ mit α ˆl aˆ , und offensichtlich nimmt dieser Winkel als bezeichnen den Winkel zwischen ˆl und a

236

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

..... kˆ .. ..... ... ... .... ˆ ... . k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ......... ....... ...... ..... . ˆl . . ... ..... ... ˆl ........................... .... ... ... .......... ... .. ..................... ..... . ........................... aˆ ... 2

α ˆl aˆ π

π 2 π 4 0

. ....... ........... ... .... .. ... ....... .. ... ... ... ... .. ... . . . ... ... ... .. .. ... ... ... ... . . . .. ... .... ...... ... ........ ......... ... .......... ......... ... . . . . . . ..... ... ..... ... .... .... ... .... ... ... . . ... ... ... .. .. ... ... ...................................................................... . ..... .... .. .. .... ... ... .... ... .. .. ... . .... . .. .... .... . ... ..... ... .... ... ..... .... ....... .. . . . . . . . .... . . ....... ... .............................................. . .. . . ... . . . ... . ... .. ..... . . .... . . ... ... ... .... ..... . ... ... .... ..... .. .. .... ... . ... ... ... ... . ... ... .... .... .. .. ........ . ..... ... .. ..... .............................................................................................................................................................................................................................................................................. . . ..... .

1

ˆ 1 , ˆl1 k •

π/4

π/2

π

1

2

ˆ 2 , ˆl2 •k

0

.............................................................................. . ................. ............. .. ........... . ......... ... ......... ..... .. ..... ..... ... .. ..... ..... . .. .... .. . . . . .. .. . . . .. ... . . .. .. ... .... ... . . . . . ... ... .. ... . .. . .. ... .. ... . .. .. ...... .. .. .... .... .. . . ... . . . .. .. .... .. . ... . . .. .. .. .. . ... .. .. . .. .. .. .. .. . ... .. . .. .. . .... ... . .. ... . .. . ... .. . .... . .. .. .. .. .. ... ... .. . . .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... . ... . ... ... .. ... .. ..... ..... ..... .... ....... . . . . . .. ......... ......... ............ ............ ..................... ...............................................................

cEqP (ˆl)

α kˆ aˆ

ˆ und Strahlvektor ˆl am Beispiel Abb. 8.3.12: Illustration der nichtlinearen Beziehung zwischen Phasenausbreitungsvektor k des qP-Energiegeschwindigkeitsdiagramms von Austenit 308

ˆ und a ˆ, zwar nichtlinear, aber monoton zu (linker Funktion von α kˆ aˆ , dem Winkel zwischen k Teil der Abb. 8.3.12). Die Zuordnung charakteristischer Punkte auf dieser Kurve zu den zuˆ des Geschwindigkeitsdiagramms gelingt unmittelbar: α ˆl aˆ = π/4 hat geh¨origen ˆl, k-Richtungen 1 α kˆ aˆ = π/4, und α ˆl aˆ = π/2 hat α kˆ aˆ = π/2 zur Folge; ausgehend von α ˆl aˆ = 0 nimmt α kˆ aˆ 1 2 2 zun¨achst langsam und sodann schneller zu, bis die Richtung α ˆl aˆ = α kˆ aˆ = π/4 f¨ ur beide Vek1 1 toren erreicht ist, danach, f¨ ur π/4 < α ˆl aˆ < π/2, beobachten wir das umgekehrte Verhalten, und f¨ ur π/2 < α ˆl aˆ < π geht alles von vorne los“. Der fett gedruckte Teil des Energiegeschwindig” keitsdiagramms entspricht dem Intervall 0 ≤ α kˆ aˆ ≤ π. Mit Abb. 8.3.13 wenden wir uns nun den genannten Schwalbenschw¨anzen des qSV-Energiegeschwindigkeitsdiagramms von Austenit 308 zu. Zun¨achst einmal enth¨ ullt die α ˆl aˆ (α kˆ aˆ )-Kurve im linken Teil der Abbildung, dass sie ebenfalls nichtlinear, dar¨ uber hinaus aber auch nicht monoton ist: Zu einem bestimmten ˆl-Wert — hier beispielsweise: ˆl3 — k¨onnen maximal drei ˆ3, k ˆ4, k ˆ 5 — geh¨oren. Wieder diskutieren wir, wie sich das (0 ≤ α ˆ ≤ π)ˆ — hier: k k-Werte ˆ ka Intervall in ein entsprechendes α ˆl aˆ -Intervall abbildet: Offensichtlich — man erkennt das sofort am Geschwindigkeitsdiagramm — geh¨ort α kˆ aˆ = 0 zu α ˆl aˆ = 0. Von diesem Nullpunkt ausgehend nimmt aber α kˆ aˆ nur dann zu, wenn α ˆl aˆ zun¨achst negativ wird, bis die untere Spitze des fett gedruckten Teils des rechten Schwalbenschwanzes erreicht ist; danach nimmt α kˆ aˆ weiter zu, w¨ahrend α ˆl aˆ auf eine zweite Nullstelle zusteuert. Zum Wert α ˆl aˆ = π/4 geh¨ort — wie beim qPDiagramm — der Wert α kˆ aˆ = π/4. Im Folgenden durchl¨auft α ˆl aˆ schließlich den vollst¨andigen oberen Schwalbenschwanz, der sich in der α ˆl aˆ (α kˆ aˆ )-Kurve als Aufeinanderfolge eines lokalen Maximums und eines lokalen Minimums manifestiert. Zur ˆl3 -Richtung — α ˆ = π/2 — geh¨ort ˆ l3 a

ˆ 3 -Richtung mit π/2 < α ˆ > π/4, die linke Schwalbenschwanzspitze korrezun¨achst eine k ˆ ∼ k3 a spondiert dem darauf folgenden Maximum der α ˆl aˆ (α kˆ aˆ )-Kurve, und schliesslich findet sich f¨ ur α ˆl aˆ = π/2 der Wert α kˆ aˆ = π/2. Das sich anschließende Minimum entspricht der rechten Spitze 3

4

8.4 Ebene Wellen in isotropen dissipativen Materialien α ˆl aˆ π

π 2 π 4 0 −

π 6

......... .... ...... ..... ... . .... ... ........ ... .......... ... . . . . . .. ... .. ... ... .. ... . ... . . .. ...... . . . . ... .... . .. .. . ... .. . . ... ... ... ... .. ... .. ... ... . . ... ... ... ... ... ... ... ... . . ... ... ... ... ... .. ............... .. .... .... ... . . . . . . ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. ... ....................................................................................................... . . . ... . . . ... ... .... ... .... ... .. .. ... ... .... ... .. ... ..... .... .. ... . ..... ......... ...... ... .... ..... .. .... .. .. ... .. .... .. ... .... ... ... ..... ... .. ........................................ . ... .... .... .... .. .... ... .. ... .. ... ... .... .. .... .... ... .. .... ... .. ... . ... .... . .. .. .. . .. .... . . .. ... .. .... . ..... .. .. . . . . . . ............................................................................................................................................................................................................................................................................. . . ..... ...... . ... ........ . .. . .... .... .. ... .... .... .... .... ..... .... ..................... .... . .... .. .

ˆ 3 , ˆl3 k

•

•

ˆ 4 , ˆl3 k

•

..... kˆ ... ... . ˆ .... k .... ... ... kˆ ................................. ....... kˆ ......... ....... . . . . ..... ˆ .... .............. . . . l ....... ˆl .... .. ................................... aˆ ........ ...... ˆl .... ........................ kˆ 4

5

ˆ 5 , ˆl3 k

•

π

π/2

3

.............................................................. ...... . ...... ... .......... ...... .. ...... ........... .......... . . . . .... . ..... ..... .... ......... ..... ..... .. .... ..... .. . .... .. ..... .... ... ..... ..... . . . . .... ..... ..... .... ..... .... . ..... . . .. ... ... ... .... .... . .. .. . . . . . .... .. .. .. . .... .... .. .. .... ..... .... .. .. ....... ... .. .. ... .. .. ....... ....... .. ... . . ... .. ........ .... ..... ..... . .. ... .... .... . . . ... ... ... .. .... .. . .. .... .... ....... ... ... .... .. .. ....... . . . ..... . ... .... . . ...... ..... ..... ........ . ..... ..... ..... .... ....... ..... .... .. ..... ..... .... ..... .... . .. . . . ..... .... . ..... . . . .. ..... ..... .......... ......... ...... ...... .......... ...... ...... . . . . . .... .... ...............................................................

3

2

2

1

ˆ 2 , ˆl2 •k

π/4

237

1

α kˆ aˆ

ˆ 1 , ˆl1 k

ˆ und Strahlvektor ˆl am Beispiel Abb. 8.3.13: Illustration der nichtlinearen Beziehung zwischen Phasenausbreitungsvektor k ¨ des qSV-Energiegeschwindigkeitsdiagramms von Austenit 308 (aus Gr¨ unden der Ubersichtlichkeit sind die ˆl-(Einheitsˆ )Vektoren nur halb so lang wie die k-(Einheits-)Vektoren)

des oberen Schwalbenschwanzes, und der darauffolgende Doppelpunkt des Geschwindigkeitsdiaˆa ˆ 5 : Zu ˆ-Ebene) geh¨ort nunmehr zum Phasenausbreitungsvektor k gramms (Doppelpunkt in der k ˆ der einen Strahlrichtung l3 mit α ˆl aˆ = π/2 geh¨oren drei verschieden orientierte Phasenfl¨achen, 3 wobei sich zwei mit derselben Energiegeschwindigkeit und eine mit einer gr¨oßeren Energiegeˆ steht nicht mehr senkrecht auf den Wellenfronten wie in Abb. schwindigkeit ausbreiten, d.h. k 8.1.7. In Abb. 8.3.14 wird dies besonders deutlich: Hier sind EFIT-RC2(t)-Wellenfronten f¨ ur zwei verschiedene Zeitpunkte berechnet, die als qP- und qSV-Wellenfronten von einer Linienkraftdichtequelle in Austenit 308 ausgehen. In Abschnitt 8.3.1 sprachen wir bereits davon, dass Zeitbereichswellenfronten von Punkt- oder Linienquellen ( Green’sche Funktionen“) mit ” den Energiegeschwindigkeitsdiagrammen ebener Wellen u ussen; die den Wel¨bereinstimmen m¨ lenfronten unterlegten Geschwindigkeitsdiagramme veranschaulichen dies, und man sieht sehr sch¨on. dass in Richtung der Strahlvektoren zu den cusp-Doppelpunkten tats¨achlich jeweils drei Phasenfl¨achen existieren. Diese breiten sich aber eben nicht in Richtung der drei Phasenvektoren, sondern in Richtung des einen Strahlvektors aus (Gleichung (8.3.30)). Zwei davon haben auch noch unterschiedliche Energiegeschwindigkeiten, was beispielsweise bei der Interpretation seismischer Bohrlochsignale zu Verwirrung f¨ uhrt (Wang et al., 2002).

8.4

Ebene Wellen in isotropen dissipativen Materialien

Homogen-isotrope dissipative Materialien beschreiben wir im Frequenzbereich durch die Materialgleichungen μ(R, ω) = εc (ω)I ,

(8.4.1)

ρ (R, ω) = [ρ + εc (ω)] I c

= ρc (ω) I ,

(8.4.2)

238

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . ......... ....... ..... . . . ... .... ...................................................... ... ... ........ ........ ... ... ........... ... .. ....... . . ... . . ..... .................................... . . . . ... . . .. .. . .. ..... ................ ..................... ................... ... ..... . .... ... ...... ........... ... . . . . . . . . ..... .......... . ... . . . ... ... .... .... .... .... ........ .......... .... ............ .... .... ... .. ... .... ... ... ....... ... ˆl .. ˆl .... ...... ... ..... ... ... ... ... ˆl ..................... .... ...............................ˆ................................ aˆ... ......................... ˆl .... ... . . . ... . .. ... f .. .. . . .. . ... .... .... ............ .. .......... ........ .. ........ ..... ..... .... ....... . ..... ...... ... ... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... .... ... ... .. ............ . . . . . . . ......................................... ... .... ...... ..... . ... ...... ..... ... .. . . . . . ... ...... .............. .. . . . . ... . . . . .. ................................................. ... . . ..... ... . ......... . . . . ................. ..... .............................................................................

Abb. 8.3.14: 2D-EFIT-qP/qSV-RC2(t)-Wellenfronten einer Linienkraftdichte ˆf in Austenit 308 f¨ ur zwei verschiedene Zeitpunkte

8.4 Ebene Wellen in isotropen dissipativen Materialien

239

c (R, ω) = λc (ω) Iδ + 2μc (ω) I+ , c

(8.4.3)

wobei εc (ω), λc (ω) und μc (ω) komplexwertige Funktionen der Kreisfrequenz sind, deren Realund Imagin¨arteile als Kramers-Kronig-Relationen u ¨ber Hilbert-Transformierte miteinander verkn¨ upft sein m¨ ussen. Als homogene Schwingungsgleichung ergibt sich folglich μc (ω)Δu(R, ω) + [λc (ω) + μc (ω)]∇∇ · u(R, ω) + ω 2 ρc (ω)u(R, ω) = 0

(8.4.4)

f¨ ur den Vektor der Teilchenverschiebung anstelle von (8.1.53). Man beachte: Der einzige Unterschied gegen¨ uber (8.1.53) sind frequenzabh¨angige Materialparameter. Mit dem Ansatz ebener Wellen ˆ (k) u(R, ω, k) = u(ω) e jk·R u

(8.4.5)

ergeben sich aus (man vergleiche (8.2.2) f¨ ur nichtdissipative Materialien) W(k, ω) = [μc (ω) k · k − ω 2 ρc (ω)] I + [λc (ω) + μc (ω)] k k

(8.4.6)

und der Forderung detW(k, ω) = 0 unmittelbar Dispersionsgleichungen ρc (ω) def 2 = kPc (ω) , λc (ω) + 2μc (ω) ρc (ω) def 2 kS · kS = ω 2 = kSc (ω) μc (ω)

k P · kP = ω 2

(8.4.7) (8.4.8)

f¨ ur P- und S-Slowness-Vektoren, die diesmal wegen der frequenzabh¨angigen rechten Seiten tats¨achlich Dispersionsgleichungen sind. Das zweite Gleichheitszeichen in (8.4.7) und (8.4.8) definiert jeweils komplexwertige nichtlinear-frequenzabh¨angige47 Wellenzahlen kP,Sc (ω). Offensichtlich sind deshalb die m¨oglichen L¨osungen kP,S der Dispersionsgleichungen ebenfalls (vektoriell) komplexwertig: (8.4.9) kP,S = 6kP,S + j2kP,S . Die P,S-Indizierung suggeriert bereits, dass wir ebene Druck- und Scherwellen als L¨osung der Schwingungsgleichung (8.4.4) suchen (und erwarten). Wir bestimmen deshalb die Polarisationsvektoren erneut — ebenso wie in Abschnitt 8.2 — aus den Forderungen ∇ × uP (R, ω, kP ) = 0 , ∇ · uS (R, ω, kS ) = 0

(8.4.10) (8.4.11)

ˆ P (kP ) = 0 , kP × u ˆ S (kS ) = 0 ; kS · u

(8.4.12) (8.4.13)

beziehungsweise

zusammen mit der Hermite’schen Normierungsbedingung ˆ P,S · u ˆ ∗P,S = 1 u

(8.4.14)

erhalten wir wie in Abschnitt 8.2 Polarisations(einheits)vektoren ˆ P (kP ) = ' u

kP kP · k∗P

,

(8.4.15)

47 Mit k P,Sc (ω) soll angedeutet werden, dass die Wellenzahlen dissipativer Materialien nicht einfach nur proportional zur Kreisfrequenz sind.

240

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien ˆ × kS u ˆ S1 (kS ) = 'S2 u , kS · k∗S

(8.4.16)

ˆ S2 reell mit u ˆ S2 · kS = 0 ansetzen. wenn wir u ˆ S2 = Nach Einbettung in ein kartesisches Koordinatensystem kann in Anlehnung an Abb. 8.1.8 u ˆ SH = ey und u ˆ S1 = u ˆ SV mit u ˆ SV · ey = 0 gew¨ahlt werden. u

8.4.1

Homogene ebene Wellen

Die Dispersionsgleichungen (8.4.7) und (8.4.8) dissipativer Materialien lassen — ebenso wie in nichtdissipativen Materialien — als L¨osungen homogene und inhomogene ebene P,S-Wellen zu. Im Ansatz (8.4.9) der komplexen Wellenzahlvektoren identifizieren wir gem¨aß ˆ P,S1/2 (kP,S ) uP,S1/2 (R, ω, kP,S ) = u(ω) e j.kP,S ·R e−,kP,S ·R u

(8.4.17)

den Realteil 6kP,S als Phasen(ausbreitungs)vektor und den Imagin¨arteil 2kP,S als D¨ampfungsvektor. In nichtdissipativen (isotropen) Materialien gibt es f¨ ur 2kP,S genau zwei M¨oglichkeiten: entweder gleich dem Nullvektor — entsprechend homogenen ebenen Wellen — oder senkrecht auf 6kP,S — entsprechend inhomogenen ebenen Wellen — mit der in Abb. 8.2.1 angegebenen Orientierung (Ausbreitung in +6kP,S -Richtung ergibt eine D¨ampfung nur im Halbraum uglich der Phasen2kP,S · R > 0). Die resultierenden ebenen Wellen sind entweder un- oder (bez¨ ausbreitungsrichtung) quer ged¨ampft. Genau diese beiden F¨alle sind in dissipativen Materialien ausgeschlossen! Setzen wir n¨amlich (8.4.9) in die Dispersionsgleichungen ein, so ergibt die Aufspaltung in Real- und Imagin¨arteil: 2 (ω) , 6kP,S · 6kP,S − 2kP,S · 2kP,S = 6kP,S 1 2 6kP,S · 2kP,S = 2kP,S (ω) , 2

(8.4.18) (8.4.19)

2 (ω) >= 0 der Imagin¨arteil 2kP,S weder null sein noch kann er und wegen (8.4.19) kann f¨ ur 2kP,S senkrecht auf 6kP,S stehen. Es verbleiben die beiden Alternativen: 2kP,S parallel zu 6kP,S — dies entspricht homogenen, in Ausbreitungsrichtung ged¨ampften ebenen Wellen, da sodann Phasenund Amplitudenfl¨achen zusammenfallen — oder beliebiger nicht-orthogonaler Orientierung relativ zu 6kP,S — dies entspricht inhomogenen ebenen Wellen, deren Phasen- und Amplitudenfl¨achen weder parallel noch senkrecht zueinander sind. Der Winkel 0 ≤ ,(6kP,S , 2kP,S ) < π/2 ist ein durch die elastodynamischen Grundgleichungen nicht festgelegter frei w¨ahlbarer Parameter.

Homogene, in Ausbreitungsrichtung eζ f¨ ur ζ > 0 ged¨ampfte ebene Wellen ergeben sich als L¨osungen (8.4.20) kP,S = kP,Sc (ω) eζ der Dispersionsgleichungen, woraus 6kP,S = 6kP,Sc (ω) eζ , 2kP,S = 2kP,Sc (ω) eζ

(8.4.21) (8.4.22)

folgt (man vergleiche Abschnitt 4.4.1). Um diese Phasen- und D¨ampfungsvektoren explizit 2 angeben zu k¨onnen, m¨ ussen wir bei vorgegebenem Real- und Imagin¨arteil von kP,Sc (ω) = 2 2 6kP,Sc (ω) + j2kP,Sc (ω) den Real- und Imagin¨arteil von kP,Sc (ω) = 6kP,Sc (ω) + j2kP,Sc (ω) ausrechnen; wir erhalten (Gleichungen (2.3.38), (2.3.39) mit der hier ad¨aquaten Vorzeichenwahl): C

1 2 6kP,Sc (ω) = √ 6kP,Sc (ω) + 2

P

0

2 6kP,Sc (ω)

X2

0

2 + 2kP,Sc (ω)

X2

8.4 Ebene Wellen in isotropen dissipativen Materialien 1 ' 2 2 = √ |kP,Sc (ω)| + 6kP,Sc (ω) , 2 C

241 (8.4.23)

P

X2 X2 0 0 1 2 2 2 2kP,Sc (ω) = √ −6kP,Sc (ω) (ω) + 6kP,Sc (ω) + 2kP,Sc 2 1 ' 2 2 = √ |kP,Sc (ω)| − 6kP,Sc (ω) , 2

(8.4.24)

als L¨osung des Gleichungssystems 2 [6kP,Sc (ω)]2 − [2kP,Sc (ω)]2 = 6kP,Sc (ω) , 1 2 6kP,Sc (ω)2kP,Sc (ω) = 2kP,Sc (ω) , 2 welches aus der Real-Imagin¨arteilaufspaltung von

(8.4.25) (8.4.26)

2 2 2 (ω) = 6kP,Sc (ω) + j2kP,Sc (ω) kP,Sc

= [6kP,Sc (ω) + j2kP,Sc (ω)]2 folgt (Gleichungen (8.4.7), (8.4.8) mit (8.4.20)). Infolgedessen ergibt sich ω cP,S (ω) = 6kP,Sc (ω)

(8.4.27)

(8.4.28)

als frequenzabh¨angige Phasengeschwindigkeit homogener dispersiver P- und S-Wellen in homogen-isotropen dissipativen Materialien. Diesen Ausdruck erhalten wir nat¨ urlich auch durch Spezialisierung der allgemeinen Formel (8.2.30). Die Energiegeschwindigkeiten homogener ebener Wellen in dissipativen Materialien finden wir sofort durch Einsetzen von (8.4.20) in (8.2.39), (8.2.40), (8.2.44), (8.2.45), (8.2.51), (8.2.52) und nachfolgende Division: Yω 2 6SKP,S1/S2 (R, ω, kP,S ) = (8.4.29) c |u(ω)|2 e−2,kP,Sc (ω)eζ ·R 6kP,Sc (ω) eζ , 2 P,S 0 X Y 2 2 ,wP,S1/2 (R, t, ω, kP,S 7 = + |kP,Sc (ω)|2 , (8.4.30) c |u(ω)|2 e−2,kP,Sc (ω)eζ ·R kP,S 4 P,S 2ω6kP,Sc (ω) cEP,S1/2 (ω) = e 2 kP,S + |kP,Sc (ω)|2 ζ (8.4.23)

=

cP,S (ω)

2 (ω) + |kP,Sc (ω)|2 6kP,Sc eζ . 2 kP,S + |kP,Sc (ω)|2

(8.4.31)

Vier Bemerkungen sind angebracht: • In (8.4.29), (8.4.30) sind wir von der beliebigen, aber festen Kreisfrequenz ω0 zeitharmonischer Feldgr¨oßen zur Kreisfrequenzvariablen ω von Fourierspektren u ¨bergegangen. • Die Formeln (8.4.29), (8.4.30) entstehen durch Spezialisierung der allgemeinen Ausdr¨ ucke (8.2.37), (8.2.38) auf P,S1/2-Polarisationen und Dispersionsrelationen dissipativer Materialien, sie enthalten aber mit Y, λ und μ als isotrope Spezialisierung des c-Tensors in (8.2.36), d.h. des c-Tensors ohne Verluste die (frequenzunabh¨angigen) Materialparameter der Augenblicksreaktion des Materials gem¨aß (4.4.33), (4.4.34) bzw. (7.4.10)–(7.4.12); dieser Augenblicksreaktion, also den Materialkonstanten48 Y, λ, μ, sind die Wellenzahlen kP,S bzw. die Geschwindigkeiten cP,S zugeordnet. 48 Man

beachte: Im Allgemeinen gilt: U, λ, μ 4= .Uc , .λc , .μc .

242

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

• Mit den komplexen frequenzabh¨angigen Wellenzahlen kP,Sc (ω) gem¨aß (8.4.7), (8.4.8) definiert man die frequenzabh¨angige Phasengeschwindigkeit (8.4.28); unter gewissen Voraussetzungen (Langenberg, 2005) l¨asst sich aber auch eine frequenzabh¨angige Gruppengeschwindigkeit ebener Impulswellen 1 (8.4.32) cgrP,S (ω) = dkP,Sc (ω) dω

definieren. Diese ist jedoch nicht gleich dem Betrag der Energiegeschwindigkeit (8.4.31). Die Gleichheit von Energie- und Gruppengeschwindigkeit hatten wir ja in Abschnitt 8.3.1 f¨ ur anisotrope nichtdissipative Materialien gezeigt. Apropos Impulswellen: So einfach sich auch homogene ebene Wellen in dissipativen Materialien im Frequenzbereich darstellen m¨ogen, im Zeitbereich wird es kompliziert; um auf der Grundlage von (8.4.17) einen Ultraschallimpuls auszurechnen, muss eine inverse FourierTransformation ausgef¨ uhrt werden: ˆ P,S1/2 (kP,S )} , uP,S1/2 (R, t, kP,S ) = F −1 {u(ω)e j.kP,Sc (ω)eζ ·R e−,kP,Sc (ω)eζ ·R u

(8.4.33)

und dies ist wegen der im Allgemeinen nichtlinearen Frequenzabh¨angkeit von kP,Sc (ω) kaum analytisch m¨oglich; eine n¨aherungsweise Auswertung f¨ uhrt auf das Konzept der oben genannten Gruppengeschwindigkeit: Die Einh¨ ullende eines bandbegrenzten Impulses breitet sich unverzerrt aus, w¨ahrend die Phase durch ihn hindurch l¨auft“. Eine fundamentale ” Aussage gilt es aber stets zu beachten: Ein kausaler Impuls bleibt bei der Ausbreitung im dissipativen Material stets kausal, selbst eventuelle Vorl¨aufer“ treffen nicht eher am ” Aufpunkt ein als es diejenige Phasengeschwindigkeit erlaubt, die den Materialkonstanten Y und c der Augenblicksreaktion des Materials zugeordnet sind (Sommerfeld, 1914; Brillouin, 1914; Kristensson et al., 2000). • F¨ ur das spezielle Maxwell-Modell der Dissipation (nur Yc ist komplex: Gleichung (4.4.9)) mit 6kP,Sc (ω) = kP,S gilt |cEP,S1/2 (ω)| = cP,S (ω). Die Phasenausbreitungs-, D¨ampfungs- und Polarisationsvektoren homogener ebener Wellen sind in Abb. 8.4.1a,b skizziert. a)

6ˆ uP

2ˆ uP

........................................................

6kP

2kP

b)

ˆ S2 u

..........................................................•.......... ... 6k 2k ...... 2ˆu ... ... ...... . 6ˆu S

S

S1

S1

Abb. 8.4.1: a) Polarisation einer homogenen ebenen Druckwelle im dissipativen Material; b) S1/S2-Polarisation homogener ebener Scherwellen im dissipativen Material

8.4.2

Inhomogene ebene Wellen

Die nach Real- und Imagin¨arteil aufgespaltenen Dispersionsgleichungen (8.4.18), (8.4.19) dissipativer Materialien lassen als L¨osungen sowohl homogene als auch inhomogene ebene Wellen

8.4 Ebene Wellen in isotropen dissipativen Materialien

243

zu. Erstere sind durch die Parallelit¨at von 6kP,S und 2kP,S charakterisiert, letztere enthalten einen frei w¨ahlbaren Parameter, n¨amlich den Winkel ,(6kP,S , 2kP,S ) zwischen Phasen- und D¨ampfungsvektor mit 0 < ,(6kP,S , 2kP,S ) < π/2. Aufgrund von (8.2.17), (8.2.18) und (8.2.22), (8.2.23) ergibt sich deshalb die graphische Darstellung von Phasen-, D¨ampfungs- und Polarisationsvektoren in Abb. 8.4.2a,b. Man beachte: Der Spezialfall homogener ebener Wellen in a)

6ˆ uP

......................................................... ...... 6k ............ 2ˆ u P

2kP

P

b)

ˆ S2 u

..........................................................•......... ..... .. .. 6k ............ .... ......... ... 2ˆu 2k ... ....... 6ˆ u S

S1

S

S1

Abb. 8.4.2: a) Polarisation einer inhomogenen ebenen Druckwelle im dissipativen Material; b) S1/S2-Polarisation inhomogener ebener Scherwellen im dissipativen Material

dissipativen Materialien (Abbildung 8.4.1a,b) ist in Abb. 8.4.2a,b enthalten, nicht jedoch der Fall der Abb. 8.2.2, denn die Orthogonalit¨at von 6kP,S und 2kP,S ist nur in nichtdissipativen Materialien m¨oglich. In dissipativen Materialien l¨asst sich nur f¨ ur homogene ebene Wellen eine Aussage u ¨ber kP,S ·k∗P,S machen, f¨ ur inhomogene Wellen m¨ ussen wir diesen Term in den Ausdr¨ ucken (8.2.39), (8.2.47), (8.2.51) f¨ ur den Realteil des komplexen Poynting-Vektors und in den Ausdr¨ ucken (8.2.40), (8.2.48), (8.2.52) f¨ ur die zeitlich gemittelte elastodynamische Energiedichte im Allgemeinen ∗2 2 ersetzen. Der und k∗P,S · k∗P,S durch kP,Sc stehen lassen; allein kP,S · kP,S k¨onnen wir durch kP,Sc jeweilige Quotient (ω0 =⇒ ω) ∗2 2 (ω)kP + kPc (ω)k∗P ] + 2μkP · k∗P (kP + k∗P ) λ [kPc ω , 2 λ [kP2 kP · k∗P + |kPc (ω)|2 ] + 2μkP · k∗P (kP2 + kP · k∗P ) 26kS cES2 (kS ) = 2 ω , kS + kS · k∗S ∗2 2 (ω)kS + kSc (ω)k∗S ] 2kS · k∗S (kS + k∗S ) − [kSc ω cES1 (kS ) = 2 kS · k∗S (kS2 + kS · k∗S ) + (kS · k∗S )2 − |kPc (ω)|2

cEP (kP ) =

(8.4.34) (8.4.35) (8.4.36)

ergibt deshalb die Energiegeschwindigkeit von P-, S1(SH)- und S2(SV)-Wellen. In allen bisherigen F¨allen komplexer Phasenvektoren fanden wir stets strukturell gleiche Ausdr¨ ucke f¨ ur die Energiegeschwindigkeiten von P-, S1- und S2-Wellenmoden, im allgemeinen Fall inhomogener Wellen in dissipativen Materialien ist dies offenbar nicht mehr so. Lediglich die Phasengeschwindigkeiten gem¨aß (8.2.30) B K K cP,S1/2 (kP,S ) = 4

2 ω 2 6kP,Sc + kP,S · k∗P,S

(8.4.37)

sind strukturell gleich. Man beachte: cEP (kP ) und cES1 (kS ) haben nicht die Richtung von 6kP bzw. 6kS , d.h. die Energie str¨omt nicht senkrecht zu den Phasenfl¨achen. In nichtdissipativen Materialien existieren inhomogene ebene Wellen als mathematische L¨osungen einer homogenen Schwingungsgleichung grunds¨atzlich im unendlich ausgedehnten elastischen Vollraum, physikalische Realisierung“ erfahren sie aber erst an der Grenzfl¨ache eines ”

244

8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien

Halbraums (Abschnitt 9.2.1). Aus diesem Grunde wollen wir die inhomogenen ebenen Wellen in dissipativen Materialien ebenfalls bez¨ uglich einer Referenzfl¨ache, und zwar der ebenen (xy−)Trennfl¨ache eines homogen-isotropen nichtdissipativen Halbraums (z > 0) und eines homogen-isotropen dissipativen Halbraums (z < 0) diskutieren. Der Einfachheit halber betrachten wir den unimodalen Fall einer aus dem nichtdissipativen Halbraum unter dem Winkel ϑiS ein(2) (2) =⇒ μ(2) =⇒ ρ(2) fallenden SH-Welle (Abbildung 9.2.1 mit λ(2) =⇒ λ(2) c (ω), μ c (ω), ρ c (ω)); der erw¨ahnte frei w¨ahlbare Parameter — der Winkel zwischen 6kS und 2kS — wird damit durch den Einfallswinkel festgelegt. Die Phasenanpassung f¨ ur die Phasenvektoren (Gleichung (9.1.19)) n × kiS = n × ktS = n × 6ktS + j n × 2ktS

(8.4.38)

mit n = ez fordert nach Aufspaltung in Real- und Imagin¨arteil n × 6ktS = n × kiS , n × 2ktS = 0 .

(8.4.39) (8.4.40)

Offensichtlich muss 2ktS senkrecht zur Trennfl¨ache und damit parallel zur z-Achse orientiert sein; man beachte: F¨ ur jede durch 6ktS gegebene Phasenausbreitungsrichtung erfolgt die D¨ampfung stets senkrecht zur Trennfl¨ache, d.h. im Allgemeinen (außer bei senkrechtem Einfall) ist die transmittierte SH-Welle tats¨achlich eine inhomogene ebene Welle. Zur expliziten Berechnung dieser allein von null verschiedenen z-Komponente von 2ktS sowie der noch offenen zKomponente von 6ktS — die Phasenanpassung (8.4.40) legt ja nur die x-Komponente fest — dient die nach Real- und Imagin¨arteil separierte Dispersionsgleichung, also die Gleichungen (8.4.18) und (8.4.19). Mit (8.4.41) ktS = ktSx ex + ktSz ez und (1)

ktSx = −kS sin ϑiS , ktSz = 6ktSz + j 2ktSz ,

(8.4.42) (8.4.43)

6ktS = ktSx ex + 6ktSz ez , 2ktS = 2ktSz ez ,

(8.4.44) (8.4.45)

(2)2

(8.4.46)

also

folgt 2 ktSx + (6ktSz )2 − (2ktSz )2 = 6kSc (ω) , 1 (2)2 6ktSz 2ktSz = 2kSc (ω) ; 2

(8.4.47)

wenn wir (8.4.46) in der Form (2)2

(1)2

(6ktSz )2 − (2ktSz )2 = 6kSc (ω) − kS

sin2 ϑiS

(8.4.48)

schreiben, wird offensichtlich, dass (8.4.48) und (8.4.47) zu (8.4.25) und (8.4.26) analoge Gleichungen sind, deren L¨osung wir mit (8.4.23), (8.4.24) und etwas Nachdenken u ¨ber die richtigen Vorzeichen sofort angeben k¨onnen: C

1 (1)2 (2)2 6ktSz (ω)=− √ 6kSc (ω) − kS sin2 ϑiS + 2

P

0

(2)2

(1)2

6kSc (ω) − kS

sin2 ϑiS

X2

0

(2)2

+ 2kSc (ω)

X2

,

8.4 Ebene Wellen in isotropen dissipativen Materialien C

1 (2)2 (1)2 2ktSz (ω)=− √ −6kSc (ω) + kS sin2 ϑiS + 2

P

245 (8.4.49)

0

(2)2

(1)2

6kSc (ω) − kS

sin2 ϑiS

X2

0

(2)2

+ 2kSc (ω)

X2

.

(8.4.50)

Damit wird noch einmal explizit deutlich, dass Phasen- und D¨ampfungsvektor im dissipativen Material vom Frequenzverlauf der Dissipation abh¨angen. Die Phasengeschwindigkeit der transmittierten Welle berechnen wir gem¨aß (8.2.27) mit (8.4.44): ctS (ω)=' B K K =K 4

ω 2 ktSx

+ (6ktSz )2

(2)2

(1)2

6kSc (ω) + kS

sin2 ϑiS +

P0

2 (2)2

(1)2

6kSc (ω) − kS

sin2 ϑiS

X2

0

(2)2

+ 2kSc (ω)

X2 ω ; (8.4.51)

(2)

sie h¨angt also u ¨ber kSc (ω) ebenso wie cS (ω) gem¨aß (8.4.28) nichtlinear von der Frequenz ab, weswegen ein dissipatives Material stets dispersiv ist. Des Weiteren h¨angt die Phasengeschwindigkeit von der Ausbreitungsrichtung ab: Der dissipative Halbraum ist scheinbar anisotrop (Langenberg, 2005). Dies gilt gleichermaßen f¨ ur die Energiegeschwindigkeit, denn mit (8.4.49), (8.4.50) erhalten wir ktS ·

k∗tS

=

(1)2 kS

P

2

sin ϑiS +

0

(2)2

(1)2

6kSc (ω) − kS (2)

sin2 ϑiS

X2

0

(2)2

+ 2kSc (ω)

X2

,

(8.4.52)

(2)

einen Ausdruck, den wir in (8.4.35) mit kS = kS einsetzen k¨onnen, wobei kS wie u ¨blich die Wellenzahl zur Augenblicksreaktion des dissipativen Halbraummaterials ist. F¨ ur den Sonderfall senkrechten Einfalls (und nur in diesem Fall) reduziert sich die im Allgemeinen inhomogene transmittierte Welle auf eine in Ausbreitungsrichtung −ez ged¨ampfte homogene ebene Welle. ¨ Die obigen Uberlegungen und Ergebnisse sind nat¨ urlich unmittelbar auf inhomogene SV- und P-Wellen in dissipativen Materialien u ¨bertragbar. Zur Berechnung der Energiegeschwindigkeiten sind sodann die Formeln (8.4.34) bzw. (8.4.36) zu verwenden.

9

Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen an ebenen Trennfla¨chen zwischen homogenen nichtdissipativen Materialien

9.1

Spannungsfreie ebene Grenz߬ache eines homogen-isotropen nichtdissipativen elastischen Halbraums

Wir untersuchen die Reflexion und (eventuelle) Modekonversion ebener elastischer Wellen zun¨achst f¨ ur die ebene Grenzfl¨ache eines homogen-isotropen nichtdissipativen elastischen Halbraums, wobei das Material“ des komplement¨aren Halbraums Vakuum sei. Da das Vakuum ” mit der Massendichte null keine elastischen Wellen zul¨asst, ist dieser komplement¨are Halbraum feldfrei, sodass gem¨aß Abschnitt 3.3 das Feld im elastischen Halbraum die (homogene1 ) Randbedingung T(R, t) · n = 0 , R ∈ S , (9.1.1) erf¨ ullen muss: Die Grenzfl¨ache S mit der Normalen n ist spannungsfrei (traktionsfrei). Dieses Standardproblem der Ausbreitung elastischer Wellen ist in der Literatur hinreichend oft abgehandelt (z.B.: Achenbach, 1973; Auld, 1973; Ben-Menahem und Singh, 1981; Harker, 1988; Langenberg, 1983), und auch die Ultraschall-zfP ist damit wohlvertraut (J. und H. Krautkramer, 1986; Kutzner, 1983; Schmerr, 1998). Wir diskutieren es dennoch: erstens der Vollst¨andigkeit halber und zweitens einer (fast2 ) koordinatenfreien Rechnung zuliebe, die das Ganze wesentlich k¨ urzer und u ¨bersichtlicher macht. Außerdem wollen wir das Ergebnis durch die Reflexion und Modekonversion von Impulswellen darstellen, denn die Ultraschall-zfP ist ja in der Regel eine Impulspr¨ ufung; wenn u ur ¨berhaupt, findet man in der Literatur nur eine Illustration f¨ zeitharmonische Wellen.

9.1.1

Einfallende prim¨are longitudinale Druckwelle

Reflektierte prim¨are longitudinale P- und modekonvertierte sekund¨are transversale SV-Wellen Die Grenzfl¨ache des Halbraums stellt eine physikalisch existierende Referenzebene dar, die wir zweckm¨aßigerweise mit einer Koordinatenfl¨ache eines kartesischen Koordinatensystems identifizieren: Wir w¨ahlen die xy-Ebene und z¨ahlen positive z in Richtung n, wobei n die ¨außere Normale auf dem Vakuumhalbraum ist (Abbildung 9.1.1). Wir haben die M¨oglichkeit, das Koordinatensystem so lange um die z-Achse zu drehen, bis der vorgegebene Phasenausbreitungsˆ iP der auf die Grenzfl¨ache einfallenden P-Welle in der xz-Ebene liegt; die von ez = n vektor k ˆ und kiP aufgespannte Einfallsebene ist sodann mit der xz-Ebene identisch. Entsprechend Abb. ˆ iP — ϕik = π ist der Azimutwinkel —, als Einfallswinkel 8.1.8 ist ϑik der Polarwinkel von k bezeichnen wir jedoch den von der z-Achse gez¨ahlten Winkel ϑiP mit ϑiP = π − ϑik . 1 Von

(9.1.2)

in der Grenzfl¨ ache eingepr¨ agten Traktionen sehen wir ab. 2 V¨ ollig koordinatenfrei wird die entsprechende Fresnel’sche Reflexion elektromagnetischer Wellen von Chen (1983) abgehandelt.

248

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

....... ... ... ... ....... kˆ . . . . . . . . . . . ..... .............. ..... .... uˆ

z

.... ....... ....... ... ... ..... .. .. ... ... ... .. .... .... ... .. .... .... ... .. ... .... ... .... .. .. . .... ... ..... ..... .... .. .. .. ... ..... ... ..... . . . .. . .. . ..... ..... ..... ... .. .. .... ..... .. ..... .. .... .. ... ..... . ..... . .. .. .. ..... ..... ..... ... .. .... .. .. ..... ..... .... .. .. ... . .. . . . . . .. ... ..... . .. .... .. .................................... .... ..... ..... .. ... .. .. .... ..... ..... ... .. . .. . . .. ..... ..... ..... .. .. ... ... ..... ..... .. . .. .......... ..... .................... ... .......................... . . . . . . ..... . . . ....... .. . ... .. .. ...... . ....... ..... ..... .. . ..... ................ .................... .... ... .. ........... .... .... .. ..... .... .... .. . . . . . . . . ... . ..... . ... .. .. ..... .. ..... . .. ...................... ... ..... ........... . . . . . . . . . .. . ... ... ...... ... .... . .. . ... ..... ... ..... ..... ... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .. ... ..... . .. .. ..... ............... ..... ... ...... . . ......... ... ........ ..... .... ... .... .... .... ..

ˆ mS k

rP

mSV

ˆ iP k

ϑmS

ϑ ....... e ... n ... .. . . . ϑ .... ... ....... ϑ ϑrP

..... . . . . ... .........

iP

z

λ , μ , ρ =⇒ cP , cS x

ik

ˆ iP k

S

Vakuum

iP

Abb. 9.1.1: Reflexion und Modekonversion einer P-Welle an der Grenzfl¨ ache S eines homogen-isotropen nichtdissipativen elastischen Halbraums mit den Materialparametern λ, μ, ρ (die y-Achse zeigt nach hinten)

ˆ iP sodann die KomponentendarF¨ ur π/2 ≤ ϑik ≤ π gilt π/2 ≥ ϑiP ≥ 0. Gem¨aß (8.1.90) hat k stellung ˆ iP = − sin ϑik ex + cos ϑik ez k = − sin ϑiP ex − cos ϑiP ez , (9.1.3) was wir auch sofort aus Abb. 9.1.1 ablesen k¨onnen. Die einfallende ebene longitudinale P-Welle setzen wir gem¨aß Gleichung (8.1.87) als Impulswelle Q

E

ˆ ˆ iP ˆ iP ) = uiP t − kiP · R k uiP (R, t, k cP

(9.1.4)

an, gehen aber sogleich zum Fourier-Spektrum ˆ iP ) = uiP (ω) e jkP kˆ iP ·R k ˆ iP uiP (R, ω, k

(9.1.5)

u ¨ber. Gleichung (8.1.122) lehrt uns sofort, dass wir mit (9.1.5) allein die Randbedingung (9.1.1) nicht erf¨ ullen k¨onnen: Die physikalisch vorliegende Randbedingung erzwingt die Existenz reflektierter P- und, wie wir sehen werden, modekonvertierter SV-Wellen, deren Amplituden von der Ausbreitungsrichtung abh¨angen (man vergleiche Fußnote 15). Wir setzen beide Wellen wie folgt an: ˆ rP ) = urP (ω, k ˆ rP ) e jkP kˆ rP ·R k ˆ rP , (9.1.6) urP (R, ω, k ˆ mS ) = umS (ω, k ˆ mS ) e jkS kˆ mS ·R u ˆ mS ) , ˆ mSV (k umSV (R, ω, k ˆ mS ) · k ˆ mS = 0 , ˆ mSV (k u

(9.1.7)

ˆ rP · ey = k ˆ mS · ey = 0 die Ausbreitungsvektoren dieser Wellen ebenfalls in die wobei wir mit k xz-Ebene legen (wir werden sehen, dass dies so sein muss). Mit ˆ mS ) = k ˆ mS × ey ˆ mSV (k u

(9.1.8)

9.1 Spannungsfreie ebene Grenz߬ache eines elastischen Halbraums

249

ist sodann die Polarisation der Scherwelle (9.1.7) in der Tat die einer der Konvention von Abb. ˆ mS ) liegt ebenfalls in der Einˆ mSV (k 8.1.8b folgenden SV-Welle, SV bez¨ uglich der Grenzfl¨ache; u fallsebene. Unter Verwendung von (8.1.90), (8.1.91) berechnen wir die folgenden Komponenten: ˆ rP = − sin ϑrP ex + cos ϑrP ez , k ˆ mS = − sin ϑmS ex + cos ϑmS ez , k ˆ mS ) = − cos ϑmS ex − sin ϑmS ez . ˆ mSV (k u

(9.1.9) (9.1.10) (9.1.11)

Reflexions- und Modekonversionsgesetz Mit (9.1.5)–(9.1.7) und (8.1.122), (8.1.123) m¨ ussen wir nun versuchen, die Randbedingung 0

X

ˆ iP ) + T (RS , ω, k ˆ rP ) + T ˆ mS ) · ez T(RS , ω) · ez = TiP (RS , ω, k (RS , ω, k rP mSV =0

(9.1.12)

f¨ ur jeden beliebig in der xy-Ebene liegenden Ortsvektor RS = xex +yey zu erf¨ ullen. Versuchen“ ” heißt: Die Komponenten der Vektorgleichung (9.1.12) m¨ ussen zur Bestimmung der Unbekannten ˆ rP , k ˆ mS , urP (ω), umS (ω) ausreichen; wenn nicht, w¨are der Ansatz (9.1.6), (9.1.7) gescheitert. Da k ˆ iP ) , ˆ iP )=jkP uiP (ω) e jkP kˆ iP ·R (λ I + 2μ k ˆ iP k TiP (R, ω, k (9.1.13) ˆ ˆ rP ) , ˆ rP )=jkP urP (ω, k ˆ rP ) e jkP krP ·R (λ I + 2μ k ˆ rP k (9.1.14) TrP (R, ω, k ˆ ·R ˆ jkS k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ mS ˆ mSV (kmS ) + u ˆ mSV (kmS ) kmS ] , [kmS u TmSV (R, ω, kmS )=jkS μ umS (ω, kmS ) e (9.1.15) sehen wir sofort, dass (9.1.12) keine y-Komponente hat: Eine eventuell in (9.1.12) mitber¨ uckˆ mSH = −ey w¨ sichtigte modekonvertierte SH-Welle mit u urde deshalb bei der Bildung der verbleibenden x- und z-Komponenten von (9.1.12) v¨ollig herausfallen; sie wird offenbar in unserem Ansatz nicht ben¨otigt, sie ist von den P-SV-Wellen entkoppelt (Abschnitt 7.3). Wenn wir nun (9.1.13)–(9.1.15) in (9.1.12) einsetzen, muss die resultierende Vektorgleichung f¨ ur alle Punkte ullt sein, und dies geht nur, wenn die Argumente der Exponentialfunktionen in (9.1.13)– RS erf¨ (9.1.15) f¨ ur R = RS gleich sind3 : ˆ iP · RS = kP k ˆ rP · RS = kS k ˆ mS · RS . kP k

(9.1.16)

Ein beliebiger Punkt RS ∈ S l¨asst sich gem¨aß RS = n × R

(9.1.17)

durch einen beliebigen Ortsvektor R ∈ IR3 darstellen; deshalb k¨onnen wir (9.1.16) gem¨aß ˆ iP × n) · R = kP (k ˆ rP × n) · R = kS (k ˆ mS × n) · R kP (k

(9.1.18)

ˆ × n)-Projektionen ussen nicht nur die (k schreiben, und da R ein v¨ollig beliebiger Vektor ist, m¨ ˆ in (9.1.18), sondern die (k × n)-Vektoren selbst gleich sein: ˆ iP × n = kP k ˆ rP × n = kS k ˆ mS × n . kP k 3 Exponentialfunktionen

mit unterschiedlichen Argumenten x1 , x2 , x3 sind linear unabh¨ angig; eine Gleichung α 1 ex 1 + α 2 e x 2 + α 3 ex 3 = 0

h¨ atte also α1 = α2 = α3 = 0 zur Folge.

(9.1.19)

250

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

ˆ iP × n ∼ ˆ iP , wie in Abb. 9.1.1 skizziert, in der Einfallsebene liegt, gilt k Da nach Voraussetzung k ˆ ˆ ur krP und kmS gelten muss, sodass in ey ; Gleichung (9.1.19) sagt, dass dies sodann auch f¨ ˆ rP als auch k ˆ mS in der Einfallsebene liegen, so wie dies ebenso in Abb. 9.1.1 der Tat sowohl k skizziert ist4 . Ber¨ ucksichtigen wir die Komponentendarstellungen (9.1.3), (9.1.9), (9.1.10), so verbleibt von den Vektorgleichungen (9.1.19) nur noch die y-Komponente, und das zweifache Gleichheitszeichen f¨ uhrt auf die beiden Gleichungen sin ϑrP = sin ϑiP , kS sin ϑmS = kP sin ϑiP .

(9.1.20) (9.1.21)

Das Reflexionsgesetz (9.1.20) liefert die Gleichheit ϑrP = ϑiP

(9.1.22)

von Reflexions- und Einfallswinkel, und das Modekonversionsgesetz (9.1.21) erlaubt die Berechnung der Ausbreitungsrichtung der modekonvertierten SV-Welle bei vorgegebenem Einfallswinkel und vorgegebenem Wellenzahl- bzw. Phasengeschwindigkeitsverh¨altnis. Man beachte: Da kP < kS , ist stets sin ϑmS < sin ϑiP < 1 und damit ϑmS < ϑiP . Reflexionsgesetz und Modekonversionsgesetz folgen also aus der Randbedingung allein aufgrund der Forderung nach Phasenanpassung. Reflexions- und Modekonversionsfaktoren der vektoriellen Teilchenverschiebung Von Gleichung (9.1.12) bilden wir nun mit (9.1.13)–(9.1.15) z- und x-Komponenten: ˆ rP )[λ + 2μ(k ˆ rP · ez )2 ]+ ˆ iP · ez )2 ] + kP urP (ω, k kP uiP (ω)[λ + 2μ(k ˆ mS )(k ˆ mS · ez )(k ˆ mS · ex ) = 0 , +2kS μ umS (ω, k ˆ iP · ex )(k ˆ iP · ez ) + 2kP urP (ω, k ˆ rP )(k ˆ rP · ex )(k ˆ rP · ez )+ 2kP uiP (ω)(k ˆ mS )[(k ˆ mS · ex )2 − (k ˆ mS · ez )2 ] = 0 , +kS umS (ω, k

(9.1.23) (9.1.24)

wobei wir aufgrund von (9.1.8) ˆ mS ) · ez = k ˆ mS · ex , ˆ mSV (k u ˆ mS ) · ex = −k ˆ mS · ez ˆ mSV (k u

(9.1.25) (9.1.26)

ur die beiden noch unbeachtet haben. Mit (9.1.23) und (9.1.24) liegen zwei Gleichungen5 f¨ ˆ rP ) und umS (ω, k ˆ mS ) vor. Wir definieren nun Reflexions- und bekannten Amplituden urP (ω, k Modekonversionsfaktoren — wir werden sehen, dass beide vom Einfallswinkel, nicht aber von der Frequenz abh¨angen — RP (ϑiP ) = MS (ϑiP ) =

ˆ rP ) urP (ω, k , uiP (ω) ˆ mS ) umS (ω, k uiP (ω)

(9.1.27) (9.1.28)

und f¨ uhren (erst) jetzt u ucksichtigen (9.1.20) ¨ber (9.1.3), (9.1.9), (9.1.10) Winkel ein; wir ber¨ und (9.1.21) und formen um: λ + 2μ cos2 ϑiP = (λ + 2μ)(cos2 ϑmS − sin2 ϑmS ) , 4 Das

(9.1.29)

vorliegende Randwertproblem elastischer Wellen ist deshalb ein zweidimensionales Problem: Es gilt ∂/∂y ≡ 0. ˆ ) gleich null setzen w¨ urden, k¨ onnten nicht beide wir ohne den Ansatz modekonvertierter Wellen arbeiten, d.h. umS (ω, k mS ˆ ) gelten, denn sie w¨ urden sich widersprechen. Gleichungen f¨ ur urP (ω, k rP 5 Wenn

9.1 Spannungsfreie ebene Grenz߬ache eines elastischen Halbraums

251

um schließlich das folgende Gleichungssystem zu erhalten: μ kS 2 cos ϑmS sin ϑmS MS (ϑiP ) = −1 , λ + 2μ kP cos2 ϑmS − sin2 ϑmS kS cos2 ϑmS − sin2 ϑmS −RP (ϑiP ) − MS (ϑiP ) = −1 . kP 2 sin ϑiP cos ϑiP

RP (ϑiP ) −

(9.1.30) (9.1.31)

Dessen L¨osung ergibt sich unmittelbar zu: sin 2ϑiP sin 2ϑmS − κ2 cos2 2ϑmS , sin 2ϑiP sin 2ϑmS + κ2 cos2 2ϑmS 2 sin 2ϑiP cos 2ϑmS MS (ϑiP ) = κ , sin 2ϑiP sin 2ϑmS + κ2 cos2 2ϑmS RP (ϑiP ) =

(9.1.32) (9.1.33)

wobei wir trigonometrische Formeln f¨ ur die doppelten Winkel und die u urzung ¨bliche Abk¨ κ=

kS cP = >1 kP cS

(9.1.34)

verwendet haben. Falls man in der Literatur MS (ϑiP ) mit anderem Vorzeichen findet (z.B.: Schmerr, 1998; Ben-Menahem und Singh, 1981; Langenberg, 1983), liegt dies an der entgegenˆ mS ). Mitunter (J. und H. Krautkramer, 1986; Schmerr, ˆ mSV (k gesetzt gew¨ahlten Richtung von u 1998; Harker, 1988) werden Reflexions- und Modekonversionsfaktoren f¨ ur die Helmholtz-Potentiale und nicht f¨ ur die Teilchenverschiebung angegeben; wegen (8.1.114) fehlt sodann in (9.1.33) der Faktor κ = cP /cS . Und noch etwas: RP (ϑiP ) und MS (ϑiP ) sind Amplitudenfaktoren der vektoriellen Teilchenverschiebungen (9.1.6) und (9.1.7), d.h. es gilt nunmehr explizit ˆ rP , ˆ rP ) = RP (ϑiP ) uiP (ω) e jkP kˆ rP ·R k urP (R, ω, k ˆ ˆ mS × ey ˆ mS ) = MS (ϑiP ) uiP (ω) e jkS kmS ·R k umSV (R, ω, k

(9.1.35) (9.1.36)

zusammen mit (9.1.5). Gehen wir deshalb zu (skalaren) kartesischen Komponenten u ¨ber, so treten zus¨atzlich Winkelfunktionen auf (und die ϑiP -Abh¨angigkeit wird so richtig sichtbar“): ” uiPx (x, z, ω, ϑiP )=− sin ϑiP uiP (ω) e−jkP (sin ϑiP x+cos ϑiP z) , (9.1.37) −jkP (sin ϑiP x+cos ϑiP z) uiPz (x, z, ω, ϑiP )=− cos ϑiP uiP (ω) e ; (9.1.38) (9.1.39) urPx (x, z, ω, ϑiP )=− sin ϑiP RP (ϑiP ) uiP (ω) e−jkP (sin ϑiP x−cos ϑiP z) , −jkP (sin ϑiP x−cos ϑiP z) urPz (x, z, ω, ϑiP )=cos ϑiP RP (ϑiP ) uiP (ω) e ; (9.1.40) √ 1' 2 2 2 umSx (x, z, ω, ϑiP )=− κ − sin2 ϑiP MS (ϑiP ) uiP (ω) e−jkP (sin ϑiP x− κ −sin ϑiP z) , κ (9.1.41) √ 1 −jkP (sin ϑiP x− κ2 −sin2 ϑiP z) umSz (x, z, ω, ϑiP )=− sin ϑiP MS (ϑiP ) uiP (ω) e . (9.1.42) κ F¨ ur senkrechten Einfall — ϑiP = 0 : RP (0) = −1, MS (0) = 0 — verbleiben nur die beiden uiPz und urPz -Komponenten uiPz (x, z, ω, 0) = −uiP (ω) e−jkP z , urPz (x, z, ω, 0) = −uiP (ω) e jkP z , und deren Verh¨altnis f¨ ur z = 0

urPz (x, 0, ω, 0) =1 uiPz (x, 0, ω, 0)

(9.1.43) (9.1.44) (9.1.45)

252

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

ˆ iP = −ez )-Ausbreitungsrichist +1: Die Teilchenverschiebung der einfallenden Welle hat in (+k tung eine positive uiP (ω)-Amplitude, und die Teilchenverschiebung der reflektierten Welle hat ˆ rP = ez )-Ausbreitungsrichtung eine negative uiP (ω)-Amplitude. Die wegen RP (0) = −1 in (+k jeweiligen Vektorkomponenten haben jedoch das gleiche Vorzeichen. Die mit den Teilchenverschiebungen (9.1.4), (9.1.35), (9.1.36) verkn¨ upften Spannungstensoren (9.1.13)–(9.1.15) haben die folgenden kartesischen Komponenten: TiP (x, z, ω, ϑiP ) = jkP uiP (ω) e−jkP (sin ϑiP x+cos ϑiP z) × >

× λ I + μ[2 sin2 ϑiP ex ex + sin 2ϑiP (ex ez + ez ex ) + + 2 cos2 ϑiP ez ez ]

G

;

(9.1.46)

TrP (x, z, ω, ϑiP ) = jkP RP (ϑiP ) uiP (ω) e−jkP (sin ϑiP x−cos ϑiP z) × >

× λ I + μ[2 sin2 ϑiP ex ex − sin 2ϑiP (ex ez + ez ex ) + + 2 cos2 ϑiP ez ez ]

G

;

√ kP 2 2 TmSV (x, z, ω, ϑiP ) = j MS (ϑiP ) uiP (ω) e−jkP (sin ϑiP x− κ −sin ϑiP z) × κ '

(9.1.47)

0

× 2μ sin ϑiP κ2 − sin2 ϑiP ex ex −

− (λ + 2μ cos2 ϑiP )(ex ez + ez ex ) − '

− 2μ sin ϑiP κ2 − sin2 ϑiP ez ez

X

.

(9.1.48)

Tats¨achlich gilt stets T(x, z, ω, ϑiP ) >∼ I. F¨ ur den Spezialfall ϑiP = 0 realisiert man: TiP (x, z, ω, 0) = jkP uiP (ω) e−jkP z (λ I + 2μ ez ez ) ; TrP (x, z, ω, 0) = −jkP uiP (ω) e TmSV (x, z, ω, 0) = 0 .

jkP z

(λ I + 2μ ez ez ) ;

(9.1.49) (9.1.50) (9.1.51)

F¨ ur μ >= 0 l¨asst sich also noch nicht einmal f¨ ur senkrechten Einfall ein isotroper Drucktensor — und damit ein skalarer Druck — definieren, denn die Matrizendarstellungen beider Tensoren (9.1.49) und (9.1.50) sind zwar proportional zur Diagonalmatrix ⎛

⎞

λ0 0 ⎜ 0 ⎟ ⎝0 λ ⎠ , 0 0 λ + 2μ nicht jedoch zur Einheitsmatrix. Mit (8.1.124) und (8.1.125) haben wir jedoch mittels zweier Doppelkontraktionen des Spannungstensors ebenen Druck- und Scherwellen jeweils einen skalaren Schalldruck als physikalisch sinnvolle Gr¨oße zugeordnet; hier ergibt sich deshalb: ˆ iP ) : k ˆ iP k ˆ iP piP (R, ω, ϑiP ) = −TiP (R, ω, k ˆ

= −jωZP uiP (ω) e jkP kiP ·R , ˆ rP ) : k ˆ rP k ˆ rP prP (R, ω, ϑiP ) = −TrP (R, ω, k

(9.1.52) ˆ

= −jωZP RP (ϑiP ) uiP (ω) e jkP krP ·R , ˆ mS ) : k ˆ mS (k ˆ mS × ey ) pmSV (R, ω, ϑiP ) = −TmSV (R, ω, k ˆ

= −jωZS MS (ϑiP ) uiP (ω) e jkS kmS ·R

(9.1.53)

9.1 Spannungsfreie ebene Grenzfl¨ache eines elastischen Halbraums = −jωZP

ZS MS (ϑiP ) ˆ uiP (ω) e jkS kmS ·R , Z < O:P U

253 (9.1.54)

= MpS (ϑiP )

womit RP (ϑiP ) bzw. MpS (ϑiP ) zu Reflexions- bzw. Modekonversionsfaktoren des so definierten skalaren Schalldrucks werden. Man beachte aber: Dieser skalare Schalldruck gen¨ ugt nicht etwa der Randbedingung einer druckfreien“ Grenzfl¨ache f¨ ur R = RS , denn es gilt: piP (RS , ω, ϑiP ) + ” prP (RS , ω, ϑiP ) + pmSV (RS , ω, ϑiP ) >= 0; zur Illustration dient Abb. 8.1.9: Es werden in vorstehender Gleichung ja Druckfl¨achen“ parallel und senkrecht zur Grenzfl¨ache miteinander ver” kn¨ upft. Nur f¨ ur senkrechten Einfall, der in der US-zfP nicht der Regelfall ist, gilt piP (RS , ω, 0) + prP (RS , ω, 0) = 0, und dies ist eine unmittelbare Konsequenz der Stetigkeit der Tzz -Spannungstensorkomponenten (f¨ ur senkrechten Einfall); zur Illustration dient Abb. 8.1.9a: Die senkrecht einfallende Druckwelle dr¨ uckt“ in entgegengesetzte Richtung auf die Grenzfl¨ache wie die senk” recht reflektierte Druckwelle, und Scher-Druckfl¨achen“ kommen nicht vor. ” Offensichtlich h¨angen beide Faktoren RP (ϑiP ), MS (ϑiP ) vom Einfallswinkel, nicht jedoch von der Frequenz ab. Dies bedeutet, dass sowohl reflektierter als auch modekonvertierter Impuls dasselbe Impulsspektrum wie der einfallende Impuls besitzen, eine Konsequenz des als nichtdissipativ vorausgesetzten Halbraums. Mit (9.1.4) und den invers Fourier-transformierten Darstellungen (9.1.35), (9.1.36) erhalten wir deshalb die Impulswellen Q

E

ˆ ˆ iP , ˆ iP ) = uiP t − kiP · R k uiP (R, t, k cP E Q ˆ rP · R k ˆ ˆ rP , urP (R, t, krP ) = RP (ϑiP ) uiP t − k cP Q E ˆ mS · R k ˆ ˆ mS × ey . umSV (R, t, kmS ) = MS (ϑiP ) uiP t − k cP

(9.1.55) (9.1.56) (9.1.57)

¨ Die Uberlagerung von (9.1.55)–(9.1.57) ergibt die Gesamtteilchenverschiebung uP (x, z, t, ϑiP ) f¨ ur P-Wellen-Einfall f¨ ur z ≥ 0, und insbesondere ergibt sich f¨ ur z = 0: Q

P

u (x, 0, t, ϑiP ) = uiP

E

sin ϑiP ˆ rP + MS (ϑiP ) k ˆ mS × ey ] . ˆ iP + RP (ϑiP ) k t+ x [k cP

(9.1.58)

Im Gegensatz zur Randbedingung TP (x, 0, t, ϑiP ) · ez = 0 des Gesamtspannungstensors, von der wir ja ausgegangen waren, ist also die Teilchenverschiebung selbst in der Grenzfl¨ache ungleich null: Gem¨aß Abschnitt 3.3 (Gleichung (3.3.31)) definiert sie einen induzierten Grenzfl¨achendeformationsratentensor6 Q E 1d sin ϑiP P ˆ iP + k ˆ iP ez + g (x, t, ϑiP ) = − x [ez k (9.1.59) uiP t + 2 dt cP ˆ rP + k ˆ rP ez ) + MS (ϑiP )(ez u ˆ mSV ez )] ˆ mSV + u +RP (ϑiP )(ez k f¨ ur P-Wellen-Einfall, der, wie wir in Abschnitt 15.1.3 sehen werden, im Huygens’schen Prinzip der Elastodynamik die Rolle einer in der xy-Ebene lokalisierten ¨aquivalenten Quelle der Teilchenverschiebung spielt, d.h. die physikalisch reale Grenzfl¨ache kann durch Huygens-Inte” ˆ gration“ von (9.1.59) ersetzt werden (Abschnitt 15.1 und Abschnitt 15.2), gP (x, t, k iP ) ist die Quelle der reflektierten und modekonvertierten Impulse (9.1.56) und (9.1.57). In der Tat ist ja Q

uiP 6 Er

sin ϑiP x t+ cP

E

kann, wie in Abschnitt 3.3 behauptet, nur dann gleich null gesetzt werden, wenn das einfallende Feld verschwindet.

254

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

ein Grenzfl¨achenimpuls, der mit der Grenzfl¨achen(phasen)geschwindigkeit ciPS (ϑiP ) =

cP sin ϑiP

(9.1.60)

in negativer x-Richtung l¨auft. F¨ ur π/2 ≥ ϑiP > 0 gilt cP ≤ ciPS (ϑiP ) < ∞. In einer Abb. 8.1.7 ¨ entsprechenden Wellenfrontendarstellung der Uberlagerung von (9.1.55)–(9.1.57) erkennt man insbesondere im Film sehr sch¨on, wie der Grenzfl¨achenimpuls die Wellenfronten von einfallendem, reflektiertem und modekonvertiertem Impuls mit sich zieht“, und dass dies nur geht, ” wenn die Grenzfl¨achengeschwindigkeiten ciPS , crPS , cmSS aller drei Impulse gleich sind; genau dies ist aber die Konsequenz der Phasenanpassung, die im Reflexionsgesetz (9.1.20) und im Modekonversionsgesetz (9.1.21) zum Ausdruck kommt. Als Minimaldarstellung“ eines Films zeigt ” Abb. 9.1.2 die Wellenfronten f¨ ur vier verschiedene Zeitpunkte, wobei der Betrag des Vektors der Teilchenverschiebung dargestellt ist, d.h. eventuelle unterschiedliche Impulsvorzeichen werden nicht sichtbar. ϑiP = 45◦ , t1 < 0

ϑiP = 45◦ , t2 < 0

... ....... ˆ

ˆ k

...............................................................................................................

.....rP . . . .......... . ˆ ..... kmS ... .. ˆ iP k ...............................................................................................................

ϑiP = 45◦ , t3 = 0

ϑiP = 45◦ , t4 > 0

kiP

...kˆ..rP ˆ ..... ..kmS ..... . . . . ... ...... ˆ kiP ...............................................................................................................

...kˆ..rP ..... .

.... kˆ mS ... ..

.... ..................................................................................................................... ˆ iP k

Abb. 9.1.2: Wellenfrontendarstellung einfallender, reflektierter und modekonvertierter RC2(t)-Impulse f¨ ur eine spannungsfreie Grenzfl¨ ache des Materials Stahl mit cP = 5900 m/s, cS = 3200 m/s; κ = 1.84

Der Vollst¨andigkeit halber: Die Fourier-Transformierten von (9.1.58) und (9.1.59) sind nat¨ urlich

9.1 Spannungsfreie ebene Grenz߬ache eines elastischen Halbraums

255

durch ˆ rP + MS (ϑiP ) k ˆ mS × ey ] , ˆ iP + RP (ϑiP ) k uP (x, 0, ω, ϑiP ) = uiP (ω) e−jkP sin ϑiP x [k jω ˆ iP + k ˆ iP ez + gP (x, ω, ϑiP ) = uiP (ω) e−jkP sin ϑiP x [ez k 2 ˆ rP + k ˆ rP ez ) + MS (ϑiP )(ez u ˆ mSV ez )] ˆ mSV + u +RP (ϑiP )(ez k

(9.1.61) (9.1.62)

gegeben, und (9.1.62) ist im Sinne einer ¨aquivalenten Quelle in das zeitharmonische elastische Huygens-Integral einzusetzen. Dispersionsrelationen und Slowness-Diagramme Wir wollen den Begriff der Slowness-Fl¨ache oder des Slowness-Diagramms, den wir bereits in Abb. 8.1.10 benutzten, noch etwas pr¨azisieren und sodann zur geometrischen Konstruktion des Modekonversionswinkels bei vorgegebenem Einfallswinkel ausnutzen. z, sz

......... ... ... .. ........ kˆ ..... ........................ ..... .... uˆ s ...... ...ϑ ... ... ϑ ... ... s ..... ... ......... .................. .. ....... . s

.. ...... .......... ... ... .... ... .. ..... ... ... .. .... ... .... .. .... ... .... .. ... ... .... .. .... .. .. ... .... ..... ..... . . .... .. .. ..... ... ..... ... .. .. .. .. . . . . . ..... ..... ... .. .. ..... .. . ..... ......................................................... .. .. ................. ............ ... .... ..... ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ........ . ...... ....... ... . ..... ..... ..... ........ ....... ... ... .. ....... .. ...... .... . .... ...... ...... ..... ... . ...... ...... .... .. ..... . ..... ..... . . .. ..... .......... .. ... ... . ..... . .. ..... . .............................. ..... .... .. . .... . ... .... ....... ........ . ..... .... ..... ... ..... ......... ... ..... .... ..... ... ... .. ... ... .. . . . . ... . . . . . . . ..... .. ... . . ... . . . . . . ... . . ... ..... ... ... ..... .. .... .. ... . .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... ... . .. ............. ... ..... . . . . ... . ... . . . . . . . . ....... . .. . ... .. . .............. ... . . . . ... . . . . . . . . . . ..... ......... ... .................. .... ... .............. .. . ......... ... . ... . . . . . . . . . . . . . .... ............ .... ................. . ... . ... . . . . . . . . . . ...... .... . . ...... ... ... ... .. . . . . . . . . . . . . . . . ... ..... ........ .. .. .. ..... . . . ... . . . . . . . ... . ... .... ... ... ... ....... . . ..... . . ... .. ... ... .... . ... ... . . .... . . . . ... ..... ... .. ... .... ... .. . . ... . . . .... . . ... . ..... .. ... ... .. . . . .... ..... . . .. .... ... ... . ..... .......... . ... .. ... ... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . .. .. .. ..... . . . . ... . ... .... . . ... .. . .... ... ... ... .... ... .. ... .... ....... ... . . . .. . ... .. ... .... .. . ..... .. .. .... ... ... . .... ....... .... .... .. ... .... ... .... ... ....... .. . ........................................... ................................................ . ..

ˆ mS k

rP

mSV

mS

ˆ iP k

mS

rP

... . . . . ... .........

ϑiP

sP , sS

rP

sP

sS

x, sx

S

Vakuum

iP

sP sin ϑiP = sP sin ϑrP = sS sin ϑmS Abb. 9.1.3: Slowness-Diagramme f¨ ur die Reflexion und Modekonversion einer P-Welle an einer spannungsfreien Grenzfl¨ ache

Mit der Definition des Slowness-Vektors s=

k , ω

(9.1.63)

der die Dimension einer reziproken Geschwindigkeit hat — daher der Name —, schreiben sich die Dispersionsrelationen (8.2.4), (8.2.5) f¨ ur P- und S-Wellen im isotropen nichtdissipativen Material: 1 sP,S · sP,S = 2 = s2P,S , (9.1.64) cP,S

256

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

die wir in Anlehnung an (8.2.6) durch ˆ sP,S = sP,S k

(9.1.65)

befriedigen. F¨ ur das vorliegende Problem der Reflexion und Modekonversion einer auf eine ebene Grenzfl¨ache einfallenden P-Welle laut Abb. 9.1.1 k¨onnen wir deshalb die folgenden Slowness-Vektoren ˆ iP , siP = sP k ˆ rP , srP = sP k ˆ mS smS = sS k

(9.1.66) (9.1.67) (9.1.68)

einf¨ uhren. Die zugeh¨origen Dispersionsrelationen siP · siP = |siP |2 = s2iPx + s2iPz = s2P , srP · srP = |srP |2 = s2rPx + s2rPz = s2P , smS · smS = |smS |2 = s2mSx + s2mSz = s2S

(9.1.69) (9.1.70) (9.1.71)

gem¨aß (9.1.64) werden in der Tat durch (9.1.66)–(9.1.68) identisch erf¨ ullt. In einem sx sz -Koordinatensystem (Abbildung 9.1.3) stellen die rechten Gleichungen von (9.1.69)–(9.1.71) Kreisgleichungen dar, d.h. die Endpunkte der Slowness-Vektoren siP , srP liegen auf einem Kreis mit dem Radius sP , und der Endpunkt des Slowness-Vektors smS liegt auf einem Kreis mit dem Radius sS : Abb. 9.1.3 zeigt diese Slowness-Diagramme 7 f¨ ur den relevanten Halbraum z ≥ 0. Aufgrund der Phasenanpassung in der Grenzfl¨ache gem¨aß (9.1.16) m¨ ussen die x-Kompoenten der Slowness-Vektoren gleich sein: siP · ex = srP · ex = smS · ex =⇒ sP sin ϑiP = sP sin ϑrP = sS sin ϑmS ,

(9.1.72)

d.h. wir finden“ Reflexions- und Modekonversionsgesetz in Slowness-Schreibweise“. Mit den ” ” x-Komponenten sind u ¨ber die Kreisgleichungen (9.1.69)–(9.1.71) aber auch die z-Komponenten festgelegt — die Endpunkte der Slowness-Vektoren liegen auf ihren jeweiligen Slowness-Kreisen —, sodass die in Abb. 9.1.3 skizzierte geometrische Konstruktion der Slowness-Vektoren — ˆ rP , k ˆ mS — zwingend ist: Die Projektionen von und damit der Phasenausbreitungsvektoren k siP , srP , smS auf die x-Achse sind betragsm¨aßig gleich dem fett eingezeichneten Geradenst¨ uck. Wellenfronten reflektierter P- und modekonvertierter SV-Wellen Die Ausdr¨ ucke (9.1.32) und (9.1.33) f¨ ur Reflexions- und Modekonversionsfaktor diskutiert man in Abh¨angigkeit vom Einfallswinkel und vom Phasengeschwindigkeitsverh¨altnis; es treten ja weder die Lam´e’schen Konstanten noch tritt die Dichte explizit auf. F¨ ur κ = 1.84 — cP = 5900 m/s, cS = 3200 m/s: Stahl — ist die Winkelabh¨angigkeit von RP und MS in Abb. 9.1.4 dargestellt. Da wir in den folgenden Abschnitten auf komplexwertige Reflexions- und Transmissionsfaktoren stoßen werden, wird im Allgemeinen |RP (ϑiP )|, |MS (ϑiP )| dargestellt. Den Formeln (9.1.32) und (9.1.33) entnimmt man jedoch sofort MS (ϑiP ) ≥ 0, 0 ≤ ϑiP ≤ π/2, sowie RP (0) = −1, RP (π/2) = −1, d.h. an den Endpunkten des Einfallswinkelintervalls ist der Reflexionsfaktor negativ. F¨ ur den in Abb. 9.1.4 gew¨ahlten κ-Wert ist dies im ganzen Intervall der Fall, f¨ ur kleinere κ-Werte kann RP (ϑiP ), 0 < ϑiP < π/2, aber auch positiv werden, sodass zwei Nullstellen auftreten m¨ ussen. 7 F¨ ˆ · e nicht unbedingt gleich null ur beliebige Einfallsrichtungen im festgehaltenen kartesischen Koordinatensystem, f¨ ur die k iP y sein muss, erg¨ aben sich Kugelfl¨ achen als dreidimensionale Slowness-Diagramme.

9.1 Spannungsfreie ebene Grenzfl¨ache eines elastischen Halbraums |RP (ϑiP )|

... ........ ......... .. .... .. . .... .. .. ................... . ... ...... ... .... ... .... .... .. ... ... ... ... .... ..... ... ... . .... .. ... .... ... ... ... ... .... ... .... . ... ... .... ... ... ... ... .... ... ... .... .. ... . . ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... .... ... .. ... .. . .... .. . .. ... ... .. .... ... ... ... ... .... ... ... .... . ... . .... ... ... ... ... ... ... ... .... ... .. . . .... ... . .. ... .... .. ... ... ... ... ... .... ... .. . ... .... . . ... ... .... .... ... ..... .... ................. ... .. . ..... .... .... . ............................................................................................................................................................................................. .. .. .......

|MS (ϑiP )|

π/2

... ........ ......... .. .... .. ..... . ........ ............ .... .... .... .... ... .... ... . ... ... ....... ... . ... . ... ... .. . .. . ... ... ... ... . . ... ... . . ... .. ... . . ... .. ... . ... . .. ... ... . . ... .. ... . . ... ... ... .. . ... ... .. . ... .. ... . . .. ... ... ... . ... ... .. . ... .. ... . .. . ... ... ... . ... . ... . . ... ... ... ... . ... ... ... . ... . ... . . ... .. ... . ... . ... ... ... . . ... ... . . ... ... ... . ... ... .. ... . ... ... .... . ... ... .. . ... ... ... ... ... .... ... . . ... ..... .... ... ... .... .... ... ... ... ... .... ... ... .... .... ... ... ....... ... ....... . . .................................................................................................................................................................................................. .. .. .......

1

1

0

257

ϑiP

0

π/2

ϑiP

Abb. 9.1.4: Betrag des Reflexions- und Betrag des Modekonversionsfaktors f¨ ur P-Wellen-Einfall als Funktion des Einfallswinkels (Stahl: cP = 5900 m/s, cS = 3200 m/s; κ = 1.84)

Die winkelabh¨angigen Betr¨age von Reflexions- und Modekonversionsfaktoren werden nat¨ urlich auch in den Amplituden von Impulswellenfronten sichtbar; Abb. 9.1.2 zeigt daf¨ ur bereits ein Beispiel. Hier , d.h. in Abb. 9.1.5, seien nun entsprechende Wellenfronten f¨ ur verschiedene Einfallswinkel dargestellt, wobei, wie in Abb. 9.1.2, die Graustufen den Betrag des Vektors der Teilchenverschiebung wiedergeben, sodass sich keine Impulsvorzeichen erkennen lassen. F¨ ur senkrechten Einfall k¨onnen dar¨ uber aber unmittelbar Aussagen genmacht werden: Der senkrecht einfallenden P-Welle (Abbildung 9.1.5a) pr¨agen wir als Zeitfunktion uiP (t) einen RC2(t)-Impuls auf, sodass sich mit (9.1.4) f¨ ur senkrechten Einfall ergibt: %

uiP (R, t, ϑiP = 0) = RC2 t +

S

z ˆ kiP . c

(9.1.73)

Nach der Reflexion — Abbildung 9.1.5b — ist die f¨ ur z > 0 einzig existierende reflektierte Wellenfront — es ist RP (0) = −1 — durch %

urP (R, t, ϑiP = 0) = −RC2 t −

S

z ˆ krP c

(9.1.74)

ˆ rP eine negativ -longitugegeben; diese Wellenfront hat bez¨ uglich der Ausbreitungsrichtung k dinale Komponente, eine Konsequenz von RP (0) = −1. Betrachten wir hingegen statt der longitudinalen Komponenten der Teilchenverschiebung deren Vektor komponenten im xz-Koorˆ rP = ez : ˆ iP = −ez und k dinatensystem, so gilt wegen k %

urP (R, t, ϑiP

S

z e , cS z % z = 0) = −RC2 t − e , c z

uiP (R, t, ϑiP = 0) = −RC2 t +

(9.1.75) (9.1.76)

d.h. diese Komponenten haben das gleiche Vorzeichen (man vergleiche (9.1.45)). In den Teilbildern Abb. 9.1.5c-f sind schließlich f¨ ur den festen Zeitpunkt t = 0 Wellenfronten einfallender, reflektierter und modekonvertierter Wellen f¨ ur verschiedene Einfallswinkel 0
0

einfallende P-Welle

... kˆ ...

... ..... kˆ = −e ...............................................................................................................

...............................................................................................................

c) ϑiP = 30◦ , t = 0

d) ϑiP = 45◦ , t = 0

...............................................................................................................

...............................................................................................................

e) ϑiP = 60◦ , t = 0

f) ϑiP = 80◦ , t = 0

...............................................................................................................

...............................................................................................................

iP

z

reflektierte P-Welle

iP

= ez

Abb. 9.1.5: Wellenfronten einfallender und reflektierter P- sowie modekonvertierter SV-Wellen f¨ ur verschiedene Einfallswinkel (Material: Stahl mit cP = 5900 m/s, cS = 3200 m/s; κ = 1.84)

9.1 Spannungsfreie ebene Grenz߬ache eines elastischen Halbraums

259

ϑiP < π/2 dargestellt (Gleichungen (9.1.55)–(9.1.57)). In den Graustufen f¨ ur die Amplituden spiegeln sich die jeweiligen Werte von RP (ϑiP ), MS (ϑiP ) gem¨aß (9.1.32) und (9.1.33) bzw. deren graphische Darstellung in Abb. 9.1.4 wider.

9.1.2

Einfallende sekund¨are transversal-vertikale Scherwelle

Mit dem mathematischen Formalismus der Berechnung von Reflexion und Modekonversion einer auf eine spannungsfreie ebene Grenzfl¨ache einfallenden ebenen SV-Welle k¨onnen wir uns einerseits etwas k¨ urzer fassen, da wir die wesentliche Vorgehensweise bereits erl¨autert haben, andererseits m¨ ussen wir das neu auftretende Ph¨anomen der Totalreflexion f¨ ur Einfallswinkel jenseits des kritischen Winkels diskutieren: Die Phasenanpassung realisieren wir sodann durch Definition eines komplexen Modekonversions winkels“, wodurch der Wellenzahlvektor der mo” dekonvertierten P-Welle zu einem komplexen Vektor und die P-Welle selbst zu einer inhomogenen ebenen Welle wird, die sich zwar entlang der Grenzfl¨ache ausbreitet, senkrecht dazu f¨ ur z > 0 aber exponentiell ged¨ampft ist; das Ausmaß der D¨ampfung wird durch den Imagin¨arteil des Modekonversions winkels“ bestimmt, der sich damit physikalisch als D¨ampfungskonstante ” manifestiert. Reflektierte sekund¨are transversale SV-Wellen und modekonvertierte prim¨are longitudinale PWellen unterhalb des kritischen Winkels Zur Illustration von Ausbreitungsrichtungen, Reflexions- und Modekonversionswinkeln, die wir im vorigen Abschnitt durch zwei Abbildungen — Abbildung 9.1.1 und Abbildung 9.1.3 — veranschaulichten, zeichnen wir nun nur noch die Slowness-Diagramme der einen Abb. 9.1.6, weisen aber bereits darauf hin, dass diese Abbildung nur f¨ ur Einfallswinkel unterhalb des kritischen Winkels zust¨andig ist; f¨ ur gr¨oßere Einfallswinkel ist Abb. 8.2.1 zu konsultieren. Auf die Definition und Berechnung des kritischen Winkels kommen wir bei der Phasenanpassung sogleich zu sprechen. Abbildung 9.1.6 entnehmen wir sofort die Komponentendarstellungen der hier beteiligten Phasenausbreitungsvektoren: ˆ iS = − sin ϑiS ex − cos ϑiS ez , k ˆ rS = − sin ϑrS ex + cos ϑrS ez , k ˆ mP = − sin ϑmP ex + cos ϑmP ez . k

(9.1.77) (9.1.78) (9.1.79)

Mit ˆ iS ) = k ˆ iS × ey , ˆ iSV (k u ˆ rS ) = k ˆ rS × ey ˆ rSV (k u

(9.1.80) (9.1.81)

definieren wir die Polarisationsvektoren der einfallenden und reflektierten SV-Wellen in u ¨blicher Art und Weise. Die Fourier-Spektren der f¨ ur das Gesamtteilchenverschiebungsfeld f¨ ur z ≥ 0 aufgrund der Randbedingung (9.1.1) ben¨otigten Partialwellen haben deshalb das folgende Aussehen: ˆ iS ) = uiS (ω) e jkS kˆ iS ·R u ˆ iS ) , ˆ iSV (k uiSV (R, ω, k ˆ rS ) = RSV (ϑiS ) uiS (ω) e jkS kˆ rS ·R u ˆ rS ) , ˆ rSV (k urSV (R, ω, k ˆ mP , ˆ mP ) = MP (ϑiS ) uiS (ω) e jkP kˆ mP ·R k umP (R, ω, k

(9.1.82) (9.1.83) (9.1.84)

wobei wir in Kenntnis des vorigen Unterabschnitts sofort den Reflexionsfaktor RSV (ϑiS ) und den Modekonversionsfaktor MP (ϑiS ) eingef¨ uhrt haben.

260

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen z, sz

. ... ......... .... ..................... . ... . ˆ u ... ........ ....... kˆ . kˆ ..... ............................ ..... .... uˆ s ........ ...ϑ ϑ ... ... ϑ ... ... s .... .. ...... ... . ................. s . ..... . ..... . ..... ...... . s

. ....... .. ......... ... .. ... ..... ... .. . .. .... ... .. . . .. . .. ..... ... .. .... .. .. .... ... ... . . .. ..... .. ... .. .... .. .... .. .. ... .. . . ..... . .. .. .. .... ... ..... .. .... .. .. .... .. ..... ... .. .. . . .. ..... .. . .. ........................................................................ .............. ........... .. ..... .......... ....... ......... .. .... ......... . ........ ... ........ .. ....... ..... . . . . . . . . . . . ....... .. .. .. .. ...... . . . . ...... . . . . . . ..... ...... . . . .. ..... . . .. . . . . . . ...... . . . .. ..... ..... ..... ... ... .... . . . . . . . . . . ..... .. ..... ....................................................................... . . . ..... . . . . . . . . . . . . . .. .. ..... .. ........... . . . . ..... . . . . . .. .. .... .... ..... . . . . . . . . ... ... . .. ... .. ... . ... . . . . ..... ... .. .. .. .. . . ... . . ... . . . ... . .. ..... ... ... . . . . . .. ... .. .................... . . . . . ... . . . . . . ... . . . ..... .. ........ .. .. .. ... . .. . . . . . . . . . . ... .. .. ..... ................... . ... . . . . ... ... .............. .. ........... .. . . . . . . . . ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .. ........... . . ... ............ ... .. . . . . . . . . . ...... ... .. ... .. .............. . . . . . ... . . . ..... . .. .. .. ... ....... .. . . . . . . . . . . . ... .. . ... . ... .. ... ..... . . . . . ..... . ... ... . .. .. ..... ... ... . . ... . . . .... . .. ... ... .. . . .. ... . . . . . .... . ..... . ... ... . ... ... .. .... . .... ..... ... ... ..... ............. . . . . . . ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . ... ... . .... ... . ... . . .. .. . . ... . . . . . . . . . ... . .. ... ..... ... ... ... .... ... ... ... .... . ... . . . . ... ... ..... ... ... ... .... ... ... . ... .... .. ... ... . .... . ... ... ... ... .... ... ... ... .... ... .. ... . .... .... . .. .. .... .... .... .... ... .... ... .... .... ... .... .... ... . . . . .... ... . ... .... .... ..... .... .... ... .... . .... .... ... ... . .. .... ... . .... .. .... .. . .. .......... . . . . . . .... .... .... .......... .... .... .... ... .. ... .. . ... ..... ... ... .. .... ........ .. ............................................. .......................................... ........ .

ˆ rS k

iSV

mP

iS

rSV

rS

rS

iS

mP

sP , sS

mP

P

sS

x, sx

S

Vakuum

iS

sS sin ϑiS = sS sin ϑrS = sP sin ϑmP Abb. 9.1.6: Slowness-Diagramme f¨ ur die Reflexion und Modekonversion einer SV-Welle an einer spannungsfreien Grenzfl¨ ache f¨ ur Einfallswinkel unterhalb des kritischen Winkels

Reflexions- und Modekonversionsgesetz: Kritischer Winkel Die Randbedingung (9.1.1) f¨ ur eine spannungsfreie Grenzfl¨ache lautet hier explizit: 0

X

ˆ iS ) + T (RS , ω, k ˆ rS ) + T (RS , ω, k ˆ mP ) · ez T(RS , ω) · ez = TiSV (RS , ω, k rSV mP =0 ,

(9.1.85)

wobei in Analogie zu (9.1.13)–(9.1.15) ˆ iS )=jkS μ uiS (ω) e jkS kˆ iS ·R [k ˆ iS u ˆ iS ) + u ˆ iS ) k ˆ iS ] , ˆ iSV (k ˆ iSV (k TiSV (R, ω, k (9.1.86) ˆ jkS krS ·R ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ rSV (krS ) krS ] , ˆ rSV (krS ) + u [krS u TrSV (R, ω, krS )=jkS μ RSV (ϑiS ) uiS (ω) e (9.1.87) ˆ ˆ mP )=jkP MP (ϑiS ) uiS (ω) e jkP kmP ·R (λ I + 2μ k ˆ mP k ˆ mP ) T (R, ω, k (9.1.88) mP

gilt. Wieder ist sofort offensichtlich, dass eine eventuell im Ansatz (9.1.82)–(9.1.84) ber¨ ucksichtigte SH-Welle bei der Komponentenbildung von (9.1.85) isoliert steht; sie ist vom zweidimensionalen P,SV-Reflexionsproblem stets abgekoppelt (Abschnitt 7.3). Mit den Spannungstensoren (9.1.86)–(9.1.88) ebener Wellen erzwingt die Randbedingung (9.1.85)

9.1 Spannungsfreie ebene Grenz߬ache eines elastischen Halbraums

261

die Phasenanpassung

ˆ iS · RS = kS k ˆ rS · RS = kP k ˆ mP · RS , kS k (9.1.89) die f¨ ur alle Grenzfl¨achenpunkte RS = xex + yey gelten muss. Mit (9.1.77)–(9.1.79) ergibt sich erneut das Reflexionsgesetz (9.1.90) ϑrS = ϑiS sowie das Modekonversionsgesetz sin ϑmP =

kS sin ϑiS . kP

(9.1.91)

Gegen¨ uber dem P-Einfall — Gleichung (9.1.21) — hat sich nun zur Berechnung des Modekonversionswinkels ϑmP der Faktor vor dem Sinus des Einfallswinkels herumgedreht: Da kS /kP = κ > 1, folgt, dass in Abh¨angigkeit vom Einfallswinkel ϑiS der Sinus des Modekonversionswinkels ϑmP irgendwann gr¨oßer als 1 werden sollte; dies ist offensichtlich kritisch“ f¨ ur einen Sinus, sodass ” man als Konsequenz von sin ϑmP = 1 ϑcmP = arcsin

kP kS

(9.1.92)

als kritischen (Einfalls-)Winkel f¨ ur die Modekonversion einer einfallenden SV-Welle in eine PWelle bezeichnet. F¨ ur ϑiS > ϑcmP tritt sodann das Ph¨anomen des kritischen Sinus“ auf. ” F¨ ur Einfallswinkel unterhalb des kritischen Winkels haben wir nat¨ urlich kein Problem, in Abb. 9.1.6 die Phasenausbreitungsrichtungen anhand der Geometrie von Slowness-Diagrammen zu ˆ rSV -Polarisationen lassen sich ohne Schwierigkeiten einzeichnen8 . ˆ iSV , u konstruieren; auch die u Nun stehen wir allerdings vor der Frage: Wie erzeugen“ wir einen Sinus gr¨oßer als 1, da doch ” Einfallswinkel oberhalb des kritischen Winkels physikalisch durchaus zul¨assig sind? Die Antwort gibt die Funktionentheorie (Analysis der komplexwertigen Funktionen einer komplexen ¨ Variablen): Ahnlich wie die Gleichung x2 + 1 = 0 erst f¨ ur komplexe Zahlen l¨osbar ist, kann ein Sinus mit komplexem Argument gem¨aß (2.3.25) wegen des dann auftretenden hyperbolischen Cosinus durchaus einen Realteil haben, der gr¨oßer ist als 1; wir m¨ ussen f¨ ur den Winkel“ ” ϑmP in sin ϑmP eben komplexe Werte zulassen9 . Definiert werden diese komplexen Werte durch die Phasenanpassung (9.1.91); deswegen soll sin ϑmP zwar gr¨oßer als 1, aber reell sein, sodass der Imagin¨arteil von (2.3.25) verschwinden muss, und dies erreichen wir dadurch, dass wir den komplexen Winkel“ ϑmP mit dem festen Realteil π/2 versehen: ” π (9.1.93) ϑmP = + j 2ϑmP . 2 Hinsichtlich des Vorzeichens von 2ϑmP treffen wir weiter unten eine Entscheidung. Zur Begr¨ undung von (9.1.93) kann man sogar anschaulich argumentieren: Da gem¨aß (9.1.91) ϑmP stets gr¨oßer als ϑiS ist, erreicht der Modekonversionswinkel irgendwann den Wert π/2 bevor ϑiS = π/2 ist; gr¨oßer kann der Winkel ϑmP auch bei weiter vergr¨oßertem Einfallswinkel nicht werden, sodass ϑmP bei gleich bleibendem Realteil 6ϑmP = π/2 ins Komplexe ausweicht“; die physikalische ” Bedeutung des Imagin¨arteils ist sodann zu kl¨aren. Mit (9.1.93), (2.3.25) und (9.1.91) folgt also f¨ ur ϑiS > ϑcmP kS sin ϑmP = cosh 2ϑmP = sin ϑiS > 1 . (9.1.94) kP Zu kl¨aren ist nat¨ urlich ebenso, welche Konsequenzen dieser komplexe Modekonversions winkel“ ˆ mP gem¨aß (9.1.79) kommen darin”sin ϑmP ˆ mP ) hat: Uber ¨ k f¨ ur die Feldstruktur von umP (R, ω, k 8 Man beachte: Beide Polarisationsvektoren zeigen definitionsgem¨ aß in Richtung zunehmender Polarwinkel; dies hat Konsequenzen f¨ ur das Vorzeichen des Reflexionsfaktors. 9 Nat¨ urlich ist ein komplexer Winkel“ ϑmP in einem Slowness-Diagramm nicht mehr als Winkel identifizierbar. ”

262

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

und cos ϑmP vor; sin ϑmP ist aber aufgrund der Phasenanpassung wie u ¨blich durch κ sin ϑiS zu ersetzen, sodass wir uns nur noch mit cos ϑmP = cos(π/2 + j 2ϑmP ) besch¨aftigen m¨ ussen. Laut (2.3.26) ergibt sich (9.1.95) cos ϑmP = −j sinh 2ϑmP , d.h. der Cosinus des komplexen Modekonversionswinkels (9.1.93) ist rein imagin¨ar! Setzen wir (9.1.94) und (9.1.95) in (9.1.79) ein, stellen wir fest, dass wir einen komplexen Wellenzahl(einheits)vektor ˆ mP = − cosh 2ϑmP ex − j sinh 2ϑmP ez k (9.1.96) ∗

ˆ ist zwar ungleich10 1, dessen normales“ ˆ mP · k erhalten; dessen Hermite’sches Skalarprodukt k mP ” ˆ mP · k ˆ mP jedoch als Konsequenz der Dispersionsgleichung nach wie vor Skalarprodukt k gleich 1, sodass wir die Charakterisierung als Einheitsvektor beibehalten. In (9.1.84) eingesetzt, ergibt sich ˆ mP . ˆ mP ) = MP (ϑiS ) uiS (ω) e−jkP cosh ,ϑmP x e kP sinh ,ϑmP z k (9.1.97) umP (R, ω, k ˆ

ur ϑiS > ϑcmP in Zun¨achst: Die f¨ ur ϑiS < ϑcmP komplexe Exponentialfunktion e jkP kmP ·R spaltet f¨ eine ebenfalls komplexe Exponentialfunktion e−jkP cosh ,ϑmP x und eine reelle Exponentialfunktion ur z −→ ∞ nicht unendlich werden, sondern abklingen, sodass e kP sinh ,ϑmP z auf; letztere sollte f¨ wir unbedingt (9.1.98) 2ϑmP ≤ 0 w¨ahlen m¨ ussen. Und weiter: Mit dieser Festlegung bekommt 2ϑmP tats¨achlich eine physikalische Bedeutung, denn sinh 2ϑmP ist offenbar eine (negative) D¨ampfungskonstante! Mit (9.1.97) liegt eine sich in (−x)-Richtung ausbreitende inhomogene ebene Welle vor (Abschnitt 8.2): Die Fl¨achen konstanter Phase sind Ebenen senkrecht zur x-Achse, die Fl¨achen konstanter Amplitude jedoch Fl¨achen senkrecht zur z-Achse, beide Fl¨achenscharen stehen senkrecht aufeinander. Man spricht deswegen auch von einer querged¨ampften oder evaneszenten inhomogenen ebenen Welle. In (9.1.97) tritt der Imagin¨arteil des Modekonversions winkels“ noch explizit auf; mithilfe von ” ur sinh 2ϑmP gelingt dies auf(9.1.94) ist jedoch kP cosh 2ϑmP durch kS sin ϑiS ersetzbar, und f¨ grund der Beziehung (9.1.99) cosh2 2ϑmP − sinh2 2ϑmP = 1 , wobei wir bei der Aufl¨osung nach sinh 2ϑmP lediglich darauf achten m¨ ussen, dass 2ϑmP ≤ 0 und damit sinh 2ϑmP ≤ 0 ist: '

sinh 2ϑmP = − κ2 sin2 ϑiS − 1 . Wir erhalten nun: umP (R, ω, ϑiS ) = −MP (ϑiS ) uiS (ω) e−jkS sin ϑiS x e− %

√

'

(9.1.100) 2 z kS2 sin2 ϑiS −kP

× κ sin ϑiS ex − j κ2 sin2 ϑiS − 1 ez

S

.

× (9.1.101)

In dieser Darstellung der modekonvertierten Welle, die a) eine L¨osung der homogenen Wellengleichung ist, und b) zusammen mit uiP und urP die physikalisch geforderte Randbedingung erf¨ ullt, ist von einem komplexen Winkel“ keine Spur mehr vorhanden: Es treten einzig und ” allein die vorgegebenen Gr¨oßen cP , cS und ϑiS auf. 10 Wir

und

berechnen

2 2 ˆ ˆ∗ k 4 1 mP · kmP = cosh ,ϑmP + sinh ,ϑmP = 2 2 ˆ ˆ k mP · kmP = cosh ,ϑmP − sinh ,ϑmP = 1 .

9.1 Spannungsfreie ebene Grenz߬ache eines elastischen Halbraums

263

Die Diskussion der Tatsache, dass die Komponenten von umP (R, ω, ϑiS ) nunmehr unterschiedlich komplexwertig sind, verschieben wir solange, bis wir MP (ϑiS ) (und RSV (ϑiS )) ausgerechnet haben. Eine Illustration findet sich in Abb. 8.2.2. Dispersionsrelationen und Slowness-Diagramme; querged¨ampfte inhomogene ebene Wellen Die Dispersionsrelationen f¨ ur die hier beteiligten Slowness-Vektoren sind f¨ ur alle Einfallswinkel 0 ≤ ϑiS ≤ π/2 v¨ollig analog zu (9.1.69)–(9.1.71), da diese Relationen auf (8.2.4) und (8.2.5) als Konsequenz der Wellengleichung fußen: siS · siS = |siS |2 = s2iSx + s2iSz = s2S , srS · srS = |srS |2 = s2rSx + s2rSz = s2S , smP · smP = |smP |2 = s2mPx + s2mPz = s2P .

(9.1.102) (9.1.103) (9.1.104)

F¨ ur Einfallswinkel unterhalb des kritischen Winkels — ϑiS < ϑcmP — sind die Phasenausbreiˆ rS , k ˆ mP — Gleichungen (9.1.77)–(9.1.79) — reell, sodass dies aufgrund von ˆ iS , k tungsvektoren k (9.1.65) auch f¨ ur die Slowness-Vektoren ˆ iS , siS = sS k ˆ rS , srS = sS k ˆ mP smP = sP k

(9.1.105) (9.1.106) (9.1.107)

gilt. Deren x-Komponenten m¨ ussen aufgrund der Phasenanpassung siS · ex = srS · ex = smP · ex =⇒ sS sin ϑiS = sS sin ϑrS = sP sin ϑmP

(9.1.108)

gleich sein, sodass sich Abb. 9.1.6 in v¨olliger Analogie zu Abb. 9.1.3 als Konstruktionsvorschrift f¨ ur die Phasenausbreitungsvektoren ergibt. F¨ ur ϑiS > ϑcmP haben wir mit kmP = −kP cosh 2ϑmP ex − j kP sinh 2ϑmP ez = −kS sin ϑiS ex +j
ϑcmP der Quotient aus zwei zueinander konjuDamit stellt sich heraus, dass RSV (ϑiS ) f¨ giert komplexen Zahlen ist11 ; deshalb gilt in diesem Fall '

⎛

⎞

2 sin 2ϑiS sin ϑiS κ2 sin2 ϑiS − 1 RSV (ϑiS ) = exp ⎝−2j arctan + jπ ⎠ κ cos2 2ϑiS = e jφRSV (ϑiS )

(9.1.129)

mit |RSV (ϑiS )| = 1. ˆ rS ) ergibt sich also als Fourier-Inversion von (9.1.83), wenn Eine reelle Impulswelle urSV (R, t, k ∗ ˆ ˆ ur uiS (ω) ist dies nach Voraussetzung der Fall, f¨ ur urSV (R, −ω, krS ) = urSV (R, ω, krS ) gilt; f¨ ˆ e jkS krS ·R gilt dies wegen kS = ω/cP ; allein RSV (ϑiS ) muss f¨ ur negative Frequenzen entsprechend def

RSV (ϑiS , ω) = e j sign(ω) φRSV (ϑiS ) 11 ,

also etwa RSV (ϑiS ) = −z ∗ /z mit z = κ2 cos2 2ϑiS + 2jκ sin 2ϑiS sin ϑiS

=

(9.1.130)

κ2 sin2 ϑiS − 1

= x + jy ; dann folgt RSV (ϑiS ) = −e−2jϕ = e−2jϕ+jπ mit ϕ = HW arctan y/x (man vergleiche Fußnote 41) und demzufolge φRSV (ϑiS ) = −2ϕ + π.

9.1 Spannungsfreie ebene Grenz߬ache eines elastischen Halbraums

267

fortgesetzt werden12 , wodurch der Reflexionsfaktor tats¨achlich frequenzabh¨angig wird. Nunmehr k¨onnen wir (2.3.98) zur Durchf¨ uhrung der inversen Fourier-Transformation von (9.1.83) anwenˆ mP ), ob wir die den. Bevor wir dies aber explizit tun, werfen wir einen Blick auf umP (R, ω, k Fourier-Inversion dieser Partialwelle f¨ ur ϑiS > ϑcmP genauso durchf¨ uhren k¨onnen. Sicher ist in diesem Fall MP (ϑiS ) ebenfalls komplex, sodass wir analog zu (9.1.130) verfahren werden: MP (ϑiS ) = −

'

sin 4ϑiS

2j sin 2ϑiS sin ϑiS κ2 sin2 ϑiS − 1 + κ cos2 2ϑiS

= |MP (ϑiS )| e j sign(ω) φMP (ϑiS ) ;

(9.1.131) 13

der einzige Unterschied zu (9.1.130) ist, dass |MP (ϑiS )| >= 1 ist . Viel wesentlicher ist aber, ˆ mP ) im Gegensatz zu urSV (R, ω, k ˆ rS ) f¨ dass umP (R, ω, k ur ϑiS > ϑcmP zum einen unterschiedlich komplexwertige Komponenten hat und zus¨atzlich den D¨ampfungsfaktor √2 2 2 e− kS sin ϑiS −kP z enth¨alt. Die Fourier-Inversion m¨ ussen wir also getrennt nach Komponenten und unter Ber¨ ucksichtigung des frequenzabh¨angigen Faktors √ |ω| − κ2 sin2 ϑiS −1 z (9.1.132) e cP vornehmen. Bevor wir dies f¨ ur ein beliebiges Impulsspektrum uiS (ω) tun, seien zun¨achst gem¨aß (8.1.31) zwei konjugiert komplexe Spektrallinien“ bei den Kreisfrequenzen ±ω0 gew¨ahlt, sodass ” wir die reell-ω0 -zeitharmonische Teilchenverschiebung 9

%

S

'

umP (x, z, t, ω0 , ϑiS ) = 6 −MP (ϑiS ) uiS (ω0 ) κ sin ϑiS ex − j κ2 sin2 ϑiS − 1 ez × 7 √2 2 2 ×e−jkS sin ϑiS x e− kS sin ϑiS −kP z e−jω0 t (9.1.133) erhalten. Wir fragen uns, auf welcher Kurve sich umP (x, z, t, ω0 , ϑiS ) als Funktion der Zeit f¨ ur ˆ mP einen festen Ort, beispielsweise x = 0, z = 0, bewegt; f¨ ur reellen Phasenausbreitungsvektor k (ϑiS ≤ ϑcmP ) oszilliert umP (0, 0, t, ω0 , ϑiS ), entsprechend longitudinaler Polarisation, entlang ˆ mP orientiert ist. Mit der Abk¨ einem Geradenst¨ uck, welches in Richtung k urzung u0mP (ϑiS , ω0 ) = −MP (ϑiS ) uiS (ω0 ) = |u0mP (ϑiS , ω0 )| e jφ0mP (ϑiS ,ω0 ) ,

(9.1.134)

wobei φ0mP (ϑiS , ω0 ) = π + φMP (ϑiS ) + φuiS (ω0 ) und |u0mP (ϑiS , ω0 )| = |MP (ϑiS ) uiS (ω0 )|, k¨onnen wir (9.1.133) f¨ ur x = 0, z = 0 folgendermaßen schreiben: 0

umP (0, 0, t, ω0 , ϑiS ) = |u0mP | κ sin ϑiS cos(ω0 t − φ0mP ) ex − '

− κ2 sin2 ϑiS − 1 sin(ω0 t − φ0mP ) ez

X

.

(9.1.135)

Nunmehr wird offenbar, dass sich die Spitze des Vektors umP (0, 0, t, ω0 , ϑiS ) = |u0mP | κ sin ϑiS cos(ω0 t − φ0mP ) ex − 12 Dies

(9.1.136) '

κ2 sin2 ϑiS − 1 sin(ω0 t − φ0mP ) ez

ist L. W. Schmerr (1998) auch schon aufgefallen. erkl¨ aren die Tatsache, dass der Modekonversionsfaktor ungleich null ist, obwohl der Reflexionsfaktor betragsm¨ aßig gleich eins ist, unter dem Stichwort Totalreflexion“. ” 13 Wir

268

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen uz

. ........ ........ ... ... ... .. ... .. ... ... ... ... ...................................................... . . . . . . . ...... . . ... .... ...... . .... ........ . . . 2 2 2 ........ .... .... .... .... ............. .... .... .... .... .... iS . ... P S ... ..... .... . .. . . ....... . . . ..... ............ ....................................... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ................................................................ ..................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . . ........ ........ . . . . . ..... ................ . . . . . . . . . . . . . ..... . . ....... ...... ...... ...... ....... ............ . . . . . . . . . ..... ..... ............ . . . . . . ... . ..... .. .. ..... .... ......... ....... ... ..... ..... .... ........ ... ....... ....... ... ... . ... ... ....... ............. . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ..... . .. .. .......... ....... . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... ... .. . . .... .. . ... ... . .. .. . . . . . . ... ... . .. .. . . ..... . . . . . . . . . . . . ...... ...... .. ..... ..... . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . ....... . ..... ........ ....... ......... ........ ........... ... ......... ............. ........... .................. ....................................................................... ................................................ .... .... .... .... .... ... .... .... ...

.. ...............

'

.......... ....... .. ..... . ...

φ0 (t) √ κ sin ϑiS e− k

sin ϑ −k z

κ2 sin2 ϑiS − 1

φx (t)

..... .... .. ..... .....

φ0 (t)

κ sin ϑiS

ux

umP (0, 0, t, ω0 , ϑiS )/|u0mP |

Abb. 9.1.8: Ellipse als Ortskurve des reell-zeitharmonischen Teilchenverschiebungsvektors der modekonvertierten P-Welle f¨ ur ϑiS > ϑcmP : mit zunehmendem Winkel φ0 (t) = ω0 t − φ0mP dreht sich umP im Uhrzeigersinn

in der xz-Ebene mit zunehmendem Phasenwinkel φ0 (t) = ω0 t − φ0mP

(9.1.137)

auf einer kanonischen14 Ellipse mit der großen Halbachse κ sin ϑiS und der kleinen Halbachse '

κ2 sin2 ϑiS − 1 im Uhrzeigersinn bewegt (Abbildung 9.1.8), denn (9.1.136) ist nichts anderes als die Parameterdarstellung einer solchen Ellipse. F¨ ur x >= 0 — beispielsweise x < 0 — und z = 0 a¨ndert sich allein die Anfangsphase f¨ ur t = 0, denn der Phasenwinkel ist dann durch ur z > 0 werden beide Halbachsen φx (t) = ω0 t − φ0mP + kS sin ϑiS x gegeben (Abbildung 9.1.8); f¨ gleichm¨aßig exponentiell kleiner (Abbildung 9.1.8). An dieser Stelle kehren wir zur Fourier-Inversion von (9.1.82)–(9.1.84) f¨ ur beliebige Impulsspektren uiS (ω) zur¨ uck, wobei wir mit (9.1.130), (9.1.131), (9.1.132) auch den Fall ϑiS > ϑcmP ber¨ ucksichtigen k¨onnen; die sodann (f¨ ur eine positiv-reelle x-Komponente) (−j)-imagin¨are zKomponente von umP (R, ω, ϑiS ) (Gleichung (9.1.101)) formen wir in eine gegen¨ uber der xKomponente zus¨atzliche e−jπ/2 -Phase der z-Komponente um, die wir der Phase in (9.1.131) zuschlagen“. Mit dieser Vereinbarung verwenden wir f¨ ur ϑiS > ϑcmP die Beziehung (2.3.98) ” und erhalten in Erg¨anzung von (9.1.55)–(9.1.57): Q

uiSV (R, t, ϑiS ) = uiS

E

ˆ ·R k ˆ iS × ey , 0 ≤ ϑiS ≤ π/2 , t − iS k cS

(9.1.138)

14 Die Halbachsen der kanonischen Ellipse zeigen in Richtung der Koordinatenachsen, d.h. die Ellipse ist im xz-Koordinatensystem nicht gedreht.

9.1 Spannungsfreie ebene Grenz߬ache eines elastischen Halbraums

269

⎧ E Q ˆ rS · R ⎪ k ⎪ ⎪ ˆ rS × ey , 0 ≤ ϑiS ≤ ϑcmP ⎪ RSV (ϑiS ) uiS t − k ⎪ ⎪ ⎪ c S ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ @ E Q ⎪ ⎪ ˆ rS · R ⎨ k

urSV (R, t, ϑiS ) = ⎪ cos φRSV (ϑiS ) uiS t − c ⎪ 1 Q S ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − sin φRSV (ϑiS ) H ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

−

uiS τ −

ˆ rS · R k cS

E,$

(9.1.139)

ˆ rS × ey , k

ϑcmP < ϑiS ≤ π/2 ,

⎧ Q E ˆ mP · R ⎪ k ⎪ ˆ mP , 0 ≤ ϑiS ≤ ϑcmP ⎪ ⎪ M (ϑ ) u t − k P iS iS ⎪ ⎪ cP ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −|MP (ϑiS )| α(z, t, ϑiS )∗ ⎪ ⎪ ⎪ 1 @ E Q ⎪ ⎪ ⎪ sin ϑiS x ⎪ ⎪ ⎪ ∗ κ sin ϑiS cos φMP (ϑiS ) uiS t + − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E,$ 1 Q cS ⎨

sin ϑiS x ex + cS ⎪ ⎪ @ Q E ⎪ ' ⎪ ⎪ sin ϑiS x ⎪ ⎪ + κ2 sin2 ϑiS − 1 sin φMP (ϑiS ) uiS t + + ⎪ ⎪ ⎪ cSE,$ , ⎪ ⎪ Q 1 ⎪ ⎪ ⎪ sin ϑiS x ⎪ ⎪ + cos φMP (ϑiS )H uiS τ + ez , ⎪ ⎪ ⎪ cS ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ϑcmP < ϑiS ≤ π/2 ,

umP (R, t, ϑiS ) = ⎪ ⎪ ⎪

− sin φMP (ϑiS )H uiS τ +

(9.1.140) wobei α(z, t, ϑiS )

=

F

−1

9

e

|ω|

−c

P

√

κ2 sin2 ϑiS −1 z

7

'

(2.3.48)

=

κ2 sin2 ϑiS − 1 z cP π (κ2 sin2 ϑiS − 1) z 2 + c2P t2

(9.1.141)

die inverse Fourier-Transformierte der D¨ampfungsfunktion ist, mit der in (9.1.140) der Impuls uiS (t) und dessen Hilbert-Transformierte zu falten ist. Da deren Maximalamplitude gem¨aß α(z, 0, ϑiS ) =

cP 1 ' π κ2 sin2 ϑiS − 1 z

(9.1.142)

proportional zu z −1 ist, folgt, dass auch diese Faltung die Querd¨ampfung von umP (R, t, ϑiS ) f¨ ur z > 0 sicherstellt. Eine Konsequenz der Faltung ist sodann die z-abh¨angige Dispersion des uiS (t)-Impulses (Abbildung 9.1.11). Eine einigermaßen anschauliche Interpretation von (9.1.140) gelingt f¨ ur ϑiS > ϑcmP , wenn wir wie im zeitharmonischen Fall (9.1.135) x = 0, z = 0 setzen, als Impuls uiS (t) einen RCN (t)-Impuls w¨ahlen und (2.3.76) beachten15 : 0

uRCN mP (0, 0, t, ϑiS > ϑcmP ) ; −|MP (ϑiS )| eN (t) κ sin ϑiS cos(ω0 t − φMP ) ex − '

− κ2 sin2 ϑiS − 1 sin(ω0 t − φMP ) ez 15 F¨ ur

die Zeitbereichsd¨ ampfungsfunktion α(z, t, ϑiS ) gilt: lim α(z, t, ϑiS ) = δ(t) ,

z→0

sodass f¨ ur z = 0 die Faltung entf¨ allt.

X

;

(9.1.143)

270

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

¨ die Ahnlichkeit mit (9.1.136) und damit zu Abb. 9.1.8 ist un¨ ubersehbar16 : Die Spitze des Vektors RCN umP (0, 0, t, ϑiS ) bewegt sich als Funktion der Zeit auf derselben Ellipse wie im zeitharmonischen Fall, allein die Halbachsen der Ellipse ver¨andern sich im Takt der RCN (t)-Einh¨ ullenden eN (t). |RSV (ϑiS )|

... ....... ......... ... .... .. .... .. .. ............. ................................................................................................................................ ... ... ... ... .... ... .. .... .... ... .. . .... . .. ... .. .... ... ... .... .. ... .. ... ... ... .... ..... ... . .. .... .. ... .. .... ... ... .... ... ... ... ..... ... .. .... ... .. .. .... ... .. ... .. .... ... ... . ... . ... .... .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... . .... . .. .. .... ... .. .. .... ... .. ... .. .... ... ... . .... . ... . ... ... .... .. ... .. .. ... .. .. ..... .. .. ... . .... .. ... .... .. .. .. . ... ...... .... ... .. ... ... ... ..... ................................................................................................................................................................................................ . .....

|MP (ϑiS )| 2

1

0

ϑcmP

π/2

... .. ... ... ....... ..... ......... ... ... .. ........ . .. ..... ...... .... ...... . ...... ....... ....... . . . . ...... .... ..... .. ...... ... ...... ... .... .... . ... .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... . ... .. ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... . . ... .. .. .. ... ... .. ... ... ... ... ... .... .... . ... .. ... .. .... ... .. ... ... ... ... ... ... .. . ... ... ... ... .. ... . ... . .. ... ... . . .. .. ... . . .. .. ... ... . . ... ... ... . ... ... .. ... . .............................. ... ... ...... .... .. . . .... .... ... .. . ... .... .... ... ... ... .. . ... . . . ... .. .. .. ... . . ... . ... . . .. .. .... ..... ... .. .. .. .. .. .. .... ... .. ... . . .. ... ... .. .. .. ..... ... ...... ................................................................................................................................................................................................ . .....

ϑiS

0

ϑcmP

π/2

ϑiS

Abb. 9.1.9: Betrag des Reflexions- und Betrag des Modekonversionsfaktors f¨ ur SV-Wellen-Einfall als Funktion des Einfallswinkels (Material: Stahl mit cP = 5900 m/s, cS = 3200 m/s; κ = 1.84)

Mit (9.1.59) hatten wir auf der Grundlage von (9.1.58) f¨ ur den P-Wellen-Einfall einen Grenzfl¨achendeformationsratentensor im Zeitbereich angegeben, der als Quelldichte des reflektierten Gesamtfeldes angesehen werden kann; aufgrund der Komplexit¨at der Ausdr¨ ucke (9.1.138)– (9.1.140) geben wir hier nur das Fourier-Spektrum des entsprechenden Tensors f¨ ur den SVWellen-Einfall an, eine Gleichung, die (9.1.62) korrespondiert: gSV (x, ω, ϑiS ) =

0 jω ˆ iS × ey + k ˆ iS × ey ez + uiS (ω) e−jkS sin ϑiS x ez k 2 ˆ rS × ey + k ˆ rS × ey ez ) + + RSV (ϑiS )(ez k X ˆ mP + k ˆ mP ez ) ; + MP (ϑiS )(ez k

(9.1.144)

ur ϑiS > ϑcmP ! Wenn man diese Quellman beachte: (9.1.144) gilt f¨ ur 0 ≤ ϑiS ≤ π/2, also auch f¨ dichte allerdings tats¨achlich in ein Huygens-Integral u ¨ber die xy-Fl¨ache einsetzt, verschwindet“ ” die Richtcharakteristik des modekonvertierten P- Strahls“ f¨ ur ϑiS > ϑcP (Abschnitt 15.5). ” Wellenfronten reflektierter SV- und modekonvertierter P-Wellen Wie in Abb. 9.1.4 diskutieren wir Reflexions- und Modekonversionsfaktor (9.1.120) bzw. (9.1.121) f¨ ur festes κ als Funktion des Einfallswinkels. Da beide Faktoren f¨ ur ϑiS > ϑcmP komplex sind, macht nur die Darstellung der Betr¨age (und gegebenenfalls der Phasenwinkel) Sinn. F¨ ur κ = 1.84 (Stahl) ist die Winkelabh¨angigkeit von |RSV (ϑiS )| und |MP (ϑiS )| in Abb. 9.1.9 skizziert; offensichtlich ist |RSV (ϑiS > ϑcmP )| = 1, und der Formel (9.1.120) entnehmen wir RSV (0) = −1, RSV (ϑmP ) = −1, |RSV (π/2)| = 1 mit φRSV (π/2) = π. 16 In (9.1.136) wandle man den in φ 0mP enthaltenen Winkel π in ein negatives Vorzeichen um; der ebenfalls in φ0mP enthaltene ullenden eN (t) des RCN (t)-Impulses. Phasenwinkel φuiS steckt hier in der Einh¨

9.1 Spannungsfreie ebene Grenz߬ache eines elastischen Halbraums

a) ϑiS = 0◦ , t < 0

271

b) ϑiS = 0◦ , t > 0

einfallende SV-Welle

reflektierte SV-Welle

... kˆ ...

... ..... kˆ = −e ...............................................................................................................

...............................................................................................................

c) ϑiS = 20◦ , t = 0

d) ϑiS = 30◦ , t = 0

...............................................................................................................

...............................................................................................................

e) ϑiS = 35◦ , t = 0

f) ϑiS = 70◦ , t = 0

...............................................................................................................

...............................................................................................................

iS

z

iS

= ez

Abb. 9.1.10: Wellenfronten einfallender und reflektierter SV- sowie modekonvertierter P-Wellen (Material: Stahl mit cP = 5900 m/s, cS = 3200 m/s; κ = 1.84)

272

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

In Abb. 9.1.10a und Abb. 9.1.10b zeigen wir — genauso wie in Abb. 9.1.5a/b — f¨ ur senkrechten Einfall Wellenfronten einfallender und reflektierter Wellen f¨ ur zwei verschiedene Zeitpunkte, d.h. es ist wie dort der Betrag der vektoriellen Teilchenverschiebung dargestellt. Der einfallenden SVϑiS = 35◦ , t = 0, linear

ϑiS = 35◦ , t = 0, logarithmisch

...............................................................................................................

...............................................................................................................

ϑiS = 70◦ , t = 0, linear

ϑiS = 70◦ , t = 0, logarithmisch

...............................................................................................................

...............................................................................................................

Abb. 9.1.11: Wellenfront der querged¨ ampften modekonvertierten P-Welle (Material: Stahl mit cP = 5900 m/s, cS = 3200 m/s; κ = 1.84)

Welle pr¨agen wir als Zeitfunktion wieder einen RC2(t)-Impuls auf — man beachte die kleinere Wellenl¨ange der Scherwelle —, sodass sich mit (9.1.138) f¨ ur senkrechten Einfall ergibt: %

uiSV (R, t, ϑiS = 0) = RC2 t +

z cS

S

ex .

(9.1.145)

Nach der Reflexion — Abbildung 9.1.10b — ist die f¨ ur z > 0 einzig existierende reflektierte ˆ rSV (ϑiS = 0) = −ex (Abbildung 9.1.7) — Wellenfront — es ist RSV (0) = −1 und u %

urSV (R, t, ϑiS = 0) = RC2 t −

z cS

S

ex

(9.1.146)

dargestellt; offensichtlich erhalten wir einen RC2-Impuls mit demselben Vorzeichen wie (9.1.145): ˆ rSV (ϑiS = 0) in die Der negative Reflexionsfaktor dreht“ die negative x-Komponente von u ” positive x-Richtung.

9.1 Spannungsfreie ebene Grenz߬ache eines elastischen Halbraums

273

In den weiteren Teilbildern von Abb. 9.1.10 sind schließlich Wellenfronten einfallender, reflektierter und modekonvertierter Wellen f¨ ur ϑiS > 0 zum festen Zeitpunkt t = 0 dargestellt (Gleichungen (9.1.138)–(9.1.140)). Interessant ist vor allem Abb. 9.1.10e: Hier ist ϑiS ein ganz kleines ” bisschen“ gr¨oßer als der kritische Winkel ϑcmP f¨ ur die modekonvertierte P-Welle, und tats¨achlich erkennt man die Querd¨ampfung dieser Wellenfront. Wenn man sie alleine darstellt (Abbildung 9.1.11), sieht man sehr sch¨on die durch die Faltung in (9.1.140) verursachte z-abh¨angige Di¨ spersion; die Unsymmetrie bez¨ uglich x = 0 resultiert aus der Uberlagerung des symmetrischen RC2(t)-Impulses mit seiner antisymmetrischen Hilbert-Transformierten. Abbildung 9.1.10f vermittelt anschaulich den Tatbestand der sogleich zu diskutierenden Totalreflexion, wobei die ¨ Phasenverschiebung in der reflektierten SV-Welle durch die Uberlagerung mit dem Hilberttransformierten RC2(t)-Impuls (Gleichung (9.1.139)) entsteht. Falls man in Abb. 9.1.10c-f die Zeit t laufen l¨asst“, bewegen sich alle Wellenfronten gemein” sam mit der konstanten (Spur-)Geschwindigkeit cS / sin ϑiS (Gleichungen (9.1.138)–(9.1.140)) des Grenzfl¨achenphasenzentrums der Wellenfronten von rechts nach links (in negativer x-Richtung) durch ihre jeweiligen Beobachtungsfenster (man vergleiche Abb. 9.1.2). F¨ ur ϑiS = ϑcmP wird diese Spurgeschwindigkeit wegen (9.1.92) gerade gleich cP : Die unter dem Winkel ϑcmP reflektierte SV-Wellenfront wird damit zur Kopfwelle“ (Abschnitt 14.2) eines sich mit dieser Geschwindig” keit in der Grenzfl¨ache bewegenden Phasenzentrums. Energiebilanz f¨ ur Reflexion und Modekonversion: Totalreflexion Die beiden Diagramme in Abb. 9.1.9 sind in zwei Punkten auff¨allig: ur ϑiS > ϑcmP • Obwohl der Betrag des Reflexionsfaktors RSV (ϑiS ) der einfallenden SV-Welle f¨ gleich 1 ist, ist der Amplitudenfaktor MP (ϑiS ) f¨ ur die modekonvertierte P-Welle keineswegs 0; • der auf die Amplitude der einfallenden Welle normierte Amplitudenfaktor der modekonvertierten P-Welle kann gr¨oßer als 1 sein. Beide Aussagen stehen aber keineswegs im Widerspruch zu einer Energiebilanz, denn diese muss ja f¨ ur die Energiestromdichte und nicht f¨ ur die Amplituden gelten. Berechnen wir also den komplexen elastodynamischen Poynting-Vektor! F¨ ur die einfallende SV- und f¨ ur die reflektierte SV-Welle k¨onnen wir auf (8.1.133) zur¨ uckgreifen: 2 ˆ iS , ˆ iS ) = ω0 ρ cS |uiS (ω0 )|2 k SKiSV (R, ω0 , k 2 2 ˆ rS ) = ω0 ρ cS |RSV (ϑiS )|2 |uiS (ω0 )|2 k ˆ rS . SKrSV (R, ω0 , k 2

(9.1.147) (9.1.148)

Beide Poynting-Vektoren sind reell, stehen also unmittelbar f¨ ur die im zeitlichen Mittel durch die Einheitsfl¨ache transportierte Energie. Bei der entsprechenden Berechnung f¨ ur die modekonvertierte P-Welle m¨ ussen wir jedoch zulasˆ mP eventuell komplex wird. In Verallgemeinerung von sen, dass der Wellenzahleinheitsvektor k (8.1.132) erhalten wir17 ˆ mP ) = ω0 kP |MP (ϑiS )|2 |uiS (ω0 )|2 e−2kP ,kˆ mP ·R × SKmP (R, ω0 , k 2W / ˆ mP + 2μk ˆ mP · k ˆ∗ k ˆ∗ , × λk mP mP

17 Wir

(9.1.149)

ˆ mP gem¨ k¨ onnen direkt auf (8.2.41) zur¨ uckgreifen, m¨ ussen aber beachten, dass wir in Abschnitt 8.2 u aß (8.2.14) definiert = ˆ ˆ ∗ , der in (8.2.41) einzusetzen ist: Ergebnis k ·k

% =M haben; f¨ ur diese Definition ergibt sich ein Modekonversionsfaktor MP P ist (9.1.149).

mP

mP

274

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

ˆ mP = 0, also f¨ woraus sich f¨ u r 2k ur ϑiS ≤ ϑcmP , nat¨ urlich wieder der Ausdruck (8.1.132) f¨ ur ∗ ˆ ˆ eine homogene ebene Welle ergibt. Obwohl kmP · kmP stets reell ist, ist SKmP wegen des expliziten Auftretens des eventuell komplexwertigen Wellenzahleinheitsvektors ebenfalls eventuell komplex; wir berechnen den Realteil 2 > G ˆ mP ) = ω0 |MP (ϑiS )|2 |uiS (ω0 )|2 e−2kP ,kˆ mP ·R × 6 SKmP (R, ω0 , k 2cP W / ˆ mP · k ˆ ∗ 6k ˆ∗ . × λ + 2μk mP

mP

(9.1.150)

Die Grenzfl¨achenenergiebilanz“ sieht nun so aus: ” • Die Summe der Realteile der Normal komponenten der drei beteiligten Poynting-Vektoren bez¨ uglich der Grenzfl¨ache muss in der Grenzfl¨ache gleich null sein, sonst g¨abe es dort einen (positiven oder negativen) Energie stau“: ” G > ˆ n · 6 SKiSV (x, 0, ω0 , kiS ) + (9.1.151) G

>

G

>

ˆ rS ) + n · 6 SKmP (x, 0, ω0 , k ˆ mP ) = 0 . + n · 6 SKrSV (x, 0, ω0 , k Diese Bilanzgleichung ist nichts anderes als der Energiesatz (4.3.30) f¨ ur nichtdissipative Materialien, spezialisiert auf die Grenzfl¨ache (mit der in Abschnitt 3.3 benutzten Methode ¨ zur Herleitung von Ubergangsund Randbedingungen). • Die Realteile der Tangential komponenten der drei beteiligten Poynting-Vektoren bez¨ uglich der Grenzfl¨ache k¨onnen in der Grenzfl¨ache beliebig sein, denn aufgrund der unendlichen Gesamtenergie ebener Wellen ist diese Energiestromdichte nicht bilanzierbar. Mit anderen Worten: Der Energiesatz (4.3.30) gibt f¨ ur die Tangentialkomponenten in der Grenzfl¨ache nichts her“. ” Mit (9.1.147), (9.1.148) und (9.1.150) berechnen wir (9.1.151) f¨ ur ϑiS ≤ ϑcmP zu — es ist n = ez — ' cos ϑiS − cos ϑiS |RSV (ϑiS )|2 − κ|MP (ϑiS )|2 1 − κ2 sin2 ϑiS = 0 ; (9.1.152) daraus folgt der Ausdruck |MP (ϑiS )|2 =

cos ϑiS [1 − |RSV (ϑiS )|2 ] '

κ 1 − κ2 sin2 ϑiS

,

(9.1.153)

der es offenbar erlaubt, dass |MP (ϑiS ≤ ϑcmP )|2 Werte gr¨oßer als 1 annimmt. Dies ist also kein Widerspruch zum Energiesatz. ˆ mP )} = 0 wegen ez · 6k ˆ mP = 0, d.h. (9.1.151) besagt F¨ ur ϑiS > ϑcmP gilt ez · 6{SKmP (R, ω0 , k sodann, dass die querged¨ampfte Welle am Energieaustausch in der Grenzfl¨ache nicht beteiligt ist, sodass sich in der Tat (9.1.154) |RSV (ϑiS > ϑcmP )|2 = 1 aus (9.1.151) ergibt, und zwar unabh¨angig von MP . Man spricht deshalb von der Totalreflexion der einfallenden SV-Welle. Mit (9.1.150) berechnen wir die von null verschiedene Komponente von 6{SKmP } zu >

G

ω02 ˆ |MP (ϑiS )|2 |uiS (ω0 )|2 e−2kP ,kmP ·R × 2cS ×[λ + 2μ(2κ2 sin2 ϑiS − 1)] sin ϑiS ex

ˆ mP ) = − 6 SKmP (R, ω0 , k

(9.1.155)

9.1 Spannungsfreie ebene Grenz߬ache eines elastischen Halbraums

275

und halten fest, dass die sich in (−x)-Richtung ausbreitende inhomogene — querged¨ampfte — ebene Welle Energie in Ausbreitungsrichtung transportiert, wobei die Energiestromdichte in zRichtung exponentiell abklingt. Wo diese Energie herkommt, da doch die querged¨ampfte Welle energetisch gar nicht an die einfallende SV-Welle ankoppelt“, ist mit dem Modell ebener Wellen ” aufgrund ihrer unendlichen Gesamtenergie nicht zu kl¨aren, man muss zu Strahlen u ¨bergehen. Der Vollst¨andigkeit halber berechnen wir auch noch die zeitlich gemittelte Energiedichte zeitharmonischer inhomogener (querged¨ampfter) ebener Wellen. In Verallgemeinerung von (8.1.138) ergibt sich nach ein paar Zeilen Rechnung (Fußnote 17 gilt sinngem¨aß, wenn wir (8.2.42) verwenden): ˆ mP )7 = ,wmP (R, t, k

ω02 1 ˆ |MP (ϑiS )|2 |uiS (ω0 )|2 e−2kP ,kmP ·R × 4 c2P ˆ mP · k ˆ ∗ )(λ + 2μk ˆ∗ ) ; ˆ mP · k ×(1 + k mP

mP

(9.1.156)

ˆ mP = 0, korrespondiert dies dem Ausdruck (8.1.138) f¨ f¨ ur ϑiS ≤ ϑcmP , also 2k ur die homogene ebene Welle. Mit (8.2.27) und (9.1.109) berechnen wir die Phasengeschwindigkeit der querged¨ampften Welle zu (man vergleiche auch Gleichung (9.1.140)): ω0 cmP (ϑiS ) = (9.1.157) |6kmP | cS = (9.1.158) , ϑiS > ϑcmP . sin ϑiS Mit (8.2.43) und (9.1.109) berechnen wir die Energiegeschwindigkeit der querged¨ampften Welle zu: 2cP ˆ mP cEmP (ϑiS > ϑcmP ) = 6k (9.1.159) ˆ ˆ∗ 1 + kmP · k mP cS =− e sin ϑiS x = −cmP (ϑiS ) ex . (9.1.160) Die Betr¨age von Phasen- und Energiegeschwindigkeit der querged¨ampften Welle sind offenbar gleich, und es gilt cP > |cEmP (ϑiS > ϑcmP )| ≥ cS , (9.1.161) denn f¨ ur ϑiS > ϑcmP ist sin ϑiS > cS /cP .

9.1.3

Einfallende sekund¨are transversal-horizontale Scherwelle

Der einfachste Fall der Scherwellenreflexion an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache steht noch aus: die SH-Wellen-Reflexion. Anstelle von (9.1.82) setzen wir also ˆ iS ) = −uiS (ω) e jkS kˆ iS ·R ey uiSH (R, ω, k

(9.1.162)

ˆ iS durch (9.1.77) gegeben ist. Die Teilchenverschiebung (9.1.162) f¨ uhrt im homogenan, wobei k isotropen nichtdissipativen Material auf den Spannungstensor W

ˆ iS ) = −jkS μ uiS (ω) e jkS kˆ iS ·R k ˆ iS ey + ey k ˆ iS TiSH (R, ω, k

/

.

(9.1.163)

Konsequenz ist, dass die Projektion ˆ

ˆ iS ) · ez = −jkS μ uiS (ω) e jkS kiS ·R k ˆ iS · ez ey , TiSH (R, ω, k

(9.1.164)

276

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

die in der Bedingungsgleichung f¨ ur die Spannungsfreiheit der Grenzfl¨ache auftritt, nur eine yKomponente besitzt. Da die entsprechenden Projektionen f¨ ur P- und SV-Wellen — Gleichung (9.1.12) bzw. Gleichung (9.1.85) — nur x- bzw. z-Komponenten haben, ist die SH-WellenReflexion offenbar von der P-SV-Wellen-Reflexion entkoppelt, und wir werden vermutlich mit dem alleinigen Ansatz einer reflektierten SH-Welle ˆ

ˆ rS ) = −RSH (ϑiS )uiS (ω) e jkS krS ·R ey urSH (R, ω, k

(9.1.165)

ˆ rS durch (9.1.78) gegeben ist. Mit deren Spannungstensor auskommen, wobei k W

ˆ rS ) · ez = −jkS μRSH (ϑiS )uiS (ω) e jkS kˆ rS ·R k ˆ rS ˆ rS ey + ey k TrSH (R, ω, k

/

(9.1.166)

¨ erf¨ ullen wir sodann in Uberlagerung mit (9.1.163) die Grenzfl¨achenbedingung 0

X

ˆ rS ) · ez = 0 ; ˆ rS ) + T (RS , ω, k TiSH (RS , ω, k rSH

(9.1.167)

daraus folgt −uiS (ω) e−jkS sin ϑiS x cos ϑiS + RSH (ϑiS )uiS (ω) e−jkS sin ϑrS x cos ϑrS = 0 .

(9.1.168)

Wir erhalten aufgrund von Phasenanpassung sofort das Reflexionsgesetz ϑrS = ϑiS

(9.1.169)

sowie danach

(9.1.170) RSH (ϑiS ) = RSH = 1 . SH-Wellen werden an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache unabh¨angig vom Einfallswinkel total reflektiert! F¨ ur senkrechten Einfall ϑiS = 0 ist die SH-Polarisation von der SV-Polarisation physikalisch nicht unterscheidbar; wie erkl¨art sich deshalb das unterschiedliche Vorzeichen der Reflexionsfaktoren RSV (0) = −1 und RSH = 1? Es erkl¨art sich durch den Ansatz der Polarisationsrichtungen einfallender und reflektierter SV- bzw. SH-Wellen: F¨ ur senkrechten Einfall sind die jeweiligen SV-Polarisationen entgegengesetzt (Abbildung 9.1.7), die SH-Polarisationen sind jedoch stets (nicht nur f¨ ur senkrechten Einfall) gleichgerichtet (Abbildung 9.2.1). Dies hat Konsequenzen f¨ ur den Schalldruck: Bei dieser ( zuf¨alligen“) Vorzeichenwahl der Polarisation gen¨ ugt ” piSV (RS , ω, 0) + prSV (RS , ω, 0) einer Dirichlet-Randbedingung, piSH (RS , ω, 0) + prSH (RS , ω, 0) jedoch nicht. Eine Reparatur“ ist leicht m¨oglich: Man ¨andere die SH-Polarisationsrichtungen ” entsprechend! Dies erhellt: Die relativen Polarisationsorientierungen sind u ¨ber den zugeh¨origen Reflexionsfaktor physikalisch festgelegt, die Schalldruck orientierungen“ jedoch nicht. ” Mit (9.1.170) geben wir der Vollst¨andigkeit halber auch noch die kartesischen Spannungstensorkomponenten des einfallenden und reflektierten Feldes explizit an: TiSH (x, z, ω, ϑiS ) = jkS μ uiS (ω) e−jkS (sin ϑiS x+j cos ϑiS z) × × [sin ϑiS (ex ey + ey ex ) + cos ϑiS (ey ez + ez ey )] ,

(9.1.171)

TrSH (x, z, ω, ϑiS ) = jkS μ uiS (ω) e−jkS (sin ϑiS x−j cos ϑiS z) × × [sin ϑiS (ex ey + ey ex ) − cos ϑiS (ey ez + ez ey )] ;

(9.1.172)

des Weiteren lauten die Schalldruckgleichungen der ebenen SH-Wellen: ˆ iS ) : k ˆ iS ey piSH (R, ω, ϑiS ) = T (R, ω, k iSH

= −jωZS uiS (ω) e jkS kiS ·R , ˆ rS ) : k ˆ rS ey prSH (R, ω, ϑiS ) = TrSH (R, ω, k

ˆ

(9.1.173)

= −jωZS uiS (ω) e jkS krS ·R .

ˆ

(9.1.174)

9.2 Ebene Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume 277 Wegen RSH = 1 ist im vorliegenden Fall der Grenzfl¨achendeformationsratentensor als ¨aquivalente Quelle des reflektierten Feldes proportional zum einfallenden Feld selbst: ˆ iSH (x, 0, ω, ϑiS )ez ] ˆ iSH (x, 0, ω, ϑiS ) + u gSH (x, ω, ϑiS ) = jω [ez u = −jω uiS (ω) e−jkS sin ϑiS x (ez ey + ey ez ) .

(9.1.175)

Folgendes sei zum Schluss f¨ ur diesen speziellen Fall noch einmal festgehalten (allgemein hatten wir dar¨ uber bereits in Abschnitt 7.3 gesprochen): • Da sowohl die Feldgr¨oße uSH als auch die Bedingungsgleichung der Spannungsfreiheit jeweils nur eine y-Komponente besitzen, und da ferner ∂/∂y ≡ 0 ist, handelt es sich bei der SH-Wellen-Reflexion um ein zweidimensionales skalares Randwertproblem f¨ ur die skalare Feldgr¨oße uSH · ey . • Die Randbedingung (9.1.168) entspricht einer (homogenen) Neumann’schen Randbedingung (Gleichung (5.2.11)) 0

ˆ S ) · ey n · ∇ uSH (R, ω, k

!

X R=RS

ˆ S ) · ey !! ∂uSH (R, ω, k ! = ! ∂z ! =0

z=0

(9.1.176)

f¨ ur ebendiese skalare Feldgr¨oße. Dies verwundert, ist doch das entsprechende Randwertproblem der skalaren Akustik — die schallweiche Randbedingung f¨ ur eine Grenzfl¨ache zum Vakuum — ein Dirichlet-Randwertproblem; es ist jedoch ein Dirichlet-Problem f¨ ur den skalaren Druck p(R, ω), dem hier der isotrope Spannungstensor T(R, ω) = −p(R, ω)I korrespondieren w¨ urde; gem¨aß (9.1.171), (9.1.172) l¨asst sich dieser aber nicht definieren. Definieren l¨asst sich zwar der Schalldruck (9.1.173), (9.1.174) der ebenen SH-Wellen, er erf¨ ullt jedoch f¨ ur die hier zugrunde gelegten Polarisationsorientierungen18 keine Dirichlet’sche Randbedingung: Das zweidimensionale skalare SH-Wellen-Randwertproblem ist ein skalares Neumann-Problem (Abschnitt 7.3).

9.2

Ebene Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume

Dieses Standardproblem elastischer Wellen ist f¨ ur die US-zfP besonders bedeutsam, da sich die physikalisch wesentlichen und zfP-relevanten Wellenfronten im Schallfeld piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe — Senkrecht-, Winkel-, Kriechwellen“-Pr¨ ufk¨opfe — aufgrund der Dispersionsrelation ” homogener und inhomogener ebener Wellen durch Phasenanpassung in der Grenzfl¨ache sehr anschaulich erkl¨aren lassen. Wir diskutieren zun¨achst den Fall einer festen geschweißten“ Verbindung der beiden Halbr¨aume ” und danach deren Fl¨ ussigkeitskopplung; als Spezialfall ergibt sich die Kombination elastischer ” Halbraum – Fl¨ ussigkeitshalbraum“. Obwohl es sich bei den vorliegenden Vollr¨aumen um ein inhomogenes — genauer: st¨ uckweisehomogenes — Material handelt, kommen wir interessanterweise mit der L¨osung ebene Welle“ ” der Wellengleichung f¨ ur homogene (isotrope nichtdissipative) Materialien aus (man vergleiche das Flussdiagramm 1.2.1). Der Grund daf¨ ur ist: Die ebene Welle ist eine sogenannte Separationsl¨osung der genannten Wellengleichung in kartesischen Koordinaten (Langenberg, 2005), 18 Der

Schalldruck ebener Wellen hat mit der skalaren Feldgr¨ oße Druck“ nichts zu tun. ”

278

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

und die ebene Trennfl¨ache passt“ in ein derartiges Koordinatensystem. Dies ist verallgemei” nerbar: Immer wenn die Materialsprungstelle(n) st¨ uckweise homogener Materialien mit solchen Koordinatenfl¨achen zusammenf¨allt(fallen), in deren Koordinatensystem die Wellengleichung f¨ ur homogene Materialien separierbar ist, kommen wir mit ebendieser Wellengleichung aus. Leider sind es nur drei Koordinatensysteme: kartesische Koordinaten, Zylinder- und Kugelkoordinaten. Diese sogenannten kanonischen Streuprobleme behandeln wir in den Abschnitten 15.4.2 und 15.4.4.

9.2.1

Einfallende SH-Welle

Die Reflexion und Transmission ebener elastischer Wellen an der ebenen Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume untersuchen wir zun¨achst f¨ ur den ˆ iS ); in Abschnitt 9.1.3 wurde ja ˆ iSH (R, t, k einfachsten einfallenden Wellentyp: die SH-Welle u offenbar, dass deren Randbedingungsgleichung von der entsprechenden P-SV-Gleichung ent¨ koppelt ist, und dies ¨andert sich auch nicht, wenn wir anstelle der Randbedingung Ubergangsbedingungen zugrunde legen, es bleibt bei einem zweidimensionalen skalaren Problem (Abschnitt 7.3). Reflexion und Transmission von SH-Wellen Zun¨achst zur Geometrie (Abbildung 9.2.1): In Verallgemeinerung von Abbildung 9.1.1 ersetz

.... ....... ....... ... ..... .. .... .................. ... ... ... .... .. ... ... ... .................. ... ... ... ... ... ...... ... ...... ......... .. . ..... ... ... ..... .. . ... ... . ..... . . ................... ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ..... .. .............. ....... .. . ... ..... .. .......... .................... ...... .... ................ .. .. ... .... ..... ..... . . .. .... .. . . . . . ..... . .. . . ..... . ... ..... .. .. .. ..... ..... .. .. .. .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ..... ...... . .... . .. ... . .... . . . .. ..... .. ... .. .... ........... . . . . .. ............................ . . ... .. . . .... . . . . ... . . ... ... .... ....... .... . . .... .... . .... .. . . . .... . ............ .... .... ... .... .... .... .... ... ... ..

....... kˆ ..... ... • ˆ u rS

ϑrS

rSH

ϑiS

........ n .

(1)

(2)

ˆ iS k

.• . . . . ... ......

ˆ iSH u

(1)

(1)

λ(1) , μ(1) , ρ(1) =⇒ cP , cS x

(2)

S

(2)

λ(2) , μ(2) , ρ(2) =⇒ cP , cS

• ..... .......

ˆ tSH u

ϑtS

ˆ tS k

Abb. 9.2.1: Reflexion und Transmission einer SH-Welle an der Trennfl¨ ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨ aume mit den Materialparametern λ(1,2) , μ(1,2) , ρ(1,2) (die y-Achse zeigt nach hinten)

zen wir nun den Halbraum z < 0 durch einen elastischen Halbraum mit den Materialparametern λ(2) , μ(2) , ρ(2) und unterscheiden diese von den Materialparametern λ(1) , μ(1) , ρ(1) des dar¨ uberliegenden Halbraums z > 0 durch einen entsprechenden Index; dasselbe gilt f¨ ur die (1,2) (1,2) (1,2) (1,2) Wellen(phasen)geschwindigkeiten cP , cS und die Slownesses sP , sS . Als einfallende sekund¨are Welle setzen wir eine ebene Welle mit transversal-horizontaler Polarisation an, welche wir auch den sekund¨aren reflektierten und transmittierten Wellen aufpr¨agen: Q E ˆ iS · R k ˆ uiSH (R, t, kiS ) = −uiS t − (1) (9.2.1) ey , z ≥ 0 , cS

9.2 Ebene Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume 279 Q

E

ˆ ˆ rS ) = −RSH (ϑiS ) uiS t − krS · R ey , z ≥ 0 , urSH (R, t, k (1) cS Q E ˆ tS · R k ˆ utSH (R, t, ktS ) = −TSH (ϑiS ) uiS t − (2) ey , z ≤ 0 . cS

(9.2.2) (9.2.3)

Die Amplituden von urSH und utSH definieren Einfallswinkel-abh¨angige Reflexions- und Transmissionsfaktoren RSH (ϑiS ) und TSH (ϑiS ). Die Komponenten der Phasenausbreitungsvektoren entnehmen wir Abb. 9.2.1: ˆ iS = − sin ϑiS ex − cos ϑiS ez , k (9.2.4) ˆ rS = − sin ϑrS ex + cos ϑrS ez , k ˆ tS = − sin ϑtS ex − cos ϑtS ez , k

(9.2.5) (9.2.6)

wobei bereits anzumerken ist, dass der Transmissionswinkel ϑtS je nach dem Verh¨altnis der (1) (2) Scherwellengeschwindigkeiten cS /cS gr¨oßer oder kleiner als ϑiS sein kann; wenn er gr¨oßer als ϑiS ist, existiert ein kritischer Einfallswinkel ϑctS , und ϑtS wird sodann komplex. Hinsichtlich ˆ SH = −ey zu w¨ahlen ist; in Abb. der SH-Polarisation orientieren wir uns an Abb. 8.1.8, sodass u 9.2.1 deuten wir dies dadurch an, dass wir auf die Spitze des Polarisationsvektors blicken. F¨ ur die Spannungstensoren — wir gehen wieder zu Fourier-Spektren u ¨ber — (1) ˆ

ˆ iS ) = −jk μ(1) uiS (ω) e jkS TiSH (R, ω, k S (1)

kiS ·R

W

ˆ iS ey + ey k ˆ iS k (1) ˆ

ˆ rS ) = −jk (1) μ(1) RSH (ϑiS ) uiS (ω) e jkS TrSH (R, ω, k S

krS ·R

(2) ˆ

ˆ tS ) = −jk (2) μ(2) TSH (ϑiS ) uiS (ω) e jkS TtSH (R, ω, k S

ktS ·R

W

W

/

,

ˆ rS ˆ rS ey + ey k k

ˆ tS ey + ey k ˆ tS k

/

/

(9.2.7) , (9.2.8) (9.2.9)

¨ gilt nunmehr anstelle der Randbedingung (9.1.167) die Ubergangsbedingung (Gleichung (3.3.19)) 0

X

ˆ iS ) + T (RS , ω, k ˆ rS ) · ez = T (RS , ω, k ˆ tS ) · ez , TiSH (RS , ω, k rSH tSH

(9.2.10)

wobei RS ∈ S. Da (9.2.10) nur eine y-Komponente hat, steht uns damit nur eine Gleichung zur ugung. Eine zweite Gleichung entsteht Bestimmung der beiden Faktoren RSH und TSH zur Verf¨ jedoch aus der Stetigkeitsforderung des Teilchenverschiebungsvektors RS , die wir ebenfalls f¨ ur ¨ die Fourier-Spektren hinschreiben (Ubergangsbedingung (3.3.20)): ˆ iS ) + urSH (RS , ω, k ˆ rS ) = utSH (RS , ω, k ˆ tS ) . uiSH (RS , ω, k

(9.2.11)

Auch diese Vektorgleichung hat nur eine y-Komponente, sodass schließlich in der Tat zwei Gleichungen f¨ ur zwei Unbekannte vorliegen, sobald wir RS aus (9.2.10) und (9.2.11) eliminiert haben. Reflexions- und Brechungsgesetz: Kritischer Winkel Erster Schritt ist, wie gesagt, die Elimination des beliebigen Trennfl¨achenortsvektors RS aus den Gleichungen (9.2.10) und (9.2.11) durch die Phasenanpassung (1) ˆ (1) ˆ (2) ˆ (9.2.12) kS k iS · RS = kS krS · RS = kS ktS · RS , ¨ die zum einen — in Analogie zum Ubergang von (9.1.16) nach (9.1.19) — koplanare Vektoˆ iS , k ˆ rS , k ˆ tS erzwingt, und zwar so, wie sie in Abb. 9.2.1 eingezeichnet sind; zum anderen ren k beinhaltet Gleichung (9.2.12) das Reflexionsgesetz

ϑrS = ϑiS

(9.2.13)

280

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

und das Brechungsgesetz

(1)

sin ϑtS =

kS

sin ϑiS .

(2)

kS

(9.2.14)

Letzteres erlaubt es wieder, in Verbindung mit den Dispersionsrelationen siS · siS = sS

(1)2

,

(9.2.15)

srS · srS =

(1)2 sS (2)2 sS

,

(9.2.16)

stS · stS =

(9.2.17)

f¨ ur die Slowness-Vektoren (1) ˆ siS = sS k iS , (1) ˆ srS = sS krS , (2) ˆ stS = s k tS ,

(9.2.18) (9.2.19) (9.2.20)

S

den Transmissionswinkel ϑtS mithilfe eines Slowness-Diagramms geometrisch zu konstruieren; (1) (2) Abbildung 9.2.2 illustriert diese Konstruktion f¨ ur cS ≥ cS , wof¨ ur sich offensichtlich stets ϑtS ≤ ϑiS ergibt. (1)

(2)

Falls cS < cS ist, definiert das Brechungsgesetz (9.2.14) f¨ ur sin ϑtS = 1 den kritischen Einfallswinkel (2) sS . (9.2.21) ϑiS = ϑctS = arcsin (1) sS Im Slowness-Diagramm ist sodann zu unterscheiden, ob ϑiS ≤ ϑctS oder ϑiS > ϑctS ist: Abbildung 9.2.3a skizziert ein Beispiel f¨ ur ϑiS < ϑctS ; abgesehen von der Tatsache, dass nunmehr ϑtS > ϑiS , sind keine weiteren Besonderheiten festzuhalten. Besonderheiten, die aber u ¨ber das uns bereits Bekannte (Abschnitt 9.1.2) nicht hinausgehen, ergeben sich erst f¨ ur Einfallswinkel oberhalb des kritischen Winkels ϑctS : Der Transmissionswinkel ϑtS ist sodann gem¨aß ϑtS =

π + j2ϑtS 2

(9.2.22)

komplex anzusetzen, denn dies er¨offnet die M¨oglichkeit, den Sinus von ϑtS gr¨oßer als 1 werden zu lassen, da mit (9.2.22) (1)

sin ϑtS = cosh 2ϑtS =

kS

(2)

kS

sin ϑiS

(9.2.23)

gilt. Als Konsequenz wird der Phasenausbreitungsvektor (9.2.6) zum komplexen Wellenzahl(einheits)vektor ˆ tS = − sin ϑtS ex − cos ϑtS ez k = − cosh 2ϑtS ex + j sinh 2ϑtS ez ,

(9.2.24)

wobei sich sinh 2ϑtS aufgrund von (9.1.99) u ¨ber B K K (1)2 Kk sinh 2ϑtS = −4 S(2)2 sin2 ϑiS − 1

kS

(9.2.25)

9.2 Ebene Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume 281 z, sz

....... ..... ...

.... . . . . .... kˆ

. ......... ........ ..... .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. .... ............................................ ... . . . . . . . . .... ....... .. .... ...... .. ... .... ........... ..... ....... . . . . . . .... ...... ............... .... ... .... ................. .... ................... .... ...... . . ... ... . ............... ..... ... . ............. ... .. ... .... ... ... ... .... ... ... ... ... .... .... .... . ... (1) ... ... . . ... . . ..... rS ... .. ... iS .. S . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . .. . ... . . . ... .. .... ... .. ... (2) .. . . ... ... . ... ... ... . . . . . . S ... . ... ... .. . ... ... ..... . . . . ... ... ... .. .. ... ... ... ... . .. ... ...... ... .... ......................... .. ... ... tS . .... ... ... .... .. ... ... .. . . . . . . . . . . . ... ....... .... .. .. ... ... . ... .... ............ .... .... ... .... .. ... ... ..... .... ..... . ..... ..... ... ... .... ..... ..... . . ...... . . . . . . . ...... .. ... ...... ....... ... ..... ...... ......... ....... ... ...... ......... .... ............................................................... .. .. .... .. ... .... ... ... .. . . .. .... ... ..... ... .... ... ... ... ... .. . ... ..... ... .... ... ... ... .... . . . . .......................................... ..............................................

ˆ rS k

srS

(1)

...... ..... ..... . ... ............. .. .. . .... s

iS

ϑ

(2)

siS

ˆ tS k

.. .. . .....

(1)

ϑ

s

s

x, sx

ϑ

tS

(1)

(2)

sS sin ϑiS = sS sin ϑrS = sS sin ϑtS Abb. 9.2.2: Slowness-Diagramm f¨ ur die Reflexion und Transmission einer SH-Welle an der Trennfl¨ ache zweier homogen(2) (1) isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨ aume: cS > cS

berechnen l¨asst. Wie in (9.1.100) wird das negative Vorzeichen in (9.2.25) gebraucht — 2ϑtS in (9.2.22) muss deshalb negativ sein —, damit das Fourier-Spektrum der transmittierten Welle '

utSH (R, ω, ϑiS ) = −TSH (ϑiS )uiS (ω) e

(1)

−jkS sin ϑiS x

(1)2

kS

e

(2)2

sin2 ϑiS −kS

z

ey

(9.2.26)

f¨ ur ϑiS > ϑctS im Halbraum z < 0 exponentiell abklingt; die Welle ist dann querged¨ampft, denn der Imagin¨arteil des komplexen Wellenzahlvektors (2) ˆ ktS = kS k tS

% '

(1)

(1)2

= −kS sin ϑiS ex +j − kS
= 0 ist er immer unstetig — ist wieder eine Konsequenz Schalldrucks selbst f¨ ur ϑiS = 0 — f¨ der hier gew¨ahlten SH-Polarisationsrichtungen von einfallender, reflektierter und transmittierter Welle. ur ϑiS ≤ ϑctS — falls es einen F¨ ur ϑiS ≤ π/2 — falls es keinen kritischen Winkel gibt — bzw. f¨ kritischen Winkel gibt — sind die SH-Impulswellenfronten durch (9.2.1)–(9.2.3) gegeben. Falls jedoch ein kritischer Winkel existiert und ϑiS > ϑctS gew¨ahlt wurde, ist bei der Fourier-Inversion der Frequenzspektren von reflektierter und transmittierter SH-Welle der Tatsache Rechnung zu tragen, dass RSH (ϑiS ) und TSH (ϑiS ) aufgrund von (9.2.22) komplex werden, und zwar speziell gem¨aß RSH (ϑiS > ϑctS ) = e j sign(ω)φRSH (ϑiS ) , TSH (ϑiS > ϑctS ) = |TSH (ϑiS )| e j sign(ω)φTSH (ϑiS ) ,

(9.2.44) (9.2.45)

284

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

wobei die sign(ω)-Funktionen eingef¨ ugt werden m¨ ussen, damit die Impulswellenfronten f¨ ur re(2) (1) ellwertige Impulsfunktionen uiS (t) reell sind; es ergibt sich demnach f¨ ur cS > cS @

Q

ˆ rS · R k

E

− (1) cS E,$ 1 Q ˆ ·R k − sin φRSH (ϑiS )H uiS τ − rS(1) ey , cS ϑctS < ϑiS ≤ π/2 ,

urSH (R, t, ϑiS ) = − cos φRSH (ϑiS ) uiS t −

@

Q

utSH (R, t, ϑiS ) = −|TSH (ϑiS )|α(2) (z, t, ϑiS ) ∗ cos φTSH (ϑiS ) uiS t + 1

Q

− sin φTSH (ϑiS )H uiS τ +

sin ϑiS x

ϑctS

E,$

sin ϑiS x (1)

cS

ey , (1) cS < ϑiS ≤ π/2 .

(9.2.46)

E

−

(9.2.47)

Die Querd¨ampfung ist eine Konsequenz der Faltung mit (Gleichung (9.1.141)) ⎧ ⎫ √ 2 2 |ω| ⎨ −

α(2) (z, t, ϑiS ) = F −1 ⎩e

(2) c S

κS sin ϑiS −1|z| ⎬

⎭

'

=

(2) κ2S sin2 ϑiS − 1|z| cS / W , 2 2 π κ2S sin2 ϑiS − 1 z 2 + c(2) S t

wobei

(9.2.48)

(2)

κS =

cS

(1)

cS

>1 .

(9.2.49)

Wellenfronten reflektierter und transmittierter SH-Wellen Wie bisher stellen wir nun Wellenfronten reflektierter und transmittierter SH-Wellen als Amplitudenverteilung im Raum f¨ ur feste Zeitpunkte dar. Als aufgepr¨agte Zeitfunktion w¨ahlen wir wieder einen RC2(t)-Impuls, der sich sodann gem¨aß Abb. 8.1.4 auch im Raum manifestiert. Abbildung 9.2.4a zeigt zun¨achst die einfallende Wellenfront f¨ ur senkrechten Einfall und t = t1 < 0; der RC2-Impuls tritt als positive Komponente in der (−ey )-SH-Polarisation in Erscheinung: Q

uiSH (R, t, ϑiS = 0) = −RC2 t + Der reflektierte Impuls (Abbildung 9.2.4b)

z (1)

cS

Q

urSH (R, t, ϑiS = 0) = −RSH (0) RC2 t − = (2)

(1)

(2)

(1)

(2)

(1)

ZS − ZS ZS + ZS

Q

E

ey .

E

z

ey

(1)

cS

RC2 t −

(9.2.50)

z (1)

cS

E

ey

(9.2.51)

hat f¨ ur ZS < ZS (hier: Stahl(1)-Plexiglas(2)) in der (−ey )-SH-Polarisation dasselbe RC2(2) (1) Vorzeichen; dasselbe gilt f¨ ur den transmittierten Impuls, der sich jedoch wegen cS < cS durch eine kleinere Wellenl¨ange auszeichnet. Da in Abb. 9.2.4 skalare Komponenten der Teilchenverschiebungsvektoren dargestellt sind, wird das Vorzeichen des RC2(t)-Impulses auch sichtbar. Die

9.2 Ebene Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume 285 a) ϑiS = 0◦ , t1 < 0

b) ϑiS = 0◦ , t2 > 0 ˆ rS = ez reflektierte SH-Welle k

einfallende SH-Welle

... .... kˆ = −e ............................................................................................................... iS

z

... ...

...............................................................................................................

... ..... kˆ

tS

transmittierte SH-Welle

c) ϑiS = 45◦ , t3 = 0

= −ez

d) ϑiS = ϑiSB = 86.56◦ , t4 = 0

....kˆ..rS ..... .

... ....... ˆ iS k ............................................................................................................... . .. . ˆ tS .... k

ˆ

..k...iS.......... ............................................................................................................... . .. . ˆ tS .... k

Abb. 9.2.4: Wellenfronten einfallender, reflektierter und transmittierter SH-Wellen (Materialien: Stahl(1)-Plexiglas(2): man vergleiche die gestrichelten Graphen in Abb. 9.2.5)

Abbildungen 9.2.4c,d setzen schließlich f¨ ur ϑiS > 0 die Information von Abb. 9.2.5 (gestrichelte Graphen) — z.B. die Nullstelle19 des Reflexionsfaktors f¨ ur ϑiS = ϑiSB — in Grauwertstufen um. (2)

(1)

Vertauschung der Materialien — Plexiglas(1)-Stahl(2) — bewirkt zun¨achst wegen ZS > ZS eine Vorzeichenumkehr des reflektierten Impulses (Abbildung 9.2.6b) und eine Wellenl¨angenvergr¨oßerung des transmittierten Impulses. In Abb. 9.2.6c ist die Reflexion und Transmission f¨ ur ϑiS < ϑctS dargestellt: Der Reflexionsfaktor ist immer noch reell-negativ. Die Nullstelle des Reflexionsfaktors kurz“ vor dem kritischen Winkel definiert wieder einen Brewster-Winkel ” (Fußnote 19), und kurz“ danach und ein wenig“ unter dem kritischen Winkel wird der Re” ” flexionsfaktor reell-positiv und strebt gegen +1 (Abbildung 9.2.6d: Die transmittierte Welle ist gerade noch nicht“ querged¨ampft.). F¨ ur ϑiS > ϑtS geht φRSH sehr schnell“ gegen −π — der ” ” Betrag von RSH ist gleich 1 —, sodass in Abb. 9.2.6e der reflektierte Impuls wieder mit negativem Vorzeichen erscheint; die transmittierte Welle ist aufgrund der Querd¨ampfung nicht mehr sichtbar. 19 Man beachte: F¨ ur die elastodynamische SH-Reflexion und -Transmission gibt es wie im elektromagnetischen Fall f¨ ur die zur Einfallsebene parallele Polarisation des elektrischen Feldes (TM-Fall bei gleicher Permeabilit¨ at der beiden Materialien) einen BrewsterWinkel, f¨ ur den der Reflexionsfaktor gleich null ist; dieser ist stets kleiner als der kritische Winkel.

286

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen |RSH (ϑiS )|

... ........ ......... .. .... .. . .... .. .. ....... .................................................................................................................................................. ... ... .. . ... .. ... . ... .. ... ... . ... ....................................... .... .... ........ ......... . ... ..... ..... ..... ... .... .... .... .... .. .... . .. .... ... . ... ... ... ... .. .. .. .... .. .. .... . .. .. .... .. .. .. .... ... ... .. ... ...... .... ... ..... ... ... ... ..... . .... . . ..... ... ...... .... ... .. ...... .... . ...... ... .. .... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... .. .... ... ... .. ... .... ... ... ... ... ... ... ... .... .. ... ... .. .... ... ... ... .... .. .. .... ... .. ... ... .. ... ... .. .... ... ... ... .... .. .. ... ... .... ... ... ... ... .. .. .... ...... ... .... .. ...... .. .... ... ...... .. .... . . ................................................................................................................................................................................................. .. .. .. .......

|TSH (ϑiS )| 2

1

0

ϑctS

π/2

... ........ ......... .. .... .. . .... ... . ....... ... .. ....... .... .... .... .... .... ........ .... .... .... .... .... .... .... ..... ... .... ... .... .... ... .... .... ... .... .... .... ... .... ... ... .... .... ... .... .... ... .... ... .... ... ... .... ....... ... .... ........ ... .... ........ ... .... ..... ... ......... ... ... .... ........ .... ........ ... .... ....... ... ........ .... ... . ... ...... ... .... ......... ... .... ........ .... ....... ... ........ .... ... ....... ... ... .... ...... ... .... .... .... ... .... .... .... . ... . ... ... . .. . .... . . ... ... .... . . . .... . .... ...... ... ....... .......................................... ............ ... .................... .... ........... . .......................................................................................................................................................................................................................................................... .. .. .. .......

ϑiS

0

ϑctS

π/2

ϑiS

Abb. 9.2.5: |RSH | und |TSH | ohne (Stahl(1)-Plexiglas(2): - - -) und mit (Plexiglas(1)-Stahl(2): —) kritischem Winkel (Stahl: cS = 3200 m/s, ρ = 7.7 · 103 kg/m3 ; Plexiglas: cS = 1430 m/s, ρ = 1.18 · 103 kg/m3 )

Energiebilanz f¨ ur Reflexion und Transmission: Totalreflexion Wie beim SV-Wellen-Einfall auf eine spannungsfreie Grenzfl¨ache untersuchen wir hier die Energiebilanz auch und insbesondere, wenn bei Existenz eines kritischen Winkels ϑiS > ϑctS gew¨ahlt wird. Der Energiesatz (4.3.30) f¨ ur nichtdissipative Materialien fordert die Stetigkeit der Normalkomponente des Realteils des komplexen Poynting-Vektors f¨ ur z = 0: >

G

>

ˆ iS ) +n · 6 SKrSH (x, 0, ω0 , k ˆ rS ) n · 6 SKiSH (x, 0, ω0 , k >

G

ˆ tS ) = n · 6 SKtSH (x, 0, ω0 , k

G

;

(9.2.52)

uckgreifen: hinsichtlich 6SKiSH und 6SKrSH k¨onnen wir auf (8.1.133) zur¨ >

G

ω02 ρ(1) (1) ˆ iS , cS |uiS (ω0 )|2 k 2 2 (1) > G ˆ rS , ˆ rS ) = ω0 ρ c(1) |RSH (ϑiS )|2 |uiS (ω0 )|2 k 6 SKrSH (R, ω0 , k S 2 ˆ iS ) = 6 SKiSH (R, ω0 , k

(9.2.53) (9.2.54)

und 6SKtSH entnehmen wir (8.2.44): 2 (2) G > (2) ˆ tS ) = ω0 ρ c(2) |TSH (ϑiS )|2 |uiS (ω0 )|2 e−2kS ,kˆ tS ·R 6k ˆ tS . 6 SKtSH (R, ω0 , k S 2

(9.2.55)

Die einzige von null verschiedene Komponente von 6SKtSH f¨ ur ϑiS > ϑctS lautet deshalb: >

G

ˆ tS ) = − 6 SKtSH (R, ω0 , k

(2) ˆ ω02 μ(2) |TSH (ϑiS )|2 |uiS (ω0 )|2 e−2kS ,ktS ·R sin ϑiS ex , (1) 2 cS

(9.2.56)

sodass 6SKtSH in diesem Fall in der Bilanzgleichung (9.2.52) nicht auftaucht; die verbleibenden Terme in (9.2.52) liefern sodann die Bedingung |RSH (ϑiS > ϑctS )| = 1 f¨ ur Totalreflexion.

9.2 Ebene Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume 287

a) ϑiS = 0◦ , t < 0

b) ϑiS = 0◦ , t > 0

einfallende SH-Welle

... ..... kˆ = −e ............................................................................................................... iS

z

reflektierte SH-Welle

... kˆ ...

iS

= ez

............................................................................................................... transmittierte SH-Welle

... ..... kˆ

tS

= −ez

c) ϑiS = 21.54◦ < ϑctS , t = 0

d) ϑiS ; 26.54◦ = ϑctS , t = 0

...............................................................................................................

...............................................................................................................

e) ϑiS = 31.54◦ > ϑctS , t = 0

...............................................................................................................

Abb. 9.2.6: Wellenfronten einfallender, reflektierter und transmittierter SH-Wellen (Materialien: Plexiglas(1)-Stahl(2): man vergleiche die durchgezogenen Graphen in Abb. 9.2.5)

288

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

Im Falle der Existenz eines kritischen Winkels und ϑiS > ϑctS greifen wir auf (8.2.45) zur Berechnung der zeitlich gemittelten Energiedichte des transmittierten Feldes zur¨ uck: ˆ tS )7 = ,wtSH (R, t, k

(2) ˆ ω02 (2) ˆ∗ ) . ˆ tS · k ρ |TSH (ϑiS )|2 |uiS (ω0 )|2 e−2kS ,ktS ·R (1 + k tS 4

(9.2.57)

Gem¨aß (9.1.157) ergibt sich die Phasengeschwindigkeit der querged¨ampften transmittierten Welle zu (1) c ctSH (ϑiS ) = S , ϑiS > ϑctS , (9.2.58) sin ϑiS und f¨ ur deren Energiegeschwindigkeitsvektor erhalten wir mit (9.1.160) (1)

cEtSH (ϑiS ) = − Es folgt

9.2.2

cS e , ϑiS > ϑctS . sin ϑiS x

(2)

(1)

cS > |cEtSH (ϑiS )| > cS

.

(9.2.59) (9.2.60)

Einfallende P- bzw. SV-Welle

Einfallende P- bzw. SV-Welle: Slowness-Diagramme und kritische Winkel Wenn zwei (homogen-isotrope nichtdissipative) elastische Materialien im Spiel sind, werden die zugeh¨origen Slowness-Diagramme f¨ ur P- oder SV-Wellen-Einfall durch vier Slownesses (1) (1) (2) (2) sP , sS , sP , sS bestimmt, und es h¨angt vom einfallenden Wellentyp und der Slowness-Verh¨altnisse ab, ob und wieviele kritische Winkel auftreten. In den beiden Abbildungen 9.2.7 und 9.2.8 ur P-Wellen-Einfall m¨ ussen sind alle theoretisch denkbaren M¨oglichkeiten zusammengestellt20 . F¨ ˆ rP , stP =⇒ k ˆ tP ) sowie mit mowir mit reflektierten und transmittierten P-Wellen (srP =⇒ k ˆ m S ) und Transmission (sm S =⇒ k ˆm S) dekonvertierten SV- Wellen in Reflexion (smr S =⇒ k r t t ˆ rS , rechnen; f¨ ur SV-Wellen-Einfall gibt es reflektierte und transmittierte SV-Wellen (srS =⇒ k ˆ tS ) sowie modekonvertierte P-Wellen in Reflexion (sm P =⇒ k ˆ m P ) und TransmisstS =⇒ k r r ˆ m P ). Die jeweils m¨oglichen kritischen Winkel unterscheiden wir durch entsion (smt P =⇒ k t sprechende Indizes, wobei ϑcmr P f¨ ur SV-Wellen-Einfall stets existiert, w¨ahrend die Existenz von ϑctP , ϑcmt S , ϑcmt P , ϑctS vom Verh¨altnis der (Phasen-)Geschwindigkeiten beider Materialien ur SV-Wellenabh¨angt. F¨ ur P-Wellen-Einfall gibt es maximal 2 kritische Winkel ϑctP , ϑcmt S und f¨ Einfall gibt es maximal 3 kritische Winkel ϑctS , ϑcmr P , ϑcmt P . Die Anzahl der m¨oglichen kritischen Winkel l¨asst sich aus den Abbildungen 9.2.7 und 9.2.8 sofort ablesen: Wir haben die SlownessDiagramme f¨ ur den jeweils einfallenden Wellentyp fett gezeichnet, sodass es unmittelbar auff¨allt, wenn innerhalb dieser fetten“ Diagramme weitere Slowness-Diagramme liegen; deren Anzahl ” ¨ ist gleich der Anzahl der kritischen Winkel. Im Ubrigen: In Abb. 9.2.7 haben wir nur die Diagramme Pa) und SVa) mit allen Einzelheiten versehen, w¨ahrend Pb), SVb), Pc) und SVc) der ¨ Ubersichtlichkeit halber nur rudiment¨ar ausgef¨ uhrt sind. Dasselbe gilt f¨ ur alle Diagramme in Abb. 9.2.8. Einfallende P-Welle: Gleichungssystem f¨ ur Reflexions-, Transmissions- und Modekonversionsfaktoren ¨ Mit folgenden Partialwellenans¨atzen m¨ ussen wir im vorliegenden Fall die Ubergangsbedingungen (3.3.20) und (3.3.19) befriedigen: (1) ˆ

ˆ iP ) = uiP (ω) e jkP uiP (R, ω, k 20 Allein

kiP ·R

ˆ iP , k

(9.2.61)

schon mit den von J. und H. Krautkramer (1986) tabellierten Materialien lassen sich grunds¨ atzlich alle M¨ oglichkeiten realisieren; Pa) trifft auf den Fall (1)=Stahl, (2)=Plexiglas und Pa% ) auf die Vertauschung (1)=Plexiglas und (2)=Stahl zu.

9.2 Ebene Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume 289

... ....... ˆ

.... ....... ......... ... ... .. ... r ................................................... ....... .. . . . . . . ..... . . ...... .. ... ..... .. . ....... . . . .... . .. ......... .... ... .... ..... . . . . ... .. . ... .. ..... ... .... ... ... .. .... .... ... (1)..... (1) ... ... .. .... ... .. .. ... .... ....... .. .........................................................................................................................................................P ......................S ............................................................................ .. . ... . . ... .. ..... ... ... (2)... (2) ... ... .. ... .... P ..... S ... . . ... . . ... .. ..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... .. ... ... ... . . . . . . . ... ... . ... ... ... ... ... ..... ..... ... .. ... ... ..... ..... .... ... ... ..... ..... ... .. ... ...... ..... ... ..... ..... ..... ....... ... . . . . . . ..... . . . . . ......... .... ..... .... ... ............ ........ ..... ..... . ............................................ ...... ...... ... ...... ...... .. ....... ....... ... ......... .. ........ . . .. . . ............ . . . . . . ............................................ .. .. t . .... .. ... ... ..

sm

(1) (2)

... s ..................... .... . ..... .......... ..... ......... .. s ................... .. ......... s ... . s S

rP

kiP

s

s

s

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iP

tP

m S

Pa)

............. . . .. ˆ uˆ s ..................... k ..... .. ... ... s. . ...... .. .... ......... .. .. ..... . ... ..... . .s............ ........ ............. s ... ...

.... ....... ......... ... ... .. ... . ... .. ... ... ... ... . ... . . ............ ... ................. ... ................... . .. ... .. ......... r .......... .... ... ... ... .. .. ... ... . . ... (1) (1) . .. .. .. . . . . ... .. . . . .. ....... .... .. ....................S ............................................................................ ............................................................................................................................................................P ... .. ... . . ... .. . . ... ... (2)... (2) ... ... .... ... .... P ..... S ... . . ... ... .. .. ... ..... ... ... ... ... . ... . ... . ... ... . .. ... ... .... ... ... ... ... ... .. ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ..... .. . ... .... . . . . . . . . . . . . . ... ..... . ... .. ..... .... ... ..... .... ...... .... ..... ..... ....... .. ..... .... ..... ...... ......... .... ..... ........ ..... ...... ........................................................... ...... . . ...... . . . . . ....... t .. ... ........ . ....... .... ....... ........... .................. .... ........................... ................ ... ... ... ... ... ..

rS

(1) (2)

iSV

iS

m P

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iS

m P

stS

ϑcmr P

SVa)

... ........ ......... ... ... .. ... r . . . . . . . . . . . . ........................... . . ....... ......... . . . . . .... . ...... ...... ..... . . . .... . ..... ..... . .... . . .... ... ... . . . . ... ... ... ... . . . ... .. . . . . ... . . (1) ... (1) ..... ..... .. .... .... .. .....................S ........................................................................ .............................................................................................................................................................P . .. ... ... ... .. (2) . . ... (2) ... ... .. ... . ..... ... ... . ... S ... .. ... P . ... . . . . ... ... ... ... ..... ... ... .. ..... .... ... ... ... ..... .... ... ... ...... ...... .... ........ .. ... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ........................ . ... ... .... ... ... .... .... ... ..... ..... ... ..... ..... . .. . ..... . . . ... ...... ...... ...... ..... ...... ....... .... ....... ........ ........ .......... .................. .... ........................... ................ ... ... t ...

... ........ ......... ... ... .. ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . r........ ........................ ...... . . . ... . . ..... ..... . ... .... . .. ... . .... . ... .. . . ... (1) (1) . . . . ... ..... ..... .. ............................................................................................................................................................P .....................S ......................................................................... .. ... ... ... .. . ... (2) ... ... .. (2) ... ..... ... ... ... ... S t ... .. ... P . ... . . . . ... .. . ... . . . . . . . ... ... . .. ..... ... ... .... .... ..... ... ... ..... ...... ... ... ........ ...... ... ... ......................................... ... ... ... ... . . . ... .. .... ... ..... ..... ..... ... ..... ..... ..... .... ..... ...... ..... . . . . ...... .... . ..... ....... .... ....... ........ ........ .......... .................. .... ........................... ................ ... ... ...

... ......... .. ..... . .... .. ... r ............. . . . . . . . . . . . ........... .... ................. . . . . . . ...... . ...... . ..... . . ..... . ..... ..... . .... . .... . .. ... .... ... ... ... ... . . . ... . .. . . . . ... . . ... (1) ..... ..... (1) ... ... ... .. ......................S ........................................................................ ...............................................................................................................................................................P ... . ... .. (2) . . ... (2) .. . ... . ... ... ..... .... ....... ... ....................... ... S P . ... . . ... ... ..... ... .. ... .... ... ... ... ... .. ... . . . . . ... . .. ... ..... ... ... ... .... .... .. ..... ..... .... ..... .... . . . ..... . . . ...... .... ..... ...... ...... ....... ...... .... ...... ........ . ........ .......... ................. ... .......................... .................. .. ... t . ...

... ......... .. ..... . .... .. ... ... ... ... .. . . . . . . . . r........... ......................... . ...... . ... . .... ..... . . . . ... ... ... . ... .... . ... .. . . . . ... (1) (1) . . .. .... .... .. ....................S ........................................................................ ...............................................................................................................................................................P ... ... .. (2) .. . ... (2) .. . . ... ... . . . ... . . . . . ...... .. ..... ... ... S P .................. . ... . . . ... t ... ..... ... .. .... ... ... ... ... ... ... .. . . . . ... . .. ... .... ... ... ... ..... .... .. ..... ..... .... ..... .... . . . . ..... . . ...... ..... ..... ...... ...... ....... ...... .... ........ ...... . .......... ........ .................. .... .......................... ................ .. ... ...

m S

............. ...... ....... .. .. . ... . ............... rP

s

iP

s

s

s

tP

Pb)

m S

m S

............ ...... ....... .. .. . ... . ................ rP

s

tP

s

iP

Pc)

m S

ϑctP

s

s

.......................... . . . . ... ..... .. .. ... .. . . ....... ...... ........ rS

m P

s

s

s

m P

s

iS

SVb)

tS

ϑcmr P , ϑcmt P

.......................... . . . . ... ..... .. . .. . .. ... . ....... ......... ....... rS

m P

s

m P

s

s

s

iS

SVc)

tS

ϑcmr P , ϑcmt P

Abb. 9.2.7: Trennfl¨ ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨ aume: Slowness-Diagramme f¨ ur die Reflexion, Transmission und Modekonversion einfallender P- (links) bzw. einfallender SV-Wellen (rechts)

290

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

.... ....... ......... . ................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . ....... ........ ......... ..... ....... ....... . . ...... . . . .... ...... ...... ..... ... ..... ..... ..... . . . . . ..... .. .... . . .... . . . . ... .... ... ... . . . .. ... . . . . ... .. ... . ... . . ... ... ... . . ... . .. . . . . ... .. .. . . ... . . . . ... ..... .... ... (1) (1) .... .... ... . .. ... .... ........................................................................................................................................P ...........................................................................S .................................... ... ... .. . . . ... ... .... (2) ..... (2) ..... . ... ... . . . . . . P... S ... . ... ... ..... ... ... .. ..... ... ... .... ... ...... ..... ... ........ ...... ... .... ................................... .... . ..... . . . . .. . ..... ..... ...... ... ...... ........ ............ .... ................... .................. ... . t .... .. ... ... ... ... ... ..

mr S

.... ..... ....... ........

rP

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iP

s

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tP

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Pc+ )

.... ........ ........ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................ . . ........ ......... ......... .... ....... ....... . ...... . . . . .... . ...... ..... . . ..... . . . ... ..... ..... . . . ..... . . . ..... .. ..... . . . . . .... . ... .... ... . . ... .. ... . ... . . . ... ... . . . ... ... ... . . ... . .. . ... . . . ... .. .. . . . . ... . . ... ..... ..... ... (1) (1) .... ... ... .... ... .. ...............................................S .................................... .........................................................................................................................................................................P . ... .. . . (2) ... . . . . (2) . . . . ... . ... .. ... . . . ... ... ..... P .... ... ... ... S . . . . .... ... ... .... ..... ..... . ..... ...... ... ......... .... .............. ... .................... ..... ..... .. . ...... . . . . . . .. ....... .. ....... ......... ........................................... ... .... t ... .. ... ... ... ... ... ..

mr S

...................... ...... ... .. ... . ... . ..................... rP

s

s

tP

s

s

iP

m S

Pb+ )

ϑctP

... ......... .. ..... . .......................... . . . . . . . . . . . . . . ....... .......... ........... ........ ..... ........ ....... ....... .... ...... ...... ...... . . . . . .... ..... ..... . ..... . . . . . ..... . .... . . . . . ..... . .. .... ... . . . . ... ... .... . ... . . .. ... .. . . . ... ... ... . ... . .. ... ... . . . ... . .. . . . . ... . . ... ..... ..... .... ... (1)..... (1) .. .... .... .. .....................S .................................... .................................................................................................................................................................................................P ... ... .. ... (2)..... (2) ..... ... ... ... . ... . . ... .... .. P .... S ... ... . . . . ... . . ... ..... ... ..... ... ... .... ...... .. ... .. ...... ........ ... .... ................................. ..... ..... .. ..... ..... . . . . . . . ...... ...... ........ .. ............ ... ................... .................. .. t ... ... .. ... ... .. ... ... ...

mr S

........................... . . . . . .... .. ... ..... ... . .... ... .. . ... .. . .... . ........................... rP

s

s

s

tP

m S

iP

Pa+ )

ϑctP , ϑcmt S

Abb. 9.2.8: Fortsetzung von Abb. 9.2.7

s

.................................. . . . . . ..... ... ... ..... ... ... ... . ..... ... .. ... .. . . ... .. . ....... . . . ..........................

.... ....... ......... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ................ . . . . . . . . r ...... .. ...... (1) (1) ... ... . . .. .. .. ..... .........................................................................S .................................... ............................................................................................................................................P ... .. ... .. (2).... (2) .. . . . . . ... ... . ... ... P .... S ... ... . . . ... ... .. ..... ... .... ... .. .... ..... ... ... ... ..... ...... ... ... ......... .... ............... ..... .................. .... . . ..... . . . . ...... .... ... ....... ...... ......... t ... ....... .......................................... ... .... .... ... .... ... ..... ... ... .

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m P

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s

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m P tS

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ϑcmr P , ϑcmt P , ϑctS

................................. . . . . . . ..... ... ... ... .. ... ... ... .. ..... . . .. ... .. .. . ... . . . ....... . . .........................

..... ....... ........ .. ... .. ... ... ... ... ... r ............................... ......... . . . . . . . ... . ...... ...... . ..... . . .... . ..... ... ... .... ..... ... .. .. . . . ... . ... . ... . . . . ... (1) (1) ..... .... ... .... . ... .. ............................................S .................................... ..........................................................................................................................................................................P ... .. . ... (2) . ... . . . (2) . . . . . . ... ... ... ... ... ... ..... P ..... .. S ... ... . . . . . .... ... ... .... ..... ..... ... ..... ...... ... ... ......... .... .............. ... ..... .................... ..... ..... ..... .. . ...... . . . . . . .. ....... ....... ......... t .... .......................................... ... .... .... ... .... .... ... .... ... .

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m P

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s

s

s

m P tS

SVb+ )

iS

ϑcmr P , ϑcmt P , ϑctS

................................. . . . . . . ..... ... ... ... .. ... ... ... .. ..... . . .. ... .. .. . ... .. . ....... . . ...........................

... ......... .. ...... .... .. .. r..................................... .......... . ........ . . ........ . . . . . .... ....... ...... . . . . ...... .... . ... ..... ..... .... ..... ..... . ..... . . . . . .. ... ... ... ... . . .. ... ... . . . ... ... ... ... . . . .. ... . . . . ... .. .. . . . . ... . . ... (1) (1) ..... .... ... .... ... .. ..................S ..................................... ......................................................................................................................................................................................................P ... . . . .. ... . . . . . . ... ... .. (2).... (2) .. . . . . . ... ... .. P .... S ... . ... ... . . . .... .. .. ... . . . . . . . ..... ... . .. ..... ...... ... ... ......... .... .............. ..... .... .................. ..... ..... ...... .... ..... ....... . ...... . . . . . ......... t .... . ......................................... ... ... ... ... ... ... ... . .... ..

rS

m P

s

s

s

s

m P tS

SVa+ )

iS

ϑcmr P , ϑcmt P , ϑctS

9.2 Ebene Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume 291 (1)

ˆ rP ) = RP (ϑiP ) uiP (ω) e jkP kˆ rP ·R k ˆ rP , urP (R, ω, k (1) ˆ ˆ m S × ey ˆ m S ) = MrS (ϑiP ) uiP (ω) e jkS kmr S ·R k umr SV (R, ω, k r r

(9.2.62) (9.2.63)

f¨ ur z ≥ 0 und (2) ˆ

ˆ tP ) = TP (ϑiP ) uiP (ω) e jkP utP (R, ω, k ˆ m S ) = MtS (ϑiP ) uiP (ω) e umt SV (R, ω, k t

ktP ·R

ˆ tP , k

(2) ˆ jkS k mt S ·R

ˆ m S × ey k t

(9.2.64) (9.2.65)

f¨ ur z ≤ 0, wobei ˆ iP = − sin ϑiP ex − cos ϑiP ez , k ˆ rP = − sin ϑrP ex + cos ϑrP ez , k

(9.2.66) (9.2.67)

ˆ m S = − sin ϑmr S ex + cos ϑmr S ez , k r ˆ ktP = − sin ϑtP ex − cos ϑtP ez , ˆ kmt S = − sin ϑmt S ex − cos ϑmt S ez .

(9.2.68) (9.2.69) (9.2.70)

Die Winkel ϑtP und ϑmt S m¨ ussen eventuell komplex mit π/2-Realteil, ihre Cosinusse deshalb eventuell rein imagin¨ar angesetzt werden; damit utP und umt SV in diesem Fall im Halbraum z < 0 zu querged¨ampften Wellen werden, m¨ ussen die Cosinus-Imagin¨arteile positiv sein. Die Forderung nach Phasenanpassung f¨ uhrt auf (1)

(1)

(1)

(2)

(2)

kP sin ϑiP = kP sin ϑrP = kS sin ϑmr S = kP sin ϑtP = kS sin ϑmt S , woraus sich das Reflexionsgesetz

ϑrP = ϑiP ,

(9.2.71) (9.2.72)

das Modekonversionsgesetz in Reflexion (1)

sin ϑmr S =

kP

(1)

kS

sin ϑiP ,

(9.2.73)

sin ϑiP

(9.2.74)

sin ϑiP

(9.2.75)

< O: U

< 1 sowie das Modekonversionsgesetz in Transmission (1)

sin ϑmt S =

kP

(2)

kS

< O: U

>< 1 ergibt. Die geometrische Konstruktion der Winkel ϑrP , ϑmr S , ϑtP , ϑmt S ist in Abb. 9.2.7 Pa explizit ausgef¨ uhrt und in den weiteren P-Teilbildern der Abbildungen 9.2.7 und 9.2.8 offensichtlich. Die Gleichungen (9.2.74) und (9.2.75) lassen erkennen, dass es, wie bereits erw¨ahnt, maximal zwei kritische Winkel geben kann. Die Partialwellen (9.2.61)–(9.2.65) definieren Reflexions- und Transmissionsfaktoren RP (ϑiP ), TP (ϑiP ) und Modekonversionsfaktoren MrS (ϑiP ), MtS (ϑiP ) in Reflexion und Transmission. Zu

292

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

¨ deren Bestimmung ben¨otigen wir vier Gleichungen, die offensichtlich durch die Ubergangsbe¨ dingungen (3.3.20) und (3.3.19) bereitgestellt werden m¨ ussen. Die Ubergangsbedingung (3.3.20) f¨ ur den Teilchenverschiebungsvektor hat mit (9.2.61)–(9.2.65) und (9.2.66)–(9.2.70) eine x- und eine z-Komponente: − sin ϑiP − RP (ϑiP ) sin ϑiP − MrS (ϑiP ) cos ϑmr S = − TP (ϑiP ) sin ϑtP + MtS (ϑiP ) cos ϑmt S ,

(9.2.76)

− cos ϑiP + RP (ϑiP ) cos ϑiP − MrS (ϑiP ) sin ϑmr S = − TP (ϑiP ) cos ϑtP − MtS (ϑiP ) sin ϑmt S .

(9.2.77)

Mit (8.1.122), (8.1.123), (9.1.8) und (9.2.61)–(9.2.70) berechnen wir gem¨aß (3.3.19) die ez Projektionen der Spannungstensoren21 TiP (R, ω, ϑiP ) · ez = (1) ˆ

(1)

jkP uiP (ω) e jkP

kiP ·R

ˆ iP cos ϑiP ) , (λ(1) ez − 2μ(1) k

(9.2.78)

TrP (R, ω, ϑiP ) · ez = (1) ˆ

(1)

jkP RP (ϑiP )uiP (ω) e jkP

ˆ rP cos ϑiP ) , (λ(1) ez + 2μ(1) k

krP ·R

Tmr SV (R, ω, ϑiP ) · ez =

(9.2.79) (9.2.80)

(2) ˆ (1) ˆm S jkS μ(1) MrS (ϑiP )uiP (ω) e jkS kmr S ·R (−k r

ˆ mr SV cos ϑmr S ) , sin ϑmr S + u

TtP (R, ω, ϑiP ) · ez = (2) ˆ

(2)

jkP TP (ϑiP )uiP (ω) e jkP

ktP ·R

ˆ tP cos ϑtP ) , (λ(2) ez − 2μ(2) k

Tmt SV (R, ω, ϑiP ) · ez = (2)

jkS μ(2) MtS (ϑiP )uiP (ω) e

(9.2.81) (9.2.82)

(2) ˆ jkS k mt S ·R

ˆ m S sin ϑmt S − u ˆ mt SV cos ϑmt S ) (−k t

und stellen fest, dass auch (9.2.78)–(9.2.82) jeweils eine x- und eine z-Komponente besitzen, sodass (3.3.19) explizit lautet: (1)

(1)

(1)

kP μ(1) sin 2ϑiP − kP μ(1) RP (ϑiP ) sin 2ϑiP − kS μ(1) MrS (ϑiP ) cos 2ϑmr S = (2)

(2)

kP μ(2) TP (ϑiP ) sin 2ϑtP − kS μ(2) MtS (ϑiP ) cos 2ϑmt S , (1)

(9.2.83)

(1)

kP (λ(1) + 2μ(1) ) cos 2ϑmr S + kP (λ(1) + 2μ(1) )RP (ϑiP ) cos 2ϑmr S − (1)

(2)

(2)

−kS μ(1) MrS (ϑiP ) sin 2ϑmr S =

kP (λ(2) + 2μ(2) )TP (ϑiP ) cos 2ϑmt S + kS μ(2) MtS (ϑiP ) sin 2ϑmt S ;

(9.2.84)

wir haben die Umformungen λ(1) + 2μ(1) cos2 ϑiP = (λ(1) + 2μ(1) ) cos 2ϑmr S , λ(2) + 2μ(2) cos2 ϑtP = (λ(2) + 2μ(2) ) cos 2ϑmt S 21 Die

ˆ mr,tSV sind stets Einheitsvektoren im Sinne von u ˆ mr,tSV · u ˆ mr,tSV = 1. Polarisationsvektoren u

(9.2.85) (9.2.86)

9.2 Ebene Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume 293 benutzt. Schließlich ergibt sich das folgende Gleichungssystem K P (ϑiP ) f P (ϑiP ) = i P (ϑiP )

(9.2.87)

f¨ ur die vierkomponentige L¨osungs(spalten)matrix (den vierkomponentigen Spaltenvektor) ⎛

⎞

RP (ϑiP ) ⎜ M (ϑ ) ⎟ ⎜ rS iP ⎟ f P (ϑiP ) = ⎜ ⎟ ⎝ TP (ϑiP ) ⎠ MtS (ϑiP )

(9.2.88)

bei vorgegebener Inhomogenit¨atsmatrix (vorgegebenem Inhomogenit¨atsspaltenvektor) ⎛

⎞

sin ϑiP ⎜ cos ϑ ⎟ ⎜ iP ⎟ ⎟ i P (ϑiP ) = ⎜ ⎝ sin 2ϑiP ⎠ cos 2ϑmr S

(9.2.89)

und vorgegebener (4×4)-Koeffizientenmatrix ⎛

− sin ϑiP ⎜ cos ϑiP ⎜

⎜ K P (ϑiP ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

sin 2ϑiP − cos 2ϑmr S

− cos ϑmr S − sin ϑmr S

sin ϑtP cos ϑtP κ(1)

κ(1) cos 2ϑmr S 1 κ(1)

κ(2) Z (1) S (2) ZP

sin 2ϑmr S

mit den Abk¨ urzungen κ(j) = f¨ ur die Geschwindigkeitsverh¨altnisse und

(2)

ZS

(1)

ZP

− cos ϑmt S sin ϑmt S

sin 2ϑtP −κ

cos 2ϑmt S

(2)

(1) ZS

(1)

ZS

(2)

ZS

(1)

ZP

⎞

⎟ ⎟ ⎟ cos 2ϑmt S ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(9.2.90)

sin 2ϑmt S

(j)

cP

, j = 1, 2 ,

(j)

cS

(j)

(j)

ZP,S = ρ(j) cP,S , j = 1, 2 ,

(9.2.91)

(9.2.92)

f¨ ur die akustischen Impedanzen. Obwohl sich die Matrix (9.2.90) nat¨ urlich analytisch invertieren l¨asst, sind die resultierenden Ausdr¨ ucke derartig un¨ ubersichtlich — auch wenn man die von Schmerr (1998) zitierte EwingMethode anwendet —, dass diese Vorgehensweise wenig Sinn macht. Am zweckm¨aßigsten gewinnt man Zahlenwerte f¨ ur f P (ϑiP ) durch numerische L¨osung des Gleichungssystems (9.2.87). Wenn man aber auf Schmerr (1998) zur¨ uckgreift, ist zu beachten, dass die dortigen Faktoren den Potentialen als Amplituden zugeordnet sind. Von Ben-Menahem und Singh (1981), Achenbach (1973) und Auld (1973) wird die Matrix (9.2.90) jedoch ebenfalls f¨ ur die Amplituden der Teilchenverschiebung angegeben, wobei allerdings bez¨ uglich der Vorzeichen stets auf die Polarisationsrichtung der SV-Wellen geachtet werden muss. F¨ ur senkrechten Einfall — ϑiP = 0 — erh¨alt man jedoch einen einfachen Spezialfall: Das (4×4)Gleichungssystem (9.2.87) zerf¨allt in zwei (2×2)-Gleichungssysteme, von denen dasjenige f¨ ur ur die P-Reflexions- und TransMrS (0) und MtS (0) nur die triviale L¨osung hat, w¨ahrend sich f¨ missionsfaktoren ergibt: RP (0) =

(2)

(1)

(2)

(1)

,

(9.2.93)

(1)

.

(9.2.94)

ZP − ZP ZP + ZP (1)

TP (0) =

2ZP

(2)

ZP + ZP

294

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

Die Schalldruckgleichungen f¨ ur beliebigen Einfallswinkel (1) ˆ

(1)

kiP ·R

piP (R, ω, ϑiP ) = −jωZP uiP (ω) e jkP prP (R, ω, ϑiP ) = pmr SV (R, ω, ϑiP ) = ptP (R, ω, ϑiP ) = pmt SV (R, ω, ϑiP ) =

(1) −jωZP (1) −jωZS (2) −jωZP (2) −jωZS

,

RP (ϑiP ) uiP (ω) e

(2) ˆ jkP k tP ·R

MtS (ϑiP ) uiP (ω) e

,

(1) ˆ jkS k mr S ·R

MrS (ϑiP ) uiP (ω) e TP (ϑiP ) uiP (ω) e

(9.2.95)

(1) ˆ jkP k rP ·R

(9.2.96) ,

,

(2) ˆ jkS k tS ·R

(9.2.97) (9.2.98) (9.2.99)

reduzieren sich deshalb f¨ ur senkrechten Einfall auf: (1)

(1)

piP (R, ω, 0) = −jωZP uiP (ω) e−jkP

cos ϑiP z

(1)

prP (R, ω, 0) = −jωZP RP (0) uiP (ω) e ptP (R, ω, 0) =

(1) −jωZP

(1) jkP

TptP (0) uiP (ω) e

wobei TptP (0) gem¨aß

,

(9.2.100)

cos ϑiP z

(2) −jkP

,

cos ϑtP z

(9.2.101) ,

(9.2.102)

(2)

TptP (0) =

2ZP

(2)

(9.2.103)

(1)

ZP + ZP

strukturell mit (9.2.42) u ¨bereinstimmt. Die Polarisationsrichtungen von einfallender, reflektierter und transmittierter P-Welle sind dabei offensichtlich so gew¨ahlt, dass das resultierende Vorzeichen des Reflexionsfaktors der vektoriellen Teilchenverschiebung auch die Stetigkeit des Schalldrucks f¨ ur ϑiP = 0 gem¨aß (9.2.100)–(9.2.102) nach sich zieht. Wellenfronten f¨ ur den P-Wellen-Einfall Abbildung 9.2.10 zeigt Wellenfronten einfallender, reflektierter und transmittierter P-Wellen sowie Wellenfronten modekonvertiert-reflektierter und modekonvertiert-transmittierter SV-Wellen f¨ ur den Fall der Existenz zweier kritischer Winkel (Abbildung 9.2.8Pa+ ); die Darstellung ist logarithmisch, wodurch die Nebenkeulen“ des RC2(t)-Impulses relativ zur Hauptkeule“ angehoben ” ” werden. Einfallende SV-Welle: Gleichungssystem f¨ ur Reflexions-, Transmissions- und Modekonversionsfaktoren Wir setzen die folgenden ebenen Wellen (1) ˆ

ˆ iS ) = uiS (ω) e jkS uiSV (R, ω, k

kiS ·R

ˆ iS × ey , k

ˆ rS ) = RSV (ϑiS ) uiS (ω) e urSV (R, ω, k ˆ m P ) = MrP (ϑiS ) uiS (ω) e umr P (R, ω, k r

(1) ˆ jkS k rS ·R

(9.2.104)

ˆ rS × ey , k

(1) ˆ jkS k mr P ·R

(9.2.105)

ˆm P k r

(9.2.106)

ˆ tS × ey , k

(9.2.107)

f¨ ur z ≥ 0 und (2) ˆ

ˆ tS ) = TSV (ϑiS ) uiS (ω) e jkS utSV (R, ω, k ˆ m P ) = MtP (ϑiS ) uiS (ω) e umt P (R, ω, k t

ktS ·R

(2) ˆ jkS k mt P ·R

ˆm P k t

(9.2.108)

f¨ ur z ≤ 0 an; die zugeh¨origen Phasenausbreitungsvektoren lauten ˆ iS = − sin ϑiS ex − cos ϑiS ez , k ˆ rS = − sin ϑrS ex + cos ϑrS ez , k

(9.2.109) (9.2.110)

9.2 Ebene Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume 295

|RP (ϑiP )|

.... ....... ........ .. .... ... .... .. .. ....... .. .. ..... ... .. .. .. .. ... .. .. ... ... .. .. ..... .. .... ... . . . . . . .. .. ..... ... .... ................... . .. .... ..... ... ... .... ............ ......... ... ...... ... ... ... .... .. .... ........ .......... . . . . .... . . . .......... ...... .... ... .. .... .... .. ... ................ .... .... .... ... ... ... .... ... .. ... ... ... ... ..... ... .... ... ... .... . . ... ... .... .. . .... ... ... .. . ....... ... .... .. .. ... .... ... .. . .. .... .... .. .. ... ... . . . . . . ... ... .. ... . .. . .. .. .. ... .. .... ... .. . .. .. .. .. .. .... ...... ... ... . .. ... .... .. ... . ... .. . . .... .. .. .. .. .. . . ... . .. .. ... .. .... . .. . ... ... ... .... ... ... .. ... .... ... .. .. .. .. ... ... .. ... ... . . .. . .... . . . .. ... ... .... ... ... ... .... ... .... .. ... ...... . .... ... . .... .... ... . . ... .. . .. .... ... .. .. .. .... .. ... .. . .... .. .. .. .. .... ... .. ... .. ............................................................................................................................................................................................... ... .. .. .. .......

|MrS (ϑiP )|

1

0

ϑctP

ϑcmt S

π/2

1

ϑiP

|TP (ϑiP )|

. ....... ........... ... .... .. .. ... .. ....... . ... ....... .... .... .... ... . .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... ... ... .... ... .... ... .... .. ... ... ..... .... ... .... ... .... ... .. ... ..... ... ... .. ... . .... ... . ..... .. ..... .... ... ... .... ... .... ... ..... .... ... .... ... .. .. .... .... ... ... ... .... ... . . ... . ... . . ... . .. . . . .... . . .... ... ... . ..... ... . ......................................................... ... . ..... . .. .... . . .... . ..... .. ...... . . . . . ..... ......... . . . . . . . . ... . .. . .................................................................................................................................................................................................................. . .....

ϑctP

ϑcmt S

π/2

0

ϑctP

ϑcmt S

π/2

ϑiP

|MtS (ϑiP )|

. ....... ........... ... .... .. ..... ... . ....... . .... .. ... ... ... ... ... ... ...... ..... ... ... ... ... ... ... ... ... .... . ... .. .. .. .... ... ... ... ... ... .. ... ... .... . ... .. ... ... .... ... ... ... ... . ... ....... .... .... . ... . . . . ....... .... ... ... .... .... .. ... ... ... . . . ... ... .... ... .. .. .. .... .. ... .. . . . . . .. .. .. .. ... . . .. . . . . . . ... .. .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. . . . ... . ... .. .. . .. .. . .. . ... ... .... . .. .. .. .. ... . .. . . ... .. ... .. ... . .. .. ... .. .. . ... . .. .. .. . ... . ... . . . . . .. . . . ....................................................... .. ... ... ... . . ... . .. ... ...... .... ... . ... .... ................................................ ..... .............................................................................................................................................................................................................. . .....

2

2

0

.... ....... ........ .. .... ... ..... ....................... ... .... ....... ....... .... .... .... .. ........ .... ... ... ... ... .. .. . .. ... ... .. . . . . . .... .. .... ... .. ... .... . .... .... ... .. ... . ... .... ... .. ... . . ....... ... ..... . ... ... .. ..... ....... ... ...... ... .. ... ... .... ... .. ... ... ..... ... .. ... .. ... ... ... . . ... ... ... ...... . . . ... ..... .... ... . ........ .... . ... ... ... ... ... . ... ....... ... ... . ... . ... .... .. ... . . . . . . . . ... ... ... .... ...... ........ ... ... .. . .. . ...... ... ...... ... ... . ... ... ....... ...... .... ... .. .. ....... ...... ... ... . ... ...... . . . . ....... ... . ... . .... . . . ... .. ....... ... ... . . . . . . ... .. ....... ..... ... . . . ... .. ....... ... ...... . . . ... ... ... ....... ...... . . ... ... . ... .... ..... ... .. ... ..... . . . ..... ..... ... ..... . . .. . .... . .. ... ...... .... ...... .... ...... .... ... ... ...... .... ... . ... ..... ... .... .... ...... ... ..... .... .... .. ... ... ...... . ................................................................................................................................................................................................... ... .. .. .. .......

ϑiP

0

ϑctP

ϑcmt S

π/2

ϑiP

Abb. 9.2.9: Betr¨ age der Reflexions-, Transmissions- und Modekonversionsfaktoren f¨ ur P-Wellen-Einfall als Funktion des Einfallswinkels: Stahl(1)-Plexiglas(2): - - -; Plexiglas(1)-Stahl(2): — (Stahl: cP = 5900 m/s, cS = 3200 m/s, ρ = 7.7 · 103 kg/m3 ; Plexiglas: cP = 2730 m/s, cS = 1430 m/s, ρ = 1.18 · 103 kg/m3 )

296

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

a) ϑiP = 20◦ , t = 0

b) ϑiP = 25◦ , t = 0

...............................................................................................................

...............................................................................................................

c) ϑiP = 30◦ , t = 0

d) ϑiP = 40◦ , t = 0

...............................................................................................................

...............................................................................................................

e) ϑiP = 55◦ , t = 0

f) ϑiP = 65◦ , t = 0

...............................................................................................................

...............................................................................................................

Abb. 9.2.10: Wellenfronten f¨ ur den P-Wellen-Einfall: Plexiglas(1)-Stahl(2) (Betrag des vektoriellen Teilchenverschiebungsvektors in logarithmischer Darstellung)

9.2 Ebene Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume 297 ˆ m P = − sin ϑmr P ex + cos ϑmr P ez , k r ˆ tS = − sin ϑtS ex − cos ϑtS ez , k ˆ m P = − sin ϑmt P ex − cos ϑmt P ez . k t

(9.2.111) (9.2.112) (9.2.113)

ussen eventuell komplex mit π/2-Realteil, ihre Cosinusse Die Winkel ϑmr P , ϑtS und ϑmt P m¨ deshalb eventuell rein imagin¨ar angesetzt werden; damit stets querged¨ampfte Wellen resultieren, m¨ ussen die Cosinus-Imagin¨arteile positiv sein. Die Forderung nach Phasenanpassung f¨ uhrt auf (1)

(1)

(1)

(2)

(2)

kS sin ϑiS = kS sin ϑrS = kP sin ϑmr P = kS sin ϑtS = kP sin ϑmt P , woraus sich das Reflexionsgesetz

ϑrS = ϑiS ,

(9.2.114) (9.2.115)

das Modekonversionsgesetz in Reflexion (1)

sin ϑmr P =

kS

(1)

kP

sin ϑiS ,

(9.2.116)

sin ϑiS

(9.2.117)

< O: U

>1

das Transmissionsgesetz

(1)

kS

sin ϑtS =

k

(2)

S U < O:

>< 1 sowie das Modekonversionsgesetz in Transmission (1)

sin ϑmt P =

kS

(2)

kP

sin ϑiS

(9.2.118)

< O: U

>< 1 ergibt. Die geometrische Konstruktion der Winkel ϑrS , ϑmr P , ϑtS , ϑmt P ist in Abb. 9.2.7 SVa explizit ausgef¨ uhrt und in den weiteren SV-Teilbildern der Abbildungen 9.2.7 und 9.2.8 offensichtlich. Die Gleichungen (9.2.116), (9.2.117) und (9.2.118) lassen erkennen, dass es, wie bereits erw¨ahnt, einen kritischen Winkel geben muss und maximal drei kritische Winkel geben kann. In letzterem Fall erf¨ahrt sodann die einfallende SV-Welle Totalreflexion. Die Partialwellen (9.2.104)–(9.2.108) definieren Reflexions- und Transmissionsfaktoren RSV (ϑiS ), TSV (ϑiS ) und Modekonversionsfaktoren MrP (ϑiS ), MtP (ϑiS ) in Reflexion und Transmission. Zu deren Bestimmung ben¨otigen wir wieder vier Gleichungen, es fehlen uns also noch die mit (9.2.104)–(9.2.108) verkn¨ upften Spannungstensorprojektionen auf die Fl¨achennormale n = ez : TiSV (R, ω, ϑiS ) · ez = (1)

(1) ˆ

−jkS μ(1) uiS (ω) e jkS

kiS ·R

ˆ iS sin ϑiS + u ˆ iSV cos ϑiS ) , (k

(9.2.119)

TrSV (R, ω, ϑiS ) · ez = (1) ˆ

(1)

jkS μ(1) RSV (ϑiS )uiS (ω) e jkS

ˆ rS sin ϑiS + u ˆ rSV cos ϑiS ) , (−k

(9.2.120)

ˆ m P cos ϑmr P ) , (λ(1) ez + 2μ(1) k r

(9.2.121)

krS ·R

Tmr P (R, ω, ϑiS ) · ez = (1)

(1) ˆ

jkP MrP (ϑiS )uiS (ω) e jkP

kmr P ·R

298

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen TtSV (R, ω, ϑiS ) · ez = (2) ˆ

(2)

ˆ tS sin ϑtS − u ˆ tSV cos ϑtS ) , (−k

(9.2.122)

ˆ m P cos ϑmt P ) . (λ(2) ez − 2μ(2) k t

(9.2.123)

ktS ·R

jkS μ(2) TSV (ϑiS )uiS (ω) e jkS Tmt P (R, ω, ϑiS ) · ez = (2) ˆ

(2)

jkP MtP (ϑiS )uiS (ω) e jkP

km

tP

·R

¨ Mit den Ubergangsbedingungen (3.3.20) und (3.3.19) ergibt sich schließlich das Gleichungssystem K SV (ϑiS ) f SV (ϑiS ) = i SV (ϑiS ) (9.2.124) f¨ ur die vierkomponentige L¨osungs(spalten)matrix ⎛

⎞

RSV (ϑiS ) ⎜ M (ϑ ) ⎟ ⎜ rP iS ⎟ f SV (ϑiS ) = ⎜ ⎟ ⎝ TSV (ϑiS ) ⎠ MtP (ϑiS ) bei vorgegebener Inhomogenit¨atsmatrix

⎛

(9.2.125)

⎞

cos ϑiS ⎜ sin ϑ ⎟ ⎜ iS ⎟ ⎟ i SV (ϑiS ) = ⎜ ⎝ cos 2ϑiS ⎠ sin 2ϑiS

(9.2.126)

und vorgegebener (4×4)-Koeffizientenmatrix ⎛

cos ϑiS ⎜ − sin ϑiS ⎜

sin ϑmr P cos ϑmr P

cos ϑtS sin ϑtS

− sin ϑmt P cos ϑmt P

⎞

⎟ ⎟ (2) (2) ⎟ ⎜ ZS ZS 1 1 ⎜ K SV (ϑiS ) = ⎜ − cos 2ϑiS − κ(1) sin 2ϑmr P (1) cos 2ϑtS − κ(2) (1) sin 2ϑmt P ⎟ ⎟ ZS ZS ⎟ ⎜ (2) (2) ⎠ ⎝ Z Z (1) P S

sin 2ϑiS

−κ

cos 2ϑiS

(1)

ZS

sin 2ϑtS

(1)

ZS

.

(9.2.127)

cos 2ϑtS

Wie zuvor gilt: Das Gleichungssystem (9.2.124) l¨ost man am besten numerisch! Falls jedoch der Einfallswinkel gleich null ist, erh¨alt man sofort MrP (0) = MtP (0) = 0 und RSV (0) =

(2)

(1)

(2)

(1)

,

(9.2.128)

(1)

.

(9.2.129)

Z S − ZS ZS + ZS (1)

TSV (0) =

2ZS

(2)

ZS + Z S

F¨ ur senkrechten Einfall ist nat¨ urlich die SV-Polarisation nicht von der SH-Polarisation zu unterscheiden; das dennoch unterschiedliche Vorzeichen von RSV (0) und RSH (0) (Gleichung (9.2.34)) erkl¨art sich aus dem unterschiedlichen Richtungsansatz der einfallenden und reflektierten Polarisationen in den beiden F¨allen. Dies ist auch der Grund, warum der Schalldruck hier, im (2) Gegensatz zum SH-Fall, f¨ ur ϑiS = 0 stetig ist. Im Grenzfall ρ(2) −→ 0, also ZS −→ 0, korrespondiert diese Bemerkung nat¨ urlich derjenigen, die wir im Zusammenhang mit der SH- und SV-Reflexion an der Grenzfl¨ache zum Vakuum machten. Nat¨ urlich l¨asst sich auch der Inhalt der Abb. 9.2.11 anhand von Wellenfronten sichtbar machen; besonders intuitiv wird dies, wenn man eine Animation in Abh¨angigkeit vom Einfallswinkel erzeugt.

9.2 Ebene Trennfl¨ache zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbr¨aume 299

|RSV (ϑiS )|

. ......... ....... ... ..... ... . .... .. . ...... .................................................................................................................................. ... ... ... ... ..... ... .. ...... ... .. ... ..... .. .. ... ....... .... . . . .. ... .. ........... .. ...... ... . . .. ..... ..... ....... ... . .... .... .... .... .... ... ... ... ...... ... .... ..... .. ........ ..... ... .. . .... .... . . .... .... ...... ... .. ..... ...... ... .. ... ... ...... ... .. ..... .... .......... .. ... . . .... . . ..... .. ..... . ... .... ... ...... ... .... .. ... ... ... ....... .. ......... .... ... ...... . ......... ... ........ ... ..... .. .... . ...... ...... ... ...... ... .... .... ..... ... ...... . .. .... .... ... . .. .. .. ... ..... ... ... . . .... . ...... ... ... .... ....... .... ... .... .... .... ... .... .. .. . .. .. .. ... .. ... . .... ... .. .. ... .. . .... .... ... .. .... ... .. . ....... .. ... ........ .. .... ....... .. .... ...... .. ...... . .... ...... .. .... ... .. . .... ... .. .... ..... .. ................................................................................................................................................................................................. . .. . . ....

|MrP (ϑiS )| 2

1

0

π/2

ϑiS

|TSV (ϑiS )|

... ....... ........ ... .... ... . .... .. .. ....... . ..... ... .. .... ... ..... ... . ... ..... ... ...... ... ...... ... .. .. . . ... .. .. ... . . .. .. ... .. . ... ....... ... . .. ....... .... .... .... .... .... ........... ... ..... ...... .. .... . .... ...... ... ... ...... .. .... ........ .. .. ... .. .... ... ... .. .... ... ... . ... ... ... ... ... .... ......... ... .. . .. . ... ... ... ..... ... ... ... .... ... ... .... .... .... .... .... .. .. . ..... .... ... ... .... .. .... .... .... .... .... ... ... ... .... ... .... .... .... ... .. ... ... ... .. ... .... ... ... .. ... .... ... ... . . . . . .... . ..... . ... ... ........ ................................ ....................... ..... .................................................................................................................................................................................................................................................................... ... .. .. .... .. .......

π/2

0

π/2

ϑiS

|MtP (ϑiS )|

... ....... ........ ... ... ... . .... .... . ....... . ..... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... ... ... ... ... .... .... .... ... .... ... ... .... ... .. . .... ... .... . . ... ... ... ... ... .. ... . ... . ... . . . ... ... ....... .. . ... ... ....... .. . ... . .... .. .... ... ....... ... .. . . . . ... .. .......... . .... .. ... .. ............... . . ... ... .... ...... . ... . .... ... .... . ... . . .. ........ ... ... . . ... . .......... ... ... ... . . ... . ..... ... ... .... ...... . . . . . . .. . . .. ... .... .... ..... ....................... .... ............. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................... .. .... .. .. ... .......

2

3

0

. ......... ....... ... .... ... . .... .. . ...... ... .. .... ... ...... ... ...... ... ....... . ... ... ....... ... ......... ... ........ ... ........... . ... ........ .......... ... ........ ... .... ...... ... ...... ...... . .. . .. ... ..... .. .. ... ...... .. .... ... .... .. ... ... ..... ... .... . . ... ... ... ... ... .. .... . .. ... . ... .. .. ..... .... . .... ... ... .. ............ .. . ... .. ..... .. ... ... ... ....... ... ... ... . ... .. ...... ... .... ... ... ...... ........ . .... .... ...... ... . . .... . .. ...... .... ... ....... . . ... .... .... ... . .... .... . . . ..... ... .... ... ... . . . . . ..... ... .... ........... .... .... ... ...... . . . .... ..... . .... ... .... .... ............. . . . . .... . . ..... .... .. .. ........ .. . .... . . . . . .. ..... .... .. ... ..... ... .... . ... ... .... ... ... ..... ... . . .... . ... . . ... .... .. ..... .... . .. .... . ... .. ...... ......... .. .. ............................................................................................................................................................................................................ . . .. . . .......

ϑiS

0

π/2

ϑiS

Abb. 9.2.11: Betr¨ age der Reflexions-, Transmissions- und Modekonversionsfaktoren f¨ ur SV-Wellen-Einfall als Funktion des Einfallswinkels: Stahl(1)-Plexiglas(2): - - -; Plexiglas(1)-Stahl(2): — (Stahl: cP = 5900 m/s, cS = 3200 m/s, ρ = 3 3 3 3 7.7 · 10 kg/m ; Plexiglas: cP = 2730 m/s, cS = 1430 m/s, ρ = 1.18 · 10 kg/m ); die Markierungen an den Abszissen ur — , ϑcmr P f¨ ur - - kennzeichnen die kritischen Winkel in der Reihenfolge: ϑcmt P , ϑctS , ϑcmr P f¨

300

9.3

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

Ebene Trenn߬ache eines homogen-isotropen nichtdissipativen und eines homogen-transversal-isotropen nichtdissipativen Halbraums

Wir werden diesen ausgew¨ahlten Spezialfall der ebenen Trennfl¨ache zweier homogen-anisotroper nichtdissipativer Halbr¨aume nicht ann¨ahernd so detailliert wie die Fresnel’sche Reflexion“ an ” der Trennfl¨ache isotroper Halbr¨aume untersuchen; der Grund ist vor allem die Komplexit¨at mit der Konsequenz im Allgemeinen nicht verf¨ ugbarer analytischer Ausdr¨ ucke. Stattdessen werden wir einige Besonderheiten betonen, die im isotropen Fall nicht auftreten. • Inhomogene ebene Wellen, bei denen Real- und Imagin¨arteil des Phasenausbreitungsvektors trotz nicht vorhandener Dissipation nicht senkrecht aufeinanderstehen: Dies ist eine Verallgemeinerung (Aufhebung der isotropen Entartung) der evaneszenten (bez¨ uglich der Phasenausbreitung quer ged¨ampften) inhomogenen ebenen Wellen, wie sie an der Grenzfl¨ache eines isotropen nichtdissipativen und an der Trennfl¨ache zweier isotroper nichtdissipativer Halbr¨aume auftreten. Quer d¨ampfung muss n¨amlich grunds¨atzlich bez¨ uglich der Richtung der Energieausbreitung verstanden werden (Langenberg und Marklein, 2005), und nur wenn Phasen- und Energieausbreitung die gleiche Richtung haben, bedeutet Querd¨ampfung auch Quer d¨ampfung bez¨ uglich der Phasenfl¨achen. • Gleichzeitige Anregung zweier ebener qSV-Wellen mit unterschiedlichen Phasen- und Energiegeschwindigkeiten: Dazu werden wir ein konkretes Beispiel der US-Pr¨ ufung austenitischer Schweißn¨ahte diskutieren (Langenberg und Marklein, 2005).

9.3.1

Inhomogene ebene elastische Wellen in isotropen Materialien

Als Einstieg wollen wir noch einmal (man vergleiche Abschnitt 8.2) explizit nachweisen, dass es in isotropen nichtdissipativen Materialien ausschließlich inhomogene ebene Wellen geben kann, die bez¨ uglich der Phasenausbreitung (und der Energieausbreitung) quer ged¨ampft sind. Die physikalisch-anschauliche und mathematisch-geometrische Methode zum Verst¨andnis der Fresnel’schen Reflexion“ ebener Wellen sind Slowness-Diagramme; deshalb schreiben wir den ” Wellentensor (8.2.2) isotroper Materialien f¨ ur Slowness-Vektoren s anstelle von Phasenvektoren k wie in Abschnitt 8.2: W(s) = μ s · s I + (λ + μ) s s − ρ I ; (9.3.1) mit s = s ˆs — s ist im isotropen Material per definitionem unabh¨angig von ˆs — und reˆ erhalten wir mit (9.3.1) die (8.1.61) entsprechende Eigenwertell wertigem Einheitsvektor ˆs = k gleichung L ρ ˆ (s) = 0 μ I + (λ + μ) ˆs ˆs − 2 I · u (9.3.2) s f¨ ur den reellen Eigenwert ρ/s2 . Determinantenbildung gem¨aß %

det W(ˆs, s2 ) = μ − liefert zum einen und zum anderen

ρ s2

S2 L

μ−

(9.3.3)

ρ μ

(9.3.4)

ρ , λ + 2μ

(9.3.5)

s · s = s2S = s · s = s2P =

-

ρ + (λ + μ) ˆs · ˆs s2

9.3 Ebene Trenn߬ache eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums

301

sodass f¨ ur die reellen Komponenten sx , sz von entweder oder

s = sx e x + sz e z

(9.3.6)

s2Px + s2Pz = s2P

(9.3.7)

s2Sx + s2Sz = s2S

(9.3.8)

folgt. F¨ ur beispielsweise per Phasenanpassung vorgegebene sP,Sx -Komponenten ergeben sich deshalb die zugeh¨origen sP,Sz -Komponenten als L¨osungen '

sP,Sz = ± s2P,S − s2P,Sx

(9.3.9)

der quadratischen Gleichungen (9.3.7), (9.3.8). Man beachte: F¨ ur sP,Sx < sP,S ergeben sich zwei reelle L¨osungen sP,Sz , die jeweils homogene ebene Wellen beschreiben; die Auswahl einer der beiden Nullstellen ist an die physikalische Forderung gekn¨ upft, dass sich die zugeh¨orige homogene ebene Welle sinnvoll“ ausbreitet, also beispielsweise f¨ ur reflektierte/transmittierte ” Wellen weg von der Grenz- respektive Trennfl¨ache. Wie wir in Abschnitt 9.1.2 bei der Modekonversion SV =⇒ P zum ersten Mal feststellten, kann die vorgegebene x-Komponente des Slowness-Vektors aber zu groß sein, um eine reelle z-Komponente zu ergeben; Ergebnis sind rein imagin¨are sP,Sz -Komponenten '

sP,Sz = ±j s2P,Sx − s2P,S ,

(9.3.10)

die inhomogene quer ged¨ampfte ebene Wellen beschreiben. Die Vorzeichenauswahl erfolgt wieder mit physikalischen Argumenten, hier: Die inhomogene ebene Welle muss im betrachteten z-Halbraum exponentiell abklingen (Abschnitt 9.1.2). Es folgt: Eine L¨osung des Eigenwertproblems ebener elastischer Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien ist sowohl f¨ ur reellen Slowness-Vektor (9.3.6) als auch f¨ ur komplexen Slowness-Vektor s = 6s + j2s

(9.3.11)

mit 6s = sP,Sx ex , 2s = ±

'

s2P,Sx

−

(9.3.12) s2P,S

ez

(9.3.13)

m¨oglich, die L¨osungen sP,Sz der quadratischen Gleichungen (mit reellen Koeffizienten) (9.3.7), (9.3.8) sind entweder reell oder konjugiert komplex rein imagin¨ar; der Realteilvektor (9.3.12) und der Imagin¨arteilvektor (9.3.13) des Slowness-Vektors stehen senkrecht aufeinander. Wir stellen uns die Frage, ob es auch komplexe L¨osungen der Eigenwertgleichungen (9.3.4), (9.3.5) geben k¨onnte, f¨ ur die 6s und 2s nicht senkrecht aufeinanderstehen. In diesem Fall w¨are sz = sRz + jsIz mit Realteil und, als L¨osung einer quadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten, mit konjugiert komplexen Imagin¨arteilen anzusetzen; als Konsequenz erg¨abe sich die Darstellung 6s = sx ex + sRz ez und 2s = sIz ez des Slowness-Vektors mit nicht senkrecht aufeinanderstehenden Real- und Imagin¨arteilvektoren, d.h. die resultierende inhomogene ebene Welle w¨are bez¨ uglich H nicht quer ged¨ der Phasenausbreitungsrichtung 6s ampft. Wir werden sogleich sehen — und haben dies in Abschnitt 8.2 bereits gezeigt —, dass dies in isotropen nichtdissipativen Materialien nicht m¨oglich ist. Wir berechnen die Determinante von (9.3.1) gem¨aß det W(s) = (μ s · s − ρ)2 [(λ + 2μ) s · s − ρ]

(9.3.14)

302

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

mit postulieren zur Erf¨ ullung der Gleichung det W(s) = 0

(9.3.15)

komplexe Slowness-Vektoren gem¨aß (9.3.11); da beide Faktoren in (9.3.14) strukturell gleich sind, beschr¨anken wir uns auf den ersten: also

μ(6s + j2s) · (6s + j2s) − ρ = 0 ,

(9.3.16)

6s · 6s − 2s · 2s + 2j6s · 2s = s2S .

(9.3.17)

Da das Material voraussetzungsgem¨aß nichtdissipativ ist, ist sS reell, sodass die Aufspaltung von (9.3.16) nach Real- und Imagin¨arteil 6s · 6s − 2s · 2s = s2S , 6s · 2s = 0

(9.3.18) (9.3.19)

ergibt: 2s (6s) muss in isotropen nichtdissipativen Materialien senkrecht auf 6s (2s) stehen (Abbildung 8.2.1), inhomogene ebene Wellen m¨ ussen in diesen Materialien bez¨ uglich der Phasenausbreitungsrichtung und damit auch bez¨ uglich der mit ihr zusammenfallenden Energieausbreitungsrichtung quer ged¨ampft sein, und genau das liegt mit den Gleichungen (9.3.12), (9.3.13) auch vor: Wenn 6s = sx ex vorgegeben wird, darf 2s nur eine z-Komponente haben.

9.3.2

Inhomogene ebene SH-Wellen in transversal-isotropen Materialien

Wir werden am vergleichsweise einfachen Beispiel ebener SH-Wellen zeigen, dass die Forderung (9.3.19) auf die Entartung isotroper nichtdissipativer Materialien hinsichtlich der gleichen Richtung von Phasen- und Energiegeschwindigkeit zur¨ uckzuf¨ uhren ist; im anisotropen nichtdissipativen Material sind inhomogene ebene Wellen zwar ebenfalls quer ged¨ampft, die Querd¨ampˇ fung bezieht sich aber auf die Richtung der Energiegeschwindigkeit (Cerven´ y, 2001), sodass der Phasenausbreitungsvektor 6s keineswegs senkrecht auf dem D¨ampfungsvektor 2s stehen muss. F¨ ur SH-Wellen in transversal-isotropen nichtdissipativen Materialien stehen einfache analytische ugung, sodass die vorstehende Behauptung unAusdr¨ ucke f¨ ur det Wtriso (s) und cESH (ˆs) zur Verf¨ mittelbar verifiziert und veranschaulicht werden kann; ein allgemeiner koordinatenfreier Beweis f¨ ur beliebige Wellenmoden und beliebig anisotrope Materialien findet sich bei Langenberg und Marklein (2005). Auf der Grundlage von ˆ s) ˆa ˆ + β4 (s a ˆ+a Wtriso (s) = β1 I + β2 s s + β3 a

(9.3.20)

mit — die α’s sind durch (8.3.86)–(8.3.88) definiert — β1 β2 β3 β4

= = = =

ˆ )2 − ρ , μ⊥ s · s + α3 (s · a λ⊥ + μ⊥ , ˆ ) 2 + α3 s · s , α1 (s · a ˆ (α2 + α3 ) s · a

berechnen wir in Analogie zu (8.3.54) 0

ˆa ˆ) + (β2 β3 − β42 )(I − a ˆ) : s s det Wtriso (s) = β1 β12 + β1 (β3 + β2 s · s + 2β4 s · a

(9.3.21) (9.3.22) (9.3.23) (9.3.24) X

.

(9.3.25)

ur den Wie gesagt, wir beschr¨anken uns auf den SH-Fall und untersuchen die Gleichung β1 = 0 f¨ Ansatz (9.3.26) s = 6s + j2s

9.3 Ebene Trennfl¨ache eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums gem¨aß

0

303

X

ˆ)2 − (2s · a ˆ)2 + 2j(6s · a ˆ)(2s · a ˆ) −ρ = 0 (9.3.27) μ⊥ (6s·6s−2s·2s+2j 6s·2s)+α3 (6s · a nach deren Aufspaltung in Real- und Imagin¨arteil: 0

X

ˆ)2 − (2s · a ˆ )2 − ρ = 0 , μ⊥ (6s · 6s − 2s · 2s) + (μ9 − μ⊥ ) (6s · a

(9.3.28)

ˆ)(2s · a ˆ) = 0 . μ⊥ 6s · 2s + (μ9 − μ⊥ ) (6s · a

(9.3.29)

Zun¨achst: Der Isotropiefall μ9 = μ⊥ f¨ uhrt uns wieder auf (9.3.18) und (9.3.19); dasselbe gilt f¨ ur ˆ = 0. die Phasenausbreitung in der Isotropieebene gem¨aß 6s · a Die — im Augenblick noch fiktive — Grenz- bzw. Trennfl¨ache zweier elastischer Halbr¨aume identifizieren wir wie gew¨ohnlich mit der xy-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems. Als ez s-Einfallsebene bietet sich sodann die xz-Ebene an; wir beschr¨anken uns im Folgenden auf ˆ-Richtungen, die in der Einfallsebene liegen. Generell erg¨abe sich bei dieser Definition der xza Ebene die Komponentendarstellung s = (sRx + jsIx )ex + (sRz + jsIz )ez des komplexen SlownessVektors entsprechend der Real- und Imagin¨arteilaufspaltung 6s = sRx ex + sRz ez , 2s = sIx ex + ¨ die Phasenanpassung in der xy-Ebene wird aber die x-Komponente des SlownesssIz ez . Uber Vektors reell vorgegeben, sodass die Komponentenzerlegung des Slowness-Vektors nur s = sx e x + sz e z = sRx ex + (sRz + jsIz )ez = (sRx ex + sRz ez ) +j sIz ez
= 0 ein:

0

X

ˆa ˆa ˆ) + μ9 a ˆ · ez = 0 . 6s · μ⊥ (I − a

(9.3.33)

ˆ = ex folgt 6s · ez = 0, d.h. f¨ Zun¨achst: F¨ ur a ur eine derartige Orientierung der Vorzugsrichtung erhalten wir, wie im isotropen Fall, bez¨ uglich der Phasenausbreitung quer ged¨ampfte inhomogene SH-Wellen. Abbildung 9.3.1 setzt Gleichung (9.3.33) nunmehr anschaulich um: Bez¨ uglich der ˆ bilden wir den Projektionsvorgegebenen, in der Einfalls-xz-Ebene liegenden Vorzugsrichtung a ˆ und den Projektionsvektor μ⊥ (I − a ˆa ˆa ˆ · ez von ez in Richtung von a ˆ) · ez senkrecht vektor μ9 a ˆ; gem¨aß (9.3.33) steht 6s senkrecht auf der Summe dieser beiden Projektionsvektoren, zu a wobei die (reelle) vektorielle sRx ex -Komponente von 6s definitionsgem¨aß vorgegeben ist: Der Imagin¨arteil (9.3.29) der SH-Eigenwertgleichung f¨ ur ein bestimmtes transversal-isotropes Mateˆ >= ex (Slowness-)Phasenvektoren 6s, die bez¨ uglich des D¨ampfungsvektors eine rial erlaubt f¨ ur a beliebige, aber materialspezifisch feste Orientierung haben. Dies entspricht bei vorgegebenem reellem sx offenbar den m¨oglichen komplexen L¨osungen sz der quadratischen Eigenwertgleichung μ⊥ (s2x + s2z ) + (μ9 − μ⊥ )(sx a ˆ x + sz a ˆ z )2 − ρ = 0

(9.3.34)

mit, wegen der reellen Koeffizienten, konjugiert komplexen Imagin¨arteilen entsprechend (9.3.30). Die ausschließliche Quer d¨ampfung inhomogener ebener Wellen im bisherigen Sinne, n¨amlich

304

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen z

. .... ... ....... ....... ... ... ..... .. ... ... ... ... .... ... ............. .... . . .. .... . . . . . .... . ... .. ... . . . . . . . . . ... ... .. .. .. .. ... .... .... . . . .... .. .... .. .... .... .... ... .... . ... .... ... .. ..... ... . . . .... .... . . .... .. . ... . . . .... . .... .. . ....... .... ... . .... ..... . .... ... ... . .... .... .... .... ... .... .... . ... . .... . . . .. .... . .... ..... ... .... .. .. . .... .... .... ... ... ..... .. ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..... .... . .... .. .... .. .... .... .. ... . .... .... .... ... .... .... .... ... .... .... .. .... .... .. ... .... .... .. . .... .. . .... ... ... . ... ..... ... ... ... .... .. . . . ... ..... ... ... .. ...

ˆa ˆ · ez μ9 a

..... ..... ... ... e .......... ......... .......... .... .... .. μ (I − aˆ aˆ) · e .......... ..... ... ... ........ ... . . .................................................. ........... s e ... . . .. aˆ . . . . . . . ..... . 6s z

⊥

z

x

Rx x

Abb. 9.3.1: Geometrische Konstruktion des Realteil-Slowness-Vektors f¨ ur den SH-Wellenmode im transversal-isotropen nichtdissipativen Material mit μ# > μ⊥

bez¨ uglich des Phasen- oder Slowness-Vektors, ist also tats¨achlich eine Entartung des isotropen Materials; wir werden sehen, dass sich im allgemeinen Fall eine Querd¨ampfung auf die Energiegeschwindigkeit beziehen muss. Wir berechnen mit (9.3.29) gem¨aß 0

X

ˆa ˆ ) · e z + μ9 a ˆ · ez = 0 ˆa (sRx ex + sRz ez ) · μ⊥ (I − a

(9.3.35)

das Verh¨altnis der z- zur x-Komponente von 6s: ˆa ˆ · ez (μ9 − μ⊥ )ex · a sRx ; ρc2SH (ez ) O: U < = σR

sRz = −

(9.3.36)

wir halten fest, dass σR materialspezifisch konstant ist, die Richtung von 6s bleibt mit zuneh¨ ˆ · ez < 0, a ˆ · ex > 0 mendem sRx gleich (genauso wie im isotropen Fall). Ubrigens: F¨ ur μ9 > μ⊥ , a und sRx < 0, also f¨ ur die Parameter der Abb. 9.3.1, ist sRz < 0, genau so wie es der Abbilˆ und sRx dung entspricht. Entsprechend wird sRz > 0, wenn μ9 bei unver¨anderter Vorgabe von a kleiner als μ⊥ gew¨ahlt wird; 6s zeigt dann in den Halbraum z > 0. Mit (9.3.36) finden wir sIz aus (9.3.27): B K ' H K sSH (ez ) s2SH (6s) 24 2 1 + σ s − ; sIz = ± R Rx H 1 + σR2 sSH (6s)

(9.3.37)

die Konfiguration von Abb. 9.3.1 erfordert die Auswahl des negativen Vorzeichens. Durch exH gem¨ plizites Einsetzen von 6s aß (9.3.64) nimmt (9.3.37) die Form (9.3.95) an. Die inhomogene ebene SH-Welle u(R, ω, s) = −u(ω) e jω.s·R e±ω,s·R ey

(9.3.38)

9.3 Ebene Trenn߬ache eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums

305

ist mit 2s = sIz ez und 6s = sRx ex + sRz ez , wobei sRz = σR sRx , tats¨achlich quer ged¨ampft bez¨ uglich der Energiegeschwindigkeitsrichtung, sofern man f¨ ur sIz das physikalisch sinnvolle Vorzeichen gew¨ahlt hat. Wir berechnen n¨amlich in Verallgemeinerung von (8.4.35) f¨ ur transversalisotrope Materialien 0

cESH (s) =

ˆ ˆa 2 μ⊥ 6s + (μ9 − μ⊥ ) 6s · a

ˆ ˆa ρ + μ⊥ s · s∗ + (μ9 − μ⊥ )s s∗ : a 0

=

X

ˆ ) + μ9 a ˆa ˆ ˆa 26s · μ⊥ (I − a

X

ˆ ˆa ρ + μ⊥ s · s∗ + (μ9 − μ⊥ )s s∗ : a

,

(9.3.39)

da sich im Falle komplexer Slowness-Vektoren mit ˆ (s) u(R, ω, s) = u(ω) e jωs·R u und

(9.3.40)

ˆ (s) · u ˆ ∗ (s) = 1 u

(9.3.41) 22

in anisotroper Verallgemeinerung von (8.2.37) und (8.2.38) ergibt : SK (R, ω, s) = ,w(R, t, s)7 = daraus folgt

ω2 ˆ (s) · c : s∗ u ˆ ∗ (s) , |u(ω)|2 e−2ω,s·R u 2

ω2ρ ω2 ˆ ∗ (s) ; ˆ (s) : c : s∗ u |u(ω)|2 e−2ω,s·R + |u(ω)|2 e−2ω,s·R s u 4 4 9

cE (s) =

. ˆ ∗ (s)ˆ 26 c : s∗ u u(s)

(9.3.42) (9.3.43)

7

ˆ (s) : c : s∗ u ˆ ∗ (s) ρ + su

.

(9.3.44)

ˆ SH = 0, a ˆ·u ˆ SH = 0, u ˆ SH · u ˆ ∗SH = 1 (Fußnote 27) Mit (4.2.12) und unter Beachtung von s∗ · u findet man X 0 . ˆ ˆ ∗SH u ˆ SH = s∗ · μ⊥ I + (μ9 − μ⊥ )ˆ aa (9.3.45) ctriso : s∗ u bzw. (9.3.39) und wegen (9.3.35) gilt offensichtlich cESH (s) · ez = 0 .

(9.3.46)

Diese Tatsache ist f¨ ur das isotrope nichtdissipative Material nicht auff¨allig, da Phasen- und Energiegeschwindigkeitsvektor gleiche Richtung haben.

9.3.3

Reflexion und Transmission ebener SH-Wellen an der ebenen Trennfl¨ache zwischen homogen-isotropen und homogen-transversal-isotropen nichtdissipativen Materialien

Wir hatten bereits mehrfach davon Gebrauch gemacht, dass wir uns die x-Komponente eines reellen oder komplexen Slowness-Vektors durch die Phasenanpassung an Grenz- oder Trennfl¨achen elastischer Halbr¨aume vorgegeben denken. Infolgedessen sollten wir uns die Aussagen des vorigen Unterabschnitts anhand von Slowness-Diagrammen veranschaulichen k¨onnen. Wir 22 Der

zweite Term in (9.3.43) l¨ asst sich nicht mehr u ¨ber die Kelvin-Christoffel-Gleichung ˆ (s) = 0 (s · c · s − ρ I) · u

umformen, weswegen f¨ ur inhomogene ebene Wellen, genau wie im isotropen nichtdissipativen Material, die zeitlich gemittelte kinetische Energiedichte nicht mehr gleich der zeitlich gemittelten potentiellen Energiedichte ist.

306

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen a)

z, sz

...... ... ...

ˆ rS k

. ..... .... kˆ

b)

... ........ ......... ... ... .. ... ... ... ... . .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... ... ... ............... ........ . . .... . ............ ........... . . . . . . . . ...... .. . ...... ... ...... ... ... ..... ..... ..... ... ... ..... ... ..... .... ..... ..... ... ... ... ... ... .... . ... ... . ... . . . . ... ... ... .... ... .. ... . . . ... ... .. ... . ... . . . ... ............................ . . .. ... . . . . . ... . . . . . . ......... .. ........ .. ... . . . . . . . . .. .. . ... . .. . . . . . . . iS rS .. .. . ... . .. . ... (1) ..... . . . .. ... .. ... ... .... . . ... .. .. ... S . .. ... .. . ................................................................................................................................................................................................................................................................ .. .. ... .. (2) .. .. ... . . .. .. ... .. .. . . ... .. . x .. SH .. .. ..... ... .. ......... .. . .. ... .. . ......... ... .. .. .. .. ........ .... ... ........... .. ... ... . .... . . . tSH . ... ... ...... .. .... .... ..... ... ... ... ..... .. .... ... ...... ... ... .... .... . ... ... .... .... . . . .. ........ . . . .. ..... .... . .... .. ..... ...... .... ... .... ................................... .... .. ... .... ..... .... .... (2) . .... .... . . .... .... .. .. . z .. ...... SH .. .. ..... ... .... ... .... ... ... .. . ............................................. .............................................

..... s ... ... ... ... (1) ....................... . . . . . ..... aˆ (2) . . . . . s .. ... . .. ..... . . . . s ...... .

iS

rS

ϑ

ϑ

s

tSH

ϑ

iS

ˆ tSH k

s

(−e )

s

(e )

z, sz ,. 2sz

.. ........ ......... ... ... .. ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... .......... ........ . . . . . . .... . ....... ....... . ...... . . . .... . ...... ...... . . ..... . .... . ..... .... . . . . ..... . . .. ..... ..... . . . . . . ... ... ... ... . . . ... . ... ... ... ... . .... . ... ... .... ... .. iS rS ... .. . . ........... . ........ ...... .... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... .. .. ... ... .. ... .. . ....... . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . ..... ... .. . .. .. . . . .. .. .. .. . ...... ... ..... ... .. .. .. ......... .............. .... .. ... ... .. ....... .... ...... ... (1) .. .. ... . . .. .. .. .. ... ... ... .. .. .... .. .... .. . S .. ...... .. .... .. .. ........................................................................................................................................................................................................................................................................... . .. .. (2) ..... .. .... ... . . . . . . ... ..... ... ..... ... .. SH x .. . ... ... .... ... .. .. ... . . . . . . . . . . . ... . .. . .. . ... .. .. .... .. ..... ... ... ... ... .... .. .. .... ... ... ... .... .. ... .. .... . . . ... ... .... . . . . .. ... .. ... .. ....... ..... .... ... ...... .... ... ........ ... .... .... .... . . ... . ... ... ..... ... ...... .... . .... ... . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... .... ............ ............. .... .... .... .... .... .... .... (2) .... . .... . ... .... ... ... .. ... . ... .... .... ........ z SH ... .. ... .. .... ..... . . . . . . . . ... .... ..... .... ... . ... .... .... .... ... .. .... .. .. . .. ............................................. ............................................... ...

μ, ρ(1)

......kˆ.... ...... s .......... .......... (1) 6s ............................................................... x, s (2) ..... ... 2s aˆ . . . . . . . . . .. .. s ... . ......

.... .........ˆ.. k

rS

ϑ

ϑ

rS

tSH

x

(1) (2) ˆ (1) sS sin ϑiS = sS sin ϑrS = sSH (k tSH ) sin ϑtSH

s

iS

s

(e )

x, sx , 6sx

tSH

iS

s

(−e )

ˆ. μ9 , μ⊥ , ρ(2) a

(1)

(1)

sS sin ϑiS = sS sin ϑrS = |6stSH |

Abb. 9.3.2: Slowness-Diagramme f¨ ur die Reflexion und Transmission einer SH-Welle an der Trennfl¨ ache eines homogenˆ = ex , isotropen nichtdissipativen und eines homogen-transversal-isotropen nichtdissipativen elastischen Halbraums: a (2) (1) μ# > μ⊥ , cS < cSH (ex ); a) ϑiS ≤ ϑctSH b) ϑiS > ϑctSH

beschr¨anken uns zun¨achst auf den einfachsten Fall einer Trennfl¨ache zwischen einem homogenisotropen nichtdissipativen (z > 0 : μ, ρ(1) ) und einem homogen-transversal-isotropen nichtdisˆ, μ9 , μ⊥ , ρ(2) ) f¨ ur SH-Wellen-Einfall aus dem isotropen Halbraum. sipativen Halbraum (z < 0 : a ˆ liegt in der Einfallsebene“ macht −ey zum Polarisationsvektor der SH-Wellen Die Annahme a ” in beiden Halbr¨aumen, sodass uns physikalische Intuition vermittelt, dass keine Modekonversion in qP- und/oder qSV-Wellen stattfindet: Genau in diesem Fall sind SH- von qP- und qSV-Wellen entkoppelt. ˆ in der Trennfl¨ache Vorzugsrichtung a Mit den Abbildungen 9.3.2a,b u ¨bertragen wir die Abbildungen 9.2.3a,b auf den oben definierten Fall: F¨ ur den transversal-isotropen Halbraum z < 0 haben wir das SH-Slowness-Diagramm f¨ ur ˆ = ex zugrundegelegt. Da wir gleich den kohlefaserverst¨arkten Kunststoff der Abb. 8.3.9 mit a interessanteren Fall s(1) > s(2) (ex ) mit der Konsequenz der Existenz des kritischen Winkels ϑctSH ausgesucht haben, unterscheiden wir ϑiS ≤ ϑctSH (Abbildung 9.3.2a) und ϑiS > ϑctSH (Abbildung 9.3.2b). Wir beginnen mit dem Fall ϑiS ≤ ϑtSH . Die Phasenanpassung einfallender, reflektierter und transmittierter ebener SH-Wellen (man vergleiche (9.2.1)–(9.2.3)) (1) ˆ

ˆ iS ) = −uiS (ω) e jωsS uiS (R, ω, k

kiS ·R

ey , z ≥ 0 (1) ˆ

ˆ rS ) = −Rtriso (ϑiS ) uiS (ω) e jωsS urS (R, ω, k SH ˆ tSH ) = −T triso (ϑiS ) uiS (ω) e utSH (R, ω, k SH

krS ·R

(9.3.47)

ey , z ≥ 0

(2) ˆ ˆ jωsSH (k tSH )ktSH ·R

ey , z ≤ 0

(9.3.48) (9.3.49)

f¨ ur alle x, y in der Trennfl¨ache z = 0 ergibt u ¨ber die Gleichungskette ˆ tS ) sin ϑtSH sS sin ϑiS = sS sin ϑrS = sSH (k (1)

(1)

(2)

(9.3.50)

9.3 Ebene Trenn߬ache eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums

307

das Reflexions- und das Brechungsgesetz ϑrS (2) ˆ sSH (ktSH ) sin ϑtSH

= ϑiS ,

(9.3.51)

(1) sS

(9.3.52)

=

sin ϑiS .

Man beachte: Zun¨achst ist das Brechungsgesetz (9.3.52) eine implizite Gleichung f¨ ur den Transmissionswinkel, da u ¨ber ˆ tSH = − sin ϑtSH ex − cos ϑtSH ez k (9.3.53) (2) ˆ die Slowness sSH (ktSH ) ebenfalls von ϑtSH abh¨angt; man muss unter Benutzung der Eigenur den wertgleichung die explizite Abh¨angigkeit von ϑiS sichtbar“ machen, was zwar oft — f¨ ” ˆ >= ex und f¨ ˆ · ez = 0 — SH-Wellenmode auch f¨ ur a ur qP- und qSV-Wellenmoden zumindest f¨ ur a gelingt, denn es sind in diesen F¨allen immer nur quadratische Gleichungen zu l¨osen, jedoch kann die Schreibarbeit erheblich sein. Hier, f¨ ur den SH-Fall, werden wir die Vorgehensweise eingehend erl¨autern. (1)

(2)

Abbildung 9.3.2a verr¨at uns, dass f¨ ur sS > sSH (−ex ) ein kritischer Winkel ϑctSH existiert; falls ˆ tSH = −ex ; also ergibt sich ϑiS = ϑctSH , ist offensichtlich ϑtSH = π/2 und deshalb k (2)

sin ϑctSH =

sSH (−ex ) (1)

sS

(2)

=

sSH (ˆ a) (1)

s B S K (2) Kρ μ = 4 (1) ρ

μ9

.

(9.3.54)

F¨ ur ϑiS < ϑctSH hat die SH-Eigenwertgleichung ˆ)2 − ρ(2) = 0 μ⊥ s2 + (μ9 − μ⊥ ) (s · a

(9.3.55)

s =⇒ stSH = stSHx ex + stSHz ez

(9.3.56)

mit reellem Slowness-Vektor bei Vorgabe von

(1)

stSHx = sS sin ϑiS (9.3.57) 2 ˆ = ex — und stSHx +s2tSHz = ˆ = stSHx — es ist a zwei reelle Nullstellen stSHz , die man wegen stSH · a (2)2 sSH unmittelbar aus der SH-Eigenwertgleichung (9.3.55) findet23 : C

stSHz

B K

(2) μ9 K (1)2 4ρ − sS sin2 ϑiS . =± μ⊥ μ9

(9.3.58)

Die Auswahl der richtigen“ z-Komponente des Slowness-Vektors erfolgt mit physikalischen ” Argumenten: F¨ ur transmittierte Wellen im Halbraum z < 0 ist allein das negative Vorzeichen brauchbar. Wir br¨auchten aber nur die beiden Halbr¨aume samt Welleneinfall zu vertauschen, und schon w¨are das andere Vorzeichen relevant. Mit den beiden Komponenten (9.3.57), (9.3.58) ˆ ˆ = ex , direkt mit (9.3.55) und (9.3.57) — ist s(2) — oder, im Falle a aß SH (ktSH ) gem¨ (2) ˆ sSH (k tSH ) =

B K K ρ(2) − (μ − μ ) s(1)2 sin2 ϑ ⊥ iS 9 4 S

μ⊥

(9.3.59)

23 F¨ ˆ = ex oder, allgemeiner, a ˆ in der xy-Ebene, findet man sz stets, d.h. auch f¨ ur a ur qP- und qSV-Wellenmoden, in dieser ˆ vorkommt (man vergleiche explizit-einfachen Form (Spies, 1994), da in den qP- und qSV-Eigenwertgleichungen ebenfalls nur s · a (9.3.25)); man muss allerdings bereits eine quadratische Gleichung in s2 l¨ osen.

308 und damit

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen C

(1)

sin ϑtSH = sS sin ϑiS

μ⊥ ρ(2)

(1)2

− (μ9 − μ⊥ )sS

(9.3.60)

sin2 ϑiS

aus dem Brechungsgesetz als Funktion des Einfallswinkels berechenbar. F¨ ur ϑiS > ϑtSH erwarten wir transmittierte inhomogene ebene Wellen, also L¨osungen der SHEigenwertgleichung (9.3.55) mit 6stSH = sRtSHx ex + sRtSHz ez , 2stSH = sItSHz ez ,

(9.3.61) (9.3.62)

ˆ = ex sofort sRtSHz = 0 (σR = 0 in (9.3.36)) folgt; mit (9.3.57) ergibt wobei gem¨aß (9.3.33) f¨ ur a sich deshalb (2)

sItSHz = ±

sSH (ez )

(2) sSH (−ex )

C

'

(2)2

s2RtSHx − sSH (−ex )

B K

(2) μ9 K 4s(1)2 sin2 ϑ − ρ =± iS S μ⊥ μ9

(9.3.63) (1)

aus Gleichung (9.3.37). Dies ist genau wie in Abb.'9.2.3 als Funktion von sS sin ϑiS eine Hyperbel, allerdings mit einer durch das Verh¨altnis μ9 /μ⊥ gegebenen Asymptote (Abbildung 9.3.2b); es versteht sich, dass f¨ ur den Halbraum z < 0 (und die Zeitabh¨angigkeit e−jωt ) das negative Vorzeichen relevant ist. ˆ geneigt zur Trennfl¨ache Vorzugsrichtung a Mit den Abbildungen 9.3.3 und 9.3.4 wenden wir uns dem Fall einer bez¨ uglich der Trennfl¨ache geneigten Vorzugsrichtung des transversal-isotropen Halbraums zu. Wir werden sehen, dass es trotz der harmlosen“ Elliptizit¨at des SH-Slowness-Diagramms eine reiche Auswahl von ” ˆ · ey = 0, sodass die SH-Wellenmoden von den qPM¨oglichkeiten gibt. Es sei aber weiterhin a und qSV-Wellenmoden entkoppelt sind. Anhand von Abb. 9.3.3 — auf die zugeh¨origen Formeln kommen wir im n¨achsten Paragraˆ nach unten“, d.h. es sei phen zu sprechen — diskutieren wir zun¨achst die Orientierung von a ” ˆ · ez < 0, 0 < a ˆ · ex < 1. Dies bewirkt eine Drehung des Slowness-Diagramms relativ zur a Trennfl¨ache mit der Konsequenz einer Unsymmetrie bez¨ uglich des Welleneinfalls von links“ ” oder von rechts“; mit Abb. 9.3.3 bleiben wir zun¨achst bei einer negativen x-Komponente von ” siS , ebenso wie in Abb. 9.3.2. Die in Abb. 9.3.3a gestrichelt eingezeichneten Phasenanpassungslinien teilen das SH-Slowness-Diagramm f¨ ur sx ≤ 0 in drei Bereiche: den Bereich I, in dem es eine reelle Nullstelle sz < 0 der SH-Eigenwertgleichung gibt, den (in diesem Fall sehr schmalen) Bereich II, in dem es zwei reelle Nullstellen sz < 0 gibt und den Bereich III, in dem es zwei konjugiert komplexe sz -Nullstellen gibt. Mit den Abbildungen 9.3.3b,c greifen wir Einfallswinkel heraus, f¨ ur die siSx in den Bereich I f¨allt: Offensichtlich gibt es jeweils einen Schnittpunkt der zugeh¨origen Phasenanpassungslinien mit dem Slowness-Diagramm im unteren Halbraum, sodass in beiden F¨allen der Slowness-Vektor stSH der transmittierten SH-Welle eine negative z-Komponente besitzt, d.h. die Phasenausbreitung erfolgt, wie wir es bisher gewohnt sind, weg von der Trennfl¨ache. Dies ist aber nicht das mathematische Kriterium f¨ ur eine physikalisch sinnvolle L¨osung stSHz der Eigenwertgleichung: Es kommt n¨amlich darauf an, ob sich die Energie von der Trennfl¨ache wegbewegt, d.h. ob der Energiegeschwindigkeitsvektor cEtSH (ˆstSH ) eine negative z-Komponente hat; das ist beide Male der Fall — der Energiegeschwindigkeitsvektor steht ja senkrecht auf der Slowness-Fl¨ache! —, dennoch passiert Erstaunliches: Obwohl die aus

9.3 Ebene Trenn߬ache eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums

z, sz , sRz , sIz

a)

... .... . aˆ

III

II

... ......... ........ .. ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... .......... . ..... ........ ......... .. .. ....... ....... . . . . . . ...... . ... .... ...... ...... . . . . ..... . .... .... . ..... . . . . . . ..... . .... . . . . ..... . . . . . ... .. ... ... . . . ... .. ... .. . ... . . ... .. ... ... . . . ... ... ... ... ... . . . ... .. ... . . . ... .. .. . . . . . . ... . . . ... .. .... ..... . ... ... (1) .... ... . ... .... ... . .. ..................................... .....................................................................................................................................................................................................................S . .. . ... ... . . ... .. (2) ... .... . ... . . .. x .. . . SH . . . .. .. . .. .. ... . . .. ... .. ..... .. ...... ... .. .... ...... .... ....... . . .. ... . . . .... . .... ..... ... .... ......... ...... . .............. ........ ........................................................ .. .. ... ... ... . ..... ... .. ...

srS

(e )

x, sx , sRx

stSH

cEtSH

I

z, sz

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(e )

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z, sz

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x, sx

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x, sx

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(e )

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s

stSH

cEtSH

s

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s

s

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z, sz

d)

srS

iS

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s

s

z, sz

b)

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309

(e )

x, sx

tSH

cEtSH

z, sz , sR,z , sIz

f)

. ......... ......... .. .......................................................... . . . . . . . . . . ........ . ....... ....... ..... ....... ...... ...... . ...... . . . .... ..... ... ..... ..... ... ..... ..... . . . . . . ..... .. .... ... .... . . ... ... ... ... . . .. ... ... . . . ... ... .. ... . . ... ... ... . . . ... . .... . . . . ... . .. . ... ..... . ..... ... .... .. .... ... (1) . .... .. . .. . .. .. . . . . ..................................... ......................................................................................................................................................................................................................S . ... .. . . . . ..... .. . .. (2) ... .... . . ... ..... . . .. . . . . . . . . . . x SH ... . .... . ... ... . . . . . . ... .... .. .... .... . .... .......... .... ........... .... .... .... .... .... .... .... ........ .... . .... ..... .... .. .... . . . . . . . . .. .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....... .... .... ..... .... ..... ..... .... . . .... .. .... ... ... . ... .... .. ... ... ... .

......s...... . ............ s..................... ................... . . . x, s . . . . . . . . . . . .................. 6s ... .... aˆ c 2s rS

iS

x

EtSH

s

s

(e )

x, sx , sRx

tSH

tSH

Abb. 9.3.3: Slowness-Diagramme f¨ ur die Reflexion und Transmission einer SH-Welle an der Trennfl¨ ache eines homogenˆ · ex < isotropen nichtdissipativen und eines homogen-transversal-isotropen nichtdissipativen elastischen Halbraums: 0 < a (2) ˆ · ez < 0, μ# > μ⊥ , c(1) 1, a S < cSH (−ex )

310

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

dem isotropen Halbraum einfallende SH-Welle schr¨ag auf die Trennfl¨ache auftrifft, kann sich die Energie im transversal-isotropen Halbraum senkrecht nach unten (Abbildung 9.3.3c) oder sogar r¨ uckw¨arts“ (Abbildung 9.3.3b) ausbreiten. Der Fehlinterpretation von US-Anzeigen ist ” deshalb T¨ ur und Tor ge¨offnet, wenn man der eventuellen Anisotropie eines Materials nicht Rechnung tr¨agt. Physikalisch verst¨andlich ist ein derartiges Verhalten aber durchaus: Senkrechˆ, ter Einfall f¨ uhrt beispielsweise zu einem Abknicken“ der Energieausbreitung in Richtung a ” ˆ-Richtung die gr¨oßte Energiegeschwindigkeit vor denn f¨ ur μ9 > μ⊥ liegt in der schr¨agen“ a ” (Abbildung 8.3.10), die senkrecht einfallende Welle sieht“ davon eine Komponente senkrecht ” zur Trennfl¨ache und nimmt dieses Angebot wahr“. ” Mit Abb. 9.3.3d wenden wir uns einem Beispiel aus dem Bereich II zu: Eine entsprechend gew¨ahlte siSx -Komponente hat offenbar zwei verschieden negativ-reelle stSHz -L¨osungen der Eigenwertgleichung (9.3.34) zur Folge, von denen aber die betragsm¨aßig kleinere aus physikalischem Grund ausscheidet: F¨ ur einen derartigen Slowness-Vektor hat die Energiegeschwindigkeit eine positive z-Komponente; erst physikalische Argumentation macht die mathematisch-mehrdeutige Wellenausbreitung eindeutig24 ! Mit betragsm¨aßig zunehmender siSx -Komponente streben nun die beiden m¨oglichen Slowness-Vektoren aus dem Bereich II einem einzigen zu, f¨ ur den die Energiegeschwindigkeit nur eine (negative) x-Komponente hat, d.h. die Energie str¨omt parallel zur Trennfl¨ache (Abbildung 9.3.3e). Der zugeh¨orige Einfallswinkel ist der kritische Winkel ϑctSH , und wir erwarten, dass f¨ ur Einfallswinkel gr¨oßer als ϑctSH aufgrund der dann konjugiert komplexen stSHz -Nullstellen der SH-Eigenwertgleichung eine Querd¨ampfung dieser Energiestr¨omung auftritt (Querd¨ampfung, falls wir das passende Vorzeichen des Imagin¨arteils ausw¨ahlen). In der Tat konstruieren wir in Abb. 9.3.3f f¨ ur siSx aus dem Bereich III mit dem negativen Ast der Hyperbel (9.3.37) den Imagin¨arteil 2stSH = sItSHz ez des Slowness-Vektors als (Energie-)D¨ampfungsvektor; f¨ ur den Realteilvektor erhalten wir mit (9.3.36) (1)

6stSH = −sS sin ϑiS (ex + σR ez ) ,

(9.3.64)

und dessen Richtung ist gegen¨ uber dem kritischen Slowness-Vektor“ der Abbildung 9.3.3e ” gleich geblieben; dies gilt wegen (9.3.46) auch f¨ ur die Energiegeschwindigkeit. ˆ nach Wir diskutieren nun anhand von Abb. 9.3.4 die Orientierung der Vorzugsrichtung a ” ˆ · ex < 1 voraus. Die Drehung des Slowˆ · ez > 0 sowie weiterhin 0 < a oben“, d.h. wir setzen a ness-Diagramms erfolgt deshalb in die gegen¨ uber Abb. 9.3.3 entgegengesetzte Richtung, und vorsichtshalber“ haben wir das gesamte 360o -Diagramm eingezeichnet; dieselben Phasenanpas” sungslinien wie in Abb. 9.3.3a definieren auch hier die Bereiche I, II und III f¨ ur charakteristisch (1) unterschiedliche Werte von −sS sin ϑiS . Die den Abbildungen 9.3.3b-d korrespondierenden Teilbilder der Abb. 9.3.4 haben wir weggelassen, da wir uns die entsprechenden Ergebnisse leicht vorstellen k¨onnen: Beispielsweise f¨ uhrt der senkrechte Einfall nunmehr zu einer negativen xKomponente der Energiegeschwindigkeit der transmittierten SH-Welle, und dasselbe gilt f¨ ur (1) alle Einfallswinkel ϑiS > 0, f¨ ur die −sS sin ϑiS im Bereich I liegt. Wenn wir mit der Trennfl¨achenphase der einfallenden Welle in den Bereich II gelangen, erhalten wir erneut zwei reelle sz -L¨osungen der Eigenwertgleichung, die aber, im Gegensatz zum Bereich I, beide auf dem (gestrichelt gezeichneten) Slowness-Diagramm f¨ ur z > 0 liegen; Abbildung 9.3.4a macht dies anschaulich. Es hat also zun¨achst den Anschein, als ob beide L¨osungen f¨ ur transmittierte Wellen irrelevant seien, da die zugeh¨origen Slowness-Vektoren weg von der Trennfl¨ache zeigen; dies betrifft aber die Phasenausbreitung, die Energieausbreitung ist f¨ ur die betragsm¨aßig kleinere der beiden L¨osungen tats¨achlich in den unteren Halbraum z < 0 gerichtet, sodass diese L¨osung physikalisch sinnvoll einer transmittierten Welle entspricht. An den Rand des Bereichs III gelangen wir nun durch die Konvergenz der beiden eben genannten L¨osungen, bis sie schließlich 24 Die verkehrte“ Richtung der Energiegeschwindigkeit ist deshalb auch der eigentliche Grund, warum die (s > 0)-L¨ osungen im z ” Bereich I ausscheiden.

9.3 Ebene Trenn߬ache eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums z, sz , sIz

a)

... ... ... ........ ... ... ......... ... ... . . .......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... ... ... ........ ........ ..... ......... ....... ... ... ....... . . ...... . . .... . ...... ... ... .......... ..... .... .. ..... .. ... ........... . ..... . .... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .... . .. .. ... .. ... .... . .... ..... .. . . . . . ... .... ... ... ... .. .. .. .... . . .... ... .... ... ... ... ... .... ... . . .... . .. ... .... ... . . . . .... ... .. .. ... . . . . . .... ... ..... . ... .... ... ..... ... ... ... .. .. . . . .... .. ... (1) ... ...... .... . . ... .. ....... . .. .... .. .... . ..........................................................................................................................................................................................................................S .................................. . .. .. .. (2) ... ........ ..... .. .... .. ... ... .... x ... .. SH .... ... .. .. .. ... ... .. ..... ... ... .. .... ...... .. . ... ... . ....... . . . ....... .... ... ... .... ........ .... ......... .......... .... ..... ... ... ............... ...... .... .......... .. .. ... ............................. . .. ... ..... ... ... ... .. ... ... ... ... ..

... aˆ ....

III

II

s

s

z, sz

b)

... ....... ......... . . .......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ........ ..... ......... ....... . . . . .... . ... ...... ................................ ..... ..... ........ . ..... . . . . . . ...... ..... . ...... ..... .. .... .... .... ...... .... ..... ... .... .. ..... ... ..... .... . ..... .... .... ..... ... .... .... .. ... . .... . ... . . . .... . ... .... .... ... ... .... . . ... .... . . ... . ... . . . . .... ... . . ... .. . . . . .... ... .. ...... ... . . . ... . .. ... . ... ... ..... ..... ... (1) .... ... .... .... ... ..... . .. . ... . . .................................. .................................................................................................................................................................................................................................S .. .. .. ..... .... .... .... .... .... .... ........ . . . .. (2) .. .... ......... .... .... .... .... .... ....... .. . . . x ... ... ..... ... ... ... ... ... ... ... .. SH ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...... ... ... ... ... ... .. .. .. ... ... ... ... ..... .. ... ... ... ... .. .. .... .... .... ................... .... .... .... .... . . . . . . . . . ...... . . . . .. .... ... ... ... ... ... ... ........... ... ... ..... .... ... ... ... ... ... .... ... ............. ... . ..... ... ... ... ... ... .. ... ... ................ ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...................................................... .... .... .... .... .... ..... .... .... .... ... . . . . . . . . . .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ... . . . . .. .... .... .... .... .... .... .... .... . . . . . . . . . . . . . . .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

ϑctSH

...... ... . ...... . . . . ˆ a ................s......................... ...........s.... .. ..... srS

cEtSH

tSH

s

iS

(e ) x, sx , sRx

I

311

...... ................ .... .....

s

(e )

x, sx

cEtSH

Abb. 9.3.4: Slowness-Diagramme f¨ ur die Reflexion und Transmission einer SH-Welle an der Trennfl¨ ache eines homogenˆ · ex < isotropen nichtdissipativen und eines homogen-transversal-isotropen nichtdissipativen elastischen Halbraums: 0 < a (2) ˆ · ez > 0, μ# > μ⊥ , c(1) 1, a S < cSH (−ex )

zusammenfallen; der resultierende Slowness-Vektor zeigt zwar ebenfalls in den Halbraum z > 0, der Energiegeschwindigkeitsvektor ist jedoch parallel zur Trennfl¨ache gerichtet, sodass wir den ¨ Ubergang zu den energetisch querged¨ampften transmittierten Wellen des Bereichs III vorliegen haben (Abbildung 9.3.4b). Dieser Wellentyp ist f¨ ur den vorliegenden Fall in Abb. 9.3.4b als Wellenpaket skizziert (man vergleiche Abb. 8.3.2 und Gleichung (8.3.30)): Die Vorstellung einer transmittierten Welle, deren Phasenausbreitung in den oberen Halbraum und deren Energieausbreitung in den unteren Halbraum oder parallel zur Trennfl¨ache gerichtet ist, macht uns dann gar keine Probleme mehr. Reflexions- und Transmissionsfaktoren Wir schreiben den Deformationstensor (8.3.12) einer ebenen elastischen Welle, indem wir den Slowness-Vektor explizit sichtbar“ machen: ” X 10 ˆ ˆ ˆ +u ˆ s(k) ˆ ˆ (k) ˆ (k) u ; (9.3.65) S(R, ω, s) = jω u(ω) e jωs(k)·R s(k) 2 ˆ gem¨aß hierin ist der Phasenausbreitungs(einheits)vektor k H ˆ = 6s k

(9.3.66)

H des Realteilvektors 6s des m¨ oglicherweise auch komplexwertigen durch den Einheitsvektor 6s ˆ = −ey , weshalb (8.3.89) unmitˆ (k) Slowness-Vektors s gegeben. F¨ ur den SH-Wellenmode ist u telbar

T SH (R, ω, s) = ctriso : S SH (R, ω, s) ˆ

ˆ ey = −jω u(ω) e jωs(k)·R ctriso : s(k) ˆ

>

0

X

ˆ ey + ey s(k) ˆ + (μ9 − μ⊥ ) s(k) ˆ ·a ˆ+a ˆ (ey a ˆ ey ) = −jω u(ω) e jωs(k)·R μ⊥ s(k)

G

(9.3.67)

312

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

f¨ ur den Spannungstensor einer ebenen SH-Welle im transversal-isotropen Material liefert. Den Teilchenverschiebungen (9.3.47)–(9.3.49), die wir gem¨aß ˆ

uiSH (R, ω, siS ) = −uiS (ω) e jωsiS (kiS )·R ey , z ≥ 0 urSH (R, ω, srS ) = utSH (R, ω, stSH ) =

(9.3.68)

ˆ triso −RSH (ϑiS ) uiS (ω) e jωsrS (krS )·R ey , ˆ triso −TSH (ϑiS ) uiS (ω) e jωstSH (ktSH )·R ey

z≥0

(9.3.69)

, z≤0

(9.3.70)

f¨ ur beliebig reell- oder komplexwertige Slowness-Vektoren schreiben, korrespondieren deshalb die Spannungstensoren 0

ˆ ˆ iS ) ey + ey siS (k ˆ iS ) T iSH (R, ω, siS ) = −jωμ uiS (ω) e jωsiS (kiS )·R siS (k triso T rSH (R, ω, srS ) = −jωμ RSH (ϑiS ) uiS (ω) e

T tSH (R, ω, stSH ) = −jω

ˆ )·R jωsrS (k rS

ˆ triso (ϑiS ) uiS (ω) e jωstSH (ktSH )·R TSH

X

0

,

ˆ rS ) ey + ey srS (k ˆ rS ) srS (k

>

0

X

(9.3.71) ,

(9.3.72) X

ˆ tSH ) ey + ey stSH (k ˆ tSH ) + μ⊥ stSH (k

ˆ tSH ) · a ˆ+a ˆ (ey a ˆ ey ) + (μ9 − μ⊥ ) stSH (k

G

.

(9.3.73)

¨ Zur Erf¨ ullung der Ubergangsbedingungen uiSH (x, y, z = 0, ω, siS ) + urSH (x, y, z = 0, ω, srS ) = utSH (x, y, z = 0, ω, stSH ) , (9.3.74) T iSH (x, y, z = 0, ω, siS ) · ez + T rSH (x, y, z = 0, ω, srS ) · ez = T tSH (x, y, z = 0, ω, stSH ) · ez (9.3.75) f¨ ur alle x und y m¨ ussen zun¨achst gem¨aß siS · ex = srS · ex = stSH · ex

(9.3.76)

die Phasen aller beteiligten Wellenmoden in der Trennfl¨ache aneinander angepasst werden, wodurch die x-Komponenten der Slowness-Vektoren festgelegt sind: srSx = stSHx = siSx = −s(1) sin ϑiS .

(9.3.77)

Zur Berechnung der noch offenen z-Komponenten benutzen wir die Dispersionsgleichungen (Eigenwertgleichungen) der entsprechenden Wellenmoden: ρ(1) (1)2 , = sS μ ρ(1) (1)2 srS · srS = , = sS μ μ9 − μ⊥ ρ(2) ˆ )2 = stSH · stSH + (stSH · a ; μ⊥ μ⊥ siS · siS =

(9.3.78) (9.3.79) (9.3.80)

man erkennt sehr sch¨on die St¨orung“ der Isotropie des Halbraums z < 0 aufgrund des (μ9 − ” μ⊥ )/μ⊥ -Anisotropie-Verh¨altnisses. Mit s2i,rS = s2i,rSx + s2i,rSz und (9.3.77) folgt

'

(1)2

siSz = ± sS = srSz = =

(1) ±sS

(9.3.81)

− s2iSx

cos ϑiS ;

(9.3.82)

(1)2 ± sS − s2rSx (1) ±sS cos ϑiS

(9.3.83)

'

9.3 Ebene Trenn߬ache eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums

313

aus (9.3.78) bzw. (9.3.79), d.h. die in si,rSz quadratischen Eigenwertgleichungen (9.3.78), (9.3.79) haben mit der Phasenanpassung (9.3.77) f¨ ur die x-Komponenten jeweils zwei reelle L¨osungen f¨ ur die z-Komponenten der Slowness-Vektoren, von denen wir entsprechend der Vorgabe der ˆ iS und k ˆ rS die physikalisch passenden ausw¨ahlen: Phasenausbreitungsrichtungen k (1)

siSz = −sS cos ϑiS ,

(9.3.84)

srSz =

(9.3.85)

(1) sS

cos ϑiS .

Das Reflexionsgesetz ¨außert sich deshalb als Gleichheit der x- und der entgegengesetzten Gleichheit der z-Komponenten von siS bzw. srS , es ist eine Konsequenz von Phasenanpassung und Eigenwertgleichungen. Dasselbe gilt nat¨ urlich sinngem¨aß f¨ ur das Brechungsgesetz zwischen isotropem und transversal-isotropem Halbraum, und wir k¨onnen den obigen Formalismus ganz analog verwenden — deswegen haben wir ihn noch einmal detailliert vorgef¨ uhrt —, um zu dem entsprechenden Ergebnis zu kommen. Mit also25

stSH = stSHx ex + stSHz ez ,

(9.3.86)

stSH · stSH = s2tSH = s2tSHx + s2tSHz ,

(9.3.87)

ist die Eigenwertgleichung (9.3.80) zusammen mit der durch Phasenanpassung (9.3.77) vorgegebenen x-Komponente von stSH eine quadratische Gleichung f¨ ur die z-Komponente: μ⊥ (s2tSHx + s2tSHz ) + (μ9 − μ⊥ ) (stSHx a ˆx + stSHz a ˆz )2 = ρ(2) ,

(9.3.88)

deren L¨osung wir nach kurzer Rechnung gem¨aß C

stSHz = σR stSHx ±

s2SH (ez )

μ⊥ ρ(2)

C

B K

μ9 K ρ(2)2 4 − s2tSHx (2) ρ μ⊥ μ9 s2SH (ez )

(9.3.89)

unter Verwendung von (Gleichung (9.3.36)) σR = −

ˆa ˆ · ez (μ9 − μ⊥ )ex · a ρ(2) c2SH (ez )

(9.3.90)

ˆ · ez = 0 reduziert sich (9.3.89) auf (9.3.58). schreiben. F¨ ur a Wir haben mit (9.3.89) f¨ ur sin ϑiS ≤

ρ(2)

√ (1) (2) sS sSH (ez ) μ⊥ μ9

(9.3.91)

zwei reelle stSHz -Nullstellen der SH-Eigenwertgleichung gefunden, die offensichtlich die Bereiche I und II von Abb. 9.3.3a definieren, und zwar den Bereich I, falls eine Nullstelle gr¨oßer und eine kleiner als null ist, und den Bereich II, falls beide Nullstellen negativ sind. In allen F¨allen ist die Auswahl der physikalisch sinnvollen Nullstelle u ¨ber die Richtung der zugeh¨origen Energiegeschwindigkeit zu treffen, und zwar nicht nur f¨ ur den Bereich II (Abbildung 9.3.3d), sondern strenggenommen auch f¨ ur den Bereich I; anhand von Abb. 9.3.4 haben wir ja ein Beispiel daf¨ ur kennengelernt, dass die Richtung der Phasenausbreitung durchaus zur positiven stSHz -Nullstelle geh¨oren kann, wenn die zugeh¨orige Energiegeschwindigkeit physikalisch m¨oglich ist. Mit dem 25 Man

oglicherweise komplexwertige nicht-Hermite’sche Betrag des Slowness-Vektors stSH und nicht das beachte: s2tSH ist der m¨ (2)

Quadrat der Slowness sSH .

314

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

eben genannten Beispiel und dem Beispiel der Abb. 9.3.3e illustrieren wir den Fall einer (doppelten) reellen Nullstelle, die gem¨aß (9.3.89) durch das Gleichheitszeichen in (9.3.90) gegeben ist. Dieses Gleichheitszeichen definiert deshalb den kritischen Winkel ϑctSH gem¨aß sin ϑctSH =

ρ(2)

√ (1) (2) sS sSH (ez ) μ⊥ μ9

;

(9.3.92)

f¨ ur ϑiS ≤ ϑctSH erhalten wir mit stSHx stSHz (1) s sin ϑiS =− S stSHz

tan ϑtSH =

(9.3.93)

den (reellen) Transmissionswinkel f¨ ur den Phasenausbreitungsvektor, aber erst die zugeh¨orige Richtung des Energiegeschwindigkeitsvektors sagt uns, was im transversal-isotropen Halbraum tats¨achlich passiert. F¨ ur ϑiS > ϑctSH ergeben sich aus (9.3.89) zwei konjugiert komplexe Nullstellen; deren Realteile bilden sodann zusammen mit stSHx den Realteilvektor (1)

6stSH = −sS sin ϑiS (ex + σR ez )

(9.3.94)

und deren Imagin¨arteile den Imagin¨arteilvektor C

2stSH =

±s2SH (ez )

μ⊥ ρ(2)

C

B K

μ9 K ρ(2)2 4s(1)2 sin2 ϑ − e iS ρ(2) S μ⊥ μ9 s2SH (ez ) z

(9.3.95)

des Transmissions-Slowness-Vektors (Gleichung (9.3.64) sowie Gleichung (9.3.37), die man mit (9.3.94) unter Verwendung der Eigenwertgleichung in der Tat auf die Form (9.3.95) bringen ˆ · ez = 0 ist, wird kann). Falls der Halbraum z < 0 isotrop oder transversal-isotrop mit a der (Phasen-)Transmissionswinkel ϑtSH f¨ ur ϑiS > ϑctSH komplex, der Realteil 6ϑtSH = π/2 gibt dann sowohl die Richtung der Phasen- als auch die Richtung der Energieausbreitung an ˆ · ez >= 0 f¨ ur den transversal-isotropen Halbraum gilt, ist es (Abbildung 9.3.2b). Falls jedoch a v¨ollig unzweckm¨aßig, die Phasen- und Energieausbreitung der transmittierten Welle f¨ ur ϑiS > ϑctSH durch einen komplexen Winkel zu beschreiben; allerdings ergibt sich die Richtung des Phasenausbreitungsvektors sodann unabh¨angig vom Einfallswinkel aus (9.3.94) zu tan ϑtSH =

1 , σR

(9.3.96)

und man weiß ja, dass der zugeh¨orige Energiegeschwindigkeitsvektor parallel zur Trennfl¨ache gerichtet ist. Die Querd¨ampfung dieser Energiestr¨omung offenbart sich im — physikalisch sinnvoll ausgew¨ahlten — Imagin¨arteil der komplex wertigen — und nicht rein imagin¨aren — stSHz Nullstelle der Eigenwertgleichung. ¨ Die Vektorgleichungen (9.3.74) und (9.3.75) der Ubergangsbedingungen sind tats¨achlich skalare Gleichungen, da sie nur aus y-Komponenten bestehen; man berechnet deshalb unmittelbar (1)

triso (ϑiS ) RSH

=

triso TSH (ϑiS ) =

0

X

0

X ,

(9.3.97)

X .

(9.3.98)

ˆ · ez ˆa μ sS cos ϑiS + μ⊥ stSH · ez + (μ9 − μ⊥ ) stSH · a (1)

ˆ · ez ˆa μ sS cos ϑiS − μ⊥ stSH · ez + (μ9 − μ⊥ ) stSH · a (1)

(1)

0

2μ sS cos ϑiS

ˆa ˆ · ez μ sS cos ϑiS − μ⊥ stSH · ez + (μ9 − μ⊥ ) stSH · a

9.3 Ebene Trenn߬ache eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums

315

ˆ · ez = 0 und ϑiS ≤ ϑctSH reduzieren sich diese beiden Formeln auf F¨ ur den Spezialfall a triso (ϑiS = RSH triso TSH (ϑiS =

(1)

(2)

(1)

(2)

μ sS cos ϑiS − μ⊥ sSH (ϑtSH ) cos ϑtSH μ sS cos ϑiS + μ⊥ sSH (ϑtSH ) cos ϑtSH

,

(9.3.99)

,

(9.3.100)

(1)

2μ sS cos ϑtS

(1)

(2)

μ sS cos ϑiS + μ⊥ sSH (ϑtSH ) cos ϑtSH

und f¨ ur ϑiS > ϑctSH ergibt sich triso RSH (ϑiS ) = triso TSH (ϑiS ) =

(1)

μ sS cos ϑiS + jμ⊥ sItSHz (1)

μ sS cos ϑiS − jμ⊥ sItSHz

,

(9.3.101)

,

(9.3.102)

(1)

(1)

2μ sS cos ϑiS

μ sS cos ϑiS − jμ⊥ sItSHz

wobei sItSHz durch (9.3.63) mit dem negativen Vorzeichen gegeben ist. Mit (9.3.99), (9.3.100) ist man sehr nahe“ an (9.2.30), (9.2.31); ferner: Da in (9.3.101) Z¨ahler und Nenner konjugiert ” ˆ · ez = 0 Totalreflexion. Im komplex zueinander sind, beobachten wir f¨ ur ϑiS > ϑctSH im Falle a ˆ · ez >= 0 (Gleichungen (9.3.97), (9.3.98)) gibt es jedoch keine Totalreflexion, allgemeineren Fall a da stSHz nicht rein imagin¨ar ist. z, sz , sIz ... ... ... ..... ....... ... ... ... ......... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... .... .... .... ...... .... .. ... .... .... .... .... .... .... . . .... . .... .... ... ..... ... ... .... ... ... ... .... . . .... . ... ... . .......................................................... ... .... ..... ... ... ............. .......... . ... .. . . . . . . . . . . . ........ . . .. .. . .. .... ....... .. .. .............. .. .. .. . . . . . . ...... .. ... .. .... . ... ... ... ...... .. . . . . . . . . . . . .. . ...... . ...... ... ....... . . ... ..... . . . . . . . ..... .. ... ..... .... .. ......... .. .. ... . ..... .. ... ... ... .. ........ ... .......... . ... ... .... ... .... ... ... ... ... ... .... .............................................. ... ... ... . ........ ... ... ... ... .. ........... . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . ... ........ ... . ... ... . .. .. ........ ... ... ........ ..... ... .... .. ........ .......... .... ... ... .. . .... ........ .... ........ ....... ...... ... ... . ... ..... .. .... .... ... ... .. . . . . . . . . . ... ..... ... . ...... . ..... .. . . .... ... .. . . . . . . . ... ... .. . .. . ..... .. ........ .. ... ... ... . ..... ... .. ... .... .. . ..... ... ... .. ... .. .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . .. ... .. ... ......... ...... . . .... . . ... ... ... ... ......... ........ .... . . . . . ... . . .. ........... .. ... ... . . . . . . . . . . ... . ... .. ... .. .. ... ... . . . . . . . . . . . . ... ... . .. .. ... ... ... ... ... ..... ... ... ... ... .. ... ... ... .. .. .. ... .. ... ... ... . . . .... ... ... ... ... ... ... .... .... ... ..... .... ... . ... . . . . . . . ... . . . . . . . . . ...... .. .. .. .. .. ..... .. .... . ...... . . . . . . . . . . .. ...... .. ........ . . . .. .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . .. ... . ... ... ... .... ..... . ... ... ... ... ....... ... . ... .. ... ... ...... . .. ................................. . . . . . .. . .... ...... ... ... .. .. ...... . . . .. . . . . . . ...... . . ... .. ..... . . . . . . .. . . . . . . . . . . ....... . . ... ...... . . ... ... ....... . . . . . . . . . . . . . ....... . .. ...... . . . . . . . . . . ... ... ....... . . . . . . . . . . .......... . . ......... ..................................... ..... ... ...................................... ... .... ... ... ... ... .. ... ...

(1)

sS

(1)

sP

..............aˆ........

x, sx , sRx

(2)

sqP

(2)

sqSV

IV

III II

I

Abb. 9.3.5: Slowness-Diagramme f¨ ur die Reflexion, Transmission und Modekonversion einer SV-Welle an der Trennfl¨ ache eines homogen-isotropen nichtdissipativen (Stahl) und eines homogen-transversal-isotropen nichtdissipativen Halbˆ · ez = 0 raums (Austenit): a

9.3.4

Reflexion, Transmission und Modekonversion einer ebenen SV-Welle an der ebenen Trennfl¨ache zwischen homogen-isotropen und homogen-transversal-isotropen nichtdissipativen Materialien

Den Fall der Reflexion, Transmission und Modekonversion von P/SV-qP/qSV-Wellenmoden an der Trennfl¨ache eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums werden wir exemplarisch am Beispiel einer aus einem Stahl-Halbraum auf einen Austenit-308-Halbraum einfallenden

316

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

ebenen SV-Welle diskutieren. Nebst der praktischen Bedeutung f¨ ur die US-zfP von austenitischen Schweißn¨ahten ist auch dieser Fall wieder gut f¨ ur einige grundlegende neue Erkenntnisse. ˆ in der Trennfl¨ache Vorzugsrichtung a ˆ · ez = 0 und wenden uns den Slowness-Diagrammen Wir beginnen mit der Voraussetzung a der Abb. 9.3.5 zu: F¨ ur z > 0 sind die in der xz-Ebene kreisf¨ormigen (kugelf¨ormigen im Dreidimensionalen) Slowness-Diagramme f¨ ur isotropen Stahl eingezeichnet; wir wissen aber bereits (Abbildung 9.3.3b), dass f¨ ur das transversal-isotrope Material (Austenit 308) im Halbraum z < 0 durchaus auch die Slowness-Diagramme f¨ ur z > 0 eine Rolle spielen k¨onnen, sodass wir die entsprechenden Diagramme der Abb. 8.3.9 f¨ ur z > 0 gestrichelt fortgesetzt haben. Zun¨achst: Das P-Diagramm f¨ ur Stahl unterscheidet sich nicht wesentlich vom qP-Diagramm f¨ ur Austenit 308, w¨ahrend das qSV-Diagramm f¨ ur Austenit 308 deutlich vom Stahl-S-Diagramm ˆ parallel zur Einfallsebene voraussetzen, sind SH-Wellenmoden von verschieden ist. Da wir a P/SV-qP/qSV-Wellenmoden entkoppelt. Entsprechend diesen Slowness-Diagrammen erwarten wir bei Einfall einer SV-Welle aus dem Halbraum z > 0 eine reflektierte SV-Welle (Reflexionsgesetz!) und eine reflektiert-modekonvertierte P-Welle samt einem kritischen Winkel f¨ ur ebendiese (Abbildung 9.2.7 SVa). Viel interessanter ist aber das Geschehen im Halbraum z < 0: F¨ ur klei” ne“, den Bereich I charakterisierende Einfallswinkel ϑiS , wird eine transmittierte qSV- und eine transmittiert-modekonvertierte qP-Welle entsprechend den beiden (reellen) physikalisch sinnvollen stqP,qSVz -Nullstellen der qP/qSV-Slowness-Eigenwertgleichung (Nullsetzen der eckigen Klammer in (9.3.25)) angeregt; zu letzterer geh¨ort ein kritischer Winkel ϑcmt qP > ϑcmr P , d.h. f¨ ur ϑiS > ϑcmt qP gelangen wir in den Bereich II von Abb. 9.3.5: Die transmittiert-modekonvertierte qP-Welle wird inhomogen, sie ist hinsichtlich Phase und Energie querged¨ampft, da Phasenund Energiegeschwindigkeitsvektor in (negative) x-Richtung zeigen, wobei sich der Betrag der Querd¨ampfung aus den beiden im Bereich II rein imagin¨aren stqPz -Nullstellen (unterschiedlichen Vorzeichens) ergibt; der Imagin¨arteil der negativ imagin¨aren Nullstelle variiert mit zunehmendem ϑiS auf der f¨ ur den Bereich II eingezeichneten quasi-elliptischen Kurve, die deswegen keine Hyperbel ist, weil es ja zwei weitere reelle stqSVz -Nullstellen (unterschiedlichen Vorzeichens) gibt, von denen die negative zur (energetisch) ausbreitungsf¨ahigen transmittierten qSV-Welle geh¨ort. Der Bereich III der Abb. 9.3.5 ist dadurch charakterisiert, dass es definitiv vier reelle stqSVz Nullstellen mit paarweise unterschiedlichem Vorzeichen gibt, die vormaligen rein imagin¨aren stqPz -Nullstellen k¨onnen nicht mehr existieren, die inhomogene qP-Welle verschwindet“ jen” seits eines kritischen Winkels ϑcmt qPinh , der als Einfallswinkel den Beginn des Bereiches III definiert. Konsequenz ist, dass es f¨ ur ϑiS > ϑcmt qPinh gar keine transmittierte quasi-Druckwelle mehr gibt, es treten zwei energetisch ausbreitungsf¨ahige qSV-Wellen qSV1 und qSV2 unterschiedlicher Phasen- und Energiegeschwindigkeit auf, von denen qSV1 zur betragsm¨aßig gr¨oßeren negativen und qSV2 zur betragsm¨aßig kleineren stqSVz -Nullstelle geh¨ort. F¨ ur die konkreten Slowness(1) ˆ Diagramme der Abb. 9.3.5 gilt sS < max kˆ sqSVx (k), sodass der Bereich IV nicht mehr erreicht wird; dessen Grenze ist dadurch gekennzeichnet, dass sich die beiden negativen und die beiden positiven stqSVz -Nullstellen zu jeweils einer (doppelten) Nullstelle vereinigen, deren zugeh¨orige Energiegeschwindigkeiten parallel zur Trennfl¨ache gerichtet sind. Dadurch werden kritische Winkel ϑctqSV1 = ϑcmt qSV2 = ϑctqSV definiert; f¨ ur ϑiS > ϑctqSV tritt energetische Querd¨ampfung der beiden qSV1,2 -Wellen aufgrund komplexwertiger stqSVz -Nullstellen auf, wobei der Betrag der jeweiligen Querd¨ampfung nunmehr u ¨ber eine Slowness-Hyperbel zu ermitteln ist, auf der der Imagin¨arteil der — physikalisch sinnvollen — Nullstelle variiert. Man beachte: Obwohl die Energiegeschwindigkeit beider Wellen f¨ ur ϑiS > ϑctqSV dieselbe Richtung hat, ist deren Phasengeschwindigkeit unterschiedlich gerichtet, sie sind also als energetisch querged¨ampfte Wellen durchaus unterscheidbar. ˆ geneigt zur Trennfl¨ache Vorzugsrichtung a Wie f¨ ur den SH-Fall (Abbildung 9.3.4) wollen wir nun auch die Slowness-Diagramme der Abb.

9.3 Ebene Trenn߬ache eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums

317

45o -SV-Pr¨ ufkopf

................................................ ............................................................................................................................................. .. ... .. ˆ a . ..... .. . . ... . .. . ... ... ... .. .. .. . .. . . ... ... . . . . .. ... . . ... . . .. ... . ... .. c , c , ρ . . . ... λ9, μ9 .. ... .. P S ... λ⊥, μ⊥ .. .. ... .. ... ν, ρ .. ... .. a . ... . . . .. . . ............................................................................................................................................. Abb. 9.3.6: Modell eines Testk¨ orpers aus ferritischem Stahl mit einer Schweißnaht aus austenitischem Stahl: cP = 5900 m/s, cS = 3200 m/s, ρ = 7.7 · 103 kg/m3 ; λ# + 2μ# = 216, λ⊥ + 2μ⊥ = 262.75, μ⊥ = 82.5, μ# = 129, ν = 145 [GPa], ρa = 7.7999 · 103 kg/m3 (Austenit 308)

ˆ gegen¨ uber der Trennfl¨ache drehen; wir beschr¨anken uns dabei auf die 9.3.5 durch Neigung von a SV/qSV-Diagramme (Abbildung 9.3.7), da wir auf einen konkreten Anwendungsfall zusteuern: Abbildung 9.3.6 zeigt das Modell eines Stahltestk¨orpers mit einer austenitischen Schweißnaht, f¨ ur den umfangreiche Parametervariationen in EFIT-Simulationen durchgef¨ uhrt wurden (Hannemann, 2001); da auch Vergleiche mit Messungen vorliegen (Langenberg et al., 2000), wurden die Materialkonstanten von Austenit 308SS90 gew¨ahlt, die von denen des Austenit 308 (Abbildung 9.3.5) geringf¨ ugig abweichen, sodass auch die zugeh¨origen Slowness-Diagramme entsprechend unterschiedlich sind. Diese Schweißnaht soll mit einem (f¨ ur ferritischen Stahl dimensionierten) ufkopf, wie in Abb. 9.3.6 angegeben, untersucht werden; da die Schweißnahtflanke im 45o -SV-Pr¨ konkreten Fall einen Winkel von 10o relativ zur Oberfl¨ache des Testk¨orpers bildet, f¨allt demzufolge die SV-Welle unter einem Einfallswinkel von 55o auf die Trennfl¨ache Stahl-Austenit ein, ˆ ebenfalls einen Winkel von 10o . Es liegt also die Konfiguund gegen¨ uber der Trennfl¨ache bildet a ration der Abb. 9.3.7 mit der dort eingezeichneten Richtung von siSV zugrunde. Abbildung 9.3.5 entnehmen wir, dass f¨ ur ebendiese Richtung von siSV die reflektiert-modekonvertierte P-Welle querged¨ampft ist, und die transmittiert-modekonvertierte qP-Welle auch als querged¨ampfte Welle gar nicht mehr existiert; wir sind also bez¨ uglich transmittierter Wellen tats¨achlich nur noch mit dem qSV-Diagramm konfrontiert. Die Phasenanpassungslinie zur reflektierten SV-Welle (im Abstand srSV · ex parallel zur z-Achse) ergibt vier Schnittpunkte mit dem qSV-Diagramm, von denen stqSV1 und stqSV2 Energiegeschwindigkeitsrichtungen zur Folge haben, die in den austenitischen Halbraum zeigen: Durch die einfallende SV-Welle werden zwei transmittierte qSV-Wellen mit unterschiedlichen Richtungen und Betr¨agen von Phasen- und Energiegeschwindigkeiten erzeugt. Das Koordinatensystem der Abb. 9.3.7 orientieren wir nun in Abb. 9.3.8 so, dass die x, sx -Achse mit der Schweißnahtflanke zusammenf¨allt; damit sollten wir eine Interpretationsgrundlage f¨ ur eine (zweidimensionale) EFIT-Simulation des in Abb. 9.3.6 skizzierten Pr¨ ufproblems haben, was anhand der Wellenfrontenbilder der Abb. 9.3.9 best¨atigt wird. Zun¨achst: Mit Abb. 9.3.7 wissen wir etwas u ¨ber die Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener Wellen, das Pr¨ ufproblem der Abb. 9.3.6 ist jedoch bez¨ uglich des einfallenden Feldes ein Quellenfeldproblem eines endlich großen Pr¨ ufkopfes auf einer spannungsfreien Fl¨ache (Abschnitt 14), und aufgrund der Anwesenheit der Schweißnaht ist f¨ ur dieses einfallende Feld ein Streuproblem zu l¨osen (Abschnitt 15.1.3). Der formale L¨osungsweg mittels Punktquellensynthese benutzt Green’sche Funktionen und keine ebene Wellen. Allerdings k¨onnen wir Green’sche Funktionen als r¨aumliche Spektren ebener Wellen darstellen (Abschnitt 14.2.3), sodass wir un-

318

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen z, sz

... . ......... ... ......... ... ..... ... ... ... .... . . . . . . . . . . . . . . . .... . ... .... .... .. . . . . . .... ................................................. .. ........... . . . . . . . . . ... .. ... . . ......... .... ........ . . . . ....... . . . .. ... . ... ..... ....... ...... .... .. . .... .... .... .... .... . . .. ...... ..... .... ... . ... .... ............. .. .. ...... . . . . . . .... .... .... .... . ... ..... ... .. .. .... . ..... . . ... . . . ..... ... ... ....... .. . ... ..... . . ... ... ......... .... . .. ... . ........ .. ... . ... . ... .. . . ... . . ... . . ... ... ... ..... ... .. ... .. ... ..... . . . . ... . .... ... ... ..... ... ... .. ... ... ... ... .. . ... ... ... .... ... ...... .. .. .. . . ..... .. .... .. . . . . . . . . . 2 . .... .... 2 .. .. .. . . . . . . . .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . .. .. ... .... . ... .... .... . .. .. ... .. . . . . . ... . .. . . . . . . .. .. . ... ... ..... .. .. .. .. ... .. ... .. ... .... .. ... ... .... ... ... ... ... .. .... .. .. .. ... . .. .. . .. . 1 . ... .. ... .. . ... .. . ... . .... .. . . ..... . ... ................................ .... . . . . ....... . . . . . . . .. . . . . . ........ ............................................ .. .. . .... ......... . ..... . ... . .... ....... .. . . . . . . . . ....... . .... ........ .. ..... ............ ............... .. ....... .... .. .... ... .... ... ... .. . . .. .... .

....... s s .... . . . . . . . . . ... ........ .... ........... s.............................. ........... ...................... . . . ˆ a .... . . . . ....s . . . . ... ...... . ...... . rSV

cˆEtqSV

tqSV

iSV

(1)

sS

x, sx

tqSV

(2)

sqSV

cˆEtqSV1

Abb. 9.3.7: Slowness-Diagramm-Konstruktion zweier transmittierter qSV-Wellen an der Trenn߬ ache eines homogenisotropen nichtdissipativen (Stahl-) und eines homogen-transversal-isotropen nichtdissipativen (Austenit-)Halbraums

serem gew¨ unschten Stichwort verbal schon wieder n¨aher kommen. Zudem best¨atigt uns die Nahfeldauswertung entsprechender Integraldarstellungen (Abschnitt 11.1), dass das Quellenfeld eines Pr¨ ufkopfs durchaus Anteile ebener Wellen“ enth¨alt, die wir als Wellenpakete im ” Sinne von Abb. 8.3.2 verstehen k¨onnen; dar¨ uber hinaus wird diese Vorstellung durch EFITSimulationen gest¨ utzt (Abbildung 14.4.7). Wir k¨onnen also in Umkehrung dieser Argumentation EFIT-Simulationen des Pr¨ ufkopfproblems der Abb. 9.3.6 durchaus mithilfe der SlownessDiagramme ebener Wellen entsprechend der Abb. 9.3.8 interpretieren: Mit Abb. 9.3.9 tun wir es. Es sind dort die Wellenfronten einer 2D-EFIT-Simulation f¨ ur drei verschiedene Zeitpunkte dargestellt; diese Simulationen lehnen sich eng an Messungen26 an (Langenberg et al., 2000), weshalb die Pr¨ ufkopfapertur nicht mit einer Rechteckfunktion, sondern mit einer gemessenen Verteilung amplitudenbelegt ist: Aus diesem Grund entspringt“ das Wellenpaket des einfallen” den SV-RC5(t)-Impulses nicht mittig zur Apertur; jedenfalls breitet es sich aber unter 45o in Richtung ˆsiSV relativ zur Oberfl¨achennormalen aus. Beim Auftreffen auf die Schweißnaht entsteht ein reflektiertes SV-RC5(t)-Wellenpaket, das sich in Richtung ˆsrSV ausbreitet. Die beiden transmittierten Wellenpakete stimmen in ihren Phasenausbreitungsrichtungen — den Normalen auf den Phasenfl¨achen — mit den Richtungen ˆstqSV1 und ˆstqSV2 der Abb. 9.3.8 u ¨berein. Die dazu geh¨origen unterschiedlichen Richtungen der Energiegeschwindigkeiten cˆEtqSV1,2 machen sich im letzten Wellenfrontenbild der Abb. 9.3.9 dadurch bemerkbar, dass die Wellenpakete in die entsprechenden Richtungen unter Beibehaltung der Phasenfl¨achenorientierungen entsprechend Abb. 8.3.2 abdriften. Reflexions- und Transmissionsfaktoren So sch¨one“ analytische Ausdr¨ ucke (9.3.97) und (9.3.98) f¨ ur Reflexions- und Transmissionsfak” toren wie f¨ ur den SH-Fall k¨onnen wir f¨ ur den qP/qSV-Fall nicht mehr angeben, wir k¨onnen aber die Vorgehensweise systematisieren: ˆ, λ9 , μ9 , λ⊥ , μ⊥ , ν, • Zun¨achst m¨ ussen 360o -Slowness-Diagramme f¨ ur die Materialparameter a 26 Diese

Messungen wurden von B. K¨ ohler vom Fraunhofer IZFP, Institutsteil Dresden, durchgef¨ uhrt.

9.3 Ebene Trenn߬ache eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums

319

x, sx

... . ......... .......... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ............................... .. .... .... .... .... .... . . . . ......... ..... ... ....................... .... ........ . ... . . . . ....... ... ....... .... .... ..... . ... . . . ...... . . .. ........ ...... ...... . . . .. . . ... . . . . . . . . . . . . . . ... .................. .. ..... . . . .. . ... . ... ... ..... . . . .. . ... . .. ... ..... . . ... . .. ... ... .... ... . ... . ... .... ... .. .. ... ...... ... ... .. ... ... ...... . . . ... .. i ... ... ... .. ......... ... ... ... .. .................. ... ... ... ........................... ... ... ... ..................... . . . . . . . . . . . . ... . . . . ..... . ... .. ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. . ........ ... . ... .................... ... .................. ..... ... ... ... .................. ... ... .................. ... ... ... ..................................... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . ... ... .. ........ .. ............................ ... ... ... .. ... .. ... . ... ... ... . . ... ... .... r .. . . . ... .. ... ..... .. . ... .. ... ..... ... .. ... .... .... . .. . . ... .... ... .. . .... .... .... .... .... ..... .... . ... . . . ... ..... .... .... . ... . . . . . . ... . . ... ..... . . . . ..... .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . ... . t1 . .... ...... ..... ... ...... .. . ... .... .... .. .............. ....... ... ... ..... ..... .... ... ......... ................................ .. ... .... ........ .. . .............. .... .... .... ......... ..... ....................................... .................................. ........................ .... .... .... .... . . . . . . . . . . . ... .... .... .. ... ... ... ... ... t2 ... ... ... ... ... ... .

.............................................................................................................................................................................................. .. ... ..... ...... .. .. . . ˆ a . . . . .. ..... ... .. SV ... .. ..... ..... .. . ... . ......... . .. ... . . .. . . ................. ... . . .. ... ....... ... ... .. . . . . . . . .. z, sz SV . . .. ... . . . . . . ......... .. .. . .... ...... .. . .. ...................... .... .. ... .. .... ..... .. qSV . . .. . . . ..................................................................................................................................................... .. qSV

.... .

Abb. 9.3.8: Anregung zweier qSV-Wellen in einer austenitischen Schweißnaht durch einen 45o -SV-Pr¨ ufkopf

ρ des transversal-isotropen Halbraums ausgerechnet werden; deren graphische Darstellung veranschaulicht zusammen mit den Diagrammen des isotropen Halbraums, welche Wellenmoden in Abh¨angigkeit vom Einfallswinkel grunds¨atzlich auftreten k¨onnen: rP, mr SV, ur P-Einfall und rSV, mr P sowie mt qP, tqSV bzw. sowie tqP, mt qSV bzw. mt qSV1,2 f¨ tqSV1,2 f¨ ur SV-Einfall. • Der vorgegebene Einfallswinkel definiert per siP,SV · ex die Phasenanpassungslinie, also die (reellen) x-Komponenten aller anderen auftretenden Slowness-Vektoren, und er legt damit fest, welche der genannten Wellenmoden evaneszent sind, d.h. ob und f¨ ur welche Wellenmoden die z-Komponente des zugeh¨origen Slowness-Vektors komplex ist. • F¨ ur die vorgegebene reelle x-Komponente von s m¨ ussen zur Ermittlung der transmittierten Wellenmoden die vier L¨osungen des Polynoms vierten Grades 0

X

ˆ] + β2 β3 (s) − β42 (s) (I − a ˆa ˆ) : s s = 0 (9.3.103) β12 (s) + β1 (s) [β2 s · s + β3 (s) + 2β4 (s)s · a ˆ · ez >= 0) im Allgemeinen numerisch gefunden werden, ur a f¨ ur die z-Komponente von s (f¨ wobei β1 (s), β2 , β3 (s), β4 (s) durch (9.3.21)–(9.3.24) gegeben sind. Anhand der SlownessDiagramme k¨onnen die reellen und/oder komplexwertigen Nullstellen bestimmten Wellenmoden zugeordnet werden. • Welche der zu den vier sz -Nullstellen geh¨orenden Wellenmoden tats¨achlich physikalisch sinnvolle transmittierte Wellenmoden sind, muss anhand der Richtung der Energiegeschwindigkeit gepr¨ uft werden. Um Gleichung (9.3.44) benutzen zu k¨onnen, ben¨otigt man die Polarisationsvektoren als Hermite’sche Einheitsvektoren; auch f¨ ur komplexe Slowness-

320

9 Reflexion, Transmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen

..... ˆs ..... .... iSV

..... ˆs ...... .

iSV

....................... cˆ ....... ... ˆs . . . . . . . . . .... ...... .... . ... ... cˆ

EtqSV1

tqSV1

ˆsrSV

ˆstqSV2

EtqSV2

Abb. 9.3.9: 2D-EFIT-Simulation der US-Pr¨ ufung einer austenitischen Schweißnaht (es werden zwei transmittierte qSVWellen erzeugt)

9.3 Ebene Trenn߬ache eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums

321

Vektoren erfolgt deren Berechnung entsprechend Abschnitt 8.3.2, und man erh¨alt explizit27 : ˆ (s) = ' u

s + γ(s)ˆ a s·

s∗

+

wobei γ(s) = −

γ(s)s∗

ˆ + |γ(s)|2 ˆ + γ ∗ (s)s · a ·a

,

ˆ β1 (s) + β2 s · s + β4 (s)s · a . ˆ β4 (s) + β2 s · a

(9.3.104)

(9.3.105)

• Nunmehr kann die Energiegeschwindigkeit gem¨aß (9.3.44) f¨ ur jeden reellen oder komplexen Slowness-Vektor berechnet werden; das Auswahlkriterium f¨ ur physikalisch sinnvolle Slowur diejenigen transmittierten Wellenmoden mit den Indizes ness-Vektoren stM und damit f¨ ¨ tM, die tats¨achlich auftreten und in den Ubergangsbedingungen ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen, ist die Bedingung cE (stM ) · ez ≤ 0 (und nicht 6stM ≤ 0). ¨ • Aus den Ubergangsbedingungen uiP,SV (R, ω, siP,S ) + urP,SV (R, ω, srP,S ) + umr SV,P (R, ω, smr S,P ) = M tM

utM (R, ω, stM ) ,

(9.3.106)

ez · TiP,SV (R, ω, siP,S ) + ez · TrP,SV (R, ω, srP,S ) + ez · Tmr SV,P (R, ω, smr S,P ) = M tM

ez · TtM (R, ω, stM ) (9.3.107)

f¨ ur z = 0 ergeben sich sodann Reflexions-, Transmissions- und Modekonversionsfaktoren. Nat¨ urlich m¨ ussen in (9.3.106), (9.3.107) auch eventuell evaneszente Wellenmoden ber¨ ucksichtigt werden. Die Verallgemeinerung dieser Vorgehensweise auf beliebig anisotrope Halbr¨aume wird unter anderem von Marklein (1997) diskutiert; dort finden sich auch numerische Beispiele. Es sei darauf hingewiesen, dass die einschl¨agigen Arbeiten von Marklein die hier gew¨ahlte und im Wesentlichen von Fellinger (1991) in die Elastodynamik eingef¨ uhrte (weitgehend) koordinatenfreie Schreibweise konsequent fortsetzen, die, sofern man sich erst einmal daran gew¨ohnt“ hat, we” sentlich u ¨bersichtlicher als die Indexschreibweise der Standardliteratur ist (Auld, 1973; Helbig, 1994; Nayfeh, 1995; de Hoop, 1995; Royer und Dieulesaint, 2000).

27 F¨ ur

komplexe Slowness-Vektoren lautet der SH-Polarisationseinheitsvektor in Verallgemeinerung von (8.3.70) u ¨brigens: ˆ SH (s) = u

ˆ ∗SH (s) = 1. ˆ SH (s) · u denn dann gilt u

=

ˆ s×a ˆ ˆa s · s∗ − s s ∗ : a

,

10

Rayleigh’sche Oberfla¨chenwellen

10.1

Ebene Grenz߬achen

F¨ ur die in der (Fourier-transformierten) Wellengleichung isotroper nichtdissipativer Materialien enthaltenen L¨osungen inhomogene ebene Wellen“ (Abschnitt 8.2) fanden wir physikalische ” Realisierungen bei der Reflexion und Transmission ebener Wellen an der ebenen Trennfl¨ache zwischen solchen Materialien oder an deren ebener Grenz fl¨ache (im Falle elektromagnetischer Wellen spricht man von der Fresnel’schen Reflexion): Die Existenz von bis zu drei kritischen Winkeln hat eine ebensolche Anzahl querged¨ampfter (evaneszenter) ebener Wellen zur Folge (Abschnitt 9.1.2, Abschnitt 9.2.1, Abschnitt 9.2.2). F¨ ur die ebenen Wellen auf einer Seite einer ur eine Trennfl¨ache gibt es maximal zwei kritische Winkel (Abbildung 9.2.8 SVc+ -SVa+ ), einen f¨ Druck- und einen f¨ ur eine Scherwelle, wobei die Amplituden der resultierenden evaneszenten Wellen u ¨ber komplexe Transmissionsfaktoren festgelegt sind. An einer spannungsfreien Grenzfl¨ache gibt es hingegen nur eine evaneszente Druckwelle, deren Amplitude ebenfalls durch einen komplexen Modekonversionsfaktor festgelegt ist. Die zu den Rayleigh’schen Oberfl¨achenwellen f¨ uhrende Frage lautet nun: Kann an einer spannungsfreien ebenen Grenzfl¨ache eines isotro¨ pen nichtdissipativen Materials die Uberlagerung zweier evaneszenter ebener Wellen, und zwar einer inhomogenen Druck- sowie einer inhomogenen Scherwelle als L¨osung der homogenen Wellengleichung existieren? Genau wie im Falle der Trennfl¨ache sollten beide inhomogenen Wellen die gleiche Phasengeschwindigkeit entlang der Trennfl¨ache aufweisen, wobei sich allerdings — ebenso wie dort — die Querd¨ampfungskonstanten unterscheiden k¨onnen. Eines wissen wir aber bereits: Weder durch den Einfall einer ebenen Druck- noch einer ebenen Scherwelle kann eine solche freie“ Oberfl¨achenwelle angeregt werden! ” Wir machen also den folgenden Ansatz f¨ ur eine zeitharmonische inhomogene ebene Welle: ˆ P (kP ) + uS (ω) e jkS ·R u ˆ SV (kS ) , u(R, ω, k) = uP (ω) e jkP ·R u

(10.1.1)

wobei das Amplitudenverh¨altnis uP (ω)/uS (ω) aus der Randbedingung der Spannungsfreiheit bestimmt werden muss. Da eine horizontal polarisierte Scherwelle sowohl von vertikal polarisierten Scherwellen als auch von Druckwellen entkoppelt ist, setzen wir sinnvollerweise die ¨ Scher-Teilwelle in (10.1.1) als SV-Welle an. Man beachte: Die Uberlagerung dieser Teilwellen, d.h. die resultierende Rayleigh-Welle, ist also weder eine Druck- noch eine Scherwelle, denn (10.1.1) ist weder divergenz- noch rotationsfrei. Die Inhomogenit¨at beider Teilwellen kommt in den komplexen Phasenvektoren kP,S = 6k + j2kP,S (10.1.2) zum Ausdruck, wobei wegen der Verlustlosigkeit des Materials 6k · 2kP,S = 0 ,

(10.1.3)

also die Orthogonalit¨at der Phasenausbreitungsrichtung und der Richtung der Querd¨ampfung gegeben sein muss (Gleichung (8.2.8)). Voraussetzungsgem¨aß sollen sich die Phasen der beiden Teilwellen von (10.1.1) in gleicher Richtung und mit gleichem Betrag (mit gleicher Phasengeschwindigkeit) ausbreiten, weswegen kP und kS den gleichen Realteilvektor 6k haben sollen. Aufgrund der Dispersionsrelationen f¨ ur das isotrope nichtdissipative Material 2 kP,S · kP,S = kP,S

(10.1.4)

324

10 Rayleigh’sche Oberfl¨achenwellen z

a)

.... ....... ....... ... ..... .. ... ... .. ... ... ... ... ...... ... ...................... ... ..... .. .... . ... . . . . ... ..... .... ... ..... ..... ... ..... ... ........ . ... ... ....... ..... ........................................................................................................................................................................................................................................... ..... ..... .. .... .... . . . . .. ..... . . . . . .. ..... . . . . . ..... ..... ..... ..... .... .... .... ..... .... . . . .... . ... ..... ... .... .... .... .... ... .... ... ..... ..

..... .. 2k ... ... ............................... 2ˆ uP

.... ....... ....... ... ..... .. ... ... .. ... ... ... ... ...... ... ....................... ... ..... .. .... . ... . . . . ... ..... .... ... ..... ..... ... ..... ... ........ .. .... ........ ..... ......................................................................................................................................................................................................................................... ..... ..... .. .... .... . . . . .. ..... . . . . . .. ..... . . . . . ..... ..... ..... ..... .... .... .... ..... .... . . . .... . ... ..... ... ... ..... .... .... ... .... .... .... ..

..... ... . 2ˆ u ..................................... .. . 6k u ˆ ..... ... . ... . 6ˆu

y

6ˆ uP

y

2kS

P

6k

z

b)

SV

x

x

S2

SV

Abb. 10.1.1: Komplexe Polarisationsvektoren der a) Druck- und b) Scheranteile einer Rayleigh’schen Oberfl¨ achenwelle

folgt 2 |2kP,S |2 = |6k|2 − kP,S 2 = kR2 − kP,S

(10.1.5)

unter der Voraussetzung (10.1.3) f¨ ur die Betr¨age der Imagin¨arteilvektoren; wir haben die Wellenzahl |6k| der gesuchten Oberfl¨achenwelle mit kR — R f¨ ur Rayleigh“ — abgek¨ urzt. Damit ” |2kP,S | reell ist, muss kR > kP,S gelten, d.h. die Phasengeschwindigkeit der Rayleigh-Welle wird kleiner als Druck- und Scherwellengeschwindigkeit sein. Ebenfalls voraussetzungsgem¨aß soll es sich bei der P-Teilwelle von (10.1.1) um eine (rotationsfreie) inhomogene Druck- und bei der SV-Teilwelle um eine (divergenzfreie) inhomogene Scher welle handeln. Demzufolge treffen die Gleichungen (8.2.14), (8.2.19) f¨ ur die Orientieˆ P,SV (kP,S ) mit rung der Real- und Imagin¨arteilvektoren der komplexen Polarisationsvektoren u ˆ S1 zu: ˆ SV = u u ˆ P (kP ) = ' u

kP

,

(10.1.6)

ˆ × kS u ˆ SV (kS ) = 'S2 u ; kS · k∗S

(10.1.7)

kP · k∗P

ˆ S2 · 6k = 0, wobei n ˆ S2 · n = 0 und u ˆ S2 ein reell-wertiger Einheitsvektor mit u hierin ist u die Normale auf die Grenzfl¨ache bezeichnet. Obwohl, wie wir bereits festgestellt haben, eine Rayleigh-Welle von einer auf die spannungsfreie Grenzfl¨ache einfallenden ebenen Welle nicht angeregt werden kann, bleiben wir bei der reflexionsorientierten“ Wahl eines kartesischen Ko” ˆ S2 wie ordinatensystems und legen den Phasenausbreitungsvektor 6k sowie den Einheitsvektor u folgt fest (Abbildungen 9.1.1, 9.1.7): 6k = −kR ex ˆ S2 = −ey ; u

(10.1.8) (10.1.9) (10.1.10)

ussen, ist da die Abklingvektoren 2kP,S in den Materialhalbraum z > 0 zeigen m¨ 2kP,S = γP,S ez

(10.1.11)

10.1 Ebene Grenz߬achen

325

mit

γP,S =

'

2 kR2 − kP,S >0

(10.1.12)

festzulegen. Mit (10.1.6) und (10.1.7) ergeben sich dann die in Abb. 10.1.1 skizzierten Polarisationsvektoren (man beachte Abb. 8.2.2 unter Ber¨ ucksichtigung von Fußnote 30). Der Teilchenverschiebungsvektor der potenziellen Rayleigh-Welle lautet damit explizit: uR (R, ω, −kR ex ) = uP (ω) e−γP z

−kR ex + jγP ez '

2kR2

O:


0 eine exponentielle D¨ampfung darstellt (Abbildung 8.2.1). Die Dispersionsrelation (11.1.8) erlaubt es uns, Kz gem¨aß Kx2 + Ky2 + Kz2 = k 2

(11.1.13)

f¨ ur Kx , Ky -Werte innerhalb der Kreisfl¨ache Kx2 + Ky2 ≤ k 2 — es resultieren propagierende spektrale Komponenten des r¨aumlichen Spektrums (11.1.6) ebener Wellen — und Kz gem¨aß Kx2 + Ky2 − Kz2 = k 2 Kx2

Ky2

(11.1.14) 2

+ ≤ k — es resultieren evaneszente spekf¨ ur Kx , Ky -Werte außerhalb der Kreisfl¨ache trale Komponenten — zu berechnen. Abbildung 11.1.1 illustriert diesen Sachverhalt f¨ ur Ky = 0, wir sind ihm in Abschnitt 9 f¨ ur eine einzelne ebene Welle mit dem Phasenvektor k hinl¨anglich oft begegnet. Hier wird, dar¨ uber hinaus gehend, u ¨ber alle Phasenvektoren K gem¨aß (11.1.7) summiert, wobei jeder r¨aumlich spektralen Komponente, d.h. jeder einzelnen propagierenden oder evaneszenten ebenen Welle die beliebig vorgebbare Amplitude pˆ0 (Kx , Ky , ω) zugeordnet ist. Gem¨aß (11.1.5) ist diese Amplitude die zweidimensionale Fourier-Transformierte der Druckur z = 0: verteilung p(x, y, z = 0, ω) = p0 (x, y, ω) in der xy-Ebene f¨ pˆ0 (Kx , Ky , ω) =

; ∞ ; ∞

−∞

−∞

p0 (x, y, ω) e−jKx x−jKy y dxdy .

(11.1.15)

Man kann also (11.1.6) letztlich so interpretieren, dass eine in der xy-Ebene vorgegebene Feldverteilung durch ein r¨aumliches Spektrum ebener Wellen in den Halbraum z > 0 transportiert“ ” wird; oder: Gleichung (11.1.6) ist das Strahlungsfeld im Halbraum z > 0 einer in der xy-Ebene f¨ ur z = 0 vorgegebenen Aperturverteilung“ in der mathematischen Form eines r¨aumlichen ” Spektrums ebener Wellen. Damit wird klar, wieso diese Darstellung f¨ ur die Berechnung von Pr¨ ufkopfschallfeldern relevant ist; man muss schließlich nur zu einer physikalisch realen Apertur u ¨bergehen und diese auf einem physikalisch realen Halbraum mit ebener Grenzfl¨ache plazieren (Abschnitt 14). Man beachte: Obwohl der Beitrag der evaneszenten spektralen Komponenten f¨ ur z > 0 geringf¨ ugig“ erscheint, ist er f¨ ur die Vollst¨andigkeit des Spektrums unbedingt notwendig ” (Tygel und Hubral, 1987). ¨ Ubrigens: F¨ ur den Halbraum z < 0 wird (11.1.6) tauglich, wenn man f¨ ur die propagierenden Spektralanteile K mit negativer z-Komponente und f¨ ur die die evaneszenten spektralen Komponenten 2K mit negativer z-Komponente ansetzt, d.h. man w¨ahlt in (11.1.3) die negative z-Richtung als Ausbreitungsrichtung und passt die Querd¨ampfung physikalisch sinnvoll an.

11.1.2

Propagator als Raumfilter

Insbesondere die Rolle der evaneszenten Wellen wird in einer anderen Interpretation der Integraldarstellung (11.1.5), n¨amlich in der Interpretation des Propagators √2 2 2 Pˆ (Kx , Ky , z, ω) = e jz k −Kx −Ky (11.1.16) als Raumfilter, besonders deutlich. Gleichzeitig impliziert diese Interpretation eine bequeme numerische Berechnung von Schallfeldern. Bez¨ uglich der Fourier-Variablen Kx und Ky stellt der Propagator Pˆ (Kx , Ky , z, ω) ein raumvariantes und frequenzabh¨angiges Filter der Fourier-transformierten Ausgangsfeldverteilung, also pˆ0 (Kx , Ky , ω), dar. Den Einfluss der Filterparameter z und ω diskutieren wir anhand von Abb. 11.1.2, in der deutlich zum Ausdruck kommt, dass ⎧ ⎨1

|Pˆ (Kx , Ky , z, ω)| = ⎩

e−z

√

f¨ ur k ≥ Kx2 +Ky2 −k2

f¨ ur k
0 ausbreiten (Abbildung 11.1.1). Zur paraxialen N¨aherung von (12.1.5) kommen wir nun, indem wir voraussetzen, dass die maximale geometrische Ausdehnung der Apertur“ p(x, y, 0, ω) — wir ” bezeichnen sie mit 2a — groß gegen¨ uber der Wellenl¨ange ist, dass also die Hochfrequenzn¨aherung ka : 1 gilt; aufgrund der Unsch¨arferelation der Fourier-Transformation gen¨ ugen deshalb die zu und K ankung den Aperturvariablen“ x und y konjugierten Fourier-Variablen K x y der Einschr¨ ”' 2 2 k : Kx + Ky , d.h. es wird nur u ¨ber diejenigen propagierenden spektralen Komponenten summiert, deren Kz sich wenig von k unterscheidet, deren K-Vektor also nahezu in ez -Richtung zeigt, demzufolge paraxial ist (Abbildung 11.1.1). Es bietet sich deshalb die N¨aherung Kx2 + Ky2 2k

(12.1.6)

; ∞ ; ∞ z 1 2 2 jkz e pˆ0 (Kx , Ky , ω) e−j 2k (Kx +Ky ) e jKx x+jKy y dKx dKy 2 (2π) −∞ −∞

(12.1.7)

Kz ; k − an, die ppax (x, y, z, ω) =

zur Folge hat; wir belassen es bei den unendlichen Integrationsgrenzen, da ja die Vorgabe von ur eine entsprechende Begrenzung des Integrationsintervalls sorgt. Damit man pˆ0 (Kx , Ky , ω) f¨ (12.1.7) weiter analytisch auswerten kann, muss nun pˆ0 (Kx , Ky , ω) und damit ppax (x, y, 0, ω) explizit angegeben werden: Es bietet sich das Gauß-f¨ormige Fourierspektrum 1 2 2 π pˆ0 (Kx , Ky , ω) = p0 (ω) e− 4α(ω) (Kx +Ky ) (12.1.8) α an, denn genau dann stellt (12.1.7) ein zweifaches Fourier-Umkehrintegral einer zweidimensionalen Gaußfunktion dar, deren Urbild wir mit (2.3.50) kennen2 . Zu (12.1.8) geh¨ort die Gaußf¨ormige Aperturverteilung“ ” 2 2 (12.1.9) ppax (x, y, 0, ω) = p0 (x, y, ω) = p0 (ω) e−α(ω)(x +y ) , worin α(ω) ein frequenzabh¨angiger Spielparameter“ ist; wir sprechen deshalb von zeitharmo” nischen Gauß’schen Strahlen (Ishimaru, 1991; Heyman, 1994; Heyman und Felsen, 2001). Aufgrund der Rotationssymmetrie in der xy-Ebene3 k¨onnen wir die Gaußverteilung (12.1.9) auch gem¨aß 2 (12.1.10) p0 (x, y, ω) = p0 (ω) e−α(ω)r schreiben. Setzen wir α(ω) als komplexwertigen Parameter α(ω) = α+ + jωα++ , α+ > 0 ,

(12.1.11)

an, dann geh¨ort zu (12.1.10) die Zeitfunktion % 2

p0 (x, y, t) = e−α r p0 (t + α++ r2 ) ;

(12.1.12)

Mit α+ kontrollieren wir also die geometrische Ausdehnung der Apertur“ und mit α++ eine r” abh¨angige, gegen¨ uber t = 0 verfr¨ uhte Aussendung des p0 (t)-Impulses. Diese wollen wir nun so 1 Wir setzen Apertur“ in Anf¨ uhrungsstriche, um anzudeuten, dass es sich nicht wirklich um eine beliebig vorgegebene Feld” verteilung innerhalb einer Apertur, sondern letztlich um das Querschnittsprofil eines Gauß’schen Spektrums ebener Wellen in der xy-Ebene handelt. = 2 Da es sich um eine zweidimensionale Transformation handelt, tritt der Faktor π/α zweimal auf. 3 Die Rotationssymmetrie charakterisiert diesen Gauß’schen Strahl als stigmatisch; astigmatische Gauß’sche Strahlen lernen wir im n¨ achsten Abschnitt kennen.

12.1 Gauß’sche Strahlen als paraxiale N¨aherung eines Spektrums ebener Wellen

343

einstellen, dass jeder Impuls p0 (t + α++ r2 ) gleichzeitig am axialen Aufpunkt R = Rf ez — dem ' 2 Fokuspunkt z = Rf — ankommt; dazu muss der Laufzeitunterschied Rf + r2 /c − Rf /c f¨ ur ur r 0 Rf k¨onnen wir Apertur“punkte r >= 0 gegen¨ uber r = 0 durch α++ kompensiert werden. F¨ ” diesen Laufzeitunterschied gem¨aß '

Rf2 − r2 c

−

Rf 1 2 r ; c 2cRf

(12.1.13)

ann¨ahern, sodass sich

1 (12.1.14) 2cRf ergibt. Mit α+ = 1/a2 0 k 2 stellen wir sicher, dass die Ausdehnung der Apertur“ vorausset” zungsgem¨aß etwa 2a mit ka : 1 ist, sodass schließlich α++ =

α(ω) =

1 1 k +j a2 2Rf

(12.1.15)

folgt. Mit Rf : a erf¨ ullen wir die zur G¨ ultigkeit von (12.1.13) notwendige Forderung; aufgrund der paraxialen N¨aherung ist der Realteil von α(ω) u ¨ber die Forderung ka : 1 tats¨achlich ebenfalls frequenzabh¨angig. Mit (12.1.15) kann nunmehr z 1 π 1 ; ∞ ; ∞ −( 4α(ω) +j 2k )(Kx2 +Ky2 ) e jKx x+jKy y dK dK e e jkz x y 2 α(ω) (2π) −∞ −∞ (12.1.16) als zweidimensionales inverses Fourier-Integral berechnet werden; wir finden

ppax (x, y, z, ω) = p0 (ω)

ppax (x, y, z, ω) = p0 (ω)

β(z, ω) −β(z,ω)r2 jkz e e β(0, ω)

mit β(z, ω) =

α(ω) z 1 + j 2α(ω) k

.

(12.1.17)

(12.1.18)

Gleichung (12.1.17) ist die (N¨aherungs-)L¨osung paraxialer Gauß’scher Strahl“ der homogenen ” Helmholtzgleichung (12.1.1). Mit der Aufspaltung von β(z, ω) nach Real- und Imagin¨arteil 6β(z, ω) =

1 W a2 1 −

1

z Rf

/2

+

%

,

1 z2 Rf2 γf2 (ω)

S

z 1 γf (ω) 1 − Rf 1 + γf2 (ω) 2β(z, ω) = /2 W 2 a2 1 − Rzf + Rz 2 γ 21(ω) f

mit γf (ω) =

(12.1.19)

(12.1.20)

f

ka2 2Rf

(12.1.21)

erkennt man gem¨aß ppax (x, y, z, ω) = p0 (ω)

β(z, ω) −.β(z,ω)r2 jkz−j,β(z,ω)r2 e , e β(0, ω)

(12.1.22)

344

12 Ultraschallstrahlen und Wellenpakete

dass 6β(z, ω) die z-abh¨angige Strahlgeometrie, n¨amlich das exponentielle Abklingen in r-Richtung f¨ ur festes z, bestimmt; wir definieren denjenigen r-Wert, f¨ ur den die Amplitude p0 (ω)β(z, ω)/β(0, ω) f¨ ur r = 0 um den Faktor e−1 abgenommen hat, als halbe Strahlbreite w(z, ω): w(z, ω) = ' also

1 6β(z, ω)

B K%

z w(z, ω) K =4 1− a Rf

S2

+

,

(12.1.23)

z2 1 . Rf2 γf2 (ω)

(12.1.24)

F¨ ur z = 0 wird w(0, ω) = a, d.h. wir finden in der xy-Ebene die vorgegebene (kreisf¨ormige) Aperturverteilung“ wieder. Gem¨aß (12.1.22) definiert 2β(z, ω) die z-abh¨angige Abweichung ” der Phasenfl¨achen (12.1.25) kz − 2β(z, ω)r2 = const eines Gauß’schen Strahls gegen¨ uber einer sich in z-Richtung ausbreitenden ebenen Welle. Abbildung 12.1.1 illustriert das Taillenprofil w(z, ω)/a eines Gauß’schen Strahls als Funktion der w(z, ω) a

. ......... ......... ... .... .. . ..... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ... ....... ....... ... ....... ....... ... . . . . . . ... ....... ... ....... ....... .... .............. ....... ....... ....... .... ........ ....... . . ........ . . . . .... . ........ ........ ........ .... ........ ......... ......... .......... .... ......... ........... .......... ... ........ ............ ....... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ................................................................... .... ... .... ... .... ... ... . ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... ... ... ... ....... . . .

1 w0 (ω) a

0

z0f (ω) 1

zf = z/Rf

Abb. 12.1.1: Taillenprofil eines Gauß’schen Strahls f¨ ur γf = 2

normierten Achsenkoordinate zf = z/Rf . Bei z0 (ω) γf2 (ω) = z0f (ω) = V

(13.1.2)

der δ-Distribution eine Einheitspunktquelle am Ort R+ . Eben wegen dieser Distributionsinhomogenit¨at muss man (13.1.1) mathematisch streng genommen im Distributionssinne auffassen. Deswegen sehen die anschaulichen“ Versuche, (13.1.1) zu l¨osen, auch immer ein bisschen nach ” St¨ uckwerk“ aus. Allerdings ergibt sich als Ergebnis eine Funktionsdistribution, sodass es legitim ” erscheint, auf dem distributionstheoretisch verst¨arkten Boden“ der Analysis zu bleiben. ” Wir werden im Folgenden zwei Vorschl¨age zur L¨osung von (13.1.1) machen: einen eher anschaulichen und einen formalen, der insbesondere auch f¨ ur vektorielle und tensorielle Green’sche Funktionen gangbar ist.

364

13 Punktquellen im homogen-isotropen Vollraum; elastodynamische Quellenfelder

L¨osung der Differentialgleichung f¨ ur die skalare Green’sche Funktion: Physikalische Argumentation Die Green’sche Funktion G(R, R+ , ω) soll ja definitionsgem¨aß eine zeitharmonische Elementarwelle sein, die von der Punktquelle am Ort R+ ausgeht. Der umgebende homogene unendliche Raum wird die Ausbreitung dieser Elementarwelle nicht st¨oren, sodass wir aus Symmetriegr¨ unden davon ausgehen d¨ urfen, dass die Phasen- und Amplitudenfl¨achen dieser Elementarwelle ur beliebigen Aufpunkt R soll die Kugel fl¨achen mit Mittelpunkt R+ sind (Abbildung 13.1.1). F¨ .......... ................. .......................... ......... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ..... ..... ..... . . . ..... .... . ... . ... ... . . ... ... ... . .. ... . . ... .. . . ... . ... ..... ... .... ... .... . ... ... ... ... . ... .. . . ... ... ... . . ... ... ... ... ... .. ... ... ... .. . ..... . . ... ..... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ...... ....... ....... .......... .................................................

......•.................... . ............ R − R . . ............ . . ............ . . . ............. . . R .. . . . . . . . . . . . . . . . . .......... ................................................R... +

+

O

Abb. 13.1.1: Phasen- und Amplituden߬ ache einer zeitharmonischen elementaren Kugelwelle, die vom Quellpunkt R% ausgeht

Ausbreitung der elementaren Kugelwelle mit der Wellenzahl k in Richtung R − R+ , d.h. bzgl. R − R+ auslaufend, erfolgen. Mit der Zeitabh¨angigkeit e−jωt ergibt sich deshalb %

G(R, R+ , ω) ∼ e−jk|R−R | .

(13.1.3)

Mit zunehmendem Abstand |R − R+ | w¨achst die Kugelfl¨ache ∼ |R − R+ |2 ; sinnvollerweise wird man fordern, dass die mit der Elementarwelle transportierte Leistungsdichte ∼ |R − R|−2 abnimmt, damit die abgestrahlte Gesamtleistung konstant ist. Also ist (13.1.3) gem¨aß1 %

G(R, R+ , ω) ∼

ejk|R−R | |R − R+ |

(13.1.4)

zu pr¨azisieren. Jetzt zeigt man ganz schnell durch Differenzieren (am besten f¨ ur R+ = 0 und in + Kugelkoordinaten), dass (13.1.4) f¨ ur R >= R tats¨achlich eine L¨osung der homogenen Gleichung (13.1.1) ist! Es kommt nun nur noch darauf an, in (13.1.4) einen Faktor einzuf¨ ugen, der das korrekte Quellpunktsverhalten der Green’schen Funktion f¨ ur R = R+ liefert. L¨osung der Differentialgleichung f¨ ur die skalare Green’sche Funktion: der 1/4π-Faktor Anstatt von der argumentativ gefundenen Funktion (13.1.4) nachzuweisen, dass sie L¨osung der Differentialgleichung (13.1.1) ist, kann man sie auch rechnerisch finden. Wir w¨ahlen der Einfachheit halber R+ = 0 und schreiben (13.1.1) in Kugelkoordinaten R, ϑ, ϕ, nutzen aber 1 Langsamer als 1/R macht physikalisch keinen Sinn, denn dann w¨ urde die Gesamtleistung mit zunehmender Entfernung zunehmen. Andererseits besagt ein ber¨ uhmtes Lemma von F. Rellich (Colton und Kress, 1983), dass eine L¨ osung der inhomogenen Helmholtz-Gleichung, die schneller als 1/R gegen null geht, gleich der Nulll¨ osung ist.

13.1 Skalare Green’sche Funktion des homogenen unendlichen Raumes

365

gleich die Forderung nach Kugelsymmetrie, d.h. nach ϑ- und ϕ-Unabh¨angigkeit: @

1 ∂ ∂G(R, ω) R2 2 R ∂R ∂R


= 0 — nimmt mit der Substitution G(R, ω) = U (R, ω)/R die Form d2 U (R, ω) + k 2 U (R, ω) = 0 (13.1.6) dR2 an, deren L¨osung in positive R-Richtung laufende zeitharmonische Welle“ durch ” U (R, ω) = U (ω) e jkR (13.1.7) =

gegeben ist. Daraus folgt

e jkR . (13.1.8) R Der Amplitudenfaktor kann nicht willk¨ urlich sein, da (13.1.8) ja die L¨osung der inhomogenen Gleichung (13.1.1) werden soll. Um ihn zu bestimmen, kommt man um distributionstheoretische Argumente nicht herum. Ausgehend von (13.1.2) integriert man (13.1.5) u ¨ber ein den Nullpunkt enthaltendes Kugelvolumen VK mit Radius R0 und Oberfl¨ache SK , beachtet, dass der erste Term ˆ ist gleich in (13.1.5) aus Δ = ∇ · ∇ entstanden ist und wendet den Gauß’schen Satz2 an — R der ¨außeren Normalen auf SK — G(R, ω) = U (ω)

; ;

SK

!

ˆ · ∇G(R, ω)!! R


= 0 nur f¨ ur halber haben wir die rechte Seite von (7.2.8) mit q(R, t) abgek¨ R ∈ VQ . Obwohl wir bereits in Abschnitt 5.5 die Punktquellensynthese akustischer (skalarer) Wellenfelder ansprachen, wollen wir hier noch einmal explizit die N¨ utzlichkeit der skalaren Green’schen Funktion zur L¨osung der skalaren Gleichung (13.1.55) demonstrieren. Wir behaupten n¨amlich: Wenn die L¨osung von (13.1.55) f¨ ur eine Punktquelle am Ort R+ , die zum Zeitpunkt t+ einen δ-Impuls aussendet, also die skalare Green’sche Funktion G(R − R+ , t − t+ ) des dreidimensionalen homogen-isotropen Materials bekannt ist, erh¨alt man die L¨osung von (13.1.55) f¨ ur beliebige Quellen q(R, t), indem man die durch G(R − R+ , t − t+ ) gegebenen elementaren Kugelwellen q(R+ , t+ )-gewichtet f¨ ur alle Quellpunkte R+ ∈ VQ und alle Einschaltzeitpunkte −∞ < t+ < ∞ superponiert, d.h. es soll Φ(R, t) =

; ; ;

VQ

; ∞

−∞

q(R+ , t+ )G(R − R+ , t − t+ ) dt+ d3 R+

(13.1.56)

gelten. Zum Nachweis setzen wir (13.1.56) in (13.1.55) ein: Q

E Q E ; ; ; ; ∞ 1 ∂2 1 ∂2 + + Δ − 2 2 Φ(R, t) = q(R , t ) Δ − 2 2 G(R − R+ , t − t+ ) dt+ d3 R+ , cP ∂t cP ∂t VQ −∞
0)-Spektrum (13.1.52) f¨ ur ω < 0 konjugiert komplex fortsetzen! Alternativ zur Benutzung von (13.1.53) kann man in (13.1.36) 1 1 1 = = = = ct − |r − r% | ct + |r − r% | c2 t2 − |r − r% |2


VQ ,

(13.1.58)

d.h. (13.1.56) ist L¨osung von (13.1.55). Im Integral (13.1.56) der Punktquellensynthese tritt die Green’sche Funktion aus mathematischer Sicht als Kern eines — in kartesischen Koordinaten — 4-dimensionalen Faltungsintegrals auf13 . Mit der expliziten Darstellung (13.1.29) der Green’schen Funktion (c =⇒ cP ) k¨onnen wir aufgrund von (2.4.18) das t+ -Integral sofort ausrechnen: W / |R−R% | + 1 ; ; ; q R , t − cP (13.1.59) d 3 R+ , Φ(R, t) = 4π |R − R+ | VQ wobei das verbleibende Volumenintegral nunmehr kein (dreidimensionales) Faltungsintegral mehr ist. Die Darstellung (13.1.59) eines skalaren Potentials wird als retardiertes Potential bezeichnet: Zum Potential am Aufpunkt R zum Zeitpunkt t tragen alle diejenigen Punktquellen uber mit ihrer jeweiligen Quellpunktsamplitude am Ort R+ ∈ VQ zu einer Zeit t+ bei, die gegen¨ der aktuellen Beobachtungszeit genau so weit in der Vergangenheit liegt, wie es der Laufzeit der zugeh¨origen Kugelwellen vom Quellpunkt R+ zum Aufpunkt R entspricht. Die FourierTransformierte von (13.1.59) gem¨aß % 1 ;;; e jkP |R−R | 3 + + Φ(R, ω) = q(R , ω) dR 4π |R − R+ | VQ

(13.1.60)

¨ stellt sich als Uberlagerung zeitharmonischer Kugelwellen dar14 : Die zeitliche Retardierung der Kugelwellen steckt nunmehr in ihrer Phase. Man beachte: Auch f¨ ur den oft vorliegenden Fall sogenannter synchroner Quellen q(R, t) = f (t)q(R) ◦—• q(R, ω) = F (ω)q(R) ,

(13.1.61)

deren einzelne Punktquellen“ alle mit derselben Zeitabh¨angigkeit f (t) strahlen, hat Φ(R, t) i.a. ” nicht den Zeitverlauf f (t), denn im zugeh¨origen Spektrum Φ(R, ω) = F (ω)

% 1 ;;; e jkP |R−R | 3 + dR q(R+ ) 4π |R − R+ | VQ


= 0 ist. Wir berechnen analog zu (8.1.68) erwarten k¨onnen, dass det W(K) ˜ det W(K) =

Q

μK 2 − ρω 2 λ+μ

E2 @

(λ + 2μ)K 2 − ρω 2 λ+μ

$

(13.2.11)

˜ ˆ tats¨achlich gleich null, sonst aber ungleich null ist. und stellen fest, dass det W(K = ω/cP,S , K) Mit der Chen-Formel (Chen, 1983) adj (β I + C D) = β[(β + C · D) I − C D]

(13.2.12)

˜ berechnen wir die Adjungierte von W(K) zu: μK 2 − ρω 2 ˜ adj W(K) = λ+μ

1@

$

(λ + 2μ)K 2 − ρω 2 I − KK λ+μ

,

;

(13.2.13)

folglich ergibt sich f¨ ur die Inverse $

@

λ+μ λ+μ I− KK μK 2 − ρω 2 (λ + 2μ)K 2 − ρω 2 @ $ λ+μ λ+μ 1 1 I = − K ; K μ K 2 − kS2 λ + 2μ (K 2 − kS2 )(K 2 − kP2 )

˜ −1 (K) = W

(13.2.14)

˜ ˜ −1 (K) und damit G(K, R+ , ω) auf den beiden sogenannten Ewalderwartungsgem¨aß ist W Kugeln K = kP und K = kS im K-Raum singul¨ar; aber eine derartige Singularit¨at kennen wir ja bereits vom Fourier-Spektrum (13.1.14) der skalaren Green’schen Funktion! Eben wegen dieser Parallele erscheint es sinnvoll, den zweiten Term in der eckigen Klammer von (13.2.14) durch die Partialbruchzerlegung λ+μ 1 1 = 2 λ + 2μ (K 2 − kS2 )(K 2 − kP2 ) kS

Q

1 1 − 2 K 2 − kP2 K − kS2

E

(13.2.15)

in die beiden Terme 1/(K 2 − kP2 ) und 1/(K 2 − kS2 ) zu separieren. Es folgt 1 % ˜ −1 (K) · I e−jR ·K W λ+μ E $ @Q 1 1 1 1 1 % + K K e−jR ·K . I − 2 KK = kS K 2 − kS2 kS2 K 2 − kP2 μ

˜ R+ , ω) = G(K,

(13.2.16)

Am Fourier-Umkehrintegral erkennen wir in Analogie zu (13.1.15), dass G(R, R+ , ω) = G(R − R+ , ω)

(13.2.17)

˜ gilt. Ferner ist G(K, R+ , ω) und damit G(R − R+ , ω) ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe. Wir finden: G(R − R+ , ω) =

1 μ

1 = μ

@Q

E

I+ @Q

%

%

1 + + e jkS |R−R | 1 + + e jkP |R−R | ∇∇ + − 2 ∇∇ 2 kS 4π|R − R | kS 4π|R − R+ | E

%

%

e jkS |R−R | 1 e jkP |R−R | 1 I + 2 ∇∇ ∇∇ − kS 4π|R − R+ | kS2 4π|R − R+ |

$

$

382

13 Punktquellen im homogen-isotropen Vollraum; elastodynamische Quellenfelder @Q

$

E

1 1 1 = I + 2 ∇∇ GS (R − R+ , ω) − 2 ∇∇GP (R − R+ , ω) μ kS kS , 1 1 1 + + + = , I GS (R − R , ω) + 2 ∇∇ [GS (R − R , ω) − GP (R − R , ω)] μ kS (13.2.18) wobei

%

GP,S (R − R+ , ω) =

e jkP,S |R−R | . 4π|R − R+ |

(13.2.19)

Eine weitere Anmerkung zur mathematischen Struktur: Wir wir bereits mit (5.5.14) augenf¨allig machten, beinhaltet die ∇∇-Operation an der skalaren Green’schen Funktion f¨ ur R = R+ einen ¨ Distributionsanteil, der im Ubrigen auch in der Elastostatik im Grenzfall kS,P −→ 0 pr¨asent ist, denn er r¨ uhrt ja nicht von der Exponentialfunktion, sondern vom 1/|R − R+ |-Term her. Dieses Verhalten hat in (13.2.18) aber jeder der beiden ∇∇-Terme; wegen des unterschiedlichen Vorzeichens heben sich die Distributionsanteile weg. Auch die f¨ ur R ∈ VQ in (5.5.14) notwendige Hauptwertbildung er¨ ubrigt ich damit, sodass wir in (13.2.18) die Differentiationen beruhigt“ ” ausf¨ uhren und dar¨ uber integrieren d¨ urfen. Nur wenn wir die beiden Terme getrennt auswerten, ist Vorsicht geboten15 . Aus physikalischer Sicht erf¨ ullen die beiden Terme 1 e jkP R ∇∇ , k2 4πR E Q P e jkS R 1 , G S (R, ω) = I + 2 ∇∇ kS 4πR

G P (R, ω) = −

(13.2.20) (13.2.21)

aus denen sich G(R, ω) gem¨aß G(R, ω) =

1 1 G P (R, ω) + G S (R, ω) λ + 2μ μ

(13.2.22)

zusammensetzt, genau unsere Erwartungen: G P (R, ω) repr¨asentiert Prim¨ar- und G S (R, ω) Sekund¨arwellen. Man zeigt sofort, dass f¨ ur R >= 0 ∇ × G P (R, ω) = 0 , ∇ · G S (R, ω) = 0

(13.2.23) (13.2.24)

ur Scherwellen. Insofern ist ur Druck- und G S (R, ω) f¨ gilt, d.h. G P (R, ω) steht gleichermaßen f¨ ur R >= 0 mit dem akustischen Tensor16 G v (R, ω) gem¨aß (5.5.10) (außerhalb des G P (R, ω) f¨ Quellpunkts) identisch17 ; aber auch G S (R, ω) hat eine Parallele, n¨amlich den Tensor G e (R, ω) des Elektromagnetismus (Abschnitt 6.6): Eine elektrische Stromdichte strahlt Elementarwellen (in der elektrischen Feldst¨arke) derselben mathematischen und physikalischen Struktur ab wie eine elastodynamische Kraftdichte (in der Teilchengeschwindigkeit), sofern man sich allein auf die sekund¨aren Scherwellen konzentriert. Einschließlich der Druckwellen stellt sich die (f =⇒ v)¨ der (f =⇒ v)-Akustik und des (Je =⇒ E)Elastodynamik strukturell als Uberlagerung“ ” Elektromagnetismus dar! 15 Hinsichtlich

einer getrennten Auswertung beachte man auch Fußnote 22. beachte, dass der Grenz¨ ubergang μ −→ 0 in der ersten Zeile von (13.2.14) vollzogen werden muss. 17 Deswegen gelten alle folgenden Diskussionsbemerkungen auch f¨ ur akustische Druckwellen.

16 Man

13.2 Green’sche Tensoren der Elastodynamik im homogen-isotropen unendlichen Raum

383

F¨ ur R >= 0 macht auch die Ausf¨ uhrung der ∇∇-Differentiation in den getrennt stehenden Termen (13.2.20) und (13.2.21) kein Problem: @

$

jkP R j ˆ R) ˆ R) ˆ + 1 (I − 3R ˆ e (I − 3R , kP R kP2 R2 4πR @ $ jkS R ˆR ˆ R) ˆ R) ˆ + j (I − 3R ˆ − 1 (I − 3R ˆ e . G S (R, ω) = I − R 2 2 kS R kS R 4πR

ˆR ˆ− G P (R, ω) = R

(13.2.25) (13.2.26)

Folgendes f¨allt auf: • Auch wenn der Quellpunkt im Koordinatenursprung liegt, besitzen elementare elastodynamische Druck- und Scherwellen richtungsabh¨angige Amplituden, die Funktion von R und ˆ sind. R • Die Amplituden elementarer elastodynamischer Druck- und Scherwellen enthalten jeweils Terme mit charakteristischer R-Abh¨angigkeit: 1/R, 1/R2 und 1/R3 . Offensichtlich sind e jkP R ˆ ˆ RR 4πR jkP R e ˆ , = g (R) P R e jkS R ˆ ˆ R) (I − R (R, ω) = Gfern S 4πR e jkS R ˆ = g (R) S R

(R, ω) = Gfern P

(13.2.27)

(13.2.28)

die Fernfeldterme mit den (frequenzunabh¨angigen) tensoriellen Richtcharakteristiken 1 ˆ ˆ RR , 4π ˆ = 1 (I − R ˆ R) ˆ . g (R) S 4π

ˆ = g (R) P

(13.2.29) (13.2.30)

¨ Entsprechend stehen die 1/R3 -Terme f¨ ur das Nahfeld und die 1/R2 -Terme f¨ ur ein Ubergangsfeld. ¨ • Nahfeld, Ubergangsfeld und Fernfeld sind unterschiedlich frequenzabh¨angig; erst im Fernfeld manifestiert sich der δ(t)-Impuls der Quelle in (13.2.7) als δ(t)-G P,S -Elementarwellenfront. • Bez¨ uglich einer Kugel (im Fernfeld) hat e jkP R e e 4πR R R

(13.2.31)

e jkS R (e e + eϕ eϕ ) 4πR ϑ ϑ

(13.2.32)

(R, ω) = Gfern P nur eine radiale (Tensor-)Komponente und Gfern (R, ω) = S

nur tangentiale (Tensor-)Komponenten, da (in Kugelkoordinaten) I = eR eR +eϑ eϑ +eϕ eϕ gilt.

384

13 Punktquellen im homogen-isotropen Vollraum; elastodynamische Quellenfelder

Die Diskussion von G(R − R+ , ω) bzw. G(R − R+ , t) im Sinne von Abschnitt 13.1.2 f¨ ur die skalare Green’sche Funktion gestaltet sich wegen des tensoriellen Charakters von G und wegen ¨ der unterschiedlichen Frequenzabh¨angigkeit von Nah-, Ubergangsund Fernfeld etwas umst¨andlicher. Wir orientieren uns deshalb an (13.1.68)–(13.1.70) und gehen sofort zur physikalischen Feldgr¨oße, in diesem Fall zur Teilchenverschiebung u ¨ber. Zuvor geben wir noch die Tensorkomponenten von G P (R, ω) und G S (R, ω) in Kugelkoordinaten an: Q

E

e jkP R 2 2 − 2 2 1+j kP R kP R 4πR Q E e jkP R 1 1 −j + 2 2 kP R kP R 4πR Q E 1 e jkP R 1 −j + kP R kP2 R2 4πR E Q 2 e jkS R 2 −j + 2 2 kS R kS R 4πR Q E 1 e jkS R 1 1+j − 2 2 kS R kS R 4πR E Q e jkS R 1 1 − 2 2 1+j kS R kS R 4πR

G P (R, ω) : eR eR = G P (R, ω) : eϑ eϑ = G P (R, ω) : eϕ eϕ = G S (R, ω) : eR eR = G S (R, ω) : eϑ eϑ = G S (R, ω) : eϕ eϕ =

,

(13.2.33)

,

(13.2.34)

;

(13.2.35)

,

(13.2.36)

,

(13.2.37)

.

(13.2.38)

In Kugelkoordinaten hat G(R, ω) also Diagonalform, und offensichtlich findet man die Fernfeldn¨aherung (13.2.31), (13.2.32) anhand der Einsen in den Klammern von (13.2.33), (13.2.37) und (13.2.38) wieder.

13.2.2

Teilchenverschiebung einer punktf¨ormigen Kraftdichtequelle; Punktrichtwirkungen

Analog zu (13.1.56) stellen wir die Behauptung auf, dass v(R, ω) =

; ; ;

VQ

G(R − R+ , ω) · Q(R+ , ω) d3 R+

(13.2.39)

L¨osung der Differentialgleichung (13.2.5) ist, wenn G(R − R+ , ω) der Gleichung (13.2.7) gen¨ ugt. Zum Beweis setze man (13.2.39) in (13.2.5) ein, benutze (13.2.7) und argumentiere mit der Siebeigenschaft der δ-Funktion. Gleichung (13.2.39) ist die Punktquellensynthese eines zeitharmonischen elastodynamischen Teilchengeschwindigkeitsfeldes, das von der in VQ von null verschiedenen Quelldichte Q(R, ω) abgestrahlt wird: Die tensoriellen Elementarwellen setzen sich aus Druck- und Scherwellen mit kugelf¨ormigen Amplituden- und Phasenfl¨achen zusammen. Zur Beobachtung“ der Elementarwellen gehen wir wie f¨ ur ebene Wellen zur Teilchenverschiebung18 ” u ¨ber und setzen zun¨achst h(R, ω) ≡ 0: u(R, ω) = = 18 De

; ; ;

VQ

; ; ;

VQ

G(R − R+ , ω) · f (R+ , ω) d3 R+ f (R+ , ω) · G21 (R − R+ , ω) d3 R+

Hoop (1995) bezeichnet den Green’schen Tensor −jωG mit Gvf :

; ; ;

Gvf (R − R% , ω) · f (R% , ω) d3 R% .

v(R, ω) = VQ

(13.2.40)

13.2 Green’sche Tensoren der Elastodynamik im homogen-isotropen unendlichen Raum ; ; ;

=

VQ

f (R+ , ω) · G(R − R+ , ω) d3 R+ ;

385

(13.2.41)

wir haben die Symmetrie von G(R−R+ , ω) ausgenutzt. Das vektorielle Teilchenverschiebungsfeld einer punktf¨ormigen (Einheits-)Kraftdichte19 f (R, ω) = δ(R) ˆf

(13.2.42)

im Koordinatenursprung ist die tensorielle Green’sche Funktion projiziert auf die Richtung ˆf der Kraftdichte (man vergleiche (13.1.70)) uPQf (R, ω) = G(R, ω) · ˆf = ˆf · G(R, ω) .

(13.2.43) (13.2.44)

Damit wird auch deutlich, was der Tensorcharakter der Elementarwellen bedeutet: Der Vektor der Kraftdichte ˆf wird in den Vektor der Teilchenverschiebung gedreht, beide haben nicht die gleiche Richtung. Den Vektor (13.2.43) k¨onnen wir nun in seine Kugelkoordinatenkomponenten aufspalten: PQ

f (R, ω) = uPQf (R, ω) · eR,ϑ,ϕ uR,ϑ,ϕ = G(R, ω) : ˆf eR,ϑ,ϕ ;

mit (13.2.33)–(13.2.38) finden wir @

Q

E

Q

E

$

e jkS R ˆ f · eR , 4πR (13.2.46) E E Q Q $ @ jkP R jkS R 1 1 e e 1 1 1 1 PQ ˆf · eϑ , uϑ f (R, ω)= −j 1+j + + − λ + 2μ kP R kP2 R2 4πR μ kS R kS2 R2 4πR (13.2.47) @ Q Q $ E E 1 1 1 e jkP R e jkS R ˆ 1 1 1 PQf f · eϕ . uϕ (R, ω)= −j 1+j + + − λ + 2μ kP R kP2 R2 4πR μ kS R kS2 R2 4πR (13.2.48)

PQ uR f (R, ω)=

2 1 2 1+j − λ + 2μ kP R kP2 R2

e jkP R 1 + 4πR μ

(13.2.45)

2 2 −j + kS R kS2 R2

Zun¨achst ist festzuhalten: Jede elastodynamische (Kraftdichte-)Punktquelle strahlt Druck- und Scherwellen ab. Ferner: Im Allgemeinen ist die prim¨are Druckwelle keine Longitudinalwelle und die sekund¨are Scherwelle keine Transversalwelle, da beide in jeder Komponente vorkommen. Die in der US-zfP selbstverst¨andliche Terminologie Long- und Transwellen“ trifft streng nur ” auf ebene Wellen zu; sowohl Druck- als auch Scher-Elementarwellen haben jeweils sowohl longitudinale eR - als auch transversale eϑ , eϕ -Teilchenverschiebungskomponenten20 . Allein in der Fernfeldn¨aherung e jkP R ˆ 1 f · eR , λ + 2μ 4πR 1 e jkS R ˆ PQ ,fern (R, ω) = uϑ f f · eϑ , μ 4πR 1 e jkS R ˆ PQ ,fern (R, ω) = uϕ f f · eϕ μ 4πR PQf ,fern

uR

19 Die

(R, ω) =

(13.2.49) (13.2.50) (13.2.51)

δ(R)-Funktion hat die Einheit m−3 , eine dimensionsbehaftete Kraft f0 = 1 die Einheit N. findet deshalb im Nahfeld einer punktf¨ ormigen Normalkraft auf der Oberfl¨ ache eines Halbraums durchaus Scherwellen auf der akustischen Achse (die Nullstelle der Punktrichtwirkung — Abbildung 14.3.2 — ergibt sich erst im Fernfeld), wovon in der Medizintechnik Gebrauch gemacht werden kann (Fink et al., 2002). 20 Man

386

13 Punktquellen im homogen-isotropen Vollraum; elastodynamische Quellenfelder

trifft wieder die gewohnte Terminologie zu: Prim¨are Fernfelddruckwellen sind longitudinal, sekund¨are Fernfeldscherwellen sind transversal polarisiert. Anders ausgedr¨ uckt: Im Fernfeld treten Prim¨arwellen nur in der R-Komponente und Sekund¨arwellen nur in den ϑ, ϕ-Komponenten der ˆ = eR (sogenanntes atmendes K¨ Teilchenverschiebung auf. W¨ahlen wir speziell ˆf = ˆf (R) ugelchen), so treten im Teilchenverschiebungsstrahlungsfeld grunds¨atzlich keine tangentialen Komponenten auf, und das Fernfeld dieser speziellen Punktquelle besteht nur aus der Druckwelle. F¨ ur die US-zfP ist insbesondere die spezielle Wahl ˆf = ez (das einfachste Modell eines piezoelektrischen Pr¨ ufkopfes ist n¨amlich eine punktf¨ormige Normalkraft auf einem elastischen Halbraum mit der Oberfl¨ache parallel zur xy-Ebene) von Bedeutung; damit verschwindet die ϕKomponente der Scherwelle, und die R-Komponente der Druckwelle hat sodann die Richtcharakteristik ˆf ·eR = cos ϑ, d.h. eine Nullstelle senkrecht zur Kraftorientierung (ϑ = π/2), w¨ahrend die ϑ-Komponente der Scherwelle die Richtcharakteristik ˆf · eϑ = − sin ϑ, d.h. Nullstellen in Richtung der Kraftorientierung (ϑ = 0, ϑ = π) besitzt. RC2(ω)-bandbegrenzte Zeitbereichswel-

z

x

..... .......... .... .. ... ... ... ... ... . .... .. ... ................................................................................ . . . . ..... .... ..... ..... ..... ..... . . . ... ........ .........

Druckwelle

Scherwelle

y

... ..

ˆf = ez

.... . . . . ... ..... ......... ..... u ..... . ......

PQf ,fern

uϑ

eϑ

PQf ,fern eR R

Abb. 13.2.1: RC2(ω)-bandbegrenzte Fernfeldwellenfronten der Teilchenverschiebung bei vorgegebener Kraftdichte ˆf = ez (gegen¨ uber der Druckwelle weist die Scherwelle grunds¨ atzlich den Amplitudenfaktor (λ + 2μ)/μ = κ2 auf; ein weiterer ahrend Faktor κ kommt hinzu, weil zum festen Zeitpunkt t die Wellenfront der Scherwelle erst bis R = cS t gekommen ist, w¨ die Druckwelle bereits bei R = cP t ist)

lenfronten der Teilchenverschiebung im Fernfeld — man multipliziere (13.2.49)–(13.2.51) mit RC2(ω) — sehen deshalb so aus wie in Abb. 13.2.1; man beachte aber: Druck- und Scherwellenfront treten in unterschiedlichen Komponenten der Teilchenverschiebung auf. Diese Abbildung u ¨bertr¨agt die Wellenfrontendarstellung ebener Druck- und Scherwellen in Abb. 8.1.5 auf entsprechende Elementarwellen von Punktquellen; dort wie hier ist die Scherwelle an der kleineren Wellenl¨ange kenntlich, dort wie hier ist die Teilchenverschiebung dargestellt, und deshalb sind beide Wellenfrontentypen dort wir hier longitudinal bzw. transversal polarisiert, hier jedoch ist die Fernfeldn¨aherung vorausgesetzt, und es kommt der Punktquellenparameter ˆf ins Spiel. F¨ ur

13.2 Green’sche Tensoren der Elastodynamik im homogen-isotropen unendlichen Raum

387

ˆ = eR ergibt sich das Wellenfrontenbild — beispielsweise — das atmende K¨ ugelchen ˆf = ˆf (R) von Abb. 13.2.2. Ein Abb. 13.2.1 erg¨anzendes A-Bild (Abbildung 13.2.3) zeigt noch einmal explizit, dass sich ein RC2(t)-Impuls in der Kraftdichte im Fernfeld auch als RC2(t)-Impuls in der Teilchenverschiebung manifestiert, und zwar sowohl im Druckwellenimpuls als auch im Scherwellenimpuls. F¨ ur ebene Wellen im unbegrenzten Raum konnten wir die Zeitabh¨angigkeit von Druck- und Scherwellen unabh¨angig voneinander vorgeben, f¨ ur Elementarwellen von Punktquellen ist die Zeitabh¨angigkeit der Scherwelle u ¨ber die Zeitabh¨angigkeit der Quelle an die Zeitabh¨angigkeit der Druckwelle gekoppelt.

Druckwelle

.......................

ˆf (R) ˆ = eR

..... ..... u ..... . .......

PQf ,fern eR R

Abb. 13.2.2: RC2(ω)-bandbegrenzte Fernfeldwellenfronten der Teilchenverschiebung bei vorgegebener Kraftdichte ˆf = eR

Punktrichtwirkungen der Teilchenverschiebung einer Kraftdichtequelle Wie bereits erw¨ahnt, ist die richtungsabh¨angige Amplitude der Fernfeldwellenfronten in Abb. 13.2.1 gem¨aß (13.2.45) und (13.2.27), (13.2.28) durch die (nicht normierten) ˆf -Punktrichtwirkungen PQf

HP

1 ˆ : ˆf eR g (R) λ + 2μ P 1 ˆR ˆ : ˆf eR = R 4π(λ + 2μ) 1 ˆf · R ˆ = 4π(λ + 2μ)

ˆ = (R)

PQ ,fern

= R e−jkP R uR f PQ ˆ = 1 g (R) ˆ : ˆf eϑ HSϑ f (R) μ S

(R, ω) ,

(13.2.52)

388

13 Punktquellen im homogen-isotropen Vollraum; elastodynamische Quellenfelder ... ........ ...... ... ..... ... ... f ... .. ... ... ... ... .... ... f .... .... ... ..... ... ....... . . ... . ..... ... .. ... ...... .... .. .. ... .. ... ..... ... ...... ... .... . . . .. .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... . ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . . . . ... ....... .... .... ... ... .... .... .... .... ....... .... ... .... ... ... ... ... ...... ...... .... . . .. . ... ........ ........ ... ...... ...... .... .. ..... ..... .. .... ... ........ ....... ... .... . . . ... ... ... ... ... .. .. .... .. .. .... ... ... ... .. ... ...

PQ ,fern

uϑ

(R, t)

PQ ,fern uR (R, t)

R/cP

t

R/cS

uber der Druckwelle hat die Scherwelle an einem festen Abb. 13.2.3: A-Bild zu Abb. 13.2.1 f¨ ur einen festen Ort R (gegen¨ oßere Amplitude) Ort eine um den Faktor (λ + 2μ)/μ = κ2 gr¨

1 ˆ R) ˆ : ˆf eϑ (I − R 4πμ 1 ˆ f · eϑ = 4πμ

=

PQ ,fern

= R e−jkS R uϑ f (R, ω) , 1 PQf ˆ : ˆf eϕ ˆ = g (R) HSϕ (R) μ S 1 ˆ R) ˆ : ˆf eϕ = (I − R 4πμ 1 ˆ f · eϕ = 4πμ PQf ,fern

= R e−jkS R uϕ

(R, ω)

(13.2.53)

(13.2.54)

gegeben, wobei im Falle der genannten Abbildung ˆf = ez vorausgesetzt ist. Diese Punktrichtwirkungen sind frequenzunabh¨angig. Abbildung 13.2.4 zeigt graphische Darstellungen der PunktPQ ˆ (Richtdiagramme) f¨ ˆ und |H PQf (R)| richtwirkungen |HP f (R)| ur ˆf = ez und ˆf = ex in der Sϑ xz-Ebene. Die Teilbilder 13.2.4a und 13.2.4b sind f¨ ur die Amplitudenwichtung der Wellenfronten in Abb. 13.2.1 zust¨andig. Man beachte: Das (ˆf = ez )-Richtdiagramm der transversalen Scherwelle entspricht demjenigen eines entsprechend orientierten Hertz’schen Dipols elektromagnetischer Wellen (Abschnitt 6.6). Das muss ja auch so sein, da die Green’schen Tensoren G e und G S u ¨bereinstimmen und die Kraftdichte in der v-Differentialgleichung denselben Stellenwert hat wie die elektrische Stromdichte in der E-Differentialgleichung. Lokal ebene Wellen Mit (13.2.43) und (13.2.22) sowie (13.2.27) und (13.2.28) k¨onnen wir u ¨brigens die Fernfeldn¨aherung (13.2.49)–(13.2.51) koordinatenfrei schreiben: PQf ,fern

uP

1 ejkP R ˆ ˆ ˆ RR · f λ + 2μ 4πR jkP R ˆ e ˆ ˆ P (ˆf , R) = uP (ˆf , R) u R

(R, ω) =

(13.2.55)

13.2 Green’sche Tensoren der Elastodynamik im homogen-isotropen unendlichen Raum a)

389

b) z

.... ........... .... .. .. ... ... ........ . ...... ..... ........... ... .. ... ... ... ... ... .... .. ... ... ... ...

.............................. ....... ..... ..... ..... ... ..... ... ... . ... .. . . ... . ... .... ... . .. ... ... ... ... ... . .. .... . . . ..... .. ...... ..... ........... ....... . .......................... ...... ......... ...... ..... .... ..... . . . ... ... ... .. ... ... ... ..... ... ... ... ... . ... .. . . ... .. . ..... . . . .. ..... ..... ....... ...............................

... . . . . .... Rˆ •.. ϑ

....

ˆf = ez

PQf

HP

....................... .......................... ...... ......... ...... ........ ..... ...... ..... ...... .... ..... ... ..... ... ... .... ... ... ... ... ... . . . ...... ... ..... . ... ... ... . .. ... ..... . ... ... ....... ... ... . . .. .... .. ... . . . . . ..... ..... .. ..... ...... ...... ..... ..... ........ ..... ........ ........................... ..........................

....

PQ

ˆ = − sin ϑ/4πμ HSϑ f (R)

ˆ = cos ϑ/4π(λ + 2μ) (R)

c)

d)

ˆf = ex

PQf

HP

ˆf = ez

................................. ..... ....... ..... ..... .... ... ... ... .. . ... . . ... .... . ... ... ... ... ... ... ... . . ... . . . ..... . ...... ..... ..... ........ ........ . .................................. ....... ..... ..... ..... . . . . ... . ... ... .. ... ... ... ... .. .... . ... ... ... ... ... ... . ... .. . . ..... . .... ...... ...... ........ ..........................

....... ...................... ........... ................. ......... ...... ...... ..... ...... ..... ..... .... ..... ... .... ... ..... ... ... ... ... ... . . . ...... ... .... ..... ... ... . .... ... ...... ... . ... .... ... . . . . ... .. .... .. . . ... . . .... .. ..... .... ..... ..... ...... ..... ...... ...... ........ ........... ................ .......................... .........

........

........

ˆf = ex

PQ ˆ = cos ϑ cos ϕ/4πμ HSϑ f (R)

ˆ = sin ϑ cos ϕ/4π(λ + 2μ) (R)

Abb. 13.2.4: Richtdiagramme der Teilchenverschiebung f¨ ur punktf¨ ormige Kraftdichtequellen (Punktrichtwirkungen f¨ ur ˆf ): in Richtung R ˆ ist f¨ ur ϕ = 0, d.h. als Funktion von ϑ, der auf 1 normierte Betrag der Punktrichtwirkungen aufgetragen

mit ˆ =R ˆ , ˆ P (ˆf , R) u

1 ˆ · ˆf ˆ = R uP (ˆf , R) 4π(λ + 2μ)

(13.2.56) (13.2.57)

sowie PQf ,fern

uS

1 ejkS R ˆ R) ˆ · ˆf (I − R μ 4πR jkS R ˆ e ˆ ˆ S (ˆf , R) u = uS (ˆf , R) R

(R, ω) =

(13.2.58)

mit ˆ ˆ ˆ ˆ = (I − R R) · f , ˆ S (ˆf , R) u ˆ · ˆf | ˆ R) |(I − R ˆ · ˆf | , ˆ = 1 |(I − R ˆ R) uS (ˆf , R) 4πμ

(13.2.59) (13.2.60)

ˆ und u ˆ gem¨aß ˆ P (ˆf , R) ˆ S (ˆf , R) wobei die Amplituden(einheits)vektoren u ˆ ·u ˆ R) ˆ =0 , ˆ P (ˆf , R) (I − R

(13.2.61)

390

13 Punktquellen im homogen-isotropen Vollraum; elastodynamische Quellenfelder ˆ =0 ˆ ·u ˆ S (ˆf , R) R

(13.2.62)

ˆ orientiert sind. Der Verlongitudinal bzw. transversal bez¨ uglich der Ausbreitungsrichtung R gleich dieser Schreibweise mit (8.1.82)–(8.1.85) macht deutlich, dass sich das Teilchenverschiebungsfernfeld einer Punktquelle lokal wie eine ebene Welle verh¨alt. Ein wesentlicher Unterschied: Eine eventuelle F (ω)-Bandbegrenzung der Punktquelle gem¨aß f (R, ω) = F (ω)δ(R) ˆf tritt als ˆ =⇒ uP,S (ˆf , R, ˆ ω) = F (ω)uP,S (ˆf , R) ˆ auf. Faktor in beiden Amplituden uP,S (ˆf , R) Diese Analogie — Gleichungen (8.1.122) und (8.1.123) — gilt nat¨ urlich auch f¨ ur den Spannungstensor. Wir berechnen mit (13.2.1) (Gleichung (7.1.23)) T(R, ω) = c : ∇u(R, ω)

>

= λ I ∇ · u(R, ω) + μ ∇u(R, ω) + [∇u(R, ω)]21

G

,

(13.2.63)

also im Fernfeld der ˆf -Punktquelle PQf ,fern

TPQf ,fern (R, ω) = T P

PQf ,fern

(R, ω) + T S

(R, ω)

(13.2.64)

mit — man beachte (13.2.62) — e jkP R ˆ R) ˆ , (λ I + 2μR R jkS R PQ ,fern ˆu ˆ e ˆ +u ˆ R] ˆ . ˆ S (ˆf , R) ˆ S (ˆf , R) [R (R, ω) = jkS μ uS (ˆf , R) TS f R PQf ,fern

TP

ˆ (R, ω) = jkP uP (ˆf , R)

(13.2.65) (13.2.66)

Wir werden in Abschnitt 14 sehen, dass die lokale Analogie sph¨arischer Wellen mit ebenen Wellen auch noch f¨ ur das Fernfeld beliebiger endlich großer Quellen gegeben ist. Die Aufspaltung (13.2.55), (13.2.58) in Druck- und Scher-Elementarwellen gilt mit (13.2.22) und (13.2.43) nat¨ urlich f¨ ur beliebige Entfernungen: uPQf (R, ω) =

1 1 G (R, ω) · ˆf + G S (R, ω) · ˆf , λ + 2μ P μ


= 0 die ausdifferenzierten Darstellungen analog zu (13.2.25) und (13.2.26) zu bekommen, muss man tats¨achlich etwas rechnen25 ; das Ergebnis lautet: 0

W

/

ˆR ˆ + 2μR ˆR ˆ + Σ (R, ω) = jkP λ I R P

/ 1W ˆ I + 2μR ˆ I213 + 2μI R ˆR ˆ + 2μR ˆ − 12μR ˆR ˆ + −λ I R R / 6μ W ˆ ˆ − 5R ˆR ˆ − ˆ I213 + I R ˆR +j RI + R 2 kP R /X jkP R 6μ W ˆ ˆ − 5R ˆR ˆ e ˆ I213 + I R ˆR − 2 3 R I+R ; kP R 4πR 0 W / ˆ I+R ˆR ˆ − ˆ I213 − 2R ˆR Σ (R, ω) = μ jkS R

+

S

− 24 Um

zu zeigen, dass Σ

P

/ 1W ˆ ˆ I213 + 2I R ˆR ˆ − 12R ˆR ˆ − 3R I + 3R R

in (13.2.79) tats¨ achlich einen Druckwellenterm mit ∇ × v = 0 und Σ

¯ gem¨ aß Fußnote 23. ∇ · v = 0 erzeugt, benutze man den linksseitigen Σ-Tensor 25 Man

(13.2.87)

ben¨ otigt die Formeln: ˆ , ∇R = R 1 ˆ R) ˆ , (I − R R ∇(ΦD) = (∇Φ)D + Φ∇D , ˆ = ∇R

∇(A B) = (∇A)B + (A∇B)213 .

S

einen Scherwellenterm mit

13.2 Green’sche Tensoren der Elastodynamik im homogen-isotropen unendlichen Raum / 6 Wˆ ˆR ˆ − 5R ˆR ˆ + ˆ I213 + I R RI + R 2 kS R /X jkS R 6 Wˆ ˆ I213 + I R ˆ − 5R ˆR ˆR ˆ e + 2 3 R I+R ; kS R 4πR

395

−j

(13.2.88)

Die Fernfeld n¨aherungen von Σ und Σ erhalten wir jedoch nicht nur aus (13.2.87) und S P (13.2.88), sondern unmittelbar aus (13.2.85) und (13.2.86), indem wir (13.1.47) verwenden: / ejkP R W ˆ ˆR ˆ ˆR λ I R + 2μR 4πR e jkP R ˆ R ˆ R) ˆ jkP (λ I + 2μR 4πR e jkP R ˆ , −jω σ (R) P R / ejkS R W ˆ ˆR ˆ ˆR ˆ I213 − 2R RI + R jkS μ 4πR e jkS R ˆ . −jω σ (R) S R

Σfern (R, ω) = jkP P

= = Σfern (R, ω) = S

=

(13.2.89)

(13.2.90)

Es gilt: ˆ R) ˆ =0 , Σfern (R, ω) · (I − R

(13.2.91)

ˆ =0 . ·R

(13.2.92)

P

Σfern (R, ω) S

ˆ und σ (R) ˆ der Σ Die Richtcharakeristiken σ (R) P

S

P,S

-Tensoren sind durch

1 ˆ R ˆ R) ˆ , (λ I + 2μR 4πcP ˆ R) ˆ ˆ = − μ (R ˆ I+R ˆR ˆ I213 − 2R σ (R) S 4πcS

ˆ =− σ (R) P

(13.2.93) (13.2.94)

gegeben; wir definieren sie, ebenso wie die Richtcharakteristiken g , g der G P,S -Tensoren, P S frequenzunabh¨angig.

13.2.4

Teilchenverschiebung einer punktf¨ormigen Deformationsratenquelle; Punktrichtwirkungen

Gem¨aß (13.2.79) ist der Green’sche Tensor zweiter Stufe der Teilchengeschwindigkeit einer Kraftdichtequelle und der Green’sche Tensor dritter Stufe der Teilchengeschwindigkeit einer Deformationsratenquelle zuzuordnen. Demzufolge untersuchen wir nun den Fall f = 0 und h >= 0 etwas genauer: v(R, ω) = Mit (Gleichung (2.1.127))

und

; ; ;

h(R+ , ω) : Σ(R − R+ , ω) d3 R+ .

(13.2.95)

ˆ=' h h h : h+

(13.2.96)

ˆ h(R, ω) = δ(R) h

(13.2.97)

VQ

396

13 Punktquellen im homogen-isotropen Vollraum; elastodynamische Quellenfelder

postulieren wir eine punktf¨ormige Deformationsrateneinheitsquelle im Koordinatenursprung und finden26 ˆ : Σ(R, ω) vPQh (R, ω) = h ˆ = Σ312 (R, ω) : h

(13.2.98)

als Pendant zu (13.2.43). Nunmehr die Komponenten von vPQh analog zu (13.2.46)–(13.2.48) in Kugelkoordinaten anzugeben, ist uns entschieden zu viel Rechen- und Schreibarbeit; wir gehen deshalb in Analogie zu (13.2.55) und (13.2.58) direkt ins Fernfeld, indem wir (13.2.89) und (13.2.90) benutzen: v

PQh ,fern

ˆ: (R, ω) = h

@

1 1 Σfern (R, ω) + Σfern (R, ω) P λ + 2μ μ S

PQh ,fern

= vP

PQh ,fern

(R, ω) + vS

$

(R, ω) ,

(13.2.99)

wobei PQh ,fern

vP

kP e jkP R ˆ ˆ R ˆ R) ˆ h : (λI + 2μR λ + 2μ 4πR jkP R ˆ R) ˆ e = vP (h, R

(R, ω) = j

(13.2.100)

mit ˆ R) ˆ R) ˆ = vP (h, ˆ R ˆ vP (h, kP ˆ : (λI + 2μR ˆ R) ˆ ˆ R =j h 4π(λ + 2μ)

(13.2.101)

sowie PQh ,fern

vS

e jkS R ˆ ˆ ˆ R) ˆ h : R(I − R 4πR jkS R ˆ R) ˆ e = vS (h, R

(R, ω) = 2jkS

(13.2.102)

mit ˆ R) ˆ R)ˆ ˆ R) ˆ ˆ vS (h, ˆ = vS (h, vS (h, kS ˆ ˆ ˆ . ˆ R) =j h : R(I − R 2π

(13.2.103)

Mit 1 e jkP R ˆ ˆ R) ˆ R ˆ h : (λI + 2μR 4πcP (λ + 2μ) R jkP R ˆ R) ˆ R) ˆ e ˆ ; ˆ P (h, u = uP (h, R 1 ejkS R ˆ ˆ PQ ,fern ˆ ˆ R) uS h (R, ω) = − h : R(I − R 2πcS R jkS R ˆ R) ˆ R) ˆ e ˆ , ˆ S (h, = uS (h, u R PQh fern

uP

26 Wir

(R, ω) = −

benutzen immer wieder die Symmetrien h = h21 und Σ = Σ213 .

(13.2.104)

(13.2.105)

13.2 Green’sche Tensoren der Elastodynamik im homogen-isotropen unendlichen Raum

397

wobei ˆ R) ˆ =R ˆ , ˆ P (h, u ˆ ˆ ˆ ˆ R) ˆ = − h : (λI + 2μR R) ; uP (h, 4πcP (λ + 2μ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ R) ˆ = h : R(I − R R) , ˆ S (h, u ˆ : R(I ˆ −R ˆ R)| ˆ |h ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ R) ˆ = − |h : R(I − R R)| , uS (h, 2πcS

(13.2.106) (13.2.107) (13.2.108) (13.2.109)

ˆ gehen wir zur Teilchenverschiebung u ur die h-Quelle die Po¨ber. Offensichtlich gelten auch f¨ larisationsgleichungen (13.2.61), (13.2.62); die Spannungstensorgleichungen (13.2.65), (13.2.66) k¨onnen ebenfalls u ¨bernommen werden, wenn dort (13.2.106)–(13.2.109) eingesetzt werden: Auch das Teilchenverschiebungsfernfeld einer punktf¨ormigen Deformationsratenquelle verh¨alt sich lokal wie eine ebene Welle. Es sei noch darauf hingewiesen, dass sich die Zeitabh¨angigkeit sowohl der punktf¨ormigen f - als auch der punktf¨ormigen h-Quelle im A-Bild des Fernfeldes der Teilchenverschiebung reproduziert (man vergleiche die Abbildungen 13.2.1 und 13.2.3). ˆ =R ˆ der KraftAnhand von Abb. 13.2.2 hatten wir demonstriert, dass die spezielle Wahl ˆf (R) √ ˆ = I/ 3 dichte die zugeh¨orige Scherwelle im Fernfeld abschaltet“; mit der speziellen Wahl h ” einer Deformationsraten(einheits)quelle k¨onnen wir die zugeh¨orige Scherwelle v¨ollig, d.h. im Nah- und Fernfeld abschalten, da mit (13.2.88) I : Σ ≡ 0 gilt. Derartige Tricks“ werden uns S ” bei der physikalischen Interpretation von Nebenechos sehr n¨ utzlich sein. Punktrichtwirkungen der Teilchenverschiebung einer Deformationsratenquelle In Analogie zu (13.2.52)–(13.2.54) definieren wir mit (13.2.93) und (13.2.94) (nicht normierte) frequenzunabh¨angige27 (Fernfeld-)Punktrichtwirkungen der Teilchenverschiebung einer Deformationsratenquelle: PQh

HP

1 ˆ : σ (R) ˆ · eR h P λ + 2μ 1 ˆ : (λI + 2μR ˆ R ˆ R) ˆ · eR =− h 4πc2P ZP 1 ˆ : (λI + 2μR ˆ R) ˆ h =− 4πc2P ZP

ˆ = (R)

PQ ,fern

= R e−jkP R uR h (R, ω) , PQ ˆ : σ (R) ˆ · eϑ ˆ = 1h HSϑ h (R) S μ 1 ˆ ˆ ˆR ˆ R) ˆ · eϑ ˆ I213 − 2R =− h : (R I + R 4πcS 1 ˆ ˆ ˆ R) ˆ · eϑ h : R(I − R =− 2πcS / 1 ˆ Wˆ ˆ h : R eϑ + eϑ R =− 4πcS PQ ,fern = R e−jkS R uϑ h (R, ω) , 27 Deswegen

hatten wir σ

P

und σ

S

gem¨ aß (13.2.89) und (13.2.90) ohne den Faktor −jω definiert.

(13.2.110)

(13.2.111)

398

13 Punktquellen im homogen-isotropen Vollraum; elastodynamische Quellenfelder 1ˆ ˆ · eϕ h : σ (R) S μ / 1 ˆ Wˆ ˆ =− h : R eϕ + eϕ R 4πcS = R e−jkS R uϕPQh ,fern (R, ω) .

ˆ = HSϕ h (R) PQ

(13.2.112)

ˆ W¨ahlen wir nacheinander einzelne Komponenten des h-Tensors aus, ergeben sich beispielsweise die Richtdiagramme von Abb. 13.2.6 (wir beschr¨anken uns auf hxx , hyy , hzz , hxz ; man beachte: im S-Anteil kompensieren sich die ex ex -, ey ey - und ez ez -Terme), wobei festzuhalten ist, dass — auch PQ ohne die Vorfaktoren — die HP h -Diagramme in ihrer Struktur materialabh¨angig sein k¨onnen. ¨ Zusammen mit Abb. 13.2.4 verschafft man sich damit einen schnellen Uberblick hinsichtlich der Richtwirkung von Punktquellen; und: Der Formalismus elastodynamischer Green’scher Tensoren reduziert sich letztlich auf Sinus und Cosinus! Mit dieser Erkenntnis wollen wir uns auch noch den n¨achsten Abschnitt zumuten.

13.2.5

Green’scher Tensor vierter Stufe: Spannungstensor punktf¨ormiger Deformationsratenquellen

Die vier Green’schen Tensoren der Elastodynamik Warum auch noch ein Tensor vierter Stufe? Mit (13.2.79) liegt doch das elastodynamische Quellenfeld der Teilchengeschwindigkeit f¨ ur gegebene Kraft- und Deformationsratenquellen vor! Mit dem Blick auf das akustische Schema in Abb. 5.5.1 wird klar, was gemeint ist: Mit der Quellenfelddarstellung f¨ ur p, die die Green’schen Funktionen G und ∇G enth¨alt, ist ebenfalls alles gesagt“; durch die Gradientenbildung ∇p zur Berechnung von v entsteht jedoch in der ” resultierenden Quellenfelddarstellung aus ∇G der Green’sche Tensor (zweiter Stufe) G v ! Wenn wir andererseits die Differentialgleichung f¨ ur v zuerst l¨osen, kommt G v sofort ins Spiel. Hier ist die Situation ¨ahnlich: Zur Quellenfelddarstellung von v ben¨otigen wir G und Σ; wenn nun aus v durch die Hooke’sche Differentiation“ c : ∇ der Spannungstensor ausgerechnet wird, ” entsteht aus Σ der Tensor vierter Stufe Π, der sodann durch Doppelkontraktion mit h zwischen vorgegebenen Deformationsraten und resultierenden Spannungen vermitttelt. Aus physikalischer Sicht repr¨asentiert Π die von h ausgehenden (Huygens’schen) Spannungselementarwellen. Im Vorgriff auf die folgende Rechnung zeigen wir in Abb. 13.2.7 das zu Abb. 5.5.1 analoge Schema, und bevor wir diese Rechnung explizit durchf¨ uhren, fassen wir die formalen Operationen, die uns (13.2.79) bescherten, noch einmal zusammen: v=

; ; ; VQ

[

G · (−jωf )


0 . (13.2.124)

Wegen (13.2.84) hat dies ebenfalls die Aufspaltung Π(R, ω) =

1 1 Π (R, ω) + Π (R, ω) λ + 2μ P μ S

mit Π (R, ω) = λ∇ · Σ312 I + μ P

Π (R, ω) = μ S

90

90

P

∇Σ (R, ω) S

∇Σ (R, ω)

X2314

P

0

X2314

+ ∇Σ (R, ω) S

0

+ ∇Σ (R, ω) X2341 7

P

(13.2.125) X2341 7

, (13.2.126) (13.2.127)

402

13 Punktquellen im homogen-isotropen Vollraum; elastodynamische Quellenfelder

zur Folge; wegen (13.2.86) und ∇ · G S (R, ω) ≡ 0 (Gleichung (13.2.24)) gilt: 0

∇ · ∇G S (R, ω)

X312

= ∇∇ · G21 (R, ω) S 0

= ∇ ∇ · G S (R, ω)

X

=0 .

(13.2.128)

Zur expliziten Darstellung von (13.2.126) und (13.2.127) analog zu (13.2.87) und (13.2.88) muss (f¨ ur R >= 0) die Vierfachgradientendyade der skalaren Green’schen Funktion ausgerechnet werden; dies schenken wir uns und verweisen auf de Hoop (1995). Die Fernfeldn¨aherung wollen wir jedoch unter Verwendung von (13.2.89) und (13.2.90) angeben: e jkP R ˆ R)(λI ˆ R) ˆ ˆ , + 2μR (13.2.129) (λI + 2μR 4πR P / e jkS R W ˆ ˆ 2314 ˆ ˆ 2341 ˆ ˆ 3214 ˆ ˆ 3241 ˆR ˆR ˆR ˆ + RRI + RRI + RRI − 4R . Πfern (R, ω) = −kS2 μ2 RRI 4πR S (13.2.130)

Πfern (R, ω) = −kP2

Die Symmetrien (13.2.121) sind hier offensichtlich. Der Distributionsanteil im Green’schen Tensor vierter Stufe In der Π-Darstellung (13.2.119) hatten wir R >= 0 vorausgesetzt; was ist f¨ ur R = 0? Der Tensor zweiter Stufe G v (R − R+ , ω) enth¨alt gem¨aß (5.5.10) f¨ ur R = R+ einen expliziten Distributionsanteil, den wir durch L¨osung der zugeh¨origen Differentialgleichung (5.5.7) gefunden und dessen Notwendigkeit wir mit (5.5.18)–(5.5.22) begr¨ undet hatten. Mit einer analogen Begr¨ undung wollen wir den Distributionsanteil in Π(R − R+ , ω) angeben. F¨ ur R ∈ VQ muss

1 1 (13.2.131) c : ∇v(R, ω) − c : h(R, ω) jω jω gelten. Mit der auch f¨ ur R ∈ VQ g¨ ultigen Quellenfelddarstellung (13.2.79) der Teilchengeschwindigkeit ergibt sich f¨ ur T(R, ω) gem¨aß (13.2.131): T(R, ω) = −

$

@

; ; ;

1 ¯ Σ(R − R+ , ω) : h(R+ , ω) d3 R+ − T(R, ω) = c : ∇ G(R − R , ω) · f (R , ω) − jω VQ 1 − (13.2.132) c : h(R, ω) . jω ¯ Wohl wissend, dass G(R − R+ , ω) und deswegen Σ(R − R+ , ω) f¨ ur R = R+ keine Hypersingula+

+

rit¨aten haben (Gleichungen (13.2.18), (13.2.83)), ziehen wir c : ∇ unter das Integral: ; ; ;

$

@

1 ¯ T(R, ω)= − R+ , ω) : h(R+ , ω) d3 R+ − c : ∇G(R − R , ω) · f (R , ω) − c : ∇Σ(R jω VQ 1 c : h(R, ω) . (13.2.133) − jω F¨ ur R ∈ VQ k¨onnen wir den außerhalb des Integrals stehenden c : h-Term in (13.2.133) gem¨aß +

T(R, ω) =

; ; ;

VQ

1

c : ∇G(R − R+ , ω) ·f (R+ , ω) −
kP bzw. Kx > kS werden KP bzw. KS komplexe Vektoren (deshalb auch eθKS ); die Vorzeichenfestlegung ' 2 2KP,S = kP,S − Kx2 ez (14.2.25) sichert sodann die Konvergenz der Integrale (14.2.23) und (14.2.24) f¨ ur z > 0.

446

14 Fl¨achenquellen auf homogen-isotropen Halbr¨aumen; Pr¨ ufkopfschallfelder

Tangentialkraftdichte F¨ ur die Tangential kraftdichte

(14.2.26)

t(x, ω) = F (ω)qa (x)ex

ergibt sich nach kurzer Rechnung das Strahlungsfeld: F (ω) ; ∞ 2 sin aKx x (x, z, ω) = j utPSVx 2πμ −∞ Kx

'

kS2 − Kx2 0

R(Kx )

2Kx2 e jKP ·r +

W

/

X

+ kS2 − 2Kx2 e jKS ·r dKx , x (x, z, ω) = j utPSVz

(14.2.27)

' F (ω) ; ∞ 2 sin aKx Kx 0 ' 2 2 kS − Kx2 kP2 − Kx2 e jKP ·r − 2πμ −∞ Kx R(Kx ) /

W

X

− kS2 − 2Kx2 e jKS ·r dKx . (14.2.28) SM

spannungsfrei

.....................t(x, ............ω) ........................a −a ... . .... n

spannungsfrei

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .... ... ... ... ... x ... .... .... .. ... ... .. ..... ..... . .... ..... ........ ..... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... ... .... .. ... ... ... .......... . . . .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ......... .....

VM

M

x

ρ, λ, μ

Weyl-Integral: SZEW K -Fourier-Inversion

synchrone Quelle:

Impulsabstrahlung

(Cagniard-de Hoop)

Sattelpunkts-

Methode (Station. Phase)

Fernfeld: Richtcharakteristik;

Miller-Pursey-Richtwirkungen;

z

Impulsabstrahlung

Abb. 14.2.3: Alternative Berechnungsm¨ oglichkeiten des Schallfeldes eines elastischen Aperturstrahlers: streifenf¨ ormige Apertur auf einem spannungsfreien Halbraum

Auswertem¨oglichkeiten des Spektrums ebener Wellen Abbildung 14.1.3 sagt uns, was wir mit der spektralen Zerlegung eines akustischen Schallfeldes nach ebenen Wellen alles anfangen k¨onnen; Abb. 14.2.3 zitiert und u ¨bertr¨agt dieses auf den elastodynamischen Fall. Zuvor sei aber festgehalten, dass die Integraldarstellungen (14.2.23) und (14.2.24) bzw. (14.2.27) und (14.2.28), entgegen dem ersten Anschein und entgegen einer Bemerkung von Schmerr (1998), nicht nur voneinander unabh¨angige P- und SV- Volumenwel” len“ (bulk waves) entsprechend dem zweidimensionalen Tensor zweiter Stufe gem¨aß (13.3.55), sondern das vollst¨andige elastodynamische Wellenfeld inklusive Kopf- und Rayleigh-Wellen (Abur bildung 14.2.1) enthalten. Infolgedessen macht die numerische Kx -Fourier-Transformation f¨

14.2 Streifenf¨ormige Normal- und Tangentialkr¨afte auf der Oberfl¨ache eines Halbraums

447

konstante Werte von z (man vergleiche die Abbildungen 11.1.3 und 11.1.4 f¨ ur den akustischen Fall) wegen der auftretenden Interferenzen nicht viel Sinn; dar¨ uber hinaus gibt es selbst f¨ ur z = 0 numerische Probleme wegen der Nullstelle der Rayleigh-Funktion, und zwar vor allem, wenn man auch noch in den Zeitbereich transformieren will (Fellinger, 1991). Allerdings lassen sich diese Schwierigkeiten vermeiden — man handelt sich andere ein —, wenn man, zumindest f¨ ur synchrone Quellen mit speziell zu w¨ahlender Zeitabh¨angigkeit (δ + (t)-Abh¨angigkeit), die Integraldarstellung vom Weyl’schen Typ mit der Cagniard-de Hoop-Methode (de Hoop, 1959; Achenbach, 1973) direkt im Zeitbereich auswertet (Aulenbacher, 1988). Die in Abb. 14.2.1 dargestellten Wellenfronten sind sodann in ganz charakteristischer Art und Weise bestimmten Integrationswegen und Polen zugeordnet: Die — im Zweidimensionalen — kreisf¨ormigen Druckund Scherwellenfronten entstammen Hyperbel-Integrationswegen, w¨ahrend die Kopfwellen von einem Verzweigungsschnitt herr¨ uhren, den die SV-Hyperbel f¨ ur Beobachtungswinkel θ > ϑcmP (ϑcmP gem¨aß Gleichung (9.1.92)) u ¨berschreitet“. Wir kommen auf die physikalische Ursache ” der Kopfwellen in Abschnitt 14.2.4 noch einmal zur¨ uck. Die Rayleigh-Wellen schließlich sind einem Pol (einer Nullstelle der Rayleigh-Funktion) zugeordnet, dessen Beitrag f¨ ur θ −→ π/2 signifikant wird. Eine weitere Auswertem¨oglichkeit bleibt uns noch: Im akustischen Fall konnten wir mit der Methode der Station¨aren Phase unmittelbar eine Fernfeldn¨aherung angeben, aber auch das st¨oßt hier zun¨achst auf Schwierigkeiten, und zwar einmal wegen der Nullstellen der Rayleigh-Funktion und zum anderen wegen der f¨ ur Kx > kP komplexwertigen Wurzel in den KS -Integralen. Man muss stattdessen die Sattelpunktsmethode (method of steepest descent) in einer komplexen Kx -Ebene anwenden (Miller und Pursey, 1954; Achenbach, 1973; Harker, 1988), aber wunderbarerweise erh¨alt man dasselbe Ergebnis, wenn man bedenkenlos die Formel (11.1.32) der Methode der Station¨aren Phase anwendet. Wir werden dies sogleich explizit ausf¨ uhren, weisen aber zuvor noch darauf hin, dass in Abb. 14.2.3 der gesamte linke Teil der Abb. 14.1.3 fehlt: Der Green’sche Tensor zweiter Stufe des Halbraums ist eben nicht explizit bekannt, sodass sich kein elastodynamisches Rayleigh-Sommerfeld“-Faltungsintegral angeben ” l¨asst. Wir m¨ ussen vielmehr die spektrale Darstellung nach ebenen Wellen verwenden, um die Komponenten eines solchen Tensors und damit Fernfeld-Richtwirkungen der Linienquelle auf einem spannungsfreien Halbraum definieren zu k¨onnen.

14.2.3

Spektrale Zerlegung nach ebenen Wellen des zweidimensionalen Green’schen Tensors zweiter Stufe

Um in Analogie zu (13.2.43) den obigen Teilchenverschiebungskomponenten der tx - bzw. tz (r, ω) des Halbraums mit spannungsfreier OberStreifenquellen einen Green’schen Tensor GHR PSV fl¨ache gem¨aß LQ uPSVt (r, ω) = GHR (14.2.29) (r, ω) · ˆt PSV zuordnen zu k¨onnen, m¨ ussen wir von der Streifenquelle zur Linienquelle u ¨bergehen8 und F (ω) ≡ 1 setzen: t(x, ω) = δ(x) ˆt , F {t(x, ω)} = ˆt .

(14.2.30) (14.2.31) LQ

Mit ˆt = ex werden in (14.2.29) die Komponenten des Teilchenverschiebungsvektors uPSVtx (r, ω) (r, ω) folangeschaltet“, sodass sich definitionsgem¨aß die kartesischen Komponenten von GHR PSV ” 8 Man

beachte: Miller und Pursey (1954) betrachten mit dem Grenz¨ ubergang 2 sin aKx ˆ t(Kx , ω) = lim = 2a a→0 Kx

uhren die etwas anderen Vorfaktoren ihrer eine schmale Streifenquelle; von daher — und von der Zeitabh¨ angigkeit e+jωt — r¨ Richtwirkungen.

448

14 Fl¨achenquellen auf homogen-isotropen Halbr¨aumen; Pr¨ ufkopfschallfelder

gendermaßen ergeben: LQ

def

GHR (r, ω) : ex ex = uPSVtx · ex PSV LQ

tx = uPSVx (r, ω) ,

def

(r, ω) : ex ez = GHR PSV =

LQ uPSVtx · ez LQtx (r, ω) uPSVz

(14.2.32)

;

(14.2.33)

tz = uPSVx (r, ω) ,

(14.2.34)

analog folgt f¨ ur ˆt = ez : def

LQ

GHR (r, ω) : ez ex = uPSVtz · ex PSV LQ

def

GHR (r, ω) PSV

: ez ez = =

LQ uPSVtz · ez LQtz uPSVz (r, ω)

.

(14.2.35)

Mit (14.2.31) und (14.2.23), (14.2.24), (14.2.27), (14.2.28) gilt offensichtlich: GHR (r, ω) PSV

j ;∞ : ex ex = 2πμ −∞

'

kS2 − Kx2 0

R(Kx )

2Kx2 e jKP ·r +

W

X

/

+ kS2 − 2Kx2 e jKS ·r dKx , GHR (r, ω) : ex ez = PSV

(14.2.36)

' j ; ∞ Kx 0 ' 2 2 kS − Kx2 kP2 − Kx2 e jKP ·r − 2πμ −∞ R(Kx ) W

/

X

− kS2 − 2Kx2 e jKS ·r dKx , (14.2.37) (r, ω) : ez ex = GHR PSV

/ j ; ∞ Kx 0 W 2 kS − 2Kx2 e jKP ·r − 2πμ −∞ R(Kx ) '

'

X

− 2 kS2 − Kx2 kP2 − Kx2 e jKS ·r dKx , GHR (r, ω) PSV

j ;∞ : ez ez = 2πμ −∞

'

kP2 − Kx2 0 W

R(Kx )

(14.2.38)

/

kS2 − 2Kx2 e jKP ·r + X

+ 2Kx2 e jKS ·r dKx .

(14.2.39)

(r, ω) ist als Tensor zweiter Stufe nicht symmetrisch, d.h. ˆt kann in (14.2.29) Man beachte: GHR PSV 21 HR nicht vor G PSV (r, ω) geschrieben werden (man w¨ (r, ω) definieren). Grund urde damit GHR PSV daf¨ ur ist, dass der Green’sche Tensor eines inhomogenen Materials — der Halbraum mit spannungsfreier Oberfl¨ache ist ein solches Material — nur dann symmetrisch ist, wenn man gleichzeitig mit der Transponierung Aufpunkt und Quellpunkt vertauscht9 (de Hoop, 1995). Das k¨onnen wir hier aber nicht, da die Integraldarstellungen (14.2.36)–(14.2.39) nur f¨ ur einen ganz bestimmten Quellpunkt gelten.

14.2.4

Fernfeld-Richtwirkungen f¨ ur linienf¨ormige Normal- und Tangentialkraftdichten auf einem spannungsfreien Halbraum

Wir vermuten nat¨ urlich, dass das Fernfeld der Streifenquelle auf einem spannungsfreien Halbraum in Analogie zum Fernfeld der entsprechenden Volumenquelle gem¨aß (13.3.50) durch von9 Das

war uns bisher noch nicht aufgefallen, weil in homogenen Materialien die R, R% -Abh¨ angigkeit durch |R − R% | gegeben ist.

14.2 Streifenf¨ormige Normal- und Tangentialkr¨afte auf der Oberfl¨ache eines Halbraums

449

einander unabh¨angige P- und SV-Wellen mit zugeh¨origen Richtcharakteristiken gegeben sein wird. Da wir speziell an den Richtcharakteristiken normaler und tangentialer Linienkraftdichten interessiert sind, wenden wir die Formel (11.1.29) der asymptotischen Auswertung des eindimensionalen Fourier-Umkehrintegrals (11.1.18) mit der Methode der Station¨aren Phase — zwar, wie bereits erw¨ahnt, mit mathematischen Bedenken, aber guter Hoffnung — auf die Integraldarstellungen (14.2.36)–(14.2.39) an. Wir erhalten10 LQtz ,fern uPSVx (r, θ, ω)

π

ej4 k e jkP r kP sin θ cos θ(kS2 − 2kP2 sin2 θ) √ P √ = + μ r R(kP sin θ) 2πkP '

2 e−j 4 2kS e jkS r kS2 sin θ cos2 θ kP2 − kS2 sin θ √ √ + , μ r R(kS sin θ) 2πkS 3π

LQtz ,fern (r, θ, ω) uPSVz

π

e jkP r kP cos2 θ(kS2 − 2kP2 sin2 θ) k ej4 √ P √ + = μ r R(kP sin θ) 2πkP '

2 2 e j 4 2kS e jkS r kS2 sin θ cos θ kP2 − kS2 sin θ √ √ + ; μ r R(kS sin θ) 2πkS π

LQtx ,fern uPSVx (r, θ, ω)

LQtx ,fern (r, θ, ω) uPSVz

(14.2.40)

(14.2.41)

'

2 2 e j 4 2kP e jkP r kP2 sin θ cos θ kS2 − kP2 sin θ √ √ = + μ r R(kP sin θ) 2πkP π e jkS r kS cos2 θ(kS2 − 2kS2 sin2 θ) ej4 k √ S √ + , μ r R(kS sin θ) 2πkS π

(14.2.42)

'

2 e j 4 2kP e jkP r kP2 sin θ cos2 θ kS2 − kP2 sin θ √ √ = + μ r R(kP sin θ) 2πkP π e−j 4 e jkS r kS sin θ cos θ(kS2 − 2kS2 sin2 θ) k √ S √ + . μ r R(kS sin θ) 2πkS π

(14.2.43)

Man beachte: Im KP -Integral ist Kx = kP sin θ und im KS -Integral Kx = kS sin θ zu setzen. Fassen wir gem¨aß ur = sin θ ux + cos θ uz , uθ = cos θ ux − sin θ uz

(14.2.44) (14.2.45)

zu r- und θ-Komponenten zusammen, stellt sich sofort heraus, dass sowohl die Normal- als auch die Tangentialkraft im Fernfeld in der r-Komponente nur eine P-Welle und in der θ-Komponente nur eine SV-Welle abstrahlt. Wir finden e jkP r LQ LQ ,fern (14.2.46) (r, θ, ω) = √ HP tz (θ, ω) , uPr tz r π ej4 cos θ(κ2 − 2 sin2 θ) LQ √ ; (14.2.47) HP tz (θ, ω) = √ μ 2πkP (κ2 − 2 sin2 θ)2 + 2 sin θ sin 2θ κ2 − sin2 θ LQ ,fern

uSVθtz

e jkS r LQ (r, θ, ω) = √ HSV tz (θ, ω) , r

LQ HSV tz (θ, ω)

(14.2.48)

√ 3π sin 2θ 1 − κ2 sin2 θ e−j 4 √ ; (14.2.49) = √ μ 2πkS κ(1 − 2 sin2 θ)2 + 2 sin θ sin 2θ 1 − κ2 sin2 θ

10 Es kleben“ zwar viele Indizes am Buchstaben der Teilchenverschiebung, sie identifizieren jedoch wie in (13.2.55) und (13.2.58) ” sehr genau die ausgerechnete Gr¨ oße.

450

14 Fl¨achenquellen auf homogen-isotropen Halbr¨aumen; Pr¨ ufkopfschallfelder LQ

uPr tx

,fern

e jkP r LQ (r, θ, ω) = √ HP tx (θ, ω) , r

LQtx

HP LQ

(14.2.50) √

π

(θ, ω) =

ej4 sin 2θ κ2 − sin2 θ √ √ ; μ 2πkP (κ2 − 2 sin2 θ)2 + 2 sin θ sin 2θ κ2 − sin2 θ

(14.2.51)

e jkS r LQ (14.2.52) (r, θ, ω) = √ HSV tx (θ, ω) , r π κ cos θ cos 2θ ej4 LQ √ . (14.2.53) HSV tx (θ, ω) = √ μ 2πkS κ(1 − 2 sin2 θ)2 + 2 sin θ sin 2θ 1 − κ2 sin2 θ

uSVθtx

,fern

Mit (14.2.47), (14.2.49), (14.2.51), (14.2.53) haben wir die (nicht normierten) Linienkraftrichtwirkungen nach Miller und Pursey (1954) angegeben. Man beachte: Da der Green’sche Tensor nicht symmetrisch ist, sind sie alle voneinander verschieden. In Abb. 14.2.4 sind die Linienkraftdichterichtwirkungen durch Richtdiagramme illustriert; der Vergleich mit den Vollraum” diagrammen“ der Abb. 13.2.4 enth¨ ullt, dass die spannungsfreie Grenzfl¨ache selbst im Fernfeld noch großen Einfluss auf die Struktur der Diagramme hat. Wesentlich f¨ ur US-zfP-Anwendungen ˆt = ez •

........................................................................................................................................................................................................................................ ....... ....... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. . . ... .. . ... . .. ..... ..... ...... ...... ......... .......................

LQt

HP

Z

(θ, ω)

ˆt = ex ......................................................................................................................• ........................................................................................................................... .......... ... ....... ......... ..... . ...... .... ..... . .... ... ... ... ... .. ... .. .. .. .. ..... .... ... .... .. ... .... . . ... . . . . ..... .... .... .... . ...... . . . . . . . . . . . . ...................... ....................

LQtx

HP

(θ, ω)

SM ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .......... ...... ... ... ... ... . ......... ......

ˆt = ez •

............................................................................................................................................................................................................................................... .......... ... . . .. .... ........ ... ...... ... .... .... ... ...... .... ... .... ... . .. ... ... ... ... .. .. ... ... .. ..... ....... ....... ......... . ... . . .... ............. . .. .. ... .......... ... . .. ... .. . . . ... .... ... .. .... ... .... ....... .... .. ... ..... . . . .. ..

..... ..... . θ .. ˆr

•

z

SM

LQ

HSV tz (θ, ω)

ˆt = ex •

.................................................................................................................................................................................................................................... ...... ....... .... ...... ... .... ... ... ... ... . ........... . .. .. ....... ........................................... . . ...... ....... ...... . . ..... ...... . . ...... . .... .... .... ... ...

LQ

HSV tx (θ, ω)

Abb. 14.2.4: Richtdiagramme der Teilchenverschiebung f¨ ur linienf¨ ormige (und punktf¨ ormige: Abschnitt 14.3) Kraftdichtequellen auf der Oberfl¨ ache eines elastischen Halbraums (es sind die Betr¨ age der auf 1 normierten Richtcharakteristiken als Funktion von θ aufgetragen; Material des Halbraums: Stahl) LQ

ist die Nullstelle von HSV tz f¨ ur θ = 0 (weitere Nullstellen liegen bei θ = ±ϑcmP , ±π/2) und die o ufkopfes beruht darauf. Maxima f¨ ur θ ; ±35o (Stahl); √ die Wirkungsweise des 45 -Winkelpr¨ Ferner: Bis auf die typische 1/ ω-Abh¨angigkeit zweidimensionaler Felder sind die Linienkraftdichterichtwirkungen frequenzunabh¨angig. F¨ ur Kx = kP wird das Spektrum der ebenen P-Wellen evaneszent, in der N¨aherung der Stati-

14.3 Kreisf¨ormige Normalkraft auf der Oberfl¨ache eines Halbraums: Punktrichtwirkungen 451 on¨aren Phase gilt dann aber f¨ ur die SV-Wellen Kx = kS sin θ = kP , also cS . θ = arcsin cP

(14.2.54)

Dies ist aber nichts anderes als der kritische Winkel ϑcmP (Gleichung (9.1.92)) einer modekonvertierten P-Welle bei Einfall einer SV-Welle auf eine spannungsfreie Grenzfl¨ache. Folgerichtig werLQt ur θ > arcsin cS /cP komplex11 . den die beiden HSV z,x -Richtwirkungen (14.2.49) und (14.2.53) f¨ Ebenso bedeutet Kx = kP , dass sich in der Grenzfl¨ache eine P-Wellenfront mit der (Spur-)Geschwindigkeit cP bewegt; nach Abschnitt 9.1.2 heißt das, dass diese Grenzfl¨achenerregung“ ” eine SV-Wellenfront unter dem Winkel θ = ϑcmP nachzieht“, das Spektrum ebener Wellen muss ” f¨ ur ϑcmP < θ ≤ π/2 (und symmetrisch dazu f¨ ur entsprechende negative Winkel) explizit eine ebene SV-Welle, die sogenannte Kopf- oder Lateralwelle, enthalten (Abschnitt 14.2.1). Mit dem ¨ mathematischen Ubergang ins Fernfeld per Station¨arer Phase gem¨aß (14.2.46)–(14.2.53) gehen offenbar die im Spektrum ebener Wellen enthaltenen Kopf- und Rayleigh-Wellen (Abbildung 14.2.1) verloren. Die Linienkraftdichterichtwirkungen stehen ausschließlich f¨ ur die richtungsabh¨angige Amplitudenverteilung der kreisf¨ormigen P- und SV-Wellenfronten — die Nullstellen PQ von HSV tz bei ±ϑcmP verhindern“ die Anregung der Kopfwellen im Falle der Normalkraft” dichte — und, wie wir in Abschnitt 14.3.2 noch sehen werden, auch f¨ ur die Impulsstruktur der SV-Wellenfronten.

14.3

Kreisf¨ormige Normalkraftdichteverteilung auf der spannungsfreien Oberfl¨ache eines elastischen Halbraums: Punktrichtwirkungen

In Abschnitt 13.3.4 stellten wir fest, dass sich Strahlungsfernfelder fl¨achiger Kraftdichtequellen im Voll raum im Wesentlichen durch die Richtcharakteristik der Aperturgeometrie unterscheiden; die Punktrichtwirkungen der Elastodynamik sind jedoch stets gleich. Dort konnten wir dies direkt aus der analytischen Darstellung des Green’schen Tensors zweiter Stufe schließen, hier m¨ ussen wir eine entsprechende Aussage auf die spektrale Zerlegung nach ebenen Wellen und deren Fernfeldauswertung gr¨ unden. Wir tun dies explizit f¨ ur die Kreisapertur, da sie die Punktquelle sofort als Spezialfall enth¨alt.

14.3.1

Integraldarstellung vom Sommerfeld-Typ

Die kreisf¨ormige (synchrone) Normalkraftdichteapertur mit konstanter Amplitude t(r, ω) = F (ω)u(a − r)ez

(14.3.1)

ist rotationssymmetrisch, weswegen man die Berechnung ihres Strahlungsfeldes in der Regel mit einer Fourier-Bessel-Transformation gem¨aß (13.4.16), (13.4.17), also einer Integraldarstellung vom Sommerfeld-Typ (13.4.15), durchf¨ uhrt (Miller und Pursey, 1954; Achenbach, 1973; Schmerr, 1998). F¨ ur den Vektor der Teilchenverschiebung u(r, ϕ, z, ω) impliziert die Rotatiur alle Feldgr¨oßen. Wenn wir direkt die onssymmetrie12 uϕ (r, ϕ, z, ω) ≡ 0 sowie ∂/∂ϕ ≡ 0 f¨ homogene Differentialgleichung (7.1.24) f¨ ur die Teilchenverschiebung in Zylinderkoordinaten zugrunde legen, stellen wir dennoch eine Kopplung ihrer Komponenten durch die verbleibenden ur , uz -Komponenten fest, sodass es sich anbietet, eine Entkopplung vorab u ¨ber die HelmholtzPotentiale Φ(r, z, ω) und Ψ(r, z, ω) vorzunehmen (Abschnitt 7.2). Damit die ϕ-Komponente 11 Wenn man deshalb mit (14.2.48), (14.2.49) bzw. (14.2.52), (14.2.53) Zeitbereichswellenfronten per inverser FourierTransformation berechnen will, ist (2.3.98) zu beachten. Wir kommen darauf in Abschnitt 14.3.2 zur¨ uck. 12 In jeder Ebene ϕ = const erwarten wir P-SV-Wellen.

452

14 Fl¨achenquellen auf homogen-isotropen Halbr¨aumen; Pr¨ ufkopfschallfelder

von

u(r, z, ω) = ∇Φ(r, z, ω) + ∇ × Ψ(r, z, ω)

(14.3.2)

gleich null ist, muss zus¨atzlich zu ∂/∂ϕ ≡ 0 Ψr = Ψz ≡ 0 gew¨ahlt werden; dann ist auch ∇ · Ψ = 0 gesichert, und es gilt @

@

$

$

∂Φ(r, z, ω) 1 ∂rΨϕ (r, z, ω) ∂Φ(r, z, ω) ∂Ψϕ (r, z, ω) er + ez . − + u(r, z, ω) = ∂r ∂z ∂z r ∂r

(14.3.3)

Die zwei resultierenden homogenen skalaren Differentialgleichungen f¨ ur Φ(r, z, ω) und Ψϕ (r, z, ω) lauten folglich: @

$

1 ∂ ∂Φ(r, z, ω) ∂ 2 Φ(r, z, ω) r + + kP2 Φ(r, z, ω) = 0 , r ∂r ∂r ∂z 2 @ $ 1 ∂ ∂Ψϕ (r, z, ω) Ψϕ (r, z, ω) ∂ 2 Ψϕ (r, z, ω) + + kS2 Ψϕ (r, z, ω) = 0 . r − r ∂r ∂r r2 ∂z 2

(14.3.4) (14.3.5)

Mit den Fourier-Bessel-Transformationsans¨atzen13 1 ;∞¯ Φ(Kr , z, ω) J0 (Kr r) Kr dKr , 2π 0 ; ∞ 1 ¯ ϕ (Kr , z, ω) J1 (Kr r) Kr dKr Ψ Ψϕ (r, z, ω) = 2π 0 Φ(r, z, ω) =

(14.3.6) (14.3.7)

finden wir sofort f¨ ur z ≥ 0 ¯ r , z, ω) = Φ0 (Kr , ω) e jzKPz , Φ(K ¯ ϕ (r, z, ω) = Ψϕ0 (Kr , ω) e jzKSz Ψ mit

KP,Sz =

'

(14.3.8) (14.3.9)

2 − Kr2 kP,S

(14.3.10)

und folglich f¨ ur die Komponenten der Teilchenverschiebung14 X 1 ; ∞0 Kr Φ0 (Kr , ω) e jzKPz + jKSz Ψϕ0 (Kr , ω) e jzKSz Kr J1 (Kr r) dKr ,(14.3.11) 2π 0 X 1 ; ∞0 tz uz (r, z, ω)= jKPz Φ0 (Kr , ω) e jzKPz + Kr Ψϕ0 (Kr , ω) e jzKSz Kr J0 (Kr r) dKr . (14.3.12) 2π 0

utrz (r, z, ω)=−

Zur Berechnung von Φ0 (Kr , ω) und Ψϕ0 (Kr , ω) aus der inhomogenen Randbedingung ben¨otigen wir die tangentiale und die normale Komponente von T(r, z, ω) · ez : @

$

∂uz (r, z, ω) ∂ur (r, z, ω) , + ∂r ∂z 1 ∂rur (r, z, ω) ∂uz (r, z, ω) T(r, z, ω) : ez ez = λ + (λ + 2μ) . r ∂r ∂z T(r, z, ω) : ez er = μ

13 Gleichung 14 Es

sowie

(14.3.5) ist die Differentialgleichung einer Zylinderfunktion erster Ordnung. gilt (Abramowitz und Stegun, 1965) dJ0 (Kr r) = −Kr J1 (Kr r) dr 1 d [rJ1 (Kr r)] = Kr J0 (Kr r) . r dr

(14.3.13) (14.3.14)

14.3 Kreisf¨ormige Normalkraft auf der Oberfl¨ache eines Halbraums: Punktrichtwirkungen 453 Mit der Fourier-Bessel-Transformation von (14.3.1) gem¨aß (Bracewell, 1978) t(Kr , ω) = 2π

; ∞ 0

= 2πa

F (ω)u(a − r) J0 (Kr r) rdr ez

J1 (Kr a) ez Kr

(14.3.15)

wird (14.3.13) f¨ ur z = 0 zur homogenen und (14.3.14) zur inhomogenen Bestimmungsgleichung. Nach deren Aufl¨osung ergibt sich: utrz (r, z, ω) = −

/ F (ω) ; ∞ 2πaJ1 (Kr a) Kr 0 W 2 kS − 2Kr2 e jzKPz − 2πμ 0 Kr R(Kr ) '

'

(14.3.16)

X

− 2 kS2 − Kr2 kP2 − Kr2 e jzKSz Kr J1 (Kr r) dKr , F (ω) ; ∞ 2πaJ1 (Kr a) utzz (r, z, ω) = j 2πμ 0 Kr

'

kP2 − Kr2 0 W

R(Kr )

/

kS2 − 2Kr2 e jzKPz +

(14.3.17)

X

+ 2Kr2 e jzKSz Kr J0 (Kr r) dKr . Der Vergleich mit (14.2.23) und (14.2.24) l¨asst uns bereits vermuten, dass die (Fernfeld-)Punktrichtwirkungen in jeder Ebene ϕ = const im Prinzip gleich den Linienrichtwirkungen sein werden.

14.3.2

Punktrichtwirkungen

F¨ ur die Fourier-Bessel-Integraldarstellungen (14.3.16) und (14.3.17) kann man mit der Sattelpunktsmethode unmittelbar die Fernfeldn¨aherungen angeben (Miller und Pursey, 1954). Um mit Abschnitt 14.2.4 konsistent zu sein, wollen wir allerdings die Methode der Station¨aren Phase auf zweidimensionale (inverse) Fourier -Integrale — Gleichung (11.1.32) — anwenden, und deswegen ersetzen wir in (14.3.16) und (14.3.17): 1 ; 2π jKr r cos α e dα , 2π 0 ; 2π j J1 (Kr r) = − e jKr r cos α cos α dα ; 2π 0

J0 (Kr r) =

(14.3.18) (14.3.19)

Polarkoordinaten Kx Ky x y

= = = =

Kr cos ϕK , Kr sin ϕK ; r cos ϕ , r sin ϕ

(14.3.20)

implizieren Kx x + Ky y = Kr r cos(ϕ − ϕK ), sodass α = ϕ − ϕK — wir k¨onnen wegen der Rotationssymmetrie ϕ = 0 w¨ahlen — auf die gew¨ unschten zweidimensionalen Fourier-Integrale f¨ uhrt. Anwendung von (11.1.32) auf die resultierenden P- und S-Terme sowie die Kombination tz ,fern (R, ϑ, ω) = urtz ,fern (r, z, ω) sin ϑ + uztz ,fern (r, z, ω) cos ϑ , uPR

tz ,fern (R, ϑ, ω) uSϑ

=

urtz ,fern (r, z, ω) cos ϑ

−

uztz ,fern (r, z, ω) sin ϑ

(14.3.21) (14.3.22)

liefert uns das Teilchenverschiebungsfernfeld der kreisf¨ormigen Normalkraftdichteapertur auf der spannungsfreien Oberfl¨ache eines elastischen Halbraums entkoppelt nach Druck- und Scher-

454

14 Fl¨achenquellen auf homogen-isotropen Halbr¨aumen; Pr¨ ufkopfschallfelder

wellen: tz ,fern uPR (R, ϑ, ω) =

a2 F (ω) J1 (kP a sin ϑ) cos ϑ × 2cP ZP kP a sin ϑ 2κ2 (κ2 − 2 sin2 ϑ) e jkP R √ × , 2 2 (κ2 − 2 sin ϑ)2 + 2 sin ϑ sin 2ϑ κ2 − sin ϑ R O:


ϑcmP , komplex! Ebenso wie (14.3.29) gegeben, und HS tz (ϑ) wird f¨ 15 Die

πr-Normierung der δ-Distribution ist notwendig, damit δ(r)/πr eine Einheitsquelle darstellt (Langenberg, 2005):

;

2π 0

;

∞ 0

δ(r) φ(r) rdrdϕ = 2 πr

;

∞

δ(r)φ(r) dr = 1 .

W

H F τ− R

R cS

/G ⎤ ⎦ ,

(14.3.32) f¨ ur die F (ω)-bandbegrenzte Scherwellenfront, w¨ahrend die bandbegrenzte Druckwellenfront f¨ ur alle Winkel ϑ durch / W F R − cRP PQ ,fern PQ uPRtz (R, ϑ, t) = HP tz (ϑ) (14.3.33) R gegeben ist. F¨ ur eine RCN (t)-Zeitabh¨angigkeit der punktf¨ormigen Normalkraftdichte kann man die Hilbert-Transformation in (14.3.32) mit (2.3.76) auch noch ausrechnen — es gilt H{g(τ − t0 )} = f (t − t0 ) —: ⎧ / W / W R R ⎪ ⎪ eN cos ω t − t − 0 ⎪ PQ c c tz S S ⎪ ⎪ (ϑ) , 0 ≤ ϑ ≤ ϑcmP ⎨ HS PQtz ,fern R / 0 X W uSϑ (R, ϑ, t) = ⎪ R R ⎪ cos ω t − − φ (ϑ) eN t − ⎪ 0 H S PQ ⎪ cS cS ⎪ ⎩ |HS tz (ϑ)| , ϑcmP < ϑ ≤ π/2 ,

R

(14.3.34) worin eN (t) die Einh¨ ullende des RCN (t)-Impulses ist (man vergleiche Gleichung (9.1.143)). Man erkennt, dass sich die komplexwertige Punktrichtwirkung in einer Phasenverschiebung der Tr¨agerschwingung des RCN (t)-Impulses f¨ ur ϑ > ϑcmP ¨außert; deswegen muss es f¨ ur ϑ = ϑcmP in der S-Punktrichtwirkung eine Nullstelle geben; als Konsequenz wird die Kopfwelle unterdr¨ uckt. In Abb. 14.3.1 ist die Fernfeldn¨aherung des Impulsteilchengeschwindigkeitsfeldes (der Output von EFIT ist ebendieses) einer punktf¨ormigen Normalkraftdichte mit RC2(t)-Zeitabh¨angigkeit in Form von Wellenfronten dargestellt. Der Vergleich mit dem n¨aherungsfreien EFIT-Ergebnis enth¨ ullt die Unterschiede zum Nahfeld: Es fehlen im Wesentlichen die unmittelbaren physikalischen Effekte der spannungsfreien Oberfl¨ache, die Kopf- und Rayleighwellen. Wenn wir mit (14.2.46)–(14.2.49) die entsprechenden Zeitbereichswellenfronten im Fernfeld einer Linienquelle ausrechnen√wollen, ist zu beachten, dass die Linienrichtwirkungen (14.2.47), (14.2.49) proportional zu 1/ ω von der Frequenz abh¨angen. Mit der Korrespondenz (13.1.53) erhalten wir deshalb P cP u(t) 1 LQ HP tz (θ, t) = (14.3.35) cos θ MPtz (θ) √ , 2πμ 2 t ⎧ u(t) ⎪ ⎪ MStz (θ) √ , 0 ≤ θ ≤ ϑcmP ⎪ ⎪ ⎪ P t ⎪ ⎨ 1 ,$ @ 1 cS LQ HSV tz (θ, t) = − sin θ ⎪ tz u(t) u(τ ) 2πμ 2 ⎪ , |MS (θ)| cos φM tz (θ) √ − sin φM tz (θ) H √ ⎪ ⎪ S S τ ⎪ t ⎪ ⎩ ϑcmP < θ ≤ π/2 ,

456

14 Fl¨achenquellen auf homogen-isotropen Halbr¨aumen; Pr¨ ufkopfschallfelder

a) n¨aherungsfreies EFIT-Ergebnis

.................................................................................................................... .. ..... .. ... .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. ... .. ... . ...................................................................................................................

b) Fernfeld: N¨aherung des Station¨aren Phase

..................................................................................................................... ... .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. ... . ...................................................................................................................

Abb. 14.3.1: Wellenfronten einer linienf¨ ormigen Normalkraftdichte mit RC2(t)-Zeitabh¨ angigkeit auf einem spannungsfreien Halbraum (Betrag der Teilchengschwindigkeit): a) n¨ aherungsfreies EFIT-Ergebnis und b) Wellenfronten im Fernfeld in der N¨ aherung der Station¨ aren Phase

(14.3.36) worin wir die anhand von (14.3.23) und (14.3.24) definierten Miller-Pursey-Faktoren MPtz (θ), MStz (θ) mit MStz (θ) = |MStz (θ)| e

jφ

t (θ) sign(ω) M z S

f¨ ur ϑcmP < θ ≤ π/2

(14.3.37)

verwendet haben. Damit ergeben sich F (ω)-bandbegrenzte Zeitbereichswellenfronten der Teilchenverschiebung im Fernfeld: LQ ,fern uPr tz (r, θ, t)

1 = 2πμ

P

W

r cP u(t) F t − cP √ cos θ MPtz (θ) √ ∗ 2 r t

/

,

(14.3.38)

⎧ / W r ⎪ ⎪ u(t) F t − cS ⎪ tz ⎪ ⎪ √ MS (θ) √ ∗ , 0 ≤ θ ≤ ϑcmP ⎪ ⎪ ⎪ r t ⎪ ⎪ / W ⎪ ⎡ ⎪ ⎪ ⎪ F t − crS P ⎪ u(t) ⎣ ⎨ t z cS 1 LQ ,fern √ |MS (θ)| √ ∗ cos φM tz (θ) − uSVθtz sin θ (r, θ, t) = − S r t ⎪ 2πμ 2 ⎪ /G ⎤ > W ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ H F τ − crS ⎪ ⎪ ⎦ , ⎪ √ − sin φM tz (θ) ⎪ ⎪ S ⎪ r ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

ϑcmP < θ ≤ π/2 . (14.3.39)

Zur Berechnung von (14.3.39) haben wir (2.3.70) verwendet. F¨ ur einen RCN (t)-Impuls l¨asst sich (14.3.39) auch noch in√eine zu (14.3.34) analoge Form bringen; wichtig ist jedoch, dass uhren ist, sodass sich die Zeitstruktur der Wellenfronten stets die Faltung mit u(t)/ t auszuf¨ im Zweidimensionalen von derjenigen in Abb. 14.3.1 unterscheidet. Wegen der praktischen Bedeutung der Punktrichtwirkungen — vor allem die der Normalkraft16 — zitieren wir hier noch einmal den entsprechenden Teil der Abb. 14.2.4 mit angepassten Bezeichnungen (Abbildung 14.3.2). 16 Die Herleitungen der Punktrichtwirkungen f¨ ur die Tangentialkraft als Grenzfall einer Torsionskraft findet sich bei Miller und Pursey (1954).

14.4 Schallfelder piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe ˆt = ez •

....................................................................................................................................................................................................................................... ....... .. ...... ... .. ... ... .. .. .. .. .. .. ... . .. .. .. .. .. .. .. . ... ... ... . . ..... ..... ...... ...... ......... .......................

PQt

HP

Z

(ϑ)

SM ... ... ... ... ... ... ... ... ..... ... ... ... ... ... ... ..... . ........... ... ... ... ... . ......... ......

457 ˆt = ez •

.............................................................................................................................................................................................................................................. .......... ... ... . ........ .... ... ...... .... .... .... ... ...... ... ... .... ... .. .. .... ... .. .... ... ..... ....... ... ... .... ..... .............. ... ..... . ............ ... .. .......... . ... .. ... .. . .... . . .... ... .. .... ... .... ....... .... .. ........ . . ... ..

..... ..... . ϑ .. ˆ R

PQtz

•

HS

(ϑ)

z

Abb. 14.3.2: Richtdiagramme der Teilchenverschiebung f¨ ur eine punktf¨ ormige Normalkraftdichtequelle auf der Oberfl¨ ache eines elastischen Halbraums (es sind die Betr¨ age der auf 1 normierten Richtcharakteristiken als Funktion von θ aufgetragen; Material des Halbraums: Stahl)

14.4

Schallfelder piezoelektrischer Pr¨ufk¨opfe

Eine der Grundaufgaben der US-zfP ist die Modellierung des Schallfeldes piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe in Kontakttechnik. In idealisierter Form ist diese Grundaufgabe in Abb. 14.4.1 skizziert. Auf einer unendlich großen ebenen, an Vakuum grenzenden (Bauteil-)Oberfl¨ache SM , die

.... ....

ez · T(x, y, z = 0, t) = −A(x, y, t) ΓA (x, y) ez , x, y, ∈ SM .....................

... ..... .... ..... .. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....................... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............ . . . . . .... . .... .. ..... ..... ..... .... .. .. ..... .... ..... ..... . . . . . .................................... .. ..... ...... ................ ..... .... ..... ........... .. .. ..... ... ......... .... ..... ..... ........ ... ..... . ....... ... .... ..... ...... . . . ..... . . . . . . . . . . .... .... .. .. ... ...... ..... .... ..... ..... ..... ... . .. ..... .... .. ..... ..... ..... ..... ..... ... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ . .. . ... .... ... . ... ..... . ..... ... .. ..... ..... . ..... .... ..... . . . . . . . . . . .. .. ...... ... .. ..... ..... .... ...... ..... ..... .... ...... ..... . ... .. ....... ..... ..... .... ... ..... ....... ..... ..... ................. . .... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ .... . .. ....................................................... . .. . ..... .... ..... ..... .... .. .. .... ..... ..... ..... ... .... . . . . . . . . ... ... ..... ..... ..... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............ ....... ....... ....... ....... ....... ........... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ... ... .. ..... ..... . . . . . ..... ..... .... ... ... ..... ....... ..... ................. ..... .... ... ... ... ... .... ... ........ ....... ..

SA

x

SM

y

z

Abb. 14.4.1: Grundaufgabe der US-zfP: Schallfeldberechnung piezoelektrischer Kontaktpr¨ ufk¨ opfe durch Vorgabe einer Aperturbelegung

h¨aufig zugleich Messfl¨ache f¨ ur gestreute Ultraschallsignale ist, wird innerhalb einer Apertur beliebiger Geometrie SA eine Fl¨achenkraftdichte t(x, y, t) als Funktion der Fl¨achenkoordinaten und der Zeit vorgegeben; durch Fourier-Transformation bez¨ uglich t ist damit t(x, y, ω) f¨ ur alle Frequenzen spezifiziert, im Falle monochromatischer Anregung kann nat¨ urlich auch eine Frequenz ausgew¨ahlt werden. Als Konsequenz der u ufkopfs u ¨blichen Ankopplung des Pr¨ ¨ber eine

458

14 Fl¨achenquellen auf homogen-isotropen Halbr¨aumen; Pr¨ ufkopfschallfelder

Fl¨ ussigkeitsschicht geben wir ausschließlich die Normal komponente von t(x, y, t) gem¨aß t(x, y, t) = A(x, y, t)ΓA (x, y)ez , x, y ∈ SM ,

(14.4.1)

vor (Abschnitt 3.3.4), worin A(x, y, t) eine eventuell nicht-synchrone r¨aumliche und zeitliche Aperturbelegung innerhalb SA ist, wobei wir die Beschr¨ankung auf SA durch die charakteriurde die Separation stische Funktion ΓA (x, y) von SA sicherstellen. Eine synchrone Belegung w¨ A(x, y, t) = A(x, y)F (t) implizieren. Halbraum-Green-Tensor Falls der Halbraum z > 0 homogen und isotrop ist, kennen wir die Green’schen Tensoren G und Σ des entsprechenden Vollraums, sodass wir das zeitharmonsiche Quellenfeldintegral (13.3.1) f¨ ur Fl¨achenquellen auf SM sofort hinschreiben k¨onnen (es ist z > 0): v(x, y, z, ω) =

; ∞ ; ∞ 0 −∞

−∞ + +

−jωt(x+ , y + , ω) · G(x − x+ , y − y + , z, ω)+ X

+g(x , y , ω) : Σ(x − x+ , y − y + , z, ω) dx+ dy + .

(14.4.2)

Es ist konsistent mit dem elastodynamischen Huygens-Prinzip (Abschnitt 15.1.3), dass beide Fl¨achenbelegungen — Fl¨achenkraftdichte t = −ez · T und Fl¨achendeformationsrate g = − 21 (ez v + v ez ) — in diesem Integral auftreten. Mit (14.4.1) und der Symmetrie (13.2.80) von Σ reduziert sich (14.4.2) auf v(x, y, z, ω) = −jω +

;

; ;

A(x+ , y + , ω) ez · G(x − x+ , y − y + , z, ω) dx+ dy + +

SA ∞ ; ∞

−∞

−∞

v(x+ , y + , 0, ω) ez : Σ(x − x+ , y − y + , z, ω) dx+ dy + ,

(14.4.3)

worin der zweite Term st¨ort“, da v(x+ , y + , 0, ω) zun¨achst nicht bekannt und auch nicht un” uberabh¨angig von A(x+ , y + , ω) vorgebbar ist; in der Tat muss man mit (14.4.3) den Grenz¨ gang z −→ 0 mathematisch sorgf¨altig durchf¨ uhren, wobei eine Integralgleichung 2. Art f¨ ur v(x, y, z = 0, ω) entsteht. Die L¨osung dieser Integralgleichung ist numerisch einigermaßen aufwendig, sie hat aber den Vorteil, dass bekannte Green’sche Tensoren involviert sind. Als Alternative zur L¨osung einer Integralgleichung bietet es sich an, einen Green’schen Tensor17 GN (x+ , y + , z + , x, y, z, ω) des Halbraums zu berechnen, der der Differentialgleichung (Gleichung (13.2.7)) 0

X

(μΔ+ + ρω 2 ) I + (λ + μ)∇+ ∇+ · GN (x+ , y + , z + , x, y, z, ω) = −δ(x+ − x)δ(y + − y)δ(z + − z) I (14.4.4)

und der Randbedingung der Spannungsfreiheit auf SM (c ist nat¨ urlich der Steifigkeitstensor eines homogen-isotropen Materials) !

ez · c : ∇+ GN (x+ , y + , z + , x, y, z, ω)!!

z % =0

= 0 , x+ , y + ∈ SM ,

(14.4.5)

gen¨ ugt. Aufgrund eines Reziprozit¨atstheorems zeigt man (de Hoop, 1995): GN (x+ , y + , z + , x, y, z, ω) = GN 21 (x, y, z, x+ , y + , z + , ω) .

(14.4.6)

17 Der obere Index N“ steht f¨ ur Neumann“: In der skalaren Akustik ist ein (homogenes) Dirichlet-Problem durch das Ver” ” schwinden der Randwerte des skalaren Drucks selbst definiert, ein Neumann-Problem hingegen durch das Verschwinden der Normalenableitung der Feldgr¨ oße (Abschnitt 5.6). Hier soll ebenfalls die Normal komponente“ eines abgeleiteten“ Green’schen Tensors ” ” verschwinden.

14.4 Schallfelder piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe

459

Mit GN (x+ , y + , z + , x, y, z, ω) definieren wir ΣN (x+ , y + , z + , x, y, z, ω) gem¨aß (Gleichung (13.2.69))

und folglich gilt

ΣN (x+ , y + , z + , x, y, z, ω) = c : ∇+ GN (x+ , y + , z + , x, y, z, ω)

(14.4.7)

u r x+ , y + ∈ S M . ez · ΣN (x+ , y + , z + = 0, x, y, z, ω) = 0 f¨

(14.4.8)

Durch zweidimensionale Fourier-Transformation von (14.4.4) bez¨ uglich x+ , y + erschließen wir die N N + + Abh¨angigkeit von G und Σ von x − x und y − y; aufgrund der durch die Randbedingung (14.4.5) gegebenen Unsymmetrie in z + und z verbleibt die Abh¨angigkeit von z + Komma z“: ” (14.4.9) GN (x+ , y + , z + , x, y, z, ω) =⇒ GN (x+ − x, y + − y, z + , z, ω) , ΣN (x+ , y + , z + , x, y, z, ω) =⇒ ΣN (x+ − x, y + − y, z + , z, ω) .

(14.4.10)

Mit (14.4.8) verschwindet das st¨orende Integral in (14.4.3), wenn wir statt dem Freiraum-GreenTensor G den Halbraum-Green-Tensor GN verwenden: v(x, y, z, ω) = −jω

; ;

SA

A(x+ , y + , ω) ez · GN (x+ − x, y + − y, z + = 0, z, ω) dx+ dy + .

(14.4.11)

Man beachte: Wegen (14.4.6) ist GN nicht symmetrisch, sodass die Faktoren im Punktprodukt ez · GN nur bei gleichzeitiger Vertauschung der gestrichenen mit den ungestrichenen Variablen m¨oglich ist: v(x, y, z, ω) = −jω

; ;

SA

A(x+ , y + , ω) GN (x − x+ , y − y + , z, z + = 0, ω) · ez dx+ dy + .

(14.4.12)

F¨ ur eine Einheitspunktquelle A(x+ , y + , ω) = δ(x+ )δ(y + ) im Koordinatenursprung erschließen wir gem¨aß uPQtz (x, y, z, ω) = GN (x, y, z, z + = 0, ω) · ez def

= GHR (x, y, z, ω) · ez

(14.4.13)

in der Tat die Bedeutung des auf die Richtung der anregenden Kraftdichte projizierten Green’schen Tensors GN · ez als Teilchenverschiebung einer Normalkraftdichte auf der spannungsfreien Oberfl¨ache eines homogen-isotropen elastischen Halbraums, da wegen (14.4.5) — in ungestrichenen Koordinaten — !

! ez · TPQtz (x, y, z = 0, ω) = ez · c : ∇uPQtz (x, y, z, ω)!

z=0

= 0 , x, y ∈ SM ,

(14.4.14)

gilt. Mit (14.2.29) hatten wir eine entsprechende Definition des Halbraum-Green-Tensors im Zweidimensionalen gegeben. Im Grenz¨ ubergang z −→ 0 muss die Integraldarstellung (14.4.9) die durch ez · T(x, y, z = 0, ω) = −A(x, y, ω)ΓA (x, y) ez , x, y ∈ SM ,

(14.4.15)

spezifizierten Randwerte tats¨achlich annehmen, da sie entsprechend konstruiert wurde; allerdings ist der explizite Beweis nicht ganz trivial. Die Integraldarstellung (14.4.11) des Pr¨ ufkopfschallfeldes w¨are das elastodynamische Pendant zum Rayleigh-Sommerfeld-Integral18 (14.1.15), falls wir GN (x+ −x, y + −y, z + , z, ω) explizit kennen w¨ urden: Dies ist leider nicht der Fall! 18 Eine freie Grenzfl¨ ache f¨ uhrt in der Akustik auf ein Dirichlet-Problem f¨ ur den Druck, in der Elastodynamik auf ein Neumann“” Problem f¨ ur die Teilchengeschwindigkeit, denn der Druck korrespondiert ja dem Spannungstensor.

460

14 Fl¨achenquellen auf homogen-isotropen Halbr¨aumen; Pr¨ ufkopfschallfelder

Streifenf¨ormige Apertur Allerdings kennen wir Integraldarstellungen vom Weyl- oder Sommerfeldtyp f¨ ur verschiedene Varianten“ von GN . Wir gehen zun¨achst zur Teilchenverschiebung u ¨ber und nutzen den Fal” tungscharakter des Aperturintegrals bez¨ uglich x+ und y + aus: 1 ;∞;∞ ˆ ˆ N (Kx , Ky , z, z + = 0, ω) · ez e jKx x+jKy y dKx dKy , A(Kx , Ky , ω) G u(x, y, z, ω) = (2π)2 −∞ −∞ (14.4.16) N + ˆ ˆ wobei A(Kx , Ky , ω) und G (Kx , Ky , z, z = 0, ω) die bez¨ uglich x und y zweidimensional r¨aumlich ur eine zweidimensioFourier-Transformierten von A(x, y, ω) und GN (x, y, z, z + = 0, ω) sind. F¨ nale synchrone Aperturbelegung A(x, y, ω) = F (ω)A(x) mit ˆ x ) 2πδ(Ky ) ˆ x , Ky , ω) = F (ω) A(K A(K

(14.4.17)

schreibt sich (14.4.16) speziell F (ω) ; ∞ ˆ ˆ N (Kx , Ky = 0, z, z + = 0, ω) · ez e jKx x dKx , A(Kx )G (14.4.18) 2π −∞ sodass sich f¨ ur die streifenf¨ormige synchrone Aperturbelegung mit konstanter Amplitude gem¨aß A(x, y, ω) = F (ω)qa (x) ˆ x , Ky , ω) = F (ω) 2 sin aKx 2πδ(Ky ) A(K (14.4.19) Kx und folglich u(x, z, ω) =

u(x, z, ω) =

F (ω) ; ∞ 2 sin aKx ˆ N G (Kx , Ky = 0, z, z + = 0, ω) · ez e jKx x dKx < O: U 2π −∞ Kx def ˆ HR (Kx , z, ω) · ez =G

(14.4.20)

PSV

N

ˆ · ez aus ergibt; hierin kan G

1 ; ∞ ˆN G (Kx , Ky = 0, z, z + = 0, ω) · ez e jKx x dKx (14.4.21) 2π −∞ unter R¨ uckgriff auf (14.2.38) und (14.2.39) abgelesen werden. Damit ist die Weyl’sche Integraldarstellung (14.4.18) die Erweiterung von (14.2.23) und (14.2.24) auf beliebige zweidimensionale Aperturbelegungen. GHR (x, z, ω) · ez = PSV

Beliebige Geometrie der Aperturfl¨ache SA Um GN · ez in u(x, y, z, ω) =

; ;

SA

A(x+ , y + , ω) GN (x − x+ , y − y + , z, z + = 0, ω) · ez dx+ dy +

(14.4.22)

f¨ ur beliebige Aperturgeometrien und -verteilungen ausrechnen zu k¨onnen, m¨ ussen wir den Ansatz Spektrum ebener Wellen“ (Gleichung (14.2.4)) gem¨aß ” 1 ;∞;∞0 ˆ P + uˆS1 (Kx , Ky , ω) e jKS ·R eϑ + uP,S (x, y, z, ω) = uˆP (Kx , Ky , ω) e jKP ·R K KS (2π)2 −∞ −∞ X

+ uˆS2 (Kx , Ky , ω) e jKS ·R eϕKS dKx dKy

(14.4.23)

modifizieren, denn wir k¨onnen ja einen Term mit spektraler eϕKS -Polarisation nicht mehr aufgrund von Symmetriebeziehungen ausschließen, wie wir das bei der kreisf¨ormigen Apertur getan haben; aus diesem Grunde n¨ utzt uns auch deren bereits berechnetes Schallfeld nichts, um die obige Aufgabe zu l¨osen.

14.4 Schallfelder piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe

461

Schallfelder piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe im Zeitbereich Die Weyl’sche Integraldarstellung des Teilchenverschiebungsfeldes einer streifenf¨ormigen Apertur mit konstanter Aperturbelegung (Gleichungen (14.2.23) und (14.2.24)) ist Ausgangspunkt weiterer Umformungen: Wie bereits erw¨ahnt, gelangt man mit der Cagniard-de Hoop-Methode von der Integraldarstellung des zeitharmonischen Feldes zu expliziten Ausdr¨ ucken des Zeitbereichsfeldes: u(x, z, ω) =⇒ u(x, z, t), allerdings nur f¨ ur ganz bestimmte distributionstheoretische Anregungsfunktionen F (t) (Normalkraftdichte: Aulenbacher, 1988), sodass f¨ ur beliebige F (t) Faltungen nachzuschalten sind. Aufgrund der unsch¨onen“ Struktur der skalaren (Vollraum” )Green-Funktion (13.1.36) mit der Wurzelsingularit¨at ist die numerische Auswertung etwas ¨ unerfreulich“, sodass man aus diesen Rechnungen und Uberlegungen allenfalls grunds¨atzli” che Erkenntnisse gewinnt. Immerhin findet man Punktrichtwirkungen f¨ ur das Nahfeld, wobei der wesentliche Effekt die Verschiebung der Maxima des Linienquellen-Scherwellendiagramms zu anderen Winkeln ist. Eine Alternative zu obiger Vorgehensweise ist die Auswertung von (14.2.23) und (14.2.24) f¨ ur diejenigen Frequenzen, die — beispielsweise — in einem RC2(t)-Impuls enthalten sind mit nachfolgender Fourier-Inversion bez¨ uglich ω. Vor allem f¨ ur Aufpunkte nahe der Oberfl¨ache ist auch dies nicht unproblematisch (Fellinger, 1991). Last but not least steht uns der (zweidimensionale) EFIT-Code zur Verf¨ ugung, um Zeitbereichswellenfronten der streifenf¨ormigen, z.B. RC2(t)-angeregten Apertur, zu erzeugen: In der Tat macht das als EFIT implementierte numerische Verfahren v(x, z, t) als Funktion des Ortes und der Zeit sichtbar : In Abb. 14.2.1 hatten wir bereits Beispiele dargestellt. Erfreulich ist es, dass diese numerischen Ergebnisse anhand der beiden obigen Verfahren validiert werden k¨onnen (Fellinger, 1991). Grunds¨atzlich liefert EFIT auch die Wellenfronten dreidimensional-fl¨achiger Aperturen; dies geht ganz allein auf Kosten des Hauptspeichers (und der, allerdings weniger wichtigen, Rechenzeit) des zur Verf¨ ugung stehenden Rechners. F¨ ur die Punktquelle liegt auch hier wieder eine analytische Formulierung vor (Achenbach, 1973). Schallfelder piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe im Fernfeld Wenn die fl¨achige (Normal-)Kraftdichte (14.4.1) im Vollraum angesiedelt ist, ergibt sich das folgende Teilchenverschiebungsfernfeld (Gleichung (13.3.3) mit (13.2.27) bzw. (13.3.10) mit (13.2.28)): ˆ e jkP R g P (R) · ez ; ; % % utPz ,fern (R, ω)= A(x+ , y + , ω) e−jkP x sin ϑ cos ϕ−jkP y sin ϑ sin ϕ dx+ dy + , (14.4.24) λ + 2μ R SA ˆ · ez ; ; jkS R g (R) e % % S utSz ,fern (R, ω)= A(x+ , y + , ω) e−jkS x sin ϑ cos ϕ−jkS y sin ϑ sin ϕ dx+ dy + . (14.4.25) R μ SA Hierin ist das Aperturintegral nichts anderes als die zweidimensionale Fourier-Transformierte der Aperturverteilung A(x, y, ω)ΓA (x, y) f¨ ur speziell aufpunktsabh¨angige Werte der FourierVariablen Kx und Ky : ; ;

Fxy {A(x, y, ω)ΓA (x, y)}Kx = kP,S sin ϑ cos ϕ= Ky = kP,S sin ϑ sin ϕ

SA

A(x+ , y + , ω) e−jkP,S sin ϑ cos ϕ−jkP,S sin ϑ sin ϕ dx+ dy +

ˆ x = kP,S sin ϑ cos ϕ, Ky = kP,S sin ϑ sin ϕ, ω) . =A(K (14.4.26) Mit (Gleichungen (13.2.29) und (13.2.30)) ˆ · ez = g (R) P

1 ˆ ˆ R R · ez 4π

462

14 Fl¨achenquellen auf homogen-isotropen Halbr¨aumen; Pr¨ ufkopfschallfelder 1 4π ˆ · ez = 1 g (R) S 4π 1 = 4π 1 = 4π =

=−

ˆ , cos ϑ R

(14.4.27)

ˆ R) ˆ · ez (I − R (eϑ eϑ − eϕ eϕ ) · ez eϑ eϑ · ez

1 sin ϑ eϑ 4π

(14.4.28)

erhalten wir 1 e jkP R ˆ x = kP sin ϑ cos ϕ, Ky = kP sin ϑ sin ϕ, ω) eR , (14.4.29) uPtz ,fern (R, ω)= cos ϑ A(K 4πcP ZP R 1 e jkS R ˆ x = kS sin ϑ cos ϕ, Ky = kS sin ϑ sin ϕ, ω) eϑ . (14.4.30) uStz ,fern (R, ω)=− sin ϑ A(K 4πcS ZS R Wir betonen ausdr¨ ucklich, dass im Fernfeld f¨ ur Normal kraftdichteanregung (die Richtung der Kraftdichte ist parallel zu einer kartesischen Koordinatenlinie, hier ez ) keine ϕ-Komponente von ur die allgemeinen Fernfeldformeln f¨ ur dreidimensional-fl¨achiuStz ,fern auftritt. Zwei Beispiele f¨ ge Kraftdichten im Vollraum hatten wir bereits angegeben: die konstant belegten synchronen Rechteck- und Kreisaperturen. F¨ ur die Rechteckapertur gilt (Gleichungen (13.3.67), (13.3.68)) ˆ x = kP,S sin ϑ cos ϕ, Ky = kP,S sin ϑ sin ϕ, ω) = A(K F (ω) Fxy {qa (x)qb (y)}Kx = kP,S sin ϑ cos ϕ Ky = kP,S sin ϑ sin ϕ

= F (ω)

2 sin(kP,S a sin ϑ cos ϕ) 2 sin(kP,S b sin ϑ sin ϕ) , kP,S sin ϑ cos ϕ kP,S sin ϑ sin ϕ

(14.4.31)

und f¨ ur die Kreisapertur fanden wir (Gleichungen (13.3.91), (13.3.92)) ˆ x = kP,S sin ϑ cos ϕ, Ky = kP,S sin ϑ sin ϕ, ω) = A(K 9 %

F (ω) Fxy u a −

x2 + y 2

S7

/

W '

= F (ω)

'

! 2πaJ1 a Kx2 + Ky2 !! '

Kx2 + Ky2

! 2πaJ1 (aKr ) !! ! = F (ω) ! Kr

Kx = kP,S sin ϑ cos ϕ Ky = kP,S sin ϑ sin ϕ

! ! !Kx = kP,S sin ϑ cos ϕ Ky = kP,S sin ϑ sin ϕ

.

(14.4.32)

Kr =kP,S sin ϑ

Auch f¨ ur die zweidimensional-fl¨achige (streifenf¨ormige) Kraftdichte im Vollraum sind uns die entsprechenden Ausdr¨ ucke f¨ ur die Teilchenverschiebung gel¨aufig (Gleichung (13.3.95) mit (13.3.100) und (13.3.101)): π

1 e jkP r ej4 ˆ x = kP sin θ, ω) er , √ √ cos θ A(K utPz ,fern (r, ω) = √ ω 2ZP 2πcP r π ej4 e jkS r 1 ˆ x = kS sin θ, ω) eθ , √ √ sin θ A(K utSz ,fern (r, ω) = − √ ω 2ZS 2πcS r

(14.4.33) (14.4.34)

14.4 Schallfelder piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe

463

wobei ˆ x = kP,S sin θ, ω) = F {A(x, ω)qa (x)}Kx =k sin θ A(K P,S 2 sin(kP,S a sin θ) = F (ω) . kP,S sin θ

(14.4.35)

Andererseits haben wir f¨ ur die streifen- und f¨ ur die kreisf¨ormige synchrone Apertur auch das Teilchenverschiebungsfeld im Halbraum ausgerechnet. Deshalb ist hier nun eine Gegen¨ uberstellung m¨oglich: Wir zitieren zun¨achst das Halbraumergebnis f¨ ur die streifenf¨ormige synchrone Apertur, n¨amlich die Linienquellenausdr¨ ucke multipliziert mit der Richtcharakteristik der endlich breiten Apertur19 : π

2 sin(kP a sin θ) 1 e jkP r ej4 √ √ cos θ F (ω) uPtz ,fern (r, θ, ω) = er √ MPtz (θ) , < O: U ω 2ZP 2πcP r k P sin θ O: U MP-Faktor O: U<
= R+ folgt %

1 e jk|R−R | ∇ λ 4π|R − R+ | 1 = ∇G(R − R+ , ω) λ

∇ · Gμ→0 (R − R+ , ω) =

(15.2.63)

unter Ber¨ ucksichtigung von (5.5.1). F¨ ur R ∈ IR3 \V c — R >∈ Sc — k¨onnen wir deshalb das dem Operator (15.2.31) zugrunde liegende Streufeldintegral umschreiben: ; ; Sc

u(R+ , ω)n+c : Σμ→0 (R − R+ , ω) dS + =

; ; Sc

u(R+ , ω) · n+c ∇G(R − R+ , ω) dS + .

(15.2.64)

F¨ ur den Grenz¨ ubergang R −→ Sc finden wir schließlich (Colton und Kress, 1983; Langenberg, 2005): lim nc ·

R→Sc

; ; Sc

u(R+ , ω) · n+c ∇G(R − R+ , ω) dS + =

; ; ∂ 1 u(R+ , ω) · n+c G(R − R+ , ω) dS + ; u(R, ω) · nc + 2 ∂nc Sc

(15.2.65)

also ergibt sich die Integralgleichung zweiter Art (I + K+ ){u · nc }(R, ω) = 2ui (R, ω) · nc , R ∈ Sc ,

(15.2.66)

mit dem Operator K+ {u · nc }(R, ω) = 2

; ; Sc

u(R+ , ω) · n+c

∂ G(R − R+ , ω) dS + ∂nc

(15.2.67)

f¨ ur die Normalkomponente der Teilchenverschiebung. Wegen (5.5.17) ist dies eine Integralgleichung f¨ ur die Normalenableitung der Feldgr¨oße Druck“ eines akustischen Dirichletproblems ” (schallweiche Randbedingung), deren L¨osung f¨ ur einen Spezialfall Sc , n¨amlich eine unendlich

502

15 Streuk¨orper im homogen-isotropen nichtdissipativen Vollraum

ausgedehnte ebene (Grenz-)Fl¨ache Sxy (eines akustischen Halbraums), sofort hingeschrieben werden kann: (15.2.68) u(x, y, ω) · nc = 2ui (x, y, z = 0, ω) · nc , x, y ∈ Sxy , denn wegen ∂ G(R − R+ , ω) = ∂nc

nc ·
0 (zweidimensional in Abb. 15.2.3 illustriert). Sodann ˆi k

.... kˆ .... n.. .... .... ... .... ....ϑ .. .. .... ... t .... . . S ................................................................... . . . . ... n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... .... ....... ....... . . . . . . . . r . .... . .... ... O ..... . . . . . . ........ . n

.... .... .... .... ... ... ..

... ..

... ..

... ..

... ..

... ..

... ..

... ..

c

ˆi k

c

... ..

.. ................. ........ ......

ic

... ..

... ..

... ..

... ..

... ..

... ..

... ..

i

... ..

... ..

c

ˆ ·n 0 k Sc

ˆ ·n 0 k i c

ist die beleuchtete, Sc

... ..

... ..

... ..

... .

die Schattenseite von

setze man die sekund¨are Quelle auf der Schattenseite gleich null und auf der beleuchteten Seite — entsprechend (15.2.68) — gleich dem Zweifachen des einfallenden Feldes, also ˆ i · nc ) , R ∈ Sc , uPO (R, ω) · nc = 2ui (R, ω) · nc u(−k

(15.2.71)

ˆ i · nc ) der Schattenseite Rechnung tr¨agt. Unter der Vorwobei die Einheitssprungfunktion u(−k aussetzung, dass Sc im Vergleich zur Wellenl¨ange nur schwach gekr¨ ummt — lokal eben — ist, kann man hoffen, dass dies eine brauchbare N¨aherung ist; in der Tat sind PO-gen¨aherte Streu(fern)felder in Richtung spiegelnder Reflexion ziemlich“ exakt, nicht jedoch im Bereich ” der Nebenkeulen (Abb. 5.6.3); eine quantitative Absch¨atzung des Fehlers gibt es allerdings nicht.

15.2 Integralgleichungen f¨ ur die ¨aquivalenten Quellen eines spannungsfreien Streuk¨orpers 503 Kirchhoff-N¨aherung f¨ ur die zweidimensionale SH-Wellen-Streuung Gem¨aß (7.3.11) gen¨ ugt die y-Komponente der spektralen Teilchenverschiebung zweidimensionaler (∂/∂y ≡ 0) SH-Wellen im quellenfreien Raum der homogenen Helmholtz-Gleichung Δuy (r, ω) + kS2 uy (r, ω) = 0 ,

(15.2.72)

wobei r = xex + zez . Nach (7.3.13) resultiert die Randbedingung der Spannungsfreiheit in der Neumann-Randbedingung (15.2.73) nc · ∇uy (r, ω) = 0 , r ∈ Sc , wobei Sc nunmehr eine eindimensionale Fl¨ache“, also eine geschlossene Kurve in der xz-Ebene ” ist (Fußnote 6). Eine hier gefragte L¨osung von (15.2.72) unter der Randbedingung (15.2.73) ist das Helmholtz-Streufeldintegral (Gleichung (5.6.4) bzw. Gleichung (15.1.40) mit (15.1.33)) usy (r, ω) =

; Sc

uy (r+ , ω)

∂ G(r − r+ , ω) dS + ∂n+c

(15.2.74)

mit der zweidimensionalen skalaren Green’schen Funktion (13.1.23). Der Grenz¨ ubergang r −→ Sc in (15.2.74) liefert usy (r, ω) =

; 1 ∂ uy (r, ω) + uy (r+ , ω) + G(r − r+ , ω) dS + , r ∈ Sc , 2 ∂nc Sc

(15.2.75)

und folglich resultiert die Integralgleichung zweiter Art (I − K){uy }(r, ω) = 2uiy (r, ω) , r ∈ Sc ,

(15.2.76)

mit dem Operator K{uy }(r, ω) = 2

; Sc

uy (r+ , ω)

∂ G(r − r+ , ω) dS + , r ∈ Sc , ∂n+c

(15.2.77)

f¨ ur die sekund¨are Quelle uy (r ∈ Sc , ω) des Streufeldes. Die Integralgleichung zweiter Art (15.2.76) f¨ ur das Neumann-Problem komplementiert die Integralgleichung zweiter Art (15.2.66) f¨ ur das Dirichlet-Problem19 . Analog zu (15.2.70) findet man K{uy }(x, ω) = 0 , x ∈ Sx ,

(15.2.78)

ˆ i · ey = 0) und deshalb gilt erneut (es ist k ˆ uPO y (r, ω) = 2uiy (r, ω) u(−ki · nc ) , r ∈ Sc ,

(15.2.79)

f¨ ur die Kirchhoff-gen¨aherte sekund¨are Quelle. Die typische Struktur zweimal einfallendes Feld“ (auf der beleuchteten Seite) findet man auch ” f¨ ur elektromagnetische Wellen (Gleichung (6.7.12)); Ursache daf¨ ur ist erneut, dass eine ideal leitende Fl¨ache f¨ ur elektromagnetische Wellen einen idealen Spiegel darstellt. Dies ist f¨ ur elastische Wellen nicht der Fall! 19 Die

Operatoren K und K% sind adjungiert zueinander.

504

15 Streuk¨orper im homogen-isotropen nichtdissipativen Vollraum

Kirchhoff-N¨aherung f¨ ur die zweidimensionale P-Wellen-Streuung Bei der Reflexion einer ebenen Druckwelle an der ebenen spannungsfreien Grenzfl¨ache eines elastischen Halbraums tritt infolge Modekonversion eine reflektierte vertikal polarisierte Scherwelle auf (Abschnitt 9.1.2), d.h. eine derartige Grenzfl¨ache ist f¨ ur elastische Wellen kein idealer Spiegel. Deshalb ist nicht zu erwarten, dass die sekund¨are Quelle f¨ ur reflektierte Druck- und modekonvertierte Scherwellen einfach doppelt so groß wie das einfallende Feld in der Grenzfl¨ache ist; es werden Reflexions- und Modekonversionsfaktoren ins Spiel kommen. In der Tat hatten wir mit (9.1.59) die relevante sekund¨are Quelle bereits ausgerechnet. Wenn wir (9.1.58) zugrunde legen, erhalten wir f¨ ur die spektrale Grenzfl¨achenteilchenverschiebung (f¨ ur P-Wellen-Einfall) 0

ˆ ˆ rP + MS (ϑiP )k ˆ mS × ey ˆ iP + RP (ϑiP )k uP (x, ω, ϑiP ) = uiP (ω) e jkP xkiP ·ex k

X

, x ∈ Sx . (15.2.80)

Zum expliziten Beweis, dass (15.2.80) tats¨achlich Huygens-¨aquivalente Quelle der reflektierten und modekonvertierten Wellen bzw. sekund¨are Quellen der als Streufeld der Grenzfl¨ache aufgefassten reflektierten und modekonvertierten Wellen ist, muss (15.2.80) entweder als L¨osung der (zweidimensionalen) DFIE (15.2.32) f¨ ur Sc = Sx hergeleitet oder es muss zumindest gezeigt werden, dass (15.2.80) L¨osung von (15.2.32) ist. F¨ ur die beiden Spezialf¨alle der vorstehenden Paragraphen war dieser Beweis wegen des verschwindenden Strahlungswechselwirkungsintegrals extrem simpel, hier ist er extrem m¨ uhsam: Nach r¨aumlicher Fourier-Transformation von (15.2.32) bez¨ uglich x gelingt es zwar, den Operator I + U zu invertieren, dabei treten aber derart viele Kombinationen von Sinus- und Cosinusfunktionen auf, dass es uns nicht gelungen ist, das Ergebnis explizit auf die Form (15.2.80) zu bringen; auch MATLAB schaffte es nicht. Auf nahezu dasselbe Problem st¨oßt man, wenn man (15.2.80) in (15.2.32) einsetzt: Hier hilft MATLAB aber wenigstens, numerisch — bis auf eine Abweichung von ca. 10−10 — nachzuweisen, dass (15.2.80) L¨osung von (15.2.32) ist. Infolge der genannten Schwierigkeiten bleibt uns hier nichts anderes u ¨brig, (15.2.80) aufgrund physikalischer Intuition“ als sekund¨are Quelle zu akzeptieren. Danach ist es nat¨ urlich nur ein ” kleiner Schritt, mit X

0

ˆ ˆ rP + MS (ϑic )k ˆ mS × ey u(−k ˆ iP · nc ) , ˆ iP + RP (ϑic )k uP,PO (r, ω, ϑic ) = uiP (ω) e jkP kiP ·r k

(15.2.81)

ˆ iP · nc , cos ϑic = −k ˆ iP = sin ϑic tc − cos ϑic nc , k ˆ rP = sin ϑic tc + cos ϑic nc , k ˆ mS = kP sin ϑic tc + k kS B K K 4

Q

B K K 4

Q

1−

ˆ mS × ey = − 1 − kP sin ϑic k kS

(15.2.82) (15.2.83) kP sin ϑic kS

E2

tc +

(15.2.84)

E2

nc ,

(15.2.85)

kP sin ϑic nc kS

(15.2.86)

f¨ ur r ∈ Sc eine Kirchhoff-gen¨aherte sekund¨are Quelle f¨ ur ebenen P-Wellen-Einfall zu definieren. Man beachte, dass sowohl Normale nc , Tangentialvektor20 tc = ey × nc und Einfallswinkel ϑic lokal auf Sc definiert sind (Abbildung 15.2.3), also von r abh¨angen und demzufolge unter dem Huygens-Integral stehen m¨ ussen; gegen¨ uber (15.2.71) und (15.2.79) haben wir diese erweiterte“ ” Ortsabh¨angigkeit — u ¨ber die Phase des einfallenden Feldes sind ja auch die sekund¨aren Quellen (15.2.71) und (15.2.79) ortsabh¨angig — im Argument von uP,PO (r, ω, ϑic ) durch explizite Auff¨ uhrung des Winkels ϑic kenntlich gemacht. 20 Man

ˆ definiert, sodass die t -Komponenten von k ˆ ,k ˆ ,k ˆ beachte: tc ist in Richtung“ k iP c iP rP mS alle positiv sind. ”

15.3 Integralgleichungen f¨ ur die ¨aquivalenten Quellen eines penetrablen Streuk¨orpers

505

Mit (15.2.81) wird noch einmal besonders deutlich, welche — gegen¨ uber der Akustik und dem Elektromagnetismus — zus¨atzlichen Schwierigkeiten in der Ealstodynamik aufgrund der Existenz von zwei Wellentypen unterschiedlicher Geschwindigkeit auftreten. Wir werden sehen (Abschnitt 15.4), dass die erweiterte“ r-Abh¨angigkeit auch auf die Richtdiagramme von Streufelder ” durchschl¨agt“. ” Kirchhoff-N¨aherung f¨ ur die zweidimensionale SV-Wellen-Streuung Abschnitt 9.1.2 (Gleichung (9.1.144)) entnehmen wir die Teilchenverschiebung der sekund¨aren Fl¨achendeformationsquelle f¨ ur SV-Wellen-Einfall: 0

X

ˆ ˆ iS × ey + RSV (ϑic )k ˆ rS × ey + MP (ϑic )k ˆ mP u(−k ˆ iS · nc ) , uSV,PO (r, ω, ϑic ) = uiS (ω) e jkS kiS ·r k (15.2.87)

ˆ iS · nc , cos ϑic = −k ˆ iS = sin ϑic tc − cos ϑic nc , k ˆ krS = sin ϑic tc + cos ϑic nc , ˆ mP = kS sin ϑic tc + k kP

B K K 4

Q

1−

(15.2.88) (15.2.89) kS , sin ϑic kP

(15.2.90)

E2

nc .

(15.2.91)

ˆ mP f¨ ur ϑic > ϑcmP komplex werden, Hier ist zus¨atzlich zu beachten, dass RSV (ϑic ), MP (ϑic ) und k ur die modekonvertierte P-Welle ist. wobei ϑcmP der kritische Winkel f¨

Kirchhoff-N¨aherung f¨ ur die dreidimensionale Druck- oder Scherwellen-Streuung Die Aufspaltung ebener elastischer Scherwellen in SH- und SV-Polarisationen erfolgt im Dreidimensionalen bez¨ uglich einer festen Referenzebene, die aber durch einen beliebig dreidimenˆ iP,S in jedem sionalen Streuk¨orper nicht definiert wird. Hingegen definiert die Einfallsrichtung k (beleuchteten) Fl¨achenpunkt R eine Normale nc und damit ortsabh¨angige Tangential- und Einur eine fallsebenen und einen in der jeweiligen Einfallsebene liegenden Tangentialvektor tc . F¨ einfallende ebene Druckwelle kann deshalb sofort (15.2.82) als Kirchhoff-N¨aherung verwendet werden, wobei ϑic , nc und tc nunmehr dreidimensional f¨ ur R ∈ Sc variieren. Die bei jeder dieser Kirchhoff-Reflexionen“ entstehende modekonvertierte Scherwelle ist nat¨ urlich SV-polarisiert ” bez¨ uglich der gerade betrachteten Tangential- bzw. Einfallsebene, aber nicht SV-polarisiert bez¨ uglich aller Tangentialebenen (wie im Zweidimensionalen); dies muss bei der Polarisationsaufspaltung des Streufernfeldes ber¨ ucksichtigt werden (Abschnitt 15.5). F¨ ur eine einfallende ebene Scherwelle muss man dar¨ uber hinaus eine Aufspaltung in SH- und SV-Komponenten bez¨ uglich der lokalen Tangentialebenen vornehmen; sodann finden (15.2.79) (die y-Komponente ist die lokale Tangentialkomponente senkrecht zu tc ) und (15.2.87) Verwendung. In allen F¨allen, in denen die Kirchhoff-gen¨aherten sekund¨aren Quellen einfach nur proportional zum einfallenden Feld sind, muss letzteres keine ebene Welle sein; ein praxisnahes Antennenoder Pr¨ ufkopffeld kann genauso gut angesetzt werden. Im Falle elastischer Wellen geht dies streng genommen nicht, da das Spiegelungsprinzip nicht gilt: Man kennt Reflexions- und Modekonversionsfaktor nur f¨ ur ebene Wellen.

506

15 Streuk¨orper im homogen-isotropen nichtdissipativen Vollraum Sc

........................................... ....... ......... ..... ........ .... ....... ...... ... . ...... . . ...... ..... ...... ...... ... ..... ... ..... ... ..... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ..... ... ..... . ..... ...... ... ...... ... ...... ... ...... . ....... ... . ....... .. ........ ..... .......... ...... ................ .......................

Y(R)

......................... ............... ...... ..... .......... ........ ... ....... ... ...... . ... . . . . ... ...... . . . . ... ..... . . . .. . ..... . . . .. . .... . ... . . . ... .... . . . . . . . .... ... ..... ..... ... .. ..... ... ... .. .. . . . . . .. ... ... .. ... ... .. ... ... ... ... . . . . .. ... ... .... ... .... ... ..... ... ..... . . . . . . .. ..... ... ..... ..... ... ..... .... ..... ... ...... . . . . ... .... ... ...... ... ....... .... ....... ...... ........ ........ ......... ......................................

s(R), c(R)

f (R, ω)

h(R, ω)

Y, λ, μ

Vc

VQ

Abb. 15.3.1: Elastodynamisches Streuproblem: penetrabler inhomogen-anisotroper Streuk¨ orper im homogen-isotropen Einbettungsmaterial (¨ aquivalente Volumenquellen)

15.3

Integralgleichungen f¨ur die ¨aquivalenten Quellen eines penetrablen Streuk¨orpers

15.3.1

Lippmann-Schwinger-Integralgleichungen f¨ ur die ¨aquivalenten Volumenquellen inhomogen-anisotroper Streuk¨orper

Wir legen das in Abb. 15.3.1 skizzierte elastodynamische Streuproblem zugrunde. Mit den Schwingungsgleichungen L

-

L

∇ · c(R) : ∇v(R, ω) + ω 2 ρ(R) v(R, ω) = jωf (R, ω) − ∇ · c(R) : h(R, ω)

-

,

(15.3.1)

$

@

1 I :∇ ∇ · T(R, ω) + ω 2 s(R) : T(R, ω) = ρ(R) @ $ 1 + −I :∇ f (R, ω) + jωh(R, ω) ρ(R) +

(15.3.2)

f¨ ur die elastodynamischen Feldgr¨oßen in inhomogen-anisotropen Materialien sowie der Definition21 def

f c (R, ω) = f ρ (R, ω) = −jωΓc (R) [ρ − ρ(R)] v(R, ω) , def

L

-

h c (R, ω) = h c (R, ω) = −jωΓc (R) s − s(R) : T(R, ω)

(15.3.3) (15.3.4)

¨aquivalenter Quellen eines derartigen Materialeinschlusses (Abschnitt 7.1.1) — eines penetrablen Streuk¨orpers mit der charakteristischen Funktion Γc (R) des Streuk¨orpervolumens Vc — in ein homogen-isotropes Material, dessen Green’sche Tensoren wir kennen, k¨onnen wir mit den Quellenfelddarstellungen der Punktquellensynthese sofort das Streufeld eines penetrablen 21 In

h steht c“ f¨ ur das Streuvolumen Vc und in h steht c“ f¨ ur die Inhomogenit¨ at des Steifigkeits- bzw. Nachgiebigkeitstensors. c c ” ”

15.3 Integralgleichungen f¨ ur die ¨aquivalenten Quellen eines penetrablen Streuk¨orpers

507

inhomogen-anisotropen Streuk¨orpers (als sogenannte Datengleichungen) hinschreiben: vs (R, ω) =

; ; ;

0

Vc

T s (R, ω) =

X

−jωf c (R+ , ω) · G(R − R+ , ω) + h c (R+ , ω) : Σ(R − R+ , ω) d3 R+ , (15.3.5) $

@

; ; ;

+

f c (R , ω) · Σ

Vc

312

1 (R , ω) − h (R+ , ω) : Π(R − R+ , ω) d3 R+ . jω c +

(15.3.6)

Die ¨aquivalenten Quellen werden damit zu sekund¨aren Quellen des Streufeldes, die vom Gesamtfeld v(R, ω) = vs (R, ω) + vi (R, ω), T(R, ω) = T s (R, ω) + T i (R, ω) abh¨angen, wobei das einfallende Feld vi (R, ω), T i (R, ω) von prim¨aren Quellen herr¨ uhrt, die außerhalb von Vc in das homogen-isotrope Hintergrundmaterial“ eingebettet sind. ” Da (15.3.3) und (15.3.4) das Gesamtfeld enthalten, ist die Streufeldpunktquellensynthese zun¨achst ucklichernur ein vorl¨aufiges Ergebnis: Das Gesamtfeld in Vc muss vorab berechnet werden! Gl¨ weise gelten die Integraldarstellungen (15.3.5) und (15.3.6) aber auch f¨ ur R ∈ Vc — man u r R ∈ Vc beachte, dass Π gem¨aß (13.2.135) einen δ-Distributionsterm enth¨alt —, sodass sich f¨ das System gekoppelter Lippmann-Schwinger-Integralgleichungen v(R, ω) + jω

9

; ; ;

Vc

-

L

− jω[ρ − ρ(R+ )] v(R+ , ω) · G(R − R+ , ω)+ 7

+ s − s(R+ ) : T(R+ , ω) : Σ(R − R+ , ω) d3 R+ = vi (R, ω) , R ∈ Vc , T(R, ω) + jω −

9

; ; ;

L

-

(15.3.7)

Vc

[ρ − ρ(R+ )] v(R+ , ω) · Σ312 (R − R+ , ω)− 7

1 s − s(R+ ) : T(R+ , ω) : Π(R − R+ , ω) d3 R+ = T i (R, ω) , R ∈ Vc , jω

(15.3.8)

f¨ ur den Vektor v(R, ω) und den Tensor T(R, ω) innerhalb von Vc ergibt: Dies sind neun skalare Gleichungen f¨ ur die drei Komponenten von v und die sechs Komponenten von T (T ist symmetrisch); man spricht auch von den (gekoppelten) Objektgleichungen. Wie in der DFIE repr¨asentieren die Volumenintegrale in (15.3.7) und (15.3.8) die Strahlungswechselwirkung inur die sekund¨aren nerhalb Vc . Vernachl¨assigt man diese, erh¨alt man die Born’sche N¨aherung f¨ Quellen (Abschnitt 15.3.2). Die explizite Schreibweise der sekund¨aren Quellen in (15.3.7) und (15.3.8) l¨asst unmittelbar erkennen, dass die Ursache der Kopplung der Objektgleichungen in der Inhomogenit¨at aller Materialparameter, d.h. sowohl der Dichte als auch der elastischen Konstanten zu suchen ist. Lediglich f¨ ur eine alleinige Dichteinhomogenit¨at mit s(R) = s sind wir mit einer einzigen Lippmann-Schwinger-Gleichung (drei skalaren Gleichungen) konfontiert22 : v(R, ω) + ω 2 ρ

; ; ;

Vc

χρ (R+ )G(R − R+ , ω) · v(R+ , ω) d3 R+ = vi (R, ω) , R ∈ Vc ;

(15.3.9)

hierin ist χρ (R) der Dichtekontrast des penetrablen Streuers gem¨aß (7.1.4). Mit der (v = vs + vi )-Aufspaltung und der Definition des Integraloperators V {v}(R, ω) = −ω 2 ρ

; ; ;

Vc

χρ (R+ )G(R − R+ , ω) · v(R+ , ω) d3 R+ , R ∈ Vc ,

(15.3.10)

k¨onnen wir (15.3.9) folgendermaßen schreiben: vs (R, ω) = (I − V )−1 {V {vi }}(R, ω) , R ∈ Vc , 22 Deshalb

al., 2000).

(15.3.11)

geht man bei der L¨ osung des inversen Streuproblems zun¨ achst von dieser vereinfachenden Annahme aus (Pelekanos et

508

15 Streuk¨orper im homogen-isotropen nichtdissipativen Vollraum

worin I{v}(R, ω) = I · v(R, ω) = v(R, ω) der Identit¨atsoperator ist. W¨ahlen wir speziell eine ebene Druck- oder Scherwelle gem¨aß ˆ

ˆ iP,S vi (R, ω, kiP,S ) = viP,S (ω) e jkP,S ki ·R I · v

(15.3.12)

als einfallende Welle, so enth¨ ullt ˆ

vs (R, ω, kiP,S ) = (I − V )−1 {V {viP,S (ω) e jkP,S ki ·R I}}(R, ω) ·ˆ viP,S ,
ϑcmP gleich null zu setzen; f¨ ur θik ≤ ϑcmP berechnen wir hingegen jkP Rk 0 X jω ˆk R ˆ k , ω) e ˆk . , ω) · e , ω) · R + 2μ cos θ u(R I ( R λ u(R k skP ik z ik k 4πYc3P Rk (15.5.66) Wieder ist die sich f¨ ur θik = 0 und AikSH (Rik , ω) = 0 ergebende P-Punktrichtwirkung einer ex ez -Deformationsratenquelle in Abb. 13.2.6 dargestellt.

ufern skP (Rk , ω) = −

Wir wenden uns nun der Empfangssimulation zu und verlegen damit den Aufpunkt Rk =⇒ RkM definitiv auf die Messfl¨ache SM (Abbildung 15.5.5). Im xi yi zi -Koordinatensystem beschreiben wir den Endpunkt von RkM durch RM , weswegen RkM = RM − Rik

(15.5.67)

gilt. Die Normalkomponente der Summe42 aller patch-Streufelder, die von beleuchteten patches herr¨ uhren — f¨ ur eine ebene Messfl¨ache SM gilt nM = −ezi — uM (RM , ω) = −ezi ·

ˆ ·n = 0 ist uM (RM , ω) eine Empfangsgr¨oße im pitch-catch-Modus, f¨ ur RM = 0 liegt Impuls-Echo-Betrieb vor. Man beachte aber, dass aufgrund der Verwendung der Green’schen Tensoren des Vollraums im elastodynamischen Huygens-Integral das Streufeld auf SM keine Randbedingung erf¨ ullt; um dies einzubauen“, muss man an SM reflektierte und modekonver” tierte Felder ansetzen, die man nat¨ urlich wieder mit der N¨aherung einfallender ebener Wellen berechnen kann (ansonsten kennt man Reflexions- und Modekonversionsfaktoren nicht explizit). N¨aherungsweise kann man auch einen Empfangspr¨ ufkopf durch eine Empfangsapertur SE (Abbildung 15.5.5) simulieren. Gesetzt, der Empfangspr¨ ufkopf h¨atte im Sendebetrieb die Hauptur SV- oder P-Wellen (SV bez¨ uglich SM ) —, dann strahlrichtung ˆlM — und zwar entweder f¨ liefert ; ; ˆ uM (RM , ω) e jkP,S lM ·RM d2 RM (ω) (15.5.69) uP,SV E SE

eine Pr¨ ufkopfempfangsgr¨oße f¨ ur ebendiese P- bzw. SV-Wellen. Eine N¨aherung ist dies deswegen, ¨ weil das Streufeld an der Pr¨ ufkopf-Sohle keine Ubergangsbedingungen erf¨ ullt, der Empfangspr¨ ufkopf also keine Energie absaugt“. Dies ¨andert sich auch nicht, wenn man die Spannungs” freiheit von SM ber¨ ucksichtigt. Immerhin enth¨alt (15.5.69) die modeabh¨angige Richtungsselektivit¨at des Empfangs, was zur Bewertung von A- oder B-Bildern unbedingt notwendig ist (z.B.: Shlivinski et al., 2004b); um derartige Daten zu erzeugen, ist allerdings noch eine inverse Fourier-Transformation von uE (ω) gem¨aß der Modifikation uP,SV (ω) = ui (ω) E

; ;

SE

ˆ

uM (RM , ω) e jkP,S lM ·RM d2 RM

(15.5.70)

uhren. Beispielhaft wurde (15.5.70) f¨ ur die als bei vorgegebenem Impulsspektrum ui (ω) durchzuf¨

566

15 Streuk¨orper im homogen-isotropen nichtdissipativen Vollraum

Abb. 15.5.6: CAD-Modell eines Testk¨ orpers mit seitlichen Zylinderbohrungen und Flachbodenbohrungen (V. Schmitz, Fraunhofer IZFP)

Abb. 15.5.7: Berechnetes B-Bild f¨ ur einen linearen Scanpfad von links nach rechts auf der Oberseite des Testk¨ orpers von ufkopf, RC3-Impuls; horizontale Achse = Scankoordinate, vertikale Achse = Zeit Abb. 15.5.6: 45o -2 MHz-Scherwellenpr¨ von oben nach unten gez¨ ahlt (V. Schmitz, Fraunhofer IZFP)

Fehler“ definierten Bohrungen des in Abb. 15.5.6 dargestellten (real existierenden) Testk¨orpers ” f¨ ur 45o -Scherwelleneinfall (2 MHz) ohne Ber¨ ucksichtigung der Testk¨orperoberfl¨ache ausgewertet, und zwar nicht nur f¨ ur einen Empfangspunkt, sondern f¨ ur einen auf der Oberfl¨ache definierten linearen Impuls-Echo-Scanpfad (von links nach rechts, entgegen der Darstellung in Abb. 15.5.6). Das Ergebnis zeigt Abb. 15.5.7 in Form eines B-Bildes. Anhand von Abb. 16.1.4 wird u ¨brigens die SAFT-Verarbeitung dieser synthetischen Daten im Vergleich mit dem Experiment (Abbildung 16.1.3) diskutiert. Zwei allgemeing¨ ultige Aussagen hinsichtlich der Struktur von Streufernfeldern in R¨ uckstreurichtung unter Kirchhoff- oder Born-N¨aherung werden in Abschnitt 15.4 begr¨ undet: In R¨ uckstreurichtung gibt es bei strenger G¨ ultigkeit dieser N¨aherungen keine Modekonversion und keine Scherwellenpolarisationsdrehung.

16

Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren

Ein direktes Streuproblem liegt vor, wenn Streuk¨orper, Einbettungsmaterial und einfallendes Feld bekannt sind, und das Streufeld berechnet werden soll. Im Sinne der Huygens’schen Superposition von Elementarwellen — einer Punktquellensynthese — muss man dazu in der Zeit voranschreiten, wozu die Kenntnis der Green’schen Funktion(en) des Einbettungsmaterials notwendig ist. Als spezielles Problem erweist sich die Strahlungswechselwirkung des Streuk¨orpers mit sich selbst, der das direkte Streuproblem zu einem bez¨ uglich der Geometrie des Streuk¨orpers nichtlinearen Problem macht. Infolgedessen vernachl¨assigen Linearisierungen wie die Born’sche oder die Kirchhoff’sche N¨aherung genau diese Strahlungswechselwirkung. Ein inverses Streuproblem liegt vor, wenn Einbettungsmaterial, einfallendes Feld und Streufeld (auf einer Messfl¨ache) bekannt sind, und Lage, Geometrie sowie Materialzusammensetzung des Streuk¨orpers berechnet werden sollen. Man ersetze das Wort Streufeld“ durch Ung¨anze“, und ” ” man hat das klassische Problem der US-zfP vorliegen! Betrachtet man die Messwerte des Streufeldes als Quellen“, so muss man offensichtlich mit der Kenntnis der Green’schen Funktion(en) ” des Einbettungsmaterials die Streuwellenausbreitung invertieren“, d.h. man muss eine zeitlich ” r¨ uckw¨arts gewandte Punktquellensynthese mit diesen Quellen durchf¨ uhren. Sehr hinderlich ist dabei die erw¨ahnte Nichtlinearit¨at, denn man muss bei dieser R¨ uckausbreitung die Strahlungswechselwirkung des Streuk¨orpers mit sich selbst wieder aufdr¨oseln“. Man vermeidet dies — ” und vereinfacht damit die L¨osung des inversen Streuproblems erheblich — durch Linearisierung mittels Born’scher oder Kirchhoff’scher N¨aherung. Der einfachste Fall eines skalaren Streuproblems liegt f¨ ur einen akustischen Punktstreuer im homogen-isotropen nichtdissipativen Einbettungsmaterial vor, da eine Strahlungswechselwirkung entf¨allt. Die Streudaten sind unmittelbar durch die dreidimensionale skalare Green’sche Funktion des Vollraums gegeben, sodass die Mess“daten — Laufzeitortskurven in B-Bildern ” — sofort mit der Kenntnis ebendieser Green’schen Funktion r¨ uckausgebreitet“ werden k¨onnen: ” Wendet man den resultierenden Algorithmus auf beliebige Streuk¨orper unter der (linearisierenden) Annahme von deren Zusammensetzung aus einzelnen nicht miteinander wechselwirkenden Punktstreuern an, so hat man SAFT, die Synthetic Aperture Focusing Technique, erfunden.

16.1

SAFT: Synthetic Aperture Focusing Technique

Integration entlang Laufzeitortskurven und R¨ uckausbreitung Wir f¨ uhren das folgende numerische Experiment“ durch (Abbildung 16.1.1): Ein Punktstreuer ” in einem akustischen homogen-isotropen verlustlosen Material werde von der RC2-bandbegrenzten geometrisch- optischen“ Aperturdruckwellenfront eines Pr¨ ufkopfes“ getroffen (Abbildung ” ” 16.1.1 oben links); er wird dadurch zu einer punktf¨ormigen sekund¨aren Quelle und erzeugt definitionsgem¨aß ein Streufeld entsprechend einer zweidimensionalen bandbegrenzten Green’schen Funktion (Gleichung (13.1.38)), die in Abb. 16.1.1 oben rechts sichtbar wird. Erreicht diese gestreute Wellenfront die Mess“fl¨ache, so kann sie dort prinzipiell punktweise detektiert wer” den, um ein B-Bild aufzubauen (Nat¨ urlich wird sie an dieser Fl¨ache aufgrund einer schallharten Randbedingung auch reflektiert.): Eine Laufzeitortskurve (Diffraktionskurve) entsteht im BBild-Datenraum (Abbildung 16.1.1 unten links), in Abb. 16.1.1 unten rechts ist sie innerhalb

568

16 Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren

t

.. ........ ......... .... .. ..

x

.. ....................................... . ... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . ... ... . ..... ... .. ... ... .... ..... .. ... .... ......... ... . ... ... .. ... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... ... .... ..... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... ... .... .... .... .. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....... ................................. .. .. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... ... ..... .... ... ... . ......... .... .... ........ ... .... ... .. ... .... ... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... ... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....... ................................. .. .. ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... ... ..... .... ... .... . .. ........ .... .... ......... .. ... ... ... ... .... ... .... ... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .. .... . .... ..... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... ... .... .... .... ... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

z

♣

x

z

♣

x

z

♣

Abb. 16.1.1: 2D-AFIT-Simulation: Ein Punktstreuer erzeugt Meß“daten als Diffraktionskurve ”

16.1 SAFT: Synthetic Aperture Focusing Technique

569

der vorliegenden Empfangsapertur komplett (Zus¨atzlich erkennt man bereits Reflexionen von den Seitenw¨anden und das R¨ uckwandecho.). F¨ ur eine ebene Empfangsfl¨ache ist die Laufzeitortskurve eine Hyperbel, im Dreidimensionalen ein rotationssymmetrisches Hyperboloid. Dies zeigt man unmittelbar, indem man f¨ ur die dreidimensionale skalare Green’sche Funktion des Vollraums (Gleichung (13.1.25)) W

G(R − R+ , t − t+ ) =

δ t − t+ −

|R−R% | c +

/

(16.1.1)

4π|R − R |

f¨ ur vorgegebenes t+ (Zeitpunkt, zu dem die einfallende Welle den Punktstreuer erreicht; hier: t+ = 0) und vorgegebenen Ort R+ des Punktstreuers bei vorgegebener Variation von R auf der (endlich großen) Messfl¨ache SM diejenigen Zeitpunkte ermittelt, f¨ ur die die δ-Distribution in (16.1.1) singul¨ar ist: |R − R+ | c 1' = (x − x+ )2 + (y − y + )2 + (z − z + )2 ; c

t=

(16.1.2)

wir legen, der ebenen Messfl¨ache angemessen, kartesische Koordinaten zugrunde und siedeln den Punktstreuer bei x+ = x+0 , y + = y0+ , z + = z0+ an. Die Messfl¨ache habe von der xy-Ebene den Abstand d, also folgt (d − z0+ )2 (x − x+0 )2 (y − y0+ )2 − = (16.1.3) t2 − 2 2 c c c2 beziehungsweise 1' (d − z0+ )2 + (x − x+0 )2 + (y − y0+ )2 > 0 (16.1.4) t= c als Hyperboloidgleichung im xyt-Datenraum; dieses (einschalige) Hyperboloid hat seinen Scheitelpunkt bei x = x+0 , y = y0+ , dort liegt die kleinste Laufzeit t = (d − z0+ )/c vor. Mit dieser Geometrieinformation u ¨ber die Diffraktionsfl¨ache kann man folgenden Inversionsalgorithmus postulieren: Man w¨ahle im xyz- Rekonstruktionsraum“ einen Punkt x+ , y + , z + aus und berech” ne f¨ ur diesen die zugeh¨orige Hyperboloidfl¨ache, als ob dort ein Punktstreuer s¨aße, und sodann integriere man im xyt-Datenraum alle Daten entlang dieser Fl¨ache, was in Abb. 16.1.2 zweidimensional skizziert ist; man erkennt, dass dies entsprechend des Schnittpunktes der gestrichelten mit der durchgezogenen Hyperbel nur wenig“ liefern wird, wenn der Punktstreuer tats¨achlich ” ur alle fiktiven Punktstreuer x+ >= x+0 , y + >= y0+ , z + >= z0+ , erst am Ort x+0 , y0+ , z0+ sitzt. Gleiches gilt f¨ wenn man irgendwann zwangsl¨aufig das Voxel“ mit dem tats¨achlich existierenden Punktstreuer ” ausw¨ahlt, liefert die Integration viel“, denn dann integriert man ja entlang der wirklichen Dif” fraktionsfl¨ache. Ergebnis ist eine Rekonstruktion“ des Punktstreuerortes, man hat ein inverses ” Streuproblem f¨ ur ebendiesen Punktstreuer durch Fokussierung seiner Diffraktionsfl¨ache gel¨ost“. ” Nun nimmt man an, dass ein beliebiger Streuer aus voneinander unabh¨angigen Punkt“streuern ” zusammengesetzt ist — dies impliziert eine Linearisierung der Streuung sowie der Inversion — und integriert gem¨aß o(x+ , y + , z + ) =

; ; SM

%

φ x, y, d, t =

1' (x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z + )2 c

S

dxdy

(16.1.5)

f¨ ur alle x+ , y + , z + im Rekonstruktionsraum (der region of interest) f¨ ur alle x, y ∈ SM durch dessen (skalares) Streudatenfeld φ(x, y, d, t), hoffend, dass diese Fokussierung von Streudaten innerhalb einer synthetischen Apertur SM — deswegen: Synthetic Aperture Focusing Technique — ein brauchbares Bild o(x+ , y + , z + ) des Streuk¨orpers ergibt. Da man bei der Integration (16.1.5) vom Voxel ausgeht, spricht man von der Voxel-orientierten Formulierung (voxel driven approach) von

570

16 Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren t .....................

t

z d

.. ... .. .... . ....... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... ... .... ............. ..... .... ..... .... ........ ..... .... ...... ...... .... ...... .... ..... . . ...... . . . .... .... ...... ...... .... ..... .... ..... ..... .... ..... ... ..... ..... .... ...... ...... .... ...... .... ...... . . . ...... . .... . .... ...... ...... ....... .... .... ...... ....... .................................................................. .... ........ ......... .... ... ..................... .. .......... . . .............. . . . .. . . . . .... . . .... .................................. . .... .... ... .... ... .... .... ... ... .... . .... .... ... .... .... .... ... .... .... .... ... .... .... ... . .. . .... . . .... ... .... ... .. .... . ... . ... ... .... .... . ... ... .... .... .... .... .... .. ... . ... ..... . ... ... ... ....... ........... ... ... .... .. ... ... ..... . ... ................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .... .. .... ... ....... .. ...... ... .... ... ... .... .. ... .... ... ... ... ... . .... ... ... ... .... .... .... .... .... ... . .... .... .... .... ... .... .... .... . .... . .... ... .... .. ... .... .... .... .... .... .... .... .... .. ... .. ... ... ... ... . .... .. ... ... ... ... ... ... ... ..... ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .....

φ(x, d, t)

ct

x

• x+ , z +

SM

•

x+0 , z0+

O

x

Abb. 16.1.2: SAFT: Integration eines skalaren Streudatenfeldes entlang hyperbolischen Diffraktionskurven bzw. R¨ uckausbreitung desselben

SAFT (im Zweidimensionalen: pixel driven). Obwohl Abb. 16.1.1 tats¨achlich f¨ ur ein akustisches Streuproblem steht, bezeichnen wir die skalaren Streudaten allgemein mit φ(R, t), da es sich bei der Anwendung in der US-zfP nicht um einen akustischen Druck handelt. Eine Alternative zur voxelorientierten Formulierung ist die A-Bild-orientierte Formulierung (Ascan driven approach), die in Abb. 16.1.2 ebenfalls skizziert ist: Dazu wird jeder Datenpunkt φ(x, y, d, t) auf seine x+ y + z + -Isochronenfl¨ache (0 < z + < d) '

z + − d = − c2 t2 − (x+ − x)2 − (y + − y)2 < 0

(16.1.6)

r¨ uckausgebreitet, d.h. gleichm¨aßig“ auf der durch (16.1.6) beschriebenen Halbkugel mit Mittel” punkt x, y, d und Radius ct verteilt. Immer wenn der Datenpunkt auf der Diffraktionsfl¨ache des + + + x0 y0 z0 -Punktstreuers liegt, enth¨alt die zugeh¨orige Halbkugel wegen (16.1.3) ebendiesen Punktstreuer — diese Situation ist in Abb. 16.1.2 dargestellt —, d.h. alle derartigen Halbkugeln ¨ eine hohe“ Amplituschneiden sich im Punkt x+0 , y0+ , z0+ und liefern dort durch Uberlagerung ” de, der Ort des Punktstreuers ist rekonstruiert worden. Die Verallgemeinerung auf beliebige Streuer, die aus voneinander unabh¨angigen Punktstreuern bestehen, ist der lineare Algorithmus A-Bild-orientiertes SAFT“. Als zeitlich r¨ uckw¨arts gewandte Punktdatenquellensynthese“ — ” ” synthetisiert wird nicht ein Feld sondern ein Bild — unter Verwendung der avancierten Green-

16.1 SAFT: Synthetic Aperture Focusing Technique funktion

W

Ga (R − R+ , t) =

δ t+

571 |R−R% | c +

/

(16.1.7)

4π|R − R |

k¨onnen wir dies Huygens-m¨aßig“ in Anlehnung an die Zeitbereichsversion von (15.1.37) so ” formulieren (wir ignorieren die Entfernungsabh¨angigkeit der Elementarwellenamplituden): ; ;

; ∞

%

S

!

! 1' ! o(x , y , z ) = φ(x, y, d, t ) δ t − t + (x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z + )2 dt+ dxdy !! ; c SM −∞ t=0 (16.1.8) uhrung t = 0 zu w¨ahlen, da voraussetzungsdabei ist in dem t+ -Faltungsintegral nach dessen Ausf¨ gem¨aß jeder einzelne Punktstreuer zu ebendiesem Zeitpunkt angeregt wurde. Offensichtlich ist das Ergebnis von (16.1.8) aufgrund der Relation f (t)∗δ(t−t0 ) = f (t−t0 ) mit (16.1.5) identisch. +

+

+

+

+

Es sei explizit noch einmal darauf hingewiesen, dass Algorithmen zur L¨osung des inversen Streuproblems apriori-Information u ¨ber das Einbettungsmaterial erfordern; in abstrakter Notation ist es die Kenntnis der Green’schen Funktion, konkret ist es in (16.1.5) bzw. (16.1.8) die Phasenbzw. Energiegeschwindigkeit der Elementarwellen im homogen-isotropen Einbettungsmaterial. Pitch-Catch- und Impuls-Echo-Versionen von SAFT Zu Beginn des Kapitels u ¨ber inverse Streuung hatten wir bei der Definition eines inversen Streuproblems die Kenntnis des einfallenden Feldes vorausgesetzt, in der Inversionsformel (16.1.5) + ˆ tritt dieses aber gar nicht auf. Ursache ist die W / Vereinbarung t = 0: Eine in Richtung ki einˆ fallende ebene δ-Impuls-Welle δ t − ki · R/c erreicht f¨ ur t = 0 einen Punktstreuer im Koˆ i · R = 0); damit sie den Punktstreuer am Ort R+ ordinatenursprung (bzw. auf der Fl¨ache k 0 W / ˆ i · (R − R+ )/c angesetzt werden. Da in zum Zeitpunkt t = 0 erreicht, muss sie gem¨aß φi t − k 0

der Inversionsformel (16.1.5) R+0 =⇒ R+ zur Variablen im Rekonstruktionsraum wird, ist dies ˆ i · R+ /c in (16.1.1), denn damit ergibt sich unpraktisch; zweckm¨aßiger ist die Wahl t+ = k 0 o(x+ , y + , z + ) =

E

Q

; ;

ˆ · R+ k 1' dxdy (16.1.9) (x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z + )2 + i c c

φ x, y, d, t =

SM

als Inversionsformel unter Ber¨ ucksichtigung einer voxelabh¨angigen, durch die Richtung der einfallenden ebenen Welle gegebenen Zeitnormierung. Anstelle einer einfallenden ebenen Welle, die ja relativ unphysikalisch ist, da sie aus dem Unendlichen kommt, k¨onnen wir mit t+ =

1' (xQ − x+0 )2 + (yQ − y0+ )2 + (d − z0+ )2 c

(16.1.10)

ebenso gut die Beleuchtung des x+0 y0+ z0+ -Punktstreuers durch eine am Ort xQ , yQ , zQ = d lokalisierte Punktquelle bewerkstelligen. Die zugeh¨orige Inversionsformel lautet dann: +

+

+

o(x , y , z ) =

; ;

SM

%

φ x, y, d, t = +

1' (x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z + )2 + c

1' (xQ − x+ )2 + (yQ − y + )2 + (d − z + )2 c

S

dxdy .

(16.1.11)

Die Spezialisierung auf den in der Pr¨ ufpraxis oft vorliegenden Impuls-Echo-Betrieb ist sodann durch xQ = x, yQ = y realisierbar: o(x+ , y + , z + ) =

; ; SM

%

φ x, y, d, t =

2' (x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z + )2 c

S

dxdy .

(16.1.12)

572

16 Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren

Man beachte: Die Integrationen in den SAFT-Inversionsformeln (16.1.9), (16.1.11), (16.1.12) liefern nat¨ urlich nicht dieselben Ergebnisse, weshalb die entstehenden Bilder o(x+ , y + , z + ) strenggenommen unterschiedlich bezeichnet werden m¨ ussten. SAFT mit Hilbert-transformierten Impulsdaten In der zfP-Praxis ist das von einem Pr¨ ufkopf eingeschallte Signal — das einfallende Feld — nat¨ urlich (leider) kein δ-Impuls, sondern ein bandbegrenzter Impuls, der — beispielsweise — als RC2-Impuls modelliert werden kann. Infolgedessen spiegelt der Streuimpuls ebendieses oszillatorische Verhalten wider (man vergleiche Abb. 16.1.1), und letztlich findet man es im Datenfeld (B-Bild) der Laufzeitortskurven; durch die SAFT-Inversionsintegrale wird es sodann in den Rekonstruktionsraum r¨ uckausgebreitet und f¨ uhrt dort, entsprechend der Impulsdauer bzw. dessen Bandbreite, zum einen zu einer begrenzten Aufl¨osung und zum anderen zu r¨aumlichen Oszillationen in der Bildfunktion o(x+ , y + , z + ). Diese k¨onnen durch eine spezielle SAFT-Signalverarbeitung beseitigt werden1 . Dazu definiert man mittels einer Hilbert-Transformation (Abschnitt 2.3.4) bez¨ uglich der Zeit ein komplexwertiges Signal gem¨aß φc (R, t) = φ(R, t) + j Ht {φ(R, t)}

(16.1.13)

und setzt dieses in die Inversionsformeln (16.1.9), (16.1.11), (16.1.12) ein; Ergebnis ist eine komullende der oszillatorischen Bildfunktion plexwertige Bildfunktion oc (R+ ), deren Betrag die Einh¨ ist; dies funktioniert f¨ ur geometrisch beliebige Messfl¨achen (Langenberg et al., 1993b). F¨ ur ebene Messfl¨achen kann man alternativ eine komplexwertige Bildfunktion gem¨aß2 oc (x+ , y + , z + ) = o(x+ , y + , z + ) − j Hz% {o(x+ , y + , z + )}

(16.1.14)

erzeugen und hernach deren Betrag bilden; dies ist sodann ¨aquivalent zur ersten Vorgehensweise (Langenberg, 1987; Abschnitt 16.2.5). Nicht ¨aquivalent ist jedoch die Betragsbildung des komplexwertigen Streusignals mit nachfolgender SAFT-Inversion; dies f¨ uhrt zu einer Aufl¨osungsverschlechterung. Da es sich bei SAFT sowohl in der Voxel- als auch in der A-Bild-orientierten Formulierung um einen heuristisch begr¨ undeten Abbildungsalgorithmus handelt, k¨onnen nat¨ urlich ebenso heuristisch begr¨ undete Modifikationen vorgeschlagen werden. • Zuallererst: Die Voraussetzung skalarer Wellenfelder ist in der US-zfP nur f¨ ur SH-Wellen gegeben. Dennoch ist die Anwendung auf P- und SV-Wellen (im Dreidimensionalen generell auf P- und S-Wellen) unter zwei Voraussetzungen m¨oglich: Man w¨ahlt irgendeine skalare Messgr¨oße aus, z.B. die elektrische Spannung am Pr¨ ufkopf stellvertretend f¨ ur die — und hoffentlich proportional zur — Normalkomponente der Teilchenverschiebung auf der Bauteiloberfl¨ache (die Tangentialkomponente wird ja bei Fl¨ ussigkeitsankopplung nicht gemesssen); allerdings muss wegen des Auftretens der Wellengeschwindigkeit c in (16.1.5) apriori bekannt sein, d.h. insbesondere, welche Impulse bzw. Laufzeitortskurven (-fl¨achen) im B-Bild Druck- bzw. Scherwellen zuzuordnen sind. • Nichtebene Messfl¨achen k¨onnen mittels d =⇒ z(x, y) ber¨ ucksichtigt werden. • Weitergehendes physikalisches Verst¨andnis der Wellenausbreitung suggeriert die Implementierung eines Tiefenausgleichs“ unter dem SAFT-Integral (16.1.5), denn die Daten von ” Punktstreuern in gr¨oßerer Tiefe haben definitiv geringere Amplituden als diejenigen dicht unter der Bauteiloberfl¨ache. 1 Signalverarbeitungsverfahren, z.B. eine Entfaltung des Streusignals mit dem einfallenden Impuls, erlauben es auch, die Aufl¨ osung zu verbessern (Mayer, 1989). 2 Bez¨ uglich des negativen Vorzeichens konsultiere man Abschnitt 16.2.5.

16.1 SAFT: Synthetic Aperture Focusing Technique

573

• In der Praxis wird das einfallende Feld weder eine ebene Welle sein noch von einer Punktquelle herr¨ uhren; Richtcharakteristiken von Pr¨ ufk¨opfen lassen sich aber in einfacher Weise durch Raumwinkelbegrenzung der Isochronenfl¨ache (z.B. in der A-Bild-orientierten Formulierung) einarbeiten. • In homogen-anisotropen Materialien sind die Isochronenfl¨achen durch Energiegeschwindigkeitsfl¨achen gegeben; eine Modifikation von SAFT f¨ ur derartige Einbettungsmaterialien ist deshalb sofort m¨oglich (Langenberg et al., 1997). Unter Ber¨ ucksichtigung der Refraktion an Trennfl¨achen eines st¨ uckweise (anisotrop-)inhomogenen Einbettungsmaterials (Fehlerabbildung in anisotropen Schweißn¨ahten) l¨asst sich mittels strahlengeometrischer N¨aherung auch ein SAFT-Algorithmus f¨ ur derartige Anwendungen formulieren und implementieren (Hannemann, 2001; Marklein et al., 2002a; Shlivinski et al., 2004b). Schlussendlich: In die Formulierung des SAFT-Abbildungsalgorithmus sind zwar Kenntnisse hinsichtlich der Ausbreitung von Wellen eingeflossen, er stellt jedoch keine strenge mathematische L¨osung des inversen Streuproblems dar, was bei Einbettung in die inverse Streutheorie deutlich wird (Langenberg, 1987; Abschnitt 16.2.5); lediglich die inh¨arente Linearisierung aufgrund der Vernachl¨assigung der Strahlungswechselwirkung ist augenscheinlich, man weiß jedoch zun¨achst nichts u ¨ber weitere implizit enthaltene Voraussetzungen und damit nichts u ¨ber Genauigkeit und Aufl¨osung ( Rekonstruktionstreue“) und u ¨ber die tats¨achliche physikalische Bedeu” ¨ tung des Bildes o(x+ , y + , z + ). Diese Fragen m¨ ussen auf der Grundlage theoretischer Uberlegungen (Langenberg, 1987) oder anhand von Testk¨orpern bzw. anhand von synthetischen Daten beantwortet werden (Langenberg et al., 2004a,b; Mayer et al., 2003; Schmitz, 2002; Langenberg et al., 1999a; Langenberg et al., 1993a). Im Folgenden ein Beispiel: F¨ ur den in Abb. 15.5.6 dargestellten Testk¨orper wurden entlang eines linienf¨ormigen Scanpfades — in Abb. 16.1.3 von ufkopf (MWB45N2) B-Bild-Daten im links nach rechts — mit einem 45o -2 MHz-Scherwellenpr¨ Impuls-Echo-Betrieb aufgenommen und mit dem SAFT-Algorithmus verarbeitet. Das in Abb. 16.1.3 dargestellte Ergebnis zeigt, dass Laufzeitortskurven (Diffraktionskurven) in der Tat auf die vom Schallfeld erfassten Fehler“oberfl¨achen fokussiert werden, wobei die axiale Aufl¨osung ”

Abb. 16.1.3: SAFT-Abbildung mit experimentellen Daten (V. Schmitz: Fraunhofer IZFP)

durch die Impulsdauer und die laterale Aufl¨osung durch die Pr¨ ufkopf- und die (synthetische) Messapertur gegeben ist. Deutlich erkennt man auch Artefakte (Geisterbilder), die auf Mehrfachstreuung bzw., im Falle der seitlichen Zylinderbohrungen, auf Kriechwellen zur¨ uckgef¨ uhrt werden k¨onnen. Abbildung 16.1.4 zeigt f¨ ur denselben Testk¨orper und denselben Scanpfad SAFT-Ergebnisse, wenn man synthetische Daten zugrundelegt (Abbildung 15.5.7), die mit der Kirchhoff’schen N¨aherung berechnet wurden. Zun¨achst: Wegen der k¨ urzeren Dauer des Simulationsimpulses ist die axiale Aufl¨osung besser und sodann: Mehrfachstreu- und Kriechwellenartefakte fehlen,

574

16 Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren

Abb. 16.1.4: SAFT-Abbildung Simulationsdaten (V. Schmitz: Fraunhofer IZFP)

¨ da sie in der Kirchhoff-N¨aherung nicht ber¨ ucksichtigt werden. Ubrigens: In den Bildern der seitlichen Zylinderbohrungen spiegeln sich die — hier axial aufgel¨osten — Kantenimpulse der Pr¨ ufkopfapertur als Quelle des einfallenden Feldes wider (Abschnitt 13.3.4).

16.2

FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique

Die SAFT-Algorithmen sind heuristisch begr¨ undet: Ihre Herleitung“ basiert zwar auf der ” Kenntnis der Zeitbereichs-Greenfunktion des Einbettungsmaterials, genauer: auf der Kenntnis der geometrischen Gestalt der Elementarwellenfronten, denn eventuelle Richtcharakteristiken der Elemetarwellen werden ja nicht genutzt, es wird jedoch nicht vom mathematischen Zusammenhang zwischen Streuk¨orper und dessen Streufeld Gebrauch gemacht. Dieser liegt jedoch in Form von Volumenintegralen u ¨ber sekund¨are Quellen vor, die dem Streuer ¨aquivalent“ sind. ” Da das Streufeld Messgr¨oße ist, sollte es grunds¨atzlich m¨oglich sein, diese Volumenintegrale zu invertieren, d.h. eine inverse Streutheorie darauf zu begr¨ unden. F¨ ur skalare Wellenfelder ist diese Theorie sowohl als lineare (Langenberg, 1987; Langenberg, 2002a) als auch als nichtlineare Theorie (Belkebir und Saillard, 2001) weitgehend ausgearbeitet. Die lineare Theorie enth¨alt einerseits die SAFT-Algorithmen nach Einf¨ uhrung diverser Approximationen als Spezialfall (Langenberg, 1987; Impuls-Echo-Version: Abschnitt 16.2.5) und andererseits erlaubt sie die Implementierung algorithmischer Alternativen, von denen — ebene Messfl¨achen vorausgestzt — FT-SAFT wohl am effektivsten ist (Mayer, 1989; Mayer et al., 1990; Langenberg et al., 1999a; Mayer et al., 2003; Langenberg et al., 2004a,b), da im Wesentlichen Fourier-Transformationen zur Anwendung kommen; hierf¨ ur steht auch FT“. ”

16.2.1

Skalare sekund¨are Quellen: Kontrastquellen

F¨ ur akustisch-penetrable Streuk¨orper berechnet man das Fourier-Spektrum des Schalldrucks im Streufeld ps (R, ω) =

; ∞ ; ∞ ; ∞ 0 −∞

−∞

−∞

X

jωρ hκ (R+ , ω)G(R − R+ , ω) + f ρ (R+ , ω) · ∇+ G(R − R+ , ω) d3 R+

(16.2.1) durch Volumenintegration (5.6.25) der Fourier-Spektren der sekund¨aren Quellen (5.6.19) und (5.6.20): 0

X

hκ (R, ω) = jω Γc (R) κ − κ(i) (R) p(R, ω)

16.2 FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique = −jωκ χκ (R)p(R, ω) , 0

(i)

X

575 (16.2.2)

f ρ (R, ω) = −jω Γc (R) ρ − ρ (R) v(R, ω) = jωρ χρ (R)v(R, ω) = χρ (R)∇p(R, ω) ;

(16.2.3)

hierin sind κ(i) (R) und ρ(i) (R) Kompressibilit¨at und Massendichte im Streuk¨orpervolumen Vc mit der charakteristischen Funktion Γc (R), das sich im homogen-isotropen Einbettungsmaterial κ, ρ mit der Green’schen Funktion G(R − R+ , ω) befindet; χρ (R) und χκ (R) sind die gem¨aß (5.6.13) und (5.6.14) definierten Kontrastfunktionen. F¨ ur akustisch-ideale Streuk¨orper mit schallweicher oder schallharter Oberfl¨ache Sc geht man zweckm¨aßigerweise von der Helmholtz’schen Formulierung (5.6.3) des Huygens’schen Prinzips ps (R, ω) =

; ; Sc

[ jωρ g(R+ , ω)G(R − R+ , ω) + t(R+ , ω) · ∇+ G(R − R+ , ω)] dS +

(16.2.4)

aus, worin g(R, ω) = −nc · v(R, ω) 1 =− n · ∇p(R, ω) , jωρ c t(R, ω) = nc p(R, ω)

(16.2.5) (16.2.6)

die sekund¨aren Fl¨achenquellen (5.6.1) und (5.6.2) sind. Auf eine zu (16.2.1) ¨aquivalente Formulierung bringt man (16.2.4) gem¨aß ps (R, ω) =

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

−∞

−∞

[ jωρ hc (R+ , ω)G(R − R+ , ω) + f c (R+ , ω) · ∇+ G(R − R+ , ω)] d3 R+

durch die Definition der sekund¨aren Volumenquellen (15.1.44) und (15.1.45): hc (R, ω) = −γ c (R) · v(R, ω) 1 =− γ (R) · ∇p(R, ω) , jωρ c f c (R, ω) = γ c (R)p(R, ω) .

(16.2.7)

(16.2.8) (16.2.9)

F¨ ur die sekund¨aren Quellen (16.2.8) und (16.2.9) bieten sich die Spezialisierungen f sc (R, ω) = 0 , 1 hsc (R, ω) = − γ (R) · ∇p(R, ω) jωρ c

(16.2.10) (16.2.11)

des schallweichen Streuk¨orpers (soft: Dirichlet’sche Randbedingung p(R, ω) = 0, R ∈ Sc ) bzw. des schallharten Streuk¨orpers (rigid : Neumann’sche Randbedingung nc · ∇p(R, ω) = 0, R ∈ Sc ) f rc (R, ω) = γ c (R)p(R, ω) , hc (R, ω) = 0

(16.2.12) (16.2.13)

an. Da f¨ ur den schallharten Streuk¨orper in (16.2.7) der Gradient der Green’schen Funktion auftritt, kann man gem¨aß (5.5.6) =⇒ (5.5.4) die Darstellung prs (R, ω) = −

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

−∞

−∞

G(R − R+ , ω)∇+ · f rc (R+ , ω) d3 R+

(16.2.14)

576

16 Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren

erzeugen, worin man mit (16.2.12) unter erneuter Anwendung der Neumann’schen Randbedingung ∇ · f rc (R, ω) = p(R, ω)∇ · γ c (R) (16.2.15) ersetzen kann. Spezialisiert man ferner den penetrablen Streuk¨orper auf χρ (R) ≡ 0, so erh¨alt man f¨ ur alle drei kanonischen“ Streuk¨orper die gemeinsame Darstellung ” pspen,s,r (R, ω) = wenn man

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

−∞

−∞

qcpen,s,r (R+ , ω)G(R − R+ , ω) d3 R+ ,

⎧ 2 k χκ (R)p(R, ω) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

(16.2.16)

penetrabel (nur κ−Kontrast)

qcpen,s,r (R, ω) = ⎪ −γ c (R) · ∇p(R, ω)

schallweich

0 X ⎪ ⎪ ⎩ − ∇ · γ (R) p(R, ω) schallhart c

(16.2.17)

definiert. In jedem Fall ergibt sich also eine Kontrastquelle w(R, ω) qcpen,s,r (R, ω) =⇒ w(R, ω) = χ(R)φ(R, ω) ,

(16.2.18)

die mit χ(R) die Geometrie/Materialeigenschaften des Streuk¨orpers enth¨alt und u ¨ber die Feldur den penetrablen Streugr¨oße φ(R, ω) feldabh¨angig ist; wir schreiben jetzt generell φ(R, ω) (f¨ k¨orper enth¨alt φ(R, ω) auch den Faktor k 2 ) — f¨ ur das Streufeld sodann φs (R, ω) —, um anzudeuten, dass die Integraldarstellung φs (R, ω) =

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

−∞

−∞

w(R+ , ω)G(R − R+ , ω) d3 R+

(16.2.19)

Grundlage einer Inversionstheorie nicht nur skalarer akustischer Wellen, sondern eines wie auch immer definierten skalaren Wellenfeldes ist, das der Differentialgleichung Δφs (R, ω) + k 2 φs (R, ω) = −w(R, ω)

(16.2.20)

gen¨ ugt. Es sei noch angemerkt, dass man die als Distributionen gegebenen Kontrastquellen der idealen Streuer n¨aherungsweise durch stark verlustbehaftete penetrable Streuk¨orper darstellen kann. Wir spezialisieren daf¨ ur das Maxwell-Modell (4.4.2) f¨ ur den Nachgiebigkeitstensor auf den akustischen Fall: ∂S(R, t) ∂p(R, t) (16.2.21) = −κ(R) − Γ(R)p(R, t) . ∂t ∂t F¨ ur die Fourier-Spektren ergibt sich daraus die komplexe Kompressibilit¨at κc (R) = κ(R) + j womit wir gem¨aß

Γ(R) , ω

(16.2.22)

Γ (16.2.23) ω einen homogenen κ-verlustbehafteten Streuk¨orper beschreiben, dessen komplexe Kompressibilit¨at den gleichen Realteil wie das Einbettungsmaterial haben soll; Konsequenz ist ein rein imagin¨arer Kontrast Γ , (16.2.24) χκ = j ωκ κ(i) c = κ+j

16.2 FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique

577

dessen Betrag wir durch die Wahl von Γ (bei fester Frequenz) beliebig hochschrauben“ k¨onnen. ” Die Frage ist nun, welche Randbedingung wir mit |χκ | : 1 n¨aherungsweise realisieren k¨onnen. Dazu berechnen wir die Reflexion einer ebenen Welle pi (R, ω) = p0 (ω) e−jk sin ϑi y−jk cos ϑi z

(16.2.25) '

√ mit k = ω ρκ an einem verlustbehafteten Halbraum mit der Wellenzahl kc = ω ρ(κ + jΓ/ω) ¨ (Oberfl¨ache ≡ xy-Ebene) und erhalten aufgrund der Ubergangsbedingungen (5.2.3), (5.2.4) f¨ ur die reflektierte Welle (c) (16.2.26) pr (R, ω) = R(ϑi , ω) pi (ω) e−jk sin ϑi y+j.ktz z mit dem Reflexionsfaktor

(c)

R(ϑi , ω) =

k cos ϑi − ktz

(c)

k cos ϑi + ktz

(16.2.27)

und der komplexen z-Komponente C (c) ktz

= k cos2 ϑi + j

Γ ωκ

(16.2.28)

(c)

(c)

des komplexen Phasenvektors kt der gem¨aß e ,ktz z , z < 0, ged¨ampften transmittierten Welle . F¨ ur Γ/ωκ : 1 ergibt sich R ; −1, d.h. der akustische Druck erf¨ ullt n¨aherungsweise eine Dirichlet’sche Randbedingung. Deshalb wird CSI (Abschnitt 16.2.2) f¨ ur den schallweichen Streuk¨orper mit dem rein imagin¨aren Kontrast (16.2.24) implementiert; mit einem (16.2.21) entsprechenden Maxwell-Modell f¨ ur die Dichte k¨onnen wir auch den schallharten Streuer approximieren. Zur Linearisierung sowohl des direkten als auch des inversen Streuproblems muss die R¨ uckkopp” lung“ des Streufeldes auf die Kontrastquelle aufgehoben werden; dies gelingt prinzipiell, indem man in (16.2.17) das Gesamtfeld proportional zum einfallenden Feld setzt, genauer: indem man f¨ ur den penetrablen Streuk¨orper die Born’sche N¨aherung und f¨ ur die idealen Streuk¨orper die Kirchhoff’sche N¨aherung ansetzt: ⎧ 2 k χκ (R)pi (R, ω) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

penetrabel (nur κ−Kontrast)

wlin (R, ω) = ⎪ −2γ u (R) · ∇pi (R, ω)

schallweich

0 X ⎪ ⎪ ⎩ −2 ∇ · γ (R) p (R, ω) schallhart . i u

(16.2.29)

ur die beleuchtete“ Streuk¨orperoberfl¨ache, d.h. unter Ber¨ ucksichtigung Hierin steht γ u (R) f¨ ” der Kirchhoff’schen Schattengrenze. In dieser linearisierten Version sind die Kontrastquellen z.B. Grundlage der Formulierung des FT-SAFT-Algorithmus. Bevor wir darauf eingehen, sei ein kurzer Blick auf die nichtlineare Contrast Source Inversion geworfen, da uns alle dazu notwendigen Gleichungen bereits zur Verf¨ ugung stehen.

16.2.2

Kontrastquelleninversion (CSI): Contrast Source Inversion

In der Tat ist (16.2.19) gleich zweimal verwendbar, n¨amlich einmal als Datengleichung φs (R, ω) =

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

−∞

−∞

w(R+ , ω)G(R − R+ , ω) d3 R+ , R ∈ SM ,

(16.2.30)

und einmal als Objektgleichung φ(R, ω) = φi (R, ω) +

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

−∞

−∞

w(R+ , ω)G(R − R+ , ω) d3 R+ , R ∈ Vc .

(16.2.31)

578

16 Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren

Gleichung (16.2.31) ist bei bekanntem Kontrast χ(R) die Lippmann-Schwinger-Integralgleichung (5.6.27) f¨ ur das innere Gesamtfeld φ(R, ω), R ∈ Vc , bei verschwindendem ρ-Kontrast; sie ist also Grundlage f¨ ur die L¨osung des direkten Streuproblems3 . Im Falle des inversen Problems ist der Kontrast aber gerade die gesuchte (unbekannte) Gr¨oße, sodass man (16.2.30) und (16.2.31) iterativ ohne Linearisierung z.B. folgendermaßen l¨ost: • Man ermittelt mithilfe eines linearen R¨ uckausbreitungsverfahrens eine nullte N¨aherung w(0) (R, ω), mit (16.2.31) eine nullte N¨aherung des inneren Gesamtfeldes φ(0) (R, ω) und daraus mit der gem¨aß w(R, ω)φ∗ (R, ω) (16.2.32) χ(R) = |φ(R, ω)|2 umgeschriebenen Gleichung (16.2.18) die nullte N¨aherung des Kontrastes. • Multipliziert man (16.2.31) mit χ(R), resultiert die modifizierte Objektgleichung w(R, ω) = χ(R)φi (R, ω)+ +χ(R)

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

−∞

−∞

w(R+ , ω)G(R − R+ , ω) d3 R+ , R ∈ Vc ,

(16.2.33)

die zusammen mit (16.2.30) ein Integralgleichungssystem zur Berechnung von w(1) (R, ω) darstellt, wenn man darin χ(0) (R) verwendet. • Mit (16.2.31) ergibt sich φ(1) (R, ω), mit (16.2.32) χ(1) (R), womit nun w(2) (R, ω) berechnet wird usw. Das Flussdiagramm in Abb. 16.2.1 stellt die einzelnen Schritte des CSI-Algorithmus noch einmal u ¨bersichtlich zusammen. Dieser nichtlineare iterative Inversionsalgorithmus ist als Contrast Source Inversion (samt Modifikationen) publiziert (Kleinman und van den Berg, 1997; van den Berg, 1999; Haak, 1999) und von uns erfolgreich (auf elektromagnetische Daten) angewandt worden (Marklein et al., 2001; Marklein et al., 2002b). Allerdings ist er numerisch sehr aufwendig, und deshalb ist es legitim zu fragen, welche Verbesserungen gegen¨ uber der linearen Inversion erzielt werden. V¨ollig klar ist: Wenn der (nicht-Born’sche) Kontrast eines penetrablen Streuk¨orpers quantitativ berechnet werden soll, kommt man an nichtlinearen Inversionsalgorithmen nicht vorbei. Geht es hingegen nur“ um die Oberfl¨achenkontur idealer (nicht-Kirchhoff’scher) Streuer, so scheinen ” erste Ergebnisse f¨ ur Ultraschall daten darauf hinzudeuten (Marklein et al., 2002a; Schmitz et al., 2004a), dass der Gewinn ¨außerstenfalls marginal ist. Allerdings: F¨ ur typische elektromagnetische Messdaten ist der Gewinn unter Umst¨anden signifikant (Marklein et al., 2001).

16.2.3

Verallgemeinerte Holographie

Im Zusammenhang mit der Contrast Source Inversion erw¨ahnten wir als nullte N¨aherung der Kontrastquelle die L¨osung eines linearen R¨ uckausbreitungsverfahrens: Es liegt in mehreren Varianten einer verallgemeinerten Holographie vor (Langenberg, 1987). Man betrachtet — wie auch bei der A-Bild-orientierten Formulierung von SAFT — die zeitharmonischen Streufelddaten (die Fourier-Spektren des zeitabh¨angigen Streufeldes) auf einer geschlossenen, den Streuk¨orper ganz einh¨ ullenden Messfl¨ache SM als Punkt quellen“, die es mit den Elementarwellen des Einbet” tungsmaterials r¨ uckauszubreiten gilt; also definiert θH (R, ω) = 3 F¨ ur

; ;

SM

[G∗ (R − R+ , ω)∇+ φs (R+ , ω) − φs (R+ , ω)∇+ G∗ (R − R+ , ω)] · n+M dS + (16.2.34)

ideale Streuer reduziert sie sich nat¨ urlich auf die Integralgleichungen (5.6.8) bzw. (5.6.9).

16.2 FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique

579

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ... ..... .... .... .... ... .... .... ....... ... .... ..................................................................................................................... .... ..... ... .. ..... ... c . .... .... .... ..... ... . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... .. ... .. ... ..... ... ....... ....... ........................................................................................................................................................................................................................... ... ..... .... .... .... .... .... ... ....... .... .... ............................................................................................................................................................................................................. .... ..... ... .. ..... ... . .. . .... .. ... .... ... .. ......................................................................................................................................................................................................................... ... ... ... . ... ... ... ........ ........ .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... ..... .... .... ... .... .... .... .... ... .... .... .... .... . . . . .... . c . .. ........................................................................................................................... ... ..... ..... .... ... .... ... .... .... .... .... ... c .... .... .... .... ... .. .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

w

(n)

(R, ω)

; ; ;

φi (R, ω) = φ(R, ω) −

V

w(R+ , ω)G(R − R+ , ω) d3 R+ φ(n) (R, ω)

w(n) (R, ω)

χκ (R) =

w(R, ω)φ∗ (R, ω) |φ(R, ω)|2 χ(n) κ (R)

χκ (R)φi (R, ω) = w(R, ω) − χκ (R)

w(n+1) (R, ω)

φs (R, ω) =

; ; ;

V

; ; ;

V

w(R+ , ω)G(R − R+ , ω) d3 R+

w(R+ , ω)G(R − R+ , ω) d3 R+

Abb. 16.2.1: Flussdiagramm f¨ ur die nichtlineare Contrast Source Inversion

das (monofrequente) Bild“ dieser Huygens-gem¨aßen R¨ uckausbreitung f¨ ur R ∈ VM , denn G∗ (R− ” + R , ω) ist ja nichts anderes als das Fourier-Spektrum der avancierten Green’schen Funktion (16.1.7); n+M ist die ¨außere Normale auf SM . Da die sekund¨aren Quellen des Streufeldes im urde das richtige“ HuygensInneren von VM , dem von SM eingeschlossenen Volumen, liegen, w¨ ” Integral (16.2.34) mit G statt G∗ f¨ ur R ∈ VM ein Nullfeld liefern. Demgegen¨ uber ergibt (16.2.34) das von null verschiedene verallgemeinerte holographische Feld, von dem man an dieser Stelle noch nicht weiß, wie es mit den Kontrastquellen des Streuk¨orpers zusammenh¨angt. Die Anwendung des Green’schen Satzes auf VM liefert allerdings mit der Streufeldgleichung (16.2.20) und deren L¨osung (16.2.19) die Porter-Bojarski-Integralgleichung (1. Art) θH (R, ω) = 2j

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

−∞

−∞

w(R+ , ω) 2G(R − R+ , ω) d3 R+

(16.2.35)

f¨ ur die Kontrastquelle, worin der Kern der Imagin¨arteil der Green’schen Funktion des Einbettungsmaterials ist. Eine genaue Untersuchung zeigt (Langenberg, 1987), dass θH bereits eine L¨osung f¨ ur w(R, ω) ist, und zwar die L¨osung minimaler Norm (minimaler Energie). Unter Umst¨anden, z.B. f¨ ur streifenf¨ormige Streuer (US-zfP: Risse) kann man damit bereits etwas anfangen (Langenberg, 1987). Falls nicht, muss man versuchen, mehr Energie in die L¨osung ” von (16.2.35) zu stecken“, z.B. durch Integration u ¨ber die Frequenz (innerhalb der Bandbreite des Ultraschallimpulses). Da jedoch die Kontrastquelle eine Funktion beider Variabler R und ω ist, und zwar im Allgemeinen nicht in einer synchronen Form F (ω)w(R), wird in der ur eine andere Frequenz eine andere sein, d.h. Regel die r¨aumliche Verteilung von w(R, ω) f¨ diese sogenannte Frequenzdiversit¨at wird nur zu einem Ergebnis f¨ uhren, wenn die Frequenzabh¨angigkeit der Kontrastquelle unabh¨angig von der r¨aumlichen Verteilung von außen“, d.h. ” vom Experimentator, kontrolliert wird. Dies gelingt nat¨ urlich wieder u ¨ber die Linearisierung lin w =⇒ w (Gleichung (16.2.29)) und Vorgabe des einfallenden Feldes, z.B. durch eine ebene ˆ i . Damit er¨offnet sich aber neben der Frequenzdiversit¨at eine Welle mit der Einfallsrichtung k

580

16 Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren

ˆ i (bei monoWinkeldiversit¨at, d.h. man integriert (16.2.35) u ¨ber ein Raumwinkelintervall von k frequenter Anregung). Beide Diversit¨aten f¨ uhren zu expliziten linearen Inversionsalgorithmen f¨ ur den Kontrast (Langenberg, 1987; Langenberg, 2002). F¨ ur die US-zfP ist nat¨ urlich zun¨achst die Frequenzabh¨angigkeit relevant, und in der Tat, wenn man die resultierende Formel f¨ ur die Kontrastinversion in den Zeitbereich transformiert, ergibt sich — nach einigen weiteren N¨aherungen — SAFT! Womit f¨ ur SAFT eine feldtheoretische Herleitung vorliegt! F¨ ur den Spezialfall ebener Messfl¨achen werden wir die feldtheoretisch exakte Impuls-Echo-Version von SAFT in Abschnitt 16.2.5 tats¨achlich herleiten. Die numerische Auswertung des R¨ uckausbreitungsintegrals (16.2.34) wird dann besonders effektiv, wenn man dazu — f¨ ur ebene Messfl¨achen! — (r¨aumliche) Fourier-Transformationen verwenden kann: Ergebnis ist der FT-SAFT-Algorithmus, der damit wegen der gleichen feldtheoretischen Grundlagen ergebnis¨aquivalent zu SAFT ist. Allerdings ist die direkte Herleitung von FT-SAFT ohne Verwendung der verallgemeinerten Holographie einfacher, sodass wir im folgenden Abschnitt diesen Weg bevorzugen.

16.2.4

FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique

Fourier Diffraction Slice Theorem In Analogie zu Abb. 16.1.2 legen wir eine ebene Messfl¨ache in einem kartesischen Koordinatensystem als xy-Ebene f¨ ur z = d fest. Die Streufelddarstellung (16.2.29) entpuppt sich dann gem¨aß φs (x, y, d, ω) =

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

−∞

−∞

w(x+ , y + , z + , ω)G(x − x+ , y − y + , d − z + , ω) dx+ dy + dz +

(16.2.36)

als zweidimensionales Faltungsintegral bez¨ uglich x und y; dieses wird u ¨ber den Faltungssatz der Fourier-Transformation aufgel¨ost“ und in ein Produkt der r¨aumlichen Spektren u uhrt: ¨berf¨ ” ; ∞ ˆ x , Ky , d − z + , ω) dz + , φˆs (Kx , Ky , d, ω) = w(K ˆ x , Ky , z + , ω)G(K (16.2.37) −∞

worin die Spektren — beispielsweise φˆs (Kx , Ky , d, ω) — durch φˆs (Kx , Ky , d, ω) =

; ∞ ; ∞

φs (x, y, d, ω) e−jKx x−jKy y dxdy

(16.2.38)

√2 2 2 % j ˆ x , Ky , d − z + , ω) = ' e j|d−z | k −Kx −Ky G(K 2 k 2 − Kx2 − Ky2

(16.2.39)

−∞

−∞

gegeben sind; das Spektrum

kennen wir aus der Weyl’schen Integraldarstellung (13.4.7) explizit. Mit der Abk¨ urzung Kz =

'

k 2 − Kx2 − Ky2

(16.2.40)

und unter der gegebenen Voraussetzung d > z + — dann ist |d − z + | = d − z + — stellt sich (16.2.37) schließlich als r¨aumliches Fourier-Integral bez¨ uglich z + heraus, worin Kz die Rolle der Fourier-Variablen spielt: φˆs (Kx , Ky , d, ω) =

; ∞ j % w(K ˆ x , Ky , z + , ω) e−jKz z dz + . e jdKz 2Kz −∞

(16.2.41)

Also gilt das sogenannte Fourier Diffraction Slice Theorem: φˆs (Kx , Ky , d, ω) =

' j ˜ x , Ky , Kz = k 2 − Kx2 − Ky2 , ω) . e jdKz w(K 2Kz

(16.2.42)

16.2 FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique

581

In Worten: Das bez¨ uglich der Messebenenkoordinaten x und y zwei dimensional Fourier-transformierte Streufeld φˆs (Kx , Ky , d, ω) ist f¨ ur Kx2 + Ky2 ≤ k 2 proportional zum dreidimensionalen r¨aumlichen Fourier-Spektrum der Kontrastquelle w(K ˜ x , Ky , Kz , ω) auf der Ewald-Halbkugel ' 2 2 2 Kz = k − Kx − Ky . Die Mapping-Vorschrift (16.2.40) vom Kx Ky ω-Raum in den Kx Ky Kz Raum verteilt“ also gem¨aß Kx2 + Ky2 ≤ k 2 bandbegrenzte Fourier-transformierte Messdaten4 , ” die von den Variablen Kx , Ky , ω abh¨angen, auf einer Halbkugelfl¨ache mit dem Radius k = ω/c im K-Raum, wobei K = Kx ex + Ky ey + Kz ez . Der Radiusparameter k erlaubt es sodann unter anderem, durch Variation der Messfrequenz ein Teilvolumen des K-Raums zu u ¨berdecken, wozu aber — genauso wie bei der Integration der Porter-Bojarski-Gleichung (16.2.35) — die Kontrastquelle linearisiert werden muss. Wir unterscheiden dabei wieder die Frequenzdiversit¨at einer multi-bistatischen (multi-pitch-catch) Anordnung, die Winkeldiversit¨at einer multi-bistatischen monofrequenten Anordnung sowie die Frequenzdiversit¨at einer multi-monostatischen (ImpulsEcho-)Anordnung. FT-SAFT: Multi-bistatische Frequenz- und multi-bistatische Winkeldiversit¨at Wir setzen das einfallende Feld als ebene Welle ˆ i ) e jki ·R ˆ i ) = φ0 (ω, k φi (R, ω, k

(16.2.43)

ˆ i = ki /k an: Beliebig fest gew¨ahlte Beleuchtungsrichtung mit den Diversit¨atsparametern ω und k ˆ ki entspricht bei Variation der Frequenz und R ∈ SM einem breitbandigen mehrfach-pitch-catchExperiment, also multi-bistatischer Frequenzdiversit¨at (in der Radartechnik spricht man bei festem R = R0 ∈ SM von einem bistatischen Experiment, bei beliebigem R ∈ SM also von einem multi-bistatischen Experiment), beliebig fest gew¨ahlte Frequenz entspricht bei Variation der Beleuchtungsrichtung und R ∈ SM einer multi-bistatischen monofrequenten Winkeldiversit¨at. In jedem Fall aber f¨ uhrt (16.2.43) auf die linearisierte Kontrastquelle ˆ i ) = χ(R)φi (R, ω, k ˆi) , wlin (R, ω, k

(16.2.44)

ˆ i ) verstecken“. Wenn wobei wir im Falle des penetrablen Streuk¨orpers den Faktor k 2 in φ0 (ω, k ” wir (16.2.44) in (16.2.42) einsetzen, ist wegen der Exponentialfunktion in (16.2.43) die FourierTransformierte einer modulierten Kontrastfunktion zu bilden, d.h. das dreidimensionale FourierSpektrum von χ(R) ist im K-Raum verschoben. Es erweist sich aber als zweckm¨aßig, stattdessen die Ewald-Kugel zu verschieben; dazu multipliziert man das Streufeld mit e−jki ·R und schl¨agt % den entstehenden Exponentialterm e−jki ·(R−R ) der Green’schen Funktion in (16.2.30) zu, bevor man zweidimensional Fourier-transformiert: ˆi) e−jki ·R φs (R, ω) = φ0 (ω, k

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

−∞

−∞

%

χ(R+ )

e jk|R−R | −jki ·(R−R% ) 3 + dR ; e 4π|R − R+ |

(16.2.45)

durch diese Modulationsfunktion werden nunmehr die Fouriervariablen Kx und Ky um die Komponenten kix bzw. kiy verschoben: j ˆi) ' e−jkiz d φˆs (Kx + kix , Ky + kiy , d, z) = φ0 (ω, k × 2 2 k − (Kx + kix )2 − (Ky + kiy )2 ×

; ∞ −∞

%

%

χ(K ˆ x , Ky , z + ) e−jkiz (d−z ) e j|d−z |

√

k2 −(Kx +kix )2 −(Ky +kiy )2

dz + .

(16.2.46)

4 Abbildung 11.1.3 vermittelt ganz anschaulich, dass diese Bandbegrenzung f¨ ur hinreichend großen Messebenenabstand d tats¨ achlich gegeben ist.

582

16 Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren

Unter der Annahme d > z + folgt √2 2 2 je jd k −(Kx +kix ) −(Ky +kiy ) ˆ ˆ φs (Kx + kix , Ky + kiy , d, ω) = φ0 (ω, ki ) ' × 2 k 2 − (Kx + kix )2 − (Ky + kiy )2 ×

; ∞ −∞

%

χ(K ˆ x , Ky , z + ) e−jz (

√

k2 −(Kx +kix )2 −(Ky +kiy )2 −kiz )

dz + ,

(16.2.47)

sodass im resultierenden Fourier Diffraction Slice Theorem ˆi) φˆs (Kx + kix , Ky + kiy , d, ω) = φ0 (ω, k

j ˜ x , Ky , Kz ) e jd(Kz +kiz ) χ(K 2(Kz + kiz )

(16.2.48)

die Mapping-Vorschrift durch Kz =

'

k 2 − (Kx + kix )2 − (Ky + kiy )2 − kiz

(16.2.49)

beziehungsweise durch |K + ki | = k

(16.2.50)

mit Kz + kiz ≥ 0 gegeben ist. Abbildung 16.2.2 illustriert dieses Mapping der Fourier-transforz, K z .

... ........ ....... ix iy ... ..... .. .. ... .................................................... .. ... .... ... ..... .... ... ..... ... ..... . . . ... ..... .... ... ..... .... ... ......... ..... ... ..... ... ..... .... ... ... ....... ... ......... ... ............. ... ... ... ... ... .. .. .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .................................................................................................................... ... .. .. .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..... .......

Fxy {φs e−jk

x−jk y

}

Empfangspunktquelle z = d ................................................•....................................................................... S ... . . . . .... . . . . k : ebene Welle ... als . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beleuchtung . . . . . . . . ........ ..... ........... . . . . . . ..... .. . . .... ..... ..... .....K + kkˆ ... . ... ..... K..... ..... ... ... .. ... ..... ... ......... k e . . ... ... ........−kkˆ ............ ................................ x, K . . . . e . y, K . . e .. . . . . .... kkˆ . . . . ......

M

i

i

z

i

x y

x

y

i

Abb. 16.2.2: Illustration der multi-bistatischen FT-SAFT Mapping-Vorschrift

mierten Daten in den K-Raum, wobei erneut nur die propagierenden spektralen Komponenten (Kx +kix )2 +(Ky +kiy )2 ≤ k 2 von φˆs zum Tragen kommen: Der Mittelpunkt der Ewald-Kugel liegt

16.2 FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique

583

nun bei −ki , und die transformierten Daten werden auf der der Messebene zugewandten5 Halbˆ i und k, sodass sich, wie in Abb. 16.2.3 kugel abgelegt“; die Parameter des Mappings sind also k ”

..................................... . . . . . . . . . . .......................................... .......... . . . ....... .... . ... .. . ............ ....................... ........ ...... ..... ... ... ......... ..... ... ... . ... ... ... ............... . ... ............ . . . ....... . .............. ........... ... . . ..... Δk . . . . ... ....... −k K K. z

... ........ ....... ... .... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... .............................................................................................................................................................................................. .....

i

x

Ky

K. z

............................................................ . . . . . . ..... ........................................................... . . ......... . .. .... .......... ..... ..... ........ ... ....... ... ...... ..... ..... ..... ....... ... ....... .. ...... .. Δkˆ . ....... ........ . . . . . . . . . .. . . . . . ....... ........... . . .....................−k . . . ..... K ... ....... ....... ... .... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .... .. ... ... ... ... ... ... . ............................................................................................................................................................................................. ... .......

i

i

x

Ky

¨ Abb. 16.2.3: FT-SAFT K-Raum-Uberdeckung f¨ ur multi-bistatische Frequenz- (links) bzw. multi-bistatische Winkeldiversit¨ at (rechts)

¨ dargestellt, typische K-Raum-Uberdeckungen f¨ ur Frequenz- bzw. Winkeldiversit¨at6 ergeben, die in den beiden F¨allen unterschiedlich sind, also nach Fourier-Inversion in den Rekonstruktionsraum auch unterschiedlich r¨aumlich bandbegrenzte Ergebnisse f¨ ur die Kontrastfunktion liefern. ¨ Ubrigens: Auch bei unendlicher Frequenzbandbreite (0 ≤ k < ∞) bzw. vollst¨andiger Abdeckung ˆ i erh¨alt man ¨außerstenfalls bandbegrenzte Kontrastfunktionen, eine der Einheitskugel durch k Tatsache, die f¨ ur SAFT als Zeitbereichsversion der Frequenzdiversit¨at gleichermaßen gilt, bei der heuristischen Begr¨ undung dieses Algorithmus’ aber nicht sichtbar wird. Man sollte sich dieser Tatsache stets bewusst sein, wenn von US-Abbildung als Fehlerrekonstruktion gesprochen wird. Nat¨ urlich trifft dies in besonderem Maße zu, wenn Bandbreite bzw. Beleuchtungsintervall eingeschr¨ankt sind; z.B. erreicht man in diesen F¨allen nie den Ursprung des K-Raums, d.h. die ¨ f¨ uhrt zun¨achst stets Fourier-Inversion der datenbelegten begrenzten K-Raum-Uberdeckungen — wie SAFT mit bandbegrenzten Impulsen — zu oszillatorischen Bildern von Streuk¨orpern, die jedoch im Allgemeinen komplex wertig sind, sodass eine einfache Betragsbildung die Oszillationen beseitigt und damit denselben Effekt wie die zus¨atzliche SAFT-Verarbeitung Hilberttransformierter Impulsdaten bewirkt. Wir haben bereits betont, dass im Rahmen einer linearen inversen Streutheorie SAFT und FTSAFT nur zwei Seiten derselben Medaille sind; f¨ ur die bistatische Frequenzdiversit¨at sei dies mit den Flussdiagrammen der Abb. 16.2.4 anhand von synthetischen EFIT-Daten illustriert, der mathematische Beweis findet sich bei Langenberg (1987). Ausgegangen wird — in zwei Dimensionen — von einem xt-Datenfeld (den A-Bildern in einem B-Bild), hier: dem elastodynamischen Streufeld einer senkrecht zur Bauteil“oberfl¨ache auf einen Kreiszylinder mit span” nungsfreier Randbedingung einfallenden ebenen Impulsdruckwelle; der SAFT-Algorithmus in 5 Misst man das Streufeld in Transmission auf einer Ebene senkrecht zur Beleuchtungsrichtung, wird das Fourier Diffraction Slice Theorem unmittelbar als wellenbeugungstheoretische Erweiterung des Fourier Slice Theorems der strahlen optischen“ ” R¨ ontgen-Computer-Tomographie kenntlich (Langenberg, 1987). Deswegen wird FT-SAFT auch als Beugungstomographie bezeichnet (Devaney, 1986) 6 Offensichtlich erh¨ alt man in Winkeldiversit¨ at Schnittlinien von Ewald-Halbkugeln, auf denen (Fourier-transformierte) Daten u ur die entsprechende ¨berlagert werden; dem muss durch eine Filterung Rechnung getragen werden, die von Langenberg (2002a) f¨ Fernfeldinversion hergeleitet wurde.

584

16 Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren

x

................................... t(x% , z % )

x

.... .......... .. .... ... ... ... ... ... ... ... ... . .... .. .... .. ... ... ............................................................................................................... ..

... ........... .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ..... ... ..........................................................................................................................

x

................................... SAFT

t

K.x

................................... t

Ftx

..... ......... .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .. ... ... ... ...........................................................................................................................

Kz

ω

z

x

K.x

............

... ........... .... .. ... ... ... ... ... .... .. . .... .. ... ... ... ... ... ...........................................................................................................................

..... ..... ........ ......... .... .... .. .... ... .... ... .... ... .... . ... .... .. .... ... .... ... .... ... . . −1 ... ... . Kx Kz .... ... ... ..... ... .... ... .... ... ... .... ........................................................................................................................... z ......................................................................................................................

............ F

K

z

Abb. 16.2.4: SAFT und FT-SAFT (multi-bistatische Frequenzdiversit¨ at)

der pixel-orientierten Formulierung erfordert die Berechnung der Diffraktionshyperbeln t(x+ , z + ) f¨ ur jedes x+ z + -Pixel und nachfolgende Datenintegration entlang den Hyperbeln. Ergebnis ist eine Abbildung der beleuchteten Oberfl¨achenkontur des Streuers mit einer axialen Aufl¨osung entsprechend der Impulsdauer (durch gleichzeitige SAFT-Verarbeitung Hilbert-transformierter Daten und Betragsbildung sind die Impulsoszillationen unterdr¨ uckt). Alternativ dazu werden die xt-Daten bez¨ uglich t und x Fourier-transformiert, es entsteht ein ωKx -Raum (in dem man ¨ im Ubrigen sehr sch¨on die r¨aumliche Bandbegrenzung der Fourier-transformierten Daten auf ' 2 2 2 kx ≤ k erkennt); das Mapping Kz = ω /cP − Kx (cP gleich Druckwellengeschwindigkeit) macht daraus den K-Raum mit den Koordinaten Kx und Kz , von dem eine zweidimensionale inverse Fourier-Transformation mit nachfolgender Betragsbildung zum FT-SAFT-Ergebnis f¨ uhrt, das vom SAFT-Ergebnis praktisch nicht zu unterscheiden ist. ¨ F¨ ur die Impuls-Echo-Version von FT-SAFT werden wir die Aquivalenz mit SAFT weiter unten analytisch begr¨ unden. FT-SAFT: Multi-monostatische Frequenzdiversit¨at (Impuls-Echo-Version) Wegen der unkomplizierten Datenaufnahme nimmt der Impuls-Echo-Betrieb in der US-zfP eine herausragende Stellung ein; einen zugeh¨origen SAFT-Abbildungsalgorithmus hatten wir mit (16.1.12) formuliert, zur Herleitung einer multi-monostatischen FT-SAFT-Version m¨ ussen die Messdaten zun¨achst vorverarbeitet werden. Wie f¨ ur (16.1.12) gehen wir vom einfallenden Feld einer Punktquelle bei R0 ∈ SM aus, modifizieren also (16.2.43) gem¨aß φi (R, ω, R0 ) = φ0 (ω)

e jk|R−R0 | ; 4π|R − R0 |

(16.2.51)

man beachte: Im Falle des penetrablen Streuers enth¨alt φ0 (ω) den Faktor k 2 . Die mit (16.2.51) linearisierte Kontrastquelle ergibt das Streufeld φs (R, ω, R0 ) = φ0 (ω)

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

−∞

−∞

%

χ(R+ )

%

e jk|R−R | e jk|R −R0 | d 3 R+ , + 4π|R − R0 | 4π|R − R+ |

(16.2.52)

16.2 FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique

585

z, Kz ... ........ mo ...... ... ..... ... Fxy {φ s } ..

SM

.....................................................................•................Sende-Empfangspunktquelle ............................... .... .................................................... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .......... . ... . . . . . . . . ......... ... . . . . . . . . . .. ....... ................. . . . . . . . . . ........ ...... ....... ....... . ..... ... ..... ....... .. .. ... ..... ....... ... ... .. ....... ....... ... . ... ... ...... ...... . ... . . . . . . . ...... . . . . . ......... . . ... . . . . . ..... .... ... .. .. ... ..... ..... .. .. . . . . ... ... ... .. . ... . . ... .. .. .. . . . . . . . . . . . . ..... ....... ....... . .. . . . ... . . . . . ....... .. . .. ... . . . . ...... .. . ... . ... . ... . .. ..... ..... ... .. . . ... ... . . ... ... . .. ... . . . . ... ... . .... ... ... .. ... . . . ... ... .... .... ... .. .. .. . ... .. . ... .... ..... . . ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .....

z=d

........................................... . . . . . .... ... ...... ........ . . . . ... . e ... ... ... ..... ... ... .. ... ...... K ............................. ... . z

ex ey

2k

x, Kx y, Ky

Abb. 16.2.5: Illustration der multi-monostatischen FT-SAFT Mapping-Vorschrift

das sich f¨ ur den Impuls-Echo-Betrieb ( m“ f¨ ur monostatisch) R0 = R auf ” % ; ∞ ; ∞ ; ∞ e2jk|R−R | φm d 3 R+ χ(R+ ) s (R, ω) = φ0 (ω) (4π)2 |R − R+ |2 −∞ −∞ −∞

(16.2.53)

reduziert. Die zweidimensionale Fourier-Transformation von (16.2.53) bez¨ uglich x und y ist nunmehr nicht so ohne weiteres m¨oglich, da der Integrand das Quadrat der Green’schen Funktion enth¨alt. Mit der Definition des modifizierten monostatischen Streufeldes φmo s (R, ω) =

2π ∂ φm s (R, ω) j ∂k φ0 (ω)

(16.2.54)

erreichen wir es aber, dass in φmo s (R, ω) =

; ∞ ; ∞ ; ∞ −∞

−∞

−∞

%

χ(R+ )

e2jk|R−R | 3 + dR 4π|R − R+ |

(16.2.55)

eine monostatische Green’sche Funktion“ Gmo (R − R+ , ω) = G(R − R+ , 2ω) auftritt; (16.2.54) ” ist die erw¨ahnte Vorverarbeitung der monostatischen Daten. Tats¨achlich ist Gmo (R − R+ , ω) ugt der Differentialgleichung eine Green’sche Funktion, denn φmo s (R, ω) gen¨ 2 mo Δφmo s (R, ω) + 4k φs (R, ω) = −χ(R) , mo

(16.2.56)

+

zu der G (R − R , ω) die Green’sche Funktion ist. Es sei aber darauf hingewiesen, dass dies im Gegensatz zu (16.2.20) nur im Rahmen der Linearisierung gilt. Das (16.2.55) korrespondierende Fourier Diffraction Slice Theorem kann nun mit der monostatischen Mapping-Vorschrift ' Kz = 4k 2 − Kx2 − Ky2 ≥ 0 (16.2.57) beziehungsweise

|K| = 2k

(16.2.58)

586

16 Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren

sofort hingeschrieben werden: φˆmo s (Kx , Ky , d, ω) =

j e jdKz χ(K ˜ x , Ky , Kz ) . 2Kz

(16.2.59)

Das Mapping (16.2.57) ist in Abb. 16.2.5 skizziert; offensichtlich ergeben sich ursprungszentrierte Halbkugeln mit Radius 2k. Man kann mit (16.2.59) und (16.2.57) auch sofort Frequenzdiversit¨at durchf¨ uhren, da (16.2.59) ja bereits linearisiert ist; in Abb. 16.2.5 ist dies durch die gestrichelten Mapping-Halbkugeln (-kreise) angedeutet. Wieder wird deutlich, dass bei endlicher Frequenzbandbreite das Ergebnis der Frequenzdiversit¨atsinversion ein oszillierendes Bild sein wird, dem mit der Betragsbildung abgeholfen werden kann. Wie in Abb. 16.2.4 f¨ ur die multi-bistatische Frequenzdiversit¨at illustrieren wir auch f¨ ur die multi-monostatische Frequenzdiversit¨atsversion von FT-SAFT, dass das Ergebnis mit SAFT in der Impuls-Echo-Version identisch ist, diesmal jedoch f¨ ur experimentelle US-Daten (V. Schmitz: Fraunhofer IZFP). In Abb. 16.2.6 sind Bilder eines senkrecht zur Oberfl¨ache verlaufenden realen Risses in einem Stahltestk¨orper einander gegen¨ uber gestellt; die Einschallung erfolgte mit

0.04

0.05

0.05

0.06

0.06

0.07

0.07

0.08

0.08 z[m]

z[m]

0.04

0.09

0.09

0.1

0.1

0.11

0.11

0.12

0.12

0.13 0.12

0.13

0.14

0.15 x[m]

0.16

0.17

0.18

0.13 0.12

0.13

0.14

0.15 x[m]

0.16

0.17

0.18

Abb. 16.2.6: Impuls-Echo-SAFT- (links) und multi-monostatische FT-SAFT-Abbildung (rechts) eines realen Risses f¨ ur 45o -Scherwellen-Einschallung

(SV-)Scherwellen unter 45o , also mit vektoriellen elastischen Wellen. Als skalares Wellenfeld“ ” sehen wir die Empfangsspannung am Pr¨ ufkopf an; diese gen¨ ugt nat¨ urlich nicht der skalaren Helmholtzgleichung (16.2.20), also k¨onnen die Fehlerbilder in Abb. 16.2.6 auch keine Fehlerrekonstruktionen sein. Eine Verallgemeinerung von FT-SAFT auf elastische Wellen unter Ber¨ ucksichtigung der Modekonversion ist ebenfalls formuliert (Kostka et al., 1998; Langenberg et al., 2006; Langenberg et al., 2007; Zimmer, 2007). Inwieweit die multi-monostatische Frequenzdiversit¨atsversion von FT-SAFT der ZeitbereichsImpuls-Echo-Version von SAFT tats¨achlich ¨aquivalent ist, zeigen wir analytisch im n¨achsten Abschnitt. Anhand von Simulationen und der Auswertung experimenteller Daten konnte auch gezeigt werden, dass in anisotropen (konkret: transversal-isotropen) Materialien tats¨achlich — im Gegensatz zu SAFT — die Slowness-Fl¨achen f¨ ur die Mapping-Vorschrift verwendet werden

16.2 FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique

587

m¨ ussen (Zimmer, 2007); schließlich handelt es sich ja um die Superposition von Spektren ebener Wellen und nicht — wie bei SAFT — um die zeitliche R¨ uckausbreitung der Superposition von Elementar wellen.

16.2.5

Exakte Herleitung der Impuls-Echo-Version von SAFT f¨ ur ebene Messfl¨achen

Der Schreibweise

%

c' 2 2 χ(K ˜ x , Ky , Kz ) = Kz e−jdKz φˆmo Kx , Ky , d, ω = Kx + Ky2 + Kz2 s j 2

S

(16.2.60)

des monostatischen Fourier Diffraction Slice Theorem’s sieht man nun sofort an, dass man mittels einer dreidimensionalen inversen Fourier-Transformation bez¨ uglich Kx , Ky , Kz die Kontrastfunktion χ(x, y, z) erhalten sollte. Allerdings sagt uns die Mapping-Vorschrift (16.2.57) — Abbildung 16.2.5 zeigt dies anschaulich —, dass f¨ ur k ≥ 0 nur der obere Kz -Halbraum — Kz ≥ 0 — mit transformierten Daten aufgef¨ ullt werden kann7 , d.h. man kann mit den transformierten Daten bestenfalls 1 ;∞;∞;∞ χ(K ˜ x , Ky , Kz ) u(Kz ) dKx dKy dKz (16.2.61) (2π)3 −∞ −∞ −∞ berechnen, indem man χ(K ˜ x , Ky , Kz ) die den unteren Halbraum ausblendende Einheitssprungfunktion hinzuf¨ ugt. Dieses dreidimensionale inverse Fourier-Integral liefert aber unter Beachtung von (2.3.57) und (2.3.68) nebst der reellen Kontrastfunktion χ(x, y, z) auch noch deren HilbertTransformierte bez¨ uglich z:

1 1 ;∞;∞;∞ χ(K ˜ x , Ky , Kz ) u(Kz ) dKx dKy dKz = [χ(x, y, z) − j Hz {χ(x, y, z)}] , 3 (2π) −∞ −∞ −∞ 2 (16.2.62) wobei das negative Vorzeichen vor der Hilbert-Transformierten vom Vorzeichen im Kern der r¨aumlichen Fourier-Transformation bestimmt wird (Gleichungen (2.3.99) und (2.3.100)). Also ergibt sich χ(x, y, z) aus (16.2.62) unter Beachtung von (16.2.60) durch Realteilbildung: 1

S % c' 2 4 ;∞;∞;∞ −jKz (d−z) ˆmo 2 2 φs Kx , Ky , d, ω = χ(x, y, z) = 6 Kx + Ky + Kz × Kz e j(2π)3 −∞ −∞ −∞ 2 ,

× u(Kz ) e

jKx x+jKy y

dKx dKy dKz

.

(16.2.63)

Der Vergleich mit (16.2.39) — dort steht e j(d−z)Kz f¨ ur d > z — zeigt, dass sich die dadurch vermittelte Wellenausbreitung vom Streuer zur Messfl¨ache in (16.2.63) — dort steht e−j(d−z)Kz — in eine R¨ uck ausbreitung von der Messfl¨ache zum Streuer verwandelt“ hat; man erkennt also be” reits den SAFT-Gedanken“. Allerdings ist SAFT ein Zeitbereichsalgorithmus, hier spiegelt aber ” die Kz -Integration die Frequenzdiversit¨at wider, sodass man versuchen wird, das Kz -Integral in ein k- bzw. ω-Integral zu transformieren, um letzteres sodann als Fourier-Inversion zu interpre¨ tieren. Uber die Mapping-Vorschrift (16.2.57) substituieren wir also Kz dKz = 4k dk , k ≥ 0 , und erhalten

1

χ(x, y, z) = 6 7 Der

; ∞ ; ∞ √ 16 ; ∞ −j(d−z) 4k2 −Kx2 −Ky2 u(k) k e × j(2π)3 −∞ −∞ −∞

untere Halbraum k¨ onnte mit einer zweiten Messfl¨ ache bei z = −d aufgef¨ ullt werden.

(16.2.64)

588

16 Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren jKx x+jKy y dKx dKy dk × φˆmo s (Kx , Ky , d, ω = ck) e

,

.

(16.2.65)

Nunmehr ist es an der Zeit,'einen kritischen Blick auf die Kx Ky -Integrationen zu werfen, denn f¨ ur Kx2 + Ky2 > 4k 2 wird 4k 2 − Kx2 − Ky2 rein imagin¨ar, und erst eine Vorzeichenwahl der Wurzel im' Komplexen entscheidet u ¨ber die Konvergenz der Kx Ky -Integrale. Dieses Vorzeichen, 2 2 2 n¨amlich 2 4k − Kx − Ky > 0, ist aber in der zweidimensionalen Fourier-Transformierten ⎧ √ 2 2 2 j ⎪ ⎪ ⎪ ' e j(d−z) 4k −Kx −Ky ⎪ ⎪ ⎨ 2 4k 2 − K 2 − K 2 y x

ˆ mo (Kx , Ky , d − z, ω) = G ⎪

1 ⎪ ⎪ ' e−(d−z) ⎪ ⎪ ⎩ 2 K 2 + K 2 − 4k 2 x y

√

Kx2 +Ky2 −4k2

f¨ ur Kx2 + Ky2 ≤ 4k 2 f¨ ur Kx2 + Ky2 > 4k 2

(16.2.66) der monostatischen Green’schen Funktion bereits festgelegt, damit die Weyl’sche Integraldarstellung konvergiert oder, physikalisch ausgedr¨ uckt, damit die von der Quelle bei z — hier: dem Streuer — ausgehenden evaneszenten Wellen tats¨achlich querged¨ sind, wenn sie die √ 2 ampft 2 2 Messfl¨ache bei d > z erreichen. In (16.2.65) steht aber e−j(d−z) 4k −Kx −Ky , sodass man mit derselben Wahl des Imagin¨arteilvorzeichens erhielte: √ 2 2 2 4k −Kx −Ky f¨ ur Kx2 + Ky2 ≤ 4k 2 , e−j(d−z) √ 2 2 2 (16.2.67) e(d−z) Kx +Ky −4k f¨ ur Kx2 + Ky2 > 4k 2 . Konsequenz: Die Kx Ky -Integrale in (16.2.65) w¨ urden nicht konvergieren! Andererseits weiß man aber (man vergleiche Abb. 11.1.3), dass φˆmo (K x , Ky , d, ω = ck) eben gerade aufgrund der s Querd¨ampfung der evaneszenten Wellen f¨ ur Kx2 + Ky2 > 4k 2 kaum“ spektrale Anteile /enth¨alt, W ' ” sodass man dies durch Multiplikation mit einem Kreisscheibenfilter u 2k − Kx2 + Ky2 in der Kx Ky -Ebene auch explizit deutlich machen kann8 . In der Integraldarstellung 1 ; ∞ ; ∞ W √ 2 2 2 ' / 16 ; ∞ 2 + K 2 e−j(d−z) 4k −Kx −Ky × χ◦ (R) = 6 u(k) k u 2k − K y x j(2π)3 −∞ −∞ −∞ jKx x+jKy y × φˆmo dKx dKy dk s (Kx , Ky , d, ω = ck) e

,

(16.2.68)

gibt es folglich keine Konvergenzprobleme mehr; allerdings hat dies zur Folge, dass man nur noch eine gefilterte Kontrastfunktion erh¨alt, was wir durch einen entsprechenden Index andeuten, d.h. durch den endg¨ ultigen Verlust“ der evaneszenten Wellenanteile in φˆmo aumliche s wird die r¨ ” 9 Aufl¨osung reduziert . Offensichtlich gilt: √ 2 2 2 ' ' W / / W ∂ ˆ mo∗ (Kx , Ky , d − z, ω) u 2k − Kx2 + Ky2 ; u 2k − Kx2 + Ky2 e−j(d−z) 4k −Kx −Ky = 2 G ∂z (16.2.69) mit der Definition der z-Ableitung einer kreisscheibenbandbegrenzten konjugiert komplexen ˆ mo∗ monostatischen Green’schen Funktion G aß ◦ (Kx , Ky , d − z, ω) gem¨ W

ˆ mo∗ (Kx , Ky , d − z, ω) = G ˆ mo∗ (Kx , Ky , d − z, ω) u 2k − G ◦

'

Kx2 + Ky2

/

(16.2.70)

8 Im K ω-Diagramm der Abb. 16.2.4 ist dieses Filter — der Radius der Kreisscheibe w¨ achst linear mit der Frequenz — deutlich x sichtbar. 9 Zur Erzielung einer sogenannten Super-Resolution muss man in der R¨ uckausbreitung von der Messfl¨ ache gem¨ aß (16.2.67) die evaneszenten Wellen tats¨ achlich wieder exponentiell anheben; dies ist aber sehr rauschempfindlich, sodass man algorithmische Vorsichtsmaßnahmen“ treffen muss (Bertero und De Mol, 1996). ”

16.2 FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique

589

schreiben sich die Kx Ky -Integrationen in (16.2.68) als zweidimensionales Faltungsintegral: 1

χ◦ (x, y, z) = 6

; ∞ ; ∞ 32 ; ∞ ∂ mo∗ u(k) k G◦ (x − x+ , y − y + , d − z, ω = ck) × 2πj −∞ −∞ −∞ ∂z ,

×

+ + φmo s (x , y , d, ω

+

+

= ck) dx dy dk

,

(16.2.71)

wobei Gmo∗ ◦ (x, y, z, ω) mit einer bei Bracewell (1978) zu findenden Korrespondenz wiederum durch das zweidimensionale Faltungsintegral √ √ 2 −2jk x2 +y 2 +(d−z)2 2 e x y k J1 (2k x + y ) mo∗ √ 2 ∗∗ (16.2.72) G◦ (x, y, d − z, ω) = ' π x + y2 4π x2 + y 2 + (d − z)2 darstellbar ist. Nunmehr kommt die erste N¨aherung auf dem Weg zum SAFT-Algorithmus ins √ Spiel: F¨ ur große k x2 + y 2 — die Ultraschall-Impulspr¨ ufung ist ja eine Hochfrequenzpr¨ ufung — approximiert man den Besselfunktionsterm durch einen δ-Impuls mit der Konsequenz: √ −2jk x2 +y 2 +(d−z)2 e ' Gmo∗ . (16.2.73) ◦ (x, y, d − z, ω) ; 4π x2 + y 2 + (d − z)2 Diese Approximation ist deswegen von Interesse, weil sodann im Zeitbereich10 W

Fω−1 {Gmo∗ ◦ (x, y, d

− z, ω)} ;

δ t+

2 c

'

'

x2 + y 2 + (d − z)2

/

(16.2.74)

4π x2 + y 2 + (d − z)2

gilt, und in den Zeitbereich wollen wir ja, um SAFT mathematisch zu begr¨ unden. Mit der Abk¨ urzung F (x, y, z, ω) =

; ∞ ; ∞ ∂ −∞

−∞

∂z

+ + mo + + + + Gmo∗ ◦ (x − x , y − y , d − z, ω)φs (x , y , d, ω) dx dy

(16.2.75)

schreibt sich (16.2.71) 7 32 1 ; ∞ χ◦ (x, y, z) = 6 2 u(ω)(−jω)F (x, y, z, ω) dω ; c 2π −∞ 9

(16.2.76)

nunmehr steht auf der rechten Seite ein inverses Fourier-Integral bez¨ uglich ω f¨ ur t = 0, sodass wir mit der folgenden Rechnung ! ! 1 ;∞ 1 ;∞ ! −jωt u(ω)(−jω)F (x, y, z, ω) dω = u(ω)(−jω)F (x, y, z, ω) e dω !! 2π −∞ 2π −∞ t=0 ! !

= Fω−1 {u(ω)(−jω)F (x, y, z, ω)}! L

t=0

1 j 1 ∂ δ(t) − pf = f (x, y, z, t) ∗ ∂t 2 2π t @

1

- !! ! ! !

t=0

∂ 1 ∂ f (x, y, z, t) + jH f (x, y, z, t) = 2 ∂t ∂t 10 Wir

,$ ! ! ! ! (16.2.77) ! t=0

approximieren damit die kreisscheibenbandbegrenzte Green’sche Funktion durch die Green’sche Funktion selbst; letztere enth¨ alt aber gerade diejenigen (evaneszenten) spektralen Komponenten, die wir zuvor los werden“ wollten. In der Tat ist die ” Green’sche Funktion nur vollst¨ andig“ mit diesen Komponenten (Tygel und Hubral, 1987). ”

590

16 Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren

tats¨achlich einen Zeitbereichsalgorithmus erhalten: 1

@

1

16 ∂ ∂ χ◦ (x, y, z) = 6 2 f (x, y, z, t) + jH f (x, y, z, t) c ∂t ∂t !

,$ ! ! ! ! !

! 16 ∂ = 2 f (x, y, z, t)!!! . c ∂t t=0

, t=0

(16.2.78)

Dieser wird anschaulich, wenn wir mittels (16.2.74) auf der Grundlage von (16.2.75) f (x, y, z, t) explizit berechnen: ' W / 2 ; ∞ ; ∞ ∂ δ t + c (x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z)2 t mo + + ' f (x, y, z, t) ; ∗ φs (x , y , d, t) dx+ dy + −∞

;

−∞

∂z

1 ;∞;∞ 4π −∞ −∞ @ W

×

δ t+

'

2 c

4π (x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z)2 d−z × (x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z)2

'

(x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z)2

(x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z)2

/

−

S$ % 2∂ 2' t + + + + + 2 + 2 2 − ∗ φmo (x − x ) + (y − y ) + (d − z) δ t+ s (x , y , d, t) dx dy . c ∂t c (16.2.79)

Aufgrund der Relationen δ(t + t0 ) ∗ f (t) = f (t + t0 ), δ + (t + t0 ) ∗ f (t) = f + (t + t0 ) folgt weiter f (x, y, z, t) ;

d−z 1 ;∞;∞ × + 2 4π −∞ −∞ (x − x ) + (y − y + )2 + (d − z)2 @ + + + φmo s (x , y , d, t ) × ' − (x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z)2 2 ∂ mo + + − φ (x , y , d, t+ ) c ∂t+ s

$! ! ! ! !

t% =t+ 2c

√

dx+ dy + , (16.2.80) (x−x% )2 +(y−y % )2 +(d−z)2

sodass sich schließlich mit (16.2.78) der Zeitbereichsalgorithmus χ◦ (x, y, z) ;

4 ;∞;∞ d−z × πc2 −∞ −∞ (x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z)2 @ ∂ mo + + φ (x , y , d, t+ ) ∂t% s − × ' (x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z)2 2 ∂ 2 mo + + − φ (x , y , d, t+ ) c ∂t+2 s

$! ! ! ! !

t% = 2c

√

dx+ dy +

(16.2.81)

(x−x% )2 +(y−y % )2 +(d−z)2

zur Rekonstruktion“ der Kontrastfunktion ergibt. Schon das ;-Zeichen und der ◦-Index in ” (16.2.81) verdeutlichen, warum Rekonstruktion“ in Anf¨ uhrungsstriche gesetzt ist. Dar¨ uber hin” aus haben wir das inverse Problem mit der Born’schen N¨aherung linarisiert, und nicht zuletzt liegt der Formel (16.2.81) das Modell akustischer Wellenausbreitung ohne Dichtekontrast zugrunde. Last but not least verk¨ undet der obere Index mo“ an den Daten, dass die tats¨achlichen ” monostatischen Daten gem¨aß (16.2.54) mit φ0 (ω) entfaltet werden m¨ ussen, wobei φ0 (ω) noch nicht einmal nur das Spektrum des Anregungsimpulses ist, sondern auch noch den Faktor ω 2

16.2 FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique

591

enth¨alt. Deswegen ist es sicher legitim, zwar die Grundidee der zeitlichen R¨ uckausbreitung gem¨aß (16.2.81) beizubehalten, aber vereinfachend ein Bild“ ” % S ; ∞ ; ∞ 2' m + + o(x, y, z) = φs x , y , d, t = (x − x+ )2 + (y − y + )2 + (d − z)2 dx+ dy + (16.2.82) c −∞ −∞ des Streuers zu definieren, welches dann nichts anderes als das Ergebnis des SAFT-Algorithmus’ in der Impuls-Echo-Version gem¨aß (16.1.12) ist! Allerdings wissen wir nun, dass dieser Algorithmus wohldefinierte Voraussetzungen erf¨ ullen muss. ¨ Die streutheoretischen Uberlegungen dieses Abschnitts liefern uns dar¨ uber hinaus ein weiteres Ergebnis, indem wir von (16.2.62) nicht den Realteil, sondern den Imagin¨arteil bilden und (16.2.77) beachten: 1

16 ∂ Hz {χ◦ (x, y, z)} = − 2 Ht f (x, y, z, t) c ∂t

,! ! ! ! !

.

(16.2.83)

t=0

Die R¨ uckausbreitung Hilbert-transformierter Daten ist also f¨ ur ebene Messfl¨achen tats¨achlich uglich der z¨aquivalent zur Hilbert-Transformation des bereits errechneten SAFT-Bildes bez¨ Koordinate. Im Falle der SAFT-Verarbeitung spektral bandbegrenzter Daten, also von Daten ohne (vollst¨andige) Entfaltung, kann man deshalb die im Bild entstehenden Oszillationen entweder vor oder nach der R¨ uckausbreitung beseitigen: !

1

16 !! ∂ ∂ f (x, y, z, t) |χ◦ (x, y, z) − jHz {χ◦ (x, y, z)}| = 2 !! f (x, y, z, t) + jHt c ∂t ∂t

,! ! ! ! !

.

(16.2.84)

t=0

Man beachte: Die R¨ uckausbreitung des Betrages der durch eine Hilbert-Transformation komplexwertig erg¨anzten Daten liefert nicht das gleiche Ergebnis! Die explizite Hilbert-Transformation — entweder bez¨ uglich z oder t — kann man sich u ¨brigens sparen, wenn man den Betrag des sowieso schon komplexwertigen FT-SAFT-Ergebnisses bildet. Unter Verwendung des verallgemeinerten holographischen Feldes l¨asst sich ein exakter Zeitbereichs-SAFT-Algorithmus auch f¨ ur Messfl¨achen beliebiger Geometrie herleiten (Langenberg, 1987).

A

Formelsammlung

Die nachfolgende Formelsammlung zur Vektor/Tensor-Algebra und -Analysis enth¨alt insbesondere die in H.C. Chen (Theory of Electromagnetic Waves. McGraw-Hill, New York 1993), J. van Bladel (Electromagnetic Fields. Hemisphere Publishing Corporation, New York 1985) und A. Ben-Menahem, S.J. Singh (Seismic Waves and Sources. Springer-Verlag, New York 1981) publizierten Identit¨aten und dar¨ uber hinaus einige, von uns berechnet wurden. Dabei sind verschiedene Fehler in den genannten Sammlungen behoben worden (sicher nicht alle) und hoffentlich keine neuen hinzugekommen.

A.1

Vektoridentit¨aten A · (B × C) = = = = =

C · (A × B) B · (C × A) [A B C] (Spatprodukt) [C A B] [B C A]

A × B = −B × A = (I × A) · B = A · (I × B) A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B) = BA · C − CA · B = (B C − C B) · A (A × B) × C = B(C · A) − A(C · B) = (B A − A B) · C A × (B × C) − (A × B) × C = B × (A × C) = A(C · B) − C(A · B) (A × B) · (C × D) = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C) = A · [B × (C × D)] (A × B) × (C × D) = [(A × B) · D]C − [(A × B) · C]D = [A B D]C − [A B C]D A × [B × (C × D)] = (B · D)(A × C) − (B · C)(A × D)

594

Formelsammlung (A × B) · [(B × C) × (C × A)] = [A · (B × C)]2

F¨ ur die folgenden Doppelprodukte“ schließen wir uns der Definition von Ben-Menahem und ” Singh (1981) an; van Bladel (1985), Lindell (1991) oder Gibbs (1913) benutzen davon abwei¨ chende Definitionen, die sich im Ubrigen teilweise auch wieder unterscheiden. (A B) : (C D) = (A · D)(B · C) ×

(A B) × (C D) = (A × D)(B × C) . (A B) × (C D) = (A × D)(B · C) (A B) ×. (C D) = (A · D)(B × C)

A.2

Tensoridentit¨aten

Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zwei- oder mehrmals (und auf der anderen Seite nicht) vorkommt, wird dar¨ uber von 1 bis 3 summiert; wenn der Index auf der anderen Seite ebenfalls auftritt, wird dar¨ uber nicht summiert.

A.2.1

Permutationstensor ε=

3 M 3 3 M M i=1 j=1 k=1

εijk =

⎧ ⎪ ⎨

εijk exi exj exk

= εijk exi exj exk (Summenkonvention) = ε i exi (Summenkonvention)

0 , falls zwei Indizes gleich sind 1 , falls ijk eine gerade Permutation von 123 ist (z.B.: 231) ⎪ ⎩ −1 , falls ijk eine ungerade Permutation von 123 ist (z.B.: 213) ⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

0 0 0 ⎜ ⎟ ε1 = ⎝ 0 0 1 ⎠ 0 −1 0 0 0 −1 ⎟ ε2 = ⎜ ⎝0 0 0 ⎠ 10 0 0 10 ⎟ ε3 = ⎜ ⎝ −1 0 0 ⎠ 0 00 ε213 = −ε ε132 = −ε ε321 = −ε ε312 = ε ε231 = ε

Tensoridentit¨aten

595 exi × exj = εkij exk , i, j = 1, 2, 3 εkij = exk · (exi × exj ) ε · ε = εijk εklm exi exj exl exm = (δil δjm − δim δjl )exi exj exl exm = I I1324 − I I1342 ε : ε = −2I . ε : ε = −6 ε : BA = A × B ε : D21 = ,D7 A × B = ,A B7 ,D21 7 = −,D7 ,D7 = 0 f¨ ur D symmetrisch I=

3 M 3 M i=1 j=1

δij exi exj

= δij exi exj (Summenkonvention) =

3 M i=1

e xi e xi

= exi exi (Summenkonvention) I·A=A·I=A I·D=D·I=D I : D = D : I = spur D I:I=3 Iδ = I I = δij exi exj δkl exk exl = e x i ex i e x k e x k Iδ : D = D : Iδ = I spur D I I1324 = δij δkl exi exk exj exl = δik δjl exi exj exk exl = e x i ex j e x i e x j I I1342 = δij δkl exi exk exl exj = δil δjk exi exj exk exl = e x i ex j e x j ex i I I1324 : D = D : I I1324 = D21

596

Formelsammlung I I1342 : D = D : I I1342 = D / 1 W 1342 + I I1324 II 2 W / 1 I I1342 − I I1324 I− = 2 D s = I + : D = D : I+

I+ =

D a = I− : D = D : I − I I1342 : I I1342 = I I1342 I I1324 : I I1324 = I I1342 I I1342 : I I1324 = I I1324 I I1324 : I I1342 = I I1324

A.2.2

Produkte (A · D) · B = A · (D · B) = A·D·B (D · B) · A = D · (B · A) = D·B·A (A × D) · B = A × (D · B) = A×D·B (D · B) × A = D · (B × A) = D·B×A A B21 = B A A · D = D21 · A A · D · B = B · D21 · A (B · A)21 = A21 · B21 (A · B · C)21 = C21 · B21 · A21 A×I=I×A (A × I)21 = −A × I D = A × I (allgemeinster antisymmetrischer Tensor) 1 1 1 mit A = ε : D = ,D21 7 = − ,D7 2 2 2 B × A = B · (A × I) = B · (I × A)

Tensoridentit¨aten

597 A × B = (I × A) · B = −B · (I × A) = ε : BA = −A · ε · B A × D = (A × I) · D = (I × A) · D = ε : (D A)132 W

= − D21 × A

/21

= −A · ε · D A × B C = (A × B)C D × A = D · (I × A) = D · (A × I) = −[ε : (D A)231 ]21 = −(A × D21 )21 B C × A = B(C × A) (A × D) × B = A × (D × B) = A×D×B (A B − B A) · C = (B × A) × C (A × D) · B = ε : (D A)132 · B = A × (D · B) B · (A × D) = (B × A) · D = −A · (B × D) B · (A × D) = −(A × B21 )21 · D (D × A) · B = −D · ε · A · B = −D · ε : A B = −(D × B) · A = D · (A × B) (D × A) · B = D · (A × B) B · (D × A) = (B · D) × A = B·D×A (A × B)(C × D) = (A × B) · (C × D) I + (A · D)C B + +(B · C)D A − (A · C)D B − (B · D)C A

598

Formelsammlung (A × I) · (B × I) = A × (B × I) = B A − (A · B) I A × (B × D) = B(A · D) − D(A · B) (A × I)2 = A A − (A · A) I = A A − A2 I (A × B) × I = B A − A B D · (A × I) + (A × I) · D21 = (A spur D − D21 · A) × I ×

I × D = I spur D − D ×

×

D × I = (I × D)21 . D × I = ,D7 ×

D × E = D : (ε ε)412536 : E

A.2.3

Spuren spur A = A11 + A22 + A33 = Aii =I:A=A:I spur I = 3 spur (A B) = A · B spur (A + B) = spur A + spur B spur (A + C D) = spur A + C · D spur (A ± αI) = spur A ± 3α spur (αI + C D) = 3α + C · D spur (αI + A1 C1 + A2 C2 ) = 3α + A1 · C1 + A2 · C2 spur αA = α spur A spur A21 = spur A spur (A · B) = spur (B · A) spur (A B · D) = B · D · A spur (αI + A B · D) = 3α + B · D · A spur (A · B · C) = spur (B · C · A) = spur (C · A · B) spur (A × I) = 0 spur (D + A × I) = spur D spur (A B + C × I) = A · B

Tensoridentit¨aten

599 spur (αI + A B + C × I) = 3α + A · B spur [(A × I) · (B × I)] = −2A · B spur (A × I)2 = −2A2

1 spur adj A = (spur2 A − spur A2 ) 2 spur adj (A + B) = spur adj A + spur adj B − spur (A · B) + spur A spur B spur adj (A ± αI) = 3α2 ± 2α spur A + spur adj A spur adj (A + C D) = spur adj A + (C · D) spur A − D · A · C spur adj (αI + C D) = α(3α + 2C · D) spur adj (αI + A1 C1 + A2 C2 ) = α[3α + 2(A1 · C1 + A2 · C2 )] + (C1 × C2 ) · (A1 × A2 ) spur adj (αI + A B · D) = α(3α + 2B · D · A) spur adj (D + A × I) = spur adj D + A2 − spur [D · (A × I)] = spur adj D + A2 , wenn D symmetrisch spur adj (αI + A × I) = 3α2 + A2 spur adj (A B + C × I) = C 2 − C · (A × B) spur adj (αI + A B + C × I) = 3α2 + 2α(A · B) + C 2 − C · (A × B)

A.2.4

Determinanten ! ! !D D D ! ! 11 12 13 ! det D = !!! D21 D22 D23 !!! ! D31 D32 D33 !

= D11 D22 D33 + D12 D23 D31 + D21 D32 D13 − −D13 D22 D31 − D12 D21 D33 − D11 D32 D23

! ! !D ! ! 1! ! = !!! D2 !! ! D3 !

. = ε : D 3 D2 D1 ! ! = !!D1 D2 D3 !!

. = ε : D 3 D2 D1 mit den Zeilenvektoren D i und den Spaltenvektoren Di von D det (A × I) = 0 det (A · B) = det A det B det A21 = det A

600

Formelsammlung det A−1 =

1 det A

det (α A) = α3 det A det adj A = det2 A X 10 spur3 A − 3 spur A spur A2 + 2 spur A3 6 det (A + B) = det A + det B + spur (adj A · B) + spur (A · adj B)

det A =

det (A B) = 0 det (A1 C1 + A2 C2 ) = 0 det (A1 C1 + A2 C2 + A3 C3 ) = (A1 · A2 × A3 )(C1 · C2 × C3 ) det (A ± αI) = ±α3 + α2 spur A ± α spur adj A + det A det (A + C D) = det A + D · (adj A) · C det (αI + C D) = α2 (α + C · D) det (αI + A B · D) = α2 (α + B · D · A) det (αI + A1 C1 + A2 C2 ) = α[α2 + α(A1 · C1 + A2 · C2 ) + (C1 × C2 ) · (A1 × A2 )] det (D + A × I) = det D + spur [adj D · (A × I)] + A · D · A = det D + A · D · A , wenn D symmetrisch det (αI + A × I) = α(α2 + A2 ) det (A B + C × I) = (A · C)(B · C) det (αI + A B + C × I) = α3 + α2 A · B + α(C 2 − A × B · C) + (A · C)(B · C)

A.2.5

Adjungierte und Inverse 1 adj D = ε : (D D)4231 : ε 2

⎛

(adj D)nk = exn · adj D · exk 1 = εijk εlmn Dil Djm 2 D22 D33 − D23 D32 D32 D13 − D33 D12 D12 D23 − D13 D22

⎞

⎟ adj D = ⎜ ⎝ D31 D23 − D21 D33 D11 D33 − D13 D31 D13 D21 − D11 D23 ⎠

D21 D32 − D31 D22 D12 D31 − D11 D32 D11 D22 − D12 D21 adj (A B) = 0 adj (A × I) = A A adj (A · B) = adj B · adj A adj A21 = (adj A)21

Tensoridentit¨aten

601 adj A−1 = (adj A)−1 A = det A adj (α A) = α2 adj A adj (α I) = α2 I adj adj A = A det A X 10 spur2 A − spur A2 I 2 = A2 − A spur A + I spur adj A

adj A = A2 − A spur A +

A · adj A = (adj A) · A = I det A adj A · (B × C) = (A21 · B) × (A21 × C) = (B · A) × (C · A) (B × I) · adj A · (C × I) = A21 · C B · A21 − (C · A · B)A21 adj (A + B) = adj A + adj B + A · B + B · A − −B spur A − A spur B + I spur A spur B − I spur (A · B) adj (A1 C1 + A2 C2 ) = (C1 × C2 )(A1 × A2 ) adj (A1 C1 + A2 C2 + A3 C3 ) = (C2 × C3 )(A2 × A3 ) + (C3 × C1 )(A3 × A1 ) + +(C1 × C2 )(A1 × A2 ) adj (A ± αI) = α2 I ± α(I spur A − A) + adj A adj (A + C D) = adj A + (A − I spur A) · (D × I) · (C × I) + [(D · A) × I] · (C × I) = adj A − (D × I) · A21 · (C × I) adj (αI + C D) = α[(α + C · D)I − C D] adj (αI + A B · D) = α[(α + B · D · A)I − A B · D] adj (αI + A1 C1 + A2 C2 ) = α[(α + A1 · C1 + A2 · C2 )I − A1 C1 − A2 C2 ] + (C1 × C2 )(A1 × A2 ) adj (D + A × I) = adj D + A A + (D − I spur D) · (A × I) + (A × I) · D + +I spur [D · (A × I)] = adj D + A A − (D · A) × I , wenn D symmetrisch adj (αI + A × I) = α(αI − A × I) + A A adj (A B + C × I) = C C − (B · C)(A × I) − C(A × B)

602

Formelsammlung adj (αI + A B + C × I) = α2 I − α[A B − (A · B)I + C × I] + A A − −(B · C)(A × I) − C(A × B)

A−1 =

adj A det A

(α A)−1 = (A−1 )−1

1 −1 A α =A

(A · B)−1 = B−1 · A−1 (A−1 )21 = (A21 )−1

A.3

Koordinatensysteme

A.3.1

Kartesische Koordinaten x, y, z oder xi , i = 1, 2, 3 mit dem orthonormierten Dreibein ex , ey , ez oder exi , i = 1, 2, 3 R = xex + yey + zez = xi exi (Summenkonvention) |R − R+ | =

'

(x − x+ )2 + (y − y + )2 + (z − z + )2

Vektorkomponenten: Axi = A · exi , i = 1, 2, 3 A = A x e x + Ay e y + Az e z =

3 M i=1

Ax i e x i

= Axi exi (Summenkonvention) = Ai exi Tensorkomponenten: Dxi xj = exi · D · exj = D : exj exi , i, j = 1, 2, 3 D = Dxx ex ex + Dxy ex ey + Dxz ex ez + +Dyx ey ex + Dyy ey ey + Dyz ey ez + +Dzx ez ex + Dzy ez ey + Dzz ez ez =

3 M 3 M i=1 j=1

Dx i x j e x i e x j

= Dxi Dxj exi exj (Summenkonvention) = Dij exi exj

Koordinatensysteme

603

= ex D x + e y D y + e z D z = Dx e x + Dy e y + D z e z mit Zeilenvektoren Dxi und Spaltenvektoren Dxj von D, also z.B. Dx = Dxx ex + Dxy ey + Dxz ez Dx = Dxx ex + Dyx ey + Dzx ez spur D = Dxx + Dyy + Dzz

Skalarprodukt: A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz = Ai Bi ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 Vektorprodukt: A × B = (Ay Bz − Az By )ex + (Az Bx − Ax Bz )ey + (Ax By − Ay Bx )ez = εijk Aj Bk exi = ε : BA = −A · ε · B = ,A B7 ,D7 = ε : D21

(Rotationsvektor von D)

= εijk Djk exi = −,D21 7 dV = dxdydz ∇ = ex

∂ ∂ ∂ + ey + ez ∂x ∂y ∂z

∇Φ = grad Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ = ex + ey + e ∂x ∂y ∂z z ∇∇Φ =

∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ + + + 2 ∂x ∂x∂y ∂x∂z ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ + + + + 2 ∂y∂x ∂y ∂y∂z ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ + + 2 + ∂z∂x ∂z∂y ∂z

ΔΦ = ∇ · ∇Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ = + + 2 ∂x2 ∂y 2 ∂z

604

Formelsammlung spur (∇∇Φ) = ΔΦ ∇ · A = div A ∂Ax ∂Ay ∂Az = + + ∂x ∂y ∂z

∇ × A = rot A Q E Q E Q E ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax = ex + ey + ez − − − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

∇A = grad A ∂Ay ∂Az ∂Ax = e e + e e + e e + ∂x x x ∂x x y ∂x x z ∂Ay ∂Az ∂Ax + e e + e e + e e + ∂y y x ∂y y y ∂y y z ∂Ax ∂Ay ∂Az + ez ex + ez ey + e e ∂z ∂z ∂z z z = ∇Ax ex + ∇Ay ey + ∇Az ez

(∇ · D) · ex =

∂Dxx ∂Dyx ∂Dzx + + ∂x ∂y ∂z

(∇ · D) · ey =

∂Dxy ∂Dyy ∂Dzy + + ∂x ∂y ∂z

(∇ · D) · ez =

∂Dxz ∂Dyz ∂Dzz + + ∂x ∂y ∂z

spur (∇A) = ∇ · A ,∇A7 = ∇ × A ΔA = ∇ · ∇A = ∇∇ · A − ∇ × ∇ × A E Q ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax + + ex + = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Q E ∂ 2 Ay ∂ 2 Ay ∂ 2 Ay + + + ey + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 E Q ∂ 2 Az ∂ 2 Az ∂ 2 Az + ez + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 = ex ΔAx + ey ΔAy + ez ΔAz

Orthogonale krummlinige Koordinaten

A.4

605

Orthogonale krummlinige Koordinaten ξ1 , ξ2 , ξ3 mit dem orthonormierten Dreibein eξ1 , underlineeξ2 , eξ3 x = x(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) y = y(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) z = z(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) R = x(ξ1 , ξ2 , ξ3 )ex + y(ξ1 , ξ2 , ξ3 )ey + z(ξ1 , ξ2 , ξ3 )ez hξi =

B E KQ K ∂x 2 4

∂ξi

Q

+

∂y ∂ξi

Q

E2

+

∂z ∂ξi

E2

1 ∂R hξi ∂ξi 1 ∂xj e = hξi ∂ξi xj = γij exj

e ξi =

γij = eξi · exj γij γkj = δik γij γik = δjk Vektorkomponenten: Aξi = A · eξi , i = 1, 2, 3 A = Aξ1 eξ1 + Aξ2 eξ2 + Aξ3 eξ3 =

3 M i=1

Aξ i e ξ i

= Ai eξi (Summenkonvention) Aξi eξi = Axj exj Aξi = γij Axj Axi = γji Aξj Tensorkomponenten: Dξi ξj = eξi · D · eξj = D : eξj eξi , i, j = 1, 2, 3 D = Dξ 1 ξ 1 e ξ 1 e ξ 1 + D ξ 1 ξ 2 e ξ 1 e ξ 2 + D ξ 1 ξ 3 e ξ 1 e ξ 3 + +Dξ2 ξ1 eξ2 eξ1 + Dξ2 ξ2 eξ2 eξ2 + Dξ2 ξ3 eξ2 eξ3 + +Dξ3 ξ1 eξ3 eξ1 + Dξ3 ξ2 eξ3 eξ2 + +Dξ3 ξ3 eξ3 eξ3 =

3 M 3 M i=1 j=1

Dξ i ξ j e ξ i e ξ j

= Dij eξi eξj (Summenkonvention)

606

Formelsammlung I = δij eξi eξj ε = εijk eξi eξj eξk Dξ i ξ j e ξ i e ξ j = D x k x l e x k e x l Dξk ξl = γki γlj Dxi xj Dxk xl = γik γjl Dξi ξj spur D = Dξ1 ξ1 + Dξ2 ξ2 + Dξ3 ξ3 = Dxx + Dyy + Dzz Skalarprodukt: A · B = Aξ1 Bξ1 + Aξ2 Bξ2 + Aξ3 Bξ3 = Ai B i = A x B x + Ay B y + Az B z Doppelkontraktion: C : D = Cξi ξj Dξj ξi = Cxi xj Dxj xi ds2 = h2ξ1 dξ12 + h2ξ2 dξ22 + h2ξ3 dξ32 = dx2 + dy 2 + dz 2

Vektorprodukt: A × B = (Aξ2 Bξ3 − Aξ3 Bξ2 )eξ1 + (Aξ3 Bξ1 − Aξ1 Bξ3 )eξ2 + +(Aξ1 Bξ2 − Aξ2 Bξ1 )eξ3 = εijk Aj Bk eξi = ε : BA = −A · ε · B = ,A B7 dV = hξ1 hξ2 hξ3 dξ1 dξ2 dξ3 1 ∂ ∇ = e ξi hξi ∂ξi ∇Φ = grad Φ 1 ∂Φ 1 ∂Φ 1 ∂Φ = e + e + e hξ1 ∂ξ1 ξ1 hξ2 ∂ξ2 ξ2 hξ3 ∂ξ3 ξ3 ∇ξi =

1 e hξi ξi

∇ · A = div A / 1 ∂ W = eξ i · Aξ j e ξ j hξi ∂ξi E Q ∂eξj ∂Aξj 1 e + Aξ j = e · hξi ξi ∂ξi ξj ∂ξi Q E 1 ∂Aξ1 hξ2 hξ3 ∂Aξ2 hξ1 hξ3 ∂Aξ3 hξ1 hξ2 = + + , hξ1 hξ2 hξ3 ∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξ3

Orthogonale krummlinige Koordinaten

607

wobei ∂eξj ∂hξj ∂hξi 1 1 e = (1 − δij ) − δij (1 − δkj ) e ∂ξi hξj ξi ∂ξj hξk ξk ∂ξk Im zweiten Term wird u ¨ber k summiert, wobei der Wert k = j wegen des Faktors 1 − δkj in der Summe nicht vorkommt. Christoffel-Symbole 2. Art: Q

αk (j, i) =

k

E

j i

∂eξj = αk (j, i)eξk ∂ξi Q

E

Q

1 ∂hξj =− , j j hξk ∂ξk E Q 1 ∂hξi i = j i hξj ∂ξj k

Q

E

j

j i

Q

=0 ,

ΔΦ = ∇ · ∇Φ Q E ∂ 1 1 ∂ = e ξi · e ξj hξi ∂ξi hξj ∂ξj @

1 ∂ = hξ1 hξ2 hξ3 ∂ξ1

Q

hξ2 hξ3 ∂Φ hξ1 ∂ξ1 Q

k

j i

E

j

j j

E

=0

E

= 0 f¨ ur i >= j >= k

∂ + ∂ξ2

Q

hξ3 hξ1 ∂Φ hξ2 ∂ξ2

E

∂eξj 1 ∂Aξj e e + Aξ j e ξ i ∇A = hξi ∂ξi ξi ξj ∂ξi spur (∇A) = ∇ · A ,∇A7 = ∇ × A

∂ + ∂ξ3

E

∇ × A = rot A = ε : (∇A)21 1 ∂ (Aξj eξj ) e × hξi ξi ∂ξi @ $ Q E ∂Aξj 1 k e ξ j + Aξ j e ξk eξ i × = j i hξi ∂ξi @ $ 1 ∂Aξ2 hξ2 ∂Aξ3 hξ3 = − e ξ1 + hξ2 hξ3 ∂ξ2 ∂ξ3 @ $ 1 ∂Aξ3 hξ3 ∂Aξ1 hξ1 + − e ξ2 + hξ1 hξ3 ∂ξ3 ∂ξ1 @ $ ∂Aξ2 hξ2 ∂Aξ1 hξ1 1 + − e ξ3 hξ1 hξ2 ∂ξ1 ∂ξ2

=

Q

hξ1 hξ2 ∂Φ hξ3 ∂ξ3

E$

608

Formelsammlung ΔA = ∇ · ∇A = ∇∇ · A − ∇ × ∇ × A

A.5

Zylinderkoordinaten r, ϕ, z mit dem orthonormierten Dreibein er , eϕ , ez √ x = r cos ϕ r = x2 + y 2 y = r sin ϕ ϕ = arctan xy z=z z=z R = r cos ϕ ex + r sin ϕ ey + zez = rer + zez |R − R+ | =

'

r2 + r+2 − 2rr+ cos(ϕ − ϕ+ ) + (z − z + )2 hr = 1 hϕ = r hz = 1

er = cos ϕ ex + sin ϕ ey eϕ = − sin ϕ ex + cos ϕ ey ez = e z

ex = cos ϕ er − sin ϕ eϕ ey = sin ϕ er + cos ϕ eϕ ez = ez

Vektorkomponenten: Ar = A · er Aϕ = A · e ϕ Az = A · ez ⎛

A = A r e r + Aϕ e ϕ + A z e z

Ar

⎞

⎛

cos ϕ sin ϕ 0

⎞⎛

Ax

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ Aϕ ⎠ = ⎝ − sin ϕ cos ϕ 0 ⎠ ⎝ Ay ⎠ ⎛

Az

Ax

⎞

⎛

0

0

1

cos ϕ − sin ϕ 0

⎞⎛

Az

Ar

⎞

⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎝ Ay ⎠ = ⎝ sin ϕ cos ϕ 0 ⎠ ⎝ Aϕ ⎠

Az

0

0

1

Tensorkomponenten: Drr = = Drϕ = =

Az

er · D · er D : er er er · D · eϕ D : eϕ er usw.

D = Drr er er + Drϕ er eϕ + Drz er ez + +Dϕr eϕ er + Dϕϕ eϕ eϕ + Dϕz eϕ ez + +Dzr ez er + Dzϕ ez eϕ + Dzz ez ez

Zylinderkoordinaten ⎛

609 ⎞

⎛

I = e r er + eϕ e ϕ + e z e z ⎞⎛

⎞⎛

cos ϕ − sin ϕ cos ϕ sin ϕ 0 Dxx Dxy Dxz Drr Drϕ Drz ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎝ Dϕr Dϕϕ Dϕz ⎠ = ⎝ − sin ϕ cos ϕ 0 ⎠ ⎝ Dyx Dyy Dyz ⎠ ⎝ sin ϕ cos ϕ Dzx Dzy Dzz Dzr Dzϕ Dzz 0 0 1 0 0

⎞

0 0⎟ ⎠ 1

zum Beispiel: Drr = Dxx cos2 ϕ + (Dxy + Dyx ) cos ϕ sin ϕ + Dyy sin2 ϕ Dϕϕ = Dxx sin2 ϕ − (Dxy + Dyx ) cos ϕ sin ϕ + Dyy cos2 ϕ spur D = Drr + Dϕϕ + Dzz = Dxx + Dyy + Dzz Skalarprodukt: A · B = Ar Br + Aϕ Bϕ + Az Bz = Ax B x + A y B y + A z B z ds2 = dr2 + r2 dϕ2 + dz 2 Vektorprodukt: A × B = (Aϕ Bz − Az Bϕ )er + +(Az Br − Ar Bz )eϕ + +(Ar Bϕ − Aϕ Br )ez = ε : BA = −A · ε · B = ,A B7 dV = rdrdϕdz ∂ ∂ ∂ 1 ∇ = er + e + ez ∂r r ϕ ∂ϕ ∂z ∇Φ = grad Φ ∂Φ 1 ∂Φ ∂Φ = er + eϕ + e ∂r r ∂ϕ ∂z z Q

∇∇Φ =

E

1 ∂Φ 1 ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ − ee + er er + er eϕ + 2 ∂r r ∂r∂ϕ r ∂ϕ ∂r∂z r z Q E Q E 1 ∂ 2Φ 1 ∂ 2Φ ∂Φ 1 ∂ 2Φ 1 ∂Φ + eϕ er + 2 + r eϕ eϕ + − e e + 2 r ∂r∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ ∂r r ∂ϕ∂z ϕ z ∂ 2Φ 1 ∂ 2Φ ∂ 2Φ + ez er + e z eϕ + 2 e z e z ∂r∂z r ∂ϕ∂z ∂z Christoffel-Symbole 2. Art: ∂eϕ ∂er =0 =0 ∂r ∂r ∂eϕ ∂er = eϕ = α2 (1, 2)eϕ = −er = α1 (2, 2)er ∂ϕ ∂ϕ ∂eϕ ∂er =0 =0 ∂z ∂z

∂ez =0 ∂r ∂ez =0 ∂ϕ ∂ez =0 ∂z

610

Formelsammlung Q

E

1 ∂ ∂Φ 1 ∂ 2Φ ∂ 2Φ ΔΦ = r + 2 2+ 2 r ∂r ∂r r ∂ϕ ∂z 2 2 ∂ Φ 1 ∂Φ 1 ∂ Φ ∂ 2Φ = + + 2 + ∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2 ∂z spur (∇∇Φ) = ΔΦ

∇ · A = div A 1 ∂rAr 1 ∂Aϕ ∂Az = + + r ∂r r ∂ϕ ∂z 1 r ∇ · eϕ = 0 ∇ · ez = 0 ∇ · er =

∇ × A = rot A Q E Q E Q E 1 ∂Az ∂Aϕ ∂Ar ∂Az 1 ∂rAϕ 1 ∂Ar − − − = er + eϕ + ez r ∂ϕ ∂z ∂z ∂r r ∂r r ∂ϕ ∇ × er = 0 1 ∇ × eϕ = ez r ∇ × ez = 0

∇A = grad A ∂Aϕ ∂Az ∂Ar = ee + ee + ee + ∂r Q r r ∂r E r ϕ ∂rQ r z E 1 ∂Ar 1 ∂Aϕ 1 ∂Az + − Aϕ e ϕ e r + + Ar eϕ eϕ + e e + r ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ ϕ z ∂Ar ∂Aϕ ∂Az + e e + e e + e e ∂z z r ∂z z ϕ ∂z z z 1 ∂rDrr 1 ∂Dϕr ∂Dzr Dϕϕ + + − r ∂r r ∂ϕ ∂z r 1 ∂rDrϕ 1 ∂Dϕϕ ∂Dzϕ Dϕr (∇ · D) · eϕ = + + + r ∂r r ∂ϕ ∂z r 1 ∂rDrz 1 ∂Dϕz ∂Dzz (∇ · D) · ez = + + r ∂r r ∂ϕ ∂z (∇ · D) · er =

spur (∇A) = ∇ · A

Kugelkoordinaten

611 ,∇A7 = ∇ × A Q

∇∇ · A =

E

∂ 2 Ar ∂ 2 Az 1 ∂ 2 Aϕ 1 ∂Ar 1 ∂Aϕ Ar + + + − 2 − 2 er + ∂r2 ∂r∂z r ∂r∂ϕ r ∂r r ∂ϕ r Q E 2 2 2 1 ∂ Az 1 ∂ Aϕ 1 ∂ Ar 1 ∂Ar + + eϕ + + + r ∂ϕ∂z r2 ∂ϕ2 r ∂r∂ϕ r2 ∂ϕ Q E ∂ 2 Az 1 ∂ 2 Aϕ ∂ 2 Ar 1 ∂Ar + + ez + + ∂z 2 r ∂ϕ∂z ∂r∂z r ∂z

Q

E

1 ∂ 2 Ar ∂ 2 Ar ∂ 2 Az 1 ∂ 2 Aϕ 1 ∂Aϕ ∇×∇×A = − 2 − + er + + + r ∂ϕ2 ∂z 2 ∂r∂z r ∂r∂ϕ r2 ∂ϕ E Q ∂ 2 Aϕ 1 ∂Aϕ Aϕ 1 ∂Ar 1 ∂ 2 Ar ∂ 2 Aϕ 1 ∂ 2 Az + − − + 2 − 2 + + − e + ∂z 2 r ∂ϕ∂z ∂r2 r ∂r r r ∂ϕ r ∂ϕ∂r ϕ Q E ∂ 2 Az 1 ∂ 2 Az ∂ 2 Ar 1 ∂ 2 Aϕ 1 ∂Ar 1 ∂Az + − 2 − 2 + ez + + − ∂r r ∂ϕ2 ∂r∂z r ∂ϕ∂z r ∂z r ∂r ΔA = ∇ · ∇A = ∇∇ · A − ∇ × ∇ × A Q E 2 ∂Aϕ Ar = ΔAr − 2 − 2 er + r r ∂ϕ E Q 2 ∂Ar Aϕ + ΔAϕ − 2 + 2 eϕ + r r ∂ϕ +ΔAz ez

A.6

Kugelkoordinaten R, ϑ, ϕ mit dem orthonormierten Dreibein eR , eϑ , eϕ √

x = R sin ϑ cos ϕ

R=

x2 + √ y2 + z2

y = R sin ϑ sin ϕ z = R cos ϑ

ϑ = arctan ϕ = arctan xy

x2 +y 2 z

R = R sin ϑ cos ϕ ex + R sin ϑ sin ϕ ey + R cos ϑ ez = ReR |R − R+ | =

'

R2 + R+2 − 2RR+ [sin ϑ sin ϑ+ cos(ϕ − ϕ+ ) + cos ϑ cos ϑ+ ] hR = 1 hϑ = R hϕ = R sin ϑ

612

Formelsammlung

eR = sin ϑ cos ϕ ex + sin ϑ sin ϕ ey + cos ϑ ez eϑ = cos ϑ cos ϕ ex + cos ϑ sin ϕ ey − sin ϑ ez eϕ = − sin ϕ ex + cos ϕ ey

ex = sin ϑ cos ϕ eR + cos ϑ cos ϕ eϑ − sin ϕ eϕ ey = sin ϑ sin ϕ eR + cos ϑ sin ϕ eϑ + cos ϕ eϕ ez = cos ϑ eR − sin ϑ eϑ

Vektorkomponenten: AR = A · eR Aϑ = A · e ϑ Aϕ = A · eϕ A = A R e R + Aϑ e ϑ + Aϕ e ϕ ⎛

⎞

⎛

⎞⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞⎛

⎞

AR sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ Ax ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ Aϑ ⎠ = ⎝ cos ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϕ − sin ϑ ⎠ ⎝ Ay ⎠ Aϕ Az − sin ϕ cos ϕ 0 Ax sin ϑ cos ϕ cos ϑ cos ϕ − sin ϕ AR ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎝ Ay ⎠ = ⎝ sin ϑ sin ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϕ ⎠ ⎝ Aϑ ⎠ Az Aϕ cos ϑ − sin ϑ 0 Tensorkomponenten: DRR = = DRϑ = =

eR · D · e R D : e R eR eR · D · e ϑ D : eϑ eR usw.

D = DRR eR eR + DRϑ eR eϑ + DRϕ eR eϕ + +DϑR eϑ eR + Dϑϑ eϑ eϑ + Dϑϕ eϑ eϕ + +DϕR eϕ eR + Dϕϑ eϕ eϑ + Dϕϕ eϕ eϕ I = eR e R + e ϑ e ϑ + e ϕ eϕ ⎛

⎞

⎞⎛

⎛

⎞

DRR DRϑ DRϕ Dxx Dxy Dxz sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ DϑR Dϑϑ Dϑϕ ⎠ = ⎝ cos ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϕ − sin ϑ ⎠ ⎝ Dyx Dyy Dyz ⎠ DϕR Dϕϑ Dϕϕ Dzx Dzy Dzz − sin ϕ cos ϕ 0 ⎛

sin ϑ cos ϕ cos ϑ cos ϕ − sin ϕ

⎞

⎜ ⎟ ⎝ sin ϑ sin ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϕ ⎠

cos ϑ

− sin ϑ

0

zum Beispiel: DRR = (Dxx cos2 ϕ + Dyy sin2 ϕ) sin2 ϑ + Dzz cos2 ϑ + +(Dxy + Dyx ) sin2 ϑ cos ϕ sin ϕ + (Dxz + Dzx ) sin ϑ cos ϑ cos ϕ + +(Dyz + Dzy ) sin ϑ cos ϑ sin ϕ

Kugelkoordinaten

613

Dϑϑ = (Dxx cos2 ϕ + Dyy sin2 ϕ) cos2 ϑ + Dzz sin2 ϑ + +(Dxy + Dyx ) cos2 ϑ cos ϕ sin ϕ − (Dxz + Dzx ) sin ϑ cos ϑ cos ϕ −(Dyz + Dzy ) sin ϑ cos ϑ sin ϕ Dϕϕ = Dxx sin2 ϕ + Dyy cos2 ϕ − −(Dxy + Dyx ) cos ϕ sin ϕ

spur D = DRR + Dϑϑ + Dϕϕ = Dxx + Dyy + Dzz Skalarprodukt: A · B = AR BR + Aϑ Bϑ + Aϕ Bϕ = Ax Bx + Ay By + Az Bz ds2 = dR2 + R2 dϑ2 + R2 sin2 ϑdϕ2 Vektorprodukt: A × B = (Aϑ Bϕ − Aϕ Bϑ )eR + +(Aϕ BR − AR Bϕ )eϑ + +(AR Bϑ − Aϑ BR )eϕ = ε : BA = −A · ε · B = ,A B7 dV = R2 sin ϑdRdϑdϕ ∇ = eR

∂ ∂ ∂ 1 1 + e + e ∂R R ϑ ∂ϑ R sin ϑ ϕ ∂ϕ

∇Φ = grad Φ ∂Φ 1 ∂Φ 1 ∂Φ = e + e + e ∂R R R ∂ϑ ϑ R sin ϑ ∂ϕ ϕ Q

E

Q

E

∂ 2Φ ∂ 2Φ 1 ∂Φ 1 ∂Φ ∂ 2Φ 1 1 − − ∇∇Φ = e e + e e + e e + R R R ϑ ∂R2 R ∂R∂ϑ R ∂ϑ R sin ϑ ∂R∂ϕ R ∂ϕ R ϕ Q Q E E 1 1 ∂ 2Φ ∂Φ ∂ 2Φ 1 ∂Φ + eϑ eR + 2 +R e e + − 2 R ∂R∂ϑ R ∂ϑ R ∂ϑ ∂R ϑ ϑ Q E 1 ∂ 2Φ ∂Φ + 2 e e + − cot ϑ R sin ϑ ∂ϑ∂ϕ ∂ϕ ϑ ϕ Q E Q E ∂ 2Φ ∂ 2Φ 1 ∂Φ ∂Φ 1 1 + − − cot ϑ e ϕ eR + 2 e e + R sin ϑ ∂R∂ϕ R ∂ϕ R sin ϑ ∂ϑ∂ϕ ∂ϕ ϕ ϑ Q E 1 ∂Φ 1 ∂ 2Φ ∂Φ + 2 + cot ϑ e e + R R sin2 ϑ ∂ϕ2 ∂ϑ ∂R ϕ ϕ Christoffel-Symbole 2. Art:

614

Formelsammlung ∂eR =0 ∂R ∂eR = eϑ = α2 (1, 2)eϑ ∂ϑ ∂eR = sin ϑ eϕ = α3 (1, 3)eϕ ∂ϕ

Q

ΔΦ = = = =

∂eϑ =0 ∂R ∂eϑ = −eR = α1 (2, 2)eR ∂ϑ ∂eϑ = cos ϑ eϕ = α3 (2, 3)eϕ ∂ϕ

E

∂eϕ =0 ∂R ∂eϕ =0 ∂ϑ ∂eϕ = − sin ϑ eR − cos ϑ eϑ ∂ϕ = α1 (3, 3)eR + α2 (3, 3)eϑ

Q

E

∂ 2Φ ∂ ∂Φ 1 ∂Φ 1 1 ∂ R2 + 2 sin ϑ + 2 2 2 R ∂R ∂R R sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ R sin ϑ ∂ϕ2 ∂ 2Φ 2 ∂Φ ∂ 2 Φ cot ϑ ∂Φ 1 1 ∂ 2Φ + + + 2 + 2 2 2 2 2 ∂R R ∂R R sin ϑ ∂ϑ R ∂ϑ R sin ϑ ∂ϕ2 Q E 1 ∂ ∂Φ R2 + (eR × ∇)2 Φ R2 ∂R ∂R Q E 1 ∂ 2 ∂Φ R + B{Φ} ; B ist der Beltrami-Operator R2 ∂R ∂R spur (∇∇Φ) = ΔΦ

∇ · A = div A ∂ 1 ∂Aϕ 1 ∂ 1 (R2 AR ) + (sin ϑAϑ ) + = 2 R ∂R R sin ϑ ∂ϑ R sin ϑ ∂ϕ ∇ · eR =

2 R

1 R tan ϑ ∇ · eϕ = 0 ∇ · eϑ =

∇ × A = rot A @ $ ∂ ∂Aϑ 1 = eR + (sin ϑAϕ ) − R sin ϑ ∂ϑ ∂ϕ $ @ 1 1 ∂AR ∂ + − (RAϕ ) eϑ + R sin ϑ ∂ϕ ∂R @ $ 1 ∂ ∂AR + eϕ (RAϑ ) − R ∂R ∂ϑ ∇ × eR = 0 1 ∇ × eϑ = eϕ R 1 1 eR − eϑ ∇ × eϕ = R tan ϑ R

Kugelkoordinaten

∇A =

615

∂AR ∂Aϑ ∂Aϕ eR eR + e R eϑ + e e + ∂R Q ∂RE ∂RQ R ϕ E 1 ∂AR 1 ∂Aϑ 1 ∂Aϕ + − Aϑ e ϑ e R + + AR e ϑ e ϑ + e e + R ∂ϑ R ∂ϑ R ∂ϑ ϑ ϕ Q E Q E 1 1 ∂AR ∂Aϑ + − sin ϑAϕ eϕ eR + − cos ϑAϕ eϕ eϑ + R sin ϑ ∂ϕ R sin ϑ ∂ϕ Q E 1 ∂Aϕ + + sin ϑAR + cos ϑAϑ eϕ eϕ R sin ϑ ∂ϕ

(∇ · D) · eR =

1 ∂ sin ϑDϑR 1 ∂DϕR 1 1 ∂R2 DRR 1 + + − Dϑϑ − Dϕϕ R2 ∂R R sin ϑ ∂ϑ R sin ϑ ∂ϕ R R

(∇ · D) · eϑ =

1 ∂R2 DRϑ cot ϑ 1 ∂ sin ϑDϑϑ 1 ∂Dϕϑ 1 + + + DϑR − Dϕϕ 2 R ∂R R sin ϑ ∂ϑ R sin ϑ ∂ϕ R R

(∇ · D) · eϕ =

1 ∂R2 DRϕ cot ϑ 1 ∂ sin ϑDϑϕ 1 ∂Dϕϕ 1 + + + DϕR + Dϕϑ R2 ∂R R sin ϑ ∂ϑ R sin ϑ ∂ϕ R R spur (∇A) = ∇ · A ,A B7 = ∇ × A

Q

∇∇ · A =

2 ∂AR 2AR Aϑ ∂ 2 AR 1 ∂Aϑ 1 ∂ 2 Aϑ + − 2 − 2 + + − 2 ∂R R ∂R R R tan ϑ R tan ϑ ∂R R ∂ϑ∂R E 1 ∂Aϑ ∂ 2 Aϕ ∂Aϕ 1 1 − 2 eR + + − 2 R ∂ϑ R sin ϑ ∂ϕ∂R R sin ϑ ∂ϕ Q 1 1 ∂ 2 AR 2 ∂AR Aϑ ∂Aϑ 1 ∂ 2 Aϑ + + + 2 − 2 2 + 2 + 2 R ∂R∂ϑ R ∂ϑ R ∂ϑ2 R sin ϑ R tan ϑ ∂ϑ E 1 ∂ 2 Aϕ cot ϑ ∂Aϕ + 2 eϑ + − 2 R sin ϑ ∂ϕ∂ϑ R sin ϑ ∂ϕ Q 1 ∂ 2 AR 2 ∂AR cot ϑ ∂Aϑ 1 ∂ 2 Aϕ + + 2 + 2 + 2 + R sin ϑ ∂R∂ϕ R sin ϑ ∂ϕ R sin ϑ ∂ϕ R sin ϑ ∂ϕ∂ϑ E 1 ∂ 2 Aϕ + 2 2 eϕ R sin ϑ ∂ϕ2 Q

∇×∇×A =

1 ∂Aϑ 1 ∂ 2 Aϑ 1 ∂Aϑ 1 ∂ 2 AR 1 Aϑ + + 2 − 2 + − R ∂R∂ϑ R ∂ϑ R ∂ϑ2 R tan ϑ ∂R R tan ϑ R E 1 ∂ 2 AR 1 ∂AR 1 ∂ 2 Aϕ 1 ∂Aϕ + eR + − 2 − 2 2 + R tan ϑ ∂ϑ R sin ϑ ∂R∂ϕ R2 sin ϑ ∂ϕ R sin ϑ ∂ϕ2 Q ∂ 2 Aϕ ∂ 2 Aϑ 1 2 ∂Aϑ cot ϑ ∂Aϕ 1 + − + − + 2 2 2 2 2 2 R ∂R R sin ϑ ∂ϕ∂ϑ R sin ϑ ∂ϕ R sin ϑ ∂ϕ

616

Formelsammlung E

1 ∂ 2 AR ∂ 2 Aϑ + eϑ + − R ∂R∂ϑ ∂R2 Q 1 1 ∂ 2 AR ∂Aϕ 2 ∂Aϕ 1 ∂ 2 Aϕ ∂ 2 Aϕ + − − 2 − − 2 + 2 2 R sin ϑ ∂ϕ∂R R ∂R R ∂ϑ ∂R R tan ϑ ∂ϑ E ∂ 2 Aϑ 1 cot ϑ ∂Aϑ Aϕ eϕ − 2 + 2 2 + 2 2 R sin ϑ R sin ϑ ∂ϑ∂ϕ R sin ϑ ∂ϕ ΔA = ∇ · ∇A = ∇∇ · A − ∇ × ∇ × A E Q 2 ∂Aϑ 2AR 2 cot ϑ ∂Aϕ 2 A − eR + = ΔAR − 2 − − ϑ R R2 R2 ∂ϑ R2 sin ϑ ∂ϕ Q E 2 ∂AR 2 cot ϑ ∂Aϕ Aϑ + ΔAϑ + 2 eϑ + − 2 2 − 2 R ∂ϑ R sin ϑ R sin ϑ ∂ϕ Q E ∂AR 1 2 2 cot ϑ ∂Aϑ + ΔAϕ + 2 − 2 2 Aϕ + 2 eϕ R sin ϑ ∂ϕ R sin ϑ ∂ϕ R sin ϑ

A.7

Nabla-Identit¨aten

A.7.1

Allgemeine Skalar-, Vektor- und Tensorfelder

Einmalige Nabla-Operation • Skalarfelder ∇Φ[φ1 (R), . . . , φn (R)] =

n M ∂Φ(φ1 , . . . , φn ) i=1

∂φi

∇(ΦΨ) = Φ∇Ψ + Ψ∇Φ

• Skalar- und Vektorfelder

• Skalar- und Tensorfelder

∇(ΦA) = Φ∇A + (∇Φ)A ∇ · (ΦA) = Φ∇ · A + A · ∇Φ ∇ × (ΦA) = Φ∇ × A − A × ∇Φ

∇(ΦD) = (∇Φ)D + Φ∇D ∇(Φ I) = (∇Φ) I ∇ · (ΦD) = ∇Φ · D + Φ∇ · D ∇ · (ΦI) = ∇Φ ∇ × (ΦD) = ∇Φ × D + Φ∇ × D ∇ × (ΦI) = ∇Φ × I

∇φi (R)

Nabla-Identit¨aten

617

• Vektorfelder ∇ · A[φ1 (R), . . . , φn (R)] = ∇ × A[φ1 (R), . . . , φn (R)] =

n M ∂A(φ1 , . . . , φn )

∂φi

i=1 n M i=1

∇φi (R) ×

· ∇φi (R)

∂A(φ1 , . . . , φn ) ∂φi

∇(A · B) = (∇A) · B + (∇B) · A = B · (∇A)21 + A · (∇B)21 = A × (∇ × B) + A · ∇B + B × (∇ × A) + B · ∇A , weil A × (∇ × B) = −A · ε · ε : (∇B)21 = −A · (∇B) + A · (∇B)21 = (∇B) · A − A · (∇B) ∇(A × B) = (∇A) × B − (∇B) × A ∇(A B) = (∇A)B + (A∇B)213 ∇ · (A × B) = (∇ × A) · B − A · (∇ × B) ∇ · (A B) = (∇ · A)B + A · (∇B) ∇ × (A × B) = B · ∇A − A · ∇B + (∇ · B)A − (∇ · A)B = ∇ · (B A − A B) ∇ × (A B) = (∇ × A)B − A × (∇B) I : ∇A = ∇ · A . I × ∇A = ∇ × A I ×. ∇A = −∇ × A ×

I × ∇A = I ∇ · A − ∇A 1 1 (∇A)a = (ε : ∇A) × I = − (∇ × A) × I 2 2 • Vektor- und Tensorfelder ∇(A D) = (∇A)D + (A∇D)2134 ∇(D · A) = (∇D) · A + (∇A) · D21 ∇(A · D) = (∇A) · D + A · (∇D)213 ∇(A × I) = ∇A × I ∇ · (D A) = (∇ · D)A + D21 · ∇A ∇ · (I A) = ∇A ∇ · (A D) = (∇ · A)D + A · ∇D ∇ · (A I) = I ∇ · A

618

Formelsammlung ∇ · (D · A) = (∇ · D) · A + spur (D21 · ∇A) = (∇ · D) · A + D21 : ∇A ∇ · (A · D) = ∇A : D + A · ∇ · D21 = spur (∇A · D) + A · ∇ · D21 ∇ · (A × D) = (∇ × A) · D − A · (∇ × D) = −∇ · (D21 × A) = −(∇ × D)21 · A + D21 · (∇ × A) . ∇ · (D × A) = (∇ · D) × A + D21 × ∇A ∇ · (I × A) = ∇ × A ∇ · (A × I) = ∇ × A ∇ × (D · A) = (∇ × D) · A − D21 ×. ∇A ×

∇ × (D × A) = (∇ × D) × A − ∇A × D21 ∇ × (I × A) = (∇A)21 − I ∇ · A • Tensorfelder

∇ · (D · E) = (∇ · D) · E + D21 : ∇E ∇ · (D21 × E) = (∇ × D)21 · E − D21 · (∇ × E)

Zweimalige Nabla-Operationen ∇ · ∇Φ = ΔΦ ∇ · ∇A = ΔA ∇ · (∇A)21 = ∇∇ · A ∇ · (∇ × A) = 0 ∇ · (∇ × D) = 0 ∇ × (∇Φ) = 0 ∇ × (∇A) = 0 ∇ × (∇A)21 = (∇∇ × A)21 ∇ × ∇ × A = ∇∇ · A − ∇ · ∇A Δ(ΦΨ) = ΦΔΨ + 2∇Φ · ∇Ψ + ΨΔΦ Δ(ΦA) = ΦΔA + 2∇Φ · ∇A + AΔΦ Δ(A B) = AΔB + 2(∇A)21 · ∇B) + (ΔA)B Δ(ΦD) = ΦΔD + (ΔΦ)D + 2∇Φ · ∇D Δ(A · B) = A · ΔB + 2(∇A)21 : ∇B + (ΔA) · B Δ(A · D) = A · ΔD + 2(∇A)21 : (∇D) + (ΔA) · D

Spezielle Ortsvektorfelder

619

Δ(D · A) = D · ΔA + 2(∇D)312 : ∇A + (ΔD) · A Δ(A × I) = (ΔA) × I ∇∇ · (ΦA) = (∇Φ)∇ · A + Φ∇∇ · A + ∇Φ × (∇ × A) + A · ∇∇Φ + ∇Φ · ∇A ∇ × ∇ × (ΦA) = ∇Φ × (∇ × A) − AΔΦ + A · ∇∇Φ + Φ∇ × ∇ × A + (∇Φ)∇ · A − −∇Φ · ∇A ∇ × ∇ × (Φ I) = ∇∇Φ − I ΔΦ

A.8

Spezielle Ortsvektorfelder ˆ ∇R = R 1 1 ˆ = − 2R R R ˆ , n = 0, ±1, ±2, . . . ∇Rn = nRn−1 R ˆ ∇Φ(R) = Φ+ (R)R ∇

%

S

1 e jkR ˆ e jkR R = jk − R R R R − R+ ∇|R − R+ | = |R − R+ |

∇

∇+ |R − R+ | = −∇|R − R+ | ∇

1 R − R+ + = − |R − R | |R − R+ |3 ∇·R=3 ˆ = ∇·R

∇·

2 R

R − R+ 2 + = |R − R | |R − R+ |

2Φ(R) + Φ+ (R) R ˆ = (n + 2)Rn−1 , n = 0, ±1, ±2, . . . ∇ · (Rn R) ˆ = ∇ · [Φ(R)R] Q

E

%

S

e jkR e jkR ˆ 1 ∇· R = + jk R R R ∇×R=0 ˆ =0 ∇ × [Φ(R)R] ∇R = I ∇ · ∇R = 0

620

Formelsammlung ∇(R R) = I R + (R I)213 ˆ ˆ = ∇ · (I R) ∇R 1 ˆ R) ˆ = (I − R R @

ˆ = Φ+ (R) − ∇[Φ(R)R]

$

Φ(R) ˆ ˆ Φ(R) RR + I R R

ˆ I) = 2 I ∇ · (R R ˆR ˆR ˆ R) ˆ = 2R ˆ ∇ · (R R ∇ · [Φ(R)I] = ∇Φ(R) ˆ = Φ+ (R)R L

-

ˆ ˆ = Φ+ (R) + 2 Φ(R) R ˆ R] ∇ · [Φ(R)R R ∇ · [D(R) × R] = [∇ · D(R)] × R − ,D(R)7 ΔRn = n(n + 1)Rn−2 , n = 0, ±1, ±2, . . . ΔΦ(R) =

2Φ+ (R) + Φ++ (R) R

1 = −4πδ(x)δ(y)δ(z) R e jkR e jkR = −k 2 − 4πδ(x)δ(y)δ(z) Δ R R Δ

∇∇

∇∇

1 1 ˆ R) ˆ = − 3 (I − 3R R R f¨ ur R >= 0

L

-

jkR e jkR ˆ R) ˆ R) ˆR ˆ + jk 1 (I − 3R ˆ − 1 (I − 3R ˆ e = −k 2 R R R R2 R f¨ ur R >= 0

F¨ ur R = 0 sind die beiden obigen Formeln als Pseudofunktionen im distributionstheoretischen Sinne zu verstehen, und sie m¨ ussen um einen δ-singul¨aren Term erg¨anzt werden; f¨ ur alle R ≥ 0 gilt deshalb: L

-

jkR e jkR ˆR ˆ + jk 1 (I − 3R ˆ R) ˆ − 1 (I − 3R ˆ R) ˆ e = pf δ −k 2 R + 4πk 2 LVδ δ(R) R R R2 R ; ; ˆ 1 nR mit LVδ = − lim dS 2 4πk Vδ →0 Sδ R2

∇∇

Spezielle Ortsvektorfelder

621

Vδ ist ein Ausschlussvolumen mit der Oberfl¨ache Sδ . F¨ ur ein kugelf¨ormiges Ausschlussvolumen Vδ = VK gilt: pf δ =⇒ PV (Cauchy’scher Hauptwert) LV K = −

1 I 3k 2

F¨ ur konstanten Vektor a gilt: ∇(R · a) = a ˆ ·a ∇ · (R a) = R ˆ ×a ∇ × (R a) = R ∇ × (a × R) = 2a

B

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Index abbildende US-zfP-Verfahren B-Bild, 567 FT-SAFT (Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique), 574 Frequenzdiversit¨at, 581 Impuls-Echo-Version, 584 Winkeldiversit¨at, 581 Hilbert-Transformation, 572 Impuls-Echo, 571 multi-monostatisch, 581, 584 Kontrastquellen, 576 Inversion, 577 Linearisierung, 577 Laufzeitortskurven, 567 Pitch-Catch, 571 multi-bistatisch, 581 Punktstreuer, 567 SAFT (Synthetic Aperture Focusing Technique), 567 verallgemeinerte Holographie, 578 aequivalente (sekund¨are) Quellen, 133, 138, 163, 165, 176, 478, 506, 510 Integralgleichungen, 134, 163, 495, 497, 506, 510 Kontrastquellen, 576 Linearisierung, 577 akustische Grundgleichungen, 121, 123 akustische Impedanz, 126, 207 akustischer Energiesatz, 122 analytisches Signal, 63, 347, 355 Anisotropie, 98, 112, 115, 148, 173, 217, 360 Augenblicksreaktion, 113, 149, 150, 241, 242, 245 B-Bild, 565, 567 Beam, 341 akustischer astigmatischer, 347 Gauß’scher, 341 gepulster, 347, 349 Rayleigh-Entfernung, 345 stigmatischer, 350 Strahlbreite, 346 Superposition, 356

Trajektorie, 355 elastischer, 360 bistatisch multi-, 581 Boltzmann’sches Relaxationsmodell der elastodynamischen Dissipation, 113 Born’sche N¨aherung, 140, 168, 508 Brechungsgesetz, 156, 279, 291, 297, 307 kritischer Winkel, 288, 297, 306, 316 Brewster-Winkel, 285 Cauchy’scher Hauptwert, 159 Cauchy-Hooke’sches Gesetz, 98 Coulombkraft, 146 Crack Opening Displacement, 496, 500 d’Alembert’sche Wellengleichungen, 125, 152, 157, 180, 181 D¨ampfungskonstante, 110, 259, 262, 264 D¨ampfungsvektor, 211, 240, 243, 263, 302 Deformationstensor, 75, 86 Fl¨achen-, 89, 253, 277 DFIE f¨ ur Streuk¨orper mit spannungsfreier Oberfl¨ache, 495 SFIE f¨ ur Streuk¨orper mit spannungsfreier Oberfl¨ache, 497 homogener ebener Druck- und Scherwellen, 208 Delta-Funktion, 67 dreidimensionale, 71, 127 Rechenregeln, 68 Siebeigenschaft, 70, 72 singul¨are Funktion einer Fl¨ache, 72 Delta-Operator, 43 DFIE: Displacement Field Integral Equation, 495 Diffraktionskurven(-fl¨achen), 567 Dilatation, 93 Fl¨achen-, 122 Integralgleichung f¨ ur akustisch-schallweiche Streuk¨orper, 134 Dipolwellen, 128, 160, 378 Dirichlet-Problem, 122, 134, 136, 171, 182, 431

636 Dispersion, 110, 113, 151, 156, 239, 245, 372, 376 Dispersionsrelation, 125, 153, 156, 190, 210, 211, 239, 240, 244, 255, 256, 263, 312, 330, 354, 356 Dissipationsenergiedichte elastodynamische, 110 elektromagnetische, 149 Divergenz, 36 Driftgeschwindigkeit, 78 Druckwellen, 125, 178, 180, 189, 204, 239, 385, 394 P, 201 Dupin-Koordinaten, 557 ebene Wellen akustische, 125 longitudinale, 126 akustische Impedanz, 126, 207 Brechungsgesetz, 279, 291, 297, 307 kritischer Winkel, 288, 297, 306, 316 D¨ampfung, 110, 240, 245, 264 Dispersion, 110, 241, 245 elastische, 109 longitudinale, 186, 197, 201, 204 P, 203, 248 prim¨are, 110, 186, 197, 200, 204 quasi-longitudinale (qP), 225 quasi-transversale (qSV), 225 sekund¨are, 110, 191, 197, 200, 204 SH, 169, 180, 203, 206, 302, 305 SV, 203, 206, 248 transversale, 191, 197, 201, 204 elektromagnetische, 153 transversale, 154 Energiegeschwindigkeit homogener dispersiver Druck- und Scherwellen, 241 homogener Druck- und Scherwellen, 207 homogener Quasi-Druck- und QuasiScher-Wellen in transversal-isotropen Materialien, 232 homogener SH-Wellen in transversalisotropen Materialien, 308 homogener Wellen in anisotropen Materialien, 219 inhomogener dispersiver Druck- und Scherwellen, 243 inhomogener Druck- und Scherwellen, 214, 302

Index inhomogener SH-Wellen in transversalisotropen Materialien, 305 inhomogener Wellen in anisotropen Materialien, 305 querged¨ampfter Druckwellen, 275 querged¨ampfter Scherwellen, 288 Gruppengeschwindigkeit homogener Wellen in anisotropen Materialien, 221 homogene, 125, 188, 193, 197, 207, 211, 217, 240 inhomogene, 211, 242, 262, 300, 302, 308, 316 Rayleigh-Wellen, 323 komplexe Polarisationsvektoren, 243, 319 komplexer Poynting-Vektor homogener Druck- und Scherwellen, 207 homogener Wellen in anisotropen Materialien, 218 inhomogener Druck- und Scherwellen, 214 inhomogener Wellen in anisotropen Materialien, 305 querged¨ampfter Druckwellen, 273 lokal ebene, 353, 390, 407 Modekonversionsfaktor Long(P)=⇒Trans(SV) in Reflexion an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 293 Long(P)=⇒Trans(SV) in Transmission an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 293 Trans(SV)=⇒Long(P) in Reflexion an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 298 Trans(SV)=⇒Long(P) in Transmission an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 298 Long(P)=⇒Trans(SV) an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache, 251 Trans(SV)=⇒Long(P) an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache, 265 Vorgehensweise f¨ ur P/SV-Einfall auf die Trennfl¨ache zwischen einem elastischisotropen und einem elastisch-transversal-isotropen Halbraum, 321 Modekonversionsgesetz, 250, 261, 291, 297 kritischer Winkel, 261, 288, 297, 316 Moden, 201 Phase, 188 Phasengeschwindigkeit, 110, 118, 126, 188,

Index 197, 200, 205, 214, 224, 241, 243, 245, 275, 288 als Eigenwert in anisotropen Materialien (qP, qS1, qS2), 217, 222 als Eigenwert in isotropen Materialien (P, S), 199 als Eigenwert in transversal-isotropen Materialien (qP, SH, qSV), 224 Phasengeschwindigkeitsvektor, 209, 214, 220, 223 Phasenvektor, 125, 211, 217, 247, 263, 302, 323 piezoelektrische, 117, 118 Polarisation, 119, 126, 154, 155, 195, 217, 227 als Eigenvektor in isotropen Materialien (P, S1/S2 bzw. SH, SV), 199 als Eigenvektor in transversal-isotropen Materialien (qP, SH, qSV), 227 komplexe Polarisationsvektoren, 212, 239, 324 quasi-transversale (qSV1 , qSV2 ), 316 querged¨ampfte, 211, 262, 281, 300, 316, 317 bez¨ uglich der Energieausbreitung, 300, 302, 310, 316 r¨aumliches Spektrum, 329 Reflexionsfaktor Trans(SH)=⇒Trans(SH) an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 282 Trans(SV)=⇒Trans(SV) an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 298 Long(P)=⇒Long(P) an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache, 251 Long(P)=⇒Long(P) an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 293 SH-Totalreflexion an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 286 SV-Totalreflexion an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache, 274 SV-Totalreflexion an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 297 Trans(SH)=⇒Trans(SH) an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache, 276 Trans(SH)=⇒Trans(SH) an einer Trennfl¨ache eines elastisch-isotropen und eines elastisch-transversal-isotropen Halbraums, 315 Trans(SV)=⇒Trans(SV) an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache, 265

637 Vorgehensweise f¨ ur P/SV-Einfall auf die Trennfl¨ache zwischen einem elastischisotropen und einem elastisch-transversal-isotropen Halbraum, 321 Reflexionsgesetz, 250, 261, 276, 279, 291, 297, 307 Brewster-Winkel, 285 kritischer Winkel, 280, 288, 297 Schalldruck, 206, 223, 252, 266, 276, 283, 294 Slowness, 209, 220, 255 -Diagramm, 255, 261, 264, 280, 288, 305, 308, 310, 316, 317 -Fl¨ache, 220 -Vektor, 125, 255, 263, 301, 303, 307, 311, 321, 353 stehende, 191 Strahlvektor, 209 Transmissionsfaktor Long(P)=⇒Long(P) an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 293 Trans(SH)=⇒Trans(SH) an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 282 Trans(SV)=⇒Trans(SV) an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 298 Trans(SH)=⇒Trans(SH) an einer Trennfl¨ache eines elastisch-isotropen und eines elastisch-transversal-isotropen Halbraums, 315 Vorgehensweise f¨ ur P/SV-Einfall auf die Trennfl¨ache zwischen einem elastischisotropen und einem elastisch-transversal-isotropen Halbraum, 321 Wellenfl¨ache, 221 Wellenfronten, 193, 202, 254, 256, 270, 283, 294 Wellenl¨ange, 190, 195 Wellenpaket, 220, 222, 223, 311, 318 Wellenwiderstand, 126, 154, 207 Wellenzahl, 109, 125, 189, 191, 195, 201, 205 Wellenzahlvektor, 125 komplexwertiger, 156, 210, 211, 240, 262, 280 EFIE: Electric Field Integral Equation, 164 Eichtransformation, 157 Eigenwertproblem, 32, 119, 197, 217, 307 Einfallswinkel, 247 elastodynamische Grundgleichungen, 75, 97, 102

638 Deformationsratengleichung, 84 Deformationstensor, 75 im Frequenzbereich, 76 Impulsdichte, 75 injizierte Deformationsrate, 75 Kraftdichte, 75 lineare, 86 Newton-Cauchy’sche Bewegungsgleichung, 81 Spannungstensor, 75 Teilchengeschwindigkeit, 75 elastodynamischer Energiesatz, 102 Dissipationsenergie, 110 im zeitlichen Mittel f¨ ur zeitharmonische Felder, 107 elektromagnetischer Energiesatz Dissipationsenergie, 149, 150 im zeitlichen Mittel f¨ ur zeitharmonische Felder, 151 Empfangspr¨ ufkopfmodell, 564 Energiedichte akustische nichtdissipativer Materialien, 122 elastodynamische dissipativer Materialien, 111 homogener ebener Druck- und Scherwellen, 208 homogener ebener Wellen in anisotropen Materialien, 218 inhomogener ebener Druck- und Scherwellen, 215 inhomogener ebener Wellen in anisotropen Materialien, 305 nichtdissipativer Materialien, 102 querged¨ampfter ebener Druckwellen, 275 elektromagnetische dissipativer Materialien, 149 nichtdissipativer Materialien, 145 Energiegeschwindigkeit homogener dispersiver ebener Druck- und Scherwellen, 241 homogener ebener Druck- und Scherwellen, 207 homogener ebener Quasi-Druck- und QuasiScher-Wellen in transversal-isotropen Materialien, 232 homogener ebener SH-Wellen in transversalisotropen Materialien, 308 homogener ebener Wellen in anisotropen Materialien, 219

Index inhomogener ebener Druck- und Scherwellen, 214, 302 inhomogener ebener SH-Wellen in transversal-isotropen Materialien, 305 querged¨ampfter ebener Druckwellen, 275 querged¨ampfter ebener Scherwellen, 288 Energiestromdichte akustische, 121 elastodynamische, 104 elektromagnetische, 145 Entartung, 204, 302 Erhaltungsgesetz f¨ ur den Drehimpuls, 80 f¨ ur den elektromagnetischen Impuls, 146 f¨ ur den Impuls, 80 f¨ ur den Teilchenfluss, 77 f¨ ur die elastodynamische Energie, 102, 110, 274 f¨ ur die elektromagnetische Energie, 145, 149 f¨ ur die Masse, 78 Ewald-Kugel, 366, 381, 581 Felder kausale, 90, 148 skalare, 14 tensorielle, 28 vektorielle, 24 Feldkonstante elektrische, 144 magnetische, 144 Feldst¨arke elektrische, 143 magnetische, 143 Fernfeldn¨aherung akustischer Quellenfelder, 378 des Rayleigh-Sommerfeld-Integrals, 440 Modell eines Tauchtechnikpr¨ ufkopfs, 424 Richtcharakteristik, 378 Punktrichtwirkungen einer punktf¨ormigen Kraftdichte, 387 Teilchenverschiebung einer punktf¨ormigen Kraftdichte, 385 der dreidimensionalen dyadischen Green’schen Funktion der Elastodynamik, 383 der dreidimensionalen skalaren Green’schen Funktion, 374 der zweidimensionalen dyadischen Green’schen Funktion der Elastodynamik, 412

Index der zweidimensionalen skalaren Green’schen Funktion, 375 des dreidimensionalen elastodynamischen Green’schen Tensors dritter Stufe, 395 Punktrichtwirkungen einer punktf¨ormigen Deformationsrate, 397 Teilchenverschiebung einer punktf¨ormigen Deformationsrate, 397 des Halbraum-Green-Tensors zweiter Stufe der Elastodynamik, 468 des zweidimensionalen elastodynamischen Green’schen Tensors dritter Stufe, 413 elastodynamischer Quellenfelder Pr¨ ufkopfmodelle im Halbraum (Fl¨achenkraftdichten), 463 Pr¨ ufkopfmodelle im Vollraum (Fl¨achenkraftdichten), 414, 422, 423 Punktrichtwirkungen einer Deformationsrate, 397 Punktrichtwirkungen einer Kraftdichte, 387 Punktrichtwirkungen einer zweidimensionalen Deformationsrate, 413 Punktrichtwirkungen einer zweidimensionalen Kraftdichte, 412 Richtcharakteristiken dreidimensionaler Kraftdichten und Deformationsraten, 405, 406 Richtwirkungen einer Linienkraft auf spannungsfreiem Halbraum (MillerPursey), 449 Richtwirkungen einer punktf¨ormigen Normalkraft auf spannungsfreiem Halbraum (Miller-Pursey), 454 elastodynamischer Streufelder, 510 Streutensor, 510 elektromagnetischer Quellenfelder, 159 Richtcharakteristik, 159 elektromagnetischer Streufelder, 169 Streutensor, 169 Flussdichte elektrische, 143 magnetische, 143 Fourier Diffraction Slice Theorem, 580 Mapping-Vorschrift bistatisch, 582 monostatisch, 585 Fourier-Bessel-Transformation, 428, 451 Fourier-Transformation, 52, 65 Abbildungsgesetze, 60, 66

639 ¨ Ahnlichkeitssatz, 60 Differentiationssatz, 61, 66 Faltungssatz, 61, 66 Faltungssatz im Spektralbereich, 61 Integrationssatz, 61 Modulationssatz, 60, 66 Verschiebungssatz, 60, 66 Delta-Funktion, 70 dreidimensionaler K-Raum, 66, 329, 366, 380 Einheitssprungfunktion, 70 Korrespondenz, 57 negative Frequenzen, 57 Raised Cosine-RCN -Impuls, 57 Spaltfunktion, 57 Franz-Larmor-Integral, 163 Frequenzdiversit¨at multi-bistatisch, 581 multi-monostatisch, 584 FT-SAFT (Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique), 580 Fourier Diffraction Slice Theorem, 580 Gauß’scher Satz, 44 Gradient, 35 Gradientendyade, 34 Green’sche Funktionen akustische bandbegrenzte, 370, 372 dyadische, 128 Ewald-Kugel, 366 Fernfeldn¨aherung in 2D, 368, 375 Fernfeldn¨aherung in 3D, 374 mit Dirichlet-Randbedingung auf einer ebenen schallweichen Fl¨ache, 432 mit Neumann’scher Randbedingung auf einer ebenen schallharten Fl¨ache, 432 Punktquellensynthese von Quellenfeldern, 376 skalar-dreidimensionale im Frequenzbereich, 127, 366 skalar-dreidimensionale im Zeitbereich, 369 skalar-zweidimensionale im Frequenzbereich, 368 skalar-zweidimensionale im Zeitbereich, 372 spektrale Zerlegung nach ebenen Wellen (Weyl’sche Integraldarstellung), 426

640

Index spektrale Zerlegung nach Zylinderwellen (Sommerfeld’sche Integraldarstellung), 428 vektorielle, 128 elastodynamische Ewald-Kugeln f¨ ur Druck- und Scherwellen, 381 Fernfeldn¨aherung des Halbraum-GreenTensors zweiter Stufe, 468 Fernfeldn¨aherung des Tensors dritter Stufe, 395 Fernfeldn¨aherung des Tensors dritter Stufe im Zweidimensionalen, 413 Fernfeldn¨aherung des Tensors zweiter Stufe, 383 Fernfeldn¨aherung des Tensors zweiter Stufe im Zweidimensionalen, 412 Halbraum-Green-Tensor zweiter Stufe, 448, 459 Punktquellensynthese von Quellenfeldern, 384, 404 Punktquellensynthese von Streufeldern, 481 Punktrichtwirkungen einer punktf¨ormigen Deformationsrate, 397 Punktrichtwirkungen einer punktf¨ormigen Kraftdichte, 387 Punktrichtwirkungen punkt- und linienf¨ormiger Kraftdichten auf spannungsfreiem Halbraum, 450 Richtcharakteristiken dreidimensionaler Kraftdichten und Deformationsraten, 405, 406 Richtcharakteristiken zweidimensionaler Kraftdichten und Deformationsraten, 412, 413 spektrale Zerlegung nach ebenen Wellen des zweidimensionalen HalbraumGreen-Tensors zweiter Stufe, 447 tensorielle dritter Stufe, 393 tensorielle dritter Stufe im Zweidimensionalen, 411 tensorielle vierter Stufe, 398 tensorielle zweiter Stufe, 380, 382 tensorielle zweiter Stufe im Zweidimensionalen, 410 elektromagnetische dyadische (elektrische), 156 tensorielle zweiter Stufe (magnetische), 160

Green’sche Integralformeln, 45, 482 Gruppengeschwindigkeit homogener dispersiver ebener Druck- und Scherwellen, 242 homogener ebener Wellen in anisotropen Materialien, 221 Helmholtz’sche Schwingungsgleichungen, 125, 152 Helmholtz-Integral, 133, 137, 484 Helmholtz-Potentiale, 178, 204, 338 Hertz’scher Dipol, 160 Hilbert-Transformation, 61, 268, 269, 283, 347, 455, 572, 587, 591 analytisches Signal, 63 im SAFT-Algorithmus, 572 Kramers-Kronig-Relationen, 65, 239 Holographie, 578 Huygens’sches Prinzip, 132, 161, 253, 476 ¨aquivalente (sekund¨are) Quellen, 133, 138, 163, 165, 176, 478, 486, 510 ¨ als Aquivalenzprinzip f¨ ur elastodynamische Felder, 477, 486 Extinction Theorem, 132, 161, 479, 488 Integraldarstellungen akustischer Streufelder, 133, 484 elastodynamischer Streufelder, 481, 489 elektromagnetischer Streufelder, 163 Integralgleichungen f¨ ur sekund¨are Fl¨achenquellen akustisch, 134 elastodynamisch (DFIE und SFIE), 497 elastodynamisch f¨ ur penetrable Streuk¨orper, 510 elastodynamisch: SFIE f¨ ur zweidimensionale Rissstreuung, 496, 500 elektromagnetisch (EFIE und MFIE), 164 Representation Theorem, 133, 161, 479, 488 Impuls-Echo, 565, 571 multi-monostatisch, 584 Impulsdichte elastodynamische, 75 elektromagnetische, 146 injizierte Deformationsrate, 75 Isochronenfl¨achen, 570 Isotropie, 101, 148, 209, 210, 487 Jones-Vektor, 154, 169

Index Kelvin-Christoffel-Tensor, 217 Kelvin-Voigt-Modell der elastodynamischen Dissipation, 112 Kirchhoff-N¨aherung akustisch, 133, 501 elastodynamisch, 500 3D-Systemmodell der Ultraschallimpulsstreuung, 554 dreidimensionale P,S-Streuung, 505 streifenf¨ormiger Riss (2D-SH), 522 zweidimensionale P-Streuung, 504 zweidimensionale SH-Streuung, 503 zweidimensionale SV-Streuung, 505 elektromagnetisch, 165 Kompatibilit¨atsbedingungen des Elektromagnetismus, 144 der Akustik, 124 komplexe Zahlen, 52 Betrag, 53 Cosinus, 54, 261 Division, 53 Exponentialfunktion, 54 Gauß’sche Zahlenebene, 52 imagin¨are Einheit, 52 Imagin¨arteil, 52 konjugiert komplexe, 52 Multiplikation, 53 Phase, 52 Potenzreihe, 54 Realteil, 52 Sinus, 54, 261 Wurzel, 55 Kompressibilit¨at, 123, 140, 575, 576 Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur den Massenfluss, 78 f¨ ur den Teilchenfluss, 78 f¨ ur die elektrische und magnetische Stromdichte, 144 Kontrastfunktionen, 138, 165, 175 Kontrastquellen, 576 Inversion, 577 Linearisierung, 577 konvektive Zeitableitung, 79 Koordinatensystem, 11 Dupin-, 326 kartesisches, 11 Koordinatentransformationsformeln, 11 Kugel-, 50 Zylinder-, 46 Kopfwelle, 273, 451

641 Kraftdichte, 75 Kramers-Kronig-Relationen, 65, 113, 239 Kriechwellen, 165, 517, 527, 554, 573 Kriechwellenpr¨ ufkopf, 418, 464 kritischer Winkel, 261, 280, 288, 306, 316 Kugelwellen akustische, 127, 132, 364, 369, 377 elastodynamische, 382, 384 elektromagnetische, 158 Ladungsdichte elektrische, 143 Fl¨achen-, 147 magnetische, 143 Fl¨achen-, 147 Lam´e-Konstanten, 101 Laplace-Operator, 43 Lateralwelle, 451 Laufzeitortskurven, 567 Leitf¨ahigkeit, 150 Linienquelle akustische, 368, 372 elastodynamische Normal- und Tangentialkraft auf spannungsfreiem Halbraum, 449 Lippmann-Schwinger-Integralgleichungen, 139, 165, 167, 507, 578 Longwellen Impuls-, 186, 201, 204, 242, 248, 253, 268 zeitharmonische, 189, 204, 386 Lorentz-Konvention, 157 Lorentzkraft, 146 Magnetostriktion, 119 Massendichte, 78 Materialgleichungen der Akustik, 123 Materialgleichungen der Elastodynamik, 97 anisotrope Materialien, 98 Cauchy-Hooke’sches Gesetz, 98 isotrope Materialien, 101 Lam´e-Konstanten, 101 lineare dissipative Materialien Boltzmann’sche Relaxationsmodelle, 113 D¨ampfung und Dispersion, 108 Kelvin-Voigt-Modell, 112 Maxwell-Modell, 108 Rayleigh-Modell, 112 lineare nichtdissipative Materialien, 98 lineare zeitinvariante augenblicklich reagierende inhomogene lokal reagierende anisotrope Materialien, 98

642 Nachgiebigkeitstensor, 98 piezoelektrische Materialien, 115 Steifigkeitstensor, 99 transversal-isotrope Materialien, 100 Voigt-Notation, 98 Materialgleichungen des Elektromagnetismus anisotrope Materialien Permeabilit¨at, 148 Permittivit¨at, 148 im Vakuum elektrische Feldkonstante, 144 magnetische Feldkonstante, 144 isotrope Materialien Permeabilit¨atszahl, 148 Permittivit¨atszahl, 148 lineare dissipative Materialien Suszeptibilit¨atskerne, 148 lineare zeitinvariante augenblicklich reagierende inhomogene lokal reagierende anisotrope Materialien, 148, 151 Maxwell’sche Gleichungen, 143 Maxwell-Modell der elastodynamischen Dissipation, 108, 242 der elektromagnetischen Dissipation, 150 MFIE: Magnetic Field Integral Equation, 164 Miller-Pursey-Faktoren, 454, 463 Miller-Pursey-Richtwirkungen Linienkraft, 450 punkt- und linienf¨ormige Impulskr¨afte, 455, 456 Punktkraft, 454 Modekonversionsfaktor ebener Long(P)=⇒Trans(SV)-Wellen an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache, 251 ebener Long(P)=⇒Trans(SV)-Wellen in Reflexion an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 293 ebener Long(P)=⇒Trans(SV)-Wellen in Transmission an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 293 ebener Trans(SV)=⇒Long(P)-Wellen an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache, 265 ebener Trans(SV)=⇒Long(P)-Wellen in Reflexion an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 298 ebener Trans(SV)=⇒Long(P)-Wellen in Transmission an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 298 Vorgehensweise f¨ ur P/SV-Einfall auf die

Index Trennfl¨ache zwischen einem elastischisotropen und einem elastisch-transversal-isotropen Halbraum, 321 Modekonversionsgesetz, 250, 261, 291, 297 kritischer Winkel, 261, 288, 297, 316 monostatisch multi-, 584 Nabla-Operator, 35, 39, 41, 44 Nachgiebigkeitstensor, 98 Symmetrie, 98 Voigt-Notation, 98 Nahfeldl¨ange, 437 Navier’sche Wellengleichungen, 173, 175, 180, 356 Neumann-Problem, 123, 134, 171, 182, 431, 514 Normalenableitung, 36 orthonormiertes Dreibein, 13 P-Wellen, 203, 248 Permeabilit¨at, 148, 150 Permeabilit¨atszahl, 148 Permittivit¨at, 115, 148, 150 Permittivit¨atszahl, 148 Phasenanpassung, 244, 250, 261, 263, 291, 297, 306, 308, 310, 325 Phasengeschwindigkeit, 118, 126, 152, 188, 197, 200, 205, 224, 241, 243, 245, 275, 288 als Eigenwert in anisotropen Materialien (qP, qS1, qS2), 217, 222 als Eigenwert in isotropen Materialien (P, S), 199 als Eigenwert in transversal-isotropen Materialien (qP, SH, qSV), 224 Phasengeschwindigkeitsvektor homogener ebener Druck- und Scherwellen, 209 homogener ebener Wellen in anisotropen Materialien, 220, 223 inhomogener ebener Druck- und Scherwellen, 214, 302 Phasenvektor, 125, 211, 217, 219, 232, 240, 243, 247, 263, 302, 323, 330, 443 Phasoren elastodynamischer Felder, 77 Physikalische Optik, 135, 165 Piezoelektrizit¨at, 113 elektroquasistatische Approximation, 117 piezoelektrisch versteifter Steifigkeitstensor, 118

Index piezoelektrische Grundgleichungen, 116 piezoelektrische Materialgleichungen, 115 piezoelektrische Wellengleichungen, 117 Pitch-Catch, 565, 571 multi-bistatisch, 581 Poisson-Gleichung der Elektrostatik, 117 Polarisation als Eigenvektor in isotropen Materialien (P, S1/S2 bzw. SH, SV), 199 als Eigenvektor in transversal-isotropen Materialien (qP, SH, qSV), 227 clockwise, counter-, 155, 195 Jones-Vektor, 154 komplexwertige Polarisationsvektoren inhomogener ebener Druck- und Scherwellen, 212 komplexwertige Polarisationsvektoren von Rayleigh-Wellen, 324 linear horizontale, 154 linear vertikale, 154 longitudinale, 126, 189, 201 Polarisationsdiagramm, 155 Polarisationszahl, 154, 195 quasi-longitudinale (qP), 225 quasi-transversale (qSV), 225 rechts(links)elliptische, 155 rechts(links)zirkulare, 155, 195 transversale, 154, 159, 195, 201 Porter-Bojarski-Integralgleichung, 579 Potentiale Helmholtz-, 178 Lorentz-Konvention, 157 retardierte, 157 skalares elektrisches Potential, 157 vektorielles magnetisches Potential, 157 Poynting-Vektor akustischer, 121 elastodynamischer, 104 komplexer, 106 komplexer f¨ ur homogene ebene Druckund Scherwellen, 207 komplexer f¨ ur homogene ebene Wellen in anisotropen Materialien, 218 komplexer f¨ ur inhomogene ebene Druckund Scherwellen, 214 komplexer f¨ ur inhomogene ebene Wellen in anisotropen Materialien, 305 komplexer f¨ ur querged¨ampfte ebene Druckwellen, 273 elektromagnetischer, 145

643 komplexer, 145, 154 Pr¨ ufkopfmodelle 3D-Systemmodell der Ultraschallimpulsstreuung in Kirchhoff-N¨aherung, 554 Empfangspr¨ ufkopf, 564 Fl¨achendilatationsrate im akustischen Vollraum (Tauchtechnik), 424 Fl¨achenkraftdichten auf elastischem Halbraum Impulsabstrahlung piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe, 461 Impulsabstrahlung von Punkt- und Linienquellen, 455, 456 Kriechwellenpr¨ ufkopf, 464 Miller-Pursey-Linienrichtwirkungen, 450 Miller-Pursey-Punktrichtwirkungen, 454 mit beliebiger Geometrie, 460 mit kreisf¨ormiger Geometrie, 451 mit streifenf¨ormiger Geometrie, 445, 460 Schallfelder piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe im Fernfeld, 463 Schallfelder piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe im Nahfeld, 468 Fl¨achenkraftdichten im elastischen Vollraum Impulsabstrahlung, 419 Kriechwellenpr¨ ufkopf, 418 mit rechteckiger Geometrie, 413 mit runder Geometrie, 420 mit streifenf¨ormiger Geometrie, 422 Nahfeldl¨ange, 437 Rayleigh-Sommerfeld-Integral (infinitely rigid baffled transducer), 433 Fernfeldn¨aherung, 440 Punktquelle akustische, 127, 364 Dilatationsrate, 378 Kraftdichte, 378 elastodynamische Deformationsrate, 396 Kraftdichte, 385 Kraftdichte auf elastischem Halbraum, 454 elektromagnetische Hertz’scher Dipol, 160 Punktquellensynthese akustische fl¨achiger Dilatationsraten im Vollraum, 424 Rayleigh-Sommerfeld-Integrale, 433

644 von Quellenfeldern, 127, 376 von Streufeldern, 132 elastodynamische 3D-Systemmodell der Ultraschallimpulsstreuung in Kirchhoff-N¨aherung, 554 fl¨achiger Kraftdichten im Vollraum, 413, 420, 422 Pr¨ ufkopfmodelle: Fernfeld, 461 Pr¨ ufkopfmodelle: Nahfeld, 468 von Quellenfeldern, 384, 404, 458 von Streufeldern, 481 von zweidimensionalen Quellenfeldern, 409, 411 elektromagnetische von Quellenfeldern, 156, 158 von Streufeldern, 163 Punktrichtwirkungen der Teilchenverschiebung einer Deformationsrate im Vollraum, 397 der Teilchenverschiebung einer Kraftdichte im Vollraum, 387 der Teilchenverschiebung einer Normalkraft auf elastischem Halbraum, 454 qP-Wellen, 225, 316 qSV1,2 -Wellen, 316 qSV-Wellen, 225, 316 Quasi-Druckwellen (qP), 229, 316 Quasi-Scherwellen (qSV1,2 ), 316 Quasi-Scherwellen (qSV), 229, 316 Quellenfelder, 127, 158 akustische, 127 mit schallweicher oder schallharter Randbedingung auf einer Messfl¨ache, 431 Modell eines Tauchtechnikpr¨ ufkopfs, 424 Nahfeldl¨ange, 437 Rayleigh-Sommerfeld-Integrale, 433 synchroner Quellen, 377, 424 elastodynamische, 384 3D-Systemmodell der Ultraschallimpulsstreuung in Kirchhoff-N¨aherung, 554 Pr¨ ufkopfmodelle im Halbraum (normale und tangentiale Fl¨achenkraftdichten, 457 Pr¨ ufkopfmodelle im Halbraum (normale und tangentiale Fl¨achenkraftdichten), 442, 451 Pr¨ ufkopfmodelle im Vollraum (Fl¨achenkraftdichten), 413, 420, 422 punkt- und linienf¨ormige Impulskraftdichten auf elastischem Halbraum, 455,

Index 456 punktf¨ormige Deformationsrate, 397, 400 punktf¨ormige Impuls-Kraftdichte, 391 punktf¨ormige Kraftdichte, 385 Punktquellensynthese, 404 Punktrichtwirkungen einer punktf¨ormigen Deformationsrate, 397 Punktrichtwirkungen einer punktf¨ormigen Kraftdichte, 387 Richtcharakteristiken dreidimensionaler Kraftdichten und Deformationsraten, 405, 406 Richtcharakteristiken zweidimensionaler Kraftdichten und Deformationsraten, 412, 413 Richtwirkungen einer punktf¨ormigen Normalkraft auf spannungsfreiem Halbraum (Miller-Pursey), 454 Richtwirkungen von Linienkraftdichten auf spannungsfreiem Halbraum (MillerPursey), 450 Schallfelder piezoelektrischer Pr¨ ufk¨opfe im Zeitbereich, 461 Schallfelder piezolelektrischer Pr¨ ufk¨opfe im Fernfeld, 463 synchroner Quellen, 413, 442, 451 elektromagnetische, 158 Fernfeldn¨aherung, 159 Hertz’scher Dipol, 160 Richtcharakteristik, 159 zweidimensionale (TM/TE), 169, 171 Randbedingungen Dirichlet-, 122, 182 Grenzfl¨ache unendlicher elektrischer Leitf¨ahigkeit, 147, 171 Grenzfl¨ache unendlicher magnetischer Leitf¨ahigkeit, 147 Neumann-, 123, 171, 182, 277, 431, 514 schallharte Grenzfl¨ache, 92, 123, 182 schallweiche Grenzfl¨ache, 92, 122, 182 spannungsfreie Grenzfl¨ache, 92, 247 Ray, 341 akustischer, 353 Charakteristik, 354 Eikonalgleichung, 353 gepulster, 355 Trajektorie, 354 Transportgleichung, 353 elastischer, 356

Index Eikonalgleichungen f¨ ur anisotrope Materialien: qP-, qS1-, qS2-Rays, 360 Eikonalgleichungen f¨ ur isotrope Materialien, 357 longitudinale P-Ray-Polarisation, 357 P-Ray, 357, 359 S-Ray, 357, 359 Transportgleichungen f¨ ur anisotrope Materialien. P-, qS1-, qS2-Rays, 361 Transportgleichungen f¨ ur isotrope Materialien, 359 transversale S-Ray-Polarisation, 357 Ray Tracing, 354 Rayleigh-Modell der elastodynamischen Dissipation, 112 Rayleigh-Sommerfeld-Integrale, 433 Fernfeldn¨aherung, 440 Rayleigh-Wellen, 323, 326 f¨ ur schwach gekr¨ ummte Grenzfl¨achen, 326 komplexe Polarisationsvektoren, 324 Phasengeschwindigkeit, 324 Rayleigh-Funktion, 445 Slowness, 325 RC2-Impuls, 58 Reflexionsfaktor ebener Long(P)=⇒Long(P)-Wellen an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache, 251 ebener Long(P)=⇒Long(P)-Wellen an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 293 ebener Trans(SH)=⇒Trans(SH)-Wellen an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache, 276 ebener Trans(SH)=⇒Trans(SH)-Wellen an einer Trennfl¨ache eines elastisch-isotropen und eines elastisch-transversal-isotropen Halbraums, 315 ebener Trans(SH)=⇒Trans(SH)-Wellen an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 282 ebener Trans(SV)=⇒Trans(SV)-Wellen an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache, 265 ebener Trans(SV)=⇒Trans(SV)-Wellen an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 298 Totalreflexion ebener SH-Wellen an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 286 Totalreflexion ebener SV-Wellen an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache, 274 Totalreflexion ebener SV-Wellen an einer

645 Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 297 Vorgehensweise f¨ ur P/SV-Einfall auf die Trennfl¨ache zwischen einem elastischisotropen und einem elastisch-transversal-isotropen Halbraum, 321 Reflexionsgesetz, 250, 261, 276, 279, 291, 297, 307 Brewster-Winkel, 285 kritischer Winkel, 280, 288, 297 Relaxationsmodelle, 113 Relaxationsmodelle der Dissipation elastodynamische Felder, 113 elektromagnetische Felder, 148 Reynold’sches Transporttheorem, 79 Rissstreuung, 496 Rotation, 38 Rotationsvektor, 27 SAFT (Synthetic Aperture Focusing Technique), 141, 567 A-scan driven approach, 570 exakte Herleitung der Impuls-Echo-Version, 587 voxel (pixel) driven approach, 570 Schalldruck, 206, 223, 252, 266, 276, 283, 294, 407 Scherwellen, 178, 180, 181, 204, 228, 239, 385, 394 S1/S2, 201, 213, 215 SH, 169, 180, 181, 203, 228 SV, 203 Schnelle, 126 Schwingungsgleichungen der Akustik homogene Materialien, 125 Schwingungsgleichungen der Elastodynamik dissipative Materialien, 184 nichtdissipative Materialien, 183, 197 Schwingungsgleichungen des Elektromagnetismus homogene Materialien, 152 SFIE: Stress Field Integral Equation, 497 zweidimensionale Rissstreuung, 496, 500 SH-Wellen, 169, 180, 203, 206, 302, 305, 306 singul¨are Funktion einer Fl¨ache, 72 Skewing-Winkel, 220 Slowness, 209, 220, 231, 239 -Diagramm, 255, 261, 264, 280, 288, 305, 308, 310, 316, 317 -Fl¨ache, 220, 231

646 -Vektor, 125, 255, 263, 301, 303, 307, 311, 321, 353, 360 inhomogene Materialien, 354 Sommerfeld’sche Integraldarstellung der skalaren Green’schen Funktion, 428 Spannungstensor, 82 elastodynamischer, 75 elektromagnetischer (Maxwell’scher), 146 homogener ebener Druck- und Scherwellen, 249, 252, 260, 266, 276, 279, 283, 292, 297 Normalspannungen, 84 Scherspannungen, 84 Symmetrie, 82 spektrale Zerlegung nach akustischen Zylinderwellen der skalaren Green’schen Funktion (Sommerfeld’sche Integraldarstellung), 428 nach ebenen akustischen Wellen, 329, 341 der Rayleigh-Sommerfeld-Integrale, 435 der skalaren Green’schen Funktion (Weyl’sche Integraldarstellung), 426 Fernfeld, 337 Gauß’scher Strahl, 341 komplexer Phasenvektor, 330 Propagator als Raumfilter, 331 propagierende und evaneszente spektrale Komponenten, 331 Station¨are Phase, 333, 338 nach ebenen elastischen Wellen, 338, 443 des zweidimensionalen Halbraum-GreenTensors zweiter Stufe mit spannungsfreier Randbedingung, 447 Teilchenverschiebung einer streifenf¨ormigen Normalkraft auf elastischem Halbraum, 445 Teilchenverschiebung einer streifenf¨ormigen Tangentialkraft auf elastischem Halbraum, 446 nach elastischen Zylinderwellen, 452 Teilchenverschiebung einer kreisf¨ormigen Normalkraft auf elastischem Halbraum, 453 Spiegelungsprinzip, 432 Station¨are Phase, 333, 338 Steifigkeitstensor, 99 Symmetrie, 99 Voigt-Notation, 99 Stokes’scher Satz, 45 Strahl als B¨ undel, siehe Beam

Index Strahl als Trajektorie, siehe Ray Strahlvektor, 209, 219, 232, 235, 361 Stratton-Chu-Integral, 163 Streufelder, 132, 133, 137, 161, 165, 176, 182, 475 ¨aquivalente (sekund¨are) Fl¨achenquellen, 133, 163, 478, 486, 510 a¨quivalente (sekund¨are) Volumenquellen, 138, 165, 176, 478, 486, 506 akustische, 132, 133, 137 Born’sche N¨aherung, 137, 140, 168, 508, 513 elastodynamische, 176, 182, 475 zweidimensionale SH-, 182 elektromagnetische, 161, 165 zweidimensionale (TM/TE), 171 Fernfeldn¨aherung, 169, 510 Huygens’sches Prinzip, 132, 163, 476 ¨ als Aquivalenzprinzip elastodynamischer Felder, 477, 486 Extinction Theorem, 132, 161, 479, 488 Representation Theorem, 133, 161, 479, 488 Integraldarstellungen akustischer Streufelder, 133, 484 elastodynamischer Streufelder, 481, 489 elektromagnetischer Streufelder, 163 Integralgleichungen f¨ ur sekund¨are Fl¨achenquellen akustisch, 134 elastodynamisch (DFIE und SFIE), 495, 497 elastodynamisch f¨ ur penetrable Streu¨orper, 510 elastodynamisch: SFIE f¨ ur zweidimensionale Rissstreuung, 496, 500 elektromagnetisch (EFIE und MFIE), 164 Integralgleichungen f¨ ur sekund¨are Volumenquellen akustisch, 140 elastodynamisch, 507 elektromagnetisch, 167 inverse Streuung, 567 Fourier Diffraction Slice Theorem, 580 Linearisierung, 577 Porter-Bojarski-Integralgleichung, 579 Kirchhoff-N¨aherung 3D-Systemmodell der Ultraschallimpulsstreuung, 554

Index akustisch, 133, 501 elastodynamisch, 500, 513 elastodynamisch: dreidimensionale P,SStreuung, 505 elastodynamisch: zweidimensionale PStreuung, 504 elastodynamisch: zweidimensionale SHStreuung, 503 elastodynamisch: zweidimensionale SVStreuung, 505 elektromagnetisch, 165 streifenf¨ormiger Riss (2D-SH), 522 Kontrastquellen, 576 Inversion, 577 Linearisierung, 577 kreiszylindrischer Hohlraum (2D-P/SV), 525 kreiszylindrischer Hohlraum (2D-SH), 514 kugelf¨ormiger Hohlraum (3D-P/S), 535 Physikalische Optik, 133, 165 Punktstreuer, 567 streifenf¨ormiger Riss (2D-P/SV), 527 streifenf¨ormiger Riss (2D-SH), 521 Streutensor elastodynamisch, 508, 510 elektromagnetisch, 169 Streutensor elastodynamischer Streufelder, 508, 510 elektromagnetischer Streufelder, 169 Stromdichte elektrische, 143 EFIE f¨ ur die Fl¨achenstromdichte, 164 Fl¨achen-, 147 MFIE f¨ ur die Fl¨achenstromdichte, 164 magnetische, 143 Fl¨achen-, 147 Summenkonvention, 18 Suszeptibilit¨at, 115 Suszeptibilit¨atskerne, 148 SV-Wellen, 203, 206, 248 Teilchengeschwindigkeit, 75 Tensoren, 25 adjungierter Tensor, 31 antisymmetrische, 27 Antisymmetrisierungstensor vierter Stufe, 30 Doppelkontraktion mit Tensoren, 29 Hermite-konjugierte, 32 Identit¨atstensor zweiter Stufe, 28 inverser Tensor, 31

647 komplexe, 32 Komponenten, 25 Kontraktion mit Tensoren, 29 Kontraktion mit Vektoren, 25 Kontraktionstensor vierter Stufe, 30 symmetrische, 26 Symmetrisierungstensor vierter Stufe, 30 Transponierung, 26 TM/TE-Felder, 169, 171 Totalreflexion ebener SH-Wellen an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 286 ebener SV-Wellen an einer spannungsfreien Grenzfl¨ache, 274 Traktion, 81 Fl¨achen-, 89 Integralgleichung f¨ ur akustisch-schallharte Streuk¨orper, 134 Transmissionsfaktor ebener Long(P)=⇒Long(P)-Wellen an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 293 ebener Trans(SH)=⇒Trans(SH)-Wellen an einer Trennfl¨ache eines elastisch-isotropen und eines elastisch-transversal-isotropen Halbraums, 315 ebener Trans(SH)=⇒Trans(SH)-Wellen an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 282 ebener Trans(SV)=⇒Trans(SV)-Wellen an einer Trennfl¨ache zweier isotroper Halbr¨aume, 298 Vorgehensweise f¨ ur P/SV-Einfall auf die Trennfl¨ache zwischen einem elastischisotropen und einem elastisch-transversal-isotropen Halbraum, 321 transversale Isotropie, 100, 224, 230, 315 Transwellen Impuls-, 191, 201, 204, 242, 253, 268, 278, 283 zeitharmonische, 195, 204, 386 Uebergangsbedingungen akustischer Felder homogene, 122 inhomogene, 122 Uebergangsbedingungen elastodynamischer Felder, 87 elastisch-akustische Trennfl¨ache, 92 elastisch-elastische Trennfl¨ache homogene, 89, 279 inhomogene, 91

648 Fl¨ ussigkeitskopplung elastischer Halbr¨aume, 94 Uebergangsbedingungen elektromagnetischer Felder homogene, 147 inhomogene, 146 Vektoren, 14 komplexe, 24 Komponenten Normal-, 19 skalare, 13 Tangential-, 21, 28 vektorielle, 13 Ortsvektor, 12 Produkte dyadisches Produkt, 21 Skalarprodukt, 16 Vektorprodukt, 19 Voigt-Notation, 98 Wellenfl¨ache, 221, 235 Schwalbenschw¨anze der qSV-Wellenfl¨ache, 235 Wellenfronten des Aperturstrahlers auf spannungsfreiem Halbraum, 442 des fest eingespannten akustischen Aperturstrahlers, 429 des kreiszylindrischen P/SV-Streuers, 527 des kreiszylindrischen SH-Streuers, 517 des streifenf¨ormigen P/SV-Streuers, 534 des streifenf¨ormigen SH-Streuers, 522 ebener Wellen, 193, 202, 254, 256, 270, 283, 294 einer punktf¨ormigen Kraftdichte im transversal-isotropen Material, 237 gepulster Strahlen, 350 kugelf¨ormiger Druck- und Scherwellen, 386 piezoelektrischer Pr¨ ufkopfmodelle, 464 Wellengleichungen der Akustik homogene Materialien, 124 inhomogene Materialien, 123, 353 Eikonalgleichung, 353 Transportgleichung, 353 parabolische Approximation, 347 Wellengleichungen der Elastodynamik f¨ ur homogen-anisotrope Materialien, 177 f¨ ur homogen-isotrope Materialien, 177, 185, 379

Index Eikonalgleichungen, 357 Transportgleichungen, 359 f¨ ur inhomogen-anisotrope Materialien, 173 Eikonal- und Transportgleichungen, 360 f¨ ur inhomogen-isotrope Materialien, 178, 356 f¨ ur piezoelektrische Materialien, 117 elektroquasistatische N¨aherung, 117 f¨ ur zweidimensionale SH-Wellen, 181 Wellengleichungen des Elektromagnetismus homogene Materialien, 151 inhomogene Materialien, 151 leitf¨ahige Materialien, 152 Wellenl¨ange, 190, 195 Wellenmoden, 201, 235, 319 Wellenpaket, 220, 222, 223, 311, 318, 341 -Gleichung, 347 RC2-Impuls-, 351 Wellentensor, 119, 199, 203, 210, 217, 224 Wellenwiderstand, 126, 154, 207 Wellenzahl, 125, 152, 189, 191, 195, 201, 205 komplexwertige, 109, 153, 156, 239 Wellenzahlvektor, 125 komplexwertiger, 156, 210, 211, 240, 262, 280 Weyl’sche Integraldarstellung der Green’schen Funktion, 426 Winkeldiversit¨at, 581