Teoria del Interes. Metodos cuantitativos para finanzas

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Tomo II

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Teoría del interés Métodos cuantitativos para finanzas Tomo II

Teoría del interés

Métodos cuantitativos para finanzas

Teoría del interés. Métodos cuantitativos para finanzas es un libro innovador que propone una visión actual y práctica de las matemáticas relacionadas con la ciencia actuarial (Teoría del interés), que es una materia fascinante. Su parte central es la toma de decisiones con base en comparaciones de valor de las distintas alternativas en evaluación. Las áreas de aplicación del libro, que es al mismo tiempo un manual, son múltiples, y van desde una decisión personal de financiamiento hasta la evaluación de la posibilidad de especular en los mercados financieros, pasando por las áreas corporativas de cualquier tipo de empresa, sin importar su tamaño. Asimismo, las decisiones que permite abordar incluyen todos los niveles de organización en los sectores público y privado. La obra posee un enfoque teórico-práctico, sin que ello signifique que se sacrifica el rigor académico indispensable para estudiar los temas e innovar en forma amena la pedagogía de las matemáticas financieras. Por medio de gráficos ilustrativos, ejemplos y, al desagregar en sus partes cada uno de los componentes principales, se explica el análisis de las diferentes operaciones del mercado de capitales (bonos, acciones e instrumentos del mercado de dinero, sensibilidad de tasas de interés y derivados financieros). El punto del cual parten los autores para estudiar los temas son los conceptos básicos de la materia, con la finalidad de favorecer la comprensión de las técnicas específicas, además de que se incluyen problemas de aplicación de dichos conceptos. El libro está dirigido al ejecutivo moderno, al empresario y al estudiante avanzado de pregrado y de posgrado, con el objetivo de que pueda apoyarse en la toma de decisiones y comprender los fundamentos del análisis, lo cual es indispensable en la actualidad para llevar a cabo una gestión financiera moderna y efectiva.

0 y f (0,052) = −2,45 < 0 . Luego, con interpolación lineal, se tiene: i ≈ 0,05 − 23,43 ×

(0,052 − 0,05) (−2,45 − 23,43)

i ≈ 0,0518 4.

La tasa de rendimiento convertible semestralmente es de 10,36%. El precio el 15 de mayo de 2010 es: 75

100 + (4 −100 × 0,0518) × a16 0,0518 × (1,0518)184 −

75 × 4 = 87,55 U.M. 184

Se descompone para llegar al resultado: 100 4 100 0,0518 75

1,0518184

1

1

10,0518

1

10,0518

2

75 4 87,55 U.M. 184

Este resultado tiene un error de redondeo de 0,45 U.M.

...

1

16

10,0518

5.5 Aproximaciones a las tasas de rendimiento de los bonos

Finalmente, se calculará la tasa de rendimiento de un bono con cupones reinvertidos a diferentes tasas de interés. Para realizar esta operación, se considera la situación en la cual el bono se compra por P, los cupones de F × r se pagan al final de cada periodo de n periodos, el bono es redimido por C al final de los n periodos, y los cupones se reinvierten a la tasa j. Se denominará i' a la tasa de rendimiento (considerando reinversiones). Con estos datos se obtiene la ecuación de valor: P × (1+ i ')n = F × r × sn j + C

(5.25)

donde P Precio de compra del bono (en U.M.) i' Tasa de rendimiento considerando reinversiones n Número de periodos F Valor nominal del bono (en U.M.) r Tasa cupón modificado sn j Valor futuro de una anualidad inmediata C Valor de redención (en U.M.)

Ejemplo 5.24 Un bono de 100 U.M. a 10 años a la par con 8% de cupones semestrales se vende en 90 U.M., considerando que los cupones se pueden reinvertir a una tasa de 6% convertible semestral. Encuentre la tasa de rendimiento con base en las tasas de reinversiones.

Solución 1.

Se busca la expresión que se utilizará, que en este caso es la ecuación (5.26).

2.

Se reemplazan los valores: 90 × (1+ i ') = 4 × s20 0,03 +100 20

→ (1+ i ') = 20

4 × (26,8704) +100 = 2,30535 90 → i ' = 0,04265

La expresión anterior también se puede escribir como sigue: 20 1 2 20 90 (1+ i ') = 4 × ⎡⎣(1+ 0,03) + (1+ 0,03) + .... + (1+ 0,03) ⎤⎦ +100 20 (1+ i ') =

4 × (26,8704) +100 90

20 (1+ i ') = 2,30535

Por tanto, i' = 0,04265.

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60

Cap. 5

Bonos

De esta forma, la tasa de rendimiento es 2 × (0,04265) = 0,0853 = 8,53% convertible semestralmente. Por consiguiente, la tasa de 9,48% que se calculó en el ejemplo 5.21 se reduce a 8,53% si los cupones se pueden reinvertir a una tasa de 6%.

5.5.1 Problemas propuestos 1. Un bono a 10 años con valor par de 1.000 U.M. con cupones semestrales de 10% anual se vende en 1.100 U.M. Calcule la tasa de rendimiento convertible semestralmente. Respuesta: 10,476%. 2. Un bono a 12 años con valor par de 200 U.M. con cupones semestrales de 20% se vende en 220 U.M. Calcule la tasa de rendimiento convertible semestralmente. Respuesta: 38,89%. 3. Un bono a 10 años con valor par de 10.000 U.M. paga cupones semestrales de 250 U.M. y es redimible a la par. Isabella lo compra en 11.000 U.M. Calcule el rendimiento al vencimiento semestral sobre el bono. Utilice la fórmula del vendedor. Respuesta: 3,80%. 4. Un bono a 5 años con valor par de 500 U.M. con cupones de 4% convertible semestralmente, se vende en 600 U.M. Calcule la tasa de rendimiento convertible semestralmente. Respuesta: 0%. 5. Suponga que un bono con valor par de 8.000 U.M. tiene cupones semestrales de 4% y vence en 8 años. ¿Cuál es la tasa de rendimiento si el precio es de 7.000 U.M.? Respuesta: 5,933%.

5.6

Bonos redimibles y bonos en series

Los bonos redimibles o rescatables (callable bonds o straight first-call, por sus nombres en inglés) son bonos que el emisor puede canjear o pagar antes de la fecha de redención o de vencimiento, a menudo varios años después de la fecha de emisión. Las fechas siempre son especificadas por el emisor. Cuando éste decide redimir un bono, paga al inversionista el precio de compra (por lo general, el valor nominal de los bonos), junto con los intereses devengados hasta esa fecha.

5.6 Bonos redimibles y bonos en series

El bono puede ser redimido en cualquier momento por la empresa que los emitió, pero debe pagar una prima por encima del valor nominal. Ello se debe a que es una deuda que beneficia a sus emisores antes que a sus tenedores, pues aquéllos cuentan con la oportunidad de rescatarlos con anticipación. Normalmente, un bono se redime si en la fecha de recompra las tasas de interés han disminuido. Esta circunstancia le permite a la empresa emisora refinanciar su deuda, pues recompra los bonos y emite otros, a tasas de interés más bajas. La primera fecha en la cual un bono puede ser redimido debe especificarse en su contrato de emisión, que refleja la deuda u obligación de compra. Una vez que se emite el bono, se conocerá cuándo puede redimirse y a qué precio. En la mayoría de los casos, el precio estará ligeramente por encima del valor par del bono y crecerá cuando el bono es llamado. A menudo, las empresas redimen un bono si están pagando un cupón mayor que las tasas de interés de mercado actuales. El emisor puede elegir canjear un bono redimible cuando las tasas de interés actuales caen por debajo de la tasa de interés del bono. De esta forma, el emisor puede ahorrar dinero al pagar el bono emitiendo otro a una tasa de interés más baja. Este arreglo es similar al refinanciamiento de una obligación que reduce los pagos mensuales. Los bonos redimibles son más riesgosos para los inversionistas que los no redimibles, ya que con frecuencia deben realizar una reinversión a una tasa cada vez menos atractiva. Por ello, a menudo los bonos redimibles tienen una mayor rentabilidad anual para compensar el riesgo de redención o cancelación antes de su vencimiento. Los bonos redimibles presentan un problema para calcular sus precios y rendimientos, porque la fecha en que serán redimidos no se conoce. Dado que el emisor tiene la opción de redimir los bonos, el inversor asume que ejercerá la opción en perjuicio de sus intereses, y calcula la tasa de rendimiento y precios. El bono redimible es un título con opción de recompra, es decir, permite al emisor recomprar a un determinado precio y fechas. En este sentido, se afirma que el inversionista vende una opción de recompra al emisor. El precio de compra en la opción es el precio predeterminado que el emisor debe pagar al tenedor que, por lo general, es una función decreciente del tiempo. El valor de la opción de recompra se refleja en la rentabilidad del bono ya que éste ofrece mayor rentabilidad que el bono sin la opción. Si el valor de rescate es el mismo en cualquier fecha de remisión, incluyendo la fecha de vencimiento, se pueden establecer dos principios generales: 1.

La fecha de remisión del bono probablemente será próxima si el bono se vendió con una prima, que ocurre cuando la tasa de rendimiento es menor que la tasa de cupón (el emisor deseará dejar de pagar las primas a través de los pagos de cupones tan pronto como sea posible).

2.

Muy probablemente, la fecha de remisión del bono sea la última fecha posible si el bono se vendió con descuento, lo que ocurre cuando la tasa de rendimiento es mayor que la tasa de cupón (el emisor no tiene ninguna prisa para pagar el valor de rescate).

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Cap. 5

Bonos

Ejemplo 5.25 Un bono tiene las siguientes características: valor nominal de 1.000 U.M., es a 15 años, tiene una tasa cupón de 7% semestral y es redimible a la par después de 10 años. ¿Cuál debe ser el precio del bono para que tenga un rendimiento de 5% para el inversionista?

Solución Se observa que la tasa de retorno es menor que la tasa cupón (5% < 7%), lo que indica que el bono se vende con premio en la fecha de redención anticipada, lo que favorece al emisor y perjudica al inversionista. El precio es: 1.000 + (35 − 25) × an 0,025 O, lo que es lo mismo, 1.000 (35–25)

1 1 1 1 n 2 ...

10,025 10,025

10,025

para 20 ≤ n ≤ 30 , lo cual claramente ocurre cuando n = 20 . Así, el precio es: 1.000 (35–25)

1 1 1 1 2 ... 20

10,025 10,025

10,025

1.155,89 U.M.

Si los valores de redención en todos los periodos de redención no son iguales, se deben examinar todas las fechas de call. La fecha menos favorable no es necesariamente la más o la menos próxima. La fecha menos favorable para el emisor es la que produzca el menor precio de compra a la tasa de rendimiento del inversionista, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.26 Un bono de 100 U.M. a la par con 4% de cupón semestral es redimible en las siguientes fechas: 109,00 U.M., de 5 a 9 años después de su emisión. 104,50 U.M., de 10 a 14 años después de su emisión. 100,00 U.M., 15 años después de su emisión (fecha de maduración).

5.6 Bonos redimibles y bonos en series

¿Qué precio debería pagar un inversionista por el bono redimible si desea obtener una tasa de retorno de: a)

5% pagadera semestralmente?

b) 3% pagadera semestralmente?

Solución a)

Dado que la tasa de mercado es mayor que la tasa de cupón, el bono fue vendido con descuento y el tenedor esperará la última fecha para redimirlo: 30 P = 2,00 × a30 2,5% +100,00 × v0,025 = 89,53

O, lo que es lo mismo: P 2,00

1 1 1 1 30 2 ... 1 0,025 1 0,025 1 0,025

100,00 30 1 0,025

P 89,53 b) Dado que la tasa de cupón es mayor que la tasa de mercado, el bono debe venderse lo antes posible, por lo que el tenedor lo realizará a una de las tres alternativas de valores de redención: a)

P 2,00

1 1 1 1 2 ... 10 1 0,015 1 0,015 1 0,015

109,00 10 1 0,015

1 1 1 1 2 ... 20 1 0,015 1 0,015 1 0,015

104,50 20 1 0,015

1 1 1 1 2 ... 30 0,015 0,015 0,015 1 1 1   

100,00 30 1  0,015

P 112,37 b)

P 2,00 P 111,93

b)

P 2,00 P 112,01

En este caso, el inversor desearía pagar hasta 111,93 U.M., que es el valor más bajo.

5.6.1

Series de bonos

Las series son bonos emitidos al mismo tiempo, pero con diferentes fechas de maduración. El precio del bono en serie es la suma de los valores de los bonos individuales.

63

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Cap. 5

Bonos

La fórmula para valuar el bono de serie con m diferentes fechas de redención considera: Pt Precio de compra del bono en el periodo t Ct Valor de redención Kt Valor presente de Ct La fórmula de Makehan para calcular el precio del bono en el periodo t es: Pt Kt

g i

Ct

Kt

Se suma de t = 1 a t = m para obtener el precio total de la serie de bonos: m

m

Kt

Pt t 1

t 1

g i

m

m

C t 1

Kt t 1

O bien, P' K'

g i

C' K'

donde m

P ' = ∑ Pt t =1 m

K ' = ∑ Kt t =1 m

C ' = ∑Ct t =1

Ejemplo 5.27 Determine P de un bono serial de 5.000 U.M. con cupones anuales de 10%, el cual será redimido en 5 años con un valor de 1.100 U.M. comenzando al final del 11º año y continuando a través del 15º año al precio P con una tasa de retorno de 9% anual efectiva.

Solución 1.

Se conoce que: F =1.000 U.M. C =1.100 U.M. i = 0,09 r = 0,10

5.6 Bonos redimibles y bonos en series

2.

Por tanto, g =

1.000 × (0,10) 1 = 1.100 11

Puesto que C' = 5.500 15

t K ' = ∑1.100 × v0,09 t =1

lo que se expresa como:



K' 1.100 a10 0,09 a10 0,09 K'

15

1.100 100 t t 11 1 0,09



1.807,33

1 1 1 1 2 ... 15 1 0,09 1 0,09 1 0,09

Se despeja K, que es el valor presente de Ct de la ecuación simplificada, y se tiene: K' =1.807,33 En consecuencia, el precio será: P' =1.807,33 +

1 × (5.500 −1.807,33) = 5.537,30 0,99

5.6.2 Problemas propuestos 1. Un bono de valor par de 500 U.M. tiene cupones semestrales de 4% y es redimible al final del 10º al 15º año a la par. a)

Calcule el precio para que rinda 5% convertible semestralmente.

b) Calcule el precio para que rinda 7% convertible semestralmente. Respuesta: a) 516,92 U.M. y b) 535,53 U.M. 2. Un bono con valor par de 200 U.M. y tasa cupón de 5% con cupones semestrales es redimible en los tiempos siguientes: 210 U.M., de 5 a 9 años después de la emisión. 205 U.M., de 10 a 14 años después de la emisión. 200 U.M., 15 años después de la emisión (fecha de vencimiento). ¿Qué precio debe pagar el inversionista por el bono redimible si espera realizar una tasa de rendimiento de: a)

6% pagable semestralmente?

b) 4% pagable semestralmente? Respuesta: a) 180,40 U.M. y b) 217,18 U.M.

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Cap. 5

Bonos

3. Un bono con valor par de 1.100 U.M. con tasa cupón de 5%, cupones semestrales, madura al final de 12 años. El instrumento es redimible a 1.200 U.M. al final de los años 3 a 5, a 1.150 U.M. al final de los años 7 a 11 y de 1.100 U.M. al final del año 12. Calcule el precio máximo que un inversionista puede pagar y aún estar seguro de una tasa de rendimiento de 6% convertible semestralmente. Respuesta: 1.006,85 U.M. 4. Un bono a 14 años, que se puede recomprar al final de cada año desde el año 10 al 12, tiene un valor par de 2.000 U.M. y una tasa cupón anual de 5%. El bono es redimible a la par y puede recomprarse en 2.100 U.M. a)

Calcule el precio que un inversionista pagaría para ganar 6%.

b) Calcule el precio que un inversionista pagaría para ganar 4%. Respuesta: a) 1.814,10 U.M. y b) 2.229,77 U.M. 5. Un bono a 15 años, que se puede recomprar al final de cada año del 8 al 15, tiene un valor par de 900 U.M. y una tasa cupón anual de 6%. El bono es redimible a la par y también puede recomprarse a la par. a)

Calcule el precio que un inversionista pagaría para que le rinda 7%.

b) Calcule el precio que un inversionista pagaría para que le rinda 5%. Respuesta: a) 851,50 U.M. y b) 936,90 U.M.

5.7 Nombre

Fórmula básica (5.1)

Fórmulas y nomenclatura Fórmula

Nomenclatura

P = F × r × an i + C × vin

P: Precio de mercado del bono (en U.M.) r: Tasa cupón an i : Valor actual de una anualidad inmediata F: Valor nominal del bono (en U.M.) F × r : Cuota (en U.M.) C: Valor de redención del bono (en U.M.) vin : Factor de descuento

5.7 Fórmulas y nomenclatura

Nombre

Fórmula premio/ descuento (5.2)

Fórmula del monto base (5.3)

Fórmula de Makeham (5.4)

Precio de un bono cuando la tasa de rendimiento y tasa cupón se dan a distintas frecuencias (5.5)

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Fórmula

Nomenclatura

P = C + ( F × r − C × i ) × an i

P: Precio de mercado del bono (en U.M.) C: Valor de redención del bono (en U.M.) F: Valor nominal del bono (en U.M.) r: Tasa cupón F × r : Cuota (en U.M.) i: Tasa de interés an i : Valor actual de una anualidad inmediata

P = G + (C − G ) × vin

P: Precio de mercado del bono (en U.M.) G: Monto base de un bono (en U.M.) C: Valor de redención del bono (en U.M.) vin : Factor de descuento

g P = K + × (C − K ) i

P: Precio de mercado del bono (en U.M.) K: Valor presente del bono (en U.M.) g: Tasa cupón corregida i: Tasa de interés C: Valor de redención del bono (en U.M.)

P = F ×r×

an sk

+C × vn

P: Precio de mercado del bono (en U.M.) F: Valor nominal del bono (en U.M.) r: Tasa cupón F × r : Cupón (en U.M.) an : Valor actual de una anualidad inmediata sk : Valor futuro de una anualidad inmediata C: Valor de redención del bono (en U.M.) v n : Factor de descuento

68

Cap. 5

Nombre Precio de un bono cuando cada periodo de tasa de conversión de rendimiento contiene m cupones de periodos de conversión (5.6)

Cálculo de la prima de un bono (5.7)

Cálculo del descuento de un bono (5.8)

Bonos

Fórmula

Nomenclatura

P = F × r × an( m ) + C × v n

P: Precio de mercado del bono (en U.M.) F × r : Cupón (en U.M.) an( m ) : Valor presente de una anualidad inmediata C: Valor de redención del bono (en U.M.) v n : Factor de descuento

Prima = P − C = ( F × r − C × i ) × ai n = C × ( g − i ) × an i si g > i

Descuento = C − P = (C × i − F × r ) × an i = C × ( i − g ) × an i si g < i

P: Precio de mercado del bono (en U.M.) C: Valor de redención del bono (en U.M.) F: Valor nominal del bono (en U.M.) r: Tasa cupón F × r : Valor del cupón i: Tasa de interés g: Tasa cupón modificada an i : Valor presente de una anualidad inmediata P: Precio de mercado del bono (en U.M.) C: Valor de redención del bono (en U.M.) F: Valor nominal del bono (en U.M.) r: Tasa cupón F × r : Cupón (en U.M.) i: Tasa de interés g: Tasa cupón modificada an i : Valor presente de una anualidad inmediata

5.7 Fórmulas y nomenclatura

Nombre

Valor de un bono después de t-ésimo cupón (5.9)

Interés (5.10)

Principal (5.11)

Valor en libros de un bono (5.12) Relación entre los valores contables de dos fechas cupón consecutivas t y t +1 (5.13)

Fórmula

Nomenclatura

Bt = F × r × an−t + C × v n−t

Bt : Valor en libros de un bono después del t-ésimo cupón F: Valor nominal del bono (en U.M.) r: Tasa cupón F × r : Cupón (en U.M.). an−t : Valor presente de una anualidad inmediata C: Valor de redención del bono (en U.M.). v n−t : Factor de descuento

I t = C × g + C × (i − g ) × v n−t +1

II: Interés (en U.M.) C: Valor de redención del bono (en U.M.) g: Tasa cupón modificada i: Tasa de interés v n−t +1 : Factor de descuento

Pt = C × ( g − i ) × v n−t +1

Pt : Principal (en U.M.) C: Valor de redención del bono (en U.M.) g: Tasa cupón modificada i: Tasa de interés v n−t +1 : Factor de descuento

t

Bt = B0 = ∑ Pk k =1

Bt × (1+ i ) − F × r = Bt +1

69

Bt : Valor en libros del bono (en U.M.) Pk : Principal (en U.M.) Bt : Valor en libros del bono después del t-ésimo cupón (en U.M.) i: Tasa de interés F: Valor nominal del bono (en U.M.) r: Tasa cupón F × r : Valor del cupón

70

Cap. 5

Bonos

Nombre

Precio flat de un bono (5.14)

Método teórico (5.15)

Cupón devengado (5.16)

Valor de mercado de un bono (5.17)

Valor de mercado de un bono (5.18)

Fórmula

Nomenclatura Btf+k : Precio flat del bono (en U.M.) Btm+k : Precio de mercado del bono (en U.M.) F × rk : Interés devengado (en U.M.)

Btf+k = Btm+k + F × rk

Btf+k : Precio flat de un bono (en U.M.) i: Tasa de interés k: Periodo de tiempo Bt : Valor en libros del bono después del t-ésimo cupón (en U.M.)

k

Btf+k = (1+ i ) × Bt

F rk F r

Btmk 1 i

k

F × rk : Cupón devengado F × r : Valor del cupón i: Tasa de interés k: Periodo

k 1 i 1

Bt F r

i

k 1 i 1

i

Btm+ k = (1+ k × i ) × Bt − k × F × r = Bt + k × i × Bt − k × F × r

Btm+k : Precio de mercado del bono (en U.M.) Bt : Valor en libros del bono después del t-ésimo cupón (en U.M.) i: Tasa de interés k: Periodo F × r : Cupón (en U.M.) Btm+k : Precio de mercado del bono (en U.M.) Bt : Valor en libros del bono después del t-ésimo cupón (en U.M.) i: Tasa de interés k: Periodo F × r : Cupón (en U.M.)

5.7 Fórmulas y nomenclatura

Nombre

Método semiteórico (5.19)

Fórmula

La fórmula del vendedor (5.21)

Cálculo de la tasa de interés (5.22)

F × rk = k × F × r Btm+ k = (1+ i )k × Bt − k × F × r

g i 1

i≈

k n n 1 k 2n

n (F r) C P n P C 2

i

Bt : Valor en libros del bono después del t-ésimo cupón (en U.M.) F: Valor nominal del bono (en U.M.) r: Tasa de interés Btm+ k : Precio de mercado del bono (en U.M.). Btf+ k : Precio flat del bono (en U.M.). i: Tasa de interés k: Periodo i: Tasa de interés g: Tasa cupón modificada k: Factor = (P – C) / C n: Número de periodos n: Tasa de interés F × r : Cupón (en U.M.) c: Valor de redención del bono (en U.M.) P: Precio de mercado del bono (en U.M.)

Total de intereses pagados + capital ganado / perdido Número de periodos × Inversión promedio

Cálculo de la tasa de interés (5.23) Cálculo de la tasa de interés utilizando Newton– Raphson (5.24)

Nomenclatura

Btf+ k = (1+ i )k × Bt

Cálculo de la tasa i (5.20)

i=g−

i0

g 1

i: Tasa de interés g: Tasa cupón modificada k: Factor =(P — C) / C an i : Valor presente de una anualidad inmediata

k an i

 kn

n 1 2 n

71

k

i0 : Tasa de interés g: Tasa cupón modificada k: Factor =(P — C) / C n: Número de periodos

72

Cap. 5

Nombre

Ecuación del valor (5.25)

Bonos

Fórmula

n

P × (1+ i ') = F × r × sn j + C

Nomenclatura P: Precio de compra del bono (en U.M.) i' : Tasa de rendimiento considerando reinversiones n: Número de periodos F: Valor nominal del bono (en U.M.) r: Tasa cupón modificado sn j : Valor futuro de una anualidad inmediata C: Valor de redención del bono (en U.M.)

CAPÍTULO

6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero Contenido 6.1. INTRODUCCIÓN 6.2. CARACTERÍSTICAS DE LA INVERSIÓN EN ACCIONES 6.2.1. Derecho al voto y copropiedad del patrimonio social 6.2.2. Derecho a las utilidades de la sociedad 6.2.3. Derecho a la suscripción de los aumentos de capital 6.2.4. Derecho a beneficiarse de los aumentos gratuitos de capital 6.2.5. Derecho a la información sobre los negocios sociales

6.3. RIESGOS IMPLÍCITOS DE LA INVERSIÓN EN ACCIONES 6.3.1. Riesgo de inversión 6.3.2. Riesgo de pérdida de capital 6.3.3. Riesgo de rendimiento 6.3.4. Riesgo de liquidez o de inmovilización 6.4. ACCIONES PREFERENTES Y COMUNES 6.4.1. Acciones preferentes 6.4.2. Acciones comunes 6.4.3. Problemas propuestos 6.5. PARIDAD Y PRECIO DE PARIDAD 6.5.1. Problemas propuestos 6.6. CÁLCULO DE RENDIMIENTOS 6.6.1. Cuando no se han recibido y por ende no se tienen en cuenta dividendos ni capitalizaciones 6.6.2. Rendimiento esperado cuando se cotiza sin dividendos anteriores pendientes de pago 6.6.3. Rendimiento esperado cuando se cotiza con dividendos anteriores pendientes de pago en efectivo 6.6.4. La acción se cotiza con dividendos que se están devengando: el dividendo se paga en un plazo n días a partir de hoy y en efectivo 6.6.5. La acción se cotiza con dividendos anteriores pendientes de pago, en acciones liberadas 6.6.6. La acción se cotiza con dividendos en acciones liberadas y se pagará dentro de n días 6.6.7. La acción se cotiza con dividendos pendientes de pago, parte en efectivo y parte en acciones liberadas 6.6.8. La acción se cotiza con dividendos que se están devengando: el dividendo anterior se pagará en un plazo de n días, parte en efectivo y parte en acciones liberadas 6.6.9. Se reciben dividendos en acciones de otras empresas o acciones preferidas de renta fija 6.6.10. La distribución de acciones liberadas por capitalizaciones de revalúos o ajustes integrales de capital o reservas 6.6.11. Problemas propuestos 6.7. LA EMISIÓN DE ACCIONES 6.7.1. Caso general: valor teórico del derecho de suscripción y paridades ex derechos de suscripción

6.7.2.

Caso en que la acción se venda ex derecho de suscripción preferente 6.7.3. Caso en que el derecho de disfrute de las nuevas acciones sea limitado 6.7.4. Casos en que se emitan acciones preferidas (preferentes) 6.7.5. Caso de emisión conjunta de acciones preferentes y ordinarias 6.7.6. Problemas propuestos 6.8. MEDICIÓN DEL RIESGO-RETORNO DE LA INVERSIÓN EN ACCIONES 6.8.1. Medidas de rendimientos 6.8.1.1. Rendimiento aritmético 6.8.1.2. Rendimiento geométrico 6.8.2. Medidas del riesgo 6.8.2.1. Varianza y desviación estándar 6.8.2.2. Desviación media absoluta 6.8.2.3. La semivarianza 6.8.2.4. La covarianza y el coeficiente de correlación 6.8.2.5. El coeficiente beta 6.8.2.6. El coeficiente de Sharpe 6.8.2.7. El coeficiente de información 6.8.2.8. El índice de Treynor 6.8.3. La volatilidad de las acciones 6.9. MÉTODOS DE VALORACIÓN DE ACCIONES 6.9.1. Métodos de valoración por descuento de flujo de fondos: el criterio de perpetuidad 6.9.1.1. El modelo de Gordon-Shapiro 6.9.1.2. Aplicación del modelo 6.9.2. Métodos de valoración por flujo de fondos descontado: flujo de fondos variable 6.9.2.1. Flujo de efectivo libre 6.9.2.2. Flujos de efectivo esperados 6.9.2.3. Usos del modelo de Gordon-Shapiro 6.9.2.4. Ejercicio de aplicación 6.9.3. Método de valuación de empresas por comparables 6.9.3.1. Tipos de múltiplos 6.9.4. Problemas propuestos

6.10. COMPRA DE ACCIONES 6.10.1. Compras en margen 6.10.2. Problemas propuestos 6.11. VENTAS EN CORTO 6.11.1. Problemas propuestos 6.12. INSTRUMENTOS DEL MERCADO DE DINERO 6.12.1. Mercado de dinero: fondos mutuos 6.12.2. Certificados de depósito (CD) 6.12.3. Contratos de inversión garantizados (GIC) 6.12.4. Mortgage Backed Securities (MBS) 6.12.5. Problemas propuestos 6.13. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA

6.1 Introducción

Acciones e instrumentos del mercado de dinero1 6.1

Introducción

Una de las razones por la cual los inversionistas se interesan en comprar o vender acciones es por la alta rentabilidad que generan. Un instrumento financiero es un medio monetario que tiene una parte de su valor en otro. Se trata de un activo financiero para la persona que compra o lo mantiene, y es una responsabilidad financiera para la empresa o institución que lo emite. Por ejemplo, una parte de las acciones de Antamina que usted posee. La acción le da una participación de Antamina y el derecho a recibir una parte de los dividendos (ganancias). Para los propietarios de Antamina, una acción es una obligación que tiene que estar incluida en sus pagos de dividendos. Security, garantía o título valor es un instrumento financiero negociable, como un bono o acciones. El mercado financiero es un ámbito en el que se negocian activos financieros, los cuales deben ser previamente emitidos. Además, facilita a los prestamistas y prestatarios la venta de nueva emisión de activos financieros. Ejemplos de mercados financieros son las bolsas de valores como el New York Stock Exchange (reventa de acciones previamente emitidas), o el mercado de bonos del gobierno de Estados Unidos (reventa de bonos emitidos con anterioridad), y los bonos del Tesoro de dicho país (ventas de nueva emisión de bonos). Una institución financiera es una entidad cuya fuente principal de ganancias emana de transacciones con activos financieros. Ejemplos de ella incluyen corredores de descuento (por ejemplo, Charles Schwab y Asociados), los bancos, las empresas de seguros e instituciones financieras complejas, como Merrill Lynch. Las acciones son instrumentos financieros que hacen que el titular sea propietario de una parte de la empresa que los emitió, es decir, lo convierte en propietario de un valor residual. El titular tiene derecho a un crédito sobre los bienes (e implícitamente a los beneficios futuros) de la empresa. Las acciones no implican el pago de una deuda o de intereses. Algunas acciones pagan dividendos, que son las participaciones en las utilidades de la empresa, pero las personas normalmente no mantienen la acción por los dividendos, sino por la esperanza de revenderlas posteriormente a un precio más alto. Entre los diversos tipos de acciones se pueden mencionar las acciones preferentes y las acciones comunes u ordinarias. Más adelante se analizarán algunos

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Son instrumentos de deuda que tienen vencimientos menores a un año. Estos instrumentos incluyen: letras del Tesoro a corto plazo, certificados de depósito, papeles comerciales, pactos de recompra (reportes o pases), y los depósitos de eurodólares.

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aspectos como el riesgo de la inversión en títulos de renta variable (acciones), los precios de paridad (que surgen cuando la acción paga dividendos en efectivo y dividendos en acciones y capitalizaciones), cómo se calcula el rendimiento de estos títulos y cómo se valúan. También se estudiarán las operaciones con acciones, en especial su compra con préstamos de dinero (compras sobre el margen) y venta de acciones que no se poseen ni se es propietario (ventas al descubierto de acciones). Este capítulo concluye con la introducción de algunos de los instrumentos que se utilizan en los mercados financieros. Por la forma de materialización de las acciones, éstas pueden representarse en: 1. Acciones cartulares o títulos representados en láminas: en general, pueden representar una o más acciones y ser al portador o nominativos, endosables o no. Sin embargo, en muchos países los valores negociables privados emitidos en el país y los certificados provisionales que los representen deben ser nominativos no endosables. 2. Certificados globales: las sociedades que hacen oferta pública pueden emitir certificados globales que representen una determinada cantidad de acciones, para su inscripción en regímenes de depósito colectivo, en las cajas de valores. 3. Acciones escriturales: el estatuto social de algunas organizaciones puede autorizar que todas las acciones o algunas de sus clases no se representen en títulos. En este caso se inscriben en cuentas a nombre de sus titulares en un registro de acciones escriturales. Este registro puede ser llevado por la sociedad, por bancos comerciales o de inversión o cajas de valores autorizadas. La calidad de accionista se presume por las constancias de las cuentas abiertas en el registro de acciones escriturales. Asimismo, la entidad autorizada para llevar el registro debe otorgar al titular un comprobante de apertura de su cuenta y de todo movimiento que las afecte. Todo titular tiene derecho a que se le entregue —a su costa— constancia del saldo de cuenta. 4. Certificados provisionales: estos certificados pueden emitirse mientras las acciones no estén integradas totalmente. Cumplida la integración, el titular puede exigir la entrega del título definitivo o la anotación en cuentas de acciones escriturales. Acciones cartulares o acciones en láminas: las acciones son títulos valores que pueden representarse en títulos o láminas que pueden contener una o más acciones, que poseen las siguientes características: a)

El título es el soporte de papel de las declaraciones de voluntad que crean a los títulos valores y que deben respetar normas de seguridad para evitar su falsificación, tales como tener filigranas de seguridad, firmas registradas y autorizadas por la entidad de control.

b) La literalidad, que significa que todo pacto establecido entre las partes que no consten en el título valor se considera como inexistente, es decir, no se puede efectuar una interpretación extensiva ni restrictiva, ya que sólo surte efecto o tiene validez lo que aparece expresamente en el título valor.

6.1 Introducción

c)

La autonomía: que implica que la relación originada por el título valor tiene autonomía o es independiente o autónoma de la relación causal, que es el negocio jurídico garantizado con el título valor.

d) La legitimación: significa que el tenedor del título valor debe ser el propietario. e)

La buena fe: quien adquiere el título valor debe actuar de buena fe, por lo cual ésta se presume, mientras que la mala fe debe probarse.

Cuando se entregan, estas acciones deben inscribirse en el Registro de accionistas, donde además tiene que constar si existe alguna limitación al ejercicio de los derechos, como puede ser una prenda o restricción a su libre disposición por algún juicio (se encuentran en proceso sucesorio, o garantía de alguna obligación, etcétera). Con posterioridad, cualquier cambio de la titularidad dará origen a una nueva anotación en el registro. En el siguiente gráfico se presenta una muestra de acción cartular. Figura 6.1 Acción cartular

Cantidad de acciones

Último cupón

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Los cupones que están adheridos a la lámina dan derecho al cobro de dividendos en efectivo o en acciones, a la suscripción preferente de nuevas emisiones de la sociedad, a recibir capitalizaciones de primas de emisión, revalúos contables o distribución de reservas efectuadas en exceso, y se desprenden de ella en cualquiera de los casos mencionados. En las empresas que cotizan en bolsa, estas láminas normalmente se resguardan en los depósitos colectivos de las cajas de valores para agilizar los trámites de negociación. En cambio, las acciones escriturales se definen como aquellas que se representan por títulos y que la sociedad emisora o entidades autorizadas inscriben en cuentas que llevan el nombre de los titulares, otorgándose al accionista el comprobante de la apertura de su cuenta y de todo movimiento que la afecte. Vale decir que la legitimación de la posesión del título-acción se sustituye por la legitimación a través de la anotación contable en la cuenta de las acciones escriturales, o del título valor se pasa al valor sin título o lámina, o sea, la simple inscripción en un registro equivalente a la cuenta corriente. Con las acciones escriturales se busca que las acciones no se tengan que representar en una lámina, sino que se inscriben en una cuenta corriente, que facilita las transferencias entre titulares, no se tienen que movilizar los títulos y se evitan los costos inherentes a la emisión de los certificados. Las principales ventajas de las acciones escriturales es que otorgan mayor seguridad jurídica, pues la inscripción en la cuenta respectiva acredita la condición de socio, presunción de legitimidad que ampara al accionista en los casos de pérdida, destrucción o desapoderamiento del certificado de depósito de los títulos; facilita la concurrencia a las asambleas con la sola constancia de la inscripción en el registro que permite la inscripción en el libro de asistencia a la asamblea; suprime los gastos de emisión de láminas de los títulos-acciones y del engorroso procedimiento de su firma manuscrita por uno o más directores. En estas acciones no se tienen los cupones, pero el certificado otorgado por la caja de valores o donde se efectúe su registro permite el cobro de dividendos en efectivo o en acciones, suscribir nuevas acciones en forma preferente o percibir las capitalizaciones. Gracias a los avances de la tecnología se puede recurrir como sustituto del soporte papel al denominado soporte informático. Estas ventajas no podían ser desaprovechadas por el comercio, sobre todo cuando se negocian grandes cantidades de certificados accionarios, lo cual siempre ha constituido un serio problema. Administrar grandes cantidades de acciones representadas en títulos físicos sería complicado, e involucraría ineficiencias como los gravosos costos de custodia y logística para transferir dichos certificados a sus nuevos titulares. El fenómeno de la desmaterialización constituye un alivio para este problema.

6.2 Características de la inversión en acciones

6.2

Características de la inversión en acciones

La inversión en valores accionarios se caracteriza porque el inversor adquiere la cualidad de socio en una sociedad por acciones. En consecuencia, se trata de una inversión a título de capital cuya duración no está predeterminada, que se clasifica en la categoría de activos financieros de inversión a vencimiento indeterminado. La duración de la inversión es estabilizada en forma autónoma de cualquier operador sobre la base de la propia conveniencia, es decir, en función de la rentabilidad que obtiene y su comparación con las inversiones alternativas que dispone como inversor. En cada caso la desinversión implica la transferencia a terceros a través de una negociación en el mercado de valores si el título se encuentra inscrito, o de una negociación directa en el caso de acciones privadas (no inscritas). Si adquiere la cualidad de socio, el inversor se convierte en titular de una serie de derechos sobre la gestión y el patrimonio de la empresa, que están previstos en las legislaciones de sociedades por acciones y en el estatuto de la sociedad emisora de los títulos. Entre estos derechos, los más relevantes desde el punto de vista del inversor son: a)

Puede decidir sobre la gestión de la sociedad emisora, que se ejercita en las asambleas a través del derecho de voto.

b) Es acreedor a una cuota parte de las utilidades que la asamblea decida distribuir entre los accionistas (dividendos). c)

Derecho exclusivo a la suscripción preferente de los eventuales aumentos del capital social pagando el precio de emisión y de la compra de emisiones de obligaciones negociables convertibles en acciones, salvo que una asamblea extraordinaria disponga lo contrario.

d) El derecho exclusivo de beneficiarse de los eventuales aumentos de capital social, que es el caso de la distribución de dividendos en acciones liberadas (utilidades retenidas y reinvertidas). e)

El derecho de receso, si la sociedad decide no seguir cotizando en el mercado de valores, con el reintegro del valor de su inversión según el último balance de la sociedad.

f)

El derecho a la información sobre el desenvolvimiento de la sociedad, que es un corolario indispensable del derecho a decidir sobre la evolución de la gestión administrativa, económica, financiera y patrimonial de la sociedad.

A continuación se analizan algunas particularidades de estos derechos.

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6.2.1 Derecho al voto y copropiedad del patrimonio social Desde el punto de vista del inversor medio, el derecho de voto en las asambleas tiene relevancia relativa porque en el mercado operan también unidades económicas a las cuales les puede interesar comprar las acciones emitidas por una sociedad con la idea de influir en las decisiones, y hay quienes le atribuyen un valor particular a este derecho (es el caso de los inversores institucionales y grandes inversores). En efecto, en la mayoría de los países el inversor medio no tiene mayor participación en las decisiones de asambleas porque su poder está fragmentado. De allí que se le otorgue especial importancia a la existencia de un mecanismo eficaz de tutela del derecho de las minorías, las cuales suelen estar sujetas a las decisiones adoptadas por quienes tienen el paquete de control de la empresa. En cambio, poca o ninguna relevancia tiene la copropiedad del patrimonio social, aunque se puede representar como un aspecto psicológico de algunas personas que puede influir sobre la formación del precio de mercado. En realidad es más cierto el principio que sostiene que una inversión vale por aquello que rinde, o dicho en otros términos, por el flujo monetario de ingresos que está en posibilidad de generar. No es posible creer que el valor de una acción esté ligado en forma directa a la relevancia del patrimonio de la sociedad que la ha emitido; más bien depende de cómo se administre ese patrimonio y de la política de distribución de los resultados de la gestión perseguida por los sujetos económicos titulares del paquete de control. La importancia del patrimonio social del cual se es copropietario deviene relevante sólo en el caso de que la sociedad sea liquidada, porque los accionistas tienen derecho a la repartición proporcional del eventual residuo activo (valor residual de propiedad). Si se prescinde del razonamiento de la lógica económica pura, hay que tener presente el aspecto subjetivo de la valuación de la inversión. Si la mayoría de los participantes en el mercado (o un gran número de ellos) entiende que es relevante el aspecto patrimonial o el del derecho al voto éstos se convierten en hechos muy importantes y no tenerlos en cuenta puede resultar un error, al menos a corto plazo. El mercado no siempre es fríamente lógico y si no se considera su particular lógica de comportamiento, en un determinado momento puede implicar grandes riesgos o incluso perder una interesante posibilidad de ganancia.

6.2.2 Derecho a las utilidades de la sociedad El accionista tiene derecho a recibir una cuota parte de las utilidades líquidas y realizadas que periódicamente obtiene una sociedad (utilidades del ejercicio económico-financiero), en proporción al número de acciones que tenga y según la modalidad de distribución establecida por la asamblea.

6.2 Características de la inversión en acciones

La importancia de las utilidades netas que figuran en los estados financieros, como también la participación en las utilidades atribuidas a los accionistas (dividendos), dependen de la particular distribución que decida realizar la sociedad, o mejor aún, del sujeto económico que detenta el paquete de control de la empresa. Obviamente, excepto en casos en los cuales es siempre posible una acción legal para tutelar el derecho que le corresponde, siempre que se pueda probar el daño, el cual no siempre es fácil, el accionista de la minoría (que es el común de los inversores) se encuentra en una posición totalmente pasiva. Cobrará el importe que la asamblea haya decidido atribuirle en función de las utilidades que los administradores de la sociedad hayan decidido evidenciar en los estados financieros. La incorporación de previsiones excesivas por muy diversos motivos o de amortizaciones puede hacer variar sensiblemente la utilidad que presenta una empresa, e incluso la valuación de los distintos bienes y deudas que conforman sus activos y pasivos. No es posible eliminar la dicotomía entre las utilidades de los estados financieros y las utilidades de la empresa, debido a que existe una periodicidad de cálculo que permite el traspaso de resultados entre un ejercicio y otro. Sobre la base de las Normas Internacionales de Información Financiera (NIIF) o de los Principios Contables Generalmente Aceptados (US GAAP), quienes mantienen el control de la sociedad pueden asignar las utilidades del ejercicio con un amplio margen de elasticidad en el manejo de las normas aplicadas. Los accionistas e inversores que no pertenecen a la mayoría nada pueden hacer en materia de balances y deben limitarse a aceptar el resultado de la gestión, en los estados financieros que elaboran los administradores, al menos de hecho, salvo que se pueda probar la violación de normas legales específicas. De allí la importancia que revisten las entidades de control de las empresas que cotizan en los mercados de valores, por ejemplo, las comisiones nacionales de valores y a las bolsas de comercio o mercados de valores, que muchas veces velan porque los pequeños accionistas no sean engañados.

6.2.3 Derecho a la suscripción de los aumentos de capital Los accionistas tienen el derecho preferente de suscribir las acciones de nuevas emisiones en proporción al número de acciones que ellos posean, el cual también existe en el caso de emisión de obligaciones convertibles en acciones. Existen casos en que este derecho puede ser cercenado, como ser que el interés de la sociedad lo exija (cuando una asamblea extraordinaria disponga, por ejemplo, una mayor apertura del capital de la sociedad y convoque a nuevos accionistas a participar en su capital); o una parte de las acciones o la totalidad de la nueva emisión esté reservada a la suscripción por parte de los empleados de la sociedad. Es común que la emisión de nuevas acciones tenga un sobreprecio, es decir, un precio de emisión mayor que el valor nominal del título, el cual considera el valor del patrimonio neto y la evolución de las cotizaciones en el último semestre o año.

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Análogo derecho se les otorga a los accionistas en el caso de emisiones de obligaciones negociables convertibles en acciones de la sociedad emisora (el derecho no existe cuando las obligaciones son convertibles en acciones de otras sociedades). En este caso, el derecho está representado por un cupón que se desprende del título en el caso de las acciones cartulares o por un bono de opción cuando sean escriturales, en cuyo caso se solicita un certificado a la caja de valores por las acciones que se tienen, el cual da derecho para ejercer la suscripción preferente. Estos cupones son títulos transmisibles libremente, siempre que no existan cláusulas que impidan la circulación de las acciones. Así, circulan como títulos al portador y son negociados en las bolsas en operaciones de contado. La validez del derecho de opción a suscribir las nuevas acciones está establecida en las legislaciones de los distintos países, muchos de los cuales establecen un periodo no inferior a 30 días, aun cuando por asamblea de accionistas puede fijarse un plazo inferior. Los derechos pueden ser negociados en todo el periodo de validez, pero los derechos de suscripción o cupones son entregados tres días antes de iniciarse el plazo y se pueden negociar hasta tres días antes de su vencimiento, por lo cual no hay que esperar al último día. Pasado el término de vigencia, los accionistas pierden la posibilidad de suscribir. Si se ha pactado, la sociedad puede proceder a la venta en subasta pública (en bolsa) de los derechos no ejercidos o tener en cuenta aquellos pedidos de quienes desean utilizar el derecho de acrecentar su participación, comprando una mayor cantidad de acciones que las que poseen y hayan manifestado su intención con anticipación al cierre del periodo de suscripción preferente. En los aumentos de capital con pago del precio de emisión influye la conveniencia económica de la inversión, por lo que se requiere de un nuevo aporte de medios financieros, que no siempre el inversor está en condiciones o no quiere efectuar y a veces el derecho no tiene un precio válido en el mercado. Si se prescinde de la situación del accionista, la conveniencia de suscribir el aumento de capital o de negociar el derecho está ligada a la situación económicofinanciera de la sociedad emisora y a la situación del mercado en el momento en el cual la operación se debe realizar. Particular relevancia asumen la modalidad técnica para realizar la operación y las condiciones de emisión. En verdad, a paridad de condiciones, una emisión con prima o sobreprecio será desfavorecida respecto de una emisión a su valor nominal; también si el desarrollo de los precios en la bolsa es difícil, un aumento proporcional sin el pago inmediato del importe total sino en cuotas, tiene sin duda un efecto atenuado sobre la conveniencia del inversor.

6.2.4 Derecho a beneficiarse de los aumentos gratuitos de capital Los accionistas tienen derecho a beneficiarse en forma exclusiva y sin excepciones de los aumentos de capital que la sociedad pueda efectuar en forma gratuita (utilidades o reservas capitalizadas), imputando a capital la parte disponible de las reser-

6.2 Características de la inversión en acciones

vas o de las utilidades de la sociedad, o inclusive de los fondos o reservas especiales que se hayan creado al efecto. La asignación está en proporción directa con las acciones poseídas y el derecho está sujeto a una prescripción de tipo ordinaria si han pasado varios años sin que se las haya retirado de la sociedad. Sin embargo, en el caso de un aumento gratuito se podría emitir un bono negociable, representativo del derecho a recibir los títulos de la nueva emisión, derecho para el cual podría desarrollarse un mercado. No obstante, la práctica está siempre más orientada a excluir la posibilidad de negociación en bolsa de tales derechos. El mercado que se podría formar con los bonos negociables de división de acciones tendría que tener en cuenta las diferentes previsiones acerca del curso futuro de las cotizaciones para el periodo que transcurre entre el anuncio de la operación de aumento y la disponibilidad efectiva de parte de los inversores en títulos que sean negociables. Lo que se hace en la mayoría de los mercados es cotizar las acciones antiguas con el derecho incluido, hasta el momento en que se corta o separa el derecho a los dividendos en acciones o cupones y puede ejercerse el derecho, que en muchos países es en los tres días anteriores a la entrega de las nuevas acciones, las cuales muchas veces se acreditan en las cuentas de las cajas de valores si se encuentran allí depositadas.

6.2.5 Derecho a la información sobre los negocios sociales La información es el elemento fundamental de la elección. Si no se dispone de una información adecuada, no se puede efectuar una elección racional y válida entre los distintos títulos accionarios que se cotizan en un mercado de valores o en bolsa. La información con la que cuenta el inversor está esencialmente constituida por los balances periódicos de la sociedad, es decir, por sus cuadros analíticos, documentos que tienen un cierto valor informativo sólo para quienes disponen de los conocimientos técnicos y contables necesarios, que casi nunca son suficientes para realizar un adecuado análisis de la situación y de las perspectivas futuras. Cuando se analizan los informes financieros trimestrales, pero no se tiene una relación acerca del desenvolvimiento de la empresa, la información es incompleta. En algunas empresas la memoria es lo suficientemente analítica como para tener en cuenta cuál ha sido el desempeño de los administradores, de los volúmenes negociados en unidades físicas y en dinero, de las perspectivas de los negocios, de los inconvenientes que han tenido en el curso del año, etcétera. Otra información útil para tomar decisiones surge de las publicaciones obligatorias de las empresas, en especial sobre operaciones como la firma de contratos de regalías, distribución de productos en forma exclusiva, presentación en concurso preventivo, negociaciones con otras empresas para la compra de paquetes accionarios y otras de similar importancia.

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6.3

Riesgos implícitos de la inversión en acciones

Desde un punto de vista lógico-conceptual se debe dividir el proceso de elección de las inversiones en dos fases. El análisis de los rendimientos posibles es independiente de la apreciación de la conveniencia que cualquier unidad efectúa sobre la base de los resultados del análisis, aunque se trate de dos momentos lógicos estrictamente interrelacionados entre sí. Sin duda, la fase de evaluación del rendimiento esperado precede a la de apreciación de la conveniencia individual de efectuar la inversión, influida por los mismos factores que determinan la forma de la curva de utilidad individual, esto es, del sistema de objetivos que persigue la unidad económica. La relevancia del elemento subjetivo se hace evidente cuando se considera que la previsión de los resultados posibles, por norma, se basa en la valoración o la estimación de los acontecimientos futuros y no sólo sobre elementos ciertos, sin posibilidad de equivocación y bien determinados. De todos modos, incluso en aquellos casos en los cuales los datos de base no deban ser estimados por cuanto son conocidos (ejemplo típico de las acciones preferentes con rendimiento establecido de antemano), existen siempre las incógnitas siguientes: 1. ¿Cuál será el rendimiento real? 2. ¿Cuál será la tasa de inflación? 3. ¿Cuál será la variación de las tasas de interés entre corto y largo plazos? Todas estas incógnitas pueden afectar el resultado de la elección efectuada frente a otras alternativas del mercado.

6.3.1 Riesgo de inversión Por lo general, siempre es posible afirmar que las unidades económicas elaboran distribuciones subjetivas de probabilidad acerca de los diversos resultados que a su parecer es posible obtener de las diversas inversiones consideradas entre las disponibles en el mercado y eligen la o las inversiones más convenientes con base en los fines perseguidos. La subjetividad en la elección de los inversores se manifiesta tanto al nivel de la inversión que se considera, cuanto al nivel de estimación de los resultados posibles y de las decisiones finales realizadas. No deben considerarse inversiones con características no compatibles con el sistema de recursos y objetivos propios de cada uno de los inversores (perfil de riesgo). Al mismo tiempo, el análisis de los resultados posibles, por más riguroso o científico que sea, conservará siempre un cierto margen de incertidumbre, que se agrega al riesgo propio de la inversión. En todo caso, luego, los resultados del análi-

6.3 Riesgos implícitos de la inversión en acciones

sis serán considerados subjetivamente, para tomar la elección final, sobre la base de diversos elementos que componen y condicionan el sistema operativo del inversor y que se compendian en una determinada relación riesgo/rendimiento considerada aceptable y de un riesgo máximo tolerable. A veces es posible estimar científicamente cuál ha sido el rendimiento medio (aritmético o geométrico) de una acción en el pasado y de cuál ha sido su riesgo medido a través de distintos coeficientes (varianza, coeficiente beta, semivarianza, momento parcial inferior, etc.), datos que son del pasado pero que se pueden utilizar para extrapolarlos hacia el futuro. En el caso de las acciones uno se encuentra con inversiones de resultado aleatorio, cuyo resultado económico es incierto pues varía según se verifiquen en mayor o menor medida determinados eventos particulares, que pueden analizarse asociando cada resultado posible con una probabilidad calculada o estimada. En estas circunstancias, el valuador se encuentra frente a una distribución de resultados probables susceptible de elaboración matemática con la finalidad de obtener las consideraciones y permitirle orientarse para elegir la mejor inversión. Es muy importante determinar el resultado que medianamente se podría obtener y su grado de significatividad, esto es, el grado de dispersión del resultado probable del entorno al resultado medio. Esta variabilidad constituye el riesgo de la inversión. Sin embargo, en la práctica operativa los diversos componentes del riesgo se consideran y valoran en forma separada, aunque luego confluyen en el proceso final de elección.

6.3.2 Riesgo de pérdida de capital El riesgo de pérdida de capital se refiere a la eventualidad de que la suma que se obtenga al terminar la inversión (vencimiento o desinversión, según sea el caso) sea menor a la que se estimó cuando se evaluó la posibilidad de adquirir la titularidad de la inversión. Esta definición permite incluir tanto al riesgo de insolvencia, como al riesgo implícito en todas las operaciones de inversión que son destinadas a concluir con la venta del instrumento de inversión (típico de las inversiones en valores accionarios). El primero (insolvencia) es típico de las inversiones de carácter crediticio, como las obligaciones negociables, acciones preferentes que pese a ofrecer dividendos acumulativos durante una serie de años no son pagados porque la empresa no generó utilidades, o en el caso de los bonos. A menudo, cuando se analiza la valuación del riesgo de pérdida de capital, se consideran sólo los eventos que pueden incidir negativamente. Por su parte, la eventualidad de obtener una ganancia de capital se considera al nivel de apreciación del riesgo ligado al rendimiento. Esto sucede sobre todo en aquellos casos en los cuales las ganancias de capital representan un importante elemento componente del rendimiento. A veces (caso típico de los bienes de refugio y acciones que no pagan dividendos [acción valor nominal cero]) la plusvalía constituye el único componente del rendimiento. En tal caso, se tiende a considerar en forma unitaria

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la eventualidad de una pérdida o de una ganancia, porque una valuación separada no adquiriría cierto grado de significatividad.

6.3.3 Riesgo de rendimiento El otro aspecto que a menudo se considera de manera independiente es el riesgo de rendimiento, el cual se concreta en la variabilidad del rendimiento en relación con un conjunto de factores, por lo cual puede resultar tanto mayor como menor de lo previsto. Con frecuencia, el riesgo de rendimiento se trata exclusivamente en relación con los dividendos periódicos que es posible obtener de la inversión, por lo cual sería más correcto definirlo como un riesgo de rédito. Esta cuestión reviste gran importancia, pues afecta a todos aquellos que están interesados en adquirir un instrumento de inversión con la finalidad de obtener la disponibilidad periódica de determinadas sumas de dinero. Hay empresas que pagan cada tanto una cierta suma de dinero como dividendos. En tales casos es relevante tanto el monto como el momento del pago. Un desfase respecto del monto y del momento previsto genera consecuencias para el equilibrio financiero de la unidad económica que ha efectuado la inversión, y que se configura como un riesgo. Si una persona ha comprado acciones con la finalidad de tener una renta periódica que supla su haber jubilatorio, y no se produce el cobro de los dividendos en el momento esperado, pondría en riesgo su propia subsistencia.

6.3.4 Riesgo de liquidez o de inmovilización Otra fuente de riesgo es el de liquidez o también de inmovilización. El riesgo que el rendimiento económico pueda resultar distinto de aquel previsto a causa de que la unidad económica inversora necesita la suma antes del vencimiento esperado. Éste es un riesgo que está ligado a situaciones subjetivas propias de quien efectúa la inversión, pero también las circunstancias del mercado en el momento en el cual se debe efectuar la desinversión. La unidad económica inversora debe tener en cuenta esta cuestión en el momento de la decisión final, cuando confronta las características del riesgo y del rendimiento entre las diversas posibilidades de inversión con su propio sistema de recursos, vínculos y objetivos. Es necesario tener en cuenta que durante el periodo previsto de vida de la inversión la persona pueda tener necesidades financieras que la obliguen a desinvertir antes del vencimiento previsto o del momento estimado de venta de la inversión en acciones. Por tanto, debe evaluarse la posibilidad de que el activo financiero en estudio tenga amplia presencia bursátil (medida por la frecuencia con que se realizan operaciones con él), que permita una rápida desinversión, y en cuáles condiciones se podrá realizar la transacción para obtener los fondos que se requieren.

6.4 Acciones preferentes y comunes

En otras palabras, no siempre se considera el riesgo de liquidez y su valoración implica una previsión de la futura situación del mercado del título en estudio. Si no existe un mercado receptivo, o si es incierta la previsión sobre el futuro curso de las cotizaciones en el mercado, el inversor puede requerir una compensación adicional por el riesgo de liquidez (dinero que no consigue a tiempo) o descartar la inversión pues su rendimiento no es suficiente para compensar el riesgo global que ella implica. En caso de que las previsiones sobre las presencia bursátil de la acción que se pretende valuar sean negativas, o cuando se prevea una caída de las cotizaciones, la inversión no será efectuada, por cuanto no es oportuno el momento de hacerlas y es más conveniente esperar que la prevista disminución del precio se haya materializado, con la finalidad de evitar este riesgo de liquidez.

6.4

Acciones preferentes y comunes

En los mercados financieros se han desarrollado tres tipos de valores: bonos, acciones preferentes y comunes. En esta sección se explican las acciones preferentes y acciones comunes. Los bonos se analizaron en el capítulo 5.

6.4.1 Acciones preferentes Las acciones preferentes son un tipo de título valor que promete una tasa fija de retorno (en esto es similar a los bonos), pero, a diferencia de éstos, la tasa es garantizada a su propietario. Por lo general, las acciones preferentes no tienen fecha de vencimiento, aunque en ocasiones se emiten con redención. El pago periódico se llama dividendo (o dividendo preferente), porque se paga a un propietario. Típicamente, las acciones preferentes se cotizan mejor que una acción común. Además, pueden o no tener derecho de voto, y pueden tener derechos de voto superiores a las acciones ordinarias. Asimismo, pueden recibir dividendo antes de los que se paga a las acciones ordinarias y pueden gozar de convertibilidad en acciones ordinarias. En caso de quiebra, sus tenedores tienen prioridad sobre los activos antes que los accionistas comunes y después que los tenedores de deuda. Existen cinco tipos de acciones preferentes: Acciones preferentes acumulativas. Son aquellas cuyos dividendos se acumulan si el emisor no hace el pago de manera oportuna. La mayoría de las acciones son de este tipo. Por lo general, esta preferencia se conserva sólo por un tiempo determinado, por ejemplo, 3 o 5 años. Acciones preferentes no acumulativas. Es un tipo de acción en la que los dividendos no pagados no se acumulan.

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90

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Participación de acciones preferentes. Estas acciones pagan dos tipos de dividendos, uno regular y otro adicional. Acciones preferentes convertibles. Tienen un privilegio similar a los bonos convertibles, pues los propietarios tienen la opción de convertirlas en acciones comunes bajo ciertas condiciones. Acciones preferentes sin participación en capitalizaciones de saldos de revalúo o en capitalizaciones por ajustes monetarios o de reservas. Si las acciones preferentes no tienen fecha de redención, siempre pagarán dividendos. Su flujo de efectivo son los de una perpetuidad. Así, el precio de una acción preferente es el valor presente de los dividendos futuros de una perpetuidad que se expresa mediante la fórmula. P=

Fr i

(6.1)

donde P Precio de la acción Fr Dividendo preferente i Tasa de interés A continuación se presentan algunos ejemplos.

Ejemplo 6.1 Una acción preferente paga un dividendo preferente de 1.000 U.M. cada 6 meses. Calcule el precio de la acción bajo el supuesto de una tasa de interés de 10% convertible semestralmente.

Solución Se deben realizar los siguientes pasos: a)

Se determina la expresión que se utilizará, que en este caso es la ecuación (6.1).

b) Se reemplazan los valores del enunciado en la ecuación del inciso a). P=

1.000,00 0,05

entonces, P = 20.000 U.M El precio de la acción es de 20.000 U.M.

6.4 Acciones preferentes y comunes

Ejemplo 6.2 El dividendo que paga una acción preferente es de 200 U.M. por vez, pagadero cada 6 meses. Encuentre el precio de esta acción con una tasa de retorno de 5% convertible semestralmente.

Solución Los pasos que se deben realizar son los siguientes: a)

Se elige la expresión que se utilizará, que es la ecuación (6.1).

b) Se reemplazan los valores del enunciado: P=

200,00 0,025

entonces, P = 8.000 El precio de la acción es de 8.000 U.M.

6.4.2 Acciones comunes Las acciones comunes son otro tipo de títulos valores, que no reciben dividendos fijos como las preferentes, sino que se pagan sólo después de los intereses pagados en todos los bonos, otras deudas y dividendos de acciones preferentes. La tasa de dividendos es flexible, establecida por el órgano de dirección de forma discrecional. El valor de la acción común se basa en el modelo de descuento de dividendos. Este modelo valúa la acción pagando el valor descontando del flujo futuro de dividendos. Por ello, el valor de la acción es el valor presente de los dividendos futuros. Si se considera una situación en la que un dividendo D se paga al final del periodo actual, se asume que el siguiente pago de dividendo sigue una distribución geométrica con un ratio común (1+ g ) indefinidamente y la acción es comprada a la tasa de retorno de i con −1 < g < i . Entonces, el precio teórico de la acción es:

P D lím t

1

1 g 1 i i g

t

91

92

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

es decir, P=

D i−g

(6.2)

donde P Precio teórico de la acción D Dividendo i Tasa de rendimiento g Tasa de crecimiento de los dividendos

Ejemplo 6.3 El tenedor de una acción común gana 1 U.M. y se asume que el dividendo se incrementará 5% cada año. Encuentre el precio teórico que permite a un inversor ganar una tasa efectiva anual de 10%.

Solución a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que en este caso es la ecuación (6.2).

b) Se reemplazan los valores en la ecuación anterior. P=

1,00 0,10 − 0,05

Luego, P = 20 El precio teórico de la acción es de 20 U.M.

Importante No es realista proyectar incrementos constantes del porcentaje de dividendos futuros, porque a medida que una corporación crece y alcanza la madurez, la tasa de crecimiento generalmente será más lenta.

Ejemplo 6.4 Una acción común paga un dividendo anual al final de cada año. Las ganancias por acción del periodo más reciente fueron de 8 U.M. y se asume una tasa de crecimiento de 10% por año a perpetuidad. El dividendo será de 0% de ganancia durante los siguientes 10 años y de 50% durante el periodo restante. ¿Cuál es el precio teórico de la acción con una tasa de retorno de 12%?

6.4 Acciones preferentes y comunes

Solución a)

La ecuación con la cual se trabajará es:

P

1 g 1 i

D t" 1

t

(6.3)

donde P Precio teórico de la acción D Dividendo i Tasa de retorno g Tasa de crecimiento de los dividendos t Tiempo b) Se reemplazan los valores del enunciado: 4 (1,1)t (1,12)

P

t

n 11

P

1,1 1,12

4 n 11

P 4

1,1 1,12

t

11

1

1 1,1 1,12

P 183,73 El precio teórico de la acción es de 183,73 U.M.

Ejemplo 6.5 Una acción común tiene una ganancia de 4 U.M. y paga 2 U.M. de dividendo al final del periodo actual. La ganancia de la corporación aumenta a una tasa de 5% los primeros 5 años, 2,5% los segundos 5 años y 0% durante el resto. Si se considera que la corporación planea continuar pagando 50% de sus ganancias como dividendos, encuentre el precio teórico para que un inversionista tenga una ganancia de 10% de tasa efectiva anual.

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Solución a)

Se identifica la ecuación que se utilizará, que es la (6.2).

b) Se reemplazan los valores. 5

P 2

1,05 1 1,10 0,10 0,05

5

2

1,055

1,10 5

1,025 1 1,10 0,10 0,025

5

5

2 1,05 1,025

1,10 10

1 10

P 14,6991 El precio de la acción es de 14,6991 U.M.

6.4.3 Problemas propuestos 1. La empresa ABC paga dividendos preferentes por acción de 100 U.M. cada tres meses. Si la tasa de interés es 4% convertible trimestralmente, calcule el precio de la acción. Respuesta: 10.000 U.M. 2. La empresa Los Delfines paga dividendos preferentes de 500 U.M. cada tres meses. Calcule el precio de la acción si la tasa de rendimiento es de 8% convertible trimestralmente. Respuesta: 25.000 U.M. 3. Una acción preferente paga un cupón de 750 U.M. cada 4 meses. Calcule el precio de la acción bajo el supuesto de una tasa de retorno de 12% convertible cuatrimestralmente. Respuesta: 18.750 U.M. 4. Una acción preferente paga un cupón de 62 U.M. cada tres meses a perpetuidad. Calcule el precio de la acción, si la tasa de retorno es de 12% convertible trimestralmente. Respuesta: 20.700 U.M. 5. El cupón de una acción preferente es de 180 U.M. pagadero cada 6 meses. Encuentre el precio de esta acción empleando una tasa de retorno del 8% convertible semestralmente. Respuesta: 4.500 U.M.

6.4 Acciones preferentes y comunes

6. Una acción paga 5 U.M. de dividendos cada año, los cuales aumentan 7% anualmente. Calcule el precio teórico de esta acción, que permite a un inversor ganar una tasa efectiva anual de 8%. Respuesta: 500 U.M. 7. Determine el rendimiento de una acción de la empresa XYZ que se compra el 1º de enero en 2 U.M. y se vende el 31 de marzo en 4 U.M. Respuesta: 100%. 8. Calcule la rentabilidad que obtienen las acciones de XYZ si el porcentaje de derechos de compra y venta ascienden en cada caso a 0,02%. Respuesta: 92,16%. 9. Se realiza la compra de las acciones de la empresa XYZ y se supone un precio de compra de 200 U.M. Se incurren en gastos de compra del 5% y gastos de venta de 5%. Determine cuál es el precio de indiferencia para la venta, o sea el precio al cual se cubren los gastos de compra y de venta. Respuesta: 221,05 U.M. 10. Calcule cuál debe ser el precio de compra de indiferencia de las acciones de la empresa XYZ que se han vendido en 50 U.M. Efectúe los cálculos teniendo en cuenta gustos de compra y de venta de 5%. Respuesta: 45,24 U.M. 11. Una acción común paga un dividendo de 1,39 U.M. y se supone que el dividendo se incrementará 4% cada año debido al crecimiento de la empresa. Encuentre el precio teórico para que un inversor gane una tasa efectiva anual de retorno de 12%. Respuesta: 17,375 U.M. 12. Una acción ordinaria paga un dividendo de 0,40 U.M. y se espera que crezca 6% anual. Calcule el precio teórico que un inversor estaría dispuesto a pagar por dicha acción común si quiere ganar una tasa efectiva anual de retorno de 9%. Respuesta: 13,33 U.M. 13. Una acción común paga dividendos anuales al final de cada año calendario. Las ganancias por acción del periodo más reciente fueron de 6 U.M. y se supone una tasa de crecimiento del 8% por año a perpetuidad. El dividendo será de 0% de ganancia durante los próximos 10 años y de 50% en el periodo restante. ¿Cuál es el precio teórico de la acción con una tasa de retorno de 10%? Respuesta: 134,84 U.M.

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

14. Una acción común tiene actualmente una ganancia por acción de 5,20 U.M. y pagará 3,00 U.M. de dividendo por acción al final del periodo actual. Se supone que las ganancias de la empresa se incrementarán a una tasa de 6% durante los primeros 5 años, 3,00% los siguientes 5 años y 0% el resto. Si se considera que la corporación planea continuar pagando 50% de sus ganancias como dividendos, encuentre el precio actual teórico que un inversionista estaría dispuesto a pagar si quiere obtener una ganancia de 9% efectivo anual. Respuesta: 23,943 U.M.

6.5

Paridad y precio de paridad

Estos conceptos se fundan en el hecho de que la cotización o precio de mercado de la acción se relaciona con los dividendos esperados. En consecuencia, el precio de paridad es el precio equivalente de la acción sin el dividendo. La paridad es la relación que existe entre el precio posterior al pago del dividendo (cotización ex dividendo) y el precio inmediato anterior en bolsa de las acciones con dividendos. Aunque la forma de calcular estos valores se verá en detalle más adelante según cada caso, resulta útil para la comprensión conceptual adelantar un ejemplo numérico.

Ejemplo 6.6 Las acciones de la empresa El Sol se cotizan en bolsa en 3 U.M., precio que incluye el derecho a un dividendo de 20% en acciones: debe establecerse la paridad correspondiente al que teórica y matemáticamente debería descender la cotización para mantener igual nivel que el citado de 3 U.M. después de pagar el dividendo de 20%.

Solución Se tendrán entonces: 100 acciones de 1 U.M. de VN cotizadas en el mercado en 3 U.M. cada una + 20 acciones de 1 U.M. de VN recibidas por dividendo (20% s/VN)

300 U.M. sin cargo

6.5 Paridad y precio de paridad

Por tanto, ahora se poseen: 120 acciones de 1 U.M. de V.N. (nueva tenencia), a un costo de

300,00 U.M.

Luego, el precio de paridad será: Precio de paridad = Precio promedio por acción =

300,00 U.M. = 2,50 U.M. 120 acciones

Éste será el precio de paridad, puesto que 120 acciones a un precio de 2,50 U.M. dan el capital de 300 U.M. equivalente a la situación anterior (100 acciones a 3 U.M. = 300 U.M.). En consecuencia, la paridad será: Nueva cotización 2,50 × 100 = × 100 = 83,33% Cotización anterior 3,00 Es decir, que con la mayor cantidad de acciones en circulación se tendrá que por cada U.M. (1 U.M.) anterior al pago, habrán ahora 0,83 U.M. ex dividendo Por otra parte, cabe señalar que de modo análogo se puede calcular la paridad respecto de la existencia de derechos de suscripción, que inflan el precio de la acción. En tal caso debe calcularse la relación correspondiente entre el último precio o cotización anterior a la operación de suscripción y el precio o cotización posterior (ex derecho o ex cupón) de modo que ambas situaciones sean equivalentes. Este tema se tratará más adelante en este mismo capítulo.

6.5.1 Problemas propuestos 1. Las acciones de una corporación se cotizan a 4,20 U.M. en la bolsa y poseen un derecho a un dividendo de 25% en acciones incluido en la cotización. Un inversor posee 100 acciones cuyo valor nominal es de 1 U.M. Calcule el precio al que se deberían cotizar estas acciones desde el punto de vista teórico una vez distribuidas. Respuesta: 3,36 U.M. 2. En el ejemplo anterior, calcule cuál es la paridad con que se van a cotizar las acciones respecto de la cotización anterior. Respuesta: 80%.

97

98

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

6.6

Cálculo de rendimientos

El rendimiento es la relación entre el dividendo en efectivo y el precio de una acción. R=

De P

(6.4)

donde R Rendimiento de la acción De Dividendo en efectivo de la acción P Cotización de la acción o precio Sin embargo, en la práctica esta fórmula general requiere de un análisis más profundo, que atienda los factores mencionados, ya que los dividendos pueden ser percibidos en efectivo o en acciones liberadas, o en ambos a la vez; o también que en los cálculos se distribuyan o no reservas o revaluaciones contables o ajuste integral del capital, etcétera. A continuación se realizará el análisis de las situaciones más importantes, pasando de los casos más simples a los más complejos.

6.6.1 Cuando no se han recibido y por ende no se tienen en cuenta dividendos ni capitalizaciones Si una acción se tiene en cartera durante un breve tiempo, y en consecuencia no se reciben dividendos ni capitalizaciones de ninguna especie, se está frente a una inversión de corto plazo (de entrada y salida del mercado), por lo que el cálculo de la rentabilidad se hace en su forma más simple relacionando sólo las cotizaciones del inicio y del final. Si se compran acciones a una cotización inicial menor que el precio de venta o cotización final, el rendimiento de la inversión es el incremento porcentual existente entre ambas cotizaciones. También se puede estar frente a un caso de rendimiento negativo o pérdida, si la cotización ha disminuido. R

Pf 1 Pi

100

(6.5)

R

Pf Pi Pi

100

(6.6)

es decir,

6.6 Cálculo de rendimientos

donde R Rendimiento de la acción Pf Precio final Pi Precio inicial

Ejemplo 6.7 Se compraron acciones de Astrea S.A. el 30 de abril a 1,44 U.M. y se vendieron el 11 de agosto del mismo año a 1,76 U.M. ¿Cuál fue el rendimiento por acción?

Solución a)

Se aplica la fórmula (6.5).

b) Se obtiene: R

1,76 1 1,44

100 22,22%

Se obtuvo un rendimiento de 22,22% en un periodo de 102 días, que fue el tiempo que se retuvo la inversión. Este porcentaje de rentabilidad no toma en cuenta los gastos y comisiones por la compra y la venta. En este caso, se puede corregir la fórmula anterior, computando estos elementos y quedará: R

Pf M C B S 1 Pi M C B S

100

(6.7)

donde Pf Precio final Pi Precio inicial M Derechos de mercado C Comisiones de agente B Derechos de bolsa S Impuestos sobre la operación Esto lleva a verificar cuáles son los costos en que se incurre por una compra y una venta de títulos públicos y acciones.

Ejemplo 6.8 Calcule la rentabilidad obtenida por las acciones de Astrea S.A., si el porcentaje de derechos de compra y venta ascienden en cada caso a 1,415%.

99

100

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Solución a)

Se identifica la fórmula que se aplicará, que en este caso es la (6.7).

b) Se reemplazan los valores: R

1,76 (1 0,01415) 1 1,44 (1 0,01415)

R

(1,76 0,98585) 1 (1,44 1,01415)

R

1,735096 1 1,460376

100

100

100

R (1,1881159 1) 100 18,81% Como se observa, la rentabilidad disminuye cuando se incluyen los gastos de compra y de venta. De allí que siempre sea necesario incluir los gastos en que se incurre para calcular la verdadera rentabilidad obtenida. A través de una fórmula muy sencilla se puede calcular, a partir del precio de compra, cuál es el mínimo valor al que se deben vender las acciones para no ganar ni perder nada (breakeven point). Se mantendrán a los efectos del cálculo los gastos anteriores. Esto representa el punto de indiferencia entre comprar y vender acciones, y surge de la siguiente equivalencia: Pc × (1+ g ) = Pv × (1− g )

(6.8)

donde Pc Precio de compra Pv Precio de venta g Porcentaje de gastos en la operación de compra y de venta

Ejemplo 6.9 Se compran acciones de la empresa El Diván S.A. a un precio de 100 U.M. Se incurren en gastos de compra de 1,415% y gastos de venta de 1,415%. Determine cuál es el precio de indiferencia de la venta, es decir, el precio al cual se cubren los gastos de compra y de venta.

6.6 Cálculo de rendimientos

Solución a)

Se identifica la expresión que se aplicará, que en este caso es la ecuación (6.8). Pc × (1+ 0,01415) = Pv × (1− 0,01415)

b) Se supone un precio de compra de 100 U.M. La incógnita es cuál debe ser el precio de venta de la tenencia. Se despeja el precio de venta en la fórmula (6.6): Pc × (1+ 0,01415) (1− 0,01415) 100,00 × 1,01415 Pv = 0,98585 Pv = 102,46402 Pv =

El precio de venta debe ser de 102,46402 U.M. Luego, se debe esperar que la diferencia entre la cotización de compra y de venta sea mayor a 2,464% para obtener una ganancia como consecuencia de entrar y salir del mercado.

Ejemplo 6.10 Calcule cuál debería ser el precio de compra de indiferencia de las acciones de El Diván S.A. que se han vendido a 100 U.M.

Solución a)

La ecuación que se utilizará es la (6.8).

b) Se despeja en la fórmula (6.8) el precio de compra y se obtiene: Pv × (1− 0,01415) (1+ 0,01415) 100,00 × 0,98585 Pc = 1,01415 Pc = 97,2095 Pc =

El precio de compra debe ser de 97,2095 U.M. Como se observa en este caso, los gastos insumen 2,79% del precio neto de venta.

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

En los casos que se presentarán a continuación se han omitido los gastos de compra y de venta, aunque se tiene presente esta circunstancia. Una forma de tomarlos en cuenta es que se expresan los precios netos de venta y los precios de compra con todos los gastos ya calculados.

6.6.2 Rendimiento esperado cuando se cotiza sin dividendos anteriores pendientes de pago Si el dividendo de una acción se paga en efectivo y se presupone que dentro de un año exactamente se abonará un monto similar, el cálculo de la rentabilidad esperada se efectúa sobre la base del precio o cotización de la acción ex dividendo, es decir, un precio que no tiene incluido ningún dividendo anterior pendiente de pago. La fórmula de cálculo se obtiene a partir de la fórmula general inicial (6.4): R=

De × 100,00 P

Si los dividendos se calculan sobre el valor nominal de la acción, se tiene: De = de × VN donde R Rendimiento de la acción De Importe del dividendo en efectivo obtenido de Tasa de dividendo en efectivo para 1 U.M. de VN VN Valor nominal de la acción Debido a que lo que interesa es obtener los porcentajes de rendimiento para compararlos con las tasas de interés del mercado u otro rendimiento de inversión alternativa, y como las cotizaciones se expresan sobre la base de 1 U.M. de valor nominal, se puede prescindir en todas las fórmulas del valor nominal y tomar en todos los casos la cotización que se publica en los distintos medios. Cuando se utilicen las fórmulas de rendimiento de dividendos en efectivo, interesa conocer el monto de dividendo por cada U.M. de cotización que se reciba. Con la finalidad de tener una regla mnemotécnica, se designará con De, o sea, en mayúsculas, cuando se está refiriendo a un monto de dividendo, y con de, o sea, en minúsculas, cuando se trata de la tasa de dividendo. El monto de dividendo se obtendrá al multiplicar la tasa de dividendo por una unidad monetaria (1,00 U.M.), que es la base de las cotizaciones. Si se reemplaza, quedará: R=

de × VN × 100,00 P

(6.9)

6.6 Cálculo de rendimientos

donde R Rendimiento de la acción de Tasa de dividendos en efectivo VN Valor nominal P Precio El rendimiento así obtenido representa un porcentaje sobre el precio o cotización de mercado de la acción. Es decir, que para el cálculo, en general se debe tener en cuenta el dividendo en efectivo (De) y no sólo la tasa de dividendo (de). En tal sentido, se debe considerar que el dividendo De resulta de multiplicar la tasa de dividendo (de) por la base de las cotizaciones 1 U.M. Conviene aclarar que al hacer los cálculos con 1 U.M., ambos valores se hacen iguales (De = de × 1 U.M.) y en tal caso se debe cuidar que también el valor de P esté referido a 1 U.M. A continuación se presentan ejemplos.

Ejemplo 6.11 Una empresa abona un dividendo en efectivo de 2,2% trimestral. La cotización ex dividendo hace tres meses fue de 22,68 U.M. por acción, que poseía un valor nominal de cotización de 10 U.M. Calcule el rendimiento obtenido de esta inversión.

Solución a)

Se identifica la fórmula que se utilizará, que en este caso es la (6.9): R=

de × VN × 100,00 P

b) Si se reemplazan los valores, se logra: 0,022 × 10,00 × 100,00 22,68 0,22 × 100,00 R= 22,68 R = 0,97% R=

Este rendimiento de 0,97% es trimestral, ya que la empresa abona dividendos con esta periodicidad. Luego, si se quisiera calcular el rendimiento anual y suponiendo que los demás dividendos fueran iguales al mencionado y que la cotización no variara, se esperaría para el año un dividendo de 3,88% nominal, o en caso de analizar las reinversiones de dichos dividendos durante el año se obtendría una tasa efectiva anual de 3,934%.

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Este caso se debe analizar sobre una base uniforme: el dividendo que se percibe con el precio de la acción, o sea, que se debe relacionar el dividendo por cada 10 U.M. que posee de valor nominal con la cotización del mercado por cada acción de 10 U.M.

Ejemplo 6.12 Si La Gasífera S.A. pagara un dividendo de 10% el próximo año y es un único pago anual, y la acción se cotiza —sin dividendos anteriores pendientes de pago— a 1,93 U.M., ¿cuál es el rendimiento esperado?

Solución a)

Se identifica la expresión que se aplicará, que es la ecuación (6.9).

b) Se reemplazan los valores y se obtiene: 0,10 × 1,00 × 100,00 1,93 0,10 × 100,00 R= 1,93 R = 5,18135% R=

6.6.3 Rendimiento esperado cuando se cotiza con dividendos anteriores pendientes de pago en efectivo Este caso se plantea cuando se calcula el rendimiento antes del pago de dividendos, más precisamente hasta el día anterior al del pago de los dividendos devengados y aprobados por la asamblea general ordinaria de la sociedad. En consecuencia, la cotización incluye el dividendo aún no pagado, es decir, que la cotización se encuentra inflada. Por esta razón se le debe restar al valor de cotización el monto del dividendo que se percibirá para dejarlo libre de esa influencia. El cálculo del rendimiento esperado se efectúa a partir de la fórmula (6.4), y en el denominador se calcula el precio de paridad de la acción sin dividendos, es decir: De ×100 P Sin embargo, en vez de utilizarse P, se empleará Pp, que es igual a: R=

Pp = P − De

6.6 Cálculo de rendimientos

donde Pp Precio de paridad P Precio de cotización de la acción De Importe del dividendo en efectivo obtenido Luego, la fórmula quedará así: R=

De × 100,00 P − De

(6.10)

De × 100,00 Pp

(6.11)

es decir, R=

donde R Rendimiento de la acción De Importe del dividendo en efectivo obtenido P Precio de cotización de la acción Pp Precio de paridad

Ejemplo 6.13 El Ingenio Juárez S.A. abonará un dividendo de 5,2953%, en efectivo, a los tenedores de sus acciones comunes a partir del 12 de agosto de este año y se realiza el cálculo el 6 de agosto, es decir, que las acciones se cotizan con el derecho de dividendo o cupón de dividendo adherido. La acción posee un valor nominal de 1 U.M. y se cotizan a 0,65 U.M. por unidad de valor nominal. Se considera que en el próximo año se mantendrá la tasa de pago de dividendo. ¿Cuál es la rentabilidad esperada de estas acciones?

Solución a)

Se identifica la expresión que se aplicará, que es la ecuación (6.10).

b) Se reemplazan los valores del enunciado. 0,052953 × 100,00 0,65 − 0,052953 0,052953 R= × 100,00 0,597047 R = 8,86915% R=

Como información adicional se analiza cuál era el valor teórico ex dividendo de las acciones o precio de paridad (Pp) y se le compara con la cotización del mer-

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

cado, luego del pago del dividendo. A efectos de determinar el valor teórico por cada U.M. de valor nominal, se realiza el siguiente cálculo: P − De VN 0,65 − 0,052953 Pp = 1,00 Pp = 0,597047 U.M. Pp =

No obstante, es sólo un valor teórico, puesto que el mercado es el que determinará la nueva cotización, la cual dependerá de factores de la oferta y de la demanda.

Ejemplo 6.14 Si las acciones del Ingenio Juárez se cotizaran ex derecho de dividendo o ex cupón de dividendo en efectivo a 0,60 U.M., calcule el dividendo en efectivo que se cobraría.

Solución a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (6.4).

b) Si se efectúan los cálculos el 7 de agosto, y se relaciona la rentabilidad esperada del título y la cotización, se reemplazan los valores. R=

0,052953 × 100 = 8,8255% 0,60

El rendimiento es menor porque la cotización real del mercado aumentó un poco respecto de la que teóricamente correspondía (0,60 U.M. y 0,597 U.M., respectivamente). Cabe mencionar que para toda acción que se cotiza por debajo de su valor nominal (1,00 U.M.), el porcentaje de dividendo es inferior al rendimiento esperado, ya que al calcularse como el denominador es menor que la unidad y se produce un apalancamiento en el porcentaje de rendimiento, mientras que en el caso de aquellas acciones que se cotizan por encima de la unidad de valor nominal, como el denominador es más grande que la unidad, el rendimiento real disminuye.

6.6 Cálculo de rendimientos

6.6.4 La acción se cotiza con dividendos que se están devengando: el dividendo se paga en un plazo n días a partir de hoy y en efectivo Si se supone que la empresa genera resultados en forma lineal, es decir, a una tasa de crecimiento constante a lo largo del año (por ejemplo, a razón de 1% mensual) y, en consecuencia, los dividendos estimados crecen de esa forma, la cotización de la empresa toma estos nuevos dividendos que se generan a través del año como un mayor valor. Cuando se calculan los rendimientos se debe corregir el valor del denominador en la fórmula básica (6.4). Es lógico que las acciones incrementen su cotización como consecuencia de esos dividendos esperados que se generan a través del año, por cuanto, además de la información pasada, se agrega la información presente a partir de los balances trimestrales publicados. Las acciones se cotizan con una parte del nuevo dividendo incluido en su precio y el rendimiento esperado se basará en aquella parte no transcurrida aún y que completará el plazo de un año. Por ello en el momento del cálculo, el precio P de mercado o cotización de la acción está inflada con el dividendo que se está generando. Sin embargo, para cobrar este dividendo se deben esperar n días a partir de la fecha de la evaluación. Luego, se le debe restar la parte del dividendo proporcional al tiempo que falta por transcurrir (n), o sea, [(365 – n)/365], para tener un precio neto que excluya los dividendos no devengados. De esta manera, sólo habrá incidido en el precio o cotización P la parte del dividendo devengada en los días transcurridos hasta el momento de cálculo. En consecuencia, en el cálculo del rendimiento se realiza un ajuste al valor correspondiente a los dividendos De antes de restárselos al precio completo de la acción al final del ejercicio, o sea, con todo el dividendo incluido. Si se parte de la ecuación (6.11): R=

De de × VN = × 100,00 Pp Pp

En este caso el precio de paridad (Pp) será: Pp P

De

365 n 365

En vez de tomar el precio de cotización de la acción, se efectúa la corrección mediante el precio de paridad, para eliminar la parte del dividendo que incide en el precio. Si se efectúan los reemplazos, la fórmula quedará así: de VN

R P

De

365 n 365

100,00

(6.12)

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

donde R Rendimiento de la acción De Importe del dividendo en efectivo obtenido de Tasa de dividendo en efectivo para 1 U.M. de VN VN Valor nominal de la acción P Precio de cotización de la acción n Cantidad de días que faltan para cobrar el dividendo Es decir, que se introduce un factor de corrección sobre De: 365 n que deter365 mina la proporción de dividendos que debe depurarse o eliminarse del precio de la acción P. Debe recordarse que el rendimiento (R) se calcula respecto del dividendo que se cobrará en el nuevo año, suponiendo que será igual, mayor o menor al del año inmediato anterior, ya que las expectativas de dividendos futuros pueden variar de un periodo a otro, según la coyuntura económica general del país y de la empresa en particular.

Ejemplo 6.15 Se supone que los días 15 de enero de cada año la empresa Aceros J paga dividendos en efectivo anuales de 9,96%. Su cotización es de 1,30 U.M. y su valor nominal de 1 U.M. Si se realiza el cálculo de la rentabilidad esperada el día 30 de julio, determine cuál será el rendimiento de la inversión.

Solución a)

Se determina el número de días que faltan para completar el año. Así, han transcurrido 196 días del nuevo ejercicio y faltan para completar el año 169 días (365 — 196). En todos estos cálculos, se supone que la generación de los nuevos dividendos sigue una función lineal en relación con el tiempo.

b) Se identifica la fórmula a aplicar, que en este caso es la (6.12). c)

Se reemplazan los valores. c.1) El monto del dividendo por acción es igual a: De = de × VN = 0,0996 × 1,00 = 0,0996 U.M. c.2) Luego, el rendimiento estimado será: 169 365 169 1,30 0,0996 365 0,0996

R

100,00

6.6 Cálculo de rendimientos

R=

0,0996 × 0,5369863 × 100,00 [1,30 − 0,0996 × 0,5369863]

R=

0,5348384 × 100,00 [1,30 − 0,05348384]

R=

5,348384 = 4,2907% 1,224651616

El rendimiento por cada U.M. invertida en las acciones de Aceros J es de 0,042907 o, lo que sería lo mismo, del 4,2907% sobre el valor nominal invertido. Para analizar lo que hubiera sucedido de no efectuarse la corrección, se estudia el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.16 Tome los datos del ejercicio anterior y efectúe los cálculos sin tomar en cuenta la corrección de los días que faltan para cobrar el dividendo.

Solución a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (6.10): R=

De × 100,00 P − De

b) Se reemplazan los valores y se obtiene: 0,0996 × 100,00 1,30 − 0,0996 0,0996 R= × 100,00 1,2004 R = 8,972% R=

Como se observa en los resultados, se estarían sobrestimando los rendimientos de la inversión y podrían tomarse decisiones erróneas. Otro elemento adicional que hay que tener en cuenta es que sólo se considera la influencia de los dividendos, pero también habría que sumarle a ese rendimiento el que pueda obtenerse por ganancias de capital, es decir, la mayor o menor apreciación del título a lo largo del periodo (pasado, si se calculan rendimientos ex post o esperados para el futuro, cuando se calculan los rendimientos esperados ex antes).

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

6.6.5 La acción se cotiza con dividendos anteriores pendientes de pago, en acciones liberadas Si el dividendo se paga en acciones liberadas, se plantea un nuevo problema que es el de cómo determinar el valor del dividendo que se paga en acciones de la propia empresa puesto que, como se conoce, cuando se distribuyen los resultados entregando acciones liberadas se produce una baja técnica del valor de la acción en el mercado, motivada porque el mismo monto del patrimonio neto se distribuye entre una mayor cantidad de acciones. Para resolver dicho problema, se debe obtener previamente el precio de paridad: Pp = P − Da donde Pp Precio de paridad ex dividendo de la acción P Cotización de la acción con el derecho al dividendo en acciones o cupón incluido Da Dividendo en acciones El dividendo en acciones que se debe pagar (Da) se obtiene cuando se multiplica la tasa de dividendo en acciones liberadas (da) por el precio de paridad de la acción (Pp), no por el valor nominal, ya que lo que en realidad se recibe es aquel valor. Como consecuencia de ello, la fórmula anterior no sirve directamente, por lo que es necesario reemplazar a Da, ya que: Da = da × Pp Con lo que quedará: Pp = P − da × Pp A partir de esta expresión se despeja el valor de Pp: P = Pp + da × Pp P = PP × (1+ da ) Pp =

P 1+ da

donde Pp Precio de paridad ex dividendo de la acción P Cotización de la acción con el derecho al dividendo en acciones o cupón incluido da Tasa de dividendo en acciones

(6.13)

6.6 Cálculo de rendimientos

Ejemplo 6.17 La Agrícola S.A. paga un dividendo en acciones liberadas de 10%. Se conoce que el precio de la acción antes del pago del dividendo era de 3 U.M. por unidad de valor nominal. ¿Cuál es el precio de paridad al que probablemente cotice la acción cuando se efectúe el pago del dividendo en acciones liberadas?

Solución a)

Se identifica la expresión que se aplicará, que en este caso es la ecuación (6.13).

b) Luego, el precio de paridad ex dividendo de la acción será: 3,00 1+ 0,10 Pp = 2,72727 Pp =

El precio de paridad será de 2,72727 U.M. La acción podría cotizarse luego del pago del dividendo en acciones a un precio igual, mayor o menor al de paridad que se calculó. Si se produjeran discrepancias se debe a presiones de la demanda o de la oferta que ocurran ese día. Por eso, siempre se aclara que el precio de paridad es un precio teórico, probable, que sirve de referencia para la toma de decisiones luego del pago del dividendo. Las razones por las cuales pueden diferir ambos valores se relacionan con el libre juego de la oferta y la demanda, nuevas noticias sobre negocios de la empresa, tendencias esperadas de los negocios, información sobre nuevos balances trimestrales, etcétera. Por otra parte, si al precio de paridad se le suma el dividendo en acciones liberadas recibido, se puede volver a obtener la cotización anterior al pago del dividendo. P = Pp + Da donde, Da = da × Pp A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Ejemplo 6.18 Reconstruya el valor de la cotización de la acción tomando en cuenta los dividendos en acciones percibidos en el ejemplo anterior.

Solución a)

Se parte de los resultados obtenidos en el ejemplo anterior. Precio de paridad

Pp

Dividendo en acciones

Da

Total

Po

2,72727 U.M. 0,10 × 2,72727

0,27273 U.M. 3,55000 U.M.

b) A través de este ejemplo numérico se comprueba que sumando el precio de paridad obtenido al importe del dividendo abonado en acciones liberadas (valuadas al mismo precio de paridad), se obtiene el precio o cotización anterior al pago del dividendo y que la diferencia entre éste (P) y el precio de paridad (Pp) se debe a que el primero estaba inflado por el dividendo a pagar. Sin embargo, es conveniente volver al problema que se quería resolver originariamente, es decir, al cálculo del rendimiento esperado. No se puede aplicar ninguna fórmula de cálculo de rendimiento, ya que lo que se tiene es 10% más de acciones en cartera. Si se tenían originariamente 100 acciones, ahora se tendrán 110. Pero antes valían 3,00 U.M. cada una de las acciones de La Agrícola y ahora valdrán 2,72727 U.M. No se ha registrado ningún ingreso en dinero. Las 110 acciones a 2,72727 U.M. hacen un total de 300 U.M. Se ha producido sólo una disminución técnica en la cotización originada por la división de las acciones que tenía originariamente en partes más pequeñas del total del patrimonio de la empresa. Si se calculara algún rendimiento esperado de las acciones que podría dar la empresa el año próximo, aplicando la fórmula general de rendimientos, resultaría un valor positivo, que se compensaría con un rendimiento negativo si se calcula el menor valor de las acciones en existencia. Entre el rendimiento positivo y el negativo, el resultado neto sería nulo. En consecuencia, no corresponde efectuar ningún cálculo de rendimiento cuando se reciben acciones liberadas como pago de dividendos.

6.6 Cálculo de rendimientos

6.6.6 La acción se cotiza con dividendos en acciones liberadas y se pagará dentro de n días Si se calcula que el dividendo en acciones se abonará en un plazo menor a un año y que el precio actual se encuentra parcialmente inflado por los dividendos ya transcurridos, antes se debe hacer el ajuste en función del tiempo en la fórmula del precio de paridad (fórmula 6.13) que, posteriormente, debe utilizarse para calcular el rendimiento (R): Pp

1 da

P 365 n 365

(6.14)

donde Pp Precio de paridad ex dividendo de la acción P Cotización de la acción con el derecho al dividendo en acciones o cupón incluido da Tasa de dividendo en acciones n Cantidad de días que faltan por transcurrir A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 6.19 El 21 de enero de este año las acciones de La Banca S.A. pagaron un dividendo de 17,50% en acciones y se espera que el 21 de enero del año próximo pague un dividendo de 15,50%, dada la política de dividendos que sigue la empresa. La evaluación de la inversión se realiza el 31 de agosto de este año, momento en que se cotizan a 4,10 U.M. ¿Cuál es el precio de paridad de la acción ex dividendo y cuál el rendimiento esperado ex dividendo de la acción?

Solución a)

Se identifica la fórmula que se aplicará, que en este caso es la (6.14).

b) Se efectúan los cálculos para su aplicación: Tasa de dividendo en acciones: da = 0,1550. Cantidad de días que median entre el 21/01/xx y el 31/08/xx: 222 días. Cantidad de días que faltan por transcurrir: n = 143 días.

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

c)

En consecuencia, el precio de paridad es: Pp

Pp Pp

4,10 365 143 1 0,155 365 4,10 1 0,155 0,6082191 3,75722

El precio de paridad es de 3,75722 U.M. d) El rendimiento ex dividendo esperado es nulo, porque sólo se poseen más acciones que antes, pero se cotizan a un precio menor, como ya se mencionó.

6.6.7 La acción se cotiza con dividendos pendientes de pago, parte en efectivo y parte en acciones liberadas Al igual que en los casos precedentes, a efectos de analizar el rendimiento esperado de la inversión, primero se tiene que determinar el precio de paridad para estimar el monto de la parte del dividendo que se paga en acciones, en función del valor equivalente de la acción sin el dividendo. Se parte de la siguiente ecuación: Pp = P − De − Da Pp = P − De − da × Pp Pp + da × Pp = P − De Pp × (1+ da ) = P − De Pp =

Po − De 1+ da

donde P Precio de la acción antes del pago del dividendo de Tasa del dividendo a pagar en efectivo De Monto del dividendo en efectivo expresado en unidades monetarias Da Monto del dividendo pagado en acciones liberadas da Tasa del dividendo a pagar en acciones liberadas Pp Precio de paridad

(6.15)

6.6 Cálculo de rendimientos

De esta fórmula, se puede destacar lo siguiente: a)

En el numerador: como la cotización de la acción en el mercado incluye el monto del dividendo que se percibirá en efectivo, se resta del precio o cotización el monto de dicho dividendo;

b) En el denominador: se trata de medir el efecto que tendrá sobre el precio de las acciones el pago del dividendo en acciones liberadas cuantificado en la tasa da. Esta emisión de acciones provocará una baja técnica del valor de cotización en el mercado, que se reflejará en el cociente, que será tanto menor cuanto mayor sea da. A continuación se presentan ejemplos de aplicación.

Ejemplo 6.20 El 26 de diciembre del año pasado, Compañía Exportadora S.A. decidió abonar un dividendo de 18,421% en efectivo y de 26,316% en acciones liberadas. La cotización antes del pago de los dividendos era de 3,55 U.M. y la acción tiene un valor nominal de 1,00 U.M. Calcule el precio de paridad al que se deberían cotizar las acciones una vez pagados los dividendos en efectivo y en acciones.

Solución a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (6.15).

b) Se calcula el monto de los dividendos en efectivo por acción. De = de × VN De = 0,18421× 1,00 De = 0,18421 U.M. c)

Se reemplazan los valores en la ecuación (6.15) y se obtiene: Pp =

Po − De 1+ da

Pp =

3,55 − 0,18421 1+ 0,26316

Pp = 2,6645793 U.M. Si al precio de paridad se le suma el dividendo en efectivo de 18,421% y el de 26,316% en acciones liberadas pero valuadas al precio de paridad, se puede comprobar que el resultado será el precio de la acción antes del pago del dividendo.

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Precio de paridad Dividendo en efectivo Dividendo en acciones Total

Pp De Da Po

0,26316 × 2,6645793

2,6645793 U.M. 0,1842100 U.M. 0,7012106 U.M. 3,5500000 U.M.

Ejemplo 6.21 Compañía Exportadora S.A. espera que en el nuevo ejercicio económico obtenga resultados positivos. Además, supone que la cotización de sus acciones no variará, dadas las actuales circunstancias del mercado, salvo la acumulación de dividendos. Se supone que los dividendos que se abonarán el año siguiente serán de 8,3333% en efectivo y de 6,25% en acciones, de acuerdo a la política de dividendos que sigue la empresa. Se estima como fecha probable de pago el 27 de diciembre de este año. Determine cuál será la rentabilidad de esta empresa en el nuevo año.

Solución a)

Se identifica la expresión que se aplicará, que es la ecuación (6.9). R=

de × VN × 100,00 P

b) Como en el ejemplo anterior se calculó el precio de paridad al que cotizaría la acción luego de los pagos de los dividendos en efectivo y en acciones, se utilizará ese valor para calcular la rentabilidad esperada en el nuevo año, ya que no se encuentra inflado por los dividendos. Es decir, que en el denominador el valor de la inversión en el nuevo periodo será de 2,6645793 U.M. R=

De × 100,00 Pp

R=

0,083333 × 100,00 2,6645793

R = 3,12744% Sólo se podrá estimar un rendimiento en caso de que en el nuevo año se pague un dividendo en efectivo, tomando como valor de la inversión el precio de paridad ahora calculado y como dividendo el importe que se recibirá el nuevo año.

6.6 Cálculo de rendimientos

6.6.8 La acción se cotiza con dividendos que se están devengando: el dividendo anterior se pagará en un plazo de n días, parte en efectivo y parte en acciones liberadas Ahora se analizará el caso en que no se da el supuesto de pago inmediato, sino que en el momento de realizar dicho pago ya ha transcurrido parte del año. En tal situación, como ya se ha estudiado, el precio al que se cotizan las acciones incluirá la parte del dividendo devengado. También en este caso se debe ajustar la fórmula del precio de paridad de modo análogo al del caso precedente, pero de modo tal que se obtenga un precio de paridad ponderado en función al tiempo que falta para el pago del dividendo. En consecuencia, no es aplicable directamente la fórmula recién utilizada (6.15), es decir: Pp =

Po − De 1+ da

Se ajustará la fórmula acorde a la nueva situación, es decir, se corregirá tanto el numerador como el denominador por el factor de ajuste.

Pp

P De 1 da

365 n 365 365 n 365

(6.16)

donde Pp Precio de paridad P Precio de la acción antes del pago del dividendo De Monto del dividendo en efectivo expresado en unidades monetarias da Tasa del dividendo a pagar en acciones liberadas n Cantidad de días que faltan para cobrar el dividendo A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 6.22 Se parte del ejemplo de la Compañía Exportadora S.A. El 9 de octubre de este año las acciones se cotizan a 2,30 U.M. El último dividendo se pagó el 26 de diciembre del año pasado, y se espera un dividendo en efectivo de 8,3333% y en acciones de 6,25%. a)

Calcule el precio de paridad de estas acciones el 9 de octubre del año en curso, a partir de los datos anteriores.

b) Determine el rendimiento esperado de la inversión.

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Solución a)

Cálculo del precio de paridad de estas acciones el 9 de octubre del corriente año. Se calcula el precio de paridad de las acciones tomando como fecha estimada de pago el 26 de diciembre de este año, es decir, a un año del último pago. Se debe calcular la cantidad de días que faltan para la fecha de pago prevista desde el momento de la evaluación. Se tienen n = 78 días que faltan para la fecha estimada de pago, a partir del 9 de octubre. a.1) Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (6.16).

Pp

Po De 1 da

365 n 365 365 n 365

donde Pp Precio de paridad P Precio de la acción antes del pago del dividendo De Monto del dividendo en efectivo expresado en unidades monetarias da Tasa del dividendo a pagar en acciones liberadas n Cantidad de días que faltan para cobrar el dividendo a.2) Se reemplazan los valores y se tiene: 365 78 365 365 78 1 0,0625 365 2,30 0,083333 0,78630137 1 0,0625 0,78630137 2,1298082 U.M. 2,30 0,083333

Pp

Pp Pp

b) Determine el rendimiento esperado de la inversión. En este caso, el rendimiento esperado (R) se determinará aplicando los datos anteriores y teniendo en cuenta que si en este momento se quisieran comprar las acciones de Compañía Exportadora S.A., se deben considerar sólo los dividendos en efectivo que se percibirán en relación con el precio de paridad que se calculó. Ahora bien, como parte de los dividendos ya estaban incluidos en el precio de compra, únicamente se toma la parte que falta para completar el año, ya que en caso contrario se sobrestimaría la verdadera rentabilidad.

6.6 Cálculo de rendimientos

b.1) Se identifica la expresión que se utilizará, que es la fórmula (6.12).

R

De

365 n 365 Pp

100,00

donde R Rendimiento de la acción De Monto del dividendo en efectivo expresado en unidades monetarias Pp Precio de paridad n Cantidad de días que faltan para cobrar el dividendo b.2) Se reemplazan los valores: 365 78 365 100,00 R 2,1298082 0,083333 0,78630137 R 100,00 2,1298082 R 3,0765612% 0,083333

Si no se hiciera la corrección, se sobrestimarían los rendimientos como se muestra en el siguiente cálculo. R' =

De × 100,00 Pp

0,083333 × 100,00 2,1298082 R ' = 3,9127% R' =

6.6.9 Se reciben dividendos en acciones de otras empresas o acciones preferidas de renta fija No es un caso muy frecuente, pero desde el punto de vista analítico se puede realizar. Los dividendos, en vez de pagarse en efectivo o con acciones propias, pueden abonarse con acciones de otras empresas o títulos-valores que la sociedad tiene en cartera. Otra alternativa es que la empresa entregue acciones preferentes que pagan un dividendo fijo durante el plazo que se establezca. En cualquiera de estos casos, el rendimiento (R) se calcula como si se tratara de un dividendo en efectivo, cuyo monto se determina sobre la base de la cotización

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

o valor de mercado de tales acciones. La situación es completamente diferente a cuando el dividendo se paga en acciones ordinarias propias, cuya cotización depende del propio dividendo, por lo que es necesario romper ese círculo mediante el cálculo previo del precio de paridad. En caso de que los títulos que se reciben no tengan cotización en el mercado, no se les puede asignar ningún valor y, en consecuencia, el rendimiento sería nulo.

6.6.10 La distribución de acciones liberadas por capitalizaciones de revalúos o ajustes integrales de capital o reservas En muchos casos, junto con el pago de dividendos se entregan acciones por capitalización de revalúos contables, o ajuste integral del capital o reservas facultativas acumuladas. Este procedimiento origina una baja técnica del valor de cotización de las acciones debido a que existe mayor cantidad de acciones en circulación y que la parte proporcional del patrimonio neto que poseía cada acción antigua se ve distribuida entre el total de las acciones en circulación (acciones antiguas y nuevas). Para el tenedor, el monto de su tenencia no se altera, aunque sí su composición. En consecuencia, el tratamiento es similar al que se utiliza para pagar dividendos en acciones liberadas. Se parte de la fórmula (6.13) y como el pago de las capitalizaciones (ca) se asimila al de los dividendos en acciones (da), se reemplaza en el denominador: Pp =

P 1+ da

Se reemplaza (da) por (ca) y se tiene: Pp =

P 1+ c a

(6.17)

donde Pp Precio de paridad P Precio de la acción antes del pago del dividendo ca Tasa de capitalización Si se quisiera efectuar el reparto conjunto de dividendos en acciones y capitalizaciones, la fórmula que se debería aplicar es la siguiente: Pp =

P 1+ da + c a

donde Pp Precio de paridad P Precio de la acción antes del pago del dividendo da Tasa del dividendo a pagar en acciones liberadas ca Tasa de capitalización A continuación se presentan ejemplos de aplicación.

(6.18)

6.6 Cálculo de rendimientos

Ejemplo 6.23 El 7 de agosto de este año El Puerto S.A. entregó a sus accionistas una capitalización del ajuste integral del capital de 53,67% y de 4,22% por dividendos en acciones. El precio previo al pago de los dividendos y capitalizaciones al que se cotizaban las acciones era de 2,05 U.M. Calcule el precio de paridad al que cotizarán las acciones ex dividendos y capitalizaciones.

Solución a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (6.18). Pp =

P 1+ da + c a

b) Se reemplazan los valores y se tiene: 2,00 1+ 0,0422 + 0,5367 2,00 Pp = 1,5789 Pp = 1,2667 U.M. Pp =

Si sólo se hubiera pagado una capitalización por ajuste del capital, y no se pagaran dividendos en efectivo ni en acciones, se toma en cuenta la fórmula (6.17). Una vez más, para calcular un rendimiento estimado a futuro se debe tomar en cuenta cuáles serán los dividendos en efectivo que se cobrarán y relacionarlos con el precio de paridad así calculado. También se debe mencionar que cuando se requiere calcular del precio de paridad, tomando en cuenta que hay una parte de la capitalización estimada que está incluida en el precio y que la evaluación se hace cuando falta menos de un año (o sea, una fracción de tiempo), hay que aplicar la fórmula de los dividendos en acciones, pero cambiando también la capitalización (ca) por lo que era dividendo en acciones (da). Otro detalle adicional que se podría tener en cuenta es que se pagaran dividendos en efectivo junto a la capitalización y a dividendos en acciones. Como se observó, este procedimiento no trae problemas, ya que se modificará la fórmula (6.16), a cuyo denominador hay que agregarle la capitalización (ca).

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

6.6.11 Problemas propuestos 1. Un inversor adquirió acciones de una corporación el 15 de mayo a 2,35 U.M. y las vende el 15 de septiembre a 2,55 U.M. ¿Cuál fue el rendimiento por acción durante el periodo de tenencia? Respuesta: 8,51%. 2. Usted adquirió acciones de una empresa que cotiza en bolsa a 1,76 U.M. y las retiene durante 90 días, momento en que las vende a 2,04 U.M. a)

¿Cuál fue su rendimiento?

b) ¿Qué tasa anual efectiva obtendría? Respuesta: a) 15,909%. b) 81,98%. 3. ¿Cuál sería la rentabilidad del ejemplo anterior si sus gastos de compra y de venta fueran de 1,45% en cada caso? Respuesta: 12,6746%. 4. El 15 de diciembre de 2011 se compran acciones de la Unión de Cervecerías Peruanas Backus & Johnston S.A. a 56,81 U.M. Se incurre en gastos de compra y de venta de 1,45%, en cada caso. Determine el precio al cual se cubren los gastos de compra y de venta (precio de indiferencia). Respuesta: 58,44 U.M. 5. ¿Cuál debería ser el precio de compra de indiferencia de las acciones de Scotiabank Perú S.A. que se han vendido a 38,30 U.M. si los gastos de compra y de venta suman 1,38% en cada caso? Respuesta: 37,2573 U.M. 6. Una empresa abona un dividendo en efectivo de 4,81% trimestral. La cotización ex dividendo de hace tres meses fue de 3,49 U.M. por acción, cada una con un valor nominal de 1 U.M. Calcule el rendimiento que produjo esta inversión. Respuesta: 1,378% trimestral. 7. Usted invierte en una corporación que pagará un dividendo de 15% el próximo año, de acuerdo con su política de dividendos. El pago se realiza en un único pago anual. La cotización de la acción, sin dividendos anteriores pendientes de pago, es de 2,36 U.M. ¿Cuál es el rendimiento esperado si el valor nominal es de 1 U.M.? Respuesta: 6,356%.

6.6 Cálculo de rendimientos

8. Una empresa abonará un dividendo de 10,41% en efectivo a sus acciones a partir del 25 de febrero de 2012 y se está realizando el cálculo el 21 de febrero, es decir, que las acciones se cotizan con el derecho de distribución de dividendos adherido. La acción tiene un valor nominal de 1 U.M. y se cotizan a 0,87 U.M. por unidad de valor nominal. a)

Calcule la rentabilidad actual si usted compra estas acciones.

b) Determine el precio de paridad de las acciones ex derecho de dividendo. c)

Calcule la rentabilidad esperada si cree que la empresa mantendrá la tasa de pago de dividendos en el futuro.

Respuesta: a) 13,59185%, b) 0,7659 U.M. y c) 13,59185%. 9. Si las acciones del ejercicio anterior se cotizaran ex cupón de dividendo a 0,70 U.M., ¿cuál sería su rendimiento? Respuesta: 14,8714%. 10. Si las acciones de una corporación se cotizaran a razón de 1,68 U.M. ex derecho de dividendos, ¿cuál sería el rendimiento esperado si para el próximo año se supone un dividendo de 16,58 % en efectivo, y la acción posee un valor nominal de 1 U.M.? Respuesta: 9,869%. 11. Se compraron acciones de una empresa a 2,35 U.M., que pagará en las próximas 96 horas un dividendo de 23% sobre el valor nominal de 1 U.M. Estas acciones poseen adherido el cupón de dividendo. a)

Determine la tasa de rendimiento sobre la inversión.

b) ¿Cuál será el precio de paridad o precio teórico ex derecho de dividendo al que se cotizarán estas acciones luego del pago de dividendos? Respuesta: a) 10,849% y b) 2,12 U.M. 12. Se supone que todos los 15 de junio de cada año Banco Santander S.A. paga dividendos en efectivo de 9,83%. Su cotización es de 3,45 U.M., y su valor nominal es de 1 U.M. Se calcula la rentabilidad esperada el 15 de febrero. Determine el rendimiento de la inversión. Respuesta: 5,34694%. 13. Con los datos del ejercicio anterior, realice los cálculos de la rentabilidad sin tomar en cuenta la corrección de los días que faltan para cobrar el dividendo. Informe si se sobre o subestiman los rendimientos. Respuesta: 8,18%. Se sobrestiman los rendimientos.

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

14. Una corporación pagará dividendos en efectivo de 6,35% dentro de 90 días. Su cotización actual es de 0,85 U.M. y su valor nominal es de 1 U.M. Determine el rendimiento de la inversión en este periodo. Respuesta: 5,9642232%. 15. El 13 de diciembre de 2011 Saga Falabella S.A. pagará un dividendo en acciones liberadas de 151,82%. Se conoce que el precio de la acción antes del pago del dividendo era de 10 U.M. ¿Cuál es el precio de paridad de una acción, desde el punto de vista teórico, cuando la empresa efectúa la entrega de las nuevas acciones? Respuesta: 3,9710905 U.M. 16. Reconstruya el valor de la cotización de la acción tomando en cuenta los dividendos en acciones percibidos en el ejemplo anterior. 17. Las acciones de La Minera S.A. pagaron un dividendo de 17,16% el 29 de enero de este año y se espera que el año próximo pague un dividendo similar, dada la política que sigue la empresa. La evaluación de la inversión se realiza el 31 de agosto de este año, momento en que se cotizan a 58,60 U.M. a)

¿Cuál es el precio de paridad de la acción ex derecho de dividendo?

b) ¿Cuál es el rendimiento esperado ex dividendo de la acción? Respuesta: a) 53,2432 U.M. y b) No se puede calcular. 18. La Corporación Financiera Bueno S.A. decidió abonar un dividendo de 12,37% en efectivo y de 22,26% en acciones liberadas el 30 de diciembre del año pasado. La cotización antes del pago de los dividendos era de 39,68 U.M. y cada acción tiene un valor nominal de 1 U.M. Calcule cuál era el precio de paridad al que se deberían cotizar las acciones una vez pagados los dividendos en efectivo y en acciones. Respuesta: 32,3542 U.M. 19. La Corporación Financiera Bueno S.A. espera para el nuevo ejercicio económico un resultado similar al del año anterior y no se esperan variaciones en su cotización, salvo por la acumulación de dividendos. La comunidad financiera supone que los dividendos que pagará a fin de este año serán de 12% en efectivo y de 20% en acciones liberadas de acuerdo con su política de dividendos. Se estima como fecha probable de pago el 30 de diciembre de este año. Determine la rentabilidad de la empresa en el nuevo año. Respuesta: 0,3709%.

6.6 Cálculo de rendimientos

20. Si se supone que el 30 de diciembre de este año las acciones de la Corporación Financiera Bueno S.A. se cotizaron a 32,47 U.M., ¿cuál será el precio de paridad una vez que paguen los dividendos en efectivo y en acciones del ejercicio anterior? Respuesta: 26,958 U.M. 21. La empresa Minera del Oeste pagó dividendos de 15% en efectivo y del 30% en acciones liberadas el 26 de diciembre del año pasado, cuando su cotización antes del pago era de 26,25 U.M. Para el nuevo ejercicio se espera un dividendo en efectivo de 12% y en acciones de 8,25%. a)

Calcule el precio de paridad al que se cotizarían las acciones luego del pago de los dividendos del 26 de diciembre próximo pasado.

b) Determine el precio de paridad de estas acciones el 30 de septiembre de este año si la cotización de mercado es de 22 U.M. y usted adquiere las acciones ese día. c)

Calcule el rendimiento esperado de la inversión.

Respuesta: a) 20,0769 U.M., b) 20,613354 U.M. y c) 0,4552359%. 22. La Asamblea de Accionistas del Banco Ciudad S.A. ha dispuesto una capitalización del ajuste integral del capital (originado en revalúos técnicos dispuestos por la legislación) de 27,26% y de un dividendo en acciones de 10,47%. El precio previo al pago de los dividendos y capitalizaciones al que se cotizaban las acciones era de 4,26 U.M. Calcule el precio de paridad al que se cotizarán las acciones ex derecho de dividendos y capitalizaciones. Respuesta: 3,093 U.M. 23. Calcule el precio de paridad de las acciones de una corporación que cotiza a 8,30 U.M. y que dentro de 45 días pagará un dividendo de 13,85% en efectivo, de 12% en acciones y una capitalización de reservas de 14,25%. El valor nominal es de 1 U.M. Respuesta: 6,6485 U.M.

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

6.7

La emisión de acciones

En esta sección se analizan aquellos aspectos que se refieren a la forma en que se calculan los precios de paridad a los que se cotizarán las acciones de una empresa cuando se ha efectuado una ampliación de capital, es decir, ha recurrido al público inversor para incrementar su dotación de capital. Para ello se analizarán algunos conceptos de interés para luego abordar el tema. 1. Cotización de la acción antigua: Para que una ampliación de capital tenga éxito es conveniente que la cotización de la acción antigua sea superior o, por lo menos, similar al precio de emisión de la acción nueva, ya que en otro caso nadie tendrá interés de adquirirlas. Si la cotización de mercado fuera de 0,70 U.M. y su valor nominal de 1 U.M., es lógico que nadie tendría interés en suscribir las acciones nuevas, ya que puede conseguir acciones viejas por un precio menor. 2. Precio de emisión: En general, el precio de emisión de la acción nueva debe ser inferior a la cotización de mercado de la acción antigua. Por otra parte, es frecuente que la cotización de ésta sea superior a su valor nominal, en cuyo caso es necesario decidir si se emitirá la acción nueva a la par, es decir, a un precio de emisión igual al valor nominal de la anterior o a uno superior. 3. Prima de emisión: es la diferencia entre el precio o tipo de emisión y el valor nominal. Esta prima de emisión constituye una aportación suplementaria que pasará a ser propiedad de los accionistas antiguos como de los nuevos y que casi seguramente incidirá en una mejor cotización de la acción en el mercado. Para la sociedad, esta prima constituye una reserva que no es distribuible como ganancia, pero que valoriza las acciones antiguas en la medida en que obtenga buenos rendimientos del nuevo capital. 4. Fecha de disfrute de la nueva emisión: Se denomina así a la fecha a partir de la cual el propietario de esta nueva acción tiene derecho a los rendimientos del título. Se pueden producir distintas situaciones, como: a)

Disfrute desde el inicio del ejercicio en curso: en este caso los derechos conferidos a la nueva acción sobre los beneficios del ejercicio en curso son exactamente iguales a los de la acción antigua. Se asimilan las dos clases de acciones a partir del momento en que sea separado el cupón correspondiente al dividendo del ejercicio anterior, si es que estaba pendiente de pago.

b) Disfrute desde el comienzo del ejercicio siguiente: las dos clases de acciones sólo podrán ser asimiladas cuando el cupón correspondiente al dividendo del ejercicio en curso haya sido separado de las acciones antiguas. Los derechos de la nueva acción sobre los beneficios del ejercicio siguiente serán los mismos que los de la acción antigua.

6.7 La emisión de acciones

c)

Soluciones intermedias: Éstas son muchas y a veces consisten en establecer como comienzo del disfrute una fecha determinada del ejercicio, otras veces en adoptar como fecha la de la suscripción o el desembolso del valor suscrito, etcétera.

5. Derecho de suscripción preferente: en la mayoría de las legislaciones, los accionistas de una sociedad anónima tienen un derecho preferente de suscripción a las ampliaciones de capital, esto es, sobre nuevas acciones de la misma clase y en función de la proporción a las que poseen. 6. Derecho de acrecer: Es el derecho que tienen los accionistas de adquirir el saldo remanente que otros accionistas no hayan querido suscribir en la misma proporción que las acciones que tenían, siempre que hayan manifestado su decisión en el momento de la suscripción preferente.

6.7.1 Caso general: valor teórico del derecho de suscripción y paridades ex derechos de suscripción El derecho de suscripción tiene un valor dinerario derivado de que la acción nueva se emite, por lo general, a un precio inferior al valor de cotización de mercado de la acción antigua. El derecho de suscripción otorga al tenedor de estas últimas la ventaja de suscribir acciones nuevas a un precio inferior al valor de mercado de las acciones antiguas que posee. Puede optar entre ejercer ese derecho o venderlo. Hay un mercado de derechos de suscripción cuya oferta proviene de los accionistas que no deseen ejercer el derecho que la ley les confiere y la demanda de los poseedores de capitales que quieren conseguir derechos para poder suscribir las acciones nuevas. El precio del derecho se establece de acuerdo con la ley de la oferta y la demanda. Pero, sin perjuicio de ello, antes de cualquier negociación es posible calcular el valor teórico del derecho de suscripción, que depende de: 1. La cotización de la acción antigua antes de la operación. 2. El precio de emisión de la acción nueva. 3. El número de acciones nuevas en relación con las antiguas. Cuando se dispone y se concreta una nueva emisión de acciones, se puede calcular de antemano tanto el precio del derecho de suscripción preferente, o cupón que da derecho a la suscripción, como el precio ex derecho de suscripción. La capitalización bursátil anterior a la ampliación del capital (CB1) es igual al precio de mercado multiplicado por el número de acciones en circulación, es decir:

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

En el caso de las acciones antiguas: CB1 = n1 × Pm

(6.19)

donde CB1 Capitalización bursátil inicial n1 Número de acciones antiguas Pm Precio de cotización de mercado de las acciones antiguas, con el derecho de suscripción preferente adherido La capitalización bursátil originada en la emisión nueva de acciones (CB2) es: CB2 = n2 × Pe

(6.20)

donde CB2 Capitalización bursátil originada en la nueva emisión de acciones n2 Número de acciones nuevas Pe Precio de emisión de las acciones nuevas La capitalización bursátil total, después de la ampliación de capitales, es la suma de las ecuaciones anteriores: CB = CB1 + CB2 = n1 × Pm + n2 × Pe

(6.21)

El nuevo valor teórico de las acciones resulta de dividir la capitalización bursátil total por el número de acciones nuevas más las que ya circulan. Éste también es, en realidad, el precio de paridad (ex derecho de suscripción preferente o ex cupón). Pp =

n ×P +n ×P CB = 1 m 2 e n1 + n2 n1 + n2

(6.22)

donde Pp Precio de paridad ex derecho de suscripción preferente CB Capitalización bursátil total Pe Precio de emisión de las acciones nuevas n1 Número de acciones antiguas n2 Número de acciones nuevas Si se conoce el valor teórico de la acción nueva o de la antigua sin el derecho de suscripción, se puede deducir el valor teórico del derecho de suscripción, que está dado por la diferencia de cotización entre la acción antigua y la nueva después de la emisión, es decir: Pc = Pm − Pp Pc = Pm −

n1 × Pm + n2 × Pe n1 + n2

6.7 La emisión de acciones

Si se desarrolla esta nueva fórmula: Pc =

Pm × (n1 + n2 ) − n1 × Pm + n2 × Pe n1 + n2

Pc =

n1 × Pm + n2 × Pm − n1 × Pm + n2 × Pe n1 + n2

Pc =

n2 × Pm − n2 × Pe n1 + n2

Pc =

n2 × ( Pm − Pe ) n1 + n2

Si se divide el numerador y el denominador entre n2, y se obtiene: n2 × ( Pm − Pe ) n2 Pc = n1 + n2 n2 Pc =

Pc =

( Pm − Pe ) n1 n2 + n2 n2 Pm − Pe n1 +1 n2

Si N = n1 n2 , o sea que N es la cantidad de derechos de suscripción preferente o cupones necesarios para adquirir una acción nueva e igual a la relación existente entre la cantidad de acciones viejas y las nuevas, la fórmula queda así: Pc =

Pm − Pe N +1

(6.23)

donde Pc Valor teórico del derecho de suscripción preferente o cupón Pm Precio de cotización de las acciones antiguas en el mercado, con el derecho de suscripción preferente adherido Pe Precio de emisión de las acciones nuevas N Cantidad de derechos de suscripción preferente necesarios para adquirir una acción nueva e igual a la relación existente entre las acciones viejas y las nuevas

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Ejemplo 6.24 Una sociedad posee un capital de 400.000 U.M., dividido en 400.000 acciones con un valor nominal de 1 U.M. cada una, que se cotizan en bolsa a 1,70 U.M. La firma se propone aumentar el capital 200.000 U.M. mediante la emisión de 200.000 acciones de igual valor nominal, emitidas al precio de emisión de 1,10 U.M., o sea con una prima de emisión de 0,10 U.M. Se reserva el derecho de preferencia para estas acciones nuevas a los tenedores de acciones antiguas a razón de una acción nueva por cada dos acciones antiguas. a)

Calcule cuál es el precio de paridad al que se cotizarán las acciones luego de la emisión.

b) Calcule cuál es el valor del derecho de suscripción preferente o precio del cupón de suscripción de las acciones nuevas.

Solución a)

Calcule el precio de paridad al que se cotizan las acciones luego de la emisión. a.1) Se identifica la ecuación que se utilizará, que en este caso es la (6.22). Pp =

n1 × Pm + n2 × Pe n1 + n2

a.2) Se reemplazan los valores y se obtiene: 400.000 × 1,70 + 200.000 × 1,10 400.000 + 200.000 Pp = 1,50 Pp =

b) Calcule el valor del derecho de suscripción preferente o precio del cupón de suscripción de las acciones nuevas. b.1) Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (6.23). Pc =

Pm − Pe N +1

b.2) Se reemplazan los valores y se obtiene: 1,70 − 1,10 2 +1 0,60 Pc = 3 Pc = 0,20 Pc =

6.7 La emisión de acciones

Se puede llegar al mismo resultado a través del siguiente procedimiento: Pc = Pm − Pp Pc = 0,20 Hasta ahora se ha analizado el caso del valor teórico de mercado del cupón del derecho de suscripción después de que se anuncia la oferta de emisión, pero mientras las acciones se venden con el cupón adherido, o sea cuando el precio de mercado de la acción incluye el valor del cupón que da el derecho de suscripción preferente, y éste no se cotiza por separado.

6.7.2 Caso en que la acción se venda ex derecho de suscripción preferente Sin embargo, como ya se mencionó, cuando existen derechos de suscripción preferente, se fija una fecha límite y, en consecuencia: a)

Quienes adquieren acciones viejas antes de esa fecha, las reciben con el derecho de suscripción preferente que les da el derecho de suscribir la nueva acción como se ha visto hasta ahora;

b) Cuando se negocian después de esa fecha, las viejas acciones se venden sin el derecho de suscripción preferente o ex cupón. Es decir, que las acciones se venden sin derecho a la suscripción nueva y el inversor que compra después de la fecha establecida no recibe el cupón que le daría derecho a suscribir acciones adicionales, el cual se cotiza por separado. Cuando la acción comienza a venderse ex derecho de suscripción preferente, su cotización teóricamente declina, porque los inversores ya no reciben el derecho a suscribir acciones adicionales al precio de emisión (se presupone, desde luego, que la cotización de mercado es superior a dicho precio de emisión). Este valor teórico de la acción cuando se vende ex derecho de suscripción preferente o ex cupón de suscripción o precio de paridad ex derecho de suscripción, se puede calcular mediante la fórmula (6.22) que se estudió en páginas anteriores, es decir: Pp =

n1 × Pm + n2 × Pe n1 + n2

Si se parte de esta fórmula, se dividen numerador y denominador entre n2 se obtiene una expresión más sencilla: n1 × Pm + n2 × Pe n2 Pp = n1 + n2 n2

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

n1 n × Pm + 2 × Pe n n2 Pp = 2 n1 n2 + n2 n2 Pp =

N × Pm + Pe N +1

(6.24)

donde Pp Precio de paridad ex cupón de suscripción Pm Precio de cotización de las acciones antiguas en el mercado, con el derecho de suscripción preferente adherido Pe Precio de emisión de las acciones nuevas Pc Valor teórico del derecho de suscripción preferente N Cantidad de derechos de suscripción preferente necesarios para adquirir una acción nueva e igual a la relación existente entre las acciones viejas y las nuevas También se puede llegar a la misma fórmula si se parte del concepto originario de precio de paridad: Pp = Pm − Pc Si se reemplaza Pc según la igualdad de la expresión (6.23): Pm − Pe N +1 Pm × ( N + 1) − Pm + Pe Pp = N +1 N × Pm + Pm − Pm + Pe Pp = N +1 Pp = Pm −

resulta: Pp =

N × Pm + Pe N +1

Es decir, que se ha llegado a la misma fórmula anterior.

Ejemplo 6.25 Una sociedad posee un capital de 800.000 U.M., dividido en 800.000 acciones con un valor nominal de 1 U.M. cada una, que se cotizan en bolsa a 2,70 U.M. Se propone aumentar el capital 200.000 U.M. mediante la emisión de 200.000 acciones de igual valor nominal, emitidas al precio de emisión de 1,10 U.M., es decir,

6.7 La emisión de acciones

con una prima de emisión de 0,10 U.M. Se reserva el derecho de preferencia para los tenedores de acciones antiguas a razón de una acción nueva por cada cuatro acciones antiguas. Calcule el precio de paridad ex derecho de suscripción preferente de la acción.

Solución a)

Se identifica la fórmula que se aplicará, que es la (6.24). Pp =

N × Pm + Pe N +1

b) Se reemplazan los valores y se obtiene: 4 × 2,70 + 1,10 4 +1 10,80 + 1,10 Pp = 5 Pp = 2,38 U.M. Pp =

En consecuencia, en este caso, el precio de paridad ex derecho de suscripción preferente de la acción será de 2,38 U.M. Por su parte, el valor teórico del derecho de suscripción cuando la acción se vende ex derecho de suscripción preferente o ex cupón, pese a dar el mismo valor que en el caso anterior, se calcula de forma diferente, con base en datos distintos. Se parte del precio de mercado de la acción que posee el derecho de suscripción, es decir: Pm = Pp + Pc Por otra parte, el precio del derecho de suscripción preferente se obtiene mediante la fórmula (6.23): Pc =

Pm − Pe N +1

Se reemplaza en esta fórmula la expresión anterior de Pm, se obtiene: Pc =

Pp + Pc − Pe N +1

O, lo que es lo mismo: Pc × ( N + 1) = Pp + Pc − Pe

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Se resuelve y quedará: N × Pc + Pc = Pp + P c − Pe N × Pc = Pp − Pe Pcx =

Pp − Pe N

(6.25)

donde Pcx Precio del derecho de suscripción preferente cuando las acciones se venden ex derecho de suscripción preferente o ex cupón Pp Precio de paridad o valor teórico de la acción ex derecho de suscripción preferente Pe Precio de emisión de las acciones nuevas N Relación entre n1 y n2: cantidad de derechos de suscripción preferente necesarios para suscribir una nueva acción ( n1 n2 ) . En esta fórmula, Pcx es el precio del derecho de suscripción preferente, cuando las acciones se venden ex derecho de suscripción preferente, y es un valor teórico que surge de la relación entre la diferencia del precio teórico ex derecho de suscripción preferente menos el precio de emisión y el número de derechos de suscripción preferente necesario para adquirir una nueva acción. Es decir, que es un cálculo que tiene el mismo objetivo, pero que utiliza datos distintos (Pp en lugar de Pm).

Ejemplo 6.26 Con los datos del ejercicio anterior, calcular cuál es el precio del derecho de suscripción, si las acciones se venden ex derecho de suscripción preferente.

Solución a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que en este caso es la ecuación (6.25). Pp − Pe Pcx = N b) Se reemplazan los valores y se obtiene: 2,38 − 1,10 4 1,28 Pcx = 4 Pcx = 0,32 U.M. Pcx =

6.7 La emisión de acciones

De los datos y números precedentes, se puede deducir que el derecho de suscripción preferente teóricamente no crea un valor nuevo para el accionista, ya que su acción que valía 2,70 U.M. con el derecho incluido, vale ex derecho de suscripción preferente 2,38 U.M. La declinación o baja del precio de mercado es exactamente igual al valor del derecho de suscripción que es de 0,32 U.M.

6.7.3 Caso en que el derecho de disfrute de las nuevas acciones sea limitado Se ha supuesto, hasta aquí, que la nueva acción, desde el momento de su creación, era asimilable a la acción antigua separada del derecho. Si no ocurre así, o sea que la acción antigua tiene derecho a un dividendo neto D al que la nueva acción no tiene, se puede considerar que la cotización de la acción antigua comprende el valor de este dividendo. Se parte de la fórmula general (6.23): Pc =

Pm − Pe N +1

En consecuencia, esta fórmula general se debe modificar como sigue: Pc =

Pm − D − Pe N +1

(6.26)

donde Pc Precio teórico del cupón de suscripción Pm Precio de mercado de la acción antigua, con el derecho de suscripción y pago de dividendo o cupón adherido D Derecho de disfrute entre la acción antigua y la nueva Pe Precio de emisión de las acciones nuevas N Cantidad de cupones necesarios para suscribir una nueva acción La magnitud D, que constituye la diferencia de disfrute entre la acción antigua y la nueva, en general es una cifra sólo aproximada, ya que: a)

No siempre es conocida en el momento de la operación, por la sencilla razón de que pueden no haber sido aún cerradas las cuentas del ejercicio anterior. En este caso su importe se ha de estimar con base en las distribuciones de dividendos precedentes, evolución de la empresa y probabilidades de mantenimiento de dividendos en el futuro inmediato.

b) En la mayoría de los casos debe transcurrir un cierto tiempo antes de que se pague el dividendo en que radica la diferencia de disfrute. Por tanto, para hacer un cálculo exacto se tendrá que descontar el valor D, tomando como periodo el tiempo que separa el inicio de la ampliación de capital de la fecha de pago del dividendo. Se tendrá que conocer, pues, la fecha exacta del pago

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

efectivo del dividendo, lo cual no siempre ocurre o es conocida en el momento de la apertura del periodo de suscripción. c)

Si el tenedor de las acciones es una persona física, D puede tener un valor menor si ya está gravado con el impuesto a las ganancias, ya que la tasa de éste es progresiva, por lo cual una parte del valor del derecho puede estar sujeta a impuesto.

d) En muchos países, si el tenedor de las acciones fuera una sociedad, el gravamen a las ganancias es una tasa fija y alta al que habría que deducir como una pérdida si la sociedad está gravada sin considerar este ingreso. En la práctica, normalmente, no se toman en cuenta los incisos c) y d). Podría darse también el caso que se lleve a cabo primero la suscripción y luego se pague el dividendo. Si las acciones nuevas tienen un dividendo distinto a las antiguas, se introduce en el cálculo un factor r que es la relación entre la acción nueva y la antigua respecto del derecho de disfrute del dividendo: si la nueva percibe sólo medio dividendo r = 0,50; si percibe una cuarta parte, r = 0,25 y así sucesivamente (si no percibe nada, obviamente r = 0). Asimismo cabe considerar la posibilidad de que el dividendo se cobre en efectivo (De) con una tasa de o en acciones (Da) con una tasa da. En tal caso y con estos datos, el precio del derecho de suscripción preferente será, aplicando la fórmula (6.26): Pc =

Pm × (1+ da ) − De − Pe × (1+ da ) N × (1+ da ) + (1+ da )

(6.27)

Si se introduce el ya citado coeficiente r queda: Pc =

Pm × (1+ r × da ) − De × (1− r ) − Pe × (1+ da ) 1+ r × da + N × (1+ da )

(6.28)

donde Pc Precio teórico del derecho de suscripción preferente Pm Precio de mercado de la acción antigua, con los derechos de suscripción preferente y dividendos adheridos da Tasa de pago de dividendo en acciones De Monto del dividendo en efectivo r Relación entre la acción nueva y la antigua respecto del derecho de disfrute del dividendo Pe Precio de emisión de las acciones nuevas N Cantidad de derechos de suscripción preferente necesaria para suscribir una nueva acción A continuación se presentan ejemplos de aplicación.

6.7 La emisión de acciones

Ejemplo 6.27 Una acción se cotiza en 5 U.M. Se emiten acciones a la par en una proporción de una nueva por dos antiguas. Las acciones antiguas deben percibir después de la emisión 20% en efectivo y 30% en acciones. Las acciones nuevas poseen el derecho a solo una cuarta parte de ese dividendo en función de la fecha de emisión. Con estos datos: a)

Determine el precio del cupón de suscripción de las nuevas acciones.

b) Determine a cuánto ascenderá el precio ex derecho de suscripción preferente de las acciones. c)

Determine a cuánto asciende el precio de paridad de las acciones viejas ex derecho preferente de suscripción y dividendos.

Solución a)

Se identifica la fórmula que se aplicará, que en este caso es la (6.28). Pc =

Pm × (1+ r × da ) − De × (1− r ) − Pe × (1+ da ) 1+ r × da + N × (1+ da )

b) Se reemplazan los valores. Los datos para aplicar la fórmula son: r = 0,25 da = 0,30 de = 0,20 VN = 1 U.M. Pe = 1 U.M. De = de × VN = 0,20 U.M. N=2 Pm = 5 5,00 × (1+ 0,25 × 0,30) − 0,20 × (1− 0,25) − 1,00 × (1+ 0,30) (1+ 0,25 × 0,30) + 2 × (1+ 0,30) Pc = 1,06803 Pc =

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

c)

El precio de las acciones ex derecho de suscripción preferente y de dividendos será: Pex = Pm − Pc Pex = 5,00 − 1,06803 Pex = 3,93197 El precio de paridad de las acciones viejas ex derecho de suscripción preferente y dividendos se calcula mediante la fórmula pertinente: Pp =

Pex − c − De 1+ da

3,93197 − 0,20 1+ 0,30 3,73197 Pp = 1,30 Pp = 2,87075 Pp =

Por otra parte, si el derecho de suscripción preferente y derecho a los dividendos vale 1,06803 U.M., el valor de las acciones nuevas es la suma del valor nominal más el valor del derecho de suscripción preferente por el número de cupones necesarios, es decir: Valor acciones nuevas = 1,00 + (1,06803 × 2) Valor acciones nuevas = 1,00 + 2,13606 Valor acciones nuevas = 3,93197 A este valor hay que restarle 25% del dividendo en efectivo y 25% del dividendo en acciones: 3,13606 − 0,20 × 0,25 P 'p = 1+ 0,30 × 0,25 3,13606 − 0,05 P 'p = 1+ 0,075 3,08606 P 'p = 1,075 P ' p = 2,87075 donde Precio de paridad de las acciones nuevas ex derecho de dividendo P’p Como se observa, luego de realizados todos estos cálculos, los precios de paridad de las acciones nuevas y de las viejas resultan ser iguales.

6.7 La emisión de acciones

6.7.4 Caso en que se emitan acciones preferidas (preferentes) El cálculo del precio del derecho de suscripción preferente es igual que en el caso de las acciones ordinarias. Si el precio de mercado de la acción fuera inferior al valor nominal del título, el precio del derecho de suscripción preferente sería negativo, lo que indicaría que no existe interés en la suscripción. Además, en la legislación vigente de muchos países no se puede realizar una emisión de acciones en estas condiciones (bajo la par) porque se debería completar el valor nominal de la acción con reservas de libre disponibilidad.

6.7.5 Caso de emisión conjunta de acciones preferentes y ordinarias Cuando se lanza una emisión combinada de acciones ordinarias y preferidas, corresponde una cierta cantidad de acciones ordinarias y de acciones preferidas por cada acción ordinaria. En este caso se aplica la fórmula: Pc =

( Pmo − Peo ) × x + ( Pmp − Pep ) × y ( N + 1) × x + ( N + 1) × y

Si se reordenan los términos, quedará: Pc =

( Pmo − Peo ) × x + ( Pmp − Pep ) × y ( N + 1) × ( x + y )

(6.29)

donde Pmo Precio de mercado de las acciones ordinarias antes de la emisión, ex dividendo a que tengan aún derecho dichas acciones Peo Precio de emisión de las acciones ordinarias Pmp Precio de mercado de las acciones preferentes, ex dividendo Pep Precio de emisión de las acciones preferentes x Proporción de acciones ordinarias que se pueden suscribir con un cupón (es decir, con una acción ordinaria) y Proporción de acciones preferentes que se pueden suscribir con un cupón (es decir, con una acción ordinaria) N Relación de las acciones antiguas a las nuevas que se emiten Si x y y se expresan como fracción de la unidad, al ser la suma igual a 1, se simplifica el cálculo y puede suprimirse en el denominador (x + y):

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Pc =

( Pmo − Peo ) × x + ( Pmp − Pep ) × y ( N + 1)

(6.30)

donde Pmo Precio de mercado de las acciones ordinarias antes de la emisión, ex dividendo a que tengan aún derecho dichas acciones Peo Precio de emisión de las acciones ordinarias Pmp Precio de mercado de las acciones preferidas, ex dividendo Pep Precio de emisión de las acciones preferidas x Proporción de acciones ordinarias que se pueden suscribir con un cupón (o sea, con una acción ordinaria) y Proporción de acciones preferentes que se pueden suscribir con un cupón (o sea, con una acción ordinaria) N Relación de las acciones antiguas a las nuevas que se emiten

Ejemplo 6.28 La corporación La Camelia tiene en circulación 50.000.000 acciones ordinarias y 10.000.000 preferentes, ambas de VN = 1 U.M. y que se cotizan en el mercado a razón de 4,50 U.M. y 2,30 U.M., respectivamente. La empresa dispuso la emisión de 10.000.000 de acciones (80% acciones ordinarias y 20% preferentes ambas de VN = 1,00 U.M.). Las nuevas acciones se emiten a la par y se debe calcular el derecho de suscripción o valor al que podrán negociar los cupones los tenedores de acciones ordinarias y preferentes.

Solución a)

Se identifica la fórmula que se aplicará, que en este caso es la (6.30).

b) Con base en la siguiente información, se puede determinar el precio del cupón: Pmo = 4,50 U.M. Pmp = 2,30 U.M. Peo = 1 U.M. Pep = 1 U.M. x = 0,8 y = 0,2 N=5

6.7 La emisión de acciones

(4,50 − 1,00) × 0,80 + (2,30 − 1,00) × 0,20 5 +1 3,06 Pc = 6 Pc = 0,51 U.M. Pc =

6.7.6 Problemas propuestos 1. Una empresa posee un capital de 80.000.000 U.M. dividido en acciones con un valor nominal de 1 U.M. y que cotizan en bolsa a 4,70 U.M. La empresa dispuso un aumento del capital de 20.000.000 U.M., de igual valor nominal, emitidas a un precio de 2,30 U.M., es decir, con una prima de emisión de 1,30 U.M. cada acción. Se reserva el derecho de preferencia para estas nuevas acciones a los actuales tenedores de las acciones antiguas por los próximos 30 días. a)

Calcule la proporción de acciones antiguas a las nuevas (N).

b) Determine el precio de paridad al que se cotizarán las acciones luego de la emisión, suponiendo que toda la nueva emisión es suscrita y pagada por los inversores. c)

Calcule el valor del derecho de suscripción o precio del cupón de suscripción de las acciones nuevas.

Respuesta: a) 4; b) 4,22 U.M. y c) 0,48 U.M. 2. La Luciérnaga S.A. posee un capital de 1.000.000 de U.M. dividido en igual cantidad de acciones de 1 U.M. de valor nominal, que se cotizan en bolsa a razón de 4,40 U.M. cada una. Se propone aumentar el capital social 200.000 U.M. mediante la emisión de 200.000 acciones de igual valor nominal, a un precio de emisión de 2 U.M., es decir, con una prima de emisión de 1 U.M. cada una. Los tenedores de las acciones antiguas poseen el derecho de preferencia para suscribir las nuevas acciones, a razón de una acción nueva por cada cinco acciones antiguas. Calcule el precio de paridad ex derecho de suscripción preferente de la acción. Respuesta: 4,00 U.M. 3. Con los datos del ejercicio anterior, calcule el precio del derecho de suscripción, si las acciones se venden ex derecho de suscripción preferente. Respuesta: 0,40 U.M.

141

142

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

4. Las acciones de una empresa se cotizan a 8,30 U.M. Se emiten acciones con un precio de emisión de 2,70 en una proporción de 3 acciones antiguas por una nueva. Las acciones antiguas deben percibir después de la emisión un dividendo de 12% en efectivo y de 25% en acciones. Las acciones nuevas poseen el derecho a una tercera parte de ese dividendo en función de la fecha de emisión. a)

Calcule el precio del cupón de suscripción de las nuevas acciones.

b) Calcule el precio ex derecho de suscripción preferente de las acciones. c)

Determine el precio de paridad de las acciones viejas sin el derecho de suscripción preferente.

Respuesta: a) 1,14551724 U.M.; b) 7,55448276 U.M. y c) 5,94758621 U.M. 5. Una empresa industrial tiene en circulación un total de 20.000.000 de acciones comunes y 5.000.000 de acciones preferentes, todas con un valor nominal de 1 U.M. y derecho a un voto por acción. Las acciones ordinarias se cotizan a 3,70 U.M. y las preferentes a 2,80 U.M. En la última asamblea se dispuso la emisión de un total de 10.000.000 de acciones (80% comunes y 20% preferentes) con un valor nominal de 1 U.M. Las nuevas acciones se emiten a la par. Calcule el derecho de suscripción preferente o valor al que podrán negociar los cupones, tanto los tenedores de acciones ordinarias como preferentes. Respuesta: 0,72 U.M.

6.8

Medición del riesgo-retorno de la inversión en acciones

Dado que muchas veces se trabaja con las acciones en la idea de efectuar una diversificación para conformar una cartera de acciones, a continuación se analizan algunos elementos de gran utilidad para medir la rentabilidad y el riesgo de las inversiones a través del tiempo. Se otorgará especial importancia a la rentabilidad matemática y a la rentabilidad geométrica. Luego se analizarán distintas medidas del riesgo en la inversión de acciones, como la varianza, la covarianza, la semivarianza, el coeficiente beta, la media absoluta de los desvíos, coeficientes de Treynor y de Sharpe. Se debe poner mucha atención cuando se analice la volatilidad de los mercados. Se aclara que este análisis también es de utilidad para estudiar las inversiones en títulos de renta fija.

6.8 Medición del riesgo-retorno de la inversión en acciones

Para un desarrollo matemático de estos temas, se sugiere al lector recurrir al libro Estadísticas y econometría financiera, en el que se aborda la teoría y el uso de Excel y EViews para el estudio práctico.2

6.8.1 Medidas de rendimiento 6.8.1.1 Rendimiento aritmético La media aritmética también se conoce como promedio o media. La media poblacional μ (mu), se calcula de la siguiente manera: N

μ=

∑x

i

i =1

N

(6.31)

donde μ Media aritmética de una población xi Variable de interés N Representa el número de observaciones efectuadas Por otra parte, si se trata de la media muestral, en el caso de una muestra de tamaño n, este estadístico estará dado por: n ∑ xi (6.32) x = i =1 n donde x Representa el promedio muestral xi Variable de interés n Número de observaciones realizadas ∑ Operador de suma

6.8.1.2 Rendimiento geométrico La media geométrica, que mide el crecimiento geométrico (exponencial) de una variable determinada, se calcula de la siguiente manera: x =

n

n

∏r = i

n

r1 × r2 × r3 × ... × rn

(6.33)

i =1

1

Court Monteverde, Eduardo y Rengifo Minaya, Erick, Estadísticas y Econometría Financiera (Lima, Cengage Learning, 2011).

143

144

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

donde x Representa la media geométrica ri Rendimientos de la variable de interés n Número de observaciones en la muestra

∏

Operador de producto o productoria

Es importante notar que la media geométrica de una serie de números positivos siempre es menor que la media aritmética. En el siguiente ejemplo se comparan los dos tipos de medias y se demuestra que en casos relacionados con las finanzas, se debe utilizar la media geométrica.

Ejemplo 6.29 Suponga que un fondo mutuo menciona en su publicidad que en 5 años sus retornos promedio anuales han sido del 10%, —12%, 14%, 13% y —10%. Si un inversionista depositó 10.000 U.M. en él hace 5 años, ¿qué cantidad de dinero tiene al final del quinto año?

Solución a)

Primero se calculará la media aritmética: En promedio, el rendimiento de cada año sería igual a: 10 − 12 + 14 + 13 − 10 = 3% 5 Si se emplea la media aritmética, bajo el supuesto de capitalización anual, el inversionista tendría: x=

10.000 × (1+ 0,03) = 11.592,74 5

En realidad, este cálculo es incorrecto, ya que el dinero no crece a una tasa aritmética sino geométrica. Para entender esta cuestión se analiza el crecimiento real del dinero invertido: 10.000 × (1,1) × ( 0,88) × (1,14) × (1,13) × ( 0,90 ) = 11.222,7984 b) Para calcular el promedio o media geométrica, primero se determina el rendimiento de los 5 años: 11.222,7984 − 10.000 = 12,227984% 10.000 Por tanto, el interés promedio (geométrico) anual será igual a: 1 x = (11.222,7984) 5 − 1 = 0,02334 = 2,334%

6.8 Medición del riesgo-retorno de la inversión en acciones

Para verificar este resultado, se utilizará la fórmula de la media geométrica: x = 5 (1,1) × ( 0,88) × (1,14) × (1,13) × ( 0,90 ) − 1 = 0,02334 = 2,334% En este caso se ha sustraído 1 porque los números representan (1 + r). Con esto se evita que alguno de los números sea negativo (lo que puede hacer que la media geométrica sea negativa). Asimismo, utilizar (1 + r) tiene sentido financiero como en el ejemplo planteado. Como se puede apreciar y dado que todos los números son mayores que cero, la media geométrica (2,33%) es menor que la media aritmética (3%).

6.8.2 Medidas del riesgo Para obtener rendimientos mayores hay que asumir mayores riesgos. Visto desde otro ángulo, los inversores racionales y adversos al riesgo sólo están dispuestos a asumir dosis mayores de éste si esperan ser compensados por ello. Esta constatación no es necesariamente cierta en todo tiempo y lugar. Para que los mercados financieros funcionen como se supone en la teoría es necesario que la información sobre los activos financieros que se negocian en ellos esté disponible para todos los que participan al mismo tiempo y de la misma forma, con el fin que nadie pueda aprovecharse de información privilegiada. Cuando los mercados pueden asegurar que la participación en ellos es igualitaria se dice que los mercados son eficientes. Un mercado eficiente es aquél en el que nadie tiene ventaja sobre los demás participantes. De esta manera, la información disponible y la prevista se incorporan rápidamente con los precios de los activos financieros. No todos los mercados son eficientes todo el tiempo. La eficiencia no es una característica que se pueda decretar, sino que hay que crear las condiciones para que se produzca. Mercados sin barreras de entrada, con información libre y de bajo coste pero con pocos participantes y pocas transacciones son mercados poco eficientes. Por ello reviste interés analizar los distintos indicadores de riesgo de los activos financieros, muchos de los cuales se estudian en la teoría de cartera o de portafolio. Se utilizarán los datos que se presentan en la siguiente tabla para los ejemplos que se desarrollan en esta sección. Tabla 6.1 Retornos cartera de inversiones

Año

Retornos de un portafolio de inversiones (%)

20X0

9

20X1

10

20X2

7

145

146

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Año

Retornos de un portafolio de inversiones (%)

20X3

3

20X4

7

20X5

5

20X6

7

20X7

6

20X8

4

20X9

8

6.8.2.1 Varianza y desviación estándar La varianza y la desviación estándar son dos de los estadísticos que más se utilizan en la práctica. La varianza mide la dispersión de los datos respecto a la media aritmética. La fórmula de la varianza poblacional, que a partir del momento se conocerá como la letra griega σ 2 es la siguiente: N

∑(x − x )

2

i

σ2 =

i =1

N

(6.34)

donde σ 2 Varianza de la población x i Variable de interés x Promedio muestral N Número de observaciones en la población Por su parte, la fórmula para calcular la varianza muestral es: n

∑(x − x )

2

i

s2 =

i =1

n −1

(6.35)

donde s2 Varianza de la muestra x i Variable de interés x Representa el promedio muestral n Representa el número de observaciones de la muestra Se advierte que para calcular la varianza muestral se utiliza (n — 1). Con esto se asegura que la varianza muestral (s2) sea un mejor estimador que la varianza poblacional ( σ 2 ). Ahora bien, cuando el tamaño de la muestra es grande, n — 1 será aproximadamente igual a n, por lo que este denominador tiene un efecto real en el cálculo de la varianza en el caso de muestras pequeñas.

6.8 Medición del riesgo-retorno de la inversión en acciones

La desviación estándar se define como la parte positiva de la raíz cuadrada de la varianza, es decir:

σ =+ σ2

(6.36)

donde σ Desviación estándar de la población σ 2 Varianza de la población Además, s = + s2

(6.37)

donde s Desviación estándar de la muestra s2 Varianza de la muestra El procedimiento para calcular la varianza y la desviación estándar es el siguiente: Tabla 6.2 Cálculo de la varianza y la desviación estándar

Año 20X0

Retornos de un portafolio de inversiones (%) Desviación de la media xi ( xi − x ) 9 2,4

Cuadrado de la desviación de la media

xi − x 5,76

20X1

10

3,4

11,56

20X2

7

0,4

0,16

20X3

3

—3,6

12,96

20X4

7

0,4

0,16

20X5

5

—1,6

2,56

20X6

7

0,4

0,16

20X7

6

—0,6

0,36

20X8

4

—2,6

6,76

20X9

8

1,4

1,96

Suma

66

0,0

42,40

Media

6,6

De esta forma, la varianza será igual a: s2 =

42,4 = 4,711 10 − 1

2

147

148

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Y la desviación estándar igual a

4,71 = 2,17. s = 4,711 = 2,1705

6.8.2.2 Desviación media absoluta La media absoluta de las desviaciones mide la dispersión de los datos con respecto a la media. En este caso, para medir la dispersión (o distancia de cada observación respecto de la media) se utiliza el valor absoluto de la diferencia de cada observación con respecto a la media. La fórmula para calcular este estadístico está dado por: N

MAD donde MAD xi μ N

∑x i 1

i

μ

(6.38)

N

Desviación media absoluta de los rendimientos del activo i Variable de interés Media aritmética de una población Número de observaciones en la población

Para el caso poblacional y para el muestral: n

∑ x −x i

MAD = donde MAD xi x n

i =1

(6.39)

n

Desviación media absoluta de los rendimientos del activo i Variable de interés Promedio muestral Número de periodos

El procedimiento para calcular este estadístico se presenta a continuación: Tabla 6.3 Cálculo de la media absoluta de las desviaciones

Valor absoluto de la desviación de la media

Año

Retornos de un portafolio de inversiones (%) xi

Desviación de la media ( xi − x )

20X0

9

2,4

2,4

20X1

10

3,4

3,4

20X2

7

0,4

0,4

20X3

3

—3,6

3,6

xi − x

6.8 Medición del riesgo-retorno de la inversión en acciones

Valor absoluto de la desviación de la media

Año

Retornos de un portafolio de inversiones (%) xi

20X4

7

20X5

5

—1,6

1,6

20X6

7

0,4

0,4

20X7

6

—0,6

0,6

20X8

4

—2,6

2,6

20X9

8

1,4

1,4

Suma

66

0,0

16,8

Media

6,6

Desviación de la media ( xi − x ) 0,4

xi − x 0,4

Por tanto, MAD será igual a: MAD =

2,4 + 3,4 + 0,4 + 3,6 + 0,4 + 1,6 + 0,4 + 0,6 + 2,6 + 1,4 16,8 = = 1,68 10 10

En consecuencia, la MAD será igual a 1,68, lo que indica que en promedio los retornos del portafolio durante estos 10 años han estado a 1,68% de la media.

6.8.2.3 La semivarianza La semivarianza es una medida de dispersión de los datos semejante a la varianza pero que sólo considera los valores menores a la media o a algún valor determinado. La fórmula para calcularla es exactamente igual a la que se emplea para determinar la varianza, es decir: n

∑ (x − x )

2

i

sv = 2

i =1

n

para ∀ x i < x

(6.40)

donde sv2 Semivarianza de la muestra xi Variable de interés x Representa el promedio muestral n Número de observaciones de la muestra Observe que, si bien la fórmula es la misma, los valores que se utilizan sólo son los menores a la media. Esta medida de dispersión se utiliza bastante en manejo de riesgos financieros y es considerada una medida de riesgo de pérdidas (conocido en inglés como downside risk).

149

150

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

El procedimiento para calcular la semivarianza y la semidesviación estándar es el siguiente: Tabla 6.4 Cálculo de la semivarianza

Año

Retornos de un portafolio de inversiones menores a la media de 6,6 (%) xi

Cuadrado de la desviación de la media

20X3

3

Desviación de la media ( xi − x ) —3,6

20X5

5

—1,6

2,56

20X7

6

—0,6

0,36

20X8

4

—2,6

6,76

Suma

66

—8,4

22,64

Media

xi − x

2

12,96

6,6 Advierta que la media corresponde a la media estimada con todas las observaciones. De esta forma, la semivarianza será igual a: s2 =

22,64 = 5,66 4

Y la desviación estándar del riesgo de pérdida será igual a 5,66 = 2,38 .

6.8.2.4 La covarianza y el coeficiente de correlación La covarianza y el coeficiente de correlación son medidas de dependencia lineal entre dos variables. Este coeficiente es muy usual en la teoría del portafolio y está fundamentalmente ligado al concepto de diversificación. El coeficiente de correlación entre dos variables (x e y) es una función de la covarianza, la cual se calcula de la siguiente manera: Cov( x , y ) = σ y ,x = donde σ y ,x N E xi x yi y

1 × E[( x i − x ) × ( y i − y )] N

Covarianza entre x e y Tamaño de la población Operador de esperanza matemática Valores de la variable x Media de los valores de la variable x Valores de la variable y Media de los valores de la variable y

(6.41)

6.8 Medición del riesgo-retorno de la inversión en acciones

Asimismo, la covarianza muestral se calcula de la siguiente manera: Cov ( x , y ) = s y ,x =

n 1 × ∑ ( yi − y ) × (xi − x ) n − 1 i =1

Cov ( x , y ) = s y ,x =

n 1 × ∑ y i .x i − n × y × x n − 1 i =1

(6.42)

donde s y ,x Covarianza entre x e y n Tamaño de la muestra xi Valores de la variable x x Media de los valores de la variable x yi Valores de la variable y y Media de los valores de la variable y Se advierte que se utiliza s y ,x para referirse a la covarianza muestral. Con base en esto, la correlación muestral se define como: R=

s y ,x s y × sx

(6.43)

donde R Coeficiente de correlación s y ,x Covarianza entre x e y sx Desviación estándar de x sy Desviación estándar de y El coeficiente de correlación es un número definido entre: −1 ≤ R ≤ +1 El coeficiente de correlación, muestra dos tipos de información: a)

El signo del coeficiente de correlación indica el tipo de relación entre x e y. Si R < 0 existe una relación indirecta entre las variables, R > 0 indica que existe una relación directa o positiva y R = 0, indica que x e y son variables no correlacionadas.

b) El número propiamente dicho, indica la magnitud o fuerza de esta relación. La magnitud del coeficiente de correlación se utiliza para realizar comparaciones. En este punto es importante señalar que no correlación no necesariamente implica independencia estadística. Independencia estadística es un término general que se refiere al hecho de que la probabilidad de ocurrencia de un evento no ejerce ningún efecto en la probabilidad de ocurrencia de otro. No correlación es sinónimo de independencia estadística si y sólo si cada una de las variables sigue una distribución normal. Pero éste no será un resultado general, sino particular.

151

152

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

6.8.2.5 El coeficiente beta En términos matemáticos, el coeficiente beta (β) se define como:

β=

cov( x , y ) var( y )

(6.44)

donde

β cov( x , y ) var( y )

Coeficiente beta Covarianza entre los activos x e y Varianza del activo y

Es decir, el coeficiente beta mide la volatilidad del activo x respecto a la variabilidad del activo y. Este coeficiente se utiliza mucho en finanzas, donde x se reemplaza por los retornos de un activo en particular (IBM, por ejemplo) y donde y se reemplaza por los retornos de algún índice de mercado (por ejemplo, el índice S&P 500). Este coeficiente es también parte del modelo de valorización de activos financieros, más conocido como CAPM (Capital Asset Pricing Model): ri − rf = β × ( rm − rf

)

(6.45)

donde ri Retornos del activo i rf Tasa libre de riesgo β Coeficiente beta rm Rentabilidad del índice de mercado En este caso, el coeficiente beta es una medida de la contribución marginal al riesgo sistemático (no diversificable) total de un portafolio. Es importante notar que este coeficiente es una medida de dispersión relativa, es decir, mide la dispersión de un retorno en particular con respecto a la variabilidad del mercado. En este sentido, se pueden distinguir cuatro casos: a)

β = 1, en este caso, si el mercado se mueve en algún porcentaje dado, el activo hará exactamente lo mismo. Por ejemplo, si el mercado se mueve 1%, el activo también se moverá 1%.

b)

β < 1 , en este caso, si el mercado se mueve algún porcentaje dado, el activo se moverá en menor magnitud. Por ejemplo, suponga que un activo tiene un coeficiente beta igual a 0,75. Entonces, si el mercado se mueve 1%, el activo se moverá solo 0,75%.

c)

β > 1 , en este caso, si el mercado se mueve algún porcentaje dado, el activo se moverá en mayor magnitud. Por ejemplo, suponga que un activo tiene un coeficiente beta igual a 1,20. Entonces, si el mercado se mueve en 1%, el activo se moverá 1,25%.

6.8 Medición del riesgo-retorno de la inversión en acciones

d)

β < 0 , en este caso, si el mercado se mueve en una dirección, el activo se moverá en la dirección contraria, o sea, si el mercado sube, el activo financiero baja, y a la inversa. Es muy poco frecuente encontrarlo, pero se da cada tanto en los mercados.

Es importante señalar que, por lo general, el coeficiente beta se estima mediante la técnica econométrica de Mínimos cuadrados ordinarios (MCO). Para una explicación detallada se le recomienda leer el capítulo 9 del libro Estadísticas y econometría financiera.3

6.8.2.6 El coeficiente de Sharpe El coeficiente de Sharpe se define como: S= donde S E (ri ) rf σi

E (ri ) − rf

σi

(6.46)

Coeficiente de Sharpe Retornos esperados del activo i Tasa libre de riesgo Desviación estándar del mismo activo

El coeficiente o ratio de Sharpe mide el premio por riesgo esperado sobre el riesgo del activo (medido por su desviación estándar). Este ratio es bastante utilizado en teoría del portafolio para determinar la cartera de mercado que resulta de combinar un portafolio de activos riesgosos con un activo libre de riesgo. Este ratio se utiliza para comparar dos o más inversiones. Se prefieren aquellas con mayor ratio de Sharpe, ya que ello es un indicador de mayor retorno esperado por unidad de riesgo tomado. Al igual que el ratio de Treynor que se explica más adelante, este ratio es normalmente utilizado para clasificar inversiones al interior del mismo portafolio.

6.8.2.7 El coeficiente de información El coeficiente de información es muy similar al ratio de Sharpe, con la única diferencia de que el riesgo se mide no como la desviación estándar de los retornos del activo, sino como la desviación estándar de la prima por riesgo, es decir: I=

3

E (ri ) − rf var(ri − rf )

Court Monteverde, Eduardo y Rengifo Minaya, Erick, op. cit.

(6.47)

153

154

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

donde I Coeficiente de información E (ri ) Retornos esperados del activo i rf Tasa libre de riesgo Por lo general, los inversores que sienten aversión al riesgo se preocupan por la volatilidad total de sus inversiones. Por tanto, la evaluación del desempeño de un determinado activo o cartera, puede considerar —en consecuencia— la totalidad de la volatilidad (riesgo sistemático y riesgo no sistemático) de la cartera, en cuyo caso se estaría tomando en cuenta la desviación estándar.

6.8.2.8 El índice de Treynor El coeficiente de Treynor, también conocido como ratio de beneficio por riesgo, se define como: T=

ri − rf

βi

(6.48)

donde T Coeficiente de Treynor ri Representa los retornos del activo i rf Tasa libre de riesgo βi Coeficiente beta del activo i Como se puede apreciar en la fórmula, este coeficiente mide el premio por riesgo (el retorno del activo menos el retorno del activo libre de riesgo) como porcentaje el riesgo no diversificable tomado (en este caso, el riesgo no diversificable es estimado por el coeficiente beta que se explicó en la sección anterior). En este sentido, cuanto más grande sea este ratio, mayor será el premio por unidad de riesgo sistemático. Este ratio sólo se utiliza para clasificar los activos que conforman un portafolio. Es decir, para clasificar los activos con base en sus premios por riesgo sistemático respecto de su contribución al riesgo sistemático del portafolio.

6.8.3 La volatilidad de las acciones Para un estudio detallado de este tema, se le sugiere analizar el capítulo 13 del libro Estadísticas y econometría financiera.4 A continuación se procede a hacer una breve descripción de los aspectos más importantes de este tópico.

4

Ibídem.

6.8 Medición del riesgo-retorno de la inversión en acciones

Por lo general, la volatilidad se estima mediante la varianza o desviación estándar, como se mencionó en la sección 6.8.2.1. A esta forma de varianza se le conoce como varianza incondicional o varianza histórica. La desviación estándar simplemente corresponde a la parte positiva de la raíz de la varianza. Una vez estimada esta varianza, se emplea como el pronóstico para los periodos futuros de interés. Es decir, que si se tienen datos hasta el periodo t, después de calcular la varianza, se debe utilizar ese valor como el valor pronosticado de los periodos t + 1, t + 2, etcétera. El problema con esta forma de pronosticar la volatilidad de las acciones es que si existe una observación extrema en el periodo (t – j) que generó que la varianza tome un valor muy grande, el efecto de éste permanecerá indefinidamente en el cálculo de la varianza. Esto se debe a que cada observación recibe el mismo peso en las ecuaciones que se presentaron en la sección 6.8.2.1. Una forma de solventar este problema es buscar la manera de dar más peso a las observaciones recientes y menos a las más antiguas mediante los promedios móviles ponderados exponencialmente (EWMA, en inglés). La forma general de este modelo toma la siguiente forma: ∞

σ t2 = (1− δ ) × ∑δ i −1 × ( x t − i − x )2

(6.49)

i =1

donde σ t2 Varianza para el periodo t δ Factor de decrecimiento x t − i Valor observado en el periodo t − i x Media de los valores de la variable x Obviamente, como no se tienen infinitos rezagos, en la práctica esta suma se trunca con base en el número de observaciones con las que se cuenta. Por lo general, se supone que este parámetro δ es igual a 0,94. Al igual que en el caso de la varianza histórica, los pronósticos serán iguales al valor estimado más reciente. Finalmente, otra forma de estimar y hacer pronósticos sobre la volatilidad de un proceso estocástico es mediante los procesos autorregresivos. En esta sección se mencionan dos de los métodos más usuales para estimar la volatilidad diaria de los retornos de las acciones. El primer método se basa en estimar la volatilidad como los retornos al cuadrado. En primer lugar se consideran los retornos en un determinado periodo, por lo general, un día o una semana y se estima la volatilidad de la siguiente manera: n

σ t2 = ∑ ri2 i =1

donde σ t2 Varianza en el periodo t ri Retornos del activo i n Número de retornos observados en un periodo dado

(6.50)

155

156

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

El segundo método se basa en estimar el rango de los precios (precio más alto menos precio más bajo) de un determinado instrumento financiero en un cierto periodo (un día, por ejemplo). En este caso la volatilidad se estima como: 2 t

= ln

( precio más alto )t ( precio más bajo )t

(6.51)

Una vez calculados estos estimadores se procede a construir un modelo de series de tiempo como los que se explican en el capítulo 12 del libro Estadísticas y econometría financiera, modelos ARMA(p,q) de la siguiente manera: p

q

i =1

j =1

σ t2 = μ + ∑φi × σ t2− i + ∑θ j × ut − j + ut

(6.52)

Finalmente, es importante mencionar que existe un modelo econométrico que se utiliza mucho para estimar la volatilidad de los retornos de las acciones, el modelo GARCH(p,q), el cual se define de la siguiente manera:

zt

ut

t

zt i.i.d. D(0,1) q

2 t

i

(6.53) ut2 i +

i 1

p

2 t j

j j 1

donde D(.) Densidad de probabilidad de zt, que representa al error estandarizado σ t2 Varianza condicional Se advierte que en este modelo la varianza condicional no sólo depende de los errores rezagados al cuadrado, sino también de los rezagos de la misma varianza condicional. En este modelo, p se refiere al número de rezagos de la varianza condicional. Por ejemplo, el modelo GARCH(1,1), con zt que se distribuye como una normal estándar, sería: ut

zt

t

zt i.i.d. N(0,1) 2 t

2 t 1

u

(6.54) 2 t 1

En este modelo, la varianza condicional se puede descomponer en la varianza de largo plazo (ω); la parte explicada por volatilidad de los periodos previos q

ut2 i y la parte que representa la influencia de la varianza condicional reza-

i i 1 p

gada

j j 1

2 t j

.

6.9 Métodos de valoración de acciones

Para un tratamiento detallado, se le sugiere recurrir al capítulo 13 del libro Estadísticas y econometría financiera, en donde se efectúa el abordaje teórico y el uso del programa EViews para el cálculo práctico.

6.9

Métodos de valoración de acciones

6.9.1 Métodos de valoración por descuento de flujo de fondos: el criterio de perpetuidad 6.9.1.1 El modelo de Gordon–Shapiro a. Introducción El modelo de Gordon–Shapiro es una herramienta de descuento de dividendos de una o más etapas, que se utiliza para determinar el valor intrínseco de una acción sobre la base de una serie futura de dividendos que crecen a una tasa constante. Dado un dividendo por acción que es pagable en un año y el supuesto de que el dividendo crece a una tasa constante a perpetuidad, el modelo resuelve el valor presente de una serie infinita de dividendos futuros. El modelo de descuento de dividendos puede ser de una etapa o varias etapas, es decir, un modelo de dos o tres etapas, como se analizará a continuación. b. El modelo de descuento de dividendos El modelo de descuento de dividendos (MDD) es la herramienta financiera que se emplea para valorar las acciones de una empresa de acuerdo con el valor presente de los dividendos futuros que ésta pagará. Estos dividendos futuros dependen de su naturaleza y para ello, diferentes autores han planteado tres fórmulas que tratan de modelar la condición que presentan los dividendos de las acciones en el trascurso del tiempo. Una de ellas es la de Gordon-Shapiro. Como ya se mencionó en la parte introductoria, el modelo de descuento de dividendos puede ser de una etapa, pero también hay modelos multietapas, que se caracterizan porque aplican distintas tasas de crecimiento de dividendos, en diferentes periodos. El modelo de una etapa permite calcular el precio de la acción de una empresa hoy, con una sola etapa de crecimiento estable. Por su parte, el modelo de dos etapas está diseñado para calcular hoy el precio de la acción de una empresa, con dos etapas de crecimiento, un periodo inicial de crecimiento mayor y uno subsecuente de crecimiento estable.

5

Ibídem.

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158

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Supone que la empresa espera crecer a una tasa alta durante un primer periodo, pero esta tasa cae al final de éste a una tasa estable. El ratio de pago de dividendos (payout ratio) es consistente con la tasa de crecimiento esperada. Además, asume que este ratio y el costo de las acciones (equity) son constantes, lo que impone limitaciones al modelo. Se puede aplicar el modelo de descuento de dos etapas para calcular el valor de una acción cuando los dividendos tienen dos tasas de crecimiento. Para aplicarlo se supone que el dividendo por acción (DPA) y el beneficio por acción crecen a una tasa g hasta el año n y que a partir del año (n + 1) crecen a una tasa gn, que es la tasa de crecimiento de dividendos que se caracteriza por ser menor con respecto a la del primer periodo. Luego, el dividendo por acción del año n es: DPAn = DPA1 × (1+ g )n -1 Por su parte, el dividendo por acción en el año (n + 1) es: DPAn +1 = DPA1 × (1+ g )n -1 × (1+ g n )

(6.55)

donde DPAn Dividendos por acción en el periodo n g Tasa de crecimiento de los dividendos por acción n Número de periodos En la figura 6.2 se pueden representar las diferentes etapas de crecimiento. Figura 6.2. Crecimiento de los dividendos por acción en dos etapas

Crecimiento del DPA

g gn

0

Años

El salto de crecimiento, de g a gn, inmediatamente, sucede pocas veces.

6.9 Métodos de valoración de acciones

Para determinar el precio de una acción se puede hacer lo siguiente: si el dividendo por acción en el periodo 0 crece a una tasa muy alta g hasta el periodo t y, luego, a una tasa de crecimiento menor gn, se puede calcular así el precio: P0 = PV ( DPAt ) + PV ( DPAt )'

(6.56)

donde

P0 Precio de la acción hoy PV(DPAt) Valor presente de los dividendos en el periodo de crecimiento muy alto PV(DPAt)’ Valor presente de los dividendos en el periodo de crecimiento normal t

Se desarrolla la ecuación (6.32) del precio de la acción: P0 =

DPA1 DPA2 DPA3 + P3 + + (1+ Ke ) (1+ Ke )2 (1+ Ke )3

(6.57)

donde Ke Costo del capital (equity) P3 Precio de la acción en el periodo 3 DPAt Dividendos en el periodo t Se cumple que: DPA1 = DPA0 × (1+ g ) DPA2 = DPA0 × (1+ g )2 DPA3 = DPA0 × (1+ g )3 P3 = DPA4 ( Ke + g n ) donde g y gn son las tasas de crecimiento de los dividendos. Por otro lado, el modelo de tres etapas está diseñado para calcular el precio de la acción de una empresa hoy, con tres etapas de crecimiento, una fase inicial de alto crecimiento estable que dura cierto periodo, una segunda fase o periodo de transición de crecimiento declinante y una tercera fase en que la tasa es de crecimiento estable. El modelo supone que hoy la empresa está en una fase de crecimiento extraordinario, que se espera dure un periodo inicial específico, la tasa de crecimiento declina linealmente durante el periodo de transición a una tasa de crecimiento estable y el ratio de pago de dividendos de la empresa cambia según lo hace la tasa de crecimiento. Considere que el dividendo por acción crece a una tasa inicial g durante N1 años. A partir de N1, hasta el año N2 la tasa de crecimiento declina hasta llegar a la

159

160

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

tasa gn. A partir de entonces, crece todos los años a la tasa gn, lo cual se puede observar en la figura 6.3. Figura 6.3 Crecimiento de los dividendos por acción en tres etapas

Crecimiento del DPA g1

gn

N1

N2

Años

Sobre la base de este modelo, el precio de la acción es hoy: P0 = ∑

DPAN2 × (1+ g n ) DPA0 (1+ g i )t DPAt +∑ + t t (1+ Ke ) (1+ Ke ) ( Ke − g n ) × (1+ Ke )N2

(6.58)

donde DPAt Dividendo por acción en el periodo t (t = 0, 1, 2, 3) Ke Costo del capital propio (equity) gi Tasa de crecimiento de los dividendos en el periodo t c. La ecuación del valor La fórmula de Gordon-Shapiro plantea que el dividendo por acción crece a una tasa o porcentaje fijo g en cada periodo. También muestra que el valor de una acción hoy es igual al dividendo por acción descontado por la diferencia entre la rentabilidad mínima exigida por los accionistas (Ke) y la tasa de crecimiento (g). Se plantean tres hipótesis: a)

Dividendos pagados en porcentajes a lo largo del tiempo.

b) Tasa de rendimiento constante para todas las inversiones futuras de la empresa. c)

Descuento de los dividendos esperados a una tasa constante de rentabilidad exigida.

6.9 Métodos de valoración de acciones

La valoración que hace el mercado de las acciones de una sociedad es la suma de la rentabilidad por dividendos y del crecimiento de dicho dividendo. Para que los beneficios adicionales que obtenga la sociedad sean tenidos en cuenta por el mercado, la rentabilidad esperada de las nuevas inversiones debe ser superior al rendimiento exigido por los accionistas. P0 = donde P0 DPA Ke g

DPA Ke − g

Valor de una acción hoy Dividendos por acción Costo del capital propio (equity) Tasa de crecimiento de los dividendos

d. Derivación de la ecuación El modelo de Gordon–Shapiro se deriva de un modelo de descuento de dividendos que supone que los dividendos crecen de un periodo al siguiente siempre a la misma tasa. En particular, se espera que los dividendos por acción pagados por una empresa durante el año anterior D0 crezcan a una tasa dada g, para que los dividendos esperados durante el año siguiente D1 sean iguales a D0 × (1 + g). De nuevo, se espera que los dividendos del año posterior crezcan a la misma tasa g, lo que significa que D2 = D1 × (1 + g). Afirmar que D1 = D0 × (1 + g) y que la tasa de crecimiento es constante, equivale a suponer que D2 = D1 (1 + g) y, en general, que Dt × (1 + g) = Dt – 1 × (1 + g) = D0 (1 + g)t. El efecto de este supuesto puede analizarse en la siguiente fórmula, en la que t se observa lo que sucede cuando se reemplaza D1 por D0 × (1 + g ) . D0 (1+ g )t t t =1 (1 + Ke ) ∞

P0 = ∑

donde P0 Valor de una acción hoy D0 Valor de los dividendos en el periodo 0 g Tasa de crecimiento de los dividendos Ke Costo del capital propio (equity) t Periodo (por ejemplo, t = 0 es periodo cero) Se puede simplificar teniendo en cuenta que D0 es un monto de dinero fijo y, por tanto, se puede escribir fuera del signo de sumatoria: ⎡ ∞ (1+ g )t ⎤ P0 = D0 × ⎢ ∑ t ⎥ ⎣ t =1 (1+ Ke ) ⎦

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

donde P0 Valor de una acción hoy D0 Valor de los dividendos en el periodo 0 g Tasa de crecimiento de los dividendos Ke Costo del capital propio (equity) t Periodo (por ejemplo, t = 0 es periodo cero) El siguiente paso es aplicar la propiedad de series infinitas: Si Ke > g, entonces puede mostrarse que: ⎡ ∞ (1+ g )t ⎤ (1+ g ) ⎢ ∑ (1+ Ke )t ⎥ = ( Ke - g ) ⎦ ⎣ t =1 donde g Tasa de crecimiento de los dividendos Ke Tasa de rendimiento requerida o costo del capital propio (equity) t Periodo (por ejemplo, t = 0 es periodo cero) Al reemplazar la última fórmula en la inmediata anterior da como resultado la fórmula de valuación del modelo de crecimiento constante: P0 = D0 ×

(1+ g ) ( Ke − g )

(6.59)

donde P0 Valor de una acción hoy D0 Valor de los dividendos en el periodo 0 g Tasa de crecimiento de los dividendos Ke Tasa de rendimiento requerida Dado que D1 = D0 × (1 + g), la fórmula anterior puede reescribirse como: P0 =

D1 ( Ke − g )

(6.60)

donde P0 Valor de una acción hoy D1 Valor de los dividendos por acción en el periodo 1 Ke Tasa de rendimiento requerida (rentabilidad mínima exigida a las acciones) g Tasa de crecimiento de los dividendos La ecuación (6.59) puede reformularse para resolver la tasa interna de rendimiento de una inversión con un valor de crecimiento constante (k*). Luego, k* se sustituye por Ke. Así: ⎛ 1+ g ⎞ P0 = D0 × ⎜ ⎝ k * − g ⎟⎠

6.9 Métodos de valoración de acciones

donde P0 Valor de una acción hoy D0 Valor de los dividendos por acción en el periodo 0 k* Tasa interna de rendimiento de una inversión en un valor de crecimiento constante g Tasa de crecimiento de los dividendos Lo que puede reescribirse así: k* =

D0 × (1− g ) +g P0

k* =

D1 +g P0

(6.61)

donde k* Tasa interna de rendimiento de una inversión en un valor de crecimiento constante D1 Valor de los dividendos por acción en el periodo 1 g Tasa de crecimiento de los dividendos P0 Valor de una acción hoy

Ejemplo 6.30 El precio de la acción de la Empresa de Generación Eléctrica el 1° de abril de 1998 fue de 23,2 U.M. El dividendo por acción de 1997 fue de 0,463 U.M. Si la rentabilidad exigida por los accionistas de dicha empresa era de 8,5%, determine la tasa de crecimiento de los dividendos de esta acción (g).

Solución a)

Se determinan los valores que se requieren para calcular la tasa de crecimiento de los dividendos. Así, se tiene que P0 = 23,2 U.M., DPA = 0,463 U.M. y, finalmente, Ke es de 8,5%. 0,463 × (1+ g ) b) Se reemplazan los valores en la ecuación (6.59). Así se tiene 23,2 = . 0,085 − g Luego, g = 0,0638.

Ejemplo 6.31 Se conoce que la empresa El Mueble: 1. Pagó dividendos durante 2007 de 3 U.M. por acción. 2. Se espera que los dividendos por acción crezcan 2% por año, durante un periodo permanente o indefinido. 3. La tasa de rendimiento requerida Ke es de 12%.

163

164

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Con esta información: a)

Calcule el valor de una acción de El Mueble.

b) Si el precio actual de la acción es de 15 U.M. ¿está valorada o no a un precio excesivo? ¿Qué debe hacer un inversionista?

Solución a)

Calcule el valor de una acción de El Mueble. Se procede a estimar el valor de una acción utilizando el modelo de crecimiento constante por medio de la ecuación (6.59). Así se tiene que:

3 × (1+ 0,02) = 30,60 U.M. (0,12 − 0,02) b) Si el precio actual de la acción es de 15 U.M., ¿está o no valorada a un precio excesivo? ¿Qué debe hacer un inversionista? P0 =

Dado que el precio de 30,60 U.M. es mayor que el precio actual de la acción en el mercado de 15,00 U.M., la acción tiene un precio 15,60 U.M. inferior. Un inversionista debería comprar más de estas acciones. Si ahora se estima la tasa interna de rendimiento de una inversión en un valor de crecimiento constante k* mediante la expresión planteada para las acciones de la empresa, resulta que es igual a 12%. Así: D1 +g P D × (1+ g ) +g k* = 0 P 3 × (1+ 0,02) +g k* = 30,60 3,06 + 0,02 k* = 30,60

k* =

k* = 0,12 o 12% La tasa de rendimiento requerida (12%) es igual a la tasa interna de rendimiento de una inversión en esta empresa (12%). e. Cálculo de la tasa de crecimiento constante g La letra g es la tasa de crecimiento de los beneficios. Para estimarla, se observa qué porcentaje de rendimiento tiene capacidad la empresa de obtener sobre el dinero que no paga como dividendos. Se estima mediante la siguiente fórmula: g = ROE × (1− payout)

(6.62)

6.9 Métodos de valoración de acciones

donde

g Tasa de crecimiento de los dividendos ROE Retorno sobre el capital Payout Porcentaje de los beneficios que se utilizan para pagar dividendos

Al utilizar esta fórmula, se supone que el payout y el ROE no cambian.

Ejemplo 6.32 De Grupo Amazon se sabe que: Su beneficio representó 12% de sus fondos propios el año anterior (ROE). Distribuye 40% de sus beneficios en dividendos. ¿A qué ritmo crecerán los beneficios de la empresa?

Solución Cuando se pregunta a qué ritmo crecerán los beneficios, se está preguntando a qué tasa de crecimiento constante lo harán. Para esto, si se supone que la empresa: Continuará gozando de un rendimiento de 12% sobre los recursos que mantenga. Entregará 40% de sus beneficios en dividendos. g = ROE × (1− payout) g = 0,12 × (1− 0,40) g = 0,07 o 7,2% Sugerencia: i.

En empresas muy cíclicas, con beneficios y ROE que fluctúan de un modo considerable, y en las que también el payout puede variar significativamente con base en la política financiera, pero no siempre en la misma dirección que el ROE, es recomendable utilizar promedios históricos en lugar de cifras precisas de un ejercicio.

165

166

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Ejemplo 6.33 De la empresa La Rotonda se conoce que: Variable

Año 1

Año 2

ROE

6,0%

14,0%

Payout

40,0%

20,0%

Tasa de crecimiento de los dividendos g

2,5%

10,0%

¿Qué tasa de crecimiento de dividendos debería utilizarse?

Solución Se siguen los siguientes pasos: a)

Se calcula la media de los dos años para las tasas ROE y Payout. Así: ROE1999 + ROE2000 2 6% + 14% ROE = = 10% 2 Payout1999 + Payout 2000 Payout = 2 40% + 20% Payout = = 30% 2 ROE =

Las medias de las tasas ROE y Payout son 10% y 30%. b) Se emplean estos valores para calcular la tasa g. g = ROE × (1− payout) g = 0,10 × (1− 0,30) g = 0,07 o 7% Debería utilizarse una tasa de crecimiento de 7%. ii.

En el caso de empresas con crecimiento muy alto, es razonable pensar que esta tasa no se mantendrá constante; de este modo, por ello, es recomendable no utilizarla para calcular la rentabilidad exigida a las acciones pues de hacerlo se la sobrestimaría. Tampoco sirve para determinar el precio de una acción.

6.9 Métodos de valoración de acciones

iii. Para determinar el precio de una acción se puede hacer lo siguiente: si el dividendo en el periodo 0 crece a una tasa muy alta g hasta el periodo t y, luego, a una tasa de crecimiento menor gn, se puede calcular el precio así:6 P0 = PV(DIVt ) + PV(DIVt )′ donde

Po Precio de la acción hoy PV(DIVt) Valor presente de los dividendos en el periodo de crecimiento muy alto PV(DIVt)’ Valor presente de los dividendos en el periodo de crecimiento normal r Tasa de interés Se desarrolla la expresión del precio de la acción: P0 =

DIV1 DIV2 DIV3 + P3 + + + (1+ r ) (1+ r )2 (1+ r )3

donde DIV1 = DIV0 × (1+ g ) DIV2 = DIV0 × (1+ g )2 DIV2 = DIV0 (1+ g )2 DIV3 = DIV0 × (1+ g )3 P3 = DIV4 / (r + g n ) donde g y gn son las tasas de crecimiento de los dividendos, muy alta y menor, respectivamente.

6.9.1.2 Aplicación del modelo a. Uso en un contexto internacional La globalización afecta el costo de capital de las empresas. El modelo de GordonShapiro puede ser empleado para evaluar el efecto de un mayor o menor costo de capital sobre el valor de sus acciones.

6

La tasa gn es una tasa de crecimiento de los dividendos de la empresa. Esta tasa es utilizada para valorar empresas que no tienen un crecimiento constante sino uno en el cual crece a una tasa g durante un periodo de tiempo, pero luego a una tasa de crecimiento menor, que es ésta: gn.

167

168

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Ejemplo 6.34 a)

El costo de de capital estimado de Nestlé, según la versión doméstica del CAPM7, es de: Ke Nestlé = rf + β Nestlé ( Rm − rf ) donde KeNestlé rf βNestlé Rm

Costo de los recursos propios de la empresa apalancada Nestlé Tasa libre de riesgo e igual a 4,5% Coeficiente beta de Nestlé relativo al mercado suizo e igual a 0,9 Retorno esperado sobre el mercado suizo e igual a 9,7%

Se reemplazan los valores y se obtiene: Ke Nestlé = 4,5% + 0,90 × (9,7% − 4,5%) Ke Nestlé = 9,2% b) Cuando se aplica la versión global del CAPM, el costo de capital estimado de Nestlé es: Ke Nestlé = rf + β Nestlé × ( Rm − rf ) donde KeNestlé rf βNestlé Rm

(6.63)

Costo de los recursos propios de la empresa apalancada Tasa libre de riesgo e igual a4,5% Coeficiente beta de Nestlé relativo al mercado suizo e igual a a 0,6 Retorno esperado sobre el mercado suizo e igual a 10,5%

Al reemplazar con los valores, se obtiene: Ke Nestlé = 4,5% + 0,60 × (10,5% − 4,5%) Ke Nestlé = 8,1% c)

Se calcula el valor de las acciones de Nestlé utilizando el modelo de GordonShapiro, conociendo que el dividendo es 1 U.M. y g es 3%. Así: Cuando se emplea la versión doméstica del CAPM: P0 =

Div1 Ke − g

1 0,092 − 0,03 P0 = 16,13 U.M. P0 =

7

El modelo del CAPM es el modelo de valorización de activos de capital utilizado usualmente para calcular el costo del capital propio de una empresa.

6.9 Métodos de valoración de acciones

donde P0 Div1 Ke g

Precio de la acción hoy Pago de dividendos en el periodo 1 Costo de los recursos propios de la empresa apalancada Tasa de crecimiento de los dividendos

Cuando se utiliza la versión global del CAPM: P0 = donde P0 Div1 Ke g

Div1 Ke − g

Precio de la acción hoy Pago de dividendos en el periodo 1 Costo de los recursos propios de la empresa apalancada Tasa de crecimiento de los dividendos

Se reemplazan los valores y se obtiene: 1 0,081− 0,03 P0 = 19,61 U.M. P0 =

El costo del capital es 22% mayor en la versión global. Si el costo del capital fuera de 7,3%, el precio saltaría 44%, es decir, a 23,26 U.M. [1/(0,073-0,03)]. Por tanto, cambios pequeños en el costo del capital causados por una globalización creciente pueden tener gran efecto sobre el precio de la acción. b. El modelo de Gordon–Shapiro y la creación de valor El modelo de Gordon–Shapiro también es muy usual para determinar el factor de creación de valor en empresas con estructuras de capital fijas y crecimiento estable. Cuando se mencionan estructuras de capital fijas y crecimiento estable, se hace mención de que la empresa bajo estudio tiene una relación deuda a capital que permanece en el tiempo y, además, que la empresa crece a un ritmo sostenido dado por una tasa de crecimiento. Bajo estas hipótesis se puede aplicar el modelo de Gordon - Shapiro para calcular el valor de la acción mediante el descuento de dividendos. Valor de la acción =

D1 Ke − g

donde g Tasa de crecimiento del beneficio (a perpetuidad)8 Ke Rentabilidad mínima exigida a las acciones D1 Dividendo por acción en el año 1 8

Esta tasa de crecimiento es explicada en la sección Cálculo de la tasa de crecimiento constante g, que se desarrolla en este capítulo. Vid infra pág. 166.

169

170

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Como se observa, es un modelo para determinar el valor intrínseco de una acción sobre la base de una serie de dividendos futuros que crecen a una tasa constante. Dado un dividendo por acción que es pagado en un año y el supuesto que crecerá a una tasa constante a perpetuidad, el modelo resuelve el valor presente de la serie infinita de dividendos futuros. Este modelo no funciona en el caso de empresas que no entregan dividendos. El pago de dividendos consiste en distribuir una parte de los beneficios de la empresa, decidida por el directorio y aprobado por asamblea, a sus accionistas. Las empresas con alto crecimiento raramente ofrecen dividendos porque todos sus beneficios son reinvertidos para ayudar a sostener el crecimiento mayor al promedio. Luego de calcular el valor de la acción, se tiene además: D1 = BPA1 × (1− b ) = VCA × ROE × (1− b ) donde D1 BPA1 (1 − b) VCA ROE

Dividendo por acción en el año 1 Beneficio por acción en el año 1 Payout (dividendos pagados en %) Valor contable de la acción Rentabilidad sobre el capital propio

De esta fórmula se puede deducir que: ROE × (1− b ) = ROE − g Es de notar que: ROE × (1− b ) = ROE − ROE × b Pero como ROE × (1− b ) = ROE − g luego, ROE × b = g donde ROE Retorno sobre los recursos propios b Tasa de retención de beneficios g Tasa de crecimiento de dividendos Si se combinan las fórmulas de valor de la acción y D1 se obtiene: Valor de la acción = VCA ×

9

ROE − g = VCA × FC Ke − g

Esto constituye una manera alternativa de calcular el valor de g.

(6.64)

6.9 Métodos de valoración de acciones

donde FC VCA ROE g

Factor de creación de valor Valor contable de la acción Rentabilidad sobre el capital propio Tasa de crecimiento de dividendos

De esta ecuación se desprende que el factor de creación de valor es: FC = donde FC ROE g Ke

ROE − g Ke − g

(6.65)

Factor de creación de valor Rentabilidad sobre el capital propio Tasa de crecimiento de dividendos Rentabilidad mínima exigida a las acciones

c. Implicaciones de la fórmula del factor de creación de valor 1. FC mide en realidad la creación de valor. Si FC > 1, el valor de mercado de las acciones es superior al valor contable de los fondos propios: los negocios de la empresa están creando valor para los accionistas. Si FC < 1, el valor contable de las acciones es superior a su valor de mercado, lo que significa que la empresa destruye valor con su actividad productiva.

Ejemplo 6.35 Se dispone de la siguiente información de la empresa ABC al 31 de diciembre de 2008: a)

ROE = 0,2909

b) Payout Ratio = 0,2492 c)

Ke = 0,22

Calcule el factor de creación de valor.

Solución Se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se calcula la tasa de retención de dividendos b, a partir de: Payout Ratio = 1− b Como Payout Ratio = 0,2492 , se tiene: 0,2492 = 1− b

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

b) Se calcula el valor de g sobre la base del valor de b: g = ROE × b g = 0,2909 × 0,7508 g = 0,2184077 donde g Tasa de crecimiento de los dividendos ROE Retorno sobre el capital propio b Tasa de retención de beneficios c)

Se calcula el factor de creación de valor (FC) utilizando: FC = donde FC ROE Ke g

ROE − g Ke − g

Factor de creación de valor Retorno sobre el capital propio Costo de los recursos propios de la empresa apalancada Tasa de crecimiento de los dividendos

d) Cuando se reemplazan los valores en la fórmula anterior, se obtiene: FC =

0,2909 − 0,2184 0,22 − 0,2184

FC = 45,31 Como FC es mayor que la unidad, la empresa crea valor. 2.

El modelo de Gordon–Shapiro se sustenta sobre una serie de hipótesis como: un determinado volumen de capital propio, constancia en la política de dividendos y determinadas perspectivas de rendimiento, ROE, riesgo y Ke. Por tanto, se concluye que el proceso que se siguió ha sido estático.

Ejemplo 6.36 Calcule el valor de la acción de la empresa Los Cipreses a partir de la siguiente información: a)

Div1 = 0,10

b) Ke = 13% c)

ROE = 30%

d) Payout Ratio = 0,60 Calcule el valor de la acción de la empresa utilizando el modelo de Gordon.

6.9 Métodos de valoración de acciones

Solución a)

Lo primero que se debe tener claro es que cuando se utiliza el modelo de Gordon se supone: Se cuenta con un determinado monto de capital propio. La política de dividendos es constante, lo que se observa a través de un ratio de pago de dividendos que se mantiene. Se tienen determinadas perspectivas del rendimiento de los recursos propios y del costo Ke.

b) Si se tiene en cuenta lo anterior, se calcula el valor de la acción, y se desarrollan los siguientes pasos: A partir de la información disponible se calcula el valor de g: g = ROE × b g = (0,30) × (1- 0,60) g = 0,12

Se estima el valor de la acción de la empresa: Div1 0 Ke − g 0,10 P0 = 0,13 − 0,12 P0 = 10 P0 =

El valor de la acción es de 10 U.M. 3. Desde un punto de vista dinámico, la situación altera en la medida en que la empresa incorpore nuevos recursos propios. Por ejemplo, si una empresa incorpora nuevos recursos propios, el valor del capital propio aumentará, situación que modifica uno de los supuestos del modelo de Gordon–Shapiro, el de mantener un volumen de capital constante. El valor de la acción cambia porque el proceso ya no es estático. En el ejemplo, el capital invertido aumenta y, por ello, la ROE disminuye así como g, si la tasa de retención b se mantiene. Estos cambios harán que el valor de la acción se reduzca. 4. Cuando se observa la ecuación del FC, se puede notar que la creación de valor depende de la rentabilidad exigible a los recursos propios dado el riesgo de inversión, Ke, y de la rentabilidad esperada de esos recursos, ROE. Es claro que

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Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

para que se cree valor, la condición que se necesita que se cumpla es que el costo de financiamiento de la inversión sea menor a la rentabilidad esperada de dicha inversión.

Ejemplo 6.37 Se conocen los siguientes datos de la empresa Los Sirius: a)

ROE = 12%

b) Ke = 10% c)

b = 80%

d) g = 9,6% Demuestre que se cumple la condición necesaria para la creación de valor.

Solución a)

Primero, se verifica que la condición necesaria para la creación de valor ROE > Ke se cumpla. En efecto, 12% > 10%.

b) Segundo, se comprueba que esta condición se traduce en creación de valor. Así se tiene: g = ROE × b g = 0,12 × 0,80 g = 0,096 o 9,60% Si se reemplaza en la fórmula del factor de creación de valor (FC): FC =

ROE − g Ke − g

12% − 9,6% 10% − 9,6% FC = 6 FC =

donde ROE Retorno sobre el patrimonio Ke Costo del capital propio (equity) g Tasa de crecimiento de los dividendos Como FC > 1, se crea valor.

6.9 Métodos de valoración de acciones

5. Existe una divergencia entre rentabilidad contable y económica. Una empresa tiene rentabilidad contable si obtiene beneficios, en otras palabras, si el ROE > 0, pero sólo tendrá rentabilidad económica si se cumple que el indicador ROE es mayor a Ke. Si no es éste el caso y la empresa crece, ese crecimiento supone que se destruye valor para el accionista y el valor presente neto de la inversión será menor a cero.

Ejemplo 6.38 En la empresa Las Caobas si el ROE es 10% pero el Ke es de 12% y la empresa crece a 3%, ¿se está destruyendo valor?

Solución Si se calcula el FC con estos datos, se obtiene: 10% − 3% 12% − 3% 7% FC = = 0,7778 9% El FC es menor de 1. En efecto, la empresa está creciendo pero, al hacerlo, destruye valor para los accionistas. FC =

6. También es importante notar que crear o destruir valor para los accionistas es determinado por las expectativas de la empresa a futuro, que en el modelo son: g, ROE y Ke, y no por el resultado del ejercicio corriente. Los métodos que se basan en este último no reflejan rendimientos ni riesgos que pueda tener la empresa a futuro. De este modo, si la empresa posee un ROE mayor a Ke y, por tanto, una rentabilidad económica positiva, pero que tiende a decrecer, aunque la empresa mantenga su crecimiento, g, el valor de mercado de la acción así como el factor de creación de valor disminuirán. Es decir, un ejercicio en el que se haya presentado rentabilidad económica positiva puede inducir a un desastre en el precio de las acciones si ella es inferior a la que reflejan las expectativas que habían determinado las cotizaciones anteriores.

Ejemplo 6.39 En un ejercicio anterior, la empresa ABC tuvo una rentabilidad económica esperada basada en los siguientes datos: a)

ROE = 12%

b) Ke = 8% c)

g = 4%

175

176

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Solución Luego, se logra: Valor de la acción =

0,12 0,08 − 0,04

Valor de la acción = 3 U.M. Además, el FC es: FC =

12% − 4% =2 8% − 4%

Sin embargo, en este ejercicio la rentabilidad económica fue menor, pues los indicadores fueron los siguientes: a)

ROE = 10%

b) Ke = 9% c)

g = 4%

Luego, se tiene: Valor de la acción =

0,10 0,09 − 0,04

Valor de la acción = 2,00 U.M. Además, el FC es: FC =

10% − 4% = 1,2 9% − 4%

Como se observa, el valor de mercado de la acción y el factor de creación de valor disminuyeron. A continuación se verán conceptos de las variables contenidas en la ecuación de creación de valor, representadas en la siguiente figura.

Factores de competitividad

Crecimiento del sector

Política de dividendos

Crecimiento g = ROE × b

Precios

Rentabilidad sobre activos netos antes de impuestos

Costos unitarios

Política de deuda D/P

Prima de la acción β

Prima de riesgo R m – Rf

Tasa de interés Tasa sin riesgo Rf

Rentabilidad exigida Ke = R f + [( Rm − R f ) × β ]

Gestión del inmovilizado

Rotación ventas / Activos netos Eficiencia operativa financiera

Interés de la deuda Kd

Gestión del FM

D ( ROA − Kd )] P

ROE − g Ke − g

Gastos

Beneficio sobre ventas Eficiencia operativos económica

Objetivos de participación de mercado

Tasa impositiva (T)

ROE = (1− T )] × [ROA +

FC =

Figura 6.4 Composición del factor de creación de valor

6.9 Métodos de valoración de acciones 177

178

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

En la figura 6.4, si se analiza el esquema de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, se observa que el primer elemento es g, que representa crecimiento, el cual depende del ROE y de b, la tasa de retención de beneficios, que a su vez depende de los objetivos estratégicos presentes en el mercado y de la política de dividendos de la empresa. Más a la derecha, la rentabilidad de los recursos propios se enuncia en función de la rentabilidad económica, ROA, del nivel de apalancamiento, D / P, y del costo de los recursos externos, después de impuestos. Con respecto a Ke, la rentabilidad exigida por los accionistas se ha enunciado dependiendo de su nivel de volatilidad, β, según el modelo CAPM. Con base en el modelo, la prima de riesgo de un activo es directamente proporcional a su riesgo sistemático.10 Si se relacionan todos los elementos del esquema, se aprecia que las políticas de inversiones, endeudamiento y dividendos influyen en el valor. También en el cuadro se aprecia cómo el ROA, indicador de cuán rentable es la empresa en relación con el total de sus activos, se puede expresar como el beneficio sobre ventas por la rotación de ventas sobre activos, lo que conduce a temas de finanzas operativas, referidas tanto a cuestiones de eficiencia en la cuenta de resultados (precios, costos, márgenes) como a la gestión financiera de los activos, que incluye todas las acciones de gestión del fondo de maniobra. Si ahora se muestra la creación de valor para los accionistas en un año desde el punto de vista externo a la empresa (bolsa de valores), se lo puede definir como la riqueza que tienen al final de un año menos la que tenían el año anterior. Para calcular ese aumento de riqueza se tiene que considerar qué incrementos de la capitalización no son necesariamente incrementos del valor para los accionistas. Hay dos posiciones: 1. Aumenta la capitalización, pero no el valor para los accionistas cuando: Los tenedores de acciones suscriben nuevas acciones de la empresa desembolsando efectivo, y cuando Se convierten obligaciones convertibles (bonos por acciones). 2. Disminuye la capitalización, pero no el valor para los accionistas cuando: La empresa paga a los tenedores de acciones: dividendos, y cuando La empresa adquiere acciones en el mercado. El incremento del valor para los tenedores de acciones se estima así:

Aumento del valor para los accionistas = Aumento de la capitalización de las acciones + Dividendos pagados en el año 10

El riesgo sistemático es el riesgo inherente al mercado. También es conocido como riesgo no diversificable o riesgo de mercado. Es el riesgo de los cambios en el mercado causados por cambios en la economía o en la situación política. Afecta a todas las acciones, independientemente de la eficiencia obtenida en su diversificación.

6.9 Métodos de valoración de acciones

− Desembolsos por ampliaciones de capital + Otros pagos a los accionistas (reducciones de nómina, amortizaciones de acciones, etc.) − Conversión de obligaciones convertibles

(6.66)

No obstante, el incremento de valor para los tenedores de acciones no es creación de valor para los inversores. Para que esto suceda, se necesita que la rentabilidad exigida a las acciones sea menor a la rentabilidad para los accionistas, que se calcula al dividir el incremento, en un año, del valor para los accionistas entre la capitalización al inicio del año. Rentabilidad para los accionistas =

Aumento del valor para los accionistas Capitalización

(6.67)

Por último, una empresa crea valor para los accionistas cuando la rentabilidad para éstos supera al costo de las acciones (rentabilidad exigida a éstas). Es decir, una empresa crea valor cuando se desempeña mejor que las expectativas. La creación de valor para los tenedores de acciones se cuantifica así: Creación de valor para los accionistas = = Aumento de valor para los accionistas − ( Capitalización × Ke )

(6.68)

Luego, la creación de valor es el incremento de valor para los tenedores de acciones por arriba de las expectativas, que se reflejan en la rentabilidad exigida por los tenedores de acciones. La información para calcular la creación de valor para los accionistas se encuentra generalmente en las notas a los estados financieros.

Ejemplo 6.40 El siguiente es un ejemplo de creación de valor. Para ello se realizan los siguientes pasos: a)

En la tabla 6.5, se obtiene la capitalización como el producto del número de acciones de la empresa por el valor de mercado por periodos; como los cálculos son anuales se toma el valor promedio de la última cotización del año. Sobre la base de la capitalización, se calcula la varianza en la capitalización, utilizando la siguiente fórmula: Var Capitalización ( t ) = capitalización ( t ) − capitalización ( t −1)

(6.69)

donde t representa el año t. Así, se tiene que: La suma es la sumatoria simple de la variación de capitalización del año 1 al año n.

179

6.352 —501

Capitalización Var capitalización

10.000 3.648

400 25,00

Año 2

8.780 —1.220

439 20,00

Año 3

9.219 439

439 21,00

Año 4

16.682 7.463

439 38,00

Año 5

23.706 7.024

439 54,00

Año 6 900 25,00

Año 8

38.700 22.500 14.994 —16.200

900 43,00

Año 7 4.500 15,00

Año 10 4.500 9,00

Año 11

77.900 67.500 40.500 55.400 —10.400 —27.000

4.100 19,00

Año 9

56.400 15.900

(En millones de U.M.) Aumento capitalización + Dividendos + Otros pagos accionistas + Recompra acciones – Desembolsos de los accionistas – Obligaciones convertibles convertidas Aumento de valor para los accionistas

Año 2 3.648 340

3.988

Año 1 —501 329

—172

—965

—95

350

—1.220

Año 3

812

373

439

Año 4

7.892

429

7.463

Año 5

7.527

503

7.024

Año 6

Año 8

0

13.055 —16.200

—2.567

628

14.994 —16.200

Año 7

Año 10

—2.332

0

36.429 —12.732

–1.061

–17.910

0

55.400 —10.400

Año 9

Tabla 6.6 Aumento de la capitalización y del valor para los accionistas

—27.000

0

—27.000

Año 11

Los dividendos, otros pagos, recompra, desembolsos y convertibles convertidos salen de los estados financieros.

4.700 12,00

Año 12

18.659

420 1.100

420 1.100

31.293

—1.156

—22.809

4.191

49.547

Suma

49.547

Suma

1.239

15.900

Año 12

b) En la tabla 6.6 se calcula el aumento del valor para los accionistas utilizando la fórmula (6.66). La suma es la sumatoria simple de la variación de capitalización del año 1 al año n.

400 15,88

Millones de acciones Valor de mercado

Año 1

Cap. 6

(En millones de U.M.)

Tabla 6.5 Capitalización y aumento de la capitalización

180 Acciones e instrumentos del mercado de dinero

62,8%

—2,5%

—9,7%

Año 3 9,2%

Año 4 85,6%

Año 5 45,1%

Año 6 55,1%

Año 7 —41,9%

Año 8 161,9%

Año 9 —16,3%

Año 10

—40,0%

Año 11

46,1%

Año 12

18,0%

Media

(6.70)

e)

Año 2 12,5% 4,4% 16,9%

Año 1 11,3% 4,2% 15,5%

11,5%

8,1% 3,4%

Año 3

16,1%

11,9% 4,2%

Año 4

14,2%

9,7% 4,5%

Año 5

11,7%

6,9% 4,8%

Año 6

10,5%

5,6% 4,9%

Año 7

8,2%

4,0% 4,2%

Año 8

11,2%

5,6% 5,6%

Año 9

10,4%

5,2% 5,2%

Año 10

9,9%

5,1% 4,8%

Año 11

8,7%

4,3% 4,4%

Año 12

12,1%

7,5% 4,6%

Media

(6.71)

La fórmula se repetirá para cada cifra de creación de valor y cada vez que se avanza un año se elimina un año de la fórmula.

× (1 + Ke año 7 ) × (1 + Ke año8 ) × (1+ Ke año9 ) × (1 + Ke año10 ) × (1 + Ke año11 ) × (1 + Ke año12 )

Creación de valor año1 × (1 + Ke año 2 ) × (1 + Ke año3 ) × (1+ Ke año4 ) × (1 + Ke año 5 ) × (1 + Ke año 6 )

al aumento de valor para los accionistas se le resta el producto de la capitalización por la rentabilidad exigida. Luego, las U.M. tienen que convertirse a unidades actuales antes de sumarlas, para lo cual:

En la tabla 6.9 se calcula la creación de valor para los accionistas. Así:

(En porcentaje) Tasa de bonos a 10 años Prima de riesgo Rentabilidad exigida (Ke)

Tabla 6.8 Evolución de la rentabilidad de los bonos a 10 años y rentabilidad exigida a las acciones

Las medias para los datos son la suma de los datos entre el número de observaciones.

d) En la tabla 6.8 se calcula la rentabilidad exigida a las acciones (Ke) sumando la tasa de interés a 10 años y la prima de riesgo (Rm).

Año 2

Año 1

Tabla 6.7 Rentabilidad para los accionistas

× (1+ rE año7) × (1+ rE año8) × (1+ rE año9) × (1+ rE año10) × (1+ rE año11) × (1+ rE año12))Λ (1/12) − 1

((1+ rE año1) × (1+ rE año 2) × (1+ rE año3) × (1+ rE año 4) × (1+ rE año 5) × (1+ rE año6)

La fórmula de la media es la siguiente:

En la tabla 6.7 se calcula la rentabilidad para los accionistas a partir de datos de las tablas 6.1 y 6.2 utilizando la fórmula (6.67).

(En porcentaje) Rentabilidad para los accionistas

c)

6.9 Métodos de valoración de acciones 181

Año 1 15,5% —2,5% 6.352 —501 —172 —1.157 —3.915

Año 2 16,9% 62,8% 10.000 3.648 3.988 2.298 6.654

Año 3 11,5% —9,7% 8.780 —1.220 —965 —1.975 —5.128

Año 4 16,1% 9,2% 9.219 439 812 —672 —1.504

Año 5 14,2% 85,6% 16.682 7.463 7.892 5.523 10.818

Año 6 11,7% 45,1% 23.706 7.024 7.527 4.753 8.335

Año 7 10,5% 55,1% 38.700 14.994 13.055 8.992 14.268

Año 2 8.637 579 7.798 6,7% 62,8%

5,7% –2,7%

Año 1 8.448 485

–9,7%

Año 3 9.087 677 9.489 7,5% 9,2%

Año 4 9.294 801 10.461 8,6% 85,6%

Año 5 11.201 963 12.057 8,6% 45,1%

Año 6 11.968 1.142 16.523 9,5%

55,1%

Año 7 13.500 1.308 17.466 9,7%

–41,9%

Año 8 14.485 1.805 22.957 12,5%

Tabla 6.10 El ROE y la rentabilidad para los accionistas

161,9%

Año 9 25.931 2.505 28.485 9,7%

–16,3%

Año 10 25.862 2.107 31.053 8,1%

–40,0%

Año 11 16.996 –5.577 28.411 -32,8%

49.547 31.293 —9.588 —3.950

Suma

46,1%

Año 12 16.879 2.851 27.127 16,9%

Año 8 Año 9 Año 10 Año 11 Año 12 8,2% 11,2% 10,4% 9,9% 8,7% —41,9% 161,9% —16,3% —40,0% 46,1% 22.500 77.900 67.500 40.500 56.400 —16.200 55.400 —10.400 —27.000 15.900 —16.200 36.429 —12.732 —27.000 18.659 —18.045 27.704 —19.752 —31.010 13.752 —26.464 36.538 —23.596 —33.707 13.752

En la tabla 6.10 se estima el ROE como el cociente entre el beneficio neto y los fondos propios.

Fondos propios Beneficio neto Ventas ROE Rentabilidad accionistas

f)

(En porcentaje) Rentabilidad exigida (Ke) Rentabilidad accionistas Capitalización Var capitalización Aumento valor accionistas Creación de valor En U.M. actuales

Cap. 6

Tabla 6.9 Evolución del aumento de la capitalización, del aumento del valor para los accionistas y de la creación de valor

182 Acciones e instrumentos del mercado de dinero

6.9 Métodos de valoración de acciones

g)

Por último, se comparan el ROE con la rentabilidad para los accionistas. Figura 6.5 ROE y Rentabilidad para los accionistas

200,0% Porcentajes

150,0% 100,0% 50,0% 0,0% –50,0%

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

–100,0% Tiempo

6.9.2 Métodos de valoración por flujo de fondos descontado: flujo de fondos variable 6.9.2.1 Flujo de efectivo libre a. Introducción Es el flujo de fondos generado por las operaciones de la empresa, sin considerar la deuda financiera, después de impuestos. Representa el efectivo disponible después de haber destinado recursos para adquirir nuevo activo fijo y reponer el activo depreciado, y haber cubierto las necesidades operativas de fondos (NOF), asumiendo que no tiene deuda que afrontar. Mide el resultado operativo de la empresa. Permite concretar oportunidades que aumenten el valor de los accionistas, así como desarrollar nuevos productos o adquirir otras empresas. Hay que notar que se generan otros flujos de fondos, además del flujo de efectivo libre (free cash flow o FCF), como el flujo de efectivo de los accionistas (cash flow de los accionistas o CFAcc) y el flujo de efectivo de la deuda (cash flow de la deuda o CFDeuda). Éstos se desarrollan más adelante.11

11

Vid supra, pág. 203 y siguientes.

183

Gasto impositivo (a la tasa impositiva marginal y sobre el BAIT)

Beneficios antes de intereses y después de impuestos

Gasto de depreciación y amortización

Flujo de efectivo operativo

Variación de las necesidades operativas de fondos

Variación de las inversiones o desinversiones en activos fijos

Flujo de efectivo libre

=

+

=

+/–

+/–

=

Beneficio antes de intereses e impuestos (BAIT) Impuestos sobre el BAIT Beneficio antes de intereses y después de impuestos Depreciación y amortización Impuestos diferidos Flujo de efectivo bruto

– = + + =

Costos de ventas

=

–

Ventas netas

Incremento en impuestos pendientes de pago Devolución neta de la deuda Adquisición neta de activos fijos Flujo de efectivo del capital o del accionista Gastos financieros Variaciones del principal de la deuda Flujo de efectivo de la deuda

– – = – + =

Incremento en inventarios

–

+

Incremento en cuentas por cobrar

–

Incremento en cuentas por pagar

Depreciación y amortización

+

+

Beneficio después de impuestos

=

Impuestos sobre el beneficio

Beneficios antes de impuestos después de intereses

= –

Gastos financieros

–

Beneficios antes de intereses e impuestos

Cap. 6

–

Beneficios antes de intereses e impuestos (BAIT)

Tabla 6.11 Estructura del flujo de efectivo libre y de otros flujos de caja

184 Acciones e instrumentos del mercado de dinero

6.9 Métodos de valoración de acciones

El valor de una empresa puede calcularse mediante el descuento de sus flujos de efectivo libres (FCL) a la tasa del costo medio ponderado del capital (WACC), método que brinda el valor intrínseco de la empresa, es decir, el que se basa en las características del negocio. Si a este valor se le resta la deuda, se obtiene el valor de mercado de los recursos propios, E. Se puede determinar el valor de la empresa del siguiente modo: Figura 6.6 Determinación del valor de la empresa

FCL operativo Valor residual

FCL de las NOF

FCL FCL de Cap Ex Valor de la empresa

Ke, I Kd WACC E/D t donde Valor residual FCL FCL operativo FCL de las NOF FCL de Cap Ex Ke I Kd E/D t WACC

Valor de los flujos de efectivo futuros Flujo de efectivo libre Flujo de efectivo libre operativo Flujo de efectivo libre de las necesidades operativas de fondos Flujo de efectivo libre del gasto de capital Costo de los recursos propios de la empresa apalancada o rentabilidad mínima exigida a las acciones de una empresa apalancada Inversiones Costo de la deuda Razón capital a deuda Tasa de impuestos marginal Costo promedio ponderado del capital

El grado de confiabilidad del resultado que se obtiene por este método se basa en la calidad de los pronósticos económicos-financieros de la empresa, junto con las decisiones gerenciales y estratégicas que inciden sobre los ciclos operativos, ingresos, gastos y los ciclos de capital. Así, se elaborarán pronósticos lo más precisos

185

186

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

posibles sobre la base del comportamiento histórico y actual de la empresa y del estudio de los entornos internos y externos en los que opera. Cuando se valoriza una empresa, si el valor presente de los flujos de efectivo operativos en un periodo pronosticado es mayor que el valor presente de la perpetuidad, los primeros explicarán en mayor medida el valor de la empresa. Lo importante es la metodología que se utilice para verificar si los flujos de efectivo en un periodo pronosticado explican más de 50% del valor de la empresa.

Ejemplo 6.41 a)

Se dispone de la siguiente valorización por FCL de GAE: Tabla 6.12 Modelo de valoración de la empresa GAE

Valorización

Año 0

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

Utilidad operativa

(63.006)

209.647

209.647

209.647

209.647

09.647

+ Depreciación y amortización

207.331

237.331

267.331

297.331

327.331

357.331

= EBITDA

144.326

446.978

476.978

506.978

536.978

566.978

– Cambio en activo fijo (Capex)

1.673.995

240.000

240.000

240.000

240.000

240.000

– Cambio en capital de trabajo

36.441

141.413

– Impuesto a la renta (30%) = Flujo de efectivo libre Tasa de descuento

—

—

—

—

—

12.544

12.544

12.544

12.544

12.544

(1.566.110)

53.021

224.434

254.434

284.434

314.434

VAN

13,4%

1.934.613

Perpetuidad

14,5%

1.843.947

2.550.134,02

15,7%

1.751.215

16,8%

1.671.465

17,9%

1.596.380

6.9 Métodos de valoración de acciones

El cambio de capital de trabajo en los años 1 y 2 es: Tabla 6.13 Cambio de capital de trabajo

Δ Capital de trabajo

Año 1

Cuentas por cobrar comerciales

Año 2

—39.818

9.928

—4.658

—15.915

8.106

—105.398

—3.785

—23.873

Tributos por pagar

2.343

18.445

Remuneraciones por pagar

1.939

21.080

Proveedores

46.345

158.097

Cuentas por pagar diversas

25.970

79.049

Δ Capital de trabajo

36.441

141.413

Cuentas por cobrar diversas Existencias Cargas diferidas

b) Se calcula luego el valor presente de los flujos de caja libres en un periodo pronosticado empleando una tasa de descuento de 15,7%: Tabla 6.14 Flujo de efectivo descontado

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

53.021

224.434

254.434

284.434

314.434

Los valores anteriores al ser traídos a valor presente son: Tabla 6.15 Flujo de efectivo pronosticado

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

45.826

167.657

164.276

158.726

151.657

Se suman y totalizan 688.143 U.M. c)

Se calcula al valor presente del flujo de efectivo posterior al año 5:12 Perpetuidad 2.550.134

12

El valor terminal se obtiene al aplicar la fórmula de Gordon-Shapiro con crecimiento constante. Así: V =

FCLt (1+ g ) 314.434(1+ 0,03) = = 2.550.134,02 U.M. (WACC − g ) (0,157 − 0,03)

187

188

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Si se trae a valor presente: Perpetuidad 1.063.072 d) Por último, los resultados hallados en los incisos b) y c) deben ser sumados y se verifica cuánto representan porcentualmente cada uno de ellos con respecto al total. Tabla 6.16 Porcentaje de participación de cada flujo de efectivo en el valor de la empresa

Valor presente de los FCL en el:

Monto

%

688.143

39,3%

Perpetuidad (posterior al 5° año)

1.063.072

60,7%

Suma total

1.751.215

100,0%

Periodo pronosticado (del 1° al 5° año)

Como se observa, el flujo de efectivo libre en el periodo pronosticado representa 39,3% del valor de la empresa. Lo ideal es que este porcentaje sea superior a 50%. Cuando se estiman los flujos de efectivo libres futuros se debe hacer una previsión del dinero que se recibirá y que se deberá pagar en cada periodo, en un horizonte de tiempo superior al enfoque que se utiliza cuando se formula un presupuesto de tesorería. Por otro lado, los estados financieros son elaborados sobre la base de la contabilidad y, por ello, reflejan el uso de métodos que no ayudan a valorar adecuadamente (como el enfoque de devengado y la asignación de ingresos, costos y gastos arbitrarios). Por ello se tienen que ajustar los procedimientos contables, es decir, que básicamente los dividendos y los intereses pagados no deben considerarse en el flujo de efectivo libre. La estructura del flujo de efectivo libre es: Tabla 6.17 Estructura del flujo de efectivo libre

Beneficios antes de intereses e impuestos (BAIT o EBIT) –

Gasto impositivo (a la tasa impositiva marginal y sobre este BAIT)

=

Beneficios antes de Intereses y después de Impuestos (BAIdI)13

+

Gasto de depreciación y amortización

=

Flujo de efectivo operativo

13

BAIdI = BAII (1 – t), donde t es la tasa impositiva marginal.

6.9 Métodos de valoración de acciones

+/–

Variación de las necesidades operativas de fondos14

+/–

Variación en inversiones o desinversiones en activos fijos

=

Flujo de efectivo libre

Si el flujo de efectivo libre es negativo, no se puede decir que ello sea malo en sí mismo, pues podría ser una señal de que la empresa está realizando grandes inversiones. Si éstas ganan un rendimiento alto, la estrategia tiene el potencial de generar un rendimiento sobre estas inversiones en el largo plazo. El flujo de efectivo para el accionista, para la deuda, bruto y para la empresa se desarrolla más adelante.15 b. Estructura En primer lugar, la estructura del beneficio antes de intereses e impuestos (BAIT o EBIT) es la siguiente: Tabla 6.18 Estructura del EBIT

Ventas netas –

Costo de ventas

=

Utilidad bruta

–

Gastos generales (de administración y de ventas)

–

Gastos de personal

=

Beneficio antes de intereses, impuestos, depreciación y amortización (EBITDA)

–

Gastos de amortización y depreciación de activos

=

Beneficios antes de intereses e impuestos (EBIT)

En segundo lugar, una vez que se estiman los beneficios antes de intereses e impuestos (EBIT), se multiplica la tasa impositiva marginal por estos beneficios con el objeto de calcular el gasto en impuestos que se muestra en el cuadro de la estructura de flujo de efectivo libre como gasto impositivo. En tercer lugar, los gastos de depreciación y amortización de los activos fijos e intangibles, como las marcas y las patentes, deben ser devueltos a los beneficios antes de intereses y después de impuestos, dado que no son salidas reales de efectivo, es decir, no constituyen un pago sino simplemente un registro contable. En cuarto lugar, al flujo se le debe sumar o restar la variación de las necesidades operativas de fondos (NOF). Si estas necesidades son positivas, es decir, si han

14 15

Es llamada también fondo de maniobra operativo. Vid supra, pág. 203 y siguientes.

189

190

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

aumentado en el último periodo respecto del anterior, su valor debe ser sumado al flujo de efectivo operativo. Para estimarlo se realizan los siguientes cálculos: Tabla 6.19 Cambio en las necesidades operativas de fondos

+/–

Cambio en clientes

+/–

Variación en inventarios

+/–

Cambio en proveedores

=

Cambio en las NOF

Sólo se trabaja con activos y pasivos corrientes operativos, como: Clientes. Si el cambio que muestra esta cuenta se registra con signo positivo en el cálculo de las NOF, significará que las cuentas por cobrar han disminuido. Se debe recordar que una disminución de un activo es una generación de recursos, por eso disminuyen las NOF. El saldo de las ventas a crédito habrá disminuido respecto del periodo anterior recibiendo el dinero, lo que debe interpretarse como una entrada de efectivo. Inventarios. Si aumentan en el periodo actual respecto del anterior, significará que la empresa ha utilizado efectivo para adquirir mercadería, pero que aún la mantiene en sus almacenes. Debido a que se trata de dinero invertido en la compra de esta mercadería, pero que aún no ha sido recuperado, se le considera una salida de efectivo y, por tanto, se suma a las NOF. Proveedores. Si esta cuenta aumenta respecto del periodo anterior, la empresa habrá recibido un aumento de la disponibilidad de efectivo. Mayores cuentas por pagar deben ser interpretadas como entradas de efectivo, pues representan un incremento del financiamiento de los proveedores a la empresa. Es una entrada a caja y, por tanto, disminuyen las NOF. Al final, si la suma de los cambios de los activos y pasivos corrientes operativos es positiva, la empresa dispondrá de efectivo en caja para realizar sus operaciones, pero si es negativo tendrá una necesidad operativa de fondos por cubrir, ya sea por medio de fondos propios o de terceros. Por último, las variaciones de las inversiones o desinversiones en activos fijos se refieren a la compra o venta de maquinaria, equipo, edificios y otros. Si la empresa compra activo fijo, la operación se ingresa en las actividades de inversión de flujo de efectivo como compra de activo fijo con signo negativo, es decir, como una salida de caja. Esta compra se registra también como salida de efectivo en la estructura del flujo de efectivo libre debido a que, por definición, los recursos destinados a adquirir nuevo activo fijo representan una salida de efectivo que se restan del flujo de efectivo operativo.

6.9 Métodos de valoración de acciones

En cambio, si la empresa vende activo fijo, se genera una entrada de caja para la empresa que será registrada en las actividades de inversión del flujo de efectivo en el rubro venta de activo fijo. Esta venta es registrada como una entrada de caja en la estructura del FCL, sumando el flujo de efectivo operativo. CAPEX, que significa capital expenditure o gasto de capital, es el gasto en la compra de activos fijos (como propiedades, equipo y edificios) con el objeto de mantener o aumentar las operaciones de la empresa. En general, el monto que se invierte en bienes de capital depende de la industria en que la empresa opera; así, por ejemplo, existen sectores en la economía que se caracterizan porque sus empresas son intensivas en bienes de capital, como las de telecomunicaciones y la petrolera. En términos contables, un gasto es de capital cuando el activo es de capital o se realiza una inversión que mejora la vida útil de un activo de capital existente. Si es un gasto de capital necesita ser capitalizado, lo cual requiere que la empresa distribuya el costo del gasto sobre la vida útil del activo. Sin embargo, si el gasto mantiene al activo en su condición actual, el costo es deducido plenamente en el año del gasto. En cambio, una inversión o desinversión en activo fijo es básicamente compra o venta de activo fijo. No debe incluir, por ejemplo, el gasto en reparar el techo de un edificio. Una desinversión en activo fijo puede tener por objeto proveerse de recursos para financiarse. Como ya se mencionó, el FCL no incluye la deuda financiera, que es toda deuda que tiene asociada una tasa de interés; por ejemplo, el crédito de proveedores no es deuda financiera si éstos no cobran por los días de crédito que otorgan, en cambio, una deuda con el banco si lo será. La idea es enfocarse en el rendimiento económico de los activos después de impuestos, siguiendo el principio de empresa en marcha, considerando en cada periodo las inversiones necesarias para la continuidad del negocio. La deuda es incluida en las actividades de financiamiento del estado de flujo de efectivo. El resultado de este estado el flujo de efectivo neto determina la caja necesaria que figura en el balance general que, conjuntamente con el estado de ganancias y pérdidas, se utiliza para calcular el FCL. Por otro lado, la deuda se considera en el flujo de efectivo para el accionista (CFAcc) debido a que la deuda financiera se considera un aporte adicional del accionista, lo cual se explica porque las empresas tienen un costo (WACC) en el que se incluye la deuda financiera ponderada, y el accionista espera tener rendimientos por encima de este costo; por tanto, la figura que se forma es que el accionista le da una línea de crédito a la empresa para que ésta opere, a un costo c × (WACC). A efecto de estimar el valor de la empresa sobre la base de este método, se utiliza como tasa de descuento el costo medio ponderado de la deuda y de las acciones, estimada ponderando el costo de la deuda y de las acciones con base en la estructura financiera.

191

192

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

WACC = donde WACC E Ke D Kd T

E × Ke + D × Kd × (1− T ) E+D

(6.72)

Costo promedio ponderado del capital Valor de mercado de las acciones Rentabilidad exigida a las acciones Valor de mercado de la deuda Costo de la deuda antes de impuestos Tasa de impuesto marginal

Respecto de la estimación del Ke, es común utilizar el modelo de valorización de activos de capital (CAPM). Así: Ke = R f + β × PM

(6.73)

donde Ke Rentabilidad exigida a las acciones Rf Tasa libre de riesgo β Coeficiente beta PM Prima por riesgo de mercado = (Rm – Rf) PM se mide como la diferencia entre el rendimiento de mercado (Rm) y la tasa libre de riesgo (Rf). El primero es el promedio de los rendimientos de las acciones que forman el portafolio de mercado y puede medirse con base en índices como, por ejemplo, el Standard & Poor’s 500; por su parte, el segundo se refiere al retorno de un activo libre de riesgo y puede calcularse mediante el promedio de los rendimientos de los bonos del Tesoro estadounidense a diez años (10-Year Treasury Note).16 En el caso de países emergentes, donde la tasa Rf y la PM pueden ser difíciles de determinar, se puede utilizar una variante del modelo del CAPM que consiste, en primer lugar, en obtener el Ke utilizando Rf y PM del mercado estadounidense y sumando el riesgo del país de origen de la empresa. Así, por ejemplo se tiene: Ke = R f + β × PM + Rp

(6.74)

donde Ke Rentabilidad exigida a las acciones Rf Retorno del activo libre de riesgo medido como el rendimiento del bono del Tesoro estadounidense (T-Bonds) a 10 años

16

Por ejemplo, se puede calcular el promedio de los rendimientos diarios desde 1970 a la fecha.

6.9 Métodos de valoración de acciones

PM Prima por riesgo de mercado, medido como la diferencia del promedio del retorno del índice Standard & Poor’s 500 y del bono del Tesoro estadounidense a 10 años β Riesgo sistemático de la empresa, que refleja características del sector en que la empresa actúa Rp Riesgo país, medido como la diferencia del rendimiento del título de la deuda externa del país y el rendimiento del título del gobierno estadounidense (se utiliza el índice EMBI+ de JP Morgan) De forma alterna, para calcular el WACC se puede utilizar también: WACC = Kd × Wd × (1− T ) + Kp × Wp + Ke × We

(6.75)

donde WACC Costo promedio ponderado del capital Kd Costo de la deuda Wd Valor de la deuda entre el total del capital de la empresa (capital accionario y de terceros) T Tasa de impuesto marginal Kp Costo de las acciones preferentes Wp Valor de las acciones preferentes entre el valor del total del capital de la empresa (capital accionario y de terceros) Ke Retorno mínimo exigido a las acciones We Valor de las acciones comunes entre el valor del total del capital de la empresa (capital accionario y de terceros)

Ejemplo 6.42 Estime el rendimiento exigido a las acciones (Ke) del diario Sudamericano por inversionistas estadounidenses deseosos de invertir en el mercado local, considerando que el rendimiento de un bono del Tesoro de ese origen a 10 años es de 7,5%; el coeficiente beta apalancado de diarios en Estados Unidos es de 1,31;17 el promedio del retorno del índice Standard & Poor’s 500 es 10,13% y el riesgo país medido por el índice EMBI+ de JP Morgan es de 2%.

17

Para obtener el beta apalancado (BL) del sector diarios se puede emplear el ratio Deuda a Capital Propio (D/E) y el beta no apalancado (BU) de Aswath Damodaran (http://pages.stern.nyu. edu/~adamodar/). El beta apalancado (BL) es igual a BL = BU × [1+ D (1− t ) / Ex ] donde t es la tasa de impuesto a la renta.

193

194

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Solución a)

Se identifica la tasa libre de riesgo que se utilizará, que es de 7,5%.

b) Se estima la prima por riesgo de mercado, esto es, la diferencia entre el rendimiento de mercado (Rm) y la tasa libre de riesgo (Rf). Esta tasa es de 2,63%. c)

Se identifica la prima por riesgo país. Se toma el índice EMBI+ de JP Morgan, que es de 200 puntos básicos o 2%.

d) Finalmente, se calcula el costo Ke: Ke = 7,5% + 1,3 × 2,63% + 2% = 12,92% Ke es igual a 12,92%. Una vez interiorizada la estructura del FCL, el primer paso para aplicarla es la definición de los supuestos que se utilizarán como las perspectivas económicas del país y del sector, y las predicciones sobre las tasas de interés y los precios de los commodities. Entre los elementos que se deben tomar en cuenta, destacan: a)

Los inductores de valor corporativos.

b) Supuestos para estimar la participación de mercado, los costos de la materia prima, entre otros. c)

La medición de la sensibilidad de los resultados operativos a cambios en los supuestos.

d) La relevancia de los supuestos operativos para la valoración y las recomendaciones de inversión. Respecto de las actividades de inversión y financiamiento, se deben analizar: a)

Los ratios de inversión y financiamiento clave.

b) Las fuentes de financiamiento previstas. c)

Los supuestos tomando en cuenta la disponibilidad de deuda futura.

d) La relevancia de los supuestos de inversión y financiamiento para la valoración y las recomendaciones de inversión. Para acceder a la información financiera actualizada de interés para desarrollar el flujo de efectivo libre se puede recurrir a diferentes fuentes. En algunas de ellas, la información esta compilada de modo que el analista puede acceder rápidamente a ésta.

6.9 Métodos de valoración de acciones

c. Relación entre el flujo de efectivo libre y los elementos creadores de valor Figura 6.7 Relación entre el FCL y los elementos creadores de valor

Capital invertido BAIDT

× ROI

FCL Inversión neta (1 — Tasa de inversión neta)

÷

BAIDT Los cuadros ROI y (1 — Tasa de inversión neta) impulsan el flujo de efectivo libre. Estos portadores de valor son: a)

La rentabilidad sobre la inversión (ROI), y

b) La tasa de inversión neta (TIN). Se detallan a continuación ambos conceptos. 1) La tasa de rendimiento sobre el capital invertido (ROI) En la creación de valor, éste es el elemento más importante. La empresa crea valor si el ROI es más alto que el costo de los recursos, pero si es menor, destruye valor. El ROI se define como el beneficio antes de intereses y después de impuestos entre el capital invertido y su fórmula es: ROI =

BAIDT Valor contable del capital invertido

(6.76)

donde ROI Rendimiento sobre el capital invertido BAIDT Beneficios antes de intereses y después de impuestos El BAIDT es la utilidad de una empresa financiada sólo con fondos propios después de impuestos. Para estimar el capital invertido no se consideran las inversiones que no son operativas y las financieras temporales que no formen parte de la tesorería de la empresa.

195

196

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

La rentabilidad del capital, así definida, es un instrumento más eficaz para valuar el resultado de la empresa que otras definiciones que se basan en la rentabilidad financiera (ROE) o en la de los activos (ROA), debido a que focaliza su atención en el resultado operativo. Sin embargo, dado que está definida con criterios contables, éstos pueden estar tergiversados. En este sentido, en razón de que el ROI, el BAIDT y el capital contable son medidas basadas en la contabilidad, pueden ser manipuladas por la gerencia, influidas por las convenciones contables y por cambios en ellas, y ser afectadas por la inflación y por movimientos del tipo de cambio. El rendimiento del capital invertido (ROI) se estudia a partir de dos puntos de vista: i.

El rendimiento de la inversión, para evaluar el manejo de los recursos.

ii.

La rentabilidad de inversiones nuevas, para valuar la creación de valor por parte del nuevo capital.

Diferenciar estos conceptos es valioso dado que la rentabilidad del capital nuevo es clave cuando se crea valor. Cabe destacar que se podrá calcular sólo si se supone que las variaciones en el BAIDT de cada periodo se atribuyen únicamente a inversión nueva y no a variaciones en el rendimiento del capital que ya existe.

Ejemplo 6.43 Los beneficios antes de intereses y después de impuestos de una empresa son de 10 millones de U.M. y el valor contable del capital invertido es de 285,71 millones de U.M. Calcule el ROI.

Solución Se realizan los siguientes pasos: a)

Se determina la expresión del ROI que se utilizará.

b) Luego, se aplican los valores en la fórmula para calcular el ROI: ROI = 10 285,71 = 0,035 El rendimiento sobre la inversión (ROI) es de 0,035 o 3,5%. 2. La tasa de inversión neta (TIN) Esta herramienta permite calcular las oportunidades de inversión nuevas respecto de los flujos de efectivo. Puede ser mayor de cien por ciento si es que la empresa cubre sus inversiones con recursos externos o propios.

6.9 Métodos de valoración de acciones

Así se tiene que: IN BAIDT Inversión bruta − Depreciación TIN = BAIDT

TIN =

(6.77)

donde TIN Tasa de inversión neta IN Inversión neta BAIDT Beneficios antes de intereses y después de impuestos Se debe estudiar la tasa de inversión neta mediante las respuestas a las siguientes interrogantes: a)

Sobre la TIN, ¿cuál ha sido su desarrollo histórico?

b) Acerca de la inversión neta, ¿qué elementos la definen? c)

Respecto de la relación de la TIN sobre el crecimiento del BAIDT, ¿cuáles son las implicaciones de la primera sobre el segundo?

Ejemplo 6.44 En un año, una empresa realizó una inversión bruta de 60 millones de U.M., la depreciación fue de 20 millones de U.M. y los flujos de efectivo generados sumaron 90 millones de U.M. Calcule la TIN.

Solución a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que en este caso es la fórmula (6.77). TIN =

Inversión bruta − Depreciación BAIDT

b) Se aplican los valores correspondientes: TIN = (60 − 20) / 90 = 0,444 La TIN es igual a 0,444, o bien 44,4%. A continuación se plantea un ejemplo que abre la posibilidad de analizar las perspectivas de análisis que se mencionan.

197

198

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Ejemplo 6.45 Se calcula la evolución histórica de la TIN: Tabla 6.20 Cálculo de la tasa de inversión neta

Variables

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

0,0

300,0

300,0

300,0

300,0

—200,0

—200,0

—200,0

—200,0

—200,0

BAIDT

—25,2

65,0

90,0

110,0

110,0

TIN

794%

154%

111%

91%

91%

Inversión bruta Depreciación

Como se observa, la TIN ha decrecido a lo largo de los cinco periodos. Está visto que los elementos que la han definido en cada uno de ellos son las inversiones brutas de la empresa (si las hay), la depreciación y los beneficios antes de intereses y después de impuestos; por último, la disminución de la TIN está asociada a un aumento de los beneficios antes de intereses y después de impuestos. Esto es así porque, como se puede observar, los BAIDT son componentes de la TIN y se relacionan con ésta en forma inversa o negativa. Por otro lado, la sostenibilidad de la tasa de rendimiento se define como el periodo en que la empresa puede mantener la rentabilidad esperada del capital en niveles superiores al costo promedio ponderado de los fondos utilizados (WACC). Para poder calcular este periodo con ventaja competitiva es necesario calcular posibles escenarios futuros, aunque en principio no se debe despreciar la información histórica. Los pasos que se deben seguir son los siguientes: a)

Analizar tanto el nivel como la tendencia de los rendimientos sobre la inversión del sector de la empresa y de la competencia.

b) Sugerir escenarios a futuro sobre la base del análisis de los factores que han generado variaciones del rendimiento de las inversiones. Para ello es conveniente efectuar un análisis del sector, mercado y competencia. A continuación se muestra un ejemplo de sostenibilidad de la tasa de rendimiento.

Ejemplo 6.46 a)

Se calcula la evolución del ROI de una empresa en un contexto en que no se realizan inversiones (escenario 1):

199

6.9 Métodos de valoración de acciones

Tabla 6.21 Cálculo del ROI (escenario 1)

Cuenta

Símbolo

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

Activo fijo inicial

A

1.000,0

800,0

600,0

400,0

200,0

Nuevas inversiones

B

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

Depreciación

C

200,0

200,0

200,0

200,0

200,0

A+B-C

800,0

600,0

400,0

200,0

0,0

Activo fijo final Capital inicial

D

1.000,0

800,0

600,0

400,0

200,0

Beneficio después de impuestos

E

—25,2

65,0

90,0

110,0

110,0

Flujo de efectivo

F

174,8

265,0

290,0

310,0

310,0

Valor presente inicial

G

1.000,0

925,0

753,0

538,0

282,0

Valor presente final

H

925,2

752,7

538,0

281,8

0,0

Incremento de valor

H-G

—74,8

—172,5

—214,7

–256,2

–281,8

Incremento de valor + flujo de efectivo

(H-G)+F

100,0

92,5

75,3

53,8

28,2

Rentabilidad sobre la inversión

E/[((A+BC)+D)/2]

–2,80%

9,29%

18,00%

36,67%

110,00%

donde Activo neto promedio = y: ROI =

Activo neto inicial+Activo fijo final 2

BDT Activo neto promedio

(6.78)

(6.79)

b) Si la empresa comienza a invertir 300 U.M. a partir del año 2, el escenario cambia y, en consecuencia, el ROI: Tabla 6.22 Cálculo del ROI (escenario 2)

Cuenta Activo fijo inicial Nuevas inversiones Depreciación y amortización Activo fijo final Capital inicial

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5

1.000,0

800,0

600,0

400,0

200,0

0,0

300,0

300,0

300,0

300,0

–200,0

–200,0

–200,0

–200,0

–200,0

800,0

900,0

700,0

500,0

300,0

1.000,0

800,0

600,0

400,0

200,0

200

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Beneficio después de impuestos

–25,2

65,0

90,0

110,0

110,0

Flujo de efectivo

174,8

265,0

290,0

310,0

310,0

1.000,0

925,0

753,0

538,0

282,0

Valor presente final

925,2

752,7

538,0

281,8

0,0

Incremento de valor

–74,8

–172,5

–214,7

–256,2

–281,8

Incremento de valor + flujo de efectivo

100,0

92,5

75,3

53,8

28,2

Rentabilidad sobre la inversión (ROI)

–2,80%

7,65%

13,85%

24,44%

44,00%

Valor presente inicial

c)

La evolución del ROI en ambos escenarios es: Figura 6.8 Evolución del ROI

120,00%

110,00%

100,00% 80,00% 60,00% 36,67%

40,00% 20,00%

9,29% 7,65%

18,00% 13,85%

44,00%

24,44%

0,00% –2,80%

–20,00%

–2,80%

1

2 ROI (escenario 1)

3

4

5

ROI (escenario 2)

Como se observa en la figura 6.7, si el escenario cambia y la empresa realiza nuevas inversiones, el ROI crecerá pero a niveles menores.

6.9 Métodos de valoración de acciones

6.9.2.2 Flujos de efectivo esperados Al valorar una empresa con base en los flujos de efectivo, se debe determinar a quién pertenece el flujo de efectivo. Si se supone que, básicamente, hay dos tipos de inversores, los que proveen capital y terceros (deuda), se pueden apreciar tres clases de flujos creados por la empresa: a)

Los flujos de efectivo para los accionistas: los flujos de efectivo del capital o del accionista se descuentan al costo del capital accionario (Ke).

b) Los flujos de efectivo para los acreedores: los flujos de efectivo de la deuda, que se descuentan al costo de la deuda o rentabilidad exigida a la deuda (Kd). c)

Los flujos de efectivo para los accionistas y de los acreedores, es decir, los flujos de efectivo para la empresa. La tasa para descontar estos flujos es el costo promedio ponderado de capital (WACC).

A continuación se desarrollarán cada uno de estos flujos: a. Flujo de efectivo para los accionistas El flujo de efectivo libre para los accionistas (FCLA o CFAcc) es el efectivo disponible después de las inversiones requeridas y del pago del servicio de la deuda para retribuir a los propietarios. Esquemáticamente, se calcula: a)

Se determina el flujo de efectivo libre BAIT

– (+) Depreciaciones (–) Inversión en capital corriente (–) Inversión en activo fijo bruto

= FLUJO DE CAJA OPERATIVO

– (–) BAIT × TASA DE IMPUESTO

= FLUJO DE CAJA LIBRE

201

202

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

b) Se calcula el flujo de efectivo libre para los accionistas. FLUJO DE CAJA LIBRE

– (–) INTERESES × (1 – t)

– (–) AMORTIZACIÓN DE LA DEUDA

+ (–) EMISIÓN DE NUEVA DEUDA

= FLUJO DE CAJA LIBRE PARA LOS ACCIONISTAS Para estimar este flujo es conveniente conocer la estructura financiera de la empresa por periodo, puesto que esta estructura dependerá del tamaño de la deuda y su costo. Lo que quede tras satisfacer las necesidades de deuda será utilizado para remunerar a los tenedores de las acciones con base en la política de dividendos, por medio de la recompra de acciones o pago de dividendos, o para la reinversión en la empresa. Se puede estimar el valor de la empresa para el propietario descontando los flujos de caja libres para el accionista a la tasa Ke. Una equivocación muy común cuando se descuenta el FCLA es la inconsistencia entre la tasa de descuento y la política de dividendos. Por ejemplo, si una empresa incrementa dividendos pero la utilidad se mantiene igual, se debe ajustar la tasa de descuento del FCLA por el aumento del riesgo. Si no se hace el ajuste, la valoración no será la correcta. Si se crea valor para el accionista es claro que cuanto más altos sean los FCLA y más bajo el riesgo que está implícito en la tasa de descuento, la creación de valor será mayor. Se debe tener presente que este flujo depende de la estructura financiera de la empresa y, en consecuencia, de su política de dividendos, por lo que el posible uso de recursos propios o ajenos estará en función del pago de dividendos (Payout) o de la tasa de reinversión del beneficio. Benninga, S. y Sarig, O. (1997),18 relacionan el flujo de efectivo de la empresa y el del accionista:

18

BENNINGA, Simon y SARIG, Odded H., Corporate Finance: A Valuation Approach (Nueva York, McGraw-Hill, 1997).

6.9 Métodos de valoración de acciones

Tabla 6.23 Flujo de efectivo para el capital o para el accionista

Flujo de efectivo de la empresa –

Devolución neta de la deuda

–

Gastos financieros después de impuestos

=

Flujo de efectivo del capital o del accionista

También se puede estimar desde el beneficio neto: Tabla 6.24 Flujo de efectivo para el capital o para el accionista

Beneficio después de impuestos +

Depreciaciones y amortizaciones

–

Cambios en capital de trabajo neto

–

Adquisición neta de activos fijos

–

Devolución neta de la deuda

=

Flujo de efectivo del capital o del accionista

donde Tabla 6.25 Cambio en el capital de trabajo neto

+/–

Cambio en clientes

+/–

Variación en inventarios

+/–

Cambio en proveedores

=

Cambio en el capital de trabajo neto

Si se analiza más esta alternativa: Tabla 6.26 Flujo de efectivo para el capital o para el accionista

Beneficios antes de impuestos e intereses (BAIT) –

Gastos financieros

=

Beneficio antes de impuestos

–

Impuestos

=

Beneficio después de impuestos

+

Depreciaciones y amortizaciones

–

Incremento en clientes

203

204

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

–

Incremento en inventarios

+

Incremento en proveedores

+

Incremento en impuestos pendientes de pago

–

Devolución neta de la deuda

–

Adquisición neta de activos fijos

=

Flujo de efectivo del capital o del accionista

Se puede apreciar que a la utilidad o beneficio antes de intereses e impuestos se restan los gastos financieros. De esta manera, se obtiene el beneficio antes de impuestos. Después de la deducción de impuestos, sólo quedará por efectuar: El ajuste por depreciación y amortizaciones. Las variaciones que guardan relación con el fondo de maniobra, incluido el incremento de impuestos por pagar. Finalmente, dos ajustes, el rembolso del principal de la deuda y compras netas de activos. Si la empresa goza de subvenciones de capital que serán periodificadas como ingreso fiscal, se deben incluir antes de la estimación de impuestos y de su posterior detracción, al no haber asumido un ingreso de efectivo en el periodo, con un tratamiento contrario al que se aplica a las amortizaciones. Otra forma es incorporar el efecto fiscal de las subvenciones en forma directa. b. El flujo de efectivo de la deuda Son fondos netos disponibles para los acreedores. El cálculo del flujo de efectivo de la deuda es, en principio, el más simple dado que incorpora sólo los gastos financieros y las variaciones del principal de la deuda. Tabla 6.27 Flujo de efectivo de la deuda

Gastos financieros +

Variaciones del principal de la deuda

=

Flujo de efectivo de la deuda

En los gastos financieros se incorporan intereses y comisiones pagadas por deudas asumidas con instituciones financieras.

6.9 Métodos de valoración de acciones

Si se establece un cronograma de amortización de la deuda con tasas de interés fijas, los flujos de la deuda se sabrán siempre que la empresa esté en capacidad de honrar el servicio de la deuda que ha asumido. Los flujos de la empresa se pueden asignar con más facilidad a unidades de negocio o actividades concretas de ella. c. Flujo de efectivo de la empresa El flujo de efectivo libre para la empresa muestra el monto neto de efectivo que es generado por la empresa, deducidos gastos, impuestos y cambios en el capital de trabajo e inversiones. Este flujo de efectivo libre para la empresa muestra los flujos que producen las operaciones de la empresa y que pueden distribuirse a accionistas o acreedores, tras ser cubiertas las necesidades de inversión. Además, puede ser interpretado como fondos después de impuestos a favor del accionista si la empresa no tuviera deudas. También es conocido como flujo de efectivo libre de explotación. Para estimar estos flujos se pueden emplear el método indirecto y el directo. El método indirecto obtiene este flujo desde el beneficio después de impuestos: Tabla 6.28 Método indirecto

Beneficios después de impuestos +

Depreciaciones y amortizaciones

–

Incremento en clientes pendientes de cobro

–

Incremento en inventarios

+

Incremento en proveedores

+

Incremento de impuestos pendientes de pago

+

Gastos financieros después de impuestos

=

Flujo de efectivo operativo

–

Adquisiciones netas de activo fijo

=

Flujo de efectivo de la empresa

Un valor positivo sugiere que la empresa tiene efectivo disponible después de gastos, pero si el valor es negativo sería un indicativo que no ha generado suficientes ingresos para cubrir sus costos y actividades de inversión; en ese caso, el inversionista debe averiguar que está sucediendo, pues puede ser un signo de que la empresa puede tener algunos problemas. Como se puede ver, se efectúan diferentes ajustes a la utilidad neta: En principio, el de las depreciaciones y amortizaciones que, al ser deducidas para estimar la utilidad, no se refiere a un egreso real de efectivo del periodo.

205

206

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

En segundo término, ajustes vinculados al fondo de maniobra: cuentas por cobrar, inventarios, cuentas por pagar (proveedores) e impuestos por pagar. En tercer lugar, un ajuste consistente en agregar los gastos financieros que fueron deducidos al calcular la utilidad o beneficio, dado que pertenecen a los acreedores. Finalmente, se tiene el ajuste vinculado a cambios en los activos fijos, compras de nuevos activos menos venta de existentes. El ajuste se ve reflejado en la cuenta adquisiciones netas de activo fijo, que reduce el flujo de efectivo operativo. Alternativamente se puede calcular el flujo de efectivo de la empresa por medio del método directo, a través del cual se prevén entradas y salidas de efectivo: Tabla 6.29. Método directo

Cobros = Ventas – Incrementos en clientes (–)

Gastos operativos Costo de ventas + Gastos administrativos, generales y de comercialización + Incremento en inventarios – Incremento en proveedores – Depreciaciones y amortizaciones

(–)

Impuestos – Impuestos sobre beneficios operativos – Incremento en impuestos pendientes de pago

=

Flujo de efectivo operativo

–

Adquisiciones netas de activos fijos

=

Flujo de efectivo de la empresa

Como se observa, lo cobrado se deriva de las ventas a las que se les disminuye el aumento en clientes. Los gastos operativos se estiman a partir del costo de ventas. Este último se ajusta así: a)

Se agregan los gastos generales, administrativos y de comercialización.

b) Ajustes relacionados a inventarios y a las cuentas por pagar comerciales, vinculados al fondo de maniobra. c)

Ajuste de depreciaciones y amortizaciones.

Para finalizar con la estimación del flujo de efectivo de la empresa sólo se necesita ajustar por los impuestos aplicados a las utilidades operativas, es decir, sin haber restado los gastos financieros y los cambios en las cuentas de activo fijo.

6.9 Métodos de valoración de acciones

d. Flujo de efectivo bruto y el flujo de efectivo para la empresa Este elemento pone de manifiesto la actividad operativa de la empresa, sin tener en consideración nuevas inversiones. Para calcularlo se hace lo siguiente: Tabla 6.30. Flujo de efectivo bruto

Ingresos por ventas –

Costos de ventas

=

Beneficio antes de impuestos e intereses (BAIT)

–

Impuestos sobre el BAIT

=

Beneficio antes de intereses y después de impuestos

+

Depreciaciones y amortizaciones

+

Impuestos diferidos

=

Flujo de efectivo bruto

Si se agregan las necesidades en circulante se tendrá el flujo de efectivo operativo. Si al flujo de efectivo bruto se le suman las inversiones en activo fijo y circulante, se tendrá el flujo de efectivo de la empresa.

Ejemplo 6.47 La empresa Las Quenuales dispone la siguiente información del año 1: Ingresos por ventas = 1.000 U.M. Costos de ventas = 500 U.M. La tasa de impuesto corporativa es 30% La amortización del activo fijo es de 50 U.M. Los impuestos diferidos son de 40 U.M. No hay inversiones en activo fijo No hay inversiones en circulante. Calcule el flujo de efectivo bruto y el flujo de efectivo de la empresa.

207

208

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Solución a)

Se analiza si se dispone de todas las variables que se necesitan para calcular el flujo de efectivo bruto.

b) Se calcula el flujo de efectivo bruto: Cuentas

Año 1

Ingresos por ventas

1.000

– Costos de ventas

500

= Beneficios antes de intereses e impuestos

500

– Impuestos

150

= Beneficios antes de intereses y después de impuestos

350

+ Amortización del activo fijo

50

+ Impuestos diferidos

40

= Flujo de efectivo bruto c)

440

Si se incluyen las inversiones en activo fijo y en circulante al flujo de efectivo, se tiene: Cuentas

Año 1

Flujo de efectivo bruto

440

Inversión en activo fijo

0

Inversión en circulante

0

Flujo de efectivo de la empresa

440

El flujo de efectivo bruto coincide con el flujo de efectivo de la empresa y es igual a 440 U.M. Lo anterior se puede resumir así: Tabla 6.31 Flujo de efectivo de la empresa

Beneficio antes de intereses y después de impuestos +

Depreciaciones y amortizaciones

+

Impuestos diferidos

=

Flujo de efectivo bruto

–

Variaciones capital circulante

=

Flujo de efectivo operativo

6.9 Métodos de valoración de acciones

–

Adquisición neta de activos fijos

=

Flujo de efectivo de la empresa

e. El flujo de efectivo del capital Éste se aprecia desde la perspectiva del receptor de fondos y no de la empresa. Tabla 6.32 Flujo de efectivo del capital

Beneficio antes de impuestos e intereses –

Intereses financieros

=

Beneficios antes de impuestos después de intereses

–

Impuestos sobre el beneficio antes de impuestos

=

Beneficio después de impuestos

+

Depreciaciones y amortizaciones

+/–

Variación en necesidades de capital circulante

–

Adquisición neta de activos fijos

=

Flujo de efectivo de capital

En el flujo de efectivo de la empresa se estiman los impuestos sobre la utilidad o beneficio sin considerar intereses, en tanto que en el que ocupa se calcula sobre un monto de beneficio después de gastos financieros. Algunos lo estiman así: CCF = FCA + FCD = FCA + Devolución de deuda + Intereses

(6.80)

donde CCF Flujo de efectivo de capital FCA Flujo de efectivo del accionista FCD Flujo de efectivo de la deuda Se debe tener en cuenta que FCE = FCA + Devolución deuda + Intereses tras impuestos. El flujo de efectivo para la empresa no tiene en cuenta la deducción fiscal de los intereses, mientras que el flujo de efectivo del capital sí lo considera.

209

210

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

6.9.2.3 Usos del modelo de Gordon–Shapiro a. Uso para valorar empresas El modelo de Gordon-Shapiro se utiliza para valorar empresas con crecimiento constante; se asume que los flujos crecen a una tasa constante g en forma indefinida. Esto supone que las relaciones deuda-recursos propios (D/E) y necesidades operativas de fondos-activo fijo neto (NOF/AFN) se mantienen (es decir, que los recursos propios, las NOF y los AFN crecen a la misma tasa g que los flujos de caja); además, que el valor de la deuda es igual a su valor nominal al inicio. Este modelo se puede emplear para calcular el valor de la empresa como la suma de los recursos propios (E) y de la deuda (D), a través de los siguientes métodos: 1) Mediante el flujo de efectivo libre (FCF) Los pasos son los siguientes: a)

Se calcula el valor de mercado del capital propio (E) como el flujo de efectivo de los accionistas en el periodo 1 (CFAcc1) descontado al costo de los recursos propios de la empresa apalancada (Ke) menos la tasa de crecimiento de los dividendos (g): E= donde

CFAcc1 Ke − g

(6.81)

E Capital propio CFAcc1 Flujo de efectivo de los accionistas en el periodo 1 b) Se suma esta expresión a la del valor de la deuda (D), calculado como el flujo de efectivo de la deuda en el periodo 1 (CFd1) descontado al costo de la deuda (Kd) menos la tasa de crecimiento de los dividendos (g): D= donde D CFd1 Kd g

CFd1 Kd − g

(6.82)

Valor de la deuda Flujo de efectivo de la deuda en el periodo 1 Costo de la deuda Tasa de crecimiento de los dividendos

Luego, se tiene: E+D= donde E Capital propio D Valor de la deuda

CFAcc1 CFd1 + Ke − g Kd − g

(6.83)

6.9 Métodos de valoración de acciones

CFAcc1 Ke g CFd1 Kd c)

Flujo de efectivo de los accionistas en el periodo 1 Costo de los recursos propios de la empresa apalancada Tasa de crecimiento de los dividendos Flujo de efectivo de la deuda en el periodo 1 Costo de la deuda

Como el flujo de efectivo de la deuda (CFd1) es: CFd1 = D × Kd − g × D Se reemplaza esta expresión en la ecuación anterior y se tiene que el valor de la empresa E + D es: E+D=

CFAcc1 D × Kd − g × D + Ke − g Kd − g

donde E D CFAcc1 Ke g CFd1 Kd D

Capital propio Valor de la deuda Flujo de efectivo de los accionistas en el periodo 1 Costo de los recursos propios de la empresa apalancada Tasa de crecimiento de los dividendos Flujo de efectivo de la deuda en el periodo 1 Costo de la deuda Valor de la deuda

Ejemplo 6.48 De la empresa ABC se conoce que: Cuenta Margen Intereses BAT Impuestos BDT + Amortización – Inversiones CFAcc1 Además, el Ke es igual a 10% y g es igual a 3%.

Año 1 800 0 800 0 800 200 −200 800

(6.84)

211

212

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

También se conoce que: La deuda de la empresa es de 500 U.M. Kd es igual a 7,5% Sobre la base de la información anterior, se pide: a)

Calcular el valor de los recursos propios (E).

b) Calcular el valor de la deuda (D). c)

Calcular el valor de la empresa.

Solución a)

Se calcula el valor de los recursos propios: CFAcc1 ( Ke − g ) 800 E= = 11.428,57 U.M. (0,1− 0,03)

E=

b) Se calcula el valor de la deuda:

c)

D=

( D × Kd − g × D ) ( Kd − g )

D=

(500 × 0,075 − 0,03 × 500) = 500,00 U.M. (0,075 − 0,03)

Se suman los resultados obtenidos en los incisos a) y b) para obtener el valor de mercado de la empresa. E + D = 11.428,57 + 500,00 E + D = 11.928,57 U.M.

2) Mediante el flujo de efectivo del capital (CCF CCF1) Los pasos son los siguientes: a)

Se establece la relación entre el flujo de efectivo libre (FCF) y el flujo de efectivo de los accionistas (CFAcc1): CFAcc1 = FCF1 − D0 × [Kd × (1− T ) − g ]

(6.85)

6.9 Métodos de valoración de acciones

donde CFAcc1 FCF1 D0 Kd T g

Flujo de efectivo de los accionistas en el periodo 1 Flujo de efectivo libre en el periodo 1 Valor de la deuda en el periodo 0 Costo de la deuda Tasa de impuesto marginal Tasa de crecimiento de los dividendos

Esta relación se debe a que CFAcc1 se define como: CFAcc1 = FCF1 − I1 × (1− T ) + ΔD1 donde I1 = D0 × Kd y ΔD1 = g × D0 Es decir, el interés en el periodo 1 es el producto de la deuda en el periodo 0 (D0) por el costo de la deuda (Kd) y, además, el cambio en la deuda (Δ D1) es igual a la tasa de crecimiento g por la deuda (D0). b) Como la expresión (6.78) tiene que ser igual a (6.79) (debido a que ambas representan E + D), se emplea la ecuación (6.81) y se obtiene la expresión: ( E + D ) × (WACC − g ) = E × ( Ke − g ) + D × [Kd × (1− T ) − g ] De esta expresión se despeja el costo promedio ponderado del capital (WACC). Así, se tiene que: WACC = c)

E × Ke + D × Kd × (1− T ) E+D

Luego, el valor de la empresa (E + D) es: E+D=

CCF1 WACCBT − g

(6.86)

donde

E D CCF1 WACCBT

Valor de mercado del capital propio Valor de la deuda Flujo de efectivo del capital en el periodo 1 Costo promedio ponderado del capital desapalancado antes de impuestos (BT: before taxes) g Tasa de crecimiento de los dividendos

El valor de la empresa se obtiene del flujo de efectivo del capital descontado al costo medio ponderado de los recursos desapalancados, bajo el supuesto de un crecimiento constante.

213

214

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

b. Cálculo del valor residual Otro uso del modelo Gordon–Shapiro es el cálculo del valor residual. Este valor es un componente del valor de la empresa, que se define como: VE = VFCLFEE + VR

(6.87)

donde VE Valor de la empresa VFCLFEE Valor de los flujos de caja libres futuros esperados explícitos VR Valor residual Este valor representa todos los flujos de efectivo libres futuros que no han sido previstos explícitamente. Debe calcularse adecuadamente. Para estimar el valor residual se asume que el flujo de efectivo libre crece a una tasa constante g a perpetuidad. Si se emplea el modelo de Gordon–Shapiro, se tiene: V0 =

FCFt −1 × (1+ g ) (WACC − g )

(6.88)

donde V0 Valor residual FCF t–1 Flujo de efectivo libre en el periodo t – 1 g Tasa de crecimiento de los beneficios WACC Costo promedio ponderado del capital Por último, se calcula el valor presente del valor terminal V0, empleando para ello el costo promedio ponderado del capital (WACC): VA(V0 ) =

V0 (1+ WACC )t −1

(6.89)

donde VA(V0) Valor presente del valor residual V0 Valor de la empresa en periodos posteriores (valor terminal) WACC Costo promedio ponderado del capital

Ejemplo 6.49 La empresa GAE proporciona lo siguientes datos: 1. El flujo de efectivo libre en el año 6 es de 100 U.M. 2. La tasa de crecimiento de los beneficios es de 2% 3. El costo promedio ponderado del capital es de 12,3% Encuentre el valor residual y calcule el valor presente del valor residual de GAE.

6.9 Métodos de valoración de acciones

Solución a)

Se identifica la expresión que se utilizará para calcular el valor terminal, que en este caso es la ecuación (6.87).

b) Se encuentra el valor residual. 100 × (1+ 0,02) (0,123 − 0,02) V0 = 990,29 U.M. V0 =

c)

Se calcula el valor presente del valor residual. VA(V0 ) =

V0 (1+ WACC )t −1

VA(V0 ) =

990,29 (1+ 0,123)6−1

VA(V0 ) = 554,45 U.M. c. Cálculo de la prima por riesgo de mercado implícita El modelo de Gordon-Shapiro puede ser empleado para estimar la prima por riesgo de mercado, componente del modelo de valorización de activos financieros (CAPM, por sus siglas en inglés), que se utiliza para estimar la rentabilidad exigida a las acciones (Ke).19 Luego, al calcular la prima por riesgo de mercado (PM), se calcula la prima por riesgo de mercado implícita que se deriva del modelo de valoración de GordonShapiro: PM = donde PM Div/P g Rf

Div + g − Rf P

(6.90)

Prima por riesgo de mercado implícita Rendimiento en dividendos Tasa de crecimiento de los dividendos Tasa libre de riesgo

La prima por riesgo de mercado implícita es igual al rendimiento en dividendos más la tasa de crecimiento del beneficio a largo plazo menos la tasa libre de riesgo. En el caso de una empresa con crecimiento cero, la prima por riesgo de mercado es igual al rendimiento en dividendos menos la tasa libre de riesgo. 19

Ver en López Lubian, Francisco y De Luna, Walter, Valoración de empresas en la práctica (Madrid, Mc Graw-Hill, 2001), págs.13/17.

215

216

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Por ejemplo, se suponen los siguientes datos de un mercado en particular: D/P = 1,7% g = 6% Rf = 5,45% ¿Cuál es la prima de riesgo de mercado implícita? Luego: Div +g P PM = 1,7% + 6% − 5,45% PM =

PM = 2,25% Además, es posible estimar una media histórica de las primas implícitas de un mercado cualquiera, ponerla en relación con la tasa libre de riesgo (Rf) y utilizar un modelo de descuento de dividendos con dos etapas de crecimiento.20 El modelo de Gordon-Shapiro también es aplicable cuando se supone que las empresas bajo estudio poseen estructuras de capital fijas y con crecimiento estable. Cabe notar que al asumir una tasa de crecimiento constante, por lo general ésta se refiere a empresas maduras con bajas a moderadas tasas de crecimiento. Se emplea la prima de mercado para estimar el rendimiento exigido a las acciones (Ke), utilizando el modelo de CAPM.21 De este modo, se tiene: Ke = R f + β × PM Esta tasa Ke se utiliza, a su vez, para estimar la tasa de descuento, calculada empleando el WACC, para descontar el flujo de efectivo libre (FCL). Cuando se estima la tasa de descuento del FCL, el modelo del WACC supone que se mantendrá la estructura de capital de la empresa que se quiere valorar. Este supuesto resulta restrictivo en cierta medida pues, en el momento de descontar los flujos de efectivo libre, se estaría utilizando la tasa de descuento que no incluye cambios previstos en la estructura de capital. Además, este modelo asume que una empresa nacional mantendrá una estructura de capital similar a la estructura promedio de capital de las empresas que operan en el sector bajo estudio; y que esta tasa se mantendrá en el futuro, incluso si la empresa es vendida.

20 21

Vid. infra, pág. 91 y siguientes. El modelo del CAPM se desarrolla en Court Monteverde, Eduardo, Finanzas Corporativas, 2a ed (Buenos Aires, Cengage Learning, 2012), en el capítulo de "Modelo de valorización de activos de capital y valor presente ajustado", págs. 539/584.

6.9 Métodos de valoración de acciones

Al final el modelo CPPC (WACC) que se utiliza para calcular la tasa de descuento es: WACC = Ke × donde WACC Ke C/(C + D) Kd T D/(C + D)

C D + Kd × (1− T ) × (C + D ) (C + D )

Costo promedio ponderado del capital Rentabilidad exigida a las acciones Valor del capital como proporción del total de capital y deuda Costo de la deuda Tasa de impuesto marginal Deuda como proporción del total de capital y deuda

Esta tasa también se utiliza para descontar el flujo de efectivo libre en los periodos en que ha sido explicitado22 y el valor terminal. Como se analizará, se estima utilizando: V0 =

FCFt −1 × (1+ g ) (WACC − g )

donde WACC es la tasa de descuento que incluye, en este caso, el valor de Ke estimado utilizando el modelo CAPM, que incorpora el cálculo de la prima por riesgo de mercado implícito mediante el modelo de Gordon-Shapiro.

6.9.2.4 Ejercicio de aplicación a. Metodología para calcular el precio objetivo de la acción de una empresa Para calcular el precio objetivo de una acción a doce meses. a)

Se calcula el valor de la empresa.

b) Se calcula el valor del capital (equity) Valor del equity = Valor de la empresa total–Deuda + Efectivo o cash c)

Se estima el precio al inicio del año de pronóstico: Precio de la acción inicio t =

22

(6.91)

Valor del equity Número de acciones inicio t

(6.92)

El flujo de efectivo libre es explicitado en determinados periodos cuando se detallan cada una de las cuentas que permiten llegar al valor de este flujo en cada periodo.

217

218

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

d) Se calcula el precio objetivo a doce meses: Precio objetivo de la acción a12 meses = P0 × (1+ g )

(6.93)

donde P0 Precio de la acción al inicio del año 0 g Tasa de crecimiento de los beneficios b. Estados financieros Se dispone del balance general y del estado de pérdidas y ganancias consolidadas de una minera de los años 1 a 4, en miles de U.M. Tabla 6.33 Balance general histórico

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

2.076.170

2.050.168

2.860.861

2.967.056

60.327

53.658

391.187

445.949

71.060

90.768

370.691

353.892

110.308

82.435

113.522

154.349

Otras cuentas por cobrar corto plazo

19.015

16.262

16.104

33.357

Gastos pagados por anticipado

24.689

36.726

16.463

31.909

Total activo corriente

285.399

279.849

907.967

1.019.456

Activo fijo

548.916

564.992

719.128

1.426.712

0

0

0

(626.070)

1.194.367

1.167.151

1.219.219

1.581.759

0

0

0

(458.626)

47.488

38.176

14.547

23.825

Total activo no corriente

1.790.771

1.770.319

1.952.894

1.947.600

Pasivo

1.185.332

1.114.055

1.134.386

793.539

Cuentas por pagar de corto plazo

91.679

147.743

133.124

194.647

Otras cuentas por pagar de corto plazo

327.636

372.471

644.759

407.724

Total pasivo corriente

419.315

520.214

777.883

602.371

Activo Caja necesaria

1/

Cuentas por cobrar

2/

Existencias

Depreciación acumulada Intangibles Amortización acumulada Otras cuentas del activo no corriente

219

6.9 Métodos de valoración de acciones

Pasivos por instrumentos financieros de largo plazo

182.702

177.041

190.949

186.359

Deuda de largo plazo

583.315

416.800

165.554

4.809

Patrimonio neto

890.838

936.113

1.726.475

2.173.517

Capital social

793.117

815.930

964.864

997.602

Participación patrimonial del trabajo

1.286

1.313

0

1.658

Reservas

5.799

1.265

15.051

112.593

90.636

117.605

745.056

1.061.664

0

0

1.504

0

Utilidades retenidas Interés minoritario 1/ 2/

Efectivo + Inversiones corto plazo (inversiones financieras temporales - IFT). Créditos por ventas corto plazo + Documentos por cobrar corto plazo.

Tabla 6.34 Estado de ganancias y pérdidas histórico

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Ingresos operacionales

885.676

1.152.726

2.549.385

3.236.433

Costo de ventas

507.734

653.311

938.250

971.836

Resultado bruto

377.942

499.415

1.611.135

2.264.597

Gasto de ventas

44.461

52.485

111.056

156.481

214.070

241.044

132.717

163.289

8.263

10.495

9.005

146.678

0

0

(13.348)

(130.475)

Ingresos extraordinarios

133.029

141.279

237.773

135.859

Depreciación y amortización

141.291

151.775

233.430

135.859

Resultado operativo (EBIT)

119.412

205.885

1.961.030

1.961.030

85

1.540

11.526

98.905

(58.618)

(99.506)

(38.876)

(79.693)

Otros ingresos / egresos

90.746

10.495

(4.342)

0

Ganancias o pérdidas por instrumentos financieros derivados

(1.003)

(4.768)

(30.187)

(109.067)

Resultado antes de impuestos

150.622

113.646

1.305.483

1.871.175

Impuesto a las ganancias

48.741

33.668

373.554

525.412

Participación adm/estatutaria

14.128

9.990

108.210

151.751

Otros

(6.547)

(2.683)

0

0

Ganancia/Pérdida neta

81.206

67.305

823.719

1.194.012

Gastos administrativos Otros ingresos Otros gastos

Ingresos financieros Gastos financieros

220

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Lo primero que se debe hacer es determinar cuáles cuentas son las que se necesitan para estimar de manera adecuada los flujos de efectivo libres, en particular del balance general. Luego, se procede a determinar los supuestos para valorar la empresa. c. Supuestos del modelo Sobre la base de las siguientes fórmulas se calculan los ratios financieros que se emplearán para proyectar el balance general: Días de cuentas por cobrar = 360 × Rotación de existencias =

Cuentas por cobrar Ventas

(6.94)

Costo de ventas Existencias

Días de existencias = 360 ×

(6.95)

Existencias Costo de ventas

(6.96)

⎛ Cuentas por pagarProveedores ⎞ Días de cuentas por pagarProveedores = 360 × ⎜ ⎟⎠ ⎝ Costo de ventas

(6.97)

De este modo, para el año 4 se tiene: ⎛ 353.892 ⎞ = 39 Días de cuentas por cobrar = 360 × ⎜ ⎝ 3.236.433 ⎟⎠ Rotación de existencias = (971.836 154.349) = 6 Días de existencias = 360 × (154.349 971.836) = 57 Luego, se calculan los ratios financieros y se los proyecta: Tabla 6.35 Ratios financieros

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Año 5 a 10

29

28

52

39

39

5

8

8

6

6

Días de existencias

78

45

44

57

57

Días de proveedores

65

81

51

72

72

Días de cuentas por cobrar Rotación de existencias

De manera complementaria, se formulan y calculan supuestos para el año 4: Tasa de crecimiento de ingresos operativos = 6%

6.9 Métodos de valoración de acciones

221

Se tomó este dato del sector en el que opera. Costo de ventas/Ingresos operativos = (971.836 / 3.236.433) = 0,30 Gastos de ventas/Ingresos operativos = (156.481) / (3.236.433) = 0,05 Gastos de administración/Ingresos operativos = (163.289 / 3.236.433) = 0,05 De igual modo, se procede en los casos de los años 1, 2 y 3: Tabla 6.36 Supuestos

Supuestos

Año 1 Año 2 Año 3 Año 4

Tasa de crecimiento de los ingresos operativos

Años 5 -10

Años 11-13

0,06

0,06

Costo de ventas / Ingresos operativos

0,57

0,57

0,37

0,30

0,30

0,20

Gastos de ventas / Ingresos operativos

0,05

0,05

0,04

0,05

0,05

0,03

Gastos de administración / Ingresos operativos

0,24

0,21

0,05

0,05

0,05

0,03

En ambas tablas, los ratios financieros y supuestos a partir del año 5 en adelante corresponden a proyecciones hechas sobre la base de las políticas que se seguirán. Los supuestos que se deben mostrar en una presentación son: a)

La gestión de los créditos para los próximos años es de 39 días.23

b) La política comercial opera como en el año 3. c)

La empresa honra sus obligaciones sin mostrar mejoras en el número de días que emplea para pagarlas.

d) Los ingresos operativos son favorecidos por los altos niveles de los precios internacionales de los minerales; luego, se supone que éstos crecerán a la tasa promedio que registra el sector del año 1 al año 4 (6%). e)

23

Los costos de ventas son estimados como una proporción de los ingresos operativos. Como proporción se utiliza la relación de costos de ventas a ingresos operativos del año 4.

Otra posibilidad es que el analista asuma que la gestión de los créditos mejora gradualmente.

222

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

f)

Los gastos de administración y ventas se estiman como una proporción de los ingresos operativos, igual a la proporción del año 4. A partir del año 8, disminuyen.

g)

La empresa invierte en activo fijo 500 MM de U.M. anuales y 1.000 MM de U.M. en el año 10, con el objeto de reponer activos y disponer de activos en condiciones óptimas que ayuden a generar ingresos futuros; también, invierte en intangibles.

h) Dada su capacidad para generar fondos, la empresa no se endeuda, honrando su deuda financiera pendiente. i)

Se supone una tasa de crecimiento a perpetuidad de 2%.

d. Proyecciones de los estados financieros Sobre la base de lo explicado se efectúan las proyecciones del balance general y del estado de ganancias y pérdidas desde el periodo año 5 al año 11, así como del estado de flujo de efectivo.

0

285.399 548.916 0

Total activo corriente

Activo fijo

1/

0

117.605

1.265

936.113

Año 3

1.504

745.056

15.051

0

964.864

1.726.475

165.554

190.949

14.547 1.952.894 1.134.386 133.124 644.759 777.883

1.219.219 0

0

719.128

907.967

16.463

16.104

113.522

370.691

391.187

2.860.861

Año 4

0

1.061.664

112.593

1.658

997.602

2.173.517

4.809

186.359

23.825 1.947.600 793.539 194.647 407.724 602.371

1.581.759 (458.626)

(626.070)

1.426.712

1.019.456

31.909

33.357

154.349

353.892

445.949

2.967.056

Año 5

1.536.661

31.909

33.357

171.691

371.650

928.054

3.836.105

0

1.921.429

112.593

1.658

997.602

3.033.282

2.711

186.359

23.825 2.299.444 802.823 206.029 407.724 613.753

1.621.759 (539.714)

(733.138)

1.926.712

Efectivo + Inversiones CP; 2/ Créditos por ventas CP + Documentos por cobrar CP.

0

Interés minoritario

5.799

Reservas 90.636

1.313

1.286

Capital social Participación patrimonial del trabajo

Utilidades retenidas

815.930

890.838 793.117

Patrimonio neto

177.041 416.800

182.702 583.315

38.176 1.770.319 1.114.055 147.743 372.471 520.214

47.488 1.790.771 1.185.332 91.679 327.636 419.315

Deuda de largo plazo

1.167.151 0

1.194.367 0

279.849

Intangibles Amortización acumulada Otras cuentas del activo no corriente Total activo no corriente Pasivo Cuentas por pagar CP Otras cuentas por pagar CP Total de pasivo corriente Pasivos por instrumentos financieros de largo plazo

Depreciación acumulada

564.992

24.689

36.726

16.262

19.015

Gastos pagados por anticipado

90.768

53.658 82.435

71.060

60.327

Año 2 2.050.168

110.308

2/

Año 1 2.076.170

Existencias Otras cuentas por cobrar de corto plazo

Cuentas por cobrar

Caja necesaria 1/

Activo

0

2.764.612

112.593

1.658

997.602

3.876.465

204

186.359

23.825 2.861.287 812.678 218.391 407.724 626.115

2.021.759 (720.802)

(890.207)

2.426.712

1.827.856

31.909

33.357

121.328

393.949

1.247.312

4.689.143

Año 6

Tabla 6.37 Balance general histórico y proyectado Año 7

Año 9

3.426.712

3.037.068

31.909

33.357

87.372

425.938

2.458.492

6.572.042

Año 10

3.926.712

3.982.920

31.909

33.357

89.119

434.457

3.394.078

7.629.738

Año 11

4.926.712

4.503.014

31.909

33.357

90.902

443.146

3.903.701

8.661.676

0

3.595.965

112.593

1.658

997.602

4.707.818

0

186.359

23.825 3.273.131 825.577 231.494 407.724 639.218

0

4.708.837

112.593

1.658

997.602

5.820.690

0

186.359

23.825 3.534.974 751.352 157.269 407.724 564.993

0

5.763.387

112.593

1.658

997.602

6.875.240

0

186.359

23.825 3.646.818 754.498 160.415 407.724 568.139

0

6.792.117

112.593

1.658

997.602

7.903.970

0

186.359

23.825 4.158.661 757.706 163.623 407.724 571.347

2.421.759 2.821.759 3.221.759 3.621.759 (1.001.890) (1.382.978) (1.864.066) (2.345.154)

(1.097.275) (1.354.344) (1.661.412) (2.068.481)

2.926.712

2.260.264

31.909

33.357

128.608

417.586

1.648.804

5.533.395

6.9 Métodos de valoración de acciones 223

44.461

Gasto de ventas

85

Ingresos financieros

1.540

9.990 (2.683) 67.305

14.128 (6.547) 81.206

Otros Ganancia/Pérdida neta

113.646

150.622 33.668

(4.768)

(1.003)

48.741

10.495

90.746

(99.506)

Impuesto a las ganancias Participación adm./ estatutaria

Otros ingresos / egresos Ganancias y pérdidas por inst. financ. derivados Resultado antes de Impuestos

(58.618)

119.412

Gastos financieros

151.775

141.291

Resultado operativo

205.885

141.279

0

10.495

241.044

52.485

499.415

653.311

133.029

0

8.263

Año 2 1.152.726

Ingresos extraordinarios Depreciación y amortización

Otros gastos

Otros ingresos

214.070

377.942

Resultado bruto

G. administrativos

507.734

Costo de ventas

Año 1 885.676

Ingresos operacionales

Año 3

0 823.719

108.210

373.554

1.305.483

(30.187)

(4.342)

(38.876)

11.526

1.367.362

233.430

237.773

(13.348)

9.005

132.717

111.056

1.611.135

938.250

2.549.385

Año 4

0 1.194.012

151.751

525.412

1.871.175

(109.067)

0

(79.693)

98.905

1.961.030

135.859

135.859

(130.475)

146.678

163.289

156.481

2.264.597

971.836

3.236.433

Año 5

0 1.279.880

169.170

565.737

2.014.787

(109.067)

0

(473)

98.905

2.025.422

188.156

135.859

(130.475)

146.678

173.086

165.870

2.400.473

1.030.146

3.430.619

Año 6

0 1.263.298

166.978

558.408

1.988.685

(109.067)

0

(267)

98.905

1.999.113

338.156

135.859

(130.475)

146.678

183.472

175.822

2.544.501

1.091.955

3.636.456

Año 7

0 1.251.468

165.415

553.178

1.970.060

(109.067)

0

(3)

98.905

1.980.226

488.156

135.859

(130.475)

146.678

194.480

186.371

2.697.171

1.157.472

3.854.643

Año 8

0 1.532.987

202.625

677.617

2.413.228

(109.067)

0

0

98.905

2.423.390

638.156

135.859

(130.475)

146.678

117.952

117.952

3.145.389

786.347

3.931.736

Año 9

0 1.474.665

194.916

651.837

2.321.418

(109.067)

0

0

98.905

2.331.580

788.156

135.859

(130.475)

146.678

120.311

120.311

3.208.297

802.074

4.010.371

Año 10

0 1.448.845

191.503

640.424

2.280.772

(109.067)

0

0

98.905

2.290.934

888.156

135.859

(130.475)

146.678

122.717

122.717

3.272.463

818.116

4.090.579

Cap. 6

Tabla 6.38 Estado de pérdidas y ganancias histórico y proyectado

224 Acciones e instrumentos del mercado de dinero

57,1% 4,4% 15,8% 20,2% 8,8% 28,1% 42,9% 38,2% 0,1% 0,3% 4,4% 0,0%

Pasivo Cuentas por pagar CP Otras cuentas por pagar CP Total pasivo corriente Pasivos p/ins financier LP Deuda LP Patrimonio neto Capital social Part. patrim. del trabajo Reservas Utilidades retenidas Interés minoritario

Efectivo + Inversiones CP

1,9% 86,3%

2,3% 86,3%

1/

1,8% 13,7% 27,6% 0,0% 56,9% 0,0%

1,2% 13,7% 26,4% 0,0% 57,5% 0,0%

39,7% 4,7% 22,5% 27,2% 6,7% 5,8% 60,3% 33,7% 0,0% 0,5% 26,0% 0,1%

0,5% 68,3%

0,6% 31,7% 25,1% 0,0% 42,6% 0,0%

13,0% 4,0% 0,6%

13,7%

Año 3 100%

26,7% 6,6% 13,7% 20,3% 6,3% 0,2% 73,3% 33,6% 0,1% 3,8% 35,8% 0,0%

0,8% 65,6%

1,1% 34,4% 48,1% –21,1% 53,3% –15,5%

11,9% 5,2% 1,1%

15,0%

Año 4 100% 9,7% 4,5% 0,9%

24,2%

Año 5 100%

20,9% 5,4% 10,6% 16,0% 4,9% 0,1% 79,1% 26,0% 0,0% 2,9% 50,1% 0,0%

0,6% 59,9%

0,8% 40,1% 50,2% –19,1% 42,3% –14,1%

Créditos por ventas CP + Documentos por cobrar CP

54,3% 7,2% 18,2% 25,4% 8,6% 20,3% 45,7% 39,8% 0,1% 0,1% 5,7% 0,0%

4,4% 4,0% 0,8%

3,4% 5,3% 0,9%

2,6%

Año 2 100%

Cuentas por cobrar Existencias Otras cuentas por cobrar CP Gastos pagados por anticipado Total activo corriente Activo fijo Depreciación acumulada Intangibles Amortiz. acumulada Otras cuentas del Act. no Corriente Total act. no corriente

2/

2,9%

Caja necesaria 1/

2/

Año 1 100%

Estado de resultados Activo

17,3% 4,7% 8,7% 13,4% 4,0% 0,0% 82,7% 21,3% 0,0% 2,4% 59,0% 0,0%

0,5% 61,0%

0,7% 39,0% 51,8% –19,0% 43,1% –15,4%

8,4% 2,6% 0,7%

26,6%

Año 6 100%

14,9% 4,2% 7,4% 11,6% 3,4% 0,0% 85,1% 18,0% 0,0% 2,0% 65,0% 0,0%

0,4% 59,2%

0,6% 40,8% 52,9% –19,8% 43,8% –18,1%

7,5% 2,3% 0,6%

29,8%

Año 7 100%

Tabla 6.39 Balance general (como porcentaje del activo total)

11,4% 2,4% 6,2% 8,6% 2,8% 0,0% 88,6% 15,2% 0,0% 1,7% 71,6% 0,0%

0,4% 53,8%

0,5% 46,2% 52,1% –20,6% 42,9% –21,0%

6,5% 1,3% 0,5%

37,4%

Año 8 100%

9,9% 2,1% 5,3% 7,4% 2,4% 0,0% 90,1% 13,1% 0,0% 1,5% 75,5% 0,0%

0,3% 47,8%

0,4% 52,2% 51,5% –21,8% 42,2% –24,4%

5,7% 1,2% 0,4%

44,5%

Año 9 100%

8,7% 1,9% 4,7% 6,6% 2,2% 0,0% 91,3% 11,5% 0,0% 1,3% 78,4% 0,0%

0,3% 48,0%

0,4% 52,0% 56,9% –23,9% 41,8% –27,1%

5,1% 1,0% 0,4%

45,1%

Año 10 100%

6.9 Métodos de valoración de acciones 225

18% 0% –9% 1% 0% 10% 3% 1% 0% 6%

13% 0% –7% 10% 0% 17% 6% 2% –1% 9%

4% 0% 32%

54% 0% –2% 0% –1% 51% 15%

Año 3 100% 37% 63% 4% 5% 0% –1% 9% 9%

5% 0% 37%

61% 3% –2% 0% –3% 58% 16%

Año 4 100% 30% 70% 5% 5% 5% –4% 4% 4%

5% 0% 37%

59% 3% 0% 0% –3% 59% 16%

Año 5 100% 30% 70% 5% 5% 4% –4% 4% 5%

5% 0% 35%

55% 3% 0% 0% –3% 55% 15%

Año 6 100% 30% 70% 5% 5% 4% –4% 4% 9%

4% 0% 32%

51% 3% 0% 0% –3% 51% 14%

Año 7 100% 30% 70% 5% 5% 4% –3% 4% 13%

= 1.030.146/6 = 1.030.146 × 72/360 = 3.236.433 × (1+0,06) = 3.430.619 × 0,30 = 3.430.619 × 0,0483 = 3.430.619 × 0,0505

= Ingresos operativos × Días de cuentas por cobrar/360 = Costo de ventas/rotación de existencias = Costo de ventas × Días de cuentas × pagar /360 = Ingresos operacionales (t – 1) × (1 + tasa de crecimiento) = Ingresos operacionales (t) × (Costo de ventas / Ing. operativos) = Ingresos operacionales (t) × (Gasto de ventas / Ing. operativos) = Ingresos operacionales (t) × (Gasto administrativo / Ing. operativos)

Existencias

Cuentas por pagar

Ingresos operacionales

Costo de ventas

Gasto de ventas

Gasto administrativo

= 3.430.619 × 39/360

5% 0% 39%

62% 3% 0% 0% –3% 61% 17%

Año 8 100% 20% 80% 3% 3% 4% –3% 3% 16%

Cuentas por cobrar

Fórmula

Tabla 6.41 Cálculos realizados dentro del modelo financiero

Año 2 100% 57% 43% 5% 21% 1% 0% 12% 13%

Año 1 100% 57% 43% 5% 24% 1% 0% 15% 16%

5% 0% 37%

58% 2% 0% 0% –3% 58% 16%

Año 9 100% 20% 80% 3% 3% 4% –3% 3% 20%

173.086

165.870

1.030.146

3.430.619

206.029

171.691

371.650

Año 5

5% 0% 35%

56% 2% 0% 0% –3% 56% 16%

Año 10 100% 20% 80% 3% 3% 4% –3% 3% 22%

Cap. 6

Cuenta

Estado de resultados Ingresos operativos Costo de ventas Resultado bruto Gasto de ventas Gastos administrativos Otros ingresos Otros gastos Ingresos extraordinarios Deprec. y amortización Resultados operativos (EBIT) Ingresos financieros Gastos financieros Otros ingresos/egresos Gan/Pérd p/inst.fin.deriv. Resultados antes impuestos Impuesto a las ganancias Participación adm/ Estatutaria Otros Ganancia/Pérdida neta

Tabla 6.40 Estado de resultados (como porcentaje de los ingresos operativos) 226 Acciones e instrumentos del mercado de dinero

227

6.9 Métodos de valoración de acciones

Tabla 6.42. Inversiones (en miles de U.M.) Año 5

Año 6

Año 7

Año 8

Año 9

Activo fijo

500.000

500.000

500.000

500.000

500.000

• Terreno

—

—

—

—

—

—

—

• Edificios

—

—

—

—

—

—

—

• Infraestructura PAMA

—

—

—

—

—

—

—

• Maquinaria y equipo

—

—

• Unidades de transporte

—

—

—

—

—

—

—

• Muebles y equipos de cómputo

—

—

—

—

—

—

—

• Equipos diversos

—

—

—

—

—

—

—

500.000

500.000

500.000

500.000

500.000

Intangibles

40.000

400.000

400.000

400.000

400.000

400.000

2.040.000

• Reposición de intangibles

40.000

400.000

400.000

400.000

400.000

400.000

2.040.000

540.000

900.000

900.000

900.000

900.000

1.400.000

5.540.000

Costo

Depreciac. acumulada

Neto

Tasa depreciac.

Depreciac. anual

626.070

800.642

4%

57.068

10%

50.000

• Reposición de activos

Total

Activo fijo Total

1.426.712

+ Compra activos año 5 Nuevo total

Intangibles Intangibles + Compra de intangible año 5 Nuevo total

500.000 1.926.712

Año 10

Total

1.000.000 3.500.000

1.000.000 3.500.000

626.070

107.068

Costo

Amortizac. acumulada

Neto

Tasa amortizac.

Amortiz. anual

1.581.759

458.626

1.123.133

5%

79.088

5%

2.000

40.000 1.621.759

458.626

1.123.133

81.088

228

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Tabla 6.43 Depreciación de activo fijo y amortización Depreciación

Año 5

Año 6

Año 7

Año 8

Año 9

500.000

500.000

500.000

500.000

Año 10

Total

1.000.000

3.500.000

Activo fijo Activo fijo

1.926.712

Depreciación anual

107.068

+ Nuevo activo fijo + Nueva depreciación anual (10%)

50.000

50.000

50.000

50.000

100.000

350.000

1.926.712

2.426.712

2.926.712

3.426.712

3.926.712

4.926.712

8.426.712

Depreciación anual total

107.068

157.068

207.068

257.068

307.068

407.068

757.068

Depreciación acumulada

733.138

890.207

1.097.275

1.354.344

1.661.412

2.068.481

2.825.549

+ Nuevo intangible

400.000

400.000

400.000

400.000

400.000

2.040.000

+ Nueva amort. anual (25%)

100.000

100.000

100.000

100.000

100.000

510.000

1.621.759

2.021.759

2.421.759

2.821.759

3.221.759

3.621.759

5.661.759

81.088

181.088

281.088

381.088

481.088

481.088

891.088

539.714

720.802

1.001.890

1.382.978

1.864.066

2.345.154

3.236.242

Activo fijo total

Intangibles Intangibles

1.621.759

Amortización anual

Intangibles total

81.088

Amort. anual total Amortización acumulada

Tabla 6.44 Flujo de efectivo(en miles de U.M.) Año 5

Año 6

Año 7

Año 8

Año 9

Año 10

1.279.880

1.263.298

1.251.468

1.532.987

1.474.665

1.448.845

+ Depreciación y amortización

188.156

338.156

488.156

638.156

788.156

888.156

+ Cambio en las NOF

(23.718)

40.425

(17.813)

(41.341)

(7.121)

(7.263)

1.444.318

1.641.880

1.721.811

2.129.803

2.255.701

2.329.738

(500.000)

(500.000)

(500.000)

(500.000)

(500.000)

(1.000.000)

Actividades operativas Utilidad neta

Flujo operativo Actividades de inversión Compra de activo fijo Venta de activo fijo Compra de activos intangibles Venta de activos intangibles Flujo de inversión

-

-

-

-

-

-

(40.000)

(400.000)

(400.000)

(400.000)

(400.000)

(400.000)

-

-

-

-

-

-

(540.000)

(900.000)

(900.000)

(900.000)

(900.000)

(1.400.000)

6.9 Métodos de valoración de acciones

229

Actividades de financiamiento Amortización de la deuda

(2.098)

(2.507)

(204)

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Nueva deuda Nuevo capital

-

-

-

-

-

-

Dividendos

(420.115)

(420.115)

(420.115)

(420.115)

(420.115)

(420.115)

Flujo de financiamiento

(422.213)

(422.622)

(420.319)

(420.115)

(420.115)

(420.115)

Flujo de efectivo neto

482.105

319.258

401.492

809.688

935.586

509.623

Caja. Inicio de periodo Caja. Final de periodo

445.949 928.054

928.054 1.247.312

1.247.312 1.648.804

1.648.804 2.458.492

2.458.492 3.394.078

3.394.078 3.903.701

e. Valorización de la empresa Sobre la base de lo anterior, se valora la empresa utilizando el flujo de efectivo libre y el costo promedio ponderado del capital. Se emplea la siguiente fórmula para el flujo de efectivo libre: FCL = BAIT < T + Depreciación < CAPEX + NOF

(6.98)

donde FCL Flujo de efectivo libre BAIT Beneficios antes de intereses y después de impuestos T Gasto impositivo calculado así: T = t × BAIT donde t es la tasa de impuestos corporativa CAPEX Inversión en activo fijo Δ NOF Cambio en las necesidades operativas de fondos (NOF)24 Se aplica esta fórmula y se obtiene: Tabla 6.45. Valorización de la empresa

Utilidad operativa (BAIT) (–) Gasto impositivo = Beneficios antes de intereses y después de impuestos 24

Año 5

Año 6

Año 7

Año 8

Año 9

Año 10

2.025.422

1.999.113

1.980.226

2.423.390

2.331.580

2.290.934

607.627

599.734

594.068

727.017

699.474

687.280

1.417.796

1.399.379

1.386.158

1.696.373

1.632.106

1.603.654

Las necesidades operativas de fondos (NOF) están determinadas por las inversiones de corto plazo (activo corriente) menos los pasivos corrientes operativos. Las NOF reflejan la inversión requerida en el corto plazo para poder operar, a la cual se le restan los pasivos que se generan en forma espontánea como resultado de las operaciones.

230

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

(+) Gastos de depreciación y amortización

188.156

338.156

488.156

638.156

788.156

888.156

1.605.952

1.737.536

1.874.314

2.334.530

2.420.263

2.491.810

CapEx

540.000

900.000

900.000

900.000

900.000

1.400.000

Cambio en NOF

(23.718)

40.425

(17.813)

(41.341)

(7.121)

(7.263)

1.042.234

877.961

956.501

1.393.189

1.513.142

1.084.547

Flujo de efectivo operativo

Flujo de efectivo libre

Al valorizar: a)

Se calcula el costo promedio ponderado del capital. Para ello:

1.

Se calcula la tasa Ke empleando el modelo CAPM: Tabla 6.46 Cálculo del Ke

Calculo del Ke

Coeficiente

Tasa libre de riesgo (Rf)

7,50%

Beta (β)

1,06

Rendimiento del mercado (Rm)

10,13%

Prima por riesgo (Rm − Rf)

2,63%

Riesgo país (RP)

3,15%

Ke

13,42%

donde Ke = R f + ` × ( Rm < R f ) + RP Ke = 7,50% + 1,06 × (2,63%) + 3,15% Ke = 13,42% 2.

25

Se identifica el costo de la deuda (Kd). Es 9,85%.25

Si la tasa de interés en dólares (iU$S) es 5,375% y la tasa de devaluación (dev) es 4,25%, la tasa de interés en soles será 9,85% (i S/. ). Se calcula así: iS /. = (1+ dev ) × (1+ i$ ) < 1 = (1+ 4,25%) × (1+ 5,375%) < 1 = 9,85%

6.9 Métodos de valoración de acciones

3.

231

Se calculan las relaciones D/(D + E) y E/(D + E): D Deuda financiera LP = D + E Deuda LP + Capital social + Reservas D = 0,15 D+E E D = 1< D+E D+E E =1< 0,15 = 0,85 D+E

4.

Al reemplazar se obtiene el WACC: WACC =

E D × Ke + × Kd × (1< T ) E+D E+D

donde E Valor de mercado del capital (equity) D Valor de mercado de la deuda Ke Costo del capital (equity) Kd Costo de la deuda T Tasa de impuestos WACC = 0,85 × 13,42% + 0,15 × 9,85% × (1< 30%) WACC = 12,44% Sobre la base de los cálculos anteriores, se determina el precio de la acción. b) Se estima el valor presente de los flujos de efectivo libres futuros: 1.

Se identifican los flujos de efectivo libres: Tabla 6.47. Flujo de efectivo libre

Año 5 Flujo de efectivo libre 2.

1.042.234

Año 6

Año 7

877.961

956.501

Año 8

Año 9

Año 10

1.393.189

1.513.142

1.084.547

Se calcula el valor presente de cada flujo descontándolos al costo promedio ponderado del capital de 12,44%. Así se tiene: Tabla 6.48. Flujos de efectivo libre descontados

FCL descontados

Año 5 926.925

Año 6 694.438

Año 7 672.857

Año 8 871.619

Año 9 841.929

Año 10 536.690

232

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

3.

Se suman todos los resultados: FCLt t t =1 (1 + WACC ) 5

Valor presente de los FCL = -

Valor presente de los FCL = 4.544.458 c)

Se estima el valor terminal: 1.

Se identifican los valores que servirán para calcular el FCL: FCLAño 10 = 1.084.547 g = 2% WACC = 12,44%

2.

Se aplican estos valores que permite determinar el valor terminal: Valor terminal =

FCLaño10 × (1+ g ) (WACC < g )

donde FCL año 10 Flujo de efectivo libre en el año 10 WACC Costo promedio ponderado del capital g Tasa de crecimiento a perpetuidad Valor terminal =

1.084.547 × (1+ 2%) (12,44% < 2%)

Valor terminal = 10.596.149 3.

Se calcula el valor presente del valor terminal: Valor terminal (1+ WACC )6 10.596.149 Valor presente del valor terminal = (1+ 0,1244)6 Valor presente del valor terminal =

Valor presente del valor terminal = 5.243.521

26

Una metodología es utilizar la fórmula g = ROE × (1 – Payout Ratio) y aplicarla sobre una serie histórica de datos, sin embargo hay que considerar que obtener un g realista dependerá de la visión del analista sobre la situación actual y perspectivas de mercado (por ejemplo, si la empresa opera en una industria consolidada, el analista podría fijar una tasa de crecimiento a perpetuidad relativamente baja, entre 0,5% y 2% anual).

6.9 Métodos de valoración de acciones

d) Por último, se calcula el precio objetivo de la acción de la empresa: 1.

Se calcula el valor de la empresa total, utilizando la ecuación (6.87): Valor de la empresa = 4.544.458 + 5.243.521 = 9.787.979

2.

Se calcula el valor de las acciones, utilizando la ecuación (6.91): Valor del equity = 9.787.979 < 4.809 + 445.949 = 10.229.119

3.

El precio estimado al inicio del año 2008 se calcula con la ecuación (6.92): Precio de la acción inicio del 2008 =

Valor del equity Número de acciones inicio 2008

10.229.119 1.200.600 Precio de la acción inicio del 2008 = 8,52 Precio de la acción inicio del 2008 =

El precio resultante es de 8,52 U.M. por acción. 4.

El precio objetivo a 12 meses es calculado con la ecuación (6.93): Precio objetivo de la acción a12 meses = 8,52 × (1+12,44%) = 9,58 El precio objetivo de la acción a doce meses es 9,58 U.M.

f. Tasa de descuento Para calcular la tasa, se estima el costo medio ponderado del capital (WACC). Cuando se calcula Ke, el rendimiento de mercado es el promedio de los rendimientos diarios del índice S&P 500 desde el 1° de enero del 1970 al 31 de diciembre del 2007; la tasa libre de riesgo, el promedio de los rendimientos del tesoro americano a 10 años para el mismo periodo; y el riesgo país, la diferencia entre el rendimiento de los bonos peruanos de más bajo riesgo menos los bonos del tesoro americano, medido por el índice EMBI+ para el periodo 2002 al 2007. La tasa Ke es: Ke = 7,50% + (1,055043) × (10,13% – 7,50%) + 3,15% Ke = 13,42% Sobre la tasa Kd (costo de la deuda), se supone una tasa anual en soles de 9,85%. Esta tasa se calcula teniendo en cuenta que la devaluación anual será de 4,25%. La tasa Kd es: i( S /.) = (1+ iU $ S ) × (1+ Devaluación) < 1 i( S /.) = (1+ 0,05375) × (1+ 0,0425) < 1 i( S /.) = 0,098534

233

234

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Luego: WACC = (13,42%) × (0,85) + (9,85) × (1< 0,30) × (0,15) WACC = 0,1244 El costo promedio ponderado del capital (WACC) es de 12,44%. Si se valoriza: Tabla 6.49. Tasa de descuento

Tasa de descuento

VPN

9,04%

11.348.690

10,74%

10.529.821

12,44%

9.787.979

14,14%

9.114.699

15,84%

8.502.564

Tabla 6.50. Costo medio ponderado del capital

Costo medio ponderado del capital

Sensibilidad

Costo de capital (Ke)

9,42%

11,42%

13,42%

15,42%

17,42%

Costo de deuda (Kd)

9,85%

9,85%

9,85%

9,85%

9,85%

(1 - t)

0,70

0,70

0,70

0,70

0,70

D/(D + E)

0,15

0,15

0,15

0,15

0,15

E/(D + E)

0,85

0,85

0,85

0,85

0,85

9,04%

10,74%

12,44%

14,14%

15,84%

WACC

El cuadro denominado como sensibilidad muestra básicamente qué valores tomaría el WACC si el costo del capital varía.

6.9.3 Método de valuación de empresas por comparables Una estimación de carácter relativo del valor de una empresa corresponde al método de valorización por múltiplos comparables. Es decir, se trata de aproximar el valor de la empresa al compararlo con el valor conocido de otras empresas similares. A diferencia del método de flujos de caja descontado, la valoración depende en mayor medida del mercado. La estimación se obtiene del producto de indicado-

6.9 Métodos de valoración de acciones

res de otras empresas comparables (múltiplo) y la variable objetivo de la empresa estimada. £ Vcomp ¥ ´´ × Yobj Vobj = ²² ¤ Y comp ¦ donde VObj Vcomp Y comp Yobj

Variable de empresa objetivo Múltiplo de le empresa comparable Variable de empresa objetivo

El problema que se puede presentar es la alta dispersión de los ratios, que lleva a valoraciones muy debatibles. Por ello, es importante considerar este método de valoración como una herramienta de contraste para calcular valoraciones estimadas por otros métodos, el más utilizado, el flujo de efectivo descontado. Para aplicar este método se supone que los mercados son eficientes, los precios reflejan toda la información disponible, y que mediante la comparación se logra reconocer los errores del mercado, es decir, se evita la sobrevaloración o subvaluación de las empresas a través del tiempo. Se siguen los siguientes pasos para valorar las empresas: a)

Análisis de la empresa objetivo: Es necesario describir de manera exhaustiva el giro de la empresa, desde la actividad que desarrolla hasta su posicionamiento en el mercado, las características del sector al que pertenece, el análisis de sus estados financieros, etcétera.

b) Análisis y selección de las empresas comparables: En este punto, es importante preguntarse qué se entiende por empresas comparables. Se puede decir que son aquellas que poseen un flujo de efectivo potencial de crecimiento, y riesgo similares a la empresa objetivo. En la práctica, son aquellas que se encuentran en el mismo negocio o en la misma industria y cuyos principios de valoración presenten similitudes. Estas semejanzas pueden ser el mismo mix de negocio, tener un tamaño y rentabilidad similares, las mismas perspectivas de crecimiento, etcétera. c)

Selección del indicador: Ahora, para aplicar los múltiplos es necesario comprender los factores claves que determinan el valor de las acciones de las empresas. En este punto es importante considerar la industria a la que pertenece la empresa. No se podría aplicar un mismo múltiplo a una empresa de telecomunicaciones que al de una perteneciente al sector construcción.

235

236

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

d) Estimación del valor de la empresa objetivo: En esta etapa se aplica el múltiplo elegido para calcular el valor de la empresa objetivo.

6.9.3.1 Tipos de múltiplos a)

Múltiplos de comparación directa o basada en la capitalización: se estima el valor de la empresa objetivo con base en la comparación con otras empresas que cotizan en la bolsa de valores, en cuyo caso las cotizaciones bursátiles sirven como el indicador múltiplo. A continuación se presentan los que se utilizan con mayor frecuencia: 1.

Precio–Beneficio (PER) Este múltiplo muestra la relación que existe entre el valor de mercado de una acción y el beneficio que genera cada una de ellas. El PER indica las veces que el mercado paga las utilidades de la empresa o cuántos periodos se necesitan para recuperar la inversión realizada. PER =

Precio por acción Beneficio por acción

(6.99)

Ahora, para estimar el valor se efectúa el producto del múltiplo precio – beneficio de la empresa comparable y los beneficios por acción de la empresa que se desea valorar. A menudo, este múltiplo se utiliza porque facilita comparar acciones, es decir, considera las expectativas de los beneficios esperados por los inversionistas a través del precio de las acciones. Por su parte, una de las desventajas es que puede estar influido por los cálculos contables. La relación que se debe aplicar es la siguiente:

Vobj

2.

Precio por acción comp Beneficio por acción comp

Beneficio por acción obj

Precio de mercado–Precio en libros El múltiplo indica la proporción que tiene el precio de mercado en relación con su valor en libros. Se muestra en cuánto tiempo el mercado espera que el valor en libros de la acción esté dispuesto a pagar como máximo, bajo el supuesto que no se produjese el crecimiento. P / P _ book =

Precio de la acción de mercado Valor de la acción en libros

(6.100)

6.9 Métodos de valoración de acciones

Para calcular el valor se realiza el producto del múltiplo correspondiente por el valor en libros de la acción. Es muy útil para analizar empresas intensivas en capital, pero podría ser desventajoso en la medida que no existiese congruencia para identificar algunos pasivos entre los recursos propios o ajenos. Vobj

Precio de la acción de mercado comp Valor de la acción en libros comp

 Valor de la acción en libros obj

b) Múltiplos de la aproximación de acciones y deuda: se estima el valor de la empresa objetivo con base en el valor de mercado del capital propio y ajeno, es decir, derivado del enterprise value. Se presentan a continuación los principales: 1.

Valor de la empresa – Beneficios antes de interés, impuestos, depreciación y amortizaciones (VE/EBITDA). Este múltiplo muestra la relación entre el valor de la empresa y los beneficios obtenidos por ella antes de intereses, impuestos, depreciación y amortización. Permite medir el retorno de la inversión efectuada.

VE/EBITDA =

Valor de la empresa Beneficio antes de intereses, impuestos, depreciación y amortización

Para calcular el valor de la empresa se efectúa el producto del múltiplo correspondiente de la empresa comparable y los beneficios antes de intereses, impuestos, depreciación y amortización (BAIDT) que alcanzó la empresa objetivo. Este múltiplo se utiliza con frecuencia para realizar comparaciones internacionales, ya que elimina las distorsiones que provocan posibles cálculos diferentes de los impuestos, depreciación, amortización y políticas de financiamiento. Se utiliza la siguiente relación:

Valor de la empresa comp obj

BAIDTcomp

BAIDTobj

donde BAIDT Beneficio antes de intereses, impuestos, depreciación y amortizaciones 2.

Valor de la empresa – Beneficios antes de interés e impuestos (VE/EBIT) Este múltiplo indica la proporción del valor de la empresa sobre los beneficios que ella alcanzó antes de intereses e impuestos. Permite medir el retorno de la inversión realizada en la empresa. VE/EBIT =

Valor de la empresa EBIT

(6.102)

(6.101)

237

238

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

donde EBIT Beneficio antes de intereses e impuestos – BAIT - (earnings before interest and taxes) A continuación se estimará el valor de la empresa. Primero se realiza el producto correspondiente del múltiplo de la empresa comparable y los beneficios antes de intereses e impuestos que alcanzó la empresa objetivo. Entre las ventajas de usar este múltiplo se puede mencionar que elimina las posibles distorsiones de las tasas de impuestos y los diferentes grados de endeudamiento que presentan las empresas, por lo que es recomendable para valorar empresas que han madurado, ya que sus exigencias en inversión y reposición de activos fijos es menor. Por su parte, una desventaja es que no considera los diferentes costos por depreciación y amortización incurridos, que pueden deberse al uso de diferentes metodologías para calcularlos. Se utiliza la siguiente expresión: Valor de la empresa comp EBITcomp

Vobj 3.

EBIT obj

Valor de la empresa – Ventas Este múltiplo muestra la relación entre el valor de la empresa y las ventas, que permite expresar el valor del costo de adquirir una empresa en término de sus ventas. VE / Ventas =

Valor de la empresa Ventas

(6.103)

Para estimar el valor de la empresa se realiza el producto del múltiplo de la empresa comparable y las ventas que obtuvo la empresa que se desea valorar. Este enfoque ha cobrado mayor relevancia para valorizar empresas con alto crecimiento al inicio de sus operaciones, ya que al no obtener grandes beneficios, un punto de comparación podrían ser las ventas alcanzadas. Asimismo, posee la ventaja de evitar las posibles distorsiones de los resultados debido al uso de distintas reglas de contabilidad. Se utiliza la siguiente fórmula:

Vobj

Valor de la empresa comp Ventas comp

 Ventas obj

Ejemplo 6.50 Se tiene la siguiente información de la empresa M que cotiza en bolsa y que pertenece al sector de alimentos y bebidas al igual que las empresas N y P. Se pide estimar el valor de la empresa por el método de los múltiplos comparables que se mostraron en páginas anteriores. Las cuentas se presentan en unidades monetarias (U.M.).

239

6.9 Métodos de valoración de acciones

Empresa N Precio por acción

Empresa P

Empresa M

15

32

—

4

6,5

5

Precio por acción / Beneficio por acción

3,8

4,9

—

Precio por acción

15

21

—

1

1

1

15,0

21,0

—

20.000

15.000

—

3.000

2.000

3.500

6,7

7,5

—

20.000

15.000

—

2.200

1.500

3.000

9,1

10,0

—

20.000

15.000

—

8.000

5.000

6.000

2,5

3,0

—

Beneficio por acción

Valor de la acción en libros Precio de la acción de mercado / Valor en libros de la acción Valor de la empresa Beneficios antes de intereses e impuestos, depreciación y amortización Valor de la empresa / Beneficios antes de intereses, impuestos, depreciación y amortización Valor de la empresa Beneficios antes de intereses e impuestos Valor de la empresa / Beneficios antes de intereses e impuestos Valor de la empresa Ventas Valor de la empresa / Ventas

Solución Con la información anterior se calculan los múltiplos promedios correspondientes de las empresas N y P, y luego se los utiliza para calcular la valorización de la empresa M. Los resultados son: Múltiplos Precio por acción / Beneficio por acción

Empresa N

Empresa P

Promedio

Empresa M

3,8

4,9

4,3

22

15,0

21,0

18,0

18

Valor de la empresa / Beneficios antes de intereses, impuestos, depreciación y amortización

6,7

7,5

7,1

24.792

Valor de la empresa / Beneficios antes de intereses e impuestos

9,1

10,0

9,5

28.636

Valor de la empresa / Ventas

2,5

3,0

2,8

16.500

Precio de la acción de mercado / Valor en libros de la acción

240

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Se presenta la siguiente tabla resumen con la valorización de las empresas N, P, M. Estimación por:

Empresa N

Empresa P

Empresa M

Múltiplo 1

15

32

22

Múltiplo 2

15

21

23

Múltiplo 3

20.000

15.000

24.792

Múltiplo 4

20.000

15.000

28.636

Múltiplo 5

20.000

15.000

16.500

Por tanto, se concluye que luego de considerar el segundo, tercero y cuarto múltiplos, la empresa M se encuentra sobrevalorada con respecto a las otras empresas de la misma industria.

6.9.4 Problemas propuestos 1. Se tiene la siguiente información de la empresa A, que cotiza en la bolsa de valores y que pertenece al sector de la pesca, al igual que las empresas B y C. Se pide estimar el valor de la empresa con el método de los múltiplos comparables. Las cuentas se presentan en unidades monetarias (U.M.). Empresa B Empresa C Empresa A Precio por acción

20

40

—

Beneficio por acción

4

6,5

5

Precio por acción / Beneficio por acción

5

6,2

—

20

40

—

1

1

1

20

40

—

30.000

25.000

—

3.000

2.000

3.500

10,0

16,7

—

30.000

25.000

—

2.200

1.500

3.000

13,6

16,7

—

30.000

25.000

—

Precio por acción Valor de la acción en libros Precio de la acción de mercado / Valor en libros de la acción Valor de la empresa Beneficios antes de intereses e impuestos, depreciación y amortización Valor de la empresa / Beneficios antes de intereses, impuestos, depreciación y amortización Valor de la empresa Beneficios antes de intereses e impuestos Valor de la empresa / Beneficios antes de intereses e impuestos Valor de la empresa

241

6.10 Compra de acciones

Ventas Valor de la empresa / Ventas

10.000

8.000

6.000

3

3,1

—

Con base en la información anterior, proceda a calcular los siguientes múltiplos: a) Precio–Beneficio (PER). b) Precio de mercado–Precio en libros. c) Valor de la empresa–Beneficio antes de interés, impuestos, depreciaciones y amortizaciones. d) Valor de la empresa/Beneficios antes de intereses e impuestos. e) Valor de la empresa/Ventas. Respuesta: Estimación por:

Empresa B

Empresa C

Empresa A

Múltiplo 1

20

40

28

Múltiplo 2

20

40

30

Múltiplo 3

30.000

25.000

39.375

Múltiplo 4

30.000

25.000

45.455

Múltiplo 5

30.000

25.000

18.375

6.10

Compra de acciones

En esta sección se verá el costo asociado a la compra de acciones. Una manera de hacerlo es comprando en margen, por ejemplo, con dinero prestado. Cuando un inversionista compra un activo, se dice que toma una posición larga o long. Si vende un activo, se dice que toma una posición corta o short sobre ese activo. En acciones y bonos, si se está en corto en un activo, significa que se ha tomado prestado para comprarlo para luego venderlo, y posteriormente recomprarlo. Si el inversionista compra o vende un título valor, el precio será diferente. Un precio bid es el precio por el cual un bróker está dispuesto a comprar un título valor, que es el precio de venta para un inversionista. El precio ask es el precio al cual un bróker está dispuesto a vender el título valor, que no es otra cosa que el precio de compra que paga el inversionista. La diferencia entre los dos precios se llama bid–ask spread (el precio bid es menor que el precio ask, y el spread es la ganancia del bróker).

242

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Ejemplo 6.51 La acción de MBF tiene un precio bid o de compra de 10,35 U.M. y un precio ask o de venta de 13 U.M. Asuma que hay una comisión de 6 U.M. para el bróker. a)

¿Cuál es el diferencial o spread entre los precios de compra y venta?

b) ¿Cuánto se pagará por comprar 40 acciones? c)

¿Qué cantidad se recibirá por vender 40 acciones?

d) Suponga que compra 40 acciones, e inmediatamente las vende con un precio de compra y venta igual que al inicio. ¿Cuál es el costo de transacción roundtrip?

Solución a)

El diferencial de precio de compra y venta es: 13,00-10,35 = 2,65 U.M.

b) Se paga 40 × 13,00 + 6 = 526 U.M. c)

Se recibe 40 × 10,35 − 6 = 408 U.M.

d) Cada acción, se compra a 13 U.M. y se vende a 10,35 U.M. La pérdida total debido al diferencial de precio de compra y venta es: 40 × (13 − 10,35) = 106 U.M. Además, se paga 6 U.M. dos veces. El costo de transacción total es: 106 + 2 × (6) = 118 U.M.

Ejemplo 6.52 Una acción de ABBF tiene como precio de compra 8 U.M. y un precio de venta de 9,25 U.M. Suponga que la comisión de intermediación (brokerage) es de 5 U.M. a)

¿Cuál es el diferencial entre los precios de compra y de venta?

b) ¿Cuánto se pagará por la compra de 50 acciones? c)

¿Cuánto se recibirá por la venta de 50 acciones?

d) Usted compra 50 acciones, e inmediatamente las vende con el diferencial de precio de venta y compra que ya se mencionaron. ¿Cuál es el costo de transacción round-trip?

Solución a)

El diferencial de precio de compra y venta es: 9,25 − 8,00 = 1,25 U.M.

b) Se paga 50 × 9,25 + 5,00 = 467,5 U.M. c)

Se recibe 50 × 8,00 − 5,00 = 395 U.M.

6.10 Compra de acciones

d) Cada acción se compra a 9,25 U.M. y se vende a 8 U.M. La pérdida total debida al diferencial de precio de compra y venta es: 50 × (9,25 − 8.00) = 62,5 U.M. Además, paga 5,00 U.M. dos veces. El costo de transacción total es: 62,50 + 2 × (5,00) = 72,50 U.M.

6.10.1 Compras en margen Cuando se invierte utilizando la cuenta de margen, se utiliza dinero prestado por el bróker para comprar acciones y, al mismo tiempo, se dejan las mismas acciones como respaldo o garantía del préstamo. El inversor utiliza el margen para incrementar su capacidad de compra y así tener más acciones sin la necesidad de pagar la totalidad de ellas. De esta forma se consigue un fuerte apalancamiento financiero, pero también se incrementa el potencial de eventuales pérdidas frente a una caída del precio de las acciones. Para determinar el margen inicial de requerimiento (IM) se emplea la siguiente fórmula: IM = Q × P × ( IM %) donde IM Q P IM%

(6.104)

Margen inicial de requerimiento Número de acciones compradas Precio por acción Porcentaje de margen inicial

Ejemplo 6.53 Usted desea comprar 200 acciones en margen al precio de 40,00 U.M. cada una. Si se supone que el porcentaje de margen inicial es de 45%, ¿cuál es el requerimiento inicial de margen?

Solución a)

Se identifica la fórmula para determinar el margen inicial de requerimiento, que en este caso es la ecuación (6.103).

b) Se reemplazan los valores y se obtiene: IM = 200 × (40) × (0,45) IM = 3.600 U .M .

243

244

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

La empresa corredora rentabiliza el préstamo en términos de interés, sin embargo, la acción servirá como colateral contra el préstamo para casos de incumplimiento, por lo que la empresa corredora tomará la acción. Existe riesgo asociado a la compra de acciones en margen. El precio de los títulos podría disminuir. Por ley, a la empresa corredora no se le permite dejar que el valor del colateral (el precio de su acción) caiga por debajo de un determinado porcentaje del valor del préstamo. Este porcentaje se llama margen de mantenimiento o maintenance margin (MM). Si la acción cae por debajo de él, la empresa corredora producirá un margin call en su acción. El margin call significa la cantidad de dinero que tendrá que pagar la empresa corredora para disminuir su riesgo a un nivel permitido. Si no cuenta con el dinero, la acción será vendida para pagar el préstamo. Si hay dinero sobrante, será enviado al propietario. En muchos casos, existe poco remanente después que la acción se vende. El margen actual (AM) se define por la fórmula: AM =

Valor de mercado de los activos < Préstamos Valor de mercado de los activos

(6.105)

Si AM < MM, el inversor está debajo del margen (recibe un margin call de su bróker) y debe aplicar acciones correctivas (pagar parte del préstamo o depositar más colaterales). Si el inversor no cumple, el bróker le cerrará la cuenta. Si AM > IM, el inversor está sobre el margen y puede comprar más acciones.

Ejemplo 6.54 Michaela desea comprar 120 acciones de Gloria, cuyo precio actual es de 90 U.M. Michaela dispone de 6.500 U.M. y decide pedir prestado 4.500 U.M. El mantenimiento marginal es de 50%. a)

¿Cuál es el pasivo y activo de Michaela?

b) Suponga que la acción cae a 60 U.M. ¿Cuál es el actual margen? ¿Está el call margin en orden? c)

¿Cuánto puede caer el precio de la acción antes de un margin call?

Solución a)

Los pasivos de Michaela suman 4.500 U.M. y sus activos 6.500 U.M. Ella está 6.300 contribuyendo con el = 58% del margen del precio de compra. 10.800

6.10 Compra de acciones

b) Si la acción cae a 60 U.M., los pasivos de Michaela todavía son de 4.500 U.M., pero el nuevo margen es: 2.700 = 38% < 50% 7.200 Debido a que este nivel es menor que el margen de mantenimiento, el bróker realizará un margin call.27 c)

Sea P el precio original; entonces, el margen será: 120 × P < 4.500 = 0,50 120 × P 120 × P < 4.500 = 0,50 × 120 × P 120 × P < 60 P = 4.500 P = 75 U.M. Si se establece que el margen está en 50% o (0,50), al resolver se tiene que P = 75 U.M. Ella recibirá un margin call, si la acción cae por debajo de 75 U.M.

Ejemplo 6.55 Vanessa desea comprar 100 acciones de Paramonga, cuyo precio es de 100 U.M. cada una. Tiene 6.000 U.M. y decide pedir prestado 4.000 U.M. El bróker carga una tasa efectiva anual de interés de 10%. Suponga que la acción aumenta 30% en un año. a)

¿Cuál es el valor de las acciones al final del año?

b) Encontrar el total de préstamo repagado con intereses. c)

¿Cuál es la tasa de retorno?

d) ¿Cuál es la tasa de retorno si no se compra en margen?

27

(Cobertura del margen de garantía) - Solicitud por parte de un corredor o agente de fondos adicionales u otro tipo de activo para garantizar el cumplimiento de una posición que ha registrado movimientos adversos al cliente. El margen es la cantidad de dinero en la cuenta necesario como garantía para las operaciones.

245

246

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

Solución a)

Se identifica la fórmula que se utilizará, que es la (1.14), con una modificación que está debida a la cantidad de acciones que se compran. F q

P (1 i)n

donde F Pago total P Capital I Tasa de interés n Número de periodos q Cantidad de acciones compradas b) El valor de las acciones al finalizar el año está dado por la inversión inicial más el incremento del precio de los títulos durante el año. F 100 100 (1 0,30)1 F 100 100 (1,30) F 100 130 F 13.000 U.M. c)

El total repagado será la suma del préstamo que solicitó Vanessa más los intereses pactados: 4.000 + 4.000 × (10%) = 4.400 U.M.

d) La tasa de retorno mide la relación del valor de mercado de las acciones menos el importe del préstamo y del capital invertido, en relación con el capital invertido: 13.000 < 10.400 = 43,3% 6.000 e)

Si no se compra en margen, la tasa de retorno estará dada por el monto alcanzado por las inversiones realizadas menos el monto inicial de las acciones, en relación con este último importe. 13.000 < 10.000 = 30% 10.000 La razón por la que un inversionista compra en margen es su deseo de invertir lo más que su dinero le permita. Puede significar un gran retorno cuando los precios aumentan, pero existe el riesgo de perder la inversión original si disminuyen. Como cualquier compra de acciones, existe riesgo, pero cuando se utiliza dinero prestado, el riesgo se incrementa.

6.10 Compra de acciones

6.10.2 Problemas propuestos 1. Las acciones de una sociedad anónima tienen un precio bid o de compra de 6,78 U.M. y un precio ask o de venta de 8,50 U.M. Se supone que existe una comisión fija de 5,00 U.M. para el bróker cualquiera sea la cantidad que se compre o se venda. a)

¿Cuál es el diferencial o spread entre los precios de compra y de venta?

b) ¿Cuánto se pagará por comprar 50 acciones? c)

¿Qué cantidad se recibirá por vender 50 acciones?

d) Suponga que compra 50 acciones e inmediatamente las vende con un precio de compra y venta igual que al de inicio. ¿Cuál es el costo de transacción round-trip? Respuesta: a) 1,72 U.M.; b) 430 U.M.; c) 334 U.M. y d) 96,00 U.M. 2. Las acciones de IRF tienen un precio bid o de compra de 9,28 U.M. y un precio de venta o ask de 10,50 U.M. Suponga que existe una comisión de intermediación (brokerage) de 6,00 U.M. a)

¿Cuál es el diferencial entre los precios de compra y de venta?

b) ¿Cuánto se pagará por la compra de 70 acciones? c)

¿Cuánto se recibirá por la venta de 70 acciones?

d) Suponga que compra 70 acciones e inmediatamente las vende con el diferencial de compra y de venta mencionados. ¿Cuál es el costo de round-trip? Respuesta: a) 1,22 U.M.; b) 741 U.M.; c) 643,60 U.M. y d) 97,40 U.M. 3. Si un inversor desea comprar 100 acciones en margen al precio de 38,75 U.M. cada una y el porcentaje de margen inicial es de 40%, ¿cuál es el requerimiento inicial de margen? Respuesta: 1.550 U.M. 4. Pedro decidió comprar 500 acciones de UTX (United Technologies Corporation) en margen a un precio de 73,05 U.M. cada una, cuyo porcentaje de margen inicial es de 30%. ¿Cuál es el requerimiento inicial de margen? Respuesta: 10.957,50 U.M. 5. Sandra desea adquirir 500 acciones de Ferreycorp a un precio de 2,64 U.M. cada una. Ella tiene 8.900,00 U.M. y decide pedir prestadas 4.500,00 U.M. más. El mantenimiento marginal es de 40%.

247

248

Cap. 6

Acciones e instrumentos del mercado de dinero

a)

¿Cuál es el pasivo y el activo de Sandra?

b) Suponga que la acción cae a 2,10 U.M. ¿Cuál es el actual margen? ¿Está el margin call en orden? c)

¿Cuánto puede caer el precio de la acción antes de un margin call?

Respuesta: a) Pasivos 4.500 U.M. y Activos 8.900 U.M.; b) 57,14% > 40% y c) 1,50 U.M. 6. Luis desea comprar 120 acciones de Credicorp Ltda. El precio en el momento de la operación es de 86,00 U.M. Posee 6.320 U.M. y decide pedir prestado 4.000 U.M. El bróker interviniente en la operación carga una tasa de interés anual efectiva de 12%. Suponga que la acción aumenta 43,00% en un año. a)

¿Cuál es el valor de las acciones al final del año?

b) Encuentre el total del préstamo repagado con sus intereses. c)

¿Cuál es la tasa de retorno?

d) ¿Cuál es la tasa de retorno si no se compra en margen? Respuesta: a) 14.757,60 U.M.; b) 4.480 U.M.; c) 62,62% y d) 43,00%.

6.11

Ventas en corto

Por lo general, una venta en corto es la venta de un activo por un inversionista que no lo posee. Para entregarlo, el vendedor en corto debe pedir prestado el activo para posteriormente compensar el préstamo retornando el activo al prestamista, operación que usualmente se cierra con la recompra del activo vendido en el mercado abierto, con la esperanza de adquirirlo a un menor precio. Este proceso de recompra del activo se llama cubierta en corto (covering the short), porque el vendedor no permanece mucho tiempo en riesgo ante los movimientos del precio del activo. En resumen, la venta en corto funciona al revés: el inversionista trata de beneficiarse con una reducción del precio de las acciones y lo hace de una manera simple: vende acciones que no tiene al precio actual, para lo cual las pide prestadas a alguien que las tiene y asume el compromiso de devolverlas en un cierto plazo. Por supuesto, paga un precio por realizar la operación. El comprador de las acciones las recibe, pero aún resta un paso: el vendedor debe devolver las acciones que le prestaron en el tiempo acordado. Obtendrá una ganancia si en ese tiempo las acciones bajan de precio y él las compra a un precio más bajo del que las vendió. Las devuelve al que se las prestó y con esta entrega cierra el círculo.

6.11 Ventas en corto

El riesgo de la venta en corto es opuesto al de la compra tradicional. Quien compra acciones esperando que suban de precio, gana si eso sucede y pierde si pasa lo contrario. El vendedor en corto gana si las acciones disminuyen de precio y pierde si aumentan. La venta en corto es una forma de inversión propia de quienes conocen el mercado de acciones y tienen la capacidad para monitorearlo a diario. Es fácil creer que es bueno comprar acciones que se piensa que van a aumentar, pero que es malo venderlas porque se espera que disminuyan; sin embargo, es lo que sucede todos los días en las bolsas de valores: una compra de acciones siempre implica una venta de acciones. Alguien quiere tenerlas y alguien quiere deshacerse de ellas. La venta en corto, trae consigo algo que da mala apariencia y es que se venden acciones que no se tienen. Con la finalidad de encontrar la tasa de retorno de una venta en corto se define la siguiente fórmula. n

M × (1+ j )n = M × (1+ i )n + S0 < Sn < - dt × (1+ i )n 0 Las dos primeras condiciones llevan a un sistema con dos variables desconocidas x e y. La solución del problema da como resultado x = 49.641,28 e y = 48.198,35 . Además, P"(0,08) =128.773,89 > 0 . De este modo, el banco está bien protegido contra las fluctuaciones de las tasas de interés.

Ejemplo 7.22 En el caso de los activos del ejemplo 7.21, calcule la duración modificada y la convexidad.

331

332

Cap. 7 Sensibilidad de las tasas de interés

Solución Se tiene: PA (i ) = (1,09) × x × (1+ i )−1 + (1,10)2 × y × (1+ i )−2 PA (0,08) = 50.100,92 + 50.000,00 = 100.100,92 Además, −2

−3

PA' (i ) = −x × (1,09) × (1+ i ) − 2 × (1,10) × y × (1+ i ) =138.982,34 La duración modificada es: v (0,08) =

P ' A (0,08) 138.982,34 = = 1,39 PA (0,08) 100.100,92

Por su parte, la convexidad es: c=

P ' A (0,08) 343.158,59 = = 3,43 PA (0,08) 100.100,92

donde: P '' A ( 0,08) = 2 × (1,09) × x × (1+ i )−3 + 6 × (1,10 ) × y × (1+ i )−4 2

P '' A (0,08) = 343.108,59 U.M.

Ejemplo 7.23 En el caso de una hipoteca con pagos durante 360 meses y tasa de interés de 10,2% convertible mensualmente, calcule la duración modificada y la convexidad de los pagos.

Solución La tasa mensual de interés es 0,102/12 = 0,085. Entonces, por una U.M. de pago mensual se tiene: 360 ⎡1− (1,0085)−360 ⎤ P (0,0085) × ∑(1,0085)−t = (1,0085)−1 × ⎢ ⎥ =112,0591 ⎣ 1− (1,0085)−1 ⎦ t =1

y 360

P '(0,0085) = − ∑ t × (1,0085)− t −1 = − (1,0085)−1 × ( Ia )360 0,0085 = 11,188869608 t =1

7.8 Gestión pasiva de cartera y convexidad de portafolios

De este modo, la duración modificada es: 11.188,69608 = 99,85 112,0591 En este caso, la duración modificada de los pagos está justo por debajo de los 100 meses de los 360 meses de plazo de la hipoteca. −

v× (0,0085) =

Ahora: P"(0,0085)

360

t (t 1) (1,0085)

t 2

v2

i 1

t 2 vt 

t 1 360

P"(0,0085) v 2

(t 2 t) v t

t 1 360

P"(0,0085) v 2

360

t 1

360

t vt

t 1

t 2 v t I a360 0,0085

Por tanto, se encuentra que: −

c (0,0085) =

1.940,079 +11.283,80 =116,027 (1,0085)2 × (112,0591)

Ejemplo 7.24 Un banco acuerda pagar 5% compuesto anual por un depósito de 100.000 U.M. El depositante dejará los fondos en depósito, en estos términos, durante 8 años. El banco puede comprar por 4 años bonos cupón cero o acciones según su preferencia. ¿Cómo debería el banco repartir su inversión con el objetivo de inmunizarse contra los riesgos de la tasa de interés?

Solución El valor presente de los flujos de efectivo en términos de la cantidad B invertida en los bonos es: (100.000 − B) × (0,05) −100.000 × (1,05)8 × (1+ i )−8 i Se supone que las acciones preferentes pagan 5% siempre, y el banco debe devolver el depósito más los intereses después de 8 años. La sustitución verifica que P(0,05) = 0 . Por otro lado, P (i ) = B × (1,05)4 × (1+ i )−4 +

P '(0,05) = −4 × B × (1,05)4 × (1,05)−5 −

(100.000 − B) × (0,05) + 80.000 × (1,05)8 × (1,05)9 (0,05)2

333

334

Cap. 7 Sensibilidad de las tasas de interés

Si se fija P'(0,05) = 0 y se resuelve para B, se tiene que B = 76.470,58 U.M. como la cantidad para invertir en bonos y el resto en acciones. Con esta asignación se encuentra que: P "(0,05) = 20 × (76.470,58) × (1,05)−2 + 2 × (100.000 − 7.647,58) × (0,05)−2 − 720.000 × (1,05)−9 P "(0,05) = 965.786,7413 > 0 Es óptimo.

Ejemplo 7.25 Calcule la duración y la convexidad de un bono cupón cero a 20 años bajo el supuesto de que la tasa de interés efectiva es de 7%.

Solución La duración es de 20, puesto que el valor nominal se paga al final de los 20 años y éste es el único pago hecho por los bonos. Ahora, por cada U.M. de valor nominal, P (i ) = (1+ i )−20 , de modo que la convexidad es: P "(i ) 420 = P (i ) (1+ i )2 Luego, se sustituye i = 0,07, lo que da la convexidad de 366,44.

7.8.2 Convexidad de un portafolio Considere un portafolio que contiene n bonos. Sea k los bonos de precio actual − Pk (i ) y convexidad c k (i ). En consecuencia, el valor corriente del portafolio es: P (i ) = P1 (i ) + P2 (i ) + ... + Pn (i )

(7.24)

donde: P (i ) Valor presente de los pagos futuros Pn (i ) Valor presente de los pagos en el momento n, donde n = 1, 2, …, t Sea c la convexidad del portafolio. Entonces, P''(i) P''1 (i) P''2 (i) P''n (i) c ... P(i) P(i) P(i) P(i) c

P1 (i) P(i)

P''1 (i) P1 (i)

P2 (i) P(i)

P''2 (i) P2 (i)

Pn (i) P(i)

P''n (i) Pn (i)

7.8 Gestión pasiva de cartera y convexidad de portafolios

c donde c ci P(i) Pn(i)

P1 (i) P (i) P (i) c1 1 c2 ... n cn P(i) P(i) P(i)

(7.25)

Convexidad del portafolio Ponderación de cada bono que constituye el portafolio Valor presente de los pagos futuros Valor presente de los pagos en el momento n, donde n = 1, 2,…, t

De este modo, la convexidad de un portafolio puede calcularse como la media ponderada de las convexidades de los bonos, utilizando como ponderadores los valores de mercado de los bonos.

7.8.3 Problemas propuestos 1. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a)

Para lograr la inmunización, la convexidad de los activos debe ser igual a la convexidad de los pasivos.

b) La técnica de total inmunización está diseñada para trabajar algún cambio en la tasa de interés. c)

La teoría de la inmunización fue desarrollada para protegerse contra los efectos adversos generados por la tasa de interés.

Respuesta: la afirmación c). 2. Nova Inc. tiene pasivos de 10 U.M. pagaderos en 1, 4 y 7 años. ¿Qué activos de ingreso tiene que tener la empresa dentro de 1 y 6 años para inmunizar su flujo de efectivo, si se supone una tasa de interés anual de 10% en todas las transacciones? Respuesta: deberá programar 11,88 U.M. en el año 1 y 18,17 U.M. en el año 6. 3. Se tiene un portafolio compuesto por 3 bonos: A, B, C que presentan valores de mercado proporcionales a 3, 5 y 7. Calcule la convexidad del bono B, si se conoce que la convexidad del portafolio y de los bonos A y C es 35, 10 y 38, respectivamente. Respuesta: 45,8. 4. Jean Paul debe 5.000 U.M. a Michael por dos años a partir de ahora. Jean Paul quiere crear un fondo de inversión para cumplir con esta obligación, pero las únicas inversiones que tiene disponibles son bonos cupón cero a 1 año, con ganancia de 8%, y bonos cupón cero a cinco años con ganancias de 8%. Use un marco de inmunización para determinar la

335

336

Cap. 7 Sensibilidad de las tasas de interés

cantidad de dinero que Jean Paul debería invertir ahora en cada uno de los dos móviles de inversión. Asuma una tasa de interés anual efectiva de 8% para los cálculos del valor presente. Respuesta: Bonos a un año por 3.750 U.M. y bonos a 5 años por 1.250 U.M. 5. En el caso de los activos del problema 4, encuentre la duración modificada y la convexidad. Respuesta: 1,85 y 7,72, respectivamente. 6. Calcule la convexidad de las siguientes inversiones, suponiendo que la tasa efectiva de interés es de 8%: a)

Un fondo de mercado de dinero.

b) Un bono cupón cero a 10 años. c)

Una acción preferente que paga niveles de dividendos a perpetuidad. t × ( t + 1) Respuesta: Del fondo de mercado se tiene: , del cupón a (1+ i )2 10 años, 0,4632 y de las acciones preferentes 94,31. 7. Derive la siguiente relación entre la duración modificada y la convexidad: d v = v2 − c di Respuesta: La respuesta se incluye en el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro. 8. Una empresa tiene que hacer pagos de 300 U.M. en el tiempo t = 3 y 500 U.M. en el tiempo t = 5 con una tasa de interés anual de 4%. Determine el ingreso de los activos en el tiempo t = 0 y t = 1 para la cual la cartera sea inmune. Respuesta: 403,69 U.M. y 284,93 U.M., respectivamente.

7.9 Inmunización completa y dedicación

7.9

Inmunización completa y dedicación

En este apartado se analizarán otras dos estrategias de la inmunización: la inmunización completa y la dedicación.

7.9.1 Inmunización completa La inmunización completa es una extensión de la inmunización de Redington.16 Se ha visto que ésta trabaja para pequeños cambios en i, pero ahora se verá que la inmunización completa puede aplicarse a todos los cambios de i. Se puede afirmar que una cartera está completamente inmunizada si PVA (1+ ∈ ) > PVL (1+ ∈ ) para todo ∈> 0 , lo que equivale a decir que el valor presente del flujo de efectivo neto es positivo. Se supone que se tiene un flujo de salida de pasivos Lk en el tiempo k. El concepto es tener dos activos, uno que produzca un flujo positivo de efectivo, A, antes de la salida del pasivo (se denota en k – a) y otro que produzca un flujo de efectivo posterior a la salida del pasivo (se simboliza como k + b). Se utiliza la fuerza del interés (interés continuo) δ que es equivalente a i. Las condiciones de inmunización total de este flujo de efectivo pasivo son: 1. El valor presente del activo es igual al valor presente del pasivo. 2. La duración modificada del activo es igual a la duración modificada del pasivo. 3. Los flujos de efectivo de los activos se producen antes y después del flujo de efectivo de los pasivos.

Ejemplo 7.26 Una compañía de seguros tiene que hacer un pago de 100.000 U.M. en 10 años. Para financiar este pasivo, la empresa ha invertido 27.919,74 U.M. en un bono cupón cero a 5 años y 27.919,74 U.M. en un bono cupón cero a 15 años. El rendimiento efectivo anual de todos los activos y pasivos es de 6%. Determine si la posición de la empresa está totalmente inmunizada.

16

Condiciones de Redington: • En la fecha inicial, el valor presente de los activos es igual al valor presente de los pasivos. • La duración de los activos es igual a la duración de los pasivos. • La convexidad de los activos es mayor a la convexidad de los pasivos. • Puede haber varios portafolios que satisfagan las condiciones. • Una de las opciones que se tiene para escoger el portafolio es escoger el de menor costo. Redington, Frank Mitchell, op.cit, págs. 286-340.

337

338

Cap. 7 Sensibilidad de las tasas de interés

Solución Dado que PVL = 100.000 × (1,06)−10 = 55.839,48 y PVA = 27.919,74 × (1,06−5 +1,0615 ) = 32.513,18 U.M. La condición 1) no se cumple; por tanto, la empresa no está totalmente inmunizada. Por su parte, las condiciones 1) y 2) conducen al siguiente sistema: P (δ ) = A × e − ( k − a )δ + B × e − ( k +b )δ − Lk × e kδ = 0 P '(δ ) = − A × (k − a ) × e − ( k − a )×δ − B × (k + b ) × e − ( k +b )×δ + k × Lk × e − k ×δ = 0 La primera condición implica que: Lk = A × e a×δ + B × e −b×δ La segunda condición implica que: A (k a) e A k e k

A e

A a e A a ea

(k a (k a)

(k a)

(k a) )

B (k b) e

A a e +B e B b e

B b e

b

(k a)

(k b ) (k b )

(k b )

k Lk e

B k e Lk e k

(k b )

k

B b e

A a e

(k a)

0 (k b )

k Lk e k

B b e

(k b )

0 0

0

0

De este modo, se obtiene el sistema: A × e a×δ + B × e −b×δ = Lk A × a × e a ×δ = B × b × e − b ×δ Existen casos excepcionales en el cual el sistema no tiene respuesta, pero si las cantidades conocidas son: 1. A, b 2. B, b 3. A, a o 4. A, b. los únicos valores de las otras dos cantidades son posibles de calcular. Se resuelve la última ecuación para B y se encuentra: B A

a b

e (a b )

7.9 Inmunización completa y dedicación

Se muestra que las condiciones 1) a 3) logran la inmunización requerida. Esto es, se demostrará que para algún δ ' = δ hay un excedente, es decir, PVA (δ ') > PVL (δ ') . Si se establece que S(δ ') denote el valor presente, a la fuerza de interés δ ' por año, del total de activos menos el valor presente de los pasivos, la función de los excedentes es: S (δ ') = PVA (δ ') − PVL (δ ,) = e − k ×δ ' ( A × e a ×δ ' + B × e − b ×δ ' − Lk ) donde: S(δ ') PVA (δ ') PVL (δ ') k δ' Lk

(7.26)

Valor presente Valor presente de los activos Valor presente de los pasivos Tiempo Fuerza del interés por año Flujo de salida de pasivos

Entonces, se tiene que: S( ') e

k

'

S( ') e

k '

S( ') e

k

A ea Ae a

'

'

'

B e

Be

A e ab

b '

ea (

b

'

Lk

(Ae a '

)

Be

a e b

b

b ( '

) )

1

a b

A continuación considere la función: a a ebx 1 b b Claramente, f (0) = 0 . Además, dado que f '( x ) = a × (e a × x − e − b × x ) , fácilmente se puede comprobar que: f (x) e a

x

f '(0) = 0 f '( x ) > 0 para x > 0 f '( x ) < 0 para x < 0 De este modo, f '( x ) > 0 para todo x ≠ 0 . Esto muestra que S(δ ') > 0 para todo δ ' ≠ δ , según sea necesario. En el caso de una cartera con múltiples pasivos se repite el proceso anterior por cada flujo de pasivo. Habrá dos flujos de activos por cada flujo de pasivo. La inmunización completa es como la inmunización de Redington, pues la cartera debe reajustarse periódicamente de manera que asegure que la duración modificada de los activos sea igual a la duración modificada de los pasivos.

339

340

Cap. 7 Sensibilidad de las tasas de interés

Ejemplo 7.27 Un inversionista tiene un pasivo único de 1.000 U.M. pagaderos en 10 años. El rendimiento de los bonos cupón cero a cualquier término es de 4% anual y el inversionista posee dinero en efectivo igual al valor presente de sus pasivos, esto es, 1.000 × (1,04)15 = 555,26 U.M. Él desea invertir en bonos cupón cero a 10 años para obtener beneficios sobre algún cambio repentino de la tasa de interés. ¿Cuánto de cada seguro debería comprar y de qué tamaño serán los beneficios si la tasa de interés por año llega a ser 0,01; 0,02; 0,03; 0,04; 0,05; 0,06; 0,07 o 0,08?

Solución Si se fija δ en ln 1,04, se encuentra: A × e 5×δ + B × e −5×δ =1.000 5 × A × e 5×δ − 5 × B × e −5×δ = 0 O, de manera equivalente, se tiene un sistema de dos ecuaciones: A × (1,04)5 + B × (1,04)−5 =1.000 A × (1,04)5 − B × (1,04)−5 = 0 Estas ecuaciones se pueden resolver fácilmente fijando A = 410,96 y B = 608,32. Las cantidades de bonos cupón cero que el inversionista debería comprar son aquellas que proporcionen 410,96 U.M. al cabo de 10 años y 608,32 U.M. al cabo de 20 años. El beneficio obtenido por un cambio inmediato de la tasa de interés anual i es: S (i ) = (1+ i )15 × [410,96 × (1+ i )5 + 608,32 × (1+ i )−5 − 1.000] En la siguiente tabla se obtienen los valores de los pasivos ⎡⎣1.000 × (1+ i )−15 ⎤⎦ , de los activos ⎡⎣410,96 × (1+ i )−10 + 608,32 × (1+ i )−20 ⎤⎦ y el beneficio del inversionista con cada una de las tasas especificadas. Tasa de interés anual

PVL

PVA

Valor presente de los beneficios

0,00

1.000,00

1.019,28

19,28

0,01

861,35

870,58

9,23

0,02

743,01

746,51

3,50

0,03

641,86

642,61

0,75

0,04

555,26

555,26

0,00

0,05

481,02

481,56

0,54

7.9 Inmunización completa y dedicación

0,06

417,27

419,26

1,89

0,07

362,45

366,11

3,66

0,08

315,24

320,87

5,63

7.9.2 Calce En esta sección se explica un enfoque para hacer coincidir los activos con los pasivos, llamado calce o absolute matching. Según este enfoque, las empresas estructuran su portafolio de activos en función de los flujos que va a generar con ellos, los cuales igualan exactamente el flujo de salida de los pasivos. Si esta estrategia es exitosa, la empresa tiene protección total contra cualquier movimiento de las tasas de interés. No obstante, existen los siguientes problemas cuando se implementa esta estrategia. Los flujos de efectivo no son usualmente tan predecibles, ya sean activos o pasivos. Si los pasivos son esencialmente a largo plazo, puede ser imposible encontrar activos que coincidan exactamente con ellos sin crear el riesgo de reinversión. La tasa de rendimiento de un fondo estructurado con las principales restricciones impuestas por un calce puede ser inferior a la de un fondo que tenga una mayor flexibilidad, diferencia de rentabilidad que puede ocultar las ventajas del calce.

Ejemplo 7.28 Una compañía de seguros debe pagar 10.000 U.M. al final de cada año durante 2 años. Por tanto, compra una combinación de los siguientes 2 bonos (ambos de 1.000 U.M. a la par y valores de redención) con el fin de que coincidan con su obligación: Bono A: bono cupón a un año, 5% anual, con una tasa de rendimiento de 6%. Bono B: bono cupón a 2 años, 8% anual, con una tasa de rendimiento de 7%. Con base en esta información: a)

Calcule la cantidad de cada bono que el asegurador debe comprar para igualar sus obligaciones.

b) Determine el costo total del asegurador por la compra del número necesario de bonos.

341

342

Cap. 7 Sensibilidad de las tasas de interés

Solución a)

La situación es la siguiente: Sea a el número de bonos comprados de A y b el número de bonos comprados de B. Entonces, se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 1.050 × a + 80 × b = 10.000 1.080 × b = 10.000 Se resuelve para a y b y se encuentra: a = 8,8183 bonos y b = 9,2593 bonos.

b) La respuesta es: 2 8,8183 × (1.050 × nu0,06 ) + 9,2593 × (80 × v0,07 + 1.080 × v0,07 ) = 18.161,82 U.M.

7.10

Fórmulas y nomenclatura

Nombre Cálculo del valor presente de los flujos futuros (7.1)

Cálculo de la sensibilidad a la tasa de interés (7.2)

Tasa de interés real (7.3)

Fórmula

n

V0 = ∑ p =1

Fp (1+ i )

V1 − V0 V0 E= i1 − i0 i0

1+ r =

Nomenclatura

1+ i 1+ π

p

V0 : Valor presente del activo i en el momento t0 Fp : Suma de flujos actualizados a la tasa i p: Tiempo o vida del activo i: Tasa de interés E: Elasticidad V1: Valor del activo i en el momento t1 V0 : Valor del activo i en el momento t0 io: Tasa de interés de mercado en el momento t0 i1 : Tasa de interés de mercado en el momento t1 i: Tasa de interés nominal r: Tasa de interés real π : Tasa de inflación

7.10 Fórmulas y nomenclatura

Nombre

Fórmula

Aproximación a la tasa de interés real (7.4)

r = i −π

Valor presente de una serie de pagos con la tasa de interés nominal y tasa de inflación (7.5)

Valor presente de una serie de pagos como anualidad a tasa de interés real (7.6)

Valor de una inversión al final del periodo (7.7)

Valor al final del periodo de una inversión con tasa de inflación (7.8)

Valor presente neto con tasas de interés spot (7.9)

PV

PV R

Nomenclatura r: Tasa de interés real i: Tasa de interés nominal π : Tasa de inflación

1 1 i 1 1 1 i

1

1 R 1 i

1

1

1 r  (1 r)2

....

n

1 (1 r)n

R an r

FV = P × (1+ i )n

FV P

1 1 i

n

n

P (1 r)n

NPV (i* ) = ∑(1+ it )−t × c t t =0

343

PV: Valor presente de una serie de pagos R: Importe de cada pago i: Tasa de interés nominal r: Tasa de inflación n: Número de periodos π : Tasa de inflación PV: Valor presente de una serie de pagos R: Importe de cada pago r: Tasa de interés real π : Tasa de inflación n: Número de periodos an r : Valor presente de una anualidad inmediata descontada a la tasa de interés real r FV: Valor acumulado de la inversión P: Principal n: Número de periodos de inversión i: Tasa de interés nominal FV: Valor acumulado de la inversión P: Principal i: Tasa de interés nominal r: Tasa de interés real π : Tasa de inflación n: Número de periodos de inversión NPV: Valor presente neto it: Tasa de interés del periodo t t: Periodos de tiempo ct: Flujos de efectivo del periodo t

344

Cap. 7 Sensibilidad de las tasas de interés

Nombre

Cálculo de las tasas de interés forward implícitas (7.10)

Fórmula

Nomenclatura

(1+ i n )n × (1+ fnn+k )k = (1+ i n+k )n+k

in: Tasa de interés normal spot del periodo n fnn+k : Tasa de interés forward entre el periodo n y el n + k i n+k : Tasa de rendimiento al vencimiento n: Número de periodos transcurridos k: Número de periodos futuros t : Media ponderada de los distintos momentos de pago t: Plazos al vencimiento Rt: Pagos efectuados en el periodo t n: Total de periodos

n

Cálculo de la media de plazo al vencimiento (7.11)

∑t × R

t

t=

t =1 n

∑R

t

t =1

n

Duración de Macaulay (7.12)

d=

∑t × v t =1 n

∑v

t

t

d : Duración o duración de Macaulay t: Plazos al vencimiento vt: Valor presente del periodo t Rt: Pagos efectuados en el periodo t n: Total de periodos

× Rt

× Rt

t =1

Condición para que la duración de Macaulay sea decreciente (7.13)

n

t 2 v t Rt

t 1

n

v t 1

t

n

2

t v t Rt 0

t 1 n

Rt

v t 1

t

Rt

t: Plazos al vencimiento vt: Valor presente del periodo t Rt: Pagos efectuados en el periodo t n: Total de periodos

7.10 Fórmulas y nomenclatura

Nombre

Fórmula

Volatilidad del valor presente (7.14)

v =−

Derivada del valor presente de todos los pagos futuros con respecto a i (7.15)

Nomenclatura v : Volatilidad del valor presente P '(i ) : Derivada del valor presente de los pagos futuros P (i ) : Valor presente de los pagos futuros i: Tasa de interés

d [ ln P (i )] P '(i ) =− P (i ) di

P '(i ) : Derivada del valor presente de todos los pagos futuros con respecto a i i: Tasa de interés Rt: Pagos efectuados en el periodo t n: Total de periodos t: Plazos al vencimiento

n

P '(i ) = − t × ∑ (1+ i )− t −1 × Rt t =1

_

n

_

Volatilidad del valor presente (7.16)

v=

− t −1

t =1

n

∑(1+ i)

−t

n

× Rt

× Rt

1 = × 1+ i

t =1

v

Duración modificada (7.17)

∑t × (1+ i)

∑t × (1+ i)

−t

t =1 n

∑(1+ i)

−t

× Rt

× Rt

t =1

d v d 1 i

Duración modificada =

345

Duración de Macaulay 1+ tasa periódica

v : Volatilidad del valor presente t: Plazos al vencimiento i: Tasa de interés Rt: Pagos efectuados en el periodo t n: Total de periodos d : Duración o duración de Macaulay v: Valor presente

346

Cap. 7 Sensibilidad de las tasas de interés

Nombre

Fórmula

Valor presente de los pagos futuros (7.18)

n

P (i ) = ∑ v t × Rt = 0 t =1

Convexidad del valor presente de los flujos de efectivo (7.19)

Convexidad (7.20) Convexidad % (7.21)

Aproximación del valor presente (7.22)

Nomenclatura

c=

P(i): Valor presente de los pagos futuros vt: Valor presente del periodo t Rt: Pagos efectuados en el periodo t n: Total de periodos c : Convexidad del valor presente de los flujos de efectivo P ''(i ) : Segunda derivada del valor presente de los pagos futuros con respecto a i P (i ) : Valor presente de los pagos futuros

P ''(i ) P (i )

Convexidad = Precio real − Precio aprox. × duración Convexidad % = −

Δ Precio real Precio real

Δ Precio aprox.× Duración Precio aprox. × Duración

P (i + ∈) ≈ P (i )+ ∈× P '(i ) +

∈2 × P ''(i ) 2

P (i+ ∈ ) : Valor presente de los pagos futuros con la tasa (i+ ∈ ) P (i ) : Valor presente de los pagos futuros con la tasa (i) ∈ : Variación de la tasa de interés i P '(i ) : Derivada del valor presente de todos los pagos futuros con respecto a i P ''(i ) : Segunda derivada del valor presente de todos los pagos futuros con respecto ai

7.10 Fórmulas y nomenclatura

Nombre

Aproximación del valor presente (7.23)

Fórmula

−

Valor presente de los pagos futuros (7.24)

Convexidad de un portafolio (7.25)

Valor presente (7.26)

Nomenclatura

P (i + ∈) − P (i ) P '(i ) ∈2 P ''(i ) ≈∈× + × P (i ) P (i ) 2 P (i ) = − ∈× v +

∈2 − ×c 2

P (i ) = P1 (i ) + P2 (i ) + ... + Pn (i )

c=

347

P (i ) P1 (i ) P (i ) × c1 + 1 × c2 + ... + n × cn P (i ) P (i ) P (i )

S (δ ') = PVA (δ ') − PVL (δ ') = = e − k ×δ ' ( A × e a ×δ ' + B × e − b ×δ ' − Lk )

P (i+ ∈ ) : Valor presente de los pagos futuros con la tasa (i+ ∈ ) P (i ) : Valor presente de los pagos futuros con la tasa (i) ∈ : Variación de la tasa de interés i P '(i ) : Derivada del valor presente de todos los pagos futuros con respecto a i P ''(i ) : Segunda derivada del valor presente de todos los pagos futuros con respecto ai v : Duración modificada del portafolio c : Convexidad del valor presente de los flujos de efectivo P (i ) : Valor presente de los pagos futuros Pn (i ) : Valor presente de los pagos en el momento n, donde n = 1, 2, …,t c : Convexidad del portafolio c i : Ponderación de cada bono que constituye el portafolio P(i): Valor presente de los pagos futuros Pn(i): Valor presente de los pagos l momento n, donde n = 1, 2,…,t S(δ ') : Valor presente PVA (δ ') : Valor presente de los activos PVL (δ ') : Valor presente de los pasivos k: Tiempo δ ' : Fuerza del interés por año Lk: Flujo de salida de pasivos

CAPÍTULO

8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros Contenido 8.1. LOS DERIVADOS FINANCIEROS 8.1.1. Derivado financiero 8.1.2. Mercados de derivados 8.1.3. Problemas propuestos 8.2. LA DIVERSIFICACIÓN DEL RIESGO Y LOS MERCADOS DE DERIVADOS 8.2.1. Diversificación de riesgos 8.2.2. Modalidad de mercados

8.3.

8.4.

8.5.

8.6.

8.2.3. Tipos de instrumentos derivados 8.2.4. Problemas propuestos INTRODUCCIÓN A LOS CONTRATOS FORWARD 8.3.1. El contrato forward 8.3.2. Posiciones básicas de un contrato forward 8.3.3. Pago de un contrato forward 8.3.4. Diagrama de beneficios 8.3.5. Contratos forward liquidados en efectivo 8.3.6. Riesgo crediticio 8.3.7. Problemas propuestos OPCIONES DE COMPRA: DIAGRAMA DE PAGO Y DE BENEFICIO 8.4.1. La opción 8.4.2. Generaciones de las opciones 8.4.3. Valor de la opción respecto de la fecha de ejercicio 8.4.4. La opción de compra 8.4.5. Tipos de opciones 8.4.6. Función de pagos del comprador 8.4.7. Función de pagos del vendedor 8.4.8. Problemas propuestos OPCIONES DE VENTA: DIAGRAMA DE PAGOS Y DE BENEFICIOS 8.5.1. La opción de venta 8.5.2. Función de pagos del comprador 8.5.3. Función de pagos del vendedor 8.5.4. Opciones como políticas de seguros 8.5.5. El moneyness de una opción 8.5.6. Problemas propuestos OPCIONES SOBRE ACCIONES 8.6.1. Tipos de activos subyacentes 8.6.2. El efecto dividendo 8.6.3. El efecto ejercicio 8.6.4. Márgenes de opciones suscritas 8.6.5. Consideraciones impositivas cuando se comercializan opciones sobre acciones 8.6.6. Problemas propuestos

8.7. ESTRATEGIAS SOBRE OPCIONES: FLOOR Y CAP 8.7.1. Estrategias floor 8.7.2. Estrategia cap 8.7.3. Problemas propuestos 8.8. SUSCRIPCIONES CUBIERTAS: OPCIONES DE COMPRA Y DE VENTA CUBIERTAS 8.8.1. Opción de compra cubierta 8.8.2. Opción de venta cubierta 8.8.3. Problemas propuestos 8.9. CONTRATO FORWARD 8.9.1. Valor futuro de un forward 8.9.2. La prima forward 8.9.3. Forward sintético 8.9.4. La tasa REPO implícita 8.9.5. Cobertura 8.9.6. Precio futuro esperado 8.9.7. Costo de la tasa de llevar y alquilar (carry and lease rate) 8.9.8. Problemas propuestos 8.10. CONTRATOS DE FUTUROS 8.10.1. Contratos de futuros 8.10.2. Márgenes y construcción de mercados 8.10.3. Problemas propuestos 8.11. SWAPS DE TASA DE INTERÉS 8.11.1. Swaps de tasa de interés 8.11.2. Riesgo de contraparte de un swap 8.11.3. Swap de activos 8.11.4. Swaps diferidos 8.11.5. Valor de un swap 8.11.6. Problemas propuestos 8.12. RIESGO DE GERENCIA 8.12.1. Desde la perspectiva del productor 8.12.2. Desde la perspectiva del comprador 8.12.3. Objetivos del uso de productos derivados 8.13. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA

352

Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros Una importante característica de la intensa popularidad de los mercados financieros internacionales se relaciona con la intensificación del uso de los derivados financieros, los cuales se pueden conceptualizar como un contrato suscrito entre dos partes. Su valoración se rige por el precio que tome el activo subyacente o primario, el cual puede tener un carácter real (por ejemplo, la soya o soja, el maíz, los minerales) o carácter financiero (las acciones, los saldos en efectivo, tasas de interés, los bonos o un índice de mercado como el Standard & Poor’s 500). El uso de los productos derivados se fundamenta en la administración de los riesgos, ya que pueden brindar cobertura ante alguna situación que involucre incertidumbre de cambios en las tasas de cambio o de interés. Por otro lado, también se utilizan para especular y realizar operaciones de arbitraje. Los productos financieros que se emplean con mayor frecuencia son las opciones, los futuros, los contratos a plazo –llamados comúnmente forwards o a término–, y los swaps de tasas de interés y de divisas. Este capítulo se ocupará de desarrollar estos conceptos, así como de aplicarlos a ejemplos.

8.1

Los derivados financieros

8.1.1 Derivado financiero Un derivado financiero consiste en un contrato entre dos partes, cuyo valor deriva sobre el precio que tome el activo subyacente o primario, que puede tener carácter real o financiero. De carácter financiero se pueden mencionar: a)

Tasa de interés de corto y largo plazos.

b) Acciones o índices financieros, como el índice Standard and Poor’s 500 (S&P 500), el índice NASDAQ y otros. c)

Divisas.

d) Derivados, es decir, opciones sobre futuros. e)

Derivados que avalen el riesgo crediticio de empresas, etc. En este caso, el valor de un contrato forward sobre una acción se basa en el precio que tome dicha acción en el momento pactado.

8.1 Los derivados financieros

De carácter real se pueden señalar: a)

Productos agropecuarios: cereales, productos perecederos, etcétera.

b) Metales: oro, cobre, plata, etcétera. c)

Productos energéticos: petróleo, carbón y demás derivados.

d) Índices no financieros. e)

Certificados de emisiones de sustancias contaminantes al ambiente, etcétera.

En este caso, el valor de un futuro sobre el maíz dependerá del precio del maíz.

8.1.2 Mercados de derivados Los derivados financieros se utilizan para: a)

Obtener ganancias sin asumir una posición de riesgo por medio de operaciones de arbitraje, por ejemplo, invertir en acciones en un mercado y vender en otro a precios diferentes (comprar barato y vender caro). Es decir, tomar posiciones en ambos mercados para compensar y asegurar su beneficio. Este tipo de ganancias no son sostenibles en el mediano plazo.

b) Especular sobre el comportamiento futuro de los precios de los activos con la expectativa de conseguir beneficios. Es importante mencionar que a diferencia del arbitraje, aquí sí se asume una posición de riesgo, pues la compra de derivados financieros con estos fines puede ser muy peligroso, pues éstos poseen un alto grado de apalancamiento y frecuentemente son muy volátiles. c)

Cubrir la exposición de la empresa al riesgo de precios, es decir, buscar cobertura ante cambios inesperados en los precios de las acciones, en las tasas de interés y/o en las tasas de cambio que inciden sobre el desempeño financiero de la empresa. Cuando se pone en práctica esta acción de cobertura, el riesgo se traslada a un tercero que podría beneficiarse.

Las funciones básicas de los mercados de derivados son las siguientes: Permitir transferir fondos de un agente a otro, lo cual se concretará en la medida que el derivado financiero se ejecute. Brindar la posibilidad de liquidar los activos. Aunque en la práctica no se liquiden los activos, esta posibilidad es la que da origen a las transacciones. Proveer vehículos financieros útiles para establecer precios. Un ejemplo de establecimiento de precios corresponde a las opciones y contratos a plazo negociados over the counter (OTC). Permitir que el riesgo se transfiera desde los inversionistas a los proveedores de fondos. Es distinto que un inversionista opere cubierto mediante un producto derivado a que lo haga al descubierto.

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

Reducir costos de información y transacción en el mercado. Perspectivas sobre el uso de los productos derivados: Un economista, como observador económico, tiene la perspectiva de ver y, a veces, regular el mercado. Un gerente de inversión, en su condición de usuario final de estos productos, tiene como perspectiva gestionar los riesgos, especular, reducir costos o evitar regulaciones. La perspectiva de un trader, como creador de mercado de derivados, es comprar o vender derivados a usuarios finales de estos productos financieros. Actividades de los intermediarios de productos derivados: Los intermediarios realizan operaciones de cobertura, de especulación y arbitraje mediante el uso de derivados financieros. A continuación se presenta un ejemplo de un agente económico que busca cobertura a través de un contrato a plazo o a término (forward).

Ejemplo 8.1 Hoy es 16 de junio, y el 10 de septiembre de 2013 Furniture deberá pagar 100.000 dólares por la compra de madera. La empresa tiene la posibilidad de comprar dólares de un banco mediante un contrato forward a 3 meses para cubrirse del riesgo de tasa de cambio. Asuma que podrá comprar 1 dólar por 2,80 U.M. Responda: a)

Si la empresa se cubrió del riesgo de la tasa de cambio, ¿cuántas U.M. deberá pagar el 10 de septiembre?

b) Si no se cubrió del riesgo cambiario, ¿cuánto pagará si la tasa de cambio fue de 2,90 U.M. por dólar?

Solución a)

Se desarrollan los siguientes pasos: 1.

Se busca la fórmula que se utilizará, que en este caso es: P =e×P* donde P Precio en moneda nacional P* Precio en moneda extranjera e Tasa de cambio en moneda nacional (MN) por unidad de moneda extranjera (ME)

8.1 Los derivados financieros

2.

Se reemplazan los valores: 2,80 × 100.000 = 280.000

Si se cubrió, la empresa pagará 280.000 U.M. b) Se deben realizar los siguientes pasos: 1.

Se determina la fórmula que se usará, que es la siguiente: P =e×P* donde P Precio en moneda nacional P* Precio en moneda extranjera e Tasa de cambio en U.M./dólar

2.

Se reemplazan los valores: 2,90 × 100.000 = 290.000

La empresa deberá pagar 290.000 U.M. por no haberse cubierto del riesgo de tipo de cambio, por lo que tendrá que pagar más. El siguiente ejemplo muestra la acción de arbitraje que realiza un inversionista. En este caso asume posiciones compensatorias en dos o más instrumentos para obtener un beneficio sin riesgo si las obligaciones no se valúan de modo consistente. Estas oportunidades tienden a desvanecerse en la medida que los inversionistas toman conocimiento de ellas y las efectivizan. Por ejemplo, adquirir una opción de compra sobre una acción si se espera que el precio de este activo subyacente aumente; en cambio, si se espera que disminuya, comprarán una opción de venta.

Ejemplo 8.2 La acción de una empresa se negocia en la Bolsa de Valores de Lima (BVL) a 25 U.M. y en la Bolsa de Valores de Nueva York (NYSE) en 10 dólares. El tipo de cambio es de 2,80 U.M./dólar. Un inversionista que realiza una operación de arbitraje logra un beneficio sin riesgo cuando compra 100 acciones en la Bolsa de Valores de Lima y las vende en la Bolsa de Valores de Nueva York. ¿A cuánto asciende este beneficio?

Solución Se realizan los siguientes pasos: a)

Se calcula a cuánto asciende el precio de venta de las acciones en Nueva York sobre la base de la tasa de cambio.

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

Se determina la fórmula que se usará, que en este caso es:

1.

P =e×P* donde P Precio en moneda nacional P* Precio en moneda extranjera e Tasa de cambio en MN por unidad de ME Se reemplazan los valores:

2.

28 = 2,80 × 10 b) El beneficio por acción se calcula del siguiente modo: Se busca la fórmula que se utilizará, que en este caso es:

1.

Beneficio por acción = Precio de venta en NYSE − Precio de venta en BVL Se reemplazan los valores:

2.

Beneficio por acción = 28 − 25 = 3 c)

Se calcula el beneficio total: Se identifica la fórmula que se usará, que en este caso es:

1.

Beneficio total = Beneficio por acción × Número de acciones Se calcula el valor:

2.

Beneficio total = 3 × 100 = 300 Por tanto, el inversionista alcanza un beneficio total de 300 U.M. por haber comprado 100 acciones en la Bolsa de Valores de Lima y haberlas vendido en la Bolsa de Valores de Nueva York, lo cual es una operación de arbitraje.

8.1.3

Problemas propuestos

1. ¿Cuál de los siguientes productos constituyen derivados? a)

Un costal de frijoles.

b) Una venta en corto sobre un bono. c)

Un contrato para vender un costal de frijoles.

Respuesta: c).

8.1 Los derivados financieros

2. La empresa A, con sede en Estados Unidos, compra bienes a una empresa extranjera que exige el pago en su moneda. A esos efectos, A compra un derivado que permite usar el tipo de cambio corriente después de seis meses a partir de hoy. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones caracteriza a la empresa A en el uso del derivado? a)

Vacíos en la regulación.

b) Especulación. c)

Costos de transacción reducidos.

d) Cobertura. Respuesta: d) Cobertura (es una opción). 3. Usted compra 1.000 acciones de Buenaventura a través de un agente de bolsa. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe su perspectiva de usar derivados? a)

El observador económico.

b) La perspectiva del hacedor de mercados. c)

La perspectiva del cliente final.

Respuesta: c) La perspectiva del cliente final. 4. Usted compra 100 acciones a través de un agente de bolsa. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe a éste como usuario de productos derivados? a)

El observador económico.

b) La perspectiva del market maker. c)

La perspectiva del cliente final.

Respuesta: b) La perspectiva de un market maker. 5. Relacione cada trader de mercado: 1) coberturista o hedgers, 2) especuladores, 3) arbitradores, con los roles que a continuación se describen: a)

Los beneficios de expectativas superiores percibidas.

b) El intercambio para eliminar o reducir el riesgo de precio futuro. c)

Intento de lograr un beneficio cuando la misma obligación o commodities es negociado a diferentes precios en dos o más mercados.

Respuesta: 1) con b), 2) con a) y 3) con c).

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

8.2

La diversificación del riesgo y los mercados de derivados

8.2.1 Diversificación de riesgos Una de las funciones primordiales que cumplen los mercados financieros es permitir que el riesgo o la posibilidad de perder en una inversión se reduzcan por medio de la diversificación. Por ejemplo, ciertos agentes económicos que operan en el mercado, como las compañías de seguros, distribuyen riesgos, pero, ¿cómo lo hacen? Una forma es vender seguros de vehículos que no se ejecutan en su totalidad debido a que parte de sus tenedores no sufren accidentes y, en consecuencia, pierden sus primas a favor de las compañías. Parte del riesgo que asume un inversor cuando compra un activo financiero se puede reducir, e incluso eliminar; en cambio, otra parte, no. Al primer riesgo se le conoce como riesgo diversificable o no sistemático y se puede reducir si se invierte en más de un instrumento financiero; en cambio, el segundo, conocido como riesgo no diversificable o sistemático, se caracteriza porque depende de factores de mercado, por lo que no se puede reducir o eliminar. La cobertura de un riesgo diversificable implica que un inversor distribuye su riqueza en más de una inversión y, así, distribuye el riesgo; es decir, que gracias a esta distribución de riqueza logra que el riesgo total que enfrenta sea menor. Esto sucede así porque si se produjese un movimiento adverso en el precio de uno de estos activos, este cambio puede ser compensado por el movimiento opuesto de otro activo financiero.

Ejemplo 8.3 Usted invierte sólo en acciones de Dell. ¿Es acertada esta decisión desde un punto de vista financiero? Si no es así, ¿cuál debería ser su estrategia de inversión?

Solución No es una decisión acertada desde un punto de vista financiero. Si la tomó, afrontará la posibilidad de perder su dinero. Esta posibilidad se tornará realidad si la empresa anuncia pérdidas o un cambio importante en la gerencia. Su estrategia debería ser invertir en acciones de empresas que pertenezcan a otros sectores, pues ello le permitirá reducir el riesgo total que enfrenta debido a que reducirá el riesgo diversificable. El riesgo no diversificable es aquel que no puede eliminarse por medio de la diversificación, es decir, de la inversión en más de un activo financiero. Se debe considerar que el desempleo, la inflación, las guerras o los desastres naturales constituyen fuentes de riesgo no diversificable.

8.2 La diversificación del riesgo y los mercados de derivados

Ejemplo 8.4 ¿Cuál de los siguientes fenómenos económicos se puede considerar fuente de riesgo sistemático o no diversificable? a)

Una recesión económica.

b) Un aumento sostenido de la inflación. c)

Un incremento sostenido en las tasas de interés.

Solución Los tres.

8.2.2 Modalidad de mercados Se pueden distinguir dos mercados, cuya principal diferencia es la presencia o no de cámaras de compensación, pues estas instituciones facilitan la reducción o eliminación del riesgo de las operaciones que realizan los agentes económicos. Mercado OTC (over the counter) o no organizado Históricamente, los contratos se negociaban en el mercado OTC (over the counter) debido a que fueron los primeros en aparecer. En ellos, la negociación se realiza en forma bilateral, es decir, el riesgo de contrapartida es asumido por el comprador del derivado. Los términos del contrato se ajustan a los requerimientos de ambas partes. Los precios se establecen como resultado de la interacción entre la oferta y la demanda. Por ello, este mercado es mayormente utilizado para cubrir operaciones específicas. La innovación financiera estimula la creación de nuevos tipos de contratos que en su mayoría se negocian primero en este mercado, que por lo general no se encuentra bajo regulación. Los productos negociados en este mercado son los swaps, forward y algunas opciones. Un ejemplo es la compra de un forward sobre el tipo de cambio negociado entre el demandante y el Banco ABC. Figura 8.1. Diagrama del mercado OTC

Traslada el riesgo de contrapartida

Comprador

Vendedor Contrato del producto financiero Traslada el riesgo de las fluctuaciones de precios

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

Mercados organizados Estos mercados cuentan con una cámara de compensación que asume el riesgo conjunto. Es decir, los términos de los contratos son estandarizados. Para fijar los precios se incorpora el mecanismo de subastas. Por su sencillez, facilidad y rapidez para abrir y cerrar las operaciones, los inversionistas los prefieren para realizar coberturas globales, operaciones de arbitraje y especulación, aunque con frecuencia implican mayores costos de transacción. Por otro lado, en él suelen negociarse productos innovadores que han gozado de aceptación en el mercado OTC. Se autorregulan y al mismo tiempo son regulados por el gobierno. Los productos financieros negociados en este mercado son los futuros y algunas opciones. Por citar un ejemplo, se puede mencionar una compra de futuros sobre el oro realizada en la Bolsa de Chicago Mercantile Exchange. Figura 8.2. Diagrama del mercado organizado

Traslada el riesgo de contrapartida Abono en cuenta de prima

Pago de la prima Comprador

Cámara de Compensación

Contrato del producto financiero

Vendedor

Contrato del producto financiero

Traslada el riesgo de las fluctuaciones de precios

8.2.3 Tipos de instrumentos derivados Los instrumentos derivados son contratos a futuro cuyas condiciones se especifican hoy. Toman ese nombre, ya que derivan de un activo primario. Se presentan los siguientes tipos: Futuros: Contratos que se negocian a través de mercados organizados. Por ello, el comprador adquiere la obligación de comprar o vender en una fecha establecida a un precio dado. Los contratos son estandarizados. Forward: Contratos que se negocian a través de mercados no organizados u OTC. Por ellos, el comprador adquiere la obligación de comprar o vender en una fecha establecida a un precio convenido de antemano. Los contratos son de carácter particular según los requerimientos de las partes.

8.2 La diversificación del riesgo y los mercados de derivados

Swaps: Contratos que se formalizan para intercambiar flujos en efectivo con un precio acordado en una fecha establecida. En su mayoría son negociados en los mercados OTC. Por lo general se refieren a tasas de interés o tipo de cambio. Opciones: Contratos que otorgan el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender un activo subyacente a un precio predeterminado en una fecha pactada o antes de ella. Pueden ser objeto de negociación en los mercados organizados, como en los OTC.

8.2.4 Problemas propuestos 1. ¿Cuál de los siguientes no es un término que se refiera al riesgo no sistemático? a)

Riesgo no sistemático.

b) Riesgo de mercado. c)

Riesgo diversificable.

d) a) y b). Respuesta: b). 2. Responda si los siguientes conceptos son riesgo diversificable o no diversificable: a)

Riesgo administrativo.

b) Riesgo de inflación. c)

Riesgo sociopolítico.

d) Riesgo de crédito. e)

Riesgo de moneda.

f)

Riesgo de tasas de interés.

g)

Riesgo de liquidez.

Respuesta: a) diversificable; b) no diversificable; c) no diversificable; d) diversificable; e) diversificable; f) diversificable; g) diversificable. 3. Indique dos riesgos involucrados en un portafolio. Respuesta: El riesgo diversificable y el riesgo no diversificable.

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

4. Determine si cada uno de los siguientes eventos puede considerarse un riesgo diversificable o no diversificable para un portafolio. a)

Los precios del petróleo en el mercado internacional aumentan.

b) Un recorte impositivo. c)

Un competidor extranjero, de bajo costo, ingresa inesperadamente al mercado.

Respuesta: a) Riesgo no diversificable; b) Riesgo no diversificable; c) Riesgo diversificable. 5. Responda si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas. a)

Los mercados OTC se caracterizan por negociar contratos estandarizados.

b) Los contratos futuros se pactan a través de mecanismos centralizados de negociación. c)

Los contratos swaps se suele negociar en las bolsas de valores.

d) Las opciones implican un derecho, mas no una obligación, sobre la compra o venta de un activo pactado. e)

Los contratos forward suelen pactarse en los mercados no organizados.

Respuesta: a) Falso; b) Verdadero; c) Falso; d) Verdadero; e) Verdadero.

8.3

Introducción a los contratos forward

En los mercados financieros existe una serie de contratos que obligan a las partes que intervienen a intercambiar un activo subyacente en una fecha futura y a un precio definido, a los cuales se les llama futuros o forwards. En las siguientes líneas se explicará en qué consisten y cuáles son los posibles beneficios y obligaciones que asumen los tenedores de estos contratos. Ambos productos se asemejan en que son convenios formalizados entre partes, pero difieren en aspectos de importancia, como los mecanismos de valoración que utilizan y en cómo se negocian. De este modo, los forwards se negocian de modo privado y se elaboran a la medida, es decir en mercados OTC; en cambio, los futuros se negocian en forma pública en los mercados de futuros, como contratos estandarizados en las bolsas de valores.

8.3 Introducción a los contratos forward

8.3.1 El contrato forward Un contrato forward o a término es un compromiso (una obligación) de compra de una cantidad de un activo o commodity en una fecha futura. Este compromiso se asume hoy. Algunos aspectos importantes de este tipo de contratos son: A la fecha futura se le conoce también como fecha de expiración, de entrega o de vencimiento. Al precio fijado hoy, y que se usará en la operación de compra en el futuro, se le conoce como precio forward o de entrega. Al activo o commodity involucrado en la operación se le conoce como activo subyacente. Además de las comisiones y de los spreads de demanda y oferta, un contrato forward no requiere un pago inicial o una prima entre las partes. Básicamente, en la fecha de entrega, una suma de efectivo se intercambia por un activo. Los siguientes son ejemplos de contratos forward: Forwards sobre acciones y bonos, que consisten básicamente en obligaciones para comprar o vender acciones y bonos a un precio y en tiempo prefijados. Forwards sobre commodities como el oro, la plata y el cobre, son obligaciones para entregar una cantidad prefijada de uno de estos metales en una fecha preestablecida y recibir a cambio un precio de entrega determinado. Forwards sobre la tasa de cambio son obligaciones para comprar o vender una moneda en una fecha futura a una tasa o tipo de cambio prefijada. Forwards de tasa de interés son obligaciones para pactar anticipadamente una tasa de interés para un determinado periodo y que se va a pagar sobre un préstamo o depósito con vencimiento establecido en una fecha futura.

Ejemplo 8.5 Una empresa que usa la soya (soja) como materia prima suscribe un contrato forward a 6 meses por 2.000 toneladas de soya a un precio forward de 330 U.M. la tonelada. Explique la afirmación.

Solución En este contrato, el comprador se compromete a adquirir en seis meses 2.000 toneladas de soya al vendedor a 330 U.M. la tonelada.

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

8.3.2 Posiciones básicas de un contrato forward Los contratos forward se ejecutan en forma privada entre las partes. Al comprador del activo se le conoce como el lado largo y al vendedor, el lado corto. A la obligación de comprar un activo a un precio acordado y en una fecha futura específica se conoce como posición larga, la cual se beneficia cuando los precios se incrementan. A la obligación de vender un activo a un precio acordado y en una fecha futura específica se conoce como posición corta, la que se beneficia cuando los precios disminuyen.

8.3.3 Pago de un contrato forward El pago de beneficios de un contrato forward en la fecha de entrega para la posición larga (comprador) es: Pago de beneficios = PT − K

(8.1)

donde T Fecha de expiración K Precio forward PT Precio de mercado en la fecha de entrega El pago de beneficios de un contrato forward en la fecha de entrega en el caso de la posición corta (vendedor) es: Pago de beneficios = K − PT

(8.2)

donde T Fecha de expiración K Precio forward PT Precio de mercado en la fecha de entrega

8.3.4 Diagrama de beneficios Este diagrama sustrae del pago el valor futuro de la inversión inicial en la posición. Geométricamente, el diagrama de beneficios es un cambio vertical del diagrama de pagos por la cantidad del valor futuro de la inversión inicial. En sus ejes muestra el valor en efectivo de una posición al vencimiento.

8.3 Introducción a los contratos forward

Figura 8.3. Diagrama de beneficios sobre el contrato forward

Pagos Forward largo

K

A

K

−K

B

Precio spot

Forward corto

En la figura 8.3 se observa que las posiciones de pago forward larga y corta coinciden cuando el precio spot (Pt) es igual al precio forward (K); además, que la pérdida máxima del forward largo (comprador) es el precio forward, mientras que la máxima ganancia es ilimitada. Si se analiza desde la óptica del vendedor, forward corto, si el precio spot es menor que el precio forward (A menor que K), él obtendría un beneficio, pues vendería a un precio mayor que el de mercado e incurriría en pérdidas si ocurriese lo contrario. Los diagramas de pagos muestran cuál será el pago de una posición en la fecha de expiración. Esos pagos no incluyen costos o beneficios ganados cuando se compran los activos hoy. Estos diagramas se utilizan ampliamente porque resumen el riesgo de una posición. Las posiciones largas generan dinero cuando el precio aumenta, y las cortas cuando el precio disminuye.

Ejemplo 8.6 Un inversionista vende 10 millones mediante un contrato forward a un precio forward de 2,80 U.M. por dólar. En la fecha de expiración, el precio spot es de 2,76 U.M. por dólar. a)

Calcule la posición larga (comprar).

b) Estime la posición corta (vender).

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

Solución a)

Se realizan los siguientes pasos: 1.

Se busca la fórmula que se usará, que en este caso es la ecuación (8.1).

2.

Se reemplazan los valores en ella. Pago de beneficios = (2,76 − 2,80) × 10.000.000 = −400.000 En la fecha de expiración, la posición larga es de –400.000 U.M.

b) Se realizan los siguientes pasos: 1.

Se determina cuál ecuación se usará. En este caso es la (8.2).

2.

Se reemplazan los valores en ella. Pago de beneficios = (2,80 − 2,76) × 10.000.000 = 400.000 En la fecha de expiración, la posición corta es de 400.000 U.M.

Ejemplo 8.7 Se firma un contrato forward sobre una acción con precio spot de 25 U.M. y fecha de vencimiento dentro de tres meses a partir de hoy. El precio forward es de 25,375 U.M. Dibuje un diagrama de pagos de las posiciones forward corta y larga después de tres meses.

Solución El diagrama es el siguiente: Figura 8.4. Diagrama de pagos del forward

Pagos 30 20

Forward largo

25,375 U.M.

10 0

10

20

30

40

50

–10 –20

Forward corto

–30 Precio de la obligación al vencimiento

8.3 Introducción a los contratos forward

En la figura 8.4 se aprecia que las posiciones de pago de los contratos forward largo y corto no ganan ni pierden cuando el precio de la acción al vencimiento es igual al precio forward, es decir, 25,375 U.M.

Ejemplo 8.8 Dado el contrato forward del ejemplo anterior, el inversionista decide comprar hoy la acción a 25 U.M. ¿Existe alguna ventaja en utilizar el contrato forward para comprar la acción o es conveniente comprarla de modo directo? a)

Dibuje el diagrama del pago de la posición física larga,1 así como el diagrama del forward largo.

b) Si el precio spot es 0 U.M. en tres meses, calcule el pago de la posición forward larga. c)

Si el precio spot de la acción en tres meses es 25,372 U.M., calcule el pago de la posición física larga y el pago del forward largo.

d) Describa la inversión que implica la compra directa, así como el forward largo a fin de poseer el stock.

Solución a)

El diagrama se muestra a continuación: Figura 8.5. Diagrama de pagos de la acción larga y el forward largo

Pago 60 40 20 0

0

10

20

25

30

40

50

60

–20 –40

1

Acción larga Forward largo

Tener una posición física larga es poseer el activo financiero o bien subyacente en su poder o ha efectuado la compra del mismo a plazo. Tener una posición física corta significa haber vendido un activo financiero o bien subyacente a plazo.

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

En la figura 8.3 se observa que el valor del pago de la posición física es igual al precio spot de la acción. El diagrama de pagos no incluye costos cuando la acción no es adquirida directamente. b) El pago del forward largo es 0 − 25,372 = −25,372 . c)

El pago de la posición física larga es 25,372 U.M. El pago del forward largo es 25,372 − 25,372 = 0 .

d) Con la compra directa, el inversionista invierte 25 U.M. ahora y posee la acción. Con el contrato forward, el inversionista invierte 0 U.M. ahora y 25,372 U.M. después de tres meses y posee la acción. El pago de una compra directa en la figura muestra cuánto dinero se pagará después de tres meses, pero no explica la inversión inicial de 25 U.M. por comprar directamente la acción. Luego, a partir del gráfico no se puede afirmar si existe una ventaja en comprar un forward o en comprar directamente la acción. Para realizar una comparación adecuada, las inversiones iniciales en ambos casos deben ser las mismas y explicar el interés ganado en tres meses. Con esta finalidad se presenta el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8.9 Un inversionista invierte 25 U.M. en un bono cupón cero con un valor a la par de 25 U.M. con fecha de vencimiento de tres meses junto con el contrato forward del ejemplo anterior. Observe que esta posición combinada y la posición de compra directa cuestan, al principio, 25 U.M. cada una. Asuma que la tasa de rendimiento del bono es de 5,952% pagable trimestralmente. Muestre que la posición combinada simula el efecto de comprar la acción directamente.

Solución El inversor paga ahora 25 U.M. por el bono. Después de tres meses, el rendimiento del bono cupón cero es 25 × 1,01488 = 25,372 U.M. El comprador utiliza las ganancias para pagar el precio del forward de 25,372 U.M. y adquiere la propiedad de la acción. Esta alternativa es equivalente a la compra directa de la acción a 25 U.M.

Ejemplo 8.10 Miguel pide prestadas 25 U.M. para comprar una acción (en físico) que cuesta 25 U.M. La tasa de interés sobre el préstamo es de 5,952% compuesta trimestralmente. Esta posición y la posición forward larga cuestan en un inicio 0 U.M. cada una. Muestre que pedir prestado representa el efecto de entrar en un contrato forward largo (compra).

8.3 Introducción a los contratos forward

Solución Miguel utiliza el dinero prestado para comprar hoy la acción. Al cabo de tres meses, devuelve 25,372 U.M. Por tanto, no invierte al inicio y al cabo de tres meses paga 25,372 U.M. y se adueña de la acción. Esto muestra que pedir prestado para comprar la acción representa el efecto de acceder a un contrato forward largo. Se observa que el contrato forward y la posición en efectivo son inversiones equivalentes, que difieren sólo en el timing de los flujos de efectivo. Dado que los contratos forward no requieren inversión inicial, los diagramas de pagos y de dividendos coinciden.

Ejemplo 8.11 El precio de una acción es de 50 U.M. y no paga dividendos. La tasa de interés anual efectiva es de 10%. Grafique los diagramas de pagos y de beneficios de una posición larga de un año sobre la acción.

Solución El pago de una acción que usted compra largo (y, en consecuencia, posee) es sólo el valor de mercado de la acción. Asuma que usted adquiere el beneficio después de un año. Su beneficio es el pago (precio de mercado) menos el valor futuro de la inversión inicial sobre un año. Si el precio de la acción es representado por S, su beneficio será S − 1,1 × (50) = S − 55 . Figura 8.6. Diagramas de pago y de beneficios

Pago 60 50 40 30 20 10 0

Pago Beneficio

10 20

30

40 50

60

70

80

En la figura 8.6, se nota que el beneficio es de 0 U.M. cuando el precio de la acción es de 55 U.M.

369

370

Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

Ejemplo 8.12 Un índice puede ser valuado en 1.020 U.M. a seis meses a partir de hoy. Por ello se compra un contrato forward con un precio forward de 1.020 U.M., con fecha de vencimiento a seis meses. Considere un bono cupón cero con valor par de 1.000 U.M. y una tasa de interés a seis meses de 2%. a)

Compare el diagrama de pagos de la posición combinada del contrato forward y el bono con el diagrama de pagos del índice después de seis meses.

b) Responda la pregunta de los diagramas de beneficios.

Solución a)

El pago del contrato forward y el bono en seis meses es:

Forward + Bono = Precio spot en la fecha de expiración −1.020 + (1,00 +1,00 × 0,02) b) El diagrama de beneficios del contrato forward coincide con el diagrama de pagos, puesto que no existe inversión inicial. El beneficio del bono es el pago menos el valor futuro de la inversión que resulta ser cero. Así, el diagrama de beneficios del bono y forward combinados es el mismo que el diagrama de beneficios del forward.

8.3.5 Contratos forward liquidados en efectivo Si un forward se liquida en efectivo, el activo subyacente y el pago no cambian de manos. En vez de ello, el contrato es liquidado con un pago simple por el monto del precio spot menos el precio forward en la fecha de entrega. Si la diferencia es positiva, a la larga, la parte corta paga la diferencia. Si es negativa, la larga paga a la parte corta.

Ejemplo 8.13 Dos personas acuerdan hoy intercambiar medio millón de barriles de petróleo a 42,08 U.M. cada uno dentro de tres meses. Describa este forward cuando es liquidado en efectivo. a)

Si el precio spot en la fecha de entrega es de 47,36 U.M. el barril.

b) Si el precio spot en la fecha de entrega es de 40,17 U.M. el barril.

8.3 Introducción a los contratos forward

Solución Si el forward fuera liquidado en efectivo luego de la fecha de entrega, transcurridos los tres meses, el petróleo no cambiaría de manos y no se efectuaría el pago de 21.040.000 U.M. (500.000 U.M. × 42,08). a)

Si el precio spot en la fecha de entrega fue de 47,36 U.M. por barril, el forward sería liquidado con un pago simple de 500.000 × (47,36 − 42,08) = 2.640.000 que tendría que efectuar la parte corta a la parte larga.

b) Si el precio spot en la fecha de entrega fue de 40,17 U.M., el forward se liquidaría con un pago simple de 500.000 × (42,08 − 40,17) = 955.000 que tendría que realizar la parte larga a la parte corta.

8.3.6 Riesgo crediticio El riesgo crediticio deviene de que alguna de las partes no cumpla con sus obligaciones contractuales. Este riesgo existe en las operaciones con contratos forward o a término. Por ello, los contratos requieren de colaterales con el objeto de minimizar dicho riesgo. En contratos OTC (over the counter), cada una de las partes soporta el riesgo de crédito de la otra. Si se comparan los contratos forward con los de futuros, los primeros son más riesgosos en la medida que se negocian en mercados OTC y cada parte tiene que enfrentar el riesgo crediticio. Lo contrario sucede en las bolsas organizadas, ya que la existencia de cámaras de compensación absorbe el riesgo incurrido al firmar el contrato.

8.3.7 Problemas propuestos 1. Un trader toma un contrato forward a corto sobre 50 millones de dólares. La tasa de cambio forward es de 0,3571 dólares por U.M. ¿Cuánto ganará o perderá el trader si el tipo de cambio al final del contrato es de: a) 0,36 dólares por U.M., y b) 0,35 dólares por U.M.? Respuesta: a) Beneficios de 1.127.913 U.M. b) Pérdida de 2.840.341 U.M. 2. El precio de la acción de una empresa minera estadounidense es hoy de 30 dólares. Si esta acción no pagara dividendos este año y el precio forward para entrega en un año es de 31 dólares, ¿cuál sería la tasa de

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

rendimiento efectivo anual si un inversionista compra esta acción y no existe ventaja en comprar ésta o el contrato forward? Respuesta: 33,3%. 3. Un inversionista adquiere un bono cupón cero libre de riesgo por un valor de 100 U.M. que pagará 120 U.M. en la fecha de entrega, que es al cabo de un año. Determine cuál es la tasa de interés anual efectiva que gana el tenedor del bono. Respuesta: 20%. 4. Suponga que usted accede a una posición forward larga a seis meses a un precio forward de 20 U.M. ¿Cuál es el pago en seis meses para precios de: a) 10 U.M., b) 15 U.M., c) 20 U.M., d) 25 U.M. y e) 30 U.M.? Respuesta: a) –10 U.M., b) –5 U.M., c) 0 U.M., d) 5 U.M. y e) 10 U.M.

8.4

Opciones de compra: diagramas de pago y de beneficio

8.4.1 La opción Las opciones constituyen un contrato para comprar o vender un activo subyacente determinado como un derecho, mas no una obligación. El contrato, que fija un precio específico (el precio de ejercicio) al cual puede ser ejecutado, y una fecha de vencimiento, carece de valor cuando la opción expira. El titular del derecho debe pagar una prima o premio al lanzador del contrato de opción, a cambio de permitirle o no el ejercicio del derecho, pues así acota su rango de pérdida máxima a la prima pagada.

8.4.2 Generaciones de las opciones a)

Primera generación: opciones plan sencillo. Son el tipo de contrato más simple que existe, los más sencillos de utilizar, cuyo éxito radica en la fácil comprensión de sus características por parte de los compradores y vendedores. Se pueden tomar las siguientes cuatro estrategias básicas: Comprar una opción de compra (long call). Vender una opción de compra (short call).

8.4 Opciones de compra: diagramas de pago y de beneficio

Comprar una opción de venta (long put). Vender una opción de venta (short put). b) Segunda generación: opciones sintéticas. Están formadas por la combinación de dos o más contratos de derivados financieros básicos (forward, opciones, futuros, swaps) con el fin de reducir la prima en la que se incurre cuando se compra el instrumento. Por ejemplo, se puede comprar una opción de compra y una opción de venta al mismo tiempo y al mismo precio de ejercicio. De esta operación emanan dos consecuencias: si el precio de la acción se incrementa, le convendrá ejercer la opción de compra. Por el contrario, si el precio de la acción disminuye por debajo del precio de ejercicio, le convendría ejercer la opción de venta. De esta manera, el inversionista de alguna manera se cubre ante los posibles cambios en los precios del activo primario. Se tienen: Forward/opciones: range forwards, break forward, etcétera. Combinación de opciones: collars, cilindros, etcétera. c)

Tercera generación: opciones exóticas. Son opciones no tradicionales, cuyo valor de ejercicio se estructura de manera distinta a las opciones de compra o de venta común. Por ejemplo: asiáticas, barrera, etc. Las opciones asiáticas toman su valor en función del promedio aritmético (o geométrico) de los precios que tomó el activo subyacente.

8.4.3 Valor de la opción respecto de la fecha de ejercicio El valor de una opción toma en cuenta el valor intrínseco y el valor extrínseco. Valor de una opción = Valor intrínseco + Valor extrínseco

(8.3)

El valor intrínseco es aquel precio que tomará la opción si se ejecuta en el momento de la compra. El valor extrínseco se adquiere en función del desenvolvimiento esperado de los precios del activo subyacente.

8.4.4 Opción de compra Es un contrato mediante el cual el comprador de esta opción espera que el precio de un activo aumente. Dicho comprador o titular paga una prima; además, tiene el derecho de ejecutar la opción en o antes de la fecha de expiración (opción americana); en cambio, el vendedor o lanzador de la opción recibe la prima y si el com-

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

prador decide ejecutar la opción, tendrá que vender el activo al precio de ejercicio; pero si el comprador no ejecuta la opción, el beneficio del vendedor será sólo la prima cobrada. Por tanto, una opción de compra es un contrato donde el comprador tiene el derecho pero no la obligación de comprar.

8.4.5 Tipos de opciones La opción de compra europea permite al tenedor ejecutar la opción sólo en la fecha de expiración. La opción de compra americana permite a su tenedor ejercer la opción en cualquier momento de la vida de la opción. La opción de compra bermuda puede ejecutarse en fechas específicas predeterminadas antes o en la fecha de expiración. A menos que se especifique otro tipo de opción, se supone que la operación se refiere a la europea.

Ejemplo 8.14 El trader A (comprador de la opción de compra) adquiere un contrato de opción de compra sobre 100 acciones de XYZ Corp. del trader B (vendedor de la opción de compra) a 50 U.M. cada una. El precio actual es de 45 U.M. y el trader A paga una prima de 5 U.M. por acción. a)

Si el precio de la acción de la empresa XYZ se incrementa a 60 U.M. antes de la fecha de expiración, ¿qué beneficio obtiene el trader A si ejecutó la opción al adquirir 100 acciones del trader B y las vendió en el mercado de acciones?

b) Sin embargo, si el precio cae a 40 U.M. por debajo del precio de ejercicio, el trader A no ejercería la opción. Determine la pérdida en que incurrirá en este caso.

Solución a)

El costo total del trader A por adquirir 100 acciones antes o en la fecha de expiración es 50 × 100 + 5 × 100 = 5.500 U.M. El ingreso de vender las acciones es 60 × 100 = 6.000 U.M. Por tanto, el trader A logra un beneficio de 500 U.M. en esta operación.

b) Las pérdidas consistirán en el valor futuro de la prima pagada, es decir, el valor futuro de 5 × 100 = 500 .

8.4 Opciones de compra: diagramas de pago y de beneficio

8.4.6 Función de pagos del comprador Desde la óptica del comprador de una opción de compra, sólo ejecutará la opción en caso de que el precio spot sea mayor que el precio de ejercicio, por lo que su pago se define como: Pago = máx ( 0, S − E )

(8.4)

donde S Precio spot en la fecha de expiración E Precio de ejercicio

Ejemplo 8.15 Sea una opción de compra con un precio de ejercicio de 1.000 U.M. a)

Determine el pago para el comprador si el precio spot en la fecha de expiración es de 950 U.M.

b) Determine el pago para el comprador si el precio spot en la fecha de vencimiento es de 1.050 U.M.

Solución a)

Se busca la fórmula que se utilizará, que en este caso es la ecuación (8.3).

b) Se reemplazan los valores del enunciado a): Pago = máx (950 − 1.000 ) = 0 Se reemplazan los valores del enunciado b): Pago = máx (1.050 −1.000 ) = 50 El pago del comprador es de 50 U.M. El pago no considera el costo de adquirir la posición (la prima), por lo que no es sólo el dinero ganado. El beneficio que obtiene el comprador está dado por la siguiente fórmula: Beneficio = máx ( 0, S − E ) − Valor futuro de la prima donde S Precio spot en la fecha de expiración E Precio de ejercicio

(8.5)

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

Ejemplo 8.16 Existe una opción de compra a tres meses con un precio de ejercicio de 1.000 U.M. y una prima de 48 U.M. Si el precio spot en la fecha de vencimiento es de 1.050 U.M., ¿ejercería la opción de compra? ¿Cuánto ganaría o perdería? La tasa de interés libre de riesgo es de 1% sobre los tres meses.

Solución a)

Se determina la ecuación que se usará, que en este caso es la (8.5).

b) Se calcula el valor futuro de la prima: 48 × 1,01 = 48,48 c)

Se reemplazan los valores: máx {1.050 − 1.000} − 48,48 = 1,52 El diagrama de pagos y de beneficios de una opción de compra larga con un precio de ejercicio K, un precio spot PT y el valor futuro de la prima PC se muestra en la figura 8.7. Figura 8.7. Diagrama de pagos y de beneficios

Pago = máx (0, PT – K) 0, K

K + PC

PT

–PC Beneficio = máx (0, PT – K) − PC

Pago/Beneficio de compra larga En la figura 8.7, en el caso de una opción larga, la pérdida máxima es el valor futuro de la prima mientras que la ganancia máxima no está limitada.

8.4 Opciones de compra: diagramas de pago y de beneficio

Ejemplo 8.17 Sea una opción de compra larga (con el precio de ejercicio de K) y un contrato forward largo (con un precio forward K) con un activo subyacente, un índice de acciones. Dibuje el diagrama de beneficios de ambos sobre la misma ventana. a)

Si el índice de acciones crece por encima de K, ¿cuál de los dos es más rentable?

b) Si el índice de acciones cae considerablemente, ¿cuál es más rentable?

Solución a)

En la siguiente figura se muestra el diagrama de beneficios del forward largo y la opción de compra larga. Figura 8.8. Diagrama de beneficios del forward largo y la opción de compra larga

Beneficio Forward largo

K

K + PC

PT

–PC

Opción de compra adquirida

El contrato forward es más rentable que la opción de compra. b) La opción de compra es más rentable (menos pérdidas) porque la mayor parte de la pérdida es el valor futuro de la prima. Se advierte que una opción de compra puede ser pensada como una posición asegurada en el índice. Se protege al comprador contra pérdidas significativas. El costo de este seguro es la prima que se pagó. Por tanto, se ha considerado el pago y el beneficio desde la perspectiva del comprador. A continuación se consideran estos aspectos desde la perspectiva del vendedor.

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

8.4.7

Función de pagos del vendedor

El pago al vendedor es: Pago = − máx {0, S − E } = mín {0, E − S }

(8.6)

donde S Precio spot en la fecha de expiración E Precio de ejercicio Por su parte, el beneficio para el vendedor es: Beneficio = − máx {0, S − E } + Valor futuro de la prima

(8.7)

donde S Precio spot en la fecha de expiración E Precio de ejercicio

Ejemplo 8.18 Dada una opción de compra a 3 meses con un precio de ejercicio de 500 U.M. y una prima de 46,90 U.M., calcule el pago al vendedor de la opción de compra y el beneficio si el precio spot en la fecha de expiración es de 550 U.M. Suponga una tasa de interés libre de riesgo a tres meses de 1%.

Solución a)

Se eligen las expresiones que se usarán para calcular el pago y el beneficio al vendedor, que en este caso son las ecuaciones (8.6) y (8.7), respectivamente.

b) Se reemplazan los valores. Así, el pago es: mín {0,500 − 550} = −50 El beneficio es: mín {0,500 − 550} + 46,90 × 1,01 = −2,631 Los diagramas de pagos y beneficios de una opción de compra corta con un precio de ejercicio de K, valor futuro de la prima, se muestran en la siguiente figura.

8.4 Opciones de compra: diagramas de pago y de beneficio

Figura 8.9. Diagrama de pagos y beneficios de una opción de compra a corto

Beneficio = PC – máx {0, PT − K}

PC 0 K

PT

Pago = –máx {0,PT – K} Pago/Beneficio opción de compra a corto Advierta que en el caso de una opción corta, la ganancia máxima es el valor futuro de la prima mientras que la pérdida máxima puede ser ilimitada.

Ejemplo 8.19 Sea una opción de compra corta (con un precio de ejercicio K) y un contrato forward a corto (con un precio forward K) con un activo subyacente, un índice de acciones. En una sola figura dibuje un diagrama de beneficios de ambos. a)

Si el índice de acciones crece, ¿cuál de los dos es más rentable?

b) Si el índice de acciones cae considerablemente, ¿cuál es más rentable?

Solución Se procede a elaborar la figura 8.10.

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

Figura 8.10. Diagrama de beneficios

Beneficio Forward a corto

PC K + PC

0

K

PT

Opción de compra a corto

a)

Ambos derivados pierden cuando los precios de las acciones aumentan. Sin embargo, la pérdida en el caso del forward a corto es mayor que en el de la opción de compra a corto.

b) El forward a corto es más rentable que la opción de compra a corto.

8.4.8 Problemas propuestos 1. Una persona que compra una opción puede llevar a cabo alguna de las acciones que siguen, excepto: a)

Venderlo.

b) Ejercitarlo. c)

Extenderlo.

d) Permitir que expire. Respuesta: inciso c). 2. Un inversionista compra una opción de compra cuyo activo subyacente es un índice de acciones. El precio de ejercicio es de 1.050 U.M. y la fecha de expiración es a seis meses. a)

Si el precio spot en la fecha de expiración es de 1.200 U.M., ¿el comprador ejercitaría la opción? ¿Cuál sería su pago en este caso?

8.5 Opciones de venta: diagramas de pagos y de beneficios

b) ¿Cuál es el pago para el comprador si el precio spot es de 800 U.M.? Respuesta: a) 150 U.M.; b) 0 U.M. 3. Un inversionista adquiere una opción de compra cuyo activo subyacente es un índice de acciones. El precio de ejercicio es de 1.050 U.M. y la fecha de expiración es a seis meses. a)

Si el precio spot en la fecha de vencimiento es de 1.200 U.M., ¿cuál sería el pago que se debería hacer al vendedor?

b) Si el precio spot en la fecha de vencimiento es de 800 U.M., ¿cuál sería el pago al vendedor? Respuesta: a) –150 U.M.; b) 0 U.M. 4. Considere una opción de compra (cuyo activo subyacente es un índice de acciones) con precio de ejercicio de 1.000 U.M. y fecha de expiración a seis meses. Suponga que la tasa de interés a seis meses libre de riesgo es 2% y la prima por compra es de 93,81 U.M. a)

¿Cuál es el valor futuro de la prima?

b) ¿Cuál es el beneficio del comprador si el precio spot en la fecha de expiración es de 1.100 U.M.? c)

¿Qué sucede con el beneficio para el comprador si el precio spot en la fecha de vencimiento es de 900 U.M.?

Respuesta: a) 95,69 U.M.; b) 4,31 U.M.; c) –95,69 U.M.

8.5

Opciones de venta: diagramas de pagos y de beneficios

8.5.1 Opción de venta Una opción de compra da al tenedor o titular de la opción el derecho de comprar. En tanto, una opción de venta da el derecho al tenedor de la opción (el comprador de la put), pero no la obligación, de vender el activo subyacente al precio de ejercicio para el suscriptor o lanzador de la opción. Se debe notar que el vendedor de la opción de venta es el vendedor del activo subyacente que, además, está obligado a comprar el activo subyacente si el que adquirió la opción la ejerce. En una opción put, el comprador piensa que el precio del activo disminuirá. Por tanto, paga una prima y tiene el derecho de vender el activo (al vendedor de la put) al precio de ejercicio. El vendedor o lanzador de la put recibe una prima. Si el comprador o titular no ejecuta la opción, el beneficio del suscriptor (lanzador) de la opción sólo será la prima.

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

En el caso de una opción put, el comprador tiene una posición corta (tiene el derecho de vender el activo subyacente), mientras que el vendedor tiene una posición larga (tiene la obligación de comprar el activo subyacente del tenedor del put).

Ejemplo 8.20 Sea una opción put con un índice de acciones como activo subyacente y precio de ejercicio de 500 U.M. en tres meses. a)

Si en tres meses el índice de acciones asciende a 550 U.M., ¿el tenedor de la opción la ejercería?

b) ¿Qué sucede si el índice de acciones es de 450 U.M.?

Solución a)

Si el índice de acciones crece, el tenedor de la opción no debe ejercer la opción.

b) En la medida en que el índice de acciones esté por debajo de 500 U.M., el tenedor de la opción venderá la acción y ganará 50 U.M.

8.5.2 Función de pagos del comprador Desde la óptica del comprador o titular de una opción de venta, ejercerá la opción sólo cuando el precio spot sea menor que el precio de ejercicio. Así, el pago del comprador es definido por la ecuación: Pago = max {0, E − S }

(8.8)

donde S Precio spot en la fecha de expiración E Precio de ejercicio

Ejemplo 8.21 Dada una opción de venta con un precio de ejercicio de 500 U.M., a)

¿Cuál sería el pago para el comprador si el precio spot en la fecha de vencimiento es de 550 U.M.?

b) ¿Cuál sería el pago para el comprador si el precio spot en la fecha de vencimiento es de 450 U.M.?

8.5 Opciones de venta: diagramas de pagos y de beneficios

Solución a)

Dado que el precio spot es mayor que el precio de ejercicio, el comprador no ejercerá esta opción. En este caso, el pago es: máx {0,500 − 550} = 0

b) El comprador ejercerá esta opción y el pago será: máx {0,500 − 450} = 50 Observe que el pago no toma en cuenta el costo de adquirir la posición (la prima pagada cuando la opción es adquirida). El beneficio que gana el comprador se calcula mediante la siguiente ecuación: máx {0,500 − 550} − 41,95 × 1,01 = −42,37 La pérdida ascenderá a –42,37 U.M. El diagrama de pagos y de beneficios de una put larga con un precio de ejercicio K y un valor futuro de prima Pp, como se puede apreciar en la figura 8.11. Figura 8.11. Diagrama de beneficios

Pago/Beneficio put larga

Pago = máx {0, K – PT}

PC Beneficio = máx {0, K – PT} − Pp 0 K − Pp −Pp

K

PT

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

En la figura 8.11 se observa que el beneficio de la opción de venta crece cuando el valor del activo subyacente disminuye. También se nota que en el caso de una opción de venta adquirida, la ganancia máxima es el precio de ejercicio menos el valor futuro de la prima, mientras que la pérdida máxima es el valor futuro de la prima.

Ejemplo 8.22 Dibuje un diagrama de beneficios de la opción de venta del ejemplo previo y el de un forward a corto con un precio de entrega de 500 U.M. y fecha de expiración de la opción de venta. ¿Cuál proporciona mayor beneficio si el índice de precios se sitúa por debajo de 500 U.M.? ¿Cuál es el beneficio si el índice crece lo suficiente?

Solución Los diagramas de ambas posiciones se muestran en la siguiente figura: Figura 8.12. Diagrama de beneficios

Beneficio en (U.M) 500,00

457,63

Forward a corto

PC Precio spot

0 500

PT

–42,37

En la figura 8.12 se aprecia que si el índice se reduce, el forward a corto, el cual no tiene prima, obtiene un beneficio mayor que la put comprada. Si el índice aumenta lo suficiente, la put tiene un mejor desempeño que el forward a corto.

8.5 Opciones de venta: diagramas de pagos y de beneficios

Una opción de venta es semejante a un contrato forward a corto no asegurado. Cuando los precios se incrementan, las pérdidas de un forward a corto pueden ser potencialmente ilimitadas. Con una put, las pérdidas son limitadas.

8.5.3 Función de pagos del vendedor Las ganancias del vendedor están dados por: Pago = min {0, S − E }

(8.9)

donde S Precio spot en la fecha de expiración E Precio de ejercicio Los beneficios para el vendedor están dados por: Beneficio = min {0, S − E } + Valor futuro de la prima

(8.10)

donde S Precio spot en la fecha de expiración E Precio de ejercicio

Ejemplo 8.23 Dada una opción de venta con un precio de ejercicio de 500 U.M. y una prima valuada a la fecha de expiración en 41,95 U.M., calcule el pago del vendedor y el beneficio si el precio spot en la fecha de expiración es de 550 U.M. Suponga que la tasa de interés libre de riesgo de 1% durante el periodo de duración de la opción.

Solución a)

Se identifican las ecuaciones que se usarán, en este caso, las (8.9) y (8.10).

b) Se reemplazan los valores: El pago es: min {0,550 − 500} = 0 El beneficio es: min {0,550 − 500} + 41,95 × 1,01 = 42,37 Los diagramas de beneficios y de pagos de un put en corto se muestran en la siguiente figura.

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

Figura 8.13. Diagramas de pago y beneficios de una opción de venta a corto

Pago/Beneficio venta a corto

Beneficio = Pp − máx{0, K − PT }

Pp

Precio spot

K − Pp 0 K

PT

Pago = − máx{0, K − PT }

Es de interés notar que en la opción de venta suscrita, la ganancia máxima es el valor futuro de la prima, mientras que la pérdida máxima es la cantidad que es mayor al precio de ejercicio sobre el precio spot menos el valor futuro de la prima.

8.5.4 Opciones como políticas de seguros Las opciones pueden ser muy usuales como políticas de seguros contra precios en movimiento y un modo de proteger activos físicos. Por ejemplo, una opción de compra puede brindar seguro contra el incremento del precio de un bien que se planea comprar en el futuro. La posición larga es comprar el seguro y la posición corta es venderlo. Una opción de venta puede brindar seguro contra una caída de precio de un activo subyacente. La posición larga es vender el seguro y la posición corta es comprarlo. Una política de seguro para un propietario de una casa es un ejemplo de opción de venta. La casa está valuada en 200.000 U.M. El dueño compra una póliza de seguro por la prima de 15.000 U.M. que expira en un año. La póliza requiere un deducible de 25.000 U.M. Esto significa que si el daño que sufre la casa es menor de 25.000 U.M., él asumirá la responsabilidad total, pero si el daño es mayor de 25.000 U.M., la compañía de seguros cubrirá la porción por encima de 25.000 U.M. La póliza de seguro actúa como una opción de venta larga. La prima de 15.000 U.M. es parecida a la prima de una put, la fecha de expiración es dentro de un año y el precio de ejercicio de la put es de 175.000 U.M.

8.5 Opciones de venta: diagramas de pagos y de beneficios

8.5.5 El moneyness de una opción En finanzas, moneyness es una medida del grado al cual es probable que un derivado tenga valor monetario positivo en su fecha de expiración. Desde la perspectiva del comprador y, desatendiendo la prima por comprar una opción, se afirma que una opción está in-the-money o “dentro del dinero” si el comprador se beneficia cuando la opción se ejerce de inmediato. Por ejemplo, una opción de compra con un precio spot mayor que el precio de ejercicio y una opción de venta con un precio de ejercicio mayor que el precio spot están in-the-money. Por otro lado, se afirma que una opción está out-of-the-money o “fuera del dinero” si el comprador pierde cuando la opción se ejerce de inmediato. Una opción de compra con un precio spot menor que el precio de ejercicio y la opción de venta con un precio de ejercicio menor que el precio spot están out-of-themoney. Por último, una opción está at-the-money o “en el dinero” si el comprador no pierde o se beneficia cuando la opción se ejerce de inmediato. Esto ocurre cuando el precio spot es aproximadamente igual al precio de ejercicio. Al respecto se pueden observar las figuras 8.14 y 8.15. Figura 8.14. Diagrama de pagos y beneficios

Pago/beneficio Opción de compra larga

Pago = Pp − max(0, PT − K )

Beneficio = Pp − max(0, PT + K ) − Pp

0 K

K + Pp

–PP In the money

Out of the money At the money

PT

387

388

Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

Figura 8.15. Diagrama de pagos y beneficios

Pago/Beneficio opción de venta larga

Pago = max(0, K − PT )

Beneficio = Pp − max(0, PT + K ) − Pp

0 K + PT

K

PT

–PP In the money

Out of the money At the money

Ejemplo 8.24 Si el precio de la acción subyacente es de 25 U.M., indique si cada una de las opciones que se presentan a continuación están in the money, at the money o out of the money. Tabla 8.1. Opciones de compra y venta

Precio de ejercicio 20 25 30

Opción de compra

Opción de venta

8.5 Opciones de venta: diagramas de pagos y de beneficios

Solución Precio de ejercicio

Opción de compra

Opción de venta

20

In the money

Out of the money

25

At the money

At the money

30

Out of the money

In the money

8.5.6 Problemas propuestos 1. Un inversionista tiene 5.000 acciones que valen 25 U.M. cada una. ¿Cómo puede usar las opciones put para que le brinden un seguro contra una caída del valor de sus tenencias en los próximos cuatro años? Respuesta: la solución se presenta en el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro. 2. Una opción de venta, cuyo activo subyacente es un índice de acciones con 8 meses para expirar, tiene un precio de ejercicio de 10.000 U.M. ¿Cuál será el pago para el comprador si el valor del índice en 8 meses es: a)

10.100 U.M.?

b) 9.900 U.M.? Respuesta: a) cero; b) 100 U.M. 3. Una opción de venta cuyo activo subyacente es un índice de acciones expira a los seis meses y tiene un precio de ejercicio de 3.000 U.M. La tasa de interés libre de riesgo para los seis meses es de 2% anual y la prima de la opción es de 75,75 U.M. a)

Calcule el valor de la prima futura en seis meses.

b) ¿Cuál es el beneficio para el comprador si el precio spot del índice es de 3.100. U.M.? c)

¿Cuál es el beneficio para el comprador si el precio spot del índice es de 2.900 U.M.?

Respuesta: a) 76,51 U.M.; b) –76,51 U.M.; c) 23,49 U.M. 4. Una opción put se negocia sobre las acciones de Sony Corporation. Tiene un precio de ejercicio de 40 U.M. a)

¿Cuál es el pago en la fecha de expiración si las acciones de Sony se venden en 45 U.M.?

389

390

Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

b) ¿Cuál es el pago en la fecha de expiración si dichas acciones se venden en 25 U.M. c)

Dibuje el diagrama de pagos de esta opción.

Respuesta: a) cero, b) 15 U.M. y c) ver el diagrama en el solucionario a los problemas propuestos en la página web de este libro. 5. Una opción de venta en la cual el precio de la acción es de 60 U.M. y el precio de ejercicio es de 65 U.M., está: a)

In the money.

b) Out of the money. c)

At the money.

d) Ninguna de las anteriores. Respuesta: a) In the money.

8.6

Opciones sobre acciones

8.6.1 Tipos de activos subyacentes Las opciones pueden tener varios activos subyacentes, como: a)

Opciones sobre un índice de mercado: un contrato de opción sobre un índice es aquel en el cual el activo subyacente no es una acción individual sino un índice (por ejemplo, un conjunto de acciones como el índice Standard & Poor’s 500 o el Índice Compuesto Nasdaq). Por tanto, el comprador de una opción de compra tiene el derecho de adquirir el índice a un precio predeterminado en o antes de una fecha futura (bajo las opciones americanas). Todos los contratos de opción de índices se liquidan en efectivo.

b) Opciones sobre futuros: opción cuyo activo subyacente es un contrato futuro. c)

Opciones sobre moneda extranjera: opción que da al propietario el derecho de comprar o vender la cantidad indicada de moneda extranjera a un precio específico antes o en una fecha determinada.

d) Opciones sobre las acciones: proporcionan a su propietario el derecho de adquirir un número determinado de acciones de una empresa que las emite a un precio prefijado (el precio de ejercicio) y en una fecha determinada, y en este caso influyen todos los factores que un inversionista tendría en cuenta en la compra/venta de acciones.

8.6 Opciones sobre acciones

La opción de la acción es el derecho de vender o comprar un número específico de participaciones de una acción a un precio y tiempo determinados (el precio de ejercicio y la fecha de expiración). Las opciones sobre acciones se aproximan a la compensación de incentivos de largo plazo que conceden las empresas estadounidenses a sus directivos. Un contrato de opción en acciones incluye 100 acciones. Por ejemplo, si quiere poseer 1.000 acciones de Microsoft, puede comprar esa cantidad en la bolsa de valores o adquirir 10 contratos de opciones sobre Microsoft. La expiración de la opción en acciones puede ser hasta nueve meses después de la fecha en que la opción es listada para comercializarla. También existen contratos de opciones de largo plazo, llamados LEAPS, sobre numerosas acciones, y pueden tener fechas de expiración hasta de tres años desde la fecha en que fueron listadas. En la práctica, todas ellas expiran el tercer sábado del mes de expiración, pero el último día de intercambio es el tercer viernes del mes de expiración. Las compras y ventas de opciones no se realizan directamente entre el comprador (tenedor) y el vendedor (suscriptor) sino a través de una empresa corredora de valores o sociedad de bolsa. En realidad, interviene una organización llamada OCC o Corporación de Compensación de Opciones (Options Clearing Corporation) entre ambos. La OCC compra del vendedor y vende al comprador. Esta situación otorga neutralidad a la OCC y permite a ambas partes salir de una posición sin involucrar a la otra.

Ejemplo 8.25 Se conoce que IBM Oct. 90 Call a 2 U.M. Asuma que usted compra un contrato: a)

¿Qué tipo de opción está considerada en el listado?

b) ¿Cuál es el precio de ejercicio de una participación de una acción? c)

¿Cuándo expira la opción?

d) Si usted posee la opción y quiere venderla, ¿cuánto recibirá? e)

Si usted desea comprar la opción, ¿cuánto le costará?

f)

Asuma que tiene la opción y decide ejercerla, ¿cuánto pagará?

Solución a)

Ésta es una opción de compra sobre la acción.

b) El precio de ejercicio es de 90 U.M. c)

Expira el sábado siguiente al tercer viernes de octubre del año en que fue adquirida.

391

392

Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

d) Usted recibirá 2 U.M. × 100 = 200 U.M. − comisión de corretaje. e)

Le costará 2 U.M. × 100 = 200 U.M. + comisión de corretaje.

f)

Tiene que pagar 90 × 100 + comisión de corretaje.

Los aspectos más importantes que un inversionista debe tener en cuenta cuando evalúa comprar opciones sobre acciones, son los dividendos, ejercicio, márgenes e impuestos.

8.6.2 El efecto dividendo Los dividendos que pueden ser pagados durante la vida de una opción sobre una acción pueden afectar el precio de ésta. Se pueden considerar los dividendos como un rendimiento en efectivo para los inversionistas. La empresa tiene la alternativa de pagar dividendos a los tenedores de acciones o reinvertir el dinero en el negocio. La reinversión de ese efectivo puede crear más beneficios para el negocio y, por tanto, genera un incremento del precio del título. Por otra parte, pagar dividendos reduce el precio de la acción por el monto del dividendo pagado. Tal caída tiene un efecto adverso sobre el precio de una opción de compra y un efecto benéfico sobre el precio de una opción de venta. Debido a que el pago de una opción de compra al que la posee, es de cero o la cantidad resultante del precio de la acción menos el precio de ejercicio, el monto que sea mayor de entre estos dos, una caída del precio de la acción reducirá el pago de una opción de compra en la fecha de expiración. Por el contrario, en razón de que el pago de una opción de venta al tenedor es de cero o la cantidad resultante del precio de ejercicio menos el precio de la acción, el monto que sea mayor de estas dos situaciones, si se reduce el precio de la acción aumentará el rendimiento sobre una opción de venta.

Ejemplo 8.26 Sea una opción de compra y una opción de venta con la misma fecha de expiración y el mismo precio de ejercicio de 100 U.M. a)

No se entregó ningún dividendo durante la vida de las opciones. Calcule el pago de ambas opciones si el precio de la acción es de 102 U.M. en la fecha de expiración.

b) Se pagó un dividendo de 3 U.M. después de la expiración. ¿Cuál será el precio de la acción en la fecha de expiración? c)

Calcule el pago de ambas opciones después que se pagó el dividendo.

8.6 Opciones sobre acciones

Solución a)

El precio de la opción de compra es: max {0,102 − 100} = 2 mientras que el de la opción de venta es: max {0,100 − 102} = 0

b) El precio de la acción declinará 3 U.M., de modo que en la fecha de expiración será de 99 U.M. c)

El pago de la opción de compra es: max {0,99 − 100} = 0 mientras que el pago de la opción de venta es: max {0,100 − 99} = 1

8.6.3 El efecto ejercicio Después de comprar una opción, un inversionista debe dar instrucciones de ejercicio al vencimiento al bróker. Si no se hace de la manera correcta, la opción expirará sin valor. Sin embargo, ello no se requiere en el caso de opciones liquidadas en efectivo donde la opción se ejecuta automáticamente en la fecha de expiración. Por lo general, ejecutar una opción genera una comisión para el bróker. Ejecutar una opción put produce una comisión adicional por vender las acciones subyacentes. Por tanto, si el tenedor o titular de una opción no espera poseer las participaciones de la acción, le conviene venderla en vez de ejecutarla. Cuando el titular ejerce la opción, el emisor o lanzador de la opción está obligado a vender los activos subyacentes (en el caso de una opción de compra) o comprarlos (en el caso de una opción de venta). Se dice que él ha sido asignado. Como resultado de esta asignación, el suscriptor de la opción deberá pagar una comisión. Los dividendos son un factor que puede afectar la decisión de ejercicio. Debido a que las opciones sobre acciones americanas pueden ser ejercidas en cualquier momento antes de la fecha de expiración, los dividendos pueden ejercerse con anticipación más probablemente en el caso de opciones de compra que en el de venta americanas.

393

394

Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

Ejemplo 8.27 Un inversionista compra en 3 U.M. una opción de venta europea sobre una acción. El precio de ejercicio es de 40 U.M. a)

¿Bajo qué circunstancias se ejercerá la opción?

b) ¿Bajo qué circunstancias el inversionista logrará un beneficio? c)

Dibuje un diagrama que muestre la variación del beneficio con el precio de la acción en la fecha de vencimiento de la opción.

Solución a)

La opción será ejercida si el precio de la acción es menor de 40 U.M. en la fecha de expiración.

b) El inversionista logra un beneficio si el precio de la acción sobre la fecha de expiración es menor de 37 U.M., porque la ganancia de ejercer la opción es mayor de 3 U.M. Si se toma en cuenta el costo inicial de la opción (3 U.M.), el beneficio será positivo. c)

El gráfico del beneficio del inversionista como una función del precio de la acción en el vencimiento de la opción se muestra en la figura 8.16. Figura 8.16. Diagrama de beneficios del inversionista

Beneficio (en U.M.)

40 0 –3

37

Precio de la acción

8.6 Opciones sobre acciones

8.6.4 Márgenes de opciones suscritas El margen es un colateral que se deposita en una cuenta especial para asegurarse contra la posibilidad de incumplimiento. El suscriptor o lanzador de una opción está en una posición corta. Por tanto, el inversionista debe poner un colateral con su empresa corredora de valores para asegurarse contra la posibilidad de incumplimiento (por ejemplo, que no pueda completar sus obligaciones hacia el comprador de la opción). Los suscriptores de opciones deben determinar los requerimientos de margen aplicable de sus empresas de corretaje y estar seguros que podrán satisfacer sus requerimientos en caso de que el mercado no les sea favorable.

Ejemplo 8.28 Explique por qué los brokers requieren márgenes cuando los clientes suscriben acciones, pero no cuando ellos las compran.

Solución Cuando un inversionista compra una opción, debe pagarla. No existen obligaciones futuras y, por tanto, no necesitan una cuenta de margen. Por el contrario, cuando suscribe una opción, existen obligaciones potenciales futuras. Para proteger contra el riesgo de incumplimiento, se requieren de márgenes. Estos márgenes de garantía los deben pagar los lanzadores de las opciones, no quienes adquieren el derecho, o sea los titulares, porque ellos pagaron una prima o premio para poder adquirir el derecho de comprar o vender acciones por medio de la opción, y en caso de que la situación no les convenga no ejercerán los derechos y sólo perderán la prima pagada. Por su parte, el lanzador o suscriptor sí puede ser ejercido y entonces deberá constituir las garantías a satisfacción del mercado.

8.6.5 Consideraciones impositivas cuando se comercializan opciones sobre acciones Las reglas impositivas que norman las transacciones con derivados son muy complicadas y cambian de manera frecuente. En pocas palabras, la opción de venta, bajo las reglas del IRS, sobre acciones y opciones en acciones son activos de capital, y cualquier ganancia neta (ganancia bruta menos costos) sobre sus ventas son tributables. Si la acción o la opción han sido mantenidas por menos de un año, las tasas impositivas sobre el ingreso ordinario se aplican a la ganancia. Pero si ha sido mantenida por más de un año, el tenedor consigue una excepción fiscal sobre la venta, porque al beneficio se le aplica la tasa de ganancias de capital de largo plazo. Debido a que todas las opciones sobre acciones (excepto las opciones LEAPS) tienen una duración de 9 meses o menos, no es posible mantenerlas por un año o

395

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Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

más, por lo que el impuesto sobre las ganancias de la opción, por lo general, será a tasas de corto plazo (tasa al ingreso ordinario). Todas las ganancias y pérdidas de corto plazo son combinadas sobre el retorno tributario al inversionista. La categoría de reglas impositivas que se aplica cuando se negocian acciones es la que gobierna las ventas constructivas. Si usted realiza una venta en corto o un contrato forward para reducir el riesgo de un mercado fluctuante, el IRS considera que usted ha hecho una venta constructiva y, como resultado, su ganancia o pérdida estará sujeta a impuestos.

Ejemplo 8.29 Usted posee 100 participaciones de la acción ABC que es comprada por 20 U.M. por acción, es decir, tiene en su poder una base de 2.000 U.M. Actualmente, la acción ABC ha alcanzado un pico de 50 U.M., de modo que usted decide hacer una venta en corto. Pide prestadas 100 acciones a un bróker y las vende en 50 U.M. cada una, o sea, en 5.000 U.M. Por tanto, tiene que devolver 100 participaciones a su bróker para cerrar la transacción. ¿Cuál será el resultado de la operación?

Solución De este modo, si el precio de la acción aumenta entre el momento en que usted vende las acciones prestadas y el momento en el que debe devolver al bróker las 100 participaciones, usted sólo entrega al bróker las 100 acciones que originalmente poseía. Usted ha ganado 3.000 U.M., resultado que surge de tener un precio de venta en corto de 100 acciones por 50 U.M. cada una, lo que equivale a 5.000 U.M. y que poseía 100 acciones compradas a 20 U.M. cada una, o sea que había invertido 2.000 U.M. Si, en vez de ello, el precio de la acción disminuye entre el día en el cual usted vende las acciones prestadas y el día en que debe devolver al bróker sus 100 participaciones usted le daría sus 100 acciones originales en vez de ir al mercado abierto y comprar 100 participaciones y darlas al bróker. En este escenario, usted lograría un beneficio y él aún tendría sus participaciones para mantenerlas en el largo plazo. En ambos escenarios, su ganancia está sujeta a impuestos.

8.6.6 Problemas propuestos 1. Suponga que usted posee acciones de la empresa XYZ, cuyo precio es de 40 U.M. Usted compra un contrato de opción de venta que le permite vender sus participaciones sobre XYZ en 40 U.M. en cualquier momento antes de que expire en dos meses. Un mes después, las participaciones de

8.6 Opciones sobre acciones

la empresa XYZ se venden en 30 U.M. Si usted decide ejercer la opción, ¿a qué precio podrá vender cada acción? Respuesta: en 40 U.M. 2. ¿Qué es más caro: una opción de compra o una opción de venta que pagan dividendos? Respuesta: la opción de venta. 3. Un inversionista compra una opción de compra europea sobre una acción por 4 U.M. El precio de ejercicio es de 50 U.M. a)

¿Bajo qué circunstancias se ejercerá la opción?

b) ¿Bajo qué circunstancias el inversionista logrará un beneficio? c)

Dibuje un diagrama que muestre la variación del beneficio del inversionista con el precio de la acción en la fecha de vencimiento de la opción.

Respuesta: a)

PE < S; b) Beneficio = E − S − p > 0 y c) la solución se presenta en el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro.

4. El precio de una acción es S sólo antes de que se pague el dividendo D. ¿Cuál es el precio inmediatamente después del pago? (Suponga que el impuesto sobre el ingreso por dividendos es cero.) Respuesta: el precio es igual a S – D. 5. ¿Cuándo sería el mejor momento para ejercitar una opción americana sobre una acción que paga dividendos? Respuesta: en el momento antes de que pague dividendos.

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398

Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

8.7

Estrategias sobre opciones: floor y cap

Estas estrategias permiten que por el pago de una prima, los instrumentos financieros cubran a su comprador del riesgo. En esta sección se expondrá la estrategia de utilizar opciones para asegurar que un inversionista posee o compra activos que son vendidos en corto.

8.7.1 Estrategia floor Esta estrategia permite asegurar activos con una opción de venta. Un inversor que posee un activo (es largo en un activo) y quiere protegerse de la caída de su valor, puede asegurarlo mediante la compra de una opción de venta con el precio de ejercicio deseado. Esta combinación de poseer un activo y una opción de venta sobre él se llama un floor. La opción put garantiza un precio de venta mínimo del activo igual al precio de ejercicio de la put. Para comprender el desempeño de esta estrategia, se debe observar el pago y el beneficio combinado de una posición de activo y la put, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8.30 Para asegurar un índice valorado en 500 U.M. de una disminución de su valor, un inversionista compra una opción de venta a tres meses a un precio de ejercicio de 500 U.M. con una tasa a tres meses libre de riesgo de 1% y una prima de 41,95 U.M. a)

Complete la siguiente tabla donde los valores se muestran a la fecha de expiración.

8.7 Estrategias sobre opciones: floor y cap

Tabla 8.2. Pagos y beneficio combinados

Pago del índice

Pago de la put

Pago combinado

Beneficio combinado

400 450 500 550 600 650 700 b) Grafique los diagramas de pago y de beneficios de la posición combinada. c)

Compare el diagrama de pago de la posición combinada con el pago de una opción de compra a tres meses y un precio de ejercicio de 500 U.M. con una tasa de interés libre de riesgo a tres meses de 1% y una prima de 46,90 U.M.

d) Compare el diagrama de beneficios de la posición combinada con el diagrama de beneficios de una opción de compra a tres meses y un precio de ejercicio de 500 U.M. con una tasa libre de riesgo a tres meses de 1% y una prima de 46,90 U.M. e)

Compare los diagramas de pago y de beneficios con los diagramas de pagos y beneficios de la posición combinada de una opción de compra con precio de ejercicio de 500 U.M. a 3 meses (con una interés libre de riesgo a tres meses de 1% y una prima de 46,90 U.M.) y un bono cupón cero que paga 500 U.M. en tres meses (con un costo presente de 500 × (1,01)−1 = 495,05 ).

Solución Observe que el beneficio de una posición combinada es el beneficio del índice largo más el beneficio de la put larga. Es decir, el beneficio combinado es: Pago del índice − 500 × 1,01+ Pago de la put − 41,95 × 1,01 = Pago combinado − 547,37 a)

Recuerde que el pago del índice (largo) es el precio spot del índice y el pago de la put (larga), igual a máx {0, E − Pt }

399

400

Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

Pago del índice

Beneficio combinado

Pago de la put

Pago combinado

400

100

500

–47,37

450

50

500

–47,37

500

0

500

–47,37

550

0

550

2,63

600

0

600

52,63

650

0

650

102,63

700

0

700

152,63

b) La figura 8.17 muestra los diagramas de pago y beneficios de la posición combinada. Figura 8.17. Diagramas de pagos y beneficios

Pago (en U.M.)

Pago (en U.M.)

500 500 500 0

PT

–47,37

0

500 a)

PT b)

El nivel del piso es de −47,37 U.M., el cual es el beneficio más bajo posible (una pérdida en este caso). c)

En la figura 8.17 a) se observa el diagrama de beneficios de una opción de compra con un precio de ejercicio de 500 U.M. a 3 meses con un interés libre de riesgo a 3 meses de 1% y prima de 46,90 U.M. Se sigue que los flujos de efectivo cuando se adquiere una opción de compra son diferentes de cuando se compra un activo y se asegura con una opción de venta, pero el beneficio en el caso de las dos posiciones es la misma.

d) El diagrama de beneficios en la figura 8.17 b) es idéntico al diagrama de beneficios de una opción de compra con un precio de ejercicio de 500 U.M. a 3 meses con un interés libre de riesgo a 3 meses de 1% y una prima de 46,90

8.7 Estrategias sobre opciones: floor y cap

U.M. De allí se desprende que los flujos de efectivo que resultan de adquirir una opción de compra son diferentes de los flujos de efectivo de comprar un activo y asegurarlo con una opción de venta, pero el beneficio para las dos posiciones es igual. e)

Recuerde que un pago de una opción de compra largo es igual a max {0, S < E } . Además, el beneficio combinado es: Pago de opción de compra < 46,90 × 1,01+ Pago del bono < 495,05 ×1,01 = Pago combinado < 547,37

Observe la siguiente tabla de la posición combinada de una opción de compra a un precio de ejercicio de 500 U.M. a 3 meses con un bono cupón cero que paga 500 U.M. en 3 meses. Tabla 8.3. Pago y beneficio combinado

Precio spot

Pago de call

Pago de bono

Pago combinado

Beneficio combinado

400

0

500

500

–47,37

450

0

500

500

–47,37

500

0

500

500

–47,37

550

50

500

550

2,63

600

100

500

600

52,63

650

150

500

650

102,63

700

200

500

700

152,63

Por tanto, la posición combinada del índice más la opción de venta es equivalente a la posición combinada de un bono cupón cero más la opción de compra.

8.7.2 Estrategia cap Esta estrategia de venta en corto (cap) se produce cuando se vende un activo en corto, es decir, se pide prestado el activo y se vende, pero se espera reemplazarlo a un menor precio; así, el beneficio será mayor si el precio se reduce. Por tanto, el vendedor en corto perderá si el precio aumenta. Sin embargo, puede asegurar su posición si adquiere una opción de compra para protegerse contra un precio mayor cuando deba recomprar el activo. Esta combinación de venta en corto y compra de opción de compra se llama una cap. Para examinar el desempeño de esta estrategia, se verá el pago y el beneficio combinado de la posición del activo y el call como se ilustra en el ejemplo siguiente.

401

402

Cap. 8

Introducción a las matemáticas de los derivados financieros

Ejemplo 8.31 Se vende en corto un índice valorado en 500 U.M. Para asegurar el índice del valor, se adquiere una opción de compra a 3 meses con un precio de ejercicio de 500 U.M. con una tasa de 1% a 3 meses libre de riesgo y una prima de 46,90 U.M. a)

Complete la tabla siguiente donde los valores se muestran en la fecha de expiración. Tabla 8.4. Pago y beneficio combinados

Pago del índice corto

Pago del call

Pago combinado

Beneficio combinado

–400 –450 –500 –550 –600 –650 –700 b) Grafique los diagramas de pagos y de beneficios de la posición combinada. c)

Compare el diagrama de pagos de la posición combinada con el diagrama de pagos de una opción put con un precio de ejercicio de 500 U.M. con fecha de expiración a tres meses, interés a tres meses libre de riesgo de 1% y una prima de 41,95 U.M.

d) Compare el diagrama de beneficios de la posición combinada con el diagrama de beneficios de una put con precio de ejercicio de 500 U.M. con fecha de expiración de tres meses, interés a tres meses de 1% y una prima de 41,95 U.M. e)

Compare el diagrama de beneficios y de pagos de la posición combinada con los diagramas de beneficios y de pagos de una opción put con precio de ejercicio de 500 U.M. con fecha de expiración a tres meses, interés libre de riesgo de 1% a tres meses y prima de 41,95 U.M. junto con el endeudamiento de 500 × (1,01)