Teoría de Conjuntos [1 ed.] 980002364X

Citation preview

 

´ n Monograf´ıas Coleccion o 92

 

Teor´ıa de Conjuntos

 

Carlos Augusto Di Prisco

Teor´ıa de Conjuntos

Universidad Central de Venezuela Consejo Cons ejo de Desarrol Desa rrollo lo Cient´ıfico ıfico y Huma H uman n´ıstico ısti co Caracas, Carac as, 2008

 

c Carlos Augusto Di Prisco, 2008  c Consejo de Desarroll  Desarrollo o Cient Cient´ ´ıfico y Human´ıstico, ıstico, 2008 Universidad Central de Venezuela ISBN: 980-00-2364-X Dep´o osito sito Legal: 1f17520066204065 Cuidado de la Edici´  on:

Yandra Araujo Diagramaci´  on y Montaje:

Br´ıgida ıgi da M Mol olina ina Dise˜  no de Car´  atula:

Elizabeth Cornejo ´ Impreso en Venezuela por Miguel  Angel Garc´ıa ıa e hijo. Todas las obras publicadas por el CDCH son sometidas a arbitraje.

Di Prisco, Carlos Augusto Teor´ııa a de Conjuntos / Carl Carlos os Augusto Au gusto Di Prisc Prisco.– o.– Caracas:: U.C.V., Consejo de Desa Caracas Desarrollo rrollo Cient´ Cient´ıfico y H Human´ uman´ııstico, stico, 2008.– (Colecci´ on on Mono Monograf´ graf´ıas; 96) ISBN: 980-00-2364-X D.L. 1f17520066204065 1. Teor´ Teor´ıa de C Conj onjuntos untos.. I. T´ıtul ıtulo o 515.42 I68

 

Contenido Prefacio

11

Cap´ııtul Cap tuloo 1. Axiom xiomas as de la teor teor´´ıa de con onju jun ntos tos 1. La teor´ teor´ıa ıa axiom´ atica de Zermelo-Fraenkel 2. El lengua je je de la teor´ıa de conjuntos

13 13 16

Cap´ıtulo Cap´ ıtulo 2. Matem´aticas basadas en conjuntos 1. Nu ´ meros naturales 2. Pro Propie piedad dades es de los n´ umeros naturales 3. Operaciones artim´ eticas eticas de n´ umeros naturales 4. El orde orden n de de los los n´ umeros naturales 5. Nu ´ meros enteros 6. El orde orden n de de los los n´ umeros enteros 7. Nu ´ meros racionales 8. El orde orden n de de los los n´ umeros racionales 9. Nu ´ meros reales 10. Aritm´ etica etica de n´umeros reales

25 25 26 30 31 33 35 36 38 39 40

Cap´ıtulo 3. Conjuntos equipotentes

43

Cap´ıtulo 4. Ordinales 1. Conjuntos bien ordenados. 2. De Defin finic ici´ i´ on y Propiedades de los ordinales 3. Pri Princi ncipio pio de inducc inducci´ i´ on para ordinales 4. Aritm´etica de ordinales

49 49 56 60 63

9

 

Cap´´ıtulo 5. La jerarqu´ Cap jerarqu´ıa acumulativa acumulativa de conjuntos y el axioma de regularidad

71

Cap´ıtulo 6. Cardinales

77

Cap´´ıtulo 7. El axioma de elecci´ Cap elecci´ on

83

Cap´ıtulo 8. Aritm´etica de cardinales 1. Cofinalidad. Cardinales regulares 2. Exponen Exponenciac ciaci´ i´ on on de cardina cardinales les.. La hip´ otesis otesis del continuo

93 95

Cap´ıtulo 9. Cardinales inaccesibles Cap´´ıtulo 10. Cap

El teorema teorema de Ramsey Ramsey y la teor´ teor´ıa ıa de particiones

97 105 109

Cap´´ıtulo Cap ıtulo 11. Pa Parti rticion ciones es de conjun conjuntos tos no nu numer merabl ables es

117

Cap´ıtulo 12. Conjuntos estacionarios

127

Cap´´ıtulo 13. Filtros, Cap Filtros, ultrafiltros ultrafiltros y cardinales cardinales medibles medibles

135

Cap´´ıtulo Cap ıtulo 14. El espaci espacioo de Baire Baire y otr otros os espacio espacioss relacionados a la recta real 1. Topolog´ıa de la recta 2. El espacio de Baire 3. Conjuntos anal´ıticos

143 143 145 151

Cap´ıtulo 15. Exponentes Cap´ Exponentes infinitos infinitos:: conjuntos conjuntos de Ramsey Ramsey 153 1. Par artic ticion iones es de [N]ω y la propiedad de Rams amsey 153 2. L os os conjuntos anal´ıticos son Ramsey 160 Bibliograf´ıa

167

10

 

Prefacio

El objetivo principal de este libro es presentar una introducci´ on on a un ´area area de la teor teo r´ıa de d e conjunto con juntoss cono co nocida cida como com o teor te or´´ıa combinator com binatoria ia de conjuntos conjuntos.. En particular particular se tratan temas de la teor´´ıa de particiones que tienen su origen en el famoso teorema teor de Ramsey. Estos temas van precedidos de un desarrollo de la te teor´ or´ ııaa axiom axi om´ ´aatica tica deserconjuntos conju ntos. . El libro puede usado como apoyo para un curso destinado a estudiantes avanzados de matem´aticas. aticas. Aun Aunque que los los conocimientos previos necesarios para iniciar el estudio de este tema son m´ınimos, es conveniente conveniente que el estudiante tenga ya una base s´olida olida de an´alisis alisis matem´atico, atico , d dee topol t opolog og´´ıa y de algea´lgebra, lo que garantiza la madurez matem´atica atica necesaria para asimilar adecuadamente los conceptos b´asicos asicos de la teor´ teor´ıa de conjuntos conju ntos.. Se necesitar´ an an nociones noci ones de topolog´ topo log´ıa ıa en el cap´ cap´ıtulo sobre el axioma de elecci´on, on, en particular para demostrar la equivalencia de este axioma con el teorema de Tychonoff, y en los dos cap´ cap´ıtulos finales. Hemos escogido presentar la teor´ teor´ıa axiom´atica atica de conjuntos sin much muchoo formal formalism ismo. o. Luego Luego de present presentar ar los axioma axiomass de la teor´ teor´ıa de Zermelo-Fraenkel, Zermelo-Fraenkel, salvo tres que se dejan para m´aass adelante, cuando son necesarios, se pasa a mostrar que esta teor´ teor´ıa puede servir de fundamentaci´ on o n para el resto de las matem´aticas. aticas. As´ As´ı, se definen definen los n´ umeros umeros natur naturales, ales, los n´ umeros umeros enteros, los n´umeros umeros racionales y los n´ u umeros meros reales como conjuntos, y se demuestran sus propiedades b´asicas. asicas. Los cap´´ıtulos cap ıtulo s que siguen est´an an dedicados al estudio del concepto de equipotencia, y de n´ u umeros meros ordinales y cardinales. Para introducir el concepto de cardinalidad y las operaciones o peraciones aritm´eticas eticas entre cardinales, hace falta el axioma de elecci´on. o n. Este Este se inintroduce en el cap´ cap´ıtulo ıtulo 7, donde se demuestran sus equivalencias equivalencias m´as as importantes. 11

 

Los temas desarrollados en los cap´ cap´ıtulos ıtulos siguientes reflejan en buena buena medida medida los gustos del autor. autor. Estos cap´ cap´ıtulos ıtulos tratan temas de la teor t eor´´ıa ıa de particiones partici ones y su s u relaci´ relaci on ´on con los cardinales grandes,, y son de un nivel de grandes d e dificultad dificul tad mayor al de d e los cap ca p´ıtulo ıtuloss anteriores. Este libro es una revisi´on on aumentada de [2]. Hemos incorporado correcciones, algunas de ellas sugeridas por colegas, y hemos expandido expandid o algunos alg unos cap ca p´ıtulos ıtulo s y a˜ a nadido n ˜ adido otros. Agradezco especialmente a Carlos Uzc´ategui ategui su lectura cuidadosa del texto y sus acertadas acertadas sugerencia sugerencias. s.

12

 

CAP´ıTULO ıT ULO 1

Axiomas de la teor´ teor´ıa de conjuntos 1. La teor´ ıa ıa axiom´ axi om´ atica ati ca de ZermeloZerm elo-F Fraenkel raen kel

En 1908, ante ante la necesidad necesidad de dar a la teor´ teor´ıa de conjunconjuntos fundamentos s´olidos olidos que eviten los problemas presentados por la teor´ teor´ıa intuitiv intuitivaa de Cantor, Cantor, Zermelo Zermelo publica publica una axiomatizaci´on on de la teor´ teor´ıa de conjuntos. Modificada por Fraenkel en 1922, esta axiomatizaci´ axiomatizaci´ on on es una de las m´as as comunmente usadas. Estudiaremos Estudia remos la teor´ıa ıa axiom´ axio m´atica atica de Zermelo-Fraenkel; que denotaremos por   ZF , ZF , y por   ZF C  C  cuando  cuando se incluye el axioma axi oma de ele elecci cci´´oon. n. Hay Hay ot otro ross sist sistem emas as de ax axiom iomas as in inte tere re-santes para la teor´ teor´ıa de conjuntos, como el de von NeumannG¨odel-Bernays odel-Bernays y el de Kelley-Morse. Estos dos sistemas consideran la existencia de clases adem´as as de la existencia de conjuntos propiamente dichos. 1. AXIOMA AXIOMA DE EXTENSIONALI EXTENSIONALIDA DAD: D: Expresa que no se puede distinguir entre conjuntos que tienen los mismos elementos. ∀x∀y(x  =  = y  y  ↔  ( ∀z (z  ∈  x  ↔  z  ∈  y)))  y ))).. 2. AXIOMA AXIOMA DEL CONJUNT CONJUNTO O VACIO: ACIO: Existe Existe un con junto que no tiene elementos.

∃x∀y(y ∈ /  x  x)). 13

 

1. Axiomas de la teor´ıa de conjuntos

Por el axioma de extensionalidad, este conjunto es ´u unico, nico, y lo denotaremos por  ∅ . 3. AXIOMA AXIOMA DE PARES: PARES: Dados dos conjuntos, conjuntos, existe un conjunto cuyos elementos son los dos conjuntos dados.

∀x∀y∃z (∀u(u  ∈  z  ↔  (u  ( u  =  = x  x ∨ u  =  = y  y))) ))).. Dados x  x  e  y,  y , elcuyos axioma de extensionalidad implica que hay un unico u ´Dados nico conjunto elementos son x son  x  e  y;  y ; este conjunto, se denotaa por {x, y}, y se llama el par (desordenado) x denot (desordenado)  x e  e y  y.. N´otese otese que  { x, y}  =  { y, x}. En particular, si  si   x  =  = y  y,,  { x, x}  =  { x}  (por extensionalidad) es el conjunto cuyo unico u ´ nico elemento es es x  x.. Estos axiomas nos permiten tambi´ een n definir pares ordenados: Dados  Dados   x   e   y, el conjunto  {{ x}, {x, y }}  es el par ordenado (x, y). Ejercicio   1.1.   a) Demuestre que si   si   (x, y ) = (a, b), en-

tonces   x  = a  =  a   y   y  =  = b  b.. b) Definamos  (a,b,c  (a,b,c))  por  (a,  ( a, (b, c)). )). Demuestre que  (a,b,c  (a,b,c)) = (x,y ,z) ,z)  implica   a  =  = x  x,,   b  =  = y  y   y   c  =  = z  z.. c) M´  as generalmente, defina   (a1 , a2 , . . . , an )  por inducci´  on  en   n  y demuestre la propiedad correspondiente, es decir, (a1 , a2 , . . . , an ) = (b1 , b2 , . . . , bn ) implica  a1  =  b 1 , a2  =  b2 , . . . , an  =  b n . ´ Si a 4. AXIOMA DE LA UNI ON: Si  a es  es un conjunto, entonces existe un conjunto  conjunto   b  cuyos elementos son los elementos de los elementos de a de  a..

∀a∃b∀z (z  ∈  b  ↔ ∃c(c  ∈  a ∧ z  ∈  c  c)) ))..  Este conjunto b conjunto  b es  es unico u ´ nico ya que si b si  b y  y b  b tienen la propiedad anterior, entonces tienen los mismos elementos y por el axioma 14

 

Teor´ıa de Conjuntos

de extensionalid extensionalidad, ad, son iguales. El conjunto conjunto   b  dado por este axioma se denota por  ∪ a. Tenemos entonces, por ejemplo, que si   a,   b   y   c   son conjuntos, conjuntos, existe existe un conjunto conjunto cuyos elementos son exactamente   a, b   y   c. Podem Podemos os obtener obtener este conjunto conjunto como la uni´on on del conjunto   {{a}, {b, c}}   y lo denotamos por {a,b,c}. Inductiv Inductivamen amente, te, dado un n´umero umero finito de conjuntos a1 , a2 , . . . , an , podemos definir el conjunto   {a1 , a2 , . . . , an }. Si a y b son conjuntos,  ∪{ a, b}  se denota comunmente por  por   a ∪ b. Ejercicio   1.2.   Demuestre los siguientes hechos:

a)  ∪∅  =  ∅ . b)  ∪{ a}  =  = a  a.. c)  c)   a ∪ b  =  = b  b ∪ a d)  d)   a ∪ (b ∪ c) = (a ∪ b) ∪ c. e)  e)   a ∪ a  =  = a  a..

5. AXIOMA AXIOMA DEL CONJUNTO CONJUNTO DE PARTES: ARTES: Sean  Sean   a   y   b conjuntos, si todo elemento de   a  es un elemento de  de   b, decimos que   a  es una parte de  que de   b  y denotamos esto por   a  ⊆  b.  b . En otras palabras,   a   ⊆   b   es una abreviaci´on o n de   ∀z (z   ∈   a   →   z   ∈   b). Usaremos   a ⊂  b  para expresar que  Usaremos que   a ⊆  b   y  a   = b.  b . El axioma del conjunto de partes establece que para todo conjunto a conjunto  a  existe un conjunto c conjunto  c  cuyos elementos son las partes de  de   a:

∀a∃c∀z (z  ∈  c  →  z  ⊆  a)  a ). Tambi´ ambi´en en en este caso se tiene por p or el axioma de extensioextensionalidad que el conjunto c conjunto  c   es unico, u ´ nico, y se denota por  P (a). Antes de continuar con la lista de axiomas, conviene que nos detengamos por un momento a hacer varias consideraciones sobre el lenguaje formal de la teor´ teor´ıa que desarrollamos. 15

 

1. Axiomas de la teor´ıa de conjuntos

2. El lenguaje de la teor teor´ ´ıa de conjuntos

Al enunciar cada uno de los axiomas anteriores hemos dado primero una explicaci´oon n de lo que significa el axioma y a continuaci´on on lo hemos enunciado mediante una expresi´on on simb´olica. olica. Todos los enunciado enunciadoss de la teor´ teor´ıa de conjuntos conjuntos se pueden pueden expresar en ese lenguaje formal cuyo unico u ´nico s´ımbolo, ımbol o, adem´as a s de los s´ımbolo ımb oloss l´ogicos, ogico s, es el s´ımbolo ımbol o   ∈   de pertenenci pertenencia. a. Para Para desarrollar formalmente la teor´ teor´ıa de conjuntos es necesario precisar el lenguaje formal que estamos utilizando. En particular, para explicar que cada uno de los axiomas de reeemplazo que enunciaremos a continuaci´on on es una expresi´on on de ese lenguaje formal, conviene dar una definici´oon n precisa del mismo. Los s´ımbolo ımb oloss l´ogicos ogicos son a) las variables  variables   x1 , x2 , . . . , b) las conectivas   ¬,   ∨, para expresar respectivamente negaci´on on y disyunci´on, on, c) el cuantificador universal  ∀ , y d) el s´ımbolo ımbol o de d e identidad id entidad =. Como fue mencionado arriba, a˜ nadimos nadimos a nuestro lenguaje el s´ıımb mbol oloo  ∈ , ´este es te ser ser´´a interpretado como la relaci´on on de pertenencia. Para simplificar la notaci´oon n inc inclui luimos mos tambi´ tambi ´en, en, como com o s´ımbolos de nuestro lenguaje a los par´entesis entesis “ ( ” y “ ) ” y la coma “, ”. Las f´ormulas ormulas del lenguaje lenguaje se definen inductiv inductivamen amente. te. Las f´ormulas ormulas m´as as sencillas, llamadas f´ormulas ormulas at´omicas omicas son aquellas de la forma “x “x   ∈   y” o de la forma “x “x   =   y”, donde  donde   x   e   y   son variables. A partir de las f´ormulas ormulas at´omicas omicas definimos el resto de las f´ormulas ormulas de la manera siguiente: (i) Toda f´ormula ormula at´ omica omica es una f´ormula, ormula, (ii) Si   φ   y   ψ   son f´ormulas, ormulas, entonces (¬φ) y (φ  ∨  ψ)  ψ ) son f´ ormulas, ormulas, 16

 

Teor´ıa de Conjuntos

(iii) Si Si φ  φ  es una f´ormula ormula y x y  x  es una variable, (∀xφ) xφ) es una f´ormula. ormula. Utilizaremos varias abreviaciones para simplificar la escritura. Si φ Si  φ   y   ψ  son f´ormulas, ormulas, escribiremos (φ ∧ ψ) para abreviar (¬((¬φ) ∨ (¬ψ))), (φ →  ψ  ψ)) para abreviar ((¬φ) ∨ ψ), (φ ↔  ψ  ψ)) para abreviar (φ (φ →  ψ  ψ)) ∧ (ψ  →  φ),  φ ), (∃xφ) xφ) para abreviar (¬(∀x(¬φ))), y finalmente, (∃!xφ) xφ) abrevia la f´ormula ormula (∃x(φ(x) ∧ (∀yφ yφ((y)  →  x  x =  = y  y))), ))), que expresa existe un ´unico x unico  x  tal que φ que  φ((x). Decimos que una ocurrencia de una variable en una f´oormula rmula φ  es ligada por un cuantificador (∀  o  ∃ ) si esa ocurrencia de la variable est´a bajo el alcance de ese cuantificador; en caso contrarioo decimos que es una ocurrencia libre. trari libre. M´ aass formalmente, definimos lo que es una ocurrencia libre de una variable en una f´ ormula ormula por inducci´on. on. ´ n   1.3.   Si  Definicion o Si    φ   es una f´  ormula at´  omica, omica, to todas das las 

ocurrencias de las variables que aparecen en   en   φ  son libres. Una ocurrencia de una variable es libre en   (( ¬φ)  si esa ocurrencia es libre en   φ. Una ocurrencia ocurrencia de una variable variable es libre  libre  en   (φ ∨ ψ)  si esa ocurrencia es libre en   en   φ   o en   ψ . Una ocurrencia de una variable es libre en   ∀xφ   si es una  ocurrencia libre en   en   φ  y esa variable no es   x   ( x  aparece bajo el  alcance de   ∀). Si  Si    x   ocurre libre en las f´  ormula   ormula   φ, decimos que   x  es una  variable libre de   φ. Cuando escribimos φ(x1 , x2 , . . . , xn ), queremos expresar que las variables libres de φ de  φ  est´an an entre  entre   x1 , . . . , xn . Todos los axiomas de   Z F C  C  pueden  pueden expresarse en este lenguaje formal. 17

 

1. Axiomas de la teor´ıa de conjuntos

Los Lo s s´ımbol ımb olos os   ∈  y = son s´ımbolos relacionales binarios. De manera que las f´ormulas ormulas at´omicas omicas   x   ∈   y   y   x   =   y, determinan relacione relacioness binari binarias. as. Una f´ormula ormula   φ(x1 , . . . , xn ) con  con   n   variables libres determina una relaci´oon  n   n-ar -aria. ia. Una relaci relaci´o´on n binaria dada por una f´ormula φ ormula  φ((x, y ) es una relaci´on on funcional si ∀x(∃yφ yφ((x, y)  →  ( ∀z (φ(x, z )  →  z  =  y))).  y ))). Es decir, para todo  todo   x, si existe   y  tal que   φ(x, y), entonces existe un unico  u ´ nico   y  tal que φ(x, y). Una relaci´on on de n+2 argumentos dada por φ(x,y,x1 , . . . , xn ) es funcional en x, en  x, y  con par´ametros a ametros  a 1 , . . . , an , si la relaci´on on binaria φ(x,y,a1 , . . . , an ) que se obtiene fijando los valores de x de  x 1 , . . . , xn   en en a  a 1 , . . . , an , es una relaci´ relacion ´on funcional. 6. AXIOMA AXIOMA DE REEMPLAZO: REEMPLAZO: (Este es, en realidad, realidad, un esquema esque ma de axiomas) axiomas) Si   φ(x,y ,x1 , . . . , xn ) es una f´ormula, ormula, entonces la f´ormula ormula siguiente es un axioma, que llamaremos el axioma de reemplazo correspondiente a φ a  φ::

∀x1 , . . . , ∀xn (∀x∃!yφ yφ((x,y ,x1 , . . . , xn )  → ∀u∃v ∀z (z  ∈  v  ↔ ∃x(x  ∈  u  u)) ∧ φ(x,z ,x1 , . . . , xn ))) ))).. Es decir, si la relaci´on on obtenida de φ de φ((x,y,x1 , . . . , xn ) fijando valores para las variables  variables   x1 , . . . , xn , es una relaci´on on funcional en   x, y, dado un conjunto   u, existe un conjunto   v   cuyos elementos son las im´agenes agenes de los elementos de u de  u  por esa relaci´oon n funcional. La idea intuitiva de conjunto es la de una colecci´on on de objetos que tienen alguna propiedad en com´ un, un, como es bien sabido, esa idea intuitiv intuitivaa no es adecuada adecuada para desarrollar desarrollar la teor´ teor´ıa axiom´aatica tica ya que lleva a contradicciones casi inmediatamente. 18

 

Teor´ıa de Conjuntos

Por ejemplo, la colecci´on on de todos los conjuntos no puede ser un conjunto, ni tampoco la colecci´on on de todos aquellos con juntos que no son elementos de si mismos. Sin embargo, la colecci´ on on de elementos de un conjunto dado que tienen una propiedad en com´ un un si es un conjunto. Esto es lo que se conoce como Axioma de Separaci´on, on, uno de los postulados incluidos en la formulaci´on on original de la teor´ teor´ıa de Zermelo. En nuestro caso, no lo incluiremos incluiremos como uno de los axiomas de la teor´ teor´ıa sino m´as as bien lo obtendremos como consecuencia del axioma de reemplazo. Teorema   1.4.   (Separaci´  on). Dada una f´  ormula 

φ(x, x1 , . . . , xn ),

∀x1 . . . ∀xn ∀x∃y∀z(z  ∈  y  ↔  ((z  (( z  ∈  x  x)) ∧ φ(z, x1 , . . . , xn ))) ))).. Este teorema expresa que dada una f´ormula ormula φ(x, x1 , . . . , xn ), y dados conjuntos  conjuntos   a1 , . . . , an , y un conjunto  conjunto   A, existe un con junto   B  cuyos elementos son aquellos elementos   junto elementos   a   de   A   tales que φ que  φ((a, a1 , . . . , an ), es decir, B   = { a ∈  A  A : : φ  φ((a, a1 , . . . , an )}. Demostraci´ oon. n. Dado Dadoss   a1 , . . . , an , si no existe ning´ un un elemento   a  ∈  A  tal que  mento que   φ(a, a1 , . . . , an ) entonces  entonces   B   =  ∅ . En caso contrario, sea  sea   a0   ∈  A  tal que  que   φ(a0 , a1 , . . . , an ), y consideremos la relaci´on on funcional ψ funcional  ψ (x,y ,x0 , x1 , . . . , xn ) dada por (y  = x  =  x ∧ φ(x, x1 , . . . , xn )) ∨ (y  =  = x  x 0  ∧ ¬φ(x, x1 , . . . , xn )) )).. Es f´acil acil verificar que esta f´ormula ormula define una relaci´on on funcional, y que el conjun conjunto to que obtenemo obtenemoss del axioma axioma de reempl reemplazo azo correspondie corr espondiente nte es exactamen exactamente te el conjunto conjunto   B   =   {a   ∈   A   : φ(a, a1 , . . . , an )}.   

19

 

1. Axiomas de la teor´ıa de conjuntos

Ejercicio   1.5.   Derive el axioma de pares de los axiomas 

de extensionalidad, conjunto vac´ıo, ıo, conjunto de partes y re reememplazo. ´ n   1.6.  Dad Definicion o  Dado o un conjunto no vac´ıo  ıo   a, definimos 

∩a =  {x  : x  :  x  ∈  b  para todo  todo   b ∈  x }. N´ otese otese que  ∩ a, la intersecci´on on de los elementos de  a,  a , es un conjunto, ya que dado cualquier c cualquier  c  ∈  a,  a , tenemos que

∩a =  { x ∈  c  c : : x  x  ∈  b  para todo  todo   b ∈  x }, y podemos entonces usar el teorema de separaci´on. on. Usualmente escribimos a escribimos  a ∩ b  en vez de  ∩{ a, b}. Dados dos conjuntos a conjuntos  a  y  b,  b , denotamos por a por  a \ b  al conjunto {x  ∈  a  a : : x  x ∈ /  b }. ´ n  1.7 .  Dados conjuntos   A Definicion o A  y   y  B  B,, definimos  definimos  A  A × B ,

el producto cartesiano de   A   y   B   como el conjunto   {(a, b) :  a  ∈ A, b ∈  B }, y lo denotamos por   A × B . Debemos demostrar que el producto cartesiano de   A   y   B es, en efecto efecto,, un conjunt conjunto. o. Pa Para ra ello notemo notemoss que si  si   a   ∈   A   y b  ∈   B , entonces   {a} ∈ P (A) y   {a, b} ∈ P (A ∪ B ). Como Como   {a} es tambi´een n un elemento de   P (A ∪ B ), entonces  {{ a}, {a, b}} ∈ P P (A ∪ B ).  Entonces el producto cartesiano A cartesiano  A × B  se obtiene aplicando el teorema de separaci´on on al conjunto   P P (A ∪ B ) y la f´ormula ormula   φ(x, x1 , x2 ) que dice “x “ x   es un par ordenado cuya primera coordenada est´a en en   x1   y su segunda coordenada est´a en x en  x 2 ”. Ejercicio   1.8.  Demuestre que para cada par de conjuntos 

A   y   B ,   A × B   es un co conjunto njunto.. (Es decir, decir, escriba escriba una f´  ormula  φ(x, x1 , x2 )  que exprese lo indicado arriba, y verifique que se  obtiene el conjunto  conjunto   A × B  al aplicar el teorema de separaci´  on  con esta f´  ormula al conjunto   P P (A ∪ B )  fijando el valor de   x1 como   A  y el de   x2  como como  como   B ). 20

 

Teor´ıa de Conjuntos

Podemos definir de manera similar productos cartesianos de m´aass de dos conjuntos, as as´´ı, A ı,  A 1 × A2 × · · · × An  es el conjunto

{(a1 , a2 , . . . , an ) :  a 1  ∈  A1 , a2  ∈  A 2 , . . . , an  ∈  A n }. Una relaci´on on binari binariaa es simple simplemen mente te un subconj subconjun unto to del productoo cartes product cartesian ianoo de dos conjun conjuntos tos   A   y   B , en enton tonces ces una relaci´ on on binaria en un conjunto  A es  es undel subconjunto de  A × A. de A Una relaci´ oon n n  n-aria -aria esconjunto A un subconjunto producto cartesiano de n de  n conjuntos.  conjuntos. Una funci´oon f  n  f    de de A  A en  en B  B  es una relaci´on on binaria definida en  en   A × B  tal que para todo   a  ∈  A  existe un unico u ´ nico b ∈  B  que satisface (a, (a, b)  ∈  f   f .. Escribiremos f  Escribiremos  f    :  A  →  B  B para  para expresar que f  que  f  es  es una funci´oon n de   A   en   B , y usualmen usualmente te escribiremo escribiremoss   f (a) =   b   en vez de (a, b)  ∈  f   f ,, y decimos que  que   b  es la imagen de   a  por la funci´oon  n   f . Si f  Si  f    :  A  →  B  B,, decimos que el dominio de f  de  f  es  es el conjunto A conjunto  A,, lo denotaremos por dom por  dom((f ), ), y el rango de la funci´oon f  n  f ,, denotado por   ran( por ran(f ), ), es el conjunto  { b ∈  B  B   :  ∃a ∈  A  A((b  = f   =  f ((a))}. Si C  Si  C  es  es un subconjunto de A de  A,,  f     C    C   = { (a, b) :  a  ∈  C }  es la funci´ oon  n   f  f  restringida  restringida a  a   C . Denotar Denotaremo emoss por   f [C ] al conjunto de im´agenes agenes de elementos de C  de  C ,, en otras palabras, f [C ] =  ran  ran((f     C   C )) =  {b  ∈  B  B   :  ∃a ∈  C (  C (f (a) =  b)  b )}. Una relaci´on on de equivalencia equivalencia en un conjunto A es una relaci´oon n binaria en  en   A, es decir, un subconjunto   E   E   del producto cartesiano A siano  A × A, con las siguientes propiedades: (1) Reflexividad: (a, (a, a)  ∈  E  para  E  para cada  cada   a ∈  A.  A . (2) Simetr´ Simetr´ıa: Dados   a, b   ∈   A, s i (a, (a, b)   ∈   E , en enton tonces ces (b, a)  ∈  E . (3) Transi Transitivida tividad: d: Dados  Dados   a,b,c   ∈   A, s i (a, (a, b)   ∈   E , y (b, c)  ∈  E , entonces (a, (a, c)  ∈  E . Si   E   E   es una relaci´on on de equivalencia en un conjunto   A   y a  ∈  A,  A , la clase de equivalencia de  de   a  (respecto a la relaci´oon  n   E ) 21

 

1. Axiomas de la teor´ıa de conjuntos

es el conjunto [a]E   =  {b  ∈  A  A : : (a, b)  ∈  E }. Cuando no haya posibilidad de confusi´on on respecto a la relaci´on on de equivalenc equivalencia ia considerada considerada,, escribimos escribimos simplemente simplemente [a] para denotar la clase de equivalencia de  de   a. Ejercicio

.

  1.9uestr   Sea  E    una relaci´  de  Aequivalencia un   [ben conjunto   A. Demues Dem tree  E   que dados    a,on b ∈ , si   si   [a]   = ], entonces   [a] ∩ [b] =  ∅. Ejercicio 1.10.  (Cociente de un conjunto por una relaci´  on 

de equivalencia) Dada una relaci´  on de equivalencia   equivalencia   E   E   en un  conjunto   A, el cocie cociente nte de   de   A   por   E , denota denotado do por   A/E , es  el conjunt onjunto o de las clases de equival quivalenc encia ia de elemen elementos tos de   A respecto a la relaci´  on de equivalencia   E . Demues Demuestr tree que   A/E  es, en efecto, un conjunto. Demuestre tambi´en en que   ∪(A/E ) = A. Uno de los conceptos que jugar´a un papel central m´as as adelante es el de relaci´oon n de orden. Una relaci´on on binaria   R   en un conjunto   A   es una relaci´oon n de orden si es reflexiva, es decir si para todo   a   ∈   A   se tiene (a, a)  ∈  R  R;; transitiva, es decir, dados  a,  a, b, c  ∈  A  A,, si (a, (a, b)  ∈  R,  R , y (b, c)  ∈  R,  R , entonces (a, (a, c)  ∈  R;  R ; y antisim´etrica, etrica , es decir, para a, b   ∈   A, si (a, (a, b)   ∈   R   y (b, a)   ∈   R, entonces  entonces   a   =   b. A v vec eces es estas relaciones relaciones se llaman relaciones relaciones de orden parcial. Se dice que una relaci´on on de orden   R   es total (o lineal) si para cada par de elementos distintos  distintos   a, b   ∈   A, se tiene que (a, (a, b)   ∈   R   o (b, a)  ∈  R.  R . Si  Si   R  es una relaci´on on de orden en  en   A   y   B   ⊆  A  A,, un elemento n x   ∈   B   es un elemento minimal de   B   (respecto a la relaci´oon   x  tal que (y, R) si no existe   y   ∈  B ,   y   = (y, x)  ∈  R  R.. Dec Decimo imoss que x  ∈  B es  B  es un menor elemento de B de  B si  si (x, y)  ∈  R  R para  para todo y todo  y  ∈  B (y   = x).  x ). 22

 

Teor´ıa de Conjuntos

Una relaci´on on de orden R orden R en  en un conjunto A conjunto  A es  es un buen orden si todo subconjunto subco njunto no vac´ vac´ıo B ıo  B  ⊆  A  A,, tiene un menor elemento. Ejercicio  1.11.  Muestre que si   R  es un buen orden en   A,

entonces    R  es un orden total. entonces  Si  Si   R  es una relaci´on on de orden en A en  A,, se acostumbra escribir aRb   en vez de (a, ( a, b)   R. M´aass adelante, adelante, en el cap´ cap´ıtulo 4,   ∈ conceptos. volveremos a tratar estos Como consecuencia del axioma de reemplazo no puede existir el conjunto conjunto de todos los conjuntos. conjuntos. Supongamos Supongamos lo contrario, y veamos que llegamos a una contradicci´on. o n. Sea Sea   A   el conjunto de todos los conjuntos, aplicando el teorema de separaci´ on on al conjunto  conjunto   A  con la relaci´oon  n x ∈ /  x  x,, obtenemos el con junto   B   =  { x   :   x ∈  junto /  x }. Pero ero   B   ∈  B  si y solamente si  si   B ∈ /   B, una contradicci´on. on. M´ aass adelante introduciremos el resto de los axiomas, estos son : 7. AXIOMA DEL INFINITO 8. AXIOMA DE FUNDAMENT FUNDAMENTACI ACI´ ON ´ O DE REGULARIDAD ´ 9. AXIOMA DE ELECCION   (1)   Muestre que si   si   A   ⊆   B   entonces  P (A)  ⊆ P (B ). (2)   Si   a, b ∈  B  B,, entonces   (a, b)  ∈ P P (B ). (3)  D´e ejemplos ejemplo s de conjuntos   conjuntos   A   y   B   tales que   ∪A  =  ∪ B pero   A  pero = B  B.. (4)  Muestre que si   A ∈  B   entonces   P (A)  ∈ P P (∪B ).

Ejercicio  1.12.

Ejercicio   1.13.   (Producto (Producto Cartesiano) Cartesiano) Si  Si    A   es un con-

 junto, el producto producto cartesiano de sus elementos se define del  23

 

1. Axiomas de la teor´ıa de conjuntos

 

modo siguiente: A  =  { f   :  f   f  es  es una funci´  on   f   :  A  → ∪A  y para todo  todo   a  ∈  A, f (a)  ∈  a }. Demuestre: a)  Para todo conjunto   A, A  es un conjunto. b)   Si   A  =  { a, b}   entonces  A =  = a  a × b. c)   Si   ∅∅ ∈  A   entonces  A =  ∅ .

         

A  = ∅ . d) =   ∅ , 1entonces    {A e)    Si  Si  Si    ∩  ∩ AA  = , A2 , . . . }   entonces  A   = i∈ω Ai   =   el  conjunto de las sucesiones  a  a 1 , a2 , . . .  tales que  a  a i  ∈  A i .

24

 

CAP´ıTULO ıT ULO 2

Matem´ a aticas ticas basadas en conju conjuntos ntos En este cap´ cap´ıtulo indicaremos c´omo omo se pueden desarrollar varios aspectos de las matem´aticas aticas a partir de la teor´ teor´ıa de con juntos. 1. N´ umeros umeros naturales

En nuestra teor teor´´ıa todos los objetos matem´aticos aticos deben ser conjuntos, y por ello identificaremos a los n´umeros umeros naturales con ciertos cierto s conjuntos c onjuntos espec´ıficos. ıficos. 0 es el conjunto  ∅ , 1 es el conjuntos  { 0}, 2 es el conjunto  { 0, 1}, 3 es el conjunto  { 0, 1, 2}, etc. En general, el n´umero  umero   n  es el conjunto   {0, 1, 2, . . . , n − 1} de sus predecesores. ´ n  2.1 .  Dado un conjunto a Definicion o conjunto  a.. definimos  a  a , el suce-

sor de   a, como el conjunto  conjunto   a =  a ∪ {a}.

´ n   2.2.  Decimos que un conjunto  Definicion o conjunto   A  es inductivo

si   ∅ ∈  A  y para todo conjunto  conjunto   a, si   a  ∈  A  A,, entonces   a ∈  A.  A.

Ninguno de los axiomas introducidos hasta ahora nos garantiza la existencia de conjuntos inductivos, por eso necesitamos el siguiente axioma. 25

 

´ ticas basadas en conjuntos 2. Matematicas a

AXIOMA DEL INFINITO: existe un conjunto inductivo.

∃x(∅ ∈  x ∧ ∀z (z  ∈  x  →  z ∪ {z } ∈ x  x)) )).. ´ n   2.3.   Un conjunto   a   es un n´  Definicion o umero natural si 

pertenece a todo conjunto inductivo. Por ejemplo,  ∅ ,  {∅} ,  {∅ , {∅}}  son n´ umeros umeros naturales. El axioma del infinito nos permite definir el conjunto   ω   de todos los n´ umeros umeros naturales. Sea A un conjunto inductivo (cuya ( cuya existencia est´a garan garantiza tizada da por el axioma axioma del infinito) infinito).. Po Ponngamos   ω   =   {a   ∈   A   :   a  pertenece a todo conjunto inductivo}. Por el teorema de separaci´on, on,   ω  es un conjunto, y adem´as a s es inductivo induc tivo.. Como cada n´ umero umero natural est´a en cada conjunto inductivo, tenemos que ω que  ω es  es el conjunto de los n´ umeros umeros naturales (y es el menor conjunto inductivo con respecto a la relaci´on on de contenci´ on). o n). El p´ parrafo ´arrafo anterior constituye una demostraci´oon n del siguiente resultado. Teorema   2.4.  Existe un conjunto   ω  cuyos miembros son 

exactamente los n´  umeros umeros naturales. naturales. Adem´  Adem´  as   ω   es inductivo y  est´  a contenido en todo conjunto inductivo.    Es interesante notar que 0   ∈   1   ∈   2   ∈   3 . . .   y tamb tambi´ i´een n se  ⊆  ⊆  ⊆ tiene 0  1  2  . . . 2. Propie Propiedad dades es de los n´ umeros umeros naturales

1. Ya mencionamos que ω que  ω  es un conjunto inductivo (0  ∈  ω,  ω ,  y si si n  n  ∈  ω  ω,, entonces  entonces   n =  n ∪ {n} ∈  ω).  ω ). 2. Principio Principio de inducci´ inducci´ on: on: Todo subconjunto subconjunto inductivo inductivo de ω  es igual a  a   ω . Es decir, si  si   A  ⊆  ω   y 0  ∈  A  y para todo  todo   n  ∈  ω,  ω ,  n  ∈   A  →   n ∈   A, entonces  entonces   A   =   ω . (Es (Esto to es una consecu consecuenc encia ia inmediata de la definici´on on de  de   ω ). 26

 

Teor´ıa de Conjuntos

3. Todo n´ umero umero natural excepto el 0 es el sucesor de alg´u un n n´ umero umero natural. Demostraci´ on: on: Sea T   T   = { n ∈  ω :  ω  : n  n =  = 0 o´ es el sucesor de un n´umero umero natural}. Obviamente  T    T   es inductivo, luego  luego   T   =  ω.  ω .    Ante An tess de co cont ntin inua uarr co con n las las pr prop opie ieda dade dess de los los n´ u umeros meros naturales conviene introducir una concepto sumamente importante. ´ n   2.5.   Un conjunto   A   es transitivo si   Definicion o si   x   ∈   a   y 

a ∈  A implica   A  implica   x x  ∈  A  A;; es decir, si todo elemento de un elemento de   A  es a su vez un elemento de   A. Por ejemplo,  { 0, 1, 4, 5}  no es transitivo, pero  { 0, 1, 2}  si lo es. Ejercicio   2.6.   Demuestre que   A  es transitivo si y s´  olo si 

∪A ⊆  A  y si y s´  olo si   A ⊆ P (A). ∪a

Lema   2.7.   Un conjunto   a   es transitivo si y solamente si 

= a  a..

Demostraci´ on: on:   ∪a = ∪ (a ∪{ a}) = (∪a) ∪ (∪{a}) = (∪a) ∪ a. Entonces, si a si  a es  es transitivo, como  ∪ a ⊆  a,  a , se tiene que  ∪ a =  a.  a .  Rec´ıproc ıpr ocame amente, nte, si (∪a) ∪ a  =  ∪ a =  a,  a , entonces  ∪ a  ⊆  a  y por lo tanto a tanto  a  es transitivo.    Lema   2.8.   Todo n´  umero natural es transitivo.

Demostraci´ on: on: Por inducci´on. on. Sea T   = { n ∈  ω :  ω  : n  n  es transitivo}. Veamos que T es inductivo inductivo.. En efecto,   ∅  es transitivo, y si   n es transitivo entonces   n =   n ∪ {n}   tambi´ een n lo es, porque si  x  ∈  m   con  con   m  ∈   n entonces o bien  bien   m  =   n  y entonces  entonces   x  ∈   n   y 27

 

´ ticas basadas en conjuntos 2. Matematicas a

por lo tanto  tanto   x  ∈  n  , o bien  bien   m  ∈  n  y en este caso   x  ∈  n  por ser n  transi  transitivo tivo y tambi´een n resulta que  que   x  ∈  n .    Lema   2.9.   El conjunto  conjunto   ω  es transitivo.

Demostraci´ on: on: El enuncia enunciado do del teorema teorema es lo mismo que decir que todo elemento de un n´u umero mero natural es, a su vez, un n´umero umero natura natural. l. Esto Esto lo demost demostrar raremo emoss por inducc inducci´ i´ oon. n. Sea T   T   =   {n   ∈   ω   :   n   ⊆   ω }; obv obviamen iamente te   T   T   es inductivo inductivo,, luego T   T   =  ω  ω..    4. Dados n, Dados  n, m  ∈  ω   si  si   m =  n entonces  n  n =  = m  m.. Demostraci´ on: o n: Como Como   n   y   m   son transitiv transitivos os   ∪n =   n   y ∪m =  m  m.. Por hip´otesis, n otesis,  n  =  m  luego luego n  n  =  = m  m..    Ejercicio  2.10.

  (1)   Demuest Demuestrre por inducci´  inducci´  on que  que  ning´  un n´  umero natural es un subconjunto de uno de  sus elementos. En co conse nsecuenci cuencia, a, ning´  un n´  umero natural es elemento de si mismo. (2)   Demuestre que: (a)   Si  Si    A   es un co conjunto njunto transitivo transitivo entonces  entonces    A es   ∪ A  es transitivo. transitivo y  ∪ (b)   A  es transitivo si y s´  olo si   P (A)  es transitivo.  (3)   Si   ∪A es transitivo, transitivo, ¿ es A transit transitivo? ivo? (consid (consider eree el  conjunto   A   =   {{∅}}). Si   ∪A   es transitivo, ¿ es A transitivo?  (4)  Demuestre que si   ∪A =  A  A,, entonces   A  es transitivo.

Teorema  2.11.   (Teorema de Recursi´  on on)) Si   A  es un con-

 junto,   a  ∈   A   y   F    junto,  F   :  A  →  A  A,, entonces existe una unica ´  funci´  on   h : : ω  ω  →  A tal  A  tal que  h(0)  h (0) = a =  a y   y  h(  h (n ) =  F (  F (h(n)), )), para todo n todo  n  ∈  ω.  ω . Demostraci´ on: on: Diremo Diremoss que una funci´ funci´ oon  n   v  es aceptable si domv  ⊆  ω  ω,,  r  ran an((v )  ⊆  A  y, 28

 

Teor´ıa de Conjuntos

(i) si 0  ∈  domv  domv   entonces  entonces   v (0) = a = a  (ii) Si n Si  n ∈  domv  domv entonces  entonces   n ∈  domv  domv   y  v  v((n ) = F (  F (v (n)). Sea H  Sea  H  la   la colecci´on on de todas las funciones aceptables (n´otese otese que   H  H    es un conjunto) y pongamos   h   =   ∪H . Tenemos enemos que que (n, b)  ∈  h  ↔  (n,  ( n, b)  ∈  v  v para  para alguna v aceptable. Demostraremos a continuaci´on on que h que  h es  es la unica u ´ nica funci´on on que satisface las condiciones del enunciado delfunci´ teorema. Primero,   h   es una on on cuyo dominio es   ω   ya que el conjunto s conjunto  s =  =  {n ∈  ω :  ω  : (n, y)  ∈  h para  h  para un unico  u ´ nico   y}  es inductivo. Adem´ aas, h s,  h es  es aceptable ya que h que  h(0) (0) = a = a y  y si (n (n , x)  ∈  h,  h , se tiene  que (n (n , x)  ∈  u  u para  para alguna funci´on on aceptable u aceptable  u,, y por lo tanto, x  = F   =  F ((u(n)) =  F (  F (h(n)). La funci´oon  n   h   es u unica. ´ nica. En efecto efecto,, si   h1   y   h2  satisfacen las conclusiones del teorema, el conjunto   {n  ∈  ω   :  h 1 (n) =  h 2 (n)} es inductivo.    Ejercicio  2.12.

  (1)  Demuestre que el conjunto   H   H   de  la prueba del teorema anterior es en efecto un con junto. (Use el teorema teorema de separaci´  separaci´  on).

(2)   y  Sea  f  ):  A c∈ /inyectiva.  r  ran an((f ), si   h(0) = c =  c  →(h A(n es   h(  n =  f   f ( )), )),inyectiva entonces  y  h  es (3)   Sea   f   :  B  →  B   y   A  ⊆  B  B.. Pongamos   C ∗ = ∩{ X   :  A  ⊆ X   ⊆  B   y   f [X ]  ⊆  X }   y   C ∗  =  ∪i∈ω h(i), donde   h  : ω  :  ω  →  P (B )  est´  a dada por   h(0) = A =  A,,   h(n ) =  h(  h (n) ∪ f [h(n)] ( h   es unica ´  por el teorema de recursi´  on). Demuestr Demuestre  e  ∗ que   C  = C ∗  =  clausura de   A  bajo  bajo   f . (4)   Sea   B   =  R   y   f (x) =   x − 1   y   A   =  { 0}. Calcul Calcule  e   C ∗ y  C ∗ . Veamos ahora aho ra como podemos po demos desarrollar desar rollar la aritm´ ar itm´etica. etica . Para definir las operaciones de suma y producto usamos el teorema de recursi´on: on:

29

 

´ ticas basadas en conjuntos 2. Matematicas a

3. Operaciones artim´ e eticas ticas de n´ umeros umeros naturales

´ SUMA DE NUMEROS NATURALES. Para cada n´u umero mero natural   m, definimos la funci´oon S  natural n  S m  de la manera siguiente: S m (0) = m =  m,,  S m (n ) = (S m (n)) . y definimos la operaci´on on binaria + :   ω  × ω   →   ω   poniendo m + n = S   =  S m(n). Teorema   2.13.  Para todo para de n´  umeros naturales   n   y 

m  se tiene  (i)   m + 0 =  m  m,,  (ii)   m + n = (m + n) . Demostraci´ on: on: Ejercicio.    ´ PRODUCTO DE NUMEROS NATURALES. Primero defiNATURALES. nimos para cada  cada   m ∈  ω  la funci´oon P  n  P m  : ω  :  ω  →  ω   por P m (0) = 0, P m (n ) =  P m (n) + m y definimos la operaci´on on binaria     :  ω  × ω  →  ω  poniendo, para cada par de n´ umeros umeros naturales m naturales  m   y   n,  m  n =  = P   P m (n). Teorema   2.14.  Para todo par de n´  umeros naturales   m   y  n  tenemos   m  0 = 0   y   m  n =  m  n + m. Teorema  2.15.   Dados n´  umeros naturales   n,   m   y   p,

(1)   m + (n (n + p  p)) = (m + n) + p +  p.. (2)   m + n =  = n  n + m. (3)   m  (  (n n + p  p)) =  m  n + m  p  p.. (4)   m  (  (n n  p  p)) = (m  n)   p  p.. (5)   m  n  =  = n  n  m. (6)   m + p  p =  = n  n + p  p implica   implica   m  =  = n  n.. 30

 

Teor´ıa de Conjuntos

Demostraci´ on: on: Ejercicio.    Sugerencia: 1. Demuestre que { p  p : : m  m+( +(n n+ p  p)) = (m+n)+ p )+ p} es inducti inductivo vo.. 2. Demues Demuestre tre que 0 + n + n   =   n  para todo n´umero umero   natural   n  y que  natural que   m + n  n =  = (m +  + n  n)) para todo par de n´u umeros meros naturales   m  y  n naturales  n.. 4. El orden orden de los los n´ umeros umeros naturales

Primero notemos que  ∈  define una relaci´on on de orden en  en   ω . a) Si   n   ∈   m   y   m   ∈   p, entonces   n   ∈   p  (ya que todo n´ umero umero natural p natural  p  es transitivo). b) Por la definici´on o n de n´ umero umero natural tenemos que   ∈   determina una relaci´on on de orden estricto ({n   ∈   w   :   n ∈ /   n}   es inductivo). Probemos ahora la ley de tricotom´ tricotom´ıa: Si Si   m, n  ∈  ω entonces   m ∈  n entonces  n,,  n  ∈  m  m   ´o   m  =  = n  n.. Lema   2.16.  Para todo par de n´  umeros naturales   m   y   n   se 

tiene   m ∈  n  si y s´  olo si   m ∈  n .

Demostraci´ on: on: Primero Primero demostraremos demostraremos que si  si   m ∈   n en n  ´o  luego m  m  ∈  n ´ entonces m  m  ∈ n ∪ {n}  luego tonces m tonces  m  ∈  n  n.. Si m Si  m  ∈  n entonces m =  n.  n . Pe Pero ro como como   m  ∈  m  tenemos por transitividad que en ambos casos m casos  m  ∈  n que  n  ∈  m  →  n ∈  n.. Ahora, para demostrar que n m , basta ver que el conjunto   {n  ∈  ω   : (∀m  ∈  n)(  n )(m m ∈   n )}   es inductivo. Teorema   2.17.   Dados   m, n  ∈   ω , una (y s´  olo una) de las 

siguientes posibilidades ocurre:   n ∈  m  m,,   m ∈  n  n,,   m  = n  =  n.. Demostraci´ on: on: Ya que ning´ un u n n´ umero umero natural pertenece a si mismo y todos los n´umeros umeros naturales son transitivos, sabemos que ocurre a lo sumo una de las posibilidades del enunciado. Veamos eamos que ocurre ocurre al menos menos una. Demost Demostrar raremo emoss que que   T   T   = {n   ∈   ω   :   ∀m   ∈   ω (m   ∈   n, n   ∈   m  ∨  m   =   n)}   es inductivo. 31

 

´ ticas basadas en conjuntos 2. Matematicas a

Primero, es claro que 0   ∈   T   T   ya que podemos demostrar por inducci´ on on que   {n   : 0  ∈  n ∨ 0 =  n }  es todo  todo   ω . Desp Despu´ u´es, es, vemo vemoss  que si  si   k   ∈   T , T , entonces  entonces   k tamb tambi´ i´een n pe perten rtenece ece a   T   T   ya que   k = k  ∪ {k}, y dado   m,   m   ∈   k   ´o   k   ∈   m   ´o   k   =   m. En el el prim primer er   caso   m  ∈  k , en el tercero  caso tercero   m ∈  k tambi´en. en. En el segundo caso (es decir, si  si   k  ∈  m  m)) entonces, por el lema,   k ∈  m  =  m ∪ {m} As´ı, tenemos que en cualquiera de entonces   k  ∈  m   ´o   k  =  m entonces  m.. As´  los tres casos,  casos,   m  ∈  k ´o   k  ∈  m   ´o   k =  m  y luego  luego   k ∈  T ,  T , por lo tanto T  tanto  T    es inductivo.    Corolario  2.18.   Dados   m, n  ∈  ω,  ω ,   m ∈  n  ↔  m  ⊂  n.  n.

Demostraci´ on: o n: Si  Si   m  ∈  n  n,, como n como  n  es transitivo,  transitivo,   m  ⊆  n   y la contenci´ on on es estricta ya que ning´ un un n´ umero umero natural pertenece a ss´´ı mism mi smo. o. Rec´ıpro ıp roca came mente nte,, si m si  m  ⊂  n  n entonces  entonces m  m  ∈  n ´  n  ´o n  ∈  m  m.. Pero este ultimo u ´ ltimo caso no puede ocurrir, ya que si  si   n   ∈   m, por transitividad sigue que n que  n  ∈  n  n.. Entonces,  Entonces,   m ∈  n  n..    El orden dado por  ∈   en en ω  ω  es un buen orden, es decir, todo subcon sub conjunto junto no vac´ vac´ıo de de   ω  tiene un menor elemento. Teorema   2.19.   Si   A  ⊆   ω   y   A   =  ∅ , entonces existe un   m

tal que para todo  todo   n ∈  A  A,,   m ∈  n   ´  o   m  =  = n  n.. Tal   m   es unico. ´  Demostraci´ on: on: Si A Si  A  ⊆  ω no  ω  no tiene menor elemento, entonces B  =  { m  :  ∀ k (k  ∈  m  →  k ∈ /  A  A))}  es inductivo. Esto implica que A =  ∅ . Teorema  2.20.  (principio de inducci´  on fuerte) Sea  A  A  ⊆  ω,  ω ,

y supon-gamos que para todo n todo  n  ∈  ω,  ω , si todo n´  umero menor que  n  pertenece a   a   A, entonces   n  ∈  A  A.. Entonces   A  =  = ω  ω.. Demostraci´ on: on: Ejercicio.   

32

 

Teor´ıa de Conjuntos

Ejercicio  2.21.   Dados n´  umeros naturales   n, m, y   p,   m  ∈ n →  m + p ∈  n + p  p,, y si   p  = 0,   m ∈  n  →  m  p ∈  n  p.  p. Ejercicio  2.22.  Demuestre que si   m, n  ∈  ω  ω,, entonces 

m < n → ∃!k (m + k  =  = n  n)). Ahora pasaremos a construir otras estructuras num´ num´ericas ericas usadas en matem´aaticas. ticas. Esto Esto muest muestra ra como las matem´ matem´ aticas aticas pueden ser consideradas como parte de la teor´ teor´ıa de conjuntos (aunque esto no quiere decir que sean en realidad parte de la teorr´ıa de conjuntos teo conj untos). ). 5. N´ umeros umeros enteros

Obtenemos los n´ umeros umeros enteros calculando diferencias entre n´ umeros umeros natural naturales. es. Po Porr ejemplo ejemplo   −1 = 3  −  4,  4 ,   −2 = 6  −  8,  8 , 3 = 8 − 5, etc. Esto indica que una manera de definir el n´umero umero negativo  − 1 es mediante el par (3, (3 , 4). El problema es que hay muchos muc hos pares que servir servir´ıan para esto, por ejemplo, ejemplo, (10, (10, 11), (13,, 14), etc. Lo que haremos es identificar (13 identificar todos estos pares, pares, de modo que el   −1 venga a ser la clase de todos los pares (a, b) tales que   a   y   b   son n´ umeros umeros naturales y   a  −  b   =   −1. Hagamos ahora esto m´as as formalmente (notemos que no hemos definido todav´ıa ıa la operaci´ opera ci´oon  n   a −  b  entre n´ umeros umeros naturales). Definimos una relaci´on on de equivalencia ≈ entre pares ordenados de n´ umeros umeros naturales de la manera siguiente. (a, b)  ≈  ( p,  ( p, q ) si y s´olo olo si a si  a + q   = =  p + b, y ponemos [(a, [( a, b)] = {( p, q ) : (a, b)  ≈  ( p,  ( p, q )}. Ejercicio 2.23.  Demuestre que  ≈  ≈  es una relaci´  on de equiv-

alencia y que para cada par de n´  umeros naturales  a  a   y   b,   [( [(a, a, b)] es un conjunto. ´ n  2.24.  El conjunto  Z  de los n´  Definicion o umeros enteros es 

la colecci´  on de clases de equivalencia   ω × ω/  ≈. 33

 

´ ticas basadas en conjuntos 2. Matematicas a

Es interesante notar que los n´umeros umeros naturales est´an an “sumergidos” en los enteros; dicho de otra manera, hay una copia de ω de  ω   en  Z . Esto lo haremos preciso m´as as adelante. ´ n   2.25.   (Suma de enteros)   [(m, Definicion o [(m, n)] + [( p, [( p, q ))]] =

[( [(m m + p, n + q )] )] El siguie siguient ntee lem lema, a, cuya cuya demost demostrac raci´ i´ on on propone proponemos mos como como ejercicio, ejer cicio, muestra muestra que esta definici´ on o n no depende de los representan prese ntantes tes tomados en cada clase. Lema   2.26.   Si   (m, n)   ≈   (m, ¯ n ¯ )   y   ( p, q )   ≈   ( p,  p, ¯ ¯  ¯ q  q ), entonces 

(m + p, n + q )  ≈  ( m ¯ + p, ¯n ¯ + q  q¯ ). Demostraci´ on: on: Ejercicio.    Teorema  2.27.  La suma de enteros es asociativa y conmu-

tativa. El entero O entero  O Z  = [(0, [(0, 0)] es 0)]  es un elemento neutro respecto a  la suma. suma. Dado Dado   a   = [(m, [(m, n)] existe )]  existe un unico ´  entero   −a  tal que  a + (−a) = 0 Z , y   −a  = [n, m].    ´ n  2.28.  (Multiplicaci´  Definicion o on de enteros) Definimos 

[( [(m, m, n)]    [( p,  [( p, q )] )] = [(m [(m  p + n  q, m  q   + + n  p)]  p)].. Para demostrar que esta definici´on on es correcta (es decir, que no depende de los representantes de cada clase), hay que probar el siguiente lema. Lema   2.29.   Si   (m, n)   ≈   (m, ¯ n ¯ )   y   ( p, q )   ≈   ( p,  p, ¯ ¯  ¯ q  q ), entonces 

(mp + nq,mq   + + np) np)  ≈  ( m ¯ p¯ + n ¯ q, q¯,  m ¯ q  q¯  + +n ¯ p  p) ¯). Demostraci´ on: on: Ejercicio.    Teorema  2.30.  La multiplicaci´  on de enteros es asociativa,

conmutat conmutativa iva y distributiv distributiva a sobre sobre la suma de enteros. enteros. El entero 1Z  = [(1, [(1, 0)] es 0)]  es un elemento neutro respecto a la multiplicaci´  on. 34

 

Teor´ıa de Conjuntos

Demostraci´ on: on: Ejercicio.    Usualmente no denotamos a los enteros como pares ordenados (ni clases de pares ordenados) usamos 1 Z  para denotar [(1, [(1, 0)] y  y   OZ  para denotar [(0, [(0, 0)], y as as´´ı usamos  − 3 para denotar a la clase [(0, [(0 , 3)], etc. Cuando Cuando no haya haya lugar lugar a confus confusi´ i´ on, on, omitimos el sub´ sub´ındice del 0 y del 1. Ejercicio 2.31.  Sean   n, n, m  y   p n´  p  n´  umeros enteros. Si  n  n   = 0Z entonces    np = entonces  np = nm  nm implica   implica   p  =  = m  m.. 6. El orde orden n de los n´ umeros umeros enteros

Definimos una relaci´ Definimos relacion ´o n de orden en   Z   de la manera siguien gui ente: te: [( [(m, m, n)]   <   [( p, [( p, q )] ) ] si y s´olo o lo si   m  +  + q   q   ∈   p  + n  +  n.. Esta relaci´ on on est´a bien definida como lo muestra e siguiente lema. Lema   2.32.   Si  Si    (m, n)   ≈   (m, ¯ n ¯ )   y  y    ( p, q )   ≈   ( p, ¯  p, ¯  ¯ q  q ), entonces 

[( [(m, m, n)] )] <