Uma Introdução Axiomática dos Conjuntos

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Universidade Federal da Paraíba  CNPJ/MF: 24.098.477/000 –10  Cidade Universitária – Campus I S/N° ‐ Castelo Branco  João Pessoa – PB – 58059‐900  Fone/Fax: (83) 32167131/3216‐7135 e 3216‐7178  Coordenação do Curso de Matemática a Distância: (83) 3216‐7434  Home‐page: www.virtual.ufpb.br   Home‐page do curso: www.mat.ufpb.br/ead   

Ficha Técnica      

 

Pró‐Reitor de Graduação  Reitor da UFPB                                         Valdir Barbosa Bezerra  Rômulo Soares Polari       Departamento de Matemática  Centro de Ciências Exatas e da Natureza  Fágner Dias Araruna  Antônio José Creão Duarte      Coordenador da UFPB – Virtual  Coordenador do Curso  Renata Patrícia Jerônymo Moreira  José Gomes de Assis  Edson de Figueiredo Lima Junior    Revisão Técnica e Linguística  Arte, Design e Diagramação  Inaldo Barbosa de Albuquerque Romulo Jorge Barbosa Silva    S586u   Silva, Antônio de Andrade e    Uma introdução axiomática dos conjuntos / Antônio de  Andrade e Silva.   – João Pessoa: Editora Universitária da  UFPB, 2011.                   311 p.                                 1. Álgebra                                                                          CDU: 512 

Sumário Prefácio

iii

1 O Método Axiomático

1

1.1 Introdução Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Modelos Axiomáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Caracterização de um Sistema de Axiomas . . . . . . . . . . . . 16 2 Conjuntos

35

2.1 Introdução Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Gráficos e Famílias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3 Conjuntos Parcialmente Ordenados

101

3.1 Conjuntos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.3 Elementos Notáveis e Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.4 Conjuntos Bem Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4 Axioma da Escolha e Aplicações

175

4.1 Axioma da Escolha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 4.3 Princípio da Boa Ordenação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 i

ii

SUMÁRIO

5 Os Números Naturais 219 5.1 Os Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5.2 Aritmética dos Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6 Números Cardinais 6.1 Conjuntos Equipotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Números Cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Aritmética dos Números Cardinais . . . . . . . . . . . . . . .

255 . 256 . 267 . 277

Bibliografia

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Índice Remissivo

302

Prefácio Este texto surgiu da experiência do autor quando este ministrou algumas vezes a disciplina para os cursos de Matemática e na Licenciatura em Matemática a Distância. O principal objetivo deste texto é levar o leitor a compreender os axiomas da Teoria dos Conjuntos, segundo “Zermelo-Fraenkel”, a ponto de aplicá-los em diferentes contextos tais como o axioma da escolha, modelagem de situaçõesproblema envolvendo o princípio do máximo de Hausdorff, Lema de Zorn, conjuntos bem ordenados, construção dos números naturais e números cardinais. O texto é dividido em seis capítulos, dos quais o primeiro é responsável pela introdução do método axiomático e resultados utilizados em todo o texto. Em cada estudo específico, busca-se a caracterização do objeto por meio de propriedades que possibilitem ao leitor estabelecer correspondências entre determinadas situações-problema da vida real e a espécie de função focalizada, objetivando sua utilização na construção de uma tradução matemática da respectiva situação. É nossa expectativa que este texto assuma o carater de espinha dorsal de uma experiência permanentemente renovável, sendo, portanto, bem vindas às críticas e/ou sugestões apresentadas por todos - professores ou alunos quantos dele fizerem uso. Para desenvolver a capacidade do leitor de pensar por si mesmo em termos das novas definições, incluímos no final de cada seção uma extensa lista de exercícios, onde a maioria dos exercícios dessas listas foram selecionados dos livros citados no final do texto. Devemos, porém, alertar aos leitores que os iii

iv

SUMÁRIO

exercícios variam muito em grau de dificuldade, sendo assim, não é necessário resolver todos numa primeira leitura. No capítulo 1 apresentaremos um pouco da história do surgimento do método axiomático na matemática, que serão necessárias para o entendimento dos próximos capítulos. No capítulo 2 apresentaremos, via método axiomático, os elementos básicos da Teoria dos Conjuntos através dos sete primeiros axiomas. Além disso, definimos as operações com conjuntos: união, interseção, complementar, diferença, gráficos, famílias, produto cartesiano e algumas propriedades algébricas. No capítulo 3 estudaremos os problemas de aplicações ordinárias de matemática tais como: relação de ordem, conjuntos parcialmente ordenados, elementos maximais e minimais, maior e menor elemento, supremo e ínfimo de um conjunto. Além disso, estudaremos reticulados e conjuntos bem ordenados. No capítulo 4 apresentaremos as formulações clássicas do axioma da escolha dada por Zermelo e suas principais consequências. No capítulo 5 construiremos, formalmente, o conjunto dos números naturais, o qual será munido com todas as propriedades que são associadas com os números naturais do nosso pensamento. Além disso, com o “axioma da infinidade” completaremos a Teoria Axiomática dos Conjuntos, segundo Zermelo. Finalmente, no capítulo 6 apresentaremos o conceito de conjuntos equipotentes e o conceito formal de números cardinais via método axiomático. Também, veremos que o conjunto dos números cardinais possui quase todas as propriedades algébricas do conjunto dos números naturais. Agradecemos aos colegas e alunos do Departamento de Matemática que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização deste trabalho. Em particular, aos professores João Bosco Nogueira e Glauber Dantas Morais.

Antônio de Andrade e Silva.

Capítulo 1 O Método Axiomático Quando falamos que um objeto pertence a outro objeto, queremos dizer, simplesmente, que o primeiro deles depende do segundo. Situações de pertinência fazem-se presentes constantemente em nossa vida. Por exemplo, um ponto pertence a uma reta. A partir de agora, você está convidado a nos acompanhar neste passeio pelo mundo dos axiomas e postulados. Juntos analisaremos detalhadamente as caracterizações de um sistema de axiomas e a independência de um axioma. É importante salientar que alguma familiaridade com conceitos tais como: conjuntos, conjuntos numéricos, espaço vetorial, grupo etc. é necessário para uma boa leitura deste capítulo. No nosso dia-a-dia, os axiomas e postulados aparecem com mais frequência na Geometria Plana. Considere, por exemplo, “Se uma linha reta intercepta duas outras linhas retas formando ângulos interiores no mesmo lado menor do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente se interceptarão no lado em que a soma é menor que dois ângulos retos.” Este e outros axiomas da Geometria Plana serão tratados neste capítulo. 1

2

CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO

1.1

Introdução Histórica

Nesta seção apresentaremos um pouco da história do surgimento do método axiomático na matemática. O leitor interessado em mais detalhes pode consultar Tarski, A. [8] ou Wilder, R. L. [9]. Nos textos de Geometria Plana, visto no ensino fundamental, encontramos dois grupos fundamentais de afirmações, um chamado de axiomas e outro chamado de postulados. Formalmente: Um axioma é uma afirmação que dispensa explicação, ou seja, é uma verdade universal. Exemplo 1.1 1. O todo é maior do que cada uma de suas partes. 2. O todo é a soma de suas partes. 3. Coisas iguais a uma outra coisa são iguais entre si. Um postulado é um fato geométrico simples e óbvio que podemos supor sua validade. Exemplo 1.2 1. Dois pontos distintos determinam uma e somente uma reta. 2. Uma reta pode ser estendida indefinidamente. 3. Se r é uma reta e P é um ponto fora de r, então existe uma única reta s paralela à reta r e passando por P . Um teorema é uma verdade que não se torna evidente senão por meio de uma prova. Observação 1.3 Um teorema é composto de duas partes: 1.a Hipótese - é o conjunto de suposições.

1.1. INTRODUÇÃO HISTÓRICA

3

2.a Tese - é a consequência que o raciocínio deduz da hipótese, por meio de verdades já conhecidas. Exemplo 1.4 (Teorema de Pitágoras) Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos. (Pitágoras, 569-480, a.C.) Um lema é um teorema auxiliar. Finalmente, um corolário é uma proposição que é uma consequência de um teorema previamante provado. Esses agrupamentos de axiomas e postulados já eram conhecidos em Aristóteles (384-321, a.C.) e em Euclides (330-260, a.C.) como noções comuns e postulados. A partir dessas afirmações e de um certo número de definições, Euclides demonstrou 465 teoremas em uma sequência lógica. Por exemplo, o quinto postulado de Euclides, em sua forma original, foi enunciado como: E5 - Se uma linha reta intercepta duas outras linhas retas formando ângulos interiores no mesmo lado menor do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente se interceptarão no lado em que a soma é menor que dois ângulos retos, confira Figura 1.1. Proclus (Proclus Lycaeus, 412-485, d.C, filósofo grego) descreveu a controvérsia que estava se formando com relação a esse postulado mesmo nessa época, sendo ele próprio a favor da eliminação do postulado por classificá-lo de ingênuo, plausível e sem carater de necessidade lógica. No período Renascentista (séculos XV e XV I) iniciou-se novo período de controvérsias com relação ao quinto postulado a partir dos outros postulados, ou seja, demonstrá-lo a partir dos outros postulados e axiomas da geometria usando princípios da lógica. Vamos dar uma pausa para relembrar a definição de retas paralelas. Duas retas distintas r e s, em Geometria Plana, são chamadas de paralelas se elas não se interceptam, isto é, r 6= s e r ∩ s = ∅. Assim, atualmente, o quinto postulado de Euclides é enunciado como: E5 - Dada uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma e somente uma reta s que contém P e é parelela à reta r, confira Figura 1.2.

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO

Figura 1.1: Quinto postulado de Euclides.

Figura 1.2: Geometria Euclidiana. Note que esse postulado afirma que retas paralelas existem. No século dezenove, Lobachevsky (Nikolai Ivanovich Lobachevsky, 17921856, matemático russo) em 1820, Gauss (Carl Friedrich Gauss 1777-1855, matemático alemão) e Bolyai (János Bolyai, 1802-1860, matemático húngaro) em 1823, descobriam que poderiam obter uma teoria matemática “consistente” partindo de um postulado que afirma a existência de infinidade de retas paralelas contendo P .

1.1. INTRODUÇÃO HISTÓRICA

5

Postulado de Lobachevsky-Gauss-Bolyai - Dada uma reta r e um ponto P fora de r, existem pelo menos duas retas s e t que contém P e são paralelas à reta r.

Figura 1.3: Geometria Hiperbólica. Um “modelo” para esta geometria é dado pelo o semiplano H, em que as retas são semi-retas e semicírculos perpendiculares à reta que determina o semiplano, confira Figura 1.3. Riemann (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866, matemático alemão), descobriu uma nova geometria partindo de um postulado que nega a existência de retas paralelas. Postulado de Riemann - Duas retas nunca são paralelas.

Figura 1.4: Geometria Esférica. Um modelo para esta geometria é dado pela esfera S 2 , em que as retas são os grandes círculos, ou seja, as interseções de S 2 com os planos π contendo o

6

CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO

centro de S 2 , confira Figura 1.4. Com esses postulados temos três tipos de geometrias. Em cada uma dessas geometrias é claro que precisamos de muitos outros postulados. Hilbert (David Hilbert, 1862-1943, matemático alemão), em 1899, no seu célebre trabalho “Fundamentos da Geometria”, apresenta a ideia de que apenas um nome - axiomas - deve ser usado com relação às proposições fundamentais, e que certos termos básicos como ponto e reta são deixados completamente indefinidos. Embora esse trabalho de Hilbert seja reconhecido por muitos como sendo o primeiro a tratar de método axiomático em sua forma moderna, devemos reconhecer que ideias análogas também apareceram em trabalhos de outros estudiosos da época. Em 1882 apareceu a primeira edição do livro de Pasch (Moritz Pasch, 1843-1930, matemático alemão) “Vorlesungen über Neuere Geometrie.” Pasch baseou seu tratamento da geometria em um pequeno número de “conceitos nucleares” e “proposições nucleares” que são introduzidas respectivamente sem definição e sem demonstrações, mas que ele acredita ter uma base comum de aceitação pela nossa experiência. Depois que o sistema básico de proposições (axiomas) é introduzido, a dedução lógica das outras proposições do sistema são obtidas de forma rigorosa. Suas ideias foram descritas por ele mesmo como segue: “Na realidade, se a geometria deve ser dedutiva, a dedução deve ser independente do significado dos conceitos geométricos, da mesma forma que deve ser independente de diagramas; somente as relações especificadas nas proposições e definições (teoremas) empregadas podem ser usadas. Durante a demonstração é útil e correto, mas de modo algum necessário, pensar no significado dos termos; aliás, se for necessário proceder desse modo a ineficiência da prova está clara. Se, entretanto, um teorema é rigorosamente derivado de um conjunto de proposições (os axiomas), a demonstração tem um valor que transcende o objetivo inicial. Pois se substituirmos os termos geométricos nos axiomas por outros termos certos, proposições verdadeiras serão obtidas, então fazendo substituições análogas nos teoremas obteremos um novo teorema sem termos que repetir a demonstração.”

1.2. MODELOS AXIOMÁTICOS

1.2

7

Modelos Axiomáticos

Nesta seção apresentaremos alguns modelos axiomáticos que serão necessários para o desenvolvimento deste texto. O modelo axiomático organiza as teorias de um modo sistemático a partir de proposições primitivas e definições, procedendo ao desenvolvimento por via dedutiva. Um sistema de axiomas é uma coleção formada pelos termos indefinidos, axiomas e “teoremas.” Intuitivamente, um sistema de axiomas é construído como segue: primeiro escolhemos os conceitos básicos e procuramos explicá-los sua natureza da melhor maneira possível. Segundo escrevemos os axiomas para os conceitos. Agora, apresentaremos um sistema “parcial” de axiomas como uma amostra do modelo axiomático. Exemplo 1.5 O sistema de axiomas E da Geometria Plana (Euclides). Termos indefinidos: Ponto e Reta. E1 - Toda reta é uma coleção de pontos. E2 - Existem pelo menos dois pontos. E3 - Se P e Q são pontos distintos, então existe uma e somente uma reta contendo P e Q. E4 - Se r é uma reta, então existe um ponto fora de r. E5 - Se r é uma reta e P um ponto fora de r, então existe uma e somente uma reta s contendo P e paralela à reta r. Observação 1.6 Seja E o sistema de axiomas da Geometria Plana (Euclides) 1. Ponto e reta em E desempenham o mesmo papel que as variáveis em equações algébricas, por exemplo, (x + y)2 = x2 + xy + yx + y 2 ,

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO com x e y representando qualquer objeto (número, matriz, etc.) de um certo conjunto especificado. 2. Note que o axioma E1 em E estabelece uma relação entre os termos indefinidos ponto e reta. 3. Vamos mostrar, com um exemplo, que o sistema de axiomas E não é adequado para a Geometria Plana. Seja C uma cidade com duas bibliotecas distintas, C = {b1 , b2 } , em que os termos indefinidos são: “livro = ponto” e “biblioteca = reta.” Note que o axioma E3 não é satisfeito, enquanto os outros o são. 4. Seja Z uma comunidade formada de quatro pessoas Z = {a, b, c, d} e seis clubes ab, ac, ad, bc, bd e cd, em que os termos indefinidos são: “pessoa = ponto” e “clube = reta.” Então todos os axiomas são satisfeitos.

Teorema 1.7 Todo ponto pertence a pelo menos duas retas distintas.

Prova. Seja P um ponto qualquer. Pelo axioma E2 existe um ponto Q distinto de P . Pelo axioma E3 existe uma e somente uma reta r contendo P e Q. Além disso, pelo axioma E4 existe um ponto R fora de r. Novamente, pelo axioma E3 existe uma reta s contendo P e R. Finalmente, pelo axioma E1 temos que r 6= s, com r ∩ s = {P }.

¥

1.2. MODELOS AXIOMÁTICOS

9

Figura 1.5: Esboço da Prova. Corolário 1.8 Toda reta contém pelo menos um ponto. Prova. Primeiro note que pelo axioma E2 existe um ponto P e pelo Teorema 1.7 existem duas retas distintas r e s contendo P . Agora, suponhamos, por absurdo, que exista uma reta t sem pontos. Então, por definição, r e s são paralelas à reta t. Como P está fora de t temos, pelo axioma E5 que existe uma e somente uma reta u contendo P e paralela à reta t, o que contradiz o fato de r e s serem paralelas à reta t. ¥ Teorema 1.9 Toda reta contém pelo menos dois pontos. Prova. Seja r uma reta qualquer. Então, pelo Corolário 1.8, r contém um ponto P e pelo Teorema 1.7, existe uma reta s distinta de r contendo P . Logo, pelo axioma E1 , existe um ponto Q tal que (Q ∈ r e Q ∈ / s) ou (Q ∈ / r e Q ∈ s). Se Q ∈ r, então o Teorema está provado. Se Q ∈ s, então, pelo axioma E4 existe um ponto R fora de s. Assim, temos duas possibilidades: se R ∈ r, então o Teorema está provado. Se R ∈ / r, então pelo axioma E5 existe uma e somente uma reta t contendo R e paralela à reta s. Afirmação. r ∩ t 6= ∅. De fato, se r ∩ t = ∅, então a reta t é paralela à reta r. Logo, r e s são retas contendo P e paralelas à reta t, o que contradiz o axioma E5 . Seja X ∈ r ∩ t. Então X é um ponto distinto de P , pois P ∈ / t. Portanto, r contém pelo menos dois pontos P e X. ¥

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO

Figura 1.6: Esboço da Prova. Corolário 1.10 Toda reta fica completamente determinada por quaisquer dois de seus pontos que sejam distintos. Prova. Seja r uma reta qualquer. Então, pelo Teorema 1.9, a reta r contém dois pontos distintos P e Q. Portanto, pelo axioma E3 , a reta r é completamente determinada pelos pontos P e Q. ¥ Teorema 1.11 Existem pelo menos quatro pontos distintos. Prova. Pelo axioma E2 existem pelo menos dois pontos distintos P e Q. Pelo axioma E3 existe uma única reta r contendo P e Q. Além disso, pelo axioma E4 existe um ponto R fora de r e, pelo axioma E5 , existe uma única reta s contendo R e paralela à reta r. Finalmente, pelo Teorema 1.9, s contém um ponto S distinto de R. Portanto, existem pelo menos quatro pontos P , Q, R e S. ¥

Figura 1.7: Esboço da prova.

1.2. MODELOS AXIOMÁTICOS

11

Teorema 1.12 Existem pelo menos seis retas distintas. Prova. Pela prova do Teorema 1.11, existe uma reta r contendo P e Q; uma reta s paralela à reta r contendo pontos distintos R e S. Logo, pelo axioma E3 existem retas u e v contendo Q e S; P e R, respectivamente. Note que Q ∈ / v, pois se Q ∈ v, então v = r e R ∈ r, o que é impossível. De modo inteiramente análogo, prova-se que S ∈ / v e P, R ∈ / u. Novamente, pelo axioma E3 existem retas t e x contendo P e S; Q e R, respectivamente. Observe que Q ∈ / t e S∈ / x. Portanto, r, s, t, u, v e x são retas distintas. ¥

Figura 1.8: Esboço da prova. Note, nas provas dos resultados acima, que as Figuras nos ajudam a memorizar os vários símbolos (r, s, P, Q, . . .) bem como, seus significados de maneira mais fácil. Não obstante, nenhum significado especial foi dado aos termos “ponto” e “reta”, e, consequentemente, são válidas se substituirmos pessoas por pontos e duas pessoas por reta. Além disso, é claro que não provamos acima todos os teoremas possíveis. Finalizaremos esta seção apresentado mais um exemplo de um sistema de axiomas para definirmos um “corpo.”

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO

Exemplo 1.13 O sistema de axiomas F formado por um conjunto não vazio K de objetos (corpo). Termos indefinidos: Objetos (Conjunto e Pertinência). O conjunto K é munido com duas operações binárias: + : K × K −→ K · : K × K −→ K e (a, b) 7−→ a + b (a, b) 7−→ a · b chamadas adição e multiplicação tais que os seguintes axiomas são satisfeitos: F1 - Sejam a, b, c, d ∈ K. Se a = c e b = d, então a + b = c + d, isto é, a operação + está bem definida. F2 - a + (b + c) = (a + b) + c, para todos a, b, c ∈ K. F3 - Existe 0 ∈ K tal que a + 0 = 0 + a = a, para todo a ∈ K. F4 - Para cada a ∈ K, existe −a ∈ K tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. F5 - a + b = b + a, para todos a, b ∈ K. F6 - Sejam a, b, c, d ∈ K. Se a = c e b = d, então a · b = c · d, isto é, a operação · está bem definida F7 - a · (b · c) = (a · b) · c, para todos a, b, c ∈ K. F8 - Existe 1 ∈ K tal que a · 1 = 1 · a = a, para todo a ∈ K. F9 - K possui pelo menos dois elementos. Neste caso, o elemento 0 é diferente do elemento 1. F10 - Para cada a ∈ K ∗ , existe a−1 ∈ K tal que a · a−1 = a−1 · a = 1. F11 - a · b = b · a, para todos a, b ∈ K.

1.2. MODELOS AXIOMÁTICOS

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F12 - A operação binária + é distributiva sobre a operação binária ·, isto é, a · (b + c) = a · c + a · b e (a + b) · c = a · c + b · c, ∀ a, b, c ∈ K. Teorema 1.14 Sejam K um corpo e a, b, x ∈ K. 1. Se a + x = a, então x = 0. 2. Se b 6= 0 e b · x = b, então x = 1. 3. Se a + b = 0, então b = −a. 4. A equação a + x = b possui uma única solução x = (−a) + b. 5. Se b 6= 0, então a equação b · x = a possui uma única solução x = b−1 · a. 6. x · 0 = 0 · x = 0. 7. −x = (−1)x. 8. −(a + b) = (−a) + (−b). 9. −(−x) = x. 10. (−1) · (−1) = 1. 11. Não existe y ∈ K tal que 0 · y = 1. Prova. Vamos provar apenas os itens (1), (6), (8) e (11): (1) Usando sucessivamente, os axiomas F3 , F4 e F2 , obtemos x = 0+x = [(−a) + a] + x = (−a) + (a + x) hipótese = (−a) + a = 0. (6) Pelo axioma F3 , 1 = 1 + 0. Logo, pelo axioma F6 , x · 1 = x · (1 + 0).

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO

Assim, pelos axiomas F8 e F12 , x = x + x · 0. Portanto, pelo item (1), x · 0 = 0. (8) Pelo item (7), −(a + b) = (−1)(a + b). Pelo axioma F12 , (−1)(a + b) = (−1)a + (−1)b. Novamente, pelo item (7), (−1)a + (−1)b = (−a) + (−b). Portanto, −(a + b) = (−a) + (−b). (11) Pelo item (6), 0 · x = 0, para todo x ∈ K. Suponhamos, por absurdo, que exista y ∈ K tal que 0 · y = 1. Então 0 = 0 · y = 1, o que contradiz o ¥ axioma F9 .

EXERCÍCIOS

1. O sistema de axiomas V formado por um conjunto não vazio V de “vetores” (espaço vetorial). Termos indefinidos: Vetores. O conjunto V é munido com duas operações: + : V × V −→ V · : K × V −→ V e (u, v) 7−→ u + v (a, u) 7−→ a · u chamadas adição e multiplicação por escalar tais que os seguintes axiomas são satisfeitos: V1 - Sejam u, v, w, t ∈ V . Se u = w e v = t, então u + v = w + t, isto é, a operação + está bem definida. V2 - u + (v + w) = (u + v) + w, para todos u, v, w ∈ V . V3 - Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = 0 + u = u, para todo u ∈ V .

1.2. MODELOS AXIOMÁTICOS

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V4 - Para cada u ∈ V , existe −u ∈ V tal que u + (−u) = (−u) + u = 0. V5 - u + v = v + u, para todos u, v ∈ V . V6 - Sejam a, b ∈ K e u, v ∈ V , em que K é um corpo. Se a = b e u = v, então a · u = b · v, isto é, a operação · está bem definida. V7 - a(b · u) = (ab) · u, para todo u ∈ V e a, b ∈ K. V8 - (a + b) · u = a · u + b · u, para todo u ∈ V e a, b ∈ K. V9 - a · (u + v) = a · u + a · v, para todos u, v ∈ V e a ∈ K. V10 - 1 · u = u, para todo u ∈ V e 1 o elemento identidade de K. (a) Mostre que o vetor 0 é único em V . (b) Mostre que o vetor −u é único em V . (c) Mostre que existe um único x ∈ V tal que u + x = v, para todos u, v ∈ V . (d) Mostre que se u + u = u, então u = 0. (e) Mostre que a · 0 = 0, para todo 0 ∈ V e a ∈ K. (f) Mostre que 0 · u = 0, para todo u ∈ V e 0 ∈ K. (g) Mostre que se a · u = 0, então a = 0 ou u = 0, onde u ∈ V e a ∈ K. (h) Mostre que −u = (−1)u, para todo u ∈ V . (i) Mostre que (−a) · u = a · (−u) = −(a · u), para todo u ∈ V e a ∈ K. 2. Mostre que o conjunto dos números complexos C = {a + bi : a, b ∈ R e i2 = −1} satisfaz o sistema de axiomas V com as operações usuais, onde K = R. 3. O sistema de axiomas G formado por um conjunto não vazio G de objetos (grupo).

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO Termos indefinidos: Objetos. O conjunto G é munido com uma operação binária: · : G × G −→ G (a, b) 7−→ a · b chamada produto tais que os seguintes axiomas são satisfeitos: G1 - Sejam a, b, c, d ∈ G. Se a = c e b = d, então a · b = c · d, isto é, a operação · está bem definida. G2 - a · (b · c) = (a · b) · c, para todos a, b, c ∈ G. G3 - Existe e ∈ G tal que a · e = e · a = a, para todo a ∈ G. G4 - Para cada a ∈ G, existe a−1 ∈ G tal que a · a−1 = a−1 · a = e. (a) Mostre que o elemento e é único em G. (b) Mostre que o elemento a−1 é único em G. (c) Mostre que para quaisquer a, b ∈ G, as equações a · x = b e y · a = b possuem soluções únicas x, y ∈ G. (d) Mostre que as funções Lc : G −→ G e Rc : G −→ G definidas como Lc (x) = c · x e Rc (x) = x · c, respectivamente, são bijetoras, para todo c ∈ G fixado. 4. Seja M2 (R) o conjunto das 2 × 2 matrizes com entradas em R. Mostre que o conjunto das matrizes invertíveis GL 2 (R) = {A ∈ M2 (R) : det(A) 6= 0} satisfaz o sistema de axiomas G, com a operação usual de multiplicação de matrizes.

1.3

Caracterização de um Sistema de Axiomas

Quando os termos indefinidos e os axiomas forem selecionados, como poderemos garantir que o sistema de axiomas obtido é adequado aos propósitos

1.3. CARACTERIZAÇÃO DE UM SISTEMA DE AXIOMAS

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para que foi estabelecido? Se, por exemplo, ele foi estabelecido para servir de base para os fundamentos da Geometria Plana, então desejaríamos saber de alguma maneira se de fato os axiomas estabelecidos são suficientes. Outra questão que poderíamos abordar, é sobre a “independência” dos axiomas; algum dos axiomas pode ser provado a partir dos outros, e caso isto ocorra, não deveríamos enunciá-lo como um teorema para ser depois demonstrado? A experiência tem mostrado, entretanto, que uma questão mais fundamental é a seguinte: o sistema implica teoremas contraditórios? Se isto ocorre, então é claro que alguma coisa está errada, e teremos então que eliminar este defeito antes de abordarmos qualquer outro aspecto. Consideraremos portanto esta questão em primeiro lugar. Seja Σ um sistema de axiomas. Diremos que Σ é consistente se ele não implicar teoremas contraditórios. Caso contrário, diremos que Σ é inconsistente. Observação 1.15 Como cada axioma é implicado pelo sistema de axiomas temos, em particular, que um sistema de axiomas consistentes não pode ter axiomas contraditórios. Exemplo 1.16 Se acrescentarmos o axioma, E6 - “Existe no máximo três pontos”, ao sistema de axiomas E da Observação 1.6, então E é inconsistente, pois, contradiz o Teorema 1.11, “Existem pelo menos quatro pontos.” Seja Σ um sistema de axiomas. Uma interpretação de Σ é uma atribuição de significados aos termos indefinidos do sistema, de modo que os axiomas se tornem simultaneamente proposições verdadeiras para todos os valores variáveis (por exemplo, pontos e retas no sistema E). Exemplo 1.17 O conjunto Z de quatro pessoas é uma interpretação para o sistema de axiomas E da Observação 1.6. Exemplo 1.18 O conjunto dos números reais R é uma interpretação para o sistema de axiomas F do Exemplo 1.13. Seja Σ um sistema de axiomas. Um modelo para Σ é o resultado de uma interpretação. Assim, o conjunto dos números reais R é um modelo do sistema

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO

de axiomas F, e a coleção de quatro pessoas Z é também um modelo para o sistema E. Em geral, quando fazemos uma interpretação I de um sistema de axiomas Σ, o modelo resultante da interpretação será representado por M(I). Para alguns modelos de um sistema de axiomas Σ, alguns axiomas do sistema podem ser verdadeiros por vacuidade, isto é, axiomas da forma “se . . . , então . . . ” (p → q), que chamaremos de “axiomas condicionais”, podem ser verdadeiros quando interpretados simplesmente porque a parte condicional “se . . . ” não é satisfeita pelo modelo. Exemplo 1.19 Sejam p a sentença “dois ângulos opostos pelo vértice” e q a sentença “dois ângulos congruentes.” Então comprove intuitivamente a tabela da sentença p → q sendo verdadeira se pudermos desenhar o diagrama dos ângulos, caso contrário, falsa, confira Figura 1.9.

Figura 1.9: Tabela de Verdade.

p q p→q V V V V F F F V V F F V

(∼ p) ∨ q V F V V

Seja Σ um sistema de axiomas. Diremos que Σ é satisfatório se ele admitir uma interpretação. Exemplo 1.20 Os sistemas de axiomas E e F da Observação 1.6 e do Exemplo 1.13, respectivamente, são satisfatórios.

1.3. CARACTERIZAÇÃO DE UM SISTEMA DE AXIOMAS

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Vamos determinar um método de verificarmos a consistência de um sistema de axiomas Σ. Para isso, vamos relembrar dois princípios da lógica clássica (Aristoteliana). Seja p uma sentença (ou proposição). Então: 1. Princípio da contradição. Se p é verdadeira, então ∼ p é falsa, isto é, dadas duas proposições contraditórias uma delas é falsa. Em símbolos, ∼ [p ∧ (∼ p)]. 2. Princípio do terceiro excluído. p ou ∼ p é sempre verdadeira, isto é, dadas duas proposições contraditórias pelo menos uma delas é sempre verdadeira. Em símbolos, p ∨ (∼ p). Exemplo 1.21 Seja p a proposição “hoje é quarta-feira.” O princípio da contradição vale, pois hoje não pode ser ambos quarta-feira e quinta-feira. O princípio do terceiro excluído afirma p ou ∼ p é sempre verdadeira. Exemplo 1.22 Seja A um conjunto e P (x) uma propriedade “a qual é significativa para cada elemento x em A.” O princípio do terceiro excluído afirma ou existe um x ∈ A tal que P (x) é verdadeira ou ao contrário, P (x) é falsa, para todo x ∈ A. Seja Σ um sistema de axiomas. Uma Σ-proposição é uma proposição que pode ser expressa com base nos termos indefinidos e universais de Σ. Exemplo 1.23 Os axiomas e teoremas de Σ são Σ-proposições. Vamos enunciar mais dois princípios da lógica aplicados ao sistema de axiomas Σ. L1 Todas as proposições implicadas pelos axiomas de Σ, são verdadeiras para todos os modelos de Σ. L2 O princípio da contradição se aplica a todas as proposições sobre um modelo de Σ, desde que elas sejam Σ-proposições cujos termos técnicos tenham os significados dados na interpretação.

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO

Sejam Σ um sistema de axiomas e I uma interpretação de Σ. Uma (Σ, I)proposicão é o resultado de atribuirmos aos termos técnicos de uma Σ-proposição seus significados em I. Assim, os princípios (L1 ) e (L2 ) podem ser enunciados como seguem: 0

L1 Toda (Σ, I)-proposição, tal que a correspondente Σ-proposição é implicada por Σ, é verdadeira para M(I). 0

L2 (Σ, I)-proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras para M(I). Teorema 1.24 Seja Σ um sistema de axiomas. Se Σ é satisfatório, então ele é consistente. Prova. Suponhamos, por absurdo, que Σ seja inconsistente. Então existem duas Σ-proposições contraditórias em Σ. Como Σ é satisfatório temos que 0 existe uma interpretação I para Σ. Logo, pelo princípio (L1 ), essas proposições podem ser vistas como (Σ, I)-proposições e são ambas verdadeiras para M(I), 0 o que contradiz o princípio (L2 ). Portanto, Σ é um sistema consistente. ¥ Observação 1.25 Seja Σ um sistema de axiomas. A existência de uma interpretação em Σ garante a sua consistência. Exemplo 1.26 A interpretação I = R garante a consistência do sistema de axiomas F do Exemplo 1.13. Sejam Σ um sistema de axiomas satisfatório e A1 , . . . , An os axiomas de Σ. Diremos que um axioma Aj é independente em Σ se o sistema de axiomas (Σ − Aj ) + (∼ Aj ) for satisfatório, ou seja, o sistema de axiomas Σ excluindo o axioma Aj mais a negação do axioma Aj é satisfatório. Observação 1.27 Sejam Σ um sistema de axiomas e A1 , . . . , An os axiomas de Σ. Se Aj for provado pelo sistema de axiomas Σ − Aj , então Aj não é independente. Neste caso, todo modelo que satisfaça Σ − Aj satisfaz necessariamente Aj (prove isso!) e, portanto, não podemos achar uma interpretação para Σ − Aj , que não seja interpretação de Aj .

1.3. CARACTERIZAÇÃO DE UM SISTEMA DE AXIOMAS

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Exemplo 1.28 O axioma E5 do sistema de axiomas E do Exemplo 1.5 é independente. Solução. Seja E6 o seguinte axioma: “existe uma reta r e um ponto P fora de r tal que não existe nenhuma reta s contendo P e paralela à reta r.” Afirmação. E6 =∼ E5 e (E − E5 ) + E6 é um sistema de axiomas satisfatório. De fato, seja M o conjunto de três moedas distintas, em que “moeda = ponto” e “par de moedas = reta.” Então é fácil verificar que os axiomas E1 , E2 , E3 e E4 de E são satisfeitos, mas o axioma E5 não é satisfeito. Assim, M é uma interpretação para (E − E5 ) + E6 . Portanto, (E − E5 ) + E6 é satisfatório e E5 é independente em E. ¥ Exemplo 1.29 O axioma F10 do sistema de axiomas F do Exemplo 1.13 é independente. Solução. Seja F13 o axioma: “para algum a ∈ K ∗ , não existe a−1 ∈ K tal que a · a−1 = a−1 · a = 1.” Afirmação. F13 =∼ F10 e (F − F10 ) + F13 é um sistema de axiomas satisfatório. De fato, o conjunto dos números inteiros Z, com as operações usuais de adição e multiplicação, é uma interpretação para (F − F10 )+F13 . Portanto, (F − F10 )+ F13 é satisfatório e F10 é independente em F. ¥ Exemplo 1.30 O axioma F5 do sistema de axiomas F do Exemplo 1.13 não é independente, ou seja, F − F5 implica F5 . Solução. Devemos provar que F5 é uma consequência do sistema de axiomas F − F5 . Primeiro vamos desenvolver (a + b) (1 + 1) de duas maneiras: Pelos axiomas F12 , F8 e F2 , obtemos (a + b) (1 + 1) = (a + b) · 1 + (a + b) · 1 = (a + b) + (a + b) = a + (b + a) + b.

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO

Por outro lado, pelos axiomas F12 , F8 e F2 , obtemos (a + b)(1 + 1) = a(1 + 1) + b(1 + 1) = (a + a) + (b + b) = a + (a + b) + b. Logo, a + (b + a) + b = a + (a + b) + b. Portanto, pelos axiomas F3 , F4 e F2 , obtemos a + b = [0 + (a + b)] + 0 = (−a) + [a + (a + b) + b] + (−b) = (−a) + [a + (b + a) + b] + (−b) = [0 + (b + a)] + 0 = b + a, que é o resultado desejado. Faça outra prova desenvolvendo (1 + a) (1 + b) de duas maneiras. ¥ Sabemos que com o sistema de axiomas E não podemos provar todos os teoremas da Geometria Plana. Na realidade vimos uma interpretação para o sistema E com apenas um número finito de pontos. É claro que isto não deveria ocorrer se fosse um sistema adequado para o estudo da Geometria Plana. Agora, vamos iniciar a noção de completividade de um sistema de axiomas, com a ideia de serem os axiomas desses sistemas suficientes para provarmos todos os teoremas, podemos afirmar que se encontrarmos um teorema tal que, tanto ele como sua negação não podem ser provados no sistema, então esse “teorema” é um candidato a um novo axioma do sistema. Seja Σ um sistema de axiomas. Diremos que Σ é independente se todos os axiomas de Σ o são. Exemplo 1.31 O sistema de axiomas F do Exemplo 1.13 não é independente.

1.3. CARACTERIZAÇÃO DE UM SISTEMA DE AXIOMAS

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Seja Σ um sistema de axiomas. Diremos que Σ é completo se não existir uma Σ-proposição p tal que p seja um axioma independente em Σ + p, isto é, os sistemas de axiomas Σ + p e Σ + (∼ p) sejam satisfatórios. Observação 1.32 Seja Σ um sistema de axiomas. Vimos que Σ é completo se for impossível adicioná-lo um novo axioma independente. Neste caso, os termos indefinidos devem permanecer os mesmos. Exemplo 1.33 O sistema de axiomas E do Exemplo 1.5 não é completo. Pois se E6 é o axioma: “existe no máximo quatro pontos”, então E +E6 e E +(∼ E6 ) são satisfatórios, um vez que, o primeiro admite a interpretação das quatro pessoas e o segundo admite a interpretação da Geometria Plana. Sejam Σ um sistema de axiomas e M1 , M2 dois modelos para Σ. Diremos que M1 é isomorfo a M2 se existir uma função bijetora de M1 sobre M2 que preserva as Σ-proposições. Exemplo 1.34 Sejam E6 o axioma: “existe no máximo quatro pontos” e E 0 = E + E6 um sistema de axiomas. Então os modelos M1 = M(I1 ) e M2 = M(I2 ) para E 0 são isomorfos, onde I1 = conjunto de quatro pessoas e I2 = conjunto de quatro moedas. Com a definição de isomorfismo à nossa disposição, podemos determinar um método que nos permita verificar a completividade de um sistema de axiomas. Este método baseia-se no seguinte conceito: Seja Σ um sistema de axiomas. Diremos que Σ é categórico se quaisquer dois modelos para Σ são isomorfos com relação a Σ. Teorema 1.35 Seja Σ um sistema de axiomas. Se Σ é categórico, então ele é completo. Prova. Suponhamos, por absurdo, que Σ não seja completo. Então existe uma Σ-proposição p tal que Σ + p e Σ + (∼ p) sejam satisfatórios. Logo, existe uma interpretação I1 para Σ + p e uma interpretação I2 para Σ + (∼ p). Como Σ é categórico temos que existe uma função bijetora ϕ : M(I1 ) → M(I2 )

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO

que preserva Σ-proposições, o que é uma contradição, pois p é verdadeira em M(I1 ) e falsa em M(I2 ). ¥ Para finalizarmoos esta seção vamos fazer alguns comentários sobre as vantagens do método axiomático: o primeiro é a “economia” que obtemos quando um sistema de axiomas Σ possui muitos modelos em diferentes ramos da matemática; pois um único teorema em Σ fornece um teorema em cada intepretação; sem que seja necessário uma prova especial uma vez que o teorema foi provado no sistema Σ. Outra grande vantagem do método axiomático que merece especial atenção é o carater de definição implícita. Embora a origem e o desenvolvimento matemático pode ocorrer por linhas inteiramente diversas, uma vez o conceito estabelecido, a sua caracterização axiomática é extremamente vantajosa. Por exemplo, o desenvolvimento do sistema de todos os números reais, que forma os fundamentos da moderna Análise, e evoluiu vagarosamente durante muitos séculos. Atualmente, como veremos neste texto, podemos dar uma definição axiomática precisa e estudarmos suas propriedades através de teoremas baseados nos axiomas. Muitos outros conceitos matemáticos se desenvolveram de modo análogo.

EXERCÍCIOS

1. Mostre que o axioma F9 do sistema de axiomas F do Exemplo 1.13 é independente. 2. Seja V o sistema de axiomas do Exercício 1 da Seção 1.2. (a) Mostre que V não é independente. (b) Mostre que o axioma V10 de V é independente. 3. Seja G o sistema de axiomas do Exercício 3 da Seção 1.2.

1.3. CARACTERIZAÇÃO DE UM SISTEMA DE AXIOMAS

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(a) Mostre que o conjunto dos números reais não nulos R∗ com a multiplicação usual é um modelo para G. (b) Mostre que o conjunto dos números racionais Q com a soma usual é um modelo para G. (c) O sistema de axiomas G é consistente? (d) O sistema de axiomas G é categórico? (e) Mostre que cada axioma de G é independente. 4. O sistema de axiomas A formado por um conjunto não vazio A de objetos (anel). Termos indefinidos: Objetos. O conjunto A é munido com duas operações binárias: + : A × A −→ A · : A × A −→ A e (a, b) 7−→ a + b (a, b) 7−→ a · b chamadas adição e multipicação tais que os seguintes axiomas são satisfeitos: A1 - Sejam a, b, c, d ∈ A. Se a = c e b = d, então a + b = c + d, isto é, a operação + está bem definida. A2 - a + (b + c) = (a + b) + c, para todos a, b, c ∈ A. A3 - Existe 0 ∈ A tal que a + 0 = 0 + a = a, para todo a ∈ A. A4 - Para cada a ∈ A, existe −a ∈ A tal que a+(−a) = (−a)+a = 0. A5 - a + b = b + a, para todos a, b ∈ A. A6 - Sejam a, b, c, d ∈ A. Se a = c e b = d, então a · b = c · d, isto é, a operação · está bem definida A7 - a · (b · c) = (a · b) · c, para todos a, b, c ∈ A. A8 - As operações binárias + e · são distributivas, isto é, para todos a, b, c ∈ A, a · (b + c) = a · c + a · b

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO e (a + b) · c = a · c + b · c. (a) Mostre que o conjunto dos números inteiros Z com a soma e a multiplicação usual é um modelo para A. (b) Mostre que o conjunto das matrizes M2 (R) com a soma e a multiplicação usual é um modelo para A. (c) Mostre que cada axioma de A é independente. (d) O sistema de axiomas A é consistente? (e) O sistema de axiomas A é categórico? (f) O sistema de axiomas A é completo? 5. Seja X um conjunto não vazio qualquer. Uma relação binária sobre X é uma função R : X × X −→ {0, 1} definida como ( 1, se x está relacionado com y R(x, y) = 0, se x não está relacionado com y. Quando R(x, y) = 1 é conveniente escrever xRy. Uma relação de equivalência sobre X é uma relação binária R sobre X tal que os seguintes axiomas são satisfeitos: R1 - xRx, para todo x ∈ X. R2 - Se xRy, então yRx, para todos x, y ∈ X. R3 - Se xRy e yRz, então xRz, para todos x, y, z ∈ X. (a) Seja X = Z×Z∗ . Para (a, b), (c, d) ∈ X, definimos a relação binária (a, b)R(c, d) ⇔ ad = bc. Mostre que X é um modelo para R. (b) Seja Y = {1, 2, 3}. Definimos a relação binária R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}. Mostre que Y é um modelo para R.

1.3. CARACTERIZAÇÃO DE UM SISTEMA DE AXIOMAS

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(c) O sistema de axiomas R é consistente? (d) O sistema de axiomas R é categórico? (e) Mostre que cada axioma de R é independente. 6. Seja X um conjunto não vazio qualquer. Uma relação de ordem (parcial) sobre X é uma relação binária P sobre X tal que os seguintes axiomas são satisfeitos: P1 - xPx, para todo x ∈ X. P2 - Se xPy e yPx, então x = y, para todos x, y ∈ X. P3 - Se xPy e yPz, então xPz, para todos x, y, z ∈ X. (a) Seja X = N. Para x, y ∈ X, definimos xPy ⇔ x divide y. Mostre que X é um modelo para P. (b) Sejam Y = {1, 2, 3} um conjunto e P(Y ) o conjunto das potências de Y . Para A, B ∈ P(Y ), definimos APB ⇔ A ⊆ B. Mostre que P(Y ) é um modelo para P. (c) O sistema de axiomas P é consistente? (d) O sistema de axiomas P é categórico? (e) Mostre que cada axioma de P é independente. 7. Seja X um conjunto não vazio qualquer. Uma ordem simples sobre X é uma relação binária ≺ sobre X tal que os seguintes axiomas são satisfeitos: S1 - Se x, y ∈ X, com x 6= y, então x ≺ y ou y ≺ x. S2 - Se x ≺ y, então x 6= y, para todos x, y ∈ X.

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO S3 - Se x ≺ y e y ≺ z, então x ≺ z, para todos x, y, z ∈ X. (a) Mostre que se x, y ∈ X, então x ≺ y ou y ≺ x e não ambos (b) Sejam X = R e x < y significa que “x está à esquerda de y.” Mostre que X é um modelo para ≺. (c) Sejam X = N e x < y significa que “x é menor do que y.” Mostre que X é um modelo para ≺. (d) O sistema ≺ é consistente? (e) O sistema de axiomas ≺ é categórico? 8. Seja X um conjunto não vazio qualquer. Uma coleção T de subconjuntos de X, chamados abertos de X, é uma topologia sobre X se os seguintes axiomas são satisfeitas: T1 - ∅, X ∈ T . T2 - A união de um número qualquer de conjuntos de T pertence a T. T3 - A interseção de dois conjuntos quaisquer de T pertence a T . (a) Mostre que o conjunto dos intervalos abertos da reta real R é um modelo para T . (b) Sejam X = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {∅, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4, 5}, X}. Mostre que B é um modelo para T . (c) O sistema T é consistente? (d) O sistema de axiomas T é categórico?

Respostas e/ou Soluções É importante observar que os exercícios deste Capítulo constam de dois objetos: Um conjunto de “pontos” P e um conjunto de “retas” R formado de subconjuntos de P .

1.3. CARACTERIZAÇÃO DE UM SISTEMA DE AXIOMAS

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Seção 1.2 1. Vamos provar apenas os itens (a) e (e): (a) Suponhamos que exista outro vetor 00 ∈ V tal que u + 00 = u, para todo u ∈ V . Então, pelo axioma V3 , obtemos 0 = 0 + 00 = 00 . (e) Pelo axioma V3 , u+0 = u, para todo u ∈ V . Em particular, 0+0 = 0. Logo, pelos axiomas V6 e V9 , obtemos a0 = a(0 + 0) = a0 + a0. Portanto, pelo item (a), a0 = 0. 2. É fácil verificar que C munido com as operações + : C × C −→ C · : R × C −→ C e (z, w) 7−→ z + w (a, z) 7−→ a · z satisfaz o sistema de axiomas V, pois R é um subcorpo de C e essas operações já existem de modo natural em C. 3. Vamos provar apenas o item (c). É claro que x0 = a−1 · b é uma solução da equação a · x = b, pois pelos axiomas G2 , G4 e G3 , obtemos a · x0 = a · (a−1 · b) = (a · a−1 ) · b = e · b = b. Agora, se x1 é outra solução da equação a · x = b, então, pelos axiomas G3 , G4 e G2 , obtemos x1 = e · x1 = (a−1 · a) · x1 = a−1 · (a · x1 ) = a−1 · b = x0 . 4. Dados A, B ∈ GL 2 (R). Então, pelo Teorema de Binet-Cauchy, obtemos det(AB) = det(A) det(B) 6= 0. Logo, AB ∈ GL 2 (R), isto é, o produto usual de matrizes satisfaz o axioma G1 . É claro que essa operação satisfaz o axioma G2 e a matriz

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO identidade I2 satisfaz o axioma G3 . Se A ∈ M2 (R) é tal que det(A) 6= 0, então, com alguns cálculos, obtemos # " # " a a −a a 1 22 12 11 12 A−1 = , em que A = . det(A) −a21 a11 a21 a22 Como det(A−1 ) = (det(A))−1 6= 0 temos que A−1 ∈ GL 2 (R) e AA−1 = A−1 A = I2 , ou seja, GL 2 (R) satisfaz o axioma G4 .

Seção 1.3 1. Seja F13 o axioma: “K possui no máximo dois elementos.” Então F13 =∼ F9 e (F − F9 ) + F13 é um sistema de axiomas satisfatório. De fato, o conjunto K = {0, 1}, com as operações binárias definidas via tabelas: ⊕ 0 1 0 0 1 1 1 0

e

· 0 1 0 0 0 1 0 1

é uma interpretação para (F − F9 ) + F13 . Portanto, (F − F9 ) + F13 é satisfatório e F9 é independente em F. Note que para provar que K satisfaz a maioria dos axiomas de F, basta verificar que a função f : Z → K definida como ( 0, se n par f (n) = 1, se n ímpar é sobrejetora e satisfaz as propriedades f (m + n) = f (m) ⊕ f (n) e f (mn) = f (m) · f (n). 2. (a) Use o mesmo argumento do Exemplo 1.28 para provar que o axioma V5 não é independente.

1.3. CARACTERIZAÇÃO DE UM SISTEMA DE AXIOMAS

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(b) Seja V11 o axioma: “existe u ∈ V tal que 1·u 6= u.” Então V11 =∼ V10 e (V − V10 )+V11 é um sistema de axiomas satisfatório. De fato, o conjunto V = R2 munido com as operações de adição e multiplicação por escalar u + v = (x1 + y1 , x2 + y2 ) e a · u = (ax1 , 0), onde u = (x1 , x2 ), v = (y1 , y2 ) ∈ V e a ∈ R, é uma interpretação para (V − V10 ) + V11 . Portanto, (V − V10 ) + V11 é satisfatório e V10 é independente em V. 3. (a) É fácil verificar que R∗ munido com a operação binária · : R∗ × R∗ −→ R∗ (a, b) 7−→ a · b satisfaz o sistema de axiomas G. (b) Novamente, é fácil verificar que Q munido com a operação binária + : Q × Q −→ Q (a, b) 7−→ a + b satisfaz o sistema de axiomas G. (c) O sistema de axiomas G é consistente, pois o item (a) ou (b) serve como uma interpretação para G. (d) Não, os modelos M(R∗ ) e M(Q) não são isomorfos. (e) Vamos provar apenas que os axiomas G2 e G4 são independentes. Seja G5 o axioma: “existem a, b, c ∈ G tais que a · (b · c) 6= (a · b) · c.” Então G5 =∼ G2 e (G − G2 ) + G5 é um sistema de axiomas satisfatório, pois o conjunto G = {±1, ±i, ±j, ±k, ±l, ±il, ±jl, ±kl}

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO com a operação · sobre G definida via tabela · 1 i j k l il jl kl 1 1 i j k l il jl kl i i −1 k −j il −l −kl jl j j −k −1 i jl kl −l il k k j −i −1 kl −jl il −l l l −il −jl −kl −1 i j k il il l −kl jl −i −1 −k j jl jl kl l −il −j k −1 −i kl kl −jl il l −k −j i −1 é uma interpretação para (G − G2 ) + G5 . Por exemplo, se a = l, b = il e c = jl, então a(bc) = l(−k) = kl e (ab)c = i(jl) = −kl, ou seja, a(bc) 6= (ab)c. Portanto, (G − G2 ) + G5 é satisfatório e G2 é independente em G. Agora, seja G6 o axioma: “para algum a ∈ G, a 6= e, não existe a−1 ∈ G tal que a · a−1 = a−1 · a = e.” Então G6 =∼ G4 e (G − G4 ) + G6 é um sistema de axiomas satisfatório, pois o conjunto dos números inteiros Z∗ , com a operação usual de multiplicação, é uma interpretação para (G − G4 )+G6 . Portanto, (G − G4 )+G6 é satisfatório e G4 é independente em G. 4. (c) Vamos provar apenas que o axioma A7 é independente. Seja A9 o axioma: “existem a, b, c ∈ A tais que a · (b · c) 6= (a · b) · c.” Então A9 =∼ A7 e (A − A7 ) + A9 é um sistema de axiomas satisfatório, pois o conjunto S = {A ∈ M2 (R) : At = A},

1.3. CARACTERIZAÇÃO DE UM SISTEMA DE AXIOMAS

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com a soma usual e a multiplicação · sobre S definida como 1 A · B = (AB + BA) 2 é uma interpretação para (A − A7 ) + A9 . Portanto, (A − A7 ) + A9 é satisfatório e A7 é independente em A. (f ). Não é completo, pois se A9 é o axioma: “a · b = b · a, ∀ a, b ∈ A”, então A + A9 e A + (∼ A9 ) são satisfatórios, um vez que, o primeiro admite a interpretação do item (a) e o segundo admite a interpretação do item (b). 5. (e) Vamos provar apenas que o axioma R1 é independente. Seja R4 o axioma: “existe x ∈ X tal que x não está relacionado com x, isto é, R(x, x) = 0.” Então R4 =∼ R1 e (R − R1 )+R4 é um sistema de axiomas satisfatório, pois o conjunto X = {1, 2, 3}, com a relação binária R1 = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}, é uma interpretação para (R − R1 ) + R4 . Portanto, (R − R1 ) + R4 é satisfatório e R1 é independente em R. 6. (e) Vamos provar apenas que o axioma P2 é independente. Seja P4 o axioma: “existem x, y ∈ X tais que xPy e yPx, mas x 6= y.” Então P4 =∼ P2 e (P − P2 ) + P4 é um sistema de axiomas satisfatório, pois o conjunto X = Z, com a relação binária xPy ⇔ x divide y, é uma interpretação para (P − P2 ) + P4 . Neste caso, x divide −x e −x divide x, mas x 6= −x. Portanto, (P − P2 ) + P4 é satisfatório e P2 é independente em P. 7. Vamos provar apenas o item (a). Se x ≺ y e y ≺ x, então, pelo axioma S3 , obtemos x ≺ x, o que impossível.

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CAPÍTULO 1. O MÉTODO AXIOMÁTICO 8. (a) Seja I o conjunto dos intervalos abertos de R. É claro que ∅, R ∈ T . Seja [ J= Iλ λ∈Λ

uma união qualquer de intervalos abertos de I. Então devemos provar que J é um intervalo aberto, ou seja, dado x ∈ J, existe > 0 tal que x ∈ (x − , x + ) ⊆ J. Dado x ∈ J, existe λ ∈ Λ tal que x ∈ Iλ . Como Iλ é um intervalo aberto temos que existe > 0 tal que x ∈ (x − , x + ) ⊆ Iλ . Portanto, x ∈ (x − , x + ) ⊆ Iλ ⊆ J

eJ ∈T. Finalmente, dados intervalos abertos I1 e I2 de I. Então devemos provar que I1 ∩ I2 é um intervalo aberto. Dado x ∈ I1 ∩ I2 , obtemos x ∈ I1 e x ∈ I2 . Assim, existem 1 > 0 e 2 > 0 tais que x ∈ (x − 1 , x +

1)

⊆ I1 e x ∈ (x − 2 , x + 2 ) ⊆ I2 .

Pondo = min{ 1 , 2 }, obtemos x ∈ (x − , x + ) ⊆ I1 ∩ I2 . Portanto, I1 ∩ I2 ∈ T , ou seja, I é um modelo para T . (b) Verificação direta de união e interseção de conjuntos. (c) Sim, pois o item (a) ou (b) é um modelo. (d) Não, os modelos M(I) e M(B) não são isomorfos.

Capítulo 2 Conjuntos A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 por Cantor (Georg Cantor, 1845-1918, matemático alemão), quando investigava o problema de unicidade da representação de funções por séries trigonométricas. Foi aperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos, entre eles, Zermelo (Ernst Zermelo, 1871-1956, matemático alemão), Skolem (Thoralf Albert Skolem, 1887-1963, matemático norueguês), Fraenkel (Adolf Fraenkel, 1891-1965, matemático alemão), Gödel (Kurt Gödel, 1906-1978, matemático austríaco), von Neumann (John von Neumann, 1903-1957, matemático húngaro), entre outros. O que se estuda deste assunto no ensino fundamental, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos, base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análise combinatória, probabilidades etc. Neste capítulo vamos nos dedicar ao estudo dos conjuntos via método axiomático. É comum na Teoria dos Conjuntos, se ouvirem frases como: (...) um “conjunto” é qualquer coleção, dentro de um todo de objetos definidos e distinguíveis, chamados de elementos ou membros, de nossa intuição ou pensamento. G. Cantor (1895). (...) por “conjunto” nada mais do que um objeto do qual se sabe não mais e quer-se saber não mais do que aquilo que se segue dos postulados. 35

36

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

J. von Neumann (1928). Estas e outras afirmações sobre definições de conjuntos vão ser contornadas via método axiomático, em que “conjunto” é um termo indefinido.

2.1

Introdução Histórica

É importante observar que o matemático usa a palavra “definição” em um sentido diferente daquele do dicionário, ou seja, quando um matemático dá uma definição, pretende-se que não será um mero sinônimo que o leitor possa saber o significado, mas um critério para identificação; uma “caracterização” da coisa definida. Um paradoxo ou antinomia é uma contradição entre duas proposições ou princípios. Tomando uma abordagem informal ou ingênua que qualquer coleção de objetos é um conjunto, podem ocorrer os seguintes fatos: - Se A é o conjunto de todos os animais, então A ∈ / A “conjunto”. - Se N é o conjunto de todos os “números naturais”, então N ∈ / N “conjunto”. - Se B é o conjunto de todas as coisas abstratas, então B ∈ B “classe”. - Se C é o conjunto de todos os conjuntos, então C ∈ C “classe”. Pelos fatos acima vimos que um conjunto de objectos é bem definido, desde que seja sempre possível determinar se ou não um elemento particular pertence ao conjunto. Vamos apresentar os paradoxos de Russell (Bertrand Arthur William Russell, 1872-1970, matemático e filósofo inglês). Paradoxo Lógico (1902) - Sejam C um conjunto e R = {A ∈ C : A ∈ / A}. Então: 1. R ∈ R.

2.1. INTRODUÇÃO HISTÓRICA

37

2. R ∈ / R. Solução. Primeiro note que como A pode assumir qualquer objeto da teoria temos, em particular, que ele pode assumir o “conjunto” R. (1) R ∈ R é impossível, pois se R ∈ R, então, por definição, R ∈ / R, o que é uma contradição. (2) R ∈ / R é impossível, pois se R ∈ / R, então, por definição, R ∈ R, o que é uma contradição. Portanto, R∈R⇔R∈ / R, o que contradiz o princípio do terceiro excluído.

¥

O paradoxo Russell é equivalente a: em uma cidade tem um barbeiro que faz a barba somente dos homens que não se barbeiam a si mesmo. Pergunta: Quem faz a barba do barbeiro? Paradoxo Semântico (1906, atribuído por Russell a G. G. Berry) - Seja T = {x : x é um número inteiro positivo que pode ser descrito por uma frase com menos de vinte palavras da língua portuguesa}. Então existe um inteiro positivo x0 tal que 1. x0 ∈ / T. 2. x0 ∈ T . Solução. Suponhamos que as palavras da língua portuguesa estejam catalogadas em um dicionário. Então T é finito, pois um dicionário contém apenas um número finito de palavras e o número de frases envolvendo menos de vinte palavras é finito. Assim, existem inteiros positivos (infinitos) que são maiores do que todos os outros inteiros positivos de T . Portanto, existe um menor inteiro positivo x0 que é maior do que todos os inteiros positivos de T . Então x0 ∈ / T . Por outro lado, como x0 = menor inteiro positivo que não pode ser descrito por uma frase com menos de vinte palavras da língua portuguesa (19 palavras) temos que x0 ∈ T , o que contradiz o princípio do terceiro excluído. ¥

38

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

Com o surgimento dos paradoxos houve muita controvérsia por parte dos matemáticos da época. Mas, com o trabalho de Dedekind (Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831- 1916, matemático alemão) em 1888 mostrando que os nossos “números naturais” podem ser construídos por meio da teoria elementar dos conjuntos: 0 = ∅, 1 = {∅}, 2 = {∅, {∅}} . . . a teoria passou a ser aceita. Enunciaram-se, em 1905, várias correntes para contornar os paradoxos, as quais podemos classificar em três grupos: Axiomático, Logicista e Intuicionista. A primeira axiomatização da Teoria dos Conjuntos foi dada por Zermelo em 1908, com certas modificações em 1922 devidas a Skolem e Fraenkel. No sistema de axiomas ZF os termos indefinidos e relações indefinidas são: conjunto, pertinência e igualdade.

2.2

Conjuntos

Embora a ideia intuitiva de conjunto dada, no curso de Matemática Elementar, seja suficiente para os nossos propósitos, uma exposição geral da Teoria dos Conjuntos requer mais precisão, pois a não axiomatização da Teoria dos Conjuntos nos leva a várias contradições. Sendo assim, nesta seção iniciaremos o estudo formal da Teoria dos Conjuntos segundo Zermelo-Fraenkel. Neste contexto formal, uma classe é qualquer coleção de objetos (conjuntos) C tal que dado qualquer objeto X é possível determinar se X ∈ C ou se X ∈ / C, ou seja, C = {X : X é um conjunto com a propriedade P }. Uma classe que não é um conjunto é chamada de classe própria. Por exemplo, R = {A : A é um conjunto e A ∈ / A}. Portanto, uma classe A é um conjunto se existir uma classe C tal que A ∈ C. Salvo menção explícita em contrário, os objetos considerados neste texto são conjuntos.

2.2. CONJUNTOS

39

Antes de iniciarmos o estudo formal da Toeria de Conjuntos vamos rever os sinais em uma Teoria Matemática M: Os sinais lógicos: ∼, ∨, ∧ . . . As letras: a, b, c, d . . .; A, B, C, D . . . Os sinais específicos: =, ∈, ⊆ . . . O símbolo ∃! significa existe um único. O símbolo := significa por definição. Uma sentença (ou uma fórmula) em M é uma sucessão de sinais de M do tipo ∀ x ∃ y ∀ z : p(x, y, z). Lê-se “para cada x existe um y tal que, para cada z, p(x, y, z) é verdadeira”, sua negação é ∃ x ∀ y ∃ z : ∼ p(x, y, z). Lê-se “existe um x para cada y tal que, existe z, p(x, y, z) é falsa.” Note que na negação mantivemos a ordem das variáveis. O principal objetivo de introdução de símbolos, é facilitar a escrita e a leitura das definições e resultados em Matemática, ou seja, são imprescindíveis para uma boa compreenção de M. Finalmente, é pertinente lembrar que a construção de M (vista no Capítulo 1) é do seguinte modo: 1. Definimos os axiomas explícitos (relações) em M; 2. Definimos uma ou mais regras (axiomas implícitos) sobre M, chamadas operações sobre M. As letras a, b, c, d, . . . serão usadas, preferencialmente, para indicar elementos e A, B, C, D, . . . elementos ou conjuntos. Assim, se x é um elemento e existe um conjunto A tal que x ∈ A, diremos que x é um elemento de A. (um objeto que não é uma coleção, por exemplo, um ponto sobre uma reta de Euclides)

40

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

Sejam A e B conjuntos. Diremos que A e B são iguais se, e somente se, eles têm os mesmos elementos. Em símbolos, ∀ A ∀ B [A = B ⇔ ∀ x [x ∈ A ⇒ x ∈ B e x ∈ B ⇒ x ∈ A]] ou, simplesmente, A = B ⇔ ∀ x [x ∈ A ⇔ x ∈ B]. Esta definição implica a seguinte propriedade: ∀ A ∀ B [∀ x [x ∈ A e A = B] ⇒ x ∈ B. Essa propriedade é nosso primeiro axioma. ZF1 - Axioma da extensão. ∀ A ∀ x [[x ∈ A e x = y] ⇒ y ∈ A]. O axioma ZF1 significa que um conjunto é completamente determinado pelos seus elementos. É importante observar que o axioma ZF1 pode ser visto como uma lei que relaciona o conceito indefinido de pertinência com o conceito indefinido de igualdade. Além disso, ele garante a unicidade dos conjuntos. Sejam A e B conjuntos. Diremos que A está contido em B ou A é um subconjunto de B ou que B é uma extensão de A se qualquer elemento de A é um elemento de B, em símbolos, ∀ A ∀ B [A ⊆ B ⇔ ∀ x [x ∈ A ⇒ x ∈ B]] ou, simplesmente, A ⊆ B ⇔ ∀ x [x ∈ A ⇒ x ∈ B] Neste caso, A = B significa que A ⊆ B e B ⊆ A. Se A ⊆ B e A 6= B (∼ [A = B]), diremos que A está contido propriamente em B ou A é um subconjunto próprio de B e denotaremos por A ⊂ B. Teorema 2.1 Sejam A, B e C conjuntos. Então: 1. A = A.

2.2. CONJUNTOS

41

2. A = B ⇒ B = A. 3. A = B e B = C ⇒ A = C. 4. A ⊆ A. 5. A ⊆ B e B ⊆ A ⇒ B = A. 6. A ⊆ B e B ⊆ C ⇒ A ⊆ C. Prova. Vamos provar apenas o item (3). A = B ⇔ ∀ x [x ∈ A ⇒ x ∈ B e x ∈ B ⇒ x ∈ A] e B = C ⇔ ∀ x [x ∈ B ⇒ x ∈ C e x ∈ C ⇒ x ∈ B]. Pela primeira e terceira dessas afirmações, obtemos ∀ x [x ∈ A ⇒ x ∈ C] ⇔ A ⊆ C. Pela quarta e segunda dessas afirmações, obtemos ∀ x [x ∈ C ⇒ x ∈ A] ⇔ C ⊆ A. ¥

Portanto, A = C.

ZF2 - Axioma da construção de conjuntos. Seja P (x) uma propriedade ou uma afirmação com relação a x, a qual pode ser expressa inteiramente em termos dos símbolos ∈, =, ∨, ∧, ∼, ⇒, ∃, ∀, colchetes e variáveis livres x, y, z, A, B, C . . . Então existe um conjunto C que consiste de todos os elementos x que satisfazem P (x), que denotaremos por C = {x : P (x)}.

42

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

e lê-se: “o conjunto de todos os elementos x que satisfazem a propriedade P (x).” Formalmente, ∃ C ∀ x [x ∈ C ⇔ P (x)]. Observação 2.2 1. O axioma ZF2 é também conhecido como Axioma do subconjunto, Axioma da separação, Axioma da compreensão, ou ainda, Axioma de especificação. Esse axioma é na verdade uma “família” de axiomas, pois para cada propriedade P (x) temos um axioma. 2. Note que o axioma ZF1 , garante que o conjunto C é unicamente determinado, pois se D é o conjunto de todos os elementos x que satisfazem P (x), então qualquer elemento de C é um elemento de D e vice-versa. Portanto, C = D. 3. Em geral, a propriedade P (x) é uma fórmula. 4. O axioma ZF2 nos permite formar o conjunto de todos os “elementos” x que satisfazem P (x), mas não o conjunto de todas os “conjuntos” x que satisfazem P (x). Assim, eliminamos todos os paradoxos lógicos. Formalmente, se P (x) é a afirmação ∼ [x ∈ x] = x ∈ / x, então ∃ C ∀ x [x ∈ C ⇔ x ∈ / x]. Em particular, se x = C, então C∈C⇔C∈ / C, o que é impossível. Portanto, C é uma classe própria. 5. O axioma ZF2 admite somente as afirmações P (x) que podem ser escritas inteiramente em forma de símbolos ∈, =, ∨, ∧, ∼, ⇒, ∃, ∀, colchetes e variáveis livres x, y, z, A, B, C . . . Assim, eliminamos todos os paradoxos semânticos.

2.2. CONJUNTOS

43

Agora vamos apresentar as operações Booleanas (George Boole, 1815-1864, matemático e lógico inglês). Sejam A e B conjuntos. A união ou a reunião de A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou B ou ambos. Em símbolos, ∀ A ∀ B [∀ x [x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B] ou, simplesmente, A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}. A interseção de A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a ambos os conjuntos A e B. Em símbolos, ∀ A ∀ B [∀ x [x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A e x ∈ B]] ou, simplesmente, A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}. Note, pelo axioma ZF2 , que os conjuntos A ∪ B e A ∩ B estão bem definidos. O “conjunto” universal U é um conjunto que tem a propriedade de conter como subconjuntos todos os conjuntos em pauta. Em símbolos, ∀ A ∃ U [∀ x [x ∈ U ⇔ x ∈ A e x = x]] ou, simplesmente, U = {x : x = x}. Neste caso, P (x) é a afirmação x = x. É importante lembrar que o conjunto universal não existe, mas a “classe universal” é a classe de todos os conjuntos. Por isso, adotamos esta convensão de conjunto universal. O conjunto vazio ∅ é o conjunto sem nenhum elemento. Em símbolos, ∀ A ∃ ∅ [∀ x [x ∈ ∅ ⇔ x ∈ A e x 6= x]] ou, simplesmente, ∅ = {x : x 6= x}.

44

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

Neste caso, P (x) é a afirmação x 6= x. A existência do conjunto vazio será dada pelo axioma ZF9 . Note que se existem conjuntos A e B sem elementos, então A = B. De fato, ∀ x [x ∈ A ⇒ x ∈ B], é uma afirmação verdadeira, pois é uma implicação com um antecedente falso (confira Exemplo 1.19). De modo inteiramente análogo, prova-se a outra inclusão. Sejam A e B conjuntos. Diremos que A e B são disjuntos se eles não têm elementos em comum. Em símbolos, A ∩ B = ∅. •

Neste caso, o símbolo ∪ significa união disjunta. O complementar de A é o conjunto de todos os elementos que não pertencem a A. Em símbolos, / A}. A0 = {x : x ∈ Assim, ∀ x [x ∈ A0 ⇔ x ∈ / A]. A diferença de A e B é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B. Em símbolos, A − B = {x : x ∈ A e x ∈ / B}. Logo, ∀ x [x ∈ A − B ⇔ x ∈ A e x ∈ / B]. Note que A − B = A ∩ B 0 e, pelo axioma ZF2 , que o conjunto A − B está bem definido. Além disso, pelo o axioma ZF1 , A 6= B ⇒ ∃ x [x ∈ A − B ou x ∈ B − A] ⇔ (A − B) ∩ (B − A) = ∅. Como (A ∪ A) − A 6= A ∪ (A − A) temos que a localização dos parênteses na diferença de conjuntos é importante.

2.2. CONJUNTOS

45

É instrutivo observar que o relacionamento entre os conjuntos pode ser representado graficamente por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, quando a linha fechada for um círculo, chama-se diagrama de Venn, (John Venn, 1834-1923, matemático inglês). Teorema 2.3 Sejam A, B e C conjuntos. Então: 1. ∅ ⊆ A e A ⊆ U. 2. A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B. 3. A ∩ B ⊆ A e A ∩ B ⊆ B. 4. A ⊆ B se, e somente se, A ∪ B = B se, e somente se, A ∩ B = A. 5. A ∪ (A ∩ B) = A e A ∩ (A ∪ B) = A. 6. (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0 e (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0 (Lei de De Morgan). 7. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. 8. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Prova. Vamos provar apenas uma afirmação do item (6). ∀ x [x ∈ (A ∪ B)0 ⇔ x ∈ / (A ∪ B) ⇔ x ∈ /A e x∈ /B ⇔ x ∈ A0 e x ∈ B 0 ⇔ x ∈ (A0 ∩ B 0 )],

¥

que é o resultado desejado.

EXERCÍCIOS

1. Sejam A, B subconjuntos de U e X um subconjunto de U com as seguintes propriedades: (a) A ⊆ X e B ⊆ X.

46

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS (b) Se A ⊆ Y e B ⊆ Y , então X ⊆ Y , para todo Y ⊆ U. Mostre que X = A ∪ B. 2. Enuncie e demonstre um resultado análogo ao Exercício 1, caracterizando A ∩ B. 3. Sejam A, B, C e D conjuntos. (a) Mostre que se A ⊆ B e C ⊆ D, então (A ∪ C) ⊆ (B ∪ D) e (A ∩ C) ⊆ (B ∩ D). (b) Mostre que se A = B e C = D, então (A ∪ C) = (B ∪ D) e (A ∩ C) = (B ∩ D). 4. Sejam A e B conjuntos. Mostre que: (a) A − A = ∅. (b) A − B = A − (A ∩ B) = (A ∪ B) − B. (c) (A − B) ∩ (B − A) = ∅. (d) A − B = B 0 − A0 . (e) A = (A ∩ B) ∪ (A − B). (f) A ∪ B = (A ∩ B) ∪ (A − B) ∪ (B − A). (g) (A − B) − C = A − (B ∪ C). (h) A − (B − C) = (A − B) ∪ (A ∩ C). (i) A ∪ (B − C) = (A ∪ B) − (C − A). (j) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (C ∩ A). 5. Sejam A e B conjuntos. (a) Mostre que A ∪ B = A ∪ (B − A), com A ∩ (B − A) = ∅. (b) Mostre que B = (A ∩ B) ∪ (B − A), com (A ∩ B) ∩ (B − A) = ∅.

2.2. CONJUNTOS

47

6. Vamos definir a operação de “+” em conjuntos como segue: se A e B são conjuntos, então A + B = (A ∩ B 0 ) ∪ (A0 ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A). Mostre que: (a) A + ∅ = A. (b) A + B = ∅ ⇔ A = B. (c) A + B = (A ∪ B) − (B ∩ A). (d) A + B = B + A. (e) A + B = A + C ⇒ B = C. (f) (A + B)0 = (A ∩ B) ∪ (A0 ∩ B 0 ). (g) A + (B + C) = (A + B) + C. (h) A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C). (i) A ∪ C = B ∪ C ⇔ A + B ⊆ C. (j) (A ∪ C) + (B ∪ C) = (A + B) − C. 7. Sejam A um conjunto qualquer e R = {x ∈ A : x ∈ / x}. Mostre que R é um conjunto e R ∈ / A. Conclua que a coleção de todos os conjuntos não é um conjunto. 8. Mostre que o conjunto ∅ é caracterizado pelas seguintes condições: (a) ∅ ⊆ A, para todo conjunto A. (b) Se B é um conjunto tal que B ⊆ A, para todo conjunto A, então B = ∅.

48

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

2.3

Gráficos e Famílias

Seja a um elemento. Então, pelo axioma ZF2 , obtemos o conjunto {a} = {x : x = a} Assim, a é o único elemento do conjunto {a} e x ∈ {a} significa que x = a. Sejam a e b elementos. Então, pelo axioma ZF2 , obtemos o conjunto {a, b} = {x : x = a ou x = b} = {a} ∪ {b}. Note que {a, b} = {b, a}. De modo inteiramente análogo, obtemos os conjuntos {a, b, c}, {a, b, c, d} e, assim por diante. Isto motiva o axioma. ZF3 - Axioma do par (não ordenado). Se a e b são elementos, então {a, b} é um elemento. Em símbolos, ∀ a ∀ b ∃ c [c = {a, b}] Observação 2.4 1. O axioma ZF3 é equivalente a: dados conjuntos quaisquer existe um conjunto ao qual eles pertencem. Mais precisamente, dados conjuntos quaisquer A e B, existe um conjunto C tal que ∀ x [x ∈ C ⇔ x ∈ A ou x ∈ B], ou seja, ∀ A ∀ B ∃ C [∀ x [x ∈ C ⇔ x ∈ A ou x ∈ B]]. Neste caso, A 6= C, caso contrário, A ∈ A, o que é impossível. 2. É claro que {a, a} = {a}. Assim, fazendo a = b no axioma ZF3 , obtemos “se a é um elemento, então {a} é um elemento”, ou seja, existem conjuntos unitários. Em particular, ∅ e {∅} são conjuntos distintos. Neste caso, existe uma “infinidade” de conjuntos.

2.3. GRÁFICOS E FAMÍLIAS

49

3. Note que a ∈ A se, e somente se, {a} ⊆ A. 4. Se A é um conjunto, então {x ∈ A : x = x} = {x : x ∈ A} = A. Teorema 2.5 Se {x, y} = {u, v}, então [x = u e y = v] ou [x = v e y = u]. Prova. Há dois casos a serem considerados: 1.o Caso. Se x = y, então, pelo axioma ZF1 , {x, y} = {x}. Portanto, por hipótese, x = u = v = y. 2.o Caso. Se x 6= y, então, pelo axioma ZF1 , [x = u ou x = v] e [y = u ou y = v]. Se x = u e y ∈ {u, y} = {u, v}, então y = v, pois x 6= y. Se x = v e y ∈ {v, y} = {u, v}, então y = u, pois x 6= y. Portanto, em qualquer caso, [x = u e y = v] ou [x = v e y = u], ¥

que é o resultado desejado.

Sejam a e b elementos. Então, aplicando o axioma ZF3 três vezes, temos que {{a}, {a, b}} é um conjunto o qual chama-se, devido a Kuratowski (Kazimierz Kuratowski, 1896-1980, matemático e lógico polonês), par ordenado. Em símbolos, (a, b) = {{a}, {a, b}}. Note que (b, a) = {{b}, {b, a}} = {{b}, {a, b}}. Neste caso, fica clara a distinção entre os pares ordenados (a, b) e (b, a). Teorema 2.6 Se (a, b) = (c, d), então a = c e b = d. Prova. Por definição, obtemos {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.

50

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

Então, pelo Teorema 2.5, [{a} = {c} e {a, b} = {c, d}] ou [{a} = {c, d} e {a, b} = {c}]. Se {a} = {c} e {a, b} = {c, d}, então a = c e, pelo Teorema 2.5, [a = c e b = d] ou [a = d e b = c]. Assim, a = c e b = d ou b = c = a = d. Se {a} = {c, d} e {a, b} = {c}, então a = c = d, pois c, d ∈ {c, d}. Por outro lado, b = c, pois b ∈ {a, b}. Portanto, a = b = c = d. ¥ Sejam A e B conjuntos. O produto cartesiano de A e B é a classe de todos os pares ordenados (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B. Em símbolos, A × B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B} = {x : x = (a, b), para algum a ∈ A e b ∈ B}. Teorema 2.7 Sejam A, B, C e D conjuntos. Então: 1. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C). 2. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C). 3. (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D). Prova. Vamos provar apenas o item (3). ∀ (x, y) [(x, y) ∈ (A × B) ∩ (C × D) ⇔ (x, y) ∈ A × B e (x, y) ∈ C × D ⇔ (x ∈ A e y ∈ B) e (x ∈ C e y ∈ D) ⇔ (x ∈ A e x ∈ C) e (y ∈ B e y ∈ D) ⇔ x∈A∩C e y ∈B∩D ⇔ (x, y) ∈ (A ∩ C) × (B ∩ D)], que é o resultado desejado.

¥

Um gráfico é qualquer conjunto de pares ordenados (x, y), isto é, qualquer subconjunto de U × U. Isto significa que ∃ G ∀ z [z ∈ G ⇒ z = (x, y)].

2.3. GRÁFICOS E FAMÍLIAS

51

Note que a relação (x, y) ∈ G significa que y está relacionado com x sob G, ou seja, G = {(x, y) : (x, y) ∈ G}. Observação 2.8 Intuitivamente, uma relação sobre um conjunto A é uma afirmação R(x, y) que é verdadeira ou falsa, para cada par ordenado (x, y) de elementos de A. No entanto, a representação gráfica de uma relação sobre A é um gráfico G ⊆ A × A que consiste de todos os pares (x, y) tal que R(x, y) é verdadeira. Reciprocamente, qualquer gráfico G ⊆ A × A define uma relação sobre A, a saber, a relação R tal que R(x, y) é verdadeira se, e somente se, (x, y) ∈ G. Se G é um gráfico, então G−1 é o gráfico definido como G−1 = {(x, y) : (y, x) ∈ G}. O domínio do gráfico G é definido como Dom(G) = {x : ∃ y tal que (x, y) ∈ G} e a imagem do gráfico G é definida como Im(G) = {y : ∃ x tal que (x, y) ∈ G}. Portanto, G ⊆ Dom(G) × Im(G). Neste caso, se Dom(G) = ∅ ou Im(G) = ∅, então G = ∅. Note que se A e B são conjuntos, então A × B é um gráfico, pois qualquer elemento de A está relacionado com qualquer elemento de B. O gráfico identidade sobre A é definido como IA = {(x, y) ∈ A × A : y = x}. Sejam G e H dois gráficos. Então o gráfico G ◦ H é definido como G ◦ H = {(x, y) : ∃ z tal que (x, z) ∈ H e (z, y) ∈ G}. Note, em geral, que G ◦ H 6= H ◦ G, pois se G = {(1, 2)} e H = {(0, 1)}, então G ◦ H = {(0, 2)} e H ◦ G = ∅.

52

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

Teorema 2.9 Sejam G, H e J gráficos. Então: 1. G ◦ (H ◦ J) = (G ◦ H) ◦ J. −1

2. (G−1 )

= G.

3. (G ◦ H)−1 = H −1 ◦ G−1 . 4. Dom(G) = Im(G−1 ) e Im(G) = Dom(G−1 ). 5. Dom(G ◦ H) ⊆ Dom H e Im(G ◦ H) ⊆ Im(G). Prova. Vamos provar apenas o item (3). ∀ (x, y) [(x, y) ∈ (G ◦ H)−1 ⇔ (y, x) ∈ G ◦ H ⇔ ∃ z tal que (y, z) ∈ H e (z, x) ∈ G

⇔ ∃ z tal que (x, z) ∈ G−1 e (z, y) ∈ H −1 ⇔ (x, y) ∈ H −1 ◦ G−1 ],

¥

que é o resultado desejado.

Seja I um conjunto não vazio. Se a cada elemento i ∈ I associarmos um conjunto Ai , o conjunto {Ai }i∈I = {Ai : i ∈ I} chama-se a família de conjuntos (indexada por I) e I chama-se o conjunto de índices para a família, sem nenhuma condição de que os conjuntos com índices distintos sejam diferentes ou não. Observe que qualquer conjunto C cujos elementos são conjuntos pode ser convertido para uma família de conjuntos pelo autoíndice, ou seja, usaremos o conjunto C como conjunto de índices e associaremos a cada elemento do conjunto o conjunto que o representa. Mais precisamente, pondo I = C e Ai = i, para todo i ∈ I, obtemos {i : i ∈ I} = {Ai : i ∈ I} ou {A}A∈C = {A : A ∈ C}.

2.3. GRÁFICOS E FAMÍLIAS

53

Note que a família de conjuntos {1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, . . . , {2n − 1, 2n}, . . . pode ser considerada como uma família de conjuntos indexada pelo conjunto dos números naturais N, em que An = {2n − 1, 2n}, para todo n ∈ N. Portanto, {An }n∈N = {An : n ∈ N} = {A1 , A2 , . . . , An , . . .}. Neste caso, diremos que a família {An }n∈N é uma sequência e An o n-ésimo conjunto da sequência. Observação 2.10 Formalmente, uma família de conjuntos {Ai }i∈I é um gráfico G, com Dom(G) = I e Ai = {x : (i, x) ∈ G}. Por exemplo, se I = {1, 2}, A1 = {a, b} e A2 = {c, d}, então {Ai }i∈I = G = {(1, a), (1, b), (2, c), (2, d)}. Exemplo 2.11 Sejam b ∈ R fixado e Rb = {(x, y) ∈ R × R : y = x + b} Então {Rb }b∈R é uma família de retas do plano R × R. Note que a família {Rb }b∈R é uma partição de R × R, ou seja, R=

• [

b∈R

Rb .

54

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

Seja {Ai }i∈I uma família de subconjuntos de U. A união dos conjuntos Ai é o “conjunto” de todos os elementos que pertencem a pelo menos uma conjunto Ai da família. Em símbolos, [ Ai = {x ∈ U : ∃ i ∈ I tal que x ∈ Ai }, i∈I

ou ainda,

[ i∈I

Ai = {x ∈ U : x ∈ Ai , para algum i ∈ I}.

Note, em particular, que se A é um conjunto, então [ {x} = A. x∈A

A interseção dos conjuntos Ai é o “conjunto” de todos os elementos que pertencem a todos os conjuntos Ai da família. Em símbolos, \ Ai = {x ∈ U : ∀ i ∈ I, x ∈ Ai }, i∈I

ou ainda,

\ i∈I

Ai = {x ∈ U : x ∈ Ai , para todo i ∈ I}.

Exemplo 2.12 Sejam i ∈ R e Si = {x ∈ R : x > i}, ou seja, a cada número real i ∈ R associamos um subconjunto Si de R. Neste caso, obtemos a família {Si }i∈R de subconjuntos de R. Agora, é fácil verificar que Si1 ∪ Si2 = Si , em que i = min{i1 , i2 }, Si1 ∩ Si2 = Sj , em que j = max{i1 , i2 }, \ [ Si = S0 e Si = S1 , i∈I

i∈I

com I = [0, 1] um intervalo fechado de R.

2.3. GRÁFICOS E FAMÍLIAS

55

ZF4 - Axioma de subconjuntos. Qualquer subclasse de um conjunto é um conjunto. Em símbolos, ∀ x [x ∩ A é um conjunto], Observe que se A e B são conjuntos, então pelo item (3) do Teorema 2.3, A ∩ B ⊆ A. Portanto, pelo axioma ZF4 , a interseção A ∩ B é um conjunto. ZF5 - Axioma de união. Se C é um conjunto cujos elementos são conjuntos, então [

C = {x : x ∈ A, para algum A ∈ C} =

[

A

A∈C

é um conjunto. Formalmente, ∀ C [C 6= ∅ ⇒ ∃ D [D = Por exemplo,

[

∅=∅ e

[

C]].

[ {x} = x.

Observação 2.13 Seja C um conjunto cujos elementos são conjuntos. S 1. Note que x ∈ C significa que existe A ∈ C tal que x ∈ A. Em S S particular, se A ∈ C, então A ⊆ C. Portanto, C representa a união de todos os conjuntos em C. 2. Se A e B são elementos de C, então, pelo axioma ZF3 , {A, B} é um conjunto. Assim, por definição, [ {A, B} = {x : x ∈ X, para algum X ∈ {A, B}} = {x : x ∈ X, com X = A ou X = B} = A ∪ B. Portanto, pelo axioma ZF5 , A ∪ B é um conjunto.

56

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

Seja A um conjunto. O conjunto das potências de A é a família (classe) de todos os subconjuntos de A. Em símbolos, P(A) = {B : B ⊆ A}. Note que P(A) é a família de todos os subconjuntos B que satisfazem a propriedade B ⊆ A. Portanto, pelo axioma ZF2 , a classe P(A) está bem definido. ZF6 - Axioma das potências. Se A é um conjunto, então P(A) é um conjunto. Formalmente, ∀ A ∃ C [C = P(A)]. Observação 2.14 Seja A um conjunto qualquer. 1. Se Q(X) é uma propriedade com relação à um subconjunto X de A, então, pelos axiomas ZF4 e ZF2 , B = {X : X ⊆ A e Q(X)} é um conjunto. Assim, se X ∈ B, então X ∈ P(A). Logo, B ⊆ P(A). Portanto, pelos axiomas ZF6 e ZF4 , B é um conjunto, ou seja, se A é um conjunto e Q(X) é uma propriedade de X, então a conjunto de todos os subconjuntos de A é um conjunto. Por exemplo, se C é um subconjunto de P(A), então [ B = {x ∈ A : x ∈ B, para algum B ∈ C} B∈C

é um conjunto. Em particular, [

B = A.

B∈P(A)

2. A união e a interseção são operações binárias sobre P(A). Além disso, se A é um conjunto não vazio, então P(A)∗ = P(A) − {∅} é uma família de conjuntos não vazios.

2.3. GRÁFICOS E FAMÍLIAS

57

3. A classe universal U é caracterizada por: (a) Se A ∈ U, então A ⊆ U. (b) Se A ∈ U, então P(A) ⊆ U. Exemplo 2.15 Se A = {1, 2}, então P(A) = {∅, {1}, {2}, A} é um conjunto. Note que X ⊆ A significa que X ∈ P(A) e x ∈ A significa que {x} ∈ P(A). Exemplo 2.16 Sejam A um conjunto e a, b ∈ A. Mostre que [ (a, b) ∈ P(P({a, b}) e a, b ∈ (a, b).

Conclua que (a, b) ∈ P(P(A)).

Solução. Como {a}, {a, b} ⊆ {a, b} temos que {a}, {a, b} ∈ P({a, b}). Portanto, {{a}, {a, b}} ⊆ P({a, b}) ⇒ (a, b) = {{a}, {a, b}} ∈ P(P({a, b})). Note que como a ∈ {a} e b ∈ {a, b} temos que a, b ∈ (a, b). Logo, [ a, b ∈ (a, b) = {x : x ∈ B, para algum B ∈ (a, b)}, que é o resultado desejado.

¥

Exemplo 2.17 Seja G um gráfico. Mostre que se G é um conjunto, então Dom(G) e Im(G) são conjuntos. Solução. Seja x ∈ Dom(G). Então existe y tal que (x, y) ∈ G. Logo, [ (x, y) ∈ G = {a : a ∈ A, para algum A ∈ G},

Em particular,

{x} ∈

[

G.

De modo inteiramente análogo, prova-se que [ ³[ ´ x∈ G . Portanto,

Dom(G) ⊆

[ ³[ ´ G ,

ou seja, pelo axioma ZF5 , Dom(G) é um conjunto.

¥

58

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

Teorema 2.18 Se A e B são conjuntos, então A × B é um conjunto. Prova. Note, pelos axiomas ZF5 e ZF6 , que P(A ∪ B) é um conjunto. Novamente, pelo axioma ZF6 , P(P(A ∪ B)) é um conjunto. Afirmação. A × B ⊆ P(P(A ∪ B)). De fato, seja (x, y) ∈ A × B. Então x ∈ A ∪ B e y ∈ A ∪ B. Logo, {x} ⊆ A ∪ B e {x, y} ⊆ A ∪ B. Assim, {x}, {x, y} ∈ P(A ∪ B). Consequentemente, {{x}, {x, y}} ⊆ P(A ∪ B) ⇒ (x, y) = {{x}, {x, y}} ∈ P(P(A ∪ B)), ou seja, A × B ⊆ P(P(A ∪ B)). Portanto, pelo axioma ZF4 , A × B é um conjunto. ¥ Observação 2.19 Se A e B são conjuntos, então, pelo axioma ZF4 , qualquer gráfico G de A × B é um conjunto e A × B = {(x, y) ∈ P(P(A ∪ B)) : x ∈ A e y ∈ B}.

EXERCÍCIOS

1. Mostre que os conjuntos ∅, {∅}, {∅, {∅}} . . . são todos distintos. 2. Sejam A, B, C e D conjuntos não vazios. (a) Mostre que A e B são disjuntos se, e somente se, A × E e B × E são disjuntos, para qualquer conjunto E. (b) Mostre que A ⊆ B e C ⊆ D se, e somente se, A × C ⊆ B × D. (c) Mostre que A × B = C × D se, e somente se, A = C e B = D. (d) Mostre que A × B e A0 × C são disjuntos. (e) Mostre que B × A e C × A0 são disjuntos. 3. Sejam G e H gráficos.

2.3. GRÁFICOS E FAMÍLIAS

59

(a) Mostre que se G ⊆ A × B, então G−1 ⊆ B × A. (b) Mostre que se G ⊆ A × B e H ⊆ B × C, então H ◦ G ⊆ A × C. 4. Sejam G, H gráficos e B, C subconjuntos de Dom(G). Vamos definir a restrição de G a B como G|B = {(x, y) : (x, y) ∈ G e x ∈ B}. Note que G|B = G ◦ I, em que I é o gráfico (inclusão) I ⊆ B × Dom(G). Mostre que: (a) G|B = G ∩ (B × Im(G)). (b) G|(B∪C) = G|B ∪ G|C . (c) G|(B∩C) = G|B ∩ G|C . (d) (H ◦ G)|B = H ◦ (G|B ). 5. Sejam G e H gráficos. Mostre que se G e H são conjuntos, então G−1 e G ◦ H são conjuntos. 6. Sejam A e B conjuntos. Mostre que A − B e A + B são conjuntos. 7. Sejam {Ai }i∈I , {Bj }j∈J famílias de subconjuntos de U e B um subconjunto qualquer de U. (a) Mostre que se Ai ⊆ B, para todo i ∈ I, então

S

Ai ⊆ B. T (b) Mostre que se B ⊆ Ai , para todo i ∈ I, então B ⊆ i∈I Ai . S S (c) Mostre que se Ai ⊆ Bi , para todo i ∈ I, então i∈I Ai ⊆ i∈I Bi T T (d) Mostre que se Ai ⊆ Bi , para todo i ∈ I, então i∈I Ai ⊆ i∈I Bi . i∈I

8. Sejam {Ai }i∈I uma família de subconjuntos de U e X um subconjunto de U com as seguintes propriedades: (a) Para todo i ∈ I, tem-se X ⊆ Ai . (b) Se Y ⊆ Ai para todo i ∈ I, então Y ⊆ X.

60

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS Mostre que X =

T

i∈I

Ai .

9. Enuncie e demonstre um resultado análogo ao Exercício 8, caracterizando S i∈I Ai .

10. Seja {Ai }i∈I uma família de subconjuntos de U . Mostre que: T S (a) ( i∈I Ai )0 = i∈I A0i . T S (b) ( i∈I Ai )0 = i∈I A0i .

11. Sejam {Ai }i∈I e {Bj }j∈J famílias de subconjuntos de U . Mostre que: S S S (a) ( i∈I Ai ) ∩ ( j∈J Bj ) = (i,j)∈I×J (Ai ∩ Bj ). T T T (b) ( i∈I Ai ) ∪ ( j∈J Bj ) = (i,j)∈I×J (Ai ∪ Bj ). T T T (c) ( i∈I Ai ) × ( j∈J Bj ) = (i,j)∈I×J (Ai × Bj ). S S S (d) ( i∈I Ai ) × ( j∈J Bj ) = (i,j)∈I×J (Ai × Bj ).

12. Sejam {Ai }i∈I uma família de subconjuntos de U e A um subconjunto de U. Mostre que: S P(Ai ) ⊆ P( i∈I Ai ). T T (b) i∈I P(Ai ) = P( i∈I Ai ). T T (c) A ∪ ( i∈I Ai ) = i∈I (A ∪ Ai ). S S (d) A ∩ ( i∈I Ai ) = i∈I (A ∩ Ai ). (a)

S

i∈I

13. Sejam A e B conjuntos.

(a) Mostre que A ⊆ B se, e somente se, P(A) ⊆ P(B). (b) Mostre que A = B se, e somente se, P(A) = P(B). (c) Mostre que A ∩ B = ∅ se, e somente se, P(A) ∩ P(B) = {∅}. 14. Determine explicitamente os conjuntos P(P(∅)) e P(P(P(∅))).

2.4. FUNÇÕES

2.4

61

Funções

O conceito de função é um dos mais básicos em toda a Matemática. Assim, nesta seção, vamos apresentar formalmente o conceito de função via gráfico. A origem do conceito de funções (transformações) vem da Geometria, conforme exemplos a seguir: • Geometria Projetiva: Sejam r, s retas e O ∈ / r ∩ s. Então transformamos (perspectiva) o ponto P sobre s no ponto Q (representação de P ) de interseção da reta passando por O e P com a reta r, confira Figura 2.1. Portanto, a transformação consiste de dois conjuntos r e s e um subconjunto de pares ordenados (P, Q) de r × s. • Geometria de Euclides: Sejam E um plano e r uma reta em E Então transformamos (projeção ortogonal) cada ponto R do plano E sobre o pé S da perpendicular (projeção de R) de R sobre à reta r, confira Figura 2.1. Portanto, a transformação consiste de dois conjuntos E e E e um subconjunto de pares ordenados (R, S) de E × E.

Figura 2.1: Perspectiva e Projeção. Estes exemplos geométricos motiva a seguinte definição: Sejam A e B conjuntos. Uma função de A em B é um subconjunto f de A × B que satisfaz as seguintes propriedades: F1 - Para cada x ∈ A, existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ f .

62

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS F2 - Para cada x ∈ A e y1 , y2 ∈ B, se (x, y1 ) ∈ f e (x, y2 ) ∈ f , então y1 = y2 .

Observação 2.20 As condições F1 e F2 significam que para cada x ∈ A existe um único y ∈ B tal que (x, y) ∈ f , em símbolos, ∀ x ∈ A ∃! y ∈ B [(x, y) ∈ f ]. Em particular, F2 afirma que a função f está bem definida. Além disso, se A = ∅, então existe uma única função ∅ de A em B, pois ∅ = ∅ × B é um subconjunto com as propriedades desejadas. Não obstante, se A 6= ∅ e B = ∅, então ∅ não é uma função. Teorema 2.21 Sejam A, B conjuntos e f um gráfico. Então f é uma função de A em B se, e somante se, 1. F2 está satisfeita. 2. Dom(f ) = A. 3. Im(f ) ⊆ B. Prova. Suponhamos que f seja uma função. Então, por definição, F2 está satisfeita. Além disso, ∀ x [x ∈ Dom(f ) ⇒ ∃ y tal que (x, y) ∈ f ⇒ (x, y) ∈ A × B ⇒ x ∈ A]. Por outro lado, pela condição F1 , ∀ x [x ∈ A ⇒ ∃ y ∈ B tal que (x, y) ∈ f ⇒ x ∈ Dom(f )]. Logo, Dom(f ) = A. Finalmente, ∀ y [y

∈ Im(f ) ⇒ ∃ x ∈ A tal que (x, y) ∈ f ⇒ (x, y) ∈ A × B ⇒ y ∈ B].

2.4. FUNÇÕES

63

Assim, Im(f ) ⊆ B. Reciprocamente, ∀ (x, y) [(x, y) ∈ f ⇒ x ∈ Dom(f ) e y ∈ Im(f ) ⇒ x∈A e y∈B ⇒ (x, y) ∈ A × B]. Portanto, f ⊆ A × B. Agora, dado x ∈ A = Dom(f ), existe y tal que (x, y) ∈ f . Como y ∈ Im(f ) ⊆ B temos que y ∈ B. Portanto, a condição F1 está satisfeita. ¥ Seja f uma função, com A = Dom(f ) e Im(f ) ⊆ B. Então é comum usar as notações: f : A → B, (f (x) : x ∈ A), (fx : x ∈ A) ou (fx )x∈A para a função f . A notação f (x) foi introduzida por Euler (Leonhard Paul Euler, 1707-1783, matemático e físico suíço). A imagem de f pode ser denotada por {fx : x ∈ A} ou {fx }x∈A . Como (x, y) ∈ f significa que y = f (x) ou x 7−→ y, diremos que f (x) é o valor que f assume no elemento x. Neste caso, diremos que {fx }x∈A é uma família de elementos de B. É importante lembrar que duas funções são iguais se elas possuem o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e o mesmo gráfico, ou seja, se f : A → B e g : A → B são funções, então f = g se, e somente se f (x) = g(x), ∀ x ∈ A. Por exemplo, se f = g, então ∀ x [y = f (x) ⇔ (x, y) ∈ f ⇔ (x, y) ∈ g ⇔ y = g(x)]. Portanto, f (x) = g(x), ∀ x ∈ A. A família de todas as funções de A em B será denotada por B A = {f ∈ P(A × B) : f é uma função}.

64

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

Corolário 2.22 Sejam f : A → B uma função e C um conjunto não vazio qualquer tal que Im(f ) ⊆ C. Então f : A → C é uma função. Prova. Como f : A → B é uma função temos que a condição F2 está satisfeita e Dom(f ) = A. Portanto,f : A → C é uma função, pois Im(f ) ⊆ C. ¥ Sejam A, B, C conjuntos quaisquer e f : A → B, g : B → C funções quaisquer. Diremos que o diagrama comuta se h = g ◦ f .

Figura 2.2: Diagrama de flechas. Teorema 2.23 Sejam A, B conjuntos e f : A → B uma função. Então: 1. F : P(A) → P(B) definida como F (X) = f (X) é uma função, com f (X) = {y ∈ B : ∃ x ∈ X tal que y = f (x)} =

[

x∈X

{f (x)}.

2. G : P(B) → P(A) definida como G(Y ) = f −1 (Y ) é uma função, com f −1 (Y ) = {x ∈ A : f (x) ∈ Y } =

[

f −1 (y)

y∈Y

e f −1 (y) = f −1 ({y}). 3. Se f é uma função bijetora, então F é uma função bijetora, com inversa G. Prova. Vamos provar apenas o item (1). Note que (X, Y1 ) ∈ F e (X, Y2 ) ∈ F ⇒ Y1 = Y2 ,

2.4. FUNÇÕES

65

pois ∀ y [y

∈ Y1 = f (X) ⇔ ∃ x ∈ X tal que y = f (x) ⇔ y ∈ Y2 = f (X)].

Agora, ∀ X [X

∈ Dom(F ) ⇒ ∃ Y tal que (X, Y ) ∈ F ⇒ (X, Y ) ∈ P(A) × P(B) ⇒ X ∈ P(A)].

Por outro lado, ∀ X [X

∈ P(A) ⇒ ∃ Y = f (X) ⊆ B tal que (X, Y ) ∈ F ⇒ X ∈ Dom(F )].

Logo, Dom(F ) = P(A). É claro que Im(F ) ⊆ P(B). Portanto, F é uma função. ¥ Exemplo 2.24 Sejam A, B conjuntos e f : A → B uma função. Mostre que f é injetora se, e somente se, f (X − Y ) = f (X) − f (Y ). para todos X, Y ⊆ A. Solução. Note que a inclusão f (X) − f (Y ) ⊆ f (X − Y ) é sempre verdadeira, pois ∀ y [y

∈ f (X) − f (Y ) ⇒ y ∈ f (X) e y ∈ / f (Y ) ⇒ ∃ x ∈ X tal que y = f (x) e y 6= f (z), ∀ z ∈ Y, ⇒ ∃ x ∈ X − Y tal que y = f (x) ⇒ y ∈ f (X − Y )].

66

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

Agora, suponhamos que f seja injetora. Então ∀ y [y

∈ f (X − Y ) ⇒ ∃ x ∈ X − Y tal que y = f (x) ⇒ ∃ x ∈ X tal que y = f (x) e y ∈ / f (Y ) ⇒ y ∈ f (X) − f (Y )],

pois se y ∈ f (Y ), então existe x1 ∈ Y tal que y = f (x1 ) = f (x), ou seja, x1 = x ∈ X − Y , o que é impossível. Reciprocamente, suponhamos, por absurdo, que f não seja injetora. Então existem x, y ∈ A, com x 6= y e f (x) = f (y). Pondo X = {x} e Y = {y}, obtemos X − Y = X. Logo, {f (x)} = f (X) = f (X − Y ) = f (X) − f (Y ) = {f (x)} − {f (y)} = ∅, o que é impossível. Portanto, f é injetora.

¥

Observação 2.25 A condição sobre f ser injetora, no Exemplo 2.24, é necessária para que ocorra a igualdade. Por exemplo, se f : R2 → R é a função definida como f (x, y) = x. Então claramente f não é injetora. Se X = {(x, y) ∈ R2 : y = x} e Y = {(x, y) ∈ R2 : y = x + 1}, então X − Y = X e f (X) = R = f (Y ). Assim, f (X) = f (X − Y ) 6= f (X) − f (Y ) = ∅. Sejam {Ai }i∈I uma família de conjuntos e [ A= Ai . i∈I

O produto cartesiano dos conjuntos Ai é a família Y P = Ai = {f ∈ AI : f (i) ∈ Ai , ∀ i ∈ I}. i∈I

2.4. FUNÇÕES

67

É conveniente representar o elemento f do produto cartesiano por f = (ai )i∈I para distinguir da imagem da função Im(f ) = {ai : i ∈ I} = {ai }i∈I que é um subconjunto de A. Observação 2.26 Se Aj = ∅, para algum j ∈ I, então P =

Y i∈I

Ai = ∅,

pois não existe função f : I → A tal que f (j) ∈ Aj . Se I = ∅, então P = {∅}. Exemplo 2.27 Sejam I = Z e Ai = ]i, i+1[ um intervalo aberto em R. Então µ ¶ 1 f = i+ 5 i∈I Q é um elemento de i∈I Ai . Note que f : I → R − Z.

Exemplo 2.28 Se I = {1, 2}, A1 = {a, b} e A2 = {c, d}, então Y i∈I

Ai = {f ∈ (A1 ∪ A2 )I : f (1) ∈ A1 e f (2) ∈ A2 }.

Logo, i f (i) 1 a 2 d

i f (i) i f (i) 1 b 1 b 2 c 2 d Q Note a diferença entre os conjuntos A1 × A2 e i∈I Ai , pois já vimos que os elementos de A1 × A2 são {{x}, {x, y}}, onde x ∈ A1 , y ∈ A2 e i f (i) 1 a 2 c

mas os elementos de

Q

{{x}, {x, y}} ⊆ P(A1 ∪ A2 ),

i∈I

Ai são funções f : I → A1 ∪ A2 , ou seja, f ⊆ I × (A1 ∪ A2 ).

68

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

Não obstante, como qualquer função f : I → A1 ∪ A2 é completamente determinada pelo par ordenado (f (1), f (2)) ∈ A1 × A2 temos que a função σ : (A1 ∪ A2 )I → A1 × A2 definida como σ(f ) = (f (1), f (2)) é bijetora. Portanto, podemos identificar o produto cartesiano Y Ai i∈I

com o conjunto

A1 × A2 = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}. Se f = (ai )i∈I ∈ S

Y

Ai ,

i∈I

é um elemento de i∈I Ai tal que ai ∈ Ai , para todo i ∈ I, diremos que Ai é Q a i-ésima componente de i∈I Ai e ai ∈ Ai é a i-ésima coordenada da família. Para cada j ∈ I, definimos uma função pj de A em Aj como pj (f ) = pj ((ai )i∈I ) = aj , ∀ f = (ai )i∈I ∈ A. A função pj chama-se a j-ésima projeção de A sobre Aj . Mostraremos no Capítulo 4 que se cada Ai 6= ∅, então cada pj é sobrejetora. Note que se X = Ai , para todo i ∈ I, então Y Ai = X I . i∈I

Assim, a função d : X → X I definida como d(x) = fx , em que fx (I) = x, é claramente injetora e chama-se de imersão diagonal. Neste caso, pj ◦ d = IX ,

2.4. FUNÇÕES

69

para todo j ∈ I. A função E : X I × I → X definida como E(f, i) = f (i), chama-se de função avaliação. Portanto, pj (f ) = E(f, j), Teorema 2.29 Seja {Ai }i∈I uma família de conjuntos. Então existe um conjunto P e uma família de funções {pi : P → Ai }i∈I com a seguinte propriedade universal: Dado qualquer conjunto C e qualquer família de funções {gi : C → Ai }i∈I , existe uma única função f : C → P tal que pi ◦ f = gi , para todo i ∈ I. Além disso, P é unicamente determinado, a menos, de bijeção. Q Prova. (Existência) Sejam P = i∈I Ai e pi as projeções canônicas sobre as i-ésimas componentes. Então dado C e a função gi : C → Ai , definimos f : C → P como f (c) = gc , em que f (c)(i) = gc (i) = gi (c), para todo i ∈ I. Assim, (pi ◦ f )(c) = pi (f (c)) = pi (gc ) = gi (c), ∀ i ∈ I, ou seja, pi ◦ f = gi , para todo i ∈ I. Agora, seja g : C → P outra função tal que pi ◦ g = gi , para todo i ∈ I. Então, para um c ∈ C fixado temos, por definição de pi , que g(c)(i) = pi (g(c)(i)) = (pi ◦ g)(c) = gi (c) = gc (i) = f (c)(i), ∀ i ∈ I. Logo, g(c) = f (c), para todo c ∈ C. Portanto, g = f , ou seja, f é única. (Unicidade) Sejam Q um conjunto e {hi : Q → Ai }i∈I uma família de funções com a mesma propriedade universal. Então vamos primeiro considerar o diagrama da Figura 2.3.

Figura 2.3: Visualização da unicidade do produto cartesiano.

70

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

No diagrama (a) fizemos C = Q e no diagrama (b) fizemos C = P . Logo, pi ◦ f = hi e hi ◦ g = pi , ∀ i ∈ I. Assim, pi = hi ◦ g = (pi ◦ f ) ◦ g = pi ◦ (f ◦ g), ∀ i ∈ I. Mas, pela comutatividade do diagrama (c), temos que IP : P −→ P é a única função tal que pi ◦ IP = pi , ∀ i ∈ I. Portanto, f ◦ g = IP . Por um argumento simétrico, prova-se que g ◦ f = IQ . Observação 2.30 Sejam {Ai }i∈I uma família de conjuntos, Y Ai P = i∈I

e B um conjunto não vazio qualquer. Pondo

F = {ϕ : B → P : ϕ é uma função} um conjunto de funções e S = {{ϕi }i∈I : ϕi é uma função de B em Ai } um conjunto de “sequências.” Então: 1. F : F → S definida como F (ϕ) = {(pi ◦ ϕ)}i∈I é uma função, em que pi é a i-ésima projeção de P sobre Ai . 2. G : S → F definida como G({ϕi }i∈I ) = ϕ é uma função, com ϕ(b) = {ϕi (b)}i∈I , ∀ b ∈ B. É fácil verificar que F é bijetora com inversa G.

¥

2.4. FUNÇÕES

71

Sejam A e B conjuntos quaisquer. Já vimos que B A ou F(A, B) representa o conjunto de todas as funções com domínio A e contradomínio B, isto é, B A = {f : f é uma função de A em B}. Neste caso, se f ∈ B A , então podemos escrever f como um gráfico G = {(x, f (x)) : x ∈ A} ⊆ A × B. Portanto, a função ϕ : A → G definida como ϕ(x) = (x, f (x)) é bijetora. Além disso, se I, A são conjuntos e f : I → P(A) é uma função, então a imagem Ai = f (i) é um subconjunto de A, para todo i ∈ I. Portanto, a função f pode ser escrita como f = {Ai : i ∈ I}, ou seja, f é uma família de conjuntos indexada por I. No que segue vamos denotar o conjunto {0, 1} por 2. Sejam A um conjunto e B um subconjunto de A. A função característica de B em A é a função χB : A → 2 definida como χB (x) =

(

1, se x ∈ B 0, se x ∈ /B

é claro que χB = χC se, e somente se, B = C. Note que χA (x) = 1, para todo x ∈ A, e χ∅ (x) = 0, para todo x ∈ A. Portanto, a função característica χB é • sobrejetora se, e somente se, B ∈ / {∅, A}, pois A = B ∪ (A − B) é uma união disjunta. Teorema 2.31 Se A é um conjunto não vazio, então existe uma correspondência biunívoca entre 2A e P(A). Portanto, 2A é um conjunto, confira o axioma ZF7 a seguir.

72

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

Prova. Consideremos a função F : P(A) → 2A definida como F (B) = χB : A → 2. Note que ϕ está bem definida, pois dados B, C ∈ P(A), B = C ⇒ χB = χC ⇒ F (B) = F (C). A função F é injetora, pois dados B, C ∈ P(A), F (B) = F (C) ⇒ χB = χC ⇒ {x ∈ A : χB (x) = 1} = {x ∈ A : χC (x) = 1} ⇒ B = C. Finalmente, a função F é sobrejetora, pois dado f ∈ 2A , existe B = f −1 (1) = {x ∈ A : f (x) = 1} ∈ P(A) tal que f = χB = F (B).

¥

Observação 2.32 Se A = Z+ , então a função F : P(A) → 2A do Teorema 2.31 é definida como ( 1, se n ∈ B F (B) = (xn )n∈Z+ , com xn = 0, se n ∈ / B. Note que se B é um conjunto qualquer e todo elemento de B for substituído por um objeto de um domínio qualquer A, então B continua sendo um conjunto ou, equivalentemente, se alguma regra f , quando aplicada ao conjunto A, tem a “cara” de uma função, então existe um conjunto f (x). Mais precisamente temos o seguinte axioma. ZF7 - Axioma da substituição. Seja P (x, y) a seguinte afirmação: para qualquer x existe um único y tal que P (x, y) é verdadeira. Então, para qualquer conjunto A, existe um conjunto B tal que, para qualquer x ∈ A, existe y ∈ B para que P (x, y) seja verdadeira.

2.4. FUNÇÕES

73

Observação 2.33 1. O axioma ZF7 é equivalente a: para qualquer conjunto A, existe uma função f tal que Dom(f ) = A e y = f (x), para todo x ∈ A, ou seja, a partir de um conjunto velho criamos um conjunto novo f (A). Note que f (x) = {y ∈ B : P (x, y) é verdadeira}. 2. Se {Ai }i∈I é uma família de conjuntos, então a função f : I → {Ai : i ∈ I} = {Ai }i∈I definida como f (i) = Ai é sobrejetora. Logo, pelo axioma ZF7 , {Ai }i∈I é um conjunto. Portanto, pelo axioma ZF5 , [ Ai i∈I

é um conjunto.

3. Se I, A são conjuntos e f : I → A é uma função, então, pelo axioma ZF4 , f é um conjunto, pois f é uma subclasse de I × A. Isto mostra que nossa definição de função é legítima. Teorema 2.34 Seja {Ai }i∈I uma família de conjuntos. Então Y Ai P = i∈I

é um conjunto.

Prova. Note, pelo item (3) da Observação 2.33, que [ Ai f :I→ i∈I

é um conjunto. Como

Y i∈I

Ai ⊆ P

Ã

temos, pelos axiomas ZF6 e ZF4 , que Y

I×

[ i∈I

!

A

Ai

i∈I

é um conjunto.

¥

74

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

Teorema 2.35 Sejam {Ai }i∈I uma família de conjuntos, [ Ai A= i∈I

e {fi : Ai → B}i∈I uma família de funções tais que fi |(Ai ∩Aj ) = fj |(Ai ∩Aj ) , ∀ i, j ∈ I. Então existe uma única função f : A → B tal que f |Ai = fi , para todo i ∈ I. Neste caso, diremos que {fi : Ai → B}i∈I é uma família compatível de funções. Prova. (Existência) Seja f=

[

fi .

i∈I

Se (x, y1 ) ∈ f e (x, y2 ) ∈ f , então existem i, j ∈ I tais que (x, y1 ) ∈ fi e (x, y2 ) ∈ fj . Logo, x ∈ Ai e y1 = fi (x); x ∈ Aj e y2 = fj (x). Como x ∈ Ai ∩ Aj temos que y1 = fi (x) = fj (x) = y2 . Finalmente, dado x ∈ A, existe i ∈ I tal que x ∈ Ai = Dom(fi ). Logo, [ Dom(fi ). x∈ i∈I

Reciprocamente, se x∈

[

Dom(fi ),

i∈I

então existe i ∈ I tal que x ∈ Dom(fi ) = Ai . Logo, x ∈ A. Portanto, f : A → B é uma função tal que f |Ai = fi , para todo i ∈ I. (Unicidade) Seja g : A → B outra função tal que g|Ai = fi , para todo i ∈ I. Então dado x ∈ A, existe i ∈ I tal que x ∈ Ai . Logo, g(x) = fi (x) = f (x). Portanto, f = g.

¥

Corolário 2.36 Se A é um conjunto, {Ai }i∈I é uma partição de A e existe uma função fi : Ai → B, para todo i ∈ I, então existe uma única função f : A → B tal que f |Ai = fi , para todo i ∈ I.

2.4. FUNÇÕES

75

Prova. Basta observar que Ai ∩ Aj = ∅, para todos i, j ∈ I, implica que fi |(Ai ∩Aj ) = fj |(Ai ∩Aj ) . ¥

Enão o resultado segue do Teorema 2.35.

EXERCÍCIOS

1. Sejam A, B conjuntos, f : A → B uma função, {Ci }i∈I uma família de subconjuntos de A e {Di }i∈I uma família de subconjuntos de B. S S (a) Mostre que f ( i∈I Ci ) = i∈I f (Ci ). S S (b) Mostre que f −1 ( i∈I Di ) = i∈I f −1 (Di ). T T (c) Mostre que f −1 ( i∈I Di ) = i∈I f −1 (Di ). T T (d) Mostre que f ( i∈I Ci ) ⊆ i∈I f (Ci ). Mostre que se f é injetora, então ocorre a igualdade. 2. Sejam {An }n∈N uma sequência de conjuntos e Bn = [ [ An = A1 ∪ (An+1 − Bn ) n∈N

Sn

i=1

Ai . Mostre que

n∈N

é uma união disjunta. 3. Sejam {Ai }i∈I e {Bi }i∈I duas famílias tais que Bi ⊆ Ai , para todo i ∈ I. Mostre que Y Y Bi ⊆ Ai . i∈I

i∈I

4. Sejam {Ai }i∈I e {Bi }i∈I duas famílias tais que Ai ⊆ Bi , para todo i ∈ I. Mostre que Y \ Ai = p−1 i (Ai ), i∈I

i∈I

em que pi é a i-ésima projeção de B =

Q

i∈I

Bi sobre Bi .

76

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS 5. Seja A um conjunto. Diremos que uma família {Ai }i∈I é uma cobertura de A se [ A⊆ Ai . i∈I

Sejam {Ai }i∈I e {Bj }j∈J duas coberturas distintas de A. Mostre que a família {Ai ∩ Bj }(i,j)∈I×J é uma cobertura de A. 6. Sejam {Ai }i∈I e {Bj }j∈J partições de A e B, respectivamente. Mostre que a família {Ai × Bj }(i,j)∈I×J é uma partição de A × B. 7. Sejam f : A → B uma função sobrejetora e {Bj }j∈J uma partição de B. Mostre que {f −1 (Bj )}j∈J é uma partição de A. 8. Sejam f : A → B uma função injetora e {Ai }i∈I uma partição de A. Mostre que {f (Ai )}i∈I é uma partição de f (A). 9. Mostre que o axioma ZF3 é uma consequência do axioma ZF7 . Assim, o axioma ZF3 pode ser agora eliminado. 10. Sejam A e B conjuntos. Use o axioma ZF7 para mostrar que A × B é um conjunto. 11. Sejam A e B conjuntos. Mostre que a família B A é um conjunto. 12. Sejam A, B e C conjuntos. (a) Mostre que AC ∪ B C ⊆ (A ∪ B)C . (b) Mostre que AC ∩ B C = (A ∩ B)C . (c) Mostre que AC − B C = (A − B)C .

2.4. FUNÇÕES

77

13. Seja f : A → B uma função sobrejetora. Dados x, y ∈ A, definimos xRy ⇔ f (x) = f (y) ou R = f −1 ◦ f. Mostre que R é uma relação de equivalência sobre A, cujas classes de equivalências x são as imagens inversas de f . Além disso, mostre que se RA = {x : x ∈ A}, então a função g : RA → B definida como g(x) = f (x) é bijetora e f = g ◦ π, em que π : A → RA é a função definida como π(x) = x. A relação R chama-se o núcleo de f . 14. Sejam f : A → A uma função e R uma relação de equivalência sobre A determinada por f . Mostre que f ◦ f = f se, e somente se, y ∈ x ⇒ f (y) ∈ x, para todos x, y ∈ A. 15. Seja A = NN . Dados f, g ∈ A, definimos f ∼ g ⇔ S = {n ∈ N : f (n) 6= g(n)} é um conjunto finito. Mostre que ∼ é uma relação de equivalência sobre A. 16. Seja {Ri }i∈I uma família de relações de equivalência sobre A. Mostre T que i∈I Ri é uma relação de equivalência sobre A.

17. Seja A ⊆ B fixado. Dados X, Y ∈ P(B), definimos XRY ⇔ A ∩ X = A ∩ Y.

Mostre que R é uma relação de equivalência sobre P(B). 18. Sejam A um conjunto e para cada subconjunto B ⊆ A a função característica de B em A, χB : A → 2. Mostre que: (a) χB∩C = χB · χC , para todos B, C ⊆ A. (b) χB∪C = χB + χC − χB · χC , para todos B, C ⊆ A.

78

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS (c) χB∪C = χB + χC se, e somente se, B ∩ C = ∅, para todos B, C ⊆ A. (d) χA−B = 1 − χB , para todo B ⊆ A. (e) B ⊆ C ⇔ χB ≤ χC , para todos B, C ⊆ A.

19. Sejam {Ai }i∈I uma família, com I 6= ∅, e f : J → I uma função sobrejetora. (a) Mostre que (b) Mostre que

S

j∈J

Af (j) =

j∈J

Af (j) =

T

S

i∈I

Ai .

i∈I

Ai .

T

20. Seja f : A → B uma função, com A um conjunto não vazio. Mostre que: f : A → B é injetora se, e somente se, existe uma função g : B → A tal que g ◦ f = IA . A função g chama-se retração de f . 21. Seja f : N → N definida como f (n) = n+1. Mostre que existem infinitas funções g : N → N tais que g ◦ f = IN , mas não existe inversa à direita. 22. Seja f : A → B uma função. Mostre que: f : A → B é sobrejetora se, e somente se, existe uma função g : B → A tal que f ◦ g = IB . A função g chama-se seção de f . 23. Seja f : N → N definida como ( f (n) =

n , 2 n+1 , 2

se n é par se n é ímpar.

Mostre que existem infinitas funções g : N → N tais que f ◦ g = IN , mas não existe inversa à esquerda. 24. Seja I = ] − 1, 1[ um intervalo aberto de R. (a) Mostre que a função f : I → R definida como f (x) = f é bijetora. Defina sua inversa.

x 1 − x2

2.4. FUNÇÕES

79

(b) Mostre que a função f : I → R definida como f (x) =

x 1 − |x|

f é bijetora. Defina sua inversa. (c) Mostre que a função f : R → I definida como x f (x) = √ 1 + x2

f é bijetora. Defina sua inversa. (d) Mostre que a função f : I → R definida como ³π ´ f (x) = tan x 2 f é bijetora. Defina sua inversa.

25. Sejam g : B → C e h : B → C duas funções. Mostre que se g ◦ f = h ◦ f, para qualquer função f : A → B, então g = h. 26. Sejam g : A → B e h : A → B duas funções. Mostre que se C é um conjunto com pelo menos dois elementos e f ◦ g = f ◦ h, para qualquer função f : B → C, então g = h. 27. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: (a) f : A → B é sobrejetora; (b) Para todas as funções g, h : B → C, g ◦ f = h ◦ f ⇒ g = h; (c) Para qualquer subconjunto X ⊆ A, B − f (X) ⊆ f (A − X).

80

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

28. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: (a) f : A → B é injetora; (b) Para todas as funções g, h : C → A, f ◦ g = f ◦ h ⇒ g = h; (c) Para qualquer subconjunto X ⊆ A, f (A − X) ⊆ B − f (X). 29. Sejam f : A → B, g : B → A duas funções e X ⊆ A, Y ⊆ B. (a) Mostre que (g ◦ f ) |X = g ◦ (f |X ). (b) Mostre que (f |X )−1 (Y ) = X ∩ f −1 (Y ). 30. Sejam f : A → C e g : A → B duas funções. Mostre que existe uma função h : B → C tal que f = h ◦ g se, e somente se, g(x) = g(y) ⇒ f (x) = f (y), ∀ x, y ∈ A. Conclua que h é única. 31. Sejam f : C → A e g : B → A duas funções, com g bijetora. Mostre que existe uma função h : C → B tal que f = g ◦ h se, e somente se, Im(f ) ⊆ Im(g). Conclua que h é única. 32. Seja f : Z → Z uma função tal que: (a) f (x + y) = f (x) + f (y), para todos x, y ∈ Z. (b) f (x · y) = f (x) · f (y), para todos x, y ∈ Z. Mostre que f = IZ ou f = 0. 33. Seja f : Q → Q uma função tal que: (a) f (x + y) = f (x) + f (y), para todos x, y ∈ Q.

2.4. FUNÇÕES

81

(b) f (x · y) = f (x) · f (y), para todos x, y ∈ Q. Mostre que f = IQ ou f = 0. 34. Seja f : A → A uma função injetora e f (A) 6= A. Mostre que os conjuntos f (A − f (A)), f 2 (A − f (A)) = f (f (A − f (A))), f 3 (A − f (A)) . . . são mutualmente disjuntos. Conclua que se x ∈ A − f (A), então x, f (x), f (f (x)) . . . são mutualmente distintos. 35. Seja f : A → A uma função injetora, com A um conjunto finito. Mostre que f é sobrejetora.

Respostas e/ou Soluções Seção 2.2 1. Pelo item (a), obtemos A ∪ B ⊆ X. Por outro lado, pondo Y = A ∪ B, temos, pelo item (2) do Teorema 2.3, que A ⊆ Y e B ⊆ Y . Assim, pelo item (b), obtemos X ⊆ Y = A ∪ B. Portanto, X = A ∪ B. 2. Sejam A, B subconjuntos de U e X um subconjunto de U com as seguintes propriedades: (a) X ⊆ A e X ⊆ B. (b) Se Y ⊆ A e Y ⊆ B, então Y ⊆ X, para todo Y ⊆ U. Mostre que X = A ∩ B. Agora, faça a prova. 3. Vamos provar apenas o item (a). ∀ x [x ∈ A ∪ C ⇒ x ∈ A ou x ∈ C ⇒ x ∈ B ou x ∈ D ⇒ x ∈ B ∪ D]. Portanto, (A ∪ C) ⊆ (B ∪ D).

82

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS 4. Vamos provar apenas o item (j). ∀ x [x ∈ A ∩ (B − C) ⇔ x ∈ A e x ∈ (B − C) ⇔ x∈A e x∈B e x∈ /C ⇔ x∈A∩B e x∈ / A∩C ⇔ x ∈ (A ∩ B) − (C ∩ A)]. Portanto, A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (C ∩ A). 5. Vamos provar apenas o item (a). ∀ x [x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ (B − A) ⇔ x ∈ A ∪ (B − A)]. Portanto, A ∪ B = A ∪ (B − A). Note que ∀ x [x ∈ A ∩ (B − A) ⇒ x ∈ A e x ∈ B − A ⇒ x∈A e x∈ / A], o que é impossível. Portanto, A ∩ (B − A) = ∅. 6. Vamos provar apenas os itens (f ) e (g): (f ) Pelos itens (6), (7) e (8) do Teorema 2.3, obtemos (A + B)0 = [(A ∩ B 0 ) ∪ (A0 ∩ B)]0 = (A ∩ B 0 )0 ∩ (A0 ∩ B)0 = (A0 ∪ B) ∩ (A ∪ B 0 )

= (A ∩ B) ∪ (A0 ∩ B 0 ).

(g) Novamente, pelos itens (7) e (8) do Teorema 2.3 e o item (f ), obtemos A + (B + C) = (A ∩ (B + C)0 ) ∪ (A0 ∩ (B + C)) = (A ∩ [(B ∩ C) ∪ (B 0 ∩ C 0 )])

∪(A0 ∩ [(B ∩ C 0 ) ∪ (B 0 ∩ C)])

= (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B 0 ∩ C 0 )

∪(A0 ∩ B ∩ C 0 ) ∪ (A0 ∩ B 0 ∩ C).

2.4. FUNÇÕES

83

Como esta expressão é simétrica em relação A, B e C temos, pelo item (d), que A + (B + C) = C + (A + B) = (A + B) + C. Uma solução gráfica do item (g), confira Figura 2.4. Note que A = {1, 2, 4, 5}, B = {2, 3, 5, 6} e C = {4, 5, 6, 7}. Assim, A + B = {1, 3, 4, 6} e B + C = {2, 3, 4, 7}. Portanto, A + (B + C) = {1, 3, 5, 7} = (A + B) + C.

Figura 2.4: Solução Gráfica do item (g). 7. É claro, pelo axioma ZF2 , que R é um conjunto e que R ∈ / A, pois R ∈ R ou R ∈ / R. 8. (a) Como a afirmação x ∈ ∅ é sempre falsa temos que a condição ∀ A ∀ x [x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A], é sempre verdadeira. Portanto, ∅ ⊆ A, para todo conjunto A. (b) Se B ⊆ A, para todo conjunto A, então B ⊆ ∅. Portanto, pela unicidade de ∅, obtemos B = ∅.

Seção 2.3 1. Basta observar a relação entre elemento e conjunto.

84

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS 2. Vamos provar apenas o item (e). ∀ (x, y) [(x, y) ∈ (B × A) ∩ (C × A0 )

⇒ (x, y) ∈ B × A e (x, y) ∈ C × A0

⇒ y∈A e y∈ / A], o que é impossível. Portanto, (B × A) ∩ (C × A0 ) = ∅. 3. Vamos provar apenas o item (b). ∀ (x, y) [(x, y) ∈ H ◦ G ⇒ ∃ z tal que (x, z) ∈ G e (z, y) ∈ H ⇒ (x, z) ∈ A × B e (z, y) ∈ B × C ⇒ x∈A e y∈C ⇒ (x, y) ∈ A × C]. Portanto, H ◦ G ⊆ A × C. 4. Vamos provar apenas o item (a). ∀ (x, y) [(x, y) ∈ G|B ⇔ (x, y) ∈ G e x ∈ B ⇔ (x, y) ∈ G e (x, y) ∈ B × Im(G) ⇔ (x, y) ∈ G ∩ (B × Im(G))]. Portanto, G|B = G ∩ (B × Im(G)). 5. Note que ∀ (x, y) [(x, y) ∈ G−1 ⇒ (y, x) ∈ G ⇒ (y, x) ∈ Im(G) × Dom(G)]. Assim, G−1 ⊆ Im(G) × Dom(G). Portanto, pelo axioma ZF4 , G−1 é um conjunto. 6. Note que A − B = A ∩ B 0 ⊆ A. Portanto, pelo axioma ZF4 , A − B é um conjunto.

2.4. FUNÇÕES

85

7. Vamos provar apenas o item (a). ∀ x [x ∈

[ i∈I

Ai ⇒ ∃ i ∈ I tal que x ∈ Ai

⇒ x ∈ B], pois Ai ⊆ B, para todo i ∈ I. Portanto,

S

i∈I

Ai ⊆ B.

8. Pelo item (a) e o item (b) do Exercício anterior, obtemos X⊆

\

Ai .

Y =

\

Ai ,

i∈I

Por outro lado, pondo

i∈I

temos, pelo item (3) do Teorema 2.3, que Y ⊆ Ai , ∀ i ∈ I. Assim, pelo item (b), obtemos Y ⊆ X. Portanto, X=

\

Ai .

Ai

!0

i∈I

9. Confira o Exercício 1 da Seção 2.2. 10. Vamos provar apenas o item (b). ∀ x [x ∈

à \ i∈I

⇔x∈ /

\

Ai

i∈I

⇔ ∃ i ∈ I tal que x ∈ / Ai ⇔ ∃ i ∈ I tal que x ∈ A0i [ ⇔ x∈ A0i ]. i∈I

86

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

11. Vamos provar apenas o item (d). ∀ (x, y) [(x, y) ∈

à [

Ai

i∈I

⇔ x∈

[ i∈I

!

×

Ã

[

j∈J

Ai e y ∈

Bj [

! Bj

j∈J

⇔ ∃ i0 ∈ I tal que x ∈ Ai0 e ∃ j0 ∈ J tal que y ∈ Bj0 ⇔ ∃ (i0 , j0 ) ∈ I × J tal que (x, y) ∈ Ai0 × Bj0 [ ⇔ (x, y) ∈ (Ai × Bj )]. (i,j)∈I×J

12. Vamos provar apenas o item (a). ∀ X [X

∈

[ i∈I

P(Ai ) ⇒ ∃ i ∈ I tal que X ∈ P(Ai )

⇒ ∃ i ∈ I tal que X ⊆ Ai ! Ã [ [ ⇒ X⊆ Ai ⇒ X ∈ P Ai ]. i∈I

i∈I

Note que se A1 = {1} e A2 = {a, b}, então P(A1 ) ∪ P(A2 ) ⊂ P(A1 ∪ A2 ). 13. Vamos provar apenas o item (c). ∀ X [X

∈ P(A) ∩ P(B) ⇒ X ∈ P(A) e X ∈ P(B) ⇒ X⊆A e X⊆B ⇒ X ⊆ A ∩ B = ∅],

o que é impossível. Portanto, P(A) ∩ P(B) = {∅}. Reciprocamente, ∀ x [x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A e x ∈ B ⇒ {x} ⊆ A e {x} ⊆ B ⇒ {x} ∈ P(A) ∩ P(B) = {∅}], o que é impossível. Portanto, A ∩ B = ∅.

2.4. FUNÇÕES

87

14. Note que P(P(∅)) = P({∅}) = {∅, {∅}} e P(P(P(∅))) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}.

Seção 2.4 1. Vamos provar apenas o item (d). Como \ i∈I

temos que f

à \ i∈I

Portanto,

f

Ci ⊆ Ci , ∀ i ∈ I,

Ci

!

à \ i∈I

⊆ f (Ci ), ∀ i ∈ I.

Ci

!

⊆

\

f (Ci ).

i∈I

Como f é injetora temos que f = i ◦ g, em que i : f (A) → B é a função inclusão e g : A → f (A) é uma função bijetora. Seja h a inversa de g. Então f (X) = h−1 (X), para todo X ⊆ A. Portanto, pelo item (b), obtemos ! Ã ! Ã \ \ = h−1 Ci Ci f i∈I

=

\

i∈I

−1

h (Ci )

i∈I

=

\

f (Ci ).

i∈I

2. Confira o item (a) do Exercício 5 da Seção 2.2. 3. Note que se f∈

Y i∈I

Bi ,

88

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS então

[

f :I→

Bi

i∈I

é uma função tal que f (i) ∈ Bi , para todo i ∈ I. Como Bi ⊆ Ai temos que f (i) ∈ Ai , para todo i ∈ I. Portanto, Y Y Y f∈ Ai , ou seja, Bi ⊆ Ai . i∈I

4. Como pj

i∈I

à Y

Ai

i∈I

temos que

Y i∈I

ou seja,

i∈I

f ∈ p−1 i (Ai ) =

⊆ Aj , ∀ j ∈ I,

Ai ⊆ p−1 j (Aj ), ∀ j ∈ I, Y

Por outro lado, dado f ∈

!

i∈I

Ai ⊆

T

\

p−1 i (Ai ).

i∈I

−1 i∈I pi (Ai ),

(

g∈

Y i∈I

obtemos

Bi : pi (g) ∈ Ai

)

, ∀ i ∈ I.

Assim,

Portanto, f = (pi (f ))i∈I

pi (f ) ∈ Ai , ∀ i ∈ I. Q ∈ i∈I Ai .

5. Para qualquer x ∈ A, existe i ∈ I e j ∈ J tais que x ∈ Ai e x ∈ Bj . Logo, existe (i, j) ∈ I × J tal que x ∈ Ai ∩ Bj , ou seja, [ x∈ (Ai ∩ Bj ). (i,j)∈I×J

Portanto, A⊆

[

(i,j)∈I×J

(Ai ∩ Bj ).

2.4. FUNÇÕES

89

6. Primeiro note que uma família {Ai }i∈I de subconjuntos não vazios de A é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas: [ A= Ai e [Ai ∩ Aj = ∅ ou Ai = Aj , ∀ i, j ∈ I]. i∈I

Agora, como Ai 6= ∅, para todo i ∈ I, e Bj 6= ∅, para todo j ∈ J, temos que Ai × Bj 6= ∅, para todo (i, j) ∈ I × J. Pelo item (d) do Exercício 11 da Seção 2.3, obtemos ! Ã ! Ã [ [ Ai × Bj A×B = i∈I

=

[

j∈J

(i,j)∈I×J

Finalmente, se

(Ai × Bj ).

(x, y) ∈ (Ai × Bj ) ∩ (Ak × Bl ), então (x, y) ∈ (Ai × Bj ) e (x, y) ∈ (Ak × Bl ). Logo, x ∈ Ai ∩ Ak e y ∈ Bj ∩ Bl , ou seja, Ai × Bj = Ak ∩ Bl . Portanto, a família {Ai × Bj }(i,j)∈I×J é uma partição de A × B. 7. Como Bj 6= ∅, para todo j ∈ J, e f é sobrejetora temos que f −1 (Bj ) = {x ∈ A : f (x) ∈ Bj } 6= ∅, para todo j ∈ J. Sendo f −1 (Bj ) ⊆ A, para todo j ∈ J, obtemos [ f −1 (Bj ) ⊆ A. j∈J

Por outro lado, para qualquer x ∈ A, temos, pelo item (b) do Exercício 1, que [ f (x) ∈ f (A) = B = Bj ⇒ x ∈ f −1

Ã

j∈J

[

j∈J

Bj

!

=

[

j∈J

f −1 (Bj ).

90

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS ou seja, A⊆

[

f −1 (Bj ).

j∈J

Finalmente, se x ∈ f −1 (Bj ) ∩ f −1 (Bk ), então f (x) ∈ Bj e f (x) ∈ Bk . Logo, Bj = Bk , isto é, f −1 (Bj ) = f −1 (Bk ). Portanto, {f −1 (Bj )}j∈J é uma partição de A. 8. Veja a prova do Exercício 7. 9. Sejam A e B conjuntos. Então, pelo axioma ZF5 , A ∪ B é um conjunto. É fácil verificar que a função f : A ∪ B → {A, B} definida como ⎧ A, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ B, f (x) = ⎪ B, ⎪ ⎪ ⎩ A,

se se se se

x∈A−B x∈ / A−B x∈B−A x∈ / B−A

e e e e

A 6⊂ B A 6⊂ B A⊂B A⊂B

é sobrejetora. Portanto, pelo axioma ZF7 , {A, B} é um conjunto. 10. Para qualquer a ∈ A fixado, a função fa : B → Ba definida como fa (y) = (a, y), em que Ba = {(a, y) : y ∈ B} = {a} × B, é claramente bijetora. Assim, pelo axioma ZF7 , Ba é um conjunto, para todo a ∈ A. Como [ Ba A×B = a∈A

temos, pelo axioma ZF5 , que A × B é um conjunto. O conjunto Ba chama-se faixa vertical.

2.4. FUNÇÕES

91

11. Sejam A e B conjuntos. Então, pelo Exercício 10, A × B é um conjunto. Assim, pelo axioma ZF6 , P(A × B) é um conjunto. Como B A é um subconjunto de P(A × B) temos, pelo axioma ZF4 , que B A é um conjunto. 12. Vamos provar apenas o item (a). Para qualquer f ∈ AC ∪ B C , obtemos f ∈ AC ou f ∈ B C , ou seja, f é uma função de C em A ou f é uma função de C em B. Como A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B temos, pelo Corolário 2.22, que f é uma função de C em A ∪ B Logo, f ∈ (A ∪ B)C . Portanto, AC ∪ B C ⊆ (A ∪ B)C . 13. É fácil verificar que R é uma relação de equivalência sobre A e que f −1 (b) = {x ∈ A : b = f (x)} 6= ∅, ∀ b ∈ B, pois B = Im(f ). Assim, se b ∈ Im(f ), então existe x ∈ A tal que b = f (x). Logo, f −1 (b) = f −1 (f (x)) = {y ∈ A : f (x) = f (y)} = {y ∈ A : xRy} = x. Portanto, as classes de equivalências são as imagens inversas de f . Neste caso, {f −1 (b)}b∈B é uma partição de A e o subconjunto f −1 (b) chama-se fibra sobre o elemento b ∈ Im(f ). 14. Primeiro note que dados x, y ∈ A, xRy ⇔ f (x) = f (y) ⇔ y = (f −1 ◦ f )(x). Portanto, (x, y) ∈ R ⇔ xRy ⇔ y = (f −1 ◦ f )(x)

⇔ (x, y) ∈ (f −1 ◦ f ), ∀ (x, y) ∈ A × A,

92

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS ou seja, R = f −1 ◦ f . Suponhamos que f ◦ f = f , então y

∈ x ⇒ f (x) = f (y) ⇒ f (x) = (f ◦ f )(y) = f (f (y))

⇒ x = (f −1 ◦ f )(f (y)) ⇒ f (y) ∈ x.

Reciprocamente, dado x ∈ A, obtemos x ∈ x ⇒ f (x) ∈ x = (f −1 ◦ f )(x) ⇒ (f ◦ f )(x) = f (x). Portanto, f ◦ f = f . 15. Dados f, g, h ∈ A. É claro que f ∼ f e se f ∼ g, então g ∼ f . Agora, se f ∼ g e g ∼ h, então os conjuntos S1 = {n ∈ N : f (n) 6= g(n)} e S2 = {n ∈ N : g(n) 6= h(n)} são finitos. Neste caso, se f (n) 6= h(n), então f (n) 6= g(n) ou f (n) = g(n) e g(n) 6= h(n). Logo, S = {n ∈ N : f (n) 6= h(n)} ⊆ S1 ∪ S2 é um conjunto finito. Assim, f ∼ h. Portanto, ∼ é uma relação de equivalência sobre A. T 16. Pondo R = i∈I Ri . Para quaisquer x, y, z ∈ A, obtemos xRi x, para todo i ∈ I. Logo, xRx. Se (x, y) ∈ R, então xRi y, para todo i ∈ I. Como yRi x, para todo i ∈ I, temos que (y, x) ∈ R, ou seja, se xRy, então yRx. Finalmente, se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R, então xRi y e yRi z, para todo i ∈ I. Assim, xRi z, para todo i ∈ I. Portanto, xRz, isto é, R é uma relação de equivalência sobre A. 17. Para quaisquer X, Y, Z ∈ P(B). É claro que XRX e se XRY , então Y RX. Finalmente, se XRY e Y RZ, então A ∩ X = A ∩ Y = A ∩ Z. Portanto, XRZ, isto é, R é uma relação de equivalência sobre P(B).

2.4. FUNÇÕES

93

18. Vamos provar apenas o item (b). Note que ∀ x [χB∪C (x) = 1 ⇔ x ∈ B ∪ C = (B ∩ C) ∪ [B ∪ C − (B ∩ C)] ⇔ x ∈ B ∩ C ou x ∈ B ∪ C − (B ∩ C)]. Por outro lado, ∀ x [(χB + χC − χB∩C )(x) = 1 ⇔ x ∈ B ∩ C ou x ∈ B ∪ C − (B ∩ C)]. Portanto, pelo item (a), χB∪C = χB + χC − χB · χC . S 19. Vamos provar apenas o item (a). Se x ∈ i∈I Ai , então existe i ∈ I tal que x ∈ Ai . Como f (J) = I temos que existe j ∈ J tal que i = f (j). S Logo, x ∈ Af (j) . Consequentemente, x ∈ j∈J Af (j) . Por outro lado, se S x ∈ j∈J Af (j) , então existe j ∈ J tal que x ∈ Af (j) . Como f (j) ∈ I S temos que x ∈ i∈I Ai . Portanto, [ [ Af (j) = Ai . j∈J

i∈I

20. Suponhamos que f : A → B seja injetora. Então, pelo Corolário 2.22, f : A → C é uma função bijetora, onde C = Im(f ) ⊆ B. Assim, f −1 : C → A é uma função. Seja a ∈ A fixado. Então a função g : B → A definida como ( f −1 (y), se y ∈ C g(y) = a, se y ∈ / C, tem as propriedades desejadas, pois para qualquer x ∈ A, obtemos (g ◦ f )(x) = g(f (x) = f −1 (f (x) = x = IA (x). 21. Pelo Exercício 20, basta considerar a função gk : N → N definida como ( n − 1, se n > 1 gk (n) = k, se n = 1, onde k ∈ N é arbitrário (infinitas possibilidades). Se existissem inversa à direita, então f seria sobrejetora, o que é impossível.

94

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

22. Suponhamos que f : A → B seja sobrejetora, então f −1 (y) 6= ∅, para todo y ∈ B = Im(f ). Assim, pelo Exercício 13, {f −1 (y)}y∈B é uma partição de A. Logo, para qualquer y ∈ B, podemos escolher um x = x(y) ∈ f −1 (y) ⊆ A. Então a função g : B → A definida como g(y) = x tem as propriedades desejadas, pois para qualquer y ∈ B, obtemos (f ◦ g)(y) = f (g(y)) = f (x) = y = IB (y). 23. Pelo Exercício 22 temos que {f −1 (n)}n∈N = {2n − 1, 2n}n∈N é uma partição de N. Assim, basta considerar a função gk : N → N definida como ( 2n − 1, se 1 ≤ n < k gk (n) = 2n, se n ≥ k, onde k ∈ N é arbitrário (infinitas possibilidades). Se existissem inversa à esquerda, então f seria injetora, o que é impossível. 24. Vamos provar apenas o item (c). Dados x, y ∈ R, se f (x) = f (y), então x y √ =p . 1 + x2 1 + y2

Como os denominadores destas frações são positivos temos as seguintes possibilidades: x = y = 0 ou x > 0 e y > 0 ou x < 0 e y < 0. A primeira possibilidade é clara. Se x > 0 e y > 0, então s r √ 2 2 x x y2 x y √ √ p = = = = . 1 + x2 1 + y2 1 + x2 1 + x2 1 + y2

2.4. FUNÇÕES

95

Logo, elevando ao quadrado ambos os membros, obtemos x2 1 + x2

y2 ⇒ x2 = y 2 2 1+y p √ ⇒ x = |x| = x2 = y 2 = |y| = y. =

A possibilidade x < 0 e y < 0 é tratada de modo inteiramente análogo. Portanto, x = y, ou seja, f é injetora. Para provar que f é sobrejetora, dado y ∈ I, devemos resolver a equação y = f (x) para obter x como função de y. Para isso, devemos considerar as seguintes possibilidades: y = 0 ou y > 0 ou y < 0. Se y = 0, então existe x = 0 ∈ R tal que 0 = f (0). Se y > 0, então x > 0 e r x x2 y = √ = 1 + x2 1 + x2 x2 ⇒ y2 = 1 + x2 y ⇒ x= p , 1 − y2

ou seja, se y > 0, então existe

y x= p ∈R 1 − y2

tal que y = f (x). A possibilidade y < 0 é tratada de modo inteiramente análogo. Portanto, f é bijetora. Note que lim f (x) = −1 e

x→−∞

lim f (x) = 1.

x→+∞

Finalmente, é fácil verificar que a função g : I → R definida como x g(x) = √ 1 − x2 é a inversa de f . 25. Basta considerar f = IB .

96

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

26. Suponhamos, por absurdo, que g 6= h. Então existe x0 ∈ A tal que g(x0 ) 6= h(x0 ). Consideremos a função f : B → {g(x0 ), h(x0 )} definida como ( h(x0 ), se y ∈ B − {h(x0 )} f (y) = g(x0 ), se y = h(x0 ). Então (f ◦ g)(x0 ) = h(x0 ) e (f ◦ h)(x0 ) = g(x0 ) ⇒ (f ◦ g)(x0 ) 6= (f ◦ h)(x0 ), o que é uma contradição. 27. (a ⇒ b) Dado x ∈ B, existe a ∈ A tal que x = f (a). Logo, g(x) = g(f (a)) = (g ◦ f )(x) = (h ◦ f )(x) = h(f (a)) = h(x). Portanto, g = h. (b ⇒ c) Suponhamos, por absurdo, que exista X ⊆ A tal que B −f (X) 6⊂ / f (A − X). Então f (A − X), isto é, existe y0 ∈ B − f (X) tal que y0 ∈ y0 6= f (x), para todo x ∈ A. Para qualquer b ∈ B fixado, com b 6= y0 , consideremos a função g : B → B definida como g(y) =

(

y, se y = 6 y0 b, se y = y0

e seja h = IB . Então f (x) = (g ◦ f )(x) e f (x) = (h ◦ f )(x), ∀ x ∈ A, isto é, g ◦ f = h ◦ f . Logo, g = h, o que é uma contradição. (c ⇒ a) Pondo X = A, obtemos B − f (A) ⊆ f (A − A) = f (∅) = ∅. Assim, f (A) = B, ou seja, f é sobrejetora.

2.4. FUNÇÕES

97

28. (a ⇒ b) Dado x ∈ C, f (g(x)) = (f ◦ g)(x) = (f ◦ h)(x) = f (h(x) ⇒ g(x) = h(x). Portanto, g = h. (b ⇒ c) Suponhamos, por absurdo, que exista X ⊆ A tal que f (A−X) 6⊂ / B − f (X). Então B − f (X), isto é, existe y0 ∈ f (A − X) tal que y0 ∈ existem a ∈ A − X e x0 ∈ X tais que f (a) = y0 = f (x0 ). Consideremos a função h : A → A definida como ⎧ ⎪ ⎨ x, se x ∈ A − {a, x0 } h(x) = x0 , se x = a ⎪ ⎩ a, se x = x0

e seja g = IA . Então

f (x) = (f ◦ g)(x) e f (x) = (f ◦ h)(x), ∀ x ∈ A, isto é, f ◦ g = f ◦ h. Logo, g = h, o que é uma contradição. (c ⇒ a) Suponhamos, por absurdo, que f não seja injetora. Então, pelo Exemplo 2.24, existe X ⊆ A tal que f (A) − f (X) ⊂ f (A − X). Como f (A) ⊆ B temos que f (A) − f (X) ⊆ B − f (X) (prove isto!). Portanto, f (A − X) 6⊂ B − f (X), o que é uma contradição.

98

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS

29. Vamos provar apenas o item (a). ∀ (x, y) [(x, y) ∈ (g ◦ f ) |X ⇔ (x, y) ∈ g ◦ f e x ∈ X ⇔ ∃ z tal que (x, z) ∈ f e (z, y) ∈ g e x ∈ X ⇔ ∃ z tal que ((x, z) ∈ f e x ∈ X) e (z, y) ∈ g ⇔ (x, y) ∈ g ◦ (f |X )]. Portanto, (g ◦ f ) |X = g ◦ (f |X ). 30. Suponhamos que exista uma função h : B → C tal que f = h ◦ g. Então g(x) = g(y) ⇒ f (x) = h(g(x) = h(g(y)) = f (y), ∀ x, y ∈ A. Reciprocamente, seja c ∈ C fixado. Então a função h : B → C definida como ( f (x), se y = g(x) h(y) = c, se y 6= g(x) tem as propriedades desejadas, pois para qualquer x ∈ A, obtemos f (x) = h(y) = h(g(x)) = (h ◦ g)(x). Seja h1 : B → C outra função com a mesma propriedade de h. Então, pelo Exercício 25, h = h1 . 31. Suponhamos que exista uma função h : C → B tal que f = g ◦ h. Então ∀ y [y

∈ Im(f ) ⇒ ∃ x ∈ C tal que y = f (x) ⇒ ∃ x ∈ C tal que y = (g ◦ h)(x) ⇒ (x, y) ∈ g ◦ h ⇒ ∃ z ∈ C tal que (x, z) ∈ h e (z, y) ∈ g ⇒ y ∈ Im(g)].

Reciprocamente, a função h : C → B definida como h(x) = g −1 (f (x)) tem as propriedades desejadas, pois para qualquer x ∈ C, obtemos f (x) = IA (f (x)) = (g ◦ g −1 )(f (x)) = g(g −1 ◦ f )(x) = (g ◦ h)(x).

2.4. FUNÇÕES

99

Seja h1 : C → B outra função com a mesma propriedade de h. Então h1 = IB ◦ h1 = (g −1 ◦ g) ◦ h1 = g−1 ◦ (g ◦ h1 )

= g −1 ◦ f = g −1 ◦ (g ◦ h) = (g−1 ◦ g) ◦ h = IB ◦ h

= h. 32. Primeiro note que f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) ⇒ f (0) = 0 e 0 = f (0) = f (1 + (−1)) = f (1) + f (−1) ⇒ f (−1) = −f (1). Segundo f (1) = f (1 · 1) = f (1) · f (1) ⇒ f (1) · (f (1) − 1) = 0 ⇒ f (1) = 0 ou f (1) = 1. Se f (1) = 0, então f (x) = f (x · 1) = f (x) · f (1) = 0, para todo x ∈ Z, isto é, f = 0. Agora, se f (1) = 1, então, pela Lei da Tricotomia, dado x ∈ Z, x < 0 ou x = 0 ou x > 0. Assim, x > 0 ⇒ f (x) = f (1 + 1 + · · · + 1) = xf (1) = x e x < 0 ⇒ −x > 0 ⇒ f (x) = f (−1 · (−x)) = f (−1)(−x) = −f (1)(−x) = x. Portanto, f (x) = x, para todo x ∈ Z, isto é, f = IZ . 33. Pelo Exercício 32, obtemos f = 0 ou f (x) = x, para todo x ∈ Z. Agora, dado y ∈ Z, com y 6= 0, obtemos µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 = f (1) = f y · = f (y) · f =y·f y y y µ ¶ 1 1 = . ⇒ f y y

100

CAPÍTULO 2. CONJUNTOS Finalmente, dado r =

x y

∈ Q, com y 6= 0, obtemos

µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 x x =f x· = f (x) · f = x · = = r. f (r) = f y y y y y Portanto, f = IQ . 34. Note que se n ∈ N e f n (A − f (A)) ∩ f n+1 (A − f (A)) 6= ∅, então existe z ∈ f n (A − f (A)) ∩ f n+1 (A − f (A)), ou seja, existem x, y ∈ A − f (A) tais que z = f n (x) e z = f n+1 (y). Como f é injetora temos que f n+1 (y) = f n (x) ⇒ f n (y) = f n−1 (x) ⇒ · · · ⇒ f (y) = x. Logo, x ∈ f (A), o que é impossível. Portanto, f (A − f (A)), f 2 (A − f (A)), f 3 (A − f (A)) . . . são mutualmente disjuntos. 35. Se f (A) 6= A, então, pelo Exercício 34, A seria um conjunto infinito.

Capítulo 3 Conjuntos Parcialmente Ordenados Com os conhecimentos dos axiomas básicos da Teoria dos Conjuntos estudaremos os problemas de aplicações ordinárias de matemática tais como: relação de ordem, conjuntos parcialmente ordenados, elementos maximais e minimais, maior e menor elemento, supremo e ínfimo de um conjunto. Além disso, estudaremos reticulados e conjuntos bem ordenados. Já vimos que a ideia intuitiva de uma “coleção ordenada de elementos” era significativa para qualquer coleção A quando A era um conjunto. Neste capítulo, porém, estaremos interessados nos conceitos formais de conjuntos parcialmente ordenados e suas consequências. Da mesma forma que o conjunto de todos os números reais é o modelo para todos os conceitos nos cursos de Análise Real, o conceito de conjuntos parcialmente ordenados pode ser utilizado como eficiente ferramenta de modelagem em diversas situações-problema, principalmente aquelas que possuem como objetivo a limitação de determinados conjuntos. Vejamos um exemplo de uma situação dessa natureza. Mostraremos a Lei de Arquimedes (Archimedes de Syracuse, 287 a.C.-212 a.C., matemático, físico, engenheiro, inventor e astrônomo grego): Supondo que o conjunto de todos os números reais R, com a ordem usual, seja “completo”, mostraremos que dados a, b ∈ R, com a > 0, existe n ∈ Z tal 101

102

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

que na > b. Em bem pouco tempo estaremos aptos a efetuar os cálculos necessários à obtenção da resposta a essa questão.

3.1

Conjuntos Ordenados

Seja A um conjunto. Diremos que uma relação ≤ sobre A é uma pré-ordem se os seguintes axiomas são satisfeitos: 1. x ≤ x, para todo x ∈ A. (reflexividade) 2. Se x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z, para todos x, y, z ∈ A. (transitividade) Se uma pré-ordem ≤ sobre A satisfaz o axioma: 3. Se x ≤ y e y ≤ x, então x = y, para todos x, y ∈ A, (antissimétrica) diremos que ≤ é uma ordem (parcial) sobre A. Se uma ordem ≤ sobre A satisfaz o axioma: 4. x ≤ y ou y ≤ x, para todos x, y ∈ A, (x e y são comparáveis) diremos que ≤ é uma ordem total (ou ordem linear) sobre A. Observe que os axiomas (1) e (3) são equivalentes ao axioma (10 ) x ≤ y e y ≤ x se, e somente se, x = y, para todos x, y ∈ A. O axioma (4) é equivalente ao axioma (40 ) existe z ∈ A tal que z ≤ x e z ≤ y. Notações: • y ≥ x significa que x ≤ y. • x < y significa que x ≤ y e x 6= y. • y > x significa que x < y. A notação x ≤ y lê-se “x é menor do que ou igual a y ou x precede y ou y segue x.”

3.1. CONJUNTOS ORDENADOS

103

Exemplo 3.1 Seja A um conjunto qualquer. Dados a, b ∈ A, definimos a ≤ b ⇔ a = b. Então ≤ é uma ordem sobre A. Exemplo 3.2 Seja Q o conjunto de todos os números racionais. Dados r, s ∈ Q, diremos que r divide s ou s é um múltiplo de r em Q se existir n ∈ Z tal que s = nr. Dados r, s ∈ Q, definimos r ≤ s ⇔ r divide s. Note que se r 6= 0, então r divide s significa que sr−1 ∈ Z. Então ≤ é uma pré-ordem sobre Q, mas não é uma ordem, pois r ≤ −r e −r ≤ r, com r 6= −r. Exemplo 3.3 Seja Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .} o conjunto de todos os números inteiros positivos. Dados m, n ∈ Z+ , definimos m ¹ n ⇔ m divide n. Mostre que ¹ é uma ordem sobre Z+ . Solução. Dados k, m, n ∈ Z+ . É claro que k ¹ k, pois k = 1 · k. Se k ¹ m e m ¹ k, então k divide m e m divide k. Logo, em relação a ordem usual de Z+ , obtemos k ≤ m e m ≤ k. Assim, k = m. Finalmente, se k ¹ m e m ¹ n, então existem r, s ∈ Z+ tais que m = rk e n = sm. Logo, n = sm = s(rk) = (rs)k, ou seja, k ¹ n. Portanto, ¹ é uma ordem sobre Z+ .

¥

Um conjunto parcialmente ordenado - poset (partially ordered set) é um conjunto A munido de uma ordem ≤ (R), em símbolos, o par ordenado (A, ≤) ou (A, R).

104

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

Observe que ≤ ∈ P(A × A) e R ∈ P(A × A). Sejam A um poset e B um subconjunto de A. Então A induz uma ordem sobre B do seguinte modo: ∀ x, y ∈ B [x ≤ y ⇔ x ≤ y sobre A]. Ou, equivalentemente, se R é uma ordem sobre A, então R0 = R ∩ (B × B) = {(x, y) : x, y ∈ B e xRy} = R|B é uma ordem sobre B. Neste caso, diremos que R0 é a ordem induzida por R. Sejam A um poset e B um subconjunto de A. Diremos que B é um subconjunto totalmente ordenado ou uma cadeia de A se a ordem induzida por A for total. Em particular, se quaisquer dois elementos de A são comparáveis, isto é, x ≤ y ou x ≥ y, para todos x, y ∈ A, diremos que A é um conjunto totalmente ordenado ou um conjunto ordenado linearmente. Assim, um conjunto A é totalmente ordenado se uma e apenas uma das condições ocorre: ∀ x, y ∈ A [x < y, x = y ou x > y] (Lei da Tricotomia). Note que se em um poset (A, ≤) nenhum par de elementos é comparável, então ≤ é a igualdade. Observação 3.4 O conjunto de todos os números reais R, com a ordem usual, é totalmente ordenado. Consequentemente, os subconjuntos N, Z e Q, com a ordem induzida, são totalmente ordenados. Note que C =R−Q é uma cadeia em R. Em particular, se N é munido com a ordem r divide s em N, então o conjunto {20 , 21 , 22 , . . . , 2n−1 , . . .} é uma cadeia de N (prove isto!).

3.1. CONJUNTOS ORDENADOS

105

Exemplo 3.5 Sejam A um conjunto qualquer com pelo menos dois elementos e P(A) o conjunto das potências de A. Dados X, Y ∈ P(A), definimos X ≤ Y ⇔ X ⊆ Y. Mostre que ≤ é uma ordem sobre P(A), chamada ordenação pela inclusão. Note que esta ordem não é total. No entanto, se C é uma cadeia de P(A), digamos C = {X1 , X1 ∪ X2 , . . . , X1 ∪ · · · ∪ Xn , . . .}, então X ⊆ Y ou Y ⊆ X, para todos X, Y ∈ C. Solução. Para provar que ≤ é uma ordem, confira o Teorema 2.1. Finalmente, se X = {x} ∈ P(A) e Y = {y} ∈ P(A), com x 6= y, então X e Y não são comparáveis. Portanto, ≤ não é uma ordem total sobre P(A). ¥ Observe que se A é um conjunto e E é o conjunto de todas as relações de equivalência sobre A, então E é um poset com a ordem induzida por P(A×A). Exemplo 3.6 Sejam A e B dois posets disjuntos. Mostre que A ∪ B é um poset, com a seguinte ordenação: dados x, y ∈ A ∪ B, definimos ⎧ ⎪ ⎨ x, y ∈ A e x ≤A y ou x¹y⇔ x, y ∈ B e x ≤B y ou ⎪ ⎩ x ∈ A e y ∈ B. Por exemplo, x ¹ x, para todo x ∈ A ∪ B, pois x ∈ A ou x ∈ B implica que x ≤A x ou x ≤B x.

Sejam A um poset e a, b ∈ A fixados. O segmento inicial ou o intervalo aberto não limitado à esquerda de A determinado por a é o conjunto Sa = {x ∈ A : x < a}. Note que Sa 6= A. O segmento final ou o intervalo aberto não limitado à direita de A determinado por a é o conjunto S a = {x ∈ A : a < x}.

106

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

O intervalo aberto de A determinado por a e b é o conjunto ]a, b[ = {x ∈ A : a < x < b} = S a ∩ Sb . O intervalo fechado de A determinado por a e b é o conjunto [a, b] = {x ∈ A : a ≤ x ≤ b}. Exemplo 3.7 Sejam N o conjunto de todos os números naturais com a ordem usual e n ∈ N fixado. Note que Sn = {1, 2, , . . . , n − 1} e S n = {n + 1, n + 2, . . .}. Em particular, S1 = ∅ e S 0 = N. Teorema 3.8 Seja A um poset. Se P é um segmento inicial de A e Q é um segmento inicial de P , então Q é um segmento inicial de A. Prova. Por hipótese, existem a ∈ A e b ∈ P tais que P = {x ∈ A : x < a} e Q = {y ∈ P : y < b}, respectivamente. Seja Sb = {x ∈ A : x < b}. Então, por definição, Sb é um segmento inicial de A. Afirmação. Q = Sb De fato, é claro que Q ⊆ Sb . Por outro lado, se x ∈ Sb , então x ∈ A e x < b. Como b ∈ P temos que x ∈ P , pois b < a. Assim, x ∈ Q, pois x < b e x ∈ P . Portanto, Sb ⊆ Q. ¥ Seja A um poset. Um corte de A é um par ordenado (E, D) de subconjuntos não vazios de A com as seguintes propriedades: 1. E ∩ D = ∅ e E ∪ D = A. 2. Se a ∈ E e x ≤ a, então x ∈ E.

3.1. CONJUNTOS ORDENADOS

107

3. Se a ∈ D e a ≤ x, então x ∈ D. Exemplo 3.9 Seja Q o conjunto de todos os números racionais com a ordem usual. Mostre que o par E = {x ∈ Q : x ≤ 0 ou [x > 0 e x2 < 2]} e D = {x ∈ Q : x > 0 e x2 > 2} é um corte de Q. Note que D = Q − E. Solução. É fácil verificar que E, D são subconjuntos não vazios de Q, E ∩ D = ∅ e E ∪ D = Q. Suponhamos que a ∈ E e x ≤ a. Então há dois casos a serem considerados: se x ≤ 0, então automaticamente x ∈ E. Caso contrário, x > 0 e a2 − x2 ≥ 0, pois a2 − x2 = (a − x)(a + x) ≥ 0. Logo, x2 ≤ a2 < 2. Assim, x ∈ E. Portanto, em qualquer caso, x ∈ E. De modo inteiramente análogo, prova-se o item ( 3). ¥ Seja A um poset. Diremos que A é um poset finito se o conjunto A for “finito”. A cardinalidade do conjunto A chama-se comprimento do poset. Seja A um poset finito. Um diagrama de linha ou um diagrama de Hasse (Helmut Hasse, 1898-1979, matemático alemão) para A é um diagrama em que os elementos de A são representados por vértices e as comparações entre dois elementos a, b ∈ A são representadas por arestas, com a seguinte convenção: um elemento a está abaixo de um elemento b se, e somente se, a < b e não existe c ∈ A − {a, b} tal que a < c < b. Exemplo 3.10 Sejam A = {a, b, c, d, e, f } e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dois conjuntos ordenados pelos diagramas de Hasse, confira Figura 3.1. Então: 1. Os subconjuntos {a, b, c} e {a, b, e, f } são cadeias de A, pois quaisquer dois elementos são comparáveis. Enquanto, o subconjunto {1, 2, 3, 4, 6} não é uma cadeia de B, por exemplo, 2 e 3 não são comparáveis.

108

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

2. Note que Se = {a, b, d} é um segmento inicial de A. Enquanto, S5 = {1} é um segmento inicial de B. 3. Se E = {a, b, c} e D = {d, e, f }, então (E, D) é um corte de A.

Figura 3.1: Diagramas de Hasse Exemplo 3.11 (Poset Coroa) Seja A = {1, 2, 3, . . . , 2n}, com n > 1, um conjunto. Dado a ∈ A, definimos a ≤ a + n e a + 1 ≤ a + n, ∀ a ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, n ≤ 2n e 1 ≤ 2n. Note que A é um poset, mas não é totalmente ordenado. Confira diagrama de Hasse dado pela Figura 3.2, com n = 5.

Figura 3.2: Diagrama de Hasse.

3.1. CONJUNTOS ORDENADOS

109

EXERCÍCIOS

1. Seja A um conjunto. Mostre que se ≤ é uma relação de ordem sobre A, então a relação < possui as seguintes propriedades: (a) Se x < y e y < z, então x < z. para todos x, y, z ∈ A. (b) No máximo uma das condições ocorre: x < y ou x = y ou x > y. (assimétrica) Reciprocamente, mostre se < é uma relação sobre A satisfendo às propriedades (a) e (b), então uma relação de ordem sobre A é definida como x ≤ y se, e somente se, x < y ou x = y. Conclua que a função ϕ( 0 e d > 0. Mostre que ¹ é uma ordem total sobre Q. 14. Seja {Ai }i∈I uma família de posets. Dados f = (ai ), g = (bi ) ∈ P =

Y

Ai ,

i∈I

definimos f ¹ g ⇔ ai ≤ bi , ∀ i ∈ I. Mostre que ¹ é uma ordem cartesiana sobre P . 15. Sejam I um conjunto totalmente ordenado, {Ai }i∈I uma família de conjuntos totalmente ordenados disjuntos aos pares. Neste caso, diremos que S {Ai }i∈I é uma família totalmente ordenada. Seja A = i∈I Ai . Dados a, b ∈ A, existem únicos i, j ∈ I tais que a ∈ Ai e b ∈ Aj , definimos [a ¹ b, se i < j] e [a ≤ b sobre Ai , se i = j]. Mostre que ¹ é uma ordem total sobre A.

112

3.2

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

Isomorfismos

É importante lembrar que todos os resultados sobre funções vistos no curso de Matemática Elementar podem ser usados em tudo que segue. Sejam A, B dois posets e f : A → B uma função. Diremos que f é crescente ou preserva ordem se ∀ x, y ∈ A [x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)]. e f é decrescente ou inverte ordem se ∀ x, y ∈ A [x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)]. Por exemplo, se A um conjunto não vazio e B ⊆ A, então a função fB : P(A) → P(A) definida como fB (X) = B ∩ X preserva ordem. Enquanto, a função λA : P(A) → P(A) definida como λA (X) = A − X inverte ordem e λA ◦ λA = IA . Sejam A, B dois poset e f : A → B uma função. Diremos que f é estritamente crescente se ∀ x, y ∈ A [x < y ⇒ f (x) < f (y)]. e f é um isomorfismo se f é bijetora e ∀ x, y ∈ A [x ≤ y ⇔ f (x) ≤ f (y)]. Exemplo 3.12 Sejam R o conjunto de todos os números reais com a ordem usual e a, b ∈ R fixados, com a 6= 0. 1. Mostre que se a > 0, então a função f : R → R definida como f (x) = ax + b é um isomorfismo.

3.2. ISOMORFISMOS

113

2. Mostre que se a < 0, então a função f : R → R definida como f (x) = ax + b não é um isomorfismo. Solução. Dados x, y ∈ R, se f (x) = f (y), então ax + b = ay + b ⇒ ax = ay ⇒ x = y, pois a 6= 0. Logo, f é injetora. Para provar que f é sobrejetora, dado y ∈ R, devemos resolver a equação y = f (x) para obter x como função de y, ou seja, y = ax + b ⇔ x = a−1 (y − b). Assim, dado y ∈ R, existe x = a−1 (y − b) ∈ R tal que y = f (x). Portanto, f é bijetora. (1) Se a > 0, então ∀ x, y ∈ R [x ≤ y ⇔ ax ≤ ay ⇔ ax + b ≤ ay + b ⇔ f (x) ≤ f (y)], ou seja, f preserva ordem. Portanto, f é um isomorfismo. (2) Se a < 0, então ∀ x, y ∈ R [x ≤ y ⇔ ax ≥ ay ⇔ ax + b ≥ ay + b ⇔ f (x) ≥ f (y)], ou seja, f inverte ordem. Portanto, f não é um isomorfismo. No entanto, f é bijetora. ¥ Exemplo 3.13 Sejam A = {n ∈ N : n ≥ 2}, ordenado por m ≤ n ⇔ m divide n, e B = {n ∈ N : n ≥ 2}, com a ordem usual induzida por N. Então a função f : A → B definida como f (x) = x claramente preserva ordem, mas não é um isomorfismo, pois f (3) < f (5), com 3 ≮ 5.

114

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

Teorema 3.14 Sejam A, B dois posets e f : A → B uma função. Então f é um isomorfismo se, e somente se, f é sobrejetora e ∀ x, y ∈ A [x ≤ y ⇔ f (x) ≤ f (y)]. Prova. Dados x, y ∈ A, se f (x) = f (y), então de f (x) ≤ f (y), obtemos x ≤ y e de f (x) ≥ f (y), obtemos x ≥ y. Portanto, x = y e f é injetora. Consequentemente f é um isomorfismo. ¥ Proposição 3.15 Sejam A, B dois posets e f : A → B uma função. Se f é um isomorfismo, então ∀ x, y ∈ A [x < y ⇔ f (x) < f (y)]. Prova. Dados x, y ∈ A, se x < y, então x ≤ y. Logo, por hipótese, f (x) ≤ f (y). Portanto, f (x) < f (y), pois se f (x) = f (y), então, pela injetividade de f , x = y, o que é impossível. Reciprocamente, se f (x) < f (y), então f (x) ≤ f (y). Logo, por hipótese, x ≤ y. Portanto, x < y, pois se x = y, então, pela definição de função, f (x) = f (y), o que é impossível. ¥ Teorema 3.16 Sejam A, B dois posets e f : A → B uma função bijetora. Então f é um isomorfismo se, e somente se, f e f −1 são crescentes. Prova. Note que como f é bijetora temos que ∀ x ∈ A [(f −1 ◦ f )(x) = x]. Dados z, w ∈ B, existem únicos x, y ∈ A tais que z = f (x) e w = f (y). Logo, por hipótese, z ≤ w ⇔ x ≤ y. Assim, (f −1 ◦ f )(x) = x ≤ y = (f −1 ◦ f )(y) ⇒ f −1 (z) ≤ f −1 (w). Portanto, f −1 é crescente.

3.2. ISOMORFISMOS

115

Reciprocamente, como f é crescente temos que ∀ x, y ∈ A [x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)]. Por outro lado, sendo f −1 crescente, obtemos f (x) ≤ f (y) ⇒ f −1 (f (x)) ≤ f −1 (f (y))

⇒ x = (f −1 ◦ f )(x) ≤ (f −1 ◦ f )(y) = y.

Portanto, f é um isomorfismo.

¥

Teorema 3.17 Sejam A, B e C três posets. Então: 1. IA : A → A é um isomorfismo. 2. Se f : A → B é um isomorfismo, então f −1 : B → A é um isomorfismo. 3. Se f : A → B e g : B → C são isomorfismos, então g ◦ f : A → C é um isomorfismo. Prova. Vamos provar apenas o item (3). É claro que g ◦ f é uma função bijetora. Note que ∀ x, y

∈ A [x ≤ y ⇔ f (x) ≤ f (y) ⇔ g(f (x)) ≤ g(f (y)) ⇔ (g ◦ f )(x) ≤ (g ◦ f )(y)].

Portanto, g ◦ f é um isomorfismo.

¥

Sejam A, B dois poset. Diremos que A e B são isomorfos ou ordem isomorfos se existir um isomorfismo f : A → B e denotaremos por A ' B ou A '0 B. O Teorema 3.17 prova que a relação ser isomorfo é uma relação de equivalência. Note que os conjuntos A e B dados no Exemplo 3.10, não são isomorfos, pois eles possuem diagramas de Hasse diferentes. No entanto, é fácil exibir uma correspondência biunívoca entre eles. Portanto, é pertinente lembrar de que apenas a existência de uma função bijetora entre dois posets, em geral, não é suficiente para concluirmos que os conjuntos são isomorfos.

116

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

Exemplo 3.18 O conjunto de todos os números reais R, com a ordem usual, e o intervalo aberto I = ] − 1, 1[, com a ordem induzida por R, são isomorfos. Solução. Seja f : I → R a função definida como f (x) =

x . 1 − |x|

Afirmação. f é um isomorfismo. De fato, dados x, y ∈ I, se f (x) = f (y), então

x y = . 1 − |x| 1 − |y|

Como os denominadores destas frações são positivos temos as seguintes possibilidades: x = y = 0 ou x > 0 e y > 0 ou x < 0 e y < 0. A primeira possibilidade é clara. Se x > 0 e y > 0, então x y y x = = = ⇒ x = y. 1 − x 1 − |x| 1 − |y| 1−y A possibilidade x < 0 e y < 0 é tratada de modo inteiramente análogo. Portanto, f é injetora. Para provar que f é sobrejetora, dado y ∈ R, devemos resolver a equação y = f (x) para obter x como função de y. Para isso, devemos considerar as seguintes possibilidades: y = 0 ou y > 0 ou y < 0. Se y = 0, então existe x = 0 ∈ I tal que 0 = f (0). Se y > 0, então x > 0 e y=

x x y = ⇒x= , 1 − |x| 1 − x 1+y

ou seja, se y > 0, então existe x=

y ∈I 1+y

tal que y = f (x). A possibilidade y < 0 é tratada de modo inteiramente análogo. Portanto, f é bijetora e f −1 (x) =

x . 1 + |x|

Note que lim f (x) = −∞ e lim− f (x) = +∞.

x→−1+

x→1

3.2. ISOMORFISMOS

117

Finalmente, dados x, y ∈ I, então basta considerar as seguintes possibilidades: x ≤ 0 e y ≤ 0 ou x ≥ 0 e y ≥ 0 ou x ≤ 0 e y ≥ 0. Como y x − 1 − |y| 1 − |x| y(1 − |x|) − x(1 − |y|) = (1 − |x|)(1 − |y|)

f (y) − f (x) =

temos que x ≤ y se, e somente se, f (x) ≤ f (y). Por exemplo, se x ≤ y, x ≤ 0 e y ≥ 0, então y(1 + x) − x(1 − y) ≥ 0, f (y) − f (x) = (1 + x)(1 − y) pois y(1 + x) − x(1 − y) ≥ 0. Portanto, em qualquer caso, f é um isomorfismo.

¥

EXERCÍCIOS

1. Sejam A e B dois posets. Mostre que se f : A → B é uma função crescente e injetora, então f é estritamente crescente. Neste caso, diremos que f é uma imersão crescente. 2. Dê pelo menos duas imersões crescente de N em Z. 3. Mostre que o conjunto de todos os números inteiros positivos Z+ , com a ordem usual, e o conjunto ½ ¾ 1 A= 1− : n ∈ Z+ ⊆ [0, 1[, n+1 com a ordem induzida por R, são isomorfos. 4. Sejam A e B dois posets. (a) Mostre que se A × B é ordenado lexicograficamente, então p1 : A × B → A é uma função crescente.

118

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS (b) Mostre que se A × B é ordenado antilexicograficamente, então p2 : A × B → B é uma função crescente.

5. Sejam A, B dois posets e f : A → B uma função crescente. Mostre que se C é uma cadeia em A, então f (C) é uma cadeia em B. 6. Sejam D um poset e C um subconjunto de D. Diremos que C é convexo se a seguinte condição for satisfeita: ∀ a, b ∈ C [a ≤ x ≤ b ⇒ x ∈ C]. Mostre que f : A → B é uma função crescente se, somente se, f −1 (C) é um subconjunto convexo de A, para todo subconjunto convexo C de B. 7. Sejam A, B dois posets, f : A → B uma função crescente e R uma relação de equivalência sobre A determinada por f . Mostre que cada classe x é um subconjunto convexo de A. 8. Sejam A, B dois posets e f : A → B uma função crescente e sobrejetora. Mostre que se (E, D) é um corte de B, então (f −1 (E), f −1 (D)) é um corte de A. 9. Sejam A, B dois posets e f : A → B um isomorfismo. (a) Mostre que se C é um subconjunto convexo de A, então f (C) é um subconjunto convexo de B. (b) Mostre que se (E, D) é um corte de A, então (f (E), f (D)) é um corte de B. (c) Mostre que se [a, b] é um intervalo fechado de A, então f ([a, b]) é um intervalo fechado de B. 10. Sejam A, B dois posets e f : A → B um isomorfismo. Mostre que f (Sa ) = Sf (a) , para todo a ∈ A. Conclua que Sa ' Sf (a) . 11. Sejam A um poset e Ia = {x ∈ A : x ≤ a}, para cada a ∈ A. Mostre que se a família F = {Ia }a∈A é ordenada pela inclusão, então F é isomorfo a A.

3.3. ELEMENTOS NOTÁVEIS E DUALIDADE

119

12. Sejam A um poset, Ea = {x ∈ A : x ≤ a} e Da = {x ∈ A : x ­ a}. (a) Mostre que (Ea , Da ) é um corte de A, para todo a ∈ A. (b) Seja C = {(Ea , Da )}a∈A a família de todos os cortes de A. Mostre que a função ϕ : A → C definida por ϕ(a) = (Ea , Da ) é um isomorfismo. 13. Mostre que se A é um conjunto totalmente ordenado e f : A → B é um isomorfismo, então B é um conjunto totalmente ordenado. 14. Sejam A, B dois posets, f : A → B uma função e Ia = {x ∈ A : x ≤ a}, para cada a ∈ A. Mostre que as seguintes condições são equivalentes: (a) Para cada b ∈ B, existe a ∈ A tal que f −1 (Ib ) = Ia ; (b) Se f preserva ordem, então existe uma única função g : B → A tal que f ◦ g ≤ IB e IA ≤ g ◦ f. A função f chama-se residuada e g a função residual de f .

3.3

Elementos Notáveis e Dualidade

Nesta seção apresentaremos os conjuntos “reticulados”, introduzidos por Dedekind. Podemos salientar que os reticulados são de grande importância sobre outras estruturas tais como: grupos, aneis, espaços vetoriais etc. Seja A um poset. Um elemento M ∈ A chama-se um elemento maximal de A se nenhum dos elementos de A são estritamente maiores do que M. Em símbolos, ∀ x ∈ A [M ≤ x ⇒ M = x]. Ou, equivalentemente, não existe elemento x ∈ A, com M < x. Analogamente, um elemento m ∈ A chama-se um elemento minimal de A se nenhum dos elementos de A são estritamente menores do que m. Em símbolos, ∀ x ∈ A [x ≤ m ⇒ m = x]. Ou, equivalentemente, não existe elemento x ∈ A, com x < m.

120

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

Exemplo 3.19 Seja A = {2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 24} uma conjunto ordenado pelo diagrama de Hasse, confira Figura 3.3. Então 7, 9, 15, 16 e 24 são elementos maximais, enquanto 2, 3, 5 e 7 são elementos minimais..

Figura 3.3: Diagrama de Hasse. Exemplo 3.20 Sejam A um conjunto não vazio e B = P(A) − {∅, A} ordenado pela inclusão. Então os elementos minimais de B são os subconjuntos unitários, enquanto os elementos maximais de B são os subconjuntos A − {a}, para todo a ∈ A, pois o único elemento em P(A) que contém propriamente A − {a} é A, mas A ∈ / B. Quando A = {a, b, c}, por meio do diagrama de Hasse, verifique o resultado. Exemplo 3.21 Seja I = ]0, 1[ o intervalo aberto com a ordem induzida por R. Mostre que I não possui elemento maximal e nem minimal. Pois se M e m são elementos maximal e minimal de I, então pelos itens (a) e (b) do Exercício 1 abaixo, obtemos 0 0. Então a − < a. Assim, a− ∈ / S(B). Portanto, existe b = b( ) ∈ B tal que a − < b ≤ a. Reciprocamente, suponhamos que a ∈ S(B) e para qualquer ∈ R, com > 0, exista um b = b( ) ∈ B tal que a − < b ≤ a. Dado x ∈ R, se x < a, então = a − x > 0. Assim, existe b = b( ) ∈ B tal que x = a − < b. Logo, x∈ / S(B). Portanto, a = sup(B), pois x foi escolhido arbitrariamente. ¥ Exemplo 3.32 Seja A um poset. Mostre que s(∅) = A e S(∅) = A. Conclua que se A possui um maior elemento a ∈ A, então sup(A) = a = inf(∅).

3.3. ELEMENTOS NOTÁVEIS E DUALIDADE

125

Solução. É claro que s(∅) ⊆ A. Por outro lado, já vimos que um elemento a ∈ A não é uma cota inferior de B se existir b0 ∈ B tal que b0 < a. Agora, se B = ∅, então não existe elemento b0 ∈ B que satisfaça esta condição, ou seja, ∀ x ∈ B [a ∈ A ⇒ a ≤ x]. Portanto, A ⊆ s(∅) e inf(∅) é o maior elemento de s(∅). Assim, se A possui um maior elemento a ∈ A, então a = inf(∅). De modo inteiramente análogo, se A possui um menor elemento b ∈ A, então b = sup(∅). ¥ Seja A um poset. Se R é uma ordem sobre A, então é fácil verificar que R também é uma ordem sobre A, a qual é chamada de ordem inversa ou ordem dual. Neste caso, existe um isomorfismo entre o conjunto de todas as ordens sobre A e o conjunto de todas as ordens inversas sobre A. −1

Exemplo 3.33 Sejam R o conjunto de todos os números reais com a ordem usual e a, b ∈ R, com a < 0. Mostre que a função f : (R, ≤) → (R, ≥) definida como f (x) = ax + b é um isomorfismo, pois ∀ x, y ∈ R [x ≤ y ⇔ ax ≥ ay ⇔ ax + b ≥ ay + b ⇔ f (x) ≥ f (y)]. Se intercalarmos ∪ e ∩; R e R−1 ; A e ∅ etc. em qualquer afirmação sobre conjuntos, a nova afirmação é chamada de dual da original (Princípio da Dualidade). Este conceito de dualidade é de grande importância econômica na prova dos teoremas, pois provando um teorema sabemos que o dual do teorema é também verdadeiro. Teorema 3.34 Sejam A um poset e B um subconjunto de A. Então B ⊆ S(s(B)). Afirmação dual: B ⊆ s(S(B)). Prova. Dado x ∈ B, obtemos y ≤ x, para todo y ∈ s(B). Portanto, por definição, x ∈ S(s(B)), ou seja, B ⊆ S(s(B)). ¥ Lema 3.35 Sejam A um poset e B um subconjunto de A. Suponhamos que s(B) possua um supremo em A. Então B possui um ínfimo em A e inf(B) = sup(s(B)). Afirmação dual: Suponhamos que S(B) possua um ínfimo em A. Então B possui um supremo em A e sup(B) = inf(S(B)).

126

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

Prova. Pondo a = sup(s(B)) em A. Seja b ∈ B. Então x ≤ b, para todo x ∈ s(B) em A. Logo, b é uma cota superior de s(B). Assim, por definição, a ≤ b. Portanto, a é uma cota inferior de B, pois b foi escolhido arbitrariamente. Por outro lado, se d é qualquer cota inferior de B, então d ∈ s(B) e d ≤ a, pois a = sup(s(B)). Portanto, a = inf(B). ¥ Teorema 3.36 Seja A um poset. Então as seguintes condições são equivalentes: 1. Qualquer subconjunto não vazio de A que é limitado superiormente possui um supremo em A. 2. Qualquer subconjunto não vazio de A que é limitado inferiormente possui um ínfimo em A. Prova. (1 ⇒ 2). Seja B um subconjunto não vazio de A que seja limitado inferiormente. Então s(B) 6= ∅. Como cada elemento de B é uma cota superior de s(B) temos que s(B) é limitado superiormente. Assim, por hipótese, s(B) possui um supremo em A. Portanto, pelo Lema 3.35, B possui um ínfimo em A. A recíproca é a afirmação dual de (1 ⇒ 2). ¥ Seja A um poset. Diremos que A é um conjunto completo se qualquer uma das condições do Teorema 3.36 for satisfeita. Por exemplo, o Exemplo 3.30, prova que P(A) é um conjunto completo, para qualquer conjunto A. O teorema seguinte sobre conjuntos completos é devido a Knaster (Bronisław Knaster, 1893-1980, matemático e lógico polonês). Sejam A um conjunto e f : A → A uma função. Diremos que f possui um ponto fixo em A se existir a ∈ A tal que f (a) = a. Teorema 3.37 (Teorema do Ponto Fixo de Knaster) Sejam A um conjunto completo, com um maior e um menor elemento, e f : A → A uma função crescente. Então f possui pelo menos um ponto fixo.

3.3. ELEMENTOS NOTÁVEIS E DUALIDADE

127

Prova. Consideremos o conjunto B = {x ∈ A : x ≤ f (x)}. Então B 6= ∅, pois B contém o menor elemento de A e B é limitado superiormente pelo maior elemento de A. Assim, s = sup(B) ∈ A. Afirmação. s ∈ B. De fato, como x ≤ s, para todo x ∈ B, temos, por hipótese, que x ≤ f (x) ≤ f (s). Logo, f (s) é uma cota superior de B. Portanto, s = sup(B) ≤ f (s) e s ∈ B. Finalmente, sendo s ≤ f (s) temos, por hipótese, que f (s) ≤ f (f (s)). Assim, f (s) ∈ B e f (s) ≤ s = sup(B). Portanto, f (s) = s.

¥

Observação 3.38 Quando A = [0, 1], com a ordem induzida por R, o Teorema 3.37 afirma que qualquer funçõa f : A → A crescente possui pelo menos um ponto fixo, ou seja, o gráfico de f intercepta a diagonal D = {(x, x) : 0 ≤ x ≤ 1}. em pelo menos um ponto. Note, também, que o Teorema 3.37 afirma que f possui um maior e um menor ponto fixo. Exemplo 3.39 (Lei de Arquimedes) Supondo que o conjunto de todos os números reais R, com a ordem usual, seja completo. Mostre que para quaisquer a, b ∈ R, com a > 0, existe n ∈ Z tal que na > b. Solução. Suponhamos, por absurdo, que na ≤ b, para todo n ∈ Z. Então B = {na : n ∈ Z} é um subconjunto não vazio e limitado superiormente em R. Logo, c = sup(B) existe. Assim, na ≤ c, para todo n ∈ Z, de modo que (m + 1)a ≤ c, para todo m ∈ Z. Portanto, ma ≤ c − a, ∀ m ∈ Z, o que é uma contradição, pois c − a < c.

¥

128

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

Exemplo 3.40 Seja Q o conjunto de todos os números racionais com a ordem usual. Mostre que o conjunto E = {x ∈ Q : x < 0 ou x2 < 2} não possui elemento maximal. Neste caso, diremos que E é um corte de Dedekind à esquerda e o par (E, D) é um corte de Dedekind, em que D = Q − E. Solução. Já vimos, pelo Exemplo 3.9, que o par (E, D) é um corte de Q. Assim, resta provar que para qualquer M ∈ E, existe um x0 ∈ E tal que M < x0 . Se M < 0, então existe, por exemplo, x0 = 1 ∈ E tal que M < x0 . √ Se M ≥ 0, então 2 − M > 0. Logo, pela Lei de Arquimedes, existe n0 ∈ N tal que √ √ 1 + M < 2, n0 ( 2 − M) > 1 ou n0 de modo que ¶2 µ 1 + M < 2. n0 Portanto, existe

x0 = tal que M < x0 .

1 +M ∈E n0 ¥

Seja A um poset. Diremos que A é um reticulado se sup{a, b} e inf{a, b} existem, para todos a, b ∈ A. Quando lidamos com reticulados é conveniente escrevermos sup{a, b} = a ∨ b e inf{a, b} = a ∧ b. Exemplo 3.41 Sejam A um conjunto qualquer e P(A) o conjunto das potências de A ordenado pela inclusão. Mostre que P(A) é um reticulado. Solução. Dados X, Y ∈ P(A), pondo B = {X, Y }, teremos X ∪ Y ∈ S(B). Por outro lado, se Z é qualquer elemento de S(B), então X ⊆ Z e Y ⊆ Z. Logo, X ∪ Y ⊆ Z. Portanto, sup(B) = X ∪ Y . De modo inteiramente análogo, prova-se que inf(B) = X ∩ Y . Portanto, P(A) é um reticulado. ¥

3.3. ELEMENTOS NOTÁVEIS E DUALIDADE

129

Proposição 3.42 Sejam A um reticulado e a, b, c ∈ A. Então: 1. a ≤ a ∨ b e b ≤ a ∨ b. 2. a ∧ b ≤ a e a ∧ b ≤ b. 3. Se a ≤ c e b ≤ c, então a ∨ b ≤ c. 4. Se c ≤ a e c ≤ b, então c ≤ a ∧ b. Prova. Vamos provar apenas o item (3). Se a ≤ c e b ≤ c e pondo B = {a, b}, então c ∈ S(B). Portanto, obtemos a ∨ b ≤ c, pois a ∨ b é a menor das cotas superiores do conjunto B. ¥ Teorema 3.43 Sejam A um reticulado e a, b, c ∈ A. Então: 1. a ∨ a = a e a ∧ a = a. (Idempotência) 2. a ∨ b = b ∨ a e a ∧ b = b ∧ a. (comutatividade) 3. (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) e (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c). (associatividade) 4. (a ∨ b) ∧ a = a e (a ∧ b) ∨ a = a. (absorção) 5. Se a ≤ c, então a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c. (Lei Modular) Prova. Vamos provar apenas os itens (3) e (4): (3) Como a ≤ a ∨ (b ∨ c) e b ≤ b ∨ c ≤ a ∨ (b ∨ c) temos que a ∨ b ≤ a ∨ (b ∨ c) e c ≤ b ∨ c ≤ a ∨ (b ∨ c). Assim, (a ∨ b) ∨ c ≤ a ∨ (b ∨ c). Por um argumento simétrico, prova-se que a ∨ (b ∨ c) ≤ (a ∨ b) ∨ c. (4) Devemos provar que a = inf(B), com B = {a, a ∨ b}. É claro que a é uma cota inferior de B, pois a ≤ a ∨ b. Por outro lado, seja c qualquer elemento de s(B). Então c ≤ a. Assim, a é a maior das cotas inferiores de B. Portanto, (a ∨ b) ∧ a = a. ¥

130

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

Teorema 3.44 Sejam A um conjunto munido de duas operações ∨ e ∧ satisfazendo as condições (1 a 4) do Teorema 3.43. Dados a, b ∈ A, definimos a ≤ b ⇔ a ∨ b = b. Então ≤ é uma ordem sobre A e A é um reticulado. Prova. Como a ∨ a = a temos que a ≤ a. Dados a, b ∈ A e suponhamos que a ≤ b e b ≤ a. Então, por definição, a ∨ b = b e b ∨ a = a. Assim, pelo item (2), obtemos a = b ∨ a = a ∨ b = b. Agora, dados a, b, c ∈ A e suponhamos que a ≤ b e b ≤ c. Então, por definição, a ∨ b = b e b ∨ c = c. Assim, pelo item (3), obtemos a = a ∨ b ≤ (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) = a ∨ c ⇒ a ≤ c. Portanto, ≤ é uma ordem sobre A. Finalmente, dados a, b ∈ A, devemos provar que a ∨ b = sup(B), com B = {a, b}. Como a ∨ (a ∨ b) = (a ∨ a) ∨ b = a ∨ b temos, por definição, que a ≤ a ∨ b. Por um argumento simétrico, obtemos b ≤ a ∨ b, ou seja, a ∨ b ∈ S(B). Por outro lado, seja c qualquer elemento de S(B). Então a ≤ c e b ≤ c. Assim, por definição, a ∨ c = a e b ∨ c = b. Assim, pelo item (3), (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) = a ∨ b. Logo, por definição, a ∨ b ≤ c. Portanto, a ∨ b é a menor das cotas superiores de B, isto é, a ∨ b = sup(B). De modo inteiramente análogo, prova-se que a ∧ b = inf(B). ¥ Teorema 3.45 Seja A um poset qualquer. Então as seguintes condições são equivalentes:

3.3. ELEMENTOS NOTÁVEIS E DUALIDADE

131

1. Qualquer subconjunto de A possui um supremo em A. 2. Qualquer subconjunto de A possui um ínfimo em A. Prova. (1 ⇒ 2). Suponhamos que qualquer subconjunto de A tenha um supremo em A. Então A possui um supremo, o qual é necessariamente o maior elemento de A. Pelo Exemplo 3.32, ∅ possui um supremo, o qual é necessariamente o menor elemento de A. Sejam M, m o maior e menor elemento de A, respectivamente, e B qualquer subconjunto de A. Se B = ∅, então inf(B) = M. Se B 6= ∅, então B é limitado inferiormente por m. Assim, pelo Teorema 3.36, B tem um ínfimo em A. A recíproca é a afirmação dual de (1 ⇒ 2). ¥ Sejam A um reticulado e B um subconjunto de A. Diremos que B é um sub-reticulado de A se a ∨ b ∈ B e a ∧ b ∈ B, para todos a, b ∈ B. Diremos que A é um reticulado completo se qualquer subconjunto de A possui um supremo em A. Portanto, qualquer reticulado completo possui um menor elemento m = inf(A) e um maior elemento M = sup(A). Exemplo 3.46 Sejam A um conjunto qualquer e R o conjunto de todas as relações de equivalências sobre A, ordenado pela inclusão. Mostre que R é um reticulado completo. Solução. Antes de provarmos o exemplo vamos lembrar a definição de relação de equivalência sobre A. Diremos que uma relação ∼ (R) sobre A é uma relação de equivalência se as seguintes condições são satisfeitas: 1. x ∼ x, para todo x ∈ A. (reflexividade) 2. Se x ∼ y, então y ∼ x, para todos x, y ∈ A. (simetria) 3. Se x ∼ y e y ∼ z, então x ∼ z, para todos x, y, z ∈ A. (transitividade) Observe que R ∈ P(A × A) e as condições (2) e (3) podem ser substituídas pela condição: 2’. Se x ∼ y e x ∼ z, então y ∼ z, para todos x, y, z ∈ A.

132

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

É claro que IA = {(x, x) : x ∈ A}, ou seja, x ∼ y ⇔ x = y é o menor elemento de R e A × A é o maior elemento de R. Além disso, se R = {Ri }i∈I é um subconjunto de R, então \ \ Ri ∈ R e Ri = inf(R). i∈I

i∈I

Portanto, R é um reticulado completo.

¥

Note que se x = {y ∈ A : xRy} = {y ∈ A : (x, y) ∈ R} é a classe de equivalência de x e F = {x : x ∈ A} é a família de todas as classes de equivalência de A, então [ (x × x), R= x∈F

pois como R é reflexiva temos que se (x, x) ∈ R, então (x, x) ∈ x × x, ou seja, [ (x × x), R⊆ x∈F

A recíproca é clara.

Exemplo 3.47 Seja A = Q ∪ {−∞, ∞}, com a ordem usual de Q, sendo −∞ e ∞, respectivamente, o menor e o maior elemento de A. Mostre que A não é um reticulado completo. Solução. Consideremos o conjunto B = {x ∈ Q : x2 ≤ 2}. Então, pela prova do Exemplo 3.40, sup(B) não existe em A. Portanto, A não é um reticulado completo. ¥ Vamos finalizarmos esta seção com o seguinte teorema sobre reticulado completo devido a Tarski (Alfred Tarski, 1901-1983, matemático e lógico polonês).

3.3. ELEMENTOS NOTÁVEIS E DUALIDADE

133

Teorema 3.48 (Teorema do Ponto Fixo de Tarski) Sejam A um reticulado completo e f : A → A uma função crescente. Então f possui pelo menos um ponto fixo. Prova. Consideremos o conjunto B = {x ∈ A : x ≤ f (x)}. Então B 6= ∅, pois m = sup(∅) ∈ A e m ∈ B. Assim, s = sup(B) ∈ A. Afirmação. s ∈ B. De fato, como x ≤ s, para todo x ∈ B, temos, por hipótese, que x ≤ f (x) ≤ f (s). Logo, f (s) é uma cota superior de B. Portanto, s = sup(B) ≤ f (s) e s ∈ B. Finalmente, sendo s ≤ f (s) temos, por hipótese, que f (s) ≤ f (f (s)). Assim, f (s) ∈ B e f (s) ≤ s = sup(B). Portanto, f (s) = s.

¥

Como uma aplicação do Teorema 3.48 provaremos o teorema de CantorSchröder-Bernstein (Felix Bernstein, 1878-1956; Friedrich Wilhelm Karl Ernst Schröder, 1841-1902, matemáticos alemães). Corolário 3.49 (Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein) Sejam A e B conjuntos quaisquer. Se existem funções injetoras f : A → B e g : B → A, então existe uma função bijetora de A sobre B. Prova. Primeiro note, pelo Exemplo 3.30, que P(C) ordenado pela inclusão é um reticulado completo e a função λC : P(C) → P(C) definida como λC (X) = C − X claramente inverte ordem. Segundo temos, pelo Teorema 2.23, que as funções F : P(A) → P(B) definida como F (X) = f (X) e G : P(B) → P(A) definida como G(Y ) = g(Y ) preservam ordem.

134

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

Agora, consideremos a função ϕ : P(A) → P(A) definida como ϕ(X) = (λA ◦ G ◦ λB ◦ F )(X) = A − g(B − f (X)). Então ϕ preserva ordem, pois dados X, Y ∈ P(A), se X ⊆ Y , então F (X) ⊆ F (Y ) ⇒ λB (F (Y )) ⊆ λB (F (X)) ⇒ G(λB (F (Y ))) ⊆ G(λB (F (X))) ⇒ λA (G(λB (F (X)))) ⊆ λA (G(λB (F (Y )))) ⇒ ϕ(X) ⊆ ϕ(Y ). Assim, pelo Teorema 3.48, existe Z ∈ P(A) tal que ϕ(Z) = Z. Portanto, λA (Z) = (G ◦ λB ◦ F )(Z) ⇔ A − Z = g(B − f (Z)). Esses resultados podem ser representados pela Figura 3.4.

Figura 3.4: Representação Gráfica da Prova. Neste caso, g −1 é uma função bijetora de A − Z sobre B − f (Z) e f uma função bijetora de Z sobre f (Z) Finalmente, vamos definir a função h : A → B como ( f (x), se x ∈ Z h(x) = −1 g (x), se x ∈ / Z. Então h é bijetora (prove isto!).

¥

3.3. ELEMENTOS NOTÁVEIS E DUALIDADE

135

EXERCÍCIOS

1. Sejam R o conjunto de todos os números reais com a ordem usual e a, b ∈ R. (a) Mostre que se a < b, então a
0, então 0
0, então a = 0. (d) Mostre que se a − < b, para todo ∈ R, com > 0, então a ≤ b. (e) Mostre que se 0 < a < 1, então 0 < a2 < a < 1.

2. Sejam N o conjunto de todos os números naturais ordenado por x divide y e A = {a1 , a2 , . . . , an } um subconjunto finito de N. Mostre que inf(B) e sup(B) existe em N. 3. Seja A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24}. Dados x, y ∈ A, definimos x ¹ y se, somente se, x divide y. (a) Faça o diagrama de Hasse para A. (b) A possui maior e menor elemento? (c) A possui elemento minimal e maximal? 4. Seja F um subconjunto de P(N) − {∅, N}, ordenado pela inclusão. (a) Determine, se existirem, cotas superiores do conjunto A = {{2n, 2n + 4} ∈ F : n ∈ N}.

136

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS (b) Determine, se existirem, cotas superiores do conjunto B = {{n, n + 2} ∈ F : n ∈ N}.

5. Sejam A e B dois posets. Mostre cada uma das afirmações abaixo e enuncie a dual. (a) Se A contém um maior elemento a, B contém um maior elemento b e A ⊆ B, então a ≤ b. (b) Se C, D são subconjuntos de A e C ⊆ D, então S(D) ⊆ S(C). (c) Se C, D são subconjuntos de A, C ⊆ D e cada C e D possui supremo em A, então sup(C) ≤ sup(D). 6. Sejam A, B dois posets e f : A → B uma função estritamente crescente. Mostre que se b é um elemento maximal de B, então cada elemento de f −1 (b) é um elemento maximal de A. 7. Sejam A, B dois posets e f : A → B uma função crescente. Mostre que se a é o maior elemento de A, então f (a) é o maior elemento de f (A). 8. Sejam A, B dois posets e f : A → B uma função crescente. Mostre que se C ⊆ A e a é uma cota superior de C, então f (a) é uma cota superior de f (C). 9. Sejam A, B dois posets e f : A → B um isomorfismo. (a) Mostre que a é um elemento maximal (minimal) de A se, e somente se, f (a) é um elemento maximal (minimal) de B. (b) Mostre que a é o maior (menor) elemento de A se, e somente se, f (a) é o maior (menor) elemento de B. (c) Suponhamos que C seja um subconjunto de A. Mostre que x ∈ A é uma cota superior (inferior) de C se, e somente se, f (x) ∈ B é uma cota superior (inferior) de f (C).

3.3. ELEMENTOS NOTÁVEIS E DUALIDADE

137

(d) Suponhamos que C seja um subconjunto de A. Mostre que a = sup(C) (a = inf(C)) se, e somente se, f (a) = sup(f (C)) (f (a) = inf(f (C))). 10. Seja A um poset. Mostre que se qualquer subconjunto de A possui um supremo e um ínfimo, então A possui um menor e um maior elemento. 11. Seja A um reticulado. Mostre que se [a, b] e [c, d] são intervalos fechados de A, então [a, b] ∩ [c, d] = [sup{a, c}, inf{b, d}]. 12. Seja A um reticulado. Mostre que qualquer intervalo fechado [a, b] de A é um sub-reticulado de A. 13. Seja A um conjunto totalmente ordenado. Mostre que qualquer elemento minimal (maximal) é um menor (maior) elemento de A. 14. Mostre que qualquer conjunto parcialmente ordenado finito possui um elemento maximal (minimal). 15. Seja A um poset com um único elemento maximal M. É verdade ou falsa a afirmação M é o maior elemento de A? 16. Sejam F um corpo, V um espaço vetorial sobre F e F = {W ⊆ V : W é um subespaço de V }. (a) Mostre que F é um conjunto ordenado pela inclusão. (b) Mostre que F possui menor e maior elemento. (c) Mostre que inf{U, W } = U ∩ W e sup{U, W } = U + W , para todos U, W ∈ F. (d) Mostre que F é um reticulado.

138

3.4

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

Conjuntos Bem Ordenados

O principal objetivo desta seção é provar os Princípios de Induções Transfinitas e a Fórmula de Recorrência. Seja A uma poset. Diremos que A é um conjunto bem ordenado se qualquer subconjunto não vazio de A contém um menor elemento. Notação. CBO - significa conjunto bem ordenado. Observação 3.50 Seja A um poset. 1. Se B é um subconjunto de A e A é um CBO, então B é um CBO. 2. Se A é um CBO, então A é totalmente ordenado. 3. Se A é um CBO, então A é um reticulado completo. 4. Se A é um CBO e ∞ ∈ / A, então A ∪ {∞} é um CBO, com a seguinte ordenação: dados a, b ∈ A ∪ {∞}, definimos a ¹ b ⇔ (a, b ∈ A e a ≤ b) ou (a ∈ A e ∞ = b), pois para qualquer subconjunto não vazio S de A ∪ {∞}, obtemos S = {∞} ou S ∩ A 6= ∅. Se S = {∞}, então ∞ é o menor elemento de S. Se S ∩ A 6= ∅, então S ∩ A contém um menor elemento, digamos m ∈ S ∩ A. É fácil verificar que m é o menor elemento de S. Neste caso, ∞ é o maior elemento de A ∪ {∞}. Sejam A um CBO e a ∈ A. Diremos que b ∈ A é um sucessor imediato de a ou é uma cobertura de a se a < b e não existir c ∈ A tal que a < c < b, ou seja, para qualquer c ∈ A, se a < c, então b = c ou b < c. Neste caso, diremos que a é um predecessor imediato ou é um antecessor de b. Ou, equivalentemente, b = min{x ∈ A : a < x} ou a = max{x ∈ A : x < b}. Note, para provar, que um elemento c ∈ A não possui predecessor imediato, devemos para cada x ∈ A, com x < c, encontrar um d ∈ A, d 6= x, tal que x < d < c.

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

139

Exemplo 3.51 Seja Q o conjunto de todos os números racionais com a ordem usual. Mostre que nenhum elemento de Q possui sucessor imediato. Solução. Se a, b ∈ Q, digamos a < b, então a
0 temos, pela Lei de Arquimedes, que existe n0 ∈ N tal que 1 n0 (b − a) > 1 ou < b − a. n0 Note que existe k0 ∈ N tal que k0 > n0 a, pois isto é claro se a ≤ 0 e se a > 0, então aplicamos novamente Lei de Arquimedes. Assim, o conjunto S = {k ∈ N : n0 a < k} é não vazio. Logo, S contém um menor elemento, digamos m0 ∈ S, pois N é um CBO. Neste caso, m0 − 1 ≤ n0 a < m0 ⇒

m0 − 1 ≤ a, n0

/ S. Portanto, pois m0 − 1 ∈

m0 1 m0 − 1 = + < (b − a) + a = b, n0 n0 n0

r= ou seja, existe r =

m0 n0

∈ Q tal que a < r < b.

¥

Observação 3.57 Qualquer número real é o supremo de algum conjunto de números racionais. De fato, dado a ∈ R. Consideremos o segmento inicial nm o m ∈Q: x2 > x3 > · · · Assim, o segmento inicial Sx1 não é um CBO, o que é uma contradição.

¥

Exemplo 3.61 Se A = {3, 4, 8, 10} com a ordem induzida por N, então S3 = ∅, {3}, {3, 4}, {3, 4, 8} e A são todas as seções de A. Note que qualquer elemento de A, exceto 3, possui um predecessor imediato.

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

143

Sejam N o conjunto de todos os números naturais, com a ordem usual, e E = {2, 4, 6, . . .} o conjunto de todos os números naturais pares, com a ordem induzida por N. Então a função f : N → E definida como f (x) = 2x é claramente um isomorfismo. Além disso, ela satisfaz a propriedade: ∀ x ∈ N [x ≤ f (x)]. Mais geralmente, temos o seguinte resultado. Lema 3.62 Sejam A um CBO e f : A → A uma função crescente. Então ∀ x ∈ A [x ≤ f (x)]. Prova. Seja S = {x ∈ A : x > f (x)}. Suponhamos, por absurdo, que S 6= ∅. Então, por hipótese, S contém um menor elemento, digamos m ∈ S. Em particular, f (m) < m. Logo, f (f (m)) < f (m) < m. Assim, f (m) ∈ S, o que contradiz a minimalidade de m. Portanto, S = ∅. ¥ Exemplo 3.63 Sejam A um CBO e f : A → A uma função que inverte ordem. Mostre que existe x0 ∈ A tal que f (x) é constante, para todo x ∈ A, com x ≥ x0 . Solução. Seja S = f (A) = {f (x) : x ∈ A}. Então S 6= ∅. Logo, por hipótese, S contém um menor elemento, digamos y0 ∈ S. Em particular, y0 ≤ f (x), para todo x ∈ A. Por outro lado, como y0 ∈ S temos que existe x0 ∈ A tal que f (x0 ) = y0 . Assim, por hipótese, f (x0 ) ≥ f (x), para todo x ∈ A, com x ≥ x0 . Portanto, f (x) = y0 , para todo x ∈ A, com x ≥ x0 . ¥ Lema 3.64 Seja A um CBO. Então não existe isomorfismo de A sobre um subconjunto de um segmento inicial de A.

144

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

Prova. Suponhamos, por absurdo, que exista um isomorfismo f : A → B, em que B ⊆ Sa , para algum a ∈ A. Então, pelo Lema 3.62, x ≤ f (x), para todo x ∈ A. Em particular, a ≤ f (a) ⇒ f (a) ∈ / Sa , o que é uma contradição, pois.f (a) ∈ B ⊆ Sa .

¥

Corolário 3.65 Nenhum CBO é isomorfo a um de seus segmentos inicias. Prova. Fica como um exercício.

¥

Lema 3.66 Sejam A e B dois CBO. Se A é isomorfo a um segmento inicial de B, então B não é isomorfo a qualquer subconjunto de A. Prova. Suponhamos que f : A → Sb , para algum b ∈ B, seja um isomorfismo e que exista um isomorfismo g : B → C, em que C é um subconjunto de A. Então g : B → A é uma função. Além disso, f e g são injetoras e crescentes. Logo, f ◦ g : B → Sb é injetora e crescente. Assim, f ◦ g é um isomorfismo de B sobre um subconjunto de Sb (prove isto!), o que é impossível, pelo Lema 3.64. ¥ Exemplo 3.67 Seja A = {1, 3, 5, . . . ; 2, 4, 6, . . .} = {2n − 1 : n ∈ N} ∪ {2n : n ∈ N} ordenado por: dados a, b ∈ A, definimos a ¹ b se, e somente se, a é ímpar e b é par ou b − a é par. Mostre que N, com a ordem usual, é isomorfo a um segmento inicial de A. Solução. Note que a função f : N → S2 definida como f (n) = 2n − 1 é um isomorfismo, em que S2 = {x ∈ A : x ≺ 2} = {1, 3, 5, . . .}. Logo, N é isomorfo ao segmento inicial S2 de A. Portanto, pelo Lema 3.66, A não é isomorfo a qualquer subconjunto de N. ¥

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

145

Lema 3.68 Seja A uma CBO. Se a 6= b, então Sa não é isomorfo a Sb . Prova. Como a 6= b temos, por hipótese, que a < b ou b < a. Assim, basta considerar o caso a < b. Logo, Sa é uma seção de Sb , pois para um x ∈ Sb fixado, y ∈ Sa e x ≤ y ⇒ x ≤ a ⇒ x ∈ Sa . Assim, pelo Teorema 3.59, Sa é um segmento inicial de Sb e, pelo Corolário 3.65, Sa não é isomorfo com Sb . ¥ Lema 3.69 Sejam A e B dois CBO. Se Sa ⊆ A é isomorfo com um segmento inicial de B, então Sa é isomorfo a um único Sb de B. Prova. Suponhamos que Sa ' Sb e Sa ' Sc , onde b, c ∈ B. Então, pelo Teorema 3.59, Sb ' Sc . Assim, pelo Lema 3.68, b = c. ¥ Lema 3.70 Sejam A e B dois CBO tais que cada Sa de A é isomorfo a um Sb de B. Então cada segmento inicial de Sa é isomorfo a um segmento inicial de Sb , isto é, x ≤ a ⇒ Sx ' Sy , em que y ≤ b. Além disso, se f : Sa → Sb é um isomorfismo, então g = f |Sx : Sx → Sy é um isomorfismo, em que Sy = f (Sx ). Prova. Seja f (x) = y. Então é fácil verificar que g é injetora e crescente. Logo, Sx ' f (Sx ). Por outro lado, como f um isomorfismo, obtemos x < y ⇔ f (x) < y e a ∈ Sx ⇔ a < x ⇔ f (a) < y ⇔ f (a) ∈ Sy . Portanto, f (Sx ) = Sy , isto é, Sx ' Sy .

¥

Lema 3.71 Sejam A, B dois CBO e C o conjunto de todos os elementos x em A tal que Sx ' Sy , para algum y ∈ B. Então C é uma seção de A.

146

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

Prova. Para um x ∈ A fixado, a ∈ C e x ≤ a, obtemos x ∈ C, pois, pelo Lema 3.70, Sx é isomorfo a um segmento inicial de B. Portanto, C é uma seção de A. ¥ Lema 3.72 Sejam A, B dois CBO, C o conjunto de todos os elementos x em A tal que Sx ' Sy , para algum y ∈ B e D o conjunto de todos os elementos y em B tal que Sy ' Sx , para algum x ∈ A. Então C ' D. Prova. Dado x ∈ C, pelo Lema 3.69, existe um único y ∈ B tal que Sx ' Sy e vice-versa. Vamos definir f : C → D como f (x) = y. É claro pela definição que f bijetora. Dados x1 , x2 ∈ C, suponhamos que x1 ≤ x2 , em que f (x1 ) = y1 e f (x2 ) = y2 . Então devemos provar que y1 ≤ y2 . Logo, pela definição, Sx1 ' Sy1 e Sx2 ' Sy2 . Suponhamos, por absurdo, que y2 < y1 . Então Sy2 é um segmento inicial de Sy1 . Como Sx1 ⊆ Sx2 temos as seguintes possibilidades: 1.a Possibilidade. Sx2 ' Sy2 é isomorfo a um segmento inicial de Sy1 . 2.a Possibilidade. Sy1 ' Sx1 é isomorfo a um segmento inicial de Sx2 , o que é impossível, pelo Lema 3.66. ¥ Teorema 3.73 Sejam A e B dois CBO. Então exatamente uma e apenas uma das afirmações a seguir pode ocorrer: 1. A ' B; 2. A é isomorfo a um segmento inicial de B; 3. B é isomorfo a um segmento inicial de A. Prova. Sejam C e D os conjuntos definidos no Lema 3.72. Então C ' D. Assim, pelo Lema 3.71, existem quatro possibilidades: 1.a Possibilidade. Se C = A e D = B, então A ' B. 2.a Possibilidade. Se C = A e D = Sy ⊆ B, então A ' Sy . 3.a Possibilidade. Se C = Sx ⊆ A e D = B, então Sx ' B. 4.a Possibilidade. Se C = Sx ⊆ A e D = Sy ⊆ B, então Sx ' Sy . Note que a quarta possibilidade não pode ocorrer, caso contrário, x ∈ C = Sx , o que é impossível. ¥

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

147

Corolário 3.74 Seja A um CBO. Então qualquer subconjunto de A é isomorfo a A ou a um segmento inicial de A. ¥

Prova. Fica como um exercício. Exemplo 3.75 Sejam Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .} com a ordem usual e o conjunto 2 ½ [ m− A= m=1

1 : n ∈ Z+ n+1

¾

⊆ [0, 2[

com a ordem induzida por R. Mostre que Z+ é isomorfos ao segmento inicial S1 de A. Solução. Note que a função f : Z+ → S1 definida como f (n) = 1 − é claramente injetora (prove isto!), ½ f (Z+ ) = 1 − e f preserva ordem.

1 n+1

1 : n ∈ Z+ n+1

¾

= S1 ¥

Exemplo 3.76 Seja N o conjunto de todos os números naturais com a ordem usual e A um subconjunto de N. Mostre que A é isomorfo a N ou a um segmento inicial de N. Solução. Se A é um conjunto finito e não vazio, então A contém um menor elemento, digamos x1 . Assim, se A − {x1 } 6= ∅, então x1 possui um sucessor imediato, digamos x2 . Se A − {x1 , x2 } 6= ∅, então x2 possui um sucessor imediato, digamos x3 , e assim sucessivamente. Como A é finito temos que a cadeia x1 < x2 < x3 < · · ·

148

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

para, digamos em xn Logo, A = {x1 , x2 , . . . , xn }. Portanto, A ' Sn+1 = {1, 2, . . . , n}, ou seja, A é isomorfo a um segmento inicial de N. Caso contrário, definimos, indutivamente, a função f : N → A como f (n) = min (A − {f (1), f (2), . . . , f (n − 1)}) , ∀ n ∈ N. Logo, f é injetora, pois f (n+1) > f (n) implica que os elementos f (1), f (2), . . . são todos distintos. Dado k ∈ A, existe pelo menos um n ∈ N tal que k∈ / A − {f (1), f (2), . . . , f (n)}, Neste caso, k ≤ f (n). Por outro lado, como k ∈ A − {f (1), f (2), . . . , f (n − 1)} temos que f (n) ≤ k. Portanto, f (n) = k, ou seja, f é sobrejetora.

¥

Teorema 3.77 (Primeiro Princípio de Indução Transfinita) Sejam A um CBO e S um subconjunto de A com as seguintes propriedades: 1. a0 ∈ S, com a0 é o menor elemento (base de indução). 2. Se a ∈ A e Sa ⊆ S, então a ∈ S (P IT ). Então S = A. Prova. Suponhamos, por absurdo, que S 6= A. Então T = A − S 6= ∅. Logo, por hipótese, T contém um menor elemento, digamos t0 ∈ T . Assim, x < t0 , para todo x ∈ St0 , isto implica que x ∈ / T , ou seja, St0 ⊆ S. Logo, pela propriedade (2), t0 ∈ S. Portanto, t0 ∈ S ∩ T = ∅, o que é uma contradição Neste caso, S = A. ¥

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

149

Observação 3.78 Neste ponto é essencial apresentar as diferenças entre o Princípio de Indução Finita (P IF ) e o P IT . 1. A propriedade (1) é uma consequência da propriedade (2), pois ∅ = Sa0 ⊆ S ⇒ a0 ∈ S. 2. O P IF é equivalente ao P IT sobre o conjunto dos números naturais N. 3. Pelo item (1) no P IT não há necessidade do elemento inicial (base de indução). Enquanto, no P IF sim. 4. Seja A = N ∪ {∞}. Então, pelo item (4) da Observação 3.50, A é um CBO. Assim, S = N é um subconjunto não vazio de A tal que n ∈ S implica que n + 1 ∈ S, mas S 6= A. Portanto, o P IF não implica o P IT em um CBO qualquer. Teorema 3.79 (Segundo Princípio de Indução Transfinita) Sejam A um CBO e P (x) uma afirmação que é verdadeira ou falsa, para cada x ∈ A. Suponhamos que a seguinte propriedade seja satisfeita: Se P (y) é verdadeira para cada y, com y < x, então P (x) é verdadeira. (P IT ) Então P (x) é verdadeira, para todo x ∈ A. Prova. Seja o conjunto S = {x ∈ A : P (x) é falsa}. Suponhamos, por absurdo, que S 6= ∅. Logo, por hipótese, S contém um menor elemento, digamos m ∈ S. Como P (y) é verdadeira para cada y, com y < m, temos, pela propriedade P IT , que P (m) é verdadeira, o que contradiz a minimalidade de m. Portanto, P (x) é verdadeira, para todo x ∈ A. ¥ Seja X um conjunto qualquer. Consideremos o conjunto X n de todas as funções h : In → X, com In = {k ∈ N : k < n + 1} = {1, 2, . . . , n} = Sn+1 ,

150

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

ou seja, X n = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ X} Seja F=

[

n∈N

Xn = X ∪ X2 ∪ · · ·

um união disjunta de sequências finitas. Então, para cada x ∈ F, existe um único n ∈ N tal que x ∈ X n , ou seja, x = (h(1), h(2), . . . , h(n)) = (x1 , x2 , . . . , xn ). Vamos provar abaixo que dada uma função qualquer g : F → X, existe uma única função f : N → X tal que ∀ n ∈ N [f (n + 1) = g(f |In ) = g(x)] em que f |In = f ∩ (In × X). Mais geralmente, temos o seguinte teorema. Teorema 3.80 (Fórmula de Recorrência de Dedekind) Sejam A um conjunto bem ordenado, X um conjunto qualquer e F a família de todas as funções fa : Sa → X, para cada a ∈ A, ou seja, F=

[

a∈A

X Sa ⊆ P(A × X).

Seja g : F → X uma função qualquer. Então existe uma única função f : A → X tal que ∀ a ∈ A [f (a) = g(f |Sa ) = g(fa )]. Prova. (Existência) Primeiro note que f é um subconjunto de A × X com as seguintes propriedades: 1. Para qualquer a ∈ A, existe x ∈ X tal que (a, x) ∈ f . 2. Se (a, x1 ) ∈ f e (a, x2 ) ∈ f , então x1 = x2 . 3. (c, fa (c)) ∈ f , para todo c ∈ Sa . (Base de recorrência)

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

151

4. Se (c, fa (c)) ∈ f , então (c, g(fa )) ∈ f , para todo c ∈ Sa e a ∈ A (Fórmula de recorrência). Agora, seja C o conjunto de todos os subconjuntos B de A × X tais que (c, fa (c)) ∈ B ⇒ (c, g(fa )) ∈ B, ∀ c ∈ Sa e a ∈ A. Então C 6= ∅, pois A × X ∈ C. Pondo f=

\

B,

B∈C

é fácil verificar que f ∈ C. Assim, basta provar que f é a função desejada. Para isto, seja S o conjunto de todos os elementos c ∈ A tais que (c, x1 ) ∈ f e (c, x2 ) ∈ f implicam que x1 = x2 ou, equivalentemente, S é o conjunto de todos os elementos c ∈ A tal que existe no máximo um x ∈ X, com (c, x) ∈ f . Logo, devemos provar que se Sa ⊆ S, então a ∈ S. Note que Sa ⊆ S significa que se c < a em A, então existe um único elemento x ∈ X tal que (c, x) ∈ f . Assim, a correspondência c 7→ x define uma função fa : Sa → X tal que fa ⊆ f . Suponhamos, por absurdo, que a ∈ / S. Então (a, y) ∈ f , para algum y ∈ X, com y 6= g(fa ). Afirmação. f − {(a, y)} ∈ C ou, equivalentemente, se b ∈ A e fb ⊆ f − {(a, y)}, então (b, g(fb )) ∈ f − {(a, y)}. De fato, se a = b, então fa = fb . Logo, (b, g(fb )) ∈ f − {(a, y)}, pois y 6= g(fa ) = g(fb ). Assim, f − {(a, y)} ∈ C e f ⊆ f − {(a, y)}, o que é uma contradição. Se a 6= b, então (b, g(fb )) ∈ f − {(a, y)}, pois f ∈ C e a 6= b. Assim, f − {(a, y)} ∈ C e f ⊆ f − {(a, y)},

152

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

o que é uma contradição. Portanto, S = A. (Unicidade) Seja h : A → X outra função tal que ∀ a ∈ A [h(a) = g(h|Sa ) = g(ha )]. Consideremos o conjunto T = {b ∈ A : f (b) = h(b)}. Suponhamos que a ∈ A e Sa ⊆ T , então a ∈ T , pois f (a) = g(f |Sa ) = g(h|Sa ) = h(a). ¥

Portanto, T = A e f = h.

Exemplo 3.81 Sejam N o conjunto de todos os números naturais e {xn }n∈N uma sequância em R (uma função de N em R). Mostre que existe uma única função f : N → R tal que f (1) = x1 , f (2) = x1 x2 e f (n + 1) = f (n)xn+1 , ∀ n ∈ N. Em particular, se xn = a, para todo n ∈ N, então an+1 = an a, isto é, definimos a potência n-ésima de a. Solução. Primeiro note que A = N, X = R e F = {fn : In → R : n ∈ N} =

[

Rn .

n∈N

é o conjunto de todas as sequências finitas, ou seja, Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R}. Agora vamos definir uma função qualquer fn : In → R como fn = x1 x2 · · · xn . Então, pela Fórmula de Recorrência, existe uma única função f : N → R com as propriedades desejadas. Mais precisamente, seja g : F → R a função definida como g(fn ) = xxn+1 .

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

153

Então nossa função f é definida como f (1) = x1 e f (n + 1) = g(fn ) = f (n)xn+1 , ¥

para todo n ∈ N. EXERCÍCIOS

1. Mostre que

√ 2 é um número irracional.

2. Seja R o conjunto de todos os números reais com a ordem usual. Mostre que dados a, b ∈ R, com a < b, existe um número irracional x tal que a < x < b. 3. Supondo que o conjunto de todos os números reais R, com a ordem usual, seja completo. (a) Mostre que se a ∈ R, então existe n = n(a) ∈ Z tal que a < n. (b) Mostre que se a ∈ R, com a > 0, então existe n ∈ N tal que 0 < n1 < a. (c) Mostre que se a ∈ R, com a > 0, então R=

• [

[na, (n + 1)a[,

n∈Z

é uma união disjunta de intervalos. (d) Mostre que para quaisquer a, b ∈ R, com a > 0, existe um único q ∈ Z tal que b = qa + r, com 0 ≤ r < a. 4. Seja A = {1, 3, 5, . . . ; 2, 4, 6, . . .}, com a ordenação dada no Exemplo 3.67. Mostre que 1 e 2 não possuem predecessores imediados. Além disso, determine os segmentos iniciais S1 , S5 , S2 e S8 .

154

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

5. Seja A um CBO. Dado a ∈ A, vamos denotar por a− e a+ o predecessor imediato (se ele existir) e o sucessor imediato de a, respectivamente. (a) Mostre que a ≤ b se, e somente se, a+ ≤ b+ . (b) Mostre que a = b se, e somente se, a+ = b+ . (c) Mostre que a < b se, e somente se, a− < b− . (d) Mostre que a = b se, e somente se, a− = b− . (e) Mostre que a = b+ se, e somente se, a− = b. 6. Seja A um CBO. Diremos que q ∈ A é um elemento limite de A se q não é o menor elemento de A e nem possui um predecessor imediato ou, equivalentemente, existe a ∈ A, com a < q, e para qualquer c ∈ A, com c < q, existe b ∈ A tal que b < c < q. (a) Mostre que no conjunto de todos os números reais R, com a ordem usual, qualquer elemento é um elemento limite. (b) Mostre que q é um elemento limite de A se, e somente se, a < q ⇒ a+ < q, em que a+ representa o sucessor imediato de a. (c) Mostre que q é um elemento limite de A se, e somente se, q = sup{x ∈ A : x < q} = sup(Sq ). 7. Seja

½ A= m+

n : m, n ∈ Z+ n+1

¾

com a ordem induzida por R. Determine, se existir, os elementos limites de A. S 8. Seja A um CBO. Mostre que S = a∈B Sa é um segmento inicial de A, em que B ⊆ A. Conclua que Sa ∪ {a} é um segmento inicial de A, para cada a ∈ A, fixado.

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

155

9. Mostre que se A é um CBO e f : A → B é um isomorfismo, então B é um CBO. 10. Sejam A e B conjuntos enumeráveis disjuntos. Mostre que A ∪ B é um CBO. 11. Seja A um CBO. Mostre que a família de todas os segmentos iniciais de A ordenado pela inclusão é um CBO. 12. Seja A um conjunto totalmente ordenado. Mostre que a família de todas as seções de A ordenado pela inclusão é totalmente ordenado. 13. Sejam A um conjunto totalmente ordenado, B um poset e f : A → B uma função crescente. Mostre que f é injetora se, e somente se, f é estritamente crescente. 14. Sejam A um conjunto totalmente ordenado e {E, D} uma partição de A. Mostre que (E, D) é um corte de A se, e somente se, para todo x ∈ E e y ∈ D, x ≤ y. 15. Seja A um poset. Mostre que se B é uma seção de A se, e somente se, (B, A − B) é um corte de A. 16. Sejam A, B dois posets e f : A → B uma função Mostre que f crescente se, somente se, f −1 (C) é um seção de A, para toda seção C de B. 17. Sejam A um conjunto totalmente ordenado, B um subconjunto de A e b ∈ B. Mostre que B possui um menor elemento se, e somente se, Sb ∩ B possui um menor elemento. 18. Seja A um conjunto totalmente ordenado. Mostre que A é um CBO se, e somente se, qualquer segmento inicial de A é bem ordenado. 19. Seja A um conjunto totalmente ordenado. Mostre que A é um CBO se, e somente se, não existir cadeia descendente infinita em A, isto é, uma família {xn : n ∈ Z+ }

156

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS com xn > xn+1 , para todo n ∈ Z+ . Conclua que [0, 1] não é um CBO.

20. Sejam A um CBO e f : A → A uma função crescente. Mostre que se qualquer subconjunto não vazio de A possui um supremo, então existe a ∈ A tal que f (a) = a. 21. Seja A um CBO. Mostre que IA é o único isomorfismo de A sobre A. 22. Sejam A e B dois CBO. Mostre que se f : A → B e g : B → A são isomorfismos, então g = f −1 . 23. Sejam A e B dois CBO. Mostre que existe no máximo um isomorfismo f : A → B. 24. Sejam A e B dois CBO. Mostre que se A é isomorfo a um subconjunto de B e B é isomorfo a um subconjunto de A, então A é isomorfo com B. 25. Sejam A e B dois CBO. Mostre que se A é isomorfo a um conjunto contendo B e B é isomorfo a um conjunto contendo A, então A é isomorfo com B.

Respostas e/ou Soluções Seção 3.1 1. (a) Se x < y e y < z, então x ≤ y e y ≤ z. Logo, x ≤ z. Se x = z, então x ≤ y e y ≤ x. Assim, x = y, o que é impossível, pois x < y. Portanto, x < z. (b) Segue do item (a) que não pode ocorrer simultaneamente x < y e y < x. Portanto, no máximo uma das condições ocorre: x < y ou x = y ou x > y. A recíproca é clara 2. Dados X, Y e Z subconjuntos de A. É claro que (X, f ) ≤ (X, f ). Se (X, f ) ≤ (Y, g) e (Y, g) ≤ (X, f ),

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

157

então X = Y e f = g. Logo, (X, f ) = (Y, g). Finalmente, se (X, f ) ≤ (Y, g) e (Y, g) ≤ (Z, h), então X ⊆ Y e f (x) = g(x), ∀ x ∈ X e Y ⊆ Z e g(y) = h(y), ∀ y ∈ Y. Em particular, X ⊆ Z e f (x) = h(x), ∀ x ∈ X. Assim, (X, f ) ≤ (Z, h). Portanto, ≤ é uma ordem sobre C. 3. Dados (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ A × B, obtemos (a, b) ¹ (a, b), pois a = a e b ≤ b. Se (a, b) ¹ (c, d) e (c, d) ¹ (a, b), então a < c ou a = c e b ≤ d e c < a ou c = a e d ≤ b. Note que a possibilidade a < c e c < a não pode ocorrer. Assim, a = c, b ≤ d e d ≤ b, isto é, (a, b) = (c, d). Finalmente, se (a, b) ¹ (c, d) e (c, d) ¹ (e, f ), então a < c ou a = c e b ≤ d e c < e ou c = e e d ≤ f. Note que se a < c e c < e, então a < e e (a, b) ¹ (e, f ). Agora, se a = c = e, b ≤ d e d ≤ f , então a = e, b ≤ f e (a, b) ¹ (e, f ). Portanto, ¹ é uma ordem sobre A × B.

158

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

4. Dados (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ A, obtemos (a, b) ¹ (a, b), pois a = a e b ≤ b. Se (a, b) ¹ (c, d) e (c, d) ¹ (a, b), então a=c e b≤d e a = c e d ≤ b. Assim, a = c, b ≤ d e d ≤ b, isto é, (a, b) = (c, d). Finalmente, se (a, b) ¹ (c, d) e (c, d) ¹ (e, f ), então a=c e b≤d e c = e e d ≤ f. Logo, a = c = e, b ≤ d e d ≤ f , ou seja, (a, b) ¹ (e, f ). Portanto, ≤ é uma ordem sobre A. 5. Dados (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ N × N, obtemos (a, b) ¹ (a, b), pois f (a, b) = f (a, b). Se (a, b) ¹ (c, d) e (c, d) ¹ (a, b), então f (a, b) ≤ f (c, d) e f (c, d) ≤ f (a, b). Logo, f (a, b) = f (c, d) ⇒ (a, b) = (c, d). pois f é injetora. Finalmente, se (a, b) ¹ (c, d) e (c, d) ¹ (e, f ), então f (a, b) ≤ f (c, d) e f (c, d) ≤ f (e, f ). Logo, f (a, b) ≤ f (e, f ) ⇒ (a, b) ¹ (e, f ). Portanto, ¹ é uma ordem sobre N × N.

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

159

T 6. Pondo R = i∈I Ri . Para quaisquer x, y, z ∈ A, obtemos xRi x, para todo i ∈ I. Logo, xRx. Se (x, y) ∈ R e (y, x) ∈ R, então xRi y e yRi x, para todo i ∈ I. Logo, x = y. Finalmente, se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R, então xRi y e yRi z, para todo i ∈ I. Assim, xRi z, para todo i ∈ I. Portanto, xRz, isto é, R é uma ordem sobre A. 7. Dados f, g, h ∈ F, obtemos f ¹ f , pois f (x) ≤ f (x), para todo x ∈ A. Se f ¹ g e g ¹ f , então f (x) ≤ g(x) e g(x) ≤ f (x), ∀ x ∈ A. Logo, f (x) = g(x), para todo x ∈ A, ou seja, f = g. Finalmente, se f ¹ g e g ¹ h, então f (x) ≤ g(x) e g(x) ≤ h(x), ∀ x ∈ A. Assim, f (x) ≤ h(x), ∀ x ∈ A, ou seja, f ¹ h. Portanto, ¹ é uma ordem sobre F que não é total, pois se b, c ∈ B não são comparáveis, então as funções constantes f (x) = b e g(x) = c, para todo x ∈ A, não são comparáveis. 8. Confira o exercício 7. 9. Dados (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ A × B, obtemos (a, b) ¹ (a, b), pois b = b e a ≤ a. Se (a, b) ¹ (c, d) e (c, d) ¹ (a, b), então b < d ou b = d e a ≤ c e d < b ou d = b e c ≤ a.

160

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS Note que a possibilidade b < d e d < b não pode ocorrer. Assim, b = d, a ≤ c e c ≤ a, isto é, (a, b) = (c, d). Finalmente, se (a, b) ¹ (c, d) e (c, d) ¹ (e, f ), então b < d ou b = d e a ≤ c e d < f ou d = f e c ≤ e. Note que se b < d e d < f , então b < f e (a, b) ¹ (e, f ). Agora, se b = d = f , a ≤ c e c ≤ e, então b = f , a ≤ e e (a, b) ¹ (e, f ). Portanto, ¹ é uma ordem sobre A × B.

10. Dados (a, b), (c, d) ∈ C × D, obtemos a, c ∈ C e b, d ∈ D. Assim, por hipótese, [a < c ou a = c ou c < a] e [b < d ou b = d ou d < b]. Logo, se a < c, então (a, b) ¹ (c, d). Se a = c, então b < d e (a, b) ¹ (c, d) ou b = d e (a, b) = (c, d) ou d < b e (c, d) ¹ (a, b). De modo inteiramente análogo faz o caso c < a. Portanto, (a, b) ¹ (c, d) ou (a, b) = (c, d) ou (c, d) ¹ (a, b), ou seja, C × D é uma cadeia de A × B. 11. Como E ∩ D = ∅ e E ∪ D = B temos que (A × E) ∩ (A × D) = ∅ e (A × E) ∪ (A × D) = A × B. Agora, se (a, b) ∈ A × E e (x, y) ¹ (a, b), então y < b ou y = b e x ≤ a. Se y < b, então y ∈ E, pois b ∈ E. Se y = b, então y ∈ E. Portanto, em qualquer caso, (x, y) ∈ A × E. Finalmente, se (c, d) ∈ A × D e (c, d) ¹ (z, w), então y < b ou y = b e x ≤ a. Se y < b, então y ∈ E, pois b ∈ E. Se y = b, então y ∈ E. Portanto, em qualquer caso, (x, y) ∈ A × E.

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

161

12. Segue das definições. 13. Dado r ∈ Q, com a 6= 0. Multiplicando o numerador e o denominador de r por −1, se necessário, podemos escrever r sob a forma a r = , onde a, b ∈ Z, com a 6= 0 e b > 0. b Se a > 0, então r  0. Se −a > 0, então −r  0. Note que r  0 e −r  0 não pode ocorrer, caso contrário, r=

c a e −r = , b d

onde a, b, c, d ∈ Z, com a > 0, b > 0, c > 0 e d > 0. Logo, c a − = ⇔ −ad = bc, b d o que é impossível, pois ad > 0 e bc > 0. Portanto, Q é totalmente ordenado. 14. Confira o exercício 8. 15. Dados a, b, c ∈ A, existem únicos i, j, k ∈ I tais que a ∈ Ai , b ∈ Aj e c ∈ Ak . É claro que a ¹ a. Se a ¹ b e b ¹ a, então i = j e a = b. Agora, se a ¹ b e b ¹ c, então temos as seguintes possibilidades i < j e j = k ou i = j e j < k ou i < j e j < k ou i = j e j = k. Assim, em qualquer possibilidade a ¹ c. Finalmente, como I é totalmente ordenado temos que i < j ou i = j ou i > j. Se i < j ou i > j, então a ¹ b ou a º b. Se i = j, então a, b ∈ Ai e a < b ou a = b ou a > b. Portanto, ¹ é uma ordem total sobre A.

Seção 3.2 1. Dados x, y ∈ A, se x < y e x 6= y, então f (x) < f (y), pois f (x) 6= f (y) e f é crescente.

162

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

2. Note que as funções I, f, g : N → Z definidas como ( 1, se n = 1 I(n) = n, f (n) = n − 10 e g(n) = n + 2, se n ≥ 2 são imersões crescente. 3. A função f : Z+ → A definida como f (n) = 1 −

1 n+1

tem as propriedades desejadas. 4. (a) Dados (a, b), (c, d) ∈ A × B, se (a, b) ¹ (c, d), então a < c ou a = c e b ≤ d. Assim, p1 (a, b) = a ≤ c = p1 (c, d). Portanto, p1 é uma função crescente. (b) Dados (a, b), (c, d) ∈ A × B, se (a, b) ¹ (c, d), então b < d ou b = d e a ≤ c. Assim, p2 (a, b) = b ≤ d = p2 (c, d). Portanto, p2 é uma função crescente. 5. Dados x, y ∈ f (C), existem a, b ∈ C tais que x = f (a) e y = f (b). Como C é uma cadeia temos que a ≤ b ou a ≥ b. Assim, x ≤ y ou x ≥ y, pois f é crescente. Portanto, f (C) é uma cadeia em B. 6. Dados a, b ∈ f −1 (C) e x ∈ A, com a ≤ x ≤ b. Como f é crescente temos que f (a) ≤ f (x) ≤ f (b). Por outro lado, sendo a, b ∈ f −1 (C), obtemos f (a), f (b) ∈ C e, por hipótese, f (x) ∈ C. Assim, x ∈ f −1 (C). Portanto, f −1 (C) é um subconjunto convexo de A. Reciprocamente, primeiro note, para qualquer a ∈ A, que a ∈ f −1 (Cf (a) ), com Cf (a) = {y ∈ B : y ≤ f (a)}

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

163

um subconjunto convexo de B. Assim, por hipótese, f −1 (Cf (a) ) é um subconjunto convexo de A. Agora, dados x, y ∈ A, se x ≤ y, então x ∈ f −1 (Cf (y) ). Portanto, f (x) ≤ f (y).. Consequentemente, f é uma função crescente. 7. Já vimos que x = f −1 (b), para todo b ∈ B. Agora, use o Exercício 6. 8. Como E ∩ D = ∅ e E ∪ D = B temos que f −1 (E) ∩ f −1 (D) = f −1 (E ∩ B) = f −1 (∅) = ∅ e f −1 (E) ∪ f −1 (D) = f −1 (E ∪ D) = f −1 (B) = f −1 (f (A)) = A, pois f é sobrejetora. Agora, se a ∈ f −1 (E) e x ≤ a, então f (a) ∈ E e f (x) ≤ f (a), pois f é crescente. Assim, f (x) ∈ E, ou seja, x ∈ f −1 (E). Finalmente, se b ∈ f −1 (D) e b ≤ y, então f (b) ∈ D e f (b) ≤ f (y), pois f é crescente. Assim, f (y) ∈ D, ou seja, y ∈ f −1 (D). Portanto, (f −1 (E), f −1 (D)) é um corte de A. 9. Vamos provar apenas o item (c). Para isto basta provar f ([a, b]) = [f (a), f (b)]. Dado y ∈ f ([a, b]), existe x ∈ [a, b] tal que y = f (x). Como a ≤ x ≤ b e f é um isomorfismo temos que f (a) ≤ f (x) ≤ f (b), ou seja, y ∈ [f (a), f (b)] e f ([a, b]) ⊆ [f (a), f (b)]. Para verificar a outra inclusão use f −1 . 10. Confira o Exercício 9. 11. Considere a função f : A → F definida como f (a) = Ia . Então f é o isomorfismo desejado, por exemplo, dados a, b ∈ A, se f (a) = f (b), então Ia = Ib . Logo, a = b, pois se a 6= b, digamos a < b, então Ia ⊂ Ib , o que é impossível. Portanto, f é injetora. 12. Vamos provar apenas o item (a). Note que Da = A − Ea , para todo a ∈ A. É claro que Ea ∩ Da = ∅ e Ea ∪ Da = A Agora, se b ∈ Ea e x ≤ b, então x ≤ b e b ≤ a. Logo, x ≤ a e x ∈ Ea .

164

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS Finalmente, se c ∈ Da e c ≤ y, então a < c e c ≤ y. Logo, a < y e y ∈ Da . Portanto, (Ea , Da ) é um corte de A, para todo a ∈ A.

13. Dados x, y ∈ B, existem únicos a, b ∈ A tais que x = f (a) e y = f (b). Como A é um conjunto totalmente ordenado temos que a < b ou a = b ou a ≥ b. Assim, x = f (a) < f (b) = y ou x = f (a) = f (b) = y ou x = f (a) > f (b) = y, pois f é um isomorfismo. Portanto, B é um conjunto totalmente ordenado. 14. É fácil verificar que a é o único elemento tal que f −1 (Ib ) = Ia . Vamos definir g : B → A como g(b) = a. Dados b, c ∈ B, se b ≤ c, então Ib ⊆ Ic . Logo, f −1 (Ib ) = Ia ⊆ Id = f −1 (Ic ), ou seja, g(b) = a ≤ d = g(c). Portanto, g preserva ordem. Como g(b) ∈ Ig(b) = Ia = f −1 (Ib ) temos que (f ◦ g)(b) ≤ b, ∀ b ∈ B, isto é, f ◦ g ≤ IB . Por outro lado, a ∈ f −1 (If (a) ) = Ig(f (a)) , de modo que a ≤ (g ◦ f )(a), ∀ b ∈ B, ou seja, IA ≤ g ◦ f . A unicidade de g é clara. Reciprocamente, como f (a) ≤ b temos que x ≤ g(f (a)) ≤ g(b)

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

165

e x ≤ g(b) ⇒ f (x) ≤ f (g(b)) ≤ b. Assim, f (a) ≤ b ⇔ a ≤ g(b). Portanto, f −1 (Ib ) = Ig(b) .

Seção 3.3 1. Vamos provar apenas os itens (a) e (c): (a) Note que a < b ⇒ 2a = a + a < a + b ⇒ a
0 tal que 0 < 0 < a, o que é uma contradição. Portanto, a = 0. 2. Basta provar que inf(B) = mdc(a1 , a2 , . . . , an ) e sup(B) = mmc(a1 , a2 , . . . , an ). 3. (b) A não possui maior elemento, mas menor elemento 1. (c) A possui elementos maximais 18 e 24 e elemento minimal 1. 4. Vamos provar apenas o item (a). Neste tipo de problema um candidato natural para cota superior é: M=

[

A.

166

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS Como M = =

[

[

A {2n, 2n + 4}

n∈N

= {2k : k ∈ N} é um elemento de F temos que M é uma cota superior de A, pois para qualquer X ∈ A temos que X ⊆ M. Note que M = sup(A). 5. Vamos provar apenas o item (c). Sejam c = sup(C) e d = sup(D). Então x ≤ d, para todo x ∈ D. Em particular, y ≤ d, para todo y ∈ C, pois C ⊆ D. Portanto, d é uma cota superior de C e c ≤ d, por definição. Afirmação dual: se C, D são subconjuntos de A, C ⊆ D e cada C e D possui ínfimo em A, então inf(C) ≤ inf(D). 6. Dado M ∈ f −1 (b) e x ∈ A, se M ≤ x, então f (M) ≤ f (x), pois f é crescente. Como b = f (M) e b é um elemento maximal de B temos que b = f (x). Portanto, M = x, pois se M < x, então b = f (M) < f (x) = b, o que é impossível. Neste caso, cada elemento de f −1 (b) é um elemento maximal de A. 7. Dado y ∈ f (A), existe x ∈ A tal que y = f (x). Como a é o maior elemento de A temos que z ≤ a, para todo z ∈ A. Assim, f (z) ≤ f (a), para todo z ∈ A. Em particular, y = f (x) ≤ f (a). Portanto, f (a) é o maior elemento de f (A). 8. Confira o Exercício 7.

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

167

9. Vamos provar apenas o item (c). Suponhamos que x ∈ A seja uma cota superior de C. Então a ≤ x, para todo a ∈ C. Dado c ∈ f (C), existe um único b ∈ C tal que c = f (b). Como b ≤ x temos que c = f (b) ≤ f (x). Portanto, f (x) ∈ B é uma cota superior de f (C). Para provar a recíproca use f −1 . 10. Pelo Exemplo 3.32, ∅ possui um supremo e um ínfimo, os quais são necessariamente o menor elemento e o maior elemento de A, respectivamente. 11. Dado x ∈ [a, b] ∩ [c, d], obtemos a ≤ x ≤ b e c ≤ x ≤ d ⇔ a, c ≤ x e x ≤ b, d. Logo, por definição, sup{a, c} ≤ x e x ≤ inf{b, d} ⇔ sup{a, c} ≤ x ≤ inf{b, d}. Assim, x ∈ [sup{a, c}, inf{b, d}] e reciprocamente. Portanto, [a, b] ∩ [c, d] = [sup{a, c}, inf{b, d}]. 12. Dados c, d ∈ [a, b], obtemos M = sup{c, d} ∈ A. Como c, d ≤ b temos que M ≤ b, pois M é a menor das cotas superiores de {c, d}. Assim, M ∈ [a, b]. De modo inteiramente análogo, prova que m = inf{c, d} ∈ [a, b]. Portanto, [a, b] é um sub-reticulado de A. 13. Seja A um conjunto finito qualquer. Escolhendo um elemento x1 de A. Se x1 é um elemento maximal de A, acabou. Caso contrário, escolhendo um elemento x2 de A, com x1 ≤ x2 . Continuando assim, obtemos uma cadeia de elementos de A, x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ · · · Como A possui um número finito de elementos temos que essa cadeia para, digamos em xk . Portanto, a = xk é um elemento maximal de A.

168

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

14. Seja m ∈ A um elemento minimal de A. Dado x ∈ A, obtemos x ≤ m ou m ≤ x, pois A é totalmente ordenado. Assim, m = x ou m ≤ x, para todo x ∈ A. Portanto, m é um menor elemento de A. 15. Falso. confira o Exemplo 3.24 ou considere o conjunto A = N ∪ {∞}, com a ordenação usual de N e 1 < ∞ (faça o Diagrama de Hasse). Então M = ∞ é o único elemento maximal de A, mas não é o maior elemento de A. 16. (a) É claro que W ⊆ W , para todo W ∈ F. Dados U, W ∈ F, se U ⊆ W e W ⊆ U, então U = W . Finalmente, dados U, W, Z ∈ F, se U ⊆ W e W ⊆ Z, então é claro que U ⊆ Z. Portanto, ⊆ é uma relação de ordem sobre F. (b) É claro que {0} ⊆ W , para todo W ∈ F. Assim, {0} é o menor elemento de F. Mais fácil ainda é que W ⊆ V , para todo W ∈ F. Portanto, V é o maior elemento de F. (c) Confira o Exemplo 3.41. (d) Segue do item (c).

Seção 3.4 1. Suponhamos, por absurdo, que

onde a, b ∈ N. Seja

√ 2 seja um número racional, digamos √ a 2= , b

√ √ S = {n 2 : n ∈ N e n 2 ∈ N}.

Então S 6= ∅, pois b ∈ S. Assim, existe s0 ∈ S tal que s0 ≤ s, para todo √ √ s ∈ S. Pondo s0 = k 2 e 2 > 1, obtemos √ √ √ √ √ s0 ( 2 − 1) = s0 2 − k 2 = (s0 − k) 2 > 0 ⇒ (s0 − k) 2 ∈ S, √ √ o que é uma contradição. De fato, como s0 2 = 2k e 2 < 2 2 implica √ √ que 2 − 2 < 2 temos que √ (s0 − k) 2 < s0 .

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

169

2. Considerando os números reais a b √ b. Logo, o conjunto S = {k ∈ N : (k + 1)a > b} é não vazio. Assim, S contém um menor elemento, digamos n ∈ S. Portanto, na ≤ b < (n + 1)a ⇔ b ∈ [na, (n + 1)a[, pois n − 1 ∈ / S, ou seja, R⊆

• [

[na, (n + 1)a[.

n∈Z

A outra inclusão é clara. 4. Note que 1 e 2 não possuem predecessores imediados em A, pois existe c ∈ A tal que 1 < c < 2. Além disso, S1 = ∅, S5 = {1, 3}, S2 = {1, 3, 5, . . .} e S8 = {1, 3, 5, . . . ; 2, 4, 6}. 5. Vamos provar apenas o item (a). Suponhamos que a ≤ b. Como A é um CBO temos que a+ ≤ b+ ou a+ > b+ . Se a+ > b+ , então a+ > b ≥ a, o que é impossível. Portanto, a+ ≤ b+ . Usando um argumento simétrico prova-se a recíproca.

170

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

6. (a) Dado x ∈ R, obtemos

x < x, 2 ou seja, x não é menor elemento de R. Por outro lado, para cada y ∈ R, com y < x, obtemos x+y < x, y< 2 isto é, x não possui um predecessor imediado. Portanto, x é um elemento limite de R. Portanto, concluímos que R não possui sucessor imediato. (b) Suponhamos que q seja um elemento limite de A. Então para qualquer a ∈ A, com a < q, existe b ∈ A tal que a < b < q. Portanto, a+ < q, pois q ≤ a+ é impossível. Reciprocamente, é claro que q não é menor elemento de A. Por outro lado, para cada a ∈ A, com a < q, existe a+ ∈ A tal que a < a+ < q, ou seja, q não possui predecessor imediato. Portanto, q é um elemento limite de A. (c) Seja S = {x ∈ A : x < q}.

Suponhamos que q seja um elemento limite de A e que p = sup(S). Então p ≤ q, pois x < q, para todo x ∈ S. Se p < q, então, pelo item (b), p < p+ < q, o que é impossível. Portanto, p = q. Reciprocamente, é claro que q não é o menor elemento de A. Por outro lado, para cada a ∈ A, com a < q, existe, pelo item (b), a+ ∈ A tal que a < a+ < q, ou seja, q não possui predecessor imediato. Portanto, q é um elemento limite de A. 7. Note que A é um CBO, pois se S é qualquer subconjunto não vazio de A, então ¾ ½ n ∈ S, para algum n ∈ Z+ 6= ∅, S1 = m ∈ Z+ : m + n+1 pois S 6= ∅. Logo, S1 contém um menor elemento, digamos m0 ∈ S1 . Como ¾ ½ n S2 = n ∈ Z+ : m0 + ∈ S 6= ∅ n+1

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

171

temos que S2 contém um menor elemento, digamos n0 ∈ S2 . Portanto, m0 +

n0 , n0 + 1

é o menor elemento de S. Os pontos limites de A são todos os elementos m, enquanto os sucessores imediatos de A são todos os elementos da forma n m+ , n+1 onde m, n ∈ Z+ , com n > 0. 8. Suponhamos que A 6= S. Então T = A − S 6= ∅. Logo, T contém um menor elemento, digamos m ∈ T . Vamos provar que S = Sm . É claro que Sm ⊆ S, pois se x < m, então x ∈ S, pois x ∈ / T . Por outro lado, se x ∈ S, então x < m, ou seja, x ∈ Sm . 9. Seja S qualquer subconjunto não vazio de B. Então f −1 (S) é um subconjunto não vazio de A, pois f é sobrejetora. Logo, f −1 (S) contém um menor elemento, digamos m ∈ f −1 (S). É fácil verificar que m0 = f (m) ∈ S é o menor elemento de S. Portanto, B é um CBO. 10. Como A e B são conjuntos enumeráveis temos que existem bijeções f : Ni → A e g : Np → B, em que Ni = {1, 3, 7, . . .} e Np = {2, 4, 6, . . .}. Assim, pelo Corolário 2.22, f : Ni → A∪B e g : Np → A∪B são funções. Como f |(Ni ∩Np ) = g|(Ni ∩Np ) temos, pelo Teorema 2.35, que existe uma única função bijetora h : N → A ∪ B tal que h|Ni = f e h|Np = g. Explicitamente, ( ¡ ¢ , se n é um número ímpar f n+1 ¡ n ¢2 h(n) = g 2 , se n é um número par. Portanto, pelo Exercício 9, A ∪ B é um CBO.

172

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS

11. Seja F = {Sa }a∈A uma família de segmentos iniciais de A. Considere a função f : A → F definida como f (a) = Sa . Então f é o isomorfismo desejado, por exemplo, dados a, b ∈ A, se a 6= b, digamos a < b, então a ∈ Sb . Como a ∈ / Sa temos que Sa 6= Sb , ou seja, f é injetora. 12. Confira o Exercício 11. 13. Dados x, y ∈ A, se f (x) = f (y), então x = y, pois se x 6= y, então x < y ou x > y. Logo, f (x) < f (y) ou f (x) > f (y), pois f é estritamente crescente, o que é impossível. Portanto, f é injetora. A recíproca é clara. 14. Suponhamos que (E, D) seja um corte de A. Dado x ∈ E e y ∈ D, obtemos x < y ou x > y, pois {E, D} uma partição de A. Se y < x, então x ∈ E ∩ D = ∅, o que é impossível. Portanto, x ≤ y. Reciprocamente, como {E, D} uma partição de A temos que E ∩ D = ∅ e E ∪ D = A. Agora, se a ∈ E e x ≤ a, então x ∈ E, pois a ∈ / D. Finalmente, se b ∈ D e b ≤ y, então y ∈ D, pois b ∈ / E. Portanto, (E, D) é um corte de A. 15. Suponhamos que B seja uma seção de A. É claro que B ∩ (A − B) = ∅ e A = B ∪ (A − B). Agora, se a ∈ B e x ≤ a, então x ∈ B, pois B é uma seção de A. Finalmente, se b ∈ A − B e b ≤ y, então y ∈ A − B, pois se y ∈ / A − B, então y ∈ B. Logo, b ∈ B ∩ (A − B) = ∅,

o que é impossível. Portanto, (B, A − B) é um corte de A. A recíproca é clara. 16. Dado a ∈ f −1 (C) e x ∈ A, com x ≤ a. Como f é crescente temos que f (x) ≤ f (a).

3.4. CONJUNTOS BEM ORDENADOS

173

Por outro lado, sendo a ∈ f −1 (C), obtemos f (a) ∈ C e, por hipótese, f (x) ∈ C. Assim, x ∈ f −1 (C). Portanto, f −1 (C) é uma seção de A. Reciprocamente, primeiro note, para qualquer a ∈ A, que a ∈ f −1 (Cf (a) ), com Cf (a) = {y ∈ B : y ≤ f (a)} uma seção de B. Assim, por hipótese, f −1 (Cf (a) ) é uma seção de A. Agora, dados x, y ∈ A, se x ≤ y, então x ∈ f −1 (Cf (y) ). Portanto, f (x) ≤ f (y). Consequentemente, f é uma função crescente. 17. Suponhamos que B possui um menor elemento, digamos m ∈ B. Então m ≤ x, para todo x ∈ B. Em particular, m ≤ b. Dado y ∈ Sb ∩ B, obtemos y < b e m ≤ y. Assim, m < b, ou seja, m ∈ Sb ∩ B. Portanto, m é o menor elemento de Sb ∩ B. Reciprocamente, suponhamos que Sb ∩ B possui um menor elemento, digamos n ∈ Sb ∩ B. Dado y ∈ B, obtemos b ≤ y ou b > y, pois A é totalmente ordenado. Se b ≤ y, então n < y. Se b > y, então y ∈ Sb ∩ B. Logo, n ≤ y, para todo x ∈ B. Portanto, B possui um menor elemento. 18. Confira o Exercício 17. 19. Suponhamos, por absurdo, que exista uma família S = {xn : n ∈ Z+ } com xn > xn+1 , para todo n ∈ Z+ . Então S 6= ∅ e não possui menor elemento, o que é uma contradição. Reciprocamente, se A não é um CBO, então existe um subconjunto não vazio S de A sem menor elemento. Pondo x0 ∈ S, obtemos um x1 ∈ S tal que x1 < x0 , pois S não possui menor elemnto. Como x1 não é um menor elemento temos que existe x2 ∈ S tal que x1 < x2 . Prosseguindo assim, obtemos elementos x0 , x1 , x2 . . . em S tais que x0 > x1 > · · · > xn > · · ·

174

CAPÍTULO 3. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS Portanto, existe uma família T = {xn : n ∈ Z+ } com xn > xn+1 , para todo n ∈ Z+ . Finalmente, note que

½

¾ 1 : n ∈ Z+ n+1 é uma cadeia infinita descendente de [0, 1]. Portanto, [0, 1] não é um CBO. 20. Confira o Lema 3.62. 21. Seja f : A → A um isomorfismo qualquer. Então x ≤ f (x), para todo x ∈ A, pois A é um CBO. Por outro lado, como f −1 : A → A é um isomorfismo temos que x ≤ f −1 (x), para todo x ∈ A. Neste caso, f (x) ≤ f (f −1 (x)) = x, ∀ x ∈ A. Portanto, x ≤ f (x) ≤ x ⇒ f (x) = x, ou seja, f = IA . 22. Como g ◦ f : A → A é um isomorfismo temos, pelo Exercício 21, que g◦f = IA . De modo inteiramente análogo, f ◦g = IB . Portanto, g = f −1 . 23. Seja g : A → B outro isomorfismo. Então g −1 : B → A é um isomorfismo. Logo, pelo Exercício 22, g = f . 24. Sejam C ⊆ A e D ⊆ B tais que A ' D e B ' C. Então, pelo Corolário 3.74, C ' A ou C ' Sa , para algum a ∈ A, e D ' B ou D ' Sb , para algum b ∈ B. Se C ' Sa , para algum a ∈ A, então B ' Sa , para algum a ∈ A. Logo, pelo Lema 3.66, A não é isomorfo a D, o que é impossível. Logo, C ' A. De modo inteiramente análogo, prova-se que a possibilidade D ' Sb não pode ocorrer. Assim, D ' B. Portanto, A ' D ' B. 25. Confira o Exercício 24.

Capítulo 4 Axioma da Escolha e Aplicações Zermelo, em 1904, em uma análise mais criteriosa da prova da conjectura de Cantor, “todo conjunto pode ser bem ordenado”, observou que uma suposição que foi usada implicitamente na prova não era consequência dos postulados da matemática ou da lógica. Assim, ele tomou como um axioma e chamou de Axioma da Escolha, dentotado por ZF8 , o qual intuitivamente é: escolhendo arbitrariamente conjuntos não vazios A, B. . . , uma “função esolha” significa uma função que a cada conjunto A, B. . . associa um elemento a, b. . . do próprio conjunto. Gödel, em 1935, mostrou que se os axiomas da Teoria dos Conjuntos ZF eram consistentes, então ZF + ZF8 era consistente. Assim, é natural que este resultado de Gödel deixe aberta a possibilidade ZF8 de ser derivado de outros axiomas. Mas, Cohen (Paul Joseph Cohen, 1934-2007, matemático americano), em 1963, mostrou que ZF + (∼ ZF8 ) era consistente se ZF também o era. Portanto, ZF8 é independente de ZF . Uma outra forma do axioma da escolha pode ser enunciada como: “seja P um conjunto não vazio, de subconjuntos não vazios de um conjunto dado A. Então existe um subconjunto C de A tal que, para todo B ∈ P, C ∩ B é um conjunto unitário.” Da mesma forma que o Princípio da Boa Ordenação, o Axioma da Escolha pode ser utilizado como eficiente ferramenta de modelagem em diversas situações-problema, principalmente aquelas que possuem como objetivo a 175

176

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES

existência de determinados objetos. Vejamos um exemplo de uma situação dessa natureza. Qualquer espaço vetorial possui uma base. Em bem pouco tempo estaremos aptos a responder esta e outras questões semelhantes, onde veremos que a existência de base para um espaço vetorial não decorre da Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem o axioma da escolha. Finalmente, neste capítulo apresentaremos o axioma da escolha e suas principais consequências.

4.1

Axioma da Escolha

Nesta seção discutiremos um conceito que é um dos mais importantes, e ao mesmo tempo um dos mais controversos, princípios da matemática. ZF8 - Axioma da escolha. Seja {Ai }i∈I uma família não vazia de conjuntos não vazios. Então Y Ai 6= ∅. P = i∈I

Observação 4.1 Sejam {Ai }i∈I uma família não vazia de de conjuntos não vazios e Y P = Ai . i∈I

1. Um elemento de P chama-se uma função escolha associada a família {Ai }i∈I , ou seja, é uma função f :I→

[

Ai

i∈I

tal que f (i) ∈ Ai , para todo i ∈ I. Note que Dom(f ) = I e f (i) ∈ Ai , para todo i ∈ I. 2. Intuitivamente, o axioma ZF8 diz que podemos simultaneamente escolher algum elemento de cada subconjunto não vazio de um dado conjunto.

4.1. AXIOMA DA ESCOLHA

177

3. Se Ai = B, para todo i ∈ I, então P é simplesmente o conjunto de todas as funções f : I → B, isto é, P = BI . 4. Se I é um conjunto finito, então, não há a necessidade de usar o axioma ZF8 , para provar que P 6= ∅. De fato, se A1 6= ∅ e A2 6= ∅, então existe x1 ∈ A1 e x2 ∈ A2 . Logo, (x1 , x2 ) ∈ A1 × A2 e A1 × A2 6= ∅. Agora, use indução sobre n, com I = {1, 2, . . . , n}. Neste caso, a cada função escolha n [ Ai f :I→ i=1

corresponde a uma única n-upla

f → (x1 , . . . , xn ), onde f (i) = xi ∈ Ai , para todo i ∈ I. Reciprocamente, dado uma n-upla (x1 , . . . , xn ), onde xi ∈ Ai , para todo i ∈ I. Existe uma única função escolha f :I→

n [

Ai

i=1

associada a ela, a saber, f (i) = xi , para todo i ∈ I. Portanto, existe uma correspodência biunívoca entre as n-uplas ordenadas e os elementos Q de ni=1 Ai , explicitamente, ϕ:

n Y i=1

Ai → A1 × · · · × An

definida como ϕ(f ) = (f (1), . . . , f (n)). Por isso, denotaremos por A1 × · · · × An o produto cartesiano e escreveremos os elementos como n-uplas ordenadas. Assim, concluímos que o axioma ZF8 é significativo se I for um conjunto infinito.

178

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES

5. Se cada Ai é um grupo Gi , com elemento identidade ei , então podemos definir a função [ f :I→ Ai i∈I

por f (i) = ei sem usar o axioma ZF8 . Não obstante, se escolhermos ai ∈ Ai , com ai 6= ei , então a função [ h:I→ Ai i∈I

definida por h(i) = ai pode não estar bem definida, não ser injetora. 6. Se cada Ai é um CBO, então podemos definir a função [ Ai f :I→ i∈I

por f (i) = min Ai ∈ Ai , sem usar o axioma ZF8 . Exemplo 4.2 Sejam f : R → R uma função e a ∈ R fixado. Mostre que f é contínua em a se, e somente se, para qualquer sequência {xn }n∈N em R tal que limn→∞ xn = a implicar que limn→∞ f (xn ) = f (a). Solução. Suponhamos que f seja contínua em a. Então dado um δ > 0 tal que

> 0, existe

|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < , ∀ x ∈ R. Seja {xn }n∈N uma sequência em R tal que limn→∞ xn = a. Então existe nδ ∈ N tal que |xn − a| < δ, ∀ n ∈ N, com n ≥ nδ . Logo, |f (xn ) − f (a)| < , ∀ n ∈ N, com n ≥ nδ . Portanto, limn→∞ f (xn ) = f (a). Reciprocamente, suponhamos, por absurdo, que f não seja contínua em a. Então existe > 0 com a seguinte propriedade: para qualquer δ > 0, existe xδ ∈ R tal que |xδ − a| < δ e |f (xδ ) − f (a)| ≥ .

4.1. AXIOMA DA ESCOLHA

179

Para cada n ∈ N, pondo δ = n1 , teremos que ½ ¾ 1 An = x ∈ R : |x − a| < e |f (x) − f (a)| ≥ 6= ∅, n Assim, pelo axioma da escolha ZF8 , P =

Y

n∈N

An 6= ∅.

Portanto, existe uma sequência {xn }n∈N em P (R) tal que xn ∈ An , para todo n ∈ N, ou seja, limn→∞ xn = a, mas limn→∞ f (xn ) 6= f (a), o que é uma contradição. ¥ Observação 4.3 Note que a existência de uma sequência em R não decorre da Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem o uso do axioma da escolha ZF8 . Exemplo 4.4 Seja f : A → B uma função sobrejetora. Mostre que existe uma função g : B → A tal que f ◦ g = IB . Solução. Suponhamos que f : A → B seja uma função sobrejetora. Então Ab = f −1 (b) = {x ∈ A : f (x) = b} é um subconjunto não vazio de A, para todo b ∈ B. Logo, F = {Ab : b ∈ B} = {Ab }b∈B é uma família não vazia de conjuntos não vazios. Neste caso, A=

• [

F=

• [

Ab

b∈B

e X ∈ F significa que X = f −1 (b) = Ab , para algum b ∈ B. Pelo axioma da escolha ZF8 , Y P = Ab 6= ∅. b∈B

180

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES

Assim, existe h ∈ P tal que h(X) ∈ X, para todo X ∈ F. Vamos definir g : B → A como g(b) = h(Ab ) = h(f −1 (b)), ∀ b ∈ B. Portanto, é fácil verificar que f ◦ g = IB .

¥

Sejam A um conjunto qualquer e P(A)∗ = P(A)−{∅}. Uma função escolha para A é uma função r : P(A)∗ → A tal que r(B) ∈ B, ∀ B ∈ P(A)∗ . Se rB = r(B), diremos que rB é o representante de B. Exemplo 4.5 Seja A = {a, b, c}. Então uma função escolha para A é definida pela tabela. Note que existem 24 tais funções. A {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} B r(B) a a a b a b c Observe, por exemplo, que se B = {a, b}, então rB = r(B) = a. Exemplo 4.6 Seja A um CBO. Então uma função escolha r : P(A)∗ → A para A é definida como r(B) = min B ∈ B. Exemplo 4.7 Qualquer conjunto finito possui uma função escolha. Solução. Vamos usar indução sobre o número de elementos do conjunto. Suponhamos que o resultado seja válido para n, isto é, se C é um conjunto com n elementos, então existe uma função escolha r : P(C)∗ → C. Sejam A um conjunto qualquer com n + 1 elementos e a ∈ A fixado. Então o conjunto B = A−{a} possui n elementos. Logo, existe uma função escolha ra : P(B)∗ → • B. Como A = {a} ∪ B temos que os subconjuntos de A que não contém a são precisamente os subconjuntos de B. Portanto, a função r : P(A)∗ → A definida como ( ra (X), se a ∈ /X r(X) = a, se a ∈ X

4.1. AXIOMA DA ESCOLHA

181

é claramente uma função escolha para A, pois qualquer subconjunto de A que contém a é da forma X ∪ {a}, com X ⊆ B. ¥ Teorema 4.8 As seguintes condições são equivalentes: 1. Vale o axioma da escolha ZF8 ; 2. F1 - Qualquer conjunto possui uma função escolha. Prova. Sejam A um conjunto não vazio qualquer, I = P(A)∗ e Ai = i, para todo i ∈ I. Então {B}B∈P(A)∗ = {Ai }i∈I é uma família não vazia de conjuntos não vazios. Logo, Y Y P = B= Ai 6= ∅. B∈P(A)∗

i∈I

Assim, existe f ∈ P , onde f (Ai ) ∈ Ai , para todo i ∈ I, isto é, f é uma função escolha para A. Portanto, F1 está satisfeita. Reciprocamente, sejam {Ai }i∈I uma família não vazia de conjuntos não vazios, [ Y A= Ai e P = Ai . i∈I

i∈I

Então, por hipótese, existe uma função escolha r : P(A)∗ → A para A, isto é, r(B) ∈ B, para todo B ∈ A. Em particular, r(Ai ) ∈ Ai , para todo i ∈ I. A função f : I → A definida como f (i) = r(Ai ) ∈ Ai . é um elemento de P . Portanto, o axioma ZF8 está satisfeito.

¥

Consideremos a seguinte afirmação: F2 - Sejam A um conjunto cujos elementos são conjuntos não vazios e disjuntos aos pares (uma partição de A). Então existe um conjunto C que consiste de exatamente um elemento de cada A ∈ A, isto é, C ∩ A = {a}, para cada A ∈ A,

182

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES

ou, equivalentemente, existe uma função f :A→

[

A=

[

B

B∈A

tal que f (B) ∈ B, para todo B ∈ A. O conjunto C chama-se conjunto escolha da família. Note que pondo I = A e Ai = i, para todo i ∈ I, obtemos A = {Ai }i∈I = {Ai : i ∈ I} ou A = {B}B∈A = {B : B ∈ A}. Neste caso, C⊆

[ i∈I

Ai =

[

B∈A

B e C ∩ B = {a}, para cada B ∈ A.

Observe que F2 significa que a cada relação de equivalência corresponde um sistema de representantes. Exemplo 4.9 Sejam A um CBO e f : A → B uma função sobrejetora. Mostre que A possui um conjunto escolha. Solução. Suponhamos que f : A → B seja uma função sobrejetora. Então Ab = f −1 (b) = {x ∈ A : f (x) = b} é um subconjunto não vazio de A, para todo b ∈ B. Afirmação. A família {Ab }b∈B é uma partição de A. De fato, se x ∈ A, então f (x) ∈ B. Logo, x ∈ Ab , para algum b = f (x) ∈ B. Portanto, [ [ Ab , ou seja, A = Ab . A⊆ b∈B

b∈B

Dados b, c ∈ B, se Ab 6= Ac , digamos existe x ∈ A tal que x ∈ Ab e x ∈ / Ac , então Ab ∩ Ac = ∅, pois se y ∈ Ab ∩ Ac , então x = f (b) = y = f (c). Logo, x ∈ Ac , o que é impossível.

4.1. AXIOMA DA ESCOLHA

183

Finalmente, como A é um CBO e Ab 6= ∅, para todo b ∈ B, temos que o conjunto C = {m ∈ A : m = min Ab } está bem definido. É claro que C ∩ Ab = {m}, para cada b ∈ B. Portanto, C é um conjunto escolha para A. Neste caso, o conjunto C chama-se um sistema minimal de representantes para a partição de A. Note que não houve a necessidade de usar o axioma ZF8 para provar a existência de C. ¥ Exemplo 4.10 Seja f : A ⊆ N → B uma função sobrejetora. Mostre que B é um conjunto enumerável. Solução. Já vimos, no Exemplo 4.9, que o conjunto A possui um conjunto escolha C. Então é fácil verificar que a função g = f |C : C → B é bijetora. Portanto, B é um conjunto enumerável.

¥

Teorema 4.11 As afirmações F1 e F2 são equivalentes. Prova. Sejam A um conjunto cujos elementos são conjuntos não vazios, disjuntos aos pares e [ [ X= A= A. A∈A

Então A ⊆ P(X)∗ . Assim, por hipótese, existe uma função escolha r : P(X)∗ → X para X tal que r(A) ∈ A, ∀ A ∈ P(X)∗ . Logo, o conjunto C = r(A) = {r(A) : A ∈ A} tem as propriedades desejadas, pois C ∩ A = {a}, para cada A ∈ A.

184

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES

Reciprocamente, sejam A um conjunto não vazio, B ⊆ A não vazio e XB = {(B, x) : x ∈ B}. Então XB ∩ XC = ∅, quando B ∩ C = ∅. Assim, {XB }B∈P(A)∗ é uma família não vazia de conjuntos não vazios disjuntos aos pares, pois XB ⊆ P(A) × A ⇒ {XB }B∈P(A)∗ ⊆ P(P(A) × A) e pelos axiomas ZF3 , ZF6 e o Teorema 2.18, a família {XB }B∈P(A)∗ é um conjunto. Logo, existe um conjunto escolha C para A, isto é, C ∩ XB = {(B, x)}, ∀ B ∈ P(A)∗ . Portanto, a função r : P(A)∗ → A definida como r(B) = x ∈ B, com C ∩ XB = {(B, x)}, ¥

é uma função escolha para A.

Consideremos a seguinte afirmação: F3 - Seja {Ai : i ∈ I} uma família não vazia de conjuntos não vazios. Então existe uma função f :I→

[

Ai ,

i∈I

onde f (i) ∈ Ai , para todo i ∈ I, ou, equivalentemente, se F é uma família não vazia de conjuntos não vazios, então existe uma função f :F → onde f (A) ∈ A, para todo A ∈ F.

[

F=

[

A∈F

A,

4.1. AXIOMA DA ESCOLHA

185

Note que a afirmação F2 é equivalente a afirmação F3 . De fato, se {Ai : i ∈ I} é uma família não vazia de conjuntos não vazios, então o conjunto F = {Ai × {i} : i ∈ I} = {Ai × {i}}i∈I é uma família não vazia de conjuntos não vazios e disjuntos aos pares. Assim, existe um conjunto escolha C tal que C ∩ (Ai × {i}) = {(ai , i)}, ∀ i ∈ I. Portanto, a função f :I→ definida como f (i) = ai ∈ Ai , onde

[

Ai

i∈I

(ai , i) ∈ C ∩ (Ai × {i}) tem as propriedades desejadas. Reciprocamente, se {Ai : i ∈ I} é uma família não vazia de conjuntos não vazios e disjuntos aos pares. Então existe uma função f :I→

[

Ai

i∈I

tal que f (i) ∈ Ai , para todo i ∈ I. Portanto, C = f (I) = {f (i) : i ∈ I} é um conjunto escolha para a família {Ai : i ∈ I}, pois C ∩ Ai = {f (i)}, ∀ i ∈ I. Exemplo 4.12 Consideremos a família {An }n∈N = {An : n ∈ N},

186

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES

em que An = {2n − 1, 2n}. É claro que {An }n∈N é uma família não vazia de conjuntos não vazios e disjuntos aos pares. Então existe uma função escolha [ An f :N→ n∈N

definida como f (n) = 2n ∈ An , para todo n ∈ N. Portanto, é fácil verificar que C = f (N) = {2, 4, 6, . . .} é um conjunto escolha para a família {An }n∈N . Mais geralmente, sejam A um conjunto qualquer e {{x} : x ∈ A} uma família não vazia de conjuntos não vazios e disjuntos aos pares. Então existe uma função escolha [ f :A→ {x} x∈A

tal que f (x) = x, para todo x ∈ A. Teorema 4.13 O axioma da escolha é equivalente à afirmação F3 . ¥

Prova. Fica como um exercício.

É importante observar, em tudo que segue, que a palavra axioma da escolha significa qualquer uma das afirmações equivalentes dadas acima. Exemplo 4.14 Seja A um conjunto infinito. Mostre que existe uma função injetora f : N → A. Em particular, A contém um subconjunto enumerável (contável infinito). Solução. Como A 6= ∅, podemos escolher x1 ∈ A. Novamente, como •

A = {x1 } ∪ (A − {x1 }) é uma partição de A, podemos escolher x2 ∈ A − {x1 }, e assim sucessivamente. Portanto, a função f : N → A definida como f (1) = x1 e f (n) = xn é claramente injetora. Mas nada garante que ela esteja bem definida. Para contornarmos esta situação vamos usar a afirmação F2 . Consideremos o conjunto não vazio Bn = A − {x1 , . . . , xn−1 }

4.1. AXIOMA DA ESCOLHA

187

Agora, seja F = {An }n∈N = {(Bn , x) : x ∈ Bn }n∈N Então F é uma família não vazia de conjuntos não vazios e disjuntos aos pares. Assim, pela afirmação F2 , existe um conjunto escolha C para F, isto é, C = {(Bn , xn ) : xn ∈ Bn }, ∀ n ∈ N. Vamos definir f : N → A como f (1) = x1 e f (n) = xn ∈ Bn , onde (Bn , xn ) ∈ C ∩ An . Portanto, f está bem definida e é injetora.

¥

Observação 4.15 Sejam A um conjunto infinito e r : P(A)∗ → A uma função escolha para A. Então vamos definir, indutivamente, uma função f : N → A como f (n) = r (A − {f (1), . . . , f (n − 1)}) . Portanto, f está bem definida e é injetora, pois A é um conjunto infinito. Exemplo 4.16 Sejam A um conjunto e f : A → B uma função. Mostre que f é sobrejetora se, e somente se, existe uma função g : B → A tal que f ◦g = IB . Em particular, f é sobrejetora se, e somente se, g é injetora. Solução. Suponhamos que f : A → B seja uma função sobrejetora. Então Xb = f −1 (b) é um subconjunto não vazio de A, para todo b ∈ B. Seja r : P(A)∗ → A uma função escolha para A, isto é, r(X) ∈ X, para todo X ∈ P(A)∗ . Então a função g : B → A definida como g(b) = r(Xb ), ∀ b ∈ B, tem as propriedades desejadas. Com efeito, (f ◦ g)(b) = f (g(b)) = f (r(Xb )) = b = IB (b),

188

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES

pois r(Xb ) ∈ Xb = {a ∈ A : f (a) = b} = f −1 (b). Dados b, c ∈ B, se b 6= c, então Xb 6= Xc . Logo, g(b) 6= g(c), isto é, g é injetora. Reciprocamente, suponhamos que exista uma função g : B → A tal que f ◦ g = IB . Então, dado y ∈ B, existe x = g(y) ∈ A tal que y = IB (y) = (f ◦ g)(y) = f (g(y)) = f (x), isto é, f é uma função sobrejetora. Finalmente, se g : B → A é uma função injetora. Então g : B → C é uma função bijetora, com C = Im(g) ⊆ A. Assim, g −1 : C → B é uma função. Seja b ∈ B fixado. Então f : A → B definida como ( g−1 (x), se x ∈ C f (x) = b, se x ∈ /C é uma função sobrejetora, pois dado y ∈ B, existe x ∈ C tal que y = g −1 (x), ou seja, existe x ∈ C ⊆ A tal que y = g −1 (x) = f (x). ¥ Exemplo 4.17 (Método da Diagonal de Cantor) Seja A um conjunto com pelo menos dois elementos. Mostre que não existe uma função sobrejetora de A sobre AA . Conclua que não existe função sobrejetora de B sobre AB , para qualquer conjunto B. Solução. Seja f : A → AA uma função qualquer. Vamos provar que f não é sobrejetora. Para um a ∈ A fixado, denotaremos por fa o valor de f em a. Assim, fa é uma função de A em A. Consideremos os conjuntos f (A) = {fa : a ∈ A} ⊆ AA e Xa = A − {fa (a)}. Note que Xa 6= ∅, para todo a ∈ A, pois A contém pelo menos dois elementos. Então {Xa }a∈A é uma família não vazia de conjuntos não vazios. Logo, existe uma função escolha r tal que r(Xa ) ∈ Xa , ∀ a ∈ A.

4.1. AXIOMA DA ESCOLHA

189

Em particular, r(Xa ) 6= fa (a), ∀ a ∈ A. Agora, vamos definir uma função g : A → A como g(x) = r(Xx ), ∀ x ∈ A. Afirmação. g 6= fa , para todo a ∈ A. De fato, suponhamos, por absurdo, que exista a ∈ A tal que g = fa . Então g(x) = r(Xx ) = fa (x), ∀ x ∈ A. Em particular, g(a) = r(Xa ) = fa (a), ¥

o que é uma contradição. Portanto, f não é sobrejetora.

EXERCÍCIOS

1. Sejam A e B dois CBO. Mostre que a ordem lexicográfica sobre A × B é bem ordenada. 2. Sejam {Ai }i∈I uma família não vazia de conjuntos não vazios e P = Q i∈I Ai . Mostre que a j-ésima projeção pj : P → Aj é uma função sobrejetora. 3. Sejam I, J conjuntos quaisquer de índices e A um conjunto arbitrário. Para qualquer função ϕ : J → I, considere a função Y Y A→ A ϕ∗ : i∈I

j∈J

definida como ϕ∗ (f ) = f ◦ ϕ, para toda função escolha f ∈

Q

i∈I

A.

(a) Se I = {1, 2}, J = {1, 2, 3} e ϕ : J → I é definida como ϕ(1) = 2, ϕ(2) = 2 e ϕ(3) = 1. Descreva explicitamente como um terno ordenado em A × A × A é aplicado em um par ordenado de A × A sob ϕ∗ .

190

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES (b) Se I = J = {1, . . . , n} e ϕ : I → I é uma função bijetora. Descreva em termos de n-uplas em A × · · · × A a função ϕ∗ .

4. Sejam A um conjunto e f : A → B uma função sobrejetora. Mostre que existe um subconjunto C de A tal que C está em correspondência biunívoca com B. 5. Sejam A um conjunto, f : B → C e g : A → C funções tais que Im(f ) ⊆ Im(g). Mostre que existe uma função h : B → A tal que g ◦ h = f. 6. Mostre que a afirmação do Exemplo 4.16 implica o axioma da escolha. 7. Mostre que o axioma da escolha é equivalente a: Sejam A, B conjuntos e F : A → P(B) uma função qualquer tal que F (x) ∈ P(B)∗ , para todo x ∈ A. Então existe uma função f : A → B tal que f (x) ∈ F (x), para todo x ∈ A. 8. Mostre que o axioma da escolha é equivalente a: Sejam A, B conjuntos não vazios quaisquer e G ⊆ A×B um gráfico, isto é, para qualquer x ∈ A, existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ G. Então existe uma função f : A → B tal que f ⊆ G.

4.2

Aplicações

Nesta seção provaremos, como consequência do axioma da escolha ZF8 , os princípios maximais. Além disso, provaremos que eles são equivalentes a ZF8 . Com o objetivo de provarmos o Lema de Zorn primeiro provaremos o teorema 4.20 devido Bourbaki. Nicolas Bourbaki é o pseudônimo coletivo sob o qual um grupo de matemáticos, na sua maioria franceses, escreveram uma série de livros que expunham a matemática avançada moderna, que começaram a ser editados em 1935. Com o objetivo de fundamentar toda a matemática na Teoria dos Conjuntos, o grupo lutou por mais rigor e simplicidade, criando uma nova terminologia e conceitos ao longo dos tempos.

4.2. APLICAÇÕES

191

Seja A um poset. Diremos que A é indutivamente ordenado se qualquer cadeia de A possui uma cota superior em A. Diremos que A é estritamente indutivamente ordenado se qualquer cadeia de A possui um supremo em A. Exemplo 4.18 Se A é uma cadeia e S = {x1 , . . . , xn } um subconjunto de A. Mostre que existe xj , com 1 ≤ j ≤ n, tal que xi ≤ xj , para todo xi ∈ S. Portanto, qualquer subconjunto finito de uma cadeia possui uma cota superior (inferior). Solução. Vamos usar indução sobre n. Se n = 1, nada há para ser provado. Sejam S = {x1 , . . . , xn , xn+1 } e T = {x1 , . . . , xn }. Então, pela hipótese de indução, existe xj , com 1 ≤ j ≤ n, tal que xi ≤ xj , para todo xi ∈ T . Como A é uma cadeia temos que xj ≤ xn+1 ou xn+1 ≤ xj . Portanto, em qualquer caso, existe xj , com 1 ≤ j ≤ n + 1, tal que xi ≤ xj , para todo xi ∈ S. ¥ Exemplo 4.19 Sejam A um conjunto não vazio qualquer e P(A) o conjunto das potências de A, ordenado pela inclusão. Se F é um subconjunto de P(A) tal que [ X ∈ F, B= X∈C

para qualquer cadeia C de F, então F é um conjunto estritamente indutivamente ordenado, pois B = sup(C). Daqui em diante lidaremos com um poset não vazio e estritamente indutivamente ordenado A e uma função f : A → A tal que ∀ x ∈ A [x ≤ f (x)].

Seja p ∈ A fixado. Um subconjunto B de A é uma p-sequência ou uma torre ou é admissível de A se as seguintes condições são satisfeitas: 1. p ∈ B. 2. Se x ∈ B, então f (x) ∈ B (f (B) ⊂ B).

192

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES

3. Se C é uma cadeia de B, então sup(C) ∈ B. Note que p-sequências existem. Por exemplo, A é uma p-sequência. Teorema 4.20 (Teorema de Bourbaki) Seja A um poset tal que: 1. A contém um menor elemento p. 2. Qualquer cadeia de A possui um supremo em A. Então existe x ∈ A sem sucessor imediato (f (x) = x). Prova. Suponhamos, por absurdo, que qualquer elemento x ∈ A tenha um sucessor imediato. Então o conjunto Tx = {y ∈ A : y é um sucessor imediato de x} 6= ∅, Logo, pelo axioma da escolha, existe uma função escolha r para A tal que r(Tx ) ∈ Tx . Vamos definir f : A → A como f (x) = r(Tx ). Então é claro que f (x) é um sucessor de x, isto é, x < f (x). Lema 4.21 A interseção qualquer de p-sequências é uma p-sequência. Prova. Seja P =

\

B

B⊆A

a interseção de todas as p-sequências de A. Então P 6= ∅, pois p ∈ P . Se x ∈ P , então x ∈ B, para todo B ⊆ A. Logo, f (x) ∈ B, para todo B ⊆ A. Portanto, f (x) ∈ P . Finalmente, se C é uma cadeia de P , então C é uma cadeia de B, para todo B ⊆ A. Logo, sup(C) ∈ B, para todo B ⊆ A. Portanto, sup(C) ∈ P . ¥ Sejam P a interseção de todas as p-sequências de A e x ∈ P . Diremos que x é um elemento normal (ou uma escolha extrema) se x ≤ y ou y ≤ x, ∀ y ∈ P, ou seja, x é comparável com qualquer elemento de P .

4.2. APLICAÇÕES

193

Lema 4.22 Suponhamos que x ∈ P seja um elemento normal, y ∈ P e y < x. Então f (y) ≤ x. Prova. Como P é uma p-sequência e y ∈ P temos que f (y) ∈ P . Assim, por hipótese, f (y) ≤ x ou x < f (y). Se x < f (y), então y < x < f (y), o que é impossível, pois qualquer y ∈ A possui um sucessor imediato. Portanto, f (y) ≤ x. ¥ Lema 4.23 Suponhamos que x ∈ P seja um elemento normal e Bx = {y ∈ P : y ≤ x ou y > f (x)} ⊆ P. Então Bx é uma p-sequência. Prova. Como p é o menor elemento de A temos que p ∈ Bx . Se y ∈ Bx , então devemos provar que f (y) ∈ Bx . Sendo y ∈ Bx , obtemos y ≤ x ou y > f (x). Assim, há três casos a serem considerados: 1.o Caso. Se y < x, então, pelo Lema 4.22, f (y) ≤ x. Logo, f (y) ∈ Bx . 2.o Caso. Se y = x, então f (y) = f (x). Assim, f (y) > f (x) e f (y) ∈ Bx . 3.o Caso. Se y ≥ f (x), então f (y) > f (x), pois y < f (y). Logo, f (y) ∈ B. Finalmente, se C é uma cadeia de Bx e m = sup(C), então devemos provar que m ∈ Bx . Dado y ∈ Bx , obtemos y ≤ x ou y > f (x). Se existir y ∈ C tal que y > f (x), então m > f (x), pois m > y. Logo, m ∈ Bx . Caso contrário, y ≤ x, para todo y ∈ C. Logo, m ≤ x e m ∈ Bx . ¥ Corolário 4.24 Suponhamos que x ∈ P seja um elemento normal. Então y ≤ x ou y > f (x), para todo y ∈ P . Prova. Como P é a interseção de todas as p-sequências temos que P ⊆ Bx . Mas, por definição, Bx ⊆ P . Portanto, P = Bx . Assim, y ≤ x ou y ≥ f (x), para todo y ∈ P . ¥ Lema 4.25 O conjunto de todos os elementos normais é uma p-sequência.

194

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES

Prova. Seja B = {x ∈ P : x é um elemento normal} ⊆ P. Então p ∈ B, pois p ≤ y, para todo y ∈ A, em particular, para todo y ∈ P . Se x ∈ B, então, pelo Corolário 4.24, y ≤ x ou y ≥ f (x), para todo y ∈ P . Logo, y ≤ f (x) ou y ≥ f (x). Portanto, f (x) ∈ B. Finalmente, sejam C uma cadeia de B e m = sup(C). Dado y ∈ P , se existir x ∈ C tal que y ≤ x, então y ≤ m, pois x ≤ m. Caso contrário, x ≤ y, para todo x ∈ C. Logo, m ≤ y. Portanto, m ∈ B. ¥ Corolário 4.26 P é um conjunto totalmente ordenado. Prova. Como B = {x ∈ P : x é um elemento normal} ⊆ P é uma p-sequência temos que P ⊆ B. Assim, P = B. Portanto, qualquer elemento de P é normal, isto é, P é um conjunto totalmente ordenado. ¥ Finalmente, para completarmos a prova do teorema, seja m = sup(P ). Então m ∈ P , pois P é uma p-sequência e uma cadeia. Logo, f (m) ∈ P , pois P é uma p-sequência. Assim, f (m) ≤ m, o que é uma contradição.

¥

Seja R2 , dados (x, y), (z, w) ∈ R2 , definimos (x, y) ¹ (z, w) ⇔ x ≤ z e y = w. Então é fácil verificar que ¹ é uma ordem parcial e para cada a ∈ R fixado, o conjunto Ca = {(x, a) : x ∈ R} é uma cadeia maximal de R2 . De fato, dado (x, y) ∈ R2 , com y 6= a, então Ca ∪ {(x, y)} não é uma cadeia de R2 , pois os elementos (x, a) e (x, y) não são comparáveis. Portanto, Ca é uma cadeia maximal de R2 . Isto motiva o seguinte resultado:

4.2. APLICAÇÕES

195

Teorema 4.27 (Princípio Maximal de Hausdorff) vazio possui pelo menos uma cadeia maximal.

Qualquer poset não

Prova. Sejam A um poset não vazio qualquer e F = {C ⊆ A : C é uma cadeia não vazia de A}. Então F 6= ∅, pois {x} ∈ F, para todo x ∈ A (menor elemento em F). Dados C1 , C2 ∈ F, definimos C1 ≤ C2 ⇔ C1 ⊆ C2 .

Então F é um poset. Sejam C uma cadeia qualquer de F e M=

[

C.

C∈C

Afirmação. M ∈ F e M = sup(C) ∈ F. De fato, dados x, y ∈ M, existem C1 , C2 ∈ C tais que x ∈ C1 e y ∈ C2 . Como C é uma cadeia temos que C1 ⊆ C2 ou C2 ⊆ C1 , digamos C1 ⊆ C2 . Logo, x, y ∈ C2 e x ≤ y ou y ≤ x, pois C2 é uma cadeia. Portanto, M é uma cadeia. É fácil verificar que M = sup(C). Assim, F é um poset estritamente indutivamente ordenado. Finalmente, seja f : F → F uma função qualquer tal que ∀ C ∈ F [C ≤ f (C)]. Então, pelo Teorema 4.20, existe C ∈ F sem sucessor imediato, isto é, não existe x ∈ A − C tal que C ∪ {x} seja uma cadeia de A. Portanto, C é uma cadeia maximal de A. ¥ Apresentaremos a seguir um dos teoremas mais importante em Matemática sobre a existência de objetos que pertencem a um dado conjunto e satisfazem certas propriedades. Teorema 4.28 (Lema de Zorn) Qualquer conjunto não vazio indutivamente ordenado possui pelo menos um elemento maximal.

196

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES

Prova. Seja A um conjunto não vazio indutivamente ordenado. Então, pelo Princípio Maximal de Hausdorff, A contém uma cadeia maximal C. Assim, por definição, C contém uma cota superior m. Afirmação. m é um elemento maximal de A. De fato, suponhamos, por absurdo, que exista x ∈ A tal que m < x. Então x ∈ / C, mas y < x, para todo y ∈ C. Assim, C ∪ {x} é uma cadeia de A, com C ⊂ C ∪ {x}, o que contradiz a maximalidade de C. Portanto, m é um elemento maximal de A. ¥

Lema 4.29 Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K e α um subconjunto de vetores LI em V . Então u ∈ V − [α] se, e somente se, α ∪ {u} é um conjunto de vetores LI em V , em que ) ( n X xi ui : n ∈ N, xi ∈ K e ui ∈ α [α] = i=1

é o subespaço gerado por α. Prova. Sejam u1 , . . . , um vetores distintos em α e x1 , . . . , xm , y escalares em K tais que x1 u1 + · · · + xm um + yu = 0. Então y = 0, pois se y 6= 0, então ¶ ¶ µ µ xm x1 u1 + · · · + − um ⇒ u ∈ [α], u= − y y o que é impossível. Assim, y = 0 e x1 u1 + · · · + xm um = 0. Logo, por hipótese, x1 = · · · = xm = 0. Portanto, α ∪ {u} é um conjunto de vetores LI em V . A recíproca é clara.

¥

4.2. APLICAÇÕES

197

Teorema 4.30 Qualquer espaço vetorial possui uma base. Mais geralmente, qualquer subconjunto de vetores LI de um espaço vetorial é parte de uma base. Prova. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Se V = {0}, então ∅ é uma base de V . Se V 6= {0}, então a família F = {β : β é um subconjunto LI em V } é não vazia, pois {v} ∈ F, para todo v ∈ V − {0}. Dados α, β ∈ F, definimos α ≤ β ⇔ α ⊆ β. Logo, F é um poset. Sejam C uma cadeia qualquer de F e [ L= β. β∈C

Afirmação. L ∈ F e L = sup(C) ∈ F. De fato, sejam u1 , . . . , un vetores distintos de L e x1 , . . . , xn escalares de K tais que x1 u1 + · · · + xn un = 0. Como ui ∈ L temos que existe β i ∈ C tal que ui ∈ β i . Logo, pelo Exemplo 4.18, existe β j , com 1 ≤ j ≤ n, tal que β i ≤ β j , para todo i = 1, . . . n. Assim, u1 , . . . , un ∈ β j . Portanto, x1 = · · · = xn = 0. É claro que L é uma cota superior de C. Logo, pelo Lema de Zorn, F contém um elemento maximal, digamos M. Portanto, pelo Lema 4.29, M é uma base de V . ¥ Observação 4.31 Note que a existência de uma base para um espaço vetorial não decorre da Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem o uso do Lema de Zorn. Exemplo 4.32 (Função Aditiva) Mostre que existe uma função T : R → R satisfazendo à condição aditiva T (x + y) = T (x) + T (y), ∀ x, y ∈ R, mas não é uma transformação linear, isto é, T (x) 6= ax, para algum a ∈ R.

198

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES

Solução. É fácil verificar que R com as operações usuais é um espaço vetorial sobre Q. Assim, pelo Teorema 4.30, podemos escolher uma base de Hamel β = {xi }i∈N de R sobre Q. Logo, para cada x ∈ R, existem únicos rk1 , . . . , rkn ∈ Q, onde k1 , . . . , kn ∈ N, tais que x = rk1 xk1 + · · · + rkn xkn =

n X

rkj xkj .

j=1

Escolhendo xi0 ∈ β e definimos T : R → R como ( ri0 , se x = rk1 xk1 + · · · + rki xki + · · · + rkn xkn e xki = xi0 T (x) = 0, caso contrário. Então T possui as propriedades desejadas. De fato, T (xi0 ) = 1, uma vez que xi0 = xki = 1 · xki é a representação básica de xi0 , e T (xi ) = 0, para todo xi ∈ β, com xi 6= xi0 , pois xi0 não ocorre na representação básica xi = 1 · xi de xi . Agora, se T (x) = ax, para algum a ∈ R, então T (xi0 ) = 1 = axi0 ⇒ a 6= 0. Por outro lado, 0 = T (xi ) = axi ⇒ a = 0, pois 0 ∈ / β, o que é impossível. Portanto, T (x) 6= ax, para todo a ∈ R. Finalmente, é fácil verificar que T (x + y) = T (x) + T (y), ∀ x, y ∈ R, que é o resultado desejado.

¥

Observe que o Exemplo 4.32 nos mostra que o axioma da homogeneidade T (ax) = aT (x) de uma transformação linear é independente. Por outro lado, a função T : R2 → R2 definida como ( ¡ ¢ ¡ ¢ x cos xy , x + y , se x 6= 0 T (x, y) = (0, y), caso contrário x = 0

4.2. APLICAÇÕES

199

satisfaz o axioma da homogeneidade T (ax, ay) = aT (x, y), mas não o axioma da linearidade. Portanto, o axioma da linearidade de uma transformação linear é independente

EXERCÍCIOS

1. Seja A = I×J, com a ordem cartesiana induzida por R2 , em que I = [0, 1] e J = [0, 1] ∩ Q. (a) Mostre que o conjunto D = {(x, x) ∈ A : 0 ≤ x ≤ 1} é uma cadeia maximal de A. (b) Mostre que o conjunto C = {(x, y) ∈ A : x = 0 ou y = 1} é uma cadeia maximal de A. 2. Seja R2 munido com a ordem cartesiana. (a) Mostre que o conjunto C = {(x, x) ∈ R2 : x < 0} é uma cadeia de R2 . (b) Exiba pelo menos duas cadeias maximais de R2 que contêm C. 3. Mostre que o Lema de Zorn implica o Princípio Maximal de Hausdorff. 4. Mostre que o Lema de Zorn é equivalente a: Sejam A um conjunto indutivamente ordenado e a ∈ A. Então A possui pelo menos um elemento maximal b tal que b ≥ a.

200

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES

5. Mostre que o Princípio Maximal de Hausdorff é equivalente a: Sejam A um poset e B uma cadeia de A. Então A contém uma cadeia maximal C tal que B ⊆ C. 6. Seja A um conjunto infinito qualquer. Mostre que A é a união disjunta de conjuntos que são cada contável infinito ou, equivalentemente, existe uma cobertura disjunta de A formada por conjuntos enumeráveis. 7. Sejam A um conjunto e A um conjunto de subconjuntos de A. Diremos que A é de carater finito quando B ∈ A se, e somente se, qualquer subconjunto finito de B pertence a A. Seja A ordenado pela inclusão e suponhamos que A seja de carater finito. (a) Mostre que A é um conjunto indutivamente ordenado. (b) Mostre que A possui um elemento maximal. 8. Mostre que o axioma da escolha implica o Lema de Zorn. 9. Mostre que para qualquer conjunto A e qualquer f ∈ AA , existe g ∈ AA tal que f ◦ g ◦ f = f. 10. Sejam G um grupo e S um subconjunto de G tal que eG ∈ S. Mostre que a família G = {H : H é um subgrupo de G e H ⊆ S} possui pelo menos um elemento maximal. 11. Mostre que qualquer grupo não abeliano contém um subgrupo abeliano maximal. 12. Mostre que qualquer ideal próprio I de um anel comutativo com identidade R está contido em um ideal maximal. 13. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K.

4.3. PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO

201

(a) Mostre que se α ⊆ β ⊆ V , com α um subconjunto de vetores LI e β um subconjunto de vetores geradores, então existe uma base γ de V tal que α ⊆ γ ⊆ β. (b) Mostre que qualquer subconjunto α de vetores LI de V é parte de uma base de V . (c) Mostre que qualquer subconjunto de vetores geradores β de V pode ser reduzido à uma base de V .

4.3

Princípio da Boa Ordenação

Nesta seção vamos provar que, se A é um conjunto qualquer, então existe pelo menos uma relação de ordem R sobre A tal que A, ordenado por R, é um conjunto bem ordenado. Exemplo 4.33 Qualquer conjunto finito é bem ordenado. Solução. Seja A um conjunto finito. Se A contém exatamente um elemento nada há para ser provado. Suponhamos que A possui n elementos. Então, pelo Exemplo 4.18, A possui um maior elemento, digamos, M ∈ A. Assim, por indução, existe um isomorfismo g : A − {M} → {1, . . . , n − 1} para algum n ∈ N. Logo, a função f : A → {1, . . . , n} definida como f (x) =

(

g(x), se x 6= M x, se x = M,

para algum n ∈ N, é um isomorfismo. Neste caso, a boa ordenação para A é dada por ∀ x, y ∈ A [x ¹ y ⇔ f (x) ≤ f (y)].

202

CAPÍTULO 4. AXIOMA DA ESCOLHA E APLICAÇÕES

Em particular, se A = {a, b, c}, então a < b < c, b < c < a, c < a < b, b < a < c, a < c < b e c < b < a ¥

são boas ordenações diferentes de A. Exemplo 4.34 Qualquer conjunto contável A pode ser bem ordenado.

Solução. Se f : A → N é uma bijeção qualquer, então existe uma ordem ¹ sobre A definida como ∀ x, y ∈ A [x ¹ y ⇔ f (x) ≤ f (y)]. Em particular, se A = Z, então as funções f : A → N e g : N → A definidas como ( 2x, se x > 0 f (x) = −2x + 1, se x ≤ 0 e

g(x) =

(

x , 2 1−x , 2

se x é um número par se x é um número ímpar

são inversas. Neste caso, uma boa ordenação para Z é dada por {0, 1, −1, 2, −2, . . . , n, −n, . . .}. Por exemplo, 1 < 2 ⇔ 0 = g(1) < g(2) = 1 e 2 < 3 ⇔ 1 = g(2) < g(3) = −1 etc. Neste caso, qualquer elemento Z possui um sucessor imediato.

¥

Exemplo 4.35 O intervalo fechado I = [0, 1], com a ordem induzida por R, não é bem ordenado. Solução. Note que (0, 1] é um subconjunto não vazio de I sem menor elemento, pois dado x ∈ (0, 1], obtemos 0
0, n ∈ S, isto é, existe no máximo um x ∈ A, com (n, x) ∈ f e (n+ , g(x)) ∈ f . Então n+ ∈ S, pois se n+ ∈ / S, então existe (n+ , y) ∈ f , com y 6= g(x), e o conjunto f 0 = f − {(n+ , y)} ⊆ ω × X

226

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS

é um elemento de A, pois (n+ , y) 6= (0, c) implica que (0, c) ∈ f 0 e se (m, z) ∈ f 0 , então (m, z) ∈ f e (m+ , g(z)) ∈ f . Assim, há dois casos a serem considerados: 1.o Caso. Se m+ 6= n+ , então (n+ , y) 6= (m+ , g(z)). Logo, (m+ , g(z)) ∈ f 0 . 2.o Caso. Se m+ = n+ , então pelo Teorema 5.9, m = n. Assim, (n, z) = (m, z). Logo, x = z, pois n ∈ S. Portanto, (m+ , g(z)) = (n+ , g(x)) ∈ f 0 . Logo, f ⊆ f 0 , o que é uma contradição. Portanto, pelo Princípio de Indução Finita, S = ω. (Unicidade) Sejam f1 outra função de ω em A satisfazendo as mesmas condições de f e T = {n ∈ ω : f (n) = f1 (n)}. Então f (0) = c = f1 (0). Assim, 0 ∈ T . Agora, suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ T . Então f (n+ ) = g(f (n)) = g(f1 (n)) = f1 (n+ ). Assim, n+ ∈ T . Portanto, pelo Princípio de Indução Finita, T = ω, ou seja, as funções f e f1 são iguais. ¥ Note que está Fórmula de Recorrência é um caso especial da Fórmula de Recorrência de Dedekind, pois se F é o conjunto de todas as sequências x : Sn+1 → A, para cada n ∈ ω, ou seja, [ ASn+1 ⊆ P(ω × A), A=F = n∈ω

e g : F → A é uma função qualquer. Então existe uma única função f : ω → A tal que ∀ n ∈ ω [f (n+ ) = g(f |Sn+1 ) = g(f n+1 )], com f n+1 = (f (0), . . . , f (n)) e f (0) = g(∅) = c. Corolário 5.12 Sejam g, c e f como na Fórmula de Recorrência. Se g for injetora e c ∈ / Im(g), então f é injetora.

5.1. OS NÚMEROS NATURAIS

227

Prova. Devemos provar que se dados m, n ∈ ω, f (m) = f (n), então m = n. Para provar isso, vamos usar indução sobre m. Se m = 0 e n = 0, nada há para ser provar. Se n 6= 0, então existe k ∈ ω tal que n = k+ . Assim, c = f (0) = f (m) = f (n) = f (k+ ) = g(f (k)) ⇒ c ∈ Im(g), o que é impossível. Portanto, m = 0 = n. Suponhamos que o resultado seja válido para algum m ∈ ω. Seja f (m+ ) = f (n). Se n = 0, então já vimos que f (m+ ) = f (0), o que é impossível. Assim, n 6= 0 e existe k ∈ ω tal que n = k+ . Logo, g(f (m)) = f (m+ ) = f (n) = f (k+ ) = g(f (k)) ⇒ f (m) = f (k), pois g é injetora. Portanto, pela hipótese de indução, m = k. Logo, m+ = k+ = n. ¥ Observação 5.13 Sejam A um conjunto qualquer, h : ω×A → A uma função e ϕ : ω ×A → ω ×A uma função definida como ϕ(n, a) = (n+ , h(n, a)). Então, pelo Teorema 5.11, existe uma única função g = (0, f ) : ω → A tal que 1. g(0) = (0, a). 2. g(n+ ) = ϕ(g(n)), para todo n ∈ ω. Portanto, existe uma única função, f : ω → A tal que a. f (0) = a. b. f (n+ ) = h(n, f (n)), para todo n ∈ ω. Note que a definição de potência de um número real qualquer a ∈ R é usualmente definida como: 1. a0 = 1. 2. an+1 = an a, para todo n ∈ ω.

228

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS

As condições (1) e (2) significam que a0 = 1, a1 = a, a2 = aa etc. Esta definição intuitiva é formalmente como segue: sejam R o conjunto de todos os números reais, g : R → R uma função definida como g(x) = xa e c = 1 uma constante real. Então, pelo Teorema 5.11, existe uma única função f : ω → R definida como f (n) = an tal que 1. f (0) = 1. 2. f (n+ ) = g(f (n)), para todo n ∈ ω. Outro exemplo, definindo g : R → R como g(x) = x2 e c = 2. Então, pelo Teorema 5.11, existe uma única função f : ω → R tal que 1. f (0) = c = 2. 2. f (n+ ) = g(f (n)), para todo n ∈ ω. Neste caso, 2

n

f (1) = g(f (0)) = g(2) = 22 , f (2) = 22 , . . . , f (n) = 22 , . . . Exemplo 5.14 Sejam A um conjunto e g : A → B uma função injetora, com B ⊆ A. Mostre que A possui um subconjunto que está em correspondência biunívoca com ω. Solução. Como g é injetora temos, pelo Corolário 5.12, que existe uma única função injetora f : ω → A. Pondo D = f (A), obtemos a função h : ω → D definida como h(n) = f (n), com as propriedades desejadas. ¥

EXERCÍCIOS

1. Mostre que A é um conjunto transitivo se, e somente se, B ∈ C e C ∈ A implica que B ∈ A. 2. Mostre que se A e B são conjuntos transitivos, então A ∪ B e A ∩ B são conjuntos transitivos.

5.1. OS NÚMEROS NATURAIS

229

3. Sejam A e B dois conjuntos. Mostre que se A = B, então A+ = B + . 4. Mostre que n ∈ / n, para todo n ∈ ω. 5. Dados m, n, p ∈ ω. (a) Mostre que n 6= n+ . (b) Mostre que se m ∈ n, então n ∈ / m. (c) Mostre que se m ∈ n e n ∈ p, então m ∈ p. (d) Se m ∈ n, então m+ ⊆ n. 6. Mostre que se A ∈ n e n ∈ ω, então A ∈ ω. Conclua que ω é um conjunto transitivo. 7. Mostre que se A+ ∈ ω, então A ∈ ω. 8. Mostre que nenhum elemento de ω é um conjunto indutivo. 9. Mostre que nenhum elemento de ω é um subconjunto de qualquer de seus elementos. 10. Sejam n ∈ ω. Mostre que n =

S

n+ .

11. Sejam A um conjunto e h : A → A uma função. Vamos definir hn como h0 = IA e hn+1 = hn ◦ h, para todo n ∈ ω. Mostre que hn é um elemento unicamente determinado em AA , para todo n ∈ ω. 12. Seja g : Z → Z a função definida como ( n + 1, se n < 0 g(n) = n, se n ≥ 0. Mostre que existem funções f : Z → Z tais que f (0) = 0 e f (n + 1) = g(f (n)), para todo n ∈ Z. Por que isto ocorre? 13. Seja A um poset não vazio. Mostre que se A não possui elemento maximal, então A possui uma sequência estritamente crescente.

230

5.2

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS

Aritmética dos Números Naturais

Veremos nesta seção uma das mais importantes aplicações da Fórmula de Recorrência, que é o seu uso nas definições de adição, multiplicação e potenciação de números naturais. Seja m ∈ ω fixado. Então, pelo Teorema 5.11, existe uma única função fm : ω → ω tal que 1. fm (0) = m. 2. fm (n+ ) = [fm (n)]+ , para todo n ∈ ω. Note que a função g : ω → ω é definida como g(x) = x+ e c = m. Dados m, n ∈ ω, definimos a adição sobre ω como sendo m + n = fm (n). Observe que + : ω × ω → ω é uma operação binária sobre ω. Assim, as condições (1) e (2), podem ser reescritas como: 1. m + 0 = m. 2. m + n+ = (m + n)+ , para todo n ∈ ω. Lema 5.15 n+ = 1 + n, em que 1 = 0+ , para todo n ∈ ω. Conclua que se n 6= 0, então existe um único k ∈ ω tal que n = k + . Neste caso, escreveremos n = k + 1 e k = n − 1. Prova. Seja S = {n ∈ ω : n+ = 1 + n}. Então 0 ∈ S, pois pela condição (1), 0+ = 1 = 1 + 0. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então, pela condição (2), 1 + n+ = (1 + n)+ = (n+ )+ . Portanto, n+ ∈ S e S = ω. A última afirmação segue do Exemplo 5.5

¥

5.2. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

231

Lema 5.16 0 + n = n, para todo n ∈ ω, ou seja, 0 é o elemento neutro da adição sobre ω. Prova. Seja S = {n ∈ ω : n = 0 + n}. Então 0 ∈ S, pois pela condição (1), 0 = 0 + 0. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então, pela condição (2), 0 + n+ = (0 + n)+ = n+ . ¥

Portanto, n+ ∈ S e S = ω.

Lema 5.17 k + (m + n) = (k + m) + n, para todos k, m, n ∈ ω, ou seja, a adição sobre ω é associativa. Prova. Para dois k e m fixados, seja S = {n ∈ ω : k + (m + n) = (k + m) + n}. Então 0 ∈ S, pois pela condição (1), k + (m + 0) = k + m = (k + m) + 0. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então, pela condição (2), k + (m + n+ ) = k + (m + n)+ = (k + (m + n))+ = ((k + m) + n)+ = (k + m) + n+ . Portanto, n+ ∈ S e S = ω.

¥

Lema 5.18 m + n = n + m, para todos m, n ∈ ω, ou seja, a adição sobre ω é comutativa. Prova. Para m fixado, seja S = {n ∈ ω : m + n = n + m}.

232

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS

Então 0 ∈ S, pois pela condição (1), m + 0 = m = m + 0. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então, pela condição (2) e os Lemas 5.15 e 5.17, m + n+ = (m + n)+ = (n + m)+ = 1 + (n + m) = (1 + n) + m = n+ + m. Portanto, n+ ∈ S e S = ω.

¥

Lema 5.19 Se k + n = m + n, então k = m, para todos k, m, n ∈ ω, ou seja, na adição sobre ω vale a lei do cancelamento. Prova. Para k e m fixados, seja S = {n ∈ ω : k + n = m + n ⇒ k = m}. Então 0 ∈ S, pois pela condição (1), k + 0 = m + 0 ⇒ k = m. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então, pela condição (2) e o Teorema 5.9, k + n+ = m + n+ ⇒ (k + n)+ = (m + n)+ ⇒ k+n=m+n ⇒ k = m. Portanto, n+ ∈ S e S = ω.

¥

Seja m ∈ ω fixado. Então, pelo Teorema 5.11, existe uma única função fm : ω → ω tal que 1. fm (0) = 0. 2. fm (n+ ) = m + fm (n), para todo n ∈ ω.

5.2. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

233

Note que a função g : ω → ω é definida como g(x) = x + m e c = 0. Dados m, n ∈ ω, definimos a multiplicação sobre ω como sendo m • n = fm (n). Observe que • : ω × ω → ω é uma operação binária sobre ω. Assim, as condições (1) e (2), podem ser reescritas como 1. m • 0 = 0. 2. m • n+ = m + m • n, para todo n ∈ ω. Com o objetivo de simplificar a notação usaremos mn ao invés de m • n. Lema 5.20 0 · n = 0, para todo n ∈ ω. Prova. Seja S = {n ∈ ω : 0 · n = 0}. Então 0 ∈ S, pois pela condição (1), 0 · 0 = 0. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então, pela condição (2) e o Lema 5.16, 0n+ = 0 + 0n = 0n = 0. ¥

Portanto, n+ ∈ S e S = ω.

Lema 5.21 1n = n, para todo n ∈ ω, ou seja, 1 é o elemento neutro da multiplicação sobre ω. Prova. Seja S = {n ∈ ω : 1n = n}. Então 0 ∈ S, pois pela condição (1), 1 · 0 = 0. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então, pela condição (2), 1n+ = 1n + 1 = n + 1 = n+ . Portanto, n+ ∈ S e S = ω.

¥

234

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS

Lema 5.22 Dados k, m, n ∈ ω. 1. k(m + n) = km + kn. 2. (k + m)n = kn + mn. Ou seja, a adição e multiplicação sobre ω são distributivas. Prova. Vamos provar apenas o item (1). Para dois k e m fixados, seja S = {n ∈ ω : k(m + n) = km + kn}. Então 0 ∈ S, pois pelo Lema 5.16 e a condição (1), k(m + 0) = km = km + 0 = km + k0. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então, pela condição (2) e os Lemas 5.17 e 5.18, k(m + n+ ) = k(m + n)+ = k + k(m + n) = k + (km + kn) = (k + km) + kn = (km + k) + kn = km + (k + kn) = km + kn+ . ¥

Portanto, n+ ∈ S e S = ω.

Lema 5.23 k(mn) = (km)n, para todos k, m, n ∈ ω, ou seja, a multiplicação sobre ω é associativa. Prova. Para dois k e m fixados, seja S = {n ∈ ω : k(mn) = (km)n}. Então 0 ∈ S, pois pela condição (1), k(m0) = 0 = (km)0.

5.2. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

235

Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então, pela condição (2) e o Lema 5.22, k(mn+ ) = k(m + mn) = km + k(mn) = km + (km)n = km(1 + n) = (km)n+ . ¥

Portanto, n+ ∈ S e S = ω.

Lema 5.24 mn = nm, para todos m, n ∈ ω, ou seja, a multiplicação sobre ω é comutativa. Prova. Para m fixado, seja S = {n ∈ ω : mn = nm}. Então 0 ∈ S, pois pela condição (1), m0 = 0 = 0m. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então, pela condição (2) e os Lemas 5.21 e 5.22, mn+ = m + mn = mn + m = nm + 1m = (n + 1)m = n+ m. ¥

Portanto, n+ ∈ S e S = ω. Teorema 5.25 Para m, n ∈ ω, definimos m ≤ n ⇔ m ∈ n ou m = n ⇔ m ∈ n+ . Então ≤ é uma relação de ordem sobre ω. Neste caso, m < n ⇔ m ∈ n. Conclua que, n < n+ , para todo n ∈ ω.

236

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS

Prova. Como m = m, para todo m ∈ ω, temos que m ≤ m. Dados m, n ∈ ω, se m ≤ n e n ≤ m, então m = n ou (m ∈ n e n ∈ m). Assim, se m ∈ n e n ∈ m, então m ⊆ n e n ⊆ m. Logo, m = n. Finalmente, dados m, n, p ∈ ω, se m ≤ n e n ≤ p, então [m = n ou m ∈ n] e [n = p ou n ∈ p]. Assim, há quatro possibilidades a serem considerados: 1.o Possibilidade. Se m = n e n = p, então m = p. 2.o Possibilidade. Se m = n e n ∈ p, então m ∈ p. 3.o Possibilidade. Se m ∈ n e n = p, então m ∈ p. 4.o Possibilidade. Se m ∈ n e n ∈ p, então m ∈ n e n ⊆ p. Assim, m ∈ p. Portanto, em qualquer possibilidade, m ≤ p, ou seja, ≤ é uma relação de ordem sobre ω. ¥ Lema 5.26 Se n ∈ ω, então n ≥ 0, ou seja, 0 é o menor elemento de ω. Prova. Seja S = {n ∈ ω : n ≥ 0}. Então 0 ∈ S, pois 0 = 0. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então n ∈ n+ ⇒ 0 ≤ n ≤ n+ . Portanto, n+ ∈ S e S = ω.

¥

Lema 5.27 Dados m, n ∈ ω. 1. m < n+ se, e somente se, m ≤ n. 2. m+ ≤ n se, e somente se, m < n. Prova. Vamos provar apenas o item (2). Para m fixado, seja S = {n ∈ ω : m < n ⇒ m+ ≤ n}. Então 0 ∈ S, pois 0 é o menor elemento de ω. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Se m < n+ , então m ∈ n+ . Logo, pelo Lema 5.6, m ∈ n ou m = n. Se m = n, então m+ = n+ e n+ ∈ S. Se m ∈ n, então m < n. Logo, n+ ∈ S, pois m+ ≤ n < n+ . Portanto, S = ω. ¥

5.2. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

237

Teorema 5.28 (Princípio da Boa Ordenação) ω é um conjunto bem ordenado. Prova. Suponhamos, por absurdo, que ω contenha um subconjunto A diferente do vazio sem menor elemento. Seja S = {n ∈ ω : n ≤ m, ∀ m ∈ A}. Então, pelo Lema 5.26, 0 ∈ S. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Se n = k, para algum k ∈ A, então k seria o menor elemento de A, que é uma contradição. Assim, n < m, para todo m ∈ A. Logo, pelo Lema 5.27, n+ ≤ m, para todo m ∈ A, ou seja, n+ ∈ S. Portanto, S = ω. Como S ∩ A = ∅, pois A não contém menor elemento, temos que A = ∅, o que é uma contradição. ¥ Exemplo 5.29 (Princípio Maximal) Mostre que se um subconjunto não vazio B de ω possui uma cota superior, então ele possui um maior elemento. Solução. Sejam S = {k ∈ ω : k é uma cota superior de B} e b ∈ ω uma cota superior de B. Então S 6= ∅, pois b ∈ S Assim, pelo Teorema 5.28, S contém um menor elemento, digamos n ∈ S. Neste caso, é fácil verificar que n = sup(B) ∈ ω. Afirmação. n ∈ B. De fato, suponhamos, por absurdo, que n ∈ / B. Então m < n, para todo m ∈ B. Logo, n 6= 0, pois B 6= ∅, e pelo Exemplo 5.5, n = k + = k + 1, para algum k ∈ ω. Assim, pelo Lema 5.27, k ≥ m, para todo m ∈ B. Portanto, k ∈ S é uma cota superior de B, com k < n, o que contradiz a minimalidade de n. ¥ No exemplo a seguir introduzimos um método de resolução conhecido como prova pelo contraexemplo minimal. Exemplo 5.30 Sejam a, b ∈ ω, com b > 0. Mostre que existe n ∈ ω tal que nb > a.

238

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS

Solução. Suponhamos, por absurdo, que nb ≤ a, para todo n ∈ ω. Seja S = {a − kb : k ∈ ω} ⊆ ω. Então S 6= ∅. Assim, pelo Teorema 5.28, S contém um menor elemento, digamos c ∈ S. Logo, c ≤ a − nb, para todo n ∈ ω. Portanto, c − b ≤ (a − mb) − b = a − (m + 1)b, ∀ m ∈ ω, o que é uma contradição, pois c − b ∈ S, com c − b < c. Este exemplo pode ser provado usando o Exemplo 5.29. ¥ Teorema 5.31 (Segundo Princípio de Indução Finita) Seja P (n) uma afirmação, para cada n ∈ ω, que goza das seguintes propriedades: 1. P (0) é vedadeira (Base de indução). 2. Se P (k) é verdadeira para cada k, com 0 ≤ k ≤ n, então P (n + 1) é verdadeira. (P IF ) Então P (n) é verdadeira, para todo n ∈ ω. Prova. Seja o conjunto S = {k ∈ ω : P (k) é falsa}. Suponhamos, por absurdo, que S 6= ∅. Logo, pelo Teorema 5.28, S contém um menor elemento, digamos n ∈ S. Como P (k) é verdadeira para cada k, com 0 ≤ k ≤ n − 1, temos, pela condição P IT , que P (n) é verdadeira, ou seja, n∈ / S. o que é contradição. Portanto, P (n) é verdadeira, para todo x ∈ ω. ¥ Exemplo 5.32 Mostre que as seguintes condições são equivalentes: 1. O princípio da boa ordenação; 2. O princípio maximal; 3. O segundo princípio de indução finita.

5.2. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

239

Solução. (1 ⇒ 2) Já foi provada no Exemplo 5.29. (2 ⇒ 3) Seja P (n) uma afirmação, para cada n ∈ ω. Suponhamos que P (k) seja verdadeira para cada k, com k < n, implica que P (n) seja verdadeira Agora, vamos supor, por absurdo, que exista m ∈ ω tal que P (m) seja falsa. Consideremos o conjunto S = {t ∈ ω : P (k) seja verdadeira para todo n tal que 0 ≤ n ≤ t}. Então m é uma cota superior de S, pois se m ≤ k, então k ∈ / S. Assim, S contém um maior elemento, digamos s0 ∈ S. Logo, P (k) é verdadeira para todo k, com 0 ≤ k ≤ s0 . Pela condição P IT , temos que P (s0 + 1) é também verdadeira. Portanto, s0 + 1 ∈ S, o que contradiz o fato de s0 ser o maior elemento de S. (3 ⇒ 1) Suponhamos que S seja um subconjunto de ω sem menor elemento. Consideremos a afirmação P (n): s∈ / S, para todo s ∈ ω tal que 0 ≤ s ≤ n. Então P (0) é verdadeira, isto é, 0 ∈ / S. Caso contrário, 0 seria o menor elemento de S, o que é impossível. Agora, suponhamos que P (k) seja verdadeira para cada k, com 0 ≤ k ≤ n. Então n + 1 ∈ / S, pois se n + 1 ∈ S, então s∈ / S, para todo s, com 0 ≤ s ≤ n, e n + 1 seria o menor elemento de S, o que é impossível. Portanto, P (n + 1) é verdadeira. Consequentemente, P (n) é verdadeira, para todo n ∈ ω. Em particular, n ∈ / S, para todo n ∈ ω. Logo, S = ∅. ¥ Seja m ∈ ω fixado. Então, pelo Teorema 5.11, existe uma única função fm : ω → ω tal que 1. fm (0) = 1. 2. fm (n+ ) = fm (n)m, para todo n ∈ ω. Note que a função g : ω → ω é definida como g(x) = xm e c = 1. Dados m, n ∈ ω, definimos a potenciação sobre ω como sendo mn = fm (n). Assim, as condições (1) e (2), podem ser reescritas como

240

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS

1. m0 = 1. +

2. mn = mn+1 = mn m, para todo n ∈ ω. Lema 5.33 Sejam m, n, p ∈ ω. Então: 1. mn mp = mn+p . 2. (mn)p = mp np . 3. (mn )p = mnp . Prova. Vamos provar apenas o item (1). Para dois m e n fixados, seja S = {p ∈ ω : mn mp = mn+p }. Então 0 ∈ S. Suponhamos que o resultado seja válido para algum p, isto é, p ∈ S. Então, pela condição (2), +

mn+p

= mn+p+1 = mn+p m = (mn mp )m +

= mn (mp m) = mn mp+1 = mn mp . Portanto, p+ ∈ S e S = ω.

¥

Agora, vamos fazer mais uma aplicação da Fórmula de Recorrência. Observe, pelo Teorema 2.18, que ω × ω é um conjunto, pois ω é um conjunto. Consideremos a função g : ω × ω → ω × ω definida como ( (0, m + 1), se n = 0 g(m, n) = (m + 1, n − 1), se n > 0 Então g é injetora e (0, 0) ∈ / Im(g), pois dados (m, n), (p, q) ∈ ω × ω, se g(m, n) = g(p, q) = (r, s), então há dois casos a serem considerados: 1.o Caso. Se r = 0, então, por definição, n = 0 = q. Logo, (0, s) = g(m, 0) = (0, m + 1) e (0, s) = g(p, 0) = (0, p + 1)

5.2. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

241

Assim, s = m + 1 e s = p + 1, ou seja m = p. 2.o Caso. Se r > 0, então (r, s) = g(m, n) = (m + 1, n − 1) e (r, s) = g(p, q) = (p + 1, q − 1) Assim, r = m + 1 e r = p + 1; s = n − 1 e s = q − 1, ou seja, m = p e n = q. Portanto, em qualquer caso, (m, n) = (p, q). Logo, pelo Corolário 5.12, existe uma única função injetora f : ω → ω × ω tal que 1. f (0) = (0, 0). 2. f (n+ ) = f (n + 1) = g(f (n)), para todo n ∈ ω. Afirmação. A função f é sobrejetora. De fato, dado (p, q) ∈ ω × ω, vamos usar indução sobre p + q para provar que existe n ∈ ω tal que f (n) = (p, q). Se p + q = 0, então p = q = 0 e f (0) = (0, 0). Suponhamos que o resultado seja válido para todo k, com 0 ≤ k < p + q e p + q = r+ = r + 1. Então há dois casos a serem considerados: 1.o Caso. Se p = 0, então, pela primeira sentença da definição, obtemos (p, q) = (0, q) = (0, (q − 1) + 1) = g(q − 1, 0). Logo, pela hipótese de indução, existe m ∈ ω tal que f (m) = (q − 1, 0). Assim, (p, q) = g(q − 1, 0) = g(f (m)) = f (m+ ) = f (m + 1). 2.o Caso.Se p > 0, então, pela segunda sentença da definição, obtemos (p, q) = g(p − 1, q + 1) Logo, pela hipótese de indução, existe n ∈ ω tal que f (n) = (p + q − 1, 0). Assim, f (n + 1) = g(f (n)) = g(p + q − 1, 0) = (0, p + q) f (n + 2) = g(f (n + 1)) = g(0, p + q) = (1, p + q − 1) .. . f (n + p + 1) = g(f (n + p)) = g(p − 1, q + 1) = (p, q).

242

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS

Portanto, em qualquer caso, dado (p, q) ∈ ω × ω, existe k ∈ ω tal que f (k) = (p, q), ou seja, f é uma função sobrejetora. Neste caso, f é uma função bijetora e obtemos uma boa ordenação para ω × ω; ∀ m, n ∈ ω [m ≤ n ⇔ f (m) ≤ f (n)].

Explicitamente, {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 2), (1, 1), (2, 0), (0, 3), . . .}, pois 0 ≤ 1 ⇒ (0, 0) = f (0) ≤ f (1) = g(f (0)) = g(0, 0) = (0, 1), . . . Observe, pelo Exemplo 4.34, que a função f : Z → ω definida como ( 2n − 1, n > 0 f (n) = −2n, n≤0 é bijetora. Portanto, pelo axioma ZF7 , Z é um conjunto. Finalmente, como qualquer número racional r ∈ Q pode ser escrito sob a forma m r = , onde m, n ∈ Z, com n 6= 0, n temos que a função f : Z × Z∗ → Q definida como f (m, n) =

m n

é claramente sobrejetora. Portanto, pelo axioma ZF7 , Q é um conjunto. No próximo capítulo provaremos que existe uma correspondência biunívoca entre 2ω e R. Portanto, pelos axiomas ZF6 e ZF7 , os números reais R é um conjunto. Neste caso, os números complexos C é um conjunto, pois R × R é um conjunto. Finalizaremos esta seção apresentando uma segunda prova do teorema de Cantor-Schröder-Bernstein usando o conjunto dos números naturais ω, cuja existência é garantida pelo axioma da infinidade ZF9 .

5.2. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

243

Teorema 5.34 (Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein) Sejam A e B conjuntos quaisquer. Se existem funções injetoras f : A → B e g : B → A, então existe uma função bijetora de A sobre B. Prova. Para cada n ∈ ω fixado, definimos hn : A → A como hn = (g ◦ f )n , Observe que h0 = IA . Como g e f são injetoras temos, indutivamente, que hn também o é, para todo n ∈ ω. Consideremos o subconjunto X de A definido como X = {x ∈ A : h−1 / Im(g), para algum n ∈ ω} n (x) ∈ Note que se x ∈ / Im(g), então, pondo n = 0, obtemos h−1 / Im(g), 0 (x) = x ∈ ou seja, x ∈ X. Reciprocamente, se x ∈ / X, então x ∈ Im(g). Neste caso, x∈ / X ⇔ x ∈ Im(g). Por outro lado, dado y ∈ B, se g(y) ∈ X, então y ∈ Im(f ) e f −1 (y) ∈ X, pois se g(y) ∈ X, então existe n ∈ ω tal que / Im(g). h−1 n (g(y)) ∈ É claro que n 6= 0. Neste caso, −1 −1 h−1 n (g(y)) = [hn−1 (g(y)) ◦ (g ◦ f ) ](g(y)) −1 −1 (g (g(y)))) = h−1 n−1 (f

−1 (y)). = h−1 n−1 (f

Logo, −1 h−1 (y)) ∈ / Im(g). n−1 (f

Portanto, f −1 (y) ∈ X.

244

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS

Agora, vamos provar que a função h : A → B definida como ( f (x), se x ∈ X h(x) = g−1 (x), se x ∈ / X. possui as propriedades desejadas Note que h está bem definida, pois g é injetora e se x ∈ / X, então x ∈ Im(g). Dados x, y ∈ A, temos as seguintes possibilidades: 1.a Possibilidade. Se x, y ∈ X e h(x) = h(y), então f (x) = f (y). Logo, x = y, pois f é injetora. 2.a Possibilidade. Se x, y ∈ / X e h(x) = h(y), então g −1 (x) = g−1 (y). Assim, x = y, pois g é injetora. 3.a Possibilidade. Se x ∈ X, y ∈ / X e h(x) = h(y), então f (x) = g−1 (y). Logo, x = (f −1 ◦ g−1 )(y) = h−1 1 (y). / Im(g). Assim, Como x ∈ X temos que existe n ∈ ω tal que h−1 n (x) ∈ −1 h−1 / Im(g), n (h1 (y)) ∈

/ Im(g). Isto implica que y ∈ X, o que é impossível. Portanto, ou seja, h−1 n+1 (y) ∈ em qualquer possibilidade, h é injetora. Finalmente, dado y ∈ B, se g(y) ∈ / X, então h(g(y) = g−1 (g((y)) = y. Se g(y) ∈ X, então h(g(y) = f (g((y)) ⇒ f −1 (y) ∈ X. Logo, h(f −1 (y)) = (f ◦ f −1 )(y) = y. Portanto, h é sobrejetora.

¥

5.2. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

245

EXERCÍCIOS

1. Dados m, n, p ∈ ω. (a) Mostre que se m = n, então m + p = n + p. (b) Mostre que se m = n, então mp = np. 2. Dado n ∈ ω. (a) Mostre que se n < 1, então n = 0. (b) Mostre que não existe p ∈ ω tal que n < p < p+ . 3. Dados m, n, p ∈ ω. (a) Mostre que se m < n, então m + p < n + p. (b) Mostre que se m + n = m + p, então n = p. (c) Mostre que se m + n 6= 0, então m 6= 0 e n 6= 0. 4. Dados m, n, p ∈ ω. (a) Mostre que se m < n e p 6= 0, então mp < np. (b) Mostre que se mp = np e p 6= 0, então m = n. (c) Mostre que se mn 6= 0, então m 6= 0 e n 6= 0. 5. Dado n ∈ ω. Mostre que n = {m ∈ ω : m < n} = Sn . 6. Dados m, n ∈ ω. Mostre que exatamente uma e apenas uma das condições pode ocorrer: m < n ou m = n ou m > n (Lei da Tricotomia).

246

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS

7. Dados m, n ∈ ω. Mostre que m ≤ n se, e somente se, existe um único k ∈ ω tal que m + k = n. Neste caso, k = n − m chama-se a diferença entre n e m. 8. Dados m, n, p ∈ ω. (a) Mostre que se m + p < n + p, então m < n. (b) Mostre que se mp < np e p 6= 0, então m < n. 9. Mostre que para quaisquer a, b ∈ ω, com b > 0, existem únicos q, r ∈ ω tais que a = qb + r, com 0 ≤ r < b. 10. Mostre que não existe f : ω → ω tal que f (n+ ) ∈ f (n), para todo n ∈ ω. 11. Mostre que a função f : ω × ω → ω definida como 1 f (m, n) = m + (m + n)(m + n + 1). 2 é bijetora.

Respostas e/ou Soluções Seção 5.1 1. Suponhamos que A seja um conjunto transitivo. Então C ⊆ A, para todo C ∈ A. Como B ∈ C e C ⊆ A temos que B ∈ A. Reciprocamente, dado X ∈ A, se a ∈ X, então a ∈ A. Logo, X ⊆ A. Portanto, A é um conjunto trasitivo. 2. Sejam X ∈ Y e Y ∈ A ∪ B. Então [X ∈ Y e Y ∈ A] ou [X ∈ Y e Y ∈ B]. Logo, por hipótese, Y ∈ A ou Y ∈ B. Assim, X ∈ A ∪ B. Portanto, pelo Exercício 1, A ∪ B é um conjunto transitivo. 3. Como A = B temos que A+ = A ∪ {A} = B ∪ {B} = B + .

5.2. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

247

4. Seja S = {n ∈ ω : n ∈ / n}. Então 0 ∈ S, pois 0 ∈ / 0 = ∅. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então n+ ∈ / n+ , pois se n+ ∈ n+ , então n+ ∈ n ou n+ = n implica que n ∈ n, o que é impossível. Portanto, n+ ∈ S. Assim, pelo Princípio de Indução Finita, S = ω. 5. (a) Se n = n+ , então n ∈ n, o que é impossível pelo Exercício 4. Portanto, n 6= n+ , para todo n ∈ ω. / m. (b) Se m ∈ n, então m ∈ n+ 6= n. Logo, n ∈ (c) Pelo Lema 5.8, p é um conjunto transitivo. Assim, pelo Exercício 1, m ∈ p. (d) Se m ∈ n, então m ⊆ n, pois n é um conjunto transitivo. Portanto, m+ = m ∪ {m} ⊆ n. 6. Seja S = {n ∈ ω : A ∈ n ⇒ A ∈ ω}. Então 0 ∈ S, pois A ∈ ∅ ∈ ω implica que A ∈ ω, desde que A ∈ ∅ é impossível. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então A ∈ n+ = n ∪ {n}. Assim, A ∈ n ou A = n implica que A ∈ ω Portanto, n+ ∈ S. Assim, pelo Princípio de Indução Finita, S = ω. Consequentemente, ω é um conjunto transitivo. 7. Como A ∈ A+ e A+ ∈ ω temos, pelo Exercício 6, que A ∈ ω. 8. Suponhamos, por absurdo, que n ∈ ω seja um conjunto indutivo. Então, por definição, ω ⊆ n. Portanto, n = ω, o que é impossível. 9. Seja n ∈ ω. Então

n = {0, 1, . . . , n − 1}.

Assim, se m ∈ n e n ⊆ m, então m ∈ m, o que é impossível. 10. Como n é um conjunto transitivo temos que [

n = {k : k ∈ m, para algum m ∈ n} ⊆ n.

248

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS Portanto, [

[ [n ∪ {n}] h[ i h[ i = n ∪ {n} h[ i = n ∪n

n+ =

= n.

Note que ω=

[

n=

[ ³[

´ [ n+ = ω.

11. Sejam IA ∈ AA e g : AA → AA uma função definida como g(h)(x) = h(x). Então, pelo Teorema 5.11, existe uma única função f : ω → AA definida como f (n) = hn tal que f (0) = IA e f (n+ ) = g(f (n)), para todo n ∈ ω. Portanto, hn é um elemento unicamente determinado em AA , para todo n ∈ ω, com as propriedades desejadas. 12. As funções f : Z → Z definidas como ( f (n) + 1, se f (n) < 0 f (n + 1) = f (n), se f (n) ≥ 0 são tais que f (0) = 0 e f (n + 1) = g(f (n)), para todo n ∈ Z. Em particular, para cada a ∈ Z fixado, com a ≤ 1, consideremos ( n + a, se n < a fa (n) = 0, se n ≥ a Isto ocorre pois Z não é um conjunto bem ordenado com a ordem usual. 13. Primeiro lembramos que uma sequência estritamente crescente em A é uma função f : ω → A tal que ∀ m, n ∈ ω [m < n ⇒ f (m) < f (n)]. Vamos denotar f (n) = xn e usar indução sobre n. Como A 6= ∅ temos que ele contém um elemento, digamos x0 ∈ A. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, ou seja, x0 < x1 < x2 < · · · < xn .

5.2. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

249

Consideremos o conjunto An = {x ∈ A : x > xn }. Então An 6= ∅, pois caso contrário xn seria o elemento maximal de A, o que uma contradição. Assim, An contém um elemento, digamos xn+1 ∈ An , e x0 < x1 < x2 < · · · < xn < xn+1 . Portanto, indutivamente, obtemos uma sequência crescente S0 = {x0 }, S1 = {x0 , x1 }, . . . , Sn = {x0 , x1 , . . . , xn+1 }, . . . Finalmente, pondo f=

[

n∈ω

Sn = {xn }n∈ω

temos a sequência em A estritamente crescente: x0 < x1 < x2 < · · · < xn < · · ·

Seção 5.2 1. Vamos provar apenas o item (a). Para dois m e n fixados, seja S = {p ∈ ω : m + p = n + p}. Então 0 ∈ S. Suponhamos que o resultado seja válido para algum p, isto é, p ∈ S. m + p+ = m + (p + 1) = (m + p) + 1 = (n + p) + 1 = n + (p + 1) = n + p+ . Portanto, p+ ∈ S e S = ω.

250

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS

2. Confira o Lema 5.27. 3. Vamos provar apenas o item (b). Suponhamos, por absurdo, que n 6= p. Então n < p ou n > p. Se n < p, então pelo item (a) m + n < m + p, para todo m ∈ ω, o que é impossível. Se n > p, então pelo item (a) m + n > m + p, para todo m ∈ ω, o que é impossível. Portanto, n = p. 4. Vamos provar apenas o item (a). Para dois m e n fixados, consideremos a afirmação P (p): m < n ⇒ mp < np, para cada p ∈ ω, com p 6= 0. Então P (1) é verdadeira, pois m · 1 = m < n = n · 1. Suponhamos que a afirmação P (p) seja verdadeira. Então, pelo item (a) do Exercício 3, mp+ = m(p + 1) = mp + m < mp + n < np + n = n(p + 1) = np+ . Logo, P (p+ ) é verdadeira. Portanto, P (p) é verdadeira, para todo p ∈ ω. Note que podemos usar este resultado para provar que o conjunto S = {n ∈ ω : 0 < n < 1} é vazio. De fato, se S 6= ∅, então, pelo Teorema 5.28, S contém um menor elemento, digamos n0 ∈ S. Assim, 0 < n0 < 1 ⇒ 0 < n20 < n0 < 1. Logo, n20 ∈ S, o que contradiz a minimalidade de n0 . Portanto, S = ∅.

5.2. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

251

5. Seja m ∈ n. Então m ∈ ω, pois ω é transitivo. Logo, m < n e m ∈ Sn , ou seja, n ⊆ Sn . Por outro lado, se m ∈ Sn , então m < n. Assim, m ∈ n, ou seja, Sn ⊆ n. Portanto, Sn = {m ∈ ω : m < n} = n. 6. Para m fixado, seja S o conjunto dos elementos n em ω tais que pelo menos uma das condições m < n ou m = n ou m > n seja verdadeira. Então 0 ∈ S, pois 0 é o menor elemento de ω. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Então m ≤ n ou m > n. Se m ≤ n, então m < n+ . Se m > n, então, pelo item (2) do Lema 5.27, n+ ≤ m. Assim, em qualquer caso, n+ ∈ S. Portanto, S = ω. Agora, vamos provar que ocorre exatamente uma das três condições. Se m < n e m = n, então m ∈ n e m = n. Logo, n ∈ n, o que é impossível. De modo análogo, prova-se as outras possibilidades. 7. (Existência) Para n fixado, consideremos o conjunto S = {m ∈ ω : m ≤ n ⇒ n = m + p, para algum p ∈ ω}. Então 0 ∈ S. Suponhamos que o resultado seja válido para algum m, isto é, m ∈ S. Se m+ ≤ n, então m < n. Assim, pelo item (b) do Exercício 3 e a hipótese de indução, n = m + k+ , para algum k ∈ ω. Logo, n = m + k+ = (m + k)+ = m+ + k. Portanto, m+ ∈ S e S = ω. (Unicidade) Segue do item (b) do Exercício 3. Reciprocamente, basta provar que m ≤ m + k, para todos k, m ∈ ω. Para m fixado, consideremos o conjunto S = {k ∈ ω : m ≤ m + k}.

252

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS Então 0 ∈ S, pois m = m + 0. Suponhamos que o resultado seja válido para algum k, isto é, k ∈ S. Então m ≤ m + k ≤ (m + k)+ = m + k+ . Portanto, k+ ∈ S e S = ω.

8. Vamos provar apenas o item (b). Suponhamos, por absurdo, que m ≥ n. Então m = n ou m > n. Se m = n, então, pelo item (b) do Exercício 1, pm = pn, para todo p ∈ ω, com p 6= 0, o que é impossível. Se m > n, então, pelo item (a) do Exercício 4, pm > pn, para todo p ∈ ω, com p 6= 0, o que é impossível. Portanto, m < n. 9. Consideremos o conjunto S = {t ∈ ω : tb ≤ a} ⊆ ω. Então S 6= ∅, pois 0 ∈ S, Note que a é uma cota superior de S, pois t ≤ tb, para todo t ∈ S. Assim, pelo Exemplo 5.29, S contém um maior elemento, digamos q ∈ S. Logo, qb ≤ a < (q + 1)b. Pondo r = a − qb, obtemos 0 ≤ r = a − qb < (q + 1)b − qb = b. Agora, vamos provar que q e r são únicos. Sejam q0 , r0 ∈ ω outro par. Suponhamos, por absurdo, que r 6= r0 , digamos r < r0 . Como a = qb + r e a = q 0 b + r0 temos que 0 < r0 − r = (q − q0 )b. Observe que q ≥ q 0 , pois b > 0. Se q > q 0 , então b ≤ (q − q 0 )b.

5.2. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

253

Logo, b ≤ (q − q 0 )b = r0 − r < b − r ≤ b, o que é impossível. Assim, q = q 0 implica que r0 − r = 0, o que é uma contradição. Portanto, r = r0 e q = q 0 . 10. Suponhamos, por absurdo, que exista uma tal função. Então o conjunto T = f (ω) = {f (n) : n ∈ ω} é não vazio. Assim, pelo Teorema 5.28, T contém um menor elemento, digamos t0 = f (n0 ) ∈ T , para algum n0 ∈ ω. Portanto, f (n+ 0 ) < f (n0 ) = t0 , o que contradiz a minimalidade de t0 , pois f (n+ 0 ) ∈ T. 11. Note que dado q ∈ ω, podemos escolher p ∈ ω tal que p(p + 1) (p + 1)(p + 2) ≤q< . 2 2 Neste caso, m=q−

(p + 1)(p + 2) p(p + 1) ∈ω e n= − (q + 1) ∈ ω. 2 2

Assim, dado q ∈ N, existe (m, n) ∈ ω × ω tal que f (m, n) = q, pois m + n = p e m + n + 1 = p + 1. Logo, f é sobrejetora. Agora, vamos provar que f é injetora. Dados (k, l), (m, n) ∈ ω × ω, se (k, l) = 6 (m, n), então há dois casos a serem considerados: 1.o Caso. Se k + l = m + n e k < m, então f (k, l) < f (m, n). 2.o Caso. Se k + l < m + n, então existe um único r ∈ ω, r > 0, tal que m + n = k + l + r. Observe, pelo primeiro caso, que f (k, l) ≤ f (k + l, 0) e f (0, m + n) ≤ f (m, n).

254

CAPÍTULO 5. OS NÚMEROS NATURAIS Assim, basta provar que f (k + l, 0) < f (0, m + n). De fato, f (0, m + n) = = = > = =

1 (m + n)(m + n + 1) 2 1 (k + l + r)(k + l + r + 1) 2 1 [(k + l)2 + (k + l)(2r + 1) + r(r + 1)] 2 1 [(k + l)2 + 3(k + l)] 2 1 (k + l) + (k + l)(k + l + 1) 2 f (k + l, 0).

Portanto, em qualquer caso, f ((k, l)) 6= f ((m, n)), isto é, f é injetora.

Capítulo 6 Números Cardinais A definição de Dedekind, de conjunto infinito, é usada na discussão de propriedades de conjuntos infinitos e de conjuntos finitos. É demonstrado, dentre outras coisas, que conjuntos enumeráveis são os menores, em tamanho, dentre os conjuntos infinitos. Além disso, apresentaremos propriedades e exemplos de conjuntos enumeráveis e de conjuntos não enumeráveis. Portanto, toda a matemática clássica trabalha apenas com duas “medidas” de conjuntos infinitos, a saber, os conjuntos equipotentes a ω e os conjuntos equipotentes a 2ω . A potência 2ω é frequentemente chamada de potência do contínuo. Seja A um conjunto não vazio qualquer. Já vimos, no Teorema 2.31, que existe uma correspondência biunívoca entre os conjuntos 2A e P(A). Neste capítulo caracterizaremos todos os conjuntos com esta propriedade. Além disso, provaremos o seguinte teorema de Cantor: Não existe função bijetora entre os conjuntos A e P(A). A grande importância deste teorema é o seguinte resultado: se fizermos A1 = ω, A2 = P(A1 ), A3 = P(A2 ), . . . , An = P(An−1 ), . . . então obtemos uma família (sequência) estritamente crescente de conjuntos infinitos A1 < A2 < A3 < · · · < An < · · · 255

256

6.1

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS

Conjuntos Equipotentes

Sejam A e B conjuntos quaisquer. Diremos que A e B são equipotentes ou possuem a mesma potência se existir uma função bijetora f : A → B e denotaremos por A ≈ B. Note que ser equipotente é uma relação de equivalência. Exemplo 6.1 Os conjuntos [0, 1] e [a, b], com a 6= b, são equipotentes. Em particular, os conjuntos ]0, 1[ e ] − 1, 1[ são equipotentes. Solução. Vamos provar que a função f : [0, 1] → [a, b] definida como f (x) = a + (b − a)x é bijetora. Dados x, y ∈ [0, 1], se f (x) = f (y), então a + (b − a)x = a + (b − a)y ⇒ (b − a)x = (b − a)y ⇒ x = y, pois b − a 6= 0. Logo, f é injetora. Agora, dado y ∈ [a, b], obtemos a≤y ≤b⇒0≤y−a≤b−a⇒0≤

y−a ≤ 1, b−a

pois b − a 6= 0. Assim, dado y ∈ [a, b], existe x=

y−a ∈ [0, 1] b−a

tal que y = f (x). Portanto, f é sobrejetora. Note que a função f : ] − 1, 1[ → ]a, b[ definida como f (x) =

a+b b−a + x 2 2

é bijetora. Exemplo 6.2 Os conjuntos ]0, 1[ e [0, 1] são equipotentes.

¥

6.1. CONJUNTOS EQUIPOTENTES

257

Solução. Primeiro note que ½ ¾ ¾ ½ • • 1 1 1 1 [0, 1] = 0, 1, , , . . . ∪ A e ]0, 1[ = , , . . . ∪ A, 2 3 2 3 com

½ ¾ ½ ¾ 1 1 1 1 A = [0, 1] − 0, 1, , , . . . = ]0, 1[ − , ,... . 2 3 2 3

Agora, vamos definir a função

f : [0, 1] → ]0, 1[ como f (x) =

⎧ 1 ⎪ ⎨ 2, ⎪ ⎩

1 , n+2

x,

se x = 0 se x = n1 © ª se x ∈ / 0, n1 ,

para todo n ∈ N = ω − {0}. Então é fácil verificar que f é bijetora..

¥

Observação 6.3 Já vimos, no Exemplo 3.18, que os conjuntos ] − 1, 1[ e R são equipotentes. Portanto, o conjunto de todos os números reais e todos os intervalos não degenerados são equipotentes, por exemplo, a função f : ]0, +∞[ → ]0, 1[ definida como µ ¶ x x −1 f (x) = f (x) = 1+x 1−x é bijetora, pois lim f (x) = 0 e lim f (x) = 1

x→0+

x→+∞

µ

lim f

x→0+

−1

¶ (x) = 0 e lim− f (x) = +∞ . x→1

Exemplo 6.4 Os conjuntos B1 (O) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} e Br (A) = {(x, y) ∈ R2 : (x − a)2 + (y − b)2 < r2 } são equipotentes, em que r > 0 e O = (0, 0), A = (a, b) ∈ R2 .

258

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS

Solução. Vamos provar que a função f : B1 (O) → Br (A) definida como f (x, y) = (a, b) + r(x, y) = (a + rx, b + ry) é bijetora. Dados (x, y), (s, t) ∈ B1 (O), se f (x, y) = f (s, t), então (a + rx, b + ry) = (a + rs, b + rt) ⇒ a + rx = a + rs e b + ry = b + rt ⇒ x=s e y=t ⇒ (x, y) = (s, t). Logo, f é injetora. Agora, dado (u, v) ∈ Br (A), existe ¶ µ u−a v−b , ∈ B1 (O) (x, y) = r r tal que (u, v) = f (x, y). Portanto, f é sobrejetora.

¥

Exemplo 6.5 Os conjuntos ω, Z e ω × ω são equipotentes. Solução. Vamos provar que a função f : ω → Z definida como ( n , se n = 2k 2 ¡ ¢ f (n) = n+1 − 2 , se n = 2k + 1,

para todo k ∈ ω, é bijetora. Dados m, n ∈ ω, se f (m) = f (n), então m e n são ambos pares ou ambos ímpares. Se m = 2k e n = 2l, então m n = ⇒ k = l ⇒ m = n. 2 2 Se m = 2k + 1 e n = 2l + 1, então −

m+1 n+1 =− ⇒ k + 1 = l + 1 ⇒ k = l ⇒ m = n. 2 2

Logo, f é injetora. Dado k ∈ Z. Então k ≥ 0 ou k < 0. Se k ≥ 0, então existe n = 2k ∈ ω tal que f (n) = k. Se k < 0, então existe n = 2 |k| + 1 ∈ ω tal que f (n) = k. Logo, f é sobrejetora.

6.1. CONJUNTOS EQUIPOTENTES

259

Finalmente, a função g : ω × ω → ω definida como g(m, n) = 2m (2n + 1) − 1 é bijetora, pois a função h : ω → ω × ω definida como ( (0, n) se x = (2n + 1) − 1 h(x) = (m, n), se x = 2m (2n + 1) − 1 ¥

é a inversa de g.

Exemplo 6.6 (Princípio de Dirichlet) m, n ∈ ω são equipotentes se, e somente se, m = n. Em particular, se f : n → n é uma função injetora, então f é sobrejetora (bijetora). Solução. Para m fixado, seja S = {n ∈ ω : m ≈ n ⇒ m = n} Então 0 ∈ S, pois se m ≈ 0, então existe uma função bijetora f : m → 0. Como 0 = ∅ temos que m = ∅ = 0. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n, isto é, n ∈ S. Sejam f : m → n+ uma função bijetora e k = f (m − 1). Consideremos a função g : n+ → n+ definida como ⎧ ⎪ ⎨ n, se x = k g(x) = k, se x = n ⎪ ⎩ x, se x ∈ / {k, n} Se k = n, então g = In+ . Se k 6= n, então g 2 = g ◦ g = In+ . Logo, g é uma função bijetora e h = g ◦ f : m → n+ é uma a função bijetora tal que h(m − 1) = n, isto é, h aplica m − 1 sobre n. Assim, por hipótese, m − 1 = n. Logo, m = {0, 1, . . . , m − 1} = {0, 1, . . . , n} = n+ , ou seja, n+ ∈ S. Portanto, S = ω.

¥

Sejam A e B conjuntos quaisquer. Diremos que A é de uma potência menor do que B se existir uma função injetora f : A → B e denotaremos por A ¹ B.

260

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS

Diremos que A é de uma potência estritamente menor do que B se existir uma função injetora f : A → B e não existir g : A → B sobrejetora e denotaremos por A ≺ B. Neste caso, A é equipotente a um subconjunto de B. Teorema 6.7 (Teorema de Cantor) Seja A um conjunto qualquer. Então A ≺ P(A). Primeira Prova. Primeiro note que a função j : A → P(A) definida como j(x) = {x} injetora. Portanto, A ¹ P(A). Agora, suponhamos, por absurdo, que exista uma função f : A → P(A) sobrejetora. Então, para cada x ∈ A, temos que f (x) ⊆ A. Assim, x ∈ f (x) ou x ∈ / f (x). Consideremos o conjunto S = {x ∈ A : x ∈ / f (x)}. Então S ∈ P(A). Logo, por hipótese, existe y ∈ A tal que f (y) = S. Como S ⊆ A temos que y ∈ S ou y ∈ / S. Se y ∈ S, então y ∈ / f (y) = S, o que é uma contradição. Se y ∈ / S, então y ∈ f (y) = S, o que é uma contradição. Portanto, S = {x ∈ A : x ∈ / f (x)} 6= f (x), ∀ x ∈ A, e A ≺ P(A). Segunda Prova. Suponhamos, por absurdo, que exista uma função f : A → P(A) sobrejetora. Então, pelo Teorema 2.31, existe uma função bijetora ϕ : P(A) → 2A . Portanto, a função ϕ ◦ f : A → 2A seria sobrejetora, o que contradiz o Exemplo 4.17. ¥ Observação 6.8 O Teorema de Cantor pode ser visualizado geometricamente como segue. Sejam A = [0, 1] e f (x) = {(x, y) : y ∈ A} ⊆ {x} × A, ∀ x ∈ A. Então T = {(x, y) : y ∈ f (x)} ⊆ A × A. Pondo D = {(x, y) : y = x} ⊆ A × A,

6.1. CONJUNTOS EQUIPOTENTES

261

obtemos S = {x ∈ A : x ∈ / f (x)} = p1 (D − T ) 6= f (x), ∀ x ∈ A, em que p1 : A × A → A é a projeção sobre o eixo dos x. Corolário 6.9 Seja A um conjunto qualquer. 1. Se B é um subconjunto de A, então B ≺ P(A). 2. Se P(A) é um subconjunto de D, então A ≺ D. Prova. Fica como um exercício.

¥

Agora, apresentaremos a definição de conjunto infinito devida a Dedekind. Seja A um conjunto qualquer. Diremos que A é um conjunto infinito se ele for equipotente com um subconjunto próprio ou, equivalentemente, se existir uma função f : A → A injetora tal que f (A) 6= A. Caso contrário, diremos que A é um conjunto finito. Exemplo 6.10 O conjunto de todos os números naturais ω é infinito, pois a função f : ω → ω definida como f (n) = 2n (f (n) = 2n + 1) é claramente injetora. Consequentemente, o conjunto de todos os números reais R é infinito, pois a função g : R → R definida como ( 2x, se x ∈ ω g(x) = x, se x ∈ R − ω é claramente injetora, com g(R) 6= R. Teorema 6.11 Sejam A e B conjuntos quaisquer. Então: 1. Se B é um conjunto infinito e B ⊆ A, então A é um conjunto infinito. 2. Se A é um conjunto finito e B ⊆ A, então B é um conjunto finito.

262

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS

Prova. Vamos provar apenas o item (1). Como B é um conjunto infinito temos que existe uma função injetora f : B → B tal que f (B) 6= B. Seja a função g : A → A definida como ( f (x), se x ∈ B g(x) = (6.1) x, se x ∈ / B. •

Então g é claramente injetora e g(A) 6= A, pois A = B ∪ (A − B). Portanto, A é um conjunto infinito. ¥ Exemplo 6.12 Sejam A, B conjuntos quaisquer e f : A → B uma função bijetora. Mostre que se A é infinito, então B também o é. Solução. Como A é um conjunto infinito temos que existe uma função injetora g : A → A tal que g(A) 6= A. Então a função h : B → B definida como h(y) = (f ◦ g ◦ f −1 )(y), para todo y ∈ B, é claramente injetora. Note que h(B) = (f ◦ g ◦ f −1 )(B) = f (g(f −1 (B)) = f (g(A)) 6= B, pois g(A) 6= A. Portanto, B é um conjunto infinito.

¥

Teorema 6.13 Sejam A um conjunto infinito qualquer e a0 ∈ A fixado. Então A−{a0 } é um conjunto infinito. Conclua que se B é um subconjunto não vazio finito de A, então A − B é um conjunto infinito. Prova. Como A é um conjunto infinito temos que existe uma função injetora f : A → A tal que f (A) 6= A. Assim, há dois casos a serem considerados: 1.o Caso. Se a0 ∈ f (A), então existe um único a1 ∈ A tal que f (a1 ) = a0 . Neste caso, a função g : A − {a0 } → A − {a0 } definida como ( f (x), se x 6= a1 g(x) = b, se x = a1 ∈ A − {a0 },

6.1. CONJUNTOS EQUIPOTENTES

263

onde b é um elemento qualquer de A − f (A) fixado, tem as propriedades desejadas, por exemplo, g(A − {a0 }) = f (A − {a0 , a1 }) ∪ {b} 6= A − {a0 }. / f (A), então a função g : A − {a0 } → A − {a0 } definida 2.o Caso. Se a0 ∈ como g(x) = f (x) tem as propriedades desejadas. ¥ Portanto, em qualquer caso, A − {a0 } é um conjunto infinito. Exemplo 6.14 Mostre que o conjunto In = {m ∈ ω : m < n + 1} = {0, 1, . . . , n} é finito, para todo n ∈ ω. Solução. Vamos usar indução sobre n. Se n = 0, nada há para ser provado. Suponhamos que o resultado seja válido para algum n. Consideremos o conjunto In+1 = {0, 1, . . . , n, n + 1} = In ∪ {n + 1} Então In+1 é um conjunto finito. Caso contrário, pelo Teorema 6.13, In+1 − {n + 1} = In seria um conjunto infinito, o que contradiz a hipótese de indução. Portanto, In é um conjunto finito, para todo n ∈ ω. ¥ Lema 6.15 Sejam x ∈ ]0, 1[ e d ∈ ω, com d ≥ 2. Então para cada n ∈ ω existe uma única expressão x=

an a1 a2 + 2 + · · · + n + qn , d d d

onde os elementos ai ∈ ω satisfazem 0 ≤ ai < d e 0 ≤ qn
m + n ou k + l = m + n ou k + l < m + n. Se k + l > m + n, então k + l ≥ m + n + 1 e m − k = (k + l)2 − (m + n)2

≥ (m + n + 1)2 − (m + n)2 = 2m + 2n + 1 > m − k,

o que é impossível. O caso k+l < m+n trata-se de modo inteiramente análogo. Assim, k + l = m + n. Neste caso, k = m e l = n. Portanto, (k, l) = (m, n) e f é injetora. Consequentemente, pelo Corolário 6.23, os conjuntos ω e ω × ω são equipotentes. ¥ Exemplo 6.29 Os conjuntos ω e Q são equipotentes. Conclua que todos os conjuntos enumeráveis são equipotentes. Solução. A função j : ω → Q definida como j(x) = x é claramente injetora. Por outro lado, como qualquer número racional x ∈ Q pode ser escrito de modo único sob a forma x=

m , onde m, n ∈ Z, com n > 0 e mdc(m, n) = 1, n

pois

m −m = e (n > 0 ou − n > 0), n −n temos que a função f : Q → ω definida como ( 2n 3m , se m ≥ 0 f (x) = 2n 5|m| , se m < 0 é injetora, pelo Teorena Fundamental da Aritmética. Portanto, pelo Corolário 6.23, os conjuntos ω e Q são equipotentes. ¥

6.2. NÚMEROS CARDINAIS

275

Exemplo 6.30 Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo F e X, Y duas bases de V . Mostre que |X| = |Y |. Solução. Sejam X = {ui }i∈I e Y = {vj }j∈J duas bases de V . Então cada elemento u de X pode ser escrito de modo único sob a forma u = c1 vj1 + · · · + cn vjn , onde c1 , . . . , cn ∈ F − {0} e vj1 , . . . , vjn ∈ Y . Seja Yu = {vj1 , . . . , vjn }. Então cada elemento u de X está associado a um subconjunto finito Yu de Y . S Afirmação. Y = u∈X Yu . De fato, se v ∈ Y , então [Y − {v}] 6= V . Logo, existe w ∈ V tal que w∈ / [Y − {v}]. Assim, w = d1 ui1 + · · · + dm uim , / [Y − {v}] temos onde d1 , . . . , dm ∈ F − {0} e ui1 , . . . , uim ∈ X. Como w ∈ que existe i0 , 1 ≤ i0 ≤ m, tal que u0 = ui0 ∈ / [Y − {v}]. Portanto, v ∈ Yu0 . S Consequentemente, Y ⊆ u∈X Yu . Note que a função f : X → Y definida como f (u) = Yu é sobrejetora. Então, pelo Lema 6.20, |Y | ¹ |X|. Por um argumento simétrico, prova-se que |X| ¹ |Y |. Portanto, pelo Corolário 6.23, |X| = |Y |. ¥ Finalizaremos esta seção com mais alguns resultados e comentários. Pelo Exemplo 4.33, qualquer conjunto finito é equipotente a um número natural. Isto motiva a seguinte definição. Seja α ∈ C. Diremos que α é um cardinal finito se existir n ∈ ω tal que α ≈ n. Caso contrário, diremos que α é um cardinal transfinito. Note que ℵ0 é o menor cardinal transfinito, pois se α é um cardinal transfinito, então existe um único conjunto infinito A tal que α = |A|. Assim, pelo Exemplo 4.14, A contém um subconjunto enumerável. Portanto, α º ℵ0 . Hipótese do Contínuo. Não existe nenhum número cardinal α tal que ℵ0 ≺ α ≺ ℵ1 = 2ℵ0 .

276

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS

Já vimos, segundo Cohen, que a hipótese do contínuo, não pode ser provada a partir dos axiomas da Teoria dos Conjuntos. Portanto, o status da hipótese do contínuo, na Teoria dos Conjuntos, é análogo ao do axioma das paralelas de Euclides (o quinto postulado) na Geometria. Neste caso, podemos postulá-los ou negá-los, em qualquer caso obtendo um teoria matemática consistente.

EXERCÍCIOS

1. Mostre que os conjuntos [0, 1[ e [0, +∞[ possuem a mesma cardinalidade. 2. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que se |A| = |B|, então |P(A)| = |P(B)|. 3. Mostre que |ω ω | = 2ℵ0 . 4. Mostre que α < 2α , para qualquer cardinal α, ou seja, para qualquer cardinal existe um cardinal maior. 5. Sejam A um conjunto e f : A → A uma função. Mostre que |f (A)| ¹ |A|. 6. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que se |A| ¹ |B| e A 6= ∅, então existe uma função sobrejetora g : B → A. 7. Sejam A, B conjuntos quaisquer. Mostre que se existem funções f : A → B e g : B → A sobrejetoras, então |A| = |B|. 8. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Mostre que se A ⊆ B ⊆ C e A equipotente a C, então B equipotente a C. 9. Mostre que |ω × · · · × ω| = |ω n | = |ω|. 10. Mostre que se A = {a1 , a2 , . . .} e B = {b1 , b2 , . . .}, então [ Sk , Sk = {(ai , bj ) : i + j = k + 1}, A×B = k∈ω−{0}

é uma união disjunta de conjuntos finitos.

6.3. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS CARDINAIS

277

11. Seja K(R, R) o conjunto de todas as funções constantes. Mostre que |K(R, R)| = |R|. 12. Seja C(R, R) o conjunto de todas as funções contínuas. Mostre que |C(R, R)| = |R|. 13. Seja U a classe universal. Mostre que existe um conjunto B ∈ U tal que |B| Â |X|, para todo X ∈ U. 14. Use o Teorema de Cantor para provar que o “conjunto de todos os conjuntos” não existe

6.3

Aritmética dos Números Cardinais

Nesta seção provaremos que os números cardinais possuem “quase” todas as propriedades algébricas dos números naturais. Teorema 6.31 Sejam A, B, C e D conjuntos quaisquer, com A ∩ B = ∅ e C ∩ D = ∅. Se A ≈ C e B ≈ D, então A ∪ B ≈ C ∪ D. Prova. Suponhamos que A ≈ C e B ≈ D. Então existem funções bijetoras f : A → C e g : B → D. Assim, pelo Corolário 2.22, f : A → C ∪ D, g : B → C ∪ D são funções. Como f |(A∩B) = g|(A∩B) temos, pelo Teorema 2.35, que existe uma única função h : A ∪ B → C ∪ D tal que h|A = f e h|B = g. Por outro lado, pelo Corolário 2.22, f −1 : C → A ∪ B, g−1 : D → A ∪ B são funções tais que f −1 |(C∩D) = g −1 |(C∩D) . Logo, pelo Teorema 2.35, existe uma única função k : C ∪ D → A ∪ B tal que k|C = f −1 e k|D = g −1 . Agora, dado x ∈ A ∪ B, obtemos x ∈ A ou x ∈ B. Se x ∈ A, então (k ◦ h)(x) = k(h(x)) = k(f (x)) = f −1 (f (x)) = x.

278

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS

Se x ∈ B, então (k ◦ h)(x) = k(h(x)) = k(g(x)) = g−1 (g(x)) = x. Assim, em qualquer caso, k ◦ h = IA∪B . De modo inteiramente análogo, provase que h ◦ k = IC∪D . Portanto, h é bijetora e A ∪ B ≈ C ∪ D. ¥ Sejam α, β números cardinais e A, B conjuntos disjuntos tais que α = |A| e β = |B|. Definimos a adição sobre os números cardinais como sendo α + β = |A ∪ B| . Observação 6.32 1. Pelo Teorema 6.31 esta operação está bem definida. 2. Se A e B são conjuntos quaiquer, então A equipotente A × {0} e B equipotente B × {1} com (A × {0}) ∩ (B × {1}) = ∅, mesmo que A e B não sejam disjuntos. Portanto, α + β = |(A × {0}) ∪ (B × {1})| em que α = |A| e β = |B|. Assim, a definição da adição de números cardinais pode ser substiuída por esta. 3. Se A = {a, b, c} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, então 3 + 5 = |A ∪ B| = |{a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5}| = 8 Neste caso, a adição dos números cardinais coincide com a adição usual dos números naturais. Teorema 6.33 Sejam α, β, γ e δ números cardinais. Então: 1. α + (β + γ) = (α + β) + γ.

6.3. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS CARDINAIS

279

2. 0 + α = α. 3. α + β = β + α. 4. α ¹ α + β. 5. Se α ¹ β e γ ¹ δ, então α + γ ¹ β + δ. Prova. Vamos provar apenas os itens (1) e (5): (1) Basta observar que A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, para todos os conjuntos A, B e C. (5) Sejam A, B, C e D conjuntos tais que α = |A|, β = |B|, γ = |C| e δ = |D|. Então existem funções injetoras f : A → B e g : C → D. Podemos supor que A ∩ C = ∅ = B ∩ D. Então, pelo Teorema 2.35, que existe uma única função h : A ∪ C → B ∪ D tal que h|A = f e h|C = g. É fácil verificar que h é injetora. Portanto, α + γ = |A ∪ C| ¹ |B ∪ D| = β + δ, que é o resultado desejado.

¥

Observação 6.34 Sejam α, β e γ números cardinais. Então α + β = α + γ não implica que β = γ, pois ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 = ℵ0 + 1, mas ℵ0 6= 1, confira o exemplo a seguir. Portanto, a lei do cancelamento vale no conjunto dos números naturais, mas não nos números cardinais. Exemplo 6.35 Sejam ω p = {0, 2, 4, . . .} e ωi = {1, 3, 5, . . .}. Então, pelo Exemplo 6.10, |ω p | = |ω| = |ω i |. Em particular, ℵ0 + ℵ0 = |ω p ∪ ωi | = |ω| = ℵ0 .

280

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS

Proposição 6.36 Sejam α e β números cardinais. Então α ¹ β se, e somente se, existe um número cardinal γ tal que β = α + γ. Prova. Sejam A, B e C conjuntos tais que α = |A|, β = |B| e γ = |C|. Suponhamos que α ¹ β e que A ∩ B = ∅. Então existe uma função injetora f : A → B. Como A ≈ f (A) temos que α = |A| = |f (A)|. Se C = B − f (A), então ¯ ¯ • ¯ ¯ β = |B| = ¯f (A) ∪ (B − f (A))¯ = α + γ. Reciporcamente, suponhamos que β = α + γ e que A ∩ C = ∅. Então existe uma função f : A ∪ C → B bijetora tal que g = f |A : A → B é injetora. Portanto, α ¹ β. ¥ Teorema 6.37 Sejam A, B, C e D conjuntos quaisquer. Se A ≈ C e B ≈ D, então A × B ≈ C × D. Prova. Suponhamos que A ≈ C e B ≈ D. Então existem funções bijetoras f : A → C e g : B → D. Assim, a função h : A × B → C × D definida como h(x, y) = (f (x), g(y)) é claramente bijetora. Portanto,A × B ≈ C × D.

¥

Sejam α, β números cardinais e A, B conjuntos tais que α = |A| e β = |B|. Definimos a multiplicação sobre os números cardinais como sendo α · β = |A × B| . Observação 6.38 1. Pelo Teorema 6.37 esta operação está bem definida. 2. Note que se A = {a, b, c} e B = {1, 2, 3}, então 3 · 3 = |A × B| = |{(a, 1), (a, 2), (a, 3), . . . , (c, 1), (c, 2), (c, 3)}| = 9. Neste caso, a multiplicação dos números cardinais coincide com a multiplicação usual dos números naturais.

6.3. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS CARDINAIS

281

Teorema 6.39 Sejam α, β, γ e δ números cardinais. Então: 1. α(βγ) = (αβ)γ. 2. 1 · α = α. 3. αβ = βα. 4. (α + β)γ = αγ + βγ. 5. α ¹ αβ, se α Â 0. 6. Se α ¹ β e γ ¹ δ, então αγ ¹ βδ. 7. α + α = 2 · α. Mais geralmente, nα = α + · · · + α, n parcelas, para todo n ∈ ω. 8. α + α ¹ α · α, se α Â 1. Prova. Vamos provar apenas os itens (1), (4) e (7): (1) A função f : A × (B × C) → (A × B) × C definida como f (x, (y, z)) = ((x, y), z) é claramente bijetora. (4) Basta observar, pelo Teorema 2.7, que A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), para todos os conjuntos A, B e C. (7) Se α = |A|, então 2 · α = |{1, 2} × A|. Por outro lado, como •

{1, 2} × A = ({1} ∪ {2}) × A = ({1} × A) ∪ ({2} × A) temos que |{1, 2} × A| = α + α. Portanto, α + α = 2 · α.

¥

282

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS

Observação 6.40 Sejam α, β e γ números cardinais. Então αβ = αγ não implica que β = γ, pois pelo Exemplo 6.5 ℵ0 ℵ0 = |ω × ω| = |ω| = ℵ0 = ℵ0 · 1, mas ℵ0 6= 1, Portanto, a lei do cancelamento vale no conjunto dos números naturais, mas não nos números cardinais. Exemplo 6.41 Mostre que ℵ0 · c = c. Solução. É fácil verificar que a função f : Z × [0, 1[ → R definida como f (n, x) = x + n é bijetora. Por exemplo, dados (m, x), (n, y) ∈ Z × [0, 1[, se f (m, x) = f (n, y), então 0 ≤ m − n < 1. Como m − n ∈ Z temos que m = n e x = y. Logo, (m, x) = (n, y) e f é injetora. Portanto, ℵ0 · c = c. ¥ Teorema 6.42 Sejam A, B, C e D conjuntos quaisquer. Se A ≈ C e B ≈ D, então B A ≈ DC . Prova. Já vimos que Y X representa o conjunto de todas as funções com domínio X e contradomínio Y . Agora, suponhamos que A ≈ C e B ≈ D. Então existem funções bijetoras f : A → C e g : B → D. Seja F : B A → DC a função definida como F (k) = h, onde h ∈ DC é a função tal que h(f (z)) = g(k(z), ∀ z ∈ A, ou seja, h = g ◦ k ◦ f −1 , confira o diagrama 6.2. Então F é claramente bijetora. Portanto, B A ≈ DC . ¥

Figura 6.2: Diagrama de flechas.

6.3. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS CARDINAIS

283

Sejam α, β números cardinais e A, B conjuntos tais que α = |A| e β = |B|. Definimos a potenciação sobre os números cardinais como sendo ¯ ¯ β α = ¯B A ¯ .

Observação 6.43 Pelo Teorema 6.42 esta operação está bem definida. Convencionaremos 0α = 0 e β 0 = 1. Teorema 6.44 Sejam α, β, γ e δ números cardinais. Então: 1. αβ αγ = αβ+γ . 2. (αβ )γ = αβγ . 3. (αβ)γ = αγ β γ . 4. α ¹ αβ , se β Â 0. 5. β ¹ αβ , se α Â 1. 6. Se α ¹ β e γ ¹ δ, então αγ ¹ β δ . 7. α · α = α2 . Mais geralmente, αn = α · · · · · α, n fatores, para todo n ∈ ω. Prova. Vamos provar apenas os itens (1), (2) e (6): (1) Sejam A, B e C conjuntos tais que α = |A|, β = |B| e γ = |C|, com B ∩ C = ∅. Primeiro note que se f : B → A e g : C → A são funções quaisquer, então, pelo o diagrama,

Figura 6.3: Diagrama de flechas é fácil verificar que existe uma única função h tal que f = f1 ◦ h e g = g1 ◦ h. Agora, a função F : AB∪C → AB × AC definida como F (h) = (f1 ◦ h, g1 ◦ h)

284

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS

tem as propriedades desejadas. Portanto, AB∪C ≈ AB × AC e αβ αγ = αβ+γ . (2) Sejam f : B × C → A uma função qualquer e y ∈ C fixado. Então fy : B → A definida como fy (x) = f (x, y) é claramente uma função. Neste caso, F : C → AB definida como F (y) = fy é uma função (note que [F (y)](x) = fy (x) = f (x, y), ∀ x ∈ B e y ∈ C).

¡ ¢C definida como G(f ) = F tem as proAgora, a função G : AB×C → AB priedades desejadas, por exemplo, dados f, g ∈ AB×C , obtemos f (x, y) = [F (y)](x) = g(x, y), ∀ (x, y) ∈ B × C.

¡ ¢C Logo, f = g, ou seja, G é injetora. Portanto, AB×C ≈ AB e (αβ )γ = αβγ . (6) Se α ¹ β e γ ¹ δ, então, pela Proposição 6.36, existem números cardinais β 1 e δ 1 tais que β = α + β 1 e δ = γ + δ 1 . Afirmação. αγ ¹ (α + β 1 )γ . De fato, sejam A, B e C conjuntos tais que α = |A|, β 1 = |B1 | e γ = |C|. Então, pelo Corolário 2.22, qualquer função f : C → A é também uma função f : C → A ∪ B1 . Assim, F : AC → (A ∪ B1 )C definida como F (f ) = f, ∀ f ∈ AC , é uma função injetora. Portanto, αγ ¹ (α + β 1 )γ e αγ ¹ β γ . Finalmente, αγ = αγ · 1 ¹ β γ β δ1 = β γ+δ1 = β δ , que é o resultado desejado.

¥

EXERCÍCIOS

1. Sejam A, B conjuntos quaisquer e α, β números cardinais tais que α = |A|, β = |B|. Mostre que α + β = |A ∪ B| + |A ∩ B| .

6.3. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS CARDINAIS 2. Sejam α e β números cardinais. Mostre que: (a) 0 + α = α. (b) α + β = β + α. (c) α ¹ α + β. (d) Se α + 1 = β + 1, então α = β. (e) Se α + n = β + n, para todo n ∈ ω, então α = β. 3. Sejam α, β, γ e δ números cardinais. Mostre que: (a) 1 · α = α. (b) 0 · α = α. (c) αβ = βα. (d) α ¹ αβ, se α Â 0. (e) Se α ¹ β e γ ¹ δ, então αγ ¹ βδ. (f) nα = α + · · · + α, n parcelas, para todo n ∈ ω. (g) α + α ¹ α · α, se α Â 1. 4. Sejam α, β e γ números cardinais. Mostre que: (a) (αβ)γ = αγ β γ . (b) α ¹ αβ , se β Â 0. (c) β ¹ αβ , se α Â 1. (d) αn = α · · · · · α, n fatores, para todo n ∈ ω. 5. Mostre que c · c = c, em que c = |R|. 6. Mostre que ℵ0 + c = c, em que c = |R|. 7. Sejam α e β números cardinais. Mostre que: (a) se α · β = 0, então α = 0 ou β = 0.

285

286

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS (b) se α · β = 1, então α = 1 e β = 1.

8. Seja A um conjunto infinito qualquer. Mostre que |ω| ≤ |A|. •

9. Sejam F = {x0 , x1 , . . . , xn } um conjunto finito e A = F ∪ ω. Mostre que |A| = |ω|. 10. Sejam A um conjunto infinito qualquer, F = {x0 , x1 , . . . , xn } um con• junto finito e B = F ∪ A. Mostre que |A| = |B|. 11. Sejam A um conjunto infinito qualquer e E um conjunto contável infinito. Mostre que |A × E| = |A|. Em particular, mostre que se F é um conjunto finito, então |A × F | = |A|. 12. Sejam A um conjunto infinito qualquer e B um conjunto não vazio tal que |B| ≤ |A|. Mostre que |A ∪ B| = |A| . 13. Seja A um conjunto infinito qualquer. Mostre que |A × A| = |A|. 14. Seja A um conjunto infinito qualquer. Mostre que |An | = |A|, para todo n ∈ ω, com n 6= 0. 15. Sejam A1 , . . . , An conjuntos não vazios tais que |Ai | ≤ |An | , i = 1, . . . , n. Mostre que |A1 × · · · × An | = |An | . 16. Sejam A um conjunto infinito qualquer e Pf (A) = {B : B ⊆ A e B é um conjunto finito}. Mostre que |Pf (A)| = |A|.

6.3. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS CARDINAIS

287

17. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que existe uma função injetora f : A → B ou uma função injetora g : B → A. Conclua que a classe dos números cardinais é uma cadeia.

Respostas e/ou Soluções Seção 6.1 1. Como a função identidade IA : A → A é bijetora temos que A ≈ A. Se A ≈ B, então existe uma função bijetora f : A → B. Assim, f −1 : B → A é bijetora e B ≈ A. Finalmente, se A ≈ B e B ≈ C, então existem funções bijetoras f : A → B e g : B → C. Logo, g ◦ f : A → C é bijetora. Portanto, A ≈ C. 2. Confira o Exemplo 6.17. 3. Como A não vazio temos que existe x0 ∈ A. Se A ¹ B, então existe uma função injetora f : A → B. Assim, a função g : B → A definida como ( f −1 (y), se y ∈ f (A) g(y) = x0 , se y ∈ B − f (A) é sobrejetora. Reciprocamente, suponhamos que exista uma função g : B → A sobrejetora. Além disso, pelo Princípio da Boa Ordenação, podemos supor que B seja bem ordenado. Então a função f : A → B definida como f (x) = min{y ∈ B : g(y) = x} é injetora. Portanto, A ¹ B. 4. Como A ≈ B temos que existe uma função bijetora f : A → B. Então a função g : A ∪ C → B ∪ C definida como ( f (x), se x ∈ A g(x) = x, se x ∈ C

288

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS é bijetora (prove isto!). Portanto, A ≈ B. Finalmente, tome A = {1, 2} e B = C = {2, 3}. Então é claro que A ∪ C = {1, 2, 3} e B ∪ C = {2, 3} não são equipotentes.

5. Confira o Teorema 6.31. 6. Como A ≈ B temos que existe uma função bijetora f : A → B. Assim, pelo Teorema 2.23, a função F : P(A) → P(B) definida como F (X) = f (X) é bijetora. Portanto, P(A) ≈ P(B). 7. Seja f : (A − B) → (B − A) uma função bijetora. Como •

•

A = (A ∩ B) ∪ (A − B) e B = (A ∩ B) ∪ (B − A) temos que a função g : A → B definida como ( f (x), se x ∈ A − B g(x) = x, se x ∈ A ∩ B é bijetora (prove isto!). Portanto, A ≈ B. 8. Pelo Exemplo 6.4, existem funções bijetoras f : B1 (O) → Br (P ) e g : B1 (O) → Bs (Q), respectivamente. Então é fácil verificar que a h = g ◦ f −1 : Br (P ) → Bs (Q) é bijetora. Portanto, os conjuntos Br (P ) e Bs (Q) são equipotentes. 9. Como Bi ≈ Ci temos que existe uma função bijetora fi : Bi → Ci , para cada i ∈ I. Assim, pelo Teorema 2.35, existe uma única função bijetora [ [ f: Bi → Ci i∈I

i∈I

tal que f |Bi = fi , ∀ i ∈ I.

6.3. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS CARDINAIS Portanto,

[ i∈I

Bi ≈

[

289

Ci .

i∈I

10. Para cada i ∈ I, existe uma função bijetora fi : Bi → Ci . Então a função Y Y F : Bi → Ci i∈I

i∈I

definida como F ({xi }i∈I ) = {fi (xi )}i∈I é bijetora (prove isto!). 11. Vamos provar apenas os itens (a) e (c). É claro que ∅ ∈ Pf (A). Se X ∈ Pf (A) e x ∈ A, então X ∪ {x} ∈ Pf (A), caso contrário, pelo Teorema 6.13, (X ∪ {x}) − {x} = X seria um conjunto infinito, o que é impossível. Agora, seja Q qualquer subconjunto de P(A) satisfazendo as condições (i) e (ii). Então, por (ii), X ∈ Q, para todo X ∈ Pf (A), pois X = ∅ ∪ X = (∅ ∪ {x0 }) ∪ · · · ∪ (∅ ∪ {xn }), para algum n ∈ ω. (c) Vamos usar indução sobre o número de elementos de A. Se A = ∅, então P(A) = {∅} é finito. Suponhamos que P(A) seja finito quando A possuir n elementos e que B = {b0 , b1 , . . . , bn }. Então, pondo A = {b0 , b1 , . . . , bn−1 } e C = {X ⊆ B : bn ∈ X}, é fácil verificar que a função f : C → P(A) definida como f (X) = X − {bn } é bijetora. Assim, P(A) e C são finitos. Portanto, pelo item (b), P(B) = P(A) ∪ C é finito.

290

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS

Seção 6.2 1. Basta observar que a função f : [0, +∞[ → [0, 1[ definida como

injetora.

x f (x) = p √ 1− x

2. Confira o Exercício 5 da Seção 6.1. 3. Basta observar que 2ω ⊆ ω ω ⊆ P(ω × ω). 4. Seja A um conjunto tal que α = |A|. Então, pelo Teorema de Cantor. A ≺ P(A). Portanto, α < 2α , pois P(A) ≈ 2A . 5. Note que Ab = f −1 (b) = {x ∈ A : f (x) = b} é um subconjunto não vazio de A, para todo b ∈ f (A), e Ab ∩ Ac = ∅ quando b 6= c. Assim, pelo axioma da escolha, existe Y g∈ Ab . b∈f (A)

Logo, g : f (A) → A é injetora, pois dados b, c ∈ f (A), se b 6= c, então g(b) ∈ Ab e g(c) ∈ Ac implica que g(b) 6= g(c). Portanto, |f (A)| ¹ |A|. 6. Confira o Exercíco 3 da Seção 6.1. 7. Como f : A → B e g : B → A são funções sobrejetoras temos, pelo Lema 6.20, que |B| ¹ |A| e |A| ¹ |B|. Portanto„ pelo Corolário 6.23, |A| = |B| .

6.3. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS CARDINAIS

291

8. A função j : A → B definida como j(x) = x é claramente injetora. Por outro lado, como A é equipotente a C temos que existe uma função f : A → C bijetora. Assim, a função g = f −1 |B : B → A é injetora. Portanto, pelo Corolário 6.23, A é equipotente a B. Consequentemente, B é equipotente a C. 9. A função j : ω → ω × · · · × ω definida como j(x) = (x, 0, . . . , 0) é claramente injetora. Por outro lado, sejam 2, 3, . . . , pn os primeiros n números primos. Então a função f : ω × · · · × ω → ω definida como f (r1 , r2 , . . . , rn ) = 2r1 3r1 · · · prnn é injetora, pelo Teorena Fundamental da Aritmética. Portanto, pelo Corolário 6.23, |ω × · · · × ω| = |ω n | = |ω| . 10. É claro que A×B =

[

k∈ω−{0}

Sk , Sk = {(ai , bj ) : i + j = k + 1}.

Agora, se (x, y) ∈ Sm ∩ Sn , então (x, y) = (ai , bj ) = (ar , bs ), com i + j = m + 1 e r + s = n + 1. Como x = ai = ar e y = bj = bs temos que m = n, ou seja, Sm = Sn . 11. Para cada a ∈ R fixado, a função fa : R → R definida como fa (x) = a é claramente um elemento de K(R, R). Então a função f : R → K(R, R) definida como f (a) = fa está bem definida e é bijetora. Portanto, |K(R, R)| = |R|. 12. Pelo Exercício 11, |R| ≤ |C(R, R)|. Por outro lado, a função ϕ : C(R, R) → 2Q definida como ϕ(f ) = f |Q está bem definida e é injetora. De fato, dados f, g ∈ C(R, R), se ϕ(f ) = ϕ(g), então f |Q = g|Q , ou seja, f (r) = g(r), para todo r ∈ Q. Dado x ∈ R, existe, pelo Exemplo 3.56, uma sequência {rn }n∈N em Q tal que limn→∞ rn = x. Assim, f (x) = lim f (rn ) = lim g(rn ) = g(x), n→∞

n→∞

292

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS ¯ ¯ ou seja, f = g e ϕ é ingetora. Portanto, |C(R, R)| ≤ ¯2Q ¯ = |R|. Consequentemente, |C(R, R)| = |R|.

13. Sejam U a classe universal e B=P

³[ ´ U .

Então, pelo Teorema de Cantor, ¯[ ¯ ¯ ¯ ¯ U ¯ ≺ |B| . Como

pois se X ∈ U , então X ⊆ para todo X ∈ U.

S

¯[ ¯ ¯ ¯ |X| ¹ ¯ U ¯ ,

U, temos, por transitividade, que |B| Â |X|,

14. Seja C o conjunto de todos os conjuntos. Então, pelo Exercício 12, existe um conjunto B ∈ C tal que |B| Â |X|, para todo X ∈ C. Como P (B) ∈ C temos que |P (B)| ≺ |B| , o que contradiz o Teorema de Cantor.

Seção 6.3 1. Como •

•

A ∪ B = A ∪ (B − A) e B = (A ∩ B) ∪ (B − A) temos que |A ∪ B| = |A| + |B − A| e |B| = |A ∩ B| + |B − A| . Logo, |A ∪ B| + |A ∩ B| = |A| + |B − A| + |A ∩ B| = |A| + |B| . Portanto, α + β = |A ∪ B| + |A ∩ B|.

6.3. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS CARDINAIS

293

2. Vamos provar apenas os itens (c) e (d): (c) Sejam A e B conjuntos tais que α = |A| e β = |B|. Como a função f : A × B → B × A definida como f (x, y) = (y, x) é claramente bijetora temos que α + β = β + α. (d) Seja A um conjunto tal que α + 1 = |A| = β + 1. Então existem subconjuntos B e C de A tais que α = |B|, β = |B| e A − B, A − C possuem um elemento cada. Sejam A − B = {x} e A − C = {y}. Então A − (B ∩ C) = A ∩ (B ∩ C)0

= A ∩ (B 0 ∪ C 0 )

= (A − B) ∪ (A − C) = {x, y}. Assim, existem duas possibilidades: se x = y, então B = B ∩ C = C, de modo que α = β. Se x 6= y, então B = (B ∩ C) ∪ (B − C) = (B ∩ C) ∪ {y} e C = (B ∩ C) ∪ {x}, de modo que α = |B| = |(B ∩ C) ∪ {y}| = |(B ∩ C) ∪ {x}| = |C| = β. 3. Vamos provar apenas os itens (d) e (f ): (d) Como α ¹ β e γ ¹ δ temos, pela Proposição 6.36, que existem números cardinais β 1 e δ 1 tais que β = α + β 1 e δ = γ + δ 1 . Logo, βδ = (α + β 1 )(γ + δ 1 ) = α(γ + δ 1 ) + β 1 (γ + δ 1 ) = αγ + (αδ 1 + β 1 γ + β 1 δ 1 ). Portanto, pela Proposição 6.36, βδ ¹ αγ. (f ) Como 2 ¹ α temos, pelo item (d), que 2 · α ¹ α · α. Portanto, α + α ¹ α · α, pois α + α = 2 · α. 4. Vamos provar apenas os itens (a) e (d): (a) Sejam A, B e C conjuntos tais que α = |A|, β = |B| e γ = |C|, com B ∩ C = ∅. Seja F : AC × B C → (A × B)C

294

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS definida como F (f, g) = h, com h(z) = (f (z), g(z)), ∀ z ∈ C. Note que F está bem definida, pois claramente h ∈ (A × B)C . Dados (f, g), (f1 , g1 ) ∈ AC × B C , se h = F (f, g) = F (f, g) = h1 , então (f (z), g(z)) = h(z) = h1 (z) = (f1 (z), g1 (z)), ∀ z ∈ C. Logo, f (z) = f1 (z) e g(z) = g1 (z) ∀ z ∈ C. Assim, f = f1 e g = g1 . Portanto, (f, g) = (f1 , g1 ) e F é injetora. Agora, dado h ∈ (A × B)C , digamos h(z) = (xz , yz ) ∈ A × B, para todo z ∈ C. Então existem funções f : C → A e g : C → B definidas como f (z) = xz e g(z) = xy tais que F (f, g) = h, ou seja, F é sobrejetora. Portanto, AC × B C ≈ (A × B)C e (αβ)γ = αγ β γ . (d) Vamos provar o caso n = 2, o caso geral, segue por indução sobre n. Seja A um conjunto tal que α = |A|. Então a função F : 2A → A × A definida como F (f ) = (f (1), f (2)) é bijetora (prove isto!). Portanto, A × A ≈ 2A e α · α = α2 .

5. Como ℵ0 = ℵ0 + ℵ0 temos, pelo Exemplo 6.16, que c = 2ℵ0 = 2ℵ0 +ℵ0 = 2ℵ0 · 2ℵ0 = c · c. 6. Seja A = ω ∪ ]0, 1[. Então |A| = ℵ0 + c, pois ω e ]0, 1[ são conjuntos disjuntos. Por outro lado, como R ≈ ]0, 1[ ⊆ A e A ≈ A ⊆ R temos, pelo Corolário 6.23, que A ≈ R. Portanto, ℵ0 + c = c. 7. Vamos provar apenas o item (a). Sejam A e B conjuntos tais que α = |A| e β = |B|. Então |A × B| = α · β = 0 = |∅|, ou seja, A × B ≈ ∅. Logo, A ≈ ∅ ou B ≈ ∅. Portanto, α = 0 ou β = 0.

6.3. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS CARDINAIS

295

8. Já vimos, pelo Exemplo 4.14, que existe uma função injetora f : ω → A. Portanto, |ω| ≤ |A|. 9. É fácil verificar que a função f : A → ω definida como ( i, se x = xi ∈ F f (x) = x + n + 1, se x ∈ ω é bijetora (prove isto!). Portanto, |A| = |ω|. 10. Pelo Exercício 8 existe um subconjunto enumerável E de A tal que |E| = • • • |ω|. Logo, A = E ∪(A−E). Assim, B = F ∪E ∪(A−E). Pelo Exercício 9, • existe uma função bijetora g : F ∪ E → E. A função f : B → A definida como ( • g(x), se x ∈ F ∪ E f (x) = x, se x ∈ A − E é bijetora (prove isto!). Portanto, |A| = |B|. 11. Como A é um conjunto infinito temos, pelo Exercício 6 da Seção 4.2, que A=

[

Ei ,

i∈I

é uma união disjunta de conjuntos enumeráveis. Assim, A×E =

[ (Ei × E). i∈I

Sendo Ei × E um conjunto enumerável temos que existe uma bijeção fi : Ei × E → Ei , para cada i ∈ I. Logo, pelo Teorema 2.35, existe uma única função bijetora f : A × E → A tal que f |(Ei ×E) = fi , ∀ i ∈ I, pois (Ei × E) ∩ (Ej × E) = ∅, quando i 6= j. Portanto, |A × E| = |A|.

296

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS Finalmente, como F é um conjunto finito temos que existe uma imersão de F em um conjunto enumerável E. Logo, |A × F | ≤ |A × E| = |A| . Por outro lado, sendo a função j : A → A×F definida como j(x) = (x, y) injetora, onde y ∈ F é fixado, obtemos |A| ≤ |A × F |. Portanto, pelo Corolário 6.23, |A × F | = |A|.

12. Note que •

A ∪ B = A ∪ C, com C = B − A ⊆ B. Assim, |C| ≤ |A|, pois |B| ≤ |A|. Como •

A × {1, 2} = (A × {1}) ∪ (A × {2}) •

e |C| ≤ |A| temos uma imersão de A ∪ C em A × {1, 2}. Logo, pelo Exercício 11, • |A ∪ C| ≤ |A × {1, 2}| = |A| . •

Por outro lado, sendo |A| ≤ |A ∪ C| temos, pelo Corolário 6.23, que |A ∪ B| = |A|. 13. Consideremos a família F = {(B, f ) : B ⊆ A e f : B → B × B é uma função bijetora}. Então, pelo Exemplo 4.14, F 6= ∅, pois (E, f ) ∈ F, com E um subconjunto contável infinito de A. Dados (B1 , f1 ), (B2 , f2 ) ∈ F, definimos (B1 , C1 ) ¹ (B2 , C2 ) ⇔ B1 ⊆ B2 e f2 |B1 = f1 . Logo, F é um poset. Sejam C uma cadeia qualquer de F, digamos C = {(Bi , fi )}i∈I , para algum conjunto de índice I, [ [ Bi e U = Ci . M= i∈I

i∈I

6.3. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS CARDINAIS

297

Agora, definimos uma função bijetora g : M → M × M. Dado x ∈ M, existe i ∈ I tal que x ∈ Bi Assim, a função g : M → M × M definida como g(x) = fi (x) possui as propriedades desejadas. De fato, se existe j ∈ I tal que x ∈ Bj , então Bi ⊆ Bj ou Bj ⊆ Bi , pois C é uma cadeia, digamos Bi ⊆ Bj . Logo, x ∈ Bj e fj (x) = fi (x), ou seja, g está bem definida. Dados x, y ∈ M, se g(x) = g(y), então fi (x) = fi (y) e x = y, pois fi é injetora. Assim, g é injetora. Dado (x, y) ∈ M × M, existem i, j ∈ I tais que x ∈ Bi e y ∈ Bj . Como C é uma cadeia temos que Bi ⊆ Bj ou Bj ⊆ Bi , digamos Bi ⊆ Bj . Logo, x, y ∈ Bj e fj (b) = (x, y), para algum b ∈ Bj , pois fj é sobrejetora. Assim, por definição, g(b) = (x, y) e g é sobrejetora. Portanto, (M, g) ∈ F e (M, g) = sup(C). Pelo Lema de Zorn, F contém pelo menos um elemento maximal, digamos (M, g) ∈ F. Seja C = A − M. Se |C| ≤ |M|, então, pelo Exercício 12, |M| ≤ |A| = |M ∪ C| = |M| . Assim, pelo Corolário 6.23, |M × M| = |M| = |A| e |A × A| = |A| . Se |M| ≤ |C|, então existe um subconjunto C1 de C tal que |M| = |C1 |. Como (M ∪ C1 ) × (M ∪ C1 ) = (M × M) ∪ (C1 × M) ∪ (M × C1 ) ∪ (C1 × C1 ) temos que •

(M ∪ C1 ) × (M ∪ C1 ) = (M × M) ∪ D,

298

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS em que D = (C1 × M) ∪ (M × C1 ) ∪ (C1 × C1 ) e, pelo Exercício 12, |C1 × M| = |M × C1 | = |C1 × C1 | = |M| . Logo, |D| = |M| . Neste caso, existe uma bijeção f : C1 → D. Definimos uma função h : M ∪ C1 → (M ∪ C1 ) × (M ∪ C1 ) como h(x) =

(

g(x), se x ∈ M f (x), se x ∈ C1 .

Então claramente h é bijetora. Assim, (M ∪ C1 , h) ∈ F, o que contradiz a maximalidade de (M, g), ou seja, o caso |M| ≤ |C| não pode ocorrer. Portanto, |A × A| = |A|. 14. Use o Exercício 13 e indução sobre n ∈ ω, com n 6= 0. 15. Como |Ai | ≤ |An | temos que existe uma função injetora fi : Ai → An , para cada i = 1, . . . , n. Logo, a função f : A1 × · · · × An → An × · · · × An dedinida como f (x1 , . . . , xn−1 , xn ) = (f1 (x1 ), . . . , fn−1 (xn−1 ), xn ) é claramente injetora. Assim, pelo Exercício 14, |An | ≤ |A1 × · · · × An | ≤ |An × · · · × An | = |An | . Portanto, pelo Corolário 6.23, |A1 × · · · × An | = |An | .

6.3. ARITMÉTICA DOS NÚMEROS CARDINAIS

299

16. Para cada n ∈ ω, com n 6= 0, consideremos o conjunto Pn (A) = {B : B ⊆ A tal que |B| = n}. Então Pf (A) =

∞ [

n=1

Pn (A)

é uma união disjunta. Como |Pn (A)| ≤ |A| temos que existe uma função injetora fn : Pn (A) → A, para cada n ∈ ω. Logo, pelo Teorema 2.35, existe uma única função injetora g : Pf (A) → A tal que g|Pn (A) = fn , ∀ n ∈ ω. Assim, |Pf (A)| ≤ |A|. Por outro lado, dado F ∈ Pn (A), digamos F = {x1 , . . . , xn }. Então é fácil verificar que a função f : Pn (A) → An definida como f (F ) = (x1 , . . . , xn ) é injetora. Assim, pelo Exercício 14, |Pn (A)| ≤ |An | = |A| . Como |P1 (A)| = |A| temos que |A| ≤ |Pf (A)|. Portanto, pelo Corolário 6.23, |Pf (A)| = |A| . 17. Consideremos a família F = {f ⊆ A × B : f é uma função injetora e Dom(f ) ⊆ A}. Então F 6= ∅, pois f = ∅ ∈ F. Dados f, g ∈ F, definimos f ≤ g ⇔ f ⊆ g.

300

CAPÍTULO 6. NÚMEROS CARDINAIS Logo, F é um poset. Sejam C uma cadeia qualquer de F e [ h= f. f ∈C

Então vamos provar que h ∈ F e h = sup(C). De fato, dados (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ h, existem f, g ∈ C tais que (x, y1 ) ∈ f e (x, y2 ) ∈ g. Como C é uma cadeia temos que f ⊆ g ou g ⊆ f , digamos f ⊆ g. Logo, (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ g e y1 = y2 , pois g é uma função. Portanto, h é uma função. Dados x1 , x2 ∈ Dom(h), existem únicos y1 , y2 ∈ B tais que (x1 , y1 ) ∈ h e (x2 , y2 ) ∈ h. Se y1 = y2 , então (x1 , y1 ), (x2 , y1 ) ∈ h. Assim, existem f, g ∈ C tais que (x1 , y1 ) ∈ f e (x2 , y1 ) ∈ g. Como C é uma cadeia temos que f ⊆ g ou g ⊆ f , digamos f ⊆ g. Logo, (x1 , y1 ), (x2 , y1 ) ∈ g e x1 = x2 , pois g é injetora. Portanto, h é injetora. É fácil verificar que h = sup(C). Pelo Lema de Zorn, F contém pelo menos um elemento maximal, f ∈ F. Finalmente, como f ⊆ A×B e f é maximal em F temos que Dom(f ) = A ou Dom(f ) ⊂ A. Se Dom(f ) = A, então f : A → B é injetora. Se Dom(f ) ⊂ A, então Im(f ) = B. Caso contrário, f ∪ {(a, b)} ∈ F, onde a ∈ A − Dom(f ), o que contradiz a maximalidade de f . Portanto, g = f −1 : B → A é injetora. Consequentemente, existe uma função injetora f : A → B ou uma função injetora g : B → A.

Bibliografia [1] Bourbaki, N. - Theory of Sets, Addison-Wesley, 1968. [2] Da Costa, N. C. A. - Introdução aos Fundamentos da Matemática, Editora Hucitec, 1977. [3] Halmos, P. R. - Naive Set Theory, Princeton, N. J., Van Nostrand, 1960. [4] Hrbacek, K. and Jech, T. - Introduction to Set Theory, 3rd ed., Marcel Dekker, 1999. [5] Lipschutz, S. - Teoria dos Conjuntos, Coleção Schaum, McGraw-Hill, 1978. [6] Pinter, C. C. - Set Theory, Addison-Wesley, 1971. [7] Silva, A. de A. e - Notas de Aula, Departamento de Matemática, Campus I, UFPB. [8] Tarski, A. Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences, 4th ed., Oxford University Press, 1994. [9] Wilder, R. L. - Introduction to the Foundation of Mathematics, John Wiley & Sons, 1965.

301

Índice Remissivo Alef zero, 269 Antinomia, 36 Aristóteles, 3 Arquimedes, 101 Axioma(s), 2 condicionais, 18 da construção de conjuntos, 41 da escolha, 176 da extensão, 40 da infinidade, 220 da substituição, 72 das potências, 56 de Euclides, 7 de Peano, 224 de subconjuntos, 55 de união, 55 do par (não ordenado), 48 dos números cardinais, 268 independente, 20 Base de Hamel, 198 Bolyai, 4 Boole, 43 Cadeia, 104 Cantor, 35 Cardinal

finito, 275 transfinito, 275 Classe(s), 38 de equivalência, 132 própria, 38 universal, 43 Cobertura, 76 Cohen, 175 Conjunto(s) bem ordenado, 138 complementar, 44 completo, 126 das potências, 56 de índices, 52 diferença, 44 disjuntos, 44 dos números naturais, 221 equipotentes, 256 escolha, 182 estritamente indutivamente ordenado, 191 finito, 261 iguais, 40 indutivamente ordenado, 191 indutivo, 220 infinito, 261 302

ÍNDICE REMISSIVO interseção, 43 isomorfos, 115 parcialmente ordenado, 103 sucessor, 220 totalmente ordenado, 104 união, 43 unitário, 48 universal, 43 vazio, 43 Contraexemplo minimal, 237 Corolário, 3 Corte, 106 Cota inferior, 122 superior, 122 Cox, 270 Diagrama comuta, 64 de Hasse, 107 de linha, 107 Venn, 45 Diferença, 246 Elemento, 39 limite, 154 maximal, 119 minimal, 119 Está contido, 40 Euclides, 3 Euler, 63 Extensão, 40 Fórmula

303 de recorrência, 224 de recorrência de Dedekind, 150 Faixa vertical, 90 Família compatível, 74 de carater finito, 200 de conjuntos (indexadas), 52 totalmente ordenada, 111 Fibra, 91 Filtro próprio, 206 Fraenkel, 35 Função, 61 aditiva, 197 avaliação, 69 característica, 71 crescente, 112 decrescente, 112 escolha, 176, 180 estritamente crescente, 112 iguais, 63 residual de, 119 valor, 63 Gödel, 35 Gauss, 4 Gráfico, 50 domínio, 51 identidade, 51 imagem, 51 restrição, 59 Hilbert, 6

304 Hipótese do contínuo, 275 Imersão crescente, 117 diagonal, 68 Infimo, 123 Intervalo aberto, 106 não limitado à direita, 105 não limitado à esquerda, 105 fechado, 106 Isomorfismo, 112

ÍNDICE REMISSIVO menor do que ou igual, 269 natural, 222 Operação de adição, 12, 14, 25, 230, 278 de multiplicação, 12, 25, 233, 280 de multiplicação por escalar, 14 de potenciação, 239, 283 de produto, 16 Ordem dual, 125 isomorfos, 115 Ordenação pela inclusão, 105

Kuratowski, 49 Lei da tricotomia, 104, 245, 273 de Arquimedes, 127 de De Morgan, 45 modular, 129 Lema, 3 de Zorn, 195 Lobachevsky, 4 Método da diagonal de Cantor, 188 Maior elemento, 121 Menor elemento, 121 modelo(s), 17 axiomático, 7 Núcleo, 77 Número(s) cardinais, 268

p-sequência, 191 Par ordenado, 49 Paradoxo, 36 lógico, 36 semântico, 37 Pasch, 6 Peano, 219 Ponto fixo, 126 Poset, 103 coroa, 108 Postulado, 2 Euclides, 3 Lobachevsky-Gauss-Bolyai, 5 Riemann, 5 Potência do contínuo, 255 menor do que, 259 n-ésima, 152

ÍNDICE REMISSIVO Predecessor imediato, 138 Princípio da boa ordenação, 205, 237 da contradição, 19 da dualidade, 125 de Dirichlet, 259 de indução finita primeira forma, 222 segunda forma, 238 de indução transfinita primeira forma, 148 segunda forma, 149 do terceiro excluído, 19 maximal, 237 maximal de Hausdorff, 195 Proclus, 3 Produto cartesiano, 50, 66 Propriedade universal, 69 Relação binária, 26 de equivalência, 26, 131 de ordem antilexicográfica, 110 de ordem cartesiana, 111 de ordem induzida, 104 de ordem inversa, 111 de ordem lexicográfica, 109 de ordem parcial, 27, 102 de ordem simples, 27 de ordem total, 102

305 de pré-ordem, 102 Reta(s) paralelas, 3 Reticulado, 128 completo, 131 Retração, 78 Riemann, 5 Russell, 36 Seção, 78, 141 Segmento final, 105 inicial, 105 Sentença, 39 Sequência, 53 Sigma proposição, 19, 20 Sistema(s) de axiomas, 7 categórico, 23 completo, 23 consistente, 17 inconsistente, 17 independente, 22 isomorfos, 23 minimal de representantes, 183 satisfatório, 18 Skolem, 35 Sub-reticulado, 131 Subconjunto, 40 convexo, 118 denso, 141 limitado, 122

306 limitado inferiormente, 122 limitado superiormente, 122 não limitado, 122 próprio, 40 Sucessor, 220 imediato, 138 Supremo, 123 Teorema, 2 de Bourbaki, 192 de Cantor, 260 de Cantor-Schröder-Bernstein, 133, 243, 272 de Pitágoras, 3 do Ponto Fixo de Knaster, 126 do Ponto Fixo de Tarski, 133 Topologia, 28 von Neumann, 35 Zermelo, 35

ÍNDICE REMISSIVO