Statistische Auswertung [3., überarbeitete Auflage. Reprint 2018] 9783486782028, 9783486201840

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Statistische Auswertung Von Universitätsprofessor Diplom-Volkswirt

Dr. Gerhard Marinell 3., überarbeitete Auflage

R Oldenbourg Verlag München Wien

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Marinell, Gerhard: Statistische Auswertung / von Gerhard Marinell. 3., Überarb. Aufl. — München ; Wien : Oldenbourg, 1986. ISBN 3 - 4 8 6 - 2 0 1 8 4 - 0

© 1986 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege sowie der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben auch bei auszugsweiser Verwertung vorbehalten. Werden mit schriftlicher Einwilligung des Verlages einzelne Vervielfältigungsstücke für gewerbliche Zwecke hergestellt, ist an den Verlag die nach § 54 Abs. 2 Urh.G. zu zahlende Vergütung zu entrichten, über deren Höhe der Verlag Auskunft gibt. Gesamtherstellung: Rieder, Schrobenhausen

ISBN 3-486-20184-0

Inhaltsübersicht Vorwort I.

Einführung

1. Verteilungen a) Metrische Verteilungen b) Ordinale Verteilungen c) Nominale Verteilungen 2. Maßzahlen 3. Schätzverfahren a) Direkter und indirekter Schluß b ) Zufalls-und Vertrauensbereich c) Zentraler Grenzwertsatz 4. Testverfahren a) Anpassungs-und Homogenitätstest b) Hypothesen und Fehlerarten c) Signifikanztests 5. Zusammenfassung

II. Nominale Statistik 1. Maßzahlen a) Anteilswert b) Kontingenzkoeffizient 2. Direkter Schluß 3. Indirekter Schluß 4. Anpassungstest 5. Homogenitätstest 6. Anpassungstest für den Kontingenzkoeffizienten

III. Ordinale Statistik 1. Maßzahlen a) Zentralwert b) Rangkorrelationskoeffizient 2. Direkter Schluß 3. Indirekter Schluß 4. Anpassungstest 5. Homogenitätstest 6. Anpassungstest für den Rangkorrelationskoeffizienten

VII 1 1 2 2 4 7 10 10 12 16 17 17 19 21 26

30 30 30 32 35 50 61 71 84

88 88 88 91 95 109 124 127 140

VI

Inhaltsübersicht

IV. Metrische Statistik 1. Maßzahlen a) Arithmetisches Mittel und Standardabweichung b) Maßkorrelationskoeffizient 2. Direkter Schluß 3. Indirekter Schluß 4. Anpassungstest 5. Homogenitätstest 6. Exkurs: Homogenitätstest für Varianzen 7. Anpassungstest für den Maßkorrelationskoeffizienten

151 151 151 155 158 167 176 190 213 221

V . Tabellenanhang

229

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

231 233 235 236 237 245 247 248 249 251 252 253

Zehnerlogarithmen Antilogarithmen Zehnerlogarithmen der Binomialkoeffizienten Normalverteilung F-, x 2 -, t-Verteilung Poissonverteilungen h T der hypergeometrischen Verteilungen D-Verteilungen U-Verteilungen H-Verteilungen r-Verteilungen f-Transformationen

Literaturhinweise

255

Vorwort Es gibt zahlreiche Lehrbücher der Statistik, die die statistischen Verfahren mit mehr oder weniger Mathematik ableiten und beschreiben. Das Studium eines solchen Lehrbuches ist jedem Anwender der Statistik zu empfehlen, der über die Denkweisen moderner Wissenschaft und über die Grundlagen eigener praktischer Tätigkeit Bescheid wissen möchte. In der Praxis geht es allerdings oft darum, die geeignete Formel zu finden, um aufgrund gegebener Daten Fragen zu beantworten, Hypothesen zu prüfen und Schätzungen abzugeben. Dafür gibt es Formelsammlungen. Auch dieses Buch gehört dazu. Der Leser, der eine statistische Formel für die Auswertung seiner Beobachtungen sucht, wird jedoch nicht mit einer mehr oder weniger sinnvollen Aneinanderreihung von statistischen Formeln konfrontiert, sondern Schritt für Schritt durch entsprechende Fragestellungen zur geeigneten Auswertungsformel geführt. Das Buch ist ein einziges, von ausführlich durchgerechneten Beispielen begleitetes Flußdiagramm, das dem Leser das Finden der adäquaten Formel zum einfachen Auswerten seiner Daten erleichtert. Im wesentlichen enthält diese Sammlung univariate Auswertungsformeln. Obwohl auch einige Zusammenhangsmaße angeführt sind, die mehr als eine Verteilung voraussetzen, fehlen Formeln für multivariate Probleme wie z.B. jene der Regressions-, Diskriminanz- und Faktorenanalyse. Auch im Hinblick auf die bei der Auswertung berücksichtigten Informationen, beschränken sich die vorliegenden Auswertungsmethoden auf das klassische Modell. In diesem Modell finden weder Aprioriinformationen noch Schadeninformationen in den Formeln explizit ihren Niederschlag. Für die dritte Auflage wurde neben der Korrektur und Ergänzung einiger Aufgaben, die Einführung und Erklärung statistischer Fachausdrücke vereinfacht und gekürzt. G. Marineil

I. Einführung 1. Verteilungen Durch die Verteilung ist das anzuwendende statistische Verfahren weitgehend bestimmt. Was versteht man aber unter einer statistischen Verteilung? Zur Definition dieses Begriffes benötigt man drei weitere statistische Vokabeln: statistische Masse, Einheit und Merkmal. Eine statistische Einheit ist ein begrifflich fixierter Tatbestand, der zählbar ist. Ein Haus ist z.B. dann eine statistische Einheit, wenn eindeutig feststeht, was man unter diesen Tatbestand subsummiert: Die Villa, das Landhaus, den Wolkenkratzer, das Hotel, das Schilfhaus, das Bahnwärterhaus, das Vogelhaus usw. Die "begriffliche Fixierung" ist oft äußerst schwierig und umständlich. Doch sie ist Voraussetzung für die Feststellung und Zählbarkeit der Einheiten. Die statistische Masse ist die Summe der Einheiten. Wenn man die Häuser eines Dorfes zusammenzählt, dann ist das Ergebnis eine Masse. Sie gibt also Auskunft, wie oft ein "begrifflich fixierter Tatbestand"vorkommt. Werden nun die sorgsam zur Masse zusammengefaßten Einheiten nach einer bestimmten Eigenschaft verteilt, so erhalten wir wie das Wort schon anzeigt - ein Verteilung. Der Tatbestand "Häuser eines Dorfes gegliedert nach der Zahl der Wohnungen" ist eine Verteilung, ebenso sind die Häuser gegliedert nach dem Erbauungsjähr, nach der Hausfarbe, nach dem Bauzustand usw. Verteilungen, die jeweils Auskunft geben, wie sich die betreffende Eigenschaft auf die Häuser verteilt. Wir sind beim Begriff "Verteilung" angelangt, ohne das

2

Einführung

"statistische Merkmal" erklärt zu haben. Wir haben aber die Eigenschaft, nach der die Einheiten einer Masse verteilt werden, erwähnt. Diese Eigenschaft bezeichnet man im Fachjargon als statistisches Merkmal: Zahl der Wohnungen, Erbauungsjähr, Hausfarbe, Bauzustand nennt der Statistiker im oben angeführten Zusammenhang Merkmale. Diese Merkmale können nun nach den verschiedensten Gesichtspunkten klassifiziert werden. Für die Auswahl des adäquaten statistischen Verfahrens ist jedenfalls die Einteilung der Merkmale und damit der Verteilungen in nominal, ordinal und metrisch von besonderer Wichtigkeit. a) Metrische Verteilungen Gliedert man die Studenten einer Vorlesung nach der Zahl der belegten Semester, so erhält man beispielsweise folgende Verteilung: Studenten

Semesterzahl

h. i

x. 1

65

1

15

2

31

3

19

4

7

mehr als 4

Das statistische Merkmal, nach dem die Einheiten "Studenten" in diesem Beispiel verteilt werden, ist die Semesterzahl

1, 2, 3, 4, mehr als 4 seine Ausprägungen.

Üblicherweise werden Ausprägungen eines Merkmals abgekürzt durch x^, die entsprechenden Häufigkeiten, die angeben, wie "häufig" gerade diese Merkmalsausprägung vorkommt, durch h i - "i" ist ein Index, mit dessen Hilfe Häufigkeiten und Ausprägungen durchnumeriert werden, h, ist

Verteilungen

in

unserem Beispiel "31", x^ "mehr als 4".

Das Merkmal "Semesterzahl" ist metrisch, da seine Ausprägungen folgende Eigenschaften besitzen: 1. Die Ausprägungen können eindeutig geordnet werden: Ein Student im 1. Semester hat weniger Semester belegt als einer im 2. oder 3.

Ein Student im 2. Semester

ist wiederum in einem niedrigeren als einer im 3. usw. Man kann also die Studenten eindeutig nach ihrer Semesterzahl ordnen. 2. Zwischen metrischen Ausprägungen kann man aber auch sinnvolle Verhältnisse bilden: Ein Student im 4. Semester hat doppelt so viele Semester inskribiert wie einer im 2. Oft werden Merkmale, die diese beiden Eigenschaften aufweisen, auch als quantitativ bezeichnet. Die Körpergröße der Studenten in Zentimeter, ihr Monatswechsel, ihr Alter oder ihr Gewicht sind weitere Beispiele, die die angeführten Eigenschaften besitzen. b) Ordinale Verteilungen Wenn man die Ausprägungen eines Merkmals zwar eindeutig ordnen, nicht aber sinnvoll eine Ausprägung durch eine zweite dividieren kann, dann nennt man dieses Merkmal ordinal, z.B.: Befragte

Beurteilung der Verpackung x.

83

sehr gut

25

gut

5 7

mittelmäßig schlecht

3

4

Einführung

Die Ausprägungen sehr gut, gut, mittelmäßig und schlecht kann man ohne Schwierigkeiten in eine Reihenfolge bringen. Sehr gut ist besser als gut, gut besser als mittelmäßig und mittelmäßig besser als schlecht. Man kann aber keinerlei sinnvolle Verhältnisse zwischen ihnen bilden: Sehr gut ist nicht doppelt so gut wie mittelmäßig oder ein bestimmtes Vielfaches irgendeiner Ausprägung. Ordinale Merkmale sind also dadurch charakterisiert, daß sie von den beiden Eigenschaften der metrischen Merkmale nur die Ordnungmöglichkeit, nicht aber die der Verhältnisbildung aufweisen. Weitere Beispiele für ordinale Merkmale: Eignungsbeurteilung von Stellenbewerbern (gut geeignet, geeignet, noch geeignet, ungeeignet), Rangplätze bei Wettbewerben, Schüler nach Zensurergebnissen etc. Selbstverständlich können auch ordinale Merkmalsausprägungen so wie metrische durch Zahlen ausgedrückt werden, z.B. sehr gut = 1, gut = 2, befriedigend = 3, genügend = 4, ungenügend = 5. Diese Zahlen dienen aber nur dazu, die Ordnung zwischen Ausprägungen auszudrücken. Verhältnisberechnungen sind durch die Zuteilung von Zahlen zu den einzelnen Ausprägungen zwar möglich, keineswegs aber sinnvoll. Ein Schüler mit der Note genügend = 4 ist zwar sicherlich schlechter als einer mit der Note gut = 2, aber nicht um ein bestimmbares Vielfaches. c) Nominale Verteilungen Nominale Merkmale liegen vor, wenn zwischen den Merkmalsausprägungen weder eine eindeutige Ordnungsmöglichkeit noch die einer Verhältnisbildung gegeben ist, z.B.

Verteilungen

Studenten 83o 2542

5

Fakultät juridische medizinische

5oo

philosophische

7o2

theologische

Solange eine Ordnungsbeziehung zwischen den Ausprägungen besteht (also bei metrischen und ordinalen Merkmalen), kann man die Einheiten dieser Ordnung

entsprechend an-

führen. Bei nominalen Merkmalen ist dies nicht möglich. Ob zuerst die Studenten der juridischen oder medizinischen Fakultät erwähnt werden, ist vollkommen gleichgültig. Man kann weder die eine noch die andere Art der Darstellung als geordnet bezeichnen. Bei ordinalen und metrischen Merkmalen ist hingegen diese Entscheidung eindeutig möglich. So wie die metrischen und ordinalen Merkmalsausprägungen können auch die nominalen durch Zahlen symbolisiert werden. So werden z.B. verschiedene Straßenbahnlinien häufig durch Zahlen gekennzeichnet. Die Zahl dient hierbei aber nur zur Abkürzung der Streckenbezeichnung. Die 3-erLinie muß z.B. weder länger noch kürzer sein als die 6-erLinie, und genausowenig kann man aus den beiden Zahlen 3 und 6 ein sinnvolles Verhältnis zwischen den Linien berechnen . Verteilungen kann man entsprechend der Dreiteilung der Merkmale in nominale, ordinale und metrische unterteilen. Diese Einteilung ist deshalb von Bedeutung, weil die statistischen Methoden die unterschiedlichen Eigenschaften der Merkmale berücksichtigen. Es ist leicht einzusehen, daß man für die Auswertung nominaler Verteilungen andere Verfahren verwenden wird als für metrische oder ordinale.

6

Einführung

Metrische Merkmale kann man sinnvoll addieren oder multiplizieren, nicht hingegen ordinale oder nominale. 3 Semester und 4 Semester gibt 7 Semester. Die Addition von juristisch und theologisch ist jedoch unmöglich. Die Ergebnisse von Befragungen, Erhebungen, Zählungen und Beobachtungen werden üblicherweise in Form von Verteilungen dargestellt. Wir beginnen daher die statistische Analyse mit der Frage, ob die vorliegende Verteilung nominal, metrisch oder ordinal

ist. Dies ist zweifellos etwas

willkürlich. Denn die Statistik benötigt man nicht erst beim Vorhandensein von Verteilungen, sondern auch zum Gewinnen

derselben. Die Frage nach der Zahl der zu erhebenden

oder zu beobachtenden Einheiten oder die Anordnung der Versuchsplanung oder die Technik der Auswahl sind nur einige Beispiele für statistische Probleme, die beim Gewinnen von Verteilungen auftreten. Für die Auswertung statistischer Ergebnisse ist jedoch die primäre Frage die nach der Art der Verteilung. Von den Eigenschaften der entsprechenden Merkmale hängt die Auswahl der statistischen Verfahren ab. Ein nützliches Hilfsmittel zur Darstellung von Alternativen sind sog. "Flußdiagramme". Die zu beantwortende Frage wird meist durch ein Sechseck umrahmt, die möglichen Alternativen durch Rechtecke, wobei diese durch Pfeile mit dem Sechseck verbunden sind. Unser Flußdiagramm hat daher folgende Gestalt:

Maßzahlen

7

2. Maßzahlen Die bisherigen Beispiele von Verteilungen hatten den Vorteil, daß die Zahl der Merkmalsausprägungen gering und damit gut überschaubar war. Oft ist die Zahl der Ausprägungen weit umfangreicher. "Arbeiter eines Landes gegliedert nach ihrem Nettoeinkommen" ist sicherlich eine Verteilung, die mehrere tausend Ausprägungen aufweist, wenn die Einkommen nicht zu Intervallen zusammengefaßt werden. Um die Unübersichtlichkeit von Verteilungen mit zahlreichen Merkmalsausprägungen zu verringern, aber auch um bestimmte Eigenschaften der Verteilungen darzustellen, berechnet man Maßzahlen. Sie sind statistische Kürzel, die eine genau definierte Eigenheit von Verteilungen zum Ausdruck bringen. Wohl eines der geläufigsten Beispiele für eine Maßzahl ist der Durchschnitt: Die Ausprägungen der Verteilung werden addiert und durch die Summe der Einheiten dividiert. Für jede der drei unterschiedenen Verteilungsarten gibt es spezifische Maßzahlen, die den jeweiligen Informationsgehalt der Merkmale ausnützen. Auch die Maßzahlen kann man daher analogerweise in nominale, ordinale und metrische unterteilen. Wichtig ist jedoch die Tatsache, daß nominale Maßzahlen nicht nur aus nominalen Verteilungen, sondern auch aus ordinalen und metrischen berechnet werden können.

Metrische Maßzahlen kann man hingegen nicht

aus nominalen oder ordinalen Verteilungen ermitteln. Der Grund ist leicht einzusehen: Jede Maßzahl ist durch eine exakte Rechenvorschrift definiert, die genau festlegt, wie man aus den Merkmalsausprägungen und entsprechenden Häufigkeiten einer Verteilung diese Maßzahl ermittelt. Da sich aber die nominalen, ordinalen und metrischen Merkmale hinsichtlich ihrer Eigenschaften wesentlich unter-

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Einführung

scheiden, ist klar, daß nicht jede Maßzahl aus beliebigen Verteilungen berechnet werden kann. Nominale Ausprägungen kann man nicht addieren. Daher kann man auch keinen Durchschnitt aus einer nominalen Verteilung ermitteln. Die Rechevorschriften nominaler Maßzahlen setzen hingegen nicht voraus, daß sich die Ausprägungen addieren, multiplizieren oder zumindest in eine Rangfolge bringen lassen, sondern nur, daß sie sich eindeutig voneinander unterscheiden. Da sowohl ordinale als auch metrische Merkmale diese Eigenschaften aufweisen, können selbstverständlich nominale Maßzahlen aus ordinalen und metrischen Verteilungen berechnet werden. Eine Maßzahl kann den Informationsgehalt einer einzelnen Verteilung in knapper und präziser Weise kennzeichnen, sie kann aber auch die Beziehung zwischen zwei oder mehreren Verteilungen zum Ausdruck bringen. Wenn man z.B. die Studenten einer Vorlesung einerseits hinsichtlich ihrer Körpergröße und andererseits hinsichtlich ihres Körpergewichts gliedert, so wird man meist feststellen, daß zwischen beiden Verteilungen ein Zusammenhang besteht: große Studenten sind schwer, kleine hingegen leicht. Solche Beziehungen zwischen zwei oder mehreren Verteilungen kann man durch verschiedene statistische Maßzahlen zahlenmäßig präzisieren. Ob die zu berechnende Maßzahl nur eine einzelne Verteilung oder die Beziehung zwischen zwei oder mehreren Verteilungen kennzeichnen soll, ist die zweite Frage in unserem Flußdiagramm.

Maßzahlen

9

Verteilung

nominal

ordinal

metrisch

Von den mannigfaltigen Maßzahlen, sie sowohl für eine als auch für mehr als eine Verteilung definiert sind, werden wir jeweils nur eine nominale, ordinale und metrische Verteilung besprechen. In folgender Übersicht sind die Bezeichnungen der Maßzahlen zusammengestellt, die Berechnung wird später erläutert. MASSZAHLEN Aus einer Verteilung Nominal Anteilswert Ordinal Zentralwert Metrisch Arithmet. Mittel

Mehr als eine Verteilung Kontingenzkoeffizient Rangkorrelationskoeffizient Maßkorrelationskoeffizient

Mit der Ermittlung von Maßzahlen ist meist eine Untersuchung nicht abgeschlossen, sondern erst die Basis für Berechnungen und Analysen geschaffen. In den beiden folgenden Abschnitten werden die weiteren Möglichkeiten kurz skizziert.

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Einführung

3. Schätzverfahren Meinungsforschungsinstitute befragen 2ooo Personen und schließen von den Antworten dieser auf alle Einwohner des entsprechenden Landes. Da man dabei jeweils die Maßzahl einer unbekannten Verteilung auf Grund einer Stichprobe schätzt, nennt man diese Verfahren "Schätzverfahren". Um z.B. abzuschätzen, welchen Stimmenanteil ein Kandidat bei bevorstehenden Wahlen erhalten wird, verwendet man als Basis die Antworten von 1%o aller Wahlberechtigten. "1%0 aller

Wahlberechtigten, gegliedert nach

Kandidaten" ist eine Stichprobe im Hinblick auf die Verteilung aller Wahlberechtigten. Als Stichprobe wird nämlich jene Verteilung bezeichnet, die nur einen Teil der Einheiten einer zweiten Verteilung, der sog. Ausgangsverteilung umfaßt und nach dem gleichen Merkmal gegliedert ist.

a) Direkter und indirekter Schluß Die meisten Ergebnisse von Beobachtungen und Experimenten sind Stichproben. Versucht man mit Hilfe statistischer Schätzverfahren von der Stichprobe auf die Maßzahlen der Ausgangsverteilung zu schließen, so bezeichnet man dieses Verfahren auch als indirekten Schluß. Die oben angeführte Wahlprognose ist ein Beispiel dafür. Es gibt aber auch den umgekehrten Fall: Man kennt die Ausgangsverteilung und deren Maßzahl und möchte auf die entsprechenden Maßzahlen einer der möglichen Stichproben schliessen. Wieviele Gewinnlose kann man z.B. erwarten, wenn man 1o von 1ooo Losen einer Tcmboüa gekauft hat und nur jedes 5. Los gewinnt? Mit wieviel Prozent Ausschuß muß ein Kunde rechnen, der 1oo Stück eines Serienfabrikates

Schätzverfahren

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bestellt und weiß, daß die Maschine des Produzenten im Durchschnitt einen bestimmten Prozentsatz Ausschuß erzeugt?

Schließt man von der bekannten Maßzahl einer Aus-

gangsverteilung auf die einer unbekannten Stichprobe, so nennt man dies einen direkten Schluß. Unsere erste Frage beim Schätzverfahren gilt also dem Schluß: Soll von der Maßzahl der Stichprobe auf die der Ausgangsverteilung oder umgekehrt geschlossen werden?

Um den Grundgedanken der Schätzverfahren zu verdeutlichen, kann man einen Behälter mit verschiedenfarbigen Kugeln heranziehen. Man füllt den Behälter mit drei weißen und zwei schwarzen Kugeln und will nun wissen, welches

Farbergebnis man erhält, wenn man zwei Kugeln

zufällig entnimmt. Diese Frage beantwortet der direkte Schluß. Kennt man nur die Farben der Kugeln einer Zufallsstichprobe, nicht aber die aller Kugeln im Behälter, so kann man mit Hilfe des indirekten Schlusses die Farbver— hältnisse der Kugeln im Behälter schätzen. Im Hinblick auf die Stichprobenentnahme unterscheidet man zwei

Arten. Man kann z.B. eine Kugel aus dem Behäl-

ter ziehen, ihre Farbe feststellen und darauf die Kugel wieder in den Behälter zurücklegen. Nach gutem Mischen kann man eine zweite Kugel auf dieselbe Art entnehmen.

12

Einführung

Diese Form der Ziehung nennt man "mit Zurücklegen". Bemerkenswert daran ist, daß dieselbe Kugel und damit dieselbe Merkmalsausprägung in einer Stichprobe mehrmals vorkommen kann. In unserem Beispiel kann man selbstverständlich beim zweiten Zug die gleiche Kugel ziehen wie beim ersten. Eine andere Möglichkeit, eine Stichprobe zu entnehmen, nennt man "Ziehung ohne Zurücklegen". Man entnimmt die gewünschte Anzahl von Kugeln, ohne eine einmal gezogene Kugel in den Behälter zurückzulegen. Da in unserem Beispiel der Stichprobenumfang zwei ist, wird man also die zuerst gezogene Kugel nicht wie oben in den Behälter zurücklegen, sondern zuvor noch eine zweite Kugel entnehmen. Bei dieser Ziehungsart kann daher eine Kugel nur einmal in einer bestimmten Stichprobe aufscheinen.

b) Zufalls- und Vertrauensbereich Jede Stichprobenmaßzahl hat ihre eigene Wahrscheinlichkeitsverteilung. Erst die Kenntnis dieser Verteilung ermöglicht es, von der Ausgangsverteilung auf die Stichprobe und umgekehrt zu schließen. Von den verschiedenen Fragen, die man mit Hilfe des direkten, aber auch des indirekten Schlusses beantworten kann, werden wir nur folgendes Problem behandeln: Innerhalb welcher Grenzen liegt mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit die Maßzahl einer Stichprobe oder beim indirekten Schluß die Maßzahl der Ausgangsverteilung? Es wird also die Wahrscheinlichkeit vorgegeben und nach den Bereichsgrenzen gefragt, innerhalb derer man die Maßzahl

Schätzverfahren

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erwarten kann. Um diese Bereiche für den direkten und indirekten Schluß zu unterscheiden, spricht man vom "Zufallsbereich" , wenn eine Eingrenzung für eine Stichprobenmaßzahl (direkter Schluß)

und vom "Vertrauensbereich"

wenn eine Eingrenzung für die Maßzahl der Ausgangsverteilung (indirekter Schluß) gesucht wird. Die vorgegebene Wahrscheinlichkeit wird mit 1-a abgekürzt. Meist werden für die Vertrauens- und Zufallsbereiche Wahrscheinlichkeiten von 95 oder 99% vorgegeben. 1 - a ist also o,95 oder o,99. Selbstverständlich kann man auch eine größere oder kleinere Wahrscheinlichkeit annehmen und die betreffenden Bereiche berechnen, a, das Komplement dieser Wahrscheinlichkeit gibt an, wie groß die Gefahr ist, daß die einzugrenzende Maßzahl außerhalb des Zufalls- oder Vertrauensbereiches liegt. Je größer daher die vorgegebene Wahrscheinlichkeit für den Bereich ist, umso geringer wird das Risiko eines Fehlschlusses. Leider ist damit aber auch eine große Bereichsbreite verbunden, innerhalb der die Maßzahl liegen kann. Die Brauchbarkeit eines solchen Intervalls ist daher meist gering. Umgekehrt erhält man eine kleine Bereichsbreite für die einzugrenzende Maßzahl, wenn man eine geringere Wahrscheinlichkeit vorgibt. Die Entscheidung für eine bestimmte Wahrscheinlichkeit kann deshalb nur auf Grund genauer Kenntnis des jeweiligen Sachverhaltens gefällt werden. Dieses Dilemma kann theoretisch jedenfalls dadurch beseitigt werden, indem man den Stichprobenumfang vergrößert. Damit erhält man bei gleich großer Wahrscheinlichkeit engere Bereichsgrenzen und damit brauchbarere Ergebnisse. Je größer somit der Anteil der Stichprobe ist, umso geringer ist die

an der Ausgangsverteilung

Unsicherheit.

14

Einführung

Die Bereiche berechnet man ein- oder zweiseitig. Will man z.B. wissen, wie groß der Anteil fehlerhafter Stücke in einer Stichprobe mit 95% Wahrscheinlichkeit höchstens sein kann, so muß man einen Zufallsbereich ermitteln, der nur nach oben, also einseitig begrenzt ist. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Anteil über der berechneten Obergrenze liegt, beträgt 5%. Einseitig, nach oben begrenzter Bereich

Das gleiche gilt für die Untergrenze. Das Stichwort dafür ist nicht "höchstens" wie bei der Obergrenze, sondern "mindestens". Einseitig, nach unten begrenzter Bereich

Schätzverfahren

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Wenn man hingegen nur wissen will, innerhalb welcher Grenzen

dieser Anteil mit 95% Wahrscheinlichkeit auftreten

kann, dann berechnet man einen zweiseitig begrenzten Zufallsbereich. Dieser weist eine Ober- und eine Untergrenze auf. Üblicherweise bestimmt man diese so, daß die Wahrscheinlichkeit für das Uberschreiten der Obergrenze jener für das Unterschreiten der Untergrenze entspricht. Man kann also in unserem Beispiel erwarten, daß mit 2,5% Wahrscheinlichkeit der Anteil fehlerhafter Stücke größer als die berechnete Obergrenze ist und mit gleicher Wahrscheinlichkeit unter der Untergrenze liegt. Zweiseitig begrenzter Bereich

Da wir uns auf die Ermittlung von Zufalls- und Vertrauensbereiche beschränken, kann man schematisch etwa folgendermaßen vorgehen: 1.

Festlegung des Modells Wird die Stichprobe mit oder ohne Zurücklegen entnommen?

2.

Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsverteilung Für die einzugrenzende Maßzahl wird die geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilung festgestellt.

16

3.

Einführung

Bereichsfestlegung Ist ein ein- oder zweiseitiger Zufalls- oder Vertrauensbereich zu berechnen?

4.

Berechnung der Bereichsgrenzen

5.

Interpretation der Ergebnisse

Bei der Interpretation der Ergebnisse ist folgendes zu berücksichtigen: Für Zufallsbereiche gilt, daß die unbekannte Maßzahl einer zu ziehenden Stichprobe mit der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit von 1-ot in dem berechneten Intervall liegen wird. Diese Interpretation ist bei Vertrauensbereichen jedoch falsch. Die unbekannte Maßzahl der Ausgangsverteilung liegt nicht mit der Wahrscheinlichkeit von 1-ct innerhalb der Intervallgrenzen, die mit Hilfe einer konkreten Stichprobe berechnet wurden. 1-a ist in diesem Fall keine Wahrscheinlichkeit, sondern wird als Maß des Vertrauens interpretiert. Die unbekannte Maßzahl der Ausgangsverteilung liegt also mit einem Vertrauen von 1-a innerhalb der berechneten

Intervallgrenzen.

c) Zentraler Grenzwertsatz Dieser besagt in etwa, daß mit zunehmendem Stichprobenumfang die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der meisten Maßzahlen gegen die Normalverteilung streben. Welchen Vorteil bringt diese Tatsache? Das Berechnen und Tabellieren von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist auch mit modernen Rechenanlagen nur begrenzt wirtschaftlich durchführbar. Außerdem steht nicht immer eine entsprechende Anlage zur Verfügung. Es ist daher von großem Vorteil, wenn man ab einem bestimmten Stichprobenumfang eine Standardverteilung heranziehen kann, die brauchbare Näherungswerte für die exakten Verteilungen liefert.

Testverfahren

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Ab welchem Stichprobenumfang diese Standardverteilung verwendet werden kann, ist von Maßzahl zu Maßzahl verschieden. Die hypergeometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung ist z.B. sehr kompliziert zu berechnen. Sie konvergiert bei genügend großem Stichprobenumfang gegen die Normalverteilung. Da diese Konvergenz aber unter Umständen erst bei sehr großem Stichprobenumfang eintritt, behilft man sich oft mit einer weiteren Näherungsverteilung. Dies ist bei der

hypergeometrischen die Binomialverteilung,

die schon bei kleineren Umfängen gute Näherungswerte liefert. Selbstverständlich konvergiert auch die Binomialverteilung gegen die Normalverteilung; sie hat aber gegenüber der hypergeometrischen Verteilung den Vorteil, daß sie einfacher zu berechnen ist. Die einzelnen Konvergenzkriterien werden bei den jeweiligen Maßzahlen angeführt. Es kann dabei vorkommen, daß für eine exakte Verteilung gleich zwei und mehr Näherungsverteilungen möglich sind. Welche Verteilung heranzuziehen ist und wie man damit Zufalls- und Vertrauensbereiche für vorgegebene Wahrscheinlichkeiten berechnet, wird bei den einzelnen Maßzahlen gezeigt.

4. Testverfahren Ein Lieferant behauptet z.B., daß höchstens 1% seiner Lieferung

Ausschuß sei. Die Überprüfung einer Stichprobe

von 1oo Stück zeigt aber, daß 3 Stück oder 3% defekt sind. Um festzustellen, ob die Differenz zwischen 1% und 3% auf die Zufallsentnahme zurückzuführen ist oder auf wesentliche Unterschiede hinweist, wird mit Hilfe von Testverfahren entschieden. a) Anpassungs- und Homogenitätstest Auch bei den Testverfahren kann man zwei Arten unterschei-

18

Einführung

den: Anpassungs- und Homogenitätstest.

Beim Anpassungs-

test prüft man, ob eine vorliegende Stichprobe aus einer bestimmten Ausgangsverteilung stammen kann oder nicht. Die Frage, ob die Stichprobe mit 3% Ausschuß aus einer Ausgangsverteilung mit 1% Ausschuß gezogen wurde, ist ein Beispiel dafür. Wenn mehr als eine Stichprobe vorliegt,

dann will man

mit Hilfe von Homogenitätstests prüfen, ob diese Stichproben aus der gleichen oder aus verschiedenen Ausgangsverteilungen gezogen worden sind. Von 2oo Personen, die an einer bestimmten Krankheit leiden, werden z.B. 1oo mit dem Präparat A und 1oo mit dem Präparat B behandelt. Von der ersten Gruppe genesen 7o%, von der zweiten 75%. Ist dieser Unterschied schon groß genug, um generell das Präparat B zu bevorzugen? In diesem Beispiel beurteilt man den Unterschied von zwei Stichprobenmaßzahlen, da ja beide Präparate nur an Stichproben von je 1oo Menschen erprobt werden. Da sich die Testverfahren für Anpassungs- und Homogenitätstests unterscheiden, sieht unser Flußdiagramm für Testverfahren vorerst wie folgt aus:

Testverfahren

19

b) Hypothesen und Fehlerarten Die Vermutungen über die Beziehungen zwischen Ausgangsverteilungen und Stichproben formuliert man in Form von Hypothesen. Wenn z.B. ein Lieferant behauptet, daß höchstens 1% seiner Lieferung

Ausschuß sei, dann wird die

entsprechende Hypothese folgendermaßen ausgedrückt: H : o

TT

< o,o1 . '

ir ist der Ausschußanteil und H die Abkürzung für Hypothese. Der Index o bei H dient dazu, diese sogenannte Nullhypothese von der Alternativhypothese H^ zu unterscheiden. In unserem Beispiel ist die Alternativhypothese die Vermutung, daß der Ausschußanteil TT größer als 1 % ist: H1

:

TT

> o, o 1 .

Im Hinblick auf die Alternativhypothese

unterscheidet

man links-, rechts- und zweiseitige Hypothesen. Die im Beispiel angeführte Alternativhypothese H^ : TT > o,o1 ist eine rechtsseitige Hypothese , da die möglichen Ausschußanteile dieser Hypothese auf der Zahlengerade alle rechts von denen der Nullhypothese liegen. Genau umgekehrt ist die Situation bei einer linksseitigen Alternativhypothese. Als zweiseitig bezeichnet man eine Alternativhypothese, wenn sie mögliche Werte umfaßt, die größer und kleiner sind, als die der Nullhypothese. Vermutet man z.B., daß der Ausschußanteil genau 1% ist, so wäre HQ:

TT

= o,o1

die entsprechende Nullhypothese und H1 :

TT

* o,o1

20

Einführung

eine zweiseitige Alternativhypothese, da Ausschußanteile sowohl größer als o,o1 als auch kleiner als o,o1 in ihr zusammengefaßt sind. Bei jedem Testverfahren muß mit Hilfe der Stichprobeninformationen entschieden werden, ob die Null- oder Alternativhypothese angenommen bzw. abgelehnt wird. Aufgrund der Stichprobe von 1oo kontrollierten Stücken,die 3% Ausschuß enthält, muß man sich z.B. entscheiden,welche der beiden Hypothesen H : o H1 :

TT

s o,o1 ,

IT

> o,o1

angenommen werden soll. Wenn die 1oo kontrollierten Stücke eine Stichprobe aus einer Lieferung von lo.ooo

sind,

dann gibt es grundsätzlich folgende Konsequenzen der beiden möglichen Entscheidungen: 1. Man nimmt an, daß der Ausschußanteil in der Gesamtlieferung größer als 1% ist. Die Alternativhypothese wird also akzeptiert. Da man von der Gesamtlieferung nur eine Stichprobe von 100 Stück kennt, von denen 3 Ausschuß sind, kann diese Entscheidung offensichtlich richtig oder falsch sein. Wenn der Ausschußanteil der Gesamtlieferung tatsächlich kleiner gleich 1% ist, dann ist die Entscheidung, die Alternativhypothese anzunehmen, falsch. Diese Fehlentscheidung nennt man Fehler 1. Art oder a-Fehler. 2. Man nimmt die Nullhypothese an, vermutet also, daß der Ausschußanteil in der gesamten Lieferung nur 1% beträgt. Der 3%ige Ausschuß in der Stichprobe wird nicht als Hinweis auf einen höheren Ausschußanteil in der Gesamtlieferung betrachtet, sondern als Ergebnis des Zufalls bei der Stichprobenentnahme. Diese Entscheidung für die Nullhypothese kann ebenfalls richtig oder falsch

Testverfahren

21

sein. Wenn sie falsch ist, der Ausschußanteil der Gesamtlieferung also in Wirklichkeit größer als 1% ist, dann bezeichnet man diese Fehlentscheidung als Fehler 2. Art oder ß-Fehler. In folgender Übersicht sind die Konsequenzen der beiden möglichen Entscheidungen nochmals

Tatsächlich richtig

Entscheidung H Annahme von H

o Annahme von H^

c)

zusammengestellt:

H

o

1

richtig

falsch:

falsch: a-Fehler

richtig

0-Fehler

Signifikanztests

Die Vorschrift die angibt, für welche

Stichprobenergeb-

nisse die Null- bzw. Alternativhypothese anzunehmen bezeichnet man als Entscheidungsregel.

ist,

So ist z.B. die

Anweisung, die Nullhypothese H Q : TT S o,o1 nur dann

abzulehnen,

wenn der Ausschußanteil in einer Stichprobe von 1oo Stück größer als 5% ist, eine mögliche Entscheidungsregel.

Bei

Verwendung dieser Entscheidungsregel besteht wie bei jeder anderen Regel die zweifache Gefahr der dung: Annahme einer falschen Null- oder

Fehlentschei-

Alternativhypo-

these . Grundsätzlich sucht man eine Entscheidungsregel, bei der die Wahrscheinlichkeiten

für die möglichen

dungen minimal sind. Da die gleichzeitige der beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten

FehlentscheiMinimierung

generell nicht mög-

lich ist, besteht folgendes Dilemma: Bei Verringerung Wahrscheinlichkeit

der

für den a-Fehler erhöht sich die Wahr-

scheinlichkeit für den

ß-Fehler und umgekehrt.

22

Einführung

Die Auswahl einer besten Entscheidungsregel wird vereinfacht, wenn man nur die Wahrscheinlichkeit für den a Fehler berücksichtigt. Tests, bei denen nur das Risiko des a-Fehlers, nicht aber des ß-Fehlers in Rechnung gestellt wird, bezeichnet man als Signifikanztests. Auch die Wahrscheinlichkeit des a-Fehlers wird nicht exakt berechnet, sondern nur eine maximal tolerierte Wahrscheinlichkeit für den a-Fehler angegeben und eine Entscheidungsregel bestimmt, die diesem a am besten entspricht. Signifikanzgrad oder auch Signifikanzniveau sind die Fachausdrücke für diese maximal zulässige Wahrscheinlichkeit des a-Fehlers. Wird z.B. ein Test mit einem 5%igen Signifikanzgrad durchgeführt, so weiß man, daß die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie richtig ist, höchstens 5% beträgt. Die exakte Wahrscheinlichkeit für den a-Fehler ist unbekannt; sie kann z.B. 2% oder 3,5% betragen. Auf keinen Fall ist sie größer als 5%. In der Praxis haben sich zwei Signifikanzgrade eingebürgert: 5% und 1%. Welcher der beiden gewählt wird oder ob doch

ein anderer Signifikanzgrad herangezogen wird,

hängt vom untersuchten Problem ab. Man darf aber nicht vergessen, daß eine Verringerung des a-Fehlers eine Vergrößerung des ß-Risikos nach sich zieht. Bei einem 1%igen Signifikanzgrad ist zwar das Risiko des a-Fehlers geringer als bei 5%; dafür ist aber das Risiko des ß-Fehlers größer, auch wenn man über den zahlenmäßigen Wert dieser Wahrscheinlichkeit bei einem Signifikanztest nicht Bescheid weiß. Durch die Vorgabe des Signifikanzgrades a wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Testmaßzahl in einen kritischen und einen Nichtablehnungsbereich zerlegt. Für

Testverfahren

23

eine linksseitige Alternativhypothese und einen Signifikanzgrad von 5% ist diese Zerlegung in folgender Abbildung dargestellt: Linksseitiger Test

Nichtablehnungsbereich H nicht ablehnen o

Kritischer Bereich H ablehnen

o

c

Wenn die aus der Stichprobe errechnete Testmaßzahl kleiner als der durch den Signifikanzgrad bestimmte kritische Wert c ist, dann wird die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen. Ist die Testmaßzahl größer als c, dann kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden. Für eine rechtsseitige Alternativhypothese ist die Situation genau umgekehrt. Die entsprechende Zerlegung der Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt folgende Abbildung:

24

Einführung

Rechtsseitiger Test

Bei einer zweiseitigen Alternativhypothese setzt sich der kritische Bereich aus zwei Teilen zusammen, wie folgende Abbildung zeigt: Zweiseitiger Test

In diesem Fall wird die Nullhypothese abgelehnt,wenn die aus der Stichprobe errechnete Testmaßzahl entweder kleiner ist als c 1 oder größer als c 9 .

Testverfahren

25

Die Vorteile des Signifikanztests beruhen auf der einfachen Schematisierbarkeit des Testverfahrens: 1. Aufstellen der Hypothesen Null- und Alternativhypothese werden bestimmt. 2. Der Signifikanzgrad wird festgelegt. 3. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Testmaßzahl wird ermittelt und die dem Signifikanzgrad entsprechende Entscheidungsregel aufgestellt. 4. Die Stichprobe wird entnommen und die Testmaßzahl berechnet . 5. Auf die aus der Stichprobe berechnete Maßzahl wird die Entscheidungsregel angewandt und das Ergebnis interpretiert . Wegen der Beschränkung auf die Wahrscheinlichkeit des a-Fehlers sind beim Signifikanztest nur folgende Interpretationen statthaft: Wenn man auf Grund der Stichprobenergebnisse die Nullhypothese ablehnen kann, dann ist die maximale Wahrscheinlichkeit für eine eventuelle Fehlentscheidung gleich dem Signifikanzgrad. Man kann daher behaupten, daß man die Alternativhypothese annimmt. Bieten jedoch die Stichprobenergebnisse keinen Anlaß die Nullhypothese abzulehnen, so kann man keinesfalls behaupten, daß man die Nullhypothese annimmt. Die eventuelle Fehlentscheidung ist in diesem Fall ein ß-Fehler (Annahme einer falschen Nullhypothese) und die entsprechende Wahrscheinlichkeit ist bei einem Signifikanztest nicht bekannt. Da diese Wahrscheinlichkeit auch sehr groß sein kann, interpretiert man dieses Testergebnis wie folgt: Man ist auf Grund der vorliegenden Stichprobenergebnisse nicht in der Lage, die Nullhypothese abzulehnen.

26

Einführung

5. Zusammenfassung Das Flußdiagramm auf S. 28 und 29 faßt nochmals alle bisher behandelten Fragen zusammen. Ausgehend von der Art der Verteilung führt es zu 15 verschiedenen Problemstellungen: vom "direkten und indirekten Schluß für nominale Verteilungen" bis zum "metrischen Anpassungstest für Maßzahlen berechnet aus mehr als einer Verteilung" reichen die Ausgänge dieses Diagrammes. Um die geeigneten Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die einzelnen Problemstellungen zu finden, sind die Ausgänge von a bis o gekennzeichnet und mit Seitenangaben versehen. Dort findet man Flußdiagramme, die zur Auswahl der passenden Wahrscheinlichkeitsverteilung dienen. Schließlich wird in weiteren 55 Flußdiagrammen gezeigt, wie man mit Hilfe der gefundenen Wahrscheinlichkeitsverteilung die entsprechende Lösung für die Schlüsse und Tests berechnet. Um von den gefundenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur passenden Berechnungsformel zu gelangen, sind auch die Ausgänge dieser Bäume von 1 bis 55 durchnummeriert. Unterhalb der Ausgangsnummern sind wiederum die Seitenzahl der entsprechenden Flußdiagramme vermerkt. Jedem Ausgang von 1,2,

,55 entspricht außerdem eine durchgerechnete

Aufgabe.

c)

Zusammenfassung

27

Nach diesem Schema durchläuft also jede Aufgabe 3 Ebenen: In der 1. Ebene, die dem Erreichen einer der Ausgänge a,b, ,o entspricht, wird geklärt, welcher Schluß bzw. Test in Frage kommt. Dieser wird bei den einzelnen Aufgaben unter Punkt a) behandelt; vgl. z.B. 1. Aufgabe von Seite 37, Punkt a) 1 bis a) 4. In der 2. Ebene, die dem Erreichen einer der Ausgänge 1,2, ,55 entspricht, wird geklärt, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung in Frage kommt. Diese wird bei den einzelnen Aufgaben unter Punkt b) behandelt; vgl. z.B. 1. Aufgabe von Seite 37, Punkt b) 5 bis d) 1o. In der 3. Ebene wird die konkrete Lösung errechnet. Diese wird in den einzelnen Aufgaben unter Punkt c) behandelt; vgl. z.B. 1. Aufgabe von Seite 37f, Punkt c) 11 bis c) 14.

28

Einführung

Zusammenfassung


c '

•0 •0

S. 50

Anpassungstest Homogenitätstest

Direkter Schluß Indirekter Schluß

Anpassungstest Homogenitätstest Anpassungstest

Testverfahren

Schätzverfahren

Indirekter Schluß

Anpassungstest

Testverfahren

Schätzverfahren

Direkter Schluß

29

Direkter Schluß Indirekter Schluß Anpassungstest Homogenitätstest

Anpassungstest

S.61

•0

o, o4

o n (N - n) + N Tt (N - Nu) ' ?

8

-

l o (2o - l o )

+

=

2o . o, 3o (2o - 2o . o, 3o) 5

=

o, 46 > o, o4

2o 9. min

{nn;

n (1 - rc ) }

= min { l o . o, 3;

l o . Hypergeometrische Verteilung c ) 11. E i n s e i t i g e r Z u f a l l s b e r e i c h 12

- *

= ^

- iir

lo(l-o,

3 ) } = 3 < 4

38

Nominale Statistik

13.

£„

aus

.

_

Xu -1 x E ip(x)£a o, o4 16 9. lo.

m i n j n n ; n (1 -TC)]Normalverteilung

= min | 8 . o , 5 ;

8 (1 - 0,5)]. = 4 = 4

Direkter Schluß c ) 11.

41

Einseitiger Zufallsbereich

12. p

=

u

zi

=

1-a

F(p

p

u

np

- J— 2n

K

a

z

-

z

o, 95

. F(p)

1-a

m

1,65

=

,m

. V ^ P Ü

v

m

=

o, 5 - — i - 2.8

-

1,65

. / » . M l .

o, 129

0.5) y =

^

T

.

o > 1 M

o, 22

= 8 . o,224 = 1,792

13. Mit 95 % Wahrscheinlichkeit sind mindestens 2 der 8 Maschinen nachzustellen.

42

Nominale Statistik

Direkter Schluß

43

3. Aufgabe: Ein G r o ß h ä n d l e r hat m i t dem P r o d u z e n t e n f ü r G l ü h l a m p e n v e r e i n b a r t , daß e r j e w e i l s 1 % d e r L i e f e r u n g k o n t r o l l i e r t . V e r t r a g s g e m ä ß d a r f eine L i e f e r u n g nur 3 % Ausschuß enthalten. Wieviel u n b r a u c h b a r e G l ü h l a m p e n d a r f e i n e S t i c h p r o b e a u s e i n e r Sendung m i t 95 % W a h r s c h e i n l i c h k e i t h ö c h s t e n s e n t h a l t e n , d a m i t die L i e f e r u n g v o m G r o ß h ä n d l e r noch akzeptiert wird? Lösung:

a) 1. N o m i n a l e V e r t e i l u n g . M e r k m a l s a u s p r ä g u n g e n :

brauchbar,

unbrauchbar. 2. M a ß z a h l a u s e i n e r V e r t e i l u n g : Anteil d e r u n b r a u c h b a r e n G l ü h l a m p e n . 3. S c h ä t z v e r f a h r e n : Z a h l d e r u n b r a u c h b a r e n G l ü h l a m p e n w i r d g e schätzt. 4. D i r e k t e r Schluß: Vom A n t e i l d e r A u s g a n g s v e r t e i l u n g n = w i r d auf den S t i c h p r o b e n a n t e i l g e s c h l o s s e n . b ) 5 . Modell: o h n e Z u r ü c k l e g e n . 6.

N = 10 000

7.

n / N = 100 / 10 000 = 0, 01 < 0, 04

8.

n = 100 > 10

9.

TC (1 - Tt) = 0, 03 . 0, 97 = 0, 0291< 0, 03

10. c) 11.

P o i s s o n v e r t eilung Einseitiger Zufallsbereich

0,03

44

Nominale Statistik

12. p

100 x

x0

aus

- 1

o

X x = 0

-

:

i

X H

,

H


1,645

13. H. : TT > TT 1 O 14. Auf Grund dieses Ergebnisses kann man annehmen, daß die Versuchsperson präkognitive

Fähigkeiten

besitzt. Das Risiko,

daß die Behauptung falsch ist, beträgt maximal 5 %.

68

Nominale Statistik

Anpassungstest

69

12. A u f g a b e : In e i n e m L a n d v e r t e i l e n s i c h die S e l b s t m o r d f ä l l e e i n e s J a h r e s auf f o l gende W i r t s c h a f t s b e r e i c h e : S e l b s t m o r d f ä l l e nach wirtschaftl. Zugehörigkeit (bezogen auf l o . ooo B e s c h ä f t i g t e ) L a n d - und F o r s t w i r t s c h a f t Industrie Gewerbe Handel Verkehr Freie Berufe Öffentlicher Dienst

5 5 1 5 6 5

P e n s i o n i s t e n u. R e n t n e r

15

Kann m a n d a r a u s a b l e i t e n , daß b e s t i m m t e W i r t s c h a f t s g r u p p e n b e s o n d e r s s e l b s t m o r d g e f ä h r d e t sind?

Ot = 5 % .

Lösung: a)

1. N o m i n a l e V e r t e i l u n g . M e r k m a l s a u s p r ä g u n g e n : L a n d - und Forstwirtschaft, Industrie, P e n s i o n i s t e n und Rentner. 2. M a ß z a h l a u s e i n e r V e r t e i l u n g : A n t e i l s w e r t e . 3. T e s t v e r f a h r e n : U n t e r s c h i e d e z w i s c h e n A n t e i l s w e r t e n w e r d e n getestet. 4. A n p a s s u n g s t e s t : A n t e i l e e i n e r h y p o t h e t i s c h a n g e n o m m e n e n A u s g a n g s v e r t e i l u n g w e r d e n m i t denen d e r S t i c h p r o b e v e r g l i c h e n .

b)

5. M e h r a l s ein A n t e i l s w e r t :

8

6. l o o % d e r n p ^ > 0 ?

Gewerbe

= 0

7. I n d u s t r i e und G e w e r b e w e r d e n z u s a m m e n g e f a ß t . 8. 8o % d e r n p . & 5 ? l

J-¡a

70

Nominale Statistik

9. X 2 c)

-

Test

l o . H : n . = 1/7 o

i = 1, 2,

,7

1

Auf jede der wirtschaftlichen Zugehörigkeitsgruppen entfallen gleich viel Selbstmordfälle. H^ : Tl^ + 1/7 B e s t i m m t e Gruppen sind besonders selbstmordgefährdet. 11. X?

=

?

1 - a; V V= k - 1 V= 7-1

k = die Zahl der Merkmalsausprägungen = 6

2 X

2

l- 0 ? ij 8. 8o % d e r h . . 2 5 ? ij 9. c)

X2

-

ja

Test

l o . H q : TT^

H^:

ja

Tl.^

=

Die Anteile d e r einzelnen Schizophrenief o r m e n s i n d bei M ä n n e r n und F r a u e n gleich groß.

t 1t

Die v e r s c h i e d e n e n F o r m e n v e r t e i l e n s i c h nicht g l e i c h m ä ß i g auf M ä n n e r und Frauen.

Homogenitätstest X2 l-a;v

11.

= X2 = 5,99 o, 95;2

V

= (k - 1)(1 - 1) = (3 - 1) (2 - 1) = 2

k

= Z a h l der M e r k m a l s a u s p r ä g u n g e n

1

= Z a h l der Stichproben k k 1 1 ,2 X2 = E f [ E ? (v E Tt. .=Tl i = l i 4=1 i j=l ij il

f. i

1 Eh.. J=1 ij

=

:

f f f

2 \l="i2

„ . =

14

"

H

o:

*il

=

= h h „, ll

2

h

21

3

h

31

r 1 t"5F

1 , 61 2 154 ( T T l

+

13. X 2 n i l = „ 1 2 g

1

X

2

_

a ; v ?

(

h. 2 n. ]

.

'

i] 1

+ h, = 3o 3o + + 25 = + „ = h 12 = + h 22 == 6o + 55

+

,3o T5l

h

= 61+93 32 = Li. = 324 l ,

+

55

25 . 173»

^ 93 2 173 > "

± +

1 Ü5

,

+

_ -

(

,6o 15T

5

+

55 . ITS 5 +

'85

5,85 < 5 , 9 9

"i2

15. M a n kann auf G r u n d dieser Stichprobe nicht behaupten, daß s i c h die v e r s c h i e d e n e n F o r m e n der Schizophrenie u n t e r s c h i e d l i c h auf M ä n n e r und F r a u e n v e r t e i l e n .

83

84

Nominale Statistik

6. Anpassungstest für den Kontingenzkoeffizienten

© Ausprägungen zusammenfassen

0-

Ä*

. y....

h.

hfl--- • h i r - •'S

hi

y,-

h„... "

*n

K - -

ja

f'

• - h fcj -- hm

h,ja

^

-h, o der

X2- Test

IzT S. 85

n jnein

>(nein

Anpassungstest für den Kontingenzkoeffizienten

85

86

Nominale Statistik

17. Aufgabe: B e i 60 P e r s o n e n wurden A u g e n f a r b e und H a a r f a r b e f e s t g e s t e l l t und d i e s e Daten in f o l g e n d e r Kontingenztabelle d a r g e s t e l l t : H a a r f a r b e braun

h. 1

schwarz

12

5

8

25

grün

5

1

5

11

blau

8

6

lo

24

braun Augenfärbe

rot

25 12 23 60 J Kann man aus d i e s e m E r g e b n i s a b l e i t e n , daß a l l g e m e i n ein Z u s a m h

m e n h a n g z w i s c h e n Augen- und H a a r f a r b e b e s t e h t

?

a

= 5 %

Lösung: a)

1. Nominale V e r t e i l u n g e n . M e r k m a l s a u s p r ä g u n g e n : Haarfarbe: braun, rot,schwarz A u g e n f a r b e : braun, grün, blau 2. Maßzahl aus zwei V e r t e i l u n g e n :

Kontingenzkoeffizient.

3. T e s t v e r f a h r e n : U n t e r s c h i e d zwischen Kontingenzkoeffizienten. 4 . A n p a s s u n g s t e s t : U n t e r s c h i e d zwischen Kontingenzkoeffizienten der A u s g a n g s v e r t e i l u n g e n und S t i c h p r o b e n . b)

5.

Kontingenzkoeffizient.

6. l o o % der h 7.

> 0 ?

ja

80 % der h. . > 5 ? 1J

ja

c)

Test

9. H : o

p rc

= 0

A l l g e m e i n (in den beiden A u s g a n g s v e r t e i lungen) b e s t e h t kein Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n Augen- und H a a r f a r b e .

Hr

pc

*

Z w i s c h e n den V e r t e i l u n g e n der Augen- und H a a r f a r b e b e s t e h t a l l g e m e i n ein Z u s a m m e n hang.

0

Anpassungstest für den Kontingenzkoeffizienten

l0

-

X 2 QR „ o,95;4

=

l-a;v

v = (k - 1) (1 - 1) k x

c

=

1

h.2

1 , 122 . + 1 ~25~ 2 2 v

25

1/2,11

X2 5 c -

13.

H

:

-

52 U

X2 l-a;v

"2 +

12

• 3 ?

^

+

2

" ' ( 2 , 1 1 + 60) (3 - 1)

12.

o

= (3 - 1) (3 - 1)

j

11

c

9,49

n

60

r

=

23

'

"

°-23

2,11
0). E s kann a b e r n i c h t

daß z w i s c h e n A u g e n - und H a a r -

f a r b e ein Z u s a m m e n h a n g b e s t e h t . A u c h aus A u s g a n g s v e r t e i l u n g e n , z w i s c h e n denen k e i n Z u s a m menhang vorhanden ist,

kann m a n S t i c h p r o b e n e n t n e h m e n ,

e i n e n K o n t i n g e n z k o e f f i z i e n t e n von r

= o, 23 a u f w e i s e n .

(Da die N u l l h y p o t h e s e a n g e n o m m e n w u r d e , weiß m a n n i c h t , wie groß das F e h l e r r i s i k o für diese Entscheidung i s t . )

die

87

III. Ordinale Statistik

1. Maßzahlen a) Z e n t r a l w e r t D e r Z e n t r a l w e r t o d e r auch Median e i n e r V e r t e i l u n g i s t die M e r k m a l s a u s p r ä g u n g j e n e r E i n h e i t , d e r die H ä l f t e a l l e r V e r t e i l u n g s e i n h e i t e n v o r a n g e h e n (oder m i t i h r e r r e i c h t w e r d e n ) und d i e H ä l f t e n a c h f o l g e n . E r i s t e i n e o r d i n a l e M a ß z a h l , da zu s e i n e r E r m i t t l u n g d i e Einheiten der Verteilung ihren Merkmalsausprägungen

entsprechend

geordnet werden m ü s s e n . Abgekürzt wird der Zentralwert der Stichprobe mit mit

x

( s p r i c h : x Schleife) und d e r d e r A u s g a n g s v e r t e i l u n g

jl (sprich: m ü S c h l e i f e ) . E r kann auf v e r s c h i e d e n e A r t e n b e -

r e c h n e t w e r d e n : e n t w e d e r ü b e r die O r d n u n g s z a h l o d e r ü b e r die k u m u l i e r t e n A n t e i l s w e r t e . A u ß e r d e m gibt e s noch F o r m e l n f ü r die F e i n b e r e c h n u n g , wenn die A u s p r ä g u n g e n in I n t e r v a l l e n v o r l i e g e n . Formelmäßig dargestellt: 1. O r d n u n g s z a h l : x

=

x von O n 2

— w i r d n o t f a l l s auf e i n e g a n z e Z a h l a u f g e r u n d e t . 2. K u m u l i e r t e A n t e i l s w e r t e : x

=

x von

cpr 5o

Maßzahlen

89

3. F e i n b e r e c h n u n g :

'

•

°

»

' ^ o i , " "

"'-

'

W . S .

9.,

Aufgabe: M i e t e z a h l u n g e n von 15 Studenten: 44o, 12oo, 9oo, 9oo, 55o, 85o, 2ooo, 6oo, 44o, 6oo, 600, 5oo, 5oo, l o o o , 600. W i e g r o ß i s t die m i t t l e r e M i e t e z a h l u n g ?

Lösung: 1. M ö g l i c h k e i t ( O r d n u n g s z a h l ) : °n

=

°15

2

=

°7,5

"

°8

2

Die M e r k m a l s a u s p r ä g u n g d e r 8. E i n h e i t i s t d e r Z e n t r a l w e r t .

Um

j e n e E i n h e i t zu b e s t i m m e n , m ü s s e n d i e 15 E i n h e i t e n i h r e n A u s p r ä gungen e n t s p r e c h e n d g e o r d n e t w e r d e n . X. 1 44o 5oo 55o 600

85o 9oo looo 12oo 2ooo

h. 1 2 2

1 4 1 2 1 1 1

ch.

X

2

s

4 5 9 lo 12 13 14 15

=

1

i-1 h. + z h.] 1 j-1 2 2

+

2

= X =

1 + 2 + 2 4 + 1 + 2 + 2 1 + 4 + 1 + 2 + 2

=

1 + 1 +

+ 2 + 2

Mit H i l f e d e r k u m u l i e r t e n H ä u f i g k e i t e n (ch^) kann m a n l e i c h t d i e 8. E i n h e i t b e s t i m m e n . Sie t r ä g t die M e r k m a l s a u s p r ä g u n g e n 600. D i e m i t t l e r e M i e t e z a h l u n g m a c h t a l s o S 600, - - a u s . Die H ä l f t e d e r Studenten zahlt h ö c h s t e n s , die a n d e r e m i n d e s t e n s soviel.

90

Ordinale Statistik

2. M ö g l i c h k e i t ( K u m u l i e r t e A n t e i l s w e r t e ) : M a n b e r e c h n e t z u e r s t die A n t e i l s w e r t e f ü r die v e r s c h i e d e n e n A u s p r ä g u n g e n und k u m u l i e r t d i e s e . Die M e r k m a l s a u s p r ä g u n g , bei d e r d i e K u m u l a t i o n 5o e r r e i c h t oder ü b e r s c h r e i t e t , i s t d e r Z e n t r a l w e r t . h. i-1 1 X. = cp. P P + P. i i n 1 J=1 3 44o 5 00 55o

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,

600

85o 9 00 looo 12oo 2ooo

13 13 o7 26 o7 13 Ol Ol Ol 00

0, 0, 0,

13 26 33 59 66 79 86 93

0, 0, 0, 0, 0, 1 , 00

13 + o7+ 26 + 0 , ol + 0 , 13 +

13 26 0 , 33 0 , 59 0,66 0 , ol + 0 , 79 0 , ol + 0 , 86 0 , o7 + 0 , 9 3

= = =

0, 0, 0,

= =

0, 0,

S e l b s t v e r s t ä n d l i c h e r h ä l t m a n auch n a c h d i e s e m V e r f a h r e n m i t x von c p

S 600, - - a l s Z e n t r a l w e r t .

3. M ö g l i c h k e i t Oft s i n d d i e M e r k m a l s a u s p r ä g u n g e n in I n t e r v a l l e n z u s a m m e n g e f a ß t . Wenn s i c h d i e A u s p r ä g u n g e n g l e i c h m ä ß i g i n n e r h a l b d i e s e r I n t e r v a l le verteilen,

k a n n m a n m i t Hilfe d e r F e i n b e r e c h n u n g s f o r m e l den

Z e n t r a l w e r t g e n a u b e s t i m m e n , s o n s t i s t d a s E r g e b n i s n u r ein N ä h e r u n g s w e r t . F ü r u n s e r B e i s p i e l wollen w i r f o l g e n d e I n t e r v a l l e a n nehmen: x.

1

u n t e r 5oo 5oo b i s u n t e r 600 600 b i s u n t e r 7oo 7oo b i s u n t e r l o o o l o o o und m e h r

h.

ch.

2 3 4 3 3 15

2 5 9 12 15

1

1

Maßzahlen

x = G +

91

' 1 °°-V) . I l o o ht i

G = untere Grenze des zentralen Ausprägungsintervalls I

= Breite des zentralen Ausprägungsintervalls

v = Summe der dem zentralen Intervall vorhergehenden Einheiten h = Zahl der Einheiten im zentralen Intervall ^

= 7, 5, a u f g e r u n d e t 8; die 8. E i n h e i t f ä l l t in d a s I n t e r v a l l 6oo b i s

u n t e r 7oo. D i e s i s t d a h e r d a s z e n t r a l e I n t e r v a l l f ü r d a s e i n e F e i n b e rechnung durchgeführt wird. G = 6oo; v = 5; h = 4; I = x = 6oo + (

loo

' l0°'5 loo. 4

).loo

=

662,5

N a c h d e r F e i n b e r e c h n u n g e r h ä l t m a n a l s Z e n t r a l w e r t 662, 5 S. E r w e i c h t vom t a t s ä c h l i c h e n Z e n t r a l w e r t um 62, 5 S ab, da s i c h in u n s e r e m B e i s p i e l die A u s p r ä g u n g e n n i c h t g l e i c h m ä ß i g i n n e r h a l b der Intervalle verteilen.

b) R a n g k o r r e l a t i o n s k o e f f i z i e n t Sind zwei V e r t e i l u n g e n z u m i n d e s t o r d i n a l , s o kann m a n den z a h l e n m ä ß i g e n Z u s a m m e n h a n g d u r c h den R a n g k o r r e l a t i o n s k o e f f i z i e n t e n von S p e a r m a n a u s d r ü c k e n . D i e s e s o r d i n a l e A b h ä n g i g k e i t s m a ß d r ü c k t d i e S t ä r k e d e s Z u s a m m e n h a n g e s d u r c h Z a h l e n z w i s c h e n 0 und 1 a u s , die Richtung durch die Vorzeichen

+ und

-

. Der Rangkorrelations-

koeffizient zwischen der Beurteilung des Eheglücks durch E h e f r a u und E h e m a n n von - o, 6o b e s a g t z. B. , daß die B e u r t e i l u n g e n b e i d e r E h e p a r t n e r v o n e i n a n d e r abhängig s i n d . A u ß e r d e m b e d e u t e t d a s M i n u s , daß die B e w e r t u n g d e r E h e p a r t n e r e n t g e g e n g e s e t z t i s t : J e b e s s e r die Ehefrau das Eheglück beurteilt, u m s o schlechter beurteilt es der E h e m a n n , und u m g e k e h r t .

92

O r d i n a l e Statistik

Den a u s S t i c h p r o b e n b e r e c h n e t e n R a n g k o r r e l a t i o n s k o e f f i z i e n t e n k ü r z t m a n m i t r g a b , den a u s A u s g a n g s v e r t e i l u n g e n m i t

p^ (sprich: rho

von s). E r i s t w i e folgt d e f i n i e r t : r

h.

= 1

s

I(R

6

i -

3

( n - n)

R

j)

•

[I(h

3

h

ij

- h.) + l ( h 3 - h )]

= Häufigkeit der i - t e n Merkmalsausprägung der x-Verteilung

hj = Häufigkeit der j-ten Merkmalsausprägung der y-Verteilung h . . = H ä u f i g k e i t f ü r die M e r k m a l s k o m b i n a t i o n i und j 1J k 1 = I h. n = Z h. i=l i J=1 J F ü r die R a n g z a h l e n R. und R gelten f o l g e n d e D e f i n i t i o n e n : R, = (ch

+ ch_. + l ) / 2 ;

ch.

R. = ( c h .

+ ch. + l ) / 2 ;

ch. =

3

3

i

=

1Z1

h1

1=1

. I. h k=l k

3

F ü r u m f a n g r e i c h e M e r k m a l s k o m b i n a t i o n e n i s t die K o r r e l a t i o n s t a b e l l e ein g u t e s B e r e c h n u n g s h i l f s m i t t e l :

. . . . . y . . . • • y2

V

yi

X

h

n - -

••

X.

l

h

ii--

. . h.. . . •• 1J

x

k

h

ki-- •

1

h. J

h

1

..h

v -• J

h

n

h. l h

l

h

n

h. l

h

ki

\

... . h

1

n

Aufgabe: l o S c h ü l e r e r h i e l t e n f o l g e n d e B e u r t e i l u n g e n in M a t h e m a t i k und L a t e i n ( 1 = s e h r gut; 2 = gut; 3 = b e f r i e d i g e n d ; 4 = g e n ü g e n d ; 5 = ungenügend):

Maßzahlen

Schüler

1

2

3

4

5

6

7

8

93

lo

9

Mathematik

2

4

2

4

3

4

4

2

4

4

Latein

4

4

5

3

3

2

4

2

1

3

U n t e r m a u e r n die Schulnoten die Behauptung, daß s i c h m a t h e m a t i s c h e und a l t s p r a c h l i c h e Begabung g e g e n s e i t i g a u s s c h l i e ß e n ?

Lösung: Da M e r k m a l s k o m b i n a t i o n e n m e h r f a c h v o r k o m m e n , werden o b i g e Daten z u e r s t in eine K o r r e l a t i o n s t a b e l l e ü b e r t r a g e n :

L a t e i n s e h r gut

gut

befr.

gen.

ungen.

h. i

ch. i

R. i

h3 i

h3-h. i i

gut

3

2

27

24

befr.

4

4

1

0

7,5 216

210

gen.

lo

h. J— chj

10

10 2, 5

R. Jh3 —3 —

8

h3-h. —3—3

10 27

27

24

24

R a n g z a h l e n für M a t h e m a t i k : R R

= 2

=

R3 =

(o + 3 + 1)

/

2 = 2

(3 + 4 + 1 )

/

2 = 4

(4 + l o + 1)

/ 2 =

7,5

54

234

94

O r d i n a l e Statistik

R a n g z a h l e n für L a t e i n : -

(o +

1 +

1) / 2 = 1

R

1

R

2

= (1 + 3 + 1 )

/

2 = 2,5

R

3

= (3 + 6 + 1 )

/

2 = 5

R

4

= (6 + 9 + 1 )

/

2 = 8

R

5

= (9 +

lo +

1) / 2 == l o

Die R a n g z a h l e n werden nun für die B e r e c h n u n g des Z ä h l e r s von r herangezogen. X. 1

yJ

R.

R.

h. . iJ 1

2

J 2, 5

l

R. - R. l

J

(R

i "

R

/

(R. - R . ) 2 h . . i J iJ o, 2 5

gut

gut

gut

gen.

1

2

8

-

6,

o

36,

oo

36,

oo

gut

ungen.

1

2

lo

-

8, 0

64,

oo

64,

oo

befr.

befr.

1

4

5

-

1,

gen.

s . gut

1

7, 5

gen.

gut

1

gen.

befr.

gen.

gen.

- o, 5

0, 25

o

1, oo

1 , oo

1

6, 5

4 2 , 25

42, 25

7, 5

2, 5

5, 0

25, oo

25, oo

2

7,5

5

2, 5

6, 25

12, 5o

2

7, 5

8

- o, 5

o, 25

o, 5o 181,5o

181,5o ( l o 3 - l o ) - ¿ [ ( 2 3 4 + 54)]

- o,287

B e i d i e s e n l o S c h ü l e r n b e s t e h t z w i s c h e n m a t h e m a t i s c h e r und a l t s p r a c h l i c h e r Begabung ein Z u s a m m e n h a n g und zwar d e r a r t ,

daß

ein g u t e r M a t h e m a t i k e r e h e r ein s c h l e c h t e r L a t e i n e r i s t und u m g e kehrt.

Direkter Schluß

2. Direkter Schluß

* vgl. S. 125

95

96

Ordinale Statistik

Direkter Schluß

18. A u f g a b e : Ein Obstgroßhändler beurteilt die eingekaufte W a r e wie folgt: Qualität x. 1

Kisten h. i

schlecht ausreichend gut s e h r gut

7o 8o 1oo 15o 4oo

M i n d e s t e n s w e l c h e Q u a l i t ä t kann e r f ü r die H ä l f t e d e r K i s t e n g a r a n t i e r e n , wenn e r e i n e m Kunden 2o K i s t e n v e r k a u f t ?

a = 5 % .

Lösung: a)

1. O r d i n a l e V e r t e i l u n g .

Merkmalsausprägungen:

s e h r gut, gut, a u s r e i c h e n d ,

schlecht.

2. M a ß z a h l aus e i n e r V e r t e i l u n g : Z e n t r a l w e r t . 3. S c h ä t z v e r f a h r e n : Q u a l i t ä t d e r K i s t e n w i r d g e s c h ä t z t . 4. D i r e k t e r Schluß: A u s g a n g s v e r t e i l u n g b e k a n n t , der Stichprobe gesucht. b)

5. M o d e l l : ohne Z u r ü c k l e g e n . 6. n / N = 2o / 4oo = o, o5 > o, o4 7. o r d i n a l 8. N o r m a l v e r t e i l u n g

c)

9. E i n s e i t i g e r Z u f a l l s b e r e i c h l0

"

S

u

=

*(u)

Zentralwert

97

98

Ordinale Statistik

X. 1

h. l

ch.

l

schlecht

7o

7o

ausreichend

8o

15o

gut

loo

25o

s e h r gut

15o

4oo

4oo

xu

=

Ausprägung der 128. E i n h e i t

=

ausreichend

13. D e r O b s t g r o ß h ä n d l e r kann mit 95 % W a h r s c h e i n l i c h k e i t s e i n e n Kunden m i n d e s t e n s a u s r e i c h e n d e Q u a l i t ä t für die Hälfte d e r 2o K i s t e n v e r s p r e c h e n .

Direkter Schluß

99

100

Ordinale Statistik

19. A u f g a b e : Von d e n l o o o F a m i l i e n e i n e r Stadt v e r d i e n e n 5o % m i n d e s t e n s S 4 o o o , - - m o n a t l i c h . B e i e i n e r B e f r a g u n g w e r d e n 5o F a m i l i e n z u f ä l l i g a u s g e w ä h l t . In w e l c h e n G r e n z e n k a n n m a n i n e i n e r r e p r ä s e n t a t i v e n S t i c h p r o b e d e n Z e n t r a l w e r t d e s E i n k o m m e n s d i e s e r 5o F a m i l i e n e r w a r t e n , w e n n d i e S t a n d a r d a b w e i c h u n g h ö c h s t e n s S 5oo, - a

beträgt?

= 5 %

Lösung: a)

1. M e t r i s c h e V e r t e i l u n g . M e r k m a l s a u s p r ä g u n g e n : E i n k o m m e n in S c h i l l i n g . 2. O r d i n a l e M a ß z a h l a u s e i n e r V e r t e i l u n g : Z e n t r a l w e r t . 3. S c h ä t z v e r f a h r e n : Z e n t r a l w e r t e i n e r S t i c h p r o b e w i r d geschätzt. 4. D i r e k t e r Schluß:

b)

p

>c

gesucht.

5. M o d e l l : o h n e Z u r ü c k l e g e n . 6. n / N = 5o / l o o o 7.

= o, o5 > o, o4

metrisch

8 . n = 5o > 3o , c)

bekannt,

Normalverteilung

9. Z w e i s e i t i g e r Z u f a l l s b e r e i c h l0

-

*u U F (

x x

u o

=

* "

z

l-a/2 *

= 4ooo, - z x)

m

l

F(X)

a / 2

= 1 , 2 5 3 . 7j=— yn

= 4ooo

-

= 4ooo +

1,96.

m' =

=

*o z

0j

*

975 =

' N - 1

+

z

l-a/2

F ( 5 )

m

1.96

= 1. 2 5 3 .

86,4

=

383o, 65

1 , 9 6 . 86,4

=

4169,34

Soo^looo-So V looo-l

1 1 . Mit 95 % W a h r s c h e i n l i c h k e i t l i e g t d e r Z e n t r a l w e r t d e s E i n k o m m e n s d e r 5o F a m i l i e n z w i s c h e n 383o, 65 u n d 4 1 6 9 , 34 S.

Direkter Schluß

101

102

Ordinale Statistik

2o. A u f g a b e : F ü r e i n e s o z i o l o g i s c h e U n t e r s u c h u n g ü b e r die W o h n g e w o h n h e i t e n w u r den l o o o F a m i l i e n z u f ä l l i g a u s g e w ä h l t und u. a. a u c h n a c h d e r Z a h l der Wohnräume gegliedert: Zahl der Räume Zahl der Familien

2

3

4

5

6

7

8 und m e h r

16

527

277

169

7

3

1

F ü r e i n e V o r w e g a u f b e r e i t u n g will m a n 2o von den l o o o F a m i l i e n g e n a u e r u n t e r s u c h e n . I n n e r h a l b w e l c h e r G r e n z e n m u ß m i t 95 % W a h r s c h e i n l i c h k e i t d e r Z e n t r a l w e r t der R ä u m e l i e g e n , wenn die V o r w e g stichprobe repräsentativ ist ?

Lösung: a)

1. M e t r i s c h e V e r t e i l u n g .

Merkmalsausprägungen:

Zahl d e r R ä u m e : 2, 3, 4, 2. O r d i n a l e M a ß z a h l a u s e i n e r V e r t e i l u n g : Z e n t r a l w e r t . 3. S c h ä t z v e r f a h r e n : Z e n t r a l w e r t e i n e r S t i c h p r o b e w i r d g e s c h ä t z t . 4. D i r e k t e r Schluß: A u s g a n g s v e r t e i l u n g b e k a n n t , b)

x

gesucht.

5. M o d e l l : ohne Z u r ü c k l e g e n . 6. n / N = 2o / l o o o

= o, o2 < o, o4

7. m e t r i s c h 8. n = 2o < 3o 9. A = Z ? Ist d i e A u s g a n g s v e r t e i l u n g n o r m a l v e r t e i l t ? A n n a h m e : nein lo.

Binomialverteilung

c) 11. Z w e i s e i t i g e r Z u f a l l s b e r e i c h

Direkter Schluß 12• x u

^ x/ . (u)

u =

.

»t i k \ N ( — )

x ;

~

o

x.. (o)

/ n - k + 1 . = N ( )

o

k

k

k+1

X ( n) —

aus

i=o

l

2


o

9 6

=

o,oo56

2,399

x

= 2 , 4 1 + 1 , 9 6 . o, oo56 = 2 , 4 2 1 o 13. Damit die Produktion unter K o n t r o l l e i s t , muß der Z e n t r a l w e r t zwischen 2, 399 und 2 , 4 2 1 g liegen.

106

Ordinale Statistik

Direkter Schluß

107

22. A u f g a b e : B e i d e r M u s t e r u n g h a t t e n 172o R e k r u t e n f o l g e n d e T a u g l i c h k e i t s grade aufzuweisen: x. 1 1 2 3 4

= = = =

h. l

gut t a u g l i c h tauglich noch tauglich wenig tauglich

5oo 71o 45o 6o 172o

3o R e k r u t e n w e r d e n f ü r e i n e S p e z i a l a u f g a b e z u f ä l l i g a u s g e w ä h l t .

Mit

h ö c h s t e n s w e l c h e m T a u g l i c h k e i t s g r a d kann m a n f ü r die H ä l f t e dies e r 3o R e k r u t e n r e c h n e n ?

et = 5 %

Lösung: a)

1. O r d i n a l e V e r t e i l u n g . M e r k m a l s a u s p r ä g u n g e n : gut t a u g l i c h , tauglich, noch tauglich, wenig tauglich. 2. M a ß z a h l a u s e i n e r V e r t e i l u n g : Z e n t r a l w e r t . 3. S c h ä t z v e r f a h r e n : T a u g l i c h k e i t s g r a d d e r H ä l f t e von 3o Rekruten wird geschätzt. 4 . D i r e k t e r Schluß: A u s g a n g s v e r t e i l u n g b e k a n n t , x

b)

5. M o d e l l : o h n e Z u r ü c k l e g e n . 6. n / N

= 3o / 172o = o, o l 7
o , o4

Vertrauensbereich

x,

(o)

z

- + 2"

2

i / n (N - n ) N" - 1 ' N

=

= 1-a

o,95

3o 2•> 19,4

1, 6 4 5 2•> " *

(6oo-30; 600 - 1

112 12.

Ordinale Statistik x. 1

1

1

h.

1

5

eh. 5

2

lo

15

3

7

22

4

3

25

5

5_

3o

3o |i o

=

ausreichend

13. Man kann mit 95 % Vertrauen erwarten, daß die Hälfte der Belegschaft die Sozialleistungen der Firma mindestens als ausreichend bezeichnet.

Indirekter Schluß

113

114

O r d i n a l e Statistik

24. Aufgabe: Um das m i t t l e r e H e i r a t s a l t e r der Männer eines O r t e s f e s t z u s t e l l e n , wurden 3o Männer z u f ä l l i g aus dem H e i r a t s r e g i s t e r ausgewählt und der Z e n t r a l w e r t i h r e s H e i r a t s a l t e r s berechnet. Innerhalb w e l c h e r G r e n z e n liegt der Z e n t r a l w e r t des H e i r a t s a l t e r s für die rund 5oo v e r h e i r a t e t e n Männer d i e s e s O r t e s , wenn er in d e r Stichprobe 28 Jahre beträgt und die Standardabweichung

s

= 2,5

Jahre ausmacht.

0. = 5 %

Lösung: a)

1. M e t r i s c h e V e r t e i l u n g . M e r k m a l : H e i r a t s a l t e r . 2. O r d i n a l e Maßzahl aus einer Verteilung: Z e n t r a l w e r t . 3. Schätzverfahren: M i t t l e r e s H e i r a t s a l t e r w i r d geschätzt. 4. I n d i r e k t e r Schluß:

b)

x

bekannt, £

gesucht.

5. M o d e l l : ohne Zurücklegen. 6. N

=

5oo

7. n / N

=

3o / 5oo

= o, 06 > o, o4

8. m e t r i s c h 9. n = lo. c)

3o

Normalverteilung

11. Z w e i s e i t i g e r V e r t r a u e n s b e r e i c h 12.

M-

ru 3

=

= x - z , 28

F( x ) s

II (I

= u o

Zl-a/2

;

m

/ n

l-a/2

=

=

.F(x) Zo,

1,253-4i/n

2,5 ; s -

Sl/— V n_!

m

975 =

^o

= x + z„ , l-a/2

0

. F ( x )

m

i'96

l / I 1 1 ^ » N - 1 = 2 , 5v l / - ^ 3o-l

=

28 - 1, 96 . o, 56 = 26, 89

=

28 + 1, 96 . o, 56 = 29, 11

/ ' =

5

° ° ' 3° 5oo-l

= 0,56

2,54

13. Mit 95 % Vertrauen liegt das zentrale Heiratsalter dieses Ortes für die Männer zwischen 26,89 und 29,11 Jahren.

Indirekter Schluß

115

116

Ordinale Statistik

25. A u f g a b e : In e i n e r s o z i o l o g i s c h e n U n t e r s u c h u n g ü b e r d i e F a m i l i e n s t r u k t u r

eines

L a n d e s w u r d e u . a. f e s t g e s t e l l t , d a ß 2o z u f ä l l i g a u s g e w ä h l t e F a m i l i e n f o l g e n e Z a h l an K i n d e r n h a t t e : x. 1

h. l

0

4

1

6

2

5

3

3

4 u. m e h r

2

Mindestens mit welcher Kinderzahl kann man für die Hälfte der Familien dieses Landes rechnen?

a

= 5 %

Lösung: a)

1. M e t r i s c h e V e r t e i l u n g . M e r k m a l : Z a h l d e r K i n d e r . 2. O r d i n a l e M a ß z a h l a u s e i n e r V e r t e i l u n g :

Zentralwert.

3. S c h ä t z v e r f a h r e n : K i n d e r z a h l f ü r d i e H ä l f t e d e r F a m i l i e n d e s Landes wird geschätzt. 4. I n d i r e k t e r S c h l u ß : S t i c h p r o b e b e k a n n t , b)

M- g e s u c h t .

5. M o d e l l : o h n e Z u r ü c k l e g e n . 6. N

unbekannt

7. m e t r i s c h 8. n = 2o < 3o 9. A = Z ?

Ist die A u s g a n g s v e r t e i l u n g n o r m a l v e r t e i l t ?

Annahme: nein lo.

Binomialverteilung

Indirekter Schluß c)

117

11. E i n s e i t i g e r V e r t r a u e n s b e r e i c h 12. H

= x.

u

u

(u)

aus

u .E ( n ) J i=o l 2 n

£

r ( 2° ) — 1 i=o 2 i= o u

i

'

a


H0

D ^ i D , - . , , ? .

1-a

0 H,:F(x)FW 0

Anpassungstest

125

M i t H i l f e d e s K o l m o g o r o f f - T e s t s kann m a n u. a. auch die F r a g e e n t s c h e i d e n , ob d i e A u s g a n g s v e r t e i l u n g e i n e r N o r m a l v e r t e i l u n g entspricht.

D i e e n t s p r e c h e n d e A b f r a g e wird in den F l u ß d i a g r a m m e n

f o l g e n d e r m a ß e n a b g e k ü r z t : A = Z ? Dazu ein B e i s p i e l :

28.

Aufgabe:

Kann m a n a n n e h m e n , daß d i e S t i c h p r o b e von Aufgabe (26) aus e i n e r n o r m a l v e r t e i l t e n A u s g a n g s v e r t e i l u n g s t a m m t ? a = 5% Lösung: a) 1. M e t r i s c h e V e r t e i l u n g .

Merkmalsausprägungen:

Z a h l d e r K o r b w ü r f e : 2, 3, 4 ,

10.

2. O r d i n a l e M a ß z a h l e n aus e i n e r V e r t e i l u n g : Q u a n t i l e . 3. T e s t v e r f a h r e n : D i f f e r e n z z w i s c h e n Q u a n t i l e n d e r S t i c h p r o b e und d e r N o r m a l v e r t e i l u n g w i r d g e t e s t e t . 4 . A n p a s s u n g s t e s t : V e r g l e i c h von M a ß z a h l e n d e r S t i c h p r o b e und A u s g a n g s v e r t e i l u n g . b) 5. H : F ( x ) = Z ° H^: F ( x ) ^ Z V 6"

D

H

Die Ausgangsverteilung ist normalverteilt. Die Ausgangsverteilung i s t nicht normalverteilt.

o

l-a/2;n=Do,975;24

7. D

max

CIV

= max

Icp. I

i

=

°'

crc.l i '

2 6 9

: In u n s e r e m B e i p i e l s i n d die

die P e r z e n t i l e d e r N o r m a l v e r t e i l u n g : CN^ = •

Um

d i e s e zu e r m i t t e l n , m u ß die S t i c h p r o b e in z - M e r k m a l e t r a n s f o r m i e r t werden. z. l

D i e F o r m e l dafür l a u t e t : x. - x l s

126

Ordinale Statistik X. - X

X.

h.

1

Pi

l

2 3 4 5 6 7 8 9 lo

o,o417 o,o417 o,o833 o,125o o, 2 5 o o o,2o83 o,1666 o,o417 o,o417

1 1 2 3 6 5 4 1 1

1

cpi

i

l o

;

n

2

loo > lo

7. z - Test c)

8. H :

Fix)

Das Vitamin hat keinen Einfluß auf die Energie.

H j : F 1 (x) > F 2 ( X ) 1 '1

Das Vitamin erhöht die Energie.

130

Ordinale Statistik Z

11 - a

=

o , o* 95

z

=

I 1 l0

"

V == FF 1 2

U

ni • n2 —i— 2

. min

./fnrn2 l[/n3-n^ l 1 " n (n - 1) 12 '

x. l

h.„ h. ll l2

Mehr E n e r g i e

36

Keine Veränderung

56 7o

Weniger E n e r g i e

I(fj3 - f ) i " 12 J

f. l

cf. l

56

56

28,5

lo26

57o

175616

l7556o

126 182

119,5

6692

8365

2ooo376

2ooo25o

18 2oo 1 9 1 , 5

1532

1915

5832

5814

2o

8 lo

R. h . R . h . R. l il l l2 l

l o o l o o 2oo R

= j

3

=

(56 + 182 + 1) = (182

7

+

2o

+

°

T UT = 1loo . 1loo +, 1 T T U 2 = loo . loo + U

. min Z F

925o l o 8 5 o

2181624

=

119,5

=

191 5

'

l o o (^l o o + l ) - 925o ^ loo (— l o o + 1 ) - lo85o IOC

,.„ 42oo 1

=

co 58oo

=

42oo

42oo

= F

2

„ 1 2

J z ,

12. H j : F ^ x ) >

l o o . loo

=

=

l/[ V

11. z r

f3 - f l

(o + 56 + 1) = 2 8 , 5

R2 = j r

f3 l

1

"a

l o

° •

l o

° lì

l 2oo ((22oooo--ll))JJ ?

\~
12 '

2

'29

2181624i 12 J

2,29 > 1,645

F2(X)

13. Das Vitamin erhöht die Energie. Das R i s i k o , daß diese Behauptung nicht zutrifft, beträgt maximal 5 %.

Homogenitätstest

131

132

Ordinale Statistik

3o. Aufgabe: Die Rangliste der Ergebnisse eines sportlichen Wettbewerbes enthält 14 Namen. 6 davon wendeten Technik A an , der Rest Technik B. Die Rangplätze verteilen sich wie folgt auf die beiden Techniken: A

2

3

4

6

8

9

B

1

5

7

lo

11

12

13

14

Ist die Technik A besser als die Technik B ?

a

= 5%

Lösung: a)

1. Ordinale Verteilung. Merkmal: Rangplätze. 2. Maßzahlen aus einer Verteilung: Quantile. 3. Testverfahren: Unterschied zwischen Stichproben. 4. Homogenitätstest: Stammen die Stichproben aus der gleichen Ausgangsverteilung?

b)

5. Zwei Stichproben : 6. n^ = 6 < lo; 7. U -

c)

n2

1. Technik A ; 2. Technik B . = 8 < lo

Test

8. H : F

(x) = F

(x)

Technik A ist gleich gut wie Technik B.

H^ H1

9. U

F i (x) > 1 >

F 2 (X)

legen.

Ho

a; n ; n 1

Technik A ist der von B über-

U

o, o5; 6; 8

lo

Homogenitätstest

10.

U . min

=

min J1 u • U. \ 1 2 i A

B

2 3 4 6

1 5 7 lo

8

T

=

11

9 32

12 13

T2 = 6 . 8 + U2 = 6 . 8

8 + 2

= 1 1

11.

U

U

12.

H : F , (x) = F o

13.

l

73

R V —^

U . min . ; min

14

=

9

?

a; n ;

-

32

=

37

-

73

=

11

11 > lo

(x) 2

Auf Grund d i e s e r E r g e b n i s s e kann man nicht behaupten, daß die Technik A b e s s e r ist als die Technik B.

133

134

Ordinale Statistik

Homogenitätstest

135

31. A u f g a b e : E i n e M a r k t f o r s c h u n g s a b t e i l u n g e i n e r F i r m a will f e s t s t e l l e n , w e l c h e von d r e i V e r p a c k u n g e n d i e Kunden a m b e s t e n a n s p r i c h t . In e i n e r Voruntersuchung erhielt man folgendes Ergebnis: Beurteilung A s e h r gut (1) gut (2) s c h l e c h t (3)

V e r p a c k u n g B C

o 3 2

3 1 1

1 2 2

B e s t e h t ein s i g n i f i k a n t e r U n t e r s c h i e d in d e r B e u r t e i l u n g d e r V e r packungen ?

a = 5%

Lösung: a)

1. O r d i n a l e V e r t e i l u n g . s e h r gut, gut,

Merkmalsausprägungen:

schlecht.

2. M a ß z a h l a u s e i n e r V e r t e i l u n g : Q u a n t i l e . 3. T e s t v e r f a h r e n : U n t e r s c h i e d e z w i s c h e n S t i c h p r o b e n . 4. H o m o g e n i t ä t s t e s t : Sind die U n t e r s c h i e d e z w i s c h e n den Stichproben zufällig? b)

5. M e h r a l s 2 S t i c h p r o b e n :

6. Z a h l d e r S t i c h p r o b e n 7. n 8. H -

= 5 ; n

1. V e r p a c k u n g A 2. V e r p a c k u n g B 3. V e r p a c k u n g C 1 = 3

= 5 ; n

= 5

Test

9. H : F (x) = F 1 0

¿t

(x) = F

o

(x)

Die drei Verpackungen w e r den g l e i c h b e u r t e i l t .

H^: F j (x)

f

F^ (x)

Die d r e i Verpackungen w e r den u n t e r s c h i e d l i c h b e u r teilt.

136

Ordinale Statistik

lo.

H

12

H =

11.

= H

a; n 1 ; n 2 ; n 3

, . . , = 5, 78 o, o5 ; 5 ; 5 ; 5 T

ri

2

3 7,81 (x)

13. Die g e z e i g t e n F i l m e unterscheiden sich in der Beurteilung signifikant. Das R i s i k o , daß d i e s e Behauptung nicht z u t r i f f t , beträgt m a x i m a l 5 %.

140

Ordinale Statistik

6. Anpassungstest für den Rangkorrelationskoeffizienten

5 S. 141

S. 145

S. 148

Anpassungstest für den Rangkorrelationskoeffizienten

141

142

O r d i n a l e Statistik

33. A u f g a b e : 8 S t u d e n t i n n e n w u r d e n n a c h i h r e m S t u d i e n a b s c h n i t t und n a c h i h r e m A u s s e h e n k l a s s i f i z i e r t . Man e r h i e l t f o l g e n d e s E r g e b n i s : Aussehen (x t )

Studienabschnitt (y.)

Mittelmäßig Häßlich Schön Häßlich Gut a u s s e h e n d Häßlich Gut a u s s e h e n d Mittelmäßig

2. 1. 1, 3. 1. 3. 1. 2.

Kann m a n auf G r u n d d i e s e r S t i c h p r o b e einen a l l g e m e i n e n Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n A u s s e h e n und S t u d i e n a b s c h n i t t von Studentinnen a b leiten ?

a

= 5 %

Lösung: a)

1. O r d i n a l e V e r t e i l u n g e n . M e r k m a l s a u s p r ä g u n g e n : A u s s e h e n : h ä ß l i c h , m i t t e l m ä ß i g , gut a u s s e h e n d , schön Studienabschnitt: 1. , 2. , 3. 2. M a ß z a h l a u s zwei V e r t e i l u n g e n : R a n g k o r r e l a t i o n s k o e f f i z i e n t . 3. T e s t v e r f a h r e n : U n t e r s c h i e d z w i s c h e n R a n g k o r r e l a t i o n s ko e f f i z i e n t e n . 4. A n p a s s u n g s t e s t : Ist die D i f f e r e n z z w i s c h e n den R a n g k o r r e l a t i o n s k o e f f i z i e n t e n d e r S t i c h p r o b e n und 0 z u f ä l l i g ?

b) 5. 6. c) 7.

n = 8 < lo r Hq:

-

Test Pg

= 0

Im A l l g e m e i n e n b e s t e h t z w i s c h e n A u s s e hen und S t u d i e n a b s c h n i t t k e i n Z u s a m m e n hang.

H.: 1

p

t

s

0

Z w i s c h e n A u s s e h e n und S t u d i e n a b s c h n i t t b e s t e h t ein Z u s a m m e n h a n g .

M

H

o

Anpassungstest für den Rangkorrelationskoeffizienten

S

l-a/2; n

Oj69o5

o, 975; 8

S

I ( R.

s

1 2

(n3- n ) -

i

- R. )

(1) häßlich

2

1

h..

J

h.)

Studienabschnitt 2. 3. 1.

y

X

143

2

+

Z ( h

j

- h. J

h. l

ch. l

R. l

Q h3 1

h 3 - h. 1 1

3

3

2

27

24

2

5

4,5

8

6

0) (2) mittelmäßig gut aussehend ta 3 (4) schön

2

2

7

6, 5

8

6

1

1

8

8

1

-

h. .1

4

2

2

ch. J

4

6

8

R. J

2, 5

5, 5

7,5

64

8

8

6o

6

6

h3-h .1 X. l

y

2 1 4 1 3 1 3 2 r

s

j

2 1 1 3 1 3 1 2 =

1 - 6

R. l

R. J

4, 5

5,5 2, 5 2,5 7,5 2, 5 7,5 2, 5 5, 5

2 8 2

6, 5 2 6, 5 4,5

72

R. - R . l J

(R

1 - o, 5 5, 5 - 5, 5 4 - 5, 5 4 - 1

1, oo o, 25 3o, 25 3o, 25 16, oo 30, 25 16, oo 1, 00 125,oo

125 ( 8 3 - 8) +

1 2

36

8

(36 + 72)

_ - o,3441

144 l0-

11.

Ordinale Statistik

Kl

« ^l-a/2; n'

o, 3441 < o, 69o5

H : P = 0 o s

12. Zwischen dem Aussehen und dem Studienabschnitt der 8 Studentinnen besteht ein Zusammenhang: Je geringer der Studienabschnitt, umso besser das Aussehen. Man ist aber nicht in der Lage, diesen Zusammenhang zu verallgemeinern, da man auch aus Ausgangsverteilungen, zwischen denen kein Zusammenhang besteht, Stichproben entnehmen kann, die zufällig ein r^ von -o,3441 aufweisen.

Anpassungstest für den Rangkorrelationskoeffizienten

145

t-Test

, ^

H, g H p ?

v=n-2

J

Eh

H,:pt H 0

H, 4= H 0

H , < H0

\

y

tl » » f p,«0 < M-d ¡V • y

fp^ollti-a/i.v 7 v=n-2 /

I-0

r-s

v i i V

S

H0:ft=0

S

H,:p.>0

146

O r d i n a l e Statistik

34. A u f g a b e : Um d i e B e u r t e i l u n g von D e u t s c h - A u f s ä t z e n zu u n t e r s u c h e n ,

wurden

die A u f s ä t z e von l o S c h ü l e r n zwei L e h r e r n v o r g e l e g t , die s i e o h n e g e g e n s e i t i g e B e e i n f l u s s u n g in je e i n e R a n g r e i h e b r a c h t e n . D a s E r gebnis zeigt folgende Übersicht: Schüler

Rangplatz nach Lehrer I Lehrer

A B C D E F G H I J

3 lo 4 2 5 6 8 7 1 9

II

1 9 8 5 4 6 2 3 7 lo

B e s t e h t in d e r B e u r t e i l u n g d u r c h d i e b e i d e n L e h r e r ein s i g n i f i k a n t e r Zusammenhang ?

a

= 5%

Lösung: a)

1. O r d i n a l e V e r t e i l u n g . M e r k m a l e : R a n g p l ä t z e . 2. M a ß z a h l aus zwei V e r t e i l u n g e n : R a n g k o r r e l a t i o n s k o e f f i z i e n t . 3. T e s t v e r f a h r e n : U n t e r s c h i e d in d e r B e u r t e i l u n g b e i d e r L e h r e r ? 4. A n p a s s u n g s t e s t : I s t d i e D i f f e r e n z z w i s c h e n d e m R a n g k o r r e l a t i o n s k o e f f i z i e n t e n d e r S t i c h p r o b e n und 0 z u f ä l l i g ?

b)

5. n = l o < 3o 6. t

c)

-

7. H^:

Test ps

= 0

In der B e u r t e i l u n g b e i d e r L e h r e r b e s t e h t kein Z u s a m m e n h a n g .

H^: H

1

Pg + 0 +

H

E s b e s t e h t ein Z u s a m m e n h a n g . o

Anpassungstest für den Rangkorrelationskoeffizienten

Va/2;v

3

°6

n - 2 = lo - 2 = 8

V=

9.

" V 975; 8 "

| t f Ps t = o1 =

r s. i . 2 1 - r s

Lehrerl

L e h r e r II

3 lo 4 2 5

1 9 8 5 4

8 7 1 9

2 3 7 lo

6

R. - R . i J 2

-

3

6

(R. - R . ) 2 i 3

1 - 4 0

1

6 4 - 6 - 1

4 1 16 9 1

0

36 16 36 1 12o

r

1-6

s

12o r „ 3 - lo) - 0 (lo

=

o, 273

lo - 2 t

i p sS = 0 l = ° ' ° lo

273

1/

T 1 - o, 273

2 t, ,„ - |t l-a/2;v I or S = oI'
o, o5

12oo > 3o

Normalverteilung

lo. Zweiseitiger Zufallsbereich 11

'

5

u

=

^

=

F (x)

^ ~ zi-a/2 '

m

5 0 0 0

;

F (

* W z

;

l-a/2

o

=

=

^

+ z

Z

4oo

l - a / 2 -

o,975

=

F ( 5 )

m

1 , 9 6

^/ir 2oooo - 12oo 2oooo 1

11, 2o

Direkter Schluß x x

u o

=

5ooo-l,96.

11,20

=

4978,o5

=

5ooo + 1 , 9 6 . 1 1 , 2 o

=

5o21,95

12. Mit 95 % W a h r s c h e i n l i c h k e i t liegt das D u r c h s c h n i t t s e i n k o m men der 12oo zu befragenden E r w e r b s t ä t i g e n zwischen S 4 . 9 7 8 , o 5 und S 5 . o 2 1 , 9 5 .

161

162

Metrische Statistik

Direkter Schluß

163

3 7. Aufgabe: Die durchschnittliche Weitsprungleistung eines S p o r t l e r s beträgt 5, 8o m , die Standardabweichung o, 25 m. B e i einem B e w e r b werden 3 Sprünge durchgeführt. Mit welcher durchschnittlichen Weitsprungleistung kann der Sportler rechnen?

a

= o, o5

Lösung: a)

1. M e t r i s c h e Verteilung. M e r k m a l : Weitsprungleistung in Meter. 2. Maßzahl aus einer Verteilung: A r i t h m e t i s c h e s Mittel. 3. Schätzverfahren: Durchschnittliche Weitsprungleistung wird geschätzt. 4. D i r e k t e r Schluß:

b)

(i bekannt, x

gesucht.

5. Modell: ohne Zurücklegen. 6. N unbekannt 7. n = 3

3o

Normalverteilung

9. Z w e i s e i t i g e r lo

"

^u i

5

" =

z

l-a/2 *

117,83

F (x)

= ° =

^o

"

Vertrauensbereich

;

-Sj/n~

Zl

=

F

(i)

o

_a/2 H i l l Viöö"

117, 83

- 1, 9 6 .

117,83

+

;

5

^o =

=

z

o 9 7 5

=

1,172

1, 96 . 1, 172

+

z

=

l-a/2 •

F

H

1,96

1>172

=

115,53

=

12o,13

1 1 . D i e H ö c h s t g e s c h w i n d i g k e i t d i e s e r PKW l i e g t m i t 95 % V e r t r a u e n zwischen

1 1 5 , 5 3 km/h und 12o,13

km/h.

176

+

Metrische Statistik

vgl. S. 125

Anpassungstest

z-Test

r "¡=t «te o

F(x)0

x-H, F(x)0 1

t

H, k

H,< Ho

H0

H, s

,

Eh rè

H0

9 \

177

178

Metrische Statistik

43. A u f g a b e : Bei einem A r b e i t e r wurde die für eine b e s t i m m t e Arbeit benötigte Z e i t l o m a l a b g e s t o p p t . Im D u r c h s c h n i t t benötigt e r 8, 3 M i n u t e n .

Es

i s t zu u n t e r s u c h e n , ob s i c h d e r f ü r den s p e z i e l l e n A r b e i t e r b e r e c h n e t e M i t t e l w e r t w e s e n t l i c h von d e m aus e i n e r g r o ß e n Z a h l von Z e i t m e s s u n g e n f ü r d i e g l e i c h e A r b e i t h e r v o r g e g a n g e n e n M i t t e l w e r t von 8 M i n u t e n u n t e r s c h e i d e t . Die A u s g a n g s v e r t e i l u n g i s t a n n ä h e r n d n o r m a l v e r t e i l t , die S t a n d a r d a b w e i c h u n g

0

= o, 2 M i n u t e n ,

a

=

5 % .

Lösung: a)

1. M e t r i s c h e V e r t e i l u n g . M e r k m a l : B e s t i m m t e r A r b e i t s v o r g a n g nach Minuten. 2. M a ß z a h l a u s e i n e r V e r t e i l u n g : A r i t h m e t i s c h e s M i t t e l . 3. T e s t v e r f a h r e n : U n t e r s c h i e d z w i s c h e n d u r c h s c h n i t t l i c h e n Arbeitszeiten wird getestet. 4. A n p a s s u n g s t e s t : D i f f e r e n z z w i s c h e n

, Maßzahl der Aus-

g a n g s v e r t e i l u n g und x , M a ß z a h l d e r S t i c h p r o b e . b)

5. 0 = o, 2 6. n = l o
8

Er benötigt i m Durchschnitt m e h r als 8 M i n u t e n .

Anpassungstest 10. z .

= z

1-a

11. z„

= 1,645 n_ o,95 x -\i

-2-

&o

F x

= 8,3

;

Li

__

8,3-8 0,06

H=|io 12. z

5 H=(jlo -

= 8 ; F (x)

z,

l-a

?

°

= —2— Vn

= -Sil

VlZ

=

0,06

=

5,0 > 1,645

13. H j : \i>\i0 14. D e r A r b e i t e r benötigt i m Durchschnitt m e h r als 8 Minuten. Das F e h l e r r i s i k o beträgt bei d i e s e r Entscheidung m a x i m a l 5 %. (Tatsächlich ist es g e r i n g e r als o, 1 %)

179

180

Metrische Statistik

Tschebyscheff'sche Ungleichung

ZU 1

bekannt?^)nein

ja

H3Z

I ,

JX-MJ ftx)„

V.( H ^ H p ? < 1r H, + H 0

H, < H 0

k = 1/1(6«

-

>

H,

>H0

k =1/1/077

1

>

Hoi^o

Hi:u>|io

Anpassungstest

181

44. Aufgabe: E i n e M a s c h i n e , d i e S c h r a u b e n p r o d u z i e r t , w u r d e auf ein S o l l m a ß von 5 m m e i n g e s t e l l t . Aus E r f a h r u n g weiß m a n , daß die S t a n d a r d a b w e i c h u n g o, 1 m m b e t r ä g t . M a n w e i ß a b e r n i c h t , ob d i e A u s g a n g s v e r t e i l u n g n o r m a l v e r t e i l t i s t . U m f e s t z u s t e l l e n , ob d i e M a s c h i n e ^ i n O r d n u n g ' a r b e i t e t , w i r d ein S t i c h p r o b e von l o S c h r a u b e n e n t n o m m e n . arithmetische Mittel der lo D u r c h m e s s e r beträgt 5 , 3 m m . die Maschine^in Ordnung"?

Das

Arbeitet

a = 5 %

Lösung: a)

1. M e t r i s c h e V e r t e i l u n g . M e r k m a l : D u r c h m e s s e r in M i l l i m e t e r . 2. M a ß z a h l a u s e i n e r V e r t e i l u n g :

Durchschnitt.

3. T e s t v e r f a h r e n : U n t e r s c h i e d z w i s c h e n S t i c h p r o b e n d u r c h s c h n i t t und Sollmaß wird getestet. 4 . A n p a s s u n g s t e s t : D i f f e r e n z z w i s c h e n |i und b)

5. a

= o, 1

6. n

= l o < 3o

x .

7. A = Z ? I s t d i e A u s g a n g s v e r t e i l u n g n o r m a l v e r t e i l t ? Annahme: nein 8. T s c h e b y s c h e f f r s c h e U n g l e i c h u n g c)

9. H q : |i = 5

D i e M a s c h i n e p r o d u z i e r t auf l a n g e S i c h t S c h r a u b e n m i t einem D u r c h m e s s e r von 5 m m .

H j : ll > 5

Die M a s c h i n e produziert Schrauben mit einem D u r c h m e s s e n d e r größer als 5 m m ist.

H. 1 lo. k

>

H

o

= 1 / vS/2"

=

1 /

/o, o5/2

=

6,32

182

Metrische Statistik

11. k

x

k

=

=

5,3

M-=Uo

=

12. k,. ,, i |i=jio -

F(x)o ;

\i o | 5

k ?

=

—

5 ;

'3%s| o, o3

F (x)

= lo

>

o

=

-2— v^r

=

yrö—

= o, o3

lo 6, 32

13. H X : \ L > 14. D i e M a s c h i n e a r b e i t e t nicht f in Ordnung* Das R i s i k o einer F e h l entscheidung b e t r ä g t m a x i m a l 5 %.

Anpassungstest

t-Test

V-HcT

ftx).

H,*H0?

H, * H 0

H, H 0

l\ " r " : T A

0

É H

H,:^,

H 0 :|i=)i

è

H,:u

183

184

Metrische Statistik

45. Aufgabe: Es wird behauptet, daß die Milchleistung von Kühen von der ersten zur zweiten Laktationsperiode steigt. Von l o Kühen liegen folgende Beobachtungen v o r : 2. Laktation

1. Laktation

Kuh N r .

325o 335o 393o 438o 421o 532o 331o 312o 4119 31oo

326o 345o 381o 422o 426o 516o 295o 297o 3886 3125

1 2 3 4 5 6 7 8 9 lo

Bestätigen diese Daten obige Behauptung ?

a

= 5 % .

Lösung: a)

1. M e t r i s c h e Verteilung. Merkmal: Milchleistung in L i t e r . 2. Maßzahl aus einer Verteilung: Durchschnitt. 3. T e s t v e r f a h r e n : Unterschied zwischen Laktationsperioden wird getestet. 4. Anpassungstest: Durchschnittliche D i f f e r e n z zwischen 1. und 2. Laktationsperiode und 0 .

b)

5. a

unbekannt

6. n = l o < 3o 7. A

= Z ? Ist die Ausgangsverteilung normalverteilt?

Annahme: ja 8. t

-

Test

Anpassungstest c)

9. H

0

: u = 0 'o

185

Der Durchschnitt aus den Differenzen der beiden Laktationen ist Null. Die M i l c h l e i stung steigt also nicht von der ersten zur zweiten Laktationsperiode.

H 1 • Uo > 0

Die durchschnittliche Differenz ist positiv. Die Milchleistung steigt von der ersten zur

Hj >

zweiten Laktationsperiode.

Hq

l o . t,

1-

1,833

0

14. D i e d u r c h s c h n i t t l i c h e positive Differenz von 99, 8 weicht von 0 signifikant ab. Die Beobachtungen stützen a l s o die Behauptung, daß die M i l c h l e i s t u n g von Kühen von der e r s t e n zur zweiten L a k t a t i o n s p e r i o d e steigt. Das m a x i m a l e F e h l e r risiko

b e t r ä g t für d i e s e Behauptung 5 %.

Anpassungstest

X-Ho ftx).

W o -

H,*

H, < H o

H0

H, > Ho

i

z

Eh H3 H,:^n0

187

188

Metrische Statistik

46. Aufgabe: Der Inhalt e i n e r F l a s c h e b e s t i m m t e r F l ü s s i g k e i t w i r d von einer F i r m a mit 1 L i t e r angegeben. Das G e w e r b e i n s p e k t o r a t w i l l dies überprüfen und untersucht eine Z u f a l l s s t i c h p r o b e von 144 F l a s c h e n . Der durchschnittliche Inhalt beträgt in d i e s e r Stichprobe o, 99 L i t e r und der Schätzwert der Standardabweichung

s = o, o4 L i t e r .

Be-

steht ein signifikanter Unterschied zwischen dem beobachteten Inhalt

von o, 99 L i t e r und dem angezeigten von 1 L i t e r bei einem

5 %igen Signifikanzgrad ? Lösung: a)

1. M e t r i s c h e V e r t e i l u n g . M e r k m a l : Flascheninhalt in L i t e r . 2. Maßzahl aus einer Verteilung: Durchschnitt. 3. T e s t v e r f a h r e n : Unterschied zwischen Stichprobendurchschnitt und Sollmaß w i r d getestet. 4. Anpassungstest: D i f f e r e n z zwischen p. und x

b)

c)

.

5. o unbekannt 6. n =

144 > 3o

7. z

Test

-

8. H : o

H =

1

D e r Flascheninhalt beträgt im Durchschnitt 1 L i t e r .

H,:

H
Ma

r


3o

unbekannt

2

=

= 288,

?

Annahme: Homogenität ( T e s t s i e h e S.

- Test

lo. H : 0

^

=

^2

Das Durchschnittsgewicht von Knaben und Mädchen bei der Geburt u n t e r s c h e i det s i c h nicht.

H : (i. > 1 1 H, 1

214)

>

n„ 6 H

o

Die Knaben wiegen bei der Geburt im Durchschnitt m e h r a l s die Mädchen.

Homogenitätstest 11. z , 1

- a

= z

„_ o, 95

=

1,645 X

12"

Z Hl=H2

1

"

2

/

niSl - H ni

2

2 n 2®2

+ +

X

¿-f 2 "

n2

33oo ( 288.47p 2

-

-

n

1

+

l

n2

3o5o

+ 269.46P 2

288 + 2 6 9

1

) (

} (

2

1

288

+

1

}

269

6, 33

13'

Z H1=H2

14.

Hl

:

^

= >

Z

l-a

?

6

'

3 3 >

^ ^

^

15. Das Durchschnittsgewicht der Knaben ist bei der Geburt größer als das der Mädchen. Das F e h l e r r i s i k o für diese Behauptung beträgt maximal 5 %.

193

194

Metrische Statistik

ZHTTH>> H , < H0

H, *

\ l>h r® •

'

i

H0

H, > H0

z ^ z . «H-a/2. . ?

B

Z

}A\

1-Ot'

0 f

1

Homogenitätstest

195

48. Aufgabe: E i n e G r u p p e von 6 o M ä n n e r n und 4o F r a u e n w u r d e b e a u f t r a g t , v e r s c h i e d e n f a r b i g e K l ö t z e in e i n e r b e s t i m m t e n W e i s e a n z u o r d n e n .

Die

d a f ü r n o t w e n d i g e Z e i t w u r d e g e s t o p p t . Im D u r c h s c h n i t t b r a u c h t e n die M ä n n e r 46 Sekunden bei e i n e r S t a n d a r d a b w e i c h u n g von 3, 18 S e k u n d e n u n d die F r a u e n 44, 5 S e k u n d e n bzw. 2, o4 Sekunden

Standard-

abweichung. Eignen sich F r a u e n b e s s e r als Männer f ü r diese T ä t i g k e i t , die in e i n e m b e s t i m m t e n I n d u s t r i e b e t r i e b d u r c h g e f ü h r t w i r d ? a

a)

= 5 % .

1. M e t r i s c h e V e r t e i l u n g . M e r k m a l : A n o r d n u n g s z e i t in S e k u n d e n . 2. M a ß z a h l a u s e i n e r V e r t e i l u n g : D u r c h s c h n i t t s z e i t . 3. T e s t v e r f a h r e n : U n t e r s c h i e d in d e r d u r c h s c h n i t t l i c h e n A n o r d n u n g s z e i t von M ä n n e r n und F r a u e n w i r d g e t e s t e t . 4. H o m o g e n i t ä t s t e s t : D i f f e r e n z z w i s c h e n

b)

5. Z w e i S t i c h p r o b e n :

x^ und x^ .

1. M ä n n e r 2. F r a u e n

3o ?

n

= 6o ,

n

2

4o > 3o

unbekannt

9. z c)

-

?

A n n a h m e : n e i n ( T e s t s i e h e E x k u r s S. 214)

2

Die Ausgangsverteilungen haben gleiche

Test

lo. Ho:

= n

Durchschnitte, Hi: 1'

nx >

Ii

2

Die D u r c h s c h n i t t s z e i t d e r F r a u e n liegt unter der der Männer.

H„

>

H

o

196

Metrische Statistik

11. z , 1 - a

= z

o, 95

=

1,645

x1

-

x2

Li

„2 2

1 +

^ "l = § 13

-

2

2

1

14. H x :

^

n

/ /

-

/ l o , 2838 — 6o

44,5 +

'

4 , 2683 4o

2

2,84

= 3,182 . ^ 2 - = 6o-l

Mi = n 2

46

>

Z

1 - a

?

lo,2838 2

'

8 4 >

§

2

2

= 2, o 4 2 . j i S - = 4, 2683 4o-l

1 , 6 4 5

^

15. D i e M ä n n e r b e n ö t i g e n i m D u r c h s c h n i t t f ü r d i e s e T ä t i g k e i t m e h r Z e i t a l s die F r a u e n . Das R i s i k o , daß d i e s e B e h a u p t u n g falsch ist, beträgt maximal 5 % .

Homogenitätstest

< V T h > >r

H,Ho

/

/ Œh rè

Ho^r^i

è

è

H0:^=JÌJ

è H,:^^

197

198

Metrische Statistik

49. A u f g a b e : E i n e F i r m a will auf G r u n d d e r d u r c h s c h n i t t l i c h e n L e b e n s d a u e r e n t s c h e i d e n , w e l c h e von z w e i L e u c h t r ö h r e n m a r k e n g e k a u f t w i r d . Da d i e L e u c h t r ö h r e n M a r k e A b i l l i g e r sind a l s die M a r k e B , w i l l die F i r m a n u r dann d i e M a r k e B k a u f e n , wenn die d u r c h s c h n i t t l i c h e L e b e n s d a u e r d i e s e r M a r k e s i g n i f i k a n t l ä n g e r i s t a l s die von A. D i e S t a n d a r d a b w e i c h u n g w u r d e f ü r b e i d e M a r k e n m i t 7o Stunden a n g e g e b e n . E i n e S t i c h p r o b e i m U m f a n g von j e l o o L e u c h t r ö h r e n b r a c h t e f o l g e n d e s E r g e b n i s : M a r k e A: 985 Stunden D u r c h s c h n i t t s l e b e n s d a u e r , M a r k e B: l o o 3 Stunden D u r c h s c h n i t t s l e b e n s d a u e r . Soll d i e M a r k e B v o r g e z o g e n w e r d e n ?

a = 5%

Lösung: a)

1. M e t r i s c h e V e r t e i l u n g . M e r k m a l : L e b e n s d a u e r in S t u n d e n . 2. M a ß z a h l a u s e i n e r V e r t e i l u n g : D u r c h s c h n i t t . 3. T e s t v e r f a h r e n : U n t e r s c h i e d in d e r d u r c h s c h n i t t l i c h e n L e b e n s d a u e r von M a r k e A und B w i r d g e t e s t e t . 4. Homogenitätstest: Differenz zwischen

b)

5. Z w e i S t i c h p r o b e n :

x^ und

x^.

1. M a r k e A 2. M a r k e B

6. n

loo ,

1 2

o,

2

8. z

-

n 2

2

loo 7o

2

>

3o 49oo

Test Die d u r c h s c h n i t t l i c h e L e b e n s d a u e r d e r

c)

M a r k e A i s t g l e i c h d e r M a r k e B. Die L e u c h t r ö h r e n d e r M a r k e B h a b e n eine l ä n g e r e D u r c h s c h n i t t s l e b e n s d a u e r . H,


Ho

1

Wni v=n, >n 2 -2 /

W^jSt^av? v=n,+n2-2 /

v=n,+n í -2 /

lÉhrá 1

i'

S •

B ii

1

r

204 51.

Metrische Statistik Aufgabe:

Bei 8 zufällig aus der laufenden Produktion eines Automobilwerkes ausgewählten Pkw wurden mit Normalkraftstoff Verbrauchsmessungen durchgeführt, bei 8 anderen Verbrauchsmessungen mit Superkraftstoff. Für l o o km erhielt man folgendes Ergebnis: Super:

lo, 3; 11,2;

Normal:

9,6;

12,1;

8,4;

9,7;

12,6;

9,5;

13,7;

lo, 6;

14,2;

9,4;

lo, 1; 11,2;

11,5;

11,1;

Besteht zwischen Super- und Normalkraftstoff ein signifikanter Unterschied ?

a)

O = 5%.

1. Metrische Verteilung. Merkmal: Verbrauch in Liter. 2. Maßzahl aus einer Verteilung: Durchschnitt. 3. Testverfahren: Unterschied im Verbrauch zwischen Super - und Normalkraftstoff wird getestet. 4. Homogenitätstest: Differenz zwischen zwei Stichprobendurchschnitten.

b)

5. Zwei Stichproben:

1. Super 2. Normal

6. n

= 8

1

;

7. A = Z ?

n

£

= 8

2

lo, 2838 4,2683

Exkurs: Homogenitätstest für Varianzen

b)

§ 1 2

C)

Z

d)

z

>

§22

1 - a ¡2

6)

-

2 °1

V

:

215

Z

2 =

O,975

=

=

1.1513 1g

l o , 2838 4,2683

Vi

2

=

^ ^

^

Z

1 - a/2

?

6o-l

3

= =

1,84 . / l o - 3

=

4,868

, Q. 1,84

4>868

> 1,645

0

13. Zwischen Länge

der Verkaufserfahrung und Umsatz besteht

nicht nur bei den l o ausgewählten Agenten ein starker Zusammenhang, sondern allgemein (in den Ausgangsverteilungen). Je länger die Verkaufs erfahrung ,um so größer der Umsatz. Das Risiko, daß diese Behauptung nicht zutrifft, beträgt 5 %.

V. Tabellenanhang

231

1. Zehnerlogarithmen Zuschläge für Zehntel der Spanne

lg X X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

loo lol lo2 lo3 lo4

oooo oo43 0086 ol28 ol7o

ooo4 oo48 oo9o ol33 0175

ooo9 oo52 oo95 ol37 ol79

ool3 oo56 oo99 0141 ol83

ool7 0060 olo3 ol45 ol87

oo22 oo65 olo7 ol49 ol91

oo26 oo69 olii 0154 0195

oo3o oo73 oli 6 0158 ol99

oo35 oo77 ol2o 0162 o2o4

oo39 oo82 ol24 0166 o2o8

o o 0 o o

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

lo5 lo6 lo7 lo8 lo9

0212 0253 o294 o334 o374

0216 o257 o298 o338 o378

o22o o261 o3o2 o342 o382

o224 o265 o3o6 o346 o386

o228 o269 o31o o35o o39o

o233 o273 o314 o354 o394

o237 o278 o318 o358 o398

0241 o282 o322 o362 o4o2

0245 o286 o326 o366 o4o6

o249 o29o o33o o37o o41o

o 0 o o o

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

lo 11 12 13 14

oooo o414 o792 1139 1461

oo43 o453 o828 1173 1492

0086 o492 o864 12o6 1523

ol28 o531 o899 1239 1553

ol7o o569 o934 1271 1584

o212 o6o7 o969 13o3 1614

o253 o645 loo4 1335 1644

o294 o682 lo38 1367 1673

o334 o719 lo72 1399 17o3

o374 o755 llo6 143o 1732

4 4 3 3 3

8 8 7 6 6

12 11 lo lo 9

17 15 14 13 12

21 19 17 16 15

25 23 21 19 18

29 26 24 23 21

33 3o 28 26 24

37 34 31 29 27

15 16 17 18 19

1761 2o41 23o4 2553 2788

179o 2o68 233o 2577 281o

1818 2o95 2355 26ol 2833

1847 2122 238o 2625 2856

1875 2148 24o5 2648 2878

19o3 2175 243o 2672 29oo

1931 22ol 2455 2695 2923

1959 2227 248o 2718 2945

1987 2253 25o4 2742 2967

2ol4 2279 2529 2765 2989

3 3 2 2 2

6 5 5 5 4

8 11 14 17 2o 22 8 11 13 16 18 21 7 lo 12 15 17 2o 7 9 12 14 16 19 7 9 11 13 16 18

25 24 22 21 2o

2o 21 22 23 24

3olo 3222 3424 3617 38o2

3o32 3243 3444 3636 382o

3o54 3263 3464 3655 3838

3o75 3284 3483 3674 3856

3o96 33o4 35o2 3692 3874

3118 3324 3522 3711 3892

3139 3345 3541 3729 39o9

316o 3365 356o 3747 3927

3181 3385 3579 3766 3945

32ol 34o4 3598 3784 3962

2 2 2 2 2

4 4 4 4 4

6 6 6 6 5

8 11 13 15 17 19 8 lo 12 14 16 18 8 l o 12 14 15 17 7 9 11 13 15 17 7 9 11 12 14 16

25 26 27 28 29

3979 415o 4314 4472 4624

3997 4166 433o 4487 4639

4ol4 4183 4346 45o2 4654

4o31 42oo 4362 4518 4669

4o48 4216 4378 4533 4683

4o65 4232 4393 4548 4698

4o82 4249 44o9 4564 4713

4o99 4265 4425 4579 4728

4116 4281 444o 4594 4742

4133 4298 4456 46o9 4757

2 2 2 2 1

3 3 3 3 3

5 5 5 5 4

7 7 6 6 6

9 lo 12 14 15 8 lo 11 13 15 8 9 11 13 14 8 9 11 12 14 7 9 l o 12 13

3o 31 32 33 34

4771 4914 5o51 5185 5315

4786 4928 5o65 5198 5328

48oo 4942 5o79 5211 534o

4814 4955 5o92 5224 5353

4829 4969 51o5 5237 5366

4843 4983 5119 525o 5378

4857 4997 5132 5263 5391

4871 5oll 5145 5276 54o3

4886 5o24 5159 5289 5416

49oo 5o38 5172 53o2 5428

1 1 1 1 1

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

6 6 5 5 5

7 7 7 6 6

9 l o 11 13 8 l o 11 12 8 9 11 12 8 9 lo 12 8 9 lo 11

35 36 37 38 39

5441 5563 5682 5798 5911

5453 5575 5694 58o9 5922

5465 5587 57o5 5821 5933

5478 5599 5717 5832 5944

549o 5611 5729 5843 5955

55o2 5623 574o 5855 5966

5514 5635 5752 5866 5977

5527 5647 5763 5877 5988

5539 5658 5775 5888 5999

5551 567o 5786 5899 6olo

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

4 4 3 3 3

5 5 5 5 4

6 6 6 6 5

7 7 7 7 7

9 l o 11 8 lo 11 8 9 lo 8 9 lo 8 9 lo

4o 41 42 43 44

6o21 6128 6232 6335 6435

6o31 6138 6243 6345 6444

6o42 6149 6253 6355 6454

6o53 616o 6263 6365 6464

6o64 617o 6274 6375 6474

6o75 618o 6284 6385 6484

6o85 6191 6294 6395 6493

6o96 62ol 63o4 64o5 65o3

61o7 6212 6314 6415 6513

6117 6222 6325 6425 6522

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

8 7 7 7 7

9 lo 8 9 8 9 8 9 8 9

45 46 47 48 49

6532 6628 6721 6812 69o2

6542 6637 673o 6821 6911

6551 6646 6739 683o 692o

6561 6656 6749 6839 6928

6571 6665 6758 6848 6937

658o 6675 6767 6857 6946

659o 6684 6776 6866 6955

6599 6693 6785 6875 6964

66o9 67o2 6794 6884 6972

6618 6712 68o3 6893 6981

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 4 4

6 6 5 5 5

7 7 6 6 6

8 7 7 7 7

9 8 8 8 8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Beispiel: lg

4,321 = o,6355 + o.oool

= 0,6356

Zehnerlogarithmen, Fortsetzung Zuschläge

f ü r Zei ntel der Spanne

ig * 2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5o 51 52 53 54

699o 7o76 716o 7243 7324

6998 7o84 7168 7251 7332

7oo7 7o93 7177 7259 734o

7ol6 71ol 7185 7267 7348

7o24 711o 7193 7275 7356

7o33 7118 72o2 7284 7364

7o42 7126 721o 7292 7372

7o5o 7135 7218 73oo 738o

7o59 7143 7226 73o8 7388

55 56 57 58 59

74o4 7482 7559 7634 77o9

7412 749o 7566 7642 7716

7419 7497 7574 7649 7723

7427 75o5 7582 7657 7731

7435 7513 7589 7664 7738

7443 752o 7597 7672 7745

7451 7528 76o4 7679 7752

7459 7536 7612 7686 776o

6o

7782 7853 7924 7993 8o62

7789 786o 7931 8ooo 8o69

7796 7868 7938 8oo7 8o75

78o3 7875 7945 8ol4 8o82

781o 7882 7952 8o21 8o89

7818 7889 7959 8o28 8o96

7825 7896 7966 8o35 81o2

67 68 69

8129 8195 8261 8325 8388

8136 82o2 8267 8331 8395

8142 82o9 8274 8338 84ol

8149 8215 828o 8344 84o7

8156 8222 8287 8351 8414

8162 8228 8293 8357 842o

7o 71 72 73 74

8451 8513 8573 8633 8692

8457 8519 8579 8639 8698

8463 8525 8585 8645 87o4

847o 8531 8591 8651 871o

8476 8537 8597 8657 8716

75 76 77 78 79

8751 8808 8865 8921 8976

8756 8814 8871 8927 8982

8762 882o 8876 8932 8987

8768 8825 8882 8938 8993

8o 81 82 83 84

9o31 9o85 9138 9191 9243

9o36 9o9o 9143 9196 9248

9o42 9o96 9149 92ol 9253

85 86 87 88 89

9294 9345 9395 9445 9494

9299 935o 94oo 945o 9499

9o 91 92 93 94

9542 959o 9638 9685 9731

95 96 97 98 99

61

62 63 64 65 66

1

2

3

4

5

6

7

8

9

7o67 7152 7235 7316 7396

2 2 3 2 2

3 3 3 2 2

3 3 4 3 3

4 4 5 4 4

5 5 6 5 5

6 6 7 6 6

7 7 7 6 6

8 8 7 7 7

7466 7543 7619 7694 7767

7474 7551 7627 77ol 7774

2 2 2 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

7 7 7 7 7

7832 79o3 7973 8o41 81o9

7839 791o 7980 8o48 8116

7846 7917 7987 8o55 8122

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 5 5

6 6 6 6 6

8169 8235 8299 8363 8426

8176 8241 83o6 837o 8432

8182 8248 8312 8376 8439

8189 8254 8319 8382 8445

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

8482 8543 86o3 8663 8722

8488 8549 86o9 8669 8727

8494 8555 8615 8675 8733

85oo 8561 8621 8681 8739

85o6 8567 8627 8686 8745

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

6 5 5 5 5

8774 8831 8887 8943 8998

8779 8837 8893 8949 9oo4

8785 8842 8899 8954 9oo9

8791 8848 8904 896o 9ol5

8797 8854 891o 8965 9o2o

88o2 8859 8915 8971 9o25

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 4 4 4

5 5 5 5 5

9o47 91ol 9154 91o6 9258

9o53 91o6 9159 9212 9263

9o58 9112 9165 9217 9269

9o63 9117 917o 9222 9274

9o69 9122 9175 9227 9279

9o74 9128 918o 9232 9284

9o79 9133 9186 9238 9289

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

93o4 9355 94o5 9455 95o4

93o9 936o 941o 946o 95o9

9315 9365 9415 9465 9513

932o 937o 942o 9469 9518

9325 9375 9425 9474 9523

933o 938o 943o 9479 9528

9335 9385 9435 9484 9533

934o 939o 944o 9489 9538

2 2

o o o

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 4 4 4

9547 9595 9643 9689 9736

9552 96oo 9647 9694 9741

9557 96o5 9652 9699 9745

9562 96o9 9657 97o3 975o

9566 9614 9661 97o8 9754

9571 9619 9666 9713 9759

9576 9624 9671 9717 9763

9581 9628 9675 9722 9768

9586 9633 968o 9727 9773

o o o o o

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

9777 9823 9868 9912 9956

9782 9827 9872 9917 9961

9786 9832 9877 9921 9965

9791 9836 9881 9926 9969

9795 9841 9886 993o 9974

98oo 9845 989o 9934 9978

98o5 985o 9894 9939 9983

98o9 9854 9899 9943 9987

9814 9859 99o3 9948 9991

9818 9863 99o8 9952 9996

o o o o o

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 3

4 4 4 4 4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

1 2

3

233

2. Antilogarithmen lg x

Zuschläge für Zehntel der Spanne

x 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

, oo , Ol , o2 , o3 , o4

looo lo23 lo47 lo72 lo96

loo2 lo26 lo5o lo74 lo99

loo5 lo28 lo52 lo76 llo2

loo7 lo3o lo54 lo79 llo4

loo9 lo33 lo57 lo81 llo7

lol2 lo35 lo59 lo84 llo9

lol4 lo38 lo62 lo86 1112

lol6 lo4o lo64 lo89 1114

lol9 lo42 lo67 lo91 1117

lo21 lo45 lo69 lo94 1119

o o o 0 o

0 o o 0 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

, o5 , 06 , o7 , 08 , o9

1122 1148 1175 12o2 123o

1125 1151 1178 12o5 1233

1126 1153 118o 12o8 1236

113o 1156 1183 1211 1239

1132 1159 1186 1213 1242

1135 1161 1189 1216 1245

1138 1164 1191 1219 1247

114o 1167 1194 1222 125o

1143 1169 1197 1225 1253

1146 1172 1199 1227 1256

o 0 o o o

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 3 3

, , , , ,

lo 11 12 13 14

1259 1288 1318 1349 138o

1262 1291 1321 1352 1384

1265 1294 1324 1355 1387

1268 1297 1327 1358 139o

1271 13oo 133o 1361 1393

1274 13o3 1334 1365 1396

1276 13o6 1337 1368 14oo

1279 13o9 134o 1371 14o3

1282 1312 1343 1374 14o6

1285 1315 1346 1377 14o9

o o o o o

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 3 3

3 3 3 3 3

, , , , ,

15 16 17 18 19

1413 1445 1479 1514 1549

1416 1449 1483 1517 1552

1419 1452 1486 1521 1556

1422 1455 1489 1524 156o

1426 1459 1493 1528 1563

1429 1462 1496 1531 1567

1432 1466 15oo 1535 157o

1435 1469 15o3 1538 1574

1439 1472 15o7 1542 1578

1442 1476 151o 1545 1581

o 0 o o o

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 3

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

, , , , ,

2o 21 22 23 24

1585 1622 166o 1698 1738

1589 1626 1663 17o2 1742

1592 1629 1667 17o6 1746

1596 1633 1671 171o 175o

16oo 1637 1675 1714 1754

16o3 1641 1679 1718 1758

16o7 1644 1683 1722 1762

1611 1648 1687 1726 1766

1614 1652 169o 173o 17.7o

1618 1656 1694 1734 1774

o o o o o

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

3 3 3 4 4

, , , , ,

25 26 27 28 29

1778 182o 1862 19o5 195o

1782 1824 1866 191o 1954

1786 1828 1871 1914 1959

1791 1832 1875 1919 1963

1795 1837 1879 1923 1968

1799 1841 1884 1928 1972

18o3 1845 1888 1932 1977

18o7 1849 1892 1936 1982

1811 1854 1897 1941 1986

1816 1858 19ol 1945 1991

o 0 o o o

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 3 3 3 3

3 3 3 3 3

3 3 3 4 4

4 4 4 4 4

, , , , ,

3o 31 32 33 34

1995 2o42 2o89 2138 2188

2ooo 2o46 2o94 2143 2193

2oo4 2o51 2o99 2148 2198

2oo9 2o56 21o4 2153 22o3

2ol4 2o61 21o9 2158 22o8

2ol8 2o65 2113 2163 2213

2o23 2o7o 2118 2168 2218

2o28 2o75 2123 2173 2223

2o32 2o8o 2128 2178 2228

2o37 2o84 2133 2183 2234

o o o o 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 3

3 3 3 3 3

3 3 3 3 4

4 4 4 4 4

4 4 4 4 5

, , , , ,

35 36 37 38 39

2239 2291 2344 2399 2455

2244 2296 235o 24o4 246o

2249 23ol 2355 241o 2466

2254 23o7 236o 2415 2472

2259 2312 2366 2421 2477

2265 2317 2371 2427 2483

227o 2323 2377 2432 2489

2275 2328 2382 2438 2495

228o 2333 2388 2443 25oo

2286 2339 2393 2449 25o6

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

4 4 4 4 5

5 5 5 5 5

,4o ,41 , 42 ,43 ,44

2512 257o 263o 2692 2754

2518 2576 2636 2698 2761

2523 2582 2 642 27o4 2767

2529 2588 2649 271o 2773

2535 2594 2655 2716 278o

2541 26oo 2661 2723 2786

2547 26o6 2667 2729 2793

2553 2612 2673 2735 2799

2559 2618 2679 2742 28o5

2564 2624 2685 2748 2812

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

5 5 6 6 6

,45 ,46 ,47 ,48 ,49

2818 2884 2951 3o2o 3o9o

2825 2891 2958 3o27 3o9 7

2831 2897 2965 3o34 31o5

2838 29o4 2972 3o41 3112

2844 2911 2997 3o48 3119

2851 2917 2985 3o55 3126

2858 2924 2992 3o62 3133

2864 2931 2999 3o69 3141

2871 2938 3oo6 3o76 3148

2877 2944 3ol3 3o83 3155

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 4 4

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

5 5 5 6 6

6 6 6 6 6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Beispiel:

antilg 0 , 9 8 7 6

=

9 , 7 o 5 + o, ol3

=

9,718

234

Antilogarithmen, Fortsetzung Zuschläge für Zehntel der Spanne

x

lg *

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5o 51 52 53 54

3162 3236 3311 3388 3467

317o 3243 3319 3396 3475

3177 3251 3327 34 o4 3483

3184 3258 3334 3412 3491

3192 3266 3342 342o 3499

3199 3273 335o 3428 35o8

32o6 3281 3357 3436 3516

3214 3289 3365 3443 3524

3221 3296 3373 3451 3532

3228 33o4 3381 3459 354o

1 1 1 1 1

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

4 5 5 5 5

5 5 5 6 6

6 6 6 6 6

7 7 7 7 7

55 56 57 58 59

3548 3631 3715 38o2 389o

3556 3639 3724 3811 3899

3565 3648 3733 3819 39o8

3573 3656 3741 3828 3917

3581 3664 375o 3837 3926

3589 3673 3758 3846 3936

3597 3681 3767 3855 3945

36o6 369o 3776 3864 3954

3614 3698 3784 3873 3963

3622 37o7 3793 3882 3972

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 3 3 3 3

3 3 3 4 4

4 4 4 4 5

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

7 7 7 7 7

7 8 8 8 8

6o 61 62 63 64

3981 4o74 4169 4266 4365

399o 4o83 4178 4276 4375

3999 4o93 4188 4285 4385

4oo9 41o2 4198 4295 4395

4ol8 4111 42o7 43o5 44o6

4o27 4121 4217 4315 4416

4o36 413o 4227 4325 4426

4o46 414o 4236 4335 4436

4o55 415o 4246 4345 4446

4o64 4159 4256 4355 4457

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

6 7 7 7 7

7 8 8 8 8

8 9 9 9 9

65 66 67 68 69

4467 4571 4677 4786 4898

4477 4581 4688 4797 49o9

4487 4592 4699 48o8 492o

4498 46o3 471o 4819 4932

45o8 4613 4721 4831 4943

4519 4624 4732 4842 4955

4529 4634 4742 4853 4966

4539 4645 4753 4864 4977

455o 4656 4764 4875 4989

456o 4667 4775 4887 5ooo

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 5

5 5 5 6 6

6 6 7 7 7

7 7 8 8 8

8 9 9 9 9

9 lo lo lo lo

7o 71 72 73 74

5ol2 5129 5248 537o 5495

5o23 514o 526o 5383 55o8

5o35 5152 5272 5395 5521

5o47 5164 5284 54o8 5534

5o58 5176 5297 542o 3346

5o7o 5188 53o9 5433 5559

5o82 52oo 5321 5445 5572

5o93 5212 5333 5458 5585

51o5 5224 5346 547o 5598

5117 5236 5358 5483 561o

1 1 1 1 1

2 2 2 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

7 7 7 8 8

8 8 9 9 9

9 lo lo lo lo

11 11 11 11 12

75 76 77 78 79

5623 5754 5888 6o26 6166

5636 5768 59o2 6o39 618o

5649 5781 5916 6o5 3 6194

5662 5794 5929 6o67 62o9

5675 58o8 5943 6o81 6223

5689 5821 5957 6o95 6237

5702 5834 597o 61o9 6252

5715 5848 5984 6124 6266

5728 5861 5998 6138 6281

5741 5875 6ol2 6152 6295

1 1 1 1 1

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 6 6

7 7 7 7 7

8 9 lo 8 9 11 8 l o 11 8 l o 11 9 l o 11

12 12 12 13 13

8o 81 82 83 84

631o 6457 66o7 6761 6918

6324 6471 6622 6776 6934

6339 6486 6637 6792 695o

6353 65ol 6653 6808 6966

6368 6516 6668 6823 6982

6383 6531 6683 6839 6998

6397 6546 6699 6855 7ol5

6412 6561 6714 6871 7o31

6427 6577 673o 6887 7o47

6442 6592 6745 69o2 7o63

1 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 5 5 5 5

6 6 6 6 6

7 9 8 9 8 9 8 9 8 lo

lo 11 11 11 11

12 12 12 13 13

13 14 14 14 15

85 86 87 88 89

7079 7244 7413 7586 7762

7o96 7261 743o 76o3 778o

7112 7278 7447 7621 7798

7129 7295 7464 7638 7816

7145 7311 7482 7656 7834

7161 7328 7499 7674 7852

7178 7345 7516 7691 787o

7194 7362 7534 77o9 7889

7211 7379 7551 7727 79o7

7228 7396 7568 7745 7925

2 2 2 2 2

3 3 3 4 4

5 5 5 5 5

7 7 7 7 7

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lo lo lo 11 11

12 12 12 12 13

13 13 14 14 14

15 15 16 16 16

9o 91 92 93 94

7943 8128 8318 8511 871o

7962 8147 8337 8531 873o

798o 8166 8356 8551 875o

7998 8185 8375 857o 877o

8ol 7 82o4 8395 859o 879o

8o35 8222 8414 861o 881o

8o54 8241 8433 863o 8831

8o72 826o 8453 865o 8851

8o91 8279 8472 867o 8872

811o 8299 8492 869o 8892

2 2 2 2 2

4 4 4 4 4

6 6 6 6 6

7 9 11 8 9 11 8 l o 12 8 l o 12 8 l o 12

13 13 14 14 14

15 15 15 16 16

17 17 17 18 18

95 96 97 98 99

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8933 9141 9354 9572 9795

8954 9161 9376 9594 9817

8974 9183 9397 9616 984o

8995 92o4 9419 9638 9863

9ol6 9226 9441 9661 9886

9o36 9247 9462 9683 99o8

9o57 9268 9484 97o5 9931

9o78 929o 95o6 9727 9954

9o99 9311 9528 975o 9977

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8 8 9 9 9

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12 13 13 13 14

15 15 15 16 16

17 17 17 18 18

19 19 2o 2o 2o

2

3

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5

6

7

8

9

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2

3

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7

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9

0

1

0 I-H m co TT CO «-H oo 0 o CO l-H 00 o CM •-H Ol m

o"

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co* r-*fr-"t-" fr-

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m

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RH PH

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236

4. Normalverteilung Zweite Dezimalstelle von z z

o. o l

o, o2

o. o3

o. o4

5o4o 5438 5832 6217 6591

o, 5o8o o,5478 o, 5871 o, 6255 0,6628

o, o, o, o, o,

512o 5517 591o 6293 6664

o, 516o o,5557 o, 5948 o, 6331 o. 67oo

0,, 6915 o,, 7257 o,, 758o o,, 7881 0, 8159

o,695o o. 7291 o, 7611 o, 791o o, 8186

o, 6985 o,7324 o, 7642 o, 7939 o, 8212

0, o. o. o, 0,

7ol9 7357 7673 7967 8238

o. o, o, o, o,

o, o, o, o, o,

8413 8643 8849 9o32 9192

o, 8438 o,8665 o, 8869 o. 9o49 o, 92o7

o, o, o, o, o,

8461 8686 8888 9o66 9222

o, 8485 o. 87o8 o. 89o7 o,9o82 o,9236

o, o, o. o, o.

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

o, o, 0, o, o,

9332 9452 9554 9641 9713

o. o. o, o, o.

9345 9463 9564 9649 9719

o, 9357 o, 9474 o, 9573 o,9656 o, 9726

2, o 2, 1 2, 2 2, 3 2,4

0, o, 0, o, 0,

9772 9821 9861 9893 9918

o, 9778 0, 9826 o,9864 o, 9896 o. 992o

2, 5 2,6 2, 7 2,8 2, 9

o, o, o. o, o,

9938 9953 9965 9974 9981

o. o, o. o. o,

3, o 3, 1 3, 2 3,3 3,4

o. o. o, o. o.

9987 999o 9993 9995 9997

3, 5 3, 6 3,7 3, 8 3,9

o, o, o. 0, 1,

9998 9998 9999 9999 oooo

o. oo

o. o5

o. 06

o. o7

o. 08

5239 5636 6o26 64o6 6772

o,5279 o, 5675 o, 6o64 o, 6443 o, 6808

o. o, o, o, o.

5319 5714 61o3 648o 6844

7o54 ' 0, 7o88 7389 0, 7422 77o3 o, 7734 7995 o, 8o23 8264 0, 8289

o, 7123 o,, 7454 o, 7764 o,, 8o51 o. 8315

o, 7157 o, 7486 o,7794 o, 8o78 o, 834o

o, 719o o. 7517 o, 7823 o,81o6 o,8365

0, 7224 0, 7549 0, 7852 o,8133 o. 8389

85o8 8729 8925 9o99 9251

0, 8531 0, 8749 Oj 8944 0, 9115 0, 9265

o, 8554 o. 877o o, 8962 o. 9131 o,9279

0,8577 o, 879o o, 898o o, 9147 o, 9292

o. 8599 o,881o o. 8997 o. 9162 o. 93o6

0, 8621 o, 883o o,9ol5 o. 9177 0, 9319

o. 937o o. 9484 o, 9582 o,9664 o, 9732

0, 9382 o, 9495 o, 9591 o,9671 o, 9738

o, 9394 0, 95o5 o,9599 o. 9678 o,9744

o, o. o, o, o,

94o6 9515 96o8 9686 975o

o, o, o, o, o,

9418 9525 9616 9693 9756

o, 9429 o,9535 o. 9625 o. 9699 o, 9761

o, 9441 o, 9545 0, 9633 o. 9 7o6 o, 9767

o, 9783 o, 983o o,9868 0, 9898 o, 9922

o. 9788 0, 9834 o, 9871 0, 99ol o,9925

o. 9793 o. 9838 o,9875 o, 99o4 o, 9927

o, 9798 o. 9842 o,9878 o, 99o6 o. 9929

o, o, o, o, o,

98o3 9846 9881 99o9 9931

o, o, o, o, o,

98o8 985o 9884 9911 9932

o. o. o, o, o,

9812 9854 9887 9913 9934

o. 0, o, o, o,

9817 9857 989o 9916 9936

994o 9955 9966 9975 9982

o, o, o, o, o,

9941 9956 9967 9976 9982

o, 0, 0, 0, o,

9943 9957 9968 9977 9983

o. o, 0, o, o.

9945 9959 9969 9977 9984

0, 9946 o, 996o o, 997o o, 9978 o,9984

o, 9948 o,9961 o, 9971 o. 9979 o, 9985

o,9949 o, 9962 o, 9972 o, 9979 o, 9985

o, o, o, o. o.

9951 9963 9973 998o 9986

o, 0, o, 0, 0,

9952 9964 9974 9981 9986

o, o, o, o, o,

9987 9991 9993 9995 9997

o, o, o, o, o,

9987 9991 9994 9995 9997

o. o, 0, o. o.

9988 9991 9994 9996 9997

o, o. 0, o. o.

9988 9992 9994 9996 9997

0, o, o. o, 0,

9989 9992 9994 9996 9997

o. o. o. o, o.

9989 9992 9994 9996 9997

o, o, o, o, o,

9989 9992 9995 9996 9997

o, o, o, o, o,

999o 9993 9995 9996 9997

0, 0, 0, 0, o,

999o 9993 9995 9997 9998

0, o, o. o, 1,

9998 9998 9999 9999 oooo

o, o, o, o, 1,

9998 9999 9999 9999 oooo

0, o, o. o, 1,

9998 9999 9999 9999 oooo

0, o, o, 0, 1,

9998 9999 9999 9999 oooo

o. 9998 o, 9999 o, 9999 o, 9999 1, oooo

o. 0, o, o. 1,

9998 9999 9999 9999 oooo

o, o, o, o, 1,

9998 9999 9999 9999 oooo

o. 9998 o. 9999 o, 9999 o, 9999 1,oooo

0, o 0, 1 o, 2 o, 3 o, 4

0,, 5ooo o,5398 o,, 5793 0,, 6179 0,, 6554

o, o, o, o, 0,

o, 5 o, 6 o, 7 o,8 o, 9 1, o 1,1 1, 2 1,3 1,4

Beispiel:

z0(

9750

•

1,96

o. o, o, o, o,

5199 5596 5987 6368 6736

o, o, o, o, o,

o, o9 o, 0, 0, 0, 0,

5359 5753 6141 6517 6879

o, 9998 0, 9999 o,9999 0, 9999 1, oooo

237

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