Statistik-Trainer: Aufgaben zur Analyse und Modellierung von Daten [Reprint 2018 ed.] 9783486810660, 9783486259094

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Lehr- und Handbücher der Statistik Herausgegeben von Universitätsprofessor Dr. Rainer Schlittgen Bisher erschienene Werke: Böhning, Allgemeine Epidemiologie Caspary • Wichmann, Lineare Modelle Chatterjee • Price (Übers. Lorenzen), Praxis der Regressionsanalyse, 2. Auflage Degen • Lorscheid, Statistik-Lehrbuch Degen • Lorscheid, Statistik-Aufgabensammlung, 4. Auflage Härtung, Modellkatalog Varianzanalyse Harvey (Übers. Untiedt), Ökonometrische Analyse von Zeitreihen, 2. Auflage Harvey (Übers. Untiedt), Zeitreihenmodelle, 2. Auflage Heiler • Michels, Deskriptive und Explorative Datenanalyse Kockelkorn, Lineare statistische Methoden Miller (Übers. Schlittgen), Grundlagen der Angewandten Statistik Naeve, Stochastik für Informatik Oerthel • Tuschl, Statistische Datenanalyse mit dem Programmpaket SAS Pflaumer • Heine • Härtung, Statistik für Wirtschaft- und Sozialwissenschaften: Deskriptive Statistik, 2. Auflage

Fachgebiet

Pflaumer • Heine • Härtung, Statistik für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften: Induktive Statistik Pokropp, Lineare Regression und Varianzanalyse Rasch • Herrendörfer u. a., Verfahrensbibliothek, Band I und Band 2 Riedwyl • Ambühl, Statistische Auswertungen mit Regressionsprogrammen Rinne, Wirtschafts- und Bevölkerungsstatistik, 2. Auflage Rinne, Statistische Analyse multivariater Daten - Einführung Rüger, Induktive Statistik, 3. Auflage Rüger, Test- und Schätztheorie, Band I: Grundlagen Schlittgen, Statistik, 9. Auflage Schlittgen, Statistik-Trainer Schlittgen, Statistische Inferenz Schlittgen, GAUSS für statistische Berechnungen Schlittgen, Angewandte Zeitreihenanalyse Schlittgen • Streitberg, Zeitreihenanalyse, 9. Auflage Schürger, Wahrscheinlichkeitstheorie Tutz, Die Analyse kategorialer Daten

Biometrie

Herausgegeben von Dr. Rolf Lorenz Bisher erschienene Werke: Bock, Bestimmung des Stichprobenumfangs

Brunner • Langer, Nichtparametrische Analyse longitudinaler Daten

Statistik-Trainer Aufgaben zur Analyse und Modellierung von Daten

Von Universitätsprofessor

Dr. Rainer Schlittgen

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Sehlingen, Rainer: Statistik-Trainer : Aufgaben zur.Analyse und Modellierung von Daten / von Rainer Sehlingen. - München ; Wien : Oldenbourg, 2002 (Lehr- und Handbücher der Statistik ISBN 3-486-25909-1

© 2002 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: Huber KG, Dießen Bindung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Binderei GmbH ISBN 3-486-25909-1

Vorwort Der 'Statistik-Trainer' richtet sich an alle, die ein aktives Verständnis grundlegender statistischer Methoden anstreben, etwa um selbständig Auswertungen von Datensätzen vornehmen zu können, oder einfach die übliche Abschlußklausur am Ende des zweisemestrigen Grundkurses zu bestehen. In jedem Fall hängt das Verständnis von der Beschäftigung mit entsprechenden Fragestellungen ab. Hierfür ist der Statistiktrainer gedacht. Zu den Aufgaben, die natürlich erst einmal selbst angegangen werden sollten, werden im zweiten Teil des Buches ausführliche Lösungen präsentiert, mit denen die eigenen Lösungen konfrontiert werden können. Um diese Aufgabensammlung eigenständig nutzbar zu machen, sind den einzelnen Abschnitten kurze Zusammenfassungen der relevanten statistischen Sachverhalte vorangestellt. Auch sind Tabellen für die wichtigsten Verteilungen aufgenommen worden. Die über 90 Aufgaben des 'Statistik-Trainer' ergänzen die Aufgaben meiner 'Einführung in die Statistik, Analyse und Modellierung von Daten'. Er ist etwas ander strukturiert als die Einführung; bei den Aufgaben ist die 'klassische Gliederung'deskriptive Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, induktive Statistik - geeigneter. Diejenigen, die mit der Einführung vertraut sind, sollten sich aber leicht zurechtfinden. Bei etlichen Aufgaben bietet sich die Bearbeitung unter Verwendung eines geeigneten Programms an. Um dies zu erleichtern, können die Daten, die in den Aufgaben verwendet werden, auch von meiner Web-Seite heruntergeladen werden: http://www.rrz.uni-hamburg.de/IfStOek/schlittgen/schlitt.htm Rainer

Schlittgen

Inhaltsverzeichnis Teil A - Aufgaben A.l

Erhebung und Beschreibung von Daten

1

A.l.l

Erhebung von Daten

1

A.l.2

Univariate Daten

4

A.l.3

Mehrdimensionale Daten

9

A.l.4

Regression

A.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

12 14

A.2.1

Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten

14

A.2.2

Zufallsvariablen

20

A.2.3

Spezielle Verteilungen

24

A.2.4

Normalverteilung

30

A.3 Stichproben und induktive Statistik

33

A.3.1

Stichproben

33

A.3.2

Punktschätzungen

37

A.3.3

Konfidenzintervalle

40

A.3.4

Tests

45

A.3.5

Regression

50

Teil L - Lösungen L.l

L.2

Erhebung und Beschreibung von Daten

53

L.l.l

Erhebung von Daten

53

L.l.2

Univariate Daten

55

L.l.3

Mehrdimensionale Daten

63

L.l.4

Regression

67

Wahrscheinlichkeitsrechnung

69

L.2.1

69

Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten

VIII

INHALTSVERZEICHNIS L.2.2

Zufallsvariablen

76

L.2.3

Spezielle Verteilungen

83

L.2.4

Normalverteilung

90

L.3 Stichproben und induktive Statistik

97

L.3.1

Stichproben

L.3.2

Punktschätzungen

103

L.3.3

Konfidenzintervalle

109

L.3.4

Tests

113

L.3.5

Regression

122

Tabellen

97

125

Teil A - Aufgaben A.l A.l.l

Erhebung und Beschreibung von Daten Erhebung von Daten

Statistische Daten sind wiederholt erfasste Werte eines Sachverhaltes, die durch Befragungen, Beobachtungen oder Wiederholungen von Experimenten gewonnen werden. Sie werden als Realisationen von Merkmalen oder statistischen Variablen X, Y, Z,... angesehen; der letzte Begriff wird dabei nur verwendet, wenn das Ergebnis in Zahlenform vorliegt. Wichtig bei Merkmalen bzw. statistischen Variablen ist, dass die Zuordnung eindeutig geschieht. Keine Beobachtung darf mehr als einen Wert zugewiesen bekommen; andererseits ist sicherzustellen, dass jede mögliche einen Wert zugeordnet bekommt. Die Zahlenform von Daten ist vor allem relevant, wenn die Daten in elektronische Form überführt werden sollen, um sie letztlich auszuwerten. Hier ist der allgemein akzeptierte Standard, dass die Angaben zu einem Fall in einer Zeile notiert werden und in verschiedenen Spalten die unterschiedlichen erhobenen Angaben zu diesem Fall. Gleichartige Angaben stehen untereinander; fehlende Angaben müssen durch Platzhalter ersetzt werden, damit die Angaben verschiedener Fälle nicht gegeneinander verrutschen. Das resultierende Schema wird als Datenmatrix bezeichnet. Um eine Datenmatrix zu erhalten, sind vor der Erhebung geeignete Überlegungen bzgl. der Variablen anzustellen. Man unterscheidet nach dem Informationsgehalt verschiedene Skalen, auf denen die statistischen Variablen messen. Nominal skaliert sind solche, bei denen die Werte wie Hausnummern nur Gleichheit oder Ungleichheit ausdrücken. Bei ordinal skalierten Variablen ist auch eine Anordnung sinnvoll, etwa x < x' oder x > x'. Die Werte metrisch skalierter Variablen lassen sich nicht nur anordnen; auch ihr Abstand ist sinnvoll interpretierbar. Die Skala eine Variablen zeigt, welche Operationen damit durchführbar sind. Nur bei metrisch skalierten Variablen können die üblichen arithmetischen Operationen sinnvoll ausgeführt werden. A u f g a b e 1.1.1 Die Bürgerinitiative 'STOP dem Durchgangsverkehr' will ihre Forderung nach Verkehrsberuhigung einer Straße Nachdruck verleihen. Dazu soll die tatsächliche

TEIL A -

2

AUFGABEN

Lärm- und Schadstoffbelastung erhoben werden. Erstellen Sie einen detaillierten Vorschlag, wie die BI die Erhebung durchführen sollte. (Tage, Tageszeiten, Dauer der Messungen, Art der Messungen,...)

Aufgabe 1.1.2 Für eine Studie zum Imagewettbewerb im Premium-Pilsmarkt wurde ein Fragebogen entwickelt, der sich an Konsumenten richtete. (G. Weber: Strategische Marktforschung, 1996, R. Oldenbourg Verlag, München.) Daraus stammen die folgenden Fragen. Entwerfen Sie eine Kodierungsschema, nach dem die Antworten in einen Rechner eingegeben werden können. Von welchem Skalentyp sind die von Ihnen festgelegten Variablen? i.

Trinken Sie denn zumindest 1 x pro Monat Bier?

ii.

Wie häufig trinken Sie denn Bier der folgenden Sorten? mind. mind. 1-2 mal 1-2 mal fast tägl. pro Woche pro Monat Pils Export Weizenbier Alt Kölsch Light-Bier Alkoholfreies Bier

tägl./ o 0 0 0 o 0 0

o o o o o o o

O

o o o o o o o

Ja

O

seltener

o 0 o 0 o 0 o

ne n

i

gar nicht

o o o o o o o

iii.

Wenn Sie jetzt einmal an Ihre Biereinkäufe in/für Ihrem/n Haushalt in den letzten 3 Monaten denken, wie haben sich diese Einkäufe mengenmäßig auf die au dieser Liste vorgegebenen Marken verteilt? Vergeben Sie bitte insgesamt 100 Punkte auf die vorgegebenen Marken je nach Kaufbedeutung Beck's Karlsberg Bitburger König-Pilsner Holsten Krombacher Jever Warsteiner Sonstige

iv.

Wie stark treffen jeweils die folgenden Eigenschaften auf die von Ihnen bevorzugte Marke zu? gar nicht trifft zu: genau ist eine moderne Marke o o o 0 o ist von bester Herkunft o o o o 0 ist besonders mild o o 0 o 0 ist besonders frisch o o 0 0 o

A.l.

ERHEBUNG

UND BESCHREIBUNG

VON

DATEN

3

A u f g a b e 1.1.3 Die folgenden X- und Y-Variablen messen die jeweiligen Sachverhalte auf den dazu angegebenen und ggf. erläuterten Skalen. Welche Messniveaus haben diese Skalen? 1. ^ ^ W i n d g e s c h w i n d i g k e i t (km/h), y = W i n d s t ä r k e (in Beaufort) Wert

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Bezeichnung der Windstärke Windstille Leiser Zug Leichter Wind Schwacher Wind Mäßiger Wind Frischer Wind Starker Wind Harter Wind Stürmischer Wind Sturm

Windgeschw. (m/sec) 0.0< - < 0.3 0.3< - < 1.6 1.6< - < 3.4 3.4< - < 5.5 5.5< - < 8.0 8.0< - 7 C g F(7.5) = 0.55 H— 0.08 = 0.61. Bei 61% der Fahrten wurden 7.5 km nicht überschritten. 3. Dieser Anteil wird über das Komplement der empirischen Verteilungsfunktion bestimmt. Dabei ist zu beachten, dass aus der Annahme der Gleichverteilung der Beobachtungen über die Klasse die relative Häufigkeit für jeden einzelnen Punkt Null ist. Daher ist hier 1 — F(22) zu berechnen. 1 - F{22) = 1 - (0.8 +

22 — 15

• 0.09 = 1 - 0.863 = 0.137.

13.7% der Fahrten betrugen mindestens 22 km. 4. Mit der Formel A.2 für die lineare Interpolation zur Bestimmung von Quantilen bei klassierten Daten erhalten wir: „ 0 . 3 3 - 0.23 n n„r„ Zo.33 = 2 + jj-jg 2 = 3.052. Ein Drittel der Fahrten ging über höchstens 3.052 km. 5. Die Untergrenze der 25% der längeren Fahrten entspricht die Obergrenze der 75% der kürzeren Fahrten. Dementsprechend ist das 0.75-Quantil zu bestimmen. xo.75 = 10 +

0.75 - 0.7 ö i - '5 =

12 5

-'

75% der Fahrten betrugen höchstens 12.5 km; also gingen 25% der Fahrten weiter als 12.5 km.

Lösung zu 1.2.6 Die folgenden Arbeitstabellen sind die Basis für die Berechnungen. Dabei sind die Klassenmitten m* der Klassen x*_1 < X < x* angegeben. Diese sind es ja, die zur Bestimmung der Maßzahlen benötigt werden. Arbeitstabelle A U 3)

85 + 97 + 55 + 75 = 0.642. 85 + 97 + 55 + 75 + 30 + 39 + 25 + 31 + 25 + 24 ii. Gefragt ist h(X > 40|F > 3) = 1 - h(X < 40|V > 3). Da das Alter X klassiert vorliegt, ist der gesuchte Anteil mittels linearer Interpolation zu berechnen. Dies ist hier einfach, da der Zwischenpunkt 40 gerade die Klassenmitte darstellt. Dementsprechend ist jeweils die Hälfte der Anzahl der Beobachtungen in den Zeilen 35 < X < 45 zu berücksichtigen:

n(Y > 3) 85 + 97 + 55/2 -I- 75/2 = 0.508. 85 + 97 + 55 + 75 + 30 + 39 + 25 + 31 + 25 + 24 Der gesuchte Anteil ist daher 1 - 0.508 = 0.492. 2. Die bedingten Verteilungen der Ausbildung für die Altersgruppen erhalten wir, indem wir die in den Zeilen stehenden absoluten Häufigkeiten aufsummieren; das gibt die Randverteilung für die Altersgruppen. Die Häufigkeiten der Kontingenztabelle sind dann zeilenweise durch die zugehörigen Randhäufigkeiten zu dividieren.

64

TEIL L Alter 25 - 35 35 - 45 4 5 - 55 55 - 65 > 65

keine High-School 0.137 0.253 0.262 0.347 0.525

High-School 0.409 0.091 0.425 0.397 0.287

LÖSUNGEN

1-3 Jahre mindestens 4 Jahre College College 0.212 0.242 0.278 0.379 0.136 0.176 0.114 0.142 0.096 0.092

Am deutlichsten wird die Tendenz, wenn wir die erste und die letzte Spalte vergleichen: Während in der ersten Spalte 'keine High-School', die Anteile mit dem Alter immer größer werden, ist in der letzten die umgekehrte Tendenz zu beobachten: Bei den Jüngeren ist eher eine längere College-Ausbildung anzutreffen als in den höheren Altersgruppen. Dies gilt allerdings nur, wenn man die bis 45jährigen als Jüngere bezeichnet. In der Gruppe der 25-35jährigen Personen hat sich der Ausbildungsstand gegenüber den 35-45jährigen verschlechtert. 3. Um den Phi-Koeffizienten zu berechnen, muss für jedes Feld der Tafel der Wert Uj = K.h.j bestimmt werden und darauf aufbauend die Quotienten qtJ = ( h i j - t i j ) 2 / t i j . Diese Zwischenwerte sind in der folgenden Tabelle mit angegeben.

Alter 1

2

3

4

5

1 0.0423 0.0892 Ii j 0.0247 h2, 0.0385 t2j 0.0441 12] 0.0007 h3j 0.0446 0.0491 hj 0.0004 hij 0.0585 Uj 0.0487 0.0019 lij h5j 0.1054 Uj 0.0581 95j 0.0386 h.j 0.2892

Ausbildung 2 3 0.1262 0.0654 0.1039 0.0522 0.0048 0.0033 0.0138 0.0423 0.0513 0.0258 0.0274 0.0106 0.0723 0.0231 0.0573 0.0288 0.0039 0.0011 0.0669 0.0192 0.0568 0.0285 0.0018 0.0030 0.0577 0.0192 0.0676 0.0340 0.0015 0.0064 0.3369 0.1692

4 0.0746 0.0631 0.0021 0.058 0.0312 0.0226 0.0300 0.0348 0.0007 0.0238 0.0345 0.0033 0.0185 0.0411 0.0125 0.2046

hit 0.3085

0.1523

0.1700

0.1685

0.2008

Der Phi-Koeffizient, die Summe aller qih beträgt 0.17, der normierte ist 0.17/3 = 0.057. Da dieser Wert recht nahe bei Null liegt, ist der Zusammenhang als schwach zu bezeichnen.

Lösung zu 1.3.2 1. Für die Zweiweg-Kontingenztafel erhalten wir:

L.l.

ERHEBUNG UND BESCHREIBUNG VON DATEN Y —Geschlecht l^tü

Z=Zulassung 0 = nicht zug. 1 = zug. 14 10 10 14 24 24

2=m £

65 ^

24~ 24 48

Der Anteil der Zugelassenen unter den Bewerbungen von Frauen beträgt 10/24 = 42%; bei den Männern ist dieser Anteil 14/24 = 58%. Hier erhält man den Eindruck einer Bevorzugung der männlichen Bewerber. 3. Die Berücksichtigung der Fakultät führt auf eine Dreiweg-Kontingenztafel; sie ist ergänzt um eine letzte Spalte, in der die (bedingten) relativen Häufigkeiten für die Zulassungen unter Berücksichtigung von Fakultät und Geschlecht angegeben sind.

X =

Y =

Fakultät

Geschlecht

0

1

1

1 2 1 2 1 2

9 3 4 4 1 3 24

3 1 4 4 3 9 24

2 3

£

Z = Zulassung

£ 12 4 8 8 4 12

n(Z = 1\X = i,Y = j) n(X = i,Y=j) 0.25 0.25 0.50 0.50 0.75 0.75

48

Betrachtet für jede einzelne Fakultät sind die Anteile der Zulassungen bei Frauen und Männern genau die gleichen. Von einer Diskriminierung ist nichts zu erkennen. 3. Die Unterschiede bei den beiden Teilen resultieren daraus, dass sich die Bewerber geschlechtsspezifisch bei den Fakultäten bewerben. Den gleichen Prozentsätzen in Teil 2 liegen ganz unterschiedliche Absolutzahlen zugrunde. Werden die Absolutzahlen dann unter Vernachlässigung einer Variablen zusammengeführt, so entsteht ein gänzlich anderes Bild bzgl. der Abhängigkeiten. Dieses Phänomen ist als Simpsons Paradoxon bekannt.

Lösung zu 1.3.3 1. Wie die Abbildung zeigt, hat sich die Höhenluft von Mexiko Stadt beim Weitsprung stark leistungsfördernd ausgewirkt. (Dort ist der zum J a h r 1968 gehörige Punkt mit — > markiert.) 2. Die Bestimmung des Korrelations- und Rankorrelationskoeffizienten geschieht gemäß folgende Arbeitstabelle.

TEIL L - LÖSUNGEN

66

Abbildung L.6: Streudiagramm für olympische Weiten im Hochsprung X

und

Weitsprung Y

340

320 -

300

¿ou

X 74.8000 71.0000 75.0000 76.0000 76.2500 78.0000 76.3750 77.6250 79.9375 78.0000 80.3200 83.2500 85.0000 85.7500 88.2500 87.7500 88.5000 92.7500 92.5000 1547.0575

70

1 75

Y 282.8750 289.0000 294.5000 299.2500 281.5000 293.1250 304.7500 300.7500 317.3125 308.0000 298.0000 308.2500 319.7500 317.7500 350.5000 324.5000 328.5000 336.2500 336.2500 5890.8125

X2 5595.0400 5041.0000 5625.0000 5776.0000 5814.0625 6084.0000 5833.1406 6025.6406 6390.0039 6084.0000 6451.3024 6930.5625 7225.0000 7353.0625 7788.0625 7700.0625 7832.2500 8602.5625 8556.2500 126707.000

i 80

1 85

Y2 80018.266 83521.000 86730.250 89550.563 79242.250 85922.266 92872.563 90450.563 100687.22 94864.000 88804.000 95018.063 102240.06 100965.06 122850.25 105300.25 107912.25 113064.06 113064.06 1833077.00

X Y 21159.050 20519.000 22087.500 22743.000 21464.375 22863.750 23275.281 23345.719 25365.168 24024.000 23935.360 25661.813 27178.750 27247.063 30931.625 28474.875 29072.250 31187.188 31103.125 481638.892

1 90 R(X) 2 1 3 4 5 8 6 7 10 9 11 12 13 14 16 15 17 19 18

1 95 R(X) 2 3 5 7 1 4 9 8 12 10 6 11 14 13 19 15 16 18 17

R(X) • R(Y) 4 3 15 28 5 32 54 56 120 90 66 132 182 182 304 225 272 342 306 2418

D a m i t erhalten wir:

txy

19 • 4 8 1 6 3 8 . 8 9 2 - 1 5 4 7 . 0 5 7 5 • 5 8 9 0 . 8 1 2 5 a/19 • 126707.000 - 1 5 4 7 . 0 5 7 5 V 1 9 • 1833077.00

5890.81252

= 0.8936. F ü r den Rangkorrelationskoeffizienten nutzen wir die beiden Beziehungen

n(n + 1)

und

^

,2

=

n(n + l ) ( 2 n + l )

L.l.

ERHEBUNG

UND BESCHREIBUNG

VON

DATEN

67

aus. Bei n = 19 Beobachtungen ergibt das Xw=i * ~ 190 und Damit erhalten wir den Rangkorrelationskoeffizienten: rs5 =

=

2470.

19 • 2418 - 1902 „ i2 = 0.9088. 19 • 2470 - 190

Bei der Formel wurde im Nenner berücksichtigt, dass die Randverteilungen der Rangwerte für X und Y identisch sind. Somit ersparen wir uns die Quadratwurzel aus dem Produkt zweier gleicher Faktoren. Tatsächlich ist hier der Wert des Rangkorrelationskoeffizienten höher als der des einfachen Korrelationskoeffizienten von Bravais-Pearson, da der die Korrelation verringernde Einfluss der Olympiade von 1968 sich nicht so stark auswirkt.

L.1.4

Regression

Lösung zu 1.4.1 Zur einfacheren Bezeichnung schreiben wir für die Variable 'Note' kurz Y und für die Variable 'Dozentenverhalten' X. 1. Die Abhängigkeit wird mit der Korrelation gemessen. Diese Maßzahl beschreibt zwar den linearen Zusammenhang; hier ist aber von der Sache her klar, dass es nur eine Abhängigkeitsrichtung gibt. Für die Bestimmung des Korrelationskoeffizienten aus dem vollen Datensatz erhalten wir die folgenden Zwischenwerte: x = 2.942, y = 2.64, s\ = 0.3976, s\ = 0.2539,

= 0.2874.

Damit ist dann: rXY

=

sXY 0.2874 ri rs- = = = 0.905. t/4,/4 V0.3976 • 0.2539

Die Abhängigkeit ist als stark zu bezeichnen. 2. Die Steigung b wird nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt: 4

0.3976

Mit jedem Punkt Verschlechterung des Dozentenverhaltens geht eine Verschlechterung der Beurteilung des Fachbereichs um 0.7 'Notenpunkte' einher. 3. Das Streudiagramm mit der Regressionsgeraden ist in der Abbildung L.7 dargestellt. 4. Die vier Privatinstitutionen stellen so genannte einflussreiche Punkte dar. Da sie extrem gute Noten und auch sehr positive Bewertungen des Dozentenverhaltens haben, beeinflussen sie die Ergebnisse der Korrelation und Regression sehr stark: Sie führen zu einer Erhöhung der Steigung.

68

TEIL L -

LÖSUNGEN

Abbildung L.7: Noten für Fachbereiche in Abhängigkeit von dem Dozentenverhalten

Um diese Einschätzung zu fundieren, betrachten wir die ersten vier Datenpaare. Dafür erhalten wir die folgenden Zwischenergebnisse: x = 1.425, y = 1.39, s2x = 0.026875, s2Y = 0.01035, s x y = 0.01125. Diese Zwischenwerte können benutzt werden, um zu den entsprechenden Hilfswerten der restlichen 62 Wertepaare zu gelangen. Beispielsweise ist: 1 62

66

v=5

1 = 62

(66

66

'® ~

4

'

i4) =

1 62(66 ' 2'942 "

4

'L425)

=

3 04

Weiter sind: y = 2.722, 4

= 0.26337, s\ = 0.16209, s X y = 0.17486.

Damit erhalten wir den Korrelationskoeffizienten rXy = 0.8463 und die Steigung b — 0.6639. Sowohl die Korrelation ist nun wesentlich geringer als auch die Steigung.

Lösung zu 1.4.2 1. Die wesentlichen Zwischenwerte für die Regressionen mit den 25 Beobachtungen sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. arithm. Mittel Varianz Kovarianz mit Preis

Bauj. 93.480 7.0496 8.802

km 65.032 857.600 -75.588

Preis 8.1613 18.244

Damit ergeben sich die folgenden Regressionskoeffizienten:

L.2.

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Ansatz Preis = a + b - B a u j . + i / Preis =a+b-km+C/

69 ä -108.552 13.893

b 1.249 -0.088

2. Aus den unter 1. errechneten Zwischenwerten erhalten wir die beiden Werte des Bestimmtheitsmaßes: Preis =a+b-Bauj.+C/: R2 = 0.602,

Preis = a + b - k m + [ / : R2 = 0.365.

Das Baujahr hat also einen größeren Erklärungswert für den Preis als die gefahrenen Kilometer. 3. Die Herausnahme der 24sten Angabe mit einer Preisvorstellung von 21.99 TEuro führt zu den folgenden Ergebnissen; diese sind genau so angeordnet wie unter 1.

arithm. Mittel Varianz Kovarianz mit Preis

Bauj. 93.333 6.806 7.056

km 67.350 759.005 -45.346

Preis 7.585 10.704

Die zugehörigen Regressionskoeffizienten und Bestimmtheitsmaße sind: Ansatz Preis = a + b - B a u j . + f / Preis = a + b - k m + f /

ä -89.179 11.609

b 1.037 -0.060

R2 0.683 0.253

Während der Erklärungswert des Baujahrs größer wird, verringert sich der für die gefahrenen Kilometer. Die verschiedenen Auswirkungen haben ihren Grund in den unterschiedlichen Eigenschaften dieser Beobachtung bzgl. der beiden Regressionsbeziehungen. Bzgl. des Baujahres ist der herausgenommene Punkt eher ein Ausreißer: Das Baujahr ist nicht untypisch, doch der Preis ist extrem. Bzgl. der gefahrenen Kilometer ist die 24ste Beobachtung ein Einflußpunkt: Die Kilometerleistung unterscheidet sich stark von der anderer Angebote. Daher 'zwingt' diese Beobachtung die Regressionsgerade in seine Richtung.

L.2

Wahrscheinlichkeitsrechnung

L.2.1

Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten

Lösung zu 2.1.1 Zu den Ereignissen lauten die entsprechenden Verbalisierungen:

TEIL L - LÖSUNGEN

70

Es wird ein Studierender ausgewählt, AnB AuB B C r\A Bu(¿uB) 04nC)u(An£) (B u C) n (A u C)

AnBnC

der Fachhochschulabsolvent ist und dessen Vater Angestellter ist. der Fachhochschulabsolvent ist oder der einen Angestellten als Vater hat. der kein Fachhochschulabsolvent ist. der Bafög-Empfänger ist und dessen Vater Angestellter ist. über den sich weiter nichts sagen lässt. (Wegen B u f A u B) = E.) der einen Angestellten als Vater hat oder der BafögEmpfänger und Fachhochschulabsolvent ist. (Da dies gleich A U (C n B) ist.) der Bafög Empfänger ist; zudem ist sein Vater Angestellter oder er ist Fachhochschulabsolvent. (Da dies gleich C n ( ^ i u ß ) ist.) der Fachhochschulabsolvent und Bafög-Empfänger ist und der einen Angestellten als Vater hat.

Lösung zu 2.1.2 1. Wir bezeichnen die Mengen der Studierenden an den verschiedenen Fachbereichen mit A — Studierende der Wirtschaftswissenschaften B — Studierende der Soziologie C = Studierende der Politologie. Dann lassen sich die Angaben bzgl. der Anzahlen folgendermaßen schreiben: N(A) = 700, N{B) = 450, N(C) = 300 N(A n B) = 250, N{B n C) = 150, N(A n C) = 100, N{A D B D C) = 50. Die Beziehung N(A U B) = N(A) + N(B) - N(A n B) lässt sich erweitern: N(A U ß U C ) = N(AU(BUC)) = N(A) + N{B U C ) - N(A n ( ß U C)) = N{A) + \N{B) + N(C) - N(B n C)\ - N(A n (B U C)) = N(A) + N(B) + N(C) - N(B n C) - N((A n B) U (A n C)) = N(A) + N{B) + N{C) - N(B n C) -[7V(y4 n B) + N(A n c) - N((A n B) n (A n c))] = N(A) + N(B) + N{C) - N(B n C)-N(A HB)- N(A n C) + N(A ( i B i l ß ) Damit erhalten wir sofort: N(A U B U C) = 700 + 450 + 300 - 250 - 150 - 100 + 50 = 1000.

L.2.

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

71

2. Seien nun A, B, C die Ereignisse, dass ein Studierender des entsprechenden Fachbereichs ausgewählt wird. Dann sind die verschiedenen, einander ausschließenden Ereignisse, die eintreten können:

Ereignis

Beschreibung Die studierende Person gehört

Af\B\jC

nur dem F B Wirtschaftswissenschaften an.

B n A UC

nur dem F B Soziologie an.

C n A U B

nur dem F B Politologie an.

A d C C\B

den beiden F B Wirtschaftswissenschaften und Politologie an.

A fl B f l C

den beiden F B Wirtschaftswissenschaften und Soziologie an.

B HC H A

den beiden F B Soziologie und Politologie an.

AnBnC

allen drei F B an.

3. Da es sich hier um eine einfache Zufallsauswahl handelt, gilt für alle Ereignisse: Die Wahrscheinlichkeit ist gleich der Anzahl der zugehörigen Studierenden dividiert durch alle Studierenden der drei F B , also durch N

=

1000.

Um die

gesuchten Wahrscheinlichkeiten bestimmen zu können, werden zwei Beziehungen benötigt, die hier für spezielle Konstellationen angegeben werden sollen:

P ( ^ n B u C ) = P(A) - P ( A n ( ß u C ) ) = P(/l) - P ( ( A n ß ) u ( A n C ) ) = P(A) - p ( x n B) - P(i4 n C) + p(A n B n c ) ; P(AnBnC)

= P(4nfl)

-P(AnßnC)

Damit erhalten wir:

P ( A n BuC) = 0.70 - 0.25 - 0.10 + 0.05 = 0.40 P ( B n X Ö C ) = 0.45 - 0.25 - 150/1000 + 0.05 = 0.10 p ( C n ZLJb) = 0.30 - o.ioo - 1 5 0 / 1 0 0 0 + 0.05 = 0.10 p{AncnB) = 0.10 - 0.05 = 0.05 P(A n B n C ) = 0.25 - 0.05 = 0.20

P\B n C n 3 ) = 0.15 - 0.05 = 0.10 P(A n B n c) = 0.05. L ö s u n g z u 2.1.3 1. Jeder Buchstabe kann an erster Stelle vorkommen und von jedem Buchstaben gefolgt werden. Dies ergibt 2 6 Analog erhalten wir 1 0

3

=

2

=

6 7 6 Zweier-Kombinationen von Buchstaben.

1 0 0 0 Ziffernkombinationen. Da j e d e Kombinationen

von Buchstaben mit jeder Ziffernkombination verbunden werden kann, sind die beiden Anzahlen zu multiplizieren. Es gibt also 6 7 6 0 0 0 mögliche Nummernschilder. 2 . Die Anzahl der unterschiedlichen Anordnungen von N verschiedenen Objekten beträgt Nl

=

1 • 2 • • • N.

zusammenstehen, auf 4 ! =

Damit können die 4 Ökonomiebücher, wenn sie

2 4 unterschiedliche Weisen angeordnet werden, die

Statistikbücher und Gesetzes-Texte auf jeweils 3 ! = 6 Weisen; die beiden Managementbücher bringen es auf 2 Anordnungen. Nun sollen sie zusammen stehen

TEIL L - LÖSUNGEN

72

bleiben; jedoch können z.B. die Statistik-Bücher ganz links oder auch weiter rechts stehen. Da es 4 Gebiete von Büchern gibt, lassen sich die Gebiete auf 4! = 24 verschiedene Weisen auf dem Regal anordnen. Dies führt zu insgesamt 4!-(4!-3!-3!-2!) = 41472 unterschiedlichen Anordnungen. Lösung zu 2.1.4 Der Flächeninhalt der gesamten Karte beträgt l • 0.71 — 0.7l2. Nun ist es leichter, erst einmal die Fläche für den inneren, günstigen Teil zu bestimmen. Er hat die Fläche (Z - 2b)(0.71 - 2b) = 0.7l2 - 3.41 • b + Ab2. Mit b = 1/8 wird dies zu 0.7Z2 - 3.4/' £ +

4

(g)

= 0.3375/2.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ort in der günstigen Kartenregion liegt, ist al0 337512 so ' = 0.482. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das komplementäre Ereignis, für die ungünstige Region; diese erhalten wir zu 1 — 0.482 = 0.518. Damit ist (unter den angegebenen Bedingungen) in mehr als der Hälfte der Fälle mit einer ungünstigen Platzierung des gesuchten Ortes zu rechnen. Lösung zu 2.1.5 Zuerst übersetzen wir die möglichen Vorkommnisse in die Sprache der Ereignisse. Wird das Ereignis 'Es regnet während eines Spazierganges' mit R bezeichnet, dann ist R das Ereignis, dass es dann nicht regnet. Mit A bezeichnen wir das Ereignis, dass im Rundfunk die Prognose 'Regen' gemacht wird und mit A, dass 'kein Regen' angesagt wird. In der 4 Felder-Tafel der Aufgabenstellung sind nun die Wahrscheinlichkeiten für die Durchschnitte der Ereignisse angegeben: P ( R n A) = 0.764, P { R n ~Ä) = 0.156, P(R n A) = 0.014, P(R n A) = 0.066. Zudem sind an den Rändern die Einzel Wahrscheinlichkeiten P (R), P (R), P(>1), P(yt) angegeben. Damit erhalten wir: 1. Da McGo den Regenschirm stets mitnimmt, tut das nur umsonst, wenn es nicht regnet: P(ß) = 0.08. 2. Hier ist einfach nach der Wahrscheinlichkeit für (tatsächlich einsetzenden) Regen gefragt: P{R) = 0.92.

L.2.

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

73

3. Die Fragestellung schränkt die möglichen Situationen auf die ein, bei denen kein Regen angesagt ist. Damit sind wir bei den bedingten Wahrscheinlichkeiten. Gesucht ist also:

' « ' « - ^ - s i - ™ Lösung zu 2.1.6 1. Sei F das Ereignis, dass eine Fichte ausgewählt wird. Das Ereignis T, dass eine Tanne ausgewählt wird, ist dazu komplementär: T = F. Weiter bezeichnen wir mit G, M und S die Ereignisse, dass der zufällig ausgewählte Baum gesund ist, bzw. mittel oder stark geschädigt. Die Angaben können wir dann in einer 2 x 3-Tafel zusammenstellen. In der folgenden Tabelle sind die fett gedruckten Einträge unmittelbar aus den Angaben übertragen. Die Einträge in normaler Schrift sind daraus abgeleitet. Um etwa die Wahrscheinlichkeit P(T fl G) zu erhalten, ist die Angabe '20% der Tannen sind gesund' auszunutzen. Formal ist dies P(G|T) = 0.2 Das führt zu P(T n G) = P(G|T)P(T) = 0.2 • 0.3 = 0.06. Daraus erhalten wir weiter P(F n G) = P(G) - P(G n T) = 0.41 - 0.06 = 0.35. Analog ergeben sich die weiteren abgeleiteten Einträge. F T E

G M 0.35 0.21 0.06 0.15 0.41 0.36

E S 0.14 O.TO 0.09 0.30 0.23 1.00

2. Aus der Aufgabenstellung erhalten wir ohne weiteres: P(T) = 0.3. 3. Die Frage zielt darauf, dass ein Baum ausgewählt wird, der eine Fichte ist und zugleich das Merkmal 'Gesund' trägt. Es ist also nach der Wahrscheinlichkeit eines Durchschnitts gefragt. Sie lässt sich aus der Tabelle ablesen: P ( F fl G) — 0.35. 4. Bei Kenntnis des Zustandes 'Gesund' wird nach der Wahrscheinlichkeit für eine Tanne gefragt. Das ist also eine bedingte Wahrscheinlichkeit: P(7"|G) = P ( T n G ) / P ( G ) = 0.06/0.41 = 0.14634. Lösung zu 2.1.7 1. Sei S das Ereignis, dass ein Sachbuch, und 5, dass ein belletristisches gekauft wird. A, B und G sind die Ereignisse, dass die jeweiligen Verkäufer bedienen. Die Angaben können wir dann in einer 2 x 3-Tafel zusammenstellen. In der folgenden Tabelle sind die fett gedruckten Einträge unmittelbar aus den Angaben übertragen. Die Einträge in normaler Schrift sind daraus abgeleitet. Um etwa die Wahrscheinlichket P(^4 D S) zu erhalten, ist die Angabe 'Herr A verkauft 5% aller Sachbücher' auszunutzen. Formal ist dies P(A|S) = 0.05. Das führt zu P(A n S) = P(;4|S)P(S) = 0.05 • 0.2 = 0.01. Daraus erhalten wir weiter ns) = P(A) - p(vi n S) = 0.20 - o.oi = 0.19.

TEIL L - LÖSUNGEN

74

Die Angabe 'Bei den von Herrn B verkauften Büchern b e t r ä g t der Sachbuchanteil 1 0 % ' lautet in der formalen Schreibweise: P(S\B) = 0.10. D a s führt zu

P(ßnS) =

P ( S | J B ) P ( B ) = 0 . 1 0 • 0 . 3 0 = 0.03. Die restlichen E i n t r ä g e ergeben sich daraus, dass die Summen der Einträge der Zeilen und Spalten jeweils die R a n d s u m m e n ergeben müssen.

A 0.01

B

C

0.03

0.16

s s

0.19

0.27

0.34

E

0.20

0.30

0.50

E

0.20 0.80 1.00

2. Aus der Tabelle erhalten wir: P ( B n S ) = 0.27. — Pf9 n f l 0 34 3. Gefragt ist P ( 5 | C ) . Dies ist gleich ' = — = 0.68. 4. Die Fragestellung zielt auf das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse, also auf ein 'und'-Ereignis. Dies erhalten wir einfach durch Ablesen: P ( , 4 n S ) = 0 01. 5. S ist bereits eingetreten; nun wird nach der Wahrscheinlichkeit von B gefragt. Dies ist die Situation einer bedingten Wahrscheinlichkeit:

P(m 2) = 1 - P ( X < 2) = 1 - F ( 2 ) = 0.06285693 2. Bei 10 LE ist die Verteilung eine Po(10-0.3)-Verteilung, der Parameter ist also 3. Daher ist der zugehörige Erwartungswert: E ( X ) = 3. 3. Es ist P ( X = 1) = e~03d • (0.3 • d). Um diese Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von d zu maximieren, wird sie als Funktion von d geschrieben. Die erste Ableitung der Funktion wird dann Null gesetzt; an der Nullstelle liegt ein Maximum vor, wenn die zweite Ableitung < 0 ist:

g{d) = 0.3d • e~0 3ä g'(d) = 0.3 • e~0M + 0.3d • e~0M{-0.Z) g'(d)

= 0.3 • e-° M ( l - 0.3d)

= 0 =>> 1 - 0.3d = 0 =• d = 1/0.3.

g"{d) = -0.09e-°- 3 d - 0.09[ e -°- 3 d + d e - ° - 3 d ( - 0 . 3 ) ] =

e-°

3d[-0.09

+ 0.09(1 - d • 0.3)]

Da g"(l/0.3) = - 0 . 9 e _ 1 < 0, liegt für d = 1/0.3 ein Maximum vor. Die Wahrscheinlichkeit P ( X = 1) wird für d = 1/0.3 maximal. Sie beträgt dann 0.36787944.

Lösung zu 2.3.9 Da es sich um einen Poisson-Prozess handelt, ist die Anzahl der Kunden, die innerhalb eines Zeitraumes von 20 ( = 4 • 5) Minuten abgefertigt werden, wieder Poisson-verteilt mit einem Erwartungswert von 4 - 2 = 8. 1. Weil Sie noch zum Zug wollen, müssen auch Sie, also insgesamt 11 Personen, A11 bedient worden sein. Es ist P ( X = 11) = e " 8 ^ = 0.07219. 2. Die Anzahl der in den 20 Minuten zu bedienenden Personen verringert sich auf A9 Neun. Die Chancen steigen, aber nicht wesentlich: P ( X = 9) = e ~ 8 — = 0.1241. 3. Wenn im Mittel 2 Personen in 5 Minuten abgefertigt werden, wird eine im Mittel in 2.5 Minuten bedient.

Lösung zu 2.3.10 1. Im Auswahldiagramm werden die Quotienten qt = Xihi/h^i in Abhängigkeit von den Realisationsmöglichkeiten Xi eingezeichnet. Zunächst ergibt sich für die Quotienten: K &

1 0.301 -

2 0.176 1.169

3 0.125 2.131

4 5 6 7 8 0.097 0.079 0.067 0.058 3.104 4.072 5.089 6.060

9 0.051 7.034

0.046 8.118

88

TEIL

L -

LÖSUNGEN

Damit erhalten wir das Diagramm L . l l , in das auch eine Ausgleichsgerade durch die Punkte gelegt ist. Man sieht, dass sie eine positive Steigung und einen negativen Achsenabschnitt aufweist. Daher ist von den 5 Verteilungen die negative BinomialVerteilung das beste Modell. Abbildung L . l l : Auswahldiagramm für 'führende Ziffer'

2. Bei der negativen Binomialverteilung haben alle x, x = 0,1, 2 , . . . eine positive Wahrscheinlichkeit. Dabei ist Y^LQPX — den führenden Ziffern kommen nur die Realisationsmöglichkeiten 1 , . . . , 9 infrage. Die Summe der zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ist dann natürlich kleiner als 1. Um also aus den Wahrscheinlichkeiten p \ , . . . , pg eine Wahrscheinlichkeitsfunktion zu machen, müssen sie normiert werden, so dass ihre Gesamtsumme 1 ergibt. Die neue Wahrscheinlichkeitsfunktion p*x, x = 1 , . . . , 9, hat dann die Gestalt * _ Pl Px — ^—,9

E,-=i Pj

i

x

1

— i,...,

Q

y.

L ö s u n g zu 2 . 3 . 1 1 1. Hier ist offensichtlich nach der Wahrscheinlichkeit P ( X < 3) gefragt, danach also, dass das knotenfreie Stück kürzer ist als das (verbundene) Kabel. Dann muss es ja mindestens einen Knoten geben. Wegen P ( X < 3) = 1 - e~2 Z = 1 - 0.00248 = 0.99752 ist es fast sicher, dass es einen Knoten gibt. 2. Bei den Kabeln der Länge 1.5 m beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Knoten: < 1.5) = 1 - e x p ( - 2 • 1.5) = 0.9502. Nun haben wir zwei Kabel. Die knotenfreie Länge des einen sei X\, die des zweiten sei Xi- Die Chance in mindestens einem der beiden Kabel mindestens einen Knoten zu haben ist dann: P({A"i < 1 . 5 } U { X 2 < 1.5}) = P(Xi < 1.5) + P ( X 2 < 1.5) - P ( * ! < 1 . 5 ) P p i 2 < 1.5). Dabei ergibt sich der letzte Term auf der rechten Seite der Gleichung mit der Unabhängigkeit: P ( { X i < 1.5} n {X2 < 1.5}) = P p G < 1.5)P(X 2 < 1.5).

L.2.

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

89

Konkret erhalten wir: P({Xi < 1.5} U {X2 < 1.5}) = 0.9502 + 0.9502 - 0.9502 • 0.9502 = 0.99752 . Das ist das gleiche Ergebnis wie unter 1. Dies resultiert aus der so genannten Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung: P ( j r > x2) = P(X > Xi + x2\X

> Ii).

Lösung zu 2.3.12 In der folgenden Arbeitstabelle sind die Größen schon aufgeführt, die im weiteren noch begründet werden. i 1 2 3 4 5 6 7 8

0 2 4 6 8 10 15 25

Arbeitstabelle: < * < x\ 2 4 6 8 10 15 25 -

Entfernung der Fahrten hj Pi = F{x*) ti = F~\pi) 0.23 0.23 1.97 0.42 4.11 0.19 0.13 0.55 6.03 0.08 0.63 7.50 0.07 0.70 9.09 0.10 0.80 12.15 0.09 0.89 16.66 0.11 1.00

1. Aus der Arbeitstabelle erhalten wir zunächst den empirischen Median als empirisches 0.5-Quantil: „

x = aro.5 = 4 +

0.5 — 0.42

r

„n

2 = 5.23.

x wird als Näherungswert für den theoretischen Median jj, genommen. Mit ß — ln(2)/A bzw. A = ln(2)/ß erhalten wir als Näherungswert für A: A = ln(2)/5.23 = 0.1325. Die theoretischen Quantile der Exponentialverteilung mit dem Parameter A sind gegeben durch tp — — ln(l —p)/A. Für die p's der vierten Spalte sind die zugehörigen Quantile dann in der fünften Spalte angegeben. Im QQ-Diagramm sind die Punkte als Kreise dargestellt. Offenbar ist die Abweichung der Punkte von der mit eingezeichneten Ausgleichsgeraden systematischer Natur; sie liegen eher auf einer Parabel als auf einer Geraden. 2. Um das entsprechende QQ-Diagramm für die ^/x-transformierten Daten zu erstellen, sind einfach die Quadratwurzeln der Klassengrenzen zu bilden und diese in Abhängigkeit der bereits bestimmten Quantile t, darzustellen. Dies ist in das Diagramm mit eingezeichnet. Hier zeigen die Punkte (als Rechtecke dargestellt) keine Abweichung von der zugehörigen Ausgleichsgeraden mehr. 3. Es gilt wegen X = Y2 und weil Y nur Werte > 0 annehmen kann: P(Jf >x)

= P(K 2 >x)=

P ( Y > y/x) =

TEIL L - LÖSUNGEN

90

Abbildung L.12: QQ-Diagramm für 'Entfernung' original (Kreise) und transformiert (Rechtecke)

Daher ist F(x) — 1 — exp(—\^/x). Die Dichte erhalten wir durch Differenzieren: Dies gilt natürlich nur für x > 0. Für x < 0 sind F(x) und f(x) identisch Null.

L.2.4

Normalverteilung

Allgemeine Aspekte, die beim Lösung von Aufgaben, welche die Normalverteilung betreffen, zu beachten sind, werden in der Lösung von Aufgabe 2.4.1 exemplarisch ausgeführt. In den folgenden Lösungen werden die einzelnen Schritte dann nicht mehr so ausführlich begründet. Lösung zu 2.4.1 1. Die Dichtefunktion der Normalverteilung mit den Parametern ß und er2 ist in der Gleichung (A.13) angegeben. Durch Einsetzen von x = 1 (wobei die eFunktion wegen 1 — ß — 0 den Wert 1 annimmt) erhalten wir: /(1) = 0.1995. Für die Verteilungsfunktion an der Stelle x — 1(— ß) gilt wegen der Symmetrie der Normalverteilung um den Erwartungswert: F( 1) = 0.5. Für die Dichtefunktion gilt die Interpretation, dass der Flächeninhalt unter dem Funktionsverlauf in einem bestimmten Intervall gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsvariable einen Wert aus diesem Intervall annimmt. Daher ist / ( l ) c bei einem kleinen e > 0 näherungsweise gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die zugehörige Zufallsvariable einen Wert aus dem Intervall 1 ± e/2 annimmt. Für e = 0.01 ist dies 0.001995. Der Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle x stellt selbst eine Wahrscheinlichkeit dar: F(x) = P(X < a;). Daher ist F ( l ) die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich 1 ist. 2. Um die Normalverteilungstabelle, in der ja die Quantile der Standardnormalverteilung angegeben sind, benutzen zu können, ist stets die Standardisierung

L.2.

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

91

vorzunehmen:

Damit erhalten wir: 1

(i) P(X < - 1 ) = $

j

= $ ( - 1 ) . In der Tabelle ist der Wert -1 als

spezielles Quantil nicht aufgeführt. Vielmehr erhalten wir den Tabellenausschnitt .008

p 0.15

...

.009

-1.0027 -0.9986

Grob kann daher $(—1) als mittlerer Wert zwischen 0.158 und 0.159 angegeben werden: $(—1) « 0.1585. Eine verbesserte Approximation lässt sich über eine lineare Interpolation erhalten. Dies verläuft analog zur Bestimmung eines empirischen Quantiis bei klassierten Daten: $ (v- 1 ) « 0.158 + ~ ( " L Q Q 2 I L 0.001 = 0.15866. ' -0.9986 - (-1.0027) (ii) Um P(X > 2) unter Verwendung der Normalverteilungstabelle zu ermitteln, ist zu dem komplementären Ereignis überzugehen: P ( X > 2) = 1 — P ( X < 2). Hier darf das Gleichheitszeichen auf beiden Seiten vorkommen, weil für stetige Verteilungen ja P(X = x) = 0 gilt. Dann erhalten wir zunächst für P(X < 2): P(X < 2) = $ (

]

= $(0.5) = 0.6915.

Dabei wurde auf eine genauere lineare Interpolation verzichtet, weil 0.5 praktisch den Mittelpunkt zwischen den beiden Tabelleneinträgen 0.4987 und 0.5015 darstellt. Die am Rand abzulesende Wahrscheinlichkeit ist daher ebenfalls der mittlere Wert zwischen zwei Einträgen. Somit ist P(X > 2) = 1 - 0.6915 = 0.3085. (iii) Zunächst wird die Wahrscheinlichkeit für das Intervall in die Differenz zweier Wahrscheinlichkeiten übergeführt: P ( - l < X < 3) = P(A" < 3) - P(X < - 1 )

Da die Standardnormalverteilung symmetrisch um Null ist, gilt für x > 0: $(—x) = 1Mit dem unter (i) erhaltenen Wert $ ( - 1 ) = 0.15866 folgt also: $ ( ! ) - $ ( - 1 ) = (1 - 0.15866) - 0.15866 = 0.68268.

92

TEIL L - LOSUNGEN

3. Gesucht ist der x-Wert mit P(A" < X0.7) = 0.7. Die Standardisierung führt auf die Beziehung: P(Jf < 10.7)

0.7.

Damit ist (xo.7 — l)/2 gleich dem 0.7-Quantil 20.7 der Standardnormalverteilung. Aus der Tabelle ersehen wir: z0.7 = 0.5244. Dies ergibt: XoJ

~

1

= 0.5244 =• x0.7 = 2.0488.

4. Wieder ist es das Ziel, mittels geeigneter Umformungen die Wahrscheinlichkeitsaussage auf eine überzuführen, die die Standardnormalverteilung betrifft. Zunächst gilt, da Z = (X — l ) / 2 standardnormalverteilt ist:

"(§H(T) weiter zu

Das führt mit Hilfe von $(—2) = 1 —

Der letzte Wert soll nun gleich 0.6 sein. Umstellen ergibt: 2$(c/2) — 1 = 0.6 =» $(c/2) = 0.8 Das 0.8-Quantil der Standardnormalverteilung ist z0.8 = 0.8416. Also gilt c/2 = 2:0.8 = 0.8416 => c = 1.6832. Lösung zu 2.4.2 Sei X die Zufallsvariable 'Lebensdauer eines zufällig ausgewählten Reifens'. Es gilt: X ~ N(36000,40002). 1. Gesucht ist P(X < 40000). Mit der Standardisierung Z = (X - 36000)/4000 folgt: P(X < 40000) = P (Z
x) = 0.9 P ( X < x) = 1 - 0.9 = 0.1. Gesucht ist also das 0.1Quantil. Wie unter 2. erhalten wir: Das 0.1-Quantil der Standardnormalverteilung ist nach der Tabelle der Normalverteilung -1.2816. Damit gilt: -1.2816 =

zn i - 36 000 — => x0 j = 36 000 - 4 000 • 1.2816 = 30873.60. 4 000

5. Das zweifache zentrale Schwankungsintervall geht von /x — 2a bis ß + 2a. Dies ist hier 36 000 ± 8 000; die Grenzen sind also 28 000 und 44 000. 6. Die Lösung des Punktes 5 lehrt, dass hier nach der Wahrscheinlichkeit für das zweifache zentrale Schwankungsintervall gefragt ist. Diese Wahrscheinlichkeit ist gleich $(2) - $ ( - 2 ) . In Punkt 3 wurde $ ( - 2 ) zu 0.02275 bestimmt. Mit $ ( - 2 ) = 1 - $(2) erhalten wir: P(/x - 2a < X < n + 2a) = $(2) - $ ( - 2 ) = 1 - 2 625): P ( y > 625) = 1 = 1-

P(y

< 625) « 1 - $

625 - 605

VW5 2.8267 - 2.7478 0.997 + 0.001 2.8782 - 2.7478

= 0 .0024.

1 - $(2.84267) = 1 - 0.9976

L.3. STICHPROBEN

UND INDUKTIVE

STATISTIK

97

4. Wegen der Diskretheit von Y ist P ( F < 590) gleich P(y < 589): P ( y < 589) « $

j = $(-2.2741)

= O-OH +

-2.2741 + 2.2904 " 0.001 = 0.01149. -2.2571 + 2.2904

5. Gefragt ist nach der Anzahl der Pucks, unter der der Schwund mit Wahrscheinlichkeit 0.95 bleiben wird. Das ist gerade das 0.95-Quantil: P(y


eoU

V»=1

P

I

f V

•0 V

1 0 0

5

^

>

60

V

1 0 0

Ä

/

= P ( Z > 3.4641) = 1 - P ( Z < 3.4641) = 1 - 1 = 0.

L . 3

L.3.1

S t i c h p r o b e n

u n d

i n d u k t i v e

S t a t i s t i k

Stichproben

Lösung zu 3.1.1 Die empirischen Verteilungsfunktionen der 5 Stichproben sind verschieden, auch wenn sie an einzelnen Stellen übereinander liegen. In der Tabelle sind zudem die empirische Verteilungsfunktion F(x) aller 100 Werte sowie die theoretische Verteilungsfunktion F(x) angegeben.

TEIL L - LÖSUNGEN

98

A(*)

X

0 1 2 3

0.15 0.75 0.90

1.00

h(x)

F2 (X)

0.30 0.60 0.90

1.00

0.35 0.80 0.95

0.35 0.85 0.85

1.00

1.00

0.25 0.55 0.95

1.00

F(x)

F(x)

0.28 0.71 0.91

0.167 0.667 0.917

1.00 1.000

Die empirischen Verteilungsfunktionen sind um die theoretische gruppiert; diese ist in der Abbildung L.13 durch die durchgezogene Linie dargestellt. Die empirischen Verteilungsfunktion aus der zusammengefassten Stichprobe (durch ' —' dargestellt) ist an jeder Stelle gerade das arithmetische Mittel der 5 einzelnen Verteilungsfunktionen . Damit weist sie weniger starke Abweichungen von der theoretischen Verteilungsfunktion auf als die der einzelnen Stichproben. Abbildung L.13: Verteilungsfunktionen für Staubbelastung -„-. - 7 - . T . " J J

-

:

1

1

0

1

1

2

1r 3

Lösung zu 3.1.2 Die drei Stabdiagramme sind in der folgenden Abbildung nebeneinander gestellt. Das arithmetische Mittel aller 200 Beobachtungen, x = 3.48, ist als senkrechte Linie eingezeichnet. Abbildung L.14: Stabdiagramme für Augenzahlen 0.20

0.20

0.20-

0.15

0.15

0.15 -

0.10 -

0.10

0.10

0.05

0.05

0.05

0.00

0.00 1

2

3

4

5

6

0.00 1

2

3

4

5

6

-r~r

2

3

4

5

6

Das Stabdiagramm der Originalbeobachtungen spiegelt die Gleichverteilung der Zufallsvariablen X über die Werte 1,2,... ,6 wider. Die arithmetischen Mittel aus je zwei Beobachtungen sind dann schon merklich konzentriert mit dem globalen arithmetische Mittel als Zentrum. Das drückt sich auch darin aus, dass nunmehr nicht nur die ganzen Zahlen als Realisationen vorkommen, sondern auch Zwischenpunkte. Das führt auch zu verringerten Höhen der außen liegenden Stäbe.

L.3. STICHPROBEN

UND INDUKTIVE

STATISTIK

99

Bei einer größeren Anzahl von möglichen Werten kommen die weiter vom Zentrum weg liegenden seltener vor. Bei den arithmetischen Mitteln aus je 4 Beobachtungen liegen die (berechneten) Werte noch einmal dichter. Das Stabdiagramm sieht dabei 'weniger glatt' aus. Zu berücksichtigen ist aber, dass hier das Stabdiagramm auf nur noch 50 Werten basiert, während es 200 bei der orginalen Beobachtungen sind und 100 bei den arithmetischen Mitteln aus je zwei Werten. Lösung zu 3.1.3 1. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit P

< 0.05

wobei X die An-

zahl der Versuche ist, bei denen die Toast-Scheibe mit der Marmeladeseite nach unten zu liegen kommt. X ist binomialverteilt, X ~ B(n, p). Damit können wir bei genügend großem n die Normalapproximation zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit verwenden. Dies ist bei n = 100 sicherlich gegeben. Jedoch wird die Stetigkeitskorrektur berücksichtigt. X

p < 0.05^ = P(—0.05 • n < X - n • p < 0.05 • n) = P(—5 < X - 100 • p < 5) = P(—5 < X - 100 • p < 4) = P

=

i. Bei p p l

$

-5 yioo-p-(i-p) '

4 + 0.5

X - 100 • p

< \

yioo-p-(i-p)

4 < ~ v/ioo-p-(i -

v/ioo• p• ( i - p ) ^f -

- 5 + 0.5

$

sjn-p-(1

\

-p)

0.5 erhalten wir: X -0.5 < 100 = $(0.9) - $ ( - 0 . 9 ) = 0.816 - 0.184 = 0.632.

ii. Bei p = 0.8 erhalten wir entsprechend 100

0.8
0.95. Wie oben

wird daraus, wobei nun aber auf die Stetigkeitskorre! ctur verzichtet wird:

v / n - p - (1 - p )


0 verbleibt. Das ist die formale Formulierung des Gesetzes der großen Zahlen; im Aufgabentext ist dies verbal ausgedrückt. Lösung zu 3.1.6 1. Nach den Gegebenheiten zählt die Stichprobenfunktion Y = X\ H 1- Xn die Anzahl der 'Erfolge' in unabhängigen Versuchswiederholungen. Sie besitzt also eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p = 0.5. Die Realisationen der Stichprobenfunktion X korrespondieren eineindeutig mit denen von Y = n-X: x = y/n, y = 0 , 1 , . . . , n. Daher gilt: P(X = x) = ( U ) p n i ( l - p)n~ni \nx )

(x = 0,1/n, 2 / n , . . . , n / n ) .

2. Mit der unter i. festgestellten Beziehung zur B(n,0.5)-verteilten Zufallsvariablen Y lässt sich die Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle der Binomialverteilung ablesen: P ( X 2 0 < o.5) = p ( y < 20 • o.5) = p ( y < 10) = o.588i.

Unter Verwendung der Normalapproximation erhalten wir ohne Stetigkeitskorrektur einfach den Wert 0.5, da die Verteilungsfunktion an der Stelle Null bestimmt werden muss. Mit Stetigkeitskorrektur ergibt sich: P(X 2 0 < 0.5) = P(Y < 10) = * (

l ^

= $(0.2236) = 0.5885.

=

* (

/ Vv^T /

102

TEIL L - LOSUNGEN

Dies stimmt sehr gut mit dem exakten Wert überein. 3. Wegen des großen Stichprobenumfanges ist die Wahrscheinlichkeit mittels der Normalapproximation zu bestimmen. Dies kann wieder über die Beziehung Y = n • X geschehen. Dann sind Erwartungswert und Varianz von Y gleich ßy = 100 • 0.5 = 50, a \ = 100 • 0.5 • 0.5 = 25. Wir erhalten: P(0.45 < X < 0.60) = P(45 < Y < 60) = P ( F < 60) - P ( < Y < 45) = P ( y < 60) - P ( < Y < 44)

= $(2.10) - $ ( - 1 . 1 0 ) = 0.9820 - 0.1355 = 0.8465 . Dabei wurde auf eine feinere Interpolation der Einträge in der Normalverteilungstabelle verzichtet. Lösung zu 3.1.7 1. Natürlich ist S2 eine Stichprobenfunktion; ihre Werte können von Stichprobe zu Stichprobe variieren. Daher ist E(S 2 ) durchaus sinnvoll, iii. ist also falsch. (Auch für Konstante C ist E(C) 'sinnvoll'. Dann wird der Erwartungswert gleich dem konstanten Wert: E(C) = C.) Von den beiden anderen Möglichkeiten ist ii. richtig. S2 =

— X)2 /n

gilt E(S 2 ) =

- x) = (1 - p)x. Die Wahrscheinlichkeit für die beobachtete Stichprobe ist also: P ( X = 1) • P ( X = 3) • P ( X = 6) • P{X > 10) = p( 1 - p)p( 1 - p)3p( 1 - p) 6 ( 1 - p)10 = p 3 (l - p)20 . 3. Die Likelihoodfunktion ist nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit für die beobachtete Stichprobe, aufgefasst als Funktion des Parameters p. Daher ist sie für die vorliegende Stichprobe gegeben durch L(p)=p3(l-p)20. Die Maximum-Likelihood-Schätzung erhalten wir wie üblich durch Logarithmieren von L(p), I n ( L ( p ) ) = 3 ln(p) + 20 ln(l - p),

L.3. STICHPROBEN

UND INDUKTIVE STATISTIK

109

Differenzieren von ln(L(p)) nach p, d In(L(p)) _ 3

dp

p

20

1—p'

und Nullsetzen der Ableitung:

Der Schätzwert ist also p = 3/23. Das Ergebnis ist plausibel, sind doch bei insgesamt 23 Flügen 3 Flugzeuge abgestürzt.

L.3.3

Konfidenzintervalle

Lösung zu 3.3.1 1. Zu Beginn des Aufgabenabschnittes zu Konfidenzintervallen wurde die allgemeine Form eines symmetrischen Konfidenzintervalls für den Erwartungswert einer Normalverteilung bei bekannter Varianz angegeben, vgl. (A.20):

v

A

—

°

a

(L.26)

Zl-a/2~-j=\ A + Zl-a/2—7= ' vn ' y/n

Für die Bestimmung des Konfidenzintervalls brauchen die aktuellen Werte nur noch in (L.26) eingesetzt zu werden. Bei 1 — a = 0.95 ist 1 — a / 2 = 0.975 und somit zi_ a /2 = 1.96. Damit ist: 95 - 1 . 9 6 - j L ; 95 + 1 . 9 6 - j L ] y/m %/5Ö

[94.168; 95.832

Das realisierte Konfidenzintervall ist also [94.168; 95.832]. 2. Hier ist das Konfidenzintervall (A.21) adäquat. Einsetzen der Werte in (A.21) ergibt mit i n _i ; i_ q / 2 = i49;o.975 = 2.0096: 95 - 2 . 0 0 9 6 — 9 5 + 2.0096-^_ = [94.147; 95.853] N/50 N/ÖÖ. Das Konfidenzintervall ist geringfügig breiter als das unter 1. bestimmte. Dies reflektiert die Tatsache, dass weniger Information als unter 1. vorliegt. Andererseits geht die t-Verteilung für n —• oo gegen die Standardnormalverteilung; somit ist der Unterschied bei großem n nicht wesentlich.

Lösung zu 3.3.2 Ein QQ-Diagramm zeigt, dass die Messwerte ausreichend normalverteilt sind. Der Stichprobenumfang kann daher als groß genug für die Verwendung von (A.21) als approximatives Konfidenzintervall für ß angesehen werden.

TEIL L - LÖSUNGEN

110

Abbildung L.17: Normalverteilungs-QQ-Diagramm für 'Gewicht von Luftpostbriefumschlägen '

Aus den angegebenen Daten erhalten wir: x = 1.944 und a — 0.05312. Mit 1 — a = 0.9 ist 1 — a/2 = 0.95. Da der Stichprobenumfang groß ist, kann anstelle der tVerteilung die Normalverteilung zur Bestimmung der kritischen Werte verwendet werden. Das führt zu 2i- q /2 = 20.95 = 1-645. Einsetzen der Werte in (A.21) ergibt das Konfidenzintervall 1.944 - 1.645

0.05312 0.05312 , ; 1.944 + 1.645 v/lÖÖ ' ' ' NAÖÖ

[1.935; 1.953]

Lösung zu 3 . 3 . 3 Um zu zeigen, dass X + Z i - a o / sjneme obere (l-a)-Konfidenzschranke ist, haben wir nachzuweisen:

Wir erhalten P

+

Z

l

> ß j = p ( x - ß >

-zi-a-ja

X-ß < ~Zl-a a/y/n Die standardisierte Größe in dem letzten Wahrscheinlichkeitsausdruck ist N(0,1)verteilt. Zudem ist — zi_a = za. Damit ist die letzte Wahrscheinlichkeit gleich a und die gesamte Ausdruck ergibt 1 — a . Lösung zu 3 . 3 . 4 1. Nach Gleichung (A.23) auf Seite 41 hat das Konfidenzintervall die Form U,

2 Xn—1;Q

Aus den angegebenen Daten erhalten wir x = 0.3049, - x) 2 = 0.00129. Das 0.1-Quantil der x 2 -Verteilung mit 9 Freiheitsgraden beträgt Xg-o.i = 4.168.

L.3. STICHPROBEN UND INDUKTIVE STATISTIK

111

Für die Bestimmung des realisierten Konfidenzintervalls brauchen diese Werte nur noch eingesetzt zu werden; dieses ist somit: 0.00129 4.168

= [0; 0.00031]

2. Wird ii = 0.3 als bekannt vorausgesetzt, so kann diese Information natürlich verwertet werden. Wir bestimmen dann die Summe der quadrierten Abweichungen der Beobachtungen von diesem Wert; die zugehörige Stichprobenfunktion n

»=i

- A1)2

hat eine x 2-Verteilung mit n Freiheitsgraden. Dementsprechend ist hier auch das 0.1-Quantil der x 2 -Verteilung mit 10 Freiheitsgraden, Xiooi = 4.865 zu verwenden. Wir erhalten: ' Xi0;0.i

0.001994"

. '

4.865

Die größere Summe der Abweichungsquadrate wird durch das etwas größere Quantil nicht aufgewogen. Das Konfidenzintervall ist bei Verwendung der Vorinformation breiter als das ohne.

Lösung zu 3.3.5 Wir erhalten folgende Antworten: i. ii. iii. iv.

v. vi.

vii.

Richtig. Das Konfidenzintervall ist allgemein als ein Paar von Zufallsvariablen definiert. Richtig. Da Konfidenzintervalle Paare von Zufallsvariablen sind, müssen die Grenzen Realisationen von ihnen sein. Falsch, ß ist der Parameter für den das Intervall bestimmt wird. Parameter sind aber fest und schwanken nicht. Falsch. Das Konfidenzintervall für ß basiert auf der Relation

dabei ist z = 2i_ q /2- Es muss also lediglich 2i_ q /2 > 0 gelten, damit dies 1 — a / 2 > 0.5 a < 1. Damit sinnvoll bleibt. Nun ist aber Zi_ q /2 > 0 kann das Konfidenzniveau 1 — a beliebig nahe an Null heran rutschen. Richtig. Das ist gerade der Grundgedanke des Konfidenzintervalls. Falsch. Das realisierte Konfidenzintervall ist ein Paar von Zahlen. Diese schließen den wahren Parameterwert entweder ein oder nicht. Wahrscheinlichkeiten sind nach der Durchführung des Zufallsvorganges nicht mehr im Spiel. Richtig. Dies ist die Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeitsaussage, die im Punkt (5) angesprochen wurde.

112 viii.

T E I L L

-

LÖSUNGEN

Die Breite des Konfidenzintervalls ergibt sich zu X

+ Zi_al2—7=

— ( X s/n

-

Z i - a ß — ^ ) — ' s / n

2 • 21-0/2-7= • ' s / n

Damit folgt: (a) Richtig. Der Stichprobenumfang geht über s/n umgekehrt proportional in die Breite ein. (b) Richtig. Eine stärkere Streuung bedeutet eine größere Standardabweichung. er geht direkt proportional in die Breite ein. (c) Falsch. Je kleiner das Konfidenzniveau 1 — a , desto kleiner wird das Quantil Das dieses direkt proportional in die Breite eingeht, wird die Breite kleiner, wenn das Niveau kleiner gewählt wird.

Lösung zu 3.3.6 Da es auf die einzelnen Kinder ankommt, ist n = 709. Die Angabe zu der Anzahl der Geburten ist irrelevant (wegen der unterstellten Unabhängigkeit). Bei so großem n kann das approximative Konfidenzintervall verwendet werden. Der Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt in Verwandtenehen ist p = 386/709 = 0.5444. Mit Z!_ a / 2 = 20.995 = 2.576 ergibt sich das 0.99-Konfidenzintervall: ,P(1

~ P )

- ,

/P(l

- P )

„r., .0.544(1 - 0.544) „ /0.544(1 v - 0.544) 0 . 5 4 4 - 2.576W -; 0.544 + 2.576- ' ' 709 ' V 709 0.496; 0.592],

Lösung zu 3.3.7 Bei einem Stichprobnumfang von n > 100 wird das approximative (1 — a ) Konfidenzintervall für p verwendet:

Darauf basieren die folgenden Antworten. p( 1

1.

i. Falsch. Die Länge beträgt 2 • 2i_ Q /2y

- p )

• Da der vom Stichproben-

ergebnis abhängige Schätzwert eingeht, ist die Länge abhängig von p. ii. Falsch. Je größer a , desto kleiner das Konfidenzniveau 1 — a , desto kleiner wird damit das Quantil 2i_ a / 2 . Das dieses direkt proportional in die Breite eingeht, wird die Breite mit wachsendem a geringer. iii. Richtig. Der Stichprobenumfang geht über 1 / s / n in die Breite ein. Wegen V m Ö = 31.6228 ist v/1000 • n = 31.6228 • s/n, d.h. die Länge schrumpft um das 31.6228 fache.

L.3. STICHPROBEN UND INDUKTIVE 2.

STATISTIK

113

i. Falsch, p ist der Parameter für den das Intervall bestimmt wird. Parameter sind aber fest und schwanken nicht. ii. Richtig. Von 100 Konfidenzintervallen schließen ca. (1 — a ) • 100 den Parameterwert ein, ca. a - 1 0 0 tun dies nicht. Welche Situation im einzelnen, konkreten Fall vorliegt, ist nicht bekannt. iii. Falsch. Das realisierte Konfidenzintervall ist ein Paar von Zahlen. Diese schließen den wahren Parameterwert entweder ein oder nicht. Wahrscheinlichkeiten sind nach der Durchführung des Zufallsvorganges nicht mehr im Spiel. iv. Falsch. Wie schon unter 2.iii festgestellt wurde: Wahrscheinlichkeiten sind bei konkreten Parameterwerten und Zahlen nicht im Spiel.

Lösung zu 3.3.8 Ein zweiseitiges (1 — a)-Konfidenzintervall für den Median der Verteilung der Satzlängen X ist durch das Paar der geordneten Statistiken [X(cy, X ( n + 1 _ c ) ] gegeben, wobei c gemäß (A.22), Seite 41, zu bestimmen ist. Bei n = 20 und 1 — a = 0.9 ergibt sich: x: P ( X < x) :

Ö 0.0000

I 0.0000

2 0.0002

3 0.0013

4 0.0059

5 0.0207

6 0.0577

Mit 1 - 2 P ( X < 5) = 0.9586 und 1 - 2 P ( X < 6) = 0.8846 ist c - 1 = 5 bzw. c = 6. Das 0.9-Konfidenzintervall für die Satzlängen ist folglich: [x ( 6 ) ; x ( 1 5 ) ] = [24; 52]. Der wahrhaft lange Satz mit 138 Wörtern erscheint in der Stichprobe eher als Ausreißer. L.3.4

Tests

Lösung zu 3.4.1 Der Normalzustand besteht darin, dass sich alles in Ruhe befindet. Wird die Ruhesituation gestört, so ist Alarm auszulösen. In die Sprache der Testtheorie übersetzt, entspricht der Ruhezustand der Nullhypothese. Die entsprechende Gegenhypothese ist dann, dass der Ruhezustand nicht (mehr) gilt. Ein Fehlalarm entspricht dann einem Fehler 1. Art, die Nicht-Alarmierung der Polizei bei einem Einbruch einem Fehler 2. Art. Die Forderung nach wenigen Fehlalarmen heißt dann, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art klein sein sollte. Andererseits soll natürlich möglichst schnell ein Alarm ausgelöst werden, wenn es nötig ist. Im Sinn eines Tests würde das schnelle Alarm-Geben einer großen Wahrscheinlichkeit für das Entdeckung einer Abweichung von der Nullhypothese, anders gesagt einem hohen Wert der Gütefunktion, entsprechen. Der Zielkonflikt ist damit deutlich: Ein Einstellung der Anlage, so dass schnell Alarm ausgelöst wird, führt auch zu mehr Fehlalarmen. Das ist natürlich uner-

TEIL L - LOSUNGEN

114

wünscht. Eine Einstellung, die nicht so schnell Alarm auslöst, führt auch dazu, dass im Bedarfsfall nicht schnell genug Alarm gegeben wird. Der Zielkonflikt zwischen Eigenheimbesitzer und Polizei ist somit der klassische Zielkonflikt zwischen hoher Güte und geringer Wahrscheinlichkeit für den Fehler l.Art. Die Einstellung einer Alarmanlage entspricht dabei der Wahl der Irrtumswahrscheinlichkeit beim Testen: Eine kleine Irrtumswahrscheinlichkeit geht mit einer geringen Güte des Tests einher; eine höhere Güte lässt sich mit einer Erhöhung der Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art erreichen. L ö s u n g zu 3.4.2 Was man (statistisch) nachzuweisen sucht, ist als Gegenhypothese zu formulieren. Da die Telefongesellschaft nachweisen möchte, dass die mittlere Gesprächsdauer fi mindestens 90 Sekunden beträgt, ist dies als Gegenhypothese zu formulieren: G : ß > 90. Wenn die Nullhypothese G : ß < 90 abgelehnt wird, so hat die Gesellschaft die Behauptung 'lege artis', d.h. im statistischen Sinne korrekt, nachgewiesen. Dazu muss offensichtlich x > 90 ausfallen; bei x < 90 bräuchte man gar nichts zu berechnen; es ist dann von vornherein klar, dass die Nullhypothese nicht abgelehnt wird. Geht es der Gesellschaft nur um Politik, so könnte sie versucht sein, 'Bauernfängerei' zu betreiben. Die Wahl H : ß > 90 wird unter den Gegebenheiten kaum abgelehnt. Da in den Medien die Fundierung einer Entscheidung, vor allem einer relativ schwierig statistisch zu begründenden, kaum vermittelt wird, käme dann höchstwahrscheinlich heraus, dass die Gesellschaft recht hat. Nur bei einer recht extremen Verletzung der mittleren Gesprächsdauer, ß 2 ist der Median unter G größer als 2. Die Wahrscheinlichkeit, einen Wert von höchstens 2 zu beobachten, sinkt daher. Dies ist in Abbildung L.18 verdeutlicht. Zur Ablehnung von H führe also kleine Werte der Prüfgröße. Die Anzahl der Beobachtungen, die kleiner oder gleich 2 sind, beträgt bei dem angegebenen Datensatz T = 7. Mit n = 25 und a = 0.025 ist der Ablehnbereich 0 < T < 8, da nach der Binomialverteilungstabelle gilt: P(T < 7) = 0.0216 und P(T < 8) = 0.0539. Folglich wird die Nulhypothese hier abgelehnt.

118

TEIL L -

LÖSUNGEN

Abbildung L.18: Zum Zeichentest

Lösung zu 3.4.8 i. Falsch. Ein Test zum Niveau a = 0.05 führt unter der Voraussetzung, dass die Nullhypothese richtig ist, mit der Irrtumswahrscheinlichkeit 0.05 zur fälschlichen Ablehnung der Nullhypothese. Die Wahrscheinlichkeit, sich dann für H zu entscheiden, beträgt 0.95. Von dem Parameterwert ist es abhängig, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, sich bei Gültigkeit der Alternative G falschlich für H zu entscheiden. Diese Wahrscheinlichkeit erhält man als 1 — Gütefunktion. ii. Falsch. Bei einem solchen Wert verliert die Konstruktion eines Signifikanztests seinen Sinn. Es ist j a dann wahrscheinlicher, sich bei Gültigkeit von H fälschlich für G zu entscheiden, als richtig für H. Auch wenn man sich bei Abweichungen von der Nullhypothese noch häufiger für G entscheiden wird, eine 'abgesicherte' Entscheidung gibt es dann nicht mehr. iii. Richtig. Bei a = 1.0 umfasst der Ablehnbereich des Tests alle Realisationsmöglichkeiten der Prüfgröße. Damit wird auch unter der Gegenhypothese stets ein Wert aus dem Ablehnbereich beobachtet und folglich für G entschieden. Eine Entscheidung für H gibt es nicht mehr, also ist die Chance gleich Null, sich fälschlich für H zu entscheiden. iv. Falsch. Fehler 1. und 2. Art beziehen sich auf unterschiedliche Verteilungen: einmal wird der Parameterwert 0q als richtig unterstellt, das andere Mal ein Parameterwert 6 ^ 80. Damit handelt es sich nicht um komplementäre Ereignisse, die Wahrscheinlichkeiten brauchen sich nicht zu Eins zu ergänzen. v. Falsch. Dies ist die komplementäre Situation zu 3. Bei a = 0 ist der Ablehnbereich 'ausgeschaltet', alle Realisationsmöglichkeiten der Prüfgröße sind dem Annahmebereich zugeschlagen. Man entscheidet sich stets für die Nullhypothese. Das geschieht auch, wenn ein Parameterwert aus dem Bereich der Alternative gültig ist. Dann begeht man einen Fehler 2. Art; die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Fehler ist dann sogar Eins.

Lösung zu 3.4.9 1. Die Nullhypothese lautet: H : ßA = Vb- Die Alternative ist G : ßA < ßB, da j a die Erhöhung der Fehlverhaltenszahlen beim Telefonieren am Steuer untermauert werden soll. Die Prüfgröße des Tests ist rp _

XB -

XA

y/ö\lnA+a\lnB

L.3. STICHPROBEN

UND INDUKTIVE

STATISTIK

119

Da die Stichprobenumfänge groß sind, kann der kritische Wert aufgrund der Normalverteilungsapproximation bestimmt werden. Er ist Zi_Q = z0.95 = 1.645 Mit a\ = s\ • f§ = 15.31, a\ = s% • f§ = 25.51 ist der Wert der Prüfgröße größer als der kritische Wert: T — (25 - 2 0 ) / v / l 5 . 3 1 / 5 0 + 25.51/50 = 5.534 > 1.645. Daher wird die Nullhypothese abgelehnt. 2. Die Prüfgröße muss (gerade noch) größer sein als 1.645. Also: Xß

T = —.

—

^

, - ...

= > 1.645

V/15.31/50 + 25.51/50 1 . 6 4 5 ^ 4 0 . 8 2 / 5 0 = 1.486.

Die Telefonierer brauchen im Schnitt nur 1.486 Fehler mehr zu machen als die Nicht-Telefonierer, damit der Unterschied nachweisbar ist (ceteris paribus).

Lösung zu 3.4.10 Die adäquate Methode für die Bearbeitung der Fragestellung ist die einfache Varianzanalyse. Für die Tafel der einfachen Varianzanalyse erhalten wir: Streuungsursache Zielgruppe Fehler Gesamt

Freiheitsgrade 2 51 53

Quadratsumme (SS) 10141.8 219866.8 230008.6

Mittlere Quadrats. (MS) 5070.9 4311.1

F

P- Wert

1.176

0.317

Da der P-Wert größer ist als das vorgegebene Niveau, ist der F-Test nicht signifikant. Dies kann man auch anhand des kritischen Wertes der F-Verteilung mit (2,51) Freiheitsgraden ersehen. Bei (2,50) Freiheitsgraden ist er 3.18. Aus der Tabelle ist ersichtlich, das er sich nur wenig mit wachsender Anzahl der Freiheitsgrade des Nenners ändert. Somit ist der empirische F-Wert kleiner als der kritische Wert; dies führt zur Beibehaltung der Nullhypothese. Weiter gehende Analysen erübrigen sich. Da die Globalhypothese H : pb\ = ß2 — /¿3 nicht abgelehnt werden kann, braucht man nicht nach einer Quelle für den Unterschied zu suchen.

Lösung zu 3.4.11

Die Gültigkeit eines Verteilungsmodells wird mit einem Anpassungstest überprüft. Da es sich hier um eine diskrete Verteilung handelt, liegt es nahe, den X 2 -Test zu verwenden. / /L Die Arbeitstabelle zu Bestimmung der Prüfgröße X2 = n > —' gende Gestalt:

U

p*

\2 — hat fol-

120

TEIL

i

Xi

K

Pi

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

0.15 0.20 0.15 0.30 0.20 1.00

0.10 0.15 0.20 0.30 0.25 1.00

hi-pi

0.05 0.05 -0.05 0.00 -0.05

L -

LÖSUNGEN

{hi-Pir Pi

0.0250 0.0167 0.0125 0.0000 0.0100 0.0642

Die Summe der letzten Spalte ist noch mit dem Stichprobenumfang zu multiplizieren, damit wir den Wert der Prüfgröße bekommen. Bei 5 Summanden hat sie approximativ eine x 2 -Verteilung mit 4 FYeiheitsgraden. Bei a = 0.05 ist der kritische Wert demnach xio.95 = 9.488. 1. Bei n = 100 ist die Teststatistik X2 = 100 • 0.0642 = 6.42. Wegen 6.42 < 9.488 liegt der Wert der Teststatistik im Annahmebereich. Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt. 2. Bei n = 200 verdoppelt sich der in 1. ermittelte Wert der Prüfgröße: X2 — 200 • 0.0642 = 12.84. Da die Anzahl der Freiheitsgrade sich nicht ändert und der kritische Wert somit gleich bleibt, führt der Test nunmehr zur Ablehnung der Hypothese. Dies resultiert aus der Tatsache, dass mit dem größeren Stichprobenumfang die Schätzung der Verteilung zuverlässiger ist, die beobachtete Abweichung also stärker ins Gewicht fallt. 3. Bei 1. kann es sich um eine falschliche Beibehaltung der Nullhypothese handeln; dies wäre ein Fehler 2. Art. Bei 2. kann dagegen die Nullhypothese trotz der Ablehnung die korrekte Verteilung spezifizieren. Dies wäre ein Fehler 1. Art. Lösung zu 3.4.12 Um den x 2 -Anpassungstest auf Normalverteilung durchzuführen, sind zunächst die Parameter konsistent zu schätzen. Wir erhalten hier (i = x = 3.75 und a2 = ^ z j s 2 = 0.99. Im folgenden verwenden wir dann zur Vereinfachung a = 1.

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 7.5

3 14 26 25 19 5 8

0.03 0.14 0.26 0.25 0.19 0.05 0.08

s

-1.25 -0.75 -0.25 0.25 0.75 1.25 3.75

F(x*t)

=

\

s

0.106 0.227 0.401 0.600 0.773 0.894 1.000

Pi }

=

0.106 0.121 0.174 0.199 0.173 0.121 0.106

Pi

0.0545 0.0030 0.0425 0.0131 0.0017 0.0417 0.0064

Die Summe der letzten Spalte ergibt 0.1629. Die Prüfgröße ist daher X2 = 100 • 0.1629 = 16.29. Weil zwei Parameter geschätzt wurden, hat X2 hier approximativ eine x 2 -Verteilung mit 7-1-2=4 Freiheitsgraden. Das 1 — a = 0.99-Quantil ist

L.3. STICHPROBEN

UND INDUKTIVE

STATISTIK

121

folglich X4;o.99 — 13-28. Da der Wert der Prüfgröße den kritischen Wert übertrifft, 16.29 > 13.28, wird die Normalverteilungshypothese abgelehnt. Lösung zu 3.4.13 Der Kolmogorov-Test basiert auf dem Vergleich der empirischen mit der theoretischen Verteilungsfunktion. Daher ist zuerst einmal F(xv) zu ermitteln. Bei gleichen Beobachtungen brauchen die xv natürlich nur einmal aufgeschrieben zu werden. Die zugehörigen Werte der theoretischen Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung werden berechnet gemäß F(xv) = 1 - e~Xxv Für A ist 1/4 einzusetzen. Die empirische Verteilungsfunktion lässt sich tabellarisch entsprechend den beiden ersten Spalten der folgenden Tabelle angeben. In der dritten Spalte stehen die Werte der theoretischen Verteilungsfunktion. Xy

0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0 8.0 11.0

F{xv) 0.1 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 0.1

F{xv) = 1 - e~i" 0.1175 0.2211 0.3127 0.3934 0.5276 0.7134 0.8646 0.9360

\F(xv) - F(xv)\ 0.0175 0.0789 0.0873 0.2066 0.1724 0.0866 0.0354 0.0640

IF^-O-Ffo)! 0.1175 0.1211 0.0127 0.0066 0.0724 0.0134 0.0646 0.0360

In der vierten und fünften Spalte der Arbeitstabelle stehen die Absolutwerte der Differenzen zwischen der empirischen und der theoretischen Verteilungsfunktion. Da die theoretische Verteilungsfunktion stetig ist, sind die Werte |F(x„_i) — F(:r„)|, die in der letzten Spalte gelistet sind, in etwa gleich den Differenzen zwischen empirischer und theoretischer Verteilungsfunktion an den Stellen xv — e, wobei e sehr klein ist. Dass gerade an diesen Stellen die größten Differenzen vorkommen müssen, wird leicht aus einer grafischen Darstellung deutlich. Die maximale absolute Differenz beträgt D = sup ist die modifizierte Kolmogorov-Statistik ^s/n + 0.26 +

D = ^v/IÖ + 0.26 +

— F(a;)| = 0.2066. Damit

0.2066 = 0.668.

Der p-Wert oder das empirische Signifikanzniveau ist also größer als 0.15. Es ist um vieles größer als die üblichen Signifikanzschwellen. Somit gibt der Test keinen Anlass, die Verteilungsannahme einer Exponentialverteilung mit A = 1/4 beiseite zu legen.

TEIL L -

122

L.3.5

LÖSUNGEN

Regression

Lösung zu 3.5.1 1. Für die Regressionsgerade benötigen wir die Zwischenergebnisse x = 16.5, y = 6.3, s2x = 8.05, s2Y = 2 - 21 > Damit erhalten wir b= ^ = 0.453,

= 3.65.

ä = 6.3 - 0.453 • 16.5 = -1.175 .

Die Regressionsgerade lautet also y = —1.175 + 0.453a;. Der Steigungskoeffizient weist darauf hin, dass der Anteil der Frauen in den Herausgebergremien der Zeitschriften der AMS weniger als halb so schnell steigt wie der Anzahl der promovierten Frauen in den USA. Ein Grund mag sein, dass der Frauenanteil bei den mathematisch orientierten Promotionen ebenfalls nicht so stark ansteigt. Das Streudiagramm mit der Regressionsgeraden ist in der Abbildung L.19 dargestellt. Es zeigt eine deutliche lineare Tendenz. Abbildung L.19: Frauen in Herausgebergremien in Abhängigkeit von promovierte Frauen (in Prozent)

10

12

14

16

18

20

22

2. Der erklärte Anteil der Varianz wird gerade durch das Bestimmtheitsmaß angegeben. Mit R2 = b2s2x/s\ erhalten wir , , 8.05 R = 0.453 • - — = 0.749. 2.21

Demnach wird ein Anteil von 75% der Varianz der Y- Werte durch die Regression erklärt. 3. Für das Konfidenzintervall für b wird die Schätzung der Residualvarianz beVü2 nötigt. Wegen R2 = 1 erhalten wir ^Zü 2 = (1 — R2) • n • Sy. Daher

L.3.

S T I C H P R O B E N

UND

123

I N D U K T I V E S T A T I S T I K

ist = ¿ 2

£

^ 2

=

( 1

"

R 2 )

'U '^

=

l '

(1

~

0 J 4 9 )

'

1 0

'2

21

= 0.69375. Dieser Schätzer wird in die Formel für die Varianz von b eingesetzt. Damit hat (b

— b) j ^ J a

2

/ ( n •

Seine

t-Verteilung

mit

n-2

Freiheitsgraden. Dies führt zu

dem Konfidenzintervall: o

b - i„-2;l-a/2 J

& + in-2;l-a/ 2 W

^

Konkret ergibt sich hier für die Standardabweichung von 6: 0.0928. Damit sind die Grenzen des Konfidenzintervalls:

6 9 3 7 5 / ( 1 0 • 8.05) =

0.453 ± 2.306 • 0.0928 = 0.453 ± 0 . 2 1 4 . 4. Die Prüfgröße des Tests auf H : b = 0 ist T =

(6 - 0) j

y ' v à r ( ò ) . Sie ist

unter H ¿-verteilt mit n — 2 Freiheitsgraden. Hier ist nach den Berechnungen in 3. \ j v à x ( b ) = 0.0928; weiter ist das 0.99-Quantil der ¿-Verteilung mit Freiheitsgraden nach der Tabelle 2.8965. Wegen =

0.453

=

4

n

- 2 = 8

8 8

0.0928 liegt der Wert der Prüfgröße weit rechts vom kritischen Wert. Daher wird die Nullhypothese abgelehnt, die positive Steigung ist statistisch nachgewiesen.

Lösung zu 3.5.2 Wir schreiben zur einfacheren Darstellung der Formeln für die erklärende Variable 'Gewicht' X und für die abhängige 'Preis' Y. Damit sind die Größen, die zur Bestimmung der Regressionskoeffizienten und ihrer Varianzen benötigt werden: r = 0.20417, y = 500.0833, ^ x 48

2 v

= 2.15240,

- x ) 2 = 0.1517,

48

$ 3 ( 0 . ~ tf = 2145231.7, u=l

- x)(yv

- y) = 5 6 3 . 9 8 3 3 3 .

v=l

Das Einsetzen in die Formeln für die Bestimmung der Koeffizienten nach der KQ-Methode führt auf: h =

-*)(*-y) 'Ztii(xv-x)2

=

563.98333

=

0.15167

ä = y — bx = 500.083 - 3720.2045 • 0.2042 = - 2 5 9 . 5 8 .

124

TEIL L -

LÖSUNGEN

Weiter ist die Schätzung für die Residualvarianz a2 = ———k (sy - b2sXl2x) = - i k - ( n • 4y - b2n • sx>2x) n-2 n - 2 r = 4 ( 2 1 4 5 2 3 1 . 7 - 3720.202 • 0.1517) = 1023.90. 46 Als letzten reinen Rechenschritt bestimmen wir nun die Schätzungen der Standardabweichungen von ä und b: -2 _ -2

E U ^ ä 2 _ 2.1524-1023.9043 _ 2 nY?v=l{xv-x) ~ 48-0.1517 ~ 1023.9043 „„„„„„

Der Test auf H : b < 0 gegen die Alternative G : b > 0 führt auf die Prüfgröße b/\Jvax{b) = 3720.2045/^6753.986 = 45.27. Der Test ist bei jedem der üblichen Testniveaus signifikant. Interessanter ist die Untersuchung des Achsenabschnitts. Hier ist ja zu analysieren, ob er signifikant kleiner als Null ist. Daher betrachten wir die Hypothese H : a> 0 mit der Alternative G : a < 0. Die Prüfgröße ä

\/var(ä)

-259.58276 v / 3Ö2i!6

= -14.916

zeigt, dass der Achsenabschnitt signifikant kleiner als Null ist. Zumindest ist also der Preisfindungsmechanismus im Bereich kleiner Diamantengewichte nicht durch eine einfache proportionale Gewicht-Preis Relation gegeben.

Tabellen In den Tabellen der diskreten Verteilungen sind die Werte der Verteilungsfunktionen für die jeweiligen Parameter gelistet. Für die stetigen Verteilungen sind die Quantile angegeben. Zu den am Rand angeführten Wahrscheinlichkeiten sind also als Tabelleneinträge die zugehörigen Quantile abzulesen. Verteilung Binomialverteilung Poisson-Verteilung Normalverteilung t-Verteilung Chiquadratverteilung F-Verteilung Kolmogorov-Teststatistik

Seite 126 132 134 136 138 140 142

TABELLEN

Binomialverteilung p= 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500 0.9025 0.8100 0.7225 0.6400 0.5625 0.4900 0.4225 0.3600 0.3025 0.9975 0.9900 0.9775 0.9600 0.9375 0.9100 0.8775 0.8400 0.7975

0.5000 0.2500 0.7500

2

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 1

0.8574 0.7290 0.6141 0.5120 0.4219 0.3430 0.2746 0.2160 0.1664 0.9927 0.9720 0.9392 0.8960 0.8437 0.7840 0.7182 0.6480 0.5747 0.9999 0.9990 0.9966 0.9920 0.9844 0.9730 0.9571 0.9360 0.9089

0.1250 0.5000 0.8750

3

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0 1

0.8145 0.9860 0.9995 1.0000

0.6561 0.9477 0.9963 0.9999

0.5220 0.8905 0.9880 0.9995

0.4096 0.8192 0.9728 0.9984

0.3164 0.7383 0.9492 0.9961

0.2401 0.6517 0.9163 0.9919

0.1785 0.5630 0.8735 0.9850

0.1296 0.4752 0.8208 0.9744

0.0915 0.3910 0.7585 0.9590

0.0625 0.3125 0.6875 0.9375

0.7738 0.9774 0.9988 1.0000

0.5905 0.9185 0.9914 0.9995 1.0000

0.4437 0.8352 0.9734 0.9978 0.9999

0.3277 0.7373 0.9421 0.9933 0.9997

0.2373 0.6328 0.8965 0.9844 0.9990

0.1681 0.5282 0.8369 0.9692 0.9976

0.1160 0.4284 0.7648 0.9460 0.9947

0.0778 0.3370 0.6826 0.9130 0.9898

0.0503 0.2562 0.5931 0.8688 0.9815

0.0313 0.1875 0.5000 0.8125 0.9687

0.5314 0.8857 0.9841 0.9987 0.9999 1.0000

0.3771 0.7765 0.9527 0.9941 0.9996 1.0000

0.2621 0.6554 0.9011 0.9830 0.9984 0.9999

0.1780 0.5339 0.8306 0.9624 0.9954 0.9998

0.1176 0.4202 0.7443 0.9295 0.9891 0.9993

0.0754 0.3191 0.6471 0.8826 0.9777 0.9982

0.0467 0.2333 0.5443 0.8208 0.9590 0.9959

0.0277 0.1636 0.4415 0.7447 0.9308 0.9917

0.0156 0.1094 0.3437 0.6562 0.8906 0.9844

0.4783 0.8503 0.9743 0.9973 0.9998 1.0000

0.3206 0.7166 0.9262 0.9879 0.9988 0.9999 1.0000

0.2097 0.5767 0.8520 0.9667 0.9953 0.9996 1.0000

0.1335 0.4449 0.7564 0.9294 0.9871 0.9987 0.9999

0.0824 0.3294 0.6471 0.8740 0.9712 0.9962 0.9998

0.0490 0.2338 0.5323 0.8002 0.9444 0.9910 0.9994

0.0280 0.1586 0.4199 0.7102 0.9037 0.9812 0.9984

0.0152 0.1024 0.3164 0.6083 0.8471 0.9643 0.9963

0.0078 0.0625 0.2266 0.5000 0.7734 0.9375 0.9922

0.2725 0.6572 0.8948 0.9786 0.9971 0.9998 1.0000

0.1678 0.5033 0.7969 0.9437 0.9896 0.9988 0.9999 1.0000

0.1001 0.3671 0.6785 0.8862 0.9727 0.9958 0.9996 1.0000

0.0576 0.2553 0.5518 0.8059 0.9420 0.9887 0.9987 0.9999

0.0319 0.1691 0.4278 0.7064 0.8939 0.9747 0.9964 0.9998

0.0168 0.1064 0.3154 0.5941 0.8263 0.9502 0.9915 0.9993

0.0084 0.0039 0.0632 0.0352 0.2201 0.1445 0.4770 0.3633 0.7396 0.6367 0.9115 0.8555 0.9819 0.9648 0.9983 0.9961

X

TT 1

2

2 3 4

0 1

2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2

3 4 5 6 7 8

0.7351 0.9672 0.9978 0.9999 1.0000

0.6983 0.9556 0.9962 0.9998 1.0000

0.6634 0.9428 0.9942 0.9996 1.0000

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.4305 0.8131 0.9619 0.9950 0.9996 1.0000

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

127

Binomialverteilung X

~Ö 1 2

3 4 5 6 7 8 9

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9

p= 0.0500 0.6302 0.9288 0.9916 0.9994 1.0000

0.5987 0.9139 0.9885 0.9990 0.9999 1.0000

0.1000 0.3874 0.7748 0.9470 0.9917 0.9991 0.9999 1.0000

0.3487 0.7361 0.9298 0.9872 0.9984 0.9999 1.0000

0.1500 0.2316 0.5995 0.8591 0.9661 0.9944 0.9994 1.0000

0.1969 0.5443 0.8202 0.9500 0.9901 0.9986 0.9999 1.0000

0.2000 0.1342 0.4362 0.7382 0.9144 0.9804 0.9969 0.9997 1.0000

0.1074 0.3758 0.6778 0.8791 0.9672 0.9936 0.9991 0.9999 1.0000

0.2500 0.0751 0.3003 0.6007 0.8343 0.9511 0.9900 0.9987 0.9999 1.0000

0.3000 0.0404 0.1960 0.4628 0.7297 0.9012 0.9747 0.9957 0.9996 1.0000

0.3500 0.0207 0.1211 0.3373 0.6089 0.8283 0.9464 0.9888 0.9986 0.9999

0.4000 0.0101 0.0705 0.2318 0.4826 0.7334 0.9006 0.9750 0.9962 0.9997

0.4500 0.5000 0.0046 0.0020 0.0385 0.0195 0.1495 0.0898 0.3614 0.2539 0.6214 0.5000 0.8342 0.7461 0.9502 0.9102 0.9909 0.9805 0.9992 0.9980

0.0563 0.2440 0.5256 0.7759 0.9219 0.9803 0.9965 0.9996 1.0000

0.0282 0.1493 0.3828 0.6496 0.8497 0.9527 0.9894 0.9984 0.9999 1.0000

0.0135 0.0860 0.2616 0.5138 0.7515 0.9051 0.9740 0.9952 0.9995 1.0000

0.0060 0.0464 0.1673 0.3823 0.6331 0.8338 0.9452 0.9877 0.9983 0.9999

0.0025 0.0233 0.0996 0.2660 0.5044 0.7384 0.8980 0.9726 0.9955 0.9997

0.0010 0.0107 0.0547 0.1719 0.3770 0.6230 0.8281 0.9453 0.9893 0.9990

0.0198 0.1130 0.3127 0.5696 0.7897 0.9218 0.9784 0.9957 0.9994 1.0000

0.0088 0.0606 0.2001 0.4256 0.6683 0.8513 0.9499 0.9878 0.9980 0.9998 1.0000

0.0036 0.0302 0.1189 0.2963 0.5328 0.7535 0.9006 0.9707 0.9941 0.9993 1.0000

0.0014 0.0139 0.0652 0.1911 0.3971 0.6331 0.8262 0.9390 0.9852 0.9978 0.9998

0.0005 0.0059 0.0327 0.1133 0.2744 0.5000 0.7256 0.8867 0.9673 0.9941 0.9995

0.0057 0.0424 0.1513 0.3467 0.5833 0.7873 0.9154 0.9745 0.9944 0.9992 0.9999 1.0000

0.0022 0.0196 0.0834 0.2253 0.4382 0.6652 0.8418 0.9427 0.9847 0.9972 0.9997 1.0000

0.0008 0.0083 0.0421 0.1345 0.3044 0.5269 0.7393 0.8883 0.9644 0.9921 0.9989 0.9999

0.0002 0.0032 0.0193 0.0730 0.1938 0.3872 0.6128 0.8062 0.9270 0.9807 0.9968 0.9998

10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.5688 0.8981 0.9848 0.9984 0.9999 1.0000

0.3138 0.6974 0.9104 0.9815 0.9972 0.9997 1.0000

0.1673 0.4922 0.7788 0.9306 0.9841 0.9973 0.9997 1.0000

0.0859 0.3221 0.6174 0.8389 0.9496 0.9883 0.9980 0.9998 1.0000

10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

0.5404 0.8816 0.9804 0.9978 0.9998 1.0000

0.2824 0.6590 0.8891 0.9744 0.9957 0.9995 0.9999 1.0000

0.1422 0.4435 0.7358 0.9078 0.9761 0.9954 0.9993 0.9999 1.0000

0.0687 0.2749 0.5583 0.7946 0.9274 0.9806 0.9961 0.9994 0.9999 1.0000

0.0422 0.1971 0.4552 0.7133 0.8854 0.9657 0.9924 0.9988 0.9999 1.0000

0.0317 0.1584 0.3907 0.6488 0.8424 0.9456 0.9857 0.9972 0.9996 1.0000

0.0138 0.0850 0.2528 0.4925 0.7237 0.8822 0.9614 0.9905 0.9983 0.9998 1.0000

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.0000 1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

1.0000 1.0000

TABELLEN

128

Binomialverteilung p=

0.0500 0.5133 0.8646 0.9755 0.9969 0.9997

1.0000

0.1000 0.2542 0.6213 0.8661 0.9658 0.9935 0.9991 0.9999

1.0000

0.4877 0.8470 0.9699 0.9958 0.9996

1.0000

0.2288 0.5846 0.8416 0.9559 0.9908 0.9985 0.9998

1.0000

0.4633 0.8290 0.9638 0.9945 0.9994 0.9999

1.0000

0.2059 0.5490 0.8159 0.9444 0.9873 0.9978 0.9997

1.0000

0.1500 0.1209 0.3983 0.6920 0.8820 0.9658 0.9925 0.9987 0.9998

1.0000

0.1028 0.3567 0.6479 0.8535 0.9533 0.9885 0.9978 0.9997

1.0000

0.0874 0.3186 0.6042 0.8227 0.9383 0.9832 0.9964 0.9994 0.9999

1.0000

0.2000 0.0550 0.2336 0.5017 0.7473 0.9009 0.9700 0.9930 0.9988 0.9998

1.0000

0.0440 0.1979 0.4481 0.6982 0.8702 0.9561 0.9884 0.9976 0.9996

1.0000

0.0352 0.1671 0.3980 0.6482 0.8358 0.9389 0.9819 0.9958 0.9992 0.9999

1.0000

0.2500 0.0238 0.1267 0.3326 0.5843 0.7940 0.9198 0.9757 0.9944 0.9990 0.9999

1.0000

0.0178 0.1010 0.2811 0.5213 0.7415 0.8883 0.9617 0.9897 0.9978 0.9997

1.0000

0.0134 0.0802 0.2361 0.4613 0.6865 0.8516 0.9434 0.9827 0.9958 0.9992 0.9999

1.0000

0.3000 0.0097 0.0637 0.2025 0.4206 0.6543 0.8346 0.9376 0.9818 0.9960 0.9993 0.9999

0.3500 0.0037 0.0296 0.1132 0.2783 0.5005 0.7159 0.8705 0.9538 0.9874 0.9975 0.9997

1.0000 1.0000

0.0068 0.0475 0.1608 0.3552 0.5842 0.7805 0.9067 0.9685 0.9917 0.9983 0.9998

1.0000

0.0047 0.0353 0.1268 0.2969 0.5155 0.7216 0.8689 0.9500 0.9848 0.9963 0.9993 0.9999

1.0000

0.0024 0.0205 0.0839 0.2205 0.4227 0.6405 0.8164 0.9247 0.9757 0.9940 0.9989 0.9999

1.0000

0.0016 0.0142 0.0617 0.1727 0.3519 0.5643 0.7548 0.8868 0.9578 0.9876 0.9972 0.9995 0.9999

0.4000 0.0013 0.0126 0.0579 0.1686 0.3530 0.5744 0.7712 0.9023 0.9679 0.9922 0.9987 0.9999

0.4500 0.0004 0.0049 0.0269 0.0929 0.2279 0.4268 0.6437 0.8212 0.9302 0.9797 0.9959 0.9995

1.0000 1.0000

0.0008 0.0081 0.0398 0.1243 0.2793 0.4859 0.6925 0.8499 0.9417 0.9825 0.9961 0.9994 0.9999

0.0002 0.0029 0.0170 0.0632 0.1672 0.3373 0.5461 0.7414 0.8811 0.9574 0.9886 0.9978 0.9997

1.0000 1.0000

0.0005 0.0052 0.0271 0.0905 0.2173 0.4032 0.6098 0.7869 0.9050 0.9662 0.9907 0.9981 0.9997

1.0000 1.0000

0.5000

0.0001 0.0017 0.0112 0.0461 0.1334 0.2905 0.5000 0.7095 0.8666 0.9539 0.9888 0.9983 0.9999

1.0000

0.0001 0.0009 0.0065 0.0287 0.0898 0.2120 0.3953 0.6047 0.7880 0.9102 0.9713 0.9935 0.9991 0.9999

1.0000

0.0001 0.0000 0.0017 0.0107 0.0424 0.1204 0.2608 0.4522 0.6535 0.8182 0.9231 0.9745 0.9937 0.9989 0.9999

0.0005 0.0037 0.0176 0.0592 0.1509 0.3036 0.5000 0.6964 0.8491 0.9408 0.9824 0.9963 0.9995

1.0000 1.0000

TABELLEN

129

Binomialverteilung p= 0.0500 0.4401 0.8108 0.9571 0.9930 0.9991 0.9999

1.0000

0.1000 0.1853 0.5147 0.7892 0.9316 0.9830 0.9967 0.9995 0.9999

1.0000

0.4181 0.7922 0.9497 0.9912 0.9988 0.9999

1.0000

0.1668 0.4818 0.7618 0.9174 0.9779 0.9953 0.9992 0.9999

1.0000

0.1500 0.0743 0.2839 0.5614 0.7899 0.9209 0.9765 0.9944 0.9989 0.9998

1.0000

0.0631 0.2525 0.5198 0.7556 0.9013 0.9681 0.9917 0.9983 0.9997

1.0000

0.2000 0.0281 0.1407 0.3518 0.5981 0.7982 0.9183 0.9733 0.9930 0.9985 0.9998

1.0000

0.0225 0.1182 0.3096 0.5489 0.7582 0.8943 0.9623 0.9891 0.9974 0.9995 0.9999

1.0000

0.2500 0.0100 0.0635 0.1971 0.4050 0.6302 0.8103 0.9204 0.9729 0.9925 0.9984 0.9997

1.0000

0.0075 0.0501 0.1637 0.3530 0.5739 0.7653 0.8929 0.9598 0.9876 0.9969 0.9994 0.9999

1.0000

0.3000 0.0033 0.0261 0.0994 0.2459 0.4499 0.6598 0.8247 0.9256 0.9743 0.9929 0.9984 0.9997

1.0000

0.0023 0.0193 0.0774 0.2019 0.3887 0.5968 0.7752 0.8954 0.9597 0.9873 0.9968 0.9993 0.9999

1.0000

0.3500 0.0010 0.0098 0.0451 0.1339 0.2892 0.4900 0.6881 0.8406 0.9329 0.9771 0.9938 0.9987 0.9998

1.0000

0.0007 0.0067 0.0327 0.1028 0.2348 0.4197 0.6188 0.7872 0.9006 0.9617 0.9880 0.9970 0.9994 0.9999

1.0000

0.4000 0.0003 0.0033 0.0183 0.0651 0.1666 0.3288 0.5272 0.7161 0.8577 0.9417 0.9809 0.9951 0.9991 0.9999

1.0000

0.0002 0.0021 0.0123 0.0464 0.1260 0.2639 0.4478 0.6405 0.8011 0.9081 0.9652 0.9894 0.9975 0.9995 0.9999

0.4500

0.5000

0.0010 0.0066 0.0281 0.0853 0.1976 0.3660 0.5629 0.7441 0.8759 0.9514 0.9851 0.9965 0.9994 0.9999

0.0003 0.0021 0.0106 0.0384 0.1051 0.2272 0.4018 0.5982 0.7728 0.8949 0.9616 0.9894 0.9979 0.9997

0.0001 0.0000

1.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0006 0.0001 0.0041 0.0184 0.0596 0.1471 0.2902 0.4743 0.6626 0.8166 0.9174 0.9699 0.9914 0.9981 0.9997

1.0000 1.0000

0.0012 0.0064 0.0245 0.0717 0.1662 0.3145 0.5000 0.6855 0.8338 0.9283 0.9755 0.9936 0.9988 0.9999

1.0000

TABELLEN

130

Binomialverteilung P= 0.0500 0.3972 0.7735 0.9419 0.9891 0.9985 0.9998

1.0000

0.1000 0.1501 0.4503 0.7338 0.9018 0.9718 0.9936 0.9988 0.9998

1.0000

0.1500 0.0536 0.2241 0.4797 0.7202 0.8794 0.9581 0.9882 0.9973 0.9995 0.9999

1.0000

0.2000 0.0180 0.0991 0.2713 0.5010 0.7164 0.8671 0.9487 0.9837 0.9957 0.9991 0.9998

1.0000

0.3774 0.1351 0.0456 0.0144 0.7547 0.4203 0.1985 0.0829 0.9335 0.7054 0.4413 0.2369 0.9868 0.8850 0.6841 0.4551 0.9980 0.9648 0.8556 0.6733 0.9998 0.9914 0.9463 0.8369 1.0000 0.9983 0.9837 0.9324 0.9997 0.9959 0.9767 1.0000 0.9992 0.9933 0.9999 0.9984 1.0000 0.9997

1.0000

0.2500 0.0056 0.0395 0.1353 0.3057 0.5187 0.7175 0.8610 0.9431 0.9807 0.9946 0.9988 0.9998

1.0000

0.0042 0.0310 0.1113 0.2631 0.4654 0.6678 0.8251 0.9225 0.9713 0.9911 0.9977 0.9995 0.9999

1.0000

0.3000 0.0016 0.0142 0.0600 0.1646 0.3327 0.5344 0.7217 0.8593 0.9404 0.9790 0.9939 0.9986 0.9997

1.0000

0.3500 0.0004 0.0046 0.0236 0.0783 0.1886 0.3550 0.5491 0.7283 0.8609 0.9403 0.9788 0.9938 0.9986 0.9997

1.0000

0.4000 0.4500

0.5000

0.0025 0.0120 0.0411 0.1077 0.2258 0.3915 0.5778 0.7473 0.8720 0.9463 0.9817 0.9951 0.9990 0.9999

0.0007 0.0038 0.0154 0.0481 0.1189 0.2403 0.4073 0.5927 0.7597 0.8811 0.9519 0.9846 0.9962 0.9993 0.9999

0.0001 0.0000 0.0000 0.0013 0.0003 0.0001 0.0082 0.0328 0.0942 0.2088 0.3743 0.5634 0.7368 0.8653 0.9424 0.9797 0.9942 0.9987 0.9998

1.0000

0.0011

0.0003 0.0001 0.0104 0.0031 0.0008 0.0462 0.0170 0.0055 0.1332 0.0591 0.0230 0 . 2 8 2 2 0.1500 0.0696 0.4739 0.2968 0.1629 0.6655 0.4812 0.3081 0.8180 0.6656 0.4878 0.9161 0.8145 0.6675 0.9674 0.9125 0.8139 0.9895 0.9653 0.9115 0.9972 0.9886 0.9648 0.9994 0.9969 0.9884 0.9999 0.9993 0.9969 1.0000 0.9999 0.9994 1.0000 0.9999

1.0000

1.0000

1.0000

0.0000 0.0000 0.0002 0.0000 0.0015 0.0077 0.0280 0.0777 0.1727 0.3169 0.4940 0.6710 0.8159 0.9129 0.9658 0.9891 0.9972 0.9995 0.9999

0.0004 0.0022 0.0096 0.0318 0.0835 0.1796 0.3238 0.5000 0.6762 0.8204 0.9165 0.9682 0.9904 0.9978 0.9996

1.0000 1.0000

131

Binomialverteilung p= X

T i

2 3 4 5 6 7 8 9

0.0500 0.3585 0.7358 0.9245 0.9841 0.9974 0.9997

1.0000

0.1000 0.1216 0.3917 0.6769 0.8670 0.9568 0.9887 0.9976 0.9996 0.9999

1.0000

10 11

0.1500 0.0388 0.1756 0.4049 0.6477 0.8298 0.9327 0.9781 0.9941 0.9987 0.9998

1.0000

1.0000

12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.2000 0.0115 0.0692 0.2061 0.4114 0.6296 0.8042 0.9133 0.9679 0.9900 0.9974 0.9994 0.9999

0.2500 0.0032 0.0243 0.0913 0.2252 0.4148 0.6172 0.7858 0.8982 0.9591 0.9861 0.9961 0.9991 0.9998

1.0000

0.3000 0.0008 0.0076 0.0355 0.1071 0.2375 0.4164 0.6080 0.7723 0.8867 0.9520 0.9829 0.9949 0.9987 0.9997

1.0000

0.3500 0.4000 0.0002 0.0000 0.0021 0.0005 0.0121 0.0036 0.0444 0.0160 0.1182 0.0510 0.2454 0.1256 0.4166 0.2500 0.6010 0.4159 0.7624 0.5956 0.8782 0.7553 0.9468 0.8725 0.9804 0.9435 0.9940 0.9790 0.9985 0.9935 0.9997 0.9984 1.0000 0.9997

1.0000

0.2774 0.6424 0.8729 0.9659 0.9928 0.9988 0.9998

1.0000

0.0718 0.2712 0.5371 0.7636 0.9020 0.9666 0.9905 0.9977 0.9995 0.9999

1.0000

0.0172 0.0931 0.2537 0.4711 0.6821 0.8385 0.9305 0.9745 0.9920 0.9979 0.9995 0.9999

1.0000

0.0038 0.0274 0.0982 0.2340 0.4207 0.6167 0.7800 0.8909 0.9532 0.9827 0.9944 0.9985 0.9996 0.9999

1.0000

0.0008 0.0070 0.0321 0.0962 0.2137 0.3783 0.5611 0.7265 0.8506 0.9287 0.9703 0.9893 0.9966 0.9991 0.9998

1.0000

0.4500

0.5000

0.0009 0.0049 0.0189 0.0553 0.1299 0.2520 0.4143 0.5914 0.7507 0.8692 0.9420 0.9786 0.9936 0.9985 0.9997

0.0002

0.0000 0.0000 0.0001 0.0000

1.0000

0.0013 0.0059 0.0207 0.0577 0.1316 0.2517 0.4119 0.5881 0.7483 0.8684 0.9423 0.9793 0.9941 0.9987 0.9998

1.0000

0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0016 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0090 0.0021 0.0004 0.0001 0.0000 0.0332 0.0097 0.0024 0.0005 0.0001 0.0905 0.1935 0.3407 0.5118 0.6769 0.8106 0.9022 0.9558 0.9825 0.9940 0.9982 0.9995 0.9999

1.0000

0.0320 0.0826 0.1734 0.3061 0.4668 0.6303 0.7712 0.8746 0.9396 0.9745 0.9907 0.9971 0.9992 0.9998

1.0000

0.0095 0.0294 0.0736 0.1536 0.2735 0.4246 0.5858 0.7323 0.8462 0.9222 0.9656 0.9868 0.9957 0.9988 0.9997 0.9999

1.0000

0.0023 0.0086 0.0258 0.0639 0.1340 0.2424 0.3843 0.5426 0.6937 0.8173 0.9040 0.9560 0.9826 0.9942 0.9984 0.9996 0.9999

1.0000

0.0005 0.0020 0.0073 0.0216 0.0539 0.1148 0.2122

0.3450 0.5000 0.6550 0.7878 0.8852 0.9461 0.9784 0.9927 0.9980 0.9995 0.9999

1.0000

TABELLEN

32

Poisson-Verteilung X

IT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5 0.6065 0.9098 0.9856 0.9982 0.9998 1.0000

1.0 0.3679 0.7358 0.9197 0.9810 0.9963 0.9994 0.9999 1.0000

1.5 0.2231 0.5578 0.8088 0.9344 0.9814 0.9955 0.9991 0.9998 1.0000

2.0 0.1353 0.4060 0.6767 0.8571 0.9473 0.9834 0.9955 0.9989 0.9998 1.0000

11 12 13 14 15

2.5 0.0821 0.2873 0.5438 0.7576 0.8912 0.9580 0.9858 0.9958 0.9989 0.9997 0.9999 1.0000

16_ x

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

6.0 0.0025 0.0174 0.0620 0.1512 0.2851 0.4457 0.6063 0.7440 0.8472 0.9161 0.9574 0.9799 0.9912 0.9964 0.9986 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000

7.0 0.0009 0.0073 0.0296 0.0818 0.1730 0.3007 0.4497 0.5987 0.7291 0.8305 0.9015 0.9467 0.9730 0.9872 0.9943 0.9976 0.9990 0.9996 0.9999 1.0000

8.0 0.0003 0.0030 0.0138 0.0424 0.0996 0.1912 0.3134 0.4530 0.5925 0.7166 0.8159 0.8881 0.9362 0.9658 0.9827 0.9918 0.9963 0.9984 0.9993 0.9997 0.9999 1.0000

9.0 0.0001 0.0012 0.0062 0.0212 0.0550 0.1157 0.2068 0.3239 0.4557 0.5874 0.7060 0.8030 0.8758 0.9261 0.9585 0.9780 0.9889 0.9947 0.9976 0.9989 0.9996 0.9998 0.9999 1.0000

10.0 0.0005 0.0028 0.0103 0.0293 0.0671 0.1301 0.2202 0.3328 0.4579 0.5830 0.6968 0.7916 0.8645 0.9165 0.9513 0.9730 0.9857 0.9928 0.9965 0.9984 0.9993 0.9997 0.9999 1.0000

3.0 0.0498 0.1991 0.4232 0.6472 0.8153 0.9161 0.9665 0.9881 0.9962 0.9989 0.9997 0.9999 1.0000

Ä

3.5 0.0302 0.1359 0.3208 0.5366 0.7254 0.8576 0.9347 0.9733 0.9901 0.9967 0.9990 0.9997 0.9999 1.0000

11.0

12.0

0.0002 0.0012 0.0049 0.0151 0.0375 0.0786 0.1432 0.2320 0.3405 0.4599 0.5793 0.6887 0.7813 0.8540 0.9074 0.9441 0.9678 0.9823 0.9907 0.9953 0.9977 0.9990 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000

0.0001 0.0005 0.0023 0.0076 0.0203 0.0458 0.0895 0.1550 0.2424 0.3472 0.4616 0.5760 0.6815 0.7720 0.8444 0.8987 0.9370 0.9626 0.9787 0.9884 0.9939 0.9970 0.9985 0.9993 0.9997 0.9999 0.9999 1.0000

4.0 0.0183 0.0916 0.2381 0.4335 0.6288 0.7851 0.8893 0.9489 0.9786 0.9919 0.9972 0.9991 0.9997 0.9999 1.0000

4.5 0.0111 0.0611 0.1736 0.3423 0.5321 0.7029 0.8311 0.9134 0.9597 0.9829 0.9933 0.9976 0.9992 0.9997 0.9999 1.0000

5.0 0.0067 0.0404 0.1247 0.2650 0.4405 0.6160 0.7622 0.8666 0.9319 0.9682 0.9863 0.9945 0.9980 0.9993 0.9998 0.9999

13.0

14.0

15.0

0.0002 0.0011 0.0037 0.0107 0.0259 0.0540 0.0998 0.1658 0.2517 0.3532 0.4631 0.5730 0.6751 0.7636 0.8355 0.8905 0.9302 0.9573 0.9750 0.9859 0.9924 0.9960 0.9980 0.9990 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000

0.0001 0.0005 0.0018 0.0055 0.0142 0.0316 0.0621 0.1094 0.1757 0.2600 0.3585 0.4644 0.5704 0.6694 0.7559 0.8272 0.8826 0.9235 0.9521 0.9712 0.9833 0.9907 0.9950 0.9974 0.9987 0.9994 0.9997 0.9999 0.9999 1.0000

0.0002 0.0009 0.0028 0.0076 0.0180 0.0374 0.0699 0.1185 0.1848 0.2676 0.3632 0.4657 0.5681 0.6641 0.7489 0.8195 0.8752 0.9170 0.9469 0.9673 0.9805 0.9888 0.9938 0.9967 0.9983 0.9991 0.9996 0.9998 0.9999

1.0000

1.0000

TABELLEN

134

Normal vert eilung 0.000 -2.3263 -2.0537 -1.8808 -1.7507 -1.6449 -1.5548 -1.4758 -1.4051 -1.3408 -1.2816 -1.2265 -1.1750 -1.1264 -1.0803 -1.0364 -0.9945 -0.9542 -0.9154 -0.8779 -0.8416 -0.8064 -0.7722 -0.7388 -0.7063 -0.6745 -0.6433 -0.6128 -0.5828 -0.5534 -0.5244 -0.4959 -0.4677 -0.4399 -0.4125 -0.3853 -0.3585 -0.3319 -0.3055 -0.2793 -0.2533 -0.2275 -0.2019 -0.1764 -0.1510 -0.1257 -0.1004 -0.0753 -0.0502 -0.0251

0.001 -3.0902 -2.2904 -2.0335 -1.8663 -1.7392 -1.6352 -1.5464 -1.4684 -1.3984 -1.3346 -1.2759 -1.2212 -1.1700 -1.1217 -1.0758 -1.0322 -0.9904 -0.9502 -0.9116 -0.8742 -0.8381 -0.8030 -0.7688 -0.7356 -0.7031 -0.6713 -0.6403 -0.6098 -0.5799 -0.5505 -0.5215 -0.4930 -0.4649 -0.4372 -0.4097 -0.3826 -0.3558 -0.3292 -0.3029 -0.2767 -0.2508 -0.2250 -0.1993 -0.1738 -0.1484 -0.1231 -0.0979 -0.0728 -0.0476 -0.0226

0.002 -2.8782 -2.2571 -2.0141 -1.8522 -1.7279 -1.6258 -1.5382 -1.4611 -1.3917 -1.3285 -1.2702 -1.2160 -1.1650 -1.1170 -1.0714 -1.0279 -0.9863 -0.9463 -0.9078 -0.8705 -0.8345 -0.7995 -0.7655 -0.7323 -0.6999 -0.6682 -0.6372 -0.6068 -0.5769 -0.5476 -0.5187 -0.4902 -0.4621 -0.4344 -0.4070 -0.3799 -0.3531 -0.3266 -0.3002 -0.2741 -0.2482 -0.2224 -0.1968 -0.1713 -0.1459 -0.1206 -0.0954 -0.0702 -0.0451 -0.0201

0.003 -2.7478 -2.2262 -1.9954 -1.8384 -1.7169 -1.6164 -1.5301 -1.4538 -1.3852 -1.3225 -1.2646 -1.2107 -1.1601 -1.1123 -1.0669 -1.0237 -0.9822 -0.9424 -0.9040 -0.8669 -0.8310 -0.7961 -0.7621 -0.7290 -0.6967 -0.6651 -0.6341 -0.6038 -0.5740 -0.5446 -0.5158 -0.4874 -0.4593 -0.4316 -0.4043 -0.3772 -0.3505 -0.3239 -0.2976 -0.2715 -0.2456 -0.2198 -0.1942 -0.1687 -0.1434 -0.1181 -0.0929 -0.0677 -0.0426 -0.0175

0.004 -2.6521 -2.1973 -1.9774 -1.8250 -1.7060 -1.6072 -1.5220 -1.4466 -1.3787 -1.3165 -1.2591 -1.2055 -1.1552 -1.1077 -1.0625 -1.0194 -0.9782 -0.9385 -0.9002 -0.8633 -0.8274 -0.7926 -0.7588 -0.7257 -0.6935 -0.6620 -0.6311 -0.6008 -0.5710 -0.5417 -0.5129 -0.4845 -0.4565 -0.4289 -0.4016 -0.3745 -0.3478 -0.3213 -0.2950 -0.2689 -0.2430 -0.2173 -0.1917 -0.1662 -0.1408 -0.1156 -0.0904 -0.0652 -0.0401 -0.0150

0.005 -2.5758 -2.1701 -1.9600 -1.8119 -1.6954 -1.5982 -1.5141 -1.4395 -1.3722 -1.3106 -1.2536 -1.2004 -1.1503 -1.1031 -1.0581 -1.0152 -0.9741 -0.9346 -0.8965 -0.8596 -0.8239 -0.7892 -0.7554 -0.7225 -0.6903 -0.6588 -0.6280 -0.5978 -0.5681 -0.5388 -0.5101 -0.4817 -0.4538 -0.4261 -0.3989 -0.3719 -0.3451 -0.3186 -0.2924 -0.2663 -0.2404 -0.2147 -0.1891 -0.1637 -0.1383 -0.1130 -0.0878 -0.0627 -0.0376 -0.0125

0.006 -2.5121 -2.1444 -1.9431 -1.7991 -1.6849 -1.5893 -1.5063 -1.4325 -1.3658 -1.3047 -1.2481 -1.1952 -1.1455 -1.0985 -1.0537 -1.0110 -0.9701 -0.9307 -0.8927 -0.8560 -0.8204 -0.7858 -0.7521 -0.7192 -0.6871 -0.6557 -0.6250 -0.5948 -0.5651 -0.5359 -0.5072 -0.4789 -0.4510 -0.4234 -0.3961 -0.3692 -0.3425 -0.3160 -0.2898 -0.2637 -0.2378 -0.2121 -0.1866 -0.1611 -0.1358 -0.1105 -0.0853 -0.0602 -0.0351 -0.0100

0.007 -2.4573 -2.1201 -1.9268 -1.7866 -1.6747 -1.5805 -1.4985 -1.4255 -1.3595 -1.2988 -1.2426 -1.1901 -1.1407 -1.0939 -1.0494 -1.0069 -0.9661 -0.9269 -0.8890 -0.8524 -0.8169 -0.7824 -0.7488 -0.7160 -0.6840 -0.6526 -0.6219 -0.5918 -0.5622 -0.5330 -0.5044 -0.4761 -0.4482 -0.4207 -0.3934 -0.3665 -0.3398 -0.3134 -0.2871 -0.2611 -0.2353 -0.2096 -0.1840 -0.1586 -0.1332 -0.1080 -0.0828 -0.0577 -0.0326 -0.0075

0.008 -2.4089 -2.0969 -1.9110 -1.7744 -1.6646 -1.5718 -1.4909 -1.4187 -1.3532 -1.2930 -1.2372 -1.1850 -1.1359 -1.0893 -1.0450 -1.0027 -0.9621 -0.9230 -0.8853 -0.8488 -0.8134 -0.7790 -0.7454 -0.7128 -0.6808 -0.6495 -0.6189 -0.5888 -0.5592 -0.5302 -0.5015 -0.4733 -0.4454 -0.4179 -0.3907 -0.3638 -0.3372 -0.3107 -0.2845 -0.2585 -0.2327 -0.2070 -0.1815 -0.1560 -0.1307 -0.1055 -0.0803 -0.0552 -0.0301 -0.0050

0.009 -2.3656 -2.0749 -1.8957 -1.7624 -1.6546 -1.5632 -1.4833 -1.4118 -1.3469 -1.2873 -1.2319 -1.1800 -1.1311 -1.0848 -1.0407 -0.9986 -0.9581 -0.9192 -0.8816 -0.8452 -0.8099 -0.7756 -0.7421 -0.7095 -0.6776 -0.6464 -0.6158 -0.5858 -0.5563 -0.5273 -0.4987 -0.4705 -0.4427 -0.4152 -0.3880 -0.3611 -0.3345 -0.3081 -0.2819 -0.2559 -0.2301 -0.2045 -0.1789 -0.1535 -0.1282 -0.1030 -0.0778 -0.0527 -0.0276 -0.0025

TABELLEN

135

Normalverteilung 0.000

0.0000 0.0251 0.0502 0.0753 0.1004 0.1257 0.1510 0.1764 0.2019 0.2275 0.2533 0.2793 0.3055 0.3319 0.3585 0.3853 0.4125 0.4399 0.4677 0.4959 0.5244 0.5534 0.5828 0.6128 0.6433 0.6745 0.7063 0.7388 0.7722 0.8064 0.8416 0.8779 0.9154 0.9542 0.9945 1.0364 1.0803 1.1264 1.1750 1.2265 1.2816 1.3408 1.4051 1.4758 1.5548 1.6449 1.7507 1.8808 2.0537 2.3263

0.001 0.0025 0.0276 0.0527 0.0778 0.1030 0.1282 0.1535 0.1789 0.2045 0.2301 0.2559 0.2819 0.3081 0.3345 0.3611 0.3880 0.4152 0.4427 0.4705 0.4987 0.5273 0.5563 0.5858 0.6158 0.6464 0.6776 0.7095 0.7421 0.7756 0.8099 0.8452 0.8816 0.9192 0.9581 0.9986 1.0407 1.0848 1.1311 1.1800 1.2319 1.2873 1.3469 1.4118 1.4833 1.5632 1.6546 1.7624 1.8957 2.0749 2.3656

0.002 0.0050 0.0301 0.0552 0.0803 0.1055 0.1307 0.1560 0.1815 0.2070 0.2327 0.2585 0.2845 0.3107 0.3372 0.3638 0.3907 0.4179 0.4454 0.4733 0.5015 0.5302 0.5592 0.5888 0.6189 0.6495 0.6808 0.7128 0.7454 0.7790 0.8134 0.8488 0.8853 0.9230 0.9621 1.0027 1.0450 1.0893 1.1359 1.1850 1.2372 1.2930 1.3532 1.4187 1.4909 1.5718 1.6646 1.7744 1.9110 2.0969 2.4089

0.003 0.0075 0.0326 0.0577 0.0828 0.1080 0.1332 0.1586 0.1840 0.2096 0.2353 0.2611 0.2871 0.3134 0.3398 0.3665 0.3934 0.4207 0.4482 0.4761 0.5044 0.5330 0.5622 0.5918 0.6219 0.6526 0.6840 0.7160 0.7488 0.7824 0.8169 0.8524 0.8890 0.9269 0.9661 1.0069 1.0494 1.0939 1.1407 1.1901 1.2426 1.2988 1.3595 1.4255 1.4985 1.5805 1.6747 1.7866 1.9268 2.1201 2.4573

0.004 0.0100 0.0351 0.0602 0.0853 0.1105 0.1358 0.1611 0.1866 0.2121

0.2378 0.2637 0.2898 0.3160 0.3425 0.3692 0.3961 0.4234 0.4510 0.4789 0.5072 0.5359 0.5651 0.5948 0.6250 0.6557 0.6871 0.7192 0.7521 0.7858 0.8204 0.8560 0.8927 0.9307 0.9701 1.0110 1.0537 1.0985 1.1455 1.1952 1.2481 1.3047 1.3658 1.4325 1.5063 1.5893 1.6849 1.7991 1.9431 2.1444 2.5121

0.005 0.0125 0.0376 0.0627 0.0878 0.1130 0.1383 0.1637 0.1891 0.2147 0.2404 0.2663 0.2924 0.3186 0.3451 0.3719 0.3989 0.4261 0.4538 0.4817 0.5101 0.5388 0.5681 0.5978 0.6280 0.6588 0.6903 0.7225 0.7554 0.7892 0.8239 0.8596 0.8965 0.9346 0.9741 1.0152 1.0581 1.1031 1.1503 1.2004 1.2536 1.3106 1.3722 1.4395 1.5141 1.5982 1.6954 1.8119 1.9600 2.1701 2.5758

0.006 0.0150 0.0401 0.0652 0.0904 0.1156 0.1408 0.1662 0.1917 0.2173 0.2430 0.2689 0.2950 0.3213 0.3478 0.3745 0.4016 0.4289 0.4565 0.4845 0.5129 0.5417 0.5710 0.6008 0.6311 0.6620

0.6935 0.7257 0.7588 0.7926 0.8274 0.8633 0.9002 0.9385 0.9782 1.0194 1.0625 1.1077 1.1552 1.2055 1.2591 1.3165 1.3787 1.4466 1.5220 1.6072 1.7060 1.8250 1.9774 2.1973 2.6521

0.007 0.0175 0.0426 0.0677 0.0929 0.1181 0.1434 0.1687 0.1942 0.2198 0.2456 0.2715 0.2976 0.3239 0.3505 0.3772 0.4043 0.4316 0.4593 0.4874 0.5158 0.5446 0.5740 0.6038 0.6341 0.6651 0.6967 0.7290 0.7621 0.7961 0.8310 0.8669 0.9040 0.9424 0.9822 1.0237 1.0669 1.1123 1.1601 1.2107 1.2646 1.3225 1.3852 1.4538 1.5301 1.6164 1.7169 1.8384 1.9954 2.2262 2.7478

0.008 0.0201

0.0451 0.0702 0.0954 0.1206 0.1459 0.1713 0.1968 0.2224 0.2482 0.2741 0.3002 0.3266 0.3531 0.3799 0.4070 0.4344 0.4621 0.4902 0.5187 0.5476 0.5769 0.6068 0.6372 0.6682 0.6999 0.7323 0.7655 0.7995 0.8345 0.8705 0.9078 0.9463 0.9863 1.0279 1.0714 1.1170 1.1650 1.2160 1.2702 1.3285 1.3917 1.4611 1.5382 1.6258 1.7279 1.8522 2.0141 2.2571 2.8782

0.009 0.0226 0.0476 0.0728 0.0979 0.1231 0.1484 0.1738 0.1993 0.2250 0.2508 0.2767 0.3029 0.3292 0.3558 0.3826 0.4097 0.4372 0.4649 0.4930 0.5215 0.5505 0.5799 0.6098 0.6403 0.6713 0.7031 0.7356 0.7688 0.8030 0.8381 0.8742 0.9116 0.9502 0.9904 1.0322 1.0758 1.1217 1.1700 1.2212 1.2759 1.3346 1.3984 1.4684 1.5464 1.6352 1.7392 1.8663 2.0335 2.2904 3.0902

TABELLEN

t-Verteilung V

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

0.600 0.3249 0.2887 0.2767 0.2707 0.2672 0.2648 0.2632 0.2619 0.2610 0.2602 0.2596 0.2590 0.2586 0.2582 0.2579 0.2576 0.2573 0.2571 0.2569 0.2567 0.2566 0.2564 0.2563 0.2562 0.2561 0.2560 0.2559 0.2558 0.2557 0.2556 0.2555 0.2555 0.2554 0.2553 0.2553 0.2552 0.2552 0.2551 0.2551 0.2550 0.2550 0.2550 0.2549 0.2549 0.2549 0.2548 0.2548 0.2548 0.2547 0.2547

0.700 0.7265 0.6172 0.5844 0.5686 0.5594 0.5534 0.5491 0.5459 0.5435 0.5415 0.5399 0.5386 0.5375 0.5366 0.5357 0.5350 0.5344 0.5338 0.5333 0.5329 0.5325 0.5321 0.5317 0.5314 0.5312 0.5309 0.5306 0.5304 0.5302 0.5300 0.5298 0.5297 0.5295 0.5294 0.5292 0.5291 0.5289 0.5288 0.5287 0.5286 0.5285 0.5284 0.5283 0.5282 0.5281 0.5281 0.5280 0.5279 0.5278 0.5278

0.800 0.900 1.3764 3.0777 1.0607 1.8856 0.9785 1.6377 0.9410 1.5332 0.9195 1.4759 0.9057 1.4398 0.8960 1.4149 0.8889 1.3968 0.8834 1.3830 0.8791 1.3722 0.8755 1.3634 0.8726 1.3562 0.8702 1.3502 0.8681 1.3450 0.8662 1.3406 0.8647 1.3368 0.8633 1.3334 0.8620 1.3304 0.8610 1.3277 0.8600 1.3253 0.8591 1.3232 0.8583 1.3212 0.8575 1.3195 0.8569 1.3178 0.8562 1.3163 0.8557 1.3150 0.8551 1.3137 0.8546 1.3125 0.8542 1.3114 0.8538 1.3104 0.8534 1.3095 0.8530 1.3086 0.8526 1.3077 0.8523 1.3070 0.8520 1.3062 0.8517 1.3055 0.8514 1.3049 0.8512 1.3042 0.8509 1.3036 0.8507 1.3031 0.8505 1.3025 0.8503 1.3020 0.8501 1.3016 0.8499 1.3011 0.8497 1.3006 0.8495 1.3002 0.8493 1.2998 0.8492 1.2994 0.8490 1.2991 0.8489 1.2987

p

0.950 6.3138 2.9200 2.3534 2.1318 2.0150 1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125 1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247 1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081 1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973 1.6955 1.6939 1.6924 1.6909 1.6896 1.6883 1.6871 1.6860 1.6849 1.6839 1.6829 1.6820 1.6811 1.6802 1.6794 1.6787 1.6779 1.6772 1.6766 1.6759

0.975 12.706 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1314 2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423 2.0395 2.0369 2.0345 2.0322 2.0301 2.0281 2.0262 2.0244 2.0227 2.0211 2.0195 2.0181 2.0167 2.0154 2.0141 2.0129 2.0117 2.0106 2.0096 2.0086

0.990 31.820 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.5280 2.5176 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851 2.4786 2.4727 2.4671 2.4620 2.4573 2.4528 2.4487 2.4448 2.4411 2.4377 2.4345 2.4314 2.4286 2.4258 2.4233 2.4208 2.4185 2.4163 2.4141 2.4121 2.4102 2.4083 2.4066 2.4049 2.4033

0.995 63.657 9.9248 5.8409 4.6041 4.0321 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453 2.8314 2.8188 2.8073 2.7969 2.7874 2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500 2.7440 2.7385 2.7333 2.7284 2.7238 2.7195 2.7154 2.7116 2.7079 2.7045 2.7012 2.6981 2.6951 2.6923 2.6896 2.6870 2.6846 2.6822 2.6800 2.6778

TABELLEN

X 2 -Verteilung V

~T 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16

17 18

19 20 21

22 23 24 25 26

27 28

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

0.005 0.0000 0.0100 0.0720 0.2070 0.4120 0.6760 0.9890 1.3440 I.7350 2.1560 2.6030 3.0740 3.5650 4.0750 4.6010 5.1420 5.6970 6.2650 6.8440 7.4340 8.0340 8.6430 9.2600 9.8860 10.520

0.010 0.0000 0.0200 0.1150 0.2970 0.5540 0.8720 1.2390 1.6460 2.0880 2.5580 3.0530 3.5710 4.1070 4.6600 5.2290 5.8120 6.4080 7.0150 7.6330 8.2600 8.8970 9.5420 10.196 10.856 11.524

0.025 0.0010 0.0510 0.2160 0.4840 0.8310 1.2370 1.6900 2.1800 2.7000 3.2470 3.8160 4.4040 5.0090 5.6290 6.2620 6.9080 7.5640 8.2310 8.9070 9.5910 10.283 10.982 11.689 12.401 13.120

0.050 0.0040 0.1030 0.3520 0.7110 1.1450 1.6350 2.1670 2.7330 3.3250 3.9400 4.5750 5.2260 5.8920 6.5710 7.2610 7.9620 8.6720 9.3900 10.117 10.851 11.591 12.338 13.091 13.848 14.611

p 0.100 0.0160 0.2110 0.5840 1.0640 1.6100 2.2040 2.8330 3.4900 4.1680 4.8650 5.5780 6.3040 7.0420 7.7900 8.5470 9.3120 10.085 10.865 11.651 12.443 13.240 14.041 14.848 15.659 16.473

0.200 0.0640 0.4460 1.0050 1.6490 2.3430 3.0700 3.8220 4.5940 5.3800 6.1790 6.9890 7.8070 8.6340 9.4670 10.307 11.152 12.002 12.857 13.716 14.578 15.445 16.314 17.187 18.062 18.940

0.300 0.1480 0.7130 1.4240 2.1950 3.0000 3.8280 4.6710 5.5270 6.3930 7.2670 8.1480 9.0340 9.9260 10.821 11.721 12.624 13.531 14.440 15.352 16.266 17.182 18.101 19.021 19.943 20.867

0.400 0.2750 1.0220 1.8690 2.7530 3.6550 4.5700 5.4930 6.4230 7.3570 8.2950 9.2370 10.182 11.129 12.078 13.030 13.983 14.937 15.893 16.850 17.809 18.768 19.729 20.690 21.652 22.616

0.500 0.4550 1.3860 2.3660 3.3570 4.3510 5.3480 6.3460 7.3440 8.3430 9.3420 10.341 11.340 12.340 13.339 14.339 15.338 16.338 17.338 18.338 19.337 20.337 21.337 22.337 23.337 24.337

II.160 11.808 12.461 13.121 13.787 14.458 15.134 15.815 16.501 17.192 17.887 18.586 19.289 19.996 20.707 21.421 22.138 22.859 23.584 24.311 25.041 25.775 26.511 27.249 27.991

12.198 12.879 13.565 14.256 14.953 15.655 16.362 17.074 17.789 18.509 19.233 19.960 20.691 21.426 22.164 22.906 23.650 24.398 25.148 25.901 26.657 27.416 28.177 28.941 29.707

13.844 14.573 15.308 16.047 16.791 17.539 18.291 19.047 19.806 20.569 21.336 22.106 22.878 23.654 24.433 25.215 25.999 26.785 27.575 28.366 29.160 29.956 30.755 31.555 32.357

15.379 16.151 16.928 17.708 18.493 19.281 20.072 20.867 21.664 22.465 23.269 24.075 24.884 25.695 26.509 27.326 28.144 28.965 29.787 30.612 31.439 32.268 33.098 33.930 34.764

17.292 18.114 18.939 19.768 20.599 21.434 22.271 23.110 23.952 24.797 25.643 26.492 27.343 28.196 29.051 29.907 30.765 31.625 32.487 33.350 34.215 35.081 35.949 36.818 37.689

19.820 20.703 21.588 22.475 23.364 24.255 25.148 26.042 26.938 27.836 28.735 29.635 30.537 31.441 32.345 33.251 34.157 35.065 35.974 36.884 37.795 38.708 39.621 40.534 41.449

21.792 22.719 23.647 24.577 25.508 26.440 27.373 28.307 29.242 30.178 31.115 32.053 32.992 33.932 34.872 35.813 36.755 37.698 38.641 39.585 40.529 41.474 42.420 43.366 44.313

23.579 24.544 25.509 26.475 27.442 28.409 29.376 30.344 31.313 32.282 33.252 34.222 35.192 36.163 37.134 38.105 39.077 40.050 41.022 41.995 42.968 43.942 44.915 45.889 46.864

25.336 26.336 27.336 28.336 29.336 30.336 31.336 32.336 33.336 34.336 35.336 36.336 37.335 38.335 39.335 40.335 41.335 42.335 43.335 44.335 45.335 46.335 47.335 48.335 49.335

139

X 2 -Verteilung V

T 2

3 4 5 6

7 8

9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

23 24 25 26 27 28

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

0.500 0.4550 I.3860 2.3660 3.3570 4.3510 5.3480 6.3460 7.3440 8.3430 9.3420 10.341 II.340 12.340 13.339 14.339 15.338 16.338 17.338 18.338 19.337 20.337 21.337 22.337 23.337 24.337 25.336 26.336 27.336 28.336 29.336 30.336 31.336 32.336 33.336 34.336 35.336 36.336 37.335 38.335 39.335 40.335 41.335 42.335 43.335 44.335 45.335 46.335 47.335 48.335 49.335

0.600 0.7080 1.8330 2.9460 4.0450 5.1320 6.2110 7.2830 8.3510 9.4140 10.473 11.530 12.584 13.636 14.685 15.733 16.780 17.824 18.868 19.910 20.951 21.991 23.031 24.069 25.106 26.143 27.179 28.214 29.249 30.283 31.316 32.349 33.381 34.413 35.444 36.475 37.505 38.535 39.564 40.593 41.622 42.651 43.679 44.706 45.734 46.761 47.787 48.814 49.840 50.866 51.892

0.700 1.0740 2.4080 3.6650 4.8780 6.0640 7.2310 8.3830 9.5240 10.656 11.781 12.899 14.011 15.119 16.222 17.322 18.418 19.511 20.601 21.689 22.775 23.858 24.939 26.018 27.096 28.172 29.246 30.319 31.391 32.461 33.530 34.598 35.665 36.731 37.795 38.859 39.922 40.984 42.045 43.105 44.165 45.224 46.282 47.339 48.396 49.452 50.507 51.562 52.616 53.670 54.723

0.800 1.6420 3.2190 4.6420 5.9890 7.2890 8.5580 9.8030 11.030 12.242 13.442 14.631 15.812 16.985 18.151 19.311 20.465 21.615 22.760 23.900 25.038 26.171 27.301 28.429 29.553 30.675 31.795 32.912 34.027 35.139 36.250 37.359 38.466 39.572 40.676 41.778 42.879 43.978 45.076 46.173 47.269 48.363 49.456 50.548 51.639 52.729 53.818 54.906 55.993 57.079 58.164

p 0.900 2.7060 4.6050 6.2510 7.7790 9.2360 10.645 12.017 13.362 14.684 15.987 17.275 18.549 19.812 21.064 22.307 23.542 24.769 25.989 27.204 28.412 29.615 30.813 32.007 33.196 34.382 35.563 36.741 37.916 39.087 40.256 41.422 42.585 43.745 44.903 46.059 47.212 48.363 49.513 50.660 51.805 52.949 54.090 55.230 56.369 57.505 58.641 59.774 60.907 62.038 63.167

0.950 3.8410 5.9910 7.8150 9.4880 11.070 12.592 14.067 15.507 16.919 18.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 26.296 27.587 28.869 30.144 31.410 32.671 33.924 35.172 36.415 37.652 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773 44.985 46.194 47.400 48.602 49.802 50.998 52.192 53.384 54.572 55.758 56.942 58.124 59.304 60.481 61.656 62.830 64.001 65.171 66.339 67.505

0.975 5.0240 7.3780 9.3480 11.143 12.833 14.449 16.013 17.535 19.023 20.483 21.920 23.337 24.736 26.119 27.488 28.845 30.191 31.526 32.852 34.170 35.479 36.781 38.076 39.364 40.646 41.923 43.195 44.461 45.722 46.979 48.232 49.480 50.725 51.966 53.203 54.437 55.668 56.896 58.120 59.342 60.561 61.777 62.990 64.201 65.410 66.617 67.821 69.023 70.222 71.420

0.990 6.6350 9.2100 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 38.932 40.289 41.638 42.980 44.314 45.642 46.963 48.278 49.588 50.892 52.191 53.486 54.776 56.061 57.342 58.619 59.893 61.162 62.428 63.691 64.950 66.206 67.459 68.710 69.957 71.201 72.443 73.683 74.919 76.154

0.995 7.8790 10.597 12.838 14.860 16.750 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 26.757 28.300 29.819 31.319 32.801 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 41.401 42.796 44.181 45.559 46.928 48.290 49.645 50.993 52.336 53.672 55.003 56.328 57.648 58.964 60.275 61.581 62.883 64.181 65.476 66.766 68.053 69.336 70.616 71.893 73.166 74.437 75.704 76.969 78.231 79.490

TABELLEN

40

F-Verteilung

312 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1 L61.45 18.51 10.13 7.71 6.61 5.99 5.59 5.32 5.12 4.96 4.84 4.75 4.67 4.60 4.54 4.49 4.45 4.41 4.38 4.35 4.32 4.30 4.28 4.26 4.24 4.23 4.21 4.20 4.18 4.17 4.16 4.15 4.14 4.13 4.12 4.11 4.11 4.10 4.09 4.08 4.08 4.07 4.07 4.06 4.06 4.05 4.05 4.04 4.04 4.03

2 199.50 19.00 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10 3.98 3.89 3.81 3.74 3.68 3.63 3.59 3.55 3.52 3.49 3.47 3.44 3.42 3.40 3.39 3.37 3.35 3.34 3.33 3.32 3.30 3.29 3.28 3.28 3.27 3.26 3.25 3.24 3.24 3.23 3.23 3.22 3.21 3.21 3.20 3.20 3.20 3.19 3.19 3.18

3 215.71 19.16 9.28 6.59 5.40 4.75 4.34 4.06 3.86 3.70 3.58 3.48 3.40 3.34 3.28 3.23 3.19 3.15 3.12 3.09 3.07 3.04 3.02 3.00 2.99 2.97 2.96 2.94 2.93 2.92 2.91 2.90 2.89 2.88 2.87 2.86 2.85 2.85 2.84 2.83 2.83 2.82 2.82 2.81 2.81 2.80 2.80 2.79 2.79 2.79

(0.95-Quantile) mi 4 5 6 224.58 230.16 233.99 19.25 19.30 19.33 9.14 9.04 8.97 6.39 6.26 6.17 5.19 5.05 4.95 4.53 4.39 4.28 4.12 3.97 3.87 3.84 3.69 3.58 3.63 3.48 3.37 3.48 3.33 3.22 3.35 3.20 3.09 3.26 3.11 3.00 3.18 3.02 2.91 3.11 2.96 2.85 3.05 2.90 2.79 3.01 2.85 2.74 2.96 2.81 2.70 2.93 2.77 2.66 2.89 2.74 2.63 2.86 2.71 2.60 2.84 2.68 2.57 2.82 2.66 2.55 2.64 2.79 2.53 2.62 2.77 2.51 2.76 2.60 2.49 2.74 2.59 2.47 2.73 2.57 2.46 2.44 2.71 2.56 2.70 2.54 2.43 2.69 2.53 2.42 2.68 2.52 2.41 2.67 2.51 2.40 2.66 2.50 2.39 2.65 2.49 2.38 2.64 2.37 2.48 2.63 2.48 2.36 2.62 2.47 2.36 2.62 2.46 2.35 2.34 2.61 2.46 2.34 2.60 2.45 2.60 2.44 2.33 2.59 2.44 2.32 2.32 2.59 2.43 2.58 2.43 2.31 2.58 2.42 2.31 2.42 2.57 2.30 2.57 2.41 2.30 2.41 2.56 2.29 2.56 2.40 2.29 2.56 2.40 2.29

7 236.77 19.35 8.92 6.10 4.88 4.21 3.79 3.50 3.29 3.14 3.01 2.91 2.83 2.76 2.71 2.66 2.61 2.58 2.54 2.51 2.49 2.46 2.44 2.42 2.40 2.39 2.37 2.36 2.35 2.33 2.32 2.31 2.30 2.29 2.29 2.28 2.27 2.26 2.26 2.25 2.24 2.24 2.23 2.23 2.22 2.22 2.21 2.21 2.20 2.20

8 238.88 19.37 8.88 6.05 4.82 4.15 3.73 3.44 3.23 3.07 2.95 2.85 2.77 2.70 2.64 2.59 2.55 2.51 2.48 2.45 2.42 2.40 2.37 2.35 2.34 2.32 2.31 2.29 2.28 2.27 2.25 2.24 2.23 2.23 2.22 2.21 2.20 2.19 2.19 2.18 2.17 2.17 2.16 2.16 2.15 2.15 2.14 2.14 2.13 2.13

9 240.54 19.38 8.84 6.01 4.77 4.10 3.68 3.39 3.18 3.02 2.90 2.80 2.71 2.65 2.59 2.54 2.49 2.46 2.42 2.39 2.37 2.34 2.32 2.30 2.28 2.27 2.25 2.24 2.22 2.21 2.20 2.19 2.18 2.17 2.16 2.15 2.14 2.14 2.13 2.12 2.12 2.11 2.11 2.10 2.10 2.09 2.09 2.08 2.08 2.07

10 241.88 19.40 8.82 5.97 4.74 4.06 3.64 3.35 3.14 2.98 2.85 2.75 2.67 2.60 2.54 2.49 2.45 2.41 2.38 2.35 2.32 2.30 2.27 2.25 2.24 2.22 2.20 2.19 2.18 2.16 2.15 2.14 2.13 2.12 2.11 2.11 2.10 2.09 2.08 2.08 2.07 2.06 2.06 2.05 2.05 2.04 2.04 2.03 2.03 2.03

141

F-Verteilung

m2 1 2 3 4 5

6 7

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

11 242.98 19.40 8.80 5.94 4.71 4.03 3.60 3.31 3.10 2.94 2.82 2.72 2.63 2.57 2.51 2.46 2.41 2.37 2.34 2.31 2.28 2.26 2.24 2.22 2.20 2.18 2.17 2.15 2.14 2.13 2.11 2.10 2.09 2.08 2.07 2.07 2.06 2.05 2.04 2.04 2.03 2.03 2.02 2.01 2.01 2.00 2.00 1.99 1.99 1.99

12 243.91 19.41 8.78 5.92 4.68 4.00 3.58 3.28 3.07 2.91 2.79 2.69 2.60 2.53 2.48 2.42 2.38 2.34 2.31 2.28 2.25 2.23 2.20 2.18 2.16 2.15 2.13 2.12 2.10 2.09 2.08 2.07 2.06 2.05 2.04 2.03 2.02 2.02 2.01 2.00 2.00 1.99 1.99 1.98 1.97 1.97 1.96 1.96 1.96 1.95

13 244.69 19.42 8.76 5.90 4.66 3.98 3.55 3.26 3.05 2.89 2.76 2.66 2.58 2.51 2.45 2.40 2.35 2.31 2.28 2.25 2.22 2.20 2.18 2.15 2.14 2.12 2.10 2.09 2.08 2.06 2.05 2.04 2.03 2.02 2.01 2.00 2.00 1.99 1.98 1.97 1.97 1.96 1.96 1.95 1.94 1.94 1.93 1.93 1.93 1.92

(0.95-Quantile) mi 14 15 16 245.36 245.95 246.46 19.42 19.43 19.43 8.74 8.75 8.73 5.88 5.86 5.85 4.64 4.62 4.61 3.96 3.94 3.92 3.53 3.51 3.49 3.24 3.22 3.20 3.03 2.99 3.01 2.86 2.85 2.83 2.74 2.72 2.70 2.64 2.62 2.60 2.55 2.53 2.51 2.48 2.46 2.44 2.42 2.40 2.38 2.37 2.35 2.33 2.33 2.29 2.31 2.29 2.27 2.25 2.26 2.23 2.21 2.22 2.20 2.18 2.20 2.18 2.16 2.17 2.15 2.13 2.11 2.15 2.13 2.11 2.13 2.09 2.11 2.09 2.07 2.09 2.07 2.05 2.04 2.08 2.06 2.04 2.06 2.02 2.01 2.05 2.03 2.04 2.01 1.99 2.03 2.00 1.98 2.01 1.99 1.97 2.00 1.98 1.96 1.99 1.97 1.95 1.99 1.96 1.94 1.98 1.95 1.93 1.97 1.95 1.93 1.94 1.96 1.92 1.95 1.93 1.91 1.92 1.95 1.90 1.94 1.92 1.90 1.94 1.91 1.89 1.91 1.93 1.89 1.92 1.90 1.88 1.92 1.89 1.87 1.91 1.89 1.87 1.91 1.88 1.86 1.90 1.88 1.86 1.90 1.88 1.85 1.89 1.87 1.85

17 246.92 19.44 8.72 5.84 4.59 3.91 3.48 3.19 2.97 2.81 2.69 2.58 2.50 2.43 2.37 2.32 2.27 2.23 2.20 2.17 2.14 2.11 2.09 2.07 2.05 2.03 2.02 2.00 1.99 1.98 1.96 1.95 1.94 1.93 1.92 1.92 1.91 1.90 1.89 1.89 1.88 1.87 1.87 1.86 1.86 1.85 1.84 1.84 1.84 1.83

18 247.32 19.44 8.71 5.83 4.58 3.90 3.47 3.17 2.96 2.80 2.67 2.57 2.48 2.41 2.35 2.30 2.26 2.22 2.18 2.15 2.12 2.10 2.08 2.05 2.04 2.02 2.00 1.99 1.97 1.96 1.95 1.94 1.93 1.92 1.91 1.90 1.89 1.88 1.88 1.87 1.86 1.86 1.85 1.84 1.84 1.83 1.83 1.82 1.82 1.81

19 247.69 19.44 8.70 5.82 4.57 3.89 3.46 3.16 2.95 2.79 2.66 2.56 2.47 2.40 2.34 2.29 2.24 2.20 2.17 2.14 2.11 2.08 2.06 2.04 2.02 2.00 1.99 1.97 1.96 1.95 1.93 1.92 1.91 1.90 1.89 1.88 1.88 1.87 1.86 1.85 1.85 1.84 1.83 1.83 1.82 1.82 1.81 1.81 1.80 1.80

20 248.01 19.45 8.69 5.81 4.56 3.88 3.44 3.15 2.94 2.77 2.65 2.54 2.46 2.39 2.33 2.28 2.23 2.19 2.16 2.12 2.10 2.07 2.05 2.03 2.01 1.99 1.97 1.96 1.94 1.93 1.92 1.91 1.90 1.89 1.88 1.87 1.86 1.85 1.85 1.84 1.83 1.83 1.82 1.81 1.81 1.80 1.80 1.79 1.79 1.78

142

TABELLEN

modifizierte Kolmogorov-Statistik Test auf

modifizierte Kolmogorov-Statistik

0.85 0.90 0.95 0.975 0.990

stetige, vollständig spezifizierte Verteilungsfunktion Normalverteilung mit unbekannten Parametern ß und a 1

(s/n + 0.12 + 201) • D

1.138 1.224 1.358 1.480 1.628

(y/n - 0.01 4-

•D

0.775 0.819 0.895 0.955 1.035

Exponentialverteilung mit unbekanntem Parameter A

( ^ n + 0.26 + .^

_ o^

0.926 0.990 1.094 1.190 1.308 n