So viel Mathe muss sein!: Gut vorbereitet in ein WiMINT-Studium [2. Auflage] 366267193X, 9783662671931, 9783662671948

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Klaus Dürrschnabel · Rolf Dürr · Wolfgang Erben Matthias Gercken · Karin Lunde · Torsten Schatz Rita Wurth · Marc Zimmermann

So viel Mathe muss sein! Gut vorbereitet in ein WiMINT-Studium 2. Auflage

So viel Mathe muss sein!

Klaus Dürrschnabel  Rolf Dürr  Wolfgang Erben  Matthias Gercken  Karin Lunde  Torsten Schatz  Rita Wurth  Marc Zimmermann

So viel Mathe muss sein! Gut vorbereitet in ein WiMINT-Studium 2. Auflage

Klaus Dürrschnabel Hochschule Karlsruhe Karlsruhe, Deutschland

Karin Lunde Technische Hochschule Ulm Ulm, Deutschland

Rolf Dürr Seminar für Aus- und Fortbildung der Lehrkräfte Tübingen, Deutschland

Torsten Schatz Seminar für Aus- und Fortbildung der Lehrkräfte Tübingen, Deutschland

Wolfgang Erben Hochschule für Technik Stuttgart Stuttgart, Deutschland

Rita Wurth Mettnau-Schule Radolfzell Radolfzell, Deutschland

Matthias Gercken Seminar für Aus- und Forbildung der Lehrkräfte Karlsruhe, Deutschland

Marc Zimmermann Pädagogische Hochschule Ludwigsburg Ludwigsburg, Deutschland

ISBN 978-3-662-67193-1 https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8

ISBN 978-3-662-67194-8 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2019, 2023 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Nikoo Azarm Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

V

Vorwort

Warum dieses Buch? Wer steckt dahinter? Beim Übergang von der Schule zur Hochschule erleben Studienanfängerinnen und -anfänger eines Studiums der Wirtschaftswissenschaften, der Mathematik, der Informatik, der Naturwissenschaften oder der Technik (WiMINT) immer öfter, dass ihre MathematikKenntnisse nicht den Erwartungen der Hochschulen entsprechen. Trotz guter Schulabschlussnoten schneiden viele von ihnen bei den Prüfungen schlecht ab. Nicht selten kommen sie so zu dem Schluss, dass sie das gewählte Studium nicht schaffen können; der Abbruch des Studiums scheint die einzig richtige Konsequenz zu sein. Eine Möglichkeit, diesem Missstand vorzubeugen, besteht nach Ansicht vieler Mathematik-Lehrenden darin, die Studieninteressierten rechtzeitig und umfassend über die mathematischen Anforderungen in den verschiedenen WiMINT-Studiengängen zu informieren und gezielt auf ein solches Studium vorzubereiten. Als Brückenbauer zwischen Schule und Hochschule verstehen sich die Mitglieder der Arbeitsgruppe cosh (Cooperation Schule-Hochschule, www.cosh-bw.de), zu der auch die Autorinnen und Autoren dieses Arbeitsbuchs gehören. In der AG cosh arbeiten bereits seit 2002 Mathematik-Lehrende aus unterschiedlichen Schul- und Hochschulformen in BadenWürttemberg eng zusammen. Seit 2003 führt die cosh-AG jährlich Arbeitstagungen durch, bei denen sich die Teilnehmerinnen und Teilnehmer mit den vielfältigen Aspekten des Übergangs von der Schule zur Hochschule in kooperativem Austausch auseinandersetzen und konstruktiv über Maßnahmen zur Glättung des Übergangs nachdenken. Ein wesentliches Ergebnis dieses Austauschs ist der „Mindestanforderungskatalog Mathematik von Schulen und Hochschulen Baden-Württembergs für ein Studium von WiMINT-Fächern (Wirtschaft, Mathematik, Informatik, Naturwissenschaft und Technik)“. Er wurde von den Teilnehmerinnen und Teilnehmern der cosh-Tagungen 2012, 2014 und 2021 in einem intensiven Diskussionsprozess formuliert. Lehrende aus Schulen und Hochschulen haben gemeinsam die Mathematik-Kenntnisse und -Fertigkeiten zusammengetragen und strukturiert, die die Studienanfängerinnen und -anfänger haben sollten, um erfolgreich einen WiMINT-Studiengang zu beginnen. Diese Kompetenzbeschreibungen werden durch Aufgabenbeispiele konkretisiert. Die Aufgaben sind keine Lehr-, Lernoder Testaufgaben, sondern sollen vor allem der Orientierung dienen. Der Mindestanforderungskatalog wurde ursprünglich für Baden-Württemberg konzipiert, hat aber in der Zwischenzeit bundesweit Beachtung und Akzeptanz gefunden, Sie finden ihn auf der WebSite der cosh-Initiative www.cosh-bw.de. Das vorliegende Buch ist das Arbeitsbuch zum Mindestanforderungskatalog. Es soll den Mindestanforderungskatalog durch umfassendes Übungsmaterial mit kompakten Übersichten und ausführlich durchgerechneten Beispielen ergänzen. Darüber hinaus bietet eine umfangreiche Sammlung von Online-Materialien zum Arbeitsbuch den Blick über den Tellerrand auf weiterführende und vertiefende mathematische Zusammenhänge.

Was ist neu in der 2. Auflage? Auf der cosh-Jahrestagung 2021 wurde die Version 3.0 des Mindestanforderungskatalogs Mathematik mit den Teilnehmenden diskutiert und verabschiedet. Vorangegangen waren dem zahlreiche Anfragen, vor allem von Seiten der Lehrenden an Schulen, warum die Stochastik zwar in den Bildungsplänen der Schulen an Gewicht gewonnen habe, aber in den Mindestanforderungskatalog 2.0 nicht aufgenommen wurde. Tatsächlich gewinnt der kompetente Umgang mit Daten in Alltag und Beruf immer mehr an Bedeutung. So wurde der

VI

Vorwort

Mindestanforderungskatalog 3.0 um ein neues Kapitel erweitert, das grundlegende Kompetenzen in Stochastik formuliert und durch typische Aufgaben illustriert. Als Konsequenz davon wurde auch dieses Arbeitsbuch um das Kapitel 18 zur Stochastik erweitert. Die Struktur folgt dem bewährten Stil: Nach einem Selbsttest führt der Text anhand von ausführlich durchgerechneten Beispielen durch die wichtigsten Themen; wesentliche Vorgehensweisen und Sachverhalte werden kompakt zusammengefasst. Die illustrierenden Aufgaben aus dem Mindestanforderungskatalog werden durch Übungsaufgaben mit Kurzlösungen ergänzt. Eine weitere Änderung betrifft das Online-Material mit den ausführlichen Lösungen zu allen Kapiteln und weiterführenden Texten. Es wird nun auf der Seite 7 www.cosh-bw.de gehostet und kann über folgenden Link erreicht werden: > 7 www.cosh-mathe.de/materialien/So-viel-Mathe-muss-sein

Für wen ist dieses Buch? Das Arbeitsbuch richtet sich einerseits an Schülerinnen und Schüler, die sich für einen WiMINT-Studiengang interessieren und ihre Mathematik-Kenntnisse daraufhin überprüfen bzw. vertiefen wollen. Andererseits kann es Studienanfängerinnen und -anfängern dabei helfen, den Mathematik-Schulstoff aufzufrischen und durch Übungsaufgaben zu konsolidieren. Das vorliegende Arbeitsbuch eignet sich besonders gut für das Lernen allein oder in kleinen Gruppen. Lehrenden, die Vorbereitungskurse an Schulen oder Hochschulen leiten, kann es dazu dienen, die Lernenden gezielt zu beraten und zu unterstützen.

Wie arbeite ich mit dem Buch? Die Kapitel des Buches sind so strukturiert, dass Sie sich möglichst individuell mit den Inhalten auseinandersetzen können. Zu Beginn eines Kapitels entscheiden Sie anhand von Testaufgaben, welche Abschnitte eines Kapitels erarbeitet werden sollten. Stellen die Testaufgaben eine Hürde dar, können Sie sich den dafür benötigten Stoff in den angegebenen Abschnitten aneignen. Die Erarbeitung der mathematischen Inhalte erfolgt anhand von Beispielaufgaben mit ausführlich kommentierten Lösungen, sodass stets der Bezug der mathematischen Theorie zur mathematischen Praxis erkennbar ist. Tabellarische Übersichten und farbliche Hervorhebungen der wichtigsten Begriffe und Definitionen erleichtern die Orientierung. Mit den Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels und den dazu gehörenden Lösungen können Sie Ihren Lernerfolg kontrollieren und festigen. An vielen Stellen wird auf weitere Abschnitte des Buches oder auf das zusätzlich angebotene Online-Material verwiesen. Kenntnisse und Fertigkeiten aus den jeweils anderen Abschnitten, die zur aktuellen Bearbeitung einer Aufgabe notwendig sind, können so schnell auf die konkrete Situation angewendet werden. Damit wird Ihrem individuellen Kenntnisstand Rechnung getragen. Diese Vorgehensweise macht auch deutlich, wie die angesprochenen Bereiche der Mathematik untereinander verknüpft sind, und ermöglicht es, vorhandenes Wissen in unterschiedlichen Kontexten anzuwenden. Dieses Arbeitsbuch ist zur Auffrischung des mathematischen Wissens konzipiert. Aufgrund des begrenzten Platzes sind die Inhalte kurz und prägnant gehalten. Sofern die angebotenen Beispiele für Sie nicht ausreichen, sollten Sie sich die entsprechenden Inhalte anhand eines der vielfältig angebotenen ausführlichen Lehrbücher aneignen. Das Buch orientiert sich nahezu vollständig an dem durch den Mindestanforderungskatalog gesteckten Rahmen. Die Gliederung der Kapitel dieses Buches folgt exakt der Reihenfolge der im Mindestanforderungskatalog angesprochenen Inhalte und Kompetenzen. Diese Gliederung hat zur Folge, dass am Beginn des Buches der durchaus komplexe Teil „Allgemeine mathematische Kompetenzen“ steht. Hier werden Inhalte der nachfol-

VII Vorwort

genden Kapitel verwendet, um z. B. Argumentations- oder Problemlösungstechniken zu thematisieren.

Danke! Guido Pinkernell und Thomas Weber haben uns in vielerlei Hinsicht, insbesondere mit umfangreichen Anregungen und akribischen Korrekturen tatkräftig unterstützt. Dafür danken wir ihnen ganz herzlich. Sehr dankbar sind wir auch für die vielen eindrucksvollen Fotos, die wir unentgeltlich von anderer Seite erhalten haben, die Fotografinnen bzw. Fotografen sind bei den Bildern genannt. Den Lektorinnen des Springer-Verlages, Annika Denkert, Nikoo Azarm und Anja Groth, danken wir für ihre aufgeschlossene und unkomplizierte Begleitung des Projekts. Nicht zuletzt danken wir allen Autorinnen und Autoren des Mindestanforderungskataloges, ohne die das Buch nicht hätte entstehen können. Das Autorenteam

Esslingen im Februar 2023

IX

Inhaltsverzeichnis I

Allgemeine mathematische Kompetenzen

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Probleme lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nützliche Fragen stellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematisch modellieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strategien des Problemlösens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hilfsmittel angemessen nutzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2.1 2.2 2.3 2.4

Systematisch vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3.1 3.2 3.3 3.4

Plausibilitätsüberlegungen anstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Mathematisch kommunizieren und argumentieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

Elementare Algebra

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zerlegen von komplexen Sachverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fallunterscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sorgfalt und Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fehler identifizieren und erklären . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Größenordnungen abschätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ergebnisse überschlägig kontrollieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fachsprache und Fachsymbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sachverhalte mit Worten erklären . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Behauptungen begründen oder widerlegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenhänge visualisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungswege nachvollziehbar präsentieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Größenordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regeln zur Kommaverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proportionalität und Dreisatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 5 5 6 7 7 8 11 12 12 13 14 14 15 17 18 18 19 19 20 20 23 24 25 26 27 27 28 29 29

35 36 36 37 38 39 39 40 40

X

Inhaltsverzeichnis

6 6.1 6.2 6.3 6.4

Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8.1 8.2 8.3

Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

Gleichungen mit einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Ungleichungen mit einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

Elementare Geometrie/Trigonometrie

11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6

Elementare Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brüche kürzen und erweitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brüche addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brüche multiplizieren und dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementare Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verknüpfung von mehreren Prozentsätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zinseszinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechnen mit Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechnen mit Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfache Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faktorisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfache Betragsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadratische Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfache Betragsungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ungleichungen mit Bruchtermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften ebener geometrischer Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stufen- und Wechselwinkel an Parallelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Winkelsummensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kongruente Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 44 44 45 45 46 46 47 48 48 49 49 50 50 50 53 54 54 55 55 56 57 58 59 59 60 61 61 62 62 63 63 65 66 66 67 67 68 69 70

73 74 76 77 77 78 78

XI Inhaltsverzeichnis

11.7 11.8 11.9 11.10 11.11 11.12

Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächeninhalt und Umfang von Kreisen und Vielecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oberfläche und Volumen einfacher Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gradmaß und Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinus und Kosinus im Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV

Analysis

12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6

Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7

Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7

Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformationen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammengesetzte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graphen nichtelementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestimmung von Funktionstermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Ableitung an einer Stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitungsregeln und ihre Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösen von Optimierungsproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 79 81 82 82 83 83 86

91 92 93 96 99 100 101 103 104

108 109 110 111 112 114 115 118 120

Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ober- und Untersumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das bestimmte Integral als Rekonstruktion eines Bestandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestimmung von Stammfunktionen, Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Weitere Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126 127 128 130 130 132 134 134 135

V

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

15 15.1 15.2 15.3 15.4

Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analytisch gegebene Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140 140 141 142 143 145

XII

Inhaltsverzeichnis

16 16.1 16.2 16.3 16.4

Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Gleichungssysteme lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150 150 152 153 154 154

17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5

Anschauliche Vektorgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektoren als Pfeilklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Addition und Multiplikation mit Skalaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punktmengen im Anschauungsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung von Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157 158 158 160 161 161 163 163

VI

Stochastik

18 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5

Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Selbsteinschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Häufigkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zufall und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bedingte Wahrscheinlichkeiten und mehrstufige Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169 170 171 173 177 181 185 187

Serviceteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

1

Allgemeine mathematische Kompetenzen

Dreiländerbrücke zwischen Weil am Rhein und Huningue. Foto: Rita Wurth

Inhaltsverzeichnis Kapitel 1

Probleme lösen – 3

Kapitel 2

Systematisch vorgehen – 11

Kapitel 3

Plausibilitätsüberlegungen anstellen – 17

Kapitel 4

Mathematisch kommunizieren und argumentieren – 23

I

3

Probleme lösen

Wendeltreppe im Turm der Sagrada Familia, Barcelona (Antoni Gaudi). Foto: Rüdiger Lunde

Inhaltsverzeichnis 1.1

Selbsteinschätzung – 4

1.2

Nützliche Fragen stellen – 5

1.3

Mathematisch modellieren – 5

1.4

Strategien des Problemlösens – 6

1.5

Hilfsmittel angemessen nutzen – 7 Aufgaben – 7 Lösungen zu den Aufgaben – 8

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Dürrschnabel et al., So viel Mathe muss sein!, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8_1

1

4

1

Kapitel 1  Probleme lösen

Wie bei allen mathematischen Aufgaben wird auch bei mathematischen Problemen aus etwas Gegebenem mithilfe von mathematischen Verarbeitungsschritten etwas Gesuchtes ermittelt. Allerdings sind im Gegensatz zu mathematischen Standardaufgaben beim Problemlösen diese Verarbeitungsschritte nicht von vornherein festgelegt, sondern erfordern oft den Einsatz unterschiedlicher mathematischer Herangehensweisen. Problemstellungen, die im Rahmen des WiMINTStudiums auftreten, können in unterschiedlichen Formen vorliegen, z. B. als offen formulierter Text, als Grafik, Bild, Tabelle oder Modell. Der in Ungarn geborene Mathematiker György Pólya (1887– 1985) hat in seinem 1967 veröffentlichten Buch „Die Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Probleme“ die vier Schritte charakterisiert, die notwendig sind, um ein Problem mathematisch zu lösen. Sie machen sich in diesem Kapitel diese vier Schritte bewusst und können am Ende des Kapitels Strategien des Problemlösens anwenden.

! Achtung Probleme mathematisch lösen zu können, gehört zu den allgemeinen mathematischen Kompetenzen. In diesem Kapitel werden in einigen Beispielen und Übungsaufgaben auch Rechentechniken und Lösungsverfahren verwendet, die in den späteren Kapiteln eingehend behandelt werden. Bitte folgen Sie in solchen Fällen den Verweisen im Text.

1.1

Selbsteinschätzung

? Ich kann nützliche Fragen stellen. 7 Abschn. 1.2

Test 1.1 Formulieren Sie mindestens drei nützliche Fragen zu folgendem Problem: Abergläubische Menschen behaupten, Freitag, der Dreizehnte, sei ein Unglückstag. Wie viele solche Freitage gibt es höchstens pro Jahr?

? Ich kann einen gegebenen Sachverhalt mathematisch modellieren. 7 Abschn. 1.3

Test 1.2 Der Druckluftbehälter einer Firma hat ein Leck und verliert seinen Druck. Es werden folgende Werte gemessen (Zeit in Stunden, Druck in bar):

Zeit Druck

0 12

10 6,5

20 4

50 1

Beschreiben Sie den Druckabfall durch zwei unterschiedliche Funktionen.

? Ich kann Strategien des Problemlösens anwenden. 7 Abschn. 1.4

Test 1.3 Die Gerade g verläuft durch A.aja1 / mit der Steigung m D 2a2 . Für welchen Wert von a ist die zu g rechtwinklig verlaufende Gerade durch A eine Ursprungsgerade?

? Ich kann Hilfsmittel angemessen nutzen. 7 Abschn. 1.5

Test 1.4 Wie viele Lösungen hat die Gleichung e x D x n , wobei n 2 f1I 2I 3I : : :g?

vErgebnisse der Testaufgaben 1.1 Beispiele: Die wievielten Tage im Jahr sind die 13. der einzelnen Monate? Was für ein Wochentag ist der 13. eines Monats, wenn der 1. ein Montag ist? Was für ein Wochentag ist der 1. eines Monats, wenn der 13. ein Freitag ist? Was für ein Wochentag ist der 13. Februar, wenn der 1. Januar ein Montag (Dienstag, . . . ) ist? 1.2 Beispiele: Lineare Regressionsfunktion f .x/ D 9;80  0;196x; quadratische Funktion aus drei Datenpaaren z. B. f .x/ D 0;00825x 2  0;6325x C 12. 1.3 Es muss gelten: a ¤ 0; Man kennt von der rechtwinklig schneidenden Geraden die Steigung m? D a2 =2; Von einer Ursprungsgeraden, die durch einen Punkt .x0 jy0 / geht, weiß man m D y0 =x0 . Zum Bestimmen p von a nutzt man diese Beziehung und erhält a D ˙ 4 2. 1.4 Mit einem elektronischen Hilfsmittel sieht man, dass es für n D 1 keine Lösung, für n D 2 genau eine Lösung im Bereich x < 0 und für n  3 zwei Lösungen für x > 0 sowie für gerades n eine dritte Lösung im Bereich x < 0 gibt. Die verwendeten Rechentechniken werden in 7 Abschn. 12.2 und 7 Abschn. 13.2 vertieft.

1

5 1.3  Mathematisch modellieren

1.2

Nützliche Fragen stellen

G. Pólya nennt die vier Schritte zum Lösen mathematischer Probleme: 1. Verstehen der Aufgabe 2. Ausdenken eines Plans 3. Ausführen des Plans 4. Überprüfung der Lösung

1.3

Mathematisch modellieren

Mit der Skizze im 7 Beispiel 1.1 wird bereits die reale Situation durch ein Modell beschrieben. Bei der Übertragung in ein mathematisches Modell werden mathematische Bezeichnungen eingeführt und Beziehungen zwischen den auftretenden Größen genutzt. A

Für den ersten Schritt, die Aufgabe zu verstehen, können folgende Leitfragen hilfreich sein: 4 Wie formuliere ich das Problem mit meinen Worten? 4 Was genau ist gegeben? 4 Was weiß ich vom Gegebenen? 4 Was genau ist gesucht? 4 Was weiß ich vom Gesuchten? 4 Was kann ich mit dem Gegebenen anfangen? 4 Was kann ich mit dem Gesuchten anfangen? 4 Habe ich ein ähnliches Problem schon einmal gelöst?

x

Die folgenden möglichen Antworten auf einige der oben genannten Leitfragen können dazu beitragen, das Problem zu verstehen: 4 Von einem Quadrat soll ein Streifen abgeschnitten werden, der schräg aufgelegt genau auf das restliche Teilstück passt. 4 Gegeben ist ein Quadrat. Alle Seiten sind gleich lang, je zwei sind parallel, und es gibt vier rechte Winkel. 4 Gesucht ist die Breite des Streifens. Es entstehen beim Auflegen lauter ähnliche rechtwinklige Dreiecke, je zwei davon sind gleich groß. Das Beispiel wird im folgenden Abschnitt weiterentwickelt.

b

a c

1 Beispiel 1.1 Von einem quadratischen Blatt Papier, das vorn rot und hinten blau ist, soll ein Streifen abgeschnitten und mit der blauen Seite nach oben schräg auf das restliche Rechteck aufgeklebt werden. Der Streifen soll dabei alle vier Seiten des Rechtecks berühren. Wie breit muss der Streifen sein?

x

a

x Eine Diagonale des aufgelegten Streifens ist parallel zu einer Diagonalen des Streifens, bevor er abgeschnitten wurde, weil beide gleich lang sind. Daraus folgt, dass die abgeschnittene Breite x in der skizzierten Weise auch der Abstand zwischen dem Fußpunkt von A und dem Eckpunkt des aufgelegten Streifens auf der unteren Quadratseite ist und der Punkt A die Quadratseite damit halbiert. Es gilt a D b C c und mit dem Satz des Pythagoras (7 Abschn. 11.7) r a 2 und x b D x2  2 r  a 2 ap D 3: c D a2  2 2 So erhält man die Gleichung r a 2 a p 3 x C a D x2  2 2 ! r p a 2 3 D x2  x , a 1 2 2   p 2 , a2 2  3 D 4x 2  a2 C 4ax  4x 2  p 2 , a2 2  3 D 4ax  a2   p , 4ax D a2 4  4 3 C 3 C 1 und daraus die Lösung  p  x D 2  3 a: Zur Überprüfung der mathematischen Lösung schneidet man von dem quadratischen Papier einen Streifen mit der

6

1

Kapitel 1  Probleme lösen

entsprechenden Breite ab und sieht, dass das Problem vollständig gelöst ist. 1 Beispiel 1.2 Die Geschwindigkeit eines Autos beträgt 15 m/s zu Beginn der Beobachtung. Innerhalb der nächsten 5 s nimmt die Geschwindigkeit gleichmäßig bis zum Stillstand ab. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit.

im zugehörigen Kurvenpunkt die Tangente an den Graphen von f gelegt. Wo schneidet diese Tangente die x-Achse? (7 Abschn. 13.5)

Induktion: Eine Skizze macht die Eigenschaften einer Funktion mit den gegebenen Eigenschaften deutlich. y

Die reale Situation eines Bremsvorgangs wird im Text durch die idealisierende Annahme, dass die Geschwindigkeit gleichmäßig abnimmt, als Modell beschrieben. Als mathematisches Modell kann man zunächst den Graphen des Geschwindigkeitsverlaufs zeichnen und anschließend die gesuchte Funktion der Zeit angeben (7 Beispiel 12.2):

t2

t3

x2

x1

x3 x

t1

v in m/s 15 Verallgemeinerung: Wenn f die Funktion und x1 , x2 und x3 ihre drei Nullstellen sind, dann kann der Funktionsterm in der faktorisierten Form

10 5

f .x/ D a.x  x1 /.x  x2 /.x  x3 / 1

v.t/ D 15  3t;

2

3

4

5 t in s

0t 5

Zur Überprüfung des Modells kann man mit einem GPSTracking-Tool die reale Bremsbewegung mit den angegebenen Vorgaben aufzeichnen.

1.4

Strategien des Problemlösens

Für den zweiten und dritten von G. Pólya genannten Schritt zum Lösen eines mathematischen Problems, nämlich das Aufstellen und Durchführen eines Plans, benötigt man häufig eine Problemlösestrategie. Diese Strategien lassen sich grob in vier Kategorien einteilen. Induktion: systematisch probieren; von Gegebenem ausgehen und auf das Gesuchte schließen; von konkreten Beispielen ausgehen und anschließend verallgemeinern. Reduktion: Fälle unterscheiden; vom Gesuchten ausgehen und so die Eigenschaften des Gegebenen einschränken; Annahmen zu einem Widerspruch führen. Variation: das Gegebene variieren; den Allgemeinheitsgrad variieren; die Exaktheitsstufe variieren. Interpretation: das Problem in einen anderen Kontext übersetzen; ein Modell anfertigen; Analogien suchen. 1 Beispiel 1.3 f ist eine Polynomfunktion 3. Grades mit drei Nullstellen. Genau in der Mitte zwischen zwei Nullstellen wird

angegeben werden (Satz vom Nullprodukt 7 Beispiel 12.22). Reduktion: Da nur die Lage der x-Achsenschnittpunkte untersucht werden soll, kann man den Graphen in xRichtung verschieben und in y-Richtung strecken, ohne den Sachverhalt zu ändern. Speziell kann man a D 1 annehmen und den Graphen in x-Richtung so verschieben, dass die y-Achse genau in der Mitte zwischen x1 und x2 ist. Dann gilt x1 D c und x2 D c, und der Funktionsterm vereinfacht sich zu f .x/ D .x C c/.x  c/.x  x3 /; ausmultipliziert f .x/ D x 3  x3 x 2  c 2 x C c 2 x3 : Interpretation: Durch die Verschiebung genügt es, die Tangente t an der Stelle 0 zu berechnen (7 Abschn. 13.3): tW

y D f 0 .0/x C f .0/

Es ist f .0/ D c 2 x3 . Mit f 0 .x/ D 3x 2  2x3 x  c 2 erhält man f 0 .0/ D c 2 . Für die Tangentengleichung heißt das tW

y D c 2 x C c 2 x3 ;

also tW

y D c 2 .x  x3 /:

7 Aufgaben

Da c ¤ 0, schneidet die Tangente die x-Achse an der Stelle x3 .

1.1 Formulieren Sie jeweils mindestens zwei Fragen, um

v Ergebnis Die Tangente schneidet die x-Achse im dritten xAchsenschnittpunkt.

1.5

Aufgaben

Hilfsmittel angemessen nutzen

1 Beispiel 1.4

folgende Probleme zu verstehen: a) Wie hoch ist eine fünfseitige Pyramide, deren Seitenflächen gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge 1 m sind? b) Gibt es eine Parabel mit dem Scheitel im Ursprung, die den Graphen der Funktion f mit f .x/ D e x berührt? c) Das Statistische Bundesamt veröffentlichte 2017 folgende Daten über Griechenland:

Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion f mit f .x/ D 0;5x 3  15x 2  10 auf drei Nachkommastellen gerundet.

Überlegen: Für x  0 ist f .x/ stets negativ. Für x ! 1 gilt f .x/ ! 1. Also gibt es eine Nullstelle für x > 0. Visualisieren: Mit einem elektronischen Hilfsmittel oder mithilfe einer Wertetabelle kann man den Graphen von f zeichnen. y

10

20

30

x

1 000

2 000

Man sieht, dass bei x  30 eine Nullstelle ist. Der Funktionswert f .0/ D 10 ist negativ, d. h., der Hochpunkt .0j  10/ liegt unterhalb der x-Achse. Rechnen: Mit einem elektronischen Hilfsmittel erhält man ohne Zwischenschritte die Nullstelle x  30;022. Hat der Taschenrechner keine numerische Lösungsfunktion, berechnet man näherungsweise z. B.: f .30/ D 10

f .30;02/  1 f .30;022/  0;085

f .30;1/  35;3 f .30;05/  12;6 f .30;025/  1;3 f .30;0225/  0;14 f .30;02225/  0;027

v Ergebnis Die Nullstelle ist etwa 30;022.

Eine ausführliche Darstellung des Intervallhalbierungsverfahrens zur Bestimmung einer Nullstelle einer Funktion f finden Sie im Online-Material.

Jahr 2007 2010 2013 2016 BIP/Kopf 28 900 26 973 21 805 17 900 in US-Dollar Arbeitslosen- 8;4 12;73 27;48 23;76 quote in % 1.2 Beantworten Sie folgende Fragen mithilfe eines ma-

thematischen Modells: a) Eine Hohlkugel aus Stahl von 3 cm Wanddicke hat die Masse 39;360 kg. Die Dichte von Stahl beträgt 7;85 kg=dm3 . Wie groß sind der innere und äußere Durchmesser der Hohlkugel? (7 Abschn. 11.9) b) Ist es möglich, einen Balken mit den Maßen 200 cm  10 cm  15 cm durch ein Rohr mit einem Innendurchmesser von 18 cm zu schieben? (7 Abschn. 11.8) c) Fließt durch eine verdünnte Kupfersulfatlösung ein Gleichstrom, so entsteht am negativen Pol metallisches Kupfer. Die abgeschiedene Kupfermenge ist sowohl zur Dauer des Stromflusses als auch zur Stromstärke direkt proportional. Bei einer Stromstärke von 0;4 A werden in 15 Minuten 0;12 g Kupfer abgeschieden. Wie lange dauert es, bis 0;2 g Kupfer bei einer Stromstärke von 0;6 A abgeschieden werden? (7 Abschn. 5.6) 1.3 Im skizzierten Rechteck sind eine Diagonale und eine Seitenhalbierende eingezeichnet. In welchem Verhältnis teilt deren Schnittpunkt diese beiden Strecken? (7 Abschn. 11.4)

a) Wenden Sie bei der Lösung dieser Aufgabe die vier Schritte des Problemlösens an. b) Notieren Sie anschließend die Strategien, die zur Lösung geführt haben.

1

8

1.4 Bestimmen Sie mit einem elektronischen Hilfsmittel die Lösungen folgender Optimierungsprobleme. (7 Abschn. 13.7) a) Der skizzierte Viertelkreis hat einen Radius von 4 cm. Bestimmen Sie den Punkt P , sodass das eingezeichnete Rechteck maximalen Umfang hat.

P

1.2

a) Volumen einer Kugel mit Durchmesser d in cm: V .d / D

1 3 d 6

Volumen der Hohlkugel:  1  3  d  .d  6/3 Œcm3  6 Masse 39 360 g  5 014 cm3 Volumen D D Dichte 7;85 cmg 3 V D V .d /  V .d  6/ D

V .d /  V .d  6/ D 5 014

b) Ein Behälter hat die Form eines Zylinders mit ebenem Boden und aufgesetzter Halbkugel als Deckel. Das Volumen des Behälters einschließlich der Wände soll 5 m3 betragen. Welche Maße hat der Behälter, dessen Oberfläche einschließlich Boden minimal ist?

,

d  26 ._ d  20/

Der äußere Durchmesser ist etwa 26 cm, der innere etwa 20 cm. b) Skizze des Sachverhalts:

15 cm

1

Kapitel 1  Probleme lösen

Lösungen zu den Aufgaben

d

1.1

a) 4 Was für eine Grundfläche hat die Pyramide? 4 Welche Eigenschaften haben die Dreiecke, aus denen die Grundfläche zusammengesetzt werden kann? 4 Welche Eigenschaften hat ein Dreieck, das aus der Höhe der Pyramide und einer der Steilkanten gebildet wird? 4 ... b) 4 Welche Lage hat eine beliebige Ursprungsparabel in Bezug auf das Schaubild von f ? 4 Wie viele Punkte hat die Normalparabel mit dem Schaubild von f gemeinsam? Wie viele sind es bei einer anderen Ursprungsparabel? 4 Wo müsste ein Berührpunkt der beiden Kurven liegen? 4 Welche Bedingungen gelten für Kurven, die sich berühren? 4 ... c) 4 Kann man die Entwicklung des BIP/Kopf durch eine mathematische Funktion beschreiben? 4 Gibt es eine ähnliche Funktion, mit der man die Entwicklung der Arbeitslosenquote beschreiben kann? 4 Gibt es einen mathematisch begründeten Zusammenhang zwischen der Arbeitslosenquote und dem BIP/Kopf? 4 ...

10 cm

Diagonale des Balkenquerschnitts d : dD

q .10 cm/2 C .15 cm/2  18;03 cm

d > 18, also ist der Balken zu groß. c) Mit der abgeschiedenen Kupfermenge M in g, der Stromstärke I in A, der Dauer t in h und der Proporg tionalitätskonstanten c in Ah gilt M D c  I  t: Damit:

,

0;12 g D c  0;4 A  0;25 h D 0;1 Ah  c g c D 1;2 Ah

Daraus ergibt sich: tD

M 0;2 g 5 D D h g cI 1;2 Ah  0;6 A 18

Es dauert 16 Minuten und 40 Sekunden.

9 Lösungen zu den Aufgaben

b) Skizze des Behälters:

1.3 c 2a

d a e

r

b

1. Schritt: Gesucht b W c bzw. d W e.

h

2. Schritt: b W c D d W e. Untersuchung von b W c mit dem Strahlensatz. 3. Schritt: b W c D a W 2a D 1 W 2. 4. Schritt: Jede der beiden Strecken wird im Verhältnis 1 W 2 geteilt.

Volumen des Behälters:

Überprüfung z. B. durch Nachmessen an unterschiedlichen Beispielen. 1.4

a) Bezeichnungen gemäß folgender Skizze:

2 5 2 5 D  r 2h C  r 3 , h D  r 3 r2 3 q 15  1;3365. Da h > 0, gilt r < 3 2 Oberfläche des Behälters: O D  r.3r C 2h/ 5 10 C  r 2 mit 0 < r < O.r/ D r 3 10 10 0 O .r/ D  2 C  r r 3 r 3 3 O 0 .r/ D 0 , r D  r ! p 3 3 3 D 5 9  15;23 O 

P

4

y

x

Damit gilt: yD

p 16  x 2

p U.x/ D 2x C 2 16  x 2 mit x 2 Œ0I 4 2x U 0 .x/ D 2  p 16  x 2 p 0 U .x/ D 0 , x D 2 2  p  p U.0/ D U.4/ D 8 und U 2 2 D 8 2 > 8 Der des  pUmfang p  P 2 2j2 2 .

Rechtecks

ist

maximal

für

r 3

15 2

O.r/ ! 1 für r ! 0 und r 3 15 O.r/ ! 16;835 für r ! 2 q Minimale Oberfläche für r D 3 3  0;985. q In diesem Fall ist h D r5 2  23 r D 3 3 D r. Höhe und Radius des optimalen Behälters sind gleich groß, und zwar ungefähr 0;985 m.

1

11

Systematisch vorgehen

Kombinatorik mit Geometrie (Rolf Dürr). Foto: Rolf Dürr

Inhaltsverzeichnis 2.1

Selbsteinschätzung – 12

2.2

Zerlegen von komplexen Sachverhalten – 12

2.3

Fallunterscheidung – 13

2.4

Sorgfalt und Genauigkeit – 14 Aufgaben – 14 Lösungen zu den Aufgaben – 15

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Dürrschnabel et al., So viel Mathe muss sein!, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8_2

2

12

2

Kapitel 2  Systematisch vorgehen

Viele mathematische Probleme erscheinen auf den ersten Blick sehr komplex und oft unlösbar zu sein. Eine wichtige Hilfe ist es dann, wenn man die Lösungsschritte sorgfältig plant, strukturiert durchführt und anschließend den Lösungsweg, selbst wenn er nicht zum Erfolg geführt hat, reflektiert.

? Ich kann sorgfältig und gewissenhaft arbeiten. 7 Abschn. 2.4

Test 2.3 Gegeben sind die Funktionen f1 , f2 und f3 durch

In diesem Kapitel machen Sie sich solche Vorgehensweisen an Beispielen bewusst und verbessern so Ihre eigene Arbeitsweise.

f1 .x/ D 1;

und

f3 .x/ D

1 : x

Bestimmen Sie die Funktionen g1 , g2 und g3 mit

! Achtung Systematisch vorgehen zu können, gehört zu den allgemeinen mathematischen Kompetenzen. In einigen Beispielen und Übungsaufgaben dieses Kapitels werden auch Rechentechniken und Lösungsverfahren verwendet, die in den späteren Kapiteln eingehend behandelt werden. Bitte folgen Sie in solchen Fällen den Verweisen im Text.

2.1

f2 .x/ D x 2

g1 .x/ D f2 .f3 .x/ C f1 .x// g2 .x/ D f3 .f2 .x/ C f1 .x// g3 .x/ D f1 .f2 .f3 .x///:

vErgebnisse der Testaufgaben 2.1 etwa 11;642 m2 (7 Abschn. 11.2)

Selbsteinschätzung

2.2 a D 0 oder a 

? Ich kann komplexe Sachverhalte in einfachere Probleme

2.2

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Figur.

3m

5m

? Ich kann Fallunterscheidungen vornehmen. 7 Abschn. 2.3

Test 2.2 Für welche Werte von a hat die Funktion f mit

genau eine Extremstelle?

1 , x 2 C1

g3 .x/ D 1

Zerlegen von komplexen Sachverhalten

1 Beispiel 2.1 Im Jahre 1830 fuhr das erste Donaudampfschiff die 280 km lange Strecke von Wien nach Budapest. Flussabwärts dauerte die Fahrt 14 Stunden und 15 Minuten. Für die Rückfahrt benötigte das Schiff 48 Stunden und 20 Minuten. Da bei dieser Jungfernfahrt dieselben Fahrgäste sowohl flussabwärts als auch flussaufwärts an Bord waren, kann man davon ausgehen, dass die Eigengeschwindigkeit des Schiffes in beiden Richtungen gleich war. Wie groß war sie?

3m

f .x/ D x 4  x 3 C ax 2 C 1

(7 Abschn. 13.7)

 2 2.3 g1 .x/ D x1 C 1 , g2 .x/ D (7 Abschn. 12.4)

zerlegen. 7 Abschn. 2.2

Test 2.1

9 32

Die Eigengeschwindigkeit v und die Fließgeschwindigkeit der Donau vF überlagern sich, sodass für die Geschwindigkeit flussabwärts gilt: vT D v C vF 280 km D  19;6 km/h 14;25 h und flussaufwärts vB D v  vF 280 km   5;8 km/h: 48;33 h Durch Addition der beiden Geschwindigkeiten erhält man vT C vB D 2v: Die Eigengeschwindigkeit v des Schiffes ist also der Mittelwert von vT und vB .

13 2.3  Fallunterscheidung

v Ergebnis

1. Fall: Genau ein gemeinsamer Punkt – g ist parallel zur

v  12;7 km/h.

1 Beispiel 2.2 Berechnen Sie ohne ein elektronisches Hilfsmittel die Lösungen der Gleichung x 3 C x 2  2x  2 D 0:

Durch Faktorisieren des Terms (7 Abschn. 9.5) zerlegt man diese Gleichung in zwei einfachere: x 3 C x 2  2x  2 D 0 ,

x 2 .x C 1/  2.x C 1/ D 0

,

.x 2  2/.x C 1/ D 0

,

x 2  2 D 0 oder x C 1 D 0

v Ergebnis p x1 D

2.3

2,

y-Achse, oder die Steigung von g ist kleiner als 0 oder größer als die von t1 , aber kleiner als die von t2 . 2. Fall: Genau zwei gemeinsame Punkte – g ist die xAchse oder eine der beiden Tangenten t1 bzw. t2 . Der zweite gemeinsame Punkt von t2 und K ist im ersten Quadranten. 3. Fall: Genau drei gemeinsame Punkte – Die Steigung von g ist kleiner als die von t1 , aber größer als 0, oder sie ist größer als die von t2 . Bei der ersten Möglichkeit liegen die drei Schnittpunkte von g und K alle im ersten Quadranten. Bei der zweiten Möglichkeit liegen ein Schnittpunkt im ersten und zwei Schnittpunkte im dritten Quadranten. Berechnung der Steigungen von t1 und t2 – Die Gleichung der Tangente an K im Punkt .ajf .a// ist (7 Abschn. 13.3) y D f 0 .a/.x  a/ C f .a/:

p x2 D  2,

x3 D 1.

P liegt auf der Tangente, also 0 D f 0 .a/.2  a/ C f .a/:

Fallunterscheidung

1 Beispiel 2.3 Die Abbildung zeigt den Graph K der Funktion f mit f .x/ D 1 x.x  4/2 . 4

Wegen f 0 .x/ D 14 .x  4/2 C 12 x.x  4/ D 14 .x  4/.3x  4/ ist f 0 .a/ D 14 .a  4/.3a  4/. Man erhält 0D

y

1 1 .a  4/.3a  4/.2  a/ C a.a  4/2 4 4

und vereinfacht

K

1 0 D  .a  4/.a2 C 3a  4/: 2

1 P . 2j0/

1

x

4

Die Lösungen dieser Gleichung sind a1 D 4;

Durch den Punkt P .2j0/ wird eine Gerade g gezeichnet. Wie muss die Steigung von g gewählt werden, damit g mit K genau einen/genau zwei/genau drei gemeinsame Punkte besitzt?

In dieser Aufgabe sind drei Fälle genannt, die untersucht werden sollen. Mit einer Skizze lassen sie sich veranschaulichen. Die beiden Geraden t1 und t2 sowie die x-Achse sind Tangenten an K (7 Abschn. 13.3). y P . 2j0/

K

10

t1 1

t2

4

x

a2 D 1;

a3 D 4:

Die gesuchten Steigungen sind: f 0 .4/ D 0 3 f 0 .1/ D 4 f 0 .4/ D 32

.x-Achse/ .t1 / .t2 /

vErgebnis Genau ein gemeinsamer Punkt, wenn g die Gerade mit x D 2 ist oder für ihre Steigung m gilt: m < 0 oder 34 < m < 32. Genau zwei gemeinsame Punkte, wenn m D 0 oder m D 34 oder m D 32. Genau drei gemeinsame Punkte, wenn für m gilt: 0 < m < 34 oder m > 32.

2

14

2.4

2

Kapitel 2  Systematisch vorgehen

Sorgfalt und Genauigkeit

Beim Rechnen mit elektronischen Hilfsmitteln ist der Grad der Genauigkeit sehr hoch, wenn man Zwischenergebnisse speichert und mit den gespeicherten Werten weiterrechnet. Wenn das nicht möglich ist, sind viele Berechnungen umso genauer, je weniger man mit gerundeten Dezimalzahlen rechnet und stattdessen die exakten mathematischen Terme, z. B. Brüche, Wurzeln oder Logarithmen verwendet. Beim Rechnen mit gerundeten Dezimalzahlen muss man beachten, dass die Genauigkeit eines Rechenschritts nicht größer werden kann, sondern höchstens p gleichp groß bleibt. So würde man z. B. das Ergebnis von 12  3 mit den gerundeten Dezimalzahlen 3;46  1;73 nicht als 5;9858 angeben, sondern gerundet als 5;99. Dieser Wert entspricht besser dem exakten Ergebnis 6, das man mit der folgenden Umformung erhält (7 Abschn. 8.3): p p p p 12  3 D 2 3  3 D 6

Mit wie vielen Stellen von  muss man rechnen, um das Volumen einer Kugel mit höchstens 1 % Abweichung vom tatsächlichen Volumen zu berechnen?

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel mit dem Radius r lautet

also 3 30 30 < < 32  31 und damit  3  3  3 3 30 30 < < ; 32  31 also 

30 31

3 1

^

Erklären Sie den folgenden Lösungsweg, und beschreiben Sie mit Worten, welches Problem gelöst wurde.

x 2  1‹

f 0 .x/ < 0 für alle x < 1

? Ich kann mathematische Sachverhalte mit Worten erklävErgebnisse der Testaufgaben

ren. 7 Abschn. 4.3

4.1 M D Œ2I 1 [ Œ1I 2 4.2 Der Graph von f schneidet die y-Achse im Punkt .0j1/. Die Tangente in diesem Punkt hat die Steigung 1. Außerdem hat der Graph einen Tiefpunkt in .2j0/.

Test 4.2 Von einer Funktion f ist bekannt: f .0/ D 1

^

f 0 .0/ D 1 ^

f .2/ D 0

^

f 0 .2/ D 0

^

f 00 .2/ D 1

Beschreiben Sie die Eigenschaften des Graphen von f in Worten.

4.3 Die Skizze zeigt eine Funktion, für die zwar gilt Rb a f .x/ dx > 0, für die aber nicht für alle x 2 ŒaI b gilt f .x/ > 0. y

b

? Ich kann mathematische Behauptungen mithilfe unterschiedlicher Darstellungsformen, z. B. Worten, Skizzen, Tabellen, Berechnungen, begründen oder widerlegen. 7 Abschn. 4.4

Test 4.3

a

x

4.4 Die Summe der Flächeninhalte der roten Quadrate a2 C b 2 ist kleiner als der Flächeninhalt des Gesamtquadrats .a C b/2 . b

ab

b2

a

a2

ab

a

b

Behauptung: Für eine Polynomfunktion f gilt Zb f .x/ dx > 0

,

f .x/ > 0 für alle x 2 ŒaI b:

a

Begründen Sie, dass diese Behauptung falsch ist.

25 4.2  Fachsprache und Fachsymbolik

4.5 Die Ableitung einer Funktion f ist gegeben. Die Nullstelle der Ableitung wird berechnet. Da e x > 0, genügt es, x C 1 D 0 zu lösen. Anschließend wird das Vorzeichen links und rechts von dieser Nullstelle untersucht. Da ein Vorzeichenwechsel von minus nach plus vorliegt, besitzt die Funktion an der Stelle 1 ein relatives Minimum.

Die Differenz BnA enthält alle Elemente, die in B, aber nicht in A enthalten sind, d. h. x 2 BnA

,

x 2 B ^ x … A:

Im Beispiel ist BnA D f1I 0I 1I 2I 3I 4I 6I 8g:

4.2

Fachsprache und Fachsymbolik vErgebnis

Im Laufe des Studiums werden Sie viele neue mathematische Fachbegriffe und Symbole kennenlernen. Einige sind Ihnen bereits bekannt oder sollten Ihnen bekannt sein. In diesem Abschnitt können Sie überprüfen, ob Sie mit den elementaren Fachbegriffen und Fachsymbolen im Umgang mit Mengen und mit Gleichungen vertraut sind. 1 Beispiel 4.1 Gegeben sind die Mengen A D f5I 7I 9I 11g

A \ B D f5I 7I 9g A [ B D f1I 0I 1I 2I 3I 4I 5I 6I 7I 8I 9I 11g BnA D f1I 0I 1I 2I 3I 4I 6I 8g

Wenn A Teilmenge einer Grundmenge M ist, also A  M , z. B. A  Z, dann gilt: Das Komplement AN enthält alle Elemente von M , die nicht zu A gehören, d. h. x 2 AN

und  ˚ B D n 2 Z j .n  4/2  25 ^ .n C 4/2  9 :

,

x 62 A:

Besonders häufig werden Ihnen Teilmengen der Menge der reellen Zahlen begegnen, die man als Intervalle schreiben kann, z. B.

Bestimmen Sie die Mengen A \ B;

A[B

sowie

BnA:

fx 2 R j  3  x < 5g D Œ3I 5Œ; fx 2 R j x < 3 _ x  5g D RnŒ3I 5Œ:

Das Symbol ^ ist das logische UND und bedeutet „sowohl1 Beispiel 4.2 . . . als auch“. B enthält daher alle ganzen Zahlen, die beide Geben Sie die Definitions- und die Wertemengen der folUngleichungen in der beschreibenden Darstellung von B genden Funktionen f1 , f2 und f3 an. Verwenden Sie, wenn erfüllen (7 Abschn. 10.3). In aufzählender Schreibweise ist möglich, die Intervallschreibweise (7 Abschn. 12.2). also p B D f1I 0I 1I 2I 3I 4I 5I 6I 7I 8I 9g: Der Durchschnitt oder die Schnittmenge A \ B enthält alle Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind, d. h. x 2A\B

,

x 2 A ^ x 2 B:

f1 .x/ D 2  x p f2 .x/ D x 2  4

f3 .x/ D f2 .x/  f1 .x/

f1 ist nur definiert, wenn der Term unter der Wurzel nicht negativ ist, also D1 D fx 2 R j x  0g D Œ0I 1Œ:

Im Beispiel ist Da die Wurzel nicht negativ, aber beliebig groß werden kann, ist f1 .x/  2, also

A \ B D f5I 7I 9g: Die Vereinigung A [ B enthält alle Elemente, die in A oder in B oder in beiden Mengen enthalten sind, also x 2A[B

,

x 2 A _ x 2 B:

Das Symbol _ ist das logische ODER. Im Beispiel ist A [ B D f1I 0I 1I 2I : : : I 9I 11g:

W1 D fy 2 R j y  2g D  1I 2: Mit derselben Überlegung erhält man für f2 x2  4  0

,

x  2 _ x  2;

also D2 D fx 2 R j x  2 _ x  2g D Rn  2I 2Œ

4

Kapitel 4  Mathematisch kommunizieren und argumentieren

26

Bezeichnung

Symbol

Bedeutung

Diagramm

Durchschnitt bzw. Schnittmenge

A\B

x 2A\B , x 2A ^ x 2B

A

B

Vereinigung bzw. Vereinigungsmenge

A[B

x 2A[B , x 2A _ x 2B

A

B

Differenz

AnB

x 2 AnB , x 2 A ^ x 62 B

A

B

Komplement bzgl. M

AN

x 2 AN , x 2 M ^ x 62 A

A

x2A ) x2B

A

4

Teilmenge

A

B

B

. Abb. 4.1 Elementare Mengenoperationen

und

4.3

W2 D fy 2 R j y  0g D Œ0I 1Œ: Für die Definitionsmenge von f3 gilt D3 D D1 \ D2 , also D3 D fx 2 R j x  2g D Œ2I 1Œ: f3 ist eine wachsende und nach oben unbeschränkte Funktion, daher ist hp h p W3 D fy 2 R j y  2  2g D 2  2I 1 : v Ergebnis D1 D Œ0I 1Œ

W1 D  1I 2

D2 D Rn  2I 2Œ

W2 D Œ0I 1Œ hp h W3 D 2  2I 1

D3 D Œ2I 1Œ

Eine Übersicht über die wichtigsten Zahlenmengen finden Sie im Online-Material.

Sachverhalte mit Worten erklären

1 Beispiel 4.3 Beschreiben Sie die Elemente der folgenden Mengen in Worten und interpretieren Sie sie geometrisch: A D f.xI y/ 2 Z  Z j x C y D 3g B D f.xI y/ 2 Z  Z j jxj  5 ^ jyj  3g

Z  Z ist die Produktmenge von Z mit sich selbst, also die Menge der geordneten Paare .xI y/, deren Komponenten x und y ganze Zahlen sind, d. h. Z  Z Df: : : .1I 1/I .1I 0/I .1I 1/I .1I 2/I : : : .0I 1/I .0I 0/I .0I 1/I .0I 2/I : : : .1I 1/I .1I 0/I .1I 1/I .1I 2/I : : :g: Geometrisch interpretiert sind das die Gitterpunkte in der .xI y/-Ebene. vErgebnis A ist die Menge der ganzzahligen Paare .xI y/, deren Komponenten die Summe 3 haben. Geometrisch interpretiert enthält A die Gitterpunkte der .xI y/-Ebene, die auf der Geraden mit der Gleichung y D 3  x liegen. Die Elemente der Menge B sind die ganzzahligen Paare, deren erste Komponente Werte von 5 bis 5

4

27 4.5  Zusammenhänge visualisieren

annehmen kann und deren zweite Komponente Werte von 3 bis 3 annehmen kann. Geometrisch interpretiert enthält B die Gitterpunkte der .xI y/-Ebene, die im Innern oder auf dem Rand des Rechtecks mit den Eckpunkten .5j3/, .5j3/, .5j  3/ und .5j  3/ liegen.

4.4

Behauptungen begründen oder widerlegen

1 Beispiel 4.4 Von einer Polynomfunktion f und deren Ableitungen f 0 und f 00 sind folgende Werte bekannt: 2

1

f 0 .x/

0

11;25

f 00 .x/

60

x f .x/

0

4;25

1

2

4;25

16

0 0

sind die Eigenschaften eines lokalen Maximums erfüllt, da f 0 .2/ D 0 und f 00 .2/ D 60. An der Stelle 0 kann wegen f 0 .0/ D 0 eine lokale Extremstelle vorliegen, falls f 0 .x/ dort einen Vorzeichenwechsel hat, oder es liegt wegen f 00 .0/ D 0 eine Wendestelle vor, wenn f 00 .x/ dort einen Vorzeichenwechsel hat (7 Abschn. 13.6). 4 Die vierte Aussage ist richtig. Aus der Eigenschaft von Polynomfunktionen, dass zwischen zwei Nullstellen mindestens eine Stelle liegen muss, an der ihre Ableitung 0 ist, und da f 0 .1/ < 0 ist, kann man folgern, dass im Intervall Œ2I 0 ein lokales Minimum existiert. Die folgende Skizze für den Graphen von f 0 macht diesen Zusammenhang deutlich (7 Abschn. 13.4 und 13.6). y

0 15

. 2j0/ .0j0/ x

Begründen Sie bzw. widerlegen Sie die folgenden Aussagen: 4 f hat höchstens den Grad 3. 4 f hat im Intervall   1I 1Œ eine Nullstelle. 4 f hat im Intervall Œ2;1I 2;1 genau drei lokale Extremstellen. 4 f 0 hat im Intervall   2I 0Œ ein lokales Minimum.

. 1

11;25/

Zur Begründung einer Aussage werden aus bekannten Eigenschaften und mithilfe von Regeln Schlüsse gezogen, aus 4.5 Zusammenhänge visualisieren denen die Behauptung hervorgeht. Für die Widerlegung kann ein Gegenbeispiel angeführt oder aus den bekannten Eigenschaften Schlüsse gezogen1 Beispiel 4.5 Stellen Sie die Lösung der Ungleichung grafisch an der werden, die im Widerspruch zur Behauptung stehen. 4 Die erste Aussage ist falsch. Wenn f den Grad 3 hät- Zahlengeraden dar, und geben Sie die Lösungsmenge an te, dann hätte f 0 den Grad 2 und damit höchstens zwei (7 Abschn. 9.7 und 7 Abschn. 10.4). Nullstellen. In der Tabelle sind aber drei Nullstellen von j2x  5j > 4 f 0 angegeben (7 Abschn. 13.4). 4 Die zweite Aussage trifft zu, denn für alle Polynomfunktionen gilt, dass zwischen zwei Stellen, an denen Um den Betrag geometrisch zu interpretieren, d. h. als Abdie Funktionswerte unterschiedliche Vorzeichen haben, stand zu einem Punkt auf der Zahlengeraden, formen wir immer eine Nullstelle liegt. Die folgende Abbildung zunächst um: macht deutlich, dass die beiden Punkte .1j4;25/ und .1j  4;25/ des Graphen von f durch eine durchgehenj2x  5j > 4 de Linie verbunden sind (7 Beispiel 10.6). , 2jx  2;5j > 4 y , jx  2;5j > 2 . 1j4;25/

vErgebnis .1

x 4;25/

2 2

4 Die dritte Aussage kann weder eindeutig begründet noch widerlegt werden. Lediglich an der Stelle 2

1

0

1

2 2 2;5 3

4

5

Die Lösungsmenge lautet L D RnŒ0;5I 4;5.

6

7

x

Kapitel 4  Mathematisch kommunizieren und argumentieren

28

1 Beispiel 4.6

4.6

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion einer Funktion f . Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von f.

Lösungswege nachvollziehbar präsentieren

1 Beispiel 4.7 Frau Stein geht einkaufen. Dabei gibt sie die Hälfte ihres Geldes aus. Nach dem Einkauf hat sie noch so viel Cent, wie sie vor dem Einkauf Euro hatte, und halb so viel Euro, wie sie vorher Cent besaß. Es liegen die folgenden Notizen zur Lösung vor:

y 2

4 1

x; y 2 f0I 1I : : : I 99g x

0 5

4

3

2

1

0

1

2

0;5y C 0;01x D 0;5.x C 0;01y/ , 0;495y D 0;49x

1

, yD 2

98 x 99

x; y 2 N ^ y < 100 ^ y D

Durch die Aufgabenstellung ist die Form der Visualisierung im Koordinatensystem vorgegeben. Aus dem Graphen von f 0 kann man folgende Eigenschaften von f ablesen (7 Abschn. 13.6): 4 f hat bei etwa 1;8 ein Maximum, da f 0 an dieser Stelle eine Nullstelle hat und das Vorzeichen von f 0 .x/ von plus nach minus wechselt, d. h., links von dieser Stelle wächst f monoton, rechts davon fällt f monoton. 4 f hat bei etwa 1;2 ein Minimum, da f 0 dort eine Nullstelle hat und das Vorzeichen von f 0 .x/ von minus nach plus wechselt, d. h., links von dieser Stelle fällt f monoton, rechts davon wächst f monoton. 4 f hat bei 0 eine Wendestelle, da f 0 dort ein Minimum besitzt. Die Tangente im Wendepunkt des Graphen von f hat die Steigung 1. 4 Links vom Wendepunkt ist der Graph von f rechtsgekrümmt, da dort die Werte von f 0 monoton fallen. Rechts vom Wendepunkt ist der Graph von f linksgekrümmt, da dort die Werte von f 0 monoton steigen.

Ein möglicher Graph ist:

Präsentieren Sie die Lösung ausführlich.

Bei einer Präsentation werden Sie zunächst die Aufgabe vorstellen und eventuell mit eigenen Worten erläutern. Dabei sollten die Zuhörer aufmerksam und neugierig auf die Lösung werden. Bevor Sie die Gleichung aufstellen, führen Sie die beiden im Lösungsweg verwendeten Variablen ein. Offensichtlich sind x die Anzahl an Euro und y die Anzahl an Cent vor dem Einkauf. Mit diesen Variablen können Sie die beiden Geldbeträge mathematisch ausdrücken. Im nächsten Schritt stellen Sie die Gleichung auf. Dazu führen Sie den Vergleich im Text auf, der die beiden Geldbeträge vor und nach dem Einkauf beschreibt. Dieser Vergleich muss durch eine mathematische Gleichung ausgedrückt werden, aus deren Lösung sich die beiden Geldbeträge ergeben. Vor dem Einkauf:

Nach dem Einkauf: Gnach D 0;5y C 0;01x

y 2

Da sowohl x als auch y für die Anzahl an Cent auftreten, können x und y nur Werte von 0 bis 99 annehmen. Der Vergleich im Text wird in mathematischer Schreibweise ausgedrückt:

1

x

0 4

, x D 99 ^ y D 98

Gvor D x C 0;01y

v Ergebnis

5

98 x 99

3

2

1

0

1

2

1

2

Eine Verschiebung dieses Graphen in y-Richtung liefert weitere Lösungen.

Gnach D 0;5  Gvor Sie setzen die obigen Terme in diese Gleichung ein und erhalten die erste Gleichung des in der Aufgabe angegebenen Lösungsweges: 0;5y C 0;01x D 0;5.x C 0;01y/ Sie erklären die beschriebenen Äquivalenzumformungen (7 Abschn. 9.2), das Ausmultiplizieren der Klammer und

29 Lösungen zu den Aufgaben

die Addition von .0;01x  0;005y/ auf beiden Seiten der Gleichung, die auf die nächste Gleichung des Lösungsweges führen: 0;495y D 0;49x

y C 10 D 8x

Gvor D 99 C 0;01  98 D 99;98 und Gnach D 0;5  98 C 0;01  99 D 49;99: Mit einer Zusammenfassung beenden Sie die Präsentation des Lösungsweges: Frau Stein besaß vor dem Einkauf 99;98  und danach die Hälfte davon, nämlich 49;99 . Es bleibt Ihnen überlassen, ob Sie anschließend eine kurze persönliche Einschätzung der Aufgabe oder der Lösung abgeben wollen.

Aufgaben

x C 10 D 0;5y

a) Eine Zahl, die durch 3 teilbar ist, ist auch durch 6 teilbar. b) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade. c) Die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen ist durch 3 teilbar. d) Eine Zahl, die ungerade und keine Primzahl ist, hat mindestens einen echten ungeraden Teiler. 4.7 Ein Fallschirmspringer springt in 2 000 m Höhe über dem Boden aus dem Flugzeug. Zunächst fällt er etwa 40 Sekunden lang mit ungeöffnetem Fallschirm bis auf 500 m Höhe über dem Boden. Während dieser ersten Phase steigt seine Geschwindigkeit zunächst schnell an und erreicht innerhalb der ersten 4 Sekunden knapp 110 km/h. Sie wächst weiter, nähert sich aber wegen des zunehmenden Luftwiderstandes immer mehr dem Wert 148 km/h an, der nach 12 Sekunden praktisch erreicht ist. Nach 40 Sekunden wird der Fallschirm geöffnet. Dadurch reduziert sich die Geschwindigkeit innerhalb von etwa 3 Sekunden auf 18 km/h. Mit dieser Geschwindigkeit landet der Fallschirmspringer auf dem Boden. Stellen Sie den beschriebenen Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit grafisch dar. Skizzieren Sie den Zusammenhang zwischen der Zeit und der Höhe. 4.8 Bestimmen Sie die Fläche der abgebildeten Figur und

4.1 Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

präsentieren Sie den Lösungsweg.

4.2 A ist die Menge der natürlichen Zahlen, die durch 3 teilbar sind, und B die Menge der natürlichen Zahlen, die durch 5 teilbar sind. Geben Sie die folgenden Mengen in aufzählender Form an. a) A \ B b) AnB c) AN 4.3 Was ist an der folgenden Schreibweise falsch?

,

f .2/ ! 4

4.4 f1 und f2 sind im Intervall ŒaI b integrierbare Funktionen. R b Erklären Sie mit Worten. Rb Rb a) a .f1 .x/ C f2 .x// dx D a f1 .x/ dx C a f2 .x/ dx b) f1 .x/ < f2 .x/ für alle x 2 ŒaI b Rb Rb ) a f1 .x/ dx < a f2 .x/ dx

10 c

m

Œ1I 5  f1I 2I 3I 4I 5g f1I 5g  Œ1I 5 f1I 5g  N f1; 5g  N Œ1I 5  N f1I 5g  R f1; 5g  R

f .x/ D x 2

^

4.6 Begründen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.

Die letzte Gleichung entsteht nach der Division durch 0;49 0;495 und der Erweiterung des Bruchs 0;495 mit 200. 98 Die Gleichung y D 99 x hat unendlich viele reellwertige Lösungen. An dieser Stelle erinnern Sie die Zuhörer an die Bedeutung der beiden Variablen und die Einschränkung ihrer Grundmenge. Die einzigen Zahlen aus der Menge f0I 1I : : : I 99g, die die Gleichung erfüllen, sind x D 99 und y D 98. Am Ende Ihrer Präsentation greifen Sie wieder die Bedeutung der Variablen auf und übertragen das Ergebnis in den Kontext der Aufgabe:

a) b) c) d) e) f) g)

4.5 Beschreiben Sie mit Worten.

M

120ı

Lösungen zu den Aufgaben 4.1

a) b) c) d) e) f) g)

Falsch, das Intervall enthält nicht nur natürliche Zahlen Richtig Richtig Falsch, 1;5 ist keine natürliche Zahl Falsch, das Intervall enthält nicht nur natürliche Zahlen Richtig Richtig

4

30

Kapitel 4  Mathematisch kommunizieren und argumentieren

Zusammenhang zwischen Zeit und Höhe

4.2

a) A \ B D f0I 15I 30I 45I : : :g b) AnB D f3I 6I 9I 12I 18I 21I 24I 27I 33I : : :g c) AN D f1I 2I 4I 5I 7I 8I 10I 11I : : :g

4

h in m 2 000

4.3 Der Doppelpfeil ist falsch, da aus der rechten Seite nicht die linke folgt. Richtig wäre der Implikationspfeil ). Die Schreibweise f .2/ ! 4 ist falsch. Richtig wäre f .2/ D 4.

1 500

1 000

500

4.4

a) Das bestimmte Integral der Summe zweier Funktionen über dem Intervall ŒaI b kann man als Summe der Integrale der beiden Funktionen über dem Intervall berechnen. b) Wenn die Funktionswerte einer Funktion f1 im Intervall ŒaI b stets kleiner sind als die einer zweiten Funktion f2 , dann ist auch das Integral von f1 über dem Intervall ŒaI b kleiner als das von f2 . 4.5 Gesucht ist ein Zahlenpaar .xI y/, das folgende beiden

20

40

60

M

v in km/h 150

120

t in s

P

4.6

4.7 Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit

100

4.8 Aus der Zeichnung kann man entnehmen, dass die abgebildete Figur durch zwei Kreisbögen mit folgenden Eigenschaften begrenzt ist: Der linke Bogen gehört zu einem Kreis mit Mittelpunkt M und Radius 10 cm, der rechte Bogen enthält M und überspannt ein gleichschenkliges Sehnendreieck mit dem Winkel 120ı an der Spitze.

Eigenschaften erfüllt: 4 Wenn man 10 zu y addiert, erhält man den 8-fachen Wert von x. 4 Wenn man 10 zu x addiert, erhält man den halben Wert von y.

a) Falsch. Gegenbeispiel: 9 ist durch 3, aber nicht durch 6 teilbar. b) Richtig. Wenn das Produkt gerade wäre, wäre es durch 2 teilbar. Dann müsste mindestens einer der beiden Faktoren durch 2 teilbar sein, was ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre. c) Richtig. Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer das Dreifache der mittleren Zahl. d) Richtig. Eine Zahl, die keine Primzahl ist, hat mindestens zwei echte Teiler. Da sie ungerade ist, müssen die Teiler ungerade sein (siehe Aussage b)).

80

60ı

M2

Q In der Zeichnung ist M2 der Mittelpunkt des rechten Kreises. Die Strecken PM2 und MM2 sind Radien dieses Kreises, und daher ist das Dreieck PMM2 gleichschenklig mit dem Basiswinkel 60ı , also gleichseitig. Daraus folgt, dass auch der rechte Kreis den Radius 10 cm hat und die aus dem linken Kreis ausgeschnittene Fläche doppelt so groß ist wie das 120ı -Kreissegment. Die Fläche des ausgeschnittenen Kreissegments A ist die Differenz des Kreissektors As minus die Fläche des Dreiecks Ad : A D As  Ad

100

Der Kreissektor macht ein Drittel des Kreises aus, also 50

As D 20

40

60

80

100

120

t in s

1 2  r  104;72 cm2 : 3

Das Dreieck PMQ hat die Grundseite r  r , also 2 Ad D

p 3 und die Höhe

1 p r r2 p 3  43;30 cm2 : r 3 D 2 2 4

31 Lösungen zu den Aufgaben

Die Fläche des Kreissegments beträgt damit A  104;72 cm2  43;30 cm2 D 61;42 cm2 : Die gesuchte Fläche AF der Figur ist die Kreisfläche minus 2 mal die Fläche des Kreissegments: 

 1 2 r2 p AF D  r  2  r  3 3 4 1 r2 p D r2 C 3  191;32 cm2 3 2 2

Ein Vergleich der Flächen zeigt, dass die Figur etwas größer ist als der halbe Kreis. Dies wird durch die berechneten Werte bestätigt.

4

33

Elementare Algebra

Schloss Chenonceau. Foto: Andrea Erben

Inhaltsverzeichnis Kapitel 5

Grundrechenarten – 35

Kapitel 6

Bruchrechnen – 43

Kapitel 7

Prozentrechnung – 47

Kapitel 8

Potenzen und Wurzeln – 53

Kapitel 9

Gleichungen mit einer Variablen – 57

Kapitel 10

Ungleichungen mit einer Variablen – 65

II

35

Grundrechenarten

Schloss Sanssouci, Potsdam. Foto: Marc Zimmermann

Inhaltsverzeichnis 5.1

Selbsteinschätzung – 36

5.2

Größenordnungen – 36

5.3

Regeln zur Kommaverschiebung – 37

5.4

Rechengesetze – 38

5.5

Binomische Formeln – 39

5.6

Proportionalität und Dreisatz – 39 Aufgaben – 40 Lösungen zu den Aufgaben – 40

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Dürrschnabel et al., So viel Mathe muss sein!, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8_5

5

36

Kapitel 5  Grundrechenarten

Die Basis mathematischer Handlungen, insbesondere des Lösens von Aufgaben, bilden die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie die zugehörigen Rechenregeln. Oft reicht es zunächst aus, eine grobe Vorstellung über die Größenordnung von Ergebnissen zu haben. Gerade das setzt aber die Kenntnis der Grundrechenregeln und deren sichere und korrekte Anwendung voraus. In diesem Kapitel werden diese Grundlagen wiederholt und in Beispielaufgaben angewandt.

5

5.1

? Ich verstehe das Konzept der Proportionalität und kann mit dem Dreisatz rechnen. 7 Abschn. 5.6

Test 5.5 Eine Maschine benötigt 3 Stunden, um 200 Produkte herzustellen. a) Wie lange benötigt die Maschine für die Herstellung von 750 Produkten? b) Wie lange benötigen 5 Maschinen für die Produktion der 200 Produkte?

Selbsteinschätzung

? Ich kann überschlägig mit Zahlen rechnen. 7 Abschn. 5.2

vErgebnisse der Testaufgaben 5.1 Zwischen 5 und 6

Test 5.1

5.2 7 836;1

Zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt . 73 /2 ?

5.3 6t 2  2st 2 D 2t 2 .3  s/ 5.4 t 2  9

? Ich kenne die Regeln zur Kommaverschiebung. 7 Abschn. 5.3

Test 5.2 Schreiben Sie ohne Zehnerpotenz: 7;8361  103 .

5.5 a) 11 h 15 min, b) 36 min

5.2

Größenordnungen

1 Beispiel 5.1 ? Ich kann Terme mithilfe von Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz zielgerichtet umformen. 7 Abschn. 5.4

Test 5.3 Vereinfachen Sie und nennen Sie jeweils die angewendeten Rechengesetze: 2t 2  .s C 3/  t  .4s  t/

? Ich kann die drei binomischen Formeln für Termumformungen mit beliebigen Variablen anwenden. 7 Abschn. 5.5

Zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt  5 3 3 ?

Zuerst muss die dritte Potenz der Bruchzahl berechnet werden, dies ergibt  125 . Anschließend muss man sich den 27 Bruch genau anschauen, zunächst ohne das negative Vorzeichen. Hier erkennt man, dass der Zähler größer als der Nenner des Bruchs ist, somit ist der Wert des Bruchs größer als eins. Zuletzt muss geschaut werden, welches Vielfache des Nenners gerade noch kleiner ist als der Zähler: 4  27 D 108. Es ist 5  27 D 135 größer als der Zähler, d. h., der Wert des Bruchs liegt zwischen 4 und 5. Da aber noch ein Minus vor dem Bruch steht, ergibt sich  3 5 < 4: 5 <  3 vErgebnis

 3 Die Zahl  53 liegt zwischen 5 und 4.

Test 5.4 Vereinfachen Sie: .t 2  6t C 9/.9 C 6t C t 2 / .t 2  9/

Eine solche Abschätzung benötigt man häufig, um zu überprüfen, ob Ergebnisse in einer sinnvollen Größenordnung liegen können oder nicht. Auch benötigt man oft bei Berechnungen als Ergebnis gar nicht den exakten Wert, sondern ein Ergebnis bezogen auf den Kontext der Aufgabe. (7 Abschn. 3.3 und 3.4).

37 5.3  Regeln zur Kommaverschiebung

1 Beispiel 5.2 Ein Produkt benötigt zur Herstellung 0;75 kg eines Rohstoffs. Es stehen 4;6 kg des Rohstoffs zur Verfügung. Wie viele Produkte können hergestellt werden?

b) 98;42 W 103 D 98 420. Der Exponent der Zehnerpotenz ist bei der Division negativ. Entsprechend verschiebt sich das Komma hier um 3 Stellen nach rechts. Da nur 2 Stellen nach dem Komma vorhanden sind, werden fehlende Stellen mit Nullen aufgefüllt.

Es wird die Anzahl an Produkten gesucht, die man aus 4;6 kg des Rohstoffs herstellen kann. Man kann sie einerseits exakt ausrechnen, indem man die vorhandenen vErgebnis Rohstoffmengen durch die für ein Produkt benötigte Roha) 2;562  100 D 256;2 stoffmenge dividiert (4;6 W 0;75). Es reicht hier aber aus, überschlägig zu rechnen, welches Vielfache von 0;75 noch kleiner als 4;6 ist. Das genaue Ergebnis ist eine Zahl zwi-1 Beispiel 5.4 schen 6 und 7. Da aber nicht 6 Produkte und ein Anteil Berechnen Sie: des Produktes produziert werden können, ist hier nur eine a) 20 000  0;0001 ganzzahlige Lösung möglich und sinnvoll. v Ergebnis Es können 6 Produkte hergestellt werden.

5.3

Regeln zur Kommaverschiebung

b) 98;42 W 103 D 98 420

b) 123 W 3 000

a) 20 000  0;0001 D 20 000  104 D 2. Bei der Multiplikation mit einer Zehnerpotenz mit negativem Exponenten wird das Komma um den Betrag des Exponenten nach links verschoben, also um 4 Stellen.   b) 123 W 3 000 D 123 W 3  103 D .123 W 3/ W 103 D 41 W 103 D 0;041. Dividiert man eine Zahl durch eine Zehnerpotenz mit positivem Exponenten, so wird beim Ergebnis das Komma um die Anzahl an Stellen nach links verschoben, die im Exponenten stehen. Wahlweise kann man auch die Division auf eine Multiplikation zurückführen, dann ist der Exponent negativ: 41 W 103 D 41  103 D 0;041.

Sehr große oder sehr kleine Zahlen werden in Fachwissenschaften oft als Kommazahlen im Zahlenbereich von 1 bis 10 oder manchmal auch zwischen 0 und 1 mit den entsprechenden Zehnerpotenzen dargestellt, z. B. 1;6  1019 . Dies nennt man die wissenschaftliche Schreibweise. Zum einen erspart man sich dadurch viel Schreibarbeit (z. B. von Nullen nach dem Komma), zum anderen können Überschlagsrechnungen einfacher durchgeführt werden. Durch die Kommaverschiebung können Rechnungen oft vereinfacht werden. Entsprechend werden Ergebnisse häufig als vErgebnis Produkt einer Zehnerpotenz und Zahlen im Zahlenraum zwischen 1 und 10 angegeben. a) 20 000  0;0001 D 2 b) 123 W 3 000 D 0;041 Für die Kommaverschiebung gibt es im Dezimalsystem nur zwei Regeln. Das Komma verschiebt sich immer dann,1 Beispiel 5.5 wenn mit einer Potenz von 10 multipliziert oder dividiert Schreiben Sie die Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise: wird. Zum einen verschiebt sich das Komma nach rechts, wenn mit einer Zehnerpotenz mit einem Exponenten gröa) 40 265 622 b) 0;000 000 384 9 ßer als 0 multipliziert oder durch eine Zehnerpotenz mit einem Exponenten kleiner als 0 dividiert wird. Wenn bei 7 der Multiplikation der Exponent der Zehnerpotenz kleiner a) Die Zahl ist größer als 10 , d. h., das Komma muss um 7 Stellen nach links verschoben werden, damit vor dem als 0 oder bei der Division der Exponent größer als 0 ist, Komma eine Zahl zwischen 1 und 10 steht. Entspredann wird das Komma nach links verschoben. chend muss die Zahl mit einer Zehnerpotenz und dem Exponenten 7 multipliziert werden. 1 Beispiel 5.3 b) Um die gegebene Zahl in wissenschaftlicher SchreibBerechnen Sie: weise zu schreiben, muss das Komma um insgesamt 7 Stellen nach rechts verschoben werden. Die Zahl 3;849 a) 2;562  100 b) 98;42 W 103 muss dann mit der Zehnerpotenz 107 multipliziert werden. a) 2;562  100 D 2;562  102 D 256;2. Der Exponent der Zehnerpotenz ist größer als 0, ent- vErgebnis sprechend muss man das Komma um die Anzahl an Stellen nach rechts verschieben, die im Exponent steht, a) 40 265 622 D 4;026 562 2  107 also 2 Stellen. b) 0;000 000 384 9 D 3;849  107

5

38

Kapitel 5  Grundrechenarten

Oft werden bei Zahlenangaben mit Einheiten Präfixe verwendet, die die Zehnerpotenzen als Faktor ersetzen (z. B. Kilometer oder Milligramm). Die Bedeutung der einzelnen Präfixe und die Umrechnung finden Sie im OnlineMaterial.

5.4

5

und Rechenoperationen in der Klammer vertauscht, d. h., aus einem Additionszeichen wird ein Subtraktionszeichen und umgekehrt. Mathematisch gesehen wendet man hier auch das Distributivgesetz an, da man die Terme in den Klammern mit .1/ multipliziert:  .4a  8c/  .5a C 15/ D .4a C 8c/ C .5a  15/

Rechengesetze

Beim Rechnen in den reellen Zahlen gelten folgende Regeln: Kommutativgesetze

aCb D bCa

j minus in Klammer

Da der Term nur noch aus Summen besteht, können die Klammern weggelassen werden. Das hierfür anzuwendende Gesetz ist das Assoziativgesetz. Es besagt, dass bei Summentermen (und Produkttermen) die Klammern beliebig gesetzt oder auch weggelassen werden können. .4a C 8c/ C .5a  15/ j Assoziativgesetz D  4a C 8c C .5a/ C .15/

ab D ba

Um den Term möglichst weit zusammenzufassen, müssen alle Terme mit gleichen Variablen zusammengefasst werden. In unserem Beispiel enthalten der erste Summand .4a/ und der dritte Summand .5a/ jeweils die Variable a. Um diese zu verknüpfen, bedarf es des Kommutativgesetzes.

Assoziativgesetze

a C .b C c/ D .a C b/ C c D a C b C c a  .b  c/ D .a  b/  c D a  b  c

 4a C 8c C .5a/ C .15/ j Kommutativgesetz D  4a C .5a/ C 8c C .15/ j zusammenfassen D  9a C 8c  15

Distributivgesetze

a  .b C c/ D a  b C a  c

Die beiden letzten Schritte werden meistens gemeinsam in einem Schritt durchgeführt.

.b C c/  a D b  a C c  a

vErgebnis 1 Beispiel 5.6

.a  2c/  4  5  .a C 3/ D 9a C 8c  15

Vereinfachen Sie so weit wie möglich:

Eine größere Herausforderung stellt die Multiplikation bzw. Division zweier Summen- oder Differenzenterme dar, d. h. das Ausmultiplizieren zweier Klammerausdrücke.

.a  2c/  4  5  .a C 3/

! Achtung Um Terme wie diesen zu vereinfachen, gilt als übergeordnete Regel immer Punkt vor Strich, d. h., Produkte (und Quotienten) müssen vorrangig behandelt werden, sofern Klammern dies nicht unterbinden.

1 Beispiel 5.7

Insofern darf man in diesem Beispiel nicht als Erstes die Differenz .4  5/ berechnen, sondern es müssen zunächst die Produkte mit den Klammern aufgelöst werden. Dafür wird hier zunächst das Distributivgesetz benötigt.  .a  2c/  4  5  .a C 3/ j zweimal Distributivgesetz D  .4a  8c/  .5a C 15/ Anschließend müssen die Klammern aufgelöst werden. Da ein Minus vor den Klammern steht, werden die Vorzeichen

Stellen Sie folgenden Term ohne Klammern dar: .3f C 4s/  .2t  d /

Beim Auflösen der Klammern wendet man das Distributivgesetz zweimal hintereinander an: .3f C 4s/  .2t  d / D .3f C 4s/  2t  .3f C 4s/  d

j Distributivges. j zweimal Distributivges.

D 3f  2t C 4s  2t  .3f  d C 4s  d / j minus in Klammer D 3f  2t C 4s  2t  3f  d  4s  d D 6f t C 8st  3f d  4sd

j vereinfachen

39 5.6  Proportionalität und Dreisatz

Die einzelnen Summanden enthalten alle unterschiedliche1 Beispiel 5.8 Variablen, sodass hier nicht weiter zusammengefasst wer- Vereinfachen Sie folgenden Term: den kann. Enthalten die einzelnen Summanden wie in den 2f 2 C 16f h  32h2 vorigen Beispielen gleiche Variablen mit gleichen Graden, 2f 2 C 32h2 kann man mithilfe des Kommutativgesetzes die einzelnen Terme umstellen und weiter zusammenfassen. Zunächst kann man hier nichts weiter vereinfachen, da zum Kürzen des Bruchs sowohl im Nenner als auch im Zähler v Ergebnis Produkte stehen müssen. Mithilfe der binomischen For.3f C 4s/  .2t  d / D 8st C 6f t  4sd  3f d meln kann man den Zähler und den Nenner entsprechend faktorisieren: 5.5

2f 2 C 16f h  32h2 2f 2 C 32h2   2 2 f  8f h C 16h2 D 2.f 2  16h2 /   2 f  8f h C 16h2 D .f 2  16h2 /

Binomische Formeln

Binomische Formeln sind Spezialfälle des Ausmultiplizierens zweier Klammerausdrücke. Dabei ist entscheidend, dass in den beiden Klammern jeweils eine Summe oder Differenz von Termen mit den gleichen beiden Gliedern (Binome) enthalten sind. Man kann hier zwischen drei möglichen Kombinationen der Binome unterscheiden.

D Binomische Formeln

.f  4h/2 f 2  16h2

.f  4h/2 .f C 4h/.f  4h/ .f  4h/ D .f C 4h/

Erste binomische Formel:

D

.a C b/2 D a2 C 2ab C b 2

j Distributivgesetz j Kürzen mit .2/ j zweite binom. Formel im Zähler j dritte binom. Formel im Nenner j Kürzen mit .f  4h/

Zweite binomische Formel:

Bei dem letzten Schritt ist es wichtig, dass vor dem Kürzen geprüft wird, ob der zu kürzende Term nicht null ergibt (f  4h ¤ 0), vgl. dazu auch 7 Abschn. 6.2. Da der ursprüngliche Term nur für f  4h ¤ 0 und f C 4h ¤ 0 definiert ist, kann hier also entsprechend gekürzt werden.

.a  b/2 D a2  2ab C b 2 Dritte binomische Formel: .a C b/  .a  b/ D a2  b 2

vErgebnis Für f  4h ¤ 0 und f C 4h ¤ 0 gilt 2f 2 C 16f h  32h2 f  4h : D 2 2 2f C 32h f C 4h

Beispielhaft soll die dritte binomische Formel durch Rechnung bestätigt werden. Durch das Anwenden des Distributiv- und Kommutativgesetzes ergibt sich: .a C b/  .a  b/ D .a C b/  a  .a C b/  b   D a2 C ba  ab C b 2

j Distributivgesetz j Distributivgesetz

D a2 C ba  ab  b 2

j Kommutativgesetz

D a C ab  ab  b 2

D a2  b 2

2

j minus in Klammer

5.6

Proportionalität und Dreisatz

Von Proportionalität spricht man, wenn zwei veränderliche Größen immer im gleichen Verhältnis zueinander stehen. Eine Verdopplung der einen Größe führt dann zu einer Verdopplung der zweiten Größe. Man kann über den sogenannten Dreisatz die jeweiligen Größen berechnen.

1 Beispiel 5.9 Die Anordnung der beiden Klammern in der dritten bi- An einem Fahrrad dreht sich das Rad im dritten Gang sienomischen Formel spielt keine Rolle, d. h., es ist egal, ob benmal, wenn das Pedal vier Umdrehungen gemacht hat. Wie zuerst die Summe oder die Differenz in den Klammern viele Umdrehungen hat das Rad hinter sich, wenn das Pedal steht. Mit dem Kommutativgesetz kann die Reihenfolge insgesamt 100-mal getreten wurde? vertauscht werden: Die Umdrehungen von Pedal und Rad sind proportional zu.a  b/  .a C b/ D .a C b/  .a  b/ D a2  b 2 einander. Der Proportionalitätsfaktor von Radumdrehung

5

Kapitel 5  Grundrechenarten

40

(RU) zu Pedalumdrehung (PU) ist hier 74 , d. h., bei einer Pedalumdrehung wird das Rad um 74 einer Umdrehung bewegt. Man kann die Radumdrehungen bei 100 Pedalumdrehungen berechnen: 4 PU entsprechen 7 RU ,

1 PU entspricht

,

100 PU entsprechen

7 4

RU 7 4

700 RU 4 D 175 RU

RU  100 D

5 v Ergebnis

Das Rad dreht sich bei 100 Pedalumdrehungen insgesamt 175-mal.

c) 479 W 104 d) 0;0001  20 000 5.3 Schreiben Sie ohne Klammern und vereinfachen Sie

so weit wie möglich. a) g  .a C b/ C .c  f / b) .u  v/  .x C y/ c) .6x/2 d) .2h  3f /2  2 e) g 2  h f) .x C y/2  .x  y/2 g) .m C 2n/3 h) 12s  .s  3/2 i) .2a C 3  5b/2 5.4 Lösen Sie folgende Aufgaben.

1 Beispiel 5.10 Innerhalb einer Stunde werden bei einem Produktionsschritt 400 Teile von 5 Personen hergestellt. In welcher Zeit können die Teile hergestellt werden, wenn 9 Personen daran arbeiten?

Im Gegensatz zum vorangegangenen Beispiel handelt es sich hier nicht um eine Proportionalität. Da der Einsatz von doppelt so vielen Personen nur die Hälfte der Arbeitszeit erfordert, spricht man hier von einer Antiproportionalität. Hierbei verhalten sich die Veränderungen der beiden Größen immer gegensätzlich. Auch hier kann man das Prinzip des Dreisatzes anwenden. Man muss jedoch darauf achten, dass jeweils die entgegengesetzte Rechnung ausgeführt werden muss.

,

5 Personen benötigen 1 Stunde 1 Person benötigt 5 Stunden

,

9 Personen benötigen

5 9

Stunden  33;3 Minuten

v Ergebnis 9 Personen benötigen für die 400 Teile ca. 33 Minuten.

Aufgaben 5.1 Zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen Zah-

len liegt die jeweilige Zahl? Berechnen Sie das Ergebnis überschlägig. p a) p 190 b)  500 c)  117  52 d) 42 17 p 3 e)  5 Schreiben Sie die Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise a) 98 538 430 b) 837 321;09  107 5.2

a) In einer Metzgerei kosten 100 g einer Wurstsorte 1;95 . Die Bedienung kommt beim Abwiegen auf 110 g. Was muss man dafür bezahlen? b) Ein Aufzug erreicht eine Höhe von 100 m in 23 Sekunden. Wie lange benötigt der Aufzug vom ersten in den obersten Stock in 272 m Höhe? c) In ein 350 l fassendes leeres Gefäß fließt 0,03 l Wasser pro Minute. Wann ist das Gefäß zu drei Viertel voll? d) Ein Reinigungstrupp mit 4 Personen benötigt für die Reinigung von 73 Hotelzimmern 5 Stunden und 20 Minuten. Wie lange benötigen 7 Personen für die Hotelzimmer? e) 30 Eisenbahnwaggons können 230 t Bauschutt transportieren. Es stehen 5 Güterzüge mit jeweils 18 Waggons zur Verfügung. Reichen diese 5 Züge, um 622 t Bauschutt einer Großbaustelle zu beseitigen?

Lösungen zu den Aufgaben 5.1

p a) 13 < 190 p < 14 b) 23 <  500 < 22 c) 24 <  117 < 23  42 2 5 d) 6 < 17 < 7  p 3 e) 12 <  5 < 11 5.2

a) b) c) d)

98 538 430 D 9;8538430  107 837 321;09  107 D 8;3732109  102 479 W 104 D 4;79  102 0;0001  20 000 D 2

5.3

a) b) c) d) e)

g  .a C b/ C .c  f / D g  a  b C c  f .u  v/  .x C y/ D ux C uy  vx  vy .6x/2 D 36x 2 .2h  3f /2 D 4h2  12hf C 9f 2  2 2 g  h D g 4  2g 2 h C h2

41 Lösungen zu den Aufgaben

f) g) h) i)

.x C y/2  .x  y/2 D 4xy .m C 2n/3 D m3 C 6m2 n C 12mn2 C 8n3 12s  .s  3/2 D s 2  6s  9 .2a C 3  5b/2 D 4a2 C 9 C 25b 2 C 12a  20ab  30b

5.4

a) Die 110 g Wurst kosten 2;14  (es wird zugunsten des Kunden abgerundet). b) Der Aufzug benötigt ca. 63 Sekunden.

c) Das Gefäß ist nach 8 750 Minuten (D 145 Stunden und 50 Minuten) zu drei Viertel voll. d) Hier liegt eine Antiproportionalität vor. Die 7 Personen benötigen für die 73 Hotelzimmer ca. 3 Stunden. e) Die 5 Züge reichen, wobei die letzte Fahrt nicht voll beladen ist. Zunächst muss mittels Dreisatz berechnet werden, wie viel Bauschutt ein Zug mit 18 Waggons transportieren kann. Anschließend kann man (überschlägig) berechnen, wie viele Züge benötigt werden.

5

43

Bruchrechnen

Giant’s Causeway, Nordirland. Foto: Rüdiger Lunde

Inhaltsverzeichnis 6.1

Selbsteinschätzung – 44

6.2

Brüche kürzen und erweitern – 44

6.3

Brüche addieren und subtrahieren – 45

6.4

Brüche multiplizieren und dividieren – 45 Aufgaben – 46 Lösungen zu den Aufgaben – 46

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Dürrschnabel et al., So viel Mathe muss sein!, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8_6

6

Kapitel 6  Bruchrechnen

44

null werden darf, da die Division durch null nicht definiert ist. Brüche kann man kürzen und erweitern, ohne dass man den Wert des Bruchs verändert. Dies geschieht, indem man den Zähler und den Nenner des Bruchs mit demselben, von 0 verschiedenen Term dividiert oder multipliziert. Ziel des Kürzens oder Erweiterns ist es, z. B. Brüche zu vereinfachen, zu addieren, zu subtrahieren oder zu vergleichen.

Das Rechnen mit Brüchen bereitet vielen Schülerinnen und Schülern sowie Studierenden große Schwierigkeiten. In diesem Kapitel wird insbesondere auf das Rechnen mit Brüchen sowie die zugehörigen Rechengesetze eingegangen.

6.1

Selbsteinschätzung

? Ich kann Brüche kürzen und erweitern. 7 Abschn. 6.2

1 Beispiel 6.1 Welcher Bruch ist größer,

Ordnen Sie die Brüche nach ihrer Größe: 10 16

7 12

3 7

? Ich kann Brüche addieren und subtrahieren. 7 Abschn. 6.3

Test 6.2 Berechnen Sie: 7

oder

8 ? 11

Würde man beide Brüche mit dem Taschenrechner (oder mithilfe der schriftlichen Division) als Dezimalzahl berechnen, könnte man anhand der berechneten Kommazahlen deren Größe vergleichen. Jedoch sind in den meisten Fällen diese Angaben nur Näherungswerte der angegebenen Brüche, manchmal unterscheiden sich die entsprechenden Dezimalzahlen erst in einer Nachkommastelle, die z. B. ein Taschenrechner nicht mehr anzeigt. Exakt und ohne Taschenrechner geht es, indem man durch Kürzen oder Erweitern die Brüche auf denselben Nenner, den sogenannten Hauptnenner, bringt. Anschließend vergleicht man die Brüche anhand ihres Zählers.

Test 6.1

6

7 9

7 7  11 77 D D 9 9  11 99 8 89 72 D D 11 11  9 99

9 11  2 4

Da 77 > 72 ist, gilt also

? Ich kann Brüche multiplizieren und dividieren. 7 Abschn. 6.4

77 99

>

72 99

und damit auch

7 9

>

8 . 11

vErgebnis 8 7 > 9 11

Test 6.3 Vereinfachen Sie:

Informationen zur Bestimmung des Hauptnenners finden Sie im Online-Material.

3a a 2a  W b 2b 3b

1 Beispiel 6.2 v Ergebnisse der Testaufgaben 6.1

3 7


1 ist ln. 54 / > 0, und es gibt keine Lösung.

v Ergebnis

q   Gleichung a) besitzt die zwei Lösungen ˙  ln 34 , Gleichung b) gar keine.

9.5

Zum Faktorisieren besonders einfacher quadratischer Gleichungen finden Sie im Online-Material den Satz von Vieta.

Faktorisieren

1 Beispiel 9.6 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung x  x D 0: 4

2

Das Ausklammern eines gemeinsamen Faktors (hier x 2 ) ist eine wichtige Technik zum Lösen von Gleichungen: x4  x2 D 0

,

x 2 .x 2  1/ D 0

Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt). Im vorliegenden

Bestimmen Sie für a D 1 und a D 3 die Lösungsmenge L der Gleichung x DaC

p

x  1:

Direktes Quadrieren ist nicht zielführend, weil rechts die binomische Formel anzuwenden wäre (7 Abschn. 5.5). Das gemischte Glied enthielte dadurch nach wie vor eine Wurzel: p x 2 D a2 C 2a x  1 C .x  1/ a D 1: Vor dem Quadrieren wird die Wurzel isoliert. Beachten Sie, dass im Allgemeinen Quadrieren keine Äquivalenzumformung (,) ist. Aus der vorherigen Gleichung folgt ()) die nächste, aber nicht umgekehrt. Dies erfordert später eine Probe: p x D1C x 1 p j Quadrieren , x1D x1 )

.x  1/2 D x  1

, , , ,

.x  1/2  .x  1/ D 0 .x  1/Œ.x  1/  1 D 0 .x  1/.x  2/ D 0 x 2 f1I 2g

j Faktorisieren

Insgesamt ist damit gezeigt: p x D 1 C x  1 ) x 2 f1I 2g

9

Kapitel 9  Gleichungen mit einer Variablen

62

In Worten heißt dies, dass als Lösungen der Gleichung nur x1 D 1 und x2 D 2 infrage kommen. p Die nötige Probe in der Ausgangsgleichung x D 1 C x  1 zeigt, dass beide die vorgegebene Gleichung erfüllen. a D 3: Zunächst muss wieder die Wurzel isoliert werden: p x D3C x1 p , x3D x1 Eine Vorzeichenbetrachtung vor dem Quadrieren spart nun die Probe ein: Rechts steht immer etwas Positives ( 0), links genau für x  3. Wir halten fest, dass x  3 sein muss. Für diese x-Werte stimmen die Vorzeichen der beiden Seiten überein, und Quadrieren ist eine Äquivalenzumformung: p j Quadrieren x3D x1

9

3 4 2

17 12

1

C 34 01 12

2 3

1

vErgebnis Die beiden Lösungen sind x1 D  17 und x2 D 12

1 . 12

Eine formale Berechnung der Lösungen gelingt mit der eingangs erwähnten Fallunterscheidung oder mittels der p Beziehung a2 D jaj (7 Abschn. 2.3 und 8.3). !Achtung Nur für a  0 ist

p

a2 D a.

Alternative Lösungsmethoden finden Sie im OnlineMaterial.

,

.x  3/2 D x  1

,

x 2  6x C 9 D x  1

9.8

,

x 2  7x C 10 D 0

Bei der Substitution wird ein Teilterm so durch eine neue Variable ersetzt, dass die alte Variable in der Gleichung nicht mehr auftritt. Angestrebt wird damit eine leichter zu lösende Gleichung.

Substitution

Die quadratische Gleichung besitzt die beiden Lösungen p 7 ˙ 49  40 7˙3 D : x1;2 D 2 2 1 Beispiel 9.9 Von den möglichen Lösungen x1 D 2 und x2 D 5 erfüllt nur x2 die Bedingung x  3. v Ergebnis Die Lösungsmenge lautet L D f1I 2g

für a D 1;

L D f5g

für a D 3:

Lösen Sie folgende Gleichungen: a) 4e x D 1 C e 2x b) x 4  3x 2  10 D 0

a) Mit der Substitution u D e x ist u2 D .e x /2 D e 2x , also: 4u D 1 C u2 , ,

9.7

Einfache Betragsgleichungen

Das Lösen von Betragsgleichungen erfordert im Allgemeinen eine Fallunterscheidung (7 Abschn. 2.3). Einfacher geht es, wenn der Betrag als Abstand auf der Zahlengeraden interpretiert werden kann.

u2  4u C 1 D 0 p  p 1 4 ˙ 12 D 2 ˙ 3 uD 2

x Wegen u D ep , x D ln.u/ ergibt die Rücksubstitution x D ln.2 ˙ 3/. b) Mit der Substitution z D x 2 ist z 2 D .x 2 /2 D x 4 , also:

z 2  3z  10 D 0

,

zD

1 Beispiel 9.8 Lösen Sie die Gleichung ˇ ˇ ˇ ˇ ˇx C 2 ˇ D 3 : ˇ 3ˇ 4

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇx C 2 ˇ D ˇx  . 2 /ˇ beschreibt den Abstand von x und 3 3  23 auf der Zahlengeraden. x kann dabei links oder rechts von  23 liegen. Es gibt also die beiden Lösungen 2 3 2  4 ˙ 3  3 8 ˙ 9 xD ˙ D D : 3 4 34 12

3˙

p 49 3˙7 D 2 2

Für z haben wir damit zwei Lösungen z1 D 2, z2 D 5. Rücksubstitution liefert die Gleichungen x 2 D z1 D 2 und x 2 D z2 D 5. Erstere hat keine Lösung. vErgebnis Es gibt jeweils zwei Lösungen: a) x1;2 D ln.2 ˙

p

3/

p b) x1;2 D ˙ 5

63 Lösungen zu den Aufgaben

Aufgaben 9.1 Lösen Sie die Gleichungen, und benennen Sie die je-

weils verwendeten Umformungen. a) 5x  .8x  2/ D 4 C .4 C 3x/ b) 4.2u  7/ D 3u  5.2  u/ c) e 3t 1 D 5 d)  ln.s 2C 1/ D 1 p p e) 2 D 0;125 9.2 Lösen Sie die Gleichungen.

a) b) c) d) e)

x 3 D 4x 2 .x C 2/2 D x.x  4/ 3 x C 13 D x  12  .x  7/ 4 x 4  13x 2 C 36 D 0 x 10 C 3x 5  10 D 0

9.9 Eine Softwarefirma kauft für die Kaffeeküche einen

Vorrat an Kaffeebohnen im Wert von 312 . Nach einer Preiserhöhung um 1  pro Kilo bekommen die Informatiker für denselben Betrag 2 kg Kaffeebohnen weniger. Wie hoch war der ursprüngliche Preis?

Lösungen zu den Aufgaben 9.1

a) Die einzige Lösung ist x D 1: 5x  .8x  2/ D 4 C .4 C 3x/ ,  3x C 2 D 8 C 3x ,  6 D 6x

j Termumform. j C 3x  8 j W6

b) Es gibt keine Lösung: 9.3 Bestimmen Sie die Lösungsmengen.

a) b) c) d) e)

x 2 C 3x  4 D 0 x 2 C 3x C 4 D 0 x 2  4x C 2 D 0 2x 2  4x C 2 D 0 6x 2  4x C 2 D 0

9.4 Wie viele Lösungen gibt es?

a) b) c) d) e)

e x  4e x D 0 e x C 4e x D 4 e x C 2e x D 3 e 2x C e x D 0 e 2x  e x D 2

9.5 Wiepviele Lösungen gibt es?

a) b) c) d)

x C p 30  x D 0 x p 30  x D 0 jxj C p 30  x D 0 jxj  30  x D 0

4.2u  7/ D 3u  5.2  u/ , 8u  28 D 8u  10 , 0 D 18

j Termumform. j  8u C 28

c) Die eindeutige Lösung ist t D 13 .1 C ln.5//: e 3t 1 D 5 , 3t  1 D ln.5/ , 3t D 1 C ln.5/ 1 , t D  .1 C ln.5// 3

j ln j C1 j W3

p d) Die beiden Lösungen sind s D ˙ e  1: ln.s 2 C 1/ D 1 , s2 C 1 D e ,s De1 2

j e^ j 1 p j

9.6 Geben Sie die Lösungsmenge an.

a) jx  3j D 12  13 b) jx C 2j D 16  15 c) jx  3j D jx C 2j 9.7 Lösen Sie die Gleichungen.

a) b) c) d) e) f) g)

x e 2x p e D 2 2 y  3 C 10 D 2 2  3nC1 D 162 a  ln.a C 1/  ln.a C 1/ D 0 14 C 2e 2t  16e t D 0 2p  j3x  2j Dp 5 2 3x D3 2x

e) Die eindeutige Lösung ist p D 6: p p 2 D 0;125 p , p  ln. 2/ D ln.0;125/ ln.0;125/ p ,p D ln. 2/

chini. Am nächsten Tag verkauft er 135 Zucchini zu einem um 10 Cent niedrigeren Preis und erzielt dieselbe Einnahme. Welchen Preis hat er am ersten Tag genommen?

p j W ln. 2/ ¤ 0

p 1 Wegen 2 D 2 2 und 0;125 D 18 D 23 kann das vereinfacht werden. pD

9.8 Max verkauft für seine Eltern an einem Tag 120 Zuc-

j ln

ln.23 / 3 ln.2/  1 D 1 D 6 ln 2 2 2 ln.2/

9

64

Kapitel 9  Gleichungen mit einer Variablen

9.2

a) x 2 f0I 4g. Der entscheidende Schritt ist das Faktorisieren x 3  4x 2 D 0 , x 2  .x  4/ D 0. b) x D  12 c) x D 38 3 d) x 2 f3I 2I 2I 3g. Die Substitution u D x 2 ergibt die quadratische Gleichung u2  13u C 36 D 0 mit den beidenp Lösungen u1 D 4 und u2 D 9. p e) x 2 f 5 5I 5 2g. Die Substitution u D x 5 ergibt die quadratische Gleichung u2 C 3u  10 D 0 mit den beiden Lösungen u1 D p 5 und u2 D 2. Beachten Sie, dass die Schreibweise 5 5 nicht zulässig ist.

b) Keine Lösung. Weil Wurzeln stets  0 sind, steht links mindestens 10. Dies zeigt am schnellsten die Unlösbarkeit der Gleichung. Die aufwendige formale Lösung

, , ) ,

9.3

a) b) c) d) e)

9

f4I 1g ; p f2 ˙ 2g f1g f1I 13 g

9.4 Bei den ersten drei Teilaufgaben ist es sinnvoll, die Gleichung zuerst mit e x ¤ 0 zu multiplizieren. In allen Teilaufgaben führt die Substitution u D e x zum Ziel. Wegen u2 D .e x /2 D e 2x entsteht dadurch eine quadratische Gleichung. a) b) e) Eine Lösung (ln.2/) c) Zwei Lösungen (0 und ln.2/) d) Keine Lösung 9.5 Nach dem Isolieren der Wurzel und nachfolgendem

Quadrieren führen alle Teilaufgaben zur quadratischen Gleichung x 2 D 30  x mit den beiden Lösungen x1 D 6 und x2 D 5. Die nötige Probe entscheidet, welche davon auch Lösungen der Ausgangsgleichung sind: a) Eine Lösung (6) b) Eine Lösung (5) c) Keine Lösung d) Zwei Lösungen (6 und 5) 9.6 Entscheidend ist die Kenntnis, dass jx  aj den Ab-

stand x und a auf dem Zahlenstrahl angibt. ˚ der19Zahlen  a) 17 I . Der Abstand von x und 3 ist 16 . Damit ist x 6 6 gleich 3  16 oder 3 C 16 . 1 . Negative Abstänb) ;. Der Abstand von x und 2 ist  30 de sind nicht möglich. ˚  c) 12 . x hat von 3 den gleichen Abstand wie von 2. x liegt demnach genau in der Mitte zwischen den beiden Zahlen. 9.7

a) x D ln.2/. Die Substitution u D e x ergibt die quadratische Gleichung u2  u D 2 mit den Lösungen u1 D 1 und u2 D 2. Für u1 führt die Rücksubstitution zur unlösbaren Gleichung e x D 1, für u2 zu e x D 2.

c) d) e)

f)

g)

p 2 y  3 C 10 D 2 p 2 y  3 D 8 p y  3 D 4 y  3 D 16 y D 19

j  10 j W2 j Quadrieren j C3

erfordert wegen des Quadrierens noch eine Probe. Diese zeigt, dass y D 19 die Ausgangsgleichung nicht erfüllt. n D 3. Es ist 3nC1 D 81 D 92 D 34 . a 2 f0I 1g. Unmittelbares Faktorisieren liefert die Gleichung .a  1/ ln.a C 1/ D 0. t 2 f0I  ln.7/g. Die Substitution u D e t ergibt die quadratische Gleichung 2u2  16u C 14 D 0 mit den beiden Lösungen u1 D 1 und u2 D 7. x 2 f 16 I 32 g. Herausziehen von 3 > 0 aus dem Betrag liefert 6jx  23 j D 5. Der Abstand von x und 23 muss demzufolge 56 betragen. x D 65 . Da beide Seiten positiv sind, ist Quadrieren hier eine Äquivalenzumformung, wodurch die Probe entfällt.

9.8 90 Cent. Bezeichnet man den Preis in Cent einer Zuc-

chini am ersten Tag mit p, so kann die Aufgabenstellung als Gleichung 120p D 135.p  10/ dargestellt werden. 9.9 12 . Ist p der ursprüngliche Preis in Euro und m die dabei erhaltene Menge an Kaffee in kg, dann ist m p D 312 und .m2/ .p C1/ D 312. Die erste Gleichung ermöglicht die Ersetzung von m durch p in der zweiten:

 312  2 .p C 1/ D 312 p , .156  p/.p C 1/ D 156p 

j 

p 2

, 156p C 156  p 2  p D 156p , 156  p 2  p D 0 , p 2 C p  156 D 0 p 1 1 , p D  .1 ˙ 1 C 624/ D  .1 ˙ 25/ 2 2 Als Preis kommt offenbar nur die positive der beiden Lösungen infrage.

65

Ungleichungen mit einer Variablen

Schattenwurf von Matrjoschka-Puppen. Foto: Wolfgang Erben

Inhaltsverzeichnis 10.1

Selbsteinschätzung – 66

10.2

Lineare Ungleichungen – 66

10.3

Quadratische Ungleichungen – 67

10.4

Einfache Betragsungleichungen – 67

10.5

Ungleichungen mit Bruchtermen – 68 Aufgaben – 69 Lösungen zu den Aufgaben – 70

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Dürrschnabel et al., So viel Mathe muss sein!, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8_10

10

Kapitel 10  Ungleichungen mit einer Variablen

66

In diesem Kapitel wiederholen Sie verschiedene Methoden zur Lösung von Ungleichungen. Sie reflektieren Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Ungleichungen und Gleichungen. Am Ende des Kapitels können Sie die Eignung der möglichen Lösungsverfahren beurteilen. Unabdingbare Voraussetzung bei der Beschäftigung mit Ungleichungen sind Grundkenntnisse über Mengen von reellen Zahlen. Hierzu gehören vor allem die verschiedenen Intervalle und Vereinigungen hiervon (vgl. 7 Abschn. 4.2).

10.1

Selbsteinschätzung

? Ich kann lineare Ungleichungen lösen. 7 Abschn. 10.2

Test 10.1 Lösen Sie:

10

8  x > 2.x C 3/

? Ich kann quadratische Ungleichungen lösen. 7 Abschn. 10.3

Test 10.2 Für welche x 2 R ist 3x 2 C 12x > 15‹

? Ich kann einfache Betragsungleichungen lösen. 7 Abschn. 10.4

vErgebnisse der Testaufgaben 10.1 x
1 10.3 x 2 Œ1I 4 10.4 x 2 1I  23 Œ [ Œ1I 1Œ

10.2

Lineare Ungleichungen

Lineare Ungleichungen können wie lineare Gleichungen gelöst werden, solange – was immer möglich ist – bei Multiplikation und Division nur Zahlen > 0 verwendet werden. 1 Beispiel 10.1 Für welche x 2 R ist x  24  87  2x‹

Durch Addieren von 2x und 24 auf beiden Seiten der Ungleichung fasst man alle x enthaltenden Terme auf einer Seite und die Konstanten auf der anderen Seite der Ungleichung zusammen: ,

x  24  87  2x 3x  111

j C 24 C 2x

Rechts neben der Ungleichung wird wieder die nächste Äquivalenzumformung angegeben. Wichtig ist der Vermerk, dass durch eine positive Zahl dividiert wird. ,

3x  111 x  37

j W 3>0

vErgebnis Die Ungleichung ist für x  37 erfüllt.

Test 10.3 Lösen Sie:

Fehlerträchtig und damit ungeschickt wäre die folgende Alternative:

j2x  5j  3

, ? Ich kann Ungleichungen mit Bruchtermen lösen. 7 Abschn. 10.5

2x C 3  1: 3x C 2

j  x  87

Jetzt muss man die Ungleichung durch .3/ dividieren. Multiplikation oder Division mit negativen Zahlen führt zum Umdrehen des Ungleichheitszeichens, im vorliegenden Falle von  zu :

Test 10.4 Bestimmen Sie die Lösungsmenge von

x  24  87  2x  111  3x

,

 111  3x 37  x

j W .3/ < 0

Diese Fehlerquelle können Sie vermeiden, indem Sie das Addieren vorausschauend so vornehmen, dass der Faktor vor der Variablen positiv wird.

10

67 10.4  Einfache Betragsungleichungen

10.3

Quadratische Ungleichungen

Bei quadratischen Ungleichungen ist die grafische Veranschaulichung (Parabeln) hilfreich. Insbesondere die Kenntnis, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, hilft immer. 1 Beispiel 10.2

geöffnete Parabel beschreibt. Die Lösungsmenge wird begrenzt durch die Lösungen der quadratischen Gleichung 2x 2  2x  32 D 0: x1;2 D

2˙

p

4 C 12 2˙4 1 D D ˙1 4 4 2

An diesen Stellen  12 und 32 besteht Gleichheit. Weil  verlangt ist, gehören sie zur Lösungsmenge L dazu:

Für welche x ist

L D  1I  12  [ Œ 32 I 1Œ D Rn  12 I 32 Œ

x 2 < 3‹

Grafisch bedeutet die Ungleichung, dass die rot gezeichnete Normalparabel y D x 2 (echt) unterhalb der blau gezeichneten Geraden y D 3 liegt: y 3

Ein Bild bestätigt die Rechenergebnisse: y

y D 2x.x

3 2

yD

y D x2 yD3

x1

x2

x

Offenbar ist dies der Fall zwischen den beiden Stellen x1 und x2 , wo sich Parabel und Gerade schneiden. Dort ist x 2 D 3. Weil aber x 2 < 3 verlangt ist, gehören die Randpunkte nicht zur Lösungsmenge. v Ergebnis Die Ungleichung ist (genau) für

1 2

3 2

1/

3 2

x

b) Genügend weit außen ist die Ungleichung wegen der nach oben geöffneten Parabel wieder erfüllt. Die Grenzen des Bereichs sind diesmal p p 4 ˙ 16  20 4 ˙ 4 D . x1;2 D 2 2 Unter der Wurzel steht eine negative Zahl. Dies bedeutet, dass es keine Nullstellen gibt. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt sie ganz oberhalb der x-Achse. Die Ungleichung ist also für alle x 2 R erfüllt: L D R. Ein Bild verdeutlicht die Situation:

i p p h x 2  3I 3

y

y D x2

4x C 5

erfüllt.

1 Beispiel 10.3

1

Bestimmen Sie die Lösungsmenge L der Ungleichungen. a) 2x.x  1/ 

3 2

b) x 2  4x C 5 > 0

a) Wie bei quadratischen Gleichungen wird zunächst alles nach links gebracht: 3 2 3 2 2x  2x  2 3 2 2x  2x   0 2

x vErgebnis Die Lösungsmenge der Ungleichung L D   1I  12  [ Œ 32 I 1Œ, bei b) L D R.

ist

bei

a)

2x.x  1/ 

, ,

Für betragsmäßig große x ist diese Ungleichung sicher erfüllt, da der links stehende Term eine nach oben

10.4

Einfache Betragsungleichungen

Wie bei Betragsgleichungen (7 Abschn. 9.7) gelingt die Lösung von Betragsungleichungen in einfachen, aber für die Praxis besonders wichtigen Fällen durch die Interpretation des Betrags jx  aj als Abstand von x und a auf der Zahlengeraden.

Kapitel 10  Ungleichungen mit einer Variablen

68

Die Lösungsmenge L1 in Fall 1 ist L1 D 1I 1Œ\Œ2I 1Œ D Œ2I 1Œ.

1 Beispiel 10.4 Lösen Sie jx  3j < jx C 2j:

1 Gesucht sind diejenigen x-Werte, die auf der Zahlengeraden von 3 einen kleineren Abstand haben als von 2. In der Mitte zwischen 2 und 3, also bei m D 2C3 D 12 sind 2 die beiden Abstände gleich. Von m zu 3 hin (etwa x1 D 1 im Bild) und darüber hinaus (etwa x2 D 4 im Bild) ist der Abstand zu 3 kleiner als der zu 2.

2

0

1 2

x1

3

x2

v Ergebnis Die Ungleichung ist erfüllt für x >

10.5

10

1 . 2

Fall 2: x  1 < 0, also x < 1. Beim Multiplizieren wird das  zu .

, , ,

xC1  3 x1 x C 1  3x  3 4  2x 2  x

1

1

Bestimmen Sie die Lösungsmenge L von

2

Die Lösungsmenge ist

x¤1

Nun soll mit x  1 multipliziert werden. Das Vorzeichen dieses Ausdrucks ist aber nicht bekannt. Deshalb müssen zwei Fälle unterschieden werden: Fall 1: x  1 > 0, also x > 1. Beim Multiplizieren bleibt das  erhalten.

, ,

2

vErgebnis

Zunächst sollte der Definitionsbereich der Ungleichung geklärt werden: xC1  3; x1

j xC3 j W 2 >0

Nun müssen die beiden Fälle zusammengeführt werden. Es könnte (Fall 1) x 2 L1 oder (Fall 2) x 2 L2 zutreffen. Die Lösungsmenge L der Ungleichung ist demnach L D L1 [ L2 D   1I 1Œ [ Œ2I 1Œ. Von ganz R fehlt gerade das Intervall Œ1I 2Œ. Ebenfalls richtig wäre demnach die Angabe L D R n Œ1I 2Œ.

1 Beispiel 10.5 xC1  3: x1

j  .x  1/ < 0

Die Lösungsmenge L2 in Fall 2 ist L2 D   1I 1Œ \   1I 2 D   1I 1Œ.

Ungleichungen mit Bruchtermen

Gleichungen mit einem Bruchterm können durch Multiplikation mit dem Nenner, der ja nicht 0 sein kann, gelöst werden. Bei Ungleichungen ist aber das im Allgemeinen unbekannte Vorzeichen wichtig. Eine Möglichkeit, das Problem zu meistern, besteht in einer Fallunterscheidung (7 Abschn. 2.3).

2

xC1  3 x1 x C 1  3.x  1/ x C 1  3x  3

j  .x  1/ > 0

L D   1I 1Œ [ Œ2I 1Œ D R n Œ1I 2Œ:

Die Methode der Fallunterscheidung ist bei Bruchungleichungen recht gebräuchlich, aber in mehrerer Hinsicht lästig. Spätestens bei mehreren Brüchen wird sie kaum mehr beherrschbar. Zum Glück gibt es eine Alternative, die sogar so universell ist, dass sie für fast alle Ungleichungen verwendet werden kann. Das Vorgehen bei quadratischen Ungleichungen ist ein Spezialfall dieser Methode. Dabei wird zunächst die zugehörige Gleichung gelöst. Im nachstehenden Beispiel wird die Methode zunächst an einfacheren Beispielen gezeigt, bevor sie auf eine Bruchungleichung angewandt wird. Lehrreich ist dabei der durch den Bruch entstehende Unterschied.

1 Beispiel 10.6 Vorausschauend wird jetzt x C 3 addiert (und nicht 1  Bestimmen Sie die Lösungsmengen der Ungleichungen. 3x), damit der Faktor vor x positiv wird. a) x 3 C 1  0

, ,

4  2x 2 x

j W 2 >0

b) x.x 3 C 1/  0 x3 C 1 0 c) x

69 Aufgaben

a) Die zugehörige Gleichung lautet x C1D0

,

3

2

1

x D 1: 3

Hier ist der Graph der Funktion f mit f .x/ D x 3 hilfreich. y

y D x3

1 1 x

1 y

1

gc .2/ D

1

7 7 D >0 2 2 >0

gc . 12 / D

ga .2/ D 8 C 1 D 7 < 0 ga .0/ D 0 C 1 D 1 > 0

0

Aufgrund der Forderung  gehören die beiden Nullstellen zur Lösungsmenge Lb . Es ist Lb D Œ1I 0. 3 c) Die Funktion gc mit gc .x/ D x xC1 hat wie ga (siehe a)) die einzige Nullstelle x1 D 1. Sie ist aber bei x2 D 0 nicht definiert. An dieser Stelle kann ebenfalls das Vorzeichen wechseln. Es müssen wie in b) drei Stellen untersucht werden.

1

Die streng monoton wachsende Funktion f nimmt jeden Wert nur an einer Stelle an. Die einzige Lösung der Gleichung x 3 C 1 D 0 ist demnach x1 D 1. Ein Wechsel von < 0 zu > 0 (oder umgekehrt) kann bei überall definierten stetigen Funktionen nur an Nullstellen erfolgen, bei der Funktion ga mit ga .x/ D x 3 C 1 nur bei 1. Das Vorzeichen der Funktionswerte links und rechts von 1 wird durch Einsetzen eines beliebigen Wertes in jedem der beiden Bereiche ermittelt.

1 2

‚ …„ ƒ  18 C 1

0 „ ƒ‚ … 2.x C 3/2 10.3 Bestimmen Sie die Lösungsmengen.

a) .3  x/2 C x 2  0 b) .3  x/2 C x 2 > 4 c) .3  x/2 C x 2  92 10.4 Welche x 2 R erfüllen die Ungleichungen?

a) jx  2j < 3 b) j5  xj  7 c) jxj C jx  1j  1

10

Kapitel 10  Ungleichungen mit einer Variablen

70

10.5 Welche x erfüllen die Ungleichungen? a) 2x C 3  x 2 b) 2x xC 3  x x2 C3 c) 2x xC1  xC1 10.6 Gesucht ist jeweils eine quadratische Ungleichung

ax 2 C bx C c  0 (a ¤ 0) mit der vorgegebenen Lösungsmenge L. a) L D R b) L D ; c) L D f7g d) L D Œ0I 1

Lösungen zu den Aufgaben 10.1

10

a) x > 1 b) x  12 : Zweifache Anwendung der binomischen Formel ergibt x 2 C 4x C 4  x 2  6x C 9 und durch Subtraktion von x 2 auf beiden Seiten 4x C 4  6x C 9, also eine lineare Ungleichung. 10.2

p p

 6I 6 . Die binomischen Formeln führen zur Un2 2 3x 2 C12x

gleichungp

pC12  2x C12x C18, also x  6. b)  1I  6 [ 6I 1 . Die Ungleichung ist genau dort erfüllt, wo es die vorige nicht ist, also für x 2 R n p p

 6I 6 .

a)

10.3 Die linke Seite .3  x/2 C x 2 D 9  6x C x 2 C x 2 D

2x 2  6x C 9 beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel. a) ;. Für Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse y D 0 p 6˙ 3672 gelten. müsste x D 4 b) R. Für Schnittpunkte mit y Dp 4, also Nullstellen von gelten. 2x 2  6x C 5, müsste x D 6˙ 3640 4 ˚3 c) 2 . Für Schnittpunkte mit y D 92 , also Nullstellen von 2x 2  6x C 92 , gilt x D

p 6˙ 3636 4

D 32 .

10.4

a) x 2 1I 5Œ. Gesucht sind diejenigen x-Werte, deren Abstand von 2 auf der Zahlengeraden kleiner als 3 ist. b) x 2 1I 2 [ Œ12I 1Œ. Gesucht sind diejenigen xWerte, deren Abstand von 5 auf der Zahlengegeraden größer oder gleich 7 ist. c) x 2 Œ0I 1. Gesucht sind diejenigen x-Werte, deren Abstand auf der Zahlengeraden von 0 und 1 zusammen höchstens 1 beträgt. Für x 2 Œ0I 1 ist diese Summe genau gleich 1. Außerhalb ist bereits einer der Abstände größer als 1. 10.5

a) x 2 Œ1I 3. Die Ungleichung ist äquivalent zur Ungleichung x 2  2x  3  0. Sie ist erfüllt zwischen den Schnittpunkten der nach oben geöffneten Parabel y D x 2  2x  3 mit der x-Achse (inklusive der Schnittpunkte). b) x 2 1I 1 [ 0I 3. Für x > 0 ergibt die Multiplikation mit x die vorherige Ungleichung, also die Lösungen x 2 0I 3. Für x < 0 dreht sich bei der Multiplikation mit x das Ungleichheitszeichen um, was die Lösungen x 2 1I 1 ergibt. Für x D 0 ist die Ungleichung gar nicht definiert. c) x 2 1I 3 n f1g. Für x C 1 > 0 ergibt die Multiplikation mit x C 1 die Ungleichung aus Teilaufgabe a), also die Lösungen x 2 1I 3. Für x C 1 < 0 dreht sich bei der Multiplikation mit x C 1 das Ungleichheitszeichen um, was die Lösungen x 2 1I 1Œ ergibt. Für x C 1 D 0, also x D 1, ist die Ungleichung gar nicht definiert. 10.6 Beispiele für derartige Ungleichungen:

a) b) c) d)

x 2  0 x2 C 1  0 .x  7/2 D x 2  14x  49  0 x.x  1/ D x 2  x  0

71

Elementare Geometrie/Trigonometrie

Pont du Gard, Südfrankreich. Foto: Rüdiger Lunde

Inhaltsverzeichnis Kapitel 11

Elementare Geometrie – 73

III

73

Elementare Geometrie

Pyramide in Ammerbuch-Entringen (Lutz Ackermann). Foto: Andrea Falkenberg

Inhaltsverzeichnis 11.1

Selbsteinschätzung – 74

11.2

Eigenschaften ebener geometrischer Objekte – 76

11.3

Stufen- und Wechselwinkel an Parallelen – 77

11.4

Strahlensätze – 77

11.5

Winkelsummensatz – 78

11.6

Kongruente Dreiecke – 78

11.7

Satz des Pythagoras – 79

11.8

Flächeninhalt und Umfang von Kreisen und Vielecken – 79

11.9

Oberfläche und Volumen einfacher Körper – 81

11.10

Gradmaß und Bogenmaß – 82

11.11

Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck – 82

11.12

Sinus und Kosinus im Einheitskreis – 83 Aufgaben – 83 Lösungen zu den Aufgaben – 86

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Dürrschnabel et al., So viel Mathe muss sein!, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8_11

11

Kapitel 11  Elementare Geometrie

74

In diesem Kapitel wiederholen Sie die wichtigsten Sätze der Geometrie und die grundlegenden trigonometrischen Beziehungen, mit deren Hilfe Sie Strecken und Winkel berechnen können.

11.1

x

3;5

Selbsteinschätzung

y

4;2 ? Ich kann elementargeometrische Objekte anhand ihrer definierenden Eigenschaften identifizieren. 7 Abschn. 11.2

5;0

5;6

g

h

gkh

Test 11.1 Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a) Jedes Quadrat ist eine Raute. b) Es gibt Parallelogramme, die ein Rechteck sind. c) Es gibt Drachen, die ein Rechteck, aber kein Quadrat sind. d) Ein Trapez ist immer achsensymmetrisch. e) Es gibt achsensymmetrische Trapeze.

11

? Ich kann Winkel mithilfe der Sätze über Winkelsummen in Vielecken berechnen. 7 Abschn. 11.5

Test 11.4 In dem Drachen sind die Winkel ˛ D 110ı und  D 50ı bekannt. Berechnen Sie die Winkel ˇ und ".

? Ich kann Winkel mithilfe des Satzes über Stufen- und

ˇ

Wechselwinkel an Parallelen berechnen. 7 Abschn. 11.3

˛ Test 11.2

"

Berechnen Sie die Winkel ˛, ˇ,  und ı.

ı ˛

h

? Ich kann die Gleichheit von Strecken und Winkeln mithilfe

gkh

der Kongruenzsätze für Dreiecke nachweisen. 7 Abschn. 11.6

ˇ g

125ı

? Ich kann Strecken mithilfe der Strahlensätze berechnen.

Test 11.5 Bei einem Quadrat der Seitenlänge 5 cm werden auf den Seiten von allen 4 Ecken im Uhrzeigersinn jeweils Strecken der Länge 2 cm abgetragen. Beweisen Sie, dass die Endpunkte dieser vier Strecken ein Quadrat bilden.

7 Abschn. 11.4

? Ich kann Strecken mithilfe des Satzes von Pythagoras beTest 11.3 Berechnen Sie die Strecken x und y.

rechnen. 7 Abschn. 11.7

Test 11.6 In einem gleichseitigen Dreieck sind die Höhen 3 cm lang. Berechnen Sie die Seitenlänge des Dreiecks.

75 11.1  Selbsteinschätzung

? Ich kann Umfang und Flächeninhalt von Kreisen und einfachen Vielecken berechnen. 7 Abschn. 11.8

? Ich kann Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken interpretieren und damit fehlende Größen bestimmen. 7 Abschn. 11.11

Test 11.7 Berechnen Sie den Flächeninhalt und die Gesamtlänge des Rands der grau schattierten Figur, wenn die Durchmesser der beiden Kreise 12 cm bzw. 4 cm sind.

Test 11.10 Die südliche Fläche eines Hausdachs ist 5;85 m breit und um 57ı gegen die Horizontale geneigt. Die nördliche Dachfläche ist 7;10 m breit. Berechnen Sie die Höhe des Dachs sowie den Neigungswinkel der nördlichen Dachfläche.

? Ich kann Sinus und Kosinus als Koordinaten der Punkte des Einheitskreises identifizieren. 7 Abschn. 11.12

Test 11.11

? Ich kann Oberfläche und Volumen einfacher Körper (Pris-

Zeichnen Sie auf einem Einheitskreis alle Punkte mit der x-Koordinate  12 ein. Welche Winkel gehören zu diesen Punkten? Bestimmen Sie die zu diesen Winkeln gehörenden Sinuswerte.

ma, Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel) berechnen. 7 Abschn. 11.9

vErgebnisse der Testaufgaben 11.1 Richtig sind a), b) und e).

Test 11.8 a) Auf einen Drehzylinder mit Grundkreisradius 2 cm und Höhe 8 cm wird ein Kegel mit demselben Grundkreisradius und der Höhe 3 cm aufgesetzt. Berechnen Sie das Volumen des Gesamtkörpers. Wie groß ist der Radius einer Kugel mit demselben Volumen? b) Ein Prisma hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 8 cm und ist 5 cm hoch. Berechnen Sie seine Oberfläche.

11.2 ˛ D ˇ D  D 125ı , ı D 55ı 11.3 x D 8;0, y D 6;0 11.4 ˇ D 100ı , " D 35ı F ˇ ˛

11.5 D ˛

C G

E

? Ich kann Gradmaß und Bogenmaß unterscheiden und ineinander umrechnen. 7 Abschn. 11.10

Test 11.9 Berechnen Sie die fehlenden Werte

Gradmaß ˛ Bogenmaß x

90ı

315ı

45ı 3

2 3

A

H

B

Wegen des Kongruenzsatzes sws sind die Dreiecke EDF , F C G, GBH und HAE kongruent. Daher sind die Strecken EF , F G, GH und HE gleich lang. ˛ C ˇ D 180ı  90ı D 90ı (Winkelsumme im Dreieck), also  D 180ı  .˛ C ˇ/ D 90ı . Das Viereck EF GH ist damit ein Quadrat. p p 11.6 a D 12 D 2 3 p 11.7 Flächeninhalt: .54 3  4/ cm2  81;0 cm2 , Randlänge: .36 C 4/ cm  48;6 cm 3 11.8 a) V D 36 cm3  113;1  cm , r D 3;0 cm  p 2 b) O D 32 3 C 120 cm  175;4 cm2

11.9

 , 2

60ı , =4, 240ı , 74 

11

Kapitel 11  Elementare Geometrie

76

11.10 Höhe:  4;91 m, Neigungswinkel:  44ı ı ı 11.11 ˛1 D p 120 , ˛2 D 240 , sin.˛1 / D 1 2 3

1 2

p

vErgebnis Ein Quadrat ist ein Drachen.

3, sin.˛2 / D

1 Beispiel 11.2 Unter welcher Bedingung ist ein Parallelogramm eine Raute?

11.2

Bei einer Raute müssen alle Seiten gleich lang sein.

Eigenschaften ebener geometrischer Objekte

vErgebnis Ein Parallelogramm, bei welchem alle Seiten gleich lang sind, ist eine Raute.

1 Beispiel 11.1 Ist ein Quadrat ein Drachen?

Bei einem Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang. Also hat es zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten.

Figur

Definition

Symmetrie

Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt) den Abstand r (Radius) haben

Unendlich viele Symmetrieachsen (alle durch M ), 1 Symmetriezentrum

Viereck mit 4 gleich langen Seiten und 4 rechten Winkeln

4 Symmetrieachsen, 1 Symmetriezentrum

Viereck mit 4 gleich langen Seiten

2 Symmetrieachsen, 1 Symmetriezentrum

Viereck mit 4 rechten Winkeln

2 Symmetrieachsen, 1 Symmetriezentrum

Viereck mit 2 Paaren paralleler Seiten

1 Symmetriezentrum

Drachen

Viereck mit 2 Paaren benachbarter gleich langer Seiten

1 Symmetrieachse

Trapez

Viereck mit 2 parallelen Seiten

Im Allgemeinen keine Symmetrie

Kreis

r M

11

Quadrat S

Raute S

Rechteck S

Parallelogramm S

Eine Übersicht zum Zusammenhang der verschiedenen Arten von Vierecken finden Sie im Online-Material. . Abb. 11.1 Elementargeometrische Objekte

11

77 11.4  Strahlensätze

11.3

Stufen- und Wechselwinkel an Parallelen

Situation: Zwei Geraden g und h werden von einer weiteren Geraden geschnitten.

2

11.4

Strahlensätze

Situation: Zwei von einem Punkt ausgehende Halbgeraden („Strahlen“) werden von einem Paar paralleler Geraden geschnitten.

b

˛2

ı2 ˇ2 h

a

˛1 ı1 ˇ1

c

1

g

y

x

S

d g

h

gkh

Paare von Stufenwinkeln sind Dann gilt:

.˛1 I ˛2 /; .ˇ1 I ˇ2 /; .1 I 2 / und .ı1 I ı2 /: Paare von Wechselwinkeln sind

Erster Strahlensatz

.˛1 I ı2 /; .ˇ1 I 2 /; .1 I ˇ2 / und .ı1 I ˛2 /: Sind die Geraden g und h parallel, so sind Stufen- bzw. Wechselwinkel gleich groß. Es gilt auch die Umkehrung. Sind Stufen- bzw. Wechselwinkel gleich groß, so sind die Geraden g und h parallel. 1 Beispiel 11.3 Berechnen Sie die Winkel ˇ, ı und ", wenn ˛ D 50ı und  D 70ı ist.

ı

Der Winkel " ist Stufenwinkel zu , d. h. " D 70ı : Weiter ist ˇ D 180ı  ˛   D 60ı : Der Winkel ı ist Stufenwinkel zu ˇ, also ı D 60ı : ˇ D 60ı , ı D 60ı , " D 70ı

Die Abschnitte auf den Parallelen stehen im selben Verhältnis wie die von S aus gemessenen entsprechenden Abschnitte auf den Strahlen.

"

˛ˇ

v Ergebnis

c a D b d cCd aCb D a c cCd aCb D b d

Zweiter Strahlensatz

h

g

Die Abschnitte auf dem einen Strahl stehen im gleichen Verhältnis wie die Abschnitte auf dem anderen Strahl.

gkh

y aCb cCd D D x a c

Kapitel 11  Elementare Geometrie

78

1 Beispiel 11.4

1 Beispiel 11.5

Eine 1;80 m große Person wirft einen 2;10 m langen Schatten. Sie steht direkt neben einem Baum, der einen 14;70 m langen Schatten wirft. Berechnen Sie die Höhe des Baums.

In dem skizzierten Trapez sind die Winkel ˛ D 65ı und ı D 45ı bekannt.

ˇ

ı h

˛

Wie groß sind die Winkel ˇ und ?

Wegen der Winkelsumme von 360ı im Viereck gilt 1;80

2;10

14;70

Der Baumstamm und die ebene Erdoberfläche bilden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen. Die beiden Sonnenstrahlen, die die Schatten begrenzen, sind parallel. Nach dem ersten Strahlensatz gilt

11

ˇ D 360ı  90ı  90ı  ˛ D 360ı  90ı  90ı  65ı D 115ı : Wegen der Winkelsumme von 180ı im Dreieck gilt  D 180ı  90ı  ı D 180ı  90ı  45ı D 45ı : vErgebnis

ˇ D 115ı ,  D 45ı

h 14;70 D : 1;80 2;10 11.6

Kongruente Dreiecke

Also ist 14;70  1;80 hD D 12;60: 2;10 v Ergebnis Der Baum ist 12;60 m hoch.

Es gilt die Umkehrung des ersten Strahlensatzes, nicht aber die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes. Details dazu finden Sie im Online-Material.

11.5

Winkelsummensatz

Über die Winkelsumme in einem 3-, 4- oder allgemein nEck lässt sich folgende Aussage formulieren.

Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent („deckungsgleich“), wenn sie in allen Seiten und Winkeln übereinstimmen. Zum Nachweis der Kongruenz genügen aber schon weniger Übereinstimmungen. Kongruenzsätze im Dreieck

Kongruenzsatz

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie . . .

sss

. . . in allen drei Seiten übereinstimmen. . . . in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. . . . in einer Seite und den zwei anliegenden Winkeln übereinstimmen. . . . in einer Seite, einem anliegenden Winkel und dem gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. . . . zwei Seiten und dem Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen.

sws

Winkelsummensatz

wsw

In einem ebenen n-Eck beträgt die Summe aller Innenwinkel („Winkelsumme“)

sww

.n  2/  180ı :

Ssw

11

79 11.8  Flächeninhalt und Umfang von Kreisen und Vielecken

1 Beispiel 11.6

2

Nach dem Satz von Pythagoras gilt 2;002 C AS D 2;502 und damit p AS D 2;502  2;002 p p D 6;25  4;00 D 2;25 D 1;50:

Zeigen Sie: Ist M der Mittelpunkt der Strecke AB, so sind die Strecken AP und QB gleich lang.

C P A

vErgebnis Der Stützbalken muss 1;50 m lang sein.

B

M Q

Die Dreiecke APM und BMQ stimmen in einer Seite (AM und MB), einem anliegenden gleichen Winkel (Scheitelwinkel) und einem gegenüberliegenden rechten Winkel überein, sind also nach sww kongruent. Daher gilt:

11.8

AP D QB:

11.7

Im Umfeld des Satzes des Pythagoras gibt es weitere Sätze (Kathetensatz, Höhensatz, Kehrsatz des Pythagoras), die unter dem Oberbegriff „Satzgruppe des Pythagoras“ zusammengefasst werden. Details dazu finden Sie im OnlineMaterial.

Flächeninhalt und Umfang von Kreisen und Vielecken

Den Flächeninhalt eines beliebigen Vielecks kann man bestimmen, indem man es in lauter Dreiecke zerlegt.

Satz des Pythagoras

1 Beispiel 11.8

Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Das Quadrat über der Hypotenuse (dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite) hat den gleichen Flächeninhalt wie die beiden Quadrate über den Katheten zusammen:

Wie groß ist der Flächeninhalt des Vierecks ABCD mit A.2j0/, B.7j0/, C.7j6/ und D.3j4/?

y

C

a2 C b 2 D c 2

D h2 h1 b

a

1 1 A

c

Mithilfe dieses Satzes kann man im rechtwinkligen Dreieck aus zwei bekannten Seitenlängen die dritte berechnen. 1 Beispiel 11.7 Der Balken BC soll im Punkt S im Abstand 2;00 m vom Punkt B orthogonal abgestützt werden. Wie lang muss der Stützbalken AS sein?

C S

A

B x

Die Strecke BD zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke: Dreieck ABD mit der Grundseite AB D 5 und der Höhe h1 D 4 sowie Dreieck BCD mit der Grundseite BC D 6 und der Höhe h2 D 4. Damit gilt für den Flächeninhalt A D A1 C A2 D D

1 1  AB  h1 C  BC  h2 2 2

1 1  5  4 C  6  4 D 22: 2 2

vErgebnis

2;0

2;50 m

Der Flächeninhalt des Vierecks ABCD beträgt A D 22 Flächeneinheiten.

0m

B

Allgemeiner lässt sich der Flächeninhalt eines ebenen Objekts dann bestimmen, wenn sich das Objekt in einfache geometrische Figuren zerlegen lässt.

Kapitel 11  Elementare Geometrie

80

Figur

Umfang

Flächeninhalt

Dreieck b

a

h

AD

1 c h 2

U DaCbCc

c Rechteck b

ADa b

U D 2 .a C b/

b

ADa h

U D 2 .a C b/

a Parallelogramm h a Drachen f e

a

AD

1 e f 2

U D 2 .a C b/

AD

aCc h 2

U DaCbCcCd

b

c

Trapez d

b

h

11

a Kreis

r AD

M

r2

U D

r

. Abb. 11.2 Flächeninhalt und Umfang

1 Beispiel 11.9 Wie groß sind der Flächeninhalt und der Umfang der folgenden Figur?

Damit berechnen sich Flächinhalt und Umfang der Figur als: 1 1  6  4 C    32 D 12 C 4;5  26;1 2 2 1 U D 2  5 C  2  3 D 10 C 3  19;4 2 AD

6 cm

m 5c

5c m

vErgebnis

Die Fläche setzt sich aus einem Dreieck und einem Halbkreis zusammen. Damit gilt für den Flächeninhalt A D ADreieck C AHalbkreis : Die Höhe des Dreiecks ergibt sich über den Satz des Pythagoras zu p h D 52  32 D 4:

Der Flächeninhalt der Figur beträgt A D .12 C 4;5/ cm2  26;1 cm2 ; der Umfang U D .10 C 3/ cm  19;4 cm:

11

81 11.9  Oberfläche und Volumen einfacher Körper

11.9

Oberfläche und Volumen einfacher Körper

b) Das Volumen des Wassers in cm3 beträgt V1 D

1 Beispiel 11.10

1   r12  h1 D 500: 3

Ein kegelförmiger Messbecher ist 24 cm hoch und hat einen Durchmesser von 12 cm. a) Wie groß ist die maximale Füllmenge des Messbechers? b) In den Messbecher werden 0;5 Liter Wasser eingefüllt. Wie weit steht das Wasser unter dem Rand?

r h h1

a) Das Volumen des Messbechers in cm3 ergibt sich über das Volumen eines Drehkegels: V D

r1

1 1   r 2  h D   62  24 D 288  905 3 3

Köper Senkrechtes Prisma mit Grundfläche G und Seitenflächen sk

s1

s3

s2

h

Volumen

Oberfläche

V DG h

O D 2G C s1 C s2 C : : : sn

G Drehzylinder r h

Senkrechte Pyramide mit Grundfläche G, n Seiten der Länge a, Höhe h der Pyramide sowie Höhe h1 der Seitenflächen

h

h1

V D

2

h

1 G h 3

V D

OD2

2

C

O DGCn

h

1 ah1 2

G a

Drehkegel s V D

h

1 3

r2 h

r

2 OD CM mit der Mantelfläche r s M D

Kugel

r

. Abb. 11.3 Volumen und Oberfläche

V D

4 3

r3

OD

r2

Kapitel 11  Elementare Geometrie

82

vErgebnis

Nach dem zweiten Strahlensatz gilt

a) Dem Gradmaß von 48ı entspricht das Bogenmaß x D 4   0;8378. 15 entspricht das Gradmaß ˛ D 75ı . b) Dem Bogenmaß 5 12

r r1 6 1 D D D h1 h 24 4 und damit r1 D

11.11

1 h1 : 4

Setzt man dies in die Formel für V1 ein, so ergibt sich

Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Trigonometrische Ausdrücke

1 1 1   h21  h1 D   h31 D 500 3 16 48 r r 3 500  48 3 24 000 ) h1 D D  19;7:  

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

b ˛

v Ergebnis a) Der Messbecher hat eine maximale Füllmenge von ca. 905 cm3 D 0;905 Liter. b) Das Wasser steht ca. 4;3 cm unter dem Rand des Messbechers.

11.10

11

a

a Gegenkathete D Hypotenuse c Ankathete b cos.˛/ D D Hypotenuse c a Gegenkathete D tan.˛/ D Ankathete b sin.˛/ D

Gradmaß und Bogenmaß

Die Größe eines Winkels kann auf verschiedene Weisen beschrieben werden.

x ˛ 360ı

c (Sinus) (Kosinus) (Tangens)

!Achtung Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte erhält man mit dem Taschenrechner. Man muss aber darauf achten, dass dieser auf das für das vorliegende Problem korrekte Winkelmaß (Gradmaß oder Bogenmaß) eingestellt ist.

1 Mithilfe der trigonometrischen Beziehungen kann man aus bekannten Seitenlängen Winkel berechnen und umgekehrt.

1 Ein Winkel mit der Größe 1ı ist 360 des Vollwinkels. Das Gradmaß ˛ gibt an, welches Vielfache des 1ı -Winkels dieser Winkel ist. Das Bogenmaß x eines Winkels ist die zum Winkel ˛ gehörende Bogenlänge im Einheitskreis. Damit gilt:

1 Beispiel 11.12 Eine Person steht 20 m vor einem Turm. Sie sieht die Turmspitze unter einem Winkel von 58ı gegen die Horizontale. Ihre Augenhöhe beträgt 1;60 m. a) Wie hoch ist der Turm? b) Unter welchem Winkel sieht die Person die Turmspitze, wenn sie die Entfernung zum Turm verdoppelt?

x ˛ D 2 360ı 1 Beispiel 11.11

˛ 48ı 4 a) x D   D D  0;8378 ı 180ı 180ı ı 15 5  180 x  180 D D 75ı b) ˛ D  12  

h1 58ı 1;60

a) Wie groß ist das Bogenmaß des Winkels mit dem Gradmaß 48ı ? b) Wie groß ist das Gradmaß des Winkels mit dem Bogenmaß 5 12 ?

20

h

83 Aufgaben

1 Beispiel 11.13

a) Es gilt

a) Welcher Punkt P auf dem Einheitskreis gehört zu dem Winkel ˛ D 30ı ? b) Der Punkt P wird an der y-Achse gespiegelt. Welcher Winkel gehört zu dem gespiegelten Punkt P 0 ? Wie groß sind die entsprechenden Sinus- und Kosinuswerte?

h1 ; tan.58 / D 20 ı

also h1 D 20  tan.58ı /  32;0:

vErgebnis

 p  p a) sin.30ı / D 12 , cos.30ı / D 12 3, also P 12 3j 12 .  p  b) Zu P 0  12 3j 12 gehört der Winkel ˇ D 180ı  ˛ D 150ı . p sin.ˇ/ D 12 , cos.150ı / D  12 3.

Damit ergibt sich als Turmhöhe h D h1 C 1;60 D 33;60: b) Für den gesuchten Winkel ˛ gilt tan.˛/ D

32 h1 D D 0;8: 2  20 40

Aufgaben

Damit ergibt sich ˛  38;7ı : v Ergebnis a) Der Turm ist ca. 33;60 m hoch. b) Bei Verdoppelung des Abstands zum Turm sieht die Person die Turmspitze unter einem Winkel von ca. 39ı .

11.12

Sinus und Kosinus im Einheitskreis

Zu jedem Winkel ˛ gehört genau ein Punkt P auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten P .cos.˛/j sin.˛//. Diese Regel kann man über den ersten Quadranten hinaus für alle Winkel verallgemeinern.

11.1 Für welche der Vierecke Parallelogramm, Raute, Rechteck, Quadrat, Drachen gilt die Aussage? a) Alle Winkel sind gleich groß. b) Die Diagonalen sind orthogonal. c) Die Diagonalen halbieren sich. d) Die Diagonalen sind gleich lang. e) Das Viereck hat im Allgemeinen keine Symmetrieachse. 11.2 Ein Viereck ist sowohl ein Parallelogramm als auch

ein Drachen. Welche Aussagen sind richtig? a) Das Viereck ist ein Trapez. b) Das Viereck ist ein Quadrat. c) Das Viereck ist eine Raute. d) Das Viereck hat genau eine Symmetrieachse. e) Das Viereck ist punktsymmetrisch. 11.3 Berechnen Sie den Winkel ˛.

y 65ı

sin.˛/

1

P ˛ cos.˛/

g

60ı

gkh

x

h ˛

11.4 Berechnen Sie den Winkel ˛ und prüfen Sie, ob die

y

Geraden g und h parallel sind.

73ı

P

x 1

sin.˛/

cos.˛/˛

g

˛ 56ı

52ı

h

11

Kapitel 11  Elementare Geometrie

84

11.5 Geben Sie für die skizzierte Strahlensatzfigur jeweils

11.10 M ist der gemeinsame Mittelpunkt der beiden Krei-

gleiche Streckenverhältnisse an.

se. Begründen Sie, dass die Strecken AB und CD gleich lang sind.

b a

p

b) c) d) e) f)

f

d

D

C

r

c a)

e

q

M A

d D c aCb D D a e D D d q D D r r D D p q D D d

B 11.11

a) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 13 cm und eine Kathete 5 cm lang. Berechnen Sie die Länge der zweiten Kathete. b) In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenusenlänge c gilt für die erste Kathete a D 13 c. Berechnen Sie die Länge der zweiten Kathete in Abhängigkeit von c. 11.12 Die Flächendiagonale eines Würfels ist 10 cm lang.

11.6

11

a) In der skizzierten Figur ist h k k. Berechnen Sie die Streckenlängen x und y. b) Ist die Gerade g parallel zur Geraden k? Begründen Sie Ihre Aussage. g

h

k

1;2

4;2

3;6 y

3;5

0;8

2;4

Berechnen Sie die Länge seiner Raumdiagonalen. 11.13 Die Abbildung zeigt eine senkrechte quadratische

Pyramide. a) Berechnen Sie die Höhe h der Pyramide, wenn die Länge der Grundkante a D 100 m und die der Seitenkante s D 140 m beträgt. b) Bei manchen Pyramiden ist a D s. Stellen Sie eine Formel auf, mit der sich die Höhe h direkt aus a bzw. s berechnen lässt. S

x

Ein 54 m hoher Fabrikschornstein wirft auf dem ebenen Erdboden einen 81m langen Schatten. Ein Stück unterhalb der Schornsteinspitze befindet sich ein eiserner Haken. Der Schatten des Hakens ist vom Schatten der Schornsteinspitze 13;5 m entfernt. Fertigen Sie eine Skizze an und berechnen Sie, in welcher Höhe über dem Erdboden sich der Haken befindet.

s

11.7

11.8 Berechnen Sie jeweils den Winkel ˛.

a)

c) Drachen

b) 81

ı

58

˛

2˛

˛ ı

3˛

44ı

38ı

˛

11.9 Berechnen Sie die Innenwinkel eines regelmäßigen

Neunecks.

h D

C a

A

a

B

11.14 Sind folgende Aussagen wahr oder falsch?

a) Ein Kreis mit dem Radius 10 cm hat einen Flächeninhalt, der viermal so groß ist wie der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 5 cm. b) Ein Kreis mit Radius 10 cm hat einen Umfang, der viermal so groß ist wie der Umfang eines Kreises mit dem Radius 5 cm. c) Vier Kreise mit dem Radius 1 m haben zusammen den gleichen Umfang wie ein Kreis mit dem Radius 2 m. d) Vergrößert man den Radius eines Kreises um 1 m, so vergrößert sich sein Umfang um 1 m. e) Verdoppelt man den Radius des Grundkreises eines Zylinders, so verdoppelt sich dabei auch sein Volumen.

85 Aufgaben

f) Verdoppelt man den Radius des Grundkreises eines Zylinders, so verdoppelt sich dabei auch sein Oberflächeninhalt. g) Halbiert man die Höhe eines Zylinders, so halbiert sich dabei auch sein Volumen. h) Verdoppelt man die Höhe eines Zylinders, so verdoppelt sich dabei auch sein Oberflächeninhalt.

b) Den Kegelmantel kann man als Kreisausschnitt in die Ebene abrollen. Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel des abgerollten Kegelmantels.

11.15 Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem das Viereck

11.23 Jedes öffentliche Gebäude benötigt einen behinder-

ABCD mit A.1j3/, B.6j2/, C.4j6/ und D.1j5/. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks.

tengerechten Zugang, der mit einem Rollstuhl befahrbar ist. An einer Schule muss dafür eine Treppe mit drei Stufen à 20 cm Höhe durch eine Rampe überwunden werden. Eine solche Rampe darf maximal eine Steigung von 8 % haben. Berechnen Sie den Steigungswinkel und die kleinstmögliche Länge der Rampe.

11.16

a) Ein Kreis hat den Umfang 8 cm. Geben Sie seinen Flächeninhalt an. b) Ein Kreisausschnitt hat die Bogenlänge 3 m und den Radius 2 m. Berechnen Sie seinen Mittelpunktswinkel ˛ im Gradmaß.

11.22 Begründen Sie, warum der mit einem Taschenrech-

ner berechnete Wert sin.0;49/ D 0;02686 nicht stimmen kann. Welcher Fehler wurde gemacht?

11.24 Berechnen Sie die Länge der Strecke AC , wenn gilt:

AQ D 5;0 cm

AB D 3;0 cm

Einem Quadrat mit der Seitenlänge 10 cm wird ein Kreis einbeschrieben und ein Kreis umbeschrieben. Berechnen Sie den Flächeninhalt des dabei entstandenen Kreisrings.

BP D 1;0 cm

11.17

Q

C

11.18 Berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang

der grauen Figur, wenn das Quadrat die Seitenlänge a hat. A

B

P

11.25 Die beiden parallelen Seiten a und b eines gleich-

schenkligen Trapezes sind a D 8 cm und b D 14 cm lang. Die Höhe h beträgt 4 cm. a) Wie lang ist der Schenkel s? b) Wie groß ist der Winkel ˛? 11.19 Vier Bleikugeln mit dem Radius 1 cm werden ein-

geschmolzen; daraus wird eine neue Kugel gegossen. a) Berechnen Sie den Radius der neuen Kugel. b) Um wie viel Prozent ist die Oberfläche der neuen Kugel kleiner als die Oberflächen der vier kleinen Kugeln zusammen? 11.20 Ein hohler Würfel mit der äußeren Kantenlänge 10 cm hat als Begrenzungen Aluminiumplatten der Dicke 1 cm. a) Berechnen Sie die Masse des Würfels (Dichte von Aluminium: 2;71 g=cm3 ). b) Der Würfel wird ins Wasser geworfen. Schwimmt er oder geht er unter? 11.21 Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 8 cm wird um eine seiner Symmetrieachsen gedreht, sodass ein Kegel entsteht. a) Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche dieses Kegels.

a s ˛ b 11.26 Ein Damm hat als Querschnitt ein gleichschenkliges

Trapez. Der Böschungswinkel ˛ beträgt 42ı , die Länge der Böschung s ist 12 m, die untere Dammbreite beträgt 54 m. Berechnen Sie die Höhe des Damms und die Breite der Dammkrone. 11.27 Der Punkt P .1j2/ wird um den Ursprung O gegen den Uhrzeigersinn um 80ı gedreht. Berechnen Sie den Winkel ˛, den die Strecke OP mit der x-Achse einschließt und die Koordinaten des gedrehten Punktes P 0 .

11

Kapitel 11  Elementare Geometrie

86

11.28

11.7

a) Geben Sie die Koordinaten des Punktes P auf dem Einheitskreis an, der zum Winkel x1 D 6 gehört. b) Bestimmen Sie einen weiteren Winkel x2 (x2 2 Œ0;2) mit sin.x2 / D sin.x1 /. c) Bestimmen Sie einen weiteren Winkel x3 (x3 2 Œ0;2) mit cos.x3 / D cos.x1 /.

x

54

13;5 81

Lösungen zu den Aufgaben

Der Haken befindet sich 45 m über dem Erdboden.

11.1 Die Aussage gilt für

a) b) c) d) e)

Rechteck, Quadrat Raute, Quadrat, Drachen Parallelogramm, Raute, Rechteck, Quadrat Rechteck, Quadrat Parallelogramm

11.8

a) ˛ D 180ı  81ı  58ı D 41ı b) 6˛ D 180ı , also ˛ D 30ı c) ˛ D 180ı  38ı  22ı D 120ı 11.9 Größe eines Innenwinkels: 140ı

11.2 Es sind nur die Aussagen a), c) und e) richtig.

11.10 Es gilt:

11.3 ˛ D 55ı 11.4 ˛ D 56ı (Scheitelwinkel), ˇ D 180ı 73ı 56ı D 51ı

MD D MB

Radius des äußeren Kreises

(Winkelsumme im Dreieck). Der Stufenwinkel zu ˇ ist 52 , also um 1ı größer, d. h., g und h sind nicht parallel.

M C D MA ^DM C D ^AMB

Radius des inneren Kreises Scheitelwinkel

ı

11

73 ˛ 56

ı

Nach dem Kongruenzsatz sws sind die Dreiecke MDC und MAB kongruent. Also ist AB D CD.

ı

g

ˇ 52ı

11.11

h

a) Länge der zweiten Kathete: 12 q cm b) Länge der zweiten Kathete:

11.5

a) b) c) d) e) f)

a) x D 4;23;6 D 6;3; y D 2;43;5 D 2;0 2;4 4;2 2;4 b) Verhältnis auf dem 1. Strahl: 0;8 D 3 Verhältnis auf dem 2. Strahl: 3;6 D3 1;2 Die Geraden sind also parallel.

D

2 3

p 2c

11.12

d D ab c p aCb d Cc a D d D q e D fa D qr d q D fa D de r f r e p D cCd D aCb q p D cCd D re d

11.6

8 2 9c

a d

10 a a

p p Kantenlänge des Würfels: a D 50 cm D 5 2 cm p Länge der Raumdiagonalen: 5 6 cm  12;2 cm 11.13

a) Die Höhe der Pyramide pbeträgt b) Höhe der Pyramide: a2 2 11.14 Richtig sind a) und g).

p 14 600 m  120;8 m.

11

87 Lösungen zu den Aufgaben

b) Gewicht des Würfels: GAl  12;97 N Auftrieb des völlig eingetauchten Würfels (= Gewicht des von ihm verdrängten Wassers):  9;81 N Da das Gewicht des Würfels größer ist als die auf ihn einwirkende Auftriebskraft, geht der Würfel unter.

11.15

y 5

C

h1

6

D h2

4

E

3

A

p a) Das Volumen des Kegels beträgt 64   3 cm3  3 116;1 cm3 , die Oberfläche des Kegels beträgt 48 cm2  150;8 cm2 . b) Bogenlänge des Kreisausschnitts (D Umfang des Grundkreises): b D 2 r D 8 Œcm Radius des Kreisausschnitts: s D 8 Œcm Mittelpunktswinkel: ˛ D 180ı

B

1 0 1 0 1

11.21

h3

2

1

2

3

4

5

6

7

x

Ages D A1 C A2 C A3 1 1 1 D AD  h1 C AE  h2 C AE  h3 2 2 2 1 1 1 D  2  3 C  4;5  3 C  4;5  1 D 12 2 2 2

11.22 sin.0;49/  sin

 

2 D 1, also ist der Wert von 0;02686 viel zu klein. Fehler: Der Taschenrechner wurde nicht vom Grad- ins Bogenmaß umgestellt. Es ist sin.0;49 ı /  0;02686.

11.16

a) U D 2 r D 8 Œcm; r D 4 Œcm ) A D  r 2 D 16 Œcm2  ˛ 3 ı ı b) 3 D 2  2  360 ı ) ˛ D 4  360 D 270

11.23 Der Steigungswinkel der Rampe beträgt ca. 4;6ı , ih-

re Länge ca. 7;524 m. 11.24 AC D 2;4 cm 11.25

r

a) Der Schenkel ist 5 cm lang. b) tan.˛/ D 43 , also ˛  53;1ı R 11.26 Der Damm ist ca. 8 m hoch, die Dammkrone ca. 36,2 m lang. 11.27

y P .1j2/ 0

P .ujv/ 11.17 Flächeninhalt des Kreisrings: A D 25 Œcm  2

ˇ

11.18

80ı

˛

x

  Flächeninhalt: A D a2  1   0;215a2 4 Umfang: U D   a

11.19

a) Volumen der vier Kugeln: Vges D 16  Œcm3  3 p 3 Radius R der neuen Kugel: R D 4 Œcm  1;59 Œcm b) Oberfläche der vier kleinen Kugeln zusammen: Oges D 16 Œcm2  Oberfläche der p großen Kugel: Oneu D 8  3 2Œcm2   p Differenz: 8  2  3 2 Œcm2  Prozentuale Verkleinerung:  37 % 11.20

a) Volumen des Aluminiums: 488 cm3 Masse des Aluminiums:  1 322;5 g

tan.˛/ D 2; also ˛  63;43ı I P 0 .1;80j1;33/ 11.28  p 1

a) P

2

3j 12

b) x2 D 56   c) x3 D 11 6



89

Analysis

Ponte Dom Luis I, Porto. Foto: Rüdiger Lunde

Inhaltsverzeichnis Kapitel 12

Funktionen – 91

Kapitel 13

Differenzialrechnung – 107

Kapitel 14

Integralrechnung – 125

IV

91

Funktionen

Regenbogen über Bietigheim (Baden). Foto: Fabian Gärtner

Inhaltsverzeichnis 12.1

Selbsteinschätzung – 92

12.2

Funktionen und ihre Eigenschaften – 93

12.3

Transformationen von Funktionen – 96

12.4

Zusammengesetzte Funktionen – 99

12.5

Graphen nichtelementarer Funktionen – 100

12.6

Bestimmung von Funktionstermen – 101 Aufgaben – 103 Lösungen zu den Aufgaben – 104

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Dürrschnabel et al., So viel Mathe muss sein!, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8_12

12

Kapitel 12  Funktionen

92

In diesem Kapitel wiederholen Sie die wichtigsten elementaren Funktionen und deren Eigenschaften. Sie erfahren, wie man diese Funktionen modifiziert und neue Funktionen erzeugt. Sie können konkrete Funktionsterme aus vorgegebenen Bedingungen aufstellen.

? Ich kann Funktionen addieren, multiplizieren und verketten. 7 Abschn. 12.4

Test 12.4 Gegeben sind die Funktionen

12.1

Selbsteinschätzung f1 W x 7! x 2 ;

f2 W x 7! sin

? Ich kann die Graphen der elementaren Funktionen skizzieren. 7 Abschn. 12.2

  x ; 2

f3 W x 7!

x : 2

Wie lautet die Abbildungsvorschrift der Funktion g W x 7! f1 .f2 .x/ C 2f3 .x//‹ Wie groß ist g.1/?

Test 12.1 Skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen: p

x 7! x 3

x 7!

x 7! e x

x 7! ln.x/

x 7! sin.x/

x 7! cos.x/

x

x 7!

1 x

? Ich kann mir den ungefähren Verlauf der Graphen nichtelementarer Funktionen herleiten. 7 Abschn. 12.5

x 7! tan.x/

Test 12.5 ? Ich kenne die Funktionen, die durch einfache Transforma-

12

tionen aus den elementaren Funktionen hervorgehen. 7 Abschn. 12.2

Test 12.2 Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f mit 3 f .x/ D 3 sin.2x/  : 2 Geben Sie Definitionsbereich, Wertebereich, Symmetrieeigenschaften, Periode, Nullstellen der Funktion sowie die Extrem- und Wendepunkte des Graphen an.

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f mit f .x/ D j cos.x/j:

? Ich kann aus gegebenen Bedingungen einen Funktionsterm vom vorgegebenen Typ bestimmen. 7 Abschn. 12.6

Test 12.6 Bestimmen Sie die Funktion f mit f .x/ D ae x , deren Graph durch die Punkte P .0j10/ und Q.10j1/ geht.

vErgebnisse der Testaufgaben ? Ich kann die Funktionsvorschriften von Funktionen angeben, deren Graphen durch Streckung/Stauchung und Verschiebung in Richtung der Koordinatenachsen aus den elementaren Funktionen entstehen. 7 Abschn. 12.3

Test 12.3 Die Parabel mit der Gleichung y D x 2 wird mit dem Faktor 3 in y-Richtung gestreckt und um 1 in x- sowie 2 in y-Richtung verschoben. Wie lautet die Gleichung der transformierten Parabel?

12.1 Die Graphen können aus Platzgründen hier nicht gezeichnet werden; Überprüfung z. B. mit einem elektronischen Hilfsmittel. 12.2

y 1 2 3 2

3 2

x

Definitionsbereich Df D R, Wertebereich Wf D  C k Π92 I 32 , Periode p D , Nullstellen bei x D 12   5 3 und x D 12  C k, Hochpunkte in 4 C kj 2 , Tief    punkte in 34  C kj  92 , Wendepunkte in k 2 j  32 (k 2 Z).

12

93 12.2  Funktionen und ihre Eigenschaften

12.3 f .x/ D 3.x  1/2  2

vErgebnis Der Graph der Funktion f mit f .x/ D Gestalt:

   2 12.4 g.x/ D sin 2 x C x , g.1/ D 4

y

12.5 Es handelt sich um die Kosinuskurve, wobei die Abschnitte unterhalb der x-Achse nach oben gespiegelt werden: y 1 3 2

2

12.6 f .x/ D 10e 

yD

1 x2

hat folgende

1 x2

x

1

ln.10/ 10 x

1 12.2

Der Definitionsbereich der Funktion f ist Df D Rnf0g, der Wertebereich Wf D 0I 1Œ.

Funktionen und ihre Eigenschaften

Ein zentraler Begriff der Analysis ist der Begriff der Funktion. Mit Funktionen lassen sich viele Vorgänge in der realen Welt oder der Technik beschreiben. Durch eine Funktion f wird jedem x-Wert (meistens reelle Zahlen) ein Wert f .x/ zugeordnet. Formal schreibt man f W x 7! f .x/: Eine Funktion ist nicht unbedingt auf ganz R erklärt, die Definitionsmenge bzw. der Definitionsbereich Df kann kleiner sein. 1 Beispiel 12.1 Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f mit f .x/ D

1 : x2

Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich von f .

Die Funktion ist für x D 0 nicht erklärt, d. h., sie hat dort eine Definitionslücke. Die Zielmenge bzw. der Zielbereich R ist umfangreicher als die Wertemenge bzw. der Wertebereich der angenommenen Funktionswerte Wf D0I 1Œ. Die ausführliche Schreibweise der Funktion mit Definitionsbereich und Zielbereich dieser Funktion lautet f W Rnf0g ! R x 7! f .x/ D

1 : x2

x

Weil im Graphen die Funktionswerte in y-Richtung abgetragen werden, hat sich auch die Schreibweise y D f .x/

bzw. im obigen Beispiel konkret y D

1 x2

eingebürgert. Besonders wichtige und in Anwendungen häufig verwendete Funktionen sind Polynomfunktionen oder ganzrationale Funktionen. Dies sind Funktionen der Form x 7! an x n C an1 x n1 C : : : C a1 x C a0 ;

n 2 N:

Der höchste Exponent n heißt Grad der Polynomfunktion. Wie man dem Graphen im obigen 7 Beispiel 12.1 ansieht, ist dieser achsensymmetrisch zur y-Achse. Mathematisch gesprochen gilt also für alle zulässigen x-Werte f .x/ D f .x/. Man spricht in diesem Zusammenhang von einer geraden Funktion. Polynomfunktionen sind genau dann gerade Funktionen, wenn nur gerade Potenzen auftreten, daher auch der Name „gerade Funktion“. Ist der Graph dagegen punktsymmetrisch zum Ursprung, d. h. gilt überall f .x/ D f .x/, so spricht man von einer ungeraden Funktion. Bei ungeraden Polynomfunktionen treten nur ungerade Potenzen auf. In Anwendungssituationen treten besonders häufig lineare und quadratische Funktionen auf.

1 Beispiel 12.2

Wenn Definitions- und Zielbereich nicht explizit angegeben sind, wird der Definitionsbereich maximal groß und der Zielbereich als ganz R angenommen. Eine Funktion veranschaulicht man in einem Graphen, indem man in einem Koordinatensystem die Funktionswerte über den x-Werten in Richtung der y-Achse abträgt.

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f mit f .x/ D

1 x C 1: 2

Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade. Daher spricht man von einer linearen Funktion, die höchste Potenz ist 1. Das Absolutglied 1 gibt den y-Achsenabschnitt, der Koeffizient 12 bei x die Steigung an. Die Funktion hat an der Stelle x D 2 eine Nullstelle, da f .2/ D 0 ist.

94

Kapitel 12  Funktionen

v Ergebnis

Das Zulassen beliebiger reeller Exponenten führt zu einem weiteren Funktionstyp: Potenzfunktionen sind Funktionen der Form

y

x 7! x ˛ ;

y D f .x/

1 Beispiel 12.4

1 2

1

Geben Sie je zwei Beispiele für Polynomfunktionen und Potenzfunktionen inklusive Definitionsbereich an.

1

2

˛ 2 R:

x

1

vErgebnis Beispiele für Polynomfunktionen sind: x 7! x 2  2x C 1;

1 Beispiel 12.3 Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f mit

x 7!

f .x/ D x 2 C 4:

1 4 x C x 3  3x C 5; 2

x2R

Beispiele für Potenzfunktionen sind:

Wie lauten die Nullstellen von f ? Bestimmen Sie ferner den Extrempunkt des Graphen von f .

Es handelt sich hier um eine quadratische Funktion, weil die höchste Potenz als Quadrat auftritt. Der Graph dieser Funktion ist eine an der x-Achse gespiegelte und um 4 in y-Richtung verschobene Normalparabel.

12

x2R

v Ergebnis

1 x 7! x 2 D 2 ; x p 1 x 7! x 2 D x;

x 2 Rnf0g x 2 Œ0 1Œ

In technischen, aber auch wirtschaftlichen Anwendungen werden häufig die Exponential- und Logarithmusfunktion benötigt.

1 Beispiel 12.5 Welcher Zusammenhang besteht zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und der natürlichen Logarithmusfunktion? Skizzieren Sie die Graphen dieser beiden Funktionen.

y 4

vErgebnis

y D f .x/

Die natürliche Exponentialfunktion exp W

1

2

1

2

x

R x

! 7 !

0I 1Πexp.x/ D e x

mit der Euler’schen Zahl e  2;718 und die natürliche Logarithmusfunktion ln W

0I 1Πx

! 7!

R ln.x/

sind Umkehrfunktionen voneinander, d. h., es gilt Neben den beiden Nullstellen x1 D 2 und x2 D 2 hat diese Funktion ein Maximum mit y D 4 an der Stelle x D 0. Der zugehörige Hochpunkt hat die Koordinaten H.0j4/.

Analog zu den Begriffen Maximum und Hochpunkt gibt es bei einer Funktion möglicherweise auch ein Minimum mit dem zugehörigen Tiefpunkt. Die Begriffe Maximum und Minimum werden gerne unter dem Oberbegriff Extremum zusammengefasst (7 Abschn. 13.7).

y D ex

,

x D ln.y/:

Durch die Vertauschung von x und y in der Darstellung der Logarithmusfunktion y D ln.x/ ergibt sich der Graph der Logarithmusfunktion aus dem Graphen der Exponentialfunktion. Das entspricht der Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden.

12

95 12.2  Funktionen und ihre Eigenschaften

y

1 Beispiel 12.6

ex

Auf welchen Intervallen ist die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen jeweils streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend?

ln.x/ 1 1

x

Man erkennt am Graphen, dass die natürliche Exponentialfunktion überall positive Werte hat und damit insbesondere keine Nullstelle besitzt. Der natürliche Logarithmus ist als Umkehrfunktion nur für positive x-Werte erklärt und hat eine Nullstelle für x D 1. Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion kann man auch für eine allgemeine Basis a definieren. Informationen dazu finden Sie im Online-Material. Natürliche Exponentialfunktion und natürliche Logarithmusfunktion sind streng monoton wachsend, d. h., für größer werdende x wachsen die Funktionswerte f .x/. Werden auch gleichbleibende Funktionswerte (im Graph ein horizontaler Abschnitt) erlaubt, spricht man nur von einer monoton wachsenden Funktion. Analog werden streng monoton fallende bzw. monoton fallende Funktionen erklärt, in diesem Fall werden für wachsende x die Funktionswerte kleiner (7 Abschn. 13.6). Ist eine Funktion auf dem ganzen Definitionsbereich streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend, kann man sie umkehren. Allgemeine Informationen zum Thema Umkehrfunktion finden Sie im Online-Material. Gerade in der Elektrotechnik, aber auch bei der Beschreibung von Schwingungs- und Wellenphänomenen werden die trigonometrischen Funktionen benötigt. Diese ordnen jedem x den entsprechenden trigonometrischen Wert zu. Sinusfunktion Kosinusfunktion

sin W x 7! sin.x/ cos W x 7! cos.x/

Tangensfunktion

tan W x 7! tan.x/ D

sin.x/ cos.x/

Dabei wird die Variable x im Bogenmaß angegeben (7 Abschn. 11.10).

Das Monotonieverhalten lässt sich anhand der Definition der trigonometrischen Ausdrücke am Einheitskreis (7 Abschn. 11.12) oder dem Verlauf der Graphen ablesen. Die Sinus- und Kosinusfunktion haben die Periode 2, d. h., dann wiederholen sich die Funktionswerte. Mathematisch ausgedrückt gilt f .x C 2/ D f .x/ für alle x 2 R. Die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion sehen innerhalb des Periodenintervalls von 0 bis 2 folgendermaßen aus: y 1

sin.x/

cos.x/ x

3 2

2

1

Der Graph der Tangensfunktion hat demgegenüber die Periode , der zugehörige Graph hat folgende Gestalt: y tan.x/

1 2

3 2

x

Man entnimmt dem Graphen dass diese   der Sinusfunktion,    für  2  x  2 von sin  2 D sin 32  D 1 auf sin 2 D 1 streng monoton wächst. Für 2  x  32  hingegen ist     die Sinusfunktion von sin 2 D 1 auf sin 32  D 1 streng monoton fallend. Entsprechend geht man bei den anderen beiden trigonometrischen Funktionen cos und tan vor. Berücksichtigt man die Periodizität, ergibt sich:

Kapitel 12  Funktionen

96

Natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion:

Lineare Funktionen: x 7! mx C b

x 7! e x

Quadratische Funktion:

Natürliche Logarithmusfunktion:

x 7! ax 2 C bx C c

x 7! ln.x/;

Polynomfunktionen oder ganzrationale Funktionen: x 7! an x n C an 1 x n

1

Sinusfunktion:

C : : : C a1 x C a0

x 7! sin.x/

Allgemeine Potenzfunktion: x 7! x ˛ ;

Kosinusfunktion: x 7! cos.x/

Definitionsbereich je nach ˛

Wurzelfunktion: x 7!

p x;

x

x>0

Tangensfunktion: 0

x 7! tan.x/;

x¤

2

2 Z/

C

. Abb. 12.1 Zusammenstellung der elementaren Funktionen

v Ergebnis

verschiebt den Graphen der Funktion f um b in yRichtung.

Die Sinusfunktion sin W x 7! sin.x/ ist für

12

  2 C k  2I 2 C k  2 

C k  2I 32  C k  2 2

streng monoton wachsend

1 Beispiel 12.7

streng monoton fallend.

Die Kosinusfunktion cos W x 7! cos.x/ ist für Œk  2I  C k  2

streng monoton fallend

ΠC k  2I 2 C k  2

streng monoton wachsend.

Die Tangensfunktion tan W x 7! tan.x/ ist für

  2 C k  I

 2

Ck



streng monoton wachsend.

Skizzieren Sie den Graphen y D x 2  1:

Der Graph der Funktion g mit g.x/ D x 2  1 entsteht aus der Normalparabel y D x 2 durch Verschiebung um 1 in y-Richtung, also nach unten. vErgebnis

y

Dabei ist k eine beliebige ganze Zahl, also k 2 Z.

Der Graph der Tangensfunktion hat ebenso wie Sinus- und Kosinuskurve Wendepunkte, also Punkte, an welchen Bereiche von Links- und Rechtskrümmung aneinanderstoßen. Bei der Tangensfunktion z. B. ist das bei allen Punkten auf der x-Achse, also bei allen ganzzahligen Vielfachen von  der Fall (7 Abschn. 13.6).

y D x2

y D x2 12.3

Transformationen von Funktionen

Mithilfe von Summanden und Faktoren beim Funktionsterm können Funktionsgraphen in x- und y-Richtung verschoben und gestreckt bzw. gestaucht werden. Ein Summand b in der Gleichung g.x/ D f .x/ C b

1

1 1

x

1

12

97 12.3  Transformationen von Funktionen

Eine Multiplikation der Funktion f mit a 2 R in der Glei-1 Beispiel 12.9 chung Skizzieren Sie den Graphen g.x/ D a  f .x/

yD

bewirkt eine Streckung (Skalierung) mit dem Faktor a in y-Richtung. 1 Beispiel 12.8 Skizzieren Sie den Graphen

3  ex : 2

Wegen y D 32  e x D .1/  e x C 32 wird der Graph der bekannten Funktion y D e x zunächst mit dem Faktor .1/ gestreckt, d. h. an der x-Achse gespiegelt und dann um 32 in y-Richtung verschoben. vErgebnis

y D 2x 2 :

y

Der Graph der Funktion g mit g.x/ D 2x 2 entsteht aus der Normalparabel y D x 2 durch Streckung mit dem Faktor 2 in y-Richtung. Jeder y-Wert der Normalparabel wird mit dem Faktor a D 2 multipliziert. Der Graph wird dadurch steiler.

ex

1 1 2

v Ergebnis

1 x y 1

3 2

ex

g.x/ D 2x 2 ex !Achtung

f .x/ D x 2 1

1

x

Natürlich können auch mehrere Transformationen miteinander kombiniert werden, z. B. Verschiebung und Streckung in y-Richtung. Wir haben dann Funktionen der Form g.x/ D af .x/ C b:

Die Reihenfolge der Ausführung der Transformationen ist wesentlich. Vertauscht man die Transformationsrei  henfolge, so ergibt sich mit y D  e x C 32 eine andere Funktion.

Nun ersetzen wir die Variable x durch x  x0 , d. h., wir haben einen Funktionsterm der Form g.x/ D f .x  x0 /: In diesem Fall muss man bei g.x/ einen um x0 größeren Wert eingeben, damit sich der Funktionswert f .x/ ergibt. Das bedeutet, dass der Graph von f um x0 in Richtung der x-Achse verschoben wird.

In diesem Fall erfolgt zuerst die Streckung mit dem Faktor1 Beispiel 12.10 a und anschließend die Verschiebung in Richtung der ySkizzieren Sie den Graphen Achse. y D ln.x C 1/:

Hier wird die Standard-Logarithmuskurve um x0 D 1 in x-Richtung, also um 1 entgegen der Richtung der x-Achse verschoben.

98

Kapitel 12  Funktionen

Eine Funktion f kann folgendermaßen transformiert werden.

Diese elementaren Transformationen können auch hintereinander ausgeführt werden.

Verschieben um b in y-Richtung:

1. Strecken mit dem Faktor a in y-Richtung 2. Verschieben um b in y-Richtung

y D f .x/ C b

y D af .x/ C b

Strecken mit dem Faktor a in y-Richtung: y D af .x/

1. Verschieben um x0 in x-Richtung 2. Strecken mit dem Faktor a in y-Richtung 3. Verschieben um b in y-Richtung y D af .x

x0 / C b

Verschieben um x0 in x-Richtung: y D f .x

x0 /

Strecken mit dem Faktor

1 c

in x-Richtung:

1. Strecken mit dem Faktor c1 in x-Richtung 2. Verschieben um x0 in x-Richtung 3. Strecken mit dem Faktor a in y-Richtung 4. Verschieben um b in y-Richtung y D af .c.x

y D f .cx/

x0 // C b

. Abb. 12.2 Zusammenstellung der Transformationen

v Ergebnis

vErgebnis

12

ln.x C 1/

y

y

.x C 2/2

x2

ln.x/

1

1

x

1 2 .x

C 2/2

1 2 .x

C 2/2

1

1 Jetzt kombinieren wir alle drei bisherigen Transformationen.

2

1 Beispiel 12.11

. 2

x

1 1/

1

Skizzieren Sie den Graphen yD

1 .x C 2/2  1: 2

Hier ist die Reihenfolge der Transformationen die folgende: 1. Verschiebung der Normalparabel um 2 in x-Richtung. 2. Streckung mit dem Faktor 12 in y-Richtung. 3. Verschiebung um 1 in y-Richtung.

Es fehlt noch eine Transformation, die insbesondere im Zusammenhang mit Wechselströmen eine Rolle spielt, die Streckung in Richtung der x-Achse. Diese wird durch einen Faktor bei x erreicht. Genauer bewirkt y D f .cx/; dass der Graph der Funktion f mit dem Faktor d. h. für c > 1 gestaucht wird.

1 c

gestreckt,

99 12.4  Zusammengesetzte Funktionen

1 Beispiel 12.12

12.4

Zusammengesetzte Funktionen

Skizzieren Sie den Graphen

Funktionen kann man addieren und subtrahieren, aber auch multiplizieren und dividieren, indem man deren Funktionswerte addiert, subtrahiert, multipliziert bzw. dividiert. Der Definitionsbereich reduziert sich damit auf die Schnittmenge der Definitionsbereiche der Einzelfunktionen, wobei im Fall der Division zusätzlich die Nullstellen des Nenners ausgenommen werden müssen.

y D sin.3x/:

v Ergebnis

y sin.x/ 1

sin.3x/

Zusammengesetzte Funktionen

x Zwei Funktionen f; g kann man folgendermaßen zu einer neuen Funktion kombinieren:

1

f C g W x 7! f .x/ C g.x/

Auch die Streckung bzw. Stauchung in x-Richtung kann mit den anderen Transformationen kombiniert werden, z. B. in folgender Form: 1 Beispiel 12.13

f  g W x 7! f .x/  g.x/ f  g W x 7! f .x/  g.x/ f .x/ f W x 7! g g.x/

Skizzieren Sie den Graphen yD

3 cos.x/ C 1: 2

1 Beispiel 12.14

In diesem Fall werden folgende Transformationen der Standard-Kosinuskurve in dieser Reihenfolge durchgeführt: 1. Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 1 . Dadurch wird die Periode der Funktion von 2 auf 2 reduziert. 2. Streckung mit dem Faktor 32 in y-Richtung. 3. Verschiebung um 1 in y-Richtung.

y 3 2

C1

cos

1

1

2

f .x/ D x 2  2x C 2 g.x/ D 2x  2 entsteht? Welche Gestalt hat der Graph?

Diese Funktion ist der Quotient zweier Polynomfunktionen, eine sogenannte gebrochenrationale Funktion. Beide Funktionen f und g sind auf ganz R definiert, wobei x D 1 eine Nullstelle von g und damit eine Definitionslücke der gebrochenrationalen Funktion ist. Der Zähler verschwindet an der Definitionslücke x D 1 nicht, was bedeutet, dass der Graph an dieser Stelle gegen ˙1 strebt. Die Gestalt des Graphen erhält man mithilfe einer Wertetabelle oder eines elektronischen Hilfsmittels.

v Ergebnis

2;5

Wie lautet die ausführliche Schreibweise der Funktion inklusive Definitions- und Zielbereich, welche bei der Division f =g der beiden Funktionen f und g mit

x

vErgebnis Die gebrochenrationale Funktion f W g

Rnf1g

!

R

x

7!

x 2  2x C 2 f .x/ D : g.x/ 2x  2

hat folgenden Graphen:

12

100

Kapitel 12  Funktionen

y

yD

1 Beispiel 12.16

f .x/ g

Wie lautet die Funktion, die entsteht, wenn man auf das Produkt der Funktionen f; g mit f .x/ D x 2

1

g.x/ D sin.x/

die Exponentialfunktion h mit

1

x

h.x/ D e x anwendet?

vErgebnis Die Verkettung des Produkts f  g mit h ist h ı .f  g/ W

12

x 7! h.f .x/  g.x// D e x

2 sin.x/

:

Bei gebrochenrationalen Funktionen kann es vorkommen, dass das Zähler- und das Nennerpolynom eine gleiche In der Praxis treten häufig abschnittsweise definierte Nullstelle x0 haben. Man kann in diesem Fall in Zäh- Funktionen auf. ler und Nenner .x  x0 / als Faktor abspalten und kürzen. Eine Möglichkeit, den Faktor .x  x0 / abzuspalten, bie-1 Beispiel 12.17 ten die Polynomdivision und das Horner-Schema. Weitere Zum Zeitpunkt t D 0 beschleunigt ein Auto aus dem Stand, Informationen zu diesen Verfahren finden Sie im Online- wobei die Geschwindigkeit pro Sekunde mit 2 m zunimmt. s Material. Nach 20 Sekunden endet die Beschleunigungsphase, die GeFunktionen kann man auch hintereinander ausführen, schwindigkeit bleibt dann konstant. Beschreiben Sie den Ged. h. verketten. Verkettungen spielen in der Differenzial- schwindigkeitsverlauf mit einer Funktion. rechnung eine zentrale Rolle, da man Verkettungen von Funktionen differenzieren kann, wenn man die Ableitun- Wir vernachlässigen der Einfachheit wegen die Einheit Segen der Einzelfunktionen kennt (7 Abschn. 13.5). kunde bei der Zeit t. Offensichtlich ist die Geschwindigkeit Verketten von Funktionen

Zwei Funktionen f; g kann man folgendermaßen zu einer neuen Funktion verketten: f ıg W

x 7! .f ı g/.x/ D f .g.x//

Natürlich muss der Wertebereich der Funktion g im Definitionsbereich der darauf aufbauenden Funktion f liegen.

für t < 0 gleich null. Für 0  t  20 entwickelt sich die Geschwindigkeit gemäß v.t/ D 2 ms  t. Nach 20 Sekunden bleibt dann die Geschwindigkeit konstant bei 2  20 ms . vErgebnis Die Geschwindigkeit in m/s entwickelt sich abschnittsweise gemäß 8 ˆ < 0 v.t/ D 2t ˆ : 40

für für für

t 20:

1 Beispiel 12.15 Stellen Sie die Funktion h mit h.x/ D

p

xC1

als Verkettung zweier elementarer Funktionen dar.

v Ergebnis Die Funktion h ist die Verkettung f ı g mit g.x/ D x C 1 p f .x/ D x:

Funktionen kann man auch addieren und multiplizieren und anschließend mit einer anderen Funktion verketten.

12.5

Graphen nichtelementarer Funktionen

Durch die Kombination von Funktionen in Form von Summen, Produkten, Verkettungen u. Ä. entstehen neue Funktionen, an deren Graphen man häufig interessiert ist. Natürlich ist es das Einfachste, sich den Graphen durch ein geeignetes elektronisches Hilfsmittel wie ein Computerprogramm oder einen grafikfähigen Taschenrechner zeichnen zu lassen. Allerdings wird hierbei immer nur ein Ausschnitt des Graphen gezeigt, der überdies aufgrund der beschränkten Auflösung Fehler enthalten kann. In einfachen Fällen sollte man sich den groben Verlauf der Graphen überlegen können.

12

101 12.6  Bestimmung von Funktionstermen

1 Beispiel 12.18

1 Beispiel 12.20

Skizzieren Sie den Graphen

Skizzieren Sie den Graphen

y D x  cos.x/:

y D e sin.x/ :

Der Wert der Kosinusfunktion wird an jeder Stelle x mit dem Faktor x multipliziert, d. h. der Graph wird in jedem Punkt .xj cos.x// mit dem Faktor x in y-Richtung gestreckt. Damit ergibt sich nachfolgender Graph:

Der Graph der Funktion oszilliert zwischen e 1 D 1e an den Stellen x D 32  C k  2 und e 1 D e an den Stellen x D  C k  2 (k 2 Z). 2 vErgebnis

v Ergebnis

y

y

x e1 x cos.x/ e sin.x/ cos.x/

1

1 x

2

e 3 2

12.6

Funktionen können aber auch mit anderen Ausdrücken wie z. B. dem Betrag kombiniert werden. 1 Beispiel 12.19 Skizzieren Sie den Graphen y D jx 2  2j:

2

1 3 2

2

x

Bestimmung von Funktionstermen

Mit Funktionen werden in der Praxis Zusammenhänge zwischen Anwendungsgrößen modelliert, z. B. die Geschwindigkeit eines Autos in Abhängigkeit von der Zeit. Häufig wird durch bestimmte (Mess-)Punkte, welche die Anwendung vorgibt, eine Kurve gegebenen Typs gelegt, deren zugehöriger Funktionsterm gesucht ist.

1 Beispiel 12.21

In diesem Fall werden die negativen Funktionswerte von x 2  2 in den positiven y-Bereich gespiegelt. v Ergebnis

Der Graph einer geraden Polynomfunktion f vierten Grades soll durch die Punkte P1 .0j3/

P2 .1j4/

P3 .2j  5/

verlaufen. Wie lautet der Funktionsterm von f ?

y Da es sich um eine gerade Funktion f , d. h. um eine Funktion mit einem zur y-Achse symmetrischen Graphen handelt, treten nur gerade Potenzen auf. Der Funktionsterm hat demzufolge die Gestalt

2 jx 2

f .x/ D a4 x 4 C a2 x 2 C a0 :

2j

1

Nun setzen wir die bekannten Punktkoordinaten in den Funktionsterm ein: 1

2

x

f .0/ D 3 D a0 f .1/ D 4 D a4 C a2 C a0 f .2/ D 5 D 16a4 C 4a2 C a0

Kapitel 12  Funktionen

102

Nutzt man die erste Bedingung a0 D 3 in den anderen Glei-1 Beispiel 12.23 chungen aus, ergibt sich: Radioaktive Isotope auf der Erdoberfläche zerfallen gemäß A.t/ D A0 e t ;

1 D a4 C a2 8 D 16a4 C 4a2 Setzt man die aus der ersten Gleichung resultierenden Bedingung a2 D 1  a4 in die zweite ein, so folgt nacheinander:

, ,

 8 D 16a4 C 4  4a4 12a4 D 12 a4 D 1

wobei A.t/ die von der Zeit t abhängige Anzahl der Zerfälle pro Sekunde auf einem Quadratmeter Boden ist. Das Cäsium-Isotop 137 55 Cs hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren, d. h., nach 30 Jahren ist die Zerfallsaktivität A.t/ auf die Hälfte zurückgegangen. Im Jahr 2019 wurde in einer gewissen Region in Bayern 33 Jahre nach der Reaktorkatastrophe in Tschernobyl eine Aktivität von 19 000 Zerfällen pro Sekunde und Quadratmeter gemessen. Wie lautet das konkrete Zerfallsgesetz für 137 55 Cs in der betrachteten Region?

Um einfacher rechnen zu können, setzen wir das Jahr der Reaktorkatastrophe als Nullpunkt der Zeitrechnung. Damit ist die Ausgangsaktivität

Daraus resultiert

A.0/ D A0 e 0 D A0 :

a2 D 1  .1/ D 2: v Ergebnis Die Funktion f , deren Funktionsgraph durch die vorgegebenen Punkte verläuft, hat den Funktionsterm f .x/ D x 4 C 2x 2 C 3:

Wir haben zwei Vorgaben. Zum einen haben wir eine Halbwertszeit von 30 Jahren, d. h., es gilt A.30/ D A0 e 30 D Zum anderen ist

12 Besonders einfach ist die Bestimmung einer Polynomfunktion vom Grad n, wenn n Nullstellen vorgegeben sind.

A.33/ D A0 e 33 D 19 000: Aus der ersten Bedingung ergibt sich:

1 Beispiel 12.22 Wie lauten die Polynomfunktionen dritten Grades mit den Nullstellen x1 D 1;

x2 D 2;

1 1 A.0/ D A0 : 2 2

x3 D 5‹

A0 e 30 D

1 A0 2

1 2

,

e 30 D

,

   30 D ln

,

ln.2/ D  0;023 30

  1 D ln.1/  ln.2/ D  ln.2/ „ƒ‚… 2 D0

Es ist offensichtlich, dass das Polynom .x  x1 /.x  x2 /.x  x3 / D .x C 1/.x  2/.x  5/ D x 3  6x 2 C 3x C 10

Aus der zweiten Bedingung resultiert damit: ln.2/

die geforderten Nullstellen besitzt. Da nur drei Bedingungen gegeben sind, bei einem Polynom dritten Grades aber vier Koeffizienten zu bestimmen sind, ist eine Bedingung frei. Die Multiplikation des Polynoms mit einer Konstanten a ¤ 0 lässt die Nullstellen unverändert. v Ergebnis Die Polynomfunktionen f dritten Grades mit den gegebenen Nullstellen haben die Funktionsterme f .x/ D a.x C 1/.x  2/.x  5/ D a.x 3  6x 2 C 3x C 10/;

a ¤ 0:

,

11

A0 e 33 D A0 e  30 33 D A0 e  ln.2/ 10 D 19 000 19 000 11 D 19 000  e ln.2/ 10  40 700 A0 D  ln.2/ 11 10 e

Dieses Ergebnis ist plausibel: Da die Halbwertszeit 30 Jahre beträgt und zwischen Reaktorkatastrophe und Messung 33 Jahre liegen, muss die Aktivität im Jahr 2019 etwas weniger als die Hälfte der Ausgangsaktivität A0 sein. vErgebnis Das Zerfallsgesetz für das radioaktive trachteten Region lautet A.t/ D A0 e t  40 700 e 

ln.2/ 30 t

137 55 Cs

in der be-

 40 700 e 0;023t :

12

103 Aufgaben

Aufgaben

zung eines elektronischen Hilfsmittels die Graphen.

12.1 Geben Sie einen zu dem jeweiligen Graphen passen-

den Funktionsterm an.

p x 7!  4  x x 7! 2x 2 C 8x  1

y

jx  1j 2 x 7! 3.sin.2x  /  1/ x 7!

y

12.5 Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begrün-

1

1 1

2

x

1

x

1 y y

1

1

x

1 x

y

y

1 x 1 1 x

12.2 Skizzieren Sie ohne grafikfähigen Taschenrechner oder Computeralgebrasystem die Graphen folgender Funktionen. Geben Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich und den Wertebereich an.

x! 7 2x C 1 x! 7 2 sin.x/   x 7! tan x C 2

x 7! ln.1 C x/ C 1

x! 7 x2  2 x! 7 e x C 1 1 x 7! .x  2/2 2 x 7! xC1 x 7! 2 sin.2x/  2

x 7! 2.x C 1/2  4

x 7!  cos.2.x  // C 1

x 7! e x

den Sie die Korrektheit der wahren Aussagen und geben Sie für die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an. a) Polynomfunktionen geraden Grades haben keine Nullstellen. b) Polynomfunktionen ungeraden Grades haben mindestens eine Nullstelle. c) Quadratische Funktionen haben ein Maximum oder ein Minimum. d) Die Funktion x 7! x1 hat R als Definitionsbereich. e) Die Funktion x 7! x13 hat R als Wertebereich. f) Jede gebrochenrationale Funktion hat eine Definitionslücke. g) An den Wendestellen der Funktion x 7! sin.x/ liegen Extrema der Funktion x 7! cos.x/ vor. 12.6 Skizzieren Sie die Graphen folgender abschnittsweise definierter Funktionen: 8 ˆ < x C 2 für x < 0 f .x/ D 2 für 0  x < 2 ˆ : x2 für x  2 2 ( j  x  1j für x  0 g.x/ D cos.x/ für x > 0 12.7 Berechnen Sie für folgende Funktionen f; g jeweils die Abbildungsvorschriften von f C g, f  g, f  g, fg . Bestimmen Sie jeweils auch den maximalen Definitionsbereich. a) f .x/ D x  2I g.x/ D 1  2x

b) f .x/ D sin.x/I g.x/ D cos.x/ c) f .x/ D x 2  1I g.x/ D x  1 p p d) f .x/ D 1 C xI g.x/ D x 12.8 Bestimmen Sie geeignete Funktionen f und g, für

von x 7! ln.x/ a) an der x-Achse spiegelt,

die g ı f D h ist mit a) h.x/ D ln.x C 1/   xC2 2 b) h.x/ D xC1

b) an der y-Achse spiegelt,

c) h.x/ D cos2 .x/

12.3 Welche Funktion entsteht, wenn man den Graphen

c) um 1 entgegen der x-Richtung verschiebt, d) um 2 in y-Richtung verschiebt, e) an der ersten Winkelhalbierenden spiegelt? 12.4 Beschreiben Sie die Transformationen, wie die Gra-

phen der folgenden Funktionen aus den bekannten grundlegenden Graphen entstehen. Skizzieren Sie ohne Unterstüt-

12.9 Gegeben sind die Funktionen f; g; h mit

f .x/ D x 2 ;

g.x/ D

p

x;

h.x/ D

1 : x

Bestimmen Sie die Abbildungsterme folgender Funktionen. Vereinfachen Sie die Funktionsterme weitmöglichst. Wie groß ist jeweils der maximale Definitionsbereich?

Kapitel 12  Funktionen

104

a) g ı f und f ı g

12.3

b) f ı .g C h/

a) b) c) d) e)

c) h ı .f  g/   d) f ı gh e) f ı .g ı h/ 12.10 Versuchen Sie, ohne Einsatz eines elektronischen

Hilfsmittels die Graphen folgender Funktionen zu skizzieren. y D j sin.x/j y D x C jx  1j

1 yDp x x1 yD xC1

y y y y y

D  ln.x/ D ln.x/ D ln.x C 1/ D ln.x/ C 2 D ex

12.4 Umwandlung der Funktionsterme, sodass man die Transformationen ablesen kann. p p y D  4  x D  .1/.x  4/ y

y D e cos.x/

4 x

y D ln.4  x / 2

Bestimmen Sie eine Polynomfunktion möglichst niedrigen Grades, deren Graph durch die folgenden Punkte geht. a) P0 .0j  3/I P1 .1j0/I P2 .2j5/

2

12.11

jx  1j yD D 2

(

1 .x  2 1 .x C 2

1/ für x  1 1/ für x < 1

b) P0 .1j  17/I P1 .0j  5/I P2 .1j1/I P3 .2j13/ y

12.12 Berechnen Sie die Polynomfunktion g, für die

1

x  3x C 6x  4 D .x  2/  g.x/ 4

12

3

2

gilt.

x

1

y D 2x 2 C 8x  1 D 2.x C 2/2  9

Lösungen zu den Aufgaben

y

12.1 y D  12 x C 1, y D x 2  1, y D sin.x/, y D ln.x/,

y D e x , y D tan.x/

2

12.2 Die Graphen der Funktionen finden Sie im OnlineMaterial. Tabelle mit Definitions- und Wertebereichen:

Funktion 2x C 1 x2  2 2 sin.x/ e x C 1   tan x C 2

Definitionsbereich Wertebereich R R R Œ2I 1Œ R Œ2I 2 R 1I 1Œ R fx 2 R j x 6D k; k 2 Zg 1 Rnf2g 0I 1Œ .x2/2 x e R 0I 1Œ 2 Rnf1g Rnf0g xC1 ln.1 C x/ C 1 1I 1Œ R 2 sin.2x/  2 R Œ4I 0 R Œ4I 1Œ 2.x C 1/2  4  cos.2.x  // C 1 R Œ0I 2

x

2

9

y D 3.sin.2x  /  1/     3 D 3 sin .2/ x C 2 y 2

2

3

3 2

x

12

105 Lösungen zu den Aufgaben

12.5 Die Aussage ist

12.8

a) falsch, z. B. hat y D x 2  1 gleich zwei Nullstellen; b) wahr, da die Funktion für negative x gegen 1 und für positive x gegen C1 strebt oder umgekehrt; c) wahr, da eine Parabel entweder unten oder oben einen Scheitel und damit ein Extremum hat; d) falsch, da x D 0 eine Definitionslücke ist; e) falsch, da durch die Funktion z. B. der Wert y D 0 nicht erreicht wird; x f) falsch, Gegenbeispiel f .x/ D 1Cx 2; g) wahr, die Wendestellen x D k .k 2 Z/ der Sinusfunktion sind die Maximal- bzw. Minimalstellen der Kosinusfunktion.

a) f .x/ D x C 1, g.x/ D ln.x/ b) f .x/ D xC2 , g.x/ D x 2 xC1 c) f .x/ D cos.x/, g.x/ D x 2

12.6 y

p a) .g ı f /.x/ D x 2 D jxj, Dgıf D R p 2 .f ı g/.x/ D x D x, Df ıg D Œ0I 1Œ p 2 b) .f ı .g C h//.x/ D x C x1 D x C p2x C x12 , Df ı.gCh/ D 0I 1Œ c) .h ı .f  g//.x/ D x 2 1px D 15 , Df ı.gh/ D 0I 1Œ    2 x 2 p d) f ı gh .x/ D x  x D x 3 , Df ı. g / D 0I 1Œ h q 2 1 1 e) .f ı .g ı h//.x/ D x D x , Df ı.gıh/ D 0I 1Œ 12.9

y D f .x/

12.10 y D g.x/2

1

y j sin.x/j

y

1 x 1

1

2

x

p1 x

1

12.7

e

a) .f C g/.x/ D x  1; Df Cg D R .f  g/.x/ D 3x  3; Df g D R .f  g/.x/ D 2x 2 C 5x  2; Df g D R f x2 1 g .x/ D 12x ; D f D Rnf 2 g

x

1

y

y e cos.x/

1

1 x C jx x

y

1

1j x

g

b) .f C g/.x/ D sin.x/ C cos.x/; Df Cg D R .f  g/.x/ D sin.x/  cos.x/; Df g D R .f  g/.x/ D sin.x/  cos.x/; Df g D R f sin.x/ g .x/ D˚ cos.x/ D tan.x/,  D f D x 2 R j x 6D 2 C k; k 2 Z

g

ln.4

x2 /

1

2 x

1 2

1 1

g

c) .f C g/.x/ D x 2 C x  2; Df Cg D R .f  g/.x/ D x 2  x; Df g D R .f  g/.x/ D x 3  x 2  x C 1; Df g D R 2 1 f .x/ D xx1 D x C 1; D f D Rnf1g g p pg d) .f C g/.x/ D p 1 C x Cp x; Df Cg D Œ0I 1Œ .f  g/.x/ Dp 1 C x  x; Df g D Œ0I 1Œ 2 .f  g/.x/ qD x C x ; Df g D Œ0I 1Œ f 1Cx .x/ D ; D f D 0I 1Œ g x

y

x 1 xC1

1

x

12.11

a) f .x/ D x 2 C 2x  3 b) f .x/ D 2x 3  3x 2 C 7x  5 12.12 Der Ansatz g.x/ D a2 x 2 C a1 x C a0 ergibt mit Aus-

multiplizieren und Koeffizientenvergleich g.x/ D x 2  3x C 2:

107

Differenzialrechnung

Palacio de Generalife, Granada (Spanien). Foto: Rüdiger Lunde

Inhaltsverzeichnis 13.1

Selbsteinschätzung – 108

13.2

Grenzwerte von Funktionen – 109

13.3

Die Ableitung an einer Stelle – 110

13.4

Die Ableitungsfunktion – 111

13.5

Ableitungsregeln und ihre Anwendung – 112

13.6

Eigenschaften von Funktionen – 114

13.7

Lösen von Optimierungsproblemen – 115 Aufgaben – 118 Lösungen zu den Aufgaben – 120

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Dürrschnabel et al., So viel Mathe muss sein!, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8_13

13

Kapitel 13  Differenzialrechnung

108

In diesem Kapitel wiederholen Sie die zentralen Begriffe der Differenzialrechnung: Grenzwerte, Ableitung einer Funktion an einer Stelle sowie Ableitungsfunktion. Sie wenden diese Konzepte an, um Eigenschaften von Funktionen zu analysieren und Optimierungsprobleme zu lösen. Im praktischen Einsatz sind die Ableitungsregeln zur Bestimmung der Ableitungsfunktion zusammengesetzter Funktionen ein wichtiges Handwerkszeug.

13.1

a) b) c) d) e) f) g) h)

f .x/ D x 5 p f .x/ D x f .x/ D x n , n 2 Q f .x/ D x1 f .x/ D x12 f .x/ D cos.x/ f .x/ D e x f .x/ D ln.x/

Selbsteinschätzung

? Ich kann Grenzwerte von Funktionen bestimmen. 7 Abschn. 13.2

Test 13.1 Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionen f mit 1 a) f .x/ D .x3/ 2 für x ! 3 2x b) f .x/ D e für x ! 1 bzw. x ! 1 c) f .x/ D xxC1 2 1 für x ! 1 d) f .x/ D xxC1 2 1 für x ! 1 e) f .x/ D cos.2x C / für x ! 0

? Ich kann die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 interpretieren. 7 Abschn. 13.3

? Ich kenne die wichtigsten Ableitungsregeln und kann sie anwenden. 7 Abschn. 13.5

Test 13.4 Bilden Sie die Ableitungsfunktionen der folgenden Funktionen f . Geben Sie jeweils alle Ableitungsregeln an, die Sie verwendet haben. a) f .x/ D 2x 3 C 4x  4 b) f .x/ D x 4  cos.x/ c) f .x/ D 3 sin.2x/ C x2 d) f .x/ D 2x  ln.x/ e) f .x/ D 2 psin.3x C / f) f .x/ D x 4 C 4 3 2 C2 g) f .x/ D 3x 4x x2 h) f .x/ D .1 C 3x/  e x

13 Test 13.2 Sind die folgenden Aussagen für jede differenzierbare Funktion f zutreffend oder nicht? a) Wenn f 0 .7/ D 2 ist, hat die Tangente an den Graphen von f im Punkt P .2jf .2// die Steigung 7. b) Wenn f 0 .3/ D 0 ist, hat die Funktion f an der Stelle x D 3 eine Nullstelle. c) Wenn f 0 .1/ D 0 ist, hat der Graph von f in P .1jf .1// eine waagerechte Tangente. d) Die momentane Änderungsrate der Funktion f mit f .x/ D 2x 2 C 15x C 2 an der Stelle x D 4 ist positiv. e) Die Tangente an den Graphen der Funktion f mit f .x/ D 7x 2  6 im Punkt P .1j1/ hat einen Schnittwinkel von 45ı mit der x-Achse.

? Ich kann Wachstums- und Krümmungsverhalten einer Funktion mithilfe ihrer Ableitungen analysieren. 7 Abschn. 13.6

Test 13.5 Bestimmen Sie rechnerisch (mithilfe der Ableitung) alle Bereiche, in denen der Funktionsgraph von f mit f .x/ D 2x 3  3x 2  36x C 42 a) monoton wächst bzw. fällt, b) links- bzw. rechtsgekrümmt ist, sowie alle Hoch-, Tief- und Wendepunkte.

? Ich kenne die Ableitungsfunktionen elementarer Funktionen. 7 Abschn. 13.4

Test 13.3 Geben Sie die Ableitungsfunktionen der folgenden Funktionen f an, mit

109 13.2  Grenzwerte von Funktionen

? Ich kann Optimierungsaufgaben mithilfe der Differenzial-

h) Summen-, Faktor-, Produkt- und Kettenregel: f 0 .x/ D 3e x  .1 C 3x/  e x D e x  .2  3x/

rechnung lösen. 7 Abschn. 13.7

Test 13.6 Ein Stamm mit halbkreisförmigem Querschnitt soll so beschnitten werden, dass ein rechteckiger Balken mit dem größtmöglichen Widerstandsmoment W entsteht. Das Widerstandsmoment berechnet sich aus Breite b und Höhe h des rechteckigen Querschnitts (siehe Abb. unten) zu W D 16  h  b 2 . Was sind die optimale Höhe und Breite des Balkens?

13.5 f 0 .x/ D 6x 2  6x  36 D 6.x 2  x  6/ D 0 für x 2 f2I 3g, f 00 .x/ D 12x  6 D 0 für x D 12 Wachstumsverhalten: f 0 ist Graph von f Bereich x < 2 positiv streng monoton wachsend 2 < x < 3 negativ streng monoton fallend positiv streng monoton wachsend x>3 Wegen der Vorzeichenwechsel hat der Graph einen Tiefpunkt in T .3j  39/ und einen Hochpunkt in H.2j86/. Krümmungsverhalten: Bereich f 00 ist Graph von f x < 0;5 negativ rechtsgekrümmt x > 0;5 positiv linksgekrümmt Der Graph hat einen Wendepunkt in W .0;5j23;5/.

b

r

h

 2 13.6 Nach Pythagoras ist r 2 D h2 C b2 , also b 2 D 4.r 2  h2 /. Nach Elimination von b erhält man als die zu optimierende Funktion: W .h/ D 23 h  .r 2  h2 /, W 0 .h/ D 2 1 2 2 2 2 00 3  .r  3h / D 0 , 3 r D h , W .h/ D 4h < 0. Es handelt sich um ein Maximum für h D p13 r und b 2 D 83 r 2 mit Wmax D

v Ergebnisse der Testaufgaben 1 13.1 a) limx!3 .x3/ 2 D C1, b) limx!1 e 2x D C1 und limx!1 e 2x D 0,

c)

hat für x ! 1 keinen Grenzwert (Polstelle mit Vorzeichenwechsel), xC1 .xC1/.x1/

xC1 D  12 , d) limx!1 .xC1/.x1/ e) limx!0 cos.2x C / D 1

13.2 a) nein, b) nein, c) ja, d) nein, e) nein 13.3 a) f 0 .x/ D 5x 4 ,

Anschaulich bezeichnet der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle denjenigen Wert, dem sich die Funktionswerte in der Umgebung der betrachteten Stelle annähern. An allen Stellen, an denen die Funktion stetig ist, ist der Grenzwert gleich dem Wert der Funktion an dieser Stelle, es ist also x!x0

d) f 0 .x/ D  x12 ,

Das bedeutet: Im Fall von Stetigkeit kann man die Stelle x0 einfach in die Funktion einsetzen. Für den Graphen der Funktion f bedeutet Stetigkeit an der Stelle x0 , dass man den Funktionsgraphen in der Umgebung von x0 ohne abzusetzen durchzeichnen kann. Interessanter sind Grenzwertbetrachtungen für Definitionslücken oder die Ränder des Definitionsbereichs einer Funktion, an denen das Grenzwertverhalten sehr unterschiedlich sein kann.

 x23 ,

e) f .x/ D f) f 0 .x/ D  sin.x/, g) f 0 .x/ D e x , h) f 0 .x/ D

Grenzwerte von Funktionen

lim f .x/ D f .x0 /:

b) f 0 .x/ D 2p1 x , c) f 0 .x/ D n  x n1 , 0

13.2

p 4 3 3 r . 27

1 x

13.4 a) Summen- und Faktorregel: f 0 .x/ D 6x 2 C 4, b) Produktregel: f 0 .x/ D 4x 3  cos.x/  x 4 sin.x/, c) Summen-, Faktor- und Kettenregel: f 0 .x/ D 6 cos.2x/  x22 , 1 Beispiel 13.1 d) Faktor- und Produktregel: f 0 .x/ D 2 ln.x/ C 2, Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f mit e) Faktor- und Kettenregel: f 0 .x/ D 6 cos.3x C /, 2Cx f) Summen- und Kettenregel: f 0 .x/ D 2x 3  p 14 , : f .x/ D x C4 2 .x C 2/ .1  x/ g) Summen-, Faktor- und Produktregel oder Quotientenregel: f 0 .x/ D  x23  .3x 3  4x 2 C 2/ C 1 x2

 .9x 2  8x/ D

3x 3 4 , x3

Die Funktion ist an den Stellen x1 D 1 und x2 D 2 nicht definiert, sie hat dort Definitionslücken. Insbesondere ist

13

110

Kapitel 13  Differenzialrechnung

sie an diesen Stellen nicht stetig. Um den Graphen zu skizzieren, muss man sich klarmachen, wie sich die Funktionswerte in der Nähe dieser Stellen verhalten. Nähert sich das Argument x der Stelle x1 D 1 (ohne sie zu erreichen), dann wachsen die Funktionswerte an und können beliebig groß werden. Man sagt, die Funktion strebt für x ! 1 gegen unendlich und schreibt: limx!1 f .x/ D C1. Ein anderes Verhalten beobachtet man in der Nähe der Stelle x2 D 2. Hier nähern sich die Funktionswerte für x ! 2 dem Wert 19 an. Das liegt daran, dass man die Funktionsgleichung für alle x ¤ 2 umformen kann zu 2Cx 1 f .x/ D D .1  x/2 .x C 2/ .1  x/2

13.3

Die Ableitung an einer Stelle

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x0 ist die momentane Änderungsrate an dieser Stelle und entspricht der Steigung der Tangente t an den Funktionsgraphen im Punkt P0 .x0 jf .x0 //. y

y D f .x/

t für x ¤ 2:

't

Das Kürzen des Terms .x C 2/ ist nur zulässig, wenn x x0 .x C 2/ ¤ 0 ist, d. h. für alle x außer x D 2. Die Funkti1 onswerte sind also überall gleich .1x/ 2 , mit Ausnahme der Definitionslücke x2 D 2. Formal definiert man sie über den Grenzwert des DifferenMan schreibt: limx!2 f .x/ D 19 . zenquotienten Betrachtet man den Grenzwert für x ! 1, stellt man y f .x/  f .x0 / sich vor, dass die Argumente x beliebig groß werden kön: D lim f 0 .x0 / D lim x!x0 nen. Man erkennt an der letzten Umformung von f .x/, x!0 x x  x0 dass die Funktionswerte dann positiv bleiben, aber immer kleiner werden; sie gehen gegen null. In diesem Fall ist Wenn dieser Grenzwert existiert, dann heißt f differenalso limx!1 f .x/ D 0, und die x-Achse ist eine waage- zierbar in x0 . rechte Asymptote der Funktion f . Entsprechendes gilt für 1 Beispiel 13.2 x ! 1.

13

Bestimmen Sie die Ableitung der konstanten Funktion f mit f .x/ D c (mit c 2 R).

v Ergebnis Der Graph der Funktion f hat nachfolgende Gestalt:

Die Ableitung ist an jeder Stelle x0 gleich null, weil y f 0 .x0 / D lim

x!x0

y D f .x/

Anschaulich entspricht der Funktionsgraph einer waagerechten Geraden. Die Tangente ist identisch mit dieser Geraden und hat die Steigung null. vErgebnis

f 0 .x/ D 0

1

2

1

x

Mehr zu Grenzwertbetrachtungen für gebrochenrationale Funktionen finden Sie im Online-Material.

f .x/  f .x0 / cc D lim D 0: x!x x  x0 0 x  x0

111 13.4  Die Ableitungsfunktion

Ableitungen in der Physik

Ableitungen elementarer Funktionen

Die physikalischen Begriffe Momentangeschwindigkeit v eines bewegten Massenpunktes, Stromstärke I , sowie die Leistung P lassen sich über Ableitungen nach der Zeit definieren:

f

v.t0 / D sP .t0 /

P 0/ I.t0 / D Q.t

P .t0 / D WP .t0 /

Hier sind 4 s.t/ der zurückgelegte Weg des Massenpunktes zum Zeitpunkt t, 4 Q.t/ die elektrische Ladungsmenge, die bis zum Zeitpunkt t durch den Bezugsquerschnitt geflossen ist, 4 W .t/ die Arbeit, die eine Maschine bis zur Zeit t verrichtet hat.

f0

x ; für n 2 Z x r ; für r 2 R p x

n  x n1 r  x r1

sin.x/ cos.x/ tan.x/ ex ln.x/ ax ; für a > 0

cos.x/  sin.x/ 1 C tan2 .x/ ex

n

1 p 2 x

1 x

Voraussetzungen Df je nach Wert von r x>0

x¤

 2

C k; k 2 Z

x>0

ax  ln.a/

1 Beispiel 13.3 Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f mit

Ableitungen nach der Zeit schreibt man in der Physik (in Anlehnung an Newton) immer noch gern mit einem Punkt statt mit dem Ableitungsstrich.

f .x/ D

p 3

x

an der Stelle x0 D 8.

Eine weitere Schreibweise, die sich in der Physik und den Ingenieuranwendungen bewährt und erhalten hat, lehnt sich an die Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten an. Man schreibt f 0 .x0 / D lim

x!x0

y dy df D D .x0 /: x dx dx

Wurzelfunktionen kann man mithilfe von Potenzen schreiben (7 Abschn. 8.3), was zum Ableiten und Integrieren p 1 häufig zweckmäßig ist: Es ist f .x/ D 3 x D x 3 . Damit berechnet sich die Ableitung zu f 0 .x/ D

Um zu betonen, dass es sich um unendlich kleine Differenzen, sogenannte Differenziale, handelt, ersetzt man das in Differenzen sonst übliche  durch ein d . Aus dem Diffey dy wird so der Differenzialquotient dx . renzenquotienten x

1 1 1 1 2 :  x 3 1 D  x  3 D p 3 3 3 3 x2

vErgebnis f 0 .8/ D

1 12

1 Beispiel 13.4 13.4

Die Ableitungsfunktion

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der Funktion f mit 1

f .x/ D : Ordnet man jeder Stelle x 2 Df , an der die Funktion f difx ferenzierbar ist, den Wert der Ableitung an dieser Stelle x zu, dann erhält man eine neue Funktion, die man die Ab- Wieder hilft die Potenzschreibweise: Es ist f .x/ D x 1 . leitungsfunktion f 0 nennt. Genauer handelt es sich um die Ableitungsfunktion (oder kurz: Ableitung) 1. Ordnung von vErgebnis f. f 0 .x/ D x 2 D  x12 Berechnet man ihrerseits die Ableitung der Ableitung, so erhält man die Ableitungsfunktion 2. Ordnung von f .1 Beispiel 13.5 Man schreibt f 00 .x/. Sie sagt etwas darüber aus, wie sich Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Tangente an den die Steigung des Graphen der Funktion f verändert. Graphen der Funktion f mit f .x/ D tan.x/ im Punkt P . 4 j1/. Allgemein ist die Ableitungsfunktion n-ter Ordnung (kurz: die n-te Ableitung) f .n/ die Ableitung von f .n1/ , Wir bestimmen eine Gleichung der Tangente in der Form d. h., für natürliches n > 1 ist y D ax C b. Die Steigung a ist der Wert der Ableitung f 0   0 an der Stelle x D 4 , also f .n/ .x/ D f .n1/ .x/ :   Zur praktischen Berechnung der Ableitungsfunktion einer D 2: f 0 .x/ D 1 C tan2 .x/ und a D f 0 4 gegebenen Funktion f benutzt man die bekannten Ableitungen der elementaren Funktionen.

13

Kapitel 13  Differenzialrechnung

112

Durch Einsetzen des Punktes P bestimmt man auch b zu 1 Beispiel 13.7 1D2

 C b; 4

b D1

also

y

Berechnen Sie die Ableitungen bis zur 4. Ordnung von f mit

 : 2

f .x/ D cos.x/:

y D tan.x/

Man leitet viermal hintereinander ab (bei der 2. und 3. Ableitung braucht man für das Minuszeichen die Faktorregel):

1 x 4

yD

C 2x

1

2

f 0 .x/ D  sin.x/ f 00 .x/ D .sin.x//0 D  cos.x/ f 000 .x/ D .cos.x//0 D sin.x/ f .4/ .x/ D cos.x/ Ab hier würden sich diese vier Funktionen immer wiederholen, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

v Ergebnis Die Tangente im Punkt P . 4 j1/ hat die Gleichung y D 2x C 1 

13.5

13

Ableitung

Ableitung

 : 2

cos.x/

Ableitungsregeln und ihre Anwendung

Meist hat man es in Anwendungen nicht nur mit elementaren Funktionen in ihrer Reinform, sondern mit daraus Ableitung zusammengesetzten Funktionen zu tun. Die Ableitungsregeln (. Abb. 13.1) beschreiben, wie die Ableitung bei häufig vorkommenden Verknüpfungen zu berechnen ist. 1 Beispiel 13.8 1 Beispiel 13.6 Bestimmen Sie die Ableitung von p mit p.x/ D 3x 3  7x 2 C 17:

Zum Ableiten von Polynomen genügen Summen- und Faktorregel:  0  0 p 0 .x/ D 3  x 3  7  x 2 C .17/0 Zur Erinnerung: Die Ableitung der konstanten Funktion f mit f .x/ D 17 ist null. v Ergebnis

sin.x/

p 0 .x/ D 9x 2  14x

cos.x/

sin.x/

Ableitung

Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen und geben Sie alle Regeln an, die Sie dabei verwenden: f1 .x/ D .x 2 C 1/  cos.x/ f2 .x/ D sin.2x C 1/ f3 .x/ D x  e x f4 .x/ D

1 x2 C 1

Für die Ableitung von f1 braucht man die Produktregel und für .x 2 C 1/0 die Summenregel. Es ist: f10 .x/ D 2x  cos.x/  .x 2 C 1/ sin.x/ Für die Ableitung von f2 braucht man die Kettenregel. Die äußere Funktion in der Nacheinanderausführung (Verkettung) ist die Sinusfunktion. In f2 wird sie angewendet auf das Ergebnis der inneren Funktion y D 2x C 1. Damit ist: f20 .x/ D cos.2x C 1/  „ƒ‚… 2 „ ƒ‚ … äußere Abl.

innere Abl.

113 13.5  Ableitungsregeln und ihre Anwendung

Regel

Voraussetzung

Summenregel

.u C v/0 D u0 C v 0

u und v differenzierbar

Faktorregel

.˛  u/0 D ˛  u0

u differenzierbar, ˛ konstant

Produktregel

.u  v/0 D u0  v C u  v 0

u und v differenzierbar

Kettenregel f .x/ D u.v.x//

f 0 .x/ D u0 .v.x//  v 0 .x/

v in x differenzierbar, u in v.x/ differenzierbar

 u 0

Quotientenregel

v

D

0

u vuv v2

0

u und v differenzierbar, v.x/ ¤ 0

. Abb. 13.1 Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen

Für f30 braucht man eine Kombination von Produkt- und Kettenregel. Es ist: .e x /0 D e x  .1/ D e x f30 .x/ D 1  e x C x  .e x / D .1  x/  e x

(Kettenregel) (Produktregel)

f4 ist eine Verkettung mit f4 .x/ D v.u.x// mit v.x/ D x1 (äußere Funktion) und u.x/ D x 2 C 1 (innere Funktion). Hier hilft also auch die Kettenregel. Vom Kehrwert kennen wir die Ableitung schon (7 Beispiel 13.4). Es ist: 1 2x  2x D 2 f40 .x/ D  2 .x C 1/2 „ƒ‚… .x C 1/2 „ ƒ‚ … innere Abl. äußere Abl.

Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, dass wir für die innere Ableitung auch die Summenregel verwendet haben. Bei mehrfach zusammengesetzten Funktionen ist es hilfreich, sich zuerst die Struktur des Ausdrucks klarzumachen, um zu entscheiden, in welcher Reihenfolge die Ableitungsregeln anzuwenden sind. Teilausdrücke kann man auch in einer Nebenrechnung ableiten, um beim Zusammensetzen nicht durcheinander zu kommen. 1 Beispiel 13.9 Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion der Funktion f mit f .x/ D

p

x 2 C 1  sin.2x/

und machen Sie sich klar, welche Ableitungsregeln Sie verwenden.

Es handelt sich zunächst um ein Produkt zweier Funktionen: p f .x/ D x 2 C 1  sin.2x/ „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … u.x/

v.x/

Man arbeitet also auf der oberen Ebene mit der Produktregel. Beide Faktoren sind wiederum zusammengesetzte Funktionen, nämlich Nacheinanderausführungen (Verkettungen). Ihre Ableitungen berechnet man jeweils mit der Kettenregel: p

x2 C 1 1 1  .2x/ u0 .x/ D  p 2 2 x C 1 „ƒ‚… „ ƒ‚ … innere Abl. u.x/ D

äußere Abl.

v.x/ D sin.2x/ v 0 .x/ D cos.2x/  „ƒ‚… 2 „ ƒ‚ …

äußere Abl. innere Abl.

Für die innere Ableitung von u.x/ haben wir zudem noch die Summenregel benutzt. Setzt man diese Einzelteile zusammen, erhält man f 0 .x/ D u0 .x/  v.x/ C u.x/  v 0 .x/ p x Dp  sin.2x/ C x 2 C 1  2 cos.2x/: x2 C 1 Informatiker stellen die Struktur von Termen gern als Baum dar, aus dem die Reihenfolge der Operationen (und damit auch der anzuwendenden Ableitungsregeln) ersichtlich wird. Mehr dazu erfahren Sie im Online-Material. Aus Produkt- und Kettenregel kann man leicht eine weitere Ableitungsregel herleiten, nämlich die Quotientenregel (. Abb. 13.1).

13

114

Kapitel 13  Differenzialrechnung

13.6

Eigenschaften von Funktionen

1 Beispiel 13.11 Untersuchen Sie das Wachstumsverhalten von f mit

Aus der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen in einem Punkt kann man vor allem Rückschlüsse auf das Steigungsverhalten der Funktion ziehen: Monotonieuntersuchung mithilfe der Ableitung

f .x/ D cos.2x/:

Die Kosinusfunktion f (in Rot) hat als Ableitung f 0 .x/ D 2 sin.2x/ (in Blau). Die Nullstellen der Ableitung berechnet man zu f 0 .x/ D 0

Wenn die Ableitung einer Funktion f auf einem Intervall aI bΠpositiv (bzw. negativ) ist, dann ist der Funktionsgraph von f auf aI bΠstreng monoton wachsend (bzw. fallend).

,

sin.2x/ D 0

,

2x D k  ;

also xk D k  mit k 2 Z. Die Ableitung wechselt an jeder der Nullstellen ihr Vorzeichen.  2

y D f 0 .x/ Dieser Zusammenhang gilt natürlich nur, wenn die Funktion auf dem ganzen Intervall definiert und auch differenzierbar ist. Dann kann man ihn benutzen, um Abschnitte zu bestimmen, auf denen ein Funktionsgraph monoton wächst oder fällt.

y D f .x/

y 1

2

2

x

1 Beispiel 13.10 Bestimmen Sie für die Funktion f mit f .x/ D x 3  3x C 1

(unten in Rot dargestellt);

auf welchen Intervallen ihr Graph monoton wächst oder fällt.

13

Dazu untersucht man das Vorzeichen der 1. Ableitung f 0 .x/ D 3x 2  3. Beim Graphen von f 0 handelt es sich um eine nach oben offene Parabel (in der Abbildung blau gezeichnet); die Werte von f 0 sind also zwischen ihren Nullstellen x1;2 D ˙1 negativ und sonst positiv. y y D f 0 .x/

vErgebnis Bereich

f 0 ist hier

f ist hier

 < x <  2  2 < x < 0 0 < x < 2  x0 0

b) f .x/ ist negativ für x < x0 und positiv für x > x0

Maximum f .x0 / Minimum f .x0 /

Liegt kein Vorzeichenwechsel vor, handelt es sich um einen Sattelpunkt. Hinreichendes Kriterium: Wert der 2. Ableitung Wenn f 0 .x0 / D 0 und der Wert der 2. Ableitung ungleich null ist, dann liegt an der Stelle x0 ein lokales Extremum vor, nämlich: a) f 00 .x0 / ist negativ

Maximum f .x0 /

00

b) f .x0 / ist positiv

Minimum f .x0 /

. Abb. 13.2 Kriterien für lokale Extrema

! Achtung Diese Kriterien sind nur anwendbar, wenn f auf aI bŒ genügend glatt ist, d. h., wenn genügend hohe Differenzierbarkeitseigenschaften erfüllt sind.

! Achtung Randextrema sind gesondert zu betrachten.

1 Beispiel 13.14 Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion f mit

13

f .x/ D x 3  6x 2 C 1 für

x 2 R:

1. Es ist f 0 .x/ D 3x 2  12x. Die Ableitung nimmt den Wert null an, wenn 3x 2  12x D 3x  .x  4/ D 0: Das gilt, wenn x1 D 0 oder x2 D 4 ist. 2. Bei Polynomen bietet sich das Benutzen der 2. Ableitung an. Es ist f 00 .x/ D 6x  12 mit den Werten: f 00 .0/ D 12 < 0 Hochpunkt H.0j1/ Tiefpunkt T .4j  31/ f 00 .4/ D 12 > 0 v Ergebnis f hat ein lokales Maximum an der Stelle x D 0 mit dem Hochpunkt H.0j1/ und ein lokales Minimum an der Stelle x D 4 mit dem Tiefpunkt T .4j  31/.

1 Beispiel 13.15 Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion f mit f .x/ D x 4  8x 3 C 18x 2  16:

1. Es ist f 0 .x/ D 4x 3  24x 2 C 36x. Durch Ausklammern und Zusammenfassen des Binoms ergibt sich f 0 .x/ D 4x.x 2  6x C 9/ D 4x.x  3/2 : Die Ableitung ist gleich null, wenn x1 D 0 ist oder in der Nullstelle des quadratischen Terms: x2 D 3. 2. Es ist f 00 .x/ D 12.x 2  4x C 3/ und die Werte von f 00 an beiden Stellen sind: f 00 .3/ D 0 Kriterium nicht anwendbar 00 f .0/ D 36 > 0 Tiefpunkt T .0j  16/ y y D x4

8x 3 C 18x 2

16

5 1

3

x

10

Betrachtet man das Vorzeichen der 1. Ableitung in der Umgebung der Stelle x2 D 3, erkennt man, dass wegen des geraden Exponenten kein Vorzeichenwechsel vorliegt: x>3 0 0 2 4x.x  3/ > 0 4x.x  3/2 > 0 Also hat der Graph von f im Punkt P .3jf .3// zwar eine waagerechte Tangente, aber keinen Extrempunkt. Einen solchen Punkt nennt man auch Sattelpunkt. Man erkennt es gut an der oben stehenden Skizze.

117 13.7  Lösen von Optimierungsproblemen

v Ergebnis

Ein lokales Minimum einer Funktion an der Stelle x0 bedeutet, dass man in der unmittelbaren Umgebung von x0 keinen noch kleineren Funktionswert finden wird. Entfernt man sich jedoch weiter von x0 , sind kleinere Werte von f durchaus möglich. Den kleinsten Funktionswert einer Funktion f auf einem vorgegebenen Intervall nennt man ihr globales Minimum. Für lokale bzw. globale Maxima gilt das Entsprechende.

f hat nur ein Minimum in x D 0 mit dem Wert f .0/ D 16.

1 Beispiel 13.16 Die Funktion f mit f .t/ D e t  .1  5t/;

t 0

beschreibt eine sehr stark gedämpfte Schwingung. Solche Schwingungen kommen z. B. beim Abbremsen einer Fahrstuhlkabine vor; dann würde man y D f .t/ als Auslenkung gegenüber der Ruhelage y D 0 betrachten. Zu welchem Zeitpunkt t > 0 hat die Größe y D f .t/ lokale Extrema?

Untersuchen globaler Extrema

1. Es ist f 0 .t/ D e t  .1  5t/ C e t  .5/ D e t  .5t  6/: Die Ableitung ist gleich null, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist. Da e t immer positiv ist, muss gelten: .5t  6/ D 0

,

tD

6 D 1;2 5

2. Das Vorzeichen der 1. Ableitung wird (wiederum: weil e t immer positiv ist) bestimmt durch das Vorzeichen des Faktors .5t  6/. Es ist: für t > 1;2 für t < 1;2 5t  6 < 0 5t  6 > 0 f 0 .t/ negativ f 0 .t/ positiv

All diese Werte werden verglichen, um das globale Maximum bzw. Minimum auf dem betrachteten Intervall zu finden.

!Achtung Es ist möglich, dass die Funktion f den größten bzw. kleinsten gefundenen Wert nicht annimmt. In diesem Fall hat sie kein globales Maximum bzw. Minimum.

1 Beispiel 13.17

Die 1. Ableitung hat demnach in t D 1;2 einen Vorzeichenwechsel von negativ nach positiv; also hat f hier ein lokales Minimum. Genauere Untersuchungen liefern folgenden Verlauf des Funktionsgraphen: y 1 t

1 yDe

Ist man an den globalen Extremwerten einer Funktion f auf einem Intervall interessiert, muss man deshalb etwas mehr Aufwand betreiben: 1. Bestimmen aller lokalen Extrema im betrachteten Intervall; 2. Bestimmen der Funktionswerte in den Rändern des Intervalls (ggf. als Grenzwert); 3. Bestimmen der Funktionswerte an allen Stellen im Intervall, wo die Funktion nicht differenzierbar ist (ggf. als Grenzwert).

t

.1

5t/

v Ergebnis Zum Zeitpunkt t D 1;2 hat f ein lokales Minimum mit f .1;2/  1;5060.

Untersuchen Sie unter Zuhilfenahme des Schaubildes den Wertebereich von f mit f .t/ D e t  .1  5t/;

t  0:

Im vorigen Beispiel haben wir das lokale Minimum von f .t/ D e t  .1  5t/, für t  0, an der Stelle t0 D 1;2 bestimmt. Wir müssen zusätzlich die Randwerte betrachten: a) Es ist f .0/ D 1. b) Der zweite Randwert muss als Grenzwert bestimmt werden. Man sieht anhand des Graphen, dass lim t !1 f .t/ D 0 ist. Die Funktion f ist für alle t 2 R ausreichend glatt, sodass weitere Werte nicht betrachtet werden müssen. Ein Vergleich der Funktionswerte ergibt f .0/ D 1 als globales Maximum und f .1;2/  1;5060 als globales Minimum der Funktion f auf dem Intervall Œ0I 1Œ. vErgebnis Die Funktion nimmt für t  0 Werte aus dem Intervall Wf D Œ1;5060I 1 an.

13

118

Kapitel 13  Differenzialrechnung

1 Beispiel 13.18

e) f .x/ D

Es sollen die globalen Extremwerte der Funktion f mit f .x/ D x  8x C 10 4

f) f .x/ D

.x2/3 .x 2 C1/ x 2 C1 .x2/3

für x ! 1 für x ! 1

2

Zur Kontrolle veranschaulichen Sie sich die Funktionen grafisch (elektronisches Hilfsmittel).

auf dem Intervall Œ3I 3 bestimmt werden.

Zunächst suchen wir mit dem üblichen Vorgehen alle lokalen Extrema auf Œ3I 3. Es ist f 0 .x/ D 4x 3  16x und f 0 .x/ D 0, wenn 4x 3  16x D 4x.x 2  4/ D 4x.x  2/.x C 2/ D 0 ist. Das ist der Fall für x1 D 2, x2 D 0 und x3 D 2. Die 2. Ableitung ist f 00 .x/ D 12x 2  16, und man berechnet f 00 .2/ D 32 > 0 Tiefpunkt in T .2j  6/ f 00 .0/ D 16 < 0 Hochpunkt in H.0j10/ Tiefpunkt in T .2j  6/: f 00 .2/ D 32 > 0 Als Polynom ist die Funktion ausreichend glatt, es bleiben uns also nur noch die Randwerte zum Vergleich: Es ist f .3/ D 19 und f .3/ D 19. y

13

y D x4

8x 2 C 10

1

x

5

5

v Ergebnis Das globale Minimum ist der Wert 6, der an den Stellen x1 D 2 und x3 D 2 angenommen wird, und das globale Maximum der Wert 19, der in beiden Rändern angenommen wird.

Aufgaben

13.2 Sind die folgenden Aussagen für jede differenzier-

bare Funktion f zutreffend oder nicht? Erläutern Sie Ihre Entscheidung (z. B. mithilfe einer Skizze oder durch ein Gegenbeispiel). a) Wenn f 0 .0/ D 1 ist, hat die Tangente an den Graphen von f im Punkt P .0jf .0// die Steigung 1. b) Wenn f 0 .0/ D 1 ist, schneidet die Tangente an den Graphen von f im Punkt P .0jf .0// die x-Achse im Winkel von 45ı . c) Wenn f 0 .1/ D 1 ist, schneidet die Tangente an den Graphen von f im Punkt P .1jf .1// die x-Achse im Winkel von 45ı . d) Wenn f 0 .2/ D 0 ist, hat die Funktion f in x D 2 eine Nullstelle. e) Wenn f 0 .5/ D 0 ist, hat der Graph der Funktion f im Punkt P .5jf .5// eine waagerechte Tangente. f) Die momentane Änderungsrate der Funktion f mit f .x/ D 3x 2  4 an der Stelle x D 1 ist negativ. g) Die Tangente an den Graphen der Funktion f mit f .x/ D 3x 2  4 im Punkt P .0j  4/ ist waagerecht. 13.3 Die Geschwindigkeit v eines bewegten Körpers zum Zeitpunkt t ist die Ableitung der Funktion s.t/ nach der Zeit, wenn s.t/ den bis zum Zeitpunkt t (in Sekunden) zurückgelegten Weg beschreibt. Im freien Fall ohne Reibung wird die Weg-Zeit-Funktion durch

s.t/ D

g 2 t 2

beschrieben, wobei g  9;81 sm2 die Erdbeschleunigung ist. Welche Funktion gibt die Geschwindigkeit v.t/ beim freien Fall an? Nach welcher Zeit erreicht ein frei fallender Körper eine Geschwindigkeit von v D 30 km/h? 13.4 Geben Sie die Ableitungsfunktionen folgender Funk-

tionen an: a) f .x/ D x n für n 2 Z b) f .x/ D 42 p c) f .x/ D x d) f .x/ D x12 e) f .x/ D x13 f) f .x/ D ln.x/

13.1 Bestimmen Sie das Verhalten der folgenden Funktio-

nen f mit a) f .x/ D b) f .x/ D c) f .x/ D d) f .x/ D

3 x1 für x ! 1 3 für x ! 1 .x1/2 2.x2/ für x ! 2 .x 2 4/ 2.x2/ für x ! 2 .x 2 4/

13.5 Betrachten Sie die Funktion f mit f .x/ D

3 x2

für x > 2. An welcher Stelle hat der Graph der Funktion f die Steigung 3?

13

119 Aufgaben

13.6 Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen.

Machen Sie sich jeweils klar, mit welchen Ableitungsregeln Sie gearbeitet haben (mitunter sind verschiedene Wege möglich). 3 2 a) f .x/ D 5x p C 4x  5 b) f .x/ D 2 x C 1 c) f .x/ D x  cos.x/ d) f .x/ D .1  3x/  e x e) f .x/ D .1 C x 2 /2 f) f .x/ D sin.3x C 2 / g) f .x/ D p e 2x h) f .x/ D 4x 2 C 1 i) f .x/ D e x  sin.2x/ j) f .x/ D x1  sin.x/ k) f .x/ D ln.2/ l) f .x/ D x  ln.x/ 1 m) f .x/ D .x1/ 2 n) f .x/ D o) f .x/ D p) f .x/ D

1 .2x1/3 3.x2/ x1 3x 2 4x .xC2/2

d) Überprüfen Sie den Zusammenhang zwischen Vorzeichen der 2. Ableitung und Krümmungsverhalten des Graphen anhand des Paares .f I f 00 /. Wie viele Wendepunkte hat f im dargestellten Bereich? 13.10 Gegeben ist der Graph einer Funktion f . Skizzieren

Sie in dasselbe Koordinatensystem den Graphen der Ableitungsfunktion f 0 . y y D f .x/

2

1

13.7 Bestimmen Sie jeweils die Ableitungen 1. und 2. Ordnung der Funktion f . a) f .x/ D 5x 2  2 b) f .x/ D sin.2x/ c) f .x/ D e 3x d) f .x/ D 12  .e x C e x / e) f .x/ D ln.2x/ 13.8 An welchen Stellen haben die Graphen der folgenden

Funktionen eine waagerechte Tangente? a) f .x/ D x 3 C 3x 2  9x b) f .x/ D cos.2x/ 13.9 In der folgenden Abbildung sind die Graphen von

drei Funktionen dargestellt.

x

13.11 Untersuchen Sie für die folgenden Funktionen je-

weils rechnerisch (mithilfe der Ableitung), in welchen Bereichen sie streng monoton fallend oder wachsend sind. Veranschaulichen Sie sich die Überlegungen, indem Sie die Funktionsgraphen skizzieren (mit elektronischem Hilfsmittel). a) f .x/ D 2x 3  9x 2  24x C 2 b) f .x/ D x 3  12x C 5 2 c) f .x/ D e x d) f .x/ D .1  2x/  e x 13.12 Gegeben ist die Funktion f mit f .x/ D x 4 8x 2 C9.

Bestimmen Sie Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Untersuchen Sie das Wachstums- und Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen.

y 1

13.13 Untersuchen Sie für die folgenden Funktionen je-

1

x

a) Beschreiben Sie für jede Funktion, in welchem Abschnitt sie streng monoton wachsend oder fallend ist. b) Es handelt sich bei den Funktionen um eine Funktion f und ihre Ableitungen f 0 und f 00 . Ordnen Sie diese Funktionen den Graphen zu. c) Verifizieren Sie den Zusammenhang zwischen Vorzeichen der Ableitung und Monotonie der Funktion anhand der Paare .f I f 0 / und .f 0 I f 00 /.

weils rechnerisch, in welchen Bereichen ihre Graphen links- oder rechtsgekrümmt sind. Veranschaulichen Sie sich die Überlegungen, indem Sie die Funktionsgraphen skizzieren (mit elektronischem Hilfsmittel). a) f .x/ D x 3  9x 2 C 3 b) f .x/ D 2x C x1 2 c) f .x/ D e x d) f .x/ D x  e x e) f .x/ D x  ln.x/ f) f .x/ D 12 .e x  e x / 13.14 Unter welchem Winkel ˛ zu einer waagerechten Ebene muss ein Ball geworfen werden, damit die größtmögliche Weite erreicht wird? Die Wurfweite berechnet

Kapitel 13  Differenzialrechnung

120

Lösungen zu den Aufgaben

sich zu W .˛/ D

1 2  v sin.2˛/; g 0

wobei v0 die Anfangsgeschwindigkeit und g die Erdbeschleunigung ist (beides Konstanten, siehe auch 7 Aufgabe 13.3). 13.15 Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion f

mit 2 f .x/ D 2 ; x C1

x 2 R:

600 km damit zu fahren. Der Benzinverbrauch y (in Liter pro 100 km) hängt von der Fahrgeschwindigkeit x (in km/h) folgendermaßen ab:

13

3 a) limx!1 x1 D0 3 b) limx!1 .x1/2 D C1

c) limx!2

2.x2/ .x 2 4/

250 x 5C 10 x

Gehen Sie für die Aufgabe davon aus, dass die Geschwindigkeit auf der ganzen Strecke konstant gehalten werden kann. a) Welche Geschwindigkeit sollte sie fahren, um den Verbrauch zu minimieren? b) Nehmen wir an, der Mietpreis für den PKW beträgt 10  pro Stunde zuzüglich 50  Grundgebühr; Benzin kostet 1;50  pro Liter. Stellen Sie eine Kostenfunktion auf, die die Kosten in Abhängigkeit von der Fahrgeschwindigkeit x berechnet. c) Welche Geschwindigkeit sollte Paula fahren, um die Gesamtkosten zu minimieren? 13.17 Welche Abmessungen müssten Konservendosen in

der Form eines Drehzylinders haben, wenn das Volumen V D 512 ml festgelegt ist und möglichst wenig Blech verbraucht werden soll? Die Wanddicke kann dabei vernachlässigt werden (wie auch Falzkante, Überstand etc.).

D limx!2 2.x2/ .x 2 4/

2 .xC2/ 2 .xC2/

D

1 2

d) Es ist f .x/ D D für x ¤ 2, also hat f in x D 2 eine 3Polstelle mit Vorzeichenwechsel. .x2/ e) limx!1 .x 2 C1/ D 1 f) limx!1

13.16 Paula will einen PKW mieten, um eine Strecke von

yD

13.1

.x 2 C1/ .x2/3

D0

13.2

a) Richtig. Die Ableitung an der Stelle x0 D 0 beschreibt die Steigung der Tangente an den Graphen von f an dieser Stelle. b) Richtig. Die Steigung m der Tangente kann benutzt werden, um den Schnittwinkel auszurechnen. Es ist tan.˛/ D m; in diesem Fall tan.˛/ D 1, also ˛ D 45ı . c) Gilt nicht für jede Funktion f . Die Ableitung an der Stelle x0 D 1 sagt über die Steigung der Tangente in x D 1 nichts aus. Eine (negative) Steigung von m D 1 bedeutet außerdem einen Steigungswinkel von 45ı . Gegenbeispiel: Funktion f mit f .x/ D x 2  3x. d) Gilt nicht für jede Funktion f . Hier hat die Ableitung f 0 in x D 2 eine Nullstelle, also hat der Graph von f eine Tangente mit Steigung m D 0. Über den Wert der Funktion f an dieser Stelle lässt das keine Aussage zu. Gegenbeispiel: Funktion f mit f .x/ D 3x 2  12x C 1. e) Richtig. Hier hat die Ableitung f 0 in x D 5 eine Nullstelle, also hat der Graph von f hier eine Tangente mit Steigung m D 0. Das bedeutet, dass die Tangente waagerecht ist. f) Falsch. Es ist f 0 .1/ D 6 > 0. g) Richtig. Es ist f 0 .0/ D 0. 13.3 Es ist v.t/ D sP .t/ D g  t. Die Geschwindigkeit v.t/ D

Nm 30 km h D 8; 3 s erreicht ein Körper im freien Fall schon nach etwa 0;85 s. 13.4

a) f 0 .x/ D n  x n1 b) f 0 .x/ D 0 1 c) f 0 .x/ D 12  x  2 D

1 p 2 x

d) f 0 .x/ D 2  x 3 D  x23 e) f 0 .x/ D 3  x 4 D  x34 f) f 0 .x/ D x1 13.5 Es ist

f 0 .x/ D 

Foto: Rüdiger Lunde

3 Š D 3 , .x  2/2 D 1; .x  2/2

d. h., im Intervall 2I C1Πhat die Tangente an f die Steigung 3 nur an der Stelle x0 D 3.

121 Lösungen zu den Aufgaben

13.6

a) b) c) d) e) f) g) h)

f 0 .x/ D 15x 2 C 8x f 0 .x/ D p1x f 0 .x/ D cos.x/  x  sin.x/ f 0 .x/ D 3  e x C .1  3x/  e x D .2 C 3x/e x f 0 .x/ D 2  .1 C x 2 /  2x D 4x  .1 C x 2 / f 0 .x/ D 3  cos.3x C 2 / f 0 .x/ D 2  e 2x f 0 .x/ D p 4x2 4x C1

i) f 0 .x/ D e x sin.2x/ C 2e x cos.2x/ j) f 0 .x/ D  x12  sin.x/ C x1  cos.x/ bzw. mit Quotientenregel f 0 .x/ D cos.x/xsin.x/ x2 k) f 0 .x/ D 0 l) f 0 .x/ D ln.x/ C 1 2 m) f 0 .x/ D 2  .x  1/3 D  .x1/ 3

13.10 Um die Skizze zu erstellen (qualitativ), sollte man sich klarmachen: 4 Wo hat der Graph von f waagerechte Tangenten (Nullstellen der Ableitung)? 4 Wo ist die Ableitung von f positiv, wo negativ? 4 Wo nimmt die Steigung des Graphen von f zu, wo nimmt sie ab (wachsende bzw. fallende Ableitungsfunktion)? 4 Wo sind Wendepunkte (entsprechen den Extrema der 1. Ableitung)?

Unter der Annahme, dass f ein Polynom ist, kann man sogar die Funktionsgleichung aufstellen und die Ableitungsfunktion ausrechnen – das war hier aber nicht gemeint. y

6 n) f 0 .x/ D 3  .2x  1/4  2 D  .2x1/ 4

o) f 0 .x/ D p) f 0 .x/ D

3.x1/3.x2/ 3 D .x1/ 2 .x1/2 .6x4/.xC2/2 .3x 2 4x/2.xC2/ .xC2/4

y D f 0 .x/

D

2

16x8 .xC2/3

1

13.7

a) b) c) d) e)

f 0 .x/ D 10x, f 00 .x/ D 10 f 0 .x/ D 2 cos.2x/, f 00 .x/ D 4 sin.2x/ f 0 .x/ D 3e 3x , f 00 .x/ D 9e 3x f 0 .x/ D 12 .e x  e x /, f 00 .x/ D 12 .e x C e x / f 0 .x/ D x1 , f 00 .x/ D  x12

13.8

0

a) f .x/ D 3x C 6x  9, d. h., der Graph von f hat waagerechte Tangenten in x1 D 3 und in x2 D 1. b) f 0 .x/ D 2 sin.2x/, d. h., der Graph von f hat waagerechte Tangenten an allen Stellen xk D k  2 mit k 2 Z. 2

13.9

a) Beispielhaft für den roten Funktionsgraphen (von links kommend): Die Funktion ist zunächst streng monoton fallend bis zum Minimum, dann streng monoton wachsend bis zum Maximum, ab dann wieder streng monoton fallend. b) Der rote Graph gehört zu f , der blaue zu f 0 und der grüne zu f 00 . c) Beispielhaft für das Paar .f I f 0 /: Man sieht, dass die Nullstellen von f 0 mit den Extremstellen von f übereinstimmen. Ist f 0 (blau) positiv, ist f (rot) streng monoton wachsend; ist f 0 dagegen negativ, ist f streng monoton fallend. d) Man sieht, dass die Nullstellen von f 00 mit den Wendestellen von f übereinstimmen. Ist f 00 (grün) positiv, ist der Graph von f (rot) linksgekrümmt; ist f 00 dagegen negativ, ist der Graph von f rechtsgekrümmt. Der Graph von f hat im dargestellten Bereich drei Wendepunkte, die an den Nullstellen von f 00 zu erkennen sind.

x y D f .x/

13.11

a) Es ist f 0 .x/ D 6x 2  18x  24 mit Nullstellen in x1 D 4 und x2 D 1. Bereich x < 1 1 < x < 4 x>4

f 0 ist hier positiv negativ positiv

f ist hier streng monoton wachsend streng monoton fallend streng monoton wachsend

b) Es ist f 0 .x/ D 3x 2  12 mit Nullstellen in x1 D 2 und x2 D 2. Bereich x < 2 2 < x < 2 x>2

f 0 ist hier positiv negativ positiv

f ist hier streng monoton wachsend streng monoton fallend streng monoton wachsend

c) Es ist f 0 .x/ D 2x  e x mit einer Nullstelle in x D 0. 2

Bereich f 0 ist hier f ist hier x0 d) Es ist f 0 .x/ D .2x  3/  e x mit einer Nullstelle in x D 1;5. Bereich f 0 ist hier f ist hier x < 1;5 negativ streng monoton fallend streng monoton wachsend x > 1;5 positiv

13

Kapitel 13  Differenzialrechnung

122

13.12 Man braucht

f 0 .x/ D 4x 3  16x D 4x.x 2  4/ D 0 für x 2 f0I 2I 2g f 00 .x/ D 12x 2  16 D 4.3x 2  4/ 2 D 0 für x D ˙ p : 3 Zunächst untersucht man das Wachstumsverhalten: Bereich x < 2 2 < x < 0 0

p2 3

f 00 ist hier f ist hier positiv linksgekrümmt p2 3

negativ

rechtsgekrümmt

positiv

linksgekrümmt

13.13

a) Es ist f 00 .x/ D 6x  18 mit einer Nullstelle in x1 D 3. Bereich f 00 ist hier f ist hier x3 b) Es ist f 00 .x/ D x23 . Sie hat keine Nullstelle, ist aber für x D 0 nicht definiert. Bereich f 00 ist hier f ist hier x0 00

c) Es ist f .x/ D .4x  2/  e x1;2 D ˙ p12 . Bereich x <  p12

 p12 < x < x>

p1 2

2

x 2

mit zwei Nullstellen in

f 00 ist hier f ist hier positiv linksgekrümmt p1 2

negativ

rechtsgekrümmt

positiv

linksgekrümmt

d) Es ist f 00 .x/ D .x  2/  e x mit einer Nullstelle in x D 2. Bereich f 00 ist hier f ist hier x2 e) Es ist f 00 .x/ D x1 . Sie hat keine Nullstelle, ist aber für x D 0 nicht definiert. Da der natürliche Logarithmus nur für x > 0 definiert ist, muss auch nur dieser Bereich betrachtet werden: Bereich f 00 ist hier f ist hier x>0 positiv linksgekrümmt f) Es ist f 00 .x/ D 12 .e x  e x /. Sie hat eine Nullstelle f 00 .x/ D 0

e x D e x

,

,

e 2x D 1

in x D 0. Bereich f 00 ist hier f ist hier x0 13.14 Es ist W 0 .˛/ D

 v02 cos.2˛/ D 0 genau dann, wenn cos.2˛/ D 0, also wenn 2˛ D 2 C k. Da uns für diese Anwendung nur Winkel zwischen 0 und 2 interessieren, kommt nur ˛ D 4 D 45ı infrage. Man überprüft, ob für ˛ D 4 tatsächlich ein Extremum vorliegt, indem man z. B. den Wert in die 2. Ableitung einsetzt: 2 g

4 2  v sin.2˛/ g 0   4 D   v02 < 0 W 00 4 g W 00 .˛/ D 

Daher liegt in ˛ D 4 ein lokales Maximum vor. Da in den   Randpunkten des Intervalls W .0/ D W 2 D 0 ist, ist es sogar das globale Maximum für ˛ 2 Œ0I 2 . Die maximale   Weite beträgt W 4 D g1  v02 . 13.15 Die Ableitung

f 0 .x/ D 4x 

.x 2

1 C 1/2

ist Null nur für x0 D 0. Vorzeichenbetrachtung: Da der Nenner positiv ist, hängt das Vorzeichen von f 0 vom Faktor .4x/ ab: für x > 0 für x < 0 4x > 0 4x < 0 f 0 .x/ positiv f 0 .x/ negativ

13

123 Lösungen zu den Aufgaben

Also liegt bei x0 D 0 ein Vorzeichenwechsel von positiv nach negativ und damit ein lokales Maximum mit dem Maximalwert f .0/ D 2 vor. Weitere lokale Extrema gibt es nicht. In den Randwerten des Definitionsbereichs hat die Funktion den Grenzwert

13.17 Volumen und Oberfläche eines Drehzylinders sind bekannt:

V D  r 2h

O D 2 r 2 C 2 rh

Da das Volumen vorgegeben ist, kann man eine der beiden Variablen eliminieren:

2 2 lim D lim 2 D 0: x!1 x 2 C 1 x!1 x C 1 Ein globales Minimum gibt es nicht. Alle Funktionswerte sind aber positiv und nähern sich dem Wert null an. Da die Funktion auf ganz R stetig ist, ist der Wertebereich Wf D0I 2.

h D h.r/ D )

1 V r2

O.r/ D O D 2 r 2 C 2

V r

Von dieser Funktion suchen wir ein Minimum. Es ist 13.16 Die Fahrgeschwindigkeit ist positiv, also muss x > 0

sein. 1 a) Es ist f 0 .x/ D 10  250  x12 mit einer positiven Nullstelle in x1 D 50 km/h. Durch Einsetzen in die 2. Ableitung f 00 .x/ D 500  x13 sieht man, dass es sich um ein Minimum handelt, mit dem Minimalverbrauch ymin D 5 Liter pro 100 km, der an den Rändern nicht unterboten werden kann. b) Kostenfunktion K mit 600 K.x/ D 6  1;50  y.x/ C 50 C 10  x   6 000 x 250 C 50 C D9 5C 10 x x 9 8 250 D xC5C 10 x c) Gesucht ist die Geschwindigkeit x, die K minimiert. Es 9 ist K 0 .x/ D 10  8 250  x12 mit einer positiven Nullstelle p

in x1 D 823500 D 95;743 km/h. Durch Einsetzen in die 2. Ableitung K 00 .x/ D 16 500  x13 sieht man, dass es sich um ein Minimum handelt mit Minimalkosten von Kmin D 177;3369  177;34 in Euro.

2V D0 r2 4V O 00 .r/ D 4 C 3 > 0: r O 0 .r/ D 4 r 

,

r3 D

V 2

Also handelt es sich um ein Minimum. O.r/ 1 000 800 600

2

m in c Oberfläche

400 200 2

4

6

8

r

Die optimale Dose (Volumen von V D 512 ml) hat also ei8 nen Radius von r D p  4;3354 [cm] und eine Höhe von 3 2

h D rV 2 D 2r  8;6708 [cm], und damit einen quadratischen Längsschnitt.

en in Gesamtkost

20 15 10

00

km

Be

er Lit n i nz ch inverbrau

1 pro

10

5

50 100 150 Geschwindigkeit (in km/h)

125

Integralrechnung

Wasserfall Svartifoss, Island. Foto: Rüdiger Lunde

Inhaltsverzeichnis 14.1

Selbsteinschätzung – 126

14.2

Ober- und Untersumme – 127

14.3

Das bestimmte Integral als Rekonstruktion eines Bestandes – 128

14.4

Stammfunktionen – 130

14.5

Bestimmung von Stammfunktionen, Rechenregeln – 130

14.6

Flächenberechnung – 132

14.7

Weitere Anwendungen der Integralrechnung – 134 Aufgaben – 134 Lösungen zu den Aufgaben – 135

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Dürrschnabel et al., So viel Mathe muss sein!, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8_14

14

Kapitel 14  Integralrechnung

126

In diesem Abschnitt wiederholen Sie die wichtigsten Grundvorstellungen, Regeln und Anwendungen der Integralrechnung. Sie wissen, welche Zugänge zum Integral es gibt, kennen die Stammfunktionen wichtiger Funktionsklassen und können bestimmte Integrale in verschiedenen Situationen berechnen.

14.1

Selbsteinschätzung

? Ich kann ein Integral

Rb

a f .x/ dx näherungsweise durch Ober- und Untersummen berechnen. 7 Abschn. 14.2

Test 14.1

p Berechnen Sie zur Funktion f mit f .x/ D x die Untersumme für das Intervall I D Œ1I 4 mit einer Unterteilung von I in n D 3 gleiche Teile. Skizzieren Sie die Situation und berechnen Sie zudem die entsprechende Obersumme.

? Ich kann zu gegebenen Funktionen Stammfunktionen bestimmen. 7 Abschn. 14.5

Test 14.4 Geben Sie zur durch f .x/ gegebenen Funktion f jeweils alle Stammfunktionen an. a) f .x/ D 4x 2 C 3x C 1 b) f .x/ D sin.0;5  x C 1/

? Ich kann bestimmte Integrale mithilfe von Stammfunktionen berechnen. 7 Abschn. 14.5

Test 14.5 Berechnen Sie: Z3 a) .x 2 C 1/ dx 1

? Ich kann das bestimmte Integral als Rekonstruktion eines Bestandes aus der Änderungsrate interpretieren. 7 Abschn. 14.3

Test 14.2

14

Ein Swimmingpool ist zu Beginn mit 2 500 l Wasser gefüllt. 20 Minuten lang fließen 40 Liter pro Minute zu. Ab der 11. Minute fließen zudem 10 Liter pro Minute ab. Geben Sie einen funktionalen Zusammenhang an, der den Inhalt des Pools in dieser Zeitspanne beschreibt.

? Ich kann Aussagen über Stammfunktionen und Integrale überprüfen. 7 Abschn. 14.4

Test 14.3 Untersuchen Sie, ob folgende Behauptungen wahr oder falsch sind. a) Es ist f eine Funktion und F eine zugehörige Stammfunktion von f . Dann gilt für alle weiteren Stammfunktionen von f , dass sie sich nur in einer additiven Konstanten im Funktionsterm von F unterscheiden. b) Es ist f eine Funktion und F eine zugehörige Stammfunktion von f . Dann gibt es keine weitere Funktion G, die Stammfunktion von f ist. c) Es ist F eine Stammfunktion von f auf dem Intervall I . Dann ist G genau dann eine Stammfunktion von f , wenn es eine Zahl c 2 R gibt, sodass F .x/ D G.x/Cc für alle x 2 I gilt.



Z2

sin.x/ dx

b) 0

? Ich kann die Fläche zwischen zwei Kurven bestimmen. 7 Abschn. 14.6

Test 14.6 Gegeben sind für x  0 zwei Funktionen f und g mit f .x/ D x 3  x

und

g.x/ D 6x  6x 2 :

a) Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem. b) Berechnen Sie den Inhalt derjenigen Flächen, die jeweils vom Graphen mit der x-Achse eingeschlossen werden. c) Berechnen Sie den Inhalt der von beiden Graphen eingeschlossenen Fläche.

vErgebnisse der Testaufgaben

p p 14.1 Untersumme: 89p 3 C 89p 6  3;717, Obersumme: 89 3 C 89 6 C 83  6;384 Rt 14.2 Für 0  t  10: I.t/ D 2 500 C 0 40 dx D 2 500 C 40  t, R 10 Rt für 10 < t  20: I.t/ D 2 500 C 0 40 dx C 10 .40  10/ dx D 2 600 C 30  t

14.3 a) wahr, b) falsch, c) wahr

14

127 14.2  Ober- und Untersumme

14.4 a) F .x/ D 43 x 3 C 32 x 2 C x C C , b) F .x/ D 2 cos.0;5  x C 1/ C C 14.5 a)

32 , 3

b) 1

14.6 a) y

x3

x

Zum Vergleich ergibt sich bei gleicher Streifenbreite x auf dem Intervall Œ2I 2 für die Untersumme Un bei Wahl der minimalen Funktionswerte für die Höhen der Rechtecke hier f .2/; f .1/; f .1/; f .2/ und damit für U4 U4 D x  f .2/ C x  f .1/ C x  f .1/ C x  f .2/ D 1  .0 C 3 C 3 C 0/ D 6:

2

x

1

y 4

2

6x 6x ˇR ˇ ˇR ˇ ˇ 1 ˇ ˇ 1 ˇ b) ˇ 0 f .x/ dx ˇ D 14 , ˇ 0 g.x/ dx ˇ D 1, ˇ ˇR ˇ ˇ 1 c) ˇ 0 g.x/  f .x/ dx ˇ D 54

14.2

2 1

Ober- und Untersumme

Ein Zugang zum Integralbegriff erfolgt über die Betrachtung von Flächeninhalten, wobei wie in 7 Kap. 13 der Grenzwertbegriff eine zentrale Rolle einnimmt. 1 Beispiel 14.1

2

y 4

f .x/ D 4  x 2 und der x-Achse?

O4 D x  f .1/ C x  f .0/ C x  f .0/ C x  f .1/ D 1  .3 C 4 C 4 C 3/ D 14 ergibt. y 4

1

2x

1

y 4

y D f .x/

3

3

2

2

1

1 1

2x

2

1

y D f .x/

1

2x

In der folgenden Tabelle befinden sich einige Ober- und Untersummen für verschiedene Werte von n (der exakte Wert des Flächeninhalts beträgt 32  10;67): 3 n On Un

4 10 20 100 200 1 000 14 12;16 11;44 10;83 10;75 10;68 6 8;96 9;84 10;51 10;59 10;65

Man kann unter gewissen Voraussetzungen an die Funktion f zeigen, dass für eine immer feinere Unterteilung des betrachteten Intervalls lim On D lim Un

y D f .x/

2 1 1

2

n!1

3

2

1

Für größer werdendes n nähern sich Ober- und Untersummen dem exakten Wert immer weiter an.

Wie groß ist näherungsweise der Inhalt der eingeschlossenen Flächen zwischen dem Graphen der Funktion f W R ! R mit

Wir bestimmen näherungsweise den Flächeninhalt durch Rechtecksummen. Wählen wir die Streifenbreite x entlang der x-Achse als x D 1, so wird das Intervall ŒaI b, das von den Nullstellen a D 2 und b D 2 der Funktion begrenzt wird, in n D ba D 4 Streifen zerlegt. x Bei der Obersumme On wählen wir für die Höhen der Rechtecke die maximalen Funktionswerte auf den Intervallen Œ2I 1; Œ1I 0; Œ0I 1; Œ1I 2, also in diesem Fall f .1/; f .0/; f .0/; f .1/, sodass sich in diesem Fall für die Obersumme O4

y D f .x/

3

1

2x

n!1

gilt, dass also Ober- und Untersumme gegen den gemeinsamen Grenzwert streben. Dies ist dann der gesuchte Flächeninhalt. Liegt eine Fläche unterhalb der x-Achse, erhält der Flächeninhalt bei der Bestimmung einen negativen Wert, da die „Höhen“ f .x/ der Rechtecke negativ sind. Man nennt dies einen orientierten Flächeninhalt. Hingegen erhält

Kapitel 14  Integralrechnung

128

man absolute Flächeninhalte als Betrag der orientierten Flächeninhalte.

y

y

6

15

Integral und Integrierbarkeit

4

Eine Funktion f nennt man auf einem Intervall ŒaI b integrierbar, wenn die Grenzwerte der Unter- und Obersummen (Summe von Rechteckflächen für immer feinere Unterteilung) existieren und gleich sind. Man nennt den orientierten Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse das bestimmte Integral von f über dem Intervall ŒaI b. Man schreibt

2

f1 .x/ D 4

10 5

1

2

x

3

y

2

3

x

2

Die zu integrierende Funktion f nennt man den Integrand, a und b nennt man die untere bzw. obere Grenze (des Integrals).

1

2

3

x

y

y

6 v Ergebnis Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse beträgt Z2

Z2 f .x/ dx D

14.3

2x

1

5

a

14

f4 .x/ D 4

10 f .x/ dx:

2

x

2

y 4

f3 .x/ D 4x

15

3

1

2

Zb

f2 .x/ D x 2

.4  x 2 / dx  10;67: 2

Das bestimmte Integral als Rekonstruktion eines Bestandes

In 7 Kap. 13 war die Ableitung einer der zentralen Begriffe. Mittels Ableitens konnte man aus einer funktional gegebenen Größe die momentane Änderungsrate bestimmen und so Aussagen über das Änderungsverhalten machen (7 Abschn. 13.3). Nun werden wir umgekehrt sehen, welche Schlussfolgerungen möglich sind, wenn zu gegebener Änderungsrate die Bestandsgröße gesucht ist. Das Wort Integral kommt aus dem Lateinischen, integrare heißt unter anderem wiederherstellen oder rekonstruieren. In diesem Sinne kann man sich eine Bestandsgröße als Rekonstruktion aus bekannten Änderungsraten vorstellen. 1 Beispiel 14.2 Es sind drei Paare von Änderungsraten und ihren zugehörigen Bestandsgrößen gegeben. Die Änderungsraten sind als Zufluss in Liter pro Minute in ein anfangs leeres Becken, die zugehörigen Bestandsgrößen als Wassermenge im Becken in Litern gegeben. Ordnen Sie die jeweils richtigen Paare einander zu und begründen Sie Ihre Entscheidung.

4

f6 .x/ D 2x

6 f5 .x/ D 4x

x2

4

2

2 1

2

3

4x

1

2

3

x

Die Wassermenge zu einem bestimmten Zeitpunkt lässt sich als jeweiliger Funktionswert der Bestandsfunktion ermitteln. Bei einem sich ändernden Zufluss kann man die Wassermenge näherungsweise mit einem stückweise konstanten Zufluss bestimmen. Dies entspricht den Unter- bzw. Obersummen im vorherigen Abschnitt. Die Wassermenge kann daher als Fläche unter dem „Zuflussgraphen“ interpretiert werden. Anschaulich ist klar, dass der Graph der Funktion f1 zu einer Änderungsrate gehören muss. Denn andernfalls wäre f1 eine Funktion einer Bestandsgröße, und es gäbe ein Schaubild zu einer zugehörigen Änderungsrate konstant null – tut es aber nicht. Bei einem konstanten Zufluss steigt die Wassermenge im Becken linear an. Da die zufließende Wassermenge sich aber als Fläche zwischen dem Graphen der Änderungsrate und der x-Achse ergibt, ist f3 die zugehörige Bestandsfunktion, denn es ist f3 .4/ D 16, und nach x D 4 min ist die zugehörige Wassermenge 4 l  4 min D min 16 l. Wäre f6 eine Bestandsfunktion, so müsste mit obigen Überlegungen eine weitere konstante Funktion als Änderungsrate existieren – damit ist f6 eine Funktion einer Änderungsrate. Da f6 für positive x nur positive Werte hat, muss die Bestandsfunktion (streng) monoton steigend sein, damit ist f2 die zugehörige Bestandsfunktion. Die Funktion f5 schließlich kann aus den gleichen Monotonieüberlegungen nicht die Änderungsrate sein, die zu

14

129 14.3  Das bestimmte Integral als Rekonstruktion eines Bestandes

f4 gehört. Die lineare Funktion mit negativer Steigung1 Beispiel 14.4 führt bis x D 2 zu einem Anstieg des Wassers im Becken, Gegeben ist die Funktion f mit für x > 2 nimmt die Wassermenge im Becken ab, wie man 1 am Graphen von f5 gut erkennen kann. f .x/ D x C 3: 2

v Ergebnis Die Änderungsrate gegeben durch f1 gehört zur Bestandsgröße gegeben durch f3 , ebenso bilden f6 und f2 sowie f4 und f5 Paare von Änderungsraten und Bestandsgrößen.

Wie lautet die Integralfunktion Ja für a D 0 bzw. a D 2?

y

y

f .x/

f .x/

1 Beispiel 14.3 Gegeben ist der Zufluss in ein Becken durch f mit f .x/ D 2x, dabei bezeichnet x die Zeit in Minuten und f .x/ ist die zufließende Wassermenge in Litern pro Minute. Wie unterscheiden sich die zugehörigen Bestandsfunktionen, wenn anfangs kein Wasser, drei Liter bzw. sechs Liter Wasser im Becken waren?

Da die Anfangsmenge keinen Einfluss auf die zugeflossene Menge hat, unterscheiden sich die Funktionsterme nur um eine additive Konstante. Die unten stehende Abbildung verdeutlicht dies. y

y

6 4

f4 .x/ D x 2 C6 f3 .x/ D x 2 C3 f2 .x/ D x 2

30 f1 .x/ D 2x

20

2

10 2

4

6

x

2

4

6

x

3

3

1

1 x

1 2

Die Bestandsfunktionen unterscheiden sich lediglich in einer additiven Konstanten im zugehörigen Funktionsterm: x 2 , x 2 C 3, x 2 C 6.

Sowohl die Rekonstruktion von Größen aus der Änderungsrate als auch die Flächen unter einer Kurve haben in Anwendungen eine reale Bedeutung. So ist der Flächeninhalt unter einem Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm (denken Sie beispielsweise an die Tachoscheibe eines LKWs) nichts anderes als der zurückgelegte Weg, der Flächeninhalt in einem Diagramm, in dem der zeitliche Verlauf von Zuund Abflüssen dargestellt ist, ist die Wassermenge und so fort. Die Eigenschaft, dass die Änderungsrate der Bestandsfunktion die Bestandsfunktion selbst bis auf eine additive Konstante festlegt, werden wir im folgenden Abschnitt verwenden. Die sogenannte Integralfunktion Ja Zx Ja .x/ D

f .t/ dt a

zur unteren Grenze a kann man dabei als Flächenbilanz interpretieren, in der Flächen in einem Intervall ŒaI b mit x < b unterhalb der x-Achse negativ gezählt werden.

x

Die Integralfunktion ergibt sich für a D 0 aus der Flächensumme des Rechtecks der Höhe 3 und der Breite x und des rechtwinkligen Dreiecks der Breite x und der Höhe f .x/  3 (vgl. Abbildung links). Damit ist J0 .x/ D 3  x C

1 x 2



 1 1 x C 3  3 D x 2 C 3x: 2 4

Für a D 2 ergibt sich aus der Flächensumme des Rechtecks der Höhe f .2/ D 4 und der Breite x  2 und des rechtwinkligen Dreiecks der Breite x  2 und der Höhe f .x/  4 (vgl. Abbildung rechts) J2 .x/ D 4  .x  2/ C

v Ergebnis

1 2

D

1  .x  2/  2



1 xC34 2



1 2 x C 3x  7: 4

Wie man durch Differenzieren bestätigt, gilt J00 D J20 D f . vErgebnis Die Integralfunktionen J0 und J2 sind gegeben durch J0 .x/ D 14 x 2 C 3x sowie J2 .x/ D 14 x 2 C 3x  7.

Man kann Folgendes zeigen: Zusammenhang zwischen Funktion und Integralfunktion

Existiert zu einer Funktion f eine (differenzierbare) Integralfunktion Ja mit a 2 R, so hängen diese über die Beziehung f D Ja0 zusammen. In der zuvor verwendeten Terminologie entspricht damit Ja einer Bestandsfunktion und f der zugehörigen Änderungsrate.

130

Kapitel 14  Integralrechnung

14.4

Stammfunktionen

Stammfunktion

Eine Funktion F mit der Eigenschaft F 0 D f heißt Stammfunktion von f . Ist F eine Stammfunktion von f , so ist mit jedem C 2 R auch G mit G.x/ D F .x/ C C eine Stammfunktion von f .

Das letzte Ergebnis darf aufgrund der Symmetrie des Schaubilds der Sinusfunktion nicht überraschen. Die beiden Teilflächen links und rechts der y-Achse haben bei gleichem Betrag des Flächeninhalts unterschiedliche Orientierung, die Teilintegrale heben sich also gegenseitig auf. vErgebnis Es ist Z2 x 2 dx D

Insbesondere ist eine Integralfunktion Ja einer Funktion f eine Stammfunktion von f . Ist F eine weitere Stammfunktion von f , so kann man mithilfe des „Nullintegrals“ Ja .a/ D F .a/ C C D 0 den Zusammenhang Ja .x/ D F .x/  F .a/ nachweisen, woraus sich jetzt einer der wesentlichen Sätze dieses Kapitels, der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, ergibt. Vereinfacht gesagt beschreibt dieser Satz eine einfache Möglichkeit zur Berechnung bestimmter Integrale. Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion von f , so gilt Zb f .x/ dx D ŒF .x/ba D F .b/  F .a/: a

7 3

1

und Z sin.x/ dx D 0: 

14.5

Bestimmung von Stammfunktionen, Rechenregeln

Unbestimmtes Integral

Ist F eine Stammfunktion einer Funktion f , so wird die Gesamtheit aller Stammfunktionen einer Funktion f als das unbestimmte Integral von f bezeichnet, und man schreibt dafür Z f .x/ dx D F .x/ C C; C 2 R:

14 1 Beispiel 14.5 Berechnen Sie die bestimmten Integrale Z2 x 2 dx 1

und

!Achtung Bitte beachten Sie, dass die Stammfunktionen immer nur bis auf eine additive Konstante C bestimmt sind. Das unbestimmte Integral umfasst die Gesamtheit aller Stammfunktionen.

Im Folgenden sind einige der elementaren Funktionen mit ihren Stammfunktionen sowie einige grundlegende Rechenregeln aufgeführt.

Z sin.x/ dx: 

Weil

1

Z2

3

0 x 3 D x 2 ist, gilt 

1 3 x dx D x 3

2

2

1

1

8 1 7 D  D : 3 3 3

Und wegen . cos.x//0 D sin.x/ gilt, dass Z sin.x/ dx D Πcos.x/ 

D .1/  ..1// D 0:

Rechenregeln der Integralrechnung

Faktorregel Z Z a  f .x/ dx D a  f .x/ dx; a 2 R Summenregel Z Z Z   f .x/ C g.x/ dx D f .x/ dx C g.x/ dx

14

131 14.5  Bestimmung von Stammfunktionen, Rechenregeln

Lineare Verkettung Ist F eine Stammfunktion von f , so ist für a ¤ 0 Z 1 f .ax C b/ dx D  F .ax C b/ C C; C 2 R: a

Mit der Summen- und Faktorregel ergibt sich die Gesamtheit aller Stammfunktionen von f als Z

Z f .x/ dx D

.3 ln.x/  sin.2x C 1// dx Z D .3 ln.x// dx  sin.2x C 1/ dx Z Z D 3 ln.x/ dx  sin.2x C 1/ dx: Z

Vertauschen der Integrationsgrenzen Zb

Za f .x/ dx D 

a

f .x/ dx

Weiter ist nach der Integrationsregel der linearen Verkettung

b

Nullintegral

Z

Za

ln.x/ dx D x ln.x/  x C C1 ;

f .x/ dx D 0

Z

a

Addition von Integrationsintervallen Zb

Zc f .x/ dx C

a

b

1 sin.2x C 1/ dx D  cos.2x C 1/ C C2 ; 2

C2 2 R:

vErgebnis

Zc f .x/ dx D

C1 2 R

Die Gesamtheit aller Stammfunktionen von f lautet

f .x/ dx

Z

a

.3 ln.x/  sin.2x C 1// dx D 3x ln.x/  3x C

1

cos.2x C 1/ C C;

C 2 R:

Eine Auflistung der wichtigsten Stammfunktionen finden 2 Sie in der Übersicht (. Abb. 14.1 mit C 2 R). Weitere Stammfunktionen häufig verwendeter Funktionen finden1 Beispiel 14.7 Berechnen Sie die Stammfunktion F der Funktion f mit Sie in einer Formelsammlung. f .x/ D 2x 2  1

1 Beispiel 14.6 Berechnen Sie alle Stammfunktionen der Funktion f mit

und der Nebenbedingung F .3/ D 0.

f .x/ D 3 ln.x/  sin.2x C 1/:

Potenzfunktionen: Z 1 x r dx D x rC1 C C; r C1

Allgemeine Exponentialfunktion: Z r

Wurzelfunktion (als Potenzfunktion für r D 12 ): Z

p 2 p 3 x dx D x CC 3

Hyperbelfunktion: Z

1 dx D ln.jxj/ C C x

Exponentialfunktion: Z e x dx D e x C C . Abb. 14.1 Wichtige Stammfunktionen

ax dx D

1

1 ax C C; ln.a/

a > 0; a ¤ 1

Logarithmusfunktion: Z ln.x/ dx D x ln.x/

xCC

Trigonometrische Funktionen: Z sin.x/ dx

cos.x/ C C

Z cos.x/ dx D sin.x/ C C

Kapitel 14  Integralrechnung

132

Da die Fläche oberhalb der x-Achse liegt, reicht die einfache Berechnung des Integrals. Es ist

Mit der Summen- und Potenzregel ergibt sich die Gesamtheit aller Stammfunktionen von f als Z F .x/ D

Z

 2x 2  1 dx Z Z  2 D 2x dx  1 dx

f .x/ dx D

D



2 3  x  x C C; 3

Z4 AD

1 D  C 16  3

C 2 R:



4 3 2

 9 205 C6 D  8;54: 8 24

vErgebnis Der Flächeninhalt beträgt A D

205 24

 8;54.

1 Beispiel 14.9

v Ergebnis

Wie groß ist der Flächeninhalt derjenigen Fläche, die vom Graphen der Funktion f mit

Es ist die gesuchte Stammfunktion F von f gegeben durch

14.6

1 f .x/ dx D  .x  3/3 C 4x 3

3 2

Mit F .3/ D 23  33  3 C C D 15 C C ergibt sich 15 C C D 0, also C D 15.

F .x/ D



f .x/ D x 3  4x 2 C 3x  2;

2 3  x  x  15: 3

der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x D 1 und x D 3 eingeschlossen wird?

Flächenberechnung y

14

Sie haben bereits die Bedeutung von bestimmten Integralen zur Berechnung von Flächeninhalten kennengelernt (7 Abschn. 14.2). Dabei haben wir uns für orientierte Flächeninhalte (kurz gesagt: Flächeninhalte mit Vorzeichen) interessiert. Wir untersuchen diese Zusammenhänge jetzt noch genauer, indem wir den Fall betrachten, dass man sich für den absoluten Flächeninhalt A einer Fläche interessiert. Liegt zur Berechnung des Flächeninhalts diese dabei gänzlich ober- bzw. unterhalb der x-Achse, so liefert das bestimmte Integral bzw. dessen Betrag den richtigen Wert des Flächeninhalts. 1 Beispiel 14.8 Wie groß ist der Flächeninhalt derjenigen Fläche, die vom Graphen der Funktion f mit f .x/ D .x  3/2 C 4; der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x D und x D 4 eingeschlossen wird?

y

3 2

1

3 x

1

f .x/

Da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt und dadurch das Integral negativ wird, wird der Betrag verwendet. Es ist ˇ ˇ ˇ 3 ˇ ˇ ˇZ 3 ˇˇ ˇ ˇ 1 4 4 3 3 2 ˇ ˇ A D ˇˇ f .x/ dx ˇˇ D ˇ x  x C x  2x ˇ ˇ 4 3 2 ˇ ˇ 1ˇ 1 ˇ  ˇ ˇ 81 ˇ 1 4 27 3 D ˇˇ  36 C 6  C  2 ˇˇ 4 2 4 3 2 ˇ ˇ ˇ 20 ˇ 20 : D ˇˇ ˇˇ D 3 3 vErgebnis Der Flächeninhalt beträgt A D

f .x/

20 3 .

1 Beispiel 14.10 Wie groß ist der Flächeninhalt derjenigen Fläche, die vom Graphen der Funktion f mit

1 1 1;5

4

x

f .x/ D 0;5.x C 1/.x  2;5/.x  4;5/; der x-Achse und den Geraden x D 2 und x D 4;5 eingeschlossen wird?

14

133 14.6  Flächenberechnung

1 Beispiel 14.11

y

Wie groß ist der Flächeninhalt derjenigen Fläche, die von den Graphen der Funktionen f und g mit

f .x/

f .x/ D x 2 C 5 und

10

g.x/ D x  1

eingeschlossen wird?

A1 2

1 1

A2

5

A3 4;5x

2;5

f .x/

Hier ist zu beachten, dass an den Stellen, an denen der Integrand und damit der orientierte Flächeninhalt sein Vorzeichen ändert, die Fläche in Teilflächen zerlegt werden muss, um Auslöschung durch unterschiedliche Vorzeichen orientierter Flächeninhalte zu vermeiden. Ist man am gesamten Flächeninhalt interessiert, in diesem Fall also an der Summe der Flächeninhalte A1 , A2 und A3 , so muss man die Integrale einzeln berechnen und deren Beträge addieren. A D A1 C A2 C A3 ˇ 1 ˇ ˇ 2;5 ˇ ˇ 4;5 ˇ ˇZ ˇ ˇZ ˇ ˇZ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D ˇ f .x/ dx ˇ C ˇ f .x/ dx ˇ C ˇ f .x/ dx ˇˇ; ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 2

1

Z1 A1 D f .x/ dx 2



1 D 0;125x 4 C x 3  1;0625x 2  5;625x 2 103 D  D 16 ˇ 2;5 ˇ ˇ ˇZ ˇ ˇ ˇ 1 715 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D 1 715 A2 D ˇ f .x/ dx ˇ D    D ˇ ˇ 128 128 ˇ ˇ

1

Der Ansatz zur Berechnung des Flächeninhalts besteht nun darin, die Differenzfunktion h D f  g der beiden Funktionen f und g zu betrachten. Ist wie in diesem Fall das Intervall durch die x-Werte x1 ; x2 der Schnittpunkte bestimmt, kann durch Zx2 AD

Z2 .f .x/  g.x// dx

AD 3

D

Der Flächeninhalt beträgt

Will man den Flächeninhalt einer Fläche zwischen zwei Graphen bestimmen, so kann man diesen Fall auf den vorigen Fall (Fläche zwischen Graph und x-Achse) zurückführen.

x1

der Flächeninhalt berechnet werden. Da im vorliegenden Fall der Graph von f im betrachteten Intervall über dem von g liegt, kann auf die Betragsstriche verzichtet werden. Ist dies nicht der Fall oder gibt es mehrere Schnittpunkte und Wechsel der gegenseitigen Lage, ist wie zuvor von Schnittstelle zu Schnittstelle unter Verwendung der Beträge zu integrieren. Die Schnittstellen von f und g befinden sich bei x1 D 3 und x2 D 2. Damit ist

Z2

2 923  22;84: 128

Zx2 h.x/ dx D .f .x/  g.x// dx

x1

2;5

v Ergebnis

2 x

g.x/

1

Z4;5 A3 D f .x/ dx D    D 3

1

3

2;5

auch wenn hier nur für A2 der Betrag relevant ist. Im nächsten Schritt berechnet man die Integrale über den Teilintervallen:

A D A1 C A2 C A3 D

y



 .x 2 C 5/  .x  1/ dx



 2 1 3 1 2 x  x C 6 dx D  x  x C 6x 3 2 3

3

Z2 D 3

2



Kapitel 14  Integralrechnung

134

1 1 D 8 4C62 3 2  1 1    .27/   9 C 6  .3/ 3 2 8 9 125 D   2 C 12  9 C C 18 D  20;83: 3 2 6 v Ergebnis Der Flächeninhalt beträgt AD

125  20;83: 6

Haben die Graphen von f und g mehrere Schnittpunkte, so ist „von Schnittstelle zu Schnittstelle“ zu integrieren.

14.7

Weitere Anwendungen der Integralrechnung

Mit den Mitteln der Integralrechnung können weitere Anwendungsprobleme gelöst werden. Zwei dieser Anwendungen werden hier nur genannt, Hintergründe und Beispiele können im Online-Material eingesehen werden. 4 Die Berechnung des Mittelwerts m einer Funktion f auf einem Intervall ŒaI b wird berechnet durch

xN D

1 ba

a) In eine zunächst leere Badewanne fließen konstant 10 Liter pro Minute. Geben Sie mittels Integral eine Funktion W an, die die Wassermenge der Badewanne in Abhängigkeit der Zeit t angibt. Wann sind in die Badewanne 250 Liter Wasser geflossen? b) In eine bereits mit 50 Liter Wasser gefüllte Badewanne fließen 10 Liter pro Minute. Geben Sie eine Funktion W an, die die Wassermenge der Badewanne in Abhängigkeit der Zeit t angibt. Wann ist die Badewanne mit 250 Liter Wasser gefüllt? c) In ein mit anfangs 50 Liter gefülltes Becken fließt in den ersten 5 Minuten gemäß des Zuflusses Z mit Z.t/ D 10  t Wasser zu (Z.t/ in Litern pro Minute, t in Minuten). Nach 5 Minuten wird der Zufluss gestoppt, und fortan fließen 5 Liter pro Minute aus dem Becken ab. Geben Sie eine Funktion W an, die die Wassermenge des Beckens in Abhängigkeit der Zeit angibt. Wann ist das Becken leer? 14.3 Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale ohne Taschenrechner. Z4 a) x 4 dx 2

Z sin.x/ dx

b)

Zb

0

Z1

f .x/ dx:

x dx

c)

a

14

14.2

4 Rotiert der Graph einer Funktion f auf dem Intervall ŒaI b um die x-Achse, so lässt sich das Volumen V des entstehenden Rotationskörpers berechnen durch

1 Z1

d)

1 dx x

1 10

Z3

Zb V D

2

.f .x// dx:

e dx C

e) 2

a

Aufgaben

Z4 x

e x dx 3

Z2 3 dx

f) 0

Z2

14.1

a) Berechnen Sie näherungsweise das Integral Z4 .x 2 C 1/ dx; 1

indem Sie das Intervall Œ1I 4 in drei gleiche Teile teilen und damit die Ober- und Untersumme berechnen. b) Bestimmen Sie den exakten Wert des Integrals.

.2 C x/3 dx

g) 3 Z3

.2x 2  x 4 / dx

h) 1

14

135 Lösungen zu den Aufgaben

14.4 Bestimmen Sie zu den durch f .x/ gegebenen Funktionen f alle Stammfunktionen F von f . a) f .x/ D x 5 b) f .x/ D 7x 3 2 c) f .x/ D x9 d) f .x/ D 3x 2  7x C 6 e) f .x/ D sin.x C 1/ f) f .x/ D x22 C x2 g) f .x/ D e 2x C cos.2x/ 3 h) f .x/ D 32 x 2 14.5 Berechnen Sie die Nullstellen von f und skizzieren Sie das Schaubild. Berechnen Sie anschließend die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossene Fläche. a) f .x/ D 4x  x 2 b) f .x/ D x 3  4x 2 C 4x 1 5 c) f .x/ D 15 x 4  25 x 14.6 Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Schau-

bild von f , der x-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungenpx D a und x D b begrenzt wird. a) f .x/ D x, a D 2, b D 4 b) f .x/ D p1x  x, a D 1, b D 4 c) f .x/ D  14 x 3  12 x 2 C 1, a D 1, b D 0 14.7 Gegeben sind die folgenden Funktionen f und g jeweils durch ihre Funktionsterme f .x/ und g.x/. Bestimmen Sie den Wert des Flächeninhalts, der von den beiden Kurven eingeschlossen wird. a) f .x/ D x C 2, g.x/ D x 2 C 4 b) f .x/ D 3, g.x/ D x 2 C 4 c) f .x/ D x 3 , g.x/ D 7x  6 Hinweis: Die Schnittstellen lauten x1 D 3, x2 D 1, x3 D 2. 14.8 Eine Fassade ist 10 Meter hoch und 10 Meter breit.

Sie soll farbig so gestrichen werden, dass 50 % der Fassadenfläche angestrichen wird. Die begrenzenden Kurven, die sich am linken und rechten Rand mittig treffen sollen, sind parabelförmig und spiegelbildlich zueinander. Bestimmen Sie mögliche Gleichungen dieser Randkurven.

Lösungen zu den Aufgaben 14.1

a) RO3 D 32, U3 D 17 4 b) 1 .x 2 C 1/ dx D 24 Anmerkung: Es ergeben sich für feinere Unterteilungen folgende Ober- und Untersummen: O10  26;29 O50  24;45 O150  24;15

U10  21;80 U50  23;55 U150  23;85

14.2

a) W .t/ D 10  t. W .25/ D 250, also nach t D 25 Minuten b) W .t/ D 10  t C 50. W .20/ D 250, also nach t D 20 Minuten ( 50 C 5  t 2 für 0  t  5 c) W .t/ D 175  5  .t  5/ für 5  t W .40/ D 0, also nach t D 40 Minuten 14.3

a) b) c) d) e) f) g) h)

198;4 2 0 ln.10/ e 2 .e 2  1/ 6 63;75  466 15

14.4 Mit C 2 R sind Stammfunktionen gegeben durch:

a) 16 x 6 C C b) 74 x 4 C C 1 3 x CC c) 27 3 d) x  72 x 2 C 6x C C e)  cos.x C 1/ C C f)  x2 C 2 ln.jxj/ C C g) 12 e 2x C 12 sin.2x/ C C 5 h) 35  x 2 C C 14.5

R4 a) x1 D 0; x2 D 4; A D 0 f .x/ dx D 32 3 R2 4 b) x1 D 0; x2 D 2; A D ˇ 0 f .x/ dx D ˇ 3ˇ ˇ ˇR 5 ˇ ˇD c) x1 D 0; x2 D 5; A D ˇ 0 f .x/ dx ˇ D ˇ 125 6 14.6

a)  43  b) 11 2 c) 43 48

p 2C

16 3

125 6

136

Kapitel 14  Integralrechnung

14.7

a) Schnittstellen x1 D 2; x2 D 1, A D 92 b) Schnittstellen x1 D 1; x2 D 1, A D 43 c) Schnittstellen x1 D 3; x2 D 1; x3 D 2, A D 32;75

14

14.8 Wenn man den Ursprung des Koordinatensystems links in den Treffpunkt der beiden Parabeln legt, lauten 3 die Randfunktionen f .x/ D 20  x  .x  10/ und g.x/ D 3  20  x  .x  10/.

137

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Forth Bridge über den Firth of Forth, Queensferry (Schottland). Foto: Rüdiger Lunde

Inhaltsverzeichnis Kapitel 15

Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem – 139

Kapitel 16

Lineare Gleichungssysteme – 149

Kapitel 17

Anschauliche Vektorgeometrie – 157

V

139

Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

Schachbrett. Foto: Guido Pinkernell

Inhaltsverzeichnis 15.1

Selbsteinschätzung – 140

15.2

Analytisch gegebene Geraden – 140

15.3

Koordinatenbereiche – 141

15.4

Kreise – 142 Aufgaben – 143 Lösungen zu den Aufgaben – 145

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Dürrschnabel et al., So viel Mathe muss sein!, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8_15

15

Kapitel 15  Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

140

Die aus dem Kapitel Funktionen (7 Kap. 12) bekannten Geraden begegnen uns in diesem Kapitel in einer scheinbar anderen algebraischen Darstellung. Hier sind es nun lineare Gleichungen, deren Lösungsmengen sich geometrisch als Geraden visualisieren lassen. Mithilfe von Gleichungen lassen sich auch andere geometrische Objekte, etwa Kreise, darstellen. Neben der geometrischen Visualisierung von Gleichungen wird auch die Visualisierung von Ungleichungen thematisiert.

15.1

Selbsteinschätzung

? Ich kann eine analytisch gegebene Gerade zeichnen. 7 Abschn. 15.2

Test 15.1 Zeichnen Sie die durch 4x  2y D 6x  y C 3 gegebene Gerade.

? Ich kann Koordinatenbereiche skizzieren. 7 Abschn. 15.3

15.2 Die Fläche unterhalb beider Geraden y D 2x C 2 und y D 2x C 1 15.3 Ein Kreis um .1j3/ mit dem Radius 2

15.2

Analytisch gegebene Geraden

Eine Gleichung der Form axCbyCc D0 mit x; y 2 R als veränderliche und a; b; c 2 R als fixe Zahlenwerte nennt man eine lineare Gleichung. Auch Gleichungen, die mittels Äquivalenzumformungen in eine solche Form überführt werden können (7 Abschn. 9.2), sind lineare Gleichungen. Jedes Paar zweier Zahlen .xI y/, die beide zusammen eine solche Gleichung erfüllen, ist eine Lösung dieser Gleichung. Dieses Zahlenpaar kann als Koordinaten eines Punktes P .xjy/ aufgefasst und im Koordinatensystem zeichnerisch markiert werden. Eine lineare Gleichung hat in der Regel unendlich viele Zahlenpaare als Lösung, die zusammen genommen im Koordinatensystem die Form einer Geraden annehmen. 1 Beispiel 15.1 Zeichnen Sie die durch x C 2y  4 D 0

Test 15.2 Schraffieren Sie die durch

15

j4x  1j > 2y  3 gegebene Punktmenge.

? Ich kann einen durch eine Gleichung gegebenen Kreis zeichnen. 7 Abschn. 15.4

Test 15.3 Zeichnen Sie den durch x 2 C 2x  1 D .y  3/2 C 2 gegebenen Kreis.

v Ergebnisse der Testaufgaben 15.1 Eine Gerade mit den Achsenabschnitten x D  32 und y D 3

gegebene Gerade.

Die Aufgabenstellung verrät schon, dass es sich hier um eine Gerade handelt. Das lässt sich schnell nachvollziehen, indem man die gegebene Gleichung in eine Form bringt, die uns aus 7 Kap. 12 als Gleichung einer linearen Funktion bekannt ist: Es ist nämlich x C 2y  4 D 0

, ,

2y D x C 4 1 y D  x C 2: 2

Die Gerade hat eine Steigung von  12 und verläuft durch den Punkt .0j2/, da ihr y-Achsenabschnitt 2 beträgt. Ohne Umstellung in die Form einer Funktionsgleichung lässt sich die Gerade auch durch direktes Ablesen geeigneter Koordinatenpunkte zeichnen: Denn weil man weiß, dass die Veranschaulichung eine Gerade ist, reichen zwei Punkte zur Festlegung ihrer Position im Koordinatensystem. Diese erhält man schnell, indem man zu den Werten x D 0 und y D 0 jeweils das Lösungspaar vervollständigt. In diesem Fall sind dies .0I 2/ und .4I 0/. Beide zugehörigen Punkte P .0j2/ und Q.4j0/ werden im Koordinatensystem markiert und mit einer Geraden verbunden. Dies ist dann die gesuchte Gerade.

141 15.3  Koordinatenbereiche

1 Beispiel 15.3

v Ergebnis

y 2

Schraffieren Sie die durch x  2y C4

1 1

4

x

gegebene Punktmenge.

Im Prinzip lässt sich die Lösungsmenge jeder linearen Gleichung als Gerade darstellen, auch wenn sie auf den ersten Blick etwas „unaufgeräumt“ erscheint: 1 Beispiel 15.2 Zeichnen Sie die durch 2xy D xC3y8 gegebene Gerade.

Die die gesuchte Punktmenge begrenzende Gerade mit der Gleichung x D 2y C 4 ist durch die beiden Punkte .0j  2/ und .4j0/ schnell gezeichnet. Um festzustellen, auf welcher Seite der Geraden diese Punktmenge liegt, reicht es, eine mögliche Lösung der gegebenen Ungleichung zu bestimmen: Für x D 0 wäre z. B. y D 1 eine Lösung, denn es ist 0  2  1 C 4. Auch y D 2 wäre eine Lösung, denn es ist 0  2  .2/ C 4. Es muss also oberhalb der Geraden schraffiert werden, und zwar inklusive der Randgeraden. vErgebnis

y Man formt eine solche Gleichung zunächst in die Form 1

axCbyCc D0

1

um und erhält

4

x

2

x  4y C 8 D 0:

Wieder lassen sich zwei Lösungspaare schnell ablesen, indem man zu den Werten x D 0 und y D 0 jeweils das Lö- Auch in der folgenden Aufgabe soll die Lösungsmenge eisungspaar vervollständigt. Hier sind dies .0I 2/ und .8I 0/. ner Ungleichung dargestellt werden. Allerdings handelt es Und wieder werden beide zugehörigen Punkte P .0j2/ und sich hier um eine Betragsungleichung, was dazu führt, dass Q.8j0/ im Koordinatensystem markiert und mit einer Ge- statt einer jetzt zwei Randgeraden zu ermitteln sind. raden verbunden: 1 Beispiel 15.4 v Ergebnis Schraffieren Sie jeweils die durch a) jx C 1j < 2y y b) jx C 1j > 2y

2 gegebene Punktmenge.

1 8

15.3

1 x

Koordinatenbereiche

Auch in der folgenden Aufgabe ist eine Veranschaulichung einer Lösungsmenge gefordert. Hier handelt es sich aber nicht um die Lösungsmenge einer Gleichung, sondern um die einer linearen Ungleichung (7 Abschn. 10.2). Die Veranschaulichung ist daher keine Gerade, sondern eine durch eine Gerade begrenzte Punktmenge der Ebene. Die Punktmenge wird durch eine Schraffur gekennzeichnet.

Nach der in 7 Abschn. 9.7 eingeführten Deutung von Betragsgleichungen ist ein Wertepaar .xI y/ dann eine Lösung der zuerst gegebenen Gleichung, wenn x mit einem maximalen Abstand von 2y von 1 entfernt ist. Auf dem Zahlenstrahl veranschaulicht liegt x zwischen den Markierungen 1  2y und 1 C 2y. Für jede Lösung x gilt also: 1  2y < x

^

x < 1 C 2y

Weil beide Grenzen 1  2y und 1 C 2y mit dem Wert von y variieren, lösen wir uns vom Bild der Zahlengeraden und blicken in die xy-Koordinatenebene. Die beiden variierenden Grenzen werden hier durch die beiden Randgeraden 1  2y D x und x D 1 C 2y visualisiert, deren Gleichungen aus den Ungleichungen unmittelbar ablesbar sind. Zur Lösung der Aufgabe werden beide Randgeraden gezeichnet, und zwar gestrichelt, weil die Geradenpunkte

15

142

Kapitel 15  Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

als Lösungen ausgeschlossen werden. Für jede Gerade 15.4 Kreise wird die zugehörige Punktmenge schraffiert. Um festzustellen, auf welcher Seite diese Punktmenge jeweils liegt, Veranschaulichungen linearer Gleichungen und Ungleibestimmen wir wieder für jede Ungleichung eine mögli- chungen sind Geraden bzw. durch Geraden begrenzte che Lösung: Im ersten Fall x C 1 < 2y ist das z. B. .0I 1/, Punktmengen. Liegen quadratische Gleichungen vor, so woraus folgt, dass oberhalb der Geraden schraffiert werden können unter anderem Parabeln (7 Abschn. 12.2) oder wie muss. Im zweiten Fall x C 1 > 2y ist .0I 0/ eine mögli- im folgenden Fall Kreise entstehen. che Lösung, woraus man sieht, dass hier ebenfalls oberhalb der Randgeraden schraffiert werden muss. Die Lösung der1 Beispiel 15.5 Aufgabe insgesamt ist schließlich die doppelt schraffierte Zeichnen Sie den durch Schnittmenge dieser beiden Punktmengen, und zwar ohne x2 C y2 D 9 die begrenzenden Geraden. Die zweite Ungleichung unterscheidet sich von der ersten nur durch das Relationszeichen >. Hier ist ein Werte- gegebenen Kreis. paar .xI y/ dann eine Lösung, wenn x mit einem minimalen Abstand von 2y von 1 entfernt ist. Auf dem Zahlen- Diese Gleichung sieht etwas anders aus als die einer quastrahl veranschaulicht liegt x außerhalb der Markierungen dratischen Funktion, aber auch hier handelt es sich um 1  2y und 1 C 2y. Für jede Lösung x gilt also: eine quadratische Gleichung, denn die enthaltenen Variablen liegen quadriert vor. Die hier vorliegende quadratische x < 1  2y _ 1 C 2y < x Gleichung ist von der Form x 2 Cy 2 D r 2 . Die Lösungsmenge einer solchen Gleichung lässt sich als Kreis darstellen, Zur Lösung interpretiert man die variierenden Grenzen und zwar hat dieser den Mittelpunkt .0j0/ und den Radius wieder als Randgeraden im Koordinatensystem. Diese sind r. Bei der Gleichung x 2 C y 2 D 9 handelt es sich also um dieselben wie in der ersten Gleichung, nur liegen die zu einen Kreis mit dem Radius r D 3, der mit dem Ursprung schraffierenden Punktmengen nun unterhalb der Geraden. als Mittelpunkt gezeichnet wird. Die Lösung der Aufgabe insgesamt ist hier aber die Vereinigungsmenge der beiden Punktmengen. vErgebnis y 3 v Ergebnis a) Die Lösungsmenge von jx C 1j < 2y ist die in der folgenden Darstellung doppelt schraffierte Punktmenge.

y

1

rD

1

3

3x

15 1

xC

1D

2y

1

x

1 xC 1

2y

b) Die Lösungsmenge von jx C 1j > 2y ist die in der folgenden Darstellung mindestens einfach schraffierte Punktmenge. jx C 1j > 2y

y

1

x

D C1

2y

1

1x C

x

1 2y

Warum aber bildet die Lösungsmenge der Gleichung x 2 C y 2 D r 2 einen Kreis? Zur Begründung betrachten wir diese Gleichung etwas genauer: Nach dem Satz des Pythagoras weiß man, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. Umgekehrt stimmt das auch: Wenn man ein Dreieck mit den Seitenlängen x, y und r konstruiert, die die Gleichung x 2 C y 2 D r 2 erfüllen, dann handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten x und y und der Hypotenuse r. Zeichnet man nun einen solchen Punkt P .xjy/ in ein Koordinatensystem, dann bilden P , der Ursprung und der Punkt .xj0/ dieses rechtwinklige Dreieck.

143 Aufgaben

1 Beispiel 15.7 Zeichnen Sie den durch

P .xjy/ r

x 2  2x  3 D 5  .y C 4/2

y

x

gegebenen Kreis.

Erstes Ziel ist es, diese Gleichung in die Form .x  a/2 C .y  b/2 D r 2 Fügt man weitere Punkte, deren Koordinaten Lösungen der Gleichung sind, hinzu, dann bilden sich weitere rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenusen alle gleich lang sind, alle vom Ursprung ausgehen und jede an einem der Lösungspunkte endet. Jede Hypotenuse ist also ein Radius desselben Kreises, der sich aus den Lösungspunkten zusammensetzt. Der Mittelpunkt eines Kreises muss natürlich nicht immer im Ursprung liegen, wie die folgende Aufgabe zeigt. 1 Beispiel 15.6 Zeichnen Sie den durch

zu überführen. Das ist (natürlich) nicht bei jeder quadratischen Gleichung möglich, hier geht es aber: Auf der linken Seite kann die zweite binomische Formel angewendet werden, wenn man zuvor auf beiden Seiten der Gleichung 4 addiert. Des Weiteren führt die Anwendung gängiger Äquivalenzumformungen zur gewünschten Form: x 2  2x  3 D 5  .y C 4/2 , ,

x 2  2x C 1 D .y C 4/2 C 9

,

.x  1/2 D .y C 4/2 C 9

,

.x  2/2 C .y C 3/2 D 16

x 2  2x  3 C 4 D 5  .y C 4/2 C 4

.x  1/2 C .y C 4/2 D 9

Zu zeichnen ist also ein Kreis mit dem Mittelpunkt .1j  4/ und dem Radius 3.

gegebenen Kreis.

Es handelt sich hier wieder um einen Kreis mit dem Radius r D 4, allerdings ist der Mittelpunkt verschoben. Wie sich die Verschiebung eines Graphen auf die zugehörige Gleichung auswirkt haben Sie in 7 Abschn. 12.3 kennengelernt: Dort hieß es, dass die x-Koordinate des Parabelscheitelpunkts zu einer Funktion f mit der Gleichung f D .x  2/2 den Wert 2 hat. Analog stellen wir für den durch .x  2/2 C .y C 3/2 D 16 gegebenen Kreis fest, dass sein Mittelpunkt bei .2j  3/ liegt.

vErgebnis

y 1

1 x

4 r D

v Ergebnis

3

y 1

2 x

1

Aufgaben

3 r D 4

Manchen quadratischen Gleichungen kann man nicht auf Anhieb ansehen, dass ihre Lösungsmengen als Kreis darstellbar sind. Dies zeigt die folgende Aufgabe.

15.1 Zu jeder Gleichung passt genau eine Gerade. Ordnen

Sie zu: a) 2x  3y D 0 b) 3x D 6  2y c) 2y D 6 C 3x d) y D 32 x  3 e) 2y D 3x  6 f) 3y D 2x

15

144

Kapitel 15  Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

4:

3

15.6 Geben Sie zu jeder Geraden eine passende Gleichung an. Fangen Sie mit der Ihrer Meinung nach einfachsten an und versuchen Sie, aus dieser Lösung die Lösungen der anderen Fälle zu entwickeln.

y 1:

2

6:

1 4

3

0 1 0 1

2

1

2

3

x

c f

2

5: 3:

1

2:

5

4

3

0 1 0 1

2

15.2 Zeichnen Sie die folgenden Geraden:

1

2

3

4

x

2

a) 3x C 6y D 9 b) x C 2y D 3 c) 2x C 4y D 6

e d

Beschreiben Sie, was Ihnen auffällt. Versuchen Sie eine Begründung. 15.3 Zeichnen Sie die folgenden Geraden:

a) b) c) d) e) f) g) h)

a

2

3 4

y 3

2x  3y D 6 5x C 3y D 15 x D 2y C 1 y D 4 xD5 2.3  x/  y D 5 x  2y C 1 D 3x C y .x  1/2 D x 2  y C 1

3

b

4

15.7 Geben Sie jeweils eine Gleichung an . . .

a) . . . für eine Gerade mit dem x-Achsenabschnitt 2 und dem y-Achsenabschnitt 3; b) . . . für eine Gerade, die durch die Punkte P .2j1/ und Q.3j  4/ verläuft; c) . . . für eine Gerade, die durch die Punkte P .3j  1/ und Q.3j4/ verläuft. 15.8 Zeichnen Sie die folgenden Geraden in das abgebil-

dete Koordinatensystem. Erweitern Sie die Achsen nicht. a) x C 2y D 10 b) x  2y D 10 c) x C 2y D 0

15.4 Von zwei Zahlen a und b weiß man, dass ihre Summe

15

20 beträgt und ihre Differenz 10. Ermitteln Sie die Werte für a und b grafisch, indem Sie zwei Gleichungen aufstellen, diese im Koordinatensystem darstellen und die Lösung dort ablesen.

y 3 2 1

15.5 Geben Sie jeweils eine Gleichung der abgebildeten 4

Geraden an. y g

2

0 1 0 1

1

2

3

x

2

h

5

3

3

4

4

3 2

f

15.9 Schraffieren Sie jeweils die zugehörige Punktmenge:

x

a) b) c) d) e)

1 3

2

0 1 0 1

1

2

3

4

5

2 3 4

Hinweis: Es genügt, eine lineare Gleichung zu formulieren, für die die Koordinaten zweier Punkte jeweils ein Lösungspaar bilden.

x 1

145 Lösungen zu den Aufgaben

15.10 Geben Sie jeweils eine passende Ungleichung an.

Gestrichelte Linien gehören dabei nicht zum Bereich. y

3

2

y

2

2

1

1

0 1 0 1

e) .x 2 C 6x/ C .y 2  4y/ D 12 f) .x 2 C 6x/ C .y 2  4y/ D 1 g) .x 2  6x/ C .y 2 C 4y/ D 12

1

2

x

3

0 1 0 1

2

2

2

3

3

y 3 2 1

2

x

1 5

4

3

0 1 0 1

2

1

x

2

y 2

15.15 Zeichnen Sie, wo möglich, den jeweils durch eine

1 3

2

0 1 0 1

1

2

3

x

2 3

15.11 Schraffieren Sie jede Punktmenge und vergleichen

Sie. a) j2x C yj > 2 b) j2x C yj > 1 c) j2x C yj > 0 d) j2x C yj > 1

Gleichung gegebenen Kreis. a) x 2 C y 2 D 4 b) .x  1/2 C y 2 D 9 c) x 2 C .y  1/2 D 4 d) x 2 C 2x C y 2 D 0

Lösungen zu den Aufgaben 15.1 a) 5, b) 4, c) 2, d) 3, e) 1, f) 6. 15.2 Für alle drei Fälle ergibt sich die gleiche Gerade, da die Gleichungen Vielfache voneinander sind.

Beschreiben Sie, was Ihnen auffällt. Versuchen Sie eine Begründung.

y 3

15.12 Für das Abzäunen eines rechteckigen Bereichs auf

2

einem Gartengrundstück stehen 18 m Zaun zur Verfügung. Der Bereich soll an einer Seite an einer Garage angrenzen und darf dabei nicht länger als die Garagenwand sein. Diese ist 5 m lang. Welche Maße kann der Bereich annehmen? Ermitteln Sie die Lösungen grafisch, indem Sie eine Gleichung und eine Ungleichung aufstellen, die zugehörigen Punktbereiche im Koordinatensystem darstellen und die Lösungen dort ablesen.

1

15.13 Zeichnen Sie jeden Kreis, falls möglich, in dasselbe

Koordinatensystem. a) x 2 C y 2 D 9 b) x 2 C y 2 D 4 c) x 2 C y 2 D 0 d) x 2 C y 2 D 4 Beschreiben Sie, was Ihnen auffällt. Versuchen Sie eine Begründung.

4

3

2

0 1 0 1

Kreis passen: a) .x  3/2 C .y C 2/2 D 1 b) .x C 3/2 C .y C 2/2 D 1 c) .x C 3/2 C .y  2/2 D 1 d) .x  3/2  .y C 2/2 D 1

2

3

2

15.3

y 4

b/

3

c/

2

a/

1 5

4

3

2

0 1 0 1 2 3

d/

4 5

15.14 Wählen Sie alle Gleichungen, die zum abgebildeten

x 1

1

2

3

4

x

15

Kapitel 15  Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

146

y

f/

e/

4

g/

3 2

15.7

a) 3x  2y D 6 b) 5x  y D 11 c) x D 3

1 4

3

2

15.8

0 1 0 1

1

2

3

4

5

y

x 3

2

2

3

1

4

h/

4

5

3

2

15.4 Wenn a die größere der beiden gesuchten Zahlen ist,

lauten die zwei Gleichungen

a/

0 1 0 1

1

2

3

x

2

c/

3

b/

4

a C b D 20 a  b D 10:

15.9

a) y

Skizze in einem .aI b/-Koordinatensystem:

3 2

b

1 20

4

3

2

15

0 1 0 1

1

2

3

x

1

2

3

x

1

2

3

x

2

a

3

C b

10

D

4

20

b)

5

y 0 0

5

10

1

15

10

5

15

2

a 4

3

2

0 1 0 1

b

D

5

a

2

10

3 4 15

5

Man liest als Schnittpunkt und damit Lösung .aI b/ D .15I 5/ ab.

c) y 3

15.5 f W x  2y D 2, gW 3x C 4y D 12, hW 2x  y D 2.

2

15.6

eW 2x  3y D 0; daraus cW 2x  3y D 13; bW 2x  3y D 13I f W 2x C 3y D 0; daraus aW 2x C 3y D 13; d W 2x C 3y D 13:

1 4

3

2

0 1 0 1 2 3 4

15

147 Lösungen zu den Aufgaben

d)

c) y

y

3

3

2

2

1

1

0 1 0 1

1

2

3

4

5

6

x

4

3

2

0 1 0 1

2

2

3

3

4

4

e)

1

2

3

x

1

2

3

x

d) y

4

3

2

y

3

3

2

2

1

1

0 1 0 1

1

2

3

x

4

3

2

0 1 0 1

2

2

3

3

4

4

15.10 a) y > 2x, b) y  x  2, c) jx C 2j < 2y. 15.11

a)

Der Streifen der ausgenommenen Zahlenpaare wird immer schmaler. Die horizontale Breite des Streifens reduziert sich jedesmal um 1, zuletzt überlappen sich beide markierten Koordinatenbereiche.

y 3

15.12 Mit a die Länge entlang der Garage und b die Breite des Zauns gilt

2 1 4

3

2

0 1 0 1

1

2

3

x

a5 a C 2b D 18:

2 3

b 9

4

b) y

aC

3 2

2b

D1

8

1 4

3

2

0 1 0 1 2 3 4

1

2

3

x 1 1

5

a

148

Kapitel 15  Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

15.13

15.15

y

y a)

b)

b) 1

a)

c) 1

2 3x

x 2 C y 2 D r 2 beschreibt einen Kreis mit dem Radius r um den Ursprung. r 2 D 4 ist nicht möglich, d. h., d) ist kein Kreis. 15.14 c) und e). Bei e) muss man die Klammern quadratisch ergänzen.

15

d) 1 1

1

2

4x

r 2 D 4 ist nicht möglich, d. h., c) ist kein Kreis. Bei d) muss man quadratisch zu .x C 1/2 C y 2 D 12 ergänzen.

149

Lineare Gleichungssysteme

Konzerthaus Harpa in Reykjavik, Island. Foto: Rüdiger Lunde

Inhaltsverzeichnis 16.1

Selbsteinschätzung – 150

16.2

Lineare Gleichungssysteme lösen – 150

16.3

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen – 152

16.4

Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen – 153 Aufgaben – 154 Lösungen zu den Aufgaben – 154

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Dürrschnabel et al., So viel Mathe muss sein!, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8_16

16

Kapitel 16  Lineare Gleichungssysteme

150

Dieses Kapitel setzt das vorangegangene fort, indem nun mehrere lineare Gleichungen zu sogenannten Gleichungssystemen kombiniert werden. Wie auch zuvor geht es wieder um das Berechnen von Lösungsmengen. Und auch in diesem Kapitel spielt die geometrische Visualisierung der Lösungsmengen für das Verständnis eine große Rolle.

Selbsteinschätzung

16.1

? Ich kann lineare Gleichungssysteme mit bis zu 3 Gleichungen und 3 Variablen lösen. 7 Abschn. 16.2

vErgebnisse der Testaufgaben 16.1 .1I 2I 3/ 16.2 Für b D 1; a D 1 gibt es unendlich viele Lösungen der Form .2.1  z/I 1  zI z/, wobei z beliebig ist, für b ¤ 1; a D 2  b gibt es keine Lösung, für a ¤ 2  b gibt es   2a2 a1 b1 . I aCb2 I aCb2 genau eine Lösung der Form aCb2 16.3 Für a D 1; b D 2 gibt es unendlich viele Lösungen der Form .y  bI y/, wobei y beliebig ist. Die Visualisierung beider Gleichungen zeigt dieselbe Gerade y D x C 2. y

Test 16.1

2

Lösen Sie:

1

x 2x x

 C

y 3y

 C C

z z 2z

D D D

2

0 1 1  2y

1

x

Für a D 1; b ¤ 2 gibt es keine Lösung. Die Visualisierung beider Gleichungen zeigt zwei echt parallele Geraden, z. B. für b D 3: y

? Ich kann derartige Gleichungssysteme auf Lösbarkeit dis-

3

kutieren. 7 Abschn. 16.3

2 1 2

Test 16.2

16

  

y 2y by

C

z

C

az

D D D

x

Für a ¤ 1 gibt es genau eine Lösung der Form  2b abC2  aC1 I aC1 . Die Visualisierung beider Gleichungen zeigt zwei sich schneidende Geraden, z. B. für a D 1; b D 3: y

Lösen Sie das Gleichungssystem in Abhängigkeit von a; b 2 R: x x x

1

1 0 1

3 2

? Ich kann ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichun-

1

gen und 2 Variablen geometrisch interpretieren. 7 Abschn. 16.4

16.2

Test 16.3 Interpretieren Sie die Lösung des Gleichungssystems in Abhängigkeit von a; b 2 R geometrisch. ax x

C C

1

y y

D D

2 b

2 x

Lineare Gleichungssysteme lösen

Nicht jedes Wertepaar .xI y/ erfüllt die Bedingung, die durch eine lineare Gleichung a  x C b  y C c D 0 festgelegt ist, aber es sind in der Regel doch unendlich viele. Das erkennt man daran, dass die Veranschaulichung der Lösungsmenge im Koordinatensystem eine Gerade ist: Nicht jeder Ebenenpunkt liegt auf der Geraden, aber es sind dennoch unendlich viele Punkte .xjy/, aus denen die Gerade besteht. Muss ein Wertepaar .xI y/ nicht nur eine, sondern zwei oder mehr lineare Gleichungen erfüllen, dann kann das die

151 16.2  Lineare Gleichungssysteme lösen

Lösungsmenge weiter einschränken. Man bezeichnet mehrere Gleichungen, die alle gleichzeitig gelten sollen, als ein lineares Gleichungssystem (LGS). Geometrisch gesehen hat man dann für jede Gleichung eine Gerade als Veranschaulichung der Lösungsmenge. Weil alle Gleichungen gleichzeitig gelten, ist die Lösungsmenge der gemeinsame Schnittpunkt aller Geraden. Ein solcher existiert nicht immer, man denke z. B. an echt parallele Geraden; in manchen Fällen ist die Lösungsmenge nicht nur ein einzelner Punkt, man denke hier an den Fall, dass beide Geraden identisch sind. Wir beginnen mit einem LGS aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen x; y 2 R. Es hat im Allgemeinen als Lösung ein einzelnes Wertepaar .xI y/. Die Fälle, dass keine Lösung existiert oder dass es unendlich viele Lösungen gibt, werden in 7 Abschn. 16.3 diskutiert. 1 Beispiel 16.1 Lösen Sie das Gleichungssystem: x 2x

C 

y y

D D

1 5

einem Zettel) würde man so rechnen:  

2. x . 2x . 2x . 2x

Cy y C2y y 3y

D 1 D 5 D 2 D 5 D 3

/ / / /

Diese letzte Gleichung ersetzt also die zweite Gleichung im LGS. Analog sind alle anderen Umformungen zu interpretieren: I WD I II WD 2I  II

x

I WD I II WD 13 II

C y y

x

C

y 3y

D 1 D 3

D 1 D 1

Dies ist nun die Dreiecksform. Hier kann man in der zweiten Gleichung die Lösung für die Variable y ablesen. Dieser Wert wird in die erste Gleichung eingesetzt, und man erhält die Lösung für x, nämlich 2.

vErgebnis Die Lösung des Gleichungssystems ist das Wertepaar Wie beim Lösen einfacher Gleichungen soll am Ende des .2I 1/. Lösungsprozesses die Lösung sichtbar werden. Hierzu wird zunächst das LGS in eine sogenannte „Dreiecksform“ gebracht. In dieser Form enthält die unterste Gleichung nur In der folgenden Beispielaufgabe liegt nun ein LGS aus drei Gleichungen mit drei Variablen x; y; z 2 R vor. Es hat als eine Variable, die Gleichung darüber eine weitere. Die Dreiecksform wird mithilfe von Äquivalenzum- Lösung ein einzelnes Wertetripel .xI yI z/. formungen für LGS erzeugt. Dabei werden nach jeder 1 Beispiel 16.2 Umformung wieder zwei Gleichungen aufgeschrieben, woLösen Sie das Gleichungssystem: bei 4 eine Gleichung unverändert bleiben kann 2x C y C 2z D 1 oder 4x  y C 2z D 3 4 eine einzelne Gleichung durch ein Vielfaches ¤ 0 seiner x D yCz selbst ersetzt werden kann oder Auch hier ist das Ziel der Äquivalenzumformungen, das 4 beide Gleichungen vertauscht werden können LGS in eine Dreiecksform zu überführen. Dort ist dann oder wieder in der untersten Gleichung die Lösung für z ab4 eine Gleichung durch die Summe eines Vielfachen ¤ 0 lesbar. Hieraus sind die Lösungen der anderen beiden seiner selbst und eines Vielfachen der anderen Glei- Variablen x und y durch Einsetzen in die oberen Gleichunchungen ausgetauscht werden kann. gen schnell ermittelt. Im ersten Schritt aber formen wir die letzte Gleichung so um, dass auf der rechten Seite keine Zur Lösung der Aufgabe werden zunächst die Gleichungen Variablenterme sind: durchnummeriert, um die Umformungsschritte nachvollI 2x C y C 2z D 1 ziehbar darstellen zu können. II 4x  y C 2z D 3 I x C y D 1 III x  y  z D 0 II 2x  y D 5 2x C y C 2z D 1 I WD I 3y C 2z D 5 II WD 2I  II Die folgenden Umformungen führen zur sogenannten Dreiecksform. Wie die neuen Gleichungen aus den vorherge3y C 4z D 1 III WD I  2III henden entstehen, ist jeweils links durch eine Rechenvor2x C y C 2z D 1 I WD I schrift erklärt. Z. B. heißt II WD 2I II, dass die neue zweite 3y C 2z D 5 II WD II Gleichung durch die Differenz aus dem Doppelten der ersten und der zweiten entsteht. Im Kopf (oder notfalls auf  2z D 4 III WD II  III

16

Kapitel 16  Lineare Gleichungssysteme

152

I WD I II WD II III WD  12 III

C

2x

y 3y

C 2z C 2z z

D 1 D 5 D 2

Hier kann man in der dritten Gleichung die Lösung für die Variable z ablesen. Durch Einsetzen in II erhalten wir y D 3. Beide Werte für z und y werden abschließend in die erste Gleichung eingesetzt, und man erhält x D 1. v Ergebnis Die Lösung des Gleichungssystems ist das Wertetripel .1I 3I 2/.

vErgebnis

Die Idee für das systematische Lösen eines LGS mittels Überführen in eine Dreiecksform stammt vom Mathematiker Carl Friedrich Gauß. Unter der Bezeichnung GaußVerfahren finden Sie im Online-Material eine Variante, die den Schreibaufwand erheblich reduziert.

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

16.3

1 Beispiel 16.4

Lösen Sie das Gleichungssystem in Abhängigkeit von a:

16

C 

y ay

D D

x x

C y  ay

I II WD I  II

x

D 1 D 0 C

Lösen Sie das Gleichungssystem in Abhängigkeit von a; b: x x x

1 0

Dieses LGS enthält neben den gesuchten Zahlenwerten x; y auch einen fixen Zahlenwert (Parameter) a. Die Lösung des LGS ist also von dem Wert von a abhängig. Das wird im Folgenden diskutiert. Zunächst aber löst man das LGS, indem man es wie oben gezeigt in eine Dreiecksform bringt und dann die Lösungen von z; y durch Einsetzen bestimmt: I II

Das Gleichungssystem hat 4 keine Lösung, wenn a D 1; 4 genau eine Lösung, wenn a ¤ 1, und zwar   1 1 I : 1 aC1 aC1

Im folgenden Aufgabenbeispiel sind nun alle drei Fälle konstruierbar:

1 Beispiel 16.3

x x

Gleichung II die Aussage 0 D 1, welche offensichtlich falsch ist. Damit hat das ganze LGS keine Lösung. 4 Die Gleichung hat genau eine Lösung: Das ist der Fall, wenn a ¤ 1, denn dann erhält man aus Gleichung 1 II y D aC1 . Für das ganze LGS gibt es also in Abhängigkeit von a genau eine Lösung, welche lautet 1 1 .1  aC1 I aC1 /. 4 Die Gleichung hat für jeden Wert von y eine Lösung. Dann hätte das ganze Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Dieser Fall ist bei diesem LGS nicht zu konstruieren.

y .a C 1/y

D 1 D 1

Im Allgemeinen sind hinsichtlich der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems drei Fälle denkbar: Das LGS hat keine Lösung, es hat genau eine Lösung, oder es hat unendlich viele Lösungen. Zur Diskussion der Lösbarkeit eines LGS in Abhängigkeit eines oder mehrerer Parameter versucht man also, jeden dieser drei Fälle durch Wahl passender Parameterwerte zu konstruieren. In dieser Aufgabe liegt mit a ein solcher Parameter vor. Er beeinflusst auch nur die Gestalt der Gleichung II. Die drei Fälle werden also konstruiert, indem die Gleichung II vermittels a passend verändert wird: 4 Die Gleichung hat keine Lösung: Das ist der Fall, wenn a D 1 ist, denn dann erhält man durch Einsetzen in die

 C 

2y 3y 2y

C C C

3z 3z .3 C a/z

D D D

2 1 1Cb

Das LGS enthält neben den Lösungsvariablen x; y; z die Parameter a; b, von denen die Lösung des LGS abhängig ist. Das wird im Folgenden wieder diskutiert, indem man zunächst das LGS in eine Dreiecksform bringt: I II III

x x x

 2y C 3y  2y

I WD I II WD I C II III WD I  III

x

C 3z C 3z C .3 C a/z 

2y y

C C

D 2 D 1 D 1Cb 3z 6z az

D 2 D 3 D 1b

Die beiden Parameter a; b haben nur Einfluss auf die Gestalt der Gleichung III. Dort konstruieren wir mithilfe geeigneter Werte von a; b die drei Fälle: 4 Die Gleichung hat für jeden Wert von z eine Lösung. Das ist der Fall, wenn a D 0 und b D 1 ist, denn dann lautet die Gleichung III 0 D 0, d. h., jeder Wert von z ist eine Lösung. Das LGS insgesamt hat also unendlich viele Lösungen. Denn für jeden Wert z ist y D 3  6z und x D 2 C 2y  3z D 2 C 2.3  6z/  3z D 15z C 8. Alle Lösungen des LGS haben demnach die Form .8  15zI 3  6zI z/.

153 16.4  Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen

4 Die Gleichung hat keine Lösung: Das ist der Fall, wenn a D 0 und b ¤ 1 ist, denn dann erhält man durch Einsetzen in die Gleichung III die Aussage 0 D 1  b, welche wegen der Forderung b ¤ 1 nicht erfüllbar ist. Damit hat das ganze LGS keine Lösung. 4 Die Gleichung hat genau eine Lösung: Das ist der Fall, wenn a ¤ 0, denn dann lautet die Gleichung III z D b1 . Für das ganze LGS gibt es also in Aba hängigkeit von a; b genau eine Lösung, welche lautet  b1 8  15 b1 I 3  6 b1 a a I a . v Ergebnis Das Gleichungssystem hat 4 unendlich viele Lösungen, wenn a D 0 und b D 1; jedes Tripel .8  15zI 3  6zI z/ mit beliebigem z ist eine solche; 4 keine Lösung, wenn a D 0 und b ¤ 1; 4 genau eine Lösung, wenn a ¤ 0, und zwar das Tripel   . I 3  6 b1 I b1 8  15 b1 a a a

Einsetzen in II die Aussage 0 D a  2, was mit der Forderung a ¤ 2 unmöglich zu erfüllen ist. Es gibt also für y keine Lösung und damit für das ganze LGS keine Lösung. 4 Die Gleichung II hat genau eine Lösung. Das ist der Fall, wenn b ¤ 12 ist, denn dann lässt sich die Gleichung a2 umformen. Für das ganze LGS gibt es alII in y D 2b1 so in Abhängigkeit  von a; b genau eine Lösung, welche  a2 . lautet ab1 I 2b1 2b1 Jeder dieser drei Fälle lässt sich wie folgt geometrisch veranschaulichen. Man stellt sich die Lösungsmenge jeder Gleichung als Gerade vor und zeichnet diese: 4 Die Gleichung II hat für jeden Wert von y eine Lösung: Hier ergeben sich aus den Parameterwerten a D 2 und b D 12 die beiden Geraden 2x  y D 2 und x  12 y D 1. Zeichnet man beide Geraden, dann erkennt man, dass beide übereinanderliegen. y

Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen

16.4

Die Fallunterscheidung im vorherigen 7 Beispiel 16.4 ist dort arithmetisch begründet. Einsichtig wird die Notwendigkeit einer Fallunterscheidung, wenn man sich diese Fälle auch geometrisch veranschaulicht. Am einfachsten geht wie dies im folgenden Beispiel, wo wir uns auf zwei Variablen x; y und damit auf eine Veranschaulichung zunächst in der Koordinatenebene beschränken. 1 Beispiel 16.5 Interpretieren Sie die Lösung des Gleichungssystems geometrisch. 2x x

 

y by

D D

a 1

1 1 2

Beide Gleichungen sind also äquivalent, und in der Tat erkennt man das auch algebraisch: Wenn man die zweite Gleichung mit 2 multipliziert, erhält man die erste. 4 Die Gleichung II hat keine Lösung: In diesem Fall sind mit a ¤ 2 und b D 12 zwei Geraden 2x  y D a und x  12 y D 1 zu zeichnen, wobei zur Veranschaulichung a noch zu konkretisieren ist. Wir wählen a D 0 und zeichnen wie folgt:

Zunächst wird das Gleichungssystem nach dem eingeführten Verfahren gelöst. Wir bringen es in eine Dreiecksform: I II

2x x

 

I WD I II WD I  2II

y by 2x

D a D 1 

x

y

1 y .2b  1/y

D a D a2

Wieder sind drei Fälle zu konstruieren: 4 Die Gleichung II hat für jeden Wert von y eine Lösung. Das ist der Fall, wenn a D 2 und b D 12 ist, denn dann lautet die Gleichung II 0 D 0. Damit hat das LGS unendlich viele  Lösungen.  Alle Lösungen haben demnach die Form 1 C 12 yI y . 4 Die Gleichung II hat keine Lösung. Das ist der Fall, wenn a ¤ 2 und b D 12 ist, denn dann erhalten wir durch

1

x

2

Man erkennt, dass beide Geraden parallel sind, und in der Tat erkennt man das auch algebraisch: Stellt man beide Geradengleichungen in die Form y D mx Cb um, dann ist in beiden Fällen m D 2. Die Steigung beider Geraden ist gleich, sie sind parallel. Sie sind aber nicht

16

154

Kapitel 16  Lineare Gleichungssysteme

identisch, denn der y-Achsenabschnitt ist bei der ersten Geraden 0, bei der zweiten Geraden dagegen 2. 4 Im dritten Fall sind mit a ¤ 2 die beiden Geraden 2x  y D a und x  by D 1 zu zeichnen, z. B. könnten dies mit a D 1 und b D 0 die Geraden 2x  y D 1 und x D 1 sein.

c)  z C z C z

D a D 7 D 3

d) x x

y

C 2y C y y

 z  z

D s D 1 D 2

16.3

1 1

C y  y y

x x

1

x

a) Ergänzen Sie jedes Gleichungssystem so, dass es lösbar bzw. nicht lösbar ist. (i) x D 1 x C y D 1 (ii)

Man erkennt, dass beide Geraden nicht parallel sind und deshalb einen Schnittpunkt haben müssen. Die ablesbaren Koordinaten .1j1/ ergeben sich auch rechnerisch für  ab1a Da21 und b D 0 aus der allgemeinen Lösung I . 2b1 2b1

x x

C 2y C y

D 3 D 

Bestätigen Sie Ihre Angaben durch eine Rechnung. b) Welches der beiden Gleichungssysteme lässt sich so ergänzen, dass die Lösungsmenge unendlich viele Elemente enthält?

Aufgaben 16.4 Welche der folgenden Umformungen sind beim Lö-

sen eines linearen Gleichungssystems zulässig? a) Multiplizieren einer Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl außer null. b) Verändern der Reihenfolge der Gleichungen. c) Quadrieren beider Seiten einer Gleichung. d) Eine Gleichung oder das Vielfache einer Gleichung zu einer anderen hinzuaddieren oder subtrahieren. e) Eine Gleichung durch eine andere Gleichung des Gleichungssystems ersetzen.

16.1 Lösen Sie:

a) 2x x

C 3y  y

D 8 D 1

x 2x

 2y C 3y

D 7 D 0

C y

C 2z C z C z

b)

16

c) 5x 2x x

C y

D 3 D 1 D 0

d) x x 2x

C y  y C y

C z C z  2z

D 4 D 0 D 6

Lösungen zu den Aufgaben 16.1

a) b) c) d)

x x x x

D 1, y D 2 D 3, y D 2 D 23 , y D 1, z D 13 D 1, y D 2, z D 3

16.2 16.2 Diskutieren Sie die Lösbarkeit in Abhängigkeit der

jeweils gegebenen Parameter: a) 2x C 3y D b x C ay D 4 b) x 2x

C y C 3y

D k D 6

a) Das LGS hat für a D 32 und b D 8 unendlich viele Lösungen, alle der Form .4 32 yI y/. Das LGS ist für a D 32 und b ¤ 8 unlösbar. Das LGS hat für a ¤ 32 genau eine b8 b8 I 32a /. Lösung, und zwar der Form . b2  32  32a b) Das LGS hat für jedes k 2 R genau eine Lösung, und zwar der Form .6 C 3kI 6  2k/. c) Das LGS hat für a D 7 unendlich viele Lösungen der Form .2z  10I 3  zI z/. Für alle a ¤ 7 ist das LGS unlösbar.

155 Lösungen zu den Aufgaben

d) Das LGS hat für s D 3 unendlich viele Lösungen, alle der Form .z  1I z C 2I z/. Das LGS ist für s ¤ 3 unlösbar. 16.3

a) Das LGS (i) ist immer lösbar, wenn vor dem y eine Zahl ungleich 0 steht. Das LGS (ii) ist eindeutig lösbar, wenn vor y keine 2 steht. Es ist unlösbar, wenn vor y eine 2 steht und rechts eine Zahl ungleich 3. Es ist lösbar mit unendlich vielen Lösungen, wenn vor y eine 2 steht und rechts eine 3. b) Steht vor y eine Zahl ungleich 0, ist das LGS (i) immer eindeutig lösbar. Das LGS (ii) hat für die Lücke vor y gleich 2 unendlich viele Lösungen, wenn die Lücke auf der rechten Seite gleich 3 ist.

16.4

a) b) c) d) e)

Zulässig Zulässig Nicht zulässig Zulässig Nicht zulässig

16

157

Anschauliche Vektorgeometrie

Samuel Beckett Bridge, Dublin. Foto: Rüdiger Lunde

Inhaltsverzeichnis 17.1

Selbsteinschätzung – 158

17.2

Vektoren als Pfeilklassen – 158

17.3

Addition und Multiplikation mit Skalaren – 160

17.4

Punktmengen im Anschauungsraum – 161

17.5

Darstellung von Geraden und Ebenen – 161 Aufgaben – 163 Lösungen zu den Aufgaben – 163

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Dürrschnabel et al., So viel Mathe muss sein!, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8_17

17

Kapitel 17  Anschauliche Vektorgeometrie

158

Mit Vektoren wird ein neuer Typ von Objekten eingeführt, die man addieren, subtrahieren und auf besondere Weise multiplizieren kann. Manche der hier geltenden Rechengesetze sind schon von den reellen Zahlen her bekannt. Sowohl diese Rechenoperationen als auch die Vektoren selbst kann man wieder am besten verstehen, wenn man sie geometrisch veranschaulicht.

? Ich kann Punktmengen im Anschauungsraum mithilfe von Vektoren untersuchen. 7 Abschn. 17.4

Test 17.4 Begründen Sie rechnerisch, dass das Viereck ABCD mit A.2j  1/;

17.1

Selbsteinschätzung

B.2j  2/;

C.4j1/;

D.0j2/

ein Parallelogramm ist.

? Ich kann Vektoren als Pfeilklassen interpretieren. 7 Abschn. 17.2

? Ich kann mithilfe von Vektoren Geraden und Ebenen im Raum darstellen. 7 Abschn. 17.5

Test 17.1 Welche Pfeile gehören zu demselben Vektor wie m? E

Test 17.5

aE

dE

bE fE Ei nE

oE

pE

eE hE

gE kE m E

cE

Gegeben sind die Punkte A.0j1j2/, B.1j2j0/ und C.2j1j3/. Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden durch A und B und eine der Ebene durch A, B und C an.

vErgebnisse der Testaufgaben

lE qE rE

E pE 17.1 h; 17.2 fE; lE 17.3

? Ich kenne die Komponentendarstellung von Vektoren. 7 Abschn. 17.2

Test 17.2

17

Jedes Kästchen in der obigen Abbildung habe die Seiten länge 1. Welche Pfeile werden dann durch den Vektor 21 beschrieben?

EABC W

plikation mit Skalaren. 7 Abschn. 17.3

17.2 Berechnen Sie ! ! !! ! 1 2 3 5  C4 C2 : 2 3 1 1

1

17.4 Die zu einem Paar gegenüberliegender Seiten gehörigen Verbindungsvektoren müssen gleich sein. Dies ist bei den Seiten AD und BC der Fall, denn die zugehöri!   !   gen Verbindungsvektoren AD D 23 und BC D 23 sind gleich. 0 1 0 1 0 1 B C B C 17.5 gAB W xE D @1A C   @ 1 A und

? Ich beherrsche die Addition von Vektoren und die Multi-

Test 17.3

1

2 2 0 1 0 1 0 1 0 1 2 B C B C B C xE D @1A C   @ 1 A C   @ 0 A. 2 2 1

Vektoren als Pfeilklassen

Der zentrale Begriff dieses Kapitels ist der des Vektors. Mathematisch gesehen handelt es sich bei einem Vektor um zwei, drei oder mehrere aufeinanderfolgende Zahlen, bei der die Reihenfolge dieser Zahlen wichtig ist. Z. B. ist die Reihenfolge der Koordinaten eines Punktes bei der Festlegung seiner Position wichtig: Ein Punkt mit den Koordinaten .2j1/ liegt woanders als der Punkt mit den Koordinaten .1j2/. Anders als bei Punktkoordinaten werden

159 17.2  Vektoren als Pfeilklassen

bei Vektoren aber Rechenoperationen definiert. Man kann Ein Vektor lässt sich also als eine Klasse von Pfeilen Vektoren addieren bzw. subtrahieren, auch gibt es verschie- deuten, von denen jeder einen der Wege beschreibt, die dene Arten der Multiplikation. Zur Unterscheidung werden zusammengenommen die Bewegung der gesamten Ebene beim Punkt die Koordinaten nebeneinander und beim Vek- ergeben. tor die Zahlen – Komponenten genannt  – untereinander notiert. Man muss sich also den Vektor 21 anders vorstel-1 Beispiel 17.1 Welche Pfeile gehören zu demselben Vektor wie der Pfeil len als den Punkt .2j1/. ! Hierzu denke man sich ein Blatt mit einem Gitternetz,  PQ? auf dem eine der Gitterkreuzungen mit einem Punkt P markiert ist. Auf diesem Blatt liegt eine durchsichtige Folie y 5 mit einem identischen Gitternetz, und dort, wo der Punkt Ei kE 4 P durchscheint, wird mit einem Folienstift ebenfalls ein fE Punkt P 0 markiert. Jetzt schiebe man die Folie um drei eE 3 cE bE jE Gittereinheiten nach rechts und um zwei Gittereinheiten vE 2 Q nach oben. Der Punkt hat also den Weg „3 rechts 2 oben“ w E d 1 gE zurückgelegt. Genauso hat jeder andere Gitterpunkt densellE P aE 0 ben Weg zurückgelegt, sogar jeder Punkt auf der Folie. Die 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 1 Bewegung der Folie insgesamt umfasst also alle einzelnen hE Wege der Art „3 rechts 2 oben“. Eine solche Bewegung – 2 auch Translation genannt – kann eindeutig durch die aufeinanderfolgenden Zahlen 3 und 2 beschrieben werden. Der Nur einige der durch Pfeile dargestellten Wege stimmen  Vektor vE D 32 beschreibt diese Translation. Er lässt sich al- hinsichtlich Länge, Richtung und Orientierung mit dem so deuten als die Bewegung der kompletten Ebene um drei Weg überein, der die Punkte P und Q miteinander ver! nach rechts und zwei nach oben. bindet. Dies sind neben PQ selbst nur die Vektoren lE und vE. Unter den anderen gibt es einige, die dieselbe Länge haben. Damit meint man das, was man gemeinhin mit P0 dem Wort „Länge“ verbindet: Man kann gleich lange Pfeile durch Verschieben und Drehen so übereinanderlegen, ! dass sie sich genau überdecken. Unter diesen zu PQ gleich P langen Pfeilen weist cE zudem auch dieselbe Richtung wie ! PQ, allerdings ist er umgekehrt orientiert: Die Pfeilspitze zeigt nicht nach links oben, sondern nach rechts unten. Man Fügen wir der Ebene, in der beide Gitternetze liegen, ein erkennt an diesem Beispiel, dass mit der Richtung nicht Koordinatenkreuz hinzu, dann bekommt der Punkt P Ko- die Pfeilrichtung gemeint ist, sondern die Ausrichtung des E z. B. haben dieordinaten. Z. B. könnten dies die Koordinaten .2j  1/ sein. Pfeils in der Ebene. Die Vektoren gE oder w  ! Nach der durch den Vektor vE D 32 definierten Bewegung selbe Länge wie PQ, allerdings ist die Richtung anders. hat P 0 die Koordinaten .5j1/. Und ein Punkt Q mit den Das, was man allgemein mit Pfeilrichtung meint, heißt Koordinaten .1j1/ würde nach der Bewegung der Ebene beim Vektor die Orientierung. Der Vektor cE hat dieselbe ! um drei nach rechts und zwei nach oben auf dem Punkt Länge und Richtung wie PQ, allerdings die entgegenge0 Q .2j3/ zu liegen kommen. Die Bewegung eines einzelnen setzte Orientierung. Punktes von seiner Originalposition zu seiner Zielposition kann durch einen Pfeil gezeichnet werden. Alle diese Pfeile vErgebnis ! sind bis auf ihre Position im Koordinatensystem identisch: Die Pfeile lE und vE gehören zum Vektor PQ. Sie sind alle gleich lang, parallel, und auch die Pfeilrichtungen sind alle gleich. In einem Fall lassen sich Orientierung und Richtung des betreffenden Vektors nicht bestimmen. Das ist der Vektor y mit der Länge null, also die Klasse aller Wege, bei denen 4  0 0 der Endpunkt auf dem Startpunkt liegt: . Dieser Vektor Q 0 3 wird auch Nullvektor genannt. 2

P0

1

Q 2

0 1 0 1 2 3

1

P

2

3

4

5

x

!Achtung Die Begriffe Länge, Richtung und Orientierung sind in schulischen Kontexten für die Beschreibung von Vektoreigenschaften geläufig. Streng genommen sind Länge, Richtung und Orientierung aber Eigenschaften der Pfeile, die

17

Kapitel 17  Anschauliche Vektorgeometrie

160

einen Vektor repräsentieren. Für analoge Eigenschaften eines Vektors gibt es andere Begriffe: Z. B. spricht man nicht von der Länge eines Vektors, sondern von seinem Betrag, und zwei Vektoren, deren Pfeilrepräsentanten eine gleiche Richtung aufweisen, sind linear abhängig. Und dort, wo die Vektorrechnung zur Anwendung kommt, stößt man auf weitere Begriffsdeutungen. So heißt es in der Physik, dass zwei Geschwindigkeitsvektoren eine entgegengesetzte Richtung aufweisen, wenn die visualisierenden Pfeile eigentlich umgekehrt orientiert sind. In diesem Buch allerdings beschränken wir uns auf die drei Begriffe Länge, Richtung und Orientierung, und zwar in dem Sinne, wie es in der Schulmathematik vielerorts üblich ist.

1 Beispiel 17.2 Welche Pfeile in der Abbildung in 7 Beispiel 17.1 werden  durch den Vektor 12 beschrieben?

 Der Vektor 12 beschreibt die Translation der Koordinatenebene der Form „eins rechts zwei oben“. Jeder zugehörige Pfeil muss einen Weg anzeigen, der sich aus einem Einheitsschritt in positiver x-Richtung und zwei Einheitsschritten in positiver y-Richtung zusammensetzt. Mit aE und w E gibt es in der Abbildung nur zwei Pfeile, die diesem Kriterium entsprechen.

y 6

aE

5

bE

4 3

aE C bE

2 1 0 1 0 1

1

2

3

y 6

! 1 aE D w ED : 2

5

bE

4 3

bE

aE

2

17

x

! ! ! ! 2 1  2 1 1 aE  bE D  D D 2 3 2  .3/ 5

Es ist

Addition und Multiplikation mit Skalaren

Vektoren sind wie Zahlen, denn man kann mit ihnen rechnen. Wie man Vektoren z. B. addiert, ist schnell definiert und einfach durchgeführt. Wie aber eine solche Definition zu verstehen ist, lässt sich geometrisch leicht anhand der Translationsvorstellung veranschaulichen. Die drei für die Vektorrechnung wichtigsten Rechenoperationen sind die folgenden: 4 Addition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man jede Komponente des einen Vektors mit der entsprechenden des anderen addiert. Z. B. ist ! ! ! ! 2 1 C 2 3 1 aE C bE D C D D : 2 3 23 1

5

Die Abbildung zeigt: Bei Addition zweier Vektoren entsteht ein neuer Vektor, der der Hintereinanderausführung beider Translationen entspricht. Zur Veranschaulichung füge man einem Pfeil des ersten Vektors einen Pfeil des zweiten Vektors an und verbinde Startpunkt des ersten und Endpunkt des zweiten Pfeils zu einem neuen Pfeil. 4 Subtraktion: Zwei Vektoren werden subtrahiert, indem man jede Komponente des zweiten Vektors von der entsprechenden des ersten subtrahiert. Z. B. ist

v Ergebnis

17.3

4

aE

1 0 1 0 1

1

2

3

4

5

x

Die Abbildung zeigt: Die Subtraktion aE  bE erklärt man E wobei als Addition des Gegenvektors aE  bE D aE C .b/, der Gegenvektor eines Vektors gebildet wird, indem man das Vorzeichen jeder Komponente umkehrt. 4 Multiplikation mit einem Skalar: Ein Vektor wird mit einer reellen Zahl (Skalar) multipliziert, indem jede Komponente des Vektors mit dieser Zahl multipliziert wird. Z. B. ist ! ! ! 1 3  .1/ 3 3  cE D 3  D D : 2 32 6 Oder es ist ! ! ! 1 .1/  .1/ 1 E c D .1/  D D : 2 .1/  2 2

161 17.5  Darstellung von Geraden und Ebenen

Ortsvektor von P . Diese Umdeutung erlaubt nun den rechnerischen Nachweis von Eigenschaften geometrischer Objekte wie Länge und Richtung, insbesondere Parallelität.

y 6 5

3 c

4

1 Beispiel 17.4

3

Begründen Sie rechnerisch, dass das Viereck ABCD mit

cE

2

A.2j  1/;

1 0 1 0 1

1

2

3

4

5

x

1 c

2 3 4

Die Abbildung zeigt: Es entsteht ein neuer Vektor, der dem Dreifachen des Ausgangsvektors entspricht. Und bei negativem Skalar ändert der Vektor seine Orientierung. In beiden Fällen aber ändert sich die Richtung nicht. D. h., dass alle Vektoren, die durch eine Multiplikation mit einem Skalar auseinander hervorgehen, parallel sind. Man kann die Addition und die Multiplikation mit einem Skalar miteinander kombinieren:

B.2j  2/;

Zunächst sollte man wissen, dass ein Viereck dann ein Parallelogramm ist, wenn es zwei Paare gegenüberliegender paralleler Seiten aufweist. Man müsste also zeigen, dass die Seiten AB, DC und AD, BC parallel sind, d. h., die zugehörigen Verbindungsvektoren sind jeweils Vielfache voneinander. Es genügt jedoch, die Parallelität nur eines Seitenpaares zu zeigen, wenn diese Seiten auch zusätzlich gleich lang sind. Dann ist automatisch auch das andere Seitenpaar parallel. Vektoriell lassen sich diese beiden Eigenschaften (parallel und gleich lang) sehr einfach be! schreiben durch die Identität der Verbindungsvektoren: AB ! ! ! = DC (oder AD = BC ).

1 Beispiel 17.3

AD ! !! 2 4 C 1 1

3

A

2

! 1 5 3 2

17.4

! !! ! ! 2 4 5 2 C D 3 1 1 10 0 ! ! 5 6 D  10 0 ! 1 D 10

Punktmengen im Anschauungsraum

Man kann mittels Vektoren geometrische Objekte beschreiben, um auf rechnerische Weise deren Eigenschaften nachzuweisen. Hierbei hilft eine Umdeutung von Punktkoordinaten als Vektoren: Der zu einem Punkt P .xjy/   koordinaten- bzw. komponentengleiche Vektor pE D yx steht für die Translation, die den Ursprung auf P überführt. In dieser Interpretation nimmt man unter allen Pfeilen der zugehörigen Pfeilklasse den Verbindungspfeil vom Ursprung zu P in den Blick und bezeichnet pE als den

y D DC C

1 0 1 0 1

1

2

3

4

x

BC

2 3

Wie beim Rechnen mit reellen Zahlen gilt auch hier die Regelung „Punkt vor Strich und Klammern über alles“:

D.0j2/

ein Parallelogramm ist.

2

Berechnen Sie: ! 1 5 3 2

C.4j1/;

AB

B

! Man sieht: Der Verbindungsvektor AB lässt sich aus den zu A und B gehörigen Ortsvektoren aE und bE berechnen. Dabei beachte man, dass bei A startend der Ortsvektor aE rückwärts durchlaufen wird. Es ist also ! ! ! 2 2 4 ! E AB D E aCb D C D : 1 2 1 Auf analoge Weise erhält man für den zweiten Verbindungsvektor ! 4 ! DC D ; 1 womit gezeigt ist, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.

17.5

Darstellung von Geraden und Ebenen

Wie im vorangegangenen Abschnitt gesehen, lassen sich mithilfe von Ortsvektoren die Positionen von Punkten vektoriell beschreiben. Möchte man eine ganze Punktmenge,

17

162

Kapitel 17  Anschauliche Vektorgeometrie

z. B. eine Gerade oder eine Ebene, beschreiben, so stellt man die Ortsvektoren der Punkte mit einer sogenannten Parametergleichung dar. Man nennt dies die Parameterdarstellung der Geraden bzw. der Ebene. 1 Beispiel 17.5

gAB W

Gegeben sind die Punkte A.1j0j2/, B.2j1j3/ und C.3j1j4/. Geben Sie eine Parametergleichung der Geraden durch A und B und eine der Ebene durch A, B und C an.

Alle Punkte in dieser Aufgabe sind nun Raumpunkte, denn sie haben drei Koordinaten. Die gesuchte Gerade enthält alle Punkte auf der Strecke AB und alle Punkte, die sich auf beliebigen Verlängerungen von AB befinden. Jeden dieser Punkte X gilt es wie folgt, mittels seines Ortsvektors xE zu beschreiben.

.A B/

Weil die Aufgabe die Koordinaten der Punkte A und B benennt, kann man die Parametergleichung konkret angeben:

Es ist auch eine Parametergleichung der Ebene durch A, B und C verlangt. Die Aufstellung einer Parametergleichung einer Ebene verfolgt dasselbe Prinzip wie bei der einer Geraden. z

X

xE D aE C 2 AB C AC

z

X

0 1 0 1 1 3 xE D @0A C   @ 1 A 2 1

B

AB A

BA B

C AC y

aE

xE D aE C 2 AB

A

y

x

aE x

17

Z. B. liegt A auf der Geraden. Sein Ortsvektor ist aE. Auch B mit dem Ortsvektor bE gehört zu dieser Geraden. Statt den direkten Weg von O zu B über den Ortsvektor bE zu gehen, kann man den Punkt B auch über den Umweg über A er! ! reichen: OB D aE C AB. Wenn man diesen Weg auf der Hälfte zwischen A und B abbricht, dann erreicht man mit ! xE D aE C 12  AB den Mittelpunkt der Strecke AB. Möchte man beliebige Punkte auf der Geraden beschreiben, so ersetzt man den Faktor vor dem Verbindungsvektor durch eine reelle Variable. Dafür verwendet man gerne griechische Buchstaben, z. B. so: ! xE D aE C   AB In dieser Schreibweise erreicht man mit 0    1 die Punkte auf der Strecke AB, mit  > 1 alle Geradenpunkte jenseits von B und mit  < 0 alle Geradenpunkte jenseits von A. Man kann also jeden Punkt X auf der Geraden durch einen passenden Ortsvektor xE beschreiben. Wir nennen diese Gerade gAB und schreiben gAB W

! xE D aE C   AB;

 2 R:

Die Variable  ist übrigens der Parameter, der dieser Gleichungsform ihren Namen gibt. Sie heißt Parametergleichung einer Geraden.

Man benennt zunächst den Ortsvektor zu einem Ebenenpunkt, z. B. wieder aE , dann fügt man die zu Geraden verlängerbaren Verbindungsstrecken AB und jetzt auch AC hinzu: EABC W

! ! xE D aE C   AB C   AC

Man erkennt schnell: Wenn  D 0 ist, dann reduziert sich diese Parameterdarstellung auf die der Geraden durch A; B. Und wenn  D 0 ist, dann reduziert sie sich auf die der Geraden durch A; C . Die übrigen Punkte der Ebene befinden sich zwischen diesen beiden Geraden. Sie werden für geeignete Werte von  und  erreicht. Die gesuchte Parametergleichung erhält man nun, indem man die gegebenen Punktkoordinaten einsetzt:

EABC W

0 1 0 1 0 1 1 3 2 xE D @0A C   @ 1 A C   @1A 2 1 2

Eine in vielen Zusammenhängen hilfreiche weitere Darstellung von Ebenen mittels Koordinatengleichung finden Sie im Online-Material.

17

163 Lösungen zu den Aufgaben

Aufgaben

Gegeben sei ein Viereck mit den Eckpunkten A.2j3/, B.1j  4/, C.5j2/ und D.3j0/. Zeigen Sie, dass das aus den Mittelpunkten der Seiten des Vierecks gebildete Viereck ein Parallelogramm ist. 17.7

17.1

y 4 3

aE 3

fE 2

2

eE

dE

17.8

cE

y

1

1

0 1 0 1

1

2

gE

2

bE

3

4

x 1

2

x

3

  a) Welche Pfeile gehören zum Vektor pE D 2 3 ? b) Betrachtet man pE als Ortsvektor eines Punktes P , welcher dieser Pfeile wäre dann geeignet, den Ort von P anzuzeigen? 17.2 Zeichnen Sie  mindestens drei verschiedene Pfeile zum Vektor pE D 1 , darunter auch den, der die Lage des 5 zugehörigen Punktes P .1j5/ anzeigt. 17.3 Berechnen Sie und veranschaulichen Sie jede Rech-

nung durch im Koordinatensystem. ! Pfeilkombinationen ! 1 3 a) C2 2 1 ! ! 2 1 b) 3   0 3 17.4 Berechnen Sie: ! !!

! 1 3 1 a) 2   C3 2 5 2 00 1 0 11 0 1 0 1 0 1 3 0 b) @@3A C 5  @0AA C 2  @1A C @0A 2 4 0 2

Nur zwei der drei Geradengleichungen passen zur abgebildeten Geraden. Welche sind!dies? ! 2 2 C 4 g1 W xE D 1 0 ! ! 2 2 4 g2 W xE D C 3 1 ! ! 4 4 4 g3 W xE D C 1 2 Ändern Sie einen Vektor der verbleibenden Gleichung so, dass er ebenfalls zur gezeigten Geraden passt. 17.9 Gegeben seien die Punkte A.0j0j1/, B.2j0j  1/ und C.0j3j4/. Geben Sie jeweils eine passende Parametergleichung an: 4 Die Gerade durch A und B 4 Die Gerade durch B und C 4 Die Ebene durch A, B und C

Geben Sie auch eine Parametergleichung der zu ABC parallelen Ebene durch D.0j2j3/ an.

17.5 Ergänzen Sie ! ! so, dass ! die Gleichung stimmt:

 2 C 3  ! 2 b)  D 3 ! 2 C c)   5 a)

5 D 4 ! 6 9 ! ! 9  D 15 5

17.6

a) Begründen Sie mittels Vektorrechnung, dass die Punkte A.2j3/, B.0j2/ und C.4j0/ auf derselben Geraden liegen. Liegt auch der Punkt D.6j  1/ auf dieser Geraden? b) Gegeben seien die Punkte P .1j2/, Q.2j  1/ und R.2j  3/. Ergänzen Sie diese Punkte so durch einen vierten Punkt S, dass ein Parallelogramm entsteht. Begründen Sie Ihre Behauptung mittels Vektorrechnung.

Lösungen zu den Aufgaben 17.1

  a) Es ist aE D eE D 2 . 3 b) Der mit aE bezeichnete Pfeil zeigt zum Punkt mit den Koordinaten .2j3/ und ist damit der gesuchte Ortsvektor. Übrigens bezeichnet bE den einzigen weiteren Ortsvektor, und zwar zum Punkt mit den Koordinaten .3j  2/.

164

Kapitel 17  Anschauliche Vektorgeometrie

17.2 Die folgende Grafik zeigt mögliche Pfeile:

y 5 4 3 2 1 3

2

0 1 0 1

1

2

x

2 3

17.3

a)

! ! ! ! ! 1 3 1 6 5 C2 D C D 4 2 1 2 2

! ! ! ! ! 2 1 6 1 7 b) 3   D  D 0 3 0 3 3

! ! ! 5 2 3 D C a) 4 1 3 ! ! 2 6 b) 3  D 3 9 ! ! ! 2 17 9 c) 4  C D 5 5 15 17.5

17.6

a) Es reicht zu zeigen, dass zwei der drei Verbindungs!   vektoren der drei Punkte parallel sind. Mit AB D 2 , 1 ! 4 ! ! BC D 2 wird deutlich, dass BC D 2  AB ist. A, ! B und C liegen also auf einer Geraden. Wegen AD D 8 ! 4 D 4  AB liegt auch der Punkt D auf der Geraden. b) Behauptung: Der Punkt S.3j0/ ist ein solcher Punkt (z. B. durch Ablesen aus einer Zeichnung). Denn man !   !  4  ! 1 ! erhält PQ D 1 3 , QR D 2 , SR D 3 und PS D 4 ! ! ! ! , woraus folgt, dass PQ D SR (und QR D PS) 2 ist. Die gegenüberliegenden Seiten im Viereck PQRS sind also parallel. (Übrigens gibt es neben S.3j0/ zwei weitere Punkte, die ABC zu einem Parallelogramm ergänzen. Finden Sie diese und begründen Sie Ihre Behauptung analog.) 17.7 Die Mittelpunkte der Seiten des Vierecks haben die Koordinaten

MAB .0;5j  0;5/ MCD .1j1/

MBC .3j  1/ MDA .2;5j1;5/:

Die Verbindungsvektoren der Mittelpunkte lauten ! MAB MBC D

17

! !! ! ! ! 1 3 1 2 3 a) 2   C3 D 2 C D 2 5 2 3 6 ! ! ! 1 3 4 D C 12 6 6 00 1 0 11 0 1 0 1 0 1 3 0 b) @@3A C 5  @0AA C 2  @1A C @0A D 2 4 0 2 00 1 0 11 0 1 0 1 0 5 6 11 @@3A C @ 0 AA C @2A D @ 1 A 2 20 2 20 17.4

3;5 0;5 ! 2 ! MBC MCD D 2

!

! 3;5 0;5 ! 2 ! MAB MDA D : 2

! MDA MCD D

Demzufolge sind die gegenüberliegenden Verbindungsvektoren gleich, d. h., die Mittelpunkte der Seiten des Vierecks bilden ein Parallelogramm. 17.8 g1 und g3 sind passende Geraden. g2 würde dann ebenfalls passen, wenn man z. B. genau eine der beiden Komponenten des Richtungsvektors mit einem negativen Vorzeichen versehen würde.

165 Lösungen zu den Aufgaben

17.9 Mögliche Parametergleichungen sind

0

4 gAB W

4 gBC W

1

0

1

2 2 xE D @ 0 A C   @ 0 A 1 2 0 1 0 1 2 2 xE D @ 0 A C   @ 3 A 1 5

0 1 0 1 0 1 0 2 0 4 EABC W xE D @0A C   @ 0 A C   @3A 1 2 3 Eine zu EABC parallele Ebene erhält man schnell, indem man die Richtungsvektoren beibehält und als Stützvektor den 0Ortsvektor 1 0von1D verwendet. 0 1 0 2 0 4 EABC W xE D @2A C   @ 0 A C   @3A 3 2 3

17

167

Stochastik

Hängebrücke Fürgangen-Mühlebach (Schweiz). Foto: Rüdiger Lunde

Inhaltsverzeichnis Kapitel 18

Stochastik – 169

VI

169

Stochastik

Straße in Caernafon (Wales). Foto: Rüdiger Lunde

Inhaltsverzeichnis 18.1

Selbsteinschätzung – 170

18.2

Häufigkeitsverteilungen – 171

18.3

Kombinatorik – 173

18.4

Zufall und Wahrscheinlichkeit – 177

18.5

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und mehrstufige Zufallsexperimente – 181 Aufgaben – 185 Lösungen zu den Aufgaben – 187

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18

Kapitel 18  Stochastik

170

In Alltag und Beruf wird es zunehmend wichtiger, Daten und zufällige Erscheinungen richtig zu interpretieren. In diesem Kapitel wiederholen Sie die grundlegenden Begriffe und die wichtigsten grafischen Hilfsmittel rund um die Aufbereitung von Daten sowie zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei einfachen und mehrstufigen Zufallsexperimenten.

18.1

Selbsteinschätzung

? Ich kann das arithmetische Mittel und den Median von

? Ich kann relative Häufigkeiten in Zufallsexperimenten als Schätzwerte von Wahrscheinlichkeiten interpretieren. 7 Abschn. 18.3

Test 18.3 Zum zufälligen Auswürfeln von Zahlen soll statt eines sechsseitigen Würfels ein regelmäßiges Tetraeder verwendet werden. Beim idealen Tetraeder ergibt sich jede der vier möglichen Augenzahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

gegebenen Daten berechnen. 7 Abschn. 18.2

Test 18.1 Davina hat über zehn Tage notiert, wie lange sie täglich Geige gespielt hat. Die Zeiten in Minuten sind: 15, 12, 10, 13, 90, 10, 12, 15, 12, 15. a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Median. b) Welche dieser beiden Werte gibt eher die typische tägliche Übungszeit an?

? Ich kann mit relativen und absoluten Häufigkeiten umgehen und Diagramme zur Veranschaulichung von Daten erstellen sowie interpretieren. 7 Abschn. 18.2

Test 18.2 Die drei Schulen AES, JKG und ESS haben eine gemeinsame Mensa. In den Kreisdiagrammen sind für zwei Tage aus der vergangenen Woche die Anteile der Gäste aus den verschiedenen Schulen dargestellt. Donnerstag

Freitag

AES

18

AES

37;5 %

33;3 % JKG

37;5 % JKG

25;0 %

33;3 %

Versuchsreihe

1

2

3

4

A B C

528 256 756

176 264 89

155 246 75

141 234 80

Welche der Versuchsreihen A; B; C wurde vermutlich mit welchem Tetraeder durchgeführt? Begründen Sie Ihre Aussage!

33;3 %

? Ich kann die Anzahl der Möglichkeiten bei Laplace-Expe-

ESS ESS 800 Gäste

Für ein Experiment stehen drei Tetraeder zur Verfügung. Eines der Tetraeder ist manipuliert worden und ergibt beim Werfen eine 1 mit der Wahrscheinlichkeit 12 und alle anderen Ziffern mit der Wahrscheinlichkeit 16 . Lena experimentiert mit diesen drei Tetraedern: dem manipulierten Tetraeder, einem idealen Tetraeder und einem dritten Tetraeder mit bisher unbekannten Eigenschaften. a) Welche Häufigkeiten erwarten Sie ungefähr, wenn das ideale Tetraeder 3 000-mal geworfen wird; welche beim manipulierten? Stellen Sie diese Häufigkeitsverteilungen jeweils in einem Säulendiagramm dar. b) Im Experiment hat Lena bei mehreren Versuchsreihen mit jeweils 1 000 Würfen folgende Häufigkeiten notiert:

450 Gäste

a) Bestimmen Sie die Anzahlen der Mensagäste aus den drei Schulen am Donnerstag und stellen Sie diese Werte in einem Säulendiagramm dar. b) Beurteilen Sie die Aussage: Am Freitag waren mehr Gäste aus der ESS in der Mensa als am Donnerstag.

rimenten mit kombinatorischen Überlegungen berechnen. 7 Abschn. 18.4

Test 18.4 Benjamin hat acht Stifte in seinem Mäppchen, von denen jeder eine andere Farbe hat. Er möchte das Wort „cosh“ mit farbigen Buchstaben schreiben.

171 18.2  Häufigkeitsverteilungen

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür, wenn jeder Buchstabe eine andere Farbe haben soll? b) Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür, wenn alle Farben beliebig oft verwendet werden können? c) Anne nimmt vier Stifte von Benjamin. Wie viele Möglichkeiten gibt es hierfür?

18.3 a) Die zu erwartenden Häufigkeiten sind Tetraeder 1 2 3 4 fair 750 750 750 750 manipuliert 1 500 500 500 500 b) Die relativen Häufigkeiten im Experiment weichen natürlich von den Wahrscheinlichkeiten ab; mit größerer Anzahl von Versuchsausführungen sollten sie sich stabilisieren. Man kann insofern keine absolut sichere Aussage treffen. Versuchsreihe A ist jedoch für den idealen Tetraeder sehr unwahrscheinlich. Die Häufigkeiten in Versuchsreihe B passen am besten zum idealen Tetraeder, die in Versuchsreihe A zu dem manipulierten. Bei Versuchsreihe C scheint der verwendete Tetraeder die Ziffer 1 noch stärker zu favorisieren.

? Ich kann mehrstufige Zufallsexperimente durch Baumdiagramme oder Vierfeldertafeln darstellen und damit auch bedingte Wahrscheinlichkeiten bestimmen. 7 Abschn. 18.5

Test 18.5 An einem Mathe-Test nehmen 50 Personen teil. Davon haben 30 die Aufgabe 1 richtig. a) Zwei der Personen werden zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine davon die Aufgabe 1 richtig hat? b) Von denen, die die Aufgabe 1 richtig haben, hat ein Drittel abgeschrieben. Von den anderen hat die Hälfte abgeschrieben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Person, die nicht abgeschrieben hat, die Aufgabe richtig ist?

18.4 a) 8  7  6  5 D 1 680 Möglichkeiten, b) 84 D 4 096 Möglichkeiten,  c) 84 D 8765 D 70 Möglichkeiten 4Š 18.5 a) Baumdiagramm mit R1 : „Person 1 hat die Aufgabe richtig“ und R2 : „Person 2 hat die Aufgabe richtig“ ˝ 30 50

R1 29 49

v Ergebnisse der Testaufgaben

R1 20 49

R2

30 49

R2

R2

19 49

R2

Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Person die  20 C 20  30 D 2  12 D Aufgabe richtig hat: 30 50 49 50 49 49 24  49;0 % 49 b) Vierfeldertafel mit R: „Aufgabe richtig“ und A: „Aufgabe abgeschrieben“: A A

18.1 a) arithmetisches Mittel: D 20;4. Daten der Größe nach geordnet: 10, 10, 12, 12, 12, D 12;5. 13, 15, 15, 15, 90; Median: 12C13 2 b) Der Median gibt besser die typische tägliche Übungszeit an. Bis auf einen Tag hat Davina immer zwischen 10 und 15 Minuten geübt. Damit ist das arithmetische Mittel von 20,4 kein typischer Wert. Es wird durch den einen Tag mit 90 Minuten Übungszeit verzerrt. 15C12C10C13C90C10C12C15C12C15 10

18.2 a) Von den 800 Gästen sind ein Viertel aus der AES, also 200. Die restlichen 600 sind zur Hälfte aus der ESS und dem JKG, also jeweils 300. Säulendiagramm: absolute Häufigkeit

20 50

R

10

20

30

R

10

10

20

20 30 50 30 Personen haben nicht abgeschrieben, davon haben 20 die Aufgabe richtig. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit 23 .

18.2

Häufigkeitsverteilungen

300 200 100

AES

JKG

ESS

b) Die Aussage ist falsch. Am Donnerstag kamen 200 Gäste von der AES, am Freitag waren es 13  450 D 150, also weniger.

Bei der Analyse und beim Vergleich von Daten sind statistische Kenngrößen und grafische Darstellungen hilfreich. Zu letzteren gehören Stabdiagramme, Kreisdiagramme und Boxplots. Die Anzahl, wie oft ein Wert in gegebenen Daten vorkommt, wird absolute Häufigkeit genannt. Der zugehörige Anteil heißt relative Häufigkeit. Mittelwerte geben einen typischen Wert der Daten an. Wichtige Mittelwerte sind die beiden folgenden.

18

172

Kapitel 18  Stochastik

Note Mittelpunktswinkel

Arithmetisches Mittel und Median

Das arithmetische Mittel xN (umgangssprachlich auch Durchschnitt genannt) erhält man, indem man die Summe aller Werte durch die Anzahl der Werte dividiert. Der Median z (auch Zentralwert genannt) ist derjenige Wert, der die Daten in zwei Hälften teilt, wenn man sie der Größe nach ordnet. Bei einer ungeraden Anzahl von Daten ist er der Wert in der Mitte. Bei einer geraden Anzahl von Daten ist er das arithmetische Mittel der beiden Werte in der Mitte.

2  360ı D 60ı 12 3  360ı D 90ı 12 4 ı ı 12  360 D 120 2  360ı D 60ı 12 1 ı ı 12  360 D 30 0  360ı D 0ı 12

1 2 3 4 5 6 vErgebnis

Es ist xN D 2;75I z D 3.

1 Beispiel 18.1

absolute Häufigkeit

In einem Test wurden die folgenden Noten erzielt:

4

2I 3I 3I 4I 3I 2I 2I 4I 1I 1I 3I 5 Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle mit absoluten und relativen Häufigkeiten. Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Median. Veranschaulichen Sie die absoluten Häufigkeiten in einem Stabdiagramm und die relativen Häufigkeiten in einem Kreisdiagramm.

3 2 1

Note absolute Häufigkeit relative Häufigkeit 1

2

2

3

3

4

4

2

5

1

2  16;7 % 12 3 12 D 25 % 4  33;3 % 12 2 12  16;7 % 1  8;37 % 12

6

0

0 D 0%

0

1

Für die Bestimmung des Medians ordnen wir die Daten der Größe nach: 112223333445 Es ist also z D 3. Für das Stabdiagramm wählen wir den Maßstab 1 cm. Für das Kreisdiagramm berechnen wir mithilfe der relativen Häufigkeiten die zugehörigen Mittelpunktswinkel.

4

5 Note

16;7 % 8;3 % 33;3 % 16;7 %

xN D

18

3

25;0 %

Das arithmetische Mittel ist 1C1C2C2C2C3C3C3C3C4C4C5 12 21C32C43C24C15 D 12 D 2;75:

2

1

2

3

4

5

Das Beispiel zeigt, dass das arithmetische Mittel kein Wert sein muss, der in den Daten vorkommt. Das gilt auch für den Median. Bei einer ungeraden Anzahl von Daten ist der Median jedoch immer ein vorkommender Wert. Denn dann gibt es genau einen Wert, der die Daten der Größe nach in zwei Hälften teilt. Arithmetisches Mittel und Median geben beide anschaulich gesprochen die Mitte der Werte an. Sie liefern aber keinerlei Information darüber, wie stark die Werte streuen. Eine einfache Darstellung, die davon einen Eindruck gibt, ist der Boxplot.

173 18.3  Kombinatorik

Boxplot

Ein Boxplot ist ein Diagramm, das die Verteilung von Daten grafisch darstellt. Es besteht aus einem Rechteck, der Box, die etwa die Hälfte der Daten umfasst. Von ihr aus gehen Antennen bis zum größten bzw. kleinsten Wert der Daten. Außerdem ist der Median eingezeichnet.

Die Erstellung eines Boxplots erklären wir anhand eines Beispiels. 1 Beispiel 18.2 In der Tabelle sind die Zeiten (in Sekunden) eines Sportkurses einer Schule beim 100 m-Lauf eingetragen. 14;8 13;8 15;1 12;6 12;9 14;0 15;3 13;6 14;2 12;7 12;6 13;1 14;8 13;0 12;8 14;1 13;9 14;8 13;5 13;2 Erstellen Sie einen Boxplot.

Wir ordnen die Daten der Größe nach und bestimmen den Median. Dieser teilt die Daten in zwei Hälften. Dann bestimmen wir die Mediane der unteren und der oberen Hälfte. Sie heißen Quartile. Damit sind die Daten der Größe nach in vier Bereiche geteilt. 12;6 12;6 12;7 12;8 12;9 13;0 13;1 13;2 13;5 13;6 13;8 13;9 : : : unteres Median Quartil 13;7 12;95 : : : 14;0 14;1 14;2 14;8 14;8 14;8 15;1 15;3 oberes Quartil 14;5

Das Konzept der Quartile lässt sich verallgemeinern. Ein p-Quantil für eine Zahl p 2 Œ0I 1 teilt gegebene Daten in Anteile von p und 1  p ein. Damit sind das untere Quartil das 25 %-Quantil, der Median das 50 %-Quantil und das obere Quartil das 75 %-Quantil.

18.3

Kombinatorik

Einfache Wahrscheinlichkeiten bestimmt man häufig mit dem Satz von Laplace (7 Abschn. 18.4), indem man das Verhältnis der Anzahl der für ein Ereignis günstigen Versuchsausgänge zur Gesamtanzahl aller möglichen Versuchsausgänge bildet. Die Kombinatorik hilft dabei, diese Anzahlen rechnerisch zu bestimmen. Vielen kombinatorischen Fragestellungen liegt eine gemeinsame Herangehensweise zugrunde, die durch die folgende Aufgabenstellung beschrieben werden kann. Aufgabenstellung: Gegeben sind k Kästchen K1 , K2 ,. . . , Kk , die man mit verschiedenen Objekten belegen kann. Für Kästchen K1 gibt es n1 verschiedene Möglichkeiten dazu, für K2 gibt es n2 verschiedene Möglichkeiten usw. Wie viele Belegungen gibt es insgesamt? Abzähltheorem

Man hat k Kästchen K1 ,. . . , Kk und jeweils ni (i D 1; : : :; k) Möglichkeiten, das Kästchen Ki zu belegen. n1

n2

n3

:::

nk

Dann gibt es insgesamt n1  n2  : : :  nk Belegungen der k Kästchen. Hier sind k; n1 ; : : :; nk natürliche Zahlen.

Wir zeichnen ein Rechteck (die Box), das vom unteren1 Beispiel 18.3 zum oberen Quartil reicht. Darin markieren wir den Median Von Louis Braille wurde 1825 ein Alphabet entwickelt, dessen als senkrechte Strecke. Ausgehend vom Rechteck zeichnet Symbole von blinden Personen ertastet werden können. Jedes man zwei sogenannte Antennen bis zum kleinsten und bis Symbol besteht aus 6 Punkten, die in einem 3  2-Raster angeordnet sind. Die einzelnen Punkte können jeweils entweder zum größten Wert der Daten. nach oben oder nach unten gewölbt sein und sind so ertastbar.

v Ergebnis

Wie viele Symbole kann man in diesem Alphabet darstellen?

12

12;5

13

13;5

14

14;5

15

15;5

Die Länge der Box heißt Quartilsabstand. Sie ist ein Maß für die Streuung der Daten. Weitere Streuungsmaße sind die Varianz und die Standardabweichung. Mehr dazu finden Sie im Online-Material.

Man kann sich jeden einzelnen Punkt als Kästchen im Sinne des Abzähltheorems vorstellen. Für die Belegungen gibt es je genau zwei Möglichkeiten (nach oben oder unten gewölbt). 2

2

2

2

2

2

18

Kapitel 18  Stochastik

174

Also gibt es insgesamt 26 D 64 unterscheidbare Symbole in diesem Alphabet. v Ergebnis In der Braille-Schrift gibt es 64 verschiedene Symbole.

1 Beispiel 18.4 An einem Tisch haben 6 Personen Platz. Lena und Leon laden beide Elternpaare ein und denken über mögliche Sitzordnungen nach. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 6 Personen an dem Tisch zu platzieren? Vereinfachungen wegen Symmetrie soll es hier nicht geben; jeder Platz bietet einzigartige Ausblicke.

1 Beispiel 18.5 Wie viele 8-stellige Passwörter kann man ohne Sonderzeichen aus Buchstaben und Ziffern bilden?

In dem Fall kann man sich jeden Platz als ein Kästchen im Abzähltheorem vorstellen. Für den ersten zu besetzenden Platz hat man 6 Möglichkeiten. Für den zweiten zu besetzenden Platz nur noch 5 (weil ja eine Person schon platziert ist), für den dritten noch 4 Möglichkeiten usw.. 6

5

4

3

2

einer Grundmenge mit n verschiedenen Objekten k Objekte aus. Die Grundaufgaben unterscheiden sich darin, ob die Reihenfolge bei der Auswahl eine Rolle spielt: Bei Kombinationen ist die Reihenfolge unerheblich, bei Variationen dagegen ist die Reihenfolge wesentlich. In allen kombinatorischen Grundaufgaben sind n; k natürliche Zahlen.

1

Wir gehen von den 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets und 10 Ziffern aus. Man kann jedes Symbol mehrfach benutzen. Zwei Passwörter aus denselben Symbolen, aber in verschiedenen Reihenfolgen sind unterschiedlich. Man hat also 36 Zeichen, von denen acht ausgewählt werden sollen, wobei Wiederholungen zugelassen sind. 36

36

36

36

36

36

36

36

Aus dem Abzähltheorem folgt

Es ergeben sich also insgesamt 6  5  4  3  2  1 D 720 Möglichkeiten. v Ergebnis

Anzahl Passwörter D 36  36  36  36  36  36  36  36 D 368 D 2 821 109 907 456: Hier handelt es sich um die Grundaufgabe Variation mit Wiederholung.

Es gibt 6Š D 720 verschiedene Sitzordnungen.

In der Kombinatorik findet häufig das Symbol nŠ Anwendung:

vErgebnis Es gibt VW .36I 8/ D 368  2 821 Milliarden solcher Passwörter.

Fakultät

Das Symbol nŠ (lies: n-Fakultät) ist für jede natürliche Zahl n  1 definiert als nŠ D 1  2  : : :  n. Der Sonderfall für n D 0 ist definiert als 0Š D 1.

18

1 Beispiel 18.6

Es gibt in der Kombinatorik drei wesentliche Typen von Aufgabenstellungen. Anordnungsprobleme, wie in 7 Beispiel 18.4, bilden die erste Grundaufgabe der Kombinatorik.

Ein Vertreter will am nächsten Tag fünf seiner 30 Kunden besuchen. Wie viele Möglichkeiten hat er?

Wenn er keinen Kunden mehrfach besuchen möchte, handelt es sich hier um eine Variation ohne Wiederholung. Mit dem Abzähltheorem bestimmt man: 30

29

V .30I 5/ D Permutation

Aufgabenstellung: Es sind n verschiedene Objekte vorgegeben, die auf unterschiedliche Art angeordnet werden sollen. Jede mögliche Anordnung (Reihenfolge) heißt eine Permutation dieser n Objekte. Die Gesamtanzahl aller Permutationen von n Objekten ist P .n/ D nŠ.

Die anderen beiden Grundaufgaben der Kombinatorik sind Variationen und Kombinationen. Bei beiden wählt man aus

28

27

26

30Š D 30  29  28  27  26 D 17 100 720 25Š

vErgebnis Der Vertreter kann V .30I 5/ D 17 100 720 verschiedene Routen für die Kundenbesuche planen. Variation zur k-ten Klasse

Aufgabenstellung: Es sind n verschiedene Objekte vorgegeben, aus denen k Objekte ausgewählt werden sollen, wobei die Reihenfolge wesentlich ist.

18

175 18.3  Kombinatorik

Binomialkoeffizient

Jede solche Zusammenstellung heißt eine Variation zur k-ten Klasse. Kann jedes Objekt nur höchstens einmal ausgewählt werden, spricht man von einer Variation ohne Wiederholung. Wenn man Objekte mehrfach auswählen kann, spricht man von einer Variation mit Wiederholung. Ihre Anzahlen sind ohne Wiederholung:

V .nI k/ D

! nŠ n n.n  1/    .n  k C 1/ D : D k 1  2k .n  k/Š  kŠ

nŠ .n  k/Š

VW .nI k/ D nk

mit Wiederholung:

Wir betrachten natürliche Zahlen n; k mit n  k. Unter   dem Binomialkoeffizienten nk (lies: n über k) verstehen wir die Zahl

Weiterhin sind als Sonderfälle

n 0

! D 1 und

! 0 D1 0

festgelegt.

1 Beispiel 18.7 Beim Lottospiel 6 aus 49 kreuzt man auf einem Tippschein 6 Zahlen an, aus den Zahlen 1 bis 49. Werden bei der nächsten Ziehung genau diese Zahlen gezogen, hat man einen Sechser. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat man, den Tippschein auszufüllen?

Stellen wir uns bildlich vor, wie jemand einen Tippschein ausfüllt. Mit dem Abzähltheorem 49

48

47

46

45

44

Kombinationen zur k-ten Klasse

Aufgabenstellung: Es sind n verschiedene Objekte vorgegeben, aus denen k Objekte ausgewählt werden sollen, ohne dass die Reihenfolge dabei eine Rolle spielt. Jede solche Zusammenstellung heißt eine Kombination zur k-ten Klasse. Kann jedes Objekt nur höchstens einmal ausgewählt werden, spricht man von einer Kombination ohne Wiederholung. Wenn man Objekte mehrfach auswählen kann, spricht man von einer Kombination mit Wiederholung. Ihre Anzahlen sind

bestimmt man, dass es zum Ankreuzen der ersten Zahl ! 49 Möglichkeiten gibt, der zweiten Zahl 48 Möglichkeiten n ohne Wiederholung: C.nI k/ D usw., also insgesamt 49  48  47  46  45  44 verschiedene k Möglichkeiten, sechs Zahlen auf dem Tippschein anzu! kreuzen, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt. Allerdings nCk1 mit Wiederholung: CW .nI k/ D ist es für das Endergebnis völlig unerheblich, in welcher k Reihenfolge man die sechs ausgewählten Zahlen angekreuzt hat; entscheidend ist nur, welche Zahlen am Ende Die zweite Formel ist hier ohne Begründung angegeben. ein Kreuz haben. Das bedeutet: Alle Tipps, die dieselben Zahlen in irgendeiner Ankreuzreihenfolge enthalten, sind gleichwer1 Beispiel 18.8 tig. Für 6 Zahlen gibt es 6Š D 720 mögliche AnkreuzreihenAus den 200 Erstsemestern eines Studienganges sollen zwei folgen (Permutationen). Also ist die Anzahl der möglichen Personen ausgewählt werden, die beim Studieninfotag über Endergebnisse (Tipps): 49  48  47  46  45  44 6Š ! 49 D D 13 983 816 6

Anzahl Tipps D

v Ergebnis ! Es gibt

49 D 13 983 816 Möglichkeiten, einen Tipp ab6

zugeben.

In diesem Kontext verwendet man häufig die Schreibweise des Binomialkoeffizienten.

ihre Erfahrungen zu Studienbeginn erzählen sollen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese zwei Personen zufällig auszuwählen?

Die Reihenfolge, in der wir die zwei Personen bestimmen, spielt auch hier keine Rolle. Jede Person kann nur einmal ausgewählt werden; es handelt sich also um die Grundaufgabe Kombination ohne Wiederholung. Man berechnet ! 200  199 200 C.200I 2/ D D D 19 900 2 2Š vErgebnis

! 200 Es gibt D 19 900 verschiedene Möglichkeiten. 2

176

Kapitel 18  Stochastik

Wiederholung erlaubt Reihenfolge wichtig

Name

wie viel

Permutation

n

—

X

k

—

X

k

X

X

VW .nI k/ D nk

k

—

—

C.nI k/ D

k

X

—

Variation

Kombination

Formel P .n/ D nŠ V .nI k/ D

CW .nI k/ D

nŠ .n k/Š

n k nCk 1 k

. Abb. 18.1 Grundaufgaben der Kombinatorik: Auswahl aus einer Menge mit n Elementen

1 Beispiel 18.9 Max will aus einem Getränkeautomat, der 7 Sorten Getränke enthält, für sich und seine 3 Freunde je ein Getränk ziehen. Er hat vergessen, was seine Freunde trinken wollten, also zieht er zufällig 4 Flaschen. Wie viele Möglichkeiten hat er, 4 Flaschen aus dem Automaten zu ziehen?

b) Wir berechnen zunächst die Anzahlen von möglichen Buchstaben- bzw. Ziffernkombinationen: Für Paare von Buchstaben gibt es VW .26I 2/ D 262 D 676 Möglichkeiten, für vierstellige Zahlen VW .10I 4/ D 104 Möglichkeiten. Davon kann jede mit jeder kombiniert werden, also 676  104 D 6 760 000 Möglichkeiten insgesamt.

Der Automat enthält 7 Sorten Getränke. Für Max und seine vErgebnis Freunde ist die Reihenfolge, in der Max die Getränke aus Es können so 6;76 Millionen verschiedene Kennzeichen dem Automaten zieht, nicht entscheidend. Max kann aber erteilt werden. mehrere Flaschen derselben Sorte ziehen. Es handelt sich also um eine Kombination mit Wiederholung. Die Anzahl1 Beispiel 18.11 der möglichen Sortimente, mit denen Max zurückkommen Jonas hat in seinem Kühlschrank 10 Eier, von denen 3 schon kann, ist faul sind, was er nicht weiß. Jonas will sich ein Rührei zube! reiten und greift 3 Eier. 7C41 10  9  8  7 Wie viele Möglichkeiten der Auswahl gibt es insgesamt? D D 10  3  7 CW .7I 4/ D 4 4Š Bei wie vielen davon erwischt Jonas D 210 v Ergebnis Max’ Freunde können sich auf eines von 210 Zufallsergebnissen freuen.

18

Das Abzähltheorem hilft uns auch bei zusammengesetzten Aufgaben. 1 Beispiel 18.10 Ein Staat erwägt, für Elektroroller Kennzeichen einzuführen. Sie sollen aus genau 2 Buchstaben des lateinischen Alphabets und 4 Ziffern bestehen (führende Nullen sollen erlaubt sein). Wie viele verschiedene Kennzeichen könnten so gebildet werden?

Es gibt zwei Varianten des Lösungswegs: a) Wir verwenden das Abzähltheorem direkt: Es sind 6 Stellen zu besetzen, für die ersten beiden gibt es je 26 Möglichkeiten, für alle anderen je 10, also insgesamt: 26  26  10  10  10  10 D 6 760 000.

a) kein faules Ei, b) genau ein faules Ei, c) genau zwei faule Eier?

  Insgesamt gibt es C.10I 3/ D 10 3 D 120 Auswahlmöglichkeiten. Dabei greift er  a) kein faules Ei: C.7I 3/ D 73 D 35   b) ein faules Ei: C.7I 2/  C.3I 1/ D 72  31 D 63   c) zwei faule Eier: C.7I 1/  C.3I 2/ D 71  32 D 21 Die Fälle a)–c) überschneiden sich gegenseitig nicht. Daher muss die Summe aller Möglichkeiten, zusammen mit der bisher fehlenden Möglichkeit, alle drei faulen Eier zu erwischen, die Gesamtanzahl ergeben: 1 C 21 C 63 C 35 D 120. vErgebnis Es gibt 120 Möglichkeiten insgesamt, davon 35 ohne faules Ei, 63 mit einem und 21 mit zwei faulen Eiern.

177 18.4  Zufall und Wahrscheinlichkeit

18.4

Zufall und Wahrscheinlichkeit

Bevor man sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse beschäftigt, sollte man sich über ein paar Grundbegriffe klar werden. Was versteht man überhaupt unter Zufall und unter Wahrscheinlichkeit? Zufall und Zufallsexperiment

Unter Zufall verstehen wir die Menge aller Faktoren, die auf das Ergebnis eines Experiments Einfluss haben, uns aber nicht bekannt sind oder die wir nicht kontrollieren können. Gibt es bei einem Experiment solche Einflüsse, spricht man von einem Zufallsexperiment. Es wird nach bestimmten, vorher genau festgelegten Regeln durchgeführt und ist beliebig oft wiederholbar.

Klassische Zufallsexperimente sind 4 das Werfen eines Würfels 4 das Werfen einer Münze 4 das Ziehen eines Loses aus einer Urne

Wenn man die Anzahl nmax der Essensberechtigten kennt, könnte man eine Obergrenze angeben: ˝ D fn 2 N W n  nmax g. vErgebnis a) ˝ D f1; 2; 3; 4; 5; 6g b) ˝ D fKopf; Zahlg c) ˝ D fn 2 N W n  nmax g Ereignis

Eine beliebige Teilmenge von ˝ heißt Ereignis. Die leere Menge ; nennt man das unmögliche Ereignis, die gesamte Menge ˝ das sichere Ereignis.

Man bezeichnet Ereignisse daher wie Mengen auch mit Großbuchstaben. Um Ereignisse miteinander zu verknüpfen, benutzt man die bekannten Mengenoperationen (7 Abschn. 4.2). 1 Beispiel 18.13

Aber Zufallsexperimente lauern überall: 4 der unangekündigte Besuch bei einer Freundin zu einem zufälligen Zeitpunkt: Wird sie da sein? 4 der Gang an die Bushaltestelle zu einem zufälligen Zeitpunkt: Wie lange muss man auf den Bus warten? 4 der Gang in die Mensa: Wie lang wird die Warteschlange sein? Finden Sie weitere Beispiele für Zufallsexperimente! Eine einzelne Durchführung eines Zufallsexperiments heißt Versuch, der Ausgang des Versuchs Elementarereignis (auch: Ergebnis). Die Menge aller möglichen Versuchsausgänge heißt Elementarereignisraum oder Ergebnisraum und wird mit ˝ bezeichnet. Elementarereignisse schließen sich wechselseitig aus und sind nicht weiter zerlegbar. Sie sind also eine Art Atome in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1 Beispiel 18.12 Wie lauten die Ergebnisräume 4 beim Werfen eines idealen Würfels; 4 beim Werfen einer idealen Münze; 4 bei der Anzahl der wartenden Personen beim Gang zur Mensa?

Beim Werfen eines idealen Würfels ist ein möglicher Elementarereignisraum die Menge aller möglichen Augenzahlen, also ˝ D f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Beim Werfen einer idealen Münze nimmt man an, dass nach dem Wurf immer eine der beiden Seiten oben liegt. Der Elementarereignisraum ist dann ˝ D fKopf; Zahlg. Beim Gang in die Mensa kann die Anzahl der Personen in der Warteschlange eine beliebige natürliche Zahl sein.

Im Abstellraum einer Firma stehen 5 Monitore, die an der Unterseite Aufkleber mit Nummern tragen. Zwei davon sind defekt, nämlich die mit den Nummern 1 und 2. Leider weiß das in der Firma niemand mehr. Zwei Praktikanten werden eingestellt. Um die Arbeitsplätze einzurichten, holt man nacheinander zufällig zwei der fünf Bildschirme heraus. Beschreiben Sie den Elementarereignisraum ˝ durch vollständige Aufzählung seiner Elemente, sowie die Ereignisse A: „kein Bildschirm defekt“ B: „genau ein Bildschirm defekt“ C : „beide Bildschirme defekt“.

Jedes Elementarereignis aus ˝ kann man hier durch die Menge der Monitore beschreiben, die am Ende auf den Tischen der Praktikanten stehen (bezeichnet durch ihre Nummern): ˚ ˝ D f1; 2g; f1; 3g; f1; 4g; f1; 5g; f2; 3g; f2; 4g; f2; 5g;  f3; 4g; f3; 5g; f4; 5g Die Ereignisse A; B; C sind disjunkt, d. h. sie enthalten keine gemeinsamen Elemente bzw. ihre Schnittmengen sind leer. Man kann Teilmengen von ˝ aufzählend beschreiben: ˚  A D f3; 4g; f3; 5g; f4; 5g ; ˚  C D f1; 2g B enthält alle Elemente aus ˝, die nicht in A oder C enthalten sind, also B D ˝ n .A [ C /.

18

178

Kapitel 18  Stochastik

v Ergebnis ˚ ˝ D f1; 2g; f1; 3g; f1; 4g; f1; 5g; f2; 3g; f2; 4g; f2; 5g;  f3; 4g; f3; 5g; f4; 5g ; ˚  ˚  A D f3; 4g; f3; 5g; f4; 5g ; C D f1; 2g und B D ˝ n .A [ C /

Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Eine Wahrscheinlichkeit erfüllt folgende Axiome: 1. Für jedes beliebige Ereignis A gilt: 0  P .A/  1. 2. Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1, d. h. P .˝/ D 1. 3. Sind A1 , A2 ,. . . , An paarweise disjunkte Ereignisse, so gilt

Das Ergebnis eines einzelnen Zufallsexperimentes ist völlig offen. Führt man es jedoch mehrfach durch und zählt P .A1 [ A2 [ : : : [ An / dabei, wie oft ein bestimmtes Ergebnis auftritt, stellt man D P .A1 / C P .A2 / C : : : C P .An / immer fest, dass sich die relative Häufigkeit einem bestimmten Wert p zwischen 0 und 1 annähert. Führen wir das Experiment also n-mal durch und zählen dabei k-mal das Ereignis A, für das wir uns interessieren,1 Beispiel 18.14 so wird sich mit wachsendem n die relative Häufigkeit einer Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Zahl annähern: idealen Würfel eine 5 oder 6 zu würfeln? k ! P .A/ für n ! 1 n Dies ist kein Grenzwertprozess im Sinne der Analysis, sondern eher ein Ausdruck der Erfahrungstatsache, dass im einzelnen Versuch der Zufall herrscht, es in der langen Serie jedoch ein Gesetz gibt. Wir gehen daher von folgender Modellannahme aus, die zwar nicht bewiesen ist, andererseits wurde auch noch keine Erscheinung beobachtet, die dagegen spricht.

Alle Elementarereignisse sind gleich wahrscheinlich, insgesamt gibt es sechs davon. Demnach ist P .f1g/ D : : : D P .f6g/ D 16 . Die Elementarereignisse sind disjunkt. Also ist nach Axiom 3 ist die Wahrscheinlichkeit, eine 5 oder eine 6 zu würfeln, P .f5g [ f6g/ D P .f5g/ C P .f6g/ D

1 1 C : 6 6

vErgebnis Die Wahrscheinlichkeit ist P .f5g [ f6g/ D 13 .

Modellannahme der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Jedes Ereignis A besitzt eine ihm innewohnende Zahl P .A/ 2 Œ0; 1, seine Wahrscheinlichkeit, gegen die die relative Häufigkeit seines Auftretens mit wachsender Anzahl von Versuchen strebt.

Auf diesen Axiomen aufbauend kann man andere Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten streng herleiten. Die wichtigsten Folgerungen aus den drei Axiomen sind im Folgenden ohne Beweis genannt. Rechenregeln

18

Wie relative Häufigkeiten können auch Wahrscheinlichkeiten in Prozent angegeben werden. Theoretisch könnte man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses experimentell ermitteln, wenn man nur die entsprechende Geduld aufbringt. Oft ist dies aber technisch oder organisatorisch zu aufwendig, und man versucht, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Das ist der Gegenstand der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berechnen von einfachen Wahrscheinlichkeiten. Für die Be-

rechnung sind weitere Annahmen nötig, die aus der Erfahrung heraus als sinnvoll angenommen werden können. Diese Axiome wurden von N. Kolmogorov bereits 1933 vorgeschlagen und lassen sich für relative Häufigkeiten leicht nachvollziehen.

Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses: P .;/ D 0 Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses:   P A D 1  P .A/ Allgemeiner Additionssatz: P .A [ B/ D P .A/ C P .B/  P .A \ B/

Sind die Ereignisse A und B nicht disjunkt, so muss man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A [ B mit dem allgemeinen Additionssatz berechnen, den das nachfolgende Venn-Diagramm veranschaulicht.

179 18.4  Zufall und Wahrscheinlichkeit

A

A\B

Die Voraussetzung der gleichen Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse heißt auch Laplace-Annahme und drückt aus, dass kein Ereignis einem anderen gegenüber bevorzugt ist. Das ist natürlich nur unter idealen Bedingungen der Fall. Daher finden Sie für den idealen Würfel oder die ideale Münze auch die Bezeichnung Laplace-Würfel oder Laplace-Münze.

B

Man kann sich Wahrscheinlichkeiten als Anteile von Mengen an der Gesamtfläche ˝ vorstellen. Addiert man die Flächen bei Ereignissen, die nicht disjunkt sind, so wird die überlappende Fläche von A \ B doppelt gezählt. Sie muss1 Beispiel 18.16 Ein Laplace-Würfel wird einmal geworfen, und wir betrachalso einmal wieder abgezogen werden. ten die folgenden Ereignisse:

1 Beispiel 18.15

„Die Augenzahl ist mindestens 3“: A D f3; 4; 5; 6g:

Betrachten wir folgende zwei Ereignisse beim Würfeln mit einem Würfel:

„Die Augenzahl ist gleich 1“: B D f1g: „Die Augenzahl ist gerade“: C D f2; 4; 6g:

„Die Augenzahl ist kleiner als 4“: A D f1; 2; 3g „Die Augenzahl ist gerade“: B D f2; 4; 6g

Welche zwei Ereignisse sind disjunkt, welche nicht? Beschreiben Sie das Ereignis A, und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P .A/, P .B/, P .C /, P .A \ C /, P .A [ B/ und P .A [ C /.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner als 4 oder eine gerade Augenzahl zu erhalten?

Die Schnittmenge ist A \ B D f2g ¤ ;, die Ereignisse sind demnach nicht disjunkt. Jedes Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit P .A/ D P .B/ D 12 . Würde man beide Wahrscheinlichkeiten einfach addieren, erhielte man 1, also die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses. Das widerspricht der Anschauung, da 5 62 A [ B. Die Wahrscheinlichkeit der Summe beider Ereignisse lässt sich mit dem allgemeinen Additionssatz berechnen.

Die Augenzahl ist höchstens 2 W A D f1; 2g: Man berechnet mit dem Satz von Laplace:

v Ergebnis

jAj 4 2 D D ; j˝j 6 3 jC j 3 1 P .C / D D D j˝j 6 2

Die Wahrscheinschlichkeit, einen Wert kleiner als 4 oder eine gerade Augenzahl zu erhalten, beträgt

P .A/ D

1 1 1 C  2 2 6 5 D : 6

P .A [ B/ D P .A/ C P .B/  P .A \ B/ D

Satz von Laplace

Wenn der Ergebnisraum ˝ aus endlich vielen Elementarereignissen besteht, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, dann gilt für jedes beliebige Ereignis A ˝: jAj j˝j Anzahl der für A günstigen Elementarereignisse D Anzahl aller möglichen Elementarereignisse

P .B/ D

jBj 1 D ; j˝j 6

und

In 7 Beispiel 18.14 haben wir argumentiert, alle Elementarereignisse seien gleich wahrscheinlich, und daher sei 1 die Wahrscheinlichkeit eines jeden gleich j˝j . Das Symbol j˝j bezeichnet hier die Mächtigkeit der Menge ˝, das bedeutet die Anzahl ihrer Elemente. Diese Argumentation verallgemeinert der Satz von Laplace.

P .A/ D

Disjunkt sind die Ereignisse A und B sowie die Ereignisse B und C . Die Ereignisse A und C sind nicht disjunkt: Sie enthalten die gemeinsamen Elemente 4 und 6. Das Ereignis A lässt sich verbal oder aufzählend beschreiben als

P .A \ C / D P .f4; 6g/ D

1 2 D 6 3

5 6 5 P .A [ C / D P .f2; 3; 4; 5; 6g/ D 6 P .A [ B/ D P .f1; 3; 4; 5; 6g/ D

vErgebnis A D f1; 2g, P .A/ D 23 , P .B/ D 16 , P .C / D 12 , 1 5 P .A \ C / D 3 , P .A [ B/ D P .A [ C / D 6

Bei der Berechnung der Anzahlen aller möglichen bzw. für A günstigen Ereignisse helfen uns die Formeln der Kombinatorik (7 Abschn. 18.3). 1 Beispiel 18.17 Wir kommen auf 7 Beispiel 18.11 zurück. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Jonas sein Rührei am Ende schmeckt?

18

180

Kapitel 18  Stochastik

Faule Eier schmeckt man stark heraus; es wird ihm also1 Beispiel 18.19 nur schmecken, wenn alle drei Eier frisch sind (Ereignis In einer Urne liegen 5 Kugeln – 2 schwarze und 3 weiße. A). Die Wahrscheinlichkeit dafür ist nach dem Satz von La- Es wird eine Kugel gezogen, die Farbe notiert und die Kuplace: gel zurückgelegt, bevor eine zweite Kugel gezogen wird. Die Ereignisse sind analog zum vorigen Beispiel:

v Ergebnis P .A/ D

35  29;2 %. 120

Wenn man Grund zu der Annahme hat, dass die Elementarereignisse nicht gleich wahrscheinlich sind, darf man den Satz von Laplace nicht benutzen! Mit Hilfe von Urnenmodellen kann man Zufallsversuche häufig so formulieren, dass die Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Dazu unterscheidet man zwei Varianten: 4 Beim Ziehen ohne Zurücklegen wird das gezogene Objekt weggelegt, kann also nicht ein zweites Mal gezogen werden (vgl. die Monitore in 7 Beispiel 18.13). Das ist das übliche Vorgehen bei stichprobenartigen Befragungen oder Tests. 4 Beim Ziehen mit Zurücklegen wird das gezogene Objekt wieder zurückgelegt, so dass alle Wiederholungen des Experiments dieselben Ausgangsbedingungen haben. Dasselbe Objekt kann mehrfach gezogen werden bzw. derselbe Ausgang des Zufallsexperiments kann mehrfach auftreten. Dieses Modell liegt inhaltlich auch vor, wenn zweimal eine Münze oder ein Würfel geworfen werden (bzw. zwei Münzen oder Würfel gleichzeitig geworfen werden).

Wir betrachten wieder die Ereignisse A, B und C aus dem 7 Beispiel 18.13. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A, B und C !

˚ ˝ D f1; 2g; f1; 3g; f1; 4g; f1; 5g; f2; 3g; f2; 4g; f2; 5g;  f3; 4g; f3; 5g; f4; 5g

P .B/ D

6 10

P .C / D

1 10

Es ist P .A/ D

3 , 10

P .B/ D

3 5

und P .C / D

1 . 10

9 4 Demnach ist P .A/ D 25 , P .B/ D 12 25 und P .C / D 25 . Wie im letzten Beispiel ist die Summe gleich 1, da die Zerlegung disjunkt ist. Beim Ziehen mit Zurücklegen muss man die Elemente von ˝ mit Berücksichtigung der Reihenfolge bilden, sonst sind die Elementarereignisse nicht gleich wahrscheinlich.

Es ist P .A/ D

9 , 25

P .B/ D

12 25

und P .C / D

4 . 25

1 Beispiel 18.20

Es liegt das Modell Ziehen ohne Zurücklegen vor. Zur Kontrolle: Da die Ereignisse A, B und C paarweise disjunkt sind, aber zusammen ˝ ergeben, muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 sein. v Ergebnis

˝ D f.i; j /W 1  i; j  5g A D f.3; 3/; .3; 4/; .3; 5/; .4; 3/; .4; 4/; .4; 5/; .5; 3/; .5; 4/; .5; 5/g

vErgebnis

Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Nach dem Satz von Laplace berechnet man: 3 10

Wir gehen wieder davon aus, dass die Kugeln durchnummeriert sind; die schwarzen Kugeln haben die Nummern 1 und 2. Im Gegensatz zum Ziehen ohne Zurücklegen müssen wir nun auch die Elementarereignisse .1; 1/, .2; 2/ etc. mitberücksichtigen. Damit alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, müssen wir unterscheiden zwischen den Elementarereignissen .1; 2/ und .2; 1/, die beide möglich und gleich wahrscheinlich wie beispielsweise .1; 1/ sind. Der Elementarereignisraum erfordert eine Beachtung der Reihenfolge. Wir arbeiten deshalb bei den Paarungen auch nicht mehr mit Mengen, sondern mit geordneten Paaren:

C D f.1; 1/; .1; 2/; .2; 1/; .2; 2/g

Den Ergebnisraum ˝ hatten wir ohne Beachtung der Reihenfolge formuliert:

P .A/ D

Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse A, B und C ?

B D f.1; 3/; .1; 4/; .1; 5/; .2; 3/; .2; 4/; .2; 5/; .3; 1/; .3; 2/; .4; 1/; .4; 2/; .5; 1/; .5; 2/g

1 Beispiel 18.18

18

A: Keine der gezogenen Kugeln ist schwarz; B: Genau eine der gezogenen Kugeln ist schwarz; C : Beide gezogenen Kugeln sind schwarz.

Wir werfen eine ideale Münze zweimal hintereinander. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass einmal Kopf und einmal Zahl oben liegt? Welches Urnenmodell liegt vor?

Da die Möglichkeit besteht, dass dasselbe Ergebnis beim ersten und zweiten Versuch kommt, handelt es sich um das Modell Ziehen mit Zurücklegen. Wir formulieren also den Ergebnisraum mit Hilfe von geordneten Paaren, das heißt unter Beachtung der Reihenfolge: ˝ D f.K; K/ ; .K; Z/ ; .Z; K/ ; .Z; Z/g

181 18.5  Bedingte Wahrscheinlichkeiten und mehrstufige Zufallsexperimente

Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass zweimal Zahl bzw. zweimal Kopf oben liegt, sind demnach jeweils 14 . Für ein verschiedenes Ergebnis in beiden Würfen gibt es jedoch zwei mögliche Versuchsausgänge: P .f.K; Z/ ; .Z; K/g/ D 2 D 12 . Hätten wir die Elementarereignisse ohne Beachtung 4 der Reihenfolge formuliert, wären sie nicht gleich wahrscheinlich gewesen. v Ergebnis Es ist P .f.K; Z/; .Z; K/g/ D 50 %.

18.5

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und mehrstufige Zufallsexperimente

Für zwei Ereignisse A und B mit P .B/ ¤ 0 heißt PB .A/ D

P .A \ B/ P .B/

die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Neben PB .A/ ist auch die Bezeichnung P .AjB/ üblich.

1 Beispiel 18.22

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann man modellhaft interpretieren als die relative Häufigkeit, die man bei einer großen Anzahl von Versuchen erwarten würde. Erhält man zusätzliche Informationen, kann es sein, dass sich die erwartete relative Häufigkeit ändert. 1 Beispiel 18.21

Ein idealer Würfel wird zweimal geworfen. Bestimmen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme 5 beträgt unter der Bedingung, dass beim zweiten Wurf eine Eins geworfen wurde.

Betrachtet werden die Ereignisse A: „Die Augensumme ist 5“

Aus einem Skatblatt wird zufällig eine Karte gezogen. 4 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Bildkarte der Farbe Kreuz handelt. 4 Bestimmen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Bildkarte der Farbe Kreuz handelt, unter der Bedingung, dass es ein Bube ist.

B: „Der zweite Wurf ist eine Eins“.

Ein Skatblatt umfasst 32 Karten in vier Farben: Kreuz (Kr), Pik (Pi), Herz (He) und Karo (Ka). Zu jeder Farbe gibt es die Karten: 7, 8, 9, 10, Bube (Bu), Dame (Da), König (Kö) und Ass (Ass). Beim einmaligen Ziehen ohne Zurücklegen ist damit ˝ D fKr7, Kr8, Kr9, Kr10, KrBu, KrDa, KrKö, KrAss, Pi7, . . . g und j˝j D 32. A D fKrBu, KrDa, KrKö, KrAssg ist das Ereignis, dass eine zufällig gezogene Karte eine Bildkarte der Farbe jAj D Kreuz ist. Seine Wahrscheinlichkeit beträgt P .A/ D j˝j 4 1 D . 32 8 B D fKrBu, PiBu, HeBu, KaBug ist das Ereignis, dass ein Bube gezogen wurde. Unter dieser Bedingung beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Bildkarte der Farbe Kreuz gezogen wurde, sogar 14 . Denn einer der vier Buben ist der Kreuz-Bube, also eine Bildkarte der Farbe Kreuz. Man erhält diese bedingte Wahrscheinlichkeit PB .A/ auch als Quotienten

Bedingte Wahrscheinlichkeit

P .A\B/ P .B/

D

1 32 4 32

D 14 .

v Ergebnis Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Bildkarte der Farbe Kreuz gezogen wird, beträgt P .A/ D 18 . Weiß man zusätzlich, dass ein Bube gezogen wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine Bildkarte der Farbe Kreuz PB .A/ D 14 .

Insgesamt gibt es 36 mögliche Ergebnisse beim zweimaligen Würfeln: ˝ D f.i; j / W 1  i; j  6g. Es ist A D f.1; 4/; .4; 1/; .2; 3/; .3; 2/g und B D f.1; 1/; .2; 1/; .3; 1/; .4; 1/; .5; 1/; .6; 1/g, also A \ B D f.4; 1/g. Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit erhält man PB .A/ D

P .A \ B/ D P .B/

1 36 1 6

D

1 : 6

Man erhält diese Wahrscheinlichkeit auch mit der folgenden Überlegung: Wenn der zweite Wurf eine Eins ist, muss der erste Wurf eine Vier sein, damit man die Augensumme 5 erreicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür, im ersten Wurf eine 4 zu werfen, beträgt 16 . vErgebnis Die bedingte Wahrscheinlichkeit beträgt 16 .

Zur Bestimmung bedingter Wahrscheinlichkeiten eignet sich die Darstellungsform einer Vierfeldertafel sehr gut. Dazu betrachten wir ein Beispiel.

1 Beispiel 18.23 Ein Bauteil wird von zwei Maschinen produziert, Maschine 1 trägt zwei Fünftel zur Gesamtproduktion bei, Maschine 2 trägt drei Fünftel bei. Von den von Maschine 1 produzierten Teilen sind 5 % defekt, bei Maschine 2 sind es nur 2 %. Der laufenden Produktion wird ein Bauteil zufällig entnommen. Es ist defekt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es von Maschine 1 produziert wurde.

18

Kapitel 18  Stochastik

182

Wir betrachten die folgenden Ereignisse: M : „Das Bauteil wurde von Maschine 1 produziert.“ D: „Das Bauteil ist defekt.“ Geht man von 1 000 produzierten Bauteilen aus, so erhält man diese Vierfeldertafel:

M M

D D 20 380 400 12 588 600 32 968 1 000

Die Einträge erhält man wie folgt: Produziert von Maschine 1 sind: 25  1 000 D 400, davon sind 5 % defekt, also 0;05  400 D 20. Von den 600 von Maschine 2 produzierten Teilen sind 2 % defekt, also 0;02  600 D 12. Die weiteren Einträge ergeben sich durch Differenzbildung, da in den äußeren Feldern immer die Zeilen- bzw. Spaltensumme stehen muss. Es gilt PD .M / D

P .M \ D/ 20 5 D D : P .D/ 32 8

In einer Vierfeldertafel können auch die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten eingetragen werden. Man erhält dann die nächste Tabelle:

M M

˝

D D 0;02 0;38 0;4 0;012 0;588 0;6 0;032 0;968 1

P .A1 /

PD .M / D

P .A2 /

A1

Analog ergibt sich

PA1.B1 /

P .M \ D/ 0;02 5 D D : P .D/ 0;032 8

v Ergebnis

18

Es ist auch möglich, dass das Eintreten des Ereignisses A die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B nicht verändert. Es gilt dann PA .B/ D P .B/. In diesem Fall nennt man die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig. Das wäre in obigem Beispiel 18.23 der Fall, wenn der Anteil defekter Teile bei beiden Maschinen gleich hoch wäre. Mehr zu stochastisch unabhängigen Ereignissen erfahren Sie im Online-Material. Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten wird ein Zufallsexperiment mehrmals nacheinander durchgeführt, z. B. zweimaliges Ziehen aus einer Urne oder dreimaliges Werfen eines Würfels. Wir haben in den Beispielen 18.11 bis 18.20 schon Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsexperimenten mithilfe von Formeln der Kombinatorik bestimmt. Wenn die Zahl der Stufen größer wird oder die Ereignisse komplexer, so kann die Bestimmung der Anzahl der günstigen Möglichkeiten sehr aufwendig oder schwierig werden. Hier ist oft eine weitere Methode zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten hilfreich: Baumdiagramm und Pfadregeln. Ein Baumdiagramm ist ein Graph, an dessen Knoten disjunkte Ereignisse stehen, deren Vereinigung der Elementarereignisraum ˝ ist, und an dessen Kanten die zugehörigen bedingten Wahrscheinlichkeiten notiert sind. Die Bedingung setzt sich dabei aus allen Ereignissen oberhalb der Kante zusammen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das defekte Teil von Maschine 1 produziert wurde, beträgt 58 D 62;5 %.

A2 PA2.B1 /

PA1.B2 /

B1

B2

P .A3 /

:::

PA3.B1 /

PA2.B2 /

. . . B1

...

A3

B2

PA3.B2 /

. . . B1

B2

...

... ...

...

Wie man Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsexperimente mithilfe eines Baumdiagramms berechnet, wird im folgenden Beispiel erläutert. 1 Beispiel 18.24

Vierfeldertafel

In einer Vierfeldertafel zu den Ereignissen A und B können absolute Häufigkeiten, relative Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten eingetragen werden. Im letzteren Fall hat sie die Form:

In einer Urne befinden sich 5 rote, 3 schwarze und 2 weiße Kugeln. Es wird zweimal zufällig eine Kugel ohne Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: „Es wird zweimal eine rote Kugel gezogen“. B: „Es wird zweimal dieselbe Farbe gezogen“.

B

B

A

P .A \ B/

P .A \ B/

P .A/

A

P .A \ B/

P .A \ B/

P .A/

P .B/

P .B/

1

Wir zeichnen in der ersten Stufe des Baumdiagramms die drei Ereignisse R1 ; S1 und W1 . Dabei ist R1 : „Im ersten Zug wird eine rote Kugel gezogen“ usw. Ausgehend von jedem

18

183 18.5  Bedingte Wahrscheinlichkeiten und mehrstufige Zufallsexperimente

dieser Ereignisse zeichnen wir in der zweiten Stufe die drei Ereignisse R2 ; S2 und W2 ein. Entlang der Pfade schreiben wir in der ersten Stufe 5 3 die Wahrscheinlichkeiten P .R1 / D 10 , P .S1 / D 10 und 2 P .W1 / D 10 . In der zweiten Stufe notieren wir die zugehörigen bedingten Wahrscheinlichkeiten, z. B. ist PR1 .R2 / D 4 , weil im zweiten Zug noch 4 der verbleibenden 9 Ku9 geln rot sind, wenn im ersten Zug eine rote Kugel gezogen wurde. Insgesamt erhalten wir das folgende Baumdiagramm: ˝ 5 10

R1 4 9

R2

3 9

S1 2 9

S2

5 9

W2

R2

2 9

S2

Zunächst behandeln wir nochmals 7 Beispiel 18.19. In einer Urne liegen 5 Kugeln – 2 schwarze und 3 weiße. Es wird eine Kugel gezogen, die Farbe notiert und die Kugel zurückgelegt, bevor eine zweite Kugel gezogen wird. Die Ereignisse sind analog zum vorigen Beispiel:

W1 2 9

5 9

W2

R2

3 9

1 9

S2

W2

Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, also für zweimal rot, betrachten wir die Definition der be1 \R2 / dingten Wahrscheinlichkeit PR1 .R2 / D P .R . Wenn wir P .R1 / diese Gleichung umformen, erhalten wir den sogenannten Multiplikationssatz P .R1 \ R2 / D P .R1 /  PR1 .R2 /. So5 mit ist P .A/ D P .R1 \ R2 / D 10  49 D 29 . Folglich erhält man die Wahrscheinlichkeit von A, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert. Man nennt diese Regel auch 1. Pfadregel oder Produktregel. Für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B berechnen wir ebenso die Wahrscheinlichkeiten für zweimal schwarz und für zweimal weiß. Es ist P .S1 \ 3 1 2 1 S2 / D 10  29 D 15 und P .W1 \ W2 / D 10  19 D 45 . Da die Ereignisse, die in einem Baumdiagramm auf derselben Stufe stehen, disjunkt sind, kann man die Wahr1 1 C 45 D scheinlichkeiten addieren und erhält P .B/ D 29 C 15 14 . Diese Regel heißt 2. Pfadregel oder Summenregel. 45 v Ergebnis Die Wahrscheinlichkeiten sind P .A/ D  31;1 %. P .B/ D 14 45

2 9

Um die Lösungswege zu vergleichen, betrachten wir nochmals zwei Beispiele, die wir oben mit kombinatorischen Mitteln gelöst haben, und lösen sie nun mithilfe von Baumdiagrammen.

1 Beispiel 18.25

2 10

3 10

2. Pfadregel (Summenregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man mithilfe eines Baumdiagramms, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade addiert.

 22;2 % und

Diese Überlegungen gelten offensichtlich unabhängig von obigem Beispiel und lassen sich somit verallgemeinern. Pfadregeln

1. Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses erhält man mithilfe eines Baumdiagramms, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert.

A: „Keine der gezogenen Kugeln ist schwarz“; B: „Genau eine der gezogenen Kugeln ist schwarz“; C : „Beide gezogenen Kugeln sind schwarz“. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse A, B und C ?

Das Baumdiagramm mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ist hier gezeichnet. ˝ 2 5

3 5

S1 2 5

S2

W1 3 5

2 5

W2

S2

3 5

W2

Da mit Zurücklegen gezogen wird, stehen in der ersten und in der zweiten Stufe entlang der Pfade dieselben Wahrscheinlichkeiten. Denn es ist PW1 .S2 / D P .S2 / usw. vErgebnis Mithilfe der Pfadregeln ergibt sich 9 3 3  D D 36 % 5 5 25 3 2 2 3 P .B/ D P .S1 \ W2 / C P .W1 \ S2 / D  C  5 5 5 5 2 3 D2  5 5 12 D 48 % D 25 4 2 2 P .C / D P .S1 \ S2 / D  D D 16 %: 5 5 25 P .A/ D P .W1 \ W2 / D

184

Kapitel 18  Stochastik

Der vollständige Baum hätte 210 D 1 024 Pfade. Bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für E ist es rechnerisch von großem Vorteil, das Gegenereignis

1 Beispiel 18.26 Ebenso betrachten wir erneut das 7 Beispiel 18.13. Im Abstellraum einer Firma stehen 5 Monitore, die an der Unterseite Aufkleber mit Nummern tragen. Zwei davon sind defekt, nämlich die mit den Nummern 1 und 2. Leider weiß das in der Firma niemand mehr. Zwei Praktikanten werden eingestellt. Um die Arbeitsplätze einzurichten, holt man nacheinander zufällig zwei der fünf Bildschirme heraus. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse

E: „Es wird keine rote Kugel gezogen“ zu betrachten. Denn dazu gehört nur ein Pfad im Baumdiagramm, nämlich „weiß-weiß-weiß-weiß-weiß-weiß-weißweiß-weiß-weiß“. Nach der 1. Pfadregel gilt 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11          22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 2 12  11 D : D 22  21 7

P .E/ D

A: „kein Bildschirm defekt“; B: „genau ein Bildschirm defekt“; C : „beide Bildschirme defekt“?

Also ist

Das zugehörige Baumdiagramm sieht folgendermaßen aus, wobei D1 : „Der erste Monitor ist defekt“ und D1 : „Der erste Monitor ist nicht defekt“ bedeutet. Analog werden D2 und D2 eingeführt.

P .E/ D 1  vErgebnis

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine rote Kugel zu ziehen, beträgt 57 .

˝ 2 5

3 5

D1 1 4

D2

Generell ist es bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses der Form „. . . mindestens ein/e . . . “ vorteilhaft, das Gegenereignis zu betrachten. Zu Beginn des Abschnitts haben wir bedingte Wahrscheinlichkeiten mit einer Vierfeldertafel berechnet. Man kann sie auch mithilfe eines Baumdiagramms bestimmen. Denn dort sind ab der zweiten Stufe bedingte Wahrscheinlichkeiten eingetragen.

D1 3 4

1 2

D2

D2

1 2

D2

1 Beispiel 18.28

v Ergebnis Mithilfe des Baumdiagramms und der Pfadregeln ergibt sich P .A/ D P .D1 \ D2 / D

3 3 1  D 5 2 10 3 1 2 3  C  5 4 5 2 3 3 D D2 10 5

P .B/ D P .D1 \ D2 / C P .D1 \ D2 / D

18

P .C / D P .D1 \ D2 / D

2 5 D : 7 7

1 2 1  D : 5 4 10

Das Zeichnen eines Baumdiagramms wird sehr aufwendig oder sogar praktisch unmöglich, wenn die Zahl der Stufen oder die Zahl der Ergebnisse pro Stufe sehr groß sind. Oftmals genügt es aber, nur diejenigen Pfade zu zeichnen, die für die gesuchte Wahrscheinlichkeit relevant sind bzw. sich diese sogar nur vorzustellen.

Wir betrachten nochmals die Fragestellung aus 7 Beispiel 18.23. Ein Bauteil wird von zwei Maschinen produziert, Maschine 1 trägt zwei Fünftel zur Gesamtproduktion bei, Maschine 2 trägt drei Fünftel bei. Von den von Maschine 1 produzierten Teilen sind 5 % defekt, bei Maschine 2 sind es nur 2 %. Der laufenden Produktion wird ein Bauteil zufällig entnommen. Es ist defekt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es von Maschine 1 produziert wurde.

Das zugehörige Baumdiagramm ist hier abgebildet. Dabei steht M für „Das Bauteil wurde von Maschine 1 produziert.“ und D für „Das Bauteil ist defekt“. ˝ 2 5

1 Beispiel 18.27

3 5

M

In einer Urne sind 20 weiße und 2 rote Kugeln. Man zieht nacheinander ohne Zurücklegen 10 Kugeln. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

0;05

E: „Man zieht dabei mindestens eine rote Kugel“.

D

M 0;95

D

0;02 D

0;98

D

185 Aufgaben

Direkt eingetragen ist die bedingte Wahrscheinlichkeit PM .D/ D 0;05, gesucht ist aber PD .M /. Diese berechnen wir mithilfe der Definition der bedingten Wahrscheinlich\D/ keit PD .M / D P .M . Mit der 1. Pfadregel erhält man P .D/ 2 1 direkt P .M \ D/ D 5  0;05 D 50 . Die Wahrscheinlichkeit P .D/ kann man nicht unmittelbar am Baumdiagramm ablesen. Doch es gilt D D .M \ D/ [ .M \ D/ und damit ist 4 P .D/ D P .M \D/CP .M \D/ D 25 0;05C 35 0;02 D 125 . Somit ergibt sich P .M \ D/ PD .M / D D P .D/

1 50 4 125

5 D : 8

v Ergebnis Die Wahrscheinlichkeit, dass das defekte Teil von Maschine 1 produziert wurde, beträgt 58 .

Diese Überlegung kann man verallgemeinern. Man erhält dann: Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit – Satz von Bayes

Für zwei Ereignisse A und B gilt: Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit P .A/ D PB .A/  P .B/ C PB .A/  P .B/ Satz von Bayes PA .B/ D

PB .A/  P .B/ P .A/

.P .A/ 6D 0/

Aufgaben 18.1 Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Me-

dian der Daten. a) 2;3 m; 2;4 m; 3;0 m; 3;1 m; 2;5 m; 5;2 m; 2;5 m b) 124 g; 67 g; 144 g; 130 g; 88 g; 102 g c) 2;2 ı C; 1;7 ı C; 1;0 ı C; 0;7 ı C; 0;0 ı C; 0;6 ı C 18.2 Die Tabelle zeigt die Verteilung der Studierenden, die die Vorlesung Mathematik I hören, auf die verschiedenen Studiengänge. Insgesamt hören die Vorlesung 1 300 Studierende. Studien- Elektro- Maschinen- Bauingenieur- Wirtschafts- Medizingang technik bau wesen informatik technik Anteil 29 % 24 % 22 % 16 % 9%

a) Erstellen Sie eine Tabelle mit den absoluten Häufigkeiten. b) Stellen Sie die relativen Häufigkeiten in einem Stabdiagramm und in einem Kreisdiagramm dar. c) Vergleichen Sie die beiden Diagramme. Welche Aspekte kann man jeweils gut ablesen?

18.3 In fünf Tutorien zu einer Vorlesung sind im Durch-

schnitt je 20 Studierende. a) Im größten Tutorium sind eineinhalb mal so viele Studierenden wie im kleinsten. Geben Sie eine mögliche Konstellation an, wie viele Studierende in jedem Tutorium sind. b) Geben Sie eine Möglichkeit an, so dass der Median 22 beträgt. 18.4 In der Tabelle sind die Körpergrößen von 15 Studien-

anfängerinnen in cm eingetragen. 164 170 181 172 175 168 162 165 173 165 163 169 167 169 170

a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Daten. b) Berechnen Sie den Quartilsabstand. c) Erstellen Sie einen Boxplot. d) Es kommt eine Person dazu, die 195 cm groß ist. Untersuchen Sie, wie sich das arithmetische Mittel und der Median verändern. Begründen Sie die Aussage: Der Median ist robuster gegenüber Ausreißern als das arithmetische Mittel. 18.5

a) In der Mensa der Hochschule essen von Montag bis Donnerstag durchschnittlich 1 600 Studierende pro Tag. Am Freitag sind es im Durchschnitt 1 200. Begründen Sie, dass die folgende Überlegung falsch ist: „Von Mon200 tag bis Freitag essen durchschnittlich 1 600C1 D 1 400 2 Studierende pro Tag in der Mensa.“ b) In der Mensa gibt es ein Menü mit Fleisch und ein vegetarisches Menü. An einem bestimmten Tag haben 28 % der männlichen und 43 % der weiblichen Essensgäste das vegetarische Menü gewählt. Der Mensakoch sagt: „Heute haben mehr Männer als Frauen ein vegetarisches Menü gekauft.“ Beurteilen Sie, ob die Aussage wahr sein kann. 18.6 Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Be-

gründen Sie Ihre Antwort. a) Zu jeder Datenreihe kann man eine Zahl hinzufügen, sodass das arithmetische Mittel kleiner wird. b) Zu jeder Datenreihe kann man eine Zahl hinzufügen, sodass der Median kleiner wird. 18.7 Beim Pokern erhält ein Spieler zu Anfang ein Blatt

von fünf Karten aus einem Skatblatt mit insgesamt 32 Karten. a) Wie viele verschiedene solcher Anfangsblätter gibt es? b) Bei wie vielen davon sind alle fünf Karten von der Farbe Herz? 18.8 Paula hat in einem Gewinnspiel eine Bildungsreise nach Italien gewonnen. Der Veranstalter nennt ihr 15 sehenswürdige Orte, von denen sie sich 8 aussuchen und daraus ihre Reise zusammenstellen darf.

18

186

Kapitel 18  Stochastik

a) Wie viele Auswahlmöglichkeiten (Reiserouten) gibt es für sie, wenn sie die Reise frei gestalten kann? b) Wie viele Auswahlmöglichkeiten hat sie, wenn sie dem Reiseveranstalter zwar die Orte nennen kann, aber die Reiseroute (Reihenfolge) nicht beeinflussen darf? Beim Gummibärchen-Orakel soll man in eine Gummibärchen-Tüte greifen und fünf Bärchen herausziehen. In der Tüte befinden sich von jeder der fünf Farben ausreichend Bärchen. Wie viele mögliche Farbzusammenstellungen gibt es?

18.9

18.10 In einem Studierendenwohnheim gibt es Einzelund Doppelzimmer. Auf wie viele Arten könnten sechs Personen auf Zimmer verteilt werden, wenn es im entsprechenden Bereich a) sechs Einzelzimmer gibt; b) drei Doppelzimmer gibt; c) vier Zimmer gibt, davon zwei Doppelzimmer und zwei Einzelzimmer? 18.11 Leonie behauptet, sie überlasse ihre Samstagsabendbeschäftigung dem Zufall. Für sie sei die Wahrscheinlichkeit, dass sie tanzen geht gleich 12 , ins Kino geht gleich 13 , zu Hause bleibt gleich 14 . Was halten Sie von dieser Behauptung? Begründen Sie Ihre Aussage. 18.12 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass

beim Würfeln mit zwei idealen Würfeln a) die Augensumme gleich 7 ist; b) die Zahl 6 nicht auftritt; c) beide Augenzahlen verschieden sind. Beschreiben Sie dafür zunächst den Elementarereignisraum ˝.

18

18.13 An einem Pferderennen nehmen acht Pferde teil. Felix ist das erste Mal auf dem Rennplatz und hat keine Ahnung. Er möchte trotzdem wetten. a) Bei der Dreierwette hat er gewonnen, wenn er die drei Pferde auf den Plätzen 1–3 in der richtigen Reihenfolge angibt. b) Bei der Platzwette hat er gewonnen, wenn das getippte Pferd einen der ersten drei Plätze belegt.

Wie groß sind seine Gewinnwahrscheinlichkeiten bei den beiden Wettarten? 18.14 Eine Urne enthält 10 Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 10 nummeriert sind. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen und die jeweilige Zahl notiert. Bestimmen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden Zahlen 18 beträgt unter der Bedingung, dass die erste gezogene Zahl ungerade ist.

18.15 In einer Vorlesung sitzen 80 Studierende der Ma-

thematik und 45 der Informatik. Unter den MathematikStudierenden sind 41 Frauen, unter den InformatikStudierenden sind es 10. Aus diesen 125 Studierenden wird zufällig eine ausgewählt. Bestimmen Sie mithilfe einer Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person a) eine Frau ist; b) eine Frau ist und Mathematik studiert; c) eine Frau ist unter der Bedingung, dass sie Mathematik studiert; d) Mathematik studiert unter der Bedingung, dass sie eine Frau ist; e) Informatik studiert unter der Bedingung, dass sie keine Frau ist. 18.16 Ein Betrieb stellt Bauteile her. Diese werden vor der

Auslieferung einer Qualitätskontrolle unterworfen. Ist ein Bauteil defekt, erkennt die Kontrolle dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 %. Ist ein Bauteil nicht defekt, so beurteilt die Kontrolle dies zu 95 % richtig. Ein zufällig ausgewähltes Bauteil wird von der Kontrolle als defekt beurteilt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieses tatsächlich defekt ist, wenn a) insgesamt 1 % der kontrollierten Bauteile defekt sind; b) insgesamt 20 % der kontrollierten Bauteile defekt sind. 18.17 Begründen Sie die Aussage sowohl mithilfe der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit als auch inhaltlich mithilfe eines selbstgewählten Beispiels. a) Wenn A  B ist, dann gilt PA .B/ D 1, b) Wenn A \ B D ; ist, dann gilt PA .B/ D 0.

Von den Kundinnen und Kunden einer KfzHaftpflichtversicherung haben 43 % den Basis-Tarif, 35 % den Comfort-Tarif und 22 % den Premium-Tarif. Unter allen Kundinnen und Kunden werden zwei Personen zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass a) beide den Basis-Tarif haben; b) darunter keine den Premium-Tarif hat; c) höchstens eine den Premium-Tarif hat; d) darunter mindestens eine Person den Comfort-Tarif hat.

18.18

18.19 Unter den 120 Abiturientinnen und Abiturienten des Carl-Friedrich-Gauß-Gymnasiums haben 48 Mathematik als Leistungsfach gewählt. Unter den Abiturientinnen und Abiturienten werden drei zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass a) darunter niemand Mathematik als Leistungsfach hat; b) alle drei Mathematik als Leistungsfach haben; c) darunter mindestens eine Person Mathematik als Leistungsfach hat. 18.20 Von den 180 Bewertungen eines Online-Shops sind

120 Fünf-Sterne-Bewertungen. Allerdings sind 96 aller Bewertungen Fake-Bewertungen, die gekauft wurden. Von

18

187 Lösungen zu den Aufgaben

den Bewertungen mit weniger als fünf Sternen sind nur 10 % Fake-Bewertungen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Fünf-Sterne-Bewertung gekauft wurde mithilfe a) einer Vierfeldertafel; b) eines Baumdiagramms. 18.21 Max soll die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass man keine Sechs wirft, wenn man dreimal würfelt. Er meint: „Das ist enorm aufwendig. Ich muss ein Baumdiagramm mit 216 Pfaden zeichnen und dann noch alle aussuchen, die keine Sechs enthalten.“ Emre meint: „Das kannst du viel einfacher haben. Du brauchst nur ein Baumdiagramm mit 8 Pfaden zeichnen. Eigentlich genügt auch ein einziger Pfad.“ Erläutern Sie, welche Überlegungen den beiden Aussagen zugrunde liegen.

b) relative Häufigkeit 30 % 20 % 10 %

0

Elektrotechnik

Maschinenbau

Bauing.wesen

Wirtschaftsinformatik

Medizintechnik

Studiengang

29 % 24 %

18.22 Nele und die vier Mitbewohnerinnen ihrer WG sind

sich uneins, welchen Film sie am Abend im Kino anschauen sollen. Deshalb losen sie aus. Dazu legen sie fünf Zettel in eine Schale, von denen einer markiert ist. Jede soll nacheinander einen Zettel ziehen. Wer den markierten zieht, darf entscheiden, welchen Film sie sehen. Nele überlegt, ob ihre Gewinnwahrscheinlichkeit höher ist, wenn sie als erste ziehen darf. Untersuchen Sie diese Fragestellung.

9% 22 %

16 %

18.23 Tim sucht den Schlüssel für seinen Rollkoffer. Er

Elektrotechnik

Maschinenbau

weiß, dass er in einer Schublade liegt, in der sich 10 ziemlich gleich aussehende Schlüssel befinden. Er probiert einen nach dem anderen und legt ihn dann zur Seite. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er, nachdem er 6 Schlüssel ausprobiert hat, immer noch nicht den richtigen gefunden hat. b) Ist es wahrscheinlicher, dass Tim den richtigen Schlüssel als ersten oder als letzten probiert? c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit aus Teilaufgabe a), wenn Tim die Schlüssel nicht zur Seite legt, nachdem er sie probiert hat.

Wirtschaftsinformatik

Medizintechnik

Bauingenieurwesen

Lösungen zu den Aufgaben

c) Beim Stabdiagramm erkennt man gut, welcher Studiengang welche Häufigkeit hat, und man kann leicht zwei Häufigkeiten vergleichen. Z. B. sieht man gut, dass Maschinenbau häufiger ist als Bauingenieurswesen. Außerdem kann man beispielsweise ablesen, dass Bauingenieurswesen mehr als doppelt so häufig ist wie Medizintechnik. Beim Kreisdiagramm kann man die Anteile am Ganzen gut erkennen. So sieht man direkt, dass die beiden häufigsten Studiengänge mehr als die Hälfte der Studierenden umfassen. Außerdem erkennt man, dass weniger als ein Viertel Bauingenieurswesen studieren.

18.1

18.3

a) xN D 3 m; z D 2;5 m 102C124 b) xN D 655 g D 113 g 6 g D 109;16 g; z D 2 1 ı ı C D 0;06 ı C; z D 0;6C0;0 C D 0;3 ı C c) xN D 15 2

a) Da nur an zwei der fünf Tutorien weitere Bedingungen gestellt sind, kann man drei Tutorien à 20 Studierende wählen. Wenn a und b die beiden restlichen sind, so gilt a C b D 40 und a D 1;5b. Daraus folgt: a D 24 und b D 16. Damit ist eine mögliche Lösung: 20; 20; 20; 16; 24. (Es gibt weitere Lösungen, z. B. 18; 19; 23; 16; 24. Aber im kleinsten Tutorium müssen 16 Studierende und im größten 24 sein. Denn wenn b die Anzahl der Studierenden im kleinsten Tutorium ist, dann muss offenstichtlich b < 20 sein. Außerdem muss b eine gerade Zahl sein, da sonst a D 1;5b keine natürliche Zahl wäre. Weil

18.2

a) Studien- Elektro- Maschinen- Bauingenieur- Wirtschafts- Medizingang technik bau wesen informatik technik absolute 377 312 286 208 117 Häufigkeit

188

Kapitel 18  Stochastik

a größer als 20 sein muss, muss b  14 sein. Somit bleiben für b als mögliche Werte 14, 16, 18. Bei 14 und 18 kann jedoch die Bedingung nicht erfüllt werden, dass es in der Summe 100 Studierende sind.) b) Es gibt viele Lösungen, z. B. 16; 16; 22; 22; 24. 18.4 Der Größen nach geordnet und in Quartile geteilt ergibt sich: 162 163 164 165 165 167 168 169 169 170 170 172 173 175 181 unteres Median oberes Quartil Quartil 533 a) xN D 2 15 cm D 168;86 cm, z D 169 cm b) 172  165 D 7, also beträgt der Quartilsabstand 7 cm c)

b) Die Aussage ist falsch. Beispielsweise bleibt bei der Zahlenreihe 1, 1, 1 der Median immer 1, egal welche Zahl man hinzufügt. 18.7 Es handelt sich um Kombinationen ohne Wiederholung, da jede Karte nur einmal vorkommen kann und die Reihenfolge desAusgebens für das Blatt keine Rolle spielt.  D 201 376 a) C.32I 5/ D 32  5 b) C.8I 5/ D 85 D 56 18.8 Paula hat mehr Möglichkeiten, wenn sie sich neben den zu besuchenden Orten auch die Reihenfolge des Besuchs aussuchen kann. Es ergeben sich bei a) also mehr mögliche Reiserouten: a) Variation ohne Wiederholung: V .15I 8/ D 259 459 200 b) Kombination ohne Wiederholung: C.15I 8/ D 6 435 18.9 Es handelt sich   um eine Kombination mit Wiederho-

lung: CW .5I 5/ D

9 5

D 126.

Die Zimmerverteilungen werden berechnet unter der Annahme, dass die Reihenfolge bei der Auswahl der Zimmer wesentlich ist, weil die Räume unterschiedlich beliebt sein könnten. Die Reihenfolge, in der die Bewohner eines Doppelzimmers ausgewählt werden, ist jedoch unerheblich. a) Ein Anordnungsproblem (Permutation): P .6/ D 6Š D 720    b) Produktregel: 62  42  22 D 90     c) Produktregel: 62  42  21  11 D 180 oder alternativ: 6 5 4 2 1  1  2  2 D 180 18.10

160

165

170

175

180

185

d) xN neu D 170;5 cm, zneu D 169C169 cm D 169 cm. Kommt 2 ein extremer, d. h. vergleichsweise sehr kleiner oder sehr großer, Wert zu den Daten hinzu, so verändert sich das arithmetische Mittel stärker als der Median. Denn ersteres wird durch die Summenbildung stärker in die Richtung des extremen Werts gezogen. Der Median rückt bei Hinzukommen eines weiteren Werts um maximal eine Position weiter. 18.5

18

a) Der Durchschnittswert 1 600 bezieht sich auf vier Wochentage, der Durchschnittswert 1 200 aber nur auf einen. Damit muss ersterer viermal so viel in den Wochendurchschnitt eingehen als letzterer. Der korrekte 200 Durchschnitt von Montag bis Freitag ist 41 600C1 D 5 1 520. b) Die Aussage kann wahr sein, wenn deutlich mehr Männer als Frauen in der Mensa waren. Sind es beispielsweise 200 Männer und 100 Frauen, so haben 56 Männer und 43 Frauen das vegetarische Menü gewählt. 18.6

a) Die Aussage ist wahr. Wenn man eine Zahl hinzufügt, die kleiner als das arithmetische Mittel ist, dann wird dieses kleiner. Man kann dies auch formal beweisen: Sei xN das arithmetische Mittel der n gegebenen Zahlen (n 2 N) und S ihre Summe, dann ist S D n  x. N Für eine Zahl a mit a < xN gilt: Wenn man sie zu den bisherigen Zahlen hinzunimmt, so ist das neue arithmetische Mittel Ca xN neu D SnC1 , also gilt .n C 1/  xN neu D S C a D n  xN C a < n  xN C xN D .n C 1/  x. N Wegen n C 1 ¤ 0 folgt xN neu < x. N

18.11 Das kann so nur richtig sein, wenn Leonie an manchen Abenden sowohl ins Kino als auch tanzen geht. Wenn sich die drei Freizeitbeschäftigungen gegenseitig ausschließen, dann übersteigt die Summe der drei Wahrscheinlichkeiten 100 %, was den Axiomen der Wahrscheinlichkeitsrechnung widerspricht. 18.12 Der Elementarereignisraum ˝ ist die Menge aller

geordneten Paare ˝ D f.a; b/W a; b 2 f1; 2; 3; 4; 5; 6gg. Er enthält 36 gleich wahrscheinliche Elementarereignisse. a) Die Augensumme 7 tritt in 6 von 36 Fällen auf, hat also die Wahrscheinlichkeit 16 . b) Die Zahl 6 ist in 25 von 36 Fällen nicht enthalten; dieses Ereignis hat also die Wahrscheinlichkeit 25 36 . c) Beide Augenzahlen sind verschieden in 30 von 36 Fällen; dieses Ereignis hat also die Wahrscheinlichkeit 56 . 18.13 Man kann mit dem Satz von Laplace arbeiten und mit Kombinatorik die Anzahlen der günstigen und aller möglichen Ereignisse berechnen: a) Alle möglichen Tipps: V .8I 3/ D 336. Die Gewinnwahr1 scheinlichkeit ist also P .G/ D 336  0;3 %.

18

189 Lösungen zu den Aufgaben

b) Es gibt insgesamt 8Š D 40 320 verschiedene Rennausgänge. Davon liegt bei 7Š Rennausgängen das getippte Pferd auf Platz 1, bei 7Š liegt es auf Platz 2, und bei 7Š liegt es auf Platz 3. Die Gewinnchance ist also P .G/ D 37Š D 38 D 37;5 %. 8Š Alternativ kann man diesen Wert berechnen als P .G/ D 76 .72/ 3 2 8 D 876 D 8 . .3/ 32

.;/ 0 b) PA .B/ D PP.A/ D P .A/ D 0. Beispiel wie in a), aber B D f1g. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine 1 werfe, wenn ich eine 2 werfe, gleich 0.

18.18 Baumdiagramm:

˝

18.14

0;43

˝ D f.i; j /W 1  i; j  10g; A D f.i; j /j i ungeradeg; B D f.8; 10/; .9; 9/; .10; 8/g: Gesucht ist PA .B/ D

jf.9;9/gj jAj

D

1 . 50

18.15 Vierfeldertafel: M : „Mathematik“; F : „Frau“

M M

a) b) c) d) e)

F F 41 39 80 10 35 45 51 74 125

18.16 Vierfeldertafel: D: „defekt“; K: „Kontrolle sagt defekt“ Wir gehen von 10 000 Bauteilen aus. a) K K D 98 2 100 D 495 9 405 9 900 593 9 407 10 000

Es ist PK .D/ D b) D D

98 593

B1

C1

P1

0;43 0;35 0;22

0;43 0;35 0;22

0;43 0;35 0;22

B2

B2

B2

a) b) c) d)

51 D 40;8 % P .F / D 125 41 D 32;8 % P .F \ M / D 125 41 PM .F / D 80 D 51;25 % PF .M / D 41 51  80;4 %  47;3 % PF .M / D 35 74

 16;5 %.

C2

P2

1 960 2 360

P2

C2

P2

18.19

a) Ein Pfad im Baumdiagramm, seine Wahrscheinlichkeit 72 71 70 beträgt 120  119  118  21;2 %. b) Ein Pfad im Baumdiagramm, seine Wahrscheinlichkeit 48 47 46 beträgt 120  119  118  6;2 %. c) Gegenereignis von a), also ca. 1  0;2124 D 78;8 %. 18.20

a) Vierfeldertafel: F : „5-Sterne-Bewertungen“; G: „gekauft“ G G 90 30 120 6 54 60 96 84 180

F F

Es ist PF .G/ D b) Baumdiagramm

90 120

D

3 4

D 75 %.

˝ 2 3

 83;1 %.

1 3

F p

18.17

a) Wegen A  B ist A \ B D A, damit ist PA .B/ D P .A\B/ P .A/ P .A/ D P .A/ D 1. Beispiel: Wurf eines idealen Würfels, A D f2g und B: „gerade Zahl“. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine gerade Zahl werfe, wenn ich eine 2 werfe, gleich 1.

C2

P .B1 \ B2 / D 0;432 D 18;4 %. P .P1 \ P2 / D .0;43 C 0;35/2 D 60;8 %. 1  P .P1 \ P2 / D 1  0;222 D 95;2 %. 1  P .C1 \ C2 / D 1  0;652 D 57;6 %.

K K 1 960 40 2 000 400 7 600 8 000 2 360 7 640 10 000

Es ist PK .D/ D

0;22

0;35

G

F 1

1 10

p

G

G

9 10

G

1 1 Mit p D PF .G/ folgt P .G/ D 23 pC 13  10 D 23 pC 30 . Die 96 8 3 Bedingung P .G/ D 180 D 15 führt auf p D 4 D 75 %.

190

Kapitel 18  Stochastik

18.21 Max denkt an ein Baumdiagramm, bei dem bei jeder

Verzweigung alle 6 Elementarereignisse beim Würfeln – also die Zahlen von 1 bis 6 – eingetragen werden. Dann hat das dreistufige Baumdiagramm 63 D 216 Pfade. Allerdings genügt es pro Stufe nur zwei Ereignisse einzutragen, nämlich „Sechs“ und „keine Sechs“. Dieses Baumdiagramm hat nur 23 D 8 Pfade. Darunter gehört einer zum Ereignis „dreimal keine Sechs“.

fällig einer der Zettel zugeordnet wird. Es ist dabei für die Wahrscheinlichkeit egal, ob eine nach der anderen oder eine Person für alle zieht. Man kann die Wahrscheinlichkeiten, dass Nele den markierten Zettel zieht, auch berechnen: Nele zieht als erste: 15 , Nele zieht als zweite: 45  14 D 15 , Nele zieht als dritte: 4 3 1   D 15 , Nele zieht als letzte: 45  34  23  12  1 D 15 . 5 4 3 18.23

18.22 Es macht keinen Unterschied als Wievielte Nele

zieht. Die Wahrscheinlichkeit, den markierten Zettel zu ziehen, beträgt immer 15 , denn das Ziehen kann man als Zufallsexperiment modellieren, bei dem jeder der fünf zu-

18

9 4 a) 10  89  78  67  56  45 D 10 D 25 . b) Die Wahrscheinlichkeiten sind gleich, beide betragen 1 10 . Dies kann man wie bei Aufgabe 18.22 lösen. 9 6 /  0;5314 c) . 10

191

Serviceteil Stichwortverzeichnis – 193

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer-Verlag GmbH, DE, ein Teil von Springer Nature 2023 K. Dürrschnabel et al., So viel Mathe muss sein!, https://doi.org/10.1007/978-3-662-67194-8

193

Stichwortverzeichnis A abc-Formel 59 Ableitung 110 Ableitungsfunktion 111 Ableitungsfunktion n-ter Ordnung 111 Ableitungsregeln elementarer Funktionen 113 Abschnittsweise definierte Funktion 100 Abstand auf der Zahlengeraden 62 Abweichung, relative 14 Abzähltheorem 173 Addition von Integrationsintervallen 131 Änderungsrate, momentane 110 Äquivalenzumformung 59 Äquivalenzumformungen für LGS 151 Antiproportionalität 40 Arithmetisches Mittel 172 Assoziativgesetz 38 Ausklammern 61

B Basis 54 Baumidagramm 182 Bayes, Satz von 185 Bedingte Wahrscheinlichkeit 181 Begründung 27 Bestandsgröße 128 Bestimmtes Integral 128 Binome 39 Binomialkoeffizient 175 Binomische Formeln 39 Bogenmaß 82 Boxplot 173

D Definitionsbereich 93 Definitionslücke 93 Definitionsmenge 93 Differenz von Mengen n 25 Differenzial 111 Differenzialquotient 111 Differenzierbar 110 Disjunkt 177 Distributivgesetz 38 Doppelbruch 45 Drachen 76, 80 Drehkegel 81 Drehzylinder 81 Dreieck 80 Dreisatz 39 Durchschnitt \ 25

Exponent 54 Exponentialfunktion, natürliche 94 Exponieren 60 Extremum 94 Extremum, globales 117 Extremum, lokales 115

F Faktorregel der Differenzialrechnung 113 Faktorregel der Integralrechnung 130 Fakultät 174 Fallunterscheidung 13 Fallunterscheidung, Betragsgleichungen 62 Fallunterscheidung, Ungleichungen 68 Flächeninhalt 80 Flächeninhalt, absoluter 128 Flächeninhalt, orientierter 127 Funktion 93

G Ganzrationale Funktion 93 Gebrochenrationale Funktion 99 Gegenvektor 160 Gerade Funktion 93 Grad einer Polynomfunktion 93 Gradmaß 82 Graph 93 Grenzwert 109 Grundwert 48

H Häufigkeit, absolute 171 Häufigkeit, relative 171 Hauptnenner 44 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 130 Hochpunkt 94 Hypotenuse 79

I Induktion 6 Integral 128 Integral, bestimmtes 128 Integral, unbestimmtes 130 Integralfunktion 129 Integrand 128 Integrierbar 128 Interpretation 6 Intervall 25

E

K

Einheitskreis 82 Elementarereignis 177 Elementarereignisraum 177 Ereignis 177 Ergebnis eines Versuchs 177 Ergebnisraum 177 Erweitern 44

Kathete 79 Kehrwert 45 Kettenregel der Differenzialrechnung 113 Klasse von Pfeilen 159 Kombinationen zur k-ten Klasse 175 Kommaverschiebung 37 Kommutativgesetz 38

A–K

194

Stichwortverzeichnis

Komplement 25 Komponenten 26 Kongruent 78 kongruent 78 Kosinus 82 Kosinusfunktion 95 Kreis 76, 80 Kreisgleichung 142 Krümmungsverhalten Kürzen 44 Kugel 81

115

L Laplace, Satz von 179 Lineare Funktion 93 Lineare Gleichung, geometrische Darstellung 140 Lineare Verkettung der Integralrechnung 131 Lineares Gleichungssystem 151 Linkskrümmung 115 Lösbarkeit von LGS 152 Logarithmieren 60 Logarithmusfunktion, natürliche 94 Logisches ODER _ 25 Logisches UND ^ 25

M Mathematisches Modell 5 Maximum 94 Maximum, globales 117 Maximum, lokales 115 Median 172 Mehrstufiges Zufallsexperiment 182 Menge 25 Minimum 94 Minimum, globales 117 Minimum, lokales 115 Mittelpunkt 162 Mittelwert 134 Modell 5 Monoton fallend 95 Monoton wachsend 95 Monotonieuntersuchung 114 Multiplikationssatz 183

N Näherungsverfahren 7 Nenner 44 Nullintegral 131 Nullprodukt, Satz vom 61 Nullstelle 93 Nullvektor 159

O Oberfläche 81 Obersumme 127 Ortsvektor 161

P Paare, geordnete 26 Parallelogramm 76, 80 Parameter 162 Parametergleichung 162

Periode 95 Permutation 174 Pfadregeln 182, 183 Pfeilklasse 161 Pólya 6 Polynomfunktion 93 Potenz 54 Potenzfunktion 94 pq-Formel 60 Prisma 81 Probe 18, 61 Problemlösen, Schritte 5 Produktmenge 26 Produktregel der Differenzialrechnung Proportionalität 39 Prozentsatz 48 Prozentwert 48 Punkt vor Strich 38 Pyramide 81 Pythagoras, Satz des 79

113

Q Quadrat 76 Quadratische Funktion 94 Quadrieren 61 Quantil 173 Quartil 173 Quartilsabstand 173 Quotientenregel der Differenzialrechnung 113

R Radikand 55 Randextremum 116 Raute 76 Rechteck 76, 80 Rechtskrümmung 115 Reduktion 6 Rücksubstitution 62

S Sattelpunkt 116 Schnittmenge \ 25 Sicheres Ereignis 177 Sinus 82 Sinusfunktion 95 Skalar 160 Stammfunktion 130 Steigung 93 Stetig 109 Strahlensatz, erster 77 Strahlensatz, zweiter 77 Streng monoton fallend 95 Streng monoton wachsend 95 Stufenwinkel 77 Substitution 62 Summenregel der Differenzialrechnung 113 Summenregel der Integralrechnung 130 Systematisch probieren 6

T Tangens 82 Tangensfunktion Tangente 110

95

195 Stichwortverzeichnis

Teilmenge  25 Termumformung 59 Tiefpunkt 94 Totale Wahrscheinlichkeit, Satz von Translation 159 Trapez 76, 80 Trigonometrische Funktionen 95

185

U Überschlagsrechnung 19 Umfang 80 Unbestimmtes Integral 130 Ungerade Funktion 93 Ungleichung, geometrische Darstellung 141 Unmögliches Ereignis 177 Untersumme 127 Urnenmodelle 180

Vierfeldertafel 181, 182 Vieta, Satz von 61 Volumen 81 Volumen eines Rotationskörpers

134

W Wahrscheinlichkeit 178 Wahrscheinlichkeit, Axiome Wechselwinkel 77 Wendepunkt 96 Wertebereich 93 Wertemenge 93 Widerlegung 27 Winkelsummensatz 78 Wurzel 55

178

Y V Variation 6 Variation zur k-ten Klasse 174 Vektor 158 Vektor, Länge 159 Vektor, Multiplikation mit einem Skalar 160 Vektor, Orientierung 159 Vektor, Richtung 159 Vektoraddition 160 Vektorsubtraktion 160 Veranschaulichung, grafische 67 Vereinigung [ 25 Verkettung 100 Versuch 177 Vertauschung der Integrationsgrenzen 131

y-Achsenabschnitt 93

Z Zähler 44 Zahl, wissenschaftliche Schreibweise 37 Zahlengerade 62 Ziehen mit Zurücklegen 180 Ziehen ohne Zrücklegen 180 Zielbereich 93 Zielmenge 93 Zinseszinsrechnung 50 Zinsrechnung 49 Zufall 177 Zufallsexperiment 177

K–Z