Scritti di Leonardo Pisano. Volume II. Practica geometriae ed opusculi

Citation preview

SCRITTI LEONARDO PISANO llIATEMATICO DEL SECOLO DECIMOTERZO PUBDLICATI IJA

nALDASSARRE BONCOMPAGNI SOCIO OA!HNARW Dl:Ll.'ACCADllllllA :PONTI'PJCU Dll':;:UOvt 'LINCEI· E soell>

(fol. 7"""$ 35. Ii". I-:i'

'/"\\"'\L

b d\

"

r"I,21".'lQ.

• IIllanl;IJktn dimidi, . •'lInt "1".11., • {f"l. 2t "~"~'" Ii". 10. t,'} e 16\ I"g, 1I~. Ii". 36·Ui

36

DIS·

"g.,

.e. protl'acla est basis .be. equidistans rect t que sceat reetas .ab. et .ac. in (IuD cqualia in punctis .k. et .1., secundum quod in geometria declaratur; ct anguli, ad .e. recti erunt, sicut sunt anguli, qui ad .d.: quare anguli .f. et .g. re-ctj sunt: ideo si scindatur recta .ae. ab .a. in .e., ct recta .eh. ah .e. in .h. ; et ponatur trigonum .aeh. super trigonum .bllt., recta .ae. super rectam lb. cadet: ideo quia recta lb. equalis cst recte ed., que est cqualis fectc .ea.; et recta .eh. super rcctam .ht; et recta .alt. super rectam .!th.; et angulus .f. cqualis crit angulo .ael Quare

angulus .f. rectus cst: propter eadem ergo rectus angulus qui ad .g., et trigonum .cig. equale cst trigona .aei.: tatum ergo .abe. trigonum fJlmdrilatero fbcg. efIuale est, quod bahet in uno latcrc quantitatem basis; in alio quantitateln dimidij cathcti, ut oportchat ostendere. Nee pretermictelldum est, quod in qnadriIatero fbcg. angulus, qui sub .beg. equalis est angulo, qui ad ideo ({uia uppositi suut: ({uarc ct angulus -tbe . equalis est angulo flui ad .g.; que omnia in ltbro eudidis apcrte dedarantur, ubi ostendituf, quod orones figure que hahcnt latera opposita, equalia habehunt similiter et angulus e(luales: fluare angulus lbe. et .beg. recti sunt: orthogonillrn ergO' est quadrilaterum .fbeg., ut oportet. In secunda quidcm euclidis libro demonstratur, uncle procedit prima inucntio casus perpendicularis in oxigonio trigono. [t nos unde proced.lt inuentio eiusdem casus,. per secundum et tertium moJum .uolnmus figurjs gcometricis demonstrare. Dcscribatur rursus trigonum suprascriptum .abe.; et protrahatur in eo cathetus .ad.; ct per puncta .be. ad rectus angulos prolrahantur recte .eb. et .fe.; ct sit recta .eb. cqualis reete .ae., scilicet H; et recta le. equalis recte .ab., scilicet 13; et capulentur le. et -fd. et .de.; et djuidatur rccta .ef. in duo equa super punctum .g.; et a punta .g. utrisflue rectis le. et .eb. equiclistans protrahatur recta .gh.; et pel' punctum l. recte, et equidistans .be. protrahatur recta .fik. Rursus per punctum .g. rectis .cb. ct -filt". ellujdistans protrahatur recla .gl.; et quoniam orthogonia sunt trigona .adc. et .adb. rectos habentia angulos, qui sub .ade. et ,adb.; potentia fluidem lateris .ac. equatur duohus potenlijs linea rum ,ad. et .dc.; ct potentia linee .ab. equatur duobus potcntijs linearum .ad. ct .db. Quare si comuniter au{feratur potentia lioee .ad., poterit potentia maioris casus .dc. plus potentia minorii.~,,~t it~rtlm

. . '1u;ullil.lc

m"l1jl,lj~:llti()"i! • (f'nl. 23

""r'o,

Ii". 23-29 e ~O 1 l'J~. 37, Ii" 3143 -

I'..

s.

~8, lin.

11.

~

f,,1.23ree/o.

DI~

in quantitate multiplicationis linee .dg. in liueam .bg. Sed ostensmn cst superius in alia figura, quod supcrhaLundantia quadrati casus .eg. ad quadratnm casus .eb. est sieut superhaLlludantla quadrati lateris .ag. ad quadratum latcris .ab. Qual'(~ slIIlcrhabllndantia quadrati lateris .ag. ad quadratum lateris .ab. cst sicut mttltiplicatio rcete .dg. in rectam .bg. Sed quadratum lateris .ag., scilicet .225., superhalHlHdal potentiam lateris .ab' l scilicet .169. in .50.; (Iuare multiplicatio .dg. in .bg. snrgit in .56. Sed .bg. est .u.; in qllihllS diuisis j.56., rcddunt .4. pro quantitate linee .dg.; qui bus ..t. extractis ex llase .bg., scilicet de .14., remanet lillea .bd. to.; quorum dimidium, scilicet .5., erunt in minori casu .be.; quod oportelK't ostendcl'c.

Incipit dillerentia tertia.

• '"Iur",es,

sec"ndum..

cui", • ([oj. 23 ,-ee/o, I",

20:poS38,1i".17_27)

I·U., ~.

10-

S[ autelll trigollum ampligonium, et cquicrurium fuerit, protrahes cathetum in ipso snpeJ.' latus maius; et opcralJcris secundum quod snperins in trigono acutiangulo et e1luicrurio diximus. Sed si trigonum ulllpligonimil diuersilaterum fueril, vt trigonum .abg., cuins latus .ab. sit pertiee 13; et latus .bg. pcrticc 4; latus quoque .ag. pertice .t5.; si all angulo .b. obtuso eatlletum protrahcre uolucris super maius latus, scilicet super .ag., infra triangulum catlet. Casum itaqne sell cathetum, nee non et embadum ipsius inucnlcs l secundum (luod docuimus in triangulo acutiangulo tliucrsilatero. Sed 5i all angulo .a., uel ab angulo .g. cathetos protrahere uoilleris, extra triangulum cadent. Quare 'Inalitrr casus ipsorum extra hases reperianLur, indicare necesse t~St. Ex potentia maioris latcris, que est .225., cxtrahcs potcntiam reliquorum dUOl'um laterum; quorum potentia .ab. est .169., et potentia .bg. est .t6., remancbllnt .40.; quorum dimidium, scilicet .20., si per hasem .bg. Jiuiseris, scilicet per .4., exibunt .a. pro ((uantitate casus .bd., super quem cathetus .ad. erigitur. Et si eadem .20. IJcr haSf'ffi .ab., scilicet per .13., diuiscris, Jwhehis pro casu .be. pet·ticam i'i. I., super quem cathetus .ge. eleuatur. Deinde si potcntiam .db.,qlle cst .25., ex potentia .ab., que cst .169., extraxcris; poueI si potentiam .dg., (lue est .st., ex potentia .ag. dempseris, remanebunt tentia catheLi .ad. U,j.; cuius radix, scilicet .J2., est longiludo catheti .ad.: quam si in dimidium sne hasis, scilicet in .2., muItiplicaucl'is, reddent perticas .24. pro at'ea trigoni .abg. : ucrbi gratia: trigonum .adg. orthogonium cst; ct colligitur area ipsius ex multiplicatione dimidij catheti .ad., scilicet de .6. in totam basem .dg., scilicet in 9.~ quare area trigonj .([dg. cst }Jertice .54.; ex: qua si cxtraxcris aream trigouj orthogonij .adb., quc cst .30., que colligitur ex multiplicatione eiusdem dimidjj catheti .ad. in basim .db., remanelmnt pro area trigonij .abg. llerlicc .24.; que colliguntur iteium ex multiplicatione dimidij cathet-i .ad. in hasim .bg., ud ex multiplicatione catheti .ad. in dimitlium basi.s .bg., ut prcdiximus. Similiter 8i multiplicaueris cathetum .ge. in dimidium basis .ba., eamdem hallehis aream. Cathetum enim .ge. inucnies, si extraxcris potentiam !inee .eb. ex potentia linec .bg., uel potentiam linee .ea. ex potentia linee .ag. It est cathctus .ge. perticarum -h 3.; (Iuorum dimidium, scilicet H t., si per hasem .ab., scilicet Ilcr 13 multilllicauerimus, ad easdem perticas 24 pro cmLaJo tl'ig-onj .a bg. ucnicmus. Est el1im in secundo Euclidis lihro apcrtc demonstratum, unde proccdit modus supradictus in reperiendis casihus pcrpendicularium, que cadent extra obtusum angulum in ampligonijs trigonis. Possumus quidem per alios duos modos ipsos casus reperire

rro

I

39

III.

uidclicet per cos, quos demonstrationihus superius demonstrauimus. Et cst iste primus modus: adde .13. cum .J5., scilicet latns .ab. cnm latere .ag., ernnl .2f1.;qnorum tlimiJium, scilicet .14., multiplica per (WI'crcntiam, que cst ab ipsis .14. uSCJue ad unum ex late· riJJus predictis,scilicet per .1., erunt .14.; que 5i diuisel'imus per .2., scilicet pcr dimidillm basis, egre(licntur .7.; de quihllS tlemptis .2., scilicet .bf., remanehunt .5. pro casu .bd.: super qlliJms namquc .7' l si atldlderimllS lincam .fg., hahchimus .9. pro lota linea .dg. Alius quidcm modus cst, ut potentiam lineg .ab. ex potentia liner .ag. cxtrahas, sci· licet .1GO. de .225.; l'esiduumrple, scilicet .56., pel' lmsem .bg. diultlas, scilicet per .-4.; d que de ipsa diuisione peruenit, .4., scilleet basem extrahas, rcmanclmnt .to.; quorum dimidium, scilicet .5., est casus .1)(1. Que cuitlcnlissime monslrahuntur, 5i liueam .gd. protraxcfimus in puncto .11.: et sit ljnea .dh. equalis linec .db.; ('t copuletul' .alt., ut in hac alia cerniwJ' formula. Est cnim in trigono .ahg., et infra ipsum trigonum cathetus dneta .ad.; et quoniam rccta .!ld. cqualis est rccte .db., ct in cis cst cathetns .ad., (,