Rakamların Evrensel Tarihi I [1, 1 ed.] 9786051711836, 9786051711829

Citation preview

2872

I ALFA I BİLİM I

104

RAKAMLARIN EVRENSEL TARİHİ / Tarih Öncesinden Hint Uygarlığına Rakamların Evrimi -

GEORGES

IFRAH

1947 yılında Fas'ın Marakeş kentinde doğan Fransız asıllı Georges Ifrah uzun yıllar ma­ tematik öğretmeni olarak çalışnuştır. 20 yıllık bir uğraş sonucunda 1994 yılında yayım­ ladığı Rakanılann Evrensel Tarilıi eserinin kazandığı uluslararası başarıdan sonra ilgisini matematik tarihine yönelten Ifrah, özellikle Arap Bilimi ve ortaçağda Arapların Avrupa' ya etkilerini incelemeye yoğunlaşmıştır.

KURTULUŞ DiNÇER 1958'de Elazığ'da doğdu . 1980'de Hacettepe Üniversitesi Felsefe Bölümünden mezun oldu ve 1991'de aynı bölümden doktora derecesi aldı. Halen Hacettepe Üniversitesi Felsefe Bölümünde profesör olarak görev yapan Kurtuluş Dinçer'in çok sayıda felsefe yazılarının yanı sıra kitapları ve çevirileri arasında şunlar sayılabilir: Bilimsel Araştırmada Hcıııpel Modeli (TFK, 1993); Felsefe (AÜY, 2002); Kısaca Felsefe (Pharmakon, 2010); Ale­

xandre Koyre'den Yeııiçağ Biliıııiııiıı Doğıışıı (Ara, 1989) -bu kitap daha sonra Bilim Tarilıi Yazıları adıyla yayımlanmıştır (TÜBİTAK, 2000); R G. Collingwood'dan Tarilı Tasannıı

(Ara, 1990);]. M. Bochenski'den Felsefece Diişiiımıcııiıı Yollan (Ark, 1994); Georges Perec, Jacques Roubaud ve Pierre Lusson'dan İııce/ikli Go Saııatıııı Keşfetmeye Çağıraıı Kiiçiik Kitap (İmge, 1998); R. G. Collingwood'dan Doğa Tasarımı (İmge, 1999); yayıma hazırladı­

ğı Raoul Mortley'den Fraıısız Diişiiııiirleriyle Söyleşiler (İmge, 2000); Hubert Reeves'den Boşluk Bakışımın Biçimiııi Alıyor (TÜBİTAK, 2001); yayıma hazırladığı David Hume'dan İıısaıı Doğası Üzeriııe Bir İııcelemc (Bilgesu, 2009).

I

© 20 1 2 , A LFA Basım Yayım Dağıtım San. ve Tic. Ltd. Şti. Rakamlann Eıırensel Tarilıi

-

Histoire Vniverselle des Clı iffres

Vol 1

© 1994, Editions Robert Laftont, Paris -

Yayıncı ve Genel Yayın Yönetmeni M. Faruk Bayrak Genel Müdür Vedat Bayrak Yayın Yönetmeni Mu stafa Küpüşoğlu Dizi Editörü

Kerem

Cankoçak

Redaksiyon Özkan Karabacak, Mehmet Ata Arslan Kapak Tasarımı Adnan Elmasoğlu Sayfa Tasarımı Zülal Bakacak - Miirüvet Durna

ISBN 978-605-17 1- 183-6 TAKIM ISBN 9 78-605-171-182-9 1. Basım: Ocak 2016

Baskı ve Cilt Çiftehavuzlar Yolu Acar Sanayi Sitesi No: 8 Bayrampaşa-İstanbul

Melisa Matbaacılık

Tel: 0(212) 674 97 23 Faks: 0(212) 674 97 29 Sertifika no: 12088

Alfa Basım Yayım Da ğı tım San. ve Tic. Ltd. Şti.

Alemdar Mahallesi Ticarethane Sokak No: 15 34110 Fatih-İstanbul Tel:0(212) 51153 03 Faks:0(212) 519 33 00

www.alfakitap.com

Sertifika no: 10905

- [email protected]

) GEORGES

IFRAH

-

--

-

= � === =====oo � ��===

G

(

orno

CiLT •

1

--�

........__

()

Tarih Öncesinden Hint Uygarlığına Rakamların Evrimi Çeviri: Kurtuluş Dinçer ALF�IBİLİM

Bu güç işin bana verdiği kaygılann, yıllar boyu çektirdiği sıkıntılann, sabırlı, tapılası tanığı olan, sana, kancığım. Sevecenliğin ve eleştirilerinin inceliği için, bu kitabın ve yazannın çok şey borçlu olduğu, sana, Hanna. Size, Gabrielle ve Emanuelle, kızlanm,

tutkum . . .

İÇİNDEKİLER

ı. Kısım

BÜYÜK BİR BULUŞUN TARİHİ: RAKAMLARIN MACERASI

ÔNS ÔZ, 9 Giriş

"Rakamlar" Nereden· Geliyor?

11

1. B ö lüm

S ayıların Kökeni: Etnolojik ve Psikolojik Yaklaşımlar

29

2. B ö lüm

Tab an İ lkesi ve S ayı Sistemlerinin D o ğuşu

77

3 . B ölüm

El, İ lk "Hes ap.Makinesi"

131

4. B ölüm

Cro-Magnon İ ns anının S aymanlığı

1 66

5. B ölüm

Kertme Uygulaması-Yeni Başlayanlar İçin S aymanlık

170

6. B ölüm

S icimden S ayılar

178

7. B ölüm

S ayı, D eğer, Para

187

8. B ölüm

Sümer Uygarlığının Rakamları

196

9. B ö lüm

Altmış Tab anı Bilmecesi

226

1 0. B ölüm

E l am'da ve Mezopotamya 'da Yazılı Rakamların Gelişimi

237

11. B ölüm

5000 Yıllık Bir Sistemin Şifresinin Ç özümü

2 65

12 . B ölüm

Sümerler Nasıl Hesap Yapıyordu?

290

13 . B ölüm

Sümerlerin Silinip Gidişin den Sonraki Mezopotamya S ayı Sistemleri

315

14. B ölüm

Firavun Uygarlığının Rakamları

3 80

15 . B ölüm

Girit ve Hitit Kralları Ç ağında S ayma

42 3

16 . B ölüm

Yunan ve Roma Rakamları

43 2

1 7 . B ö lüm

Harfler ve S ayılar

496

18. B ö lüm

Alfabetik S ayı Sisteminin Kökeni : Yunan mı Yahu di mi?

530

1 9 . B ölüm

Öteki Alfab etik S ayı Sistemleri

559

20. Bölüm

Rakamlar, Yazılar, Büyü, Gizem, Kahinlik

573

2 1. B ölüm

Çin Uygarlığının Rakamları

60 1

22. B ölüm

Maya Uygarlığının Şaşırtıcı B a şarıları

666

2 3 . B ölüm

S ayıs al Gösterimin Son Aşaması

722

24. Bölüm

Hint Uygarlığı: Modern S ayı Sisteminin Beşiği (Birinci Kısım)

DİZİN, 935

7 59

ı. Kısım

BÜYÜK BİR BULUSUN TARİHİ: RAKAMLARIN MACERASI .>

ÖNSÖZ İki ciltlik bu yapıtın ana amacı, rakamların ve hes abın evrensel tarihi hak­ kında, tarih öncesinden bilgisayarlar çağına uzanan, en temel işlemlerden yol a çıkıp kurgulayıcı, mistik, dinsel, büyüsel ya da kahinlikle ilgili aritme­ tiklerde gezinen, ·sıfırın ve konumlu s ayı sisteminin keşfinden geçip s onunda en genel hesap lara ulaş an karmaşık ve çok biçimli evrim hakkında halkın kendi ken dine s orduğu tüm sorulan yalın ve anlaşılır ifadelerle, olabildiğin­ ce tam bir b içimde yanıtlamaktır. İlkinden beş kat daha büyük olan bu Rakamlann Evrensel Tarihinin metne, imgeye, yapıya ve olguların sunuluşuna getirilen ayrıntılar b akımın­ dan ep eyce z enginleştirilmiş olduğu s öylenebilir. Yap ıt, yalnız mantıks al ve kronolojik bir biçimde düzenlenmiş bir tarihs el belge olarak değil, aynı za­ manda ve ö zellikle büyük kısımlar içerisinde konu b akımından öbeklemeler oluşturan gerçek bir izleksel ansiklop edi olarak tas arlanmıştır. Dolayısıyla bu yapıt, s ayısız resimlemenin, küçük öykülerin, yeniden kur­ maların yardımıyla, gerekli bütün açıklamaları ve uzunlu kıs alı çerçeveler içinde b irçok aydınlatıcı bilgiyi, işe yarayacak öğreniyi okura sunarak, onu çağlar ve uygarlıklar içerisinde heyecan verici bir yolculuğa davet etmek­ tedir. Yani okur bu ansiklopediye, merakına ve kendi ilgilerine göre, nerede olurs a olsun s erbestçe b aşvurabilir. ( Örnek: B abillilerden ya da Mısırlılar­ dan önce Mayalar; Arapların, Hintlerin ya da Ç inlilerin hesap larınd an önce ya da s onra yap ay hes abın tarihi vb. ) B ölümlerin numaralanışı süreklidir; yani yapıtın ciltlere b ölünmü ş o l ­ masından b ağımsızdır. Şekiller ise her b ölümün içindeki ardıllık sırasına göre, o b ölümün numaras ıyla birlikte numaralanmıştır ( Örnek: Ş ekil 21. 15,

21. b ölümün 15. şekline göndermede bulunur. ) Öte yandan, bölümlere göndermeler cilt belirtilmeden yapılmakta, her cildin b aşındaki içindekiler kısmı istenen gösterimi s ağlamaktadır. Bunun­ la b irlikte bir istisna bulunmaktadır: 24. b ölümün ilk kısmı b irinci cildin s onund a yer almaktadır ve ona ş öyle göndermede bulunulur: B zk. l . cilt, 24. b ölüm. Buna karşılık bu b ölümün ikinci kısmına yapılan her türlü gönderme (bu kısım ikinci cildin b aşında yer almakta dır) ş öyle yapılır: B zk. Hint Uyg a r­ lığının S ayı sal Simgeler Sözlüğü. B u s ö zlüğe bütün geri kalandan b ağımsız olarak b akılabilir, b aşlı b aşına bir s özlük olarak b aşvurulabilir. S özlüğün maddelerine yapılan göndermeler bir yıldızla i ş aretlenmiştir. ( Örnek: *Hint astrolojisi; *S onsuz; . . . ) . Son cildin s onundaki önemli kaynakç anın b elirli bir konuda b ilgisini derinleştirmeyi dileyen okura istediği bütün kaynaklan bulmasını, aynı z a ­ manda çeşitli bilgilerin ve sergilenen b elgelerin kaynaklarına ulaşmasını

10

s ağlayacağını da b elirtelim. Okurun bunun için şunlara b aşvurması yeter­ lidir. - Kısaltmalar b aşlıklı liste. Bu liste dönemli yayınlara, dergilere, uzman­

lık yayınlarına göndermede bulunan kıs altılmış adların açıklanmas ını yap ­ maktadır. - Yazarlara göre Kaynakça Göndermeleri. Burada yazar adlarının alfabe­

tik sırasıyla verilen yayınlar, aynı yazarın birçok yayını söz konusu olduğun­ da [l] den [X] e kadar numaralanmıştır.

- Konulara göre Kaynakça Göndermeleri. Bunlar alfab etik ,sırayla dü­

zenlenmiş, o konuda yayını olan yazarların alfab etik listesi de her birine eklenmiştir. Kısaca, bu olağandışı Rakamların Evrensel Tarihi içerisinde ins anlığın ve insan zekasının büyüleyici tarihini keşfedecek okurun işini kolaylaştırmak için her türlü çaba gösterilmiştir. B öyle derin bir b oşluğu dolduran, daha şimdiden arkeologları, etnologla­ rı, tarihçileri ve sayısız kültürlerin uzmanlarını etkil eyen bu kesinlikle eş siz yapıt, şairleri, aritmetik yandaşlarını, s ayı aşıklarını, mantık oyunlarını se­ venleri de büyüleyecek, psikoloğu, fizikçiyi, öğretmeni, mühendisi ve b ilgis a­ yar bilimcisini de kendine çekecektir.

GİRİŞ "RAKAMLAR" NEREDEN GELİYOR?

Saint-Exupery'nin Küçük Prensi Gibi Bu kitap 1 çocukların sorularıyla b aşladı. Matematik öğretmeniydim ve her iyi eğitici gibi , ne denli tuhaf ya da ne denli çocukça görünürs e görün­ sün, hiçbir s oruyu yanıtsız bırakmamaya çab alıyordum. Zeka çoğu kez me­ rakla beslenir. O s ab ah gündemde s ayı sistemleri üzerine çalışma vardı . D ersimi özen­ le hazırlamıştım ve s ayıları Arap rakamlarıyla yazdığımızı her yönüyle, ek­ siksiz bir biçimde açıklamam, aynı vesileyle, s ayıların özelliklerini ve bizim kullandığımız işlem tekniklerinin yapısını hiç değiştirmeden, onlu tab an­ dan b aşka bir tab ana geçmenin kurams al olarak olanaklı olduğunu göster­ mem gerekiyordu. Son derece sıradan bir matematik dersine hazırlanıyor­ duk. Hani şu herhangi bir Fransız lisesinde gördüğünüz ve öğretmenlerin Orta Öğretim denen bu saygı değer kurumun varoluşundan b eri her yıl b ıkıp us anmadan yineledikleri derslerden biri. Ne olduys a o z aman oldu! Tanrı alçak gönüllü b enden.izin o gününün ta­ mamen ötekiler gibi olmasını istemedi . B irkaç öğrenci -görünmeleriyle varoluşunuzu b aşkalaştırabilen b öyle öğrencilerin her gün yolunuza çıkmasını istemezsiniz- bütün hinlikleriyle karşıma dikildiler. Öyle b asit s orular s ordular ki, bir an sustum kaldım: - Efendim, rakamlar nereden geliyor? Sıfırı kim icat etti? Gerçekten, nereden geliyor rakamlar? Bu alışılmış simgeler bize öyle açık geliyor ki, onları -çok yanlış olarak- bir tanrının ya da bir uygarlık kahrama­ nının eksiksiz bir armağanı olarak birdenbire ortaya çıkmış s anıyoruz. S o ru ş aşırtıcıy dı ve itiraf edeyim ki bu soruyu b en kendime hiç s o rmamıştım. - . . . Ç ok eski çağlardan geliyor, diye yanıtla dım, b ilgisizliğimi güçlükle gizleyerek, büyük bir ikircikle. Oys a, s ayıların her zaman bugünkü gibi yazılmadığından emin olmak Son tarihsel gelişmeler, en son arkeolojik keşifler ve halihazırdaki bilişim gerçekleri (1981 'de Seghers'de yayımlanan) İlk Rakamlann Evrensel Tarihi' nde öne sürülen olguların ve çok s ayıda düşüncenin sunuluşunu tamamen yeniden ele almaya itti beni. Uzun düşünme yılla­ rının ürünü olan şimdiki yapıt, onun bütünüyle gözden geçirilmiş, düzeltilmiş , büyütülmüş ve tamamen yeniden düzenlenmiş bir biçimini oluşturuyor, Gerçekte daha geniş açılı, daha ansiklopedik bir b akışla, çakıl taşlarından başlayıp dinlerden ve mistiklerden geçerek bil­ gisayara kadar giden s ayı ve simge alanlarının oluşturduğu b u sonsuz m o z ayiğin s ayısız oluşturucu öğesini kaps amayı amaçlıyor, bu b akımdan da öncü oluyor.

12

R A K AMLA R I N E V R E N S E L TA R i H i

için Latin s ayılarını (halen bir yüzyılı belirtmek üzere kullanmaya devam ettiğimiz şu ünlü Roma rakamlarını) anıms amam yeterdi . - Efendim, diye s o rdu bir b aşkası, Romalıların nasıl hes ap yaptıklarını biliyor musunuz? Günlerdir onların rakamlarıyla bir çarpma yapmaya çalış­ maktan kafam p atladı. - Bu rakamlarla hesap yapmak olanaksızdır, diye yanıtladı sınıf arkadaş­ l arından biri . B ab am b ana Romalıların işlemlerini hala ab aküsle hesap ya­ p an bugünkü Çinliler gibi yaptıklarını s öyledi. B enim bile veremeyeceğim, hemen hemen tam bir yanıt. - Herhalde, diye ekledi öğrenci, küçük arkadaşlarına dönerek, bir Çin lokantasına giders eniz bir gün; göreceks iniz ki , bu ins anların bizim kadar iyi hes ap yapmak için rakamlara da, hesap makinesine de ihtiyaçları yok. Ab aküsleriyle dünyanın en iyi bilgisayarından bile binlerce kez daha hızlı gidebiliyorlar. Burada bir p arça ab artıyordu . Evet, ab aküs kullanımı, onu kullanmasını bilenlerin, yazıyla hesap yapılırkenkinden son derece daha çabuk, hatta ba­ sit bir hes ap makinesinden daha hızlı gitmesini s ağlar. Ama bu alet bilgisa­ yarlar ve gelişmiş hesap makineleri tarafından çoktan aşılmıştır. Hiç kuşku yok ki , sıra dışı çevrelerden gelen genç bir topluluğa ö ğretmen­ lik yapmak benim için bir şans ve aynı zamanda ayrıcalık olmuştu. Onlardan çok şey öğrendim . .

- Babam bir etnolog, dedi bir b aşkası. Afrika'da v e Avustralya'da hala iki­ den ötesini s ayamayan odun kafalı yab anlar bulunduğunu s öyledi b ana. Ma­ ğara ins anı neyse onlar da hala öyl e ! N e büyük adaletsizlik b u çocuğun ağzından çıkanlar! Peki o çocuk gibi , uzun zaman b u sözde "ilkelleri" insan türünün evriminin ilk aş amasında kal­ mış insanlar olarak gören yazara ne demeli? Oys a , düşününce, bu "yab an­ ların" o kadar aptal olmadıkları anlaşılır; zekadan hiç de yoksun değiller; bu yabanların güçlüklerden sıyrılmak için icat ettiği ş eyleri görmek çok ş a­ şırtıcıdır. Gerçekte bizimle aynı yetenekleri taşıyan, ama kültürleri "uygar" toplumlarınkinden çok farklı olan ins anlardır onlar. Ama bütün bunları henüz bilmiyordum. Gelişigüzel bir b içimde yüzyılla­ rın akışını geriye doğru izlemeye çalıştım. Arap rakamlarından önce Roma rakamları vardı . Ama, "önce"nin bir anlamı var mı gerçekten? Anlamı ols a bile bu rakamlardan önce ne vardı? Bir s ayı ya da hes ap arkeolojisinde s ayı saymayı akıl eden ilk ins anın dahice icadının kalıntıs ı bulunabilir miydi? Öğrencilerimin kafasından b irbiri ardına b ir sürü "çocuksu" (ya da en azından s özde çocuksu) s oru çıkıverdi ortaya. Kimisi sirklerde ya da p ana­ yırlarda görebileceğimiz "s ayı s ayabilen hayvanlar" üzerinde durdu: Hes ap yapmayı biliyorlar dendi; hatta aralarından matematikçiler çıkmışmış ( ! ) . Kimi öğrenciler, kah uğurs uzluk kah uğur getirdiği düşünülen "13 rakamı"

"RAKAMLAR" N E R E D E N G E LiYOR?

13

bilmecesini ortaya attı. Kimileri d e 15 rakamlı bir s ayının küp kökünü alan ve aynı z aman aralığı içerisinde size 7 milyon ile 1 O milyon arasındaki asal s ayılar tablosunu veren şu gerçek insan fenomenlerinin, "olağanüstü hes ap makinelerinin" neyin nesi olabileceğini sordular. Öz etle, bir sürü bunaltıcı (ama çok heyecan verici) soru, bilgisizliğinin derecesini görüp, bilim tarihinin ne yazık ki yer almadığı bir öğretimin za­ yıflığının bilincine varan, neredey s e aşağılanmış bir öğreticinin suratında p atladı. Ben de o anda aklıma gelen beceriksiz, özet, yarım yamalak ve kesin­ likle doğru olmayan yanıtlar verdim. Yine de b ir özürüm vardı. Ç alışma araçlarım olan aritmetik kitapların­ da, okul el kitaplarında sorunun sözü bile edilmiyordu. Tarih kitaplarında Hammurabi 'd en, Sezar'd an, Kral Arthur'dan ve Charlemagne'd an, s anki Mar­ co Polo 'nun, C hristophe C olomb 'un yolculuklarından b ahsedilir gibi s ö z ediyordu. Yine, kağıdın, matbaacılığın, buhar makinesinin, p aranın, eko­ nominin, takvimin tarihine, hatta yazının ve alfabenin kökenleri s o rununa varasıya ins anlık dillerinin tarihine değiniliyordu. Ama, s anki bir elbirliği varmış da, ins anlığın en olağanüstü buluşlarından birini, ins anın dünyayı ölçmeye girişmesini, onu daha iyi anlamasını, s ayısız gizlerinden b azılarını kendi hizmetine s okmasını s ağlayacağı için b elki de en verimli buluşların­ dan birini giz içinde, ya da daha da kötüsü, b ilmezlik, b ilinmezlik içinde tutuyormuş gibi, rakamlara ilişkin tek söz yoktu. Bununla birlikte, şu çok güzel alçak gönüllülük dersiyle b aşlars ak, s o ­ ruların b enim üzerimde derin etkileri oldu: Ustalarından görülür biçimde daha meraklı olan öğrenciler öğretmenlerine bir ders vermiş , onu büyük b ir buluşun tarihini, kıs a bir süre sonra süreksizliği kadar evrens elliğini de keş ­ fedeceğim bu tarihi incelemeye teşvik etmişlerdi.

"Rakam-Graal"ın Aranışı: Matematiğin Kutsal Kasesinin Arayışında Bir daha aklımdan çıkmayacak olan bu sorular, yakında b eni en b üy ü ­ leyici araştırmalardan birine sürükleyecek, varlığımın en heyecan verici serüvenlerinden birine s okacaktı. Bu s o ruları yanıtlama düşüncesi, ama özellikle de arzusu b eni önce iste­ meden de olsa, ortaçağda Graal'ın aranışı kadar çılgınc a görünebilecek b ir aray ı ş a (çok kıs ıtlı olanaklarla) girişmek üzere, öğretmenliğe ara vermeye itti. Ortaçağda çarmığa gerilmiş İ sa'nın kanıyl a doldurulmuş olduğun a ina­ nılan bu büyülü kap, Tanrı'nın simgesi haline gelmişti . Ç ok s ayıda dindar Hıristiyan ş övalyeyle birlikte, Lancelot, Perceval ve Gauvain de dünyanın her yanınd a bu kabı bulmaya çalışmı ş , ama yeterince s af olmadıkları, Tanrı'nın hakikatlerine yaklaş acak inancı ve temizliği taşımadıkları için kutsal arayış ­ l arında baş arısız olmuşlardı.

14

R A K AMLAR IN E V R E N S E L TA R iHi

Temizlik ve s aflık b ende de yoktu. Ama inanç ve gönlümdeki Tanrı çağrısı b eni ruhça ya da kişi olarak b e ş kıtada dolaştıracak, s onunda s af matema­ tiğin manastırından çok daha engin bilgi ufuklarına gözlerimi açmamı s ağ­ layacaktı. Ama gözler dünyaya ne kadar iyi açılırs a, bilgisizliğin bilinci de o kadar çok olmuştur. İns an zekasının bu olağanüstü s erüveni nere de, ne zaman ve nasıl b aşla­ dı? Asya'da mı? Avrup a'da mı? Yoks a Afrika'da bir yerde mi? B aşlangıcı yakla­ şık 30 000 yıl önce Cro-Magnon ins an çağında mı olduğu , yoksa aş ağı yukarı

50 000 yıl önce Neandertal ins an çağında mı? Beş yüz bin yıl önce, ya da hatta niye olmasın, bir milyon yıl önce olamaz mı? Tarih öncesindeki uzaktan atalarımızı rakaml arı düşünmeye iten hangi dürtülerdi? S alt astronomi ilgileri mi ( ayın evreleri , günler ile gecelerin yi­ nelendiği takvimler, mevsim dönümleri vb.)? Yoks a sırf topluluk yaş amının gereksinmeleri mi? İns an, örneğin bir elin p armakları ile bir ayağın p armak­ larının aynı kavramın temsilcileri olduğunu, nasıl ve ne kadar zaman içinde keşfetti? Hesap yapma gereği ins an zihnine kendini nasıl dayattı . Tam sa­ yının s ayal hali ile sıral hali arasında bir öncelik sırası oldu mu? İlk s özlü saymanın b aşlangıcı hangi çağa gider? Konuşma dili s oyut bir s ayı anla­ yışından önce mi gelir? insan sözlü olarak s ayı s aymayı bilmezken s omut iş aretlerle ve seslerle mi s aymıştır? Yoks a tersi mi? S ayı kavramı deneyden

mi çıktı? Yoksa deney, türümüzün ilk örneklerinin ruhunda gizli halde z aten var olan şeyin kesin olarak açığa çıkması için katalizör rolü mü oynadı? Ya bu soyutlamanın kendisi, ins anın derin bir düşünüşünün meyves i mi yoksa nesnelere çok somut bir boyun eğişle b aşlamış ağır bir evrimin s onucu mu? Sorulması olağan olan, ama uzaktan atalarımızın düşünme b içiminin ar­ tık hiçbir izi kalmadığı için, ne yazık ki çoğu kez yapıcı bir a dım atma ola­ nağından yoksun bir sürü s oru. Olay ya da daha iyis i olaylar dizisi, tarih öncesinin çok eski çağlarında yitip gitmiş ve bugün onlara tanıklık e decek hiçbir arkeolojik kalıntı yok. Peki s orunu çözmenin tek yolu arkeoloji miydi? S o rulara yaklaşık olarak aynı yanıtı vermeyi s ağlayacak bir disiplin yok muydu? Ö rneğin p s ikoloji ya da etnoloji çalışmalarından yol a çıkarak bir yeniden kurma olanaklı mıydı? S ayının aranışı mı yoks a bir hayaletin aranış ı mı? B ütün s o ru buy­ du . Söz oyunlarıyla da, söz oyunları olma dan da ayırım yapmak güçtü. Her ne olurs a olsun, b eni neredeys e hemen dünyanın fethine , rakamlar oralarda mı diye b akmak için Amerika Birl eşik D evl etleri' nden Mısır' a, Hindistan'dan Meksika'ya, Peru'dan Ç in' e götürecek olan b ah s e girilmiş ­ ti. Mali yardım olmadığından, kendi yağımla k avrulmaya karar verdim ve yol culukl arım b oyunca, günlük gereksiniml erimi karşılamak için, ç e ş itli i ş ler, kah yamaklık ya da şoförlük, kah kahve de gars onluk ya d a bir otelde gece b ekçiliği yap tım .

"RAKAM LAR" N E R E D E N G E LiYOR?

15

Bu entellektüel turizm, gezegenimizin en önemli müzelerini, Kahire, Bağ­ dat, Pekin, Mexico müzelerini, British Museum'u, Londra Bilimler Müzesini, Washington'd aki Smithsonian Institution'ı, Vatikan Kütüphanesini, Yale, C o­ lumbia ve Philadelphia Üniversitelerinin kütüphanelerini gezmemi sağladı; ve tabiki Paris 'te Ulusal Sanat ve Elsanatlan Konservatuannda, Guimet ve Louvre müzelerinde, aynca Ulusal Kütüphanede bulunan koleksiyonların sözünü etmeme gerek yok. Pompei ve Mas s ada yıkıntılarını da gezdim. Nil vadisindeki birkaç ünlü site, Teb 'e, Luxor'a, Abu Simb el'e, Gizeh'e uğradım. Atina Akropolüne ve öncesiz sonrasız kentin Forum'una gidip şöyle bir göz attım. Quirigua ve Chichem İtza'd aki Maya piramitlerinin tep esinden yüzyıl­ ların geçişini s eyrettim. Şurdan hurdan hes abın tarihiyle ilgili olarak geçmiş ya da ş imdiki adetler üzerine değerli bilgiler ya da tanıklıklar topladım. Bu heyecan verici etno-sayısal ve arkeo-aritmetik gezintilerden dönünce, günler b oyu halk düzeyindeki yapıtları, ansiklop edi maddelerini, uzmanlık dergilerini, bilim kitaplarını yiyip yuttum, her alandan uzmanlara, araştır­ macılara, üniversitelilere binlerce s oruyla s aldırdım. Bununla birlikte, bu kişiler b aşlangıçta p ek az konuştular ve özellikle de konuya burun kıvırdılar. Ortalık, ciddi ins anlar bir yana, sözü durmadan kendi uzmanlıkl arına getirmek isteyen tuhaf ins anlarla doluydu doğrusu. Ama onları ikna etmek gerekiyordu, çünkü, görünüşte değersiz olan önemli gelişmelerden s ürekli olarak hab erdar olmak ve aynca b enim gibi amatör birinin y ap acağı her tür­ lü yorum hatasından kaçınmak için, araştırmayı onların denetimine b ırak ­ mak kaçınılmazdı. Benim matematikten b aşka b i r ş eyle ilgim o lmadığı için, onları yalnız ciddiyetime, dürüstlüğüme, işin önemine inandırmam yetmi­ yor, "rakamlar" ile "matematiğin" tamamen aynı ş ey olmadığı düşüncesine de alıştırmam gerekiyordu. Olayların akışı bu konuda b eni haklı çıkaracaktı . Her ş eye karşın, olgu ilginç. Rakamlar öylesine cisimsizleşmiş ki, sonun­ da çok ins anca oldukları, hatta şiirs el bir töz oluşturdukları çağlar unutulup gitmiş . O kadar ki, matematiğe hiç yeteneği olmayanlar, onları kendi yoksun­ luklarının y a da horgörülerinin nesnesi haline getirmişler. Yine de, Antoine de S aint-Exupery 'nin Küçük Prens'inde p ek hoş bir b içimde söylettiği gibi , s alt maddi b akış açısı onları kullanmaktan geri durmamış : "Büyükler rakamları sever. Onlara yeni bir dostunuzdan söz ettiğinizde, size hiçbir z aman önemli ş eyler sormazlar. Hiçbir z aman: "Sesinin tonu na­ sıl? Hangi oyunları s ever? Kelebek biriktiriyor mu?" diye s o rmazlar size. Hep "Kaç yaşında? Kaç kardeşi var? Kaç kilo? Bab ası ne kadar kazanıyo r?" diye s orarlar. Ancak o z aman tanıdıklarını s anırlar onu. Büyüklere "pemb e tuğ­ l adan, p encerelerinde s ardunyalar, çatısında güvercinler olan . . . güzel bir ev gördüm" derseniz, bu evi bir türlü gözlerinde canlandıramazlar. Onlara: "Yüz b in fr anklık bir ev gördüm" demeniz gerekir. O z aman haykırırlar: "Ne hoş . "

16

R AK AMLA R IN EV R E N S EL TAR iHi

Bu, teknisyen ve maddeci toplumumuzda niceliğin anlamının niteliğin anlamına nasıl açık bir biçimde b askın geldiğini s öylemektir. Ardından bütün bunlar b eni iki temel s aptamaya götürdü . Konu üzerine çok s ayıda, zengin ve s ağlam b elgeler vardı . Onlara çok ş ey b orçluyum ve bu kitapta sık sık s özleri edilecek. Ama makalelerin ve yapıtların her biri tek bir uzmanlık alanıyla ilgiliydi; konunun uzmanları için yazılmışlardı ve göster­ dikleri bütün bilginliğe karşın, eksiksiz ve bireşimsel olmaktan uzakl ardı. Elbette, s onradan keşfedeceğim ve b ana çok ışık tutacak b azı genel yapıtlar vardı; ama bunlar çağlarının bilgilerini yansıttıklarından, tarih alanındaki son gelişmelerle olduğu kadar, son arkeolojik keşiflerle, psikolojik ya da et­ nolojik çözümlemelerle de çoktan aşılmıştı. Yani uygarlıkların ve dinlerin tarihinden bilimlerin tarihine , tarih öncesi arkeolojiden dilbilime ve filolojiye , olguların matematiksel ya da mits el yoru­ mundan etnolojiye varasıya, bu belgeleri bütünlüğü içinde ele alan, bir uçtan öbür uca, beş kıtanın hep sini hesaba katan bir bireşimin eksikliği vardı. Gerçekten, memelilerde ya da kuşlarda s ayı algısı, tarih öncesinin kertil­ miş kemiklerinin s ayı s aymadaki işlevi, Hint-Avrup a ya da S ami kökenli s ayı sistemleri, Avustralya, Amerika ya da Afrika'nın "ilkel" denen halklarındaki sayılar ve s ayı teknikleri gibi çok farklı türden veriler, tarihi aşırı yalınlaştır­ malara indirgeyen kalıplara düşmeden ve özden hiçbir ş ey yitirmeden nasıl birleştirilir? E skiler ile mo dernlerin p armak hes abı; Güney Amerikalıların ya da Polinezyalıların çakılla s aymaları, "sicimden s ayıları; " Firavun dönemi yazıtları ile B abil tabletleri nasıl aynı kalıp içinde bir araya getirilir? Yu­ nanlar ile Çinlilerin aritmetik kitapları, Mayaların astronomisi ve yazıtları, Hint şiiri ve matematiği, Arap cebiri ve Ortaçağ quadrivium'u,· s on olarak da zaman ve uzay içerisindeki gelişmeleri tutarlı bir biçimde görebilmek üzere , modern sayı sisteminin, ins anın bu çok önemli icadının bütünü nasıl bir arada anılır? Zaten karmaşık olan bu bütün içerisine h ayvanı nasıl yerleşti­ receğiz? Ya b ebeği? Girdiğim bahsi kazanmam besbelli olacak iş değildi. B ütün ins an bilim­ lerini bir araya getirince, alanımız ins anlığın düşünsel evriminin koskoca evrenini içine alıyordu. Öyle z engin, öyle engin bir alandı ki bu, kimse onu tek başına katetmeye kalkış amazdı. Elbette, b öyle bir arayışın s onu yoktur. Kuşkusuz, elinizdeki bu kitap çok değerli bir ciltler topluluğu içerisinde alçak gönüllü bir yer tutmaktadır. So­ nuncu olmayacaktır, keşfedilecek ş eyler, çözülecek gizemler hep kalır. Ben yine de, sayıyı kendi mantığı ve kendi tar:ihi içinde ele alan s ayı b ilimlerinin bize gerçekten öğretebileceği ş eyler hakkında önemli görünen her ş eyi müm­ kün olduğu kadar bir araya getirmiş olduğumu s anıyorum. Ayrıca bu kitap, rakamların ve hes abın, olguları mantıks al ve kronolojik bir biçimde düzenle­ yen, birbirine b ağlayan, hemen hemen evrensel ve bireşimsel bir tarihini, sı-

"RAKAMLA R " N E R E D E N G E L i YOR?

17

radarı bir biçimde, yalın terimlerle, metinle olduğu kadar imgeyle, matematik bilgisi gerektirmeden, çok çok biraz dikkat isteyerek, geniş bir kitleye sunan belki de ilk kitaptır. Her araştırma bir yenilik getirdiğinden, ben de birçok konuda şimdiye dek görülmemiş kesinlikler getirdim, rakamlar evreninin uzun zaman açığa çıkmamış kimi bölgelerini aydınlığa kavuşturdum. Örneğin bundan yaklaşık

5 000

yıl önce eski İran Eiamlılarınca kullanılan rakamların okunmasındaki

içinden çıkılmaz sorunun çözümünü buldum; okur bu kitabın bölümlerinden birinde yöntemimi izlerken eğlenebilir. Yine, uzun zaman Yunan sisteminden

türediği sanılan, ama gerçekte binlerce yıllık kertme uygulamasından gelen tarih öncesi bir fosil oluşturan Roma sayı sistemi sorunu var. Ayrıca, Mezo­ potamyalıların sayı sistemleri ve hesap yöntemleri konusunda bazı yepyeni ayrıntıların yanı sıra, birçok düşüncenin olmadık birleşimiyle yaklaşık on beş yüzyıl önce Hindistan'da doğan ve "Arap rakamları" denen "bizim" rakam­ larımızın kökenine ilişkin o büyüleyici ama pek ince soruna yeni bir ışık tu­ tan bir sergilemeyi de burada bulacaksınız. Benzer şekilde, bilgisayarların çıkışıyla tamamlanan yapay hesap tarihinin hiç görülmemiş sergilenişini de ekleyelim.

Binlerce Yıllık Bir Destan Sayı sistemlerinin tarihi şemalaştırılmak istense, artık bizim teknisyen toplumumuzun simgeleri haline gelmiş kavramlar olan "Bir" ve "Sıfır"ı ayı­ ran bütün yoldur denirdi. Şimdilerde, sıfırdan bire gitmek için, modern matematikteki ustalarımız kadar bilgisayar bilimi uzmanlarının da kafalara yerleştirmiş olduğu, yokluk hep birlikten önce gelmiştir biçimindeki şu sözde kesinliğe dayanarak, güle oy­ naya atacağımız tek bir adım vardır. Gerçekte kronolojik bakımdan bile bütün sayıların ilki olan "bir" sayısının icadını, bu sayıların tarihinin en son büyük icadı olan sıfırın icadından ayıran devler devi bir zamansal adımın söz konusu olduğunu bir an bile aklımıza getirmeyiz. Çünkü bu adım, geriye doğru düşü­ nürsek, insanın, yokluğun "hiç" ile eşanlamlı olduğunu fark ettiği çağı, yaşam ile ölüm karşısındaki yalnızlığının, kendi türünün öteki canlı varlıklara göre özel durumunun, kendi kişiliğinin türdeşleri karşısındaki tekilliğinin ve aynı

zamanda kendi cinsiyetinin eşi karşısındaki tekliğinin bilincine vararak birli­

ğin anlamını keşfettiği çağdan ayıran tüm insanlık tarihidir. Ama bu tarih, matematiğin tarihi gibi -kimi zaman yanlış olarak öyle dü­ şünülür- soyut ve çizgisel bir tarih değildir; yani birbirine zincirlenmiş kav­ ramların kusursuz bir ardardalığı değildir. Tersine, yılın günlerini saymaya, anlaşma ve pazarlık yapmaya, üyelerinin, evliliklerinin, ölülerinin, mallarının, sürülerinin, askerlerinin, kayıplarının, tutsaklarının sayısını bilmeye, kimi za­ man kentlerinin kuruluşunu ya da zaferlerinden birini tarihlemeye çalışan çok

18

R AK AMLA R I N E V R E N S E L TAR i H i

çeşitli kültürlerin ve toplumsal grupların gereksinimlerinin, kaygılarının tari­ hidir. Örneğin koyun ya da keçi sürüsü güdenlerin, her otlak s eferinden dönü ş ­ t e , hayvanların hep s inin ağıla s ağ s alim dönüp dönmediğinden emin olma­ ları gerekiyordu. Toplu yaş amın gereksinimlerini karşılamak için alet ya da silah stoğu yap anların, yiyeceklerini s aklayanların, silahlarının, aletlerinin, yiyeceklerinin durumunun daha önce bıraktıklarıyla aynı olup olmadığını doğrulamaları gerekiyordu. Komşu topluluklarla dostça olmayan ilişkilere girenlerin, her askeri s eferin s onunda, askerlerin s ayıs ının tam olup olmadı­ ğını bilmeleri gerekiyordu; gerektiğinde, s avaşta verilen kayıpların s ayısını b ilmeleri gerekiyordu. Ticaret yap anların da b esin maddesi s atın alacak ya da bir malın karşılığında b aşka bir m al verebilecek durumda olabilmele­ ri için "değer biçebilmeleri" gerekiyordu. Ürün kaldırm ak için, ya da yine, önemli b ir dinsel törene vaktinde gidebilmek için s ayı s aymayı , zamanı ölç­ meyi ya da hiç değilse benzer durumlarda doğan güçlüklerden kurtulmayı s ağlayan pratik bir yol bulmaları gerekiyordu. Bir cümleyle söylersek, bu, eylemindeki, düşünüşündeki zeka s ayesinde ve aynı zamanda şeylerin de zorlamasıyla bir "sayısal değerlendirme" gerektiren her şeyi göz önünde bulundurmaya itilen bir ins anlığın tarihidir. Bunun için, insanlık elindeki her aracı kullanmıştır. Araçlar başlangıçta s omut, deneysel ve gelişigüzel olmuş , giderek soyutlaşmış , yetkinleşmiş ve önce tuhaf bir bi­ çimde gizemli, mitolojik tas arlanmış (çünkü bu gruplar tarihleri b oyunca ön­ yargılarını bol bol sergilemekten geri durmamışlardır}, s onra da onlara bir genelleştirme biçimi almaya yatkın, yansız bir açıdan b akılmıştır. Kimi kendini faydacı olarak gö stermiş ve tutkularını s alt hesapla ilgi­ li amaçlarla sınırlamıştır. Kimi sınırsızlık ve öncesiz-s onrasızlık içerisine yerleşmek için, yeri göğü s ayıp dökmeye , dünyanın yaratılmış olduğuna inandıkları günden ya da hiç değilse y itip gitmiş b ir ilk tarihten b aşlayarak, günlerin, ayların, yılların niceliğini dile getirmeye girişmiştir. B öylece, bu ikincilerin çok büyük s ayıları tas arlamak zorunda k almaları, onları simge çokluğunu aşmaya götürmü ş , yalnız b elli b ir başlangıç ilkes ini değil, her matematiğin hareket noktası olan, "sıfır" denen çok s oyut bir kavramı ara­ maya itmiştir.

İlk Denemeler Bu tarih çok zaman önce b aşlamıştır; nerede b aşladığını p ek b ilmiyoruz. O zamanlar s ayıları kendinde, kendi b aşın a tas arlayamayan insan, henüz s ayı s aymayı bilmiyordu. O l s a ols a teki, çifti ve çoku tas arlayabiliyordu. Psikologların ve etnologların çalışmaları, kargadan b aş l ayıp b ebekten, Pigmeden ya da Fuegoludan geçip uygar ins ana giden gözlemlere ya da de-

"RAKAMLAR" N E R E D E N G E LiYOR?

19

neylere dayanarak, insanın sayı algısına ilişkin temel ilkenin ortaya konması­ nı sağlamıştır. Bazı"yüksek" hayvanlar gibi, hiçbir ön eğitim (örneğin domino taşlarının ve oyun kağıtlarının 5'i, 6'yı ya da 9'u birdenbire tanımayı bize öğretmesi gibi bir eğitim) görmemiş yetişkin insanın da doğrudan sayı algısı ancak l 'den 4' e kadardır. Ondan sonrasını, "sayması" ya da henüz öğrenim

görmemişse saymayı öğrenmesi gerekir. Bu da önce ileri bir sayı tekniğini, sonra toplumsal bellek ve iletişim için dilsel bir aletin (sayı adının) -ancak çok sonraki bir aşamada gelen, çizgilerle dile getirilmiş bir saptama sistemi­ nin geliştirilmesini gerektirir. Ama bir törenin tarihini öğrenebilmek ve iletebilmek için ya da sabah­ leyin dışarı çıkarılan koyunların, keçilerin, sığırların akşam sağ salim geri döndüğünü saptayabilmek için ille de bizim gibi "saymayı" bilmek gerekmez. Dil, bellek ya da soyut düşünce zayıf olsa bile, bu çeşit işlemleri gerçekleştir­ mek için çeşit çeşit aracıdan yardım alınabilir. Okyanusya'nın, Amerika'nın, Asya'nın, Afrika'nın, dillerinde "sayı adları" olarak bir, iki ve çoktan başkası bulunmayan, ama yine de birebir uygunluğu bilen kimi çağdaş "yabanları" kemik ya da ağaç kertme yolunu kullanıyorlar örneğin. Kimileri çakılları, kavkıları, aşıkları, çomakları üst üste yığma ya da yan yana dizme yolunu kullanıyorlar. Kimileri ise, bedenin çeşitli parçalarına yöneliyor, el ve ayak parmaklarına, kol ve bacakların eklemlerine, gözlere, buruna, ağıza, kulakla­ ra, memelere, göğüse başvuruyorlar.

İlk Hesap Makineleri Yalnız niteliksel değil niceliksel de olan bir evrene fırlatılmış insan, ister istemez, güçlüklerden sıyrılmak için, yavaş yavaş eline geçen her şeyi ken­ di yararına kullanmıştır. Doğa kendisine bütün olanaklı sayal modellerini vermiştir: İkiyi simgelemek için kuşun kanatlarını, üç için yoncanın yaprak­ larını, dört için bir hayvanın ayaklarını, beş için elin parmaklarını vb. Ama herkes sayı saymaya on parmağıyla başladığından, şu anda var olan sayı sistemlerinin çoğu on tabanına dayanır. On iki tabanını seçmiş bazı ilginç örnekler de olmuştur. Mayalar, Aztekler, Keltler ve Basklar, bir parça eğilince ayak parmaklarıyla da sayılabileceğini fark etmişler, böylece yirmi tabanı­ nı benimsemişlerdir. Sümerliler ve Babilliler ise, nedendir bilinmez, altmış tabanıyla sayıyorlardı. Bütün okul çocuklarının bildiği, aynı zamanda pek korktuğu şu ünlü zamanı saatlere, dakikalara, saniyelere bölme sorunlarını,

60

dakikaya bölünmüş dereceleri ve

tuhaf bir biçimde

360

60

saniyeye bölünmüş dakikaları olan,

dereceye bölünmüş o daireyi bize bırakan onlardır.

Ama burada zaten ince hesaplar söz konusudur. Batı Avrupa'da keşfedilmiş,

20-35 bin

yıllık, üzerinde bir ya da birçok ker­

tik dizisi bulunan bir sürü önkol kemiği ve başka hayvan kemikleri, arkeolo-

20

R A K AMLAR IN E V R E NS E L TAR i H i

jinin şimdiye dek bilinmezlikten kurtarabildiği en eski "hes ap makinelerini" oluşturuyor. Bu kemik çubukları kullanmış olan uz aktan atalarımız b elki müthiş avcı­ lardı. Ne zaman b ir hayvan öldürs eler bir kemik üzerine b ir kertik atıyorlar­ dı. Her hayvan türü için farklı kemikler kullanılabiliyordu: Biri ayılar için, bir b aşkası bizonlar için, yine bir b aşkası kurtlar için vb. B öylece hes abın ilk araçlarını icat etmişlerdi, çünkü gerçekte s ayıları ola­ bilecek en yalın i ş aretleme yöntemiyle yazıyorlar dı . Çok ilkel v e geleceği olmayan bir teknik diye düşünülecektir. Gerçi il­ kel , ama kesinlikle gelecekten yoksun değil . Hemen hemen hiçbir değişik­ liğe uğramadan bize kadar ulaşmış . Bu tarih öncesi insanları tüm çağların en uzun ömürlü rekorlarından birini oluşturacak bir icat ortaya koymuş­ lar. Tekerlek bile bu kadar eski değil dir. B u icatla yalnız ateş in kullanımı yarışabilir ve belki yarışı kaz anabilir. Tarih öncesi mağaraların kayalık iç duvarları üzerindeki çeşitli hayvan çizimlerinin yanında bulunmuş birçok kertiğin hesap işlevi gördüğü hiç (ya da hemen hemen hiç) kuşku götürmez ve modern çağda bu tekniğin pek değişme diği görülmüştür. Çok eskiden, Alpli, Avusturyalı, Macar çob anlar ve yine onl arın türdeşleri olan. Keltler, Toscanalılar, Dalmaçyalılar sürülerindeki baş s ayısını küçük tahta p arçaları üzerine dikey çizgiler, V'ler, X'ler çizerek kaydediyorlardı. 18. yüzyılda, çok ciddi İngiliz Parlamentosu'nun arşivleme sistemi de aynı kab a hes ap tutma usUlüyle oluşturuluyordu. Çarlık Rusya'sıyla birlikte C ermen ve İskandinav dünyasında da ödünç p ara verme işlerinde ya da takvim h e s ap l arında bu usUl yürürlükteydi. Oys a Frans a'nın kırsal yörelerinde aynı kertikli çubuklar bizim hes ap defterlerimizin ve yazılı anlaşmalarımızın yerini tutuyor, halk pazarlarında bil e veresiye hesabının aleti olarak iş görüyordu. Çok çok yirmi kadar yıl önce, Dijon yakınlarındaki küçük bir kasab anın fırıncıs ı , müşteri­ lerinin her birinin veresiye aldığı ekmek s omunlarının s ayısını hes aplamak için tahta uçlarında kertikler açıyordu. Geçen yüzyılın Çinhindi'nde bu usül aynı şekil de veresiye defteri olarak, ama aynı z amanda yas aklama çetelesi olarak ya da kolera bulaşmış kişileri kaydetme yolu olarak kullanılıyordu. Son olarak, İsviçre'de kertikleme herkes gibi ö dünç p ara işlerinde, ama ay­ rıca sözleşmelerde, süt teslimlerinde, h atta kimi otlakların gereksinimlerine ayrılan suyun miktarlarını b elirtmek için kullanıldı . Bu sayı tekniğinin, gerçekte, çok tanışık olduğumuz için çoğu kez "Arap" rakamlarının yanı sıra (hatta kimi z aman onların yerine) kullandığımız Roma rakaml arının kökeninde de bulunması,. b öyle bir s ürekliliği daha da dikkat çekici kılıyor. Somut s ayımın kalıcı olmayan bir b aşka yolu kökence çok daha eski­ dir. Bunda şaşılacak bir ş ey yok, çünkü el tüm çağl arın ilk "sayım ve hesap makinesi" dir. Yeryüzünün tüm halkları tarihlerinin ş u ya da bu anında ona

"RAKAMLAR" N E R E D E N G E LiYOR?

21

başvurmuştur. Auvergne'de, Çin'de, Hindistan'da, Türkiye'de, eski SSCB'de hala yer yer, başka hiçbir yapay malzemeye başvurmadan, verilerin yalın ifa­ desine dayanarak parmaklarla çarpma işlemi yapılır. Parmak kemiklerinin ve eklemlerinin işe kanştınlması herkesin bildiği yalın işlemden çok daha öteye gitmeyi sağlar. Bu usUl örneğin Mısırlıların, Romalıların, Arapların, Acemlerin -batı ortaçağının Hıristiyan halklarını unutmayalım- sağır-dil­ sizlerin el kol işareti diline benzer bir yol izleyerek l 'den 9 999' a kadarki sayılan somutlaştırmalarını sağlar. Aynı usul, daha ustalıklı bir yöntemle, Çinlilere bir elle

100 bine, iki elle 10 milyara kadar saymanın bir

yolunu ha­

yal etme olanağını vermiştir!

Ama sayıların tarihi parmaklarla anlatıldığından başka türlü anlatılabi­ lir size . Örneğin, Peru'da, Bolivya'da, Batı Afrika'da, Havai ve Caroline ada­ larında, ayrıca Japon takımadalarının çok yakınındaki Ryu-Kyu'da sayılan düğümlenmiş sicimler aracılığıyla kayda geçirme yöntemi vardır. Bu yöntem aynı zamanda Güney Amerika'daki çok güçlü İnka yönetiminin ustalıklı ar­ şivleme sistemini de oluşturmuştur. Aritmetik tarihinde aynı şekilde ihmal edilemez bir önem taşıyan başka bir eski sistem de çakıl taşı kullanımıdır; insan onun sayesinde hesap sana­ tına başlamıştır. Abaküslerin kökeninde de, rakamların henüz bilinmediği çağlarda işlem yapmak için kullanılmış şu boncuklu çerçevelerin kökeninde de bu yöntem vardır. Aynı şekilde, Çin'de, Japonya'da ve Doğu ülkelerinde hala kullanılan sayı boncuklarının atası da odur. Ayrıca, hesap

(calcul)

dedi­

ğimiz zaman, sözcüğün kendisi bizi uzak çağlardan gelen bu yönteme gön­ derir, çünkü Latince

calculus

(hesap) sözcüğü "küçük çakıl" anlamına gelir.

Tarihin İlk Rakamları Tarihin ilk yazılı sayı sisteminin kökeninde de bu çakıl taşı yöntemi bulunur. Bir gün birkaç saymanın aklına, sıradan çakılların yerine uzlaşı­ ma dayalı biçimler taşıyan, farklı boylarda, pişmemiş topraktan yapılmış nesneleri koyma fikri geldi; nesnenin boyutu ve biçimi onu bir sayı siste­ minin basamaklarından birinin karşılığı yapacaktı: Birler basamağı için bir çubuk, onlar basamağı için bir bilya, yüzler basamağı için bir küre ... Bu,

M Ö IV. binde, Arap-İran körfezinin yakınlarında bulunan bir İran top­

rağında, Elam'da olmuştu. Fikir çoktandır ortalıkta olduğundan ve bir kil uygarlığı bile kurulduğundan, aynı çağda, Aşağı Mezopotamya'daki Sümer ülkesinin sakinlerince, benzer bir sistem aynı şekilde kullanılmıştır. Ama bu sonuncuların sayı yeteneği onluk yerine altmışlık olduğundan, yöntem birkaç ayrıntı farkıyla işletilmiştir:

60

için büyük bir koni,

600

1

10 için bir bilya, 3 600 için bir küre . . .

için küçük bir koni,

için delikli bir büyük koni,

Bu çağda bu uygarlıklar iyice yayılmıştı, ama henüz yalnızca sözlü ola­

rak. Yalnızca insan belleğinin çok kısıtlı olanaklarına dayanıyordu. Bununla

22

R A K AMLA R I N E V R E N S E L TAR i H i

birlikte, yukarıdaki temellere dayalı hesap sisteminin, nesneleri kilden ya­ pılmış toplar içerisine koyma fikri s ayesinde, çok yararlı olduğu görüldü. Yalnız aritmetik işleml eri yapma gereksinimini değil, her çeşit mal s ayımı­ nın ve ticari işlemlerin b elgesinin arşivlerde s aklanması ihtiyacını da karşı­ l amayı sağladı: D enetlemek için topu kırmak yeterliydi. S onra bir gün topun kili üzerinde topun içine konan nesneleri s imgeleştirme fikri geldi akla; kü­ çük bir koni küçük bir kertikle , bir bilya küçük bir yuvarlak delikl e , büyük bir koni kalın bir kertikle, bir küre bir daireyle . . . b etimlendi. Tarihin en eski rakamları olan Sümer rakamları , MÖ 3200' e doğru, işte b öyle doğdu. Bu tarih, yazının tarihiyle bitişik gibidir, ama elb ette onunla aynı değil­ dir. Ç ünkü yazı yalnızca görs el b etimleme ve dü şünceyi b elleğe yerleştirme gereksinimlerini karşılamak için değil (gelişmiş b ir toplum s al grupta yaşa­ yan her ins an bu gereksinimleri duyacaktır), aynı z amanda ve öz ellikle ek­ lemli dili kaydetmek için icat edilmiştir.

Zekanın Şaşırtıcı Değişmezliği Gerek z aman gerek uzay bakımından birbirinden çok uzakta olan insan­ ların, araştırmaları ve sınamaları sırasında, b enzer s onuçlara ulaşmak üze­ re nasıl aynı yolları izlemiş olduklarını görmek çarpıcıdır. Gerçekten ins an her yerde b edeni üz erinde bir yeri iş aret etmeyi, p ar­ maklarıyla saymayı öğrenmi ş , evrens el olarak çakıllardan, kavkılardan, çu­ buklardan yararlanmıştır. Çinlilerde, Pasifik adalılarında, B atı Afrikalılarda, İnkalarda sayılanmış düğümlü sicimlerin kullanımına rastlıyorsak, ille de bilinmeyen yolculuklar vars ayımına b aşvurmamız gerekmez. Kertme uygula­ masının da gerek tarihsel gerek coğrafi b akımdan geniş ölçüde yaygın oldu­ ğu görülür. Kemik ya da ağaç üzerine oyma aynı gereklilikleri, aynı güçlükle­

ri gösterdiğinden, Avrup a, Asya, Afrika, O kyanusya , Amerika gibi birbirinden çok uzak bölgelerde bulunan önkol kemikleri ya da ağaç çubukl ar üzerin­ de aynı çizgileri, aynı V'leri ve aynı X'leri görmek kims eyi şaşırtmayac aktır. Çünkü bu imler Romalıların, Ç inlilerin, Çinhindi'nin Khas B o lovenlerinin, Yeni-Meksika'daki Amerikan yerlileri olan Zunislerin kültürleri gibi birbi­ rinden kökten bir biçimde farklı kültürlerde, aynı ş ekilde, çağdaş D almaçya, İsviçre, Kelt çob anlarında da görülür. D emek ki, evrensel bir biç�mde dikey bir çizgi aracılığıyla b elirtil diğini gördüğümüz "bir" s ayısı gibi , b irtakım s a­ yısal birimlerin, hemen her yerde aynı rakamla b etimlendiğini gözleyince şaşmayacağız; 5 sayısı da, daha az yaygın olmakla b irlikte, sık sık yönü farklı bir çeşit V'yle, 10 sayısı bir çeşit X'le ya da yatay çizgiyle . . . b etimlenmiştir. Aynca, Mısırlıların, Hititlerin, Yunanların, Azteklerin, tabanlar ya da im­ lere karşılık gelen rakamlar bir sistemden ötekine his s e dilir bir biçimde de­ ği ş s e de, en azından yapı bakımından, tamamen aynı yazılı s ayı sistemlerini yaratmış olduklarını gözleyeceğiz. Sümerlerin, Romalıların, Attikalıların ve

"RAKAMLAR" N E R E D E N G E LiYOR?

23

Güney Araplarının sistemleri de öyledir. Başka başka kültürlerde bir sürü benzer olgu saptanmıştır ve bunları açıklamak için zorunlu olduğu iddia edilen ilişkileri varsaymaya gerek yoktur. Demek ki insanlık belli bir icadı ya da keşfi, herhangi bir yerde ve yeryü­ zünün herhangi bir halkında yeniden yapma yeteneğini sürekli olarak ken­ dinde taşımaktadır; söz konusu halkın (ya da bireyin), başlangıçtan itibaren, bu icadı ya da bu keşfi tarih boyunca hiç değilse bir kez yapma olanağını bulmuş kafaların koşullarıyla -aynı değilse de benzer kültürel, toplumsal, ruhsal koşullarda olması bunun gerekli ve yeterli koşuludur. Aynı ülkenin ya da iki farklı ülkenin çağdaş bilim insanlarının, birbirin­ den tamamen habersiz olarak, hemen hemen aynı anda benzer bilimsel ke­ şiflere ulaşmış olmasını açıklayan da budur. Fermat ile Descartes'ın analitik geometriyi, Newton ile Leibniz'in diferansiyel hesabı, Boyle ile Mariotte'un gazlara ilişkin fizik yasasını, Joule'ün, Mayer'in ve Sadi Carnot'nun termodi­ namiğin ilkelerini keşfedişini düşünün. Bununla birlikte, birçok durumda, uluslararası ilişkilerin artan gelişmesi sayesinde icat ya da keşif yapılır yapılmaz yaygınlaşmış ve bütün halklarca benimsenmiştir; ya da hemen hemen bütün halklarca, çünkü elbette, salt ge­ lenekçilikten ötürü her türlü devrimci yeniliği reddeden kültürler olmuştur.

Rakamlar İl e Harfler Olgu, örneğin MÖ

II. binden itibaren, Fenikeliler ya da en azından ku­

zeybatı Samileri yazıların tarihinin son aşaması olan alfabetik yazı ilkesini ortaya koydukları zaman kendini gösterdi . Bu yenilikteki ustalık ve yalınlık onu bir "icat" olmaktan çıkarıp, herkesin gözünde parlak bir örnek değeri kazandırdı. Bunun kanıtı, bugün dünya üzerinde var olan hemen hemen bü­ tün alfabelerin, İbrani alfabesinden Arap alfabesine, Berberi alfabesinden ve Hint yazıtlarından geçerek Batı dünyasının bütün alfabelerinin kökeninde bulunan Yunan alfabesine kadar, ondan türemiş olmasıdır. Ardından, Yunanlar, Yahudiler, Hıristiyanlar, Araplar ve birçok başka halk sayıları alfabelerindeki harflerle yazmayı akıl ettiler. Bu sistem harflere Fe­ nike kökenindeki sıralarına göre (çağlar boyunca bu halklarda dikkat çekici bir biçimde değişmeden kalmış bir sıra) l'den 9'a dek, sonra, onlar basama­ ğında lO'dan 90'a dek ve ardından yüzler basamağında . . . sayısal değerler vermekten oluşmuştu. Böyle oluşturulmuş sayı sistemleri harflerin sayısal değerlerinin üst üste eklenmesiyle işliyordu. Eski Yunan matematikçileri, temel sayısal harflere belirtme imleri koyma yoluyla onlar basamağının çok yüksek kuvvetlerine ulaşarak, bu sayı sisteminin kullanımını onluk sistem çerçevesinde akla uy­ gun hale getirdiler. Ama şiirsel ve yazınsal kullanımda, özellikle de büyü, gizem ve kahinlik alanlarında, bir sözcüğü oluşturan harflerin değerlerini toplamakla uğraşıldı.

24

RAKAMLA R IN E V R ENS E L TAR i H i

B u koşullarda, s özcükler s ayısal b i r değer kazandılar; buna karşılık s a­ yılar da simges el olarak, bir ya da birçok s ö zcüğün s emantik değeriyle yük­ lendiler. Örneğin , YAHWEH adını oluşturan İbrani harflerinin değerlerinin toplamından b aşka bir ş ey olmayan 2 6 s ayısı (Y + H + W + H =

=

ıO

+5+6+5

2 6 ) Yahudiler için kuts al bir s ayı haline geldi. İbraniler, Yunanlar, Latinler,

Araplar (ayrıca Acemler ve Müslümanlaşmış Türkler) , gerçekte MÖ II. binde b a ş tanrılarının her b irine bir s ayı vermiş olan B abillilerin çok eski yazı ge­ leneğine kadar giden bu tür kurgulamaları iyice çoğalttılar. Bu işlem, İskenderiyeli Leonidas gibi şairlerin çok özel türden yazınsal kompozisyonlarına neden oldu. Çok daha s onraki Mağripli, Türk ve Acem şair­ leri ile mezar taşı yazıcılarının kronogram (tarihleri hem s ayıs al hem anlam­ sal olarak dile getiren dizeler) yazma s anatının kökeninde de bu işlem vardı. Eskiçağdan günümüze dek çeşitli b ölgelerin kab alacıları , gno stikleri, büyücüleri , kahinleri, mistikleri her türden kurgulamalarında, yorumların­ da, öngörülerinde , vargılarında bu işlemin sunduğu bütün olanakl arı kul­ l anmaktan geri durmadılar. Örneğin gnostikler çö züm yolunu bulduklarını, inançlarına göre, bütün tanrıs al gizleri kavramakta kullanabileceklerini dü­ şündükleri Tanrı'nın adını belirleyebildiklerini s andılar. Z aten birçok mez­ hep (İslam'daki Hurufiler, "harfçiler" gibi) b öyle ortaya konmuş inançların çevresinde oluşmuştur ve bunların yandaşları, Avrup a dahil, günümüzde hala yaş amaktadır. İlk rakamlı alfabeyi yap anlar, Yunanlar ya da Yahudiler, beş yüz ya da iki bin yıl sonra, Petrus Bungus adlı bir katolik tanrıbilimcinin, Martin Luther adının

666 değerinde olduğunu "tanıtlamak" (bir ortoğrafça biraz gözden geçirilmiş ve düzeltilmiştir) için 700 sayfalık bir aritmetik kitabı yazma zahmetine kat­

lanacağını kesinlikle tahmin etmemişlerdi. Çağın "izops efik" hes aplarına yeni

başlayanlar için parlak bir tanıtlama: Havari Yuhanna'ya göre, 6 6 6 gerçekte

Deccal'ın, "Kıyamet Hayvanının" s ayısıdır. . . Ama Bungus adlı kişi bu tutumun ne öncüsüdür ne de onu kullanacak son kişi. Doğrusu, bazı Hıristiyanların İmp ara­

tor Neron'un adına 666 değerini biçme işine kafayı taktığı Roma İmp aratorlu­

ğu çağından, peygamberlik taslayan aritmetikçilerin herkesin hesap yapmadan kendi çabasıyla öğrenmiş olduğu şeyi (yani Hitler'in gerçek Kıyamet hayvanı ol­ duğunu) "tanıtlamayı" baş ardıkları, İkinci Dünya Savaşı çağına kadar, bu işlem­ le düşüncelerin desteklenmesine katkıda bulunulmuş tur. Burada büyük cadde­ lerde hala kol gezen, bir köşe başında sizi açıkça zavallı cüzdanınızdaki bozuk paraların falına bakmaya çağıran s ayı şarlatanları söz konusu değil.

Büyük Bir İcadın Tarihi Sayı sistemleri tarihinin çıkış yolu mantık olmamıştır. S ayı sistemlerinin i cadına ve evrimine yön vermiş olan, ilkin s aymanların, ama aynı zamanda din adamlarının, astronomların, müneccimlerin, ve ancak son sırada matema­ tikçilerin kaygılarıdır. En azından ilk üçünün tutucu olduğu herkesçe bilinen

" R A KAMLAR" N E R E D E N G E LiYO R ?

25

bu toplumsal kesimler, kuşkusuz sayı sistemlerinin hem sonuna kadar yet­ kinleşmesini hem de halka yayılmasını engellemiştir. Bizim gözümüzde çok eksik bile olsa, atalarımızın gözünde çok incelmiş olan bir bilgi, güç ya da en azından ayrıcalık kazandırınca, onu paylaşmak korkunç, dine aykırı bir şey gibi görünür. Belki de bu konuda, ama başka alanlarda belli bir mandarin ik­ tidarının tutumu hep aynı olmuştur. Ama burada başka nedenler de var. Temel bilimsel araştırma bilginlerin bilincindeki bir iç gereksinimi karşıladığı için gelişirken, bir icat, bir keşif ancak bir uygarlığın toplumsal isteğine yanıt veriyorsa gelişebilir. Bilimin bir uygarlığa verip vereceği, o uygarlığı değiştirmek ya da altüst etmektir. Bilindiği gibi, ileri gitmiş bilim insanları rahat etmemişlerdir, çünkü top­ lumsal istenç onları reddetmiştir. Matematiksel düşüncenin birbirini izleyen aşamalarına tanıklık etmek büyüleyici bir şeydir. Konumlu sayı sistemini keşfetmek tarihteki halkların çoğunun aklına gelmemiştir. (Konumlu bir sayı sistemi, örneğin dokuzun birinci, ikinci ya da üçüncü basamağın birimleri arasına yerleştirildiğinde aynı değeri taşımadığı bir sistemdir.) Gerçekte bu temel kural tarih boyunca yalnızca dört kez akla gelmiştir. İlk kez MÔ

II. binin başında Babil bilginle­

rinde ortaya çıkmıştır. Sonra, Hıristiyan Çağının başlamasından biraz önce Çinli matematikçilerce, ardından MS

III. ile V. yüzyıl arasında Maya astro­

nomlarınca, son olarak da V. yüzyıl yakınlarında Hint matematikçilerince yeniden keşfedilmiştir. Bu dört halkın dışında kesinlikle kimse bir sıfır sahibi olma gereksinimi­ ni yaşamamıştır. Ama konum ilkesinin kullanımının sistemli hale getirilme­ sinden sonra, sıfır zorunlu bir kavram olmuştur. Bununla birlikte, yalnızca üç halk, Babilliler, Mayalar ve Hintler bu son soyutlamaya ulaşabilmiş. Çinliler onu ancak Hint etkisiyle sistemlerine sok­ muşlardır. Ama ne Babillilerin sıfırı, ne Mayaların sıfırı bir sayı olarak görülebilir: Bizim bugün kullandığımız olanaklarla aşağı yukarı aynı olanakları yalnız Hintlerin sıfırı taşımıştır. Zaten kullanımla, zamanla ve yolculuklarla bir par­ ça biçim değiştirmiş Hint rakamlarından başka bir şey olmayan ve Arapların adını taşıyan rakamlarla aynı zamanda Araplarca bize aktarılan sıfır da odur. Biz onu parça bölük biliyor olsak da, bu tarih bugün kullandığımız ve bü­ tün gezegene daha dün yayılmış olan bu sayı sistemlerine doğru çok kararlı bir biçimde yönelir.

Hesap, Rakamlar ve Sayılar Ama aritmetiğin bütün tarihi "rakamlar" değildir. Bu çizgeli (grafik) sim­ geler görece geç ortaya çıkmıştır ve sayıların sayısız betimlemelerinden yal­ nızca birini oluştururlar. Rakamların tarihi, modern yazılı hesabın gelişti­ rilmesiyle bir araya geldiği, yapay hesabın büyük serüveniyle kendisinden ayrıldığı gerçek anlamıyla "hesabın" tarihine koşuttur.

26 n,

RAKAMLA R IN EVR ENS E L TAR i H i

Rakamların kabuğu olan s ayıları öyle ç o k kullanıyoruz ki, çoğu kez anla­ bize kendiliğinden gelen ve türümüzün ata mirasının p arçasını oluşturan

hareket etme ve konuşma yeteneği gibi, ins an varlığının doğuştan yatkınlık­ ları olarak görme eğilimindeyiz. Oysa, uygarlığımızın bir ediniminin, icat edilmiş ve dil gibi -dil de bir öğ­ renim gerektiren b aşka bir "alet"- aktarılması gereken bir şeyin s öz konusu olduğunu tasarlayabilmek için, okul daki o sıkı öğrenimi, s ayıları kullanma öğrenimini (özellikle de çocuklukta çarpım cetvelini ezb erlemekle geçen uzun ve dayanılmaz saatleri) anıms amak yeter. Çünkü rakamların da kendi tarihi vardır. Çok uzun, çok karmaşık bir tarih. Avrupa'da, çok değil birkaç yüzyıl önce, rakamlarla değil, parmakla ya da levhalar üzerindeki iş aretlerle hes ap yapıldığını, kertikli çubuklar üzerinde muhaseb e defteri tutulduğunu görünce ş a şırırız b elki de. O rtaçağda zengin bir tüccarın oğlunun çarpma ve b ölme s anatının sırl arını ele geçirebilmek için b ir dizi yolculukla tüm Avrupa'da mekik dokuması bir yana, yıllarca öğ­ renim görmesi gerekiyordu. S onuç olarak bu, günümüzün doktorasıyla eş­ değerdi . Sayıların insanoğlunun ulaşabileceği uzaklıkta bulduğu en karmaşık, en soyut kavramlar arasında yer aldığı doğrudur. Bu icat, kuşkusuz, insanlığın en büyük fetihi değilse de, en büyük fetihlerinden biridir. Çünkü dil, yazı ve aritmetik arasında, insanın en çok vakit harcadığı, sindirmekte en çok sıkıntı çektiği, sonuncusudur. Öyle ki, insanlar çağlar boyu ondan gizemli bir korku duymuş, hatta çoğu kez tanrısal güçlerle tek tek numaraları özdeşleştirmiş, sayıların simgelerini adın ve bireyin sözde temel bir öğesi s aymaya kadar gö­ türmüştür işi. Örneğin B abil müneccimleri, tapınaklarındaki tanrıların her b irine, ki­ şiliklerin sıradüzenini gösteren bir biçimde azalarak ilerleyen b elli bir s ayı vermemişler midir (Göğün tanrısı Anu'ya 60; Yerin tanrısı Enlil'e 50; Suların tanrısı Ea'ya 40 . . )? B elli de bu yolla, en s oyut kavramları nitelik olarak onla­ .

ra yükleyip, tanrıların insanlar üzerindeki varlık s al üstünlüğünü b elirtmek istemişlerdi. Sayılar "bilginin en yüksek derecesi" olarak da görülmüştür: Örneğin bü­ yük Platon s ayıların kozmik ve i ç uyumun özünü oluşturduğunu s öylüyordu. Bu düşünceyi daha s onra "s ayıların tanrıs al hakikatlere yaklaşmanın en iyi aracı" olduğu konusunda bu felsefenin tüm yandaşlarına güven verecek olan Nicolaus Cus anus yineleyecekti . Ama düşünce yeni değildi. D aha önce Philo­ laes "bilinenlerden her şeyin bir s ayısı vardır, çünkü s ayı olmadan bir şeyin tas arlanabilmesi ya da bilinebilmesi ol anaksızdır" buyurmuştu. Bu gizemli felsefeyi "evrenin gerçek yapısını kavramayı ancak s ayılar s ağlar" diyen bir sistem haline getiren s af Pythagoras geleneğin de, bu bir inanç işiydi. Yirmi beş yüzyıl s onra, bir gün B ertrand Rus s ell, s ayıların çağdaş b ilim­ de oynadığı temel rolü (özellikle Albert Einstein'ın "genel görelilik kuramını ," Max Planck'ın "kuantum kuramını," Louis de Broglie'nin " dalga mekaniğini")

" RAKAMLAR" N E R E D E N G E LiYO R ?

27

düşünerek, "Modern bilimin en şaşırtıcı yanı Pythagorasçılığa dönüşüdür" dedi . Modern simgesel mantığın büyük kurucularından biri olan Russell so­ runu tersinden ele alıyordu, çünkü evreni yöneten sayılar değildir: Doğrusu, dünya sayılarla soyut olarak dile getirilebilen fizik özellikler taşır. Ç ünkü sayı nesnelerden değil, nesneler üzerinde iş gören düşüncenin yasalarından gelir. Gerçeklik elbette sayıyı esinler, ama onu oluşturmaz . Çünkü insanoğlu bu gerçekliğin nesnelerini, bilinen bütün ilerlemeleri eksiksiz bir biçimde gerçekleştirmesini sağlayan düşüncenin yalın nesnelerine dönüştürmeyi bil­ miştir. Rivarol şöyle diyordu: "İnsan evinde merdivende oturmaz, ama onu kullanarak her yere çıkar, her yere ulaşır; aynı şekilde insan aklı da sayılarda yaşamaz, ama oplarla bilime ve her türlü sanata varır."

S on Derece İnsanca Bir Tarih Bütün bu çalışma ve sorgulama yıllarından sonra, galiba bugün öğrenci­ lerimin sorularını eskisinden daha iyi yanıtlayabilirim. Burada onlara içten bir kanımı belirtiyor, bütün meraklı genç kafalara şükranlarımı iletiyorum. Çocukların "çocuksu" denen sorularına her zaman dikkat göstermek ve onları her zaman yanıtlamaya çalışmak gerekir. Ama merakınız uyanmaya görsün, bu sorular sizi gitmeyi hayal ettiğinizden çok daha uzaklara götürüverir. Bu konuda bazen çırakların büyük ustalar olduğu ortaya çıkabilir. Buna karşılık, kimi kez önüne çıkan ilk güçlük karşısında cesareti kırılan bir kısım gençlere de, çabalarımın, inadımın ve sabrımın umduğumun çok ötesine giden bir başarıyla ödüllendirildiğini söylemek isterim: Bu çalışma bugün gerek Fransa'da gerek başka yerlerde tanınıyor, biliniyor, hatta birçok yabancı dile çevrildi . Başlangıçtan beri talihimin bana çok yardım ettiği doğru. İlkin karşılık beklemeyen ilgisiyle, anlayışıyla, bitmek bilmeyen hizmetiyle bana en değer­ li desteği veren olağanüstü karımı çıkardı karşıma . Sonra talih her bir insa­ na tek bir kültür bahşederken, ben Fas'ta doğmakla Arapçayı ve o büyüleyici Arap-İslam kültürünün temellerinin önemlice bir kısmını bilme ayrıcalığına erdim. İbrahimoğlu olduğum için İbranice öğrendim ve Yahudiliğin ayırt edi­ ci özellikleri olan insancılıkla, hoşgörüyle , evrenselcilikle yoğrulmuş derin düşünsel ve ahlaksal yapıyı iyice sindirdim. Ayrıca Mağrib'de doğu ve batı kültürlerinin koyarında yaşadım ve bir bakıma doğunun kaynaşan -ama öy­ lesine ince- kafasını Dekartçılığın ve ussal düşünmenin derin kalıbı için­ de bir düzene sokarak, bu kültürlerin birbiriyle uyumlu bir ilişki içindeki temellerini çabucak özümlemek istedim. Matematik tutkunu olduğumdan, sayılarla, bu karmaşık sistemin temel kurallarını saptamamı sağlayan bir tanışıklığım vardı. Elimden az çok iş geldiği için, bu kitaba can veren sayısız çizimi, kaligrafiyi ve şekli , kimi kez bağışlanacağını umduğum çocuksu çizgi -

28

RAKAMLA R I N EVR E N S E L TAR i H i

lerle d e ols a, resmetmenin altından kalkmayı öğrendim. Ayrıca, yıllar b oyun­ ca, bütün bildiklerimi kendilerine b o rçlu olduğum çok s ayıda seçkin bilim ins anının ortaya çıkardığı, çoğu kez yepyeni değerli bilgilerden, onların yü­ reklendirmelerinden, bir zamanlar karşılarında ders verdiğim dinleyicilerin sorularından ve okurlarımın heyecan verici eleştirilerinden, düşüncelerin­ den destek aldım. Robert Laffont Yayınevinin yardımlarından, gösterdiği ti­ tizlikten, yayıncım ve dostum Gerard Klein'ın s o rularından, tavsiyelerinden, eleştirilerinden, bu kitabı değerli koleksiyonuna alarak b eni onurlandıran, çalışmayı derinlemesine gözden geçiren ve eskisinden yola çıkarak yepyeni

bir kitap hazırlamam için b ana bu olağanüstü fırs atı sunan Guy S choeller'in co şkusundan, yüreklendirmelerinden s ö z etmeme bile gerek yok. Geçmişin bütün bu yankıları gösteriyor ki, çoğu kişinin teknis yen toplu­ mumuzun silahlan ve yöneyleri olduğunu söylediği bu kuru, cansız simge­ lerden çok b aşka bir ş ey olan rakamlar, aynı zamanda düşün, düş lemin, me­ tafizik kurgulamanın dayanağı, edebiyatın malzemesi, b elirsiz geleceğin ya da en azından geleceği kestirme arzusunun iskandili olmuştur. Rakamların şiirsel bir özü vardır. Sözcükler kadar ya da hemen hemen s ö z cükler kadar, hem şairin gereci, hem s aymanın ve bilim ins anının aleti olmuşlardır. Aynca, rakamlar, s ayı sistemleri s orununa getirilen çözümlerin çokluğu arkasında yatan evrensellikleriyle, yavaş yavaş ama emin a dımlarl a bugün her yerde baskın çıkmış olan bu çözüm yoluna doğru ilerleyen tarihleriyle, ins an kül­ türünün derin birliğine, dillerin karmaşasından

�aha iyi,

daha çok tanıklık

eder. Onlara bakınca, toplumların ve tarihlerin ş a şırtıcı b olluğu, neredey­ se mutlak bir süreklilik duygusu karşısında silinir gider. Rakamlar ins anın tüm tarihi değildir, ama şu Go ethe'nin, İngiliz donanmasının b ütün halatla­

rının

bir ucundan öbür ucuna giden, tahta ait olduğunu kabul etmeden en

küçük p arçasını ayıramadığınız kırmızı ipi gibi, ins anın tarihini b aştan s ona bir araya getirir, özetler. Rakamlar insanlıktan b aşka bir ş ey değildir. Bunu da belli en iyi, anlan keşfetmeyi öğrenirken, ç ocuklar his s eder. İns an ruhunun bu heyecan verici s erüveninin sonunu b il en b izler için, ins anoğlunun deneme-yanılmalarla, çıkmazlarla, unutuşlarla, vazgeçmeler­ le iş aretlenmiş bu dolaşkan, el yordamıyla yürüyüşünün tıpkı bir s arhoşun sendeleyerek yürüyüşüne b enzediği bir tarih, geçici yollarla, düşüp kalkma­ larla dolu karmakarışık, kıpır kıpır bir tarihtir bu. İns anların ve onların ken­ dilerine özgü zekalarının tarihindeki en b askın çizgilerden b iri de bu değil mi?

29

1 . Bölüm

SAYILARIN KÖKENİ: ETN OLOJİK VE P SİKOL O JİK YAKLAŞ IMLAR

Sayı Bilgisinin Sıfır Derecesi Bir zamanlar insanların sayı sayabilmeleri gerekmiyordu. Onların kafa­ sında sayı kavramı, varsaymamız olanaklıysa, maddi çokluğun bir çeşit do­ laysız algısına indirgenen, nesnelerin yapısına ayrılmazcasına bağlı somut bir gerçeklik görünümü taşıyor olsa gerekti . Uzaktan atalarımızın, çok ola­ sıdır ki , sayılan sayı olarak, yani, gün ile gece, bir çift tavşan, bir kuşun ka­ natlan ya da bir insanın gözleri, kulakları, kollan , bacakları gibi kümelerin ortak bir özellik, tamı tamına "iki olma" özelliği taşıdığının bilincinde olma­ sı hiç gerekmeden, soyutlama yoluyla tasarlayabilecek zihinsel yetenekleri yoktu. Matematik biliminin görece yakın çağlarda çok hızlı, çok şaşırtıcı geliş­ meler göstermiş olmasından, basit sayı sistemleri sorununun modern insan için çocuk oyuncağı haline gelmiş olmasından ötürü , bunu kabul etmek güç gelebilir bize . Gerek küçük çocuğun davranışları üzerine yapılan incelemeler gerek çağdaş "ilkel" topluluklara ilişkin etnolojik çözümlemeler de bu yakla­ şımı güçlendirmektedir.

Sayı ve Küçük Çocuk Aşağıda çerçeve içinde görüleceği gibi ("Hayvanlar sayı saymayı bilir mi?," kimi hayvan türleri sayı kavrayışıyla az çok donanmıştır: Soyut sayma yeteneğinden ayınlması uygun olan ve bizim daha iyi bir adlandırma bulun­ madığı için sayı duyusu diyeceğimiz bir çeşit gelişmemiş dolaysız nicelik algılan vardır. Oysa, süt bebekliği döneminde, insan yavrusu bundan bile yoksundur.

RAKAMLARIN EVR ENS E L TAR i H i

30

Hayvanlar Sayı Sayabilir mi? Uzun zaman haksız olarak zekanın ins ana vergi olduğu, hayvanlara yal­ nız "içgüdülerinin" kılavuzluk ettiği düşünülmüştür; birtakım yaban hay­ vanlarının en olağanüstü kurnazlıkları bile, görece yakın bir döneme dek, hiçbir zeka belirtisi göstermeyen "doğuştan" davranışlar diye görülmüştür. Gerçekte, çağdaş etnologların, p sikologların ve s osyal p sikologların or­ tak çalışmalarının kanıtladığı gibi, üst hayvanlar somut s orunları çözme yetisiyle donanmışlardır. Örneğin, karnını doyurmak için kargaların dikka­ tini çekmek amacıyla ölmüş gibi yap an aç tilkiler filme çekilebilmiştir. Yine, tek başına avlanan Kenya aslanlarının, avlarını b ir aslanın pusuya yattığı merkez bir noktaya doğru sürerken grup halinde avlanmaya b aşladıkla­ rı anlatılır. üst maymunlar ise, yalnız alet üretmeye değil , sözlü olmayan bir simge kullanmayı gerekli kılan pratik deneylerden baş arıyla geçmeyi öğrenmeye yatkındır. Elinin ulaşmadığı muzlara uzanabilmek için bambu kamışlarını birbiri içine sokarak uzun bir sırık yap an maymun örneğini ve­ relim. Başka bir maymun ince uzun bir tüp içerisine sıkıştırılmış bir yemi çıkarmak için, kendi üzerine sarılmış bir demir teli düzeltmeyi akıl etmiş­ tir. Kimileri de iki tur sağa, iki tur sola, sonra bir tur s ağa gibi on kadar dö­ nüşten oluşan karmaşık yollan izleyerek, karışık labirentlerden baş arıyla geçebilmişlerdir. Hatta kimi şemp anzelerde somut durumlara b ağlı s oyut bir simgeleştirmeyi kavrama yeteneği görülmüştür: Her markanın rengine çok kesin bir anlam verilerek (bir marka muz, öteki üzüm, bir b aşkası su almaya, bir dördüncüsü kafese dönmek için bir kapıyı açmaya . . . yarıyor) , maymunlara bir dağıtım aygıtından marka alıp gelmeleri öğretiliyor ve gö­ rülüyor ki bu hayvanlar her bir p arçanın neye yaradığını çok iyi anlıyorlar; hatta b azıları, karınları doydu mu, ileride kullanmak üzere marka topla­ maya başlıyor. Hayvan davranışlarının incelenmesi görece yeni bir alandır, "p sikolog­ ların ins anı yalnız b enzerleriyle karşılaş tırarak değil, onu canlı varlıklar bütünü içerisine yerleştirerek de tanıml ama isteğinden doğmuş tur. Hay­ van s abırlı, denetlenmesi kolay bir deney malzemesi oluşturur. 'onunla, deney koşullarını s onsuza dek değiştirebilir, b unu uç s ınırl arına dek gö­ türebiliriz. Ustaca araştırmalar, hayvanın refleks davranış larından b aşla­ yıp öğrenme, b ellek, dil ya da akıl yürütme gibi karmaşık b eyin işlevlerine dek neleri gerçekleştirmeyi baş ardığını gün ı şığına çıkarmayı s ağlamış ­ tır." (J. Feller) . Bu alan böyle b i r sürü kolaylık s ağlıyor. Hayvanların bir­ takım özellikleri insanlarda da bulunduğu, ins anın çok s ayıda gizil gücü hayvanlarda zaten var olduğu için, türlerin evriminde kullanılan mo delle­ ri izleyerek, ins anın ruhs allığını, "özdevinimlerden ve duygu sal köklerden başlayan" gelişmesini kavramakta değerli anahtarlar veriyor özellikle .

SAY I LAR I N KÖK E N i : ETNOLOJ i K V E PSiKOLOJ i K YAKLAŞI M LA R

31

Bununla birlikte, bu ortak noktalara sakınımla b akmak ve çok acele va­ rılan s onuçlara güvenmemek yerinde olur. İns anla hayvanı sistemli olarak ve tamı tamına b irbirine yaklaştırma düşkünlüğünün nereye götürebilece­ ğini bilirsiniz . Sirk hayvanları bunun tipik bir örneğini oluşturur. "Bilgin" denen bu hayvanlar hakkında, geçen yüzyıldan b eri, verimli olduğu kadar ipe s ap a gelmez de olan belli bir edebiyatın yandaşlarınca, ne akla gelme­ dik s avlar ortaya atılmıştır. Kimileri s ayıların birbirini izleyen düzgün sırasıyla, birden ona kadar kaç birim varsa o kadar ayaklarını vuran kimi köpekleri örnek vererek, bunların s ayı " s ayabildiklerini" ve ona kadar s ayıları kavrayabildiklerini ileri sürmü ş ­ lerdir. Ama efendilerinin yönetiminde pek ç o k kez havlayarak "saydıklarını" görünce, ya da daha iyisi, işitince, çabucak anlaşılır ki, bu yazarlar gizleme sanatında olduğu kadar hayvanları eğitme s anatında da usta b irkaç hokka­ b azın enayisi olmuşlar. Kimi yazarlar da, "toplama, çıkarma, çarpma y ap ­ makla kalmayıp problem çözebilen v e kare kök, küp kök hesaplayabilen"( ! ) birtakım köpekleri, atların y a d a fillerin "görülmemiş hünerlerini" överek -üçkağıtçılığa b aşvurup, okurlarını ustaca aldatmaya çalışmadılars a- bü­ yük bir s aflık örneği göstermişlerdir. Hatta, kimilerinin kafasında harfleri ve alfab eyi tanıma ve kullanma gücü bulunduğunu, bu hayvanların "gerek­ tiğinde istedikleri ş eyi bildirmek için yazı yazabildiklerini" ileri sürmeye kadar vardırmışlardır işi. Bu lakırdıların boşluğu ve çocuksuluğu öyl e açık ki, üstünd e durmaya değmez. Ö zellikle s eyirciyi şaşırtmaya yönelik b öyle numaralar gerçekte hayvan eğitimi alanına, en çok da üçkağıtçılık alanına girer. Başka bir aşırı örnek, yaptıkları ilk bakışta şaşırtıcı gelebilen, yabanarı­ sı adıyla bilinen b öcek örneğidir. "Ana arı, diye anlatıyor T . D antzig, yumur­ talarının her birini bir deliğe bırakır ve yanlarına yavruların yumurtadan çıkınc a yiyeceği belli s ayıda tırtıl koyar. İmdi, bu yab anarılarının her bir türünde, bu tırtılların s ayısı dikkat çekici bir biçimde aynıdır: Kimi türler b e ş , kimileri on iki adet öngörür, kimileri ise delik b aşına yirmi beşe kadar gider. Ama en ilginç örnek erkeği dişisinden daha küçük olan, Gen us eume­

nus denen türdür. Ana gizemli bir içgüdüyle şu yumurtadan erkek mi diş i m i çıkacağını h e r zaman bilir v e yiyecek deliklerini o n a göre s e çer. Tırtılla­ rın ne b oyunu ne türünü değiştirir; ama yumurta erkeks e beş tırtıl, dişiy s e on tırtıl koyar." Yabanarısının bu yaptığı son derece incelmiş ols a da, b ir itiraz gelir dayatır: Yab anarısının davranışı bilinçli değildir; yapılan ş ey temelde b ö ­ ceğin yaş amının genetik bir işleviyle ilgili bir sürece b ağlı o lduğundan, davranış tamamen böceğin özdevinimlerine dayalıdır.

RAKAMLARIN E V R EN S E L TA R i H i

32

Buna karşılık ş u örnek daha anlamlıdır: Görece daha basit koşullarda, evcil bir hayvanın, örneğin köp eğin, kedinin, maymunun, tanışık olduğu kı ­ sıtlı bir küme içindeki bir nesnenin kayb oluşunu çabucak fark ettiği görülür. Bazı türlerde, ana yavrularından birinin mi yoks a birkaçının mı kendisin­ den alındığını bildiğini açık bir davranışla kanıtlar. Bu kez davranışın bilinçli olduğu ve s ayı kavramının onlara hepten ya ­ b ancı olmadığı açıkça görülür: Hayvan ikinci kez algıladığı, s ayıca küçük bir birlikteliğin, bir ya da birkaç oluşturucunun çıkarılmasıyla bir değişik­ liğe uğradığını bilmesini s ağlayan doğal bir yatkınlık taşır. Bir ön öğretimden geçmiş b azı kuş l arda daha da b elirgin bir yetenek s aptanmıştır. Ç ok sayıda ustalıkla yapılmış deney, yiyeceğini iki küçük ta­ hıl yığını arasından s eçmeyi öğrenmiş bir s aka kuşunun, genel olarak üçü birden, üçü ikiden, dördü ikiden, dördü üçten ve altıyı üçten ayırmayı b a ­ ş ardığını göstermiştir. ön öğretim olmaksızın birden üçe ya da dörde kadar giden somut ni­ celikleri açıkça tanıyabilen bülbüllerin, s aks ağanların ve kargaların du­ rumu daha da dikkate değer. İşte ünlü bir örnek: Bir ş ato s ahibi ş atonun gözetleme kulesine yuva yap an bir kargayı öldürmeye karar vermiş . Kuşu birçok kez ansızın yakalamaya çalışmı ş , ama o yakla şınca karga yuvasını terkedip yakındaki bir ağaca konuyor, adam kuleden ayrılır ayrılmaz geri dönüyormuş. Sonunda bir gün bir hileye b aşvurmuş a dam: Arkadaşların­ dan ikisini kuleye çıkarmış; bir süre sonra biri çekip giderken öteki kule­ de kalmış. Ama bu oyunu yutmayan karga, yerine dönmek için ikincinin de gitmesini beklemiş. Sonraki s efer ikisi daha s onra uzaklaş acak olan üç kişi çıkılmış: Üçüncü adam kargayı yakalama fırs atı bulurum diye b ekle ­ yedursun, kanatlı kurnaz ondan çok daha s abırlı çıkmı ş . D eney birçok kez baştan alınmış, ama hep baş arısız. S onunda hilenin dört ya da b e ş kişiyle işe yaradığı, karganın aynı anda üç ya da dört kişiden fazlasının varlığını görs el olarak kavrayamadığı ortaya çıkmış . Bu davranışlar çok ilginç, çünkü h ayvanlarda zaten bulunan ins an güç ­ lerinin modellerini oluşturuyorlar. Evcil hayvanlar örneğinde kümelerin eşitliği ya da eşitsizliği kavramı ­ nın gelişmemiş bir çeşit algıs ı s öz konusu, ama ancak s ayıca düşük öb ek­ lemelerde kendini gösteren bir algı . S aka kuşlarında kavram çok daha b elirgin: Gerçi kuşun b eyninde olup biten şeylerin doğrudan bir "ölçümüne" karşılık gelmiyor, ama burada ar­ tık bu ş eylerin niteliğinin yalın bir algısı yok, eşitlik ve eşitsizlik duyusu da yok; basbayağı bir "artı" ya da "eksi" kavrayış ı var. Bir de eğitilince, bu kuşlar (göreceğimiz gibi, b elli bir eşiğin ötesinde bir "ölçümü" içeren) ni­ celik algısı ile, yalnız her türlü "ölçümü" değil, bu artı ya da eksi ölçeğini

de dış arda bırakan nitelik algısı ara sındaki ara algıyla, bir çeşit yoğunluk

SAY I LAR I N KÖK E N i : ETNOLOJ i K VE PSi KOLOJ i K YAK LAŞIMLAR

33

algısıyla donanmış hale geliyorlar. Bununla birlikte bu algı oldukça du­ yulur farklılıklarda kendini gösteriyor, çünkü kuş beş ile dördü , yedi ile beşi, s ekiz ile altıyı, on ile altıyı her zaman kanştıracaktır. B aşka deyişle, iki öbekleme arasındaki yoğunluk farkı yeterince çoks a (örneğin üç ile dört arasındaki gibi) , s aka onu doğrudan doğruya algılar, ama azalınca bunu yapamaz hale gelir. Kargalar ise çok daha fazlasını yap abilir. Iralayıcı kurnazlıklarından, eşitlik ve eşitsizlik duyulanndan b aşka ve taşıdıkları b elli bir yoğunluk duyusunu geliştirme olanağının bulunması dışında, bu kuşlann, aynı ya­ pıdaki öğelerden oluşmuş iki kümenin göreli önemini gerek uzay gerek zaman b akımından ayırt etme yeteneğiyle donanmış , batın s ayılır bir bel­ lekleri vardır. B ununla birlikte kargalar bizim gibi s ayı s aymazlar, çünkü s oyutlama ve genelleme yetisinden yoksundurlar, dolayısıyla, ne olurs a ol­ sun "mutlak bir nicelik" tas arlayamazlar. Ama yine de kimi somut nicelik­ leri algılayabilirler. Daha önceki yatkınlıklardan çok daha fazlası, gerçek bir s ayı duyusu söz konusudur burada. Demek ki, b azı hayvan türleri s ayı kavrayışıyla az çok donanmışlardır, ama bu kavrayış dolaysız bir algıyla bir b akışta tanınabilen s ayıya indirgenmiş bulunan çok dar sınırlar içinde kalmıştır. Gerçekte hiçbir hayvan s ayı s aymayı bilmez ve s ayamaz, çünkü E . Goblot'nun b elirttiği gibi "nesnelerin niceliğini niteliğinden ayıran b u s oyutlama, ins an zekasına özgü bir özelliktir. " Soyut s ayma yetisi ç o k kar­ maşık bir zihinsel süreç gerektirir ve ins an zekasının görece yakın z aman­ lardaki bir e dinimidir. Gerçekten, hayvan zekası özünde pratiktir: Ancak somutta rahat e der. "Hayvanlar, hatta en gelişmiş alanlan bile, diyor P. Oleron, zihins el e dim­ lerinde duruma çok b ağlı kalırlar ve ins ana özgü ş eyler olan geri çekilme­ yi, u z ak durmayı bilmezler. Hayvan ancak somut yetenekler gösterebilir. "Kavram s al z eka" hayvan için ö zellikle kusur oluşturur. Ç ünkü bir hayvan s oyutlama yapmayı bilmediği için, sözlü, tamamen simgesel bir malzemeyi kullanmaya yatkınlığı yoktur: B elli bir nesnedeki b elli bir özelliği aynca ele almak üzere ayıramayacaktır. . .

S ayılar ve Küçük Çocuklar İns an yavrusunun, hayvanların tersine, doğuştan çok az yeteneği olduğu doğrudur. Buna karşılık onda hayvanlarda bulunmayan bir ş ey vardır: İns an yavrus u uygarlığın tüm fetihlerini aşama aşama özümleme, yeniden yaratma gücünü kendinde tohum olarak taşır. Ç evres indeki (yetişkin ve ç ocuk) kişile­ rin, evriminin elverişli bir anında bir "eğitim" s ayesinde ve uygun bir öğre­ timle geliştirmesini s ağlayacağı kalıtıms al bir gizil güçtür bu . Ama bu ola-

34

RAKAMLARIN EVRENS E L TAR i H i

naklar ancak çocuk sürekli olarak toplum s al b i r o rtamla 1 ilişki içinde olurs a, bu gerekli ve yeterli koşulla s erpilip gelişebilecektir; çünkü P. Chauchard'ın dediği gibi, "in s an tamamlanmamış , olgunlaşmamı ş , yalnız c a olanaklar ba­ kımından zengin bir b eyinle doğar; bu olanakları da, ç evresindekileri taklit ederek geliştirmeyi öğrenecektir. " Bununla birlikte, çocuğun bir yetişkinin küçük bir modelinden b aşka bir şey olmadığını, bir tek yargıdan ve b ilgiden yoksun olan sizin b enim gibi bir ins an olduğunu da s anmayalım. Ç o cuk p s ikolojisi, tersine, kendine özgü düşünce yapısıyla, kendine özgü ruhs al yas alarıyla ve ap ayrı özgünlüğüyle ayrı bir dünyada yaş ayan bir bireyin s ö z konusu olduğunu kanıtlamaktadır. Üstelik yetişkin o dünyaya giremez: Bir zamanlar kendi de çocuk olduğu hal­ de, çocukluğuna ilişkin anılar yanıltıcı olduğundan, bu geçmişin yeniden ku­ rulması yetişkinlere özgü bir düşünme biçimiyle, çok bulanık bir görüntüyle gerçekleştiğinden, geriye doğru işlem yap amaz . Ama çocukluk süt b eb eğinin bir gün yetişkin haline gelmesi için zorunlu aşamadır. Koskoca bir hazırlanma ve yeniden yaratma çalışmasına karşılık gelir; ins an zekasının çeşitli gelişme aş amalarını b arındıran, uzak ataları­ mızın çok eski çağlardan bu yana geçirmiş olmaları gereken evrimin birbi­ rini izleyen aşamalarının kuşkusuz yeniden geçildiği çok uzun bir hazırlık dönemidir. "ins anın uyum sağlaması gerekecek karmaşık kültürel yapıları anlaması ve özümlemesi için bu uzun dönem gereklidir. Doğrusu, ins an yetişkin çağın­ da esnekliğini, (E . Clap arede'in de diği gibi) "oluşmaya yatkınlığını" yitirmiş­ tir. Çocuk öğrenir, yeniden yaratır, yenilik yap ar. E dinimleri s ayesinde, geçmiş kuş aklardan aldığı miras s ayesinde il erlemeye yol açar. " Ç o cuk hem sonuç hem öns özdür" der A. Gesell.

N. Sill amy'ye göre üç farklı aş amadan b ah s e dilebilir: Üç yaşına dek ilk çocukluk, üç yaşından altı ya da yedi yaşına dek ikinci çocukluk, ergenlikle

s ona eren üçüncü çocukluk. Ç o cuğun gelişmesi ilerleyen bir farklıl aşma süreciyle olur. Sütten kes ­ me çocuğun anasından farklılaşmasını ve gerçeğin tam olarak bilincine var­ masını sağlayan ilk ruhsal olgulardan b iri dir. R uhdevimsel (psychomo teur) alanl arda (elin kullanımı, ayakta durmanın ve yürümenin öğrenilmesi) ve sözlü alanlarda (sözcükler, tümceler) gösterilen ilerlemelerle evreni genişler, ilgileri artar, düşünüşü sağlamlaşır. Üç yaşında kiş iliğini keşfe der ve ben ya da beni-bana adıll arını kullanarak, kendini bilinçli olarak ötekinin karşısıYaban çocuklar örneği de bunu çok iyi kanıtlamaktadır. 1 920'de Hindistan'da, bir kurt sürüsü

i çinde ya şayan, onlar gibi hareket eden, uluyan, beslenen, b iri dört, biri s ekiz yaşında iki kız ço­ cuğu bulunmu ş . Bir misyoner onları yanına almı ş, yeniden eğitmeye çalışmış, ama boşuna: Her ş eye karşın ruhsal bakımdan p arçasını oluşturdukları insan türünün yaşam biçimine uyum sağlayamadıkları için, bir s üre sonra ölmüşler; küçüğü bir yıl, öteki s ekiz yıl sonra.

S AY I LA R I N KÖ K E N i : ETN O LOJ i K VE P S i KOLOJ i K YAKLAŞ I M LAR

35

na koyarak bunu b enims er. Bu andan başlayarak, edinimleri gittikçe daha hızlı bir ritim olur." Ama "ins anın düşünsel ve duygus al gelişmesi düzenli, çizgisel bir modele göre olmaz;" bu gelişme "her s eferinde bir ilerlemeyi ve bütündeki yeni bir düzenlenişi iÇeren birtakım aş amalardan geçer. Piaget'ye göre, çocuğun dü­ şünsel gelişmesi çok b elirli beş aşamadan geçer: " 1- Ç ocuğun parça parça algılardan yola çıkarak nesne kavramını ve b a ş ­ kalarının imgesinden ayrı olarak kendi b enini oluşturduğu (doğumdan iki yaşına dek uzanan) bir sensorimotor dönemi. " 2- Temelde b enmerkezli ve ins anbiçimli bir düşünüşün ("Anne b ak, ay p eşimden geliyor!") b askın olduğu (iki yaşından dört yaşına uzanan) bir ha­ zırlık aşaması. " 3 - Akıl yürütmenin bulunmadığı düşüns el kavrayış dönemi, sezgisel dö­ nem ( dö rt yaşından yedi yaşına dek) : Ç o cuk düşünceyle açık bir biçimde ta­ sarlayamadığı eylemleri gerçekleştirir, örneğin bir sıvıyı farklı biçimdeki bir kab a aktarmak gibi (hacmin biçimle birlikte değiştiğini s anır) . "4- Birtakım kavramlar (sınıf, dizi, s ayı, nedensellik) e dinmiş olmasına karşın, düşünmenin somuta bağlı kaldığı somut işlemler aşaması (dört ya­ şından on bir yaşına dek) . "5- Biçimsel işlemler dönemi (on bir ile on dört yaş arasında, ergenlik dolaylarında ortaya çıkar) . Düşünme soyutta işler, vars ayımlar oluşturur, onları sınar." Beşikteki yeni doğmuş çocuk çevresindeki dünyayı anc ak ışık ve gürültü farklılıklarıyla algılar. Sonra nesneleri ve sesleri gittikçe daha seçik işitmeye başlar. A ltı ile dokuz ay arasında ise, b eb ek çevresindeki nesnelerin ve kişi­ lerin kapladığı uzay hakkında, az ya da çok, belli bir toptan değerlendirme yapm ayı ö ğrenir. Dünyayla tanışır, yavaş yavaş ilişkiler kurmayı, ç ağrışımlar yaratmayı, farklılıkları ya da b enzerlikleri algılamayı öğrenir. Gerek yapısı gerek s ayısıyla tanışık olduğu varlıkların ya da nesnelerin oluşturduğu gö­ rec e kısıtlı öbekler tasarlar. Ö rneğin bu yaşta genel olarak daha önce birbi­ rinden ayırılmış kimi b enzer nesneleri tek bir öbekte bir araya getirebilir. Tanıdık kümelerin birinden bir ş ey eksilirs e, hemen farkeder. Ama bir p arça nesnelerin bir niteliği gibi, yalın olarak duyumlanan ve algılanan s ayıyı he­ nüz s oyut bir biçimde düşünmemektedir. Sayılardan birini göstermek için on p armağını kullanmak aklına bile gelmeyecektir. Dokuz ile on sekiz ay arasında, gittikçe ilerleyen bir biçimde, bir, iki ve birçok nesne arasında bir ayırım yapmayı, az s ayıda varlıktan ya da nesne­ den oluşmuş iki kümenin birbirinden farkını bir b akışta görmeyi öğrenir. Ama s ayıs al yetenekleri henüz öyle dar sınırlar içindedir ki, s ayılar ile o s a ­ yıların t a m olarak s ayısı olduğu kümeler arasında açık b i r ayırım yapması olanaksızdır. B aşka deyişle, çocuk doğal tam s ayıların türeyiş ilkelerini (2 =

RAKAMLARIN E V R ENS E L TAR i H i

36

1

+

l; 3

=

2 + l; 4

=

3 + 1 . ) kavramak için yeterli gelişme derecesine ulaşma­ . .

dıkça, s ayılar onun için hiçbir z aman oyna dığı öğelerin yapısından ayrılma­ yan "kümes ayılar" dan b aşka bir ş ey olmayacak, onları ancak yan yana getir­ me ilkesiyle (örneğin, birer birer sıralanmış nesnelerden oluş an iki öbeğin

varlığıyla) tanıyacaktır. Bu dikkat ç ekici olguyu b en de b irçok kez gözleme fırs atı buldum: Ç o cuk konuşmayı ve ilk birkaç s ayıyı adl andırmayı öğrenir öğrenmez, b aşlangıçta genel olarak üç sayısını simgeleştirmekte büyük bir güçlükle karşı karşıya kalır. Elbette bir ile ikiden b aşlayarak, ama üçüncü s ayıyı unutarak "sayar:" Bir, iki, dört! S ağduyusu birden dörde kadar s o mut nicelikleri görsel ol arak

tanımasına olanak s ağladığı halde, henüz s oyut s ayılar hakkında en ilkel bilgi aş amasındadır: Birlik, ikilik ve çokluk ile sınırlı olan aşama. B una karşılık, bu aş amayı aşar aşmaz (Piaget'ye göre, üç ile dört yaş ara­ s ında olur bu) , kıs a sürede s ayabilecek duruma gelir: B undan b öyle, s oyut s ayı kavramının kümelerin hemen hemen yalnızca algı s al görünümü üzerin­ deki artan egemenliğinde kaynağını bulan temel ilerleme gerçekten başlar. B öylece ona gerçek bir s oyut hesap öğrenimine gi den yol açılır. Bundan ötü­

rü, eğitimciler bu yaştaki küçük çocuğun hesap öncesi d üşünsel aşamada bulunduğunu söylerler: Ç o cuk önce, özellikle de p a rm aklarına dayanarak, ona kadar saymayı, s onra, sayı s oyutlamasına ulaştığı ölçüde, s ayı dizisini giderek artan bi çimde uz atmayı öğrenecektir.

İnsan Bedeni ve Aritmetik Georges Duhamel, oğullarının çocukluğuna ilişkin küçük b ir anı kitapta, uŞaınb ab a" dedikleri Bernard'ın, daha s ayıların adlarını bile b ilmezken, p ar­ maklarını kullanarak, sayıların doğal sıralanma ilkesini az çok nasıl bildiğini gösterir bize: "B aşlangıç hep güç olur. Ş amb ab a kendinc e s ıyrılıverir güçlükten. Şöyle der: 1

- Şeker almaya geldim. Herkes e b irer ş eker ver. - Kaç tane? - Bir, bir ve bir.

"Bu

açık ise de, henüz gerçek aritmetik değil dir. D erken, p armaklarıyl a

s aymayı öğrenir. Ona kendi yaşı, Marys e'in yaşı, Rob ert'in yaşı s o rulduğun­ da, yeterince tam ol arak, şu ya da bu s ayıda p armağını gösterir. B ir el yet­ mez, ötekine geçer. Sonra b irdenbire işler karmaşıklaşır: - Jacqueline kaç yaşında? "Bir s aniye düşünür ve yanıtlar: - Haa ! Jacqueline için küçük ayak p armağı gerekir ! "

SAY I LAR I N KÖ K E N i : ETN O LOJ i K VE PSi KOLOJ i K YAKLAŞIMLAR

37

Bu arada aritmetik öğreniminde elin ve daha genel olarak b edenin oyna­ dığı rolün ap ayn önemini b elirteceğiz . . Bu "aletin" kullanımındaki bir kusur çoğu kez bu öğrenimde ciddi karışıklıklara yol açar: "Bebek küçükken p armaklarıyla oynar" diye açıklıyor L. Weyl-Kailey. "Bu onun b edenine ilişkin ilk kavramdır. Sonra dünyayla, özellikle de elleriyle tanışmak için her ş eye dokunur. Günün birinde iyi bir ş ey yaptığını s anan ve matematiğin dile diğince "soyut" olmasını isteyen bir öğretmen, çocuğa p ar­ maklarıyla s ayı s aymayı yasaklar. Farkına varmadan, çocuğa kendi b edeniy­ le birlikte b edeninin matematikle ilgili bütün çağrışımlarını da yasaklamış olur. B enim önümde ellerini yeniden kullanabildikleri için rahatlayan kaç çocuk gördüm: Onların b edenleri kabul görmüştü . . . Uzay-zamansal güçlük­ ler de her türlü matematik çalışmasını engelleyebilir. " . . . den küçük" ya da " . . . den büyük" kavramlarını kavramaktaki sıkıntı s ayının kendisini, işlemleri ve bağıntıları da etkiler. S ayının birler hanesindeki rakam s ağa, yüzler ha­ nesindeki rakam sola yazılmalıdır: S ağı solu karıştıran çocuk s ayıları yanlış yazacaktır ve bir işleme nereden b aşlayacağını zar zor bilecektir. Hatta yö­ nünü bulmakta güçlük çeken öyle çocuklar vardır ki, karmakarışık bir biçim­ de, önce s ağ uçtaki rakamı, s onra sol uçtakini, sonra ortadakileri toplar ya da çarp arlar. Kimi çocuklar da büyük rakamı küçük rakamdan çıkarır ya da tersine, bir öyle bir b öyle, yahut hiç ayının gözetmeden işlem yapar. Demek ki çocuğun b edeninin kötü kabul edilmesi, s ayıyı da, her türlü akıl yürütmeyi de karmakarışık e debiliyor. "

Sayılar ve İlkel Akıl Ç ok s ayıda çağdaş "ilkel" topluluk, kavrams al ve s oyut görünümüyle dü­ şünülen s ayıdan eşit ölçüde uzak görünmektedir. Sayı gerçekten " duyumlan­ makta" ve " algılanmaktadır:" B iraz bizim bir kokuyu, bir rengi bir gürültüyü ya da bir b ireyin yahut dış dünyadan bir nesnenin varlığını algıladığımız gibi , n iteliksel bir biçimde kavranır. B aşka deyişle, bu "ilkeller," doğrudan bir özne nesne ilişkisini izleyerek, görsel alanlarındaki görünüm değişikli­ ğinden etkilenirler ancak. Soyut s ayıları kavrama yetenekleri, doğal dona­ nımlarının bir b akışta tanımalarına izin verdiğiyle sınırlıdır. Ama bu onların hiçbir nicelik düşünmedikleri anlamına gelmez. Ancak, varlıkların ya da nesnelerin çokluğu niceliks el olarak değil, hiçbir tekil fark­ lılık gözetmeden, niteliksel olarak "hes aplanır." B öyle b ir asal hesaplama hiçbir z aman s oyuta yönelik değildir, elb ette göz önünde bulundurulan kate­ gorilerin yapısına göre değişiklik göstererek, hep somut bütünlerle ilgilidir. L.Levy- Bruhl'ün açıkladığı gibi , "gerçekte, ilkel çok b elirli ve yeterinc e kısıtlı s ayıda varlıklardan y a d a nesnelerden oluşmuş b i r ö b ekl e ilgilendi mi, o öb eği onu karakterize e den her ş eyle birlikte aklında tutar. O öbeğe ilişkin

RAKAMLA R I N E VR E N S E L TAR i H i

38

tas arımında bu varlıkların y a da nesnelerin tamamı bulunur: O öb eği ondan bir ya da birkaç fazlasını içeren öbekten ve ondan bir ya da b irkaç eksiğini içeren öb ekten ayıran bir nitelik gibidir bu. Ardından, bu öbek yeniden gözü önüne geldiğinde, ilkel onun tam o lup o lmadığını ya da eskisinden daha mı küçük daha mı büyük olduğunu bilir. "

Bir, İki.. . Çok

XX. yüzyılın b aşında, birçok "ilkel"2 topluluk henüz s oyut s ayı bilgisi­

nin bu "sıfır derecesi"ndeydi. Örneğin Güney Afrika'daki B o şimanlar, Orta Afrika'daki Zulular ve Pigmeler, B rezilya'nın B o tokudoları, Ateş Ülkesinin Kızılderilileri , Avustralya'nın Kamilarayları , Aran.daları, (Avustralya'da York Burnu yarımadasının yakınlarındaki) Murray adaları yerlileri , S eylan'ın Ved­ dalan ve bir sürü "uygarlaşmamış" b aşka kültür b öyleydi. E .B. Tylor' a göre, Brezilya B otokudol arının dilinde tamı tamına iki "sayı adı" bulunuyordu; tek için bir ad, çift için bir ad. B u s ö zcüklerden yola çıka­ rak, "iki ve bir" ve "iki ve iki" gibi bir ş ey eklemleyip üç ve dört s ayılarını dile getirmeyi b aş arıyorlardı. Milyonlarca trilyon türünden nicelikleri tas arım­ lamak b izim için ne denli zors a, bu halkın üyeleri için de dörtten büyük bir sayının açık bir tas arımını oluşturmak o denli z o rdu. Öyle ki, bu niceliğin ötesine geçince, kimileri, biraz da "b aştaki s açlar gibi s ayısız" dercesine, saç­ larını göstermekle yetiniyordu. Yine, A. Sommerfelt'e göre, Avustralya'daki Aranda kabilesinin üyeleri

yalnız iki "s ayı adı" biliyorlardı; "bir" için ninta ve "iki" için tara. Üç ve dört sayılan şöyle söyleniyordu : Tarami-ninta ("iki ve b ir") ve tara-mi-tara ("iki

ve iki") . Ama Arandacanın "s ayı adlan" dizisi burada duruyordu. Ötesi belir­

sizlikti: Bunun için "çok," "birçok" . . . diye çevrilebilecek s ö z cükler ya da de­ yimler kullanıyorlardı.

Bir örnek daha: G. Hunt' a göre, Murray Adaları yerlileri "bir" ile "iki" için

netat ve neis sözcüklerini, "üç" ile " dört" için neis-netat (2+ 1 ) ve neis-neis

(2+2) deyimlerini. kullanıyorlardı. ö tesi için "kalabalık" gibi bir ş ey s öylü­

yorlardı.

Son olarak Torres Boğazı'nın batısındaki b azı kabilelerden örnek verelim: A. C . Haddon'a göre, bu kabilelerde mutlak niceliklerle ilgili s ö zlü anlatımların tamamı şunlardı: Urapun ("bir") , oko s a ("iki") , okosaurapun ("iki-bir") ve ura­ pun-urapun ("iki-iki"); ötesi için "çok" anlamına gelen ras deniyo rdu.

Sayılara ilişkin s ö zlü anlatımların bu ap açık yoksulluğu s oyut s ayıları tasarlamaktaki düş ünsel bir z ayıflığı da ele vermektedir. Kimileri, "uygar­ laş tırma" amacıyla birçok kez onlara bizim aritmetiğimizin temel öğelerini öğretmeyi denemiş , ama bu yerliler b i zim s ayı adlarımız aracılığıyla s ay2

Çok belirsiz olduğundan, "ilkel" sözcüğünü hep tırnak içine alacağız.

SAY I LA R I N K Ö K EN i : ETNOLOJ i K VE PSi KOLOJ i K YAK LAŞIMLA R

39

dığımız gibi s aymayı inatla reddettiklerinden, bu girişimler başarısızlıkla sonuçlanmıştır. M. Dobrizhoffer bu olguyu özel olarak bir zamanlar şimdiki Santa Fe ve Chaco eyaletinde (Arjantin ile Paraguay'dan Bolivya'ya kadar) oturan Abipon­ larda ortaya koymuştur: "Aritmetik bilmemekle kalmıyor, ondan tiksiniyorlar. B ellekleri anlan genellikle yanıltıyor (çünkü tanışık olmadıkları işlemler yap­ maya zorlanıyorlar) . Saymak zorunda kalmaya katlanamıyorlar: C anlarını sı­ kıyor bu. Sonra da kendilerine sorulan sorulardan yakayı sıyırmak için, ister kendileri yanılıyor, ister soru soranı yanıltıyor olsunlar, herhangi bir s ayıda parmak gösteriyorlar. Ç oğu kez, sizin istediğiniz sayı üçü geçiyorsa, bir Abi­ pon, p armaklarını gösterme zahmetinden kurtulmak için bağınr: Pop ("çok"), şik leyekalipi ("sayısız") ." Yazar tamamen benzer olan Güney Amerika kültür­ lerini derinlemesine ele alıyor ve bu tanıklığıyla, bu "ilkellerin," kendilerine öğretilen "sayı adlarını" ne yap acaklarını bilmediklerinden, bizim aritmetiği­ mizin soyutlamasının çok gerisinde kaldıklarını gösteriyor: "Güney Amerika­ lılar, Abiponlar gibi, kendilerine sayısı dördü geçen nesneler hakkında soru sorulduğu zaman hemen yanıtlıyorlar: "Sayısız." Genellikle onlara müzik, re­ sim, heykel öğretirken aritmetiktekinden daha az sıkıntı çektik. Hepsi s ayılan İsp anyolca dile getirmeyi biliyor; ama sayı sayarken o kadar sık kanştınyor­ lar ki, b öyle konularda onlara inanmak söz konusu olduğunda çok kuşku du­ yabilirsiniz." Bizim soyut açıdan gördüğümüz sayılar elbette bu yerliler için kullanma­ yı bilmedikleri, zaten gerek de duymadıkları bir "alet" oluşturuyordu. Ama "aleti" kullanmaya gerek duymamalarının nedeni, özellikle, onlar için çok çok karmaşık oluşuydu. Haksız de değiller: Sayılar her zaman ins anların ulaşa­ bildiği kavramların en soyutları arasında yer alır. Zaten sözcüklerin, harflerin ve rakamların öğretimi arasında oldukça geniş bir zaman aralığına yayılan ve çocuklarımız için en büyük güçlükleri taşıyan da bu sonuncusu değil mi? Tarihs el açıdan: Dil, yazı ve aritmetik arasında, ins anlığın özümlemekte en çok sıkıntısını çektiği, kuşkusuz bu sonuncusudur.

Sayı Duyusundan Daha Güçlü Bir Duyu

Bununla birlikte, bu toplulukların elinde temel bir aritmetik kuralı var­ dı ve dörtten s onrasına düzgünce uygulandığında çok daha yüksek s ayılara ulaşmayı olanaklı kılabilirdi. Buna ikili taban ilkesi diyoruz: Gerçekten, bu ilkeye uyarak, "b eş" iki-iki-bir diye, "altı" iki-iki-iki diye, "yedi" iki-iki-iki-bir diye . . . dile getirilemez miydi? "Bu yerlilerin soyut s ayılar hakkında henüz en ilks el bilgi a ş amasında, bir ve ikiyle sınırlı olan aşamada bulunduklarını unutmak olurdu bu" diye yanıtlar tam olarak L. Gerschel. " Çünkü bu ilkeller, s ayı olgusunda, yalnız teki ve çifti tas arlıyorlardı."

40

RAKAMLA R I N E VR E N S E L TAR i H i

Torres B oğazının b atı b ölgelerinde yaş ayan kabilelerin üyelerini gözleme fırs atı bulmuş olan A. C . Hadolun, bu kabilelerde "ikili öb eklerle ya da çift çift s aymaya yönelik b elirgin eğilimi" s aptamıştır. B u olguyu aynı ş ekilde birçok Pasifik topluluğunda M. C odrington da gözlemiştir: "York Dukalığı adasında çift çift s ayılır ve çiftlere taşıdığı s ayıya göre farklı adlar verilir. Polinez­ yalıların usulü i s e , diye ekler, şu kadar nesnenin değil, şu kadar çiftin söz konusu olduğunu s ezinleten s ayılar kullanmaktı. " B aşka bir tanıklık, Avust­ ralya kabileleri hakkında C urr'un çalışmalarını anan T. D antzig'in tanıklığı­ dır. Dantzig "bunların çoğunun çifter çifter s aydığını" s öyler ve şu çok ilginç değiniyle s özünü tamamlar: "Bu yerlilerde bu alışkanlık öyle kökleşmiştir ki , yedili bir sıradan iki iğnenin kaldırıldığını nadiren farkederler, ama biri çıkarıldı mı hemen görürler." Bu yerlilerde demek ki çiftlik duyusu s ayı kavrayışlarından çok daha güç­

lüydü. üç ile dördü (soyutlayıcı b akışla kavrama dıkları , ama s ağduyularının görsel olarak, yani bir b akışta tanımalarını s ağladığı s ayıları) dile getirmek

için bu çiftlerin kavramlarından b aşka bir ş eye b aşvuruyorlardı; yalnızca tek ile çifti, sonra da çifti kendiyle yan yana koyuyorlardı. B izim için "üç"

ve "dört" diye gösterdiğimiz zaman "tams ayı" ö zelliği kaz anan "iki-bir" ve "iki-iki"nin kavramları onlar için çiftler oluşturuyordu. B uradan itib aren bu yerliler ancak ayn bir öğeyi ya da bir çift öğeyi tas arlayabildikleri ve adlandırabildikleri için- nasıl olup da, sırasıyla 2 - 2 - 1 ve 2 - 2 - 2 diye çö­

zümlendiğinde, üç öğeli diziler halinde s ergilenecek olan "beş"in ve "altı"nın kavramlarına ulaşabildiklerini anlamakta güçlük çekeri z .

"İlkel" Kültürler ve "Uygar" Toplumlar Buradan yola çıkıp, bu ins anların zihins el etkinliğini b izimkinin gelişme­ miş bir biçimi olarak, insan türünün ilk örneklerinin vars ayılan durumunun evrimleşmemiş bir biçimini karşımıza çıkaran ç o cuksu bir durum, neredeyse bir hastalık durumu olarak görmeye varmak için, geçmişi inceleyen birtakım etnologlar ile sosyologların, "ilkel" s ö zcüğünü harfi harfine alarak atmakta sabırsızlandıkları tek bir adım kalmıştı. Uzmanlar (zaten kendisi de tamamen uygunsuz olan) "ilkel" terimiyle, uygarlığımızın kültürel katkısını görmemiş insan topluluklarının üyelerini adlandırırlar bugün; uygarlığımız iyic e içimize i şlemiş olduğu için de, bu adlandırma çok açık gelir bize. Aslında böyle bir zihin yapısı zekadan hiç de yoksun değildir: Her ş eyden önce çok gelişmiş bir mantığı ve b elli bir dereceye kadar bir kavramlaştırma eğilimi vardır. Fransız etnolog C . Levi-Straus s , Yaban Düşünce adlı yapıtın­ da bunların değerini o rtaya koymakla kalmamı ş , bizim uygar toplumlarımı­ zın birtakım düşünme ve anlatım biçimleriyle b a ğını da göstermiştir.

SAY I LA R I N KÖK E N i : ETN OLOJ i K VE PSi KOLOJ i K YAKLAŞIMLAR

41

Daha önce vurgulandığı gibi, her kim bu "ilkel" kültürlerden birini incele­ mek isters e, onlann metafizikleri, kendi dünya anlayışlan içine girmedikçe ve onların zihinsel yapısını bizimkiyle kökten bir biçimde karşı karşıya koymak­ tan vazgeçmedikçe, geçerli sonuçlara ulaşmayı beklememelidir. çünkü çok eski çağlarda donup kalmış bir durum olmak şöyle dursun, bu insanlann kendi tarihleri olmuştur ve belli bir anlamda, kendilerine özgü olan ve hep kendiyle tutarlı kalmış bir sisteme uygun olarak kendi felsefelerini kurmuşlardır kafa­ lannda. Bunun için bu ins anlara "ilkel" terimini yüklerken her türlü gerekli önlemi almalıyız. Ağır olduğu kadar haksız da olan değer yargılan saçanz ortalığa; bir zamanlar bu ins anlan sırf "uygar" denen toplumlarla aynı yaş am biçimini, aynı ölçütleri, aynı düşünme biçimlerini paylaşmıyorlar diye hemen hemen horgörüyle "geri toplumlar'' diye nitelerken yapıldığı gibi. "İleri" denen çok s ayıda halk, aslında, çok daha az evrimleşmiş toplum­ larda bulduğumuz gerekçelerle, "ilkel" diye nitelenebilecek birtakım ayırt edici özellikler gösterir. Tersine, "ilkel" diye yargılanan toplumlar, sırf avadanlıklarının ve yaş ama araçlarının genel özelliklerine verdikleri önemden ötürü, çok daha ileri diye, sıfat olmayan bir sıfatla düşünülen topluluklarda bulamayabileceğimiz gö­ rece eksiksiz teknikleri son derece iyi kullanabiliyorlar. Bugün, geçmiştekinin tersine, "uygar" toplumlar ile "ilkel" toplumlar kökten bir biçimde karşı karşıya konmuyor artık: Modern dünyanın büyük düşünce akımlan gösterdi ki, "uygar" denen insan "gizemli" düşünceden her zaman ta­ mamen kurtulmuş değil ve büyük ortaklaşa mitoslar kimi zaman tek tek ins an­ lann kafasını b oyunduruğu altında tutmaya devam ediyor.

Sayıları Doğrudan Algılam anın Sınırları Kendimizi sayılan dolaysız tanımayla ilgili doğal yetilerimizin kılavuz­ luğuna bıraksaydık s ayı alanında çok daha iyisini yap abilirdik diye düşün­ mek p ek hatalı olurdu. Uygulamada şu ya da bu niceliğin aynmına varmak isteğimizde b elleğe ya da karşılaştırmaya, b ölümlemeye, zihinsel öbekleme, yahut daha iyisi, s o ­ yut olarak s ayma yetisine b aşvururuz. Öyle ki, bu konudaki yatkınlığımızın gerçek sınırlannın bilincine varmak bizim için genellikle zor olur. Yine de, karşımıza yan yana duran bir dizi b enzer varlık ya da nesne koyup tek ve çabuk bir bakışla (yani hile kanştırmadan) b unların kaç adet olduğunu s öylemeye çalış alım. Kaça kadar gidebiliriz? İlk b akışta ve hatasız olarak bir, iki, üç, hatta dört öğe s eçeriz. Ama s ayı­ lan ayırt etme gücümüz orada durur. Ç ünkü dördün ötesinde kafamız d a her ş ey karmakanşık olur ve toptan görünüşün bize artık hiçbir yardımı dokun­ maz. Şu yığında on beş tab ak mı yirmi tab ak mı, cadde üzerine s ıralanmış

42

RAKAMLA R I N E V R E N S E L TA R i H i

on üç arab a m ı on dört arab a m ı , şu çalılıkta on b i r çalı mı on iki çalı mı, şu merdivende on b as amak mı on beş b a s amak mı, şu cephede s ekiz p encere mi altı pencere mi var? B unlan bilmek için saymak gerekir. Göz, deyim yerindeys e , yeterince kesin bir "ölçü aleti" değildir; s ayıları dolaysız algılama gücü dört s ayısını çok ender olarak aş ar (hiç aşmaz demi­ yorum) . Bu olgunun ilk doğrulaması, Okyanusya'da, tekil, ikil, üçül, dördül ve . . ço­ .

ğul gramatik biçimlerle çekim yapm a alışkanlığı olan birçok kabilenin var­

lığıdır. Bu ins anlarda ortak a dları bireys elleştirme yeteneği dörtle sınırlıdır. Gerçekten, dörde kadar, varlıkların ya da nesnelerin adları onların dillerinde açıkça ifade edilir ve her birinin kendine ö zgü bir özelliği vardır; ama dört­ ten s onra, s ayılar gibi adlar da çekimden ve kiş ilikten yoksundur ve maddi çokluğun b elirsiz, kötü dile getirilmiş özelliğini kaz anırlar. Bu biraz bizim Fransızcada, "bir eş ek" için baudet, "iki eş ek" için baudeta, '�üç eş ek" için baudeti, "dört eş ek" için baudeto, "eş ekler" için baudets ( s onda bir "s" ile)

gibi şeyler söyleyerek, bir, iki , üç, dört ve birçok e ş ek arasındaki farkı dile getirmemiz gibidir.

IIIIIII

d�

ttttttt

Şekil 1 . 1 : Dolaysız s ayı algımız tek ve çabuk bir b akışla bir kümenin bir, iki, ü ç ya da dört öğe içerdiğini bilmeyi sağlar; ama dörtten büyük nicelikler i çin, dolaysız çokluk algımız bize bu konuda bilgi verecek durumda olmadığından, göz önünde bulunduru­ l an her kümenin öğelerini "saymamız" (ya da karşılaştırma yahut zihinsel öb ekleme gibi b aşka yap ay yöntemleri işe karıştırmamız) gerekir.

SAY I LA R I N K Ö K E N i : ETNOLOJ i K V E PSiKOLOJ i K YAKLAŞIMLAR

43

B aş ka bir örnek: Latincede yalnız ilk dört s ayı adının (unus, duo, tres, quatuor) çekimi yapılır: B eşten itibaren, s ayı adlannın ne çekimi ne cinsi vardır. Aynı ş ekilde Romalıların bir adet olarak erkek çocuklarına (o çağda kızla­ ra ön ad verilmezdi ! ) verdikleri ön adlar dördüncü çocuğa kadar (dört dahil) , örneğin Appius, Aulius, Gaius, Lucius, Marcus, Servi us gibi olağan bir biçim­ de verilmiş özel adlardı. Buna karşılık, b eşinciden itibaren o ğullannı yalın numaralarla çağırmakla yetiniyorlardı: Q uintus (beşinci) , Sextus (altıncı) , Octavius (sekizinci) , Decimus (onuncu) ya da hatta Numerius ("birçok") . Burada örneğin çözümlemeci Quintus Fabius Pictor'u, ş air Quintus Hora­ tius Flaccus'u, S extus Pomp eius Magnus'u (Büyük Pompeius'un oğlu) ve asıl adı D ecimus Junius Juvenalis olan hiciv ş airi Juvenal'i düşünelim. Yine , eski Roma takviminde (Romulus denen takvim) yalnız ilk dört ayın özel a dı (Martius , Aprilis, Maius, Junius) bulunduğuna dikkat çekilmiştir; çünkü beşinciden itib aren ay adlan artık yalnızca sıra numaralanydı: Quin­ tilis, Sextilis, September, October, November, December.3 Teklik oluşturan b enzer çizgileri ya da imleri gerektiği kadar yinele­ yerek istenen bir s ayıyı göstermekten ib aret olan s ayıs al iş aretlemeyi kullanmış olan ya da hala kullanmakta olan herkesin yaptığı da bu temel p sikolojik yas anın son bir doğrulamasıdır. Bir ş arap s atıcısı ya da bira fabrikacısı müşterilerin henüz ö denmemiş tüketimleri k adar çizgiyi b ir mukavva p arçası üzerine yan yana çizerek "veresiye h e s abı" tutarken, bu işlemi genellikle a ş ağıdaki çizge usUlünün birbirini izleyen a ş amalarına uyarak gerçekleştirir.

6

HH 1

11

HH

HH I

2 II

7

HH II

12

HH

HH II

3 III

8

HH III

13

HH

HH III

4 IIII

9

1 4 HH

HH Illl

5 HH

mı ım

1 0 HH HH

HH

mı mı

1

I

15

Şekil 1 .2

Puanlarını b ir kağıt p arçası üzerinde toplayan iskambil oyuncularının ya da hücrelerinin bir duvarına hapiste geçen günleri kadar çizgi çizerek kalan günlerinin hesabını tutan mahkumlann yaptığı da tamı tamına budur. 3

İlk Roma yılı (304 gün) yalnız on ay içeriyordu ve o zaman Martius'tan (Mart) başlıyordu. Sonradan iki ay daha eklendi ve bu aylara Januarius ve Februarius adı verildi; bizim şimdiki janvier' miz (ocak) ve fevrier'miz (şubat) oradan gelir. Daha sonra, takvim düzeltimi yapan Julius C aesar çağında, yılbaşı 1 marttan ı ocağa çekildi ve Roma yılı 365 gün oldu. Sonra C aes ar'ın doğduğu Quintilis ayının (ilk yılın beşinci ayı) bundan böyle onun onuruna Julius adını alacağı ilan edildi; bizim juillet'miz (temmuz) oradan gelir. Bir süre s onra da, Sextilis ayına (ilk yılın altıncı ayı) , bu adı taşıyan imparatorun bu ay boyunca yaptığı hizmetler onu­ runa Augustus (sonradan bizim şimdiki aoılt'muz (ağustos) oldu) adı verildi.

RAKAMLA R I N EVR E N S E L TAR i H i

44

Yukarıdaki tablolarda kolayca görüleceği gibi, Yerküre halklarının çoğu, tarihlerinin b elli bir anında bu tür işaretlemeyi kullanmışlar ve onlar da dör­

dün (IHI) ötesinde, beş çizgili (IIIII) , altı çizgili (IIIIII ) , yedi çizgili (IIIIIII) ya da daha fazlasını içeren bir diziyi hiç kimsenin bir b akışta "okuyamadığını" s aptadıktan s onra güçlüğü aşmaya ç alışmışlardır. MISIR ARAMİLERİ (Elephantine dizgesi: MÖ V. -III. yy.)

I

ti

llf

U /ft

�- -- -

�----

4

3

2

1

' ti(

5

/(f tfl

1 ıtf11/

ff f/(111

�----

�----

7

6 Şekı l 1 .3

8

•• ttt(f/ 9

MEZOPOTAMYA ARAMİLERİ (Hatra dizgesi: Hıristiyanlık çağının baş l angıcı)

'

11

ili

1111

>

I>

il >

1

2

3

4

111 >

5

6

7

8

1111 > 9

Şekil 1 .4 SURİYE ARAMİLERİ

(Palmira dizgesi: Hıristiyanl ı k çağının baş l angıcı ) 111

,,

, 1

4

3

2

111!

IY

y 5

II.

>

JP

»»

P»J

1

2

3

4

�----

6

Şekil GİRİTLİLER (Hiyeroglif dizgesi: MÔ

!!Y

�----

7

11/Y

�----

8

Pli/)'

�---

9

-

1 .5

binin ilk yansı) I)�

'tı&

5

tnJD 6 Şekil

'''"' D

7

HH Utt

8

un

tıu � , 9

1 .6

GİRİTLİLER

("Çizgisel" dizge: Mô 1 700- 1 200) n

1

u

111

mı

1 G

" 1

DB ın

2

3

4

Dil il

101 Dl

5

an a n 111 1go1 llO

IBI 111

6 Şekıl

7

1 .7

ım mo 8

a n au o aıa 1 1 n 11 1Dgg 9

45

SAY I LA R I N KÖKE N i : ETNOLOJ i K VE PSiKOLOJ i K YAKLAŞIMLAR MISIRLILAR (Hiyeroglif dizgesi: Mô III. -1. b inler)

8!

a

1

2

m

1111

3

4

m Ol

ıeı m

m

Dl

008

5

6

m

o uau UDU

QOUD um

7

8

OBBE

nmı �

m an!

m 9

Şekil 1 .8 ELAMLILAR ("Proto-EHim" dizgesi: İran, Mô III. binin ilk yansı)

"

uw

1

2

""

�DO 3

1117 1:1

0 '1 �""

'"'

DO G

.:- - - 5

4

rJIJll f1

.:- - - 7

6

8

onun n�rm" -=- - - -

9

Şekil 1 . 9 E TRÜ SKLE R (İtalya, Mô VI.-IV. yy.)

l

il

m

1111

"

1

2

3

4

5

lA

UA

lltA

.:- - - 7

.:- - - 6

-=- - - - -

8

mıA

)>

....""

z

Q: 7"

z

7" m

..

.(/) en

s w

5

z

m --i

5

o

§

�

< m

�

""

.,,

7"

o

2 ....-

7"

�

)>

7" ....-

"

)>

�

....-

1 0 inci kolyenin s ayımı

12 kürkün s ayımı

ı

""

7 yiyecek s ep etinin s ayımı

64

RAKAMLARIN EVR E N SE L TAR i H i

Başka bir elçi aynı yolu izleyerek on iki kürkü ve bir üçüncüs ü istenen on yedi yiyecek sepetini toplar. O sırada savaşta ölen s avaşçıların s ayısını elinde bulunduran adam s ah­ neye girer ve on altı değerli çubuğundan birini bir köşeye bırakır. Ardından önceki üç işleme yeniden başlar, sonunda ikinci çubuk bırakılır. Ç ub uklar tükenene dek bu işlem yapılır. Elçiler "hesabın tamam" olduğunu görünce ganimeti toplar, köylerine doğru gerisin geri yola düşerler. Görüldüğü gibi, bu yerliler bu bedens el tekniği, bizimkiyle tamamen aynı olan bir anlayışa uyarak kullanmıyorlar. Tamamen s oyut bir biçimde s ay­ mayı bilen bizler için, bedenin b öyle anlamlandırılmış çeşitli p arçalarının önceden kurulmuş sırası gerçekte tam anlamıyla bir a ritme tik dizi oluştu­ rur ve parçaların her biri bizim düşüncemizde gerçek bir "sıra numarasına" dönüşür. Çünkü bu ardışık bedensel iş aretlerin her b iri, bizim için, ş u ya da bu varlıkların, nesnelerin ya da öğelerin belli bir niceliğinin ayırt e dici özelliği olabilecektir. Bu yolla örneğin haftanın günlerinin s ayısını b elirtmek için, haftanın s ağ serçe parmağından s ağ dirseğe dek ne kadar iş aret varsa o kadar günden oluştuğunu anımsamamız gerekmeyecektir. Bizim gözümüzde yedi öğeli bir kümenin s ayıs al değerini simgeleyen tek ş ey olan s ağ dirs eği göstererek haftanın son gününün "sıra numarasını" vermek yetecektir. Bizim gerçek anlamıyla kavramları, özellikle de s ayı kavramını çıkarma­ mızı sağlayan genelleyici bir soyutlamayı kullandığımız doğrudur. Ama tekil farklılıklardan soyutlama yapamayan ve düşünce yap ıları g öz önündeki kümelerin kendine özgülüğüne fazla saygı gösteren bu yerlilerin

durumu böyle değildir. Onlar gerçekte ancak birebir uygunluğu tanırlar ve belleklerine daha çok güvenerek, bir b aşlangıç kümesine birkaç birim ekle­ yen ya da birkaç birimi kaldıran ardışık hareketlere b aşvururlar yalnız c a . B u ins anlarda örneğin o n s ayısının hiçbir soyut tasarımı yoktur. Ama s ağ elin serçe p armağına, yüzük p armağına, orta p armağa, iş aret p armağına, b aş parmağına ve aynı yandaki bileğe, dirseğe, omuza, kulağa, göze birb iri ardından dokunarak, bu ardardalıkta ne kadar bedensel iş aret vars a o kadar insanı, hayvanı, nesneyi göstermeyi bilirler. Bu işlemden s onra da, b u s ayıya eşit bir varlık ya da nesne niceliğinin b edenlerinin hangi p arçasına kadar gittiğini çok iyi anıms ayacaklardır. Öyle ki, aynı işlemi yineleyerek, bu s ayıyı istedikleri kadar yeniden yeniden bulabilirler. B aşka deyişle, bu yöntem onlar için, toplamına ulaşmak istedikleri öbek­ lemelerle öğe öğe karşılıklılığını kurabildikleri birleştirme modelleri elde etmenin yalın ve elverişli bir yolundan b aşka bir ş ey değildir. Yerlilerimiz demin b aşkaldıranlardan tazminat b edelini almaya gittiklerinde bundan

SAYILAR I N KÖKEN i : ETNOLOJ i K VE PSiKOLOJ i K YAKLAŞIMLAR

65

b aşka bir kavrama b aşvurmadılar. Yalnızca savaşta ölen s avaş çılarının her biri için on inci kolyeden, on iki kürkten, on yedi yiyecek sepetinden oluşan üç öbeklemenin öğe öğe karşılıklılığını kurdular. B u b e densel iş aretlerin her biri bu yerlilerce bir "numara" olarak dü­ şünülmüyor. O nl arın gözünde daha çok, sınırına bu b e den p arçalarına dayanan hareketlerin kurallı bir ardardalığı s onunda ulaşılan türden bir kümenin s o n öğesi söz konusu. Yani, onlar için bu beden parçalanndan

birinin yalın gösterimi, bu gösterime karşılık gelen işmarlar dizisiyle eşlik edilmediyse, b elli bir varlık ya da nesne niceliğini ıralamaya yetmez. Şu ya da bu s ayıya ilişkin bir konuşmada da tam anlamıyla "s ayı a dı" s öylem­ lenmeyecektir. B elli s ayıd a b e den p arçasını gereken. sırayla sayılamakla yetinilecek, b öyle bir s ayı sistemleri gerçek bir aritmetik dizi o luşturm aya yetmediğinden, aynı anda bu b e den p arçalarına b ağlanmış işmarlara b aş ­ vurulacaktır. B u d a , ç o k açıktır ki, ilgililerin gözlerini anlatıcıya çevirme­ lerini engelleyecektir. Bununla birlikte, bu denli sınırlı araçlarl a bile, yerlilerimiz bilmeden görece büyük s ayılara ulaşmayı b aş armışlardır, çünkü gerçekte 16 16 16

x

x

x

10 12 17

= = =

1 60 inci kolye, 1 92 kürk, 272 s ep et yiyecek

toplamışlardır ve hepsinin toplamı altı yüz yirmi dört eder! (Şekil 1 .34, s.62) Bunun nedeni b asit: Çünkü işlemlerinde söz konusu olan çeşitli b e den p arçalarını, çok daha elverişli, somut nesnelere b ağlamayı akıl etmişlerdi. Kolyeleri, kürkleri, s ep etleri alışılmış b e den tekniğine b aşvurarak " s ay dılar" ama, s avaşta ölen askerler (tazminatın b elirleyici öğesi) çakıllarla ve çubuk­ larla "sayılmıştı." Şimdi de köyde, yapılması gereken çok önemli bir dins el törenin ayını ve gününü bulmaya hazırlanılmaktadır. S ab ahleyin yeni ayın geldiğini ilan etmiş olan b üyücü, birtakım çok b elirli işmarlar yap arak, törenin tam ola­ rak bugünden s onraki sekizinci ayın on üçüncü günü yapılacağını bildirir. Ş öyle demiştir: "Şenlik günü gelmeden önce birçok Güneş'in, birçok Ay'ın görünüp kaybolması gerek. Yeni doğan Ay'ın önce içinin dolması, s onra ta­ mamen b o ş alması gerek. S onra s ağ elimin s erçe parmağından s ağ dirseğime kadar yeniden yeniden doğması gerek. S onra Güneş'in s ağ elimin s erçe p ar­ mağından ağzıma kadar yeniden yeniden doğması gerekecek. Ondan s onra hep b irlikte B üyük Totem törenini yap acağımız günün Güneş ' i doğacak." B u ins anlar ayların ardardalığı içerisinde hangi noktada b ulundukları­ nı elb ette b iliyorlar. Bu da çok olağan, çünkü gün ile gecenin art arda geliş

RAKAMLARIN EVR E N S E L TAR i H i

66

gidişinden sonra e n açık, e n düzenli doğal olgu s ö z konusu. B ütün deneysel

takvimlerde olduğu gibi, her ayın sonunda, yeni doğan Ay'ın ilk hilalini gözlemleyerek iş görüyorlar.5 B öylece "zamanı s ayabiliyor" ve gelen eğin kendilerine devrettiği, atalarının kuş aklar b oyu el yordamıyla ve düşüne düşüne akıl ettikleri b irtakım s omut işlemler s ayesinde, yanılma dan uygun tarihe ulaşabiliyorlar. Kabilenin b aşkanı, büyücünün s ö zleri üzerine kendi b edenine , kalıcı boya bırakan bir nesneyle, bu önemli tarihi akılda tutmayı ve ş aşırm a d an yeniden bulmayı sağlayacak birtakım özel i ş aretler çizer. Ö n c e Ay'ın bu andan itibaren birb iri ardınca kaç kere yeniden doğacağını s ağ k olunun serçe parmağına, yüzük p armağına, orta p armağına , i ş aret p armağına, b aş parmağına, b ileğine, dirseğine küçük bir yuvarlak çiz erek kaydeder. S onra, ilkin sağ elinin her p armağına, ikincileyin aynı yan d aki b il eğin e , dirs eğine, omuzuna, kulağına, gözüne, son olarak da burnuna ve ağzına küçük bir çiz­

gi çizerek son Ay'm gelişine kadar birb i rini izleyecek günleri k aydeder. En sonunda, sol gözünün üstüne, önceden s aptanan günün gelişini simgeleyen

büyük bir çizgi çizer. Ertesi gün, Güneş b atarken, b aşkanın "Ay'ları s aymakla" görevlendirdiği adam şu kertikli kemiklerden b irini eline alır; kemiğin ü zerinde bir Ay'ın günlerini düzenli ardardalık sırası içinde düşünme gereği duyulduğu z a­ m anlarda işe yarayan otuz kertik bulunmaktadır (Şekil 1 .3 5 ) .

1 gün geçti 2 gün geçti 3 gün geçti .__ '------ 4 gün geçti 5 gün geçti '------ 6 gün geçti �----- 7 gün geçti '----

�---

___

Şekil 1 . 3 5

5

Aylara dayalı bilim öncesi takvim d üzenlemeleri (Sibirya halklarında incelenmiş olanlar da dahi l) gerçekte genellikle ilk hilali gözlemleyerek iş görürler.

SAY I LAR I N KÖKEN i : ETNOLOJ i K VE PSiKOLOJ i K YAKLAŞIMLAR

67

1 GÜN G ! 1 2 gün 1 1 gün 10 gün 9 gün

8 gün 7 gün

7 AY

6 gün

6 AY

5 gün

5 AY

4 gün

4 AY

3 gün

3 AY

2 gün

2 AY

1 gün

1 AY

t -At_R_L_AK__LA____,R l Jr-Ç.,...İZ-. G-İL-E--R J-. jr-yuv Şekil 1 .3 6

S onra ilk kertiğin çevresine bir ip düğümler. E rtesi günün s onunda ikinci kertiğin ç evresine bir b aşka ip düğümler ve ayın s onuna kadar her akşam bunu yap ar. Son kertikten önce Güneş 'in b attığı noktaya doğru, dikkatlice bir göz atar: Bilir ki, ilk hilalin görünmesi artık çok yakındır. Ama bugün yeni doğan Ay'ın hilali gökte henüz algılanamamaktadır. Bu­ nun için, son kertiğin çevresine bir düğüm attıktan sonra, ertesi gün gözle­ mine devam e der. Göğün durumu o akş am keşfetmesine izin vermediği halde, yeni ayın geldiği s onucuna varır. O zaman bir ayın tamamlandığını dile getir­ mek üzere, s ağ s erçe p armağına küçük bir yuvarlak çizer. Ertesi akş am, adamımız benzer bir kemik alır ve ilk kertiğin çevresine b ir ip düğümler. Sonraki akş am, aynı işlemi ikinci kertik üzerinde yap ar ve ikinci ayın tamamlanışına dek bu b öyle gider. Ama bu ayın s onunda, bilir ki

68

RAKAMLARIN EVR E NS E L TAR i H i

artık yeni Ay'ın gerçekten doğduğunu gözlemek için göğe dikkatle b akması­ na gerek yok. Gerçekte, ataları bir ayın sırasıyla elindeki kemiğin s on kertiğinden bir öncekinde ve son kertiğinde tamamlandığını çoktan gözlemişlerdi. Çok da yanılmamışlar, çünkü bir ayın ortalama süresi aş ağı yukarı 29 gün, 1 2 s a­ attir. Sağ dirseğine çizdiği küçük bir yuvarlakla b elirlediği son Ay'ın gelişine dek sırasıyla bir 29 gün, bir 3 0 gün çeken ayları birbiri ardınca ele alarak, bu şe­ kilde işlem yapar. Sonra bedenindeki dövmeler arasında başkanın bedeninde­ ki kadar küçük yuvarlak bulunduğunu saptayınca, bilir ki şimdi işi bitmiştir, çünkü "Ay'lann sayılması" sona ermiştir. Bundan b öyle, kararlaştırılan tarihe ulaşmak için geri kalan zamanı ya da daha iyisi günleri "saymanın" kendisin­ den sorulacağı köy sorumlusu olacaktır. Ama kertikli bir kemik üzerine gerek­ tiği kadar ip düğümleyen deminki adam gibi işlem yapacak yerde, o bu günleri kendi bedeninin parçaları üzerinde sayacaktır. B aşkanları sekizinci Ay'ın ilk on iki günü boyunca, daha önce s erçe p ar­ mağından ağzına kadar b edenine çizmiş olduğu on iki küçük çizginin her bi­ rinin üzerini birbiri ardınca çizdikten s onra (Şekil 1 .36) sol gözüne varınca, yerlilerimiz büyük Totem törenini yaparlar. Birçok öğesini örneğin Avustralya yerlilerinde bulduğumuz bu o l dukça inandıncı yeniden kurmalar, insan bedeninin işmarlarıyla (sessiz) s ayma tekniğinin, b edenin (önceden kurulmuş bir sıra içerisinde düşünülen) farklı parçalarının kendileri ip düğümleri, çubuklar, çakıllar, kemik kertme yönte­ mi. . . gibi çok daha elverişli somut nesnelere b a ğlandığında, görece yüksek sayılara ulaşmayı sağladığını gösterir. B u konudaki önemli bir tanıklığı, Brooke, B orneo'nun güneyindeki D ayak­ lardan devşirmiştir. Burada bir elçinin, önce b aşkaldırmış , s onra b oyun eğ­ miş belli bir sayıdaki köye, Dayaklara ö demeleri gereken haracın "miktarını" bildirmeye gitmesi söz konusudur. Brooke anlatıyor: "Elçi parçalara ayırdığı birtakım kuru yapraklar getir­ di; ama ben onların yerine ona daha kullanışlı olan kağıt verdim. Parçaları birer birer bir masanın üzerine koydu , bu arada ona kadar s aymak i çin p ar­ maklarını kullanıyordu; sonra ayağını mas anın ü zerine koydu, p armaklarını sayarken aynı anda bir miktar kağıt saydı; bunlar başkanının adı, s avaşçıla­ rın s ayısı ve tazminat miktarıyla birlikte bir köyün adına karşılık geliyordu. Ayak parmaklarını bitirince el parmaklarına geri döndü. Listenin s onunda masanın üzerinde düzenlenmiş kırk beş kağıt parçası vardı.6 S onra mes ajımı bir kez daha yinelememi istedi, ben de yineledim; bu arada o eskisi gibi k ağıt parçaları, el ve ayak parmakları arasında dolaşıp duruyordu.

6

Bu teknikte her kağıt parçası elin bir parmağına ve bir köye, her ayak parmağı on el parma­ ğına bağlanıyor.

SAYILA R I N KÖKE N i : ETNOLOJ i K VE PSi KOLOJ i K YAKLAŞIMLAR

69

- "İşte, dedi, bizim harflerimiz; siz öteki Beyazlar bizim gibi okumuyor­ sunuz. "Gece geç vakit p armağını her kağıt parçası üzerine birbiri ardınca koya­ rak hepsini eksiksiz yineledi ve şöyle dedi: " - Tam am , yarın s ab ah bunları anımsars am, her ş ey yolunda gider; bu kağıtları mas anın üzerinde bırakalım. Ondan s onra hep sini topladı, bir yığın yaptı. Ertesi sabah kalkar kalkmaz o da ben de mas anın b aşındaydık; o, kağıt p arçalarını önceki günkü sıraya soktu ve bütün ayrıntıları eşsiz bir tamlıkla yineledi. Yaklaşık bir ay b oyun­ ca, evden uzak, köyden köye giderken, farklı toplamları hiç unutmadı." Buraya kadar söylenenler şu evrim ş emasını bir kez daha yinelememize izin veriyor: Birinci aşama : S ayı ins anı çabucak aş ar. Bu kavram dolaysız bir algının bir b akışta tanımaya izin verdiğiyle sınırlıdır. İns an zihninde s ayı kendisiy­ le doğrudan ilişkili nesnelerin yapısından ayrılamayan somut bir gerçeklik görünümü kaz anır.7 Ama z ekasının gelişmesiyle, çok yakında gittikçe daha büyük s ayıda s o runu çözmeyi bilecektir. Dörtten büyük niceliklere ulaşmak söz konusu olduğunda, güçlüklerden sıyrılmak için, en azından b elli bir noktaya k a dar, birtakım s onuçlar elde etmesini s ağlayan b elli s ayıda so­ mut yöntem oluşturur kafasında. Kendisine çok yalın ve her an ulaşılabilir birleştirme-modelleri oluşturan p armak ya da beden teknikleri -gerçekte onun kafa s ında yalnızca öğe öğe uygunluk ilkesine dayanan- b u yöntemler arasındadır. Bir yandan karşılık gelen işmarları yap arken bir yandan da eklemli diliyle dile getirdiği, tamı tamına bu birleştirme-mo delleridir. İkinci aşama : B ununla birlikte bunlar tam anlamıyla " s ayı a dl arı" değil, daha çok deminki s omut tekniğe hizmet eden beden p arçalarının a dl arı­ dır. Ama ister istemez, (b aşlangıçtaki sırasıyla b enims enmiş) karşılık gelen s ayı s istemleri, adların, özellikle de ilk beşinin b e den p arçalarının tas arı­ mını daha a z güçlü olarak, birtakım nesnelere uygulanabilir hale gelmek için b e den p arçalarından ayrılabilen b elli bir s ayının fikrini daha güçlü olarak uyandırması ölçüsünde, yavaş yavaş yarı s oyut, yarı s o mut hale ge­ lir." (L. Levy-B ruhl) . Üçüncü aşama: Temel bir aletin, s ayı adının ortaya çıkışı bu a şamaya damgasını vurur.

7

örneğin "Fiji'de ve Salomon adalarında, çok soyut olarak seçilmiş on kadar nesneyi gösteren o rtak adlar vardır nesnenin ne s ayısı ne adı dile getirilir" (Bunlar L.Levy- B ruhl'ün sözünü ettiği "kümes ayılar"dır.) "Örneğin, Florida'da, na k u a "on yumurta," na banara "on sepet yi­ yecek" demektir" Fiji'de bola "yüz kayık," koro "yüz hindistancevizi" ve salavo "bin hindis ­ tancevizi" anlamına gelir. . . Yine Fiji'de, "yüzen dört kayık"a waqa sagaiva diye s öylenir. . . Mota'd a "yelkenle giden iki kayık." iki yelkenli görünümünden ötürü (kelebekler iki kayık) aka p eperua diye s öylenir. . . (Codrington) L.Levy-Bruhl'de, L.L. Conant'd a ve Stephan'd a aynı türden b aşka örnekler bulunabilir.

RAKAMLA R I N EVR E N S E L TAR i H i

70

- - 2 4. gün - - 2 5. gün - - 2 6. gün - - 2 7. gün - - 2 8. gün - - 2 9. gün

Şekil 1 .37: Bir zamanlar Afrika'daki E ski Daho ­ mey yerlilerince kullanılmış maddi bir "Ay tak­ vimi" tasarımından ayrıntı. Kumaştan bir ş erit üzerine uzunlamasına dizilmiş ve her biri döne­ min böyle simgelenmiş 30 gününden birini temsil eden, dikilmiş otuz nesne (tahıl taneleri çekirdek­ ler, kavkılar, sert meyveler, taşlar. . . ) Burada son 7 günün tasanmını görüyoruz. Paris İns an Müzesi Koleksiyonu.

� �� ��� ���� ��� ��

1 1+1 1+1+1 ı+ı+ı+ı 1+1+1+1+1

.

.

.

.

•

n

ı + ı +...+ı+ı 1442443 n

.

.

.

.

.

.

.

� ��

ı + ı +...+ ı 1442443

.

- - 30. gün

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

2

3

4

5

.

��� � �� .

.

.

.

.

.

.

.

n n+ ı

.

.

Ş ekil 1 .38: "Geri dönüş" denen işlemle tam s ayılann üretilişi.

.

SAYILA R I N KÖK E N i : ETNOLOJ i K VE PSiKOLOJ i K YAK LAŞIMLAR

• •

•

•

•

•

•

42

•

•

•

Ş ekil

3 •

•

2!S

6

44 '

37

•

•

•

( o

9

•

•

•

•

21

•

•

•

•

•

•

•

•

•

1, 20

•

•

•

2

•

•

•

•

•

•

• •

•

•

•

71

• 7

• •

11

1 .39: Bir nokta "bulutu"nun s ayımı.

Saymak: Bir İnsan Yeteneği Görülüyor ki ins an zihni ayrı ayrı birimler kavramını ve onların "bire­ şimini" kurma yeteneğini tamamen kullanmayınca, tam s ayılan s oyutlayıcı b akışla düşünemiyor. İmdi -her şeyden önce tekil farklılıklardan s oyutlama yapma, karşılaştırma, çözümleme yetisinin hepten edinilmiş olmasını varsa­ yan- bu düşünsel yetenek, karşılıklılık kurma ve sınıflamayla b irlikte, bütün bilimlerin hareket noktasını oluşturacak olan bir insan yaratısına dayanır. İns an zihninin genellikle "ardıllık b ağıntısı" ya da "sıra b ağıntısı" adı verilen bu yaratısına uygun olarak, kavramlar gerçekte "genellik derecelerine" göre sıralanırlar; tekler türlerin, türler tiplerin, tipler cinslerin içine girer. B undan ötürü, bizim soyut hes ap s anatımızda önemli bir ilerleme s ağla­ ması için, tam s ayılar anlayışının, tam s ayıları art arda birbirini içine alan sıradüzenli sayısal birimler sistemi halinde sınıflaması gerekir; tıpkı "do ğal ardıllık" oyunuyla bizi çevreleyen nesneleri kullanma kolaylığımız gibi . İmdi, s ayı s al k avramların değişmez bir ardıllık sırasına göre b u düz enlenişi, dü­ şünmenin cinsle ilgili "geri dönüş" ilkesine b ağlamak olduğu fikrinden, daha önce Yun an filozofu Aristoteles'in (MÖ 3 84-32 2 ) , Metafizik' inde ( 1 0 5 7 a) "tam s ayı birle ölçülebilen çokluktur" diyerek dile getirdiği fikirden b aşka bir ş ey değildir. B u fikir, gerçekte tam s ayıları, birinden yola çıkıp bir birim daha ekleyerek, art arda elde edilen gerçek soyut birim kümeleri olarak gösteren bir ilkeye dayanır.

..

RAKAMLARIN EVRE N S E L TAR i H i

72

1

2

3

4

5

�· 2 3 "

Şekil 1 .40: Somut çokluktan soyut sayıya geçişi sağl ayan sayım. Birim dışında, tam sayıların kurallı dizisini oluşturan her şey "doğal" sıralanışta bir önce gelen tam sayıya bir birim ekleyerek elde edilir, do­ ğal sıralanış da öyle oluşturulmuştur. (Şekil 1 . 38) . B un dan, Alman filo z ofu Schopenhauer'in ( 1 788- 1 860) deyişiyle , her doğal tam sayının varoluşu­ nun nedeni olarak kendinden öncekileri varsaydığı s onucu çıkar: Zih­ nimiz öncekileri özümlemeden bir s ayıyı soyutlayıcı b akış l a düşünem e z . Yukarıda "ayrı ayrı birimlerin kavramının bireşimini kurma yeteneği" diye adlandırdığımız budur. B öyle bir düşünsel yeti olmadığında, k afamız d a ye­ niden oldukça bulanık, toptan kavramlar haline gelir s ayılar. Tam s ayılar kümesi, doğal ardıllık sistemi halinde düzenlendi mi, ç o k önemli b i r r o l oynayacak olan yeni yeteneğin işe karışmasını s ağlar: S ay­ ma. Bir gruptaki nesneleri "saymak," oluşturucularının her b irine, b irden başlayıp bu kümenin öğeleri bitesiye sırayla ilerleyen doğal tam s ayılar

SAY I LAR I N KÖK E N i : ETNO LOJ i K VE PSi KOLOJ i K YAK LA Ş I M LA R

73

dizisinden alınmış bir s ayıya karşılık gelen bir simge (bir sözcük, bir işmar ya da çizge s el bir im) vermektir (Ş ekil 1 .40) . Söz konusu kümenin nesneleri­ nin her b irine bu ş ekilde yüklenen her simgeye ya da ada, artık o nesnenin sıralanış a dönüşmüş kümedeki sıra numarası denecektir. Bu düzenlenmiş öbeklemenin s on öğesinin sıra numarası onun öğelerinin s ayısı dır. Elb ette, b öyle elde e dilen s ayı, öğelerin "numaralanma" sırasından tamamen ba­ ğımsızdır: S ayma ister şu öğeden b aşlasın ister bu öğeden, işlem hep aynı s onuca götürecektir. Örneğin içinde "birçok" misket olan bir kutu düşünelim. Kutudan tama­ men rastlantıyla bir misket alıp ona 1 "numarayı" verelim (kutudan çıkan birinci top s ö z konusu) . Aynı kutudan yine rastlantıyla başka bir misket alalım, ona da 2 "numarayı" verelim; s onra kutuda misket kalmayasıya bu işleme devam e delim. Son misketi alırken ona doğal tam sayılar dizisinin numaralan arasından çok b elirli bir numara vereceğiz. Bu numara 20 ise, o zaman "yirmi" misket olduğunu s öyleyecek, b elirsiz bir bilgiyi (yani "çok misket var"ı) , kesin bir öğreniye dönüştürmüş olacağız. Yine , "dağınık" noktalardan, yani "düzensiz" olarak konmuş noktalardan oluş an bir küme düşünelim (Şekil 1 .3 9 ) . Bu noktaların sayısını öğrenmek için, onları art arda birinden ötekine geçen "kırık" bir çizgiyle (bu hiçbirini unutmamak ve daha önce s ayılan bir noktaya bir daha dönmemek için) bir­ birine b ağlamak yeter. O zaman noktalar zincir diye adlandırılması uygun olan bir ş ey oluştururlar. Sonra hu zincirin her noktasına, b öyle oluşturulan dizinin iki uç noktasının birinden haşlayarak, bir sıra numarası verilir. Zin­ cirin -bitim noktasına verilen- son numarası söz konusu noktaların toplam sayısını verir. Ardıllık ve s ayım kavramları sayesinde, somut çokluk, bulanık, türdeş olmayan, b elirsiz kavram kafamızda s oyut ve türdeş bir kavrama, "mutlak nicelik" k avramına dönüşür. Demek ki, insan düşüncesi bir gruptaki nesneleri, ancak kendisinde şu üç yatkınlık birden varsa "sayabiliyor:" 1- Ö nünden geçen her nesneye bir "sıra " verebilecek durumda olmak. 2 - Ö nündeki birimi tanımak için daha önce geçmiş olanlann hepsinin anısını işe kanştırabilmek. 3- A rdıllığı eşzamanlılığa çevirmeyi bilmek. İlk b akışta çok kolay anlaşılır gibi gelen s ayı kavramı s o runu bundan b öy­ le çok daha karmaşık görünür bize. R . B almes'nin anlattığı, P. B ourdin'den alınmış şu küçük fıkra bu dediğimizi güçlendiriyor: "Uyurken bir gün s a atin dördü çaldığını işitmiş ve "bir, bir, bir, bir" diye saymış birini tanıdım diyor B ourdin; adam, yaptığının s açmalığı karşısında, b ağırmaya b aşlamış : "İşte s aat delirdi, dört kere biri çaldı ! "

RAKAMLA R I N E VR E N S E L TAR i H i

74

Tam Sayının İki Görünümü S ayı kavramı iki tamamlayıcı görünüm taşır: Karşılıklılık ilkesinden baş­ ka bir şeye dayanmayan ilkine sayal s ayı, hem bir araya getirme hem art arda getirme işlemini gerektirene de sıral sayı denir. Ayrışımı yalın örnekle belirleyelim. Ocak ayı 3 1 gün çeker. 3 1 s ayısı bu­ rada bu ayın günlerinin toplam s ayısını belirtir; dolayısıyla bu bir s ayal sa­ yıdır. Buna karşılık "3 1 Ocak" gibi bir deyimi göz önüne alırs ak, 3 1 s ayısı burada sayal görünümle kullanılmamaktadır ve dilin kötü kullanımından başka bir şey olmayan terminolojiye karşın bu b öyledir. B u kavram daha çok Ocak ayının "otuz birinci" gününü gösterir: O tuz bir gün içeren bir kümenin çok belirli bir öğesinin (bu durumda son öğesinin) sırasını açıkça b elirtir; dolayısıyla burada bir sıral sayı (ya da, çoğu kez s öylendiği gibi, bir n umara) söz konusudur. "Sayal sayıdan sıral sayıya geçmeyi öyle sıkıntısızca ö ğrenmişiz ki, artık tam sayının bu iki görünümü arasında bir ayrım yapmıyoruz. Bir öb ekle­ menin nesnelerinin çokluğunu, yani s ayal s ayısını belirlemek istediğimizde, artık onu kendisiyle karşılaştırabileceğimiz bir birleştirm e modeli bulma zorunluğuna boyun eğmiyoruz, kolayca "sayıveriyoruz." Matema tikte gö s­

terdiğimiz ilerlemeyi de sayının iki görünümünü özdeşleştirmeyi öğrenmiş olmamıza borçluyuz. Gerçekten, uygulamada bizi asıl ilgilendiren s ayal s ayı olduğu halde, bu s ayı bir aritmetikte taban olarak iş göremez; ç ünkü arit­ metik işlemler bizim hep herhangi bir sayıdan onun ardılına geçebildiğimiz biçimindeki örtük vars ayıma dayalıdır. İmdi, sıral s ayı kavramının ö z ü de buradadır. Karşılıklılık kurma kendi b aşına hesabı yaratamaz. Varlıkları ya da nesneleri doğal ardıllığa göre kullanma kolaylığımız olmadan, çok az iler­ leme gösterirdik. Bizim s ayı sistemimiz bu iki ilkeden, her türlü matematiğin ve her türlü sağın bilim alanının kumaşını oluşturan uygu ile ardıllıktan sıkı bir biçimde etkilenmiştir" (T. D antzig) .

Saymayı Öğrenmek İçin On Parmak İns anoğlu bütün bu gerekli verileri on p armağı s ayesinde yavaş yavaş öğ­ renmiştir. B izim okul çocuklarımız s aymayı haia bu şekilde ö ğreniyor, kimi kez biz de düşüncemizi vurgulamak için bu işmarlara b aşvuruyors ak, kuş­ kusuz rastlantı değildir bu. S ayma yetisinin bu insan.biçimli kaynağının izleri birçok dilde vardır. Ö r­ neğin, Orta Afrika'nın Ali dilinde beş ile on s ayıları mora ve mbouna diye s öylenir: İ lk sözcüğün anlamı etimolojik olarak "el"dir; ikincisi i s e mora (b eş) ile "iki" anlamına gelen bouna'nın birleşmesinden oluşur (dolayıs ıyla: o n = "iki el") .

SAYILA R I N KÖKEN i : ETNOLOJ i K VE PSi KOLOJiK YAKLAŞIMLAR

SAYA L GÖRÜNÜM .!.4 al .!.4 al

8

al ı:ı.

8

al ı:ı. N

75

SIRAL GÖRÜNÜM

.I

3

'

t' .er,

• •• ••

SAYISAL DECERİ OLAN HARFLER Alfabenin beşinci harfi

SAYISAL DECERİ O LAN HARFLER düşünülen s ayı adının baş h arfi D OLAYSIZ GÖRSEL ALGIYA DAYALI SAYISAL GÖSTERİMLER

� N

..... t""' ..... en ......

!;) t'1 t""' t'1

�

:;.:ı

-'] ......

......

t'1 :;.:ı

�

t""'

( 1 ) Yunanca "epsilon"harfi (2) İbranice "he" harfi

1:9 "'--ı-----J'---� (4) Yunanca "pi" harfi, beş alına ı--,.----...._.q,;

�

DÜŞONOLEN SAYININ ALGISAL ADI

HER TÜRLÜ ALGIDAN AYRIL MIŞ SÖZCÜKLER

(3) "Beş" sözcüğünün baş harfi

na gelen PENTE 'nin baş harfi

SÖZLÜ SİMGELEŞTİEİMLER

Ş ekil 2 . 1

Ama insanın çağlar b oyunca yararlandığı olanaklar yalnızca s ayıların s o ­ mut simgeleştirimi ve sözlü anlatımı olmamıştır. Aynı zamanda, ama ç o k daha sonra yazılı simgeleştirimi kullanmıştır: Bu, "rakamlara,"' yani her çeşit çiz­ gesel ime (kil ya da taş üzerine kazınmış , çizilmiş çizgiler ya da resimler, i ş a­ retler, simgesel imler, alfabe harfleri, uylaşımsal imler. . . ) 'Rakam' sözcüğünün 'sayı' sözcüğüyle aynı anlamı taşımadığım belirtelim: Ö rneğin tek, çift ve üçlü "sayıdır;" oysa 1 , 2, 3 rakamdır, yani bu kavramları temsil eden uylaşımsal, çizge­ sel imlerdir. Dolayısıyla bir "rakam" bir "sayıyla" özdeşleştirilemez; yani, deyim yerindeyse, rakam sayının giyebildiği bir giysidir. Onun biçimini karşılık gelen k avramın anlamını hiç değiştirmeden başkalaştırabiliriz. Kısacası, sayı bir kavram sorunudur, oys a rakam yazmayı ve saymayı bilenler için bir uylaşım işidir.

TABAN iLKESi VE SAYI SiSTEMLE R i N i N D0bO

"d o

ı... CI)

eti :Dı:> DP

5

+

•• •

+

30

D x

+

•• ••

40

=

x

;+-

85.

S onra arka yüz:

f> f)

2x

+

•

•

20

+

0 0[) 1) 1)

5

=

2x

+

25.

İki s onucu eşitleyerek, x +

85

==

2

x +

25 denklemini elde ederiz.

İki terim azaltıp, s onuç olarak aranan değeri elde ederiz:

D

==

x

==

60.

Ama bunun s ö z konusu imin şifresinin çözümü konusunda s onuca varmamız a izin verebilmesi için, bu değerin aynı türden bir sürü b aşka tablet üzerinde birbirine uyan s onuçlar vermesi gerekir. Öyle de olmuştur.

Elam Yazmanlarında Benzer Bir Adet B en kendim Elam yazmanlarında benzer bir adeti gözleyerek, s onra da (aş ağıda önemlice olanlarından birkaçını göreceğiniz) proto-Elam tabletleri­ nin birçoğu üzerinde yöntemli bir biçimde bu tür doğrulamalar yap arak, bu i çinden çıkılması güç sorununun çözümüne ulaştım.

RAKAMLARI N EVR E N S E L TAR i H i

270

Proto-Elılm rakamlarının değeri henüz bilinmemesine karşın, bu tabletl e­ rin bazıları kendiliğin den bunu bilmemizi olanaklı kılmaktadır. Örneğin, bir s aymanlık işlemiyle ilgili Ş ekil l l .4'teki tableti ele alalım. Buraya işlenmi ş yiyecekler (çoğu durumda anlamını bilmediğimiz) yazı imleriyle gösterilmi ş . Bu farklı farklı mallarl a ilgili s ayılar i s e , çeşitli rakam öb eklemeleriyle a çık­ ça gösterilmiş . Aşağıd aki tablo bizim bundan b öyle söz konusu tabletin "us­ sallaştırılmış çeviri yazısı" diyeceğimiz ş eyi sunmaktadır. ÖN

ARKA

Şekil l l .4A: Sus sayman lık tab l eti. Louvre Müzesi. Ref. MDP, VI, tab l et 358. YAZI İMLERİ

RAKAMLAR

C::J

O��gg O O \J �) ) o \J

)) D e��� o o \JIJ

Şekil l l .4B

�\}�-=- �a+ ô M� �

o !2! ;J> �

�

İmdi, tabletimizin ön yüzünde, - kalın kertik 2 kez; - büyük yuvarlak iz 2 kez; - küçük yuvarlak iz 9 kez; - ince uzun kertik 1 kez; - daire yayı 2 kez; - özel görünümlü bir rakam (Şekil 1 1 . 1 , D imi) yalnız bir kez geçiyor. Arka yüzde de tamı tamına aynı şeyi görüyoruz. Bu yüzde verilen sayı b elgenin ön yüzünde bulunan dökümün genel toplamına tam olarak karşılık geliyor. Aynı ş ekilde, Şekil 1 l .5'teki tablet de ön yüzünde altı kertik, arka yüzünde de bir o kadar kertik taşıyor.

5 000 YILLIK BiR SiSTEMiN ŞiFRESiNiN ÇÖZÜMÜ ÖN

D fan/\�. � � ı$ �a+

ARKA

- -- · - -

Ş ekil

27 1

ı- --- -L 1

tJtnY ���

t'

1 1 .5: Sus tableti. Tahran Müzesi, Ref. MDP, XXVI, tablet 437.

Proto-Elam Rakamlarının Değerinin Belirle nm esi Şimdi Ş ekil ı 1 . 6 'daki tableti ele alalım. Tabletin bugünkü hali üzerinde görülebilenle yetinirsek, ön yüzde ince kertik 18 kez, küçük yuvarlak iz 3 kez yineleniyor gibi; oys a aynı tabletin arkasında ince kertik yalnız 9 kez, küçük yuvarlak iz 4 kez geçiyor. İmdi, aynı biçimli Sümer rakamlanna benzetme yoluyla iş görüp, ince kertiğe 1 değerini, küçük yuvarlak ize 10 değerini verirs ek, ön yüzün, s ayıla­ rını toplayarak elde edilen sonuç ( 1 8 + 3

x

10

=

48) , bir birimlik bir hatayla,

tabletin arka yüzünün biz.e sağladığı sonuca (9 + 4

x

10

=

49) uyuyor. Bu

durumda bu farkın b elgenin ön yüzünün solundaki kırıktan ileri geldiğini düş ünebiliriz (bu kırık son satınn son sayısal betimini yok etmiş olabilir) . B a şka b enzer tabletler de1 (Şekil 1 1 . 7) iki yüzde tamı tamına aynı s onuç­ ları verdiğinden, bu tahmin kesinlik kazanır. Bu da ince kertiğin değerini ı diye, küçük yuvarlak izin değerini de 1 0

diye kesin olarak belirlememizi sağlar.

Şimdi Elamlıların sayılannı sağdan sola, yani yazılarının yönünde yaz­ dıklarını, en yüks ek birimler bas amağından başlayıp azalan değerler sırasıy­ la devam ettiklerini belirtmemiz gerek. Öte yandan, saymanlık tabletlerinin dikkatle incelenmesi, Elam ülkesi yazmanlarının, ikisi de rakamların toplama yoluyla yan yana konması ilkesine dayanan iki yazılı sayı sistemleri kullan­ dıklarını o rtaya çıkarır (Şekil 1 1 . 10 ve 1 1 . 1 1 ) .

Bkz. örneğin, MDP'nin VI . cildindeki 353. tablet. !Louvre Müzesi; ref. S 6 3046).

RAKAMLA R I N EVR E N S E L TAR i H i

272

ri 00� qp ;�: Y@ö •VJ..-t HYfu lff� �'r Ô•• Y @

ÖN

�ara aı• � n••

ARKA

"° " � ""

ı�n

art

!JlJ

�

jCJ

't'

� �

�

İki yüzde de bulunan iki çember yayı ile çift yuvarlağı göz önüne almaz­ s ak, b u tablet: - ön yüzünde 9 küçük yuvarlak iz ve 12 ince kertik,

RAKAMLARIN E VR E N S E L TAR i H i

276

- arka yüzünde 1 büyük yuvarlak iz v e 2 ince kertik içermektedir. Eldeki sonuçları göz önünde tutarak ve büyük yuvarlak ize x değerini vererek bu belgede bulunan sayısal ifadelere değer b içersek, şu toplamları elde ederiz:

9 x 1 o + 1 2 = 1 02

Ön yüz: Arka yüz:

ı

x

2=x+2

x+

Bu da bize, eşitleme yoluyla, x + 2

=

1 02 denklemini verir ki, bu denklemin

çözümü x = l OO'dür. Şimdi de Şekil l l . 1 4'te bulunan ve - ön yüzünde 20 küçük, 2 büyük yuvarlak iz; - arka yüzünde 1 kalın kertik ve bir büyük yuvarlak iz içeren tableti ele alalım. Büyük yuvarlak ize az önce belirlediğimiz 1 00 değerini verir, kalın kerti­ ğin değerini de y ile gösterirsek şu toplamları elde ederiz: 20 x 10 + 2 x 1 00 = 400

Ön yüz: Arka yüz:

1

x y + l OO = y + l OO .

B u da bize, eşitleme yoluyla y + 1 00 = 400 denklemini verir ki, bu denkle­ min çözümü y = 300'dür. Bütün bunlar bizi büyük yuvarlak ize 1 00 değerini, kalın kertiğe de 300 değerini yüklemeye götürür.

ÖN

ARKA

Şeki l 1 1 . 1 4: Sus tab l eti. Tah ran Müzesi. Ref. MDP, XXVI, tab l et 1 1 8. Elb ette bu, düşündüğümüz değerlerin gerçekliğe uygun olduğu s onucunu çıkarmamıza, ancak bu değerlerin tam olarak uygun s onuçlar verdiği en az bir tablet daha bulursak izin verecektir. Şekil 1 1 . 1 5 ve 1 1 . 1 6'daki tabletlerde durum kesin olarak b öyledir.

50 00 YIL LI K B i R S i STE MiN Ş i F R ES i N i N ÇÖ ZÜMÜ ÖN

277

ARKA

Şekil 1 1 . 1 5 : Sus tableti. Louvre Müzesi. Ref. MDP, VI, tablet 220.

00000 \J

ÖN

��-iftÖ' O \J M� � (m g o o o (] \J M � * 0 00 0

�e n o

o

ARKA

300 + 9 x 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

400

300 + 1 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

x 300 +

3 x 10

ô

0 0 35

390

....

3 .................. 633

1 423

-

4 x 300 + 2 x 1 00 + 2 x 1 0

� Şekil

-

3. . . . 1 423

1 1. 15B

go 00�8lıf i �:co��ôô �:o�8

ME

30

- - - - - - - - - -

67

1 30

>

1

TP--

Şekil 13. 18. Ref. F. Thureau -Dangin, satır 380, 366, 369 Burada altmışın gösterimindeki (bu değere eskiden yüklenen dikey çivi­ nin yerine altı köşe çengeli) ve artık tamamen onlu olarak b etimlenen 1 30, 1 60 ve 3 600 sayılarının gösterimindeki değişiklik göze çarpacaktır. Ayrıca, Asurluların ve Babillilerin, sayıs al gösterimlerini bir kez daha sözlü sayı sistemlerine göre düzenlemekle, yalnız 1 00 ve 1 000 rakamla­ rından yola çıkarak onlu sayı sistemlerinin kaps amını hatırı s ayılır ölçüde genişletmeyi başardıklarını da belirtelim. Bunun için aşağıdaki türden dile getirişlere uyarak çarpma ilkesini kullanmaları yetmiştir: 1 0 000 = 1 0 x 20 000 = 20 x 30 000 = 30 x 40 000 = 40 x

1 1 1 1

1 00 000 = 1 00 x 200 000 = 200 x 300 000 = 300 x 400 000 = 400 x

000 ' 000, 000, 000 . . . 1 1 1 1

000, 000, 000, 000 . . .

Örneğin, II. S argon'un tabletinin yazmanı 305 4 1 2 s ayısını ş öyle yazmıştı:

3

X

ME

+

5

LIM

X 1 000 +

4

ME

4 X 100 +

10

(3

1 00

S)

10

2

+ 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

>

Şekil 13.19. Ref. F. Th ureau-Dangin, satır 394.

S Ü M E R LE R i N S i Li N i P G i D i Ş i N D E N SONRAKi MEZOPOTAMYA SAY! S i STE MLE R i

329

Onlu Abaküsün Canlandırılışı Akadlıların da elbette bir hesap aleti vardı; yoksa arkaik calculi yönte­ minden b aşka türlü yapılan bu kadar karmaşık aritmetik işlemlerini nasıl yap abildiklerini anlayamazdık. Çünkü calculi'lerin izine MÔ II. binin kat­ manlarından s onra hemen hemen hiç rastlanmıyordu . Gerçekten, önceki b ölümde gösterildiği gibi, Sümerlerin en akla yakın bi­ çimini ve aynı z amanda işlem pratiğini düzenleyen kurallarını canlandır­ dığımız bir hesap ab aküsü vardı. Şimdi, biliyoruz ki Akadlılar, en azından eski B abil ç ağında, yalnız "aleti" ve onunla çift oluşturan s ayım nesnesini . değil , aynı zamanda ab aküsçünün kendisini de göstermek için özel terimler kullanmışlardır. E ski B ab ilcede bir tahta çubuktan ya da bir saz yongasından b aşka bir ş ey olmayan hesap "jetonu" ş öyle adlandırılıyordu (Şekil 1 2 . 6H) : - ya iş - şi mi-nu-ti ("s aymak için tahta") . - ya da iş - şi nik kas-si ("saymanlık için tahta") . Ab aküs i s e Sümer dilindeki karşılıklarından türeyen aş ağıdaki iki addan birini taşıyordu (Şekil 1 2 . 6 I ve 1 2 .6 J) :

- ges dab-dim mu ("s aymanlık için tahta tablet") - ya da su-me-ek-ku-u Sümerce GE��UME GE 'nin etimolojisine göre, tamı tamına: [örtük olarak: tabletin] tahta(sı), bir el, kurallar, bir s az" ya da: "tah­ ta, bir toplam, kural, s az") . Ab akü s ç ünün ise şu iki adlandırması vardı (Ş ekil 1 2 .6K ve 1 2 . 6L) :

- s a da-ab-di-mi (tamı tamına: "s aymanlık tahtasının adamı") - sa s u-ma-ki-i (Tamı tamına: ab aküsün adamı) . Bu b ilgiler MÔ II. binin b aşlarına dayanan, hem Sümerce hem eski B abil­ c e kaleme alınmış ve bir çeşit "meslek yıllığı" oluşturan iki dilli tabletlerden yakın z amanlarda elde edilmiştir: Bunlarda mesleklerin her biri , o meslekle ilgili aletin ya da aletlerin adıyla birlikte, " . . . in adamı" türünden kıs a bir kalıpla, mesleğin temsilcisinin kıs a bir betimi aracılığıyla betimlenmektedir

(bkz. 1 2 . B ölüm; kaynaklara kesin göndermeler için bkz. S.J. Lieb ermann[ l]) . Bu veriler göz önüne alındığında, altmışlı Sümer ab aküsünün, s ayıs al gösterimlerini tamamen öncellerinin s ayı sistemleri öğelerinden almış olan, ama kendi kesin onlu s ayımlarının gereklerinden ötürü altmışlı- onlu dönüş­ türme cetvelleri yapmak zorunda kalan Akadlılarca olduğu gibi kullanıldı­ ğını vars ayabiliri z : Bu, ilk B abil hanedanlığı ç ağının sonuna (MÔ II. b inin ilk yarıs ının s onuna) kadar sürmüş olması gereken bir çeşit "ara dönem"dir. Ama Aka d kültürünün Mezopotamya'da tamamen b enimsendiği ç ağda işler b amb aşka olmuştur: Akad s ayı sistemi, ayırt e dici onluluğunu kes in

330

RAKAMLARIN EVR E N S E L TARiHi

o larak kazanınca, bu onluluktan ötürü değişen çivi yazısına tam olarak uyarlanmak üzere abaküsün matematiksel yapısını kökten bir biçimde de­ ğiştirmek gerekmiştir. Bundan ötürü, Asur-Babil sistemi on tabanına dayalıydı ve aşağıdaki im­ lerden yola çıkarak milyona kadar bütün birim basamaklarını betimlemeyi s ağlıyordu:

T

10

1 00

( = ME)

Şekil

1 000

(= UM)

13.20

Çünkü binden sonra bu sistem bu imlerden yola çıkarak çözümleyici bir­ leşimlerle ilerliyor, on bine, yüz bine ve milyona çarpma ilkesine uyarak bir gösterim yüklüyordu (Şekil 1 3 . 1 9) .

1 0.LIM

(= 10 x

1

000)

ME.LIM

( = 100 x 1 000) Şekil

LIM.LIM

(= 1 ()()() x 1

000)

1 3.21

1 2 . Bölümde yapıldığı gibi, Asur-B abillilerin "sıradan hesap adamlarınınn ab aküsünün4 büyük bir olasılıkla Ş ekil 1 3 .22'de canlandınlan biçimde ol­ duğunu güçlük çekmeden gösterebiliriz. Bunlara karşılık gelen işlemler ise,

yukarıda betimlenenlere b enziyor, ama on tab anın a uyarl anmı ş kurallara

uyarak gerçekleştiriliyor olsa gerekti . . .

1 970'li yıllarda, İran'daki Fransız Arkeoloji Heyetince5 S u s Akropol'ündeki kazı alamnda yukarıdakine benzer çizgiler ve sütunlarla bölümlere ayrılmış bir kiremit keşfedildiğini, İkinci Dünya S avaşı6 sırasında aynı bölgede bazı benzer belgeler bulunduğunu da b elirtmek yerinde olur. Ama bu belgeler şim­ diye dek yalnızca oyun tablası olarak yorumlandı. Hesap abak:üsü değü mi bunlar? Arkeolojinin bir gün bu yönde s onuçlar çıkarabilmeye yetecek sayıda başka benzer nesneler sunarak bizi bu konuda bilgilendireceğini umabiliriz.

4

5 6

Gerçekte bizi iki çeşit hesap adamı olduğu sonucunu çıkarmaya götüren çok önemli neden­ ler var: "Sıradan hesap adamlan" yalnızca onlu sistemi, daha bilgin ol anlar ise matematiksel ve astronomik gereksinimler için altmışlı sistemi kullanıyorlar. F. Vallat'la görüşme. Bkz. MDP, 29/1 943 s. 44-45, Şekil 39; ve RA, 39/1 942-1 943, s. 1 9-34.

SÜMERLERiN SiLi N i P GiDiŞiNDEN SON RAKi MEZOPOTAMYA SAYI S i STEMLERi

10''

ı os

1 04

..

A

A

1 02

10

A 1

1

1

1 1 l l

1 Q3

331

Yüz binler - - - - - - - - - - - _ !

Milyonlar

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

!

:

On binl er - - - - - - - - - - - ! Binler - - - - - - - - - - - Yüzler -

Onlar - - - - - ! Birler _ _ _ _ _ _ :

- - - - - - - - - ·

-

1

Şekil 1 3-22: Onlu Asur-Babil abaküsünün canlandınhşı. Her durum da kesin olan şu ki, en eski çağdan bu yana Sus (ve daha genel

olarak Elam) sayın.anlan da calculi'lerden başlayarak hesap aletleri kullan­

mışlardır. Aritmetik işlemleri kuşkusuz kendilerinden birkaç yüz kilometre uzaktaki Sümerli ya da Asur-Babilli meslektaşlarınca gerçekleştirilen işlem­

l er kadar karmaşık ol duğund an kullanılan aletin ya da aletlerin Mezopo­ ,

taınyalılannkin e benzer olduğunu düşünmeye izin veren birçok neden var.

Asur-Babil Onlu Sisteminde

Sümer Sisteminin Son Kalıntıları

Miras yeni den düzenlenince, Mezopotamya'nın çivi yazısı s ayı sistemi ve hesap araçları Samilerin elinde ilk tabanl arı ve ilkeleri b akımından tam bir

başkalaşım geçirdi.

Ama altmış tab anının önemini kesin olarak yitirdiğini düşünmek yanlış

olur; çünkü, altmış büyük birim olarak her şeye karşın Mezopotamya'nın yay­

��

gın sisteminde yerini korumuştur. Altmışa çoğu kez onlu

öbeği yüklense de (en azından MÖ I.binden

sonra) Asurlular ile Babill il er onu gerçekte rakamlı betimlemeler içinde

RAKAMLA R I N EVR E N S E L TAR i H i

332

- y a s u-si (bu sayının Samice adı) öbeğiyle :

T ;31� su-sı

- ya da su (bu adın ilk harfi) kısaltmasıyla:

T J3 su

"harfle" yazmaya devam ettiler. Ayrıca ve özellikle, 70 , 80 ve 90 sayılarını eski Sümer usülüyle, yani onlu sayı sistemlerinde yitip gitmiş altmışlı sistemin tanıklarını oluşturan bi­ çimlerle (biraz bizim quatre-vingts ile quatre-vingt-dix'imizin bugün yitip gitmiş olan yirmili bir sistemin kalıntılarını oluşturması gibi) b etimlemeyi sürdürdüler:

l -< 60

T

70

T

ıo

90

80

Ş ekil 1 3 . 23

Eski 600 ile 3 6 0 0 birimlerinin kullanımı da hiçbir zaman tamamen bıra­ kılmadı: Gerçekten birçok ekonomik sözleşmede ve metinde, kehanet metin­ lerinde, tarihsel ya da andaç nitelikli metinlerde bunları görürüz. Bununla birlikte 3 600 imi için Mezopotamya çivi yazısı gösteriminin evrimine özgü çizgesel çeşitlemeler de görülür: KLASİK SüMERCE

ASURCA

�

9 9

ti

�

.ç3.

yeni

orta

eski

33

4:

9 :::->

4

�

BABİLCE

eski

9 p 1)> �

-4

r>?

9

orta

yeni

� 4..

J>

� �

�

� �

4 �

Q

�

"

�

Ş ekil 1 3 . 24: Sümerce sar (= 3 600) iminin çizgesel evrimi ve sürekliliği. Ref. R. Labat,

no 396.

S Ü M E R L E R i N S i L i N i P G i D i Ş i N D E N SON RAKi MEZOPOTAMYA SAYI S i STEMLE R i

333

Aş ağıdaki örnek Asur kralı II. Sargon'un bir yazıtından alınmıştır. Bu ya­ zıtta Hursaba d7 surunun artık klasik 10

6

LIM

2

60

ME

20

«

K i.ı s coudCe

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

»

�

Şekil 1 3.25

b içiminde değil,

3 600 .

3 600

. 3 600 . 3 600 .

1 4 400 anş

600 . 600 . 600

1 800 anş

. l

US

altmış anş

OA-Nl

. 3

3

x

6 arış

.

ı

KUS 2 arış

Ş ekil 1 3.26: Ref. D. G Lyon, s. 10, satır 65.

b içiminde dile getirilen 16 280 arışlık8 boyu yazılıdır. Bununla b irlikte, yüzyıllardır yitip gitmiş , kesin onlu s ayı sistemini hiç­ bir b i çimde etkilemeyen, Asur-Babil sisteminin yaş adığı sürece günlük kul­ l anımd a korumaya devam edeceği bir s ayı sisteminin çok sınırlı bir kullanı­ mı, çok küçük bir kalıntısı söz konusudur burada.

Sümer Sisteminden Asur-Babil Sistemine Ö z etle, Aka d İmp aratorluğu çağından başlayan Mezop otamya kültürlerinin tarihi kabaca üç ana aşamadan oluşur: - ilki Sümerlerin bıraktığı kültürel mirasın S amilerce özümlendiği çağ; - ikincisi bir çeşit ara dönemden oluş an aş ama; - üçüncüsü Mezopotamya'da S amilerin egemen olduğu çağ. Buradan, ikisi arasında her yerde tam bir kronolojik uygunluk bulunma­ sa da, Mezopotamya S amilerinin ortak kullanımındaki s ayı sistemlerinin ta­ rihi çıkar (Şekil 1 3 .27) : - B u t arihin ilk aşamasını altmışlı Sümer sisteminin olduğu gibi devra­ lınması oluşturur; - ikinci aşama a l tmış l ı birimler ile onlu birimler arasında bir orta yol oluştu­ ran karışımlı bir sistemin ortaya çıkışıyla ı ra l an ır; - üçüncü aşama tamamen uyarlanmış , kesin olarak onlu bir sistemin kul­ lanılışıyla b elirlenir. Ç ivi yazısının s ayısal gösterimindeki bu kökten dönüşüm, Sami halkları öbeğinin o rtak noktalarından b irini oluşturan, kesin olarak onlu, s ö zlü s ayı 7 8

Hursabad -görkemli bir sur içine kapatılmış olan eski Du�arukin, "Sargon kalesi." "Arış" (KÜS) yaklaşık 50 cm'lik bir uzunluk ölçüsü birimiydi. "Kan" (o.ANUM) alu arış (yakl a ­ şık 3 metre), U$ ise 60 anş (30 metre) ediyordu .

RAKAMLARIN EVR E N S E L TAR i H i

334

sisteminin etkisiyle ortaya çıkmıştır (Şekil 1 3 . 7 ve 1 3 . 1 9) . Ama bu evrim bu­ rada durmamıştır: Mari kenti yazmanlarınca, Suriye ile Mezopotamya'mn sayısal gösterimlerinin tarihinde biricik olan bir örneğe vardırılmıştır (bkz. aş ağıdaki çerçeveli sayfalar) .

SÜMER DİZİSİ ( 1 0 ile 6 'yı yar­ dımcı tabanlar olarak kabul eden 60 tabanı)

SÜMER: AKAD BİREŞİMİ (60 ile 1 0 tabanı aras ı nda orta yol)

1

GÜNLÜK AS UR-BABİL DİZGESİ (Kesin olarak onlu taban)

r

r

10

T

r

60