Quantenmechanik Schritt für Schritt: Ein Aufgaben- und Lösungsbuch [1. Aufl.] 9783662615614, 9783662615621

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Viktor Bender · Alexander Lehmann Hannah Ochner

Quantenmechanik Schritt für Schritt Ein Aufgabenund Lösungsbuch

Quantenmechanik Schritt für Schritt

Viktor Bender • Alexander Lehmann • Hannah Ochner

Quantenmechanik Schritt für Schritt Ein Aufgaben- und Lösungsbuch

Contributions by Viktor Bender Institut für Physik Universität Berlin Berlin, Deutschland

Alexander Lehmann Insitut für Theoretische Physik Universität Heidelberg Heidelberg, Deutschland

Hannah Ochner Abteilung Nanowissenschaften ­ Max-Planck-Institut für Festkörperforschung Stuttgart, Deutschland

ISBN 978-3-662-61561-4 ISBN 978-3-662-61562-1  (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-61562-1 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über 7 http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Lisa Edelhaeuser Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany

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Calculate, but don’t shut up! Für das Verständnis der Quantenmechanik ist das Rechnen unerlässlich. Dabei ist es jedoch wichtig, nicht nur den Umgang mit dem Formalismus einzuüben, sondern die Dinge unvoreingenommen zu hinterfragen. Dementsprechend modifizieren wir den berühmten, oft Richard Feynman zugeschriebenen (aber anscheinend auf David Mermin zurückzuführenden) Kommentar „Shut up and calculate!“ zur Interpretation der Quantenmechanik im Kontext dieses Buches: Calculate, but don’t shut up! Das vorliegende Buch richtet sich an Studierende der Physik, die eine Quantenmechanikvorlesung besuchen und entsprechende Inhalte vertiefen bzw. anwenden wollen. Es eignet sich aber auch für Fortgeschrittene, die nach einer Möglichkeit suchen, ihr bereits erworbenes Wissen aufzufrischen. Außerdem ist es auch als Quell der Inspiration für Lehrende, die ein entsprechendes Tutorium vorbereiten, gedacht. In fünf Kapiteln werden anhand von Aufgaben folgende Themen behandelt: 5 Mathematische Grundlagen und Formalismus 5 Schrödinger-Gleichung 5 Drehimpuls 5 Potentialprobleme in einer Dimension 5 Wasserstoffatom Dabei beginnt jedes Kapitel mit einer Zusammenfassung der wichtigsten Konzepte und Formeln. Keinesfalls sollen die Einleitungen das Studium der hierbei gängigen Standardliteratur ersetzen, sie sind vielmehr als Überblick und Vorbereitung auf die im Hauptteil folgenden Übungsaufgaben gedacht. Der Schwerpunkt des Buches liegt auf der detaillierten Präsentation von Aufgaben und Lösungen, die Schritt für Schritt nachvollziehbar sind. Die Auswahl der Aufgaben orientiert sich dabei an den in einer Quantenmechanikvorlesung auf Bachelorlevel üblichen Themen und Problemstellungen. Als Autoren, deren eigenes Studium noch nicht lange zurückliegt, sind uns die Schwierigkeiten und Hindernisse, die beim Bearbeiten quantenmechanischer Problemstellungen auftreten können, noch gut im Gedächtnis. Es war uns daher ein Anliegen, ein Buch von Studierenden für Studierende zu schreiben, in dem wir unsere eigenen Erfahrungen als Studierende und Tutoren nutzen, um die entsprechenden Sachverhalte möglichst verständlich, also Schritt für Schritt, darzustellen. In den hier präsentierten Lösungen weisen wir demnach auf mögliche Fallstricke hin und bleiben auch bei Rechenschritten ausführlich, die oft als trivial bezeichnet und weggelassen werden. Durch einleitende Worte in den Lösungen werden die Aufgaben in einen kontextuellen Rahmen gesetzt. Dadurch wird ein Verständnis dafür geschaffen, warum ein Problem überhaupt betrachtet wird. Zahlreiche Hinweiskästen geben zusätzliche Informationen, die das Verständnis erleichtern sollen, oder weisen auf häufig gemachte Fehler hin. Die Aufgaben sind weitestgehend selbstkonsistent, sodass man, Kenntnis der in den Einleitungen genannten Inhalte vorausgesetzt, das Buch an beliebiger Stelle aufschlagen kann. Sollte zur Lösung

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Calculate, but don’t shut up!

einer Aufgabe das vorherige Bearbeiten einer anderen Problemstellung sinnvoll sein, so wird ein entsprechender Hinweis gegeben. Selbstverständlich ist der Leser dazu angehalten, zunächst zu versuchen, die Aufgaben zu lösen, ohne die Lösungen heranzuziehen. Kein Buch kann den Lernwert ersetzen, den das selbstständige Arbeiten an einer Problemstellung mit sich bringt. Die detaillierten Lösungen sollen das Verständnis erweitern und effiziente Lösungsstrategien aufzeigen. Das Buch ist in diesem Sinne als helfende Begleitliteratur zur Vorlesung konzipiert und erhebt nicht den Anspruch, ein vollständiger Kurs zu sein. Gedacht ist es als Tutorium und praxisnahe Verständnishilfe. Hannah Ochner Alexander Lehmann Viktor Bender

Darmstadt, Stavanger, Stuttgart Februar 2020

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Danksagung Wir wollen uns an dieser Stelle bei allen Freunden und Kollegen bedanken, die uns durch ihre konstruktive Kritik und ihre Kommentare bei der Realisierung dieses Buches geholfen haben. Hierbei sind namentlich zu nennen: Sven Szilagyi, Lilian Schaffroth, Aylin Balmes, Detlef Dürr, Nikolai Husung, Bennet Grützner, Gil Zimmermann, Markus Thiel, Christian Kressmann, Hartmut Liste, Jutta Hübner, Malte Ziebarth, Malte Viefhues und Julian Miczajka. Wir bedanken uns auch beim Verlag, insbesondere bei Lisa Edelhäuser und Stefanie Adam. Die Zusammenarbeit verlief stets reibungslos und erfreulich.

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Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2

Mathematische Grundlagen und Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2.1 2.2

Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Wellenfunktion und Aufenthaltswahrscheinlichkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Adjungation von Operatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Kommutatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Eigenwertproblem in Matrixdarstellung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 Der Impulsoperator als Generator von Translationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.6 Wechsel zwischen Orts- und Impulsdarstellung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Das Ehrenfest-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Die allgemeine Version des Ehrenfest-Theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Kontinuitätsgleichung für die Quantenmechanik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Eigenschaften der Lösungen der Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Gauß-Paket. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Zeitentwicklung eines Zwei-Zustands-Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.8 Zerfall eines Teilchens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.9 Invarianzen der Schrödinger-Gleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.10 Schrödinger- vs. Heisenberg-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3.1 3.2

26 29

29 32 35 38 42 45 52 55 58 64 68

Drehimpuls. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Die Pauli-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Stern-Gerlach-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Spin-21-Teilchen im uniformen Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Spin-1-Teilchen in einem externen Magnetfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Spinpräzession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Drehimpuls bezüglich einer beliebigen Achse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Drehimpulsalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8 Leiteroperatoren und Lˆ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.9 Gesamtdrehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.10 Basisvektoren in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.11 Nabla in Kugelkoordinaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.12 Bahndrehimpuls in Kugelkoordinaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.13 Kugelflächenfunktionen als Eigenfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70 73

73 75 81 84 87 90 93 97 101 106 116 126 130

X

Inhaltsverzeichnis

4

Eindimensionale Potentialprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Unendlich tiefer Potentialtopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Endlicher Potentialtopf: Gebundene Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Streuung am Potentialtopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Streuung am Potentialwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Einfaches Delta-Potential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Doppeltes Delta-Potential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Periodisches Delta-Potential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.8 Der harmonische Oszillator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.9 Harmonischer Oszillator in einem externen Feld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.10 Kohärente Zustände des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.11 Gauß-Paket im harmonischen Oszillator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 4.2

5 5.1 5.2

140 143

143 150 156 164 171 184 191 195 200 204 210 213

Das Wasserstoffatom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Die Radialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Sommerfeldsche Polynommethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Laguerre-Polynome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Erwartungswerte des Wasserstoffatoms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216 218

218 224 232 238 242

Serviceteil Stichwortverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

1

Mathematische Grundlagen und Formalismus Inhaltsverzeichnis 1.1 1.2

Einleitung – 2 Aufgaben – 6 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6

Wellenfunktion und Aufenthaltswahrscheinlichkeit – 6 Adjungation von Operatoren – 9 Kommutatoren – 13 Eigenwertproblem in Matrixdarstellung – 15 Der Impulsoperator als Generator von Translationen – 18 Wechsel zwischen Orts- und Impulsdarstellung – 21

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Ochner (Hrsg.), Quantenmechanik Schritt für Schritt, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61562-1_1

1

2

1

Kapitel 1 · Mathematische Grundlagen und Formalismus

1.1

Einleitung

Für das Verständnis der Quantenmechanik ist es von großer Relevanz, die zugrunde liegenden mathematischen Strukturen zu verstehen. Diese Strukturen erlauben uns, Objekte wie Wellenfunktionen und Operatoren in einen Formalismus einzubetten und aus mathematischer Perspektive zu interpretieren. Die Wellenfunktion ist eine der zentralen Größen der Quantenmechanik. Aus ihrem Betragsquadrat können wir eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation ableiten, in der dieses Betragsquadrat als ortsabhängige Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte eines Teilchens fungiert. Aus der Forderung nach Normierbarkeit  |ψ(x, t)|2 d3 x = 1 (1.1) V

folgt dann, dass Wellenfunktionen Elemente des Raums der quadratintegrablen Funktionen L2 sein müssen. L2 hat die Struktur eines Hilbertraums, d. h. eines Vektorraums, der vollständig bezüglich einer von einem Skalarprodukt induzierten Norm ist. Das zu L2 gehörige Skalarprodukt hat die Form  φ, ψL2 = φ(ξ )∗ ψ(ξ ) dξ, (1.2) wobei ξ für eine beliebige Koordinate steht. Viele Rechnungen lassen sich stark vereinfachen, wenn man Wellenfunktionen mit Hilfe der Dirac-Notation ausdrückt. In der Dirac-Notation sind Kets |ψ Elemente des Hilbertraums H , also Wellenfunktionen, während Bras ψ|, die Elemente des zu H dualen Raums H ∗ , lineare Funktionale sind, die Kets auf den Körper C der komplexen Zahlen abbilden. Die Anwendung eines Bras auf einen Ket ergibt also eine komplexe Zahl. Somit lässt sich das Skalarprodukt in Dirac-Notation folgendermaßen schreiben: φ, ψ = φ|ψ

(1.3)

Da jeder Hilbertraum ein Vektorraum ist, werden Wellenfunktionen auch als Zustandsvektoren bezeichnet. Der zu betrachtende Hilbertraum kann je nach quantenmechanischem System endlichdimensional oder unendlichdimensional sein. Wie in jedem Vektorraum lassen sich auch hier Basen spezifizieren, in

3 1.1 · Einleitung

denen die Zustände entwickelt werden können. Hierfür bietet es sich an, orthonormale Basen mit ψi , ψj  = ψi |ψj  = δi,j

(1.4)

zu wählen. Die Basis eines Hilbertraums ist außerdem vollständig, für eine gegebene Basis {|α} gelten die Vollständigkeitsrelationen |ψ =

 αi |ψ|αi 

⇔

1=

i



|αi αi | (endlichdimensional)

i

(1.5)

bzw.  |ψ =

 α|ψ|α dα ⇔ 1 =

|αα| dα (unendlichdimensional). (1.6)

Eine orthonormale Basis des Hilbertraums wird auch Darstellung genannt. An sich kann eine Darstellung willkürlich gewählt werden, jedoch ist es im Allgemeinen von Vorteil, eine an die Problemstellung angepasste Darstellung zu nutzen. Die beiden wichtigsten Darstellungen sind die Orts- und die Impulsdarstellung, nach deren Basisvektoren, die zwar selbst keine Elemente von L2 sind, sich jede hinreichend reguläre quadratintegrable Funktion entwickeln lässt. Die entsprechenden Basisvektoren haben die Form von diracschen DeltaDistributionen und ebenen Wellen. In Orts- bzw. Impulsdarstellung lässt sich für sie zeigen: ⎧ ⎨x|x  = δ(x − x ) i (1.7) Ortsdarstellung: 1  p·x ⎩x|p = 3 e 2 (2π ) ⎧ ⎨p|x = 1 3 e− i p·x (2π ) 2 Impulsdarstellung: (1.8) ⎩p|p  = δ(p − p ) Damit lassen sich dann allgemeine Zustände durch eine FourierTransformation mit  x|ψ =

 x|pp|ψ d3 p bzw. p|ψ =

p|xx|ψ d3 x

von einer Darstellung in die andere überführen.

(1.9)

1

4

1

Kapitel 1 · Mathematische Grundlagen und Formalismus

Neben Wellenfunktionen gibt es in der Quantenmechanik noch eine weitere wichtige Klasse mathematischer Objekte, die Operatoren. Während die Wellenfunktionen den Zustand eines Systems beschreiben, entsprechen die Operatoren physikalischen Größen wie Ort, Impuls oder Energie. Im Allgemeinen ist ein Operator eine Abbildung auf einem Vektorraum, also eine Vorschrift, die ein Element des Vektorraums in ein anderes Element des Vektorraums transformiert. Im Falle der Quantenmechanik überführt ein Operator dementsprechend eine Wellenfunktion in eine andere Wellenfunktion. In endlichdimensionalen Vektorräumen können Operatoren in Matrixform dargestellt werden. In einer gegebenen Basis {|αi } lässt sich ein Operator Aˆ dann über seine Matrixelemente ˆ j Aˆ ij = αi |A|α

(1.10)

beschreiben. Dies kann in der Form ˆ ˆ  A(α, α  ) = α|A|α

(1.11)

auch auf kontinuierliche (unendlichdimensionale) Basen angewandt werden. ˆ der auf dem Hilbertraum H wirkt, kann Jedem Operator A, † ein adjungierter Operator Aˆ zugeordnet werden, der eine Ab∗ bildung auf H ist, also †

ˆ ⇔ ψ  | = ψ|Aˆ . |ψ   = A|ψ

(1.12)

Aus den Eigenschaften des Skalarprodukts folgt damit †

ˆ ψ|A|φ = φ|Aˆ |ψ∗ .

(1.13)

Diese Relation kann auch als Definition des adjungierten Operators betrachtet werden. In der Quantenmechanik spielen hermitesche Operatoren eine zentrale Rolle, da sie Messgrößen (Observablen) beschreiben. Hermitesche Operatoren sind selbstadjungiert, es gilt † Aˆ = Aˆ .

(1.14)

5 1.1 · Einleitung

Eine weitere wichtige Klasse von Operatoren sind die unitären Operatoren. Unitäre Operatoren erhalten das Skalarprodukt und damit die Norm und spielen somit insbesondere in der quantenmechanischen Zeitentwicklung eine wichtige Rolle. Für sie gilt † −1 Uˆ = Uˆ .

(1.15)

Inverse und Adjungierte sind also identisch. Die Reihenfolge, in der Operatoren auf einen Zustand wirken, ist relevant: Für ein Produkt von Operatoren Aˆ Bˆ gilt geˆ nerell Aˆ Bˆ = Bˆ A. Der Kommutator ˆ B] ˆ = Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ [A,

(1.16)

zweier Operatoren Aˆ und Bˆ ist also im Allgemeinen ungleich null. Kommutieren zwei Operatoren miteinander, so sind die zugehörigen physikalischen Größen gemeinsam messbar, es existieren also gemeinsame Eigenvektoren. ˆ wenn Ein Vektor |a ist ein Eigenvektor eines Operators A, die Eigenwertgleichung ˆ A|a = a|a,

a∈C

(1.17)

erfüllt wird. Die komplexe Zahl a wird Eigenwert genannt. Im quantenmechanischen Messprozess kann der Eigenwert als Messwert einer physikalischen Größe bezüglich des Zustands |ψ des Systems interpretiert werden, wobei der physikalischen Größe ein Operator Aˆ zugeordnet wird. Hermitesche Operatoren, und somit alle quantenmechanischen Messgrößen, haben reelle Eigenwerte. Ist der Satz an Eigenvektoren vollständig im Sinne von Gl. (1.5) bzw. Gl. (1.6), so ergibt sich direkt die Spektraldarstellung von Operatoren mit   ˆ ˆ ai |ai ai | bzw. A = a|aa| da. (1.18) A= i

1

6

1

Kapitel 1 · Mathematische Grundlagen und Formalismus

Formelsammlung Hilbertraum, Skalarprodukt: ψ ∈ L2 ,



φ, ψL2 =

φ(ξ )∗ ψ(ξ ) dξ

Orthonormalbasis: ψi , ψj  = δi,j  |ai ai | bzw.

Vollsta¨ ndigkeitsrelation: 1 =



i

1=

|aa| da

Dirac-Notation: |ψ ∈ H ,

ψ| ∈ H ∗ ,

Skalarprodukt:

φ|ψ

Orts- und Impulsdarstellung: x|x  = δ(x − x ) und 1

p|x =

(2π )3/2 1

x|p =

(2π )3/2

i

− p·x e  i p·x

e

und

p|p  = δ(p − p ) † ˆ Adjungierte Operatoren: |ψ   = A|ψ ⇔ ψ  | = ψ|Aˆ † ˆ ψ|A|φ = φ|Aˆ |ψ∗

Hermitesche (selbstadjungierte) † Operatoren: Aˆ = Aˆ † −1 Unita¨ re Operatoren: Uˆ = Uˆ

ˆ B] ˆ = Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ Kommutator: [A, ˆ = a|a, a ∈ C Eigenwertgleichung: A|a  ˆ Spektraldarstellung: A = ai |ai ai | bzw. Aˆ =

1.2 1.2.1



i

a|aa| da

Aufgaben Wellenfunktion und Aufenthaltswahrscheinlichkeit

1 Aufgabenstellung Der Zustand eines Teilchens sei zum Zeitpunkt t = 0 durch die Wellenfunktion ⎧ x ⎪ ¨ 0≤x a > 0 sind. (i) Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zum Zeitpunkt t = 0 im Intervall [−∞, ∞] zu finden, soll 1 betragen. Bestimme dementsprechend die Normierungskonstante N. (ii) Skizziere die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t = 0 und bestimme daraus den Ort, an dem sich das Teilchen zu diesem Zeitpunkt mit der größten Wahrscheinlichkeit befindet. (iii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich das Teilchen im Intervall [−∞, a]? Betrachte auch die beiden speziellen Fälle b = a und b = 2a. (iv) Bestimme den Erwartungswert von x. ˆ 1 Lösung Die Wellenfunktion gibt uns nicht direkt den Aufenthaltsort eines Teilchens an. Vielmehr erhalten wir über ihr Betragsquadrat die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in einem gegebenen Raumbereich, d. h. die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in diesem Bereich zu finden. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist also eine wichtige Größe für die Beschreibung quantenmechanischer Systeme. 1 Lösung zu (i) Um die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in einem gegebenen Raumbereich zu bestimmen, müssen wir das Betragsquadrat der Wellenfunktion über diesen Bereich integrieren. Es soll also gelten:  ∞ ! dx |ψ(x, 0)|2 (1.20) 1= −∞ a



 x 2  b  b − x 2 dx N + dx N a b−a 0 a  a  b 2 2 N N dx x2 + dx (b − x)2 = 2 a 0 (b − a)2 a  0 N2 N 2 a3 + = 2 dy y2 a 3 (b − a)2 a−b =

N 2 a N 2 (b − a) + 3 3 N 2b = 3 =

(1.21) (1.22) (1.23) (1.24) (1.25)

Dabei wurde im vierten Schritt die Substitution y = x − b genutzt. Somit lautet die Normierungskonstante

1

8

Kapitel 1 · Mathematische Grundlagen und Formalismus



1

N=

3 . b

(1.26)

1 Lösung zu (ii) Aus . Abb. 1.1 kann man direkt ablesen, dass zum Zeitpunkt t = 0 die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens am Ort x = a am größten ist. 1 Lösung zu (iii) Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, das Teilchen links von x = a zu finden, integrieren wir das Betragsquadrat der Wellenfunktion von −∞ bis a. Wir erhalten  P(x < a) =

a −∞

dx |ψ(x, 0)|2 =

N2 a2

 0

a

dx x2 =

a N 2a = , 3 b (1.27)

wobei im letzten Schritt die in (i) bestimmte Normierungskonstante eingesetzt wurde. Für den Fall b = a ergibt sich demnach P(x < a) = 1 und für den Fall b = 2a P(x < a) = 21 , was auch aus der Symmetrie der Skizze ersichtlich ist.

. Abb. 1.1

Skizze der Wellenfunktion

9 1.2 · Aufgaben

1 Lösung zu (iv) Wir bestimmen den Erwartungswert von x: ˆ  x ˆ = = = =

=

= = =

∞

−∞

dx x |ψ(x, 0)|2 =

N 2 a2 N2 + 4 (b − a)2 N 2 a2

N 2 b2 (b2

 a

b

N2 a2

 0

a

dx x3 +

N2 (b − a)2



b a

dx x(b − x)2 (1.28)

dx (b2 x − 2bx2 + x3 )

− a2 )

2N 2 b(b3

− a3 )

(1.29) N 2 (b4

− a4 )

− + (1.30) 2(b − a)2 3(b − a)2 4(b − a)2  N2 3a2 (b − a)2 + 6b2 (b2 − a2 ) − 8b(b3 − a3 ) + 3(b4 − a4 ) 12(b − a)2 (1.31)  N2 3a2 b2 − 6a3 b + 3a4 + 6b4 − 6b2 a2 − 8b4 + 8ba3 + 3b4 − 3a4 12(b − a)2 (1.32)  2 N b4 − 3a2 b2 + 2ba3 (1.33) 12(b − a)2  2 N (1.34) b(b − a)2 (2a + b) 12(b − a)2 2a + b (1.35) 4 4

+

Im letzten Schritt wurde die Normierung der Wellenfunktion eingesetzt. Der Erwartungwert x ˆ hängt also direkt von der durch a und b festgelegten Form der Wellenfunktion ab.

1.2.2

Adjungation von Operatoren

1 Aufgabenstellung † ˆ für antihermitesche Für hermitesche Operatoren gilt Aˆ = A, † ˆ Operatoren Aˆ = −A. (i) Zeige, dass der Ableitungsoperator ∂ξ antihermitesch ist. (ii) Zeige, dass der Impulsoperator pˆξ = i ∂ξ hermitesch ist. (iii) Zeige, dass die zweifache Ableitung ∂ξ ∂ζ hermitesch ist.

∂ξ und ∂ζ sind dabei allgemeine Koordinatenableitungen. 1 Lösung In der Quantenmechanik begegnen uns viele hermitesche Operatoren, beispielsweise die Orts- und Impulsoperatoren xˆ und ˆ Die Hermitizität dieser Opepˆ und der Hamilton-Operator H. ratoren impliziert, dass ihre Eigenwerte reell sind. Es gibt aber auch antihermitesche Operatoren, wie die Ableitung ∂ξ oder

1

10

Kapitel 1 · Mathematische Grundlagen und Formalismus

1

Hinweis: Die Wellenfunktionen ψ sind Elemente eines Hilbertraums. Ein Hilbertraum ist ein mit einem Skalarprodukt versehener Vektorraum über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen, der vollständig bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten Norm ist. Das Skalarprodukt ist somit ein zentrales Element im Formalismus der Quantenmechanik.

die räumlichen Dirac-Matrizen γj und Operatoren, die weder hermitsch noch antihermitesch sind, z. B. die Auf- und Absteigeoperatoren des harmonischen Oszillators. In dieser Aufgabe führen wir einige Adjungationen explizit aus, um zu verstehen, was hinter der abstrakten Adjungation in Operatorschreibweise steckt. Zuerst muss die Adjungierte eines Operators Aˆ definiert werden. Diese ist mittels ihrer Matrixelemente gegeben. Auf einem Vektorraum F kann die Operation Aˆ : F → F ,

(1.36)

ˆ ψ → Aψ

(1.37)

mittels des Skalarprodukts ·, · über ihre Matrixelemente ˆ ˆ χ |A|ψ ≡ χ , Aψ

(1.38)

beschrieben werden. Der adjungierte Operator ist dann folgendermaßen definiert: †

ˆ ∗ χ |Aˆ |ψ := ψ|A|χ

(1.39)

In der linearen Algebra mit ihren endlich großen Matrizen entspräche dies einer Transposition (beachte den Platzwechsel ψ ↔ χ ) mit zusätzlicher komplexer Konjugation. Es bietet sich an, diese Aufgabe in der Ortsdarstellung zu lösen. Dann ist das Skalarprodukt das Integral über das Volumen, auf welchem die Wellenfunktionen definiert sind, d. h.  ˆ ˆ )ψ(ξ ) dξ. χ |A|ψ = χ ∗ (ξ )A(ξ (1.40) V

Die rechte Seite von Gl. (1.39) wird nun so umgeformt, dass sie nicht mehr transponiert ist, ψ und χ sollen also ihre Plätze tauschen. Dies kann in der Ortsdarstellung mit Hilfe von partiellen Integrationen erreicht werden. 1 Lösung zu (i) Die Matrixelemente der Ableitung ∂ξ sind gegeben durch  χ |∂ξ |ψ = χ ∗ (ξ )∂ξ ψ(ξ ) dξ. (1.41) V

Die Matrixelemente der adjungierten Ableitung haben damit die Form  ∗ χ |∂ξ† |ψ = ψ|∂ξ |χ ∗ = ψ ∗ (ξ )∂ξ χ (ξ ) dξ . (1.42) V

11 1.2 · Aufgaben

Nun wird zuerst die komplexe Konjugation ausgeführt: ∗ 1. ψ ∗ (ξ ) → ψ(ξ ) ∗

3.

χ (ξ ) → χ ∗ (ξ )

∗ V dξ → V dξ

4.

∂ξ → ∂ξ

2.

∗

Da wir reelle Integrationen und Ableitungen betrachten, ändern sich die letzten beiden Ausdrücke unter komplexer Konjugation nicht. Damit muss nun folgender Ausdruck weiter umgeformt werden:  ψ(ξ )∂ξ χ ∗ (ξ ) dξ (1.43) χ |∂ξ† |ψ = V

Nun steht die „Rücktransposition“ an. Dies kann mit Hilfe einer partiellen Integration erreicht werden:   χ |∂ξ† |ψ = ψ(ξ )χ ∗ (ξ ) ∂V −   

 V

  ∂ξ ψ(ξ ) χ ∗ (ξ ) dξ.

=0

(1.44) In der Quantenmechanik betrachten wir meist Wellenfunktionen mit kompaktem Träger, das Integrationsvolumen ist dabei endlich. Die Randbedingungen des Systems führen dann im Allgemeinen dazu, dass der erste Term in Gl. (1.44) null wird. In Situationen, in denen der Träger der Wellenfunktion nicht durch Randbedingungen eingeschränkt ist und das Integrationsvolumen somit unendlich wird (oft gilt V = R3 ), wird gefordert, dass ψ(ξ ) und χ (ξ ) im Unendlichen schnell genug abfallen sollen, um physikalisch sinnvolle Zustände zu repräsentieren. Ist dies der Fall, so nimmt das Integral über das Quadrat der Wellenfunktionen trotz der unendlichen Integralgrenzen einen endlichen Wert an. Die Wellenfunktionen sind demnach quadratintegrabel und normierbar und damit Elemente des Hilbertraums. Auch in diesen Situationen verschwindet der Randterm. Nun wird die Gleichung so umgestellt, dass ∂ξ† abgelesen werden kann:  χ|∂ξ† |ψ = −

V

  ∂ξ ψ(ξ ) χ ∗ (ξ )dξ =

 V

χ ∗ (ξ )(−∂ξ )ψ(ξ )dξ = χ| − ∂ξ |ψ (1.45)

1

12

1

Kapitel 1 · Mathematische Grundlagen und Formalismus

Es gilt damit ∂ξ† = −∂ξ . Die einfache Ableitung ist somit antihermitesch. Die Antihermitizität bzw. die Antisymmetrie der Ableitung wird insbesondere bei ihrer Diskretisierung deutlich. Betrachtet man ∂x f (x) =

f (x + a) − f (x − a) + O (a2 ) = 2a



1 1 δx+a,y − δx−a,y f (y) + O (a2 ), 2a 2a (1.46)

so wird deutlich, dass die zugehörige Matrix antisymmetrisch ist: ⎛

(∂x )x,y

0 +1 0 ... ⎜−1 0 +1 . . .  1 1 1 ⎜ ⎜ 0 −1 0 ... = δx+a,y − δx−a,y = ⎜ 2a 2a 2a ⎜ .. .. ⎝ . . 0 . . . 0 −1

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ .. ⎟ .⎠ 0 (1.47)

1 Lösung zu (ii) Der Impulsoperator lässt sich in Ortsdarstellung mit Hilfe eines Ableitungsoperators darstellen, er hat die Form pˆξ = i ∂ξ . Da wir in Teilaufgabe (i) bereits gezeigt haben, dass ∂ξ† = −∂ξ gilt, können wir dies nutzen und die Rechnung direkt in Operatorschreibweise durchführen:  pˆ†ξ

=

 ∂ξ i

†

 =

 i∗



  †     ∂ξ = − −∂ξ = ∂ξ = pˆξ i i (1.48)

Der Impulsoperator ist also hermitesch. Dies ist konsistent mit der Erwartung reeller Impulsmesswerte und somit reeller Eigenwerte des Impulsoperators. Wir haben die Hermitizität eines Impulsoperators gezeigt, der einem allgemeinen Ableitungsoperator zugeordnet ist. Damit sind alle so konstruierten Impulsoperatoren hermitesch, insbesondere die mit räumlichen Ableitungen assoziierten Impulsoperatoren pˆj , j = x, y, z, aber beispielsweise auch der in der Schrödinger-Gleichung auftretende Impulsoperator pˆ0 := i∂t .

13 1.2 · Aufgaben

1 Lösung zu (iii) Auch diese Aufgabe lässt sich in Operatorschreibweise schnell lösen. Wir nutzen, dass die Adjungation die Reihenfolge eines ˆ † = Bˆ † Aˆ † . Damit finden Operatorprodukts verändert: (Aˆ B) wir  †    ∂ξ ∂ζ = ∂ζ† ∂ξ† = −∂ζ −∂ξ = ∂ζ ∂ξ = ∂ξ ∂ζ . (1.49) Die Ableitungen dürfen im letzten Schritt vertauscht werden, da im Raum der hinreichend glatten Funktionen der Satz von Schwarz anwendbar ist. Auf eine Testfunktion angewandt sieht dies folgendermaßen aus:     ∂ζ ∂ξ ψ(ξ, ζ ) ≡ ∂ζ ∂ξ ψ(ξ, ζ ) = ∂ξ ∂ζ ψ(ξ, ζ ) = ∂ξ ∂ζ ψ(ξ, ζ ) (1.50)

Die zweifache Ableitung taucht in Form der kinetischen Enerpˆ2 2  2 = − 2m gie 2m ξ ∂ξ auf. Die kinetische Energie nimmt also ebenfalls reelle Werte an.

1.2.3

Kommutatoren

1 Aufgabenstellung Es seien der Ortsoperator xˆ und der Impulsoperator pˆ in einer Dimension mit der Kommutatorrelation [x, ˆ p] ˆ = i1 ≡ i

(1.51)

gegeben. Berechne für n ∈ N0 die folgenden Kommutatoren: (i) [x, ˆ pˆn ] (ii) [p, ˆ xˆ n ] (iii) [p, ˆ (xˆ − a)n ], a = const. (iv) [p, ˆ f (x)] ˆ 1 Lösung In dieser Aufgabe soll das Verhalten von Operatoren bezüglich der Kommutatorrelation untersucht werden. Es sollten jeweils an die entsprechenden Teilaufgaben angepasste Darstellungen der Operatoren verwendet werden. Dazu nutzen wir, dass die Kommutatorrelation (1.51) durch folgende Darstellungen der Orts- und Impulsoperatoren erfüllt wird: (a) Ortsdarstellung: xˆ = x, pˆ = −i∂x (b) Impulsdarstellung: xˆ = i∂p , pˆ = p

Hinweis: Der Satz von Schwarz besagt, dass die Reihenfolge, in der partielle Ableitungen nach den einzelnen Variablen von mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen ausgeführt werden, keinen Einfluss auf das Ergebnis hat, also ∂x ∂y f (x, y) = ∂y ∂x f (x, y).

1

14

1

Kapitel 1 · Mathematische Grundlagen und Formalismus

Wir überprüfen zunächst in der Ortsdarstellung, dass die Kommutatorrelation erfüllt ist. Dazu muss der Kommutator auf eine Testfunktion ψ(x) aus dem Hilbertraum angewandt werden. Diese soll hinreichend glatt (oft genug stetig differenzierbar) sein. Dann sieht der Kommutator folgendermaßen aus: [x, ˆ p]ψ(x) ˆ = {x(−i)∂x − (−i)∂x x} ψ(x) = {x(−i)∂x ψ(x) − (−i)∂x (xψ(x))}   = −i xψ  (x) − (xψ  (x) + ψ(x)) = iψ(x)

(1.52) (1.53) (1.54) (1.55)

Da die Testfunktion ψ beliebig ist, ist die Operatorrelation [x, ˆ p] ˆ = i erfüllt. Die Rechnung in der Impulsdarstellung verläuft analog. Es ist auch möglich, unter direkter Verwendung der Kommutatorrelation zu arbeiten, ohne eine spezifische Darstellung zu wählen. Dazu müssten jedoch einige weitere Relatioˆ Bˆ C] ˆ = nen für Kommutatoren gezeigt werden, wie z. B. [A, ˆ A, ˆ C]+[ ˆ ˆ B] ˆ C. ˆ Die Rechnungen sind zudem durch die Wahl B[ A, geeigneter Darstellungen eleganter, und insbesondere schneller durchzuführen. 1 Lösung zu (i) In dieser Aufgabe bietet sich die Impulsdarstellung mit einer Testfunktion ψ(p) an, da dann nur pn abgeleitet werden muss: [x, ˆ pˆn ]ψ(p) = [i∂p , pn ]ψ(p)

n

(1.56)

= i[∂p , pn ]ψ(p)   = i ∂p (pn ψ(p)) − pn ∂p ψ(p)  = i npn−1 ψ(p) + pn ψ  (p) − pn ψ  (p)

(1.57)

= i npn−1 ψ(p)

(1.60)

⇒ [x, ˆ pˆ ] = i npˆ

n−1

(1.58) (1.59)

(1.61)

1 Lösung zu (ii) Für die Lösung dieser Aufgabe bietet sich die Ortsdarstellung mit einer Testfunktion ψ(x) an, da dann lediglich xn abgeleitet werden muss: [p, ˆ xˆ n ]ψ(x) = [−i∂x , xn ]ψ(x) (1.62) n = −i[∂x , x ]ψ(x) (1.63)   n n = −i ∂x (x ψ(x)) − x ∂x ψ(x) (1.64)  = −i nxn−1 ψ(x) + xn ψ  (x) − xn ψ  (x) (1.65)

15 1.2 · Aufgaben

= −i nxn−1 ψ(x) n

⇒ [p, ˆ xˆ ] = −i nxˆ

n−1

(1.66) (1.67)

1 Lösung zu (iii) Hier bietet sich wieder die Ortsdarstellung mit einer Testfunktion ψ(x) an. Dabei ist zu beachten, dass mit der Zahl a immer implizit a · 1 gemeint ist. Da der Term a · 1 bei der Ableitung verschwindet, verläuft die Rechnung analog zu (ii): [p, ˆ (xˆ − a)n ]ψ(x) = [−i∂x , (x − a)n ]ψ(x)

(1.68)

= −i[∂x , (x − a)n ]ψ(x) (1.69)   = −i ∂x ((x − a)n ψ(x)) − (x − a)n ∂x ψ(x) (1.70)  = −i n(x − a)n−1 ψ(x) + (x − a)n ψ  (x) − (x − a)n ψ  (x) (1.71) = −i n(x − a)

n−1

ψ(x)

(1.72)

⇒ [p, ˆ (xˆ − a)n ] = −i n(xˆ − a)n−1

(1.73)

1 Lösung zu (iv) In dieser Aufgabe bietet sich erneut die Ortsdarstellung an: [p, ˆ f (x)]ψ(x) ˆ = −i[∂x , f (x)]ψ(x) (1.74) = −i {∂x (f (x)ψ(x)) − f (x)∂x ψ(x)} (1.75)   = −i f  (x)ψ(x) + f (x)ψ  (x) − f (x)ψ  (x) (1.76) = −if  (x)ψ(x) ⇒ [p, ˆ f (x)] ˆ = −if  (x) ˆ

(1.77) (1.78)

1 Diskussion Die gefunden Lösungen sind nützlich, um Kommutatoren zwischen Funktionen von Orts- und Impulsoperatoren zu berechnen, wie dies z. B. in Aufgabe 2.2.1 und 2.2.2 geschieht. Dort wird dann der Kommutator aus pˆ und dem Potential V (x) ˆ zum Gradienten des Potentials.

1.2.4

Eigenwertproblem in Matrixdarstellung

1 Aufgabenstellung Wir betrachten ein System, das durch den Hamilton-Operator

1

16

Kapitel 1 · Mathematische Grundlagen und Formalismus

Hˆ = a (|ψ1 ψ2 | + |ψ2 ψ1 |)

1

(1.79)

beschrieben wird. Hierbei soll a ∈ R gelten, und |ψ1  und |ψ2  sollen orthonormal zueinander sein, also ψi |ψj  = δij . (i) Ist Hˆ ein Projektionsoperator? (ii) Zeige, dass |ψ1  und |ψ2  keine Eigenzustände von Hˆ sind. (iii) Bestimme die Eigenwerte und die zugehörigen normierten ˆ Eigenzustände von H. (iv) Finde die Matrixdarstellung von Hˆ in der durch |ψ1  und |ψ2  gebildeten Basis und bestimme die Eigenvektoren und ˆ Eigenwerte von H. 1 Lösung In dieser Aufgabe soll das Eigenwertproblem für einen HamiltonOperator explizit in Matrixdarstellung betrachtet werden. Niedrigdimensionale Systeme, die nur eine geringe Anzahl verschiedener Zustände einnehmen können, werden oft in Matrixdarstellung aufgeschrieben und gelöst. Prominente Beispiele dafür sind das Zwei-Zustands-System (Aufgabe 2.2.7) und Spinsysteme wie Spin- 21 - (Aufgabe 3.2.3) oder Spin-1-Teilchen (Aufgabe 3.2.4) in externen Magnetfeldern. Hinweis: Ein Projektionsoperator bildet einen Zustand |ψ auf einen Unterraum des Hilbertraums ab. Da eine Messung mathematisch als Projektion auf einen zu einem Eigenwert gehörigen Unterraum dargestellt werden kann, spielen Projektionsoperatoren im quantenmechanischen Messprozess eine wichtige Rolle.

1 Lösung zu (i) 2 ˆ Also müssen wir Für Projektionsoperatoren Pˆ gilt Pˆ = P. 2 prüfen, ob Hˆ die Relation Hˆ = Hˆ erfüllt. Wir berechnen also

2 Hˆ :

2 Hˆ = a2 (|ψ1 ψ2 | + |ψ2 ψ1 |)(|ψ1 ψ2 | + |ψ2 ψ1 |)

(1.80) 2

= a (|ψ1 ψ2 |ψ1 ψ2 | + |ψ1 ψ2 |ψ2 ψ1 |

(1.81)

+ |ψ2 ψ1 |ψ1 ψ2 | + |ψ2 ψ1 |ψ2 ψ1 |)

(1.82)

2

= a (|ψ1 ψ1 | + |ψ2 ψ2 |)

(1.83)

Dabei wurde im letzten Schritt die Orthonormalität von |ψ1  und |ψ2  genutzt. 2 ˆ was bedeutet, dass Hˆ kein ProjektionsHˆ ist also ungleich H, operator ist.

1 Lösung zu (ii) Um herauszufinden, ob |ψ1  und |ψ2  Eigenzustände von Hˆ sind, wenden wir Hˆ auf die beiden Zustände an und nutzen wiederum, dass |ψ1  und |ψ2  orthonormal zueinander sind. Wir finden ˆ 1  = a(|ψ1 ψ2 | + |ψ2 ψ1 |)|ψ1  = a|ψ2  H|ψ

(1.84)

17 1.2 · Aufgaben

und ˆ 2  = a(|ψ1 ψ2 | + |ψ2 ψ1 |)|ψ2  = a|ψ1 . H|ψ

(1.85)

ˆ |ψ1  und |ψ2  sind also keine Eigenzustände von H. 1 Lösung zu (iii) Um die Eigenzustände von Hˆ zu finden, betrachten wir einen allgemeinen normierten Zustand |ψ = α1 |ψ1  + α2 |ψ2  und wenden Hˆ auf ihn an: ˆ H|ψ = a(|ψ1 ψ2 | + |ψ2 ψ1 |)|ψ = a(|ψ1 ψ2 | + |ψ2 ψ1 |)(α1 |ψ1  + α2 |ψ2 ) = a(α2 |ψ1  + α1 |ψ2 )

(1.86) (1.87) (1.88)

Damit |ψ ein Eigenzustand ist, muss |ψ die Eigenwertgleiˆ chung H|ψ = E|ψ mit Eigenwert E erfüllen. Es muss also gelten: |α1 | = |α2 |

⇒

α1 = ±α2

(1.89)

Da |ψ normiert sein soll, ergibt sich außerdem ψ|ψ = |α1 |2 + |α2 |2 = 1

(1.90)

und damit 1 |α1 | = |α2 | = √ . 2

(1.91)

Die Eigenzustände von Hˆ haben somit die Form 1 |ψ±  = √ (|ψ1  ± |ψ2 ) 2

(1.92)

mit den Eigenwerten ±a: ˆ ±  = ±a|ψ±  H|ψ

(1.93)

1 Lösung zu (iv) Um die Matrixdarstellung von Hˆ in der durch |ψ1  und |ψ2  gebildeten Basis zu finden, berechnen wir mit Hilfe der Ergebnisse aus (ii) die Matrixelemente: ˆ 1  = aψ1 |ψ2  = 0 H11 = ψ1 |H|ψ

(1.94)

ˆ 2  = aψ1 |ψ1  = a H12 = ψ1 |H|ψ

(1.95)

ˆ 1  = aψ2 |ψ2  = a = ψ2 |H|ψ

(1.96)

ˆ 2  = aψ2 |ψ1  = 0 H22 = ψ2 |H|ψ

(1.97)

H21

1

18

1

Kapitel 1 · Mathematische Grundlagen und Formalismus

Somit ergibt sich  01 ˆ H =a . 10

(1.98)

Die zugehörigen Eigenwerte sind λ = ±a, die Eigenvektoren lauten  1 1 |ψ±  = √ . (1.99) ±1 2

1.2.5

Der Impulsoperator als Generator von Translationen

Der Translationsoperator Tˆ überführt einen Zustand |x in einen Zustand |x  = |x + dx, also Tˆ (dx)|x = |x + dx. Auf einen allgemeinen Zustand |ψ angewandt ergibt sich   Tˆ (dx)|ψ = Tˆ (dx) dx |xx|ψ = dx |x + dxx|ψ. (1.100) Wir fordern die folgenden Eigenschaften für den Translationsoperator: 1. Unitarität: Wird der Translationsoperator auf einen normierten Zustand angewandt, so soll der resultierende Zustand ebenfalls normiert sein, es muss also † ψ|ψ = Tˆ (dx)ψ|Tˆ (dx)ψ = ψ|Tˆ (dx)Tˆ (dx)|ψ

(1.101)

2.

† gelten, was Tˆ (dx)Tˆ (dx) = 1 impliziert, somit muss Tˆ unitär sein. Verknüpfung von Translationen: Für zwei aufeinanderfolgende Translationen gilt

Tˆ (dx )Tˆ (dx) = Tˆ (dx + dx ). 3.

Inverse Operation: Eine Translation Tˆ (−dx) ist die inverse Operation zur Translation Tˆ (dx), es gilt also −1 Tˆ (−dx) = Tˆ (dx).

4.

(1.102)

(1.103)

Für dx → 0 wird der Translationsoperator zur Identitätsoperation lim Tˆ (dx) = 1.

dx→0

(1.104)

19 1.2 · Aufgaben

1 Aufgabenstellung (i) Zeige, dass sich ein unitärer Operator Uˆ als Exponentialfunktion eines hermiteschen Operators Kˆ darstellen lässt, † † ˆ also Uˆ = ei K mit Kˆ = Kˆ und Uˆ Uˆ = 1. ˆ −i K dx für einen hermiteschen Ope(ii) Zeige, dass Tˆ (dx) = e ˆ rator K die Bedingungen (1.101) bis (1.104) erfüllt. Stelle eine Beziehung zwischen dem Operator Kˆ und dem Impulsoperator pˆ durch eine physikalisch sinnvolle Wahl der Konstanten c in Kˆ = cpˆ her. Es bietet sich an, hierzu eine Dimensionsanalyse durchzuführen. 1 Lösung In der klassischen Mechanik assoziieren wir den Impuls mit Translationen im Raum. In dieser Aufgabe wird gezeigt, dass der Impuls in Form des Impulsoperators pˆ auch in der Quantenmechanik mit räumlichen Translationen verknüpft ist. Man spricht auch vom Impulsoperator als Generator von Translationen. 1 Lösung zu (i) ˆ Wir wollen zeigen, dass ein Operator der Form Uˆ = ei K , † mit Kˆ = Kˆ , unitär ist. Dafür zeigen wir, dass die Beziehung † Uˆ Uˆ = 1 gilt. Dazu nutzen wir die Summendarstellung des Operatorexponentials ˆ Uˆ = ei K =

 (i Kˆ )n n

n!

.

(1.105)

Für den adjungierten Operator gilt damit n  ˆ †   (i Kˆ )n †   (i Kˆ )n †  (−i)n (Kˆ )† † = = Uˆ = ei K = . n! n! n! n n n (1.106)

ˆ † = Bˆ † Aˆ † gilt, woraus (Kˆ n )† = Jetzt nutzen wir, dass (Aˆ B) † (Kˆ )n folgt. Damit ergibt sich † Uˆ =

 (−i)n (Kˆ n )†  (−i)n (Kˆ † )n  (−i)n Kˆ n ˆ = = = e−i K . n! n! n! n n n (1.107)

Hinweis: Für ein inneres Produkt (·, ·) gilt: ˆ † φ, ψ) = ((Aˆ B) ˆ (φ, Aˆ Bψ) = † ˆ ˆ (A φ, Bψ) = † † (Bˆ Aˆ φ, ψ) ⇔ ˆ † = Bˆ † Aˆ † (Aˆ B)

1

20

Kapitel 1 · Mathematische Grundlagen und Formalismus

Im vorletzten Schritt wurde die Hermitizitätsforderung Kˆ = † Kˆ genutzt.

1

† Aus den für Uˆ und Uˆ gefundenden Ausdrücken folgt dann † ˆ ˆ Uˆ Uˆ = ei K e−i K = 1, somit ist U unitär.

1 Lösung zu (ii) Wir gehen nacheinander die Bedingungen (1.101) bis (1.104) durch: 1. Unitarität: Aus (i) wissen wir, dass ein Operator der Form † ˆ Tˆ (dx) = ei K dx unitär ist, wenn Kˆ = Kˆ gilt. Da Kˆ hermitesch sein soll, ist diese Bedingung erfüllt, und Tˆ (dx) ist somit unitär. 2. Verknüpfung von Translationen: Durch Einsetzen der Exponentialform des Translationsoperators finden wir Hinweis: Bei der Dimensionsanalyse wird der Zusammenhang verschiedener physikalischer Größen auf Basis ihrer Einheiten studiert. Die Einheiten der physikalischen Größen werden hierzu durch Basiseinheiten (meist SIEinheiten) ausgedrückt. Eine Dimensionsanalyse ist insbesondere hilfreich, um generelle Einsichten in Probleme zu gewinnen, für die die exakte Relation unbekannt ist.

 ˆ  ˆ ˆ Tˆ (dx )Tˆ (dx) = e−i K dx e−i K dx = e−i K (dx +dx) = Tˆ (dx + dx). (1.108)

3.

Inverse Operation: In der Exponentialdarstellung finden ˆ wir Tˆ (−dx) = ei K dx und somit ˆ ˆ ˆ Tˆ (−dx)Tˆ (dx) = ei K dx e−i K dx = ei K (dx−dx) = 1, (1.109)

4.

Tˆ (−dx) ist also die inverse Operation zu Tˆ (dx). Grenzwert für dx → 0: ˆ lim Tˆ (dx) = lim e−i K dx = 1.

dx→0

dx→0

(1.110)

ˆ Somit erfüllt Tˆ (dx) = e−i K dx die Bedingungen (1.101) bis (1.104), der Operator Kˆ ist also ein Generator infinitesimaler Translationen. In der klassischen Mechanik ist der Impuls der Generator infinitesimaler Translationen. Der Operator Kˆ kann jedoch nicht direkt mit dem Impulsoperator identifiziert werden, da die Größe Kˆ dx dimensionslos sein muss. Dies bedeutet, dass Kˆ die Dimension einer inversen Länge haben muss. Wir wählen den Ansatz Kˆ = cp, ˆ wobei c eine Konstante ist. Also muss

[c][p][dx] ˆ = [c]

ML ML 1 L = [c] LT = [c]FLT = [c]ET = 1 ⇔ [c] = T ET T2 (1.111)

gelten, wobei M, L, T , F und E jeweils die Dimensionen der Masse, der Länge, der Zeit, der Kraft und der Energie sind. 1c hat somit die Dimension einer Wirkung. Da  als fundamenta-

21 1.2 · Aufgaben

le Konstante in der Quantenmechanik ebenfalls die Dimension einer Wirkung hat, ist es sinnvoll, hier c = 1 zu setzen. Die Dimensionsanalyse legt c = 1 jedoch nicht eindeutig fest. Um c explizit zu bestimmen, muss man eine TaylorEntwicklung von Tˆ (dx) durchführen und das Ergebnis mit dem Kommutator [x, ˆ p] ˆ vergleichen. Dies führt zu c = 1 . 1 Mit c =  hat der Translationsoperator dann die Form pˆ Tˆ (dx) = e−i  dx , was bedeutet, dass der Impulsoperator demnach auch in der Quantenmechanik die Funktion des Generators von Translationen hat. 1 Diskussion Wir kennen einen Operator mit einer sehr ähnlichen Form, i ˆ den Zeitentwicklungsoperator Uˆ (t) = e−  Ht . In Analogie zur Funktion des Impulsoperators als Translationsgenerator, generiert der Hamilton-Operator die Zeitentwicklung. Aus der Hermitizität des Hamilton-Operators lässt sich ableiten, dass die generierte Zeitentwicklung unitär, also wahrscheinlichkeitserhaltend, ist. Dieses Konzept, das einen hermiteschen Operator mit einer unitären Gruppe verknüpft, lässt sich verallgemeinern und wird in der Funktionalanalysis vom Satz von Stone beschrieben.

1.2.6

Wechsel zwischen Orts- und Impulsdarstellung

1 Aufgabenstellung (i) Bestimme die Form des Impulsoperators in der Ortsdarstellung, d. h. finde einen Ausdruck für κ in x|p|ψ ˆ = κx|ψ. Entwickle hierzu den in Aufgabe 1.2.5 eingeführpˆ ten Translationsoperator Tˆ (dx) = e−i  dx bis zur ersten Ordnung und betrachte dessen Wirkung auf einen allgemeinen Zustand |ψ. (ii) Die Orts- und die Impulsdarstellung eines Zustands lassen sich mit Hilfe der Vollständigkeitsrelation über  x|ψ =

 dp x|pp|ψ und p|ψ =

dx p|xx|ψ (1.112)

verknüpfen. Finde die Transformationsfunktion x|p. Hierzu kann der in (i) bestimmte Impulsoperator in Ortsdarstellung verwendet werden.

1

22

1

Kapitel 1 · Mathematische Grundlagen und Formalismus

Welche Relation zwischen den Darstellungen impliziert das Ergebnis? (iii) Bestimme nun mit Hilfe der in (ii) hergeleiteten Relation den Ortsoperator in Impulsdarstellung. 1 Lösung Orts- und Impulsdarstellung sind die beiden wichtigsten Darstellungen in der Quantenmechanik. Je nach Problemstellung kann es sinnvoll sein, die Darstellung zu wechseln, da sich dadurch manche Rechnungen stark vereinfachen lassen. 1 Lösung zu (i) Wir entwickeln zunächst den Translationsoperator bis zur ersten Ordnung: i i ˆ ˆ ≈ 1 − pdx Tˆ (dx) = e−  pdx 

(1.113)

Dies ist ausreichend, da dx als klein angenommen wird. Der nächste Term der Entwicklung ist bereits proportional zu (dx)2 und damit vernachlässigbar. Um einen Ausdruck für den Impulsoperator in Ortsdarstellung zu finden, wenden wir den bis zur ersten Ordnung entwickelten Translationsoperator auf einen allgemeinen Zustand |ψ an:   i 1 − pdx ˆ |ψ = Tˆ (dx) dx |xx|ψ (1.114)    = dx |x + dxx|ψ = dx |xx − dx|ψ (1.115)

Im dritten Schritt wurde x → x − dx substituiert. Um die linke und die rechte Seite dieser Gleichung vergleichen zu können, hilft es, die auftretenden Terme strukturell anzugleichen. Dafür schreiben wir x − dx|ψ als x − dx∂x x|ψ = (1 − dx∂x )x|ψ. Daraus folgt:    i ˆ |ψ = dx|x x|ψ − dx∂x x|ψ (1.116) 1 − pdx  Ein Vergleich der beiden Seiten liefert den Impulsoperator in Ortsdarstellung: x|p|ψ ˆ = −i∂x x|ψ

(1.117)

23 1.2 · Aufgaben

1 Lösung zu (ii) Wir bestimmen nun die Transformationsfunktion x|p. Hierzu nutzen wir die Ortsdarstellung des Impulsoperators aus (i) und wenden sie auf |p, einen Eigenzustand des Impulsoperators, an. Wir betrachten also x|p|p ˆ = −i

∂ x|p. ∂x

(1.118)

Da |p eine Eigenfunktion von pˆ ist, können wir die linke Seite von Gl. (1.118) folgendermaßen umschreiben: x|p|p ˆ = px|p

(1.119)

p ist dabei der Eigenwert des Impulsoperators zum Eigenvektor |p. Verbinden wir diese beiden Darstellungen, so erhalten wir die Differentialgleichung px|p = −i

∂ x|p. ∂x

(1.120)

Die Lösung dieser Gleichung lautet i

x|p = Ne  px ,

(1.121)

wobei N ein Normierungsfaktor ist. Zur Bestimmung von N betrachten wir die Definition der Delta-Distribution und nutzen wieder die Vollständigkeitsrelation, um die zuvor bestimmte Form von x|p nutzen zu können: δ(x − x ) = x|x  =



dp x|p p|x  = |N|2



i p(x−x )

dp e 

= 2π |N|2 δ(x − x )

(1.122)

i



Dabei haben wir verwendet, dass p|x  = x |p∗ = N ∗ e−  x gilt. Im letzten Schritt haben wir außerdem genutzt, dass die Fourier-Transformation einer konstanten Funktion eine DeltaDistribution ist. Mit der Normierungskonstanten N = √ 1 ergibt sich die 2π  Transformationsfunktion i 1 x|p = √ e  px . 2π 

(1.123)

Wir finden damit 1 x|ψ = √ 2π



i

dp e  px p|ψ und p|ψ = √

1 2π



i

dx e−  px x|ψ. (1.124)

Hinweis: Der in Gl. (1.122) auftretende Faktor 2π lässt sich auf die hier gewählte Definition der FourierTransformation zurückführen. Da bezüglich der Wahl dieses Faktors bei FourierTransformationen verschiedene Konventionen existieren, ändert sich der hier berechnete Normierungsfaktor bei der Nutzung einer anderen Konvention geringfügig.

1

24

1

Kapitel 1 · Mathematische Grundlagen und Formalismus

Orts- und Impulsdarstellung sind also über eine FourierTransformation miteinander verbunden. 1 Lösung zu (iii) Nun wollen wir einen Ausdruck für den Ortsoperator in der Impulsdarstellung finden. Wir betrachten   p|x|ψ ˆ = dx p|x|xx|ψ ˆ = dx xp|xx|ψ, (1.125) wobei wir die Eigenwertgleichung x|x ˆ = x|x genutzt haben. Wir können jetzt die Transformationsfunktion (Gl. 1.123) einsetzen:  i 1 e−  px x|ψ (1.126) p|x|ψ ˆ = dx x √ 2π  i

Der Ausdruck xe−  px lässt sich umschreiben als i

xe−  px = i

∂ − i px e  . ∂p

(1.127)

Damit folgt dann  p|x|ψ ˆ =

= i

i x ∂ dx √ e−  px x|ψ = i ∂p 2π 

∂ ∂p

 dx p|xx|ψ = i



i 1 dx √ e−  px x|ψ 2π  (1.128)

∂ p|ψ. ∂p

(1.129)

Der Ortsoperator in Impulsdarstellung lautet also p|x|ψ ˆ = i

∂ p|ψ. ∂p

(1.130)

Der Ortsoperator in Impulsdarstellung nimmt wie der Impulsoperator in Ortsdarstellung die Form eines Differentialoperators an.

25

Schrödinger-Gleichung Inhaltsverzeichnis 2.1 2.2

Einleitung – 26 Aufgaben – 29 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5

Das Ehrenfest-Theorem – 29 Die allgemeine Version des Ehrenfest-Theorems – 32 Kontinuitätsgleichung für die Quantenmechanik – 35 Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung – 38 Eigenschaften der Lösungen der Schrödinger-Gleichung – 42 2.2.6 Gauß-Paket – 45 2.2.7 Zeitentwicklung eines Zwei-Zustands-Systems – 52 2.2.8 Zerfall eines Teilchens – 55 2.2.9 Invarianzen der Schrödinger-Gleichung – 58 2.2.10 Schrödinger- vs. Heisenberg-Bild – 64

Literatur – 68

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Ochner (Hrsg.), Quantenmechanik Schritt für Schritt, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61562-1_2

2

26

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

2.1

2

Einleitung

Die Schrödinger-Gleichung ist die zentrale Gleichung der Quantenmechanik, da sie die Zeitentwicklung der Wellenfunktion und somit des Zustands eines quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie erfüllt die Funktion einer Bewegungsgleichung. Die Schrödinger-Gleichung ist eine lineare partielle Differentialgleichung. In ihrer allgemeinsten Form lautet sie ˆ i∂t ψ(t) = Hψ(t),

(2.1)

wobei Hˆ der Hamilton-Operator des betrachteten Systems und ψ(t) eine allgemeine zeitabhängige Wellenfunktion ist. Da hier keinerlei Annahme über die Form des Hamilton-Operators getroffen werden muss, kommt die Schrödinger-Gleichung in dieser Form in fast allen quantenmechanischen Problemstellungen, einschließlich relativischer Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie, vor. Die Linearität der Schrödinger-Gleichung führt direkt dazu, dass Superpositionen von Wellenfunktionen und somit Interferenzeffekte auftreten können. Der Messprozess, bei dem ein Übergang („Kollaps“) von einem Superpositionszustand in einen reinen Zustand stattfindet, kann also aufgrund ihrer Linearität nicht durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben werden. In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird die Schrödinger-Gleichung meist in Ortsdarstellung verwendet. Für die Wellenfunktion ψ(x, t) eines nichtrelativistischen Teilchens der Masse m in einem Potential V (x) hat sie die Form   2  2 ˆ ∇ + V (x) ψ(x, t). t) = − i∂t ψ(x, t) = Hψ(x, 2m (2.2) Eine spezielle Klasse von Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind die stationären Zustände, die die zeitunabhängige SchrödingerGleichung ˆ = Eψ Hψ

(2.3)

lösen, wobei der Hamilton-Operator Hˆ keine explizite Zeitabhängigkeit aufweisen darf. Die zeitunabhängige SchrödingerGleichung hat die Form einer Eigenwertgleichung, ihre rechte Seite liefert die zum Hamilton-Operator gehörigen Energieeigenwerte E.

27 2.1 · Einleitung

Die stationären Zustände sind nicht nur als Lösungen spezifischer Probleme (Kap. 4) relevant, sondern können auch zur Konstruktion allgemeiner Zustände verwendet werden. Hierzu wird die allgemeine Lösung der zeitabhängigen SchrödingerGleichung nach den stationären Zuständen entwickelt: ψ(x, t) =



cn φn (x)e−

iEn t 

(2.4)

n

Dabei sind En die Energieeigenwerte bezüglich der stationären Zustände φn (x). Der exponentielle Faktor lässt sich als Lösung des zeitabhängigen Teils herleiten, wenn man die SchrödingerGleichung mit einem Separationsansatz ψ(x, t) = φ(x)χ (t) löst (Aufgabe 2.2.4). Über die Schrödinger-Gleichung lässt sich auch die Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ = |ψ|2

(2.5)

berechnen. Aus der Kontinuitätsgleichung ∂ ρ + ∇j = 0 ∂t

(2.6)

ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j=

i (ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ). 2m

(2.7)

Die von dieser Kontinuitätsgleichung beschriebene Erhaltungsgröße ist die Wahrscheinlichkeit. Dies bedeutet, dass die Norm eines Zustands über die Zeit erhalten bleibt, die Zeitentwicklung ist also unitär. Die Zeitentwicklung eines Systems lässt sich in der Quantenmechanik aber nicht nur über die Schrödinger-Gleichung beschreiben. Im Schrödinger-Bild sind die Zustände zeitabhängig und werden über die Schrödinger-Gleichung bzw. den aus dem Operatorexponential des Hamilton-Operators gebildeten Zeiti ˆ entwicklungsoperator Uˆ (t) = e−  Ht entwickelt. Operatoren können im Schrödinger-Bild höchstens eine explizite Zeitabhängigkeit aufweisen: d ˆ ∂ AS = Aˆ S dt ∂t

(2.8)

2

28

2

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

Im Gegensatz dazu sind im Heisenberg-Bild die Zustände stationär, während die Operatoren zeitabhängig sind. Ihre Zeitentwicklung wird durch die heisenbergsche Bewegungsgleichung dAˆ H i = [Hˆ H , Aˆ H ] + (∂t Aˆ S )H dt 

(2.9)

beschrieben. Trotz dieser Unterschiede sind die beiden Bilder1 äquivalent, insbesondere liefern beide dieselben Erwartungswerte. Zustände im Schrödinger- und Heisenberg-Bild lassen sich durch die folgenden Relationen in einander transformieren: ψH = ψS (0)

(2.10)

†

Aˆ H (t) = Uˆ (t)Aˆ S Uˆ (t)

(2.11)

Formelsammlung

ˆ ¨ Zeitabh¨angige Schrodinger-Gleichung: i∂t ψ(t) = Hψ(t) ˆ = Eψ ¨ Hψ Zeitunabh¨angige Schrodinger-Gleichung:   2 in Ortsdarstellung: − Δ + V (x) φ(x) = Eφ(x) 2m  iEn t Entwicklung nach station¨aren Zust¨anden: ψ(x, t) = cn φn (x)e−  n

Wahrscheinlichkeitsdichte: ρ = |ψ|2 Wahrscheinlichkeitsstromdichte: j =

i (ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ) 2m

∂ ρ + ∇j = 0 ∂t  ˆ ψ = ˆ ψ ∗ (x, t)Aψ(x, t) dV Erwartungswert eines Operators: A Kontinuit¨atsgleichung:

V

ˆ Zeitentwicklungsoperator: Uˆ (t) = e−  Ht , i

|ψ(t) = Uˆ (t, t0 )|ψ(t0 )

¨ (Schrodinger-Bild) Heisenbergsche Bewegungsgleichung:

dAˆ H i = [Hˆ H , Aˆ H ] + (∂t Aˆ S )H dt  (Heisenberg-Bild)

¨ Transformation zwischen Schrodinger- und Heisenberg-Bild: ψH = ψS (0), † Aˆ H (t) = Uˆ (t)Aˆ S Uˆ (t)

1

Neben dem Schrödinger- und dem Heisenberg-Bild existiert außerdem noch das Wechselwirkungsbild, in dem sowohl Operatoren als auch Zustände eine Zeitabhängigkeit besitzen. Das Wechselwirkungsbild wird vor allem in feldtheoretischen Problemstellungen genutzt.

29 2.2 · Aufgaben

Aufgaben

2.2 2.2.1

Das Ehrenfest-Theorem

1 Aufgabenstellung Zeige, dass das aus der klassischen Mechanik bekannte Gesetz

F=

dp dt

(2.12)

ˆ ψ und in der Quantenmechanik für die Erwartungswerte F ˆ p ˆ ψ der Operatoren F und pˆ bezüglich eines Zustands ψ gilt. Dabei soll F ein Gradientenfeld sein, es soll also F = −∇V für ein Potential V (x) gelten. Nutze dazu die Definition des Erwartungswerts und die Schrödinger-Gleichung. 1 Lösung Der in der Aufgabe zu führende Beweis beleuchtet den Zusammenhang zwischen der Zeitentwicklung der Erwartungswerte quantenmechanischer Operatoren und den Bewegungsgleichungen der klassischen Physik. Es ist folgende quantenmechanische Beziehung zu zeigen: ˆ ψ= F

d p ˆ ψ. dt

(2.13)

Diese ist eng verwandt mit dem zweiten newtonschen Axiom F = ma. Da Fˆ als Gradient eines Potentials gegeben ist, soll also gezeigt werden, dass die Zeitableitung des Erwartungswerts des Impulsoperators pˆ gleich dem Erwartungswert des Gradienten des Potentials ist: d p ˆ ψ = −∇V (x)ψ dt

(2.14)

Der Erwartungswerts eines Operators Aˆ bezüglich eines Zustands |ψ wird folgendermaßen definiert:  ˆ ψ= ψ ∗ (x, t)Aˆ ψ (x, t) dV (2.15) A V

Wir nutzen dies, um die Zeitableitung des Erwartungswerts p ˆ ψ zu bestimmen:

2

30

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

d d d p ˆ ψ = ψ|p|ψ ˆ = dt dt dt

2

 V

 ψ ∗ (x, t) ∇ψ(x, t)d3 x i (2.16)

Wir nehmen ein zeitlich konstantes Integrationsvolumen an; demnach kann die Zeitableitung in Form einer partiellen Ableitung in das Integral gezogen werden. Außerdem nutzen wir, dass der Impulsoperator im Schrödinger-Bild nicht von der Zeit abhängt und die Zeitableitung somit nur auf die Wellenfunktionen ψ, ψ ∗ wirkt. Damit ergibt sich:  d p ˆψ = dt i

 V

  ∂t ψ ∗ (x, t)∇ψ(x, t) + ψ ∗ (x, t)∇∂t ψ(x, t) d3 x (2.17)

Achtung: Die SchrödingerGleichung ist für die Wellenfunktion ψ formuliert, nicht für ψ ∗ .

Hinweis: Ableitungsoperatoren sind reell und werden somit nicht von komplexer Konjugation beeinflusst. Sie sind aber antihermitesch, ∂ξ† = −∂ξ (siehe auch Aufgabe 1.2.2).

Die Zeitableitung des Erwartungswerts enthält somit auch Zeitableitungen der Wellenfunktion, welche über die SchrödingerGleichung ausgedrückt werden können. Wir setzen nun die Schrödinger-Gleichung in Gl. (2.17) ein. Hierbei ist zu beachten, dass die Schrödinger-Gleichung für die Wellenfunktion ψ(x, t), aber nicht für die komplex konjugierte Wellenfunktion ψ ∗ (x, t) formuliert ist. Die Ableitungsoperatoren sind reell, sie bleiben von der Konjugation also unberührt. Damit kann die Zeitableitung einfach unter die Konjugation gezogen werden. Nach Einsetzen der Schrödinger-Gleichung erhalten wir:

 ∗   i 2 2 d  − p ˆψ= − ∇ + V (x) ψ ∇ψ dt i V  2m

 2 2 i ∗ − ∇ + V (x) ψ +ψ ∇ − d3 x  2m (2.18) 2 2 ∇ + V (x) ist hermitesch, Der Hamilton-Operator Hˆ = − 2m † ˆ ˆ d. h. H = H . Dementsprechend muss auch das Potential reell sein: V (x) = V (x)∗ . Daher ändert sich durch die komplexe Konjugation nur das Vorzeichen der imaginären Einheit i → −i: 

  

2 2 d 2 2 − − p ˆψ = ∇ + V (x) ψ ∗ ∇ψ − ψ ∗ ∇ ∇ + V (x) ψ d3 x dt 2m 2m V (2.19)

Im rechten Term ist bereits der Ausdruck ∇V (x) zu erkennen. Die dort auftretende partielle Ortsableitung ∇ resultiert in den beiden Termen

31 2.2 · Aufgaben

 2 2 ∇ + V (x) ∇ψ, − 2m

 ψ∗

(2.20)

ψ ∗ (∇V (x))ψ

(2.21)

Der zweite Term ist der gesuchte Gradient des Potentials. In beiden Summanden der Gleichung (2.19) findet sich der Ausdruck ψ ∗ V ∇ψ, sodass sich diese Terme gegenseitig aufheben. Die verbleibende Gleichung lautet:       d 2 ψ ∗ − ∇V (x) ψ d3 x (2.22) p ˆ ψ =− ∇ 2 ψ ∗ ∇ψ − ψ ∗ ∇ 2 ∇ψ d3 x + dt 2m V V

Dass sich  die beiden Ausdrücke, die den Laplace-Operator ∇ 2 = k ∂k ∂k beinhalten, ebenfalls aufheben, sieht man nicht direkt. Um dies zu zeigen, müssen die Ableitungen ∂k mit Hilfe von zwei partiellen Integrationen von ψ auf ψ ∗ übertragen werden. Die erste partielle Integration führt auf    ψ ∗ ∂k ∂k ∇ψ d3 x = ψ ∗ ∂k ∇ψ dS − ∂k ψ ∗ ∂k ∇ψ d3 x. V V    ∂V =0

(2.23) ∂V ist der Rand des Integrationsvolumens. Da wir fordern, dass ψ und dessen Ableitungen auf dem Rand des Integrationsbereichs null sind, verschwindet der Randterm. Wir führen nun eine weitere partielle Integration aus, wobei wir wiederum nutzen, dass die Randterme null ergeben:  V

ψ ∗ ∂k ∂k ∇ψ d3 x = −



 ⇒0=

V

V

∂k ψ ∗ ∂k ∇ψ d3 x =

ψ ∗ ∇ 2 ∇ψ d3 x −

 V

∂k ∂k ψ ∗ ∇ψ d3 x (2.24)

 V

∇ 2 ψ ∗ ∇ψ d3 x

(2.25)

Damit sind wir am Ziel angelangt:  d ˆ ψ p ˆψ= ψ ∗ [−∇V (x)] ψ d3 x = −∇V (x)ψ = F dt V (2.26) 1 Diskussion Die Relation in Gl. (2.26) stellt einen Spezialfall des Ehrenfestd ˆ 1 ˆ A = i [A, Theorems dar, das in seiner allgemeinen Form dt ˆ ˆ +  ∂ A  in Aufgabe 2.2.2 betrachtet werden soll. Es lieH] ∂t

2

32

2

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

fert eine Gleichung für Erwartungswerte quantenmechanischer Operatoren, die für diese Erwartungswerte ein klassisches Verhalten impliziert. Eine naheliegende Interpretation wäre, dass die Schwerpunktsbewegung eines Wellenpakets durch die klassische Bewegungsgleichung gegeben ist. Dies ist jedoch nicht ganz korrekt, da im Allgemeinen der Erwartungswert des Potentialgradienten ∇V ψ nicht gleich dem Gradienten des Erwartungswerts des Potentials ist, d. h. ∇V ψ = ∇V ψ .

(2.27)

Dies gilt nur, wenn die Varianz von x sehr klein ist, wenn also das Wellenpaket sehr gut lokalisiert ist. Der Schwerpunkt eines gut lokalisierten Wellenpakets bewegt sich demnach wie ein klassisches newtonsches Teilchen im Potential V (x). Die klassische newtonsche Bewegungsgleichung (2.12) wird somit in der Quantenmechanik reproduziert.

2.2.2

Die allgemeine Version des Ehrenfest-Theorems

1 Aufgabenstellung ˆ die nicht explizit von der Zeit abhängen Für Operatoren A,   ˆ ∂A ∂t = 0 , gilt das Ehrenfest-Theorem d ˆ 1 ˆ ˆ A = [A, H]. dt i

(2.28)

2

pˆ Hier ist Hˆ = 2m + V (x) ˆ der Hamilton-Operator, pˆ der Impulsoperator und V (x) ˆ das Potential als eine Funktion des Ortes. Das Potential soll als zu einem konservativen Kraftfeld zuged V (x). hörig angenommen werden: F = − dx (i) Beweise Gl. (2.28) seperat im Schrödinger- und im HeisenbergBild. ˆ (ii) Welche Relation ergibt sich für Aˆ = H? (iii) Welche Relation ergibt sich für Aˆ = x? ˆ (iv) Welche Relation ergibt sich für Aˆ = p? ˆ

Hinweis: Nutze zur Lösung von (iii) und (iv) die Kommutatorrelationen [x, ˆ f (p)] ˆ = if (p) ˆ und [p, ˆ f (x)] ˆ = −if (x). ˆ 1 Lösung In dieser Aufgabe soll eine allgemeinere Form der in Aufgabe 2.2.1 hergeleiteten Beziehung gezeigt werden. Dies ist sowohl im Schrödinger-Bild als auch im Heisenberg-Bild möglich.

33 2.2 · Aufgaben

1 Lösung zu (i) Lösungsweg im Schrödinger-Bild: Betrachten wir nicht explizit zeitabhängige Operatoren Aˆ im Schrödinger-Bild, so wird die gesamte Zeitabhängigkeit des Systems durch die Evolution der Zustände |ψ beschrieben. Für diese gilt die Schrödinger-Gleichung. Wenn man die Abˆ leitung des Erwartungswerts ψ|A|ψ berechnet, treten Zeitableitungen von |ψ und ψ| auf. Diese lassen sich durch die Schrödinger-Gleichung ˆ i∂t |ψ = H|ψ

⇒

∂t |ψ =

1 ˆ H|ψ i

(2.29)

bzw. die adjungierte Schrödinger-Gleichung ausdrücken: (i∂t |ψ)† = −i∂t |ψ† = ψ|Hˆ

⇔

(∂t |ψ)† = ψ|

1 ˆ H −i

(2.30)

Wir setzen nun die gefundenen Ausdrücke für die Zeitableitungen der Zustände in die Zeitableitung des Erwartungswerts ein: d ˆ d AS  = ψ|Aˆ S |ψ (2.31) dt dt = ∂t ψ|Aˆ S |ψ + ψ|∂t Aˆ S |ψ + ψ|Aˆ S |∂t ψ (2.32) 1 1 ˆ ˆ ˆ H AS |ψ + ψ|∂t Aˆ S |ψ + ψ| Aˆ S H|ψ = ψ| −i i (2.33) 1 ˆ = ψ| [Aˆ S , H]|ψ + ψ|∂t Aˆ S |ψ (2.34) i 1 ˆ ψ + ∂t Aˆ S ψ (2.35) = [Aˆ S , H] i Gl. (2.35) ist die allgemeine Form des Ehrenfest-Theorems. Für nicht explizit zeitabhängige Operatoren gilt ∂t Aˆ S = 0. Somit ist die Beziehung (2.28) gezeigt. Lösungsweg im Heisenberg-Bild: Im Heisenberg-Bild ist diese Aufgabe äußerst elegant zu lösen: Die gesamte Zeitabhängigkeit wird von den Operatoren getragen – und diese wird über die heisenbergsche Bewegungsgleichung beschrieben, welche der zu zeigenden Beziehung strukturell sehr ähnelt. Für Operatoren ohne explizite Zeitabhängigkeit lautet die heisenbergsche Bewegungsgleichung: 1 d ˆ AH = [Aˆ H , Hˆ H ] dt i

(2.36)

2

34

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

Da die Zustände im Heisenberg-Bild zeitunabhängig sind, gilt für die Zeitableitung des Erwartungswerts

2

d 1 d ψH |Aˆ H |ψH  = ψH | Aˆ H |ψH  = [Aˆ H , Hˆ H ]ψ . dt dt i (2.37) Da die Erwartungswerte in beiden Bildern gleich sind, können die Indizes für das Heisenberg- und das Schrödinger-Bild in den Ergebnissen weggelassen werden. 1 Lösung zu (ii) ˆ folgt sofort Setzen wir Aˆ = H,   d ˆ 1 ˆ ˆ H = [H, H] = 0. dt i   

(2.38)

=0

Es ist aber zu beachten, dass dies unter der Annahme hergeleitet wurde, dass der Operator Aˆ = Hˆ nicht explizit von der Zeit abhängt. Für zeitabhängige Hamilton-Operatoren muss deren Zeitentwicklung berücksichtigt werden. Hinweis: Hinreichend glatte Potentiale V (x) ˆ lassen sich in Form einer Potenzreihe darstellen, d. h. als Summe von Potenzen von x. ˆ Da [x, ˆ xˆ n ] = 0 gilt, gilt damit auch [x, ˆ V (x)] ˆ = 0.

1 Lösung zu (iii) Für Aˆ = xˆ erhalten wir folgende Gleichung:

  2 d 1 1 p ˆ ˆ = x ˆ = [x, ˆ H] + V (x) ˆ x, ˆ dt i i 2m

(2.39)

Da das Potential eine reine Funktion des Ortes ist, verschwin  2

pˆ det der Kommutator [x, ˆ V (x)]. ˆ Den Kommutator x, ˆ 2m können wir mit Hilfe der Kommutatorrelation

ˆ [x, ˆ f (p)] ˆ = if (p)

(2.40)

berechnen, es ergibt sich also Hinweis: Die Relation ˆ [x, ˆ f (p)] ˆ = if (p) wird in Aufgabe 1.2.3 hergeleitet.

[x, ˆ pˆ2 ] = i

d 2 pˆ = 2ip. ˆ dp

(2.41)

Einsetzen in Gl. (2.39) ergibt d 1 2i p ˆ x ˆ = p ˆ = . dt i 2 m m

(2.42)

Diese Gleichung erinnert stark an die aus der klassischen Med chanik bekannte Relation dt x = v = mp .

35 2.2 · Aufgaben

1 Lösung zu (iv) Für Aˆ = pˆgehen wir analog zu Teilaufgabe (iii) vor. 2

pˆ = 0 gilt, müssen wir hier nur den Kommutator Da p, ˆ 2m [p, ˆ V (x)] ˆ berechnen. Dazu nutzen wir die Kommutatorrelation [p, ˆ f (x)] ˆ = −if (x): ˆ

[p, ˆ V (x)] ˆ = −i

d V (x) ˆ dx

(2.43)

Damit ergibt sich: 1 d ˆ p ˆ = [p, ˆ H] dt i 1 = [p, ˆ V (x)] ˆ i   −i d V (x) ˆ = i dx   d V (x) ˆ =− dx = Fˆ  =m

d2 dt2

x ˆ

(2.44) (2.45) (2.46) (2.47) (2.48) (2.49)

Wir erhalten hier also das Analogon zum zweiten newtonschen Axiom. 1 Diskussion In dieser Aufgabe wurde auf zwei verschiedenen Wegen die allgemeine Version des Ehrenfest-Theorems gezeigt. Der Beweis war im Heisenberg-Bild deutlich einfacher durchzuführen. Dies liegt daran, dass die zu beweisende Relation für die Erwartungswerte einen Kommutator beinhaltet, der auch in der heisenbergschen Bewegungsgleichung auftritt. Insgesamt ist es für diese Art von Aufgabe also einfacher, das Heisenberg-Bild zu benutzen.

2.2.3

Kontinuitätsgleichung für die Quantenmechanik

1 Aufgabenstellung Betrachte die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ = ψψ ∗ und stelle die Kontinuitätsgleichung ∂ ρ + ∇j = 0 ∂t

(2.50)

2

36

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

auf. Führe hierfür die Zeitableitung von ρ aus und finde einen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j. Die Rechnungen sollen in der Ortsdarstellung ausgeführt werden. (i) Betrachte zunächst nur den freien Hamilton-Operator. (ii) Wie ändert sich das Ergebnis, wenn die Anwesenheit eines reellen, zeitunabhängigen Potentials erlaubt ist? Spielt die Zeitunabhängigkeit eine Rolle?

2

1 Lösung Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte stellt eine für viele Rechnungen essentielle Größe dar und soll hier für unterschiedliche Systeme hergeleitet werden. Analog zum Teilchenstrom, wie er aus der Hydrodynamik bekannt ist, existiert in der Quantenmechanik ein Wahrscheinlichkeitsstrom, der ebenfalls die Kontinuitätsgleichung erfüllt. 1 Lösung zu (i) Für die Zeitableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte erhält man

 

 ∂ ∂  ∂ ∗ ∂ (2.51) ρ= ψψ ∗ = ψ ∗ ψ +ψ ψ . ∂t ∂t ∂t ∂t Wir nutzen die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung i

∂ ˆ ψ = Hψ, ∂t

(2.52)

um die Zeitableitung von ψ durch Hinweis: Für physikalische Systeme ist der HamiltonOperator immer hermitesch, d. h., † es gilt Hˆ = Hˆ . Dies folgt aus der Forderung nach reellen Energieeigenwerten.

1 ˆ i ˆ ∂ ψ = Hψ = − Hψ ∂t i 

(2.53)

zu ersetzen. Mit Hilfe des komplex konjugierten Analogons der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung

∗  ∗ ∂ ∂ ˆ ˆ ∗ i ψ = Hψ ⇔ −i ψ ∗ = Hψ (2.54) ∂t ∂t ersetzen wir die Zeitableitung nach ψ ∗ durch ∂ ∗ 1 ˆ ∗ i ˆ ∗ ψ = − Hψ = Hψ , ∂t i 

(2.55)

wobei die Hermitizität des Hamilton-Operators verwendet wurde. Wir erhalten damit

37 2.2 · Aufgaben

i ∂ ˆ ∗ ˆ + i ψ Hψ ρ = − ψ ∗ Hψ ∂t    i  ˆ ∗ ˆ ψ Hψ − ψ ∗ Hψ . = 

(2.56) (2.57)

Der freie Hamilton-Operator nimmt in Ortdarstellung die folgende Form an: 2 Hˆ = − Δ 2m

(2.58)

Einsetzen führt auf   ∂ i 2 ∗ 2 ∗ ρ= ψΔψ + ψ Δψ − ∂t  2m 2m =−

 i  ψΔψ ∗ − ψ ∗ Δψ . 2m

(2.59) (2.60)

Der letzte Ausdruck hat bereits starke Ähnlichkeit mit der Kontinuitätsgleichung. Um den Ausdruck in die gesuchte Form zu bringen, muss nun nur noch ein ∇ vor die Klammer gezogen werden. Dafür betrachten wir folgende Terme: ∇(ψ∇ψ ∗ ) = (∇ψ)(∇ψ ∗ ) + ψΔψ ∗ ∗

∗

∗

∇(ψ ∇ψ) = (∇ψ )(∇ψ) + ψ Δψ

(2.61) (2.62)

Aus der Differenz der beiden Terme erhalten wir ∇(ψ∇ψ ∗ ) − ∇(ψ ∗ ∇ψ) = ψΔψ ∗ − ψ ∗ Δψ.   

(2.63)

=∇(ψ∇ψ ∗ −ψ ∗ ∇ψ)

Das Einsetzen dieses Ausdrucks in Gl. (2.60) liefert i ∂ ρ = −∇ (ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ). ∂t 2m

(2.64)

Damit können wir die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j :=

i (ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ) 2m

(2.65)

definieren, und es folgt die Kontinuitätsgleichung ∂ ρ + ∇j = 0. ∂t

(2.66)

1 Lösung zu (ii) In Anwesenheit eines reellen zeitunabhängigen Potentials lautet der Hamilton-Operator in Ortsdarstellung

2

38

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

2 ˆ H(x) =− Δ + V (x). 2m

2

(2.67)

Da das Potential reell ist, ist der Hamilton-Operator weiterhin hermitesch, also können wir die Ergebnisse aus Aufgabenteil (i) bis einschließlich Gl. (2.57) übernehmen. Einsetzen von Gl. (2.67) liefert dann ⎛ ⎞ i ⎜ 2 2 ∗ ∂ ⎟ ρ = ⎝− ψΔψ ∗ + ψ Δψ + ψV ψ ∗ − ψ ∗ V ψ ⎠    ∂t  2m 2m =V (ψψ ∗ −ψ ∗ ψ)=0

(2.68) i (ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ) = −∇ 2m = −∇j. (i)

(2.69) (2.70)

Das Ergebnis ändert sich somit für ein System in Anwesenheit eines reellen zeitunabhängigen Potentials nicht. Auch wenn zusätzlich noch eine Zeitabhängigkeit des Potentials zugelassen wird, kann man aus Gl. (2.68) direkt erkennen, dass es auch hier zu keiner Änderung des Endergebnisses kommt. V unterliegt in dem Ausdruck keiner Zeitableitung, und die Eigenwerte sind weiterhin reell.

2.2.4

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

1 Aufgabenstellung Wir betrachten die zeitabhängige, eindimensionale SchrödingerGleichung in Ortsdarstellung: i

∂ ˆ ψ(x, t) = Hψ(x, t) ∂t

(2.71)

Das System sei im Folgenden konservativ. (i) Wähle einen geeigneten Ansatz, um aus dieser Gleichung zwei Differentialgleichungen herzuleiten, welche die Zeitund Ortsabhängigkeit der Zustände separat beschreiben. (ii) Löse die in (i) hergeleitete Differentialgleichung für die Zeitabhängigkeit der Zustände. (iii) Bringe die in (i) bestimmte ortsabhängige Gleichung auf die Form d2 φ(x) + k 2 (x)φ(x) = 0. dx2 Welcher Ausdruck findet sich für k(x)?

(2.72)

39 2.2 · Aufgaben

(iv) Die in dieser Aufgabe betrachteten Lösungen des zeitabhängigen Problems bezeichnet man als stationär. Was bedeutet dieser Begriff? Was gilt für die Erwartungswerte von zeitunabhängigen Operatoren bezüglich solcher Zustände? 1 Lösung In dieser Aufgabe betrachten wir eine spezielle Klasse von Lösungen der Schrödinger-Gleichung, deren Orts- und Zeitabhängigkeit sich in einem Produktansatz separieren lassen. Da die Zeitabhängigkeit dieser Zustände eine sehr einfache Form annimmt, reduzieren sich Problemstellungen mit zeitunabhängigen Potentialen auf die Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung. Eine wichtige Klasse von Problemen, die über diesen Ansatz gelöst werden können, sind Potentialprobleme (Kap. 4). 1 Lösung zu (i) Wir betrachten ein konservatives System. Dies ist gleichbedeutend damit, dass die Energie des Systems zeitlich erhalten bleibt und der Hamilton-Operator zeitunabhängig ist. Da wir uns in der Ortsdarstellung befinden, lautet der HamiltonOperator somit 2 d 2 ˆ Hˆ = H(x) =− + V (x). 2 m dx2

(2.73)

Wir wählen für die Lösung ψ(x, t) der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung einen Produktansatz für die Orts- und Zeitabhängigkeit: ψ(x, t) = φ(x)χ (t)

(2.74)

Einsetzen in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (2.71) liefert i

∂ ˆ (φ(x)χ (t)) = H(x)(φ(x)χ (t)). ∂t

(2.75)

Im Hamilton-Operator tauchen nur Ortsableitungen auf, er wirkt also nur auf den ortsabhängigen Teil der separierten Wellenfunktion. Damit können wir alle ortsabhängigen Terme auf eine Seite der Gleichung bringen: 1 ∂ 1 ˆ χ (t) = H(x)φ(x) i χ (t) ∂t φ(x)       :=E=const.

(2.76)

:=E=const.

Da die linke Seite nun ausschließlich von t und die rechte Seite ausschließlich von x abhängt, müssen beide Seiten zur Erfül-

Achtung: Die explizite Zeitunabhängigkeit des Hamilton-Operators als Folge der zeitlichen Energieerhaltung des Systems ist eine Eigenschaft, die sich auf das Schrödinger-Bild bezieht!

2

40

2

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

lung der Gleichheit für sich konstant sein. Wir nennen diese Konstante E. Damit erhalten wir die beiden gesuchten Differentialgleichungen zur separaten Beschreibung der Zeit- und Ortsabhängigkeit der Zustände: i ∂ χ (t) = − Eχ (t) ∂t  ˆ Hφ(x) = Eφ(x)

(2.77) (2.78)

Die ortsabhängige Gleichung wird zeitunabhängige SchrödingerGleichung genannt. Da der Hamilton-Operator die Energie des Systems beschreibt, entspricht die Separationskonstante E dem Energieeigenwert zum Zustand φ(x). 1 Lösung zu (ii) Mit Gl. (2.77) haben wir eine homogene, autonome (d. h. nicht explizit von der unabhängigen Variable abhängige) Differentialgleichung erster Ordnung gefunden. Wir können noch keine eindeutige Lösung für diese Gleichung angeben, da wir dafür noch die Anfangsbedingungen benötigen. Wir können aber eine allgemeine Lösung berechnen. Diese lässt sich z. B. über die Methode Trennung der Variablen oder auch mit Hilfe der Kenntnis über die Basis des Lösungsfundamentalraums bestimmen. Aus der Analysis wissen wir, dass die Exponentialfunktion eine mögliche Basis für die Lösung von Differentialgleichungen der Form (2.77) darstellt. Die allgemeine Lösung lautet somit i

χ (t) = κe−  Et

mit κ = const.,

(2.79)

wobei κ eine aus den Anfangsbedingungen bestimmbare Normierungskonstante ist. 1 Lösung zu (iii) Zur Umformung von Gl. (2.78) setzen wir den Hamilton-Operator ein:   2 d 2 + V (x) φ(x) = Eφ(x) (2.80) − 2 m dx2 2 d 2 φ(x) + (V (x) − E)φ(x) = 0 (2.81) 2 m dx2 2m d2 φ(x) + 2 (E − V (x))φ(x) = 0 (2.82) ⇔ 2 dx  # Wir führen die Abkürzung k(x) = 2m (E − V (x)) ein und 2 erhalten damit ⇔

−

41 2.2 · Aufgaben

d2 φ(x) + k 2 (x)φ(x) = 0. dx2

(2.83)

Auch hier benötigen wir für eine vollständige Lösung die Kenntnis der Randbedingungen. Eine einfache allgemeine Lösung, wie bei der Zeitabhängigkeit, lässt sich hier aber aufgrund des Potentialterms V (x) bereits nicht mehr angeben. Gl. (2.83) stellt eine sich als günstig erweisende Umformung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung (Gl. 2.78) für eindimensionale Potentialprobleme dar. Die Größe k(x) dient hierbei als Hilfe für weitere Rechnungen und ist keineswegs nur auf diese Weise definierbar. 1 Lösung zu (iv) Für zeitunabhängige Hamilton-Operatoren lässt sich die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung, wie in (i) und (ii) gezeigt, in Form eines Produktansatzes ψ(x, t) = i φ(x)χ (t) mit χ (t) = e−  Et ausdrücken. Die Zustände besitzen damit zwar eine Zeitabhängigkeit, aber die Wahrscheinlichkeitsdichte i

i

|ψ(x, t)|2 = ψψ ∗ = φ(x)e−  Et φ ∗ (x)e  Et = |φ(x)|2 (2.84) ist zeitunabhängig. Zustände, die diese Eigenschaft besitzen, heißen stationär. Auch die Erwartungswerte von Operatoren, die selbst nicht explizit von der Zeit abhängen, sind bezüglich stationärer Zustände zeitunabhängig: ˆ ψ = ψ|A|ψ ˆ A  ∞ ψ ∗ (x, t) Aˆ ψ(x, t) dx = −∞  ∞ i i = φ ∗ (x)e  Et Aˆ φ(x)e−  Et dx −∞  ∞ = φ ∗ (x) Aˆ φ(x) dx −∞

(2.85) (2.86) (2.87) (2.88)

Außerdem sind stationäre Lösungen der Schrödinger-Gleichung Zustände mit genau festgelegter Gesamtenergie E, da aufgrund der Normierung von φ(x) ˆ = H

und



∞ −∞

ˆ ψ ∗ (x, t)H(x)ψ(x, t) dx = E



∞ −∞

|φ(x)|2 dx = E (2.89)

2

42

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

2

Hˆ  =



∞ −∞

2

ψ ∗ (x, t)Hˆ (x)ψ(x, t) dx = E 2



∞ −∞

|φ(x)|2 dx = E 2 (2.90)

2

2 gilt. Daraus folgt, dass die Varianz der Energie ΔE = Hˆ  − 2 2 2 ˆ = E − E = 0 verschwindet. Die Gesamtenergie eines H stationären Zustands ist somit genau definiert.

1 Diskussion Die volle Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein zeitunabhängiges Potential und einen Energieeigenwert E lässt sich also folgendermaßen schreiben: i

ψ(x, t) = φ(x)χ (t) = φ(x)e−  Et

(2.91)

Dabei wurde die Normierungskonstante des zeitabhängigen Faktors in die ortsabhängige Wellenfunktion absorbiert. Die allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung lässt sich dann als Linearkombination von Lösungen zu spezii ellen Energieeigenwerten ψn = φn (x)e−  En t konstruieren: ψ(x, t) =



cn φn (x)e−

iEn t 

(2.92)

n

Die Konstanten cn müssen so bestimmt werden, dass alle Randbedingungen erfüllt sind.

2.2.5

Eigenschaften der Lösungen der Schrödinger-Gleichung

1 Aufgabenstellung (i) Zeige, dass die Separationskonstante E, die bei der Herleitung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung ˆ Hφ(x) = Eφ(x)

(2.93)

aus der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung (Aufgabe 2.2.4) eingeführt wird, für normierbare Lösungen φ(x) immer reell ist. (ii) Zeige, dass Lösungen φ(x) der zeitunabhhängigen Schrödinger-Gleichung für reelle Potentiale immer reell gewählt werden können. (iii) Weise abschließend nach, dass für symmetrische Potentiale V (x) mit V (−x) = V (x) die Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung so gewählt werden kann, dass

43 2.2 · Aufgaben

sie entweder φ(−x) = φ(x) oder φ(−x) = −φ(x) erfüllt. Betrachte dazu geeignete Linearkombinationen von φ(x) und φ(−x). 1 Lösung Die Schrödinger-Gleichung ist die zentrale Gleichung der Quantenmechanik. In dieser Aufgabe sollen einige allgemeine Eigenschaften der Lösungen der Schrödinger-Gleichung gezeigt werden, mit Hilfe derer die Struktur dieser Lösungen besser verstanden werden kann. 1 Lösung zu (i) Um dies zu zeigen, nehmen wir an, dass E komplex ist, E = E0 + iE1 , wobei E0 und E1 reelle Konstanten sind. Die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung hat die Form ψ(x, t) = φ(x)e

− i Et

= φ(x)e

− i E0 t

e

1  E1 t

,

(2.94)

wobei φ(x) eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödingerˆ Gleichung Hφ(x) = Eφ(x) ist. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte lautet |ψ(x, t)|2 = |φ(x)|2 e

2E1 t 

.

(2.95)

Da wir normierbare Lösungen betrachten wollen, muss das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte über den gesamten Raumbereich gleich einer Konstante sein. Wir betrachten also  ∞  ∞ 2E1 t dx |ψ(x, t)|2 = e  dx |φ(x)|2 = const. (2.96) −∞

−∞

Da φ(x) als Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung $∞ ebenfalls normierbar sein soll, nimmt auch −∞ dx |φ(x)|2 2E1 t  2E1 t 

einen konstanten Wert an. Daraus folgt, dass auch e

kon-

stant sein muss. Dies impliziert direkt E1 = 0, da e sonst exponentiell mit der Zeit anwachsen würde. Also ist die Separationskonstante E für normierbare Lösungen immer reell. Dies ist auch physikalisch sinnvoll, da E als Energieeigenwert zum in der Schrödinger-Gleichung auftauchenden HamiltonOperator interpretiert wird und somit reell sein sollte. 1 Lösung zu (ii) Wir beginnen mit der Betrachtung der komplex konjugierten zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung. Diese hat die Form

Hinweis: Die Lösungsstruktur ψ(x, t) = i φ(x)e−  Et der zeitabhängigen SchrödingerGleichung wird in Aufgabe 2.2.4 hergeleitet.

2

44

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

−

2

2 Δφ ∗ (x) + V (x)φ ∗ (x) = Eφ ∗ (x), 2m

(2.97)

wobei wir genutzt haben, dass das Potential und die Konstante E reell sind und somit V ∗ (x) = V (x) und E ∗ = E gilt. Die Struktur dieser Gleichung ist identisch zur nichtkonjugierten Version der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung. Damit löst in diesem Fall auch φ ∗ (x) die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung, wenn φ(x) eine Lösung ist. Außerdem ist die Schrödinger-Gleichung eine lineare Differentialgleichung, was bedeutet, dass Linearkombinationen von Lösungen wiederum Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind. Für eine komplexe Lösung φ(x) können wir also direkt zwei reelle Lösungen als Linearkombination von φ(x) und φ ∗ (x) konstruieren: φ1 (x) = φ(x) + φ ∗ (x) und φ2 (x) = i(φ(x) − φ ∗ (x)) (2.98) 1 Lösung zu (iii) Es sei φ(x) eine Lösung der zeitunabhängigen SchrödingerGleichung mit Potential V (x) = V (−x): Hinweis: ∂ ∂ = ∂(−x) ∂x ∂ ∂x ∂ =− = ∂x ∂x ∂x ∂2 ⇒ ∂(−x)2 



∂ ∂ − = − ∂x ∂x ∂2 = ∂x2

−

2 Δφ(x) + V (x)φ(x) = Eφ(x) 2m

(2.99)

Da wir Lösungen der Form φ(−x) betrachten wollen, transformieren wir die Ortskoordinaten x → −x, wobei wir beachten, ∂2 dass der Laplace-Operator Δ = ∂x 2 unter dieser Transformation invariant ist und dass für das Potential V (x) = V (−x) gelten soll: −

2 Δφ(−x) + V (x)φ(−x) = Eφ(−x) 2m

(2.100)

Daraus folgt, dass auch φ(−x) die zeitunabhängige SchrödingerGleichung löst. Wie in Teilaufgabe (ii) nutzen wir nun die Linearität der Schrödinger-Gleichung, um Linearkombinationen aus φ(x) und φ(−x) zu bilden, die die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ebenfalls lösen. Wir finden φ+ (x) = φ(x) + φ(−x) und φ− (x) = φ(x) − φ(−x). (2.101) Nun prüfen wir, wie sich diese neu gefundenen Lösungen unter Vorzeichenwechsel der Ortskoordinate verhalten. Es ergibt sich

45 2.2 · Aufgaben

φ+ (−x) = φ(−x) + φ(x) = φ+ (x)

(2.102)

und φ− (−x) = φ(−x) − φ(x) = −φ− (x).

(2.103)

Die Wellenfunktion kann also so gewählt werden, dass sie eine der beiden Symmetrien erfüllt.

2.2.6

Gauß-Paket

1 Aufgabenstellung Die Schrödinger-Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Die Lösung eines speziellen Problems hängt immer von den Randund Anfangsbedingungen ab. Eine Lösung der freien SchrödingerGleichung (V ≡ 0) stellen die ebenen Wellen mit festem Impuls p = k dar: φk (x, t) = φ0 ei(k·x−ω(k)t)

(2.104)

mit der Dispersionsrelation ω(k) =

|k|2 2m

(2.105)

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte ρφk = |φk (x)|2 = |φ0 |2 ist jedoch räumlich konstant: Das Teilchen befindet sich also mit gleicher Wahrscheinlichkeit an jedem Ort. Da der Impuls p genau festgelegt wurde, d. h. Δp = 0, muss in Übereinstimmung mit der Unschärferelation Δx Δp ≥ 2 die räumliche Unschärfe Δx unendlich sein. Die ebene Welle als Lösung der Schrödinger-Gleichung widerspricht aber nicht nur der Vorstellung eines Teilchens als lokalisierter Entität. Sie ist auch, trotz ihres praktischen Nutzens bei der Lösung vieler Probleme (Kap. 4), in Bezug auf das mathematische Grundgerüst der Quantenmechanik problematisch, da sie weder normierbar noch quadratintegrabel ist. Letzteres bedeutet, dass die ebene Welle kein Element des Hilbertraums und somit streng genommen keine physikalische Lösung der Schrödinger-Gleichung ist. Wenn wir uns für Lösungen interessieren, die der klassischen Vorstellung eines räumlich lokalisierten Teilchens entsprechen, können wir diese durch die Überlagerung ebener Wellen konstruieren:  (2.106) ψ(x, t) = A(k)ei(k·x−ω(k)t) d3 k

2

46

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

Aufgrund der Linearität der Schrödinger-Gleichung ist jede Überlagerung von Lösungen der Schrödinger-Gleichung ebenfalls eine Lösung (Superpositionsprinzip). Um lokalisierte und quadratintegrable Wellenpakete zu erhalten, muss die Funktion A(k) so gewählt werden, dass sie für k → ±∞ schnell genug abfällt. Außerdem darf A(k) keine pathologische Funktion sein. Ein Beispiel für eine mit Standardabweichung σ lokalisierte Wellenfunktion in einer Dimension zum Zeitpunkt t = 0 stellt das eindimensionale gaußsche Wellenpaket dar:

2

ψ(x, t = 0) = # 4

Hinweis: Die FourierTransformation stellt die Entwicklung nach ebenen Wellen dar und liefert die Amplitude φ0 der zugehörigen ebenen Welle ψk im Impulsraum. Umgekehrt kann man ein Signal im Ortsraum aus ebenen Wellen jeweils bekannter Amplitude aufbauen.

1

e

−

(x−x0 )2 4σ 2 0

(2.107)

2π σ02

Wir wollen nun die Zeitentwicklung eines solchen Gauß-Pakets in Abwesenheit eines Potentials untersuchen. Dazu werden wir die Anfangsbedingung nach den Eigenfunktionen (ebene Wellen) des freien Hamilton-Operators entwickeln (entspricht hier einer Fourier-Transformation), dann die Zeitentwicklung der Eigenfunktionen (ebene Wellen) betrachten und zum Schluss die Zeitentwicklung des Gauß-Pakets durch Entwicklung nach den zeitabhängigen ebenen Wellen ermitteln (Fourier-Rücktransformation). (i) Bestimme die Form der Anfangsbedingung aus Gl. (2.107) im Impulsraum, d. h. entwickle diese mittels FourierTransformation nach ebenen Wellen. (ii) Bestimme die Zeitevolution des freien eindimensionalen Gauß-Pakets im Impulsraum. Nutze dazu die Zeitevolution ebener Wellen. (iii) Bestimme nun mittels Fourier-Rücktransformation die Zeitentwicklung des Gauß-Pakets im Ortsraum. Dabei ist folgendes Integral nützlich: %



a 2 +iJk

ei 2 k R

dk =

2π i −i J 2 e 2a , a

a, J ∈ C und Im{a} > 0 (2.108)

Bestimme die Zeitabhängigkeit der Standardabweichung σ und nutze dies, um die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ = |ψ|2 in Form eines Gauß-Pakets auszudrücken. (iv) Bestimme die Orts- und Impulsunschärfe für das GaußPaket. 1 Lösung Das gaußsche Wellenpaket ist eine Darstellung eines lokalisierten Teilchens. Seine Eigenschaften, insbesondere seine Zeitentwicklung, spielen also eine wichtige Rolle für Problemstellun-

47 2.2 · Aufgaben

gen, in denen die Wellenfunktion eines Teilchens nicht als ebene Welle genähert werden kann. 1 Lösung zu (i) Die zu betrachtende Wellenfunktion weicht leicht von der Gauß-Verteilung ab, da zum einen die endliche, von 1 verschiedene Breite des Wellenpakets berücksichtigt wurde und zudem nicht die Wellenfunktion selbst, sondern die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ = |ψ|2 die Form einer Gauß-Verteilung haben soll. Deshalb taucht in der Exponentialfunktion anstatt 21 der Faktor 41 auf. Aus demselben Grund enthält der Normierungs# faktor den Ausdruck 4 2π σ02 . Die in Gl. (2.107) gegebene Wellenfunktion lässt sich leicht Fourier-transformieren. Dazu bringen wir sie in die Form einer Gauß-Verteilung und nutzen, dass die Fourier-Transformierte einer Gauß-Verteilung wieder eine Gauß-Verteilung ist. Das Integral lautet  1 ˆ ψ(x, t = 0) e−ikx dx (2.109) ψ(k, t = 0) = √ 2π R  − (x−x0 )2 1 1 2 =√ # e 4σ0 e−ikx dx. (2.110) 2π 4 2π σ 2 R 0 Die Ersetzungen x = & ˆ ψ(k, t = 0) =

4

x−x √ 0 2σ0

und k =

Hinweis: Die FourierTransformierte einer GaußVerteilung ist eine Gauß-Verteilung!

√ 2σ0 k führen auf

 2σ02 −ikx0 1 x 2 e e− 2 e−ik x dx , √ π 2π  R   √ 2 = 2π e−k /2

(2.111) wobei die Eigenschaften des Gauß-Integrals genutzt wurden. Die Fourier-Transformation führt also auf eine GaußVerteilung im Impulsraum. Das Ergebnis lautet somit & 2 4 2σ0 −ikx 2 2 0 e−σ0 k . ˆ ψ(k, t = 0) = e (2.112) π

Hinweis: Gauß-Integrale: $ ∞ −x2 √ dx = π −∞ e $ ∞ − 1 ax2 +ibx e 2 dx = #−∞ b2 2π − 2a a e

2

48

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

1 Lösung zu (ii) In Teilaufgabe (i) haben wir die Wellenfunktion ψ(k, t) zum Zeitpunkt t = 0 im Impulsraum bestimmt. Die Zeitentwicklung einer ebenen Welle mit Impuls p = k ist laut der Schrödinger-Gleichung gegeben durch

2 Hinweis: Für zeitunabhängige Potentiale lässt sich die SchrödingerGleichung durch einen Separationsansatz lösen (Aufgabe 2.2.4); die Zeitentwicklung ist dann durch den Exponentialterm e−iωt gegeben.

φ(k, t) = φ(k, 0)e−iωt ,

ω=

k 2 . 2m

(2.113)

Die Zeitentwicklung der Wellenfunktion im Impulsraum ist k 2

somit das Produkt des initialen Profils mit dem Faktor e−i 2m t : & 2 k 2 4 2σ0 −ikx 2 2 0 e−σ0 k e−i 2 m t ˆ e ψ(k, t) = (2.114) π Im Impulsraum ändert sich also lediglich die Phase mit der Zeit, nicht jedoch die Amplitude. 1 Lösung zu (iii) Nun führen wir den letzten Schritt durch, um die Zeitentwicklung des freien Gauß-Pakets im Ortsraum zu erhalten. Dazu transformieren wir die zeitabhängige Wellenfunktion im Impulsraum mittels Fourier-Transformation zurück in den Ortsraum:  1 ˆ ψ(k, t)eikx dk (2.115) ψ(x, t) = √ 2π R &  2 k 2 4 2σ0 1 2 2 e−ikx0 e−σ0 k e−i 2 m t eikx dk = √ π 2π R (2.116) &  2 2 − t m +2iσ0 2 4 2σ0 1 k +i(x−x0 )k 2 = ei dk (2.117) √ π 2π R Mit der Identifikation t + 2iσ02 , m J = x − x0 a=−

Im(a) = 2σ02 > 0,

(2.118) (2.119)

können wir Gl. (2.108) nutzen und erhalten & ψ(x, t) =

4

2σ02 1 √ π 2π

&

⎞

⎛ 2π i 2 − t m + 2iσ0

(x − x0 )2

⎠. exp ⎝−i  2 2 − t m + 2iσ0 (2.120)

49 2.2 · Aufgaben

Durch Kürzen und Erweitern der komplexwertigen Nenner mit ihren komplex Konjugierten finden wir die folgenden Ausdrücke: & 4 2σ02 π

& ' ' ( 4 2σ02 ( 1 ( 2π i 1 1 1 (  = √  ' = √ ) (  4 2π (  π ( 2π − t + 2iσ 2 ( ) 2σ 2 1 + it m 0 ) σ0 1 + i t 0 2 2 mσ 2 mσ 2 0 0

und

  it − 1   (x − x0 )2 2σ 2 2 − t − 2iσ 2 0 2 mσ 2 2 −i(x − x ) i(x − x0 ) 0 m 0 0

 =    = −  t 2 2 2 2 2 2 − t 2 − t 2  t + 4σ 4 m + 2iσ0 m + 2iσ0 − m − 2iσ0 0 m2     it it 2 2 2 −1 −1 (x − x0 ) (x − x0 ) σ 0 2 mσ 2 2 mσ 2 0  0    = = 2 2 2 2 4σ 4 1 +  t 4σ 2 1 +  t 0 0 4σ 4 m2 4σ 4 m2 0 0

Dies liefert die zeitabhängige Standardabweichung   t σ (t) = σ0 1 + i 2 mσ02

(2.121)

und die zeitentwickelte Wellenfunktion im Ortsraum 1 1 ψ(x, t) = √ &

4 2π σ0 1 + i

t 2 mσ02

e

−

(x−x0 )2 4|σ (t)|2

i

e

(x−x0 )2  t 4|σ (t)|2 2 mσ 2 0

.

(2.122) Daraus lässt sich direkt die Wahrscheinlichkeitsdichte 2

(x−x0 ) 1 − e 2|σ (t)|2 ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 = * 2π |σ (t)|2

(2.123)

bestimmen, die die Form einer Gauß-Verteilung mit Standardabweichung σ (t) hat. Das Gauß-Paket besitzt somit zum Zeitpunkt t = 0 seine minimale Breite σ0 und dehnt sich für t > 0 zunehmend aus. 1 Lösung zu (iv) Die Orts- und Impulsunschärfe sind definiert als # Δx = xˆ 2 ρ − x ˆ 2ρ , # Δp = pˆ2 ρ − p ˆ 2ρ .

(2.124) (2.125)

2

50

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

2 Hinweis: Nützliche gaußsche Integrale: $ − x2 2 xe 2σ (t) dx = 0 $ 2 − ax2 2 dx = #x e 2π 1 a a

Die Ortsunschärfe lässt sich unkompliziert in der Ortsdarstellung berechnen. Da wir die zeitabhängige Wellenfunktion im Impulsraum bereits kennen (Gl. 2.114) und die Erwartungswerte unabhängig von der Darstellung sind, bietet es sich an, die Impulsunschärfe in der Impulsdarstellung zu bestimmen. Der Erwartungswert des Ortsoperators (erstes Moment) kann leicht bestimmt werden, da aufgrund der Punktsymmetrie des 2 $ − x Integranden x e 2σ (t)2 dx = 0 gilt: 1 x ˆ ρ= * 2π σ (t)2

 xe

−

(x−x0 )2 2σ (t)2

x → (x + x0 )

dx

R

  2 2 1 1 − x − x = * x e 2σ (t)2 dx +x0 * e 2σ (t)2 dx 2π σ (t)2  R 2π σ (t)2 R      =0

=1

= x0

(2.126)

Der Erwartungswert von x2 (zweites Moment) lautet:  (x−x0 )2 1 − xˆ 2 ρ = * x2 e 2σ (t)2 dx x → (x + x0 ) 2π σ (t)2 R    − x2 1 x2 + 2xx0 + x02 e 2σ (t)2 dx =* 2π σ (t)2 R   2 2 1 1 − x − x =* x2 e 2σ (t)2 dx + * 2x0 x e 2σ (t)2 dx 2π σ (t)2 R 2π σ (t)2   R    =0

=σ (t)2



x2

1 − + x02 * e 2σ (t)2 dx 2 2π σ (t) R    =1

=σ (t)2 + x02

(2.127)

Dabei wurden im letzten Schritt die angegebenen gaußschen Integrale genutzt. Die Ortsunschärfe ist damit # Δx = σ (t)2 + x02 − x02 = σ (t). (2.128) Die Wellenfunktion im Impulsraum ist durch Gl. (2.114) gegeben. Der Erwartungswert des Impulsoperators (erstes Moment) im Impulsraum kann ebenso wie x ˆ aufgrund der Punktsymmetrie des Integranden leicht bestimmt werden:

51 2.2 · Aufgaben

& p ˆρ=

 2σ02 2 2 k e−2σ0 k dk = 0 π R   

(2.129)

=0

Das zweite Moment des Impulsoperators lässt sich analog berechnen: &

 2σ02 2 2 p ρ = 2 k 2 e−2σ0 k dk π R &  2σ02 2 2 2  k 2 e−2σ0 k dk = π  R %   2

=

=

 2σ0

2

(2.130)

(2.131)

2π 1 4σ 2 4σ 2 0 0

(2.132)

Die Impulsunschärfe ist damit gegeben durch Δp =

 . 2σ0

(2.133)

Über die Orts- und die Impulsunschärfe können wir die Unschärferelation formulieren und untersuchen:  σ (t)  Δx Δp = = 2 σ0 2

&

σ (t) σ0

2

&  t 2   = 1+ ≥ 2 2 2 mσ02 (2.134)

Das Gauß-Paket besitzt somit zum Zeitpunkt t = 0 die minimale Unschärfe mit Δx Δp = /2, anschließend wächst diese monoton an. 1 Diskussion In den Teilaufgaben (i)-(iii) wurde die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung als Anfangsrandwertproblem betrachtet. Der Anfangswert ist das Gauß-Profil, die Randwerte sind ψ(−∞) = ψ(∞) = 0. Die Energieeigenfunktionen des Hamilton-Operators sind ebene Wellen. Die FourierTransformation stellt somit die Zerlegung √ des Anfangswerts nach den Energieeigenfunktionen eikx / 2π dar. Dann wurde genutzt, dass die Zeitabhängigkeit der Energieeigenfunktio2 nen durch den Phasenfaktor e−iEk t/ = eik t/2m gegeben ist.

∀t

2

52

2

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

Die Fourier-Rücktransformation überführt die zeitentwickelte Wellenfunktion zurück in den Ortsraum. Das durch Gl. (2.122) beschriebene Gauß-Paket ist eine um x0 zentrierte, mit zunehmender Zeit breiter werdende GaußFunktion. Über die Substitution x0 → v(t)t kann in analoger Weise ein sich zeitlich bewegendes Gauß-Paket beschrieben werden. Dies erlaubt die Interpretation, dass durch ein solches Gauß-Paket ein freies Teilchen beschrieben wird, welches eine Aufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilung besitzt, die sich analog zur brownschen Bewegung immer weiter um ein (festes oder bewegtes) Zentrum ausbreitet.

2.2.7

Zeitentwicklung eines Zwei-Zustands-Systems

1 Aufgabenstellung Betrachte ein Zwei-Zustands-System



 mit den orthonormalen 1 0 Zuständen |0 = und |1 = . 0 1 Der Hamilton-Operator in dieser Basis sei gegeben durch

 eg Hˆ = mit e, g ∈ R. (2.135) ge (i) Bestimme die Energieeigenwerte und die zugehörigen Eigenzustände. (ii) Löse die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für die Anfangsbedingung |ψ(t = 0) = |0

(2.136)

und bestimme |ψ(t). (iii) Berechne die Wahrscheinlichkeit, das System im Zustand |1 zu finden. Zeige, dass die Norm von |ψ(t) erhalten bleibt. 1 Lösung Zwei-Zustands-Systeme eignen sich gut als Modellsysteme, um die durch die Schrödinger-Gleichung induzierte Zeitentwicklung zu studieren. Sie spielen darüber hinaus aber auch in vielen relevanten Systemen eine wichtige Rolle, beispielsweise in der Licht-MaterieWechselwirkung und bei der Modellierung von Quantencomputern.

53 2.2 · Aufgaben

1 Lösung zu (i) Wir bestimmen zunächst das charakteristische Polynom: det(Hˆ − E1) = (e − E)2 − g 2 = e2 − 2eE + E 2 − g 2 = 0 (2.137) Daraus folgt für die Eigenwerte E1,2 : * 2e ± 4e2 − 4(e2 − g 2 ) =e±g E1,2 = 2

(2.138)

Nun bestimmen wir noch die zugehörigen Eigenvektoren. Fürden Eigenwert E1 = (e + g) muss mit dem Ansatz |E1  =

v1 gelten: v2 (e − (e + g))v1 + gv2 = 0

(2.139)

⇔ v 1 = v2

(2.140)

 1 der zugehörige normierte Eigenzu1 stand.

 u Analog ergibt sich für E2 = e − g und |E2  = 1 u2 Somit ist |E1  =

√1 2

(e − (e − g))u1 + gu2 = 0

(2.141)

⇔ u1 = −u2

(2.142)

und damit  unter Berücksichtigung der Normierung |E2  = 1 1 √ . 2 −1 1 Lösung zu (ii) Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung lautet ˆ i∂t |ψ(t) = H|ψ(t).

(2.143)

Für die Eigenzustände von Hˆ gilt ˆ 1,2  = E1,2 |E1,2 . i∂t |E1,2  = H|E

(2.144)

Wir lösen die Differentialgleichung durch Separation der Variablen und erhalten die Zeitentwicklung der Eigenzustände: i d|E1,2 (t) = − E1,2 dt |E1,2 (t)  ⇔

|E1,2 (t) = e−i

E1,2  t

|E1,2 (0)

(2.145) (2.146)

2

54

2

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

Nun soll sich das System zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand |0 befinden. Um diese Anfangsbedingung anwenden zu können, drücken wir zunächst |0 als Superposition der Energieeigenzustände aus:  1  (2.147) |0 = √ |E1  + |E2  2 Die Anwendung der Zeitentwicklung auf diese Superposition ergibt dann  E2 1  E1 |ψ(t) = √ e−i  t |E1  + e−i  t |E2  . 2

(2.148)

1 Lösung zu (iii) Um die Wahrscheinlichkeit, das System im Zustand |1 zu finden, zu berechnen, müssen wir die in (ii) gefundene Wellenfunktion |ψ(t) auf den Zustand |1 projizieren. Wir müssen also das Matrixelement 1|ψ(t) bestimmen. Hierzu drücken wir auch |1 durch die Energieeigenvektoren aus:  1  (2.149) |1 = √ |E1  − |E2  2 Damit ergibt sich unter Nutzung der Orthonormalität der Energieeigenzustände:  1  E1  E2 1  1|ψ(t) = √ E1 | − E2 | √ e−i  t |E1  + e−i  t |E2  2 2 (2.150) E2  1  −i E1 t = e  − e−i  t (2.151) 2 Die Wahrscheinlichkeit, das System im Zustand |1 zu finden, entspricht nun dem Betragsquadrat des soeben berechneten Matrixelements: E2  E1 E2  1  i E1 t e  − ei  t e−i  t − e−i  t 4 (2.152)  E1 −E2 E1 −E2 1 1 − ei  t − e−i  t + 1 (2.153) = 4

  E1 − E2 1 2 − 2 cos (2.154) = t 4 

 1 2g  = 1 − cos t (2.155) 2  g  = sin2 t (2.156) 

P(|ψ(t) = |1) = |1|ψ(t)|2 =

55 2.2 · Aufgaben

Im vorletzten Schritt haben wir die in (i) bestimmten Eigenwerˆ E1 = e + g und E2 = e − g, eingesetzt. te von H, Die Wahrscheinlichkeit oszilliert also in Abhängigkeit der Zeit t. Nun überprüfen wir noch die Normerhaltung von |ψ(t). Es gilt E E E  1   1  i E1 t i 2t −i 1 t −i 2 t ψ(t)|ψ(t) = √ e  E1 | + e  E2 | √ e  |E1  + e  |E2  = 1, 2 2 (2.157)

wobei wiederum die Orthonormalität der Energieeigenzustände genutzt wurde. Die Norm des Zustands bleibt also unter der Zeitentwicklung erhalten.

2.2.8

Zerfall eines Teilchens

1 Aufgabenstellung Für ein instabiles Teilchen beträgt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit PV im gesamten Raumbereich nicht mehr 1, wie es für ein stabiles Teilchen der Fall ist. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens fällt mit der Zeit exponentiell ab: t

PV (t) = e− τ

(2.158)

τ ist dabei die Lebensdauer des Teilchens. Ein solches Verhalten kann durch ein komplexwertiges Potential in der SchrödingerGleichung erreicht werden: V (x) = V0 (x) − iΓ ,

Γ = const.,

V0 (x), Γ ∈ R (2.159)

(i) Zeige, dass für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit PV (t) gilt: 2Γ dPV (t) =− PV (t) dt 

(2.160)

Nutze dafür die Schrödinger-Gleichung mit dem angegebenen komplexwertigen Potential. Führe die Rechnung für den eindimensionalen Fall V = [−∞, ∞] aus. (ii) Bestimme die mittlere Lebensdauer τ des Teilchens. 1 Lösung In vielen physikalischen Systemen, beispielsweise in der Teilchenphysik oder bei der Betrachtung angeregter Zustände, ist

2

56

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

der Zustand des Systems zeitlich nicht stabil, sondern zerfällt nach einer charakteristischen Zeitskala, der Lebensdauer, in einen anderen Zustand. Dieses Konzept soll hier anhand eines einfachen Modellsystems in Bezug auf die durch die Schrödinger-Gleichung gegebene Zeitentwicklung untersucht werden.

2

1 Lösung zu (i) Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit PV ist durch das Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben:  ∞ PV (t) = |ψ(x, t)|2 dx (2.161) −∞

V (t) zu berechnen, müssen wir demnach zunächst einen Um dPdt Ausdruck für die Zeitableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte ∂ 2 ∂t |ψ(x, t)| bestimmen. Dafür benötigen wir sowohl die zeitabhängige SchrödingerGleichung

i

2 ∂ ψ(x, t) = − Δψ(x, t) + V (x)ψ(x, t) ∂t 2m

(2.162)

als auch die komplex konjugierte zeitabhängige SchrödingerGleichung Achtung: Da hier V ∗ (x)  = V (x) gilt, ist der Hamilton-Operator dieses Systems nicht hermitesch.

−i

∂ ∗ 2 ψ (x, t) = − Δψ ∗ (x, t) + V ∗ (x)ψ ∗ (x, t). ∂t 2m

Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen können wir berechnen:

(2.163)

∂ 2 ∂t |ψ(x, t)|

 ∂ ∂ ψ(x, t)ψ ∗ (x, t) (2.164) |ψ(x, t)|2 = ∂t ∂t ∂ ∂ =ψ ∗ (x, t) ψ(x, t) + ψ(x, t) ψ ∗ (x, t) (2.165) ∂t ∂t  i  i =ψ ∗ (x, t) Δψ(x, t) − V (x)ψ(x, t) 2m    i i + ψ(x, t) − Δψ ∗ (x, t) + V ∗ (x)ψ ∗ (x, t) 2m  (2.166)  i  ∗ ψ (x, t)Δψ(x, t) − ψ(x, t)Δψ ∗ (x, t) = 2m  i (2.167) + V ∗ (x) − V (x) ψ ∗ (x, t)ψ(x, t)    i = ψ ∗ (x, t)Δψ(x, t) − ψ(x, t)Δψ ∗ (x, t) 2m 2Γ ∗ (2.168) ψ (x, t)ψ(x, t) − 

57 2.2 · Aufgaben

Im letzten Schritt haben wir die Form des Potentials eingesetzt. Damit können wir nun die Zeitableitung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit PV mit Hilfe einer partiellen Integration berechnen:  ∞  ∞ ∂ d dPV (t) dx |ψ(x, t)|2 = dx = |ψ(x, t)|2 dt dt −∞ ∂t −∞  ∞  i   2Γ  ψ ∗ (x, t)Δψ(x, t) − ψ(x, t)Δψ ∗ (x, t) − ψ ∗ (x, t)ψ(x, t) = dx 2m  −∞  ∞  i  ∂ψ ∗ (x, t) ∂ψ(x, t)  ∂ψ(x, t) ∂ψ ∗ (x, t)  2Γ − + |ψ(x, t)|2 dx − = 2m  ∂x ∂x  ∂x ∂x −∞   =0

=−

2Γ PV (t) 

(2.169)

Dabei haben wir genutzt, dass die Randterme der partiellen Integration verschwinden, da die Wellenfunktion normiert sein soll und somit im Unendlichen abfällt. Im letzten Schritt wurde dann wieder die Definition von PV (t) eingesetzt. 1 Lösung zu (ii) In Aufgabenteil (i) haben wir folgende Differentialgleichung für PV (t) hergeleitet: 2Γ dPV (t) =− PV (t) dt 

(2.170)

Um die mittlere Lebensdauer τ in der Gleichung t

PV (t) = e− τ

(2.171)

zu bestimmen, lösen wir Gl. (2.170) durch Separation der Variablen. Wir finden:

⇔

dPV (t) 2Γ =− dt PV (t)  2Γ ln PV (t) = − t + const. 

(2.172) (2.173)

Daraus folgt PV (t) = PV (0)e−

2Γ t 

(2.174)

und somit der Ausdruck τ=

 2Γ

für die mittlere Lebensdauer τ .

(2.175)

Hinweis: Da die Wellenfunktion ein Element des Hilbertraums sein soll, verschwinden die Randterme +∞ ψ ∗ ∂x ψ +−∞ und + ∞ ψ∂x ψ ∗ +−∞ der partiellen Integration.

2

58

2

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

1 Diskussion In dem in dieser Aufgabe betrachteten Modell eines zerfallenden Teilchens nimmt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens im betrachteten Raumbereich immer weiter ab, für t → ∞ verschwindet das Teilchen. In einem realistischeren Modell für den Teilchenzerfall verschwindet das Teilchen jedoch nicht, sondern zerfällt in ein anderes (oder mehrere andere) Teilchen. Um diesen Vorgang zu beschreiben, reicht das hier untersuchte Modell jedoch nicht aus, man muss letztlich auf die Quantenfeldtheorie zurückgreifen. Das Potential V (x) = V0 (x)−iΓ findet auch in der Streutheorie Anwendung. Während der Realteil des Potentials die Streuung von einfallenden Teilchen beschreibt, erlaubt der Imaginärteil zusätzlich die Absorption von Teilchen. Durch die Analogie zur Optik wird dieses Modell als optisches Modell bezeichnet [1].

2.2.9

Invarianzen der Schrödinger-Gleichung

Aufgabenstellung (i) Zeige, dass die Schrödinger-Gleichung invariant unter GalileiBoosts x → x = x + ut, t → t = t

(2.176) (2.177)

ist, also in gleichförmig mit Relativgeschwindigkeit u zueinander bewegten Inertialsystemen dieselbe Form hat, und somit das klassische Relativitätsprinzip erfüllt. Dabei soll außerdem angenommen werden, dass das Potential unabhängig vom Bezugssystem ist und somit V (x, t) = V (x , t ) gilt. Betrachte dazu das Verhalten der Wellenfunktionen unter diesen Transformationen und bestimme den Transformaˆ , t ) in tionsoperator G(x ˆ , t )ψ(x, t). ψ (x , t ) = G(x

(2.178)

(ii) Zeige, dass die Schrödinger-Gleichung mit einem reellen Potential V (x) zeitumkehrinvariant ist. Betrachte dazu die Transformation t → −t. Was passiert im Falle eines komplexen Potentials? 1 Lösung Invarianzen bezüglich diskreter oder kontinuierlicher Transformationen spielen sowohl in der klassischen Physik als auch

59 2.2 · Aufgaben

in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle, beispielsweise verknüpft das Noether-Theorem kontinuierliche Symmetrien mit Erhaltungsgrößen. In der nichtrelativistischen Quantenmechanik erwarten wir unter anderem, dass das klassische Relativitätsprinzip erfüllt wird und wir somit zwischen gleichförmig zueinander bewegten Bezugsystemen frei wählen können. Deswegen müssen wir die Invarianz unter Galilei-Boosts zeigen. Im Falle der Zeitumkehrinvarianz der Schrödinger-Gleichung stellt sich die Frage, ob die von ihr beschriebene Entwicklung der Wellenfunktion auch rückwärts ablaufen kann. Wir sollen zeigen, dass die Schrödinger-Gleichung unter den genannten Transformationen invariant ist, also ihre Form behält. Dazu müssen wir zunächst bestimmen, wie sich die angegebenen Transformationen auf die Schrödinger-Gleichung auswirken. Im Falle der Zeitumkehr kann die transformierte Variable direkt eingesetzt werden; im Falle der GalileiTransformationen ist es hilfreich, sich die Wirkung der Transformation zunächst auf der Ebene infinitesimaler Transformationen oder mit Hilfe eines sich mit Relativgeschwindigkeit u bewegenden Wellenpakets zu verdeutlichen. 1 Lösung zu (i) Wir bringen die Galilei-Boosts zunächst in eine Form, die es uns erlaubt, die Wellenfunktionen in zwei verschiedenen Inertialsystemen zu verknüpfen. Da die Wahrscheinlichkeit, das System in einem gegebenen Zustand zu finden, unabhängig vom Bezugsystem sein sollte, muss der gesuchte Transformationsoperator diese Wahrscheinlichkeit erhalten und somit unitär sein. Der Transformationsoperator hat also die allgemeine Form ˆ G(x, t) = eiΦ(x,t) ,

(2.179)

wobei sich die Wellenfunktionen in folgende Beziehung setzen lassen: ˆ , t )ψ(x, t) = G(x ˆ , t )ψ(x − ut , t ) ψ (x , t ) = G(x (2.180) Außerdem fordern wir, dass die Erwartungswerte unter einer Transformation Tˆ , die einer Symmetrie des Systems entspricht, erhalten bleiben sollen. Folglich muss für einen Operator Aˆ gelten: † † ˆ ⇒ Aˆ = Tˆ Aˆ Tˆ ψ |Aˆ |ψ  = ψ|Tˆ Aˆ Tˆ |ψ = ψ|A|ψ (2.181)

2

60

2

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

Hinweis: Die Beziehung zwischen unitären Transformationen und hermiteschen Operatoren wird in Aufgabe 1.2.5 betrachtet.

ˆ Um G(x, t) zu finden, müssen wir nun Φ(x, t) bestimmen. Dazu bilden wir die zur endlichen Transformation gehörigen unitären Operatoren Tˆ = e−iΘα aus den infinitesimalen Transformationen Tˆ (δα) = 1 − iΘδα, wobei Θ ein hermitescher Operator ist. Die Galilei-Transformation impliziert zum einen eine Translation des Ortes x → x = x+ut , zum anderen eine Translation des Impulses v = v + u ⇔ p = p + mu, wobei beides bei der Bestimmung von Φ(x, t) berücksichtigt werden muss. Wir betrachten zunächst eine infinitesimale Translation im Ort um δα: † xˆ = Tˆ (δα) xˆ Tˆ (δα) = xˆ − δα

(2.182)

Einsetzen der Ausdrücke für die infinitesimalen Transformationen liefert unter Berücksichtigung der Hermitizität Θ † = Θ: xˆ = (1 − iΘδα) xˆ (1 + iΘδα)

(2.183)

= xˆ + iδα(xΘ ˆ − Θ x) ˆ + O(δα 2 ) = xˆ + iδα[x, ˆ Θ] + O(δα 2 )

(2.184)

Wir vernachlässigen die Terme höherer Ordnung in δα und finden unter Zuhilfenahme der Kommutatorrelationen für Ortsund Impulsoperator durch Vergleich der beiden Ausdrücke für xˆ Hinweis: [x, ˆ p] ˆ = i

[x, ˆ Θ] = i ⇒ Θ =

pˆ . 

(2.185)

Demnach gilt pˆ Tˆ (δα) = 1 − i δα 

pu ˆ

und Tˆ (ut) = e−i  t .

(2.186)

Wir behandeln die Transformation des Impulses in gleicher Weise: † pˆ = Tˆ (δπ ) pˆ Tˆ (δπ ) = pˆ − δπ

und pˆ = pˆ + iδπ [p, ˆ Θ] + O (δπ 2 ) (2.187)

Daraus folgt [p, ˆ Θ] = i ⇒ Θ = −

xˆ 

(2.188)

und somit xˆ Tˆ (δπ ) = 1 + i δπ 

und Tˆ (u) = ei

x(mu) ˆ 

.

(2.189)

61 2.2 · Aufgaben

Insgesamt finden wir also die Galilei-Transformation pu ˆ

Gˆ u (x, t) = e−i  t ei

x(mu) ˆ 

.

(2.190)

Hierbei ist zu berücksichtigen, dass für Operatorexponentiale ˆ ˆ ˆ ˆ im Allgemeinen nicht eA eB = eA+B gilt; es muss die BakerCampbell-Hausdorff-Formel ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1

ˆ ˆ

eA eB = eA+B e 2 [A,B]

(2.191)

genutzt werden. ˆ x(mu) ˆ ˆ Mit Aˆ = −i pu  t und B = i  ergibt sich

i ˆ B] ˆ = m u2 t[p, [A, ˆ x] ˆ = − mu2 t. 2  

(2.192)

Daraus folgt die Form des Transformationsoperators: Gˆ u (x, t) = ei

pu ˆ x(mu) ˆ  −i  t

i

e− 2 mu

2t

(2.193)

Um die Rechnung im Folgenden einfacher zu gestalten, wählen wir eines der betrachteten Bezugssyteme als ruhend, also v = 0 ⇒ p = 0. Dadurch vereinfacht sich der Transformationsoperator zu Gˆ u (x, t) = ei

x(mu) ˆ 

i

e− 2 mu t . 2

(2.194)

Der durch Baker-Campbell-Hausdorff auftretende zusätzliche i Faktor exp(− 2 mu2 t) ist ein Phasenfaktor, der sich letztlich als eine additive Konstante im Potential auswirkt. Das Auftauchen dieses Faktors wird physikalisch etwas deutlicher, wenn wir uns die Galilei-Transformation auf der Ebene von Wellenpaketen verdeutlichen. Ein sich mit Relativgeschwingigkeit u zu einem ruhenden Bezugssystem bewegendes Teilchen kann näherungsweise durch eine ebene Welle mit Wellenvektor k = mu  beschrieben werden, d. h. durch ei(k·x−ω(k)t) ,

(2.195)

wobei ω(k) die zugehörige Dispersionsrelation ist. Der Phasenfaktor aus Gl. (2.193) entspricht somit genau dieser Dispersionsrelation. Der gefundene Ausdruck beschreibt die Dispersionsrelation eines freien Teilchens der Masse m im nichtrela2 mu mu2 tivistischen Grenzfall ω(k) = k 2m , k =  ⇔ ω = 2 .

2

62

2

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

Wir haben nun die Form der Galilei-transformierten Wellenfunktion gefunden und können diese in die SchrödingerGleichung einsetzen. Um die Notation übersichtlicher zu gestalten, wählen wir weiterhin eines der Bezugssysteme ruhend k2 (p = 0) und verwenden k = mu  und ω(k) = 2m . Dann gilt



ψ (x , t ) = ei(k·x −ω(k)t ) ψ(x, t).

(2.196)

Setzen wir dies in die Schrödinger-Gleichung ein, ergibt sich für die linke Seite  ∂ ∂  ψ (x , t ) = i ei(k·x −ω(k)t ) ψ(x − ut , t ) (2.197) ∂t ∂t   2  = ei(k·x −ω(k)t ) ω(k)ψ(x, t) − Δψ(x, t) + V (x, t)ψ(x, t) − iu · ∇ψ(x, t) , 2m

i

wobei wir genutzt haben, dass die untransformierte Wellenfunktion ψ(x, t) die Schrödinger-Gleichung erfüllt und dass das Potential Galilei-invariant ist. Der letzte Term ergibt sich durch Anwendung der Kettenregel. Für die rechte Seite der Schrödinger-Gleichung erhalten wir unter Nutzung der Galilei-Invarianz des Nabla- und des Laplace-Operators (∇ = ∇ und Δ = Δ): −

2 Δ ψ (x , t ) + V (x , t )ψ (x , t ) 2m

(2.198)

=−

2 ˆ Δ [G u (x , t )ψ(x − ut , t )] + V (x , t )[Gˆ u (x , t )ψ(x − ut , t )] 2m

=−

2 ˆ 2 G u (x , t )Δ ψ(x − ut , t ) [Δ Gˆ u (x , t )]ψ(x − ut , t ) − 2m 2m

2 ˆ [∇ G u (x , t )] · [∇ ψ(x − ut , t )] + V (x , t )[Gˆ u (x , t )ψ(x − ut , t )] m   2 2 2 2 k = ei(k·x −ω(k)t ) k ψ(x, t) − Δψ(x, t) − i · ∇ψ(x, t) + V (x, t)ψ(x, t) 2m 2m m   2 Δψ(x, t) − iu · ∇ψ(x, t) + V (x, t)ψ(x, t) = ei(k·x −ω(k)t ) ω(k)ψ(x, t) − 2m −

mu Im letzten Schritt wurde ω(k) = k 2m und k =  eingesetzt. Linke und rechte Seite der Schrödinger-Gleichung stimmen überein, folglich ist die Schrödinger-Gleichung invariant unter Galilei-Boosts. 2

Die allgemeinen Galilei-Transformationen beinhalten neben den Galilei-Boosts noch Translationen und Rotationen im

63 2.2 · Aufgaben

Raum. Ausgehend von einem Galilei-invarianten Potential müssen wir also nur zeigen, dass der Laplace-Operator invariant unter diesen Transformationen ist, um die allgemeine Galilei-Invarianz der Schrödinger-Gleichung zu zeigen. Die Invarianz unter Translationen x → x = x + a, a = const. ergibt sich daraus, dass der Laplace-Operator ein Differentialoperator ist. Es gilt damit dx = d(x + a) = dx. Daraus folgt 2 2 Δ = ∂ 2 = ∂x∂ 2 = Δ. Außerdem ist der Laplace-Operator ein ∂xi

i

skalarer Operator und damit rotationsinvariant. Wenn wir Systeme betrachten wollen, in denen relativistische Geschwindigkeiten relevant sind, benötigen wir anstelle der Galilei-Transformationen die Lorentz-Transformationen, um in ein anderes Bezugssystem zu wechseln. Die SchrödingerGleichung ist jedoch nicht invariant unter LorentzTransformationen, für relativistische Situationen brauchen wir also eine andere Bewegungsgleichung. Eine solche Gleichung, die die relativistische Bewegung von Spin- 21 -Teilchen wie beispielsweise Elektronen beschreibt, ist die Dirac-Gleichung. Im Gegensatz zur Schrödinger-Gleichung enthält sie nur erste Ableitungen, sowohl im Ort als auch in der Zeit. Ort und Zeit tauchen, wie in relativistischen Szenarios notwendig, in gleicher Form auf.

Hinweis: Der Skalaroperator Δ = ∇ t ∇ ist rotationsinvariant: Mit ∇ = R∇ folgt Δ = ∇ t Rt R∇ = Δ, da Rotationen durch orthogonale Operatoren mit Rt R = 1 beschrieben werden.

1 Lösung zu (ii) Wir betrachten das Verhalten der Schrödinger-Gleichung unter der Transformation t → −t: i ⇔

∂ 2 ψ(x, −t) = − Δψ(x, −t) + V (x)ψ(x, −t) (2.199) ∂(−t) 2m

−i

2 ∂ ψ(x, −t) = − Δψ(x, −t) + V (x)ψ(x, −t) (2.200) ∂t 2m

Da sich nur die linke Seite der Schrödinger-Gleichung unter dieser Transformation verändert hat, die rechte Seite jedoch gleich geblieben ist, ist ψ(x, −t) keine Lösung der SchrödingerGleichung. Es scheint zunächst, als sei die SchrödingerGleichung nicht invariant unter Zeitumkehr t → −t. Betrachtet man allerdings die durch die Zeitumkehrtransformation induzierte Veränderung der linken Seite genauer, so fällt auf, dass diese im Wesentlichen die Form der komplex konjugierten Schrödinger-Gleichung annimmt. Da wir einen Hamilton-Operator mit reellem Potential betrachten, weswegen V ∗ (x) = V (x) gilt, finden wir durch komplexe Konjugation der zeitumkehrtransformierten Schrödinger-Gleichung:

Hinweis: Komplex konjugierte SchrödingerGleichung: −i∂t ψ ∗ (x, t) = Hψ ∗ (x, t)

2

64

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

i

2

∂ ∗ 2 ψ (x, −t) = − Δψ ∗ (x, −t) + V ∗ (x)ψ ∗ (x, −t) ∂t 2m (2.201) =−

2 Δψ ∗ (x, −t) + V (x)ψ ∗ (x, −t) 2m (2.202)

Wenn ψ(x, t) die Schrödinger-Gleichung erfüllt, so erfüllt ψ ∗ (x, −t) diese ebenfalls. Die Schrödinger-Gleichung hat also Lösungen für die positive und negative Zeitrichtung, welche durch komplexe Konjugation t → −t,

ψ(x, t) → ψ ∗ (x, −t)

(2.203)

miteinander verbunden sind. Aus diesem Grund gilt die Zeitumkehrinvarianz der Schrödinger-Gleichung nur für reelle Potentiale; ein komplexes Potential würde die Zeitumkehrinvarianz brechen. Die Verbindung von Zeitumkehrinvarianz und komplexer Konjugation zeigt uns auch, dass der Zustandsraum, d. h. der Hilbertraum der Wellenfunktionen, ein komplexer Vektorraum sein muss, damit eine zeitumkehrinvariante Bewegungsgleichung erster Ordnung in der Zeit möglich ist. Ausgehend von der Schrödinger-Gleichung motiviert also die Forderung nach Zeitumkehrinvarianz die komplexe Natur des zugrunde liegenden Hilbertraums.

2.2.10

Schrödinger- vs. Heisenberg-Bild

1 Aufgabenstellung (i) Wir betrachten ein geschlossenes System, also ein System, dessen Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit abhängt. Aˆ S ist ein Operator im Schrödinger-Bild, Aˆ H der entsprechende Operator im Heisenberg-Bild. Beide Bilder sollen zum Zeitpunkt t0 = 0 übereinstimmen. Der Zustand |ψ(t0 ) sei der zugehörige Eigenzustand von Aˆ S zum Eigenwert a. Zeige, dass |ψ(t) für t > 0 ein Eigenzustand von Aˆ H (−t) bezüglich desselben Eigenwerts ist. (ii) Bestimme den Ortsoperator xˆ H (t) und den Impulsoperator pˆH (t) des eindimensionalen harmonischen Oszillators im Heisenberg-Bild. Finde die heisenbergschen Bewegungsgleichungen für xˆ H (t) und pˆH (t) und berechne die Kommutatoren [xˆ H (t1 ), pˆH (t2 )], [xˆ H (t1 ), xˆ H (t2 )] und [pˆH (t1 ), pˆH (t2 )].

65 2.2 · Aufgaben

1 Lösung In der Quantenmechanik gibt es mehrere Modelle zum Umgang mit zeitabhängigen Problemen; man spricht auch von Darstellungen oder Bildern. Die zwei wichtigsten Modelle sind das Schrödinger- und das Heisenberg-Bild. Im SchrödingerBild werden die Zustände |ψ als zeitabhängig angenommen, ihre Zeitentwicklung wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben. Die Operatoren können im Schrödinger-Bild nur Aˆ S Aˆ S = ∂∂t . Im Heisenberg-Bild explizit zeitabhängig sein, also ddt hingegen sind die Zustände zeitlich konstant und die Operatoren zeitabhängig, die Zeitentwicklung der Operatoren folgt der heisenbergschen Bewegungsgleichung i dAˆ H = [Hˆ H , Aˆ H ] + (∂t Aˆ S )H . dt 

(2.204)

Die Darstellungen sind äquivalent, je nach Problemstellung kann die Wahl des entsprechenden Bildes die Lösung vereinfachen. Beispielsweise bietet es sich an, bei Problemen mit zeitunabhängigen Hamilton-Operatoren das Schrödinger-Bild, bei solchen mit zeitabhängigen Hamilton-Operatoren das Heisenberg-Bild zu wählen. 1 Lösung zu (i)

i ˆ Der Zeitentwicklungsoperator Uˆ (t) = e−  Ht spielt bei der Lösung dieser Aufgabe eine zentrale Rolle. Deswegen ist es relevant, sich einige der Eigenschaften von Uˆ (t) in Erinnerung zu rufen. Der Zeitentwicklungsoperator ist unitär, also gilt

† Uˆ (t)Uˆ (t) = 1

⇒

† −1 Uˆ (t) = Uˆ (t).

(2.205)

Außerdem ergibt sich aus der Form von Uˆ (t) direkt −1 Uˆ (t) = Uˆ (−t) und Uˆ (t2 )Uˆ (t1 ) = Uˆ (t1 + t2 ).

(2.206) Im Schrödinger-Bild erhalten wir |ψ(t) durch Anwendung des Zeitentwicklungsoperators aus |ψ(0), |ψ(t) = Uˆ (t)|ψ(0). Das Heisenberg-Bild ist über den Zeitentwicklungsoperator mit dem Schrödinger-Bild verbunden: † Aˆ H (t) = Uˆ (t)Aˆ S Uˆ (t)

(2.207)

2

66

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

Wir nutzen diese Eigenschaften zur Bestimmung der Wirkung von Aˆ H (−t), t > 0 auf den Zustand |ψ(t):

2

† Aˆ H (−t)|ψ(t) = Uˆ (−t)Aˆ S Uˆ (−t)Uˆ (t)|ψ(0)

(2.208)

= Uˆ (t)Aˆ S |ψ(0) = Uˆ (t)a|ψ(0)

(2.209)

= a|ψ(t)

(2.210)

Im zweiten Schritt wurden † Uˆ (−t) = Uˆ (t) und Uˆ (−t)Uˆ (t) = 1

(2.211)

genutzt. |ψ(t) ist also für t > 0 ein Eigenzustand von Aˆ H (−t) zum Eigenwert a. 1 Lösung zu (ii) Wir rufen uns zunächst den Hamilton-Operator des harmonischen Oszillator in Erinnerung: 1 pˆ2 + mω2 xˆ 2 Hˆ = 2m 2

(2.212)

Das Schrödinger-Bild ist mit dem Heisenberg-Bild über den Hˆ Zeitentwicklungsoperator Uˆ (t) = e−i  t verbunden, also ergeben sich die gesuchten Operatoren im Heisenberg-Bild folgendermaßen aus den Operatoren im Schrödinger-Bild: Hˆ

Hˆ

† xˆ H (t) = Uˆ (t) xˆ Uˆ (t) = ei  t xˆ e−i  t †

pˆH (t) = Uˆ (t) pˆ Uˆ (t) = e

ˆ iH t

pˆ e

ˆ −i H t

(2.213) (2.214)

Um diese Ausdrücke zu bestimmen, können wir die BakerCampbell-Hausdorff-Formel ˆ

ˆ

ˆ −A = eA Be

∞  1 ˆ ˆ [A, B]n n!

ˆ B] ˆ n = [A, ˆ [A, ˆ B] ˆ n−1 ] und [A, ˆ B] ˆ 0 = Bˆ mit [A,

n=0

(2.215)

nutzen, also ˆ

ˆ

ˆ B] ˆ + ˆ −A = Bˆ + [A, eA Be

1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ [A, [A, B]] + [A, [A, [A, B]]] + ... 2! 3! (2.216)

Um Baker-Campbell-Hausdorff anwenden zu können, benötigen wir somit die Kommutatoren

67 2.2 · Aufgaben

1 2 i ˆ x] [pˆ , x] ˆ [H, ˆ = ˆ = − p, 2m m 1 ˆ p] [H, ˆ = mω2 [xˆ 2 , p] ˆ = imω2 xˆ , 2

(2.217) (2.218)

ˆ C] ˆ = wobei wir die Kommutatorrelationen [x, ˆ p] ˆ = i und [Aˆ B, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A[B, C] + [A, C]B genutzt haben. Mit den Gl. (2.216) bis (2.218) finden wir für den ersten Ausdruck in Gl. (2.213): 1  it 2 ˆ ˆ it ˆ [H, x] ˆ + [H, [H, x]] ˆ + ... (2.219)  2!  2 3 4 5 t (ωt) (ωt) 1 (ωt) (ωt) 1 = xˆ + pˆ − xˆ − pˆ + xˆ + pˆ − ... m 2! 3! mω 4! 5! mω (2.220)    1  (ωt)4 (ωt)3 (ωt)5 (ωt)2 + − ... + pˆ ωt − + − ... = xˆ 1 − 2!  4! 3!  5!  mω    Hˆ

Hˆ

xˆ H (t) = ei  t xˆ e−i  t = xˆ +

cos(ωt)

sin(ωt)

(2.221) 1 pˆ sin(ωt) ⇒ xˆ H (t) = xˆ cos(ωt) + mω

(2.222)

Analog finden wir 1  it 2 ˆ ˆ it ˆ [H, p] ˆ + [H, [H, p]] ˆ + ... (2.223)  2!      2 4 3 5 (ωt) (ωt) (ωt) (ωt) + − ... −mωxˆ ωt − + − ... . = pˆ 1 − 2!  4! 3!  5!     Hˆ

Hˆ

pˆH (t) = ei  t pˆ e−i  t = pˆ +

cos(ωt)

sin(ωt)

(2.224)

Somit gilt pˆH (t) = pˆ cos(ωt) − mωxˆ sin(ωt).

(2.225)

Wir bestimmen nun die heisenbergschen Bewegungsgleichungen für die gefundenen Operatoren. Da xˆ H (t) und pˆH (t) nicht ∂ ∂ xˆ H (t) = 0 und ∂t pˆH (t) = 0), reexplizit zeitabhängig sind ( ∂t duzieren sich die entsprechenden Ausdrücke auf 1 dxˆ H (t) ˆ = [xˆ H (t), H] dt i Hˆ 1 Hˆ ˆ e−i  t ˆ H] = ei  t [x, i Hˆ 1 i i Hˆ t = e  pˆ e−i  t i m 1 = pˆH (t) m und

(2.226) (2.227) (2.228) (2.229)

2

68

2

Kapitel 2 · Schrödinger-Gleichung

1 dpˆH (t) ˆ = [pˆH (t), H] dt i Hˆ 1 Hˆ ˆ e−i  t ˆ H] = ei  t [p, i Hˆ imω2 i Hˆ t =− e  xˆ e−i  t i = −mω2 xˆ H (t).

(2.230) (2.231) (2.232) (2.233)

Wir berechnen nun noch die gesuchten Kommutatoren:   1 pˆ sin(ωt1 ), pˆ cos(ω2 t) − mωxˆ sin(ωt2 ) [xˆ H (t1 ), pˆH (t2 )] = xˆ cos(ωt1 ) + mω (2.234) = [x, ˆ p] ˆ cos(ωt1 ) cos(ωt2 ) − [p, ˆ x] ˆ sin(ωt1 ) sin(ωt2 )

(2.235)

= i(cos(ωt1 ) cos(ωt2 ) + sin(ωt1 ) sin(ωt2 ))

(2.236)

= i cos(ω(t1 − t2 ))

(2.237)

Dabei wurde im letzten Schritt die trigonometrische Identität cos(a ± b) = cos(a) cos(b) ∓ sin(a) sin(b) genutzt. Analog ergibt sich unter Nutzung der Identität sin(a ± b) = sin(a) cos(b) ± cos(a) sin(b):   1 1 [xˆ H (t1 ), xˆ H (t2 )] = xˆ cos(ωt1 ) + pˆ sin(ωt1 ), xˆ cos(ωt2 ) + pˆ sin(ωt2 ) mω mω (2.238) =

1 1 [x, ˆ p] ˆ cos(ωt1 ) sin(ωt2 ) + [p, ˆ x] ˆ sin(ωt1 ) cos(ωt2 ) mω mω (2.239)

i (cos(ωt1 ) sin(ωt2 ) − sin(ωt1 ) cos(ωt2 )) mω i sin(ω(t1 − t2 )) =− mω =

(2.240) (2.241)

und   [pˆH (t1 ), pˆH (t2 )] = pˆ cos(ωt1 ) − mωxˆ sin(ωt1 ), pˆ cos(ωt2 ) − mωxˆ sin(ωt2 ) (2.242) ˆ p] ˆ sin(ωt1 ) cos(ωt2 ) = −mω[p, ˆ x] ˆ cos(ωt1 ) sin(ωt2 ) − mω[x, (2.243) = −imω(sin(ωt1 ) cos(ωt2 ) − cos(ωt1 ) sin(ωt2 ))

(2.244)

= −imω sin(ω(t1 − t2 ))

(2.245)

Literatur Feshbach H (1958) The optical model and its justification. Annu Rev Nucl Sci 8(1):49--104

69

Drehimpuls Inhaltsverzeichnis 3.1 3.2

Einleitung – 70 Aufgaben – 73 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7 3.2.8 3.2.9 3.2.10 3.2.11 3.2.12 3.2.13

Die Pauli-Matrizen – 73 Stern-Gerlach-Versuch – 75 Spin- 12 -Teilchen im uniformen Magnetfeld – 81 Spin-1-Teilchen in einem externen Magnetfeld – 84 Spinpräzession – 87 Drehimpuls bezüglich einer beliebigen Achse – 90 Drehimpulsalgebra – 93 2 Leiteroperatoren und Lˆ – 97 Gesamtdrehimpuls – 101 Basisvektoren in Kugelkoordinaten – 106 Nabla in Kugelkoordinaten – 116 Bahndrehimpuls in Kugelkoordinaten – 126 Kugelflächenfunktionen als Eigenfunktionen – 130

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Ochner (Hrsg.), Quantenmechanik Schritt für Schritt, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61562-1_3

3

70

Kapitel 3 · Drehimpuls

3.1

3

Einleitung

Der Gesamtdrehimpuls in der Quantenmechanik setzt sich aus dem Bahndrehimpuls Lˆ und dem Spin Sˆ zusammen. Der Bahndrehimpuls ist das quantenmechanische Äquivalent des klassischen Drehimpulses und lässt sich als Kreuzprodukt Lˆ = rˆ × pˆ

(3.1)

des Orts- und des Impulsoperators definieren. Da der Bahndrehimpuls somit mit den Rotationsfreiheitsgraden eines Systems in Verbindung steht, spielt er insbesondere bei der Beschreibung von dreidimensionalen Systemen wie beispielsweise Atomen und Molekülen (Kap. 5) eine wichtige Rolle. Der Spin ist hingegen ein interner Freiheitsgrad, der kein klassisches Analogon besitzt. Wie die Masse ist er eine fundamentale Eigenschaft von Elementarteilchen. Während der Bahndrehimpuls nur ganzzahlige Werte annehmen kann, kommen beim Spin sowohl ganz- als auch halbzahlige Werte vor. Die Unterscheidung zwischen Teilchen mit ganzzahligem (Bosonen) und halbzahligem Spin (Fermionen) führt zu fundamentalen Unterschieden in der Symmetrie der zugehörigen Wellenfunktion unter Vertauschung identischer Teilchen. Dieses Symmetrieverhalten legt mögliche Zustände in Atomen und Mehrteilchensystemen fest und spielt somit eine wichtige Rolle in vielen Bereichen von der Festkörperphysik bis hin zur Kosmologie. Da der Spin kein räumlicher Freiheitsgrad ist, kommutieren die Spinoperatoren mit allen mit räumlichen Freiheitsgraden verbundenen Operatoren, insbesondere mit dem Bahndrehimpulsoperator, dem Orts- und dem Impulsoperator. Dies bedeutet auch, dass die entsprechenden Wellenfunktionen als Produkt eines räumlichen Anteils und eines Spinanteils geschrieben werden können. Drehimpulse können addiert („gekoppelt“) werden, beispielsweise ergibt die Addition von Spin und Bahndrehimpuls ˆ S. ˆ In gleicher Weise lassen sich den Gesamtdrehimpuls Jˆ = L+ aber z. B. auch zwei Spins von verschiedenen Teilchen koppeln. Alle Drehimpulse folgen derselben mathematischen Struktur. Drehimpulsoperatoren sind hermitsche Vektoroperatoren Jˆ = (Jˆ x , Jˆ y , Jˆ z ). Die Komponenten erfüllen die Kommutatorrelation [Jˆ a , Jˆ b ] = iεabc Jˆ c ,

(3.2)

71 3.1 · Einleitung

wobei εabc das Levi-Civita-Symbol ist. Man bezeichnet den durch die Basiselemente {Jˆ x , Jˆ y , Jˆ z } aufgespannten Vektorraum zusammen mit der Kommutatorrelation in Gl. (3.2) als Drehimpulsalgebra, welche zu den sogenannten Lie-Algebren zählt. Als Spezialfall ergibt sich für Spin- 21 Teilchen eine solche Algebra aus dem Spinoperator  Sˆ a = σˆ a 2

mit a ∈ {1, 2, 3}.

Hierbei sind σˆ a die Pauli-Matrizen     01 0 −i , σˆ 2 = , σˆ 1 = 10 +i 0

(3.3)

σˆ 3 =

  +1 0 , (3.4) 0 −1

und es gilt [Sˆ a , Sˆ b ] = iεabc Sˆ c .

(3.5)

Aus Gl. (3.2) folgt zudem 2 [Jˆ a , Jˆ ] = 0,

(3.6)

d. h., dass die einzelnen Drehimpulskomponenten mit dem 2 2 2 2 Quadrat des Drehimpulsvektors, Jˆ = Jˆ x + Jˆ y + Jˆ z , kommutieren. Aufgrund der Vertauschbarkeit der einzelnen Komponen2 ten Jˆ a mit Jˆ kann eine der Drehimpulskomponenten ausgewählt werden, um eine gemeinsame Eigenbasis von dieser 2 Komponente und Jˆ zu konstruieren. Da die Drehimpulskomponenten selbst nicht miteinander kommutieren (Gl. (3.2)), ist die so konstruierte Eigenbasis keine Eigenbasis der anderen Komponenten. Für jede der Komponenten kann aber jeweils 2 eine gemeinsame Eigenbasis mit Jˆ gebildet werden. Wir wählen ohne Beschränkung der Allgemeinheit die z-Komponente des Drehimpulses aus. 2 Die gemeinsame Eigenbasis von Jˆ und Jˆ z ist dann gegeben durch 2 Jˆ |j, m = 2 j(j + 1)|j, m,

(3.7)

Jˆ z |j, m = m|j, m,

(3.8)

3

72

Kapitel 3 · Drehimpuls

wobei die Eigenzustände |j, m durch die beiden Quantenzahlen j und m beschrieben werden und m ∈ {−j, −j + 1, ..., +j}

3

(3.9)

gilt. Dies bedeutet beispielsweise für ein Spin- 21 -Teilchen wie ein Elektron, dass s = 21 und somit ms ∈ {− 21 , + 21 } ist; das Teilchen hat also zwei mögliche Spinzustände. Die in Gl. (3.7) auftretenden Eigenwerte sowie die möglichen Werte von m können hergeleitet werden, indem man die Auf- und Absteigeoperatoren Jˆ ± der Drehimpulsalgebra definiert, die bei vorgegebenem j Zustände mit verschiedenen m-Werten ineinander transformieren (Aufgabe 3.2.8): Jˆ ± = Jˆ x + i Jˆ y  Jˆ ± |j, m =  j(j + 1) − m(m ± 1)|j, m ± 1

(3.10) (3.11)

Die diese Eigenwertgleichungen lösenden Eigenfunktionen sind die Kugelflächenfunktionen  2 l + 1 (l − m)! m P (cos θ )eimφ (3.12) Ylm (θ, φ) = 4π (l + m)! l mit den zugeordneten Legendre-Polynomen m

Plm (cos θ) = (−1)m (1 − cos2 θ) 2

dm ¨ m≥0 Pl (cos θ) fur d(cos θ)m (3.13)

und den Legendre-Polynomen Pl (cos θ ) =

dl 1 ((cos θ )2 − 1)l . 2l l! d(cos θ )l

(3.14)

73 3.2 · Aufgaben

Formelsammlung Drehimpulsalgebra: [Jˆ a , Jˆ b ] = iεabc Jˆ c 2

⇒ [Jˆ a , Jˆ ] = 0 2 Gemeinsame Eigenbasis : Jˆ |j, m = 2 j(j + 1)|j, m

Jˆ z |j, m = m|j, m m ∈ {−j, −j + 1, ..., +j} Leiteroperatoren: Jˆ ± = Jˆ x + i Jˆ y Jˆ ± |j, m  =  j(j + 1) − m(m ± 1)|j, m ± 1  1 Spin- -Systeme: Sˆ a = σˆ a 2 2   01 mit den Pauli-Matrizen σˆ 1 = , 10



 0 −i , +i 0   +1 0 σˆ 3 = 0 −1 σˆ 2 =

Kugelfl¨achenfunktionen: Ylm (θ, φ)  2 l + 1 (l − m)! m = P (cos θ )eimφ 4π (l + m)! l mit Plm (cos θ ) m

= (−1)m (1 − cos2 θ ) 2

dm P (cos θ ) d(cos θ )m l

¨ m ≥ 0, fur Pl (cos θ ) =

1

dl

2l l! d(cos θ )l

((cos θ )2 − 1)l

Aufgaben

3.2 3.2.1

Die Pauli-Matrizen

1 Aufgabenstellung Die Spinoperatoren Sˆ a für Spin- 21 -Teilchen lassen sich über die Pauli-Matrizen σˆ a folgendermaßen definieren:  Sˆ a = σˆ a , 2

a ∈ {1, 2, 3}

(3.15)

3

74

Kapitel 3 · Drehimpuls

Zeige, dass die so eingeführten Spinoperatoren die Kommutatorrelation [Sˆ a , Sˆ b ] = iεabc Sˆ c

(3.16)

erfüllen, wobei εabc das Levi-Civita-Symbol ist.

3

Hinweis: Das Levi-CivitaSymbol εabc ist vollständig antisymmetrisch. Haben zwei Indizes denselben Wert, so ist εabc = 0. Sind die Werte verschieden, so gibt das Symbol an, ob eine gerade (εabc = +1) oder ungerade (εabc = −1) Anzahl von Vertauschungen der Indizes nötig ist, um die Werte zu ordnen, zum Beispiel ε213 = −ε123 = −1.

1 Lösung Viele Elementarteilchen, wie Elektronen, Quarks und Neutrinos sind Spin- 21 -Teilchen. Da die Pauli-Matrizen das Verhalten von Spin- 21 -Teilchen beschreiben, sind ihre mathematischen Eigenschaften in der Quantenmechanik von großer Bedeutung. Durch geschicktes Ausnutzen der Eigenschaften von Kommutatoren und des Levi-Civita-Symbols können wir die explizite Berechnung einiger der gesuchten Kommutatoren vermeiden: Sowohl das Levi-Civita-Symbol als auch der Kommutator sind antisymmetrisch in (a, b). In den drei Fällen a = b sind demnach beide Seiten von Gl. (3.16) gleich null, die Gleichung ist also erfüllt. Zudem genügt es, die zyklischen Vertauschungen (a, b) ∈ {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} zu berechnen, da die anderen drei Fälle auf beiden Seiten von Gl. (3.16) einen Vorzeichenwechsel hervorrufen. Die verbleibenden drei Kommutatoren mit (a, b) ∈ {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} lauten: (1, 2) :

[Sˆ1 , Sˆ2 ] =

2 4

=

2 4

=

2 2

  

01 10

    2 0 −i 0 −i 01 − (3.17) +i 0 10 4 +i 0    2 −i 0 0 − (3.18) −i 0 +i 4  0 (3.19) −i



+i 0 +i 0

=iε123 Sˆ 3

(2, 3) :

 [Sˆ2 , Sˆ3 ] = 4

2

=

2 4

=

2 2



 

(3.20)      2 +1 0 +1 0 0 −i − 0 −1 +i 0 0 −1 4 (3.21)    2  +i 0 −i − (3.22) 0 4 −i 0  +i (3.23) 0

0 −i +i 0 0 +i 0 +i

=iε231 Sˆ 1

(3.24)

75 3.2 · Aufgaben

(3, 1) :

 [Sˆ3 , Sˆ1 ] = 4

2

=

2 4

=

2 2

=

2 2

      2 0 1 01 +1 0 +1 0 − 10 0 −1 0 −1 4 10 (3.25)     2 0 −1 0 +1 − (3.26) −1 0 4 +1 0   0 +1 (3.27) −1 0   0 −i 2 (3.28) +i 2 0

=iε312 Sˆ 2

(3.29)

Die Kommutatorrelation ist also für alle möglichen Kombinationen (a, b) erfüllt. Die Spinoperatoren verhalten sich demnach mathematisch wie allgemeine Drehimpulsoperatoren. 1 Diskussion Die Drehimpulsalgebra taucht in der Quantenmechanik sowohl in ganzzahligen, als auch in halbzahligen Ausführungen immer wieder auf. Sie stellt ein Beispiel für eine Lie-Algebra dar, welche durch die Exponentialabbildung die zugehörige LieGruppe erzeugt. Im obigen Beispiel wird die Lie-Gruppe SU(2) durch die Lie-Algebra su(2) beschrieben, welche durch die Pauli-Matrizen erzeugt wird. Durch die Abbildung  exp (iαa σa ) (3.30) U (α) = a

lässt sich jede SU(2) bijektiv (mit passend eingeschränkten α) erzeugen.

3.2.2

Stern-Gerlach-Versuch

1 Aufgabenstellung Ein Teilchen mit Spin s = 21 und Anfangszustand |ψ bewegt sich entlang der y-Achse und passiert drei aufeinanderfolgende Stern-Gerlach-Apparaturen, die in . Abb. 3.1 dargestellt sind. (i) Die erste Stern-Gerlach-Apparatur misst die Spinkomponente in z-Richtung und lässt nur Teilchen mit positivem z-Spin (sz > 0) passieren. Die zweite Apparatur misst die x-Komponente des Spins und lässt nur sx > 0 durch. Die dritte Messapparatur misst wiederum Spin in z-Richtung und lässt nur Teilchen mit negativer z-Spinkomponente sz < 0 passieren. a) Das Teilchen befinde sich im Anfangszustand |ψ = |↑z , also im zum Eigenwert sz = + 21 gehörigen Eigen-

3

76

Kapitel 3 · Drehimpuls

3 . Abb. 3.1

Schematischer Aufbau der drei Stern-Gerlach-Apparaturen

zustand von Sˆ z . Mit welcher Wahrscheinlichkeit passiert das Teilchen die erste Apparatur? b) Drücke den Zustand des Teilchens kurz vor der zweiten Stern-Gerlach-Apparatur durch die Eigenvektoren der x-Spinkomponente Sˆ x aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit passiert das Teilchen die zweite Apparatur? Hinweis: Nutze dazu die Eigenvektoren der PauliMatrizen σˆ x und σˆ z . c) Gib den Zustand des Teilchens vor der dritten Apparatur an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit passiert das Teilchen die dritte Apparatur? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen die gesamte Apparatur passiert? (ii) Nun wird die zweite Stern-Gerlach-Apparatur durch eine andere ersetzt, die in Richtung n orientiert ist, wobei n ein Einheitsvektor in der xz-Ebene ist, der im Winkel θ zur z-Achse steht. Diese Stern-Gerlach-Apparatur lässt nur Zustände passieren, die Eigenvektoren zu positiven Eigenwerten des Operators n · σˆ = nx σˆ x + nz σˆ z sind, wobei σˆ x und σˆ z Pauli-Matrizen sind. Die erste und die dritte Messapparatur sind ausgerichtet wie in Aufgabenteil (i), der Anfangszustand ist |ψ, die Teilchenbewegung findet weiterhin entlang der y-Achse statt. Wie groß ist die Strahlintensität I nach der dritten Stern-Gerlach-Apparatur, wenn die Intensität nach der ersten Apparatur auf I0 = 1 normiert wird? Für welche Winkel θ wird I maximal? 1 Lösung Das Stern-Gerlach-Experiment, erstmals durchgeführt von Otto Stern und Walter Gerlach im Jahr 1922, ist eines der wichtigsten Experimente in der Geschichte der Quantenmechanik, da es die Quantisierung des Drehimpulses und die Existenz des Spins, die zu diesem Zeitpunkt noch nicht theoretisch vorhergesagt war, zeigte. Außerdem ist das Stern-Gerlach-Experiment zu einem Paradigma des quantenmechanischen Messprozesses geworden, mit

77 3.2 · Aufgaben

Hilfe dessen Messprozesse mathematisch übersichtlich betrachtet und Konzepte wie Spin und Spinmessung verstanden werden können. 1 Lösung zu (i): Lösung zu a): Das Teilchen befindet sich zunächst im Zustand |ψ = |↑z , die z-Spinkomponente ist demnach sz = 21 . Dies ist genau der Zustand, den die erste Messapparatur passieren lässt, die Transmissionswahrscheinlichkeit ist somit P1 = 1. Der Zustand nach der ersten Messung ist also weiterhin |ψ = |↑z . Lösung zu b): Die nächste Spinmessung (zweite Messapparatur) findet in xRichtung statt. Um die Zustandsänderung durch die Messung und die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Apparatur passiert wird, zu berechnen, müssen wir nun den Zustand |ψ = |↑z nach der ersten Messung in der Basis der Eigenvektoren zum Spinoperator Sˆ x , |↑x und |↓x , ausdrücken. Mit Hilfe der Eigenvektoren der Pauli-Matrizen   1 1 , |↑x = √ 2 1

  1 1 |↓x = √ , 2 −1

|↑z =

  1 0

und |↓z =

  0 1

ergibt sich        1 1  1 1 1 |↑z = + = = √ |↑x + |↓x . 1 0 −1 2 2 (3.31) Bei der Messung wird nun der einfallende Zustand |↑z auf den Zustand, der von der Messapparatur durchgelassen wird, |↑x , projiziert. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen die zweite Apparatur passiert, ist demnach  1  1 P2 = | ↑|x √ |↑x + |↓x |2 = , 2 2

(3.32)

wobei im letzten Schritt die Orthonormalität der Eigenvektoren von Sˆ x genutzt wurde. Lösung zu c): Der Zustand vor der dritten Apparatur ist nun also |↑x . Die letzte Messung findet wiederum in z-Richtung statt. Ausgedrückt durch Eigenzustände von Sˆ z lässt sich der Zustand schreiben als

3

78

Kapitel 3 · Drehimpuls

 1  |↑x = √ |↑z + |↓z . 2

(3.33)

Die Wahrscheinlichkeit, die dritte Messapparatur zu passieren, ergibt sich analog zu Teilaufgabe b):

3

 1  1 P3 = | ↓|z √ |↑z + |↓z |2 = 2 2

(3.34)

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Teilchen, alle drei Apparaturen zu passieren, ist durch das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten gegeben, da die Messungen unabhängig voneinander sind. Also finden wir Pges =



Pi = 1 ·

i

1 1 1 · = . 2 2 4

(3.35)

1 Lösung zu (ii): Da sich an der ersten Messapparatur nichts geändert hat, ist der Zustand nach der ersten Messung |ψ = |↑z . Die Messung an der zweiten Stern-Gerlach-Apparatur ist nun etwas komplexer als in Teilaufgabe (i). Zunächst müssen wir den Spinoperator, dessen Messung an dieser Apparatur stattfindet, in Matrixdarstellung ausdrücken. Der zum positiven Eigenwert zugehörige Eigenvektor dieser Matrix ist der Zustand, auf den der Zustand, den wir nach der ersten Messung erhalten haben, projiziert werden muss. Wir finden die Matrixdarstellung n · σˆ = nx σˆ x + nz σˆ z = nx

      01 +1 0 n n + nz = z x . 10 0 −1 nx −nz (3.36)

Die Eigenwerte ergeben sich aus dem charakteristischen Polynom: (nz − λ)(−nz − λ) − nx2 = 0 −nz2

+λ

2

− nx2 2

(3.37)

=0

λ =

nx2

(3.38) + nz2

Da n ein Einheitsvektor ist, gilt |n| = sich λ2 = 1

⇔

λ1,2 = ±1.

n · σˆ hat somit die Eigenwerte ±1.

(3.39)

 nx2 + nz2 = 1, also ergibt (3.40)

79 3.2 · Aufgaben

Da die zweite Messapparatur nur den zum positiven Eigenwert gehörigen Eigenzustand von n· σˆ durchlässt, müssen wir diesen nun bestimmen, der relevante Eigenwert ist also λ1 = 1.  v Wir bestimmen nun den zugehörigen Eigenvektor |v = x . vz Dieser muss das Gleichungssystem    nz − 1 nx vx =0 (3.41) nx −nz − 1 vz lösen, also (nz − 1)vx + nx vz = 0, nx vx − (nz + 1)vz = 0.

(3.42) (3.43)

  nz + 1 erfüllt die Gleichungen (3.42) und Der Vektor |v = nx (3.43), er muss nun noch normiert werden. Hierbei ergibt sich



||v| = (nz + 1)2 + nx2 = nz2 + 2nz + 1 + nx2  = 2(nz + 1), (3.44) wobei im letzten Schritt nx2 + nz2 = 1 verwendet wurde. Der zum Eigenwert 1 gehörige Eigenvektor von n · σˆ lautet also   1 nz + 1 . (3.45) |v = √ nx 2(nz + 1) Um nun die transmittierte Strahlintensität zu berechnen, müssen wir, wie in Aufgabenteil (i), die Transmissionswahrscheinlichkeiten der einzelnen Messapparaturen berechnen. Da wir auf die Intensität des von der ersten Apparatur transmittierten Strahls normieren, benötigen wir hierfür die Wahrscheinlichkeiten P2 und P3 . Für P2 ergibt sich durch Projektion von |↑z auf |v:      1 1 2 nz + 1  2 · P2 = | v|↑z | =  √  n 0 x 2(nz + 1) 1 nz + 1 (nz + 1)2 = (3.46) = 2(nz + 1) 2 Die dritte Messapparatur misst in z-Richtung und lässt zum negativen Eigenwert gehörige Zustände passieren, wir projizieren also auf |↓z . Damit ergibt sich

3

80

Kapitel 3 · Drehimpuls

    1 0 nz + 1 2 ·  nx 2(nz + 1) 1 1 (nx )2 . = 2(nz + 1)

  P3 = | ↓|z |v| =  √ 2

3

(3.47)

Die transmittierte Intensität ist somit I = I0 · P2 · P3 =

nx2 n2 nz + 1 = x, 2 2(nz + 1) 4

(3.48)

wobei die Normierung I0 = 1 gewählt wurde. Wir wollen nun noch bestimmen, für welchen Winkel θ die Intensität maximiert wird. Dafür müssen wir die Komponente nx von n als Funktion von θ ausdrücken. Aus der Darstellung in . Abb. 3.2 ergibt sich direkt   sin θ n= (3.49) cos θ und somit I=

sin2 θ . 4

(3.50)

Um I bezüglich θ zu maximieren, muss gelten: 2 sin θ cos θ sin(2θ ) dI = = =0 dθ 4 4 ⇒ 2θ = 0, 2θ = π

(3.51) (3.52)

Die transmittierte Intensität wird also maximal für θ = π2 + nπ, n ∈ Z; dies entspricht genau der Konfiguration in Aufgabenteil (i). Für θ = 0 ist die Transmission 0 und somit minimal.

. Abb. 3.2

Der Vektor n in Abhängigkeit des Winkels θ .

81 3.2 · Aufgaben

1 Diskussion Die Stern-Gerlach-Apparaturen wirken analog zu Polarisationsfiltern für Licht als Spinfilter. Dies bedeutet, dass die Messprozesse den jeweiligen Zustand verändern – im Kontrast zum klassischen Messprozess, welcher den Zustand eines Systems nicht verändert.

3.2.3

Spin- 12 -Teilchen im uniformen Magnetfeld

1 Aufgabenstellung Betrachte die Dynamik eines elektronischen Spins in einem uniformen Magnetfeld. Das magnetische Moment des Elektrons ist gegeben durch  e  Sˆ (3.53) μˆ = − mc mit der Elektronenladung e, der Elektronenmasse m, der ˆ Der Vakuumlichtgeschwindigkeit c und dem Spinoperator S. Hamilton-Operator für ein magnetisches Moment in einem Magnetfeld B ist gegeben durch  e  Hˆ = −μˆ · B = Sˆ · B. (3.54) mc Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann das Koordinatensystem so ausgerichtet werden, dass das Magnetfeld in z-Richtung zeigt. Dann ist der Hamilton-Operator durch   eB ˆ ˆ Sz H= (3.55) mc gegeben, wobei B = |B| gilt. Die Eigenzustände des Hamilton-Operators entsprechen  den eB . Eigenzuständen |± von Sˆ z mit den Eigenwerten ± 2 mc (i) Bestimme für einen allgemeinen Zustand |ψ(t0 ) = a|+ + b|−,

a, b ∈ C,

|a|2 + |b|2 = 1 (3.56)

die Zeitentwicklung |ψ(t). (ii) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, zum Zeitpunkt t die Eigenwerte sx = + 2 sowie sx = − 2 des Spinoperators Sˆ x zu messen.

3

82

Kapitel 3 · Drehimpuls

1 Lösung Spin- 21 -Teilchen wie Elektronen, aber auch die Protonen und Neutronen bildenden Quarks, tauchen überall in der Physik auf. Der Spin ist eine wichtige Eigenschaft von Teilchen, die deren Verhalten maßgeblich beeinflusst. Beispielsweise koppelt der Spin über das magnetische Moment an Magnetfelder; dementsprechend spielt der Spin bei der Zeitentwicklung im Magnetfeld eine wichtige Rolle.

3

Hinweis: Wenn |v ein Eigenvektor des Operators Aˆ zum Eigenwert a ist, ˆ = a|v, so ist A|v |v auch ein Eigenvektor des Exponentialoperaˆ tors eA zum Eigenwert ea , ˆ eA |v = ea |v. Dies lässt sich mit Hilfe der Reihenentwicklung des Operatorexponentials zeigen.

1 Lösung zu (i): Da |± die Eigenzustände von Sˆ z zu den Eigenwerten ± 2 sind und Sˆ z in der gewählten Basis diagonal ist, sind die Zustände eB |± Eigenzustände des Zeitentwicklungsoperators. Mit ω = mc ergibt sich:  ω  |ψ(t) = exp −i Sˆ z t |ψ(t0 ) (3.57)   ω 

= exp −i Sˆ z t a|+ + b|− (3.58)      ωt − ωt  |+ + b exp −i |− = a exp −i  2  2 (3.59)     ωt ωt |+ + b exp +i |− (3.60) = a exp −i 2 2 1 Lösung zu (ii): Die Eigenvektoren von Sˆ x zu den Eigenwerten ± 2 haben die Form √1 (|+ ± |−). Die Wahrscheinlichkeit, den Messwert 2 sx zum Zeitpunkt t zu messen, ist gegeben durch p(sx |t) = | sx |ψ(t)|2 .

(3.61)

Für sx = + 2 erhält man unter Ausnutzung der Orthonormalität der Zustände |+ und |−:   p sx = + 2

    2   t = 1 ( +| + −|) ae−i ωt2 |+ + be+i ωt2 |−   2  ωt ωt 2 1  = ae−i 2 + be+i 2  2  1 2 |a| + |b|2 + ab∗ e−iωt + a∗ be+iωt = 2   1 = 1 + 2Re ab∗ e−iωt 2

(3.62) (3.63) (3.64) (3.65)

Wir haben hier außerdem die Normierung des Zustands ψ(t), |a|2 + |b|2 = 1 genutzt.

83 3.2 · Aufgaben

Betrachten wir beispielsweise den Anfangszustand |ψ(t0 ) = |sx = + 2 , gilt a = b∗ = √1 und somit 2

   ωt  1   . p sx = +  t = (1 + cos(ωt)) = cos2 2 2 2 

(3.66)

Hinweis: cos2 (x) = 1 2 (1 + cos(2x))

Für sx = − 2 erhalten wir in analoger Weise   p sx = − 2

    t = 1 |( +| − −|)  2 2  ωt ωt  (3.67) ae−i 2 |+ + be+i 2 |−    ωt ωt 2 1 = ae−i 2 − be+i 2  (3.68) 2  1 2 |a| + |b|2 − ab∗ e−iωt − a∗ be+iωt = 2 (3.69)   1 = 1 − 2Re ab∗ e−iωt , (3.70) 2

was für die obige Anfangsbedingung |ψ(t0 ) = |sx = + 2      ωt  1   (3.71) p sx = −  t = (1 − cos(ωt)) = sin2 2 2 2 ergibt. 1 Diskussion Wir haben die Wahrscheinlichkeiten berechnet, die Messwerte sx = ± 2 zum Zeitpunkt t zu messen. Wenn die Ergebnisse summiert werden, ergibt das sowohl im Allgemeinen als auch im betrachteten speziellen Fall |ψ(t0 ) = |sx = + 2          (3.72) p sx = +  t + p sx = −  t = 1. 2 2 Dies muss gelten, da ± 2 die beiden einzigen möglichen Messwerte für Sˆ x sind. An Gl. (3.66) und (3.71) kann man ablesen, dass die Wahrscheinlichkeiten oszillieren und je eine der beiden 0 wird, wenn die andere den Wert 1 erreicht. Dass eine solche Oszillation auftritt, liegt daran, dass der gewählte Anfangszustand kein Eigenzustand von Sˆ z und somit des Hamilton-Operators ist. Würden wir einen Eigenzustand von Sˆ z als Anfangszustand wählen, würde sich lediglich die globale Phase ändern.

Hinweis: sin2 (x) = 1 2 (1 − cos(2x))

3

84

Kapitel 3 · Drehimpuls

3.2.4

3

Spin-1-Teilchen in einem externen Magnetfeld

1 Aufgabenstellung Wir betrachten ein Spin-1-Teilchen in einem externen Magnetfeld. Für ein Spin-1-Teilchen haben die Spinoperatoren die Form ⎛ ⎞ 010  Sˆ x = √ ⎝1 0 1⎠ , 2 010

⎛ ⎞ 0 −i 0  Sˆ y = √ ⎝+i 0 −i ⎠ , 2 0 +i 0

⎛

⎞ 10 0 Sˆ z =  ⎝0 0 0 ⎠ . 0 0 −1 (3.73)

Es seien |m die zu den Eigenwerten m, m ∈ {−1, 0, 1}, gehörigen von Sˆz . Wir betrachten den Zustand  Eigenzustände √ 1 |ψ = 2 |+1 + 2|0 + |−1 . (i) Was ist der Erwartungswert von Sˆ x im Zustand |ψ? Was lässt sich daraus für die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Messwerte von Sˆ x bezüglich des Zustands |ψ schließen? (ii) Der Hamilton-Operator des Systems sei durch ge B · Sˆ mit dem Magnetfeld B = (0, 0, B)T , Hˆ = 2Mc B = const. gegeben. Bestimme den Zeitentwicklungsopei ˆ rator Uˆ (t) = e−  Ht in Spektraldarstellung. Wie lauten seine Eigenwerte? Hinweis: Du benötigst dafür die Eigenwerte des HamiltonOperators. i ˆ (iii) Für den zeitentwickelten Zustand gilt |ψ (t) = e−  Ht |ψ. Das System befinde sich zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand |ψ. Gib die Wahrscheinlichkeit an, bei einer Messung von Sˆ x zum einem Zeitpunkt t > 0 den Wert + zu messen. 1 Lösung Diese Aufgabe ist in engem Zusammenhang zu Aufgabe 3.2.3 zu sehen. Die Problemstellungen und Rechenwege sind in beiden Fällen sehr ähnlich, der Vergleich der jeweiligen Ergebnisse zeigt, wie sich das Verhalten der Teilchen ändert, wenn wir von einem Spin- 21 -System zu einem Spin-1-System wechseln. 1 Lösung zu (i): Da |m die Eigenzustände zu Sˆ z sind und dieser Operator diagonal dargestellt wurde, können wir die Eigenzustände in Form der folgenden Vektoren schreiben:

85 3.2 · Aufgaben

|+1 ↔ (1, 0, 0)

(3.74)

|0 ↔ (0, 1, 0) |−1 ↔ (0, 0, 1)

(3.75) (3.76)

Solch eine Darstellung bietet den Vorteil, dass für die Rechnungen Matrix- und Vektoroperationen wie Multiplikation und Skalarprodukt genutzt werden können. Wir berechnen nun den Erwartungswert von Sˆ x bezüglich des Zustands |ψ: ⎛ ⎞⎛ ⎞ √1 √ 010  Sˆ x ψ = √ 1 2 1 ⎝1 0 1⎠ ⎝ 2⎠ (3.77) 4 2 010 1 ⎛√ ⎞ 2 √

 = √ 1 2 1 ⎝√2 ⎠ (3.78) 4 2 2 = +

(3.79)

Der Erwartungswert ist die mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten gewichtete Überlagerung aller möglichen Messwerte ψ|Sˆ x |ψ =

+1 

pm m,

(3.80)

m=−1

wobei pm die jeweilige Wahrscheinlichkeit angibt, den Messwert m bei Messung von Sˆ x zu erhalten. Da nun jedoch Sˆ x ψ = + gilt, muss p+1 = 1 gelten. Damit sind im vorliegenden Fall die anderen Wahrscheinlichkeiten 0. Das Spin1-Teilchen befindet sich somit im Eigenzustand zum Eigenwert +. 1 Lösung zu (ii): Da das Magnetfeld nur eine Komponente in z-Richtung hat, geB ˆ S z an. nimmt der Hamilton-Operator die Form Hˆ = 2Mc In diesem Aufgabenteil soll der Zeitentwicklungsoperator ˆ Uˆ (t) = e−i Ht/ bestimmt werden, um später die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen berechnen zu können. Wir müssen also zunächst die Exponentialfunktion des Hamilton-Operators bestimmen. Dazu können die beiden folgenden Rechenwege genutzt werden. Möglichkeit 1: ˆ Uˆ (t) = e−  Ht i

=e

ˆ −iωt Sz

(3.81) (3.82)

3

86

3

Kapitel 3 · Drehimpuls

Hinweis: Ein Operator Aˆ mit Eigenvektoren |ai  und zugehörigen Eigenwerten ai hat die Spektraldarstellung  Aˆ = i ai |ai  ai |.

geB mit ω := 2Mc . Da Sˆ z in der gewählten Darstellung diagonal ist, erhält man in Matrixschreibweise ⎛ −iωt ⎞ e 0 0 Uˆ (t) = ⎝ 0 1 0 ⎠ . (3.83) 0 0 e+iωt

Da der Operator diagonal ist, entsprechen seine Eigenwerte den Diagonalelementen. Die Spektraldarstellung lautet also Uˆ (t) = e−iωt | + 1 + 1| + |0 0| + e+iωt | − 1 − 1|.

(3.84)

Möglichkeit 2: Man kann auch direkt in der Spektraldarstellung arbeiten. Dazu nutzen wir aus, dass m|n = δmn gilt und dass Sˆ z in der gewählten Basis ebenfalls diagonal ist. Sˆ z lautet in Spektraldarstellung: Sˆ z =  (| + 1 + 1| + 0|0 0| − | − 1 − 1|)

(3.85)

Der Zeitentwicklungsoperator hat somit die Form   Uˆ (t) = exp −iωtSˆ z /

(3.86)

= exp (−iωt| + 1  + 1| + 0|0 0| + iωt| − 1  − 1 |) , (3.87)

d. h., er ist als Operatorexponential eines diagonalen Operators gegeben. Wir nutzen nun, dass für Matrixexponentiale die folgende Relation gilt:

(3.88) exp (diag(λ1 , λ2 , ..., λn )) = diag eλ1 , eλ2 , ..., eλn Damit erhalten wir direkt die Spektraldarstellung von Uˆ (t): Uˆ (t) = e−iωt | + 1 + 1| + |0 0| + eiωt | − 1 − 1|

(3.89)

1 Lösung zu (iii): Um die Wahrscheinlichkeit der Messung des Eigenwerts + für den Operator Sˆ x zum Zeitpunkt t > 0 zu bestimmen, muss der zeitentwickelte Zustand |ψ(t) auf den Eigenzustand zu + von Sˆ x projiziert werden. Letzterer ist der Anfangszustand |ψ(0). Die Übergangswahrscheinlichkeit ist das Betragsquadrat dieser so berechneten Übergangsamplitude:

87 3.2 · Aufgaben

p(+|t) = | ψ|ψ (t)|2 2    =  ψ|Uˆ (t)|ψ  ⎛ −iωt ⎞ ⎛ ⎞2   0 0 1 √ e √1   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 1 0 = 1 21 2  +iωt 4 1  0 0e    2 1 =  e−iωt + 2 + eiωt  4    ge  2 1 =  cos Bt + 1  2 2Mc  2  ge   = cos2 Bt  4Mc   ge Bt = cos4 4Mc

(3.90) (3.91) (3.92)

(3.93) (3.94) (3.95) (3.96)

Im vorletzten Schritt wurde die Identität 21 [cos (2x) + 1] = cos2 (x) genutzt. Für t = 0 ergibt diese Formel p = 1. Für Zeiten t > 0 kann die Wahrscheinlichkeit p(+|t) null werden, da sie cos4 -förmig oszilliert. Dann befindet sich das Teilchen in einem Zustand orthogonal zum zu + gehörigen Eigenzustand. Da mx = 0 keine Rotation zulässt, kann dies nur der Zustand mx = −1 sein.

3.2.5

Spinpräzession

1 Aufgabenstellung Ein Spin- 21 -Teilchen befinde sich in einem externen, entlang der z-Achse ausgerichteten, konstanten Magnetfeld B. Der Hamilton-Operator des Systems lautet: Hˆ = ωSˆ z

(3.97)

Das Teilchen sei in einem allgemeinen Anfangszustand |sx , sy , sz  präpariert. (i) Bestimme die Bewegungsgleichungen für die Spinoperatoren Sˆ x , Sˆy , Sˆz und löse diese für allgemeine Anfangsbedingungen Sˆ x (0), Sˆ y (0), Sˆ z (0). (ii) Bestimme die Zeitentwicklung der Erwartungswerte der drei Spinoperatoren. 1 Lösung Ein Teilchen mit Spin hat ein magnetisches Moment µ, das parallel oder antiparallel zum Spin ausgerichtet sein kann. In

3

88

Kapitel 3 · Drehimpuls

einem Magnetfeld wirkt auf ein solches Teilchen ein Drehmoment M = µ × B. Dieses Drehmoment führt zu einer Präzessionsbewegung des Teilchenspins im Magnetfeld. In der klassischen Mechanik tritt diese Art von Bewegung beispielsweise bei einem Kreisel mit geneigter Drehachse durch ein von der Schwerkraft induziertes Drehmoment auf. Dabei bewegt sich die Drehachse auf einem Kegelmantel.

3

1 Lösung zu (i): Da die Spinoperatoren im Schrödinger-Bild nicht explizit zeitabhängig sind, lauten die gesuchten heisenbergschen Bewegungsgleichungen für die drei Spinoperatoren d ˆ S x (t) = dt d ˆ S y (t) = dt d ˆ S z (t) = dt

i ˆ ˆ [H, S x ],  i ˆ ˆ [H, S y ],  i ˆ ˆ [H, S z ]. 

(3.98) (3.99) (3.100)

Wir berechnen die Kommutatoren mit Hilfe der Drehimpulsalgebra: Hinweis: [Sˆ k , Sˆ l ] = iεklm Sˆ m

ˆ Sˆ x ] = ω[Sˆ z , Sˆ x ] = +iωSˆ y [H,

(3.101)

ˆ Sˆ y ] = ω[Sˆ z , Sˆ y ] = −iωSˆ x [H,

(3.102)

ˆ Sˆ z ] = ω[Sˆ z , Sˆ z ] = 0 [H,

(3.103)

Das Einsetzen in die Bewegungsgleichungen liefert d ˆ S x (t) = dt d ˆ S y (t) = dt d ˆ S z (t) = dt

i ˆ ˆ [H, S x ] = −ωSˆ y ,  i ˆ ˆ [H, S y ] = +ωSˆ x ,  i ˆ ˆ [H, S z ] = 0. 

(3.104) (3.105) (3.106)

Die drei Bewegungsgleichungen können in folgender Form zusammengefasst werden: ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Sˆ x Sˆ 0 −1 0 d ⎝ x⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ˆ S y = ω +1 0 0 Sˆ y ⎠ dt ˆ 0 0 0 Sz Sˆ z

(3.107)

3

89 3.2 · Aufgaben

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist gegeben durch das Exponential der Systemmatrix: ⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞ ⎛ Sˆ x (0) Sˆ x (t) 0 −1 0 ⎝Sˆ y (t)⎠ = exp ⎣ωt ⎝+1 0 0⎠⎦ ⎝Sˆ y (0)⎠ 0 0 0 Sˆ z (t) Sˆ z (0)

(3.108)

⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛  100 0 −1 0 2 −1 0 0 (ωt) ⎝ 0 −1 0⎠ = ⎝0 1 0⎠ + ωt ⎝+1 0 0⎠ + 2! 0 0 0 001 0 0 0 (3.109) ⎞ ⎞ ⎛  Sˆ x (0) 0 10 ⎝−1 0 0⎠ + ... ⎝Sˆ y (0)⎠ 0 00 Sˆ z (0)

+

3!

⎞⎛ ⎞ Sˆ x (0) cos (ωt) − sin (ωt) 0 = ⎝+ sin (ωt) cos (ωt) 0⎠ ⎝Sˆ y (0)⎠ 0 0 1 Sˆ z (0)

eX =

∞  Xk k=0

k!

= Iˆ + X +

X2 + ... 2

Außerdem gilt:

⎛ (ωt)3

Hinweis: Das Matrixexponential ist definiert als

(3.110)

sin(x) =

⎛

∞  x2n+1 (−1)n (2n + 1)! n=0

=

(3.111)

x3 x5 x − + ∓ ··· 1! 3! 5!

und

Dabei haben wir die Definition des Matrixexponentials und die Reihenentwicklungen der Sinus- und Kosinusfunktion genutzt. Der Spinoperator Sˆ = (Sˆ x , Sˆ y , Sˆ z ) führt also eine Rotation um die z-Achse aus, welche die SO(2)-Symmetrie des Hamilton-Operators widerspiegelt. Eine solche Spinpräzession um die Richtung des externen Magnetfelds, die auf das Vorhandensein eines magnetischen Dipolmoments in einem Magnetfeld zurückzuführen ist, wird Larmor-Präzession genannt. Die zugehörige Frequenz ω heißt Larmor-Frequenz.

cos(x) = =

∞  x2n (−1)n (2n)! n=0 x0

0!

−

x2 x4 + ∓ ··· 2! 4!

1 Lösung zu (ii): Der Erwartungswert ist unabhängig vom verwendeten Bild, d. h. Sˆ i Heisenberg = Sˆ i Schrodinger . ¨

(3.112)

Zur Bestimmung der Zeitentwicklung der Erwartungswerte können wir das Ehrenfest-Theorem nutzen: d ˆ i  ˆ ˆ ∂ Aˆ A = H, A +  dt  ∂t

(3.113)

Hinweis: Das EhrenfestTheorem wird in Aufgabe 2.2.1 und 2.2.2 hergeleitet.

90

Kapitel 3 · Drehimpuls

Da die Spinoperatoren nicht explizit zeitabhängig sind, ergibt sich d ˆ i ˆ ˆ S i  = H, Si  . (3.114) dt 

3

Damit nehmen die Bewegungsgleichungen für die Erwartungswerte dieselbe Form an wie die Bewegungsgleichungen für die Spinoperatoren. Unter Nutzung der Drehimpulsalgebra finden wir analog zu Teilaufgabe (i) ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ Sˆ x  Sˆ  0 −1 0 d ⎝ x ⎠ Sˆ y  = ω ⎝+1 0 0⎠ ⎝ Sˆ y ⎠ . dt 0 0 0 Sˆ z  Sˆ z 

(3.115)

Mit Hilfe des in Teilaufgabe (i) berechneten Matrixexponentials bestimmen wir die Zeitentwicklung der Erwartungswerte: ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ Sˆ x (0) Sˆ x (t) cos (ωt) − sin (ωt) 0 ⎝ Sˆ y (t)⎠ = ⎝+ sin (ωt) cos (ωt) 0⎠ ⎝ Sˆ y (0)⎠ 0 0 1 Sˆ z (t) Sˆ z (0) (3.116) Die Erwartungswerte präzedieren also in gleicher Weise wie die Spinoperatoren um die z-Achse.

3.2.6

Hinweis: Die Beziehung l, m|Lˆ i |l, m = mδi,z wird in Aufgabe 3.2.7 gezeigt.

Drehimpuls bezüglich einer beliebigen Achse

1 Aufgabenstellung Sei ein Zustand durch eine Messung als Eigenzustand der z-Komponente des Drehimpulses gegeben, d. h. Lˆ z |l, m = m|l, m. Daraus folgt, dass die Erwartungswerte der Drehimpulskomponenten durch l, m|Lˆ i |l, m = mδi,z gegeben sind. Zeige, dass der Erwartungswert des Drehimpulses bezüglich einer beliebigen Achse v mit einem relativen Winkel ϕ gegenüber der z-Achse die Form m cos ϕ hat. 1 Lösung Der Drehimpulsoperator ist ein Vektoroperator. Bisher haben wir die Komponenten des Drehimpulsoperators entlang der Achsen eines euklidischen Koordinatensystems betrachtet. Da jeder beliebige Vektor im euklidischen Raum als Linearkombination der Basisvektoren gebildet werden kann, können wir den Erwartungswert des Drehimpulses auch bezüglich einer beliebigen Achse v bestimmen.

91 3.2 · Aufgaben

Der Bahndrehimpulsoperator transformiert unter räumlichen Drehungen wie ein Vektor. Wir betrachten eine Rotation des Drehimpulsoperators um den Winkel ϕ um die x-Achse. Der rotierte Drehimpulsoperator hat dann die Form ⎛ ⎞⎛ ⎞ Lˆ x 1 0 0 ˆ ˆ ⎝ ⎠ ⎝ 0 cos ϕ − sin ϕ L = Rx (ϕ)L = Lˆ y ⎠ 0 sin ϕ cos ϕ Lˆ z ⎛ ⎞ Lˆ x = ⎝Lˆ y cos ϕ − Lˆ z sin ϕ ⎠ . Lˆ y sin ϕ + Lˆ z cos ϕ ϕ

(3.117)

(3.118)

Dargestellt ist diese Rotation schematisch in . Abb. 3.3. Da die Drehung um die x-Achse stattfindet, bleibt die x-Koordinate des Drehimpulsoperators unverändert, während sich die Werte der y- und z-Komponenten verändern. Die Wahl, die Rotation um die x-Achse stattfinden zu lassen, ist willkürlich. Es hätte auch eine beliebige andere Ursprungsgerade in der xy-Ebene als Drehachse gewählt werden können. Das Ergebnis in der z-Komponente hängt jedoch nicht von der Wahl der Drehachse ab. Aus Gründen der Übersichtlichkeit der Drehmatrizen betrachten wir hier deshalb eine Rotation um eine Koordinatenachse, in diesem Fall um die x-Achse.

. Abb. 3.3

Achse v im kartesischen Koordinatensystem

3

92

3

Kapitel 3 · Drehimpuls

Die allgemeine Form würde noch eine zusätzliche Rotation um die z-Achse beinhalten, ⎛ ⎞ cos φ − sin φ 0 (3.119) Rz (φ) = ⎝ sin φ cos φ 0⎠ , 0 0 1 welche die z-Komponente unverändert lässt. Wenn nun die z-Komponente des Drehimpulses in dem rotierten System gemessen wird, werden die Eigenwerte des ϕ Operators Lˆ z = Lˆ y sin ϕ + Lˆ z cos ϕ gemessen. Wir wissen, dass der Zustand |l, m ein Eigenzustand von Lˆ z mit Lˆ z |l, m = m|l, m ist und somit Lˆ y |l, m = 0 gilt. Also ergibt sich ⎛

⎛ ⎞ ⎞ Lˆ x 0 ϕ Lˆ |l, m = Rx (ϕ) ⎝Lˆ y ⎠ |l, m = Rx (ϕ) ⎝ 0 ⎠ |l, m m Lˆ z ⎞ ⎛ 0 (3.120) = ⎝−m sin ϕ ⎠ |l, m. m cos ϕ Dadurch nimmt das Ergebnis folgende Form an: ϕ l, m|Lˆ z |l, m = m cos ϕ

(3.121)

1 Diskussion Gl. (3.121) liefert uns also eine Relation, die den Erwartungswert von Lˆ z bezüglich des Zustands |l, m mit dem Erwartungswert des rotierten Drehimpulsoperators bezüglich desselben Zustands verknüpft. Wir können direkt ablesen, dass der Erwartungswert für ϕ = π2 verschwindet; in dieser Situation entspricht der rotierte Drehimpulsoperator der Komponente Lˆ y . Die in dieser Aufgabe betrachtete Problemstellung ist symmetrisch unter Vertauschung von Lˆ z und Lˆ y (alles hier diskutierte gilt ebenso für Lˆ x ). Würden wir die Erwartungswerte bezüglich eines Eigenzustands von Lˆ y betrachten, würden wir eine analoge Relation für die Erwartungswerte abhängig vom Drehwinkel erhalten.

93 3.2 · Aufgaben

3.2.7

Drehimpulsalgebra

1 Aufgabenstellung Es seien Lˆ der Bahndrehimpulsoperator Lˆ := rˆ × pˆ

(3.122)

und Lˆ ± die zugehörigen Auf- und Absteigeoperatoren Lˆ ± := Lˆ 1 ± i Lˆ 2 .

(3.123)

(i) Zeige, dass [Lˆ k , xˆ l ] = iεkla xˆ a ,

(3.124)

[Lˆ k , pˆl ] = iεklb pˆb .

(3.125)

(ii) Zeige, dass [Lˆ k , Lˆ l ] = iεklm Lˆ m .

(3.126)

(iii) Es sei Aˆ ein Operator mit der Eigenschaft [Lˆ k , Aˆ l ] = iεklm Aˆ m .

(3.127)

Zeige, dass 2 [Lˆ k , Aˆ ] = 0.

(3.128)

Leite daraus ab, dass die Komponenten des Drehimpulses 2 Lˆ k mit dessen Quadrat Lˆ kommutieren. (iv) Berechne [Lˆ 3 , Lˆ ± ]. 2 (v) Berechne [Lˆ , Lˆ ± ]. (vi) Zeige, dass der Erwartungswert der beiden Drehimpulskomponenten Lˆ 1 , Lˆ 2 bezüglich eines Eigenzustands von Lˆ 3 (Lˆ 3 ψ = mψ) verschwindet. Hinweis: Finde den Erwartungswert im Zustand ψ für die linke als auch rechte Seite der folgenden Kommutatorrelationen: Lˆ 2 Lˆ 3 − Lˆ 3 Lˆ 2 = iLˆ 1

und Lˆ 3 Lˆ 1 − Lˆ 1 Lˆ 3 = iLˆ 2 (3.129)

3

94

Kapitel 3 · Drehimpuls

1 Lösung Das mathematische Verhalten von Drehimpulsoperatoren wird durch die Drehimpulsalgebra definiert. Die Komponenten des Drehimpulsoperators werden durch Kommutatorrelationen miteinander verknüpft. Ausgehend von der Definition des Bahndrehimpulsoperators soll diese Kommutatorrelation hergeleitet werden. Darauf aufbauend können dann weitere Eigenschaften des Drehimpulsoperators gezeigt werden, die sich ebenfalls in Form von Kommutatorrelationen darstellen lassen.

3

Hinweis: In der einsteinschen Summenkonvention werden Summen über doppelt auftretende Indizes nicht explizit niedergeschrieben. Dass diese Konvention benutzt wird, kann man an doppelt auftretenden Indizes erkennen, die nur auf einer Seite der Gleichung zu finden sind.

1 Lösung zu (i): Zuerst nutzen wir die einsteinsche Summenkonvention, um das Kreuzprodukt in der Definition des Bahndrehimpulsoperators übersichtlich darzustellen:  εkab xˆ a pˆb ≡ εkab xˆ a pˆb (3.130) Lˆ k = ab

Nun können wir den Kommutator in Gl. (3.124) in Indexschreibweise ausdrücken und berechnen unter Nutzung der Kommutatorrelation [xˆ k , pˆl ] = iδkl :

[Lˆ k , xˆ l ] = [εkab xˆ a pˆb , xˆ l ] = εkab xˆ a [pˆb , xˆ l ] + [xˆ a , xˆ l ] pˆb       =−iδbl

=0

(3.131) = −iεkal xˆ a = +iεkla xˆ a

(3.132)

Der Vorzeichenwechsel im letzten Schritt der Rechnung kommt durch das Vertauschen der Indizes (a, l) des Levi-CivitaSymbols zustande. In gleicher Weise berechnen wir den Kommutator mit dem Impulsoperator:

[Lˆ k , pˆl ] = εkab xˆ a [pˆb , pˆl ] + [xˆ a , pˆl ] pˆb = iεklb pˆb (3.133)       =0

=iδal

1 Lösung zu (ii): Ähnlich wie in Teilaufgabe (i) können wir Gl. (3.126) in Indexschreibweise ausdrücken und dann die Kommutatoren für Orts- und Impulsoperator (Gl. (3.124 und 3.125)) nutzen. Wir berücksichtigen außerdem, dass [xˆ a , xˆ b ] und [pˆa , pˆb ] verschwinden, und erhalten:

95 3.2 · Aufgaben

[Lˆ k , Lˆ l ] = εkab εlcd [xˆ a pˆb , xˆ c pˆd ]

= εkab εlcd xˆ a [pˆb , xˆ c ]pˆd + xˆ c [xˆ a , pˆd ]pˆb

= εkab εlcd − iδbc xˆ a pˆd + iδad xˆ c pˆb

= i − εkab εlbd xˆ a pˆd + εkab εlca xˆ c pˆb

= i + εbka εbld xˆ a pˆd − εakb εalc xˆ c pˆb

= i δkl δad − δkd δal xˆ a pˆd

− δkl δbc − δkc δbl xˆ c pˆb

= i xˆ d pˆd δkl − xˆ b pˆb δkl +xˆ k pˆl − xˆ l pˆk   

=0

= i xˆ k pˆl − xˆ l pˆk

(3.134) (3.135) (3.136) (3.137) (3.138) (3.139) (3.140) (3.141)

Oft ist es einfacher, beide Seiten einer Gleichung umzuformen, anstatt eine Seite der Gleichung komplett auf die Form der anderen Seite zu bringen. Dementsprechend formen wir nun die rechte Seite von Gl. (3.126) auf die Form von Gl. (3.141) um: iεklm Lˆ m = iεklm εmab xˆ a pˆb = iεmkl εmab xˆ a pˆb (3.142)

= i δka δlb − δkb δla xˆ a pˆb (3.143)

= i xˆ k pˆl − xˆ l pˆk (3.144) Also gilt [Lˆ k , Lˆ l ] = iεklm Lˆ m .

(3.145)

Diese Kommutatorrelation ist die definierende Eigenschaft eines allgemeinen Drehimpulses. Beispiele hierfür sind der ˆ der Spin Sˆ (Aufgabe 3.2.1) und beliebige Bahndrehimpuls L, Gesamtdrehimpulse Jˆ (Aufgabe 3.2.9). 1 Lösung zu (iii): Zuerst drücken wir das Vektorquadrat durch eine Summe über die räumlichen Komponenten aus: 2 Aˆ =

3 

2 Aˆ l ≡ Aˆ l Aˆ l

Hinweis: εabc εadf = δbd δcf − δbf δdc

(3.146)

l=1

Nun setzen wir dies in der linken Seite von Gl. (3.128) ein und nutzen den Kommutator von Aˆ l mit Lˆ k aus Gl. (3.127):

Hinweis: Da wir über gleiche Indizes summieren, gilt xˆ d pˆd = xˆ b pˆb .

3

96

Kapitel 3 · Drehimpuls

2 [Lˆ k , Aˆ ] = [Lˆ k , Aˆ l Aˆ l ]

3

Hinweis: Die Kontraktion antisymmetrischer Indizes ist 0.

(3.147)

= Aˆ l [Lˆ k , Aˆ l ] + [Lˆ k , Aˆ l ] Aˆ l      

(3.148)

= i εklm (Aˆ l Aˆ m + Aˆ m Aˆ l )    

(3.149)

iεklm Aˆ m

iεklm Aˆ m

sym.

antisym.

=0

(3.150)

Im letzten Schritt haben wir genutzt, dass wir antisymmetrische Indizes kontrahieren, d. h. die Summe über Indizes bilden, in welchen das betrachtete Objekt antisymmetrisch ist. Im obigen Beispiel haben wir das Levi-Civita-Symbol und eine symmetrisierte Summe miteinander multipliziert, welche zusammen einen antisymmetrischen Ausdruck ergeben. Wir können dies durch ein Vertauschen der Indizes und anschließender Umbenennung der Indizes m ↔ l zeigen: i εklm (Aˆ m Aˆ l + Aˆ l Aˆ m ) = −iεklm (Aˆ l Aˆ m + Aˆ m Aˆ l ) = 0     =−εkml =+(Aˆ Aˆ +Aˆ Aˆ ) m l l m

(3.151) Für den Bahndrehimpuls Lˆ haben wir in Teilaufgabe (ii) bereits gezeigt, dass die Kommutatorrelation (3.127) erfüllt ist. Damit 2 gilt für diesen ebenfalls [Lˆ k , Lˆ ] = 0. Diese Eigenschaft bedeutet, dass man sowohl die Eigenwerte (einer) der Komponenten des Drehimpulses, z. B. Lˆ 3 , und 2 zusätzlich die Eigenwerte des Drehimpulsquadrates Lˆ gleichzeitig messen (Kommensurabilität) und daher zur Indizierung des quantenmechanischen Zustandes verwenden kann. 1 Lösung zu (iv): Wir setzen die Definition der Leiteroperatoren ein und nutzen die Kommutatorrelation aus Teilaufgabe (ii): [Lˆ 3 , Lˆ ± ] = [Lˆ 3 , Lˆ 1 ] ±i [Lˆ 3 , Lˆ 2 ]       =iε31 m Lˆ m

=iε32 m Lˆ m



=  i ε312 Lˆ 2 ± i 2 ε321 Lˆ 1   =+1

  =  i Lˆ 2 ± Lˆ 1   = ± Lˆ 1 ± i Lˆ 2 = ±Lˆ ±

(3.152) (3.153)

=−1

(3.154) (3.155) (3.156)

97 3.2 · Aufgaben

Im zweiten Schritt wurde genutzt, dass der ε-Tensor null ist, wenn zwei seiner Indizes den gleichen Wert annehmen. 1 Lösung zu (v): 2 Wir können hier die Kommutatorrelation [Lˆ , Lˆ k ] = 0 aus Teilaufgabe (iii) benutzen: 2 2 2 [Lˆ , Lˆ ± ] = [Lˆ , Lˆ 1 ] ±i [Lˆ , Lˆ 2 ] = 0       =0

(3.157)

=0

Das Quadrat des Drehimpulses kommutiert also auch mit den Leiteroperatoren. 1 Lösung zu (vi): Auch um dies zu zeigen, nutzen wir die definierende Kommutatorrelation der Drehimpulsalgebra (3.126). Wir wollen den Erwartungswert von Lˆ 1 und Lˆ 2 bezüglich eines Eigenzustands |ψ von Lˆ 3 bestimmen. Dazu formen wir den Erwartungswert mit Hilfe der Kommutatorrelation um und nutzen, dass wir die Wirkung von Lˆ 3 auf |ψ kennen: ψ|iLˆ 1 |ψ = ψ|[Lˆ 2 , Lˆ 3 ]|ψ

(3.158)

= ψ| − Lˆ 3 Lˆ 2 + Lˆ 2 Lˆ 3 |ψ  

(3.159)

= ψ| − mLˆ 2 + mLˆ 2 |ψ = 0

(3.160)

⇒ ψ|Lˆ 1 |ψ = 0

(3.161)

←

→

Im letzten Schritt haben wir die Eigenwertgleichungen Lˆ 3 |ψ = m|ψ und ψ|Lˆ 3 = m ψ|

(3.162)

genutzt. Analog ergibt sich für den Erwartungswert von Lˆ 2 ψ|iLˆ 2 |ψ = 0

3.2.8

⇔

ψ|Lˆ 2 |ψ = 0 .

(3.163)

2 Leiteroperatoren und Lˆ

1 Aufgabenstellung Der Bahndrehimpulsoperator und die zugehörigen Leiteroperatoren werden folgendermaßen definiert:

3

98

Kapitel 3 · Drehimpuls

Lˆ = rˆ × pˆ

(3.164)

Lˆ ± = Lˆ x ± i Lˆ y

3

(3.165)

(i) Zeige, dass 2 2 Lˆ + Lˆ − = Lˆ − Lˆ z + Lˆ z

(3.166)

und 2 2 Lˆ − Lˆ + = Lˆ − Lˆ z − Lˆ z

(3.167)

gilt. (ii) Zeige mit Hilfe der Relationen (3.166) und (3.167), dass 2 die Eigenwertgleichung von Lˆ die Form 2 Lˆ |l, m = 2 l(l + 1)|l, m

(3.168)

annimmt. Hinweis: Betrachte hierzu die Wirkung von Lˆ + auf den Zustand |l, l. (iii) Bestimme nun auch die Eigenwerte l± der Leiteroperatoren mit dem Ansatz Lˆ ± |l, m = l± |l, m ± 1.

(3.169)

1 Lösung Leiteroperatoren tauchen in verschiedenen quantenmechanischen Problemstellungen auf, beispielsweise in der algebraischen Lösung des harmonischen Oszillators und in der Quantisierung von Feldern (zweite Quantisierung). Insbesondere erlauben die Leiteroperatoren eine sehr effiziente Beschreibung der Quantisierung des Drehimpulses. In dieser Aufgabe sollen einige zentrale Beziehungen für die im Zusammenhang mit dem quantenmechanischen Drehimpuls auftretenden Leiteroperatoren hergeleitet werden. 1 Lösung zu (i): Wir betrachten zuerst den Ausdruck Lˆ + Lˆ − . Wir setzen dafür die beiden Definitionen für Lˆ ± ein und erhalten: Lˆ + Lˆ − = (Lˆ x + i Lˆ y )(Lˆ x − i Lˆ y ) = =

2 Lˆ x 2 Lˆ x

2 + Lˆ y 2 + Lˆ y

(3.170)

+ i(Lˆ y Lˆ x − Lˆ x Lˆ y )

(3.171)

+ i[Lˆ y , Lˆ x ]

(3.172)

99 3.2 · Aufgaben

Die Komponenten des Drehimpulsoperators Lˆ x , Lˆ y und Lˆ z erfüllen die Kommutatorrelation der Drehimpulsalgebra:   Lˆ i , Lˆ j = iεijk Lˆ k (3.173) Einsetzen in die obige Gleichung liefert die gesuchte Relation: 2 2 2 2 Lˆ + Lˆ − = Lˆ x + Lˆ y −i 2 Lˆ z = Lˆ − Lˆ z + Lˆ z   

(3.174)

2 2 Lˆ −Lˆ z

Eine analoge Rechnung führt dann auf Lˆ − Lˆ + = (Lˆ x − i Lˆ y )(Lˆ x + i Lˆ y ) 2 2 2 2 = Lˆ x + Lˆ y + i[Lˆ x , Lˆ y ] = Lˆ − Lˆ z − Lˆ z .

(3.175)

1 Lösung zu (ii): Für die Quantenzahlen l und m gilt l = 0, 1, 2, 3, ...,

(3.176)

m = −l, −l + 1, ..., l − 1, l.

(3.177)

Dies bedeutet insbesondere, dass für ein gegebenes l ein Zustand höchster magnetischer Quantenzahl |l, l mit Lˆ + |l, l = 0

(3.178)

existiert. Damit gilt dann aber auch Lˆ − Lˆ + |l, l = 0.

(3.179)

Setzen wir Gl. (3.167) in diese Relation ein, so erhalten wir: 2 2 Lˆ − Lˆ + |l, l = (Lˆ − Lˆ z − Lˆ z )|l, l = 0 2

2 (Lˆ z

(3.180)

⇔

Lˆ |l, l =

⇔

2 Lˆ |l, l = (2 l 2 + 2 l)|l, l (3.182)

⇔

2 Lˆ |l, l = 2 l(l + 1)|l, l (3.183)

+ Lˆ z )|l, l (3.181)

2 Wir haben damit die Eigenwerte von Lˆ bezüglich des Zustands |l, l gefunden. Um die Eigenwerte bezüglich eines allgemeinen Zustands |l, m bestimmen zu können, betrachten wir noch die Eigenwertgleichungen

3

100

Kapitel 3 · Drehimpuls

Lˆ − |l, m = l− |l, m − 1,

(3.184)

2

Lˆ |l, m = κl,m |l, m,

(3.185)

2

Lˆ |l, m − 1 = κl,m−1 |l, m − 1

3

(3.186)

mit zunächst unbekannten Eigenwerten l− , κl,m und κl,m−1 . Da 2 Lˆ und Lˆ ± kommutieren, folgt:

⇔

2 [Lˆ , Lˆ − ]|l, m = 0 (κl,m−1 l− − l− κl,m )|l, m − 1 = 0

⇔

κl,m−1 = κl,m

(3.187) (3.188) (3.189)

2

Die Eigenwerte von Lˆ sind somit unabhängig von der magnetischen Quantenzahl m. Mit κl,l = 2 l(l + 1) haben wir also 2 den Ausdruck für alle Eigenwerte von Lˆ bereits gefunden. Es gilt 2 Lˆ |l, m = 2 l(l + 1)|l, m.

(3.190)

1 Lösung zu (iii): Aus der Definition der Leiteroperatoren in Gl. (3.165) folgt, dass Lˆ + und Lˆ − zueinander hermitesch konjugierte Operatoren sind, es gilt also † Lˆ + = Lˆ −

† bzw. Lˆ − = Lˆ + .

(3.191)

Um die Wirkung der Leiteroperatoren auf die Zustände |l, m zu bestimmen, betrachten wir zunächst folgende Ausdrücke: † |Lˆ + |l, m|2 = l, m|Lˆ + Lˆ + |l, m

(3.192)

= l, m|Lˆ − Lˆ + |l, m

(3.193)

† |Lˆ − |l, m|2 = l, m|Lˆ − Lˆ − |l, m

(3.194)

= l, m|Lˆ + Lˆ − |l, m

(3.195)

und

Unter Verwendung der Relationen (3.166) und (3.167) erhalten wir

101 3.2 · Aufgaben

2

2

|Lˆ + |l, m|2 = l, m|Lˆ − Lˆ z − Lˆ z |l, m 2

2

2

(3.196) 2

= l, m| l(l + 1) −  m −  m|l, m (3.197) ⇒

= 2 [l(l + 1) − m(m + 1)] (3.198)  Lˆ + |l, m = ± l(l + 1) − m(m + 1)|l, m + 1 (3.199)

und 2

2

|Lˆ − |l, m|2 = l, m|Lˆ − Lˆ z + Lˆ z |l, m 2

2

2

(3.200) 2

= l, m| l(l + 1) −  m +  m|l, m (3.201) ⇒

(3.202) = 2 [l(l + 1) − m(m − 1)]  Lˆ − |l, m = ± l(l + 1) − m(m − 1)|l, m − 1. (3.203)

Die Norm eines Vektors darf nicht negativ sein, dementsprechend wählen wir jeweils die positive Lösung. Zusammenfassend finden wir also  Lˆ + |l, m =  l(l + 1) − m(m + 1)|l, m + 1, (3.204)  Lˆ − |l, m =  l(l + 1) − m(m − 1)|l, m − 1. (3.205) Da wir nur die Drehimpulsalgebra und die Eigenschaften der Leiteroperatoren genutzt haben, gelten die in dieser Aufgabe hergeleiteten Beziehungen nicht nur für den Bahndrehimpuls, sondern auch für alle anderen Drehimpulsoperatoren wie Spin und Gesamtdrehimpuls.

3.2.9

Gesamtdrehimpuls

1 Aufgabenstellung (i) Welche Werte können der Spin s und die zugehörige Quantenzahl ms bei einem Elektron annehmen? (ii) Welche möglichen Werte für den Gesamtdrehimpuls j gibt es für ein Elektron mit Bahndrehimpuls l = 1? Welche Werte kann mj annehmen? (iii) Erkläre kurz das Aufkommen der Feinstrukturaufspaltung eines Wasserstoffatoms in Abwesenheit eines externen Magnetfelds. (iv) Der Hamilton-Operator der Spin-Bahn-Kopplung lautet

3

102

Kapitel 3 · Drehimpuls

ˆ Hˆ = γ Lˆ · S,

(3.206)

wobei γ die Spin-Bahn-Kopplungskonstante ist. Für einen Gesamtdrehimpuls der Form Jˆ = Lˆ + Sˆ gilt

3

 1  ˆ2 ˆ 2 2 Lˆ · Sˆ = J − S − Lˆ . 2

(3.207)

2 2 Zeige, dass eine gemeinsame Eigenbasis von Jˆ , Sˆ und 2 Lˆ existiert, und nutze diese und die zugehörigen Eigenwerte der Drehimpulsoperatoren, um die Eigenwerte des Hamilton-Operators zu bestimmen.

1 Lösung Der Gesamtdrehimpuls eines Teilchens setzt sich aus dem Bahndrehimpuls und dem Spin zusammen. Da sowohl die einzelnen Komponenten als auch der Gesamtdrehimpuls quantisiert sind, können Spin und Bahndrehimpuls nicht beliebig addiert werden, sondern folgen Additionsregeln. In dieser Aufgabe werden diese anhand einiger Beispiele betrachtet. 1 Lösung zu (i): Das Elektron ist ein Spin- 21 -Teilchen. Daher ist s = 21 . Die möglichen Einstellungen für die magnetische Quantenzahl ms sind −s, −s + 1, . . . , +s, hier gilt somit 1 1 ms ∈ {− , + }. 2 2

(3.208)

1 Lösung zu (ii): Der Gesamtdrehimpuls kann die Werte |l − s|, |l − s| + 1, . . . , l + s annehmen, im vorliegenden Fall mit l = 1 und s = 21 gilt also j ∈ { 21 , 23 }. Für den Gesamtdrehimpuls gelten die gleichen Regeln wie für den in der ersten Teilaufgabe betrachteten Spin. Für j = 21 gilt damit mj= 1 ∈ {− 21 , + 21 }, für j = 23 finden wir 2

mj= 3 ∈ {− 23 , − 21 , + 21 , + 23 }. 2

1 Lösung zu (iii): In Anwesenheit eines äußeren Magnetfelds würde man einen zusätzlichen Term B · Sˆ im Hamilton-Operator erhalten, welcher die Entartung im Spin aufhebt. Das Elektron befindet sich jedoch auch in Abwesenheit eines solchen externen Magnetfeldes in einem Magnetfeld – seinem eigenen. Als beschleunigtes, geladenes Teilchen erzeugt es ein

103 3.2 · Aufgaben

Magnetfeld, an welches sein eigener Spin koppelt. Diese sogenannte Spin-Bahn-Kopplung trägt in ähnlicher Weise wie ein externes Magnetfeld zu einer Aufspaltung der Energieniveaus bei. Die Spin-Bahn-Kopplung ist aber nicht der einzige Faktor in der Feinstrukturaufspaltung, es treten außerdem relativistische Korrekturterme der kinetischen und der potentiellen Energie auf. 1 Lösung zu (iv): Der Hamilton-Operator, dessen Eigenwerte wir bestimmen sollen, hat die Form  1  2 2 2 Hˆ = γ Lˆ · Sˆ = γ Jˆ − Sˆ − Lˆ . 2

(3.209)

Wir können seine Eigenwerte aus den Eigenwerten der auftretenden Drehimpulsoperatoren konstruieren. Dazu zeigen wir zunächst, dass eine gemeinsame Eigenbasis 2 2 2 der quadrierten Drehimpulsoperatoren Jˆ , Sˆ und Lˆ existiert, diese also gleichzeitig messbar sind, und die Kommuatorrelationen 2

2

2

2

2

2

[Jˆ , Sˆ ] = [Jˆ , Lˆ ] = [Lˆ , Sˆ ] = 0

(3.210)

somit erfüllt sind. Da Jˆ = Lˆ + Sˆ gilt, müssen wir, um die gleichzeitige Messbarkeit dieser Operatoren zu zeigen, nur beweisen, dass 2 2 [Lˆ , Sˆ ] = 0. Dies ergibt sich folgendermaßen: Der Bahndrehimpulsoperator wirkt nur auf den Ortsanteil der Wellenfunktion, während der Spin nur auf den Spinanteil wirkt. Die beiden Operatoren agieren somit auf verschiedenen Unterräumen des Hilbertraums Hgesamt = HOrt ⊗ HSpin : Lˆ z = lˆz ⊗ 1,

Sˆ z = 1 ⊗ sˆz

(3.211)

Dabei sind lˆz und sˆz auf den jeweiligen Unterräumen definiert. Daraus folgt 2 2 Lˆ = lˆ ⊗ 1,

2 Sˆ = 1 ⊗ sˆ2

(3.212)

und dementsprechend 2 2 [Sˆ , Lˆ ] = 0,

(3.213)

[Sˆ i , Lˆ j ] = 0 ∀{i, j}.

(3.214)

2 2 2 2 Damit lassen sich nun die Kommutatoren [Jˆ , Sˆ ] und [Jˆ , Lˆ ] berechnen:

3

104

Kapitel 3 · Drehimpuls

2

2

2

2

2

2

ˆ Sˆ ] = 2[Lˆ · S, ˆ Sˆ ] [Jˆ , Sˆ ] = [Sˆ + Lˆ + 2Lˆ · S, = 2

2

2 2[Lˆ x Sˆ x + Lˆ y Sˆ y + Lˆ z Sˆ z , Sˆ x 2 2 2

2 + Sˆ y

2 2[Lˆ x Sˆ x + Lˆ y Sˆ y + Lˆ z Sˆ z , Lˆ x

2 + Lˆ y

(3.215)

2 + Sˆ z ] 2

(3.216)

ˆ Lˆ ] = 2[Lˆ · S, ˆ Lˆ ] [Jˆ , Lˆ ] = [Sˆ + Lˆ + 2Lˆ · S,

3

=

(3.217)

2 + Lˆ z ]

(3.218)

Um zu zeigen, dass diese verschwinden, nutzen wir nun, dass Lˆ und Sˆ die Drehimpulsalgebra erfüllen: [Sˆ l , Sˆ m ] = iεlmn Sˆ n ,

[Lˆ l , Lˆ m ] = iεlmn Lˆ n

(3.219)

2 2 2 Wir betrachten exemplarisch [Lˆ x Sˆ x , Sˆ x + Sˆ y + Sˆ z ]: 2

2

2

2

[Lˆ x Sˆ x , Sˆ x + Sˆ y + Sˆ z ] =

[Lˆ x Sˆ x , Sˆ x ]+ 2

2

[Lˆ x Sˆ x , Sˆ y ] + [Lˆ x Sˆ x , Sˆ z ] (3.220) Lˆ x [Sˆ x , Sˆ x ] Sˆ x + Lˆ x Sˆ x [Sˆ x , Sˆ x ]      

=

=0

=0

(3.221) + Lˆ x [Sˆ x , Sˆ y ] Sˆ y + Lˆ x Sˆ y [Sˆ x , Sˆ y ]       =iSˆ z

=iSˆ z

(3.222) + Lˆ x [Sˆ x , Sˆ z ] Sˆ z + Lˆ x Sˆ z [Sˆ x , Sˆ z ]       =−iSˆ y

=−iSˆ y

(3.223) = iLˆ x Sˆ z Sˆ y + iLˆ x Sˆ y Sˆ z − iLˆ x Sˆ y Sˆ z − iLˆ x Sˆ z Sˆ y (3.224) =0

(3.225)

2 2 2 2 Analog ergibt sich [Lˆ y Sˆ y , Sˆ x + Sˆ y + Sˆ z ] = 0 und [Lˆ z Sˆ z , Sˆ x + 2 2 Sˆ y + Sˆ z ] = 0. Damit folgt 2

ˆ Sˆ ] = 0 [Lˆ · S,

⇒

2

2

[Jˆ , Sˆ ] = 0.

(3.226)

Eine identische Rechnung führt auf ˆ Lˆ 2 ] = 0 [Lˆ · S,

⇒

2 2 [Jˆ , Lˆ ] = 0.

(3.227)

Wir haben damit gezeigt, dass eine gemeinsame Eigenbasis der drei quadrierten Drehimpulsoperatoren existiert. Aufgrund

105 3.2 · Aufgaben

der Form des Hamilton-Operators sind diese Zustände auch ˆ Eigenzustände von H. 2 2 2 Da wir die Eigenwerte der Operatoren Jˆ , Sˆ und Lˆ kennen, 2 Jˆ |j, mj  = 2 j(j + 1)|j, mj , 2

Sˆ |s, ms  = 2 s(s + 1)|s, ms , 2

Lˆ |l, ml  = 2 l(l + 1)|l, ml ,

(3.228) (3.229) (3.230)

können wir die entsprechenden gemeinsamen Eigenzustände durch die Quantenzahlen j, s und l beschreiben. Wir betrachten nun noch die diesen Zustand charakterisierende magnetische Quantenzahl. Aus der Drehimpulsalgebra (Gl. (3.219)), die alle drei Operatoren erfüllen, ergibt sich 2

2

2

[Jˆ , Jˆ z ] = [Sˆ , Sˆ z ] = [Lˆ , Lˆ z ] = 0.

(3.231)

Mit Hilfe dieser Relationen und Gl. (3.214) lässt sich zeigen, 2 2 dass der Operator Jˆ z auch mit Sˆ und Lˆ kommutiert: 2 2 2 [Lˆ , Jˆ z ] = [Lˆ , Lˆ z ] + [Lˆ , Sˆ z ] = 0

(3.232)

2 2 2 [Sˆ , Jˆ z ] = [Sˆ , Lˆ z ] + [Sˆ , Sˆ z ] = 0

(3.233)

Der konstruierte gemeinsame Eigenzustand ist also auch ein Eigenzustand von Jˆ z . Er wird dadurch zusätzlich durch die magnetische Quantenzahl mj charakterisiert und hat somit die Form |j, l, s, mj . Die z-Komponenten des Spin- und des Bahndrehimpulsoperators, Sˆ z und Lˆ z , kommutieren aufgrund des auftretenden Ska2 ˆ die Zustände |j, l, s, mj  larprodukts Lˆ · Sˆ nicht mit Jˆ und H, sind somit keine Eigenzustände dieser Operatoren und können demnach auch nicht durch die Quantenzahlen ms und ml beschrieben werden. Wir haben also die gemeinsamen Eigenzustände |j, l, s, mj  des Hamilton-Operators und der in ihm auftretenden Drehimpulsoperatoren gefunden. Damit lassen sich nun die Eigenwerte des Hamilton-Operators bezüglich dieser Zustände bestimmen:   ˆ l, s, mj  = 1 γ Jˆ 2 − Sˆ 2 − Lˆ 2 |j, l, s, mj  (3.234) H|j, 2 2 = γ (j(j + 1) − s(s + 1) 2 −l(l + 1)) |j, l, s, mj . (3.235)

Hinweis: Die Relation 2 [Jˆ , Jˆ z ] = 0 für einen allgemeinen Drehimpuls Jˆ wird in Aufgabe 3.2.7 gezeigt.

3

106

Kapitel 3 · Drehimpuls

3.2.10

3

Basisvektoren in Kugelkoordinaten

1 Aufgabenstellung Leite das Transformationsverhalten zwischen den normierten Koordinatenbasisvektoren der euklidischen Koordinaten (x, y, z) und der Kugelkoordinaten (r, θ, φ) her. Verwende für die Koordinatentransformation die folgenden Vorschriften: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ

(3.236) (3.237)

z = r cos θ

(3.238)

Gehe bei deiner Herleitung in folgenden Teilschritten vor: (i) Betrachte nicht notwendig normierte Richtungsableitungen entlang der Koordinatenlinien und ermittle ihren Zusammenhang zu den Koordinantenbasisvektoren. Zeige dann durch Berechnung von infinitesimalen Verschiebungen entlang der Koordinatenlinien in einem Punkt p, dass für die Transformationsrichtung (ex , ey , ez ) → (er , eθ , eφ ) folgende Vorschriften gelten müssen: er = sin θ cos φex + sin θ sin φey + cos θ ez eθ = cos θ cos φex + cos θ sin φey − sin θ ez

(3.239) (3.240)

eφ = − sin φex + cos φey

(3.241)

(ii) Zeige nun auch für die Gegenrichtung (er , eθ , eφ ) → (ex , ey , ez ) das Transformationsverhalten: ex = sin θ cos φer + cos θ cos φeθ − sin φeφ ey = sin θ sin φer + cos θ sin φeθ + cos φeφ ez = cos θ er − sin θ eθ

(3.242) (3.243) (3.244)

(iii) Stelle für die betrachteten zwei Fälle verallgemeinerte Transformationsvorschriften auf. 1 Lösung Diese Aufgabe dient als Vorbereitung der Berechnung des Nabla-Operators ∇ in Kugelkoordinaten (Aufgabe 3.2.11). Wir benötigen den Nabla-Operator in Kugelkoordinaten, um die Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten ausdrücken zu können, was immer dann von Vorteil ist, wenn radialsymmetrische Potentiale auftreten.

107 3.2 · Aufgaben

1 Lösung zu (i): Bevor wir mit der eigentlichen Lösung beginnen, diskutieren wir einige grundsätzliche Dinge im Zusammenhang mit Koordinatenbasen. Aus mathematischer Sicht assoziiert bzw. konstruiert man für zunächst abstrakte Raumpunkte eine Basis in folgender Weise: Zu Beginn definiert man ein für sich stehendes Zahlentupel, das wir Koordinaten nennen, und weist es dem Raumpunkt eindeutig zu. Für jeden einzelnen Raumpunkt lassen sich dann durch Berechnung der Richtungsableitungen entlang der Koordinatenlinien Vektoren ermitteln, die wir Koordinatenbasis nennen. So konstruierte Basisvektoren sind im Allgemeinen nicht notwendig normiert, sie müssen also normiert werden, damit wir von einer normierten Koordinatenbasis sprechen können. Sie bilden aber in jedem Fall eine mögliche Basis des Tangentialraums im jeweiligen Punkt. Koordinatenbasen (normiert oder auch nichtnormiert) sind demnach im Allgemeinen punktabhängige Größen. Will man weitere Vektoren durch eine Entwicklung nach einer normierten Koordinatenbasis konstruieren, so muss eindeutig festgelegt werden, in Bezug auf welchen Raumpunkt die Basis definiert ist. In kartesischen Koordinaten ist dies einfach, da die Tangentialbasisvektoren in jedem Punkt identisch sind. In Kugelkoordinaten sind die Basisvektoren des Tangentialraums jedoch punktabhängig. Nun zur Lösung der Aufgabe: Um eine gewünschte Koordinatenbasis durch eine andere Koordinatenbasis in einem Punkt p auszudrücken, verwenden wir die jeweiligen Projektionen der Basen aufeinander. Wie oben beschrieben, ist die Koordinatenbasis durch Richtungsableitungen entlang der Koordinatenlinien gegeben. Wir betrachten also einen infinitesimalen Richtungsvektor d¯ei entlang einer Kugelkoordinatenlinie, d. h. i = r, θ, φ. Da der Betrag dieser infinitesimalen Verschiebungen von Punkt zu Punkt unterschiedlich sein wird, müssen wir die gefundenen Vektoren e¯ i nachträglich normieren. Bei der Berechnung der Projektionen d¯ei , ej  hingegen können wir die normierten Richtungsableitungen entlang der kartesischen Koordinaten (j = x, y, z) nutzen, da diese punktunabhängig sind. Die Projektionen ergeben sich dann aus den Koordinatendifferentialen. . Abb. 3.4 veranschaulicht diesen Zusammenhang für das Analogon in Polarkoordinaten für zwei Raumdimensionen.

Hinweis: Um ein grundlegendes Verständnis der hier beschriebenen Zusammenhänge zu erlangen, führt kein Weg an den Begriffen Mannigfaltigkeit und Tangentialraum vorbei. Diese beiden Begriffe werden im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie behandelt.

3

108

Kapitel 3 · Drehimpuls

3

. Abb. 3.4 Projektionen ¯ei , ej  der Richtungsableitungen entlang der Koordinatenlinien an verschiedenen Punkten für das Analogon in Polarkoordinaten

Für die r-Richtung erhalten wir so beispielsweise: d¯er = dr e¯ r = dr x ex + dr y ey + dr z ez    d¯er ,ex 

d¯er ,ey 

d¯er ,ez 

∂x ∂y ∂z dr ex + dr ey + dr ez ∂r ∂r ∂r   ∂x ∂y ∂z ex + ey + ez dr = ∂r ∂r ∂r ∂x ∂y ∂z ex + ey + ez ⇔ e¯ r = ∂r ∂r ∂r =

(3.245)

(3.246) (3.247) (3.248)

Häufig wird der so gefundene Zusammenhang auch als Anwendung der Kettenregel verstanden. Definieren wir einen Positionsvektor r, der vom Ursprung auf einen allgemeinen Punkt (x, y, z) bzw. (r, φ, θ ) zeigt, lassen sich die Basisvektoren als partielle Ableitungen dieses Vektors schreiben. . Abb. 3.5 illustriert diesen Sachverhalt am Beispiel für ex in zwei Dimensionen.

109 3.2 · Aufgaben

. Abb. 3.5

Basisvektoren als Richtungsableitung

Aus dieser Betrachtung folgt ∂x ∂y ∂z ex + ey + ez ∂r ∂r ∂r ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r ⇔ = + + . ∂r ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r  ∂z    e¯ r =

ex

er

ey

(3.249)

ez

Der in Gl. (3.248) gefundene Ausdruck für e¯ r muss nun noch normiert werden. Dafür müssen wir e¯ r durch seinen Betrag teilen. Für den normierten Einheitsbasisvektor in r-Richtung erhalten wir also   2  2  2 ∂x e¯ r ∂y ∂z mit |¯er | = er = + + . |¯er | ∂r ∂r ∂r (3.250) Die Relationen in Gl. (3.248) und (3.250) ergeben sich so völlig analog auch für die Koordinaten θ und φ. Wir können verallgemeinert   e¯ i ∂y ∂z 1 ∂x (3.251) = ex + ey + ez |¯ei | |¯ei | ∂i ∂i ∂i   2  2  2 ∂y ∂z ∂x mit |¯ei | = + + und i = r, θ, φ ∂i ∂i ∂i (3.252) ei =

schreiben. Die partiellen Ableitungen der kartesischen Koordinaten lassen sich aus der Koordinatentransformation in Gl. (3.236) bis (3.238) bestimmen.

3

110

Kapitel 3 · Drehimpuls

Daraus ergibt sich für er : ∂x = sin θ cos φ , ∂r

3 Hinweis: sin2 (x)+ cos2 (x) = 1

∂y = sin θ sin φ , ∂r

∂z = cos θ ∂r (3.253)

sin2 θ cos2 φ + sin2 θ sin2 φ + cos2 θ

= sin2 θ (cos2 φ + sin2 φ) + cos2 θ

= sin2 θ + cos2 θ = 1

⇒

|er | =

⇒

er = sin θ cos φex + sin θ sin φey + cos θ ez

(3.254) (3.255) (3.256) (3.257)

Entsprechend erhalten wir für eθ : ∂x =r cos θ cos φ , ∂θ

∂y = r cos θ sin φ , ∂θ

∂z = −r sin θ ∂θ

⇒

⇒

r2 cos2 θ cos2 φ + r2 cos2 θ sin2 φ + r2 sin2 θ

= r cos2 θ(cos2 φ + sin2 φ) + sin2 θ

= r cos2 θ + sin2 θ = r

1 r cos θ cos φex + r cos θ sin φey − r sin θez eθ = r = cos θ cos φex + cos θ sin φey − sin θez

|eθ | =

(3.258) (3.259) (3.260) (3.261) (3.262) (3.263)

Für eφ finden wir: ∂x = − r sin θ sin φ , ∂φ

∂y = r sin θ cos φ , ∂φ

∂z =0 ∂φ (3.264)

⇒ |eφ | = r2 sin2 θ sin2 φ + r2 sin2 θ cos2 φ (3.265)

= r sin θ sin2 φ + cos2 φ = r sin θ (3.266)

1 −r sin θ sin φex + r sin θ cos φey ⇒ eφ = r sin θ (3.267) = − sin φex + cos φey

(3.268)

1 Lösung zu (ii): Analog zur Argumentation in Teilaufgabe (i) können wir Gleichungen zur Bestimmung der kartesischen Basisvektoren in Abhängigkeit der Basisvektoren in Kugelkoordinaten

111 3.2 · Aufgaben

aufstellen. Dafür gehen wir wieder von einem Punkt p aus und berechnen die Projektionen der Richtungsableitungen entlang der Koordinatenlinien der verschiedenen Koordinatensysteme aufeinander. Wie zuvor betrachten wir dafür infinitesimale Verschiebungen dej mit j = x, y, z. Diesmal werden diese Verschiebungen jedoch nicht punktabhängig sein. Wir können also anders als zuvor die normierten Basisvektoren ej betrachten. Für die Projektionen auf die Richtungsableitungen nach den Kugelkoordinaten dej , e¯ i  mit i = r, θ, φ hingegen ist es nun aber wieder umgekehrt. Diese werden im Allgemeinen punktabhängig sein, weshalb wir die nichtnormierte Koordinatenbasis verwenden müssen. Betrachten wir beispielhaft eine Verschiebung entlang der x-Koordinatenlinie: dex = dxex = dx r er + dx θ eθ + dx φ eφ    dex ,¯er 

dex ,¯eθ 

(3.269)

dex ,¯eφ 

∂θ ∂φ ∂r dx er + dx eθ + dx eφ ∂x ∂x ∂x   ∂r ∂θ ∂φ = er + eθ + eφ dx ∂x ∂x ∂x ∂r ∂θ ∂φ ⇔ ex = er + eθ + eφ ∂x ∂x ∂x =

(3.270) (3.271) (3.272)

Um ex nun durch die normierten Kugelbasisvektoren (er , eθ , eφ ) ausdrücken zu können, müssen wir die in Teilaufgabe (i) ermittelten Normierungsfaktoren |ei | verwenden: ei ei = |ei |

  mit |ei | =

∂x ∂i

2

 +

∂y ∂i

2

 +

∂z ∂i

und i = r, θ, φ

2

(3.273)

Die allgemeine Transformationsvorschrift lautet also ej =

∂r ∂θ ∂φ |er |er + |eθ |eθ + |eφ |eφ ∂j ∂j ∂j

mit j = x, y, z. (3.274)

Die partiellen Ableitungen der kartesischen Koordinaten nach den Kugelkoordinaten und die Normierungsfaktoren haben wir bereits in Teilaufgabe (i) berechnet. Wir benötigen nun noch die partiellen Ableitungen der Kugelkoordinaten nach den kartesischen Koordinaten, die wir ohne die Umkehrtransformation von (3.236) bis (3.238) nicht ermitteln können.

3

112

Kapitel 3 · Drehimpuls

Hierfür betrachten wir: (3.238)2 + ((3.239)2 + (3.240)2 : x2 + y2 + z2 =1

   = r (sin2 θ [cos2 φ + sin2 φ] + cos2 θ)    2

3

⇒r=

=1

x2

(3.239): z = r cos θ (3.239)/(3.238):

y sin φ = x cos φ

+ y2

+ z2

(3.275)

z ⇒ θ = arccos r y ⇒ φ = arctan x

(3.276) (3.277)

Damit berechnen wir zuerst die partiellen Ableitungen von r: ∂ ∂r = ∂x ∂x



x r sin θ cos φ = sin θ cos φ x 2 + y2 + z 2 =  = r x 2 + y2 + z 2

(3.278)

∂ ∂r y r sin θ sin φ = = sin θ sin φ (3.279) x 2 + y2 + z 2 =  = ∂y ∂y r x 2 + y2 + z 2

∂ ∂r z r cos θ = = cos θ (3.280) x 2 + y2 + z 2 =  = ∂z ∂z r x 2 + y2 + z 2

Dabei haben wir nach Ausführung der Ableitungen wieder die Transformationsvorschriften eingesetzt, um Ausdrücke in Kugelkoordinaten zu erhalten. Für die partiellen Ableitungen von θ folgt:     ∂ z ∂ z ∂ z ∂θ = arccos = · (3.281) arccos ∂x ∂x r ∂x r ∂ zr r zx 1 −1 r2 cos θ sin θ cos φ

 · = 3 3

2 r r 1 − cos2 θ 1 − zr (3.282) cos θ cos φ = (3.283) r =−

∂θ ∂ z = arccos = ∂y ∂y r



∂ z ∂y r

   ∂ z · arccos ∂ zr r

(3.284)

zy 1 −1 r2 cos θ sin θ sin φ  ·

= 3

r r3 z 2 1 − cos2 θ 1− r (3.285) cos θ sin φ = (3.286) r =−

113 3.2 · Aufgaben

    ∂ z ∂ z ∂ ∂θ z = arccos = arccos · (3.287) ∂z ∂z r ∂z r ∂ zr r  −1 1 − cos2 θ −1 1 z2  = = − 3 ·

2 r r r 1 − cos2 θ 1 − zr (3.288) sin θ =− (3.289) r Die bei der Bestimmung der partiellen Ableitungen von θ auftretende Ableitung von arccos(x) kann mit Hilfe des Satzes über die Ableitung von Umkehrabbildungen berechnet werden: d −1 f (x) = dx

1 d −1 (x)) dx f (f

mit f −1 (x) = arccos(x) (3.290)

Daraus folgt d −1 1 −1 =  arccos(x) = =  . dx − sin(arccos(x)) 1 − cos2 (arccos(x)) 1 − x2 (3.291)

Abschließend berechnen wir die Ableitungen von φ:    ∂ ∂φ ∂ y ∂ y y = arctan = · arctan ∂x ∂x x ∂x x x ∂ xy =−

1 y 2 x 1+ y 2

(3.292) (3.293)

x

sin φ 1 2 r sin θ cos φ 1 + sin2 φ

(3.294)

=−

sin φ r sin θ cos2 φ

(3.295)

=−

sin φ r sin θ

=−

cos2 φ

∂ y ∂φ = arctan = ∂y ∂y x =



∂ y ∂y x

1 cos2 φ+sin2 φ cos2 φ

  ∂ y · y arctan x ∂x

1 1 x1+ y 2 x

(3.296)

(3.297) (3.298)

3

114

Kapitel 3 · Drehimpuls

=

1 1 r sin θ cos φ 1 + sin2 φ

(3.299)

cos2 φ

3

=

1 r sin θ cos φ

=

cos φ r sin θ

1 cos2 φ+sin2 φ cos2 φ

(3.300)

(3.301)

∂φ ∂ y = arctan = 0 ∂z ∂z x

(3.302)

Die Ableitung von arctan(x) kann wieder über den Satz über die Ableitung von Umkehrabbildungen bestimmt werden: d −1 f (x) = dx

1 d −1 (x)) dx f (f

mit f −1 (x) = arctan(x) (3.303)

1 d 1 = arctan(x) = 2 dx 1 + x2 1 + tan (arctan(x))

⇒ Hinweis: d dx tan x = 1 + tan2 x

(3.304) 1 cos2 x

=

Zusammen mit den zuvor berechneten Normierungsfaktoren |er | = 1, |eθ | = r,

(3.305) (3.306)

|eφ | = r sin θ

(3.307)

folgt für ex : ∂r ∂θ ∂φ |er |er + |eθ |eθ + |eφ |eφ (3.308) ∂x ∂x ∂x cos θ cos φ sin φ r eθ − r sin θ eφ = sin θ cos φ er + r r sin θ (3.309)

ex =

= sin θ cos φer + cos θ cos φeθ − sin φeφ

(3.310)

Für ey ergibt sich: ∂r ∂θ ∂φ |er |er + |eθ |eθ + |e|eφ (3.311) ∂y ∂y ∂y cos θ sin φ cos φ = sin θ sin φ er + r eθ + r sin θ eφ r r sin θ (3.312)

ey =

= sin θ sin φer + cos θ sin φeθ + cos φeφ

(3.313)

115 3.2 · Aufgaben

Und für ez ergibt sich: ∂r ∂θ ∂φ |er |er + |eθ |eθ + |e|eφ ∂z ∂z ∂z sin θ = cos θ er − reθ r = cos θ er − sin θ eθ

ez =

(3.314) (3.315) (3.316)

1 Lösung zu (iii): Zur Übersicht fassen wir die gefundenen Transformationsvorschriften aus Gl. (3.251) und (3.274) mit den Normierungsfaktoren in Gl. (3.273) zusammen: (ex , ey , ez ) → (er , eθ , eφ ) : ei =

1 e¯ i = |¯ei | |¯ei |  

|ei | =



 ∂x ∂y ∂z ex + ey + ez ∂i ∂i ∂i (3.317)

 2  2  ∂y ∂z ∂x 2 + + ∂i ∂i ∂i (3.318)

mit i = r, θ, φ (er , eθ , eφ ) → (ex , ey , ez ) : ej =

∂r ∂θ ∂φ |er |er + |eθ |eθ + |eφ |eφ ∂j ∂j ∂j (3.319)

mit j = x, y, z

Wir können die Transformation zwischen der unnormierten Kugelkoordinatenbasis und der normierten kartesischen Koordinatenbasis auch mit Hilfe der Jacobi-Matrix und ihrer Inversen in verkürzter Form darstellen: ⎛ ⎞ ⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞ ⎛ ⎞ ex er ∂r ∂r ⎜ ∂r ∂y ∂z ⎟ ⎝ ⎠ ey (ex , ey , ez ) → (er , eθ , eφ ) : ⎝ eθ ⎠ = ⎝ ∂x ⎠ ∂θ ∂θ ∂θ ∂x ∂y ∂z eφ ez ∂φ ∂φ ∂φ    ∂(x,y,z) J = ∂(r,θ,φ)

(3.320)

(er , eθ , eφ ) → (ex , ey , ez ) :

⎛ ⎞ ⎛ ∂r ∂θ ex ∂x ∂x ∂r ∂θ ⎝ ey ⎠ = ⎜ ⎝ ∂y ∂y ∂r ∂θ ez ∂z  ∂z 

⎞

∂φ ⎛ ⎞ er ∂x ∂φ ⎟ ⎝ ⎠ e θ ∂y ⎠ ∂φ eφ ∂z

J −1 = ∂(r,θ,φ) ∂(x,y,z)



(3.321)

3

116

3

Kapitel 3 · Drehimpuls

Hinweis: In der einsteinschen Summenkonvention wird über doppelt auftretende Indizes summiert.

Alternativ lässt sich die einsteinsche Summenkonvention für eine Komponentendarstellung mit x˜ i ∈ {r, θ, φ} bzw. e˜ i ∈ {er , eθ , eφ } und xi ∈ {x, y, z} bzw. ei ∈ {ex , ey , ez } verwenden, sodass gilt: (ex , ey , ez ) → (er , eθ , eφ ) : (er , eθ , eφ ) → (ex , ey , ez ) :

3.2.11

∂xj ej ∂ x˜ i ∂ x˜ j ei = e˜ j ∂xi e˜ i =

(3.322) (3.323)

Nabla in Kugelkoordinaten

1 Aufgabenstellung In kartesischen Koordinaten (x, y, z) lautet der Differentialoperator Nabla, entwickelt nach der kartesischen Basis (ex , ey , ez ): ∇ = ex

∂ ∂ ∂ + ey + ez ∂x ∂y ∂z

(3.324)

(i) Leite den Nabla-Operator in Kugelkoordinaten her. Finde dafür die Koeffizienten (∇r , ∇θ , ∇φ ), die bei der Entwicklung des Nabla-Operators nach der Kugelbasis im Punkt p auftreten: ∇ = e r ∇r + e θ ∇θ + e φ ∇φ

(3.325)

Verwende für die Transformation zwischen den Koordinaten die Vorschriften x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ,

(3.326) (3.327)

z = r cos θ

(3.328)

und für die Transformation zwischen den Basisvektoren (er , eθ , φ) → (ex , ey , ez ): ex = sin θ cos φer + cos θ cos φeθ − sin φeφ ey = sin θ sin φer + cos θ sin φeθ + cos φeφ

(3.329) (3.330)

ez = cos θ er − sin θ eθ

(3.331)

(ii) Leite nun auch den Ausdruck für den Laplace-Operator =∇ ·∇ =

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y2 ∂z2

in Kugelkoordinaten her.

(3.332)

117 3.2 · Aufgaben

Hinweis: Die Berechnung der Koordinatendifferentiale in dieser Aufgabe wird sich als aufwendig erweisen. Du kannst, um die entsprechenden Terme zu bestimmen, ein Computeralgebraprogramm deiner Wahl verwenden. 1 Lösung In dieser Aufgabe soll nun aufbauend auf den in Aufgabe (3.2.10) hergeleiteten Koordinatentransformationen ein Ausdruck für den Nabla-Operator in Kugelkoordinaten hergeleitet werden. Da wir diesen letztendlich benutzen wollen, um die Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten darzustellen, sollen wir im zweiten Schritt den Laplace-Operator  = ∇ 2 in Kugelkoordinaten bestimmen. 1 Lösung zu (i): Um den Nabla-Operator in Gl. (3.324) auf die gewünschte Form (Gl. 3.325) zu bringen, müssen wir zwei Dinge ermitteln. Zum einen suchen wir eine Darstellung der partiellen Ableitun∂ ∂ ∂ , ∂y , ∂z ) durch die neuen Koordinaten (r, θ, φ). Zum gen ( ∂x anderen müssen wir die euklidischen Basisvektoren (ex , ey , ez ) durch die (punktabhängige) Kugelbasis (er , eθ , eφ ) ersetzen. Zur Bestimmung der Darstellungen der partiellen Ableitungen in Kugelkoordinaten nutzen wir eine skalare Funktion f (x, y, z), auf welche wir den Nabla-Operator anwenden. Mit den in Gl. (3.326) bis (3.328) gegebenen Transformationen lässt sich f durch Polarkoordinaten parametrisieren: f (x, y, z) = f (x(r, θ, φ), y(r, θ, φ), z(r, θ, φ))

(3.333)

Wir wenden nun den Nabla-Operator auf diese Funktion an: ∇f = ex

∂f ∂f ∂f + ey + ez ∂x ∂y ∂z

(3.334)

Unter Verwendung der Kettenregel erhalten wir für die partiellen Ableitungen:   ∂f ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ = + + f (3.335) ∂x ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ   ∂f ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ = + + f (3.336) ∂y ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂φ   ∂f ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ f (3.337) = + + ∂z ∂z ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂φ

Achtung: Der Nabla-Operator ist kein Vektor und erfüllt damit für sich genommen auch nicht die Transformationseigenschaften eines Vektors. Erst durch die Anwendung auf eine skalare Funktion erhalten wir ein Objekt, das über die Jacobi-Matrix und damit wie ein Vektor transformiert.

3

118

Kapitel 3 · Drehimpuls

Zur Ermittlung der vollständigen Ausdrücke müssen wir also die partiellen Ableitungen der Kugelkoordinaten nach den kartesischen Koordinaten berechnen. Dazu müssen wir die Kugelkoordinaten durch kartesische Koordinaten ausdrücken. Aus den Transformationsvorschriften (Gl. (3.326) bis (3.328)) ergibt sich:

(3.338) r = x 2 + y2 + z 2 z (3.339) θ = arccos r y (3.340) φ = arctan x

3

Damit können wir nun die gesuchten partiellen Ableitungen berechnen. Wir beginnen mit den partiellen Ableitungen von r: ∂r = sin θ cos φ ∂x ∂r = sin θ sin φ ∂y ∂r = cos θ ∂z

(3.341) (3.342) (3.343)

Für die partiellen Ableitungen von θ ergibt sich: Hinweis: Die hier benötigten partiellen Ableitungen werden in Aufgabe 3.2.10 explizit berechnet.

cos θ cos φ ∂θ = ∂x r cos θ sin φ ∂θ = ∂y r ∂θ sin θ =− ∂z r

(3.344) (3.345) (3.346)

Abschließend berechnen wir die Ableitungen von φ: sin φ ∂φ =− ∂x r sin θ ∂φ cos φ = ∂y r sin θ ∂φ =0 ∂z

(3.347) (3.348) (3.349)

Einsetzen der so gewonnenen Ausdrücke in Gl. (3.334) liefert:

119 3.2 · Aufgaben

 ∇f = ex 

∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ + + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ



 f + ey 

∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ + + ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂φ

 f

∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ + + f (3.350) ∂z ∂r ∂z ∂θ ∂z ∂φ     ∂r ∂r ∂r ∂f ∂θ ∂θ ∂θ ∂f + ey + ez + ex + ey + ez = ex ∂x ∂y ∂z ∂r ∂x ∂y ∂z ∂θ   ∂φ ∂φ ∂φ ∂f + ex + ey + ez (3.351) ∂x ∂y ∂z ∂φ

∂f = ex sin θ cos φ + ey sin θ sin φ + ez cos θ ∂r   cos θ cos φ cos θ sin φ sin θ ∂f + ex + ey − ez r r r ∂θ   sin φ cos φ ∂f + −ex + ey (3.352) r sin θ r sin θ ∂φ + ez

Nun müssen wir noch das Transformationsverhalten der Basisvektoren aus Gl. (3.329) bis (3.331) in Gl. (3.352) einsetzen. Für den ∂f ∂r - Term erhalten wir: ex sin θ cos φ + ey sin θ sin φ + ez cos θ (3.353)

= sin θ cos φer + cos θ cos φeθ − sin φeφ sin θ cos φ (3.354)

+ sin θ sin φer + cos θ sin φeθ + cos φeφ sin θ sin φ (3.355) + (cos θ er − sin θ eθ ) cos θ   = sin2 θ cos2 φ + sin2 θ sin2 φ + cos2 θ er    ⎛

(3.356) (3.357)

=1

⎞

+ ⎝cos θ sin θ cos2 φ + cos θ sin θ sin2 φ − sin θ cos θ ⎠ eθ    =cos θ sin θ

(3.358) + (− sin φ sin θ cos φ + cos φ sin θ sin φ) eφ   

(3.359)

= er + eθ (sin θ cos θ − sin θ cos θ )   

(3.360)

= er

(3.361)

=0

=0

Entsprechend erhalten wir für den Vorfaktor von

∂f ∂θ :

3

120

Kapitel 3 · Drehimpuls

cos θ cos φ cos θ sin φ sin θ + ey − ez (3.362) r r r

cos θ cos φ = sin θ cos φer + cos θ cos φeθ − sin φeφ (3.363) r

cos θ sin φ (3.364) + sin θ sin φer + cos θ sin φeθ + cos φeφ r sin θ − (cos θ er − sin θ eθ ) (3.365) r  sin θ cos θ cos2 φ sin θ cos θ sin2 φ cos θ sin θ + − = er r r r    ex

3

=0

 + eθ

(3.366) cos2 θ cos2 φ r



+

cos2 θ sin2 φ 

r

+

sin2 θ r

(3.367) 

= 1r

  cos φ cos θ sin φ sin φ cos θ cos φ + + eφ − r r   

(3.368)

=0

1 = eθ r

Für den

(3.369) ∂f ∂φ -Term

− ex

ergibt sich:

sin φ cos φ + ey r sin θ r sin θ

(3.370)

sin φ = − sin θ cos φer + cos θ cos φeθ − sin φeφ r sin θ

cos φ + sin θ sin φer + cos θ sin φeθ + cos φeφ r sin θ   sin θ cos φ sin φ sin θ sin φ cos φ + = er − r sin θ r sin θ   

(3.372)

 cos θ sin φ cos φ cos θ cos φ sin φ + + eθ − r sin θ r sin θ   

(3.374)

+ eφ =

(3.373)

=0





(3.371)

=0

sin2 φ cos2 φ + r sin θ r sin θ

1 eφ r sin θ

(3.375) (3.376)

Wenn wir die gefundenen Ausdrücke nun in Gl. (3.352) einsetzen, erhalten wir ∇f = er

∂f 1 ∂f 1 ∂f + eθ + eφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ

(3.377)

121 3.2 · Aufgaben

und folglich die Darstellung des Differentialoperators Nabla in Kugelkoordinaten: ∇ = er

∂ ∂ 1 ∂ 1 + eθ + eφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ

(3.378)

1 Lösung zu (ii): Es bieten sich nun zwei mögliche Wege zur Herleitung des Laplace-Operators in Kugelkoordinaten an. Zum einen könnten wir das Ergebnis aus Teilaufgabe (i) verwenden und den Operator auf sich selbst anwenden. Das Problem hierbei ist jedoch, dass die Kugelbasisvektoren punktabhängige Größen sind und wir damit die partiellen Ableitungen nicht einfach an ihnen vorbeiziehen können, beispielsweise gilt     ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ eθ  = er · eθ . (3.379) er ∂r r ∂θ ∂r r ∂θ Wir müssten also zunächst die Punktabhängigkeit der Kugelbasisvektoren ermitteln, bevor wir fortfahren könnten. Hier wählen wir einen anderen Weg. Wie zuvor wenden wir den Operator in kartesischen Koordinaten auf eine durch Kugelkoordinaten parametrisierte Testfunktion an:  f (x, y, z) =

∂2 ∂2 ∂2 + 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z

f (x(r, θ, φ), y(r, θ, φ), z(r, θ, φ)) (3.380)

Wir betrachten zunächst nur die zweite Ableitung nach x. Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir:    ∂r ∂ ∂2f ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ f = + + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ ∂x2 ∂x  ∂2r ∂ ∂r ∂ 2 = + f ∂x ∂x∂r ∂x2 ∂r  ∂2θ ∂ ∂θ ∂ 2 + + f 2 ∂x ∂x∂θ ∂x ∂θ  ∂2φ ∂ ∂φ ∂ 2 + + f 2 ∂x ∂x∂φ ∂x ∂φ

(3.381)

(3.382)

Wir nutzen den Satz von Schwarz, um die Reihenfolge der Mischableitungen zu vertauschen und wenden die Kettenregel erneut auf f an:

3

122

3

Kapitel 3 · Drehimpuls

Hinweis: Der Satz von Schwarz besagt, dass die Reihenfolge, in der partielle Ableitungen nach den einzelnen Variablen von mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen ausgeführt werden, keinen Einfluss auf das Ergebnis hat, also ∂x ∂y f (x, y) = ∂y ∂x f (x, y).

∂2f = ∂x2



  ∂r ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ ∂2r ∂ + + + f ∂x ∂r ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ ∂x2 ∂r    ∂2θ ∂ ∂θ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ + + + f + 2 ∂x ∂θ ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ ∂x ∂θ    ∂2φ ∂ ∂φ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ + + + + f (3.383) ∂x ∂φ ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ ∂x2 ∂φ

∂ ∂ ∂ Beim Anwenden der partiellen Ableitungen ∂r , ∂θ und ∂φ auf die Ausdrücke in eckigen Klammern nutzen wir wieder den Satz von Schwarz. Die durch die Produktregel auftretenden Mischableitungen der Kugelkoordinaten verschwinden dadurch, und wir erhalten:

∂2f = ∂x2

# $ ∂2r ∂ ∂θ ∂ 2 ∂r ∂r ∂ 2 ∂φ ∂ 2 f + + + ∂x ∂x ∂r2 ∂x ∂r∂θ ∂x ∂r∂φ ∂x2 ∂r  # $ ∂2θ ∂ ∂φ ∂ 2 ∂θ ∂r ∂ 2 ∂θ ∂ 2 + + + + f ∂x ∂x ∂θ∂r ∂x ∂θ 2 ∂x ∂θ∂φ ∂x2 ∂θ # $  ∂2φ ∂ ∂φ ∂r ∂ 2 ∂θ ∂ 2 ∂φ ∂ 2 f + + + + ∂x ∂x ∂φ∂r ∂x ∂φ∂θ ∂x ∂φ 2 ∂x2 ∂φ (3.384) 

Damit haben wir automatisch auch die Terme für ∂∂yf2 und gefunden. Wir müssen nur x durch y oder z ersetzen. Es folgt also 2

∂2f = ∂y2

∂2f ∂z2



# $ ∂2r ∂ ∂θ ∂ 2 ∂r ∂r ∂ 2 ∂φ ∂ 2 + + + f ∂y ∂y ∂r2 ∂y ∂r∂θ ∂y ∂r∂φ ∂y2 ∂r # $  ∂φ ∂ 2 ∂2θ ∂ ∂θ ∂r ∂ 2 ∂θ ∂ 2 f + + + + ∂y ∂y ∂θ∂r ∂y ∂θ 2 ∂y ∂θ∂φ ∂y2 ∂θ  $ # ∂2φ ∂ ∂φ ∂r ∂ 2 ∂θ ∂ 2 ∂φ ∂ 2 + f + + + 2 ∂y ∂y ∂φ∂r ∂y ∂φ∂θ ∂y ∂φ 2 ∂y ∂φ (3.385)

und ∂2f = ∂z2



# $ ∂2r ∂ ∂θ ∂ 2 ∂r ∂r ∂ 2 ∂φ ∂ 2 + + + f ∂z ∂z ∂r2 ∂z ∂r∂θ ∂z ∂r∂φ ∂z2 ∂r # $  ∂φ ∂ 2 ∂2θ ∂ ∂θ ∂r ∂ 2 ∂θ ∂ 2 f + + + + ∂z ∂z ∂θ∂r ∂z ∂θ 2 ∂z ∂θ∂φ ∂z2 ∂θ  $ # ∂2φ ∂ ∂φ ∂r ∂ 2 ∂θ ∂ 2 ∂φ ∂ 2 + f. + + + 2 ∂z ∂z ∂φ∂r ∂z ∂φ∂θ ∂z ∂φ 2 ∂z ∂φ (3.386)

123 3.2 · Aufgaben

Die einzigen unbekannten Terme in diesen drei Gleichungen sind die zweifachen Ableitungen der Kugelkoordinaten nach den kartesischen Koordinaten – die einfachen Ableitungen haben wir bereits in Aufgabenteil (i) berechnet. Wir fassen diese zur Übersicht nochmal kurz in beiden Darstellungen zusammen: x ∂r = = sin θ cos φ 2 ∂x x + y2 + z 2 y ∂r = = sin θ sin φ ∂y x 2 + y2 + z 2

(3.387) (3.388)

z ∂r = = cos θ 2 ∂z x + y2 + z 2 zx 1 ∂θ = · 3  ∂x x 2 + y2 + z 2 1− √ 2

(3.389) 2 =

z x +y2 +z2

∂θ zy 1 = · 3  ∂y x 2 + y2 + z 2 1− √ 2

z x +y2 +z2

∂θ = ∂z

cos θ cos φ r

(3.390) cos θ sin φ 2 = r (3.391)

 

1

−

z2 3

x 2 + y2 + z 2 (x2 + y2 + z2 ) 2 −1 sin θ  2 = − r  1− √ z

· (3.392)

x2 +y2 +z2

∂φ y 1 sin φ =− 2 y 2 = − ∂x r sin θ x 1+

(3.393)

∂φ 1 = ∂y x

(3.394)

∂φ =0 ∂z

x

1+

1 cos φ  2 = r sin θ x y

(3.395)

Da die Ausdrücke für die zweiten Ableitungen sehr unübersichtlich und komplex werden, berechnen wir diese mit einem Computeralgebraprogramm unserer Wahl. Die Transformationsvorschriften in Gl. (3.326) bis (3.328) wenden wir dabei direkt an.

3

124

Kapitel 3 · Drehimpuls

Für die Ableitungen von r finden wir:

3

 ∂ 2r 1 2 2 1 − sin = θ cos φ , r ∂x2  1 ∂ 2r 2 2 1 − sin = θ sin φ , r ∂y2 ∂ 2r 1 = sin2 θ 2 r ∂z

(3.396) (3.397) (3.398)

Für die Ableitungen von θ und φ erhalten wir entsprechend: ∂ 2θ 2(sin2 φ − 1) cos θ sin2 θ + cos θ sin2 φ = ∂x2 r2 sin θ 2 2 ∂ θ 2(cos φ − 1) cos θ sin2 θ + cos θ cos2 φ = ∂y2 r2 sin θ ∂ 2θ 2 cos θ sin θ = 2 ∂z r2

(3.399) (3.400) (3.401)

und ∂ 2φ 2 cos φ sin φ = 2 ∂x r2 sin2 θ 2 cos φ sin φ ∂ 2φ =− 2 ∂y r2 sin2 θ ∂ 2φ =0 ∂z2

(3.402) (3.403) (3.404)

Wir können nun Gl. (3.380) in Kugelkoordinaten bestimmen. Wir setzen hierfür zunächst Gl. (3.384) bis (3.386) ein: 

∂2 ∂2 ∂2 + + f (3.405) ∂x2 ∂y2 ∂z2   2 2  ∂r ∂r ∂φ ∂ 2 ∂ ∂r ∂θ ∂ 2 ∂2r ∂ + + f + ∂i ∂i ∂i ∂r∂θ ∂i ∂i ∂r∂φ ∂i 2 ∂r ∂r2 i=x,y,z

f = =

+





i=x,y,z

+

 i=x,y,z



(3.406)  2 2 ∂2θ ∂ ∂ ∂θ ∂r ∂ 2 ∂θ ∂θ ∂φ ∂ 2 + + + ∂i ∂i ∂θ ∂r ∂i ∂i ∂i ∂θ ∂φ ∂i 2 ∂θ ∂θ 2

f

(3.407)  2 2 ∂φ ∂2φ ∂ ∂ ∂φ ∂r ∂ 2 ∂φ ∂θ ∂ 2 + + + ∂i ∂i ∂φ∂θ ∂i ∂i 2 ∂φ ∂i ∂i ∂φ∂r ∂φ 2

f

(3.408)

125 3.2 · Aufgaben

Die Koeffizienten vor den partiellen Ableitungen können wir nun wieder gesondert betrachten:  1 2 = 1 − sin2 θ cos2 φ + 1 − sin2 θ sin2 φ + sin2 θ = 2 r r ∂i i=x,y,z   2  ∂r = sin2 θ cos2 φ + sin2 θ sin2 φ + cos2 θ = 1 ∂i 

∂2r

(3.409)

(3.410)

i=x,y,z

 i=x,y,z

 i=x,y,z

∂r ∂θ sin θ cos θ cos2 φ sin θ cos θ sin2 φ sin θ cos θ = + − =0 ∂i ∂i r r r

(3.411)

∂r ∂φ sin θ cos φ sin φ sin θ sin φ cos φ =− + =0 ∂i ∂i r sin θ r sin θ

(3.412)

Des Weiteren gilt: 

∂2θ

i=x,y,z

∂i 2

=

2(sin2 φ − 1) cos θ sin2 θ + cos θ sin2 φ

(3.413)

r2 sin θ +

2(cos2 φ − 1) cos θ sin2 θ + cos θ cos2 φ r2 sin θ

+

2 cos θ sin θ r2

(2 sin2 φ + 2 cos2 φ − 4) cos θ sin2 θ + cos θ(sin2 φ + cos2 φ) = r2 sin θ 2 cos θ sin2 θ + r2 sin θ =

 i=x,y,z

−2 cos θ sin2 θ + cos θ r2 sin θ

(3.414) (3.415) (3.416)

+

2 cos θ sin2 θ r2 sin θ

=

cos θ r2 sin θ

∂θ ∂r cos θ sin θ cos2 φ cos θ sin θ sin2 φ sin θ cos θ = + − =0 ∂i ∂i r r r

  ∂θ 2  cos θ cos φ 2  cos θ sin φ 2  sin θ 2 = + + − ∂i r r r

(3.417)

(3.418)

(3.419)

i=x,y,z

 sin2 θ cos2 θ  2 1 = cos φ + sin2 φ + r2 r2 r2 ∂θ ∂φ cos θ cos φ sin φ cos θ sin φ cos φ =− + =0 ∂i ∂i r r sin θ r r sin θ =

 i=x,y,z

(3.420) (3.421)

3

126

Kapitel 3 · Drehimpuls

und  ∂2φ 2 cos φ sin φ 2 cos φ sin φ − =0 = 2 2 2 ∂i r sin θ r2 sin2 θ i=x,y,z

3

(3.422)

 ∂φ ∂r sin φ cos φ =− sin θ cos φ + sin θ sin φ = 0 (3.423) ∂i ∂i r sin θ r sin θ

i=x,y,z

 ∂φ ∂θ sin φ cos θ cos φ cos φ cos θ sin φ =− + =0 ∂i ∂i r sin θ r r sin θ r

i=x,y,z

(3.424)

  ∂φ 2  sin φ 2  cos φ 2 1 = − + = 2 ∂i r sin θ r sin θ r sin2 θ i=x,y,z

(3.425)

Wir müssen die Terme nun nur noch einsetzen und erhalten:  f =

=



2 ∂ ∂2 + 2 r ∂r ∂r

1 ∂ r2 ∂r

 r2

∂f ∂r

f +  +

cos θ ∂ 1 ∂2 + 2 2 r2 sin θ ∂θ r ∂θ

1 ∂ r2 sin θ ∂θ

f +

1 r2 sin2

∂2 f 2 ∂φ θ (3.426)

  ∂f 1 ∂2f sin θ + ∂θ r2 sin2 θ ∂φ 2

(3.427)

Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten lautet damit =

3.2.12

∂2 1 ∂2 cos θ ∂ 1 ∂2 2 ∂ + 2+ 2 + 2 2+ . r ∂r ∂r r sin θ ∂θ r ∂θ r2 sin2 θ ∂φ 2 (3.428)

Bahndrehimpuls in Kugelkoordinaten

1 Aufgabenstellung Der Bahndrehimpulsoperator wird nach dem Äquivalenzprinzip definiert als Lˆ = rˆ × p. ˆ

(3.429)

2 Formuliere Lˆ in Kugelkoordinaten und stelle einen Zusam2 menhang zwischen dem Laplace-Operator  und Lˆ her. Verwende dabei

127 3.2 · Aufgaben

∂ ∂ 1 ∂ 1 + eθ + eφ (3.430) ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ     1 ∂ 1 ∂2 1 ∂ ∂ ∂ r2 + 2 sin θ + . = 2 2 ∂r ∂θ r ∂r r sin θ ∂θ r2 sin θ ∂φ 2 (3.431) ∇ = er

1 Lösung 2 Das Quadrat des Bahndrehimpulses, Lˆ , taucht in vielen Hamilton-Operatoren auf, die kugelsymmetrische Potentiale beschreiben, beispielsweise im Hamilton-Operator des Wasserstoffatoms (Aufgabe 5.2.1). Da die Lösungen dieser Potentialprobleme in Kugelkoordinaten meist ihre einfachste Form 2 annehmen, ist ein Ausdruck für Lˆ in Kugelkoordinaten für diese Art von Problemstellung sehr hilfreich. Da Lˆ über den Orts- und Impulsoperator direkt mit dem in Kugelkoordinaten bekannten Nabla-Operator verknüpft werden kann, müssen wir zunächst einen Weg finden, um von Lˆ auf 2 Lˆ schließen zu können. Hierfür können die Leiteroperatoren Lˆ ± genutzt werden, für die gilt: 2 2 Lˆ + Lˆ − = Lˆ − Lˆ z + Lˆ z

(3.432)

Lˆ + und Lˆ − sind dabei über Lˆ ± = Lˆ x ± i Lˆ y

(3.433)

eindeutig durch Lˆ festgelegt. In Kugelkoordinaten der Ortsdarstellung lauten die Operatoren rˆ und pˆ rˆ = rer

und pˆ = −i∇.

(3.434)

Mit der Definition in Gl. (3.429) folgt daraus    ∂ ∂ 1 ∂ 1 ˆ L = −ir er × er + eθ + eφ . ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ (3.435) Die Kugelbasisvektoren bilden in der Reihenfolge er , eθ , eφ ein orthonormiertes Rechtssystem. Wir erhalten also   ∂ 1 ∂ 1 ˆ − eθ . (3.436) L = −ir eφ r ∂θ r sin θ ∂φ

Hinweis: Der Zusammen2 hang zwischen Lˆ und den Leiteroperatoren Lˆ ± wird in Aufgabe 3.2.8 untersucht.

3

128

3

Kapitel 3 · Drehimpuls

Um Gl. (3.432) nutzen zu können, müssen wir die kartesischen Koeffizienten von Lˆ durch Kugelkoordinaten ausdrücken. Wir nutzen dazu die Transformationsvorschriften zwischen Kugelbasisvektoren und kartesischen Basisvektoren, um Ausdrücke für eθ und eφ zu erhalten: eθ = cos θ cos φex + cos θ sin φey − sin θ ez

(3.437)

eφ = − sin φex + cos φey

(3.438)

Daraus folgt:    ∂ ∂ Lˆ = −i ex − sin φ − cot θ cos φ (3.439) ∂θ ∂φ    ∂ ∂ ∂ − cot θ sin φ + ez (3.440) +ey cos φ ∂θ ∂φ ∂φ Wir können nun Lˆ x , Lˆ y und Lˆ z direkt ablesen:   ∂ ∂ ˆ − cot θ cos φ Lx = −i − sin φ ∂θ ∂φ   ∂ ∂ ˆ Ly = −i cos φ − cot θ sin φ ∂θ ∂φ ∂ Lˆ z = −i ∂φ

(3.441) (3.442) (3.443)

Wir ermitteln damit:    Lˆ + Lˆ − = Lˆ x + i Lˆ y Lˆ x − i Lˆ y (3.444)   ∂ ∂ ∂ ∂ − cot θ cos φ + i cos φ − i cot θ sin φ = −2 − sin φ ∂θ ∂φ ∂θ ∂φ   ∂ ∂ ∂ ∂ − cot θ cos φ − i cos φ + i cot θ sin φ − sin φ ∂θ ∂φ ∂θ ∂φ (3.445)   ∂ ∂ − [cos φ + i sin φ] cot θ = −2 i [cos φ + i sin φ] ∂θ ∂φ   ∂ ∂ − [cos φ − i sin φ] cot θ (3.446) −i [cos φ − i sin φ] ∂θ ∂φ

Mit Hilfe der Euler-Relationen cos φ ± i sin φ = e±iφ

(3.447)

3

129 3.2 · Aufgaben

erhalten wir weiter:    ∂ ∂ ∂ ∂ Lˆ + Lˆ − = −2 ieiφ − eiφ cot θ −ie−iφ − e−iφ cot θ ∂θ ∂φ ∂θ ∂φ (3.448)     ∂ ∂ ∂ ∂ = −2 eiφ i e−iφ −i (3.449) − cot θ − cot θ ∂θ ∂φ ∂θ ∂φ  i ∂ ∂2 ∂2 = 2 − 2 − + i cot θ (3.450) 2 ∂φ∂θ ∂θ sin θ ∂φ    ∂2 ∂ ∂2 ∂ + i cot θ − i cot θ − cot2 θ 2 + cot θ − ∂θ ∂φ ∂φ∂θ ∂φ (3.451)  2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 − 2 − i (3.452) − cot θ − cot2 θ 2 ∂φ ∂θ ∂θ ∂φ

Hinweis: d dx cot x = Beachte: − 12 sin x Die Ableitung ∂φ muss auch auf e−iφ angewandt werden.

∂ Wir setzen den Ausdruck zusammen mit Lˆ z = −i ∂φ in Gl. (3.432) ein. Es folgt

 ∂ ∂ ∂2 ∂2 2 − cot θ − cot2 θ −i Lˆ = 2 − 2 ∂φ ∂θ ∂θ ∂φ 2

=−

2 sin2 θ

 sin θ

∂ ∂θ

 sin θ

∂ ∂θ

 +

∂2 ∂φ 2

− 2

∂2 ∂ + i2 ∂φ ∂φ 2 (3.453)

.

(3.454)

Ein Vergleich mit =

1 ∂ r2 ∂r

    ∂ ∂2 ∂ 1 ∂ 1 r2 + 2 sin θ + 2 ∂r ∂θ r sin θ ∂θ r sin θ 2 ∂φ 2 (3.455)

führt auf =

  2 Lˆ 1 ∂ 2 ∂ r − . ∂r r2 ∂r r 2 2

(3.456)

Hinweis: 1 + cot2 x =

1 sin2 x

130

Kapitel 3 · Drehimpuls

3.2.13

3

Kugelflächenfunktionen als Eigenfunktionen

1 Aufgabenstellung 2 Die Eigenwertgleichungen für Lˆ und Lˆ z lauten: 2 Lˆ |l, m = 2 l(l + 1)|l, m

(3.457)

Lˆ z |l, m = m|l, m

(3.458)

In Ortsdarstellung lassen sich diese in folgender Form schreiben:  1 ∂ ∂2 ∂ − sin θ + sin θ ψlm (r) = l(l + 1)ψlm (r) ∂θ ∂θ sin θ 2 ∂φ 2 (3.459) ∂ −i ψlm (r) = mψlm (r) ∂φ (3.460) (i) Die Eigenwertgleichungen (3.459) und (3.460) lassen sich durch den Produktansatz ψ(r, θ, φ) = R(r)Ylm (θ, φ)

(3.461)

lösen, wobei R(r) der Radialteil ist und Ylm (θ, φ) die die Winkelabhängigkeit beschreibenden Kugelflächenfunktionen sind. Motiviere diesen Ansatz und bestimme die φAbhängigkeit von Ylm (θ, φ). (ii) Welche Bedingung lässt sich aus der Lösung für den φAnteil in Bezug auf die Eigenwerte m und l ableiten? (iii) Die θ -Abhängigkeit ist im Allgemeinen nicht trivial zu ermitteln. Für den Fall Yll (θ, φ), also l = m, lässt sich diese jedoch durch die Betrachtung von Lˆ + Yll (θ, φ) herleiten. Berechne die θ -Abhängigkeit von Yll (θ, φ) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse. (iv) Finde abschließend eine geeignete Normierungskonstante für Yll (θ, φ), sodass die Bedingung |Yll (θ, φ)|2 = 1

(3.462)

erfüllt ist. 1 Lösung In dieser Aufgabe sollen die Kugelflächenfunktionen als 2 gemeinsame Eigenfunktionen von Lˆ und Lˆ z hergeleitet wer-

131 3.2 · Aufgaben

2

den. Da Lˆ , wie in Aufgabe 3.2.12 gezeigt, proportional zum Winkelanteil des Laplace-Operators ist, sind die zugehörigen Eigenfunktionen auch für die Lösung von Potentialsystemen mit radialsymmetrischen Potentialen von großer Relevanz (Kap. 5). 1 Lösung zu (i): Die Differentialgleichungen (3.459) und (3.460) enthalten keine Radialanteile. Hat die Wellenfunktion also eine Abhängigkeit von r, so muss diese als Faktor zum φ- und θ -Anteil auftreten. Dasselbe Argument lässt sich auch auf Gl. (3.460) anwenden, der θ -Anteil in Ylm (θ, φ) muss ebenfalls als Faktor auftreten. Wir können also folgenden Ansatz wählen: Ylm (θ, φ) = (θ )(φ)

(3.463)

Die Eigenwertgleichung der Lˆ z -Komponente reduziert sich somit auf die Gleichung −i

∂ (φ) = m(φ), ∂φ

(3.464)

die wir durch Separation der Variablen lösen können: % (3.470)

⇔

(φ) (c)

1 d = im 

%

φ

dφ 

(3.465)

c

⇔

ln (φ) − ln (c) = im(φ − c)

(3.466)

⇔

ln (φ) = imφ −imc + ln (c)   

(3.467)

:=C=const.

Wir erhalten damit ˜ imφ . (φ) = Ce

(3.468)

C˜ = eC ist dabei eine Konstante, die wir zu Normierungszwecken auf C˜ = 1 setzen. 1 Lösung zu (ii): Eine zunächst trivial erscheinende Nebenbedingung des Systems ist, dass die Wellenfunktion in jedem Raumpunkt eindeutig festgelegt sein muss. Für die Lösung (φ) = eimφ

(3.469)

ist dies aufgrund der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion für ein allgemeines m nicht erfüllt. Wir fordern also periodische Randbedingungen: !

(φ) = (φ + 2π )

(3.470)

3

132

Kapitel 3 · Drehimpuls

Daraus folgt !

eimφ = eim(φ+2π )

3

⇔

!

1 = eim2π

(3.471)

und damit m ∈ Z. Mit Hilfe der Leiteroperatoren lässt sich zeigen, dass Hinweis: Der Zusammenhang m = −l, −l + 1, ..., l − 1, l gilt nicht allein für den Bahndrehimpuls, sondern ist eine Eigenschaft jedes Drehimpulses.

m = −l, −l + 1, ..., l − 1, l

(3.472)

gilt. Mit der Forderung, dass m ∈ Z gelten soll, erhalten wir dann l = 0, 1, 2, ...

(3.473)

1 Lösung zu (iii): Laut Gl. (3.472) ist Yll (θ, φ) der Zustand mit maximaler magnetischer Quantenzahl m. Per Konstruktion der Leiteroperatoren (Aufgabe 3.2.8) muss daher der Ausdruck Lˆ + Yll (θ, φ) verschwinden. Lˆ + hat die Form Lˆ + = Lˆ x + i Lˆ y

(3.474)

und kann mit Hilfe der Komponenten des Drehimpulsoperators (Aufgabe 3.2.12)   ∂ ∂ ˆ Lx = −i − sin φ − cot θ cos φ (3.475) ∂θ ∂φ   ∂ ∂ − cot θ sin φ (3.476) Lˆ y = −i cos φ ∂θ ∂φ ∂ (3.477) Lˆ z = −i ∂φ in Kugelkoordinaten über   ∂ ∂ Lˆ + = −i − sin φ − cot θ cos φ ∂θ ∂φ   ∂ ∂ − cot θ sin φ +  cos φ ∂θ ∂φ ⎛

(3.478) ⎞

∂ ⎟ ⎜∂ =  ⎝ [cos φ + i sin φ] + cot θ [i cos φ − sin φ] ⎠     ∂φ  ∂θ  =eiφ

 = eiφ

∂ ∂ + i cot θ ∂θ ∂φ

=ieiφ



(3.479) (3.480)

133 3.2 · Aufgaben

ausgedrückt werden. Es muss nun gelten:  ⇔

eiφ

Lˆ + Yll (θ, φ) = 0  ∂ ∂ + i cot θ Yll (θ, φ) = 0 ∂θ ∂φ

(3.481) (3.482)

Wir verwenden unser Ergebnis für Ylm (θ, φ) aus Aufgabenteil (ii) und erhalten   ∂ ∂ iφ + i cot θ (θ )eilφ = 0 (3.483) e ∂θ ∂φ   ∂ − l cot θ (θ )eilφ = 0 ⇔ (3.484) ∂θ   ∂ − l cot θ (θ ) = 0 (3.485) ⇔ ∂θ ∂ (θ ) = l cot θ (θ ). ⇔ ∂θ (3.486) Die θ -Abhängigkeit von Ylm (θ, φ) ergibt sich somit als Lösung der zuletzt gewonnenen Differentialgleichung. Durch Separation der Variablen berechnen wir: % θ % (θ) 1  d = l cot θ  dθ  (3.487)  (c)  c % θ cos θ   ⇔ ln (θ ) − ln (c) = l dθ (3.488)  c sin θ Zur Lösung des Integrals auf der rechten Seite der Gleichung führen wir eine Koordinatentransformation mit u = sin θ 

⇒

dθ  =

1 du cos θ 

(3.489)

durch. Die Integralgrenzen sind durch u = sin θ

⇒

θ = arcsin u,

(3.490)

uc = sin c

⇒

c = arcsin uc

(3.491)

gegeben. Damit erhalten wir %

(3.494) ⇔ ⇔

u

1  du  uc u u  ln (θ ) − ln (c) = l ln u  ln (θ ) − ln (c) = l

(3.492) (3.493)

uc

⇔

ln (θ ) − ln (c) = l(ln u − ln uc ).

(3.494)

3

134

Kapitel 3 · Drehimpuls

Die Rücktransformation der eingesetzten Integralgrenzen führt dann mit Hilfe der Logarithmusgesetze auf Hinweis: Logarithmusgesetze:

3

ln (θ ) − ln (c) = l(ln(sin θ ) − ln(sin c)) l

(3.495)

l

ln (θ ) = ln(sin θ ) − ln(sin c) + ln (c) .   

⇔

ln(u) + ln(v) = ln(uv) u ln(u) − ln(v) = ln( ) v Die Lösung lautet somit v · ln(u) = ln(uv )

:=ln κl =const.

(3.496)

(θ ) = κl sinl θ.

(3.497)

Dabei ist κl eine Konstante, die von der Normierung und dem Eigenwert l abhängt. 1 Lösung zu (iv): Wir betrachten die in den vorherigen Abschnitten berechnete Lösung Yll (θ, φ) = κl sinl θ eilφ

(3.498)

mit der Normierungsbedingung !

|Yll (θ, φ)|2 = 1.

(3.499)

Das Ziel dieser Teilaufgabe ist, κl zu ermitteln. Das durch das Skalarprodukt induzierte Betragsquadrat der Wellenfunktion ist in Ortsdarstellung über das Integral % ψ ∗ ψ dV (3.500) |ψ(r)|2 = ψ|ψ = R3

definiert. Da in unserem Fall die Wellenfunktion faktorisiert, erhalten wir |ψ(r)|2 = =

%

[R(r)(θ )(φ)]∗ R(r)(θ )(φ) dV

R3 % ∞ 0

R∗ (r)R(r)r2 dr

% 2π % π 

0

0

(3.501)

[(θ )(φ)]∗ (θ )(φ) sin θ dθ dφ .   =|Yll (θ,φ)|2

(3.502)

Das Normierungsintegral lautet also

135 3.2 · Aufgaben

% |Yll (θ, φ)|2 = κl2

2π

%

0

% = κl2

π

e−ilφ sin2 l θ eilφ sin θ dθ dφ

0 2π

0

(3.503)

%

π

sin2 l+1 θ dθ dφ.

0

(3.504)

Die φ-Integration ist aufgrund der fehlenden φ-Abhängigkeit trivial: % π 2 2 |Yll (θ, φ)| = 2π κl sin2 l+1 θ dθ (3.505) 0    =Al

Für die θ -Integration betrachten wir % π % π Al = (sin2 θ )l sin θ dθ = (1 − cos2 θ )l sin θ dθ 0

0

(3.506) und führen die Koordinatentransformation u = cos θ

⇒

dθ = −

1 du sin θ

(3.507)

durch. Die entsprechenden Integralgrenzen lauten cos(0) = 1,

cos(π ) = −1.

(3.508)

Es folgt: % Al = − % = = =

−1 1

1

−1 % 1 −1 % 1

(1 − u2 )l du

(3.509)

(1 − u2 )l du

(3.510)

(1 − u2 )l−1 (1 − u2 ) du

(3.511)

%

(1 − u2 )l−1 du − −1   

1 −1

u2 (1 − u2 )l−1 du

(3.512)

=Al−1

%

= Al−1 −

1 −1

u2 (1 − u2 )l−1 du

(3.513)

Das zweite Integral kann durch partielle Integration gelöst werden. Hierzu bringen wir den Integranden zunächst in die Form einer Ableitung:

3

136

Kapitel 3 · Drehimpuls

−u2 (1 − u2 )l−1 =

1 d u (1 − u2 )l 2 l du

(3.514)

Dann folgt:

3

1 2l

%

1

d (3.515) (1 − u2 )l du −1 du 1 % 1  1 1 2 l u(1 − u )  − (1 − u2 )l du = Al−1 + 2l −1 2 l  −1     

Al = Al−1 +

u

=Al

=0

(3.516) 1 = Al−1 − Al 2l und somit

(3.517)



 1 Al 1 + = Al−1 2l 2l ⇔ Al = Al−1 2l + 1

(3.518) (3.519)

Damit haben wir eine Rekursionsformel gefunden, mit Hilfe derer wir Al durch wiederholtes Einsetzen durch A0 ausdrücken können. Um den korrekten Zusammenhang aufzustellen, betrachten wir die Substitution l → l − n: Al =

2l A 2 l + 1 l−1

⇒

2(l − n) A (3.520) 2(l − n) + 1 l−n−1 2(l − n) A mit 0 ≤ n < l = 2 l − 2n + 1 l−n−1 (3.521)

Al−n =

Daraus ergibt sich nun durch geschicktes Zusammenfassen und Erweitern: 1

↓

2

↓

3

↓

j+1

l

↓

↓

2 l 2(l − 1) 2(l − 2) 2(l − j) 2(l − (l − 1)) Al = A0 ... ... 2 l + 1 2 l − 1 2 l − 3 2 l − 2j + 1 2 l − 2(l − 1) + 1    = 23

(3.522) =

− 1)...(l − (l − 1)) 1 A0 (2 l + 1)(2 l − 1)...3 1

2l l(l

(3.523)

=

2l l! 2 l(2 l − 2)(2 l − 4)...2 A0 (2 l + 1)(2 l − 1)...3 · 1 2 l(2 l − 2)(2 l − 4)...2

(3.524)

=

2l l!2 l(2 l − 2)(2 l − 4)...2 A0 (2 l + 1)!

(3.525)

137 3.2 · Aufgaben

=

2l l!2l2(l − 1)2(l − 2)...2 · 1 A0 (2 l + 1)!

(3.526)

=

2l l!2l l! A0 (2 l + 1)!

(3.527)

=

(2l l!)2 A0 (2 l + 1)!

(3.528)

Es fehlt also nur noch die Bestimmung von A0 . Für den Fall l = 0 ist das Integral in Gl. (3.510) einfach zu lösen. Wir finden direkt A0 = 2.

(3.529)

Damit folgt Al =

(2l l!)2 · 2. (2 l + 1)!

(3.530)

Abschließend setzen wir dies noch in Gl. (3.505) ein und erhalten (2l l!)2 ! =1 (2 l + 1)! (2 l + 1)! κl2 = . 4π(2l l!)2

|Yll |2 = 4π κl2 ⇔

(3.531) (3.532)

Die Normierungskonstante κl lautet also & (2 l + 1)! 1 κl = . 4π 2l l!

(3.533)

1 Diskussion Die allgemeine Lösung der Eigenwertgleichung (3.459) sind die Kugelflächenfunktionen  2 l + 1 (l − m)! m P (cos θ )eimφ . (3.534) Ylm (θ, φ) = 4π (l + m)! l Der φ-Anteil wurde in (ii) bestimmt. Der θ -Anteil ist über die zugeordneten Legendre-Polynome m

Plm (cos θ) = (−1)m (1 − cos2 θ) 2

bzw. Pl−m (cos θ) = (−1)m

dm ¨ m≥0 Pl (cos θ) fur d(cos θ)m (3.535)

(l − m)! m P (cos θ) (l + m)! l

(3.536)

3

138

Kapitel 3 · Drehimpuls

definiert, wobei Pl (cos θ ) =

3

dl 1 ((cos θ )2 − 1)l 2l l! d(cos θ )l

(3.537)

die Legendre-Polynome sind. Die allgemeine Form für m ≤ l lässt sich mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes herleiten. Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges Orthonormalsystem, woraus folgt, dass alle quadratintegrablen Funktionen f (θ, φ) nach den Kugelflächenfunktionen entwickelt werden können.

139

Eindimensionale Potentialprobleme Inhaltsverzeichnis 4.1

Einleitung – 140

4.2

Aufgaben – 143 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.2.7 4.2.8 4.2.9 4.2.10

Unendlich tiefer Potentialtopf – 143 Endlicher Potentialtopf: Gebundene Zustände – 150 Streuung am Potentialtopf – 156 Streuung am Potentialwall – 164 Einfaches Delta-Potential – 171 Doppeltes Delta-Potential – 184 Periodisches Delta-Potential – 191 Der harmonische Oszillator – 195 Harmonischer Oszillator in einem externen Feld – 200 Kohärente Zustände des harmonischen Oszillators – 204 4.2.11 Gauß-Paket im harmonischen Oszillator – 210

Literatur – 213

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Ochner (Hrsg.), Quantenmechanik Schritt für Schritt, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61562-1_4

4

140

Kapitel 4 · Eindimensionale Potentialprobleme

4.1

4

Einleitung

In diesem Kapitel wenden wir die Schrödinger-Gleichung auf eindimensionale Potentialprobleme an. Diese sind aus mehreren Gründen interessant: Zum einen lassen sich in diesen relativ einfachen Situationen klassische und quantenmechanische Vorhersagen gut vergleichen, wodurch eine Beschreibung nichtklassischer Effekte möglich wird. Zum anderen lassen sich viele physikalische Phänomene als eindimensionale Systeme nähern. Bei der Lösung dieser Art von Aufgaben spielen Randbedingungen eine wichtige Rolle. Die Form des Potentials bestimmt, welche Art von Spektrum, also welche Verteilung von Energiezuständen, für das System möglich ist. Die tatsächliche Lösung besteht dann aus jenen Eigenzuständen, die auch die Randbedingungen erfüllen. Dies ist natürlich auch in der klassischen Mechanik der Fall. Die Bewegung eines gebundenen klassischen Teilchens ist auf einen lokalisierten Raumbereich beschränkt, da die Energie des Teilchens kleiner ist als die Potentialbarriere – das Teilchen kann also x = ±∞ nicht erreichen. Dieses Konzept lässt sich auf die Quantenmechanik übertragen, man spricht dann von gebundenen und ungebundenen Zuständen. Gebundene Zustände sind auf einen endlichen Raumbereich beschränkt, für sie ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen bei x = ±∞ zu finden, gleich null. Die zugehörige Wellenfunktion muss also für große x sehr stark (mit mindestens 1 x ) abfallen. Dies bedeutet, dass gebundene Zustände normierbare Eigenzustände des Hamilton-Operators sind. Man kann zeigen1 , dass gebundene Zustände diskrete Energieniveaus haben; man spricht daher von einem diskreten Spektrum. Ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen bei x = ±∞ zu finden, ungleich null, handelt es sich um ungebundene Zustände. Diese werden auch Streuzustände genannt. Streuzustände sind nicht normierbare Eigenzustände des Hamilton-Operators. Ihr Energiespektrum ist kontinuierlich. Wir werden in diesem Kapitel mit einfallenden ebenen Wellen arbeiten, da die Rechnungen so übersichtlicher bleiben. Ebene Wellen sind Streuzustände. Wie in Aufgabe 2.2.6 zum gaußschen Wellenpaket diskutiert, wäre die physikalisch korrekte Beschreibung eines einfallenden lokalisierten Teilchens durch ein Wellenpaket gegeben. Da ein Wellenpaket als Super-

1

Für den vollständigen Beweis muss die Funktionalanalysis herangezogen werden. Dies geht über den Umfang dieses Buchs hinaus; Referenzen hierzu wären beispielsweise (Reed und Simon 1980; Teschl 2014).

141 4.1 · Einleitung

position vieler ebener Wellen entsteht, würden die Rechnungen in diesem Fall auf ähnliche Art und Weise funktionieren. Man muss aber oft zusätzliche Aspekte, wie beispielsweise die Symmetrie des Wellenpakets, berücksichtigen. Da wir in diesem Kapitel nur zeitunabhängige Potentiale betrachten, kann die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für diese Systeme durch einen Separationsansatz ψ(x, t) = φ(x)χ (t) gelöst werden (Aufgabe 2.2.4). Dies bedeutet, dass wir, um die vollständige Lösung zu erhalten, nur die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung  2m d2 2 φ(x) + k (x)φ(x) = 0 mit k(x) = (E − V (x)) 2 dx 2 (4.1) lösen müssen, da die Zeitabhängigkeit die Form eines zusätzlichen exponentiellen Faktors annimmt. Die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung müssen außerdem die Randbedingungen des zu betrachtenden Systems erfüllen. Hierbei sind vor allem Stetigkeitsbedingungen für die auftauchenden Wellenfunktionen wichtig. Diese sollen im Folgenden motiviert werden: 1.

Die Wellenfunktion φ(x) ist für alle x stetig. Dass dies eine physikalisch sinnvolle Forderung ist, zeigt man durch Widerspruch. Dazu betrachten wir  x0 +ε d φ(x) dx = φ(x0 + ε) − φ(x0 − ε). (4.2) dx x0 −ε Nehmen wir an, dass φ(x) an der Stelle x0 unstetig ist, so ist die rechte Seite von Gl. (4.2) ungleich 0 für ε → 0. Soll die linke Seite der Gleichung in diesem Limit einen endlichen Wert annehmen, wie die Annahme der Unstetigkeit d φ(x) an der Stelle fordern würde, so müsste der Term dx d x0 divergieren, also dx φ(x) ∝ δ(x − x0 ). Ist das der Fall, so divergiert die kinetische Energie Ekin = φ|

pˆ2 2 |φ = − 2m 2m ∝−

2 2m

 

 d  d  φ ∗ (x) φ(x) dx dx −∞ dx ∞

∞ −∞

(4.3)

δ(x − x0 )δ(x − x0 ) dx = δ(0) = ∞. (4.4)

Da ein Zustand mit unendlicher kinetischer Energie unphysikalisch ist, muss die einen physikalisch realisierbaren Zustand beschreibende Wellenfunktion überall stetig sein.

4

142

Kapitel 4 · Eindimensionale Potentialprobleme

2.

Die erste Ableitung der Wellenfunktion φ  (x) ist in Regionen endlichen Potentials V (x) stetig. Um dies zu zeigen, integrieren wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung über ein kleines Intervall um x0 : −

2 2m



x0 +ε x0 −ε

d2 φ(x) dx + dx2



x0 +ε x0 −ε

 V (x)φ(x) dx = E

x0 +ε x0 −ε

φ(x) dx (4.5)

4

Aufgrund der Stetigkeit der Wellenfunktion φ(x) verschwindet die rechte Seite von Gl. (4.5) für ε → 0. Also folgt  x0 +ε  2m  lim φ  (x0 + ε) − φ  (x0 − ε) = 2 lim V (x)φ(x) dx. (4.6) ε→0  ε→0 x0 −ε

Wenn V (x) im gesamten Intervall endlich ist, verschwindet aufgrund der Stetigkeit von φ(x) die rechte Seite von Gl. (4.6). Also ist φ  (x) stetig. Für ein unendliches Potential ist dies nicht der Fall. 3.

Die Wellenfunktion ist an Stellen unendlichen Potentials 0. Hierzu betrachten wir die Gesamtenergie E = Ekin + Epot = φ| −

2 ∂ 2 + V (x)|φ. 2 m ∂x2

(4.7)

Da die Energie keinen unendlichen Wert annehmen kann, muss die Wellenfunktion an der Stelle eines unendlichen Potentialwerts verschwinden. Für statische Potentiale V (x) ohne explizite Zeitabhängigkeit sind die Stetigkeitsbedingungen zeitlich konstant und gelten somit unverändert auch für die zeitabhängige Wellenfunktion ψ(x, t). Formelsammlung  ¨ Zeitunabha¨ ngige Schrodinger-Gleichung:

− ⇔

Stetigkeitsbedingungen:

 2 d2 + V (x) φ(x) = Eφ(x) 2 m dx2

d2 dx2

φ(x) + k 2 (x)φ(x) = 0

Wahrscheinlichkeitsstrom: Reflexions- und Transmissionskoeffizienten:

mit k(x) =

φA (x) = φB (x) Grenze Grenze d d = φA (x) φB (x) Grenze Grenze dx dx φ(x) = 0

fu¨ r

V (x) = ∞

 i

φ∇φ ∗ − φ ∗ ∇φ j= 2m j j R = R und T = T jQ jQ

 2m 2

(E − V (x))

fu¨ r V (x) = ∞

143 4.2 · Aufgaben

Aufgaben

4.2 4.2.1

Unendlich tiefer Potentialtopf

1 Aufgabenstellung Wir betrachten die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung d2 φ(x) + k 2 (x)φ(x) = 0 mit k(x) = dx2



2m (E − V (x)), 2

(4.8)

wobei der Potentialterm durch einen unendlich tiefen Potentialtopf (. Abb. 4.1) ¨ 0≤x≤L 0 fur V (x) = (4.9) ∞ sonst gegeben ist. (i) Stelle die Randbedingungen auf und berechne die Wellenfunktion sowie die Energieeigenwerte des zeitunabhängigen Systems in den verschiedenen Raumbereichen. Ist das Energiespektrum diskret oder kontinuierlich? (ii) Berechne den Erwartungswert der quadratischen Abweiˆ 2 . Verwende das Ergebnis, um chungen (Δx) ˆ 2  und (Δp) ΔxΔp zu bestimmen, und zeige damit, dass für dieses System die heisenbergsche Unschärferelation erfüllt ist. 1 Lösung Der unendlich tiefe Potentialtopf stellt durch die auftretenden unendlichen Potentiale zwar eine künstliche Situation dar, wird dadurch aber auch zu einem sehr einfachen System, da einige quantenmechanische Effekte, wie beispielsweise der in Aufgabe 4.2.4 betrachtete Tunneleffekt, nicht berücksichtigt werden

. Abb. 4.1

Unendlich tiefer Potentialtopf

4

144

Kapitel 4 · Eindimensionale Potentialprobleme

müssen. Dementsprechend handelt es sich beim unendlichen Potentialtopf um ein gutes Modellsystem, um den generellen Umgang mit Potentialproblemen zu erlernen. Außerdem werden uns die hier gefundenen Lösungen in einigen der folgenden Aufgaben als Grenzfall wieder begegnen.

4

1 Lösung zu (i) Zunächst fordern wir die Stetigkeit von φ(x) an den Grenzen zwischen den Raumbereichen: 1. Randbedingung: φA (x) = φB (x) (4.10) 0 0 (4.11) 2. Randbedingung: φB (x) = φC (x) L

L

Außerdem fordern wir, dass die Wellenfunktion an Stellen unendlichen Potentials verschwindet: 3. Randbedingung:

¨ V (x) = ∞ ψ(x) = 0 fur

(4.12)

Wir stellen nun die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für die drei Raumbereiche separat auf. Dafür bringen wir in den Raumbereichen A und C den in Gl. (4.8) auftretenden Ausdruck k(x) in die Form  kA,C (x) = lim

V0 →∞

2m (E − V0 ) = lim i V0 →∞ 



2m (V0 − E) := iκ.  (4.13)

Wir müssen damit in den Raumbereichen A und C d2 φA,C (x) − κ 2 φA,C (x) = 0 mit κ = lim V0 →∞ dx2



2m (V0 − E)  (4.14)

und im Raumbereich B d2 φB (x) + k 2 φB (x) = 0 mit k = dx2



2m E 2

(4.15)

zusammen mit den Randbedingungen (4.10) bis (4.12) lösen. Es handelt sich in beiden Fällen um autonome (d. h. nicht explizit von der unabhängigen Variablen abhängige) Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Wie aus der Analysis bekannt, ist eine Basis des Lösungsfundamentalraums für Gleichungen vom Typus der Differentialgleichung (4.14) durch eine Linearkombination von Exponentialfunktionen oder von hyperbolischen Funktionen gegeben. Für den Raumbereich B besteht die Lösung entsprechend aus einer Linearkombination aus komplexen Exponentialfunktionen oder aus trigonometrischen Funktionen.

145 4.2 · Aufgaben

Wir schreiben somit für den allgemeinen Lösungsansatz: ⎧ ⎧ ⎨ φA (x) ⎨ A1 eκx + A2 e−κx φ(x) = φB (x) = B1 sin (kx) + B2 cos (kx) ⎩ ⎩ φC (x) C1 eκx + C2 e−κx

¨ fur −∞ 0 Z ER ρ=

(5.67) (5.68)

mit dem Bohr-Radius aB =

4π ε0 2 = 0,529 Å e2 m

(5.69)

und der Rydberg-Energie ER =

2 2maB2

= 13,605 eV

(5.70)

erhalten wir die dimensionslose zeitunabhängige SchrödingerGleichung für den Radialanteil des Wasserstoffatoms:

∂2 l(l + 1) 2 2 + − − η u¯ (ρ) = 0 (5.71) ρ ∂ρ 2 ρ2 Führe die Reskalierung von Radius und Energie durch, und leite damit Gl. (5.71) her. Hinweis: Bestimme zunächst eine Gleichung für u(ρ) = R(r(ρ)) und überführe diese in eine Gleichung für u¯ (ρ) = u(ρ)/ρ. (ii) Zusätzlich zur Radialgleichung Gl. (5.71) werden zur Lösung des Wasserstoffproblems noch Randbedingungen benötigt. Diese lauten: lim u¯ (ρ) = 0 und

ρ→0

lim ρ u¯ (ρ) = 0

ρ→∞

(5.72)

Ein geeigneter Lösungsansatz ist: u¯ (ρ) = e−ηρ X (ρ) mit X (ρ) =

N  k=1

αk ρ k

(5.73)

5

226

Kapitel 5 · Das Wasserstoffatom

Begründe diesen Ansatz mit Hilfe der Randbedingungen für das System und bestimme eine Gleichung für X (ρ). (iii) Zeige, dass die Koeffizienten αk in Gl. (5.73) die Rekursionsformel αk+1 = 2

ηk − 1 αk k(k + 1) − l(l + 1)

(5.74)

erfüllen müssen. Bestimme daraus die untere Grenze für den Summationsindex in Gl. (5.73). (iv) Begründe, warum der Summationsindex in Gl. (5.73) nach oben beschränkt sein muss. Betrachte dafür die Rekursionsrelation in Gl. (5.74) im Limit N → ∞. (v) Zeige, dass für η nur bestimmte Werte erlaubt sind, und bestimme damit die Energieeigenwerte

5

En = −

Z 2 ER . n2

(5.75)

1 Lösung In dieser Aufgabe soll die in Aufgabe 5.2.1 hergeleitete Radialgleichung des Wasserstoffatoms gelöst werden. Hierzu wird zunächst das asymptotische Verhalten der Lösung betrachtet und separiert. Für den verbleibenden Teil der Wellenfunktion wird ein Potenzreihenansatz gewählt. Ein Potenzreihenansatz ist ein allgemeiner Ansatz zur Lösung von Differentialgleichungen. Nach Einsetzen des Ansatzes in die Differentialgleichung werden die Lösungen durch einen Koeffizientenvergleich bestimmt. Im Falle des Wasserstoffproblems liefern die so bestimmten Koeffizienten zusammen mit dem geforderten asymptotischen Verhalten direkt die quantisierten Energieniveaus des Wasserstoffatoms.

Hinweis: Die Form der Radialgleichung wird in Aufgabe 5.2.1 bestimmt.

1 Lösung zu (i) Die Radialgleichung für ein Elektron im radialsymmetrischen Potential V (r) hat die Form     2 l(l + 1)  ∂ 2 1 ∂ r2 + + V (r) − E R(r) = 0. − 2 m r2 ∂r ∂r 2 mr2 (5.76) m ist hierbei die Elektronenmasse. Wir betrachten zunächst den ersten Term und führen die auftretenden Ableitungen aus:

227 5.2 · Aufgaben

  ∂ 2 ∂ R(r) = 2rR (r) + r2 R (r) r ∂r ∂r

(5.77)

Einsetzen des gefundenen Ausdrucks sowie der expliziten Form des Potentials in Gl. (5.76) liefert: −

2 ∂ 2 l(l + 1) Ze2 2 1 ∂ − − E R(r) = 0. + − m r ∂r 2 m ∂r2 4π ε0 r 2mr2

(5.78)

Als Nächstes reskalieren wir den Radialabstand r mittels r → ρ = rZ/aB . Diese Gleichung können wir umstellen, um sowohl einen Ausdruck für r(ρ) als auch für dessen Differential zu erhalten: a r(ρ) = B ρ Z a dr = B dρ Z Z ∂ ∂ = ⇔ ∂r aB ∂ρ

(5.79) (5.80) (5.81)

Wir definieren den reskalierten Radialanteil u(ρ) := R(r(ρ)) ∂ und setzen diesen gemeinsam mit den Ausdrücken für r und ∂r in Gl. (5.78) ein:  −

2 m

 

Z aB

Z + aB

2 2

1 ∂ 2 − ρ ∂ρ 2m



Z aB

2

∂2 ∂ρ 2

 2 l(l + 1) Z Ze2 − E u(ρ) = 0 − aB 4π ε0 ρ 2 mρ 2 (5.82)

Der nächste Schritt besteht darin, den bohrschen Atomradius aB (Gl. (5.69)) aus allen Ausdrücken zu extrahieren, um anschließend die Reskalierung der Energie durchführen zu können. Da nur im Ausdruck e2 /(4π ε0 ) Größen auftauchen, die in aB enthalten sind, reicht es, diesen zu betrachten: 1 aB e2 1 4π ε0 2 e2 e2 1 2 = = = 2 4π ε0 aB 4π ε0 aB 4π ε0 e m aB m

(5.83)

Damit enthalten alle Ausdrücke der Radialgleichung bis auf den noch zu reskalierenden Energieterm Eu(ρ) den Vorfaktor (Z/aB )2 : 2 m



 Z 2 1 ∂ 1 ∂2 l(l + 1) 1  a 2 m  − + − − B E u(ρ) = 0 − 2 2 aB ρ ∂ρ 2 ∂ρ ρ Z 2ρ 2 (5.84)

Wir teilen diesen Ausdruck nun durch ER =

2

2 2maB

ein:

2 m



Z aB

2

und setzen

5

228

Kapitel 5 · Das Wasserstoffatom

−

1 ∂ l(l + 1) 1 1 ∂2 E  u(ρ) = 0 + − − − ρ ∂ρ 2 ∂ρ 2 ρ 2ρ 2 2ER Z 2 (5.85)

Damit können wir die Energie mittels η2 = −E/(Z 2 ER ) reskalieren:

5

−

1 ∂ 1 ∂2 η2  l(l + 1) 1 − u(ρ) = 0 + − + 2 2 ρ ∂ρ 2 ∂ρ ρ 2 2ρ

(5.86)

Um Gl. (5.71) zu erhalten, ist noch ein letzter Schritt notwendig. Dazu substituieren wir u → u¯ (ρ)/ρ:  

1 ∂ 1 ∂2 η2  u¯ (ρ) l(l + 1) 1 − − + (5.87) + − ρ ∂ρ 2 ∂ρ 2 ρ 2 ρ 2ρ 2

1 1 ∂ 1 ∂2 1 ∂ + 3− = − 2 + 2 2 ∂ρ 2ρ ρ ρ ∂ρ 2ρ ∂ρ l(l + 1) 1 1 ∂ 1 η2  + u¯ (ρ) (5.88) − 3+ 2 − + 2ρ ρ 2ρ ∂ρ 2ρ 3 ρ2

1 ∂2 l(l + 1) 1 η2  u¯ (ρ) = 0 (5.89) = − + − + 2ρ ∂ρ 2 2ρ 2ρ 3 ρ2 Multiplikation mit dem Faktor −2ρ führt auf die gesuchte Form der reskalierten Radialgleichung:

∂2  l(l + 1) 2 2 − η u¯ (ρ) = 0 − + ρ ∂ρ 2 ρ2

(5.90)

1 Lösung zu (ii) Zur Lösung von Gl. (5.71) betrachten wir zunächst das asymptotische Verhalten der möglichen Lösungen der Differentialgleichung. Für ρ → ∞ geht die Differentialgleichung über in

∂2  − η2 u¯ (ρ) = 0. 2 ∂ρ

(5.91)

Die möglichen Lösungen dieser Gleichung sind: u¯ (ρ) = exp(−|η|ρ) u¯ (ρ) = exp(+|η|ρ)

(5.92) (5.93)

Die in Gl. (5.93) vorgeschlagene Lösung ist unphysikalisch, da diese für große ρ nicht zu 0 abfällt und somit nicht normierbar ist. Die Lösung in Gl. (5.92) ist jedoch normierbar. Somit haben wir das asymptotische Verhalten u¯ (ρ) = exp(−|η|ρ) der Radialfunktion für große Abstände ρ gefunden.

229 5.2 · Aufgaben

Dieses asymptotische Verhalten spalten wir nun ab und schreiben u¯ (ρ) = exp(−|η|ρ)X (ρ)

(5.94)

als Ansatz für die Lösung der vollen Gleichung (5.71). Setzen wir diesen Ansatz in Gl. (5.71) ein, erhalten wir: 

∂2 l(l + 1) 2 0= − + − η2 exp(−|η|ρ)X (ρ) 2 2 ρ ∂ρ ρ

(5.95)

∂ ∂2 X (ρ) − 2η exp(−|η|ρ) X (ρ) + η2 exp(−|η|ρ)X (ρ) ∂ρ ∂ρ 2 l(l + 1) 2 − exp(−|η|ρ)X (ρ) + exp(−|η|ρ)X (ρ) − η2 exp(−|η|ρ)X (ρ) ρ ρ2 (5.96)

= exp(−|η|ρ)

=

l(l + 1) ∂ 2 ∂2 X (ρ) − 2η X (ρ) − X (ρ) + X (ρ) ∂ρ ρ ∂ρ 2 ρ2

Die Differentialgleichung für X (ρ) lautet also

∂2 l(l + 1) ∂ 2 − − 2η + X (ρ) = 0. ∂ρ ρ ∂ρ 2 ρ2

(5.97)

(5.98)

Für die Lösung dieser Differentialgleichung wählen wir nun den Potenzreihenansatz X (ρ) =

∞ 

αk ρ k .

(5.99)

k=1

Dieser Potenzreihenansatz ist der namensgebende Schritt der sommerfeldschen Polynommethode. Dieser Ansatz sorgt dafür, dass die Radialwellenfunktion für ρ = 0 verschwindet und somit die erste Randbedingung in Gl. (5.72) erfüllt wird. Die zweite Randbedingung wird durch den Exponentialterm exp(−|η|ρ) erfüllt. Wir werden in (iii) sehen, dass die Reihe von unten mit k ≥ l + 1 beschränkt werden muss.1 1 Lösung zu (iii) Die Koeffizienten αk(l) können bestimmt werden, indem wir den Potenzreihensatz (5.99) in die Differentialgleichung (5.98) einsetzen. Wir erhalten zunächst

1

Es ist auch möglich, einen leicht modifizierten Ansatz für die Potenzreihe zu wählen. Eine Differentialgleichung der Form der Gl. (5.86) heißt fuchssche Differentialgleichung. Nach der Frobenius-Sommerfeld-Methode lässt  n sie sich mit dem allgemeinen Ansatz u(z) = (z − z0 )α ∞ n=0 un (z − z0 ) (Teschl (2012)) lösen. Im Falle des Wasserstoffatoms wird oft der Ansatz ∞  αk ρ k gewählt. Dies führt dazu, dass die Reihe nicht mehr X (ρ) = ρ l+1 k=1

explizit von unten beschränkt werden muss.

5

230

Kapitel 5 · Das Wasserstoffatom

0=

∞ 

k(k − 1)αk ρ k−2

k=2 ∞   2ηkαk ρ k−1 + l(l + 1)αk ρ k−2 − 2αk ρ k−1 . − k=1

(5.100)

5

Da die zweifache Ableitung ∂ρ2 ρ verschwindet, fällt der k = 1Term in der ersten Summe weg, die erste Summe beginnt somit nicht mehr mit k = 1, sondern mit k = 2. Da die rechte Seite von Gl. (5.100) unabhängig vom Abstand ρ verschwindet, müssen alle Vorfaktoren vor den ρ k -Termen bereits einzeln verschwinden. Aus dieser Bedingung können wir die gesuchte Rekursionsformel herleiten. Dazu müssen die Koeffizienten der einzelnen ρ k -Terme zusammengefasst werden. In den beiden Summen, die die ρ k−2 -Terme enthalten, führen wir dazu die Substitution k → k + 1 durch. Dabei müssen wir beachten, dass eine solche Substitution auch die untere Grenze des Summationsindex verändert. Dies resultiert in den zwei folgenden Termen: ∞ 

k(k − 1)αk ρ k−2 =

k=2 ∞ 

l(l + 1)αk ρ k−2 =

k=1

=

∞  k=1 ∞  k=0 ∞ 

k(k + 1)αk+1 ρ k−1

(5.101)

l(l + 1)αk+1 ρ k−1

(5.102)

l(l + 1)αk+1 ρ k−1 + l(l + 1)α1 ρ −1

k=1

In der zweiten Summe haben wir den Term l(l + 1)α1 ρ −1 aus der Summe herausgezogen, damit alle auftretenden Summen von k = 1 bis k = ∞ laufen. Insgesamt ergibt sich also 0=

∞  k=1

[αk+1 (k(k + 1) − l(l + 1)) − αk (2ηk − 2)] ρ k−1 − l(l + 1)α1 ρ −1 .    =0

(5.103)

Aus der Bedingung, dass der Vorfaktor des ρ k−1 -Terms verschwinden muss, folgt die Rekursionsformel αk+1 = 2

ηk − 1 αk . k(k + 1) − l(l + 1)

(5.104)

Außerdem können wir direkt α1 ablesen: Für l = 0 muss α1 = 0 sein, damit der ρ −1 -Term verschwindet. Für l = 0 wird α1

231 5.2 · Aufgaben

die Norm der Wellenfunktion festlegen. Dies bedeutet jedoch nicht, dass für l = 0 alle Koeffizienten αk verschwinden. Wenn wir den Nenner der Rekursionsformel (5.104) betrachten, sehen wir, dass dieser für bestimmte k verschwinden kann. Dies würde jedoch bedeuten, dass die Koeffizienten keine definierten Werte mehr hätten. Dementsprechend fordern wir, dass der Nenner der Rekursionsformel ungleich 0 sein muss. Daraus folgt, dass der kleinstmögliche Wert, den k annehmen kann, k = l + 1 ist. Dadurch wird der Summationsindex der Potenzreihe von unten beschränkt, wir erhalten X (ρ) =

∞ 

αk ρ k .

(5.105)

k=l+1

Im Fall l = 0 ist also α1 = 0 der erste von null verschiedene Koeffizient, für l = 0 ist der erste nicht verschwindende Koeffizient αl+1 . 1 Lösung zu (iv) Wir können nun erklären, weshalb die Summe einen maximalen Index N haben muss: Für große k (k  1 und k  l) lässt sich die Rekursionsformel schreiben als αk+1 ∼

2ηk 2η (2η)2 (2η)k α = α = α α . = ... = k(k + 1) k k+1 k (k + 1)k k−1 (k + 1)! 1 (5.106)

Setzen wir den so gefundenen Ausdruck für αk in den Potenzreihenansatz in Gl. (5.99) ein und vergleichen dies mit der Rei∞ x k hendarstellung der Exponentialfunktion exp(x) = k=0 k! , so wird deutlich, dass sich X (ρ) in diesem Fall asymptotisch wie exp(2ηρ) verhalten würde, woraus u¯ (ρ) = exp(−ηρ)X (ρ) = exp(+ηρ)

(5.107)

folgen würde. Dies würde die Normierungsbedingung verletzen und ist somit eine unphysikalische Lösung. Daher muss die Potenzreihe bei einem bestimmten k =: n abbrechen. Der Potenzreihenansatz für X (ρ) lautet damit X (ρ) =

n 

αk ρ k .

(5.108)

k=l+1

1 Lösung zu (v) Da die Koeffizienten ab einem bestimmten k = n verschwinden sollen, bedeutet dies, dass für k = n der Zähler in der Rekursionsformel verschwinden muss:

5

232

Kapitel 5 · Das Wasserstoffatom

αn+1 = 2 ⇒η=

ηn − 1 αn n(n + 1) − l(l + 1)

1 n

(5.109) (5.110)

Dies ist die gesuchte Quantisierungsbedingung, welche in den Energieniveaus des Wasserstoffatoms resultiert. Dazu müssen wir lediglich die Definition von η in den Ausdruck für die Energie einsetzen:

5

E(η) = −Z 2 ER η2 = −

Z2 ER =: En n2

(5.111)

n wird als Hauptquantenzahl bezeichnet. Die Energieniveaus des Wasserstoffatoms hängen dementsprechend nur von der Hauptquantenzahl n ab. Der Potenzreihenansatz liefert uns also direkt die Quantisierungsbedingung n > l, die die möglichen Werte der Hauptquantenzahl angibt. Da wir außerdem wissen, dass die magnetische Quantenzahl ml die Werte −l ≤ ml ≤ l annimmt, bedeutet dies, dass für jeden möglichen Wert n der Hauptquantenzahl 2l + 1 Zustände mit gleicher Energie existieren.Die Energieeigenzustände der Radialgleichung sind also 2 gn = n−1 l=0 (2l + 1) = n -fach entartet. Berücksichtigt man zusätzlich den Spin des Elektrons, so wächst der Entartungsgrad aufgrund von ms = 2s + 1 auf gn = 2n2 an.

5.2.3

Laguerre-Polynome

1 Aufgabenstellung Die gewöhnlichen Laguerre-Polynome sind durch Achtung: Die zugeordneten Laguerre-Polynome können auch folgendermaßen definiert werden: dk Lpk (x) = (−1)k k Lp+k (x) dx

Die in dieser Aufgabe genutze Definition wird deswegen manchmal als (k) Lp (x) notiert.

Lp (x) = ex

dp  p −x  x e dxp

(5.112)

und die zugeordneten Laguerre-Polynome durch Lpk (x) =

dk Lp (x) dxk

(5.113)

definiert. (i) Zeige, dass Lpk (x) =

 dp  p! ex p xp−k e−x (p − k)! dx

eine äquivalente Darstellung von Gl. (5.113) ist.

(5.114)

233 5.2 · Aufgaben

(ii) Leite mit Hilfe von Gl. (5.112) die Rekursionsformel   d d Lp (x) − p Lp−1 (x) − Lp−1 (x) = 0 dx dx

(5.115)

her. (iii) Die gewöhnlichen Laguerre-Polynome lassen sich alternativ durch die erzeugende Funktion ∞

 1 −x t tp e 1−t = Lp (x) 1−t p!

(5.116)

p=0

definieren. Durch geschicktes Umformen dieser Relation lässt sich die Rekursionsformel Lp+1 (x) − (2p + 1 − x)Lp (x) + p2 Lp−1 (x) = 0

(5.117)

finden. Verwende diese Gleichung und die Rekursionsformel aus Teilaufgabe (ii), um die Laguerre-Differentialgleichung

d d2 + p Lp (x) = 0 (5.118) x 2 + (1 − x) dx dx und die Differentialgleichung für zugeordnete LaguerrePolynome

d d2 + (p − k) Lpk (x) = 0 (5.119) x 2 + (k + 1 − x) dx dx herzuleiten. 1 Lösung Setzt man den Ansatz für die Eigenfunktionen unter Abspaltung des asymptotischen Verhaltens in die reskalierte Radialgleichung (5.71) ein, so nimmt die resultierende Gleichung für den nach der Abspaltung des asymptotischen Verhaltens verbleibenden Teil der Eigenfunktionen die Form der Differentialgleichung für die zugeordneten Laguerre-Polynome an. Die zugeordneten Laguerre-Polynome, die aus den gewöhnlichen Laguerre-Polynomen gebildet werden, treten also als Teil der Eigenfunktionen der Radialgleichung des Wasserstoffatoms auf und sind somit maßgeblich für das Verhalten der radialen Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms.

5

234

5

Kapitel 5 · Das Wasserstoffatom

Hinweis: Man kann dies auch durch vollständige Induktion zeigen: Für Lp1 haben wir die Relation 5.114 bereits gezeigt (Induktionsanfang). Nun zeigen wir, dass die Relation für Lpk+1 gilt, wenn sie für Lpk gilt (Induktionsschritt):

1 Lösung zu (i) Ausgangspunkt unserer Überlegung sind die beiden Definitionen in Gl. (5.112) und (5.113). Wir setzen Gl. (5.112) in Gl. (5.113) ein und erhalten Lpk =

dk dxk

   dp  ex p xp e−x . dx

(5.120)

Wir betrachten zunächst den Fall k = 1:    dp  d ex p xp e−x (5.121) Lp1 = dx dx    d p −x dp  dp d  −x  [x ]e + xp e = ex p xp e−x +ex p dx dx dx   dx  (5.112)

= Lp (x)

   dp  = Lp (x) + pex p xp−1 e−x − ex p xp e−x dx   dx 

(5.122)

dp

d k L Lpk+1 = (5.112) = Lp (x) dx p  p! d (5.123) = ex   p dx (p − k)! d (5.124) = pex p xp−1 e−x dp  p−k −x   dx x e dxp Für den Fall k = 2 folgt nun analog  p! ex =  p  (p − k − 1)! d 1 2 x d p−2 −x L L x . (5.125) = = p(p − 1)e e    p p p d dx dxp p−k−1 −x x e dxp Für allgemeines k gilt also:  p! ex =  (p − (k + 1))! dp  Lpk = p(p − 1)(p − 2)...(p − k + 1)ex p xp−k e−x (5.126)    p dx d p−(k+1) −x   p x e (p − k)! x d p−k e−x e = p(p − 1)(p − 2)...(p − k + 1) (5.127) dxp p x Damit haben wir die Relation 5.114 gezeigt.

 dp  p! ex p xp−k e−x = (p − k)! dx

(p − k)!

dx

(5.128)

1 Lösung zu (ii) Wir differenzieren Gl. (5.112):  dp  d (5.113) Lp (x) = Lp1 (x) = pex p xp−1 e−x dx dx

(5.129)

Um den in der herzuleitenden Gleichung auftretenden Term Lp−1 (x) zu konstruieren, separieren wir eine Ableitung und addieren den Korrekturterm:

235 5.2 · Aufgaben

d d Lp (x) = p dx dx





dp−1 p−1 −x  x ex e dxp−1

− pex

dp−1  p−1 −x  x e dxp−1 (5.130)

 d Lp−1 (x) − Lp−1 (x) dx   d d Lp (x) − p Lp−1 (x) − Lp−1 (x) = 0 dx dx 

=p ⇔

(5.131) (5.132)

Damit haben wir die gesuchte Rekursionsformel gefunden. 1 Lösung zu (iii) Ein Vergleich der zu ermittelnden Differentialgleichungen (5.118) und (5.119) mit den zu verwendenden Rekursionsformeln (5.115) und (5.117) zeigt, dass unsere Aufgabe vorrangig in der Erzeugung einer zweiten Ableitung von Lp und der Ersetzung aller Terme Lp±1 durch Lp besteht. Wir betrachten dafür zunächst Gl. (5.117): Lp+1 (x) = (2p + 1 − x)Lp (x) − p2 Lp−1 (x)

(5.133)

Wir differenzieren nach x: d d d L L (x) = (2p + 1 − x) Lp (x) − Lp (x) − p2 (x) dx p+1 dx dx p−1

(5.134)

Wir subtrahieren Gl. (5.133) von Gl. (5.134) und erhalten:  d Lp (x) − Lp (x) dx   d − Lp (x) − p2 Lp−1 (x) − Lp−1 (x) dx   

d Lp+1 (x) − Lp+1 (x) =(2p + 1 − x) dx



 =(2p + 1 − x)

=(p + 1 − x)

(5.135)

(5.115) 1 d = p dx Lp (x)

 d d Lp (x) − Lp (x) − Lp (x) − p Lp (x) dx dx (5.136)

d Lp (x) − (2p + 2 − x)Lp (x) dx

(5.137)

d Der Term dx Lp+1 (x) lässt sich mit Hilfe von Gl. (5.115) ersetzen. Hierfür betrachten wir   d d Lp (x) = p Lp−1 (x) − Lp−1 (x) (5.138) dx dx   d d ⇔ Lp+1 (x) = (p + 1) Lp (x) − Lp (x) . (5.139) dx dx

5

236

Kapitel 5 · Das Wasserstoffatom

Einsetzen in Gl. (5.137) führt auf  (p + 1)

 d d Lp (x) − Lp (x) − Lp+1 (x) = (p + 1 − x) Lp (x) − (2p + 2 − x)Lp (x) dx dx (5.140) ⇔

Lp+1 (x) = x

d Lp (x) + (p + 1 − x)Lp (x). dx

(5.141)

Wir differenzieren diese Gleichung nun erneut nach x und erhalten

5

d d d2 d Lp+1 (x) = Lp (x) + x Lp (x) + (p + 1 − x) Lp (x) − Lp (x) dx dx dx dx2 (5.142) =x

d d2 Lp (x) + (p + 2 − x) Lp (x) − Lp (x). dx dx2

(5.143)

Die linke Seite lässt sich nun durch Gl. (5.139) ersetzen:   d Lp (x) − Lp (x) (p + 1) dx =x

d2 d Lp (x) + (p + 2 − x) Lp (x) − Lp (x) 2 dx dx

(5.144)

Durch einfaches Umformen erhalten wir dann die gesuchte Laguerre-Differentialgleichung: x

d2 d Lp (x) + (1 − x) Lp (x) + pLp (x) = 0 dx dx2

d d2 + p Lp (x) = 0 ⇔ x 2 + (1 − x) dx dx

(5.145) (5.146)

Um die Differentialgleichung der zugeordneten Laguerre-Polynome zu ermitteln, differenzieren wir die soeben gefundene Differentialgleichung: 

d2 d + p Lp (x) = 0 + (1 − x) dx dx2

2 3 2 2 d d d d d d −x Lp (x) = 0 +x + − +p dx dx dx2 dx3 dx2 dx2

d2 d d ⇔ x + (p − 1) Lp (x) = 0 + (2 − x) dx dx2 dx   d dx

⇔



x

(5.147)

(5.148)

(5.149)

(5.113) 1 = Lp

Bei k-facher Differenzierung erhalten wir entsprechend

d d2 + (p − k) Lpk = 0 (5.150) x 2 + (k + 1 − x) dx dx

237 5.2 · Aufgaben

und somit das gesuchte Ergebnis. 1 Diskussion Die Differentialgleichung für den nichtasymptotischen Anteil der Radialwellenfunktion des Wasserstoffatoms kann in diejenige für die zugeordneten Laguerre-Polynome umgeformt werden. Daher spielen die Laguerre-Polynome eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms. Die Radialwellenfunktion hat die in Aufgabe 5.2.2 hergeleitete Form u¯ (ρ) = exp(−|η|ρ)X (ρ).

(5.151)

x führt zu folgender Form der Eine Reskalierung mit ρ = 2η Radialgleichung:

d2 l(l + 1) 1 1 − + − u˜ (x) = 0 (5.152) ηx 4 dx2 x2

mit x

u˜ (x) = e− 2 xl+1 χ (x)

(5.153)

Die Form des asymptotischen Teils kommt direkt durch die x Reskalierung ρ = 2η zustande, während wir im Polynomanteil der Wellenfunktion einen Faktor ρ l+1 aus der Summe gezogen und danach reskaliert haben. Einsetzen von u˜ (x) in die reskalierte Radialgleichung führt mit Hilfe des Resultats η = n1 aus Aufgabe 5.2.2 auf eine Differentialgleichung für χ (x):

d d2 + (n − l − 1) χ (x) = 0 x 2 + (2 l + 2 − x) dx dx (5.154) Setzen wir k = 2l + 1 und p = n + l, ergibt sich direkt die Differentialgleichung für die zugeordneten Laguerre-Polynome. Der Polynomanteil der radialen Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms hat also die Form von zugeordneten LaguerrePolynomen. Für die Eigenfunktionen der Radialgleichung ergibt sich damit unter Reskalierung auf die ursprüngliche Radialvariable r die Form

5

238

Kapitel 5 · Das Wasserstoffatom

 Rln (r) = −



4(n − l − 1)! 3

((n + l)!) n(naB

/Z)3

2r naB /Z

l exp(−

 2r  r 2 l+1 . )Ln+l naB /Z naB /Z (5.155)

5.2.4

5

Erwartungswerte des Wasserstoffatoms

1 Aufgabenstellung Die Gesamtwellenfunktion eines Elektrons im 1s-Zustand (n = 1, l = 0, m = 0) im Potential eines Atomkerns mit Kernladungszahl Z hat die Form ψ(r, θ, φ)nlm = ψ(r, θ, φ)100



1 =√ π

Z aB

3 2

e

− aZr B

, (5.156)

wobei aB der Bohr-Radius ist. Berechne für das Wasserstoffatom: (i) den mittleren Radius r im 1s-Zustand. In welchem Verhältnis stehen mittlerer Radius?    wahrscheinlichster  und (ii) die Erwartungswerte r2 und 1r im 1s-Zustand. 1 Lösung Der mittlere Radius, also der mittlere Abstand des Elektrons zum Kern, ist ein guter Indikator für die Ausdehnung des Wasserstoffatoms. Diese Ausdehnung hängt vom Anregungszustand des Atoms ab. In dieser Aufgabe betrachten wir den Grundzustand. 1 Lösung zu (i) Der mittlere Radius im 1s-Zustand ist durch folgendes Integral gegeben:  ∞

r100 =

0



∗ rψ 2 ψ100 100 r drd = 4π

 ∞ 0

∗ r3 ψ ψ100 100 dr (5.157)

Um dieses Integral zu lösen, müssen wir mehrfach partiell integrieren:  r = 4π

∞ 0



∗ ψ100 r3 ψ100 dr = 4π

3 



∞ 0

1 √ π



Z aB

3 2

e

− aZr B

1 r3 √ π

∞ Z − 2Zr r3 e aB dr aB 0 ∞  3   ∞ aB  3 − 2Zr aB Z − 2Zr − + 3r2 e aB dr r e aB =4 aB 2Z 2Z 0 0  2  ∞ Z − 2Zr =6 r2 e aB dr aB 0

= 4π

1 π



Z aB

3 2

e

− aZr B

dr (5.158) (5.159) (5.160)

239 5.2 · Aufgaben

Der erste Term der partiellen Integration verschwindet in den zu betrachtenden Grenzen. Wir integrieren den gefundenen Term noch zwei weitere Male partiell:   Z 2 ∞ 2 − 2Zr r e aB dr aB 0  2  ∞  ∞ Z a a  − 2Zr − 2Zr =6 + B 2re aB dr − B r2 e aB aB 2Z 2Z 0 0  ∞ Z − 2Zr re aB dr =6 aB 0   Z a  − 2Zr ∞ aB ∞ − 2Zr =6 − B re aB + e aB dr aB 2Z 2Z 0 0  ∞ 2Zr −a =3 e B dr 

r = 6

(5.161) (5.162) (5.163) (5.164) (5.165)

0

Das verbleibende Integral lässt sich nun direkt lösen. Da für das Wasserstoffatom Z = 1 gilt, finden wir für den mittleren Radius im Grundzustand r =

3 aB . 2

(5.166)

Das Integral kann auch unter Nutzung der Gamma-Funktion gelöst werden. Diese hat die Integraldarstellung ∞ (n + 1) = n! =

xn e−x dx.

(5.167)

0

Man erkennt direkt die Ähnlichkeit des zu lösenden Integrals  r = 4

Z aB

3 

∞

r3 e

− 2Zr a B

dr

(5.168)

0

mit der Integraldarstellung der Gamma-Funktion. Um die Gamma-Funktion einzusetzen, muss lediglich die Reskalierung x = 2Zr/aB durchgeführt werden. Damit erhalten wir: 

  Z 3  aB 4 ∞ 3 −x r = 4 x e dx aB 2Z 0  ∞ 1 aB x3 e−x dx = 4Z 0 1 aB = 3! 4Z 3 aB = 2Z Für Z = 1 finden wir wieder r = 23 aB .

(5.169) (5.170) (5.171) (5.172)

5

240

5

Kapitel 5 · Das Wasserstoffatom

Hinweis: Die Gesamtwellenfunktion ψ(r, θ, φ)100 des 1 s-Zustands setzt sich aus dem Radialanteil R1s =  3 2 − Zr 2 aZB e aB und dem Winkelanteil Y00 = √1 4π zusammen.

Der quantenmechanische Erwartungswert des Atomradius ist also größer als der vom bohrschen Atommodell vorhergesagte Radius aB . Wir vergleichen dies nun mit dem wahrscheinlichsten Radius, also dem Abstand, in dem das Elektron mit der größten Wahrscheinlichkeit zu finden ist. Dafür betrachten wir die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte im Grundzustand P1s :  

Z 3 − 2Zr 2 2 2 a P1 s = r |R1 s | = r 4 e B (5.173) aB Der Abstand zum Kern, in welchem man das Elektron am wahrscheinlichsten findet, ist der, der die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte maximiert. Also betrachten wir: dP1 s =0 dr  3   Z 2Z 2 − 2Zr a ⇔ 4 e B 2r − r =0 aB aB 2Z 2 ⇔ 2r = r aB aB ⇔ r= Z

(5.174) (5.175) (5.176) (5.177)

Im Grundzustand des Wasserstoffatoms (Z = 1) findet man das Elektron mit der größten Wahrscheinlichkeit im Abstand aB zum Atomkern. Der mittlere Radius ist also größer als der wahrscheinlichste Radius. 1 Lösung zu (ii)

    Die Erwartungswerte r2 und 1r im Grundzustand können analog zur Rechnung in Teilaufgabe (i) bestimmt werden.   Wir betrachten zunächst r2 :    r2 =

∞

0

= 4π  =4  =4

=8

 ∞

 0

Z aB Z aB

aB Z



∗ ψ100 r2 ψ100 r2 drd

(5.178)

∗ ψ100 r4 ψ100 dr

(5.179)

3 

∞

r4 e

0

3 

Z aB

−

− 2Zr a B

dr

(5.180)

aB  4 − 2Zr r e aB 2Z

∞ 0

+

aB 2Z



∞

4r3 e

− 2Zr a B

dr

0

(5.181)

3 

∞ 0

r3 e

− 2Zr a B

dr

(5.182)

241 5.2 · Aufgaben

 3  ∞ 3 − 2Zr aB dr = Das Integral 4 aZB 0 r e (i) gelöst. Wir finden also für Z = 1:   r2

100

= 2aB

3aB 2Z

3aB = 3aB2 2

haben wir bereits in

(5.183)

  Der mittlere quadratische Radius r2 tritt im Formfaktor auf,   einer in der Streutheorie relevanten Größe. r2 ist dabei ein Maß für die Ausdehnung der Ladungsverteilung.   Wir berechnen nun noch 1r : !  ∞ 1 ∗ 1 = ψ100 ψ100 r2 drd r r  0  ∞ ∗ ψ100 r ψ100 dr = 4π 

(5.185)

0

  Z 3 ∞ − 2Zr re aB dr aB 0     ∞ 2 Z 2 Z − 2Zr = 6 re aB dr 3 aB aB 0  2 2 Z 3aB = 3 aB 2Z Z = aB

=4

(5.184)

(5.186) (5.187) (5.188) (5.189)

Im vorletzten Schritt wurde das aus (i) bekannte Integral genutzt. Mit Z = 1 ergibt sich ! 1 1 = . (5.190) r 100 aB   Mit dem Erwartungswert 1r kann nun der Erwartungswert des Coulomb-Potentials V (r) bestimmt werden. 1 Diskussion Man kann die in dieser Aufgabe betrachteten Erwartungswerte (und analog die Erwartungswerte rq  jeglicher Potenzen von r, q ∈ Z) auch bezüglich des allgemeinen Zustands ψnlm berechnen. Da eine explizite Rechnung sehr mühsam ist, bietet es sich hierfür an, das Hellmann-Feynman-Theorem zu nutzen. Das Hellmann-Feynman-Theorem drückt die Ableitung der Energie nach einem Parameter über die Ableitung des HamiltonOperators nach demselben Parameter aus:

5

242

Kapitel 5 · Das Wasserstoffatom

dEλ dHˆ λ = ψλ | |ψλ  dλ dλ

(5.191)

In der Dirac-Notation lässt sich diese Relation leicht zeigen. Der Bahndrehimpuls l taucht im Hamilton-Operator als Parameter auf. Wir können also das Hellmann-Feynman-Theorem nutzen, indem wir nach l differenzieren. Daraus erhalten wir   dann den Erwartungswert r12 :

5

! dEl dHˆ l 2 (2 l + 1) 1 = ψnlm | |ψnlm  = dl dl 2m r2 nlm Ausgehend vom Erwartungswert von der Kramers-Relation

1 r2

(5.192)

können wir dann mit

  q   q + 1  q 2 rq−2 = 0 r − (2q + 1)aB rq−1 + [(2q + 1)2 − q2 ]aB 4 n2 (5.193)

die Erwartungswerte für beliebige rq berechnen. Hierbei ist n die Hauptquantenzahl und aB der Bohr-Radius. Für q = 0 er    halten wir 1r , für q = 1 und q = 2 jeweils r und r2 . Damit ergibt sich: rnlm   r2

nlm

1 r

!

   1 l(l + 1) n2 1+ 1− = aB Z 2 n2 

 4 l(l + 1) − 13 3 2 n = aB 2 1 + 1− 2 Z n2 =

nlm

Z aB n2

(5.194) (5.195) (5.196)

Literatur Teschl G (2012) Ordinary differential equations and dynamical systems. American Mathematical Society, Providence

243

Serviceteil Stichwortverzeichnis – 245

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 H. Ochner (Hrsg.), Quantenmechanik Schritt für Schritt, https://doi.org/10.1007/978-3-662-61562-1

245

A–H

Stichwortverzeichnis A

E

Absteigeoperator, 72, 93, 198, 203--206 Addition von Drehimpulsen, 70 Adjungation, 9, 10 Anregungszahl, 196, 198 Anzahloperator, 196, 209 Atomorbitale, 217 Aufenthaltswahrscheinlichkeit, 2, 6--8, 52, 55, 57 Aufsteigeoperator, 72, 93, 198, 203, 205, 206

ebene Wellen, 45, 46, 48, 51, 141, 157, 158, 164--166, 172, 176 Ehrenfest-Theorem, 29, 32, 35 Eigenbasis, 71, 73 Eigenfunktion, 23, 46, 51, 130--137, 142, 192, 193, 202, 203, 211, 216, 217, 224, 233 Eigenvektor, 5, 15--18, 23, 53, 54, 76--79 Eigenwert, 5, 9, 15--18, 23, 26, 27, 38, 43, 52, 53, 64, 66, 72, 76, 78, 79, 81, 84--86, 92, 96, 98, 100, 130, 143, 179, 183, 192, 196, 198, 200, 201, 204--206, 208, 219, 223, 226 Eigenwertgleichung, 5, 6, 24, 26, 98, 99, 130, 131, 224 Eigenzustand, 15--18, 23, 52--55, 64, 66, 72, 77, 79, 81--86, 140, 202, 204--207, 209 Energie – kinetische, 13 Energieband, 195 Entartung, 232 Erhaltungsgröße, 59 Erwartungswert, 7, 9, 28, 29, 32, 33, 35, 39, 41, 50, 84, 85, 87, 89, 90, 143, 146, 150, 200, 202--204, 206, 209, 210, 213 Exponentialabbildung, 75

B Bahndrehimpuls, 70--73, 95, 96, 101, 102, 126--129 Bahndrehimpulsoperator, 91, 93, 94, 97, 103 Baker-Campbell-Hausdorff-Formel, 61, 66 Bandlücke, 195 Basis, 107 – orthonormale, 3, 6 Bewegungsgleichung, 29, 32, 63, 64, 87, 88, 209, 210 – heisenbergsche, 28, 29, 33, 35, 64, 65, 67, 88 Bezugssystem, 58, 59, 61, 63 Bloch-Theorem, 191, 193 Bloch-Wellen, 192 Bohr-Radius, 217, 225 Bosonen, 70

C Coulomb-Potential, 217

D Darstellung, 3, 22, 46, 117 – Impulsdarstellung, 3, 13, 21--24 – Ortsdarstellung, 3, 10, 12, 13, 15, 21--24, 26, 36--39, 127, 130, 148, 202, 220 Delta-Potential – doppeltes, 184--191 – einfaches, 171--184 – periodisches, 191--194 Dipolmoment – magnetisches, 89 Dirac-Gleichung, 63 Dirac-Matrizen, 10 Dirac-Notation, 2, 6 Dispersionsrelation, 45, 61 Drehimpuls, 70--138, 217 Drehimpulsalgebra, 72, 73, 88, 93--97, 104 Drehimpulsoperator, 70, 73, 99, 132, 216, 219

F Feinstrukturaufspaltung, 101, 103 Fermionen, 70 Fourier-Transformation, 23, 24, 46, 47, 51, 52, 179, 180

G Galilei-Invarianz, 58--63 Galilei-Transformationen, 58--63 Gauß-Integral, 47 Gauß-Paket, 45--52, 140, 210--213 Gauß-Verteilung, 47, 210, 213 gebundene Zustände, 140, 146, 150, 151, 155--157, 172, 184, 186, 217 Generator, 18--21 Gesamtdrehimpuls, 70, 95, 101--105, 219 geschlossenes System, 64

H Hamilton-Operator, 9, 15, 26, 27, 30, 32, 34, 36, 37, 39, 41, 43, 46, 51, 52, 64--66, 81, 83--85, 89, 102, 127, 140, 192, 200, 201, 203, 211, 216, 219, 224 harmonischer Oszillator, 64, 66, 98, 195--199, 200--213 Heisenberg-Bild, 28, 29, 32, 33, 35, 64--68 heisenbergsche Bewegungsgleichung, 28, 29, 33, 35, 64, 65, 67, 88

246

Stichwortverzeichnis

Hellmann-Feynman-Theorem, 241 Hermite-Polynome, 202, 210 Hermitizität, 9, 60, 220 Hilbertraum, 2, 6, 14, 64, 103 holomorphe Funktion, 181

I Impulsdarstellung, 3, 14, 24 Impulsoperator, 9, 12, 13, 15, 18--21, 23, 24, 29, 32, 50, 64, 70, 94, 127, 147, 148 Impulsraum, 46, 48, 50, 179 Inertialsystem, 58, 59 instabiles Teilchen, 55 Integration – komplexe, 179

J Jacobi-Matrix, 115, 117

K kinetische Energie, 13 klassisch verbotener Bereich, 156, 166 klassisches Relativitätsprinzip, 58, 59 kohärente Zustände, 204--210 Kommutator, 5, 6, 13--15, 34, 35, 64, 66, 68, 70, 71, 74, 88, 93--95, 97, 197, 219, 222 komplexe Integration, 179 konservatives System, 38, 39, 167, 177 Kontinuitätsgleichung, 27, 29, 35--38 Kronig-Penny-Modell, 192 Kugelflächenfunktionen, 72, 130--224

L Laguerre-Differentialgleichung, 232--237 Laguerre-Polynome, 217, 232--237 Laplace-Operator, 31, 116, 216 Larmor-Frequenz, 89 Larmor-Präzession, 89 Lebensdauer eines Zustands, 55--57 Legendre-Polynome, 72, 137 Leiteroperator, 73, 96--101, 127, 132 Levi-Civita-Symbol, 71, 74, 94, 96 Lie-Algebra, 75 Lie-Gruppe, 75 Lorentz-Transformation, 63

M Magnetfeld, 81, 82, 84, 87, 89, 101, 102 magnetisches Dipolmoment, 89 magnetisches Moment, 81 Mannigfaltigkeit, 107 Matrixdarstellung, 16, 17, 78

Matrixelement, 10, 17, 54 Matrixexponential, 89 Messprozess, 26, 76, 77, 81 Molekülorbitale, 217

N Nabla-Operator, 116--127, 221 Noether-Theorem, 59

O Operator, 4 – adjungierter, 4, 6, 9--13, 19 – antihermitescher, 9, 30 – hermitescher, 4, 6, 9, 19--21, 30, 38, 60, 70, 223 – unitärer, 5, 6, 18, 20, 59, 60, 65 Operatorexponential, 19, 61 Orthonormalität, 16, 54, 55, 77, 82, 206 Ortsdarstellung, 3, 10, 12, 14, 15, 26, 36--39, 127, 130, 148, 202, 220 Ortsoperator, 9, 13, 15, 22, 24, 64, 70, 127 Ortsraum, 46 Oszillator – harmonischer, 64

P Parität, 203 Paritätsoperator, 203 Pauli-Matrizen, 75--77 periodische Randbedingungen, 131 Poisson-Verteilung, 209 Polstelle, 180, 181 Polynommethode – sommerfeldsche, 217, 224--232 Potential, 15, 26, 29, 32, 34, 36--38, 44, 46, 61--64, 140--227 – kugelsymmetrisches, 127 Potentialbarriere, 140 Potentialtopf – endlich tiefer, 150--156 – unendlich tiefer, 143--150 Potentialwall, 164--166, 171 Potenzreihenansatz, 229, 231 Projektionsoperator, 16

Q quadratintegrable Wellenfunktion, 2, 3, 45 Quantenzahl, 72, 99, 101, 105, 217

R Randbedingungen – periodische, 131 Reflexion, 159, 164, 166

247 Stichwortverzeichnis

Reflexionskoeffizient, 143, 157, 162, 163, 165, 169, 172, 177 Rekursionsformel, 136, 226, 230, 231 Relativitätsprinzip – klassisches, 58 Residuensatz, 179, 181, 182 Residuum, 181 Resonanz, 164 Rydberg-Energie, 217, 225

S Scanning Tunneling Microscope (STM), 166 Schrödinger-Bild, 27, 29, 30, 34, 39, 64--68, 88 Schrödinger-Gleichung, 26--30, 33, 36, 38--144, 149--152, 156, 157, 159, 164, 171--174, 184--186, 191, 193, 195, 218, 219, 224, 225 Separationsansatz, 27, 53, 131, 216, 219 Separationskonstante, 42, 43 Singularität, 181 Skalarprodukt, 2, 5, 6, 10, 134, 211, 221 sommerfeldsche Polynommethode, 217, 224--232 Spektraldarstellung, 6, 84, 86 Spektrum, 140, 143, 146, 150, 151, 157, 161, 195 Spin, 70--73, 75--77, 81, 82, 95, 101--103 Spin- 21 -Teilchen, 63, 73, 74, 81, 82, 87, 102 Spin-1-Teilchen, 84, 85 Spin-Bahn-Kopplung, 101, 103 Spinfilter, 81 Spinoperator, 77, 78, 81, 84, 87--89 Spinpräzession, 87--90 stationärer Zustand, 26--28, 39, 41 Stern-Gerlach-Versuch, 75--81 Stetigkeitsbedingung, 141, 142, 152, 153 Streuzustand, 140, 156, 157, 165, 172, 175 SU(2), 75 Superposition, 26, 46, 54, 141

T Tangentialraum, 107 Teilchen – instabiles, 55 Translation, 18--21, 60

H–Z

Translationsinvarianz, 192, 193 Translationsoperator, 18, 21, 22 Transmission, 159, 163, 164 Transmissionskoeffizient, 143, 157, 162--165, 169, 172, 177 Tunneleffekt, 143

U Übergangswahrscheinlichkeit, 85, 86 ungebundene Zustände, 140 unitäre Gruppe, 21 Unitarität, 18, 20 Unschärferelation, 45, 49, 51, 143, 150, 204, 207, 210

V Vakuumzustand, 196 Vektorraum, 10 Vollständigkeitsrelation, 6

W Wahrscheinlichkeitsdichte, 27, 28, 35, 36, 41, 43, 45, 46, 192, 210 Wahrscheinlichkeitsstrom, 170 Wahrscheinlichkeitsstromdichte, 27, 29, 36, 37, 165, 167, 177 Wasserstoffatom, 216 Wellen – ebene, 45, 46, 48, 51, 141, 157, 158, 164--166, 172, 176 Wellenfunktion, 2--5, 6--9, 10, 26, 29--30, 45--223 – quadratintegrable, 2, 3, 45

Z Zeitentwicklung, 5, 26--29, 34, 46, 48, 52--54, 56, 65, 81, 82, 87, 204, 207, 208 – unitäre, 21, 65 Zeitentwicklungsoperator, 21, 27, 29, 65, 66, 82, 84 Zeitumkehrinvarianz, 59, 63--64 Zentralpotential, 216 α-Zerfall, 166 Zwei-Zustands-System, 52--55