Propuesta de Curso

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Enseñar y Aprender Lógica

Beatriz Mattar

Beatriz Mattar

2009

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Enseñar y Aprender Lógica

Beatriz Mattar

Mattar, Beatríz Enseñar y aprender lógica. - 1a ed. - San Juan : Univ. Nacional de San Juan, 2009. CD-ROM. ISBN 978-950-605-580-6 1. Lógica.Enseñanza. I. Título CDD 160.071 1

Fecha de catalogación: 05/06/2009

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN Rector: Dr. Ing. Benjamin Kuchen FACULTAD DE FILOSOFÍA, HUMANIDADES Y ARTES Decano: Lic. Paolo Landini Vice Decana: Prof. Selva Yaraví Sugo Secretaria de Extensión Magíster Adelina Itatí Peinado

Editor: effha Jefe Departamento Publicaciones: Alfredo Ginbert Publicación autorizada por el Consejo Editorial de la Facultad de Filosofía, Humanidades y Artes Tirada: 150 ejemplares Edición: primera Impreso en San Juan, Argentina – Printed in San Juan, Argentina Hecho el depósito que determina la Ley 11.723 ISBN- 978-950-605-580-6 Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida en forma total ni parcial por cualquier medio de impresión o digital, en forma idéntica, extractada o modificada en español o en cualquier otro idioma, sin autorización previa por escrito del autor y de la editorial.

Diseño de tapa: Juan Ignacio Zini y Maria Sol Mattar

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A

mis

hijos

Germán,

Carolina,

Gabriela y Gerardo. De ellos aprendí que enseñar es también amar.

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INDICE

Introducción

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¿Qué es la Lógica?

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Recursos Simbólicos y Formas de Silogismos

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Fórmulas, Esquemas, Leyes y Reglas del Cálculo Proposicional

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Proposiciones e Inferencias Disyuntivas

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Condicional e Implicación. Bicondicional y Equivalencia

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Relaciones Lógicas entre Proposiciones

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Propuesta de Evaluación del Aprendizaje de Lógica Formal

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Trabajos Prácticos para Lógica Formal

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INTRODUCCIÓN La lógica es una disciplina que se encuentra incorporada en los planes de estudios de pocas carreras universitarias. Fundamentalmente se considera un contenido necesario para los alumnos de matemáticas, informática o alguna otra carrera relacionada con las ciencias exactas. En el ámbito de las ciencias humanas figura en los planes de estudios de filosofía y en algunos casos está incorporada como conocimiento complementario en la formación académica de abogados y educadores. Ciertas instituciones universitarias con carreras humanistas o sociales la entienden como un conocimiento propedéutico útil y por lo mismo constituye un módulo de enseñanza en el curso de ingreso. En el nivel de educación medio también está incluida como una unidad de aprendizaje en la materia ―Filosofía‖. El escaso espacio académico dedicado a la enseñanza de la lógica en el sistema de educación formal humanista generalmente se encuentra fundamentado en la consideración de la lógica como un saber demasiado abstracto, alejado de las necesidades de formación de tales profesionales e ―inútil‖ para la vida cotidiana. Resulta paradójico que en cualquier contexto de actividad se demanda la necesidad de ―personas lógicas‖, que sean capaces de encontrar ―soluciones razonables‖ a los problemas de la vida cotidiana. Por su parte el sistema de educación formal espera que al ingresar al nivel universitario, el alumno sea capaz de manejar el pensamiento abstracto y que pueda pensar crítica, reflexiva y creativamente. La reforma del Sistema de Educación formal argentina promovida a partir de 1993 fijó contenidos curriculares básicos. La propuesta de contenidos conceptuales para la formación filosófica incluyó un bloque de contenidos de lógica con la expectativa de que 5

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los futuros docentes conozcan, comprendan y apliquen los métodos de análisis de los argumentos propios de la lógica a partir del lenguaje natural y de lenguajes formalizados. Además de estar contemplada para la formación orientada en filosofía, la lógica estaba implícita en los contenidos procedimentales de otros capítulos de contenidos. Allí figuraba como expectativas de logro que los docentes adquirieran las disposiciones intelectuales para el pensamiento crítico y reflexivo acerca de los problemas de otras áreas disciplinares. Gran parte de estos contenidos procedimentales están relacionados inmediata o mediatamente con la lógica: detectar ambigüedades y/o vaguedades, identificar tesis principales y secundarias, identificar y explicitar supuestos, construir y reconstruir argumentos, comprender críticamente ideas y teorías, comparar tesis divergentes, emitir un juicio fundamentado, etc. Todos ellos son procedimientos lógicos y/o con fundamento lógico. En efecto, los procedimientos propios de la lógica son instrumentos que favorecen la comprensión y el tratamiento de los contenidos de otras áreas de conocimiento porque en gran medida fundamentan la educación para el pensamiento. Esta paradójica cuestión de reconocimiento y falta de reconocimiento de la lógica en la educación formal quizás se explique por el doble carácter de la lógica: ciencia y arte. En la enseñanza de la lógica, los conocimientos y habilidades prácticos conviven con los conocimientos teóricos. Por ello, pensar en la enseñanza de la lógica es pensar en la formación de alumnos que no sólo conozca las técnicas, ni sólo la teoría sobre ellas, sino que desarrollen los recursos adecuados para la especulación teórica y la habilidad de aplicación. La búsqueda de la formación de ―personas razonables‖ no constituye una empresa educativa simple sino muy ambiciosa. Es efecto, es necesario que el alumno pueda: ofrecer razones; organizar una discusión; valorar consecuencias; clarificar conceptos; reconocer la estructura de un argumento; buscar alternativas de argumentación; distinguir entre una discusión crítica, una justificación, una defensa, una búsqueda de información, una búsqueda de prueba, una explicación y una deliberación. Parafrasear, dar ejemplos, contraejemplos, saber identificar la ambigüedad y vaguedad, distinguir extensión e

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intensión de un concepto, manejar distintos tipos de definición, distinguir entre validez y verdad, entre falacias formales e informales etc. La cuestión de la enseñanza de la lógica pensada para alumnos de carreras humanistas es un motivo de inquietud personal que ha abierto diversos interrogantes y originado algunos intentos de solución, expresados en ciertas modificaciones operadas en las planificaciones de cátedra y en la práctica áulica. Resulta casi imposible enseñar lógica a estudiantes de humanidades y no preguntarse, entre otras cosas, por el qué, el cómo y el para qué de la lógica en este campo disciplinar. Este libro busca ofrecer algunas respuestas a tales interrogantes generadas a partir de la reflexión sobre la práctica docente. Por ello se aborda algunos temas que con cierta frecuencia despiertan perplejidad en los alumnos o generan dificultades de comprensión. No es un manual de lógica ni pretende suplirlos sino acompañar la lectura de la bibliografía existente y contribuir a la exposición didáctica de algunos temas. El texto está pensado principalmente para alumnos de carreras humanistas sin ningún conocimiento previo de lógica. El acento está puesto en la lógica aristotélica y desde allí se anticipan algunas vinculaciones con los desarrollos contemporáneos de la lógica formal. Se trata de revalorar la riqueza que hay en el sentido de la lógica aristotélica y medieval por esto la principal fuente original indicada desde la cátedra es el Organon. En ¿Qué es la lógica? se propone y se justifica que recuperar el sentido amplio de la concepción lógica de Aristóteles permite determinar el qué enseñar de lógica a estudiantes de humanidades. Los seis temas que siguen expresan cómo son abordados desde la cátedra para desarrollar la lógica aristotélica y vincularla con la forma de presentación simbólica. Recursos simbólicos y formas de silogismos tiene el propósito de puntualizar la fundamentación lógica del cambio de notación simbólica. Fórmulas, Esquemas, Leyes y Reglas del cálculo proposicional es una exposición didáctica de clarificación conceptual que atiende a la dificultad de los alumnos para comprender los niveles del lenguaje lógicosimbólico. Proposiciones e inferencias disyuntivas compara el tratamiento clásico y contemporáneo del tema y destaca que el segundo no agrega nueva información. Condicional e Implicación. Bicondicional y Equivalencia es una presentación didáctica del 7

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―extraño‖ sentido de la conectiva condicional y acentúa la diferencia entre ―forma proposicional‖ y ―forma inferencial‖. En Relaciones lógicas entre proposiciones se atiende a la dificultad que suelen tener los alumnos para vincular información sobre un mismo tema pero que figuran en diferentes libros de texto o en diferentes lugares de un mismo texto. El título Evaluación del aprendizaje de la lógica formal expresa claramente que se ofrece una respuesta a la cuestión de para qué enseñar y aprender lógica en el contexto educativo de las ciencias humanas. Finalmente se incorpora un conjunto de ejercicios sobre algunos temas de lógica formal trabajados conjuntamente con el alumno Rolando Mercado para la realización de Trabajos Prácticos de Lógica I. El título del libro Enseñar y Aprender Lógica tiene un doble sentido. En primer lugar busca expresar la idea de que la enseñanza de la lógica me ha conducido a comprenderla mejor y la reflexión sobre la práctica docente me va enseñando a enseñarla. En segundo lugar el aprendizaje del alumno manifiesta su nivel de comprensión pero también enseña sobre las fortalezas y debilidades de la enseñanza recibida. Por ello, el libro está pensado como un aporte útil a docentes y a estudiantes de carreras humanistas. En esta presentación no se agota la amplia inquietud que ha ido despertando la reflexión sobre la enseñanza de la lógica sino que queda abierta al abordaje de otros temas y a la propuesta de mejores formas de tratamiento áulico. Agradezco a los alumnos que año tras año, han incentivado mi interés por enseñar mejor y que me han enseñado a disfrutar de la función docente; a mis profesores y colegas que me enseñaron a valorar la actitud de indagación y la honestidad intelectual. Finalmente agradezco a la Facultad de Filosofía, Humanidades y Artes de la Universidad Nacional de San Juan que posibilita esta publicación.

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¿QUÉ ES LA LÓGICA? La definición de ―Lógica‖ se convierte en una cuestión de indagación si se entiende que ella puede estar condicionada por la perspectiva teórica desde la cual se la conciba. Diferencias significativas se harán presentes si se la define desde Aristóteles1, Gottlob Frege2 o John Dewey3 (sólo por mencionar algunas concepciones diferentes). La historia de la filosofía da cuenta de diferentes definiciones de lógica derivadas de cuestiones relativas al modo como se entienda su naturaleza y a la demarcación que se haga de su campo disciplinar. Así pueden señalarse el surgimiento de algunas dicotomías: lógica formal/lógica material, lógica docens/lógica utens, lógica clásica/lógica contemporánea, lógica/lógicas, lógica formal/lógica informal, lógica normativa/lógica descriptiva, lógica formal/lógica dialéctica, lógica simbólica/lógica filosófica. A partir de ello es posible abrir algunas cuestiones: ¿cuál es el cuerpo de conocimientos reconocido bajo cada una de estas denominaciones?, ¿es posible establecer semejanzas, diferencias y relaciones entre ellas?, ¿cuál es la relación de cada una de ellas con la filosofía?, ¿la lógica es una disciplina formal y sólo formal?, ¿hay una lógica para las ciencias exactas y una lógica para las humanidades? Carlos Alchurrón reconoce que en los textos contemporáneos de lógica se “ha perdido la costumbre” de comenzar caracterizando la lógica y deslindarla de otras disciplinas. También interpreta este hecho como un síntoma de madurez de la lógica puesto que: “... la disminución de la extensión dedicada a la definición de la disciplina y su comparación con otras es un rasgo que acompaña el enriquecimiento intrínseco de toda ciencia. Cuanto más abundante es el material a exponer en una ciencia menos es el espacio que se reserva a la definición de su área temática y al deslinde con otras ciencias”. Sin embargo, podría resultar también pertinente interpretar la falta de espacio dedicado a la definición de la lógica en los textos contemporáneos, como el reflejo de 1 2

Aristóteles. 1977. Tratados de Lógica. México. Porrúa. p. 71 y 223 Frege, Gottlob. 1984. Investigaciones Lógicas. Tecnos. Madrid. p. 49 9

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producciones científicas ubicadas bajo un determinado ―paradigma‖. Es decir, de producciones científicas correspondientes a un período de ―ciencia normal‖4 y por lo mismo es superfluo detenerse en la delimitación del campo disciplinar. Sin embargo, en ciertas ocasiones resulta necesario hacerlo. El mismo autor reconoce que: “... no son pocos los momentos en que el desarrollo mismo de una ciencia depende de una adecuada reflexión filosófica sobre el área temática de la disciplina. Tal es el caso de la lógica en su último siglo de vida”. 5 Por una parte, la ruptura del auge del modelo neopositivista, producida alrededor del siglo XX, se asocia claramente al señalamiento de las limitaciones de la lógica formal para fundamentar el proceso epistemológico de las ciencias humanas, a la vez, se renueva la vinculación con la retórica y la argumentación no formal. Por otra parte, en Argentina, la pasada reforma educativa motivó discusiones sobre los límites disciplinares. La propuesta de contenidos básicos curriculares promovidos finalizó incluyendo bajo el epígrafe de Lógica, no sólo contenidos de lógica formal sino también contenidos de argumentación informal y temas de filosofía de la lógica. Esta definición de contenidos impone adoptar una concepción amplia de Lógica. La historia de la filosofía de algún modo refleja que las discusiones acerca de lo que es la lógica no es una cuestión nueva. La exposición exhaustiva de las diferentes concepciones de ―lógica‖6 no es el propósito de este trabajo, sólo se busca destacar que han existido diferentes modos de concebirla. Platón7 no habla de lógica sino de Dialéctica, y en el contexto de una reflexión sobre la forma de razonar, señala los procedimientos de análisis y síntesis conceptual como forma de garantizar el rigor del conocimiento de lo que ―realmente‖ existe, es decir, las ideas. Sin dudas, en esta concepción no es posible separar la ―técnica de argumentar‖ 3

Dewey, John. 1955. La reconstrucción de la filosofía. Madrid-Buenos Aires-México. Aguilar. p. 195-222 Se hace referencia a la concepción de Kuhn sobre la historia de la ciencia y a sus momentos. 5 Alchurrón, Carlos E. 1995. ―Concepciones de la lógica‖ en Lógica, Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía. Madrid. Ed. Trotta. 6 Para una exposición y clasificación de concepciones de la lógica se puede consultar Deaño, A. 1980. Las concepciones de la Lógica. Madrid. Ed. Taurus. 7 Platón, El Sofista o del Ser en Diálogos Escogidos. Buenos Aires – México – Río de Janeiro. Ed. El Ateneo. 1957. 4

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de la metafísica. Su discípulo, Aristóteles, es el primer sistematizador de las diferentes formas de argumentación y es quien refleja la más rica y amplia concepción de la lógica. Durante el medioevo, gran parte de los problemas lógicos fueron tratados conjuntamente con problemas del lenguaje, reservándose el uso del término ―lógica‖ para referirse a los temas que Aristóteles desarrolla fundamentalmente en los Primeros Analíticos. Santo Tomás de Aquino entiende a la lógica como “ciencia de las segundas Intenciones”.8 Esto significa que su objeto de estudio no es la realidad exterior, ni la materialidad lingüística, ni el mecanismo mental, sino las obras del entendimiento. En este sentido se ubica en línea de continuidad con el propósito aristotélico de deslindar el ámbito lógico, del psicológico y lingüístico pero restringe la concepción aristotélica limitándola al tratamiento de la argumentación analítica. Lógica como ciencia formal En la lógica es imprescindible considerar su sentido formal porque está presente desde el planteo aristotélico, porque configura el cuerpo de conocimientos ampliamente desarrollado por la lógica contemporánea y porque está indiscutiblemente reconocido como tal. La Lógica Formal es la ciencia de la validez formal de la inferencia. Ello implica reconocer una serie de características que producen ya una delimitación de su campo disciplinar. Desde las primeras obras lógicas de Aristóteles aparece con claridad la naturaleza formal y universal de la lógica. Así, puede decirse de ella que es la ciencia que reconoce y sistematiza los esquemas de inferencia prescindiendo del contenido de los razonamientos. Por lo mismo, dichos esquemas o formas de razonamiento adquieren el carácter de universal ya que pueden ―llenarse‖ con cualquier contenido. En decir que la universalidad se deriva de la formalidad. Si en Aristóteles no estuviera presente el carácter formal de la lógica no podría ser universal porque lo formal tiene que ver con considerar sólo la estructura de los razonamientos sin prestar atención a los contenidos y la universalidad de una estructura de razonamiento es su posibilidad de ser usada en cualquier campo de 8

Santo Tomás de Aquino. Metafísica. Lect. IV en Bochenski, (1968). p. 166. 11

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conocimientos. Esta es una idea muy clara en Aristóteles, por eso distingue entre razonamiento válido y demostrativo. En la Primeros Analíticos trata sobre el razonamiento válido y en los Segundos Analíticos trata del razonamiento demostrativo. Si se parte de primeros principios verdaderos (propios de cada ciencia) y se razona analíticamente, se pasa de verdad a verdad. Se pasa del razonamiento válido al razonamiento demostrativo. Para Aristóteles, el filósofo, el biólogo, el físico, el matemático, etc. usan las mismas estructuras de razonamiento por eso es una formalidad universal. De ahí que las formas de silogismos válidos son ―estructuras de razonamientos típicas‖. Pero el cometido de la lógica formal no es constituir una colección de esquemas válidos de inferencias sino que es la ciencia de la validez formal, y como tal constituye un Sistema Deductivo cuyos enunciados expresan los principios de los modos válidos de inferir. Ellos son los modelos válidos en cualquier campo de raciocinio, y por lo tanto son modelos abstractos. Por eso la lógica es también una ciencia abstracta. Ahora bien, si los principios lógicos valen para cualquier contenido y son el marco formal para cualquier conocimiento de objetos entonces los principios lógicos gobiernan los principios del inferir válido de todas las demás disciplinas y también gobierna los propios. En este sentido, se dice que la lógica es una Ciencia pura pero también una Metaciencia. Además, en la medida que esa ciencia proporciona la ―habilidad‖ para formular argumentaciones correctas, se dice que es un Arte, y por lo mismo, tiene un irrenunciable sentido instrumental. De ahí que, la lógica no sólo es ciencia y metaciencia, sino también instrumento de toda actividad de pensamiento. Todo lo dicho acerca de la lógica hasta el momento es una consecuencia de su naturaleza formal y está presente en la concepción aristotélica. Sin embargo es posible encontrar algunas diferencias significativas entre la formalidad de la lógica aristotélica y la formalidad de la lógica simbólica, propia del siglo XX.

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Suele señalarse como diferencia entre la lógica aristotélica y la lógica contemporánea, el uso del simbolismo en la segunda. Colbert 9 señala que salta a la vista la diferencia entre una página de Principia Mathematica de Russell y una página del Organon de Aristóteles por el enorme aparato simbólico de la primera. Agazzi destaca que el paso de la lógica formal a la lógica simbólica está dado porque en la primera se simbolizan sólo los términos no lógicos (términos categoremáticos) de los razonamientos, mientras que en la segunda se avanza en la simbolización de los términos no-lógicos (términos sincategoremáticos). Reconoce la línea de continuidad entre la lógica aristotélica y la lógica simbólica, pero el simbolismo marca una diferencia, un quiebre entre la formalidad tradicional y la actual. La imagen gráfica podría ser así:

Formalidad Clásica

Formalidad Contemporánea

Sin embargo, creo que ésta no es una diferencia sustantiva, puesto que si bien la formalidad contemporánea es ―simbólica‖, podría decirse que la formalidad aristotélica es ―simbolizable‖. En los Primeros Analíticos, Aristóteles presenta la teoría del silogismo categórico introduciendo símbolos sólo para los términos categoremáticos,10 pero en La Silogística Aristotélica Luckasiewicz presenta la misma teoría en forma totalmente simbólica. Ello constituye el más claro indicador de que el carácter de ―simbólica‖ es sólo un derivado del carácter ―formal‖ de la lógica. La simbolización de la lógica significa el perfeccionamiento del lenguaje utilizado para expresar la teoría. No puede, en este caso, hablarse de diferencia cuando no marca ningún quiebre con relación a la naturaleza formal de la lógica. El simbolismo es como el ropaje más adecuado para el desarrollo de

9

Colbert, J. 1968. La evolución de la lógica simbólica y sus implicancias filosóficas. Pamplona. Ed. Universidad de Navarra. p. 15 10 La historia de la lógica registra que el uso de simbolismo en la lógica se da también en los estoicos que emplearon números para representar proposiciones. Consultar Kneale, W. y M. 1980. El Desarrollo de la Lógica. Madrid. Técnos. 13

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la lógica formal; del mismo modo que si a un atleta se le eliminan todos aquellas limitaciones externas que le dificultan sus movimientos entonces se le brinda la posibilidad de tener un mejor y mayor rendimiento físico. Lo que se quiere destacar es que la posibilidad de simbolización radica en el carácter formal de la lógica. La lógica contemporánea puede ser simbólica porque la lógica desde Aristóteles es formal. Los desarrollos contemporáneos suman la adaptación de la lógica al modelo matemático de organización y presentación en forma de cálculo.11 Contemporáneamente se acentúa y extrema la formalidad de la lógica aunque se limita su universalidad. Los principios lógicos ya no son considerados omniaplicables, sino que aparece la idea de ―principios relativos a un determinado sistema‖. Se inicia un proceso de creación de una diversidad de Sistemas Lógicos, por ello es posible hablar de Lógicas y no de Lógica. Generalmente se habla de “Lógicas Clásicas” para hacer referencia a los sistemas de lógica asertórica, bivalente y extensional; y de “Lógicas No-Clásicas” para referirse a otros sistemas que son alternativas globales o parciales de la lógica clásica. 12 La limitación de la omniaplicabilidad de la lógica no significa una

limitación de

la

formalidad ni la deductibilidad de los sistemas. Para la formalidad simbólica, el ámbito de la lógica contemporánea se superpone con la lógica formal. Es decir que la lógica simbólica es en toda su extensión, lógica formal. En este caso, la expresión gráfica debiera ser la siguiente:

11 12

Boole, George, 1979, El Análisis Matemático de la Lógica, Madrid, Cátedra, p. 3/5. Haack, Susan. 1982. Filosofía de las Lógicas. Madrid. Cátedra. p. 23/30. 14

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El cuadro que sigue puntualiza las diferencias significativas entre la formalidad aristotélica y la formalidad contemporánea:

Lógica formal Lógica Formal Clásica

Formal Universal Abstracta Deductiva-Inductiva Sistema Axiomático

Lógica Formal Matemática Lógica Formal Matemática Lógica Formal Clásica Matemática No-Clásica Formal Formal Universal Abstracta Abstracta Deductiva Deductiva Sistema Axiomático Sistemas Axiomáticos Sistema Simbólico Sistemas Simbólicos Sistema de Cálculo Sistemas de Cálculo

Principios formales de Todas las ciencias

Principios formales de Todas las ciencias

Instrumento de Toda actividad de Pensamiento

Instrumento de Toda actividad de pensamiento

Principios formales de Porciones de Conocimiento Científico Instrumento de Tipos de actividad de pensamiento

En el contexto de la comunidad científica de lógicos no hay dudas respecto al reconocimiento de todos los desarrollos (clásicos o contemporáneos) de lógica formal, como pertenecientes al campo disciplinar de la lógica. Por lo mismo constituyen contenidos transpuestos desde las cátedras de Lógica, tanto en el nivel de educación media como universitaria. Pero la lógica ¿es sólo lógica formal o es más que lógica formal? Lógica: ciencia y filosofía Para Deaño “la lógica puede y debe ser más que lógica formal pero ha de ser también y necesariamente lógica formal y ha de serlo en esa forma matematizada que ha adoptado contemporáneamente”.13 Ahora bien, ¿qué es ese ―algo más‖ de la lógica formal que es parte de la Lógica?

13

Deaño, A. 1980. Las Concepciones de la Lógica. Taurus. Madrid. p. 295/299. 15

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Una posible respuesta pasa por la consideración de la ―autocriticidad‖ de la lógica, derivación necesaria de su omniaplicabilidad y metacientificidad. En efecto, si la lógica es ciencia de las ciencias su omniaplicabilidad la alcanza a ella misma. Es decir que es una ciencia que se dobla sobre sí misma, estudia sus propias leyes formales y conceptualiza sus propias condiciones de posibilidad. Esto hace de la lógica una disciplina Filosófica, y esta Lógica Filosófica es el ―algo más‖ de la lógica formal. Es decir que, para este autor, la lógica como ciencia positiva es lógica formal y la auto-reflexividad sobre el despliegue de sus supuestos e implicaciones, sobre sus fundamentos no formales, sobre su trascendencia filosófica, etc. le da su carácter de disciplina filosófica.14 Sostiene Deaño: “ ... se me antoja deseable concebir una Lógica General, una Lógica a secas – una lógica filosófica, y, en sentido más específico, una lógica trascendentalizada – que pasando necesariamente por la lógica formal formalizada despliegue hasta el final las implicaciones filosóficas de esta” 15 Así distingue tres planos de consideración de la lógica formal: un nivel técnico, otro nivel conceptual y un tercer nivel trascendental. Los dos segundos constituyen la lógica filosófica pero presuponen y necesitan de la lógica formal formalizada. Es decir que se daría la siguiente configuración de la Lógica General propuesta por este pensador: Lógica General: Lógica formal: ciencia positiva (análisis y definición de la validez formal de los razonamientos) Lógica filosófica: Conceptual: lógica como instrumento de análisis y exploración conceptual (análisis formal del lenguaje con la función de reconstruir conceptos)

14 15

Deaño, Alfredo. 1980. op. cit. p. 336/345. Deaño, Alfredo. 1980. op. cit. p. 339/340 16

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Trascendental: lógica como ontología y gnoseología formal (análisis de las condiciones formales de posibilidad del conocimiento)

Lógica General

Lógica Filosófica (Nivel Conceptual)

Lógica Formal (Nivel técnico)

Lógica Filosófica (Nivel Trascendental)

La opinión de Deaño es que la lógica puede y debe ser más que lógica formal, aunque ha de ser también y necesariamente lógica formal matematizada. Sin embargo entiende que considerar a la lógica matemática como algo ajeno a la filosofía y alejado de la verdadera lógica es desconocer la historia y el proceso de gestación de la lógica contemporánea. Además, entenderla sólo como la construcción y el manejo de lenguajes formales es olvidar que ―lógica‖ viene de ―logos‖ y que no toda racionalidad es racionalidad formal. Lorenzen expresa una posición semejante a la de Deaño. Entiende que la lógica formal es parte de una lógica general. Dice: “La lógica, como disciplina filosófica, es, esencialmente, la teoría de la fundamentación de todas las ciencias. La lógica formal es una parte especial, aunque imprescindible de aquella” 16 Esta idea de la lógica puede quedar expresada gráficamente del siguiente modo:

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Lógica General

Lógica Formal

Desde esta perspectiva, la ampliación del campo disciplinar de la lógica no pasa por la ampliación del su campo como ciencia positiva, es decir incorporando como objeto de estudio lógico a otras formas inferenciales además de las formales, sino que busca retomar la tradición filosófica que la considera como una disciplina del campo filosófico. Esta dimensión comienza a cuestionarse a partir de los desarrollos contemporáneos que la aproximan a la matemática y parecen independizarla de la filosofía. Lógica formal y lógica informal Otra línea de respuesta posible ha consistido en ampliar el campo disciplinar en su nivel técnico. Es decir, ampliar el campo de la lógica como ciencia positiva. La presentación de la lógica como cálculo plantea el conflicto entre lenguajes artificiales (formales) y lenguaje natural, entre la lógica de los lógicos y la lógica natural o lógica del sujeto, entre la teoría lógica pura y la lógica en ejercicio en diferentes campos de conocimiento. Este conflicto hace presente el problema de la fertilidad instrumental de la lógica en los campos de conocimiento señalados, y abre la puerta a la ―Teoría de la argumentación‖.17 Pero, ¿la lógica informal, pertenece por derecho propio al campo disciplinar de la lógica o sólo se le llama lógica por analogía con la lógica formal? Entre las obras lógicas aristotélicas, los Tópicos y las Argumentaciones Sofísticas frecuentemente son presentadas como muestra del pensamiento lógico de Aristóteles en su estado de inmadurez, sin embargo son las obras donde aparece la más amplia, rica y 16 17

Lorenzen, Paul. Pensamiento Metódico. p. 20 Perelman, Ch. y Olbrechts-Tyteca. 1989. Tratado de la Argumentación. Madrid. Gredos. p. 30/43 18

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ambiciosa concepción de la lógica. Aquí

se muestra que la lógica formal es la

sistematización simplificada de la actividad ―natural‖ de estimación de la validez de los argumentos que los sujetos realizan espontáneamente; que además de los razonamientos apodícticos están los razonamientos dialécticos y que la diferencia entre ambos está dada en función del contenido del razonamiento. La distinción entre el razonamiento apodíctico y el razonamiento dialéctico abre desde Aristóteles, un doble camino a la investigación lógica. Sin embargo el desarrollo del razonamiento dialéctico ha quedado como el ―miembro atrofiado‖ de su cuerpo teórico. El siguiente cuadro sintetiza la caracterización que Mauricio Beuchot18 realiza de la concepción aristotélica de la argumentación:

Analítica

Tópica – Dialéctica

Tópica – Retórica

Fuerza inferencial: Deductiva Suposición sobre la verdad de los puntos de Partida ( principios o premisas) Carácter Dialógico (oponente y proponente) Objetivo: convencer (demostrando/Persuadiendo) Premisas Evidentes Premisas Contingentes y Opinables Axiomas Reglas de Inferencia Reglas de Inferencia Verdad Evidente Verdad Pragmática, por Convención Sistema Axiomático Sistema de Reglas/Esquemas de Procedimiento Teoría de la Demostración Teoría de la Persuasión Dialógica Teoría de la Acción con (Método de la disputa) fundamento Ético

Objetivo: Demostrar por medio de un solo acto

Objetivo: Persuadir y movilizar las creencias Por medio de un Proceso

Silogismo Categórico Silogismo Hipotético

Silogismo Tópico

Conclusión Necesaria

Conclusión Probable/Plausible/Verosímil

T. de la argumentación (intelecto) + Psicología (emociones y pasiones) (para la verdad y del bien) Objetivo: Movilizar la inteligencia y la voluntad (bien público) Razonamiento Entimemático o Deducción Retórica Paradigma/Ejemplo o Inducción Retórica Conclusión Persuasiva

18

Beuchot, M. 1985. ―Teoría de la argumentación en Aristóteles‖ en Revista de Filosofía. Nº 52. México. Universidad Iberoamericana. p. 79/88. 19

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Los desarrollos contemporáneos de la lógica formal retoman y hacen avanzar la sistematización de la inferencia apodíctica, y actualmente nadie se atrevería a negar, como ya se dijo, que este campo de investigación es propiamente lógica. Sin embargo, los desarrollos de la argumentación cotidiana parecen inscribirse en un capítulo aparte con la denominación de Lógica Informal. Si la lógica nace y se desarrolla como disciplina formal, aparentemente la lógica informal estaría fuera de su ámbito, pues no se ajustaría a alguna de las características de la ciencia lógica. Sin embargo la originaria preocupación lógica aristotélica fue el estudio de las formas de pensamiento cotidiano. Nadie puede negar que los hombres usan más formas de razonamiento que las que sistematiza la lógica formal tanto en el uso argumentativo cotidiano como en el proceso de investigación filosófica y científica. Nadie puede negar que Aristóteles desarrolla formas de argumentación dialéctica. Lo que se pretende destacar es que originariamente la lógica era considerada una disciplina filosófica mientras que en la actualidad se la ubica como una ciencia independiente y más próxima a la matemática. Hoy la lógica se vincula con el desarrollo de sistemas formales deductivos, aunque también se señalan las limitaciones de estos para modelizar las formas de razonamiento cotidiano y que se usan en el campo de las ciencias humanas. Por ello, a partir de mediados del siglo XX, Perelman propone la necesidad de recuperar la dialéctica y la retórica aristotélica y comienza a hablarse de una lógica informal diferente pero complementaria la lógica formal. Lógica: ¿ciencia normativa o descriptiva? Una dirección diferente parece darse a la lógica desde la filosofía del empirismo inglés, a partir de la acentuación del inductivismo.19 Como forma de reacción al formalismo lógico, Dewey plantea la necesidad de una lógica empírica que refleje las formas de razonamiento de la investigación científica.20 En este caso, la concepción de la lógica pierde su carácter de ciencia normativa y pasa a ser concebida como ciencia descriptiva. 19 20

Mill, Stuart. 1917. Sistema de Lógica. Madrid. Daniel Jorro Editor. Dewey, John. 1970. La reconstrucción de la Filosofía. Buenos Aires. Aguilar. cap. VII 20

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La lógica de los lógicos matemáticos (desde Boole hasta la actualidad), a pesar de algunas particularidades, podría considerarse como un bloque de concepciones homogéneo, en el sentido de que la lógica es el conjunto de Sistemas Formales Deductivos (clásicos, extendidos o divergentes). Se trata de diversos sistemas de signos y reglas de derivación que se apoyan en determinados conjuntos de principios lógicos convencionalmente indemostrados. Tales sistemas prescriben las formas del razonar correcto, es decir que la lógica es entendida como ciencia normativa. Paralelamente a los desarrollos formales, ya se mencionó que en el siglo XX Perelman inicia un camino de rescate de los Tópicos y la Retórica aristotélica. Este autor entiende que la argumentación no formal es complementaria a la lógica formal y no rompe con la normatividad de la lógica. La actual línea de la Teoría de la Argumentación contiene el tratamiento de una variada gama de aspectos de la argumentación no formal21 pero la oponen a la argumentación formal y ello lleva a desligarla de cualquier carácter de normatividad. El siguiente cuadro sintetiza las semejanzas y diferencias entre las posiciones teóricas con relación al carácter normativo o descriptivo de la lógica: Formalismo Lógica o Lógicas

Antiformalismo Lógica de la Investigación

No Formalismo Lógica Informal

Objeto: Estructuras del Producto de Pensamiento

Objeto: Proceso y Producto de Pensamiento

Objeto: Estructura no-formal de toda argumentación

Razonamiento deductivo e inductivo

Métodos del Pensamiento

Toda forma de razonamiento

Criterio de Validez: coherencia lógica formal

Criterio de Validez: efectividad en la investigación

Criterio de Validez: adecuación al tipo de conclusión

Normativa Estructural

Descriptiva Histórica

Normativa y Descriptiva Estructural Contextual (psicosocial)

Lógica Formal

Lógica experimental

Lógica comparativa

21

Johnson y Blair. "Informal Logic: the past five years 1978-1983" en 1985. American Philosophical Quarterly. Volumen 22. Nº 3. Se presenta bajo el nombre de "Lógica Informal" un amplio campo de cuestiones, aún no claramente deslindado, y ofrece una organización provisoria de una serie de monografías, artículos de revistas y libros de textos producidos hasta 1983, referidos a diversos temas relacionados con las argumentos usados en el lenguaje natural. Todos coinciden en señalar las limitaciones de la lógica formal y abren la necesidad de repensar la naturaleza del argumento, su estructura, evaluación y enseñanza. 21

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Las concepciones de la lógica restringidas a lógica formal parecen dejar de lado parte del sentido del Organon Aristotélico. En efecto, la obra lógica de Aristóteles22 no puede ser reducida a la teoría del silogismo analítico sino que incorpora las formas de la conceptualización (Categorías) y de la enunciación (Perí Hermeneia); incluye no solo el razonamiento formal deductivo (Analíticos Primeros) y demostrativo (Analíticos Posteriores)

sino el razonamiento inductivo, abductivo y analógico, además del

razonamiento dialéctico (Tópicos), sofístico (Refutaciones Sofísticas) y retórico (Retórica). Además resulta imposible comprender el sentido de la lógica aristotélica sin la Metafísica y la Ética. La propuesta que en este trabajo se hace consiste en retomar el sentido de la lógica aristotélica. Ello no significa limitar la enseñanza a la lógica al estudio de Aristóteles, sino recuperar una concepción lógica que no la reduce a lógica formal deductiva.

22

Aristóteles, Tratados de Lógica. (El Organon), Editorial Porrúa. México. 1993. 22

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RECURSOS SIMBÓLICOS Y FORMAS DE SILOGISMO Aristóteles en Primeros Analíticos desarrolla la teoría del silogismo categórico y de los estoicos proviene el silogismo hipotético. Cualquier manual de lógica clásica presenta ambas formas de razonamiento en una ―unidad didáctica‖ pero los manuales de lógica contemporánea rompen con esta unidad expositiva. El tratamiento del silogismo categórico está incluido en el capítulo de Lógica de Funciones y en el capítulo de Lógica de Clases; el silogismo hipotético es una forma de razonamiento tratada bajo la denominación de Lógica Proposicional. Uno de los propósitos de la enseñanza de la lógica a alumnos de filosofía es que conozcan la obra lógica de Aristóteles y la reconozcan como raíz conceptual de la lógica matemática. Por ello en la exposición áulica de la teoría clásica del silogismo se van anticipando los recursos simbólicos propios de la forma de presentación de la lógica contemporánea. Esto conduce a los alumnos a comprender una misma cuestión desde enfoques alternativos y por lo mismo contribuye al desarrollo de varias capacidades lógicas. Esta presentación refleja la mejor estrategia expositiva que hemos encontrado. La validez de las formas de silogismo La fuerza lógica de la deducción radica en que la conclusión de un razonamiento no afirma más de lo que ya se ha establecido en el antecedente, es decir que implícitamente la conclusión está contenida en el antecedente. De ahí que en una deducción correcta si se ha dado el asentimiento al antecedente no se puede dejar de asentir el consecuente. A esta fuerza de concluir un determinado consecuente de un determinado antecedente se hace referencia cuando se habla de ―necesidad lógica‖ de la deducción. Esta necesidad lógica puede deberse a causas lógicas diferentes. La lógica clásica diferencia entre silogismo categórico y silogismo hipotético. La validez lógica del primero está dada por la relación que los ―términos‖ mantienen entre sí, mientras que la validez lógica del segundo radica en la relación entre las ―proposiciones‖ que componen el silogismo.

23

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A comienzos del siglo XX los desarrollos lógicos contemporáneos aportan los recursos simbólicos suficientes y necesarios para expresar la forma lógica de estos razonamientos. La gran ventaja de los recursos simbólicos es que permiten destacar la estructura de la inferencia y consecuentemente facilitan el análisis de la validez inferencial. El silogismo hipotético es la forma típica básica de los razonamientos trabajados contemporáneamente en la ―lógica proposicional‖ y el silogismo categórico es la forma típica básica de los razonamientos tratados en ―lógica funcional‖ y ―lógica de clases‖. Para la expresión simbólica de las inferencias en cada uno de estos capítulos de la lógica se usan diferentes recursos simbólicos. El cambio de notación simbólica suele conducir a algunos alumnos a preguntar si es una convención arbitraria y una complicación innecesaria. La respuesta inmediata es que los recursos simbólicos son una convención arbitraria pero la variación de expresión simbólica no es una complicación innecesaria. Es necesario comprender el sentido del cambio de notación simbólica y su inmediata relación con la validez. Un sencillo ejemplo muestra claramente lo dicho: ―Si los salarios suben, suben los precios‖ ―Los salarios suben‖ ―Suben los precios‖

(1)

Este razonamiento es un silogismo hipotético formado por una ―proposición condicional‖ (si los salarios suben entonces suben los precios) y dos ―proposiciones atómicas‖ o ―proposiciones simples‖ (Los salarios suben y Suben los precios). En este ejemplo se podría variar no solo los contenidos

informativos de las

proposiciones atómicas, sino también su cualidad y cantidad y se observará que la validez de la inferencia no se altera, si se respeta la estructura. Ella consiste en colocar como premisa mayor una proposición condicional, como premisa menor la condición de ese condicional (estableciéndolo) y como conclusión el condicionado del condicional (estableciéndolo).

24

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Por ejemplo: ―Si todos los salarios no bajan, los precios bajan‖ ―Todos los salarios no bajan‖ ―Los precios bajan‖

(1*)

―Si algunas plantas florecen sólo en primavera, algunas plantas no son perennes‖ ―Algunas plantas florecen sólo en primavera‖ (1**) ―Algunas plantas no son perennes‖ Se podría seguir efectuando indefinidamente cambios en los contenidos y en las estructuras internas de la proposiciones atómicas sin que por ello se afecte la validez de la inferencia porque ésta depende de las relaciones que la proposiciones atómicas, consideradas como una totalidad, mantengan entre sí. Si se usan los siguientes recursos simbólicos: ―p‖ (expresa simbólicamente la condición de la proposición condicional) ―q‖ (expresa simbólicamente el condicionado de la proposición condicional) ―−‖ (expresa simbólicamente ―no‖) ―→‖ (expresa simbólicamente la conectiva proposicional ―si… entonces‖)

Las formas lógicas de los ejemplos son las siguientes: 1) p → q p q

(1*) − p → q −p q

(1**) p → − q p −q

Si se considera ahora otro ejemplo de razonamiento: ―Algunas serpientes (M) son venenosas (T)‖ ―Todas las serpientes (M) son reptiles (t)‖ ―Algunos reptiles (t) son venenosos (T)‖

(2)

En este ejemplo se podría variar cuantas veces se quiera los términos ―reptiles‖, ―venenosos‖ y ―serpientes‖ y no se alteraría la validez de la inferencia.

25

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Por ejemplo: ―Algunos herederos de grandes fortunas (M) son empresarios (T)‖ ―Todos los herederos de grandes fortunas (M) son respetados‖ ―Algunas personas respetadas son herederos de grandes fortunas‖

(2*)

Si se quiere mantener la validez de este tipo de razonamiento no se puede cambiar la cantidad

de

la

enunciación

(todos/algunos),

la

cualidad

de

la

enunciación

(afirmativa/negativa) ni la ubicación de los términos en la premisas (M - T / M - t). Del mismo modo que en las inferencias anteriores se debe conservar la estructura lógica para mantener la validez. La diferencia radica en que la validez de los segundos ejemplos presentados depende de la relación que tengan los términos diferentes (T y t) con un mismo tercer término (M). Es decir que la validez esta dada por las relaciones que mantienen los términos dentro de las proposiciones simples (categóricas o atómicas) y no por las relaciones que mantienen las proposiciones atómicas. Por lo tanto en los ejemplos (1), (1*) y (1**) no es necesario considerar la estructura interna de las proposiciones atómicas porque es irrelevante para la validez de la inferencia; mientras que en el caso (2) y (2*) es absolutamente necesario tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones simples. Ahora bien, si se formalizan las dos últimas inferencias con los mismos recursos simbólicos utilizados para formalizar las tres primeras, la simbolización quedaría expresada del siguiente modo: p q r La lógica simbólica también ofrece un método para demostrar la validez inferencial denominado ―método del condicional asociado‖.23 Si se hace uso del mismo se verá que la forma proposicional construida es una ―contingencia‖ y no una ―tautología‖24, lo que indica 23

El método del condicional asociado consiste en formar un condicional que lleva como condición la conjunción de las premisas y como condicionado la conclusión de la inferencia. Si el análisis veritativo de esa función proposicional es tautológico entonces la forma inferencial es válida. 24 Una ―contingencia‖ es una forma proposicional cuyo valor de verdad será verdadero o falso según el valor de verdad de sus partes componentes; y una ―tautología‖ es una forma proposicional siempre verdadera, independientemente del valor de verdad de sus partes componentes. 26

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que la forma de inferencia es inválida. Sin embargo los ejemplos de razonamientos presentados son formas válidas. La razón de este resultado es que los recursos simbólicos utilizados para formalizarlas son insuficientes, porque no ponen ―sobre relieve‖ los elementos lógicos pertinentes para poder determinar la validez o invalidez de la inferencia. Para la formalización de silogismos categóricos resulta necesario distinguir: a) Sujetos de predicación: Constantes individuales (a, b, c...) (indiv. determinados) Variables individuales (x, y, z...) (indiv. indeterminados) b) Predicados lógicos: F, G, H... (no confundir con predicados gramaticales) c) Cuantificadores: Universal

(x) (todo)

Existencial (Ex) (al menos uno) Una misma proposición debe ser formalizada de diferente manera si va a ser utilizada en uno u otro tipo de inferencia. Veamos algunos ejemplos: Proporcionales Pedro es estudiante Pedro no es estudiante Algunos gobernantes son responsables Algunos gobernantes no son responsables Todos lo ciudadanos tienen derechos Ningún ciudadano tiene derecho

Funcionales

p

Fa

−p

− Fa

p −p p −p

(Ex) (Fx . Gx) (Ex) (Fx . − Gx) (x) (Fx → Gx) (x) (Fx → − Gx)

La formalización de la estructura lógica de los silogismos categóricos antes presentados queda expresada adecuadamente introduciendo estos nuevos recursos simbólicos: (Ex) (Fx . Gx) (x) (Fx

Hx)

(2*) y (2**)

27

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(Ex) (Hx . Gx) Un nuevo conjunto de recursos simbólicos necesita ser introducido para expresar la estructura silogística categórica desde el punto de vista de la ―lógica de clases‖. Cada ―predicado lógico‖ se corresponde con una ―clase‖. En efecto, la proposición ―algunas serpientes son venenosas‖ puede expresar una relación entre los predicados ―ser serpiente‖ y ―ser cosa venenosa‖ o puede expresar una relación entre la ―clase de las serpientes‖ y la ―clase de las cosas venenosas‖. La ―comprensión‖ y la ―extensión‖ son propiedades lógicas del concepto, por ello se trata de dos formas de mirar el concepto, se trata de mostrar dos caras de una misma moneda. Los nuevos elementos de simbolización son: Clase: A, B, C… Operaciones entre clases:

(intersección) (unión) − (diferencia)

Relaciones entre clases:

(inclusión) = y ≠ (igualdad/desigualdad)

Los silogismos categóricos anteriores se simbolizan adecuadamente del siguiente modo: A

B≠Λ

A

Ē=Λ

E

B≠Λ

En síntesis, las razones lógicas que validan a las inferencias ―proposicionales‖ y a las inferencias ―funcionales/de clases‖ son diferentes y de ellas se deduce la necesidad de una simbología diferente. Por ello, es importante comprender que el uso de diferentes recursos para formalizar el lenguaje que expresa las formas de silogismos no es una arbitrariedad ni una complicación sin fundamento. Por el contrario es una necesidad derivada de la naturaleza de la inferencia. 28

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FORMULAS, ESQUEMAS, LEYES Y REGLAS EN EL CÁLCULO PROPOSICIONAL En las ciencias que versan sobre el lenguaje resulta necesario distinguir entre el lenguaje por ella investigado, denominado ―lenguaje objeto‖ y el lenguaje en el que se desenvuelven las investigación, denominado ―metalenguaje‖. Se trata de diferentes niveles de lenguaje. Los alumnos en general comprenden estos diferentes niveles de lenguaje, sin embargo suelen manifestar dificultad para relacionar esta información con las nociones de ―formulas‖ y ―esquemas‖, ―leyes‖ y ―reglas‖. El desarrollo de los contenidos en el aula demanda la presentación de estos conceptos en diferentes instancias explicativas pero algunas expresiones de incomprensión de los estudiantes muestra la conveniencia de organizar una exposición que retome e integre todas estas nociones. Fórmulas y Esquemas El lenguaje objeto de la lógica está integrado por expresiones simbólicas formadas por variables proporcionales. Por ej.: p, (p . q), − (p . q), etc. Las expresiones simbólicas pueden representar: a) Proposiciones simples o atómicas, que son la mínima estructura de asentimiento y b) Proposiciones compuestas o moleculares, que son dos o más asentimientos conectados de diversos modos. Por ejemplo: r q (p . q) (p v q) . (p → r)

(1) Fórmulas atómicas (2) (3) Fórmulas moleculares (4)

Las fórmulas pueden estar bien formadas o mal formadas. Están bien formadas (FBF) cuando satisfacen las siguientes condiciones: 1) Cuando aparece una variable proporcional sola. Por ej.: p, q, r

29

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2) Cuando la conectiva monádica (negación) precede a la variable proposicional o a los signo de puntuación. Por ej.: − p, − (p . q) 3) Cuando las conectivas diádicas aparecen ubicadas entre dos variables proposicionales. Por ej.: (p . q), (p v q), (p → q), (p ↔ q) Son fórmulas mal formadas por ej.: p −, (. pq), (p . q) − Las fórmulas (1) y (2) tienen una misma estructura lógica y uno podría referirse a ellas usando otra expresión, por ej. ―A‖, que las incluye a ambas y a cualquier otra forma con esa misma estructura. Lo mismo puede hacerse con la formulas (3) y (4) porque ambas fórmulas tienen la estructura lógica de una conjunción y se podrían representar a través de la expresión ―(A . B)‖. Las expresiones simbólicas ―A‖ y ―(A . B)‖ no son fórmulas del lenguaje objeto sino el nombre o la etiqueta metalingüística de ellas. Son los esquemas de las fórmulas. Es decir que los esquemas de las fórmulas están formados por variables sintácticas y no por variables proposicionales, pertenecen al metalenguaje y representan a las FBF dentro del sistema. Reflejan la estructura de un conjunto infinito de fórmulas y la jerarquía de las conectivas. Por ejemplo: (A . B) v C es el Esquema correspondiente a las siguientes fórmulas: a) (p . q) v r b) (r . t) v (s → t) c) [(s → p) . r] v (s → p) La sustitución uniforme La sustitución uniforme es la transformación operada en una fórmula cuando se cambia una variable proposicional en todas sus apariciones por una fórmula cualquiera. Por ejemplo, si se parte de la fórmula A:

30

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A: (p . q) v r (r → s)

S (A)

(sustituir ―p‖ por ―(r → s)‖ en la fórmula (A)

p

Se obtiene la fórmula A' A': (r → s) . q v r En toda sustitución se mantiene la estructura de la expresión simbólica y por lo tanto la jerarquía de las conectivas. Cuando la sustitución es de variables proporcionales por variables sintácticas lo que se obtiene es el esquema correlativo a dicha fórmula. Cabe destacar que es necesario asignar a iguales variables proposicionales, iguales variables sintácticas y a diferentes variables proposicionales, diferentes variables sintácticas. El esquema correlativo a una fórmula representa a un conjunto infinito de fórmulas que tienen una determinada estructura lógica. La fórmula correlativa al esquema es sólo una de esas estructuras. Es decir que: Si se parte de una fórmula y se realizan las sustituciones pertinentes se alcanza el esquema correlativo de la fórmula. (p . q) v r

Fórmula

(A)

S

p : (A . q) v r (B)

S

q : (A . B) v A

Esquema correlativo

Leyes y Reglas Toda tautología o fórmula lógicamente verdadera constituye una Ley del cálculo proposicional, por lo tanto el esquema correlativo a una fórmula tautológica constituirá el

31

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esquema de una ley del cálculo proposicional. Por lo mismo representa a un conjunto infinito de tautologías porque todas sus sustituciones conducirán a fórmulas tautológicas. Por ejemplo: (p → q) ↔ (− p v q)

Fórmula tautológica o ley

(A → B) ↔ (−A v B)

Esquema correlativo o Esquema – Ley

(p . q)

S p

q ≡ [− (p . q) v q] Fórmula tautológica con el mismo esquema.

: [(p . q)

De forma análoga

si se sustituyen las variables proposicionales por variables

sintácticas en un razonamiento, se pasa del razonamiento al esquema correlativo a dicho razonamiento que representa a un número infinito de razonamientos con esa estructura. Por ejemplo: p→q p

A→B A

q (Razonamiento)

B (Razonamiento-esquema)

La diferencia entre razonamiento y razonamiento-esquema es exactamente la misma que hay entre fórmula y esquema. Es decir que la fórmula es al esquema lo que el razonamiento es al razonamiento-esquema. Es decir: p → q p q

(p → q) . p → q / (A → B) . A → B

A → A B

B

Cuando el razonamiento es válido su forma lógica constituye una Regla del cálculo proposicional y por lo tanto el esquema correlativo a dicho razonamiento representa un conjunto infinito de razonamientos válidos. 32

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Por ejemplo:

p→q p A→B A B

q Representa a (p ↔ q) → (r v s) p↔q rvs

(A diferentes razonamientos con igual estructura les corresponde el mismo esquema)

Ahora bien, a un razonamiento se le puede asociar dos tipos de fórmulas y sólo dos: a) Fórmulas donde la conectiva principal es

el condicional (→). Ello

significa que el antecedente implica el consecuente. En este caso se habla de Reglas de inferencia. Por ejemplo: (1)

A.B A

(2)

A→B B→C A→C

(3) A → B A

Una conjunción implica una cualquiera de sus partes

La conjunción de dos condicionales, cuando el condicionado del 1º es el mismo que la condición del 2º, implica el condicional formado por la condición del 1º y el condicionado del 2º

Un condicional y su condición implican su condicionado

B b) Fórmulas donde la conectiva principal es el bicondicional (↔). Ello significa no sólo que el antecedente implica el consecuente sino también que el consecuente implica el antecedente, es decir que hay equivalencias entre ambas fórmulas.

33

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En este caso se puede reemplazar una fórmula por la otra (aunque sean parte de otra fórmula). Si se reemplaza una parte de una fórmula por una expresión equivalente a ella, la nueva expresión resultante es equivalente a la primera. Así: B↔C A(B) ↔ A(C) Cuando se efectúa esta operación se está en presencia de Reglas de reemplazo. Por ejemplo:

(4) − (A v B)

−A.−B ↔

−A.−B

− (A v B)

(5) (A → B)

−AvB ↔

−AvB

A→B

De una disyunción negativa se infiere una conjunción de negaciones. Y de una conjunción de negaciones se infiere una disyunción negativa De un condicional se infiere la disyunción entre la negación del antecedente y el consecuente. Y de una disyunción cuyo primer término es negativo se infiere un condicional

Las reglas de inferencia y de reemplazo mencionadas anteriormente reciben nombres determinados para poder referirse a ellas más cómoda y brevemente. Así se habla de ―Regla de Simplificación‖ (1), ―Regla del Silogismo Hipotético‖ (2), ―Regla del Modus Ponens‖ (3), ―Regla de De Morgan‖ (4) y ―Regla de ―Definición de la Implicación material‖ (5). Toda forma de razonamiento serán válida si y sólo si no es posible que sea verdadero su antecedente y falso su consecuente, por ello se pueden expresar de otro modo. Las reglas de inferencia se pueden expresar formando un condicional que lleve por condición la conjunción de las premisas que constituyen el antecedente y por consecuente, la conclusión. Por ejemplo la regla (2) puede formularse del siguiente modo: [(A → B) . (B → C)] → (A → C)

Ley del Silogismo Hipotético.

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Las reglas de reemplazo se pueden expresar formando un bicondicional con las dos fórmulas que figuran en la regla. Por ejemplo la regla (4) puede formularse del siguiente modo: − (A v B) ↔ (− A . − B)

Ley de De Morgan

De éste modo se transforman las formas de razonamiento en formas proposicionales o dicho de otro modo, se transforman las reglas en leyes. Es necesario aclarar que aunque haya leyes y reglas que tengan las mismas estructuras y el mismo nombre difieren en el nivel del lenguaje en el que están formuladas. Las primeras pertenecen al lenguaje-objeto y las segundas pertenecen al metalenguaje. El esquema conceptual que sigue muestra una síntesis de las nociones presentadas y las relaciones de vinculación entre ellas.

Lenguaje Fórmulas Fórmulas Tautológicas

Metalenguaje

Meta-metalenguaje

Esquema de fórmula Ley: Condicional Conectiva

Bicondicional Otras

Razonamientos

Razonamiento-esquema

Razonamientos válidos

Regla

Implicación simple Doble implicación

Regla de inferencia Regla de reemplazo

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PROPOSICIONES E INFERENCIAS DISYUNTIVAS Esta exposición tiene un doble propósito. Por una parte, busca mostrar que el tratamiento de las proposiciones e inferencias disyuntivas está completamente definido en la antigüedad clásica y por otra parte, quiere hacer explicita la razón por la que la lógica clásica reconoce dos formas válidas de inferencia disyuntiva. Proposiciones disyuntivas La clasificación de las proposiciones disyuntivas que ofrece la lógica clásica muestra que la lógica simbólica no incorpora ninguna variación de sentido en la conectiva de la disyunción. En el más completo y profundo manual de lógica clásica25 se define las siguientes formas de proposiciones disyuntivas: propiamente disyuntivas

(a)

impropiamente disyuntivas

(b)

extremo disyuntivas

(c)

Abiertamente disyuntivas

Ocultamente disyuntivas

(a) Disyuntivas propias: son aquellas en las que la cópula

―o‖ significa “la

necesidad de una cierta consecuencia” (b) Disyuntivas impropias: son aquellas en las que la cópula ―o‖ significa “el hecho de una equivalencia o de una sustitución posible” (c) De extremo disyunto: son aquellas que se resuelven en alguno de los dos tipos de proposiciones abiertamente disyuntivas. Por ello se considerará solamente las dos anteriores. Ejemplos: Iré al trabajo o me quedaré en casa (a) Comeré postre o comeré fruta

(b)

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Esta clasificación se mantendrá en la lógica contemporánea bajo el nombre de “disyunción excluyente” y “disyunción incluyente”. La forma de expresar simbólicamente ambos sentidos del ―o‖ es a través de los signos ―w‖ y ―v‖ respectivamente. El signo ―w‖ indica una disyunción fuerte y tiene el sentido de ―un enunciado o el otro pero no ambos‖. El signo ―v‖ indica una disyunción débil y tiene el sentido de ―un enunciado, el otro o ambos‖. Contiene el sentido del ―y/o‖. Si se acuerda en simbolizar cada proposición atómica que forma la proposición disyuntiva por las letras ―p‖ y ―q‖, las disyunciones antes expresadas quedarían simbolizadas del siguiente modo: p w q

propia o excluyente

p v

impropia o incluyente

q

Si por otra parte se admite que cada proposición atómica tiene la posibilidad de ser verdadera o falsa, se comprende que todas las posibilidades de combinación de valores de verdad entre las dos partes de la disyunción son las siguientes: p

q

V

V

(1)

F

V

(2)

V: verdadero

V

F

(3)

F: falso

F

F

(4)

(1)

Expresa que ambas son verdaderas

(2)

Expresa que la 1º es verdadera y la 2º falsa

(3)

Expresa que la 1º es falsa y la 2º verdadera

(4)

Expresa que ambas son falsas

25

Maritain, J., 1967, El orden de los conceptos, trad. Gilberte Motteau de Buedo y Mariano Argüello, Buenos Aires, Club de Lectores. 37

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Ahora bien, ¿cuál es el valor de verdad de la proposición disyuntiva completa en función de estos valores de verdad de las atómicas componentes? Para responder a esta cuestión basta con fijarse en el sentido que se ha establecido anteriormente a la cópula ―o‖ en ambos tipos de disyunción. (1) Si en la disyunción propia el ―o‖ significa ―es verdadero un enunciado o el otro pero no ambos‖ entonces no habrá disyunción excluyente cuando ambas partes sean verdaderas o cuando no lo sea ninguna. Una proposición disyuntiva propia será verdadera únicamente cuando la primera atómica componente sea verdadera y la segunda falsa, o cuando la primera sea falsa y la segunda verdadera. Este sentido es el que recoge y expresa lo que la lógica contemporánea llama ―tabla de verdad‖. p

w

q

V

F V

F

V V

V V

F

F

F

F

(2) Si en la disyunción impropia la cópula ―o‖ significa ―es verdadero un enunciado, el otro, o lo son ambos‖ entonces el único caso en el que no habrá disyunción incluyente es cuando ambos enunciados atómicos sean falsos. Esta combinación de valores dará por resultado una disyunción impropia falsa. De este modo la tabla de verdad correspondiente es la siguiente: p

v q

V

V V

F V

V

V

V F

F

F F 38

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Todo esto es lo que Maritain expresa tan sintética y exactamente cuando define la ley que rige la verdad de las proposiciones disyuntivas: “Para que una proposición disyuntiva sea verdadera, basta que una de sus partes sea verdadera; para que sea falsa es necesario que sus dos partes sean falsas”.26 Subrayo el término ―basta‖ por que no es éste el único caso en que una disyunción es verdadera sino también cuando ambas son verdaderas; y subrayo el término ―necesario‖ porque éste es el único caso en una disyunción es falsa. (obsérvese las tablas de verdad) Inferencias disyuntivas La presentación clásica de la lógica realizada por Maritain también ofrece la regla de argumentación disyuntiva. Dice el autor: “Suponed verdadera una parte de una disyuntiva, tenéis derecho por lo mismo de afirmar el todo.”27 Esta regla corresponde a lo que la lógica contemporánea llama “Regla de la adición”. Ella expresa que una disyunción es implicada por un cualquiera de sus partes. En efecto si se admite como verdadera una proposición (p) no se puede dejar de dar asentimiento a la disyunción entre esa proposición y cualquier otra. Simbólicamente: p p v (q, r, s,...) A continuación expresa: “Suponed verdadera una proposición disyuntiva y destruid una de sus partes, establecéis por lo mismo la otra parte… Esta regla vale para toda proposición disyuntiva, ya sea propia o impropiamente disyuntiva”.28

26 27

(1)

Maritain, J. op. cit., p. 147 Maritain, J., op. cit., p. 147 39

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“En una proposición propiamente disyuntiva, suponed verdadera la proposición y estableced una de sus partes, por lo mismo destruís la otra parte...”

(2)

“En una proposición impropiamente disyuntiva, suponed verdadera la proposición y estableced una de sus partes; no destruís por lo mismo la otra parte...”29

(3)

En este texto queda expresado en forma de ley, lo que la lógica contemporánea llama “Regla del Silogismo disyuntivo” y también la aclaración de la forma de la disyunción según los diferentes sentidos de la cópula ―o‖. El primer parágrafo podría expresarse simbólicamente del siguiente modo: p w q −p q

p v q −p q

También puede ser: p w q −q p

p v q −q p

En efecto si se asiente a una disyunción y también se admite que no se asiente a una de las proposiciones atómicas componentes, hay necesidad lógica de asentir a la otra proposición atómica. De lo contrario la disyunción no podría ser verdadera y habiéndola ya admitido como tal, se caería en contradicción. Esta forma de silogismo disyuntivo es la única posible cuando la disyunción ubicada en la premisa mayor es impropia, y es lo que afirma Maritain en el párrafo (3). En efecto, en la disyunción impropia o incluyente si se establece una de las partes, la disyunción seguirá siendo verdadera independientemente de que la otra parte sea establecida o destruida. Es decir que si en la premisa menor se establece una parte de la disyunción no hay necesariedad lógica para concluir nada con relación a la otra parte.

28

Maritain, J. op. cit., p. 147 40

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No ocurre lo mismo en un silogismo disyuntivo que tiene como premisa mayor a una disyunción propia. En tal caso admite además otra forma que está expresada en el párrafo (2). Simbólicamente: p w q p −q

También puede ser

p w q q −p

En una disyunción propia, si se asiente una de sus partes necesariamente se destruye la otra, y si se destruye una no se puede dejar de asentir la otra. Figuras y modos del silogismo disyuntivo La lógica clásica reconoce dos figuras del silogismo disyuntivo denominadas Ponendo Tollens y Tollendo Ponens.30 a) Ponendo – Tollens: estableciendo (en la premisa menor) se destruye (en la conclusión) b) Tollendo – Ponens: destruyendo (en la premisa menor) se establece (en la conclusión) Estas son formas válidas de inferir siempre que la disyunción de la premisa mayor sea propia o excluyente, de lo contrario sólo es válida la figura Tollendo – Ponens. Por eso la lógica contemporánea denomina ―Regla del silogismo disyuntivo‖

a la estructura

Tollendo - Ponens. p v q −p q

29 30

p v q −q p

Maritain, J., op. cit., p. 148 Maritain, J., op. cit., p. 306 41

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Los distintos modos del silogismo disyuntivo surgen de las posibilidades de combinación según la cualidad de ambas proposiciones. Puesto que cada una puede ser afirmativa o negativa se obtienen los siguientes cuatro modos: 1º proposición

2º proposición

Af.

Af.

Af.

Neg.

Neg.

Af.

Neg.

Neg.

Por ello para comprender las formas correctas de inferencia disyuntiva resulta necesario tener en cuenta: a) El tipo de disyunción que contiene la premisa mayor. b) Tener claro que ―establecer‖ significa ―mantener la cualidad‖ de la proposición que se infiere y ―destruir‖ significa ―cambiar la cualidad‖ de la proposición que se infiere. Es posible construir inferencias disyuntivas de los cuatro modos en las dos figuras. Expresadas en forma simbólica las formas lógicas de los posibles silogismos disyuntivos de primera figura en sus cuatro modos son los siguientes: p w q p −q

1º modo

p w −q p q

2º modo

−p w q −p −q

3º modo

−p w −q −p q

4º modo

42

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De igual modo podrían haberse formado con el disyunto ―q‖ en la premisa menor y ―p‖ en la conclusión, sin afectar la validez de la inferencia.

43

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CONDICIONAL E IMPLICACIÓN BICONDICIONAL Y EQUIVALENCIA Condicional e Implicación La comprensión del sentido de la conectiva ―si ... entonces‖ o conectiva condicional ofrece una dificultad adicional para los alumnos, por ello demanda una presentación más analítica. Desde la cátedra se propone que el sentido de las conectivas proposicionales no es una convención absolutamente arbitraria sino que se comprenden a partir del uso que de ellas se hace en el lenguaje corriente. Surge de la reflexión e interpretación del lenguaje. Las ―tablas de verdad‖ básicas reflejan el sentido de las conectivas, lo fijan, de tal modo que cada vez que se hace uso de ellas se les da una interpretación unívoca. Esta estrategia didáctica para explicar el sentido de las conectivas no resulta operativa cuando se trata de la conectiva condicional. En efecto esta conectiva ofrece cierta dificultad para establecer su sentido a partir del uso que de ella se hace en el lenguaje corriente. Ello se debe a que se ―aleja‖ en ciertos aspectos del uso lingüístico del sentido común. Veamos: (A) En el lenguaje ordinario se construyen normalmente condicionales que tienen una cierta relación (generalmente causal) entre el contenido semántico expresado en la condición y en el condicionado. Sin embargo esta conexión semántica no es requisito lógico para la formación de una proposición condicional. Por ejemplo: Si llueve entonces hay cosecha Si la luna es un satélite entonces dos más dos es igual a cuatro Ambas expresiones conforman proposiciones condicionales. Si el ―si... entonces‖ es una conectiva del mismo carácter que las otras conectivas sólo debería exigírsele conectar proposiciones. Así como en ninguna de las otras conectivas se ha tomado en consideración los contenidos informativos de las proposiciones que se conectan, sino solamente su valor de verdad, no habría razón lógica que exija tomarlo en consideración para esta conectiva en particular. 44

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Las conectivas proposicionales cumplen con la propiedad lógica de ser ―extensionales‖ cuando dan lugar a una ―función de verdad‖. Es decir cuando es posible calcular el valor de verdad de la proposición molecular a partir del valor de verdad de las proposiciones atómicas componentes. Desde este punto de vista formal la verdad de una proposición molecular es independiente del contenido de las atómicas, depende sólo del valor de verdad de ellas. Este es el sentido ―material‖ del condicional.31 B) La ―tabla de verdad‖ a través de la que queda fijado el sentido de la conectiva también ―choca‖ con el sentido común en algunas de las combinaciones posibles de valores de verdad. Cualquier manual de lógica estable la siguiente tabla de verdad para el condicional: p

→

q

1)

V V V

2)

F V V

3)

V F F

4)

F V F

(si llueve entonces hay cosecha)

No hay dificultad en aceptar de acuerdo con el uso habitual del lenguaje la líneas 1 y 3, pues es intuitivamente aceptable que si es verdad que llueve y es verdad que hay cosecha entonces es verdad la proposición condicional completa (línea 1). Lo mismo ocurre cuando la tabla de verdad expresa que si es verdad que llueve y es falso que haya cosecha entonces es falsa toda la proposición condicional (línea 3). La dificultad se presenta para aceptar intuitivamente las líneas 2 y 4. Estas expresan que si la condición es falsa el condicional resulta verdadero independientemente del valor de verdad del condicionado (verdadero o falso).

31

Este sentido del condicional es el que está presente en la noción de ―implicación material‖. Desde el mismo ámbito de la lógica formal algunos reaccionan contra este ―sentido material de la implicación‖ y surge la lógica relevante, que sostiene que no hay deducibilidad si no existe conexión entre los contenidos de las premisas y la conclusión. 45

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Willard Quine32 se detiene en la presentación de la conectiva condicional y ofrece una explicación que resulta intuitivamente más convincente que la simple presentación de la tabla de verdad, tal como figura en otros autores. Dicha explicación se puede sintetizar en las siguientes afirmaciones: a) Sostiene que en estos casos (líneas 2 y 4) es como si no se hubiera formado el condicional, ya que en éste se afirma el condicionado si se afirma la condición. Por lo tanto si no se afirma la condición entonces el condicionado no tiene ningún valor. b) Utiliza para la justificación de estos ―casos extraños‖ un procedimiento sintáctico, recurriendo al uso del ―cálculo‖ lógico y a la noción de ―equivalencia‖ entre expresiones simbólicas. Expresado de forma rápida se puede decir que dos expresiones son equivalentes cuando tienen la misma tabla de verdad. Así, se podría buscar otra expresión del lenguaje que refleje el sentido del condicional y donde no figure esta conectiva sino alguna otra que no presente dificultad para su comprensión intuitiva. Ahora bien, ¿qué es lo que se quiere decir cuando se construye un condicional? Si como ya se dijo, se afirma el condicionado si se da la condición entonces es imposible que sea verdadera la condición y que sea falso el condicionado. Expresado simbólicamente: − (p . − q). Si ambas expresiones dicen lo mismo, tienen el mismo sentido, las tablas de verdad correspondientes deben coincidir en todas sus líneas. Luego se recurre al cálculo y se comparan ambas tablas de verdad.

32

p → q

− (p . − q)

V V V

V V F F V

F V V

V F F F V

V F F

F V V V F

F V F 1º 3º 2º

V F F V F 5º 1º 4º 3º 2º

Quine, W. 1958. El sentido de la nueva lógica. Buenos Aires. Ed Nueva Visión. p. 32/36 46

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Si se observan las columnas 3º y 5º de ambas tablas de verdad se advierte que todas las líneas coinciden en la asignación final del valor de verdad. Por lo tanto las expresiones son equivalentes. De esta manera llega a establecer a través del cálculo y de la noción de expresiones equivalente que la tabla de verdad presentada primeramente es la adecuada para establecer del sentido del condicional. (C) Algunos leen indistintamente el signo ―→‖ como ―implica‖ o como ―si... entonces‖. Sin embargo es necesario marcar la diferencia entre el condicional y la implicación. El ―→‖ es el signo de una conectiva lógica y debe leerse ―si... entonces‖ y sus partes componentes se denominan ―condición‖ y ―condicionado‖. La implicación es una relación lógica de tal modo que en ella se afirma que de un ―antecedente‖ se infiere un ―consecuente‖. Las comillas utilizadas son significativas porque indican que se está hablando acerca de las proposiciones que constituyen el antecedente y el consecuente. Otra diferencia entre conectar y relacionar proposiciones es que se trata de operaciones lógicas que se ubican diferentes niveles del lenguaje. Al formular un condicional se ―usan‖ las proposiciones conectándolas, se está a un nivel de lenguaje objeto. Mientras que en la implicación se ―menciona‖ a las proposiciones, se está a un nivel de meta lenguaje.33 El sentido del condicional que se expresa a través de esta tabla de verdad se denomina “interpretación material del condicional”. Este sentido ya fue conocido por Filón de Megara (s. IV a. C.) y utilizado por los estoicos y medievales. Luego cayó en el olvido y vuelve a cobrar vigencia con el desarrollo contemporáneo de la lógica. La “implicación estricta” de Lewis (cuyo desarrollo está vinculado a la lógica modal) se opone al sentido material del condicional. Lewis señala que aquella tabla de verdad es fuente de paradojas porque establece que: 1) un enunciado falso ―implica‖ cualquier enunciado (verdadero o falso). Está expresado en las líneas 2 y 4 de la tabla. 33

Ferrater Mora y Leblac. 1985. Lógica matemática. México. F.C.E. p. 20 47

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2) un enunciado verdadero ―es implicado‖ por cualquier enunciado (verdadero o falso). Expresado en las líneas 1 y 3 de la tabla. El concepto de ―implicación‖ es fundamental para la lógica y reclama un profundo tratamiento que excede el propósito de esta exposición. Por ahora basta señalar que es necesario no confundir el condicional y la implicación. El siguiente cuadro puntualiza las diferencias más importantes: Condicional

Implicación

conectiva lógica

relación lógica

uso del lenguaje

mención del lenguaje

estructura lógica de proposición

estructura lógica de razonamiento

sus partes se denominan ―condición‖ y sus parte se denominan ―antecedente‖ ―condicionado‖

y ―consecuente‖

Ej. Si San Martín cruzó la cordillera de los Ej. ―San Martín cruzó la cordillera de Andes entonces 2 más 2 es igual a 4 (es un los Andes ―implica‖ dos más dos es condicional verdadero)

igual a cuatro (es una implicación incorrecta)

Dos aclaraciones finales sobre este tema: a) en el caso de que el condicional sea tautológico es una implicación. En ese caso es indistinto leer: si A entonces B o ―A‖ implica ―B‖. b) la razón de esta confusión está en que las razones lógicas que hace verdadero un condicional (no es posible que la condición sea verdadera y el condicionado sea falso) son las mismas razones lógicas que hacen correcta a una implicación (no es posible que se de asentimiento al antecedente y no de asentimiento al consecuente). Bicondicional y Equivalencia La relación entre el bicondicional y la equivalencia reclama reflexiones similares a las realizadas con relación al condicional y la implicación.

48

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a) Usualmente se piensan y se construyen bicondicionales con el sentido de equivalencia. De acuerdo al uso cotidiano del lenguaje se cree que estos enunciados expresan igualdad entre los contenidos informativo de ambas partes del bicondicional. Estos es cierto en el sentido de que cuando se formula una proposición bicondicional se está de hecho estableciendo la equivalencia entre ambos. Sin embargo es necesario aclarar que las razones fácticas por las que se estableció la equivalencia entre las enunciaciones es una cuestión de extra-lógica. Por ejemplo: ―Una figura tiene tres lados si y solo si es un triángulo‖ ―La naturaleza es mutable si y solo si Buenos Aires es capital de la Argentina‖ Ambas proposiciones son bicondicionales. Desde el punto de vista lógico es un bicondicional aquella proposición donde sus contenidos informativos muestren claramente la equivalencia como aquella que no lo hace. Es cierto que nadie encontraría equivalencia entre los contenidos de los enunciados atómicos de la segunda proposición bicondicional, pero lo que interesa lógicamente es que la conectiva ―si y solo si‖

conecta dos

proposiciones cualesquiera y que establece por lo mismo la conexión condicional en ambos sentidos. Y esto basta para constituir un bicondicional. Así: A ↔ B equivale a (A → B) y (B → A) b) Con relación a su tabla de verdad no es necesario detenerse en explicaciones porque es intuitivamente claro el sentido de la bicondicionalidad. Una proposición bicondicional será verdadera cuando ambos enunciados sean verdaderos o ambos enunciados sean falsos. Ella no ofrece la dificultad de comprensión intuitiva que se señaló en la conectiva del condicional. c) Para distinguir el bicondicional de la equivalencia basta señalar razones análogas a la expresadas con relación a la diferencia entre condicional e implicación. No corresponde leer indistintamente el signo ―↔‖ como equivalencia o como ―si y solo si‖. El ―↔‖ es el signo de una conectiva lógica y se lo debe leer ―si y solo si‖. Por el contrario la equivalencia es una relación lógica.

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La diferencia entre el bicondicional y la equivalencia es la misma que establecimos entre condicional e implicación. Se puede establecer una analogía de proporcionalidad propia. Condicional

Bicondicional

Implicación

Equivalencia

Para finalizar conviene puntualizar las siguientes aclaraciones: a) En el bicondicional no puede hablarse de condición y condicionado sino de ―1º término‖ y ―2º término‖ del bicondicional o equivalencia. b) El sentido del bicondicional corresponde a una doble implicación del ―1º término‖ respecto al ―2º término‖ y de este respecto al anterior. c) La tabla de verdad del bicondicional no es fuente de paradoja explícitamente pero lo es implícitamente (en tanto equivale a una doble implicación) si no se distinguen los nivele de lenguaje. d) Para el bicondicional/equivalencia valen las otras diferencias establecidas para el condicional/implicación.

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RELACIONES LÓGICAS ENTRE PROPOSICIONES El objetivo es presentar las relaciones lógicas entre proposiciones, integrando didácticamente la información existente en obras lógicas y manuales de lógica clásica y contemporánea. La experiencia docente con alumnos que ingresan al nivel de educación universitario ha permitido advertir que frecuentemente tienen dificultades para confrontar enfoques o tratamientos diferentes de un mismo tema y para integrar la información dispersa, aunque se trate del mismo contenido. Los hábitos de estudio que han desarrollado en el nivel de educación anterior no favorecen suficientemente la adquisición de las habilidades intelectuales de comparación, distinción, confrontación e integración. Por ello el aporte del documento es fundamentalmente didáctico. Por una parte, busca favorecer el desarrollo de la capacidad de comparación e integración, proponiendo a los alumnos transitar el camino inverso: se procede a la presentación de los contenidos integrados y se indica como actividad final la identificación de los enfoques y abordajes integrantes. Por otra parte, satisface el cumplimiento del objetivo de facilitar la comprensión integral de las relaciones lógicas entre proposiciones. Clases de proposiciones En primer lugar es necesario recordar las distintas clases de proposiciones, ya que las relaciones lógicas pueden establecerse entre distintos tipos de proposiciones. En esta oportunidad se realizará entre proposiciones simples, compuestas y modales. Aristóteles sostiene en el Peri Hermeneia que las proposiciones simples se dividen desde el punto de vista de la cualidad, en ―afirmativas‖ y ―negativas‖34 y desde el punto de vista la cantidad, en ―universales‖, ―particulares‖, ―indefinidas‖ y ―singulares‖.35 En el mismo lugar produce la combinación de ambos criterios clasificatorios dando lugar a las cuatro siguientes clases de proposiciones: ―afirmativa universal‖, ―negativa universal‖, ―particular afirmativa‖ y ―particular negativa‖.

34 35

Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 6 Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 5 51

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Estas cuatro clases de proposiciones son representadas en la lógica medieval con las letras A, I, E, 0, de tal modo que la "A" representa a la afirmativa universal, la ―I‖ a la afirmativa particular, la "E" a la negativa universal, y la "0" a la negativa particular. En Primeros Analíticos36 establece la diferencia entre proposiciones ―simplemente atributivas‖ y ―proposiciones modales‖. Reconoce los modos de ―necesidad‖ y ―contingencia‖ como básicos, ya que lo ―imposible‖ puede definirse desde lo ―necesario‖ y lo ―posible‖ puede equipararse a lo ―contingente‖. Jacques Maritain37 trata ampliamente el tema de las diversas clases de proposiciones utilizando varios criterios clasificatorios. El cuadro siguiente presenta la clasificación completa. Afirmativa

36 37

Según la clase de Cópula

Compuestas o Hipotéticas

Negativa Universal Particular Singular Indefinida Universal Afirmativa Universal Negativa Particular Afirmativa Particular Negativa Copulativa

Según la Cualidad

Según la Cantidad

Según la Cualidad y la Cantidad

Propia

Abiertamente Compuestas

Disyuntiva

Impropia

Condicional

En sentido riguroso En sentido amplio Impropiamente condicional

Proposiciones

Exclusiva Exceptiva Reduplicativa De Inesse (En todas las clases de proposiciones anteriores la cópula ―es‖ cumple una función simplemente atributiva)

Modales

Ocultamente Compuestas o Exponibles

De Posibilidad De Imposibilidad De Contingencia De Necesidad Clases de

Según el tipo de cópula Según la función de la cópula

Clases de Proposiciones

Simples o Categóricas

Aristóteles, Primeros Analíticos, I, cap. 8-22 Maritain, J., 1967, op. cit., p. 143/165 52

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Establecer la cantidad y la cualidad de las proposiciones modales ofrece una dificultad adicional. En efecto, aclara Maritain que en ellas hay que considerar dos partes: el dictum y el modo. Por consiguiente, es necesario tomar en cuenta dos cualidades y dos cantidades. Los modos necesario e imposible dicen universalidad, los modos posible y contingente dicen particularidad. Los modos imposible, no posible y no contingente son negativos y los modos necesario, posible y contingente, son afirmativos. De esta forma se establece el siguiente grupo de proposiciones modales: Proposiciones Universales: Es necesario que sea Es necesario de no sea Es imposible que sea Es imposible que no sea Proposiciones Particulares: Es posible que sea Es posible que no sea Es contingente que sea Es contingente que no sea Proposiciones Afirmativas: Es necesario (Af.) que sea (Af.) Es posible (Af.) que sea (Af.) Es contingente (Af.) que sea (Af.) Es imposible (Neg.) que no sea (Neg.) Proposiciones Negativas:

Es necesario (Af.) que no sea (Neg.) Es posible (Af.) que no sea (Neg.) Es contingente (Af.) que no sea (Neg.) Es imposible (Neg.) que sea (Af.)

La relación de oposición entre proposiciones simples Tratar la relación de oposición entre proposiciones simples reclama hacer algunas aclaraciones previas. Dos proposiciones de contenido informativo totalmente distinto es posible que tengan algún tipo de relación lógica o que sean independientes.

53

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Por ejemplo: la proposición ―Todos los hombres son vivientes‖ está relacionada lógicamente con la proposición ―todos los gatos son animales domésticos‖. La relación se hace patente en la medida que se expliciten los enunciados que las vinculan: ―Todos los hombres son vivientes‖ ―todos los vivientes son sensibles‖ ―algunos seres sensibles son animales‖ ―algunos animales son cuadrúpedos‖ ―algunos cuadrúpedos son felinos‖ ―algunos felinos son gatos‖

enunciados vinculantes

―todos los gatos son animales domésticos‖ En este trabajo se tratará sobre las relaciones inmediatas entre enunciados por lo tanto, estos pares de enunciados relacionados remotamente quedarán fuera de consideración. Se tomarán como enunciados no relacionados o enunciados independientes. Otro tipo de enunciados relacionados que no se tomará en cuenta serán aquellos que expresan afirmaciones opuestas en función del contenido. Por ejemplo: ―La vocación debe orientar la elección profesional‖ y ―Cualquier elección profesional es buena si permite vivir holgadamente‖. Estos enunciados son opuestos en razón de la materia, es decir que expresan mensajes opuestos. Los enunciados que serán considerados son los que a pesar de no tener la misma forma lógica (cambian en cantidad y/o en cualidad) utilizan los mismos términos y se ajustan a las formas típicas de la lógica clásica. Son proposiciones que expresan lo mismo acerca de lo mismo. De esta manera, se entiende por oposición lo que expresa la noción aristotélica. Dice Aristóteles: “Pero si se enuncia una cosa diferente de la misma cosa, o bien la misma cosa de una cosa diferente, entonces ya no es una enunciación opuesta, es una enunciación distinta de la primera.”38

38

Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 7, § 11 54

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Además, la oposición lógica es una relación que proviene de la forma o estructura de las proposiciones independientemente de la materia. Es decir que si dos proposiciones tienen una determinada relación de oposición y se cambia el contenido de ambas proposiciones, la relación lógica sigue siendo la misma si se mantiene la estructura proposicional. Por ejemplo: ―Todo gato es animal felino‖ es contradictoria a ―Algún gato no es animal felino‖. Y, ―Todas las computadoras de última generación son

máquinas que

caducarán a corto plazo‖, también se opone contradictoriamente a ―Algunas computadoras de última generación no son máquinas que caducarán a corto plazo‖ Cuadro de oposición de proposiciones simples Aristóteles presenta las relaciones de oposición entre proposiciones simples en el capítulo 7 del Perí Hermeneia. Allí reconoce como opuestas a las proposiciones contrarias, contradictorias y subcontrarias39. Establece que las proposiciones:

―Todo hombre es blanco‖ son contrarias ―Ningún hombre es blanco‖ ―Todo hombre es blanco‖ ―Algún Hombre no es blanco‖ son contradictorias ―Ningún hombre es blanco‖ ―Tal hombre no es blanco‖ ―Algún hombre no es blanco‖ son subcontrarias ―Tal hombre es blanco‖ Aristóteles define cada una de estas relaciones a través de la Ley que rige la relación (más adelante nos detendremos en ellas) y haciendo mención al tipo y modo de enunciación. Por ejemplo, distingue si se enuncia un universal de un modo universal o se

39

Aristóteles no utiliza el término ―Subcontrarias‖ aunque la enunciación de la relación queda reconocida en la presentación del ejemplo y la formulación de la ley que rige la relación. 55

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enuncia un universal de una manera no universal (se refiere a las proposiciones universales y particulares). Se puede advertir en la lectura de la obra lógica de Aristóteles que las denominaciones de ―A‖, ―E‖, ―I‖ y ―O‖, usadas constantemente en libros de lógica, es un aporte posterior. Esta denominación procede de los términos latinos AffIrmo y nEgO. Se utilizan para abreviar el lenguaje y por lo mismo cumplen una función mnemotécnica. La relación de subalternación no está reconocida por Aristóteles en el Perí Hermenéia, porque esta relación no es propiamente una relación de oposición entre proposiciones sino una relación entre una enunciación universal y la respectiva enunciación particular. Sin embargo, como dice Maritain: “... para reunir en una misma clasificación todas las especies de relaciones que pueden sostener entre ellas dos proposiciones teniendo el mismo S y el mismo Pr, se dice a menudo que hay CUATRO clases de oposición lógica ... entonces la palabra oposición está tomada, en lo que respecta a la subalternación, en un sentido impropio.”40 Por ello en el siguiente esquema, reconocido como “Cuadro lógico de Oposición” en todos los manuales de lógica, aparecen todas las oposiciones posibles entre proposiciones categóricas:

Inmediatamente puede verse que la oposición de contradictoriedad se da entre las proposiciones que difieren en cantidad y cualidad. Así, se da entre A y O, y entre E e I.

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La oposición de contrariedad se da entre aquellas proposiciones universales que difieren en cualidad, una niega a la otra. Se da entre A y E La oposición de subcontrariedad se cumple entre las proposiciones particulares que difieren en cualidad, una niega a la otra. Se da entre I y O La oposición de subalternación se da entre

las proposiciones que difieren

solamente en la cantidad. Se da entre A e I y E y O. Una situación particular se produce entre dos proposiciones singulares, una afirmativa y otra negativa. Entre ellas hay oposición de contradictoriedad y no de contrariedad. "Sócrates es blanco" es la contradictoria de "Sócrates no es blanco"41. Ahora bien, la identificación de las relaciones de oposición establecida según la cualidad y cantidad de las proposiciones es una caracterización insuficiente ya que sólo es operativa cuando se trata de proposiciones simples, mientras que deja de ser distintiva en las proposiciones compuestas y modales. La verdadera definición de las relaciones de oposición se establece a través de la enunciación de la ley que rige la relación. Las relaciones de Oposición entre proposiciones Modales Aléticas Las relaciones de oposición establecidas entre proposiciones simples o categóricas se cumplen de modo análogo entre proposiciones modales. Aristóteles trata las relaciones entre posiciones modales en el capítulo 12 y 13 del Peri Hermeneia. En el capítulo 12 desarrolla el concepto de proposición modal, los tipos de modalidad (posibilidad, contingencia, imposibilidad y necesidad) y las relaciones de oposición entre ellas (contradictoriedad, contrariedad y subcontrariedad42). Además, presenta las relaciones de equivalencia entre enunciados modales usando las distintas modalidades (la relación de equivalencia se tratará más adelante). Aristóteles plantea que la negación de una proposición modal no resulta tal clara como en las proposiciones simples porque:

40

Maritain, Jacques, op. cit., p. 181 Para aclarar el sentido de las proposiciones singulares y su utilización en las teorías de la conversión y oposición de proposiciones y en la teoría del silogismo, consultar Maritain, J., op.cit, p. 62/63; p. 194, nº 58c y p. 252, nota 28. 41

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“... una misma cosa puede ser y no ser; ... Y la razón de esto es que todo lo que es posible no lo es siempre en acto, de suerte que lleva en sí también la negación. En efecto lo que es capaz de andar, puede muy bien no andar, y lo que es visible, no ser visto. Sin embargo es imposible que las afirmaciones y negaciones contradictorias sean verdaderas con relación a un solo y mismo objeto...”43 Además, es necesario diferenciar la parte de la oración que debe ser negada: “... en igual forma, en aquella (proposición modal) ser y no ser se hacen sujetos, poder y ser contingente se hacen modificaciones, que determinan respecto de las frases: ser posible, no ser posible, la verdad o el error, como ser y no ser la determinan para los otros (proposiciones simples).”44 De la lectura de Aristóteles, surge claramente el siguiente cuadro de oposición entre proposiciones modales: No posible de no ser Necesario de ser Imposible de no ser

Posible de ser Ser contingente No imposible de ser

No posible de ser No contingente de ser Imposible de ser

Posible de no ser No necesario de ser No imposible de no ser

Por su parte, Jacques Maritain desarrolla la oposición de las proposiciones modales incorporando además los aportes realizados por lógicos medievales. Presenta dos cuadros de oposición entre proposiciones modales. El primero, haciendo abstracción de la cantidad del dictum y suponiendo el sujeto singular, queda representado en el siguiente esquema de oposición modal:

42

La relación de subcontrariedad es considerada como la relación entre enunciados de posibilidad en su forma afirmativa y negativa, pero sin designarla con el nombre de subcontrariedad. 43 Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 12, § 3 44 Aristóteles, Peri Hermeneia, cap. 12, § 5

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Es necesario que Pedro se cure

Es imposible que Pedro se cure

Es posible que Pedro se cure

Es posible que Pedro no se cure

El segundo, teniendo en cuenta la cantidad del dictum, conforma un cuadro de oposición más complejo. Es necesario que todo hombre sea metafísico

Es imposible que ningún hombre sea metafísico Es imposible que algún hombre sea metafísico

Es necesario que algún hombre sea metafísico

Es posible que todo hombre sea metafísico

Es posible que todo hombre no sea metafísico

Es posible a algún hombre ser metafísico

Es posible a algún hombre no ser metafísico

Las relaciones de oposición entre Proposiciones Modales Deónticas Von Wright observa que existe una analogía formal o isomorfismo entre los cuantificadores y las nociones modales tradicionales. Esto lo lleva al descubrimiento de

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nuevas familias de conceptos modales, generando de este modo la idea de una lógica modal generalizada.45 Distingue cuatro clases de modi: a) Modos Aléticos o modos de verdad;46 b) Modos Epistémicos o modos de conocer; c) Modos Deónticos e modos de obligación; y d) Modos Existenciales o modos de existencia47 Las semejanzas entre estas cuatro familias de conceptos modales quedan exhibidas esquemáticamente en la siguiente tabla: Aléticas

Epistémicas

Deónticas

necesario

verificado

obligatorio

universal

permitido

existente

posible contingente Imposible

No decidido

Indiferente

falsificado

prohibido

Existenciales

vacío

Los operadores aléticos afectan a descripciones de estados de cosas mientras que los operadores deónticos afectan a descripciones de conductas o acciones. Los enunciados que surgen de un operador deóntico seguido de la descripción de una acción, es una norma. Por ejemplo: Op:

―Es obligatorio respetar las señales viales‖

Php: ―Está prohibido robar‖ Pp:

―Está permitido estudiar en la universidad‖

Las analogías señaladas permiten a Von Wright el tratamiento lógico formal de los conceptos normativos en forma análoga a los conceptos aléticos. Sin embargo, no es posible desconocer que inmediatamente surge una dificultad: a las normas o prescripciones no se las puede valorar como verdaderas o falsas.

45

Von Wright, G. H, 1970, Ensayo de Lógica Modal, Buenos Aires, Editorial Rueda. Von Wright, G. H., op. cit, “Son las modalidades de las cuales tradicionalmente se ocupó la llamada lógica modal.” p. 15 47 Von Wright, G. H., op. cit, “A veces se los considera bajo el nombre de teoría de la cuantificación, no siendo usual tratarlos como rama de la lógica modal. Si universalidad, existencia y vacuidad deben ser considerados como atributos modales o no, es principalmente un problema de conveniencia terminológica. 46

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La dificultad puede salvarse si, por ejemplo a la expresión Op se la considera como ―existe una norma que obliga a respetar las señales de tránsito”. De este modo se transforma una norma en una proposición que expresa una norma que obliga, y por esto se le puede asignar valores de verdad.48 Si se acepta esta solución, es posible establecer las mismas relaciones de oposición entre proposiciones modales deónticas usando ahora los operadores: obligatorio, prohibido y permitido. Además resulta necesario tener presente que los modos de obligatoriedad y prohibición dicen universalidad y la permisión expresa particularidad. Lo obligatorio y lo permitido son modos afirmativos y lo prohibido y lo permitido de no hacer son modos negativos. Es obligatorio

Está prohibido

Está permitido

Está permitido no ...

Hasta el momento, para identificar las relaciones lógicas, ha sido suficiente ubicarlas en los polos ―universal‖ o ―particular‖ y ―afirmativo‖ o ―negativo‖ del cuadro de oposición. Sin embargo, para presentar las relaciones entre proposiciones compuestas, el

No debe perderse de vista, sin embargo, que hay similitudes esenciales entre las modalidades aléticas, epistémicas y deónticas por un lado, y los cuantificadores por otro”. p. 16/17 48 Esta dificultad es una cuestión importante pero avanzar en su tratamiento desviaría la exposición. Consultar Ross, A. 1971, Lógica de las normas, Madrid, Editorial Tecnos, p. 130/134 61

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recurso empleado resulta insuficiente. Es necesario detenerse ahora en las leyes que rigen las relaciones. Leyes que rigen las relaciones lógicas49 En primer lugar conviene destacar que se ha presentado a las relaciones lógicas haciendo referencia

al Peri Hermeneia con la expresa intención de destacar que las

relaciones lógicas de oposición han sido establecidas desde Aristóteles. Del mismo modo las leyes que rigen dichas relaciones fueron definidas por la genialidad lógica aristotélica. En los mismos textos indicados del Peri Hermeneia se puede encontrar la enunciación de las leyes correspondientes. En segundo lugar, para completar todas las relaciones lógicas entre proposiciones es necesario agregar las relaciones de Implicación, Deducibilidad y Equivalencia. Estas relaciones están también presentes en Aristóteles de forma explícita e implícita, en numerosos lugares de su obra. En tercer lugar, se presentarán las leyes correspondientes a los distintos tipos de relaciones lógicas con la siguiente estructura de formulación:

―A‖ está relacionada a ―B‖ si y sólo si es imposible que ...

El propósito de hacerlo de acuerdo a esta estructura es puramente didáctico, ya que ayuda a comprender y probar la relación entre proposiciones compuestas e identificar las proposiciones independientes. Así las leyes de cada una de las relaciones podrían enunciarse de la siguiente manera: Relación de contrariedad: una proposición A es contraria a una proposición B si y sólo si es imposible que A y B sean verdaderas. 49

Es conveniente que los alumnos recuerden que las relaciones entre proporciones pertenecen al metalenguaje. Cuando se afirma que una proposición ―A‖ tiene respecto a una proposición ―B‖ la relación de contrariedad, lo que se hace es hablar acerca de las proposiciones A y B. No se usa el lenguaje para informar sino que se lo menciona. Por esta razón representaremos a los enunciados integrantes de las relaciones usando ―variables sintéticas‖ o ―variables metalingüísticas‖ tales como ―A‖, ―B‖, ―C‖, ―D‖, etc.

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Relación de contradictoriedad: una proposición A es contradictoria a una proposición B si y sólo si es imposible que ambas sean verdaderas o que ambas sean falsas. Relación de subcontrariedad: una proposición A es subcontraria a una proposición B si y sólo si es imposible que ambas sean falsas. Relación de implicación: una proposición A implica a una proposición B si y sólo si es imposible que A sea verdadera y B sea falsa. Relación de deducibilidad: una proposición A se deduce de una proposición B si y sólo si es imposible que B sea verdadera y A sea falsa. Relación de equivalencia: una proposición A es equivalente a una proposición B si y sólo si es imposible que A sea verdadera y B sea falsa, y que B sea verdadera y A sea falsa. Relación de Equivalencia entre enunciados La relación de equivalencia entre proposiciones se puede deducir a partir de la comprensión de la ley que rige la relación de contradictoriedad. En efecto si dos proposiciones son contradictorias cuando es imposible que ambas sean verdaderas y que ambas sean falsas, negar una de las proposiciones significa cambiarle el valor de verdad y por lo tanto se la convierte en equivalente a la otra. Ello transforma a ambas proposiciones en verdaderas o a ambas en falsas, y esto es lo que expresa la ley que rige la relación de equivalencia. De esta manera surgen los distintos grupos de proposiciones equivalentes. Proposiciones categóricas Desde Aristóteles hasta la actualidad se mantiene el mismo grupo de equivalencias entre proposiciones categóricas. Expresadas en términos de la lógica clásica pueden formularse del siguiente modo:

A E I O

es equivalente a es equivalente a es equivalente a es equivalente a

−O −I −E −A 63

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Por ejemplo: Toda persona generosa es una persona solidaria (A) No es cierto que alguna persona generosa no es una persona solidaria (− O) Ninguna persona generosa es una persona destructiva (E) No es cierto que alguna persona generosa es una persona destructiva (− I) Alguna persona generosa es una persona participativa (I) No es cierto que ninguna persona generosa es una persona participativa (− E) Alguna persona generosa no es una persona famosa (O) No es cierto que toda persona generosa sea una persona famosa (− A) La lógica contemporánea incorpora la simbolización de todos los componentes de una proposición categórica. Así surgen el siguiente grupo de expresiones equivalentes expresadas en términos de la lógica de funciones (Fx y Gx representan los dos predicados lógicos que se vinculan en la enunciación):

(x) (Fx → Gx) ↔ − ( x) (Fx . – Gx) (x) (Fx → − Gx) ↔ − ( x) (Fx . Gx) ( x) (Fx . Gx) ↔ − (x) (Fx → − Gx) ( x) (Fx . – Gx) ↔ − (x) (Fx → Gx)

Las mismas relaciones de equivalencia entre proposiciones categóricas se expresan del siguiente modo en términos de la lógica de clases (A y E representan a las dos clases que se vinculan en la enunciación):

A∩Ē

↔ A∩Ē≠

A∩E

↔ A∩E≠

A∩E≠

↔ A∩E

A∩E≠

↔ A∩Ē 64

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Proposiciones modales aléticas Los lógicos medievales idearon términos mnemotécnicos que expresan las equivalencias o equipolencia entre proposiciones con distintas modalidades. En dichos términos, la primera vocal expresa el modo de posibilidad; la segunda,

el modo de

contingencia; la tercera, el modo de imposibilidad y la cuarta, el modo de necesidad. Además, A es una proposición afirmativa en cuanto al dictum y en cuanto al modo E es una proposición afirmativa en cuanto al dictum y negativa en cuanto al modo I es una proposición negativa en cuanto al dictum y afirmativa en cuanto al modo. U es una proposición negativa en cuanto al dictum y en cuanto al modo Con estas indicaciones se comprende claramente la función de los términos mnemotécnicos. Cada uno representa las proposiciones equivalentes expresadas en diferentes modalidades y permite organizar las relaciones entre proposiciones modales aléticas. De este modo cada término se ubica en un vértice del cuadro de oposición: Purpurea

Amabimus

Iliace

Edentuli

Las referencias convencionales señaladas precedentemente permiten formular las proposiciones modales aléticas equivalentes de una forma ―mecánica‖, sin prestar atención al contenido de las proposiciones sino solamente a su forma lógica. Sin embargo, desde el punto de vista didáctico permite luego ejercitar las relaciones lógicas utilizando proposiciones expresadas en diferentes modalidades. Esta estrategia motiva la actividad de pensamiento y enriquece la instancia de aplicación. Utilizando los términos mnemotécnicos los enunciados equivalentes son los siguientes:

65

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No es posible que el sol no brille

Pur

No es contingente que el sol no brille

pu

Es imposible que el sol no brille

re

Es necesario que el sol brille

a

No es posible que el sol brille

I

No es contingente que el sol brille

li

Es imposible que el sol brille

a

Es necesario que el sol no brille

ce

Es posible que el sol brille

A

Es contingente que el sol brille

ma

No es imposible que el sol no brille

bi

No es necesario que el sol no brille

mus

Es posible que el sol no brille

E

Es contingente que el sol no brille

den

No es imposible que el sol no brille

tu

No es necesario que el sol brille

li

Así, Purpurea es contradictorio a Edentuli, contrario a Iliace y subalternante de Amabimus y Edentuli es contradictorio a Pupurea, subcontrario a Amabimus y subalterno de Iliace.

66

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En términos de la lógica contemporánea50 las equivalencias entre operadores modales aléticos y deónticos quedan expresadas en los siguientes cuadros:

Np

es equivalente a − M − p

N − p es equivalente a − M p Mp

es equivalente a − N − p

M − p es equivalente a − N p

Op

es equivalente a − P − p

O − p es equivalente a − P p Pp

es equivalente a − O − p

P − p es equivalente a − O p

Proposiciones compuestas relacionadas e independientes Todas las relaciones lógicas nombradas también se cumplen entre proposiciones compuestas, aunque para identificarlas resulta necesario hacer uso del recurso de las ―tablas de verdad‖. Del mismo modo que las proposiciones simples, las proposiciones compuestas pueden ser lógicamente independientes y puede utilizarse el mismo recurso para probar su independencia. Dos proposiciones están lógicamente relacionadas cuando aparece en sus ―tablas de verdad‖ al menos una de las imposibilidades expresadas en las leyes de las relaciones. En caso contrario son proposiciones lógicamente independientes. Por ejemplo, entre: ―Si el cielo está nublado, lloverá‖ existe relación de subcontrariedad. ―El cielo está nublado o lloverá‖

50

Se sigue la simbología de Von Wright en Ensayo de Lógica Modal 67

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Las formas lógicas y las tablas de verdad de ambos enunciados son respectivamente las siguientes: (p → q)

(p v

1)

V V V

1) V V V

2)

F V V

2) F V V

3)

V F F

3) V V F

4)

F V F

4) F F F

1º 3º 2º

q)

4º 6º 5º (51)

Si se observa las columnas 3º y 6º de las tablas de verdad de ambas formas lógicas puede verse que: a) la imposibilidad que expresa la ley de las Contrarias no se cumple en las líneas 1 y 2 (es imposible que ambas puedan ser verdaderas). b) la imposibilidad que expresa la ley de las contradictorias no se cumple en las líneas 1 y 2 (es imposible que puedan ser ambas verdaderas o ambas falsas). c) la imposibilidad que expresa la ley de la implicación y la deducibilidad no se cumple en la línea 4 (es imposible que la condición sea verdadera y que el condicionado sea falso). d) la imposibilidad que expresa la ley de la equivalencia no se cumple en la líneas 3 y 4 (es imposible que una sea verdadera y la otra sea falsa). e) se cumple la imposibilidad que expresa la ley de las subcontrarias (es imposible que ambas sean falsas). Es decir que lo que no ocurre entre las posibles combinaciones de valores de verdad es que ambos enunciados sean falsos. Por lo tanto existe relación de subcontrariedad entre ambas proposiciones. Mientras que si tomamos los siguientes dos enunciados: 51

El orden de numeración de las columnas en las tablas de verdad indica el orden de resolución de las mismas. 68

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―La lógica es difícil pero interesa a lo estudiantes‖ ―La luna es un satélite y la tierra es un planeta‖ Puede verse que existe entre ellos una identidad de estructura lógica (ambos son enunciados copulativos) pero no mantienen ninguna relación lógica, pues no se cumple la imposibilidad en ninguno de los sentidos establecidos anteriormente. Las tablas de verdad correspondientes despliegan todas las posibilidades de combinación entre valores de verdad de los cuatro enunciados que en ellas figuran y ponen de manifiesto la independencia de los enunciados compuestos o moleculares: (p

.

q)

(r .

s)

1) V

V V

1) V V V

2) F

F V

2) V V V

3) V

F F

3) V V V

4) F

F F

4) V V V

5) V

V V

5) F

F V

6) F

F V

6) F

F V

7) V

F F

7) F

F V

8) F

F F

8) F

F V

9) V

V V

9) V

F F

10) F

F V

10) V

F F

11) V

F F

11) V

F F

12) F

F F

12) V

F F

13) V

V V

13) F

F F

14) F

F V

14) F

F F

15) V

F F

15) F

F F

16) F

F F

16) F

F F

1º

3º 2º

4º 6º 5º 69

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Dado que son cuatro enunciados atómicos diferentes las combinaciones lógicamente posibles entre sus valores de verdad son 16. Si se observa las columnas 3º y 6º de las tablas de verdad de ambas formas proposicionales puede verse que: a) la imposibilidad de las contrarias no se cumple en la línea 1 b)

la imposibilidad de las contradictorias no se cumple en las líneas 1, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15 y 16

c) la imposibilidad de las subcontrarias no se cumple en las líneas 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15 y 16 d) la imposibilidad de la implicación no se cumple en la líneas 5, 9 y 13, lo mismo que la imposibilidad de la deducibilidad e) la imposibilidad de la equivalencia no se cumple en la líneas 2, 3, 4, 5, 9 y 13. Este segundo ejemplo nos muestra dos enunciados independientes. La independencia entre ambos enunciados se produce porque las proposiciones simples o atómicas que la conforman no son las mismas. Cuando se trata de relacionar enunciados compuestos o moleculares es necesario que las proposiciones atómicas intervinientes sean las mismas. Es importante destacar que para identificar la relación lógica existente entre dos enunciados compuestos o moleculares no incide que la estructura lógica de los mismos sea más o menos amplia, ello no condiciona el cumplimiento de la ley que rige la relación lógica. Por ejemplo: [p ↔ (p

v

q)]

V V V

V

V

V

V

[(p .

q) →

V

V

V V V

F F

V V F

F

V

F

F V V

V V

V

F F

F V F

F V

F

p]

1º 3º 2º 5º 4º

F F

V F

F F

9º 10º 6º 8º 7º 70

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Si se observa las columnas 5º y 10º de las tablas de verdad puede verse que la relación lógica existente es la subcontrariedad, pues no se presenta nunca el caso de que ambas fórmulas sean falsas. Comprobación de una relación lógica entre proposiciones moleculares Hasta el momento se ha comprobado la presencia a ausencia de las relaciones lógicas entre enunciados moleculares controlando el cumplimiento o no cumplimiento de las imposibilidades indicadas en la expresión de las leyes. Sin embargo es posible realizarlo de un modo más ajustado a la naturaleza del cálculo lógico. El procedimiento consiste en poner en comparación el sentido de las leyes que rigen cada relación y el sentido de las conectivas lógicas. En algunos casos expresan el mismo sentido y en otros casos expresan el sentido exactamente inverso. Si hay coincidencia entre ambos sentidos y se conectan los enunciados, el análisis veritativo de la función proposicional resultará una tautología. Mientras que si el sentido de la ley es inverso al sentido de la conectiva, el resultado veritativo de la función proposicional dará una contradicción. Por ejemplo: Relación de contradictoriedad: La Ley expresa que es Imposible que VV y FF

sentido coincidente

Disyunción Excluyente

Sentido: es imposible VV y FF

sentido contrario

Conectivas

Equivalencia

Sentido: es imposible V y F

71

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Comprobemos en dos fórmulas: [(p V

→

. –q)]

w

(p

V

V F F

V

V

F F

F F

V

V V V

V

F F V

V V

F V V

q)

F V

F

F

(p →

q)

↔

(p

. –q)

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F F

F

V

F F

F

V V

V

F V F F F F V En el primer caso la unión de ambas fórmulas con la conectiva de la disyunción excluyente nuestra una tautología porque el sentido de la ley que rige la relación de contradictoriedad coincide con el sentido de la conectiva de la disyunción excluyente (es imposible que ambas proposiciones sean verdaderas o falsas). Si ambas formas proposicionales se unen con la conectiva bicondicional se llega a una contradicción porque el sentido de la ley y el sentido de la conectiva es opuesto. Cuadro General Ley Relación Caso/s Imposibles Contrariedad V-V Contradictoriedad V V - F F Subcontrariedad F-F Implicación V-F Deducibilidad F-V Equivalencia V F -F V Resultado de las tablas de verdad

Conectiva Sentido Coincidente A B Aw B A v B A → B A → B A ↔ B Tautología

Conectiva Sentido Opuesto A . B A ↔B A / B — — A w B Contradicción

72

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La observación atenta de las expresiones de formulación de las leyes que rigen las relaciones permite destacar al menos dos consecuencias: Existen relaciones que se excluyen mutuamente de tal modo que si dos enunciados cualesquiera mantienen una determinada relación no pueden mantener otra. Este es el caso de las relaciones de contradictoriedad y de equivalencia. Dos enunciados contradictorios no pueden ser equivalentes a la vez y dos enunciados equivalentes no pueden ser contradictorios a la vez. Las respectivas leyes expresan relaciones de valores de verdad absolutamente opuestos. Existen relaciones que no se excluyen sino que se implican. La relación de contradictoriedad implica a la relacione de contrariedad y a la de subcontrariedad. Es decir que todo par de enunciados contradictorios son también contrarios y subcontrarios, aunque no se cumple que enunciados contrarios o subcontrarios sean contradictorios. Lo mismo ocurre entre las relaciones de implicación y deducibilidad. Si un enunciado implica a otro, el segundo se deduce del primero.

73

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EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DE LA LÓGICA FORMAL La exploración de antecedentes teóricos sobre enseñanza de la lógica pone de manifiesto que este tema constituye un campo de conocimiento poco explorado. Una reseña bibliográfica amplia respecto al tema de la enseñanza de la filosofía en la que se incorpora referencias bibliográficas con relación a la didáctica de la lógica,52 muestra que en algunos casos sólo se presentan indicaciones didácticas tangenciales53 o se concentran en el aprendizaje de la lógica en el nivel medio del sistema educativo.54 Recientemente, desde la Universidad Autónoma de México se ha encarado específicamente esta cuestión a través de la organización de un espacio denominado ―Taller de Didáctica de la Lógica‖ (TDL). Desde su página web se ofrece un documento55 que presenta un interesante panorama de todos los recursos existentes actualmente sobre didáctica de la lógica, favoreciendo y orientando la definición de futuras investigaciones. El autor muestra un amplio espectro de temas abiertos a la investigación, menciona los recursos humanos en el TDL que se están ocupando de distintas áreas temáticas y detalla los trabajos que en cada uno se han presentado en tres ámbitos diferentes: TDL, Rutgers y ARACNE. El espacio temático relacionado a la cuestión: ¿cuáles son los efectos comprobables de la enseñanza de la lógica? aparece casi inexplorado. Como docente de cátedras de lógica para alumnos universitarios de humanidades he reflexionado sobre este tema y realizando algunos trabajos escritos. En uno de ellos56 se reseñó principalmente el decurso del recorte disciplinar que desde las cátedras se fue realizando para dar respuesta a un doble interrogante: qué enseñar de lógica y para qué

52

Ver Obiols, G. Bibliografía acerca de la enseñanza, el aprendizaje y el estudio de la filosofía. http://www.ilgiardinodeipensiero.com/obiols-1.htm.#(1) 53 Copi, I. 1974. ―Prefacio‖ de Introducción a la Lógica. Buenos Aires. Eudeba. Lungarzo, C. 1986. ―Presentación de la colección Lógica y Lenguaje‖ en Introducción a la teoría de la deducción. Buenos Aires. Biblos. Vaz Ferreira, C. ―Prologo a la primera edición‖ de 1951. Lógica viva. Buenos Aires. Lozada. José, E. T. 1986. "La enseñanza de la lógica en la escuela media" en Actas del V Congreso Nacional de Filosofía. Revista de Filosofía y Teoría Política. La Plata. Nro. 26-27. 54 José, E. T. 1986. op. cit. 55 Morado, R. La investigación sobre la didáctica de la lógica en el mundo entero, en Taller de Didáctica de la Lógica. Ciclo 2000-2 y 1999. La razón comunicada. Materiales del Taller de Didáctica de la Lógica. México. Universidad de Xapala. Ed Torres Asociados. http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/razon.htm 74

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enseñar lógica a alumnos de carreras de formación docente. Allí se propuso potenciar su carácter instrumental para favorecer la formación del pensamiento lógico y crítico, el aprovechamiento de sus recursos técnicos en otras áreas de conocimiento y el cumplimiento de su función de disciplina auxiliar para la metodología de la investigación educativa. Un antecedente específico sobre el tema de la evaluación de la lógica es la ponencia presentada en el Congreso de Filosofía del 2001.57 Allí se comunicó algunos criterios de evaluación elaborados como respuesta a la siguiente cuestión: ¿cómo y qué valorar del aprendizaje de la lógica en alumnos de filosofía? Ahora se recupera y profundiza en aquella comunicación. La evaluación educativa La evaluación educativa es un tema pedagógico y didáctico de gran amplitud y profundidad. Este trabajo no tiene el propósito profundizar en su estudio ni valorar los tratamientos teóricos realizados. Sólo toma algunos conceptos generales que permitan contextualizar y justificar una propuesta de criterios de evaluación surgidos de la experiencia docente en lógica para humanistas. La exploración bibliográfica58 que se ha realizado para la elaboración de este trabajo pone de manifiesto que el concepto de ―evaluación del aprendizaje‖ se toma como equivalente a ―evaluación educativa‖ cuando el problema de la evaluación queda restringido a la valoración de los aprendizajes en el aula en el marco de la interacción docente-alumno. Sin embargo actualmente el concepto ―evaluación educativa‖ abarca un campo de investigación más extenso. Aparecen estudios que buscan dar respuesta a una amplia gama de aspectos que condicionan la evaluación: sociales, políticos, económicos y científicos. De este modo se ubican bajo este rubro estudios de diversa índole, tales como trabajos relativos a los sistemas educativos y sus condiciones socio-políticas, estudios sobre el rendimiento 56

Mattar, B. 1998. La enseñanza de la lógica en carreras de formación docente. Ponencia presentada en la II Reunión sobre investigación de cátedra. San Juan. Inédito. 57 Mattar, Beatriz y Palacio Mercedes, ―Reflexiones en torno a la necesidad de la Filosofía: Implicancias educativas y su vinculación con el mundo de la Lógica‖. XI Congreso Nacional de Filosofía. Universidad Nacional de Salta. Noviembre 2001 58 RELIEVE es una publicación española sobre el tema específico de la evaluación educativa. Allí figuran importantes publicaciones que validan el actual amplio campo de la evaluación educativa. 75

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académico y el comportamiento de los docentes, investigaciones sobre cuestiones de gestión institucional, tratamientos sobre aspectos curriculares etc. Puede verse además que la ampliación del concepto de la evaluación educativa no significa el abandono de la problemática de la evaluación de los aprendizajes en el aula sino que significa una ampliación conceptual y metodológica del abordaje del tema. Las concepciones y las prácticas evaluativas dependen de la teoría de la inteligencia y del aprendizaje que sostienen quienes la implementan. Un análisis realizado por Gipps59 sobre la evolución de estas perspectivas muestra que se ha producido un cambio desde enfoques psicométricos y conductistas hacia los marcos teóricos

propuestos por el

constructivismo y la psicología cognitiva. En la primera mitad del siglo XX el interés por las cuestiones referidas a la evaluación de los aprendizajes estuvo ligado a la idea de ―medición‖ del aprovechamiento de los resultados finales alcanzado por los alumnos. Se produjo un auge de los ―test‖ y de las pruebas de evaluación de contenidos. Bajo esta concepción, los componentes del proceso educativo priorizados son los objetivos. En efecto la aplicación de procedimientos técnicos apunta a valorar el logro de los ―objetivos‖ (parciales o finales), previamente concebidos y especificados, del modo más preciso, detallado y objetivo posible. Desde esta perspectiva psicométrica, las preguntas básicas de la evaluación ¿para qué evaluar?, ¿qué evaluar? y ¿cómo evaluar? estarán dadas desde la idea de una evaluación normativa que permita valorar a los alumnos comparativamente. El enfoque psicométrico se ve acompañado por la psicología conductista del aprendizaje que entiende que todo aprendizaje complejo puede descomponerse en habilidades que pueden aprenderse por separado.

Por ello atiende a las conductas

observables y descuida las capacidades más generales de los estudiantes y también olvida los procesos internos.60 Por lo mismo este enfoque da prioridad a los aspectos técnicos de las pruebas de evaluación y a su validez, fiabilidad y capacidad de generalización.

59

Gipps, C. 1994. Beyond Testing: Towards a Theory of Educational Assessment en Marchesi, A. y Martín, E. 1999. Calidad de la enseñanza en tiempos de cambio. Madrid. Editorial Alianza. p. 405/410. 76

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En los años sesenta el campo de la evaluación se amplía sustancialmente. Desplaza el interés por los resultados a los procesos. Corresponde a una etapa en la que se cuestionan las propias metas de la educación y por lo tanto la evaluación no puede reducirse sólo a la comprobación del cumplimiento de los objetivos propuestos. Se subraya la importancia del contexto que da sentido a los objetivos y a las estrategias que el docente selecciona para la consecución de los mismos. En esta etapa se reinicia el debate entre enfoques cuantitativos, experimentales, nomotéticos y los enfoques cualitativos, naturalistas, hermenéuticos. La aparición y desarrollo del enfoque de la Pedagogía Crítica, vinculado en gran medida a la reflexión sociológica y filosófica, apunta a producir un cambio en las concepciones y prácticas de evaluación. Por su parte los avances de la Psicología Cognitiva contemporánea significan un aporte de relevancia para la definición del objeto de evaluación del aprendizaje y para la elaboración de métodos y técnicas orientadas a tal fin. Desde el enfoque Histórico Cultural se aporta la idea de ―evaluación dinámica‖, inspirada en el concepto de “zona de desarrollo próximo” y contribuye al enriquecimiento de los indicadores de evaluación del aprendizaje. El paradigma de la Pedagogía Crítica, de la Psicología Cognitiva y el Enfoque Histórico Cultural de la educación destacan la importancia de los conocimientos previos y su valoración inicial, el papel de la organización y estructuración de los conocimientos en la calidad de los aprendizajes, las estrategias de control y autoevaluación de los estudiantes, etc. Para los enfoques constructivistas el aprendizaje es un proceso de transformación de estructuras cognitivas cada vez más desarrolladas y adecuadas para la adquisición de nuevos conocimientos. De ahí que no tiene sentido la evaluación de conocimientos aislados sino las capacidades para la construcción de sistemas de contenidos de conocimiento. Los enfoques cognitivos acentúan la importancia de evaluar la generalización del aprendizaje en el sentido de transcontextualización. Es decir que presta atención a la

60

Resnick y Resnick. 1992. Assessing the thinking curriculum: Neu tolls for educational reform en Marchesi, A. y Martín, E. op.cit. p. 407 77

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comprobación del uso de las capacidades en muchos contextos y áreas de contenidos distintos. Por otra parte desde estos marcos teóricos se le otorga gran importancia a la metacognición. El progreso en el aprendizaje se entiende como un proceso de toma de conciencia de los alumnos sobre los procedimientos que han permitido la resolución de problemas y las dificultades que lo han impedido. Así, la capacidad de ―aprender a aprender‖ pasa fundamentalmente por el conocimiento y regulación de los procesos cognitivos de los alumnos. La autoevaluación y la coevaluación son consideradas como actividades que permiten analizar tanto el proceso como el producto del aprendizaje, sin que ello signifique dejar de lado la importancia de las devoluciones que los docentes hagan a sus alumnos. Lo señalado anteriormente muestra claramente que las últimas concepciones de la evaluación opone al enfoque normativo del modelo psicométrico, un enfoque criterial de la evaluación. Para estos modelos de aprendizaje lo que corresponde evaluar es la capacidad de razonamiento de nivel superior, la significatividad de los aprendizajes y la funcionalidad de nuevos conocimientos. Los conceptos de fiabilidad, validez y generalización del enfoque psicométrico son reemplazados por los conceptos de credibilidad, transferencia y confianza.61 Una evaluación con credibilidad impone la implementación de una evaluación continua, la transferencia de los resultados a otros contextos supone tomar en consideración los contextos de producción y la confianza de la evaluación supone valorar el currículo establecido, la claridad y concreción en los criterios de evaluación y el seguimiento del proceso de evaluación. Finalmente, para los modelos constructivistas y cognitivos el interés de la evaluación no está en la obtención de una medida y la ubicación del alumno en una escala clasificatoria sino en mejorar el aprendizaje y la enseñanza. Consiguientemente, los

61

Guba y Lincoln. 1989. Fourth Generation Evaluation. en Marchesi, A y Martín, E. op.cit. p. 409 78

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procedimientos e instrumentos de evaluación deben contribuir al desarrollo de las capacidades de alto nivel, los procesos de pensamiento y la resolución de problemas. Tipos de evaluación La evaluación de los aprendizajes en el marco de las instituciones educativas cumple una doble función. Por una parte busca promover la adquisición de determinadas capacidades en los alumnos y por otra parte busca acreditar ante la sociedad sus logros académicos.62 La función pedagógica de la evaluación exige comprender el proceso de enseñanza y aprendizaje además de servir para reajustar dicho proceso. Demanda una evaluación continua que valore la evolución de los alumnos en función de determinados criterios y tomando en consideración la situación inicial de cada alumno. La función social-acreditativa de la evaluación supone valorar los resultados, obliga a la comparación de los alumnos con un criterio común y se expresa mediante una calificación. La información requerida es obligadamente diferente en cada caso. La función pedagógica demanda un informe descriptivo con indicadores de logro detallado que refleje la evolución del proceso de cada alumno. Mientras que la función social-acreditativa reclama

una

información

cuantitativa

(calificación)

que

exprese

los

logros

comparativamente alcanzados por los alumnos. Estas funciones se corresponden con tipos de evaluación diferentes: la evaluación formativa y la evaluación sumativa. Sin embargo no deben considerarse como excluyentes sino como complementarias y sucesivas. Es decir que según la etapa en la cual se encuentre el proceso educativo cobra mayor peso uno u otro tipo de evaluación. Los informes de evaluación debieran ir transformándose desde la descripción cualitativa a la valoración cuantitativa. 63

62

Coll C. y Martín E. 1996. ―La evaluación de los aprendizajes: una perspectiva de conjunto‖ en Signos. Nº 18. pp. 64-77. 63 Gimeno J. 1996. La transición a la educación secundaria. Madrid. Morata. 79

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Cuando las prácticas de evaluación implementadas priorizan la evaluación sumativa expresan la confusión entre ambos tipos de evaluación, conducen al desmedro de la función pedagógica e impiden las prácticas de evaluación en el aula. Además significa un deterioro en la calidad de los procesos educativos porque si el docente solamente tiene en cuenta la evaluación sumativa no puede tomar decisiones pedagógicas de replanificación de la enseñanza en función del grupo de alumnos. La evaluación inicial o diagnóstica es el tipo de evaluación que aporta la información necesaria para ajustar las planificaciones educativas a los conocimientos previos de los alumnos y a las particulares formas de aprender que ponga de manifiesto el grupo. De este modo permite la implementación posterior de la evaluación formativa que aporta una información continua. La información obtenida por los tres tipos de evaluación: inicial, formativa y sumativa no sólo tiene que ser dominio del docente sino también del alumno, con la finalidad de que ellos tomen conciencia de hasta qué punto están logrando los objetivos deseados. La evaluación puede cumplir para el docente y para los alumnos una función reguladora. Si ello ocurre permite la reorganización de la tarea docente porque orienta en las modificaciones necesarias de los procesos de enseñanza; y sirve a los alumnos como instrumento de autoregulación del aprendizaje en la medida que le aporta la información para constatar su aprendizaje y los obstáculos que necesita salvar. ¿Qué evaluar del aprendizaje de la lógica formal? Las nociones precedentes permitieron determinar qué evaluar en el aprendizaje de la lógica formal. Muchas situaciones de evaluación pusieron de manifiesto que los alumnos repiten conceptos disciplinares, muestran dificultades para vincularlos y usarlos. Por ello, desde la cátedra se comenzó a acentuar la evaluación de la capacidad de pensamiento formal y consecuentemente la vinculación de los contenidos en redes de conocimientos significativos (al menos con epistemología y metodología de la investigación) y el uso de las habilidades lógicas en otros contextos curriculares y extra-curriculares. La capacidad de pensamiento formal es la condición indispensable para el aprendizaje de la lógica formal.

80

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Jean Piaget explica y describe las características de la capacidad operatoria formal. Si el alumno ha alcanzado el nivel operatorio formal

puede imaginar todas las

combinaciones posibles entre elementos o factores, puede disociar los factores de la combinatoria y puede razonar deductivamente las consecuencias

observacionales

partiendo de la asociación hipotética entre los factores. En efecto, la combinatoria se obtiene disociando factores de un todo es decir variando uno por vez y manteniendo constantes los demás. La capacidad para la combinatoria permite que el alumno: a) conciba todos los casos posibles sin seleccionar aquéllos que conforman los casos reales, es decir los que se dan en la observación. b) razone deductivamente las consecuencias observacionales partiendo de la disociación hipotética de todos los factores puestos en juego. c) pueda reconocer y formular razonamientos hipotético-deductivos, donde las proposiciones plantean los datos como hipótesis o suposiciones. d) pueda realizar las operaciones entre proposiciones. El logro de la combinatoria hace posible las operaciones entre proposiciones y el razonamiento proposicional pero las operaciones entre proposiciones pueden registrarse en diferentes niveles: operaciones intraproposicionales y operaciones interproposicionales. En el período de operaciones concretas, el razonamiento se apoya también en proposiciones aunque éstas no se relacionan con otras proposiciones,

sino que se

descomponen en clases y relaciones que constituyen el "contenido" de las proposiciones simples.64

En

esta

etapa

evolutiva

del

pensamiento,

las

operaciones

son

intraproposicionales es decir que el niño realiza operación entre clases y relaciones. Las estructuras intraproposicionales son: intersección, unión, diferencia,

pertenencia,

inclusión e igualdad entre clases y relaciones, y Piaget las denomina operaciones de primera potencia. 64

Las proposiciones simples desde el punto de vista de la lógica formal son la mínima estructura de enunciación. Los elementos que la componen son términos y analizadas desde el punto de vista de la ―extensión‖ hacen referencia a la relación de pertenencia de un individuo a una clase o a una relación, y también a la relación entre clases o entre relaciones. El tratamiento lógico de este tipo de proposiciones y las formas inferenciales correspondientes, figuran en los libros de lógica bajo el epígrafe ―Lógica de clases‖ y ―Lógica de relaciones‖. 81

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En el período de operaciones formales las proposiciones se relacionan con otras proposiciones formando proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples, mediante el uso de "conectores lógicos" tales como: negación, conjunción, disyunción, implicación, bicondicional, etc.65 Si las operaciones entre clases y relaciones constituyen el contenido de las operaciones intraproposicionales, éstas constituyen el "contenido" de las operaciones interproposicionales, que Piaget denomina operaciones de segunda potencia puesto que son operaciones sobre otras operaciones. Las operaciones interproposicionales propias del

nivel de pensamiento formal

configuran un sistema de conjunto, es decir que todas las operaciones entre proposiciones están relacionadas entre sí conformando una estructura de conjunto de 16 operaciones proposicionales

posibles con dos proposiciones y logradas mediante la aplicación de

alguna acción de transformación.66 El grupo INRC describe los mecanismos operatorios fundamentales de las transformaciones proposicionales por esto describe la estructura operatoria del nivel de pensamiento formal. Estas transformaciones son: identidad (I), inversión (N), reciprocidad (R) y correlatividad (C). Las cuatro transformaciones proposicionales se operan sobre operaciones interproposicionales y la aplicación sistemática de ellas muestra cómo se obtienen las operaciones proposicionales, unas a partir de otras. Las 16 operaciones binarias son resultado de las cuatro operaciones de transformación. Por ejemplo, si a la operación interproposicional "incompatibilidad" (p/q) se aplica la operación de transformación correlativa da por resultado la operación interproposicional "negación conjunta" (p↓q). Comparando las relaciones entre las transformaciones proposicionales ―inversa‖, ―recíproca‖ y ―correlativa‖ se advierte que es posible conformar: 65

En cualquier libro de lógica elemental puede encontrarse el desarrollo explicativo de la composición de enunciados proposicionales y el tratamiento de la forma de razonamiento proposicional, en el capítulo correspondiente a ―Lógica Proposicional‖ (también puede denominarse ―Lógica de enunciados‖, ―Lógica de juntores‖ y otros) 66 Para un detalle explicativo de las 16 operaciones interproposicionales, su estructura de conjunto y el isomorfismo con el agrupamiento intraproposicional, consultar: Piaget, J. 1977. Ensayo de Lógica Operatoria. Buenos Aires. Editorial Guadalupe. p. 251/266. 82

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Dos grupos de cuatro operaciones (ocho operaciones) en los cuales para cada

operación componente hay una inversa, una recíproca y una correlativa distinta. 

Un grupo de cuatro operaciones que se caracteriza por tener operaciones

inversas distintas pero operaciones recíprocas y correlativas idénticas entre sí. 

Un grupo de cuatro operaciones caracterizado por operaciones recíprocas

distintas pero idénticas a las inversas y operaciones correlativas idénticas entre sí. Las cuatro transformaciones están interrelacionadas conformando una estructura de conjunto, el grupo INRC, donde

los elementos son las transformaciones y no las

operaciones interproposicionales. Si a una transformación se le aplica otra transformación da por resultado otra transformación del mismo grupo, por ejemplo la transformación "reciprocidad" es igual a la inversa de la correlativa (R = NC).67 Críticas al estadio de las operaciones formales La teoría piagetiana de los estadios de pensamiento y su caracterización ha recibido numerosas observaciones críticas y muchas investigaciones parecen no confirmarla. A pesar de esto, se considera que no ha sido invalidada ni existe una teoría alternativa que desarrolle desde este punto de vista, formal. Rita Vuyk68, recoge

las condiciones de posibilidad del pensamiento

las críticas y las organiza en dos grupos: críticas e

investigaciones irrelevantes y problemas y críticas relevantes. El primer grupo de críticas hace referencia a algunas investigaciones que cuestionan diversos aspectos de la teoría piagetiana del estadio de pensamiento lógico formal pero en general son críticas ―débiles‖.69 La autora entiende que son críticas relevantes aquellas que cuestionan la caracterización misma del estadio formal y la relación entre sus aspectos. Ya se ha señalado que la combinatoria y el grupo INRC describen la capacidad operatoria del nivel formal. Ello supone la capacidad para plantear hipótesis sobre lo posible y utilizar el enfoque "permaneciendo igual en todo lo demás” (disociación de factores). Si esto es así, Piaget 67

Piaget, J., op. cit., p. 317/318. Vuyk, R. 1981. Panorama crítico de la epistemología genética de Piaget 1965-1980, II. Versión española de Cristina del Barrio. Madrid. Editorial Alianza. 69 Consultar Vuyk, R. op. cit. 507/512. 68

83

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debiera haber planteado criterios claros para interpretar las pruebas experimentales dirigidas a controlar la relación entre la combinatoria y aquellos aspectos. Sin embargo piagetianos y antipiagetianos consideran que el ―significado de operaciones formales" y los "criterios para diagnosticar su presencia", no están tan claros y explícitos en la obra de Piaget. Al respecto Rita Vuyk70 hace referencia a la crítica de Ennis71 quien sostiene que ninguno de los cuatro criterios que establece Piaget (utilización del lenguaje de la lógica proposicionnal; razonamiento en términos de suposiciones; distinción entre operaciones y disociación de variables) son satisfactorios. De tal manera no aparece clara la relación entre el planteamiento de hipótesis y la disociación de factores con la combinatoria. A pesar de la relevancia de esta crítica es razonable pensar como esta autora y sobre la base de textos de Piaget, que hay razones para dudar de la interpretación de Ennis. Puesto que "rechazar la combinatoria implica un rechazo de todo el estadio formal en todas sus manifestaciones y entonces ya no hay necesidad de seguir discutiendo sobre él".72 Procedimiento e Indicadores para el estudio empírico del nivel de pensamiento lógico formal. La teoría piagetiana sobre el nivel de pensamiento formal no deja dudas acerca de que las pruebas aisladas no proporcionan buenos indicadores del nivel de pensamiento sino que el indicador es significativo cuando se presenta en una situación total. El comportamiento de conjunto es lo que se vuelve indicador de la estructura. Esta característica se hace especialmente manifiesta en el estudio del pensamiento formal. En este nivel el indicador fundamental es el manejo de la combinatoria proposicional. Por esto un indicador confiable es la disociación de factores ya que la combinatoria supone el aislamiento de variables. Es decir que dejar invariante uno y variar los otros es el indicador de que el alumno maneja la combinatoria proposicional y ha construido un pensamiento hipotético-deductivo.

70

Vuyk, R. op. cit. pág. 513-517. Ennis, R. H. ―Conceptualización de la competencia lógica de los niños: la lógica proposicional de Piaget y una propuesta alternativa‖ en Siegel, L. Y Brainerd, C. (ed.) 1983. Alternativas a Piaget. Madrid. Ed. Pirámide. 72 Vuyk, R. op. cit. p. 517. 71

84

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Castorina y Palau destacan que el procedimiento apropiado para estudios sobre los niveles operatorios es el método clínico. La evaluación se hace a partir del conjunto de comportamientos y respuestas dadas en el marco de encuentros planeados sin tópicos ni secuencia rígida. Es conveniente

tener solamente previstas ciertas cuestiones básicas

ligadas a las hipótesis e ir avanzando en la búsqueda de indicadores a medida que las respuestas a los planteos van surgiendo. El procedimiento reclama una secuencia de pruebas variando la pregunta siguiente, según la respuesta precedente y su justificación. Corresponde introducir contra-ejemplos, indagar la solidez de los argumentos, la susceptibilidad del sujeto a las contradicciones y modificar el material en el transcurso de la prueba para constatar si continúa juzgando la situación de acuerdo a los mismos criterios73. Es decir que se procede: criticando los argumentos del entrevistado y modificando la situación experimental a través de la variación de los factores en juego. Una propuesta de indicadores empíricos de pensamiento formal Modelo de Prueba de Evaluación El objetivo general de estas pruebas es indagar las operaciones de pensamiento lógico que se efectúan para resolverlas. Es muy importante que el alumno justifique sus respuestas, es decir que expliques el motivo por el cual piensa que está dando la respuesta correcta y proponga una o más formas para controlar dicha corrección.

Problema N° 1 Un arquitecto está diseñando un pequeño centro de compras que tendrá cuatro negocios: una confitería ―C‖, una disquería ―D‖, una juguetería ―J‖, y una boutique ―B‖. Cada uno de los negocios puede ubicarse en cualquiera de los cuatro locales del centro de compras. Por ejemplo, la distribución que se muestra abajo es una de las posibles.

73

Castorina, J. Y Palau, G. 1981. Introducción a la Lógica operatoria de Jean Piaget. Editorial Paidós. Barcelona, Buenos Aires. 85

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CONFITERIA C

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DISQUERIA D

JUGUETERIA J

BOUTIQUE B

¿Cuántas son las formas posibles de distribución?............................................................ ¿Porqué?:............................................................................................................................. El arquitecto, ¿podría pensar otras formas? ....................................................................... ¿Porqué?:............................................................................................................................. Usando las abreviaturas ―C‖, ―D‖, ―J‖ y ―B‖ para representar los cuatro negocios, ¿podrías hacer una lista de las distribuciones posibles? ………...............................................

Problema N° 2 La siguiente es una curiosa máquina que tiene cuatro entradas: E1, E2, E3, E4, y también cuatro salidas: S1, S2, S3 y S4. Cada entrada está conectada solo con su respectiva salida del mismo número. Cada salida está relacionada con su correspondiente entrada, de la siguiente manera: E1

S1

E2

S2

E3

S3

E4

S4

a) Si se introdujera la figura

* Las figuras introducidas por E1 salen por la salida S1 invertidas de derecha a izquierda * Las figuras introducidas por E2 salen por la salida S2 al revés (patas arriba) * Las figuras introducidas por E3 salen por S3 al revés (patas arriba) e invertidas de derecha a izquierda * Las figuras introducidas por E4 salen por S4 derechas pero amplificadas por el factor 3 por E1, ¿qué aparecería en su respectiva salida S1?

b) ¿Cómo debería introducirse la figura figura?

c) ¿Cómo saldría la figura

en E3 para que salga por S3 tal como se ve en la

por la salida S2, si se la introduce por la entrada E2? 86

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d) ¿Cómo saldría la figura y por último por E4?

por S4 si se la hace pasar por E1, luego por E2, luego por E3,

e) ¿Cuál de las siguientes figuras no se vería afectada si se las hace pasar por cualquiera de las tres primeras entradas de la caja?

f) Enuncia una o más formas de controlar la corrección de tus respuestas..............................

Problema N° 3 En esta situación se trata de controlar la flotabilidad de un conjunto de cuerpos de distintos materiales y tamaños en un medio líquido constante. Considera el siguiente conjunto de cuerpos. Corcho 3

1

2

4

a)

5

Goma 7

9

Madera 11

6

8

10

12

¿Cuáles de los cuerpos puedes comparar para encontrar si los más chicos

flotan más que los grandes?..................................................................................................... ¿Por qué........................................................................................................................ b)

¿Puedes comparar las esferas 6 y 9 para averiguar si las esferas grandes

flotan más que las chicas?......................................................................................................... ¿Por qué?....................................................................................................................... c) ¿Qué cuerpos compararías para saber si los de corcho flotan más que los de goma?........................................................................................................................................ ¿Por qué eliges esos cuerpos y no otros?................................................................ 87

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d)

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¿Puedes comparar los conos 4 y 12 para controlar si los conos de corcho

flotan más que los conos de madera?........................................................................................ ¿Por qué?....................................................................................................................... e)

¿Qué cuerpos elegirías para establecer cual es el material que flota más?........

¿Por qué?.......................................................................................................................

Descripción de las Pruebas El diseño de esta prueba de evaluación no se ajusta al método clínico sino que corresponde a un diseño de procedimiento ―pre-planeado‖. A pesar de ello resulta de utilidad, si se aplica a la totalidad de los alumnos con el propósito de identificar casos problemáticos para diseñar estrategias pedagógicas que contribuyan positivamente a desarrollo de las estructuras de pensamiento lógico formal. Además, se contrarresta la incidencia de la limitación procedimental teniendo en cuenta especialmente los siguientes aspectos: 

Las pruebas están orientadas hacia la detección de un aspecto central: control de la capacidad de disociar factores y capacidad para operar la inversión (reversibilidad), como condiciones de posibilidad de la combinatoria proposicional y del razonamiento hipotético deductivo.



El criterio general para la valoración de los resultados debe ser la aparición de indicadores de ―competencias‖ y no necesariamente el ―logro de resultados‖, dado que lo que se intenta indagar son capacidades y no desempeños.



Es necesaria la previsión de espacios para la ―justificación‖ de cada una de las respuestas a fin de poder apreciar si los alumnos razonan mediante operaciones entre clases y relaciones o lo hacen con operaciones proposicionales.



El diseño debe incluir preguntas recurrentes como una forma de confirmación de las respuestas, y además para probar la susceptibilidad a la contradicción.



Se debe prestar atención a las preguntas de los alumnos durante la realización de la prueba. El propósito es advertir si están razonando en forma hipotético-deductiva. 88

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El registro de observación durante la realización de la prueba constituye un dato complementario a otros indicadores. Prueba N° 1 Es la prueba central. Busca diagnosticar la capacidad para operar la combinatoria. Los alumnos debieran advertir: a) que se trata de posibilidades lógicas y no de posibilidades reales, b) operar la disociación de factores y c) ―calcular‖ el número de posibilidades de combinación. La pregunta ―a‖ es la ―pregunta básica‖. Las preguntas b, c, d y e son recurrentes y tienen la finalidad de constatar la solidez de las respuestas y la susceptibilidad a la contradicción. La “capacidad de cálculo” se pone de manifiesto en ―a‖ y ―c‖. Se toma como indicador de esta capacidad: 1) Si el alumno indica en ―a‖ una cifra mayor que el número de posibilidades de distribución que desarrolla en ―e‖; 2) Si el alumno despliega en ―e‖ el mismo número de distribuciones que indica en ―a‖ pero explica en ―b‖ el proceso de cálculo y 3) Si el alumno indica alguna cifra de posibilidades de distribución en ―a‖, y contesta ―no‖ en ―c‖. La “capacidad para operar con posibilidades lógicas” (y no reales) se manifiesta en ―b‖ y ―d‖. Se toma como indicador la ausencia de referencia a cualquier orden de cuestiones reales (al arquitecto, al mejor manejo comercial, a la mejor distribución estética etc.) La “capacidad para operar la disociación de factores” se muestra en ―e‖. El indicador inequívoco es el mantenimiento constante de un elemento y la variación de otros. Criterio de Evaluación Para evaluar la capacidad de operar la disociación de elementos, la capacidad para operar la inversión, la capacidad para calcular permutaciones y la capacidad para operar con posibilidades lógicas (diferenciándolas de las posibilidades reales) es suficiente que los alumnos logren realizar "algún" cálculo, aunque no señalen la cifra exacta ni expliciten todas las permutaciones posibles (preguntas ―a‖ y ―e‖) 89

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La capacidad para pensar en posibilidades lógicas y no en posibilidades reales se pone de manifiesto en la justificación de las respuestas (preguntas ―b‖ y ―d‖) La pregunta ―c‖ es confirmatoria de la pregunta ―a‖ y revisa la susceptibilidad a la contradicción, ya que es contradictorio contestar a la pregunta ―a‖ dando una cifra y contestar ―si‖ a la

pregunta ―c‖. Además, si

el alumno advierte que se trata de

posibilidades lógicas y no reales no puede contestar que habría más posibilidades de combinación. A partir de esto se pueden establecer las siguientes categorías clasificatorias: 1.

Capacidad para el logro de la operatoria formal: si el alumno alcanza los

resultados correctos o si opera con posibilidades lógicas y no reales, si opera la permutación (disociación de factores, inversión), aunque no formule los resultados correctos y completos. 2.

Capacidad para “enfrentar” la operatoria formal: si responde al menos a

algunas de las preguntas que exprese alguna capacidad para operar formalmente. 3.

Incapacidad para “enfrentar” la operatoria formal: si no contesta a ninguna

de las preguntas o lo hace desde un punto de vista no formal.

Prueba N° 2 Esta prueba busca evaluar la capacidad para operar la reversibilidad en el espacio incluyendo la operación directa, inversa y recíproca. En esta prueba no es posible asignar a cada item una operación dado que en los items ―a‖, ―b‖, ―c‖ y ―d‖ se efectúan las diversas operaciones. El item ―f‖, está dirigido a probar la capacidad reflexiva sobre las operaciones efectuadas a través de la formulación de alguna hipótesis de control de corrección. Criterio de evaluación La ―capacidad para operar la reversibilidad” se puede considerar lograda si el alumno es capaz de operar alguna forma de transformación a las figuras aunque no logre en todos los casos la forma correcta.

90

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La “capacidad de reflexión sobre la operación” se puede considerar alcanzad si el alumno menciona alguna hipótesis de control. A partir de ello se pueden establecer 3 categorías de clasificación: 1.

Capacidad para operar la reversibilidad y reflexión: si el alumno es capaz

de efectuar la operación directa, inversa y recíproca y además es capaz de reflexionar sobre la operación proponiendo alguna forma para el control de la corrección de la operación 2.

Capacidad para operar en forma incompleta la reversibilidad: si el alumno

es capaz de operar alguna forma de transformación a las figuras. 3.

Incapacidad para operar la reversibilidad: si el alumno no contesta.

Prueba N° 3 La prueba busca evaluar la “capacidad para disociar factores” y refuerza la Prueba N°1. En la consigna está expresamente señalado que las variables intervinientes son el ―material‖ y el ―tamaño‖. Es conveniente destacar que para la resolución de la prueba no es necesario conocer el valor de flotabilidad de cada material, de cada tamaño ni de cada forma. Solo es necesario disociar los factores. La prueba muestra también la capacidad para operar con posibilidades lógicas y no reales y consecuentemente la capacidad para razonar hipotética deductivamente. Todos los items indican las tres capacidades señalada por esto las preguntas recurrentes y la justificación a cada respuesta indicará la existencia o no de la capacidad. Criterio de evaluación Además del manejo de las variables señaladas pueden considerarse adecuadas aquellas respuestas que también hagan referencia a la intervención de la ―forma‖ y al ―peso‖ (este último como variable dependiente del material y el tamaño) Las tres categorías clasificatorias pueden distribuirse del siguiente modo: 91

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1.

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Capacidad para la disociación lógica de factores: si los alumnos, en todos

los items, muestra que puede mantener constante un factor y hace variar otros, sin entrar en contradicción en las preguntas recurrentes, y si trabaja con posibilidad lógica 2.

Capacidad esporádica para la disociación de factores: si el alumno, al

menos en algunos casos, opera la disociación sin entrar en contradicción 3.

Incapacidad para disociar factores: si no contesta o las respuestas no son

consistentes.

Sistema y Criterios de Evaluación Si bien es indudable que el estudio de la lógica formal ofrece el beneficio de contribuir al desarrollo de la capacidad para formular razonamientos con rigor y examinarlos críticamente, creemos que es necesario el desarrollo de otras formas de aptitudes intelectuales y de pensamiento crítico. También contribuye al desarrollo del pensamiento

lógico el ejercicio

de la capacidad para expresar ideas con claridad y

concisión, conceptualizar, interpretar y analizar. Del mismo modo es relevante fomentar la valoración crítica de los recursos lógicos según su instrumentalidad con relación a otras asignaturas curriculares y con la formación docente en general. Educar capacidades y habilidades impone promover, no sólo la enseñanza de conceptos y procedimientos sino también la reflexión y justificación de los mismos. Durante el cursado de la materia, y a través de la realización de ―trabajos prácticos‖, se puede

acentuar

la evaluación de los elementos suficientes y necesarios para la

promoción regular de la asignatura. Se propone los siguientes criterios de evaluación: 1.

Habilidad para el manejo fluido de los procedimientos lógicos.

2.

Actitud participativa.

A la vez, durante el cursado de la asignatura, la realización de ―parciales‖ puede estar dirigida a la evaluación del nivel de comprensión del sentido de la lógica como ciencia, del nivel de la especulación lógica y de la capacidad de fundamentación teórica. En este sentido se propone evaluar fundamentalmente: 92

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1.

Profundidad conceptual

2.

Alcance del manejo bibliográfico

3.

Capacidad para establecer relaciones originales

4.

Capacidad para fundamentar teóricamente los aspectos técnicos

5.

Nivel de rigurosidad y claridad expositiva

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La evaluación final debe ser una instancia de evaluación complementaria y orientada a la consideración de los siguientes aspectos: 1.

Nivel de comprensión integral.

2.

Nivel de fundamentación teórica de los aspectos técnicos.

3.

Capacidad para establecer relaciones.

4.

Capacidad para detectar campos de aplicación.

5.

Capacidad de razonamiento.

6.

Nivel de precisión en el uso de lenguaje técnico.

7.

Capacidad para estructurar contenidos.

8.

Nivel de claridad en la exposición.

9.

Alcance del manejo bibliográfico.

10.

Actitud investigativa.

El cumplimiento de los objetivos señalados impone pensar un sistema de evaluación gradual, creciente y diversificada, que otorgue valor no sólo a los sistemas teóricos producidos y al manejo técnico de los procedimientos lógicos, sino también a la capacidad de fundamentación teórica de dicho ―hacer‖, a la comprensión del sentido de la lógica y a la reflexión crítica. Por ello la propuesta contempla el paso de los alumnos por instancias de evaluación diferentes donde se ponga de manifiesto el proceso de aprendizaje, la capacidad de operación lógica, y la capacidad de reflexión sobre la operatoria. En síntesis, la evaluación del aprendizaje de la lógica pensada para estudiantes de humanidades no puede reducirse al control del conocimiento de determinados sistemas 93

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formales.

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La reflexión sobre la práctica docente ha conducido a la conclusión de que es

más adecuado el diseño de un sistema de evaluación estructurado por criterios de valoración que no descuiden valorar la formación de actitudes y capacidades.

94

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TRABAJOS PRÁCTICOS DE LÓGICA FORMAL Rolando Mercado y Beatriz Mattar Introducción El propósito de esta presentación es comunicar y contextualizar un conjunto de ejercicios de lógica formal realizados en el año 2001 por el alumno Rolando Mercado para la cátedra Lógica I. La propuesta de adscripción

se orientó a la realización de un “Cuaderno de

Ejercicios” para acompañar los desarrollos teóricos de algunos temas de Lógica Formal. Dicho propósito se consideró pertinente y útil a la cátedra por varios motivos que de algún modo están relacionados entre si. En primer lugar, son pocos los manuales de exposición didáctica de lógica formal que contienen suficientes ejercicios de aplicación,74 y aquellos que la incluyen, a medida que transcurren los años, se van convirtiendo en un recurso ya ―conocido por los alumnos‖ y en algunos casos, ―heredados‖ por cada nueva promoción. De tal modo que dejan de cumplir el objetivo buscado transformándose en recursos didácticamente ineficaces. En segundo lugar, como consecuencia inmediata de lo anterior, desde la cátedra se improvisaba cada año una considerable cantidad de recursos didácticos nuevos, que en el mejor de los casos, se conservaban sólo en los archivos personales. Por lo mismo al no quedar al alcance de la libre disposición de los alumnos no brindaban el fruto educativo que potencialmente podrían haber otorgado. Es decir, favorecer la autoejercitación para un espectro temático más amplio y variado. En tercer lugar, si bien es ―natural‖ el proceso de caducidad de la ejercitación en este tipo de asignaturas, correlativamente es ―generadora de riqueza creativa‖ en los docentes y en los alumnos. Los docentes espontáneamente producimos nuevas 74

Copi, I., 1982. Introducción a la Lógica. Buenos Aires. Eudeba. Copi, I. 1979. Lógica Simbólica. México. Cía Ed. Continental. Colaccilli de Muro, J. C. y M. A. 1995. Elementos de Lógica Moderna y Filosofía. Buenos Aires. Eudeba. Giannella de Salama, A. 1996. Lógica Simbólica y Elementos de Metodología de la Ciencia. Buenos Aires. Editorial El Ateneo. Maritain, J.1980. El orden de los Conceptos. Buenos Ares. Club de Lectores. Suppes, P. 1964. Introducción a la Lógica Simbólica. México. Cia. Ed. Continental S.A. Ferrater Mora y Leblanc, 1955. Lógica Matemática. México. F.C.E. Garrido, M. 1986. Lógica Simbólica. Madrid. Técnos. Blanché, R. 1963. Introducción a la Lógica Contemporánea. Buenos Aires. Ed. Lohlé. 95

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ejercitaciones ajustadas a los grupos de alumnos y a las circunstancias históricas de cada momento. En muchas oportunidades los alumnos motivan la creatividad del docente y a la vez ellos mismos realizan también su aporte creativo. Esta tarea de generación de ejercicios no se venía sistematizando en la cátedra, de tal modo que configuraba realmente en espacio de trabajo bastante arduo que se venía realizando año tras año y muchas veces era un trabajo no recuperable. Por estos motivos, se valoró la inquietud del alumno para contribuir con la cátedra en la realización de un Cuaderno de Ejercicios para la implementación de trabajos prácticos sobre los siguientes temas: 1.

Forma lógica con razonamientos.

2.

Operaciones entre clases.

3.

Formalización e interpretación de enunciados en lógica proposicional, lógica

cuantificacional y lógica de clases. 4.

Formalización e interpretación de razonamientos en lógica proposicional,

lógica funcional y lógica de clases. 5.

Demostración de formas de razonamientos silogísticos y no-silogísticos.

La ejercitación fue elaborada por el alumno Rolando Mercado

y orientada,

corregida, completada y sistematizada por la profesora titular de la cátedra. La primer parte contiene algunos desarrollos teóricos dirigidos a caracterizar y contextualizar la ejercitación de los temas de lógica formal trabajados. La ejercitación propiamente dicha figura en la segunda parte. Aunque resulte reiterativo, es necesario comprender que la ejercitación para la enseñanza de la lógica es un proceso siempre inacabado que demanda una auténtica capacidad de creación del docente. Su potencialidad formativa sólo se actualiza en función de su sensibilidad teórica y didáctica en el marco del contacto docente-alumno. Los ejercicios en sí mismos pueden convertirse en un instrumento inútil sin la intervención adaptativa del docente con vocación que va ajustando las estrategias didácticas a las condiciones reales de cada grupo de alumnos. 96

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Finalmente, esta línea de trabajo, no se considera cerrada con esta presentación sino que necesita irse completando, corrigiendo y adaptando según las necesidades y condiciones de la cátedra. Desde nuestra perspectiva, se la considera como un borrador inicial de una tarea de producción de cátedra siempre inacabada. Filosofía, Lenguaje y Lógica Formal El pensamiento filosófico que acompaña los desarrollos contemporáneos de la lógica matemática está imbuido por la búsqueda del rigor y la claridad de pensamiento. En este contexto, la tarea de la filosofía no es la creación de sistemas teóricos que busquen responder a preguntas fundamentales sino que su función queda más bien limitada a la clarificación lógica de los pensamientos. La preocupación por la claridad del pensamiento implica la preocupación por la claridad del lenguaje ya que se considera imposible atender a los pensamientos en sí mismos más allá del lenguaje. Si el lenguaje es oscuro y confuso, resulta imposible llegar a pensamientos claros e inequívocos. De ahí que resulte necesario atender principalmente al lenguaje en sí mismo y a la univocidad de los conceptos utilizados. Esta es la idea básica de la filosofía analítica.75 En el análisis de la lógica de los razonamientos, mediante el análisis del lenguaje en el cual ellos se expresan, se cree haber encontrado un medio para resolver muchos de los problemas tradicionales de la filosofía. Se entiende que estos problemas, en la mayoría de los casos, son confusiones del lenguaje porque se corresponden con construcciones filosóficas realizadas con un lenguaje equívoco, oscuro y/o ambiguo. De este modo todos los problemas filosóficos, o su mayor parte, podrían ser resueltos mostrando la estructura lógica del lenguaje natural en el cual se dan. Sin embargo la estructura lógica del lenguaje queda mejor expresada en un lenguaje artificial creado especialmente para el análisis del lenguaje natural.

75

La filosofía analítica es un movimiento filosófico de principios del siglo XX en el que pueden distinguierse dos orientaciones fundamentales: el empirismo lógico y la filosofía del lenguaje natural. El positivismo lógico se inicia con el Círculo de Viena (Schlick, Carnal, Neurath, etc) y la Escuela de Berlín (Reichenbach, Hemple, etc.). 97

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Básicamente ésta es la perspectiva formalista. Aunque no se rechaza totalmente el uso del lenguaje ordinario como herramienta de análisis, queda limitado considerablemente. Se sostiene que el método que se emplee para la solución de un problema filosófico debe seguirse de la naturaleza de este problema y la mayoría de los problemas filosóficos surgen en el curso de la investigación científica, por lo tanto deberían ser formulados en un lenguaje técnico. De ahí la superioridad del lenguaje técnico sobre el lenguaje natural y la necesidad del reemplazo de los conceptos inexactos por conceptos exactos en los análisis filosóficos. Desde esta perspectiva, las investigaciones filosóficas consisten en examinar los usos corrientes de los términos que designan los conceptos que entran en juego en la investigación. La dificultad puede presentarse, por ejemplo, porque un filósofo use un término corriente en sentido más general o más restringido, o porque tome un término de un área de conocimiento y lo aplique a otra área variando considerablemente su sentido. Para explicitar un concepto frecuentemente será necesario especificar las relaciones lógicas existentes entre ese concepto y otros. Hasta qué punto el filósofo debe recurrir a la sistematización del lenguaje dependerá del concepto que busque clarificar. La forma más elaborada y a la vez más eficiente de sistematizar los conceptos en sus relaciones con otros consiste en crear un lenguaje artificial. Dicho lenguaje está basado en las leyes de la lógica y acompañado de afirmaciones extrasistemáticas que relacionen a los conceptos usados de manera no sistemática en la vida corriente. De este modo, teniendo las propias reglas y los términos definidos de manera precisa, el sistema construido por el filósofo será más exacto que el lenguaje corriente y permitirá que el filósofo realice tantas distinciones sutiles como desee. La ambición recurrente de los filósofos formalistas es crear un lenguaje totalmente lógico que cubra todas las necesidades filosóficas. Los términos y reglas provendrían de la lógica y las formulas representarían todas las proposiciones significativas posibles de la ciencia y la filosofía. Aún cuando nunca se ha construido tal lenguaje, durante algún tiempo pareció que las técnicas lógicas del Principia Mathemáthica podrían ofrecer el medio para hacerlo.

98

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El razonamiento que respalda esta ambición podría expresarse de la siguiente manera: los problemas de la filosofía jamás han sido resueltos porque la estructura lógica de las tesis propuestas para solucionarlos nunca han sido formuladas de manera exacta. Para manifestar plenamente las estructuras lógicas de las ideas en disputa o para resolver las relaciones lógicas entre los términos y las proposiciones es necesario valerse de un conjunto de símbolos exactos. Dado que las relaciones entre las proposiciones pueden expresarse más claramente en la nueva lógica, éste es el simbolismo que necesita la filosofía. A diferencia de las palabras, los símbolos pueden recibir significados unívocos. Puede advertirse que una de las características de la filosofía analítica es su relación con la lógica. Aunque debe comprenderse que se trata de la relación con la lógica en general, no de una relación con la lógica formal. En efecto, no todos los filósofos analíticos adoptan una posición favorable a la lógica formal. Algunos de ellos presentan cierto rechazo por ella, tal es el caso de las teorías filosóficas sostenidas por los filósofos analíticos de la concepción ordinarista. La filosofía analítica tomó a la lógica como expresión de la estructura del lenguaje y de la realidad. Por ello la consideró como determinante de la filosofía del lenguaje y de la metafísica. Así la lógica es concebida como aquello que le da orden y coherencia a la realidad, parece que tiene una connotación de razón que ordena más que la de una disciplina teórica. Tomada como disciplina, la lógica suministra un instrumento adecuado para ordenar y regular el lenguaje y de esta manera, es el recurso indispensable para formularlo rigurosamente. Dentro de esta primera posición se encuentran los aportes de los lógicos analíticos como Russell, Carnap, Tarski y Lukasiewicz, entre otros. Pero existe también otra tendencia respecto de la lógica, en el campo de la filosofía analítica que hace referencia a una lógica informal para intentar dilucidar los diferentes usos y funciones del lenguaje. En esta postura se encuentran aquellos a los que se suele denominar, filósofos ordinaristas como Peter Strawson. Esta posición está cobrando especial importancia dentro de la actual filosofía analítica. La importancia que ha jugado la lógica formal e informal en el desarrollo de la filosofía analítica como un instrumento rector del lenguaje y del pensamiento humano es clara e indiscutible. 99

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El Análisis Formal El análisis formal supone la posibilidad de la reducción de lo complejo a sus partes más simple, por ello reduce las afirmaciones a proposiciones y éstas a sus formas más simples. Las proposiciones denominadas atómicas no tienen partes que sean en sí mismas proposiciones (aunque contienen elementos más simples que las constituyen), mientras que una proposición molecular consiste en un cierto número de proposiciones atómicas o simples. Las proposiciones atómicas son aquellas que contienen una sola unidad de asentimiento (en forma afirmativa o negativa) mientras que las moleculares constan de dos o más unidades de asentimiento. Las proposiciones atómicas constan de términos. Los hechos atómicos constan de particulares que son los constituyentes últimos de los hechos y los elementos denotados por los términos de las proposiciones atómicas. De este modo, la verdad o la falsedad de la proposición simple se determina en función de la correspondencia o no correspondencia entre los elementos de la proposición y los elementos de la realidad. La verdad de las proposiciones moleculares se determina en función de la verdad de las proposiciones atómicas que la componen. El atomismo lógico que subyace al método de análisis formal sostiene que las proposiciones compuestas sólo son una forma de conectar proposiciones atómicas relacionándolas a través de conectivos. Estas conectivas no tienen significado propio sino que son los medios para construir aserciones más complejas. El método del análisis lógico condujo a Wittgenstein y a Russell a la teoría del atomismo lógico, el cual sostiene que el ámbito de la lógica y de la realidad fáctica son estructuralmente equivalentes y la función de un lenguaje lógico ideal es ―reflejar‖ o ―representar‖ el mundo real. La abstracción del proceso de conocimiento ―Abstraer‖ significa aislar mentalmente. Todos los datos aparentemente simples que recibimos en la conciencia resultan complejos para una ulterior reflexión. Nunca se tiene una sensación pura. Por ejemplo, toda percepción de color contiene al mismo tiempo y por lo menos, datos de extensión, duración, espacio y tiempo. Abstraer la idea de color es tomar 100

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alguno o algunos de los elementos del ―dato‖ (color), prescindiendo mentalmente de los demás aspectos. Se habla propiamente de abstracción cuando se hace referencia a la operación de tomar algo del dato y prescindir del resto. La base de la operación de abstracción, la selección de información, es una situación fundamental de la relación de conocimiento. Ya nuestros sentidos operan en los umbrales de percepción una selección que define la gama de estímulos, por eso suele decirse, usando en un modo vago la idea de abstracción, que nuestros sentidos abstraen. Lo cierto es que ya por nuestros sentidos nos encontramos sometidos a la necesidad de conocer el mundo del único modo como puede reflejarlo algo limitado, como es nuestra capacidad de conocer, fragmentaria y simplificadoramente. El lenguaje común, vehículo del pensamiento cotidiano, opera a determinados niveles la abstracción. Todo nombre común es un abstracto en sentido lógico y no solo los nombres que la gramática llama abstractos, como ―bondad‖, maldad‖, etc. Por ejemplo, ―perro‖ es también un término abstracto, en tanto que la idea de perro no es un dato de los sentidos sino que se ha obtenido por abstracción, prescindiendo de los elementos particulares y singulares. La imposibilidad en que estamos de percibir todo, e incluso de pensar todo lo que llega a nuestra percepción hace de la abstracción una operación básica del conocimiento propiamente dicho, es decir, del saber consciente y susceptible de comunicación y discusión. La abstracción científica se diferencia de la abstracción vulgar en que se orienta por los fines de la investigación, por el intento sistemático y crítico de reflejar lo más adecuadamente posible la realidad. Cuando la realidad rebasa por su complejidad la capacidad de conocimiento del hombre, ocurre paradójicamente que la abstracción científica, para reflejar más adecuadamente la realidad, tiene que adoptar frecuentemente formas muy artificiosas desde el punto de vista del sentido común. La abstracción no es un proceso pasivo, una recepción de elementos naturalmente separados en la realidad. Para distinguir entre los elementos o aspectos de un dato complejo, aquellos que son interesantes e importantes de aquellos que no lo son, hay que estar guiados por ciertas ideas previas. Nada es importante sido desde algún punto de vista. Así por ejemplo, ante el hecho del ―fracaso escolar‖, un economista se sentirá atraído por 101

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algunos aspectos, un jurista por otros, un pedagogo por otros. Esto no se explica por la presencia de una simple receptividad pasiva, sino por esa capacidad de receptividad, mas la circunstancia de que uno u otro investigador ha puesto activamente ciertos puntos de vista selectivos que dejan pasar algunos aspectos de la realidad y excluyen otros. En la abstracción hay siempre una intervención activa del sujeto, algo así como una posición más o menos consciente y voluntaria. Aunque la abstracción, en ningún nivel sea espontánea ni totalmente pasiva, sino fruto de receptividad y actividad, puede decirse que el pensamiento científico tiene la peculiaridad de hacer conscientemente de dicha artificialidad de la abstracción un instrumento de conocimiento. Así lo hace el pensamiento científico una vez construidos ciertos abstractos científicos. Por ejemplo el constructo ―estructura social‖ es construido bastante artificiosamente no solo eliminando rasgos de las sociedades concretas sino también sintetizando o componiendo rasgos escogidos según cierto orden de importancia. En síntesis las abstracciones básicas constituyen el punto de vista desde el cual cada ciencia va a considerar el conocimiento de la realidad. La abstracción de la lógica Formal La noción de ―forma lógica‖ es una de aquellas abstracciones artificiales o científicas, que puede establecerse distinguiendo en una expresión, entre los elementos representativos de la forma y los elementos que representan el contenido de conocimiento. En tal sentido se atiende más que al conocimiento, al lenguaje en el que se expresa el conocimiento. Para mostrarlo rápidamente veamos dos ejemplos de razonamientos: Todos los felinos son animales El gato es un felino El gato es un animal El centro del universo es inmóvil La vida es el centro del universo La vida es inmóvil Desde el punto de vista de la teoría del conocimiento el primer razonamiento llega a una conclusión fundada, mientras que el segundo no. Sin embargo desde el punto de vista de la lógica formal, ambas conclusiones están igualmente fundamentadas y las dos son 102

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igualmente válidas. Para dar un nombre a esa igualdad, que contiene el punto de vista o abstracción básica de la lógica formal, diremos que las dos argumentaciones son formalmente válidas o que las dos conclusiones están formalmente fundamentadas. También puede decirse que los dos conjuntos de enunciados tienen la misma forma lógica. Es decir que la abstracción básica de la lógica formal es la noción de forma lógica. Su punto de vista es el de la validez o fundamentación del aspecto formal del conocimiento. Sin embargo, queda claro en los ejemplos de razonamiento presentados, que la validez inferencial no va necesariamente acompañada de la verdad de las conclusiones. Formas lógicas idénticamente válidas, pueden levar a conclusiones verdaderas o falsas según sea el contenido de los enunciados componentes.

103

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Beatriz Mattar CLASES DE CONCEPTOS – TERMINOS76

Criterio de clasificación Según el acto de “simple aprehensión”

Clases de Conceptos Incomplejos Complejo

Según la extensión Según la comprehensión

Superiores Inferiores Concretos

En sí mismos En el modo de concebirlo En sí mismos En el modo de concebirlo

Absolutos Connotativos

Según la multiplicidad encerrada en la extensión

Abstractos Colectivos Divisivos

Según la extensión del concepto como sujeto de una proposición

Singular Común

Según el modo de significación (vale sólo para los términos)

Unívocos Equívocos

Particular Distributivo o universal

Análogos Según lo que significan (vale sólo para los términos)

Categoremáticos Sincategoremáticos

EJERCICIOS Consigna a)

Clasificar cada concepto según los criterios que admita

b)

Proponer ejemplos análogos

1)

Ideal: ………………………………………………………………………….

76

La comprensión y la extensión son propiedades lógicas del concepto y se corresponden con las nociones de ―predicado lógico‖ o ―función proposicional‖ (Fx) y la noción de ―clase‖. La ejercitación sobre este tema busca acentuar conexiones entre la antigüedad y la contemporaneidad lógica. Además, abordar la conceptualización desde la lógica es brindar a los estudiantes una herramienta necesaria ya que la reflexión filosófica no sólo demanda razonar sino también conceptualizar. Cfr. Maritain, Jacques. 1967. El orden de los conceptos. Buenos Aires. Club de Lectores. p. 56/79

104

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2)

Siempre: ………………………………………………………………………

3)

Liberación: ……………………………………………………………………

4)

Secta: …………………………………………………………………………

5)

Familia: ………………………………………………………………………

6)

Árbol. …………………………………………………………………………

7)

Doctor: ………………………………………………………………………..

8)

Terquedad: ……………………………………………………………………

9)

Señalización: ………………………………………………………………….

10)

No es cierto: …………………………………………………………………..

11)

Sol: ……………………………………………………………………………

12)

Cardumen: ……………………………………………………………………

13)

Señal: …………………………………………………………………………

14)

Nada: …………………………………………………………………………

15)

Sociedad: …………………………………………………………………….

16)

Democratización: …………………………………………………………….

17)

Recipiente cóncavo: ………………………………………………………….

18)

Manada: ………………………………………………………………………

19)

Senador: ………………………………………………………………………

20)

En cualquier caso: …………………………………………………………….

21)

Luna: ………………………………………………………………………….

22)

Hombre que respeta las leyes: ………………………………………………..

23)

Privatización: …………………………………………………………………

24)

Belleza: ……………………………………………………………………….

25)

Bueno: ………………………………………………………………………... 105

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26)

Cientificidad: …………………………………………………………………

27)

Científico: …………………………………………………………………….

28)

Ciertas veces: …………………………………………………………………

29)

Arriba: ………………………………………………………………………...

30)

Alameda: ……………………………………………………………………...

COMPREHENSIÓN Y EXTENSIÓN EJERCICIOS Consigna a)

Ordenar los siguientes conceptos de mayor a menor comprehensión y de

mayor a menor extensión b)

Proponer otros grupos de conceptos ordenables

1)

Hombre – Científico – Einstein – Filósofo – Aristóteles – Animal – Felino –

León – Perro. 2)

Día – Verano – Primavera – Año – Estación del año – Mes – Tiempo –

Tiempo caluroso 3)

Sustancia – Cianuro – Pino - vegetal – Veneno – Inorgánica – Coníferas –

4)

Calle – Ruta – Camino – Avenida - Huella

5)

Soldado – Capitán de fragata – Animal – Hipócrates – Cabo – Poeta –

Tóxico

Artillero – Homero - Sustancia 6)

Mosca doméstica – Rumiante – Buey – Insecto – Díptero – Bovino –

Mariposa – Mosca

106

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7)

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Vertebrado – Águila – Buitre – Carnívoro – Gato – Tigre – Peces – Tiburón –

León – Raya – Roedores – Conejo – Reptiles – Mamíferos – Aves – Lagarto – Rapaces – Rata – Culebra – Ardilla 8)

Araña – Escorpión – Insectos – Invertebrado – Langosta – Hormiga –

Arácnidos – Grillo - Avispa OPERACIONES ENTRE CLASES Representación gráfica, definición y simbolización de las operaciones entre clases: Intersección A = la clase de los pizarrones B = la clase de las cosas verdes

La clase de los pizarrones verdes y

A B = df. {x \ x

A .x

B}

Unión

B A

A B = df. {x \ x

A v x

B}

Pizarrones y/o cosas verdes

107

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Diferencia A A B

Pizarrones que no son verdes

A − B = df. x\ x

A . x

B

PRIMERA SERIE EJERCICIOS Consigna a. Representar gráficamente las clases designadas b. Expresar simbólicamente las clases designadas c. Definir las clases designadas d. Reflexionar sobre los ejercicios y obtener conclusiones

1)

La clase de las ventanas amplias.

2)

Las clases de los filósofos griegos que vivieron antes del siglo IV a.c.

3)

La clase de las Ana que son amables.

4)

La clase del doctor Pérez que es un buen médico peruano.

5)

La clase de bóxer que son perros guardianes.

6)

La clase de los pájaros amarillos.

7)

La clase de los libros que no son ilustres.

8)

La clase de los que no son perros salvajes. 108

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9)

La clase de los amigos o familiares de Pedro.

10)

La clase de los estudiantes, jubilados y trabajadores que tendrán descuentos.

11)

(1, 2, 3, 4)

(3, 4, 5, 8).

12)

(1, 6, 7, 9)

(8, 7, 3)

13)

La clase de los filósofos presocráticos o modernos metafísicos

14)

La clase de los alumnos universitarios que no estudian filosofía ni historia

15)

La clase de los alumnos de primer año que no estudian lógica.

16)

La clase los gatos amarillos callejeros.

17)

La clase de los hombres que no saben manejar.

18)

La clase de comidas de bajas calorías.

19)

La clase de los que no son propietarios ni profesionales y son inmigrantes.

20)

La clase de los abogados y médicos que no son independientes.

21)

La clase de los filósofos modernos que no son empiristas.

22)

La clase de los televisores que no son en blanco y negro.

SEGUNDA SERIE EJERCICIOS Consigna SI: A= {x \ x es caballo} y B= {x \ x es blanco} SI: A= {x \ x es ser humano} y B= {x \ x es menor de doce años} SI: A= {x \ x es flor} y B= {x \ x es cosa perfumada}

109

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Operar con las expresiones que siguen las consignas señaladas anteriormente:

1. A

B

2. A

B

3. B

A

4. A − B 5. (A

B) − (A

B)

TERCERA SERIE EJERCICIOS Consigna Partir de cada grupo de conceptos y efectuar las operaciones lógicas que se señalan a continuación: A = Clase de vertebrados

A = Clase de las universidades

B = Clase de mamíferos

B = Clase de institutos de Investigaciones

C = Clase de felinos

C = Clase de temas educativos

A = Clase de hombres

A = Clase e mamíferos

B = Clase de Ingenieros

B = Clase de gatos

C = Clase de Ingenieros en mimas

C = Clase de gatos siameses

a.

Nombre la clase resultante

b.

Defina la clase resultante

c.

Reflexione sobre los ejercicios y obtenga conclusiones

1)

(A

B)

C

2)

(A

B)

C

110

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3)

C − (A

4)

A

B

5)

A

B

6)

A

(B

7)

(Ā

B)

8)

(A

B)

C

9)

(Ā

(B

C)

10)

[(A

11)

A

12)

(A

13)

(A

C)

C)

C] ∩(C

B)

B)

(B − C) C)

B

B)

C

Consigna Asignar nombres de clases e individuos y conformar conceptos complejos a partir de las siguientes expresiones: EJERCICIOS: 1. α pertenece a (A

B)

2. α pertenece a (B

C)

3. α pertenece a (A

B)

4. α pertenece a (A 5. α pertenece a B

A

C) (C

6. α pertenece a (B

C)

7. α pertenece a (D

B)

B A)

C 111

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8. (α  A ) 9. α pertenece a (C 10. (

B)

E)

B)

11. α pertenece a (B

A)

12. α pertenece a (B

D)

13. α pertenece a (C

B)

14. α pertenece a (A

D

B)

15. Clase no-vacía de E 16. α pertenece a ( D

C)

17. α pertenece a (A

D)

18. α pertenece a (A

B)

(C

D )

19. α pertenece a (C

B)

(C

D)

20. α pertenece a (A

A)

(Ā

Ā)

21. α pertenece a (E

B)

22. α pertenece a (C

A)

[(A

D)

23. α pertenece a C

(C

E]

B) CUARTA SERIE

Consigna Asigne un nombre a cada clase y designe la clase representada. A

B C 112

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113

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A

B

C 114

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IDENTIFICACIÓN, FORMALIZACION E INTERPRETACION

La forma lógica de cualquier concepto, enunciado o razonamiento puede identificarse, formalizarse e interpretarse, independientemente de su verdad y de su validez.

Elementos para la resolución de los ejercicios: a) Formalizar proposiciones: pasar desde el lenguaje cotidiano a la forma lógica b) Interpretar formas lógicas proposicionales: pasar desde el lenguaje simbólico al lenguaje cotidiano c) Proponer ejemplos alternativos: expresar otros enunciados manteniendo la misma estructura lógica Símbolos lógicos a)

Variables proposicionales: p, q, r, s, t, etc.

b)

Conectivas lógicas: no (−), y (.), o (v/w), si... entonces (→), si y solo si (↔)

c)

Letras predicado: F, G, H, I, etc.

d)

Variables de individuo: x, y, z, etc.

e)

Constantes de individuo: a, b, c, etc.

f)

Cuantificadores: universal ( x ) y particular ( x )

g)

Signos de puntuación: ( ), [ ],{ }

115

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EJERCICIOS Identificar Proposiciones Consignas A partir del Cuadro General de Clasificación de Proposiciones realice las siguientes actividades: a)

Formule enunciados ilustrativos de cada clase de proposición.

b)

Seleccione un texto de cualquier cátedra e identifique proposiciones de

distintas clases. Formalizar e Interpretar proposiciones Consigna A partir de los ejercicios que más adelante se consignan, realice las operaciones lógicas de formalización e interpretación de proposiciones en términos de lógica proposicional y lógica de funciones, según corresponda.

PRIMERA SERIE EJERCICIOS Ejemplo: ―− p‖ Enunciado: ―No trabajo ― − p…..………………………………………………………………………… p ↔ q..……………………………………………………………………….. − q..…………………………………………………………………………… − p ↔ q..……………………………………………………………………… − (p . q )..……………………………………………………………………... − p ↔ − q..…………………………………………………………………… p . q..………………………………………………………………………….. − (p ↔ q )..…………………………………………………………………… p . − q..………………………………………………………………………... − (− p ↔ q)…………………………………………………………………… − p . q…………….…………………………………………………………… 116

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− (p ↔ − q ) ………………………………………………………………… − (−p . − q )........................................................................................................ (p → q) . (r ↔ q)................................................................................................ p v q................................................................................................................... (p . r) → (q v s).................................................................................................. − p v − q............................................................................................................. (− p → s) v (t . − q)............................................................................................ − (− p v q).......................................................................................................... −[(− s . p) . (p ↔ q)] → r................................................................................... − (− p v − q)....................................................................................................... s [− (p v t ) . (p . q)]..................................................................................... p q................................................................................................................. p w q.................................................................................................................. − p → q.............................................................................................................. − p w q.............................................................................................................. p → − q ............................................................................................................ − (− p w q) . r..................................................................................................... − (p → q)........................................................................................................... (p w − q) v (r . s)................................................................................................ − (− q)........................................................................................................... (r ↔ − p) w (p →q)........................................................................................... − (− p → − q)..................................................................................................... (s → − q) → (p w − q)...................................................................................... − (p → − q)..……………..…………………………………………………… − (− p w s) . (r ↔ − q)..………………………………………………………

SEGUNDA SERIE Ejemplo: Enunciado: ―Los niños son inquietos, y no son mentirosos‖ Simbolización en lógica proposicional:

p . −q

Simbolización en lógica funcional:

(x) [(Fx → Gx) . − Hx]

Ejemplo de proposición alternativa con la misma estructura lógica: ―Los seres humanos son sociables y no son inmunes al dolor‖

117

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EJERCICIOS 1. Los murciélagos son mamíferos que vuelan en la oscuridad y se guían por medio de sonidos. 2. Los lagartos y las serpientes son reptiles, que ahora no se pueden cazar porque están en exterminio. 3. Los perros que no son guardianes son juguetones si y solo si están domesticados. 4. Hay flores negras pero no se encuentran abundantemente. 5. Los casados no son solteros, a pesar de que no usen anillo. 6. Los que no son alumnos son profesores, si y solo si son considerados en algún tipo de relación educativa. 7. Las mariposas son insectos no dañinos, muy hermosas a la vista de los hombres y mujeres. 8. Los perros no son bípedos, son cuadrúpedos, además son mamíferos. 9. Si todo sabio es humilde y honesto, entonces es un gran maestro. 10. Ningún ser humano merece no ser respetado y tiene derecho a una educación apropiada. 11. Ricoeur habla en sus primeros trabajos de ―fenomenología‖ y señala como objeto de su obra principal a la ―identidad narrativa‖. 12. Ciertos pensadores no aceptan la metafísica. 13. Solo se podrá resolver problemas y dificultades en psiquiatría si y sólo si se cuenta con una investigación histórica del paciente. 14. Carlos es hombre con sensibilidad teórica e inteligente, o no podría ser buen científico. 15. Si llueve, entonces salgo con paraguas.

118

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16. No es cierto que todos los oradores son entrenados, si algún orador es entrenado entonces es un buen orador producido con esfuerzo. 17. Todos los murciélagos duermen en cavernas y lugares oscuros o abandonados, si son molestados entonces se espantan. 18. Los aprendizajes memorísticos no son aprendizajes auténticos. 19. Un número es primo, si es divisible por si mismo y por el número uno. 20. Salgo a bailar los sábados o los domingos, si hoy es sábado entonces salgo a bailar.

FORMALIZACION, INTERPRETACION Y REPRESENTACIÓN GRAFICA Consignas A partir de los ejercicios que más adelante se consignan, le proponemos efectuar las siguientes operaciones lógicas según corresponda, utilizando elementos de lógica

de

clases: a)

Formalizar clases o enunciados: pasar desde el lenguaje cotidiano a la

forma lógica. b)

Interpretar formas lógicas: pasar desde el lenguaje simbólico al lenguaje

cotidiano. c)

Representar gráficamente

d)

Si es posible, proponer ejemplos alternativos manteniendo la misma

estructura lógica. e)

Reflexionar sobre los ejercicios y obtener conclusiones

Elementos para la resolución de los ejercicios: Signos para expresar clases: A, B y C Signos para expresar individuos: x, y, z, etc. 119

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Signos para expresar la pertenencia o no pertenencia a una clase: , Formalización de las proposiciones categóricas: A: (A

B) =

Representación gráfica de una clase:

Ejemplo: Pérez es un político inteligente: α є (A B) Enunciado alternativo: San Juan está poblada irregularmente Representación Gráfica α

EJERCICIOS 1. Algunos profesionales comprometidos se equivocan. 2. Nicanor es un político inteligente pero se equivoca. 3. Hay filósofos que son poetas. 4. Hay filósofos y poetas 5. Los hombres nacen, crecen, se reproducen y mueren. 6. Ninguna experiencia es vana aunque algunas son dolorosas. 7. Si todo cambia, nada perdura

120

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8. Las computadoras son una herramienta útil 9. La investigación científica es una tarea ardua. 10. Algunos niños son hiperactivos y creativos.

LA FORMA LOGICA DE RAZOMANIENTOS Consigna Dados los pasajes siguientes y puesto que cada uno de ellos contiene sólo un razonamiento: a)

Identificar la/las premisas

b)

Identificar la conclusión

Ejemplo: ―El hombre es un ser social, por lo tanto los derechos y deberes privados no pueden lesionar los derechos y deberes del bien público‖

Premisa: El hombre es un ser social Conclusión: Los derechos y deberes privados no pueden lesionar los derechos y deberes del bien público.

EJERCICIOS 1. Debe haber sustancias simples, puesto que hay sustancias compuestas, y si la sustancia compuesta no es nada más que una colección o agregado de sustancias simples. 2. Puesto que la mayor parte de los docentes universitarios consideran que el estudio y la tranquilidad son requisitos básicos para investigar y difundir el conocimiento, son elementos naturales de la formación universitaria. 121

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3. Puesto que la lógica es uno de los medios que asegura la disciplina intelectual y el desarrollo de la capacidad de abstracción, si se la aplica apropiadamente puede promover el logro de fines deseables. 4. Quien acepta protección acepta obediencia. Existen personas que necesitan ser protegidas pero merecen respeto por su dignidad de ser humano, entonces deben también aceptar ser dignamente obedientes. 5. Algunos

hombre no aceptan consejos, pero todos los hombres aceptan

dinero, por lo tanto, el dinero es mejor recibido que los consejos. 6. Los programas televisivos son de diferente índole, algunos no son convenientes para menores, por lo tanto no todos los programas televisivos pueden ser transmitidos durante el horario de protección al menor. 7. La ley exige que debo manejar un vehículo con carnet de conducir, sino seré penado con una multa, de ahí que las leyes de tránsito norman obligatoriamente la conducta. 8. El buen vino no es avinagrado, si es avinagrado no es buen vino y no puede ser servido en un banquete, por lo tanto, el buen vino es apto para los banquetes. 9. Las capacidades naturales son un regalo de Dios, y todo regalo de Dios no es fruto del esfuerzo personal, por lo tanto, las capacidades naturales no deben ser causa de soberbia. 10. Para algunos filósofos, la Metafísica es considerada la raíz del gran árbol que forman todas las ramas de la filosofía, en consecuencia, para cualquier filósofo, toda la filosofía se nutren de la metafísica o la niega absolutamente. 11. El hombre es un ser sociable, tiene un lenguaje, por lo tanto es un ser que se comunica y puede alcanzar consenso con los otros. Consigna a)

Identificar antecedente y consecuente

b)

Identificar las conectivas 122

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Ejemplo “Asociar los acontecimientos terrestres a los celestes es común a todas las civilizaciones, la grandeza de los Asirios-Caldeos reside en la sistematización que llevaron a cabo para dar lugar a una astrología. Los acontecimientos estaban señalados en lo alto, había que interrogar a las estrellas, esto suponía conocer exactamente los movimientos astrales sobre el influjo en la vida de un individuo”. Enciclopedia Ciencias: Matemática, Biblioteca Clasa del saber. Ed. Clasa, 1976 Antecedente: [―Asociar los acontecimientos terrestres a los celestes es común a todas las civilizaciones, (y) la grandeza de los Asirios-Caldeos reside en la sistematización que llevaron a cabo para dar lugar a una astrología.(y). (Si) Los acontecimientos estaban señalados en lo alto, (entonces) había que interrogar a las estrellas,] Consecuente: [esto suponía

(Luego era necesario) conocer exactamente los

movimientos astrales sobre el influjo en la vida de un individuo‖].

EJERCICIOS 1)

“Contrariamente a lo supuesto, dado el origen del vocablo, el álgebra no es

una invención árabe. A pesar de los trabajos realizados por matemáticos musulmanes, el álgebra árabe no pasó de ser una sutileza verbal. Fueron los matemáticos de Occidente, a juzgar por impresos que se hicieron al advenimiento de la imprenta, los creadores del repertorio elemental de símbolos matemáticos de cálculo. Puede señalarse el siglo XVII como fecha en

que se consolida el sistema algebraico en el cuál nos manejamos

actualmente”. Enciclopedia Ciencias: Matemática. Biblioteca Clasa del saber. Ed. Clasa. 1976. p.16 2)

“Se suponía que las proposiciones matemáticas eran verdaderas, con total

independencia de nuestras mentes, y de este hecho se deducía la existencia de Dios”. San Agustín, ―La Matemática: su origen‖ en Enciclopedia. Ciencias: Matemática. 1976. p.17 123

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3)

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“San Agustín, hablando de la perfección del numero seis dice: “el seis es

número perfecto en sí mismo, y no porque Dios crease todas las cosas en seis días; es más bien cierta la inversa, que Dios creó todas las cosas en seis días porque este numero es perfecto, y continuaría siendo perfecto, incluso cuando la obra de los siete días no existiera”. San Agustín, ―La Matemática: su origen‖ en Enciclopedia. Ciencias: Matemática. 1976. p.17 4)

“... en la ciudad de Alejandría. Dominaba casi toda la información del siglo

V ya que, en su condición de filósofa, nada del saber le era ajeno, pues los antiguos dividían la Filosofía en tres campos: Lógica, Física y Ética. La primera se ocupaba de la metodología para llegar a la verdad; la segunda abarcaba todo lo existente, como matemática, química, medicina, derecho, incluso el estudio del alma; la tercera especula sobre las creaciones del hombre, como la política, el arte o el estado. Por lo tanto, la Filosofía comprendía todo el saber humano”. Enciclopedia Ciencias: Matemática. Ed. Clasa. 1976. p.1677 5)

“Diógenes Laercio, por quien nos enteramos que el Cínico fue de origen que

hoy llamaríamos muy burgués, más rodando padre e hijo en la delincuencia, siendo acusados de falsificar monedas, por lo cuál padecieron pena de destierro”. Enciclopedia Ciencias: Matemática. Ed. Clasa. 1976. p.23 6)

“Quitad el motor, el movimiento se detendrá. Separarlo del cuerpo movido,

el movimiento sé detendrá también. Aristóteles, como sabemos bien, no admite la acción a distancia, cada transmisión de movimiento implica, según él, contacto. Solo hay dos tipos de tal transmisión, la presión y la tracción. Lo cuál para mover un cuerpo, hay que empujarlo o tirar de él. No hay otros medios”. Uri Haber-Shaim, J., Cross, J. y James A. PSSSC FÍSICA. Editorial Reveré S.A. 3° ed. Barcelona-Buenos Aires-Caracas-México- Río de Janeiro.1980 77

La cita hace referencia a la primera mujer que desempeñó una cátedra universitaria llamada Hipatía, vivió hacia el año 370 de nuestra era, fue profesora universitaria en Alejandría, centro cultural más importante del mundo antiguo. Dio cátedra de Geometría y Aritmética y desarrolló toda el álgebra y dirigió el movimiento neoplatónico de la época. 124

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7)

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“La educación es una experiencia de belleza donde la relación entre el

profesor y los alumnos supone una actividad estética en sí misma. Sin perder este sentido, la práctica educativa es a su vez un proceso formador y por lo tanto, ética. En el desarrollo de un acto pedagógico ética y estética va de la mano, ya que difícilmente algo bello es inmoral”. Freire, Paulo, ―Cuando la educación es arte‖ en Semanario La Maga, miércoles 1 de julio de 1998, tema 11.78 8)

“Enseñar no es transferir contenidos hacia adentro de las cabezas de los

alumnos. Sino que es posibilitar que los alumnos, desarrollando su curiosidad y tornándola cada vez más crítica,

produzcan el contenido del conocimiento en

colaboración con los profesores”. Freire, Paulo, ―Cuando la educación es arte‖ en Semanario La Maga, miércoles 1 de julio de 1998, tema 11 9)

“Prosa o verso, puede considerarse la bisagra entre los poemas netamente

filosóficos y aquellos que reflexionan sobre la escritura poética. Esa pluma hechizada por el Ser, el lenguaje y la Nada, habla de una pasión que borra los limites de lo meramente intelectivo y las fronteras discursivas, por lo tanto la prosa o verso, son solo formas de expresar nuestra condición humana”. José, Elena, Poemas de Filosofía, Ed. Universidad Nacional de Salta, Salta, 10)

“Se cuenta que era muy hermoso, al extremo que sus discípulos lo

comparaban con Apolo andando sobre la tierra. La leyenda, al efecto, le atribuye un muslo de oro. Antíclides, en se libro II de Alejandro, anota que Pitágoras desarrolló grandemente la Geometría y la Aritmética, oficios de medir y contar para los antiguos. Incluso sostiene que inventó la escala musical por una sola cuerda. Aristóxenes, el músico, le otorga el haber introducido en Grecia las pesas y medidas. Enciclopedia Ciencias: Matemática. Ed. Clasa, 1976. p.25

125

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Ejemplo: Razonamiento: ―Los pájaros y los monos son animales. Las animales y los hombres son vivientes. Luego los pájaros son vivientes‖ Formalización en lógica proposicional: p.q q. r s Formalización en lógica de funciones: (x) [(Fx → Gx) . (Hx → Gx)] (x) [(Gx → Ix) . (Jx → Ix)] (x) [(Fx → Ix)] Razonamiento alternativo con la misma forma lógica: ―Las personas sensibles y bondadosas son respetuosas. Las personas respetuosas y justas son valientes. Luego las personas sensibles son valientes.

EJERCICIOS: 1. Cualquier autor tiene éxito si y solo si es muy leído. Todos los autores son intelectuales. Algunos autores tienen éxito, pero no son leídos luego todos los intelectuales son autores. 2. Todos los animales no son seres perfectos, y ningún animal es inmortal, por ende, todos los seres perfectos no son animales. 3. Todos los que no son alumnos universitarios ni profesores universitarios están excluidos de proceso de enseñanza-aprendizaje; por lo tanto ningún personal no decente es alumno universitario o profesor, pues todos aquellos que están incluidos son personal no docente.

78

La cita ha sido extraída de una conferencia dictada por Paulo Freire en la Universidad de San Luis en Agosto de 1996. 126

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4. Si San Juan y Mendoza tienen vitivinicultura entonces La Pampa no tiene. La Pampa y Mendoza exportan su producción. Si Mendoza exporta su producción y San Juan no la exporta entonces Salta tiene vitivinicultura y exporta su producción. San Juan tiene vitivinicultura y no exporta su producción. Por lo tanto Mendoza y Salta tiene vitivinicultura y exportan su producción. 5. Algunos comerciantes son hombres de proyectos exitosos. Ningún comerciante es un no-intelectual. Por lo tanto, algunos intelectuales son hombres de proyectos exitosos. 6. Algunos no-drogadictos son deportistas, porque ningún drogadicto es un hombre en perfectas condiciones físicas, y solo algunos hombres en perfectas condiciones no son deportistas. Por lo tanto los deportista son hombres no drogadictos. 7. Algunas piedras son raras y costosas, pero ninguna piedra sirve para soldar; por lo tanto no todo lo que sirve para soldar es raro y costoso. 8. Todas las ciudades europeas tienen una larga historia. Todas las ciudades europeas con larga historia poseen copiosos archivos. Luego, todas las ciudades europeas poseen copiosos archivos. 9. La música expresa los sentimientos de un pueblo. Todo lo que expresa los sentimientos de un pueblo es parte del arte de esos pueblos. Por lo tanto, la música es parte del arte de un pueblo. 10. Todos los no animales de sangre caliente son no mamíferos, todos los lagartos y víboras son no animales de sangre caliente. Por lo tanto, todos los lagartos no son mamíferos.

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DEMOSTRACION DE SILOGISMOS CATEGÓRICOS Consignas Dados los siguientes silogismos categóricos, operar las siguientes consignas, según corresponda en cada caso: a)

Identificar las premisas y la conclusión

b)

En caso de que antecedente y consecuente estén mal ubicados en el

razonamiento, transcribirlo según corresponda c)

Determinar su validez o invalidez constatando el cumplimiento de las

reglas que determinan la validez silogística establecida por la lógica clásica. d)

Si es posible, construir un silogismo categórico válido a partir de los

modos indicados. Si son válidos: a)

Indicar su modo y figura

b)

Expresar simbólicamente su forma lógica

c)

Demostrar su validez, usando el método de los Diagramas de Venn

Si son inválidos a)

Señalar la/las reglas que no cumplen

b)

Expresar simbólicamente su forma lógica

c)

Demostrar su invalidez usando el método de los Diagramas de Venn

e)

Intentar operar alguna transformación formal para convertirlos en

silogismos válidos f)

Identificar el modo y la figura del silogismo alcanzado después de la

transformación operada

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PRIMERA SERIE Ejemplo Todos los que lloran son niños (A) Algunos que lloran son adultos (I) Algunos adultos son niños

(I)

Antecedente

Consecuente

Silogismo: Valido Modo: DATISI Figura: 3° Fig. (SU-SU) Expresión simbólica de su forma lógica en términos de la lógica de funciones (x) (Fx → Gx) ( x) (Fx . Hx) ( x) (Hx . Gx) Expresión simbólica de su forma lógica en términos de la lógica de clases A

B=

A

C

C

B

Diagrama de Venn

x

EJERCICIOS A)

Todos los reptiles son peligrosos Los lagartos son reptiles Todos los lagartos son peligrosos 129

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B)

Algunos europeos hablan castellano Todos los europeos son humanos Algunos humanos hablan castellano

C)

Ningún perro es inteligente Los dálmatas son perros Ningún dálmata es inteligente

D)

Todos los vertebrados son cuadrúpedos Los cuadrúpedos son animales Algunos animales son vertebrados

E) Algunos cuadrúpedos son perros Los perros son vertebrados Todos los perros son cuadrúpedos

F) Todas las aves vuelan Ningún gato vuela Ningún gato es ave

G) Los gatos son carnívoros Los gatos son mamíferos Todos los carnívoros son mamíferos

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H) Algunos roedores son ratones Ningún invertebrado es roedor Algunos invertebrados son ratones

I) Los argentinos son latinoamericanos Algunos viajantes son argentinos Algunos viajantes son latinoamericanos

J) Todos los padres son hombres Algunos padres son solteros Algunos solteros son padres

K) Algunos hombres que piden perdón son humildes Todo humilde sabe pedir perdón Todos los humildes son hombres que saben pedir perdón

L) Algunos estudiantes son jóvenes Todos los universitarios son estudiantes Algunos universitarios son jóvenes

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SEGUNDA SERIE Ejemplo Ningún barco de turismo es un barco de guerra; por ende, ningún barco comercial es un barco de guerra, puesto que todos los barcos de turismo son barcos de comercio. Transcripción ordenada del razonamiento: Ningún barco de turismo (A) es un barco de guerra. (B) Todos los barcos de turismo (A) son barcos de comercio. (E) Ningún barco comercial (E) es un barco de guerra. (B) Silogismo: Inválido. Regla que no cumple: Los términos no deben tener más extensión en la conclusión que en las premisas. Expresión simbólica: A∩B=Λ A∩Ē=Λ E∩B=Λ

Diagrama de Venn

Operación

necesaria para transformarlo en silogismo valido: Transformar la

conclusión en ―Algún barco comercial no es barco de guerra‖ Modo: FELAPTON Figura: 3° figura

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EJERCICIOS 1. Algunas imágenes son objeto de culto; porque todas las estatuas son imágenes y algunas estatuas son objeto de culto. 2. Todas las vacunas son importantes logros científicos, por lo tanto, algunos logros científicos no son invenciones norteamericanas, ya que algunas vacunas no son invenciones norteamericanas. 3. Ningún contador público diplomado es autodidacta, pero todos los autodidactas son hombres que no tienen estudios completos, se sigue que ningún contador público diplomado es autodidacta. 4. Algunos políticos no son partidarios de los aranceles elevados, porque todos los

partidarios de los aranceles elevados son políticos liberales y los

políticos liberales son partidarios de los aranceles elevados. 5. Algunos individuos inadaptados son delincuentes juveniles, todos los individuos inadaptados son de hogares no ejemplares, por consiguiente, algunos delincuentes juveniles son de hogares no ejemplares. 6. Todas las cartas de la edad media se escribían en lengua latina, la lengua latina era la lengua empleada por la iglesia romana, por lo tanto la lengua latina era la lengua de la edad media. 7. Todos los romanos antiguos tenían creencias politeístas y el cristianismo no tiene creencias politeístas, es decir que los romanos antiguos no fueron cristianos.

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TERCERA SERIE Consigna Si es posible construya silogismos válidos e indique la figura y el modo. Si no es posible, indique porqué. Ejemplo AEE Todas las aves construyen nido Ninguna serpiente construye nido Ninguna serpiente es ave EJERCICIOS 1.

AOO

2.

EIO

3.

IIA

4.

EAE

5.

OAO

6.

IAI

7.

EOE

8.

AAA

9.

OEI

10.

AAI

11.

EAO

12.

EAI

13.

IAE

14.

AAO

15.

IOA

134

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CUARTA SERIE Consigna Completar con todas las formas posibles de silogismos válidos. Si no es posible explique el porqué. Ejemplo: Todos los………….son seres vivos Las ballenas son…………………. Todas las ballenas son seres vivos Silogismo de 1° Figura, Modo Barbara Todos los

animales acuáticos son seres vivos

Las ballenas son animales acuáticos Todas las ballenas son seres vivos

EJERCICIOS Algunos vinos……………………….. Todos los…………….tienen alcohol Algo que tiene alcohol es…………….

Todo educador es inteligente Los……………son respetuosos Todo………….es………………..

Todos los……………….son…………….. Los……………………..son……………… Algunos………………..son…………….... 135

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Algunos…………………..son perros Los perros son…………………………….. Todos los………………son………………

Todas las personas creativas……………… Ningún gato……………………………… Ningún…………..es persona creativa

Las……………………….fallan Las computadoras son……………………. Todo………………………….falla

……………. mal alumno es inteligente ……………. estudioso no es mal alumno ……………. estudioso no es mal alumno

…………….pensadores tienen buen humor Algunos………………no son argentinos Algunos…………….. no tienen buen humor

Todos los poderosos son tiranos Algunos…………..son……………….. ……………………no tienen humor

136

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………………….son humildes Todo humilde es……………………. Algún………………….no es……………

Algunos.………………..son ambiciosos Todo universitario es estudiante ………..universitario es………………

Los paquidermos son pesados El elefante es un………………… …………………………………………

Los……………………….son aves Algunos pájaros son veloces ………………………….es ave

El ratón es………………………… Ningún roedor es volador Algún……………………….es ratón

Los peces son nadadores Algunos peces son grandes …………………………………… 137

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………pinos tienen raíces profundas Algunos……………….tienen copa ancha …………………….tiene raíces profundas

Ningún insecto es de gran tamaño …………..insecto no vuela …………………………………….

Ningún estudiante…………………… Algún………………….es estudiante Algún deportista no tiene tiempo libre

Todo estudio tiene……………………… Algunas dificultades son de fácil solución …………………………………………

Algunas………………. tienen fácil salida laboral Toda…………………..necesita tiempo Algo que necesita tiempo…………………………

Algunas rosas son blancas Algunas flores blancas tienen fuerte perfume ……………………………………………… 138

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Algunos guardianes son…………………… Todos los perros son aptos para seguir rastros …………aptos para seguir rastros son………………

Los gatos son………………………. Ningún…………… es herbívoro ………….herbívoro es……………

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