Physikalische Krystallographie [Reprint 2023 ed.] 9783112695241, 9783112695234

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PHYSIKALISCHE

KRYSTALLOGRAPHIE. VON

DB. TH. LIEBISOH, O. Ö. P R O F E S S O R D E R M I N E R A L O G I E AN D E R U N I V E R S I T Ä T

MIT 2 9 8

ABBILDUNGEN

IM T E X T U N D N E U N

LEIPZIG, VERLAG

VON V E I T & COMP.

1891.

GÖTTINGEN.

TAFELN.

Druck vou M e t z g e r & W i t t i g in Leipzig.

Vorwort. \ Zu dem Versuch einer übersichtlichen Darlegung des gegenwärtigen Standes der physikalischen Krystallographie fordern die erfolgreichen Untersuchungen auf, welche in neuester Zeit die Kenntniss der physikalischen Eigenschaften krystallisirter Körper bereichert haben. Neben der bislang mit Vorliebe gepflegten Krystalloptik werden auch die übrigen Gebiete der Krystallphysik in wachsendem Masse erschlossen, und es beginnen Beziehungen zwischen den physikalischen Vorgängen in krystallisirten Substanzen hervorzutreten, welche das höchste Interesse in Anspruch nehmen, i Unter welchem Gesichtspunkte das physikalische Verhalten der Krystalle betrachtet werden mag, jedesmal handelt es sich vor allem darum, den Zusammenhang dieses Verhaltens mit der aus den Vorgängen des Waclisthums und der Auflösung erkannten Symmetrie der Krystalle festzustellen. Daher erschien es unerlässlich, eine Charakteristik der nach geometrischen Symmetrieeigenschaften zu unterscheidenden Gruppen krystallisirter Körper vorauszuschicken. Für die Darstellung der Vorgänge, welche durch gerichtete physikalische Agentien in homogenen Krystallen erzeugt werden, war das Fortschreiten von Symmetriegesetzen der höchsten Ordnung zu solchen niederer Ordnung massgebend. Daher wurden an die Spitze gestellt einmal die Deformationen, bei denen homogene Krystalle homogen bleiben, andererseits die Vorgänge, welche unter dem mathematischen Bilde einer Strömung beschrieben werden können, nämlich die Leitung der Wärme, die Strömung der Elektricität, die magnetische und die dielektrische Polarisation. Hierauf folgt eine Uebersicht der grundlegenden Forschungen, die in dem letzten Jahrzehnt über die complicirten Vorgänge der elektrischen Erregung dielektrischer Krystalle durch Temperaturänderungen und mechanische Einwirkungen unternommen worden sind. In dem Kapitel über die optischen Eigenschaften der Krystalle habe ich die experimentell geprüften Gesetze auf den Wegen zu entwickeln versucht, welche zu ihrer Entdeckung geführt haben. Dagegen glaubte ich

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Vorwort. —

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eine Erörterung der zahlreichen, gegenwärtig aber noch wenig befriedigenden Theorieen der Krystalloptik an dieser Stelle vermeiden zu müssen. Den Schluss bilden die Untersuchungen über die elastischen Eigenschaften der Krystalle und die interessevollen Anwendungen der Elasticitätstheorie auf die Aenderungen der Doppelbrechung durch Druck, die Theorie der Piezo- und Pyroelektricität, die elastischen Deformationen dielektrischer Krystalle im elektrischen Felde und die elektrooptischen Erscheinungen in piezoelektrischen Krystallen. — Die photographischen Aufnahmen von Interferenzerscheinungen an doppeltbrechenden Krystallplatten, mit deren Hülfe die Lichtdrucktafeln II—IX hergestellt sind, habe ich im August und September 1888 ausgeführt. Den dazu erforderlichen Apparat verdanke ich der Königlich preussischen Akademie der Wissenschaften. Wie aus den Erklärungen jener Tafeln hervorgeht, ist es insbesondere gelungen, auch die im Natrium-Lichte hervortretenden Interferenzerscheinungen zu photographiren. G ö t t i n g e n , den 17. August 1890.

Th. Liebisch.

I n h a l t .

Seite

Einleitung' 1-50 Ueber die für Krystalle charakteristischen physikalischen Vectorgrössen 1. — Die Symmetrieeigenschaften der Krystallformen 3. — Reguläres System 33. — Hexagonales System 38. — Tetragonales System 44. — Rhombisches System 47. — Monoklines System 49. — Triklines System 50. 1. Homogene Deformationen 51—118 Affinität (Erhaltung der Indices, der Zonen, der Doppel Verhältnisse) 51. — Deformationsellipsoid 53. — Reine Deformationen 54. — Einfache Schiebungen GO. — Allgemeiner analytischer Ausdruck für homogene Deformationen 62. — Homogene Deformationen krystallisirter Körper, welche die Symmetrie derselben ungeändert lassen 65. — T h e r m i s c h e A u s d e h n u n g 67. — Monokline Krystalle (Gyps, Orthoklas) 71. — Trikliue Krystalle (Anorthit) 77. — Beobachtungen von H. Fizeau 87. — E i n f a c h e S c h i e b u n g e n n a c h G l e i t f l ä c l i e n 104. 2. Eigenschaften physikalischer Vorgänge, die unter dem Bilde einer Strömung beschriehen -werden können 119—124 Wärmeleitung in Krystallen 120. — Elementargesetz 125. — Ellipsoid der linearen Leitungsfähigkeit 129. — Hauptaxen der Leitungsfähigkeit und des Widerstandes 130. — Flächen gleichen Potentials 131. — Strömungscurven 135. — Symmetrieeigenschaften 139. 3. Wärmeleitung 143—166 G e s t a l t u n d O r i e n t i r u n g d e r i s o t h e r m i s c h e n F l ä c h e n in K r y s t a l l e n . Theorie von Duhamel 143. — Beobachtungsmethode von H. de Senarmont 144. — Modificationen der Senarmont'schen Methode 147. — Theoreme von Duhamel 150. — Weiterbildung der Theorie durch Stokes 151. — Untersuchungen von G. Lamé, B. Minnigerode und J. Koussinesq 157. — Versuche über einseitige Wärmeleitung 159. — B e s t i m m u n g der i n n e r e n W ä r m e l e i t u n g s f ä h i g k e i t e n nach absolutem calorimetrischem Ma a s s e 162. — Messungen am Steinsalz, Kalkspath und Quarz 163. — Wärmeleitungsfähigkeit schlecht leitender Gesteine 164. 4. Elektrische Ströme 167—184 D a s O h m ' s c h e G e s e t z 167. — Beobachtungen am Wismuth und Eisenglanz 167. — T h e r m o e l e k t r i s c h e S t r ö m e 170. — Beobachtungen an hexagonalen Krystallen 170. — Angeblicher Zusammenhang zwischen dem thermoelektrischen Verhalten und der Krystallform regulärer, pentagonal-

Inhalt. hemiedrischer Krystalle 173. — Die von W . Thomson entdeckton umkehrbaren Wärmeeffecte und thermoelektrischen Erregungen elektrischer Ströme in homogenen Krystallen 174.

5. Magnetische Induction

Seite

185—222

E i n s t e l l u n g d e r K r y s t a l l e im h o m o g e n e n M a g n e t f e l d e . Hypothese von Poisson 185. — Beobachtungen von Plücker 186. — Versuche und theoretische Anschauungen von Faraday 189. — Beobachtungen von Knoblauch und Tyndall 191. — Zusammenfassung der Beobachtungen 192. — T h e o r i e d e r m a g n e t i s c h e n I n d u c t i o n in K r y s t a l l e n v o n W. T h o m s o n 196. — Experimentelle Prüfung der Theorie von W . Thomson 208. — Bewegungen magnetisirbarer Krystalle in einem ungleichförmigen Magnetfelde 214. — Absolute Werthe der Hauptmagnctisirungscoefficienten 218. — Einstellung der Krystalle in einem Magnetfelde, welches von einer magnetisirbaren Flüssigkeit erfüllt ist 220. — Einfluss der Temperatur auf das magnetische Verhalten der Krystalle 220.

6. Dielektrische Polarisation

223—248

Einstellung krystallisirter Körper zwischen elektrischen Polen 223. — Trennung des Vorganges der dielektrischen Polarisation von den Erscheinungen unvollkommener Leitung; Beobachtungen von Root 224. — Theorie der reinen dielektrischen Polarisation 226. — Beziehung zwischen den Dielektricitätsconstanten und den Brechungsindiees eines durchsichtigen isolirenden Krystalls 227. — Methoden von L. Boltzmann zur Bestimmung der Dielektrieitätsconstanten krystallisirter Körper 229. — Schwefel 235. — Abhängigkeit der dielektrischen Polarisation im Flussspath, Kalkspath und Quarz von der Zeit 237. — Elektrische Absorption im Kalkspath und Quarz 238. — Dielektricitätsconstanten und Leitungsfähigkeiten 240. — Fortpflanzung freier Elektricität auf der Oberfläche dielektrischer Krystalle 248.

7. Pyroelektricitüt und Piezoelektricitiit

249—280

P y r o e l e k t r i c i t ä t . Bestäubungsverfahren von Kundt 249. — Bezeichnungen 252. — Elektrische Vertheilung auf der Oberfläche pyroelektrischer Krystalle 252. — Versuche von Gaugain 259. — Theorie der Pyroelektricität von W . Thomson 260. — Versuche von Riecke am Turmalin 261. — Theorem von W . Thomson 268. — P i e z o e l e k t r i c i t ä t 269. — Messung der durch Druck entwickelten Elektricitätsmengen nach absolutem Maasse von J . und P. Curie 270. — Piezoelektrische Versuche am Quarz von Röntgen 273. — Elastische Deformationen piezoelektrischer Krystalle im elektrischen Felde 275. — Elektrooptische Versuche am Quarz von Kundt 275. — Messung der elastischen Deformationen 277.

8. Optische Eigenschaften

281—544

E i n l e i t u n g . Strahlenflächen und Normalenflächen 281. — Brechung und Reflexion ebener Wellen an ebenen Grenzflächen homogener Körper 284. — Planparallele Platten 286. — Prismen 295. — Eintheilung der Krystalle nach optischen Symmetrieeigenschaften 298. D i e H u y g h e n s ' s c h e S t r a h l e n f l ä c h e . Gesetz der Fortpflanzung und Polarisation des Lichtes in gewöhnlichen optisch einaxigen Krystallen 301. — Charakter der Doppelbrechung 305. — Strahlenfläche und Normalenfläche 306. — Experimentelle„Prüfung am Kalkspath 309. — Planparallele Platte 311. — Fresnel'sches Ellipsoid und Indexellipsoid 314. D i e F r e s n e l ' s c h e S t r a h l e n f l ä c h e . Fresnel'sches Ellipsoid und Indexellipsoid 316. — Strahlenaxen und optische Axen 319. — Fortpflanzungsgeschwindigkeiten und Polarisationsrichtungen zweier Strahlen oder zweier

Inhalt. Wellenebencn von gemeinsamer Fortpflanzungsrichtung 321. — Strahlenfläche und Normalenfläche 323. — Experimentelle Prüfung 328. — Beziehung zwischen Strahl und Wellenebene 329. — Bestimmung der Portpflanzungsgeschwindigkeiten und der Polarisationsrichtungen von Wellenebenen mit Hülfe der optischen Axen 333. — Bestimmung der Portpflanzungsgeschwindigkeiten und der Polarisationsrichtungen von Strahlen mit Hülfe der Strahlenaxen 337. — Construetionen von Sylvester 339. — Strahlenkegel und Normalenkegel 340. — Innere und äussere konische Refiaction 344. — Indexfläche 349. — Ovaloidc 351. — Brechung an einer ebenen Grenzfläche eines optisch zweiaxigen Krystalls 353. — Grenzfälle; Kreuzung der Ebenen der optischen Axen 358. D i e B r e n n e b e n e n g e r a d e r Linien, welche mit einem Mikroskop d u r c h d o p p e l t b r e c h e n d e K r y s t a l l p l a t t e n b e t r a c h t e t w e r d e n . Methode von De Chaulncs zur Bestimmung von Brechungsindices 359. — Beobachtungen von Sorby 361. — Theorie von Stokes 363. K u m m e r ' s che S t r a h l e n b ü n d e l 373. — Beobachtungen von Quincke 375. P r i s m e n d o p p e l t b r e c h e n d e r K r y s t a l l e . Zwei Probleme 376. — Spektrometer 378. — Bestimmung der Hauptlichtgeschwindigkeiten optisch einaxiger Krystalle 384. — Bestimmung der Hauptlichtgeschwindigkeiten optisch zweiaxiger Krystalle 391. — Vollständige Bestimmung eines gebrochenen Strahles, dessen Welle zur Kante des Prismas parallel ist 399. T o t a l e .Reflexion. Methoden zur Beobachtung der Kegel der Grenzstrahlen 404. — Totalreflectometer 407. — Totalreflexion an optisch einaxigen Krystallen 415. — Totalreflexion an optisch zweiaxigen Krystallen 421. — Prüfung der Gesetze der Doppelbrechung 427. B r e c h u n g u n d R e f l e x i o n des L i c h t e s an v o l l k o m m e n d u r c h s i c h t i g e n K r y s t a l l e n . Historisches 428. — Einfach brechende Körper 429. — Optisch zweiaxige Krystalle 430. — Optisch einaxige Krystalle 436. — Beobachtungen über uniradiale Polarisationsazimute 438. — Beobachtungen über Polarisationswinkel 440. I n t e r f e r e n z e r s c h e i n u n g e n im p o l a r i s i r t e n L i c h t . Historisches 444. — Polarisationsapparate 445. — Oberfläche gleichen Gangunterschiedes 455. — Interferenzerscheinungen im senkrecht einfallenden polarisirten Licht 460. — Interferenzcrscheinungen im convergenten polarisirten Licht 476. — Bestimmung des Winkels der optischen Axen 488. — Bestimmung des Charakters der Doppelbrechung 495. — Krystallzwillinge 499. K r y s t a l l e mit o p t i s e h e r n D r e h u n g s v e r m ö g e n . Die fundamentalen Beobachtungen am Quarz 502. — Ermittelung der Drchungswinkel für verschiedene Wellenlängen 505. — Die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten der beiden in der Richtung der Axe der Isotropie sich fortpflanzenden circularpolarisirten Wellen 507. — Gestalt der Strahlenfläche und der Normalenflächc im Quarz 509. — Verhalten von Quarzplatten im convergenten polarisirten Licht 512. — Bestimmung des Axenverhältnisses der Schwingungsellipsen und des Gangunterschiedes zweier Wellen von gemeinsamer Fortpflanzungsrichtung 514. — Gliminercombinationen 516.— Charakteristische Eigenschaften des Diehungsvermögens im Quarz und in magnetisch activen Substanzen 517. — Aufzählung hexagonaler, tetragonaler und regulärer Krystalle 517. A b s o r p t i o n d e s L i c h t e s in K r y s t a l l e n . Beobachtungen an schwach absorbirenden Krystallen im durchgehenden Licht 519. — Spektrophotometer 520. — Extinctionscoefficient, Absorptionscoefficient, Absorptionsindex 522. — Abhängigkeit des Absorptionsindex von den Richtungen der Fortpflanzung und der Polarisation in schwach absorbirenden Krystallen 523. — Erscheinungen an planparallelen Platten im convergenten Licht 527. — Reflexion

VII Seite

VIII

Inhalt.

an stark absorbirenden Krystallen 533. — Absorptionsvermögen und Emissionsvermögen 537. E i n f l u s s der T e m p e r a t u r auf die optischen E i g e n s c h a f t e n der K r y s t a l l e 538. 9. Elasticität 545—581 Deformationen 545. — Druckkräfte 546. — Elcmentargesctz 549. — Potentielle Energie eines bei constanter Temperatur im defonnirten Zustande erhaltenen Krystalls 550. — Syminetrieeigenschaften 551. — Homogene Deformationen der Krystalle unter allseitig gleichem Druck 555. — Deformation der Krystalle unter einseitigem Druck 556. — Bestimmung von Dehnungscoefficienten durch Biegung dünner prismatischer Stäbchen 558. — Bestimmung von Torsionscoefficicnten 561. — Resultate der Beobachtungen von W . Voigt. Regulares System 563. — Hexagonales System 566. — Rhombisches System 572. — Thermoelastische Eigenschaften der Krystalle 574. — Adiabatische Deformationen 580. — Innere Reibung der Kryslalle 581. 10. Beziehungen zwischen dem elastischen, optischen und dielektrischen Verhalten der Krystalle 582-600 Einfluss elastischer Deformationen auf das optische Verhalten der Krystalle; Acnderung der Doppelbrechung durch Druck 582. — Elektricitätserregung durch elastischc Deformationen und thermische Dilatationen; Theorie der Piezo- und Pyroelektricitiit 589. — Elastische Deformationen dielektrischer Krystalle im elektrischen Felde 594. — Elektrooplische Erscheinungen in piezoelektrischen Krystallen 598.

Einleitung. 1. Ueber die für Krystalle charakteristischen physikalischen Vectorgrössen. 1. In der ErforschuDg der physikalischen Eigenschaften der Krystalle concentrirt sich das Interesse auf die Vorgänge, welche die Abhängigkeit physikalischer Vectorgrössen von der krystallographischen Orientirung ihrer Richtungen darlegen. Denn für homogene Krystalle ist im Gegensatz zu homogenen amorphen Körpern charakteristisch, dass physikalische Grössen, welche zu ihrer Bestimmung ausser der Angabe eines numerischen Werthes noch die Bezeichnung einer Richtung erfordern, im Allgemeinen auch mit der krystallographischen Orientirung dieser Richtung veränderlich sind. Dadurch tritt in die Elementargesetze, welche sich durch Vectorgrössen ausdrücken, eine neue Reihe von unabhängigen Veränderlichen und mit ihnen eine Reihe von Constanten, welche dem krystallisirten Zustande e i g e n t ü m lich sind. 2. Unter den Vorgängen, welche durch gerichtete physikalische Agentien in homogenen Krystallen erzeugt werden, sind, wie von vornherein hervorgehoben werden muss, zwei Klassen zu unterscheiden. Es handelt sich einmal um Vorgänge, bei denen gewisse Krystalle isotrop sind, und andererseits um Vorgänge, bei denen sich alle homogenen Krystalle ohne Ausnahme als anisotrop erweisen. In der That zeigen die Krystalle des regulären Systems die absolute Gleichartigkeit nach allen Richtungen, wie sie homogenen amorphen Körpern unter der Einwirkung beliebiger physikalischer Agentien eigen ist, in den Dilatationen, welche die Folge einer gleichmässigen Temperaturänderung oder eines allseitig gleichen Druckes sind, in dem Verhalten gegen Strahlung und in den Vorgängen, die unter dem mathematischen Bilde einer Strömung beschrieben werden können, also bei der Leitung der Wärme, der Strömung der Elektricität, der dielektrischen Polarisation, der magnetischen Induction. Dagegen sind diese Krystalle den amorphen Körpern gegenüber physikalisch ausgezeichnet durch die von der krystallographischen Richtung abhängigen Eigenschaften des Wachsthums und der Auflösung, der Spaltbarkeit und der Härte, der Pyro- und Piezoelektricität, endlich durch die VerschiedenLIIBISCH, PHYE. Kryßtallogr.

1

2

Einleitung.

)

^ ^

heiten, welche in den Werthen der Dehnungs- und Torsionscoëfficienten mit der Aenderung der Richtung eintreten. Hieraus geht hervor, dass in einem krystallisirten Körper Richtungen, welche sich unter der Einwirkung gewisser physikalischer Agentien durch übereinstimmendes Verhalten als gleichberechtigt erweisen, unter dem Einfluss anderer Agentien charakteristische Unterschiede darbieten. Gerade die Erforschung dieser auffallenden Verschiedenheiten in der Art der Abhängigkeit des physikalischen Verhaltens von der Richtung bildet eine wesentliche Aufgabe der physikalischen Krystallographie, und es ist Zweck der folgenden Darstellung, über die bislang gewonnenen Ergebnisse eingehend zu berichten. Einstweilen beachten wir, dass auf Grund der fundamentalen Zweitheilung der hier in Betracht kommenden physikalischen Vorgänge auch die Vectorgrössen, welche Funktionen der krystallographischen Richtung sind, in zwei Klassen geordnet werden müssen, deren Natur sofort anschaulich wird, wenn wir uns der geometrischen Darstellung einer Vectorgrösse durch eine Gerade von entsprechender Richtung und Länge bedienen. Alsdann wird die Abhängigkeit der Intensität einer Vectorgrösse von der Richtung in der einen Klasse durch Ellipsoïde, und insbesondere bei regulären Krystallen durch Kugeln repräsentirt, in der andern dagegen durch Flächen höherer Ordnung, welche in dem speciellen Falle der regulären Krystalle dazu dienen mögen, die unterscheidenden Merkmale derselben gegenüber amorphen Körpern zu veranschaulichen. Dieselbe durchgreifende Zweitheilung gelangt in der Folge zur Geltung, wenn wir mit Hülfe jener Vectorgrössen die analytischen Ausdrücke f ü r die Elementargesetze der entsprechenden physikalischen Vorgänge bilden. Unter Benutzung eines mit dem Krystall in starrer Verbindung stehenden Systems von Coordinatenaxen werden in diesen Ausdrücken als unabhängige Veränderliche im Allgemeinen auch diejenigen Grössen auftreten, welche zur krystallographischen Orientirung des Coordinatensystems dienen. Nur wenn es sich um physikalische Vorgänge der ersten Klasse in einem regulären Krystall handelt, müssen die analytischen Ausdrücke der Elementargesetze ungeändert bleiben, wie man auch das Coordinatensystem um den Anfangspunkt drehen mag. 3. Die physikalischen Vorgänge der ersten Klasse besitzen einen höheren Grad von Symmetrie als jene der zweiten; allein die Symmetrieverhältnisse verschiedener physikalischer Vorgänge, welche an einem und demselben krystallisirten Körper beobachtet werden, stehen nicht im Widerspruch mit einander. Ordnet man die Vorgänge nach dem Grade ihrer Symmetrie, so findet man, dass zu den schon vorhandenen Symmetrieelementen neue hinzutreten, die mit jenen im Einklang stehen. Offenbar ist das Symmetriegesetz niedrigster Ordnung, welches an einem krystallisirten Körper beobachtet wird, vor allem charakteristisch für die physikalische Natur desselben. Nun lehrt die Erfahrung den niedrigsten

Die physikalischen

3

Vector grossen.

Grad der Symmetrie in dem auf den Vorgängen des Wachsthums und der Auflösung beruhenden geometrischen Verhalten der Krystalle kennen. Daher definiren wir, hiervon ausgehend, als krystallographisch übereinstimmende Richtungen solche, welche durch die Krystallform als gleichberechtigt gegeben werden. Alsdann sind aber die möglichen Anordnungen krystallographisch übereinstimmender Richtungen von vornherein vollständig bekannt. Denn aus dem geometrischen Grundgesetz der Krystalle, das angiebt, welche Richtungen von Ebenen und Geraden in der Begrenzung ungestört auskrystallisirter Körper neben einander auftreten können, folgen, wie in § 2 dieser Einführung des Näheren dargelegt werden soll, die Richtungen von begrenzenden Ebenen und Geraden, welche gleichberechtigt sind, so dass sie an einem vollkommen ausgebildeten Krystall nothwendig gleichzeitig vorkommen müssen. Dieses Resultat gewinnt nun für die physikalische Untersuchung der Krystalle folgende Bedeutung. Wenn das Elementargesetz eines physikalischen Vorganges in homogenen unsymmetrischen Krystallen gegeben ist, so kennt man auf Grund der Beziehung zwischen der geometrischen und der physikalischen Symmetrie der Krystalle, nach welcher jedes geometrische Symmetrieelement auch ein physikalisches ist, sofort die Gruppen von krystallisirten Körpern, welche bei jenem Vorgange nach Symmetrieeigenschaften unterschieden werden müssen. Denn es ist nur erforderlich, die als möglich erkannten geometrischen Symmetrieelemente der Reihe nach in jenes Elementargesetz eintreten zu lassen.

2. Die Symmetrieeigenschaften der Krystallformen. 4. In der Folge haben wir wiederholt Gebrauch zu machen von dem Resultat der geometrischen Krystallographie, welches aussagt, dass nach geometrischen

Symmetrieeigenschaften

32 Gruppen

krystallisirter

Körper

zu

unter-

scheiden sind.1 Daher soll eine Charakteristik dieser Gruppen vorangestellt werden. Wir werden dabei mit Rücksicht auf die späteren Anwendungen ganz besonderes Gewicht darauf legen, in jeder Gruppe die Symmetrieelemente kennen zu lernen, welche als die erzeugenden bezeichnet werden sollen, insofern ihr Vorhandensein das Hinzutreten der übrigen nach sich zieht. 5. Beachten wir zunächst, dass Flächen in der Begrenzung eines Krystalles nur ihrer Richtung nach völlig bestimmt sind. Wir sind daher be1 Vgl. A. B B A V A I S : Mémoire sur les polyèdres de forme symétrique. Journ. de math. 14, 141 —180; 1849. Études cristallographiques. Journ. de l'éc. polyt. Cah. X X X I V , 101—276, 1851. Gesammelt herausgegeben u. d. T. : Études cristallogr. Paris 1866. 4°. — A. GADOLIN : Mémoire sur la déduction d'un seul principe de tous les systèmes cristallographiques avec leurs subdivisions. Acta soc. scient, fennicae. Helsingforsiae. 1871, 9 , 1—71. (Lu le 19 Mars 1867). — P . COBIE: Sur les questions d'ordre: répétitions. Bull. soc. min, de France. 7, 89—111, 1884. Sur la symétrie, ibid. 418—457. — B. MINNIOEKODB: Untersuchungen über die Symmetrieverhältnisse der Krystalle. N. Jahrb. f. Min. Beil.-Bd. 5 , 145—166, 1887. (Datirt Juli 1886). 1*

4 rechtigt zum Zweck der geometrischen Untersuchung den Flächencomplex einer krystallisirten Substanz durch das Bündel der von einem gemeinsamen Anfangspunkt ausgehenden Flächennormalen zu ersetzen. Zumal die Symmetrieeigenschaften, welche uns hier vor Allem interessiren, erfordern dieses Hülfsmittel der Darstellung. Ein Bündel von Flächennormalen erzeugt im Schnitt mit einer concentrischen Kugel ein sphärisches Punktsystem 2 , welches dazu dienen soll, die Anordnung der Symmetrieelemente eines krystallisirten Körpers in der durch sie bedingten Kugeltheilung übersichtlich hervortreten zu lassen. Indem wir dann die Kugeloberfläche nach dem Princip der stereographischen Projection auf eine den Symmetrieverhältnissen entsprechend gewählte Diametralebene abbilden, gewinnen wir die Figuren 20—46, welche das in Rede stehende Ergebniss unmittelbar zur Anschauung bringen. 1 Da wir uns vorstellen, dass eine Krystallfläche durch die Richtung der von dem Mittelpunkt O der Constructionskugel ausgehenden Normale Op gegeben ist, so kommt jeder Normale ein bestimmter Richtungssinn zu. In jeder durch 0 gehenden Graden erblicken wir also zwei entgegengesetzt gerichtete gerade Linien, von denen die eine als die inverse der anderen bezeichnet werden möge. Die Normalen Op und Op einer Fläche h und ihrer parallelen Gegenfläche h sind demnach invers. Der Winkel zweier Normalen variirt von 0° bis 180° und hat nur eine Halbirungsgerade. 6. Wir betrachten jetzt ein sphärisches Punktsystem 2, welches gleichberechtigte Punkte p, p, p". . . enthält. Beziehen wir 2 auf ein rechtwinkliges Axensystem (xl> x2, x3), dessen Anfangspunkt im Kugelmittelpunkt O liegt, so wird der Punkt p bestimmt durch die Richtungscosinus des Radius Op cos pxx, cos px2, cos px3. Soll nun p mit jp gleichberechtigt sein, so muss ein zweites rechtwinkliges Axensystem (x{, x2, x3) derart durch 0 gelegt werden können, dass die Richtungscosinus des Radius Op in Bezug auf die neuen Axen der Reihe nach den Bestimmungsstücken von Op gleich sind: cos p'x\

= cos pxj,

cos p'x2' = cos px2,

cos p'x3 — px3.

Alsdann bieten sich aber, was den Sinn der beiden Axensysteme angeht, zwei Möglichkeiten dar: (a^, x2, x3) und («/, x2, x3') können von gleichem oder von entgegengesetztem Sinne sein. Hierin ist eine Unterscheidung zweier Arten von Symmetrieeigmschaften begründet, welche eine fundamentale Bedeutung für die folgenden Entwickelungen gewinnt. Den Punkten x1, x2, x3, p sind die Punkte x2, x3, p zugeordnet. Während das erste Aggregat eine unveränderliche Lage auf der Kugel behalten soll, sei das zweite um den Kugelmittelpunkt drehbar. Haben nun 1 Für den vorliegenden Zweck erschien es geboten, abweichend von der gewöhnlichen Darstellungsweise, welche sich auf die obere Hälfte der Kugel beschränkt, die Projection auf ein hinreichendes Stück der unteren Halbkugel auszudehnen.

Symmetrie der Krystallformen. die beiden Axensysteme gleichen Sinn, so kann man x2', x3, p') mit («j, x2, x3, p) durch eine Drehung zur Deckung bringen. Besitzen dagegen die Axensysteme entgegengesetzten Sinn, so kann man durch eine Drehung nur bewirken, dass zwei Axen des einen Systems mit den entsprechenden Axen des anderen zusammenfallen; nachdem diese Lage herbeigeführt ist, stellt das zweite Punktaggregat das Spiegelbild des ersten in Bezug auf die gemeinsame Axenebene dar. Demnach wird in diesem Falle das zweite Aggregat im Allgemeinen erst durch die Verbindung einer Drehung um den Kugelmittelpunkt und einer Spiegelung an einer Diametralebene dm- Kugel in das erste Aggregat übergeführt. Legen wir also die Vorstellung zu Grunde, dass neben dem gegebenen Punktsystem 2 , dessen Lage auf der Kugel eine absolut feste bleiben soll, auf derselben Kugel ein zweites congruentes aber um den Kugelmittelpunkt bewegliches Punktsystem vorhanden sei, so ist unsere Aufgabe in folgender "Weise zu formuliren. Wir fragen einmal nach den Drehungen, welche dem beweglichen System zu ertheilen sind, damit irgend ein Punkt desselben der Reihe nach mit den gleichberechtigten Punkten des festen Systems zusammenfällt; die Drehungsaxen dieser Deckbewegungen liefern uns die Symmetrieaxen von JS". Andererseits handelt es sich darum, zu untersuchen, ob 2 ' durch Operationen der zweiten Art, welche im Allgemeinen aus Verbindungen von Drehungen mit Spiegelungen bestehen, mit 2 zur Deckung zu bringen ist. 7. Die soeben getroffene Unterscheidung findet einen analytischen Ausdruck, wenn wir alle Punkte des Systems 2 auf ein festes, durch den Kugelmittelpunkt O gelegtes Axensystem (xx, x2, x3) beziehen. Dann werden die Richtungscosinus zweier Kugelradien Op und Op' durch eine orthogonale Substitution verknüpft, 1 cos p'xj = an cos px1 + al2 cos px2 + a13 cos px3 (1) cos p'x2 = a 3 1 cos pxx + a22 cos px2 + a.23 cos px3 COS p'x3 = a 3 1 COS pxJ + «32 cos px2 + a33 cos px3, denn sie befriedigen die Relation: (2) cos ipx1 + cos 2px2 + cos 2px3 = cos 2p'xj + cos 2p'x2 + cos 2p'x3 = 1. Die Bedeutung der Coöfficienten ahk ergiebt sich, wenn wir p der Reihe nach mit «j, x2, xs zusammenfallen lassen, wobei die neuen Lagen von p mit x{, x2, x3 bezeichnet werden mögen: cos x\ Xu = auh. Da die Operation, welche p nach p führt, gleichzeitig xx nach x2 nach x2 und x3 nach x3 bringt, so folgt unmittelbar, was übrigens auch aus (2) zu entnehmen ist, dass (x/, x2', x3) ein neues rechtwinkliges Axensystem bilden, in welchem 1 Vgl. B. M I N N I G E B O D E : Untersuchungen über die Symmetrieverliältnisse der Krystalle. N. Jahrb. f. Min. Beil.-Bd. 5, 147, 1887.

Einleitung.

6

COS P Xh =

COS

l pXh

ist. Beachten wir jetzt, dass die Substitutionsdeterminante | ahk | den W e r t h + 1 oder — 1 a n n i m m t , je nachdem die Axensysteme (a^, x2, x3) und (¡Kj', x2', x3') gleichen oder entgegengesetzten Sinn besitzen, so erhalten wir den Satz: Die orthogonalen Substitutionen von der Determinante + 1 bilden die analytische Darstellung der Drehungen des sphärischen Punktsystems 2 , bei denen der Kugelmittelpunkt 0 fest bleibt; darunter treten, wofern das Punktsystem Symmetrieaxen besitzt, 'jene ausgezeichneten Substitutionen auf, welche den Deckbewegungen von 2 entsprechen, d. h. den Drehungen, welche jeden P u n k t p des Systems mit einem gleichberechtigten p, also das ganze Punktsystem mit sich selbst zur Deckung bringen. Andererseits werden durch die orthogonalen Substitutionen mit der Determinante — 1 die Operationen zweiter Art dargestellt, welche sich im Allgemeinen aus einer Drehung und einer Spiegelung combiniren; unter ihnen befinden sich, falls das P u n k t system Symmetrieebenen oder jene aus der Verbindung von Deckbewegungsaxen und Spiegelungsebenen hervorgehenden Symmetrieelemente besitzt, die ausgezeichneten Substitutionen, welche den Deckoperationen zweiter Art entsprechen. 8 . Es sollen jetzt die orthogonalen Substitutionen f ü r eine Drehung und eine Spiegelung des Punktsystems JE aufgestellt werden. Wird 2 u m einen Durchmesser l mit den Richtungscosinus A1? X2, um den Winkel 0 gedreht, so erhält die Substitution (1) die von E u l e b angegebene Gestalt: «i-= [¿12(!- r) + r] «i + [¿1K (1 •- r) + * «s + ft h (I) < = [ W W ) - < ^ 3 ] « i + [ V ( l - / ) + ? ] « 2 «3 -

(! - R)+

2 ] « 1 + [ * 3 ¿ 2 ( 1 - r) - ff Aj] «2 +

2

( W ) - «

3

'(1 - Y) + y]«8 ,

worin zur Abkürzung Uh =

COS

pxh,

a = + sin 0 , gesetzt ist.