Philosophiae naturalis Principiaaaa mathematica [2. ed.]

Citation preview

PHILOSOPHIE N A T U R A L

I S

PR I N C I P I A /"“T*'*

A Ü C T O R E I S A

A

C

O

N E

V

T

O

N

O ;

E Q J J J T E «AV K A T O . E DIT IO UL T I MA Cuiacccdit

An a l y s i $ fer Quantitatum tias

S é r i é s , F l u x i o N es ac D i f f e r e n * tum enumtfütione L i n b a r u m t e r t i i o r d i n j s .

« A M S T Æ L 0 D A M 1, MPT ] DU S

SOCliiTATI

M. D. CCXX1I1.

ç

I L L U S T R I S S I M E

SOCIETATI REGALI, A

SERENISSIMO REGE

C A R O L O II AD

PHILOSOPHIAM

PROMOVENDAM

F U N D A T Æ, E T a ü s p i c i i s

AUGUSTISSIMÆ.

REGINÆ

A N N Æ F L O R E N T I» T

aactatum

hunc

IS. N E

D.D.D. tonus :

I S

V 1 RI

p r æ s t a n t is s im i

I S A A C I NE W T O NI I

OPtJS

t

H O C C E J

'

M A TH E M A T IC O -PH Y SIC U M
lîngula gyris, Hinc patet, horrificis qua fit via flexa Cometis : Difcimus hinc tandem , qua câufa argentea Phœbe Paifibus ifarad æquis eat, & cur fùbdita nulli Hadenus Aftronomo numerorum fræna recufèt : Cur remeent Nodi, curque Auges progrediantur. Difcimus , 8c quantis renuum vaga Cynthia Pontum V’uibus impeÜar; feflis dum fludibus ulvam Deferit, ac nautis fufpedas nudat arenas $ Alternifve mens fpumantia littora pulfat* Qu*

E

Quæ toties animos vétéran* toffère Sophoram* Quæque Scholas hodie rauco certaminç venant / Obvia conlpicimus ,• rnibcm pellette Mâtheïi'-/ Quæ fiiperas penetrare domos , atque ardua Cœli r N ewtqni aufpiciis,- jam dat contjngese T'empk. * * v Surgite Moftales, teriends'mittile tirfasj-** -*--»• -* Atque hinc cœligenae vires cognofcite Mentisy A pecudum vita longe longeqwe remptaç. r> Qui fcriptis primus Tabulis compefcere Cædes , Furta & Adulteria, & petjurae crimihà Fraudis; i 1 Quive vagis populis circumdari mœnibus Urbes Auétor erat j.; Ccrçnfvc j Vel qui curarufri lenimen preflit ab'Üva* Vel qui Niliacarmonftr-ayit arundinepi ^ rei^m.imiqpbüis ordof -, r, » Et quæ præteritis tatuere iqç9gnna, feçlis.j .. < ... ; ' Talia monftrantem juftis çelebr^tpÇanwûîj, , . ,r ; Vos qui cœlefti g^udetis ae&âre veici, ; .. N EwTONUM claufî refèraritem fcrinia Veri, N ewtonum Mufîs carum,. qui peétpjrc .purpf •, ^ Phœbus adell, totoque inuefîit Numine mentem;; | / Ncc fas eft propius' Mortali àttingerç. P i y q s . , / ..., ;

ED, H A L L E E r

AUC

AUCTORIS

P R IF A

TI O

A D

L E

C

T O R E

M.

Um Veteres Mechanicam ( uti auBor efl Pappus ) in rerum Naturalium irroefligatione max'tmi fecerint ; 0 ? Re­ centtores, miffisformis fubflantialibus & qualitatibus occultis, Phanomena Naturæ adleges Mathématieas revocare aggrefifijm ti Vifumefl m hoc TraBatu Mathefin excolere, quatcnus ea adPhilofbphiamj^>e£7«/. Mechanicam vero dupïtcem Peteres confiituerunt : Rationalem qua per Démonfrationes accurate procedit, & Pra&icam. Ad Pra&icam fpeBani Arles omnes Monnaies , a quibus utique Mechanica nomen mutuata efl. Cum aùtem Artifices parnm accurate operari foieant,fit «/Mechanica omnis «Geometria itadtft'tnguatur, ut qukquid accuratumfit ad Geometriam referatur , qu’tequtd minus accuratum ad Mechanicam. Attamen errores nonfiant Artis fied Arùfcum. Qui minus accurate operatur , imperfeBior èft Mecbanicus, & f i quis accuratifiime opérari poffet, hic foret Mecbanicus omniumperfeBiffimus. Nam & Linearum reBarum & Ctrcuhrum deferiptiones in quibus Geometriafundatur , ad Mechanicam pertinent. H as ftneas deferibere Geometria non docet fedpopulat. Poftulat enim ut Tyro tafdem accurate deferibere pr'ms didkerit quam ümen attingat Geometria?; de'tn, quomodo per bas operationes Problemata folvantur, docet. ReBas & Circulot deferibere Problemata funt, fed non Geometrica, Ex Mechanica poftulatur horumfolutio, in Geometria docetur foiutorum ufus. Ac gloriaturGeometria quod tam paucis principi 'ts abonde petitis tam multa prafiet. Fundatur igitur Geo-

C

A U C T ; CF R J

S

Geometria in praxi Méchantedy. & ntbil al'tui eftquanr Mechanicæ univerfalis pars ilia tfita ârtem mtnfiurandr accurate proponit ac demonfirat. Cum autem artes Matina­ les in corporibus movendis pracipue verfentur^ fit ut Geo-: metria ad magnttudinem , Mechanica ad moittm vulgo-réfé­ râtur. f>)uo fen/u Mechanica rationalis ertt Scientia Motuum qui ex viribusqutbufcunque refuitant y & Virium qua ad motus quofcunque requiruntur ,, accurate propofita ac demonftrataPars bac Mechanicæ a Veteribus in- Potentlis quinque ad artes manuales- fipeflanftbus exçultq fu ît, qui Gravitatem (cumpotentia manualis nonfil) vix altier quam\ in ponderibus per potenttas illas movendts conftderarunt. Nés. autem non Artibus fed Philofophiæ confiulentes , deque p*~, tennis non manualtbus fed naturalsbus Jcribentes ,.ea maxi­ me traflamus qua ad Gravitatem >. Levïtatem, vim E h /1 ticam , refitflentiam Fluidorum & ejufimodi vires fieu attrac­ tivasfieu impulfivas fpeBant : eapropter >bac mfirû tanquam Phtlofiopbta prinetpia Mathemaùça propwtmus* Qmnis entm P htlofophta dtfficultas m eo verfart videtury ut a, Phanomenis motuum invefiigemus vires N1attiradeinde ak. bis viribus demonjlremus pbanomena reliquat Et huefpectant Propofitiones generales quas htbro primo & fieewido pertraflavimus. In Ltbro autem tertio Exemplumhujus, rei propofuimus per expl'tcaùonem Syftematis mandant. Ibi, entm, ex Phanomenis codefttbus, per Propofitiones in Ifitbrts priortbus Mâthematice demonfiratas , derivantur vires Cmra­ vitatis quibus corpora ad Solem & Planetas fingulos ten­ dant. . Deinde ex. bis viribus per- Propofitiones ettant M d-, themaùcas, deducuntur motus Planetarum 3 Cometarum, Luna & Maris. . Utinam catera Natura phanomena ex. principïts Méchanicis eodem argumentandi genere derivare, fixeret.-. Nam multa me movent ut mnnthtlfiufipicer ea omnta
gerv$ G ôtes. Collêgii S.T rinitatis Sôcius,, Aflronomiæ & Philofophiæ Expérimentais» Profeflhr cP lumianus^

I;NDEX:

I N D E X CAPITUM. T O TI U S ©PERIS. D ettki t i o he s.' A x i o m a t a , . s i ve L

P ag. t eges

M ot us .

iz

DE M O T U C O R P O R U M L IB E R PRIMÜS. Se c t .

E Methodo rationumpfitnctrum ® 1 V\ 1 J rum.

ulùwa24 S e c t . II. De inventione lArium centripetarum\ 34 Se c t . III. De motu corporum in Conicisfefliontbus eccentricir. 4% S ec t . IV. De inventione Orbium Ellipticorumy Parabolicorum® Hyperboitcorum ex Umbilico date. yÿ S e c t . V . De tnventione Orbium ubi ümbilicus muter datur. 66

S e c t . VI. De tnventione Motuum in Orbibus dàtisr. 97 Se ct . VU. De corporum/Ifcenfu & Defcenfu reBilineo: 1 oy S e ct . VIII. De tnventione Orbiumin quibus corpora Viribus quibufcunque centripetis agttatd revolvuntun r 14S ec t . IX. De Motu corporum in Orbibus mobilibm-, deque' Motu Apftdum. 111 Se c t . X. De Motu corporum itr Superfietebus datisj deque Funependulorum Motu reciproco. 132 Se.ct . XI. De Motu corporum Viribuo centripeùs*fit~nwtue petentium* 147 * S e c t. XII.. De corporum Spjparicorum lAribus attraBivisj. I7ÿ'>

S e c t ..'

S e c t . XIII. De corporumnonSphœncQrumVtr'tbwattraB'tvis. 192 S ec t . XIV. De Motu corporum Minimorumy qua F tribus centripeih adjingulas Mugni alicujus corporisparles tendentibus agitantur. 203 DE M O T U C O R P O1 R U M L I B E R SEC U N D U S. S

ec t.

I. *T X E Motu corporum qutbus rejîfiitur in ratione JL/ Velochatts. z it S e c t . II. De Motu corporum qutbus refifi’ttur in duplicata ratïone Vdocitatis. zio S e c t . III. De Motu corporum qutbus refifliturpartim tnratio­ ne ydo citaits, partim tn ejufdem ratione duplicata. MS S ec t . IV. De corporum Circulari motuin Mediisrefifientibus. 253 S e c t . V. De denjitate & comprejjîone Fluidorum, deque Hydroflatica. 2 60 S ec t . VI. De Motu & Rejijlentia corporum Funependulorum. 272 S e c t . VU* De Motu Fluidorum & refijîentia^ Proje&ilium. ^ VIII. De Motuper Fluidapropagato, S ec t . IX, De Motu Circulari Fluidorum. S ec t .

294 329 34y

D E M U N D I S Y S T E M A T E L I B E R T E R T I US..

R

E g u l æ P h i l o s q p i i a >n d e , P hænomena.

P ROPOSITIONES. SCHOLIUM.

377 379

362 481 P H I L O -

I

P H I L O S OPHIÆ NATURALIS

P R I N C I P I A

MATHEMATICA DEFINITIONES. DEFINITIO

L

Quantitas Matertæ e/l menfura ejufdem orta ex illiusDenfita* te & Magnïtudine conjun&im. ë

E R , denfitaie duplicata, in fpatio etiam dupîicatoyfit quadruplus ; in triplicato fextuplus. Idem intellige de Nive de Pulveribus per compre/Gonem vel liquefa&ionem condenfatis. E t par eit ratio corporum omnium, quæ per caufas quafcunque diverfimode condenfantur. Medii interea, fi quod fuerit, interllitia partium libéré pervadentis, hic nullam rationem habeo. Hanc autem Quanti tatem fub nomine Corporis vel Maflæ in fequentibus painm intelligo. Innotefcit ea per corporis cujufque Pondus. Nam Ponderi proportionalem elle reperi per expérimenta Pendulorum accuratifîime inHituta, mi poithac docebitur.

A

D E F I N I T I O IL Quantitas Motus efl menfura ejufdem orta ex Veîocitate & Quantitate Materia conjunBim. Motus totius eft fumma motuum in partibus fingulis ; adeoque in corporeduplomajore æquali cum veîocitate duplus eft, &dupla cum veîocitate quadruplus. A D E F I-

% DEFINI­ TIONS!.

P H IL O S O P H IÆ N A T U R A L IS D E F I N I T I O IH.

Materta vis infîta efi potentia refiftendi, qua corpus unum* quodque, quantum tnfe efi, perfeverat tnftatufuo vel quiefcendi vel movendt uniformiter in dire&um. Hæc femper proportionalis ell fuo corpori , neque diffèrt quicquam ab inertia malfæ, nili in modo concipiendi. Per inertiam materiæ, fit ut corpus omne de ftatu fuo vel quiefcendi vel movendi difficulter deturbetur. Unde etiam vis inuta nomme lignificantilïimo Vis Inerdæ dici poflit. Exercet vero corpus banc vim folummodo in mutatione liât us fui per vim aliam in fe impreflàm faA»; eftque exercitium ejus fub diverfo refpeétu & Relilientia & Impe. tus: relilientia, quatenus corpus ad confervandum ftatum fuum relu&atur vi impreflæ; impetus, quatenus corpus idem , ~vi relifte»tis obltaculi difficulter cedendo, conatur ftatum ejus mutare. Vül~ gus refiftentiam quiefcentibos & impetum moventibus tribuit: fed motus & q u i e s u t i vulgo concipiuntur , refpeétu folo diltinguuntur ab invicem ; neque femper vere quiefcunt quæ vuJgo tanquam quielcentia fpeftantur.

D E F I N I T I O IV. Vis impreffd efi aB'to in corpus exercita, ad mutandum ejuç fiatum vel qutefcendi velmovendt uniformiter tndireSium. Confiftit hæc vis in a&ione fola, neque poft aftionem permanet m corpore. Perfeverat enim corpus in ftatu omni novo per foîamvim inertiæ. Eli autem vis imprefla diverfârum originum r ut ex hftu,ex PrelHone, ex vi Centripeta.

D E F I N I T T O V. Vis Centripeta efi y qua corpora verfus pun&um aïiquod tan­ quam ad Centrum undique trakuntur, impelluntur > vel utcunque tendunU Hujus generis eft Gravitas , qua corpora tendünt ad centrum terX£; Vis Magnetica, qua ferrum petit magnetem; & Vis ilia, quæcunque lit , qua Planetæ perpetuo retrahuntur a motibus recfilineis, & inlineis curvis revolvi coguntur. Lapis», in funda circumaftus,

PR IN C ÎPIA M A T H E M À T ÏC A .

*

adus, a rircumagente manu abire conatur; & conatu fuo fundam Defikh diftendit, eoque fortius quo cclèrius revolvitur ; & quamprinium TIOK*Rdimittitur, avolat. Vim conatui illi contrariam, qua fonda îapidem io manum perpetuo retrahit & in orbe retinet, quoniam in manum ceu orbis centrum dirigitur, Centripetam appello. E t par efl ratio corporum omnium, quæ ingyrum aguntur. Conantur ea omnta a eentris orbium recedere; & nifi adfit vis aliqua conatui ifti contra* r ia , qua cohibeantur & in orbibus retineantur, quamque idea Cen­ tripetam appello, abibunt in redis lineis uniformi cum motu. Proje a ile , fi vi Gravitatis deflitueretur, non deflederetur in terram, fed in linea reda abiret in cœlos ; idque uniformi cum- motu , fi modo aeris refiftentia tolleretur. Per gravitatem fuam retrahitur a curfu rediüneo & in terram perpetuo fledi tur, idque magis vel mi­ nus pro gravitate fua & velocitate motus. Quo minor erit ejus gra­ vitas pro quantitate materiæ vel major velocitas quacum projiciturr co minus deviabit a curfu redilineo & longius perget. Si Globus plumbeus, data cum velocitate fecundum lineam norizontalem a montis alicujus vertice vi pulveris tormentarii projedus, pergeret in linea curva ad diftantiam duorummilliarium, priufquam in terram decideret : hic dupla cum velocitate quafi duplo longius pergeret, & décupla cum velocitate quafi decuplo longius : fi modo aeris refi­ ftentia tolleretur. E t augendo velocitatem augeri pofiet pro lubitu diftantia in quam proiiceretur, & minui curvatura iineæ quam de»-, fcriberet, ita ut tandem caderet ad diftantiam .graduum decem vel triginta *vel nonaginta; vel etiam ut terram totam circuiret priuf­ quam caderet; vel denique ut in terram nunquam caderet, fed in cœlos abiret & motu abeundi pergeret in infinitum. Et eadem ratione, qua Projedile vi gravitatis in orbem fledi pofiet & terram to­ tam circuire, poteft & Luna vel vi gravitatis, fi modo gravis fit, vel alia quacunque v i, qua in terram urgeatur, retrahi femper a curfu redilineo terram verfus, & in orbem fuurn fledi : & abfque tali vi Luna in orbe fuo retineri non potefl. Hæc vis, fi juflo minor effet, non fatis flederet Lunam de curfu redilineo: fi juflo major, plus fatis flederet, ac de orbe terram verfus deduceret. Requiritur quippe, ut fit juflæ magnitudinis : & Mathematicorum efl invenire V i m, qua corpus in dato quovis orbe data cum velocitate accimte retineri pofiit ; & vicifiim invenire Vim curvilineam , in . quam corpus e dato quovis loco data cum velocitate egreflum a da­ ta vi fledatur. Efl autem vis hujus centripetæ Quantitas trium generum, Abfoluta, Acceleratrix, & Motrix.

Ax

D EFI-

F H IL O S O P H IÆ S e fim i * IlOHES.

N A T Ü R A LIS

DE F I N I T ! O VI. Fis centripète Quantitas Abfoluta efl menfura ejufdem major vel minor pro Efficac'ta eaufe eani propagande a centroper regiones in circuitu. U t Vis Magnetica pro mole magnetis vel intenfione virtutis major m uno magne te, minor in alio.

: D E F I N I T I O VIL Fis centripète Quantitas Acceleratrix efl tpftus menfura Feto* citait proportionalis, quant dato tempore générât. Utî Virtus magnetis ejufdem majpr in minori diftantia, minor în majori: vel vis Gravitans major in vallibus, minor in cacuminibus præaltorum montium, atque adhuc minor (ut pofihac patebit) in majoribus diftantiis a globo terræ ; in æqualibus autem diltantiis eadem undique, propterea quod corpora omnia cadentia (gravia an levia » magna an parva) fublata Aeris refillentia, æqualiter accélérât.

D E F I N I T T a vm . Fis centripète ^ |uantitas Motrix e(l ipfius menfura proportionalis Motui , quem dato tempore générât. ' Uti Pondus majus in majore corpore, minus in minore * inque corpore eodem majus prope terram , minus in cœlis. Hæc Quan­ titas elt corporis totius centripetentia feu propenfio in centrum, & (u t ita dicam) Pondus; & innotefcit femper per vim ipfi contrariai» & æqualem, qua defcenfus corporis impediri poteft. Hafce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires motrices, accélératrices, & abfolutas ; & diÜinflionis gratia referre ad Corpora, centrum petentia,adcorporum Loca, & ad Centrum virium: nimirum vim motricem ad Corpus, tanquam conatum & propenfionem totius in centrum ex propenfionibus omnium partium compofitam; & vim acceleratricem ad Locum corporis, tanquam efficaciam quand am , de centro per loca lingula in circuitu diftufam, ad movenda corpora quæ in iplis funt; vim autem abfolutam ad Centrum, tan­ quam eaufa aliqua præditum, fine qua vires motrices non propagantur per regiones in circuitu ; five eaufa ilia. fitcorpusaJkjuod centrale (quale efl Magnes in centro vis magneticæ, vel Terra in

centro

s centro vis gravitantis) five alia aliqua quæ non apparet. Mathe- D efiniinaticus duntaxat eft hic conceptus. Nam virium caufas & fede$T,OME** Phyficas jam non expendo. Eft igitur vis acceleratrix ad vim motrîcem nt celeritas ad motum. Oritur enim quantitas motus ex celeritate dufta in quarttitatem materiæ, & vis motrix ex vi accélératrice du&a in quantitatem ejufdem materiæ. Nam fumma a&ionum vis acceleratricis in fingulas corporis particulas eft vis motrix totiu 9 . Unde juxta fuperficiem T erræ , ubi gravitas acceleratrix feu vis gravitans in corporibus univer/is eadèm eft, gravitas .motrix feü pondus eft ut corpus: at fi in reloues afeendatur ubi gravitas acceleratrix fit m inor, pon­ dus pariter minuetur, eritque femper ut corpus in gravit atem acceleratricem duétum» Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo minor eft, pondus corporis duplo vel triplo mmoris crit quadruplo vel fextuplo minus. ro rro attraftiones & impulfus eodem fenfu accélératrices & mo­ trices nomino. Voces autem A ttraftionis, Impulfus, vel Propenfionis cujufcunque in centrum , indifferenter & pro fe mutuo promiïcue ufurpo ; has vires non phyfice fed mathematice tantum confiderando. Unde caveat led o r, ne per hujufmodi voces cogitet me fpeciem vel modum a&ionis caufamve aut rationem phyfteam ali. cubi definire, vel çentris (quæ funt punda Mathematica) vires vere & phyfice tribuere-, fi forte aut centra trahere, aut vires cen* trorum eüe dixero.

PRÏNCIPIA M ATHEMATICA.

Scholtum. Hadenus voces minus notas, quo fenfu in fequentibus accipiendæ fm t, explicare vifum eft. Nam T em pus, Spatium , Locum & Motum, ut omnibus notiflima', non defînio. Notandum tamefi, ouod vulgus quantitates hafee non aliter quam ex relatione ad feniibilia conciliât. Et inde oriuntur præjudicia quædam, quibus tolIendis convenit eafdem in abfolutas & relativas, veras & apparen­ tes, mathemaiicas & vulgares diilingui. I. Tempus Abfolutum, verum , & mathemaricum, in fe & natuu fua abfque relatione ad extemum quodvis , æquabiliter fluit, alioque nomme dicitur Duratio: Relativum, apparens, & vulgare eft lenfibilis & externa quævis Durationis per motum menfura ( feu accurata feu inæquabilis) qua vulgus vice vert temporis utitur j ut Hora , D ies, Mentis, Annus.

A 3

II. Spa-

6

P H IL O S O P H IÆ N A T U R A L IS

D ifxni- II. Spatium Abfolutum, natura fua abfque relationead externum tion ^ s. quodvis, femper manet fimilare & immobile: Relativum eft fpatii hujus menfura feu dimenfio auælibet mobilis, quæ a fenfibus noftri$ per fitum fuum ad corpora definitqr, & a vulgo pro fpatio immobili ufurpatur : uti dimenfio fpatii fubterranei, aerei vel çœleftiq definita per fitum fuum ad Terram. Idem funt fpatium abfolutiuq & relativum, fpecie & magnitudine ; fed non permanent idem ferrie per numéro. Nam fi T erra, verbi gratia, movetur; fpatium Aeris noftri, quod relative & refpeétu Terræ femper manet idem, nunc. erit una pars fpatii abfoluti in quam Aer tranfit, nunc alia pars ejus 3 & fie ablolute mutabitur perpetuo. III. Locus eit pars fpatii quam corpus occupât, eltque pro ratio* ne fpatii vel Abfolutus vel Relativus. Pars, inquam, fpatii; non Situs corporis, vel Superficies ambiens. Nam folidorum æqualium æquales femper funt. loci $ Superficies autem ob diiïimilitudinem figurarum ut plurimum inæquales funt ; Situs vero proprie loquendo quaqtitatem non habent, neque tam funt loca quam affeftione$ Ipçorum. Motus totius idem eft cum fumma motuum partium, hoc eft, tranflatio totius de fuo loco eadem eft cum fumma tranflationum partium de locis fuis ; adeoque locus totius idem cum fumina locorum partium , & propterea internus & in corpore toto. IV. Motus Abfolutus eft tranflatio corporis de loco abfoluto iq locum abfolutum, Relativus de relativo in relativum. Sic in navi quæ velis paflis fertur , relativus corporis Locus eft navigii regioilla in qua corpus verfatur, feu cavitatis totius pars ilia quam corpus implet, quæque adeo movetur una cum navi: & Quies relativa eft permanfio corporis in eadem ilia navis regione vel parte cavitatis. At quies vera eft permanfio corporis in eadem parte fpatii illius immoti in qua navis ipfa una cum cavitate fua & contentis univerfis movetur. unde fi Terra vere quiefeit, corpus quod relative quiefeit in navi, movebitur vere & abfolute ea cum velocitate qua navis movetur in Terra. Sin Terra etiam movetur ; orietur verus & abfolutus corporis motus, partim ex Terræ motu vero in fpatio im m oto, partim ex navis motu relativo in Terra : & fi corpus etiam movetur relative in navi ; orietur verus ejus motus, partim ex vero motu Terræ in fpatio im m oto, partim ex relativis motibus tum navis in T erra, tum corporis in navi; & ex his motibus relativis orietur corporis motus relativus in Terra. Ut fi Terræ pars ilia, ubi navis verfatur, moveatur vere in orientem cum velocitate partium iooio ; & velis ventoque feratur navis in occidentem cum velocitate partium decem ; Nauta autem ambulet in navi orien­ tem

P ït I N C I P î A M A T H E M A TIC A .

7

tem vérins cum velocitatis parte uns : movebitur Nauta vere & ab- D é f i folute in fpatio immoto cum velocitatis partibus 10001 in orientem, T I ON & relative in terra occidentem verfus cum velocitatis partibus no­ tent. Tempos Abfolutom a relative diftinguitor in Aflronomia per Æ quationem temporis vulgi. InæqualeS enim funt dies Naturales, qui vulgo tanquam æquales pro menfura temporis habentur. Hanc inæqualitatem corrigunt Aftronomi, ut ex veriore tempore menfurent motus cœleftes. Poffibile e f t, ut nu 11us fit motus æquabilis quo Tempus accurare menfuretur. Accelerari & retardari pofiunt motus omnes, fed fluxus temporis abfolud mutari nequit. Eadem ell du­ ra tio feu perfeverantia exiftentiæ rerum ; five motus fint celeres, five tard!, five nulli : proinde hæc a menfuris fuis fenfibilibus merito diflinguitur, & ex iifdem colligitur per Æquationem Aftronomicam. Hujus autem æquationis in determinandis Phænomenis neceflitas, tum per experimentumHorologii Ofcillatorii, tum etiara per edipfes Satellitum Jovis evincitur. Ut partium Temporis ordo eft immutabilis, fie edam ordo paiv tium Spatii. Moveantur h s de locis fuis, & movebuntur (ut ita ^dicam) de feipfis. Nam tempora & fpatia funt fui ipforum & re­ rum omnium quafi Loca. In Tempore quoad ordinem fuccefticK nis; in Spatio quoad ordinem fitus locantur univerfa. Deillorum eftentia eu ut fint Loca : & loca primaria moveri abfurdum eft. H æc funt igitur abfoluta Loca; & folæ tranftationes de bis lOcis font abfoluti Motus. Verum quoniàm hæ Spatii partes videri nequeunt , & ab invitem per fenfus noftros diitingui ; earum vice adhibemus menfuras fbnfibiles. Ex pofitionibus enim & diftantiis rerum a coipore aliu o , quod fpeftamus ut immobile, definimus loca univerfa : deine etiam & omnes motus æftimamus cum refpedu ad prædifta loca> quatenus corpora ab iifdem transferri concipimus. Sic vice locorum & motuum abfolutorum relativis utim ur, nec incommode in rébus humanis: in Philofophicis autem abftrahendum eft a fenfibus. Fieri etenim poteft, ut nullum révéra quiefeat corpus, ad quod loca motufque referantur. Diftinguuntur autem Quies & Motus abfoluti & relativi ab invicem per Proprietates iuas & Caufas & Eftèftus. Quietis proprietas e f t, quod corpora vere quiefeentia quiefeunt inter fe. Ideoque tum poflibWe fit, ut corpusaliquod in regionibusFixarum, autlonge Ultra, quiefeat abfolute ; feiri autem non poflit ex fuu corporum md invjeem in regjionibus noftris, horumne aliquod ad longinquum

3

8

P H IL O S O P H IÆ N A T U R A LÏS

DEPiNi-quum illud datam pofitionem fervet necne ; quies vera ex horom ti o n15. iiïu inter fe definiri nequir. Motos proprietas eft , quod partes, quæ datas fervant pofitiones ad to ta , participant motus eorundem totorum. Nam Gyrantium partes omnes conantur recedere ab axe motus, & Progredientium impetus oritur ex conjundo impetu partium fingularum. Motis igitur corporibus ambientibus, moventur quæ in ambientibus rela­ tive quicfcunt. Et propterea motus verus & abfolutus definiri nequit per tranflaiionem e vicinia corporum, quæ tanquam quiefcentia fpedantur. Debent enim corpora externa non lolum tanquam quieicentia fpedari, fed etiam vere quiefcere. Aiioquin inclufa omnia, præter tranflationem e vicinia ambientium , participabunt etiam ambientium motus veros ; & fublata ilia tranflàtione non ve­ re quiefcent, fed tanquam quieicentia folummodo fpedabuntur. Sunt enim ambientia ad inclufa , ut totius pars exterior ad partetn interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice , nu­ cléus etiam , abfque tranilatione de vicinia corticis, ceu pars totius movetur. Præcedenti proprietati affinis eft, quod moto Loco movetur una Locatum: adeoque corpus, quod de loco moto movetur, participât etiam loci fui motum. Motus igitur om nes, qui de locis motis fiunt, funt partes folummodo motuum integrorum & abfolutorum: & motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco fuo primo, & motu loci nujus de loco fuo, & fie deinceps; ufque dum perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo Nautæ fupra m emorato. Unde motus integri & abfoluti non nifi per loca immota definiri pofiunt; & propterea hos ad loca immota, relativos ad m obilia fupra retuli. Loca autem immota non fu n t, nifi quæ omnia ab infinito in infinitum datas fervant pofitiones ad invicem; atque adeofemper manent immota, fpatiumque conftituunt quod Immo­ bile appello. Caufæ, quibus motus veri & relativi diftinguuntur ab invicem , funt Vires, in corpora imprefiæ ad motum generandum. M o tu s verus nec generatur nec mutatur ; nifi per vires in ipfum corpus m o­ tum imprellas: at motus relativus generari & mutari pot eft abfque viribus impreffis in hoc corpus. Sufficit enim ut imprimantur in alia folum corpora ad quæ fit relatio, ut iis cedentibus m utetur relatio ilia in qua hujus quies vel motus relativus confiftit. -Rurfum motus verus a viribus in corpus motum impreffis femper m uta­ tur ; at motus relativus ab his viribus non mutatur necefiario. N am fi eædem vires in alia etiam corpora, ad quæ fit relatio, fie imppi-

mantur

P R I N C I P I A M A T H E M A TIC A .

. tanta erit ne C x ii

zo

P H I L O S Ô P H I Æ N A T Ü R A LIS

Axiomat*, fi in vacuo cecidiflet de loco T. Exponatur igitur hæc velocîtas •»v* per chordam arcus T A. Nam velocitatem Penduli in pundo infi* mo elle ut chordam arcus quem cadendo defcripfit, Propofitio eft Geometris notifiima. Poft reflexionem perveniat corpus A ad locum s , & corpus B ad locum k. Tollatur corpus B & inveniatur locus v ; a quo fi corpus A demittatur & poft unam ofcillationem redeat ad locum r , lit s t pars quarta ipfius r v fita in medio , ita videücet ut r s & t u æquentur ; & per chordam arcus t A ex­ ponatur velocitas quam corpus A proxi me poli reflexionem habuit in loco A . Nam t erit locus ille verus & corre&us, ad quem cor» pus A , lublata aeris refiftentia , afcendere debuilTet. Simili methodo corrigendus erit locus k , ad quem corpus B afcendit, & inveniendus locus /, ad quem corpus îllud afcendere debuilTet in va­ cuo. Hoc pa&o experiri licet omnia perinde ac fi in vacuo conliituti efTemus, Tandem ducendum erit corpus A in chordam ar­ cus T A ( quæ velocitatem ejus exhibet ) ut habeatur motus ejus in loco A proxime ante reflexionem ; deinde in chordam arcus t A \ ut habeatur motus ejus in loco A proxime poft reflexionem. E t lie corpus B ducendum erit in choraam arcus B l , ut habeatur motus êjus proxime poft reflexionem. E t limili méthode, ubi corpora duo flmul demittuntur de locis diverfls, inveniendi funt motus utriufr que tam ante, quam poft reflexionem ; & tum demum conferendi mnt motus inter fe & colligendi effèélus reflexionis. H oc modo in Pendulis pedum decem rem tentando , idque in corporibus tam inæqualibus quam æqualibus , & faciendo ut corpora de intervallis -ampli flimi s , puta pedum ofto vel duodecim vel fexdecim, concur» rerent ; reperi femper fine errore trium digitorum in menfuris , ubi corpora fioi mutuo direde occurrebant, quod æquales erant mutationes motuum corporibus in partes contrarias iliatæ, atque adeo quod adio & readio femper erant æquales. Ut fi corpus A incidebat in corpus B cum novem partibus motus, & amillis feptem partibus pergebat poft reflexionem cumduabus ; corpus B refiliebat cum partibus illis feptem. Si cor* pora obviam ibant A cum duodecim partibus & B cum fex , & redibat A cum duabus $ redibat R cum o d o , fada detradione partium quatuordecim utrin­ que. De motu ipfuis A fubducantur partes duodecim, & reftabii oihil;

PRINCIPIA

M A T H E M A T IC A .

n

nfhil : fubducantur aliæ partes duæ, & fiet motus duarum partium L e ges m plagara contrariam : & fie de motu corporis B partium lex fub- M otus. ducendo partes quatuordecim , fient partes o d o ijn plagam contra* nam. Quod fi corpora ibanrad eandem plagam, A velocius cum parribus quatuordecim, & B tardius cum partibus quinque, & polfc reflexionem pergebat cum quinque partibus -, pergebat B cum quatuordecim , fada tranflatione partium novem ae A in B. E t ne in reliquis. A congrefiu & collifione corporum nunquam muta* batur quantitas motus, quæ ex fumma motuum confpirantium & differentia contrariorum colligebatur. Nam errorem digiti unius & alterius in menfuris tribuerim difficultati peragendi fingula fatis accurate. Difficile erat, tum pendula fimul demittere fie , ut cor* pora in fe mutuo impingerent in loco infimo B ; tum loca, s ,k notare, ad quæ corpora afeendebant poil concurfum. Sed & in ipfis pilis inæqualis partium denfitas, & texturaaliis de caufis irregularis, errores inducebant. Porro nequis objiciat Regulam, adquamprobandaminventum eft hoc experimentum, præfupponere corpora vel abfolute dura eflè, vel faltem perfede elaftica, cujufmodi nulla reperiuntur in cornpofiûojfibusiiaturalibus ; addo quod Expérimenta jamdefcripta fuccedunt in corporibus~môllibus æque ac in duris , nimirum a conditione duritiei neutiquatn pendentia. Nam fi Régula ilia in corporibus non perfede duris tentanda eft , debebit folummodo reflexio minui ih certa proportione pro quantitate visElafficæ. In Theoria Wrenn 't & Hugenii corpora abfolute dura redeunt ab invicem cum velocitate congreflus. Certius id affirmabitur de perfede Elafficis. In imper* fedç Elafficis velocitas redi tus minuenaa eft fimul cum vi Elaffica ; propterea quod vis ilia, ( ni fi ubi partes corporum ex congrefiu læduntur, vel extenfionem aliqualem quafi fub malleopatiuntur,) cer­ ta ac determinata fit ( quantum fentio ) faciatque corpora redire ab invicem cum velocitate relativa ,quæ fit adrelativamvelocitatem concurfus in data ratione. Id in pilis ex lana arde conglomerata & fortiter conftrida fie tentavi. Primum demittendo Pendula &menfuran* do reflexionem , inveni quantitatem vis Elafticæ ; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis cafibus concurfuum , & refpondebant Expérimenta. Redibant femper pilæ ab invicem cum veloci­ tate relativa, quæ effet ad velocitatem relativam concurfus ut y ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate redibant pilæ ex chalybe: aliæ ex fubere cum p&ulo minore : in vitreis autem proportio erat i f ad 16 circiter. Atque hoc pado Lex tertia quoad iéhis & reflexiones per Theoriam comprobata eft, quæ cum experientia plane congruit.. C 3 In.

zz A xiomata 4IVE

P H IL O S O P H IÆ N A T U R A L IS

In Attraftionibus rem lie breviter oftendo. Corporibus duobus quibufvis J 9 B fe mutuo trahentibus, concipe obliaculum quodvis interponi quo congreflus eorum impediatur. Si corpus alterutrum A magis trahitur verfus corpus alterum B , quam illua alterum B in ?rius A t obliaculum magis urgebitur preliione corporis A quam >rd!ione corporis B \ proindeque non manebit in æquilibrio. Prævaebit prellio fortior , facietque ut fyftema corporum duorum & ob:laculi moveatur in diredum in partes verfus B , motuque in fpatiis iberis femper accelerato abeat in infmitum. Quod efl abfurdum & Legi primæ contrarium. Nam per Legem primam debebit fyftema perfeverare in ftatu fuo quiefeendi vel movendi uniformiter in diredum , proindeque corpora æqualiter urgebunt obliaculum, & idcirco æqua}iter trahentur in invicem. Tentavi hoc in Magnete & Ferro. Si hæc in vafeulis propriis fefe contingentibus feorfim pofita, inaqua llagnante juxta nuitent ; neutrum propellet alterum,fed æqualitate attradionis utrinque fuftinebunt conatus in fe m utuosf ac tandem in æquilibrio conftituta quiefeent. Sic etiam gravitas inter Terram & ejus partes, mutua eli. Secetur Terra F I piano quovis E G in partes duas E G F & E G I \ & æqualia erunt harum pondéra in fe mu­ tuo. Nam li piano atiô H K quod priori E G parallelum l i t , pars major E G I fecetur in partes duas E G K H & H K / , quarum H K I æqualis lit parti prius ab- y | Icilîæ E F G i manifeilum ell quod pars media E G K H pondéré proprio in neutram partium extremarum propendebit, fed inter utramque in æ quilibrio, ut ita dicam , fufpendetur, & quiefeet. Pars autem extrema H K l toto fuo pondé­ ré incumbet in partem mediam, & urgebit illam in partem alte■ram extremam E G F -, ideoque vis qua partium H K l & E G K H fumma E G I tendit verfus partem tertiam E G F , æqualis ell ponderi partis H K I y id ell ponderi partis tertiæ E G F . Et propterea pondéra partium duarum E G I , E G F in fe mutuo funt æqualia , uti volui oltendere. E t nili pondéra ilia æqualia eftent, T erra tota in libero æthere fluitans ponderi majori cederet, & ab eo fugiendo abiret in infmitum. U t corpora in concurfu & reflexione idem pollent, quorum yelocitates funt reciproce ut vires inlitæ : lie in movendis lollru» mentis mechanicis agentia idem pollent & conatibus contrariis fe mutuo fullinent, quorum velocitates fecundum determinationem virium

P R IN C IP IA M A T H E M A T IC A . virium æftimatæ, funt reciproce ut vires. Sic pondéra «quipol- L e c e s lent ad movenda brachia L ibræ , quæ ofcillante Libra funt reci­ M o t u s . proce ut eorum velocitates furfum & deorfum: hoc eft pondéra, fi refta afcendunt & defcendunt, æquipollent, quæ funt recipro­ ce ut pundorum a quibus fufpenduntur diftantiæ ab axe Libræ ; fin lanis obliquis aliifve admotis obftaculis impedita afcendunt vel efcendunt oblique, æquipollent quæ funt reciproce ut afcenfus & defcenfus , quatenus fafti fecundum perpendiculum : id adeo ob determinationem gravitatis deorfum. Similiter in Trochlea feu Polyfoafto vis manus funem direde trahentis, quæ fit ad pondus vel airede vel oblique afcendens ut velocitas afcenfus perpendicularis ad velocitatem manus funem trahentis, fuftinebit pondus. In Horologiis & fimilibus infirumentis, quæ ex rotulis commiffis confiruda f u n t, vires contrarias ad motiini rotularum promovendum & impediendum, fi fint reciproce ut velocitates partium rotularum in quas im prim untur, fuftinebunt fe mutuo. Vis Cochleæ ad premendum corpus eft ad vim manus manubrium circumageniis, ut circularis velocitas manubrii ea in parte ubi a manu urgetur , ad velocitatem progreffivam cochleæ verfus corpus preffum. Vires quibus Cuneus urget partes duas lîgni fifll funt ad vim mallei in cuneum , ut progrefms cunei fecundum détermina* tionem vis a malleo in ipfum imprefiæ , ad velocitatem qua partes lîgni cedunt cuneo, fecundum lineas faciebus cunei perpendiculares. E t par eft ratio Machinarum omnium. Harum eflicacia & ufus in eo ftrio confiftit, ut diminuendo velocitatem augeamus vim , & contra : unde folvitur in omni aptorum inftrumentorum genere Problema , (Datum fondus data v i movendi, aliamve datam refiftentiam vi data fuperandi. Nam fi Machinæ ita formentur, ut velocitates Agentis & Refiftentis fint reci­ proce ut vires; Agens refiftentiam fuftinebit : & majori cum velocitatum difparitate eandem vincet. Certe fi tanta lit velocitatum diiparitas, ut vincatur etiam rcfiftentia om nis, quæ tam ex contiguorum & inter fe labemium corporum attritiohe, quam ex con? nnuorum & ab invicem feparandorum cohæfione & elevandorum ponderibus oriri folet ; fuperata omni ea refiftentia , vis redundans accelerationem motus fibi proportionalein, partim in partibus machinæ, partim in corpore refiftente producet. Ceterum Mechanicam traftare non cft hujus inftituti. Hifce volui tan­ tum oltendere , quam late pateat quamque certa fit Lex tertia Motus. Nam fi ættimetur Agentis a&io ex ejus vi & velocitate

S

14 Aociomata

S IV*

P H 1 L O S O P H IÆ

NATÜKALT9

tate conjunôim ; & fimiliter Refiftentis readio æftimettrr conjurçctim ex ejus partium fingularum yelocitatibus & viribus refiltendi ab earum attritione, cohæfione , pondéré, & acceleratione oriundis ; erunt adio & readio , in omni inftrumentorum u fu , fibi invicem femper æquales. E t quatenos adio propagatur per inflrumentum & ultimo imprimitur in corpus omne refiftens, ejus ulrima determinatio determinationi readionis femper erit contraria.

D E

MOTU CORPORUM LIBER

P R I M U S.

SECTIO

I.

De Methodo Rationum primarum Ê>* ultimatum , cujus ope fequentia demonftrantur.

LEMMA'L

Q

Uaniitates, ut & quanùtatum raùones, qua adaqualitatem temport quovis fintto conflanter tendunt , Ê f ante finem temporis tlltus proptus adwv'tcem accédant quam pro data quavis differentia, fiunt ultimo (Squales.

Si negas ; fiant ultimo inæquales, & fit earum ultima differentia O . Ergo nequeunt propius ad æqualitatem accedere quam pro da­ ta differentia £> : contra hypothefin. LEM M A

f

L E M M A

%s

II.

S i in Figura quavis A a c E ^ refît* A a , A E ê f curva a c E com prehenfa, infcribantur parallélogrammes quotcunque A b y B c^ C d # &c. fu b b a fib u s A B > B C , C D ? &c. a q u a ltbus, & lateribus B b, C c y D d , &c. fig u r a lateri A a p d ralleïts contenta ; & com pleanturpa^ rallelogramma aKbl y bLcm y cMdn ^ * &c. D e 'tn horum paraîlelogram m orum latitudo m in u a tu r, Ê? numerus augeatur in infinitum : dico quod u ltim a rationes, quas habent a d f e in vicem fig u r a inferipta AKbLcMdD y circum fcrïpta AalbmcndoE y Ê f curviItttea AabcdEj fo n t rationes a q u a ïi- À tatis. Nam Figuræ inferiptæ & circumfcriptæ différencia eft fumma parallelogrammorumK / , L ot, M tt, *Do, hoc eft (obæqualesomnium bafes) reftangulum f\ib unius bafi K b 8c altitudinum fumma A a , id eft, re&angulum A B la. Sed hoc reéfangulum, eo quod latitu­ do ejus A B in infinitum minuitur, fit minus quovis dato. Ergo (per Lemma i. ) Figura inferipta & circumfcrïpta & multo magis Figura curvilinea intermedia fiunt ultimo æquales. Q. E. Z). L E M M A

III.

Eædem rationes u ltim a fo n t etiam rationes a q u a lita tis, ubi parallelogrammorum latitudines &c. A B , B C , C D , fu n t inaquales, Ôf omnes m inuuntur in infinitum . Sit enim A F æqualis latitudini maximæ, & compleatur parallelogrammum F A a f. Hoc erit majus quam differentia Figuræ inferip­ tæ & Figuræ circumfcriptæ; at latitudine fua A F in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis reftangulum. ^ E .T > . Corol. i. Hinc fumma ultima parallelogrammorum evanefeentium coincidit omni ex parte cum Figura curvilinea. Corol. %. Et multo magis Figura reétilinea, quæ chordis evanefD centium

gW

P R I N C IP I A M A T H E M A T IC A .

J*» P R.I

*6

P H IL O S O P H IÆ N ATURA LIS

Di M ot » centium arcuum a b , bc> cd , &c. comprehcnditur, coincidit ultimo COK.POB.ÜMcum Figura curvilinea. Corol. 3. U t & Figura re&ilinea cirCumfcripta quæ tangentibus eorundem arcuum comprehenditur. Corol. 4. Et propterea hæFiguræultimæ(quoad perimetrosa c E ,) non funt reftilineæ, fed reftilinearum limites curvilinei. L E M M A

IV .

Si in duabus Ftguris A a c E , P p r T , tnfcftbantur ( « / fitpra) duæ parallelogrammorum fiertés, Jitqtte idem amborum numerus, ubi latitudines in infinitum diminuuntur, rationes ultimæ parallelogrammorum in una Figura adparallelogramma in altéra, Jingulorum adfingula, fint eœdemj dico quod Figuræ duæ A a c E ^ P p r T , funt ad inviccm in eadem ilia ratione.

Etenim ut funt paralleîogramma fingula ad fingula, ira (componendo) fit fumma omnium ad fummam omnium, & ita Figura ad Flguram ; exifiente nimirum Figura priore (per Lemma n i) ad fummam priorem, & Figura poiteriore ad fummam pofteriorem in ratione æqualitatis. Q E. D. Corol. Hiric fi duæ cujufcunque generis quantitates in eundem partium numerum utcunque dividantur; & partes illæ, ubi numerus earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtineant rationem ad invicem, prima ad primam, fecunda ad fecundam, cæteræque fuo ordine ad cæteras : erunt tota ad invicem in eadem ilia data ratione. Nam fi in Lemmatis hujus Figuris fumantur pa­ rallèle-

PRINCIPIA M A T H E M A T IC A .

17

rallelogramma inter fe ut partes, fummæ partium femper eruntLi» ut fummæ parallelogrammorum; atque adeo, ubi partium & parai- p ** lelogrammorum numerus augetur & tnagnitudo diminuitur in infinitum in ultima ratione parallelogrammi ad parailelogrammum, id eft (per hypothefin) in ultima ratione partis ad partem. L Ë M M A

V.

Similium Ftgurarum latera omnia , qua fibi mutuo refpondent y funt proportionalia, tam curvtlinca quam reÜilinea; & area funt in duplicata ratione laterum. L E M M A

VI.

Si arcus quilibetpofitionedatus AB fabtendatur chorda AB, & in punBor aliquo A , in medio curvatura conti­ nua y tangatur a re&a utrinque produÜa A D j deinpun&a A, 3 ndtnvi~ » cemaccédant & coëant; dico quodanguîus B AD, fub chorda Ôf tangente contentasy minuetur in infinitum S f ultimo cvanefcct* ?

J>

Nam fi angulus ille non evanefcit , continebit arcus A B cum tan* gente A U angulum redilineo æqualem, & propterea curvatura ad pundum A non erit continua, contra hypothefin. L E M M A

V IL

Ttfdem pofitis ; dico quod ultima ratio arcus y chorda, & tangenùs ad invicem efi ratio aqualitatis. Nam dum pundum B ad pundum ^ a c c e d it, intelligantur femper A & A U ad punda locginqua b ac d produci, & fecanti B U parallela agatur bd. Sitque arcus A b femper fimilis arcui A B . Et punôis A y B coeuntibus, angulus d A b y per Lemma fuperius, evanefcet \ adeoque redæ femper finitæ A b y A d Oc arcus intermedius A b coïncident, & propterea æquales erunt. Unde & hifce femper proportionales reaæ A B , A U y & arcus intermedius A B D x eva-

i8 D i Mot? ÇoiÿORUM

P H I L O S O P H 1Æ N A T U R A L IS

evanefoent, & rationem uîtimam habebunt æqualitatis. §>Tl .7J. Corol. i. Unde fi per B ducatur tangemi parallela B F , redam quamvis A F per A tranfeuntem perpetuo fecans in F , hæc B F ultimo ad arcum evanefcentem A B rationem habebit æqualitatis, eo quod completo parallelogrammo A F B D rationem femper habet æqualitatis ad lAT). Corol. x. E t fi per B & A ducantur plures redæ B F , B T ) , A F 9 A G , fecantes tangentem A T ) & ipfius parallelam B F; ratio ulti­ ma abfciflarum omnium A T ) , kA È , B F , B G 9 chordæque & arcus A B ad invicem erit ratio æqualitatis. # Corol. 3. Et propterea hæ omnes lineæ, in omni de rationibus ultimis argumentatione, pro fe invicem ufurpari poflunt. L E M M A

V III.

Si refta data AR, B R cum areu AB , chorda AB Çsf tangente A D , triangula tria A R B , A R B , A R D confiituunt, dein punBa a , B accédant ad invicem : dico quod ultima forma triangulorum evanefeentium e jl Jimilitudinis, & ultima ratio aquaïttath. Nam dum pundum B ad pundum o f àccedit, intelligantur femper A B , A T ), A R ad punda longinqua b, d & r produ- A c i , ipfique R T ) parallela agi r b d , & arcui A B fimilis femper fit arcus A b . E t coeuntibus pundis A , Z?,angulus b A d èvanefcet, & propterea triangula tria femper finita r A b , r A b , r A d coïnci­ dent , funtque eo nomine fimilia & æqualia. Unde & hifee femper fimilia & proportionalia R A B , R A B 9 R A T ) fient ultimo fibi invicem fimilia & æqualia. §KE.T). Corol. Et hinc triangula ilia, in omni de rationibus ultimis argumentatione, pro fe invicem ufurpari poiïunt. LEM M A

PRINCIPIA M A T H E M A TICA . L E M M A

%9

IX .

p

Si rcfta A E & curva A B C pofitione data fie mutuo fecent in angulo data A, ad rcBam illam in alto dato angu­ lo ordinatim applicentur B D , C E curva occurrentes in B , C ; dein punBa B , C fimul accédant ad punBum A: dtco quod area triangulorum A B D , A C E crunt ultime ad invicem in duplicata ratione laterum. Etenîm dum punfta B , Ç accedont ad pun&um A , inteîligatur femper A T ) produci ad pun&alonginqua d & e,'ut fmt x^Ad, A e ipfis A T ) y A E proportionales, & erigantur ordinatæ d by e c ordinatis T) B , E C parallelæ quæ occurrant fis A B , A C produ&is in b & c. uci inteîligatur, tutn curva A b c ipfi A B C fimilis, tu m re â a Ag, quæ tangat curvam utramque in A , oc fecet ordinatim applicatas T) B , E C y dky tC in Fy Gy f y g. Tum manente longitudine A e coeant pun&a B \ C cum punéfo A ; & angulo c A g evanefcente, coïncident areæ curvilincæ A b d y A c e cum reôilineis A f d , A g e : adeoque (per Lemmav.) eruntin du­ plicata ratione laterum A d , A e : oed his areis proportionales femper funt areæ A B * D , A C E ., & his lateribus latera A T ) , A E . Ergo & areæ A B T )> A C E funt ultimo in duplicata ratione làterum ATüyAE. $ . E . 2 * L E M M A X.

S

Spaûa qua corpus urgente quacunque Ft finitadescribit, five Fis iUa déterminâta & bnmutabilis fit y five eadem con­ tinua augeatur vel continuo diminuâtur x funt tpfo motus iniùo in duplicata ratione Temporum* . Exponantur tempora per lineas A T)y A E , & velocitates genitæ per ordinal as C D £ , E C ; & fpatia.his velocitatibus descripta, erunt Ut areæ A B B y A C E his ordinatis deferiptæ, hoc eit, ipfo mo­ tus iuitio (per Lemma xx.) in duplicata ratione temporum A T ) y AE.

g .E .V .

D 3

Corot*

30 De M o t u

P H IL O S O P H IÆ N A T U R A L IS

Corol. i. E t hinc facile colligitur, quod corporum fimiles fimif'igurarum partes temporibus proportionalibus defcribentium E rrores, qui viribus quibufvis æqualibus ad corpora fimiliter applicatis generantur, & inenfurantur per diftantias corporum a r igurarum fimilium locis illis ad quæ corpora eadem temporibus iildem proportionalibus abfque viribus iltis pervenirent > iunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime. Corol. i. Errores autem qui viribus proportionalibus ad fimiles Figurarum fimilium partes fimiliter applicatis generantur) funt ut vires & quadrata temporum conjunrtim. Corol. 3. Idem intelligendum ell de fpatiis quibufvis quæ cor­ pora urgentibus diverfis viribus delcribunt. Hæc funt, ipfo motus initio, ut vires & quadrata temporum conjun&im. Corol. 4. Ideoque vires funt ut fpatia, ipfo motus initio, defcripta directe 6c quadrata temporum inverfe. Corol. 5. Et quadrata temporum funt ut defcripta fpatia directe Sc vires inverfe.

rporvm jjuin

Scbolium. Si quantitates indeterminatæ diverforum generum conferantur inter l e , & earum aliqua dicatur elfe ut eft alia quævis direfte vel inverfe : fenlus e ft, quod prior augetur vel diminuitur in eadem ratione cum pofteriore, vel cum ejus reciproca. E t fi earum aliqua dicatur eflè ut funt aliæ duæ vel plures direôe ve! inverfe ; fenfus e f t, quod prima augetur vel minuitur in ratione quæ componitur ex rationibus in quibus aliæ vel aliarum reciprocæ augentur vel diminuuntur. Ut fi A dicatur elle ut B direôe & C direfte & D inverfe : fenfus eft, quod A augetur vel diminuitur 1 BC in eadem ratione cum B X C X D , hoc eft, quod A & D funt ad invicem in ratione data. L E M M A

XL

Subtenfa evanefcens anguli contaBus, in curvis omnibus curvaturamfinitam ad punBum contaBus habèntibus, eft vTtimo in ratione dupltcata Jubtenfie arcus contermini, Caf. 1. Si arcus ille A B , tangens ejus A D , fubtenfa anguli con­ ta ftus ad tangentem perpendicularis B T ) , fubtenfa arcus A B . Huic fubtenfæ A B & tangenti A D perpendiculares erigantur A G , B G , concur-

P R IN C IP IA M A T H E M A TÏC A .

• n

concurrentes in G? dein accédant punda T), B , G , ad pundad>b,g-, ^ 1BEK fitque J interfedio linearum B G , A G ultimo fada ubi punda Ü, B VK i M U S. accedunt ufque ad A. Manifeltum elt quod diitantia G J minor efTe potell qunm aflignata quævis. E lt autetn (ex natura circulorum per punda A B G , A b g tranleuntium) A B quad. j æquale A G Y. B T ) & Ab quad æqualé A g Y b d , A| adeoque ratio A B quad. ad A b quad. componitur ex rationibus A G ad A g & B T ) ad bd. Sed c quoniam G J affumi poteit minor longitudine quavis aflignata , fieri poteit ut ratio A G ad A g minus différât a ratione æqualitatis quam pro diffèrentia quavis affignata, adeoque ut ra­ tio A B quad. ad A b quad. minus différât a ra­ tione B T ) ad b d quam pro differentia quavis af­ fignata. Elt erg o , per Lemma i, ratio ultima A B quad. ad A b quad. æqualis rationi uliimæ jj/ B T ) ad bd. §^E.T>. Caf. a. Inclinetur jam B 7 ) ad A T ) in angulo G quovis dato, & eademfemper erit ratio ultima B T ) adÆdquæ prias, adeoque eadem ac A B quad. ad A b quad. §KE.T). Caf. 3. E t quamvis angulus T) non d etu r, fed reda B T ) ad datum pundum convergente, vel alia quacunque lege conilituatur ; tamen anguli T ) , d communi lege conftituti ad æqualitatem femper verge nt & propi us accèdent ad invicem quam pro differentia qua­ vis aflignata, adeoque ultimo æquales erunt, per Lem. 1, & propterea lineæ B T ) , bd funt in eadem ratione ad invicem ac prius. § . E. T). Corol. 1. Unde cum tangentes A T ) , A d , arcus A B y A b , &eorum finus B C , bc fiant ultimo chordis A B , A b , æquales; erunt etiam illorum quad rata ultimo ut fubtenf* B T ) , bd. Corol. a. Eorundem quadrata funt etiam ultimo ut funt arcuumfagittæ quæ chordas bifecant & ad datum pundum convergunt.. Nam fagittæ iUæ funt ut fubtenfæ B T ) , bd. Corol. 3. Ideoque fagin a elt in duplicata ratione temporis quo cornus data velocitate delcribit arcum. torol. 4. Triangula redilinea A T ) B , A d b funt ultimo in triplicata ratione laterum A T ) , A d , inque fefquiplicata laterum lD B , db\ urpote in cotnpofita ratione laterum A T ) , 6c T) B , A d 8c db exiftentia. Sic & triangula A B C , A b c funt ultimo in triplicata ratio­ ne laterum B C , bc. Rationem vero fefquiplicatam voco triplicatæ fubduplicaram, quæ nempe ex fimplici 6c fubduplicata componitur, quamque alias felquialteram dicunt. Corol,

3i Con>oRUM.

P H IL O S O P H IÆ N A T U R A L ÏS

Corol. $. Etauoniam D B , db funt ultimo parallelæ & in dupli­ cata ratione ipiarum A D , A d : erunt areæ ultimæ curvilineæ A D B , A d b ( ex natura Parabolæ ) duæ tertiæ partes triangulorum reétilineorum A l } B , A d b ; & fegmenta A B , A b partes tertiæ eorundem triangulorum. Et inde næ areæ & hæc fegmenta erunt in triplicata ratione tum tangentium A T ), A à4 tum chordarum & arcuum A B , A b • Scboiium.

Cæterum in his omnibus fupponimus angulum contaftus nec in­ finité majorent elfe angulis contaftuum, quos Circuli continent cum tangentibus fuis, nec iisdem infinité minorem ; hoc eft curvaturam ad pundum A , nec infinité parvam elfe nec infinité magnam , feu intervallum A J finitæ elfe magnitudinis. Capi enim poteft TDB ut AT)*: quo in cafuCirculus nullus per punftum A inter tangentem A D 8 l curvam A B duci poteft, proindeque angulus contactas erit infinité minor Circularibus. E t fimili argumenta fi fiat D B fucceffive ut AT)*, A T ) ', AT)*,A*.T?, &c. habebitur fériés angulorum contaftus pergens in infinitum, quorum quilibet pofterior eft infi­ nité minor priore. E t fi fiat A B fucceffive ut A D * , A D \ , ADj , A A D y , A D I , &c. habebitur alia fériés infinita an­ gulorum contactas, quorum primus eft ejusdem generis cum C ir­ cularibus, fecundus infinité major, & quilibet pofterior infinité ma­ jor priore. Sed & inter duos quosvis ex his angulis poteft fériés utrinque in infinitum pergens angulorum intermediorum inferi, quo­ rum quilibet pofterior erit infinité major minorve; priore. U t fi inter terminos A D X & A D * inferatur fériés A D V, A D V , A D \, A D it A D k , A D f, B D ^ , A D ' t , A D \ , & c .E tru rfu s inter binos quosvis angulos hujus feriei inferi poteft fériés nova an­ gulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis differentium. Neque novit natura limitem. Quæ de curvis lineis deque fuperficiebus comprehenfis dem onftrata fu n t, facile applicantur aa folidorum fuperficies curvas & contenta. Præmifi vero hæc Lemm ata, ut effugerem tædium d educendi perplexas demonftrationes, more veterum Geometrarum » ad abfurdum. Contraéliores enim redduntur demonftrationes p er methodum Indivifibilium. Sed quoniam durior eft Indivifibilium n ypothefis, & propterea methodus ilia minus Geometrica cenfetur ; malui demonftrationes rerum fequentium ad ultimas quantitatum

eva-

P R ÎN C IP ÏA

M À T H E M A T IC A .

33

evanefcentium fummas & rationes, primafque nafcentium, id e l l, L I B E *. ad limites fummariim & rationum deducere ; & propterea limitum * BIMUS. illorum demonfirationes qua potui brevitate præmittere. His enim idem præfiatur quod per methodum Indivifibilium ; & principiis demonfiratis jam tutius utemur. Proinde in fequentibus , fi quando quantitates tanquam ex particulis confiantes confideravero, vel fi pro redis ufurpavero lineolas curvas ; nolim indivifibilia , fed evanefcentia divilibilia, non fummas & rationes partium determinataru m , fed fummarum & rationum limites femper intelligi ; vimque talium demonfirationum ad methodum præcedeniium Lemmatum femper revocari. Objcdio e fi, quod quantitatum evanefcentium nulla fit ultima proporno; quippe quæ, antequam evanuerunt, non efi ultima, ubi evanuerunt, nulla efi. Sed & eodem argumento æque contendi pofiet nullam efle corporis ad certum locum pervenientis velocitatem uhimam : hanc enim , antequam corpus attingit locum , non elle uhimam, ubi attingit, nullam efle. Et refponfio facilis efi: Per ve!o itatem uhimam intelligi eam , qua corpus movetur neque an­ tequam attingit locum ultimum & motus cefiàt , neque pofiea , fed tune cum attingit ; id e f i, illam ipfam velocitatem quacum corpus attingit locum uhimum & quacum motus ceflat. Et limiliter perultimam rationem quantitatum evanefcentium , intelligendam elle rationem quantitatum non antequam evanefeunt, non pofiea , fed quacum evanefeunt. -Parker & ratio prima nafcentium efi ratio quacum nafeuntur. Et fumma prima & ultima efi quacum elle (vel augeri & minui) incipiunt & celTanr. Extat limes quem velocitas in fine motus attingere poteft , non autem tranfgredi. Hæc efi velocitas uhima. Et par efi ratio limitis quantitatum & proportionum omnium incipientium & ceflantium. Cumque hic limes fit certus & definirus, Problema efi vere Geometricum eundem determinare. Gtometrica vero omnia in aliis Geometricis determinandis ac demonfirandis légitimé ufurpantur. Contendi etiam potefi , quod fi dentur ultimæ quantiratum evanefeentium rationes, dabuntur & ultimæ magnitudines : & fie quan­ titas omnis confiabit ex Indivifibilibus , contra quam Euclïdes de Incommenfurabilibus, in libro decimo Elementorum, demonfiravit. Vera-.n hæc Objcdio falfæ innititur hypotheli. Ultimæ rationes illæ quibufcum quantitates evanefeunt , révéra non funt rariones quantitatum uhimarum , fed limites ad quos quantitatum fine limi­ te decrefcentium rationes femper appropinquant ; & quas propius alîequi pollunt quam pro data quavis difièrcntia, nunquam vero E ' tranf-

34

P H IL O S O P H IÆ N A T U R A L IS

De motu tranfgredi, neque prius attingere quam quantitates diminuuntùr in CoiioiüM. infinitum. Res clarius intelligetur in infinité ma^nis. Si quantita­ tes duæ quarum data eft difierentia augeantur in infinitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio æqualitatis , nec tamen ideo dabuntur quantitates ultimæ feu maximæ quarum ilia eft ratio. Igitur in fequentibus, fiquando facili rerum conceptui confulens dixero quantitates quam minimas , vel evanefcentes , vel ultimas * cave inrelligas quantitates magnitudine determinatas , ied cogita femper diminuendas fine limite.

SECTIO

IL

5De Inventione Virium Centripctarum.

P R O P O S I T I O L T H E O R E M A I. !

A r e a s , quas corpora in gyres a fta radis s a d im m obile cen* tru m viriu m duBss dejcr s h u n t, Ê f in planss immobslsbus confiftere, fe* ejfe temporsbus proportionales. Dividatur tempus in paries æquales, & prima temporis parte defcribat corpus vi infita redam A B. Idem fecunda temporis parte » fi nil im pediret,reda pergeret a d r, (per Leg. i.) defcriben* lineam B c æqualem ipfi A B \ adeo ut radiis A S, BS, c S ad centrum ad is, confedæ forent æquales areæ A S B,ÈSc. Verum ubi corpus ▼enit ad B , agat vis centripeta impulfu. unico fed magno, cfficiatque ut cor­ pus de reda Bc declinet & pergat in reda BC. Ipfi B S s parallela agatur c C , occurrens B C in C ; & compléta fecunda temporis parte, corpus (per Legum Corol, i. ) reperietur in C, in eodem

PRIN C IPIÀ M A T H E M A T IC À .

if

codem piano cum triangulo A S B. Junge SC; & triangulum S B C , ob parallelas S B , Ce, æquale erit triangulo S B c , atque adeo etiamp triangulo S A B . Simili argumento fi vis centripeta fucceflïve agat in C, D, E , &c. faciens ut corpus fingulis temporis particulis lingulas deferibat redas C D , D E , E F , &c. jacebunt næ omnes.in eodem piano; & triangulum J C © triangulo S B C , & S D E ipfi S C D , Sc S E F ipfi S D E æquale crit. Æqualibus igitur temporibus æquales areæ in piano immoto deferibuntur : & componendo, funt arearum fummæ quævis S A D S , S A F S inter fe, ut funt tempora deferiprionum. Augeatur jam numerus & minuatur latitudo triangulorum in infinitum; & eorum ultima perimeter A D F , (per Coroi/arium quartum Lemmatis tertii ) erit linea curva : adeoque vis centripeta, aua corpus a tangente hujus curvæ perpetuo retra­ hit ur , aget inqefinenter ; areæ vero quævis deferiptæ S A D S, S A F S temporibus deferiptionum femper proportionales , erunt iifdem temporibus in hoc cafu proportionales. E. D . Corot, i. Velocitas corporis in centrum immobile attra&i eft in fbatiis non refiilentibus reciproce ut perpendiculum, a centra illo in Orbis tangentem re&ilineam demifium. Eft enim velocitas in locis illis A , B , C , D , E , ut funt bafes æqualium triangulorum A B , BC, C D , D E , E F ‘, & hæ bafes funt reciproce ut perpendicula in ipfas demiffa. Corot. %. Si arcuum duorum æqualibus temporibus in fpatiis non; refiilentibus ab eodem corpore fucceflive deferiptorum chordæ A B , B C compleantur in parallelogrammum A B C V , Sc hujus diagonalisB D in ea pofitione quam ultimo habet ubi arcus illi in infini­ tum diminuuntur, producatur utrinque ; tranfibit eadem per cen­ trum virium. Corot, y Si arcuum æqualibus temporibus in fbatiis non refiftentibus deferiptorum chordæ A B , B C ac D E , E F con pleantur in parallelogramma A B C V , D E F Z ; vires in B Sc E funt ad invicem in ultima ratione diagonalium B U , E Z . ubi arcus ilti in infinitum diminuuntur. Nam corporis motus B C & E F componufltur(per Legum Corol. i.) ex motibus B c , B U Si E f , E Z : atqui B U Si EZ i pf i s Ce Sc F f æquales, in Demonftratione Propofitionis hujus generabantur ab impulfibus vis centripetæ in B Sc E , ideoque funt his impulfibus proportionales. CoroL 4. Vires quibus corpora quælibet in fpatiis non refiftentibus a motibus re&ilineis retrahuntur ac detorquentur in orbes curvos funt inter fe ut arcuum æqualibus temporibus deferiptorum fagittæ illæ quæ convergunt ad* centrum virium, & chordas bifecant E x ubi

$$

P H IL O S O P H IÆ N A T U R A LIS

©* Moto uhi arcus illi in infinitum diminuuntur. Nam hæ fagittæ funt feCcirporuji. miiyes diagonalium de quibus egimus in Corollario tertio. Corol. 5:. Ideoque vires eædem funt .ad vim gravitatis, ut hæ fa­ gittæ ad fagittas horixonti perpendiculares arcuum Parabolicorum quos projectilia eodem tempore defcribunt. Corol. 6. Eadem omnia obtinent per Legum Corol. iv. übi plana in quibus corpora moventur , una cutft centris virium quæ in ipfis fica lu n t, non quiefcunt , fed moventur uniformiter in diredum. j

P R O P O S I T I O II. T H E O R E M A II.

î Corpus omnC) quod movetur in linea aïtqua curva in plàno‘ defcripta, & radio duBo ad punBum vel immobile, vel j motu reBiltneo uniformiter progredtens , defcrihit areas | circa punBum illud temporibus proportionales, urgetur a vi centripeta tendente ad idem punBum.

t

Cas. 1. Nam corpus omne quod movetur in linea curva , detorquetur de curfu redilineo per vim aliquam in iplum agentem ( p e r Leg. 1.) Et vis illaqua corpus de curlu redilineo detorquetur , & cogitur triangula quam minima S A B , S B C , S B D , &c. circapunc*^ j tum immobile S temporibus æqualibus æqualia defcribere , agit in I loco B fecundum lineam parallelam ipfi c C (per Prop. x l . Lib. r. Elem. & Leg. 11.) hoc elt,fecundum lineam B S ; & in loco C fe­ cundum lineam ipfw/2 ) parallelam, hoc eft, fecundum lineam S C f &c. Agit ergo femper fecundum lineas tendentes ad pundum illud* , immobile S. E. *D. Cas. z. E t , per Legum Corollarium quintum , perinde eft five quiefcat fuperficies in qua Corpus defcribit figuram redilineam, fi* ve moveatur eadem una cum corpore, figura delcripta, & pundo< fiio S uniformiter in diredum. , Corol. 1. In Spatiis vel Mediis non refiftentibus, fi aTeæ non funt' ! temporibus proportionales, vires non tendunt ad concurfum radioj rum ; fed inde déclinant in confequentia feu verfus plagam in quamv 1 fit motus, fi modo arearum defcriptio accéléraiur : fin retardatur , déclinant in antecedentia. Corol. x. In Mèdiis etiam refiftentibus, fi arearum defcriptio acceîeratur, virium dirediones déclinant a concurfu radiorum verfus ■ plagam in quam fit motus.. SchoUum.

PR IN C IPIA

M A T H E M A T IC A *

37

Scbol'tum.

L IBER

F ri *vt.-

Urgeri poteft corpus a vi centripeta compofita' ex pluribus viriBus. In hoc cafu fenfus Propofitionis eft , quod vis ilia quæ ex omnibus componitur, tendit ad punttum\y. Porto fi vis aliqua agat perpetuo fecundum lineam iuperficiei defcriptæ perpendicularem ; hæc faciet ut corpus defle&atur a piano fui motus ; fed quan* titatem fuperficiei defcriptæ nec augebit nec m inuet, & propterea in compolitione virium negligenda eu.

PROPOSITIO lit TH EO REM A III; Corpus omne, quod radio ad centrum corports aherius utcun^ que mots duBo defcrtbit areas circa centrum illud temportbus proportionales, urgetur vi compofita ex vi centripète tendente ad corpus illud alterum, & ex vi omni accéléra» trice qua corpus illud alterum urgetur. i Sit corpus primum L & corpus alterum T : & (per Legüffi Co-î roi. v i.) h vi nova ,. quæ æqualis & contraria fit illi qua corpus al­ terum T urgetur, urgeatur corpus utrumque fecundum lineas paral-lelas; perget corpus primum L defcribere circa corp.us alterum T a» reas ealdem ac prius : vis autem, qua corpus alterum T urgebatur ». jam deftruetur per vim fibi æqualem & contrariam •> & propterea (per Leg. i. ). corpus illud alterum T fibimet ipfi jam relî&um vel quiefcet vel movebitur uniformiter in direélum : & corpus primum> L urgente difterentia virium , id eft, urgente vi reliqua perget arcas temporibus proportionales circa corpus alterum 7 * defcribere.. Tvndit igitur (per Theor. n . ) diftèremia virium ad corpus illucË alterum T ut centrum. g . E. eD . Corot, i. Hinc fi corpus unum Z. radio ad alterum 7 *duélo de-~ fcribit areas temporibus proportionales > a?que de vi tota (five fim-pVici, five ex viribus pluribus, jdxta Legum Corollarium fecundum,» compofita,) qua corpus prius L urgetur, fubducatur (per idem Le-gum Corollarium; vis tota acceleratrix qua corpus alterum urgetur vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alterum » T ut centrumCorot. x E t, fi areæ illæ funt temporibus quamproxime propor*tiônales, vis reliqua tendet ad corpus alterum T quamproxime. Corot, y E t vice yerfa > fi vis reliqua tendit quamproxime ad! E y co rp u s

38

P H IL O SO PH IÆ

N A T U R A L IS

de Moto corpus alterum T y erunt areæ illæ temporibus quamproxime proCo*poru* port|onales. Corol. 4 . Si corpus L radio ad alterum corpus T du&o defcribit areas quæ, cum temporibus collatæ, funt valde inæquales ; & corpus illud alterum T vel quiefcit vel movetur uniformiter inÀiireéhim : aôio vis centripetæ ad corpus illud alterum T tendentis , vel nulla eft, vel mifcetur & componitur cum aétionibus admodum potentibus aliarum virium : Vifque tota ex omnibus, fi plures funt vires, compofita, ad aliud (five immobile five mobile) centrum dirigitur. Idem obtinet, ubi corpus alterum moru quocunaue mo­ vetur; fi modo vis centripeta fumatur , quæ reliât poli iuoduétionem vis totius in corpus illud alterum T agentis.

;

Schoïtum.

Quoniam æquabilis arearum defcriptio Index ell Centri , quod vis ilia refpicit qua corpus mixime atficitur, quaque retrahitur a motu re&ilineo & in orbita fua retinetur : quidni ufurpemus in fequentibus æquabilem arearum defcriptionem , ut Indicem Centri :circum quod motus omnis circularis in fpatiis liberis peragitur ? |

P R O P O S I T I O IV. T H E O R E M A IV .

I Corforum y quæ diverfos circulos æquabili motu defcribunt, ! vires centrifêtas ad centra eorundem circulorum tendere ; effe inter fe y ut funt arcuum fimul defcriptorum quadrata applicata ad circulorum radios. Tendunt hæ vires ad centra circulorum per Prop. 11. & Corol. 11. Prop. 1 ; & funt inter le ut arcuum æauaibus temporibus quam minimis defcriptorum finus verfi per Corol. iv. Prop. 1 ; hoc e ll, u t I quadrata arcuum eorundem ad diametros circulorum applicata per i Lem* v i i ; & propterea, cum hi arcus fint ut arcus temporibus quibufvis æqualibus defcripti, & diametri fint ut eorum radii * vi­ res erunt ut arcuum quorumvis fimul defcriptorum quadrata appli­ cata ad radios circulorum. E. *D. Corol. 1. Igitur, cum arcus illi fint ut velocitates corporum , vi­ res centripetæ funt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum: hoc ell, ut cum Geometris loquar, vires funt in ratione compofita ex duplicata ratione velocitatum direfle & ratione fimplici radiorum inver fe

Corol»

PTU N C IPIA M A T H E M A T IC A .

39

Corol. i- E t, cum tempora periodica fint in ratione compofita ex Li* ratione radiorum direde & ratione velocitatum inverfe , vires p*l “ centripetæ funt reciproce ut quadrata temporum periodicorum applicata ad circulorum radios; hoc eft , in ratione compofita ex ratione radiorum direde & ratione duplicata temporum periodi­ corum inverfe. Corol. 3. Unde , fi tempora periodica æquentur & propterea velocitates fint ut radii ; erunt etiam vires centripetæ ut radii : & contra. Corel 4 . Si & tempora periodica & velocitates fint in ratione fubduplicata radiorum ; squales erunt vires centripetæ inter fe : & contra. Corol y. Si tempora periodica fint ut radii & propterea veloci- tares squales ; vires centripetæ erunt reciproce ut radii : & contra. Corol. 6. bi tempora periodica fint in ratione fefquiplicata radio, rum & propterea velocitates reciproce in.radiorum ratione fubdu-plicata; vires centripetæ erunt reciproce ut quadrata radiorum ; & contra. » Corol. 7. E t univerfaliter, fi tempus periodicura fit ut Radii R potellas quælibet R m, & propterea velocitates reciproce ut Radii : potcltas R * ' ; erit vis centripeta reciproce ut Radii poteftasA” ''; & contra. Corol. 8. Eadem omnia de temporibus , velocitatibus, & viribus,. quibus corpora fimiles figurarum quarumeunque fimilium , centra* que in figuris illis fimiliier pofita habentium , partes deferibunt, confequuntur ex Demonfiratione præcedentium ad hofee cafus ap­ plicata. Applicatur autem fubitituendo æquabilem arearum deferiptionem pro'æquabili m otu, & difiantias corporum a centris pro > radiis ufurpando. Corol. 9. Ex eadem demonfiratione confequitur etiam ; quod arcus, quem corpus in circulo data vi centripeta uniformiter revol-- ' vendo tempore quovis delcribit, médius eft proportionaUs inter diametrum circuli, & deicenfum corporis eadem data vi eodemquer tempore cadendo confedum. ‘ Scholium. Cafus Corollarii fexti obtinet in corporibus cœleftibus (u t feorfum collegerunt etiam nofirates W rennus, Hookius & Hallaus} ) & propterea quæ fpédant ad vim centripetam decrefcentem in du­ plicata ratione dfilanüarum a centris f decrevi fufius in fequentibus e x -ponere.. Porro^

40

PH IL O SO PH IÆ

N A T U R A E IS

De motü

Porro præcedentis propofitionis St corollariorum ejus bénéficie, etiam proportio vis centripetæ ad vim quamlibet notam, - qualis eft ea Gravitatis. Nam fi corpus in circulo Terræ concentrico vi gravitatis fuæ revoîvatur , h ïc gravitas elt ipfius vis centripeta. I>atur autem, ex defeenfu gravium , & ttmpus revolutionis unius, & arcus dato quovis tempore defcripti s, per huius Corol. îx. Et hujusmodi propofitionibus Hugenius, in eximio luo T radatu de Horologio Ofcïllatorio, vim gravitatis cum revolvtntium viribus centrifugis contulit. Demonltrari etiam poflunt præcedentia in hune modum. In circulo quovis deferibi intelligatur Polygonum latcrum quotcunque. E t fi corpus, in polygoni lateribus data cum veiocitate movendi., ad ejus angulos lingulos a circulo refieftaiuri vis qua lingulis reflexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas : adeoque fumma virium in dato tempore erit ut velocitas ilia & numerus rellexionum conjunftim : hoc elt ('fi polygonum detur. fpecie) ut longitudo dato illo tempore defcripta & longitudo eadem applicata ad Radium circuli ; id e l t, ut quadratum longitudinis illius applicatum ad Radium : adeoque, ii polygonum lateribus infinité diminutis coïncidât cum circulo, ut auadratum arcus dato tempore deferipti applicatum ad radium. Hæc eft vis centrifuga , ‘ qua corpus urget circulum : & huic æqualis eft vis contraria , qua circulus ccontinuo repellit corpus centrum verfus.

orpouum.colligitur

P R O P O S I T I O IV . P R O B L E M A L D a ta qutbufcunque tn loch veiocitate , qua corpus fig tfra m da ta m vtribus a d commune altquod centrum tendenùbus ’ d efcrib tt, centrum ïllu d tnventre, Figuram delcriptam tangant reftæ très T T , T ^ V , V R , in punctis totidem T , R , concurrentes in T & V. Ad tangentes engantur perpendicula T A , Q B , R C , velocitatibus corporis in punétis illis T , R , a quibus eriguntur reciproce proportionné; id eft, ita ut fit T /t ad ut velocitas in j^ a d velocitatem in T , & Q B ad R C ut velocitas in R ad velocitatem in Per perpendiculorum terminos A ,B .C ad angulos reftos ducam ur^f© B E , E C concurrentes in & E : Et a T D , V E concur­ rent in centro quæfito S.

Nam

FRINCTP1A

M A T H E M A T IC A .

4*

"Nam perpendicüla a centro S in tangentes T T , Q T demiflà (per Corol. i Prop. i?J funt reciproce ut velocitates corporis in punéiis T & Q ; adeoque per conftruftionem ut perpendicüla A T , B Q àirefte, id eft u tp erpendicula a pun&o T) in tangen­ tes demifla. Unde facile colligitur quod puntfta S , T), T, funt in una refta. E t fimili argumenta puntfa S, E , V funt etiam in una re.

PROPOSITIO VI. THEOREM A V. Si corpus in fpatio non refiftente circa centrum immobile in Orbe quocunque rcvolvatur, & arcum quemvis jamjam nafcentem tempore quant minimo defcribat, & fagitta arcus ducs intclligatur quæ citerdam bifecet, & produc'ta tranfeat per centrum virium : erit vis centrspeta in meâïo arcus, ut fagitta dire&e & tempus bis inverfe. Nam fagitta data tempore eft ut vis ( per Corol 4. Prop. 1.)& augendo tempus in ratione quavis, ob au&um arcum in eadem ratione fa­ gitta augetur in ratione ilia duplicata (per Corol.x & 3. Lem.xi.) ad­ eoque elt ut vis femel& tempus bis. Subducatur duplicata ratio tempolis utrinque, & fiet vis ut fagitta direéle & tempus bis inverfe. Q £ .7 ), Idem facile demonftratur etiam per Corol. 4. Lem. x. Corol 1. Si corpus T revol vendo circa centrum S defcribat lineam curvam A T Q , tangat. vero refta Z T R curvam illam iri punfio quovis *P, & ad tangentem ab alio quovis Curvæ punélo Q agatur Q R diftantiæ S T paraïlela, ac demittatur Q T perpéndicuîaris ad diftantiam illam S T : vis centri-' peta erif redpfoce ut" folidum STquad 'XQ Tquad. ^ mQ(j0 ea femper fumatur quan­ titas, quæ ultimo fit ubi coeunt punéii T & Q F

Nam Q R æqualis eft

m

4t PH IL O SO PH IÆ N A T U R A L IS De M o t u ett fagittæ dupli arcus in cujus medio eft 5P , & duplum triançorporui» gUjj five S T ' X Q T , tempori quo arcusifteduplusdefcribitur proportionale eft, idepque pro temporis exponente fcribi poteft. Corol z. Eodemargumento vis centripeta eft reciproce ut folidum STgXgJPg fi modo S T perpendiculum fit a centrovirium in Or&R bis tangcntemT R demilTum. Nam reôangula S T X Q T & S T X Ç T T æquantur. Corol 3. Si Orbis vel circulus eft, vel angulum contaftus cumcirculo quam minimum continet, eandem habens curvaturam eundemue radium curvaturæ ad punétum contaélus & fi R P* chorda t circuli hujus a corpore per centrum virium a&a : erit vis centripeta‘reciproce ut folidum S T q X T V . Nam efl k f P g-

2

Corol 4. Iîfdem pofitis, eft vis centripeta ut velocitas bis direfte,. & chorda ilia inverfe. Nam velocitas eft reciproce ut perpendicu» lum S T per Corol 1 Prop. r. Corol s . Hinc fi derur figura quævis curvilinea A T § > 9 & in ea detur etiam pundum S ad quod vis centripeta perpetuo dirigitur, inveniri poteft lex vis centripetæ , qua corpus quodvis R a curfu reftilineo perpetuo retra&um in figuras illius perimetro detinebitur eamque re vol vend o defcribet. Nimirum computandum eft vel foST q X ®Ta lidum ---- -Q R ~ ve* ^ ° ^ um $ F q X T V huic vi reciproce pro-portionale. Ejus rei dabimus exempla in Problematis fequentibus. P R O P O S I T I Q VII. P R O B L E M A II

Gyretur corpus in circumferentia Circuit, requiritur Lex vis centripeta tendentis ad punÜum quodcunque datum. Efto Circuli circumferentia V j P T A \ pun&um datum ad quocl vis ceu ad centrum fuum tendit S9corpus in circumferen­ tia latum T , locusproximus in quem movebitur K \n E , tum ordinatim applicacam § y in x , & compleatur parallelogrammum T R . Patet E T æqualem efle femiaxi majori A C , co quod afta ab altero Ellip­ feos umbilico H linea H l ipfi E C par al Icia , (.ob æquales C S , C H ) æquentur E S , E l , adeo ut E T femifumma fit ipfarum T S , T I , id eft (ob parallelas H I , T R & angulos æquales I T R , H P Z ) ipfarum T S , T H , quæ conjunftim axem totum % A C adæquant. Ad S T demittatur perpendicularis § T , & Ellipfeos latere refto principali (feu

diéto

L , erit L X §>R ad L x T v ut §>JR ad T v , id eft ut T E feu A C ad P C ; & L x T v ad G v T ut L ad G v ; & G v T ad Qjv quad. ut TCquad. ad CT) quad ; & (per Corol. x Lem. v u . ) gjvquad. ad Q x quad. punftis § & T coeuntibus, eft ratio aequalitatis ; & Ghcquad. feu Qyquad. elt ad §j)Tquad. ut E T quad.ad T R quad. id eft ut C A quad. ad T F quad. iive (per Lem. xn.) ut C © quad. ad C B quad. E t conjundis his omnibus rationibus, L ' X Q R fit ad © 7 * quad. ut

PRINCIPIA M ATHEM ÀTICÀ.

4*

Sed,pundis T coeuntibus, æquantur x T C & G v . Ergo & his libs * . proportionalia L X ^ R & %Tquad. æquantur. Ducantur hæc æqua- PiIMS*’ lia in

& fiet L X S T q. æquale

^

Ergo (per Co-

rol. 1. & 5-. Prop. vi. ) vis centripeta reciproce eft ut L X S T q. id eft, reciproce in rationeduplicata diftantîæ S T . Q E ./. Idem aliter. Cum vis ad centrum Ellipfeos tendens qua corpus SP in Ellipfi ilia revolvi poteft, fit (per Corol. 1. Prop. x.) ut C T diftantia corporis ab Ellipfeos centro C; ducatur C E parallela Ellipfeos tangenti T R : & vis qua corpus idem T , circum aliud quodvis Ellipfeos pundum S revolvi poteft , fi C E & T S concurrant in E , ent ut SP E cub - j, çp (per Corol. 3. Prop. v u .) hoc eft,fi pundum S fit umbilicus Eihpfeos, adeoque T E detur, ut S T a reciproce. Q E .I . Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabolam, & Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignitatem Problematis & ufum ejus in fequentibus, non pigebit cafus ceteros demonftratione confirmare. P R O P O S I T I O X II. P R O B L E M A V II.

Moveatur corpus in Hyperboles : requiritur Lex vis centri­ pète tendentis ad umbtlicumfigura. Sunto C A , C B femi-axes Hyperbolæ; T G , KT> diametri conjugatæ; T F , Q j perpendicula addiametros; & § jv ordinatim applicata ad diametrum G T . Agatur S T fecans cum diametrum *D K in E , tum ordinatim applicatam fj$jv in x , & compleatur pa« rallelogrammum §j^R T x. ratetZs T æqualem efle femiàxi tranfverfo A C , eo quod, ada ab altero Hyperbolæ umbilico H linea H /ip li E C parallela, ob æquales C S, C H , æquentur E S , E l ; adeo ut E T femidiflerentia fit ipfarum T S, T I , id eft ( ob parallelasi/f, T R & angulos æquales I T R , H T Z ) ipfarum T S, T H , quarum diftèrentia axem totum zy/Cadæquat. Ad «5*T demittatur perpendicularis § T . Et Hyperbolæ latere redo principâli (feu^

)d id o L , erit L x Q R ad L x T v ut G^R ad T v ,

id eft, ut T E feu A C ad T C-, Et L X T v ad G v T ut L ad G Gv%

'

so

P H IL O S O P H IÆ N A T U R A L IS

De moto G v ; & G v T ad R fit ad § T q. u t ^ C x Z r X P C ÿ X C © ÿ fe u x C i t y x y C f X C © * ad y C x G x > X C © f X C i 3 quad. five ut z T Cad G v. Sed punctis T & ^coeuntibus æquantur i ? C & G v. Ergo & his proportionalia L X Q R & Q T q . æquantur. Ducantur bæc æqualia in & fiet L X «S*P f . æquale

^rgo (Per CoroL i.

& ? Prop. vi.) vis centripeta reciproce eft ut L X S *Pq, id eftreci. proce in ratione duplicata diftantiæ J* 5P. /• Idem

PRINCIPIA M ATHEM ATICA. L ista

Idem aliter.

P U I M U S.

Inveniatur vis quæ tendit ab Hyperbolœ centro C. Prodibit hæc diftantiæ C T proportionalis. Inde vero (per Corol. 3. Prop. v u .) y

iB*

C b

vis ad umbilicum S tendens erit ut —y y U ' , hoc eft, ob datam T E , reciproce ut S T f . §KE. I . Eodem modo demonftratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam verfa, movebitur in Hyperbola cônjugata.

L E M M A X III. Latus re&um Varabola ad verticem quemvis pertinent, eft quadruplant diftantiæ verticis illius ab umbilico figura. Patet ex Conicis.

L E M M A XIV. Perpendiculum quod ab umbilico Varabola ad tangentem ejut demittitur, medium eft proportionale inter diftantias umbilici a punBo contaBus & a vertice principali figura, Sit enim A T ^P arabola, S umbilicus ejus, A vertex principalis, T’ punfîum Y contactas, T O *— ordinatim applicata ad diametrum principalem, T M tangens diametro principali occurrens in M, & S N , linea — ^ perpendicularis 7 M ab umbilico in tangentem. Jungatur A N , & obæquales M S & S P , M N & N T , M A & A O , parallelæ erunt reftæ A N & O T , tic inde triangulum S A N reT, nec non Q v tangenti parallelam & occurrentem tum diametro T T G in v , tum diftantiæ inAr. Jàm ob fimilia triangula T x v , S T M & æqualia unius latera S M , S T , æqualia funt alterius latera T x feu ÿ R S ed.ex Conicis,quadratum ordinatæ æquale eft redangulo fub latere re&o & fegmento diametri T v ^ i à eft (per Lem. XIII.) redanguk>4?>«yxy® ,feu ^ T S X § t R \ & pundis jP& ^coeuntibus, ra­ tio Q v ad Q x (per Corol. a.L em . v i i .) fit ratio æqualitatis. Ergo fjjjjc quad. eo in cafu, æquale eft redangulo 4 T S X | )JR. Eft autem (ob fimilia trianJS guîa 9 x T , / b S T N ) jjj^x f. ad 9 T q. ut T S q . z à S N q . ____ hoc eft (per * M a s Corol. 1. Lem. xiv.) ut T S ad S A , id eft ut 4 T S X 9 R ad* 4 S A X Q R 9 & inde (per Prop. ix. Lib. v. Elem.) § T q . & 4 S A X Çj^R æquantur. ^

Ducantur hæc æqualia in

& ^et

æquale S T q . X + S A: & propterea (per Corol. 1 & fv,

Prop. vi.) vis centripeta eft reciproce ut S T q X + S A , id eft» ob* datam 4 S A , reciproce in duplicata ratione diftantiæ S T .

Corot.

P R IN C IP IA M A T H E M A TIC A .

S3

Corol. i. Ex tribus noviffimis Propofitionibus çonfequens eft, L ibb* quod fi corpus quod Vis P , fecundum lineam quamvis reCtarn P i? , quacunque cum velocitate exeat de loco P , & vi centripeta quæ fit reciproce proportionalis quadrato difiantiæ locorum a cen tro , fimul agitetur ; movebitur hoc corpus in aliqua feftionum Conicarum umbilicum habente in centro virium ; & contra. Nam datis umbiüco & punfto contaftus & pofitione tangentis, defcribi poteft feétio Conica quæ curvaturam datam ad punftum illud habebit. Datur autem curvatura ex data vi centripeta : & Orbes duo fe mutuo tangentes, eadem vi centripeta defcribi non poffunt. Corol. 2. Si velocitas, quacum corpus exit de loco fuo P , ea f it, qua lineola P R in irnnima aliqua temporis particula defcribi poffit, & vis centripeta potis fit eoaem tempore corpus idem movere per fpatium üj^R: movebitur hoc corpus in Conica aliqua fectione, cujus latus re&um principale eft quantitas ilia

quæ

ultimo fit ubi linëolæ P i ? , Q R in infinitum diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad EUipfin, & cafum excipio ubi cor­ pus refta defcendit ad centrum.

P R O P O S I T I O X IV .

T H E O R E M A VI.

Si corpora plura revolvantur circacentrant commune, vis centripeta fit reciproce in duplicata ratione difiantiæ locorum a centro j dico quod Orbium Latera reBa prtncipalia funt in duplicata ratione arearum quas corpora, radïts ad centrum duBts, eodem tempore defçribunt. Nam, per Corol. x. Prop. x m . Latus re&um L æquale eft quantUati

quæ ultimo fit ubi coeunt punda P &

Sed linea

miiûma g i ? , dato tem pore, eft ut vis centripeta generans, hoc eft (per Hypothefin) reciproce ut S P q.

E rgo

ut

T a . X S T q . hoc e ft, latus re&um L in duplicata ratione areæ TXSR.

t

G y

Corol,

f4

PHILOSOPHIÆ N A T U R A L IS «

Corot. Hinc ellipfeos area tota, éique proportionale reftangulum 0RP0UUM'fub axibus, eft in ratione compofita ex fubduplicata ratione lateris refti & ratione temporis periodici. Namque area tota eft ut area S T , quæ dato tempore defcribitur,duda in tempus periodicum.

db motu

P R O P O S I T I O XV. T H E O R E M A VIL

lifdem pofitis, dico quodTempora periodica in EUtpfibus funt in ratione fefquiplicata majorum axium. Namque axis minor eft médius proportionalis inter axem majo­ rent & latus redum , atque adeo redangulum fub axibus eft in ra­ tione compofita ex fubduplicata ratione lateris redi & fefquiplicata ratione axis majoris. Sed hoc redangulum, per Corollarium Prop. xiv. eft in ratione compofita ex fubduplicata ratione lateris redi & ratione periodici temporis. Dematur utrobique fubduplicata ratio lateris re d i, & manebit fefquiplicata ratio majoris axis æqualis rationi periodici temporis. er Co­ rol. %. Lem. xiv.) perpendiculum demiftiim ab umbilico ad tangentem Parabolæ eft in lubduplicata ratione diftantiæ. In Hyperbola perpendiculum minus variatur, in Ellipfi magis. Corol. 7. In Parabola velocitas corporis ad qüamvis ab umbili­ co diftantianv, eft ad velocitatem corporis revolventis in Circulo ad eandem a centro diftantiam, in .lubduplicata ratione numeri binarii ad unitatem in Ellipfi minor jeft, in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam per hujus Cofollarium feciindum, ve­ locitas in vertlce Parabola eft in hac ratione * & per Corollaria fexta hujus fePropofitionis q u a r ts , fcrvatur eadem proportio in omnibus diftantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas ubique æqualis eft velocitati corporis revolventis i* Circulo ad dimidiam diftantiam, in Ellipfi minor eft < in Hyperbola çnajor. Corol. 8. Velocita&^gyrantis in Seftione quavis Conica eft ad ve­ locitatem gyrantis in Circulo j n diftantia jdiawdii lateris refti princi­ pales Seétionis, ut diftantia ilia âd perpendiculum ab umbilico m tan* gentem Seftionis demiftiim. Patet per Corollarium quintum. Corol. 9. Unde cum (per Corol. 6. Prop. iv.) velocitas gyran­ tis in hoc Circulo fit ad velocitatem gyrantis in Circulo quovis alio , reciproce in fubduplicata ratione diftantiarum $ fiet ex æquo Velocitas gyrantis in Conica fe&ione ad velocitatem gyrantis in Circulo in eadem diftantia, ut media proportionalis inter diftan­ tiam illam communem & femiflem principalis lateris refti feftionis, ad perpendiculum ab umbilico communi in tangentem feftionis demiftiim. P R O P O S I T I O X V II.

P R O B L E M A IX .

Pofito quod vis centripeta fit reciproce proportionalis quadrato diftantiæ locorum a centro, quod vis illius quan­ titas ab/oluta fit cognita • requiritur Linea quam corpus dcfcribit, de loco dato, cum data velocitate, fecundum datam rc&am egrediens. Vis centripeta tendens ad punftum S ea fit qua corpus p in orbita quavis datap q gyretur, oc cognofcatur hujus velocitas in loco p.

De

P R ÏN C IP IA M A T H E M A T IC A .

S7 De loco T , fecundum lineam T R , exeat corpus T , cum data vélo- l IlEK citate, & mox inde, cogente vi centripeta, defledat illud in Coni-p* I N U S* fedionem T ^ Hanc igitur reda T R tanget in T . Tangat itidem reda aliqua f r Orbitam p q ' m f , & fi ab S ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. i. Prop. xvi.) latus rec­ tum principale Conifedionis ad latus redum principale Orbitæ, in ratione comporta ex duplicata ratione perpendiculorum & dupli­ cata ratione velocitatum, atque adeo datur. Sit iftud L. Datur præterea Conifectionis umbilicus S. Anguli R T S complementum ad duos redos fiat angulus R T H , & dabitur pofitione linea T H , in qua umbilicus al­ ler H locatur. Demiflo ad y i/p e rp e n diculo S K , erigi intelligatur femiaxis conjugatus B C , & erit S T q . - z K (P H - + T H q . ' =z S H g . — 4 CHé, — 4 B H « — 4 BC, * V H ia z

*8

P H IL O S O P H IÆ N A T U R À L IS

©• moto cafu hujus C o ro lla rii, fit *D ^ ad 2 ) / / u t 4 © J 1 ad L 8c Coapo&uii divifim TJ S ad TJ H u t 4 TJ *5* — L ad L . Goro/. U n d e fi d a tu r c o rp o ris velocitas in v e rtic e principali TJ, in v en ietu r O rb ita e x p e d ite , cap ien d o fciliaet latus r e d u m e ju s, ad duplam difiantiam 'DS, in dup licata ra tio n e velocitatis hujus d a tæ ad velocitatem co rp o ris in C ir c u lo , ad d ifian tiam T) S , g y ran tis (p e r C o ro l. 3 . P ro p . xv i.) d ein TJH zàTJS u t latus r e d u m a d differe n tia m in te r latus r e d u m & 4 TJ S. Corol 3 . H in c etiam fi co rp u s m o v eatu r in S e d io n e q u a c u n q u e C o n ic a , & e x O rb e fuo im pulfu q u o c u n q u e e x tu rb e tu r ; c o g n o fc i p o t c il O rb is in quo po fiea cu rfu m fuum p eraget- N am com po* n e n d o p ro p riu m co rp o ris m o tu m c u m m o tu illo q u e m im pullus fol us g e n e r a r e t, h a b eb itu r m o tu s q u o c u m corpus- d e d a to im pul* fus lo c o , lec u n d u m re d a m p o fitio n e d a ta m , e x ib it. Corol 4 . E t fi co rp u s illud vi aliqua çx rrin fecu s im prefla co n ti» n u o p e riu r b e tu r , in n o te fce t curfus q u am p ro x im e , co llig en d o m u tatio n es quas vis ilia in p u n d is q u ib u fd am in d u c i t , & e x feriei ana*logia m u tatio n es con tin u as in locis in te rm e d iis æ fiim ando.

Scbolium. Si corpus T vi centripeta ad pundum quodeunque datum R tendente moveatur in péri métro datæ cujufcunque Sedionis coificæ cujus centrum fit C, & reuiratur Lex vis centripetæ : ucatur CG radio RT* parallela , & Orbis tangenti T*G occurrens in G; & vis ilia (per Corol 1 & Schol. Prop. x , CG cub. àl T* quad.

S

S E C T IO

PRINCIPIA MATHEMATICA*

f*

S E C T I O IV. De Inventione OrbiumEllipticorum, Parabolicorum & Hy* perbolicorum ex umbtltco dato. LEMMA

XV.

Si ab EUipfeos vel Hyperbole cujujvis umbilicis duobus S, H , ad punBum quodvis tertïum V inflcBantur reBa duæ SV, H V , quarum una H V a aualisfit axi principalfigura , altéra S V a perpendicuto T R v K in fe demiffo btfecetur in T ; rS . perpendiculum illud T R feBio- \ m Conicam alicubi tanget: TV & contra, fi tangtt, erit HV \ / n. * qualis axi principal figura* \/ \ Secet enimperpendiculum 7 7 2 rec* ® tam H F produ&am , fi opus fuerit, in R , & jungatur S R . Ob æquales T S , 7 F , æquales erunt & re&æ S R * F R & anguli T R S* T R F. Undepun&um R erit ad Sedionem Conicam, & perpendiculum T R tanget eandem : & contra, g . E. T>. P R O P O S 1 T I O X V U I.

P R O B L E M A X.

Datis umbilico & axibus principaltbm defcribere TrajeBo• rias Ellipticas & Hyperboltcas, qua tranfibunt per puncta data, Êf reBas pofitione datas contingent. ' Sit S com m uais um bilicus figurarum $ A B lo n g itu d o axis p rin ci­ p a l T ra je fto riæ cujufvis ; T p u n é tu m p e r q u o d T ra je fto ria d é ­ bet trannre ; & T R r e ô a q u a m d é b e t tan g ere. C e n tro 7* in te rv a ll o ^ i? — S T * fi o rb ita fit e llip fis , vel A B ■+• S T , fi ea fit H y p e rb o la , deferibatur circulus H G. A d tan g e n te m T R d e m itta tu r perpendiculum ST, 8c p ro d u c a tu r id e m ad F . u t fit T F æ qualis ST', cen tro q u e F & in te r vallo A B d e fe rib atu r circulus F H. H a c H a m e th o d o

éo

P H IL O S O P H IÆ N A T U R A L IS

v t Moto m e th o d o five d e n tu r d u o p u n fta SP, / » five d u æ ta n g e n te s T R % Comorvm

t r% five

p u n ftu m T 6c tan g en s 7 ‘i?,d efcrib en d i fu n tc irc u li d u o . S it H e o ru m in te rfe ftio c o m m u n is , & um bilicis S, H , ax e illo d a to d e fc rib atu r T ra je é to ria . D ic o faftum . N am T ra je fto ria d e fc rip ta (eo q u o d T H S T in E llip fi, & T H — *5*SP in H y perb o la æ q u a tu r a x i) tra n fib it p e r punétum T , 6c ( p e r L e m m a fu p e riu s) tan g e t reéiam T R. E t eo d em a rg u m e n to vel tra n fib it eadem p e r p u n fta d u o T , P 9 vel tan g e t restas duas TR , tr. Q E .F .

^ •

P R O P O S I T I O X IX . P R O B L E M A

^ ^

XL

Circa datum nmbilkum TrajeBoriam Parabolkam defcribere, quæ tranfibit per punBa data r 0* reBas pofitionc da­ tas continget. S it S um bilicus, T p u n ftu m 6c T R tan g e n s T ra jeé lo riæ d efcrib en d æ . C e n tro P , intervallo T S d efcrib e c irc u lu m FG. A b um bilico ad tan g e n te m d e m itte p erp en d icu larem S T , 6c p ro d u c eam ad A'’, u t fit T V « q u a lis ST. E o d e m m o d o defcrib en d u s e it a lle rc irc u lu s f g , fi d a tu r alteru m p u n ftu m v e l in v en ien d u m alteru m p u n étu m fi d a t ur altéra tangens * r ; d ein d u c en d a reéta I F q u æ ta n g a td u o s c irc u lo s FG, fg ,fi d a n tu r d u o punc­ ta T , f , vel tran feat p e r d u o punéta V, v , fi d an ­ tu r d u æ tan g e n te s T R , t r , vel tan g at circu iu m F G 6c tranfeat p e r p u n c tu m V , fi d a tu r p u n c­ tu m P & tan g en s T R . A d F I d e m itte p erp en d icu larem S I , e a m q u e bifeca in K \ 6c axe S K , v e rtic e principali K d e fc rib a tu r P a rabola. D ic o factum . N am P a ra b o la , o b æ quales S K 6c I K , S T 6c F T , tran fib it p e r p u n c tu m T \ 6c (p er L em m a iis x iv C orol. 3 .) o b æ quales S T 6c T V 6c angulum re c tu m S T R , ta n g e t rectam T R .

& .E .F . P R a

PR IN C IPIA M A T H E M A TICA .

tfi

P R O PO S IT IO XX. PR O B LEM A XII. Ctrca datum um btïtcum TrajeEîoriam quam vis fp ecic datant d efcn b ere, quæ p e r data p u ncta tranfib 'tt rcctas tanget poftùone datas. Caf i. Dato umbilico S, deferibenda fit Trajectoria A B C p er puncta duo B , C. Ouoniam Trajectoria datur fpecie, dabitur ra­ tio axis principalis ad diltantiam umbiiieorum. In ea ratione cape K B ad B S , & AC ad CS, Centris B,C, intervallis B K, C L , deferibe circuios duos & ad rectara K L , quæ tangat eofdem in K & k ’ L , démit te perpendiculum S G , idemque feca in A & a , ita ut fit G A ad A S & G a ad ««S1ut eft K B ad B S , & axe A a , verticibus A , a , deferibatur Traje&oria.. Dico faéium. Sit enim H umbilicus alter Figuræ deferiptæ, & cum lit G A ad A S ut G a ad a S , erit divifim G a — G A feu A a ad a S — A S leu S H in eadero ratione , adeoque in ratione quam habet axis principalis Figuræ deferibendæ ad diftantiat» ■umbiiieorum ejus ; & propterea Figura deferipta eft ejufdem» fpeciti cum deferibenda. Cumque fint K B ad B S f k L C z d C S in eadem ratione , tranfibit hæc Figura per puncta B , C , ut e s Conicis manifeftum eft. Caf. z. Dato umbilico S , deferibenda fit Trajectoria quæ rectas duas T R , t r alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes demitte perpendicula S T , S t & produc ea­ dem ad V , v , ut fint T P , t v æquales T S, tS . Bifeca V v \ n O, & érigé perpendiculum infinitum OH, rectamque V S infinité productam feca in K & k ita, ut fit V K ad K S & F k ad k S ut eft Trajectoriæ deferibendæ axis principalis ad umbilicorum diltantiam. Super diametro K k deferibatur circulus fecans OH in H ; & umbilicis *5*, H , axe principali îpfam V I T æquante, deferibatur Trajectoria. Dico factum.. N;,m biieca* K k in X , & junge H X , H S t H V , H v . Quoniam eft V K ad K S ut V k t à AS-, & compofite ut V K ■>- V k ad A J - t - d i v i f i m q u e H 3 ütt

PnxitvSr

6i P H IL O S O P H IÆ N A T Ù R A LIS DEMoruut V k — V K ad k S — K S , id eft ut x V X a d x K X & x K X ad Cokporum x S X , adeoque ut V X ad H X & H X ad S X , fimilia erunt triangula V X H , H X S , & propterea V H erit ad S H ut V X ad X H , adeoque ut V K ad K S. Habet igitur Trajeéioriæ defcriptæ axis principalis V H èam rationem ad ipfius umbilicorum diftantiam S H , quam habet Trajeéioriæ defcribendæ axis principalis ad ipfius um­ bilicorum diftantiam, & propterea ejufdem eft fpeciei. Infuper cum V H , v H , æquentur axi principali, & V S , v S a reélis T R , t r perpendiculariter bifecentur, liquet, ex Lemmate x v , reétas illas Trajeétoriam defcriptam tangere. ÇKE.F. Caf. 3. Dato umbilico S defcribenda fit Trajeétoria quæ reélam T R tanget in punélo dato R. In reélam T R demitte perpendicularem S T , & produc eandem ad V', ut fit T V æqualis ST . Junge V R , & reélam V S infinité produéiam feca in K & k , ita ut lit V K ad S K & V k ad S k ut Ellipfeos defcribendæ axis principalis ad difiantiam umbilicorum ; circuloque fuper diametro K k defcripto, fecetur produéta reéta V R in H , & umbilicis S , H , axe principali reélam V H æquante, defcribatur Trajeétoria. Dico faétum. Namque V H eflè ad S H u t V K z d S K , atqueadeout axis principa­ lis Trajeéioriæ defcribendæ ad difiantiam umbilicorum ejus, pa. « y/ \ ... / tet ex demonftratis in Cafu fe. \ cundo, & propterea TrajeélohX . . riam defcriptam ejufdem efleV T K & K K fpeciei cum defcribenda ; reélam 1 vero T R qua angulus V R S bifecatur, tangere Trajeéloriam in punélo R , patet ex Conicis. E. F. Caf 4. Circa umbilicum S defcribenda jam fit Trajeéloria A T B , quæ tangat reélam T R , tranfeatque per punélum quodvis T extra tangentem datum, quæque fimilis fit Figuræ a f b , axe principali a b & umbilicic s, h defcriptæ. In tangentem T R demitte perpendiculum S T , & produc idem ad V , ut fit T V æqualis ST. Angulis autem V S T , S V T fac angulos bs q, s h q æquales; centroque q & intervallo quod fit ad a b ut S T ad V S defcribe circulum fecantem Figuram a f b in f . Junge s f & âge S H quæ fit ad s h ut eft S T ad s f , quæque angulum T S H angulo f s h & angulum V S H angulo f s q æquales conflituat. Denique umbilicis S, H , &* axe principali A B diftantiam V H æquante , defcribatur feétio Conica Dico faélum. Nam fi agatur s v quæ fit ad s f ut eft s h ad

Y

P R JN C IP IA M ATHEM A TICA .

6*

ad s q y quæque conftituat angulum v s f angulo h s q & angulum L i ber v s b angulo p s a squales, triangula s v h , s p q erant fimilia &pro- P pterea v b erit ad p q ut eft s b ad s q > id eit (ob fimilia triangula

V S T , bs q) ut eft V S ad S *P feu * b ad f q. Æquantur ergo* v b & a b. Porro ob iimiiia triangula V SH . v s b , elt V H ad S H ut v h ad s h , id eft, axis Conicæ teftionis jam deicriptæ ad illius urnbiîicorum intervallum , ut axis a b ad umbilicorum intervallun* sb\ & propterca Figura jam deicripta fimilis eltFiguræ apb. Tranfit aurcm haec Figura per punftum *P ,, eo quod triangulum *P S Ht fimile lit triangulo p s h\ & quia V H æquatur iplius axi & V S bifecatur pcrpendiculariier a reda T R , tangit eadem rectam T R*.

LEMMA

XVI,

A data tribus punB'ts ad quartum non datum infleffere tresr rtÜas quarum differents* vel dantur vel nullæfunK Caf. i. Sunto puncta ilia data A> B , C & punctum quartum 2 Tt quod invenire oportet ; Ob datam diftèrentiam linearum A Z y BZ>. locabitur punctum Z in Hyperbola cujus umbilici funt A & B , & principalis axis difterentia ilia data. SU axis ille M H Cape SP M l ad:

*>4

P H I L O S O P H 1Æ N A T U R A L IS

ad M A ut eft M N ad A B , & erecta T R perpendiculari ad A B , CoM'OKUM demiffaque Z R perpendiculari ad T R ; erit, ex natura hujus Hyperbolæ, Z R ad A Z ut eft M N ad A B . Simili difcurfu pundum Z locabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici funt C St principalis axis dift'erentia inter A Z St C Z , ducique poteft (jj^S ipfi A C perpendicularis, ad quam fi ab Hyperholæ hujus pundo quovis Z demittatur normalis Z S , hæc fuerit ad A Z ut eft differentia inter A Z St C Z ad AC. Dantur ergo rationes ipfarum Z R St Z S ad A Z & idcirco datur earundem Z R & Z S ratio ad invicem ; ideoque fi redæ R T , S ^ concurrant in T , S t agatur ÎT.Z, figura T R Z S , dabitur fpecie, St reda T Z \ï i qua punctum Z alicubi lôcatur, dabitur pofitione. Eadem methodo per Hyperbolam tertiam, cujus umbilici funt B S t C S t axis principalis dift'erentia rectarum B Z , C Z , inveniri poteft _ alia recta in qua punctum Z loca- * tur. Habitis autem duobus Locis rectilineis, habetur punctum quæfitum Z in eorum interfectione. E. I. Caf. x. Si duæ ex tribus lineis, puta A Z S i B Z æquantur, punctum Z locabitur in perpendiculo bifecante diftantiam A B , S t locus alius rectilineus invemetur ut fupra. §1 E. I. Caf. 3. Si omnes très æquantur, locabitur punctum Z in centro Circuli per puncta A, B, C tranfeuntis. E. I. Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum T aciionum Apollont't a V'teta reftitutum.

D

e

M otv

P R O P O S I T I O XXI.

P R O B L E M A XIII.

Trajectoriam circa datum um bU kum defcrtberc, q u a tr a n fib'tt p e r puncta data ® rectas poftùone datas cont m get, Detur umbilicus S , punctum T , St tangens 7 7 ? , & inveniendus fit umbilicus alter H. Ad rangentem demitte perpendiculum S T , & produc idem ad T , ut fit T T , æqualis S T , St erit T H asqualis axi principali. Junge S T , H T , St erit S T differentia inter • H T St axem principalem. Hoc modo fi dentur plures tangen­ tes

PRINCIPIA M A T H E M A T IC A .

«5

tes T R vel plura punda T y devcnietur fcmper ad lineas totidem L ise * P &i u v si T H , vel T H y a didis puncfis F vel T ad umbilicum H d u d as, quæ vel æquantur axibus , vel datis longitudinibus S T dtfferunt ab iifdem, at< / \ que adeo quæ vel æquantur fibi invicem, vel datas habentdiftèrentias; ' & inde,per Lemma fuperius, datur umbilicus ille alter//. Habitis autem ** umbilicis una cura axis longitudine (quæ vel T H ; v el, fi T ra­ iedoria Ellipfiseft, T H -+- S T ; fin Hyperbpla, T H S T ) habetur Trajeaoria. jg .F . 7 . Schoïtunu Cafus ubi dantur tria punda fie folvitur expeditius. Dentur punda ByCy*D. Jundas BCy C D produc ad E t F, ut fit E B ad F C ut S B ad S C y & F C ad F D ut S C ad S D . Ad E F dudam & produdam demitte normales S G , B H , inque G S infinité produda cape G A ad A S & G a ad a S ut eft H B ad B S; & erit A vertex, & A a axis pruiçipalis Trajedoriæ : quæ , perinde ut G A major , æqualis, vel minor fuerit quam A S y erit Ellipfis, Plrabola ygl Hypeçbola $pundo a in pri- 1 mo cafu cadente ad eandem partemlineæ J G ^cum pundo A \ in ^ fecundo cafu abeunte in infinitum ; in tertio q. cadente ad contrari­ ant partem lineæ GF. Nam fi detnittantur A ad G F perpendicula C I , D K y erit /C a d H B ut F C a d E B t hoc eft, ut S C ad S B ; & viciflim IC ad SC ut H B ad S- B five ut G A ad S A. Et fimili ar­ gumenta probabitur efte K D ad S D in eadem ratione. Jacent ergo punda J?,C,©inConi fedione circa umbilicum J’itadefcrip'ta,utrectæ omnes ab umbilico S ad fingulaSedionispundadudæ,fint ad per­ pendicula a pundis iifdem ad redam GFdem iftà in data ilia ratione. Methodo haud multum diftimiü hujus problematis folutionem tradit Clariffimus Geometra de la H'tre, Conicorum fuorum Lib. VIU.Prop. XXV. i SECTIO

66

PH IL O S O P H IÆ N A T U R A I .I S

D* M otu

Ç jORPORUM,

S E C T I O V. Inventio Orbium ub't umbiltcus neutcr datur. L E M M A

XVII.

S i a d a ta Conte& SeBionis punB o quovis P , a d T ra p ezït a m licujus A B D C , in Conica ilia feB io n e infer tp ù , laie rat quatuor infinitéprodu& a A B , C D , A C , D B , totidem rect a P Q , P R , P S , P T in datis angulis ducantur\ Ctngula a d fw g u la : reBangulum duB a ru m a d oppofita duo la tera P Q x P R , erit a d reBangulum ductarum a d alia duo laterà oppofita P S .X P T /# data ratione. Gtf. i. Ponamus primo lineas ad oppofita latera duftas parallèles effe alterutri reliquorum laterum , puta B Q ô z B R lateri A C , 6c B S ne B T lateri A B . Sintque infuper latera duo ex oppofitis , puta A C & B , fibi invicem parallela. E t reéïa quæ bifecat parallela ilia latera erit una ex diametris Conicæ fe&ionis & bilecabit etiam RgK Sit O pun&urn in quo B bifeeatu r,& erit B O ordinatim applicata ad diametrum illam.’ Produc B O ad K ut fit O K æqualis B O , & erit O K ordinatim applicata ad contrarias partes diametri. Cum igitur punfta A , B , 6c K Tint ad Conicam leélionem, 6c B K fecet A B in dato angulo, erit (per Prop. 17. & 18. Lib. III. Conicorum ApoUonii) reéïangulum B §) K ad redlangulum A § ^B in data ratione. Sed 6c B B æquales îunt, utpote æqualium O K , O B , & O B difïèrentiæ , & inde etiam reftangula B Q K & B j^ X B R æqualia funt? arqueadeo reéïangulum B Q x B R eltad redangulum ^ f ^ 5 ,h o ceftad reftangulum B S X B T in data ratione... 6KE.*D. C aS.

P R IN C IP IA MA-THEMATICA..

*7

C a/.i. Ponamus jam Trapezii latera oppofita A C & B*D non L m » efle parallela. Age B d paraUelam A Ç 6c occurrentem tum reftæ Pmiid* S T in t , tum Conicæ fe&ioni in d. Junge Cd fecantem T* £Mn r , & ipfi P ^ paralîelam âge 2 ) M fecantem C d’ in M & A B in N. Jam ob fimilia triangula B T t , T > B N ; eft B t feu T t ut D N ad N B . Sic 6c R r eft ad A ^ feu B S ut 2 ) M ad A N. Ergo , ducendo antecedentes in antecedentes & confequentes in confequentes , ut redangulum P in R r eft ad redangulum T S in T t , ita redangulum __ N "DM eft ad reâangulum A N B , & (per Caf. 1.) ita rectangulum 2 *j|Jin ? r e f t ad rectangulum T S in P t , ac divifim ita rectangulum^P G) X 2 *R eft ad rectangulum Ï S X P T . $.E.T> . Caf, 3. Ponamus denique lineas quatuor P G ^ P R , P S i P T non elfe parallelas lateribus A C , A B , fed ad ea utcutvque inclinatas. Earum vice âge P q , P r parallelas ipfi A Ci 6c P s, P t parallelas ipfi A B ; & propter datos angulos rriangulorum P G^q, P R r , P S s, P T t , dabuntur rationes P 9 ad P q , P R ad P r , P S ad P s , 6c P T ad P t ;atque adeo rationes compofitæ P £ > X P R ad P q X P r , 6c P SX. P T ad P s X P t . Sed, per fuperius dëmonftrata, ratio P q X P r ad P s X P t data eft : Ergo & ratio P P R ad P S X P T . G^E. 2 >. L E M M A

XVIII.

ltfdem p o fith , f i reclangulum duel arum a d oppofita duo late­ ra Trapezït P Q x P R f i t a d reBangulum duel arum a d r e ­ lo u a duo latera P S x P T ‘m data ratione \ punctum. P , a quo line a ducuntur, tanget Conte am fectionem cire a T ra + pezium deferiptam . Per

P H IL O S O P H IÆ N A T U R A LIS Per puncta A, B, C, D 81 aliquod infinitorum punctorum T , pu'ta/>, concipe Conicam fectionem deferibi: dico punctum T hanc* femper tangere, Si negas, jonge A T fecantem hanc Conicam fectionem alibi quam in B , fi fieripoteft, puta in b. Ergo fi ab his punçtis p & b ducantur in datis angulis ad latera Trapezii rectæ p q , p r , p s , p t , & b k , bv, bf,\ bd; erit ut b k X b r ad b f X bd ïtz (per Lem. xvii) p q X P r ad p s X . p t , &ita{perHypoth.) ad T S X T T . E it & propter fimilitudinem Trapeziorum b k ^ A f T