Modelos estocásticos en finanzas 9587724321, 9789587724325

Citation preview

modelos estocásticos en finanzas

john freddy

moreno trujillo

modelos estocásticos en finanzas

universidad externado de colombia

Moreno Trujillo, John Freddy Modelos estocásticos en finanzas / John Freddy Moreno Trujillo. -- Bogotá : Universidad Externado de Colombia, 2015. 247 páginas : ilustraciones ; 24 cm. Incluye bibliografía. ISBN: 9789587724325 1. Matemáticas – Financieras 2. Procesos del Movimiento Browniano 3. Finanzas -- Modelos Matemáticos 4. Modelos de Valoración de Activos de Capital 5. Inversiones -- Modelos Matemáticos I. Universidad Externado de Colombia. II. Título. 388

SCDD 21

Catalogación en la fuente -- Universidad Externado de Colombia. Biblioteca - EAP Diciembre de 2015

ISBN 978-958-772-432-5 © 2015, john freddy moreno trujillo © 2015, universidad externado de colombia Calle 12 n.º 1-17 Este, Bogotá Teléfono (57 1) 342 0288 [email protected] www.uexternado.edu.co Primera edición: diciembre de 2015 Diseño de cubierta y composición: Departamento de Publicaciones Impresión y encuadernación: Digiprint Editores S.A.S. Tiraje: de 1 a 1.000 ejemplares Impreso en Colombia Printed in Colombia Prohibida la reproducción o cita impresa o electrónica total o parcial de esta obra, sin autorización expresa y por escrito del Departamento de Publicaciones de la Universidad Externado de Colombia. Las opiniones expresadas en esta obra son responsabilidad del autor.

´ A mi esposa Mabel, y a mis hijos Angel y Tom´as.

´Indice ´Indice de figuras

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1. Introducci´ on a los derivados financieros . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. Valoraci´ on de derivados en tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1. El modelo de mercado en un periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Valoraci´on por replicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. El modelo de valoraci´on generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Motivaci´on al modelo en tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3. Elementos b´ asicos de c´ alculo, teor´ıa de probabilidad y procesos estoc´ asticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.1. Elementos de c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. Elementos de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.1. Espacios de probabilidad filtrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.2. Variables aleatorias y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.3. Procesos estoc´asticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3. Martingalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.1. Caminata aleatoria y procesos binomiales . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 1

2 4. Movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

4.1. Caminata aleatoria reescalada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2. Movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3. Procesos asociados al movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4. Movimientos brownianos correlacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.5. Tiempos de parada, m´aximo y m´ınimo del movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.5.1. M´aximo y m´ınimo del browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5. Integral de Itˆ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5.1. Interpretaci´on y generalizaci´on del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2. Integral estoc´astica respecto al movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2.1. Integral estoc´astica para procesos simples . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2.2. Integral estoc´astica para procesos adaptados . . . . . . . . . . . . . 111 5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6. La f´ ormula de Itˆ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.1. F´ormula de Itˆo para el movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.2. F´ormula de Itˆo para procesos de Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.3. F´ormula de Itˆo multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7. La ecuaci´ on diferencial de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.1. Portafolio de replicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.2. Soluci´on de la EDP de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8. Cambio de medida y valoraci´ on riesgo neutral . . . . . . . . . . . . . . 147

3 8.1. Cambio de medida de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.2. Medida de riesgo neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.2.1. Teorema de Girsanov en una dimensi´on para el movimiento browniano152 8.2.2. Precio del activo bajo riesgo neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8.2.3. Portafolio de replicaci´on bajo riesgo neutral . . . . . . . . . . . . . 156 8.3. Valoraci´on bajo riesgo neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.4. La f´ormula Black-Scholes-Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8.5. Teoremas fundamentales de valoraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.5.1. Modelo de mercado multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.5.2. Existencia de la medida de riesgo neutral . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.6. Modelos de tasa de inter´es y valoraci´on de bonos . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.6.1.

Modelo Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.6.2. Modelo Ho-Lee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.6.3. Valoraci´on de bonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 9. Extensiones del modelo BSM y el problema de la volatilidad . . . . . 175 9.1. Opciones sobre activos que pagan dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 9.2. Opciones sobre futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 9.3. El problema de la volatilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 9.3.1. Volatilidad impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 9.3.2. Modelos de volatilidad estoc´astica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10. Integraci´ on num´ erica y valoraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 10.1. Integraci´on num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 10.1.1. Cuadraturas determin´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 10.1.2. Integraci´on de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.2. Valoraci´on por Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4 10.2.1. Valoraci´on de opciones call y put europeas . . . . . . . . . . . . . . 203 10.2.2. Valoraci´on de opciones dependientes de trayectoria . . . . . . . . . 204 10.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 11.Transformaciones integrales y valoraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 11.1. Aplicaci´on a la valoraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 11.2. Transformada de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 11.2.1. Aplicaci´on a la EDP-BS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 11.3. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.3.1. Aplicaci´on a la EDP-BS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 12.Procesos fuzzy, procesos h´ıbridos y procesos inciertos. Aplicaciones en finanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 12.1. Introducci´on a los conjuntos fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 12.2. Variables fuzzy, h´ıbridas e inciertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 12.2.1. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 12.2.2. Variables fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 12.2.3. Variables h´ıbridas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 12.2.4. Variables inciertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 12.3. C´alculo fuzzy y modelo de activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 12.3.1. Proceso C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 12.3.2. Integral fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 12.3.3. Regla de la cadena del c´alculo fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 12.3.4. Ecuaciones diferenciales fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 12.3.5. Modelo de precio de activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 12.4. C´alculo h´ıbrido y modelo de activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 12.4.1. Proceso D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 12.4.2. Integral h´ıbrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 12.4.3. Regla de la cadena del c´alculo h´ıbrido . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

5 12.4.4. Ecuaciones diferenciales h´ıbridas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 12.4.5. Modelo de precio de activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 12.5. C´alculo incierto y modelo de activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 12.5.1. Proceso can´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 12.5.2. Integral incierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 12.5.3. Regla de la cadena del c´alculo incierto . . . . . . . . . . . . . . . . 232 12.5.4. Ecuaciones diferenciales inciertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 12.5.5. Modelo de precio de activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Bibliograf´ıa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

´Indice de figuras 1.1. Pay-off futuros o forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Pay-off largo call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3. Pay-off largo put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Pay-off largo y corto call

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1. Principio de valoraci´on por replicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Rentabilidad del activo libre de riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3. Retorno del activo riesgoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1. Aproximaci´on de Taylor a la funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2. Aproximaci´on de Taylor de la funci´on f (t, s) = cos(s + 2t) alrededor de (0, 0) 48 3.3. Trayectoria del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4. Modelo binomial de tres periodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5. Trayectoria de una caminata aleatoria sim´etrica . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.6. Trayectorias de un proceso binomial con p = 0,4 . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.7. Trayectorias de un proceso trinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.1. Trayectoria del puente browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2. Browniano con tendencia; µ = 1, σ = 0,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3. Browniano geom´etrico; µ = 1, σ = 0,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.1. Trayectoria de un proceso simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2. Propiedad martingala de la integral estoc´astica . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3. Aproximaci´on de procesos adaptados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7

8 8.1. Proceso con reversi´on a la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.1. Simulaci´on de precios por el esquema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 196 10.2. Simulaci´on del proceso de varianza por el esquema de Euler

. . . . . . . . 197

10.3. Simulaci´on del proceso de varianza y precios (modelo Heston) por el esquema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 10.4. Simulaci´on de precios por el esquema de Milstein . . . . . . . . . . . . . . 202 11.1. Resoluci´on de la EDP por transformaci´on integral . . . . . . . . . . . . . . 210

Prefacio Este texto est´a dise˜ nado como una gu´ıa introductoria a las aplicaciones de las herramientas y los modelos estoc´asticos en finanzas. El nivel del mismo permite que sea utilizado como texto gu´ıa en cursos de u ´ltimos semestres de pregrado, o en los primeros de un programa de maestr´ıa en finanzas con enfoque cuantitativo. Se encuentra aqu´ı una recopilaci´on y extensi´on del material que desarroll´e para clases como C´alculo estoc´astico para finanzas, o M´etodos num´ericos para finanzas, as´ı como los resultados de algunas investigaciones que he realizado en temas como la aplicaci´on de transformaciones integrales para la valoraci´on de activos financieros, o la implementaci´on de modelos Fuzzy e h´ıbridos en la modelaci´on financiera. El texto est´a dividido en doce cap´ıtulos. En el cap´ıtulo 1 se realiza una introducci´on a los derivados financieros m´as comunes, y a la caracterizaci´on del perfil de pago que enfrentan los agentes que toman una determinada posici´on en estos derivados. De igual forma, se introduce el problema de la valoraci´on de este tipo de activos. En el cap´ıtulo 2 se desarrolla un modelo de mercado en tiempo discreto en uno y m´ ultiples periodos, lo cual permite presentar conceptos importantes como el de arbitraje, ley de u ´nico precio y valoraci´on por replicaci´on. Tambi´en se presenta una motivaci´on para lo que ser´a el problema de la valoraci´on de activos riesgosos en tiempo continuo. En el cap´ıtulo 3 se presentan algunos elementos b´asicos de c´alculo, probabilidad y procesos estoc´asticos que resultan fundamentales para la construcci´on de un modelo de mercado en tiempo continuo. Se destaca en este cap´ıtulo el concepto de proceso estoc´astico martingala. En el cap´ıtulo 4 se describe el movimiento browniano y algunos procesos estoc´asticos asociados al mismo. 9

10 Tambi´en, se describe el modelo de mercado en tiempo continuo. En el cap´ıtulo 5 se presenta la integral estoc´astica de Itˆo y sus propiedades. En el cap´ıtulo 6 se desarrolla la f´ormula de Itˆo para el caso unidimensional y multidimensional. Se desarrollan ejemplos y aplicaciones de la misma en la modelaci´on financiera de precios, retornos y tasas de inter´es. El cap´ıtulo 7 contiene la deducci´on y soluci´on de la ecuaci´on diferencial parcial de BlackScholes, un resultado seminal en el problema de valoraci´on de activos contingentes. En el cap´ıtulo 8 se presenta la aproximaci´on al problema de valoraci´on mediante la consideraci´on de una medida martingala equivalente, los teoremas fundamentales de valoraci´on y la aplicaci´on de estos resultados al problema de la valoraci´on de bonos cuando hay comportamiento estoc´astico de la tasa corta de inter´es. En el cap´ıtulo 9 se realiza una extensi´on del modelo Black-Scholes-Merton considerando diferentes tipos de activos subyacentes, y se presenta el modelo Heston de volatilidad estoc´astica. El cap´ıtulo 10 presenta m´etodos num´ericos de valoraci´on basados en integraci´on num´erica, particularmente se desarrolla la valoraci´on de activos contingentes por m´etodos de Monte Carlo. En el cap´ıtulo 11 se presentan algunos resultados producto de la investigaci´on que he realizado en el u ´ltimo a˜ no acerca de la aplicaci´on de transformaciones integrales para la soluci´on de la ecuaci´on diferencial parcial que resulta de considerar un problema de valoraci´on particular. Aqu´ı se muestra c´omo aplicar a este tipo de problemas las transformaciones integrales de Laplace y Mellin. En el cap´ıtulo 12 presento los resultados de la investigaci´on que he realizado sobre la aplicaci´on de procesos Fuzzy, h´ıbridos e inciertos a la modelaci´on del comportamiento del precio de activos financieros, en contextos que no pueden ser descritos completamente por procesos estoc´asticos. Algunas de las figuras que aparecen en este texto fueron generadas con el programa R Al final de la mayor´ MATLAB . ıa de los cap´ıtulos se proponen una serie de ejercicios

para verificar lo aprendido. Quiero agradecer a la Universidad Externado de Colombia, y en particular a la Facultad de

11 Finanzas, Gobierno y Relaciones Internacionales, por brindarme el espacio y los recursos para el desarrollo de este texto. De igual forma, al Centro de Investigaciones y Proyectos Especiales (CIPE) y al Observatorio de Econom´ıa y Operaciones Num´ericas (ODEON).

John Freddy Moreno Trujillo Docente investigador Universidad Externado de Colombia Facultad de Finanzas, Gobierno y Relaciones Internacionales CIPE-ODEON

Cap´ıtulo 1 Introducci´ on a los derivados financieros No hay que seguir los acontecimientos con los ojos, sino con la cabeza. – Andr´e Kostolany Un derivado financiero es un tipo particular de activo cuyo valor depende, o se deriva, del precio de otro activo o activos denominados subyacentes. De esta forma, si denotamos por Vt al precio del derivado en un instante t, y por St al precio del subyacente, entonces Vt = f (St ), y la forma de la funci´on f (·) determina el tipo de derivado que se est´a considerando. Algunos de los tipos m´as comunes de derivados financieros son los futuros, los forwards, los swaps y las opciones.

Los futuros y forwards, son acuerdos de car´acter obligante para la compra o venta de cantidades determinadas del activo subyacente, en alguna fecha futura establecida y por precio especificado. Una de las diferencias entre estos dos derivados est´a en el mercado en el cual se negocian. Los futuros se negocian en el mercado estandarizado, en el cual existe una c´amara de compensaci´on que act´ ua como garante en caso de incumplimiento 13

14 de las partes, mientras que los forwards se negocian en el mercado OTC (Over The Counter ), buscando alcanzar contratos con las caracter´ısticas particulares que le interesan a las partes involucradas. Dado que este tipo de contratos son de obligatorio cumplimiento para las partes, si denotamos por X al monto por el cual ser´a negociado el activo subyacente en la fecha de vencimiento del contrato (T ), y por ST al precio de mercado del activo subyacente en esta fecha, se tiene que, para el agente que est´a obligado a comprar (posici´on larga), las ganancias o p´erdidas que tendr´ıa por la negociaci´on con el derivado est´an dadas por (ST − X), mientras que para el agente que est´a obligado a vender (posici´on corta), dichas ganancias o p´erdidas est´an dadas por (X − ST ). El monto X es conocido como precio futuro o precio forward, dependiendo del tipo de derivado, y el c´alculo de este valor est´a asociado al concepto de no arbitraje, el cual ser´a presentado en el siguiente cap´ıtulo. La figura 1.1 muestra las ganancias o p´erdidas (Pay-off ) para las posiciones largas y cortas en futuros o forwards. Pay-off Largo (ST − X)

ST X (X − ST ) Corto

Figura 1.1: Pay-off futuros o forwards

15 Los swaps son acuerdos para el intercambio de flujos de capital en el tiempo. Estos acuerdos permiten a las partes involucradas en el mismo, cubrirse o beneficiarse, seg´ un sus expectativas, de los movimientos en las tasas de inter´es, en los tipos de cambio y otros. Las opciones son acuerdos que dan a su poseedor el derecho, m´as no la obligaci´on, de comprar o vender cantidades determinadas del activo subyacente, en o antes de una fecha futura establecida y por un monto especificado. La caracter´ıstica esencial de las opciones, a diferencia de los futuros o forwards, es la no obligatoriedad asociada a las mismas, si no la posibilidad que tiene el poseedor de ejercer solo si lo considera conveniente. Esta caracter´ıstica hace de las opciones un derivado financiero atractivo para los agentes en el mercado, y plantea tambi´en, al igual que los otros derivados descritos, un reto interesante en t´erminos de valoraci´on. En el caso de las opciones, dada la asimetr´ıa en t´erminos de riesgo por la no obligatoriedad de ejercicio del contrato por parte del poseedor del mismo, se hace necesario que este pague una prima al vendedor o escritor de la opci´on. La determinaci´on de esta prima es la pregunta central en relaci´on con este derivado. Las opciones pueden ser clasificadas por el tipo de derecho que otorgan a su poseedor en: opciones de compra (call ) que dan a su poseedor el derecho a comprar el activo subyacente, y opciones de venta (put) que dan a su poseedor el derecho a vender el activo subyacente. Otra forma en la que se clasifican las opciones es por el momento en el cual pueden ser ejercidas. Las opciones que solo pueden ser ejercidas por su poseedor en la fecha de vencimiento de las mismas (T ) se denominan opciones europeas, y aquellas que pueden ser ejercidas en cualquier momento desde que son pactadas y hasta su vencimiento se denominan opciones americanas. Si denotamos por T a la fecha de vencimiento de la opci´on, por ST al precio del

16 subyacente en dicha fecha y por K al precio por el cual ser´a negociado el subyacente en caso de ejercicio -conocido como precio de ejercicio o strike price-, el pay-off para un agente que posee una opci´on call europea (largo en call ) es: m´ax(ST − K, 0) = (ST − K)+ , dado que al vencimiento la opci´on solo ser´a ejercida si el precio del subyacente es mayor al precio de ejercicio. La figura 1.2 muestra este perfil de pago.

Pay-off Largo call (ST − K)+

ST K

Figura 1.2: Pay-off largo call

Un razonamiento similar muestra que para un agente poseedor de una opci´on put europea,esta solo ser´a ejercida si al vencimiento el precio de subyacente es menor que el precio de ejercicio, luego el pay-off en este caso es: max(K − ST , 0) = (K − ST )+ . La figura 1.3 muestra este perfil de pago.

17 Pay-off

ST K Largo put (K − ST )+

Figura 1.3: Pay-off largo put

Existen en los mercados otros tipos de opciones que por sus caracter´ısticas particulares se denominan opciones ex´oticas, algunas de las cuales ser´an estudiadas m´as adelante. Como se mencion´o, los derivados financieros en general y las opciones en particular, presentan un interesante problema conocido como problema de valoraci´ on. En este se busca determinar cu´al debe ser el precio por el que se negocian este tipo de activos financieros y qu´e caracter´ısticas deben tener los precios de negociaci´on pactados en este tipo de contratos. Como ejemplo consideremos las opciones de compra y venta europeas. Este tipo de activos dan a su poseedor un derecho, mas no la obligaci´on, para negociar con el activo subyacente, pero para el emisor o escritor de este tipo de contrato (nos referimos al agente que emite la opci´on como agente en posici´on corta en opciones), en caso de que el poseedor de la opci´on decida ejercer, s´ı existe la obligaci´on de cumplir con su parte del contrato. Como compensaci´on al riesgo que asume el agente en posici´on corta, el agente en posici´on

18 larga le paga una prima por la opci´on. Si denotamos por CE al valor de la prima de una opci´on call europea con vencimiento en T y precio de ejercicio K, el pay-off para el agente poseedor de esta opci´on debe considerar el valor de esta prima, de forma que el pay-off es (ST − K − CE , −CE )+ . La figura 1.4 muestra este perfil de pago. La l´ınea continua considera las ganancias o p´erdidas incluyendo la prima, mientras la l´ınea punteada muestra la situaci´on sin la consideraci´on de la prima. Pay-off (ST − K)+ (ST − K − CE , −CE )+ CE ST

0 K −CE Corto

Figura 1.4: Pay-off largo y corto call

En la figura 1.4 tambi´en se observan, en color rojo, las ganancias o p´erdidas del agente en posici´on corta en la opci´on. En este caso se puede ver que el agente tiene como ganancia la prima de la opci´on cuando esta no es ejercida por su poseedor. El mecanismo desarrollado en finanzas para determinar la prima de la opci´on, y en general para encontrar el precio de cualquier tipo de derivado, o los precios que son pactados en este tipo de contratos, est´a basado en el principio de no arbitraje. En el siguiente cap´ıtulo se presenta el concepto de arbitraje y se discuten algunas de sus consecuencias, en particular se presenta la ley de u ´nico precio, que es el principio sobre el

19 cual se desarrolla la mec´anica de valoraci´on por replicaci´on. Esto se realizar´a inicialmente en el contexto de mercado en tiempo discreto, para m´as adelante desarrollarlo en tiempo continuo.

20

1.1.

Ejercicios

1. ¿Cu´al es la diferencia entre una posici´on larga y una posici´on corta en un forward ?, ¿en una opci´on? 2. ¿Cu´al es la diferencia entre tener una posici´on larga en forward con precio forward de 80, y tomar una posici´on larga en una opci´on call con strike 80? 3. Explique de forma detallada la diferencia entre vender una opci´on call y comprar un opci´on put. 4. Usted desea especular sobre el precio de un determinado activo. El precio actual del activo es $29, y el precio de opciones call sobre dicho activo con maduraci´on a 3 meses y precio de ejercicio de $30 es $2,90. Si usted tiene $5.800 para invertir, identifique dos alternativas de inversi´on, una en el activo y otra en la opci´on sobre el activo, ¿cu´ales son las potenciales ganancias o p´erdidas? 5. Suponga que en junio una opci´on put para vender un activo por $60 tiene una prima de $4. ¿Bajo qu´e condiciones el vendedor de la opci´on puede hacer utilidad?, ¿bajo qu´e circunstancias la opci´on ser´a ejercida? Muestre, mediante un diagrama, c´omo la utilidad de la posici´on en corto en la opci´on depende del precio del activo en la fecha de maduraci´on de la opci´on. 6. Una compa˜ n´ıa sabe que recibir´a una cierta cantidad de dinero en una moneda extranjera dentro de 4 meses, ¿qu´e tipo de contrato de opciones ser´a apropiado para cubrir su posici´on? 7. Qu´e opina de la frase: las opciones y los futuros son juegos de suma cero. 8. Describa la utilidad del siguiente portafolio: una posici´on larga en un contrato forward sobre un activo y una posici´on larga en una opci´on put europea sobre el mismo activo, los dos con igual fecha de maduraci´on y con precio forward igual al precio de ejercicio de la opci´on.

21 9. Un agente compra una opci´on call europea y vende una opci´on put. Las opciones tienen el mismo subyacente, precio de ejercicio y maduraci´on. Describa la posici´on del agente. 10. Una compa˜ n´ıa internacional sabe que va a tener un mill´on de euros para vender en 6 meses. Si la tasa de cambio es menor que 1,32 desean recibir 1,32. Si la tasa de cambio es mayor que 1,35, aceptar´ıan 1,35. Si la tasa de cambio est´a entre 1,32 y 1,35 desean vender los euros por el valor al que se encuentre la tasa, ¿C´omo utilizar´ıa opciones para satisfacer a la compa˜ n´ıa?

Cap´ıtulo 2 Valoraci´ on de derivados en tiempo discreto Para llevar a cabo grandes empresas hay que vivir convencidos, no de que somos longevos sino inmortales.

– Henry Kaiser

2.1.

El modelo de mercado en un periodo

Consideramos primero un mercado financiero simple entre dos fechas (un periodo) t = 0 y t = 1, en el cual existen los siguientes activos:

Un activo libre de riesgo o bono que act´ ua como inversi´on o pr´estamo sin riesgo, y cuyo valor en el instante t denotamos por Bt . El precio de este activo tiene un comportamiento determin´ıstico, de forma que si su valor en t = 0 es B0 entonces su valor en t = 1 est´a dado por:

B1 = B0 (1 + rf ) 23

(2.1)

24 donde rf es la tasa de inter´es libre de riesgo, que por el momento se asume constante y conocida. Es importante notar que la caracter´ıstica determinista del precio de este activo significa que su valor en t = 1 siempre estar´a dado por la expresi´on 2.1, sin importar el estado de la naturaleza que se realice.

Un activo riesgoso, cuyo valor en t denotamos por St . El precio de este activo es de car´acter estoc´astico, de forma que en t = 1 est´a dado por la variable aleatoria de tipo Bernulli:

S1 =

   uS

con probabilidad p

  dS0

con probabilidad 1 − p

0

(2.2)

donde u es el factor de crecimiento del precio, d es el factor de decrecimiento del precio y las probabilidades p y 1 − p son las probabilidades de mercado asociadas a los posibles valores del activo en t = 1. Asumiremos por ahora que u y d son cantidades constantes y conocidas, lo que es an´alogo a asumir que la volatilidad de precio de este activo es constante y conocida.

Un derivado financiero pactado sobre el activo riesgoso, cuyo valor en t denotamos por Vt . El precio de este activo es de car´acter estoc´astico ya que resulta ser una funci´on del precio St (Vt = f (St )), donde la forma de la funci´on f determina el tipo de derivado que se est´a considerando. El precio de este derivado en t = 1 estar´a dado por una variable aleatoria de tipo Bernulli, tal que:

V1 =

   V1u = f (uS0 )   V1d = f (dS0 )

(2.3)

25 El problema central es determinar el valor del derivado en t = 0. Este se conoce como problema de valoraci´ on, y su soluci´on implica determinar alguna estrategia que permita establecer de forma u ´nica el precio del derivado. Algunos supuestos adicionales que se consideran son: El mercado es libre de fricciones, es decir, no hay costos de transacci´on, tasas impositivas o comisiones. Los activos son perfectamente divisibles, lo que implica que los agentes presentes en este mercado pueden negociar con cualquier cantidad de activo (riesgoso o libre de riesgo). La tasa libre de riesgo constante rf , es la misma para invertir o tomar prestado en el activo libre de riesgo. Son posibles las ventas en corto, es decir, es posible contraer obligaciones hoy sobre un activo que no se posee con el compromiso de cumplir la obligaci´on en el futuro. El mercado es libre de oportunidades de arbitraje. Para entender este importante supuesto, definamos a continuaci´on qu´e es una oportunidad de arbitraje.

Definici´ on 1 Una oportunidad de arbitraje es un activo o combinaci´on de activos, cuyo valor actual es cero, su valor en cualquier momento futuro es no negativo en todo estado de la naturaleza, y existe por lo menos un estado en el cual su valor es estrictamente positivo.

Si denotamos por ht al valor en t de una estrategia u oportunidad de arbitraje, se tiene que:

h0 = 0 ;

P [ht ≥ 0] = 1 ;

P [ht > 0] > 0

(2.4)

26

Una consecuencia directa del supuesto de no arbitraje es el siguiente teorema conocido como ley de u ´ nico precio.

Teorema 1 (Ley de u ´nico precio) Consideremos dos activos A y B con precios S0A ≥ 0 y S0B ≥ 0 en t = 0, negociados en un mercado libre de oportunidades de arbitraje. Si en alg´ un instante T ≥ 0, STA = STB , entonces en todos los estados de la naturaleza S0A = S0B .

Demostraci´ on 1 Sin p´erdida de generalidad asumimos que S0A > S0B . En este escenario podemos construir el siguiente portafolio h0 en t = 0.

• Realizamos una venta en corto del activo A, es decir, lo tomamos prestado hoy y lo vendemos por S0A , con el compromiso de devolverlo en t = T . • Con el monto recibido por la venta de A, compramos el activo B. Esta operaci´on nos deja la diferencia positiva (S0A − S0B ) que puede ser invertida a la tasa libre de riesgo. En el instante t = T se debe cumplir con la obligaci´on de la venta en corto, de forma que hT es: • Vendemos el activo B por STB . • Compramos el activo A por STA con el dinero recibido por la venta de B, cantidades que por la hip´otesis del teorema deben ser iguales, y entregamos el activo cerrando la venta en corto. • Recibimos la cantidad (S0A − S0B )(1 + rf ), producto de la inversi´on a la tasa libre de riesgo.

27 Podemos ver que la estrategia h es tal que no se requiere inversi´on inicial, no hay riesgo en la operaci´on y se tiene una probabilidad estrictamente positiva de hacer ganancias, luego es una oportunidad de arbitraje, lo que contradice el supuesto de que este tipo de oportunidades no existen en este mercado. Esta contradicci´on nos muestra que nuestra hip´otesis de partida en la demostraci´on es falsa, luego se debe tener que S0A = S0B .

Nota 1 La forma de garantizar que en el modelo de mercado discreto que estamos considerando no se presenten oportunidades de arbitraje, es imponiendo que:

0 ≤ d ≤ 1 + rf ≤ u

(2.5)

expresi´on que en adelante denominaremos como condici´ on de no arbitraje. Se propone como ejercicio para el lector demostrar que si estas desigualdades se incumplen en alg´ un sentido se tienen oportunidades de arbitraje.

Apoyados en la ausencia de oportunidades de arbitraje en el mercado, y que por lo tanto se cumple la ley de u ´nico precio, es posible resolver el problema de valorar un derivado financiero (Vt ) al establecer un portafolio de activos (Xt ) de precio conocido en t = 0, que replique el comportamiento del derivado en cualquier estado de la naturaleza en t = 1. De esta forma, si el portafolio y el derivado generan los mismos pagos en t = 1, la ley de u ´nico precio establece que su valor debe ser el mismo en t = 0. V0

V1

l

=

X0

X1

Figura 2.1: Principio de valoraci´on por replicaci´on

28 El portafolio Xt utilizado para lograr esta tarea se denomina portafolio de r´ eplica y este m´etodo de valoraci´on se conoce como valoraci´ on por replicaci´ on o valoraci´ on por no arbitraje.

2.1.1.

Valoraci´ on por replicaci´ on

Una vez establecido que la valoraci´on del derivado se realizar´a mediante la construcci´on de un portafolio que lo replique en todos los posibles estados de la naturaleza en t = 1, lo que sigue es determinar la forma como este portafolio se debe constituir para lograr que se cumpla esta condici´on. Dado que en el mercado los u ´nicos activos disponibles son: el bono, el activo riesgoso y el derivado, es natural construir el portafolio combinando bono y activo riesgoso. Si el portafolio Xt est´a constituido por x unidades del activo riesgoso y y unidades monetarias en el bono, entonces en t = 0 el valor del portafolio es:

X0 = xS0 + y

(2.6)

X1u = xuS0 + y(1 + rf )

(2.7)

X1d = xdS0 + y(1 + rf )

(2.8)

y sus posibles valores en t = 1 son:

Por la condici´on de r´eplica sobre el derivado se tiene que:    X u 1

  X1d

= xuS0 + y(1 + rf ) = V1u = f (uS0 ) = xdS0 + y(1 + rf ) =

V1d

= f (dS0 )

(2.9)

29 En este sistema de ecuaciones lineales las variables son x y y, luego tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos variables en el cual:

x=

f (uS0 ) − f (dS0 ) (u − d)S0

(2.10)

Este valor de x se conoce como delta de cobertura e indica el tama˜ no de la posici´on en activo riesgoso en el portafolio de r´eplica. Por otro lado,  y=

1 1 + rf



uf (dS0 ) − df (uS0 ) (u − d)

(2.11)

e indica el monto del inversi´on o pr´estamo a la tasa rf . Dadas estas cantidades, el valor del portafolio de r´eplica en el instante t = 0 es:  1 X0 = xS0 + y = 1 + rf



   1 + r − d   u − 1 − rf   f f (uS0 ) + f (dS0 )  u−d u−d   | {z } | {z } q

(2.12)

1−q

Como las cantidades q y 1 − q son positivas y suman 1 (por la condici´on de no arbitraje 2.5), podemos interpretarlas como probabilidades, y se denominar´an probabilidades de riesgo neutral (nombre que se justificar´a m´as adelante). Se tiene entonces que:

X0 =

1 1 [qf (uS0 ) + (1 − q)f (dS0 )] = E Q [f (S1 )] = V0 1 + rf 1 + rf

(2.13)

donde E Q [·] denota el valor esperado considerando las probabilidades q y 1 − q. De este u ´ltimo resultado es importante destacar:

30 El valor del derivado queda determinado por la expresi´on (2.13), la cual no depende de las probabilidades de mercado que cada agente asocia a los posibles cambios del precio del activo. Las probabilidades q y 1 − q reciben el nombre de probabilidades de riesgo neutral ya que bajo esta medida de probabilidad todos los activos en el mercado retornan la tasa libre de riesgo, por ejemplo:

   u − 1 − rf 1 + rf − d + dS0 E [S1 ] = uS0 u−d u−d uS0 + rf uS0 − udS0 + udS0 − dS0 − rf dS0 = u−d (u − d)S0 + rf (u − d)S0 = = S0 (1 + rf ) u−d 

Q

De forma an´aloga para la variable Xt se tiene que E Q [X1 ] = (1 + rf )X0 , es decir, las rentabilidades esperadas son:

E

Q



 S1 = 1 + rf S0

;

E

Q



 X1 = 1 + rf X0

lo que hace que los agentes no presenten preferencia por invertir en ninguno de ellos, es decir, se comportan como neutrales al riesgo. Dado que la medida Q es u ´nica, porque el sistema de ecuaciones que se resolvi´o tiene soluci´on u ´nica1 , el mercado se dice completo.

Ejemplo 1 Consideremos el problema de determinar el valor de la prima de una opci´on call europea con vencimiento en T = 1, si se tiene que: S0 = 10, u = 2, d = 0,5, rf = 0,25 y K = 10. 1

El sistema lineal de ecuaciones considerado tiene soluci´on u ´nica ya que u 6= d.

31 De acuerdo con las expresiones desarrolladas se tiene que q = 0,5 y que la prima de la opci´on call es CE = 4.

2.2.

El modelo de valoraci´ on generalizado

Si las ideas expuestas en la secci´on anterior se extienden al caso en el cual hay tres fechas (dos periodos) se tiene que: El precio del bono es:

B1 = B0 (1 + rf ) ;

B2 = B0 (1 + rf )2

El precio del activo riesgoso es descrito por: t=0

t=1 p

t=2 u2 S0

uS0

S0

udS0 1 − p dS0 d2 S0

asumiendo que los valores de u y d son constantes y que las probabilidades p y 1 − p no cambian en el tiempo. El derivado es descrito por: Al aplicar la expresi´on (2.13) de forma iterativa sobre cada uno de los periodos, es decir, si se asume que cada una de las bifurcaciones del modelo puede considerarse como un modelo de un periodo, se tiene que el valor del derivado en t = 1 en el escenario al alza es:

32 t=0

t=1

t=2 V2uu

V1u V2ud

V0 V1d

V2dd

V1u =

1 [qV2uu + (1 − q)V2ud ] 1 + rf

V1d =

1 [qV2ud + (1 − q)V2dd ] 1 + rf

y en el escenario a la baja,

al utilizar estos dos valores es posible determinar el valor del derivado en t = 0 aplicando de nuevo la f´ormula de valoraci´on.

1 [qV1u + (1 − q)V1d ] 1 + rf      1 1 1 uu ud ud dd [qV2 + (1 − q)V2 ] + (1 − q) [qV2 + (1 − q)V2 ] = q 1 + rf 1 + rf 1 + rf h i 1 2 u2 ud 2 d2 = q V + 2q(1 − q)V + (1 − q) V 2 2 2 (1 + rf )2 2   X 1 2 2−k 2−k k = q (1 − q)k V2u d 2 (1 + rf ) k=0 k

V0 =

Esta u ´ltima expresi´on se puede generalizar directamente al caso de N periodos manteniendo los supuestos considerados hasta el momento. Se tiene, en este caso general, que:

33

N   X 1 N N −k N −k k V0 = q (1 − q)k VNu d N (1 + rf ) k=0 k

(2.14)

donde:

N −k dk

VNu

= f (uN −k dk S0 )

y f (·) est´a determinada por el tipo de derivado.

Ejemplo 2 Consideremos un contrato forward con vencimiento en t = 2, de forma que en esta fecha tiene un valor para su la posici´on larga dado por (S2 − K), donde K es una cantidad fija pactada en el contrato. Buscamos determinar, bajo las consideraciones del modelo discreto de dos periodos, el valor de este derivado en t = 0. De acuerdo con la f´ormula de valoraci´on se tiene que:

V0 =

2 X 1 q 2−k (1 − q)k (S2 − K) 2 (1 + rf ) k=0

 2 2  1 2 2 q (u S − K) + 2q(1 − q)(udS − K) + (1 − q) (d S − K) 0 0 0 (1 + rf )2   1 (1 + rf )2 S0 (u2 − 2ud + d2 ) − K(u2 − 2ud + d2 ) = (1 + rf )2 (u − d)2   1 2 (1 + r ) S − K = f 0 (1 + rf )2 K = S0 − (1 + rf )2 =

Ejemplo 3 Consideremos una posici´on larga en una opci´on con vencimiento en t = 2, que al vencimiento tiene un valor para su poseedor dado por m´ax{S2 − K, 0} = (S2 − K)+ . Sobre la cantidad K, asumiendo que K = udS0 , luego:

34

V2 = (S2 − K)+ =

    (u2 S0 − K)+ = u2 S0 − K     (udS0 − K)+ = 0      2  (d S0 − K)+ = 0

y por la aplicaci´on de la f´ormula de valoraci´on se tiene que:

 2 2  1 2 q (u S − K) + q(1 − q)0 + (1 − q) 0 0 (1 + rf )2  2   uq K = S0 − q2 2 1 + rf (1 + rf )

V0 =

2.3.

Motivaci´ on al modelo en tiempo continuo

Consideremos ahora un mercado con n + 1 activos, de los cuales uno es libre de riesgo y n son riesgosos. El precio del activo libre de riesgo en un instante t es denotado por Bt y el de los activos riesgosos por St1 , St2 , ..., Stn . Considere adem´as que el horizonte de negociaci´on sobre estos activos es el intervalo [0, T ] y son posibles las posiciones en corto. Tambi´en se asume que existen en el mercado activos derivados pactados sobre los activos riesgosos. Sobre el activo libre de riesgo se tiene que su comportamiento es descrito por la siguiente expresi´on que presenta composici´on continua de inter´es a una tasa rf .

Bt = B0 erf t

(2.15)

cuando la tasa de inter´es rf se asume constante, y

Rt

Bt = B0 e

0

rf (s)ds

(2.16)

35

cuando la tasa de inter´es se asume como una funci´on conocida del tiempo, rf (t). Cualquiera de las expresiones anteriores para Bt resulta de considerar que la tasa de cambio en el valor del bono es proporcional a su valor actual, donde la constante de proporcionalidad es rf o rf (t). Por ejemplo, si la tasa es constante: dBt dBt = rf Bt ⇒ = rf dt ⇒ ln(Bt ) = rf t + c ⇒ Bt = B0 erf t dt Bt

(2.17)

Al considerar el retorno logar´ıtmico que genera una inversi´on de B0 en el activo libre de riesgo entre 0 y t, asumiendo que rf es constante, se encuentra que:  ln

Bt B0

 = rf t

(2.18)

de donde:

ln(Bt ) = ln(B0 ) + rf t

(2.19)

expresi´on log-lineal, que puede se representada en el plano (ln(Bt ) - t) como lo muestra la figura 2.2. ln(Bt )

ln(B0 )

ln(Bt ) = ln(B0 ) + rf t

t Figura 2.2: Rentabilidad del activo libre de riesgo

Este comportamiento log-lineal del retorno del activo libre de riesgo puede ser tomado

36 como base para el desarrollo de un modelo para el precio del activo riesgoso, de forma que el retorno logar´ıtmico de este activo presente tendencia lineal, pero considerando

Logaritmo del precio (ln(St ))

variaciones aleatorias alrededor de dicha tendencia.

Tiempo (t)

Figura 2.3: Retorno del activo riesgoso

A partir de esta idea, la expresi´on para el retorno del activo riesgoso es:  ln

St S0

 = µt + Ruido

(2.20)

en la cual se asume que la tasa de rentabilidad del activo es µ, que el retorno observado presenta fluctuaciones aleatorias alrededor de este valor a lo largo del tiempo, y que estas fluctuaciones son representadas por la variable Ruido, es decir, la variable Ruido representa las desviaciones aleatorias del retorno del activo ln(St /S0 ) y el retorno esperado µt.  Ruido = ln

St S0

 − µt

(2.21)

Un elemento adicional que se debe incluir en el modelo es un coeficiente (σ), que permita modular la importancia de la variable ruido en la expresi´on para el retorno, de esta forma:  ln

St S0

 = µt + σRuido

(2.22)

37

Al considerar este modelo para el comportamiento del retorno de los activos riesgosos, es importante establecer cu´ales deber´ıan ser las caracter´ısticas de la variable Ruido para que cumpla el objetivo propuesto. De forma natural se puede considerar que Ruido es una variable aleatoria (de forma m´as precisa un proceso estoc´astico, concepto presentado m´as adelante), que su valor esperado en un determinado instante t debe ser igual a cero para que no muestre tendencia y que su varianza crece con el tiempo. E[Ruido] = 0 V [Ruido] = t Por la ley fuerte de los grandes n´ umeros, podemos asumir que la distribuci´on de la variable Ruido es normal, es decir:

Ruido ∼ N (0, t)

(2.23)

Para modelar completamente esta variable y continuar con la construcci´on del modelo de mercado en tiempo continuo, en el siguiente cap´ıtulo se estudian algunos conceptos fundamentales de c´alculo, probabilidad, estad´ıstica y procesos estoc´asticos que ser´an necesarios para esta construcci´on.

38

2.4.

Ejercicios

1. Muestre que la condici´on dada por la ecuaci´on 2.5, garantiza ausencia de oportunidades de arbitraje. 2. El precio actual de una acci´on es de $160, y hay dos precios posibles que pueden ocurrir el pr´oximo periodo: $150 o $175. La tasa de inter´es de inversiones sin riesgo es del 6 % por periodo. Suponga que existe una opci´on de compra (Europea) sobre esta acci´on con un precio de ejercicio de $155.

a) ¿C´omo puede formar una cartera basada en la acci´on y la opci´on a fin de lograr una cobertura libre de riesgo? b) Calcule la prima de la opci´on.

3. El precio actual de una acci´on es de $100, y hay dos posibles precios al final del a˜ no: $150 o $75. Una opci´on call para comprar una acci´on en $100 al final del a˜ no se vende a $20. Suponga que un portafolio en el cual se venden 3 call, se compran 2 unidades del activo y se toma un pr´estamo de $140, es un portafolio de cobertura perfecta. ¿Cu´al es el valor de la tasa de inter´es libre de riesgo? 4. Usted est´a interesado en la compa˜ n´ıa de computadoras ArTech. Sus acciones se negocian actualmente por un precio de 9000, y se espera que el precio de la acci´on suba un 25 % o baje un 20 % cada seis meses. La tasa de inter´es libre de riesgo anual es del 20 %. Su corredor de bolsa lo llama con una oferta interesante. Si usted paga C0 ahora, en 6 meses puede elegir si compra o no una opci´on call sobre las acciones de ArTech con vencimiento en 6 meses (es decir, la maduraci´on es en 12 meses a partir de ahora). Esta opci´on tiene un precio de ejercicio de $9000, y cuesta $1500.(Usted tiene una opci´on sobre una opci´on). Determine el valor de C0 .

39 5. Considere una opci´on put con precio de ejercicio K = 8 y vencimiento en T = 3, pactada sobre un activo cuyo valor en t = 0 es S0 = 6. Para este caso, los valores de las variables son u = 2, d = 1/2 y la tasa libre de riesgo es rf = 8 %. Determine el valor de la prima de esta opci´on. 6. Consideremos un activo que sigue el modelo binomial con u = 1, 1 y d = 0,8. En el instante t = 0 se tiene que S0 = 8 y la tasa libre de riesgo es constante e igual a rf = 0. Suponga que sobre este activo usted vende una opci´on call europea con vencimiento en t = 1 y precio de ejercicio K = 7. a) Determine las probabilidades de riesgo neutral asociadas a este modelo de mercado. b) ¿De qu´e forma deber´ıa usted constituir un portafolio que le permita cubrirse ante el riesgo que asumi´o por la venta de la opci´on call ? c) ¿Cu´anto es la prima de la opci´on? d ) Si ahora la opci´on que usted vende es una opci´on put con el mismo precio de ejercicio: 1) ¿C´omo deber´ıa constituir el portafolio de cobertura? 2) ¿Cu´al es la prima de la opci´on? 7. Suponga que usted vende una opci´on call con vencimiento en T = 1, sobre un activo cuyo valor actual es S0 = 10 y cuyos posibles precios en t = 1 son 18 y 7. La tasa libre de riesgo es rf = 5 %. Determine el valor de no arbitraje que debe cobrar como prima de la opci´on, y c´omo debe conformar su portafolio de cobertura si sigue el modelo binomial. 8. Considere los portafolios Π1 y Π2 tales que: En t = 0, Π1 est´a conformado por una opci´on call m´as una cantidad invertida a la tasa rf .

K 1+rf

40 En t = 0, Π2 est´a conformado por una opci´on put m´as una unidad del activo subyacente, el cual tiene un valor actual denotado por S0 .

Asuma que las dos opciones est´an pactadas sobre el mismo activo subyacente, que las dos vencen en el instante t = 1 y tienen igual precio de ejercicio K. ¿Qu´e puede concluir sobre estos dos portafolio en t = 1? ¿Qu´e puede concluir sobre estos dos portafolios en t = 0? Justifique sus respuestas. 9. Considere un mercado con un activo riesgoso y la posibilidad de inversi´on o pr´estamo a una tasa de inter´es compuesta continuamente rf . Si sobre el activo se pacta un contrato forward con vencimiento en T y precio forward (precio de negociaci´on) K, muestre mediante argumentos de no arbitraje que K = S0 erf T . 10. Utilice un modelo binomial de 5 pasos para valorar una opci´on call pactada sobre un activo cuyo precio actual es S0 = 100, con u = 2, d = 1/2, rf = 8 %, T = 5 y K = 100. 11. Utilice un modelo binomial de 10 pasos para valorar la opci´on call del ejercicio anterior. ¿Hay diferencias en los precios calculados? Justifique su respuesta.

Cap´ıtulo 3 Elementos b´ asicos de c´ alculo, teor´ıa de probabilidad y procesos estoc´ asticos La matem´atica aplicada necesita de la matem´atica pura tanto como los hormigueros necesitan de las hormigas.

– Paul Halmos

En la primera parte de este cap´ıtulo se repasan algunos conceptos b´asicos de c´alculo, probabilidad y estad´ıstica, que son esenciales en los desarrollos que siguen, bien sea porque ser´an utilizados de forma directa en los temas que se van a tratar (como las aproximaciones de Taylor), o para entender c´omo estos conceptos se deben adaptar al contexto estoc´astico (integral estoc´astica).

3.1.

Elementos de c´ alculo

Una funci´on f (t) se dice continua en un punto t0 si se tiene que: 41

42

l´ım f (t) = f (t0 )

t→t0

(3.1)

Si la funci´on es continua en cada punto de su dominio se dice simplemente que la funci´on es continua. Una funci´on f (t) es derivable en el punto t0 si existe el l´ımite:

f (t0 + h) − f (t0 ) h→0 h l´ım

y este l´ımite es denotado como f 0 (t0 ) o

df (t0 ) . dt

(3.2)

Si la funci´on es derivable en cada

punto de su dominio se dice simplemente que la funci´on es derivable. Una funci´on f (t) es de tipo C si esta es continua, de tipo C 1 si es derivable con derivada continua,de tipo C 2 si tiene segunda derivada continua, etc. La variaci´ on de una funci´on f en un intervalo [a, b] se define como:

Vf ([a, b]) = l´ım

δn →0

n X

|f (ti ) − f (ti−1 )|

(3.3)

i=1

donde los ti son los puntos de alguna partici´on a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b, y δn = m´axi (ti − ti−1 ). Si Vf ([a, b]) < ∞, decimos que f es de variaci´on finita en el intervalo [a, b], y si el intervalo es [0, t] la variaci´on de la funci´on en este intervalo se denota por Vf (t). La variaci´ on cuadr´ atica de una funci´on f en el intervalo [0, t] se define como:

[f ](t) = l´ım

δn →0

n X i=1

(f (ti ) − f (ti−1 ))2

(3.4)

43 considerando la misma definici´on de δn presentada antes. La covariaci´ on cuadr´ atica, o simplemente la covariaci´ on de f y g sobre [0, t] se define como el siguiente l´ımite, si este existe:

n−1 X [f, g](t) = l´ım (f (ti+1 ) − f (ti ))(g(ti+1 ) − g(ti )) δn →0

(3.5)

i=0

Dada una funci´on f : [a, b] → R, y una partici´on Πn = a = t0 < t1 < · · · < tn = b de [a, b] en la cual ∆ti = ti − ti−1 y t∗i ∈ [ti−1 − ti ] es un punto representativo del intervalo [ti−1 , ti ]. Denotamos por δn = m´axi (ti − ti−1 ) y definimos la suma parcial de Riemann de f correspondiente a la partici´on Πn con punto representativo t∗i como:

R(f, Πn , t∗i )

=

n X

f (t∗i )∆ti

(3.6)

i=1

Una funci´on f es integrable en sentido Riemann sobre [a, b] con integral I, si existe el l´ımite:

I = l´ım

δn →0

R(f, Πn , t∗i )

= l´ım

δn →0

n X

f (t∗i )∆ti

(3.7)

i=1

y la integral I es denotada por:

Z I=

b

f (t)dt

(3.8)

a

Dadas las funciones f, g : [a, b] → R, y una partici´on Πn = a = t0 < t1 < · · · < tn = b de [a, b] en la cual ∆ti = ti − ti−1 y t∗i ∈ [ti−1 − ti ] es un punto representativo del intervalo [ti−1 , ti ]. Denotamos con δn = m´axi (ti − ti−1 ) y definimos la suma parcial

44 de Riemann-Stieltjes de f respecto a g correspondiente a la partici´on Πn con punto representativo t∗i como:

S(f, g, Πn , t∗i )

=

n X

f (t∗i )(g(ti ) − g(ti−1 ))

(3.9)

i=1

La funci´on f es integrable en sentido Riemann-Stieltjes respecto a g sobre [a, b] con integral I, si existe el l´ımite:

I = l´ım

δn →0

S(f, g, Πn , t∗i )

= l´ım

δn →0

n X

f (t∗i )(g(ti ) − g(ti−1 ))

(3.10)

i=1

y la integral I es denotada por:

Z I=

b

f (t)dg(t)

(3.11)

a

Nota 2

• Se tiene que la integral de Riemann es un caso particular de la integral

de Riemann-Stieltjes en la cual g(t) = t. • La integral de Riemann-Stieltjes de f respecto a g est´a definida si y solo si g(t) es de variaci´on acotada.

La integral de Lebesgue considera un cambio de perspectiva respecto a las integrales de Riemann y Riemann-Stieltjes, ya que en el procedimiento de su construcci´on se considera una partici´on del rango de la funci´on f y no de su dominio. Se considera entonces una partici´on finita del intervalo [m´ınt∈[a,b] f (t), m´axt∈[a,b] f (t)], Πn = m´ınt∈[a,b] f (t) = y0 < y1 < · · · < yn = m´axt∈[a,b] f (t), con ∆i = (yi − yi−1 ), y se determina la longitud (medida de Lebesgue) de las bases de los rect´angulos definidos por las alturas ∆i = (yi − yi−1 ) (yi−1 < f (t) < yi ).

45 Si se define el conjunto Bi , como Bi = {t ∈ [a, b] : f (t) ∈ [yi−1 , yi )}, y se denota por µ(Bi ) a la medida del conjunto Bi , se define la suma de Lebesgue como:

X

x ∈ Bi

fi (x)µ(Bi ) ;

(3.12)

i

y el l´ımite:

l´ım

|Πn |→0

X

Z fi (x)µ(Bi ) =

f (t)µ(t)

(3.13)

[a,b]

i

determina la integral de Lebesgue.

Nota 3 Si la medida utilizada cumple las condiciones para ser considerada una medida de probabilidad, la integral de Lebesgue de una funci´on g(t) puede ser denotada como:

Z g(t)dP (t)

(3.14)

[a,b]

Expresi´on que define, bajo determinadas condiciones, el valor esperado de g(t).

El diferencial de una funci´on f (t) (df (t)) en t, es definido como la aproximaci´on lineal al cambio de la funci´on ∆f = f (t + ∆) − f (t), ante un cambio de ∆t en t. Si denotamos el cambio t como dt, se tiene que:

df (t) = f 0 (t)dt

(3.15)

El diferencial aproxima el cambio en la funci´on mediante una recta; una mejor aproximaci´on se tiene mediante el uso de polinomios de Taylor, si las derivadas de mayor orden existen.

46 Si f ∈ C n+1 en t0 , entonces:

1 1 00 f (t0 )(t − t0 )2 + f 000 (t0 )(t − t0 )3 + · · · 2! 3!

f (t) − f (t0 ) = f 0 (t0 )(t − t0 ) +

1 + f (n) (t0 )(t − t0 )n + Rn (t, t0 ) n!

(3.16)

es la aproximaci´on de Taylor de orden n de la funci´on f alrededor del punto t0 , donde la expresi´on Rn (t, t0 ) tiende a cero cuando n → ∞. El polinomio de aproximaci´on de orden n se tiene al considerar:

Pn (t) = f (t0 ) + f 0 (t0 )(t − t0 ) +

1 1 00 f (t0 )(t − t0 )2 + · · · + f (n) (t0 )(t − t0 )n (3.17) 2! n!

es decir, el valor de la funci´on f en puntos t cercanos a t0 , puede aproximarse mediante el polinomio de orden n:

Pn (t) =

n X f (k) (t0 ) k=0

k!

(t − t0 )k

(3.18)

Ejemplo 4 El polinomio de Taylor de orden 3 de la funci´on f (t) = et alrededor del punto t0 = 0, es:

1 1 et ≈e0 + e0 (t − 0) + e0 (t − 0)2 + e0 (t − 0)3 2 6 1 2 1 3 =1+t+ t + t 2 6

La figura 3.1 muestra la aproximaci´on.

47 f (x) f (x) = ex f (x) = 1 + x + x2 /2 + x3 /6

x Figura 3.1: Aproximaci´on de Taylor a la funci´on exponencial

En general para la funci´on exponencial se tiene que:

t

e =

∞ X tk k=0

k!

(3.19)

Si se considera una funci´on de dos variables f (t, s), la aproximaci´on de Taylor alrededor del punto (t0 , s0 ) es:

∂f (t0 , s0 ) ∂f (t0 , s0 ) (t − t0 ) + (s − s0 ) f (t, s) = f (t0 , s0 ) + ∂t ∂s  2  1 ∂ f (t0 , s0 ) ∂ 2 f (t0 , s0 ) ∂ 2 f (t0 , s0 ) 2 2 + (s − s0 ) + (t − t0 ) + 2 (t − t0 )(s − s0 ) 2! ∂s2 ∂t2 ∂s∂t + · · · + Rn (t, t0 , s, s0 ) (3.20)

y el polinomio de aproximaci´on de orden n esta dado por:

  n X 1 n ∂ (n) f (t0 , s0 ) Pn (t, s) = (t − t0 )n−k (s − s0 )k (n−k) ∂t(k) k! k ∂s k=0

(3.21)

48 Ejemplo 5 Hallar la aproximaci´on de Taylor de orden 2 de la funci´on f (t, s) = cos(s + 2t), alrededor del punto (0, 0).

cos(s + 2t) ≈ 1 + 0(s) + 0(t) +

 s2 1 2 −s − 4t2 − 4st = 1 − − 2t2 − 2st 2 2

Figura 3.2: Aproximaci´ on de Taylor de la funci´on f (t, s) = cos(s + 2t) alrededor de (0, 0)

3.2. 3.2.1.

Elementos de probabilidad Espacios de probabilidad filtrados

Un espacio de probabilidad filtrado es una cu´adrupla (Ω, F, P, F), en donde: • Ω : es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio que se est´e considerando, y se denomina espacio muestral. • F : es una σ-´ algebra definida sobre Ω. Una σ-´algebra es una colecci´on de subconjuntos de Ω, F = {A1 , A2 , . . . , An , . . . } que cumple con las siguientes

49 condiciones: 1. Ω ∈ F. 2. Si Ai ∈ F entonces Aci ∈ F. 3. Si A1 , A2 , . . . ∈ F entonces

S

i

Ai ∈ F

Al par (Ω, F) se le denomina espacio medible y a los subconjuntos en F eventos. La σ-´algebra es utilizada para describir la informaci´on disponible sobre el experimento aleatorio en el instante t. • P : es una medida de probabilidad definida sobre los eventos en la σ-´algebra F, es decir, P es una funci´on de F en el intervalo [0, 1] que satisface: 1. P [Ω] = 1. 2. P [A] ≥ 0 para todo A ∈ F. 3. Para toda sucesi´on contable de eventos mutuamente excluyentes1 A1 , A2 , ... se tiene que:

P[

∞ [

Ai ] =

i=1

∞ X

P [Ai ]

i=1

• F : una filtraci´ on, que es un conjunto de σ-´algebras {F0 , F1 , . . . }, tales que F0 ⊆ F1 ⊆ F2 ⊆ . . . .La filtraci´on F es utilizada para describir el flujo de informaci´on en el tiempo a medida que se conocen realizaciones del experimento aleatorio.

Ejemplo 6 Sea Ω = {a, b, c}. Sobre este conjunto se definen las σ-´algebras:

F0 = {∅, Ω}

;

Fa = {∅, Ω, {a}, {b, c}}

El conjunto {F0 , Fa } constituye una filtraci´on. 1

Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j.

(3.22)

50

3.2.2.

Variables aleatorias y convergencia

Una variable aleatoria X[w] es una funci´on del espacio de probabilidad (Ω, F, P ) en los reales, que asigna a cada evento en Ω un valor real. Una variable aleatoria X sigue una distribuci´ on normal con par´ ametros µ, σ 2 , X ∼ N (µ, σ 2 ), si su funci´on de densidad de probabilidad es:

(x−µ)2 1 fX (x) = √ e− 2σ2 2π

;

−∞ ≤ x ≤ ∞;

−∞ ≤ µ ≤ ∞ ;

σ>0

(3.23)

y en el caso en el cual la media es 0 y la varianza es 1, se dice que la variable sigue una distribuci´ on normal est´ andar (Z ∼ N (0, 1)). Como ejercicio para el lector2 se propone verificar que si X ∼ N (µ, σ), entonces E[X] = µ y V [X] = σ 2 , y que se tiene la siguiente relaci´on entre variables normales est´andar y no est´andar: Si Z ∼ N (0, 1) y se consideran valores µ ∈ R y σ > 0, entonces la variable X = µ + σZ cumple que X ∼ N (µ, σ 2 ), e inversamente, si X ∼ N (µ, σ 2 ), entonces la variable Z definida como:

Z=

X −µ σ

(3.24)

es tal que Z ∼ N (0, 1). La funci´on de distribuci´on acumulada de la variable Z ∼ N (0, 1), se denota como:

Z

z

Φ(z) = P [Z ≤ z] = −∞ 2

1 2 √ e−z /2 dz 2π

(3.25)

Recuerde que si se considera R ∞una variable aleatoria continua X, con funci´on de densidad de probabilidad fX (x), entonces E[X] = −∞ xfX (x)dx, y V [X] = E[X 2 ] − (E[X])2 .

51

y cumple las siguientes propiedades: • 1 − Φ(z) = Φ(−z) • Si X ∼ N (µ, σ 2 ), entonces:

 FX (x) = Φ

x−µ σ



La funci´ on generadora de momentos para X ∼ N (µ, σ 2 ) est´a dada por:

1

2 t2

1

2 t2

mX (t) = E[etX ] = eµt+ 2 σ

(3.26)

y su funci´ on caracter´ıstica por:

φX (t) = E[eitX ] = eiµt− 2 σ

(3.27)

Es importante recordar que la funci´on generadora de momentos y la funci´on caracter´ıstica, determinan la distribuci´on de la variable, es decir, si X y Y son variables aleatorias tales que mX (t) = mY (t) o φX (t) = φY (t), entonces X y Y tienen igual distribuci´on. Si se consideran las variables aleatorias X1 ∼ N (µ1 , σ12 ) y X2 ∼ N (µ2 , σ22 ) independientes, entonces:

X1 + X2 ∼ N (µ1 + µ2 , σ12 + σ22 )

(3.28)

52 y si no son independientes,

X1 + X2 ∼ N (µ1 + µ2 , σ12 + σ22 + 2ρσ1 σ2 )

(3.29)

donde ρ es el coeficiente de correlaci´on entre las variables. Una variable aleatoria X sigue una distribuci´ on lognormal con par´ametros µ y σ 2 , (X ∼ LN (µ, σ 2 )), si su funci´on de densidad est´a dada por:

  1 (ln(x) − µ)2 fX (x) = √ exp − 2σ 2 2πσx

;

x>0

(3.30)

y para este tipo de distribuci´on se tiene que:

E[X] = eµ+

σ2 2

;

2

2

V [X] = e2µ+σ (eσ − 1)

(3.31)

Dada una sucesi´on de variables aleatorias X1 , X2 , . . . y X, definidas sobre un mismo espacio de probabilidad, con funciones de distribuci´on F1 , F2 , . . . y F respectivamente, se define: 1. {Xn } converge a X casi seguramente, si:

P [w ∈ Ω : Xn (w) →n X] = 1 ;

n→∞

(3.32)

y se utiliza la notaci´on Xn c.s. −→ X 2. {Xn } converge a X en media de orden p, p ≥ 1, si E[|Xn |p ] < ∞ para todo n, y:

53

E[|Xn − X|p ] →n 0 ;

n→∞

(3.33)

y se utiliza la notaci´on Xn LP X. − → 3. {Xn } converge a X en probabilidad, si

P [|Xn − X| > ] →n 0 ;

n→∞

(3.34)

para todo  > 0, y se utiliza la notaci´on Xn → P X. − 4. {Xn } converge a X en distribuci´ on, si

Fn (x) →n F (x) ;

n→∞

(3.35)

para todo x ∈ R y se utiliza la notaci´on Xn → d X. −

En general, se cumple que:

3.2.3.

Xn c.s. P X −→ X ⇒ Xn → −

(3.36)

Xn Lp X ⇒ Xn → P X − − →

(3.37)

Xn → P X ⇒ Xn → d X − −

(3.38)

Procesos estoc´ asticos

Un proceso estoc´ astico {Xt }t∈I , es una colecci´on de variables aleatorias indexadas, definidas sobre alg´ un espacio de probabilidad filtrado (Ω, F, P, F).

54 El espacio de par´ ametros de un proceso estoc´astico {Xt }t∈I es el conjunto I donde el par´ametro de indexaci´on t toma valores. Si I es un intervalo, por ejemplo [0, T ], se dice que el proceso estoc´astico es de par´ametro continuo. Si I es un conjunto discreto {0, 1, 2, . . . }, se dice que el proceso es de par´ametro discreto. El conjunto de posibles valores de cada variable aleatoria Xt se denomina espacio de estados del proceso estoc´astico y este puede ser discreto o continuo.

Ejemplo 7 Siguiendo el modelo en tiempo discreto presentado en el cap´ıtulo anterior, considere el proceso estoc´astico que describe el precio del activo riesgoso; en este caso, el proceso {St }t=0,1,2,... tiene par´ametro discreto y espacio de estados discreto.

Ejemplo 8 Si {St }t≥0 denota el precio del activo riesgoso en tiempo continuo, este es un proceso estoc´astico de par´ametro continuo y espacio de estados continuo.

Nota 4

• Un proceso estoc´astico {Xt }t∈I , es funci´on de t y de w ∈ Ω, es decir:

Xt = {Xt }t∈I = {Xt (w); t ∈ I, w ∈ Ω}

(3.39)

• Para un w ∈ Ω fijo el proceso estoc´astico Xt (w) es una funci´on de t, y su gr´ afica se denomina trayectoria del proceso.

Ejemplo 9 Se considera un modelo de mercado discreto en 2 periodos, donde los movimientos en el precio del activo riesgoso est´an determinados por el resultado del lanzamiento de una moneda, Ω = {CC, CS, SC, SS}. Para un w ∈ Ω fijo, por ejemplo w = {CS}, la trayectoria es la que se muestra en la figura 3.3.

55 t=0

t=1

t=2

u2 S0 uS0 S0

udS0 dS0 d2 S0

Figura 3.3: Trayectoria del proceso

• Para un t fijo, Xt (w) es la variable aleatoria que depende de w. Considerando de nuevo el ejemplo anterior, si t = 1 se tiene que la variable aleatoria S1 (w) puede tomar los valores {uS0 , dS0 }.

Un proceso estoc´astico Xt se dice adaptado respecto a una filtraci´on F, si para todo t ≥ 0, Xt es Ft -medible, es decir, el valor del proceso en t es conocido dada la informaci´on disponible en dicho instante Ft . Un proceso estoc´astico Xt se dice predecible respecto a la filtraci´on F si la variable aleatoria Xt es Ft−1 -medible.

Un concepto central en el desarrollo del modelo de mercado en tiempo continuo es el de proceso martingala. Para entender este concepto se considera primero el de valor esperado condicional a un nivel de informaci´on determinado, que b´asicamente desarrolla las mismas propiedades del valor esperado de variables aleatorias condicionadas a otras. Empecemos por recordar que: Dados dos eventos A y B en Ω se tiene que:

56

P [A|B] =

P [A ∩ B] P [B]

;

P [B] 6= 0

(3.40)

Para variables aleatorias X y Y discretas, se tiene que:

P [X ≤ x|Y = y] =

P [X ≤ x, Y = y] P [Y = y]

(3.41)

En el caso de variables aleatorias continuas X, Y , se tiene que:

fX|Y (x|y) =

fX,Y (x, y) fY (y)

(3.42)

y se define el valor esperado condicional como:

Z

∞

xfX|Y (x|y)dx

E[X|Y = y] =

(3.43)

−∞

expresi´on que depende de y, luego es aleatoria. Ejemplo 10 Sean X y Y variables aleatorias continuas, con funci´on de densidad conjunta dada por:

fX,Y (x, y) = 4x2 y + 2y 5

0≤x≤1; 0≤y≤1

(3.44)

En este caso se tiene que: Z

∞

fY (y) =

Z fX,Y (x, y)dx =

−∞

0

1

4x2 y + 2y 5 dx =

4y + 2y 5 3

(3.45)

57 luego, Z

1

x

E[X|y = y] = 0

4x2 y + 2y 5 1 + y4 dx = 4y 4/3 + 2y 4 + 2y 5 3

(3.46)

Algunas propiedades del valor esperado condicional son:

Dada una variable aleatoria X, si F = {∅, Ω}, entonces E[X|F] = E[X].

Si X es F-medible, entonces E[X|F] = X, y en general E[XZ|F] = XE[Z|F].

Si X es independiente de F, entonces E[X|F ] = E[X].

Si F1 ⊆ F2 entonces E[E[X|F2 ]|F1 ] = E[X|F1 ], lo que se conoce como suavidad del valor esperado condicional, o propiedad de torre. Si g es una funci´on convexa, es decir, g(λx+(1−λ)y) ≤ λg(x)+(1−λ)g(y), entonces g(E[X|F]) ≤ E[g(X)|F]. Esto indica que la desigualdad de Jensen se aplica tambi´en al caso del valor esperado condicional. Dadas las constantes α y β y las variables X y Y , se tiene que:

E[αX + βY |F] = αE[X|F] + βE[Y |F]

(3.47)

Como ejemplo de la aplicaci´on de las propiedades anteriores consideremos un modelo binomial de tres periodos para el comportamiento del precio de un activo riesgoso, donde las subidas y bajadas del precio dependen del resultado del lanzamiento de una moneda, de forma que si el resultado es cara (c) el precio sube y si el resultado es sello (s) el precio baja en el siguiente instante. La figura 1.4 representa el comportamiento del precio del activo.

58 t=0

t=1

t=2

t=3

S3 (ccc) = 32 S2 (cc) = 16 S1 (c) = 8 S2 (sc) = S2 (cs) = 4

S0 = 4 S1 (s) = 2

S3 (ccs) = S3 (csc) = S3 (scc) = 8 S3 (scs) = S3 (ssc) = S3 (css) = 2

S2 (ss) = 1 S3 (ssc) = 1/2

Figura 3.4: Modelo binomial de tres periodos

Si consideramos la notaci´on En [Sm |Fn ] para indicar el valor esperado del activo en el instante m, calculado en el instante n, entonces:

E1 [S2 |c] = 16(2/3) + 4(1/3) = 12. E1 [S3 |c] = 32(2/3)2 + 8(2/3)(1/3) + 2(1/3)2 = 18. y, E1 [S2 +S3 |c] = (16+32)(2/3)2 +(16+8)(2/3)(1/3)+(4+8)(2/3)(1/3)+(4+2)(1/3)2 = 30. luego se verifica que: E1 [S2 + S3 |c] = E1 [S2 |c] + E1 [S3 |c]. Se tiene que E1 [S1 S2 |c] = (2/3)(128) + (1/3)(32) = 96, que es igual a 8(12) = S1 E1 [S2 |c], lo que nos muestra que la variable S1 puede salir del valor esperado ya que tenemos la informaci´on hasta t = 1.

59 Se pueden calcular los siguientes valores esperados condicionales: 1. E2 [S3 |cc] = 23 (32) + 13 (8) = 24 2. E2 [S3 |cs] = 23 (8) + 13 (2) = 6 3. E2 [S3 |sc] = 23 (8) + 13 (2) = 6 4. E2 [S3 |ss] = 23 (2) + 13 (1/2) = 1,5 y se tiene entonces que:

2 1 E1 [E2 [S3 |c]] = E2 [S3 |cc] + E2 [S3 |cs] 3 3 2 1 = (24) + (6) = 18 3 3

1 2 E1 [E2 [S3 |s]] = E2 [S3 |sc] + E2 [S3 |ss] 3 3 2 1 = (6) + (1,5) = 4,5 3 3 Si ahora calculamos,

 2     2 2 2 1 1 E1 [S3 |c] = 32 + (2)8 +2 = 18 3 3 3 3

 2     2 2 2 1 1 1 + (2)2 + = 4,5 E1 [S3 |s] = 8 3 3 3 2 3 lo que nos permite verificar que:

E1 [E2 [S3 ]|c] = E1 [S3 |c] ;

E1 [E2 [S3 ]|s] = E1 [S3 |s]

60

3.3.

Martingalas

Definici´ on 2 Un proceso estoc´astico {Xt }t≥0 , adaptado a una filtraci´on F e integrable (E[Xt ] < ∞, para todo t), se dice: 1. Martingala, si para todo s < t, se tiene que:

E[Xt |Fs ] = Xs

(3.48)

2. Supermartingala, si para todo s < t, se tiene que:

E[Xt |Fs ] ≤ Xs

(3.49)

3. Submartingala, si para todo s < t, se tiene que:

E[Xt |Fs ] ≥ Xs

(3.50)

Ejemplo 11 (Martingala de Doob-Levy) Sea Y una variable aleatoria integrable, entonces el proceso estoc´astico Mt = E[Y |Ft ], es martingala. Podemos ver que la afirmaci´on es v´alida ya que, para s < t, se tiene que:

E[Mt |Fs ] = E[E[Y |Ft ]|Fs ] = E[Y |Fs ] = Ms

(3.51)

donde la segunda igualdad se tiene por propiedades del valor esperado condicional. Ejemplo 12 (Proceso de precios en el modelo binomial) De acuerdo con el modelo de mercado discreto que se estudi´o en el cap´ıtulo 2, las probabilidades de riesgo neutral est´an determinadas por:

61

q=

1 + rf − d u−d

;

1−q =

u − 1 − rf u−d

(3.52)

podemos ver que el proceso de precio descontado del activo riesgoso es martingala bajo la medida de probabilidad de riesgo neutral, es decir:

E

Q



 Sn+1 Sn |Fn = n+1 (1 + rf ) (1 + rf )n

(3.53)

La demostraci´on es directa dado que:

E

Q



   Sn+1 Sn+1 Sn Q |Fn = E |Fn (1 + rf )n+1 (1 + rf )n Sn (1 + rf )n 1 Sn E Q [Sn+1 |Fn ] = (1 + rf )n (1 + rf )Sn Sn 1 = [uSn q + dSn (1 − q)] (1 + rf )n (1 + rf )Sn Sn 1 Sn S (1 + r ) = = n f (1 + rf )n (1 + rf )Sn (1 + rf )n

Un muy u ´til resultado asociado con los procesos martingalas se expone en el siguiente teorema. Teorema 2 Si {Xn }n=0,1,2,... es un proceso martingala, entonces E[Xn ] = E[X0 ] para todo n = 0, 1, 2, . . . . Demostraci´ on 2

E[Xn+1 ] = E[E[Xn+1 ]|Fn ] = E[Xn ] = E[E[Xn ]|Fn−1 ] = E[Xn−1 ] = · · · = E[X0 ] (3.54)

62

3.3.1.

Caminata aleatoria y procesos binomiales

Un tipo de proceso estoc´astico que ser´a muy u ´til en la construcci´on del modelo de precios de activos riesgosos en tiempo continuo es la caminata aleatoria sim´etrica, la cual se define como: Definici´ on 3 Considere las variables aleatorias discretas independientes Xj , tales que P [Xj = 1] = P [Xj = −1] = 1/2. Definimos la caminata aleatoria sim´etrica {Mn } como:

M0 = 0

;

Mn =

n X

Xj

(3.55)

j=1

La figura 3.5 muestra una posible trayectoria de este proceso, considerando 500 valores de las variables Xj .

Figura 3.5: Trayectoria de una caminata aleatoria sim´etrica

Para este proceso estoc´astico tenemos que: El valor esperado de {Mn } es igual a cero. " E[Mn ] = E

n X i=1

# Xj =

n X i=1

E [Xj ] = 0

(3.56)

63 La varianza de {Mn } es igual a n. V [Mn ] =E[Mn2 ] − (E[Mn ])2 = E[Mn2 ]  !2  " n # n X X XX =E  Xj  = E Xj2 + 2 Xi Xj j=1

= =

n X j=1 n X

j=1

i 0 fijo,

Z

t

 Z t  2 g (s)Ws ds ∼ N 0, [g(t) − g(s)] ds 0

0

0

4. Utilice el resultado del ejercicio anterior para establecer la siguiente generalizaci´on:

Z

1



n

s Ws ds ∼ N 0

2 0, (2n + 3)(n + 2)



5. Considere la integral estoc´astica:

Z I=

1

Ws dWS = 0

W12 1 − 2 2

Dado que W1 ∼ N (0, 1) (¿Por qu´e?), muestre que 2I + 1 sigue una distribuci´on chi-cuadrado con un grado de libertad. (Sugerencia: busque c´omo se distribuye una variable normal si es elevada al cuadrado).

116 6. Suponga que Wt es un movimiento browniano, y considere el procesos estoc´astico Gt definido como sigue. En el instante t = 0 se lanza una moneda, si el resultado √ es cara G0 = 2, y si el resultado es sello G0 = 3. En el instante t = 2, se lanza √ un dado y G√2 es igual al resultado de lanzar el dado. Si 0 < t < 2, se define √ Gt = G0 , y si t > 2 se define Gt = G√2 . (Note que Gt es un procesos simple). a) Exprese Gt como un proceso simple. b) Trace una posible trayectoria del proceso Gt . c) Determine la media y la varianza de:

Z

5

Gt dWt 0

Cap´ıtulo 6 La f´ ormula de Itˆ o Los encantos de esta ciencia sublime, las matem´aticas, s´olo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella.

– Carl Friedrich Gauss

En este cap´ıtulo se estudia la f´ormula de Itˆo, la cual puede ser considerada como el teorema fundamental del c´alculo estoc´astico, porque de forma an´aloga a como sucede con el teorema fundamental del c´alculo de variable real, esta f´ormula permite realizar de manera m´as directa y sencilla algunos tipos de integrales estoc´asticas.

6.1.

F´ ormula de Itˆ o para el movimiento browniano

Consideremos dos funciones f y g derivables. La aproximaci´on de Taylor de la funci´on f (x) alrededor de x0 = g(t), tomando x = g(t) + ∆g(t) es: f (g(t) + ∆g(t)) = f (g(t)) + f 0 (g(t))∆g(t) + 1 + f 000 (g(t))(∆g(t))3 + . . . 3! Si hacemos ∆g(t) = g(t + ∆t) − g(t), se tiene que: 117

1 00 f (g(t))(∆g(t))2 2!

(6.1)

118

f (g(t + ∆t)) − f (g(t)) = f 0 (g(t))(g(t + ∆t) − g(t)) + +

1 00 f (g(t))((g(t + ∆t) − g(t)))2 2!

1 000 f (g(t))((g(t + ∆t) − g(t)))3 + . . . 3!

(6.2)

y si dividimos por ∆t tenemos:

g(t + ∆t) − g(t) 1 (g(t + ∆t) − g(t))2 f (g(t + ∆t) − f (g(t)) = f 0 (g(t)) + f 00 (g(t)) ∆t ∆t 2! ∆t (6.3) 3 1 000 (g(t + ∆t) − g(t)) + f (g(t)) + ... 3! ∆t Al tomar l´ımite cuando ∆t → 0, el lado izquierdo de la expresi´on (6.3) es:

f (g(t + ∆t)) − f (g(t)) d (f ◦ g)(t + ∆t) − (f ◦ g)(t) = l´ım = (f ◦ g)(t) ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t dt l´ım

(6.4)

Por otro lado, al tomar l´ımite cuando ∆t → 0, el primer t´ermino en el lado derecho de la expresi´on (6.3) se transforma en:



 g(t + ∆t) − g(t) g(t + ∆t) − g(t) l´ım f (g(t)) = f 0 (g(t))g 0 (t) = f 0 (g(t)) l´ım ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t 0

mientras que para el segundo t´ermino se tiene que:

1 00 (g(t + ∆t) − g(t))2 f (g(t)) ∆t→0 2! ∆t 1 (g(t + ∆t) − g(t)) = f 00 (g(t)) l´ım l´ım (g(t + ∆t) − g(t)) ∆t→0 ∆t→0 2! ∆t 1 = f 00 (g(t))g 0 (t)0 = 0 2! l´ım

(6.5)

119 resultado que se tiene por la derivabilidad de g, lo que implica que es continua. De forma an´aloga, para los t´erminos restantes de mayor orden en (6.3), se tiene que estos tienden a cero cuando ∆t → 0, lo que demuestra la regla de la cadena del c´alculo de variable real.

d (f ◦ g)(t) = f 0 (g(t))g 0 (t) dt

(6.6)

Si en la deducci´on anterior tomamos g(t) = Wt y dividimos por ∆t, tenemos que: ∆f (Wt ) f (Wt+∆t ) − f (Wt ) = ∆t ∆t ∆W f 00 (Wt ) (∆Wt )2 f 000 (Wt ) (∆Wt )3 t = f 0 (Wt ) + + + ... ∆t 2! ∆t 3! ∆t

(6.7)

Al tomar l´ımite en (6.7), el lado izquierdo de la expresi´on es:

d(f (Wt )) ∆f (Wt ) = ∆t →0 ∆t dt

(6.8)

l´ım

mientras que el primer t´ermino en el lado derecho de la expresi´on es: 

 ∆Wt dWt l´ım f (Wt ) = f 0 (Wt ) ∆t →0 ∆t dt donde

dWt dt

0

(6.9)

es la forma de denotar el diferencial del browniano m´as no su derivada, la cual,

como se demostr´o en el cap´ıtulo 3, no existe. Se tiene entonces que:

df (Wt ) dWt f 00 (Wt ) = f 0 (Wt ) + dt dt 2



(∆Wt )2 l´ım ∆t→0 ∆t



f 000 (Wt ) + 6

Ahora, de lo expuesto en cap´ıtulos anteriores sabemos que:



(∆Wt )3 l´ım ∆t→0 ∆t

 + . . . (6.10)

120

V [∆Wt ] = E[(∆Wt )2 ] = ∆t

(6.11)

de lo cual podemos decir que (∆Wt )2 ≈ ∆t, lo que sugiere que: (∆Wt )2 ∆t = l´ım =1 ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t

(6.12)

√ √ (∆Wt )k ( ∆t)k ∆t( ∆t)k−2 l´ım = l´ım = l´ım =0 ∆t→0 ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t ∆t

(6.13)

l´ım

Pero si k ≥ 3, entonces:

de donde se concluye que: df (Wt ) dWt f 00 (Wt ) 0 = f (Wt ) + dt dt 2

(6.14)

y multiplicando por dt,

df (Wt ) = f 0 (Wt )dWt +

f 00 (Wt ) dt 2

(6.15)

Si integramos entre 0 y T esta expresi´on, tenemos: Z

T

Z df (Wt ) =

0

0

T

1 f (Wt )dWt + 2 0

Z

T

f 00 (Wt )dt

(6.16)

0

y como: Z

T

df (Wt ) = f (WT ) − f (W0 ) 0

se tiene que:

(6.17)

121

Z

T

1 f (Wt )dWt + 2 0

f (WT ) − f (W0 ) = 0

T

Z

f 00 (Wt )dt

(6.18)

0

Este resultado se resume en el siguiente teorema, enunciado por el matem´atico japon´es Kyoshi Itˆo en 1944.

Teorema 4 (K. Itˆ o, 1944) Si f ∈ C 2 (R), y Wt es un movimiento browniano, entonces: t

Z

1 f (Ws )dWs + 2 0

f (Wt ) − f (W0 ) = 0

Z

t

f 00 (Ws )ds

(6.19)

0

En resumen, las expresiones (6.15) y (6.18) nos muestran c´omo hallar expresiones para funciones (o el diferencial de funciones) aplicadas sobre el movimiento browniano.

Ejemplo 19 Considere la funci´on f (x) = xm , para m ≥ 2, luego:

f 0 (x) = mxm−1

f 00 (x) = m(m − 1)xm−2

;

entonces, 1 df (Wt ) = d(Wtm ) = mWtm−1 dWt + m(m − 1)Wtm−2 dt 2 o

Wtm

=

W0m

Z +m

t

Wsm−1 dWs

0

1 + m(m − 1) 2

Para el caso m = 2 se tiene que:

Wt2

Z

Z Ws dWs +

=2 0

luego,

t

t

ds 0

Z 0

t

Wsm−2 ds

122

Z

t

Ws dWs = 0

t Wt2 − 2 2

Ejemplo 20 Considerando de nuevo el ejemplo anterior para el caso m = 3, se tiene que:

Wt3

Z =3

t

Ws2 dWs

t

Z +3

Ws ds

0

0

y al acomodar los t´erminos, Z 0

t

Ws2 dWs

1 = Wt3 − 3

t

Z

Ws ds 0

La f´ormula de Itˆo puede ser generalizada al caso en el cual la funci´on f depende de m´as de una variable (como caso particular se considera aquel en el cual f es funci´on de las variables t y x, siendo t la variable tiempo), considerando la versi´on para funciones de m´as de una variable del teorema de Taylor. Teorema 5 (F´ ormula de Itˆ o para funciones de dos variables) Si f ∈ C 1 ([0, ∞)])× C 2 (R), y Wt es un movimiento browniano, entonces:

Z f (t, Wt ) − f (0, W0 ) = 0

t

1 ∂ f (s, Ws )dWs + ∂x 2

Z 0

t

∂2 f (s, Ws )ds + ∂x2

Z 0

t

∂ f (s, Ws )ds ∂t (6.20)

En notaci´on diferencial, este resultado se expresa como:

df (t, Wt ) =

∂ 1 ∂2 ∂ f (t, Wt )dWt + f (t, Wt )dt + f (t, Wt )dt 2 ∂x 2 ∂x ∂t

(6.21)

123 Ejemplo 21 Si f (t, x) = tx2 , entonces: ∂f = x2 ∂t

f (t, Wt ) =

tWt2

∂f = 2tx ; ∂x

;

t

∂ 2f = 2t ∂x2

t

Z 1 t = + 2sWs dWs + 2sds 2 0 0 0 Z t Z t t2 2 = Ws ds + 2 sWs dWs + 2 0 0 Z

Ws2 ds

Z

d[tWt2 ] = Wt2 dt + 2tWt dWt + tdt = (t + Wt2 )dt + (2tWt )dWt Del resultado en forma integral podemos despejar: Z 0

t

1 sWs dWs = 2



tWt2

t2 − − 2

Z

t

Ws2 ds

 (6.22)

0

Nota 8 Las expresiones diferenciales consideradas en los resultados anteriores son ecuaciones diferenciales estoc´ asticas asociadas al movimiento browniano.

Ejemplo 22 Determinar qu´e tipo de ecuaci´on diferencial estoc´astica tiene como soluci´ on al movimiento browniano geom´etrico Xt = eµt+σWt , donde µ y σ se asumen constantes. Para solucionar el ejercicio, consideramos al proceso Xt como la aplicaci´on de una funci´ on sobre el movimiento browniano. De esta forma, tomando la funci´on: f (t, x) = eµt+σx , buscamos df (t, Wt ) = d[eµt+σWt ] = dXt . Como: ∂f = σeµt+σx ∂x entonces:

;

∂ 2f = σ 2 eµt+σx ∂x2

;

∂f = µeµt+σx ∂t

(6.23)

124

  1 2 dXt = µ + σ Xt dt + σXt dWt 2

6.2.

(6.24)

F´ ormula de Itˆ o para procesos de Itˆ o

En esta secci´on extendemos la f´ormula de Itˆo al caso en el cual el proceso estoc´astico considerado es m´as general que el movimiento browniano. A este tipo de procesos los denominaremos procesos de Itˆo, y se definen a continuaci´on. Definici´ on 7 Un proceso estoc´astico {Xt }t≥0 se dice un proceso de Itˆ o si se puede expresar en la forma: Z Xt = X 0 + 0

|

t

Z

t

a(s, Xs )ds + b(s, Xs )dWs 0 {z } | {z } Riemann

(6.25)

Itˆ o

o, en notaci´on diferencial:

dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt | {z } | {z } Tendencia

(6.26)

Difusi´ on

Observe que la primera integral en la definici´on anterior es una integral de Riemann, mientras que la segunda es una integral de Itˆo. En la notaci´on diferencial de procesos de Itˆo se pueden distinguir dos componentes, el de tendencia, que es el coeficiente del proceso que est´a asociado con el cambio en el tiempo, y el de difusi´on, que es el coeficiente asociado con los cambios del browniano. Para este tipo de procesos tenemos que: dXt dXt = b2 (t, Xt )dt, por la regla de multiplicaci´on que se estableci´o a partir de la variaci´on cuadr´atica del browniano. La aplicaci´on de la f´ormula de Itˆo, para este tipo de procesos, establece que:

125 Teorema 6 Dado que Xt es un proceso de Itˆo, para el cual dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt , y f ∈ C 2 (R), entonces:

1 d(f (Xt )) = f 0 (Xt )dXt + f 00 (Xt )(dXt )2 2

(6.27)

y si f ∈ C 1 ([0, ∞)) × C 2 (R), entonces:

d(f (t, Xt )) =

∂f (t, Xt ) ∂f (t, Xt ) 1 ∂ 2 f (t, Xt ) dt + dXt + (dXt )2 ∂t ∂x 2 ∂x2

(6.28)

Ejemplo 23 Determinar el proceso de Itˆo que satisface la ecuaci´on diferencial estoc´ astica:

1 dXt = Xt dt + Xt dWt 2

Xt > 0

Utilizando la f´ormula de Itˆo para la funci´on f (x) = ln(x), se tiene que:

1 1 1 dXt − (dXt )2 2 Xt 2 Xt   1 1 1 1 = Xt dt + Xt dWt − (X 2 dt) Xt 2 2 Xt2 t

d[ln(Xt )] =

= dWt ⇒ Xt = X0 eWt

Ejemplo 24 Consideremos el proceso de Itˆo,  Z t Z t 1 2 Xt = µ(s) − σ (s) ds + σ(s)dWs 2 0 0 o, en notaci´on diferencial,

126

1 dXt = (µ(t) − σ 2 (t))dt + σ(t)dWt 2 y sea, f (x) = S0 ex , donde S0 es constante. Se tiene que f (Xt ) = St , es decir,

t 1 2 f (Xt ) = S0 e 0 (µ(s)− 2 σ (s))ds+

R

Rt 0

σ(s)dWs

= St

y por la aplicaci´on de la f´ormula de Itˆo se tiene que:

1 df (Xt ) = dSt = S0 eXt dXt + S0 eXt (dXt )2 2 1 1 = S0 eXt ((µ(t) − σ 2 (t))dt + σ(t)dWt ) + S0 eXt (σ 2 (t)dt) 2 2 = S0 eXt (µ(t)dt + σ(t)dWt ) = St (µ(t)dt + σ(t)dWt )

de donde tenemos que:

dSt = St [µ(t)dt + σ(t)dWt ]

(6.29)

expresi´on que describe los cambios infinitesimales del precio del activo riesgoso, en el modelo de mercado que se ha desarrollado.

Utilizando el resultado (6.29) del ejemplo anterior, y retomando el modelo de mercado en tiempo continuo, tenemos que: El bono o activo libre de riesgo puede ser descrito en un instante de tiempo t ∈ [0, T ] fijo, por:

Rt

Bt = B0 e

0

rf (s)ds

(6.30)

127 mientras que el cambio en el valor de este activo a lo largo del tiempo es descrito por la ecuaci´on diferencial ordinaria:

dBt = Bt rf (t)dt

(6.31)

Para el caso de los activos riesgosos, su valor en alg´ un instante t ∈ [0, T ] fijo, es descrito por:

Sti

=

S0i

(Z exp 0

t

m

X 1 (µ(s) − σ 2 (s))ds + 2 j=1

Z

)

t

σij (s)dWsi

(6.32)

0

y los cambios infinitesimales de estos precios a lo largo del tiempo son descritos por la ecuaci´on diferencial estoc´astica: " dSti = Sti µit dt +

m X

# σij dWti

(6.33)

j=1

6.3.

F´ ormula de Itˆ o multidimensional

Consideremos ahora un movimiento browniano m-dimensional Wt = (Wt1 , Wt2 , Wt3 , · · · , Wtm ), y procesos ui (t, w) adaptados e integrables y vij (t, w) adaptados y cuadrado integrables, con i = 1, ..., n ; j = 1, ..., m. Definimos el proceso de Itˆo n-dimensional :     dXt1        dX 2 t

 ..   .        dXtn

o en notaci´on matricial,

= u1 dt + v11 dWt1 + · · · + v1,m dWtm = u2 dt + v21 dWt1 + · · · + v2,m dWtm .. .

.. .

= un dt + vn1 dWt1 + · · · + vn,m dWtm

(6.34)

128

dXt = udt + vdWt

(6.35)

donde:



Xt1





     .  ..  ; u =  Xt =        Xtn

 u1 .. . un



     ; v=    

 v11 · · · v1m .. . . .. . . . vn1 · · · vnm



     ; dWt =     

dWt1 .. . dWtm

    (6.36)  

Teorema 7 Sea Xt un proceso de Itˆo n-dimensional que satisface:

dXt = udt + vdWt

(6.37)

y sea g(t, x) = (g1 (t, x), g2 (t, x), · · · , gp (t, x)) un funcional de tipo C 2 de [0, ∞) × Rn en Rp , entonces el proceso:

Yt = g(t, Xt )

(6.38)

es tambi´en un proceso de Itˆo cuya k-´esimo componente satisface:

dYtk =

X ∂g k ∂g k 1 X ∂ 2gk (t, X)dt + (t, X)dXti + (t, X)dXti dXtj ∂t ∂xi 2 i,j ∂xi ∂xj i

(6.39)

donde dWti dWtj = δij dt, dWti dt = dtdWti = 0. La demostraci´on de este resultado es an´aloga a la presentada para la demostraci´on de la f´ormula en una dimensi´on. Ejemplo 25 Sea Wt = (Wt1 , Wt2 , Wt3 , · · · , Wtn ) un movimiento browniano n-dimensional, con n ≥ 2, y consideremos:

129

 1/2 Rt = |Wt | = (Wt1 )2 + (Wt2 )2 + (Wt3 )2 + · · · + (Wtn )2 es decir la distancia Euclidea de W al origen. La funci´on g(t, x) = |x| no es de tipo C 2 en el origen, pero como Wt nunca alcanza el origen casi seguramente, es posible aplicar la f´ormula de Itˆo (6.39), y se tiene que:

dRt =

n X W i dW i t

i=1

R

t

+

n−1 dt 2R

El proceso R es llamado proceso de Bessel n-dimensional.

130

6.4.

Ejercicios

1. Utilice la f´ormula de Itˆo para encontrar la diferencial estoc´astica de los siguientes procesos: a) Yt = Wt2 . b) Yt = 2 + t + eWt . c) Yt = (Wt1 )2 + (Wt2 )2 . d ) Yt = (α + t, Wt ), con α constante. e) Yt = [Wt1 + Wt2 + Wt3 , (Wt2 )2 − Wt1 Wt3 ] 2. Utilice la f´ormula de Itˆo para mostrar que:

Z 0

t

1 sWs dWs = 2



tWt2

t2 − − 2

Z

t

WS2 ds



0

Sugerencia: utilice la funci´on f (t, x) = tx3 . 3. Dados Xt y Yt dos procesos de Itˆo, demuestre que:

d(Xt Yt ) = Xt dYt + Yt dXt + dXt dYt

(6.40)

y deduzca la siguiente f´ormula de integraci´on por partes:

Z

t

Z

t

Xs dY s = Xt Yt − X0 Y0 − 0

Z Ys dXs −

0

dXs dYs 0

4. Muestre que el siguiente proceso es martingala.

t

Xt = (Wt + t)e−Wt − 2

t

(6.41)

131 Sugerencia: aplique la f´ormula de Itˆo para mostrar que este proceso es una integral estoc´astica. 5. Sea Wt un movimiento browniano y λ una constante. Definimos:

1

2t

φ(Wt ) = e−λWt − 2 λ Muestre que: dφ(Wt ) = −λφ(Wt )dWt 6. Considere el proceso:

1 2 γt = eθWt −(rf + 2 θ )t

donde θ es una constante. Muestre que dγt = −θγt dWt − rf γt dt. 7. Suponga que:

 dXt =

p p  1 2 σ − a Xt dt + σ St dWt 4

con a y σ constantes y Wt el movimiento browniano. Si se define un nuevo proceso √ Yt , como Yt = 2 Xt . Muestre que:

dYt = −adt + σdWt 8. Sea Wt un movimiento browniano est´andar, defina:

Ytk = E[Wtk ] ;

k = 0, 1, 2, 3, ...

a) Utilice la f´ormula de Itˆo para probar que:

Ytk

1 = k(k − 1) 2

Z 0

t

Ysk−2 ds ;

k≥2

132 b) Deduzca que E[Wt4 ] = 3t2 , y encuentre E[Wt6 ]. c) Muestre que E[Wt2k+1 ] = 0, y

E[Wt2k ] =

(2k)!tk 2k k!

Cap´ıtulo 7 La ecuaci´ on diferencial de Black-Scholes Aquel que quiera construir torres altas deber´a permanecer largo tiempo en los fundamentos.

– Anton Bruckner Hasta este momento, hemos construido un modelo de mercado en tiempo continuo ([0, T ]), en el cual hay activos riesgosos (St ) y un activo libre de riesgo (Bt ), para los cuales contamos con expresiones que describen su precio en un instante de tiempo t ∈ [0, T ]: Libre de riesgo: Bt = B0 erf t. Activo riesgoso: St = S0 e(µ−

σ2 )t+σWt 2

.

y expresiones que describen el cambio en estos precios para intervalos infinitesimales de tiempo:

Libre de riesgo: dBt = Bt rf dt. Activo riesgoso: dSt = St (µdt + σdWt ). 133

134 Sobre este mercado se consideran otra serie de supuestos que claramente no son aceptables en un mercado real, pero que pueden ser f´acilmente eliminados (como el supuesto inicial que establec´ıa que rf , µ y σ son constantes). Sin embargo, la no consideraci´on de algunos de los supuestos que ser´an presentados en lo que sigue, tiene implicaciones m´as profundas en el desarrollo del modelo, y requieren un mayor desarrollo. Supuestos del modelo Black-Scholes-Merton 1. Los activos son perfectamente divisibles. Es posible negociar cantidades no necesariamente enteras de cualquier activo. 2. El mercado es libre de fricciones. Este supuesto implica que: No hay costos de transacci´on. El mercado es perfectamente l´ıquido. No hay diferenciales entre oferta y demanda. No hay tasas impositivas. No hay requerimientos al margen. No hay restricciones a ventas en corto. Los agentes son tomadores de precios. Los agentes prefieren m´as que menos. 3. La tasa de inter´es asociada al activo libre de riesgo (rf ), es la misma, bien sea que el agente invierta o tome prestado. 4. El mercado es libre de oportunidades de arbitraje. Este supuesto en particular tiene profundas implicaciones en los procesos de valoraci´on de activos en el mercado, como se expuso en los cap´ıtulos anteriores, y en la completitud del mismo, como se ver´a m´as adelante. 5. No hay riesgo de incumplimiento en las operaciones realizadas.

135 Si bien este conjunto de supuestos es lejano a la realidad, nos permite concentrarnos en los elementos esenciales de la teor´ıa, y nos da una primera aproximaci´on al contexto de los mercados. Consideramos adem´as un activo derivado (activo contingente), pactado sobre el activo riesgoso del mercado1 . El valor de este derivado en alg´ un instante t ∈ [0, T ] lo denotamos por Vt y lo consideramos como una funci´on del tiempo y del precio del activo subyacente, es decir, Vt = f (t, St ). Para la valoraci´on de este activo derivado procedemos por replicaci´on, generando un portafolio Xt , tal que XT = VT . El supuesto de no arbitraje en el mercado garantiza que se cumple la ley de u ´nico precio, con lo cual Xt = Vt para todo t ∈ [0, T ].

7.1.

Portafolio de replicaci´ on

Como se expuso en el cap´ıtulo 2, donde utilizamos replicaci´on para la valoraci´on del derivado en el modelo binomial, lo primero que debemos hacer es determinar la forma como este portafolio de replicaci´on debe constituirse. Para esto, denotemos por: ∆t : cantidad del activo riesgoso en el portafolio. Lo que implica que el monto invertido en activo riesgoso es ∆t St . Γt : invertido en activo libre de riesgo. Si el signo de estas cantidades es negativo se interpreta que: en el caso de ∆t es una venta en corto, y en el caso de Γt , que esta cantidad se tom´o prestada a la tasa rf . De esta forma, el valor en t del portafolio est´a determinado por:

Xt = ∆t St + Γt 1

(7.1)

Se asume un solo activo derivado y un solo activo riesgoso por facilidad en la exposici´on, pero m´ as adelante se considera el caso de derivados sobre m´ ultiples activos, con caracter´ısticas diferentes a los derivados presentados en el cap´ıtulo 1, en lo que se conoce como derivados ex´oticos

136 luego los cambios en el valor de portafolio de cobertura para periodos de tiempo infinitesimales, en los cuales no se consideran cambios en las posiciones tomadas en los activos (rebalanceo), est´an determinados por:

dXt = ∆t dSt + Γt rf dt (7.2)

= ∆t St µdt + ∆t St σdWt + Γt rf dt = ∆t St µdt + Γt rf dt + ∆t St σdWt

Consideramos ahora los procesos de precio descontados del activo riesgoso, el portafolio de r´eplica y el derivado financiero. Para esto, aplicamos la f´ormula de Itˆo en cada caso partiendo de la funci´on f (t, x) = e−rf t x, que descuenta continuamente una cantidad x a la tasa rf , por un periodo de longitud t. Dado que las derivadas parciales de esta funci´on son: ∂2f ∂x2

∂f ∂t

= −rf e−rf t x,

∂f ∂x

= e−rf t y

= 0, tenemos que: Precio descontado del activo:

d[e−rf t St ] = −rf e−rf t St dt + e−rf t dSt = −rf e−rf t St dt + e−rf t [St (µdt + σdWt )]

(7.3)

e−rf t St [(µ − rf )dt + σdWt ] Precio descontado del portafolio de r´eplica:

d[e−rf t Xt ] = −rf e−rf t Xt dt + e−rf t dXt = −rf e−rf t (∆t St + Γt )dt + e−rf t [∆t St µdt + Γt rf dt + ∆t St σdWt ] (7.4) = e−rf t St ∆t [(µ − rf )dt + σdWt ] = ∆t d[e−rf t St ] Precio descontado del derivado: Por la aplicaci´on de la f´ormula de Itˆo sobre Vt = f (t, St ) se tiene que:

137

∂V ∂V 1 ∂ 2V dt + dSt + (dSt )2 ∂t ∂St 2 ∂St2 ∂V ∂V 1 ∂ 2V 2 2 = dt + [St (µdt + σdWt )] + (σ St dt) ∂t ∂St 2 ∂St2   2 ∂V ∂V ∂V 2 21 ∂ V = + µSt + σ St dt + σSt dWt 2 ∂t ∂St 2 ∂St ∂St

d[V (t, St )] =

(7.5)

y el precio del derivado descontado satisface:

d[e−rf t V (t, St )] = −rf e−rf t V dt + e−rf t dV    2 ∂V ∂V ∂V 2 21 ∂ V −rf t −rf t + µSt + σ St dWt dt + σSt = −rf e Vt dt + e ∂t ∂St 2 ∂St2 ∂St   2 ∂V ∂V ∂V 2 21 ∂ V −rf t −rf V + + µSt + σ St dt + σe−rf t St dWt =e 2 ∂t ∂St 2 ∂St ∂St (7.6) Como el portafolio es de replicaci´on, se tiene que XT = VT , y por la ley de u ´nico precio se debe cumplir que d[e−rf t Xt ] = d[e−rf t V (t, St )]. Igualando las partes correspondientes de tendencia y difusi´on en los procesos de Itˆo (7.4) y (7.6), se tiene que:

• Igualando los componentes de difusi´on (dWt ):

e−rf t St ∆t σ = σe−rf t St ∂V ∆t = ∂St

∂V ∂St

(7.7)

De esta forma, vemos que la cantidad que se debe tener del activo en el portafolio de replicaci´on est´a dada por ∆t =

∂V , ∂St

cantidad conocida como Delta de

cobertura. • Igualando los componentes de tendencia (dt):

138

e

−rf t



 2 ∂V ∂V 2 21 ∂ V −rf V + + µSt + σ St = e−rf t St ∆t (µ − rf ) ∂t ∂St 2 ∂St2 ∂V ∂V 1 ∂ 2V ∂V ∂V −rf V + + µSt + σ 2 St2 = µSt − rf St 2 ∂t ∂St 2 ∂St ∂St ∂St 2 1∂ V ∂V ∂V + σ 2 St2 = −rf St −rf V + 2 ∂t 2 ∂St ∂St 2 ∂V ∂V 1∂ V + rf St + σ 2 St2 = rf V ∂t ∂St 2 ∂St2

(7.8)

La u ´ltima l´ınea en el desarrollo anterior: ∂V ∂V 1 ∂ 2V + σ 2 St2 = rf V + rf St ∂t ∂St 2 ∂St2

(7.9)

es una ecuaci´on diferencial parcial (EDP) de segundo orden parab´olica, conocida como ecuaci´ on diferencial parcial de Black-Scholes. En esta expresi´on es importante notar que no aparece componente estoc´astico alguno, ya que es calculada en un instante de tiempo t fijo en el cual es conocido St . La soluci´on de esta ecuaci´on diferencial parcial permite establecer la funci´on que determina el valor del derivado Vt como una funci´on de t y St , donde las condiciones de frontera establecen el tipo de derivado que se est´a valorando. Por ejemplo, si el derivado es una opci´on de compra europea con precio de ejercicio K y vencimiento en T , entonces la condici´on de frontera sobre la funci´on V es: V (T, ST ) = (ST − K)+ . Ejemplo 26 Consideremos la funci´on V (t, St ) = St − Ke−rf (T −t) , asociada al valor de una posici´on larga en un contrato forward. Veamos que esta expresi´on satisface la EDP de Black-Scholes. Se tiene que: ∂V (t, St ) = −Krf e−rf (T −t) ∂t

;

∂V (t, St ) =1 ∂St

;

∂ 2 V (t, St ) =0 ∂St2

139 entonces,

1 −Krf e−rf (T −t) + rf St (1) + σ 2 St2 (0) = rf (St − Ke−rf (T −t) ) 2 rf (St − Ke−rf (T −t) ) = rf (St − Ke−rf (T −t) )

7.2.

Soluci´ on de la EDP de Black-Scholes

Consideramos la EDP de Black-Scholes en un instante de tiempo fijo t, en el cual St = x, luego: ∂V ∂V 1 ∂ 2V + rf x + σ 2 x2 = rf V ∂t ∂x 2 ∂x2

(7.10)

junto con la condici´on de frontera V (T, ST ) = (ST − K)+ . Para resolver esta ecuaci´on consideramos primero el siguiente lema. Lema 1 Si H(t, x) es una funci´on tal que: ∂H σ 2 2 ∂ 2 H + x =0 y ∂t 2 ∂x2

V (t, x) = erf (t−T ) H(t, erf (T −t) x)

entonces V (t, x) satisface (7.10) y V (T, x) = H(T, x).

Demostraci´ on 5 Como

V (t, x) = erf (t−T ) H(t, erf (T −t) x) y denotando por m = xerf (T −t) y n = t, se tiene que:

∂V = erf (t−T ) ∂t



∂H ∂n ∂H ∂m + ∂n ∂t ∂m ∂t



+ rf Herf (t−T ) = erf (t−T )

∂H ∂H − rf x + rf Herf (t−T ) ∂n ∂m

140

Por otro lado,

∂V = erf (t−T ) ∂x



∂H ∂n ∂H ∂m + ∂n ∂x ∂m ∂x



rf (t−T )



=e

∂H ∂H rf (T −t) 0+ e ∂n ∂m

 =

∂H ∂m

y como V = erf (t−T ) H, se tiene que:

∂ 2V ∂ = 2 ∂x ∂x



 ∂H e =e ∂x ∂x     ∂H ∂m ∂H rf (T −t) rf (t−T ) ∂ rf (t−T ) ∂ =e =e e ∂x ∂m ∂x ∂x ∂m !# " ∂H ∂H ∂ 2 H rf (T −t) ∂n ∂m + ∂m = e = erf (t−T ) erf (T −t) ∂m ∂n ∂x ∂m ∂x ∂m2 rf (t−T ) ∂H



rf (t−T )

∂ ∂x



De acuerdo con los resultados anteriores, se tiene que: ∂V ∂V 1 ∂ 2V + rf x + σ 2 x2 = rf V ∂t ∂x 2 ∂x2 es equivalente a,

erf (t−T )

∂H ∂H ∂H σ 2 x2 ∂ 2 H rf (T −t) − rf x + rf Herf (t−T ) + rf x + e = rf erf (t−T ) H ∂n ∂m ∂m 2 ∂m2

expresi´on que es v´alida solo si, ∂H σ 2 x2 ∂ 2 H + =0 ∂n 2 ∂m2 lo cual se tiene por hip´otesis. Adem´as:

141

V (T, x) = erf (T −T ) H(T, erf (T −T ) x) = H(T, x) lo cual demuestra el lema.

A partir del lema que acabamos de demostrar, podemos considerar la ecuaci´on, ∂H σ 2 x2 ∂ 2 H + =0 ∂t 2 ∂x2

(7.11)

para resolver la EDP de Black-Scholes, en el caso rf = 0, y la funci´on V (t, x) = erf (t−T ) H(t, erf (T −t) x) para determinar la soluci´on en el caso rf > 0. Considerando que H es una funci´on de t y St , por la aplicaci´on de la f´ormula de Itˆo tenemos que: ∂H 1 ∂ 2H ∂H dt + dSt + (dSt )2 2 ∂t ∂x 2 ∂x ∂H 1 ∂ 2H 2 2 ∂H dt + (µSt dt + σSt dWt ) + σ St dt = ∂x 2 ∂x2 ∂t  ∂H ∂H 1 ∂ 2H 2 2 ∂H = + µSt + σ St dt + σSt dWt 2 ∂t ∂x 2 ∂x ∂x

dH(t, St ) =

(7.12)

y dado que µ no aparece en la ecuaci´on de Black-Scholes-Merton, asumiremos que µ = 0, con lo cual,  dH(t, St ) =

 ∂H 1 ∂ 2 H 2 2 ∂H + σ St dt + σSt dWt 2 ∂t 2 ∂x ∂x

por el lema que se demostr´o antes se tiene que:

dH(t, St ) =

∂H σSt dWt ∂x

de donde podemos concluir que H(t, St ) es martingala (ya que no tiene componente de tendencia). De acuerdo con esto,

142

E[H(T, ST )] = E[H(0, S0 )] y se tiene que H(T, ST ) = (ST − K)+ , entonces, por la propiedad de martingala:

E[(ST − K)+ |F0 ] = E[H(0, S0 )] = H(0, S0 )

Dado que H(0, S0 ) = E[(ST − K)+ |F0 ], buscamos calcular este valor esperado, partiendo de que el precio del activo subyacente en el instante T es: σ2 ST = S0 exp σWT − T 2 



ya que por hip´otesis se tiene que µ = 0. d

Como WT ∼ N (0, T ), entonces WT =

√

T Z con Z ∼ N (0, 1), luego podemos expresar el

precio ST como:  2  n √ o σ ST = S0 exp − T exp σ T Z 2 n 2 o √ y si denotamos por: a = S0 exp − σ2 T , b = σ T y c = K, el problema del c´alculo del valor esperado se expresa como:

E[(ST − K)+ ] = E[(aebZ − c)+ ] ejercicio que ya hab´ıa sido propuesto en el cap´ıtulo tres, y cuya soluci´on es:

bZ

E[(ae

luego,

+

− c) ] = ae

b2 /2

    1 a 1 a Φ b + ln − cΦ ln b c b c

143

E[(ST − K)+ ] = E[(S0 e−

σ2 T 2

eσ

√

TZ

− K)+ ]

!! !! 2 2 − σ2 T − σ2 T √ S e S e 1 1 2 0 0 √ ln = S0 e − KΦ eσ T /2 Φ σ T + √ ln K K σ T σ T         2 2 √ S0 1 S0 1 σ T σ T − K √ ln − √ − √ = S0 Φ σ T + √ ln K K σ T 2σ T σ T 2σ T " " √ # √ #     1 S0 σ T 1 S0 σ T √ ln = S0 Φ √ ln + −K − K 2 K 2 σ T σ T 2 − σ2 T

y como V (t, x) = erf (t−T ) H(t, erf (T −t) x), se tiene que:

V (0, S0 ) = e−rf T H(0, erf T S0 ) ( "

" √ # √ #)  rf T   rf T  1 e S σ 1 e S σ T T 0 0 √ ln = e−rf T erf T S0 Φ √ ln + −K − K 2 K 2 σ T σ T " # " √ √ #         1 σ T 1 σ T S0 S 0 = S0 Φ √ + rf T + − Ke−rf T Φ √ + rf T − ln ln K 2 K 2 σ T σ T        

2 2 ln SK0 + rf T + σ 2T ln SK0 + rf T − σ 2T  − Ke−rf T Φ   √ √ = S0 Φ  σ T σ T

De esta forma se tiene que:

V (0, S0 ) = S0 Φ (d1 ) − Ke−rf T Φ (d2 )

ln d1 =

S0 K






+ rf T + √ σ T

σ2 T 2

con  ;

(7.13) ln d2 =

S0 K






+ rf T − √ σ T

σ2 T



2

expresi´on conocida como la f´ ormula Black-Scholes-Merton para la valoraci´ on de opciones Call europeas.

144

7.3.

Ejercicios

1. Siguiendo los pasos que se presentaron en este cap´ıtulo para deducir la f´ormula Black-Scholes-Merton, determine el valor en t = 0 de derivados que al vencimiento pagan: a) (ST2 − K)+ b) (ST − K) c) (K − ST )+ d ) (K − ST ) e) (K − ST2 )+ 2. Otra forma en la cual se puede deducir la ecuaci´on diferencial parcial de BlackScholes es con la construcci´on de un portafolio de cobertura, mediante el cual el agente que toma posici´on corta en el derivado (lo vende), cubre los potenciales riesgos que asume. Considere un portafolio Πt conformado por: una posici´on corta de tama˜ no w1 en el derivado, y una posici´on larga de tama˜ no w2 en el activo subyacente. a) Dado que el valor del portafolio en t es Πt = −w1 V (t, St ) + w2 St , encuentre una expresi´on para los cambios diferenciales en el valor del portafolio dΠt . b) Si se toma w1 = 1, ¿qu´e valor de w2 hace que los cambios diferenciales en el valor del portafolio sean determin´ısticos, es decir, qu´e valor de w2 elimina el componente estoc´astico de la expresi´on que describe los cambios en el valor del portafolio? c) Si el valor inicial del portafolio se invierte a la tasa rf , ¿cu´al es la expresi´on que describe en este caso el cambio diferencial de la inversi´on?

145 d ) Argumente por qu´e las expresiones obtenidas de los literales b y c deben ser iguales. e) Utilice el resultado del literal anterior para deducir la ecuaci´on diferencial parcial de Black-Scholes. 3. Si C(t, St ) y P (t, St ) son los valores en el instante t de opciones Call y Put respectivamente, las dos sobre el mismo subyacente, con igual fecha de maduraci´on (T ) e igual precio de ejercicio K, muestre que C − P tambi´en satisface la ecuaci´on diferencial parcial de Black-Scholes, con la condici´on de que C − P = ST − K en t=T

Cap´ıtulo 8 Cambio de medida y valoraci´ on riesgo neutral Las matem´aticas no son un recorrido prudente por una autopista despejada, sino un viaje a un terreno salvaje y extra˜ no, en el cual los exploradores se pierden a menudo.

– W.S. Anglin

En este cap´ıtulo presentamos la aproximaci´on riesgo neutral al problema de valoraci´on, como se hizo en el cap´ıtulo 2, pero en tiempo continuo. Para esto haremos uso de un importante resultado conocido como teorema de Girsanov, el cual establece la forma en la que debemos definir la nueva medida de probabilidad, bajo la cual, los activos tendr´an una rentabilidad dada por la tasa libre de riesgo.

8.1.

Cambio de medida de probabilidad

Teorema 8 Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad y Z una variable aleatoria casi seguramente no negativa con E[Z] = 1. Si para A ∈ F definimos: 147

148

Z Q(A) =

Z(w)dP (w)

(8.1)

A

entonces, Q es una medida de probabilidad, y se cumple que: 1. Si X es una variable aleatoria no negativa, entonces E Q [X] = E[XZ]. 2. Si Z es casi seguramente estrictamente positiva, entonces:

  Y E [Y ] = E Z Q

(8.2)

para toda variable aleatoria Y no negativa.

En el contexto financiero, consideramos a P como la medida de probabilidad real o de mercado, y a Q como la medida de probabilidad riesgo neutral.

Ejemplo 27 Sea Ω = [0, 1], definamos: P ([a, b]) = b − a, llamada la medida de Lebesgue, del intervalo [a, b], donde 0 ≤ a ≤ b ≤ 1. Q([a, b]) =

Rb a

2wdw = b2 − a2 , donde 0 ≤ a ≤ b ≤ 1.

como P (dw) = dw, entonces: Z Q([a, b]) =

2wdP (w)

(8.3)

[a,b]

donde podemos ver que Z(w) = 2w, que es casi seguramente estrictamente positiva y R1 E[Z] = 0 2wdw = 1, entonces, para cualquier variable aleatoria X se tiene que:

Q

Z

E [X(w)] =

1

Z X(w)dQ(w) =

0

1

X(w)2wdP (w) = E[Z(w)X(w)] 0

(8.4)

149 Definici´ on 8 Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad, y Q otra medida sobre (Ω, F) que es equivalente a P 1 , y sea Z una variable aleatoria casi seguramente positiva tal que:

Z Q(A) =

Z(w)dP (w)

(8.5)

A

entonces Z es llamada derivada de Radon-Nikodym de Q respecto a P , y se denota Z =

dP . dQ

Ejemplo 28 Sea X una variable aleatoria normal est´andar sobre (Ω, F, P ), luego:

Z

b

P [X ≤ b] =

fX (x)dx −∞

1 2 con fX (x) = √ e−x /2 2π

(8.6)

Sea θ una constante positiva, y definimos una nueva variable aleatoria Y como: Y = θ+X, luego Y ∼ N (θ, 1) sobre (Ω, F, P ).

Buscamos cambiar la medida de probabilidad P a una nueva medida Q sobre (Ω, F), tal que bajo la medida Q, la variable aleatoria Y sea normal est´andar.

Para realizar el cambio de medida de probabilidad definimos:

  1 2 Z(w) = exp −θX(w) − θ 2

∀w ∈ Ω

(8.7)

y verificamos que:

1. Z(w) es casi seguramente estrictamente positiva, por la forma como est´a definida.

1

Dos medidas de probabilidad P y Q son equivalentes si los eventos de probabilidad cero bajo P tambi´en tienen probabilidad cero bajo Q.

150 2. ∞

 1 2 exp −θx − θ fX (x)dx E[Z(w)] = 2 −∞   Z ∞ 1 2 1 2 exp −θx − θ √ e−x /2 dx = 2 2π   Z−∞ ∞ 1 1 2 2 √ exp − (x + 2θx + θ ) dx = 2 2π −∞   Z ∞ 1 1 2 √ exp − (x + θ) dx ; y = x + θ = 2 2π −∞   Z ∞ 1 1 2 √ exp − y dy = 1 = 2 2π −∞ Z



Entonces, en el contexto del teorema presentado al inicio de esta secci´on, podemos definir una nueva medida de probabilidad Q, como: Z Z(w)dP (w)

Q(A) =

∀A ∈ F

A

Bajo esta nueva medida Q tenemos que:

Z Q[Y ≤ b] =

Z(w)dP (w) {w:Y (w)≤b}

Z =

1{Y (w)≤b} Z(w)dP (w)   Z 1 2 = 1{X(w)≤b−θ} exp −θx − θ fX (x)dx 2 Ω   Z b−θ 1 = exp − (x + θ)2 dx ; y = x + θ 2 −∞   Z b 1 1 2 √ exp − y dy 2 2π −∞ Ω

de donde se concluye que bajo la medida Q, la variable Y es normal est´andar.

(8.8)

151 En el contexto financiero, cambiar la medida de probabilidad de mercado (P ) por la medida de riesgo neutral (Q), cambia la distribuci´on del precio del activo pero no al activo mismo.

8.2.

Medida de riesgo neutral

En la secci´on anterior part´ıamos de considerar un espacio de probabilidad (Ω, F, P ), y una variable aleatoria Z sobre este espacio, casi seguramente no negativa y con E[Z] = 1, a parR tir de la cual definimos una medida de probabilidad equivalente Q(A) = A Z(w)dP (w), para todo A ∈ F. Z es la derivada de Radon-Nikodym de Q respecto a P , y como se mostr´o en el ejemplo al final de la secci´on anterior, nos permite cambiar la media de una variable normal de θ a 0. Ahora queremos cambiar la media, pero no solo de una variable aleatoria, si no la de todo un proceso estoc´astico, para lo cual consideramos el proceso derivado de Radon-Nikodym.

Definimos un proceso estoc´astico Zt = E[Z|Ft ], sobre (Ω, F, P ). Este proceso se denomina proceso derivado de Radon-Nikodym, y tiene las siguientes propiedades.

1. Zt es martingala.

Demostraci´ on 6 Dados los instantes s y t, con s < t, se tiene que:

E[Zt |Fs ] = E[E[Z|Ft ]|Fs ] = E[Z|Fs ] = Zs

(8.9)

2. Si 0 ≤ t ≤ T , y dada una variable aleatoria Y , Ft - medible, entonces:

E Q [Y ] = E[Y Zt ]

(8.10)

152 Demostraci´ on 7

E Q [Y ] = E[Y Z] = E[E[Y Z|Ft ]] = E[Y E[Z|Ft ]] = E[Y Zt ]

(8.11)

3. Sea 0 ≤ s ≤ t ≤ T y Y una variable aleatoria Ft -medible, entonces:

E Q [Y |Fs ] =

1 E[Y Zt |Fs ] Zs

(8.12)

La demostraci´on de esta propiedad queda como ejercicio para el lector.

8.2.1.

Teorema de Girsanov en una dimensi´ on para el movimiento browniano

Teorema 9 Sea Wt con 0 ≤ t ≤ T un movimiento browniano est´andar sobre (Ω, F, P ) y Ft una filtraci´on definida sobre este espacio. Sea θt con 0 ≤ t ≤ T un proceso adaptado a la filtraci´on. Definimos,   Z t Z 1 t 2 θ ds θs dWs − Zt = exp − 2 0 s 0

˜ t = Wt + W

Z

(8.13)

t

θs ds

(8.14)

0

y asumimos que E[

RT 0

θs2 Zs2 ds] < ∞.

Entonces, E[Z] = 1, y bajo la medida de probabilidad Q definida como: Z Q(A) =

Z(w)dP (w) Ω

˜ t , 0 ≤ t ≤ T , es un movimiento browniano est´andar. el proceso W

(8.15)

153 Demostraci´ on 8 Para realizar la demostraci´on utilizamos la caracterizaci´on de L´evy del movimiento Browniano, la cual establece que: Un proceso martingala con valor inicial cero, con trayectorias continuas y variaci´ on cuadr´ atica igual a t en el instante t, es un movimiento browniano est´ andar. Veamos entonces que: ˜ 0 = W0 + 1. W

R0 0

θs ds = 0

˜ t tiene trayectorias continuas, porque es una transformaci´on lineal de un proceso 2. W continuo. ˜ t = dWt + θt dt, entonces: 3. Como dW

˜ t dW ˜ t = (dWt + θt dt)(dWt + θt dt) = dt dW

(8.16)

˜ t es martingala bajo Q, veamos primero que Zt es martingala 4. Para mostrar que W bajo P . Para esto, consideremos el proceso

t

Z Xt = − 0

1 θs dWs − 2

Z

t

θs2 ds

(8.17)

0

y la funci´on f (x) = ex , con lo cual f (Xt ) = Zt y aplicando la f´ormula de Itˆ o se tiene que:

df (Xt ) = dZt = e

Xt

  1 2 1 −θt dWt − θ dt + eXt θt2 dt 2 2

= − θt Zt dWt

(8.18)

154 entonces Zt = Z0 +

Rt 0

θs Zs dWS , luego Zs es una integral de Itˆo, y por lo tanto es

martingala. De esto, E[ZT |F0 ] = E[Z0 ] = 1. Utilizando la propiedad 3 del proceso derivado de Radon-Nikodym se tiene que:

˜ t Zt |Fs ] = 1 Zs W ˜s = W ˜s ˜ t |Fs ] = 1 E[W E Q [W Zs Zs

8.2.2.

(8.19)

Precio del activo bajo riesgo neutral

Bajo la medida de probabilidad P tenemos que:

dSt = µSt dt + σSt dWt

;

0≤t≤T

(8.20)

o

1

St = S0 e(µ− 2 σ

2 )t+σW t

(8.21)

y definimos un factor de descuento asociado a la tasa libre de riesgo, Dt = e−rf t , o en forma equivalente dDt = −rf Dt dt. Si se considera la f´ormula de Itˆo sobre una funci´on f (x, y), para dos procesos de Itˆo Xt y Yt , tenemos que:

∂f ∂f (Xt , Yt )dXt + (Xt , Yt )dYt ∂x ∂y   1 ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f 2 2 + (X , Y )(dX ) + (X , Y )(dY ) + (Xt , Yt )(dXt )(dYt ) t t t t t t 2 ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y

df (Xt , Yt ) =

(8.22) que al ser aplicada considerando la funci´on f (x, y) = xy, nos permite establecer la regla para la diferencial estoc´astica de un producto:

155

d[Xt Yt ] = Yt dXt + Xt dYt + dXt dYt

(8.23)

Si aplicamos esta regla considerando los procesos Dt y St , tenemos que:

d[Dt St ] = Dt dSt + St dDt + dDt dSt = Dt (µSt dt + σSt dWt ) + St (−rf Dt dt) (8.24) = (µ − rf )Dt St dt + σDt St dWt    µ − rf dt + dWt = σDt St σ y denotando por θ =

µ−rf , σ

que puede interpretarse como el precio del riesgo en el mercado,

tenemos que:

d[Dt St ] = σDt St [θdt + dWt ] | {z }

(8.25)

(∗)

˜ t , y aplicando el teorema de Girsanov podemos definir una vemos que (∗) es igual a dW medida de probabilidad Q bajo la cual (∗) es un movimiento browniano est´andar. ˜ t , se tiene que: Con este cambio de medida de probabilidad, y en t´erminos de W

˜t d[Dt St ] = σDt St dW

(8.26)

o en notaci´on integral, Z Dt St = S0 +

t

˜s σDs Ss dW

(8.27)

0

lo que nos muestra que el proceso Dt St es martingala bajo Q. Otro importante resultado que se tiene es que, bajo la medida Q, los activos tienen tasa de retorno rf . Esto se puede ver al considerar que bajo P ,

156

dSt = µSt dt + σSt dWt

0≤t≤T

(8.28)

˜ t , se tiene que: y haciendo dWt = −θt dt + dW ˜ t] dSt = µSt dt + σSt [−θt dt + dW    rf − µ ˜t = µSt dt + σSt dt + dW σ

(8.29)

˜t = rf St dt + σSt dW o en notaci´on integral: Z St = S0 exp 0

t

1 (rf − σ 2 )ds + 2

Z

t

˜s σdW

 (8.30)

0

Nota 9 Observemos que el cambio de medida de probabilidad, altera la media del proceso de precio, pero no su volatilidad.

8.2.3.

Portafolio de replicaci´ on bajo riesgo neutral

Consideramos ahora el valor bajo riesgo neutral del portafolio de replicaci´on construido en el cap´ıtulo 7. Recordemos que el valor en alg´ un instante t de este portafolio es denotado por Xt , y est´a conformado por ∆t unidades de activo riesgoso y una cantidad Γt invertida o prestada a la tasa rf . La cantidad Γt puede escribirse como Γt = Xt − ∆t St , ya que esta representa el valor del portafolio que est´a invertido a la tasa rf , luego los cambios en el valor del portafolio est´an dados por:

dXt = ∆t dSt + Γt rf dt = ∆t (µSt dt + σSt dWt ) + (Xt − ∆t St )rf dt = rf Xt dt + ∆t σSt [θdt + dWt ]

(8.31)

157 y por la aplicaci´on de la diferencial estoc´astica de un producto, se tiene que:

d[Dt Xt ] =Dt dXt + Xt dDt + dDt dXt =Dt (rf Xt dt + ∆t σSt [θdt + dWt ]) + Xt (−rf Dt dt)+ (8.32) (−rf Dt dt) (rf Xt dt + ∆t σSt [θdt + dWt ]) ˜t = Dt ∆t σSt (θdt + dWt ) = Dt ∆t σSt dW de donde concluimos que el proceso de valor de portafolio de r´eplica descontado, es martingala bajo la medida Q.

8.3.

Valoraci´ on bajo riesgo neutral

Si VT es una variable aleatoria que denota el valor en el instante T de alg´ un activo derivado, buscamos determinar el capital inicial necesario X0 que un agente en posici´on corta en el derivado necesita para cubrir su posici´on. Es decir, si XT es el valor del portafolio de r´eplica en el instante T (XT = VT ), entonces, buscamos determinar X0 , valor que por la ley de u ´nico precio debe ser igual a V0 . Como Dt Xt es martingala bajo Q, tenemos que: Dt Xt = E Q [DT XT |Ft ] = E Q [DT VT |Ft ]

(8.33)

= Dt Vt

Se tiene entonces que:

Dt Vt = E Q [DT VT |Ft ] y dividiendo por Dt ,

(8.34)

158

Vt = E

Q



DT VT |Ft Dt

 (8.35)

de donde:

  Vt = E Q e−rf (T −t) VT |Ft = e−rf (T −t) E Q [VT |Ft ]

(8.36)

expresi´on que representa el teorema fundamental de valoraci´ on de activos contingentes en tiempo continuo.

8.4.

La f´ ormula Black-Scholes-Merton

En el cap´ıtulo anterior se dedujo la f´ormula Black-Scholes-Merton para la valoraci´on de opciones call y put europeas, solucionando la ecuaci´on diferencial parcial para este caso particular. En esta secci´on se deduce de nuevo este resultado mediante la aplicaci´on de la f´ormula de valoraci´on desarrollada en la secci´on anterior. Para esto se asumir´a que σ y rf son constantes, y que el derivado que se est´a considerando es una opci´on call europea con precio de ejercicio K, vencimiento en T y que el precio del activo subyacente de la opci´on sigue un movimiento browninao geom´etrico bajo la medida de riesgo neutral Q, es decir:

St = S0 e(rf −

σ2 )T +σWT 2

(8.37)

Aplicando la f´ormula de valoraci´on, se tiene que el valor del call en cualquier instante t ∈ [0, T ] est´a determinado por:

Vt = e−rf (T −t) E Q [(ST − K)+ |Ft ] Dado que

(8.38)

159

ST = St e(rf −

σ2 )(T −t)+σ(WT −Wt ) 2

(8.39)

y si denotamos por τ = T − t y

Y =−

WT − Wt √ ∼ N (0, 1) τ

(8.40)

entonces:

ST = St e

  2 √ rf − σ2 τ −σ τ Y

(8.41)

lo que muestra que el precio del activo en el instante T es el producto de una variable aleatoria Ft -medible (St ), y una variable aleatoria

 exp

σ2 rf − 2



√



τ − σ τY

(8.42)

que es independiente de Ft , ya que Y es un incremento estandarizado del browniano. De acuerdo con esto

( Vt =E Q

e−rf τ

 St e

  2 √ rf − σ2 τ −σ τ y

+ ) −K

  +  2 √ 1 2 rf − σ2 τ −σ τ y −rf τ √ e−y /2 dy = e St e −K 2π −∞ Z

∞

    2 √ rf − σ2 τ −σ τ y La expresi´on St e − K es mayor a 0 si se cumple que:

(8.43)

160

  2 √ rf − σ2 τ −σ τ y

St e −K >0     √ σ2 K rf − τ − σ τ y > ln 2 St     √ K σ2 − rf − τ −σ τ Y > ln St 2     2 ln SKt − rf − σ2 τ √ y< −σ τ 
 σ2 St ln K + rf − 2 τ √ = d2 y< σ τ

(8.44)

De esta forma, la expresi´on de valoraci´on es: d2

    2 √ 1 2 rf − σ2 τ −σ τ y e St e Vt = − K √ e−y /2 dy 2π −∞ Z d2 Z d2 2 √ σ τ 1 1 2 2 √ e−y /2 St e− 2 −σ τ y dy − √ e−rf τ Ke−y /2 dy = 2π 2π −∞ −∞ Z Z d2 d2 1 1 −y2 /2− σ2 τ −σ√τ y 2 −rf τ 2 √ e √ e−y /2 dy dy − Ke = St 2π 2π −∞ −∞ Z d2 Z d2 √ 1 1 1 2 2 2 √ e− 2 (y +2σ τ y+σ τ ) dy − Ke−rf τ √ e−y /2 dy = St 2π 2π −∞ −∞ Z d2 Z d2 √ 2 1 1 1 2 √ e− 2 (y+σ τ ) dy − Ke−rf τ √ e−y /2 dy = St 2π 2π −∞ −∞ Z

−rf τ

(8.45)

√ Al realizar el cambio de variable z = y + σ τ en la primera de las integrales, se tiene que,   2 S ln( Kt )+ rf + σ2 τ √ √ dz = dy, y los nuevos l´ımites de integraci´on son: −∞ y d2 + σ τ = = d1 . σ τ de forma que: Z

d1

Vt = St −∞

z2 1 √ e− 2 dz − Ke−rf τ 2π

Z

d2

−∞

1 2 √ e−y /2 dy 2π

(8.46)

= St N (d1 ) − Ke−rf τ N (d2 )

donde N (x) indica el a´rea acumulada bajo la curva de la distribuci´on normal est´andar hasta un valor x. Se tiene entonces la f´ ormula Black-Scholes-Merton para la valoraci´on de opciones

161 call europeas en un instante t, considerando: que la opci´on tiene precio de ejercicio K, un tiempo de vida remanente τ = T − t, que el precio actual del activo subyacente es St con volatilidad constante σ.

Callt = St N (d1 ) − Ke−rf τ N (d2 )

(8.47)

donde:

ln d1 =

St K




 + rf + √ σ τ

σ2 2



ln

τ ;

d2 =

St K




 + rf − √ σ τ

σ2 2



τ (8.48)

Al realizar un an´alisis an´alogo para el caso de una opci´on put europea, bajo las mismas condiciones descritas para el caso de la opci´on call, se tiene que:

P utt = Ke−rf τ N (−d2 ) − St N (−d1 )

(8.49)

con las mismas definiciones de d1 y d2 .

8.5.

Teoremas fundamentales de valoraci´ on

Presentamos ahora los denominados teoremas fundamentales de valoraci´on de activos contingentes, los cuales dan un marco general a los argumentos utilizados en las secciones generales para la valoraci´on del derivado financiero.

8.5.1.

Modelo de mercado multidimensional

Consideramos un mercado con d activos riesgosos, cuyos precios satisfacen la ecuaci´on diferencial estoc´astica:

dSti = µi (t)Sti dt + Sti

m X j=1

σij (t)dWtj

i = 1, 2, ..., d

(8.50)

162 donde µi (t) y σij (t) son procesos adaptados que describen la tasa instant´anea de retorno y la volatilidad (correlaci´on) del activo i-´esimo respectivamente. Para describir la naturaleza de la correlaci´on entre estos activos, definimos: v uX u m σij (t) σi (t) = t

(8.51)

j=1

que se asume diferente de cero, y definimos el proceso:

Ai (t) =

m Z X j=1

0

t

σij (s) dWsj σi (s)

i = 1, 2, . . . , d

(8.52)

Sobre el proceso Ai (t) podemos ver que: (1) es martingala ya que es la suma de integrales estoc´asticas, (2) satisface que:

dAi (t)dAi (t) =

m X σij2 (t) j=1

σi2 (t)

dt

m

1 X 2 σ (t)dt = 2 σi (t) j=1 ij =

1 2 σ (t)dt 2 σi (t) i

(8.53)

= dt

lo que muestra que el proceso tiene variaci´on cuadr´atica finita e igual a la longitud del intervalo de tiempo, (3) el valor en t = 0 del proceso es cero, y (4) tiene trayectorias continuas. Estos elementos muestran que el proceso Ai (t) es un movimiento browniano. Utilizando el proceso Ai (t), es posible reescribir la expresi´on para el comportamiento del precio de los activos riesgosos (8.50), como:

dSti = µi (t)Sti dt + σi (t)Sti dAi (t) i = 1, 2, ..., d

donde σi (t) es el proceso de volatilidad del activo Si (t).

(8.54)

163 Para i 6= k los movimientos brownianos Ai (t) y Ak (t) son t´ıpicamente no independientes. Esto se puede ver al considerar:

dAi (t)dAk (t) =

m X σij (t)σkj (t) j=1

σi (t)σk (t)

= ρik (t)dt

(8.55)

y aplicando la regla para el diferencial estoc´astico de un producto, se tiene que:

d[Ai (t)Ak (t)] = Ai (t)dAk (t) + dAi (t)Ak (t) + dAi (t)dAk (t)

(8.56)

y en notaci´on integral, Z

t

t

Z

0

t

ρik (s)ds

Ak (s)dAi (s) +

Ai (s)dAk (s) +

Ai (t)Ak (t) =

Z

(8.57)

0

0

Al considerar el valor esperado de la expresi´on (8.57), y dado que las integrales estoc´asticas son martingalas, se tiene que: Z

t

 ρik (s)ds

E[Ai (t)Ak (t)] = E

(8.58)

0

y como Ai (t) y Ak (t) son movimientos brownianos, entonces: Z E[Ai (t)Ak (t)] = Cov(Ai (t), Ak (t)) = E

t

 ρik (s)ds

(8.59)

0

lo que muestra que ρik es la correlaci´on instant´anea entre Ai (t) y Ak (t) y se tiene que: dSti dStk = (µi (t)Sti dt + σi (t)Sti dAi (t))(µk (t)Stk dt + σk (t)Stk dAk (t)) = σi (t)Sti dAi (t)σk (t)Stk dAk (t) = ρik (t)σi (t)σk (t)Sti Stk dt

(8.60)

164

y se tienen los diferenciales relativos, dSti dStk = ρik (t)σi (t)σk (t)dt Sti Stk

8.5.2.

(8.61)

Existencia de la medida de riesgo neutral

Considerando el proceso de descuento a la tasa libre de riesgo Dt = exp{−

Rt 0

rf (s)ds}, se

tiene que: d[Dt Sti ] = Dt [dSti − rf (t)Sti dt] =

Dt Sti [(µi (t)

− rf (t))dt +

m X

σij dWtj ]

(8.62)

j=1

= Dt Sti [(µi (t) − rf (t))dt + σi (t)dAi (t)] para i = 1, 2, . . . , d, y se define una medida de riesgo neutral Q como sigue.

Definici´ on 9 Una media de probabilidad Q definida a partir de un espacio de probabilidad (Ω, F, P ) se dice de riesgo neutral si: 1. Q y P son equivalentes, es decir, para todo evento A ∈ F se tiene que P (A) = 0 si y solo si Q(A) = 0. 2. Bajo la medida Q, el proceso de precio descontado de los activos (Dt Sti ) es martingala, esto para i = 1, 2, . . . , d.

Siguiendo con las ideas presentadas en secciones anteriores, para que el proceso de precio descontado sea martingala lo escribimos como:

d[Dt Sti ] = Dt Sti

m X j=1

σij (t)[θj (t)dt + dWtj ] {z } | dWti

(8.63)

165 De forma que si podemos encontrar el proceso θj (t) para cada fuente de incertidumbre (para cada browniano), podemos aplicar el teorema de Girzanov y construir una medida de probabilidad equivalente Q, bajo la cual el proceso Wti sea un movimiento browniano d-dimensional est´andar, luego:

d[Dt Sti ]

=

Dt Sti

m X

σij (t)dWti

(8.64)

j=1

lo que muestra que Dt Sti es martingala bajo Q. Para determinar el proceso θj (t) consideremos las ecuaciones (8.62) y (8.63), las cuales deben ser iguales por no arbitraje. Igualando se tiene:

µi (t) − rf (t) =

m X

σij (t)θj (t) i = 1, 2, . . . , d

(8.65)

j=1

El conjunto de ecuaciones (8.65) describe el valor del riesgo en el mercado, y se debe notar que d ecuaciones con m inc´ognitas θ1 (t), θ1 (t), · · · , θm (t). Poder encontrar la soluci´on a este sistema determinara si es posible o no el arbitraje en el mercado.

Ejemplo 29 Consideremos por ejemplo un mercado con d = 2 activos riesgosos y m = 1 movimiento browninano, es decir, una sola fuente de incertidumbre. Supongamos adem´ as que los coeficientes asociados a los precios de estos activos son constantes. De acuerdo con lo desarrollado, el precio del riesgo en el mercado es:    µ1 − rf

= σ1 θ1

  µ2 − rf

= σ2 θ1

El sistema de ecuaciones (8.66) tendr´ıa soluci´on u ´nica si:

(8.66)

166

µ1 − rf µ2 − rf = σ1 σ2 pero si se cumple esta condici´on los dos activos riesgosos considerados se comportar´ıan como un mismo activo, lo que contradice el supuesto inicial de que hay dos activos riesgosos en el mercado. Si, por ejemplo,se asume que: µ1 − rf µ2 − rf > σ1 σ2 y se define:

µ=

µ2 − rf µ1 − rf − >0 σ1 σ2

(8.67)

y consideramos que el agente en cada instante posee: 1. ∆1 (t) =

1 St1 σ1

partes del activo 1.

2. ∆2 (t) = − S 21σ2 partes del activo 2. t

3. Invierte o toma prestado

1 σ1

−

1 σ2

a la tasa rf para mantener este portafolio.

Se puede ver que el valor en el instante t = 0 de este portafolio es X0 = 0 (no requiere inversi´on inicial), y los cambios diferenciales en el valor de este portafolio est´an dados por: dXt = ∆1 (t)dSt1 + ∆2 (t)dSt2 + rf [Xt − ∆1 (t)dSt1 + ∆2 (t)dSt2 ]dt =

µ1 − rf µ2 − rf dt + dWt + dt − dWt + rf Xt dt σ1 σ2

= µdt + rf Xt

y el diferencial del valor descontado del activo es:

(8.68)

167

d[Dt Xt ] = Dt [dXt − rf Xt dt] = µDt dt

(8.69)

lo que muestra que el proceso descontado es determin´ıstico y estrictamente positivo, y que esta estrategia es de arbitraje. El ejemplo anterior permite ver que, si el n´ umero de activos (d) y el n´ umero de fuentes de incertidumbre (m) no son iguales, es posible desarrollar estrategias de arbitraje, y, por tanto, no se puede valorar, porque el mercado no es completo. Se enuncian a continuaci´on dos importantes resultados relacionados con la existencia y unidad de la medida de riesgo neutral Q, conocidos como teoremas fundamentales de valoraci´ on de activos. Teorema 10 (Primer teorema fundamental de valoraci´ on) Si un modelo de mercado tiene una medida de riesgo neutral no admite arbitraje.

Teorema 11 (Segundo teorema fundamental de valoraci´ on) Considere un modelo de mercado que tiene una medida de probabilidad de riesgo neutral. El modelo es completo (todo activo contingente puede ser cubierto), si y solo si la medida de riesgo neutral es u ´nica. La demostraci´on de este teorema est´a fundamentada en la equivalencia entre la medida de riesgo neutral y la medida de probabilidad real o de mercado, y las definiciones de estrategia de arbitraje y mercado completo.

8.6.

Modelos de tasa de inter´ es y valoraci´ on de bonos

En esta secci´on se presenta una aplicaci´on de los teoremas fundamentales de valoraci´on de activos contingentes para la determinaci´on del valor de bonos, considerando que el valor

168 de este tipo de activos depende del comportamiento de una tasa de inter´es que es descrita por un proceso de Itˆo. Se considera un proceso estoc´astico de tasa de inter´es rt , de forma que una inversi´on de una unidad monetaria en t = 0, genera una ganancia en el instante t de:

βt = e

Rt 0

rs ds

(8.70)

que es, desde luego, estoc´astica, y al aplicar valoraci´on riesgo neutral, y descontar con la tasa rt , se tiene que el valor en t = 0 de un activo con posible valor VT en t = T , es:

i h RT V0 = E Q [VT /βT ] = E Q e− 0 rs ds VT

(8.71)

Algunos modelos cl´asicos para la descripci´on de la tasa rt bajo riesgo neutral son:

8.6.1.

Modelo Vasicek

En este modelo, propuesto en 1977, se asume que el proceso de tasa de inter´es de corto plazo rt satisface la ecuaci´on diferencial estoc´astica:

drt = α(θ − rt )dt + σdWt

(8.72)

donde α, θ y σ son constantes. Este tipo de procesos se conocen como procesos con reversi´on a la media, siendo θ la media de largo plazo o valor de largo plazo del proceso, α > 0 la velocidad de reversi´on, y σ > 0 la volatilidad del proceso. La caracter´ıstica de reversi´on hacia el valor de θ se tiene por la forma del componente de tendencia del proceso, as´ı: Si el valor del proceso en alg´ un instante t es mayor que θ, entonces (θ − rt ) < 0, luego el proceso tiende a tomar valores menores.

169 Si el valor del proceso en alg´ un instante t es menor que θ, entonces (θ − rt ) > 0, luego el proceso tiende a tomar valores mayores. La figura 8.1 muestra la simulaci´on de trayectorias de este tipo de procesos para α = 0,3 y α = 1.

Figura 8.1: Proceso con reversi´on a la media

8.6.2.

Modelo Ho-Lee

En este modelo, propuesto en 1986 por Thomas Ho y Sang Bin Lee, se asume que el proceso de tasa de inter´es de corto plazo rt satisface la ecuaci´on diferencial estoc´astica:

drt = g(t)dt + σdWt

(8.73)

donde g es una funci´on determin´ıstica del tiempo.

8.6.3.

Valoraci´ on de bonos

Si se considera un bono cero cup´on con vencimiento en t = T y facial de 1, su valor en t = 0, de acuerdo con el teorema fundamental de valoraci´on, es:

B(0, T ) = 1E

Q

h

−

e

RT 0

rs ds

i

(8.74)

170 Bajo los dos modelos considerados para describir el comportamiento de la tasa de inter´es (Vasicek y Ho-Lee), el proceso rt sigue una distribuci´on normal, luego el precio del bono cero cup´on est´a determinado por el valor esperado del exponencial de una variable normal, lo que es an´alogo al c´alculo de la funci´on generadora de momentos2 . Entonces: T

 Z i h RT − 0 rs ds = exp −E B(0, T ) = E e



1 rs ds + V 2

Q

0

T

Z

 rs ds

(8.75)

0

Bajo el modelo Vasicek (8.72) se tiene que:

−αt

rt = e

−αt

r0 + θ(1 − e

−αt

Z

) + σe

t

eαs dWs

(8.76)

0

lo que puede verificarse f´acilmente si se considera el proceso Xt =

Rt 0

eαs dWs y la funci´on

f (t, x) = e−αt r0 + θ(1 − e−αt ) + σe−αt x. El valor esperado y la varianza de este proceso son:

Q

E [rt ] = E

Q

 e

−αt

r0 + θ(1 − e

−αt

−αt

Z

t αs

) + σe

= e−αt r0 + θ(1 − e−αt ) + σe−αt E Q

Z 0t



e dWs  αs e dWs

(8.77)

0

= e−αt r0 + θ(1 − e−αt )

Q

Q



−αt

−αt

−αt

Z

t αs

r0 + θ(1 − e ) + σe e dWs 0   Z t Q −αt αs =V σe e dWs 0 Z t 2 −2αt =σ e e2αs ds por isometr´ıa 0   1 − e−2αt 2 =σ 2α

V [rt ] = V

e



(8.78)

Con estos resultados y utilizando la ecuaci´on (8.75), se tiene que el precio de un bono 2

Si X ∼ N (m, v 2 ), entonces mX (t) = E[etX ] = em+v

2

/2

.

171 cero cup´on con vencimiento en T y facial de 1, bajo el modelo Vasicek, est´a determinado por:

   i h RT 1 2 1 − e−2αt −αt −αt − 0 rs ds = exp −e r0 − θ(1 − e ) + σ B(0, T ) = E e 2 2α Q

(8.79)

172

8.7.

Ejercicios

1. Considere el proceso de precio de activos descontado Dt St . a) Defina f (x)ES0 ex y el proceso: t

Z Xt = 0

 Z t 1 2 σs dWs + µs − rf (s) − σs ds 2 0

luego Dt St = f (Xt ). Utilice la f´ormula de Itˆo para determinar df (Xt ). b) Utilizando la regla para el diferencial estoc´astico de un producto, y las expresiones:

dSt = µt St dt + σt St dWt

dDt = −rf (t)Dt dt

encuentre una expresi´on para d(Dt St ). c) Compare los resultados de los literales anteriores. 2. Muestre que la f´ormula de valoraci´on de riesgo neutral:

Dt Vt = E Q [DT VT |Ft ] puede ser escrita como:

Dt Zt Vt = E[DT ZT VT |Ft ] donde Zt es el proceso derivado de Randon-Nikodym,

 Z t  Z 1 t 2 Zt = exp − θs dWs − θ (s)ds 2 0 0

(8.80)

173 con precio del riesgo en el mercado θt =

rf −µ . σ

Note que el valor esperado condicional

en el lado derecho de (8.80) es considerado bajo la medida de probabilidad original P . El proceso Dt Zt se denomina proceso densidad precio estado. 3. Considere un modelo con una u ´nica medida de riesgo neutral Q y una tasa de inter´es libre de riesgo constante rf . De acuerdo con la f´ormula de valoraci´on por riesgo neutral el valor en t de una opci´on call europea con precio de ejercicio K y vencimiento en T est´a dada por:

  Ct = E Q e−rf (T −t) (ST − K)+ |Ft y para el caso de una opci´on put con vencieminto en T y precio de ejercicio K, el precio est´a determinado por:

  Pt = E Q e−rf (T −t) (K − ST )+ |Ft a) Utilice la valoraci´on por riesgo neutral para determinar el valor en t de un contrato forward con vencimiento en T , es decir calcule:

  Ft = E Q e−rf (T −t) (ST − K)|Ft b) Muestre que:

(ST − K)+ − (K − ST )+ = ST − K c) Utilice el resultado anterior para mostrar que:

Ct − Pt = Ft 4. Considere una fecha t0 ∈ [0, T ], y una opci´on de selecci´on u opci´on chooser, que da a

174 su poseedor el derecho mas no la obligaci´on en el instante t0 de seleccionar si quiere una opci´on call o una opci´on put. a) Muestre que el valor en el instante t0 de la opci´on chooser es:

Ct0 + m´ax{0, −Ft0 } = Ct0 + e−rf (T −t0 )K−St0


+

b) Muestre que el valor de una opci´on chooser en el instante de tiempo t = 0 es igual a la suma del valor de una opci´on call con maduraci´on en T y precio de ejercicio K, y el valor de una opci´on put con maduraci´on en t0 y precio de ejercicio e−rf (T −t0 ) K. 5. Muestre que bajo los modelos de tasa de inter´es Vasicek y Ho-Lee, el proceso de tasa de inter´es sigue una distribuci´on normal. 6. Encuentre una expresi´on para el valor de un bono cero cup´on con vencimiento en T y facial de 1, asumiendo que el proceso de tasa corta sigue un proceso Ho-Lee.

Cap´ıtulo 9 Extensiones del modelo BSM y el problema de la volatilidad Las matem´aticas pueden ser definidas como aquel tema del cual no sabemos nunca lo que decimos ni si lo que decimos es verdadero. – Bertrand Russell El modelo de valoraci´on desarrollado en el cap´ıtulo anterior no considera la posibilidad de que el activo subyacente pague alg´ un tipo de dividendo durante la vida del derivado; este caso se desarrolla en el presente cap´ıtulo. Tambi´en se considera el problema del supuesto de volatilidad constante y conocida que se mantuvo durante varios de los desarrollos presentados en los cap´ıtulos anteriores, para esto se tratar´an dos de las aproximaciones m´as com´ unmente estudiadas: el modelo de volatilidad impl´ıcita y el modelo de volatilidad estoc´astica.

9.1.

Opciones sobre activos que pagan dividendos

Muchos tipos de activos sobre los cuales est´an pactadas opciones pagan dividendos, y estos afectan el valor final del activo, por lo cual deben ser incluidos dentro del an´alisis de valoraci´on. 175

176 Dos elementos claves por tener en cuenta son: La frecuencia con la que son pagados los dividendos. La forma como se calcula el monto que se debe pagar por dividendos.

En muchas situaciones, los dividendos son pagados en momentos espec´ıficos del a˜ no, trimestral, semestral o anualmente, pero tambi´en es com´ un considerar la composici´on continua de dividendos, particularmente cuando se consideran derivados sobre ´ındices de activos o sobre monedas. Tambi´en es importante tener en cuenta que el monto pagado por dividendos puede ser modelado en forma determin´ıstica o estoc´astica. Consideramos primero la situaci´on en la cual los dividendos son calculados como una proporci´on constante D0 del valor del activo en el instante t, es decir, el pago de dividendo ocurre a una tasa de dividendo constante D0 y el dividendo pagado esta determinado por D0 St dt. Esta estructura de dividendos es com´ un en opciones sobre ´ındices o monedas (caso en el cual D0 es la tasa de inter´es asociada al pa´ıs de la moneda extranjera). Consideraciones de no arbitraje muestran que el efecto del pago de dividendos en cada intervalo infinitesimal dt, es una ca´ıda en el precio del activo por un monto igual a D0 dt, adicional a las fluctuaciones usuales del precio. De esta forma, la ecuaci´on diferencia estoc´astica que describe el precio del activo riesgoso, incluyendo los dividendos, es:

dSt = (µ − D0 )St dt + σSt dWt

(9.1)

Si consideramos de nuevo el portafolio de cobertura conformado por una posici´on corta en el derivado (la opci´on) y larga en el activo subyacente, dado que el agente recibe D0 St dt por el activo que posee, lo que hace que se deba cambiar la forma como se estructura el portafolio. Finalmente, la ecuaci´on diferencial parcial asociada a este caso es: 1 ∂ 2V ∂V ∂V + σ 2 St2 2 + (rf − D0 )St − rf V = 0 ∂t 2 ∂St ∂St

(9.2)

177 El procedimiento para solucionar esta ecuaci´on es an´alogo al expuesto en cap´ıtulos anteriores, y el resultado es:

C(t, St ) = e−D0 (T −t) St N (d1 ) − Ke−rf (T −t) N (d2 )

(9.3)

con

d1 =

St K

ln





+ rf − D0 + 21 σ 2 (T − t) √ σ T −t

;

√ d2 = d1 − σ T − t

(9.4)

Cuando lo que se tiene es un pago de dividendos continuos, la expresi´on que describe el precio del activo es:

dSt = (µSt − Dδ St (t − td ))dt + σSt dWt

(9.5)

donde td es el momento del pago del dividendo, Dδ es una constante que determina la proporci´on del precio del activo que ser´a pagada como dividendo. Denotando por t+ d al momento de tiempo posterior al pago del dividendo y por t− d al momento anterior al pago del mismo, si se integra a trav´es del momento del pago de dividendo se tiene que: t+ d

Z

t− d

dSt = St

Z

t+ d

t− d

Z µdt − Dδ

t+ d

t− d

Z δ(t − td )dt +

t+ d

t− d

σdWt

(9.6)

+ dado que t− ´nico t´ermino diferente de cero en d y td difieren solo infinitesimalmente, el u

(9.6) es el que contiene a la funci´on δ, luego:

Z

t+ d

t− d

dSt = log St

St+ d

St− d

!

Z = −Dδ

t+ d

t− d

δ(t − td )dt = −Dδ

(9.7)

entonces, en el caso de pago de dividendos discretos, el precio del activo es descontado por:

178

eDδ H(t−td )

(9.8)

siendo H la funci´on de Heaveside.

9.2.

Opciones sobre futuros

Consideramos ahora el caso en el cual el activo subyacente a una opci´on es un contrato de futuros. Este tipo de opciones son bastante transadas en los mercado mundiales ya que se tiene un mercado m´as liquido de futuros e implican un pago mucho menor de costos de transacci´on. Denotando por F (t, T ) el valor fundamental (valor de negociaci´on) de un contrato de futuros, pactado en t y con vencimiento en T . Si el activo subyacente al contrato de futuros no paga dividendos o genera costos, o no es futuro de tipo de cambio, se tiene que:

F (t, T ) = St erf (T −t)

(9.9)

y en este caso el valor de la opci´on depender´a del valor fundamental del contrato futuro F y del tiempo t (V (F, t)), mediante el cambio de variable St por F (t, T ), de forma que: ∂F ∂ ∂ ∂ cambia por = erf (T −t) ∂St ∂St ∂F ∂F y ∂ ∂ ∂F ∂ ∂ cambia por + = −rf F ∂t ∂t ∂t ∂F ∂F el resultado es que la ecuaci´on diferencial parcial se transforma en: ∂V 1 ∂2V + σ2 − rf V = 0 ∂t 2 ∂F 2

(9.10)

179

Siguiendo los procedimientos desarrollados en cap´ıtulos anteriores para la resoluci´on de este tipo de ecuaciones, se tiene que el valor de una opci´on call europea pactada sobre un contrato de futuro con valor fundamental F es:

C(F, t) = e−rf (T −t) (F N (d1 ) − KN (d2 ))

(9.11)

donde d1 y d2 est´an definidas como en la f´ormula Black-Scholes cl´asica intercambiando a S por F .

9.3.

El problema de la volatilidad

Una de las cr´ıticas m´as grandes al modelo BSM es el supuesto de que la volatilidad del precio del activo riesgoso es constante y conocida, lo que en general no se tiene. En la siguiente secci´on se considera primero el problema de la determinaci´on de una constante para la volatilidad a partir de los precios de opciones observados en el mercado, en lo que se conoce como volatilidad estoc´astica. En la siguiente secci´on se trata de forma m´as general el problema de la volatilidad al considerar que aquella es estoc´astica y se describe por un proceso de tipo Ornstein-Uhlenbeck.

9.3.1.

Volatilidad impl´ıcita

Consideremos un agente que en t = 0 adquiere una opci´on call, con vencimiento en T , pactada sobre un activo que no paga dividendos y con precio de ejercicio K. De acuerdo con la f´ormula de Black-Scholes, el valor de la opci´on al momento de ser adquirida est´a determinado por:

C0 = S0 N (d1 ) − Ke−rf T N (d2 ) donde:

(9.12)

180

ln d1 =

S0 K




 + rf + √ σ T

σ2 2



T

ln ;

d2 =

S0 K




 + rf − √ σ T

σ2 2



T (9.13)

La determinaci´on del valor de σ por el m´etodo de volatilidad impl´ıcita implica que de la expresi´on anterior se conocen solamente S0 , K, rf y T , lo que hace que el valor de la opci´on pueda ser considerado como una funci´on V (σ) de σ. Si se conoce el precio anunciado en el mercado C ∗ de una opci´on con las mismas condiciones de la opci´on que se pretende valorar, es posible plantear la ecuaci´on:

V (σ) = C ∗

(9.14)

Se tiene que V (sigma) es continua en el intervalo [0, ∞) con:

l´ım V (σ) = S0

σ→∞

;

l´ım V (σ) = m´ax{S0 − Ke−rf T , 0}

σ→0+

(9.15)

y como:

V 0 (σ) > 0

(9.16)

la funci´on es estrictamente creciente en [0, ∞), y la ecuaci´on (9.14) solo tendr´ıa soluci´on si:

m´ax{S0 − Ke−rf T , 0} ≤ C ∗ ≤ S0

(9.17)

y si esta soluci´on existe debe ser u ´nica. Si adem´as consideramos la segunda derivada de la funci´on V (σ) vemos que:

V 00 (σ) =

d1 d2 ∂V d1 d2 0 ∂ 2V = = V (σ) 2 ∂σ σ ∂σ σ

(9.18)

181 lo que muestra que el u ´nico punto de inflexi´on de V (σ) sobre [0, ∞) est´a determinado por: s log(S0 /K) + rf T σ = 2 T

(9.19)

Todo lo anterior implica que m´etodos num´ericos de c´alculo de ra´ıces, como el de NewtonRaphson, pueden ser utilizados para calcula el valor de la volatilidad impl´ıcito por el valor de mercado de las opciones. Es importante anotar que si se consideran los valores de las primas reportados para opciones sobre una variedad de precios de ejercicio, mientras se mantienen constantes S0 , rf y T , la gr´afica de precio de ejercicio contra volatilidad impl´ıcita deber´ıa mantenerse constante, bajo el supuesto de la validez de la f´ormula Black-Scholes, pero se ha mostrado en m´ ultiples trabajos y aplicaciones que la forma de esta gr´afica es la de una sonrisa. Si este an´alisis se extiende el caso en el cual se consideran los valores reportados para opciones con diferentes precios de ejercicios y fechas de vencimiento, manteniendo fijos rf y S0 , la gr´afica: precio de ejercicio (K) vs. Maduraci´on (T ) vs. volatilidad implicita σ ∗ , da como resultado lo que se conoce como superficie de volatilidad. Si la formula BlackScholes es v´alida la gr´afica deber´ıa ser un plano, pero en lugar de esto, los datos del mercado por lo general arrojan formas c´oncavas y/o convexas. De lo anterior podemos concluir que el modelo Black-Scholes no es una descripci´on perfecta del valor de los derivados (opciones) en la pr´actica, lo que lleva a la consideraci´on de nuevos modelos o a la extensi´on de este importante resultado.

9.3.2.

Modelos de volatilidad estoc´ astica

Los procesos Ornstein-Uhlenbeck (OU) son procesos de difusi´on desarrollados en la f´ısica para modelar la velocidad de una part´ıcula que sigue un movimiento browniano. De forma an´aloga a como el movimiento browniano puede considerarse como un caso l´ımite de

182 una caminata aleatoria reescalada, los procesos OU son la versi´on escalada del l´ımite de un modelo de urna de Ehrenfest, el cual describe la difusi´on de part´ıculas a trav´es de membranas permeables. En a˜ nos recientes, los procesos OU han aparecido en la matem´atica financiera como un modelo que describe la volatilidad del proceso de precio de activos riesgosos. Supongamos que {St , t ≥ 0} es el proceso que describe el precio de un activo riesgoso bajo un movimiento browniano geom´etrico, es decir:

dSt = µSt dt + σSt dWt

(9.20)

en el cual, bajo los supuestos cl´asicos, σ y µ son constantes, pero los datos observados del mercado nos muestran que la volatilidad no es constante si no que cambia en el tiempo. Una primera aproximaci´on natural es la consideraci´on de que esta volatilidad es una funci´on del tiempo, como lo sugiri´o Merton en 1973, pero esto no explica las diferentes volatilidades impl´ıcitas para los diferentes vencimientos, ni la forma que se tiene para los diferentes precios de ejercicio. En respuesta a este interrogante, Hull y White, en 1987, proponen un modelo de volatilidad estoc´astica, en el cual el proceso de precio del activo St satisface la ecuaci´on diferencial estoc´astica:

dSt = µSt dt +

√

vt St dWt

(9.21)

donde vt es un proceso de varianza que satisface la ecuaci´on:

dvt = c1 vt dt + c2 vt dWt

(9.22)

c1 y c2 constantes, es decir, vt es un movimiento browniano geom´etrico, lo que no lo hace muy deseable como modelo para la volatilidad de un activo, ya que los datos de mercado

183 muestran que la mayor´ıa del tiempo la volatilidad suele revertir a un valor de largo plazo. Stein y Stein, en 1991, introducen el proceso Ornstein-Uhlenbeck de reversi´on a la media, que satisface:

dvt = α(β − vt )dt + σdWt

(9.23)

donde α, β y σ son constantes conocidas. Sin embargo, este proceso presenta la dificultad de que puede tomar valores negativos, lo que no tiene sentido si lo que se quiere modelar es una volatilidad. Para ver el por qu´e de esta falla, consideremos un proceso Ornstein-Uhlenbeck Xt , que satisface la ecuaci´on diferencial estoc´astica de Ornstein-Uhlenbeck o ecuaci´on de Langevin dada por:

dXt = αXt dt + σdWt

(9.24)

donde α y σ son constantes y Wt es un movimiento browniano est´andar. Para poder resolver esta ecuaci´on aplicamos la f´ormula de Itˆo a la funci´on f (t, x) = xe−αt y al proceso Xt , con lo cual tenemos que: d[e−αt Xt ] = −αXt e−αt dt + e−αt dXt = −αXt e−αt dt + e−αt (αXt dt + σdWt )

(9.25)

= e−αt σdWt

Integrando (9.25) se tiene

−αt

e

Z Xt = X 0 + σ 0

t

e−αs dWs

(9.26)

184 y, por tanto,

αt

Z

Xt = e X 0 + σ

t

e−α(t−s) dWs

(9.27)

0

Del resultado en (9.27) se tiene que si X0 = x, entonces:

αt

Z

t

e

Xt = e X0 + σ

−α(t−s)

0

  2 2αt − 1) αt σ (e dWs ∼ N xe , 2α

(9.28)

Un proceso Xt es un proceso Ornstein-Uhlenbeck con reversi´ on a la media si Xt satisface:

dXt = (β − Xt )dt + σdWt

(9.29)

donde σ y β son constantes y Wt es un movimiento browniano est´andar. Siguiendo el mismo procedimiento desarrollado para resolver la ecuaci´on (9.24), se tiene que

−t

−t

Z

Xt = (1 − e )β + e X0 + σ

t

e(s−t) dWs

(9.30)

0

En particular, para el modelo de reversi´on a la media propuesto por Stein y Stein en 1991, al considerar la funci´on f (t, x) = (β − x)eαt y un proceso Xt que satisface dXt = α(β − Xt )dt + σdWt , se tiene que: d[f (t, Xt )] = d[(β − Xt )eαt ] = α(β − Xt )eαt dt − eαt dXt = α(β − Xt )eαt dt − eαt [α(β − Xt )dt + σdWt ] = −σeαtdWt

Al integrar el resultado obtenido en 9.31 se tiene que

(9.31)

185

Z

t

eαsdWs 0 Z t αt αt −Xt e = β(1 − e ) − X0 − σ eαsdWs 0 Z t −αt −αt Xt = β(1 − e ) + X0 e +σ eα(s−t)dWs αt

(β − Xt )e

= (β − X0 ) − σ

(9.32)

0

expresi´on que es la soluci´on de la ecuaci´on planteada por Stein y Stein, y que muestra que el proceso sigue una distribuci´on normal con una probabilidad estrictamente positiva de alcanzar valores negativos. En 1993, Steven Heston propone un modelo para el comportamiento de precios que considera volatilidades estoc´asticas y supera el problema del modelo de Stein y Stein, este se conoce Modelo Heston de volatilidad estoc´ astica. En este caso se asume que el proceso de precio de los activos satisface,

dSt = µSt dt +

p Vt St dWt1

(9.33)

donde el proceso de varianza Vt es descrito por:

dVt = α(β − Vt )dt + σ

p Vt dWt2

(9.34)

siendo Wt1 y Wt 2 movimientos brownianos correlacionados tales que dWt1 dWt2 = ρdt. El t´ermino

√ Vt es necesario para garantizar la no negatividad del proceso Vt en la expre-

si´on que describe el precio; el par´ametro α mide la velocidad de la reversi´on del proceso al valor β, el cual puede considerarse como el valor de largo plazo o volatilidad de largo plazo del proceso Vt , y σ es la volatilidad de la volatilidad. Por lo general, los datos sugieren que la correlaci´on ρ es negativa, en lo que se denomina efecto apalancamiento.

186

9.4.

Ejercicios

1. Establezca c´omo es la paridad Put-Call para el caso de opciones que pagan dividendos continuamente. 2. Derive la paridad Put-Call para opciones pactadas sobre contratos forwards/futuros, la cual establece que:

C − P = (F − K)erf (T −t) 3. Demuestre la expresiones 9.15, 9.16, 9.17, 9.18 y 9.19. 4. Demuestre el resultado expresado en 9.28. 5. Si en la soluci´on de la ecuaci´on diferencial estoc´astica de Ornstein-Uhlenbeck, X0 ∼ N (x, τ 2 ) independiente del browniano Wt , encuentre la distribuci´on de Xt . 6. Suponga que Xt es un proceso Ornstein-Uhlenbeck de la forma

αt

Z

t

Xt = e X0 + σ

e−α(t−s) dWs

0

con X0 = 0. Calcule Cov(Xt , Xs ) para s < t. 7. Muestre que la ecuaci´on 9.30 es soluci´on de la ecuaci´on 9.29. 8. Si en la expresi´on 9.30 se tiene que X0 ∼ N (x, τ 2 ) independiente del browniano Wt , encuentre la distribuci´on de Xt . 9. Muestre que el proceso Xt descrito en la ecuaci´on (9.32) es soluci´on de la ecuaci´on diferencial estoc´astica:

dXt = α(β − Xt )dt + σdWt y encuentre la distribuci´on de Xt .

Cap´ıtulo 10 Integraci´ on num´ erica y valoraci´ on Las matem´aticas poseen no solo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fr´ıa y austera, como la de una escultura. – Bertrand Russell

Como se ha descrito a lo largo de los cap´ıtulos anteriores, uno de los problemas m´as relevantes en las finanzas modernas es la valoraci´on de activos contingentes, y como respuesta a esta problem´atica surgen los teoremas fundamentales de valoraci´on, que muestran que el problema puede ser tratado b´asicamente calculando el valor esperado descontado del activo por valorar, bajo una medida de riesgo neutral. Si bien es en esencia un procedimiento sencillo, en la pr´actica se pueden tener m´ ultiples dificultades, particularmente si el activo que se busca valorar presenta caracter´ısticas como posible ejercicio previo, alg´ un tipo de dependencia de la trayectoria seguida por el precio del activo subyacente, m´ ultiples subyacentes, o se trabaja sin supuestos como el de volatilidad constante. Esto hace necesaria la aplicaci´on de m´etodos num´ericos para poder realizar la valoraci´on. Si bien al hablar de m´etodos num´ericos el espectro es bastante amplio, en este cap´ıtulo se considera el problema de la aproximaci´on del valor esperado bajo riesgo neutral mediante m´etodos num´ericos de integraci´on, particularmente integraci´on de Monte Carlo. 187

188

10.1.

Integraci´ on num´ erica

Al considerar integrales de la forma

Rb a

f (x)dx, de acuerdo con la forma de la funci´on

f (x) la integral puede ser calculada en forma anal´ıtica o debe ser aproximada por alg´ un m´etodo num´erico. Los m´etodos de integraci´on num´erica pueden dividirse en: Aproximaci´on cl´asica: m´etodos de integraci´on basados en cuadraturas. Aproximaci´on de Monte Carlo: basados en la generaci´on de muestras aleatorias.

10.1.1.

Cuadraturas determin´ısticas

Considere el problema de aproximar el valor de una integral definida en un intervalo cerrado [a, b], Z

b

I[f ] =

f (x)dx

(10.1)

a

utilizando un conjunto finito de valores de f en un conjunto de nodos xj tales que a = x0 < x1 < ... < xN = b. Para esto se define una f´ormula de cuadratura, que aproxima el valor de la integral, como:

Q[f ] =

N X

wj f (xj )

(10.2)

j=0

donde wj es un peso asociado al nodo xj . Cualquier f´ormula de cuadratura es caracterizada por un truncamiento del error, definido como:

E = I[f ] − Q[f ]

(10.3)

donde es razonable pensar que el error es cero para funciones suficientemente simples, como los polinomios. El orden de una cuadratura se define como el m´aximo grado m tal

189 que el error de truncamiento es cero para los polinomios de grado m o menor, es decir, si la funci´on f es sustituida por un polinomio de interpolaci´on, el error cometido al integrar el polinomio es cero. Si se considera un conjunto de nodos igualmente espaciados:

xj = a + jh,

h=

(b − a) ; n

j = 0, 1, 2, ..., n

(10.4)

selecci´on que caracteriza al conjunto de f´ ormulas de cuadratura de Newton-Cotes, el polinomio de interpolaci´on de grado n, Pn (x), usando polinomios de Lagrange de grado n se define como:

f (x) ≈ Pn (x) =

n X

f (xj )Lj (x)

(10.5)

j=0

donde los polinomios de Lagrange de grado n, Lj (x) se definen como:

Lj (x) =

n Y

x − xi xj − xi i=0,j6=i

(10.6)

y se tiene que:

Lj (xk ) =

   1

si j = k

  0

e.o.c

(10.7)

Para calcular los pesos wj se considera que Z

b

Z

b

f (x)dx ≈ a

Pn (x)dx = a

=

a

n Z X j=0

Z b "X n

a

b

# f (xj )Lj (x) dx

j=0

 Lj (x)dx f (xj ) =

n X j=0

(10.8) wj f (xj )

190 Por ejemplo, si se tienen solo dos puntos, x0 = a y x1 = b, entonces:

P1 (x) = f (x0 )

x − x1 x − x0 + f (x1 ) x0 − x1 x1 − x0

(10.9)

luego: Z

x1

P1 (x)dx = h x0

f1 + f0 2

(10.10)

y en general: "

n−1

X 1 1 Q[f ] = h f0 + fj + fn 2 2 j=1

# (10.11)

conocida como regla del trapecio. Otra cuadratura muy utilizada es la regla de Simpson en la cual la funci´on f es interpolada mediante un polinomio cuadr´atico. Z a

10.1.2.

b

  b−a b+a f (x)dx ≈ f (a) + 4f ( ) + f (b) 6 2

(10.12)

Integraci´ on de Monte Carlo

La integraci´on de Monte Carlo est´a basada en la relaci´on que hay entre el c´alculo de valores esperados y el c´alculo de ´areas o vol´ umenes, puesto que si X es una variable aleatoria con distribuci´on FX (x) se tiene que: Z E[h(X)] =

La ley de los grandes n´ umeros establece que:

h(x)dFX (x)

(10.13)

191 (D´ebil) Si X1 , X2 , . . . es una sucesi´on infinita de variables aleatorias independientes P con igual valor esperado (µ) y varianza (σ 2 ), entonces X¯n = ni=1 Xi /n converge en probabilidad a µ, es decir,

l´ım P [|X¯n − µ| < ] = 1 ∀ > 0

n→∞

(10.14)

(Fuerte) Si X1 , X2 , . . . es una sucesi´on infinita de variables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas con valor esperado (µ) y varianza (σ 2 ), entonces X¯n = Pn i=1 Xi /n converge casi seguramente a µ, es decir,

P [ l´ım X¯n = µ] = 1

(10.15)

n→∞

se tiene entonces que un buen estimador del valor esperado de una variable aleatoria X con distribuci´on FX (x), es el valor promedio de una muestra finita X1 , X2 , . . . , Xn de variables aleatorias con distribuci´on FXj (x), de forma que podemos establecer la aproximaci´on: Z

n

∞

1X h(X)fX (x)dx = E[h(X)] ≈ h(Xi ) n i=1 −∞

(10.16)

Utilizando este sencillo principio es posible, por ejemplo, aproximar el valor de una integral R1 de la forma 0 g(x)dx, asumiendo que la integral representa el valor esperado de g(X) donde X ∼ U [0, 1], lo que implica que: Z E[g(X)] =

1

g(x)dx

(10.17)

0

y utilizando el estimador de Monte Carlo (el promedio), se tiene que: Z 0

con Xi ∼ U [0, 1].

1

n

1X g(x)dx = E[g(X)] ≈ g(Xi ) n i=1

(10.18)

192 De forma m´as general, si se considera la integral

Rb a

g(x)dx, es posible asociarla con el

valor esperado de g(X), donde X es una variable aleatoria uniforme en el intervalo [a, b]. Si X ∼ U [a, b], se tiene que fX (x) =

1 , b−a

para a ≤ x ≤ b, luego:

b

Z

1 dx ; b−a

a≤x≤b

(10.19)

g(x)dx = (b − a)E[g(X)] ;

a≤x≤b

(10.20)

g(x)

E[g(X)] = a

de donde: b

Z a

y la integral puede ser aproximada mediante la expresi´on: Z a

b

n

(b − a) X g(x)dx ≈ g(Xi ) n i=1

(10.21)

con Xi ∼ U [a, b]. Para la estimaci´ on del error al utilizar este tipo de integraci´on, si denotamos por P I = E[g(X)] y por In = n1 ni=1 g(Xi ), entonces si σ es la desviaci´on est´andar de g(Xi ), el teorema del l´ımite central establece que:   σ2 In ∼ N I, n de donde la variable Zn definida como Zn =

In√ −I σ/ n)

(10.22)

sigue una distribuci´on normal est´andar,

luego: cσ P [|Zn | < c] = P [|In − I| < √ ] = 1 − α n

para alg´ un valor de c acorde al nivel de confianza 1 − α. De esta forma, un intervalo de confianza para I con un nivel de confianza del 100 (1 − α) % est´a determinado por:

193



cσ cσ In − √ ; In + √ n n

 (10.23)

y el valor de σ es estimado como la desviaci´on est´andar muestral: v u u σ ˆ=t

n

1 X (g(xi − In ))2 n − 1 i=1

(10.24)

M´ etodos de Monte Carlo y simulaci´ on de trayectorias Consideramos ahora la aplicaci´on de t´ecnicas de Monte Carlo para la simulaci´on de posibles valores y trayectorias de precios, retornos, tasas, etc. Para conseguir simular este tipo de procesos se inicia por la simulaci´on del movimiento browniano est´andar. De la definici´on de movimiento browniano se tiene que WT =

RT 0

dWs ∼ N (0, T ), luego al

considerar una partici´on 0 = t0 < t1 < t2 . . . < tn = T de este intervalo se tiene que: Z

ti+1

Wti+1 − Wti =

d

dWs ∼ N (0, (ti+1 − ti )) =

p √ (ti+1 − ti )Z = dtZ

(10.25)

ti

con Z ∼ N (0, 1), para i = 0, 1, . . . , n − 1, y dt = ti+1 − ti . Si lo que se quiere es simular procesos estoc´asticos que satisfacen una determinada ecuaci´on diferencial estoc´astica, y es posible encontrar una soluci´on anal´ıtica de la ecuaci´on, se puede realizar una simulaci´ on exacta del proceso en el intervalo [0, T ] considerando los puntos de la partici´on 0 = t0 < t1 < t2 . . . < tn = T de este intervalo.

Ejemplo 30 Se busca simular un proceso St que satisface la ecuaci´on diferencial estoc´astica:

dSt = µ(t, St )dt + σ(t, St )dWt donde µ(t, St ) = rf St y σ(t, St ) = σSt con rf y σ constantes, es decir:

(10.26)

194

dSt = rf St dt + σSt dWt

(10.27)

Por la aplicaci´on de la f´ormula de Itˆo sobre este proceso, considerando la funci´on f (x) = ln(x), se tiene que: 1 1 dSt − 2 (dSt )2 St 2St 2 σ d ln(St ) = (rf − )dt + σdWt 2 σ2 ln(St+dt ) − ln(St ) = (rf − )dt + σdWt 2   √ σ2 St+dt = St exp (rf − )dt + σ dtZ 2 d ln(St ) =

(10.28)

donde se considera que d ln(St ) denota el cambio de la funci´on ln(St ) en el intervalo d √ [t, t + dt], y se utiliza que dWt = dtZ con Z ∼ N (0, 1). La expresi´on en la u ´ltima l´ınea de (10.28) permite la simulaci´on exacta del proceso St en los puntos de la partici´on. Considerando de nuevo la ecuaci´on diferencial:

dSt = µ(t, St )dt + σ(t, St )dWt

(10.29)

e integrando dSt en el intervalo t, t + dt se tiene, Z

t+dt

St+dt = St +

Z µ(u, Su )du +

t

t+dt

σ(u, Su )dWu

(10.30)

t

expresi´on que es el punto de partida de los m´etodos de aproximaci´on de Euler y Milstein que se describen a continuaci´on. Bajo la aproximaci´ on de Euler o discretizaci´ on de Euler, el valor de las integrales es aproximado al considerar el valor del integrando en el extremo izquierdo del intervalo de integraci´on, as´ı:

195

Z

t+dt

Z

t+dt

µ(u, Su )du ≈ µ(t, St ) t

du = µ(t, St )dt

(10.31)

t

y

Z

t+dt

Z

t+dt

σ(u, Su )dWu ≈ σ(t, St )

√ dWu = σ(t, St )(Wt+dt − Wt ) = σ(t, St ) dtZ

t

t

(10.32)

Al aplicar esta aproximaci´on a las integrales en la expresi´on (10.30) se tiene:

Z

Z

t+dt

σ(u, Su )dWu

µ(u, Su )du +

St+dt = St + t

St+dt

t+dt

t

√ = St + µ(t, St )dt + σ(t, St ) dtZ

(10.33)

Ejemplo 31 (Esquema de Euler para el modelo BSM) Como se desarroll´ o en cap´ıtulos anteriores, el comportamiento de precio de activos riesgosos en el modelo Black-Scholes-Merton, bajo una medida de probabilidad riesgo neutral Q, es descrito por un proceso estoc´astico St que satisface la ecuaci´on diferencial estoc´astica:

dSt = rf St dt + σSt dWt

(10.34)

con µ y σ constantes. Al aplicar la aproximaci´on (10.33) se tiene:

√ St+dt = St + rf St dt + σ dtZ

(10.35)

196 La figura 10.1 muestra la simulaci´on de 5 trayectorias del proceso de precio, considerando rf = 3,5 %, S0 = 100, σ = 30 % y una partici´on del intervalo [0, 1] con dt = 1/500.

Figura 10.1: Simulaci´ on de precios por el esquema de Euler

Ejemplo 32 (Esquema de Euler para el modelo Heston) Recordemos que el modelo Heston de volatilidad estoc´astica es descrito por un sistema de ecuaciones diferenciales estoc´asticas, en las cuales St es el precio del activo y Vt es el proceso de varianza del mismo.

    dSt    

= rf St dt +

dVt       dWt1 dWt2

√ Vt St dWt1

√ = η(θ − Vt )dt + σ Vt St dWt2

(10.36)

= dρdt

Al integrar sobre el intervalo (t, t + dt) el proceso dVt , se tiene que:

Z

t+dt

Z η(θ − Vu )du +

Vt+dt = Vt + t

y al aplicar la discretizaci´on de Euler:

t+dt

σ t

p Vu dWu2

(10.37)

197 • Z

t+dt

Z

t+dt

η(θ − Vu )du ≈ η(θ − Vt ) t

du = η(θ − Vt )dt

(10.38)

t

• Z

t+dt

t

p p Z 2 σ Vu dWu ≈ σ Vt

t+dt

dWu2 = σ

p

2 Vt (Wt+dt − Wt2 ) = σ

p √ Vt dtZv

t

(10.39)

con lo cual,

Vt+dt = Vt + η(θ − Vt )dt + σ

p √ Vt dtZv

(10.40)

con Zv ∼ N (0, 1). Para evitar varianzas negativas se puede: • Tomar Vt = Vt+ = m´ax{Vt , 0}, en lo que se denomina truncamiento completo. • Tomar Vt = |Vt |, en lo que se conoce como reflexi´on.

La figura 10.2 muestra la simulaci´on de una trayectoria del proceso de varianza Vt utilizando la aproximaci´on de Euler, con V0 = 0,28, η = 1, θ = 0,3, σ = 0,4, dt = 1/500 sobre el intervalo [0, 1].

Figura 10.2: Simulaci´ on del proceso de varianza por el esquema de Euler

198 Procediendo de forma similar, integrando sobre el intervalo (t, t + dt) el proceso dSt , se tiene que:

t+dt

Z St+dt = St + rf

t+dt

Z

p Vu Su dWu1

Su du + t

(10.41)

t

y al aplicar la discretizaci´on de Euler:

• Z

t+dt

Su du ≈ St dt

(10.42)

t

• Z

t+dt

p p p √ 1 Vu Su dWu1 ≈ Vt St (Wt+dt − Wt1 ) = Vt dtZs

(10.43)

t

con lo cual,

St+dt = St + rf St dt +

p √ Vt dtZs

(10.44)

con Zs ∼ N (0, 1). Para generar Zv y Zs de forma que tengan correlaci´on ρ, se crean dos variables aleatorias independientes normales est´andar Z1 y Z2 , y se define:

Zv = Z1

;

Zs = ρZ1 +

p 1 − ρ2 Z2

(10.45)

La figura 10.3 muestra la simulaci´on de una trayectoria del proceso de varianza Vt y del proceso de precio St bajo el modelo Heston, utilizando la aproximaci´on de Euler, con V0 = 0,28, η = 1, θ = 0,3, σ = 0,4, dt = 1/500, S0 = 100, rf = 0,035 y ρ = 0,7, sobre el intervalo [0, 1].

199

Figura 10.3: Simulaci´ on del proceso de varianza y precios (modelo Heston) por el esquema de Euler

El esquema de aproximaci´ on de Milstein se utiliza solo en los casos en los cuales los coeficientes de la ecuaci´on diferencial estoc´astica que satisface el proceso que se va a simular, solo dependen del proceso mismo y no del tiempo directamente. La idea es mejorar la aproximaci´on de las integrales considerando una expansi´on de los coeficientes de la ecuaci´on diferencial estoc´astica v´ıa el lema de Itˆo. Si ahora se considera la ecuaci´on:

dSt = µ(St )dt + σ(St )dWt = µt dt + σt dWt

(10.46)

entonces, al integrar dSt sobre (t, t + dt) se tiene que:

Z St+dt = St +

t+dt

Z

t+dt

µu du + t

σu dWu

(10.47)

t

Al aplicar el lema de Itˆo sobre µt y σt , asumiendo que estos cumplen con las condiciones requeridas para la aplicaci´on del lema, se tiene:

200

dµt = d[µ(St )] 1 = µ0 (St )dSt + µ00 (St )(dSt )2 2 1 = µ0 (St )[µ(St )dt + σ(St )dWt ] + µ00 (St )[σ 2 (St )dt] 2 1 = µ0t [µt dt + σt dWt ] + µ00t σt2 dt 2 1 = (µ0t µt + µ00t σt2 )dt + µ0t σt dWt 2

(10.48)

y procediendo de la misma forma sobre σt se tiene que:

1 dσt = (σt0 µt + σt00 σt2 )dt + σt0 σt dWt 2

(10.49)

En notaci´on integral, para alg´ un s con t < s < t + dt, tenemos que:

s

Z

(µ0u µu

µs = µt + t

1 + µ00u σu2 )du + 2

Z

1 + σu00 σu2 )du + 2

Z

s

(µ0u σu )dWu

(10.50)

(σu0 σu )dWu

(10.51)

t

y

Z σs = σt + t

s

(σu0 µu

s

t

de forma que al sustituir (10.50) y (10.51) en (10.47) se tiene que:

Z St+dt = St + t

t+dt

  Z s Z s 1 00 2 0 0 (µu σu )dWu du + +µt + (µu µu + µu σu )du + 2 t t  Z t+dt  Z s Z s 1 00 2 0 0 σt + (σu µu + σu σu )du + (σu σu )dWu dWu(10.52) 2 t t t

201

Si se aplica sobre (10.52) la regla de multiplicaci´on del c´alculo de Itˆo se tiene que:

Z

t+dt

St+dt = St + µt

t+dt

Z du + σt

Z

t+dt

s

Z

dWu +

t

t

t

t

|

σu0 σu dWu dWs {z }

(10.53)

∗

y aplicando el esquema de aproximaci´on de Euler sobre (*) se tiene:

Z

t+dt

s

Z

t

σu0 σu dWu dWs

≈

σt0 σt

Z

t+dt

Z

dWu dWs t

t

=

σt0 σt

s

Z

t t+dt

(Ws − Wt )dWs t

=

σt0 σt

Z

t+dt

Z Ws dWs − Wt

t

t+dt

 dWs

(10.54)

t t+dt

 = Ws dWs − Wt (Wt+dt − Wt ) t Z t+dt  0 2 = σt σt Ws dWs − Wt Wt+dt − Wt σt0 σt

Z

t

y se tiene que

Z t

t+dt

Z t

R t+dt t

Ws dWS =

2 Wt+dt −Wt2 2

s

σu0 σu dWu dWs

≈

σt0 σt

Z

−

dt , 2

luego:

t+dt

Ws dWs − σt0 σt (Wt Wt+dt − Wt2 )

t 2 Wt+dt − Wt2 dt 0 − − σt0 σt (Wt Wt+dt − Wt2 ) = σt σt 2 2  σ 0 σt   σt0 σt  2 = Wt+dt − Wt2 − dt − t 2Wt Wt+dt + 2Wt2 2 2  σt0 σt  = (Wt+dt − Wt )2 − dt 2 σ 0 σt = t dt(Z 2 − 1) 2 (10.55)

d

utilizando en la u ´ltima igualdad que (Wt+dt − Wt ) =

√

dtZ, con Z ∼ N (0, 1).

202 De acuerdo con lo expuesto, el esquema de aproximaci´on de Milstein aplicado a la ecuaci´on (10.47) es:

√ 1 St+dt = St + µt dt + σt dtZ + σt0 σt dt(Z 2 − 1) 2

(10.56)

Ejemplo 33 (Esquema de Milstein para el modelo BSM) Partimos de nuevo de la ecuaci´on

dSt = rf St dt + σSt dWt

(10.57)

con µ y σ constantes. Aplicando la aproximaci´on (10.56) se tiene:

√ 1 St+dt = St + rf St dt + σSt dtZ + σ 2 dt(Z 2 − 1) 2

(10.58)

La figura 10.4 muestra la simulaci´on de una trayectoria del proceso de precio por aproximaci´on de Milstein, considerando rf = 3,5 %, S0 = 100, σ = 30 % y una partici´on del intervalo [0, 1] con dt = 1/500.

Figura 10.4: Simulaci´ on de precios por el esquema de Milstein

203

10.2.

Valoraci´ on por Monte Carlo

Al combinar integraci´on num´erica con la simulaci´on de Monte Carlo, es posible desarrollar algoritmos para la valoraci´on de derivados por Monte Carlo.

10.2.1.

Valoraci´ on de opciones call y put europeas

Recordemos que bajo riesgo neutral, el proceso de precio de activos riesgosos satisface la ecuaci´on diferencial estoc´astica:

dSt = St [rf dt + σdWt ]

(10.59)

y cuya soluci´on es:

  2 rf − σ2 T +σWT

ST = S0 e

(10.60)

cuya simulaci´on exacta es:

ST = S0 e

  √ 2 rf − σ2 T +σ T Z

;

Z ∼ N (0, 1)

(10.61)

Al aplicar el primer teorema fundamental de valoraci´on se tiene que el valor en cero de una opci´on europea con vencimiento en T es:

V0 = e−rf T E Q [VT ]

(10.62)

expresi´on que puede ser aproximada, aplicando integraci´on de Monte Carlo, por: N X −rf T 1 ˆ Vi V0 = e N i=1 T

con,

(10.63)

204

VTi = f (STi ) =

10.2.2.

   (STi − K)+

Call.

  (K − STi )+

Put.

(10.64)

Valoraci´ on de opciones dependientes de trayectoria

Este tipo de opciones se caracterizan porque su valor depende de alguna forma de la trayectoria seguida por el precio del activo subyacente, por ejemplo, en las opciones asi´ aticas hay dependencia del valor promedio del precio del activo subyacente durante la vida de la opci´on. En el caso de las opciones Lookback, el valor de la opci´on depende del precio m´aximo o m´ınimo alcanzado por el subyacente durante la vida de la opci´on, y para las opciones barrera, la opci´on se activa o desactiva dependiendo de si el precio del activo subyacente cruza o no un determinado precio barrera, durante la vida de la opci´on. Se desarrolla, como ejemplo de la valoraci´on por Monte Carlo, la valoraci´on de opciones asi´aticas aritm´eticas.

Las opciones asi´ aticas dependen del valor promedio del activo subyacente durante la vigencia de la opci´on, donde el promedio puede ser calculado como un promedio geom´etrico o aritm´etico. ¯ puede ser utilizado como precio de Este valor promedio, que denotaremos como S, ejercicio de la opci´on o como precio final del activo, lo que lleva a considerar los siguientes posibles casos: • Opciones de compra (call ) con: ¯ +. ◦ precio de ejercicio flotante: (ST − S) ◦ precio final flotante: (S¯ − K)+

205 • Opciones de venta (put) con: ◦ precio de ejercicio flotante: (S¯ − ST )+ . ¯+ ◦ precio final flotante: (K − S)

En el caso de opciones asi´aticas con promedio geom´etrico, es posible determinar una soluci´on anal´ıtica al problema de su valoraci´on, siguiendo la hip´otesis de comportamiento lognormal del precio del subyacente y utilizando que el producto de variables lognormales es lognormal. Por otro lado, en el caso de opciones asi´aticas con promedio aritm´etico, es necesario el uso de m´etodos num´ericos para la estimaci´on del valor de la prima de la opci´on. Los pasos por seguir para estimar el valor de esta prima por m´etodos de Monte Carlo son:

1. Simular posibles trayectorias del precio del activo subyacente, bajo riesgo neutral, utilizando aproximaci´on de Euler (o Milstein). √ St+dt = St + rf St dt + σ dtZ

;

Z ∼ N (0, 1)

2. Para cada una de las trayectorias calcular el valor promedio de los precios simulados: n

S¯j =

1 X j S n + 1 t=0 t

3. Para cada una de las trayectorias simuladas y con los promedios calculados por trayectoria, calcular el pay-off por cada trayectoria, dependiendo de si es de precio de ejercicio flotante o precio final flotante.

P ay − of f = g(S¯j )

206 4. Calcular el estimador de Monte Carlo del valor esperado del pay-off, es decir, promediar los pay-off calculados en el paso anterior, y descontarlos a la tasa rf . Este valor determinar´a la prima de la opci´on asi´atica aritm´etica. ( P rima = e−rf T

m

1 X ¯ g(Sj ) m j=1

)

207

10.3.

Ejercicios

1. Es posible transformar la integral

Rb a

g(x)dx en una integral sobre el intervalo [0, 1]

realizando el cambio de variable x = a + (b − a)U , donde U ∼ U [0, 1]. a) Muestre que con este cambio de variable: b

Z

Z

1

g(x)dx = (b − a)

g(a + (b − a)u)du

a

0

y que por la ley de los grandes n´ umeros

Z

b

a

n

(b − a) X g(x)dx ≈ g(a + (b − a)ui ) n i=1

con ui ∼ U [0, 1]. 2. Estime el valor de cada una de las siguientes integrales por Monte Carlo y construya un intervalo de confianza al 99 % en cada caso. c)

a) Z

3

e

−x2 /2

Z

2

dx

e−x

2 /2

dx

−2

0

d)

b) Z

4 −x

Z

e dx 1

4

m´ax{10ex−4 − 8; 0}dx

0

3. Desarrolle la implementaci´on del esquema de Milstein para el modelo Heston de volatilidad estoc´astica, y realice la simulaci´on de trayectorias del proceso bajo este esquema. 4. Desarrolle la implementaci´on de los esquemas de Euler y Milstein para procesos OU. 5. Las opciones lookback son un tipo de opci´on dependiente de trayectoria en la que el valor m´aximo o m´ınimo del precio del activo subyacente es considerado como precio

208 de ejercicio de la opci´on, o como precio final del activo. Utilice valoraci´on por Monte Carlo para estimar el valor de la prima de una opci´on call lookback con precio de ejercicio flotante, cuyo pay-off est´a determinado por la expresi´on:

LBc = (ST − Sm´ın )+ 6. Utilice valoraci´on de Monte Carlo para aproximar el valor de la prima de una opci´on put lookback con precio de ejercicio flotante, cuyo pay-off est´a determinado por la expresi´on:

LBp = (Sm´ax − ST )+

Cap´ıtulo 11 Transformaciones integrales y valoraci´ on Una verdad matem´atica no es ni simple ni complicada por s´ı misma, es una verdad. ´ – Emile Lemoine

En los cap´ıtulos anteriores se estableci´o la importancia de la ecuaci´on diferencial parcial de Black-Scholes (EDP-BS) en la valoraci´on de derivados financieros. Recordemos que esta ecuaci´on, que se tiene por condiciones de no arbitraje, permite encontrar o aproximar la funci´on que establece el valor de un derivado bajo determinadas condiciones iniciales y de frontera. Denotando por V (t, St ) al precio de un derivado en el instante t, como funci´on de tiempo t y el precio del subyacente St , la EDP-BS es:     ∂V + rf St ∂V + 1 σ 2 St2 ∂ 2 V2 − rf V = 0 ∂t ∂St 2 ∂S t

(11.1)

  V (T, ST ) = f (ST )

donde rf es la tasa de inter´es libre de riesgo y f (ST ) es el valor del derivado en el instante de vencimiento T . 209

210 Existen diversos m´etodos para la resoluci´on de esta ecuaci´on o de ecuaciones an´alogas relacionadas con la valoraci´on de activos contingentes particulares, por ejemplo, procedimientos anal´ıticos v´ıa cambios de variable o m´etodos num´ericos que buscan aproximaciones de las derivadas presentes en la ecuaci´on mediante diferencias finitas. En este cap´ıtulo se expone la aproximaci´on a la resoluci´on de esta ecuaci´on mediante la aplicaci´on de transformaciones integrales, en particular las transformadas de Mellin y Laplace. En este procedimiento se aplica una transformaci´on integral sobre la ecuaci´on diferencial parcial considerada, transform´andola en una ecuaci´on diferencial ordinaria resoluble por m´etodos est´andar, para luego aplicar sobre la soluci´on encontrada la transformaci´on inversa. En la figura 11.1 se esquematiza el procedimiento, donde I denota la transformaci´on integral aplicada e I −1 su transformaci´on inversa.

PDE+Condiciones

Soluci´on

Anal´ıtica

Num´erica

I

I −1

ODE+Condiciones

Soluci´on

Figura 11.1: Resoluci´ on de la EDP por transformaci´on integral

11.1.

Aplicaci´ on a la valoraci´ on

La transformaci´on integral de una funci´on f (x) sobre [a, b], denotada por I{f (x)} = F (k), se define como:

211

Z I{f (x)} = F (k) =

b

K(x, k)f (x)dx

(11.2)

a

donde K(x, k) es el kernel o n´ ucleo de la transformaci´on. El operador I es denominado transformaci´on integral, F (k) es la imagen por el operador I de la funci´on objetivo f (x) y k es la variable de transformaci´on. Existe una amplia variedad de importantes transformaciones integrales dentro de las cuales se destacan las transformadas de Mellin y Laplace, cada una de las cuales se define mediante la selecci´on particular del n´ ucleo K(x, k), y diferentes valores de a y b. En las siguientes secciones se expondr´a la aplicaci´on de la transformada de Mellin y Laplace en la resoluci´on del problema de valoraci´on de activos contingente mediante la aplicaci´on de este tipo de transformaciones sobre la EDP correspondiente. Es evidente que el operador I es lineal, y con el ´animo de obtener f (x) a partir de F (k) = I{f (x)}, se introduce el operador inverso I −1 tal que:

I −1 {F (k)} = f (x)

(11.3)

que tambi´en resulta ser lineal.

11.2.

Transformada de Mellin

La transformada integral de Mellin de una funci´on g(x) se puede definir si la funci´on g(x)xk−1 ∈ L1 ([0, ∞)), es decir si la funci´on g(x)xk−1 es integrable sobre los reales no negativos, y la transformada se define como:

∗

Z

g (k) = M[g(x)](k) = 0

∞

g(x)xk−1 dx Re(k) ≤ m

(11.4)

212 Algunas propiedades de la transformada de Mellin son:

1. M[xg 0 (x)](k) = −kg ∗ (k)

2. M[x2 g 00 (x)](k) = (k 2 + k)g ∗ (k)

3. La inversa de la transformada de Mellin se define como:

1 M [g (k)](x) = 2iπ −1

11.2.1.

∗

Z

α+i∞

g ∗ (k)x−x dk

α>m

(11.5)

α−i∞

Aplicaci´ on a la EDP-BS

So se considera que la funci´on V (t, St ) es tal que

∂V ∂t

,

∂V ∂St

y

∂2V ∂St2

son transformables Mellin,

y siendo: Z v(t)(k) = M[V (t, ·)](k) =

∞

S k−1 V (t, S)dS

0

se puede aplicar la transformada de Mellin a la EDP-BS, obteniendo: 

∂V M ∂t



    2 1 2 ∂V 2∂ V = rf M [V ] − σ M S − rf M S 2 ∂S 2 ∂S

(11.6)

213

d (v(t)(k)) = − dt



1 2 2 σ k + 2

|



1 2 σ − rf 2 {z



 k − rf

v(t)(k)

(11.7)

}

p(k)

de donde:

d (v(t)(k)) = −p(k)(v(t)(k)) 0 ≤ t ≤ T dt

v(T )(k) = f ∗ (k)

(11.8)

que es una ecuaci´on diferencial ordinaria cuya soluci´on es:

v(t)(k) = f ∗ (k)e−p(k) (t − T ) 0 ≤ t ≤ T

(11.9)

y aplicando la transformada inversa sobre (11.9), con el cambio de variable k = α + iτ , dk = idτ , se tiene que:

1 V (t, S) = 2π

Z

∞

S −(α+iτ ) f ∗ (α + iτ )epˆ(τ )(t−T ) dτ

(11.10)

−∞

donde:

        1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 pˆ(τ ) = −p(α + iτ ) = σ τ + rf − α + σ τi − σ α + α σ − rf − rf 2 2 2 2

expresi´on que permite determinar el valor del derivado en consideraci´on.

214

11.3.

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace L{f (x)} se define mediante el n´ ucleo K(x, k) = e−kx , con a = 0 y b = ∞, luego:

L{f (x)} = f¯(k) =

∞

Z

e−kx f (x)dx

(11.11)

0

y la transformada inversa se define como:

1 L {f¯(k)} = f (x) = 2πi −1

Z

c+i∞

ekx fˆ(k)dk

c>0

(11.12)

c−i∞

Algunas propiedades relevantes de la transformada de Laplace aplicada sobre las derivadas parciales de una funci´on u(x, t) son:

 L

11.3.1.

∂u ∂t



 = k¯ u(x, k) − u(x, 0) ;

L

∂u ∂x



d¯ u = dx

 ;

L

∂ 2u ∂x2

 =

d2 u¯ dx2

(11.13)

Aplicaci´ on a la EDP-BS

Al realizar los cambios de variables:

τ=

σ2 (T − t) ; 2

z = ln(St )

(11.14)

se puede considerar una nueva funci´on f (τ, x) = V (t, St ), que satisface:       ∂f + r2f − 1 ∂f + ∂τ σ /2 ∂z   f (0, z) = V (T, ez )

∂2f ∂z 2

−

rf f σ 2 /2

=0 (11.15)

215

y al aplicar la transformada de Laplace sobre (11.15) se llega a la ecuaci´on diferencial ordinaria de segundo orden: d d2 ¯ f (k, z) + (m − 1) f¯(k, z) − (m + k)f¯(k, z) + C 2 dz dz

(11.16)

donde m = rf /(σ 2 /2). Para resolver la ecuaci´on (11.16) de define f¯(k, z) = exp(αz)¯ g (k, z), donde α = (1−m)/2, entonces g¯(k, z) resuelve la ecuaci´on:

d2 g¯(k, z) − (b + k)¯ g (k, z) + e−αz C = 0 2 dz

(11.17)

donde b = α2 + m. La ecuaci´on (11.17) puede resolverse separando las regiones z > k y z ≤ k, para tener:

g¯(k, z) =

    e−(α−1)z − k

e−(αz−k) k+m

+ h1 (k, z)A1 + h2 (k, z)A2

  h1 (k, z)B1 + h2 (k, z)B2 √

con h1 (κ, z) = e−

b+kz

√

, h2 (κ, z) = e

b+kz

si z > k (11.18) si z ≤ k

y las constantes A1 , A2 , B1 y B2 son determi-

nadas por las condiciones de frontera del problema.

216

Cap´ıtulo 12 Procesos fuzzy, procesos h´ıbridos y procesos inciertos. Aplicaciones en finanzas Los conceptos y principios fundamentales de la ciencia son invenciones libres del esp´ıritu humano. – Albert Einstein

12.1.

Introducci´ on a los conjuntos fuzzy

En la teor´ıa cl´asica de conjuntos, el concepto de pertenencia o no de un elemento a un conjunto A puede expresarse num´ericamente mediante una funci´on de caracter´ıstica, que asigna a cada elemento x del universo de discurso un valor (1 o 0), seg´ un x pertenezca o no al conjunto A.

ϕA : U → {0, 1} ;

ϕA (x) =

217

   1

si x ∈ A

  0

si x ∈ /A

(12.1)

218 De esta forma, cualquier conjunto A ⊂ U se puede definir por los pares (x, ϕA (x)), considerando que el predicado que define al conjunto A da lugar a una clara bipartici´on del universo de discurso U .

Los conjuntos fuzzy o conjuntos borrosos surgen cuando el predicado que define al conjunto es un predicado vago, por ejemplo, si el universo es el conjunto de todas las acciones que se tranzan diariamente en la bolsa de valores, podemos definir un conjunto B como aquel formado por las acciones m´as costosas. No es posible dar una definici´on cl´asica del conjunto B, pues no es claro cu´ando una acci´on es costosa, y el problema podr´ıa resolverse parcialmente considerando que una acci´on es costosa si supera un cierto valor, pero esta soluci´on es parcial y no muy conveniente porque el valor l´ımite se establecer´ıa de manera arbitraria, y se puede presentar el caso de dos o m´as acciones con precios muy diferentes consideradas costosas.

Se puede dar soluci´on a este problema si se considera que la pertenencia de un elemento x al conjunto B no es absoluta sino parcial o gradual. Se dice entonces que B es un conjunto fuzzy o borroso si su funci´on caracter´ıstica (ahora denominada funci´on de pertenencia) no toma valores en el conjunto {0, 1}, si no en el intervalo [0, 1]. Un conjunto fuzzy se define, entonces, como A = {(x, µA (x))|x ∈ U }, donde la funci´on de pertenencia µA reemplaza a la funci´on caracter´ıstica ϕA , de forma que µA (x) ∈ [0, 1] da el grado con el que un elemento x ∈ U pertenece al conjunto fuzzy A. Cuando µA (x) = 0 el elemento x no pertenece al conjunto A, y cuando µA (x) = 1 el elemento x pertenece al conjunto A.

La forma de la funci´on de pertenencia tiene un cierto componente subjetivo, en funci´on de la aplicaci´on de los conjuntos y de los conceptos representados por estos, lo que en la pr´actica da la posibilidad de incorporar cierto conocimiento experto en la selecci´on de la forma de la funci´on.

219

12.2.

Variables fuzzy, h´ıbridas e inciertas

12.2.1.

Variables aleatorias

Dado un conjunto no vac´ıo Ω, y una σ-´algebra F sobre este conjunto, el par (Ω, F) se denomina espacio medible y podemos definir una medida de probabilidad P sobre este espacio, tal que esta medida satisface:

1. (Normalidad) P [Ω] = 1. 2. (No negatividad) P [A] ≥ 0 para todo A ∈ F. 3. (σ-aditividad) Para toda sucesi´on de eventos mutuamente excluyentes {Ai } se tiene que:

P

(∞ [

) Ai

i=1

=

∞ X

P [Ai ]

i=1

La tripleta (Ω, F, P ) se denomina espacio de probabilidad, y una variable aleatoria X es una funci´on medible del espacio de probabilidad al conjunto de los n´ umeros reales, es decir, para cualquier conjunto de Borel B de n´ umeros reales, el conjunto {w ∈ Ω|X[w] ∈ B} es un evento en F.

12.2.2.

Variables fuzzy

Dado un conjunto no vac´ıo Θ, y denotando con P al conjunto potencia de Θ (todos los subconjuntos de Θ), cada elemento de P es denominado evento. Sobre P podemos definir una medida de credibilidad Cr[·] que satisface:

1. (Normalidad) Cr[Θ] = 1 . 2. (Monotonicidad) Cr(A) ≤ Cr(B) si se tiene que A ⊂ B.

220 3. (Complemento) Cr[A] + Cr[Ac ] = 1 para todo A ∈ P . 4. (Maximalidad) Para toda sucesi´on de eventos {Ai } con supi Cr[Ai ] < 0,5 se tiene que:

Cr

(∞ [

) Ai

i=1

= sup Cr[Ai ] i

La tripleta (Θ, P, Cr) se denomina espacio de credibilidad, y una variable fuzzy ξ es una funci´on del espacio de credibilidad al conjunto de los n´ umeros reales, con funci´on de pertenencia dada por:

µ(x) = m´ın{2Cr[ξ = x] ; 1} x ∈ R

(12.2)

Inversamente, si una variable fuzzy ξ es dada por su funci´on de pertenencia µ, entonces se puede calcular el valor de credibilidad por medio de la expresi´on: 1 Cr{ξ ∈ B} = 2



 sup µ(x) + 1 − sup µ(x) x∈B

(12.3)

x∈B c

donde B es un conjunto de n´ umeros reales.

12.2.3.

Variables h´ıbridas

En el trabajo de Liu [17], se considera un espacio de credibilidad (Θ, P, Cr) y un espacio de probabilidad (Ω, F, P ), el producto entre estos dos espacios (Θ, P, Cr) × (Ω, F, P ) es llamado espacio de posibilidad (chance). El conjunto universal Θ × Ω est´a formado por todas las parejas ordenadas de la forma (θ, w), con θ ∈ Θ y w ∈ Ω. Sobre este conjunto, un subconjunto Λ es llamado evento si Λ(θ) = {w ∈ Θ|(θ, w) ∈ Λ} ∈ F para todo θ ∈ Θ. Liu [18], muestra que el conjunto potencia de Θ × Ω es una σ-´algebra sobre este conjunto, denotada por P × F.

221 Dado (Θ, P, Cr) × (Ω, F, P ), se define la medida de posibilidad Ch(·), de un evento Λ como:

Ch(Λ) =

   sup

θ∈Θ {Cr[θ]

∧ P [Λ(θ)]}

si supθ∈Θ {Cr[θ] ∧ P [Λ(θ)]} < 0,5

  1 − supθ∈Θ {Cr[θ] ∧ P [Λc (θ)]}

(12.4)

si supθ∈Θ {Cr[θ] ∧ P [Λ(θ)]} ≥ 0,5

Li y Liu [18] muestran que esta medida es normal, mon´otona y subaditiva contable. Una variable h´ıbrida se define como una funci´on del espacio de posibilidad (Θ, P, Cr) × (Ω, F, P ) en los reales, de forma que para cualquier conjunto de Borel B de n´ umeros reales, el conjunto {(θ, w) ∈ Θ × Ω|ξ(θ, w) ∈ B} es un evento.

12.2.4.

Variables inciertas

Dado un conjunto no vac´ıo Γ, y denotando con T a una σ-´algebra sobre Γ, cada elemento Λ ∈ T se denomina evento. Se define una medida incierta M[·] sobre los eventos en T , que satisface:

1. (Normalidad) M[Γ] = 1.

2. (Monotonicidad) M(Λ1 ) ≤ M(Λ2 ) si se tiene que Λ1 ⊂ Λ2 . 3. (Complemento) M[A] + M[Ac ] = 1 para todo A ∈ T .

4. (Subaditividad contable) Para toda sucesi´on de eventos {Λi } se tiene que:

M

(∞ [ i=1

) Λi

≤

∞ X

M[Λi ]

i

La tripleta (Γ, T , M) se denomina espacio incierto, y una variable incierta ξ es una funci´on medible del espacio incierto al conjunto de los n´ umeros reales, es decir, para

222 cualquier conjunto de Borel B de n´ umeros reales, el conjunto {γ ∈ Γ|ξ(γ) ∈ B} es un evento. Como se puede deducir de las definiciones anteriores, las medidas de probabilidad, credibilidad, posibilidad e incertidumbre coinciden en los axiomas de normalidad, monotonicidad y complemento, y la diferencia esencial est´a en la forma como se determina la medida de la uni´on de eventos. Si se considera una sucesi´on de eventos mutuamente excluyentes {Ai } y una medida π con supi π(Ai ) < 0,5, entonces:

π es una medida de probabilidad si satisface el axioma de aditividad contable,

π

(∞ [

) Ai

=

i=1

∞ X

π(Ai )

(12.5)

i=1

π es una medida de credibilidad si satisface el axioma de maximalidad,

π

(∞ [

) Ai

= sup π(Ai )

(12.6)

1≤i 0 fijo, los Xt+s − Xt son variables fuzzy id´enticamente distribuidas para todo s > 0.

12.3.1.

Proceso C

Un proceso fuzzy se dice un proceso C si satisface: 1. C0 = 0. 2. Ct tiene incrementos estacionarios e independientes. 3. Todo incremento Ct+s − Ct es una variable fuzzy distribuida normalmente con valor esperado µt y varianza σ 2 t2 , cuya funci´on de pertenencia es:

  −1 π|x − µt| √ µ(x) = 2 1 + exp 6σt

;

x∈R

Los par´ametros µ y σ son llamados coeficientes de tendencia y difusi´on respectivamente, y el proceso C se dice est´andar si µ = 0 y σ = 1. Este proceso juega el rol del movimiento 1

Para una revisi´ on de los conceptos de distribuci´on, independencia y otros sobre variables fuzzy, revisar el trabajo de Liu [19].

224 browniano en el c´alculo estoc´astico o c´alculo de Itˆo. La demostraci´on de la existencia de este tipo de procesos se puede encontrar en Liu [18]. Si dt denota un intervalo de tiempo infinitesimal, y mediante dCt = Ct+dt − Ct denotamos el proceso fuzzy de los incrementos infinitesimales de un proceso fuzzy est´andar Ct , se tiene que dCt es una variable fuzzy normalmente distribuida con2

E[dCt ] = 0 ;

12.3.2.

V [dCt ] = dt2

E[dCt2 ] = dt2

;

;

V [dCt2 ] ≈ 7dt4

(12.8)

Integral fuzzy

Si se considera una partici´on del intervalo cerrado [a, b] con a = t0 < t1 < · · · < tn+1 = b, en la cual:

δ = m´ax |ti+1 − t1 | i

se define la integral fuzzy del proceso Xt respecto a Ct como: Z

b

Xt dCt = l´ım

δ→0

a

X

Xti (Cti+1 − Cti )

(12.9)

i=n

probando que el l´ımite existe casi seguramente. Esta integral es una variable fuzzy. Algunos ejemplos de esta integral son: 2 El valor esperado y la varianza de una variable fuzzy es calculado a partir de la definici´on general que de estos operadores se presenta en [17], donde, si ξ es una variable fuzzy, entonces:

Z

+∞

Z

0

Cr[ξ ≥ r]dr −

E[ξ] =

Cr[ξ ≥ r]dr −∞

0

probando que al menos una de las integrales es finita. Y V [ξ] = E[(ξ − e)2 ] donde e es el valor esperado de ξ.

225

Z

s

s

Z dCt = Cs

s

Z tdCt = sCs −

;

0

Z Ct dt ;

0

0

s

Ct dCt = 0

Cs2 2

Es importante notar la diferencia entre esta integral y la integral estoc´astica o integral de Rs 2 Itˆo respecto al movimiento browniano (Wt ), en la cual, por ejemplo, 0 Wt dWt = W2s − 2s .

12.3.3.

Regla de la cadena del c´ alculo fuzzy

Sea Ct un proceso C est´andar, y sea h(t, c) una funci´on continuamente diferenciable. Si se define un proceso Xt = h(t, Ct ), se tiene la siguiente regla de la cadena:

dXt =

∂h ∂h (t, Ct )dt + (t, Ct )dCt ∂t ∂c

(12.10)

la cual se demuestra mediante aproximaciones de Taylor de primer orden, y puede ser expresada en t´erminos de integrales fuzzy como: Z Xs = X 0 + 0

s

∂h (t, Ct )dt + ∂t

Z 0

s

∂h (t, Ct )dCt ∂c

s≥0

(12.11)

De forma m´as general, si se considera un proceso Yt , tal que, dYt = ut dt + vt dCt donde ut y vt son procesos fuzzy absolutamente integrables, entonces considerando de nuevo una funci´on h(t, c) continuamente diferenciable, se tiene que:

dh(t, Yt ) =

12.3.4.

∂h ∂h (t, Yt )dt + (t, Yt )dYt ∂t ∂c

Ecuaciones diferenciales fuzzy

Dado Ct , un proceso C est´andar, y funciones f y g dadas, entonces

(12.12)

226

dXt = f (t, Xt )dt + g(t, Xt )dCt

(12.13)

es llamada ecuaci´on diferencial fuzzy, y una soluci´on de esta ecuaci´on es un proceso Xt que cumpla la igualdad para todo t. Por ejemplo, la ecuaci´on diferencial fuzzy:

dXt = aXt dt + bXt dCt tiene soluci´on Xt = exp{at + bCt }, conocido como proceso C geom´etrico.

12.3.5.

Modelo de precio de activos

Los modelos cl´asicos de las finanzas modernas asumen que los precios de los activos riesgosos en el mercado, son descritos por un movimiento browniano geom´etrico. Se considera entonces un planteamiento alternativo, en el cual los precios son descritos por un proceso C geom´etrico, y sobre este supuesto se consideran algunos problemas cl´asicos como la valoraci´on de derivados financieros o la selecci´on o´ptima de portafolios. Se considera entonces un mercado en el cual existe un activo libre de riesgo con valor en t denotado como Xt , que satisface:

Xt = X0 ert

(12.14)

donde r es una tasa de inter´es constante y conocida. De forma equivalente se tiene que:

dXt = rXt dt

y un activo riesgoso cuyo valor en t, denotamos por Yt y satisface:

(12.15)

227

Yt = Y0 eµt+σCt

(12.16)

donde µ es la tasa de rentabilidad el activo, σ es la volatilidad de este activo y Ct es un proceso C est´andar. De forma equivalente se tiene que:

dYt = µYt dt + σYt dCt

(12.17)

modelo que es la contraparte fuzzy del modelo de mercado utilizado en el modelo BlackScholes-Merton.

12.4.

C´ alculo h´ıbrido y modelo de activos

Sea T un conjunto de ´ındices y (Θ, P, Cr) × (Ω, F, P ) un espacio de posibilidad. Un proceso h´ıbrido es una funci´on medible de T × (Θ, P, Cr) × (Ω, F, P ) al conjunto de los n´ umeros reales. Un proceso h´ıbrido X(t, θ, w) es una funci´on de tres variables tales que, la funci´on X(t∗ , θ, w) es una variable h´ıbrida para cada t∗ , y para cada (θ∗ , w∗ ) fijo, X(t, θ∗ , w∗ ) es una trayectoria muestral del proceso h´ıbrido. El proceso h´ıbrido X(t, θ, w) se dice de trayectorias continuas, si sus trayectorias muestrales son funciones continuas para todo (θ, w). Como ya es habitual, el proceso X(t, θ, w) se denotar´a en forma abreviada por Xt . Un proceso h´ıbrido Xt tiene incrementos independientes si para t0 < t1 < · · · < tn , se tiene que Xt1 − Xt0 , Xt2 − Xt1 , ..., Xtn − Xtn−1 son variables h´ıbridas independientes. Un proceso h´ıbrido tiene incrementos estacionarios si para un t > 0 fijo, los Xt+s − Xt son variables h´ıbridas id´enticamente distribuidas para todo s > 0. Como ejemplo considere que Xt es un proceso fuzzy y Yt un proceso estoc´astico, entonces

228 el proceso Xt + Yt es un proceso h´ıbrido.

12.4.1.

Proceso D

Sea Wt un movimiento browniano y Ct un proceso C, entonces el proceso Dt = (Wt , Ct ) es llamado proceso D, y se dice proceso D est´andar si Wt y Ct son est´andar. El proceso h´ıbrido Xt definido como:

Xt = µt + σ1 Wt + σ2 Ct

(12.18)

se denomina proceso D escalar. El par´ametro µ es llamado coeficiente de tendencia, σ1 coeficiente de difusi´on aleatoria y σ2 coeficiente de difusi´on fuzzy. El proceso h´ıbrido Xt definido como:

Xt = exp{µt + σ1 Wt + σ2 Ct }

(12.19)

donde Wt y Ct , son est´andar, se denomina proceso D geom´etrico. Si Dt es un proceso D est´andar, y dt es un intervalo de tiempo infinitesimal, entonces dDt = Dt+dt − Dt = (dWt , dCt ) es un proceso h´ıbrido.

12.4.2.

Integral h´ıbrida

Dado Xt = (Yt , Zt ), donde Yt y Zt son procesos h´ıbridos escalares, y Dt = (Wt , Ct ) un proceso D est´andar. Para cualquier partici´on del intervalo cerrado [a, b] con a = t0 < t1 < · · · < tn+1 = b, en la cual:

δ = m´ax |ti+1 − t1 | i

se define la integral h´ıbrida del proceso Xt respecto a Dt como:

229

b

Z

Xt dDt = l´ım

δ→0

a

n X

Yti (Wti+1 − Wti ) + Zti (Cti+1 − Cti )

(12.20)

i=1

probando que el l´ımite existe casi seguramente en media cuadr´atica, y es una variable h´ıbrida. Un ejemplo de esta integral es: Z

s

(σ1 dWt + σ2 dCt ) = σ1 Ws + σ2 Cs 0

con σ1 y σ2 constantes, variables aleatorias, variables fuzzy o variables h´ıbridas. Otros ejemplos son: Z 0

12.4.3.

s

1 (Wt dWt + Ct dCt ) = (Ws2 − s + Cs2 ) ; 2

Z

s

(Ct dWt + Wt dCt ) = Ws Cs 0

Regla de la cadena del c´ alculo h´ıbrido

Sean Wt un movimiento browniano est´andar y Ct un proceso C est´andar, y sea h(t, b, c) una funci´on continuamente diferenciable por lo menos dos veces. Si se define un proceso Xt = h(t, Wt , Ct ), se tiene la siguiente regla de la cadena:

dXt =

∂h ∂h ∂h 1 ∂ 2h (t, Wt , Ct )dt+ (t, Wt , Ct )dWt + (t, Wt , Ct )dCt + (t, Wt , Ct )dt (12.21) ∂t ∂b ∂c 2 ∂b2

la cual se demuestra mediante aproximaciones de Taylor de segundo orden, y puede ser expresada en t´erminos de integrales h´ıbridas como: Z Xs = X0 + 0

s

∂h dt + ∂t

Z 0

s

∂h dWt + ∂b

Z 0

s

∂h 1 dCt + ∂c 2

Z 0

s

∂ 2h dt s ≥ 0 ∂b2

(12.22)

230 De forma m´as general, si se considera un proceso Yt , tal que, dYt = ut dt + +vt dWt + mt dCt , donde ut , vt son procesos h´ıbridos absolutamente integrables y mt es un proceso h´ıbrido cuadrado integrable, entonces, considerando una funci´on h(t, y) continuamente diferenciable, se tiene que:

dh(t, Yt ) =

12.4.4.

∂h 1 ∂ 2h ∂h (t, Yt )dt + (t, Yt )dYt + (t, Yt )vt2 dt ∂t ∂b 2 ∂b2

(12.23)

Ecuaciones diferenciales h´ıbridas

Dados Ct un proceso C est´andar y Wt un movimiento browniano est´andar, y funciones f , g y h dadas, entonces

dXt = f (t, Xt )dt + g(t, Xt )dWt + h(t, Xt )dCt

(12.24)

es llamada ecuaci´on diferencial h´ıbrida, y una soluci´on de esta ecuaci´on es un proceso h´ıbrido Xt que cumpla la igualdad para todo t. Por ejemplo, la ecuaci´on diferencial h´ıbrida:

dXt = aXt dt + bXt dWt + cXt dCt tiene soluci´on Xt = exp

12.4.5.

n a−

b2 2



o t + bWt + cCt , conocido como proceso D geom´etrico.

Modelo de precio de activos

En este caso se considera que el precio de los activos riesgosos Yt sigue un proceso D geom´etrico, y que el activo libre de riesgo sigue el modelo cl´asico de composici´on continua de inter´es a una tasa r    dX

t

  dYt

= rXt dt = µYt dt + σ1 Yt dWt + σ2 Yt dCt

(12.25)

231

donde r es una tasa de inter´es constante y conocida, µ es la tasa de rentabilidad del activo, σ1 es la difusi´on aleatoria del activo y σ2 es la difusi´on fuzzy del activo.

12.5.

C´ alculo incierto y modelo de activos

Sea T un conjunto de ´ındices y (Γ, T , M) un espacio incierto. Un proceso incierto es una funci´on medible de T × (Γ, T , M) al conjunto de los n´ umeros reales. Un proceso incierto X(t, γ) es una funci´on de dos variables tales que, la funci´on X(t∗ , γ) es una variable incierta para cada t∗ , y para cada γ ∗ fijo, X(t, γ ∗ ) es trayectoria muestral del proceso incierto. El proceso incierto X(t, γ) se dice de trayectorias continuas, si sus trayectorias muestrales son funciones continuas para todo γ. Como ya es habitual, el proceso X(t, γ) se denotara, en forma abreviada por Xt . Un proceso incierto Xt tiene incrementos independientes si para t0 < t1 < · · · < tn , se tiene que Xt1 − Xt0 , Xt2 − Xt1 , ..., Xtn − Xtn−1 son variables inciertas independientes. Un proceso incierto tiene incrementos estacionarios si para un t > 0 fijo, los Xt+s − Xt son variables inciertas id´enticamente distribuidas para todo s > 0.

12.5.1.

Proceso can´ onico

Un proceso Bt se denomina proceso can´ onico si satisface: 1. B0 = 0, y Bt tiene trayectorias continuas 2. Bt tiene incrementos estacionarios e independientes. 3. B1 es una variable incierta con valor esperado 0 y varianza 1.

Se tiene que el movimiento browniano est´andar Wt y el proceso C son ejemplos de procesos can´onicos.

232 Dado un proceso can´onico Bt , el proceso µt + σBt se denomina proceso can´onico derivado, y el proceso incierto Xt = exp{µt + σBt } es llamado proceso can´onico geom´etrico. Si Bt es un proceso can´onico y dt un intervalo de tiempo infinitesimal, entonces dBt = Bt+dt − Bt es un proceso incierto con:

dt2 ≤ E[dBt2 ] ≤ dt

E[dBt ] = 0 ;

12.5.2.

(12.26)

Integral incierta

Dados Xt un proceso incierto y Bt un proceso can´onico. Para cualquier partici´on del intervalo cerrado [a, b] con a = t0 < t1 < · · · < tn+1 = b, en la cual:

δ = m´ax |ti+1 − t1 | i

se define la integral incierta del proceso Xt respecto a Bt como: Z

b

Xt dBt = l´ım a

δ→0

X

Xti (Bti+1 − Bti )

(12.27)

i=n

probando que el l´ımite existe casi seguramente en media cuadr´atica, y es una variable incierta.

12.5.3.

Regla de la cadena del c´ alculo incierto

Sean Bt un proceso can´onico y h(t, b) una funci´on continuamente diferenciable por lo menos dos veces. Si se define un proceso Xt = h(t, Bt ), se tiene la siguiente regla de la cadena:

dXt =

∂h ∂h 1 ∂ 2h (t, Bt )dt + (t, Bt )dBt + (t, Bt )dBt2 ∂t ∂b 2 ∂b2

(12.28)

la cual se demuestra mediante aproximaciones de Taylor de segundo orden, y puede ser expresada en t´erminos de integrales h´ıbridas como:

233

s

Z X s = X0 + 0

∂h dt + ∂t

Z 0

s

∂h 1 dBt + ∂b 2

Z 0

s

∂ 2h 2 dB ∂b2 t

s≥0

(12.29)

De forma m´as general, si se considera un proceso can´onico Yt , tal que, dYt = ut dt + vt dBt donde ut , es un proceso incierto absolutamente integrable y vt es un proceso incierto cuadrado integrable, entonces considerando una funci´on h(t, b) continuamente diferenciable, se tiene que:

dh(t, Yt ) =

12.5.4.

∂h 1 ∂ 2h ∂h (t, Yt )dt + (t, Yt )dYt + (t, Yt )vt2 dBt2 ∂t ∂b 2 ∂b2

(12.30)

Ecuaciones diferenciales inciertas

Dado Bt un proceso can´onico y funciones f y g dadas, entonces

dXt = f (t, Xt )dt + g(t, Xt )dBt

(12.31)

es llamada ecuaci´on diferencial incierta, y una soluci´on de esta ecuaci´on es un proceso incierto Xt que cumpla la igualdad para todo t. Por ejemplo, la ecuaci´on diferencial h´ıbrida:

dXt = adt + bdBt tiene soluci´on Xt = at + bBt .

12.5.5.

Modelo de precio de activos

En este caso se considera que el precio de los activos riesgosos Yt sigue un proceso can´onico geom´etrico, y que el activo libre de riesgo sigue el modelo cl´asico de composici´on continua de inter´es a una tasa r

234

   dX

t

  dYt

= rXt dt

(12.32)

= µYt dt + σYt dBt

donde r es una tasa de inter´es constante y conocida, µ es la tasa de rentabilidad del activo y σ es la difusi´on del activo.

Bibliograf´ıa [1] Fischer Black and Myron Scholes. The pricing of options and corporate liabilities. The journal of political economy, pages 637–654, 1973.

[2] John C Cox, Stephen A Ross, and Mark Rubinstein. Option pricing: A simplified approach. Journal of financial Economics, 7(3):229–263, 1979.

[3] Philippe Flajolet, Mireille R´egnier, and Robert Sedgewick. Some uses of the Mellin integral transform in the analysis of algorithms. Springer, 1985.

[4] John Freddy Moreno Trujillo. Estimaci´on de par´ametros en ecuaciones diferenciales estoc´asticas aplicadas a finanzas. ODEON-Observatorio de Econom´ıa y Operaciones Num´ericas, (6), 2011.

[5] Robert Frontczak and Rainer Sch¨obel. Pricing american options with mellin transforms. Technical report, T¨ ubinger Diskussionsbeitrag, 2008.

[6] Robert Frontczak and Rainer Sch¨obel. On modified mellin transforms, gauss–laguerre quadrature, and the valuation of american call options. Journal of computational and applied mathematics, 234(5):1559–1571, 2010.

[7] Michael C Fu, Dilip B Madan, and Tong Wang. Pricing continuous asian options: a comparison of monte carlo and laplace transform inversion methods. Journal of Computational Finance, 2(2):49–74, 1999. 235

236 [8] Steven L Heston. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. Review of financial studies, 6(2):327–343, 1993. [9] Thomas SY Ho and Sang-Bin Lee. Term structure movements and pricing interest rate contingent claims. Journal of Finance, pages 1011–1029, 1986. [10] John Hull. Options, futures and other derivatives. Pearson education, 2009. [11] John Hull and Alan White. One-factor interest-rate models and the valuation of interest-rate derivative securities. Journal of financial and quantitative analysis, 28(02):235–254, 1993. [12] Fima C Klebaner et al. Introduction to stochastic calculus with applications, volume 57. World Scientific, 2005. [13] Huibert Kwakernaak. Fuzzy random variables-i. definitions and theorems. Information Sciences, 15(1):1–29, 1978. [14] Huibert Kwakernaak. Fuzzy random variables-ii. algorithms and examples for the discrete case. Information Sciences, 17(3):253–278, 1979. [15] Damien Lamberton and Bernard Lapeyre. Introduction to stochastic calculus applied to finance. CRC press, 2007. [16] Xiang Li and Baoding Liu. A sufficient and necessary condition for credibility measures. International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 14(05):527–535, 2006. [17] Baoding Liu. A survey of credibility theory. Fuzzy optimization and decision making, 5(4):387–408, 2006. [18] Baoding Liu. Uncertainty theory. Springer, 2007.

237 [19] Baoding Liu and Yian-Kui Liu. Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models. Fuzzy Systems, IEEE Transactions on, 10(4):445–450, 2002. [20] Robert C Merton. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. Journal of financial economics, 3(1):125–144, 1976. [21] John Freddy Moreno Trujillo. Procesos de l´evy y transformada de fourier aplicados a la valoraci´on de opciones financieras (l´evy processes and fourier transform applied to the valuation of financial options). ODEON-Observatorio de Econom´ıa y Operaciones Num´ericas, (5), 2010. [22] John Freddy Moreno Trujillo. Opciones parisinas: Definici´on y valoraci´on (parisian options: Definitions and pricing). ODEON-Observatorio de Econom´ıa y Operaciones Num´ericas, (6), 2011. [23] John Freddy Moreno Trujillo. Valoraci´on de opciones sobre el c´ırculo unitario: La transformada r´apida de fourier y el modelo binomial (option valuation on the unit circle: Fourier’s transform and the binomial model). ODEON-Observatorio de Econom´ıa y Operaciones Num´ericas, (7), 2013. [24] John Freddy Moreno Trujillo. Estimaci´on bayesiana de modelos de volatilidad estoc´astica (bayesian estimation of stochastic volatility models). ODEON-Observatorio de Econom´ıa y Operaciones Num´ericas, (8), 2015. [25] Radha Panini and Ram Prasad Srivastav. Option pricing with mellin transnforms. Mathematical and Computer Modelling, 40(1):43–56, 2004. [26] Artur Sepp. Analytical pricing of double-barrier options under a double-exponential jump diffusion process: applications of laplace transform. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 7(02):151–175, 2004. [27] Steven E Shreve. Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models, volume 11. Springer Science & Business Media, 2004.

238 [28] Elias M Stein and Jeremy C Stein. Stock price distributions with stochastic volatility: an analytic approach. Review of financial Studies, 4(4):727–752, 1991. [29] Oldrich Vasicek. An equilibrium characterization of the term structure. Journal of financial economics, 5(2):177–188, 1977. [30] Lotfi A Zadeh. Fuzzy sets. Information and control, 8(3):338–353, 1965.

editado por el departamento de publicaciones de la universidad externado de colombia en diciembre de 2015 se compuso en caracteres ehrhard mt regular de 10 puntos y se imprimió sobre holmen book cream de 60 gramos bogotá (colombia) Post tenebras spero lucem