Metodo Axiomatico Y Formalismo

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MATHEMA Colección dirigida por:

Carlos Alvarez - Rafael Martínez Santiago Ramírez - Carlos Torres

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Método Axiomático y Formalismo

Traducción directa del francés de:

Carlos Alvarez y Santiago Ramírez

P re se n ta c ió n Jean Cavaillès nació en 1903 enei seno de una familia protes­ tante portadora de una gran tradición de resistencia: su padre era descendiente de un famoso camisardy su madre formaba parte de una de las familias valdenses más notorias. En 1920 ingresó al Liceo Louis-Ie-Grand y en 1923 fue admitido en primer lugar a la Escuela Normal Superior. Ahí escuchó a Emile Bréhier, el gran maestro del estoicismo y, en 1925» pidió a Leon Brunschvicg que dirigiera su diploma de estudios superiores. En 1927 pasó un mes en Berlín en donde decidió escribir su tesis principal sobre teoría de conjuntos. Diez años después sustentó su examen de doctorado con el trabajo, Méthode axiomatique et formalisme, cuya traducción se presenta ahora en la colección Mathema. Esa década, de 1927 a 1937, no transcurrió sin acontecimien­ tos de una gran importancia y que serían determinantes en el desarrollo intelectual y moral de Jean Cavaillès: Husserl, Heide­ gger, Bachelard y Emmy Noether fueron sus interlocutores; Hi­ tler tomó el poder en Alemania sometiendo a las iglesias católica y protestante y, por último, Herbrand, Gödel y Gentzen llevaron al proyecto hilbertiano a sus más inesperadas consecuencias. La vertiente religiosa en el trabajo de Cavaillès no puede ser soslayada. Sus trabajos de la época, en buena medida, tratan de asuntos morales y religiosos1; sus actividades giran en torno de movimientos de renovación espiritual y en 1930 obtiene una beca de la Fundación Rockefeller para estudiar los movimientos juveniles alemanes; sus lecturas estaban marcadas por el pen1 Cf. la bibliografía de Cavaillès al final.

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samiento de Romano Guardini y de Erich Przywara, en quienes reencontró el pensamiento de Nietzsche y una tradición literaria que incluye a San Juan de la Cruz y a Dostoyevski. De gran importancia es el hecho de que en 1933 rompiera con todo su interés previo en cuestiones de religión, pues esta ruptura no está desvinculada de los acontecimientos políticos de la época y habrá de ser fundamental en la decisión final de Jean Cavaillès. Sin pretender dar cuenta de tales acontecimientos, baste constatar que Cavaillès había escuchado en 1931 a Hitler. Las relaciones entre el nacional-socialismo y las iglesias cató­ lica y protestante le permitió darse cuenta, tempranamente, y de manera profètica, de la verdadera naturaleza del nazismo. Esta visión le permitiría tomar la decisión, desde 1941, de participar activamente en el movimiento de resistencia francés. Fundador de Libération-Sud y de la red terrorista Cohors, fue detenido en 1942 por la policía francesa. Confinado a un campo de concentración, escribe su Logique et théorie de la seiende, editado postumamente. Poco después escapa y ocupa un puesto en la Universidad de Clermont-Ferrand; de ahí se traslada a parís en donde imparte un curso en la Sorbona. AI poco tiempo la Gestapo lo detiene nuevamente. En 1944, en condiciones ex­ trañas, los alemanes lo fusilan en la ciudad de Arras. Su cadáver fue descubierto en la fosa común bajo la inscripción “Descono­ cido no. 5”. Georges Canguilhem escribe: “Frecuentemente he pensado que no se habría podido en­ contrar un epitafio más conmovedor para un filósofo matemá­ tico: cinco, suma pitagórica del primer par y el primer impar, y desconocido, el ente del pensamiento que la filosofía a veces exhalta y a veces exorcisa y que la matemática reduce calmada­ mente por medio de un cálculo”2. Cuando Cavaillès redactaba su tesis escribía a su hermana en su tono habitual: “Te aseguro que si escribo mi tesis, no es por ambición de carrera —en la que cada vez me intereso menos— ni por creer 2 Canguilhem, G., Vie et mort de Jean Cavaillès, Les carnets de Baudasser.

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inocentemente que será útil a la filosofía, sino porque las cosas, incluso una tesis de filosofía, poseen una esencia en la que de­ bemos participar de manera tal que interrumpir la colaboración sea un pecado.”3 La obra de Cavadles, y este trabajo en particular, es una mues­ tra, no está lo suficientemente terminada como para poderla re­ sumir. Es, sin embargo, suficientemente vasta para poder apre­ hender el sentido trágico de su discurso filosófico. Resuenan, en Méthode axiomattque et formalisme, por sí mismas, dos te­ sis centrales para la filosofía matemática: la que afirma un sitio privilegiado para la teoría de conjuntos en la comprensión de la estructura lógica e histórica de las matemáticas y la que establece la autonomía y pureza de las matemáticas; en este sentido, Cavaillés muestra que la esencia de las matemáticas no debe nada a la existencia. Casi medio siglo después de la muerte de Cavaillés, tras ha­ ber testimoniado los cataclismos que bien pudieran ser los más impresionantes de la historia, podemos preguntar nuevamente acerca del sentido de dos eventos insoslayables desde los tiem­ pos de Sócrates y acerca de los que Jean Cavaillés nunca cesó de interrogarse: el sentido de la muerte y el sentido de la enseñanza. La muerte de Cavaillés, como antes la de Sócrates, y como después la de tantos hombres y mujeres que dieron su vida por causas que hoy parecen desprestigiadas, sigue teniendo un sen­ tido ético con cuya esencia nosotros no podemos dejar de co­ laborar. Este es el sentido de la profesión que hemos escogido: la enseñanza de la filosofía y de las matemáticas; debemos hoy, también, seguir considerando ineluctable nuestro combate con­ tra lo insoportable. El trabajo que ahora se traduce por primera vez al español (y posiblemente a cualquier otro idioma) es extremadamente ar­ duo, pero toda actividad intelectual es extremadamente ardua si pretende ser un combate para dejar de ser un ritual. Los te­ mas que trau Cavaillés posiblemente se han expuesto de ma­ nera más pedagógica y sucinu, puede que muchos de ellos ya 3 Ferrières, G., Je an Cavaillés, philo sopire et combattant, PUF, 1950, p. 97.

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estén superados o disueltos, sin embargo, no hay que leer a Cavaillès para aprender matemáticas, no hay que leer a Cavaillés para aprender historia. Ni siquiera hay que leer (o traducir) a Cavaillés para aprender filosofía. Cavaillés, como apuntaba Ba­ chelard, no hace concesiones: ninguna concesión al rigor, nin­ guna concesión ante úna pasión que no puede ser negociada o estimulada: la pasión por la inteligencia. Santiago Ramírez agosto, 1991

Bibliografía de Jean Cavaillés 1928- “Education morale et laicité”, en Cahiers de Foi et Vie, 31929- “Les deuxièmes Cours Universitaires de Davos”,en cl dos­ sier de la Escuela Normal Superior, la edición original está pu­ blicada en la memoria de los cursos, Davos, Neu Sc Zahn, Da­ vos. 1931- “Oecuménisme et missions”, en Cahiers de Foi et Vie. 1932- “Un mouvement des jeunes en Allemagne”, en Annales de VUniversité de Paris. 1932- “Les oeuvres complets de George Cantor”, en Revue philo­ sophique, nos. 11-12. Este trabajo ha sido traducido al español y publicado en la revista Mathesis. 1932—“Sur la deuxième définition des ensembles finis donné par Dedekind”, en Fundamenta mathematicae, t. XIX. 1932- “U Allemagne et le Reichstag”, en La Paix par le Droit, no. 9 1933- “Protestantisme et Hitlérisme”, en Esprit nov. 1934- “Crise de protestantisme allemand”, en Politique. 1935- “L’école de Vienne au Congrès de Prague”, en Révue de Métaphysique et de Morale, 1. 1937- “Logique mathématique et syllogisme” en Rev. Int. Phil. 1937- “Réflexions sur le fondement des mathématiques”, en IX Congrès intérnation ale de Philosophie, t. vi, Hermann, Paris. 1937- (con E. Noether) Briefwechsel Cantor- Dedekind\ Her­ mann. La traducción al francés fue publicada en Philosophie Mathématique.

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1938- Remarques sur ta form ation de la théorie abstraite des ensembles , Hermann, publicada también en Philosophie Ma­ thématique. 1938- Méthode axiomatique et form alism e , Hermann. Reedi­ ción en Hermann, 1981 1940- “Du collectif au Pari”, en Rev. Met et Mor., 2. 1940- ‘Allocution en hommage a M. C. Bougie”, en el dossier ENS. 1946- (con Albert Lautman) “Discussion sur la pensée mathéma­ tique”, en Bull. Soc. Fran. Phil., 1. lai traducción a] español fue publicada en Mathe sis. 1947- Sur la logique et la théorie de la science, PUF. 1949- "Mathématiques et formalisme”, en Rev. In t Phil., no. 8. La traducción de este trabajo fue publicado en Matbasis. 1962- Philosophie mathématique , Hermann. 1962- “Trans fini et continu”, en Philosophie mathématique .

In tro d u c c ió n

El p ro b lem a p lan tead o p o r la crisis en la teo ría de co n ju n to s El problema del fundamento de las matemáticas sólo ad­ quirió toda su importancia a partir de la crisis de la teoría de conjuntos. ¿Qué era fundamentar, hasta entonces, si no escoger entre distintos tipos de evidencia, dar prioridad a tal desarrollo en relación a tal otro, o situar a la actividad matemática entera en relación a otras actividades de la conciencia? Sin embargo, la vali­ dez misma de los resultados, la estructura interna del edificio, no se ponían en cuestión. Por el contrario, con las paradojas descu­ biertas entre 1890 y 1904 se debía enfrentar un peligro que ame­ nazaba a la técnica: la teoría de conjuntos, nacida de un tronco común y con la misma necesidad natural que las otras teorías, sólo utilizaba para su desarrollo ios instrumentos normales de las matemáticas clásicas. Inversamente, sus resultados se revelaban cada día más valiosos en el análisis y en dominios cercanos. ¿Se podía romper esta dóble solidaridad y aislar de las regione^ in­ ciertas una especie de zona central en donde los robustos méto­ dos tradicionales conservaran una evidencia concreta indudable? La tentativa era tan difícil de realizar técnicamente como poco sa­ tisfactoria para el espíritu. Así, la eliminación del transfinito por la exigencia de que todas las definiciones de los objetos se pudie­ ran efectuar por medio de un número finito de palabras condujo

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directamente a la paradoja de Richard1. En cuanto a los remedios localizados en la teoría, éstos no podían ser sino inoperantes pues, en tanto que localizados, por una parte rompían los pasa­ jes y, por la otra, los métodos que enmendaban se encontraban ya actuando en otros sitios. De allí la necesidad de reconstruir el edificio entero: desde el continuo aparecían las dificultades; se debía empezar en una teoría del continuo, materia común para engendrar los objetos matemáticos.

1. Soluciones técnicas a. El empirismo de Borei En Francia, siguiendo las teorías de Poincaré, y sin duda bajo su influencia, parece predominar una corriente empirista. En las Cinco cartas sobre la teoría de conjuntos, Hactamard es el único en afirmar que la existencia de objetos matemáticos es indepen­ diente de nuestros medios para alcanzarlos (posición platónica de la que no deduce, por cierto, ninguna solución ai problema técnico planteado). En cambio Bai re, Borei y Lehesgue, analis­ tas que militaban en la teoría concreta de conjuntos (teoría que desarrollaron al grado de ser sus nuevos creadores), son empiristas. Se trata, para ellos, de su trabajo mismo; lejos de toda especulación quieren establecer qué objetos y qué métodos se deben considerar sin correr el riesgo de enfrentarse a una con­ tradicción. 1 Si se consideran todas las fracciones decimales cuya definición mas corta no exija más que un número finito de signos, es posible clasificarlas según este número mínimo N. Así a cada N corresponde un número finito de fracciones decimales: todas las fracciones decimales que tienen |a propiedad se pueden arreglar en una sucesión ordenada

*1 *2,.

(1)

Sí se define la fracción b por medio de la condición de que su primera cifra sea igual a 1+ la primera cifra de a \, su n-ésima a 1 + la «-ésima cifra de a n, b no puede pertenecer a la sucesión (1); sin embargo, la definición precisa que acaba de darse no requiere sino un número finito de signos (los caracteres de imprenta empleados).

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Ahora bien, la primera contradicción —fuente de otras, pues ningún criterio de verdad subsistiría— es razonar en el vacío. “No comprendo, exclama Borei, el punto de vista de Jos ana­ listas que creen poder razonar sobre un individuo determinado pero no definido; hay allí una contradicción en los términos so­ bre la que he insistido muchas veces”.2 Pero, ¿qué se entiende por definición de un individuo? Aquí interviene una noción de intuición en oposición a una de discurso, característica del sis­ tema ele Borei quien rechaza todas las “matemáticas verbales” o “construcciones lógicas... en las que se manipulan símbolos que no corresponden a ninguna intuición”3. Corresponden a una intuición, por una parte, el número entero; por otra, el con­ tinuo geométrico: es a partir de ellos y solamente desde ellos que se podrán engendrar los objetos matemáticos. El engendra­ miento está sometido al mismo control: si la sucesión indefinida de enteros es perfectamente clara, es decir, algo que “cada quien comprende y está seguro de comprender... como su vecino”4 es porque se fundamenta en la proposición —resultado de un acto efectivo del espíritu—: “tras cada entero hay otro”. La sucesión de ordinales transfinitos de la clase II (y, a fortiori los de las cla­ ses superiores)5, en cambio, no forma parte de las matemáticas reales “pues la proposición análoga: más allá de cada sucesión indefinida de funciones crecientes hay otra, no basta para dar­ nos una idea clara del transfinito”. No hay un proceso regular de engendramiento de todos los ordinales; sólo se podrán uti­ lizar aquellos cuya definición es posible, es decir, una pequeña 2 E. Borei (B), p. 92. 3 Borei (t), p. 181. 4 Borei (I), p. 181. 5 Los números ordinales transfinitos denotan, según su orden, a los conjuntos bien ordenados; es decir, ordenados de tal manera que cada parte posee un pri­ mer elemento: en la clase II de Cantor aparecen aquellos que denotan conjuntos numerables (es decir, coordinables a la sucesión de enteros cf. n. 9); así, u para el conjunto 1 , 2 , 3 , . . w+ t para el conjunto 2, 3 . . 1 ; etc... Estas no son, dice Borei, “sino notaciones abreviadas para indicar el orden en que deben ser efectuadas una infinidad numerable de operaciones que involu­ cran una infinidad numerable de pasos al límite sucesivos o superpuestos”(Borel (I), p. 231). Para la explicación de las nociones de la teoría de conjuntos que se utilizan véase J. Cavaillès (III), del que el presente ensayo es una continuación.

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parte de la clase II. Las mismas amputaciones para el conjunto de los números reales: si “la noción de continuo se adquiere por intuición geométrica”67,el continuo aritmético es una noción ne­ gativa, es la seguridad de que siempre se podrán calcular nue­ vas fracciones decimales, cualquiera que sea la infinitud (regida por una ley) de aquellas que se pueden considerar como ya cal­ culadas (por ejemplo, todas las fracciones racionales). Así, no existen más que los números calculables: “un número a es cal­ culable cuando dado un número entero cualquiera n , es posible obtener un número racional que difiere de a en menos de Así se desvanece la paradoja de Richard: no se pueden consi­ derar, en la sucesión ( 1), más que “los números decimales que están definidos de una manera precisa y sin ambigüedad posi­ ble, por medio de un número finito de palabras”. Allora bien, el número b no goza de tal definición pues sería necesario “para que b esté definido sin ambigüedad, que la sucesión de las a esté, ella misma, definida sin ninguna ambigüedad posible. Este no es manifiestamente el caso para la definición precedente, visto que queda en duda si el número b forma o no parte de la su­ cesión de las cC\ Al considerar las cosas desde el punto de vista empirista —es decir, de aquello que se piensa efectivamente tras las palabras o tras las “realidades observables”— se ve cómo la “pretendida definición de Richard ... es insuficiente ... para po­ nerla en acción; en efecto, sería necesario, primero, haber re­ suelto todos los problemas matemáticos que podrían ser plantea­ dos: pues, entre las definiciones posibles, las hay que suponen la solución de estos problemas”8. Así, el conjunto de términos de la sucesión ( 1) no es realizable: es numerable9 (en tanto que parte 6 Borei (I), p. 160. 7 Borei (I), p. 161. 8 Borei (I), p. 164. 9 Se dice que un conjunto es numerable cuando es posible establecer (sin pre­ cisar cómo) una correspondencia biunivoca entre sus elementos y los de la su­ cesión de enteros. De manera general, la potencia de un conjunto es el carácter que comparte con todos los conjuntos con que puede ponerse en corresponden­ cia biunivoca. Si un conjunto A tiene la misma potencia que un subconjunto de otro B y la recíproca es falsa, decimos que la potencia de A es < que la de B, Así, la potencia de lo numerable < la del continuo (conjunto de números reales). Cantor llama Ho a la potencia de lo numerable, Nx a la de la clase li de ordì-

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del conjunto de combinaciones de un número finito de signos) pero no es efectivamente numerable, “es decir, no es posible indicar, por medio de un número finito de palabras, un proce­ dimiento seguro para atribuir, sin ambigüedad, un rango deter­ minado a cada uno de sus miembros”. Es necesario sustituir la distinción entre conjuntos numerables y no numerables (siendo estos últimos una ficción verbal), por la distinción entre conjun­ tos numerables y conjuntos efectivamente numerables. Estos se caracterizan por la propiedad: “un subconjunto, parte alícuota de un conjunto efectivamente numerable, no necesariamente es efectivamente numerable”. “Todas las pretendidas paradojas de la teoría de conjuntos provienen del hecho de admitir como evi­ dente la proposición ... : todo conjunto numerable es efectiva­ mente numerable”. A partir de estos principios, en efecto, se pueden construir una teoría de conjuntos y un análisis irrefutables. No se consi­ derarán como funciones reales sino Jas funciones calculables-. “una función es calculable cuando su valor es calculable para todo valor calculable de la variable”: De ahí la consecuencia de que toda función calculable es continua para los valores calcu­ lables de la variable. La noción de conjunto de puntos está de­ terminada del mismo modo: un conjunto está definido por la función característica que toma el valor 0 para sus elementos y 1 en los puntos exteriores. Una función de este tipo, continua en un punto, es evidentemente constante en un intervalo que contiene al punto. Se considerarán como conjuntos bien defini­ dos (correspondientes a las funciones calculables) los conjuntos obtenidos por adición (indefinidamente iterable) o sustracción10 de intervalos, “los extremos de los intervalos deben ser estudia­ dos aparte”. Si se deja de lado esta dificultad11 (un conjunto bien definido lo es salvo por una infinidad numerable o incluso efec­ tivamente numerable de puntos), se ve que los conjuntos bien nales transfinitos. La hipótesis del continuo asegura que Ni = la potencia del continuo. 10 Lusin sustituye la sustracción por intersección (parte común) y obtiene los mismos conjuntos. 11 Es posible desembarazarse de ella considerando solamente los intervalos con extremos racionales.

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definidos coinciden con los conjuntos B-medibles, introducidos por la teoría de la integración. Se les clasifica, siguiendo el pro­ cedimiento introducido por Baite para las funciones» según el número de pasos sucesivos al límite que su definición exige a partir del continuo numérico. Así se reúnen, por una feliz conver­ gencia, las exigencias del problema de los fundamentos y los de­ sarrollos espontáneos procurados en la técnica misma por Baire y Borei. El campo del análisis clásico no rebasa el de los conjun­ tos B-medibles. ¿Pero hay que entender por análisis clásico el análisis ya he­ cho?, ¿cómo asegurar la ciencia por venir? Borei se ha perca­ tado de las transformaciones que su punto de vista impone a los métodos tradicionales. El tercero excluido ya no es utilizable: para dos números calculables, entre las hipótesis de igual­ dad o de desigualdad, se inserta una tercera: imposibilidad de decidir cuándo sus modos de definición son distintos y dan, sin embargo, por lejos que se vaya, el mismo desarrollo decimal12. Del mismo modo habría que eliminar las funciones anormales ya introducidas: “hay que resignarse a hacer sistemáticamente eso que los matemáticos han hecho espontáneamente y sin espíritu de sistema; es decir, restringirse a estudiar a las funciones que se presentan de manera natural, lo que podemos llamar ‘seres rea­ les y normales' en oposición a los ‘monstruos creados artificial­ mente o concebidos de manera abstracta”’13. La realización efec­ tiva de este programa no se ha emprendido. Parece enfrentarse, desde el principio, a una dificultad esencial: la noción misma de conjunto bien definido permanece ambigua, a partir del mo­ mento en que ya no se trata de conjuntos efectivamente construi­ dos. Ahora bien, desde el momento en que se avanza en la clasi­ ficación de Baire, las dificultades para la construcción efectiva se vuelven rápidamente insuperables: el conjunto de clase más ele­ vada de que hasta ahora se ha podido dar un modo efectivo de Del mismo modo, “el conjunto formado por un solo punto, digamos 0, no está bien definido en e! sentido de que, para saber si un número dado pertenece o no al conjunto, puede exigir una infinidad de operaciones o la resolución de un problema difícil, o de hecho insoluble”. Borei (1), p. 22ó, 13 Borei (If), p. 146.

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construcción14 pertenece a la clase 4. ¿Qué significa, entonces, un razonamiento en donde intervenga un conjunto ß-medibie cualquiera? Como no hay más cota superior para el número de pasos al límite que lo definen que el orden de éstos, esencial para su definición, se denota por medio de un número finito o de un número de la clase II y se hace intervenir, en realidad, para la to­ talidad de los conjuntos ß-medibles, a la totalidad de la clase II. La respuesta de Borei es que no hay que considerar tal totalidad como dada (seríaun conjunto mal definido). Los razonamientos en donde figuren —o se demuestren— las propiedades gene­ rales de los conjuntos ß-medibles son inductivos: “en lugar de partir de intervalos y de seguir la construcción paso a paso, se supone que la construcción lia sido hecha hasta un cierto punto y que posee ciertas propiedades y se demuestra que estas pro­ piedades subsisten cuando se da un nuevo paso”15. No se trata, por lo tanto, de un sistema dado sino de una realidad en deve­ nir, de un campo abierto en oposición, por ejemplo, al campo cerrado de números racionales (invariante en relación a las cua­ tro operaciones aritméticas); campo cerrado porque se puede dar una definición única. Desgraciadamente, no todas las pro­ piedades encontradas para los conjuntos medibles son induc­ tivas: es el caso de la propiedad, descubierta por Hausdorft' y Alexandroff, de que un conjunto ß-medible, no numerable, con­ tiene un subconjunto perfecto, propiedad que no es invariante respecto a la segunda operación generadora (sustracción). Hay que recurrir, nota Lusin, a otra definición que, esta vez, produce el campo cerrado de los conjuntos ß-m edibles: “se obtienen to­ dos los conjuntos ß-medibles tomando todos los conjuntos fi­ nitos, los conjuntos numerables y los que sirven de conjuntos de valores para las funciones / (x) regulares y continuas (sobre el intervalo fundamental) ... excepto por un conjunto numera­ ble de puntos ”16 (una función regular es una función que siem14 Ejemplo dado por Keldyeh; Cf. Lusin (I), p. 94. La lengua matemática da aquí dos usos a la palabra clase: hay clases de conjuntos (o de funciones) de la clasi­ ficación de Baire, numeradas con numerales arábigos y hay clases de números ordinales transfinitos numerados con numerales romanos. 15 Borei (I), p- 235. 16 Lusin (I), p. 39.

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pre toma dos valores distintos para dos valores distintos de su argumento) . “Parece, añade Lusin, que no se pueden hacer ob­ jeciones a esta definición de campo cerrado, pues la noción de función continua y la de función regular aparecen en las ramas clásicas de las matemáticas”. Sin embargo, esto es evidentemente inadmisible desde el punto de vista precisado por Borei. Por lo tanto, o se pierden las propiedades no inductivas, o la totalidad de conjuntos jß-medibles se puede considerar como una totali­ dad dada (si bien ilegítima). Pero, incluso así, es imposible sos­ tenerse: “si se admiten todos los conj untos ZTmedibi es, es nece­ sario admitir a los conjuntos proyectivos como hace notar con razón Lebesgue”17. Lusin, Sierpinski y Souslin, siguiendo a Lebesgue, han estudiado una primera clase más vasta, la de los con­ juntos analíticos cuyo parentesco con los conjuntos /i-medibles es sorprendente. Pueden definirse como conjuntos de valores de funciones continuas no regulares sobre el intervalo fundamental. Numerosas propiedades se conservan. El primer ejemplo —dado por Lebesgue— de un conjunto analítico que no es /i-medible hace intervenir a la totalidad de la clase II. Souslin y Lusin creen poder pasar este hecho por alto; en realidad la definición nega­ tiva a la que llegan es rigurosamente equivalente a una definición positiva en donde aparezca la clase II. Lusin propone conside­ rar también a los nuevos conjuntos como conjuntos ¿Lmedibles de orden 0 (O es el primer ordinal transfinito superior a tocios los números de la clase II) en la clasificación derivada de la de Baire. Una operación geométrica tan simple como la proyección permite pasar de un conjunto Æ-medi ble a un conjunto analítico. Más aún, si se toma el complemento y si se le proyecta de nuevo, se obtienen los conjuntos proyectivos, una especie nueva, cuyas propiedades, hasta allora, son difíciles de estudiar18. Así, es imposible detener la marcha progresiva del análisis clásico, por restringido que haya sido el punto de partida, si no se tiene cuidado al definir los nuevos métodos. Tras las amputa­ ciones, cuya necesidad había demostrado, Borei se limitó a bre­ ves indicaciones para una reconstrucción positiva. Los procedi17Ibid., p, 323. 18 Cf. para ésto la importante obra de Lusin (I).

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mientos naïfs 19 del análisis clásico se oponen directamente a las exigencias empiristas. Lusin propone eliminar “algunos conjun­ tos Æ-medibles” sin decir cómo. Se rebela así contra las operacio­ nes negativas, como el paso al complemento: si el conjunto E de valores de una función puede ser considerado como dado, “no poseemos ningún procedimiento regular para reconocer si un número realeo dado pertenece o no al complemento de/T’20; lo demuestra la teoría de conjuntos analíticos cuyos complemen­ tos deben ser considerados como pertenecientes a una especie más complicada. En realidad se recurre, en ello, a la intuición geométrica. Pero aquí aparece la segunda dificultad esencial de la empresa boreliana: el papel de la intuición geométrica en la definición del dominio fundamental —por ejemplo— no se pre­ cisa en ningún lugar. Si el continuo numérico no es más que una “noción negativa”, ¿hay que eliminarlo atendiendo a la exigen­ cia de Lusin? Entonces desaparece todo el edificio de los con­ juntos Æ-medibles: el continuo de números calculables (y toda porción que se pueda distinguir) tiene, en efecto, medida 0. La actitud de Lusin implica, por otra parte, más de una paradoja: si todo lo que rebasa los conjuntos Æ-medibles cae en la ma­ temática verbal, ¿qué sentido tienen para él los importantes re­ sultados que obtiene sobre conjuntos analíticos? Lusin concluye su obra: “el autor de este libro se inclina .. .a considerar los ejemplos construidos por él como formados de palabras y ta­ les que no definen seres verdaderamente terminados sino sola­ mente virtualidades”21. No se vislumbrad sentido que pueda te­ ner aquí la palabra virtualidades, sobre todo cuando se trata de conjuntos analíticos o proyectivos que nunca podrán ser actua­ lizados por medio de una construcción efectiva a partir de los elementos iniciales impuestos por Borei. Pero, ¿no hay, en los razonamientos geométricos que utiliza, operaciones concretas cuyo encadenamiento posee un sentido, incluso si no se puede

19 Se mantiene el témino en francés en virtud de su aceptación dentro del léxico matemático moderno. (N del T) 20Ibid., p. 4 l#n. 21 Ibid., p. 322.

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fabricar el resultado con números enteros por medio de cálculos efectivos?

ß. Lebesgue y la noción de lo nombrable Es justamente poniendo el acento sobre el contenido actual de un razonamiento —independientemente de objetos, puntos de partida unificados para todos los matemáticos— que Lebesgue intentó procurar una limitación menos rigurosa, gracias a su noción de nombrable o de efectivo. “Un objeto se define o se da cuando se pronuncia un número finito de palabras que se aplican a este objeto y solamente a éste; es decir cuando se lia nombrado una propiedad característica del objeto”22*.Se ve la distancia en relación con las afirmaciones puramente existericiales de Zermelo o de Cantor: es imposible considerar como satisfactoria la demostración —por ejemplo— de que la clase II tiene una poten­ cia inferior o igual a la del continuo (haciendo corresponder “al símbolo 1 un punto Í!, al símbolo 2 un puntó ¿2>• •• >al símbolo a. un punto tot__no nos detendremos nunca, pues hasta a no he­ mos empleado sino una infinidad numerable de puntos ta y, por lo tanto, quedan puntos y podemos aislar uno de ellos, ta+i ”)25, pues “hemos pretendido demostrar la existencia de una apli­ cación ... (de la clase II) sobre el continuo sin nombrar ninguna”. De manera general es la unicidad de lo nombrado la que inter­ viene: el conjunto dado por el axioma de elección no está deter­ minado de manera unívoca24. Por otra parte, un razonamiento carece de sentido excepto si los objetos que figuran en él están “efectivamente definidos”. Hay en ello, por tanto, una “analogía con el punto de vista escogido por Borei”25. Pero la noción de 22 Lebesgue (II) p. 205. 23 /ó/¿,p.2L 3. 2tí Se sabe que el teorema de Zermelo, que afirma la posibilidad de bien-ordenar todo conjunto M, había sido muy atacado por los empiristas franceses (cf. Cinq lettres sur la théorie des ensembles7en particular la carta de Lebesgue en Borei (J), p, 153): Zermelo utiliza el axioma de elección que afirma la existencia de un conjunto que tiene uno y solo un elemento común con todo subconjunto de M. Damos precisiones y bibliografia sobre este tema en Cavaillès (III), p. I l4 ss. 25 Lebesgue (II), p. 205.

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definición ha sido cambiada: lejos de exigir una construcción po­ sible a partir de un tipo de objetos propuestos de una vez por todas, lo efectivo, por el contrario, reclama que en la caracteri­ zación del objeto sólo aparezca aquello que importa para el ra­ zonamiento presente. “No habría que ... creer que una función ty) esté necesariamente mejor definida cuando se da una pro­ piedad característica del conjunto y = / (X |,... ,x„), x t, \ \ . ,x„, pues una propiedad tal no permite, en general, calcular^”26. La representación analítica es igualmente ilusoria; así, la función27 X(jc) = lim [lim (eos m\irx)2tl] ni

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(igual a 1 parax racional ya 0 parax irracional) “no es conocida parax = C (C es la constante de Euler) si bien se puede calcular C con tantos decimales como se quiera; y si la conocemos para X = 7T, no es su expresión analítica la que nos hace conocerla”28. La noción de definición debe, por tanto, permanecer en la va­ guedad: “es nombrar una función el decir que es igual a 0 o a 1 según la constante de Euler sea racional o no. No debemos extrañarnos si en lo que sigue considero como perfectamente definidas y dadas funciones que no podría calcular para ningún valor de la variable”29. Él movimiento del pensamiento que lleva a Lebesgue a poner a las definiciones descriptivas como funda­ mento de su teoría de la medida y de la integración, en lugar de las definiciones constructivas que usa Borei, es el mismo. Este, por ejemplo, otorga medida 1 al dominio fundamental (repre­ sentado por el segmento (0 , 1)) y conviene que cada una de las operaciones (suma numerable, sustracción) generadoras de con­ juntos Æ-medibles se traduzca por una operación aritmética con el mismo nombre y operando sobre las medidas de los conjuntos utilizados, de manera que todo conjunto así definido, posea una medida dada por su construcción. Lebesgue, por el contrario, Ibid., p. 206. -7 Es la función llamada de Dirichlet —el símbolo m\ representa el producto 1 * 2 ... m. 28 Lebesgue (II), p. 206 29 Loe. cít.

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plantea el problema in abstracto30: a todo conjunto de puntos E sé le puede asociar un número positivo o cero m(E) que satis­ face las tres condiciones: 1. clos conjuntos iguales tienen la misma medida; 2 . el conjunto suma de un número finito o de una infini­ dad numerable de conjuntos sin puntos en común —dos a dos— tiene como medida la suma de las medidas; 3 . la medida del segmento (0 , 1) es 1. Se ve, fácilmente, que para los conjuntos ¿J-medibles, la so­ lución está dada precisamente por la medida tal y como la define Borei. Más aún, dado un conjunto cualquiera E, éste está con­ tenido en un conjunto Ei y contiene un conjunto E2 , ambos B-medibles y que tienen la misma medida. Pero “la ventaja prin­ cipal que tiene razonar sobre conjuntos medibles (es decir todos aquellos para los que el problema precedente admite solución) y no solamente sobre los conjuntos B-medibles, no es que se con­ temple una clase más vasta de conjuntos sino que se parte de la propiedad capital de los conjuntos a los que se puede asignar una medida y no de un procedimiento de construcción en perpe­ tuo devenir”31. Es conocido el desarrollo considerable que han tenido, en el análisis general, la teoría de la medida y la teoría de integración que se desprende de ella. Ambas provienen del aligeramiento procurado por el carácter descriptivo de la defi­ nición: sólo importa lo que se nombra, mientras que una cons­ trucción, que no tiene nada que ver con el problema planteado, no podrá sino volverlo pesado o restringirlo arbitrariamente. Es, en cierto sentido, la homogeneidad de los materiales de una em­ presa, la simultaneidad de la matemática con su trabajo presente, lo que aquí se afirma: se trata aún de un empirismo, pues sólo se describe el trabajo efectivo, pero es empirismo del pensamiento en acto, sin otra referencia que el devenir imprevisible de las matemáticas. Los modos de definición son abandonados a las variaciones y a las exigencias del movimiento: por cada nueva adquisición aparecen nuevas posibilidades. El enriquecimiento de lo nombrable coincide con el enriquecimiento mismo de la ciencia. 30 Lebesgue (I), p. 111. S'lbid., p. 117 n.

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Sierpinski ha estudiado32 cómo codificar las definiciones de conjuntos sometidos a esta regla; se puede hacer una especie de superposición progresiva análoga a la de las funciones recur­ sivas de números enteros. Tomando como base la sucesión de conjuntos Ei,E2> ■.. se toma como primera función la suma de una sucesión parcial cualquiera Eni,En2, f l (fi\ ’£ 2»...) = E„v + E„2 + ... y luego, de manera general: A ( £ i , 4 - ) =fi(EmtE„2,...) donde es una función previamente definida. La característica de cada función es, cada vez, la elección del sistema «i ,«2, ■ *■ en la sucesión de enteros. Se puede hacer intervenir, en lugar de la suma, la intersección. Hausdorff lo ha generalizado utilizando en la definición misma conjuntos ya definidos33: fMißvß. 2^3 ■ • •) = ' •‘ en donde la suma se extiende a todas las sucesiones de números naturales tales que el punto a* representado por el desarrollo 1

X

1

1

= - — - H-------------------1------------------------- u

2«l

2” t+»2

2” 1+»2+**3

. . .

pertenezca al conjunto Af. Se procede de la misma manera para los conjuntos proyectivos. Se ve que una gran parte de la teoría naïve de los conjuntos puede ser alcanzada, tan grande que po­ demos preguntarnos si las paradojas están eliminadas. Una primera paradoja es la posibilidad de nombrar conjun­ tos tales que no se pueda decidir si un objeto dado les pertenece o no. Sierpinski ha dado el ejemplo de un conjunto $ de fun­ ciones de variable real que seguramente tiene elementos, pero tal que, dada una función bien definida, para decidir si dicha función pertenece a $ es necesario resolver el problema del con­ tinuo. De manera general, si se pueden nombrar dos conjuntos, 32 Sierpinski (ÍII). 33 HausdorfT (IT).

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Ei no vacío y lb —del que no se sabe si es vacío o no—, basta definir el conjunto E igual a E\ si £2 es vacío, e igual a E2 en el caso contrario, para que, dado un objeto cualquiera, sea imposi­ ble saber si pertenece o no a E. Además, se tienen ejemplos de conjuntos como £2 en *a teoría de conjuntos proyectivos: a partir de un conjunto de Borei de clase 3, Lusin logra nombrar, gracias a un pequeño número de operaciones geométricas elementales —proyectar y tomar el complemento— lo que llama conjuntos resolventes de problemas conocidos (como el problema del con­ tinuo, etc,... ): si se sabe nombrar un elemento de estos conjun­ tos, se tendrán, por ejemplo, numerados de un solo golpe los puntos del segmento (0 , 1) por medio de la totalidad de ordina­ les de la clase II. Esta es la respuesta a una pregunta planteada por Borei en 1908: “¿es o no posible definir un conjunto E tal que no se pueda nombrar ningún elemento individual de £, es decir, distinguirlo de todos los otros elementos de £?”Es imposi­ ble, incluso, afirmar la existencia de un elemento de E. La razón es clara: está en el acto de nombrar, con la intervención de no­ ciones heterogéneas como la definición analítica de un conjunto y las operaciones geométricas sobre este conjunto. Proyectar y tomar e! complemento de un conjunto tienen en general, como correlato analítico, complicaciones insuperables; más aún, para saber si el complemento de la proyección de M es vacío no se puede ignorar la definición analítica de M.

M

FlG. 1.

Los objetos nombrabíes pueden, por tanto, estar insuficien­ temente determinados. Así, Lusin “considera como insoluble la cuestión de saber si todos los conjuntos proyectivos son medibles o no, porque, según él, los procedimientos mismos de de­ finición de conjuntos proyectivos y de la medida en el sentido

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de Lebesgue son virtualidades incomparables”. ¿Se está seguro, incluso, que no pueden aparecer contradicciones? La heteroge­ neidad entre propiedades igualmente nombrables deja abierta la posibilidad de que su yuxtaposición sea contradictoria. En ca­ sos privilegiados la presencia de ejemplos (efectivamente cons­ truidos) puede ser una garantía en contra de este peligro. Pere; para nombrar una función no representable analíticamente —y en consecuencia un conjunto que no sea /i-medible— Lebesgue utiliza, por ejemplo, la totaliad de la clase II, que en sí misma se considera como nombrada. Esta es, sin duda, caracterizable de manera unívoca: un razonamiento en donde intervenga no aparece, sin embargo, ni menos oscuro ni menos peligroso; ¿se puede estar seguro de que la clase II no sea contradictoria en tanto que totalidad?34 Al menos la diferencia de seguridad —o del sentido que se puede aprehender— entre tal razonamiento y aquéllos que recurren al axioma de elección no es notable: para un buen número de matemáticos éste ofrece, incluso, mas ven­ tajas. Así, una posición intermedia entre el empirismo y el idea­ lismo parece difícil de sostener. Mas aún, una limitación cual­ quiera del campo matemático, extraída de consideraciones es­ trictamente matemáticas —como hacen Borei y Lebesgue— pa­ rece imposible: es lo imprevisto de un problema, la desviación en su aplicación, lo que hace vana la regla de seguridad o bien obliga a su abandono. Parece que aquí la reflexión crítica sobre la esencia misma del trabajo matemático y la noción de objeto, son condiciones previas necesarias. La dualidad entre construcción analítica y operación geométrica, incluso los diferentes sentidos de estas dos expresiones —que los trabajos profundos de Ja es­ cuela de Borel-Lebesgue han hecho aparecer—, así como la mul­ titud de problemas ocultos bajo la palabra definición, obligan a una revisión sistemática y á una regresión que conduce a cruzar, más allá de las matemáticas propiamente dichas, al suelo común de todas las actividades racionales. Véanse, acerca de esta cuestión, las dudas recientes de Lusin y Sierpinski, li­ gadas a los trabajos sobre conjuntos analíticos y proyecrivos en Lusin (II), (III) y Sierpinski (III).

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2. Necesidad de una teoría de la razón; antecedentes del problema a. El primado del número y la extension en Descartes La teoría de la razón depende, por otra parte, de tal tra­ bajo: la historia muestra la estrecha vinculación entre conflic­ tos técnicos parecidos y los sistemas edificados por los filóso­ fos. La dificultad actual se encuentra prefigurada en Descartes, Leibniz y Kant, a partir de quienes se puede aprehender me­ jor su evolución. En las Regulae, el número y la extensión son, con el mismo derecho, naturalezas simples. En las Meditaciones son nociones que poseen, por igual, claridad y distinción. ¿Pero qué es la idea de extensión? La separación del alma y el cuerpo tiene, como lo hace notar L. Brunschvicg, su contraparte en el método mismo de la ciencia: “para que el pensamiento cons­ tituya la ciencia de la naturaleza según el orden mismo de la naturaleza, es necesario que pueda, siguiendo la conexión de sus ideas, desenredar el encadenamiento de las cosas; es nece­ sario, por lo tanto, que el pensamiento comprenda a la noción misma de extensión como perteneciente al dominio de su activi­ dad; noción de extensión, de tal manera distinta de la noción del pensamiento, que el atributo de extensión y el del pensamiento marquen dos tipos diferentes de sustancias”35. La imaginación entera es arrojada del lado del cuerpo: “cuando me imagino un triángulo no sólo concibo que es una figura compuesta de tres líneas, sino que con ello me imagino estas tres líneas como pre­ sentadas por la fuerza y la aplicación de mi espíritu. Si voy a pen­ sar un kilógono, concibo bien, y con la misma facilidad, que en verdad es una figura compuesta por mil lados ... pero no puedo imaginarme los mil lados ... ”36. La idea clara y distinta es, por lo tanto, únicamente intelectual, la imaginación no es “otra cosa que una cierta aplicación de la facultad que conoce al cuerpo, que le está íntimamente presente”. Doble peligro: técnicamente el aritmetismo; filosóficamente la imposibilidad “de justificar una 35 L. Brunschvicg (I), p. 129. 3^ 6a meditación, Adam Tannery, Oeuvres de Descartes, t. DC, p. 57.

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ciencia que, teniendo valor intrínseco en su conformidad estricta con el orden del pensamiento, pueda aplicarse de manera directa a un universo completamente desprovisto de pensamiento”37. Uno y otro no han sido evitados sino parcialmente, esbozo de la separación operada por Malebranche entre extensión inteligible y extensión local, con los acomodamientos fáciles de la teoría de las sustancias: “en lo que se refiere .. .a la extensión y a la figura ... es verdad que no están en mí formalmente pues yo no soy sino una cosa que piensa; pero, por ser solamente ciertos modos de la sustancia y siendo yo mismo una sustancia, parece que pueden estar contenidas en mí eminentemente”38. Como consecuencia está, al menos, la física relativista de los Princi­ pios en donde el carácter imaginativo de las explicaciones está en razón inversa a su valor explicativo. la única ciencia verdadera parece ser aquélla en donde reina el número; en el espacio las únicas curvas de las que tenemos una idea son aquellas represen­ tadas por una ecuación algebraica: la ecuación es la idea. Elimi­ nación de curvas mecánicas: “líneas que parecen cuerdas, es de­ cir, que devienen tanto rectas como curvas a causa de que la pro­ porción entre rectas y curvas no es conocida e incluso creo que no podrá ser conocida por los hombres; no se puede concluir, de ello, nada que fuera exacto y seguro”340?; exclusión que, mo­ dificada, debe prolongarse hasta el fin del siglo XVIII con el de­ bate, a propósito de las cuerdas vibrantes, sobre la continuidad euleriana y sobre la noción de función arbitraria. Leibniz pudo satirizar a Descartes por la estrechez del juicio y la pobreza del método, esta “presunción... midiendo las fuerzas de toda la pos­ teridad por contraste con las suyas”*0. De cualquier manera, ni relativismo ni aritmetismo están completos: la idea de triángulo no es su ecuación sino, como indica el texto de las Meditaciones, es la regla para construirlo41. La dualidad del espíritu y de algo 37 L. Brunschvicg, op. cit. 383« meditación, Adam Tannery, Oeuvres de Descartes, t. IX, p. 35. 39Géométrie, Adam Tannery, t. VI, p. 412. 40 Carta a Philippi, enero 1680, citada por Brunschvicg, op. cit., p. 12341 Lo mismo paralas curvas: “no se deben excluir la líneas más compuestas, siem­ pre que se les pueda imaginar como descritas por un movimiento continuo o por muchos que se entreveran, y en donde los últimos están regidos por los que Ies

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dado, exterior aJ espíritu, pero a lo que se puede aplicar para co­ nocerlo, es el hecho primordial del racionalismo cartesiano. La ciencia no es reconstrucción sino ordenación: en ningún lugar se encuentra un intento de definición exhaustiva para la extensión. Las relaciones métricas se privilegian porque son más maneja­ bles, pero lo importante es que de algún modo se establezcan relaciones; moverse de manera autónoma a lo largo de sus en­ cadenamientos. Lo que es pensado es el acto de pensar, no su objeto: la intuición no es intelectual excepto cuando es clara y distinta, éstos son caracteres extrínsecos a la especificidad del objeto sobre las que se aplica. Así, el método universal desborda el éxito de un método particular pues apunta solamente a un or­ den y a una evidencia que carecen de canon. Pero el problema es escamoteado en la confianza de que el método encuentra por todos lados dónde aplicarse; no hay definición de matemáticas: es la ciencia de la extensión y todo pensamiento de la extensión es matemático. La relación de elemento, número, magnitud li­ neal, se abandonan a un optimismo de suposición; la limitación del conocimiento, incluso matemático, es aceptada gracias a la imagen teológica del infinito.

ß . El continuo como fenómeno y el panlogismo de Leibniz A pesar del cálculo infinitesimal, esta imagen teológica del in­ finito desempeña todavía un papel en el leibnizianismo. El hilo conductor en el laberinto del continuo es la distinción entre la pluralidad discreta de las sustancias, única realidad en la volun­ tad divina, y la continuidad fenoménica de sus vínculos espaciotemporales. “La extensión, la figura y el movimiento encierran algo de imaginario y de aparente aun cuando se les conciba con mayor distinción que el color y el calor, sin embargo... encon­ tramos que estas nociones tienen todavía algo de confuso ... y sostengo como demostrable que no hay figura exacta en el cuerpo”42. La exigencia de que todos los juicios sean predicati­ preceden: pues por este medio se puede, siempre, tener un conocimiento exacto de su medida”. Ibid., p. 390. La predominancia de lo métrico se restablecía. 42 Carta a Toucher, hacia 1688, Gerhardt, Phil Sehr., I, p. 392.

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vos, hace de la extensión el resultado de la difusión del atributo extendido “como en la leche hay difusión de la blancura”43; atri­ buto cuyo concepto se revela, por otra parte, como compuesto “cum resolvatur in pluralitatem quam communem habet cum numero, continuitatem quam cum tempore, coexistentiam quam cum rebus etiam non extensis”44. Así, la dificultad se es­ cinde: si la intuición primitiva ya no es sino un “fenómeno bien fundamentado”, la matemática permanece a su nivel; por un lado el problema del fundamento estará resuelto por medio de una reducción virtual de las matemáticas a la lógica; por otra parte, las relaciones entre cantidad continua y sistemas discretos se trans­ portan del plano matemático al plano metafisico. La matemática no es si no la ciencia de las relaciones ideales; en la voluntad divina todo se afirma de un solo golpe, no hay un número para la totalidad de las mónadas; un número infinito, por otra parte, es contradictorio. No es sino en el entendimiento divino, es de­ cir de manera hipotética, que aparecen las relaciones; no tienen nada de real, como el número, atributo “asentado en dos sitios”. En la medida en que las matemáticas afirman, no hacen sino ex­ plicar los axiomas o definiciones: todo se reduce, como funda­ mento, a combinaciones infinitamente variadas de un sistema primitivo de nociones simples. Históricamente, cualquiera que haya sido para las matemáticas el valor heurístico de tal repre­ sentación, el problema que aquí se plantea no recibe ninguna solución: por un lado no se indican ni el modo de una intuición de las nociones simples, ni un criterio con el que se pueda re­ conocer su simplicidad; y la idea de una combinación entre no­ ciones radicalmente simples es impensable, subtendida, en rea­ lidad, por la imagen de la combinación espacial de sus símbolos. Por otra parte, la confianza en una multiplicidad previamente dada suprime, en provecho de la cantidad discreta, la cantidad continua que no posee otra realidad que ser su resumen; todo se remite siempre a hacer pasar por los puntos de un conjunto una línea continua “de la que un espíritu fino puede compren­ der la definición. El espíritu la puede concebir y llevarla por la 43 Examen des principes de Matebrancbe, 1711. Erdmann, p. 69344 Carta a de Voider, Gerhardt, H, p. 183-

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imaginación a través de los cuerpos (o de los sistemas de pun­ tos) de cualquier forma que éstos sean”45. No serán jamás sino aproximaciones sucesivas, pero justificadas y exitosas porque su convergencia es metafísica: la realidad del conjunto dado. No hay ciencia del infinito porque no hay más que uno. 7 . Esquematismo

e intuición espacial en Kant

Sin embargo Leibniz preparaba la vía al esquematismo kan­ tiano: el carácter fenoménico, en sentido kantiano, del número y del espacio ya están reconocidos. Una línea no existe sino en tanto que es trazada por la imaginación, un número en tanto que es percibido por la conciencia. En la Dissertano de 1770, en donde el intuítus purus del espacio y del tiempo sólo pro­ veen de objeto a la geometría y a la mecánica respectivamente —aparentemente dejando de lado a la aritmética— se encuen­ tra ya precisado claramente el carácter sintético del concepto de número: “accedit bisce conceptus quidam in se inteîlectualis, sed cujus tarnen actuatio in concreto exigit opitulantes notiones temporis et spatii (successive addendo plura et juxta se simul parendo) qui est conceptus numeri”46. Esta actividad sintética del yo pienso justifica dos características para el trabajo matemá­ tico: devenir imprevisible y valor absoluto: valor absoluto porque la síntesis es exigida por la unidad de la apercepción, devenir im­ previsible porque hay ahí efectivamente una actividad construc­ tiva. La intuición es necesaria para la demostración de nuevas relaciones: “geometria propositiones suas universales non demonstrat objectum cogitando per conceptum universalem ... sed illud oculis subjiciendo per intuitimi singulärem quod fit in sensitivis”47. Definición de 1770 que la Critica precisa: “ésta (la matemática) no puede establecer nada por los conceptos sim­ ples sino que salta rápidamente hacia la intuición en la que con­ sidera al concepto in concreto; mas no empíricamente, sino en una intuición que representa apriori, es decir, que ha construido 45 Carta a la electora Sofía, 31 de octubre de 1705, en Gerhardt, VII, p. 563. 46 De mundi sensibiíis . .., II, §12, ed. Cassirer, II, p. 413. 47Ibid., Ill, §15, II, p. 419.

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y en la que lo que sigue de las condiciones generales de la cons­ trucción debe valer del mismo modo para el objeto del concepto construido”48. Es difícil ir más lejos en el análisis del papel de la intuición: no es la contemplación de un todo hecho, sino aprehensión, en la experiencia del acto, de las condiciones mismas que la hacen posible. Escapamos de la irracionalidad de lo constatado por la necesidad interior de la construcción. De todas maneras, para ésta, se requiere un medio que le sea lógicamente anterior: si “el filósofo puede reflexionar sobre el concepto (triángulo) tanto como quiera ... y distinguir ahí el concepto de línea recta, o de ángulo, o de número tres y aclararlos sin por ello llegar a otras propiedades que no estén encerradas en los conceptos”49; si el matemático debe estar “siempre guiado por las intuiciones”50 en el encadenamiento de sus razonamientos, es porque la intuición posee una estructura o una realidad propia —de cualquier or­ den. Más aún, la dualidad de las dos formas de la intuición hace que el problema sea insoluble. Sin duda hay una subordinación del espacio al tiempo pues toda síntesis se cumple en el tiempo; “no puedo representarme una línea, por pequeña que sea, sin ex­ traerla por medio del pensamiento”51. Y así se explica inmediata­ mente la aplicación del número al espacio: “el esquema puro de la magnitud como un concepto del entendimiento es el número, que es una representación que abarca la adición sucesiva de la unidad con la unidad (homogénea). Por lo tanto el número no es otra cosa que la unidad de la síntesis de lo diverso de una in­ tuición honfogénea en general, por el hecho que yo engendro el tiempo en la aprehensión de la intuición”52. Pero la dificul­ tad será pasar de esta “intuición homogénea en general” a dos intuiciones particulares de nuestra facultad de conocer: recurri­ remos, para caracterizarlas, a las nociones naïves de la experien­ cia común: el tiempo, que “contiene las relaciones de sucesión, 48 Kritik der reinen Vernunft, Methodenlehre, I, l, Cassirer. Ill, p. 486. *9ibid., p. 487. 50 Loc. cit. 51 Axiomes de l’intuition, op. cit., p. 157. 52 Esquematismo, op. cit., p. 144. Subrayado nuestro.

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simultaneidad y de lo que es simultáneo con lo sucesivo (lo per­ sistente) ... manera en la que el espíritu se afecta a sí mismo”53 mientras que el espacio es “la propiedad formal (del espíritu) de ser afectado por los objetos”. Distinción a propósito de la que Kant no oculta su molestia: “aquí toda la dificultad reside en esto: ¿cómo puede el sujeto tener una intuición interior de sí mismo?, pero esta dificultad es común a todas las teorías”5'1. Sin embargo es esencial al sistema si la imaginación es el poder central que permite someter la diversidad intuitiva a la unidad de los con­ ceptos: es necesario que el acto ele unificación sea, él mismo, de algún modo, sensible, fisto es lo que queda perfectamente claro en la Deducción trascendental cuando retoma la “paradoja del sentido íntimo”55: puesto que no poseemos intuición intelectual, la dualidad en nosotros entre actividad cognoscente y receptiva sometida al exterior exige que el acto sintético, en tanto que se aplica a esta receptividad, la afecte y se revele, así, sensiblemente. “Su síntesis (la del entendimiento) si se le considera sola, no es otra cosa que la unidad de la acción de la que está consciente, en tanto cjue tal, sin sensibilidad, pero por ella puede determi­ nar la sensibilidad en vista de la diversidad que puede serle dada según la forma de la intuición, lìje ree, pues, bajo el título de una síntesis trascendental de la imaginación, esta acción sobre el su­ jeto pasivo, del que decimos, con pleno derecho, que su sentido íntimo es afectado”56; Si la unidad sintética de la apercepción es, por lo tanto, no solamente numérica sino conscientemente distinta de la acción sintética efectiva, si “la consciencia del yo soy” es distinta del “conocimiento de mí tal como aparezco”, es necesario que yo me aparezca, incluso en la actividad sintética pura puesto que el “entendimiento no encuentra el vínculo de lo diverso en el sentido íntimo sino que lo pone en evidencia, afectando el sentido”57. La dualidad entre los dos “yo”, “yo, su­ jeto pensante, yo objeto pensado” no es menos injustificada: no 53 Esférica trascendental, op. cil.. p. 73. 5*Ibid., p. 76. 55ibid., p. L27. 56 Loe. cit. *>7Ibid., p. 129.

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implica ni más ni menos dificultad que la de comprender “cómo puedo, en general, ser para mí objeto, a saber, un objeto de in­ tuición, de la percepción interior”58. Debemos inclinarnos ante el hecho que nos impone el testimonio de la conciencia; somos de tal manera un objeto para nosotros mismos que requerimos del espacio para representar nuestra vida interior: “no podemos representarnos el tiempo, que no es un objeto de la intuición exterior, salvo como la imagen de una línea, en tanto que la tra­ zamos (modo de representación sin el que no podríamos reco­ nocer que solamente tiene una dimensión). Del mismo modo, para lá determinación de la longitud del tiempo o de los momen­ tos para todas nuestras percepciones interiores, debe extraerse lo que de las cosas exteriores se nos presenta como cambiante, a continuación debemos ordenar las determinaciones del sentido íntimo ... en el tiempo, como ordenamos aquéllas del sentido externo en el espacio”59. Así, la existencia misma de una sensibilidad interna se ase­ gura no por una falsa simetría con la sensibilidad externa, sino porque los testimonios de una se piden prestados, y la otra: la co­ nocemos a través del espacio. Pero ahora, el tiempo se desvanece en el espacio, el tiempo es magnitud extensiva “en la que la repre­ sentación de las partes hace posible la representación del todo”60 o, más bien, no hay sino una intuición, la del movimiento que traza las líneas, describe los círculos, marca la línea recta; imagen del tiempo. No es sino por la abstracción, gracias a la distinción, previa a toda crítica, entre nosotros como sujetos cognoscentes y un sistema de objetos que afectan nuestra sensibilidad, que po­ demos aislar, con pleno derecho, en nuestra intuición, aquello que se relaciona solamente al yo. “Lo que al principio produce el concepto de sucesión es el movimiento como acto del sujeto .. .y, en consecuencia, la síntesis de lo diverso en el espacio; si hacemos abstracción de éste y presumos atención solamente a la acción por la que determinamos el sentido íntimo conforme a

58 Loe, dt. 59 Loe. cit. 60 Axiomas de la intuición, op. cit., p. 157.

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su forma”61. Así, la representación del tiempo no se obtiene sino, por abstracción del espacio en la síntesis espacial. Pero, ¿cómo hacer abstracción del espacio si no está ya dado anteriormente a la síntesis? La dificultad se manifiesta si se quieren precisar las relacio­ nes entre las diferentes ramas de las matemáticas. La aritmética sería la ciencia del tiempo, la geometría la ciencia del espacio62. Pero, por una parte, el tiempo es una magnitud continua; por otra parte, la simetría está rota por la diferencia de los méto­ dos: la geometría procede sólo deductivamente a partir de axio­ mas, que son definiciones y proposiciones sintéticas a priori-, la aritmética, por el contrario, va de lo particular a lo particular. “Independientemente de que la proposición 7 + 5 " 12 sea sintética, es, sin embargo, solamente particular. En tanto que aquí sólo se toma en cuenta la síntesis de lo homogéneo (de las unidades), la síntesis no puede cumplirse sino de una sola manera, independientemente de que el uso de los números sea, después, universal. Si digo: con tres líneas de las que dos reuni­ das son más grandes que la tercera, se puede dibujar un triángu­ lo, tengo aquí la función simple de la imaginación reproductora que puede trazar líneas más o menos grandes y, por lo mismo, hacer que se encuentren en ángulos arbitrarios”63. En realidad, lo que está en el mismo plano que la geometría, ciencia “de las magnitudes simples (quanta)”, es el álgebra, cien­ cia de la magnitud simple (quantitas), “donde se hace abstrac­ ción completa de la constitución del objeto que debe ser pen­ sado según tal concepto de magnitud. El álgebra elige un modo para designar todas las construcciones de magnitud en gene­ ral (números), como la adición, sustracción, etc., y representa en la intuición, según ciertas reglas generales, todas las opera­ ciones gracias a las que la magnitud se produce o se cambia: alti donde una magnitud debe ser dividida por otra, las pone juntas en el algoritmo de la división y (el álgebra) llega, por me­ 61 Deducción trascendental, op. cit., p. 128. Subrayado nuestro. 62 Por lo menos en la Crítica; sobre las oscilaciones de Kam, Ci* 1.. BrunsClivicg, op. cit, p. 257ss. 63 Axiomas de la intuición, op. c it, p. 158.

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dio de una construcción simbólica, al igual que la geometría por medio de una (construcción) ostensiva (la construcción geomé­ trica de los objetos mismos) a donde el conocimiento discursivo, por medio de conceptos simples, no podría llegar jamás”6'1. Si el álgebra es “conocimiento por construcción de conceptos”, esta construcción se efectúa también en el espacio. En cuanto a la aritmética, si bien en apariencia más particular que el álgebra (sustituibilidad de un número particular por letras), domina a ambas ciencias; hay que recordar que e! número es un esquema puro superior al espacio y al tiempo: “la imagen pura de todas las cantidades (quantorum) para el sentido exterior es el espa­ cio, el de todos los objetos de los sentidos en general, el tiempo. Pero el esquema puro de la cantidad (c. cit. 72 Ibid., p. 156. 73 Heyring (IV), p. 12. 74 Loe. cit. 75 Die Mathematik ist mehr ein Ihn denn eine Lehre. 76 Brouwer (VII), p. 157. 77 Heyting (IV), p. 13. ■78 Brouwer, p. 158.

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un lado la dificultad no ha sido sino desplazada; para entenderse en este lenguaje se requiere una lengua superior o metalenguaje en el que aparecen las mismas incertidumbres. Por otra parte, si el objetivo es la aparición de un cierto resultado en el espíritu, las posibilidades de un malentendido subsisten por completo. En realidad, formalistas y logicistas hacen del discurso un fin en sí mismo. Sin embargo, ningún investigador se equivoca: hay un gran número de formas de expresar la misma verdad, de descri­ bir el mismo procedimiento: es una cierta intuición la que ase­ gura la verdad, es en el éxito en la resolución de problemas del mismo orden que se reconoce haber comprendido una teoría. Solamente “e'l sistema construido en el espíritu del matemático es exacto (en la medida en que ello es posible)”7?. El origen de esta creencia “en un poder mágico” de la len­ gua, o por lo menos de creer que posee un valor propio, debe buscarse “en un error antiguo y ... profundamente enraizado, en la confianza ciega en la lógica clásica”80. “Desde la antigüedad se dispone de una lehgua perfecta para las consideraciones ma­ temáticas sobre grupos finitos de objetos estables”81. La sinta­ xis de esta lengua es la lógica, con sus tres principios: de nocontradicción, de tercero excluido y del silogismo que permiten pasar mecánicamente de una proposición a otra sin preocuparse por su contenido: la experiencia ratifica siempre el resultado por­ que estas operaciones son sólo el correlato lingüístico (la tra­ ducción) de operaciones intuitivas efectuadas sobre un sistema de objetos finitos. Ahora bien, para la experiencia cotidiana, la consideración de un universo discreto y finito es suficiente. De ahí la explicación de un éxito constante de alguna autoridad su­ perior atribuible a principios lógicos; de ahí también las dificul­ tades y las paradojas que su uso provoca para un lenguaje de la matemática infinita. En ésta, una revisión se impone, misma que se sostiene sobre los principios de no-contradicción y del silogismo; el tercero excluido desaparece.*801 7? Heyting, op. cit. 80 Brouwer, op. cit. 81 Loe. cit

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Se pueden dar numerosos ejemplos: de manera general, si llamamos propiedad huidiza a una propiedad “cuya existencia —o cuyo absurdo— se puede verificar para todo número natu­ ral dado mientras que no se posee ningún medio para indicar un número natural que la posea y ni demostrar que es absurda para todos los números naturales (pares o impares)”82 (por ejemplo la propiedad, para un número natural n, de que no se puedan en­ contrar dos números primosx y tales que# +y = 2w)83. LLamaremos número resolvente Ay al menor entero (hipotético) para el que la propiedad es verdadera: sea py el límite de la sucesión convergente: ¿*1 > * * 2 »

en donde

■ • •

flu-* •

~ (-i)

■ •

para i/ Ay Se ve que py no es cero, ni distinto de cero, ni racional, ni irracional, contrariamente al principio del tercero excluido. Si se escribe «y como el límite de la sucesión convergente

con bv

para v < \f

y bv

para v > Ay

“fu y a n t”en el original. (N del T}^ 82 Brouwer (VU), p. l6 t. 83 Los trabajos recientes de Vinogradov (C. R. Acad. Se. URSS, 15 (1937), p. 169 y Recueil mathématique de Moscou, 1937, p. 179) obligan a abandonar el ejemplo. Se le puede reemplazar por el siguiente: la propiedad para un número n de ser el rango, en el desarrollo decimal de ir, del primer decimal seguido por la secuencia 0123456789-

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y si hacemos pasar la recta I por dos puntos de coordenadas (1 p f) y (—l,«y), el eje de las a: y l “no son paralelos si bien su paralelismo no es absurdo, ... no coinciden aunque su coinci­ dencia no es absurda,... no se cortan aunque su intersección no sea absurda”. Menos fuerte que el tercero excluido es el postu­ lado de la alternativa, entre lo absurdo y lo absurdo de lo absurdo; debe, sin embargo, ser rechazado también: ni lo absurdo, ni lo absurdo de lo absurdo de la existencia de Ay pueden afirmarse. Detenemos en dos la superposición de absurdos: lo absurdo de lo absurdo de lo absurdo es equivalente con lo ab­ surdo84. Heyting ha desarrollado de manera formal85 las conse­ cuencias de estas modificaciones para una lógica intuicionista. Representan las “reglas universales según las que se forman teo­ remas nuevos, de manera intuitivamente cerrada y a partir de teoremas conocidos”86. La presencia de este elemento fijo no afecta, sin embargo, el devenir de la construcción matemática: Heyting no ve en su trabajo sino un estudio matemático de la lengua matemática; fuera de ello, las reglas que formula “carecen de sentido”. Se está lejos, pues, de las pretensiones de la antigua lógica que quería regir el pensamiento mismo y proponer exis­ tencias. Para los principios que subsisten, como el principio de no-contradicción, su aplicación es “sólo una apariencia, en reali­ dad se trata de la afirmación de que una construcción matemática que debe satisfacer condiciones dadas no puede tener éxitb”87. Volvemos a encontrar aquí, sin cambio alguno, la distinción kan­ tiana entre “deducciones (Beweise) acroamáticas” como las de la filosofía “que se dejan conducir por palabras (el objeto en el pensamiento) y las demostraciones que, como la expresión ya lo indica, progresan en la intuición del objeto”88. El mundo de 84 Brouwer (IV), p. 253- En efecto si a implica b, lo absurdo de b no implica el de a : ahora bien, la verdad (que reemplaza a la propiedad a) implica lo absurdo de lo absurdo (b): por lo tanto lo absurdo de lo absurdo de lo absurdo, implica lo absurdo. Inversamente como la verdad de a implica lo absurdo de lo absurdo de a, reemplazando a por lo absurdo, lo absurdo implica lo absurdo de lo absurdo de lo absurdo. 85 Heyting (I) y (II). 86 Heyting (TV), p. 14. *7 Ibid., p. 1388 Kant, Metodología, op. cit., p. 498. I

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elementos ideales proyectados por la lógica para satisfacer sus axiomas —en particular el tercero excluido— debe desaparecer de las matemáticas: no hay, tras cada problema, una solución implícitamente adherida a sus términos, de manera que se pueda hablar de los objetos que ella define como si existieran. Un pro­ blema no parece soluble sino en la medida en que se le resuelve: “la posibilidad del conocimiento no se manifiesta sino por el acto mismo de conocer”89. De ahí la necesidad de una transformación radical de las matemáticas clásicas. Para empezar, el continuo tradicional no puede subsistir. Weyl ya había criticado la definición de Dedekind90: si un número real es una cortadura, o en general, una cierta propiedad común a los números racionales de un conjunto; un conjunto de núme­ ros reales estará definido por un carácter A de propiedades de números racionales. La cota superior de este conjunto será el conjunto de los números racionales que poseen la propiedad B de que existe, a su conveniencia, una propiedad cualquiera de carácter A. Pero, o bien la noción de propiedad de núme­ ros racionales tiene ya una extensión determinada, lo que da un sentido a B porque ésta se refiere a la totalidad de propieda­ des de los números racionales (en el seno de los que el carácter hace una partición) y entonces B no puede ser subconjunto: con­ tradicción. O bien, la existencia de una propiedad es su cons­ trucción, con posibilidades siempre abiertas; pero entonces la definición de B supone a B ya construido, sin lo que no tendría sentido: círculo vicioso. Sobre este círculo vicioso, dice Weyl, se fúnda todo el análisis. Dos soluciones: mantenerse en las propie­ dades —números reales— efectivamente construí bles a partir de los números racionales; se tiene entonces un continuo numera­ ble (denso en todas partes en el continuo clásico) análogo al continuo boreliano; o se rechaza también, como ilegítima, la to­ talidad de los números racionales (o de enteros), sin reconocer la existencia de nada que no sea objeto de una construcción po­ sitiva. Esta es la posición de Brouwer y lo notable es que, así, obtiene una especie de continuo no numerable, de medida no »9 Heyring (III), p. 107. 90 weyl (II).

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nula, que le permite salvar los resultados esenciales de la teoría de conjuntos ZJ-medibles. De manera general, un “conjunto puro »-determinado (» fi­ nito) es una ley según la cual si ... uno de los números 1,2,..., n se elige, cada una de estas elecciones engendra una serie deter­ minada de signos. Cada sucesión de series de signos así engen­ drados, por una sucesión ilimitada de elecciones, es un elemento del conjunto”91. Un conjunto, entonces, se encuentra definido por dos leyes: la primera restringe la libertad de elección, la se­ gunda asocia, a cada sucesión finita de elecciones autorizadas, un objeto matemático ya definido. En el caso del continuo (0,1), Brouwer toma el ejemplo de un conjunto de determinación tri­ ple: la primera ley restringe toda elección a tres posibilidades dadas por la elección precedente, la segunda ley asocia a cada elección una fracción diadica. Para la primera elección tomamos: 1,1/3 a\ = - o —ó 1 4 2 4 Para la «-esima: an — an ~ i

2«+i

® an~^ ó a n - 1

+ 2»+ i.

“La introducción de la construcción de conjuntos sobre la que se apoya, por lo tanto, la multiplicidad determinada y supranumerable del continuo, no requiere de ninguna otra noción — tras el llamado a la intuición matemática primitiva de la diada que sirve de fundamento a todo el intuicionismo— e implica también un círulo vicioso ... Pues en la intuición primitiva se encuentra la posibilidad de una inserción entre dos elementos (saber la consideración del vínculo como nuevo elemento) y como consecuencia también la construcción”92 de estas sucesio­ nes arbitrarias de intervalos anidados que permiten definir todo número real93. La libertad en la elección en cada etapa da al número real una movilidad que le permite recorrer totalmente ?! Brouwer (VIH), p. 5. 92 Brouwer (VIH), p. 6. 93 Un intervalo no es, por supuesto, algo geométrico: decir que en la /i-ésima

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el antiguo continuo geométrico. Sin embargo, los caracteres son modificados: carecen de sentido, en general, las cuestiones para las que “basta conocer las leyes o condiciones restrictivas de la elección”?4. Así, el continuo no se puede ordenar (lejos de po­ derse bien ordenar) de ninguna manera: dados dos elementos es, en general, imposible saber si uno es más grande o más pe­ queño que el otro o si son iguales; se necesitaría, como ya lo había notado Borei, poseer “un método para resolver todos los problemas matemáticos”?5. Todo lo que se puede definir es un orden virtual: la relación de orden se establece para un subcon­ junto del continuo cuyos elementos satisfacen ciertas condicio­ nes efectivamente observables en los desarrollos que los defi­ nen. De la misma manera, el continuo es imposible de ser diso­ ciado en sistemas parciales ajenos-, en toda disociación en siste­ mas parciales, uno de ellos es idéntico al continuo. Las propie­ dades clásicas de la densidad en sí?6, de la separabilidad?7, de la conectividad?8, desaparecen: son reemplazadas por propiedades en cuya definición interviene, de manera efectiva, la construcción de elementos. Así, para la densidad en sí se define en el conti­ nuo “virtualmente ordenado” un intervalo cerrado {a,tí) como el sistema de elementos c del continuo para los que ni las re­ laciones c>a, c>bt ni las relaciones c, p. 60. 47 F. Klein (II), p. 311. 48 K Klein (I), p. 140.

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hecha de la imposibilidad, para una observación, de extenderse a una infinidad de objetos, nuestro punto de vista nos impide .... admitir en un segmento una infinidad de puntos, sin cam­ biar el sentido de la palabra punto”4?. Con mucha lucidez, Pasch había ya notado que su posición empirista impedía también una iteración indefinida para la aplicación de ciertos principios fun­ damentales: no se podrá invocar en todo momento el princi­ pio de que entre dos puntos de un segmento siempre hay un tercero; ni que dados dos puntos A y B, se puede encontrar C tal que B esté entre A y C: se requiere que el segmento AB no sea demasiado pequeño en el primer caso, ni demasiado grande en el segundo50. Para culminar a la geometría proyectiva, exten­ derá la noción de punto haciendo corresponder a todo número real, en los cálculos analíticos que acompañan al desarrollo de la red proyectiva, “un punto matemático”51. Támbién se puede, en cada caso particular, “asignar un segmento al interior del cual los puntos ya no son discernibles”52. Pero es a expensas tanto de la precisión como del rigor lógico.- “la traducción dé las figuras a números y la vuelta de los resultados del cálculo a las figu­ ras no puede efectuarse con la misma exactitud”53. ¿En dónde quedó la promesa de no hacer ningún llamado a la intuición en una geometría enteramente deductiva? Una axiomatización con base empírica está condenada al fracaso en cuanto se aborda el laberinto del continuo: aun en el caso privilegiado de las rela­ ciones gráficas, es necesario suponer ya efectuadas una sucesión infinita de operaciones, es decir, calcular de un modo que rebase a la experiencia. 7 . Los

axiomas de Hilbert y el cálculo arguesiano

Así, es justamente inventando una especie de nuevo cálculo — que le permitiera evitar el recurso a los números—, unificando la geometría proyectiva bajo la jurisdicción de una operación Pasch (I), p. 126. W Ibid, p. 18. 51 Ibid, p. 191. 52Ibid., p. 188. 53Ibid, p. 200.

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única, que Hilbert podía llevar adelante la investigación precisa de los axiomas y desprender su verdadero significado. En una conferencia en 1891, a la que asistió Hilbert, H. Wiener había ya mostrado la importancia del teorema de Desargues sobre los triángulos perspectives, y la del teorema de Pascal sobre las pare­ jas de rectas: “bastan para demostrar, sin apelar a las considera­ ciones de continuidad ni a los procesos infinitos, el teorema fun­ damental de la geometría proyectiva y también para desarrollar, en principio, toda la geometría proyectiva del plano”5*. Todos los problemas se reducen, en efecto, a cuestiones de “cerradura”: puntos y rectas no tienen ya una significación intuitiva, son, úni­ camente, “elementos de dos especies, tales que la relación de dos elementos de una especie da un elemento de la otra”; la cerradura: reunión de tres elementos de una misma especie en una sola relación (rectas concurrentes, puntos colineales); la so­ lución será siempre una combinación más o menos complicada de las proposiciones “oclusoras” de Desargues y Pascal55 Los dos problemas que se plantean son: Io determinar los requisitos lógi­ cos de los dos teoremas: relación entre ellos, relación con los modos de definición, ya empleados, de los objetos geométricos (axiomas ya aislados); 2o precisar las razones profundas de su efi5í H. Wiener (I), p. 47. ■ 55 in teorema de Desargues se enuncia: si 2 triángulos ABC y A'B'C' son tales que las rectas que unen 2 a 2 a sus vértices son concurrentes (AA\ Bß’,CC,)>entonces los puntos de intersección de los lados correspondientes son colineales (fig. 2)

B

El caso particular considerado del teorema de Pascal: cuando en un plano los puntos A, Br C están en una recta y A \ B \ C’ están sobre otra recta, los puntos de intersección Ai de AB' y de BA'\ N de AC' y de A'C; y P de BC' y de B'C son colineales. (Fig. 3)

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cada y averiguar hasta dónde se extiende ésta. Más significativa que los Grundlagen es en este sentido la redacción56 del curso de 1898-99 de donde surgió el libro. Los teoremas de Desargues y de Pascal son “puros teoremas de intersección”: deben ser en­ tonces independientes del grupo de desplazamiento de la geo­ metría euclidiana, definido por los axiomas de congruencia57. 56 Curso redactado por H.v. Schaper (Wintersemester 1898-1899), Hilbert (II). 57 Hilbert, desde la primera redacción del curso, distingue 5 grupos de axiomas (cuyo enunciado ha variado entre las distintas reediciones; aquí tomaremos los de la última edición): I) Los de incidencia definen las relaciones entre puntos, rectas y planos: 1. A dos pumos corresponde una recta. 2. No hay más de una recta que corres­ ponda a dos puntos. 3. Sobre una recta hay al menos dos puntos. Hay al menos tres puntos que no están en línea recta, 4. A tres puntos que no están en línea recra corresponde un plano. Un plano contiene al menos un punto. 5. A tres pumos que no están en línea recta no les corresponde más de un plano. 6. Si una recta tiene a dos puntos en un plano todos sus puntos están en ese plano. 7. Cuando dos planos tienen un punto en común tienen al menos otro punto en común. 8. Hay al menos cuatro puntos que no están en un mismo plano. El grupo I 1-3 constituye el grupo de axiomas planos! Los enunciados son una simplificación y una precisión de los de Pasch, con la diferencia importante de que la noción inicia! es la de recta indefinida y no la de segmento (se ha visto que Pasch partía de lo finito). II) Los de orden: 1. Si un punto B está entre dos puntos A y C; A, B, C, están en línea recta y B está entre C y A. 2, A dos puntos A y C corresponde al menos un punto B sobre la recta AC tal que C está entre A y B. 3. Dados tres puntos sobre una recta sólo uno de ellos puede estar entre los otros dos. 4. Si A, B, C, forman un triángulo y si la recta A corta el lado ÆB entre A y B, ella coita uno de los lados AC o BC entre los dos vértices. Los axiomas 1-3 definen el orden lineal, el axioma 4 el orden en el plano. Nue­ vamente los enunciados son casi los mismos-que dio Pasch, el axioma 4 es el mismo. Desde 1894 en la carta a Klein, Über die gerade Unie als kürzeste Ver­ bindungzweier Punkte (Hilbert (I)), estos dos grupos de axiomas se introducen al principio con enunciados análogos (junto con el axioma de Arquímedes V). Gracias al orden se pueden orientar las rectas y los planos, definir los ángulos (parejas de dos rectas) con un sentido de rotación. III) Congruencia-. 1. A y B estando sobre una recta, A’ sobre otra recta, se puede determinar sobre ésta (y del mismo lado de A’ que B está con respecto a A) B’ tal que AB = A'B' (Atí y ATT se dice que son congruentes). 2. Si dos segmentos son congruentes a un tercero, son congruentes entre sí. 3. Si A# y BC son dos segmentos sin puntos en común y que están sobre la misma recta, y A'B' y B'C’ están en la misma situación sobre otra recta, y si AB ~ A'B’ y BC - B'C', en­ tonces AC —A’C’ (adición). 4. Para todo ángulo (a,b), se puede construir sobre, una recta a', y del mismo lado de a' que (a,b) está con respecto a a, un ángulo (a’,b‘) que le es congruente. 5. Si en dos triángulos ABC y A'B'C' los lados AB y A'B', AC y A'C', y los ángulos BAC y B'A'C' son respectivamente congruentes, se

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Pero no se evitan los números —o la congruencia— por cons­ trucciones sino a condición de añadir una dimensión más: Wie­ ner observa que al pasar al plano no se requiere ya ningún cálculo para determinar al 4o armónico de tres puntos sobre una recta. Igualmente, el teorema de Desargues no se demuestra en el pla­ no salvo a condición de suponerlo verdadero en el espacio y de utilizar el espacio. De ahí la intervención necesaria de una crítica axiomática que “purifique los métodos”. Conocemos el resultado: es imposible demostrar el teorema de Desargues prescindiendo a la vez de los axiomas del espacio y de los de congruencia. Se requiere, si se permanece en el plano, además de I 1-3, II, y el último axioma de congruencia III 5; in­ versamente se puede definir un modelo geométrico que satisfaga los axiomas planos, todos salvo para la congruencia, el axioma 5 y en donde no se satisface el teorema de Desargues. Un vínculo aparece así entre el teorema y la posible inserción de una geo­ metría de dos dimensiones en una geometría de tres dimensio­ nes. Para precisarlo, así como para establecer la relación con el teorema de Pascal, Hilbert introduce un “cálculo de segmentos” original: mediante simples trazos de rectas se definen la sumay el producto de dos segmentos; el teorema de Desargues simpli­ ficado58, por medio del axioma de las par;.idas (aun si la simriene igualmente ABC - A'B'C'. Aquí de nuevo los enunciados de Pasch sirvieron de guia; sin embargo Pasch no tenía la noción de plano (y de ángulo) orientado, él reemplaza los axiomas 45 por los enunciados de la forma: dos figuras planas siendo congruentes, si se añade un punto a una, se le puede añadir un punto a la otra de modo que la congruencia se conserve. Pasch (Ï), p. 93-99. IV) Parale las-. De un punto no se puede trazar más que una paralela a una recta. V) (Aj-químedes) : Dados dos segmentos AS y CD, se pueden, sobre la recta AB, yuxtaponer los s e g m e n t o s .. .An_ jAtt, todos ellos congruentes a CD de modo que B esté entre Arl—j y An. Axioma enunciado por primera vez por O. Stolz (I), retomado textualmente por Pasch (I) como cuarto axioma de con­ gruencia, y por Hilbert (II) como axioma de continuidad. 58 Se enuncia entonces: Si dos triángulos en un plano tienen sus lados homólo­ gos paralelos, las rectas que unen los vértices son concurrentes o paralelas y recíprocamente, (fig 4.)

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plifìcación es exterior al principio de razonamiento)59, garantiza entonces la conmutatividad y la asociatividad de la adición, la do­ ble distributividad de la multiplicación respecto de la adición60; los únicos axiomas supuestos61 (además de Desargues) son I 13, Il y IV Se puede entonces construir un modelo geométrico de tres dimensiones, los puntos siendo definidos como ternas de

Lo mismo para el teorema de Pascal: en los dos sistemas ABC, A 'B’C\ si CB' y CA’ son paralelas respectivamente a BC' y AC\ BA' es también paralela a A B \fig. 5.) 59 Hilbert (IV), p. 88n: “aun sin axioma de las paralelas se puede introducir un nuevo cálculo de segmentos”, 69 El cálculo arguesiano se define así: se toman como ejes dos rectas cualesquiera que se intersectan —a partir de la intersección Ö se toman los segmentos. 1. Adición: dados los segmentos a,b tomados sobre el mismo eje OA se elige un punto cualquiera A’ sobre el otro eje, se traza de A’ una paralela al eje OA, sea A” su intersección con la recta paralela a OA' trazada desde B, de A" se traza una paralela a AA’, que intersecta ÖA en C. OC es, por definición, la suma de los segmentos OA y OB. El teorema de Desargues muestra que el punto C es inde­ pendiente de la elección de A’ (fig. 6)

FiG. 6. 2. Producto. Se toma sobre cada eje un segmento unidad QE, OE’; desde A (ex­ tremidad del segmento a) se traza la paralela AA’ a EE'. Se une EA' y se traza

desde B)a para\e\aBC aíX-.OC 61 Para poder prescindir de los axiomas de congruencia se debe tomar un axioma de las paralelas más fuerte, IV*: hay, en el plano determinado por una recta y un pumo, una recta y una sola que pasa por el punto y no corta a la recta.

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segmentos, los planos como tëtradas (en donde el último no es nulo) salvo por un factor común; el cálculo tiene todas las apa­ riencias de la geometría analítica, pero no se trata más que de operaciones gráficas62. Se constata que el modelo satisface todos los axiomas, in­ cluyendo los axiomas del espacio. El teorema de Desargues es entonces la condición necesaria y suficiente para la inserción de la geometría plana en la geometría de tres dimensiones. Pero el cálculo arguesiano no satisface ni el axioma de Arquímedes, ni la ley de conmutatividad para la multiplicación; dos exigencias cuya equivalencia Hilbert muestra. Ást, el teorema de Pascal, que se puede demostrar sin el axioma de Arquímedes con ayuda de los axiomas de congruencia, no se puede obtener si estos dos grupos de axiomas se excluyen simultáneamente. El cálculo arguesiano da la razón63: en su definición de la multipli­ cación, la exigencia de la conmutatividad coincide con el enun­ ciado mismo del teorema de Pascal. Inversamente, el teorema de Desargues es demostrable a partir del teorema de Pascal, sin intervención de los axiomas de congruencia ni del axioma de Arquímedes (sólo con I 1-3, Il y IV*) : se reduce a la sucesión de un número finito de configuraciones pascalianas. Se llega así al 62 Si un plano está representado por (u,L>,w,r), u,v,wtr siendo cuatro segmentos definidos salvo por un factor de proporcionalidad; una recta será una pareja de planos y (u',v\w \r') (si las dos cuartetas no se reducen a una por la multiplicación de un factor común) la incidencia de un punto (x y , z ) sobre un plano se expresa por la ecuación; ux + tyt + wz + r = 0 la incidencia sobre una recta, además, por la ecuación u'x + v'y + w ’z + r' = 0 . Los axiomas de orden se satisfacen: dados tres puntos (xyz)> (x ’y ’z ’), (v’y ’z ”) sobre una recta, se dirá que {x'y'z') está entre los otros dos si se tiene al menos una de las seis siguientes desigualdades:

y>y’>y" x K x 'K x "

y < y '< y ”

63 Se ve, en efecto, según la figura adjunta,

z > z ’> z ” z < z ’< z ”

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importante resultado que representa la culminación de los Grun­ dlagen, y precisa la afirmación de Wiener: “todo teorema de in­ tersección, válido en una geometría plana en la que se satisfa­ cen los axiomas I 1-3, Il y IV* y el teorema de Pascal, se pre­ senta, después de la construcción de puntos y de rectas auxilia­ res, como la combinación de un número finito de configuracio­ nes pascalianas”. Analíticamente, la intersección se expresa por una relación idéntica entre los parameños que definen a los ele­ mentos arbitrarios iniciales: así, las operaciones de cálculo en las que se descompone la relación, son todas ellas definibles me­ diante un numeró finito de configuraciones pascalianas. Doble consecuencia: 1. En la investigación, el papel de los diferentes axiomas se precisa tras las operaciones que ellos condicionan. La posibili­ dad de intercambiar entre sí los axiomas de incidencia en el es­ pacio y los axiomas de congruencia es significativa: se trata de obtener las “cerraduras”. El axioma III5 resulta ser precisamente un axioma “oclusor”. Igualmente para el axioma de Arquímedes que no supone la congruencia (contrariamente a lo que pensaba Pasdfek la traslación de segmentos es reemplazada por la adición (construcción grafica) del segmento a sí mismo (fig, 9). Lo que importa entonces no es el enunciado descriptivo en un axioma, sino la eficacia que posee relativamente a un cierto resultado. De allí la reunión de los axiomas en 5 títulos que corresponden a los 5 resultados principales previstos:

X F i g . 8. que dados sobre el eje 0,Y los puntos E, A, B (representando respectivamente a los segmentos 1, a%b) sobre OY los puntos A'B'C (representando respectiva­ mente a,b y ah'), el teorema de Pascal afirma el paralelismo úeEB' y de C’A: por construcción OC' representa también al producto ba.

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relación, orden de los punios sobre una recta o sobre un plañó, relación de igualdad éntrelas figuras, paralelismo, continuidad. Los dos últimos grupos procuran una especie de toma de po­ sición sobre ía infinidad del espacio; es decir, son a la vez su afirmación y el medio para dominarla mediante operaciones fi­ nitas: dado un punto sobre una recta, se podrá siempre a partir de otro punto de la recta, alcanzarlo por yuxtaposición de un número finito de segmentos iguales; dadas dos rectas indefini­ damente prolongables en un plano, su intersección está siempre fijada por su conocimiento a distancia finita (lo que no sucede en una geometría no euclidiana si se quiere conservar el axioma de incidencia: dos,rectas distintas sólo tienen un punto en común). El orden entre los grupos es, por cierto, esencial: así, en el or­ den de los Grundlagen, la congruencia es anterior a la noción de transformación continua61, que podría fundarla (para justifi­ car los axiomas de congruencia —si bien es cierto que sólo desde el punto de vista de la filosofía empirista—, Pasch hace intervenir la imagen sensible del movimiento); el único resultado previsto es “el-teorema más general de congruencia”: dadas dos figuras (definidas por los axiomas de incidencia y de orden) entre las qué se supone ya la relación de congruencia, si se extiende una de ellas (por adjunción de puntos), siempre es posible extender á la otra (de manera unívoca si la figura no está situada sobre una recta) conservando la congruencia. Se trata de una relación que debe ser mantenida entre dos sistemas de objetos a través de todos los incrementos que se les puede dar con los medios' de construcción de los que se dispone.64 64 Hilbert (If), p. 60.

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Pero si el orden se invierte, si en particular la “continuidad pasa a primer rango”, el desplazamiento se convierte en la no­ ción fundamental. Con esta noción de desplazamiento, dotada de las tres propiedades que le atribuyen tres axiomas, será po­ sible reconstruir, a partir del plano numérico, toda la geometría euclidiana plana: este es el objetivo de la memoria de 1902, do­ minada por los métodos de Lie y de Cantor, en donde se deter­ mina el único procedimiento de construcción65. A los elemen­ tos del plano numérico les corresponden los puntos del plano geométrico, a los dominios de Jordan (numéricos), las vecin­ dades de estos puntos, que permiten definir la continuidad: y, después de la demostración de las propiedades esenciales del círculo geométrico (curva de Jordan), la congruencia de los seg­ mentos se define por los desplazamientos, que permiten también tomar la mitad de un segmento: la recta será el sistema de pun­ tos engendrados a partir de dos puntos por la toma de la mitad de un segmento, semirotación y paso al límite. 2. Extensión del campo de aplicación del método. Todo cál­ culo será susceptible de ser axiomatizadp, puesto que no se trata ya de la descripción de objetos dados previamente. Se ha visto que Grassmann y Peano habían comenzado ya por la aritmética, gracias a una desviación de la formalización. El mérito de los Grundlagen es el de haber mostrado con toda claridad, mediante la fuerza de los razonamientos, —y a propósito del sistema arguesiano y de su relación con el axioma de Arquímedes— que el tratamiento en las dos ciencias debía ser exactamente el mismo puesto que se trataba de los mismos procedimientos de pensa­ miento. De ahí la consideración de que sólo el método axiomá­ tico puede fundamentar y extender el trabajo matemático, pues­ to que expresa su esencia, sólo había un paso. Este fue dado en 1899.

65 Hilbert (VI), p. 178-230. Los tres axiomas son: 1. Los desplazamientos forman un grupo. 2. Siendo A y B dos puntos distintos, se puede, por desplazamientos, y dejando fijo a B (rotación), llevar a A a una infinidad de posiciones distintas. 3. Los desplazamientos forman un sistema cerrado. Los desplazamientos son una puesta en correspondencia biunivoca y continua del plano consigo mismo.

C a p ítu lo II

El M étodo Axiom ático 1. El papel del método en matemáticas En 1899, Hilbert oponía el método axiomático en geometría al método genético en teoría de números: “partiendo del con­ cepto de número 1, nos representamos, ante todo, el engendra­ miento de los enteros sucesivos y de las reglas de cálculo gracias al acto de contar; luego, por la exigencia de que la sustracción siempre pueda realizarse, el número negativo; el número fraccional, definido como una pareja de enteros (y entonces toda función lineal se anula); en fin, el número real como cortadura o sucesión fundamental por medio de la que se obtiene que toda función ... continua indefinida se anula”1. Así se procedía en la escuela de Weierstrass, así Kronecker reconstituía todo el análisis a partir del número entero, “única creación de Dios”. La pregunta que se plantea es saber “si el método genético es el único apropiado para el estudio del concepto de número, y el método axiomático lo es para el fundamento de la geometría ... He aquí mi opinión: a pesar del alto valor pedagógico y heurístico del método genético, el método axiomático es preferible para una representación definitiva y una consolidación lógica com­ pleta del contenido de nuestro conocimiento”. En efecto, en el caso de la teoría de números reales, ésta evita las dificultades de 1 Hilbert (V), p. 241.

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“la existencia del sistema de todos los números reales y, en ge­ neral, de conjuntos infinitos” que el método genético obligaba a construir. “Por conjunto de los números reales, no tenemos que pensar en la reunión de todas las leyes posibles según las cuales los elementos de una sucesión fundamental pueden sucederse, sino solamente un sistema de cosas cuyas relaciones mutuas están dadas de manera completa por el sistema finito de axiomas precedentes y sobre los que nuevos enunciados son váli­ dos sólo si se les puede deducir mediante un número finito de pasos lógicos”23.Es solamente por un prejuicio realista que nos preocupamos de los objetos cuando lo único que importa, en la sucesión de nuestras afirmaciones, lo que rige esta sucesión es, a saber, el trabajo intelectual efectivo. La observación vale para toda disciplina, para “los dominios especiales puramente ma­ temáticos como la teoría de superficies, la teoría de ecuaciones de Galois, la teoría de números primos, así como para muchos dominios científicos ajenos al matemático, como ciertas partes de la psicofisica o de la teoría del dinero”^. En efecto, ¿qué es una teoría si no “el establecimiento de cierta armazón de conceptos” que permiten poner en orden los hechos? Ahora bien, para la construcción del armazón, “ciertos teoremas fundamentales bas­ tan”, a partir de los que todo el resto se deduce lógicamente. Así, “en mecánica, las ecuaciones de Lagrange ..., en teoría de radiación, la ley de Kirchoíf sobre la relación entre la emisión y la absorción ..., en teoría de números primos, el teorema so­ bre la realidad y la frecuencia de los ceros de la función de Riemann Ç(s) ”. El método axiomático permite no sólo fundar las matemá­ ticas, sino justificar su aplicación universal en las ciencias de la naturaleza. Gracias a ellas alcanzamos, en efecto, “la esen­ cia del pensamiento científico”. “Todo lo que puede ser, en ge­ neral, objeto del pensamiento científico, cae bajo el dominio del método axiomático y, por ahí, mediatamente pertenece a las ma­ temáticas”4. Ibid., p. 246. 3 Hílbert (Vffl), p. 147. 4Ibid., p. 156. 2

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La identificación que aparece, incluso en la última fórmula, se justifica por los éxitos obtenidos por el método axiomático en el curso de los últimos años. Manifestando la unidad orgánica de una teoría, no según los objetos —construidos— de los que se ocupa, sino por la unidad operatoria de un cierto procedimiento intelectual, el método axiomático provoca a la vez el reagrupamiento de disciplinas y la redistribución de la economía interior de una disciplina. Es el impulso de la teoría de campos en el álge­ bra, tras los trabajos de Dedekind y de Steinitz. Es, en análisis, la liberación de lo que C. Chevalley llama “el estilo de las e”5 que torna inútilmente pesados los escritos de la escuela de Weierstrass: bastará precisar de una vez por todas en qué condiciones (es decir, para qué relaciones) tiene sentido un paso al límite. Así se constituye uno de los más bellos productos del método axiomático, la teoría de los espacios abstractos6 —o topología general— cuyos elementos son objetos matemáticos arbitrarios (números, funciones, etc.) entre los que relaciones muy genera­ les de vecindad (es decir, las que permiten definir una conver­ gencia entre los elementos) son introducidas de manera arbitra­ ria: el hecho de que se puedan definir las funciones de estos ele­ mentos (o funcionales cuando tienen por valor un número real), diferenciarlas7 e integrarlas8 en estos espacios, aún provistos de las propiedades más pobres, permitió grandes simplificaciones, en particular en teoría de la integración cuyo primer tratamiento axiomático ha sido inaugurado por los trabajos de Lebesgue. Acercamientos inesperados se producen —evitando transpo­ siciones fastidiosas—-, como entre la teoría de la medida de Le­ besgue y el cálculo de probabilidades. En fin, se eliminan esas reconstrucciones fastidiosas por medio de las que una teoría es constreñida a seguir el método de otra que complica y enmascara sus propios encadenamientos: como la representación de pun-

5 C. Chevalley (I). 6 Fundada por M. Fréchet. Cf. M. Fréchet (I). 7 Esto es lo que ha hecho Nykodym. 8 La integración más general, definida como producto de dos espacios ha sido introducida simultáneamente por H. Hahn y R. de Possel.

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tos de un plano eudidiano o de números complejos por parejas de números reales. Pero, por fecundo que sea el método axiomático, por estre­ cho que sea su vínculo con la matemática verdadera, ¿puede fun­ damentarla? Puestos como características de un procedimiento operativo, los axiomas de un sistema no hacen sino describirlo. Sin embargo, dice Hilbert, una vez formulado, basta una deduc­ ción lógica para deducir todos los resultados de la teoría: pa­ rece un retorno al antiguo logicismo. La diferencia sería, sola­ mente, que en lugar de un axioma hay varios. La analogía puede continuarse: para los logicistas, el valor apodíctico del axioma viene de su virtual reductibilidad al principio de identidad: “por lo tanto, todas las demostraciones desembocan en este princi­ pio (de identidad) que hemos propuesto; es, por su naturaleza, el origen de todos los demás axiomas”?. Sabemos que Leibniz, siguiendo la lógica de Port-Royal que a ello tendía también*10, de­ finía al axioma como “una propiedad evidente tan pronto como se entienden los términos”11, y no lo consideraba como estable­ cido sino cuando la definición de los términos producía una pro­ posición idéntica12. Para Hilbert, la autoridad de un sistema de axiomas, relativa a la teoría de la que constituye el inevitable pre­ facio, se funda sobre tres características: no contradicción, in­ dependencia de los axiomas entre sí y saturación. Solamente el modo de su establecimiento puede darles sentido; se ve de todos modos que la primera característica otorga materia (étoffe) lógica a las otras dos: un axioma es independiente de los otros si el sis­ tema formado por éstos y su negación es no contradictorio; un sistema es saturado si la adjunción de todo nuevo axioma, inde­ ? Aristóteles, Metafisica, T 1005 b 3310 "Cuando, para ver claramente y de manera distinta que un atributo conviene a un sujeto, no se necesita sino considerar, las ideas de sujeto y de atributo con una atención mediocre, de manera tal que se pueda hacer 0a conexión) sin percibir que la idea del atributo está verdaderamente encerrada en la idea del sujeto; se tiene el derecho, entonces, de tomar esta proposición como axioma que no requiere demostración puesto que posee, por sí mismo, toda la evidencia que pudiera proveerle la demostración”. Lógica, IX 6, p. 483. 11 Nuevos Ensayos. 12 Por ejemplo, para el axioma: "el todo es más grande que las partes”, Specimen Geometriae luciferae. Math. Sehr. VII, p. 274.

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pendiente de los precedentes, hace que el sistema sea contradic­ torio. Así, la no contradicción desempeña, para la axiomática mo­ derna, el papel que desempeñaba la identidad para la axiomática tradicional. Existir, para un objeto matemático, decía Poincaré, es ser no contradictorio.

2. Las tres propiedades características de un sistema de axiomas a. La no-contradicción ¿Cómo probar estas propiedades? La no contradicción, dice Hilbert, es la “imposibilidad de deducir lógicamente de los axio­ mas un hecho que los contradiga”, que sea la negación parcial o total de uno de ellos. Para la geometría se tiene el recurso de un modelo: se asocia a cada objeto — indeterminado— de la teoría un objeto de otra teoría. A cada relación fundamental de la pri­ mera (estar en, estar entre) una relación de la segunda. Las exi­ gencias de los axiomas devienen consecuencias en el seno de la teoría testigo: si una contradicción puede surgir, se le alcanzará. En los Grundlagen Hilbert usa el sistema de números algebraicos obtenidos a partir del 1 por medio de las cuatro operaciones y de la operación \V 1 + n2|, siendo n un número ya obtenido. Un punto estará representado por una pareja de números, una recta por las razones de tres números (uw\w). La geometría analítica ordinaria traduce las relaciones fundamentales y muestra que los axiomas se satisfacen. La congruencia se define por medio de los grupos de traslaciones y de rotaciones en el plano (de ahí la ope­ ración jx/1 H- n21). La no contradicción —supuesta— del álgebra se delega a la geometría. ß. Los estudios sobre la independencia; las dos nociones de independencia Uis demostraciones de independencia piden prestado su mo­ delo, ya sea directamente a la aritmética, o a una porción o com-

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plìcación de la teoría entera. En el segundo caso, el principio es: si la teoría define N relaciones entre sus objetos, su agolpa­ miento dos a dos permitirá definir 2N relaciones entre las que —una vez hechas las eliminaciones requeridas por las exigen­ cias de los axiomas— siempre será posible escoger las variacio­ nes que satisfacen la negación del axioma en cuestión. Así, para el axioma de las paralelas, el modelo de Cayley; para el axioma de Arquímedes —más simplemente— el modelo de Veronese de una geometría reducida a los puntos situados en paralelas equi­ distantes y en donde un segmento puede incluir a dos o más paralelas: se ve que AB>nCD, por grande que sea n (ver fig. 10). Para el último axioma de congruencia (111,5), es, en el plano, una geometría en donde la longitud de los segmentos se evalúa por la longitud de su proyección en un plano que forma un ángulo agudo con el plano considerado; la congruencia de los ángulos se define de manera usual (fig 11: AC = AB, DAC = DAß por hipótesis, se ve que ADC ADB) .

Fio. 10.

I

B

(T

D

Ä

FIG. 11.

La independencia de los axiomas es importante, no sola­ mente para la elegancia de la presentación sino para la eficien­ cia de la teoría. Su estudio permite descubrir relaciones lógicas profundamente ocultas: es el caso de la equivalencia, para la de-

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mostración de un teorema (el de Desargues), de la adjunción a un sistema dado (axiomas I 1-3, II, IV) de dos nuevos grupos (I 4-5, y III) que son, sin embargo, independientes entre sí e inde­ pendientes del sistema. De ahí las investigaciones de O. Veblen13 y Huntington14 sobre la “independencia afín”, el medio de ob­ tener para la geometría enunciados que conllevan —visibles o no— el mínimo posible de partes comunes. Se debe distinguir, por otra parte, entre independencia de sentido e independencia de afirmación: un axioma siempre puede ser puesto en forma de proposición hipotética, la dependencia de sentido tiene que ver con la hipótesis, la dependencia de afirmación con la conclusión. La segunda sólo se evita en general; la primera, por el contrario, marca el orden necesario de los axiomas (y de sus grupos: los axiomas de congruencia y de continuidad carecen de sentido si los axiomas de incidencia o de orden no se satisfacen). Veblen estudia sistemáticamente la independencia de diez axiomas de un sistema que sustituye a los doce axiomas de inci­ dencia y de congruencia de Hilbert (las únicas nociones primiti­ vas son las de punto y orden: una recta es el conjunto de puntos X que poseen, en relación a dos puntos^ y/i, una de las relacio­ nes de orden AXB, ABX o XAB; un plano el conjunto de puntos “en línea recta” con dos puntos situados sobre los lados de un triángulo; un triángulo se define por tres puntos no colineales, el inconveniente es, como se ve, el recurso constante a la noción de conjunto). Para sus ocho axiomas de orden, establece una matriz de modelos, triadas o pernadas de números ordenados de ma­ nera natural y en donde las permutaciones cíclicas (completas, es decir, de la sucesión 0,1,... ,9 ó pardales 1,2,3, por ejemplo) permiten introducir un gran número de variaciones. Cada mo­ delo satisface todos los axiomas salvo uno, la mayor parte de las satisfacciones se obtienen por anulación (la hipótesis del axioma no se satisface). Veblen nota un hecho curioso: cada uno de los ocho modelos no implica sino un número finito de elementos mientras que la satisfacción simultánea de los ocho axiomas re­ clama una infinidad. En realidad, sólo el axioma ocho implica !3 O. Veblen (I). 14 Huntington (X).

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esta exigencia (axioma de Pasch, axioma IT, 4 de Hilbert) pero su hipótesis depende de los siete axiomas precedentes: de los ocho modelos examinados, uno no lo satisface y siete lo satisfacen por anulación. 7.

Saturación; categoricidad; axioma de saturación

La noción de dependencia de sentido permite introducir ló­ gicamente la de saturación para un sistema: entre todas las posi­ bilidades de una (o varias) relaciones de dos o tres términos (por ejemplo, el orden), el papel de cada axioma posterior (desde el punto de vista del sentido) es el de introducir una limitación. Se encuentra, así, relativamente determinado. Es concebible que en un cierto momento la zona de variabilidad desaparezca, que haya saturación. Precisar es difícil: se podrá decir indirectamente que la teoría está saturada si toda proposición formulable en sus no­ ciones fundamentales es, o demostrable o refutable (su negación es demostrable) en la teoría (definición fuerte); o si es imposible que la proposición y su negación sean simultáneamente compa­ tibles con los axiomas (definición débil, equivalente a la que se dio antes). Una y otra carecen de sentido exacto en los sistemas no formalizados (en los que las nociones de demostrabilidad y de incompatibilidad no pueden ser circunscritas). Recurrir a un modelo tiene el efecto de transformar la pro­ piedad. Se considerará que todos los modelos que satisfacen los axiomas son isomorfo*, es decir, que se puede establecer entre sus elementos una correspondencia biunivoca que deje invarian­ tes las propiedades definidas por los axiomas. Esto es lo que Veblen llama categoricidad, en oposición a los sistemas disyunti­ vos “a los que todavía se puede añadir un axioma independien­ te”, Se ve que aquí es imposible: sólo tendríamos que someter uno de los modelos al nuevo axioma y el otro a su negación y ya no habrá isomorfismo. La categoricidad implica entonces la satu­ ración (definición débil) pues ésta coincide con la imposibilidad de bifurcación (Nichtgabelbarkeit) . Pero el recíproco se pone en duda: las dos nociones tienen contenidos bien distintos. Históri­ camente, la saturación apareció primero: Hilbert habla de ella en su artículo Sobre el concepto de número (1899) y le da el sentido

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de que “el sistema de axiomas basta para la demostración de to­ das las proposiciones geométricas”15. No indica, sin embargo, ni ahí, ni en las ediciones sucesivas de los Grundlagen, de qué ma­ nera se podría efectuar la demostración, mientras que se ocupa extensamente de la independencia y de la no contradicción. Por el contrario, Veblen es conducido a la cacegoriddad por medio de la noción de definición exhaustiva —a la que Huntington re­ duce la axiomática de los números reales— y da un medio para demostrarla en su sistema. La laguna en el edificio hilbertiano se explica por Ja inter­ vención de un axioma especial de saturación que no dejó de ocasionar algunos conflictos. En la primera edición de los Grund­ lagen no había sino un axioma de continuidad, el axioma de Arquímedes. En su memoria Sobre el concepto de número — en donde los axiomas destinados a fundamentar la teoría de los números reales están casi calcados de los de la geometría— apa­ rece un segundo axioma de continuidad: “no es posible adjun­ tar otro sistema de objetos al sistema de los números, de ma­ nera tal que, en el conjunto total, se mantengan las relaciones primitivas entre los números y se satisfagan los axiomas I (re­ lación), II (cálculo), III (orden), IV (Arquímedes); en una pa­ labra: los números forman un sistema de objetos que, conser­ vando todas las relaciones y axiomas, no es extensible”16 El con­ junto.de los números racionales —y todo sistema análogo (es decir denso y numerable)— satisface los axiomas pero siempre se puede ver añadido de elementos nuevos. Si se cancela esta posibilidad se excluye el modelo racional y se caracteriza el de los números reales en donde toda extensión es imposible, pues toda sucesión convergente está determinada de manera unívoca. En la segunda edición de los Grundlagen el axioma se traduce a términos geométricos “no es posible añadir a los puntos, rec­ tas, planos, otros objetos ... Se puede simplificar, incluso, ha­ blando solamente de puntos y sin citar a los axiomas lineales:

15 Hilbert (V). ^ Ibid., p. 183.

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el resto del axioma se transforma en teorema17. Aquí la categoricidad se alcanza si se supone dado el conjunto de los núme­ ros reales: el axioma de Arquímedes asegura que a todo punto corresponde un número real, el axioma de saturación procura el recíproco. Desde entonces, gracias a la geometría analítica, habrá isomorfismo entre todos los modelos que satisfacen los axiomas (la combinación la provee el análisis). Pero esta coinci­ dencia no es sino accidental. R. Baldus18muestra que, lejos de ser la “piedra angular” (Schlussstein) de todo el edificio, el axioma de saturación podría del mismo modo concluir la geometría in­ dependiente del axioma de paralelas o geometría absoluta (Bol­ yai). En efecto, no se relaciona, en su enunciado, al axioma de las paralelas y se tiene un medio, en esta geometría, de coordi­ nar, de manera biunivoca, los puntos a las ternas de números reales. El axioma se satisface: es imposible añadir otros elemen­ tos. Sin embargo ahora tenemos dos modelos no isomorfos: la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica. Se pueden citar otros ejemplos: E. Noether ha dado el de los campos algebrai­ camente cerrados absolutos de Steinitz: éstos son inextensibles, pero sin su “característica” son susceptibles de una infinidad de interpretaciones no isomorfos. De manera más simple, sea la re­ lación de buen orden recíproca definida en c

>r a FlG. 12. dos axiomas: Io Si a sigue de b, b no sigue de a\ 2o Todo ele­ mento es sucesor de un único elemento y tiene un único sucesor. Tres, cuatro,..., etc., puntos sobre un círculo orientado (fig. 12) 17 Realizado por Hilbert en las ediciones posteriores de los Grundlagen aten­ diendo a un comentario de Bemays. 18 R. Baldus (I).

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son modelos inextensibles y no isomorfos19. La inextensibilidad es, por lo tanto, condición necesaria mas no suficiente de la categoricidad. La fórmula misma del axioma ha sido objeto de dos críticas: en lugar de relacionarse directamente con los elementos y las nociones fundamentales, “habla” de los otros axiomas, es así un axioma de segundo grado. De allí una complicación para las de­ mostraciones de independencia: ¿es necesario, pregunta R. Baldus20, bajo la hipótesis de que uno de los axiomas (digamos B) es falso cambiar el enunciado (y decir, por ejemplo, que el dominio que Satisfacevi, no-B, C, etc. es inextensible)?, ¿hay que interpre­ tar la frase de Hilbert: “si el axioma de Arquímedes no se veri­ ficara, el axioma de saturación sería contradictorio” como una afirmación de dependencia del primero respecto del segundo? La pregunta no parece resolverse simplemente por medio de la distinción éntre dependencia de sentido y dependencia de afir­ mación. Si la fórmula del axioma de saturación conlleva una re­ ferencia expresa al axioma de Arquímedes, en caso de que éste no se verifique, se satisface evidentemente por anulación. Pero si su enunciado es: el conjunto de objetos sólo que satisface a los axiomas del sistema (no precisado) no es extensible, se ve que es contradictorio si se retira el axioma de Arquímedes y que subsiste, en cambio, si se quita el de paralelas. Por otra parte, la relación que introduce entre los objetos sólo es propuesta negativamente: es necesario tener ya la noción de conjunto de números reales para comprenderla. De ahí su sustitución, pre­ conizada por Veblen, por el axioma de Cantor que le es equiva­ lente: en toda sucesión infinita de segmentos anidados, hay al menos un punto común a todos los segmentos. Pero es precisa­ mente este recurrir a la noción de una sucesión infinita arbitraria lo que quería evitar Hilbert en su axiomatización de los números reales: “los escrúpulos que se han formulado a propósito del sis­ tema de todos los números reales y de los conjuntos infinitos en general pierden (con este método) ... toda justificación”21. Otra 19 Estos ejemplos son de Baldus, op. cit., p. 328-329 n. 20 Baldus, o/>. cit. p. 33121 Hilbert (V), p. 242.

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solución consiste en referirse al conjunto de todos los sistemas de objetos que podrían satisfacer los axiomas: entre ellos, afirma el axioma de saturación, hay uno solo que es máximo. El infinito no se evita mas que en las palabras, las dos nociones de conjunto y de aplicación (para el máximo) intervienen.

3. Insuficiencia de una axiomatización para fundamentar las matemáticas ¿Pero es posible evitar (el infinito N de T) en la definición misma de una axiomática? Esta, en tanto que método para fun­ damentar, se enfrenta a dos obstáculos: Io Considerados como elementos de una definición implí­ cita de uná o varias palabras, los axiomas deben recurrir, para el resto de su enunciado, a nociones previamente introducidas: nociones aritméticas elementales (hay por lo menos dos puntos sobre una recta, hay por lo menos cuatro puntos no coplanares,.. nociones funcionales vagas o nociones de existencia, de objeto, de correspondencia (a dos puntos corresponde una recta, dados dos puntos A y B sobre una recta, existe un tercer punto C tal que B está entre A y C) ; lo mismo que, en álgebra, la noción de conjunto. Por lo tanto, la axiomatización no es sino aislamiento en el seno del sistema conceptual ya constituido; no nos representamos la axiomatización en el vacío. 2o Este aislamiento no es arbitrario: se ha visto que los axio­ mas, en sistemas o en subgrupos, caracterizaban, cada vez, la uni­ dad de un proceso intelectual original. La axiomatización, en ge­ neral, es posterior a la constitución de la teoría, no hace sino despojarla de todo lo adventicio para mostrarla en toda su pu­ reza. En los casos en los que, por el contrario (álgebra o teoría de conjuntos), la elección de los axiomas crea una nueva teoría, éstos no tienen jamás como contenido sino la descripción de una cierta operación —ya definida en una teoría más vasta— y otor­ gada por la vía de restricciones: así, se podrá, en topología, defi­ nir vecindades como conjuntos abiertos arbitrarios, y conjuntos abiertos como conjuntos invariantes en relación a la intersección

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finita y a la unión infinita. Lo mismo para la definición axiomática de la integral de Lebesgue que tiene como meta asegurar la aditividad completa. De cualquier manera, la axioma tizad ó n se refiere de manera doble a algo dado: exteriormente, dato del sistema al que se le piden prestados sus conceptos; interiormente, datos de una unidad operatoria que no hace sino caracterizar. Si la axiomatización fundamenta, debe, o bien justificar una y otra sólo de un golpe, o bien transformarse para ignorarlas. La distinción entre fundamento lógico y actualización psicológica puede hacernos creer en la posibilidad de la primera solución. Hilbert mismo pa­ rece haber sido atrapado aquí: el dato exterior se evitará si se demuestra sucesivamente la no contradicción de teorías adosa­ das unas a otras, el dato interior si se prueba la saturación como garantía de una especie de unidad. Se ha visto la dificultad de la segunda empresa: la categoricidad carece de sentido excepto en una teoría más vasta en la que es posible definir correspondencia entre objetos y transferencia de relaciones. En cuanto a la verda­ dera saturación, no se percibe en la lógica ordinaria ningún me­ dio que la pueda probar y que le dé un sentido efectivo; el que tiene ha sido tomado prestado, en realidad, de la intuición de la unidad del proceso operatorio caracterizado por los axiomas; pero exige más que esta unidad: la geometría absoluta, perfec­ tamente única, no es saturada. Se podría dejar de lado y hacer de cada teoría un sistema hipotético deductivo; reunión arbitra­ ria de proposiciones no contradictorias. Pero el problema de los fundamentos de las matemáticas es justamente que se pueda de­ ducir algo y, por otra parte, que una cerradura aparezca tras un cierto número de adjunciones. Debe haber un sentido común a los axiomas reunidos que permita el razonamiento sin el cual se corre el riesgo de caer —con proposiciones completamente in­ dependientes (es decir, independientes en las dos acepciones)— en la dificultad de la combinatoria leibniziana de nociones sim­ ples: no se deduce, se yuxtapone, en un número, por cierto, pre­ determinado de combinaciones. Es la noción de demostración, enmascarada por la imagen vaga de deducción lógica, lo que debe profundizarse: hemos visto que, en realidad, tanto en Pasch como en Hilbert, el razonamiento consiste en encadenamientos

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operativos guiados por ïa intuición misma de esas operaciones. En tanto que los axiomas no se analicen perfectamente desde el punto de vista de la lógica, es en vano hablar de deducción. Lo mismo para la primera cuestión: la dificultad, aquí, consiste en establecer la no contradicción de la teoría inicial, sobre la que todo reposa, la teoría de los números reales. Hilbert reconoce muy rápido el carácter original del obstáculo: desde 1900, en su discurso en París22, enunciaba como el segundo de los gran­ des problemas a resolver el de la demostración de la no contra­ dicción de la aritmética para la que, a diferencia de lo que tiene lugar en la geometría, “hay que tomar, esta vez, la ruta directa... Estoy además convencido del éxito ... si se adoptan... los méto­ dos conocidos de la teoría de los húmeros irracionales”. Sin em­ bargo, en 1904, se percataba de que “fundamentar la aritmética sobre la lógica”23 no es posible porque “para exponer las le­ yes de la lógica, ciertos conceptos aritméticos, como el de con­ junto y como el de número cardinal, son indispensables”. Queda, como recurso único, el de una “reedificación simultánea de la matemática y la lógica”. Pero, ¿cómo reglamentar los caminos inmediatos del pensamiento si no es separándolos del pensa­ miento reflexivo por medio de una materialización? La noción de demostración no puede precisarse sino por un canon, un ca­ non no es posible sino en un formalismo. El elemento común a la lógica y a las matemáticas, el signo, debe dominar: la axiomatización termina, necesariamente, en formalización.

22 Hilbert (IV), p. 300. 23 Hilbert (VU), p. 230.

C a p ítu lo III

N oción d e sistem a form al El form alism o h ilb ertian o y el análisis 1. La filosofía del signo El formalismo aparece ya en la demostración de no contra­ dicción intentada en 1904: “un objeto de nuestro pensamiento se llama ... una cosa (Gedankending) y es fijado por un signo” con el cual prácticamente se confunde: tales son los objetos I, II, III,..., | (que representa la implicación), etc.; un conjunto es una letra m y la relación elemento-conjunto es el símbolo mn. No se trataba más que de un pasaje involuntario, provocado por las exigencias del problema. Después de 1920, al momento de la verdadera construcción de la teoría de la demostración, se re­ conoce y se justifica, a la vez por la reflexión sobre la esencia del trabajo matemático y por el deseo de salvar sus resultados y sus métodos de las amputaciones exigidas por los intuicionistas. ‘Ta Kant demostró que la matemática dispone de un material asegurado, independientemente de toda lógica y, por lo tanto, no podrá jamás estar fundamentada por la lógica solamente: de ahí el fracaso de Frege y de Dedekind. La condición previa para la aplicación de los razonamientos lógicos, por el contrario, es la presencia de algo dado en la representación, ciertos objetos con-

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cretos extralógicos que intuitivamente se encuentran ahí, como una experiencia inmediata, anterior a todo pensamiento”1. La idea es ciertamente kantiana: la matemática es algo más que la lógica, en tanto que es pensamiento efectivo, y todo pensa­ miento efectivo supone la aplicación del pensamiento abstracto a una intuición. La lógica no es entonces sino la parte común de las diversas actividades científicas; y todas ellas la rebasan de la misma forma. “Tal es la posición filosófica que estimo necesaria ante la matemática como en general, ante todo esfuerzo por pen­ sar, comprender y expresar. Abandonarla sería negar toda activi­ dad intelectual”. Pero no es tanto la esterilidad de la lógica lo que aquí se critica sino, de manera extra kantiana, su inseguridad: “para que la deducción lógica esté asegurada, se debe aplicar so­ bre objetos que se puedan aprehender de inmediato en todas sus facetas, y tales que sus signos distintivos y sus relaciones recípro­ cas, estén dadas intuitivamente con ellos, como algo irreductible y que no requiere ninguna reducción"2. Sin embargo la diferen­ cia es menos grande de lo que parece: si perdida en el vacío, la lógica lleva a contradicciones es porque su empleo es incorrecto; se ha dado un objeto falso. La diferencia con Kant es que no hay un pensamiento lógico puro, la lógica no es sino un constitu­ yente, imposible de aislar, de todo pensamiento que funciona verdaderamente. De ahí que el problema de la conjunción entre pensamiento abstracto e intuición ya no se presente, al menos en el mismo sitio. Si la lógica desaparece como disciplina autónoma, su papel sólo se puede definir negativamente mediante la elimi­ nación del papel de las intuiciones concretas que son garantía de la certeza y de la fecundidad de los razonamientos. Mucho antes de las paradojas, Hilbert había ya insistido en la importan­ cia de los encadenamientos intuitivos eñ el verdadero trabajo matemático. “¿Quién no se apoya en un dibujo de segmentos o de rectángulos anidados para demostrar con todo rigor un teo­ rema complicado acerca de la continuidad de funciones o de la 1 Hilbert (IX), p. 170. Remitimos a la paginación de la primera edición —com­ pleta— de la memoria de los Mathematische Annalen. 2 Ibid. p. 171, pasaje reproducido en Die Grundlagen der Mathematik Hilbert (XII), p. 65.

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existencia de puntos de acumulación? ¿Quién podría prescindir de la figura del triángulo, del círculo con su centroide la cruz de ejes coordenados?”3 ¿Se trata de una ayuda psicológica para la imaginación? La matemática no está fuera de la imaginación: “los signos aritméticos son figuras escritas4, las figuras geométri­ cas son fórmulas dibujadas, y para un matemático sería igual­ mente imposible prescindir de ellas como ignorar los paréntesis para escribir”. Esta homogeneidad reestablecida entre fórmulas y figuras permite considerar como intuitiva a la matemática de los algebristas y, en general, a la de los defensores de una abstracción completa que no podría existir. En realidad la teoría está apenas esbozada; sin embargo, desde 1900, las nociones correlativas de signo y de axiomática muestran que no se trata de descripcio­ nes empíricas. La esencia misma de las matemáticas es la de ser un juego regulado de símbolos, éstos no son una ayuda para la memoria, sino que definen una suerte de espacio abstracto con tantas dimensiones como grados de libertad hay en la operación, concreta e imprevisible, de la combinación. Es ésta la que debe determinar, no de hecho sino por derecho, “una región irreduc­ tible de razonamientos intuitivos” sin la cual la matemática no podría ser: “desde el inicio de un problema, en aritmética al igual que en geometría, nos libramos a combinaciones provisio­ nales, rápidas e inconscientes, confiando siempre en un cierto sentimiento aritmético para la zona de acción de los signos”5. Si el pensamiento abstracto implica la necesidad, si el devenir ma­ temático es la aparición de una verdad nueva, se requiere que la creación se sitúe en esa (zona) sensible que representa el espacio combinatorio. Como lo entendía Kant, primero es la fecundidad la que garantiza el recurso a lo intuitivo, pero no como el resul­ tado de la unificación de algo diverso a través del pensamiento abstracto. La doble relación activo-intelectual, pasivo-sensible se quiebra: en la intuición en donde aparece el acto libre. El papel intelectual o lógico se restringe lo más posible: simplemente el acto de fijar los resultados adquiridos o las convenciones adop3 Hilbert (IV), p. 295. 4 Cf. más arriba los textos análogos de Kant. 5 Hilbert, op cit., p. 296.

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tadas, la fidelidad del espíritu a Io que ha hecho. Pero aquí inter­ viene nuevamente lo sensible: en la configuración del signo se inscribe una evocación a sus reglas de empleo, un razonamiento escrito no puede engañar, pues en su esquema aparecerían las fi­ guras excluidas. Este es el doble papel del signo, mezcla también de intelectual y de sensible; si posee en su esencia una regla inte­ lectual que es garantía contra el error, es condición de creación por su movilidad en lo sensible. Es a él, y no a la aplicación {Ab­ bildung) de Dedekind, que le debe su origen y desarrollo toda la matemática: “am Anfang so heisst es hier, ist das Zeichen'*. Sin embargo, su intervención en la matemática clásica esta sometida al arbitrio de los problemas; aparece al azar de los méto­ dos encontrados. Pero si en cada caso, la regla de su empleo fija con precisión el dominio correlativo del pensamiento concreto en donde se mueve, no existe un sistema de todos los signos acompañado de una intersección delimitada de todas las regio­ nes intuitivas. De ahí la incertidumbre de los formalismos par­ ciales, este empleo ambiguo en donde el signo es a la vez un punto móvil en una zona de absoluta libertad —como lo quería Hilbert— y el representante de otras operaciones concretas, sim­ plemente supuestas, pero cuyo resultado interesa para el uso ac­ tual. La repercusión, sobre otros planos, de las combinaciones realizadas, implica una complicación de las relaciones de las que el espíritu ya no se siente el amo. Aparece entonces la necesidad de unir de manera efectiva las distintas operaciones superpues­ tas, de reconstruir, por ejemplo, todo el objeto del análisis a par­ tir de la intuición simple de número entero. Tál era el punto de partida de Kronecker; pero siguiendo su línea de pensamiento se llega, mediante una curiosa inversión del formalismo, al intuicionismo, con todas las restricciones de método que impone.

6 Hilbert (IX), p. 1 6 3 .

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2. La formalización como adjunción de ideales Hilbert no acepta someterse a esto. No se resigna ni el re­ chazo de la teoría abstracta de los conjuntos, y en particular la aritmética de los números transfinitos “la mas admirable flo­ ración del espíritu matemático”7 —rechazo aceptado por mu­ chos matemáticos no intuicionistas— ni, sobre todo, la renun­ cia a las “elegantes demostraciones” en donde interviene el ter­ cero excluido. “Privar al matemático del tertium non datur sería tanto como privar al astrónomo de su telescopio, de sus puños al boxeador”8. Es en nombre de la técnica que protesta contra Brouwer: la teoría de funciones, la teoría de las aplicaciones con­ formes y la teoría de ecuaciones en derivadas parciales devie­ nen con el intuicionismo “un monton de ruinas”. El problema existe (hemos visto que el punto de partida filosófico de Hilbert es idéntico al de Brouwer), pero importa situarlo con respecto a la verdadera ciencia: no son las dificultades técnicas las que han provocado, después de la guerra, el desarrollo del intuicionismo: el análisis fue reelaborado en todos sus sentidos, sus métodos fueron refinados y mezclados al extremo, sin que apareciera nin­ guna contradicción. Si el círculo señalado por Weyl es incontesta­ ble, al menos es inofensivo9. La solución no es pues una recons­ trucción — que sería una vuelta al pasado10— sino una redistri­ bución de los métodos, cada uno puesto en su propio lugar. La única dificultad viene del infinito: exigir que una demostración se efectúe en un número finito de pasos es evidente —“¿cómo podría suceder de otro modo?”— pero queda la referencia a las colecciones infinitas, ya sea por la aplicación del tertium non datur (afirmación de la existencia de un objeto... basado en la 7 Hilbert {XI}, p. 167. * Hilbert (XII), p. 80. 9 Hilbert (X), p. 160. 10 “Brouwer no representa una revolución, como lo cree Weyl, sino la reelabo­ ración de una tentativa de golpe de estado con los viejos métodos que, en su tiempo, aunque fueron utilizados con más energía, fracasaron. Y ahora que eL poder central está armado y reforzado gracias a Frege, Dedekind y Cantor, están de antemano condenados al fracaso”. Hilbert (IX), p. l60.

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negación de una proposición general), ya sea por la elección ar­ bitraria de un elemento. Así corno Weierstrass salvó el paso al límite, que parecía condicionar al infinito potencial, precisando la noción finita de convergencia, es igualmente posible dar un sentido admisible a las intervenciones del infinito actual. Es la analogía con la introducción de los elementos ideales la que pro­ vee la solución. Se trata de asegurar una validez universal a las reglas —principio del tercero excluido— cuyo empleo concreto somete a limitaciones (colecciones finitas). “Recordemos que so­ mos matemáticos y como tates nos hemos encontrado ya ante semejantes dificultades, y recordemos cómo el método genial de los ideales nos sacó del problema”11. En teoría de números, para la validez incondicional de las leyes de sustracción, de la división o de extracción de raíces; en el álgebra, para asegurar las leyes que fijan el numeró de raíces de una ecuación alge­ braica o la divisibilidad de los números enteros algebraicos, fue­ ron introducidos cada vez, los enteros negativos, los números racionales, los reales, los complejos, los ideales de Kummer. El procedimiento es siempre el mismo, cualquiera que sea la formalización previa: el punto de partida es una operación que se escapa (zona de utilización del signo) y cuya ejecución concreta sobre un material dado previamente se somete, ipsofacto, a res­ tricciones: la exponenciación es la iteración de la multiplicación, etc. La adjunción de ideales sustituye los objetos primitivos por un sistema de símbolos, punto de partida y resultado de las ope­ raciones, definidas esta vez, sólo por sus propiedades formales (ax • av = ax+y para la elevación a potencias, por ejemplo). Se trata de las generalizaciones sucesivas estudiadas por Dedekind en su discurso de habilitación. Se les impone, como condición, una doble relación con el dominio primitivo: por una parte, la posibilidad de retraducir las operaciones y los objetos nuevos: un número racional es una pareja de números enteros, un ideal de Kummer es un sistema infinito de números enteros algebrai­ cos ordinarios, y las operaciones efectuadas sobre ellos se redu­ cen a las operaciones en un plano inferior sobre sus elementos; 11 Hilbert (XI), p. 174.

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por otra parte, la restitución del sistema inicial (objetos y opera­ ciones) por eliminación de los ideales: al hacer nula la parte ima­ ginaria de un número complejo podemos reencontrar las opera­ ciones sobre los números reales. La primera condición asegura el paso libre de abajo hacia arriba: cualquiera que sea el grado de abstracción establecida, siempre es posible alcanzar un objeto particular y dar a una operación particular su sentido concreto de sistema más o menos complicado de operaciones sobre los enteros. La segunda garantiza la unidad de arriba hacia abajo: en el progreso formal, la matemática debe conservar cada vez, como caso particular, el nivel inferior, más concreto, que acaba de abandonar. En el caso del tercero excluido, la operación in­ tuitiva es el razonamiento matemático en general; el punto de partida es la aritmética vulgar finita en donde los objetos son co­ lecciones de barras verticales; las operaciones son la adjunción iterada de una unidad, sus propiedades (asociatividad, distributividad, conmutatividad: a + b —b+a) son constataciones expe­ rimentales. Pero en cuanto se avanza un poco, aun en la teoría elemental de números, aparece la referencia al infinito de los enteros y, en consecuencia, los problemas no resueltos (como el teorema de Fermat), con una posibilidad permanente de crear nuevos números (decimales de tt, etc.); esto imposibilita la apli­ cación del tercero excuido. La solución es una formalización to­ tal de los razonamientos de la matemática entera, gracias a la lógica simbólica, “bien preparada para este fin gracias a una ar­ monía prees tablee ida”12: no habrá más que un juego mecánico de signos. Las condiciones de relación se satisfacen, una, en prin­ cipio, gracias a la edificación de la matemática intuicionista de Brouwer (Hilbert no parece aquí preocupado por precisar más), la otra, efectivamente, por la demostración de no contradicción formal del sistema simbólico13, Esta demostración consiste en la imposibilidad de obtener cualquier fórmula: cuando contiene a la lógica clásica, en particular, es la imposibilidad de obtener una fórmula y su negación. Puesto que el sistema simbólico debe tra­ ducir a toda la matemática finita, las proposiciones que ésta de12 I b id ., p. 176. 33 Hilbert (XII), p. 73.

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cide como verdaderas serán evidentemente demostrables, así sus negaciones, 0 ^ 0 por ejemplo, no podran aparecer como la con­ clusión de un razonamiento formal: mediante la eliminación de los ideales, si el sistema es no contradictorio, se reencuentran exactamente los resultados de la matemática intuitiva. Queda por precisar, en fin, la zona del pensamiento efec­ tivo: cada adjunción de ideales sólo tiene la finalidad de liberarla en la región concreta correlativa del signo. La formalización del conjunto de las matemáticas procura este sistema general de to­ dos los signos y, en perspectiva, la intersección de los dominios intuitivos que reclamaba el uso racional. La metamatemàtica, o teoría de la demostración, deviene la verdadera ciencia: sus ob­ jetos serán las reuniones de signos o fórmulas y la organización de éstos en unidades de dependencia o teorías. Es en el agrupa­ lmento de éstas, en la adjunción de axiomas y en la prueba de su fecundidad relativa, en lo que consiste el trabajo real, capaz de procurar una verdad. El pensamiento está, por otra parte, siem­ pre seguro de sí mismo ya que la conciencia plena acompaña cada uno de sus pasos (un número finito) : las exigencias intuicionistas se satisfacen aquí con todo rigor. La aritmética elemen­ tal primitiva se utiliza: esto marca un progreso sobre la memo­ ria de 1904 en la que se trataba todavía-de formalizarla y res­ ponde a las objeciones de Poincaré quien veía en la intuición del número puro —sobre la que se basa la inducción completa— un irreductible lógico, recurso, imposible de eliminar, a la sucesión infinita de los enteros. La inducción verdadera —debiendo es­ tar formalizada— que permite enunciar las proposiciones que conciernen a una totalidad infinita, no tiene nada que ver con la inducción utilizada en la metamatemàtica, que procede poco a poco y no hace sino resumir los resultados adquiridos que se podrían retomar de manera individual. Lógica y matemáticas tienen una suerte común y están repartidas por igual entre los dominios del formalismo y de la intuición; la separación no se efectúa entre ellas sino que involucra a su síntesis de donde sería vano tratar de aislarlas. Así se ven suprimidas las dificultades que provenían, cada vez, de una confusión entre razonamientos matemáticos y metamatemáticos: distinguirlos con cuidado es la primera tarea de la teoría de la demostración. El esfuerzo es necesario pues, a dife-

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rencia de la adjunción ordinaria de ideales —y aquí “la compa­ ración falla un poco”14—, por un lado el sistema formal debe ser total; por otro lado, el dominio primitivo ya había sido desbor­ dado por una matemática clásica que, superando los obstáculos, constituyó formalismos parciales. Situación análoga, si se quiere, a la de la teoría de los números reales previa a las definiciones de Dedekind-Weiers trass : a la vez con lo que es bajo esta forma y con la exigencia de su progreso indefinido, importa precisar su relación. De ahí la divergencia entre lo que Heyting llamaforma­ lismo radical de von Neumann y la teoría propia de Hilbert15. Para el primera las posibilidades de un sistema formai son ili­ mitadas (por la libre adjunción de símbolos y de reglas), la ma­ temática histórica no sería sino una elección entre esas posibi­ lidades; su devenir no se explica, la teoría de la demostración tiene como objetivo el mostrar solamente —après coup— la so­ lidez de sus resultados mediante su traducción en formalismos no contradictorios. El fracaso de la operación es prueba de error, su éxito no justifica lo esencial, sólo hay una puesta en corres­ pondencia entre dos procesos extrínsecos. Hilbert, por el contra­ rio, ve en las fórmulas “imágenes de pensamientos”16.- al edificar su formalismo, no hace sino llevar hasta su fin a los métodos y a los razonamientos que engendran efectivamente a las teorías. Si no hay coincidencia con la matemática histórica (que no em­ plea los signos lógicos, etc.) es porque ésta conlleva inconve­ niencias y atajos que se desprenden de una contingencia pura. No hay otra matemática, por derecho, que la matemática formal y su correlato metamatemàtico; ambas no son sino “el proto­ colo de reglas según las cuales procede efectivamente nuestro entendimiento”17. El progreso se debe a la consideración intui­ tiva de los objetos-teorías, con todo lo que conlleva de impre­ visible, y se traduce en la adjunción de nuevos axiomas. Queda por establecer con detalle esta correspondencia estrecha; por dar un ejemplo del carácter metamatemàtico de un avance; en fin, 14 Heyting (IV), p. 56. 15/¿>i¿., p. 51-52. 16 Hilbert (X), p. 153. 17 Hilbert (XII), p. 79.

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queda por probar que Ja condición ordinaria de adjunción de ideales está bien realizada. Serán las tres tareas principales lleva­ das adelante por la escuela hilbertiana; demostración de no con­ tradicción formal; a propósito del progreso, el problema de la decisión, y como prueba de fecundidad, el estudio del problema del continuo; desarrollo detallado del formalismo que debe dar al análisis su aspecto verdadero.

3. Definición de un sistema formal en general Un sistema formal en general18 es un agrupamiento jerar­ quizado de conjuntos de signos —o fórmulas completas— tal que a partir de algunas de ellas (en número finito, o infinito) que son consideradas como válidas, se pueden obtener otras gra­ cias a procedimientos fijados de antemano y para siempre. Su definición implica pues: I o La determinación tanto del material simbólico (signos primitivos y, si es el caso, de los medios para fabricar nuevos signos, repartidos en diversas categorías) como de las condiciones que deben satisfacer las únicas reuniones de signos que serán estudiadas: las fórmulas provistas de sentido, distinguiendo entre fórmulas completas (que se bastan a sí mis­ mas, es decir, las únicas capaces de ser válidas o no) y/ órmuías parciales, aislabíes sólo a partir de la posibilidad de un reem­ plazo mutuo al interior de las primeras (¡reglas de estructura). 2o El enunciado de las condiciones de validez, es decir, la enu­ meración (o delimitación) de las fórmulas completas admitidas como válidas ai principio y las reglas que permiten obtener otras (reglas de deducción). Si el formalismo incluye a la lógica, las fórmulas completas se llaman proposiciones, ios axiomas son el punto de partida y el 18 Cf. A. ïïu'ski (II) y (IV); en (IV) se encuentra una definición abstracta de sistemas deductivos, a la vez más estrecha y más general que la nuestra; más estrecha por­ que descansa sobre la noción de consecuencia, definida con ayuda de la lógica clásica; más general puesto que alude a las consideraciones naïves de los con­ juntos: un sistema es un conjunto de proposiciones; hay que aislar entonces los sistemas deductivos invariantes respecto a la operación de deducción. Se toma como base al conjunto de todas las proposiciones compie ras.

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proceso de deducción es una demostración19: una vez efectuada, da una especie de esquema con ramificaciones convergentes “la cadena de la demostración” (Hilbert), cada una de ellas com­ puesta por una sucesión de proposiciones entre las cuales el paso se efectúa mediante la aplicación de una regla. Hay reunión de varias cadenas cuando la regla exige la presencia simultánea de varias proposiciones. Se requiere, desde luego, que las ca­ denas y los trazos puedan ser dominados por el pensamiento finito20. Gracias a la regla de sustitución se obtiene sin embargo una extensión infinita de sistemas: ella determina una parte móvil en las fórmulas completas: los signos que son llamados variables que se pueden reemplazar por signos o fórmulas de una cate­ goría determinada. Se les evita escribiendo en lugar de axiomas de esquemas, simples esquemas con vacíos que se pueden llenar de manera análoga. Para que resulte de interés, un sistema formal debe poseer una especie dé cerradura que se puede manifestar de dos ma­ neras distintas e independientes, aunque conjugadas: por una parte, no toda fórmula completa del sistema se debe poder de­ mostrar; por otra parte, la imposibilidad de añadir al principio una nueva fórmula completa no demostrable sin que toda fór­ mula completa devenga demostrable21. La definición precisa —y el establecimiento— de esas dos propiedades dependen desde 19 En castellano se puede reservar el término “demostración" para la matemática informal y designar con el vocablo “prueba” al proceso de deducción formal. No obstante, nos ceñimos al texto en francés llamando “demostraciones" a las pruebas. (N del T) Társki distingue, enrre los sistemas deductivos, los sistem as axioniatizabÍes, que son los que tienen un número finito de proposiciones como punto de par­ tida; parece que esta distinción es superflua a partir de la regla de sustitución. Se pueden, sin duda, concebir sistemas con una infinidad irreductible de pro­ posiciones iniciales (es decir, que no se pueden fijar en un número finito de esquemas); su consideración parece desprovista de interés. 21 Tärski define así esta propiedad: todo sistema deductivo que contenga al sis­ tema considerado o bien coincide con él, o bien coincide con el sistema de to­ das las proposiciones completas (el método de Tarski excluye a la noción de ex­ tensión sucesiva). Introduce también la noción de sistem a irreductible, tal que todo subsistema coincide con él o con el cálculo lógico, intersección común a todos los sistemas deductivos.

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luego de las reglas de deducción que fijan a la noción de de­ mostración. La segunda propiedad no excluye la posibilidad de extender un sistema formai por adjunción de nuevos signos y de nuevas reglas (y axiomas)22. El sistema formal que representa a las matemáticas se define así progresivamente; el primer paso coincide con el cálculo lógico de proposiciones. Heyting dio un ejemplo de un sistema formal divergente desde el inicio de la lógica clásica23; su cálculo intuicionista de proposiciones con­ tiene dos especies de signos: las constantes lógicas V , A , D y las proposiciones elementales a,b,c,... Una fórmula completa consiste, o bien en una proposición elemental, o bien en una agrupación de proposiciones regulada por las constantes lógicas (->a ,a V b, etc.). Los axiomas plantean las combinaciones que son válidas inicialmente; dos reglas, la de sustitución y la de se­ paración (si a y a D b son válidas, b también) permiten obtener otras. De las dos propiedades enunciadas más arriba, sólo la pri­ mera se puede establecer, la segunda no existe: si se añade aV^a a los axiomas, se obtiene el cálculo clásico de proposiciones.

4. Formalismo integrante Lógica y matemáticas clásicas Para el cálculo de proposiciones, la definición más breve es la de Lukasiewicz-Tarski24: además de los signos de proposicioneselementos (a,b,c), dos signos fundamentales -i y —►. En las reglas de estructuras que proponen como proposiciones a las coleccio­ nes de signos ^ a ya —* bt etc. interviene la definición de signos abreviaciones a V b para -¡a —»b\ a A b para ~>(a —► ~^tí) En fin, reglas de sustitución, reglas de separación (como para Heyting), y tres axiomas: 22 Bernays precisó esta noción de extensión de un formalismo a propósito de la aritmética formalizada. Cf. Hilbert- Bernays (I), p. 354-356. 23 Heyting (I), p. 43. 24 Lukasiewicz-Tärski (I).

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( i a —► a) —* a a —► (-ia —+b) ( a —>b)—>[(b —► c) —► (a —► c)] El inconveniente de tal introducción es que esconde el ver­ dadero significado del cálculo de proposiciones, parte común y privilegiada de todos los sistemas formales clásicos. En realidad si no se quiere operar una duplicación de las nociones lógicas intuitivas, se le debe considerar, no como sistema formal par­ ticular, sino como complemento de las reglas de estructura y de deducción en la definición de un sistema formal en general: las fórmulas completas se suponen repartidas, según su validez o no validez, en dos clases ajenas (sin elemento común) (princi­ pio de no contradicción) y de manera exhaustiva (principio del tercero excluido). La única novedad es la de considerar esas co­ lecciones de una, dos o n proposiciones-elementos que consti­ tuirán las proposiciones complejas cuya validez se definirá según aquella de las proposiciones-elementos (funciones de verdad): así, para ~^aya A b,a V b,a —► b25 entre las cuales se reestablece la simetría26. No hay pues ni axioma ni reglas de razonamiento: la regla de sustitución vale en todo sistema formal, la regla de separación es consecuencia inmediata de la definición de —+27. Con la relación a los objetos comienza la matemática verda­ dera.* una proposición es la afirmación de que una cierta pro­ piedad es poseída por uno o por varios objetos. De ahí tanto la repartición de las variables en tipos y la introducción de las no­ ciones correlativas defunción matemática y de individuo. Una proposición-elemento es una pareja formada por una variable -5 -i« vale cuando a no vale; a V b vale cuando al menos uno de los dos elementos a o b vale; a A b cuando los dos valen a la vez; a —>b vale siempre, salvo cuando a v a le v i no. Se podrían tomar otras funciones como la incompatibilidad (Nicod). Para la relación con la lógica tradicional véase J. Cavaillés (IT). 26 Así a —* b se escribe V b,a A b : -t(-uz V -»è) n ” A ~>b), a V b: -»(-i« A “»è). Cuando, como es común, las 4 constantes figuran en una proposición compleja, se conviene, para evitar los paréntesis, que sus potencias de acción relativas sean determinadas por el orden —+, A, v, -v Por ejemplo se escribirá: a —► -j =i k

(5)

37 Una definición es explícita cuando el objeto (individuo) a definir, k, puede ser relacionado por la expresión que define por medio de una igualdad. Si la ex­ presión que define es 3t(.v),Sl representando una arquitectura lógica cualquiera en donde aparece la variable x, el axioma-definición se escribe:

k = ¿Va(.v). 3# La definición general del término “aquel que” se efectúa por medio de dos proposiciones: S 3(.t) y TI [8(A:)A2l(y) -* x ~ y] .V xj Se obtiene a(i.v3(¿:)). En el caso particular de una definición de individuo por los esquemas (2) y (3), 9(.rn) se representa por H [x«(*n -i) *=► &]■

•v«—!•••

Bemays mostró (Hilbert-Bernays (I), p. 433-457) que siempre es posible eliminar el término ¿ de una demostración: su introducción no representa una verdadera extensión del formalismo.

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{ * 2(o)

a

n [ * 2( í) -*■ ^2 (•'■'01}

n ^ 2( 0

(O

(f y k son individuos de tipo 1, £ es la variable correspondiente39 —única categoría de variables en este tipo— es una variable proposicional de tipo 2). Todos los individuos de tipo 1 se ob­ tienen por iteración del signo s frente a o, s£ expresa pues que hay que iterar una vez más s frente al individuo que sustituye a £. En los tipos superiores se introduce una especie particular de variables —y de individuos correspondientes— las funciones ma­ temáticas, que resultan de una disociación de los predicados en donde interviene el individuo =. Se distinguen entonces 3 ele­ mentos: la función propiamente dicha, el individuo = ,y un va­ lor, es decir, otra función o la variable de tipo 1. El argumento se constituye ya por una variable proposicional, ya por un sistema fi­ nito de otras funciones, entre las cuales puede aparecer también la variable de tipo l 40. Cuando se reemplazan en el argumento las variables por individuos, la misma sustitución se efectúa en el valor. Una función es pues un medio de poner en correspon­ dencia a los individuos. Se observa la misma repartición en tipos que para las variables proposicionales, ya que la función siempre tiene un tipo inmediatamente superior al máximo tipo que figura en el argumento. En cambio, el tipo del valor (y el del individuo = que es obligatoriamente el mismo) se fija de manera arbitraria por la definición de la función. Se tienen41 los dos esquemas42; 39 £ se llama variable portadora de la inducción en la fórmula .r2( 0 que puede incluir en su argumento a otras variables. 40 La variable de tipo 1 es pues de la misma categoría que las funciones matemáti­ cas; en los tipos >2 hay al menos 2 categorías de variables: las proposicionales (o de predicados) (representados por letras latinas) y de variables funciones (re­ presentadas por letras griegas); s, a pesar de ciertas analogías, no es una función si no u n sign o su i generis. 41 En lo que sigue, como no hay ambigüedad posible, omitimos para el individuo el índice n que marca el tipo al que pertenece. 42 Ejemplos: para el primero la función x(rt), introducida por Hilbert, donde a representa una proposición: ir(a) = 0 si a es verdadera (demostrable en el formalismo). ir(d) = 1 si a es falsa El segundo esquema representa las funciones o funcionales que aparecen en el análisis.- cuando el argumento y el valor son de tipo 1 se tiene una flmción de en-

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«„(*/)= /£/ 1€/•••)=>«/■ (7) Las definiciones se efectúan siguiendo el esquema (2) que se puede simplificar (habida cuenta del significado de —) supri­ miendo la equivalencia lógica. Si 3 (que pertenece a la categoría de funciones o de números, es decir, es una expresión que, al reemplazar a todas las variables por individuos y al efectuar to­ dos los cálculos, deviene un individuo función o número) sólo contiene una variable libre í , se tiene: S n [ í» ï»-i

í

,

= 3]

(2) bis

Para el análisis clásico uno puede limitarse a la aplicación del esquema (2)bis cuando la variable libre en 3 es de tipo 1: el esquema expresa entonces que toda relación, por complicada que sea, puede ser representada por una función de enteros y asegura el uso universal del axioma de inducción completa. Este es, en lo esencial43, el sistema desarrollado en los Prin­ cipia Mathematica. Permite edificar al análisis clásico y al me­ nos una parte de la teoría de conjuntos. Pero las condiciones planteadas por Hilbert no se cumplen. Los esquemas (2) y (2)bis representan una infinidad de axiomas, que ninguna ley permite engendrar (dada la indeterminación radical de la expresión 3) : el pensamiento intuitivo no rige a la construcción metamatemàtica del sistema (no se requiere que intervengan las consideraciones de todas las expresiones o del conjunto de las funciones: no­ ciones confusas que el formalismo tiene como misión eliminar). teros: ejemplo un número real (definido por su desarrollo decimal: el argumento es el rango, el valor es el decimal correspondiente). Las funciones de variables reales del análisis clásico tienen un argumento de tipo 2 (de una o varias varia­ bles) y un valor de tipo 2. Lo que se llaman comúnmente funcionales tienen un argumento >2 y un valor de tipo 2. 4Ò Se dejan de lado, como inútiles para el estudio que aquí llevamos, el axioma del infinito y la teoría de tipos ramificados (con el correspondiente axioma de reductibilidad). El formalismo de Hilbert no requiere de un axioma especial del infinito. En cuanto a la inutilidad de la teoría de tipos ramificados en el desarrollo mismo del sistema russelliano, Cf. Ramsey (I) y Carnap (II). p. 98. El axioma esquema (2) es más débil que el verdadero axioma russelliano de reductibilidad,

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En particular, una demostración de no contradicción está, evi­ dentemente, fuera de alcance. De ahí dos soluciones intentadas a su vez: dividir la dificultad al considerar únicamente formalis­ mos parciales en donde se puedan dar al axioma esquema (2) sustitutos más accesibles; cerrar el tejido del formalismo entero dotándolo a la vez de medios más poderosos de demostración y de reglas más precisas (que sean más fáciles de dominar por el pensamiento finito) para la introducción de nuevas entidades.

5. Formalismo propio de Hilbert: el axioma funciones recursivas El aumento de potencia lo procura la intervención de la fun­ ción e: se define, en el caso de una variable, por el axioma es­ quema: m ó - 'Z i e x M x ,,) ) (8) (¡H es una proposición compleja cualquiera, j n el lugar para un individuo de tipo », x n una variable de tipo ti). Hay pues tantas funciones e como categorías de variables: el tipo y la categoría del valor de e (es decir de la pareja e*,,# (*#?)) son evidentemente los del individuo^,44. El esquema (8) reemplaza a la vez a los esque­ mas (1) y (2) (o (2) bis). El papel de la función e es, en efecto, triple: Io establece la relación entre las variables y los individuos: los signos II y E pueden desaparecer (se les reintroduce, sin em­ bargo, por comodidad, por medio de definiciones explícitas45); 44 e,x„ es una función de argumento ¡3(.r«) cuyo valor puede ser tanto una varia­ ble proposicional como una función o la variable numérica. Prácticamente sólo el segundo caso interviene en el sistema de Hilbert. Las reglas de sustitución deben tener en cuenta el carácter funcional de las variables o individuos sustituidos: e.v„¡3(.Vrt) es una función de tipo n. posee pues a su vez un argumento de tipo n — 1. Sobre los errores cometidos a este respecto, Cf. von Neumann (II), p. 41. El índice xn en e,T„ indica que e iig a s ó lo a la variable xn (si otras variables libres figuran en 3). Puede haber varias e superpuestas, véase infra. 45 Se escribe —siempre en el caso de una sola variable (las fórmulas para el caso general se deducen fácilmente)—

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2o cuando un predicado es verdadero sólo para un individuo, designa a este individuo; evita el artificio del término russelliano “aquel que” y permite transformar inmediatamente todas las de­ finiciones de individuos en definiciones explícitas; 3o determina la elección de un individuo particular cuando el predicado con-

n %(x„)

z ( SXii

Xn

E a(.v„) *=► fl(e.v„ «(*„))

Xn

(9) (10)

Se verifica sin dificultad que las relaciones entre II y E, el esquema (1), se satis­ facen. Para el esquema (2) bis —que consideraremos en lugar de (2) por servir en el desarrollo dado por Hilbert, pero la demostración sería idéntica, sólo de escri­ tura más complicada— basta sustituir en (8) por el signo 21 la expresión:

n [*„(*„_!)»»] ï» - t se tiene:

n [/w(£„-i) = a] -

C«-L

n [«í < n [€„(*„-1) = aj) = »]

í«-l

n Íít-l

(donde j n representa un lugarvacío para un individuo, función de tipo >?). Si se reemplaza en el término izquierdo y« por O, se tiene:

n ta««]-* n [«€ ( n [€«(í«-i) = *1) = »1 El primer término es una identidad fácil de demostrar en el formalismo; el tér­ mino de la derecha es igualmente una identidad; se escribe, según la definición del signo E:

J n rî„(î„-i) = a] Ï» frt-l

(Cf. von Neumann (II), p. 43). En fin, el axioma de inducción completa (ó) se escribe ahora: (ó) bis

11

4

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viene a una colectividad. Es pues un medio universal de paso entre proposiciones con variables y proposiciones individualiza­ das; en este caso el paso tiene lugar en ambos sentidos, sin que, por cierto, la definición de la pareja variable-individuo se-afecte: es sólo por medio del individuo eXn-*&(pcn) que hay reversibili-* dad de sustitución con la variable. Se ve la ganancia de poder: los procedimientos que son aplicables sólo a los individuos pueden ahora ser utilizados de manera universal, aun si no hay medios de definición unívoca (papel de la elección)46. La condensación correlativa del formalismo se obtiene pri­ mero por la definición expresa de dos tipos empleados; para 46 En (IX) (p. 176) Hilbert hace alusión a este axioma “transfinito” que le per­ mite dominar de manera finita al formalismo de la teoría de números. Lo enun­ cia explícitamente por primera vez en 1923 (Hilbert (X), p. 183); en lugar de la hinción ff,vS(ar) aparece la función t.v3(.y), llamada familiarmente la Aristide: designa al individuo del cual, antes que cualquier otro individuo, sería verdadero el predicado 3 (si es que conviene a algún individuo). El axioma (8) tiene pues la forma (dejamos de lado el índice del tipo) :

3(r.va(*)) -+ SI(.X)

(8) bis

“si 3 (y) significa ser corruptible, entonces rA3(.v) designa a cierto hombre de tan inquebrantable integridad que si se le pudiera comprobar su corruptibilidad, en­ tonces todos los demás hombres serían corruptibles” (Ibid., p. 183);

nfl(*)t5S(r*(.r)) £ a(.y) 3(rA->3(.r)) Desde la memoria Sobre el Infinito (1925) la aplicación del formalismo a la teoría de los conjuntos lleva a Hüben a hacer coincidir este axioma con el axioma de elección; r A3 (x) deberá entonces ser reemplazado por e,x&(x): el elemento dis­ tinguido de la clase de ios individuos que poseen el predicado 3. El verdadero axioma de elección de la teoría de conjuntos no se alcanza por este camino: se re­ quiere que el elemento distinguido se coordine de manera unívoca con su clase. Se debe añadir entonces el axioma:

fl[»(.Y«)£5ÍB(x„)] -*•[eXn& (xn) Xn axioma fuerte de elección (Hilbert (XIII), p. 319).

$(-*«)]

(8)ter

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cada categoria de variables se tiene un medio recursivo de en­ gendrar las definiciones. Así, para las variables-funciones cuyo valor es del tipo de los números enteros, si $»(£„) caracteriza al tipo n, el tipo n + 1 será definido por *»+i(C».+i) ^ £ [* „ « „ ) - *i(C„+1(í„))l , caracterizado, por ejemplo, por48*: < M íw) *3 n[*„(É„) - *i(e„ (i„ ))J

(9)

Para alcanzar la teoría cantoriana de los conjuntos se requie­ re, además, suponer en el tipo 1, no una sino tantas especies de variables como clases hay de números ordinales transfinitos, cada clase se caracteriza por un modo de generación de los in­ dividuos. A la clase I corresponde la recursion ordinaria (axio­ mas de Peano y axioma de inducción completa); a la clase II la recursion transfinita sobre los individuos que caracterizan a los axiomas: *i(0) * ! ( « ) - « ! (sa) - *1 (««i))} -

Villini

(10) (11) «(it)]

(12)

(en donde $ i , es la característica de la variable de tipo 1; $ i , la de la variable numérica ordinaria £x, a es una expresión cualquiera). En fin, el axioma de inducción transfinita4^: 47 De manera general, toda relación lógica establecida entre tipos ya definidos procura un tipo superior. Como las relaciones no pertenecen sino a un número finito de especies, hay un medio de bien ordenar a los tipos. (Para el estudio de las funciones de enteros, Hilbert no requiere sino la relación introducida por II) No hay nunca mas que una infinidad numerable de tipos en un formalismo determinado: pero la generación transfini ta, cuyo mecanismo muestra Hilbert, no se puede detener arbitrariamente. Véase infra, cap. IV 48 Hilbert (XI), p. 184. 4? Tomamos caracteres góticos para la categoría de variables correspondientes a la clase II.

tló

Jean Cavai liés

{«(0) A n ivi -< X! — «(Pi)]} -* n«(xO (13) Pi,Xl *1 (el signo -< representa la relación de orden entre los números de la clase II, debe pues definirse previamente, lo mismo que en (12) el signo lim) . ¿Es posible ir más lejos y regular, al inte­ rior de cada tipo, las definiciones de funciones? Hilbert sólo se ocupó dei tipo 2: no se trata de leyes ya que se permanecería en lo numerable y hay ya 2**° funciones de enteros. Se puede, sin embargo, al menos para una parte importante de ellas, unifor­ mizar su definición gracias a una profundización de la noción de recursion; es natural que ésta, ya que preside la generación de los individuos, permita dominar al menos en parte a los modos de puesta en correspondencia entre los individuos. En sentido clásico50, se llama función recursiva a toda fun­ ción p obtenida sea directamente por la definición

(Oíai (sn,ax . .

.

= (n + 1) no depende solamente de 0(n) sino de un cierto número de valores pre­ cedentes 0(0), 0(1) ... (n - 1). En la recursión encajada, 0 es también función de los parámetros; se tiene, por ejemplo, el esquema: 4>(oai

0(« +

...«,■)= l . ..b r))

las b representan nuevos valores de los parámetros a \ ... ar . En fin, la recursión cruzada (o múltiple) procede siguiendo dos o varias variables portadoras si­ multáneas, p. ej.: ¥?(rt,0) = 2a + 1

ip(0,sn) = y?(L,rt)

-•./) j'.. -0- •M*,v-•-0 Parece que no se ha ganado nada-, la disyunción está en efecto extendida, incluso para una sola variable restringida a un infi­ nito superior al de la conjunción (infinito de las funciones de enteros si el dominio base es el de los enteros). Pero para que la proposición sea verdadera basta probar la verdad de uno de los términos de la disyunción: bastará entonces definir una sola función f {x y , ... t), una sola función ... í), etc... Como el dominio base es arbitrario, todo se reduce a dar un procedi­ miento regular que, por una parte, para cada valor de los argu­ mentos defina a los individuos-valores de las funciones de índice y, por otra parte, atribuya a los predicados, así individualizados, valores lógicos tales que la proposición sea verdadera. Es una construcción progresiva del dominio que constituirá la demos­ tración. Löwenheim demuestra que esto siempre se puede hacer: en un primer estadio se sustituyen las k variables generales por el mismo individuo 0, las n funciones de índice tienen entonces n valores, por ejemplo 1,2,... ,n; se fijan los valores lógicos de ma­ nera que la proposición sea verdadera. En una segunda etapa se consideran las (n + 1)* —1 reparticiones de los n + 1 individuos puestos previamente, entre las k variables generales (la repar­ tición 0... 0 ha sido ya vista) : las funciones de índice dan ahora ((« + 1)* — 1)n individuos nuevos; se fijan los valores lógicos de los predicados individualizados de manera que la conjunción de n + 1 términos (se adjunta el término del primer estadio) sea verdadera y así sucesivamente14. Hay en general muchas solucio­ nes en cada estadio (modos de repartición de los valores lógi­ cos, entre los predicados individualizados); cada solución en un 14 Se tiene en el primer estadio: fl 00

0,1,2 . .. « en el segundo:

%10...0,« + 1...2«A¡a 010...0,2« + t ...3«A...

Jean Cavaillès

132

cierto estadio es por definición la prolongación de una solución en el estadio inmediatamente precedente (pues la conjunción considerada en uno contiene como conjunción parcial a la que se consideró en el otro). Como las soluciones en cada estadio no son sino un número finito ((&rro .. .A'o

. •x n A

. . . x 0 * „ +1 . . . x 2n A .. -

AÄX/, .. . x ik x N- „ + i .. . xN)

sería una identidad lógica, por lo tanto también: IT -i(Sbfq^o ■ •

a

xoX ¿ ,, .xN

Mx í Xq .. .*o*«+i ■ ■ **2« A ...

A¡3br/t .. •Xik xyv -« + l • *-x n )

ahora bien, se demuestra15 que: 15 Por inducción completa: IT

2

& y i... y k z i...Z H

s

—

TL....T* 2T1..JT«

a r 0 ..

..-*0 x

i ... x n

(evidente)

X Q X 1,. X n

y n

2

y l .,v„zl ..jr„

& y y ...y k z \ ,.,z n

XO*n + í ■-X2HA -*

s

.-.

(a.x 0 . . .

A

2

xo-.xt+n

■ . . x n A & X 0X i

..■xikXs .■.Xs+ tt)-► x 0 X i .

. .Xft A ...

X Q .. M s + 2 li

ASLryl .. .*yA.rJ+w +1 . . ..T r+ 2 *)-

Cf. Gödel (I), p. 353-355.

(& v 0 .. * 0 * 1

..

X ¡. Xs . . . X s + n

...

Método Axiomático y Formalismo

n

XoX¿...XK

(ßxQXQ . .. x 0x l .. .x„ A ... A

133

.. .xikxN- íí+i . . .xN)

^

s n n yi-Xk Z\-Zn &y\---ykZ\ La proposición inicial sería por lo tanto contradictoria, con­ trariamente a la hipótesis.

ß. Teorema de Herbrand El razonamiento pierde toda significación en el caso de un formalismo verdadero. Pero las operaciones sucesivas de satis­ facción en un campo son rigurosamente finitas: se les puede considerar como un tratamiento formal aplicable a toda propo­ sición no contradictoria. De ahí la idea de Herbrand de cons­ truir un criterio de no contradicción demostrando la recíproca — evidente para el sistema intuitivo de Löwenheim—-. si una propo­ sición es contradictoria, no puede ser “satisfecha en un campo”; ó también: toda identidad lógica posee la siguiente propiedad formal: su negación es imposible de satisfacer en un campo. La prueba no puede ser hecha sino por inducción completa sobre la demostración de la proposición: de allí la necesidad de trans­ formar el tratamiento de satisfacción que no se aplica más que a las proposiciones en forma prenexa (cuanti ficado res agrupados al principio). Se le define así: la proposición se supone escrita de manera que no haya negación aplicable sobre un cuantificador (que como hemos visto no exige la aplicación de una regla, sino una simple convención de escritura), se reemplazan todas las variables generales por las funciones de los índices de las va­ riables restringidas en la extensión en que se encuentran —o por un individuo elegido de una vez por todas si no hay tales variables restringidas—, las variables libres por individuos fijos. Cada etapa de la operación corresponde a una repartición de individuos construidos entre todas las variables restringidas; las funciones de índices o funciones matemáticas, cuyos argumen­ tos han sido así individualizados, se reemplazan cada una por un nuevo individuo (diferente para cada función y para cada argu­ mento). En fin en la proposición inicial —de donde las II han BIBLIOTECA CENTRAL U .N .A .M .

134

Jean CavaiIlès

desaparecido— se sustituye, por cada proposición parcial que comience en una S, una disyunción de todas las individualizacio­ nes de la proposición parcial (hay en relación al procedimiento de Löwenheim, un intercambio de las II y las £, de las disyun­ ciones y de las conjunciones, pues se trata de la satisfacción de la negación de la proposición). Si hay muchas £ consecutivas (es decir, tales que las últimas estén en la extensión de las primeras) se superpondrán tantas disyunciones como £ : se obtiene enton­ ces en cada etapa una proposición individualizada sin cuantificador, la reducida. Cuando la proposición inicial es una identidad lógica se debe llegar, al cabo de un número finito de etapas, a una identidad del cálculo proposicional. En efecto: 1) el axioma (1) posee esta propiedad: las reglas precedentes lo transforman en. Mi

Mi

siendo i un individuo cualquiera; 2) la regla de generalización la conserva: dada la identidad de tratamiento entre variables ge­ nerales no dominadas y variables libres, la cuestión es inmediata pues hay una generalización en una proposición que no involu­ cra £. En el caso contrario, siguiendo la extensión más o menos grande elegida para la nueva II, la variable que liga estará o no subordinada a variables restringidas. No es evidente que el tra­ tamiento dé el mismo resultado. Todo consiste en probar que Si:

E&r V $ X

(M y involucrando un número cualquiera de otras variables), sometidas al tratamiento proveen una identidad del cálculo pro­ posicional, lo mismo para: £(Ü L rvP )

X

y recíprocamente. Bajo la primera forma las variables generales que figuran en P se reemplazan por funciones de índice /(tt,i\ ... t) , .. .(u,vy... t) independientes de x\ bajo la segun­ da forma, x aparece en su argumento.

Método Axiomático y Formalismo

135

a) Si la segunda forma de la proposición produce una identi­ dad, la proposición individualizada es verdadera cualquiera que sean los valores lógicos atribuidos a los predicados en donde fi­ ... t,x), guren los individuos dados por/(w,i>,.. .tjc ),... y por lo tanto sigue siendo verdadera si se da el mismo valor lógico a los predicados cuando/ , .. . no difieren en su argu­ mento sino por el individuo que sustituye a x; reencontramos entonces la disyunción correspondiente a la primera forma de la proposición inicial: ella es, también, una identidad, b) Si la segunda forma, en la etapa w, no produce una identi­ dad, hay un sistema de valores lógicos que hacen falsa a ia redu­ cida correspondiente. Se pueden tomar los mismos individuos como reducida de la primera forma en la w-ésima etapa (ella com­ porta menos, pues ciertas de sus funciones de índices tienen una variable menos en su argumento) : si la nueva reducida no es una identidad, la primera tampoco en virtud de que:

Todo se reduce, por lo tanto, a comparar en las reducidas dos proposiciones parciales:

(1)

(2)

Ait VAj2 V ... V Aín V primera forma A¿1 VBjí VA¿2 V B¿2 V ... VAín V B¿n segunda forma

El sistema de valores lógicos que dan el valor Palso a la re­ ducida total, bajo la segunda forma, puede dar a (2), el valor Verdadero, en cuyo caso es: o una de lasyl^ que tiene este valor lógico16, y ponemos f{Íh ,íj2, ■ ■ ■ ,Íjn) =/(*>!, • • ■ ,íjnA ) o una de las Zty, sea Btf¡ y se pone /((/l >2/2>• •• ¿jn) ~ f (ijl ¿j¿ ’ ' • •¿jn¿k) 16j

representa un índice cualquiera entre 1 y iV.

136

Jean C avail! ès

osea el valor Falso, y entonces se tiene f V h ’ - J jn )

=