Metodi teorije polja u statistickoj fizici 9788670315693

Citation preview

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/374505432

Metodi teorije polja u statističkoj fizici Book · October 2023

CITATIONS

0 1 author: Slobodan Radosevic University of Novi Sad 43 PUBLICATIONS   162 CITATIONS    SEE PROFILE

All content following this page was uploaded by Slobodan Radosevic on 06 October 2023. The user has requested enhancement of the downloaded file.

Slobodan Radoˇsevi´c

Metodi teorije polja u statistiˇ ckoj fizici

Novi Sad, 2022.

2 Autor: Slobodan Radoˇsevi´c, vanredni profesor Prirodno-matematiˇckog fakulteta u Novom Sadu Recenzenti: dr Milica Pavkov-Hrvojevi´c, redovni profesor Prirodno-matematiˇckog fakulteta u Novom Sadu dr Antun Balaˇz, nauˇcni savetnik Instituta za Fiziku u Beogradu, Instituta od Nacionalnog znaˇcaja za Republiku Srbiju dr Petar Mali, vanredni profesor Prirodno-matematiˇckog fakulteta u Novom Sadu Izdavaˇ c: Prirodno-matematiˇcki fakultet u Novom Sadu, Departman za fiziku Za izdavaˇ ca: Prof. dr Milica Pavkov-Hrvojevi´c, dekan Upotreba udˇzbenika Metodi teorije polja u statistiˇckoj fizici je odobrena od strane Nastavnognauˇcno ve´ca Prirodno-matematiˇckog fakulteta u Novom Sadu na sednici odrˇzanoj 27. juna 2022. godine (reˇsenje broj 0602-07-214/22-7). elektronsko izdanje

CIP – Katalogizacija u publikaciji Biblioteke Matice srpske, Novi Sad

536.9(075.8)(075.8) RADOXEVI, Slobodan, 1981−

Metodi teorije polja u statistiˇckoj fizici [Elektronski izvor]/ Slobodan Radoˇsevi´c. − Novi Sad : Prirodno-matematiˇcki fakultet, Departman za fiziku, 2023. - 242 str. Naˇcin pristupa (URL): https : //www.pmf.uns.ac.rs/studije/epublikacije/fizika/radosevic metodi teorije polja u statistickoj fizici.pdf - Zapis zasnovan na stanju na dan 6. 10. 2023. - Nasl. sa naslovnog ekrana. ISBN 978-86-7031-569-3 a) Statistiˇcka fizika – Udˇzbenici COBISS.SR − ID 126657801

Neveni, Mini, Duˇsanu i Miloˇsu

4

Sadrˇ zaj Predgovor

9

1 Osnovi klasiˇ cne teorije polja 1.1 Lagranˇzev formalizam u teoriji polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Varijacioni princip za klasiˇcno polje i veza sa mehanikom sistema ˇcestica 1.1.2 Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine klasiˇcne teorije polja . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Ravni talasi i disperziona relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Hamiltonov formalizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Kanonske jednaˇcine kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Poasonove zagrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Simetrije u klasiˇcnoj teoriji polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Globalne i lokalne simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Teorema Emi Neter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Lokalne (kalibracione) simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Goldstonova teorema u klasiˇcnoj teoriji polja . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Landauova teorija faznih prelaza 2.1 Fazni prelazi i parametar ured¯enosti . . . . . . . . . 2.2 Landauov funkcional za Izingov model . . . . . . . 2.2.1 Definicija Izingovog modela . . . . . . . . . 2.2.2 Aproksimacija srednjeg polja . . . . . . . . . 2.2.3 Habard-Stratonoviˇceva transformacija . . . . 2.2.4 Aproksimacija kontinuuma . . . . . . . . . . 2.2.5 Landauova aproksimacija . . . . . . . . . . . 2.2.6 Spontano naruˇsenje simetrije . . . . . . . . . 2.2.7 Kritiˇcni eksponenti α, β, γ i δ . . . . . . . . 2.2.8 Fluktuacije i gausovski model . . . . . . . . 2.2.9 Pouzdanost Landauove teorije . . . . . . . . 2.2.10 Gausovska korekcija na kritiˇcne eksponente . 2.2.11 Korelacione funkcije viˇseg reda . . . . . . . 2.3 O(N ) model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Ginzburg-Landauova teorija superprovodnosti . . . 2.4.1 Obrazac naruˇsenja simetrije . . . . . . . . . 2.4.2 Parametrizacija i Goldstonovo polje . . . . . 2.4.3 Majsnerov efekat i beskonaˇcna provodnost . 2.4.4 Kvantovanje magnetnog fluksa . . . . . . . . 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 13 19 26 29 29 32 36 36 37 43 46

53 . 53 . 55 . 55 . 58 . 60 . 64 . 71 . 74 . 76 . 77 . 85 . 86 . 92 . 93 . 96 . 96 . 98 . 100 . 101

ˇ SADRZAJ

6 2.5

Spontano naruˇsenje simetrije u klasiˇcnim teorijama . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.5.1 Mermin-Vagnerova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.5.2 O(N ) nelinearni σ model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3 Kanonsko kvantovanje klasiˇ cnih sistema ˇ 3.1 Sredingerova i Hajzenbergova slika . . . . . . . . . . . . ˇ 3.1.1 Sredingerova slika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Hajzenbergova slika . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Jednoˇcestiˇcna i viˇseˇcestiˇcna stanja . . . . . . . . . 3.2 Kanonsko kvantovanje skalarnog polja . . . . . . . . . . 3.2.1 Operatori polja i hamiltonijan . . . . . . . . . . . 3.2.2 Jednaˇcina kretanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Komutacione relacije za amplitude polja . . . . . 3.2.4 Energija i impuls kvantnog skalarnog polja . . . . ˇ 3.2.5 Cestiˇ cna interpretacija kvantnog polja . . . . . . 3.2.6 Veza sa relativistiˇckom kvantnom mehanikom . . 3.3 Kompleksna polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Dvokomponentno skalarno polje . . . . . . . . . . ˇ 3.3.2 Slobodno Sredingerovo polje . . . . . . . . . . . . ˇ 3.3.3 Sredingerovo polje u spoljaˇsnjem potencijalu . . . 3.4 Viˇseˇcestiˇcni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Diskretizacija u teoriji polja . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Normiranje u kutiji . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Polja na reˇsetki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Spontano naruˇsenje simetrije u kvantnim teorijama . . . 3.6.1 Osnovne postavke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Parametar ured¯enosti . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Goldstonova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4 Generatori transformacija i linearna superpozicija 3.7 Kvantni Hajzenbergov model . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 O(3) simetrija Hajzenbergovog hamiltonijana . . 3.7.2 Hajzenbergov feromagnet . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Hajzenbergov antiferomagnet . . . . . . . . . . . 3.8 Efektivni lagrnˇzijani za feromagnet i antiferomagnet . . . 3.8.1 Antiferomagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2 Feromagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prilog

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113 . 113 . 114 . 114 . 115 . 117 . 117 . 119 . 120 . 120 . 122 . 126 . 128 . 128 . 131 . 133 . 136 . 140 . 141 . 142 . 144 . 144 . 146 . 147 . 149 . 150 . 150 . 155 . 163 . 182 . 182 . 184

195

A Relativistiˇ cka notacija i Furijeova transformacija

195

B Varijacioni Izvod

199

ˇ SADRZAJ C Integrali Gausovog tipa C.1 Gausov integral sa imaginarnim koeficijentom C.2 Gausov integral sa kompleksnim koeficijentima C.3 Viˇsedimenzioni realni integrali . . . . . . . . . C.4 Vikova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . C.4.1 Srednje vrednosti i momenti raspodela C.4.2 Generalisana Gausova raspodela . . . .

7

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

205 . 205 . 207 . 209 . 212 . 212 . 213

D Lijeve grupe i algebre

217

Literatura

221

Predgovor Materijal izloˇzen u ovom udˇzbeniku je prilagod¯en predmetu Metodi efektivne teorije polja u kondenzovanom stanju koji pohad¯aju studenti master studija na Departmanu za fiziku u Novom Sadu. Kao takav, tekst ima dve osnovne namene. Prva je da se studenti upoznaju sa baziˇcnim elementim teorija koje se zasnivaju na postojanju spontanog naruˇsenja simetrije, kao ˇsto su Goldstonova polja i efektivni lagranˇzijani. Drugi, podjednako vaˇzan aspekt ovog udˇzbenika je upoznavanje studenata sa obimnom literaturom iz ove oblasti. Metod efektivnih lagranˇzijana se zasniva na primeni Goldstonove teoreme koja tvrdi da se u spektru sistema kod kojih dolazi do spontanog naruˇsenja simetrije javljaju ekscitacije sa iˇsˇcezavaju´cim gepom. Ove ekscitacije (Goldstonova polja) imaju niz interesantnih osobina koje ih ˇcine pogodnim stepenima slobode za opis niskotemperaturske termodinamike takvih sistema. Pre svega, njihov broj i tip (A ili B) zavisi samo od obrasca naruˇsenja simetrije i strukture osnovnog stanja. Takod¯e, rasejanje Goldstonovih polja na niskim energijama je slabo i zbog toga se mogu uzeti kao osnova za sistematsku teoriju perturbacija koja ne zahteva postojanje malog parametra u hamiltonijanu (ili lagranˇzijanu) odgovaraju´ceg modela. Lagranˇzijani konstruisani pomo´cu Goldstonovih polja se ˇcesto oznaˇcavaju kao nelinearni σ modeli i do sada su sa uspehom primenjeni na opis velikog broja razliˇcitih sistema poˇcevˇsi od fizike visokih energija pa sve do problema iz fizike kondenzovanog stanja. Ideja metoda efektivnih lagranˇzijana se lepo moˇze ilustrovati na primeru Hajzenbergovog antiferomagneta. Antiferomagnet se sastoji od kristalne reˇsetke u ˇcijim ˇcvorovima su smeˇsteni joni odred¯enih hemijskih elemenata i od elektrona koji u opˇstem sluˇcaju mogu da prelaze sa ˇcvora na ˇcvor. Poˇsto je masa jona bar 2000 puta ve´ca od mase elektrona, u prvoj aproksimaciji se dinamika kristalne reˇsetke moˇze odvojiti od dinamike pokretnih elektrona (tzv. adijabatska aproksimacija). Na taj naˇcin se dolazi do hamiltonijana u kojem figuriˇsu jedino elektronski operatori. Najjednostavniji hamiltonijan ove vrste, kod kojeg se u svakom ˇcvoru reˇsetke mogu na´ci maksimalno dva elektrona suprotno orijentisanih spinova je Habardov. U njemu postoje tri nezavisna parametra: amplituda verovatno´ce prelaska elektrona sa ˇcvora n na ˇcvor m, koja se obiˇcno oznaˇcava sa tnm , intenzitet kulonovskog odbijanja elektrona na istom ˇcvoru U i popunjenost ˇcvorova elektronima (koncentracija). Kada je U ≪ |tnm |, elektroni predstavljaju gotovo slobodne ˇcestice i moˇzemo koristiti standardnu teoriju perturbacija sa malim parametrom U/|tnm |. Sa druge strane, ako je Kulonova interakcija dominantna, nemogu´ce je primeniti perturbativni razvoj jer ne postoji osnovno stanje neinteraguju´cih elektrona. Poˇsto je, zbog jake Kulonove interakcije, energetski znatno povoljnije da se na ˇcvorovima nalaze pojedinaˇcni elektroni, oni ´ce preskakati sa ˇcvora na ˇcvor sa vrlo malom verovatno´com i praktiˇcno ´ce biti fiksirani. Pokazuje se da je kod polupopunjenog kristala dinamiku jako korelisanog Habardovog modela (U ≫ |tnm |) mogu´ce svesti na efektivnu antiferomagnetnu interakciju lokalizovanih spinova S = 1/2 sa integralom izmene J = 4|tnm |2 /U . Elementarne ekscitacije sistema lokalizo9

10

ˇ SADRZAJ

vanih spinova su magnoni i oni predstavljaju Goldstonova polja za sluˇcaj spontanog naruˇsenja simetrije po obrascu O(3) → O(2). Korist od uvod¯enja magnona kao efektivnih stepeni slobode se najbolje ogleda u slede´cem: koliko god interakcije izmed¯u elektrona u antiferomagnetnom kristalu bile komplikovane i jake, magnoni se u velikom delu ured¯ene faze ponaˇsaju kao slobodne ˇcestice ˇcime se dolazi do efikasnog okvira za raˇcunanje statistiˇcke sume antiferomagnetnog sistema i povezanih termodinamiˇckih veliˇcina. Tekst je podeljen u tri celine. Prva obuhvata elemente klasiˇcne teorije polja ukljuˇcuju´ci izlaganja o Lagranˇzevom i Hamiltonovom formalizmu, globalnim i lokalnim simetrijama, teoremi Emi Neter i klasiˇcnoj verziji Goldstonove teoreme. Drugo poglavlje sadrˇzi osnove Landauove teorije faznih prelaza i u njoj je pokazano kako se klasiˇcna teorija polja moˇze koristiti za opis odred¯enih statistiˇckih sistema. Pored Izingovog modela, diskutovan je i nelinearni σ model za sluˇcaj O(N ) → O(N − 1), Mermin-Vagnerova teorema, kao i jednostavna verzija GinzburgLandauove teorije superprovodnosti sa stanoviˇsta klasiˇcne efetivne teorije za obrazac naruˇsenja simetrije U(1) → Z2 . Tre´ce poglavlje je posve´ceno kvantnim mnogoˇcestiˇcnim sistemima kod kojih se javlja spontano naruˇsenje simetrije. Diskutovana je kvantna verzija Goldstonove toereme i pokazano je kako se klasiˇcna polja u ovom sluˇcaju zamenjuju kvantnim poljima ˇcije se elementarne ekscitacije nazivaju Goldstonovim bozonima. Kao dva osnovna primera su obrad¯eni Hajzenbergov feromagnet i antiferomagnet. Najpre su, sluˇze´ci se analogijom sa klasiˇcnom teorijom polja, dobijene linearizovane jednaˇcine kretanja (ˇsto odgovara standardnom izlaganju linearne teorije spinskih talasa ali se ne zasniva na bozonskim reprezentacijama spinskih operatora) da bismo zatim diskutovali spektar elementarnih ekscitacija i niskotemperatursku termodinamiku ovih sistema. Kao ˇsto je ve´c napomenuto, Goldstonova polja u sluˇcaju magnetnih sistema odgovaraju magnonima koji kod feromagneta predstavljaju Goldstonove bozone tipa B a kod antiferomagneta je reˇc o Goldstonovim bozonim tipa A. Razlike u tipu Goldstonovih bozona se oslikavaju kroz njihv broj i disperzionu relaciju ˇsto za posledicu ima razliˇcito ponaˇsanje unutraˇsnje energije magneta, parametra ured¯enosti i ostalih termodinamiˇckih veliˇcina. Konaˇcno, valjanost ovog prilaza je ilustrovana pored¯enjem sa rezultatim kvantnih Monte karlo simulacija. Na kraju tre´ce glave je detaljno prikazan i postupak dobijanja efektivnih lagranˇzijana za feromagnet i antiferomagnet polaze´ci od obrasca naruˇsenja simetrije O(3) → O(2) i razlike osnovnih stanja u ova dva sluˇcaja. Nakon tre´ceg poglavlja je dat prilog u kojem je detaljnije objaˇsnjena relativistiˇcka notacija, varijacioni izvod, izraˇcunati su integrali Gausovog tipa koji se koriste u drugom poglavlju i objaˇsnjena je odred¯ena terminologija iz teorije grupa. Gde god je to bilo mogu´ce, prikazana su detaljna izvod¯enja i ukazano je na reference u kojima se mogu prona´ci sliˇcni ili opˇstiji rezultati. Takod¯e, navedeni su i brojni izvori u kojima su rezultati prikazani ovde posluˇzili samo kao prvi korak u razvoju potpunijeg opisa fenomena. Sistem jedinica koji je koriˇs´cen u tekstu se zasniva na izboru ℏ = c = kB = 1 a, u zavisnosti od forme koja preovlad¯uje u literaturi iz date oblasti, magnetno polje je oznaˇcavano simbolima B ili h. Autor duguje veliku zahvalnost recenzentima rukopisa: prof. dr Milici Pavkov-Hrvojevi´c, redovnom profesoru Prirodno matematiˇckog fakulteta u Novom Sadu, dr Antunu Balaˇzu, nauˇcnom savetniku sa Instituta za fiziku u Beogradu i dr Petru Malom, vanrednom profesoru Prirodno matematiˇckog fakultata u Novom Sadu, ˇcije su korisne sugestije u mnogome poboljˇsale tekst. Posebno bih istakao trud koji je u traˇzenju greˇsaka (kako ˇstamparskih tako i onih ozbiljnijih) uloˇzio Petar Mali. Tekst je nakon njegovih brojnih intervencija sigurno postao

ˇ SADRZAJ

11

bolji. Sve preostale greˇske su tu mojom krivicom i nadam se da ´ce mi zainteresovani ˇcitaoci ukazati na njih (pisanjem na [email protected]).

Autor

12

ˇ SADRZAJ

1 Osnovi klasiˇ cne teorije polja Klasiˇcno polje predstavlja sistem sa beskonaˇcno mnogo stepeni slobode i moˇze se opisati funkcijom koja je definisana u svakoj taˇcki prostor-vremena. Radi jednostavnosti razmatranje ´cemo poˇceti sa klasiˇcnim realnim skalarnim poljem ϕ = ϕ(x, t) ≡ ϕ(x). Ukoliko polje poseduje viˇse komponenti, koje se na odred¯eni naˇcin ponaˇsaju u odnosu na neki zadati skup transformacija, govori se o vektorskim, tenzorskim ili spinorskim klasiˇcnim poljima. U teoriji polja se uvodi i pojam unutraˇsnjeg stepena slobode (spin, izospin, boja, ukus...), tako da polje moˇze biti skalar u odnosu na Lorencove transformacije (ili rotacije) i istovremeno imati sloˇzeniju strukturu u odnosu na unutraˇsnje stepene slobode. Osnovna dinamiˇcka veliˇcina u klasiˇcnoj i kvantnoj teoriji polja je funkcija ϕ. Zbog toga je od interesa na´ci jednaˇcine kretanja za polje. To je mogu´ce uraditi polaze´ci od analogije sa mehanikom sistema ˇcestica. Jednaˇcine klasiˇcne teorije su prvo razmotrene u Lagranˇzevoj formulaciji, jer se u tom formalizmu najlakˇse vrˇsi prelaz od mehanike ˇcestica ka teoriji polja. Pored toga, Lorencova invarijantnost, jedna od fundamentalnih principa savremene fizike, najlakˇse se ostvaruje u Lagranˇzevom formalizmu. Takod¯e, Lagranˇzev formalizam predstavlja osnovu za Fajnmanov pristup kvantovanja klasiˇcnih sistema. Nakon osvrta na Lagranˇzev formalizam, diskutujemo i Hamiltonov pristup na koji se naslanja kanonska kvantizacija klasiˇcnih teorija. Konaˇcno, razmatra´cemo globalne simetrije, koje vode na zakone oˇcuvanja, kao i lokalne simetrije koje imaju vaˇznu ulogu u velikom broju fiziˇckih teorija. Neki osnovi raˇcuna sa funkcionalima, potrebni za formulisanje dinamiˇckih zakona u teoriji polja, izloˇzeni su u Prilogu B.

1.1 1.1.1

Lagranˇ zev formalizam u teoriji polja Varijacioni princip za klasiˇ cno polje i veza sa mehanikom sistema ˇ cestica

Uvodno izlaganje u ovom poglavlju je posve´ceno Lagranˇzevom formalizmu u klasiˇcnoj teoriji polja. Budu´ci da se ovaj prilaz oslanja na lagranˇzevski opis sistema mehaniˇckih ˇcestica, radi lakˇseg prelaska na opis sistema sa beskonaˇcno mnogo stepeni slobode, prvo ´cemo se podsetiti nekih detalja vezanih za primenu Lagranˇzevog formalizma na opis sistema nerelativistiˇckih ˇcestica. Kljuˇcnu ulogu u geometrijskoj postavci Lagranˇzevog opisa ima prostor kinematiˇckih stanja (tzv. µ prostor). Ukoliko se N nerelativistiˇckih ˇcestica kre´ce u trodimenzionom prostoru, 13

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

14

Slika 1.1: Koordinate proizvoljne taˇcke p iz prostora kinematiˇckih stanja prostor kinematiˇckih stanja je 6N dimenzioni prostor. U opˇstem sluˇcaju, prostor kinematiˇckih stanja nije vektorski prostor1 ali tu komplikaciju ne´cemo uzimati u obzir i pretpostavi´cemo da je prostor kinematiˇckih stanja jednostavno R6N . Koordinate na prostoru kinematiˇckih stanja oznaˇcavamo sa {q i , q˙i }, i = 1, 2 . . . 3N , i, budu´ci da su po definiciji razliˇcite koordinatne funkcije u prostoru kinematiˇckih stanja nezavisne, vaˇze relacije ∂q i ∂ q˙i = = δji , ∂q j ∂ q˙j

∂ q˙i ∂q i = = 0. ∂q j ∂ q˙j

(1.1)

Dakle, proizvoljna taˇcka p iz prostora kinematiˇckih stanja je odred¯ena pomo´cu 6N vrednosti njenih koordinata (Videti Sl. 1.1) q 1 (p), q 2 (p), . . . , q 3N (p), q˙1 (p), . . . , q˙3N (p) i, u principu nema nikakve veze izmed¯u brojeva qk (p) i q˙k (p) za neko fiksno k. Sa druge strane, reˇsenje problema opisa sistema ˇcestica u Lagranˇzevom formalizmu je funkcija t 7→ f (t) ∈ R6N koja zadovoljava jednaˇcine kretanja (Videti (1.10) niˇze za jedan primer jednaˇcina kretanja). Ovakvu funkciju moˇzemo predstaviti pomo´cu vektora kolone T  1 f (t) f 2 (t) . . . f 3N (t) f 3N +1 (t) . . . f 6N (t) (1.2) pri ˇcemu su vrednosti njenih komponenti date sa     df i (t) , i = 1, 2, . . . 3N . f i (t) := q i f (t) , f 3N +i (t) ≡ q˙i f (t) := dt

(1.3)

Recimo, u sluˇcaju linearnog harmonijskog oscilatora, jedno reˇsenje problema u prostoru kinematiˇckih stanja je dato sa   x0 cos(ωt) t 7→ (1.4) −x0 ω sin(ωt) 1

Na primer, prostor kinematiˇckih stanja za dva spojena matematiˇcka klatna je tangentno raslojenje ˇcija je osnova torus.

ˇ 1.1. LAGRANZEV FORMALIZAM U TEORIJI POLJA

15

gde je x0 vrednost koordinate q 1 u poˇcetnom trenutku a ω je kruˇzna frekvencija. Dakle, iako su koordinatne funkcije u prostoru kinematiˇckih stanja med¯usobno nezavisne, komponente klasiˇcnog reˇsenja nisu. Sa druge strane, jedan primer za proizvoljnu funkciju t 7→ f (t) ∈ R2 je  t 7→

t et

 (1.5)

i ona ne predstavlja reˇsenje problema linearnog harmonijskog oscilatora. U Poglavlju 2 ´cemo videti da se za ispravan statistiˇcki opis (mnogoˇcestiˇcnog) sistema u obzir moraju uzeti sve konfiguracije a ne samo one koje zadovoljavaju jednaˇcine kretanja. U nastavku ´cemo upotrebljavati standardnu zloupotrebu notacije i koristi´cemo oznaku {q i (t), q˙i (t)} kako za koordinatne funkcije u µ prostoru tako i za reˇsenja jednaˇcina kretanja. Konkretan smisao bi trebao da bude jasan iz konteksta. Sliˇcna konvencija ´ce biti usvojena i kada sa sistema ˇcestica pred¯emo na klasiˇcna polja. Za dovoljno ˇsiroku klasu mehaniˇckih sistema dinamiˇcka evolucija je odred¯ena principom stacionarnog dejstva (Hamiltonov princip, [Mili´c, B. (1997)]). Posmatrajmo idealni holonomni sistem sa N stepeni slobode (pri ˇcemu se N ne mora poklapati sa brojem ˇcestica u sistemu) u kojem deluju potencijalne sile interacije. Kinematiˇcko stanje takvog sistema je odred¯eno poznavanjem svih generalisanih koordinata i brzina {q a (t), q˙a (t)}, a = 1, 2, ...N , u svakom trenutku vremena i reprezentovano je taˇckom u µ-prostoru. Prema Hamiltonovom principu, stvarna evolucija posmatranog sistema se odvija po putanji u konfiguracionom prostoru duˇz koje Hamiltonovo dejstvo ima stacionarnu vrednost: a

Z

δS[{q (t)}] = δ

tf

  dt L {q a (t), q˙a (t)}, t = 0.

(1.6)

ti

U gornjoj jednaˇcini sa S je oznaˇcen funkcional Hamiltonovog dejstva, ti i tf predstavljajupoˇcetni i krajnji  trenutak u vremenu izmed¯u kojih se posmatra evolucija sistema dok je a a L {q (t), q˙ (t)}, t Lagranˇzeva funkcija koja zavisi od vremena i svih generalisanih koordinata i brzina sistema. Kada se variranje funkcionala iz (1.6) sprovede do kraja dobijaju se poznate Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine viˇseˇcestiˇcnog mehaniˇckog sistema. Pri tome zahtevamo da varijacije funkcije t 7→ q(t) iˇsˇcezavaju u poˇcetnom i krajnjem trenutku, δq a (ti ) = δq a (tf ) = 0, za sve a = 1, 2, . . . 3N . Primer 1.1. U sluˇcaju idealnog holonomnog sistema sa potencijalnim interakcijama, Lagranˇzeva funkcija je data sa       L {q a (t), q˙a (t)}, t = T {q a (t), q˙a (t)}, t − U {q a (t)}, t , (1.7) gde je T ukupna kinetiˇcka a U potencijalna energija sistema. Jednaˇcine klasiˇcne mehanike se za ovaj sistem dobijaju iz Hamiltonovog principa prema kojem je Hamiltonovo dejstvo stacionarno u odnosu na varijacije generalisanih koordinata. Drugim reˇcima [videti jednaˇcine (B.8)-(B.12)], vaˇzi Z tf   δ δS[{q a (t)}] a a = b dt L {q (t), q˙ (t)}, t = 0, b = 1, 2, . . . N . (1.8) δq b (τ ) δq (τ ) ti

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

16

Imaju´ci u vidu definiciju varijacionog izvoda (B.12), kao i definiciju Lagranˇzeve funkcije (1.7), vidimo da se jednaˇcine kretanja dobijaju variranjem jedne funkcije qb (τ ), pri ˇcemu je ti < τ < tf , dok se ostale drˇze fiksirane. Tako nalazimo   Z  1 tf δS d a a b b = lim ϵδ(t − τ ), {q (t), q ˙ (t)} , t dt L q (t) + ϵδ(t − τ ), q ˙ (t) + a̸ = b ϵ→0 ϵ t δq b (τ ) dt i  i − L {q a (t), q˙a (t)}, t  Z tf  ∂L d ∂L δ(t − τ ) + b δ(t − τ ) = dt ∂q b (t) ∂ q˙ (t) dt ti  Z tf  ∂L d ∂L = dt − δ(t − τ ), (1.9) ∂q b (t) dt ∂ q˙b (t) ti pri ˇcemu smo iskoristili da je δ(τ − ti ) = δ(τ − tf ) = 0, ˇsto odgovara ranije spomenutom uslovu δq a (ti ) = δq a (tf ) = 0. Dakle, Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine u ovom sluˇcaju glase d ∂L ∂L − = 0. b ∂q (t) dt ∂ q˙b (t)

(1.10)

Njihova analiza i primene se mogu na´ci u standardnim udˇzbenicima [Mili´c, B. (1997); Muˇsicki, Dj. (1987)]. ■ ˇ Prelazak sa mehanike sistema ˇcestica na teoriju polja se moˇze izvrˇsiti na slede´ci naˇcin [Sif, L. (1968); Greiner, W. (1996)]. Pretpostavimo da je prostor izdeljen na elemente zapremine koje prebrojava diskretni vektor n. Neka se u svakom elementu zapremine nalazi po jedna ˇcestica ˇcije je stanje opisano generalisanim koordinatama i brzinama qni (t), q˙ni (t) , i = 1, 2, 3. U graniˇcnom sluˇcaju kada pomenuti elementi zapremine teˇze nuli (i dalje ispunjavaju´ci ceo prostor), diskretni indeks n postaje kontinualni vektor poloˇzaja x. Ako se sada za opis sistema kao nebitne mogu ispustiti dve generalisane koordinate po elementarnoj ´celiji (odnosno po ˇcestici) i njihove odgovaraju´ce brzine, dolazi se do pojma jednokomponentnog polja kao funkcije definisane u svakoj taˇcki prostora i vremena: qn (t) −→ qx (t) ≡ ϕ(x, t) ≡ ϕ(x), pri ˇcemu je uveden vektor2   t x≡ . x

(1.11)

(1.12)

Konaˇcno, ako se u odnosu na Lorencove transformacije x → Λx polje ϕ transformiˇse kao ϕ(x) → ϕ′ (x) = ϕ(Λ−1 x), kaˇzemo da je ϕ skalarno polje. Kao ˇsto bi se moglo naslutiti, jednokomponentno skalarno polje se moˇze koristiti samo za opis malog broja fiziˇcki interesantnih sistema. Iako je mogu´ce uopˇstiti pojam skalarnog polja tako da se dobijaju razliˇciti Lorenc-invarijantni modeli [Weinberg, S. (2008)], mi ´cemo se u nastavku ˇcesto susretati i sa dvokomponentim nereˇ lativistiˇckim poljem (tzv. Sredingerovo polje). Umesto u odnosu na Lorencove transformacije, nerelativistiˇcko polje se definiˇse u odnosu na rotacije: ψ(x) → ψ ′ (x) = ψ(R−1 x), gde je R matrica koja reprezentuje rotaciju u RD a D oznaˇcava prostornu dimenziju. 2

U Prilogu A je detaljnije obrazloˇzena koriˇs´cena relativistiˇcka notacija.

ˇ 1.1. LAGRANZEV FORMALIZAM U TEORIJI POLJA

17

U mehanici ˇcestica vreme je parametar a dinamiˇcka promenjiva je vektor poloˇzaja (odnosno impuls ˇcestice). Sa druge strane, u teoriji polja je dinamiˇcka promenjiva polje ϕ ≡ ϕ(x, t) a prostorne koordinate x postaju parametar koji zajedno sa vremenskom koordinatom karakteriˇse polje ϕ(x, t) u svakoj taˇcki prostora i vremena. U Poglavlju 2 ´cemo razmatrati klasiˇcne statistiˇcke sisteme kod kojih skup parametara saˇcinjavaju samo prostorne koordinate i koji se takod¯e mogu opisati jezikom teorije polja. Konaˇcno, u Poglavlju 3 ´cemo videti kakva je veza klasiˇcnih statistiˇcki sistema i kvantnih teorija polja. Kako bismo do kraja definisali klasiˇcnu teoriju polja u Lagranˇzevom formalizmu, moramo na odgovaraju´ci naˇcin prilagoditi i pojam lagranˇzijana koji se koristi u mehanici sistema ˇcestica. U tom smislu ´cemo po´ci od tzv. slobodnog polja koje predstavlja direktnu generalizaciju sistema neinteraguju´cih ˇcestica. Lagranˇzijan takvog sistema je prosto zbir lagranˇzijana pojedinih ˇcestica [Landau & Lifshitz (2013)]. Prilikom prelaska sa sistema ˇcestica na polje, ovaj zbir postaje integral po prostoru V = RD u kojem se nalazi polje, tako da Lagranˇzeva funkcija postaje funkcional Z     a a ˙ ˙ L {q (t), q˙ (t)}, t −→ L[ϕ(t), ϕ(t)] = L ϕ(x, t), ϕ(x, t) . (1.13) x

U gornjem izrazu je uvedeno skra´ceno oznaˇcavanje za prostorni integral Z Z D d x≡

(1.14)

x

dok taˇckica oznaˇcava parcijalni izvod polja po vremenu ˙ ϕ(x, t) = ∂t ϕ(x, t).

(1.15)

Takod¯e, nova uvedena veliˇcina je gustina lagranˇzijana3 L koja je funkcija polja i izvoda polja ˙ po vremenu. ϕ(x, t) se pojavljuje u (1.13) kao posledica prisustva generalisanih brzina u lagranˇzijanu sistema ˇcestica. Konaˇcan oblik gustine lagranˇzijana koji se koristi u teorijama polja sadrˇzi i izvode polja po prostornim koordinatama, ∇ϕ(x, t), koji opisuju varijacije polja od taˇcke do taˇcke. Drugim reˇcima Z   ˙ ˙ L[ϕ(t), ϕ(t)] = L ϕ(x, t), ϕ(x, t), ∇ϕ(x, t) (1.16) x

pri ˇcmu oblik funkcije L zavisi od konkretnog modela koji se koristi. Iako smo funkcional ˙ L[ϕ(t), ϕ(t)] uveli oslanjaju´ci se na pojam slobodnog polja, smatra´cemo da se ˇcitava konstrukcija moˇze primeniti i u sloˇzenijim situacijama. Najˇceˇs´ce se koriste gustine lagranˇzijana koje ˙ sadrˇze samo ∇ϕ(x, t) i ϕ(x, t) a ne i izvode viˇseg reda, da bi jednaˇcine kretanja za polje bile diferencijalne jednaˇcine drugog reda. U principu se, pogotovo u efektivnim teorijama polja, mogu pojaviti i sloˇzenije gustine lagranˇzijana [Weinberg, S. (2008); Watanabe, H., Murayama, H. (2014)]. U sluˇcaju slobodnih polja gustina lagranˇzijana je najviˇse kvadratni polinom polja ϕ jer se tada dobijaju linearne diferencijalne jednaˇcine kretanja (videti slede´ci odeljak). Joˇs jedna pretpostavka je da gustina lagranˇzijana ne zavisi eksplicitno od vektora poloˇzaja i vremena. Vektor x = [t x]T se moˇze eksplicitno pojaviti u gustini lagranˇzijana ako se razmatra sistem koji nije zatvoren [Ryder, L.H. (1996)]. Prisustvo ∇ϕ(x, t) u (1.16) se moˇze shvatiti i 3ˇ

Cesto se u teoriji polja gustina lagranˇzijana jednostavno naziva lagranˇzijanom.

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

18

sa stanoviˇsta specijalne teorije relativnosti (STR). Kako opis fiziˇckog sistema ne sme zavisiti od izbora inercijalnog sistema reference, prisustvo ϕ˙ u gustini lagranˇzijana sa sobom povlaˇci postojanje ∇ϕ, jer se prilikom Lorencovih transformacija ∂t ϕ ≡ ∂0 ϕ ponaˇsa kao komponenta kvadrivektora (ako je ϕ skalarna funkcija). Lorencove transformacije meˇsaju komponente kvadrivektora tako da gustina lagranˇzijana napisana u proizvoljnom inercijalnom sistemu mora sadrˇzati izvode po sve ˇcetiri koordinate. Ovaj zakljuˇcak vaˇzi i za polja sloˇzenije strukture (na primer vektorski elektromagnetni potencijal), jer su Lorencove transformacije linearne pa se izrazi tipa ∂α Aβ transformiˇsu kao komponente meˇsovitog kvadritenzora. Dejstvo za polje se definiˇse po analogiji sa mehanikom sistema ˇcestica Z tf Z tf Z   ˙ ˙ S[ϕ] = dt L[ϕ(t), ϕ(t)] = dt L ϕ(x, t), ϕ(x, t), ∇ϕ(x, t) , (1.17) ti

ti

x

pri ˇcemu je sad oblast integracije Ω ⊂ RD+1 . Sliˇcno se uopˇstava i varijacioni princip koji tvrdi da ´ce polje evoluirati u prostoru i vremenu na taj naˇcin da dejstvo ima ekstremalnu (najˇceˇs´ce minimalnu) vrednost [Greiner, W. (1996); Weinberg, S. (2008)]: δS[ϕ] = 0.

(1.18)

Pri tome se pretpostavlja da varijacije polja na granicama integracije iˇsˇcezavaju, δϕ|∂Ω = 0. Takod¯e, ponekad ´cemo pretpostaviti i da polja na granici oblasti imaju konstantnu vrednost ϕ|∂Ω = const (po potrebi ´cemo birati i ϕ|∂Ω = 0). U takvim situacijama ´cemo mo´ci da zanemarimo integrale po povrˇsini koja obuhvata prostor u kojem se nalazi polje. Recimo, Z Z Z   Z 2 ∇ϕ · ∇ϕ = div ϕ∇ϕ − ϕ∇ ϕ = − ϕ∇2 ϕ, (1.19) x

x

x

x

jer se integral koji sadrˇzi divergenciju prevodi u povrˇsinski integral koji, na osnovu pretpostavke o ponaˇsanju polja ϕ, iˇsˇcezava. Analogna relacija vaˇzi u sluˇcaju integracije po prostornovremenskim koordinatama i tada je potrebno koristiti ˇcetvorodimenzionu verziju Gausove teoreme: Z Z Z   Z µ µ µ ∂µ ϕ∂ ϕ = ∂µ ϕ∂ ϕ − ϕ∂µ ∂ ϕ = − ϕ∂ 2 ϕ, (1.20) x

x

x

x

gde je ∂ 2 = ∂µ ∂ µ ˇcetvorodimenzioni Laplasov operator (nekada se naziva i Dalamberovim operatorom) a ∂µ su komponente kovarijantnog kvadrivektora gradijenta [∂t ∂x ∂y ∂z ] ≡ [∂0 ∂1 ∂2 ∂2 ] ≡ ∂.

(1.21)

Iz konteksta jednaˇcine treba da bude jasno kada se koristi kvadrivektor gradijenta a kada obiˇcan parcijalni izvod, iako su oznaˇceni istim simbolom ∂. Takod¯e, uveˇs´cemo i Lorenc-invarijantan element zapremine u 4-dimenzionom prostoru d4 x = dt d3 x

(1.22)

tako da se dejstvo moˇze napisati kao ˇcetvorostruki integral Z   Z   4 S[ϕ] = d x L ϕ(x), ∂µ ϕ(x) ≡ L ϕ(x), ∂µ ϕ(x) , x

(1.23)

ˇ 1.1. LAGRANZEV FORMALIZAM U TEORIJI POLJA dok Hamiltonov princip postaje Z   δ L ϕ(x), ∂µ ϕ(x) = 0.

19

(1.24)

x

Znaˇcajna osobina funkcionala dejstva (1.17), odnosno (1.23) je da se sve informacije o dinamici sistema zapravo nalaze u funkciji L. Zbog toga se jednaˇcine kretanja mogu izraziti pomo´cu parcijalnih a ne varijacionih izvoda [Altland, A., Simons, B. (2010)]. Konaˇcno, po potrebi R ´cemo simbole ∂ i x koristiti i kada broj prostorno-vremenskih dimenzija nije 1 + 3.

1.1.2

Ojler-Lagranˇ zeve jednaˇ cine klasiˇ cne teorije polja

Jednaˇcine kretanja za klasiˇcno polje se dobijaju primenom definicije varijacionog izvoda (B.12) na dejstvo (1.23) Z    Z  1 δS[ϕ] = lim L ϕ(x) + ϵ δ(x − y), ∂µ [ϕ(x) + ϵ δ(x − y)] − L ϕ(x), ∂µ ϕ(x) ϵ→0 ϵ δϕ(y) x x Z  Z  Z ∂L 1 ∂L = lim L ϕ(x), ∂µ ϕ(x) + ϵ δ(x − y) + ϵ ∂µ δ(x − y) ϵ→0 ϵ x x ∂ϕ x ∂(∂µ ϕ)  Z   2 L ϕ(x), ∂µ ϕ(x) + O(ϵ ) , (1.25) − x

ˇ pri ˇcemu je δ(x − y) = δ(t − τ ) δ(x − y). Clan koji sadrˇzi izvod delta funkcije se moˇze reˇsiti parcijalno   Z Z   ∂L ∂L ∂L ϵ ∂µ δ(x − y) = ∂µ ϵ δ(x − y) − ∂µ ϵ δ(x − y) . (1.26) ∂(∂µ ϕ(x)) ∂(∂µ ϕ(x)) x ∂(∂µ ϕ) x Prvi sabirak je integral po zapremini divergencije kvadrivektora (L je pravi Lorencov skalar, videti niˇze) koji se moˇze prevesti u povrˇsinski integral ˇcetvorodimenzionom varijantom Gausove teoreme. Na granicama integracije varijacija polja δϕ(x) = ϵ δ(x − y) iˇsˇcezava, pa ovaj sabirak nestaje. Dakle, dobija se   Z ∂L ∂L δS[ϕ] = δ(x − y) − ∂µ . (1.27) δϕ(y) ∂ϕ(x) ∂(∂µ ϕ(x)) x Iz uslova stacionarnosti dejstva se dobijaju Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine klasiˇcne teorije polja ∂µ

∂L ∂L − = 0. ∂(∂µ ϕ) ∂ϕ

(1.28)

Razdvajanjem vremenske i prostornih koordinata, (1.28) poprima slede´ci oblik ∇

∂L ∂L ∂L + ∂t − = 0. ∂(∇ϕ) ∂(∂t ϕ) ∂ϕ

(1.29)

Kao ˇsto je napomenuto ranije, jednaˇcine kretanja za klasiˇcno polje se zaista mogu izraziti samo pomo´cu funkcije gustine lagranˇzijana. Gornja jednaˇcina je izvedena za sluˇcaj jednokomponentnog skalarnog polja. Ukoliko skalarno polje ima viˇse komponenti4 , koje ´cemo oznaˇciti sa 4

Skalarno polje koje ima viˇse komponenti je skalar u koordinatnom prostoru dok istovremeno ima sloˇzeniju strukturu u odnosu na unutraˇsnje stepene slobode.

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

20

ϕa , povezanih sa unutraˇsnjim stepenima slobode, Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine postaju ∂µ

∂L ∂L − a = 0, a ∂(∂µ ϕ ) ∂ϕ

a = 1, 2...N.

(1.30)

Sluˇcaju N = 2 odgovara realno polje koje se moˇze predstaviti pomo´cu dvokomponentnog vektora u unutraˇsnjem prostoru  1  ϕ (x) ϕ(x) = , (1.31) ϕ2 (x) ili u vidu kompleksnog polja ϕ(x) =

ϕ1 (x) + iϕ2 (x) √ , 2

ϕ∗ (x) =

ϕ1 (x) − iϕ2 (x) √ . 2

(1.32)

Kasnije ´cemo videti da kompleksna polja opisuju sisteme naelektrisanih ˇcestica. Takod¯e, pored skalarnih, vaˇznu primenu imaju i vektorska5 ili tenzorska polja. Najpoznatije vektorsko polje je svakako elektromagnetno polje dok je primer tenzorskog polja, recimo, polje metrike koje se koristi u opˇstoj teoriji relativnosti [Panti´c, M. (2005)]. Nakon ˇsto smo videli kako izgledaju jednaˇcine kretanja dobijene iz varijacionog principa, prirodno se name´ce pitanje odabira gustine lagranˇzijana koja vodi na korektnu teoriju polja. Savremene teorije poljaodgovor na to pitanje daju u vidu dodatnih simetrija koje se name´cu funkciji L ϕ(x), ∂µ ϕ(x) i funkcionalu dejstva. Ukoliko se zahteva da teorija polja zadovoljava principe specijalne teorije relativnosti, gustina lagranˇzijana mora biti Lorencov skalar. U tom sluˇcaju je jednaˇcina (1.28), odnosno (1.30) invarijantna u odnosu na Lorencove transformacije [Weinberg, S. (2008)]. Takod¯e, dejstvo mora biti realna funkcija, ˇcime se obezbed¯uje jednak broj jednaˇcina i komponenti polja. Med¯utim, i tu postoje neki izuzeci [Weinberg, S. (2008)]. Sa druge strane, lagranˇzijani koji se koriste za opis nerelativistiˇckih sistema ne moraju imati isti broj prostornih i vremenskih izvoda ali se obiˇcno name´ce uslov rotacione simetrije. Takod¯e, i u relativistiˇckom i u nerelativistiˇckom sluˇcaju se gustina lagranˇzijana bira tako da vodi na pozitivno definitni Hamiltonov funkcional u sluˇcaju slobodnog polja (videti odeljak 1.2). Primer 1.2. Najjednostavnijoj relativistiˇckoj teoriji polja, tzv. slobodnom skalarnom polju, odgovara gustina lagranˇzijana  1  1  1 ∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2 = η µν ∂µ ϕ∂ν ϕ − m2 ϕ2 = η αβ ∂α ϕ∂β ϕ − m2 ϕ2 . (1.33) LKG = 2 2 2 Poˇsto je ∂LKG = −m2 ϕ, ∂ϕ

∂LKG = η αβ ∂α ϕδβµ = η αµ ∂α ϕ = ∂ µ ϕ, ∂(∂µ ϕ)

(1.34)

pomo´cu (1.28) nalazimo ∂µ 5

 ∂LKG ∂LKG  − = ∂µ ∂ µ + m2 ϕ = (∂ 2 + m2 )ϕ = 0. ∂(∂µ ϕ) ∂ϕ

(1.35)

Za polje sa komponentama V µ kaˇzemo da je vektorsko ukoliko se u odnosu na Lorencove transformacije njegove komponente menjaju prema V µ (x) → Λµν V ν (Λ−1 x). Tenzorska polja su definisana direktnom generalizacijom. Videti Prilog A.

ˇ 1.1. LAGRANZEV FORMALIZAM U TEORIJI POLJA

21

ˇ Ova jednaˇcina je poznata kao Klajn-Gordonova (ili relativistiˇcka Sredingerova) jednaˇcina i ˇ L. (1968)]. Po analogiji, ϕ se neka njena reˇsenja su obrad¯ivana na kursu kvantne mehanike [Sif, oznaˇcava kao Klajn-Gordonovo polje. Treba obratiti paˇznju da (1.33) definiˇse klasiˇcnu teoriju polja u kojoj je m jednostavno parametar. Vide´cemo da se u sluˇcaju kvantne verzije teorije parametar m interpretira kao masa elementarnih ekscitacija polja ϕ. ■ Primer 1.3. Ukoliko teorija polja opisuje nerelativistiˇcki sistem, prostorne i vremenska koordinata ne moraju ulaziti u gustinu lagranˇzijana simetriˇcno. Ipak, pored toga se ˇcesto insistira samo na rotacionoj simetriji triju prostornih koordinata ˇsto oslikava pretpostavljenu izotropiju prostora. Osnovni primer u ovom sluˇcaju je dat gustinom lagranˇzijana LS = iψ ∗ ∂t ψ −

1 ∇ψ ∗ · ∇ψ, 2m

(1.36)

gde je sada ψ(x, t) kompleksno klasiˇcno polje. Jednaˇcinu kretanja za ψ moˇzemo dobiti variranjem gustine lagranˇzijana po ψ ∗ . Tako nalazimo ∂LS = i∂t ψ, ∂ψ ∗

∂LS = 0, ∂(∂t ψ ∗ )

∂LS 1 =− ∇ψ ∗ ∂(∇ψ ) 2m

(1.37)

Koriste´ci sada Ojler-Lagranˇzevu jednaˇcinu u obliku (1.29), vidimo da ψ zadovoljava i∂t ψ = −

1 2 ∇ ψ. 2m

(1.38)

ˇ Dobijena jednaˇcina liˇci na Sredingerovu jednaˇcinu i stoga se klasiˇcno polje ψ, koje ne predstavlja ˇ talasnu funkciju, oznaˇcava kao Sredingerovo polje. Za samostalnu veˇzbu je ostavljeno nalaˇzenje ∗ jednaˇcine kretanja za ψ . ■ Primer 1.4. Mogu´ce je definisati i kompleksno Klajn-Gordonovo polje. Gustina lagranˇzijana je L = ∂µ ϕ∗ ∂ µ ϕ − m2 ϕ∗ ϕ.

(1.39)

Nalaˇzenje odgovaraju´cih jednaˇcina kretanja je ostavljeno za samostalnu veˇzbu.

■

Primer 1.5. Pogledajmo sada i primer vektorskog polja. Gustina lagranˇzijana koja opisuje elektromagnetno polje u vakuumu je 2 1  2 1 ∂t A + gradV − rotA , (1.40) LEM = 2 2 gde su V = V (x, t) i A = A(x, t) skalarni i vektorski potencijal. Na ovom mestu nas interesuje lagranˇzijan koji opisuje samo polje, tako da ´cemo pretpostaviti da u datoj oblasti prostora nema nosilaca naelektrisanja. Variranjem lagranˇzijana (1.40) se dobijaju dve Meksvelove jednaˇcine a druge dve su automatski zadovoljene samim definicijama potencijala. Zaista, ako je E = −∂t A − gradV,

B = rotA,

(1.41)

uzimanjem rotora prve od ovih jednaˇcina dobijamo rotE = −∂t rotA = −∂t B,

(1.42)

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

22

ˇsto je lokalni oblik Faradejevog zakona. Sliˇcno, nalaˇzenjem divergencije druge jednaˇcine direktno dobijamo divB = 0, ˇsto je lokalna forma Amperove hipoteze. Pogledajmo sada kako se iz (1.40) dobijaju i preostale dve jednaˇcine. Pre svega, vidimo da (1.40) ne sadrˇzi V i ∂t V . Zbog toga jedna vektorska jednaˇcina glasi i2 h i 1 ∂ h ∂LEM = ∇· ∂t A + gradV = ∇ · ∂t A + gradV = 0. (1.43) ∇· ∂(∇V ) 2 ∂(∇V ) Imaju´ci u vidu relaciju E = −∂t A − gradV , gornja jednaˇcina je u stvari lokalni oblik Gausovog zakona, divE = 0. Za dobijanje preostale Meksvelove jednaˇcine za promenjive u (1.30) uzimamo komponente vektorskog potencijala. Poˇsto vektorski potencijal u lagranˇzijan (1.40) ulazi samo kroz ∂t A i ∂i A, Ojler-Lagranˇzeva jednaˇcina glasi ∂t

∂LEM ∂LEM + ∂j = 0. ∂(∂t Ai ) ∂(∂j Ai )

(1.44)

Vektorski oblik prvog ˇclana iz (1.44) glasi i2 h i ∂LEM 1 ∂ h ∂t = ∂t ∂t A + gradV = ∂t ∂t A + gradV ∂(∂t A) 2 ∂(∂t A) = −∂t E.

(1.45)

Za dobijanje drugog sabirka iz (1.44) treba uoˇciti da se prostorni izvodi vektorskog potencijala pojavljuju samo u sabirku (1/2)[rotA]2 . Poˇsto je i2 ∂ ∂ h rotA = 2rotA · ϵklm ∂k Al em = 2rotA · em ϵklm δjk δil ∂(∂j Ai ) ∂(∂j Ai ) h i = 2 rotA ϵjim , (1.46) m

drugi sabirak iz (1.44) se, nakon mnoˇzenja sa ei , moˇze zapisati kao h i h i ∂LEM ei ∂j = −ei ∂j rotA ϵjim = ϵjmi ∂j rotA ei ∂(∂j Ai ) m m = rot rotA = rotB,

(1.47)

gde smo iskoristili vezu izmed¯u vektorskog potencijala i magnetnog polja. Zamena (1.45) i (1.47) u (1.44) daje −∂t E + rotB = 0,

(1.48)

ˇsto je lokalni oblik Amper-Meksvelovog zakona za elektromagnetno polje u vakuumu. Na osnovu definicija skalarnog i vektorskog potencijala, lako je videti da se gustina lagranˇzijana elektromagnetnog polja moˇze zapisati i kao  1 2 2 LEM = E −B . (1.49) 2 Gustina lagranˇzijana (1.49) je dosta kompaktnija od (1.40) ali prikriva ˇcinjenicu da su u Lagranˇzevom formalizmu za elektromagnetno polje pravi dinamiˇcki stepeni slobode skalarni i vektorski potencijal. ■

ˇ 1.1. LAGRANZEV FORMALIZAM U TEORIJI POLJA

23

Primer 1.6. Kao ˇsto je dobro poznato iz kursa klasiˇcne fizike [Mili´c, B. (2002)], Meksvelova elektrodinamika u vakuumu je prva prava relativistiˇcka teorija, iako je zaokruˇzena pre formulisanja specijalne teorije relativnosti. Zbog toga se i gustina lagranˇzijana elektromagnetnog polja moˇze zapisati i u ˇcisto relativistiˇckoj notaciji6 gde se prostorne i vremenska koordinata tretiraju na ravnopravan naˇcin. U tom cilju ´cemo uvesti kvadrivektor potencijala  A(x) =



V (x) A(x)

 ≡

A0 (x) Ai (x)

 ≡

3 X

eµ Aµ ,

(1.50)

µ=0

kao i antisimetriˇcni tenzor elektromagnetnog polja F sa komponentama Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ,

(1.51)

gde su Aµ = ηµβ Aβ komponente pridruˇzenog dualnog kvadrivektora: A0 = A0 = V,

Ai = −Ai ≡ −(A)i ,

(1.52)

a eµ su vektori standardnog bazisa u R4 [Videti dodatak A]. Elektriˇcno i magnetno polje se mogu izraziti pomo´cu komponenti kvadrivektora A. Potrebno je samo definicije (1.41) prilagoditi relativistiˇckoj notaciji. Tako je   (E)i = − ∂t A − gradV = −∂t (−Ai ) − ∂i V = ∂0 Ai − ∂i A0 = F0i . (1.53) i

Sliˇcno   (B)i = rotA = ϵlmi ∂l (−Am ) = −ϵilm ∂l (Am ).

(1.54)

i

Prethodnu jednakost je ˇcesto korisno imati i u obliku koji se dobija nakon mnoˇzenja sa ϵijk i sumiranjem po indeksu i. Tako se dobija   ϵijk (B)i = −ϵijk ϵilm ∂l (Am ) = − ∂j (Ak ) − ∂k (Aj ) = −Fjk . (1.55) Gustina lagranˇzijana (1.40), tj. (1.49) se sada moˇze zapisati kao 1 1 LEM = − Fµν F µν = − Fµν Fγρ η γµ η ρν . 4 4

(1.56)

Prvo ´cemo pokazati da je (1.56) ekvivalentan sa (1.49) a zatim i da se odgovaraju´ce OjlerLagranˇzeve jednaˇcine poklapaju. Poˇsto su u dvostrukoj sumi Fµν F µν od nule razliˇciti samo ˇclanovi sa F0i , Fij , F 0i i F ij , nalazimo [videti (A.9) i (A.11)]   1 1 LEM = − F0i F 0i + Fj0 F j0 + Fji F ji = − 2E · (−E) + ϵkij (B)k (ϵlij (B)l ) 4 4  1  1 = 2E · E − 2δkl (B)k (B)l = E·E−B·B , (1.57) 4 2 6

Videti Prilog A.

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

24

ˇ se tiˇce jednaˇcina kretanja, iz (1.56) je u skladu sa (1.49). Sto   ∂LEM 1 ∂ 1 ∂Fµν 1 = − (Fµν Fγρ η γµ η ρν ) = − F µν = − F µν δµα δνβ − δνα δµβ ∂(∂α Aβ ) 4 ∂(∂α Aβ ) 2 ∂(∂α Aβ ) 2   1 = − F αβ − F βα = −F αβ . (1.58) 2 Poˇsto je ∂LEM /∂Aβ = 0, jednaˇcina kretanja glasi −∂α F αβ = 0.

(1.59)

Ako je β = 0, nalazimo −∂α F α0 = −∂i F i0 = −∂i (−E)i = divE = 0,

(1.60)

ˇsto je jednaˇcina (1.43). Pri tome smo iskoristili jednaˇcinu (A.9) i (1.53). Sliˇcno, ako je β = i, koriste´ci (1.55) i (A.11), dobijamo   αi ji 0i −∂α F = −∂j F − ∂0 F = −∂t (−E)i − ∂j − ϵmji Bm   = ∂t (E)i − ϵjmi ∂j Bm = ∂t E − rotB = 0 (1.61) i

ˇsto je i−ta komponenta jednaˇcine (1.48).

■

Primer 1.7. U efektivnim teorijama polja se pojavljuju gustine lagranˇzijana koje zavise od izvoda viˇseg reda. Recimo, za gustinu lagranˇzijana koja sadrˇzi izvode prvog, drugog i tre´ceg reda, 2 3 2 ϕ = ∂ 2 ϕ(x)/(∂xµ ∂xν ) itd, Ojler-Lagranˇzeva jednaˇcina se ϕ), gde su ∂µν ϕ, ∂µνσ L = L(ϕ, ∂µ ϕ, ∂µν dobija iz Z  δS[ϕ] ∂L ∂L = δ(x − y) − δ(x − y)∂µ δϕ(y) ∂ϕ(x) ∂(∂µ ϕ(x)) x  ∂L ∂L 2 3 + ∂ δ(x − y) + ∂ δ(x − y) , (1.62) 2 ϕ(x)) µν 3 ϕ(x)) µνσ ∂(∂µν ∂(∂µνσ gde smo iskoristili (1.26). Preostala dva ˇclana, u kojima izvodi deluju na delta funkcije, mogu se transformisati na slede´ci naˇcin. Ako dva puta primenimo parcijalnu integraciju, vidimo da se ˇclan koji sadrˇzi dva izvoda moˇze zapisati kao     ∂L ∂L ∂L 2 ∂ δ(x − y) = ∂µ ∂ δ(x − y) − ∂ν δ(x − y)∂µ 2 ϕ(x)) µν 2 ϕ(x)) ν 2 ϕ(x)) ∂(∂µν ∂(∂µν ∂(∂µν ∂L 2 + δ(x − y)∂µν . (1.63) 2 ∂(∂µν ϕ(x)) Nakon integracije ´ce nestati doprinosi prva dva sabirka jer oba imaju strukturu divergencije kvadrivektora i Gausovom teoremom se mogu prevesti u integrale po granici prostor-vremena 3 Minkovskog. Sliˇcan postupak sprovodimo i kod sabirka koji sadrˇzi ∂µνσ δ(x − y). Konaˇcno dolazimo do Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine δS[ϕ] ∂L ∂L ∂L ∂L 2 3 = − ∂µ + ∂µν − ∂µνσ = 0. 2 3 ϕ) δϕ(y) ∂ϕ ∂(∂µ ϕ) ∂(∂µν ϕ) ∂(∂µνσ

(1.64)

ˇ 1.1. LAGRANZEV FORMALIZAM U TEORIJI POLJA

25

Ovakav postupak se moˇze primeniti i na gustine lagranˇzijana koje sadrˇze izvode proizvoljno visokog reda. Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine se tada mogu zapisati kao E(L) = 0, gde je E tzv. Ojlerov operator [Olver, P. (2000)]. U Ojlerovom operatoru parcijalni izvodi viˇseg reda ulaze sa predznacima ±, poput izraza (1.64). ■ Na kraju ovog odeljka treba zabeleˇziti joˇs jedan oblik jednaˇcina kretanja za polje u Lagranˇzevom formalizmu. Naime, u Lagranˇzev funkcional (1.13), ϕ i ϕ˙ ulaze kao nezavisne promenjive [Greiner, W. (1996)], δϕ(x, t) = 0, ˙ δ ϕ(y, t)

˙ δϕ(x, t) δ ϕ(x, t) = δ(x − y). = ˙ δϕ(y, t) δ ϕ(y, t)

(1.65)

˙ po ϕ daje [videti (1.16) i (B.12)] tako da variranje L[ϕ, ϕ] Z    ˙ δL[ϕ, ϕ] 1 ˙ ˙ = lim L ϕ(x) + ϵ δ(x − y), ∇ϕ(x) + ϵ ∇δ(x − y), ϕ(x) − L[ϕ, ϕ] ϵ→0 ϵ δϕ(y) x  Z  ∂L ∂L δ(x − y) + ∇δ(x − y) . (1.66) = ∂(∇ϕ) x ∂ϕ Kada se u drugom sabirku primene parcijalna integracija i Gausova teorema, dobija se ˙ δL[ϕ(t), ϕ(t)] ∂L ∂L = −∇ . δϕ(x, t) ∂ϕ(x, t) ∂(∇ϕ(x, t))

(1.67)

Sliˇcnim postupkom nalazimo  Z   ˙ δL[ϕ(t), ϕ(t)] 1 ˙ ˙ = lim L ϕ(x), ∇ϕ(x), ϕ(x) + ϵ δ(x − y) − L[ϕ, ϕ] ˙ ϵ→0 ϵ δ ϕ(y, t) x ∂L = . ˙ ∂ ϕ(y, t)

(1.68)

Pored¯enjem (1.67) i (1.68) sa (1.29), dolazi se do ˙ ˙ d δL[ϕ, ϕ] δL[ϕ, ϕ] − = 0. dt δϕ δ ϕ˙

(1.69)

Ovaj oblik jednaˇcina kretanja ima vaˇznu ulogu prilikom formulisanja zakona kretanja u Hamiltonovom prilazu. Osim toga, Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine napisane na ovaj naˇcin najviˇse podse´caju na jednaˇcine kretanja sistema ˇcestica, iz kojih se dobijaju formalnom zamenom q a (t) → ˇ L. (1968)]. Lagranˇzev formalizam u teoriji polja ima tu prednost da ϕ(x, t), ∂ → δ [Sif, prostorne i vremenska koordinata ulaze simetriˇcno u jednaˇcine kretanja, tako da je u njemu Lorencova invarijantnost lako vidljiva. Sa druge strane, Hamiltonov formalizam se ˇcesto koristi u fizici kondenzovanog stanja jer tu simetrija izmed¯u prostornih i vremenske koordinate, kao ni Lorencova invarijantnost, nisu toliko bitni.

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

26

1.1.3

Ravni talasi i disperziona relacija

Sve jednaˇcine kretanja navedene primerima 1.2-1.6 su linearne i zbog toga poseduju reˇsenja u vidu ravnih talasa. Ravni talasi zadovoljavaju princip linearne superpozicije i odgovaraju ˇ slobodnim poljima. Neke razlike izmed¯u klasiˇcnog Sredingerovog i Klajn-Gordonovog polja se preslikavaju na kvantne verzije teorija (videti diskusiju iz Poglavlja 3) zbog ˇcega je od interesa detaljnije razmotriti reˇsenja klasiˇcnih jednaˇcina. Pri tome ´cemo koristiti metod Furijeovih transformacija koji se koristi i u sluˇcaju kvantnih polja. Pretpostavi´cemo da su svi Furijeovi integrali koji se pojavljuju u nastavku dobro definisani. Konvencije za Furijeove integrale su navedene u Prilogu A. ˇ Furijeov integral za Sredingerovo polje ˇ Reˇsenje jednaˇcine kretanja za klasiˇcno Sredingerovo polje (1.38) ´cemo traˇziti u vidu Furijeovog integrala Z ˜ ω)eik·x−iωt , ψ(x, t) = ψ(k, (1.70) k,ω

˜ ω) kompleksne Furijeove amplitude. Budu´ci da je gde su ψ(k, Z Z ik·x−iωt 2 ˜ ˜ ω)eik·x−iωt , i∂t ψ(x, t) = ω ψ(k, ω)e , −∇ ψ(x, t) = k2 ψ(k, k,ω

zamenom u (1.38) dobijamo  Z  k2 ˜ ψ(k, ω)eik·x−iωt = 0. ω− 2m k,ω

(1.71)

k,ω

(1.72)

˜ ω) = 0 kad god je ω ̸= k2 /(2m), pri ˇcemu ω uzima realne vrednosti, Poˇsto mora biti ψ(k, Furijeove amplitude ψ(k, ω) su date sa7
˜ ω) = 2πa(k)δ ω − ω(k) ψ(k, (1.73) gde su a(k) proizvoljne funkcije talasnog vektora a ω(k) =

k2 2m

(1.74)

ˇ ˇ je tzv. disperziona relacija za klasiˇcno Sredingerovo polje. Sada se opˇste reˇsenje Sredingerove jednaˇcine za klasiˇcno polje moˇze zapisati u vidu beskonaˇcne sume harmonijskih oscilatora sa amplitudama a(k) i odgovaraju´cim kruˇznim frekvencijama ω(k) Z ψ(x, t) = a(k)eik·x−iω(k)t . (1.75) k

ˇ Primeti´cemo da je disperziona relacija za Sredingerovo polje jednostavno data nerelativistiˇckom vezom izmed¯u energije i impulsa, kao i da ω(k) → 0 pri |k| → 0. 7

Faktor 2π je izabran zbog definicije Furijeovog integrala.

ˇ 1.1. LAGRANZEV FORMALIZAM U TEORIJI POLJA

27

Amplitude a(k) se mogu fiksirati ako su poznati poˇcetni uslovi koje zadovoljava funkcija ˇ ψ(x, t) [Stone M.,Goldbart P. (2009)]. Neka je Ψ(x) = ψ(x, t = 0) konfiguracija Sredingerovog polja zadata u poˇcetnom trenutku. Ukoliko ovu konfiguraciju prikaˇzemo pomo´cu Furijeovog integrala Z ik·x ˜ Ψ(x) = Ψ(k)e , (1.76) k

vidimo da se reˇsenje (1.75) moˇze zapisati kao Z ik·x−iω(k)t ˜ ψ(x, t) = Ψ(k)e ,

(1.77)

k

pri ˇcemu su amplitude Ψ(k) odred¯ene inverznom transformacijom Z ˜ Ψ(k) = Ψ(x)e−ik·x .

(1.78)

k

Furijeov integral za Klajn-Gordonovo polje ˇ Po uzoru na klasiˇcno Sredingerovo polje, reˇsenje jednaˇcine (1.35) ´cemo traˇziti u vidu integrala Z ϕ(x) =

−ik·x ˜ ϕ(k)e ,

(1.79)

k

Zamena (1.79) u Klajn-Gordonovu jednaˇcinu daje Z h i −ik·x ˜ = 0, − ω 2 + k2 + m2 ϕ(k)e

(1.80)

k

odakle nalazimo Furijeove amplitude8
˜ ˜ ω) = 2πA(k)δ ω 2 − ω 2 (k) . ϕ(k) = ϕ(k,

(1.81)

Ovde su A(k) proizvoljne funkcije talasnog vektora dok je ω 2 (k) = k2 + m2

(1.82)

disperziona relacija za Klajn-Gordonovo polje. Kao ˇsto se vidi, disperziona relacija u ovom ˇ sluˇcaju predstavlja relativistiˇcku vezu izmed¯u energije i impulsa. Za razliku od Sredingerovog polja, za Klajn-Gordonovo polje ne vaˇzi ω(k) → 0 za |k| → 0. U ˇzargonu se kaˇze da disperzija u ovom sluˇcaju ima gep (procep) odred¯en parametrom m. Takod¯e, iz (1.33) se vidi da je za gep odgovoran kvadratni ˇclan m2 ϕ2 u lagranˇzijanu. To je ˇcinjenica koja vaˇzi i u drugim teorijama ˇ polja9 . Recimo, ako se lagranˇzijanu Sredingerovog polja doda ˇclan −V ψ † ψ, lako je videti da ´ce 8

Faktor 2π je posledica definicije Furijeove transformacije. Kvadratni ˇclan je najviˇsi ˇclan u lagranˇzijanu koji vodi na linearnu jednaˇcinu kretanja. Ako kvadratni ˇclan u Lagranˇzijanu ne sadrˇzi izvode polja, lako je videti da u reˇsenju jednaˇcine kretanja pomo´cu Furijeovog integrala takav ˇclan vodi na konstantan doprinos u disperziji. 9

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

28

se za takav lagranˇzijan dobiti disperzija ω(k) = k2 /(2m) + V . Ovo opaˇzanje je bitan korak u dokazu Goldstonove teoreme [videti Odeljak 1.3.4]. Da bismo naˇsli reˇsenje u vidu ravnih talasa za Klajn-Gordonovo polje, iskoristi´cemo poznatu osobinu delta funkcije (videti, recimo [Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)]) δ(f (x)) =

X δ(x − xi ) i

(1.83)

|f ′ (xi )|

gde su xi proste nule funkcije f , vidimo da se amplitude mogu zapisati kao "

# δ ω − ω(k) δ ω + ω(k) ˜ ϕ(k) = A(k) + . 2ω(k) 2ω(k) To znaˇci da je Furijeov razvoj dat sa Z i 1 h ik·x−iω(k)t −ik·x+iω(k)t ϕ(x, t) = A(k)e + A(−k)e , k 2ω(k)

(1.84)

(1.85)

gde smo u integralu koji sadrˇzi eiω(k)t uveli smenu k → −k. Takod¯e, poˇsto je Klajn-Gordonovo polje realno, proizvoljne amplitude moraju zadovoljavati A∗ (k) = A(−k) zbog ˇcega se reˇsenje ˇcesto zapisuje i kao Z h i 1 p ϕ(x, t) = A(k)eik·x−iω(k)t + A∗ (k)e−ik·x+iω(k)t , (1.86) 2ω(k) k p pri ˇcemu smo skalirali amplitude za faktor 2ω(k). Vidimo da se opˇste reˇsenje u ovom sluˇcaju sastoji od superpozicije dve grupe talasa koji se kre´cu u suprotnim smerovima u odnosu na pravac prostiranja. Ako su za dati problem poznati poˇcetni uslovi ˙ ϕ(x, t = 0) = χ(x),

ϕ(x, t = 0) = Ψ(x),

koji se mogu izraziti pomo´cu Furijeovih integrala Z Z ik·x ik·x ˜ Ψ(x) = Ψ(k)e , χ(x) = χ(k)e ˜ , k

(1.87)

(1.88)

k

moˇzemo na´ci reˇsenje Klajn-Gordonove jednaˇcine u kojem amplitude nisu proizvoljne ve´c su odred¯ene poˇcetnim uslovima. Opˇste reˇsenje (1.86), zajedno sa (1.87) i (1.88), daje ˜ A(k) = ω(k)Φ(k) + iχ(k), ˜

˜ A∗ (k) = ω(k)Φ(−k) − iχ(−k), ˜

(1.89)

gde su ˜ Ψ(k) =

Z

−ik·x

Ψ(x)e x

Z ,

χ(x) ˜ =

χ(x)e−ik·x .

(1.90)

x

Viˇse primena Furijeovog metoda na reˇsavanje jednaˇcina klasiˇcnih teorija polja se moˇze na´ci u [Mili´c, B. (2002); Arod´z, H., Hadasz, Leszek (2010); Scheck (2018)].

1.2. HAMILTONOV FORMALIZAM

29

Treba primetiti da disperziona relacija za Klajn-Gordonovo polje (1.82) ima dva reˇsenja, √ (1.91) ω(k) = ± k2 + m2 , kao i u sluˇcaju energije za relativistiˇcku ˇcesticu mase m. Med¯utim, reˇsenja jednaˇcine (1.82) ne interpretiramo kao mogu´ce energije ˇcestica mase m, jer u klasiˇcnoj teoriji polja parametar m ne predstavlja masu ˇcestice. Zbog toga teorija klasiˇcnog Klajn-Gordonovog polja nema problem ˇ sa negativnim energijama koji se javlja u sluˇcaju relativistiˇcke Sredingerove jednaˇcine [Peskin, ˇ M.E., Schroeder, D.V. (1995); Ryder, L.H. (1996); Weinberg, S. (2008)]. Staviˇ se, pokazuje se da je energija klasiˇcnog Klajn-Gordonovog polja pozitivna [Videti (1.100)].

1.2

Hamiltonov formalizam

1.2.1

Kanonske jednaˇ cine kretanja

Sliˇcno kao u mehanici ˇcestica [Mili´c, B. (2002)], prvi korak prilikom prelaska sa Lagranˇzevog na Hamiltonov formalizam u teoriji polja je definisanje impulsa kanonski konjugovanog polju. U teoriji polja, njegova definicija se dobija zamenom obiˇcnog izvoda varijacionim [Greiner, W. (1996)] π(x) =

˙ δL[ϕ, ϕ] . ˙ δ ϕ(x)

(1.92)

Gornja relacija se moˇze uprostiti koriˇs´cenjem definicije izvoda funkcionala iz (B.12), pri ˇcemu treba voditi raˇcuna da su u Lagranˇzevom formalizmu ϕ i ϕ˙ nezavisne promenjive Z   i 1 h  ˙ ˙ L ϕ(x), ∇ϕ(x), ϕ(x) + ϵ δ(x − y) − L ϕ(x), ∇ϕ(x), ϕ(x) π(y) = lim ϵ→0 ϵ x Z h   ∂L 1 ˙ = lim L ϕ(x), ∇ϕ(x), ϕ(x) + ϵ δ(x − y) + O(ϵ2 ) ˙ ϵ→0 ϵ x ∂ϕ  i ˙ − L ϕ(x), ∇ϕ(x), ϕ(x) . (1.93) Odnosno π(x, t) =

∂L . ˙ ∂ ϕ(x, t)

(1.94)

Kada je definisan kanonski impuls (ne treba ga meˇsati sa impulsom polja koji je definisan u Primeru 1.13), Leˇzandrovom transformacijom se uvodi gustina hamiltonijana [Greiner, W. (1996); Weinberg, S. (2008)]   H(x, t) = H ϕ(x, t), ∇ϕ(x, t), π(x, t), ∇π(x, t)   ˙ ˙ = π(x, t) ϕ(x, t) − L ϕ(x, t), ∇ϕ(x, t), ϕ(x, t) , (1.95)

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

30

u kojoj je ϕ˙ eliminisano u korist π. Konaˇcno, hamiltonijan sistema je dat funkcionalom Z   H[ϕ(t), π(t)] = H ϕ(x, t), ∇ϕ(x, t), π(x, t), ∇π(x, t) . (1.96) x

Ukoliko polje poseduje viˇse komponenti, umesto (1.95) imamo   H(x, t) = πa (x, t) ϕ˙ a (x, t) − L ϕa (x, t), ∇ϕa (x, t), ϕ˙ a (x, t) ,

(1.97)

gde je πa = ∂L/∂ ϕ˙ a . Za razliku od Lagranˇzevog formalizma u kojem su nezavisne promenjive ˙ u Hamiltonovom prilazu to su ϕ(x, t) i π(x, t) tako vaˇzi ϕ i ϕ, δϕ(x, t) = 0, δπ(y, t)

δϕa (x, t) δπb (x, t) = = δba δ(x − y). b δϕ (y, t) δπa (y, t)

(1.98)

ˇ Primer 1.8. Pogledajmo kako izgledaju gustine hamiltonijana za Klajn-Gordonovo, Sredingerovo i elektromagnetno polje. Ako lagranˇzijan (1.33) prepiˇsemo tako da eksplicitno izdvoijimo ∂t ϕ  1  ˙2 ϕ − ∇ϕ · ∇ϕ − m2 ϕ2 , (1.99) LKG = 2 ˙ tako da Hamiltonov funkcional za Klajn-Gordonovo polje glasi vidimo da je π = ϕ, Z  1Z   1  2 2 2 HKG [ϕ, π] = π + ∇ϕ · ∇ϕ + m ϕ = π 2 − ϕ∇2 ϕ + m2 ϕ2 . 2 x 2 x

(1.100)

Pri tome smo u sabirku koji sadrˇzi ∇ϕ izvrˇsili parcijalnu integraciju i iskoristili ˇcinjenicu da polje dovoljno brzo teˇzi nuli pri |x| → ∞ [videti (1.19)]. Primeti´cemo da je Hamiltonov funkcional klasiˇcnog Klajn-Gordonovog polja, u sluˇcaju m > 0, dat zbirom doprinosa ˇclanova koji ne mogu biti negativni. ˇ U sluˇcaju Sredingerovog polja, opisanog lagranˇzijanom (1.36), kanonski impuls pridruˇzen polju ψ je π=

∂LS = iψ ∗ , ˙ ∂ψ

(1.101)

dok kanonski impuls pridruˇzen polju ψ ∗ iˇsˇcezava. Prema tome, odgovaraju´ci Hamiltonov funkcional je  Z  1 ∗ ˙ ∗ ˙ ∗ HS [ψ] = iψ ψ − iψ ψ + ∇ψ · ∇ψ 2m x Z Z 1 1 ∗ 2 ∗ = ∇ψ · ∇ψ = − ψ ∇ ψ, (1.102) x 2m x 2m gde smo ponovo iskoristili parcijalnu integraciju (1.19). Za razliku od Klajn-Gordnovog polja, ˇ deluje kao da u Hamiltonov funkcional Sredingerovog polja ne ulazi kanonski impuls. Naravno, ˇ kanonski impuls ulazi u HS jer je π = iψ ∗ . Prema tome, Hamiltonijan Sredingerovog polja u kojem eksplicitno figuriˇse kanonski impuls glasi Z −i HS [ψ, π] = ∇π · ∇ψ, (1.103) 2m x

1.2. HAMILTONOV FORMALIZAM

31

Iako se ovaj oblik Hamiltonijana relativno retko sre´ce u literaturi10 , koristi´cemo ga u Priˇ meru 1.9 da dobijemo Sredingerovu jednaˇcinu u kanonskom formalizmu. Kao i u sluˇcaju Klajn-Gordonovog polja, iz (1.102) vidimo da je Hamiltonov funkcional dat zbirom pozitivnih ˇclanova11 . Konaˇcno, potraˇzimo i hamiltonijan za elektromagnetno polje u vakuumu, u oblasti prostora u kojoj nema nosilaca naelektrisana. Kao ˇsto smo ve´c naglasili u Primeru 1.5, osnovne dinamiˇcke promenjive u Lagranˇzevom formalizmu za elektromagnetno polje su A i ϕ. Zbog toga oˇcekujemo da postoje i ˇcetiri pridruˇzena kanonska impulsa, πA i πϕ . Med¯utim, LEM ne sadrˇzi ∂t ϕ zbog ˇcega je πϕ ≡ 0. Sa druge strane, za kanonski impuls pridruˇzen vektorskom potencijalu, nalazimo πA =

∂LEM = A˙ + gradϕ ≡ −E, ∂ A˙

(1.104)

pri ˇcemu smo iskoristili vezu izmed¯u potencijala i elektriˇcnog polja. Gornja relacija omogu´cava da lako eliminiˇsemo A˙ A˙ = −E − gradϕ.

(1.105)

Sada, piˇsu´ci LEM u obliku (1.49), za gustinu hamiltonijana dobijamo  1 2 2 ˙ E −B HEM = A · πA − LEM = (−E − gradϕ) · (−E) − 2   1 = E 2 + B 2 + E · gradϕ. (1.106) 2 Iz klasiˇcne elektrodinamike je poznato da je energija elektromagnetnog polja u vakuumu data sa [Mili´c, B. (2002)] Z   1 2 2 E +B , (1.107) W = x 2 pa deluje kao da se primenom Hamiltonovog formalizma ne dobija korektan rezultat. Ipak, ˇclan E · gradϕ ne doprinosi gustini hamiltonijana za polje u vakuumu. Poˇsto je     E · gradϕ = div ϕE − ϕ divE = div ϕE , (1.108) jer je za polje u prostoru u kojem nema nosilaca naelektrisanja divE = 0 dok prostorni integral divergencije iˇsˇcezava [videti (1.19)], vidimo da se za Hamiltonov funkcional polja moˇze pisati Z   1 2 2 HEM = E +B (1.109) x 2 ˇsto se poklapa sa klasiˇcnim rezultatom. Odnosno, Hamiltonov funkcional moˇzemo tumaˇciti kao energiju polja u vakuumu. ■ Jednaˇcine kretanja u Hamiltonovom formalizmu se dobijaju variranjem hamiltonijana u odnosu na ϕ(x, t) i π(x, t) [Weinberg, S. (2008)]. Polaze´ci od definicije Hamiltonovog funkcionala Z H[ϕ, π] =

˙ ˙ π(x)ϕ(x) − L[ϕ, ϕ]

x 10 11

ˇ L. (1968)]. Izuzetak je, recimo [Sif, Naravno, ovo vaˇzi pri m > 0.

(1.110)

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

32

i konjugovanog impulsa, uz koriˇs´cenje (1.98), dobija se Z Z Z ˙ ˙ δ ϕ(x) δL δL δϕ(x) δH[ϕ, π] δ ϕ(x) ˙ ˙ = ϕ(y) + π(x) − − = ϕ(y) (1.111) ˙ δπ(y) δπ(y) x x δ ϕ(x) δπ(y) x δϕ(x) δπ(y) i δH[ϕ, π] = δϕ(y)

˙ δ ϕ(x) δL π(x) − − δϕ(y) δϕ(y) x

Z

Z x

˙ δL δ ϕ(x) δL =− = −π(y, ˙ t), ˙ δϕ(y) δϕ(y) δ ϕ(x)

(1.112)

pri ˇcemu smo iskoristili (1.69) i (1.92). Dakle, Hamiltonove (ili kanonske) jednaˇcine u teoriji polja glase δH[ϕ, π] ˙ = ϕ(x, t), δπ(x, t)

δH[ϕ, π] = −π(x, ˙ t). δϕ(x, t)

(1.113)

Kako je hamiltonijan izraˇzen pomo´cu zapreminskog integrala gustine hamiltonijana, varijacije iz (1.113) se mogu sprovesti do kraja. Postupak u potpunosti odgovara ve´c iznetom prilikom dobijanja (1.67). Rezultat je δH[ϕ(t), π(t)] ∂H ∂H = −∇· = −π(x, ˙ t), δϕ(x, t) ∂ϕ(x, t) ∂(∇ϕ(x, t)) ∂H ∂H δH[ϕ(t), π(t)] ˙ = −∇· = ϕ(x, t). δπ(x, t) ∂π(x, t) ∂(∇π(x, t))

(1.114)

Prime´cuje se da u Hamiltonovim jednaˇcinama (1.113) i (1.114) prostorne koordinate ne ulaze ravnopravno sa vremenskom, tako da Lorencova invarijantnost ovako formulisane teorije nije oˇcigledna. Ipak, ovaj prilaz je ˇcsto mnogo pogodniji u fizici kondenzovane materije gde se veliki broj modela definiˇse direktno pomo´cu hamiltonijana.

1.2.2

Poasonove zagrade

U Hamiltonovim jednaˇcinama polje ϕ(x) i konjugovani impuls π(x) ne nastupaju simetriˇcno. Takod¯e, ovaj prilaz (kao ni Lagranˇzev), ne omogu´cava da se direktno nad¯e vremenska evolucija proizvoljnog funkcionala F [ϕ, π]. Ovi problemi se u teoriji polja reˇsavaju sliˇcno kao i u mehanici, uvod¯enjem Poasonovih zagrada [Mili´c, B. (2002); Greiner, W. (1996)]. Diskusija koja sledi je ograniˇcena na najjednostavnije sluˇcajeve, a kompletnije razmatranje se moˇze prona´ci u standardnim udˇzbenicima [Weinberg, S. (2008); Nair, V.P. (2005); Fecko, M. (2006)]. Da bismo videli kako se u klasiˇcnoj teoriji polja pojavljuju Poasonove zagrade, posmatrajmo funkcional F [ϕ(x, t), π(x, t)] koji je dat integralom po prostornim koordinatama Z   F [ϕ(x, t), π(x, t)] = f ϕ(x, t), π(x, t), ∇ϕ(x, t), ∇ϕ(x, t) ≡ F (t), (1.115) x

pri ˇcemu je f neodred¯ena funkcija naznaˇcenih argumenata. Iako je F proizvoljni funkcional polja ϕ(x, t) i kanonskog impulsa π(x, t), on se moˇze posmatrati i kao funkcija vremenske koordinate t. Zbog toga je o 1n d F [ϕ(x, t), π(x, t)] = lim F [ϕ(x, t + ϵ), π(x, t + ϵ)] − F [ϕ(x, t), π(x, t)] ϵ→0 ϵ dt n h i o 1 2 2 ˙ = lim F ϕ + ϵϕ + O(ϵ ), π + ϵπ˙ + O(ϵ ) − F [ϕ, π] , (1.116) ϵ→0 ϵ

1.2. HAMILTONOV FORMALIZAM

33

pri ˇcemu smo se zadrˇzali na ˇclanovima linearnim po ϵ. Koriste´ci sada (B.30), nalazimo  Z  δF [ϕ, π] ˙ d δF [ϕ, π] F [ϕ(x, t), π(x, t)] = ϕ(x, t) + π(x, ˙ t) . (1.117) dt δϕ(x, t) δπ(x, t) x Konaˇcno, zamena kanonskih jednaˇcina (1.113) u (1.117) direktno vodi na d F [ϕ(x, t), π(x, t)] = [F, H]PZ dt

(1.118)

pri ˇcemu smo definisali Poasonove zagrade u klasiˇcnoj teoriji polja  Z  δF (t) δG(t) δF (t) δG(t) [F, G]PZ := − , δϕ(x) δπ(x) δπ(x) δϕ(x) x

(1.119)

gde je F (t) definisano u (1.115) a G(t) ima sliˇcnu formu. Dakle, uvod¯enjem Poasonovih zagrada se direktnim putem reˇsava problem dinamiˇcke zavisnosti proizvoljnog funkcionala F [ϕ, π]. ˇ se tiˇce asimetrije Hamiltonovih jednaˇcina u odnosu na ϕ(x) i π(x), prvo treba primetiti Sto da je  Z  h i δϕ(x, t) δH(t) δϕ(x, t) δH(t) δH(t) ϕ(x, t), H(t) = − , (1.120) = δϕ(y, t) δπ(y, t) δπ(y, t) δϕ(y, t) δπ(x, t) PZ y pri ˇcemu su koriˇs´cene jednaˇcine (1.98). Sliˇcna jednaˇcina se dobija i za π(x, t), tako da Hamiltonove jednaˇcine izraˇzene pomo´cu Poasonovih zagrada glase h i h i ˙ ϕ(x, t) = ϕ(x, t), H(t) , π(x, ˙ t) = π(x, t), H(t) . (1.121) PZ

PZ

U jednaˇcinama (1.121), kao i u (1.118), H(t) predstavlja hamiltonijan sistema, a (1.121) je traˇzena forma jednaˇcina kretanja u kojoj polje i konjugovani impuls nastupaju simetriˇcno. Primer 1.9. Pogledajmo sada kako se pomo´cu (1.121) moˇze dobiti jednaˇcina kretanja za ˇ Sredingerovo polje. Formalno, ona glasi h i ˙ ψ(x, t) = ψ(x, t), HS (t) . (1.122) PZ

Koriste´ci definiciju Poasonovih zagrada, imamo  Z  h i δψ(x, t) δHS (t) δψ(x, t) δHS (t) = − . ψ(x, t), HS (t) δψ(y, t) δπ(y, t) δπ(y, t) δψ(y, t) PZ y

(1.123)

Ako za Hamiltonov funkcional sada iskoristimo oblik iz (1.103), kao i drugu relaciju iz (1.114) po kojoj je δHS [ψ(t), π(t)] ∂HS ∂HS −i 2 = −∇ =− ∇ ψ(y, t), δπ(y, t) ∂π(y, t) ∂(∇π(y, t)) 2m

(1.124)

jednaˇcina kretanja (1.122) postaje ∂t ψ(x, t) =

i 2 ∇ ψ(x, t), 2m

ˇ ˇsto je Sredingerova jednaˇcina.

(1.125) ■

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

34

Konaˇcno, od interesa je Poasonova zagrada samog polja i konjugovanog impulsa. Zamenom (1.98) u (1.119) se nalazi  Z  h i δϕ(x, t) δπ(y, t) δϕ(x, t) δπ(x, t) − ϕ(x, t), π(y, t) = δϕ(z, t) δπ(z, t) δπ(z, t) δϕ(z, t) PZ z Z = δ(x − z) δ(y − z) = δ(x − y), (1.126) z

pri ˇcemu treba obratiti paˇznju da se shodno relacijama (1.98) i ϕ(x, t) i π(y, t) uzimaju u istom trenutku vremena. Ako polje poseduje viˇse komponenti, definicija Poasonove zagrade glasi (pokazati za veˇzbu)  X Z  δF (t) δG(t) δF (t) δG(t) [F, G]PZ = − (1.127) δϕa (x) δπa (x) δπa (x) δϕa (x) x a a jednaˇcina (1.126) postaje h i ϕa (x, t), πb (y, t) = δ(x − y) δba .

(1.128)

PZ

Takod¯e, nije teˇsko pokazati da vaˇzi i h i h i a b ϕ (x, t), ϕ (y, t) = πa (x, t), πb (y, t) PZ

= 0.

(1.129)

PZ

Za samostalnu veˇzbu je ostavljeno da se, koriˇs´cenjem definicije (1.119) i osobina varijacionih izvoda [videti Prilog B], pokaˇze da Poasonove zagrade klasiˇcne teorije polja poseduju iste osobine kao Poasonove zagrade sistema mehaniˇckih ˇcestica [Weinberg, S. (2008)]: [A, B]PZ = −[B, A]PZ , [A, B + C]PZ = [A, B]PZ + [A, C]PZ , [A, BC]PZ = [A, B]PZ C + B[A, C]PZ , [A, [B, C]PZ ]PZ + [C, [A, B]PZ ]PZ + [B, [C, A]PZ ]PZ = 0.

(1.130)

Primer 1.10. Pokaˇzimo sada kako se koriˇs´cenjem osnovnih osobina Poasonovih zagrada moˇze dobiti Klajn-Gordonova jednaˇcina. Da se podsetimo, Hamiltonov funkcional je dat sa Z  1  2 2 2 π + ∇ϕ · ∇ϕ + m ϕ , (1.131) HKG [ϕ, π] = 2 x dok kanonske jednaˇcine kretanja glase h i ˙ ϕ(x, t) = ϕ(x, t), H(t) ,

h i π(x, ˙ t) = π(x, t), H(t) .

PZ

(1.132)

PZ

Dakle, 1 ˙ ϕ(x, t) = 2

Z h i ϕ(x, t), π 2 (y, t) + ∇y ϕ(y, t) · ∇y ϕ(y, t) + m2 ϕ2 (y, t) ,

(1.133)

PZ

y

pri ˇcemu ∇y oznaˇcava gradijent po komponentama vektora y. Poˇsto je h i h i 2 ϕ(x, t), π (y, t) = 2π(y, t) ϕ(x, t), π(y, t) = 2π(y, t)δ(x − y), PZ

PZ

(1.134)

1.2. HAMILTONOV FORMALIZAM

35

dok Poasonove zagrade polja sa samim sobom iˇsˇcezavaju, nalazimo Z 1 ˙ ϕ(x, t) = 2π(y, t)δ(x − y) = π(x, t). 2 y

(1.135)

Sa druge strane, Z i 1 h π(x, ˙ t) = π(x, t), π 2 (y, t) + ∇y ϕ(y, t) · ∇y ϕ(y, t) + m2 ϕ2 (y, t) 2 PZ Z y Z h i h i 2 = ∇y ϕ(y, t) · π(x, t), ∇y ϕ(y, t) +m ϕ(y, t) π(x, t), ϕ(y, t) PZ

y

y

(1.136) PZ

zbog (1.129) i osobina Poasonovih zagrada (1.130). Poasonova zagrada iz drugog integrala direktno daje δ−funkciju, dok se ona iz prvog mora raˇcunati paˇzljivije. Koriste´ci definiciju (1.119), imamo (radi preglednosti ne´cemo eksplicitno pisati vremensku koordinatu)  Z  h i δπ(x) δ(∇y ϕ(y)) δπ(x) δ(∇y ϕ(y)) π(x), ∇y ϕ(y) = − δϕ(z) δπ(z) δπ(z) δϕ(z) PZ z Z δ(∇y ϕ(y)) . (1.137) = − δ(x − z) δϕ(z) z Da bismo izraˇcunali preostali varijacioni izvod, uvedimo pomo´cni funkcional Z δ(y − w)∇w ϕ(w) ≡ F [ϕ]. ∇y ϕ(y) =

(1.138)

w

Sada je Z   δF [ϕ] 1 = lim δ(y − w)∇w (ϕ(w) + ϵδ(z − w)) − δ(y − w)∇w ϕ(w) ϵ→0 ϵ w δϕ(z) = ∇y δ(z − y). Zamena (1.139) u (1.137) daje h i δ(∇y ϕ(y)) π(x), ∇y ϕ(y) =− = −∇y δ(x − y), δϕ(x) PZ

(1.139)

(1.140)

pa se (1.136) svodi na Z π(x, ˙ t) = − ∇y ϕ(y, t) · ∇y δ(x − y) − m2 ϕ(x, t) y 2

= ∇ ϕ(x, t) − m2 ϕ(x, t),

(1.141)

pri ˇcemu smo u preostalom integralu iskoristili Gausovu teoremu. Kombinovanjem (1.135) i (1.141) dobijamo ¨ t) = ∇2 ϕ(x, t) − m2 ϕ(x, t), π(x, ˙ t) = ϕ(x, ˇsto je Klajn-Gordonova jednaˇcina za klasiˇcno polje ϕ(x, t).

(1.142) ■

Jednaˇcine (1.118), (1.121) i (1.126), odnosno (1.128) i (1.129) omogu´cavaju prelazak sa klasiˇcne na kvantnu teoriju polja metodom kanonske kvantizacije, sliˇcno kao ˇsto se sa Njutnove ˇ L. (1968)]. prelazi na kvantnu mehaniku [Sif,

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

36

1.3

Simetrije u klasiˇ cnoj teoriji polja

1.3.1

Globalne i lokalne simetrije

Analiza sloˇzenih fiziˇckih sistema je u znatnoj meri olakˇsana ako su poznate simetrije koje ih karakteriˇsu. Recimo, na osnovu zakona odrˇzanja momenta impulsa proizilazi da se kretanje ˇcestice u polju centralne sile uvek odvija tako da se ona sve vreme nalazi u jednoj ravni i to znaˇcajno uproˇs´cava reˇsavanje jednaˇcina kretanja [Mili´c, B. (1997)]. Sliˇcno, na osnovu zakona odrˇzanja energije i impulsa moˇzemo odrediti neke karakteristike sistema bez direktnog reˇsavanja jednaˇcina kretanja. Prema savremenim shvatanjima [Weinberg, S. (2008); H¨ ubsch T. (2011)], zakoni odrˇzanja su posledica simetrija fiziˇckih sistema12 . Ovo tvrd¯enje je poznato pod nazivom Teorema Emi Neter. Da bismo jasno formulisali pomenutu teoremu, prvo moramo precizirati ˇsta podrazumevamo pod simetrijom fiziˇckog sistema. Pretpostavimo da je sistem opisan sa n−komponentnim skalarnim poljem ϕa (x), a = 1, 2 . . . N . Dozvolimo sada promenu polja ϕ → ϕ + δϕ. Ako promena polja δϕ moˇze biti proizvoljno mala, govorimo o kontinualnim simetrijama i njima ´cemo se baviti u nastavku. Razmatranje inifinitezimalnih transformacija ne name´ce nikakva ograniˇcenja poˇsto se konaˇcna transformacija uvek moˇze dobiti njihovom uzastopnom primenom. U opˇstem sluˇcaju, popravka δϕ je data sa δϕa (x) = ϵi Fia (x),

(1.143)

gde su {ϵi } parametri koji definiˇsu transformaciju a Fia (x) u opˇstem sluˇcaju zavisi od polja ϕ i njihovih izvoda13 . Ako parametri ϵi ne zavise od prostorno-vremenskih koordinata, govorimo o globalnim kontinualnim simetrijama [Weinberg, S. (2008)]. Transformaciju polja koju razmatramo u ovom odeljku ´cemo oznaˇcavati sa δϕ jer se po smislu razlikuje od ”obiˇcne” varijacije δϕ koju smo koristili da u (1.27) izvedemo Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine. Naime, u sluˇcaju dobijanja Ojler-Lagranˇzevih jednaˇcina smo traˇzili konfiguracije polja koje su takve da njihova proizvoljna mala varijacija ne menja dato dejstvo. Pri tome je varijacija δϕ iˇsˇcezavala na granicama integracije. Sa druge strane, veliˇcine δϕa = ϵi Fia su unapred zadate transformacije i obiˇcno ne iˇsˇcezavaju na granici oblasti integracije. Primer 1.11. Posmatrajmo transformaciju jednokomponentnog skalarnog polja u odnosu na translaciju prostornih koordinata (radi preglednosti ne piˇsemo vremensku koordinatu), x → x + a. Tada imamo ϕ(x) → ϕ(x + a). Ako je a proizvoljno mali konstantni vektor, nalazimo ϕ(x + a) = ϕ(x) + a · ∇ϕ(x) + O(a2 ),

(1.144)

pa je u ovom sluˇcaju δϕ(x) = ak ∂k ϕ(x).

(1.145)

Dakle, za prostorne translacije je {ϵi } = {ak }, dok je Fk (x) = ∂k ϕ(x) i veliˇcina F zavisi samo od izvoda polja ϕ. ■ 12

Vajnbergovim reˇcima, symmetries imply conservation laws [Weinberg, S. (2008)]. U odeljku 1.3.4 ´cemo parametre ϵi eksplicitno povezati sa elementima grupe G i vide´cemo da je njihov broj jednak dimenziji grupe G (videti (1.221), kao i (1.145)). Med¯utim, za sada nam je dovoljno da o njima razmiˇsljamo kao o realnim parametrima. 13

ˇ 1.3. SIMETRIJE U KLASICNOJ TEORIJI POLJA

37

Pod infinitezimalnom globalnom simetrijom fiziˇckog sistema podrazumevamo skup transformacija oblika (1.143), sa konstantnim parametrima {ϵi }, koje ne menjaju integral dejstva ˇcak i kada jednaˇcine kretanja nisu zadovoljene. Ova definicija je od velikog znaˇcaja za klasiˇcne statistiˇcke sisteme kod kojih se prilikom raˇcunanja particione funkcije (statistiˇcke sume) moraju uzeti u obzir sve konfiguracije a ne samo one koje su ekstremale odgovaraju´ceg dejstva [Videti Odeljak 2.3 za sluˇcaj O(N ) simetriˇcne teorije kao i Odeljak 2.5.2 posve´cen nelinearnom σ modelu]. Sa druge strane, infinitezimalnim lokalnim (ili kalibracionim) simetrijama se nazivaju transformacije tipa (1.143) kod kojih parametri transformacije mogu zavise od prostorno-vremenskih koordinata. Osnovni primer teorije sa lokalnom simetrijom je Meksvelova elektrodinamika. Takod¯e, lokalne transformacije igraju vaˇznu ulogu u Ginzburg-Landauovoj teoriji superprovodnsti i mnogim drugim savremenim teorijama.

1.3.2

Teorema Emi Neter

Teorema Emi Neter tvrdi da svaka kontinualna globalna simetrija fiziˇckog sistema, na konfiguracijama koje zadovoljavaju klasiˇcne jednaˇcine kretanja, za posledicu ima zakon odrˇzanja. Pri tome, pod simetrijom fiziˇckog sistema podrazumevamo skup transformacija (1.143) koje ne menjaju dejstvo. Ako se polja, kao osnovne dinamiˇcke veliˇcine, transformiˇsu prema ϕ → ϕ+δϕ, to ´ce za posledicu imati promenu dejstva, S[ϕ] → S[ϕ + δϕ]. Poˇsto je, po pretpostavci, transformacija polja infinitezimalna, moˇzemo iskoristiti (B.30) da piˇsemo Z δS[ϕ] a i F (y) + O(ϵ2 ). (1.146) S[ϕ(x) + δϕ(x)] = S[ϕ(x)] + ϵ a (y) i δϕ y Po definiciji, transformacija (1.143) je simetrija fiziˇckog sistema ako vaˇzi Z δS[ϕ] a i Fi (y) = 0. δS[ϕ] = ϵ a y δϕ (y)

(1.147)

Ako polja zadovoljavaju jednaˇcine kretanja δS/δϕa = 0, automatski ´ce biti δS[ϕ] = 0. Med¯utim, kao ˇsto smo rekli ranije, pod simetrijskom transformacijom podrazumevamo onu koja ne menja dejstvo ˇcak i u sluˇcaju konfiguracija koje ne zadovoljavaju jednaˇcine kretanja. Insistiranje na ovakvoj definiciji simetrije je naroˇcito bitno za kvantnu (odnosno, statistiˇcku) verziju teorije u kojoj se u obzir moraju uzeti sve konfiguracije polja, a ne samo one koje zadovoljavaju jednaˇcine kretanja. Dalje, transformacije δϕ su, za razliku od varijacija δϕ u napred zadate i one se mogu koristiti da bi se odredila gustina lagranˇzijana koja je invarijantna u odnosu na transformacije ϕa → ϕa + ϵi Fia . Primer 1.12. Proverimo da li je integral Z ϕa (x)ϕa (x),

(1.148)

x

koji se ˇcesto pojavljuje u fiziˇcki interesantnim modelima kao deo dejstva, i u kojem se integracija vrˇsi po celom prostoru (−∞ ≤ xµ ≤ ∞), tako da polje iˇsˇcezava pri xµ → ±∞, invarijantan u odnosu na transformaciju ϕa (x, t) → ϕa (x + b, t). Odgovaraju´ca promena integrala je Z Z a a ϕ (x)ϕ (x) → ϕa (x + b, t)ϕa (x + b, t). (1.149) x

x

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

38

Jednostavnim uvod¯enjem smene y = x + b, koja ne menja ni jakobijan ni granice integracije, vidimo da se integral dejstva ne menja. Dakle, transformacija ϕa (x, t) → ϕa (x+b, t) je simetrija dejstva (1.148) bez obzira da li polja ϕa zadovoljavaju ili ne zadovoljavaju jednaˇcine kretanja. Naravno, translaciju je mogu´ce diskutovati i kao infinitezimalnu transformaciju. Poˇsto je u Primeru 1.11 pokazano da tada vaˇzi Fka = ∂k ϕa , ima´cemo    a a a k a 2 a k a 2 ϕ (x)ϕ (x) → ϕ (x) + b ∂k ϕ (x) + O(b ) ϕ (x) + b ∂k ϕ (x) + O(b ) = ϕa (x)ϕa (x) + 2ϕa (x)bk ∂k ϕa (x) + O(b2 ).

(1.150)

Med¯utim, a

k

a

k

2ϕ (x)b ∂k ϕ (x) = b ∂k



 ϕ (x)ϕ (x) = divA(x) a

a

gde je A(x) = ϕa (x)ϕa (x)b. To znaˇci da je indukovana promena dejstva data sa Z divA(x) = 0

(1.151)

(1.152)

x

jer se odgovaraju´ci trodimenzioni integral primenom Gausovom teoreme prevodi u povrˇsinski integral koji iˇsˇcezava. Ponovo zakljuˇcujemo da je translacija simetrija dejstva (1.148) i u sluˇcajevima kada jednaˇcine kretanja ne vaˇze. ■ Vratimo se sada na dokaz teoreme. Kako bismo pokazali postojanje zakona odrˇzanja, pretpostavimo za trenutak da parametri transformacije nisu konstantni, tj. da je ϵi = ϵi (x). Takva transformacija ne mora biti simetrijska, ali u opˇstem sluˇcaju ´ce vaˇziti Z (1.153) δS[ϕ] = Jiµ (x)∂µ ϵi (x) x

za neke veliˇcine Jiµ (x). Naime, ako u (1.153) stavimo ϵi = const, automatski dobijamo δS[ϕ] = 0, ˇsto znaˇci da je globalna transformacija (1.153) simetrija sistema. Ako sada iskoristimo ˇcetvorodimenzionu Gausovu teoremu [videti (1.20)] i pretpostavimo da polja zadovoljavaju jednaˇcine kretanja, dobijamo Z δS[ϕ] = 0 = − ϵi (x)∂µ Jiµ (x). (1.154) x

Da bi gornja relacija vaˇzila za proizvoljne vrednosti parametara {ϵi }, mora biti ∂µ Jiµ (x) = 0

(1.155)

ˇsto je ˇcetvorodimenziona jednaˇcina kontinuiteta koja implicira postojanje veliˇcine koja se ne menja sa vermenom. Da bismo to lakˇse videli, razdvojimo prostorne i vremensku komponentu vektora Ji   ρi (x) Ji (x) = . (1.156) Ji (x) Sa ovim oznakama jednaˇcina kontinuiteta postaje ∂t ρi (x) + divJi (x) = 0.

(1.157)

ˇ 1.3. SIMETRIJE U KLASICNOJ TEORIJI POLJA

39

Integracijom gornje jednaˇcine po prostornim koordinatama i to tako da oblast integracije obuhvati ceo prostor, dobijamo Z Z d ρi (x, t) + divJi (x, t) = 0. (1.158) dt x x Integral koji sadrˇzi divJi (x, t) se Gausovom teoremom prevodi u povrˇsinski integral koji nestaje (pretpostavljaju´ci da sva polja i njihovi izvodi dovoljno brzo teˇze nuli pr |x| → ∞), pa konaˇcno nalazimo Z d ρi (x, t) = 0, (1.159) dt x ˇsto znaˇci da se veliˇcina Z Z Qi := ρi (x, t) = Ji0 (x, t) x

(1.160)

x

ne menja sa vremenom. To je traˇzeni zakon odrˇzanja i ovim je teorema dokazana [Weinberg, S. (2008)]. Treba obratiti paˇznju da za svaki parametar ϵi postoji po jedna veliˇcina Qi koja se oˇcuvava. Takod¯e, Ji0 (x, t) ≡ ρi (x, t) se ˇcesto oznaˇcava kao gustina naboja, bez obzira da li je veliˇcina koja se oˇcuvava elektriˇcni naboj ili ne. Ako se u odnosu na transformacije, pored dejstva, ne menja ni Lagranˇzev funkcional, mogu´ce je na´ci eksplicitni oblik za veliˇcine Qi . Da bismo ih naˇsli, dovoljno je da posmatramo parametre transformacije koji zavise samo od vremenske koordinate, ϵi = ϵi (t). Ako je Z ˙ S[ϕ] = dtL[ϕ, ϕ], (1.161) imamo Z  δL = x


δL d i δL i a a ϵ (t)Fi (x) + ϵ (t)Fi (x) . δϕa δ ϕ˙ a dt

(1.162)

Uslov koji mora biti zadovoljen da bi globalna transformacija (pri ϵi = const) bila simetrija, tj. δL = 0, je  Z  δL a δL d a F (x) + Fi (x) = 0. (1.163) a i δ ϕ˙ a dt x δϕ Uzimaju´ci u obzir (1.163), relacija (1.162) se moˇze zapisati kao  Z  δL d i δL i d a δL i a a ϵ (t)Fi (x) + ϵ (t)Fi (x) + ϵ (t) Fi (x) δL = a dt δ ϕ˙ a dt δ ϕ˙ a x δϕ    Z  δL a δL d i δL d a i a = ϵ (t) F (x) + Fi (x) + ϵ (t)Fi (x) δϕa i δ ϕ˙ a dt δ ϕ˙ a dt x Z δL d i = Fia (x) ϵ (t). δ ϕ˙ a dt x Poˇsto je odgovaraju´ca varijacija dejstva Z Z δL d i δS = dt Fia (x) ϵ (t), δ ϕ˙ a dt x

(1.164)

(1.165)

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

40 pored¯enjem sa (1.153) nalazimo Ji0 . Odnosno Z Z δL 0 Qi = Ji = Fia (x) . δ ϕ˙ a x x

(1.166)

Veliˇcina Qi se zaista ne menja sa vremenom za konfiguracije koje zadovoljavaju jednaˇcine kretanja. U to se moˇzemo uveriti ako izraˇcunamo izvod     Z   Z d δL d δL δL d a d a a Qi = Fi (x) Fi (x) . (1.167) = Fi (x) + dt dt δ ϕ˙ a δ ϕ˙ a δ ϕ˙ a dt x dt x Med¯utim, na osnovu jednaˇcina kretanja (1.69), gornji izraz postaje  Z  d δL a δL d a Qi = Fi (x) = 0 F (x) + a i dt δ ϕ˙ a dt x δϕ

(1.168)

zbog simetrijskog uslova (1.163). Primer 1.13. Neka je Lagranˇzev funkcional za skalarno polje invarijantan u odnosu na prostorne translacije, x → x + b. U Primeru 1.11 je pokazano da je tada Fk = ∂k ϕ(x). Veliˇcine koje se ne menjaju sa vemenom su Z Z δL a Qk = πa (x)∂k ϕa (x), (1.169) F (x) = a k ˙ δ ϕ x x pri ˇcemu smo iskoristili definiciju kanonskog impulsa. Tri veliˇcine Qk moˇzemo skupiti u jedan prostorni vektor Z 3 X k Q ek = − πa (x)∇ϕa (x) (1.170) P = x

k=1

i on predstavlja impuls polja. Ovakva interpretacija vektora P iz (1.170) dolazi od analogije sa mehaniˇcim sistemima kod kojih je ukupni impuls sistema konstantan ako postoji simetrija u odnosu na prostorne translacije [Mili´c, B. (1997)]. ■ Konaˇcno, invarijantnost gustine lagranˇzijana omogu´cava da se nad¯e eksplicitni oblik za veliˇcine Jaµ . Dakle, neka je Z ˙ L[ϕ, ϕ] = L(ϕ, ∂µ ϕ). (1.171) x

Transformacija polja ϕ → ϕ+δϕ, gde je δϕa = ϵi (x)Fia , indukuje promenu gustine lagranˇzijana ∂L a ∂L δϕ + δ(∂µ ϕa ) ∂ϕa ∂(∂µ ϕa )   ∂L a ∂L ∂L i a = ϵ (x) Fi + ∂µ F i + Fia ∂µ ϵi (x), a a a ∂ϕ ∂(∂µ ϕ ) ∂(∂µ ϕ )

δL =

(1.172)

pri ˇcemu smo iskoristili komutativnost operatora δ i ∂µ [videti (B.24)]. U sluˇcaju globalnih transformacija koje ne menjaju gustinu lagranˇzijana, izraz u uglastoj zagradi mora iˇsˇcezavati pa ostaje δL =

∂L F a ∂µ ϵi (x). ∂(∂µ ϕa ) i

(1.173)

ˇ 1.3. SIMETRIJE U KLASICNOJ TEORIJI POLJA

41

Porede´ci dobijeni rezultat sa podintegralnim izrazom iz (1.153), direktno ˇcitamo Jiµ =

∂L F a. ∂(∂µ ϕa ) i

(1.174)

Koriste´ci (1.68), lako se moˇzemo uveriti da se Ji0 iz (1.174) poklapa sa podintegralnom veliˇcinom iz (1.166). Sliˇcno kao i u sluˇcaju invarijantnog lagranˇzijana, moˇze se pokazati da prostorni integral od Ji0 , na konfigurcijama koje zadovoljavaju jednaˇcine kretanja, ne zavisi od vremena. Proveravanje ovog tvrd¯enja je ostavljeno za samostalnu veˇzbu. ˇ Primer 1.14. Posmatrajmo lagranˇzijan za Sredingerovo polje LS = iψ ∗ ∂t ψ −

1 ∇ψ ∗ · ∇ψ. 2m

(1.175)

Lako je videti da je ovaj lagranˇzijan invarijantan u odnosu na transformacije ψ → e−iθ ψ, ψ ∗ → eiθ ψ ∗ . Poˇsto za inifinitezimalni parametar θ dobijamo ψ → ψ − iθψ i ψ ∗ → ψ ∗ + iθψ ∗ , direktno ˇcitamo δψ = −iθψ i δψ ∗ = iθψ ∗ . Ako indeks a = 1 pridruˇzimo polju ψ a indeks a = 2 polju ψ ∗ , imamo F 1 = −iψ,

F 2 = iψ ∗ .

(1.176)

Treba obratiti paˇznju da za transformacije ψ → e−iθ ψ i ψ ∗ → eiθ ψ postoji samo jedan parametar θ pa indeks i uzima samo jednu vrednost. Dakle, definicija veliˇcina J µ iz (1.174) daje ∂LS 1 ∂LS 2 F = iψ ∗ (−iψ) = |ψ|2 , F + ∗ ˙ ˙ ∂ψ ∂ψ  ∂LS ∂LS i  1 2 ∗ ∗ J = F + F = ψ∇ψ − ψ ∇ψ , ∂(∇ψ) ∂(∇ψ ∗ ) 2m

J0 =

(1.177)

ˇsto je standardni rezultat. Veliˇcina |ψ|2 se moˇze interpretirati kao gustina broja ˇcestica [videti Colussi & Wickramasekara (2008); Brauner, T. (2010)], mada to postaje oˇcigledno tek kada se izvrˇsi kvantovanje modela [Videti Odeljak 3.3.2]. Sa druge strane, ako transformaciju definiˇsemo kao ψ → ψ ′ = e−ieθ ψ, gde je e elementarno naelektrisanje, za oˇcuvanu veliˇcinu nalazimo Z Q= e|ψ|2

(1.178)

(1.179)

x

ˇ i interpretiramo je kao ukupni elektriˇcni naboj polja. Veza izmed¯u Sredingerovog polja i naelekrisanih ˇcestica ´ce biti dodatno razmatrana u narednom odeljku koji se bavi lokalnim simetrijama. Budu´ci da ψ → e−iθ ψ ne menja moduo kompleksnog broja ψ(x), ovakve transformacije se oznaˇcavaju imenom U(1). Za samostalnu veˇzbu je ostavljeno da se nad¯e eksplicitni izraz za veliˇcine J µ u sluˇcaju kompleksnog Klajn-Gordonovog polja iz Primera 1.4. ■

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

42

U opˇstijem sluˇcaju, transformacija ϕ → ϕ + δϕ moˇze indukovati promenu gustine lagranˇzijana, δL ̸= 0. Med¯utim, ako je ta promena jednaka divergenciji nekog kvadrivektora Vi , δL = ϵi ∂µ Viµ = ϵi ∂ · Vi ,

(1.180)

dejstvo se ne´ce promeniti i takva transformacija takod¯e ne menja klasiˇcne jednaˇcine kretanja. Zaista, u ovom sluˇcaju je Z i δS[ϕ] = ϵ ∂ · Vi = 0 (1.181) x

jer se integral divergencije prevodi u integral po (hiper)povrˇsini na kojoj polje iˇsˇcezava [videti (1.20)]. Umesto jednaˇcine kontinuiteta (1.173) u ovom sluˇcaju dobijamo uslov   ∂L a = ∂µ Viµ (1.182) F ∂µ ∂(∂µ ϕa ) i ˇsto znaˇci da je sada kvadrivektor struje dat sa komponentama Jiµ =

∂L F a − Viµ , ∂(∂µ ϕa ) i

(1.183)

i za njega vaˇzi ∂ · J = 0. Sliˇcno, promena gustine lagranˇzijana koja je oblika δL = ∂t f (ϕ(x, t)) indukuje promenu lagranˇzijana Z  Z    dF (t) d f ϕ(x, t) ≡ L[ϕ] + . (1.184) L[ϕ] → L[ϕ] + ∂t f ϕ(x, t) = L[ϕ] + dt x dt x Koriste´ci isti postupak kao prilikom dobijanja relacije (1.117), nalazimo Z δF ˙ δF δ dF (t) δ = ϕ(x, t) = . ˙ ˙ δϕ(y, t) δ ϕ(y, t) dt δ ϕ(y, t) x δϕ(x, t)

(1.185)

Dakle, prvi ˇclan u Ojler-Lagranˇzevoj jednaˇcini (1.69) prelazi u d δL d δL d δF → + ˙ ˙ dt δ ϕ(y, t) dt δ ϕ(y, t) dt δϕ(y, t)

(1.186)

dok drugi postaje δL δL d δF → + δϕ(y, t) δϕ(y, t) dt δϕ(y, t)

(1.187)

pa zakljuˇcujemo da se jednaˇcine kretanja klasiˇcne teorije polja ne menjaju pri promeni δL = ∂t f (ϕ(x, t)). Pogledajmo, za kraj ovog odeljka, kako izgleda Poasonova zagrada polja ϕa (x) sa gustinom naboja u sluˇcaju unutraˇsnjih simetrija, odnosno simetrijskih transformacija koje povezuju unutraˇsnje stepene slobode skalarnog polja. U tim sluˇcajima, kao i kod U(1) transformacija, δϕ(x)

ˇ 1.3. SIMETRIJE U KLASICNOJ TEORIJI POLJA

43

zavisi samo od polja ϕ(x) [Watanabe, H., Murayama, H. (2014); Weinberg, S. (2010)]. Ako iskoristimo (1.94) u definiciji (1.174), Ji0 ≡ ρi moˇzemo zapisati i kao Ji0 (x) =

∂L a Fi = πa (x)Fia (x). a ˙ ∂ϕ

(1.188)

Podseti´cemo se da je δϕ = ϵi Fia (x). Sada direktno nalazimo h i h i ϵi ϕa (x, t), Ji0 (y, t) = ϕa (x, t), πb (y, t)δϕb (y, t) PZ

PZ

= δba δ(x − y)δϕb (y, t)

= δϕa (y, t)δ(x − y), odakle proizilazi i h i ϕa (x, t), Qi ϵi

Z =

PZ

h i ϵi ϕa (x, t), Ji0 (y, t)

= δϕa (x, t).

(1.189)

(1.190)

PZ

y

Upravo dobijene relacije igraju vaˇznu ulogu u dokazivanju Goldstonove teoreme za kvantna polja kada se klasiˇcna polja zamene operatorima, a Poasonove zagrade komutatorima.

1.3.3

Lokalne (kalibracione) simetrije

Razmotrimo sada detaljnije ˇsta se dogad¯a ako nametnemo jaˇci zahtev za invarijantnost gustine lagnranˇzijana, dopuˇstaju´ci da se parametri {ϵi } koji definiˇsu infinitezimalnu transformaciju (1.143) menjaju od taˇcke do taˇcke u prostor-vremenu: ϵi → ϵi (x). Transformacije tipa δϕa (x) = ϵi (x)Fia (x),

(1.191)

koje ostavljaju gustinu lagranˇzijana invarijantnom se nazivaju lokalnim ili kalibracionim simetrijama. Ipak, treba imati na umu da lokalne simetrije ne predstavljaju prave simetrije fiziˇckog sistema ve´c govore o invarijantnosti naˇseg opisa fiziˇckog sistema [Witten, E. (2018); Gross, D. (1996); Beekman et al. (2019)]. Ovakva karakterizacija lokalnih transformacija se lepo moˇze ilustrovati osnovnim primerom teorije sa kalibracionom simetrijom – Meksvelovom elektrodinamikom [Mili´c, B. (2002)]. Kao ˇsto smo ve´c diskutovali u Primeru 1.5, elektriˇcno i magnetno polje su povezani sa skalarnim (V ) i vektorskim (A) potencijalom relacijama E = −∂t A − gradV,

B = rotA.

(1.192)

Lako je videti da se isto elektriˇcno i magnetno polje dobijaju iz novih potencijala A′ = A + gradχ,

V ′ = V − ∂t χ,

(1.193)

gde je χ proizvoljna funkcija na prostor-vremenu. Zaista, E ′ = −∂t A′ − grad V ′ = −∂t A − gradV − ∂t gradχ + grad ∂t χ = E,

(1.194)

pri ˇcemu smo iskoristili komutiranje operatora ∇ i ∂t , dok je B ′ = rotA′ = B na osnovu poznatog identiteta rot grad ≡ 0. Imaju´ci na umu da se potencijali u klasiˇcnoj elektrodinamici uvode kao sekundarne funkcije pomo´cu kojih je mogu´ce odrediti polja E i B, vidimo da dva razliˇcita

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

44

skupa potencijala {V, A} i {V ′ , A′ }, povezanih transformacijama (1.193) opisuju istu konfiguraciju elektromagnetnog polja. Transformacije (1.193), koje povezuju dva skupa potencijala kojima pridruˇzujemo jednu konfiguraciju elektromagnetnog polja, nazivaju se kalibracionim transformacijama. ˇ Vratimo se sada na Lagranˇzevu formulaciju Sredingerovog polja i pokuˇsajmo da odredimo uslove pod kojima je lagranˇzijan LS = iψ ∗ ∂t ψ −

1 ∇ψ ∗ · ∇ψ, 2m

(1.195)

invarijantan u odnosu na lokalne U(1) transformacije ψ → ψ ′ = e−iθ(x) ψ

(1.196)

ˇsto je direktno uopˇstenje globalnih transformacija iz Primera 1.14 na sluˇcaj lokalnih transformacija. Odmah uoˇcavamo problem: lagranˇzijan (1.195) ne moˇze biti invarijantan u odnosu na lokalne transformacije jer faktor exp(−iθ(x)) zavisi od prostornih koordinata i ˇclanovi koji sadrˇze izvode polja se ne transformiˇsu kao sama polja. Recimo,   iψ ∗ ∂t ψ → ieiθ(x) ψ ∗ ∂t e−iθ(x) ψ = iψ ∗ ∂t ψ + ψ ∗ ψ∂t θ(x). (1.197) Reˇsenje ovog problema se sastoji u modifikovanju lagranˇzijana tako da novi, sloˇzeniji lagranˇzijan, bude invarijantan u odnosu na lokalne transformacije. Poˇsto ˇclanovi koji naruˇsavaju invarijantnost dolaze od dejstva izvoda na faktor exp(−iθ(x)), reˇsenje se svodi na definisanje novih, tzv. kovarijantnih izvoda [H¨ ubsch T. (2011)] ∂t → Dt := ∂t + iΦ,

∇ → D := ∇ + iX,

(1.198)

pri ˇcemu veliˇcine Φ i X odred¯ujemo iz uslova da se izvodi novih polja transformiˇsu na isti naˇcin kao i sama polja. Odnosno, zahtevamo da vaˇzi   Dt ψ → D′t ψ ′ := (∂t + iΦ′ ) e−iθ(x) ψ = e−iθ(x) Dt ψ. (1.199) Raspisivanjem ˇclanova iz gornjeg uslova, nalazimo   e−iθ(x) ∂t ψ − iψ∂t θ + iΦ′ ψ = e−iθ(x) ∂t ψ + iΦψ ,

(1.200)

odakle vidimo da traˇzeni uslov glasi Φ′ = Φ + ∂t θ.

(1.201)

Sliˇcno, iz zahteva   Dψ → D′ ψ ′ := (∇ + iX ′ ) e−iθ(x) ψ = e−iθ(x) Dψ

(1.202)

dobijamo zakon transformacije veliˇcine X X ′ = X + ∇θ.

(1.203)

ˇ 1.3. SIMETRIJE U KLASICNOJ TEORIJI POLJA

45

Jednaˇcine koje definiˇsu transformacije veliˇcina X i Φ liˇce na jednaˇcine kalibracionih transformacija (1.193). Kako bi analogija bila potpuna, uveˇs´cemo novu transformaciju za polje (po uzoru na (1.178) ψ(x) → e−ieΛ(x) ψ(x),

(1.204)

i nove veliˇcine A i V relacijama Φ = −eV , X = eA, koje se transformiˇsu kao A → A′ = A + ∇Λ,

V → V ′ = V − ∂t Λ.

Na taj naˇcin smo doˇsli do lagranˇzijana      1  ∗ ∗ ∇ − ieA ψ · ∇ + ieA ψ L = iψ ∂t − ieV ψ − 2m

(1.205)

(1.206)

koji je invarijantan u odnosu na kombinovane (lokalne) transformacije (1.204) i (1.205). Prema tome, zahtev za lokalnom U(1) invarijantnoˇs´cu teorije prirodno uvodi elektromagnetno polje u lagranˇzijan14 . Ukoliko ˇzelimo da elektromagnetno polje bude pravo dinamiˇcko polje, moramo u lagranˇzijan dodati i ˇclanove koji sadrˇze izvode potencijala, a kalibraciono su invarijantni. To su upravo ˇclanovi koji ulaze u lagranˇzijan iz Primera 1.5. Dakle, U(1) kalibraciono invarijantni ˇ lagranˇzijan, koji opisuje dinamiku Sredingerovog polja ψ i elektromagnetnog polja glasi  2 1  2 1  2   1  ∂t A + gradV − rotA . (1.207) L = iψ ∗ ∂t − ieV ψ − ∇ + ieA ψ + 2m 2 2 Lagranˇzijan (1.207) ima vaˇznu primenu u teoriji superprovodnosti (videti Odeljak 2.4). Za kraj ´cemo primetiti da ˇclanovi tipa A · A nisu dozvoljeni u (1.207) jer nisu invarijantni u odnosu na kalibracione transformacije. U kontekstu kvantne teorije se kaˇze da je elektromagnetno polje bezmaseno (videti diskusiju iz odeljka 1.1.3). Radi kompletnisti izlaganja, pokaza´cemo kako se model kompleksnog Klajn-Gordonovog polja moˇze uopˇstiti tako da bude invarijantan u odnosu na lokalne U(1) transformacije. U tom cilju ´cemo prvo primetiti da se kalibracione transformacije (1.205) kompaktno mogu zapisati kao Aµ → A′µ = Aµ − ∂µ Λ.

(1.208)

Zaista, poˇsto je A0 = V i ∂0 = ∂t , (1.208) za µ = 0 daje V ′ = V − ∂t Λ. Sliˇcno, za µ = i imamo Ai = (−A)i , pa kada indeks µ uzima vrednosti 1,2 ili 3, nalazimo −A′ = −A − ∇Λ. Sada moˇzemo uvesti i kovarijantne izvode Dµ := ∂µ − ieAµ , tako da se kovarijantni izvod polja transformiˇse kao i samo polje:

Dµ ϕ → ∂µ − ieA′µ e−iΛ(x) ϕ = e−iΛ(x) Dµ ϕ.

(1.209)

(1.210)

Na osnovu gornje definicije kovarijantnog izvoda, zatim definicije lagranˇzijana za kompleksno Klajn-Gordonovo polje iz Primera 1.4, kao i relativistiˇcke formulacije lagranˇzijana za elektromagnetno polje iz Primera 1.6, vidimo da je lagranˇzijan 1 L = Dµ ϕDµ ϕ∗ − m2 ϕ2 − Fµν F µν , 4 14

(1.211)

U tom kontekstu se dualni kvadrivektor A = [V, A] oznaˇcava kao U(1) kalibraciono polje [H¨ ubsch T. (2011)].

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

46 pri ˇcemu je [Ryder, L.H. (1996)] Dµ ϕ∗ := (∂µ + ieAµ ) ϕ∗ ,

Dµ ϕ∗ = η µν Dν ϕ∗

(1.212)

invarijantan u odnosu na lokalne U(1) transformacije a polja ϕ i ϕ∗ nose suprotna naelektrisanja [Videti i diskusiju iz odeljka 3.3.1]. Teorija zasnovana na lagranˇzijanu (1.211) je poznata kao skalarna elektrodinamika [Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995)]. Imaju´ci u vidu pre svega kasnije primene na teoriju superprovodnosti, izlaganje u ovom odeljku je ograniˇceno na U(1) kalibracione simetrije. Ipak, u velikom broju savremenih teorija koje opisuju sloˇzene sisteme upravo su od interesa razliˇcite neabelovske generalizacije kalibracionih simetrija [Weinberg, S. (2010); H¨ ubsch T. (2011)].

1.3.4

Goldstonova teorema u klasiˇ cnoj teoriji polja

Jednaˇcine klasiˇcne teorije polja su, u opˇstem sluˇcaju nelinearne parcijalne diferencijalne jednaˇcine proizvoljnog reda [Videti Primer 1.7], tako da je teˇsko dati karakteristike tih jednaˇcina u opˇstem sluˇcaju. Jedan od izuzetaka je Goldstonova teorema koja reguliˇse pitanje disperzije u situacijama u kojima dolazi do spontanog naruˇsenja simetrije. Za formulisanje i dokaz Goldstonove teoreme ´ce nam trebati neki elementi teorije Lijevih grupa i algebri. U dodatku D su navedene neophodne definicije i teoreme, a viˇse detalja se moˇze na´ci u [Fecko, M. (2006); Hall (2015); Isham (1999); Stone M.,Goldbart P. (2009)]. R Pretpostavimo da je dato dejstvo S[ϕ] = x L(ϕ, ∂ϕ), pri ˇcemu je L(ϕ, ∂ϕ) = K(∂ϕ) − V(ϕ)

(1.213)

gde K(∂ϕ) oznaˇcava deo gustine lagranˇzijana u kojem se nalaze izvodi polja (tzv. kinetiˇcki deo), dok V(ϕ) predstavlja ostatak (tzv. potencijalni deo). Takod¯e, uze´cemo da je ϕ : RM → RN . Poˇsto ´cemo diskutovati Goldstonovu teoremu u generalnoj formulaciji koja vaˇzi i za relativistiˇcke i za nerelativistiˇcke modele, ne´cemo specificirati K(∂ϕ). Ovaj pristup jeste opˇstiji, ali je sama teorema slabija u smislu da ne precizira broj nezavisnih fiziˇckih stepeni slobode u sluˇcaju kada ne postoji Lorencova simetrija [Watanabe, H., Murayama, H. (2014)]. Pretpostavimo da je (1.213) invarijantno u odnosu na globalne transformacije koje saˇcinjavaju grupu simetrija G. Neka g ∈ G tako da je transformacija polja ϕ data sa ϕ → ϕ′ = gϕ. Ako ϕ predstavimo kolonom [ϕ1 ϕ2 . . . ϕN ]T , pomenuta transformacija je data linearnim dejstvom [D(g)]ab ϕb , pri ˇcemu je D(g) matrica koja reprezentuje element g u RN . Sliˇcno, za izvode polja imamo ∂ϕ → ∂ϕ′ = ∂(gϕ) = g∂ϕ, te uslov invarijantnosti glasi L(gϕ, g∂ϕ) = L(ϕ, ∂ϕ).

(1.214)

Sa druge strane [Beekman et al. (2019)], neka je Φ stabilno reˇsenje klasiˇcnih jednaˇcina kretanja (recimo, osnovno stanje). Pretpostavimo dalje da je reˇsenje Φ invarijantno u odnosu na grupu simetrija H. To znaˇci da je hΦ = Φ, ∀h ∈ H. Ukoliko je H ⊆ G, kaˇze se da je u datom sistemu doˇslo do spontanog naruˇsenja simetrije. U nastavku ovog odeljka ´cemo razmotriti matematiˇcke posledice spontanog naruˇsenja globalne kontinualne simetrije ne ulaze´ci u sam mehanizam koji dovodi do ovog fenomena. Primeri fiziˇckih sistema koji ispoljavaju spontano naruˇsenje simetrije su dati u Poglavljima 2 i 3. Reˇsenja klasiˇcnih jednaˇcina kretanja kod kojih je Φ0 = const. se nazivaju vakuumom jer su dobro definisana za bilo koje vrednosti xµ pa se,

ˇ 1.3. SIMETRIJE U KLASICNOJ TEORIJI POLJA

47

u odred¯enim uslovima, mogu uzeti kao polazna taˇcka prilikom ispitivanja ponaˇsanja sistema15 . Takva reˇsenja oˇcigledno moraju zadovoljavati uslov ∂V(ϕ) = 0. (1.215) ∂ϕa ϕ=Φ0 Goldstonova teorema tvrdi da u sluˇcaju kada dolazi do spontanog naruˇsenja kontinualne globalne simetrije, tj. kada postoje vakuumska reˇsenja koja nisu invarijantna u odnosu na punu grupu simetrije dejstva, postoje reˇsenja u vidu ravnih talasa i to takva da disperzija zadovoljava uslov ω(k) → 0 pri |k| → 0. Kako bismo dokazali teoremu, pretpostavimo da je G matriˇcna Lijeva grupa dimenzije dim(G) = n. Prema Teoremi D.1, tada je i H ⊆ G Lijeva grupa16 dimenzije dim(H) = m ≤ n. ˇ Staviˇ se, ako je g Lijeva algebra grupe G, tada je h Lijeva algebra grupe H i vaˇzi h ⊆ g. Ako sa cinjava bazis {Xi }ni=1 oznaˇcimo bazis od g iz njega uvek moˇzemo izdvojiti skup {Yα }m α=1 koji saˇ od h. Ostatak bazisnih elemenata, XA , gde A = 1, 2, . . . n − m generiˇsu prostor g/h [Videti dodatak D]. Koriste´ci upravo uvedenu notaciju, proizvoljni element od G, u blizini jedinice, moˇzemo zapisati kao i i h h (1.216) g(θ) = exp θi Xi = exp θA XA + θα Yα , gde su koeficijenti θi parametri koji specificiraju transformaciju. Ako se ograniˇcimo na infinitezimalnu transformaciju, ˇsto znaˇcajno uproˇs´cava analizu, moˇzemo pisati g(θ) = I + θA XA + θα Yα + O(θ2 ).

(1.217)

Sliˇcno, h(θ) = I + θα Yα + O(θ2 ). Uslov invarijantnosti vakuuma Φ0 se sada moˇze zapisati kao   Φ0 = hΦ0 = I + θα Yα + O(θ2 ) Φ0 = Φ0 + θα Yα Φ0 + O(θ2 )

(1.218)

(1.219)

odakle vidimo da bazisni elementi od h anihiliraju vakuum Yα Φ0 = 0,

α = 1, 2, . . . dim(H).

(1.220)

Sa druge strane, V (ϕ) mora biti invarijantno u odnosu na proizvoljnu G transformaciju koju, imaju´ci u vidu (1.217), moˇzemo zapisati kao ϕa → ϕa + δϕa . Ovde je δϕa = θi (Xi )ab ϕb , 15

a = 1, 2, . . . , n

(1.221)

Sastavni deo ovakve analize podrazumeva da se pokaˇze opravdanost pretpostavke o postojanju spontanog naruˇsenja simetrije. Ovom vaˇznom temom ´cemo se pozabaviti u Odeljku 2.5.1 posve´cenom Mermin-Vagnerovoj teoremi. 16 Ovakvim izborom odnosa izmed ¯u G i H smo dozvolili i trivijalni sluˇcaj u kojem se H sastoji samo od jediniˇcnog elementa od G.

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

48

A

A

Slika 1.2: Superpozicija vakuumskog reˇsenja Φ0 i male popravke δΦ0 (x) = χ(x) indukovane infinitezimalnom lokalnom G transformacijom. Pri tome su sa (Xi )ab oznaˇceni matriˇcni elementi koji reprezentuju element algebre Xi u prostoru RN a θi su konstantni parametri koji odred¯uju transformaciju. Invarijantnost potencijalnog dela gustine lagranˇzijana glasi V(ϕ) = V(ϕ + δϕ) = V(ϕ) +

∂V a δϕ + O(θ2 ), a ∂ϕ

(1.222)

odakle se dobija uslov koji veliˇcine δϕ moraju zadovoljiti: ∂V i ∂V a δϕ = θ (Xi )ac ϕc = 0. a a ∂ϕ ∂ϕ

(1.223)

Diferenciranjem gornje relacije po ϕb nalazimo ∂ 2V i ∂V θ (Xi )ac ϕc + a θi (Xi )ab = 0. a b ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

(1.224)

Do sada smo dopuˇstali da ϕ bude proizvoljna konfiguracija (ne nuˇzno reˇsenje klasiˇcnih jednaˇcina kretanja – videti definiciju simetrijske transformacije iz odeljka 1.3.1). Uzmimo sada da je ϕ(x) konfiguracija koja je dobijena od vakuuma Φ0 proizvoljnom lokalnom transformacijom indukovanom elementima grupe17 G. Konfiguracija Φ0 + δΦ0 (x) je ilustrovana na Sl. 1.2. Φa0 → Φa0 + δΦa0 = Φa0 + θi (x)(Xi )ab Φb0 ≡ ϕa (x). Uz ovakav izbor transformacije, jednaˇcina (1.224) postaje ∂ 2 V ∂V i a c θ (x)(Xi ) c Φ0 + a θi (x)(Xi )ab = Mab θi (x)(Xi )ac Φc0 = 0, ∂ϕa ∂ϕb ϕ=Φ0 ∂ϕ ϕ=Φ0 17

(1.225)

(1.226)

Obratiti paˇznju da ovakvo definisanje konfiguracije ϕ(x) ne znaˇci da je globalna simetrija lagranˇzijana podignuta na nivo lokalne simetrije. U odeljku 1.3.3 je pokazano da se uvod¯enje lokalne simetrije ostvaruje pomo´cu kovarijantih izvoda koji zamenjuju parcijalne izvode u kinetiˇckom delu lagranˇzijana K(∂ϕ).

ˇ 1.3. SIMETRIJE U KLASICNOJ TEORIJI POLJA gde smo iskoristili (1.215) i uveli oznaku ∂ 2 V Mab = . ∂ϕa ∂ϕb ϕ=Φ0

49

(1.227)

Imaju´ci u vidu da generatori od h anihiliraju vakuum, relacija (1.226) se moˇze zapisati i kao Mab θA (x)(XA )ac Φc0 = 0.

(1.228)

Jednaˇcina (1.226) nam govori koji uslov mora zadovoljavati drugi izvod G−invarijantnog potencijala V (ϕ) u blizini vakuumske konfiguracije koja je invarijantna u odnosu na H−transformacije. Pogledajmo sada kakve posledice po disperziju name´ce relacija (1.226). Da bismo naˇsli reˇsenja u vidu ravnih talasa, u okolini vakuumske konfiguracije, moramo aproksimirati potencijal V (ϕ) tako da zadrˇzimo najviˇse kvadratne ˇclanove. Uvedimo, radi preglednijeg pisanja, oznaku δΦ0 (x) = θA (x)XA Φ0 = χ(x) tako da je ϕ(x) = Φ0 + χ(x). U kvadratnoj aproksimaciji je 1 ∂ 2 V ∂V(ϕ) a χ + χa χb + O(θ3 ) V(Φ0 + χ) = V(Φ0 ) + ∂ϕa ϕ=Φ0 2 ∂ϕa ∂ϕb ϕ=Φ0 1 = V(Φ0 ) + Mab χa (x)χb (x) + O(θ3 ), 2

(1.229)

(1.230)

gde smo iskoristili (1.215). Med¯utim, na osnovu (1.228) je Mab χa (x)χb (x) = Mab θA (x)(XA )ac Φc0 χb = 0,

(1.231)

tako da je kvadratna aproksimacija potencijala V (ϕ) u blizini vakuuma V(Φ0 + χ) = V(Φ0 ) + O(θ3 ).

(1.232)

Praktiˇcno, potencijal se moˇze aproksimirati konstatnim ˇclanom. Ako se smena ϕ(x) = Φ0 + χ(x) uvede i u kinetiˇcki do lagranˇzijana, usled ∂µ Φ0 = 0, nalazimo K(∂ϕ) = K(∂χ). Dakle, lagranˇzijan u kvadratnoj aproksimaciji glasi L(χ) = K(∂χ) + V(Φ0 ).

(1.233)

Kako lagranˇzijan ne sadrˇzi kvadratni ˇclan oblika Mab χa χb , na osnovu diskusije iz odeljka 1.1.3, zakljuˇcujemo da disperzija za polja χ(x), koja se nazivaju Goldstonovim poljima, zadovoljava uslov ω(k) → 0 pri |k| → 0. Ovim je Goldstonova teorema dokazana [Weinberg, S. (2010); Nair, V.P. (2005)]. Osvrnimo se sada malo detaljnije na sam dokaz. Pre svega, jasno je da kljuˇcni korak u dokazu predstavlja ˇcinjenica da je Mab χa = 0, odnosno relacija (1.228). Vaˇzno je da primetimo da se ne moˇze na´ci proizvoljna linearna kombinacija θA XA za koju vaˇzi θA (x)XA Φ0 = χ(x) = 0. Naime, kao ˇsto smo ustanovili ranije, samo elementi od h anihiliraju Φ0 .Ukoliko bi bilo θA (x)XA Φ0 = 0,

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

50

to bi znaˇcilo da je linearna kombinacija θA XA ∈ h. Med¯utim, to je u suprotnosti sa pretpostavkom da su XA generatori od g/h. Na osnovu ovoga moˇzemo i da prebrojimo Goldstonova polja. Pre svega, iz definicije (1.229), vidimo da je χ vektor kolona iz Rn . Ipak, broj Goldstonovih polja je odred¯en brojem elemenata iz te kolone koji su razliˇcititi od nule. Poˇsto je χ izraˇzeno pomo´cu linearne kombinacije bazisnih elemenata od g/h, tj. χ(x) = θA (x)XA Φ0 , vidimo da su parametari koji specificiraju Goldstonova polja baˇs θA (x) a njihov broj je dim(G) − dim(H). Praktiˇcno, Goldstonova polja se mogu poistovetiti sa funkcijama θA (x). U sluˇcaju Lorencinvarijantnih sistema, broj Goldstonovih polja se poklapa sa brojem fiziˇckih stepeni slobode. Ipak, to ne vaˇzi za ˇsiru klasu nerelativistiˇckih sistema koji imaju komplikovaniju strukturu ˇclana K(∂ϕ) [Watanabe, H., Murayama, H. (2014)]. Dalje, ˇcesto je potrebno zadrˇzati i viˇse A ˇclanove od linearnih u (1.217). Umesto  A linearne  kombinacije χ(x) =A θ (x)X  A Φ0 , Goldstonova polja se tada mogu izraziti kao exp θ (x)XA Φ0 . Elementi exp θ (x)XA u opˇstem sluˇcaju ne saˇcinjavaju grupu18 ve´c prostor koseta G/H jer ne ukljuˇcuju transformacije koje indukuju elementi iz h. Zbog toga se kaˇze da klasiˇcnim Goldstonovim poljima odgovaraju elementi skupa G/H. Takod¯e, budu´ci da je broj Goldstonovih polja manji od dimenzije grupe G, oni se ne transformiˇsu linearno pri dejstvu g ∈ G. Ovaj opˇstiji prilaz je polazna taˇcka u konstruisanju tzv. efektivnih teorija polja i poznat je pod nazivom CCWZ lagranˇzijan [Weinberg, S. (2010); Brauner, T. (2010); Burgess, C.P. (2000)]. Takod¯e, poˇsto smo se u dokazu oslonili na linearizaciju jednaˇcina kretanja, on ne moˇze biti u potpunosti strog. Viˇse detalja, koji se tiˇcu reˇsavanja odgovaraju´cih nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednaˇcina u vezi sa Goldstonovom teoremom, dato je u [Strocchi, F. (2005)]. U Odeljku 2.5.2 ´cemo videti kako se konsruiˇse lagranˇzijan za specijalan sluˇcaj naruˇsenja simetrije O(N ) → O(N − 1) a u Poglavlju 3 ´cemo diskutovati i kvantnu verziju Goldstonove teoreme. Na kraju napominjemo da Goldstonova teorema vaˇzi i za modele koji su formulisani u kanonskom formalizmu [Videti Primer 1.16]. Primer 1.15. Osnovni netrivijalni primer se odnosi na modele kod kojih je simetrija lagranˇzijana G = SO(3) a simetrija vakuuma H = SO(2). Oni su poznati pod opˇstim nazivom O(3) model. Na osnovu gornje analize, oˇcekujemo da se u ovom sluˇcaju jave dim(G)−dim(H) = 3 − 1 = 2 dva Goldstonova polja. Dakle, neka je ϕ(x) trokomponentno polje  1  ϕ (x) ϕ(x) =  ϕ2 (x)  ∈ R3 . (1.234) ϕ3 (x) tako da je dejstvo grupe G = SO(3) na ϕ dato linearnim dejstvom, matricama trodimenzione reprezentacije: ϕa → [D(g)]ab ϕb . Takod¯e, uze´cemo da je gustina lagranˇzijana 1 L(ϕ) = ∂µ ϕ · ∂ µ ϕ + V(|ϕ|) 2

(1.235)

√ gde je V (|ϕ|) potencijal koji zavisi samo od |ϕ| = ϕ · ϕ pri ˇcemu taˇckica oznaˇcava standardni skalarni proizvod u R3 . Jedan primer takvog potencijala je dat u odeljku 2.3. Kao ˇsto je ve´c reˇceno, vakuumska konfiguracija se odred¯uje iz uslova (1.215), koji se u ovom sluˇcaju svodi na V ′ (|ϕ|) 18

ϕa = 0. |ϕ|

(1.236)

Sliˇcno kao ˇsto, u opˇstem sluˇcaju, vektori XA ne predstavljaju bazis Lijeve algebre. Definicije prostora G/H i g/h su date u Prilogu D.

ˇ 1.3. SIMETRIJE U KLASICNOJ TEORIJI POLJA

51

Jedno reˇsenje je oˇcigledno ϕ = 0 i ono je SO(3) invarijantno. Druge mogu´ce vakuumske konfiguracije su reˇsenja jednaˇcine V ′ (|ϕ|) = 0 i ona mogu da specificiraju samo |ϕ|. Nas trenutno interesuje reˇsenje koje poseduje SO(2) simetriju pa ga moˇzemo uzeti u obliku   0 Φ0 =  0  , v = const. (1.237) v Jedna trodimenziona  0 0  0 X1 = 0 0 −1

reprezentacija algebre so(3) je odred¯ena matricama      0 0 0 −1 0 1 0 1  , X2 =  0 0 0  , X3 =  −1 0 0  , 0 1 0 0 0 0 0

(1.238)

na osnovu kojih je lako videti da vaˇzi X3 Φ0 = 0 ∈ R3 , dok je X1 Φ0 ̸= 0, i X2 Φ0 ̸= 0. Oˇcekivano, vidimo da je podalgebra h = so(2) generisana elementom X3 ≡ Y1 , dok X1 i X2 saˇcinjavaju bazis od so(3)/so(2). Kako je [X1 , X2 ] = −X3 , jasno je da so(3)/so(2) nije Lijeva algebra. Konaˇcno, dva Goldstonova polja, grupisana u vektor χ, data su sa   −vθ2 (x) (1.239) χ = θ1 (x)X1 Φ0 + θ2 (x)X2 Φ0 =  vθ1 (x)  . 0 Dalje, elementi matrice M , definisane u (1.227), u ovom sluˇcaju se svode na V ′′ (|ϕ|) ϕa ϕb ′′ = Φa0 Φb0 , a, b = 1, 2, 3. Mab = V (|ϕ|) 2 2 |ϕ| ϕ=Φ0 v ϕ=Φ0

(1.240)

Odnosno, ′′ M = V (|ϕ|)



 0 0 0  0 0 0  ϕ=Φ0 0 0 1

(1.241)

odakle se lako dobija M χ = 0. To znaˇci da se potencijal V(|ϕ|) moˇze zapisati u obliku (1.232) i jednaˇcine kretanja za Goldstonova polja glase ∂ 2 θ1 (x) = ∂ 2 θ2 (x) = 0.

(1.242)

Lako je videti da je disperziona relacija za oba polja data sa ω(k) = |k|. Dakle, osnovne odlike spontanog naruˇsenja simetrije opisane u ovom odeljku, u okviru O(3) modela, dobijaju se direktno i bez specificiranja potencijala V (ϕ). ■ Primer 1.16. Klasiˇcni O(3) Hajzenbergov feromagnet u granici kontinuuma je definican hamiltonijanom [Haldane, F. D. M. (1986)] Z 1 ∂S(x, t) ∂i S(x, t) · ∂i S(x, t), ∂i S(x, t) = , (1.243) H= 2 x ∂xi

ˇ 1. OSNOVI KLASICNE TEORIJE POLJA

52

gde komponente vektora S(x, t) zadovoljavaju relacije (a, b, c = 1, 2, 3)  a  S (x, t), S b (y, t) PZ = δ(x − y)ϵabc S c (x, t), |S(x, t)| = 1.

(1.244)

Jednaˇcinu kretanja dobijamo koriste´ci navedene Posaonove zagrade   Z 1 ∂ b a b a ∂t S (x, t) = 2 × ∂j S (y, t) S (x, t), j S (y, t) 2 y ∂y PZ Z   ∂ = ϵabc ∂j S b (y, t) j δ(x − y)S c (x, t) ∂y y = −ϵabc S c (x, t)∇2 S b (x, t).

(1.245)

pri ˇcemu smo iskoristili analogon relacije (1.140). Dobijena jednaˇcina se moˇze zapisati u vektorskoj formi kao ∂t S = S × ∇2 S.

(1.246)

Pretpostavimo da traˇzimo reˇsenja koja opisuju mala odstupanja od konfiguracije S0 = ez . Budu´ci da je Hamiltonijan (1.243) invarijantan u odnosu na O(3) transformacije, reˇsenje S0 = ez odgovra spontanom naruˇsenju simetrije po obrazcu O(3) → O(2), kao i u prethodnom primeru. Poˇsto je u ovom sluˇcaju S ≈ [S x S y 1], nalazimo ex e e y z x 2 y S 1 ≈ −∇2 S y ex + ∇2 S x ey S × ∇ S ≈ S (1.247) ∇ 2 S x ∇ 2 S y 0 i linearizovane jednaˇcine kretanja glase ∂t S x = −∇2 S y ,

∂t S y = ∇2 S x .

(1.248)

Dve jednaˇcine su dobijene kao posledica ˇcinjenice da je dim(G)−dim(H) = 3−1 = 2. Med¯utim, za razliku od O(3) modela iz prethodnog primera, jednaˇcine za dva Goldstonova polja u ovom sluˇcaju nisu nezavisne. Definisanjem ψ(x, t) = S x (x, t) + iS y (x, t), vidimo da se jednaˇcine (1.248) mogu zapisati kao ∂t ψ(x, t) = −∇2 ψ(x, t)

(1.249)

ˇ ˇsto je jednaˇcina Sredingerovog tipa i opisuje jedan fiziˇcki stepen slobode (feromagnetni magnon). Lako se pokazuje da je disperziona relacija u ovom sluˇcaju data sa ω(k) = k2 . ■ U Primerima 1.15 i 1.16 su navedene dve klasiˇcne teorije polja kod kojih se pojavljuje ista ˇsema naruˇsenja simetrije O(3) → O(2). Ipak, broj fiziˇckih stepeni slobode koji odgovaraju Goldstonovim poljima se u ova dva sluˇcaja razlikuje. Takod¯e, razlikuju se i disperzione relacije. U kvantnim verzijama ovih teorija se kao elementarne ekscitacije pojavljuju Goldstonovi bozoni i spektar prvog modela sadrˇzi dva Goldstonova bozona a spektar drugog jedan [Videti Poglavlje 3]. Prema savremenoj nomenklaturi, elementarne ekscitacije opisane u Primeru 1.15 se nazivaju Goldstonovi bozoni tipa A, dok su ekscitacije klasiˇcnog Hajzenbergovog feromagneta predstavnici tzv. Goldstonovih bozona tipa B [Videti Odeljak 3.7]. Kao ˇsto se moˇze zakljuˇciti iz ova dva primera, sam obrazac naruˇsenja simetrije G → H nije dovoljan da bi se u potpunosti odredio tip i broj Goldstonovih bozona u datom sistemu. Viˇse detalja o klasifikaciji Goldstonovih ekscitacija se moˇze na´ci u [Watanabe, H., Murayama, H. (2014, 2012)].

2 Landauova teorija faznih prelaza U ovom poglavlju ´cemo primeniti metode klasiˇcne teorije polja na probleme ravnoteˇzne klasiˇcne statistiˇcke fizike povezuju´ci tako apstraktni formalizam klasiˇcne teorije polja sa fiziˇcki interesantnim problemima. Konkretno, izloˇzeni su osnovi Landauove teorije faznih prelaza sa primenom na nekoliko modela. Iako na prvi pogled ravnoteˇzna statistiˇcka fizika nema mnogo dodirnih taˇcaka sa klasiˇcnom teorijom polja, vezu izmed¯u njih direktno uspostavlja funkcionalni formalizam. Na primer, Landauova konfiguracija koja opisuje ravnoteˇzno stanje sistema, dobija se pomo´cu varijacionog izvoda. Joˇs jednu vezu izmed¯u ove dve oblasti pruˇza Goldstonova teorema. U prethodnom odeljku smo je formulisali za klasiˇcnu teoriju polja, a u ovom poglavlju ´cemo videti kako se ona manifestuje u ponaˇsanju susceptibilnosti i korelacione duˇzine. Takod¯e, vide´cemo i kako se U(1) kalibraciona teorija koristi za jednostavan opis fenomena vezanih za konvencionalnu superprovodnost. Izlaganje je zapoˇceto sa Izingovim modelom za koji je dobijen pribliˇzni izraz za statistiˇcku sumu pomo´cu funkcionalnog integrala na osnovu ˇcega je dobijen Landauov model kao i gausovska aproksimacija. Nakon toga su uvedeni modeli sa kontinualnom simetrijom i za njih su diskutovane posledice Goldstonove teoreme. Konaˇcno, formulisana je i Mermin-Vagnerova teorema koja uvodi ograniˇcenja na mogu´cnost spontanog naruˇsenja kontinualne globalne simetrije na konaˇcnim temperaturama.

2.1

Fazni prelazi i parametar ured ¯enosti

Zbog velikog praktiˇcnog znaˇcaja, koji se (izmed¯u ostalog) ogleda u sintezi novih materijala sa specifiˇcnim karakteristikama, teorijski opis faznih prelaza zauzima vaˇzno mesto u savremenoj fizici. Za razmatranja u ovom poglavlju, koja ´ce posluˇziti kao osnova za Landauovu teoriju, dovoljno je da fazu definiˇsemo kao homogeni deo termodinamiˇckog sistema koji se od drugih delova razlikuje po svojim fiziˇckim osobinama i koji je u termodinamiˇckoj ravnoteˇzi sa okolinom pri odred¯enoj vrednosti razliˇcitih parametara [Umantsev, A. (2012)]. Menjanjem parametara1 koji karakteriˇsu ponaˇsanje sistema, mogu´ce je sistem prevesti iz jedne faze u drugu. Odred¯ene karakteristike sistema se pri tome menjaju i tada govorimo o faznom prelazu. Centralno mesto u Landauovoj teoriji ima parametar ured¯enosti. To je fiziˇcka veliˇcina koja iˇsˇcezava u visokotemperaturskoj fazi2 . Preciznije, parametar ured¯enosti je razliˇcit od nule na svim temperaturama 1

To mogu biti temperatura, pritisak, spoljaˇsnje elektriˇcno ili magnetno polje itd. Preciznija definicija parametra ured ¯enosti, koja se oslanja na teoriju simetrije, data je niˇze u tekstu. Formalna definicija je navedena u odeljku 3.6.2. 2

53

54

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

ˇ Slika 2.1: Sematski prikaz faznog dijagrama feromagneta [Prema Altland, A., Simons, B. (2010); Negle, J.W., Orland, H. (1998)]. manjim od temperature faznog prelaza. Ukoliko parametar ured¯enosti kontinualno teˇzi nuli kako se temperatura pribliˇzava temperaturi faznog prelaza, govorimo o faznom prelazu drugog reda [Negle, J.W., Orland, H. (1998)] i njima ´cemo se baviti u nastavku. Fazni prelaz kod kojeg parametar ured¯enosti trpi skok na temperaturi faznog prelaza se naziva prelazom prvog reda3 . Primer faznog dijagrama feromagnetne supstance je prikazan na Sl. 2.1. Stanje sistema je odred¯eno sa dva parametra (temperatura T i magnetno polje B), dok je parametar ured¯enosti magnetizacija (M ). Posmatrajmo jednu fiksnu temperaturu T < TC . Kontinualnim menjanjem magnetnog polja od neke vrednosti −B do B, sistem se prevodi izmed¯u dve faze u kojima magnetizacija menja smer (narandˇzasta linija). Poˇsto magnetizacija trpi skok pri B = 0, linija [0, TC ] predstavlja liniju faznog prelaza prvog reda. Nasuprot tome, menjanjem temperature od 0 do TC , pri B = 0, magnetizacija kontinualno teˇzi u nulu i ovakvo ponaˇsanje odgovara faznom prelazu drugog reda. Temperatura TC , u kojoj se zavrˇsava linija faznog prelaza prvog reda, naziva se kritiˇcnom temperaturom [Negle, J.W., Orland, H. (1998); Altland, A., Simons, B. (2010)]. Neke fazne prelaze drugog reda prati promena simetrije – stanje koje karakteriˇse niskotemperatursku fazu ima niˇzu simetriju od Hamiltonijana ili dejstva koji definiˇsu model. U tom smislu se fazni prelazi mogu tumaˇciti i sa stanoviˇsta spontanog naruˇsenja simetrije4 uvedenog u Odeljku 1.3.4. Ako je G grupa simetrije dejstva (ili hamiltonijana) a H ⊆ G grupa simetrije osnovnog stanja, tada se za parametar ured¯enosti moˇze uzeti oˇcekivana vrednost neke veliˇcine koja se netrivijalno transformiˇse u odnosu na G [Videti (2.8) i odeljak 3.6.2.]. Izbor, naravno, nije jednoznaˇcan [Negle, J.W., Orland, H. (1998)]. Landauova teorija za ovakve sisteme, na naˇcin na koji je izloˇzena u sluˇcaju superprovodnika [Odeljak 2.4], predstavlja prvu efektivnu teoriju u modernom smislu – polaze´ci od odred¯enog obrasca naruˇsenja simetrije konstruiˇse se 3

Ponekad se pomenuti tipovi prelaza oznaˇcavaju i kao fazni prelazi prve, odnosno druge, vrste. Viˇse detalja o klasifikaciji faznih prelaza se moˇze na´ci u [Stanley, H. E. (1971); Negle, J.W., Orland, H. (1998); Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010); Ma, S.K. (2018); Zinn-Justin, J. (2007)]. 4 Iako je ovo stanoviˇste dosta korisno jer povezuje klasiˇcnu teoriju polja i ravnoteˇznu statistiˇcku fiziku pa omogu´cava da se rezultati iz jedne oblasti primenjuju u drugoj, treba imati na umu da postoje fazni prelazi kod kojih ne dolazi do spontanog naruˇsenja simetrije [Negle, J.W., Orland, H. (1998)]. Recimo, kod faznog prelaza izmed ¯u teˇcne i gasovite faze ne dolazi do spontanog naruˇsenja simetrije kao ni kod BKT prelaza u dvodimenzionim sistemima.

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

55

ˇ Slika 2.2: Sematski prikaz Izingovog modela na kvadratnoj reˇsetki. Crvena kriva simbolizuje kuplovanje izmed¯u prvih, plava izmed¯u drugih a zelena izmed¯u tre´cih suseda. odgovaraju´ce dejstvo na osnovu kojeg se razmatraju fiziˇcki fenomeni ne ulaze´ci u mikroskopske mehanizme koji ih pokre´cu. Landauova teorija faznih prelaza je znaˇcajna i zbog toga ˇsto, na izvestan naˇcin, predstavlja most izmed¯u klasiˇcne teorije i kvantne efektivne teorije polja izloˇzene u Odeljku 3.8. Ponaˇsanje sistema u blizini kritiˇcne temperature se opisuje pomo´cu tzv. kritiˇcnih indeksa (ili eksponenata). Recimo, parametar ured¯enosti kod faznih prelaza drugog reda teˇzi u nulu kao (TC − T )β , gde je β odgovaraju´ci kritiˇcni indeks. Osnovni kritiˇcni indeksi za magnetne sisteme su uvedeni u Odeljku 2.2.7 i izraˇcunati su pomo´cu Landauove teorije. Cilj ovog dela teksta nije da se dobiju precizne vrednosti za kritiˇcne indekse ve´c da se pokaˇze kako ideja o spontanom naruˇsenju simetrije relativno jednostavno vodi na jedan skup ovih veliˇcina. Sistematsko raˇcunanje kritiˇcnih indeksa za razliˇcite modele se mora vrˇsiti na drugi naˇcin [Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010); Zinn-Justin, J. (2007); Ma, S.K. (2018)].

2.2

Landauov funkcional za Izingov model

2.2.1

Definicija Izingovog modela

Kao ˇsto je dobro poznato (videti, [Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010); Altland, A., Simons, B. (2010); Nolting, W., Ramakanth, A. (2009); Huang (1987)]) Izingov model u spoljaˇsnjem magnetnom polju intenziteta B je definisan hamiltonijanom X 1X Jij Si Sj − gµB B Si , (2.1) H=− 2 ij i gde je µB Borov magneton, a g je Landeov faktor [Nolting, W., Ramakanth, A. (2009)]. U nastavku ´cemo koristiti skra´ceni zapis gµB B ≡ h,

(2.2)

56

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

i veliˇcinu h ´cemo zvati spoljaˇsnje magnetno polje. Na taj naˇcin hamiltonijan (2.1) postaje H=−

X 1X Jij Si Sj − h Si . 2 ij i

(2.3)

Dinamiˇcke promenjive u Izingovom modelu su klasiˇcne veliˇcine Si (tzv. spinovi) koje mogu uzimati samo diskretne vrednosti ±1. Indeksi kojim ih oznaˇcavamo se odnose na ˇcvorove reˇsetke dimenzije D dok veliˇcine Jij definiˇsu uzajamnu interakciju spinova sa ˇcvorova i i j. U sluˇcaju kada je Jij > 0, govorimo o feromagnetnoj, a kada je Jij < 0 o antiferomagnetnoj interakciji. Iako su na klasiˇcnom nivou ova dva sluˇcaja ekvivalentna, u nastavku ´cemo se fokusirati na feromagnetni sistem. Ukupan broj ˇcvorova u reˇsetki ´cemo oznaˇciti sa N , pri ˇcemu je sam model definisan u graniˇcnom sluˇcaju N → ∞. U nastavku ´cemo pretpostaviti da su sve interakcije kratkodometne, odnosno da Jij dovoljno brzo teˇzi nuli sa pove´canjem rastojanja izmed¯u ˇcvorova i i j tako da je svaki spin kuplovan samo sa konaˇcno mnogo svojih suseda. Na Sl. 2.2 je dat ˇsematski prikaz Izingovog modela na dvodimenzionoj reˇsetki (D = 2) za sluˇcaj kada je uraˇcunata interakcija izmed¯u prvih, drugih i tre´cih suseda. Hamiltonijan Izingovog modela, pri h = 0, invarijantan je u odnosu na istovremenu transformaciju svih spinova prema Si → ±1 × Si . Prema tome, Izingov hamiltonijan je invarijantan u odnosu na globalne Z2 transformacije. Sa druge strane, osnovno stanje modela ne mora biti invarijantno u odnosu na istu grupu transformacija. Ako je Jij > 0, osnovno stanje modela je takvo da su na svim ˇcvorovima spinovi usmereni na isti naˇcin (Si = +1, ∀i ili Si = −1, ∀i) i ova stanja su invarijantna samo u odnosu na trivijalnu transformaciju Si → 1 × Si ali su, ˇsto se tiˇce energije konfiguracije, u potpunosti ekvivalentna. Dakle, u sluˇcaju Izingovog modela koji opisuje feromagnetni sistem, grupa simetrija hamiltonijana je G = Z2 dok je grupa simetrija osnovnog stanja trivijalna grupa (sastoji se samo od jediniˇcnog elementa). Odabir jednog od dva ekvivalentna osnovna stanja odgovara spontanom naruˇsenju simetrije kod Izingovog modela. Termodinamiˇcke karakteristike Izingovog modela se mogu odrediti pomo´cu particione funk5 cije X X 1P ˜P (2.4) Z= e−βH = e 2 i,j Si Kij Sj +h i Si {Si }

{Si }

pri ˇcemu se sumira po svih 2N konfiguracija reˇsetke: X X X X = ··· . {Si }

S1 =±1 S2 =±1

(2.5)

SN =±1

Takod¯e, u (2.4) smo uveli i oznake Kij = βJij =

Jij , T

˜ = βh = h , h T

(2.6)

koje ´cemo povremeno koristiti u nastavku. Osnovna termodinamiˇcka funkcija, koja se dobija direktno iz particione funkcije, je slobodna energija F = −T ln Z. 5

U nastavku koristimo sistem jedinica u kojem je kB = 1.

(2.7)

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

57

Poznavanje slobodne energije nam omogu´cava da odredimo magnetizaciju (obraˇcunatu po ˇcvoru reˇsetke) kao funkciju spoljaˇsnjeg magnetnog polja i temperature * + ! 1 ∂F 1 X 1X 1 X 1 ∂F 1 ≡− (2.8) M (h, T ) = Si = Si e−βH = − ˜ N i Z N i T ∂h N N ∂h {S } i

kao i susceptibilnost χ(h, T ) =

∂M . ∂h

(2.9)

Veliˇcina M (h = 0, T ) ≡ M0 (T ) je spontana magnetizacija i predstavlja parametar ured¯enosti feromagneta opisanog Izingovim modelom. Mehanizam spontanog naruˇsenja Z2 simetrije Izingovog modela leˇzi u mikroskopskom hamiltonijanu (2.3). Poˇsto je Jij > 0, minimum energije ´ce odgovarati konfiguracijama u kojima su spinovi orijentisani u istom smeru (tzv. feromagnetno stanje) i takav hamiltonijan forsira postojanje dugodometnog ured¯enja. Med¯utim, kada nema spoljaˇsnjeg magnetnog polja (h = 0), stanje u kojem su svi spinovi Izingovog hamiltonijana usmereni gore“ ima istu energiju kao i stanje u kojem su svi usmereni na dole“. Kako je ” ” e−βH jednako u ova dva sluˇcaja, na prvi pogled bismo oˇcekivali da se ova dva doprinosa u sumi po stanjima tipa (2.8) potru tako da spontana magnetizacija iˇsˇcezne. Razreˇsenje ovog paradoksa leˇzi u paˇzljivijem pristupu termodinamiˇckom limesu N → ∞. Naime, poˇsto Izingovim modelom ˇzelimo opisati fiziˇcki sistem, graniˇcnu vrednost h → 0 moramo uzeti nakon termodinamiˇckog limesa N → ∞. U situaciji kada imamo beskonaˇcno mnogo spinova koji su povezani feromagnetnim interakcijama spoljaˇsnje polje ´ce, koliko god bilo slabo, forsirati jednu od dve konfiguracije jer je potrebna beskonaˇcna energija da se beskonaˇcno mnogo spinova okrene nasuprot polju h. Puˇstaju´ci nakon toga i limes h → 0, sistem ´ce ostati zakljuˇcan“ u ” datoj konfiguraciji jer je verovatno´ca da se svih N → ∞ spinova okrene odjednom iˇsˇcezavaju´ce mala (iako taj skok“ ne bi zahtevao ulaganje energije). Praktiˇcno se ovde opisani postupak ” izdvajanja odred¯enog feromagnetnog stanja implementira uzimaju´ci limes h → 0 u krajnjem izrazu za M (h, T ). Primeti´cemo da je izbor magnetizacije (2.8) za parametar ured¯enosti u skladu sa definicijom iz Odeljka 2.1. Naime, pri dejstvu elementa −1 ∈ Z2 , ukupni spin se transformiˇse netrivijalno: X i

Si → −

X

Si .

(2.10)

i

Sliˇcna definicija parametra ured¯enosti vaˇzi i u kvantnim teorijama [Videti Odeljak 3.7 za primer kvantnog Hajzenbergovog modela sa O(3) simetrijom]. Egzaktan izraz za statistiˇcku sumu bi omogu´cio i taˇcno nalaˇzenje drugih termodinamiˇckih karakteristika. Med¯utim, danas je poznat analitiˇcki izraz za statistiˇcku sumu Izingovog modela sa spoljaˇsnjim magnetnim poljem samo u sluˇcaju jednodimenzione reˇsetke [Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010), Altland, A., Simons, B. (2010)]. U sluˇcaju kvadratne reˇsetke, analitiˇcki izraz za slobodnu energiju postoji za specijalni sluˇcaj h = 0 [Kogut, J. B. (1979); Schultz, T. D., Mattis, D. C., Lieb, E. H. (1964)]. Imaju´ci u vidu znaˇcaj aproksimativnih prilaza, koji je napomenut u uvodnom delu ovog poglavlja, u nastavku ´cemo se skoncentrisati na neke pribliˇzne metode primenjive na Izingov model. Prva od njih je aproksimacija srednjeg

58

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

polja. Nakon nje ´cemo diskutovati Landauovu teoriju a na kraju ´cemo se osvrnuti i na gausovsku aproksimaciju koja predstavlja prvi korak u sistematskoj primeni tehnika renormalizacione grupe na ϕ4 model.

2.2.2

Aproksimacija srednjeg polja

Iako hamiltonijan koji definiˇse Izingov model deluje relativno jednostavno, ve´c je napomenuto da su poznata egzaktna reˇsenja samo za sluˇcaj jednodimenzione i dvodimenzione reˇsetke. Osnovna teˇsko´ca u nalaˇzenju egzaktne statistiˇcke sume je posledica ˇcinjenice da ˇclan Si Kij Sj kupluje razliˇcite spinove te stanja koja su odred¯ena tako povezanim ˇcvorovima nisu med¯usobno nezavisna. Aproksimacija srednjeg polja (mean field, MF) vodi na pribliˇzni hamiltonijan u kojem se na odred¯eni naˇcin eliminiˇse kuplovanje izmed¯u spinova. Praktiˇcno, to se postiˇze pretpostavkom da je stanje spina na ˇcvoru odred¯eno sa Sj = M + δSj , gde je δSj = Sj − M odstupanje stanja spina od magnetizacije. Ako pretpostavimo da je odstupanje spina od M malo, moˇzemo pisati Si Sj = (M + δSi )(M + δSj ) = M 2 + M (δSi + δSj ) + O(δS 2 ) ≈ M 2 + M (Si − M + Sj − M ) = −M 2 + M (Si + Sj ).

(2.11)

Radi jednostavnosti, pretpostavi´cemo da u originalnom Izingovom modelu postoje samo interP akcije izmed¯u najbliˇzih suseda. Tada svaka suma oblika i,j ima N Z1 ˇclanova, gde je N broj ˇcvorova reˇsetke a Z1 broj najbliˇzih suseda nekog ˇcvora. Prema tome, hamiltonijan Izingovog modela koji ukljuˇcuje kuplovanje izmed¯u najbliˇzih suseda, u aproksimaciji srednjeg polja, glasi X X
JX JX Si Sj − h Si ≈ − −M 2 + M (Si + Sj ) − h Si H = − 2 i,j 2 i,j i i X = E0 − heff Si ≡ HMF , (2.12) i

pri ˇcemu smo uveli efektivno polje heff = h + M JZ1 i konstantu E0 = JM 2 Z1 N /2. Poˇsto u HMF viˇse nema kuplovanja izmed¯u spinova, lako moˇzemo na´ci statistiˇcku sumu i magnetizaciju. Iz " #N X X −βHMF βE0 βheff S = e e ZMF = e = eβE0 N 2N [cosh(βheff )]N , (2.13) {Si =±1}

S=±1

za magnetizaciju dobijamo M=

1 1 1 ∂ZMF = tanh (βheff ) . β N ZMF ∂h

(2.14)

Ukoliko pretpostavimo da nema spoljaˇsnjeg magnetnog polja, iz gornje relacije nalazimo samousaglaˇsenu jednaˇcinu za odred¯ivanje temperaturske zavisnosti spontane magnetizacije   JZ1 M0 (T ) . (2.15) M0 (T ) = tanh T Lako je videti da iz (2.15) sledi M0 (0) = 1, kao i M0 (TC ) = 0, gde je TC = JZ1

(2.16)

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

59

1.0

0.8

0.6

egzaktno rešenje 0.4

mean field rešenje

0.2

0.0 0

1

2

3

4

Slika 2.3: Spontana magnetizacija Izingovog modela: egzaktno reˇsenje (2.17) i mean field reˇsenje (2.15). Temperatura je izraˇzena u jedinicama kB = 1, dok je uzeto J = 1. kritiˇcna temperatura Izingovog modela dobijena u aproksimaciji srednjeg polja. Temperaturska zavisnost M0 (T ), dobijena numeriˇckim reˇsavanjem jednaˇcine (2.15) je prikazana na Sl. 2.3 i, u odred¯enim granicama, reprodukuje oˇcekivano ponaˇsanje parametra ured¯enosti.

Kao ˇsto smo ve´c napomenuli, aproksimacija srednjeg polja je dosta gruba. Izmed¯u ostalog, to se ogleda u dobijenom izrazu za kritiˇcnu temperaturu: od svih parametara koji definiˇsu ˇ model, TC zavisi samo od J i Z1 . Staviˇ se, vrednosti kritiˇcne temperature dobijene u ovoj aproksimaciji znatno odstupaju od onih koje slede iz egzaktnih reˇsenja ili Monte Karlo simulacija (Videti Tabelu 2.1), ali se ta razlika smanjuje sa pove´canjem D. Radi pored¯enja sa izrazom za magnetizaciju dobijenim u aproksimaciji srednjeg polja, naveˇs´cemo i egzaktno reˇsenje koje je prvi naˇsao Onzager [Videti Schultz, T. D., Mattis, D. C., Lieb, E. H. (1964); Huang (1987); Nolting, W., Ramakanth, A. (2009)] ( h M0 (T ) =

−4

1 − [x(T )] 0,

i1/8

, , T ≤ TC , gde je x(T ) = sinh 2J T T > TC .

(2.17)

Na Sl. 2.3 je prikazano egzaktno reˇsenje za spontanu magnetizaciju Izingovog modela zajedno sa pribliˇznim reˇsenjem dobijenim u aproksimaciji srednjeg polja. Umesto da se detaljnije pozabavimo aproksimacijom srednjeg polja, u nastavku ´cemo se skoncentrisati na neˇsto drugaˇcije pristupe problemu. Viˇse informacija o aproksimaciji srednjeg polja se moˇze na´ci u standardnim udˇzbenicima [Miloˇsevi´c, S. (1979); Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010); Stanley, H. E. (1971); Negle, J.W., Orland, H. (1998); Wen, X. G. (2007)].

60

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA Tabela 2.1: Kritiˇcna temperatura za Izingov model MF D = 1 2J D = 2 4J D = 3 6J a b

egzaktno reˇsenjea 0 √ 2J/ ln(1 + 2)

Monte Karlo simulacijab (2.2692 ± 0.0002)J (4.51152 ± 0.00010)J

Videti [Schultz, T. D., Mattis, D. C., Lieb, E. H. (1964)]. Videti [Binder & Luijten (2001); Preis, T., Virnau, P., Paul, W., Schneider, J. (2009)].

2.2.3

Habard-Stratonoviˇ ceva transformacija

U prethodnom odeljku smo videli da se u aproksimaciji srednjeg polja izraz za statistiˇcku sumu dobija tako ˇsto uvod¯enjem veliˇcine heff dobijamo hamiltonijan koji ne sadrˇzi kuplovanja spinova usled ˇcega sumiranje po svim konfiguracijama postaje trivijalno. Takod¯e, videli smo da je ova aproksimacija dosta gruba. U ovom odeljku ´cemo primeniti drugaˇciju strategiju. Najpre ´cemo umesto veliˇcina sa diskretnim vrednostima Si uvesti nove promenjive koje uzimaju kontinualne vrednosti na intervalu (−∞, ∞) koje, pod odred¯enim uslovima, predstavljaju parametar ured¯enosti. Prednost rada sa kontinualnim veliˇcinama je mogu´cnost primene ve´ceg broja aproksimativnih tehnika. Poˇsto u blizini kritiˇcne temperature parametar ured¯enosti iˇsˇcezava, mo´ci ´cemo da iskoristimo razvoj u red i zadrˇzimo samo nose´ce ˇclanove. Konaˇcno, diskretnu strukturu reˇsetke na kojoj je definisan originalni Izingov model ´cemo aproksimirati kontinualnim prostorom ˇsto ´ce nam omogu´citi da iskoristimo metode klasiˇcne teorije polja uvedene u Poglavlju 1. Za poˇcetak, pretpostavimo da se reˇsetka na kojoj je definisan Izingov hamiltonijan, sastoji od konaˇcno mnogo ˇcvorova. Ako je taj broj N , uvedimo N −dimenzioni vektorski prostor VN , ˜ ∈ VN i simo h sa standardnim bazisom {ei }N i=1 i standardnim skalarnim proizvodom i definiˇ S ∈ VN kao     ˜ h S1 N N  S2  X   h (S)i ≡ Si ∈ {±1},    ˜  X ˜ i ˜ (h) ei , S =  ..  = (S)i ei , (2.18) h= . = ˜ i = h, ˜  .  i=1  ..  i=1 (h) ˜ SN h kao i tenzor tipa (0, 2) koji, uz standardnu zloupotrebu notacije prikazujemo matricom   K11 K12 . . . K1N N  K21 K22 . . . K2N  X   K =  .. (K)ij ei ⊗ ej . (2.19) .. ..  ≡ ..  . . . .  i,j=1

KN 1 KN 2 . . . KN N Prema tome, komponente vektora S su vrednosti spinova na pojedinim ˇcvorovima Si dok je matrica K sastavljena od elemenata Kij . Primeti´cemo da je matrica K simetriˇcna (KT = K). U ovoj, mogli bismo re´ci geometrijskoj slici, svako stanje Izingovog modela je odred¯eno jednim od 2N mogu´cih N −komponentnih vektora S. Koriste´ci standardni skalarni proizvod u

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

61

N −dimenzionom prostoru ˇciji su elementi vektori S, particionu funkciju Izingovog modela za reˇsetku sa konaˇcnim brojem ˇcvorova moˇzemo kompaktno zapisati kao sumu po svim mogu´cim vektorima S X 1 T X 1 T ˜T ˜T e 2 S ·KS eh ·S , (2.20) Z= e 2 S ·KS+h ·S = S

S

˜ T · S skra´cena oznaka za kontrakciju. Recimo, pri ˇcemu je taˇckica u S T · KS i h X X S T · KS = (K)ij (S)i (S)j = Kij Si Sj . i,j

(2.21)

i,j

Eksponencijalni faktor koji sadrˇzi matricu K moˇzemo napisati pomo´cu N −dimenzionog Gausovog integrala (C.45):     Z √ 1 1 T T −1 T = det K−1 exp − a · K a + a · S , exp S · KS 2 2 a Z Z N Y ∞ dai √ := (2.22) 2π a i=1 −∞ pri ˇcemu je K−1 inverzna matrica od K. Zamena (2.22) u (2.20) daje   Z h i √ 1 T −1 X −1 ˜ . Z = det K exp S T · (a + h) exp − a · K a 2 a S

(2.23)

Ovim postupkom smo eliminisali ˇclan koji kupluje spinove sa razliˇcitih ˇcvorova tako da se sada suma po svim konfiguracijama nalazi jednostavno. Tako dobijamo ( )   Z  i X h √ 1 ˜ Z = det K−1 exp − aT · K−1 a exp ln 2 cosh ai + h . (2.24) 2 a i ˜ = bi u N −dimenzionom integralu Dobijeni izraz se moˇze malo srediti. Smena promenjive ai + h vodi na Z √ ˜ −1 det K e−S[b] , Z = b

X X 1 X −1 ˜ 2 1 X ˜ −1 ]ij bi − ˜ S[b] = [K ]ij h + bi [K−1 ]ij bj − h[K ln [2 cosh bi ] . 2 ij 2 i,j i,j i

(2.25)

Konaˇcno, definisanje nove promenjive transformacijom b = Kϕ,

(2.26)

ˇciji je jakobijan det K, daje Z √ ˜ Z = det K e−S[ϕ] , ϕ

" # X  X X X 1 1 X −1 ˜ 2 ˜ i− ˜ S[ϕ] = ϕi Kij ϕj − hϕ ln 2 cosh Kij ϕj + [K ]ij h . 2 i,j 2 ij i i j

(2.27)

62

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

ˇ Slika 2.4: Sematski prikaz Habard-Stratonoviˇceve (HS) transformacije: Diskretni spinovi Si su zamenjeni veliˇcinama ϕi ∈ R dok je intenzitet kuplovanja promenjivih sa razliˇcitih ˇcvorova ostao isti (siva strelica simbolizuje realnu osu). Ukupan broj stanja odred¯enih N −dimenzionim vektorima S je 2N dok je broj stanja odred¯enih N −dimenzionim vektorima ϕ beskonaˇcan. Vaˇzno je primetiti da, za razliku od eliminisanja faktora Si Kij Sj u aproksimaciji srednjeg polja, prilikom dobijanja (2.27) nismo vrˇsili nikakve aproksimacije. Drugim reˇcima, (2.27) je egzaktna reprezentacija particione funkcije Izingovog modela na reˇsetki sa N ˇcvorova. Primeti´cemo da je particiona funkcija u ovom sluˇcaju izraˇzena pomo´cu N −dimenzionih vektora   ϕ1  ϕ2    ϕ =  ..  , ϕi ∈ R (2.28)  .  ϕN kojih, ˇcak i u sluˇcaju reˇsetke sa N ˇcvorova, ima beskonaˇcno mnogo. To znaˇci i da je broj stanja odred¯enih N −dimenzionim vektorima ϕ beskonaˇcan. Kompleksnost Izingovog modela se u ovoj reprezentaciji ogleda kroz prisustvo ˇclana " # X  X ln 2 cosh Kij ϕj (2.29) i

j

koji opisuje interakciju novih kontinualnih promenjivih ϕi tako ˇsto utiˇce da klasiˇcne jednaˇcine kretanja za veliˇcine ϕi postanu izrazito nelinearne. Osnovna prednost ovakvog zapisa particione funkcije je ve´ca mogu´cnost razliˇcitih aproksimacija koje se mogu bolje kontrolisati od aproksimacije srednjeg polja. Prelazak sa (2.4) na (2.27) je u literaturi poznat pod nazivom ˇ Habard-Stratonoviˇceva (HS) transformacija [Altland, A., Simons, B. (2010)]. Sematski prikaz HS transformacije je dat na Sl. 2.4.

Pogledajmo sada koji je smisao novih promenjivih ϕi . Po definiciji, srednja vrednost od ϕi , u odsustvu spoljaˇsnjeg polja h i obraˇcunata po ˇcvoru reˇsetke je + ! * Z Z √ 1√ 1 X 1 X ˜ ˜ −S[ϕ] ϕi = det K ϕi e , Z = det K e−S[ϕ] (2.30) N i Z N i ϕ ϕ

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

63

gde je " # X  X X 1 ˜ ϕi Kij ϕj − ln 2 cosh Kij ϕj S[ϕ] = 2 i,j i j ˜ Uvod¯enjem pomo´cne promenjive y modifikovanjem veliˇcina S[ϕ] i Z kao " # X  X X X 1 ˜ y] = S[ϕ, ϕi Kij ϕj − ln 2 cosh Kij ϕj − y ϕi , 2 i,j i j i Z √ ˜ det K e−S[ϕ,y] Z(y) =

(2.31)

(2.32)

ϕ

srednja vrednost iz (2.30) se moˇze zapisati kao *

1 X ϕi N i

+

1 1 ∂Z(y) . = N Z(y) ∂y y=0

(2.33)

Med¯utim, veliˇcina Z(y) se moˇze zapisati i malo drugaˇcije. Definisanjem ponovo b = Kϕ, vidimo da je ( ) Z i X  X h X √   1 −1 −1 det K−1 exp − bi K ij bj + Z(y) = ln cosh bi + y K ij bj 2 i,j b i i,j ( ) Z X√ X  X X   1 = det K−1 exp − bi K−1 ij bj + Si bi + y K−1 ij bj 2 b i,j i i,j {Si } ! !# " X X X   1X = exp Si + K−1 im y Kij Sj + K−1 jl y 2 i,j m m {Si } " # X X 1X 1 2 X  −1  = exp Si Kij Sj + y Si + y K ij , (2.34) 2 i,j 2 i i,j {Si }

pri ˇcemu smo iskoristili sumiranje po nezavisnim spinovima poput one koja povezuje dva oblika statistiˇcke sume iz (2.23) i (2.24). Na osnovu (2.34) i izraza za magnetizaciju Izingovog modela (2.8) je oˇcigledno da vaˇzi *

1 X ϕi N i

+

1 1 ∂Z(y) = = M0 (T ). N Z(y) ∂y y=0

(2.35)

Upravo dobijeni rezultat nam govori da je ϕi kontinualna promenjiva pomo´cu koje se moˇze izraˇcunati statistiˇcka suma Izingovog modela (tzv. nema promenjiva) i ona je normirana tako da se njena srednja vrednost poklapa sa parametrom ured¯enosti. U narednom odeljku ´cemo videti da se u Landauovoj aproksimaciji u interpretaciji veliˇcine ϕi moˇze oti´ci i korak dalje – poistoveti´cemo je sa parametrom ured¯enosti.

64

2.2.4

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

Aproksimacija kontinuuma

Kao ˇsto smo videli u prethodnom odeljku, statistiˇcku sumu Izingovog modela je mogu´ce egzaktno izraziti pomo´cu kontinualnih promenjivih P ϕi koje uzimaju sve vrednosti na intervalu (−∞, ∞). Pri tom je srednja vrednost od (1/N ) i ϕi istovetna sa parametrom ured¯enosti. Ukoliko se ograniˇcimo na oblast temperatura u blizini kritiˇcne temperature TC , moˇzemo uvesti neka pojednostavljenja. Pri tome ´ce valjanost dobijenoh rezultata sluˇziti kao ocena kvaliteta koriˇs´cenih aproksimacija. Pre svega, poslednji ˇclan u (2.27) je konstanta koja redefiniˇse √ energiju osnovnog stanja i u nastavkuh ga obiˇcnoine´cemo uzimati u obzir. Sliˇcno vaˇzi i za faktor det K. On se moˇze napisati √ ˜ kao exp ln det K , odakle se vidi da je on takod¯e konstantni doprinos u S[ϕ]. Dalje, budu´ci da u blizini kritiˇcne temperature parametar ured¯enosti kontinualno iˇsˇcezava, ˜ deluje da bi bilo opravdano razviti S[ϕ] u red i zadrˇzati samo najniˇze ˇclanove po stepenima ϕi . Ovo opaˇzanje ´ce nam omogu´citi da znaˇcajno uprostimo ˇclan naveden u (2.29) tako da dobijemo model iz kojeg relativno lako moˇzemo izvu´ci opis Izingovog feromagneta u blizini kritiˇcne temperature. Konkretno, to znaˇci da ´cemo sabirak iz (2.29) aproksimirati sa !2 " # X  X 1X X Kij ϕj ln 2 cosh Kij ϕj = N ln 2 + 2 i j i j !4 1 X X − Kij ϕj + O(ϕ6 ), (2.36) 12 i j pri ˇcemu faktor N dolazi od ukupnog broja ˇcvorova u reˇsetki a sabirak N ln 2 u nastavku ne´cemo uzimati u obzir. Konaˇcno, uveˇs´cemo i aproksimaciju kontinuuma. Drugim reˇcima, smatra´cemo da se veliˇcine ϕi ne menjaju znaˇcajno na rastojanjima reda |i − j|. To nam omogu´cava da uvedemo skalarno polje ϕ(x) i da primenimo deo klasiˇcne teorije polja uveden u Poglavlju 1. Formalno, to moˇzemo uraditi na slede´ci naˇcin [Wilson & Kogut (1974); Wilson (1975)]. Ako ˇcvorove reˇsetke na kojoj je definisan Izingov hamiltonijan radi preglednosti oznaˇcimo sa n, m, ... umesto sa i, j..., Furijeova transformacija veliˇcina ϕn je X ϕn eik·n (2.37) ϕ˜k := n

pri ˇcemu suma ide po svim ˇcvorovima reˇsetke. Inverzna transformacija je data sumom po talasnim vektorima sadrˇzanim u I Briluenovoj zoni. U sluˇcaju kada broj ˇcvorova teˇzi beskonaˇcnosti, dobija se [Videti Odeljak 3.5.2] Z Z Z π π dD k −ik·n ˜ , − ≤ kα ≤ (2.38) ϕn = ϕk e , := D (2π) aα aα k k R gde je aα ivica elementarne ´celije u pravcu eα . Drugim reˇcima integral k se uzima po prvoj Briluenovoj zoni odgovaraju´ce reciproˇcne reˇsetke. Radi jednostavnosti, u nastavku ´cemo se ograniˇciti na hiperkubne reˇsetke tako da ´cemo staviti a1 = a2 = · · · = aD ≡ a. Pretpostavimo sada da smo fiksirali neku vrednost talasnog vektora Λ ≪ π/a, tako da moˇzemo pisati Z Z −ik·n ˜ ϕn = ϕk e + ϕ˜k e−ik·n . (2.39) |k|≤Λ

|k|>Λ

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

65

Slika 2.5: Dvodimenziona Briluenova zona za kvadratnu reˇsetku parametra a sadrˇzi sve talasne vektore −π/a ≤ k1 ≤ π/a, −π/a ≤ k2 ≤ π/a. U sredini Briluenove zone je izdvojen krug polupreˇcnika Λ u kojem se nalaze talasni vektori |k| ≤ Λ ˇcija je talasna duˇzina mnogo ve´ca od parametra reˇsetke. Sa desne strane crteˇza je ˇsematski prikazana i kvadratna reˇsetka ivice a. Prvi integral u gornjoj relaciji sadrˇzi samo one dopriniose sa talasnim duˇzinama ve´cim od ∼ Λ−1 a drugi doprinose sa talasnim duˇzinama manjim od ∼ Λ−1 (videti Sl. 2.5). Ukoliko nas interesuje samo ponaˇsanje sistema na skalama ne manjim od ∼ Λ−1 , moˇzemo uzeti da je ϕ˜k = 0 za |k| > Λ i definisati Z ϕ˜k e−ik·x . (2.40) ϕ(x) := |k|≤Λ

Poˇsto smo sa ovakvom definicijom veliˇcine ϕ(x) izgubili sve informacije o ponaˇsanju veliˇcina ϕn na skalama < |Λ|−1 i ϕ(x) moˇzemo tumaˇciti i kao srednju vrednost od ϕn uzetu po oblasti veliˇcine ∼ |Λ−1 |D sa centrom u x. Budu´ci da je Λ−1 ≫ a moˇzemo uzeti da se vektor x menja kontinualno (videti Sl. 2.5). Ovim putem stiˇzemo do interpretacije ϕ(x) kao skalarnog polja koje ´cemo koristiti u nastavku6 . Na skalarno polje ϕ moˇzemo posmatrati i kao na graniˇcni sluˇcaj N −komponentnog vektora ϕ, pri N → ∞, uvedenog u (2.26): kao ˇsto je vektor ϕ odred¯en pomo´cu svojih N komponenti ϕi tako je i skalarno polje ϕ odred¯eno sa svojim vrednostima ϕ(x). Neki aspekti prelaska sa N −dimenzionih na beskonaˇcno-dimenzione vektore su razmatrani i u Dodatku B.

˜ Sad nam je preostalo da vidimo kako se S[ϕ], kao i statistiˇcka suma, mogu izraziti pomo´cu skalarnog polja ϕ(x). Videli smo da je, pre nego ˇsto smo preˇsli na granicu kontinuuma, stanje modela je bilo odred¯eno N −dimenzionim vektorom ϕ. Sa druge strane, u granici kontinuuma, jedno stanje je odred¯eno jednom funkcijom ϕ : RD → R. Prema tome, oˇcekujemo da ´ce particiona funkcija u granici kontinuuma biti izraˇzena pomo´cu sume po svim mogu´cim funkcijama RD → R. 6

Zapravo, skalarno polje koje direktno ulazi u Landauovu teoriju se dobija nakon joˇs jednog skaliranja. Ta operacija ne´ce promeniti smisao veliˇcine ϕ(x) koji smo sada ustanovili. Takod¯e, ispostavi´ce se da ϕ zavisi od joˇs nekih parametara poput temperature i magnetnog polja. Ipak, radi preglednosti, u nastavku ´cemo uglavnom pisati jednostavno ϕ(x) ukoliko ne postoji opasnost od zabune.

66

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

Slika 2.6: Vektori koji na jednodimenzionoj reˇsetki spajaju ˇcvor n sa njegovim najbliˇzim susedima n + ae1 i n − ae1 , kao i sa ˇcvorom n + 2ae1 . Kao prvi korak u pravcu definisanja sume po svim funkcijama, uveˇs´cemo jednu restrikciju na Izingov model. Naime, ograniˇci´cemo se na sluˇcaj kada su u Izingovom hamiltonijanu kuplovani samo najbliˇzi susedi. Ovo nije nikakvo suˇstinsko ograniˇcenje jer se cela analiza moˇze ponoviti i za modele sa interakcijama izmed¯u suseda viˇseg reda. Ako u modelu postoje kuplovanja samo izmed¯u prvih suseda, pogodno je uvesti skup vektora {λ} koji uoˇceni ˇcvor povezuju sa njegovim najbliˇzim susedima jer se ˇclan koji opisuje kuplovanje veliˇcina ϕn moˇze zapisati kao X K ϕn ϕn+λ (2.41) n,λ

gde je K = Jβ = J/T intenzitet kuplovanja. Primer 2.1. Pogledajmo kao izgledaju vektori λ u nekim vaˇznijim sluˇcajevima. Kod jednodimenzione reˇsetke sa parametrom a imamo dva vektora {λ} = {±ae1 } [Videti Sl. 2.6]. Za kvadratnu reˇsetku taj skup saˇcinjavaju ˇcetiri vektora: {±ae1 , ±ae2 } [Videti Sl. 2.7]. Po direktnoj analogiji, u sluˇcaju D−dimenzione proste kubne reˇsetke postoji Z1 = 2D najbliˇzih suseda proizvoljnog ˇcvora n. To su vektori iz skupa {±ae1 , ±ae2 , ±ae3 , · · · ± aeD }. Joˇs jedan poznat primer je zapreminski centrirana kubna reˇsetka. Proizvoljni ˇcvor na toj reˇsetki ima 8 suseda. Oni se mogu dobiti spajanjem ˇcvora n sa vektorima [Videti Sl. 2.7] a a a (e1 + e2 + e3 ) , λ2 = (−e1 + e2 + e3 ) , λ3 = (e1 − e2 + e3 ) , λ1 = 2 2 2 a a a (e1 + e2 − e3 ) , λ5 = (−e1 − e2 + e3 ) , λ6 = (−e1 + e2 − e3 ) , λ4 = 2 2 2 a a λ7 = (e1 − e2 − e3 ) , λ8 = (−e1 − e2 − e3 ) . (2.42) 2 2 U standardnim udˇzbenicima iz fizike kondenzovanog stanja je mogu´ce na´ci viˇse primera reˇsetki sa opisom njihovih geometrijskih karakteristika [Jones, W., March, N. (1973); Ashcroft, N. W., Mermin, N. D. (1976)]. ■

Kako bismo najlakˇse naˇsli granicu kontinuuma za ˇclanove koji opisuju kuplovanje veliˇcina ϕ, bi´ce zgodno da uvedemo diskretni laplasijan. Ovaj operator, koji ´cemo oznaˇciti sa ▼2 , definisan je kao [videti Chow (1999)] i 2D X h ▼2 ϕn := ϕ − ϕ (2.43) n+λ n , Z1 |λ|2 λ gde je Z1 broj najbliˇzih suseda. Numeriˇcki faktori koji ulaze u definiciju diskretnog laplasijana su odabrani tako da vaˇzi ▼2 ϕ(x) = ∇2 ϕ(x) + O(|λ|2 )

(2.44)

pa se u najniˇzoj aproksimaciji kontinuuma diskretni laplasijan svodi na obiˇcni laplasijan.

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

67

Slika 2.7: a) Kvadratna reˇsetka kod koje je rastojanje izmed¯u ˇcvorova a. Svaki ˇcvor ima ˇcetiri najbliˇza suseda. b) Zapreminski centrirana reˇsetka. Elementarna ´celija je kocka ivice a.

Primer 2.2. Proverimo gornju relaciju za sluˇcaj D−dimenzione kubne reˇsetke. Smatraju´ci da je |λ| = a mala veliˇcina, moˇzemo pisati 1 ϕ(x + λ) = ϕ(x) + (λ · ∇)ϕ(x) + (λ · ∇)2 ϕ(x) + O(a4 ), 2

(2.45)

pri ˇcemu je sa ∇ oznaˇcen D−dimenzioni Hamiltonov operator ∇=

D X

eα ∂α .

(2.46)

α=1

Poˇsto su vektori λ u ovom sluˇcaju dati sa a{±e1 , ±e2 , ±e3 , · · · ± eD }, lako je videti da se u sumi po svim vektorima ˇclanovi sa prvim izvodima skrate. Takod¯e, poˇsto je (aeα · ∇)2 = (−aeα · ∇)2 = a2 ∂α2 , dok je broj najbliˇzih suseda Z1 = 2D, imamo   2D X 1 2 4 2 ϕ(x) + (λ · ∇) ϕ(x) + O(a ) − ϕ(x) ▼ ϕ(x) = 2Da2 λ 2  2D  1 X a2 2 4 = 22 ∂ ϕ(x) + O(a ) = ∇2 ϕ(x) + O(a2 ) a α=1 2 α

(2.47)

(2.48)

ˇsto je i trebalo pokazati. Za samostalnu veˇzbu je ostavljeno da se pokaˇze kako relacija (2.44) vaˇzi za zapreminski centriranu reˇsetku. ■

68

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

Primer 2.3. Pored toga ˇsto se standardni Laplasov operator pojavljuje kao granica kontinuuma diskretnog laplasijana, postoji i jedna vaˇzna njihova zajedniˇcka osobina. Kao ˇsto je dobro poznato, svojstvene funkcije Laplasovog operatora su ravni talasi a svojstvene vrednosti su
ik·x 2 2 ik·x = ike , −k . Ovo je lako pokazati koriˇs´cenjem definicije ∇ = div grad. Poˇsto je grad e imamo ∇2 eik·x = −k2 eik·x .

(2.49)

Na sliˇcan naˇcin je mogu´ce pokazati da su ravni talasi svojstvene funkcije i za diskretni laplasijan. Polaze´ci od definicije (2.43) i uzimaju´ci ϕn = exp[ik · n], nalazimo i i Xh 2D X h ik·(n+λ) ik·n 2D ik·n ik·λ 2 ik·n =e e −e e −1 ▼e = Z1 |λ|2 λ Z1 |λ|2 λ b 2 eik·n , ≡ −k gde smo uveli oznake i 2D h 2 b k := 1 − γD (k) , |λ|2

(2.50)

γD (k) :=

1 X ik·λ e Z1 λ

(2.51)

b 2 tumaˇcimo kao svojstvenu vrednost diskretnog laplasijana u Po analogiji sa (2.49), veliˇcinu −k bazisu ravnih talasa. Iz (2.51) se vidi da je svojstvena vrednost diskretnog laplasijana izraˇzena pomo´cu tzv. geometrijskog faktora γD (k). Ukoliko je poznata struktura reˇsetke, odnosno, ako b 2 . Recimo, u sluˇcaju je dat skup vektora {λ}, mogu´ce je odrediti geometrijski faktor i na´ci k proste hiperkubne reˇsetke, koja je diskutovana u Primeru 2.1, geometrijski faktor je D

1 X cos(akα ), γD (k) = D α=1 dok je za zapreminski centriranu kubnu reˇsetku       ak1 ak2 ak3 γ3 (k) = cos cos cos . 2 2 2

(2.52)

(2.53)

Za samostalnu veˇzbu je ostavljeno da se proveri ispravnost relacija (2.52) i (2.53). Takod¯e, za samostalnu veˇzbu je ostavljeno da se pokaˇze b 2 = k2 + O(k 4 ). lim k

a→0

(2.54)

u sluˇcaju kubnih reˇsetki parametra a. Postojanje svojstvenih vrednosti diskretnog laplasijana u bazisu ravnih talasa omogu´cava da se reˇsenja problema vezanih za sisteme neinteraguju´cih ˇcestica kod modela definisanih na reˇsetkama interpretiraju po analogiji sa standardnim modelom kontinuuma – u tom smislu ˇ se ˇcesto kaˇze da ravni talasi opisuju neinteraguju´ce ˇcestice na reˇsetkama. Staviˇ se, bazis ravnih talasa ˇcesto predstavlja osnovu za primenu teorije perturbacija i za modele definisane na reˇsetkama. Neke primene diskretnog laplasijana se mogu na´ci u [Radoˇsevi´c, S.M., Panti´c M.R., Pavkov-Hrvojevi´c M.V., Kapor, D.V. (2013); Chow (1999); Radoˇsevi´c, S.M. (2015); Gombar, S., Mali, P., Panti´c, M., Pavkov-Hrvojevi´c, M., Radoˇsevi´c, S. (2018)] ■

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

69

˜ Vratimo se sada na veliˇcinu S[ϕ]. U sluˇcaju kuplovanja najbliˇzih suseda i zadrˇzavanjem ˇclanova 4 sa maksimalno ϕ [videti (2.36)], (2.27) se svodi na X KX ˜ ˜ S[ϕ] = ϕn ϕn+λ − h ϕn 2 n,λ n !2 !4 X X X X 1 1 K K − ϕn+λ + ϕn+λ + O(ϕ6 ). (2.55) 2 n 12 n λ λ Koriste´ci se sada diskretnim laplasijanom, moˇzemo iskoristiti relaciju X

Z1 |λ|2 2 ▼ ϕn + Z1 ϕn 2D

ϕn+λ =

λ

(2.56)

da eliminiˇsemo faktore koji eksplicitno sadrˇze sumu po najbliˇzim susedima. Tako dobijamo !2 2 X 2 X X 1 KZ1 |λ| 1 KZ1 |λ| 2 1 ˜ S[ϕ] = ϕn ▼2 ϕn + KZ1 ϕ2n − ▼ ϕn + KZ1 ϕn 2 2D 2 2 n 2D n n !4 X 1 X KZ1 |λ|2 2 ˜ ϕn + O(ϕ6 ). (2.57) + ▼ ϕn + KZ1 ϕn − h 12 n 2D n Odnosno, 1 X 1 X 2 1X ˜ S[ϕ] = c˜ ϕn ▼2 ϕn + a ˜ ϕn − c˜▼2 ϕn + a ˜ϕn 2 n 2 n 2 n !4 X X 1 ˜ ϕn + O(ϕ6 ). + c˜▼2 ϕn + a ˜ϕn − h 12 n n

!2

(2.58)

gde smo definisali c˜ =

KZ1 |λ|2 , 2D

a ˜ = KZ1 .

(2.59)

Pod limesom kontinuuma sada podrazumevamo prelaz |λ| → 0, uz N → ∞, pri ˇcemu drˇzimo konstante c˜ i a ˜ fiksnim. Ako je v0 zapremina elementarne ´celije, u granici kontinuuma vaˇzi Z X v0 −→ (2.60) x

x

dok diskretni laplasijan, prema (2.44), zamenjujemo sa ∇2 a integracija u impulsnom prostoru postaje Z ≡ k

D Z Y α=1

∞

−∞

dk α . 2π

(2.61)

Konaˇcno, veliˇcinu ϕn definisanu na ˇcvorovima reˇsetke zamenjujemo sa ϕ(x). Poˇsto se veliˇcina ϕ(x) nalazi pod znakom integrala, njene dimenzije se razliku u odnosu na ϕn . Lako je videti

70

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

√ da je kontinualno polje zapravo dato sa ϕ(x)/ v0 , tako da se faktor 1/v0 skrati sa faktorom v0 koji ulazi u definiciju integrala. Konaˇcno, smatra´cemo da su prostorne varijacije polja ϕ(x) relativno slabe, tako da moˇzemo zanemariti ˇclanove koji sadrˇze izvode viˇse od drugog u ˇclanovim kvadratnim po ϕ(x) dok ´cemo doprinose sa izvodima zanemariti ukoliko se pojavljuju u ˇclanovima koji imaju proizvode viˇse od dva faktora ϕ(x). Uz ove aproksimacije, iz (2.58) nalazimo Z Z SΛ [ϕ] = LGLW (ϕ, ∇ϕ, h) − h ϕ(x), x

x

b c a(T ) 2 ϕ (x) + ϕ4 (x) + |∇ϕ(x)|2 , LGLW = 2 4! 2 ˜ √v0 , kao i pri ˇcemu smo definisali7 h ≡ h/ a(T ) = a ˜−a ˜2 = a ˜(1 − a ˜) = KZ1

T − TC T − TC ≈ T TC

(2.62)

(2.63)

i iskoristili aproksimativni izraz za kritiˇcnu temperaturu Izingovog modela dobijen u aproksimaciji srednjeg polja (2.16), kao i ˇcinjenicu da smo se ograniˇcili na uzanu oblast temperaturea za koje je T ≈ TC . U odeljku 2.2.6 ´cemo videti da je za opis faznog prelaza u Landauovoj teoriji kljuˇcno da koeficijent a(T ) menja znak na T = TC . Sliˇcno,  4 TC 4 2 v02 ≈ 4v04 b = 4˜ a v0 = 4 (2.64) T i KZ1 |λ|2 c = c˜ − 2˜ ca ˜= 2D

  |λ|2 TC JZ1 |λ|2 ≈− . 1−2 ≈− T 2DT 2D

(2.65)

U odeljku 2.5.1 ´cemo za c koristiti izraz −JZ1 |λ|2 /(2DT ) dok ´cemo u ostatku poglavlja upotrebljavati grublju aproksimaciju c = −|λ|2 /(2D). Konaˇcno, indeks Λ u definiciji dejstva (2.62) nas podse´ca da smo, prilikom uvod¯enja polja ϕ(x) zanemarili fluktuacije sa talasnim vektorima intenziteta ve´ceg od Λ. Dejstvo iz (2.62) je u literaturi poznato kao Ginzburg-Landau-Vilsonovo (GLW) dejstvo. Primeti´cemo da, osim faktora koji opisuje kuplovanje sa spoljaˇsnjim poljem, SΛ [ϕ] sadrˇzi samo ˇclanove sa parnim stepenima polja ϕ. To je posledica Z2 simetrije Izingovog modela o kojoj je ranije bilo reˇci. Pogledajmo malo detaljnije kako grupa Z2 deluje u ovom sluˇcaju. Grupa Z2 se sastoji od dva elementa, Z2 = {1, z}, z 2 = 1. Njeno dejstvo u prostoru skalarnog polja ϕ i izvoda ∇ϕ je dato sa z · ϕ(x) = −ϕ(x),

z · [∇ϕ(x)] = ∇ [z · ϕ(x)] = −∇ϕ(x),

dok je dejsvtvo jediniˇcnog elementa trivijalno. Invarijantnost dejstva SΛ [g · ϕ] = SΛ [ϕ] , h=0

(2.66)

(2.67)

h=0

˜ √v0 oznaˇciti takod U nastavku se ne´cemo vra´cati na teoriju definisanu na reˇsetki pa moˇzemo veliˇcinu h/ ¯e sa h jer ne postoji opasnost od zabune. 7

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

71

se u ovom sluˇcaju svodi na invarijantnost podintegralne funkcije LGLW (g · ϕ, g · ∇ϕ) = LGLW (ϕ, ∇ϕ).

(2.68)

Drugim reˇcima, LGLW u potpunosti nasled¯uje Z2 simetriju Izingovog hamiltonijana u odsustvu spoljaˇsnjeg magnetnog polja. Da bismo opis Izingovog modela do kraja sveli na kontinualnu teoriju, potrebno je joˇs da vidimo kako izgleda izraz za statistiˇcku sumu. Imaju´ci u vidu ranije iznete opaske o konstantnim ˜ ˇclanovima u S[ϕ], kao i da je jedno stanje sistema sada opisano pomo´cu jedne funkcije ϕ : RD → R zadate sa svojim vrednostima ϕ(x), statistiˇcka suma (2.27) u granici kontinuuma prelazi u  Z  Z Z Z Z(h) = Dϕ(x) exp − LGLW (ϕ, ∇ϕ) − h ϕ(x) = Dϕ(x)e−SΛ [ϕ] , (2.69) x

gde simbol lim

N →∞

R

x

Dϕ(x) oznaˇcava sumu po svim mogu´cim funkcijama RD → R. Formalno

N Z Y i=1

∞

−∞

dϕi ≡

Y Z x∈RD

∞

Z dϕ(x) ≡

Dϕ(x)

(2.70)

−∞

pri ˇcemu pod graniˇcnom vrednoˇs´cu N → ∞ podrazumevamo da diskretni indeks i koji prebrojava ˇcvorove reˇsetke prelazi u neprekidnu veliˇcinu x ∈ RD . U tom smislu poslednji izraz za particionu funkciju treba shvatiti kao simboliˇcku oznaku za granicu kontinuuma. Integral po veliˇcinama ϕ(x), koji definiˇse sumu po svim konfiguracijama, beskonaˇcno-dimenzioni je i u literaturi se oznaˇcava kao funkcionalni integral. Ispostavlja se da funkcionalni integrali igraju vaˇznu ulogu u Fajnmanovoj verziji kvantovanja klasiˇcnih sistema [Altland, A., Simons, B. (2010); Weinberg, S. (2010); Ryder, L.H. (1996); Wilson & Kogut (1974)].

2.2.5

Landauova aproksimacija

U prethodnom odeljku smo dobili izraz za statistiˇcku sumu Izingovog modela u granici kontinuuma. Iako su uvod¯enjem klasiˇcnog polja ϕ(x) izbegnute poteˇsko´ce sa raˇcunanjem particione funkcije u vidu sume po diskretnim promenjivim Si , funkcionalni integral (2.69) je i dalje vrlo komplikovan. Kao prvi korak u pokuˇsaju razumevanja sistema opisanog funkcionalnim integralom (2.69) uˇcini´cemo grubu aproksimaciju: pretpostavi´cemo da je mogu´ce prona´ci jednu konfiguraciju ϕ0 (x) koja moˇze da opiˇse sistem tako ˇsto ´ce zameniti beskonaˇcnu sumu po svim funkcijama. Pod pretpostavkom da nema spoljaˇsnjeg polja (h = 0), kao i da je zadrˇzana samo jedna konfiguracija polja ϕ, statistiˇcka suma se znatno uproˇs´cava Z Z = Dϕ(x)e−SΛ [ϕ] −−−−−→ e−SΛ [ϕ0 ] (2.71) ˇsto nam omogu´cava da dod¯emo do jasne interpretacije polja ϕ0 (x) i vrednosti SΛ [ϕ0 ], kao ˇsto ´cemo sada videti. Pre svega, na osnovu (2.7) i (2.71) direktno vidimo da je T SΛ [ϕ0 ] slobodna energija Izingovog modela. U tom kontekstu veliˇcinu T LGLW moˇzemo shvatiti kao gustinu slobodne energije. Naravno, odgovaraju´cim skaliranjem koeficijenata u LGLW uvek moˇzemo posti´ci da striktno vaˇzi F = SΛ [ϕ0 ], tako da u nastavku ponekad ne´cemo praviti razliku izmed¯u

72

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

T SΛ [ϕ0 ] i SΛ [ϕ0 ] koja je i onako mala u oblasti T → TC . Imaju´ci u vidu da smo zanemarili neke konstantne8 doprinose, veza izmed¯u SΛ [ϕ0 ] i slobodne energije F je data sa F = F0 (T ) + T SΛ [ϕ0 ],

(2.72)

gde se u F0 (T ) nalaze svi ˇclanovi koji ne zavise direktno od polja ϕ(x). Kako bismo doˇsli do interpretacije polja ϕ(x), podseti´cemo se najpre modela definisanog na reˇsetki. Kao ˇsto je pokazano u Odeljku 2.2.3, veliˇcinu ϕn smo uveli kao nemu promenjivu pomo´cu koje raˇcunamo particionu funkciju, ali smo je odabrali tako da se njena srednja vrednost poklapa sa spontanom magnetizacijom Izingovog modela + ! * Z Z 1 1 X 1 X ˜ ˜ −S[ϕ] ϕn = ϕn e = M0 (T ), Z= e−S[ϕ] . (2.73) N n Z ϕ N n ϕ Ukoliko od svih vektora ϕn , pomo´cu kojih raˇcunamo srednju vrednost, zadrˇzimo samo jedan ϕ0 , on ´ce se oˇcigledno poklapati sa sopstvenom srednjim vrednoˇs´cu. Drugim reˇcima, vektor ϕ0 mora biti   M0 (T )  M0 (T )    ϕ0 =  (2.74) . ..   . M0 (T ) Kako bismo se uverili u ovo, pretpostavimo da je dat jedan od vektora ϕ   ϕ10  ϕ2   0  ϕ0 =  ..  ,  .  ϕN 0

(2.75)

odred¯en, za sada nepoznatim, koeficijentima ϕi0 koji opisuju stanje veliˇcine ϕ0 na ˇcvoru i. Ograniˇcavanje statistiˇcke sume na stanje opisano vektorom ϕ0 je ekvivalentno redefinisanju R N −dimenzionog integrala ϕ dodavanjem delta-funkcije: Z Z −→ δ(ϕ − ϕ0 ). (2.76) ϕ

ϕ

Statistiˇcka suma sada postaje Z ˜ ˜ Z= δ(ϕ − ϕ0 )e−S[ϕ] = e−S[ϕ0 ] ,

(2.77)

ϕ

a srednja vrednost (2.73) se svodi na 1 M0 (T ) = Z 8

Z δ(ϕ − ϕ0 ) ϕ

1 X ϕn N n

Konstantni su u smislu da ne zavise od ϕ(x).

! ˜ −S[ϕ]

e

N 1 X i = ϕ. N i=1 0

(2.78)

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

73

Kako su u ravnoteˇznim stanjima svi ˇcvorovi ekvivalentni, iz (2.78) sledi da je ϕi0 = M0 (T ), ∀i. Ovim je pokazana ispravnost tvrd¯enja (2.74). To, drugim reˇcima znaˇci da se komponente vektora ϕ0 poklapaju sa parametrom ured¯enosti Izingovog modela9 . Situacija je malo drugaˇcija u granici kontinuuma. Tada, umesto relacije (2.73), moramo pisati   Z   Z Z Z 1 1 1 −S[ϕ] ϕ(x) = Dϕ(y) ϕ(x) e = M0 (T ), Z = Dϕ(y)e−S[ϕ] , (2.79) V x Z V x gde je V = N v0 zapremina sistema a spontana magnetizacija je obraˇcunata po jedinici zapremine. Ako, po uzoru na model definisan na reˇsetki, izdvojimo jedno stanje koje odgovara konfiguraciji ϕ0 (x), moramo modifikovati funkcionalni integral Z Z Dϕ(x) −→ Dϕ(x)δ [ϕ(x) − ϕ0 (x)] , (2.80) gde je uvedena tzv. funkcionalna delta funkcija [Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995)] N  Y  Y δ ϕ(x) − ϕ0 (x) =: lim δ [ϕ(x) − ϕ0 (x)] ≡ δ(ϕi − ϕi0 ). x∈RD

Tada, umesto relacije (2.78) imamo Z 1 ϕ0 (x) = M0 (T ). V x

N →∞

(2.81)

i=1

(2.82)

Ako je funkcija ϕ0 (x) konsantna, za ˇsta je neophodno da ˇclan |∇ϕ|2 odsustvuje iz LGLW , vidimo da mora biti ϕ0 = M0 (T ). Drugim reˇcima, u sluˇcaju homogene konfiguracije ϕ0 = const, polje ϕ0 (x) jeste parametar ured¯enosti. Za sve ostale konfiguracije, strogo govore´ci, polje ϕ0 (x) se moˇze smatrati gustinom parametra ured¯enosti. I pored ove jasne identifikacije, za ϕ0 (x) se u literaturi ˇcesto sre´cu odrednice poput fluktuiraju´ceg parametra ured¯enosti [Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010)] ili prostorno zavisnog parametra ured¯enosti [Hohenberg, P. C., Krekhov, A. P. (2015)] koje mogu biti donekle zbunjuju´ce jer se iz definicije parametra ured¯enosti (2.8) vidi da on ne moˇze imati prostornu zavisnost10 . Sa druge strane, neki autori [Negle, J.W., Orland, H. (1998)] posebno definiˇsu globalni [ˇsto bi odgovaralo naˇsoj definiciji (2.8)] a posebno lokalni parametar ured¯enosti kao srednju vrednost ⟨Si ⟩. Dakle, istaknutu konfiguraciju ϕ0 , koju zadrˇzavamo pri opisu Izingovog modela u aproksimaciji Landaua, moˇzemo shvatiti kao gustinu parametra ured¯enosti dok SΛ [ϕ0 ] predstavlja odgovaraju´cu slobodnu energiju. Sada nam ostaje zadatak nalaˇzenja kriterijuma odabira funkcije ϕ0 . Neka je ϕ0 traˇzena konfiguracija. Proizvoljna konfiguracija ϕ(x) uvek moˇze napisati kao ϕ(x) = ϕ0 + η(x), gde je η funkcija koja opisuje odstupanje od konfiguracije ϕ0 . Sada, prema (B.30), moˇzemo pisati Z δSΛ (2.83) SΛ [ϕ0 + η] = SΛ [ϕ0 ] + η(x) + . . . x δϕ(x) ϕ0 9

Ova konstatacija nam, za sada, ne daje neke informacije o temperaturskoj zavisnosti M0 (T ). Njih moramo pribaviti daljom analizom modela i to ´cemo uradiiti u nastavku. 10 Definicija (2.8) je data za sistem definisan na reˇsetki ali se ova opaska odnosi i na modele definisane u kontinuumu.

74

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

gde . . . oznaˇcava ˇclanove sa funkcionalnim izvodima viˇseg reda koje ´cemo za sada zanemariti. Prilikom pisanja (2.83) smo implicitno pretpostavili da su odstupanja η od ravnoteˇzne konfiguracije ϕ0 na odred¯eni naˇcin mala. U sklopu ovako izloˇzene teorije to je samo pretpostavka koja moˇze biti opravdana aposteriori. Particiona funkcija se sada moˇze zapisati kao suma po svim konfiguracijama η(x) Z R δSΛ η(x) − x δϕ(x) −SΛ [ϕ0 ] ϕ0 . (2.84) Z≈e Dη(x)e Ukoliko je konfiguracija ϕ0 takva da vaˇzi δSΛ = 0, δϕ(x) ϕ0

(2.85)

preostali funkcionalni integral ´ce dati konstantu C koja ne zavisi ni od temperature ni od spoljaˇsnjeg polja, a ni od konfiguracije ϕ0 . Drugim reˇcima, konstanta C ne utiˇce na opis faznog prelaza u Landauovoj teoriji. Budu´ci da se particiona funkcija sada moˇze zapisati kao Z = Ce−SΛ [ϕ0 ] = e−SΛ [ϕ0 ]+ln C .

(2.86)

konstanta C se, zajedno sa ranije zanemarenim konstantnim doprinosima, moˇze se smatrati elementom analitiˇckog dela slobodne energije F0 (T ). Da sumiramo, suˇstina Landauove aproksimacije za statistiˇcku sumu Izingovog modela je da se od svih mogu´cih konfiguracija koje definiˇsu particionu funkciju zadrˇzi samo ona koja predstavlja ekstremalu GLW dejstva, tj. onu za koju vaˇzi (2.85). Ovim se problem raˇcunanja particione funkcije, date funkcionalnim integralom (2.69), sveo na razmatranje klasiˇcne teorije polja odred¯ene funkcionalom SΛ [ϕ] (ili, SΛ [ϕ] + F0 (T )). Naravno, ovakva aproksimacija je relativno gruba i njene posledice ´ce postati jasne kada se predvid¯anja Landauove teorije porede sa eksperimentima.

2.2.6

Spontano naruˇ senje simetrije

Razmotrimo najpre homogenu konfiguraciju ϕ0 = M0 . Tada se LGLW svodi na ˇcisto potencijalni deo LGLW −→ V(M0 ) =

b a(T ) 2 M0 (T ) + M04 (T ) 2 4!

(2.87)

i Landauovo dejstvo je jednostavno SΛ [ϕ0 ] = V(M0 )V , gde je V zapremina sistema. Uslov stacionarnosti dejstva (2.85) se u ovom sluˇcaju svodi na ∂V b = a(T )M0 + M03 = 0. ∂M0 3!

(2.88)

Reˇsenja ove jednaˇcine zavise od znaka funkcije a(T ). Ako je a(T ) > 0, ˇsto prema (2.63) odgovara vrednosti T > TC trostruki koren jednaˇcine (2.88) je M0 = 0. Dakle, budu´ci da parametar ured¯enosti iˇsˇcezava, ovo reˇsenje odgovara neured¯enoj fazi. Sa druge strane, ako je a(T ) < 0, ˇsto odgovara temperaturama niˇzim od TC , pored jednog reˇsenja M0 (T ) = 0, postoje i reˇsenja sa parametrom ured¯enosti razliˇcitim od nule. Ona su data sa r r 6a(T ) 6a(T ) + − M0 (T ) = M0 = − , M0 (T ) = M0 = − − . (2.89) b b

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

75

V

V

0

0

b)

a)

Slika 2.8: GLW dejstvo se u sluˇcaju homogene konfiguracije svodi na potencijal V(M0 ). Na ilustraciji a) je prikazan oblik potencijala za T < TC a na ilustraciji b) za T > TC . Lako je videti da reˇsenje M0 = 0 odgovara minimumu od V(M0 ) kada je T > TC , odnosno da reˇsenja iz (2.89) predstavljaju minimum od V(M0 ) za T < TC . Takod¯e, reˇsenje M0 (T ) = 0, koje postoji i u sluˇcaju T < TC , ne odgovara minimumu slobodne energije. Grafiˇcki prikaz funkcije V(M0 ), u ured¯enoj i neured¯enoj fazi je dat na Sl. 2.8.

Pogledajmo sada kako se upravo dobijena reˇsenja uklapaju u Landauovu sliku spontanog naruˇsenja simetrije. Pre svega, u oblasti visokih temperatura (T > TC ), postoji jedinstveno reˇsenje M0 = 0. Ovo reˇsenje poseduje istu Z2 simetriju kao i dejstvo SΛ [ϕ] = V(ϕ)V . Transformacija reˇsenja u ovom sluˇcaju trivijalna [videti (2.66)]: 1 · M0 = 1 · 0 = 0 = M0 , kao i −1 · M0 = −1 · 0 = 0 = M0 . Sa druge strane, u sluˇcaju kada je T < TC , simetrija reˇsenja je manja od simetrije dejstva. Zaista, lako vidimo da je [videti (2.66)] −1 · M0+ = M0− ,

−1 · M0− = M0+ .

(2.90)

Dakle, u opˇstem sluˇcaju, element grupe Z2 prevodi jedno reˇsenje u drugo a ne ostavlja ga invarijantnim. Poˇsto je simetrija osnovnog stanja trivijalna a simetrija dejstva je Z2 , sluˇcaj nalaˇzenja ravnoteˇzne konfiguracije pri T < TC opisuje pojavu spontanog naruˇsenja simetrije. ˇ Staviˇ se, do naruˇsenja simetrije dolazi baˇs na temperaturi T = TC koja odgovara kritiˇcnoj temperaturi Izingovog modela dobijenoj u aproksimaciji srednjeg polja. Ako se sistem nalazi u spoljaˇsnjem polju h, spontana magnetizacija je zamenjena magnetizacijom M (h, T ) i potencijalni deo GLW dejstva se svodi na V(M ) =

b a(T ) 2 M (h, T ) + M 4 (h, T ) − hM (h, T ). 2 4!

(2.91)

Ovaj oblik potencijala je skiciran na Sl. 2.9. U ovom sluˇcaju postoji jedan stabilan minimum, koji odgovara ured¯enju spinova u smeru spoljaˇsnjeg polja, pa ne dolazi do spontanog naruˇsenja simetrije. Menjanje smera spoljaˇsnjem polju (h → −h) u ovom sluˇcaju daje jednostavan primer faznog prelaza prvog reda [Negle, J.W., Orland, H. (1998)].

76

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

V

Slika 2.9: GLW dejstvo se u sluˇcaju homogene konfiguracije svodi na potencijal V(M0 ). Na ilustraciji a) je prikazan oblik potencijala za T < TC a na ilustraciji b) za T > TC

2.2.7

Kritiˇ cni eksponenti α, β, γ i δ

Budu´ci da smo u prethodnom odeljku naˇsli reˇsenja u sluˇcaju homogene konfiguracije ϕ0 (x) = M0 , pri ˇcemu u Landauovoj aproksimaciji funkcional SΛ [ϕ] interpretiramo kao slobodnu energiju, sada moˇzemo da odredimo i kritiˇcne eksponente u ovom prilazu. Pre svega, na osnovu (2.63) i (2.89) vidimo da je u ured¯enoj fazi M0± (T ) ∼ (TC − T )1/2 ,

(2.92)

odakle nalazimo β = 1/2. Sliˇcno, ukoliko je sistem u spoljaˇsnjem polju, ravnoteˇzna konfiguracija se dobija minimiziranjem potencijala (2.91). Tako se dobija jednaˇcina a(T )M (h, T ) +

b 3 M (h, T ) − h = 0, 3!

(2.93)

iz koje nalazimo, za T = TC , M (h, TC ) ∼ h1/3 ,

(2.94)

ˇsto znaˇci da je δ = 3. Dalje, budu´ci da je susceptibilnost definisana kao χ = ∂M (h, T )/∂h|h=0 , diferenciranjem jednaˇcine (2.93) po h nalazimo   b 2 a(T ) + M0 (T ) χ = 1, (2.95) 2 odakle je χ ∼ |T − TC |−1 .

(2.96)

Odnosno, nalazimo γ = 1. Konaˇcno, koriste´ci vezu izmed¯u toplotnog kapaciteta i slobodne energije [Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010)] ∂ 2 F CV = −T (2.97) ∂T 2 V

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

77

pri ˇcemu je, prema (2.72), slobodna energija u Landauovoj aproksimaciji data sa   b 4 a(T ) 2 M0 (T ) + M0 (T ) . (2.98) F = F0 (T ) + SΛ [M0 ] = F0 (T ) + V V(M0 ) = F0 (T ) + V 2 4! Odnosno, F (T ) =

 F0 (T ),

T > TC ,

F0 (T ) + 12V a2 (T ), b

T < TC .

(2.99)

Na osnovu (2.99) i (2.97) dobijamo da toplotni kapacitet u blizini TC trpi skok lim+ CV − lim− CV =

T →TC

T →TC

24V . bTC

(2.100)

To znaˇci da je α = 0. Pre nego ˇsto uporedimo predvid¯anja Landauove teorije sa vrednostima kritiˇcnih eksponenata dobijenim u sluˇcaju Izingovog modela egzaktnim reˇsenjem (2D model) i numeriˇckim metodama (3D model), u narednom odeljku ´cemo razmotriti i kritiˇcni eksponent povezan sa korelacionom duˇzinom.

2.2.8

Fluktuacije i gausovski model

Statistiˇcke korelacije veliˇcina ϕ, koje su bitne za detaljnije razumevanje sistema opisanog particionom funkcijom (2.69), ne mogu se direktno na´ci u Landauovoj teoriji. Razlog tome je ˇcinjenica da smo od svih mogu´cih konfiguracija zadrˇzali samo onu koja zadovoljava uslov (2.85). Prema tome, da bismo doˇsli do informacija o statistiˇckoj uslovljenosti polja ϕ u razliˇcitim taˇckama, moramo napustiti stroge okvire Landauove aproksimacije i dopustiti da polje ϕ uzima razliˇcite vrednosti u razliˇcitim taˇckama. Osnovna veliˇcina koja meri statistiˇcku povezanost polja ϕ u taˇckama x i y je tzv. (dvoˇcestiˇcna) korelaciona funkcija [Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010)] Z 1 Dϕ(z) (ϕ(x) − M0 ) (ϕ(y) − M0 ) e−SΛ [ϕ] , (2.101) G(x, y) = ⟨(ϕ(x) − M0 ) (ϕ(y) − M0 )⟩ = Z pri ˇcemu je M0 vrednost parametra ured¯enosti koja odgovara Landauovoj ravnoteˇznoj konfiguraciji opisanoj u odeljku 2.2.6. Za homogene sisteme, koji odgovaraju granici kontinuuma uvedenoj u odeljku 2.2.4, korelaciona funkcija zavisi samo od relativnog vektora poloˇzaja dve taˇcke, G(x, y) = G(x − y). Ukoliko je pored toga sistem i izotropan, korelaciona funkcija zavisi samo od modula |x − y|. Poˇsto su statistiˇcke fluktuacije polja ϕ u taˇckama x i y nezavisne ako su one jako udaljene jedna od druge, za oˇcekivati je da G(x, y) → 0 pri |x − y| → ∞. Zapravo, postoji odred¯ena duˇzina ξ, koja karakteriˇse oblasti u sistemu u okviru kojih se korelacije ne mogu zanemariti. Ona je poznata pod nazivom korelaciona duˇzina. Kao ˇsto ´cemo ˇ videti, korelaciona duˇzina zavisi od temperature. Staviˇ se, ξ → ∞ pri T → TC ˇsto znaˇci da su u okolini kritiˇcne temperature bitne fluktuacije sa svim talasnim duˇzinama 0 ≤ λ < ∞. Budu´ci da je Landauovo dejstvo uvedeno tako da je granica kontinuuma uvedena u odnosu na karakteristiˇcnu duˇzinu Λ−1 (videti Odeljak 2.2.4), divergencija korelacione duˇzine nuˇzno dovodi

78

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

do kraha Landauove teorije [Wilson (1975)] ˇsto se ogleda u vrednostima kritiˇcnih eksponenata koje odstupaju od onih dobijenih egzaktnim reˇsavanjem modela, numeriˇckim simulacijama ili u eksperimentima. Osim u specijalnom sluˇcaju kada SΛ [ϕ] ima ˇclanove koji su najviˇse kvadratni po ϕ, integral (2.101) se ne moˇze izraˇcunati analitiˇcki. Dejstvo koje sadrˇci samo ˇclanove kvadrane po ϕ, bez obzira da li na njih deluju izvodi ili ne, definiˇse tzv. gausovski model. Na jeziku teorije polja, gausovski model odgovara neinteraguju´cem polju. Ipak, jednostavni gausovski model koji se dobija prostim odbacivanjem ˇclana bϕ4 /4! u LGLW je previˇse grub da bi dao kvalitetan opis u obe faze – ravnoteˇzna konfiguracija odred¯ena odnosom a(T )/b [videti (2.89)], ˇsto znaˇci da je dobijena uz pretpostavku b ̸= 0. Zbog toga ´cemo, umesto jednostavnog zanemarivanja ˇclana bϕ4 /4!, izvrˇsiti razvoj funkcionala SΛ [ϕ] u red oko ravnoteˇzne konfiguracije ϕ0 = M0 , zadrˇzavaju´ci se na kvadratnoj aproksimaciji. Da bi nastavak izlaganja uˇcinili jasnijim, ilustrova´cemo opisani postupak na jednostavnijem primeru – dobijanju Stirlingove aproksimacije za n!. Primer 2.4. Kao ˇsto je dobro poznato [Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)], n! se moˇze izraziti pomo´cu gama funkcije Z ∞ dt e−t tn . (2.102) n! = Γ(n + 1) = 0

Kako bismo napravili jasniju analogiju sa originalnim problemom raˇcunanja particione funkcije, prepisa´cemo gornji integral kao Z ∞ Z ∞ −[t−n ln t] dt e−n[t/n−ln t] . (2.103) dt e = n! = 0

0

Poˇsto pri n ≫ 1 eksponencijalna funkcija exp(−nx) brzo opada, za oˇcekivati je da se pri velikim vrednostima n gornji integral moˇze na neki naˇcin aproksimirati. Uvedemo li oznaku fn (t) =

t − ln t n

(2.104)

vidi se da najve´ci doprinos integralu daju vrednosti promenjive t u blizini minimuma funkcije fn . Ako taˇcku koja odgovara minimumu od fn (t) oznaˇcimo sa t0 , Tejlorov razvoj funkcije fn u okolini t0 je
1 d2 fn dfn (t − t0 ) + (t − t0 )2 + O (t − t0 )3 fn (t) = fn (t0 ) + 2 dt t0 2 dt t0
1 d2 fn 2 3 = fn (t0 ) + (t − t ) + O (t − t ) , (2.105) 0 0 2 dt2 t0 pri ˇcemu, t0 odred¯ujemo iz uslova dfn /dt = 0. Tako nalazimo t0 = n, kao i 1 d2 fn fn (t0 ) = 1 − ln n, = 2. 2 dt t0 n Zamenjuju´ci (2.106) u (2.105), nalazimo aproksimativni izraz za integral (2.103) Z ∞ n ′′ 2 −nfn (t0 ) n! ≈ e dt e− 2 fn (t0 )(t−t0 ) . 0

(2.106)

(2.107)

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

79

Uvod¯enjem smene t − t0 = x, preostali integral postaje Z ∞ n ′′ 2 −nfn (t0 ) dx e− 2 fn (t0 )x . n! ≈ e

(2.108)

−t0

Imaju´ci u vidu da je t0 = n ≫ 1, donju granicu integral ´cemo aproksimirati sa −∞. Na taj naˇcin dobijamo integral Gausovog tipa i konaˇcan rezultat je poznata Stirlingova formula s √ 1 2π 2πe−n nn+ 2 . = (2.109) n! ≈ e−nfn (t0 ) ′′ nf (t0 ) Ovaj postupak za dobijanje Stirlingove aproksimacije je specijalni sluˇcaj tzv. aproksimacije stacionarnih faza. Viˇse detalja o aproksimaciji stacionarnih faza se moˇze na´ci u knjizi [ZinnJustin, J. (2007)]. ■ Vratimo se sada originalnom problemu razvoja funkcionala SΛ [ϕ] do kvadratnih ˇclanova u okolini ravnoteˇzne konfiguracije ϕ0 = M0 . Na osnovu (B.30) i (B.31) i ˇcinjenice da je ravnoteˇzna konfiguracija odred¯ena uslovom (2.85), moˇzemo pisati Z δ 2 SΛ 1 η(x)η(y) + O(η 3 ), (2.110) SΛ [ϕ0 + η] = SΛ [ϕ0 ] + 2 x,y δϕ(x)δϕ(y) ϕ0 gde η(x) opisuje odstupanje od ravnoteˇzne konfiguracije. Pretpostavi´cemo da η → 0 pri |x| → R ∞. Poˇsto je SΛ [ϕ] = x LGLW , imamo ∂LGLW ∂LGLW b δSΛ = −∇· = a(T )ϕ(y) + ϕ3 (y) − c∇2y ϕ(y), δϕ(y) ∂ϕ(y) ∂∇ϕ(y) 3!

(2.111)

kao i   b 2 δSΛ δ 2 = a(T )δ(x − y) + ϕ (y)δ(x − y) − c∇ δ(x − y) y δϕ(x) δϕ(y) ϕ0 2 ϕ0   2 M (T )b = a(T ) + 0 δ(x − y) − c∇2y δ(x − y). 2

(2.112)

Poˇsto smo odredili drugi varijacioni izvod i izraˇcunali ga za ravnoteˇznu konfiguraciju ϕ0 = M0 , moˇzemo na´ci i eksplicitni izraz za razvoj funkcionala SΛ [ϕ] iz (2.110). Pri tome, paˇznju treba da obratimo na drugi sabirak iz (2.112). Poˇsto je Z Z   2 η(x)η(y)∇y δ(x − y) = ∇y · η(x)η(y)∇y δ(x − y) x,y x,y Z   − ∇y · η(x)η(y) ∇y δ(x − y) x,y Z = − η(x)∇y η(y) · ∇y δ(x − y), (2.113) x,y

pri ˇcemu integral divergencije iˇsˇcezava kada se pretvori u povrˇsinski, nakon joˇs jedne parcijalne integracije i odbacivanja joˇs jednog povrˇsinskog integrala nalazimo Z Z Z 2 2 η(x)∇y η(y)δ(x − y) = η(x)∇2x η(x). (2.114) η(x)η(y)∇y δ(x − y) = x,y

x,y

x

80

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

Zamenom (2.114) i (2.112) u (2.110), konaˇcno dobijamo kvadratnu aproksimaciju Landauovog funkcionala Z 1 (2) SΛ [ϕ0 + η] = SΛ [ϕ0 ] + η(x)Aη(x) ≡ SΛ [ϕ0 ] + SΛ [η], (2.115) 2 x pri ˇcemu je operator A definisan sa A=a ¯(T ) − c∇2

(2.116)

a novi koeficijent a ¯(T ) je bM02 a ¯(T ) = a(T ) + = 2

( a(T ), a(T ) − 3a(T ) = −2a(T ),

T > TC , T < TC .

(2.117)

Imaju´ci eksplicitni izraz za kvadratnu aproksimaciju funkcionala SΛ [ϕ], skoncentrisa´cemo se na raˇcunanje korelacione funkcije (2.101). Budu´ci da je ravnoteˇzna konfiguracije ϕ0 = M0 homogena, lako je videti da je Dϕ(x) = Dη(x), za ϕ = η + M0 , tako da se korelaciona funkcija moˇze izraziti samo pomo´cu polja η koje opisuje odstupanja od ravnoteˇzne konfiguracije Z (2) 1 Dη(z)η(x)η(y)e−SΛ [ϕ0 ]−SΛ [η] , (2.118) G(x, y) = ⟨η(x)η(y)⟩ = Z gde je sada Z (2) Z = Dη(z)e−SΛ [ϕ0 ]−SΛ [η] .

(2.119)

Napominjemo da rezultat (2.119) vaˇzi i na temperaturama koje su viˇse kao i na onim koje su niˇze od TC . Za raˇcunanje korelacione G(x, y) funkcije moˇ Rzemo iskoristiti postupak koji smo ve´c koristili u (2.32) i (2.33). Dodavanjem dejstvu ˇclana x B(x)η(x), gde je B(x) pomo´cno polje, po analogiji sa (C.51), imamo 1 δ δ G(x, y) = Z[B] , Z[B] δB(x) δB(y) B=0   Z Z (2) Z[B] = Dη(z) exp SΛ [η] + B(z)η(z) (2.120) z

jer se konstantni ˇclan SΛ [ϕ0 ] pokrati u definiciji korelacione funkcije. Sada vidimo da se raˇcunanje korelacione funkcije dobrim delom svodi na raˇcunanje funkcionala Z[B] koji se moˇze izraˇcunati po uzoru na integrale Gausovog tipa [videti prilog C]. Konkretno, integral za Z[B] iz (2.120) je direktna generalizacija integrala (C.45)   Z 1 T −1 (2π)N/2 − 12 aT ·Aa+bT ·a Z(b) = e = √ exp b · A b . (2.121) 2 detA x Kako bismo naglasili analogiju izmed¯u ova dva integrala, primeti´cemo da se Z[B] moˇze zapisati kao Z 1 Z[B] = Dϕ e− 2 (η,Aη)+(B,η) , (2.122)

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

81

gde (, ) oznaˇcava skalarni proizvod u L2 (RD ) koji zamenjuje skalarni proizvod u RN iz (2.121). Budu´ci da je funkcionalni integral definisan kao graniˇcna vrednost (2.70), imaju´ci u vidu i diskusiju iz Dodatka B, za raˇcunanje gausovskih funkcionalnih integrala se moˇzemo osloniti na korespodenciju Z N h i X T i η(x) Aη (x) (2.123) a · Aa −→ (η, Aη), odnosno a (Aa)i −→ x

i=1

tako da imamo   Z
1 1 −1 − 12 (η,Aη)+(B,η) B, A B . Z[B] = Dϕ e ∝√ exp 2 DetA

(2.124)

U gornjoj relaciji piˇsemo znak proporcionalnosti, umesto stroge jednakosti, zato ˇsto je konstanta koja predstavlja limit (2π)N /2 , pri N → ∞, beskonaˇcna. Taj (beskonaˇcni) konstatni faktor ´ce se skaratiti u svim krajnjim rezuultatima raˇcunanja pa zbog toga ne´cemo obra´cati paˇznju na njega. Takod¯e, koristimo simbol Det za determinantu operatora (2.116) iz L2 (RD ) kako bi pravili razliku u odnosu na determinante matrica tipa N × N koje oznaˇcavamo simbolom det. Konaˇcno, A−1 oznaˇcava operator inverzan za A. Kako se u (2.124) pojavljuju A−1 i DetA, skoncentiˇsimo se za trenutak na operator A = a ¯(T )−c∇2 . Kao ˇsto je operator A u konaˇcnodimenzionom prostoru RN odred¯en komponentama (A)ij = ⟨i|A|j⟩, operator A u L2 (RD ) je zadan ’komponentama’ A(x, y) = ⟨x|A|y⟩.

(2.125)

gde je ⟨x|y⟩ = δ(x − y). Uvod¯enje komponenti operatora nam omogu´cava da napravimo i formalnu analogiju sa reprezentovanjem operatora u L2 (RD ) ’matricom’ Z X (A)ij |i⟩⟨j| −→ A(x, y)|x⟩⟨y|. (2.126) x,y

i,j

Na osnovu gornjeg razvoja u L2 (RD ) definiˇsemo i ’komponente’ inverznog operatora kao Z X −1 (A )ik (A)kj = δij −→ A−1 (x, z)A(z, y) = δ(x − y). (2.127) z

i,j

Iskoristimo li komponente, inverzni operator moˇzemo zapisati i kao Z −1 A = A−1 (x, y)|x⟩⟨y|,

(2.128)

x,y

tako da se skalarni proizvod iz eksponencijalne funkcije u (2.124) svodi na Z Z −1 −1 −1 (B, A B) = ⟨B|A |B⟩ = A (x, y)⟨B|x⟩⟨y|B⟩ = A−1 (x, y)B(x)B(y), (2.129) x,y

x,y

Ovo je traˇzena reprezentacija skalarnog proizvoda jer se u njoj direktno pojavljuju komponente operatora A−1 . Sada, po analogiji sa (C.62), nalazimo korelacionu funkciju izraˇzenu pomo´cu komponenti operatora A−1 δ δ 1 Z[B] = A−1 (x, y). (2.130) G(x, y) = Z[B] δB(x) δB(y) B=0

82

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

Odredimo sada i komponente od A−1 . Pre svega, dobro je poznato [Weinberg, S. (2012)] da su u RD ravni talasi svojstvene funkcije laplasijana i predstavljaju bazis koji se koristi za definisanje Furije-transforma. To znaˇci da moˇzemo pisati [videti i Primer 2.3] ∇2 ⟨x|k⟩ = −k2 ⟨x|k⟩, gde je ⟨x|k⟩ = eik·x

(2.131)

[obratiti paˇzju na normiranje!] i jediniˇcni operator u L2 (RD ) moˇzemo predstaviti kao Z Z I = |k⟩⟨k|, jer je I(x, y) = ⟨x|I|y⟩ = ⟨x|k⟩⟨k|y⟩ = δ(x − y). (2.132) k

k

Koriste´ci A⟨x|k⟩ = (¯ a(T ) + ck2 ) ⟨x|k⟩, nalazimo Z Z   ik·x−iq·y 2 A(x, y) = ⟨x|IAI|y⟩ = ⟨x|k⟩⟨k|A|q⟩⟨q|y⟩ = e a ¯(T ) + ck ⟨k|q⟩ k,q k,q Z   ik·(x−y) 2 e = a ¯(T ) + ck . (2.133) k

Sada je lako videti da su komponente inverznog operatora date sa Z eik·(x−y) −1 A (x, y) = ¯(T ) + ck2 k a zato ˇsto vaˇzi (2.127). Zaista, Z Z Z a ¯(T ) + ck2 iq·x−ik·y −1 A (x, z)A(z, y) = e eiz·(k−q) 2 a ¯ (T ) + cq k,q z z Z 2 a ¯(T ) + ck = (2π)D δ(k − q)eiq·x−ik·y = δ(x − y). 2 ¯(T ) + cq k,q a

(2.134)

(2.135)

Prema tome, naˇsli smo da je −1

Z

1

G(x, y) = ⟨η(x)η(y)⟩ = Z Dηη(x)η(y)e− 2 (η,Aη) Z eik·(x−y) −1 = A (x, y) = . ¯(T ) + ck2 k a

(2.136)

Primer 2.5. Budu´ci da ´ce nam trebati u nastavku, kada budemo raˇcunali gausovsku korekciju na kritiˇcni eksponent α, pogledajmo kako se sliˇcnom metodom oˇze na´ci i DetA. Za definiciju funkcionalne determinante ´cemo uzeti relaciju DeteA := eTrA ,

(2.137)

koja predstavlja generalizaciju poznate relacije det eA = etrA iz konaˇcnodimenzionih prostora [Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)]. Pri tome, operciju traga Tr definiˇsemo u istom bzaisu koji je koriˇs´cen za Furijeov razvoj jer su komponente operatora A ve´c izraˇzene pomo´cu Furijeovog integrala [Videti jednaˇcinu (2.133)]. Prema tome, u naˇsem sluˇcaju je DetA := eTr ln A ,

(2.138)

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

83

pri ˇcemu je Z ⟨q| ln A|q⟩,

Tr ln A = q

ln A =

∞ X

cn An .

(2.139)

n=0

Med¯utim, kako je Z Z 2 A = A(x, z)A(z, y)|x⟩⟨y| = x,y,z

x,y

Z 

a ¯(T ) + ck2

2

(2.140)

k

lako se pokazuje da ´ce biti i Z Z   ln a ¯(T ) + ck2 eik·(x−y) |x⟩⟨y|. ln A = x,y

eik·(x−y) |x⟩⟨y|,

(2.141)

k

Odnosno, Z

Z

  ¯(T ) + ck2 eik·(x−y) ⟨q|x⟩⟨y|q⟩ ln a Zk,q x,y Z  Z 2 ix·(k−q) = ln a ¯(T ) + ck e eiy·(q−k) k,q x y Z   = V ln a ¯(T ) + ck2 .

Tr ln A =

(2.142)

k

Ukoliko dopustimo sve vrednosti talasnih vektora, −∞ ≤ kα ≤ ∞, integral Tr ln A je oˇcigledno divergentan. Jedan od naˇcina da se integral uˇcini konaˇcnim11 je da se u obzir uzmu samo talasni vektori |k| ≤ Λ [videti diskusiju iz odeljka 2.2.4]. Naravno, Furijeov bazis nije uvek pogodan za raˇcunanje funkcionalne determinante zbog ˇcega su razvijeni i drugi metodi [Nakahara (2003); Elizalde, E. (2008)]. ■ Postoji viˇse naˇcina da se izraˇcuna integral (2.136). Jedan od njih se zasniva na poznatom rezultatu [Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)] Z k

eik·x 1 e−a|x| = a2 + k 2 4π |x|

tako da konaˇcno dobijamo Z eik·(x−y) 1 e−|x−y|/ξ G(x, y) = = , ¯(T ) + ck2 4πc |x − y| k a pri ˇcemu smo uveli tzv. korelacionu duˇzinu r c ξ= ∼ |T − TC |−1/2 a ¯(T )

(2.143)

(2.144)

(2.145)

i pretpostavili smo da 0 ≤ |k| < ∞ ˇsto odgovara sluˇcaju Λ → ∞ u granici kontinuuma. Kritiˇcni eksponent koji opisuje divergenciju korelacione duˇzine se oznaˇcava sa ν. Dakle, u okviru gausovske aproksimacije, nalazimo ν = 1/2.

84

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

Slika 2.10: Funkcija ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩ u ured¯enoj i neured¯enoj fazi

Pogledajmo sada detaljnije kako se zakljuˇcci o korelacijama polja ϕ, u zavisnosti od temperature, mogu izvesti iz definicije korelacione funkcije (2.101) i reˇsenja (2.144). Pre svega, na osnovu ˇcinjenice da je sistem homogen, definiciju (2.101) moˇzemo zapisati i kao G(x, y) = ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩ − M02 (T )

(2.146)

tako da iz reˇsenja (2.144) nalazimo ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩ =

1 e−|x−y|/ξ + M02 (T ). 4πc |x − y|

(2.147)

Ako je T > TC , znamo da je M0 = 0, pa gornji izraz daje lim ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩ = 0

|x−y|→∞

(2.148)

jer korelacije opadaju eksponencijalno i za |x − y| ≫ ξ ponaˇsanje polja ϕ u taˇckama x i y je statistiˇcki nezavisno. Ovo ponaˇsanje odgovara ˇcistoj gausovskoj aproksimaciji. Sliˇcno, za T < TC nalazimo lim ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩ = M02 (T ).

|x−y|→∞

(2.149)

Vidimo da u oba sluˇcaja korelacije polja ϕ u dovoljno udaljenim taˇckama x i y iˇsˇcezavaju. Drugim reˇcima, u obe faze, praktiˇcno vaˇzi ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩

∼

|x−y|≫ξ

⟨ϕ(x)⟩⟨ϕ(y)⟩.

(2.150)

Ovo ponaˇsanje funkcije ⟨ϕ(x), ϕ(y)⟩ je skicirano na Sl. 2.10. Dakle, dobijeni izraz za G(x, y) zaista odgovara oˇcekivanom ponaˇsanju navednenom na poˇcetku ovog odeljka. Ipak, reˇsenje prikazano u (2.147) nije dovoljno opˇste da bi se moglo uzeti kao generalni zakljuˇcak. Kasnije ´cemo 11

Postupak eliminisanja divergencije u razliˇcitim integralima koji se pojavljuju u teoriji polja je poznat pod naziivom regularizacija.

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

85

videti da je u sluˇcaju sistema sa kontinualnom unutraˇsnjom simetrijom ponaˇsanje korelacione funkcije neˇsto drugaˇcije. Na kraju ´cemo primetiti da se (2.101) moˇze zapisati i kao δ2 ln Z[B] , (2.151) G(x, y) = ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩ − ⟨ϕ(x)⟩⟨ϕ(y)⟩ = δB(x)δB(y) B=0 gde je Z Z[B] =

R

Dϕ(z)e−SΛ [ϕ]+

z

B(z)ϕ(z)

.

(2.152)

Ovde je takod¯e B(x) pomo´cno polje ali se, za razliku od (2.120), srednje vrednosti raˇcunaju sa ukupnim dejstvom a ne sa njegovom kvadratnom aproksimacijom.

2.2.9

Pouzdanost Landauove teorije

U prethodna dva odeljka smo odredili kritiˇcne eksponente koji se, osim eksponenta ν, strogo dobijaju u okviru Landauove teorije. Ove vrednosti su sumirane u Tabeli 2.2. Da bismo mogli diskutovati i kvalitet koriˇs´cenih aproksimacija, u istoj tabeli su navedene vrednosti kritiˇcnih ˇ eksponenata koje se danas smatraju priliˇcno pouzdanim. Staviˇ se, za 2D izingov model su, na osnovu Onzager-Jangovog reˇsenja [Schultz, T. D., Mattis, D. C., Lieb, E. H. (1964); Kogut, J. B. (1979)], poznate taˇcne vrednosti kritiˇcnih eksponenata. Oznaka 0(ln) ukazuje da toplotni kapacitet u sluˇcaju dvodimenzionog Izingovog modela logoritamski divergira. Vrednosti eksponenata za 3D Izingov model su dobijene na osnovu Monte Karlo simulacija i visokotemperaturskih razvoja i preuzete su iz [Pelissetto & Vicari (2002)]. Konaˇcno, vrednosti za 3D Hajzenbergov model su, osim eksponenta α, ˇcija je vrednost preuzeta iz [Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995)], takod¯e iz [Pelissetto & Vicari (2002)] i dobijene su kombinovanjem Monte Karlo simulacija i joˇs nekih teorijskih metoda. Iako ´cemo modele sa kontinualnim simetrijama razmatrati tek u Odeljku 2.3, ispostavi´ce se da se vrednosti kritiˇcnih eksponenata, dobijenih u okvirima Landauove teorije, ne´ce promeniti. Zbog toga je korisno navesti na jednom mestu kritiˇcne eksponente koje daje Landauova teorija zajedno sa preciznim vrednostima za Izingov i Hajzenbergov model. Tabela 2.2: Kritiˇcni eksponenti za Izingov i Hajzenbergov model α Landau 0 2D Izing 0(ln) 3D Izing 0.110(1) 3D Hajzenberg −0.115(9)

β 1/2 1/8 = 0.125 0.3265(3) 0.3689(3)

γ 1 7/4 = 1.75 1.2372(5) 1.3960(9)

δ 3 15 4.789(2) 4.783(3)

ν 1/2 1 0.6301(4) 0.7112(5)

Pre svega, uoˇcavamo znatnu razliku izmed¯u eksponeata koji karakteriˇsu dvodimenzioni Izingov model, trodimenzioni Izingov model i trodimenzioni Hajzenbergov model. Prema danas usvojenoj terminoologiji, svaki od ovih modela pripada zasebnoj klasi univerzalnosti. Te klase se, u principu, razlikuju po unutraˇsnjoj simetriji modela i dimenzionalnosti prostorne reˇsetke

86

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

na kojoj su definisani. Tako, recimo, 2D i 3D Izingov model imaju istu unutraˇsnju simetriju (Z2 ) ali se razlikuju po dimenziji reˇsetke. Sliˇcno, 3D Izingov i 3D Hajzenbergov model mogu biti definisani na istoj reˇsetki, ali se razlikuju po unutraˇsnjoj simetriji [za klasiˇcni Hajzenbergov model, simetrija je O(3)]. Takod¯e, lako je videti da je odstupanje Landauove teorije najve´ce u sluˇcaju 2D Izingovog modela, dok je slaganje sa eksponentima koji karakteriˇsu 3D Izingov i 3D Hajzenbergov model bolje. Ovo nije sluˇcajno jer se primenom renorm-grupe pokazuje [Zinn-Justin, J. (2007); Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010)] da su kritiˇcni eksponenti koji karakteriˇsu Izingovu klasu univerzalnosti za D ≥ 4 taˇcno oni koje predvid¯a Landauova teorija zajedno sa Gauˇ je odstupanje od D = 4 ve´ce, ve´ca je i razlika izmed¯u taˇcnih sovskom aproksimacijom. Sto vrednosti kritiˇcnih eksponenata i onih koje predvid¯a Landauova teorija. Tehnike renorm-grupe omogu´cavaju da se korekcije u odnosu na Landauove vrednosti kritiˇcnih eksponenata raˇcunaju sistematski i sa znaˇcajnom preciznoˇs´cu kao perturbativni razvoj po parametru ε = 4 − D. Mi ´cemo u slede´cem odeljku videti kako glasi gausovska korekcija na kritiˇcni eksponent α. Iako kritiˇcni eksponenti koje predvid¯a Landauova teorija odstupaju od taˇcnih vrednosti, ovi eksponenti zajedno zadovoljavaju odred¯eni broj relacija za koje se zna da su egzaktne. To su tzv. nejednakosti izmed¯u kritiˇcnih eksponenata [Stanley, H. E. (1971)]. Na ovom mestu ´cemo navesti dve takve relacije: Raˇsbrukova nejednakost : Grifitsova nejednakost :

α′ + 2β + γ ′ ≥ 2 α′ + β(1 + δ) ≥ 2

(2.153)

gde α′ i γ ′ oznaˇcavaju vrednost kritiˇcnog indeksa koji opisuje ponaˇsanje sistema pri T ≥ TC . U Landauovoj teoriji je α′ = α i γ ′ = γ [Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010)]. Bitno je primetiti da za egzaktno reˇsenje Izingovog modela, kao i za vrednosti eksponenata u Landauovoj teoriji, gornje relacije vaˇze kao jednakosti. To ukazuje na odred¯enu unutraˇsnju konzistentnost Landauove teorije i ˇcini je pogodnom za perturbativne raˇcune zasnovane na teoriji renormgrupe.

2.2.10

Gausovska korekcija na kritiˇ cne eksponente

U prethodnom odeljku smo videli kako vrednosti kritiˇcnih eksponenata koje predvid¯a Landauova teorija stoje u pored¯enju sa danas prihva´cenim vrednostima. Kao ˇsto se vidi izvod¯enja prezentovanog u Odeljcima 2.2.7 i 2.2.8, Landauova teorija daje eksponente koji ne zavise od dimenzije prostora na kojem je definisan model. Med¯utim, ispostavlja se da gausovski model unosi popravku na kritiˇcni eksponent α tako da on postaje funkcija parametra D. Da bismo naˇsli eksponent α u gausovskoj aproksimaciji, krenu´cemo od aproksimativnog kvadratnog izraza za dejstvo SΛ [ϕ] kojeg smo naˇsli u u (2.115) Z 1 (2) (2.154) η(x)Aη(x) ≡ SΛ [ϕ0 ] + SΛ [η], SΛ [ϕ0 + η] = SΛ [ϕ0 ] + 2 x pri ˇcemu je SΛ [ϕ0 ] = V V(M0 ) homogeni deo dejstva pomo´cu kojeg smo odredili eksponente α, β, γ i δ u Odeljcima 2.2.7 i 2.2.6, a η je polje koje opisuje fluktuacije oko ravnoteˇzne konfiguracije ϕ0 = M0 . Budu´ci da vaˇzi Dϕ = Dη, statistiˇcku sumu moˇzemo napisati kao Z Z (2) 1 −F/T −F0 (T )/T −SΛ [ϕ0 ]−SΛ [η] −F0 (T )/T −SΛ [ϕ0 ] Z=e = Dη e =e Dη e− 2 (η,Aη) (2.155)

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

87

gde su razliˇciti konstantni doprinosi skupljeni u F0 (T ) a operator A je definisan u (2.116). Koriste´ci (2.124), nalazimo   F0 (T ) 1 1 −F/T −F0 (T )/T −SΛ [ϕ0 ] √ ∝ exp − e ∝e − SΛ [ϕ0 ] − Tr ln A (2.156) T 2 Det A pri ˇcemu smo iskoristili (2.138). Dakle, koriste´ci (2.142), nalazimo da je popravka na slobodnu energiju Izingovog modela koju unosi gausovska aprosimacija data sa Z   T T ln a ¯(T ) + ck2 . (2.157) δFG = Tr ln A = V 2 2 k Odgovaraju´ca promena toplotnog kapaciteta je data sa ∂ 2 FG ∂T 2 Z 2 Z   1 1 d¯ a(T ) T d¯ a(T ) = −T V + V . 2 dT ¯(T ) + ck 2 dT a(T ) + ck2 ]2 k a k [¯

CG = −T

(2.158)

Poˇsto je a ¯(T ) linearna funkcija temperature, jasno je da eventualna divergencija veliˇcine CG pri T = TC moˇze da dod¯e samo od integrala koji figuruˇsu u (2.158). Razmotrimo ih zbog toga paˇzljivije. Ocena integrala Posmatrajmo najpre integral Z 1 . ID = ¯(T ) + ck2 k a

(2.159)

Poˇsto u podintegralnoj funkciji figuriˇse k2 , integral ´cemo raˇcunati u sfernim koordinatama u RD . Integracija po uglovima daje faktor [Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)] ˜D = Ω

Dπ D/2
, Γ D2 + 1

ΩD :=

˜D Ω (2π)D

(2.160)

gde je Γ oznaka za gama funkciju, tako da ostaje Z Λ dkk D−1 ID = ΩD ¯(T ) + ck 2 0 a jer smo u dejstvu SΛ [ϕ] zadrˇzali samo fluktuacije za koje je |k| ≤ Λ. Uvode´ci smenu k prethodni integral se svodi na r   D−1 Z Λ√ c   D2   D2 −1 a ¯ dxxD−1 ΩD a ¯ a ¯ 2 1 ˜ = Ω I˜D (Λ), ID = a ¯ (T ) D a ¯ c c 1 + x2 c 0 p ˜ ≡ Λ c/¯ gde je Λ ai ˜ = I˜D (Λ)

Z 0

˜ Λ

dxxD−1 . 1 + x2

(2.161) p

c/¯ a = x,

(2.162)

(2.163)

88

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

U limesu kada T → TC i a ¯(T ) → 0, tako da treba da ispitamo ponaˇsanje gornjeg integrala za ˜ Kada je D = 1, vidimo da je jako veliko Λ. ˜ → ∞) = π . I˜1 (Λ 2

(2.164)

Takod¯e, kada je D = 2, dobijamo h i ˜ = 1 ln Λ ˜2 + 1 . I˜2 (Λ) 2

(2.165)

Za raˇcunanje integrala pri D > 2, uvedimo prvo smenu 1 + x2 = p. Tako dobijamo (setimo se da x uzima samo pozitivne vrednosti) ˜ =1 I˜D (Λ) 2

Z

˜ 2 +1 Λ

1

D−2 dp 1 (p − 1) 2 = p 2

Z

˜2 1+Λ

dp p 1

D −2 2

 D−2  1 2 1− p

(2.166)

Poˇsto p uzima vrednosti ve´ce od 1, izraz u zagradi moˇzemo napisati pomo´cu hipergeometrijske funkcije   D−2   X    n ∞ 1 2 2−D 1 1 2−D 1 = 2 F1 1− , 1; 1; = p 2 p n! 2 p n n=0

(2.167)

gde (...)n oznaˇcava Pohamerov simbol [Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)]. Zamenjuju´ci gornji red u integral, lako dobijamo ∞

X 1 ˜ =1 I˜D (Λ) 2 n=0 n!



2−D 2

 n

Λ˜ 2 +1 D p 2 −1−n . D − 1 − n 1 2

(2.168)

˜ vratimo se oceni ponaˇsanja integrala I. Poˇsto smo videli kako izgledaju reˇsenja za ID (Λ), Kada je D = 1, na osnovu (2.164) je  −1/2 I1 ∝ a ¯(T ) ∝ |T − TC |−1/2 . Sliˇcno, kada je D = 2, imamo     1 cΛ2 ∼ ln ∼ ln |T − TC |. I2 ∝ ln 1 + a ¯(T ) a ¯(T )

(2.169)

(2.170)

Dalje, divergentni doprinos pri T − TC za D > 2 moˇzemo na´ci posmatraju´ci prvih nekoliko D ˇclanova iz reda (2.168) zajedno sa faktorom (¯ a(T )) 2 −1 . Ako numeriˇcke koeficijente koji se ˜ 2 ∝ 1/¯ pojavljuju uz razliˇcite ˇclanove 1/p oznaˇcimo kao A, B, C..., znaju´ci da je Λ a(T ), nalazimo     D2 −1   D2 −1−0   D2 −1−1   D2 −1−2 2 2 ˜ ˜ ˜2 A Λ +B Λ +C Λ + ... ID ∝ a ¯(T ) ∝



 D2 −1 h i D D D A (¯ a(T ))− 2 +1 + B (¯ a(T ))− 2 +2 + C (¯ a(T ))− 2 +3 + . . . a ¯(T )

∼ A + B|T − TC | + C|T − TC |2 + · · ·

(2.171)

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

89

pa vidimo da divergentni doprinos od ID izostaje za D > 2. Sa druge strane, imamo i integral Z 1 . JD = a(T ) + ck2 ]2 k [¯ p a, nalazimo Prelaze´ci na sferne koordinate u RD i uvode´ci smenu x = k c/¯   D2   D2 −2 1 ˜ a ¯(T ) J˜D (Λ), JD = ΩD c c p ˜ ≡ Λ c/¯ a, dok je gde je ponovo Λ ˜ = J˜D (Λ)

Z 0

˜ Λ

(2.172)

(2.173)

dxxD−1 . [1 + x2 ]2

(2.174)

˜ → ∞) je konaˇcan za D = 1, 2, 3, Integral J˜D (Λ ˜ → ∞) = π , J˜1 (Λ 4

˜ → ∞) = 1 , J˜2 (Λ 2

˜ → ∞) = π , J˜3 (Λ 4

dok za D = 4 nalazimo  h i 1 1 2 ˜ = ˜ J˜D (Λ) −1 + + ln 1 + Λ . ˜2 2 1+Λ

(2.175)

(2.176)

Za raˇcunanje integrala pri D > 4 se ponovo moˇzemo posluˇziti hipergeometrijskom funkcijom. Tako nalazimo Λ˜ 2 +1   D ∞ 1X 1 2−D p 2 −2−n ˜ ˜ . (2.177) JD (Λ) = D 2 n=0 n! 2 n 2 −2−n 1 Na osnovu (2.175), (2.176) i (2.177) moˇzemo oceniti ponaˇsanje integrala JD pri T → TC . D Imaju´ci u vidu faktor [¯ a(T )] 2 −2 , vidimo da je 3

J1 ∼ |T − TC |− 2 ,

J2 ∼ |T − TC |−1 ,

1

J3 ∼ |T − TC |− 2 ,

(2.178)

kao i J4 ∼ ln |T − TC |.

(2.179)

Kada je D > 4, kao i kod razmatranja integrala ID za D > 2, dovoljno nam je da posmatramo prvih nekoliko ˇclanova iz (2.177). Tako dobijamo    D2 −2−1   D2 −2−2   D2 −2    D2 −2−0 2 2 2 ˜ ˜ ˜ JD ∝ a ¯(T ) A Λ +B Λ +C Λ + ... ∝



 D2 −2 h i D D D a ¯(T ) A (¯ a(T ))− 2 +2−0 + B (¯ a(T ))− 2 +2+1 + C (¯ a(T ))− 2 +2+2 + . . .

∼ A + B|T − TC | + C|T − TC |2 + . . . , pa vidimo da divergentni doprinos od JD izostaje za D > 4.

(2.180)

90

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

Kritiˇ cni eksponent α Nakon analize integrala, moˇzemo se vratiti prvobitnom zadatku nalaˇzenje kritiˇcnog eksponenta α. Poˇsto smo naˇsli da je 3

1

J1 ∼ |T − TC |− 2 ,

I1 ∼ |T − TC |− 2 ,

(2.181)

na osnovu (2.158) dobijamo 3

CG ∼ |T − TC |− 2 ,

za D = 1.

(2.182)

Sliˇcno, kako je I2 ∼ ln |T − TC |,

J2 ∼ |T − TC |−1

(2.183)

nalazimo CG ∼ |T − TC |−1 ,

za D = 2.

(2.184)

Divergentni doprinos od ID izostaje za D > 2, pa tako nalazimo CG ∼ JD . Konkretno 1

CG ∼ |T − TC |− 2

za D = 3,

(2.185)

CG ∼ ln |T − TC |,

za D = 4

(2.186)

kao i

dok divergencija u potpunosti nestaje za D > 4. Sumiraju´ci prethodne rezultate, moˇzemo napisati da je u okviru gausovske aproksimacije  D ≥ 4, 0, α= (2.187) 2 − D , D < 4 . 2 Dakle, kada je D ≥ 4, divergencija toplotnog kapaciteta izostaje – fluktuacije koje unosi gausovski model nisu znaˇcajne i Landauova pretpostavka o postojanju dominantne (ravnoteˇzne) konfiguracije ϕ0 = M0 je opravdana. Sa druge strane, vidimo da to ne vaˇzi za D = 1, 2 i 3. U tom kontekstu se graniˇcni sluˇcaj D = 4 oznaˇcava kao kritiˇcna dimenzija. Sa druge strane, gausovska aproksimacija ne unosi korekcije na ostale kritiˇcne eksponente, ˇsto je lako proveriti. Recimo, koriste´ci ⟨ϕ⟩ = M0 +⟨η⟩, kao i funkcional Z[B] definisan u (2.120), ˇciji je eksplicitni oblik dat u (2.124), nalazimo 1 δ 1 1 (B,A−1 B) δ −1 2 ⟨η(z)⟩ = Z[B] ∝ e (B, A B) Z[B] δB(z) Z[B] δB(z) B=0 B=0 Z δ = A−1 (x, y)B(x)B(y) δB(z) x,y B=0 Z = 2 A−1 (x, z)B(x) =0 (2.188) x

B=0

tako da je ⟨ϕ⟩ = M0 u okvirima gausovskog modela.

2.2. LANDAUOV FUNKCIONAL ZA IZINGOV MODEL

91

Da bismo pokazali da gausovska aproksimacija ne menja ni vrednost indeksa δ, potebno je da nad¯emo ⟨ϕ⟩ pri h ̸= 0 za ˇsta moramo imati gausovsku aproksimaciju dejstva u prisustvu homogenog spoljaˇsnjeg polja h. Za poˇcetak, priseti´cemo se da se ravnoteˇzna konfiguracija M (h, T ) u prisustvu spoljaˇsnjeg polja h dobija reˇsavanjem jednaˇcine (2.93). Specijalno, kada je T = TC , ta jednaˇcina glasi 3!b M 3 (h) − h = 0, odakle je M (h) = (h3!/b)1/3 . Poˇsto je gausovska aproksimacija Landauovog dejstva odred¯ena sa (2.110), za sluˇcaj h ̸= 0 i T = TC , dobijamo Z 1 ˜ η(x)Aη(x) (2.189) SΛ [M (h) + η] = SΛ [M (h)] + 2 x pri ˇcemu je 2 ˜ = M (h)b − c∇2 . A 2

(2.190)

Srednja vrednost fluktuiraju´ceg polja η u prisustvu polja h, u okvirima gausovske aproksimacije, data je sa   Z 1 ˜  −1 η, Aη = 0 ⟨η⟩h = Z (2.191) Dη(x)η(y) exp −SΛ [M (h)] − 2 jer je Z

˜ ) −SΛ [M (h)]− 12 (η,Aη

Dη(x)η(y)e

δ = δB(y)

Z



˜ )+(B,η) −SΛ [M (h)]− 21 (η,Aη

Dη(x)e

= 0 (2.192) B=0

kao i u sluˇcaju integrala iz (2.188) [videti i analogni konaˇcnodimenzioni integral (C.45)]. Prema tome, ⟨ϕ⟩h = M (h) + ⟨η⟩h = M (h) ∝ h1/3 , pa vidimo da gausovska aproksimacija zaista ne menja ni indeks δ. Iz ovih razmatranja direktno sledi i ∂M (h, T ) ∂⟨ϕ⟩h = ∝ |T − TC |−1 , (2.193) χ= ∂h h=0 ∂h h=0 tako da je u okvirima gausovske aproksimacije i dalje γ = 1. Obratiti paˇznju da je, koriste´ci (2.190), mogu´ce na´ci i gausovsku popravku na slobodnu energiju za sistem u spoljaˇsnjem polju h kao "  # 2/3 Z TC T V b h3! C 2 ˜= δFG = Tr ln A ln + ck . (2.194) 2 2 2 b k Med¯utim, polje h ne ulazi linearno u (2.189) i zbog toga se popravka na magnetizaciju u gausovskoj aproksimaciji ne moˇze raˇcunati pomo´cu ∂(δFG )/∂h. Sumiraju´ci, moˇzemo re´ci da uraˇcunavanje fluktuacija u okvirima gausovske aproksimacije menja samo vrednost kritiˇcnog eksponenta α [Ma, S.K. (2018); Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010)]. Takod¯e, rezultat (2.187) jasno ukazuje na posebnu vaˇznost ˇcetvorodimenzionih (D = 4) modela koji predstavljaju graniˇcni sluˇcaj koji razdvaja sisteme na koje je primenjiva Landauova aproksimacija (D ≥ 4) od onih kod kojih su fluktuacije previˇse znaˇcajne da bi se mogle zanemariti ili opisati gausovskom aprksimacijom. Kao ˇsto je ve´c napominjano, metodi renorm grupe su razvijeni tako da se efekti fluktuacija u sluˇcaju zingovog modela sistematski uraˇcunavaju polaze´ci od rezultata za ˇcetvorodimenzione sisteme [Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010); Wilson & Kogut (1974)].

92

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

2.2.11

Korelacione funkcije viˇ seg reda

U Odeljku 2.2.8 smo videli jedan naˇcin da se probliˇzno uraˇcuna uticaj faktora bϕ4 (x)/4!. Oˇcekivano, nalaˇzenje efektivnog dejstva u gausovskoj aproksimaciji nije jedini pristup i ˇcesto se koristi razvoj eksponencijalne funkcije ˇcime se formalno dolazi do izraza u kojem se slobodna energija ili korelaciona funkcija razvijaju u stepeni red po faktorima b. Od kljuˇcnog znaˇcaja u ovom prilazu je Vikova teorema koja je diskutovana i Dodatku C.4. Kao primer, pronad¯imo prvu popravku na slobodnu energiju F = −T ln Z, gde je  Z Z  b 4 a 2 c 2 −SΛ [ϕ] (2.195) ϕ − ϕ∇ ϕ + ϕ . Z = Dϕ(z)e , SΛ [ϕ] = 2 2 4! z (0)

U dejstvu SΛ [ϕ] ´cemo izdvojiti kvadratni deo i oznaˇci´cemo ga sa SΛ [ϕ] dok ´cemo ostatak, proporcionalan sa b oznaˇciti sa SΛint [ϕ]. Sada particionu fuknkciju moˇzemo razviti u red po koeficijentu b. Ako se zadrˇzimo na linearnoj aproksimaciji, imamo Z Z   (0) (0) int [ϕ] −SΛ [ϕ]−SΛ −SΛ [ϕ] int Z = Dϕ(z)e ≈ Dϕ(z)e 1 − SΛ [ϕ]   Z b ϕ4 (z) + O(b2 ) (2.196) = Z0 − Z0 4! z 0 gde ⟨. . . ⟩0 oznaˇcava srednju vrednost izraˇcunatu pomo´cu  1Z 1 (0) SΛ [ϕ] = ϕ, Aϕ = ϕ(x)Aϕ(x), A = a − c∇2 , 2 2 x

(2.197)

a Z0 je odgovaraju´ca statistiˇcka suma. Iz gornje relacije nalazimo slobodnu energiju izraˇcunatu do ˇclanova linearnih po b F = F0 + δF,

(2.198)

pri ˇcemu je b δF = −T 4!

Z z



ϕ4 (z)

 0

.

(2.199)

izraˇzeno pomo´cu korelacione funkcije ˇcetvrtog reda. Srednja vrednost koja figuriˇse u gornjoj jednaˇcini se moˇze izraˇcunati pomo´cu Vikove teoreme. Po uzoru na Primer C.2, vidimo da se dobijaju tri ˇclana koja imaju istu vrednost (formalno, sva ˇcetiri indeksa iz Primera C.2 uzimaju istu vrednost jer odgovaraju jednoj integracionoj promenjivoj z). Dakle, Z hD E i2 b δF = −3T ϕ(z)ϕ(z) . (2.200) 4! z 0 Preostala srednja vrednost je Z Z D E 1 1 − 12 (ϕ,Aϕ) −1 ϕ(z)ϕ(z) = Dϕ(x)ϕ(z)ϕ(z)e = A (z, z) = 2 Z0 0 k a + ck

(2.201)

pri ˇcemu smo iskoristili (2.134) i kontinualni analogon relacije (C.62). Dakle, prva popravka na slobodnu energiju je data sa Z 2 b 1 δF = −3T V (2.202) 4! k a + ck2

2.3. O(N ) MODEL

93

R pri ˇcemu faktor V dolazi od integracije z . Iako je popravka eksplicitno izraˇcunata, dobijeni rezultat je porblematiˇcan jer preostali integral divergira pri |k| → ∞ [Videti (2.144)]. Razlog divergencije leˇzi u ˇcinjenici da smo pretpostavili da je limes kontinuuma korektan i pri Λ−1 → 0 [Videti Odeljak 2.2.4]. Zbog toga se popravke na slobodnu energiju moraju raˇcunati paˇzljivo i u tu svrhu su razvijene razliˇcite tehnike regularizacije i renormalizacije12 [Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010); Weinberg, S. (2010); Zinn-Justin, J. (2007); Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995); Ryder, L.H. (1996); Negle, J.W., Orland, H. (1998); Zee, A. (2010)].

2.3

O(N ) model

U prethodnim odeljcima smo videli kako se Ginzburg-Landau-Vilsonovo dejstvo dobija u granici kontinuuma modela koji poseduje unutraˇsnju Z2 simetriju (tzv. Izingov model). Direktnom generalizacijom Z2 simetrije na O(N ), dolazimo do L=

b a(T ) 2 c |ϕ| + |∇ϕ|2 + |ϕ|4 − h · ϕ. 2 2 4!

(2.203)

Ovde je ϕ : Rm → RN a polje h je usmereno duˇz pravca vektora eh = h/|h|, a(T ) ∝ T −TC , dok je b pozitivna konstanta. Lagranˇzijan (2.203) je mogu´ce dobiti i analiziraju´ci limes kontinuuma N −vektorskog modela na reˇsetki. Kao i u sluˇcaju Z2 modela, ravnoteˇznu konfiguraciju dobijamo minimiziranjem potencijalnog dela lagranˇzijana, V(ϕ) = (a(T )/2)|ϕ|2 + (b/4!)|ϕ|4 − ϕ · h. Ako sa M0 oznaˇcimo traˇzenu ravnoteˇznu konfiguraciju, vidimo da je ona odred¯ena sa a(T )M0 +

b |M0 |2 M0 = h. 3!

(2.204)

Kada je T > TC , ˇsto odgovara neured¯enoj fazi, jedinstveno reˇsenje u odsustvu spoljaˇsnjeg polja je M0 = 0. Med¯utim, za T < TC i h = 0, nalazimo da je moduo ravnoteˇzne konfiguracije odred¯en sa r 3!a(T ) , (2.205) |M0 | = − b dok orijentacija vektora M0 ostaje proizvoljna. Spontano naruˇsenje simetrije se u ovom sluˇcaju ogleda u izboru jedne od beskonaˇcno mogu´cih orijentacija vektora M0 [Videti Odeljak 2.4 za specijalni sluˇcaj U(1) ≃ O(2) simetrije]. Neka je, radi jednostavnosti, M0 = |M0 |eN . Grupa simetrije O(N ) ima N (N − 1)/2 generatora koji definiˇsu rotacije u odgovaraju´cim ravnima. Sa druge strane, postoji podskup od (N − 1)(N − 2)/2 generatora koji anihiliraju vektor M0 = |M0 |eN jer odred¯uju rotacije u ravnima koje nisu definisane pomo´cu ose eN . Skup ovih generatora saˇcinjava algebru o(N − 1) a odgovaraju´ca grupa simetrije koja ostavlja vektor M0 = |M0 |eN invarijantnim je O(N − 1). Dakle, odgovaraju´ci obrazac naruˇsenja simetrije je O(N ) → O(N − 1). 12

Divergencije prouzrokovane ponaˇsanjem integrala pri k → ∞ se nazivaju ultraljubiˇcaste (UV) divergencije.

94

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

Primer 2.6. Pogledajmo konkretan primer za naruˇsenje simetrije tipa O(4) → O(3). Lagranˇzijan je oblika (2.203) a ϕ(x) ∈ R4 . Neka je osnovno stanje dato sa M0 = [0 0 0 v]T . Grupa O(4) ima 6 generatora i oni se mogu izabrati tako da budu reprezentovani matricama       0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0  0     0 1 0   , X2 =  0 0 0 0  , X3 =  −1 0 0 0  , X1 =   0 −1 0 0   −1 0 0 0   0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0       0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0     0 0   , X5 =  0 0 0 −1  , X6 =  0 0 0 0  .(2.206) X4 =   0 0     0 1 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 Lako je videti da vaˇzi X1 M0 = X2 M0 = X3 M0 = 0 ∈ R4 , tako da su X1 , X2 i X3 generatori grupe koja ne menja osnovno stanje M0 . Poˇsto je [X1 , X2 ] = X3 , [X1 , X3 ] = −X2 i [X2 , X3 ] = X1 , vidimo da {X1 , X2 , X3 } generiˇsu o(3) i grupa koja ne menja vektor M0 je O(3). Preostala tri generatora menjaju vektor M0 i oni saˇcinjavaju bazis prostora o(4)/o(3) ∼ ■ = o(3). Skoncentriˇsimo se sada na neke termodinamiˇcke karakteristike ovog modela. Iz (2.205) direktno nalazimo β = 1/2, dok jednaˇcina (2.204), za T = TC , daje δ = 3. Takod¯e, ponavljaju´ci postupak za analizu specifiˇcne toplote u okviru Landauove aproksimacije, nalazimo α = 0 [Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995)]. Slede´ca interesantna veliˇcina je susceptibilnost. Budu´ci da je parametar ured¯enosti vektor, susceptibilnost se, ˇcak i u sluˇcaju izotropnog sistema, mora definisati kao tenzorska veliˇcina. Komponente tenzora susceptibilnosti su χlm = ∂Ml /∂hm . Pogodno je razloˇziti ih prema [Hohenberg, P. C., Krekhov, A. P. (2015)] h i χlm = χ∥ (eh )l (eh )m + χ⊥ δlm − (eh )l (eh )m (2.207) tako da χ∥ opisuje odziv sistema u pravcu polja h (tzv. longitudinalna komponenta) a χ⊥ duˇz pravaca koji su ortogonalni na pravac vektora h (tzv. transferzalna komponenta). Ukoliko izberemo koordinatni sistem tako da je h = |h|eN , susceptibilnost je reprezentovana matricom     χ=  

χ⊥ 0 0 χ⊥ .. .. . . 0 ... 0 ...

... ... .. . χ⊥ 0

0 0 .. .



   .  0  χ∥

(2.208)

Takod¯e, definisa´cemo i matriˇcne elemente odgovaraju´ceg inverznog tenzora χ−1 lm = ∂hl /∂Mm sa h i −1 −1 −1 (2.209) χlm = χ∥ (eh )l (eh )m + χ⊥ δlm − (eh )l (eh )m . Pretpostavimo sada da je T < TC . Poˇsto je h = |h|eN , na osnovu (2.204) nalazimo b 2 χ−1 ∥ = a(T ) + |M0 | = −2a(T ), 2

χ−1 ⊥ = 0,

T < TC ,

(2.210)

2.3. O(N ) MODEL

95

gde smo iskoristili (2.205). Sliˇcno, za T > TC , imamo −1 χ−1 ∥ = χ⊥ = a(T ),

T > TC .

(2.211)

Na osnovu ovih rezultata, vidimo da χ∥ ∼ |T − TC |−1 , dok χ⊥ divergira u celoj ured¯enoj fazi i χ⊥ ∼ |T − TC |−1 pri T > TC . Razlika izmed¯u longidutinalne i transferzalne komponente susceptibilnosti se oslikava i u ponaˇsanju korelacione duˇzine. Kako bismo naˇsli korelacionu duˇzinu za O(N ) model, postupi´cemo kao i u Odeljku 2.2.8. Gausovska aproksimacija za dejstvo O(N ) je data sa Z δ 2 SΛ 1 ηl (x)ηm (y) + O(η 3 ). (2.212) SΛ [M0 + η] = SΛ [M0 ] + 2 x,y δϕl (x)δm ϕ(y) M0 gde vektorsko polje η opisuje odstupanja od ravnoteˇzne konfiguracije M0 . Analizu ´cemo ograniˇciti na ured¯enu fazu (jer smo tu uoˇcili razliku izmed¯u χ∥ i χ⊥ ) i pretpostavi´cemo da je M0 = |M0 |eN . Poˇsto je   b b δ 2 SΛ 2 = δlm a(T ) + |ϕ| δ(x − y) + ϕl (x)ϕm (z)δ(x − y) δϕl (x)δm ϕ(y) 3! 3 2 − cδlm ∇y δ(x − y), (2.213) imamo    δ 2 SΛ b b 2 2 = δ(x − y) a(T ) + |M0 | δlm + |M0 | δlN δmN δϕl (x)δm ϕ(y) M0 6 3 − cδlm ∇2y δ(x − y). Ukoliko polje η parametrizujemo kao [η⊥ η|| ]T , gde η⊥ ∈ RN −1 , gausovsko dejstvo za O(N ) model u ured¯enoj fazi glasi Z Z 1 1 (⊥) η⊥ (x) · A η⊥ (x) + η∥ (x)A(∥) η∥ (x) (2.214) SΛ [M0 + η] ≈ SΛ [M0 ] + 2 x 2 x gde su (⊥)

A

2

= −c∇ ,

(∥)

A

 =c

 −2a(T ) 2 −∇ . c

(2.215)

Kako sada na raspolaganju imamo kvadratno dejstvo, lako nalazimo traˇzne korelacione funkcije [Videti (2.136)] h i−1 G∥ (x, y) = ⟨(ϕN (x) − |M0 |)(ϕN (y) − |M0 |)⟩ = ⟨η∥ (x)η∥ (y)⟩ = A(∥) (x, y) =

1 e−|x−y|/ξ∥ , 4πc |x − y|

pri ˇcemu je korelaciona duˇzina data sa s r c 3c = ∼ |T − TC |−1/2 , ξ∥ (T ) = −2a(T ) b|M0 |2

(2.216)

T < TC ,

(2.217)

96

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

ˇsto se slaˇze sa (2.145). Sa druge srtane, za transferzalne komponente nalazimo h i−1 G⊥ (x, y) = ⟨η⊥ (x)η⊥ (y)⟩ = A(⊥) (x, y) =

1 1 , 4πc |x − y|

ξ⊥ (T ) → ∞,

pri T < TC ,

(2.218)

gde smo sa η⊥ oznaˇcili jednu od komponenti vektora η⊥ . Srednje vrednosti u (2.216) i (2.218) su raˇcunate pomo´cu dejstva (2.214). Dakle, sliˇcno kao χ⊥ i korelaciona duˇzina koja odgovara transferzalnim komponentama divergira u celoj ured¯enoj fazi. Ova pojava je samo joˇs jedna manifestacija Goldstonove teoreme. Naime, broj transferzalnih komponenti je N − 1 ˇsto odgovara N − 1 Goldstonovom polju za naruˇsenje simetrije po obrascu O(N ) → O(N − 1) [Videti Prilog D]. Takod¯e, iz (2.214) i (2.215) vidimo da dejstvo za η⊥ ne sadrˇzi ”maseni” ˇclan η⊥ · η⊥ , u skladu sa analizom iz Odeljka 1.3.4 koja se moˇze ponoviti i u ovom sluˇcaju, dok se doprinos tog tipa pojavljuje u lagranˇzijanau za η∥ . Konaˇcno, vidimo da postoji korespodencija m ↔ ξ −1 koja upotpunjuje analogiju izmed¯u Landauove teorije faznih prelaza (odnosno, ravnoteˇzne statistiˇcke fizike) i klasiˇcne teorije polja [Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995)].

2.4

Ginzburg-Landauova teorija superprovodnosti

U odeljku 2.2 smo videli kako se, u okviru Landauove teorije, Izingov model opisuje pomo´cu GLW dejstva dok je u 2.3 pokazano kako se Z2 simetrija Izingovog modela generalizuje na O(N ) simetriju. U ovom odeljku ´cemo videti kako se Landauova ideja o spontanom naruˇsenju simetrije moˇze inkorporirati u opis sistema sa lokalnom simetrijom daju´ci tako efektivni opis fenomena vezanih za superprovodnost.

2.4.1

Obrazac naruˇ senja simetrije

Na osnovu Primera 1.14 znamo da se sistemi koji sadrˇze naelektrisane ˇcestice opisuju kompleksnim poljem ψ(x, t) i to tako da je zakon odrˇzanja naelektrisanja posledica globalne U(1) simetrije dejstva. U efektivnom opisu konvencionalne superprovodnosti se pretpostavlja da je pri T < TC ova globalna simetrija spontano naruˇsena postojanjem vakuumskog reˇsenja za polja koja nose naelektrisanje q ∗ = 2e, gde je e naelektrisanje elektrona, q ∗ tzv. efektivno naelektrisanje a TC temperatura na kojoj sistem prelazi iz normalne u superprovodnu fazu. Drugim reˇcima, pretpostavi´cemo da postoje prostorno-vremenski nezavisna reˇsenja klasiˇcnih jednaˇcina kretanja koja su med¯usobno povezana U(1) transformacijama ali tako da postoji neki manji skup operacija koji ne menja ovakva stanja [Videti Odeljak 1.3.4 posve´cen spontanom naruˇsenju simetrije u klasiˇcnim teorijama]. Polja koja u superprovodnicima nose naelektrisanja 2e su poznata kao Kuperovi parovi. Mehanizam koji dovodi do njihovog formiranja je posledica elektron-fonon interakcije i detaljno je objaˇsnjen mikroskopskom BCS teorijom [Altland, A., Simons, B. (2010)]. ∗ Oznaˇcimo dejstvo U(1) transformacije na kompleksno polje sa ψ → e−iq Λ ψ. Za sada ´cemo zanemariti ˇcinjenicu da u sluˇcaju lokalne simetrije Λ mora biti funkcija prostorno-vremenskih koordinata i skoncentrisa´cemo se samo na obrazac naruˇsenja simetrije. Sama ˇcinjenica da je q ∗ celobrojni umnoˇzak od e ograniˇcava mogu´ce vrednosti za Λ tako da se vrednost Λ + 2π/e

2.4. GINZBURG-LANDAUOVA TEORIJA SUPERPROVODNOSTI

97

mora identifikovati sa Λ. Zaista, ako je q ∗ = en, gde je n ceo broj, nalazimo 2π ∗ ∗ ∗ e−iq (Λ+ e ) = e−iq Λ e−i2πn = e−iq Λ

(2.219)

odakle se jasno vidi da Λ parametriˇse kruˇznicu. Odnosno, Λ+

2π ∼ = Λ. e

(2.220)

Dalje, pretpostavi´cemo da pri T < TC postoji prostorno-vremenski nezavisno reˇsenje ψ0 (parametar ured¯enosti), pri ˇcemu polje ψ nosi naelektrisanje q ∗ = 2e, tako da je |ψ0 | = v ̸= 0. ∗ ∗ Ovo reˇsenje je invarijantno u odnosu na Z2 transformacije koje opisane sa eiq 0 i eiq π/e . Da ove transformacije zaista reprezentuju grupu Z2 , moˇzemo da se uverimo na osnovu relacija ∗

∗

∗

∗

∗

∗

e−iq 0 e−iq 0 = e−iq 0 , e−iq 0 e−iq π/e = e−iq π/e , ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ e−iq π/e e−iq π/e = e−i2q π/e = e−iq (0+2π/e) = e−iq 0 ,

(2.221)

pri ˇcemu smo iskoristili (2.220). Dakle, pretpostavka po kojoj postoji kompleksno polje koje nosi naelektrisanje q ∗ tako da vakuumsko reˇsenje ψ0 naruˇsava simetriju, daje G = U(1) i ∗ H = Z2 . Pri tome, grupa G deluje na vakuumsko stanje ψ0 kao ψ0 → e−iq Λ ψ0 a stanje ψ0 je invarijantno u odnosu na transformacije13 generisane sa Λ = 0 i Λ = π/e [Weinberg, S. (2010)]. Potencijalni deo gustine lagranˇzijana koji moˇze da opiˇse obrazac naruˇsenja simetrije U(1) → Z2 mora biti invarijantan u odnosu na U(1) transformacije [videti Odeljak 1.3.4] i dobija se direktnom generalizacijom GLW potencijala za Izingov model (2.87) b V(ψ) = a(T )|ψ|2 + |ψ|4 , 2

gde je a(T ) ∝ T − TC .

(2.222)

Ovaj potencijal je prikazan na Sl. 2.11. Osnovno stanje ψ0 nalazimo minimiziranjem potencijala V(ψ), odnosno reˇsavanjem jednaˇcine a(T )ψ0∗ + b|ψ0 |2 ψ0∗ = 0.

(2.223)

Za a(T ) > 0, nalazimo jedno reˇsenje ψ0∗ = ψ0 = 0 koje odgovara visokotemperaturskoj (neured¯enoj) fazi. Sa druge strane, pri a(T ) < 0, nalazimo uslov |ψ0 |2 = −a(T )/b koji fiksira samo moduo kompleksnog broja ψ0 . Dakle, pri T < TC , nalazimo kontinuum reˇsenja koja su med¯usobno ekvivalentna jer minimiziraju V(ψ) a med¯usobno su povezana U(1) transfor∗ macijama: ako su ψ1 i ψ2 dva takva reˇsenja, veza izmed¯u njih je ψ2 = e−iq Λ ψ1 [Uporediti sa analizom iz 2.2.6].

Ukupni lagranˇzijan, koji ´cemo iskoristiti da opiˇsemo neke fenomene vezane za konvencionalnu superprovodnost, dobijamo sabiranjem U(1) lagranˇzijana (1.207) i potencijala (2.222)  2 1  2 1  2   1  ∂t A + gradV − rotA LSC = iψ ∗ ∂t − iq ∗ V ψ − ∇ + iq ∗ A ψ + 2m 2 2 + V(ψ). (2.224) 13 iq ∗ π/e

e

ψ = e2πi ψ = ψ, dok je dejstvo za Λ = 0 trivijalno.

98

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

b)

Slika 2.11: Potencijalni deo lagranˇzijana (2.222) za a) T < TC i b) T > TC . Stanja ψ1 i ψ2 su ∗ ekvivalentna osnovna stanja povezana U(1) transformacijom ψ2 = e−iq Λ ψ1 Treba obratiti paˇznju da lagranˇzijan (2.224) poseduje kalibracionu U(1) simetriju: ∗

ψ(x) → e−iq Λ(x) ψ(x), A(x) → A(x) + ∇Λ(x), V (x) → V (x) − ∂t Λ(x),

(2.225)

ali da je za fenomen superprovodnosti kljuˇcno naruˇsenje globalne simetrije po obrascu U(1) → Z2 .

2.4.2

Parametrizacija i Goldstonovo polje

Postoji viˇse naˇcina da se parametrizuje kompleksno polje ψ (jedan od njih je naveden u (1.32)). Ispostavlja se da je za dalja razmatranja pogodno zapisati polje ψ kao ψ(x) = ρ(x)eiq

∗ ϕ(x)

(2.226)

tako da se, u odnosu na U(1) dejstvo, veliˇcina ϕ transformiˇse kao ϕ → ϕ − Λ,

(2.227)

dok se ρ(x) ne menja. Med¯utim, ukoliko dolazi do spontanog naruˇsenja globalne simetrije, konfiguracije ψ su invarijantne u odnosu na Z2 transformacije i mora se izvrˇsiti identifikacija π (2.228) ϕ+ ∼ = ϕ. e Polje ϕ tada parametrizuje prostor U(1)/Z2 i predstavlja (jedno realno) Goldstonovo polje koje odgovara spontanom naruˇsenju globalne simetrije po obrascu U(1) → Z2 [Videti Odeljak 1.3.4]. Znaˇcajne informacije o ponaˇsanju sistema opisanog lagranˇzijanom (2.224) moˇzemo dobiti analiziranjem spektra, odnosno strukture neinteraguju´ceg (kvadratnog) dela lagranˇzijana. Koriˇs´cenjem parametrizacije (2.226) nalazimo     ∗     ∗ ∗ ˙ ∇+iq ∗ A ψ = ∇ρ+iq ∗ ρ∇ϕ+iq ∗ ρA eiq ϕ , ∂t −iq ∗ V ψ = ρ+iq ˙ ρϕ−iq ∗ V ρ eiq ϕ (2.229)

2.4. GINZBURG-LANDAUOVA TEORIJA SUPERPROVODNOSTI

99

i lagranˇzijan (2.224) postaje    1  2 ∗ 2 2 2 ∗ 2 2 ∗ 2 2 2 ∗ ˙ ∗ |∇ρ| + (q ) ρ |∇ϕ| + 2(q ) ρ A · ∇ϕ + (q ) ρ |A| LSC = iρ ρ˙ + iq ρϕ − iq V ρ − 2m     2 2 1 1 ∂t A + gradV − rotA + V(ρ). (2.230) + 2 2 Pretpostavimo sad da je doˇslo do spontanog naruˇsenja globalne simetrije po obrazcu U(1) → Z2 , tako da je osnovno stanje polja ψ konfiguracija ψ0 . Ako se ograniˇcimo na konfiguracije koje opisuju sistem u blizini ψ0 , moˇzemo pisati ρ(x) = |ψ0 | + η(x) gde η(x) opisuje prostornovremenske varijacije modula polja ψ(x) u blizini ravnoteˇzne konfiguracije ψ0 . Takod¯e, u nastavku ´cemo uzeti V = 0 jer se ispostavlja da je od presudnog uticaja ponaˇsanje vektorskog potencijala14 [Beekman et al. (2019)]. Zamenom ρ(x) = |ψ0 | + η(x) u (2.230), nalazimo  1  ∗ 2 2 ∗ 2 2 ∗ 2 2 ∇η · ∇η + (q ) |ψ0 | ∇ϕ · ∇ϕ + 2(q ) |ψ0 | A · ∇ϕ + (q ) |ψ0 | A · A LSC = − 2m 2 1  2 1 d2 V 1 ∂t A − rotA + + η2 2 2 2 dψ 2 ψ=ψ0

+ ˇclanovi viˇseg reda.

(2.231)

Kao ˇsto se vidi iz (2.231), kvadratni lagranˇzijan sadrˇzi polja A, η i ϕ i to tako da polje η ulazi nezavisno dok su ϕ i A kuplovani kroz ˇclan ∇ϕ · A. U kvadratnom lagranˇzijanu se pojavljuje doprinos ∝ η 2 ˇsto znaˇci da disperzija za polje η sadrˇzi gep [Videti odeljak 1.1.3]. Takod¯e, lagranˇzijan sadrˇzi i neobiˇcan sabirak ∝ A · A. U Odeljku 1.3.3 smo zakljuˇcili da takav ˇclan nije kalibraciono invarijantan i da se iz tog razloga ne moˇze pojaviti u lagranˇzijanu za elektromagnetno polje. Ipak, lagranˇzijan (2.231), kao i (2.224) i (2.230), sadrˇzi dodatne stepene slobode koji se u odnosu na kalibracione transformacije menjaju na takav naˇcin da se kompenzije deo koji potiˇce od A · A. Konkretno, reˇc je o ˇclanovima sa ∇ϕ. Dakle, kalibraciona simetrija lagranˇzijana nije naruˇsena pojavom sabirka A · A i , kao ˇsto ´cemo videti, upravo je taj doprinos odgovoran za objaˇsnjenje Majsnerovog efekta. Ukoliko kvadratni lagranˇzijan ne bi sadrˇzao ˇclan A · ∇ϕ, mogli bismo odmah da zakljuˇcimo da vektorsko polje A poseduje gep u spektru. Takod¯e, ovaj ˇclan nam onemogu´cava i da sagledamo znaˇcaj polja ϕ. Jasniju sliku o fiziˇckim procesima koje opisuje kvadratni deo lagranˇzijana (2.231) moˇzemo dobiti prelaskom na nove stepene slobode. Naime, kao ˇsto smo utvrdili, lagranˇzijan (2.231) je kalibraciono invarijantan. Sporni ˇclan koji kupluje polja ϕ i A moˇzemo eliminisati pogodnim odabirom funkcije Λ(x). Konkretno, biraju´ci Λ(x) = ϕ(x)

(2.232)

i definisanjem ˜ A(x) = A(x) + ∇ϕ(x),

˙ V˜ = V − ϕ,

lagranˇzijan (2.230) postaje    1  2 ∗ 2 2 ˜ 2 ∗˜ |∇ρ| + (q ) ρ |A| LSC = iρ ρ˙ − iq V ρ − 2m   2 2 1 1 ˜ ˜ ˜ + ∂t A + gradV − rotA + V(ρ) 2 2 14

Detaljnija analiza koja uzima u obzir i skalarni potencijal, data je u [Greiter (2005)].

(2.233)

(2.234)

100

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

i kvadratni doprinos blizini osnovnog stanja, uz izbor V˜ = 0, iznosi 2 1 d2 V 1 M 2 ˜ ˜ 1  ˜ 2 1  (2) 2 ˜ , ∇η · ∇η + A · A + ∂ A rot A LSC = − η − − t 2m 2 dψ 2 ψ=ψ0 2 2 2

(2.235)

pri ˇcemu smo definisali M2 =

(q ∗ )2 |ψ0 |2 . m

(2.236)

Dakle, pogodnom kalibracionom transformacijom smo potpuno eliminisali polje ϕ. Iako smo videli da su ˇclanovi sa ∇ϕ omogu´cavali kalibracionu invarijantnost lagranˇzijana koji sadrˇzi A·A, ˜ kalibraciono invarijantno lagranˇzijan (2.235) i dalje poseduje lokalnu simetriju jer je polje A ˜ = A + ∇ϕ → A + ∇χ + ∇ϕ − ∇χ = A ˜ A

(2.237)

gde je χ nova (proizvoljna) kalibraciona funkcija. Prema tome, pretpostavka o spontanom naruˇsenju globalne U(1) simetrije u lagranˇzijanu koji poseduje kalibracionu U(1) simetriju nam ˜ pri ˇcemu je Goldstonovo omogu´cava da sistem opiˇsemo pomo´cu ”masivnog” vektorskog polja A ϕ polje eliminisano. Ovaj fenomen je poznat pod nazivom Anderson-Higsov mehanizam15 i kao vaˇzan se pojavljuje u velikom broju teorija [Weinberg, S. (2010)].

2.4.3

Majsnerov efekat i beskonaˇ cna provodnost

˜ ponaˇsanje magnetnog polja u unutraˇsnjosti superprovodniPoˇsto je B = rotA = rotA, ˜ i lagranˇzijana (2.235). Odgovaraju´ca Ojlerka moˇzemo opisati pomo´cu vektorskog polja A Lagranˇzeva jednaˇcina se nalazi sliˇcno kao u Primeru 1.5. Kako je (2)

∂LSC ˜ = −M 2 A, ˜ ∂A

(2)

∂LSC ˜ = ∂t A, ˜ ∂(∂t A)

(2.238)

dok je (2)

e i ∂j

h i h i ∂LSC ˜ ϵjim = ϵjmi ∂j rotA ˜ ei = rot rotA, ˜ = −ei ∂j rotA ˜ m m ∂(∂j Ai )

jednaˇcina kretanja glasi h i ˜ = 0. rot rot + ∂t2 + M 2 A

(2.239)

(2.240)

Jednaˇcinu kretanja za magnetno polje dobijamo uzimanjem rotora gornje relacije (uz koriˇs´cenje uslova divB = 0). Tako dolazimo do M 2 B + ∂t2 B − ∇2 B = 0. 15

(2.241)

U literaturi se Anderson-Higsov mehanizam ˇcesto opisuje kao fenomen u kojem ”kalibraciono polje dobija masu” [Ryder, L.H. (1996); Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995)]. Ipak, ova interpretacija nije sasvim korektna ˜ je kalibraciono invarijantno [Greiter (2005)]. jer, kao ˇsto se vidi iz (2.237), masivno polje A

2.4. GINZBURG-LANDAUOVA TEORIJA SUPERPROVODNOSTI

101

Uticaj prvog ˇclana u gornjoj jednaˇcini se najlakˇse vidi ako posmatramo vremenski nezavisno polje koje se prostire duˇz z pravca tako da je oblast prostora z ≥ 0 ispunjena superprovodnikom. Jednaˇcina (2.241) se tada svodi na dve jednaˇcine d2 Bi = M 2 Bi , dz 2

i = x, y,

(2.242)

ˇcija su reˇsenja Bi (z) ∝ exp [−z/λL ], gde je λL = M −1 tzv. Londonova duˇzina. Dakle, intenzitet magnetnog polja eksponencionalno opada u superprovodniku i ono efektvno moˇze da prodre ˜ dovodi samo do dubine reda λL . Prema tome, pojava ”masenog” ˇclana za vektorsko polje A do guˇsenja polja u superprovodniku ˇcime se objaˇsnjava Majsnerov efekat. Za diskusiju o provodnosti nam je potrebna ˇcetvrta Meksvelova jednaˇcina rotB = ∂t E + J i definicija provodnosti J = σE. Meksvelovu jednaˇcinu najlakˇse moˇzemo dobiti ako krenemo od jednaˇcine kretanja (2.240) koju smo dobili uz izbor V˜ = 0, ˇsto je ekvivalentno sa ∂t ϕ = V . ˜ = A + ∇ϕ, ˇclan ∂ 2 A ˜ moˇzemo zapisati kao Uzimaju´ci u obzir da je A t     2 ˜ (2.243) ∂t A = −∂t − ∂t A − ∂t ∇ϕ = −∂t − ∂t A − ∇V = −∂t E. Jednaˇcina (2.240) sada postaje   2 rotB = ∂t E − M A + ∇ϕ ,

(2.244)

odakle vidimo da je gustina struje u superprovodniku   2 J = −M A + ∇ϕ .

(2.245)

Pretpostavimo sada da postoji stabilan, vremenski nezavisan tok struje. Da bi ovo bilo mogu´ce, iz (2.245) vidimo da A i ϕ ne smeju zavisiti od vremena. Ali, tada je ∂t A + ∂t ∇ϕ = ∂t A + ∇V = −E = 0

(2.246)

i na osnovu definicije provodnosti J = σE vidimo da u ovom sluˇcaju mora vaˇziti σ → ∞ ˇsto odgovara nultoj otpornosti.

2.4.4

Kvantovanje magnetnog fluksa

Pretpostavimo da je superprovodnik savijen u obliku torusa [Videti Sl. 2.12] i neka je L zatvorena kontura koja prolazi duboko kroz unutraˇsnjost superprovodnika. Ukoliko je debljina superprovodnika mnogo ve´ca od Londonove duˇzine, u prostoru kroz koji prolazi kontura L ne´ce biti magnetnog polja. Takod¯e, u sluˇcaju vremenski nezavisnog toka superprovodne struje, ˇcetvrta Meksvelova jednaˇcina glasi rotB = J . Dakle, u sluˇcaju stacionarnog superprovodnog toka, duboko u unutraˇsnjosti superprovodnika ne teˇce struja [Weinberg, S. (2010)]. Poˇsto je u unutraˇsnjosti superprovodnika J = 0, na osnovu (2.245) vidimo da je u duboko u superprovodniku A = −gradϕ.

(2.247)

102

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

Slika 2.12: Superprovodnik savijen u torus. Odnosno, vektorski potencijal je u potpunosti odred¯en gradijentom polja ϕ. Fluks magnetnog polja kroz povrˇsinu S obuhva´cenu konturom L = ∂S je Z I Φ= B · ds = A · dr, (2.248) S

L

gde je dr element luka konture L. Ako sada iskoristimo vezu (2.247), vidimo da se magnetni fluks kroz S svodi na integral totalnog diferencijala od ϕ, I Φ= dϕ. (2.249) L

Iako na prvi pogled deluje da ovaj integral iˇsˇcezava, moramo imati na umu da pri postojanju naruˇsene simetrije polje ϕ zadovoljava uslov (2.228). To znaˇci da se prilikom obilaska konture, u opˇstem sluˇcaju, vrednost polja ϕ moˇze promeniti za celobrojni umnoˇzak od π/e. Dakle [Burgess (2020)], I π (2.250) Φ= dϕ = N Φ0 , Φ0 = e L gde je N ceo broj. Veliˇcina Φ0 predstavlja najmanju mogu´cu vrednost tj. kvant magnetnog fluksa. Izraˇzena u SI jeninicama, ova veliˇcina glasi Φ0 =

2π πcℏ hc ℏc = = . ∗ q e 2e

(2.251)

Sliˇcni rezultati za kvantovanje fluksa se mogu dobiti i kada su geometrijski odnosi magnetnog polja i superprovodnika drugaˇciji [L´evy, L. P. (2000)]. U ovom odeljku smo ukratko opisali dva fenomena koji prate primenu magnetnog polja na materijal koji se nalazi u superprovodnom stanju. Situacija je, naravno, malo sloˇzenija jer ne reaguju svi superprovodnici podjednako na spoljaˇsnje magnetno polje. Materijali kod kojih se javlja potpuni Majsnerov efekat se nazivaju superprovodnicima I tipa i kod njih se superprovodno stanje zadrˇzava sve dok magnetno polje ne dostigne neku kritiˇcnu vrednost. Med¯utim, postoje i materijali (tzv. superprovodnici II tipa) kod kojih magnetno polje delimiˇcno

ˇ ˇ 2.5. SPONTANO NARUSENJE SIMETRIJE U KLASICNIM TEORIJAMA

103

prodire u unutraˇsnost (prodiranje magnetnog polja u unutraˇsnjost superprovodnika II tipa je mogu´ce samo unutar odred¯enog intervala intenzitta magnetnog polja). To se dogad¯a kroz posebne konfiguracije polja ψ nazvane vorteksima [Greiter (2005); L´evy, L. P. (2000)]. Vorteksi u superprovodniku formiraju pravilnu reˇsetku (tzv. reˇsetka Abrikosova) prilikom ˇcega dolazi do kvantovanja magnetnog fluksa. Vorteksi, kao reˇsenja jednaˇcina kretanja za polja postoje kod oba tipa superprovodnika, ali su samo kod superprovodnika tipa II ova reˇsenja energetski povoljna [Weinberg, S. (2010)].

2.5

Spontano naruˇ senje simetrije u klasiˇ cnim teorijama

2.5.1

Mermin-Vagnerova teorema

Za kraj ovog poglavlja smo ostavili diskusiju o spontanom naruˇsenju simetrije u klasiˇcnim teorijama. U Odeljku 1.3.4 posve´cenom Goldstonovoj teoremi smo iz pretpostavke o spontanom naruˇsenju simetrije dobili rezultate koji se tiˇcu disperzije reˇsenja klasiˇcnih jednaˇcina polja u linearnoj aproksimaciji. Ipak, pitanje opravdanosti ove pretpostavke je odloˇzeno za kasnije jer ga je nemogu´ce diskutovati samo u okvirima klasiˇcne teorije polja. Naime, u sluˇcaju sistema sa kontinualnom simetrijom postoji beskonaˇcno mnogo osnovnih stanja koja su med¯usobno ekvivalentna (u smislu da je vrednost dejstva izraˇcunata za svako od njih jednaka). Pitanje mogu´cnosti odabira jednog od tih reˇsenja oˇcigledno mora uzeti u obzir postojanje svih a to zahteva odred¯en vid statistiˇcke analize. Ukratko, Mermin-Vagnerova teorema tvrdi da ne moˇze do´ci do spontanog naruˇsenja kontinualne simetrije na T ̸= 0 u jednodimenzionim i dvodimenzionim sistemima sa kratkodometnom interakcijom [Altland, A., Simons, B. (2010); Zinn-Justin, J. (2007); Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995); Zee, A. (2010); Tsvelik (2003)]. Radi jednostavnosti, analizu ´cemo ograniˇciti na O(N ) model. Takod¯e, poˇsto ˇzelimo da posebno naglasimo razliku izmed¯u sistema na T = 0 i T ̸= 0, u ovom odeljku ´cemo skalirati koeficijente u dejstvu tako da je particiona funkcija data sa Z 1 (2.252) Z = Dϕ(x)e− T SΛ [ϕ] , ˇsto znaˇci da smo uzeli a → a/T i c → c/T [Videti (2.63) i (2.65)]. Dakle, polazimo od O(N ) invarijantnog lagranˇzijana (2.203) i parametrizova´cemo polje ϕ(x) sa [η⊥ (x) η∥ (x)]T . Dalje, pretpostavi´cemo da je osnovno stanje M0 = |M0 |eN = const. kao i da su odstupanja od osnovnog stanja mala. To praktiˇcno znaˇci da ´cemo pretpostaviti da |ϕ(x)| ≈ |M0 | tako da polja η⊥ (x) opisuju male promene pravca u odnosu na vektor M0 [Videti Sl. 2.13]. U ovom sluˇcaju η∥ opisuje varijacije parametra ured¯enosti. Med¯utim, η∥ i η⊥ su sad povezani uslovom |η⊥ (x)|2 + (η∥ (x))2 = |M0 |2

(2.253)

odakle dobijamo η∥ (x) ≈ |M0 | −

1 η⊥ (x) · η⊥ (x) 2|M0 |

(2.254)

tako da je parametar ured¯enosti ⟨η∥ (x)⟩ ≈ |M0 | −

N −1 ⟨η⊥ (x)η⊥ (x)⟩, 2|M0 |

(2.255)

104

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

Slika 2.13: Ilustracija osnovnog stanja M0 i malog odstupanja opisanog vektorom ϕ = [η⊥ η∥ ]T za O(3) model. gde je η⊥ bilo koja on N − 1 komponente vektora η⊥ . Kao tosmo ve´c pokazali u Odeljku  ˇs(⊥) −1 (x, x). Na osnovu (2.215) 2.3, korelaciona funkcija ⟨η⊥ (x)η⊥ (x)⟩ zapravo predstavlja A i (2.134) nalazimo Z ik·(x−y)  (⊥) −1 T e A (x, y) = . (2.256) c k k2 Pri tome ´cemo, u skladu sa diskusijim iz Odeljka 2.2.4, dopustiti da se u integralu po talasnim vektorima uzimaju samo doprinosi kod kojih je |k| ≤ Λ. Dakle, parametar ured¯enosti je aproksimativno dat sa Z Λ dkk D−1 N −1 ΩD (2.257) ⟨η∥ (x)⟩ ≈ |M0 | − T 2c|M0 | k2 0 pri ˇcemu je ΩD definisano u (2.160). Vidimo da, bez obzira na gornju granicu, preostali integral nije dobro definisan za D = 1 i D = 2. Konkretno, integrali divergiraju pri k → 0 kao 1 , k

D=1

(2.258)

i ln k,

D = 2.

(2.259)

Dakle, naˇsa polazna pretpostavka o postojanju parametra ured¯enosti ⟨η∥ (x)⟩ (tj. pretpostavka o postojanju dugodometnog ured¯enja) na T ̸= 0, tako da su mala odstupanja od ravnoteˇzne konfiguracije M0 opisana poljima η⊥ (x), je pogreˇsna. Ispostavlja se da su popravke, izraˇcunate uz pretpostavku o postojanju dugodometnog ured¯enja, proizvoljno velike. Drugim reˇcima, kod

ˇ ˇ 2.5. SPONTANO NARUSENJE SIMETRIJE U KLASICNIM TEORIJAMA

105

jednodimenzionih i dvodimenzionih sistema sa kontinualnim simetrijama ne moˇze da dod¯e do spontanog naruˇsenja simetrije na konaˇcnim temperaturama. Pri T = 0, korekcija proistekla od η⊥ (x) iˇsˇcezava i zakljuˇcak o pogreˇsnom odabiru stabilnog osnovnog stanja ne vaˇzi. Divergencije poput onih koje se pojavljuju u integralima iz (2.257) se nazivaju infracrvenim jer su prouzrokovane ponaˇsanjem podintegralnh funkcija pri malim vrednostima talasnog vektora/impulsa. Infracrvene divergencije16 su signal loˇse odabranog osnovnog stanja [Tsvelik (2003)] i treba ih razlikovati od ultraljubiˇcastih divergencija koje se pojavljuju u perturbativnim popravkama [Videti Odeljak 2.2.11]. Vaˇzno je primetiti da Mermin-Vagnerova teorema ne iznosi tvrdnje u vezi sistema sa diskretnom simetrijom. Na primer, na osnovu egzaktnog reˇsenja je poznato da kod dvodimenzionog Izingovog modela postoji spontano naruˇsenje simetrije (tj. dugodometno ured¯enje) pri T > 0. Dalje, ovde je prikazana diskusija za klasiˇcne sisteme sa kontinualnom simetrijom ali se ona, uz odgovaraju´ce skaliranje parametara modela, moˇze preneti i na kvantne verzije modela [Auerbach, A. (2012)]. Takod¯e, Mermin-Vagnerova teorema se odnosi samo na sisteme na temperaturama T > 0. U slede´cem poglavlju ´cemo videti da dugodometno ured¯enje postoji na T = 0 u sluˇcaju dvodimenzionog (kvantnog) Hajzenbergovog feromagneta i antiferomagneta. Originalni dokaz Mermin-Vagnerove teoreme [Mermin, N. D., Wagner, H. (1966)] se odnosi na kvantni Hajzenbergov feromagnet i antiferomagnet i zasniva se na primeni Bogoljubovljeve nejednakosti [Videti i Nolting, W., Ramakanth, A. (2009)]. Hohenberg [Hohenberg (1967)] je pre Mermina i Vagnera iskoristio nejednakost Bogoljubova da dokaˇze odsustvo dugodometnog ured¯enja u sluˇcaju dvodimenzionog superfluida. Primena Bogoljubovljeve nejednakosti omogu´cava da se strogo pokaˇze kako parametar ured¯enosti iˇsˇcezava a ne samo da popravke na M0 divergiraju. Takod¯e, postoji i tretman klasiˇcnih modela zasnovan na Bogoljubovljevoj nejednakosti [Mermin (1967)]. Konaˇcno, Kolmen [Coleman (1973)] je dokazao analogno tvrd¯enje u sluˇcaju 1+1 dimenzione Lorenc-invarijantne kvantne teorije polja. Zbog ovoga se rezultat iz ovog odeljka oznaˇcava i kao Kolmen-Hohenberg-Mermin-Vagnerova (CHMW) teorema. Iako Mermin-Vagnerova teorema iskljuˇcuje mogu´cnost spontanog nruˇsenja simetrije na konaˇcnim temperaturama u sluˇcaju dvodimenizionih sistema, ona ne iskljuˇcuje mogu´cnost neke vrste faznog prelaza. Poznat primer je fazni prelaz u O(2) modelu u dve prostorne dimenzije koji ne ukljuˇcuje spontano naruˇsenje simetrije (takozvani BKT prelaz). U ovom sluˇcaju sistem prelazi iz neured¯ene faze (u kojoj korelaciona funkcija opada eksponencijalno) u niskotemperatursku fazu sa kvazni-dugodometnim ured¯enjem (faza u kojoj korelaciona funkcija opada kao |x|−γ ). Fazni prelazi ovog tipa se oznaˇcavaju kao topoloˇski i ne mogu se opisati pomo´cu Landauove teoreije [Wen, X. G. (2007); Altland, A., Simons, B. (2010); Herbut, I. (2007)].

2.5.2

O(N ) nelinearni σ model

U Odeljku 2.3 smo uveli O(N ) model ˇcije je osnovno stanje konstantni N dimenzioni vektor M0 . Med¯utim, na osnovu strukture samog lagranˇzijana O(N ) modela se ne moˇze izvesti zakljuˇcak o pravcu i smeru vektora M0 . Prema tome, spontano naruˇsenje simetrije u ovom sluˇcaju se moˇze posmatrati i kao odabir jedne taˇcke na N − 1 dimenzionoj sferi S N −1 . Takod¯e, na osnovu relacija (2.214) i (2.215) smo videli da lagranˇzijan za longitudinalno polje η∥ sadrˇzi ”maseni” ˇclan −2a(T )/c = |M0 |2 b/(3c) dok odgovaraju´ci kvadratni doprinos η⊥ · η⊥ ne ulazi 16

Termin ”infracrvene” aludira na ˇcinjenicu da su talasne duˇzine odgovaraju´cih konfiguracija male. Na jeziku kvantne teorije to znaˇci da takve konfiguracije nose malu energiju i kao takve opisuju lokalna odsturanja od pravca vektora M0 .

106

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

u lagranˇzijan za transferzalna polja η⊥ . Oslanjaju´ci se na analogije iz Odeljka 1.3.4, zakljuˇcili smo da transferzalna polja odgovaraju Goldstonovim poljima za naruˇsenje simetreije po obrascu O(N ) → O(N − 1). Sada ´cemo videti kako se dobija O(N ) invarijantna statistiˇcka suma za konfiguracije koje odgovaraju Goldstonovim poljima. Model koji opisuje uticaj Goldstonovih polja se, iz istorijskih razloga, naziva nelinearni σ model [Weinberg, S. (2010)]. Pre svega, na osnovu diskusije iz Odeljka 1.3.4 znamo da se konfiguracije koje odgovaraju Goldstonovim poljima mogu dobiti dejstvom elemenata grupe O(N ) na vakuumsku konfiguraciju M0 . Poˇsto se vektor M0 koji opisuje odabrano osnovno stanje moˇze poistovetiti sa taˇckom na S N −1 , a dejstvo grupe O(N ) na S N −1 je tranzitivno [Videti Odeljak D], vidimo da ´ce dejstvo proizvoljnog elementa od O(N ) na osnovno stanje modela (koje naruˇsava simetriju) ponovo dati taˇcku koja pripada prostoru S N −1 . Dakle, u sluˇcaju naruˇsenja simetrije po obrascu O(N ) → O(N − 1) prostor konfiguracija Goldstonovih polja je S N −1 ∼ = O(N )/O(N − 1) [Isham (1999); Arvanitoyeorgos, A. (2003)]. To znaˇci da lagranˇzijan za Goldstonova polja mora biti O(N ) invarijantna funkcija sa poljima koja uzimaju vrednosti na S N −1 . Kako bismo pratili standardnu notaciju17 , Goldstonova polja ´cemo u nastavku oznaˇciti sa π umesto sa η⊥ i uzeti M0 = eN (tj. |M0 | = 1). Najjednostavniji naˇcin da Goldstonova polja π ogranˇcimo na sferu S N −1 je da uvedemo dodatno polje σ (koje igra sliˇcnu ulogu kao η∥ ) i da konstruiˇsemo N dimenziono vektorsko polje n kao n(x) = [π(x) σ(x)]T , Particiona funkcija za Goldstonova polja se sada moˇze zapisati i kao Z   1 Z = Dn(x)δ n2 (x) − 1 e− T SΛ [n] ,

(2.260)

(2.261)

gde je δ [n2 (x) − 1] ”funkcionalna” delta funkcija [Videti (2.81)] koja obezbed¯uje uslov |n(x)|2 = π 2 (x) + σ 2 (x) = 1

(2.262)

u svakoj taˇcki x ∈ Rn , dok je dejstvo izraˇzeno pomo´cu lagranˇzijana koji je sliˇcnog oblika kao i lagranˇzijan za transferzalna polja η⊥ (podseti´cemo se da je A(⊥) = −c∇2 )  cZ 1 (⊥) SΛ [n] = n, A n = |∇n(x)|2 . (2.263) 2 2 x Izraˇzeni pomo´cu polja n, dejstvo (2.263) i particiona funkcija (2.261) su oˇcigledno invarijantni u odnosu na globalne O(N ) transformacije. Ako O ∈ O(N ), vaˇzi n → On, pa ∇n → ∇On = O∇n i       (⊥) (⊥) (⊥) n, A n → On, OA n = n, A n . (2.264) Takod¯e, zbog |detO| = 1, ne menja se ni faktor Dπ(x) u (2.261). Iako dejstvo (2.263) podse´ca na neinteraguju´ci deo O(N ) dejstva, nelinearni uslov (2.262) uvodi netrivijalnu interakciju18 med¯u Goldstonovim poljima. Za D > 2, kada postoji dugodometno ured¯enje, uticaj interakcije 17 18

Ne treba meˇsati kanonski impuls polja π, koji smo uveli u prethodnom poglavlju, sa Goldstonovim poljem. Nelinearni uslov (2.262), zajedno sa parametrizacijom (2.260) i grupom simetrije daje ime modelu.

ˇ ˇ 2.5. SPONTANO NARUSENJE SIMETRIJE U KLASICNIM TEORIJAMA

107

se moˇze diskutovati perturbativno, po uzoru na Odeljak 2.2.11. Pri tome je neophodno na neki naˇcin eliminisati polje σ. Naravno, eliminacija polja σ se mora uraditi paˇzljivo kako ne bi doˇslo do gubitka O(N ) simetrije. Recimo, u [Radoˇsevi´c, S.M., Panti´c M.R., Pavkov-Hrvojevi´c M.V., Kapor, D.V. (2013); Radoˇsevi´c, S.M. (2015)] je pokazano kako neke standardne aproksimacije19 u sluˇcaju O(3) feromagneta unose greˇske upravo jer naruˇsavaju O(3) simetriju dejstva i slobodne energije. Dakle, pretpostavimo da je D > 2 i da je doˇslo do spontanog naruˇsenja simetrije. Odaberimo za osnovno stanje taˇcku π = 0 uz σ > 0 ˇsto odgovara severnom polu“ sfere S N −1 . Tada je ” p (2.265) σ(x) = + 1 − π 2 (x) i dejstvo, izraˇzeno samo pomo´cu polja π opisuje interakcije Goldstonovih polja u blizini ovako odabrane ravnoteˇzne konfiguracije. Particiona funkcija (2.261) sada postaje Z Z=

h i 1 2 2 Dπ(x)Dσ(x)δ π (x) + σ (x) − 1 e− T SΛ [π,σ] .

(2.266)

Piˇsu´ci funkcionalnu delta funkciju kao δ[f (σ)], gde je f (σ) = σ 2 − (1 − π 2 ), uz koriˇs´cenje osobine (1.83) i integraciju po σ, nalazimo Z Z=

1 Dπ(x) p e− T SΛ [π] , 2 1 − π (x)

(2.267)

gde je c SΛ [π] = 2

Z h i p p ∂i π · ∂i π + ∂i 1 − π 2 (x)∂i 1 − π 2 (x) ,

(2.268)

x

pri ˇcemu smo kao nebitan ignorisali faktor 1/2 uz Dπ(x) dok je i = 1, 2, . . . D. Na ovaj naˇcin smo particionu funkciju izrazili samo pomo´cu Goldstonovih polja. Med¯utim, poˇsto π(x) ∈ S N −1 , ostalo je da pokaˇzemo da je particiona funkcija invarijantna u odnosu na globalne O(N ) transformacije. Pri tome ´cemo O(N ) invarijantnost particione funkcije diskutovati na nivou algebre o(N ), po uzoru na Odeljak 1.3.4. Algebru o(N ) moˇzemo podeliti na dva dela: elemente algebre koji anihiliraju osnovno stanje i ostatak. Elementi algebre o(N ) koji anihiliraju osnovno stanje ˇcine bazis algebre o(N −1) i ima ih (N −1)(N −2)/2. Njih ´cemo u nastavku oznaˇciti sa {Yα }. Preostali elementi generiˇsu prostor o(N )/o(N − 1) dimenzije N − 1 i bi´ce oznaˇceni sa {XA }. U opˇstem sluˇcaju, infinitezimalna globalna O(N ) transformacija vektora n(x) ∈ RN je data sa [Videti (1.221)] δna (x) = θα (Yα )ab nb (x) + θA (XA )ab nb (x),

a = 1, 2 . . . N,

(2.269)

odakle treba da nad¯emo zakone transformacije za π i σ. Posmatrajmo prvo transformacije koje indukuju elementi od o(N −1). Poˇsto je Yα σeN = 0, zakljuˇcujemo da je δσ = δnN = 0. Takod¯e, eksponenciranjem ovih elemenata algebre se dobija 19

Misli se na aproksimaciju haotiˇcnih faza (RPA), Kalenovu i Kondo-Jamad¯i aproksimaciju; videti reference citirane u [Radoˇsevi´c, S.M., Panti´c M.R., Pavkov-Hrvojevi´c M.V., Kapor, D.V. (2013); Radoˇsevi´c, S.M. (2015)].

108

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

grupa O(N − 1) [Videti Teoremu D.1] koja je reprezentovana matricama oblika20 .   0   e   O 0    ..   .  0 0 ··· 1

(2.270)

e matrica koja reprezentuje transformaciju iz O(N − 1). Prema tome, O(N − 1) transgde je O e i δπ A = θα (Yα )A π B , gde A, B = 1, 2 . . . N − 1. formacija vektora π(x) je linearna π → Oπ B Invarijantnost statistiˇcke sume (2.267) u odnosu na O(N − 1) transformacije, koje ne menjaju osnovno stanje, je sada oˇcigledna. Transformacije koje indukuju elementi XA odgovaraju rotacijama N dimenzionog vektora n(x) u ravnima 1N , 2N , 3N , . . . (N −1)N . Poˇsto su te matrice antisimetriˇcne, uvek ih moˇzemo izabrati tako da jedini element razliˇcit od nule u N -toj vrsti bude −1 a odgovaraju´ci element u N toj koloni da bude +1 [Videti Primer 2.7]. To znaˇci da moˇzemo birati (XA )AN = 1,

(XA )NA = −1,

(bez sume po A)

(2.271)

dok ostali matriˇcni elementi iˇsˇcezavaju. Tako, iz δna (x) = θA (XA )ab nb (x), za a = A = 1, 2 . . . N − 1, nalazimo transformacije linearne po θA √ (2.272) δπ A = θB (XB )AN nN = θA σ = θA 1 − π 2 . Sliˇcno, za a = N , imamo [Zinn-Justin, J. (2007)] √ δ 1 − π 2 = δnN = θB (XB )NC nC = θB (XB )NB π B = −θB π B = −θ · π ≡ δσ.

(2.273)

Primer 2.7. Posmatrajmo specijalni sluˇcaj naruˇsenja simetrije O(4) → O(3). Bazisni elementi od o(4) u jednoj ˇcetvorodimenzionoj reprezentaciji se mogu grupisati kao       0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0  0     0 1 0   , Y2 =  0 0 0 0  , Y3 =  −1 0 0 0  , Y1 =   0 −1 0 0   −1 0 0 0   0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1  0   0 0 0 0  0 0  0 0 1  ,   , X3 =  0 0  (2.274) X1 =     0 0 0 0  , X2 =  0 0 0 0 0 0 0 1  0 0 −1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 gde {Y1 , Y2 , Y3 } ˇcine bazis od o(3) a {X1 , X2 , X3 } saˇcinjavaju bazis od o(4)/o(3). Lako je videti da generatori {Y1 , Y2 , Y3 } anihiliraju vektor [0 0 0 1]T i generiˇsu rotacije u ravnima 1 − 2, 1 − 3 i 2 − 3, dok {X1 , X2 , X3 } generiˇsu rotacije u ravnima 1 − 4, 2 − 4 i 3 − 4. ■ 20

Ovo se lako moˇze videti na slede´ci naˇcin. Matrice Yα anihiliraju vektor eN ˇsto znaˇci da su svi elementi u poslednjoj vrsti i poslednjoj koloni ovih matrica jednaki nuli, tj. za njih vaˇzi (Yα )aN = (Yα )N a = 0, za svako a = 1, 2, . . . N . Prema tome, (Yα Yβ )aN = (Yα )ac (Yβ )cN = 0, kao i (Yα Yβ )N a = (Yα )N c (Yβ )ca = 0. Drugim reˇcima, i proizvodi ovih matrica imaju sve nule u poslednjoj vrsti i koloni pa njihovo eksponenciranje daje element grupe O(N − 1) oblika navedenog u (2.270). Videti i Primer 2.7.

ˇ ˇ 2.5. SPONTANO NARUSENJE SIMETRIJE U KLASICNIM TEORIJAMA

109

√ Imaju´ci pravila po kojima se transformiˇsu π i 1 − π 2 , moˇzemo pokazati invarijantnost dejstva (2.268). Prvi sabirak se transformiˇse kao     ∂i π · ∂i π → ∂i π A + δπ A ∂i π A + δπ A √ = ∂i π · ∂i π + 2∂i (π · θ) ∂i 1 − π 2 + O(θ2 ) (2.275) na osnovu (2.272). Sliˇcno, √  √  √ √ ∂i 1 − π 2 ∂i 1 − π 2 → ∂i 1 − π 2 − θ · π ∂i 1 − π 2 − θ · π √ √ √ = ∂i 1 − π 2 ∂i 1 − π 2 − 2∂i (π · θ) ∂i 1 − π 2 + O(θ2 ), (2.276) pri ˇcemu smo iskoristili (2.273). Invarijantnost dejstva SΛ [π] u odnosu na transformacije iz podskupa O(N )/O(N − 1) se sada pokazuje zamenom (2.275) i (2.276) u (2.268). Ostalo je da pokaˇzemo invarijantnost statistiˇcke sume Goldstonovih polja. Budu´ci da smo videli√ da je dejstvo invarijantno, preostaje samo da nad¯emo zakon transformacije faktora Dπ/ 1 − π 2 . Kako bismo naˇsli zakon transformacije za Dπ, primeti´cemo da je on definisan po uzoru na (2.70) lim

N →∞

N Z Y i=1

∞ N −1

d

πi ≡

−∞

Y Z x∈RD

∞ N −1

d

Z π(x) ≡

Dπ(x),

(2.277)

−∞

pri ˇcemu je dN −1 π element integracije po S N −1 . U odnosu na smenu promenjivih, π → φ, gde je φA = π A + δπ A a δπ A je dato u (2.272), dN −1 π se transformiˇse kao  A N −1 ∂φ N −1 N −1 d d π −→ d φ = det π. (2.278) ∂π B Poˇsto je ∂φA θ A πB A √ = δ − , B ∂π B 1 − π2 koriste´ci poznati identitet det(I + ϵM ) = 1 + ϵtr(M ) + O(ϵ2 ), dobijamo   π·θ N −1 dN −1 π + O(θ2 ). d π → 1− √ 2 1−π

(2.279)

(2.280)

Na osnovu (2.273) sledi da √

1 − π2 →

√

  π · θ 1 − π2 1 − √ + O(θ2 ) 2 1−π

(2.281)

√ pa iz poslednje dve relacije vidimo da je i faktor Dπ/ 1 − π 2 invarijantan ˇsto znaˇci da se ni particiona funkcija (2.267) ne menja prilikom infinitezimalnih O(N ) transformacija Goldstonovih polja √ π A −→ π A + δπ A , δπ A = θA 1 − π 2 + θα (Yα )AB π B . (2.282)

110

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

Primeti´cemo da transformacije (2.282) nisu linearne jer S N −1 nije vektorski prostor. Upravo zbog toga je potreban faktor (1 − π 2 )−1/2 koji osigurava invarijantnost statistiˇcke sume. Konaˇcno, dejstvo (2.268) se moˇze zapisati i kao  Z  Z c c (π · ∂i π)(π · ∂i π) = S[π] = ∂i π∂i π + ∂i π A GAB (π)∂i π B , (2.283) 2 x 1 − π2 2 x gde su GAB (π) = δAB +

πA π B 1 − π2

(2.284)

komponente O(N ) invarijantnog metriˇcnog tenzora na prostoru O(N )/O(N −1) ∼ = S N −1 [ZinnJustin, J. (2007)]. U odnosu na O(N ) dejstvo, komponente metriˇckog tenzora se transformiˇsu kao GAB → GAB + δGAB + O(θ 2 ). Za transformacije iz O(N − 1), koeficijenti δGAB su dati sa δGAB (π) =

πA δπB + πB δπA , 1 − π2

(2.285)

uz δπA = θα (Yα )BA πB . Sliˇcno, za transformacije iz O(N )/O(N − 1), promena komponenti metriˇckog tenzora je πA δπB + πB δπA 2πA πB + θ · π, (2.286) 1 − π2 [1 − π 2 ]3/2 √ gde je δπA = θA 1 − π 2 . Koriste´ci zakone transformacije Goldstonovih polja i komponenti metriˇckog tenzora, direktno se pokazuje invarijantnost dejstva Z      Z A A B B ∂i π +δπ GAB (π)+δGAB (π) ∂i π +δπ = ∂i π A GAB (π)∂i π B +O(θ2 ). (2.287) δGAB (π) =

x

x

Prema tome, integral koji je izraˇcunat pomo´cu transformisanih komponenti metriˇckog tenzora i transformisanih Goldstonovih polja jednak je sa integralom izraˇcunatim pomo´cu originalnih polja i komponenti metriˇckog tenzora. Poˇsto su transformacije polja i komponenti metriˇckog tenzora indukovane elementima grupe O(N ), ovaj metriˇcki tenzor se oznaˇcava kao O(N ) invarijantan [Arvanitoyeorgos, A. (2003)]. Pomo´cu determinante metriˇckog tenzora je mogu´ce izraziti i integraciju u funkcionalnom integralu za particionu funkciju. Naime, na osnovu (2.285) i poznatog izraza za determinantu matriˇcnog operatora [Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)], imamo detG = ϵA1 A2 ...AN −1 G1A1 G2A2 . . . GN −1,AN −1      πN −1 πAN −1 π2 πA 2 π1 πA 1 δ2A2 + . . . δN −1,AN −1 + . = ϵA1 A2 ...AN −1 δ1A1 + 1 − π2 1 − π2 1 − π2 Ako se detaljno raspiˇse gornji proizvod, vidimo da se sastoji od tri vrste ˇclanova. Najpre, tu je sabirak koji sadrˇzi samo proizvod Kronekerovih simbola. Kada se pomnoˇzi sa antisimetriˇcnim simbolom ϵA1 A2 ...AN −1 , da´ce faktor 1. Dalje, imamo N − 1 sabiraka koji su kvadratni po Goldstonovim poljima. Oni svi imaju istu strukturu: proizvod od N − 2 Kronekerova simbola i dva Goldstonova polja od kojih jedno ima fiksan a drugo nemi indeks. Usled Kronekerovih simbola, nemi indeks Goldstonovog polja u tom sabirku mora uzeti vrednost koju ima fiksni indeks. Recimo, π 1 πA 1 π1 π1 ϵA1 A2 ...AN −1 δ δ . . . δ = . 2A 3A N −1,A 2 3 N −1 1 − π2 1 − π2

ˇ ˇ 2.5. SPONTANO NARUSENJE SIMETRIJE U KLASICNIM TEORIJAMA

111

Ukupan doprinos svih sabiraka kvadratnih po Goldstonovim poljima je π 2 /(1 − π 2 ). Konaˇcno, imamo sabirke koji sadrˇze paran broj Goldstonovih polja koji je ve´ci od 2. Poˇsto svi ti sabirci imaju oblik kontrakcije parnog i neparnog tenzora, oni iˇsˇcezavaju. Na primer ϵA1 A2 A3 ...AN −1

π 1 π2 π3 π1 π A 1 π2 πA 2 π3 πA 3 δ4A4 . . . δN −1,AN −1 = ϵABC4...N −1 πA πB πC = 0. 2 3 (1 − π ) (1 − π 2 )3

jer su koeficijenti ϵABC4...N −1 antisimetriˇcni a proizvodi πA πB πC simetriˇcni u odnosu na permutacije indeksa A, B i C. Dakle, π2 1 detG = 1 + = , 2 1−π 1 − π2 i particiona funkcija (2.267) se moˇze zapisati u kompaktnom obliku Z p 1 Z = Dπ detG(π)e− T SΛ [π] , Z c ∂i π A (x)GAB (π(x))∂i π B (x), SΛ [π] = 2 x pri ˇcemu je integracija po Goldstonovim poljima definisana kao Z Y Z ∞ p p Dπ detG(π) =: dN −1 π(x) detG(π(x)) x∈RD

(2.288)

(2.289)

(2.290)

−∞

i invarijantna je u odnosu na O(N ) transformacije. Diskusija iz ovog odeljka se moˇze proˇsiriti i na spontano naruˇsenje simetrije po obrascu G → H. Pretpostavimo da je konfiguracioni prostor za Goldstonova polja u ovom sluˇcaju mnogostrukost M i neka p ∈ M predstavlja proizvoljno odabranu taˇcku koja odgovara osnovnom stanju. Kako se bilo koja druga taˇcka iz M moˇze dobiti G dejstvom na p, to znaˇci da G deluje na M tranzitivno. Dalje, po definiciji spontanog naruˇsenja simetrije, odabrano osnovno stanje mora biti H invarijantno. Na osnovu poznatog rezultata za tranzitivna dejstva sledi da je M ∼ = G/H [Videti Arvanitoyeorgos, A. (2003); Isham (1999), kao i Dodatak D]. To znaˇci da je lagranˇzijan za Goldstonova polja (najopˇstija) mogu´ca G invarijantna funkcija izraˇzena pomo´cu Goldstonovih polja koja uzimaju vrednosti iz prostora G/H. Odgovaraju´ca particiona funkcija i dejstvo imaju isti opˇsti oblik naveden u (2.289), pri ˇcemu sada GAB (π) predstavljaju komponente G invarijantnog metriˇckog tenzora na G/H [McKane, A., Stone, M. (1980); Honerkamp (1972)]. Takod¯e, u dejstvo nelinearnog sigma modela se mogu ukljuˇciti i ˇclanovi koji poseduju viˇse od dva izvoda, kao i ˇclanovi koji su invarijantni (u odnosu na G transformacije) samo do na totalni izvod. Naravno, mogu se dodati i ˇclanovi koji sadrˇze izvode Goldstonovih polja po vremenu i takva dejstva opisuju klasiˇcne teorije polja [videti Primer 1.15 i Odeljak 3.8]. Nelinearni sigma modeli imaju veliku ulogu u opisu niskotemperaturskog ponaˇsanja velikog broja sistema poput feromagneta, antiferomagneta, superfluida, superprovodnika, fonona u kristalima i fluidima, kao i razliˇcitih problema iz nuklearne fizike i fizike elementarnih ˇcestica [Burgess, C.P. (2000); Tsvelik (2003); Zinn-Justin, J. (2007); Weinberg, S. (2010); Brauner, T. (2010); Auerbach, A. (2012); Watanabe, H., Murayama, H. (2014)].

112

2. LANDAUOVA TEORIJA FAZNIH PRELAZA

3 Kanonsko kvantovanje klasiˇ cnih sistema U ovom poglavlju je dat i tre´ci pogled na Goldstonovu teoremu – nakon klasiˇcne teorije polja i Landauove teorije za O(N ) model, diskutova´cemo kvantnu verziju u kanonskom formalizmu. Goldstonova teorema u klasiˇcnoj teoriji polja daje ograniˇcenja na disperzionu relaciju i ravne talase koji su dobijeni kao reˇsenja linearizovanih jednaˇcina kretanja. Sa druge strane, videli smo i da se ona manifestuje u Landauovoj teoriji kroz divergenciju transferzalne susceptibilnosti. U kvantnoj teoriji Goldstonova teorema tvrdi da se u spektru elementarnih ekscitacija pojavljuju ˇcestice ˇcija energija nema gep. Ove ˇcestice se nazivaju Goldstonovi bozoni i imaju presudnu ulogu u niskoenergetskom sektoru date teorije. U zavisnosti od obrasca naruˇsenja simetrije i prirode osnovnog stanja, mogu´ce je predvideti neke opˇste karakteristike Goldstonovih bozona poput ponaˇsanja disperzione relacije u dugotalasnoj aproksimaciji i broja razliˇcitih Goldstonovih ˇcestica. U tom smislu rezultati prezentovani u ovom poglavlju predstavljaju svojevrsnu sintezu svega izloˇzenog u prethodnom delu teksta – ravnim talasima iz klasiˇcne teorije polja nakon kvantovanja pridruˇzujemo ˇcestice ˇcije osobine, sa druge strane, odred¯uju termodinamiˇcke karakteristike makroskopskog sistema. Na poˇcetku poglavlja je uveden formalizam kanonskog kvantovanja klasiˇcnih polja. Kao i u sluˇcaju kvantne mehanike, prvo ´cemo definisati vektore u odgovaraju´cem Hilbertovom prostoru (tzv. stanja sistema) kao i operatore koji deluju na njih (dinamiˇcke promenjive – polja). Pri tome ´cemo ceo postupak sprovesti u Hajzenbergovoj slici. Nakon osvrta na proceduru kanonskog kvantovanja klasiˇcnih sistema i ˇcestiˇcne interpretacije kvantnog polja, diskutovana je kvantna verzija Goldstonove teoreme. Opˇsti rezultati koji su pri tome dobijeni su na kraju poglavlja ilustrovani primerima Hajzenbergovog feromagneta i antiferomagneta.

3.1

ˇ Sredingerova i Hajzenbergova slika

U kvantnoj teoriji polja, kao i u kvantnoj mehanici, koriste se tri ekvivalentna opisa vremenske ˇ evolucije sistema. To su Sredingerova, Hajzenbergova i slika interakcije (Koja se nekad naziva i Dirakovom slikom [Greiner, W. (1996)]). Budu´ci da u ovom poglavlju ne´cemo razmatrati ˇ teoriju perturbacija, bi´ce dato kratko pored¯enje Sredingerove i Hajzenbergove slike sa ciljem da se ukaˇze na razlog upotrebe Hajzenbergovog pristupa u kvantnoj teoriji polja. 113

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

114

3.1.1

ˇ Sredingerova slika

ˇ U Sredingerovoj formulaciji kvantne teorije dinamiˇcka evolucija sistema se ogleda u vremenskoj promeni funkcije stanja, dok se operatori koji predstavljaju fiziˇcke veliˇcine ne menjaju sa ˇ vremenom1 . Funkcija stanja |ψ(t)⟩ zadovoljava Sredingerovu jednaˇcinu i

d ˆ |ψ(t)⟩S = H|ψ(t)⟩ S, dt

(3.1)

gde je H hamiltonijan sistema koji po pretpostavci ne zavisi od vremena a indeks S oznaˇcava ˇ veliˇcine u Sredingerovoj slici. Ako je poznata funkcija stanja u trenutku t0 , ona ´ce u proiˇ ˇ L. (1968)] zvoljnom trenutku t > t0 biti data formalnim reˇsenjem Sredingerove jednaˇcine [Sif, h i ˆ (t − t0 ) |ψ(t0 )⟩ ≡ U e (t, t0 )|ψ(t0 )⟩S . |ψ(t)⟩S = exp − i H

(3.2)

e (t, t0 ) opisuje vremensku evoluciju sistema jer prevodi stanje |ψ(t0 )⟩S Kao ˇsto vidimo, operator U u stanje |ψ(t)⟩S pri t > t0 [Weinberg, S. (2008)].

3.1.2

Hajzenbergova slika

ˇ Nasuprot Sredingerovom prilazu, funkcija stanja je konstantna u Hajzenbergovoj slici, dok ˇ L. (1968)] operatori fiziˇckih veliˇcina zadovoljavaju Hajzenbergovu jednaˇcinu kretanja [Sif, i ˆH ˆH h dO ∂O ˆ ˆ i =i + OH , H , dt ∂t −

(3.3)

ˆ H (t) i H ˆ napisani u Hajzenbergovoj slici a [ , ]− oznaˇcava komutator. U pri ˇcemu su O svim sluˇcajevima koji su razmatrani ovde operatori ne zavise eksplicitno od vremena, tako ˆ H /∂t = 0. Sliˇcno kao i Sredingerova ˇ je ∂ O jednaˇcina, Hajzenbergova jednaˇcina (3.3) ima formalno reˇsenje [Greiner, W. (1996)] ˆ ˆ 0) ˆ ˆ H (t) = eiH(t−t O OH (t0 )e−iH(t−t0 )

(3.4)

ˇsto se lako pokazuje diferenciranjem. Veza izmed¯u dinamiˇckih veliˇcina u Hajzenbergovoj i ˇ Sredingerovoj slici se moˇze uspostaviti na osnovu zahteva da matriˇcni elementi operatora (koji ˇ predstavljaju fiziˇcki merljive veliˇcine) ne zavise od izbora slike. Krenimo od Sredingerovog ˆ S konstantan, prilaza. Funkcija stanja se menja prema (3.2), dok je operator fiziˇcke veliˇcine O ˆ ˆ pa se moˇze parametrizovati poˇcetnim trenutkom t0 , tj OS ≡ OS (t0 ). Na ovaj naˇcin se za matriˇcne elemente dobija ˆ

S ⟨ψ(t)|OS (t0 )|ψ(t)⟩S

ˆ

ˆ

ˆ S (t0 )e−iH(t−t0 ) |ψ(t0 )⟩S , = S ⟨ψ(t0 )|eiH(t−t0 ) O

(3.5)

ˇ gde je iskoriˇs´cena veza iz (3.2). Pretpostavimo sada da se Sredingerova i Hajzenbergova slika ˇ poklapaju u trenutku t0 , nakon ˇcega u Sredingerovoj slici evoluira vektor stanja a u Hajzenberˆ S (t0 ) = O ˆ H (t0 ) i |ψ(t0 )⟩S = |ψ(t0 )⟩H , kao govoj operator posmatrane fiziˇcke veliˇcine. Tako iz O 1

Osim eventualne eksplicitne vremenske zavisnosti.

ˇ 3.1. SREDINGEROVA I HAJZENBERGOVA SLIKA

115

ˇ i (3.5) i (3.4), nalazimo veze izmed¯u Sredingerovih i Hajzenbergovih veliˇcina u proizvoljnom trenutku t > t0 ˆ

|ψ(t)⟩S = e−iH(t−t0 ) |ψ(t0 )⟩H ,

ˆ ˆ 0) ˆ ˆ S (t0 ) ≡ O ˆ S = e−iH(t−t O OH (t)eiH(t−t0 ) ,

(3.6)

ˆ ˆ 0) ˆ ˆ H (t) = eiH(t−t O OS (t0 )e−iH(t−t0 ) .

(3.7)

odnosno ˆ

|ψ⟩H ≡ |ψ(to )⟩H = eiH(t−t0 ) |ψ(t)⟩S ,

Iz dobijenih veza se vidi da je hamiltonijan isti u oba formalizma, ˇsto opravdava ispuˇstanje ˆ indeksa slike uz H. Osnovni razlog za koriˇs´cenje Hajzenbergovog prilaza u relativistiˇckoj kvantnoj teoriji polja je taj ˇsto se u njemu oˇcigledno ostvaruje Lorencova invarijantnost ravnopravnim tretmanom vremenske i prostornih koordinata [Weinberg, S. (2008)]. Iako Lorencova invarijantnost nije od posebnog znaˇcaja u nerelativistiˇckoj teoriji polja, Hajzenbergov prikaz i tada ima viˇse prednosti. Recimo, omogu´cava da se dobiju pribliˇzna reˇsenja razliˇcitih interesantnih modela tako ˇsto se vrˇse aproksimacije u jednaˇcinama kretanja [Nolting, W., Ramakanth, A. (2009)]. Takod¯e, razdvajanjem neinteraguju´ceg i interaguju´ceg dela u hamiltonijanu se moˇze konzistentno uvesti teorija perturbacija [Abrikosov, A., Gorkov, L., Dzyaloshinski, I. (1963); Fetter, A., Walecka, J. (1971); Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995)]. Konaˇcno, ispostavlja se da neki nerelativistiˇcki sistemi (poput izotropnog Hajzenbergovog antiferomagneta) u granici kontinuuma mogu biti opisani efektivnom teorijom koja jeste Lorenc-invarijantna [Auerbach, A. (2012)] pa se u takvom sluˇcaju mogu koristiti neki gotovi rezultati iz relativistiˇcke teorije polja. Poˇsto ´cemo u nastavku poglavlja iskljuˇcivo koristiti Hajzenbergovu sliku, indeks H ne´ce biti pisan.

3.1.3

Jednoˇ cestiˇ cna i viˇ seˇ cestiˇ cna stanja

Prilikom prelaska sa klasiˇcne na kvantnu teoriju polja, dinamiˇcke veliˇcine iz klasiˇcne teorije identifikujemo kao operatore u kvantnoj teoriji. Sa druge strane, ˇcestice u kvantnoj teoriji identifikujemo sa stanjima u odgovarau´cem Hilbertovom prostoru. Budu´ci da ˇcetiri komponente kvadrivektora impulsa med¯usobno komutiraju, pogodno je talasne funkcije (tj. stanja) izraziti pomo´cu njihovih svojstvenih vektora [Weinberg, S. (2008)]. Jednoˇcestiˇcno stanje je, po definiciji, vektor Hilbertovog prostora H koji ima dobro definisanu vrednost impulsa (talasnog vektora), odnosno to je svojstveni vektor operatora kvadri-impulsa2 Pˆ µ |p; σ⟩ = pµ |p; σ⟩,

(3.8)

gde σ oznaˇcava skup dodatnih kvantnih brojeva (recimo spin ˇcestice). Pri tome, u kvantnoj mehanici, Pˆ i |p; σ⟩ = pi |p; σ⟩, i = 1, 2, 3 predstavlja svojstveni problem operatora −i∂/∂xi , dok je Pˆ 0 |k; σ⟩ = p0 |p; σ⟩ svojstveni problem hamiltonijana (konstruisanog od ∇ i x) a ne svojstveni problem od ∂/∂t. Konstantu normiranja je uvek mogu´ce izabrati tako da vaˇzi [Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995); Ryder, L.H. (1996)] ⟨p; σ|q; σ ′ ⟩ = (2 π)3 δ (3) (p − q) δσ,σ′ .

(3.9)

Prilikom prelaska na kvantnu teoriju polja, jednaˇcine P i |p; σ⟩ = pi |p; σ⟩ postaju svojstveni problemi operatora impulsa polja dok se P 0 |p; σ⟩ = p0 |p; σ⟩ svodi na svojstveni problem operatora 2

Nekada je pogodnije koristiti drugi bazis za Hilbertov prostor jednoˇcestiˇcnih stanja; videti Odeljak 3.3.3.

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

116

ˇ L. energije polja [videti Odeljak 3.2.4]. Prema standardnim pravilima kvantne mehanike [Sif, (1968); Altland, A., Simons, B. (2010); Negle, J.W., Orland, H. (1998)], stanje sistema koji se sastoji od N neinteraguju´cih ˇcestica je element prostora HN = H · · · ⊗ H} | ⊗ H{z

(3.10)

N puta

i bazis ovog prostora saˇcinjavaju vektori oblika |α1 ⟩|α2 ⟩ . . . |αN ⟩, gde smo uveli skra´cenu oznaku (pi , σi ) = αi . U zavisnosti od toga da li su ˇcestice bozoni (fermioni), viˇseˇcestiˇcna stanja moraju biti simetriˇcna (antisimetriˇcna) u odnosu na permutacije ˇcestica. Ako fiksiramo redosled vektora u HN na taj naˇcin ˇsto ´cemo krajnji levi ket | ⟩1 rezervisati za stanja prve ˇcestice, slede´ci ket | ⟩2 za drugu i tako redom do krajnjeg desnog ket-vektora | ⟩N koji ´ce nositi stanja N −te ˇcestice, bazis bozonskog ili fermionskog prostora HN se moˇze uzeti u obliku 1 X P ζ |αP1 ⟩1 |αP2 ⟩2 . . . |αPN ⟩N , |α1 , α2 , . . . αN ⟩ = √ N! P

(3.11)

gde se suma uzima po svim permutacijama u odnosu na osnovnu konfiguraciju |α1 ⟩1 |α2 ⟩2 . . . |αN ⟩N

(3.12)

a faktor ζ P uraˇcunava znak ± prilikom zamene mesta ˇcestica: bilo koja permutacija bozonskih ˇcestica ne √ menja znak stanja dok svaka zamena mesta dve fermionske ˇcestice unosi znak −. Faktor 1/ N ! obezbed¯uje normiranje u smislu da vaˇzi [Negle, J.W., Orland, H. (1998); Weinberg, S. (2008)] ⟨β1 , β2 , . . . βN |α1 , α2 , . . . αM ⟩ = δN M

X P

ζ

P

N Y

δ(βi − αPi ),

N, M = 1, 2, 3 . . .

(3.13)

za svako k = 1, 2 . . . N.

(3.14)

i=1

gde je k ⟨βi |αPi ⟩k

= δ(βi − αPi ) = (2π)3 δ(qi − pPi )δσi ,σPi ,

Ispravnost ove relacije se moˇze videti na slede´ci naˇcin. Pretpostavimo da je N = M > 1 i da smo bra-vektor fiksirali u osnovnom obliku [Videti (3.12)]. Tada postoji N ! sabiraka koji se dobijaju kontrakcijom standardnog bra vektora 1 ⟨β1 | 2 ⟨β2 | . . . N ⟨βN | sa N ! razliˇcitih permutacija αi stanja iz ket-vektora |α1 ⟩1 |α2 ⟩2 . . . |αN ⟩N . Pri tome, u sluˇcaju fermionskih stanja, parne permutacije stanja αi ulaze sa znakom + a neparne sa znakom − (u sluˇcaju bozonskih stanja, sve permutacije ulaze sa pozitivnim predznakom). Uzmimo sada slede´cu parnu permutaciju za ket vektor. Parnost svake od dobijenih kontrakcija ´ce tada ponovo zavisiti od parnosti permuˇ tacije ket-vektora. Staviˇ se, dobi´cemo isti rezultat kao i za osnovnu konfiguraciju bra-vektora jer posmatramo svih N ! permutacija stanja αi pri ˇcemu je k ⟨βi |αPj ⟩k = l ⟨βi |αPj ⟩l , za svako k, l = 1, 2 . . . N . Dakle, doprinos svih kontrakcija koje sadrˇze parne permutacije βi stanja i svih permutacija αj stanja je N

1 X PY N! × ζ δ(βi − αPi ). 2 N! P i=1

(3.15)

3.2. KANONSKO KVANTOVANJE SKALARNOG POLJA

117

Posmatrajmo sada jednu od neparnih permutacija bra vektora (Recimo, onu u kojoj su prvo i drugo stanje zamenili mesta). Kada izvrˇsimo kontrakciju sa parnom permutacijom ket-vektora, dobi´cemo izraz oblika (−1) × 1 ⟨β2 |αP1 ⟩1 2 ⟨β1 |αP2 ⟩2 . . . . Med¯utim, 1 ⟨β2 |αP1 ⟩1 2 ⟨β1 |αP2 ⟩2

=

· · · = δ(β2 − αP1 )δ(β1 − αP2 ) · · · = δ(β1 − αP2 )δ(β2 − αP1 ) . . . (3.16) 1 ⟨β1 |αP2 ⟩1 2 ⟨β2 |αP1 ⟩2 . . . .

ˇsto se poklapa sa sabirkom koji odgovara parnoj permutciji bra-vektora i neparnoj permutaciji ket-vektora i takav se ve´c nalazi u zbiru (3.15). Drugim reˇcima, ukupni doprinos ˇclanova sa neparnim permutacijama βi stanja je isti kao i doprinos ˇclanova koji sadrˇzi parne permutacije βi stanja i takod¯e je dat sa (3.15). Konaˇcno, kontrakcija je jednaka nuli ako je N ̸= M jer su tada odgovaraju´ca stanja reprezentovana bra i ket-vektorima sigurno razliˇcita. Kada je N = M = 1, vaˇzi relacija (3.9). Prema tome, ispravnost relacije (3.13) je dokazana. Primer 3.1. Posmatrajmo sluˇcaj N = 3 i uvedimo oznake α = (p1 , σ1 ), β = (p2 , σ2 ), γ = (p3 , σ3 ). Viˇseˇcestiˇcno stanje koje opisuje tri bozona (fermiona) je  1  |α, β, γ⟩ = √ |α⟩1 |β⟩2 |γ⟩3 + |γ⟩1 |α⟩2 |β⟩3 + |β⟩1 |γ⟩2 |α⟩3 6  1  ± √ |β⟩1 |α⟩2 |γ⟩3 + |α⟩1 |γ⟩2 |β⟩3 + |γ⟩1 |β⟩2 |α⟩3 , (3.17) 6 gde se svi pozitivni znace odnose na sluˇcaj tri bozona a stanje sa tri pozitivna i tri negativna sabirka opisuju fermionski sistem. Ako je α′ = (p′1 , σ1′ ), β ′ = (p′2 , σ2′ ), γ ′ = (p′3 , σ3′ ), kontrakcija dve stanja ovog tipa je ⟨α′ , β ′ γ ′ |α, βγ⟩ = δ(α′ − α)δ(β ′ − β)δ(γ ′ − γ) + δ(α′ − γ)δ(β ′ − α)δ(γ ′ − β) + δ(α′ − β)δ(β ′ − γ)δ(γ ′ − α) ± δ(α′ − β)δ(β ′ − α)δ(γ ′ − γ) ± δ(α′ − α)δ(β ′ − γ)δ(γ ′ − β) ± δ(α′ − γ)δ(β ′ − β)δ(γ ′ − α), pri ˇcemu se gornji znak odnosi na bozone a donji na fermione.

3.2 3.2.1

(3.18) ■

Kanonsko kvantovanje skalarnog polja Operatori polja i hamiltonijan

Da bi neka teorija bila u skladu sa specijalnom teorijom relativnosti potrebno je, izmed¯u ostalog, da se u njoj vremenska i prostorne koordinate tretiraju ravnopravno. U kvantnoj mehanici to nije sluˇcaj jer se vreme tretira kao parametar, dok su prostorne koordinate dinamiˇcke varijaˆ Dakle, da bi se kvantna teorija uˇcinila relativistiˇcki korektnom, ble predstavljene operatorom x. potrebno je ili proglasiti vreme operatorom ili prostorne koordinate dovesti na nivo parametra. Kvantna teorija polja se zasniva na ovom drugom prilazu. Sliˇcno kao u klasiˇcnoj teoriji polja, dinamiˇcka promenjiva postaje polje, a na jeziku kvantne teorije to znaˇci da se polje proglaˇsava operatorom. Prostorne-vremenske koordinate predstavljaju parametar koji karakteriˇse operator, odnosno polje [Srednicki (2007)]. Zbog toga se kvantna teorija polja obiˇcno formuliˇse u Hajzenbergovoj slici. Poˇsto je polje ϕ(x) unapred¯eno u operator, ono mora da zadovoljava odred¯ene jednaˇcine ˇ L. (1968)], jednaˇcine kretanja. Po uzoru na prelazak sa klasiˇcne mehanike na kvantnu [Sif,

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

118

kretanja za kvantno polje u kanonskom formalizmu se formuliˇsu polaze´ci od jednaˇcina kretanja za klasiˇcno polje [Videti Odeljak 1.2]. Prema pravilima kanonske kvantizacije [Weinberg, S. (2008); Ryder, L.H. (1996); Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995); Zee, A. (2010)], pri prelasku ˆ π→ sa klasiˇcne teorije na kvantnu, postulira se zamena klasiˇcnih veliˇcina operatorima3 ϕ → ϕ, π ˆ koji deluju u Hilbertovom prostoru izgrad¯enom pomo´cu stanja (3.8) i (3.11), dok Poasonove zagrade klasiˇcnih veliˇcina prelaze u komutatore prema h i 1h i , . (3.19) , −→ i − PZ Osnovne jednaˇcine kvantne teorije polja, koje slede iz klasiˇcnih jednaˇcina (1.118), (1.121) i (1.128) i pravila (3.19) glase h i h i d d ˆ ˆ t), H ˆ ˆ t) = ϕ(x, , i π ˆ (x, t) = π ˆ (x, t), H i ϕ(x, dt dt − − h i ˆ t), π ϕ(x, ˆ (y, t) = i δ(x − y) (3.20) − h i d ˆ . i Fˆ [ϕ(x, t), π(x, t)] = Fˆ (x, t), H dt − pri ˇcemu poslednja jednaˇcina predstavlja zakon kretanja za neku veliˇcinu F koja je funkcija polja ϕ i konjugovanog impulsa π a ne zavisi eksplicitno od vremena. Ako skalarno polje ima viˇse komponenti ϕa , komutator polja i kanonskog impulsa naveden u (3.20) postaje h i ϕˆa (x, t), π ˆb (y, t) = i δ(x − y) δba . (3.21) −

Navedeni skup relacija je potrebno dopuniti i oˇciglednim dodatnim uslovom, koji takod¯e ima uporiˇste u klasiˇcnoj teoriji polja (1.129) i h i h ϕˆa (x, t), ϕˆb (y, t) = π ˆa (x, t), π ˆb (y, t) = 0. (3.22) −

−

Treba obratiti paˇznju da se u (3.21), kao i u prvoj jednaˇcini iz (3.20), u komutatorima pojavljuju operatori koji se uzimaju u istom trenutku vremena. U nastavku ´cemo podrazumevati da su polje, konjugovani impuls i hamiltonijan operatori, pa ´ce simbol ˆ biti ispuˇsten. Dinamiku kvantnog polja odred¯uje struktura hamiltonijana. U sluˇcaju skalarnog polja, on je dat operatorskom verzijom izraza (1.100) Z  1  2 π + ∇ϕ · ∇ϕ + m2 ϕ2 . (3.23) HKG [ϕ, π] = 2 x Sada ´cemo videti da se nakon kvantizacije parametar m moˇze poistovetiti sa masom elementarnih ekscitacija polja. Prilikom nalaˇzenja jednaˇcina kretanja, korisno je znati da komutatori poseduju iste osnovne karakteristike kao i Poasonove zagrade [Videti (1.130)] [A, B]− [A, B + C]− [A, BC]−   A, [B, C]− −

= −[B, A]− , [A, αB]− = α [A, B]− , = [A, B]− + [A, C]− = [A, B]− C + B[A, C]− ,     + C, [A, B]− − + B, [C, A]− − = 0,

α = const.

ˇsto se lako pokazuje [Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)]. 3

Ne treba meˇsati kanonski impuls π sa Goldstonovim poljem iz prethodnog poglavlja.

(3.24)

3.2. KANONSKO KVANTOVANJE SKALARNOG POLJA

3.2.2

119

Jednaˇ cina kretanja

Nakon ˇsto je polje proglaˇseno operatorom, potrebno je na´ci vezu izmed¯u (operatora) polja i jednoˇcestiˇcnih stanja (3.8). U tu svrhu, nad¯imo jednaˇcinu kretanja za polje koja sledi iz (3.20) i (3.23) Z h i 1 ˙ ϕ(y, t), π 2 (x, t) + [∇x ϕ(x, t)]2 + m2 ϕ2 (x, t) . (3.25) i ϕ(y, t) = 2 x − Poˇsto je (videti (3.20)) h i ϕ(y, t), π 2 (x, t) = 2iπ(x, t) δ(x−y), −

h i h i ϕ(y, t), ∇x ϕ(x, t) = ∇x ϕ(y, t), ϕ(x, t) = 0 −

−

(3.26) dobijamo ˙ ϕ(y, t) = π(y, t).

(3.27)

Joˇs jednom treba naglasiti da je u kvantnoj teoriji polje dinamika sistema sadrˇzana u operatoru polja. Zato diferencijalni operator ∇ samo opisuje prostornu promenu polja i nema veze sa koordinatnom reprezentacijom operatora impulsa ˇcestice koja se koristi u kvantnoj mehanici. Sliˇcno se dolazi i do jednaˇcine kretanja za konjugovaani impuls Z h i 1 π(y, t), π 2 (x, t) + [∇x ϕ(x, t)]2 + m2 ϕ2 (x, t) . (3.28) i π(y, ˙ t) = 2 x − Kako komutator polja i kanonskog impulsa nema operatorsku strukturu, moˇze se pisati Z h Z i h i 2 π(y, t), [∇x ϕ(x, t)] = 2 ∇x ϕ(x, t) · π(y, t), ∇x ϕ(x, t) − − x x Z ∇x ϕ(x, t) · ∇x δ(x − y). (3.29) = −2 i x

Preostali integral se moˇze reˇsiti parcijalno, Z Z   Z δ(x − y) ∇2 ϕ(x, t). ∇ϕ(x, t) · ∇δ(x − y) = div δ(x − y) ∇ϕ(x, t) − x

x

(3.30)

x

Prvi integral se Gausovom teoremom prevodi u povrˇsinski a tada se lako vidi da zbog x ̸= y integral iˇsˇcezava4 . Dakle, dobija se π(y, ˙ t) = ∇2y ϕ(y, t) − m2 ϕ(y, t). Kombinovanjem (3.27) i (3.31) se dolazi do jednaˇcine koju zadovoljava skalarno polje     − ∇2 + ∂t2 + m2 ϕ(x, t) = ∂ 2 + m2 ϕ(x, t) = 0

(3.31)

(3.32)

ˇsto je naravno Klajn-Gordonova jednaˇcina. Iako je oblik jednaˇcine isti kao i u klasiˇcnom sluˇcaju [Videti (1.35)], ˇsto sugeriˇse da bi se reˇsenja mogla traˇziti u formi ravnih talasa, ˇcinjenica da je ϕ u kvantnoj teoriji operator menja smisao reˇsenja. 4

Ovaj uslov je direktno preuzet iz klasiˇcne teorije polja; videti Odeljak 1.1.1.

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

120

3.2.3

Komutacione relacije za amplitude polja

Kao i u Odeljku 1.1.3, reˇsenja Klajn-Gordonove jendaˇcine za operator ϕ ´cemo traˇziti u obliku Furijeovog integrala. Med¯utim, kako je sad polje operator koji mora zadovoljavati komutacione relacije (3.20), amplitude u Furijeovom integralu moraju pre´ci u operatore. Po uzoru na (1.86), reˇsenje operatorske jednaˇcine (3.32) piˇsemo u obliku Z  √ 1  √ k 0 = ω(k) = k2 + m2 , ak e−ik·x + a†k eik·x , (3.33) ϕ(x, t) ≡ ϕ(x) = 2 ωk k uz [Videti (A.6)] k · x = k 0 t − k · x. U (3.33) su ak i a†k za sada neodred¯eni operatori (amplitude polja) povezani uslovom [a†k ]† = ak koji obezbed¯uje da skalarno polje bude realno, odnosno da operator ϕ(x) bude ermitski (ϕ† (x) = ϕ(x)). Da bi se pravilno protumaˇcio smisao ovih operatora, neophodno je na´ci komutacione relacije koje zadovoljavaju amplitude ak i a†k i dovesti ih u vezu sa energijom i impulsom polja. Na osnovu Primera 1.8, znamo da je impuls kanonski pridruˇzen skalarnom polju ϕ dat sa π = ∂t ϕ, tako da iz (3.33) nalazimo Z r   ωk † ik·x −ik·x π(x, t) ≡ π(x) = i − ak e + ak e , (3.34) 2 k Zamenom (3.33) i (3.34) u komutator [ϕ(x, t), π(x, t)], nalazimo  Z r h h i i h i i ωq † † ik·x−iq·y−i(ωk −ωq )t iq·y−ik·x+i(ωk −ωq )t ϕ(x, t), π(y, t) = ak , aq e + aq , ak e 2 k,q ωk − − − i + 2

Z

r

k,q

ωq ωk

h

aq , ak

i −

ik·x+iq·y−i(ωk +ωq )t

e

+

h

a†k , a†q

i −

e

−iq·y−ik·x−i(ωk +ωq )t



Da bi vaˇzilo [ϕ(x, t), π(x, t)] = iδ(x − y), amplitude polja moraju da zadovoljavaju relacije h i ak , a†q = (2 π)3 δ(k − q), (3.35) − h i h i ak , aq = a†k , a†q = 0. (3.36) −

−

To su poznate komutacione relacije za bozonske operatore koji se pojavljuju u kvantnoj teoriji ˇ L. (1968); Weinberg, S. (2012)]. Uloga bozonskih operatora ´ce biti harmonijskog oscilatora [Sif, jasnija kad se pomo´cu njih izraze energija i impuls polja.

3.2.4

Energija i impuls kvantnog skalarnog polja

Operator energije skalarnog polja dobijamo zamenom (3.33) i (3.34) u (3.23) Z Z   1 −k · q − ωk ωq  H = ak e−ik·x − a†k eik·x aq e−iq·x − a†q eiq·x √ 2 k,q x 2 ωk ωq Z Z   1 m2  † ik·x −ik·x −iq·x † iq·x + aq e + aq e . ak e + ak e √ 2 k,q x 2 ωk ωq

(3.37)

3.2. KANONSKO KVANTOVANJE SKALARNOG POLJA

121

Poˇsto je u gornjim integralima q 0 = ω(q) i k 0 = ω(k), pri ˇcemu je ω(k) = upotrebiti relaciju Z h i h i 3 exp ix · (k ± q) = (2 π) δ(k ± q) exp i t(ωk ± ωq ) ,

√

k2 + m2 , moˇzemo

(3.38)

x

da hamiltonijan svedemo na jednostavniji oblik   Z h i Z (2 π)3 δ(0) 1 † † † , ωk ak ak + ak ak = ωk ak ak + H= 2 k 2 k

√ ωk = + k2 + m2 , (3.39)

pri ˇcemu smo iskoristili i komutacione relacije (3.36). Iako nam je prvenstveni cilj da pravilno interpretiramo operatorsku strukturu hamiltonijana (3.39), primeti´cemo da on sadrˇzi beskonaˇcni konstantni ˇclan Z Z δ(0) 3 δ(k − k) ≡ ωk (2 π)3 . (3.40) E0 = ωk (2 π) 2 2 k k koji predstavlja analogon nulte energije harmonijskog oscilatora u kvantnoj mehanici. U njemu se zapravo krije dvostruka divergencija. Prva potiˇce od delta funkcije sa argumentom k−k = 0. Ovom problemu je mogu´ce doskoˇciti tako ˇsto se sistem zatvori u kocku ivice L. Tada je [Zee, A. (2010); Srednicki (2007)] 3

3

(2 π) δ(0) = (2 π) δ(k − k) = lim

L→∞

=

lim

L→∞

3 Z Y j=1

3 Z Y j=1

L/2

dxj exj (pj −pj )

−L/2

L/2

dxj = L3 = V.

(3.41)

−L/2

Dakle, veliˇcina (2 π)3 δ(0) predstavlja samo drugaˇcije zapisanu zapreminu sistema. Sada se E0 moˇze zapisati kao Z V E0 = ωk , (3.42) 2 k i beskonaˇcnost koja je posledica δ - funkcije se moˇze jednostavno zaobi´ci ako se sve veliˇcine obraˇcunavaju po jedinici zapremine Z 1 E0 /V = ωk , (3.43) 2 k Ovaj recept treba primeniti u svim izrazima u kojima se pojavljuje (2 π)3 δ(0), kao ˇsto su ukupna energija i impuls polja [Videti jednaˇcinu (3.58) niˇze u tekstu]. Preostali integral u (3.43) neograniˇceno raste zbog gornje granice (0 ≤ |k| ≤ ∞), ˇsto je posledica pretpostavke da je kvantna teorija ispravna na proizvoljno malim rastojanjima (odnosno, na proizvoljno visokim energijama). Tzv. ultraljubiˇcasta divergencija iz (3.43) se moˇze ukloniti uvod¯enjem nekog maksimalnog talasnog vektora koji oslikava minimalno (inverzno) rastojanje (ili maksimalnu energiju) do kojeg vaˇze predvid¯anja kvantne teorije [Zee, A. (2010)]. Beskonaˇcni konstantni ˇclan E0 se ne moˇze opaziti u eksperimentu jer se energija uvek meri u odnosu na osnovno stanje [Weinberg, S. (2008); Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995)], tako da ga moˇzemo izbe´ci

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

122

jednostavnim redefinisanjem energije sistema. Isti rezultat se moˇze posti´ci zahtevom da operatori budu normalno5 ured¯eni [Ryder, L.H. (1996)]. Iako konstantni ˇclan E0 ne moˇze da se opazi u eksperimentu, promene energije osnovnog stanja ∆E0 , nastale usled izmena graniˇcnih uslova za polje se mogu izmeriti (tzv. Kazimirov efekat, [Weinberg, S. (2008); Zee, A. (2010); Elizalde, E. (2008)]). U nastavku ´cemo jednostavno ignorisati ˇclan E0 . Impuls klasiˇcnog skalarnog polja je izraˇcunat u Primeru 1.13. Za razliku od hamiltonijana, definicija impulsa polja sadrˇzi proizvod operatora polja i kanonskog impulsa. Ove dve veliˇcine med¯usobno ne komutiraju tako da je njihov redosled u kvantnoj teoriji bitan. Nejednoznaˇcnost koja zbog toga nastaje prilikom prelaska sa klasiˇcnih polja na operatorska se moˇze reˇsiti Vejlovim ured¯enjem operatora [Cheng, T. P., Li, L. F. (2000)]. Prema tom postupku treba uzeti simetriˇcnu kombinaciju proizvoda operatora, tako da je impuls polja u kvantnoj teoriji odred¯en sa Z  1  π(x, t)∇ϕ(x, t) + [∇ϕ(x, t)] π(x, t) . (3.44) P =− 2 x Koriste´ci uslov ω(k) = ω(−k) i proceduru sliˇcnu onoj koja je dovela do (3.39), dobija se Z Z h (2 π)3 δ(0) i † (3.45) P = k ak ak + = k a†k ak , 2 k k jer ˇclan koji sadrˇzi (2 π)3 δ(0)/2 otpada zbog antisimetrije integranda6 . U nekim situacijama se korektan redosled operatora moˇze odrediti na osnovu pored¯enja rezultata kvantovanja sa eksperimentalnim rezultatima, simulacijama, ili teorijskim predvid¯anjima zasovanim na nekim drugaˇcijim prilazima [Videti Odeljak 3.7.3 za sluˇcaj izbora redosleda bozonskih aproksimacija Sx± operatora u sluˇcaju Hajzenbergovog antiferomagneta].

3.2.5

ˇ Cestiˇ cna interpretacija kvantnog polja

Definiˇsimo operator [Ryder, L.H. (1996)] ˆk ≡ V N ˆk := a† ak . (2 π)3 δ(k − k) N k

(3.46)

ˆk okarakterisani razliˇcitim impulsima komutiraju, pa se njihove Lako se pokazuje da operatori N svojstvene funkcije mogu iskoristiti za bazis ˆk |n(k)⟩ = n(k)|n(k)⟩. N Izraˇcunavanjem komutatora h i † ˆ V Nk , aq = a†k δ(k − q), −

5

(3.47)

h

ˆk , aq V N

i −

= −ak δ(k − q),

(3.48)

Pod normalno ured ¯enim operatorom se podrazumeva izraz u kojem su svi anihilacioni operatori napisani sa desne strane svih kreacionih operatora. Na primer, operator a†k a†q ap ak je normalno ured¯en a a†k ap a†l aq ak nije. R 6 Do (3.45) se moglo do´ci i bez Vejlovog pravila, koriste´ci ˇcinjenucu da je k k ak a−k exp[i2ωk t] = 0, pri ˇcemu sliˇcan integral koji sadrˇzi a†k operatore takod¯e otpada zbog antisimetrije podintegralnih funkcija [Greiner, W. (1996)]. U komplikovanijim sluˇcajevima se obiˇcno koristi Vejlov recept.

3.2. KANONSKO KVANTOVANJE SKALARNOG POLJA

123

moˇze se pokazati da vaˇzi ˆk a† |n(k)⟩ = [n(k) + 1] a† |n(k)⟩, N k k

ˆk ak |n(k)⟩ = [n(k) − 1] ak |n(k)⟩. N

(3.49)

ˆk , ali sa Iz (3.49) se vidi da su a†k |n(k)⟩ i ak |n(k)⟩ takod¯e svojstveni vektori operatora N svojstvenim vrednostima n(k) + 1 i n(k) − 1, respektivno. To znaˇci da moˇzemo pisati a†k |n(k)⟩ = c+ (n(k))|n(k) + 1⟩,

ak |n(k)⟩ = c− (n(k))|n(k) − 1⟩,

(3.50)

gde su c± za sada neodred¯eni koeficijenti. Vrednosti ovih koeficijenata, kao i mogu´ce vrednosti za n(k), u potpunosti su odred¯ene skalarnim proizvodom u Hilbertovom prostoru vektora |n(k)⟩. Pre svega, ⟨n(k)|a†k ak |n(k)⟩ = V n(k)⟨n(k)|n(k)⟩ ≥ 0,

(3.51)

vidimo da mora biti n(k) ≥ 0. Relacije (3.49) govore da a†k deluju´ci na |n(k)⟩ pove´cava n(k) za jedan a ak smanjuje n(k) za jedan. Da bi uslov n(k) ≥ 0 bio uvek ispunjen, mora postojati takvo stanje za koje vaˇzi ak |0⟩ = 0.

(3.52)

Iz razloga koji ´ce ubrzo postati jasni, stanje |0⟩ se naziva vakuumom. Ako se pod¯e od vakuumskog stanja, sukcesivnim delovanjem a†k operatora, svojstvena vredˆk se pove´cava za jedan, tako da su vrednosti n(k) celobrojne. Pretpostavimo da je nost od N n(q) = 1 i oznaˇcimo to stanje sa |1(q)⟩ = a†q |0⟩ ≡ |q⟩.

(3.53)

(konstanta normiranja koja za sada nije specificirana ´ce biti odred¯ena niˇze i ne utiˇce na rezultat koji ´ce biti izveden). Delovanjem operatora impulsa na takvo stanje se dobija Z Z h i † 3 3 † ˆ † 3 ˆ P |q⟩ = (2 π) δ(0) k Nk aq |0⟩ = k aq (2 π) δ(k − q) + (2 π) δ(0)aq Nk |0⟩ k k Z = (2 π)3 k δ(k − q)a†q |0⟩ = q |q⟩. (3.54) k

Sliˇcno se pokazuje i H |q⟩ = ωq |q⟩

(3.55)

pa zakljuˇcujemo da je |1(q)⟩ ≡ |q⟩ jednoˇcestiˇcno stanje (videti definiciju iz (3.8)) koje opisuje p ˇcesticu sa impulsom q, masom m i energijom ω(q) = + q 2 + m2 . Dakle, u sluˇcaju kvantne teorije, parametar m koji ulazi u lagranˇzijan i hamiltonijan se moˇze poistovetiti sa masom ˇ ˇcestice. Cestice energije ω(q) nazivamo kvantima skalarnog polja. Na sliˇcan naˇcin se moˇze pokazati da vaˇzi P |q p⟩ = [q + p]|q p⟩,

H |q p⟩ = [ωq + ωq ]|q p⟩,

(3.56)

gde je |q p⟩ = a†q a†p |0⟩ ≡ |q⟩|p⟩

(3.57)

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

124

tzv. dvoˇcestiˇcno stanje koje opisuje dva kvanta polja u stanjima sa impulsom q i p. Postupak se lako uopˇstava na sluˇcaj direktnog porizvoda viˇse jednoˇcestiˇcnih stanja. Imaju´ci u vidu da se energija i impuls polja mogu zapisati kao Z Z 3 ˆ ˆk , H = (2 π) δ(0) ωk Nk = V ωk N Z k Zk 3 ˆk = V ˆk , kN (3.58) P = (2 π) δ(0) k N k

k

ˆk predstavlja operator broja ˇcestica u stanju sa impulsom k. Vakuum |0⟩ je jasno je da N ˇ osnovno stanje slobodnog tj. neinteraguju´ceg polja i ne sadrˇzi ˇcestice. Cestice koje stvara † kreacioni operator ak , a uniˇstava anihilacioni operator ak se nazivaju kvantima polja i u sluˇcaju skalarnog polja to su bozoni. Jednoˇcestiˇcna stanja su normirana u skladu sa ranijom definicijom (3.9) ⟨p|q⟩ = ⟨0|ap a†q |0⟩ = ⟨0|a†q ap + (2 π)3 δ(p − q)|0⟩ = (2 π)3 δ(p − q),

(3.59)

pri ˇcemu su iskoriˇs´cene komutacione relacije (3.36) i oˇcigledno normiranje vakuumskog stanja [Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995); Srednicki (2007); Weinberg, S. (2008)] ⟨0|0⟩ = 1.

(3.60)

Dalje, koeficijente c± (n(k)) moˇzemo odrediti iz uslova da stanja a†p |n(p)⟩ i ap |n(p)⟩ budu normirana. Poˇsto smo |k⟩, dobijeno za n(k) = 1, identifikovali kao jednoˇcestiˇcno stanje sa ”normom”(3.9), stanja za n(k) > 1 ´cemo normirati po uzoru na (3.13). Odnosno, zahteva´cemo da bude ⟨n(k)|n(k)⟩ ∝ V n(k) . Tada dobijamo ⟨n(p)|ap a†p |n(p)⟩ = |c+ (n(p))|2 ⟨n(p) + 1|n(p) + 1⟩ = (2 π)3 δ(0)⟨n(p)|1 + Np |n(p)⟩ = V [n(p) + 1]⟨n(p)|n(p)⟩, (3.61) ⟨n(p)|a†p ap |n(p)⟩ = |c− (n(p))|2 ⟨n(p) − 1|n(p) − 1⟩ = ⟨n(p)|Np |n(p)⟩(2 π)3 δ(0) = V n(p)⟨n(p)|n(p)⟩. (3.62) pri ˇcemu su u poslednjim jednakostima iz (3.61) i (3.62) iskoriˇs´cene boze komutacione relacije (3.36), definicija operatora Np iz (3.46) i njegov svojstveni problem (3.47). Pored¯enjem koeficijenata iz (3.61) i (3.62) nalazimo p p c− (n(p)) = V n(p), (3.63) c+ (n(p)) = n(p) + 1, odnosno a†p |n(p)⟩ =

p [n(p) + 1]|n(p) + 1⟩,

ap |n(p)⟩ = V

p n(p)|n(p) − 1⟩.

(3.64)

Uzimaju´ci u obzir (3.64), moˇzemo konstruisati opˇste viˇseˇcestiˇcno stanje koje sadrˇzi n(k1 ) ˇcestica sa impulsom k1 , n(k2 ) ˇcestica sa impulsom k2 ,... Takvo stanje se moˇze izgraditi polaze´ci od vakuuma uzastopnim delovanjem kreacionih operatora [Ryder, L.H. (1996); Altland, A., Simons, B. (2010)] Y [a†k ]n(ki ) pi |n(k1 ), n(k2 ), · · · ⟩ = |0⟩. n(ki )! i

(3.65)

3.2. KANONSKO KVANTOVANJE SKALARNOG POLJA

125

Budu´ci da ne postoji principijelno ograniˇcenje na broj ˇcestica u sistemu, ova konstrukcija nam omogu´cava da Hibertov prostor izgradimo kao [Altland, A., Simons, B. (2010); Negle, J.W., Orland, H. (1998)] F=

∞ M

Hn

(3.66)

n=1

gde Hn oznaˇcava Hilbertov prostor za n ˇcestica. Bazis prostora Hn saˇcinjavaju vektori oblika |n(k1 ), n(k2 ), . . . ⟩, tako da je n(k1 ) + n(k2 ) + · · · = n. Hilbertov prostor F se naziva Fokovim prostorom a ceo formalizam u kojem su operatori polja predstavljeni pomo´cu kreacionih i anihilacionih operatora kao reprezentacija broja popunjenosti7 . Veza izmed¯u stanja (3.11) za sluˇcaj boze statistike i (3.65) se moˇze uspostaviti na slede´ci naˇcin[Negle, J.W., Orland, H. (1998)]. Najpre ´cemo stanje (3.11) izraziti pomo´cu kreacionih operatora koji deluju na vakuum 1 X P ζ |kP1 ⟩|kP2 ⟩ · · · |kPn ⟩ (3.67) | k1 , . . . k1 , k2 , . . . k2 . . . ⟩ = √ | {z } | {z } n! P n(k1 ) puta

n(k2 ) puta

=

h

a†k1

in(k1 ) h

a†k2

in(k2 )

· · · |0⟩ ≡ |n(k1 ), n(k2 ), · · · }

(3.68)

pri ˇcemu je ζ P = 1 jer je reˇc o bozonskim stanjima. Takod¯e, vaˇzi i n(k1 ) + n(k2 ) + · · · = n. Sada jednostavno na drugaˇciji naˇcin prebrojavamo stanja: umesto da vodimo raˇcuna o pojedinaˇcnim ˇcesticama reprezentovanim vektorima ki , primeti´cemo da je ekonomiˇcniji (ali ekvivalentan) naˇcin numerisanja zasnovan na brojevima popunjenosti n(ki ). Pri tome je simetrija viˇseˇcestiˇcnog stanja automatski zadovoljena zbog komutacionih relacija bozonskih kreacionih operatora. Istovremeno, redosled kreacionih operatora odred¯uje inkeds stanja koji je eksplicitno naveden u (3.11). Uvode´ci faktor normiranja, imamo |n(k1 ), n(k2 ), · · · ⟩ = pQ

1 |n(k1 ), n(k2 ), · · · }. i [n(ki )]!

(3.69)

Prema tome, stanja (3.11), (3.65) i (3.67) su suˇstinski ekvivalentna. Mi ´cemo, osim jednog izuzetka, u nastavku koristiti stanja (3.65). Konaˇcno, pojava faktora V u definiciji koeficijenta c− (n(k)) je posledica normiranja jednoˇcestiˇcnih stanja [Videti (3.9)]. Recimo, za jednoˇcestiˇcno stanje |k⟩ imamo   † 3 (3.70) ⟨0|ak |k⟩ = V = (2π) δ(k − k) = ⟨k|k⟩ = ⟨0|ak |k⟩, gde smo iskoristili |k⟩ = a†k |0⟩. Odnosno, ak |q⟩ = (2π)3 δ(k − q)|0⟩,

(3.71)

pri ˇcemu smo iskoristili (3.36). Primer 3.2. Koriste´ci reprezentaciju viˇseˇcestiˇcnog stanja iz (3.67) moˇzemo na joˇs jedan naˇcin pokazati ispravnost relacija (3.64) koje, u sluˇcaju dejstva kreacionih i anihilacionih operatora na proizvoljno stanje glase p a†p |n(k1 ), n(k2 ), . . . , n(p), . . . ⟩ = n(p) + 1|n(k1 ), n(k1 ), . . . , n(p) + 1, . . . ⟩, p ap |n(k1 ), n(k2 ), . . . , n(p), . . . ⟩ = V n(p)|n(k1 ), n(k2 ), . . . , n(p) − 1, . . . ⟩. (3.72) 7

Ponekad se, iz istorijskih razloga, koristi i donekle zbunjuju´ci naziv reprezentacija druge kvantizacije.

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

126

Posmatrajmo dejstvo anihilacionog operatora. Zbog komutacionih relacija (3.36), aninilacioni operator ap pri dejstvu (sa leve strane) na stanje koje je reprezentovano sa (3.67) moˇze da zameni mesta sa svim kreacionim operatorima kod kojih je ki ̸= p. Kada tako stigne do proizvoda od n(p) operatora a†p , on ´ce na njih delovati shodno komutatoru   ap , (a†p )n(p) − = (2π)3 δ(p − p)n(p)(a†p )n(p)−1 . (3.73) Na taj naˇcin ´cemo dobiti relaciju ap (a†p )n(p) = (a†p )n(p) ap + (2π)3 δ(p − p)n(p)(a†p )n(p)−1 . Prvi sabirak, koji sadrˇzi anihilacioni operator ap sa desne strane ´ce dalje mo´ci da zameni mesta sa svim ostalim kreacionim operatorima za ki ̸= p i na kraju ´ce do´ci do vakuumskog stanja. Prema tome, on ne doprinosi novom viˇseˇcestiˇcnom stanju. Drugi sabirak, koji sadrˇzi delta funkciju, da´ce faktor (2π)3 δ(p − p)n(p) = V n(p) koji moˇze da izad¯e ispred dejstva ostalih kreacionih operatora na vakuumsko stanje. Dakle, ap |n(k1 ), n(k2 ), . . . n(p), . . . } = V n(p)|n(k1 ), n(k2 ), . . . n(p) − 1, . . . }.

(3.74)

Uraˇcunavaju´ci faktor normiranja iz (3.69), dobijamo drugu od relacija iz (3.72). Na sliˇcan naˇcin se moˇze diskutovati i dejstvo kreacionog operatora. ■ Primetimo joˇs da se delovanjem operatora polja (3.33) na vakuumsko stanje dobija Z Z 1 1 ik·x † √ √ e ak |0⟩ = eik·x |k⟩. (3.75) ϕ(x)|0⟩ = 2 ωk 2 ωk k k Ovo je linearna superpozicija jednoˇcestiˇcnih stanja sa dobro definisanim impulsima. Prema standardnoj interpretaciji kvantne teorije ovu superpoziciju tumaˇcimo kao ˇcesticu lokalizovanu u taˇcki x = [t, x]. Drugim reˇcima, deluju´ci na vakuumsko stanje, operator polja ϕ(x) kreira ˇcesticu u taˇcki sa prostorno-vremenskim koordinatama x [Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995)].

3.2.6

Veza sa relativistiˇ ckom kvantnom mehanikom

Do sada smo videli da se Klajn-Gordonova jednaˇcina pojavljuje kao jednaˇcina koja opisuje klasiˇcna i kvantna polja. Pri tome se smisao parametara koji ulaze u hamiltonijan, kao i interpretacija reˇsenja dobijenih Furijeovom transformacijom [jednaˇcine (1.86) i (3.33)] dosta razlikuju. Med¯utim, postoji joˇs jedna teorija u kojoj se pojavljuje jednaˇcina istog oblika a ˇcija se reˇsenja tumaˇce na naˇcin koji do sada nismo spominjali. Reˇc je o relativistiˇckoj (jednoˇcestiˇcnoj) kvantnoj mehanici u kojoj se reˇsenje Klajn-Gordonove jednaˇcine tumaˇci kao talasna funkcija koje opisuju stanje jedne ˇcestice. Iako ovaj pogled na Klajn-Gordonovu jednaˇcinu sa sobom nosi viˇse poteˇsko´ca, poˇzeljno je ukazati na njih jer se sliˇcna situacija javlja i u nekim statistiˇckim modelima [Videti Odeljak 3.7.3]. Oslanjaju´ci se na korespodenciju E → i∂t , p → −i∇ i relativistiˇcku vezu izmed¯u energije i ˇ impulsa, E 2 = m2 + p2 , moˇzemo dobiti relativistiˇcku generalizaciju Sredingerove jednaˇcine ∂t2 ϕ(x, t) = −m2 ϕ(x, t) + ∇2 ϕ(x, t),

(3.76)

koja ima isti oblik kao Klajn-Gordonova jednaˇcina [Videti (1.35), (1.142) ili (3.32)]. Poˇsto sada jednaˇcinu (3.76) tumaˇcimo kao kvantnomehaniˇcku jednaˇcinu, veliˇcinu ϕ(x, t) interpretiramo kao kompleksnu talasnu funkciju koja opisuje jednu ˇcesticu mase m. U sluˇcaju slobodne

3.2. KANONSKO KVANTOVANJE SKALARNOG POLJA

127

ˇcestice talasnu funkciju moˇzemo traˇziti u obliku ravnih talasa. Zamenom ovog reˇsenja u (3.76), nalazimo mogu´ce energije kvantnomehaniˇcke relativistiˇcke ˇcestice p (3.77) E(p, m) = ± m2 + p2 . Takod¯e, polaze´ci od jednaˇcine (3.76) moˇzemo konstruisati jednaˇcinu kontinuiteta za gustinu ˇ L. (1968)]. Prema standardnoj struje verovatno´ce, ∂µ J µ = 0, gde je J µ ∝ ϕ∗ ∂ µ ϕ − ϕ∂ µ ϕ∗ [Sif, 0 kvantnomehaniˇckoj interpretaciji, komponentu J interpretiramo kao gustinu verovatno´ce nalaˇzenja ˇcestice u nekom elementu zapremine. U sluˇcaju jednaˇcine (3.76), ova veliˇcina je data sa J 0 = C (ϕ∗ ∂t ϕ − ϕ∂t ϕ∗ )

(3.78)

pri ˇcmu nam izbor konstante C trenutno nije bitan. Ukoliko jednaˇcinu (3.76) zaista ˇzelimo da interpretiramo u duhu jednoˇcestiˇcne kvantne mehanike, nailazimo na dva nepremostiva problema. Prvi se tiˇce negativnog korena jednaˇcine p (3.77). Negativan koren E = − m2 + p2 se pojavljuje i u klasiˇcnoj relativistiˇckoj mehanici ali se tada jednostavno moˇze odbaciti kao nefiziˇcko reˇsenje. Naime, u klasiˇcnoj (tj. ne-kvantnoj) mehanici se energija p ˇcestice menja kontinualno i ne postoji neprekidan proces koji bi povezao dva korena E = ± m2 + p2 jer je izmed¯u njih gep ∆E = 2m. Sa druge strane, ovakvo rezonovanje se ne moˇze primeniti na kvantnu teoriju jer je dobro poznato da se energija ˇcestice moˇze menjati u skokovima i p ne moˇze se apriori iskljuˇciti postojanje p procesa koji bi preveo ˇcesticu 2 2 iz stanaj sa energijom m + p u stanje sa energijom − m2 + p2 . Kako nema ograniˇcenja na broj stanja sa negativnom energijom, ovakvom interpretacijom bi se teˇsko objasnila stabilnost sistema opisanog kvantnomehaniˇckom Klajn-Gordonovom jednaˇcinom. Drugi problem se tiˇce interpretacije J 0 kao gustine verovatno´ce jer, kao ˇsto se vidi iz (3.78), veliˇcina J 0 nije pozitivno-definitna [Weinberg, S. (2008)]. Pogledajmo sada kako se navedeni problemi reˇsavaju ako Klajn-Gordonovu jednaˇcinu interpretiramo kao jednaˇcinu za kvantno polje. Pre svega, energiju ekscitacija polja definiˇsemo kao svojstvenu vrednost hamiltonijana (3.58) na jednoˇcestiˇcnim stanjima |k⟩ = a†k |0⟩ [Videti (3.55)]. Kao ˇsto se vidi, p energija elementarne ekscitacije (tj. stanja |k⟩) skalarnog polja je uvek pozitivna, ω(k) = + m2 + p2 . Takod¯e, iz (3.56) se vidi i da je energija dvoˇcestiˇcnog stanja |k⟩|q⟩ pozitivna a sliˇcnim postupkom se pokazuje da je energija stanja koje sadrˇzi proizvoljno mnogo ekscitacija uvek pozitivna. Prema tome, problem negativnih energija uopˇste ne postoji. I pored toga ˇsto je energija jednog kvanta polja uvek pozitivna, operator polja sadrˇzi exp[−iωk t], kao i exp[iωk t]. U KTP se ova dva reˇsenja oznaˇcavaju kao pozitivne i negativne mode. Zadrˇzavanje i pozitivnih i negativnih moda u operatoru polja je neophodno jer se samo na taj naˇcin dobija ispravno reˇsenje jednaˇcine koje zadovoljavaju amplitude polja [Videti (1.81) i (1.84)]. Sa druge strane, Hilbertov prostor u kvantnoj teoriji polja saˇcinjavaju vektori (3.65) koja sadrˇze odred¯en broj ˇcestica u stanjima sa datom vrednoˇs´cu impulsa. Ako se izvrˇsi merenje nad sistemom koji se nalazi u nekom stanju |Ψ⟩, verovatno´ca da se sistem bude u stanju sa n(k1 ) ˇcestica okarakterisanih impulsom k1 , n(k2 ) ˇcestica sa impulsom k2 ,... je data sa P (n(k1 ), n(k2 ), · · · ) = |⟨n(k1 ), n(k2 ), · · · |Ψ⟩|2

(3.79)

i to je oˇcigledno pozitivan broj. Problem negativnih verovatno´ca ne postoji jer su reˇsenja Klajn-Gordonove jednaˇcine operatori koji menjaju broj kvanata polja u odred¯enim stanjima a ne amplitude verovatno´ce (jednoˇcestiˇcne talasne funkcije) kao u nerelativistiˇckoj kvantnoj mehanici [Weinberg, S. (2008)].

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

128

3.3

Kompleksna polja

U ovom odeljku ´cemo razmotriti kompleksna polja ˇcije kvantne teorije predstavljaju direktnu generalizaciju rezultata dobijenih za skalarno polje. Budu´ci da kompleksno polje opisuje sistem od dva stepena slobode, modeli zasnovani na njima poseduju zakon odrˇzanja [Videti Odeljak ˇ 1.3.2 i Primer 1.14]. Kao ˇsto ´cemo videti u odeljku 3.7, kvantno Sredingerovo i kompleksno polje se mogu koristiti za opis Hajzenbergovog feromagneta i antiferomagneta u neinteraguju´coj aproksimaciji.

3.3.1

Dvokomponentno skalarno polje

Klasiˇ cno polje Lagranˇzijan dvokomponentnog skalarnog polja (ili kompleksnog polja) smo uveli u Primeru 1.4 i on je dat sa L = ∂µ ϕ∗ ∂ µ ϕ − m2 ϕ∗ ϕ.

(3.80)

Dinamiˇcki stepen slobode za ovaj model je dvokomponentno polje ϕ = [ϕ1 ϕ2 ] koje se moˇze ekvivalentno opisati i pomo´cu kompleksnog polja8 ϕ=

ϕ1 + iϕ2 √ , 2

ϕ∗ =

ϕ1 − iϕ2 √ , 2

(3.81)

˙ Na osnovu (3.80) nalazimo kanonske impulse, π(x) = ϕ˙ ∗ (x), π ∗ (x) = ϕ(x) i Hamiltonov funkcional Z h i ˙ π(x)ϕ(x) + π ∗ (x)ϕ˙ ∗ (x) − L(x) H = Zx h

=

i π ∗ (x)π(x) + [∇ϕ∗ (x)] · [∇ϕ(x)] + m2 ϕ∗ (x)ϕ(x) .

(3.82)

x

Lako je videti da ϕ, kao i ϕ∗ , zadovoljavaju Klajn-Gordonovu jednaˇcinu  2    ∂ − m2 ϕ(x) = ∂ 2 − m2 ϕ∗ (x) = 0.

(3.83)

Lagranˇzijan (3.80) je invarijantan u odnosu na globalne transformacije ϕ −→ e−iΛ ϕ,

ϕ∗ −→ eiΛ ϕ∗ ,

(3.84)

ˇsto za posledicu ima jednaˇcinu kontinuiteta ∂µ J µ = 0, uz J µ (x) = i (ϕ∗ ∂ µ ϕ − ϕ ∂ µ ϕ∗ ) i oˇcuvanje veliˇcine Z Z 0 Q= J (x) = i x

x


ϕ∗ ∂ 0 ϕ − ϕ ∂ 0 ϕ∗ .

(3.85)

(3.86)

√ U nastavku ´cemo koristiti iskljuˇcivo kompleksno polje ϕ = (ϕ1 + iϕ2 )/ 2 pa ne postoji opasnost od zabune zbog koriˇs´cenja iste oznake za dvokomponentno realno i kompleksno polje. 8

3.3. KOMPLEKSNA POLJA

129

Kvantovanje klasiˇ cnog polja Pred¯imo sada na kvantnu teoriju kompleksnog polja. Prilagod¯avaju´ci pravila kanonskog kvantovanja izloˇzena u prethodnim odeljcima, polja ϕ i ϕ∗ , kao i odgovaraju´ce kanonske impulse π i π ∗ proglaˇsavamo za operatore koji zadovoljavaju komutacione relacije [Weinberg, S. (2008)] h i h i ϕ(x, t), π(y, t) = ϕ† (x, t), π † (y, t) = i δ(x − y), h i− h i − h i ϕ(x, t), ϕ(y, t) = π(x, t), π(y, t) = ϕ(x, t), π † (y, t) = − h i− h i− h i † † † † † ϕ (x, t), ϕ (y, t) = ϕ (x, t), π(y, t) = π (x, t), π (y, t) = h i− h i− h i− † † † π (x, t), ϕ(y, t) = π (x, t), π(y, t) = ϕ (x, t), ϕ(y, t) = 0. (3.87) −

−

−

pri ˇcemu smo sa ϕ† (π † ) oznaˇcili operator pridruˇzen klasiˇcnom polju ϕ∗ (π ∗ ). Koriste´ci ove komutacione relacije, nalazimo da ϕ i ϕ† zadovoljavaju Klajn-Gordonovu jednaˇcinu. Reˇsenja ovih jednaˇcina traˇzimo u obliku Furijeovog integrala sa operatorskim amplitudama. Kako operator ϕ nije ermitski, moramo dopustiti postojanje dve vrste operatorskih amplituda. Ako ove operatore oznaˇcimo sa ak i bk , reˇsenje Klajn-Gordonove jednaˇcine se u ovom sluˇcaju moˇze zapisati kao Z  √ 1  √ ak e−ik·x + b†k eik·x , k 0 = ωk = m2 + k2 , ϕ(x, t) ≡ ϕ(x) = 2 ωk Zk  1  † ik·x √ ϕ† (x, t) ≡ ϕ† (x) = ak e + bk e−ik·x , (3.88) 2 ωk k Odgovaraju´ci kanonski impulsi su Z r   ωk † ik·x −ik·x † ˙ a e − bk e , π(x) = ϕ (x) = i 2 k k Z r   ωk † ˙ π (x) = ϕ(x) = i − ak e−ik·x + b†k eik·x , 2 k

(3.89)

√ pri ˇcemu se, kao i u (3.88), podrazumeva da je k 0 = ωk = m2 + k2 . Zamenom (3.88) i (3.89) u (3.87) nalazimo da amplitude zadovoljavaju slede´ci skup komutacionih relacija h i h i ak , a†q = bk , b†q = (2 π)3 δ(k − q), (3.90) h i h i h i− h i− h i h i ak , aq = a†k , a†q = bk , bq = b†k , b†q = ak , b†q = bk , a†q = 0. −

−

−

−

−

−

Energiju polja dobijamo pomo´cu (3.88) i (3.82), dok se impuls dobija sliˇcno kao u (3.44). Rezultat je Z Z h i h i † † 3 H = ωk ak ak + bk bk + (2 π) δ(0) = V ωk Nk (a) + Nk (b) + 1 , Zk h Z kh i i P = k a†k ak + b†k bk + (2 π)3 δ(0) = V k Nk (a) + Nk (b) , (3.91) k

k

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

130

pri ˇcemu se beskonaˇcni konstantni ˇclan u izrazu za energiju polja moˇze izostaviti zbog razloga koji su navedeni prilikom razmatranja energije skalarnog polja (jednaˇcina (3.39)), dok su (2 π)3 δ(k − k)Nk (a) = a†k ak ,

(2 π)3 δ(k − k)Nk (b) = b†k bk .

(3.92)

Pored¯enjem (3.91) sa (3.58), moˇze se zakljuˇciti da u ovom sluˇcaju postoje dve vrste bozonskih ekscitacija (kvanata) kompleksnog polja: ˇcestice tipa a i ˇcestice tipa b. Osnovno stanje sistema (vakuum) je definisano sa |0⟩ = |na (k) = 0⟩|nb (k) = 0⟩,

(3.93)

tj. ak |0⟩ = bk |0⟩ = 0.

(3.94) √ Obe vrste ˇcestica imaju jednaku masu m i pozitivnu energiju ω(k) = + k2 + m2 i, kao i u sluˇcaju skalarnog polja, mogu´ce je konstruisati jednoˇcestiˇcna ili dvoˇcestiˇcna stanja. Recimo, ako stanje koje sadrˇzi jednu a−ˇcesticu sa impulsom p i jednu b−ˇcesticu sa impulsom q oznaˇcimo sa |p(a) q(b)⟩ = a†p b†q |0⟩, lako se pokazuje da vaˇzi P |p(a) q(b)⟩ = [p(a) + q(b)]|p(a) q(b)⟩, H|p(a) q(b)⟩ = [ωp + ωq ]|p(a) q(b)⟩.

(3.95)

Po analogiji sa skalarnim poljem, mogu se izgraditi i proizvoljna viˇseˇcestiˇcna stanja Y [a†k ]na (ki ) [b†k ]nb (ki ) a b pi pi |0⟩. |n (k1 ), n (k2 ), · · · ⟩ = a n (ki )! nb (ki )! i

(3.96)

gde na (ki ) oznaˇcava broj ˇcestica tipa a u stanju sa impulsom ki a nb (ki ) oznaˇcava broj ˇcestica tipa b u stanju sa impulsom ki . Konaˇcno, i veliˇcina Q iz (3.86) se moˇze izraziti pomo´cu kreacionih i anihilacionih operatora Z Z Z h i
0 † 0 0 † Q= J (x) = i ϕ ∂ ϕ−ϕ∂ ϕ =V Nk (a) − Nk (b) ≡ N (a) − N (b). (3.97) x

x

k

Lako se proverava da je [Q, H]− = 0, ˇsto znaˇci da je Q oˇcuvana veliˇcina i u kvantnoj teoriji. Operator Q daje razliku izmed¯u kvanta polja ϕ tipa a i tipa b. Ukoliko bismo (recimo) ˇcesticama tipa a i b pripisali naelektrisanje, Z h i eQ|q(a)⟩ = eV Nk (a) − Nk (b) a†q |0⟩ = e|q(a)⟩, Zk h i eQ|q(b)⟩ = eV Nk (a) − Nk (b) b†q |0⟩ = −e|q(b)⟩. (3.98) k

vidimo da operator operator Q daje ukupno naelektrisanje polja ϕ, pri ˇcemu ˇcestice tipa a nose pozitivno a ˇcestice tipa b negativno naelektrisanje. U opˇstem sluˇcaju, moˇzemo re´ci operator Q opisuje zakon odrˇzanja razlike broja ˇcestica i koji je posledica U(1) simetrije [Brauner, T. (2010)]. Naravno, u sluˇcaju slobodnog kompleksnog polja vaˇzi [N (a), H]− = [N (b), H]− = 0. Med¯utim, ukoliko se ukljuˇci interakcija (koja je opisana ˇclanovima lagranˇzijanu koji sadrˇze proizvode viˇse od dva polja), operatori N (a) i N (b) u opˇstem sluˇcaju nisu oˇcuvani ali Q jeste [Weinberg, S. (2008)]. Na primer, u sluˇcaju skalarne elektrodinamike koje je definisana lagranˇzijanom (1.211), postoji interakcioni ˇclan oblika ϕ† ϕAµ Aµ . On opisuje procese u kojima dolazi do anihilacije jedne pozitivno naelektrisane i jedne negativno naeletrisane skalarne ˇcestice uz kreaciju dva fotona. Takod¯e, na osnovu reˇsenja (3.88) vidimo da stanja ϕ(x)|0⟩ i ϕ† (x)|0⟩ opisuju ˇcestice, lokalizovane u taˇcki x, koje nose naelektrisanja suprotnih predznaka.

3.3. KOMPLEKSNA POLJA

3.3.2

131

ˇ Slobodno Sredingerovo polje

U Odeljku 3.2 smo videli da se pri prelasku na kvantnu teoriju skalarno polje ponaˇsa kao sistem bozonskih relativistiˇckih ˇcestica. Pojava bozonske statistike je opˇsti rezultat relativistiˇcke kvantne teorije polja. Naime, skalarno polje poseduje spin S = 0 (trivijalno se transformiˇse u odnosu na rotacije) a prema teoriji o vezi spina i statistike, Lorencova invarijantnost, zajedno sa zahtevima o pozitivnosti energije ekscitacija i norme ˇcestiˇcnih stanja, uz uslov ne naruˇsavanja kauzalnosti, nuˇzno vodi na bozonsku statistiku ˇcestica sa spinom S = 0 [Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995); Weinberg, S. (2008)]. Sa druge strane, ograniˇcenja koja name´ce Lorencova ˇ invarijantnost ne postoje u sluˇcaju nerelativistiˇckog Sredingerovog polja. Zbog toga prilikom kvantovanja moramo dopustiti postojanje i bozonske i fermionske statistike. Ispostavlja se da je prilikom kanonskog kvantovanja sistema fermiona, Poasonove zagrade neophodno zameniti antikomutatorima [Weinberg, S. (2008); Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995)]. ˇ Lagranˇzijan Sredingerovog polja je uveden u Primeru 1.3 a u Primeru 1.14 je diskutovana invarijantnost lagranˇzijana u odnosu na globalne U(1) transformacije. Tmo je pokazano je da ova simetrija ima za posledicu jednaˇcinu kontinuiteta divJ + ∂t ρ = 0, gde je ρ = ψ ∗ ψ gustina ˇ U(1) naboja klasiˇcnog Sredngerovog polja. Takod¯e, u Primeru 1.8 smo naˇsli kako izgledaju odgovaraju´ci kanonski impuls i hamiltonijan. ˇ Prilikom prelaska na kvantnu teoriju Sredingerovog polja usvajamo pravila kanonske kvan∗ ∗ tizacije. Dakle, polja ψ i ψ , odnosno π i π postaju operatori koji zadovoljavaju relacije h i h i ψ(x, t), π(y, t) = ψ † (x, t), π † (y, t) = iδ(x − y), (3.99) ∓

∓

ˇ L. (1968)]. U (3.99) smo uveli notaciju dok ostali komutatori/antikomutatori iˇsˇcezavaju [Sif, za komutator/antikomutator veliˇcina A i B h i A, B := AB ∓ BA (3.100) ∓

koju ´cemo koristiti u nastavku. Budu´ci da su kanonski impuls i konjugovano polje jednostavno povezani, π = iψ ∗ , u nastavku ´cemo sve rezultate izraziti pomo´cu ψ ∗ . Tako, umesto (3.99) imamo relaciju h i ψσ (x, t), ψσ† ′ (y, t) = δ(x − y)δσσ′ , (3.101) ∓

ˇ gde indeks σ oznaˇcava projekciju spina i uzima jednu od 2S + 1 vrednosti. Cesto ´cemo umesto ψσ pisati samo ψ i smatra´cemo da je ψ kolona sa 2S + 1 komponentom. Koriste´ci operatorsku verziju hamiltonijana (1.102) Z Z 1 † 2 1 † ∇ψ · ∇ψ = − ψ ∇ ψ, (3.102) H= x 2m x 2m nalazimo jednaˇcinu kretanja za operator ψ (radi preglednosti ne piˇsemo vremensku koordinatu; podrazumeva se da su svi operatori definisani u istom trenutku t) Z h h i i 1 † ˙ ψ(y), [∇x ψ (x)] · [∇x ψ(x)] (3.103) iψ(y) = ψ(y), H = − 2m x ∓ ∓ Z Z h i 1 1 = − ∇x ψ(y), ψ † (x) · [∇x ψ(x)] = ∇x δ(x − y) · [∇x ψ(x)] 2m x 2m x ∓ Z Z   1 1 = ∇x δ(x − y)∇x ψ(x) − δ(x − y)∇2x ψ(x). (3.104) 2m x 2m x

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

132

jer ψ(x) i ψ(y) komutiraju. Primenom Gausove teoreme na prvi integral iz gornje jednaˇcine uz koriˇs´cenje ˇcinjenice da je δ(x − y) = 0 kad x reprezentuje taˇcku na granici oblasti integracije ˇ a y taˇcku iz unutraˇsnjosti, dobijamo jednaˇcinu kretanja za Sredingerov polje i∂t ψ(y, t) = −

1 2 ∇ ψ(y, t), 2m y

(3.105)

Kao i u sluˇcaju klasiˇcnog skalarnog polja iz prethodnog odeljka, dobili smo jednaˇcinu koja ˇ formalno izgleda isto kao i u klasiˇcnom sluˇcaju. Poˇsto je disperziona relacija za Sredingerovo polje data sa (1.74), reˇsenje jednaˇcine za operator ψ piˇsemo pomo´cu Furijeovog integrala Z k2 ψ(x, t) = ak eik·x−iω(k)t , ω(k) = , (3.106) 2m k dok je adjungovani operator Z † ψ (x, t) = a†k e−ik·x+iω(k)t .

(3.107)

k

Da bi reˇsenja (3.106) i (3.107) zadovoljavala (anti)komutacione relacije (3.101), amplitude polja moraju da budu takve da vaˇzi h i h i h i a(k,σ) , a†(q,σ′ ) = (2 π)3 δ(k − q)δσσ′ , a(k,σ) , a(q,σ′ ) = a†(q,σ) , a†(q,σ′ ) = 0. (3.108) ∓

∓

∓

pri ˇcemu indeks σ uzima 2S + 1 vrednost i oznaˇcava projekciju spina. Oˇcekivano, dobili smo da ˇ u kvantnoj verziji amplitude Sredingerovog polja mogu zadovoljavati i bozonske i fermionske komutacione relacije. ˇ Eksplicitan izraz za energiju i impuls slobodnog Sredingerovog polja u odsustvu spoljaˇsnjeg potencijala dobijamo zamenom (3.106) i (3.107) u (3.102) i (1.170), pri ˇcemu koristimo korespodenciju π → iψ † . Tako dobijamo XZ XZ k2 † H = ω(k)a(k,σ) a(k,σ) = V ω(k)Nk,σ , ω(k) = , (3.109) 2m k k σ σ XZ XZ † k Nk,σ (3.110) P = k a(k,σ) a(k,σ) = V k

σ

σ

k

Operator Nk,σ koji se pojavljuje u (3.109) i (3.110) je definisan kao Nk,σ = V a†(k,σ) a(k,σ) i ˇ vidimo da on i u sluˇcaju Sredingerovog polja ima smisao broja ˇcestica u stanju sa impulsom ˇ k. Odnosno, ukupan broj kvanata Sredingerovog polja je Z XZ XZ † N= a(k,σ) a(k,σ) = V Nk,σ = ψ † (x, t)ψ(x, t). (3.111) σ

k

σ

k

x

ˇsto znaˇci da operator ρ(x, t) = ψ † (x, t)ψ(x, t)

(3.112)

ˇ moˇzemo tumaˇciti kao operator gustine broja ekscitacija Sredingerovog polja. Kao i u sluˇcaju ˇ kompleksnog polja, vaˇzi [N, H]− = 0 ˇsto interpretiramo kao oˇcuvanje broja kvanata Sredingerovog

3.3. KOMPLEKSNA POLJA

133

polja. Na osnovu formalne sliˇcnosti sa relativistiˇckim teorijama, jasno je da se i u sluˇcaju ˇ Sredingerovog polja moˇze konstruisati Fokov prostor, ve´c prema tome da li su elementarne ekscitacije bozoni ili fermioni. Takod¯e, iz (3.109) se vidi da je interpretacija parametra ˇ m iz lagranˇzijana za kvantno Sredingerovo polja masa nerelativistiˇcke cestice koja je kvant ˇ Sredingerovog polja. Viˇseˇcestiˇcna fermionska stanja (3.11) se takod¯e mogu izgraditi pomo´cu dejstva kreacionih i anihilacionih operatora. Budu´ci da vaˇzi [a†k , a†q ]+ = 0, mogu´ce svojstvene vrednosti za operator Nk su samo n(ki ) = 0 i n(ki ) = 1. Uzimaju´ci da je σ spin fermiona ˇ koje opisuje Sredingerovo polje, proizvoljno antisimetriˇcno stanje se definiˇse kao [Altland, A., Simons, B. (2010)]. |n(k1 , σ1 ), n(k2 , σ2 ), · · · n(ki , σi ) · · · ⟩ =

Yh

a†(ki ,σi )

in(ki ,σi )

|0⟩,

(3.113)

i

gde impuls, zajedno sa projekcijom spina, definiˇse jednoˇcestiˇcno stanje. Dejstvo kreacionih i anihilacionih operatora je dato sa p n(ki , σi ) + 1 (−1)Σ(ki ,σi ) | · · · n(ki , σi ) = 1 · · · ⟩, a†(ki ,σi ) | · · · n(ki , σi ) = 0 · · · ⟩ = p a(ki ,σi ) | · · · n(ki , σi ) = 1 · · · ⟩ = V n(ki , σi ) (−1)Σ(ki ,σi ) | · · · n(ki , σi ) = 0 · · · ⟩ (3.114) a u svim ostalim sluˇcajima operatori a†(ki ,σi ) i a(ki ,σi ) anihiliraju viˇseˇcestiˇcna stanja. Fazni faktor Σ(ki , σi ) je definisan kao Σ(ki , σi ) =

i−1 X

n(ki , σi )

(3.115)

α=1

i predstavlja broj popunjenih stanja koja prethode stanju |ki , σi ⟩. Uz ovakve definicije je viˇsefermionsko stanje ispravno antisimetrizovano [Negle, J.W., Orland, H. (1998)].

3.3.3

ˇ Sredingerovo polje u spoljaˇ snjem potencijalu

ˇ Postoji odred¯eni broj primena Sredingerovog polja na opis sistema ˇcestica koje se nalaze u spoljaˇsnjem (vremenski nezavisnom) potencijalu U (x). Takvi modeli sluˇze, recimo, za opis elektrona koji se kre´cu u potencijalu reˇsetke [Fetter, A., Walecka, J. (1971); Mahan, G. D. (2000); Altland, A., Simons, B. (2010)]. U takvom sluˇcaju je pogodno definisati jednoˇcestiˇcna stanja pomo´cu bazisa koji uraˇcunava potencijal U (x). Kvadratni lagranˇ zijan ˇ Gustina lagranˇzijana za neinteraguju´ce Sredingerovo polje u spoljaˇsnjem potencijalu je data sa ˇ L. (1968)] [Sif, L = iψ ∗ (x)∂t ψ(x) −

1 ∇x ψ ∗ (x) · ∇x ψ(x) − U (x)ψ ∗ (x)ψ(x) 2m

i za Hamiltonov operator se dobija Z   1 2 H= ψ † (x, t) − ∇ + U (x) ψ(x, t), 2m x

(3.116)

(3.117)

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

134

pri ˇcemu su ψ i ψ † operatori kolone ˇcije komponente zadovoljavaju relacije (3.101). Odgovaraju´ca jednaˇcina kretanja je h i i∂t ψ(y, t) = ψ(y, t), H Z h ∓ Z h i i 1 † 2 = − ψ(y, t), ψ (x, t)∇x ψ(x, t) + ψ(y, t), ψ † (x, t) U (x)ψ(x, t) 2m x ∓ ∓ x 1 2 (3.118) ∇ ψ(y, t) + U (y)ψ(y, t), = − 2m y,t Jednaˇcina (3.118) u opˇstem sluˇcaju nema reˇsenja u obliku ravnih talasa, tako da se ne moˇze direktno primeniti ranije opisani postupak traˇzenja reˇsenja u vidu Furijeovog integrala. Ipak, ˇ L. (1968)] pretpostavimo da znamo reˇsenja slede´ce diferencijalne jednaˇcine [Sif,   1 2 − ∇ + U (x) ϕn (x) = En ϕn (x), (3.119) 2m x Funkcije ϕn ovde moˇzemo shvatiti kao reˇsenja jednoˇcestiˇcnog kvantnomehaniˇckog svojstvenog 1 problema za hamiltonijan − 2m ∇2 + U (x). Odgovaraju´ci ket jednoˇcestiˇcnog stanja je |n⟩, tako da je ϕn (x) = ⟨x|n⟩. Reˇsenja ϕn (x) ˇcine potpuni bazis i, radi jednostavnosti, pretpostavi´cemo ˇ da indeks n uzima diskretne vrednosti (tj. ⟨n|m⟩ = δn,m ). Sredingerovo polje sada moˇzemo razviti po funkcijama ϕn (x) X X ψ(x, t) = an e−iEn t ϕn (x), ψ † (x, t) = a†n eiEn t ϕ∗n (x), (3.120) n

n

pri ˇcemu smo spinski indeks uvukli“ u n. Uz ovakvo reˇsenje, hamiltonijan polja postaje ” X † En an an , (3.121) H= n

gde je iskoriˇs´ceno ortonormiranje svojstvenih funkcija ϕn (x). Zamenom reˇsenja (3.120) u (3.101) dobijamo eksplicitni izraz za komutator/antikomutator i h i Xh † † an , am eit(Em −En ) ϕ∗m (x) ϕn (y). (3.122) ψ(x, t), ψ (y, t) = ∓

n,m

∓

ˇ L. (1968)] Poˇsto funkcije ϕn (x) zadovoljavaju uslov kompletnosti [Sif, X ϕ∗n (x) ϕn (y) = δ(x − y),

(3.123)

n

za kreacione i anihilacione operatore moraju vaˇziti slede´ce relacije h i an , a†m = δnm .

(3.124)

Sliˇcno se pokazuju i h i h i † an , am = an , am = 0.

(3.125)

∓

∓

∓

Iz (3.121), (3.124) i (3.125) se vidi da na snazi ostaje sve ˇsto je reˇceno za sluˇcaj U (x) = 0, s tom razlikom da se umesto ravnih talasa koristi ortonormirani bazis {ϕn (x)}, uz zamenu delta-funkcija9 Kronekerovim simbolima. 9

Zapravo, uz zamenu delta funkcija pomnoˇzenih sa (2 π)3 Kronekerovim simbolima.

3.3. KOMPLEKSNA POLJA

135

Lagranˇ zijan sa dvoˇ cestiˇ cnom interakcijom Pretpostavimo sad da ˇcestice koje opisuje hamiltonijan (3.117) interaguju med¯usobno i neka je potencijalna energija te interakcije data sa 1 Xf 1X W = W (xi − xj ) = W (xi − xj ), W (xi − xi ) = W (0) = 0 (3.126) 2 i̸=j 2 i,j Da bi formalizmom KTP obuhvatili ovakvu dvoˇcestiˇcnu interakciju, moˇzemo postupiti na slede´ci naˇcin. Dvoˇcestiˇcna interakcija iz (3.126) se oˇcigledno moˇze zapisati i kao Z X Z 1 1 δ(x − xi )W (x − y)δ(y − xj ) = ρ(x)W (x − y)ρ(y) (3.127) W = 2 x,y i,j 2 x,y gde smo uveli zapreminsku gustinu broja ˇcestica X ρ(x) = δ(x − xi ).

(3.128)

i

Prilikom prelaska na kvantnu teoriju, ρ(x) postaje operator gustine broja ˇcestica. Njega smo ˇ takod¯e naˇsli prilikom razmatranja slobodnog Sredingerovog polja [Videti jednaˇcinu (3.112)] ρ(x) = ψ † (x)ψ(x).

(3.129)

Zamena (3.128) i (3.129) u (3.127) daje operator dvoˇcestiˇcne interakcije napisan pomo´cu opeˇ ratora Sredingerovog polja Z 1 ψ † (x)ψ(x)W (x − y)ψ † (y)ψ(y). (3.130) W = 2 x,y Operator interakcije se obiˇcno piˇse tako da su operatori polja normalno ured¯eni, ˇcime dolazimo do konaˇcnog oblika Z 1 1 X W = ψ † (x)ψ † (y)W (x − y)ψ(y)ψ(x) = Wijkl a†i a†j ak al (3.131) 2 x,y 2 i,j,k,l Matriˇcni elementi interakcije koji se pojavljuju u (3.131) su definisani sa Z Wijkl = ϕ∗i (x)ϕ∗j (y)W (x − y)ϕk (y)ϕl (x).

(3.132)

x,y

Naravno, izrazi (3.130) i (3.131) imaju isti klasiˇcni limes i u oba je W ermitski operator, ali drugi ima prednost da anihilira vakuum [Mahan, G. D. (2000)]. Oni se zapravo razlikuju do na dijagonalni ˇclan koji se moˇze smatrati delom energije vakuuma. Dakle, hamiltonijan interaguju´ceg sistema nerelativistiˇckih ˇcestica se moˇze zapisati kao Z Z  ∇2  1 † + U (x) ψ(x) + ψ † (x)ψ † (y)W (x − y)ψ(y)ψ(x) H = ψ (x) − 2m 2 x,y x X X 1 = En a†n an + Wijkl a†i a†j ak al (3.133) 2 n i,j,k,l pri ˇcemu vremenski argument kod operatora polja nije pisan radi preglednosti. Na kraju treba primetiti da, iako opisuju istu interakciju, izmed¯u dvoˇcestiˇcnog kvantno-mehaniˇckog operatora (3.126) i operatora (3.131) postoji konceptualna razlika. Dok su u (3.126) dinamiˇcke promenjive operatori koordinate xi , u (3.131) su to operatori polja ψ(x).

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

136

3.4

Viˇ seˇ cestiˇ cni operatori

U prethodna dva odeljka smo naveli viˇse primera operatora koji se pojavljuju u kvantnim ˇ verzijama skalarnog, kompleksnog i Sredingerovog operatora. Sa izuzetkom primera (3.131), u pitanju su bili tzv. jednoˇcestiˇcni operatori. Njihovo dejstvo na viˇseˇcestiˇcna bozonska i fermionska stanja se svodi na dejstvo operatora n(k) na viˇseˇcestiˇcna stanja. Primeri jednoˇcestiˇcnih operatora su, recimo, operatori energije i impulsa slobodnih polja [Videti (3.58), (3.91), (3.110) i (3.131)], kao i operator naboja Q definisan u (3.97). Oni su, u opˇstem sluˇcaju, konstruisani od parova kreacionih i/ili anihilacionih operatora. Dvoˇcestiˇcni operatori opisuju efekte interakcije, odnosno procese u kojima dolazi do kreacije i anihilacije ˇcestica i sadrˇze ˇcetiri kreaciona i/ili anihilaciona operatora. Pored navedenih jednoˇcestiˇcnih i dvoˇcestiˇcnih operatora, postoje i mnogi modeli sa operatorima koji sadrˇze beskonaˇcan niz ˇclanova koji opisuju interakciju i sadrˇze sve ve´ci broj operatora kreacije i anihilacije. Primer za ovakve teorije su one zasnovane na kvantnoj verziji nelinearnog sigma modela ili teorije koje opisuju sisteme lokalizovanih spinova [Videti Odeljak 3.7 za primer Hajzenbergovog modela]. U ovom odeljku ´cemo diskutovati teoremu [Weinberg, S. (2008)] koja tvrdi da je uvek mogu´ce konstruisati proizvoljne viˇseˇcestiˇcne operatore koji imaju traˇzeno dejstvo na viˇseˇcestiˇcna bozonska/fermionska stanja a izgrad¯eni su od kreacionih i anihilacionih operatora prema Z ∞   X O = dq1 dq2 · · · dqN dp1 dp2 · · · dpM CN M q1 , q2 , . . . , qN ; p1 , p2 , . . . , pM N,M =0

× a†q1 a†q2 · · · a†qN apM apM −1 · · · ap1 ,

(3.134)

gde R p (ili q) oznaˇcava skup parametara koji karakteriˇsu stanje (recimo, impuls p i spin σ), a R dp oznaˇ R cava sumu po svim vrednostima tih parametara. Recimo, za skalarnoRpolje jePp ≡ p i ˇ dp ≡ p , za bozonsko S = 0 Sredingerovo polje u spoljaˇsnjem potencijalu je dp ≡ n , dok R R P ˇ je za fermionsko Sredingerovo polje p = (p, σ) i dp ≡ p σ=1,2 . Dalje, kreacioni i anihilacioni operatori iz (3.134) zadovoljavaju relacije    † † ap , a†q = δ(p − q), ap , aq = [ap , aq ] = 0. (3.135) Tako za skalarno polje (3.135) postaje [ap , a†q ]− = (2 π)3 δ(p − q), dok je u sluˇcaju fermionskog ˇ Sreingerovog polja (3.135) skra´ceni zapis za [ap,σ , a† ′ ]+ = (2 π)3 δ(p−q)δσσ′ itd. Jednoˇcestiˇcna q,σ

a†k |0⟩.

stanja su |k⟩ = Ako je jedan od operatora bozonski a drugi fermionski, uzimamo da uvek komutiraju. Konaˇcno, anihilacioni operatori deluju na jednoˇcestiˇcna stanja prema ak |K⟩ = δ(K − k)|0⟩,

(3.136)

ˇsto je apstraktna verzija relacije (3.71). Drugim reˇ cima, teorema tvrdi da je uvek mogu´ce izabrati koeficijente CN M p1 , p2 , . . . pN ; q1 , q2 · · · qM tako da matriˇcni element operatora O izmed¯u viˇseˇcestiˇcnih stanja imaju traˇzene (tj. unapred zadane) vrednosti. Zbog komutacionih (antikomutacionih) relacija (3.135), koeficijenti CN M su simetriˇcni (antisimetriˇcni) u odnosu na permutacije q1 , q2 , . . . qN i p1 , p2 , . . . pM . Na primer, posmatrajmo operator O koji sadrˇzi proizvod dva anihilaciona i jednog kreacionog operatora za fermione Z (3.137) O = dqdpdp′ C12 (q; p, p′ )a†q ap ap′ .

ˇ CESTI ˇ ˇ OPERATORI 3.4. VISE CNI

137

Koriste´ci anitikomutator da zamenimo mesta operatorima ap i ap′ , nakon ˇcega izvrˇsimo smenu nemih promenjivih p ⇌ p′ , vidimo da se ovaj operator moˇze napisati kao Z O = − dqdpdp′ C12 (q; p′ , p)a†q ap ap′ , (3.138) odakle dobijamo C12 (q; p, p′ ) = −C12 (q; p′ , p). Slede´ci primer operatora koji sadrˇzi jedan bozonski i dva fermionska operatora je oblika Z O = dqdpdp′ C12 (q; p, p′ )a†q ap bp′ , (3.139) gde su ap i a†q fermionski operatori a bp′ je bozonski operator. Poˇsto je [ap , bp′ ] = 0, u ovom sluˇcaju vaˇzi C12 (q; p, p′ ) = +C12 (q; p′ , p) Operatori ovog tipa se pojavljuju u teoriji superprovodnosti gde a†q kreira a ap anihilira elektron dok bp′ anihilira fonon [Feynman, R.P. (1973); Mahan, G. D. (2000); Abrikosov, A., Gorkov, L., Dzyaloshinski, I. (1963)]. Pre nego ˇsto krenemo u dokaz teoreme, dobi´cemo neke pomo´cne rezultate o dejstvu anihilacionih operatora na stanja |K1 , K2 , . . . KN ⟩ = a†K1 a†K2 . . . a†KN |0⟩.

(3.140)

Za poˇcetak, pokaza´cemo da vaˇzi ak |K1 , K2 , . . . KN ⟩ =

N X (±)α+1 δ(k − Kα )| · · · Kα = 0 · · · ⟩,

(3.141)

α=1

pri ˇcemu se gornji znak odnosi na bozonske operatore, donji na fermionske a | · · · Kα = 0 · · · ⟩ = a†K1 · · · a†Kα−1 a†Kα+1 · · · a†KN |0⟩.

(3.142)

predstavlja stanje kojem je u odnosu na (3.140) uklonjena jedna ˇcestica iz stanja |Kα ⟩. Koriˇs´cenjem (3.135) dva puta uzastopno nalazimo   † † † † ak aK1 aK2 · · · aKN |0⟩ = δ(k − K1 ) ± aK1 ak a†K2 · · · a†KN |0⟩ = =

δ(k − K1 )a†K2 · · · a†KN |0⟩ ± a†K1 ak a†K2 · · · a†KN |0⟩   δ(k − K1 )| · · · K1 = 0 · · · ⟩ ± a†K1 δ(k − K2 ) ± a†K2 ak a†K3 · · · a†KN |0⟩

= δ(k − K1 )| · · · K1 = 0 · · · ⟩ ± δ(k − K2 )| · · · K2 = 0 · · · ⟩ (±)2 a†K1 a†K2 ak a†K3 · · · a†KN |0⟩

(3.143)

Nastavljaju´ci pomeranje operatora ak na desno, koriˇs´cenjem (3.135), dobijamo (3.141). Slede´ci rezultat koji nam treba se tiˇce dejstva N anihilacionih operatora na viˇseˇcestiˇcno stanje (3.140) Razmotrimo, za poˇcetak, sluˇcaj Fermi-Dirakove statistike. Tvrdimo da je akN akN −1 . . . ak2 ak1 |K1 , K2 , . . . KN −1 , KN ⟩ = det [δ(Kα − kβ )] |0⟩ = ϵα1 α2 ...αN −1 αN δ(K1 − kα1 )δ(K2 − kα2 ) . . . δ(KN − kαN )|0⟩,

(3.144)

gde ϵα1 α2 ...αN predstavlja totalno antisimetriˇcni simbol u N dimenzija. Dokaz izvodimo indukcijom. Poˇsto se lako proverava da relacija (3.144) vaˇzi za N = 1 i N = 2, pretpostavimo da

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

138

je ispravna za proizvoljno N i pogledajmo ˇsta se dobija kada je broj ˇcestica N + 1. Tada je potrebno odrediti kako N + 1 anihilacioni operator deluje na viˇseˇcestiˇcno stanje prema akN +1 akN akN −1 . . . ak2 ak1 |K1 , K2 , . . . , KN , KN +1 .⟩

(3.145)

Koriste´ci antikomutacione relacije za anihilacione operatore (3.135) da operator akN +1 prebacimo skroz sa desne strane u odnosu na ostale, gornji izraz svodimo na (−1)N akN akN −1 . . . ak2 ak1 akN +1 |K1 , K2 , . . . , KN , KN +1 ⟩ = N

(−1)

N X

δ(Kα − kN +1 )akN akN −1 . . . ak2 ak1 | · · · Kα = 0 · · · KN +1 ⟩

α=1

+ (−1)N (−1)(N +1)+1 δ(KN +1 − kN +1 )akN akN −1 . . . ak2 ak1 |K1 , K2 , · · · KN , KN +1 = 0⟩ gde smo iskoristili (3.141) i posebno smo izdvojili ˇclanove u kojima je akN +1 anihilirao stanje |KN +1 ⟩. Ako sada iskoristimo relaciju (3.144) koja, po pretpostavci, vaˇzi za proizvoljno N nalazimo akN +1 akN akN −1 . . . ak2 ak1 |K1 , K2 , . . . , KN , KN +1 ⟩ = δ(KN +1 − kN +1 )ϵα1 α2 ...αN δ(K1 − k1 ) · · · δ(KN − kN ) N X + (−1)α+(N +1) δ(Kα − kN +1 )ϵβ1 β2 ...βi ̸=α...βN +1 δ(Kβ1 − k1 ) · · · δ(KβN − kN ). α=1

Kao rezultat smo dobili sumu od N ! + N !N = (N + 1)! ˇclanova od kojih se svaki sastoji od proizvoda N + 1 delta funkcija sa razliˇcitim argumerntima tipa Kα − kβ . Takod¯e, na osnovu osobina antisimetriˇcnog tenzora i faktora (−1)α+(N +1) , sve permutacije veliˇcina kα u odnoosu na δ(K1 − k1 )δ(K2 − k2 ) · · · δ(KN − kN )δ(KN +1 − kN +1 ),

(3.146)

ulaze u krajnji rezultat sa predznakom ± u zavisnosti od toga da li je permutacija parna ili ne. Ovim je dokaz zavrˇsen. ˇ se tiˇce bozonske statistike, vaˇzi Sto akN akN −1 . . . ak2 ak1 |K1 , K2 , . . . KN −1 , KN ⟩ = per[δ(Kα − kβ )]|0⟩ X = δ(K1 − kα1 )δ(K2 − kα2 ) . . . δ(KN − kαN )|0⟩

(3.147)

α1 ,...αN

i dokazuje se na sliˇcan naˇcin. U gornjoj relaciji je sa per oznaˇcena permanenta matrice. Zabeleˇzi´cemo i relacije koje se od (3.144) i (3.147) dobijaju adjungovanjem. Za sluˇcaj fermiona imamo ⟨KN , KN −1 , . . . K1 |a†k1 · · · a†kN = ⟨0|det [δ(Kα − kβ )] ,

(3.148)

⟨KN , KN −1 , . . . K1 |a†k1 · · · a†kN = ⟨0|per [δ(Kα − kβ )]

(3.149)

dok

vaˇzi za bozonske sisteme.

ˇ CESTI ˇ ˇ OPERATORI 3.4. VISE CNI

139

Primer 3.3. Pogledajmo kako relacija (3.144) glasi u sluˇcaju troˇcestiˇcnog stanja. Direktno nalazimo aq ap ak |QP K⟩ = δ(K − k)δ(P − p)δ(Q − q)|0⟩ + δ(K − p)δ(P − q)δ(Q − k)|0⟩ + δ(K − q)δ(P − k)δ(Q − p)|0⟩ − δ(K − k)δ(P − q)δ(Q − p)|0⟩ − δ(K − p)δ(P − k)δ(Q − q)|0⟩ − δ(K − q)δ(P − p)δ(Q − k)|0⟩.

(3.150)

Iz ove jednakosti se lepo vidi da su i leva i desna strana antisimetriˇcne u odnosu na med¯usobne permutacije k, p i q, kao i u odnosu na nezavisne permutacije K, P i Q. ■ Pred¯imo sada na dokaz teoreme, koji takod¯e izvodimo induktivno. Neka je operator O zadat kao u (3.134). Poˇsto je ak |0⟩ = ⟨0|a†k = 0, dejstvo operatora O na vakuumsko stanje je u potpunosti odred¯eno matriˇcnim elementom C00 = ⟨0|O|0⟩.

(3.151)

Sliˇcno, njegovo dejstvo na jednoˇcestiˇcna stanja |K⟩ je odred¯eno sa tri matriˇcna elementa Z Z ⟨0|O|K⟩ = dp C01 (p)⟨0|ap |K⟩ = dp C01 (p)δ(K − p) = C01 (K), Z Z † ⟨K|O|0⟩ = dp C10 (p)⟨K|ap |0⟩ = dp C10 (p)δ(K − p) = C01 (K), Z ⟨Q|O|P ⟩ = dqdp C11 (q; p)⟨Q|a†q ap |P ⟩ = C11 (Q; P ). (3.152) Pretpostavimo da smo na ovaj naˇcin fiksirali sve matriˇcne elemente do nekog CN¯ M¯ . Ovaj matriˇcni element je odred¯en sa ⟨QN¯ , QN¯ −1 , . . . Q2 , Q1 |O|P1 , P2 , . . . PM¯ −1 , PM¯ ⟩ Z   = dqN¯ · · · dq1 dp1 · · · dpM¯ CN¯ M¯ q1 , q2 , . . . qN¯ −1 , qN¯ ; p1 , p2 , . . .M¯ −1 pM¯ × ⟨QN¯ , QN¯ −1 , . . . Q2 , Q1 | · · · a†q1 · · · a†qN¯ apN¯ · · · ap1 |P1 , P2 , . . . PM¯ −1 , PM¯ ⟩ ¯ iM ≤M ¯. + ˇclanovi koji sadrˇze CN M sa N < N

(3.153)

Ako je u pitanju sistem fermiona, na osnovu (3.144) i (3.148), vidimo da se integral iz gornje jednakosti svodi na   ϵα1 α2 ···αN ϵβ1 β2 ···βM CN¯ M¯ Qα1 , Qα2 , . . . , QαN ; Pβ1 , Pβ2 , . . . , PβM   = N !N !CN¯ M¯ Q1 , Q2 , . . . , QN ; P1 , P2 , . . . PM , (3.154) pri ˇcemu smo iskoristili osobinu antisimetrije koeficijenata CN M u odnosu na permutacije argumenata. Lako je videti da se identiˇcan rezultat dobija i u sluˇcaju ˇcestica sa bozonskom statistikom [Weinberg, S. (2008)], kao i u sluˇcaju kada imamo meˇsane bozonske i fermionske ˇcestice. Na taj naˇcin dobijamo ⟨QN¯ , QN¯ −1 , . . . Q2 , Q1 |O|P1 , P2 , . . . PM¯ −1 , PM¯ ⟩   = N !N !CN M Q1 , Q2 , . . . , QN ; P1 , P2 , . . . PM ¯ iM ≤M ¯. + ˇclanovi koji sadrˇze CN M sa N < N

(3.155)

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

140

Dakle, bez obzira na to kako su ranije fiksirani svi ostali koeficijenti CN M , uvek moˇzemo odabrati koeficijente CN¯ M¯ tako da matriˇcni elementi operatora O izmed¯u viˇseˇcestiˇcnih stanja ⟨QN¯ , QN¯ −1 , . . . Q2 , Q1 | i |P1 , P2 , . . . PM¯ −1 , PM¯ ⟩ ima traˇzenu vrednost. Ovim je teorema dokazana. U kanonskom formalizmu kljuˇcnu ulogu u opisu sistema ima hamiltonijan izraˇzen pomo´cu kreacionih i anihilacionih operatora. Kao ˇcsto smo upravo videli, bilo koji klasiˇcni hamiltonijan se, pri prelasku na kvantnu teoriju, moˇze izraziti u obliku (3.134). Deo hamiltonijana koji je oblika Z H = dp ω(p)a†p ap , (3.156) opisuje slobodno polje, tj. sistem neinteraguju´cih ˇcestica ˇcija je energija ω(p) [Ovde i dalje ˇ koristimo apstraktnu notaciju uvedenu na poˇcetku ovog poglavlja]. Clanovi koji sadrˇze ve´ci broj kreacionih i anihilacionih operatora opisuju interakciju izmed¯u ˇcestica koja se ogleda kroz razliˇcite procese nastajanja, nestajanja ˇcestica ili njihovog rasejanja. Kod sistema koji poseduju translatornu invarijantnost, struktura interakcionog ˇclana je Z ∞   X Hint = dq1 dq2 · · · dqN dp1 dp2 · · · dpM hN M q1 , q2 . . . qN ; p1 , p2 , . . . pM N,M =0

× a†qN · · · a†q1 ap1 · · · apM ,

(3.157)

pri ˇcemu su koeficijenti hN M sadrˇze samo jednu delta funkciju koja osigurava oˇcuvanje trodimenzionog impulsa [sada eksplicitno piˇsemo trodimenzioni impuls i projekciju spina],     ′ ′ ′ hN M q1 , q2 · · · qN ; p1 , p2 , · · · pM ≡ hN M q1 σ1 , q2 σ2 · · · qN σN ; p1 σ1 , p2 σ2 , · · · pM σM   = δ q1 + q2 + · · · + qN − p 1 − p 2 − · · · − p M   ′ ′ ′ e × hN M q1 σ1 , q2 σ2 · · · qN σN ; p1 σ1 , p2 σ2 , · · · pM σM (3.158) a koeficijenti e hN M ne sadrˇze dodatne delta funkcije. Ispostavlja se da ovakav oblik interakcije osigurava da se implementira princip lokalnosti po kojem dovoljno udaljene ˇcestice ne mogu da utiˇcu jedna na drugu. Ovo je jedan od osnovnih razloga upotrebe kreacionih i anihilacionih operatora u relativistiˇckoj kvantnoj teoriji polja i nerelativistiˇckoj kvantnoj statistiˇckoj mehanici [Weinberg, S. (2008)]. Uticaj interakcije se obiˇcno uraˇcunava perturbativno i u tu svrhu su razvijene razliˇcte tehnike [Abrikosov, A., Gorkov, L., Dzyaloshinski, I. (1963); Mahan, G. D. (2000); Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995); Ryder, L.H. (1996)].

3.5

Diskretizacija u teoriji polja

U literaturi se ˇcesto koriste dva vida diskretizacije teorije polja. Prvi je tzv. normiranje u kutiji kojim se postiˇze da talasni vektori uzimaju diskretne vrednosti dok vektor poloˇzaja ostaje neprekidna veliˇcina. Drugi prilaz pretpostavlja diskretnu strukturu i direktnog i reciproˇcnog prostora (tzv. teorija polja na reˇsetki). U nastavku je dat kratak pregled oba prilaza a direktna primena teorije polja na reˇsetki je ilustrovana kroz primere Hajzenbergovog feromagneta i antiferomagneta u Odeljcima 3.7.2 i 3.7.3.

3.5. DISKRETIZACIJA U TEORIJI POLJA

3.5.1

141

Normiranje u kutiji

Jedan od naˇcina izbegavanja normiranja na delta funkciju je zatvaranje posmatranog sistema u ˇ L. (1968); Pavkov-Hrvojevi´c, M., kocku ivice L i nametanjem periodiˇcnih graniˇcnih uslova [Sif, ˇ Skrinjar, M., Kapor, D., Krstonoˇsi´c, P. (2007)]. To dovodi do diskretizacije vrednosti talasnog vektora, tako da integrali bivaju zamenjeni sumama Z 1 X . (3.159) −→ 3 L k k Usled zamene integrala sumom, modifikuju se i neke jednaˇcine. Tako, (anti)komutacione relacije postaju h i † ak , aq = ∆(k − q), (3.160) ∓

gde je ∆(k − q) Kronekerov simbol, dok hamiltonijan slobodnog polja prelazi u h X 1i † ω(k) ak ak + , H= 2 k

(3.161)

uz istovremeno reskaliranje kreacionih i anihilacionih operatora a† √k → a†k , V

a √k → ak , V

V = L3 = (2 π)3 δ(p − p) = (2 π)3 δ(0).

Takod¯e, prilikom izvod¯enja jednaˇcina kretanja za polje umesto Z Z ik·(x∓y) eix·(k∓q) = (2 π)3 δ(k ∓ q) e = δ(x ∓ y), k

treba koristiti X eik·(x∓y) = V ∆(x ∓ y), k

(3.162)

(3.163)

x

Z

eix·(k∓q) = (2π)3 δ(k ∓ q).

(3.164)

x

Dejstva kreacionih i anihilacionih operatora u Fokovom prostoru postaju p a†p |n(p)⟩ = n(p) + 1|n(p) + 1⟩, p n(p)|n(p) − 1⟩, ap |n(p)⟩ =

(3.165)

dok je viˇseˇcestiˇcno bozonsko stanje definisano kao Y [a†k ]n(ki ) pi |n(k1 ), n(k2 ), · · · ⟩ = |0⟩, n(k )! i i

(3.166)

uz odgovaraju´cu zamenu i u sluˇcaju fermiona. Raˇcunanje sa diskretnim vektorima p ima prednosti, jer se pre svega ne pojavljuju se ”nezgodni” faktori tipa δ(k − k), ali je na kraju raˇcunanja obiˇcno neophodno pre´ci na integrale ˇ prema (3.159) [Pavkov-Hrvojevi´c, M., Skrinjar, M., Kapor, D., Krstonoˇsi´c, P. (2007)].

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

142

3.5.2

Polja na reˇ setki

Postoje dva prilaza teoriji polja na reˇsetki. Prvi pretpostavlja diskretizaciju celog prostorvremena a u drugom se vremenska koordinata ostavlja kontinualnom [Capitani, S. (2003); Kogut, J. B. (1979)]. Poˇsto je izlaganje u ovom tekstu ograniˇceno na kanonsko kvantovanje, diskutova´cemo formulaciju u kojoj se diskretizuju samo prostorne koordinate. Neka je data D dimenziona kubna reˇsetka sa parametrom a. Poloˇzaji ˇcvorova reˇsetke su odred¯eni sa [Capitani, S. (2003)] X x= ani ei , i = 1, 2, . . . D (3.167) i

gde su ni celi brojevi. Vektor x i ima ulogu vektora poloˇzaja u obiˇcnoj (kontinualnoj) teoriji. Koristimo istu oznaku za vektor poloˇzaja na reˇsetki kao i za kontinualni radijus vektor prema [Capitani, S. (2003)]. Iz konteksta ´ce biti jasno da li se koristi teorija polja u kontinuumu ili na reˇsetki, tako da do zabune ne moˇze do´ci. Umesto integrala po celom prostoru, u teoriji na reˇsetki se pojavljuju sume po svim ˇcvorovima Z X −→ aD . (3.168) x

x

Dalje, zbog diskretizacije prostora impulsi su ograniˇceni na prvu Briluenovu zonu n πo π . α = 1, 2, . . . D. IBZ = k : − ≤ kα ≤ a a

(3.169)

Kako se u teoriji na reˇsetki pojavljuje konaˇcna gornja granica, ovakva teorija je automatski regularizovana [Capitani, S. (2003)]. To, naravno, ne znaˇci da se ne mogu pojaviti infracrvene divergencije koje ukazuju na loˇse odabrano osnovno stanje [Videti Odeljak 3.7.2]. ˇ Nametanjem periodiˇcnih graniˇcnih uslova [Pavkov-Hrvojevi´c, M., Skrinjar, M., Kapor, D., Krstonoˇsi´c, P. (2007)], impulsi postaju diskretni kα =

2 π nα , aNi

nα = −

Nα Nα + 1, ..., 0, 1, ... , 2 2

(3.170)

pri ˇcemu je V = aD N1 N2 · · · ND ≡ LD ≡ v0 N

(3.171)

zapremina ”kristala”(N je ukupan broj ˇcvorova, v0 je zapremina elementarne ´celije a L je ivica hiperkocke; Nα je broj ˇcvorova duˇz jednog pravca). Umesto integrala po k prostoru, pojavi´ce se sume po vektorima iz prve Briluenove zone. U graniˇcnom sluˇcaju kada V → ∞, te sume ˇ se mogu zameniti integralima [Pavkov-Hrvojevi´c, M., Skrinjar, M., Kapor, D., Krstonoˇsi´c, P. (2007); Capitani, S. (2003)] Z D Z π/a Y 1 X dki −→ ≡ . V k 2π kIBZ α=1 −π/a

(3.172)

R gde kIBZ oznaˇcava da je reˇc o integraciji po prvoj Briluenovoj zoniR koja je hiperkocka ivice 2π/a. Kada nema opasnosti od zabune, koristimo jednostavno simbol k . Kuplovanje skalarnih polja

3.5. DISKRETIZACIJA U TEORIJI POLJA

143

se moˇze predstaviti diskretnim laplasijanom (2.43), dok su Furijeove transformacije definisane sa [Capitani, S. (2003)] X ˜ e−ip·x ϕ(x), ϕ(p) = aD x

Z ϕ(x) =

˜ eip·x ϕ(p),

(3.173)

pIBZ

pri ˇcemu se, kao ˇsto je naglaˇseno u (3.172) podrazumeva integracija po prvoj Briluenovoj zoni u p prostoru. Delta funkcija u impulsnom i Kronekerov simbol u direktnom prostoru postaju [Capitani, S. (2003)] X e−ix·(p−q) = N aD ∆(k − q), (2π)D δ(p − q) = aD ∆(x − y) = aD

Zx

eip·(x−y) .

(3.174)

pIBZ

Konaˇcno, kanonske komutacione relacije za operatore polja na reˇsetki glase [Kogut, J. B. (1979)] h i i ϕ(x, t), π(y, t) = D ∆(x − y), (3.175) a dok su ostali komutatori jednaki nuli. Pri a → 0 upravo navedene jednaˇcine prelaze u obiˇcne jednaˇcine kvantne teorije polja [Weinberg, S. (2008)]. U sluˇcaju reˇsetke koja nije prosta kubna, u gornjim relacijama treba izvrˇsiti zamenu aD → v0 , gde je v0 zapremina odgovaraju´ce elementarne ´celije. Takod¯e, integracija iz (3.172) zamenjuje sa integracijom po I Briluenovoj zoni date reˇsetke. U ovom formalizmu kanonske komutacione relacije za kreacione i anihilacione operatore zadrˇzavaju oblik (3.36), tj. (3.108). Primer 3.4. Jedan od osnovnih modela u teoriji interaguju´cih elektrona je tzv. Habardov model. U njemu elektroni mogu da okupiraju ˇcvorove reˇsetke i pri tome interaguju samo ako se nalaze na istom ˇcvoru. U najjednostavnijoj verziji je dopuˇsteno da na ˇcvoru budu maksimalno dva elektrona. Neka tx,y parametar koji opisuje preskakanje elektrona sa ˇcvora x na ˇcvor y i neka je U intenzitet Kulonovog odbijanja dva elektrona koji se nalaze na istom ˇcvoru. Hamiltonijan X X H=− txy c†x,σ cy,σ + U nx,↑ nx,↓ , (3.176) x,y,σ

x

pri ˇcemu c†x,σ kreira elektron sa projekcijom spina σ na ˇcvoru x, nx,σ = c†x,σ cx,σ a σ = ±1. Kada je U ≪ |txy |, elektroni se ponaˇsaju kao sistem skoro slobodnih ˇcestica i moˇze se koristiti standardna teorija perturbacija sa malim parametrom U/|txy |. Ako je Kulonova interakcija dominantna, nemogu´ce je primeniti perturbativni razvoj jer ne postoji osnovno stanje koje saˇcinjavaju neinteraguju´ci elektroni. Jaka kulonovska interakcija tada fiksira elektrone u ˇcvorovima reˇsetke, jer je energetski mnogo povoljnije da se na ˇcvorovima nalaze izolovani elektroni. Pokazuje se da je kod polupopunjenog kristala dinamiku jako korelisanog Habardovog modela (U ≫ |txy |) mogu´ce svesti na efektivnu antiferomagnetnu interakciju lokalizovanih spinova S = 1/2 sa integralom izmene J ∝ |txy |2 /U [Fradkin, E. (2013); Auerbach, A. (2012)]. ■

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

144

3.6

Spontano naruˇ senje simetrije u kvantnim teorijama

U odeljku 1.3.4 je diskutovana Goldstonova teorema u okviru klasiˇcne teorije polja. Tamo je pokazano da u sluˇcaju spontanog naruˇsenja kontinualne globalne simetrije postoje reˇsenja jednaˇcina kretanja u vidu ravnih talasa ˇcija disperzija zadovoljava ω(k) → 0 pri |k| → 0. Sa druge strane, u ovom poglavlju smo razmatrali kvantnu teoriju polja i videli smo da kvantno polje opisuje sistem ˇcestica ˇcija je energija ω(k). Te ˇcestice se nazivaju Goldstonovim bozonima10 . Kako bismo dokazali Goldstonovu teoremu i u sluˇcaju kvantne teorije, najpre moramo dati odgovaraju´cu definiciju spontanog naruˇsenja simetrije i videti kako se simetrijske transformacije implementiraju na operatorima polja i vakuumskim stanjima. Izlaganje je ograniˇceno na tzv. unutraˇsnje simetrije. Pri tome pod unutraˇsnjim simetrijama podrazumevamo transformacije koje ne menjaju dejstvo ali su takve da ni na koji naˇcin ne ukljuˇcuju prostorno-vremenske koordinate [Beekman et al. (2019)].

3.6.1

Osnovne postavke

Pretpostavimo da posmatramo klasiˇcni sistem koji poseduje kontinualnu globalnu simetriju u unutraˇsnjem prostoru. Na osnovu teoreme Emi Neter [Videti Odeljak 1.3.2] R 0sledi da postoje0 veliˇcine Qk koje zadovoljavaju uslov dQk /dt = 0 i koje su date kao Qk (t) = x Jk (x, t), gde su Jk vremenske komponente gustina struje Jiµ koje se nalaze iz lagranˇzijana invarijantnog u odnosu na transformacije iz grupe G [Videti (1.174)]. Na osnovu (1.190) vidimo da u klasiˇcnoj verziji teorije veliˇcine Qk predstavljaju odgovaraju´ce generatore transformacija. Zaista, kombinuju´ci (1.190) i (1.221), nalazimo h i ϕa (x, t), Qk = (Xk )ab ϕb (x, t). (3.177) PZ

gde indeks k uzima vrednosti 1, 2, . . . dim(G). Nakon prelaska na kvantnu teoriju, ϕ postaje operator N komponentnog skalarnog polja a (3.177) prelazi u h i a ϕ (x, t), Qk = (Xk )ab ϕb (x, t). (3.178) −

ˇsto je samo infinitezimalna verzija operatorske relacije [Ryder, L.H. (1996)] h k ia k k eiϵ Qk ϕa (x, t)e−iϵ Qk = eiϵ Xk ϕb (x, t).

(3.179)

b

Odavde vidimo da operatori Qk reprezentuju elemente algebre g u Hilbertovom prostoru teorije dok matrice Xk reprezentuju generatore algebre g u RN , gde je N broj komponenti polja ϕ. Imaginarnu jedinicu smo uveli u (3.179) kako bi Qk bili ermitski operatori a Xk ermitske matrice. Relacija (3.179) je samo zakon transformacije operatora ϕ u odnosu na dejstvo unitarnog operatora U = exp[iϵk Qk ] i kao takva vaˇzi kako za fermionska tako i za bozonska polja. Budu´ci da znamo kako grupa G deluje na operatore, zakljuˇcujemo da ´ce na vektore u Hilbertovom prostoru (tj. na stanja), transformacije iz G delovati kao kQ

|ψ ′ ⟩ = eiϵ 10

k

|ψ⟩.

Pokazuje se da im je spin S = 0, videti [Weinberg, S. (2010)].

(3.180)

ˇ 3.6. SPONTANO NARUSENJE SIMETRIJE U KVANTNIM TEORIJAMA

145

Za sada ´cemo pretpostaviti da integrali koji definiˇsu generatore Qk konvergiraju, tako da su operacije (3.179) i (3.180) dobro definisane. Na ta pitanja ´cemo se vratiti u Odeljku 3.6.4. Pretpostavimo, dakle, da je hamiltonijan koji definiˇse naˇs model invarijantan u odnosu na transformacije iz G. Budu´ci da su Qk generatori tih transformacija u Hilbertovom prostoru teorije, uslov invarijantnost hamiltonijana postaje kQ

eiϵ

k

kQ

He−iϵ

k

= H,

(3.181)

ˇsto se moˇze izraziti i kao h i H, Qk = 0.

(3.182)

−

Dalje, neka je |VAC⟩ osnovno stanje modela11 , tj. H|VAC⟩ = E0 |VAC⟩, pri ˇcemu je sa E0 oznaˇcena energija osnovnog stanja12 . Zbog relacije (3.182), vidimo da je i exp[iϵk Qk ]|VAC⟩ takod¯e osnovno stanje. Fenomen spontanog naruˇsenja simetrije odgovara situaciji u kojoj osnovno stanje nije invarijantno u odnosu na dejstvo elemenata grupe G, odnosno kada je [Zee, A. (2010); Beekman et al. (2019)] exp[iϵk Qk ]|VAC⟩ = ̸ const. × |VAC⟩.

(3.183)

Drugim reˇcima, do spontanog naruˇsenja simetrije dolazi kada neki od operatora Qk ne anihiliraju osnovno stanje, Qk |VAC⟩ = ̸ 0,

barem za neke vrednosti k.

(3.184)

Kako je grupa transformacija G, po pretpostavci, Lijeva grupa, postoji beskonaˇcno mnogo osnovnih stanja koja su med¯usobno povezana dejstvom operatora exp[iϵk Qk ]. Poˇsto sva takva stanja imaju istu energiju, degeneracija osnovnog stanja je beskonaˇcna. Odabir jednog iz kontinuuma mogu´cih stanja odgovara spontanom naruˇsenju simetrije i to je matematiˇcki izraˇzeno uslovom (3.184). Budu´ci da razmatramo kvantnu teoriju, iz dosadaˇsnjeg izlaganja je ostalo nejasno zbog ˇcega bi se sistem morao na´ci u jednom od ekvivalentnih stanja (ˇsto odgovara spontanom naruˇsenju simetrije), a ne u nekoj linearnoj superpoziciji mogu´cih stanja. Ovo pitanje je kratko diskutovano u Odeljku 3.6.4. Naravno, moˇze se dogoditi da je |VAC⟩ svojstveno stanje nekog generatora, Ql |VAC⟩ = λl |VAC⟩.

(3.185)

Tada dejstvo elementa G kojeg generiˇse Ql menja fazu osnovnog stanja l

l

eiϵ Ql |VAC⟩ = eiϵ λl |VAC⟩,

bez sume po l.

(3.186)

Pri tome je λl ∈ R jer je Ql ermitski operator. U ovoj situaciji je ⟨VAC|Ql |VAC⟩ = ̸ 0. (3.187) R 0 Poˇsto je Qk = x Jk (x, t), uslov (3.187) je mogu´c samo u modelima koji nisu Lorenc-invarijantni. Naime, ukoliko bi jedna od komponenti nekog kvadrivektora imala vakuumski oˇcekivanu vrednost razliˇcitu od nule, to bi definisalo preferisani pravac u prostoru Minkovskog i vodilo bi ka naruˇsenju Lorencove invarijantnosti teorije [Leutwyler (1994b)]. Dakle, uslov (3.187) moˇzemo oˇcekivati u nerelativistiˇckim teorijama i vide´cemo ga ve´c na primeru Hajzenbergovog feromagneta [Odeljak 3.7.2]. Drugi primer teorija u kojima vaˇzi (3.187) su relativistiˇcki modeli sa hemijskim potencijalom [Brauner, T. (2010)]. 11 12

Oznaku |0⟩ ´cemo koristiti za vakuumsko stanje Goldstonovih bozona. Pogodnim izborom konstantnog faktora u hamiltonijanu se uvek moˇze posti´ci E0 = 0.

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

146

3.6.2

Parametar ured ¯enosti

Kao i u klasiˇcnoj teoriji, spontano naruˇsenje simetrije u kvantnom sluˇcaju se moˇze opisati i pomo´cu parametra ured¯enosti. U kvantnoj verziji teorije, parametrom ured¯enosti nazivamo oˇcekivanu vrednost nekog operatora koji se netrivijalno transformiˇse u odnosu na elemente iz G [Leutwyler (1994b)]. Kao ˇsto ´cemo videti, relacija (3.184) implicira postojanje parametra ured¯enosti. Neka ϕa oznaˇcava jednu od N komponenti skalarnog polja koje se, prilikom dejstva grupe G transformiˇse kao k k ϕa → ϕ˜a = eiϵ Qk ϕa e−iϵ Qk = ϕa − iϵk [ϕa , Qk ] + O(ϵ2 ) = ϕa + iϵk (Xk )ab ϕb + O(ϵ2 ). (3.188)

Poˇsto je ϕa ̸= ϕ˜a , bar za neke vrednosti indeksa a, makar neke od matrica Xk moraju biti razliˇcite od nula-matrice. Uzimanjem srednje vrednosti (3.188) po vakuumskom stanju, dobijamo ϵk ⟨VAC| [ϕa , Qk ] |VAC⟩ = −ϵk (Xk )ab ⟨VAC|ϕb |VAC⟩ ≡ −χ.

(3.189)

Ukoliko bi stanje |VAC⟩ posedovalo simetriju hamiltonijana (odnosno, ako bi vaˇzilo Qk |VAC⟩ = 0 za svako k, ili da za neke Ql vaˇzi Ql |VAC⟩ = λl |VAC⟩), imali bismo ϵk (Xk )ab ⟨VAC|ϕa |VAC⟩ = 0. Med¯utim, upravo smo zakljuˇcili da bar neke matrice Xk moraju imati elemente razliˇcite od nule. To znaˇci da je ⟨VAC|ϕa |VAC⟩ = 0 kad god Qk anihilira |VAC⟩ [Nair, V.P. (2005)], ili je |VAC⟩ svojstveni vektor od Ql [Brauner, T. (2010)]. Obrnuto, ako stanje |VAC⟩ nije invarijantno u odnosu na transformacije iz grupe G, bi´ce ⟨VAC| [ϕa , Qk ] |VAC⟩ = ̸ 0 bar za neke vrednosti k ˇsto znaˇci da je bar za neke komponente ⟨VAC|ϕa |VAC⟩ = ̸ 0.

(3.190)

Ove oˇcekivane vrednosti predstavljaju parametar ured¯enosti u kvantnoj teoriji. Odnos izmed¯u uslova (3.184) i parametara ured¯enosti se moˇze diskutovati i u suprotnom smeru. Ukoliko postoje operatori koji se netrivijalno transformiˇsu u odnosu na G i ako oni poseduju vakuumski oˇcekivane vrednosti razliˇcite od nule (ukoliko postoji parametar ured¯enosti), tada svojstveno stanje hamiltonijana ne poseduje i njegovu simetriju. Pogledajmo malo detaljnije situaciju u kojoj vaˇzi (3.187). Kako {Qk } predstavljaju bazis Lijeve algebre g, oni zadovoljavaju komutacione relacije h i Qi , Qj = ifijk Qk , (3.191) −

gde su fijk tzv. strukturne konstante Lijeve algebre g [Weinberg, S. (2008)]. Dakle, ako G nije Abelova grupa i ako postoji generator Ql , ˇciji je |VAC⟩ svojstveni vektor, oˇcekivanu vrednost iz (3.187) moˇzemo uzeti za parametar ured¯enosti. Na osnovu ranijeg komentara, znamo da je ovo mogu´ce samo u teorijama koje ne poseduju Lorencovu invarijantnost. Ispostavlja se da je upravo uslov (3.187) odgovoran za nerelativistiˇcku disperziju u velikom broju sluˇcajeva. Naime, ako vaˇzi (3.187), tada sigurno postoje joˇs dva elementa iz g, takvi da je ⟨VAC| [Qi , Qj ]− |VAC⟩ = ifijl ⟨VAC|Ql |VAC⟩ = ̸ 0.

(3.192)

Gornji uslov uvodi ograniˇcenje na dinamiku Goldstonovih bozona ˇcine´ci stanja koja generiˇsu Qi i Qj med¯usobno konjugovanim a ne nezavisnim stepenima slobode [Videti Nambu, Y. (2004); Watanabe, H., Murayama, H. (2014, 2012); Brauner, T. (2010)].

ˇ 3.6. SPONTANO NARUSENJE SIMETRIJE U KVANTNIM TEORIJAMA

3.6.3

147

Goldstonova teorema

U opˇstoj formulaciji, Goldstonova teorema za kvantne sisteme tvrdi da u sluˇcaju spontanog naruˇsenja kontinualne globalne simetrije postoji barem jedno stanje (tj. ˇcestica) ˇcija energija zadovoljava uslov ω(k = 0) = 0 [Brauner, T. (2010)]. Kao ˇsto je ve´c napomenuto u Odeljku 1.3.4, precizno brojanje ovih ˇcestica zahteva dodatna razmatranja o prirodi osnovnog stanja [Videti Watanabe, H., Murayama, H. (2014)]. Takod¯e, ograniˇci´cemo se na unutraˇsnje simetrije. Za dokaz Goldstonove teoreme ´cemo krenuti od jednaˇcine kontinuiteta (1.155), odnosno (1.157), koja je posledica teoreme Emi Neter. Tretiraju´ci gustine struja u kvantnoj teoriji Jkµ kao operatore, moˇzemo pisati Z h Z h i Z h i i d µ 0 a a a J (x, t), ϕ (0) + div Ja (x, t), ϕ (0) (3.193) ∂µ Jk (x, t), ϕ (0) = dt x k x x Z i h i dh Qk (t), ϕa (0) + dS · Jk (x, t), ϕa (0) = 0. = dt Imaju´ci u vidu da je Jk = −∂L/∂(∇ϕa )Fka , gde je δϕa = ϵk Fka , kao i da varijacija polja na beskonaˇcno udaljenoj povrˇsini iˇsˇcezava, ostaje d/dt[Qk (t), ϕa (0)] = 0, odnosno h   i d dχ k a ϵ VAC Qk (t), ϕ (0) VAC ≡ = 0. (3.194) dt dt Neka |n⟩ oznaˇcava jednoˇcestiˇcna stanja koja su svojstvena stanja operatora kvadrivektora impulsa polja [Nair, V.P. (2005)] P |n⟩ = pn |n⟩,

H|n⟩ = E(pn )|n⟩ ≡ En |n⟩,

(3.195)

pomo´cu kojih moˇzemo konstruisati jediniˇcni operator ˇcijim se umetanjem jednaˇcina (3.189) moˇze transformisati kao Z Xh i k χ=ϵ ⟨VAC|Jk0 (x, t)|n⟩⟨n|ϕa (0)|VAC⟩ − ⟨VAC|ϕa (0)|n⟩⟨n|Jk0 (x, t)|VAC⟩ . (3.196) x

n

Dalje, koriste´ci operator prostorno-vremenske translacije [Weinberg, S. (2008)] Jk0 (x, t) = exp[−iP · x + iHt]Jk0 (0) exp[iP · x − iHt]

(3.197)

zajedno sa (3.196) i integralnom reprezentacijom delta funkcije, dolazimo do X χ = ϵk (2π)3 δ(pn ) n

×

h

i ⟨VAC|Jk0 (0)|n⟩⟨n|ϕa (0)|VAC⟩e−iEn t − ⟨VAC|ϕa (0)|n⟩⟨n|Jk0 (0)|VAC⟩eiEn t . (3.198)

Na osnovu (3.194) i (3.198) sada sledi X 0 = iϵk (2π)3 δ(pn )E(pn ) n

×

h

i ⟨VAC|Jk0 (0)|n⟩⟨n|ϕa (0)|VAC⟩e−iEn t + ⟨VAC|ϕa (0)|n⟩⟨n|Jk0 (0)|VAC⟩eiEn t . (3.199)

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

148

Pretpostavka o spontano naruˇsenoj simetriji je prema (3.189) ekvivalentna sa χ ̸= 0, a iz (3.198) se vidi da je to mogu´ce samo ako postoji bar jedno stanje |n⟩ ≡ |G⟩ koje zadovoljava ̸ 0. ⟨VAC|Jk0 (0)|G⟩⟨G|ϕa (0)|VAC⟩ =

(3.200)

Ako vaˇzi (3.200), tada iz (3.199) sledi uslov koji moraju ispunjavati energije jednoˇcestiˇcnih stanja |G⟩ δ(pG )E(pG ) = 0,

(3.201)

ili E(pG = 0) = 0. Dakle, energija stanja |G⟩, koje prema (3.200) mora postojati ako je doˇslo do spontanog naruˇsavanja simetrije, nestaje pri |p| → 0. Na taj naˇcin je dokaz Goldstonove teoreme kompletiran. Primeti´cemo da smo za dokaz koristili samo opˇste postavke o postojanju naruˇsene simetrije i veliˇcina koje se netrivijalno transformiˇsu u odnosu na dejstvo grupe G. Zbog toga moˇzemo oˇcekivati da teorema bude od koristi u razliˇcitim situacijama. Iz (3.200) vidimo da stanja |G⟩ kreiraju bozonski operatori ϕa (x), kao i operatori Jk0 (x). Budu´ci da se i ϕ i J 0 trivijalno transformiˇsu u odnosu na rotacije (indeksi a i k se odnose na unutraˇsnje stepene slobode i nemaju veze sa prostornim koordinatama iz RD ; videti, recimo [K¨ampfer, F., Moser, M., Wiese, U.J. (2005)] za primer Hajzenbergovog antiferomagneta), zakljuˇcujemo da je stanje |G⟩, koje se javlja prilikom spontanog naruˇsenja kontinualne globalne simetrije u unutraˇsnjem prostoru, skalar [Nair, V.P. (2005); Watanabe, H., Murayama, H. (2014); Weinberg, S. (2010); Burgess (2020)]. Poˇsto skalarna stanja nose spin S = 0, vidimo da stanje |G⟩ odgovara bozonskoj ekscitaciji. To je tzv. Goldstonov bozon. Ispostavlja se da je u Lorenc-invarijantnim teorijama broj Goldstonovih bozona jednak sa brojem klasiˇcnih Goldstonovih polja i iznosi dim(G/H) [Videti Odeljak 1.3.4], dok je u nerelativistiˇckim modelima, zbog uslova (3.187) taj broj manji. U opˇstem sluˇcaju, Goldstonovi bozoni se mogu klasifikovati u dve grupe: bozoni tipa A i bozoni tipa B. Ako u sistemu dolazi do spontanog naruˇsenja simetrije po obrazcu G → H, brojevi Goldstonovih bozona tipa A (nA ) i B (nB ) su dati sa nA = dim(G/H) − rankρ, 1 rankρ nB = 2 pri ˇcemu je matrica ρ definisana pomo´cu komponenti kao13 ρCD =

−i ⟨VAC|[QC , QD ]− |VAC⟩ V

(3.202)

(3.203)

a indeksima C, D su oznaˇceni generatori koji pripadaju prostoru g/h [Videti Odeljak 1.3.4], ˇsto znaˇci da operatori QC i QD zadovoljavaju uslov (3.184). Ukupan broj Goldstonovih polja je uvek jednak sa dim(G/H). Drugim reˇcima, za potpuni opis dinamike Goldstonovih bozona u nerelativistiˇckim sistemima nije dovoljan obrazac naruˇsenja simetrije G → H ve´c su potrebne dodatne informacije o osnovnom stanju |VAC⟩. Goldstonovi bozoni tipa A obiˇcno imaju linearnu a Goldstonovi bozoni tipa B kvadratnu disperziju. Med¯utim, mogu´ci su izuzeci [Videti Watanabe, H., Murayama, H. (2014, 2012)]. ˇ Cinjenica da je Jk0 (0)|VAC⟩ ∝ |G⟩ nam daje slikovit opis Goldstonovih bozona. Naime, iz (3.178) i (3.179) vidimo da operatori Qk generiˇsu globalne transformacije koje su simetrije hamiltonijana, ali i prevode mogu´ca osnovna stanja jedno u drugo [Videti (3.184)]. Takod¯e, zbog 13

U sluˇcaju modela definisanih na reˇsetki, matriˇcni elementi se obraˇcunavaju po broju ˇcvorova umesto po jedinici zapremine; videti odeljak 3.7.2.

ˇ 3.6. SPONTANO NARUSENJE SIMETRIJE U KVANTNIM TEORIJAMA

149

R toga ˇsto je Qk = x Jk0 (x), vidimo da Goldstonov bozon odgovara stanju koje nastaje kao lokalna transformacija vakuuma |VAC⟩ [Uporediti sa (1.225) iz klasiˇcne teorije]. Kako se energija Goldstonovih bozona smanjuje, ovim ekscitacijama odgovara sve ve´ca i ve´ca talasna duˇzina. Konaˇcno, u limesu |k| → 0, lokalna transformacija koja indukuje Goldstonove bozone praktiˇcno postaje globalna transformacija i stanja Jk0 (0)|VAC⟩ postaju jedan od vakuuma [Burgess (2020)]. Poˇsto mogu imati proizvoljno malu energiju, Goldstonovi bozoni igraju dominantnu ulogu u opisu velikog broja sistema kao ˇsto su magneti, superprovodnici ili niskoenergetski sektor kvantne hromodinamike. Kao polazna taˇcka, u konstruisanju kvantne teorije Goldstonovih bozona, uzima se klasiˇcna teorija zasnovana na efektivnom lagranˇzijanu u kojem su stepeni slobode klasiˇcna Goldstonova polja. Nakon kvantovanja [kanonskim postupkom ili Fajnmanovim prilazom], dobija se kvantna teorija Goldstonovih polja u kojoj je osnovno stanje |0⟩ vakuum Goldstonovih bozona. Pored toga ˇsto se pobud¯uju sa malim energijama, ispostavlja se da Goldstonovi bozoni slabo interaguju med¯usobno [Weinberg, S. (2010); Brauner, T., Jakobsen, M. F. (2018)] tako da se za raˇcunanje termodinamiˇckih veliˇcina moˇze koristiti pogodno razvijena teorija perturbacija [Watanabe, H., Murayama, H. (2014); Brauner, T. (2010); Burgess (2020); Weinberg, S. (2010); Hofmann (2011, 1999)].

3.6.4

Generatori transformacija i linearna superpozicija

Za kraj diskusije o spontanom naruˇsenju simetrije u kvantnim teorijama smo ostavili neke potencijalno osetljive detalje iz prethodna tri odeljka. Pogledajmo, za poˇcetak, stanja Qk |VAC⟩. Ako pretpostavimo da je vakuumsko stanje |VAC⟩ translatorno invarijantno, onda to mora biti i stanje Qk |VAC⟩. Tada je (radi preglednosti, u nastavku ´cemo izpustiti indeks k koji prebrojava elemente algebre g) J(x, t)Q(t)|VAC⟩ = e−iP ·x J(0, t)e−iP ·x Q(t)|VAC⟩ = e−iP ·x J(0, t)Q(t)|VAC⟩

(3.204)

pa nalazimo Z ⟨VAC|QQ|VAC⟩ =

Z ⟨VAC|J(x, t)Q(t)|VAC⟩ =

x

⟨VAC|J(0, t)Q(t)|VAC⟩.

(3.205)

x

Kako podintegralna funkcija iz (3.205) ne zavisi od x, gornji integral ne´ce divergirati samo u sluˇcaju Q(t)|VAC⟩ = 0. Drugim reˇcima, stanje Q(t)|VAC⟩ nema definisanu normu. Budu´ci da se uslov Q(t)|VAC⟩ = 0 kosi sa naˇsem pretpostavkom o postojanju spontano naruˇsene simetrije, zakljuˇcujemo da svaki put kad se javlja spontano naruˇsenje simetrije, operatori Q nisu dobro definisani. Jedan od naˇcina da se ovaj problem zaobid¯e jeste da se umesto cele oblasti prostora V posmatra samo jedan njegov deo Ω. Generatori transformacije se tada mogu deR finisati na toj oblasti, QΩ = Ω J 0 (x), ˇcime se divergencija gubi. Na kraju proraˇcuna je tada potrebno uzeti graniˇcnu vrednost Ω → V . Na sre´cu, problemi ove vrste se u praksi retko sre´cu jer se operatori Q obiˇcno nalaze unutar nekog komutatora. Ukoliko se pre raˇcunanja integrala po prostornim koordinatama izraˇcunaju svi komutatori u kojima se pojavljuju generatori transformacije, divergencije se ne´ce javiti [Brauner, T. (2010)]. Sliˇcan komentar se odnosi i na operator U = exp[iQϵ]. Paˇzljivija analiza pokazuje da u termodinamiˇckom limesu, za sve generatore Lijeve algebre g, vaˇzi uslov ⟨VAC| exp[iQϵ]|VAC⟩ = 0, tako da su vakuumska stanja formalno povezana dejstvom operatora U med¯usobno ortogonalna. Bilo koje klasiˇcno stanje (klasiˇcni vakuum) se moˇze koristiti da se nad njim konstruiˇse

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

150

Hilbertov prostor kvantne teorije. Svi ovi Hilbertovi prostori su med¯usobno ekvivalnenti i izbor nekog od njih ne utiˇce na opis fiziˇckog sistema [Brauner, T. (2010); Nair, V.P. (2005)]. Slede´ci bitan detalj se ticao postojanja linearne superpozicije mogu´cih vakuumskih stanja u kvantnoj teoriji. Ukoliko bi se osnovno stanje zaista javilo u ovoj formi, ono bi delilo simetriju hamiltonijana i spontanog naruˇsenja simetrije ne bi bilo. Ispostavlja se da proizvoljno mala perturbacija prevodi sistem iz linearne superpozicije u jedan od vakuuma koji nije invarijantan u odnosu na dejstvo grupe G. Budu´ci da fiziˇcki sistemi nisu idealni, uvek je mogu´ce odabrati perturbaciju koja eliminiˇse linearnu superpoziciju14 . Kada se sistem nad¯e u jednom od ekvivalentnih vakuuma, verovatno´ca da pred¯e u stanje linearne superpozicije je proporcionalna sa exp[−CV ], gde je C pozitivna konstanta a V zapremina sistema. Poˇsto ova verovatno´ca iˇsˇcezava u termodinamiˇckom limesu, kvantna teorija izgrad¯ena nad bilo kojem od ekvivalentnih vakuuma je dobro definisana [Za detalje videti Weinberg, S. (2010); Anderson (1984)].

3.7

Kvantni Hajzenbergov model

U ovom odeljku ´cemo videti neke primene formalizma teorije polja na Hajzenbergov model. To je efektivni model koji se koristi za opis ponaˇsanja sistema lokalizovanih spinova, odnosno za opis magnetnih izolatora. U zavisnosti od vrednosti integrala izmene J i geometrije reˇsetke, Hajzenbergov model moˇze da opiˇse veliki broj vrsta magnetnog ured¯enja i tipova ekscitacija [Wen, X. G. (2007); Fradkin, E. (2013); Tsvelik (2003); Auerbach, A. (2012); Nolting, W., Ramakanth, A. (2009)]. U nastavku ´cemo se skoncentrisati na dve osnovne vrste dugodometnog ured¯enja (feromagnetno i antiferomagnetno) u sluˇcaju O(3) (tj. izotropnog) modela sa interakcijom izmed¯u najbliˇzih suseda.

3.7.1

O(3) simetrija Hajzenbergovog hamiltonijana

Izotropni Hajzenbergov model je direktna generalizacija klasiˇcnog modela iz Primera 1.16. Definisan je pomo´cu hamiltonijana na D dimenzionoj reˇsetki X Sx · Sx+λ , (3.206) H = −J x,λ

gde je Sx operator spina S na ˇcvoru x, dok λ oznaˇcava vektor koji spaja ˇcvor x sa njegovim najbliˇzim susedima [Videti Primer 2.1]. Veliˇcina J opisuje kuplovanje izmed¯u susednih spinova i naziva se integralom izmene [Videti Sl. 3.1]. Kada je J > 0, hamiltonijan (3.206) forsira paralelnu orijentaciju susednih spinova ˇsto vodi na dugodomentno ured¯enje feromagnetnog tipa. Za J < 0, susedni spinovi ´ce teˇziti da se orijentiˇsu antiparalelno i hamiltonijan (3.206) tada opisuje antiferomagnet. Spinski operatori zadovoljavaju komutacione relacije [Altland, A., Simons, B. (2010)] h i α, β, γ = 1, 2, 3 (3.207) Sxα , Syβ = i∆(x − y)ϵαβγ Sxγ , −

a bazis Hilbertovog prostor H koji odgovara hamiltonijanu (3.206) je izraˇzen pomo´cu tenzorskih proizvoda bazisnih elemenata Hilbertovih prostora spinskih operatora sa pojedinaˇcnih ˇcvorova 14

Ovaj postupak je oˇcigledna generalizacija odabira jednog od dva mogu´ca osnovna stanja Izingovog modela pomo´cu spoljaˇsnjeg magnetnog polja; videti Odeljak 2.2.1.

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

151

ˇ Slika 3.1: Sematski prikaz Hajzenbergovog modela na jednodimenzionoj reˇsetki za S = 1/2. Ilustracija je preuzeta iz [Radoˇsevi´c, S.M. (2015)].

( O

) |S, m⟩x

,

(3.208)

x

ˇ L. (1968); Weinberg, S. (2012)] gde su |S, m⟩x svojstveni vektori od Sx2 i Sx3 [Sif, Sx2 |S, m⟩y = ∆(x − y)S(S + 1)|S, m⟩x ,

Sx3 |S, m⟩y = ∆(x − y)m|S, m⟩x .

(3.209)

U kontekstu Hajzenbergovog modela se kaˇze da operatori Sx3 , ˇcije svojstvene vektore koristimo za opis stanja sistema, definiˇsu osu kvantizacije. Ako pretpostavimo da su na svakom ˇcvoru reˇsetke lokalizovani spinski operatori istog kvantnog broja S, stanja Hajzenbergovog modela med¯usobno razlikujemo po vrednostima brojeva m. Komutacione relacije (3.207), kao i struktura Hilbertovog prostora, ˇcine Hajzenbergov model dosta komplikovanim i egzaktna reˇsenja su, za sad, poznata samo u sluˇcaju jednodimenzionih reˇsetki [Fradkin, E. (2013)]. Osim ˇsto su pridruˇzeni odgovaraju´cem ˇcvoru x, spinski operatori Sx ni na koji drugi naˇcin ne zavise od koordinata iz RD . Drugim reˇcima, smatramo da spinski operatori opisuju unutraˇsnje stepene slobode [Leutwyler (1994a); K¨ampfer, F., Moser, M., Wiese, U.J. (2005)]. Za specijalan sluˇcaj izotropnog modela koji ovde razmatramo, hamiltonijan (3.206) je invarijantan u odnosu na O(3) transformacije u unutraˇsnjem prostoru. Kako bismo ovo eksplicitno pokazali, definiˇsimo operator ukupnog spina S=

X

Sx .

(3.210)

x

Komponente operatora S zadovoljavaju komutacione relacije h i S α , S β = iϵαβγ S γ −

(3.211)

odakle vidimo da oni reprezentuju generatore algebre o(3) u prostoru H. Takod¯e, direktno se uveravamo da S komutira sa hamiltonijanom h i S, H = 0, (3.212) −

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

152

ˇsto znaˇci da tri veliˇcine {S 1 , S 2 , S 3 } predstavljaju generatore Qk u sluˇcaju Hajzenbergovog modela. U odnosu na rotacije odred¯ene vektorom15 θ, koje generiˇse ukupni spin (3.210), proizvoljni operator na ˇcvoru x se transformiˇse prema [Videti 3.179] h i Sxβ → eiθ·S Sxβ e−iθ·S = Sxβ + iθ · S, Sxβ + O(θ2 ) −

=

Sxβ

+ iθ

α

ϵαβγ Sxγ

+ O(θ2 )

(3.213)

a ova transformacija ne menja hamiltonijan (3.206). Zaista, zamenom (3.213) umesto Sxβ u Hajzenbergov hamiltonijan, dobijamo, do ˇclanova linearnih po θ  X γ β =H (3.214) + ϵαβγ Sxβ Sx+λ ϵαβγ Sxγ Sx+λ H → H + iθα x,λ

gde smo prvo zamenili indekse β ⇌ γ, zatim iskoristili ˇcinjenicu da spinski operatori sa razliˇcitih ˇ ˇcvorova komutiraju uz osobinu antisimetrije Levi-Civita simbola. Dakle, izotropni Hajzenbergov hamiltonijan (3.206) je invarijantan u odnosu na G = O(3) grupu globalnih transformacija pri ˇcemu tri komponente operatora ukupnog spina (3.210) predstavljaju oˇcuvane veliˇcine i generiˇsu odgovaraju´ce transformacije. Primeti´cemo da su algebre grupa O(3) i SO(3) istovetne, tako da se u okolini jediniˇcnog elementa ove dve grupe ne razlikuju. Ipak, grupa O(3) ukljuˇcuje i inverzije, Sx → −Sx , ∀x, koje takod¯e ne menjaju hamiltonijan (3.206). Zbog tora govorimo o O(3) simetriji Hajzenbergovog modela. Med¯utim, u nastavku ´cemo diskutovati spontano naruˇsenje simetrije Hajzenbergovog modela i odgovaraju´ce Goldstonove bozone. Poˇsto Goldstonovi bozoni opisuju mala odstupanja od ravnoteˇznog stanja, za kasnije primene nam razlike izmed¯u O(3) i SO(3) zapravo nisu bitne. ˇ Primer 3.5. Cesto je pogodno da se umesto S 1 i S 2 operatora uvedu neermitski operatori S ± x

x

x

S + − Sx− Sx+ + Sx− , Sx2 = x 2 2i koji zadovoljavaju komutacione relacije  + −  ± 3 Sx , Sy − = 2Sx3 ∆(x − y), Sx , Sy − = ∓∆(x − y)Sx±

(3.216)

i ˇcije je (netrivijalno) dejstvo na elemente bazisa H pomo´cu p Sx± |S, m⟩y = ∆(x − y) S(S + 1) − m(m ± 1)|S, m ± 1⟩x ,

(3.217)

Sx± = Sx1 ± iSx2 ,

Sx1 =

(3.215)

uz Sx+ |S, S⟩y = Sx− |S, −S⟩y = 0. Izraˇzen pomo´cu novih operatora, hamiltonijan (3.206) glasi   X 1 + − − + 3 3 H = −J Sx Sx+λ + Sx Sx+λ + Sx Sx+λ , 2 x,λ

(3.218)

(3.219)

U ovako zapisanom hamiltonijanu figuriˇsu operatori Sx± ˇcije je dejstvo na elemente Hilbertovog prostora jednostavnije nego dejstvo operatora Sx1 i Sx2 ali mu je mana da O(3) simetrija viˇse nije oˇcigledna. ■ 15

Osa rotacije je odred ¯ena pravcem i smerom vektora θ a ugao rotacije je |θ|.

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

153

Primer 3.6. Pored jednostavnijeg dejstva na stanja |S, m⟩, joˇs jedna prednost S ± operatora je ta ˇsto se mogu izraziti pomo´cu bozonskih (ili fermionskih) operatora, [Nolting, W., Ramakanth, A. (2009); Auerbach, A. (2012); Tsvelik (2003); Utkarsh B., Suresh, A., Nikoli´c, B. K. (2021)], u skladu sa opˇstim tvrd¯enjem iz Odeljka 3.4. Na primer, matriˇcni elementi operatora S ± , S 3 izmed¯u stanja |S, m⟩, a koji su razliˇciti od nule, dati su sa (ne piˇsemo indeks ˇcvora reˇsetke radi preglednosti) p S(S + 1) − (m − 1), ⟨S, m − 1|S − |S, m⟩ = p ⟨S, m + 1|S + |S, m⟩ = S(S + 1) − (m + 1), 3 ⟨S, m|S |S, m⟩ = m. Ako uvedemo kvantni broj n = S − m, koji meri odstupanje od maksimalne vrednosti S, gornje matriˇcne elemente moˇzemo zapisati kao r √ √ n − ⟨S, m − 1|S |S, m⟩ = 2S n + 1 1 − , 2S r √ √ n−1 ⟨S, m + 1|S + |S, m⟩ = , (3.220) 2S n 1 − 2S ⟨S, m|S 3 |S, m⟩ = S − n, pri ˇcemu moˇzemo izvrˇsiti identifikaciju |S, S⟩ → |n = 0⟩, |S, S − 1⟩ → |n = 1⟩ itd. sve do |S, −S⟩ → |n = 2S⟩, smatraju´ci da su |n⟩ bozonska stanja. Sada je lako videti da operatori r r †a √ √ a a† a , S˜+ = 2S 1 − a, S˜z = S − a† a, (3.221) S˜− = 2Sa† 1 − 2S 2S gde su a i a† bozonski operatori, imaju traˇzene matriˇcne elemente, navedene u (3.220), izmed¯u bozonskih stanja r √ √ n − ⟨n + 1|S˜ |n⟩ = 2S n + 1 1 − = ⟨S, m − 1|S − |S, m⟩, 2S r √ √ n−1 ⟨n − 1|S˜+ |n⟩ = 2S n 1 − = ⟨S, m + 1|S + |S, m⟩, 2S ⟨n|S˜z |n⟩ = S − n = ⟨S, m|S 3 |S, m⟩. Takod¯e, vidimo da operatori S˜± , zajedno sa S˜3 , zadovoljavaju komutacione relacije analogne sa (3.216) i h h i S˜+ , S˜− = 2S˜3 , S˜± , S˜3 = ∓S˜± . (3.222) −

−

Operatori definisani u (3.221) saˇcinjavaju Holˇstajn-Primakov (HP) reprezentaciju spinskih operatora i ona se ˇcesto koristi za tretman Hajzenbergovog modela. Zamenom operatora (3.221) u (3.219) dobijamo Hajzenbergov hamiltonijan izraˇzen pomo´cu bozonskih operatora. Takav hamiltonijan se najˇceˇs´ce tretira perturbativno: razvojem korene funkcije u red po stepenima 1/S, dobijamo ˇclanove koji opisuju interakciju izmed¯u bozonskih ˇcestica [Videti, recimo Zhitomirsky, M. E., Chernyshev, A. L. (2013) i tamo navedene reference].

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

154

Ispostavlja se da je Holˇstajn-Primakov reprezentacija specijalan sluˇcaj definicija [videti Garbaczewski, P. (1978)] S¯− =

1−x  √ a† a † , 2Sa 1 − 2S

S¯+ =

√

x  a† a a, 2S 1 − 2S

S¯z = S − a† a, (3.223)

gde je 0 ≤ x ≤ 1. Operatori (3.223) saˇcinjavaju bozonsku reprezentaciju spinskih operatora u smislu da zadovoljavaju komutacione relacije (3.216). Reprezentacija koja se dobija za x = 0 je poznata kao reprezentacija Dajson-Maljejeva (DM), dok se HP reprezentacija dobija za x = 1/2. U sluˇcaju reprezentacije DM su spinski operatori izraˇzeni pomo´cu konaˇcnog broja bozonskih operatora, ali se direktnom zamenom dobija hamiltonijan koji nije ermitski. Ipak, DM reprezentacija se ˇcesto koristi u perturbativnim raˇcunima viˇseg reda [Syromyatnikov (2010)]. ■ Primer 3.7. Polaze´ci od komutacionih relacija za spinske operatore (3.210) i BCH formule [videti Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)], mogu´ce je dobiti i eksplicitan izraz za konaˇcnu rotaciju spinskih operatora. Neka je α ̸= β i neka je φ ∈ [0, 2π]. Tada je (indeks ˇcvora ne piˇsemo radi preglednosti) −iφS β

e

α iφS β

S e

α

=S +

∞ X (−iφ)n h n=0

n!

h h i i i Sβ , Sβ , · · · Sβ , Sα ... . − − − | {z }

(3.224)

n puta

Poˇsto je  β α S , S − = iϵβαγ S γ ,

(3.225)

bi´ce i h h i i   Sβ Sβ , Sα = iϵβαγ S β , S γ − = i2 ϵβαγ ϵβγµ S µ − −

(bez sume po β).

Kako je, po pretpostavci, α ̸= β, nalazimo h h i i Sβ Sβ , Sα = S α. − −

(3.226)

(3.227)

Sada je lako videti da je h

 i i i h h iϵβαγ S γ , n = 2k + 1 α β β ... = S , S ,··· S ,S S α , n = 2k. − − − {z } | β

(3.228)

n puta

Koriste´ci (3.228), dobijamo relaciju β

β

e−iφS S α eiφS = S α − iϵαβγ S γ , koju ´cemo kroistiti u Odeljku 3.7.3.

α ̸= β

(3.229) ■

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

155

Primer 3.8. U posebno vaˇznom sluˇcaju S = 1/2 je mogu´ce lako na´ci vezu izmed¯u S 3 i S ± operatora. Ako posmatramo dejstvo na stanja |S, m⟩, operator S 2 je ekvivalentan sa S(S + 1). Raspisuju´ci skalarni proizvod pomo´cu komponenti S 1 , S 2 i S 3 i izraˇzavanjem S 1 i S 2 pomo´cu S ± prema (3.215), dobijamo S3


2

+

 1 + − S S + S − S + = S 2 + S. 2

(3.230)

Med¯utim, za S = 1/2 je (S 3 )2 = S 2 , tako da se dobija S + S − + S − S + = 2S.

(3.231)

Operator S + S − se moˇze eliminisati pomo´cu komutatora iz (3.222) tako da se konaˇcno dobija S 3 = S − S −S + =

1 − S −S +. 2

(3.232)

Relacija (3.232) se ˇcesto koristi u analizi Hajzenbergovog modela definisanog za S = 1/2 ˇ [Manojlovi´c, M., Pavkov, M., Skrinjar, M., Panti´c, M., Kapor, D., Stojanovi´c, S. (2003)]. ■ Na osnovu Mermin-Vagnerove teoreme [Videti Odeljak 2.5.1], oˇcekujemo da dugodometno ured¯enje koje se postiˇze spontanim naruˇsenjem simetrije na T > 0 nije mogu´ce za modele definisane na jednodimenzionim i dvodimenzionim reˇsetkama. U slede´ca dva odeljka ´cemo videti da dugodometno ured¯enje u sluˇcaju jednodimenzionog feromagneta postoji na T = 0, dok u sluˇcaju antiferomagneta postoji na T = 0 samo ako je D ≥ 2. Ovaj zakljuˇcak o postojanju dugodometnog ured¯enja se moˇze promeniti ako se u hamiltonijan ukljuˇce ˇclanovi koji eksplicitno naruˇsavaju O(3) simetriju. Na primer, spoljaˇsnje magnetno polje ili spinska anizotropija [Videti, recimo Radoˇsevi´c, S., Pavkov-Hrvojevi´c, M., Panti´c, M., Rutonjski, M., ˇ ˇ Kapor, D., Skrinjar, M. (2009); Rutonjski, M., Radoˇsevi´c, S., Skrinjar, M., Pavkov-Hrvojevi´c, M., Kapor, D., Panti´c, M. (2007), kao i kraj slede´ceg odeljka].

3.7.2

Hajzenbergov feromagnet

Osnovno stanje Hajzenbergov hamiltonijan (3.206) opisuje feromagnet ako je J > 0. U tom sluˇcaju je pogodno izvrˇsiti skaliranje J → J/2, kako bi se izbeglo dvostruko brojanje kuplovanih spinova (svi ˇcvorovi su ekvivalentni) H=−

JX Sx · Sx+λ . 2 x,λ

(3.233)

Integral izmene J > 0 forsira paralelnu orijentaciju spinova i osnovno stanje |VAC⟩ kvantnog Hajzenbergovog feromagneta je |FM⟩ =

O x

|S, S⟩x .

(3.234)

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

156

Kako bismo pokazali da je stanje |FM⟩ zaista svojstveno stanje hamiltonijana (3.233), iskoristi´cemo formu hamiltonijana sa S ± operatorima [Videti (3.219)]. Poˇsto je Sx+ |S, S⟩x = 0, nalazimo JN Z1 S 2 JX 3 3 O |S, S⟩y = − |FM⟩ (3.235) H|FM⟩ = − Sx Sx+λ 2 x,λ 2 y gde je N broj ˇcvorova u reˇsetki a Z1 broj najbliˇzih suseda [Videti Primer 2.1]. Dakle, energija osnovnog stanja O(3) feromagneta sa spinom S i interakcijom izmed¯u najbliˇzih suseda, obraˇcunata po ˇcvoru, iznosi E0 1 JS 2 Z1 = ⟨FM|H|FM⟩ = − . (3.236) N N 2 Recimo, za Hajzenbergov feromagnet sa S = 1/2 na prostoj kubnoj reˇsetki (gde je Z1 = 6), imamo E0 /N = −3J/4. Kao ˇsto smo ve´c primetili, razliˇcita stanja kvantnog Hajzenbergovog modela se med¯usobno razlikuju po vrednostima kvantnih brojeva m. Na osnovu (3.215) i (3.217) vidimo da za komponente operatora ukupnog spina vaˇzi S 1 |FM⟩ = ̸ 0,

S 2 |FM⟩ = ̸ 0

(3.237)

dok je S 3 |FM⟩ = N S|FM⟩.

(3.238)

To znaˇci da operatori exp[iφS 3 ], gde je φ realan parametar, ne menjaju stanje |FM⟩ jer ne menjaju kvantne brojeve m. Kako operatori exp[iφS 3 ] reprezentuju grupu U(1), dok je U(1) ∼ = SO(2) [Hall (2015)], zakljuˇcujemo da je obrazac naruˇsenja simetrije u sluˇcaju kvantnog Hajzenbergovog modela dat sa O(3) → O(2). Takod¯e, na osnovu diskusije iz Odeljaka 3.6.1 i 3.6.2, vidimo da za parametar ured¯enosti moˇzemo uzeti M = ⟨FM|S 3 |FM⟩ = N S.

(3.239)

Vaˇzno je primetiti da je rezultat (3.239) egzaktan. Takod¯e, jasno je da (3.239) vaˇzi kako za trodimenzione (D = 3), tako i za niskodimenzione (D = 1, 2) reˇsetke. To nije u suprotnosti sa Mermin-Vagnerovom teoremom jer je osnovno stanje |FM⟩ definisano na T = 0K. Budu´ci da smo tri komponente operatora S identifikovali sa generatorima {Qi }, kreacija Goldstonovih bozona, koji se u sluˇcaju magnetnih sistema nazivaju magnonima, blisko je povezana sa dejstvom operatora S 1 i S 2 na stanje |FM⟩. Sa druge strane, ˇcinjenica da je stanje |FM⟩ svojstveno stanje16 od S 3 , oˇcekujemo da se u spektru feromagneta jave Goldstonovi bozoni tipa B. Kako je dim[O(3)] = 3 i dim[O(2)] = 1, pri ovom obrascu naruˇsenja simetrije postoje dim[O(3)] − dim[O(2)] = 2 Goldstonova polja. Med¯utim, matrica ρ iz (3.203) je data sa     1 0 M 0 S = . (3.240) ρ= −S 0 N −M 0 Lako je pokazati da je rankρ = 2 pa, na osnovu (3.202), vidimo da je broj Goldstonovih bozona tipa B jednak nB = 1, dok se Goldstonovi bozoni tipa A ne pojavljuju. Poˇsto Goldstonovi bozoni tpa B u principu karakteriˇsu nerelativistiˇcke sisteme, oˇcekujemo da je disperzija feromagnetnih magnona ω(k) ∝ k2 . 16

U Odeljku 3.6.4 smo primetili da operatori Qi i stanja Qi |VAC⟩ nisu dobro definisani kada dolazi do spontanog naruˇsenja simetrije. U sluˇcaju feromagneta se to oslikava kroz divergenciju desne strane jednakosti (3.238) u termodinamiˇckom limesu.

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

157

Feromagneti magnoni kao Goldstonovi bozoni tipa B Potpuna karakterizacija elementarnih ekscitacija u O(3) feromagnetu podrazumeva da, pored njihovog tipa i broja razliˇcitih ˇcestica, odredimo i njihovu disperzionu relaciju za proizvoljne vrednosti talasnog vektora. Postoji viˇse naˇcina da se to uradi. Standardni metod podrazumeva koriˇs´cenje HP reprezentacije u najniˇzoj aproksimaciji tako da se zamenom u (3.233) dobija kvadratni hamiltonijan [Videti, recimo, Nolting, W., Ramakanth, A. (2009); Auerbach, A. (2012)]. Mi ´cemo ovde pratiti izvod¯enje iz [Radoˇsevi´c, S.M., Panti´c M.R., Pavkov-Hrvojevi´c ˇ M.V., Kapor, D.V. (2013)] jer ono naglaˇsava analogije sa slobodnim Sredingerovim poljem [Videti Odeljak 3.3.2]. Polaze´ci od definicije diskretnog laplasijana iz (2.43), hamiltonijan izotropnog Hajzenbergovog feromagneta (3.233) moˇzemo prepisati kao H=−

JS(S + 1)Z1 N 1 JZ1 |λ|2 X Sx · ▼2 Sx − . 2 2D 2 x

(3.241)

pri ˇcemu je Z1 broj najbliˇzih suseda, a |λ| je rastojanje izmed¯u najbliˇzih suseda na reˇsetki. Koriste´ci (3.20), nalazimo jednaˇcinu kretanja za lokalizovane spinove Hajzenbergovog feromagneta (vremenski argument ne piˇsemo radi preglednosti) h i i i JZ1 |λ|2 h 2  i∂t Sx = Sx , H = − ▼ Sx × Sx − Sx × ▼2 Sx . 2 2D −

(3.242)

Ovo je jednaˇcina Landau-Lifˇsica za operator Sx (t), regularizovana na prostornoj reˇsetki. U opˇstem sluˇcaju, jednaˇcina (3.242) se ne moˇze reˇsiti. Jedna od stvari koje donekle komplikuju analizu Hajzenbergovog feromagneta je dvostruka priroda jednaˇcine (3.242). Ona istovremeno predstavlja zakon odrˇzanja ukupnog spina17 i jednaˇcinu kretanja [Guralnik, G., Hagen, R., Kibble, T. (1968)]. I pored toga, lako se nalazi reˇsenje linearizovane jednaˇcine. Pod pretpostavkom dugodometnog ured¯enja, operator Sx3 (t) moˇzemo zameniti srednjom vrednoˇs´cu (3.239) obraˇcunatom po ˇcvoru reˇsetke, Sx3 (t) → M/N = S. Zbog Mermin-Vagnerove teoreme, oˇcekujemo da aproksimacije ovog tipa budu korektne samo za D ≥ 3 ako je T > 0. Treba voditi raˇcuna da se aproksimiranjem operatora S z sa srednjom vrednoˇs´cu koja ne zavisi od ˇcvora reˇsetke u krajnjem rezultatu gube svi efekti koji su posledica magnon-magnon interakcija. Zbog toga se dobijaju rezultati koji se mogu primeniti samo na jedan deo ured¯ene faze [Videti Sl. 3.3 niˇze]. ˇ Linearizovana jednaˇcina (3.242) za operator Sx+ = Sx1 + iSx2 poprima oblik Sredingerove jednaˇcine na prostornoj reˇsetki i∂t Sx+ = −

1 ▼2 Sx+ , 2mLSW

(3.243)

gde smo definisali mLSW = 17

2D . 2JSZ1 |λ|2

(3.244)

Ovo se moˇze jednostavno pokazati sumiranjem po svim ˇcvorovima reˇsetke, uz koriˇs´cenje definicije diskretnog laplasijana (2.43). Tako dobijena jednaˇcina se svodi na (3.212).

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

158

Sliˇcna jednaˇcina se dobija i za Sx− (t). Istovremeno, komutacione relacije (3.216) za S ± operatore postaju   + S (x) S − (y) √ , √ = ∆(x − y). (3.245) 2S 2S ˇ Porede´ci (3.245) sa komutacionim relacijama za Sredingerovo polje na reˇsetki, h i 1 ψ(x, t), ψ † (y, t) = ∆(x − y) v0 −

(3.246)

koje se dobijaju na osnovu (3.175) i veze π = iψ ∗ , pri ˇcemu v0 oznaˇcava zapreminu elementarne ´celije, vidimo da je u ovoj aproksimaciji Hajzenbergov feromagnet opisan bozonskim ˇ Sredingerovim poljem na reˇsetki S + (x, t) ψ(x, t) = √ , 2Sv0

S − (x, t) ψ † (x, t) = √ . 2Sv0

(3.247)

ˇ Da bismo kompletirali sliku Sredingerovog polja, eksplicitno ´cemo na´ci operatore ψ(x, τ ) i † ψ (x, τ ) i konstruisati dijagonalni hamiltonijan. Jednaˇcina (3.243) poseduje reˇsenja u vidu ravnih talasa Z ak eik·x−iω(k)t , (3.248) ψ(x, t) = k IBZ

pri ˇcemu je b2 k ω(k) = ωLSW (k) = = JZ1 S[1 − γD (k)], (3.249) 2mLSW R b 2 je uvedena u dok integracija k IBZ ide po I Briluenovoj zoni odgovaraju´ce reˇsetke, oznaka k Primeru 2.3 a γD (k) je geometrijski faktor definisan u (2.51). Imaju´ci u vidu aproksimaciju Sx3 ≈ S i veze (3.247), hamiltonijan (3.241) se moˇze zapisati kao i JS(S + 1)Z N Xh 1 JZ1 |λ|2 1 ψx† ▼2 ψx + ψx ▼2 ψx − HLSW = − Sv0 . (3.250) 2 2D 2 x Konaˇcno, koriˇs´cenjem definicije diskretnog laplasijana i komutacionih relacija (3.247) nalazimo dijagonalni hamiltonijan Z X 1 † 2 0 0 HLSW = − v0 ψx ▼ ψx − ELSW = V ω(k)n(k) − ELSW , (3.251) 2mLSW k IBZ x gde je V n(k) = a†k ak a 0 ELSW =−

JN Z1 S 2 2

(3.252)

je ranije dobijena egzaktna vrednost energije osnovnog stanja |FM⟩ [Videti (3.236)]. ˇ U skladu sa standardnom teorijom kvantnog Sredingerovog polja izloˇzenoj u Odeljku 3.3, † vidimo da operator ψ (x) kreira magnon energije ωLSW (k) na ˇcvoru x. Ovi magnoni su Goldstonovi bozoni tipa B koji prate spontano naruˇsenje simetrije po ˇsemi O(3) → O(2) pri ˇcemu

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

a)

159

b)

Slika 3.2: Magnonska disperzija (3.249) za Hajzenbergov feromagnet na prostoj kubnoj reˇsetki sa parametrima S = 1/2, J = 1 i |λ| = a = 1: a) Trodimenzioni prikaz funkcije ω(kx , ky , 0) u z = 0 preseku prve Brluenove zone. b) Magnonska disperzija duˇz odred¯enih pravaca u Briluenovoj zoni. generator S 3 ima oˇcekivanu vrednost po osnovnom stanju razliˇcitu od nule. Sliˇcno, a†k kreira jednoˇcestiˇcno magnonsko stanje |k⟩ = a†k |0⟩, gde je |0⟩ vakuum magnona. Operatori ak i a†q su standardni bozonski operatori, [ak , a†q ]− = (2π)D δ(k − q), a jednoˇcestiˇcna stanja su normirana prema [Leutwyler (1994a)] kao ⟨p|q⟩ = (2π)D δ(p − q). Viˇsemagnonska stanja se nalaze direktnom primenom standardnih procedura za viˇseˇcestiˇcna stanja bozonskih polja [Videti Odeljak 3.2.5]. Upravo dobijeni rezultati su poznati pod nazivom linearna teorija spinskih talasa (LSW) koja opisuje kvantni Hajzenbergov feromagnet u najniˇzoj (linearnoj) aproksimaciji u kojoj je interakcija izmed¯u magnona u potpunosti zanemarena [Auerbach, A. (2012); Nolting, W., Ramakanth, A. (2009)].

Magnonske energije Pogledajmo sada malo detaljnije magnonske energije (3.249). Poˇsto u granici kontinuuma vaˇzi b 2 = k2 + O(k 4 ), vidimo da se u dugotalasnoj aproksimaciji magnonska energija svodi na k ω(k) =

k2 + O(k 4 ) 2mLSW

(3.253)

ˇsto je standardni oblik energije nerelativistiˇcke ˇcestice mase mLSW . U tom smislu treba interpretirati i veliˇcinu mLSW . Na (3.2) je dat prikaz magnonskih energija dobijenih u (3.249) za sluˇcaj proste kubne reˇsetke. Leva strana pokazuje funkciju ω(kx , ky , 0) pomo´cu kontura i dvodimenzione povrˇsine u Briluenovoj zoni. Odavde se lepo vidi periodiˇcnost disperzije koja je posledica ˇcinjenice da je model definisan na reˇsetki. Sliˇcno, desna strana na Sl. 3.2 prokazuje magnonsku energiju duˇz odred¯enih pravaca u Briluenovoj zoni. Poˇsto smo interakciju izmed¯u magnona u potpunosti zanemarili, dobijene energije ne zavise od temperature.

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

160 0.55 0.60

MC-QWL

0.65

LSW

0.70 0.75 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Slika 3.3: Unutraˇsnja energija trodimenzionog S = 1/2 Hajzenbergovog feromagneta sa J = 1 obraˇcunata po ˇcvoru dobijena pomo´cu linearne teorije [Videti (3.255)] i kvantne Monte Karlo simulacija. Unutraˇ snja energija feromagneta U skladu sa dobijenim rezultatima, HFM u linearnoj aproksimaciji moˇzemo shvatiti kao sistem feromagnetnih magnona koji opisuju stanja iznad E0 (kojem odgovara magnoski vakuum |0⟩) i koji med¯usobno ne interaguju. Poˇsto smo naˇsli magnonske operatore i dijagonalni hamiltonijan, pomo´cu njih moˇzemo izraˇcunati termodinamiˇcke veliˇcine i proveriti koliko je linearna aproksimacija opravdana. Kao ˇsto je poznato [Huang (1987); Abrikosov, A., Gorkov, L., Dzyaloshinski, I. (1963); Fetter, A., Walecka, J. (1971)], srednja vrednost operatora n(k) na temperaturi T je data sa 1

⟨n(k)⟩ = exp

h

ω(k) T

i

,

(3.254)

−1

tako da srednju vrednost energije feromagneta obraˇcunatu po ˇcvoru reˇsetke, kao funkciju temperature, dobijamo iz (3.2) Z E(T ) S 2 JZ1 =− − v0 ⟨n(k)⟩ω(k), (3.255) N 2 k IBZ gde je v0 zapremina elementarne ´celije.

Valjanost rezultata (3.255) ´cemo proveriti pomo´cu kvantne Monte Karlo simulacije zasnovane na Vang-Landauovom algoritmu [Videti ˇclanke Bauer, B. et al (2011); Wang, F., Landau, D. P. (2001); Troyer, M., Wessel, S., Alet, F. (2003)]. Odabran je Hajzenbergov feromagnet za S = 1/2 i J = 1 na prostoj kubnoj reˇsetki od 10 × 10 × 10 ˇcvorova. Za parametar simulacije (cutoff) je uzeto 5 × 104 ˇsto za pomenutu reˇsetku daje pouzdane rezultate pri T ≳ 0.05. Broj Vang-Landau koraka po simulaciji je 18, tako da je ukupan broj sweep-ova 1010 ˇsto daje greˇsku koja je mnogo manja od linije koja prikazuje rezultate simulacije. Rezultati simulacije i oni dobijeni pomo´cu (3.255) su prikazani na Sl. 3.3. Prime´cujemo da je slaganje izmed¯u linearne teorije i simulacija sve do nekih T ≈ 0.5. Budu´ci da je kritiˇcna temperatura ovog modela TC ≈ 0.839(1) [Videti Wessel, S. (2010)], vidimo da linearna teorija daje predvid¯anja

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

161

koja su veoma dobra u ve´cem delu ured¯ene faze. Nakon T ≈ 0.5 odstupanja linearne teorije od simulacija postaju znatna. Uraˇcunavanje popravke koju uvode magnon-magnon interakcije znaˇcajno poboljˇsavaju rezultate teorije. Na nivou magnonskih energija, interakcija dovodi do renormalizacije njihove ”mase” prema mLSW → m(T ), tako da novi parametar zavisi od temperature. Ovaj efekat se oslikava kroz temperatursku zavisnost razliˇcitih termodinamiˇckih veliˇcina tako da se teorijski dobijene vrednosti bolje slaˇzu sa eksperimentom i simulacijama [Videti Nolting, W., Ramakanth, A. (2009); Radoˇsevi´c, S.M., Panti´c M.R., Pavkov-Hrvojevi´c M.V., Kapor, D.V. (2013); Radoˇsevi´c, S.M. (2015) i tamo navedene reference]. Mermin-Vagnerova teorema Za kraj ovog odeljka posve´cenog kvantnom Hajzenbergovom feromagnetu smo ostavili diskusiju o Mermin-Vagnerovoj teoremi. Kao i u sluˇcaju teoreme za klasiˇcne modele, proveri´cemo da li je pretpostavka o postojanju malih odstupanja od stanja |FM⟩ uvek opravdana. U kontekstu kvantnog modela ovo znaˇci da moramo proveriti da li je, u okviru linearne teorije, srednji broj magnona po ˇcvoru mali. Na osnovu (3.129) i (3.248) vidimo da je srednji broj magnona po ˇcvoru dat sa Z ⟨n⟩ = v0 ⟨n(k)⟩. (3.256) kIBZ

Po uzoru na Odeljak 2.5.1, ispita´cemo ponaˇsanje gornjeg integrala za male vrednosti talasnih vektora. Tada vaˇzi aproksimacija (3.253) i podintegralna funkcija u ⟨n⟩ zavisi samo od k = |k| pa moˇzemo razdvojiti integrale po uglovima od integrala po modulu vektora k. Preostala integracija po k ide od 0 do Λ. Kako bismo regularizovali infracrvenu divergenciju, zameni´cemo donju granicu sa Λ0 i posmatrati graniˇcnu vrednost Λ0 → 0. Sa druge strane, integraciju od Λ0 ˜ a drugu od Λ ˜ do Λ. Vrednost Λ ˜ biramo tako do Λ ´cemo razdvojiti na dve – prvu od Λ0 do Λ ˜ da vaˇzi ω(Λ)/T ≪ 1 [Auerbach, A. (2012)]. Pod ovim uslovima se eksponencijalna funkcija ˜ moˇze razviti u red i zadrˇzati na prva dva ˇclana. Tako Boze-raspodele u integralu od Λ0 do Λ dobijamo [Uporediti sa (2.257)] Z Λ Z Λ˜ dkk D−2 dkk D−1 + v Ω . (3.257) ⟨n⟩ = 2mLSW T v0 ΩD 0 D k2 ˜ exp[ω(k)/(2mLSW T )] − 1 Λ Λ0 Prvi integral nije dobro definisan za D = 1 i D = 2. U sluˇcaju jednodimenzionog feromagneta, divergira kao T /Λ0 , a u drugom kao T ln Λ0 pri Λ0 → 0 i T ̸= 0. Kao i u klasiˇcnom sluˇcaju, dobili smo infracrvenu divergenciju koja sugeriˇse da, pri T ̸= 0, dugodometno ured¯enje nije mogu´ce. Naravno, ovo je u skladu sa Mermin-Vagnerovom teoremom. Osnovno stanje na T = 0 smo naˇsli ranije [Videti (3.234)] i ono je dobro definisano za izotropni feromagnet na reˇsetkama svih dimenzija D ≥ 1 [Auerbach, A. (2012)]. Sa druge stane, za D ≥ 3, na niskim temperaturama moˇzemo Boze-raspodelu aproksimirati sa exp[−k2 /(2mLSW T )] pa dobijamo   Z Λ k2 D−1 . (3.258) ⟨n⟩ ≈ ΩD dkk exp − 2mLSW T 0 Uvod¯enjem smene k 2 /(2mLSW T ) = y, nalazimo Z Λ2 /(2mLSW T ) Z D−2 D/2 −y D/2 ⟨n⟩ ∝ T dyy 2 e ∼ T 0

T →0

0

∞

dyy

D−2 2

e−y .

(3.259)

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

162 0.5

0.4

0.3

M

h = 0.2 0.2

0.1

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

T Slika 3.4: Kvantna Monte Karlo simulacija Hajzembergovog feromagneta na kvadratnoj reˇsetki u spoljaˇsnjem polju. Parametri modela su S = 1/2, J = 1 i h = 0.2. Odavde vidimo da je za D = 3 nose´ci ˇclan u niskotemperaturskom razvoju spontane magnetizacije proporcionalan sa T 3/2 . To je tzv. Blohov zakon [Nolting, W., Ramakanth, A. (2009); ˇ Pavkov-Hrvojevi´c, M., Skrinjar, M., Kapor, D., Krstonoˇsi´c, P. (2007); Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)]. Eksplicitno naruˇ senje simetrije U skladu sa diskusijom iz Odeljaka 3.6.4 i 2.2.1, mogu´ce je sniziti simetriju hamiltonijana tako da se ona poklapa sa simetrijom osnovnog stanja. To moˇzemo posti´ci uvod¯enjem spoljaˇsnjeg polja18 . Interakciju feromagneta sa poljem opisuje tzv. Zemanov ˇclan [Nolting, W., Ramakanth, A. (2009); Auerbach, A. (2012)] koji je oblika −h · S, gde je S ukupni spin (3.210) a h je spoljaˇsnje polje [Videti (2.3)]. Poˇsto spinski operatori opisuju unutraˇsnje stepene slobode, Zemanov ˇclan moˇzemo iskoristiti da definiˇsemo z osu u unutraˇsnjem prostoru. Na taj naˇcin ukupni hamiltonijan Hajzenbergovog feromagneta postaje X JX Sx · Sx+λ − h Sx3 . (3.260) Hh = − 2 x,λ x Za ovako definisan hamiltonijan ne vaˇzi relacija (3.212) ve´c je samo   Hh , S 3 − = 0

(3.261)

pa je simetrija hamiltonijana O(2). Takod¯e, stanje (3.234) je i dalje osnovno stanje pa ne dolazi do naruˇsenja simetrije. Energija stanja |FM⟩ u ovom sluˇcaju iznosi Eh 1 JS 2 Z1 = ⟨FM|Hh |FM⟩ = − − hS. N N 2 18

(3.262)

Joˇs jedan naˇcin za sniˇzavanje simetrija Hajzenbergovog modela je uvod¯enje spinske ili jednojonske anizotropije. Videti, recimo [Radoˇsevi´c, S.M., Rutonjski, M., Panti´c M.R., Pavkov-Hrvojevi´c M.V., Kapor, D.V., ˇ ˇ Skrinjar, M. G. (2011); Manojlovi´c, M., Pavkov, M., Skrinjar, M., Panti´c, M., Kapor, D., Stojanovi´c, S. (2003); ˇ Radoˇsevi´c, S., Pavkov-Hrvojevi´c, M., Panti´c, M., Rutonjski, M., Kapor, D., Skrinjar, M. (2009)] za konkretne primere.

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

163

ˇsto se lako pokazuje. Magnonske energije moˇzemo na´ci kao i u sluˇcaju izotropnog modela. Razlika se pojavljuje u jednaˇcini (3.243) koja sada glasi i∂t Sx+ = −

1 ▼2 Sx+ + hSx+ . 2mLSW

(3.263)

Iz ove jednaˇcine nalazimo magnonske energije za feromagnet u spoljaˇsnjem polju, b2 k ωh (k) = + h = JZ1 S[1 − γD (k)] + h. 2mLSW

(3.264)

Poˇsto kod modela sa spoljaˇsnjim poljem ne dolazi do spontanog naruˇsenja simetrije, magnonske energije imaju gep ωh (0) = h. Ovakve ekscitacije su poznate pod nazivom masivni Goldstonovi bozoni [Watanabe, H., Brauner, T., Murayama, H. (2013)]. Prisustvo gepa ne menja suˇstinske karakteristike masivnih Goldstonovih bozona. Njihov broj ostaje isti i interakcije med¯u njima su slabe. Med¯utim, gep regularizuje infracrvene divergencije. Divergentni integral iz (3.257) postaje Z ⟨n⟩ ∝ T 0

Λ

dkk D−1 . k 2 + 2mLSW h

(3.265)

i konaˇcan je za D = 1 i D = 2. Dakle, u prisustvu polja, dugodometno ured¯enje na konaˇcnim temperaturama postaje mogu´ce i za niskodimenzione feromagnete. Na primer, Na Sl. 3.4 su prikazani rezultati kvantne Monte Karlo smulacije zasnovane na SSE (Stochastic Series Expansion) algoritmu [Videti ovde kao i ˇclanak Alet, F., Wessel, S., Troyer, M. (2005)]. Simulacija je puˇstena za Hajzenbergov feromagnet na kvadratnoj reˇsetki sa S = 1/2, J = 1 i h = 0.2. Reˇsetka je dimenzije 4 × 4, broj termalizacija je 10000 a broj sweep-ova je 500000 tako da je greˇska kod svake prkazane taˇcke ∼ 10−5 . Sliˇcni rezultati su prikazani i u [Fr¨obrich, P., Kuntz, P.J. (2006)] gde je opisan joˇs jedan pribliˇzni metod za uraˇcunavanje magnon-magnon interakcije.

3.7.3

Hajzenbergov antiferomagnet

Nelovo stanje Hajzenbergov antiferomagnet je definisan za negativne vrednosti J u (3.206). Ograniˇcavaju´ci razmatranje na (hiper)kubne reˇsetke, ovakva vrednost integrala izmene dovodi do toga da je svaki spin okruˇzen najbliˇzim susedima koji su dominantno orijentisani u suprotnom smeru [Videti Sl. 3.5]. Na kvantnom19 nivou ovo znaˇci da ´ce ˇcvor sa stanjem |S, m⟩ biti okruˇzen ˇcvorovima koji uglavnom nose stanja |S, −m⟩. Skup ˇcvorova reˇsetke na kojima se nalaze spinovi koji su preteˇzno usmereni duˇz pozitivnog smera20 z ose ´cemo oznaˇciti kao podreˇsetku A i odgovaraju´ce spinske operatore ´cemo pisati kao (A) (B) Sx . Sliˇcno, sa Sx ´cemo oznaˇciti spinske operatore koji pripadaju podreˇsetki B sa spinovima 19

Iako u ovom odeljku diskutujemo o kvantnom modelu, ˇcesto je lakˇse govoriti o orijentaciji spina kao u sluˇcaju klasiˇcnog sistema. 20 Ovde joˇs jednom naglaˇsavamo da svaki put kada govorimo o orijentaciji spina mislimo na pravce u tzv. unutraˇsnjem prostoru koji nema veze sa reˇsetkom i njenom orijentacijom.

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

164

ˇ Slika 3.5: Sematski prikaz klasiˇcnog osnovnog stanja Hajzenbergovog antiferomagneta na kvadratnoj reˇsetki. dominantno orijentisanim ”na dole”. Prihvataju´ci ove konvencije, hamiltonijan Hajzenbergovog antiferomagneta ´cemo zapisati kao X (B) Sx(A) · Sx+λ , (3.266) H=J x∈A,λ

gde je sad J > 0. Hamiltonijan definiˇsemo bez faktora 1/2 poˇsto suma po x prebrojava samo ˇcvorove podreˇsetke A, kojih po konvenciji ima NA = N /2. Takod¯e, NB = NA . Osnovno stanje, koje bi odgovaralo klasiˇcnom antiferomagnetu, ima maksimalne projekcije spinova i naziva se Nelovo stanje O O |S, S⟩x |S, −S⟩x . (3.267) |NEL⟩ = x∈A

x∈B

Koriste´ci (3.217), vidimo da je i u sluˇcaju Nelovog stanja S 1 |NEL⟩ = ̸ 0,

S 2 |NEL⟩ = ̸ 0,

(3.268)

gde su S 1 i S 2 komponente ukupnog spina (3.210). Za razliku od feromagnetnog stanja, sada nalazimo   N N 3 S |NEL⟩ = S − |NEL⟩ = 0. (3.269) 2 2 To znaˇci da bi se, u sluˇcaju kada bi |NEL⟩ bilo osnovno stanje antiferomagneta, spontano naruˇsenje simetrije odvijalo po obrascu O(3) → O(2). Pri tome se veliˇcina ⟨NEL|S 3 |NEL⟩ ne moˇze koristiti kao parametar ured¯enosti. Takod¯e, poˇsto je ⟨NEL|S 3 |NEL⟩ = 0, u spektru elementarnih ekscitacija antiferomagneta oˇcekujemo Goldstonove bozone tipa A, koji su inaˇce karakteristiˇcni za relativistiˇcke sisteme.

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

a)

165

b)

Slika 3.6: Struktura prvih nekoliko energetskih nivoa antiferomagneta na bipartitivnoj reˇsetki: a) reˇsetka konaˇcnih dimenzija; b) reˇsetka u termodinamiˇckom limesu [prema Greiter (2005)]. Osnovno stanje O(3) antiferomagneta Pod pretpostavkom da je |NEL⟩ osnovno stanje antiferomagneta, obrazac naruˇsenja simetrije kod antiferomagneta je O(3) → O(2). Med¯utim, |NEL⟩ nije osnovno stanje hamiltonijana (3.266). To se najlakˇse vidi ako hamiltonijan zapiˇsemo pomo´cu S ± operatora uvedenih u Primeru 3.5. Tako dobijamo   X 1 +(A) −(B) −(A) +(B) 3(A) 3(B) Sx Sx+λ + Sx Sx+λ + Sx Sx+λ . (3.270) H=J 2 x∈A,λ +(A)

−(B)

3(A)

3(B)

Iako ˇclan Sx Sx+λ anihilira |NEL⟩ a |NEL⟩ je svojstveni vektor od Sx Sx+λ , preostali sabirak ˇcini da je H|NEL⟩ = ̸ const × |NEL⟩. Dakle, osnovno stanje kvantnog O(3) antiferomagneta se razlikuje od |NEL⟩. Bez obzira na to, stanje |NEL⟩ odgovara osnovnom stanju klasiˇcnog modela i zbog toga se ˇcesto uzima kao polaziˇste prilikom ispitivanja kvantnog antiferomagnetnog modela. Zapravo, istinsko osnovno stanje antiferomagneta na proizvoljnoj reˇsetki joˇs uvek nije poznato [Beekman et al. (2019)]. Sa druge strane, osnovno stanje antiferomagneta na bipartitivnoj reˇsetki21 sa konaˇcnim brojem ˇcvorova N je spinski singlet – okarakterisano je vrednoˇs´cu22 Stot = 0 operatora ukupnog spina (3.210). Ovaj rezultat je poznat pod nazivom Marˇsalova teorema [Auerbach, A. (2012)]. Kako je Stot = 0 stanje jedinstveno i rotaciono invarijantno, do naruˇsenja simetrije u ovom sluˇcaju ne dolazi. Situacija se ipak menja ako posmatramo reˇsetku u termodinamiˇckom limesu N → ∞. Struktura energetskih nivoa antiferomagneta na konaˇcnoj bipartitivnoj reˇsetki je skicirana na Sl. 3.6 pod a). Nakon osnovnog stanja okarakterisanog sa Stot = 0, dolazi niz nivoa23 koji su odred¯eni sa Stot = 1, Stot = 2, . . . pri ˇcemu je razmak izmed¯u susednih nivoa ∆E ∝ J/N [Beekman et al. (2019); Tasaki (2019)]. U termodinamiˇckom limesu stanja sa vrednostima ukupnog spina Stot > 0 (ova stanja nisu rotaciono invarijanta) postaju degenerisana sa osnovnim stanjem Stot = 0 [Videti Sl. 3.6 pod b)]. Osnovna stanja, koja se mod¯usobno razlikuju po pravcu 21

Pod bipartitivnom reˇsetkom se podrazumeva ona kod koje je svaki ˇcvor iz podreˇsetke A okruˇzen najbliˇzim susedima iz podreˇsetke B i obrnuto. 22 Kako bismo izbegli eventualnu zabunu, svojstvene vrednosti od S 2 smo oznaˇcili sa Stot (Stot + 1), dok je sa S oznaˇcena maksimalna vrednost projekcije operatora Sx . 23 Ova struktura nivoa je poznata pod nazivom ”tower of states ”[videti, recimo Beekman et al. (2019)].

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

166

ose kvantizacije u unutraˇsnjem prostoru i koja malo odstupaju od |NEL⟩, sada se mogu izgraditi kao superpozicija ovih degenerisanih stanja sa razliˇcitim vrednostima ukupnog spina Stot [Anderson (1984)]. Konaˇcno, kao ˇsto je diskutovano u sluˇcaju Izingovog modela [Odeljak 2.2.1] i Goldstonove teoreme [Odeljak 3.6.4], infinitezimalna perturbacija izdvaja jedno od ovih ekvivalentnih stanja ˇcime dolazi do naruˇsavanja O(3) simetrije Hajzenbergovog antiferomagneta. ˇ Cinjenica da ´cemo razmatranje kvantnog modela zapoˇceti od |NEL⟩, koje nije osnovno stanje hamiltonijana (3.266), ogleda´ce se kroz postojanje tzv. kvantnih fluktuacija. Kao opravdanje za ovakvo polaziˇste ´cemo dati unutraˇsnju konzistentnost prilaza (kvantne fluktuacije unose relativno male popravke a dobijeni rezultati su u skladu sa Mermin-Vagnerovom teoremom i pretpostavljenim obrascem naruˇsenja simetrije) i slaganje sa Monte Karlo simulacijama. Naravno, u literaturi se moˇze na´ci i puno primera gde su vrednosti dobijene na osnovu proraˇcuna zasnovanog na Nelovom stanju pored¯ena sa eksperimentima [Videti, recimo, Radoˇsevi´c, S., ˇ Pavkov-Hrvojevi´c, M., Panti´c, M., Rutonjski, M., Kapor, D., Skrinjar, M. (2009); Radoˇsevi´c, ˇ S.M., Rutonjski, M., Panti´c M.R., Pavkov-Hrvojevi´c M.V., Kapor, D.V., Skrinjar, M. G. (2011) i tamo navedene reference]. Parametar ured ¯enosti Budu´ci da oˇcekivana vrednost ukupnog S iˇsˇcezava u Nelovom stanju, parametar ured¯enosti ´cemo definisati kao oˇcekivanu vrednost tzv. Nelovog vektora24 [Greiter (2005); Burgess, C.P. (2000)] X X N= Sx(A) − Sx(B) . (3.271) x∈A

x∈B

Vektor N se u odnosu na transformacije koje generiˇse ukupni spin transformiˇse prema h i α β S ,N = iϵαβγ N γ , α, β, γ = 1, 2, 3. (3.272) −

pa je dobar izbor za konstruisanje parametra ured¯enosti. Preciznije, za parametar ured¯enosti uzimamo N = ⟨AFM|N 3 |AFM⟩ = N S.

(3.273)

jer smo pretpostavili da se spinovi orijentiˇsu duˇz z ose u unutraˇsnjem prostoru. Ovde smo sa |AFM⟩ oznaˇcili osnovno stanje kvantnog Hajzenbergovog modela (3.266). Poˇsto je |AFM⟩ = ̸ |NEL⟩, bi´ce N/N < S i razlika izmed¯u S i N se oznaˇcava kao pojava kvantnih fluktuacija. Na pojavu kvantnih fluktuacija moˇzemo gledati i iz drugog ugla. Polaze´ci od komutatora h i X (B) (3.274) N , H = −2i Sx(A) × Sx+λ , −

x∈A,λ

vidimo da operator N ne deli svojstvene vektore sa hamiltonijanom i nije konstanta kretanja. Kako osnovno stanje sistema |AMF⟩ predstavlja jedan od svojstvenih vektora operatora H, mora vaˇziti ⟨NEL|N 3 |NEL⟩ = ̸ ⟨AFM|N 3 |AFM⟩. Takod¯e, ⟨AFM|S|AFM⟩ = 0

(3.275)

jer, bez obzira ˇsto je |AFM⟩ = ̸ |NEL⟩, interakcija izmene forsira ”antiparalelna stanja” na susednim ˇcvorovima. 24

Kao i ukupni spin S, veliˇcina N je vektor u unutraˇsnjem prostoru.

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

167

Unitarna transformacija stanja |NEL⟩ i hamiltonijana Pogodnim izborom unitarne transformacije je mogu´ce prevesti Nelovo stanje (3.267) u stanje kojem odgovaraju vektori |S, S⟩ na svim ˇcvorovima, te se poklapa25 sa feromagnetnim stanjem [Altland, A., Simons, B. (2010)] O O |NEL⟩ −→ U |NEL⟩ = |S, S⟩x |S, S⟩x ≡ |FM⟩. (3.276) x∈A

x∈B

Ovakvu transformaciju moˇzemo izvrˇsiti pomo´cu operatora h i Y U= exp − iπSy1(B)

(3.277)

y∈B

koji vrˇsi globalnu rotaciju spinskih stanja i operatora sa podreˇsetke B za ugao π oko ose S 1 α(B) α(B) prema |S, M ⟩y → U |S, M ⟩y i Sy → U Sy U † ≡ S α(B) . Ovakva transformacija oˇcuvava y komutacione relacije (3.207). Kako bismo to pokazali, prvo ´cemo primetiti da operatori sa razliˇcitih podreˇsetki uvek komutiraju. Zbog toga je dovoljno da posmatramo komutacione relacije za operatore sa podreˇsetke B. Operator koji se nalazi sa desne strane (3.207) se transformiˇse kao Sxγ(B) → U Sxγ(B) U † ≡ S γ(B) x

(3.278)

dok komutator koji se nalazi sa leve strane prelazi u  α(B) β(B)    Sx , Sy → U Sxα(B) , Syβ(B) − U † = U Sxα(B) U † U Syβ(B) U † − U Syβ(B) U † U Sxα(B) U † −   = S α(B) , S yβ(B) − , (3.279) x na osnovu ˇcega vidimo da transformisani operatori zadovoljavaju relacije  α(B) β(B)  Sx , Sy = i∆(x − y)ϵαβγ S xγ(B) . −

(3.280)

Komutacione relacije izmed¯u operatora sa podreˇsetke A ostaju nepromenjene a one relacije u kojima figuruˇsu operatori sa razliˇcitih podreˇsetki se takod¯e ne menjaju. 1(B) Koriste´ci (3.229), vidimo da je dejstvo od U na spinske eksplicitno dato sa Sy → S y1(B) = 1(B) Sy , uz Sy2(B) → S 2(B) = −Sy2(B) , y

Sy3(B) → S 3(B) = −Sy3(B) , y

(3.281)

dok je Sy±(B) → S ±(B) = Sy∓(B) . y Na ovaj naˇcin dobijamo i transformisani hamiltonijan   X 1  +(A) +(B) −(A) −(B) z(A) z(B) † Sx S x+λ + Sx S x+λ − Sx S x+λ . H → U HU = J 2 x∈A,λ 25

Zapravo, poklapaju se do na fazni faktor; videti niˇze.

(3.282)

(3.283)

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

168

Kako bismo pokazali da se vektori u Hilbertovom prostoru transformiˇsu prema (3.276), po´ci 3(B) ´cemo od svojstvenog problema operatora Sy : Sy3(B) |S, M ⟩y = m|S, M ⟩y .

(3.284)

Deluju´ci na ovu relaciju operatorom U sa leve strane i umetanjem I = U † U na levoj strani jednakosti, dobijamo h i h i S 3(B) U |S, m⟩y = −m U |S, m⟩y , (3.285) odakle vidimo da je U |S, m⟩y ∝ |S, −m⟩y . Drugim reˇcima, vaˇzi´ce jednakost m = ⟨S, m|S 3(B) |S, m⟩ = [⟨S, m|U ]S 3(B) [U |S, m⟩], jer unitarna transformacija oˇcuvava vrednosti matriˇcnih elemenata. Dakle, operator U iz (3.277) prevodi Nelovo stanje |NEL⟩ u stanje koje izgleda kao feromagnetno stanje |FM⟩. Istovremeno, transformisani hamiltonijan je oblika (3.283) i zbog −(A) −(B) ˇclana Sx S x+λ , (3.276) nije svojstveno stanje hamiltonijana (3.283). Razlog za transformaciju stanja i hamiltonijana je taj ˇsto se proraˇcuni vrˇse lakˇse kada ne moramo voditi raˇcuna o orijentacijama stanja na ˇcvorovima koji propadaju razliˇcitim podreˇsetkama. Iako |FM⟩ nije svojstveno stanje hamiltonijana (3.283), odnosno stanje |NEL⟩ nije svojstveno stanje hamiltonijana (3.266), pogodno je stanje sa maksimalnom projekcijom uzeti kao polaziˇste pri odred¯ivanju spektra elementarnih ekscitacija i termodinamiˇckih karakteristika antiferomagneta. Unitarna transformacija utiˇce i na pravo osnovno stanje antiferomagneta. Formalno ´cemo pisati |AFM⟩ → U |AFM⟩ ≡ |AFM⟩

(3.286)

bez obzira ˇsto ne znamo pravo stanje |AFM⟩. U nastavku ´cemo videti da u linearnoj aproksimaciji stanju |AFM⟩ odgovara magnonski vakuum. Jednaˇ cine kretanja Broj i tip Goldstonovih bozona u spektru antiferomagneta je odred¯en obrascem naruˇsenja simetrije i karakteristikama osnovnog stanja. Ako za polaziˇste uzmemo |NEL⟩, simetrija se redukuje prema O(3) → O(2), dok ukupni spin (koji predstavlja oˇcuvanu veliˇcinu iz teoreme Emi Neter) iˇsˇcezava, ⟨NEL|S|NEL⟩ = 0. Na osnovu diskusije iz Odeljka 3.6.3 sledi da se u sluˇcaju antiferomagneta javljaju dva Goldstonova bozona tipa A. Kako bismo odredili njihovu punu disperzionu relaciju, po´ci ´cemo od hamiltonijana (3.283) i reˇsiti linearizovane jednaˇcine kretanja. Polaze´ci od hamiltonijana (3.283), nalazimo (vremensku koordinatu ne piˇsemo radi preglednosti) h i X −(B) X z(B) +(A) +(A) i∂t Sx = Sx , H = J Sxz(A) S x+λ + J Sx+(A) S x+λ , (3.287) −

i∂t S −(B) y

λ λ h i X +(A) X z(A) z(B) −(B) = S −(B) , H = −J S S − J S Sy+λ . y y y y+λ −

λ

λ

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

169

Pretpostavljaju´ci da je osnovno stanje |FM⟩ = U |NEL⟩, u jednaˇcine kretanja ´cemo uvesti 3(A) 3(B) aproksimaciju Sx (t) = Sx (t) ≈ S, za koju oˇcekujemo da bi mogla biti opravdana pri velikim vrednostima S. Na taj naˇcin dolazimo do X −(B) i∂t Sx+(A) = JS S x+λ + JZ1 SSx+(A) , (3.288) λ

i∂t S −(B) = −JS y

X

+(A)

Sy+λ − JZ1 SS −(B) . y

λ

Istovremeno, komutacione relacije za S ± operatore postaju " # " # +(A) −(A) +(B) −(B) Sx (t) Sy (t) S x (t) S y (t) √ √ , √ = , √ = ∆(x − y), 2S 2S − 2S 2S −

(3.289)

dok su ostali komutatori jednaki nuli. Komutacione relacije (3.289) opisuju sistem kod kojeg se pojavljuju dve vrste bozonskih ekscitacija i ovu ˇcinjenicu moramo uzeti u obzir prilikom +(A) pisanja Furijeovog razvoja za Sx (t) niˇze u tekstu. Dobijeni sistem od dve jednaˇcine (3.288) se moˇze reˇsiti prelaskom u impulsni prostor: 1 X ±(A) Sk (t) e±ik·x , Sx±(A) (t) = √ NA k

Sx±(B) (t) = √

1 X ±(B) Sk (t) e±ik·x NB k

(3.290)

gde je NA = NB = N /2 broj ˇcvorova podreˇsetke. Poˇsto je ±(A)

X

Sx+λ

λ

Z1 X 1 X ±(A) ±ik·x X ±ik·λ ±(A) Sk e e =√ γD (k)e±ik·x Sk = √ NA k NA k λ

(3.291)

gde je γD (k) definisano u (2.51) a Z1 predstavlja broj najbliˇzih suseda, sistem (3.288) se svodi na +(A)

i∂t Sk

−(B) i∂t S k

−(B)

= JSZ1 γD (k)S k =

+(A)

+ JSZ1 Sk

+(A) −JSZ1 γD (k)Sk

−

,

−(B) JSZ1 S k .

(3.292)

Odnosno, +(A)

∂t Sk

−(B) ∂t S k

−(B)

= −iSJ(k)S k =

+(A) iSJ(k)Sk

+

+(A)

− iϵSk

,

(3.293)

−(B) iϵS k ,

(3.294)

pri ˇcemu su uvedene standardne oznake [Radoˇsevi´c, S., Pavkov-Hrvojevi´c, M., Panti´c, M., ˇ Rutonjski, M., Kapor, D., Skrinjar, M. (2009)] J(k) = JZ1 γD (k),

ϵ = JZ1 S.

(3.295)

Diferenciranjem (3.293) po vremenu nalazimo +(A)

∂t2 Sk

−(B)

+(A)

= −SJ(k) i∂t S k − ϵ i∂t Sk h i h i +(A) −(B) −(B) +(A) = −SJ(k) −SJ(k)Sk − ϵS k − ϵ SJ(k)S k + ϵSk +(A)  = [J(k)S]2 − ϵ2 Sk .

(3.296)

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

170

Jednaˇcina (3.296) predstavlja dobro poznatu jednaˇcinu harmonijskog oscilatora. Ukoliko reˇsenja +(A) traˇzimo u obliku Sk (t) ∝ exp[−iωt], nalazimo disperzionu relaciju   2 ω 2 = ϵ2 − [J(k)S]2 ≡ ω 2 (k) = (JSZ1 )2 1 − γD (k) , (3.297) ili ω(k) = ±JSZ1

q 2 1 − γD (k).

(3.298)

Po analogiji sa sliˇcnim jednaˇcinama koje smo susreli odeljcima posve´cenim klasiˇcnom i kvantnom Klajn-Gordonovom polju [Videti 1.1.3, 3.2 kao i 3.3.1], reˇsenje traˇzimo u vidu Furijeovog integrala Z
1 X ∞ +(A) √ (3.299) dω S +(A) (k, ω) eik·x−iωt δ ω 2 − ωk2 Sx (t) = NA k −∞   1 X S +(A) (k, ωk ) ik·x−iω(k)t S +(A) (−k, −ωk ) −ik·x+iω(k)t = √ , e + e 2ωk 2ωk NA k U nastavku ´cemo umesto Furijeovih amplituda S +(A) (k, ω(k)) eksplicitno uvesti bozonske operatore S +(A) (k, ω(k)) = u k ak , 2ω(k)

S +(A) (−k, −ω(k)) = vk b†−k 2ω(k)

(3.300)

dok su uk i vk za sada neodred¯ene, ali realne i parne funkcije vektora k, dok operatori ak bk zadovoljavaju komutacione relacije h i h i h i h i h i ak , a†q = bk , b†q = ∆(k − q), ak , aq = bk , bq = · · · = a†k , b†q = 0, (3.301) −

−

−

−

−

Linearizovano reˇsenje (3.299) se sada moˇze zapisati kao  1 X † +(A) ik·x−iω(k)t −ik·x+iω(k)t Sx (t) = √ u k ak e + vk b−k e , NA k odakle direktno nalazimo i   † 1 X Sx−(A) (t) = Sx+(A) (t) = √ uk a†k e−ik·x+iω(k)t + vk b−k eik·x−iω(k)t . NA k −(B)

Poˇsto operatori S y stala dva reˇsenja

(3.303)

(t) takod¯e zadovoljavaju jednaˇcinu (3.296), odmah moˇzemo pisati preo-

 1 X  † −ik·y+iω(k)t vk a−k e + uk bk eik·y−iω(k)t , NA k   +(B) † 1 X † −ik·y+iω(k)t ik·y−iω(k)t √ S −(B) (t) = S (t) = v a e + u b e . k −k k k y x NA k

(t) = √ S +(B) y

(3.302)

(3.304)

Kako bismo na ispravan naˇcin interpretirali smisao reˇsenja dobijenih u linearnoj aproksimaciji, moramo odrediti nepoznate funkcije uk i vk i konstruisati dijagonalni hamiltonijan.

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

171

Komutacione relacije i dijagonalni hamiltonijan Nepoznate funkcije uk i vk ´cemo odrediti nametanjem dva uslova. Prvi je taj da operatori (3.302), (3.303) i (3.304) zadovoljavaju komutacione relacije (3.289). Drugi uslov je da hamiltonijan napisan pomo´cu operatora u linearnoj aproksimaciji ima dijagonalnu formu (3.156) [Weinberg, S. (2010)]. Zamenom reˇsenja (3.302) i (3.304) u komutator (3.289) dobijamo   i i i h h h 1 X −ik·x+iq·y −(A) ik·x−iq·y † +(A) † = + vk vq bq , bk e Sx (t), Sy (t) uk uq ak , aq e NA k, q − − −
1 X 2 = uk − vk2 eik·(x−y) = 2S∆(x − y), (3.305) NA k pri ˇcemu smo koristili skra´cenu oznaku za skalarni proizvod k · x = k · x − ω(k)t i bozonske komutacione relacije (3.301). Prema tome, prvi uslov koji treba da zadovolje funkcije uk i vk je u2k − vk2 = 2S.

(3.306)

h i +(B) −(B) Ista relacija se nalazi iz drugog komutatorskog para S x (t), S y (t) , dok su ostali komu−

tatori automatski jednaki nuli. Da bismo lakˇse naˇsli dijagonalnu verziju hamiltonijana (3.266), odnosno (3.283), podeli´cemo ga na tri dela. Prvi je J X +(A) +(B) ik·x+iq·(x+λ) J X +(A) +(B) Sx S x+λ = S Sq e 2 x, λ 2NA k, q k JZ1 X +(A) +(B) = S S −k γD (k), 2 k k

H1 =

(3.307)

pri ˇcemu smo preˇsli u impulsni prostor prema (3.290). Zamenom Furijeovih amplituda iz (3.302) i (3.304) u (3.307) nalazimo 1 HLSW

n   o JZ1 X † † 2 −i2ω(k)t 2 i2ω(k)t † † = γD (k) uk vk ak ak + bk bk + uk e ak b−k + vk e ak b−k . (3.308) 2 k

Na sliˇcan naˇcin dobijamo i J X −(A) −(B) S S x+λ (3.309) 2 x, λ x n  o  JZ1 X † † 2 −i2ω(k)t 2 i2ω(k)t † † ak b−k . = γD (k) uk vk ak ak + bk bk + uk e ak b−k + vk e 2 k

2 HLSW =

Ostala je joˇs da se nad¯e Furijeova transformacija za X 3(B) H 3 = −J Sx3(A) S x+λ . x, λ

(3.310)

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

172

3(A)

3(B)

Med¯utim, u H 3 figuriˇsu operatori Sx i S x+λ koji joˇs uvek nisu izraˇzeni pomo´cu bozonskih 3 operatora A i B. Taj problem moˇzemo reˇsiti tako ˇsto ´cemo HRPA napisati pomo´cu S ± operatora i to tako da budu zadovoljene jednaˇcine kretanja (3.288). Drugim reˇcima, u linearnoj 3 aproksimaciji, HLSW je operator za koji vaˇzi h i 3 Sx+(A) , HLSW = JSZ1 Sx+(A) = ϵ Sx+(A) (3.311) − h i 3 S −(B) , HLSW = −ϵ S −(B) . x x −

Poˇsto je u linearnoj aproksimaciji

h

+(A) −(A) Sx , Sy

i −

=

h

+(B) −(B) Sx , Sy

(3.311) ´ce vaˇziti ako stavimo ϵ X −(B) +(B) ϵ X −(A) +(A) 3 Sx Sx + S Sy . = HLSW 2S x∈A 2S y∈B y

i −

= 2S∆(x − y), jednaˇcina

(3.312)

Na ovom mestu ´cemo primetiti da se ista jednaˇcina kretanja dobija i ako operatori S + i S − u (3.312) zamene mesta. Takod¯e, u klasiˇcnom limitu oba izbora vode na isti rezultat. Ono ˇsto ih razlikuje je konstantni faktor koji se pojavljuje u izrazu za ukupnu energiju antiferomagneta. Izbor koji smo ovde usvojili vodi na rezultat koji se slaˇze sa standardnom linearnom teorijom spinskih talasa [Beekman et al. (2019)] i Monte Karlo simulacijama. Prema tome, linearizovana verzija od H 3 glasi, 
 ϵ X 2 3 HLSW = uk + vk2 a†k ak + b†k bk 2S k   ϵ X 2 ϵ X i2ω(k)t † † −i2ω(k)t 2uk vk e ak b−k + e ak b−k + 2vk (3.313) + 2S k 2S k pri ˇcemu je konstantni faktor posledica svod¯enja bozonskih operatora na normalno ured¯enje. Dakle, ukupni hamiltonijan Hajzenbergovog antiferomagneta dobijen na osnovu linearizacije jednaˇcina kretanja je  Xn
o  † ϵ ˜ LSW = H uk vk J(k) + u2k + vk2 ak ak + b†k bk (3.314) 2S k   X u2k + vk2 uk vk ϵ  i2ω(k)t † † + J(k) + e ak b−k + e−i2ω(k)t ak b−k 2 S k h i ϵ X 2 + 2 vk + γD (k)uk vk . 2S k 1 2 pri ˇcemu dodatni konstantni fktor dolazi od normalnog ured¯enja operatora iz HLSW i HLSW . Da bi HLSW predstavljao hamiltonijan neinteraguju´ceg magnonskog sistema, potrebno je da koeficijenti uk i vk budu takvi da je ispunjen uslov

u2k + vk2 uk vk ϵ + = 0. (3.315) 2 S Relacije (3.306) i (3.315) u potpunosti odred¯uju funkcije uk i vk . Reˇsenja tog sistema su s s √ √ ϵ 1 ϵ 1 uk = 2S + , vk = − 2S − . (3.316) 2ω(k) 2 2ω(k) 2 J(k)

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

173 2.0 1.5 1.0 0.5

b)

a)

Slika 3.7: Magnonska disperzija (3.249) za Hajzenbergov antiferomagnet na kvadratnoj reˇsetki sa parametrima S = 1/2, J = 1 i a = 1: a) Trodimenzioni prikaz funkcije ω(kx , ky ) u reciproˇcnom prostoru. b) Magnonska disperzija duˇz odred¯enih pravaca u Briluenovoj zoni. Zamena reˇsenja (3.316) u (3.314) daje magnonski hamiltonijan koji reprodukuje jednaˇcine kretanja u linearnoj aproksimaciji. Med¯utim, poˇsto smo razmatranje zasnovali na postojanju klasiˇcnog (Nelovog) stanja, tako da linearizovane jednaˇcine opisuju mala odstupanja od |NEL⟩, moramo u obzir uzeti i energiju ove konfiguracije. Poˇsto ona iznosi −JZ1 S 2 NA , ukupni hamiltonijana slobodnog magnonskog polja u O(3) antiferomagnetu glasi h i X X † † HLSW = −JZ1 S(S + 1)NA + ω(k) + ω(k) ak ak + bk bk . (3.317) k

k

Primeti´cemo da je klasiˇcni deo od (3.317) proporcionalana sa S 2 , dok su korekcije usled linearne kvantne teorije ∝ S. Do rezultata (3.317) se obiˇcno dolazi pomo´cu HP reprezentacije spinskih operatora [videti, recimo, udˇzbenike Auerbach, A. (2012); Beekman et al. (2019); Nolting, W., Ramakanth, A. (2009)]. Izvod¯enje koje je ovde prikazano omogu´cava jasnije tumaˇcenje disperzione relacije na osnovu analogija sa kvantovanjem skalarnog polja [videti Odeljke 3.2 i 3.3.1]. Osnovno stanje i magnonske energije

Iz (3.317) vidimo da se u linearnoj aproksimaciji O(3) antiferomagnet opisuje kao sistem neinteraguju´cih magnona. Na osnovu ranijih razmatranja znamo da su to Goldstonovi bozoni tipa A26 i javljaju se u dva ’ukusa’ – magnoni koje kreiraju operatori a†k i oni koje kreira b†k . Energije magnona oba ukusa su q 2 (k) (3.318) ω(k) = JSZ1 1 − γD 26

Matrica ρ iz (3.202) i (3.203) identiˇcki iˇsˇcezava.

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

174

i za njih vaˇzi ω(k) ≥ 0 za sve vrednosti k iz prve Briluenove zone [Kapor, D., Panti´c, M., ˇ Skrinjar, M., Pavkov, M., Radoˇsevi´c, S., Rutonjski, M. (2007)]. Ipak, ispravna verzija hamiltonijana se dobija ako se uzmu u obzir oba korena iz jednaˇcine (3.298). Kao ˇsto smo ve´c diskutovali u Odeljcima 1.1.3 i 3.2.3, to je poslediˇca ˇcinjenice da je jednaˇcina kretanja drugog reda po vremenskoj koordinati – jedino se uzimanjem oba korena nalazi potpuno reˇsenje pomo´cu Furijeovog integrala. Disperziona relacija za dvodimenzioni antiferomagnet je prikazana na Sl. 3.7. Primeti´cemo i da je oblik hamiltonijana (3.317) formalno sliˇcan sa hamiltonijanom kompleksnog skalarnogR polja (3.91) u toj meri da, pored dve vrste operatora, oba poseduju i isti konstantni ˇclan k ω(k). Poˇsto je antiferomagnet definisan na reˇsetki, ovaj sabirak ne sadrˇzi beskonaˇcni doprinos u ovom sluˇcaju. Takod¯e, oba hamiltonijana su U(1) invarijantna. U sluˇcaju antiferomagneta ova simetrija govori da je broj magnona oba ukusa isti. Ovaj zakljuˇcak ne´ce vaˇziti ako se sistem smesti u spoljaˇsnje magnetno polje. Konaˇcno, magnonski vakuum je sada definisan po uzoru na kompleksno skalarno polje |0⟩ = |nA (k) = 0⟩|nB (k) = 0⟩.

(3.319)

Jednoˇcestiˇcna stanja su |k(A) ⟩ = a†k |0⟩,

|k(B) ⟩ = b†k |0⟩

(3.320)

i normirana su kao ⟨k(A) |q (B) ⟩ = δAB (2π)3 δ(k − q). Na osnovu reˇsenja linearizovanih jednaˇcina kretanja, (3.302) i (3.303), vidimo da se na ˇcvorovima podreˇsetke A kreiraju magnoni oba ukusa. To moˇzda nije oˇcekivano, ali je posledica ˇcinjenice da su magnoni kolektivna pobud¯enja celog sistema [Fazekas, P. (1999)]. Sliˇcno vaˇzi i za ˇcvorove podreˇsetke B. Poˇsto smo naˇsli dijagonalni bozonski hamiltonijan, osnovno stanje antiferomagneta u linearnoj aproksimaciji je |AFM⟩ ≈ |0⟩,

(3.321)

gde je |0⟩ vakuum Goldstonovih bozona (magnonski vakuum). Kako bismo pokazali da stanje |0⟩ naruˇsava simetriju Hajzembergovog hamiltonijana, dovoljno je pokaˇzemo da jedna od komponenti Nelovog vektora poseduje oˇcekivanu vrednost razliˇcitu od nule u ovom stanju [Videti diskusiju iz Odeljka 3.6.2]. U najniˇzoj (nultoj) aproksimaciji, koju smo koristili za dobijanje 3(A) 3(B) linearizovanih jednaˇcina kretanja je Sx = S x = S i za parametar ured¯enosti * + X X S x3(B) AFM ≈ ⟨0|NA S + NB S|0⟩ = N S (3.322) N = AFM Sx3(A) + x∈A

y∈B

ˇsto je u skladu sa (3.273) i pretpostavljenim obrascem naruˇsenja simetrije. Bolju ocenu za 3(A) 3(B) vrednost parametra ured¯enosti u osnovnom stanju moˇzemo dobiti ako operatore Sx i S z izrazimo pomo´cu operatorske relacije Sx1(A)


2

+ Sx2(A)


2

+ Sx3(A)


2

≈ S 2,

(3.323)

koja aproksimativno vaˇzi za velike vrednosti S. Poˇsto linearni hamiltonijan poseduje U(1) simetriju, pri raˇcunanju parametra ured¯enosti nam je dovoljno da posmatramo podreˇsetku A.

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

175

Iz gornje veze izmed¯u spinskih operatora nalazimo s    2  2 
 1 1  1(A)
2 1(A) 2(A) 2(A) 2 z(A) 2 Sx Sx + Sx +O . (3.324) Sx = S − + Sx = S− 2S S3 U nastavku ´cemo odbacivati sve ˇclanove proporcionalne sa 1/S, 1/S 2 itd jer smo u potpunosti ignosrisali interakciju izmed¯u magnona. Naime, ispostavlja se [Manousakis, E. (1991)] da prvi doprinosi koji dolaze od magnon-magnon interakcije imaju faktor 1/S. Zbog toga bi bilo nekonzistentno da ih ovde zadrˇzavamo. Na osnovu Primera 3.5 znamo da je Sx1(A)


2

+ Sx2(A)


2

=

 1  +(A) −(A) Sx Sx + Sx−(A) Sx+(A) = Sx−(A) Sx+(A) + Sx3(A) 2

tako da moˇzemo pisati pribliˇzan izraz za operator27   1 −(A) +(A) 1 z(A) Sx = S − Sx Sx + O . 2S S

(3.325)

(3.326)

Za parametar ured¯enosti sada nalazimo + * * + X X 1 3(A) −(A) +(A) N = AFM 0 Sx AFM = NA S − Sx S 0 2S x∈A x∈A

(3.327)

pri ˇcemu koristimo aproksimativna bozonska reˇsenja za S ± operatore data u (3.302) i (3.303). Tako nalazimo + * X X 1 1 1 X −(A) +(A) 0 Sx S vk vq ⟨0|b−k b†−q |0⟩ eix·(k−q) = 0 2S 2S N A x∈A x∈A k,q X 1 = v 2 ⟨0|1 + b†q bk |0⟩, (3.328) 2S k k pri ˇcemmu smo iskoristili (3.174). Dakle, " # 1 1 X 1 p −1 N/NA = S − 2 2 NA k 1 − γD (k)

(3.329)

predstavlja vrednost parmetra ured¯enosti, obraˇcunatog po ˇcvoru reˇsetke, u linearnoj teoriji [Manousakis, E. (1991)]. Sa Sl. 3.7 se vidi da je veza iamed¯u energije i modula talasnog vektora linearna u blizini centra Briluenove zone. Zaista, razvojem funkcije γD (k), u sluˇcaju (hiper)kubne reˇsetke, nalazimo ω(k) = c|k| + O(k4 ), 27

(3.330) −(A)

+(A)

Iz (3.302),(3.303) i (3.316) znamo da je u linearnoj aproksimaciji Sx Sx ∝ S. Takod¯e, operator 3(A) moramo zanemariti u odnosu na Sx . Konaˇcno, primeti´cemo da se aproksimativni izraz (3.326) svodi na egzaktni rezultat (3.232) pri S = 1/2. 3(A) Sx /S

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

176

√ gde je c = 2JSa D brzina magnona. Oblik magnonske disperzije u dugotalasnoj aproksimaciji sugeriˇse da se O(3) antiferomagnet u aproksimaciji kontinuuma opisuje teorijom koja poseduje Lorencovu invarijantnost (s’ tim da je brzina svetlosti zamenjena brzinom magnona). Odgovraju´ci teorija je O(3) nelinearni sigma model, kojeg smo sreli u Odeljku 2.5.2, modifikovan tako da sadrˇzi i vremenske izvode [Leutwyler (1994a); Watanabe, H., Murayama, H. (2012)]. Prelazak na granicu kontinuuma u direktnom prostoru u sluˇcaju antiferomagneta je netrivijalan problem sa iznenad¯uju´cim rezultatom za jednodimenzioni sistem. Naime, ispostavlja se da odgovaraju´ci sigma model sadrˇzi i tzv. topoloˇski ˇclan koji utiˇce na razliku u ponaˇsanju antiferomagneta kod kojih je spin S ceo broj u odnosu na one kod kojih je S poluceo broj. Konkretno, u sluˇcaju polucelobrojnog spina se u sistemu javljaju ekscitacije koje ne poseduju gep dok se kod jednodimenzionih antiferomagneta za celobrojno S javljaju ekscitacije sa gepom [tzv. Haldejnov gep]. Navedeni rezultat nije u suprotnosti sa Goldstonovom i Mermin-Vagnerovom teoremom jer u sluˇcaju jednodimenzionih antiferomagneta ne dolazi do spontanog naruˇsenja simetrije i spomenute ekscitacije nisu magnoni [Auerbach, A. (2012); Altland, A., Simons, B. (2010); Fradkin, E. (2013)]. Relacija (3.329) nam omogu´cava i da proverimo opravdanost pretpostavke o postojanju p 2 dugodometnog ured¯enja na T = 0K. U dugotalasnoj aproksimaciji je 1 − γD (k) ∝ |k|, pa nalazimo Z Λ 1 X 1 dkk D−1 p ∝ . (3.331) 2 NA k k 1 − γD (k) 0 Odavde vidimo, da za razliku od feromagneta, spontano naruˇsenje simetrije kod O(3) antiferomagneta nije mogu´ce za D = 1 na T = 0K. Mermin-Vagnerova teorema Da bismo ispitali postojanje dugodometnog ured¯enja na konaˇcnim temperaturama, ponovo ´cemo krenuti od (3.326) i reˇsenja linearnih jednaˇcina (3.302) i (3.303). Kako sada ne usrenjavamo po vakuumskom stanju, imamo * + i 1 X −(A) +(A) 1 X 1 h † ix·(k−q) † −ix·(k−q) S S = uk uq ⟨ak aq ⟩e + vk vq ⟨bk bq ⟩e 2S x∈A x 2S k,q NA i h 1 X  2 (A) (B) (3.332) uk ⟨nk ⟩ + u2k 1 + ⟨nk ⟩ . = 2S k (A)

(B)

Poˇsto je u odsustvu spoljaˇsnjeg polja ⟨nk ⟩ = ⟨nk ⟩, konaˇcno nalazimo   1 X ϵ ω(k) 1 N (T )/NA = S − coth − , NA k 2ω(k) 2T 2

(3.333)

pri ˇcemu smo iskoristili 1 + 2[ex − 1]−1 = coth[x/2]. Da bismo ispitali ponaˇsanje N (T ) kod niskodimenzionih sistema, postupi´cemo sliˇcno kao i u sluˇcaju feromagneta. Najpre ´cemo prepisati (3.333) kao 1 1 X 1 1 X 1 (A) p p N (T )/NA = − + + ⟨nk ⟩. 2 2 2 NA k 2 1 − γD (k) NA k 1 − γD (k)

(3.334)

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

177

Slika 3.8: Antiferomagnet na kvadratnoj reˇsetki ivice a: narandˇzaste i zelene kuglice reprezentuju ˇcvorove razliˇcitih podreˇsetki. Elementarna ´celija u koordinatnom sistemu x − y je kvadrat ivice a. U temenima ovog kvadrata se nalaze dva ˇcvora iz podreˇsetke A i dva iz podreˇsetke B. U koordinatnom sistemu x − y, koji se dobija rotacijom za π/4, za elementarnu ´celiju uzimamo √ kvadrat ivice b = a 2. U temenima ovog kvadrata su ˇcetiri ˇcvora iz podreˇsetke B a u centru je jedan iz podreˇsetke A. Interesantan nam je poslednji integral. Na niskim temperaturama se pobud¯uju magnoni niskih energija za koje je ω(k) ≈ c|k|, gde je c brzina magnona. Integrciju po Briluenovoj zoni tada moˇzemo aproksimirati integracijom po D dimenzionim sfernim koordinatama. Ako uve˜ gde je, za datu demo infracrveni regulator Λ0 i integraciju po k podelimo na deo od Λ0 do Λ ˜ temperaturu, cΛ/T ≪ 1, temperaturski integral je proporcionalan sa Z

˜ Λ

dkk D−3

T

(3.335)

Λ0

i divergira pri Λ0 → 0 za D = 1 i D = 2. Dakle, na konaˇcnim temperaturama, ne moˇze do´ci do spontanog naruˇsenja simetrije kod O(3) antiferomagneta u jednoj i dve prostorne dimenzije [Auerbach, A. (2012)]. Pri D ≥ 3 i T → 0, moˇzemo pisati coth ω(k) ≈ 1 + 2e−ω(k)/T . Uz ovu aproksimaciju, vidimo 2T da se integral iz (3.333) svodi na dva doprinosa. Prvi je integral koji figuriˇse u (3.329). Sa druge strane, temperaturski zavisan deo je proporcionalan sa Z

Λ

dkk 0

D−2 −ck/(2T )

e

 =

2T c

D−1 Z

cΛ 2T

dyy D−2 e−y ,

(3.336)

0

gde je c brzina magnona. Iz gornjeg izraza nalazimo da je kod trodimenzionog antiferomagneta prvi ˇclan u niskotemperaturskom razvoju parametra ured¯enosti proporcionalan sa T 2 [Oguchi, T. (1960); Hofmann, C. P. (1999a)].

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

178

Numeriˇ cke vrednosti na T = 0 Pogledajmo sada koliko su predvid¯anja linearne teorije pouzdana. Da bismo bili konkretni, uze´cemo Hajzenbergov antiferomagnet za S = 1/2 na kvadratnoj reˇsetki. Ovaj model ima izvestan teorijski znaˇcaj jer se magnetne osobine jedinjenja La2 CuO4 , koje nakon dopiranja prelazi u superprovodnu fazu, u odred¯enoj meri mogu opisati pomo´cu njega [Manousakis, E. (1991)]. Da bismo pojednostavili raˇcunanje integrala po Briluenovoj zoni, izabra´cemo koordinatni sistem kao ˇsto je prikazano na Sl. 3.8. Za standardnu kvadratnu reˇsetku je elementarna ´celija kvadrat ivice a i geometrijski gaktor je γ˜ (k) =

cos(ak 1 ) + cos(ak 2 ) . 2

(3.337)

Sa druge strane, ako √ koordinatni sistem rotiramo za π/4, kao elementarnu ´celiju uzimamo kvadrat ivice b = a 2 tako da se u centru kvadrata nalazi ˇcvor podreˇsetke A a u temenima su ˇcvorovi podreˇsetke B (ili obrnuto). Geometrijski faktor u ovako odabranom sistemu je     bk2 bk1 cos . (3.338) γ(k) = cos 2 2 Oba ova izbora su potpuno ekvivalentna i prelazak sa sume na integral po Briluenovoj zoni se moˇze izvrˇsiti prema (3.172) Z π/a Z Z π/b X NA a2 Z π/a NA b2 π/b dk 1 dk 2 = dk1 dk2 . (3.339) = (2π)2 −π/a (2π)2 −π/b −π/a −π/b k Ipak, raˇcunanje integrala je dosta jednostavnije u drugom sluˇcaju. Primer 3.9. Posmatrajmo integral Z π/b Z π/b  α b2 2 I(α) = dk1 dk2 1 − γ (k) , (2π)2 −π/b −π/b

(3.340)

gde je α ∈ R uz α ≥ −1/2, dok je γ(k) definisano u (3.338). Uvod¯enjem smene bk1 /2 = x, bk2 /2 = y, integral se svodi na Z π/2 Z π/2 h iα 4 2 2 I(α) = dx dy 1 − cos x cos y π2 0 0 Z π/2 Z π/2 h iα 4 2 2 ≡ (3.341) dx dy 1 − ax cos y . π2 0 0 Koriste´ci poznati razvoj [Videti Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020) i tamo navedene reference] α 
(3.342) 1 − t2 = 2 F1 −α, 1; 1; t2 , gde je 2 F1

2

−α, 1; 1; t




∞ X (−α)m 2m = t m! m=0

(3.343)

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

179

hipergeometrijska funkcija a (a)m =

Γ(a + m) Γ(a)

(3.344)

predstavlja tzv. Pohamerov simbol, integral po y iz (3.341) se moˇze zapisati kao Z

π/2

0

Z π/2 ∞  α X (−α)m 2 2 2m dy 1 − ax cos y = dy cos2m y (ax ) m! 0 m=0 ∞ π X (−α)m (1/2)m = (ax )2m . 2 m=0 m! (1)m

(3.345)

U gornjoj jednakosti smo iskoristili integral Z

π/2 2m

dy cos 0

√ π Γ(m + 1/2) . y= 2 Γ(m + 1)

(3.346)

Zamenom (3.345) u (3.341) dobijamo Z ∞ ∞ X 4 π X (−α)m (1/2)m π/2 (−α)m (1/2)m (1/2)m 2m I(α) = dx cos y = 2 π 2 m=0 m! (1)m 0 m! (1)m (1)m m=0   1 1 ≡ 3 F2 −α, , ; 1, 1; 1 . 2 2

(3.347)

Ovde 3 F2 oznaˇcava uopˇstenu hipergeometrijsku funkciju koja je definisana pomo´cu datog reda koji konvergira za α ≥ −1/2. Viˇse detalja o uopˇstenoj hipergeometrijskoj funkciji, kao i njenoj prmeni na Hajzenbergov model, moˇze se na´ci u ˇclancima [Radoˇsevi´c, S., Panti´c, M., Kapor, ˇ D., Pavkov-Hrvojevi´c, M., Skrinjar, M. (2010); Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020); Radoˇsevi´c, S.M., ˇ Rutonjski, M., Panti´c M.R., Pavkov-Hrvojevi´c M.V., Kapor, D.V., Skrinjar, M. G. (2011)] i tamo navedenim referencama. ■ Zamenjuju´ci integral iz Primera 3.9 u (3.317), nalazimo energiju osnovnog stanja Hajzenbergovog antiferomagneta na kvadratnoj reˇsetki, obraˇcunatog po ˇcvoru N = 2NA , u linearnoj aproksimaciji.   ⟨AFM|H|AFM⟩ ⟨0|HLSW |0⟩ 1 E0 = = +O N N S     JZ1 S(S + 1) JZ1 S 1 1 1 1 = − + . (3.348) 3 F2 − , , ; 1, 1; 1 + O 2 2 2 2 2 S Specijalno, za S = 1/2, J = 1 model na kvadratnoj reˇsetki, nalazimo, E0 = −0.657947. Sa druge strane, Monte Karlo simulacija bazirana na SSE algoritmu28 za 8 × 8 ˇcvorova, daje vrednost EMC = −0.6736(1). Rezultati simulacija na ve´cim reˇsetkama [Sandvik, A. W. (1997)] daju sliˇcan rezultat E = −0.669437(5). Dakle, energija obraˇcunata po ˇcvoru u linearnoj teoriji 28

SSE algoritam je definisan za T ̸= 0. Ipak, ocene fiziˇckih veliˇcina definisanih na T = 0 se mogu dobiti sniˇzavanjem vrednosti parametra T u simulaciji [Sandvik, A. W. (1997)].

180

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

Slika 3.9: Unutraˇsnja energija Hajzenbergovog antiferomagneta obraˇcunata po ˇcvoru reˇsetke dobijena pomo´cu linearne teorije (puna linija) i Monte Karlo simulacije (taˇcke). se od rezultata Monte Karlo simulacija razlikuju za manje od 2%. Sa druge strane, za vrednost parametra ured¯enosti nalazimo     N (0) 1 1 1 1 N0 = =S− , , ; 1, 1; 1 − 1 . (3.349) 3 F2 NA 2 2 2 2 Za kvadratnu reˇsetku sa S = 1/2 i J = 1, nalazimo N0 = 0.3033. Monte Karlo SSE simulacija za reˇsetku 4 × 4 (5 × 108 termalizacija i 5 × 105 sweep-ova) daje N0 = 0.30354(28), ˇsto je blisko sa vrednostima koje se nalaze u literaturi [Sandvik, A. W. (1997)]. Za ocenu vrednosti parametra ured¯enosti u simulaciji je koriˇs´cena veliˇcina [Manousakis, E. (1991)] √ N ·N (3.350) N pri ˇcemu je N definisano u (3.271). Dakle, vidimo da kvantne fluktuacije redukuju vrednost parametra ured¯enosti sa 0.5 na pribliˇzno 0.3, ˇsto je odstupanje od skoro 40%. Opˇsti rezultat je da se sa pove´canjem S i dimenzije sistema D uticaj kvantnih fluktuacija smanjuje [Anderson, P. W. (1952)]. Odnosno, sa porastom D i S su stanja |0⟩, |AFM⟩ i |FM⟩ sve bliˇza jedna drugom.

Numeriˇ cke vrednosti na T ̸= 0 Na Sl. 3.9 je prikazana unutraˇsnja energija O(3) antifermagneta na prostoj kubnoj reˇsetki dobijena pomo´cu linearne teorije (puna linija) i kvantne Monte Karlo simulacije zasnovane na SSE algoritmu (kruˇzi´ci). Model je definisan sa J = 1 i S = 1/2 a simulacija je vrˇsena na reˇsetki 10 × 10 × 10 uz 106 termalizacija i 105 sweep-ova. Greˇske vrednosti dobijenih u simulaciji su manje od simbola kojima su predstavljene na grafiku. Kao i u sluˇcaju feromagneta, prime´cuje se dosta dobro slaganje izmed¯u simulacija i linearne teorije. Recimo, relativno odstupanje izmed¯u dva rezultata na niskim temperaturama je manje od 1%. Takod¯e, rezultati dobijeni u ovoj

3.7. KVANTNI HAJZENBERGOV MODEL

181

simulaciji se jako dobro slaˇzu sa onima dobijenim pomo´cu ravoja oko Izingovog limita [Oitmaa et al. (1994)]. Ekstrapolacija SSE Monte Karlo rezultata na T = 0 daje E0 /N = −0.90246(6) a razvoj oko Izingovog limita E0 /N = −0.90246(5). Znatnije razlike izmed¯u SSE Monte Karlo simulacije i predvid¯anja linearne teorije se pojavljuju tek pri T ≈ 0.6, ˇsto je blisko polovini vrednosti kritiˇcne temperature koja iznosi TC = 0.946 ± 0.001 [Sandvik, A. W. (1998)]. Analiza rezultata U prethodna dva odeljka smo videli primenu spinskih talasa, kao manifestaciju Goldstonove teoreme, na Hajzenbergov feromagnet i antiferomagnet. Pored toga ˇsto je obrazac naruˇsenja simetrije u oba sluˇcaja isti, O(3) → O(2), postoje znaˇcajne razlike u ponaˇsanju ova dva sistema. Pre svega, u spektru feromagneta se pojavljuje jedan Goldstonov bozon tipa B, dok se kod antiferomagneta pojavljuju dva bozona tipa A. Razlog za ovo je dinamiˇcki – interakcija izmene u antiferomagnetu forsira uslov ⟨AFM|S 3 |AFM⟩ = 0 usled ˇcega je matrica ρ iz (3.203) identiˇcki iˇsˇcezava. Ovo za posledicu ima razliku u niskotemperaturskoj termodinamici dva sistema. Poˇsto su energije magnona kod feromagneta ∝ k2 , vode´ci ˇclan u tepmeraturskoj zavisnosti parametra ured¯enosti je ∝ T D/2 , gde je D > 2 prostorna dimenzija sistema. U sluˇcaju antiferomagneta, kod kojeg su magnonske energije ∝ |k|, ovaj nose´ci ˇclan je T D−1 . Analogne razlike se javljaju i kod niskotemperaturskih razvoja ostalih termodinamiˇckih veliˇcina [Hofmann (2011); Hofmann, C. P. (1999a)]. Takod¯e, videli smo da je slaganje izmed¯u predvid¯anja teorije neinteraguju´cih Goldstonovih bozona i Monte Karlo simulacija izuzetno dobro, ˇcak i kada je S = 1/2. U tom sluˇcju 1/S nije mali broj i ne moˇze se apriori opravdati zanemarivanje ˇclanova koji opisuju magnon-magnon interakciju [Videti komentar iz Primera 3.6]. Na iznenad¯uju´ce dobre rezultate linearne teorije u sluˇcaju S = 1/2 sistema se moˇze gledati na viˇse naˇcina. Jedan od njih [Manousakis, E. (1991)] sugeriˇse da viˇsi ˇclanovi koji se dobijaju pri razvoju operatora (3.223) po stepenima 1/S zapravo dobijaju u razvoju po sve viˇsim stepenima veliˇcine ⟨nx ⟩/S. Na ovaj naˇcin bi se slabost interakcije (odnosno, malo odstupanje spinskih operatora od ˇcistih bozonskih) objasnilo ˇcinjenicom da je na niskim temperaturama ⟨nx ⟩ mali broj. Ipak, ovo je u suˇstini argument zasnovan na aproksimaciji srednjeg polja (zamena operatora a†x ax sa njegovom srednjom vrednoˇs´cu) za koju se zna da u odred¯enim situcijama predvid¯a rezultate u suprotnosti sa Mermin-Vagnerovom [Fr¨obrich, P., Kuntz, P.J. (2006)] ili Goldstonovom [Wen, X. G. (2007)] teoremom. Iz navedenih razloga se ovakvo objaˇsnjenje ne bi trebalo smatrati konaˇcnim. Sa druge strane, slabost interakcije izmed¯u Goldstonovih bozona je opˇsta karakteristika sistema u kojima se oni javljaju. Naime, ispostavlja se da je niskoenergetska dinamika Goldstonovih bozona odred¯ena tzv. efektivnim lagranˇzijanom [Weinberg, S. (2010); Brauner, T. (2010); Watanabe, H., Murayama, H. (2014)] koji u suˇstini predstavlja genrealizaciju O(N ) nelinearnog σ modela uvedenog ˇ u Odeljku 2.5.2. Clanovi u lagranˇzijanu koji opisuju interakciju izmed¯u Goldstonovih polja uvek sadrˇze i izvode samih polja. Recimo, u sluˇcaju aniferomagneta, pojavljuje se ˇclan oblika π(x, t) · π(x, t)∇2 [π(x, t) · π(x, t)], gde su π 1 (x) i π 2 (x) dva magnonska polja [Videti Odeljak 3.8]. Ako pomenuti ˇclan posmatramo u impulsnom prostoru, faktor ∇2 ´ce postati p2 . Zbog toga ´ce na niskim energijama efekti magnon-magnon interakcije biti relativno mali ˇcak i kada je S = 1/2 [Radoˇsevi´c, S.M. (2015)]. Ovo opaˇzanje ilustruje kako se u Goldstonovi bozoni u kvantnoj teoriji koriste kao pogodni stepeni slobode za opis niskoenergetskog (niskotemperaturskog) sektora modela kod kojeg dolazi do spontanog naruˇsenja simetrije. Recimo, u sluˇcaju Hajzenbergovog antiferomagneta,

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

182

fiziˇcke osobine magneta su u suˇstini odred¯ene na osnovu kulonovske interakcija nesparenih elektrona koji mogu da preskaˇcu izmed¯u ˇcvorova reˇsetke i Paulijevog principa. Jedan od osnovhih modela koji opisuje ovakve sisteme je Habardov model sa dominantnom Kulonovom interakcijom [Videti Primer 3.4]. Koliko god interakcije izmed¯u ovih elektrona bile komplikovane i jake, magnoni se u najve´cem delu ured¯ene faze ponaˇsaju kao slobodne (neinteraguju´ce) ˇcestice. Zbog toga se termodinamiˇcke karakteristike Hajzenbergovog antiferomagneta dosta efikasno raˇcunaju pomo´cu (neinteraguju´cih) magnona.

3.8

Efektivni lagrnˇ zijani za feromagnet i antiferomagnet

U Odeljku 2.5.2 smo videli kako je mogu´ce konstruisati efektivno dejstvo za Goldstonova polja u O(N ) nelinearnom σ modelu koji se koristi u Landauovoj teoriji faznih prelaza. Efektivni lagranˇzijan, koji opisuje klasiˇcnu dinamiku Goldstonovih polja se moˇze dobiti na sliˇcan naˇcin. Primenjuju´ci pravila kanonskog kvantovanja na efektivni lagranˇzijan, dobijamo ˇcisti magnonski hamiltonijan u kojem se od samog poˇcetka nalaze magnonski operatori. Interakcija izmed¯u magnona je automatski ukljuˇcena kroz ˇclanove koji sadrˇze proizvode od ˇcetiri i viˇse operatora. Magnonski lagranˇzijani su kompaktno zapisani pomo´cu jediniˇcnog vektorskog polja jer se na taj naˇcin lakˇse povlaˇci paralela sa prilazom iz prethodnog odeljka. Ovi rezultati su u potpunosti ekvivalnetni sa standardnim CCWZ lagranˇzijanom koji se moˇze napisati pomo´cu More-Kartanove forme [Watanabe, H., Murayama, H. (2014)].

3.8.1

Antiferomagnet

Pre svega, u Odeljku 2.5.2 smo videli da pri naruˇsenju simetrije po ˇsemi O(3) → O(2), postoje dva Goldstonova polja π 1 i π 2 i to tako da se vrednosti π 1 (x) i π 2 (x) uvek odgovaraju taˇckama na jediniˇcnoj sferi. U odnosu na proizvoljnu29 infinitezimalnu O(3) transformaciju, polja π 1 i π 2 se ponaˇsaju kao π A → π 1 + δπ A , pri ˇcemu je [videti (2.282)] √ A, B = 1, 2 (3.351) δπ A = θA 1 − π 2 + θ3 (Y )AB π B , gde je Y generator od O(2) a θA su uglovi koji definiˇsu transformaciju. Na osnovu rezultata iz Odeljka 2.5.2, znamo da je izraz Z ∂r π A GAB ∂r π B (3.352) x

gde indeks r prebrojava prostorne koordinate a πA π B GAB (π) = δAB + 1 − π2

(3.353)

predstavlja komponente metriˇckog tenzora na S 2 , invarijantan u odnosu na transformacije iz (3.351). Poˇsto u sluˇcaju unutraˇsnjih stepeni slobode O(3) transformacije ne zavise ni od prostornih ni i vremenskih koordinata, odmah moˇzemo napisati lagranˇzijan O(3) invarijantnog σ modela koji opisuje klasiˇcna Goldstonova polja tipa A kao dinamiˇcki entitet, L= 29

F12 F2 ∂t π A GAB (π)∂t π B − 2 ∇π A · GAB (π)∇π B . 2 2

(3.354)

Transformacija je proizvoljna u smislu da nije ograniˇcena na podgrupu O(2) ili transformacije iz O(3)/O(2). Ono ˇsto transformaciju ˇcini infinitezimalnom je vrednost parametra θA .

ˇ 3.8. EFEKTIVNI LAGRNZIJANI ZA FEROMAGNET I ...

183

pri ˇcemu su F1 i F2 proizvoljne konstante. Ako komponente gradijenta definiˇsemo pomo´cu D X



1∂ ∂= e ∂µ ≡ ,∇ c ∂t µ=1 µ

 (3.355)

gde je c brzina magnona uvedena uvedena kod jednaˇcine (3.330), gustina lagranˇzijana koja opisuje niskoenergetsku (tj. dugotalasnu) dinamiku Goldstonovih polja u sluˇcaju O(3) antiferomagneta na kubnoj reˇsetki je L=

F22 ∂µ π A GAB (π)∂ µ π B , 2

c = F2 /F1 .

(3.356)

Ovaj lagranˇzijan se ˇcesto zapisuje i u drugom obliku kod kojeg je O(3) simetrija oˇcigledna. To smo takod¯e susreli√u Odeljku 2.5.2. Ako definiˇsemo jediniˇcni vektor U = [π, U 3 ], gde je U 3 odred¯eno sa U 3 = 1 − π 2 , lagranˇzijan (3.354) poprima jednostavniju formu L=

F22 ∂µ U · ∂ µ U , 2

U 2 = 1.

(3.357)

Lagranˇzijan (3.357) deluje jednostavnije, ali sadrˇzi fitkivno polje U 3 koje se mora eliminisati u svim proraˇcunima. Iako deluje da (3.354) i (3.357) imaju jednostavniju strukturu od Hajzenbergovog hamiltonijana (3.266) jer ne uzimaju u obzir postojanje reˇsetke, ovi lagranˇzijani na ispravan naˇcin uraˇcunavaju strukturu magnon-magnon30 interakcija u najniˇzem redu [Leutwyler (1994a)]. Interakcija se u (3.354) manifestuje kroz netrivijalni metriˇcki tenzor G a u (3.357) je posledica fiktivnog polja U 3 [odnosno, nelinearnog uslova |U | = 1]. Ovo predstavlja oˇstar kontrast u odnosu na Hajzenbergov hamiltonijan (3.266) u kojem se magnon-magnon interakcija pojavljuje kao posledica netrivijalnog Hilbertovog prostora i komutacionih relacija koje zadovoljavaju spinski operatori. Lako je videti da u linearnoj teoriji, koja odgovara aproksimaciji GAB = δAB u (3.356) ili zanemarivanjem komponente U 3 u (3.357), Hamiltonov funkcional je [Gongyo, S., Kikuchi, Y., Hyodo, T., Kunihiro, T. (2016)] 2

1X H0 = 2 A=1

Z  x

 1 2 2 A A Π + F2 ∇π · ∇π , F12 A

(3.358)

gde je smo sa ΠA = ∂L0 /π˙ A = F12 π˙ A oznaˇcili odgovaraju´ce kanonske impulse. Nakon kvantovanja, ovaj hamiltonijan postaje Z h i 2 ω(k) a†k ak + b†k bk (3.359) H0 = F1 k

do na konstntni ˇclan. Magnonske energije su ω(k) = c|k| dok a†k i b†k kreiraju magnone dva ukusa kao u Odeljku 3.7.3. Magnonski operatori su oˇcigledno dati izrazima koji su analogni sa √ 31 1 2 onima iz (3.88), gde je kompleksno magnonsko polje definisano sa π = (π + iπ )/ 2. 30

O magnonima kao ˇcesticama treba razmiˇsljati tek nakon kvantovanja klasiˇcne teorije. Obratiti paˇznju da je u Odeljku 3.88 sa simbolom π(x) oznaˇcen kanonski impuls koji smo u ovom delu teksta oznaˇcili sa Π. 31

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

184

Pomo´cu hamiltonijana (3.359) je mogu´ce reprodukovati neke osnovne rezultate iz prethodnog odeljka. Recimo, parametar ured¯enosti je N = ⟨U 3 ⟩, pri ˇcemu je Z

3

U (x) = x

Z p x

1 1 − π 2 (x) ≈ V − 2

Z

Z π(x) · π(x) = V −

x

π † (x)π(x).

(3.360)

x

Odnosno, Z N/V ≈ 1 − x

1 ⟨nA (k)⟩, ω(k)

(3.361)

gde je nA (k) = δ(k − k)a†k ak = V a†k ak a ⟨nA (k)⟩ je odgovaraju´ca Boze-raspodela. Raˇcunanjem integrala nalazimo da je nose´ci ˇclan u niskotemperaturskom razvoju proporcionalan sa T D−1 u skladu sa (3.336). Osnovno preimu´cstvo metoda efektivnih lagranˇzijana je ˇsto se sistematski mogu uraˇcunati i popravke viˇseg reda tako da se direktno dobijaju niskotemperaturski razvoji razliˇcitih termodinamiˇckih veliˇcina bez nekontrolisanih aproksimacija [Hofmann, C. P. (1999b, 2010)]. Ovo se postiˇze uraˇcunavanjem svih ˇclanova sa pretpostavljenim simetrijama modela [Weinberg, S. (2010)]. Na primer, aproksimiranjem GAB sa δAB + πA πB vodi na interakcioni ˇclan oblika Lint =



1
F2 F2 F12 πA ∂µ π A π B ∂ µ π B = 1 ∂µ π 2 ∂ µ π 2 = 1 ∂µ π 2 ∂ µ π 2 − π 2 ∂ 2 π 2 . 2 8 8 8

(3.362)

Prvi sabirak je oblika divergencije vektora i ne doprinosi dejstvu. Drugi ˇclan vodi na oblik interakcije naveden u Odeljku 3.7.3. Interakcioni doprinosi viˇseg reda se dobijaju kada se u efektivni lagranˇzijan ukljuˇce svi ˇclanovi koji su u skladu sa pretpostavljenom O(3) simetrijom modela. To su, na primer [Hofmann, C. P. (1999b, 2010)] D1 (∂µ U · ∂ µ U ) (∂ν U · ∂ ν U ) ,

D2 (∂µ U · ∂ν U ) (∂ µ U · ∂ ν U ) ,

(3.363)

gde su D1 i D2 proizvoljne konstante. U opˇstem sluˇcaju, klasifikacija razliˇcitih ˇclanova se vrˇsi prema broju izvoda koji deluju na magnonska polja i broju integracija po unutraˇsnjim linijama Fajnmanovih dijagrama [Weinberg, S. (2010)]. Proizvoljne konstante koje figuruˇsu u efektivnom lagranˇzijanu se mogu fiksirati pored¯enjem sa mikroskopskim prilazima (spinski talasi), sa rezultatima Monte Karlo simulacija ili pored¯enjem sa eksperimentom [Hofmann (2011)]. Kada se sve konstante fiksiraju, teorija zasnovana na efektivnom lagranˇzijanu se moˇze koristiti za detaljne proraˇcune Na kraju napominjemo da se lagranˇzijan iz ovog odeljka direktno uopˇstava na sluˇcaj O(N ) antiferomagneta [Hofmann, C. P. (1999b, 2010)].

3.8.2

Feromagnet

U ovom odeljku ´cemo do´ci i do efektivnog lagranˇzijana koji u najniˇzoj aproksimamciji opisuje magnone tipa B u feromagnetu. Kao ˇsto ´cemo videti, dobijanje ovog lagranˇzijana je dosta komplikovanije nego u sluˇcaju antiferomagneta a razlog tome je postojanje parametra ured¯enosti povezanog za teoremom Emi Neter.

ˇ 3.8. EFEKTIVNI LAGRNZIJANI ZA FEROMAGNET I ...

185

Kilingova vektorska polja Za poˇcetak ´cemo fiksirati bazise u o(3) i o(2). Za razliku od Primera 1.15 ili diskusije iz Odeljka 2.5.2, uze´cemo32       0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 ≡Y, X1 =  0 0 −1  , X2 =  0 0 0  , X3 =  1 (3.364) 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 tako da Y reprezentuje generator od o(2) a X1 i X2 generatore od o(3)/o(2) ∼ = R2 u R3 , dok ´cemo za generatore od o(3) uzeti skup {X1 , X2 , X3 = Y }. Kao i do sada, indeksi i, j, . . . ´ce prebrojavati bazisne elemente od o(3) dok ´cemo sa A, B, . . . numerisati razliˇcite elemente iz bazisa prostora o(3)/o(2). Matrice Xi su izabrane tako da bude (Xi )jk = −ϵijk .

(3.365)

Razlog za drugaˇciju parametrizaciju dejstva o(3) na S 2 je taj ˇsto ˇzelimo da efektivno dejstvo za feromagnet izrazimo pomo´cu jediniˇcnog polja U , |U |2 = 1. Polaze´ci od (2.269) moˇzemo pisati (ne pravimo razliku izmed¯u gornjih i dojnih indeksa kod polja U ) δUi = θj (Xj )ki Uk = −θj ϵjki Uk = ϵijk U j θk

tj.

δU = U × θ.

(3.366)

√ T  Ako polje U parametrizujemo kao π 1 π 2 1 − π 2 , iz (3.366) nalazimo i zakone transformacije Goldstonovih polja [Uporediti sa (3.351)!] √ √ δπ 2 = θ1 1 − π 2 − θ3 π 1 . (3.367) δπ 1 = −θ2 1 − π 2 + θ3 π 2 , Relaciju (3.367) koja definiˇse transformaciju Goldstonovih polja u odnosu na dejstvo elemenata iz o(3) ´cemo zapisati kao [Watanabe, H., Murayama, H. (2014)] π A → π A + δπ A ,

δπ A = θi hA i (π)

(3.368)

gde su {h1i , h2i } komponente tri tzv. Kilingova vektorska polja h1 , h2 i h3 [Leutwyler (1994b,a)], gde je hi = hA i eA . Komponente Kilingovih vektora za G → H dato sa O(3) → O(2) se direktno dobijaju pored¯enjem (3.368) i (3.351) [Videti i Watanabe, H., Murayama, H. (2012)] √ √ h11 = 0, h21 = 1 − π 2 , h12 = − 1 − π 2 , h22 = 0, h13 = π 2 , h23 = −π 1 . (3.369) U opˇstem sluˇcaju, Kilingova vektorska polja opisuju infinitezimalno dejstvo grupe G na prostor G/H [Arvanitoyeorgos, A. (2003); Fecko, M. (2006)]. U nastavku ´cemo koristiti ˇcinjenicu da se pomo´cu Kilingovih vektorskih polja moˇze konstruisati inverzni metriˇcki tenzor kao G−1 =

3 X i=1

32

hi ⊗ hi ,

tj.

GAB =

3 X

B hA i hi .

i=1

Matrice {X1 , X2 , X3 = Y } odgovaraju tzv. adjungovanoj reprezentaciji.

(3.370)

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

186

Koriste´ci komponente Kilingovih vektora iz (3.369), kao i definiciju komponenti metriˇckog tenzora (3.353), nalazimo33 # "   (π 1 )2 π1 π2 1 + 1−π 1 − (π 1 )2 −π 1 π 2 2 2 −1 1−π , G = (3.371) G= (π 2 )2 π1 π2 −π 1 π 2 1 − (π 2 )2 1 + 1−π 2 1−π 2 na osnovu ˇcega se lako pokazuje GG−1 = G−1 G = I2×2 . Parametrizacija metrike sa jediniˇ cnim vektorskim poljem U Komponente metriˇckog tenzora je mogu´ce na kompaktan naˇcin izraziti i pomo´cu komponenti polja U . Zaista, poˇsto je (koristimo skra´ceno oznaˇcavanje ∂A = ∂/∂π A ) 3 X

∂A Ui ∂B Ui =

i=1

2 X

√ √ πA π B ∂A π C ∂B π C + ∂A 1 − π 2 ∂B 1 − π 2 = δAB + 1 − π2 C=1

(3.372)

vidimo da se metriˇcki tenzor moˇze zapisati i kao G=

3 X

∂Ui ⊗ ∂Ui = ∂A Ui ∂B Ui e∗A ⊗ e∗B ,

(3.373)

i=1

Metriˇcki tenzor moˇzemo iskoristiti za spuˇstanje indeksa, odnosno za pridruˇzivanje dualnih vektora poljima hi [Videti Prilog A]
˜ i = G(hi , ) = ∂Uj ∂A Uj hA . (3.374) h i Recimo, za i = 1, nalazimo komponente dualnog vektora


˜ 1B = ∂B U1 ∂1 U1 h1 + ∂2 U1 h2 + ∂B U2 ∂1 U2 h1 + ∂2 U2 h2 + ∂B U3 ∂1 U3 h1 + ∂2 U3 h2 h 1 1 1 1 1 1 = U3 ∂B U2 − U2 ∂B U3 (3.375) Ponavljaju´ci raˇcun za preostale vrednosti indeksa i, nalazimo [Leutwyler (1994a)] ˜ i = ϵijk ∂A U j U k e∗A . h

(3.376)

Koriste´ci Uj ∂A Uj = 21 ∂A |U |2 = 0, moˇzemo pokazati da se metriˇcki tenzor moˇze napisati i kao [Leutwyler (1994a)] G=

3 X

˜i ⊗ h ˜ i. h

(3.377)

i=1

Upravo ´ce nam oblik metriˇckog tenzora iz (3.377) biti od koristi prilikom nalaˇzenja efektivnog lagranˇcijana za feromagnet. 33 ˇ

Cinjenica da smo na drugaˇciji naˇcin parametrizovali dejstvo od O(3) na S 2 , ˇsto se ogleda u razliˇcitim zakonima transformacije Goldstonovih polja datim u (3.351) i (3.367), ne utiˇce na komponente metriˇckog tenzora na S 2 .

ˇ 3.8. EFEKTIVNI LAGRNZIJANI ZA FEROMAGNET I ...

187

Invarijantni tenzori na G/H Kao ˇsto smo videli na primeru antiferomagneta, ili O(N ) σ modela, efektivni lagranˇzijan je izraˇzen pomo´cu komponenti metriˇckog tenzora na prostoru G/H. Razlog za to je ˇsto se komponente metriˇckog tenzora i Goldstonovih polja transformiˇsu na takav naˇcin da je veliˇcina GAB ∂µ π A ∂ µ π A invarijantna u odnosu na dejstvo grupe G dato sa π A → π A + δπ A , GAB → GAB + δGAB i kao takva predstavlja G invarijantnu funkciju na G/H. Odavde je jasno da ´ce efektivni lagranˇzijan u principu morati da sadrˇzi sve ˇclanove koji su izfrad¯eni od G invarijantnih funkcija na G/H [Weinberg, S. (2010); Andersen, J. O., Brauner, T., Hofmann, C. P. Vuorinen, A. (2014); Watanabe, H., Murayama, H. (2014)]. Recimo, neki mogu´ci sabirci koji sadrˇze ˇcetiri Goldstonova polja na S 2 = O(3)/O(2) su navedeni u (3.363). Ukoliko je model Lorenc-invarijantan, svaki od navedenih sabiraka mora biti i Lorencov skalar. U opˇstem sluˇcaju, ovaj poslednji uslov ne mora da vaˇzi. Na osnovu linearne analize Hajzenbergovog feromagneta [Videti Odeljak 3.7.2] moˇzemo zakljuˇciti da se u najniˇzoj aproksimaciji efektivni lagranˇzijan za O(3) feromagnet mora svesti ˇ na lagranˇzijan za Sredingerovo polje a ovaj sigurno sadrˇzi ˇclan sa jednim vremenskim izvodom. Prema tome, efektivni lagranˇzijan mora sadrˇzati sabirak oblika L(0,1) = cA (π)π˙ a

(3.378)

gde notacija L(0,1) sugeriˇse da je reˇc o sabirku bez prostornih i sa jednim vremenskim izvodom a cA (π) su komponente O(3) invarijantnog tenzorskog polja na S 2 . Kao ˇsto ´cemo videti niˇze, ovaj sabirak je povezan sa oˇcuvanom veliˇcinom iz teoreme Emi Neter i kao takav se moˇze pojaviti samo u nerelativistiˇckim sistemima [Leutwyler (1994a); Watanabe, H., Murayama, H. (2014)]. Ovakvi doprinosi u lagranˇzijanu su poznati pod nazivom Berijeva faza [Wen, X. G. (2007); Zee, A. (2010); Watanabe, H., Murayama, H. (2014)] ili Ves-Zuminov (WZ) ˇclan [Leutwyler (1994a); Fradkin, E. (2013)]. Uzimaju´ci u obzir WZ ˇclan, efektivni lagranˇzijan za feromagnet postaje L(π) = cA (π)π˙ A +

1 F¯ 2 GAB (π)∂t π A ∂t π B − GAB (π)∇π A · ∇π B 2 2

(3.379)

gde je F¯ proizvoljna konstanta. Primeti´cemo da u efektivni lagranˇzijan ne ulazi ˇclan sa jednim ˜ AB jer oni naizvodom po prostornoj koordinati c˜A (π) · ∇π A ili meˇsoviti ˇclan ∝ π˙ A ∇π B · G ruˇsavaju pretpostavljanu rotacionu simetriju teorije u odnosu na prostorne koordinate. Ipak, ovakvi sabirci se mogu pojaviti u lagranˇzijanima koji opisuju jednodimenzione sisteme [Watanabe, H., Murayama, H. (2014)]. Diferencijalna jednaˇ cina za funkcije cA (π) R Funkcije cA (π) ´cemo odrediti tako da dejstvo S[π] = x L bude invarijantno u odnosu na transformacije π A → π a +δπ A , gde je δπ A = hA i θi a komponente Kilingovih vektora su navedene u (3.369). Kao ˇsto je diskutovano u Odeljku 1.3.2, ukoliko se pri navedenoj transformaciji gustina lagranˇzijana promeni za parcijalni izvod neke funkcije poRvremenu, L(π) → L(π) + ∂t e˜(π), to ´ce indukovati promenu Lagrnˇzevog funkcionala L[π] = x L(π), datu sa L[π] → L[π] +

d˜ e(π) . dt

(3.380)

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

188

i to ne´ce promeniti odgovaraju´ce Ojler-Lagranˇzeve jednaˇcine. Drugim reˇcima, klasiˇcna teorija ´ce ostati nepromenjena u ovom sluˇcaju. Ispostavlja se da ovo vaˇzi i u kvantnoj teoriji [Weinberg, S. (2008)]. Kako su ˇclanovi sa dva prostorna ili dva vremenska izvoda invarijantni u odnosu na ove transformacije [Videti diskusiju iz Odeljka 2.5.2], u nastavku ´cemo se skoncentrisati na doprinose iz L(0,1) (π). Poˇsto je δ(π˙ A ) = ∂t (δπ A ) = θi ∂B hA ˙ B , nalazimo i π δL(0,1) = ∂B cA δπ B π˙ A + cA δπ˙ A

(3.381)

tako da uslov invarijantnosti dejstva glasi
∂˜ e A = . δL(0,1) = θi π˙ B hA i ∂A cB + cA ∂B hi ∂t

(3.382)

Dobijenu relaciju ´cemo joˇs malo transformisati. Pre svega, definisa´cemo e˜(π) = θi e˜i (π). Takod¯e, poˇsto je
i B A θi π˙ B cA ∂B hA = θi π˙ B ∂B hA ˙ hi ∂B cA i i cA − θ π
∂ i B A hA ˙ hi ∂B cA , (3.383) = θi i cA − θ π ∂t uslov (3.382) moˇzemo zapisati kao     A i ∂ e ˜ − h c θi π˙ B hA ∂ c − ∂ c = θ i A B B A i A . i ∂t

(3.384)

Odnosno, definisanjem e˜i (π) = ei (π) + hA i (π)cA (π) nalazimo diferencijalnu jednaˇcinu koju zadovoljavaju funkcije cA (π)   hA ∂ c − ∂ c = ∂B ei . A B B A i

(3.385)

(3.386)

Da bismo na osnovu jednaˇcine (3.386) odredili funkcije cA (π) najpre moramo specificirati tri funkcije ei (π). U Odeljku 1.3.2 smo pokazali da svaka globalna simetrija dejstva za posledicu ima zakon odrˇzanja. Takod¯e, naˇsli smo i eksplicitan izraz za struje Jiµ kada je gustina lagranˇzijana invarijantna (1.174) ili kada se menja do na divergenciju vektorskog polja (1.183). Na osnovu (1.183) se lako nalaze i veliˇcine ρi = Ji0 u sluˇcaju kada se gustina lagranˇzijana menja do na parcijalni ˇclan oblika ∂t e˜( π)θi [radi pogodnosti, ovde biramo suprotan predznak za veliˇcine Jiµ ], ρi = e˜i −

∂L A h . ∂ π˙ A i

(3.387)

Za gustinu lagranˇzijana navedenu u (3.379), nalazmo [Watanabe, H., Murayama, H. (2014); Leutwyler (1994a)]  ∂ A F¯ 2 B C D GCD π˙ π˙ . ρi = e˜i − A hi cB π˙ + ∂ π˙ 2

(3.388)

ˇ 3.8. EFEKTIVNI LAGRNZIJANI ZA FEROMAGNET I ...

189

Odnosno, koriˇs´cenjem definicije (3.385), dobijamo ρi (π) = ei (π) − F¯ 2 hA ˙ B. i (π)GAB (π)π

(3.389)

U kvantnoj verziji teorije Hajzenbergovog feromagneta polja π A postaju operratori a parametar ured¯enosti je [Videti (3.239)] + * Z (3.390) M = 0 ρi (x) 0 = V ⟨0|ρi (0)|0⟩ = N Sδi3 x gde je S kvantni broj lokalizovanog spina, |0⟩ oznaˇcava magnonski vakuum dok smo, po obiˇcaju, za osu magnetizacije uzeli pravac 3 unutraˇsnjeg prostora. Budu´ci da je S konstanta kretanja [Videti (3.212)], M ne sme zavisiti od vremena. Tako dobijamo uslov ⟨0|ρi (0)|0⟩ =

NS 3 δ = ei (0). V i

(3.391)

Sa druge strane, δi3 = Ui (π = 0) pa, budu´ci da se Ui i ei transformiˇsu kao komponente trodimenzionih vektora, moraju biti proporcionalni jedan drugom. Dakle [Leutwyler (1994a)] ei (π) = ΣUi (π),

Σ=

NS . V

(3.392)

Veliˇcina Σ oˇcigledno predstavlja zapreminsku gustinu magnetizacije u osnovnom stanju. Prema tome, jednaˇcina (3.386) se svodi na   hA ∂ c − ∂ c = Σ∂B Ui . (3.393) A B B A i s´cenje veze (3.370) i Mnoˇzenjem obe strane ove jednaˇcine sa hD i i sumiranjem po i, uz koriˇ izraza (3.376), konaˇcno nalazimo [Leutwyler (1994a)] ∂A cB − ∂B cA = −Σϵijk ∂A U i ∂B U j U k = −ΣU · (∂A U × ∂B U )

(3.394)

ˇsto je traˇzena diferencijalna jednaˇcina. Reˇ senje pomo´ cu WZ integrala Da bismo zapisali reˇsenje jednaˇcine (3.394) u kompaktnoj O(3) invarijantnoj formi, uveˇs´cemo dodatni parametar λ ∈ [0, 1] i definisati funkcije σ A (π, λ), tako da je σ A (π, 0) = 0 i σ A (π, 1) = π A [Leutwyler (1994a)]. Sada ´cemo pokazati da se funkcije cA mogu izraziti pomo´cu integrala po novom parametru λ Z 1   cA (π) = Σ dλW · ∂A W × ∂λ W (3.395) 0

gde je W = U (σ(π, λ)) a ∂A kao i do sada oznaˇcava ∂/∂π A . Moˇze se pokazati da klasiˇcna teorija polja koja se konstruiˇse pomo´cu ovako definisanih integrala ne zavisi od vrednosti 0 ≤ λ < 1 [Detalji se mogu na´ci u Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)]. Pre nego ˇsto se uverimo da integral

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

190

Slika 3.10: Vektori ∂A W , ∂λ W i ∂t W se nalaze u tangentnoj ravni u odnosu na sferu generisanu jediniˇcnim vektorom W . (3.395) zadovoljava jednaˇcinu (3.394) i uslov (3.382), primeti´cemo da zbog |U |2 = |W |2 = 1, vaˇzi W · ∂A W = W · ∂t W = W · ∂λ W = 0

(3.396)

tako da tri vektora ∂A W , ∂t W i ∂λ W leˇze u tangentnoj ravni na jedniniˇcnu sferu [Videti Sl. 3.10]. Zbog toga je   ∂λ W · ∂A W × ∂t W = 0. (3.397) Na osnovu (3.395) i uslova (3.397) moˇzemo pisati Z 1 Z 1     2 2 ∂B cA = Σ dλW · ∂AB W × ∂λ W + Σ dλW · ∂A W × ∂λB W 0

(3.398)

0

tako da je 1

Z ∂A cB − ∂B cA = Σ

  2 2 dλU · ∂B W × ∂λA W − ∂A W × ∂λB W

0

Z = −Σ

1



dλW · ∂λ ∂A W × ∂B W   1 = −ΣW · ∂A W × ∂B W   λ=0 = −ΣU · ∂A U × ∂B U



0

(3.399)

pri ˇcemu smo joˇs jednom iskoristili (3.397), kao i ˇcinjenicu da je W (σ) = e3 za λ = 0 i W = U za λ = 1. Dakle, integral (3.395) zaista zadovoljava jednaˇcinu (3.394).

ˇ 3.8. EFEKTIVNI LAGRNZIJANI ZA FEROMAGNET I ...

191

Potraˇzimo sada malu promenu od L(0,1) kada je cA (π) izraˇzeno pomo´cu (3.395). Transformacija (3.366) indukuje transformaciju polja W prema δW (σ(π)) = W (σ(π)) × θ = ∂A W (σ(π))δπ A = θ1 hA i (π)∂A W (σ(π)). Poˇsto je |W | = 1, mora vaˇziti i   ˙ × ∂λ W = 0. W · δW = δW · W

(3.400)

(3.401)

Kako je L

(0,1)

A

1

Z





Z

A

dλW · ∂A W × ∂λ W π˙ = Σ

= cA (π)π˙ = Σ 0

1

  ˙ × ∂λ W , (3.402) dλW · W

0

nalazimo (0,1)

δL

Z =Σ

1

Z  ˙ dλW · δ W × ∂λ W + Σ 

0

1



 ˙ dλW · W × ∂λ δW .

(3.403)

0

Zbog (3.401) se drugi integral moˇze prepisati kao Z 1 Z 1   h  i Z 1   ˙ ˙ ˙ dλδW · W × ∂λ W dλ∂λ δW · W × W − dλW · W × ∂λ δW = 0 0 0 Z 1   ˙ . dλW · δW × ∂t ∂λ W (3.404) = δU · (U × U˙ ) + 0

Zamenom (3.404) u (3.403) dobijamo δL

(0,1)

  1 ˙ = ΣδU · (U × U˙ ) + Σ∂t dλW · δW × ∂λ W 0   Z 1     A i i ˙ = Σ∂t U · θ + dλW · ∂A W × ∂λ W hi θ = ∂t θ e˜i (π) Z

(3.405)

0

u skladu sa (3.382) i (3.385). Jednaˇ cina kretanja Efektivni lagranˇzijan za feromagent moˇzemo izraziti pomo´cu jediniˇcnog vektorskog polja U kao Z 1   F2 ˙ LFM = Σ dλW · W × ∂λ W − ∂r U · ∂r U (3.406) 2 0 pri ˇcmu smo zanemarili ˇclan koji sadrˇzi dva vremenska izvoda i eksplicitno smo uveli konstantu F . Takod¯e, indeks r prebrojava prostorne koordinate. Konstante F i Σ moˇzemo odrediti tako ˇsto ´cemo uspostaviti Rvezu sa linearnom teorijom spinskih talasa iz Odeljka 3.7.2. Variranje dejstva x LFM vodi na jednaˇcinu kretanja [Detalji se mogu na´ci u Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)] F2 2 ΣU × U˙ + ∇ U = 0, 2

(3.407)

ˇ 3. KANONSKO KVANTOVANJE KLASICNIH SISTEMA

192 koja se moˇze zapisati i kao
F2 U˙ + ∇2 U × U = 0. Σ

(3.408)

To je poznata Landau-Lifˇsicova jednaˇcina i predstavlja klasiˇcni analogon jednaˇcine (3.242) koja opisuje dinamiku spinskih operatora u sluˇcaju Hajzenbergovog feromagneta. Pre svega, na osnovu (3.392), vidimo da je Σ = S/v0 , gde je S vrednost spina lokalizovanog na ˇcvoru reˇsetke a v0 zapremina elementarne ´celije. Koriste´ci korespodenciju S → SU u jednaˇcini (3.242) i prelaze´ci na kontinuum sa ▼2 → ∇2 drˇze´ci konstante fiksnim fiksnim, dobijamo slede´cu identifikaciju [Radoˇsevi´c, S.M., Panti´c M.R., Pavkov-Hrvojevi´c M.V., Kapor, D.V. (2013)] F2 =

JS 2 Z1 |λ|2 , 2Dv0

Σ=

S . v0

(3.409)

odakle vidimo da konstante F 2 i Σ zavise od vrednosti lokalizovanog spina i geometrije reˇsetke. Takod¯e, sliˇcnim postupkom je mogu´ce dobiti i efektivni lagranˇzijan koji uraˇcunava efekte spoljaˇsnjeg magnetnog polja [Leutwyler (1994a)]. ˇ Sredingerovo polje u linearnoj aproksimaciji Ranije je ve´c naglaˇseno da efektivno dejstvo koje opisuje dinamiku Goldstonovih bozona u feromagnetu ne zavisi od naˇcina na koji smo sa polja U preˇsli na polje W . To nam ostavlja slobodu da izaberemo jednu jednostavnu parametrizaciju i izraˇcunamo WZ integral. Biraju´ci [Leutwyler (1994a)] p (3.410) W 1 = λU 1 , W 2 = λU 2 , W 3 = 1 − λ2 [(U 1 )2 + (U 2 )2 ] nalazimo [Detalji raˇcuna su dati u Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)] U˙ 1 U 2 − U 1 U˙ 2 F 2 − ∂r U · ∂r U , (3.411) 1 + U3 2 p 1 − [(U 1 )2 + (U 2 )2 ]. Linearna aproksimacija se sada dobija potpunim pri ˇcemu je U 3 = relaksiranjem uslova |U | = 1, odnosno stavljaju´ci U 3 ≈ 1. Tada se lagranˇzijan (3.411) svodi ˇ na lagranˇzijan za Sredingerovo polje (1.36), pri ˇcemu je r h i Σ 1 Σ 2 ψ= U + iU , m= (3.412) 2 2F 2 LFM = Σ

dok su F 2 i Σ dati u (3.409). Imaju´ci na raspolaganu linearni lagranˇzijan, moˇzemo pre´ci na kvantnu teoriju primenom pravila kanonske kvantizacije kao ˇsto smo ve´c diskutovali u ovom odeljku. Paˇzljivim tretiranjem uslova |U | = 1 se dobijaju ˇclanovi koji opisuju interakciju izmed¯u Goldstonovih bozona (magnona). Prednost metoda efektivnih lagranˇzijana u odnosu na operatorski tretman Hajzenbergovog hamiltonijana se ogleda u tome ˇsto se perturbativni raˇcun moˇze sistematski organizovati tako da ne zavisi od malog parametra 1/S. Takod¯e, u metodu efektivnih lagranˇzijana se od poˇcetka radi sa bozonskim operatorim i stanjima pa se ne javljaju komplikacije uzrokovane Hilbertovim prostorom spinskih operatora [Hofmann (1999, 2011); Radoˇsevi´c, S.M. (2015); Radoˇsevi´c, S.M., Panti´c M.R., Pavkov-Hrvojevi´c M.V., Kapor, D.V. (2013)].

Prilog

193

Dodatak A Relativistiˇ cka notacija i Furijeova transformacija Iako se u ovom tekstu razmatra ve´ci broj modela baziranih na teorijama polja koje nisu Lorencˇ invarijantne (poput teorija zasnovanih na Sredingerovom polju ili Izingovog modela koji je definisan na prostornoj reˇsetki), relativistiˇcka notacija je ˇcesto veoma korisna. Zbog toga ´cemo na ovom mestu navesti osnovne definicije i relacije koje se provlaˇce kroz tekst. Postoji viˇse razliˇcitih konvencija za definisanje veliˇcina u prostoru Minkovskog, a mi ´cemo ovde pratiti notaciju koja preovladyuje u udˇzbenicima [Panti´c, M. (2005); Mili´c, B. (2002); Ryder, L.H. (1996); H¨ ubsch T. (2011)]. Kvadrivektore ponekad oznaˇcavamo velikim slovima i koristimo standardni bazis {eα } u R4 :  0  X  0  3 1  X  X X α  (A.1) X= X eα =   X2  ≡ X , α=0 X3 pri ˇcemu sa X oznaˇcavamo tri prostorne komponente kvadrivektora1 . Kvadrivektori se sabiraju i mnoˇze skalarom na standardni naˇcin. Takodye, obiˇcno ne´cemo eksplicitno pisati znak za sumiranje i tako da grˇcki indeksi u sumama, α, β, µ, ν, ..., uzimaju vrednosti od 0 do 3, a latiniˇcni indeksi i, j, k, l, ... uzimaju vrednosti od 1 do 3. U izuzetnim situacijama je naglaˇseno koje vrednosti uzimaju indeksi ili da se sumiranje ne podrazumeva. Dualni bazis saˇcinjavaju vektori vrste {e∗α } tako da je e∗α (eβ ) = δβα .

(A.2)

Skalarni proizvod dva kvadrivektora definiˇsemo kao njihovu kontrakciju sa metriˇckim tenzorom, koj se po konvenciji oznaˇcava sa η: η = ηαβ e∗α ⊗ e∗β .

(A.3)

Dakle, X · Y := η(X, Y ) = ηαβ X α Y β .

(A.4)

1

Treba obratiti paˇznju da se prostor Minkovskog, sa skalarnim proizvodom uvedenim u (A.4), razlikuje od prostora R4 sa standardnim skalarnim proizvodom.

195

Iako metriˇcki tenzor nije tenzor tipa (1, 1) ve´c tenzor tipa (0, 2), prema rasprostanjenoj zloupotrebi notacije, njegove komponente se ˇcesto prikazuju rasporedyene u kvadratnoj matrici. Konkretno, u sluˇcaju metrike prostora Minkovskog, imamo   +1 0 0 0  0 −1 0 0  . η= (A.5)  0 0 −1 0  0 0 0 −1 Na osnovu (A.5) je lako videti da je η −1 = η. Komponente od η −1 oznaˇcavamo sa η αβ . Imaju´ci u vidu komponente metriˇckog tenzora, vidimo da se skalarni proizvod dva kvadrivektora moˇze zapisati i kao X · Y = X 0Y 0 − X · Y ,

(A.6)

gde X · Y oznaˇcava standardni skalarni proizvod u R3 . Kao ˇsto je dobro poznato [Miloˇsevi´c, I. (1997)], u prostorima sa skalarnim proizvodom postoji privilegovani izomorfizam koji povezuje vektore i veliˇcine iz odgovaraju´ceg dualnog prostora. U relativistiˇckoj terminologiji se ova operacija obiˇcno oznaˇcava kao spuˇstanje/podizanje indeksa a odgovaraju´ca dualna veliˇcina se oznaˇcava istim simbolom. Recimo, kvadrivektoru X ˜ = η(X, ) = η( , X) i njegove komponente su je na ovaj naˇcin pridruˇzen dualni vektor X ˜ α = ηαβ X β , odnosno X ˜0 = X 0, X ˜ i = −X i ≡ −(X)i . X

(A.7)

Operacije podizanja i spuˇstanja indeksa se mogu primeniti i na tenzore proizvoljnog ranga. Tako je, recimo, Gαβ γ = ηαµ ηβν η γσ Gµν σ .

(A.8)

Ponekad je potebno primeniti ovu operaciju samo na prostorne indekse. Tada je F0i = η0α ηiβ F αβ = η00 ηij F 0j = −F 0i ,

(A.9)

jer je ηij = −δij .

(A.10)

Sliˇcno, Fij = ηiα ηjβ F αβ = ηik ηjm F km = F ij .

(A.11)

Lorencove transformacije su, po definiciji, sve transformacije koje ne menjaju interval ηαβ dxα dxβ . Ako se koordinate xα transformiˇsu sa matricom Λµν , invarijantnost intervala nam daje uslov koji matrica Λ mora zadovoljiti da bi reprezentovala Lorencovu transformaciju ηµν = Λαµ Λβν ηαβ .

(A.12)

Mnoˇzenjem poslednje relacije sa komponentama η ρσ i kontrakcijom po jednom indeksu, uz koriˇs´cenje ˇcinjenice da je ηαµ η µβ = δαβ , dobijamo Λαµ Λαν = δνµ . Dakle, matrica Λ−1 je odredyena sa komponentama
µ (A.13) Λ−1 ν = Λν µ = Λαβ ηαν η βµ . 196

U zavisnosti od toga kako se ponaˇsaju njihove komponente u odnosu na Lorencove transformacije, razlikujemo tenzorska polja razliˇcitog tipa. Prilikom primene Lorencovih transformacija na tenzorska polja treba voditi raˇcuna o tome da Lorencova transformacija deluje kako na prostorno-vremenske koordinate x (nezavisno promenjive), tako i na komponente tenzora (zavisne promenjive). Ovo dvostruko dejstvo Lorencove transformacije se pregledno moˇze predstaviti grafiˇcki a na ovom mestu ´cemo razmatranje ograniˇciti na skalarna i vektorska polja. ¯ ´cemo oznaˇciti transformaciju koordinata a sa Λ transformaciju zavisno Radi preglednosti, sa Λ promenjivih. ¯ U sluˇcaju skalarnog polja, nezavisno promenjiva se transformiˇse kao Λ : x → Λ(x), a zavisno ′ promenjiva kao Λ : ϕ( ) → ϕ( ). Ako sa ϕ oznaˇcimo transformisano polje, dejstvo Λ na x i ϕ se moˇze predstaviti dijagramom Λ

ϕ(x)

¯ ϕ(x) = ϕ′ (Λ(x)) (A.14)

ϕ′

ϕ ¯ Λ

x

¯ Λ(x)

¯ ¯ −1 (x)), ˇsto koji zapravo definiˇse ϕ′ . Poˇsto mora biti ϕ(x) = ϕ′ (Λ(x)), vidimo da je ϕ′ (x) = ϕ(Λ je traˇzeni zakon transformacije za skalarno polje. Alternativno, sa dijagrama se direktno moˇze ¯ −1 = ϕ ◦ Λ ¯ −1 , jer je Λ ◦ ϕ = ϕ. proˇcitati i kompozicija ϕ′ = Λ ◦ ϕ ◦ Λ U sluˇcaju vektorskih polja, Lorencova transformacija deluje na zavisno promenjive kao Λ : V ( ) → ΛV ( ), gde je ΛV ( ) vektorsko sa komponentama Λµν V ν . Prema tome, u ovom sluˇcaju imamo dijagram Λ

V (x)

¯ (ΛV ) (x) = V ′ (Λ(x))

V

(A.15)

V′ ¯ Λ

x

¯ Λ(x)

gde je V (x) vektor (vrednost polja V ( ) u taˇcki x) a sa V ′ smo oznaˇcili transformisano polje ¯ −1 = ˇciju vrednost u taˇcki x ˇzelimo da odredimo. Sa dijagrama direktno ˇcitamo V ′ = Λ ◦ V ◦ Λ ¯ −1 , ˇsto je ekvivalentno standardnom zakonu transformacija komponenti vektorskog (ΛV ) ◦ Λ µ ¯ −1 (x)). Na sliˇcan naˇcin se mogu diskutovati rotacije skalara i vektora, polja V (x) → Λµν V ν (Λ kao i Lorencove transformacije tenzorskih polja viˇseg reda. ˇ se tiˇce Furijeove transformacije i ravnih talasa, koristimo definiciju Sto ⟨x|k⟩ = eik·x .

(A.16)

Furijeov razvoj veliˇcine f , u oznaci f˜, definisan je sa Z f (x) = e−ik·x f˜(k) k

197

(A.17)

pri ˇcemu je k · x = ωt − k · x a Z

Z :=

k

dD k (2π)D

Z

∞

−∞

dω ≡ 2π

Inverzna transformacija je Z ˜ f (k) = eik·x f (x), x

R k

predstavlja skra´cenu oznaku za D + 1 dimenzioni integral

Z Z k

∞

−∞

dω . 2π

Z

Z :=

(A.18)

3

Z

∞

∞

dt ≡

dx −∞

x

Z Z

dt. x

(A.19)

−∞

U pojedinim sluˇcajevima su koriˇs´ceni i D dimenzioni integrali i oni su definisani u Odeljcima 2.2.4 i 3.5. Konaˇcno, konvencija o normiranju stanja |k⟩ je ⟨k|q⟩ = (2π)D δ(k − q).

(A.20)

198

Dodatak B Varijacioni Izvod Na ovom mestu su prikazane osnove diferencijalnog raˇcuna sa funkcionalima. Izlaganje nije strogo i uglavnom prati diskusiju iz [Altland, A., Simons, B. (2010); Greiner, W. (1996); Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995)]. Viˇse primera se moˇze na´ci u [Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)]. Kako bismo ˇsto lakˇse doˇsli do operativnog izraza za varijacioni izvod (koji se naziva i funkcionalnim izvodom) i koji se ˇcesto koristi u fiziˇcarskoj literaturi, korisno je da se podsetimo nekih definicija iz teorije funkcija viˇse promenjivih. Radi jednostavnost, uvodno izlaganje ´cemo ograniˇciti na realne prostore. Neka je data funkcija f na Rn . To znaˇci da f : Rn → R, x 7→ f (x). Kao ˇsto je dobro poznato, diferencijal funkcije f je dat izrazom n X ∂f dxα . df = α ∂x α=1

(B.1)

Sa druge strane, moˇze se dati i neˇsto opˇstija definicija diferencijala funkcije koja je zgodnija za razmatranje prelaska na funkcionale. Ako x, y ∈ Rn , tada se diferencijal funkcije f : Rn → R definiˇse pomo´cu f (x + ϵy) − f (x) = ϵdfx (y) + O(ϵ2 )

(B.2)

pri ˇcemu je ϵ mali parametar a dfx je linearna funkcija po komponentama vektora y i, u opˇstem sluˇcaju, zavisi od komponenti vektora x. Lako je videti da su izrazi (B.1) i (B.2) zapravo ekvivalentni. Ako u (B.2) uzmemo graniˇcni sluˇcaj ϵ → 0, ˇsto je praktiˇcno ekvivalentno zameni ϵy sa dx, dobijamo (B.1). Dakle, diferencijal dfx je zapravo dualni vektor jer vektoru y pridruˇzuje realan broj tako da je preslikavanje y 7→ dfx (y) ≡ ⟨dfx , y⟩

(B.3)

ˇ viˇse, na osnovu (B.1) i (B.2) vidimo da je dejstvo dualnog vektora dfx na vektor linearno. Sta y dato sa n X ∂f α y , ⟨dfx , y⟩ = ∂xα α=1

(B.4)

tako da su njegove komponente (dfx )α =

f (x + ϵeα ) − f (x) ∂f = lim . α ϵ→0 ∂x ϵ 199

(B.5)

U (B.5) figuriˇse vektor eα koji je jedan od ortova vektorskog prostora Rn . Poˇsto je u Rn definisan standardni skalarni proizvod x · y = xα y α , dejstvo eα na x je uvek mogu´ce zameniti dejstvom elementa dualnog bazisa eα · x = ⟨e∗α , x⟩ = xα .

(B.6)

Pogledajmo sada ˇsta se dogadya u sluˇcaju kda sa Rn predyemo na beskonaˇcno-dimenzioni prostor funkcija. Vektori u novom prostoru su funkcije f, g, ... na R, ˇcije je sabiranje i mnoˇzenje konstantom definisano na standardni naˇcin, a skalarni proizvod je dat sa Z b (f, g) = dxf (x)g(x). (B.7) a

Funkcional sada definiˇsemo kao preslikavanje sa normiranog linearnog prostora funkcija na polje realnih brojeva F : f 7→ F [f ] ∈ R. Kod formulisanja varijacionog principa kljuˇcan je pojam promene dejstva prilikom ”male promene” funkcije f (x) → f (x) + δf (x), gde je δf (x) ”infinitezimalno” mala funkcija koja iˇsˇcezava na granicama integracije, δf (a) = δf (b) = 0. Sliˇcno kao i u analizi iz Rn , ponaˇsanje funkcionala prilikom male promene njegovog argumenta je odredyeno izvodom funkcionala. Po analogiji sa (B.2), kaˇze se da je funkcional F diferencijabilan ako vaˇzi F [f + ϵg] − F [f ] = ϵ DFf [g] + O(ϵ2 ),

(B.8)

gde je ϵ mali parametar a DFf je linearan funkcional DFf [α1 g1 + α2 g2 ] = α1 DFf [g1 ] + α2 DFf [g2 ],

α1 , α2 = const.

(B.9)

Za funkcional F [f ] se kaˇze da je stacionaran u odnosu na promenu argumenta f ako i samo ako je DFf = 0. U sluˇcaju beskonaˇcno dimenzionog prostora funkcija, jednakost (B.6) prelazi u Z b f (c) = ⟨δc , f ⟩ = dx δ(x − c)f (x), (B.10) a

pri ˇcemu je δ(x − a) tzv. Dirakova δ−funkcija a δa je oznaka za Dirakov funkcional. Sliˇcno, jednakost (B.4) prelazi u Z DFf [g] ≡ ⟨DFf , g⟩ =

b

dx a

δF [f ] g(x) δf (x)

(B.11)

pri ˇcmu, po analogiji sa (B.5), uvodimo varijacioni izvod δF [f ] F [f + ϵ δy ] − F [f ] := lim , ϵ→0 δf (y) ϵ

y ∈ (a, b)

(B.12)

Definiciju varijacionog izvoda treba dopuniti joˇs uslovom da se graniˇcna vrednost ϵ → 0 uzima pre svih drugih koje se mogu pojaviti u posmatranom izrazu jer se na taj naˇcin osigurava odsustvo problematiˇcnih ˇclanova koji sadrˇze [δ(x − y)]m , m > 1. U definiciji (B.12) je varijacija funkcije f oˇcigledno data sa ϵδy i iˇsˇcezavanje varijacije na granicama integracije reflektuje kroz 200

uslov δ(x−y) = 0 svaki put kada taˇcka x pripada granicama integracijie (x = a, b) a y se odnosi na neku taˇcku iz unutraˇsnjosti tog domena, y ∈ (a, b). U problemima od fiziˇckog interesa je ˇcest i sluˇcaj kada je granica integracije odredyena sa x → ±∞. Tada je ponovo δ(x − y) = 0 za sve taˇcke −∞ < y < ∞. Takodye, sve definicije se direktno prenose na sluˇcaj kada umesto funkcija na R posmatramo funkcije na Rk . Tada se umesto intervala (a, b) pojavljuje oblast integracije M i varijacija iˇzˇcezava na svim taˇckama granice ∂M . Primer B.1. Neka je funkcional F dat sa Z ∞ f 7→ F [f ] = dx (f (x))2 .

(B.13)

−∞

Tada definicija iz (B.12) daje   Z 2 1 ∞ δF [f ] 2 = lim dx f (x) + ϵδ(x − y) − (f (x)) ϵ→0 ϵ −∞ δf (y) Z i 1 ∞ h 2 2 2 dx (f (x)) + 2ϵδ(x − y)f (x) + O(ϵ ) − (f (x)) = lim ϵ→0 ϵ −∞ Z ∞ dxδ(x − y)f (x) = 2f (y). = 2 −∞

■ Primer B.2. Posmatrjmo sada funkcional G dat sa Z ∞ 2 f 7→ G[f ] = dx (f ′ (x)) .

(B.14)

−∞

U opˇstem izrazu za funkcionalni izvod (B.12) figuriˇse varijacija funkcije f , tj. f +ϵδy . Medyutim, funkcional G je definisan tako da mu je argument izvod funkcije. Tada se umesto varijacije funkcije, u definiciji funkcionalnog izvoda eksplicitno pojavljuje (f + ϵδy )′ i nalazimo   Z 2 1 ∞ δG[f ] 2 ′ ′ ′ = lim dx f (x) + ϵδ (x − y) − (f (x)) , (B.15) ϵ→0 ϵ −∞ δf (y) gde ′ oznaˇcava diferenciranje po x. Sada, sliˇcno kao u prethodnom primeru, nalazimo Z ∞ δG[f ] = dx2f ′ (x)δ ′ (x − y) = 2⟨δy′ , f ′ ⟩. (B.16) δf (y) −∞ Ako sada primenimo parcijalnu integraciju i iskoristimo ˇcinjenicu da varijacija mora iˇsˇcezavati na granicama integracije, ˇsto se u ovom sluˇcaju svodi na f ′ (x)δ(x − y)|∞ cno −∞ = 0, konaˇ dobijamo δG[f ] = −2f ′′ (y). δf (y)

(B.17)

Napomonjemo da se poslednji rezultat mogao dobiti i koriˇs´cenjem relacije ⟨δy′ , f ⟩ = −⟨δy , f ′ ⟩; videti, recimo [Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)]. ■ 201

Za operaciju izvoda funkcionala vaˇze neka dobro poznata pravila obiˇcnog kalkulusa. Na primer, ako je F [f ] = G[f ]H[f ], tada je izvod funkcionala da sa δG[f ] δH[f ] δF [f ] = H[f ] + G[f ] , δf (x) δf (x) δf (x)

(B.18)

ˇsto se lako pokazuje koriˇs´cenjem definicije (B.12). Ponekad se izvod funkcionala definiˇse i pomo´cu promenjive, odnosno funkcije: δf (x) = δ(x − y), δf (y)

(B.19)

kao odgovaraju´ci kontinualni analogon relacije: ∂xα = δβα . ∂xβ Da bi pokazali kako je (B.19) u skladu sa (B.12), moˇze se uvesti pomo´cni funkcional Z e F [f ] = dx′ δ(x − x′ ) f (x′ ) ≡ f (x). Primena (B.12) na (B.21) daje Z    Z δ Fe[f ] 1 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = lim dx δ(x − x ) f (x ) + ϵδ(x − y) − dx δ(x − x ) f (x ) ϵ→0 ϵ δf (y) Z δf (x) = dx′ δ(x − x′ ) δ(x′ − y) = δ(x − y) = . δf (y)

(B.20)

(B.21)

(B.22)

Takodye, jedna karakteristika funkcionalnog izvoda je pokazana u (1.140) δ(∇y ϕ(y)) = ∇y δ(x − y). δϕ(x)

(B.23)

Poˇsto je  ∇y

δϕ(y) δϕ(x)

 = ∇y δ(x − y),

(B.24)

ˇcesto se kaˇze da funkcionalni i parcijalni izvodi komutiraju. Iako je definicija (B.12) pogodna za praktiˇcne primene jer, u kombinaciji sa odgovaraju´cim varijacionim principom, direktno daje jednaˇcine kretanja i kao takva se ˇcesto koristi u fiziˇcarskoj literaturi (videti knjige navedene na poˇcetku ovog poglavlja ili tekst). Medyutim, poˇsto f i δy ne pripadaju istom vektorskom prostoru, oeracija f + δy nije dobro definisana pa samim tim i definicija funkcionalnog izvoda nije sasvim korektna. Ovaj problem se, naravno, moˇze zaobi´ci. Taˇcnije, mogu´ce je dati korektnu definiciju varijacionog izvoda u kojoj ne figuriˇse Dirakova funkcija [Olver, P. (2000)] Definicija B.1. Neka je F [f ] funkcional definisan za neku klasu glatkih funkcija f na M ⊂ Rk . Funkcionalni izvod, u oznaci δF/δf (x), odredyen je sa Z d δF [f (x)] F [f + ϵη] = dk x η(x), (B.25) dϵ ϵ=0 δf (x) M a η je glatka funkcija koja iˇsˇcezava na granici ∂M . 202

Naravno, Definicija B.1 daje iste rezultate kao i jednaˇcina (B.12). Ovde ´cemo to demonstrirati na ve´c razmatranim primerima. Primer B.3. Pokaˇzimo da je, za funkcionale iz Primera B.1 i B.2, Definicija B.1 ekvivalentna sa (B.12). Za funkcional F iz Primera B.1 imamo Z ∞ 2 Z ∞ d  d dx F [f + ϵη] = f (x) + ϵη(x) = 2f (x)η(x). (B.26) dϵ ϵ=0 dϵ ϵ=0 −∞ −∞ Poredyenjem gornje jednaˇcine i Definicije B.1 direktno ˇcitamo δF/δf (x) = 2f (x). Pri tome smo, u prvom koraku, zamenili redosled integracije po x i diferenciranja po ϵ. Pod pretpostavkom da su funkcije koje se ulaze u izraz za funkcional glatke, ove operacije komutiraju [Olver, P. (2000)]. Sliˇcno, za funkcional iz Primera B.2 nalazimo Z ∞ 2 Z ∞ d  ′ d ′ dx G[f + ϵη] = f (x) + ϵη (x) = 2f ′ (x)η ′ (x), (B.27) dϵ ϵ=0 dϵ −∞ −∞ ϵ=0 pri ˇcemu ′ oznaˇcava diferenciranje po x. U preostalom integralu moramo eliminisati η ′ (x) u korist η(x). To moˇzemo posti´ci parcijalnom integracijom Z ∞ Z ∞ i Z ∞ df ′ (x) dh ′ ′ ′ f (x)η(x) − η(x) 2f (x)η (x) = dx −∞ −∞ −∞ dx ∞ Z ∞ ′ = f (x)η(x) − f ′′ (x)η(x). (B.28) −∞

−∞

Poˇsto je η probna funkcija koja iˇscezava na granicama integracije, prvi sabirak u (B.28) otpada i ostaje Z ∞h i d ′′ − 2f (x) η(x), (B.29) G[f + ϵη] = dϵ ϵ=0 −∞ odakle ˇcitamo δG/δf (x) = −2f ′′ (x).

■

Zabeleˇzimo na kraju da se, uz pomo´c eksplicitnog pisanja varijacionog izvoda, jednakost (B.8) moˇze zapisati i kao Z b δF [f ] 2 F [f + ϵg] = F [f ] + ϵ dx (B.30) g(x) + O(ϵ ), δf (x) a f (x) ˇsto je analogon aproksimacije funkcije prvim ˇclanom iz Tejlorovog reda. Naravno, u gornji razvoj je mogu´ce ukljuˇciti i ˇclanove viˇseg reda. Recimo, slede´ci je [Altland, A., Simons, B. (2010)] Z δ 2 F [f ] 21 ϵ g(x)g(y), (B.31) 2 x,y δf (x)δf (y) f (x) pri ˇcemu je δ 2 F [f ] F [f + ϵ1 δx + ϵ2 δy ] − F [f + ϵ1 δx ] − F [f + ϵ2 δx y] + F [f ] := lim . ϵ1 ,ϵ2 →0 δf (x)δf (y) ϵ1 ϵ2 203

(B.32)

204

Dodatak C Integrali Gausovog tipa Integrali Gausovog tipa predstavljaju razliˇcite generalizacije osnovnog Gausovog (ili Poasonovog) integrala r Z ∞ π −ax2 dxe , a ∈ R+ (C.1) = a −∞ gde je a pozitivna realna konstanta. Generalizacije ukljuˇcuju integrale kod kojih je a ˇcisto imaginarno, kompleksno, kao i viˇsedimenzione integrale sa odgovaraju´cim matriˇcnim koeficijentima. Diskutova´cemo ih redom. Pre nego ˇsto detaljnije razmotrimo sloˇzenije integrale, primeti´cemo da je r Z ∞ a 2 2π b2 dxe− 2 x +bx = e 2a . a ∈ R+ . (C.2) a −∞ Ovaj integral se moˇze dobiti iz (C.1) svodyenjem argumenta eksponencijalne funkcije na potpuni kvadrat r !2 r a 2 a b 2 b2 x − bx = x− − (C.3) 2 2 2 a 2a p p i uvodyenjem smene x a/2 − b 1/(2a) = y. Dalje izlaganje uglavnom prati [Altland, A., Simons, B. (2010); Nakahara (2003); Kaloper (1987); Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010)].

C.1

Gausov integral sa imaginarnim koeficijentom

Za poˇcetak, posmatrajmo integral Z ∞ 2 I1 = dxe−iax , a ∈ R+ .

(C.4)

−∞

Budu´ci da je u ovom sluˇcaju eksponent ˇcisto imaginaran, integral na prvi pogled ne konvergira. Ipak, mogu´ce ga je izraˇcunati razmatranjem kompleksnog integrala I 2 dze−az , a ∈ R+ (C.5) γ

205

3

2

3

2

π/4 R

1

1

R

Slika C.1: Kontura u kompleksnoj ravni ko- Slika C.2: Kontura u kompleksnoj ravni koriˇs´cena prilikom raˇcunanja integrala (C.5) riˇs´cena prilikom raˇcunanja integrala (C.15) 2

gde je γ kontura predstavljena na Sl. C.1. Poˇsto funkcija e−az nema singularitete unutar posmatrane konture, niti bilo gde drugo, na osnovu Koˇsijeve integralne formule je [Nakahara (2003); Kaloper (1987)] I

Z

Z

=

Z

+

γ

1

+ 2

= 0,

(C.6)

3

gde smo koristili skra´ceni zapis za integrale po odgovaraju´cim delovima krive γ. Deo krive koji smo oznaˇcili sa 1 se poklapa sa x−osom tako da se promenjiva z na tom delu moˇze parametrizovati kao z = x. To dalje znaˇci da je dz = dx pa imamo Z

Z

R

2

dxe−ax .

= 1

(C.7)

0

Dalje, za drugi deo konture uzimamo z = Reiφ , tj. dz = idφeiφ . Poˇsto je sada z 2 = R2 e2iφ , nalazimo Z Z π/4 Z π/4     iφ 2 i2φ = dφiRe exp −aR e = iR dφeiφ exp −aR2 (cos 2φ + i sin 2φ) . (C.8) 0

2

0

Poˇsto kosinusna funkcija uzima pozitivne vrednosti na intervalu (0, π/4), pri velikim vredno2 stima R ´ce se podintegralna funkcija ponaˇsati ∼ Re−aR pa vaˇzi Z lim = 0. (C.9) R→∞

2

Konaˇcno, na tre´cem delu konture stavljamo z = ρeiπ/4 i dz = dρeiπ/4 pa dobijamo Z

Z

0

= 3

dρe

iπ/4

  exp −aρ2 eiπ/2 = −eiπ/4

R

Z

R

2

dρe−iaρ .

(C.10)

0

Kako jednakost (C.6) vaˇzi i pri R → ∞, na osnovu (C.7), (C.9) i (C.10) Z √ −iπ/2 e 0

∞

dxe

−ax2

Z =

R

2

dρe−iaρ .

(C.11)

0

206

Budu´ci da su i x i ρ realne veliˇcine, uvodyenjem smene x → −x u integral sa leve i smene ρ → −ρ u integral sa desne strane i sabiranjem tako dobijenih integrala dobijamo (uz smenu promenjive ρ → x) ∞

Z I1 =

−iax2

dxe −∞

r =

π , ia

a ∈ R+ ,

(C.12)

ˇsto je traˇzena vrednost.

C.2

Gausov integral sa kompleksnim koeficijentima

U prethodnom odeljku smo naˇsli vrednost Gausovog integrala za imaginarnu vrednost parametra u eksponentu. Pogledajmo sada kako izgleda opˇsti sluˇcaj, tj. kada je parametar a kompleksan. Ispostavlja se da je integral mogu´ce izraˇcunati i u ovom sluˇcaju ako je realni deo kompleksnog parametra a ve´ci od nule. Postupak raˇcunanja je dosta sliˇcan prethodno opisanom, samo je izbor konture drugaˇciji. Naime, konturu je potreno izabrati tako da integral po kruˇznom luku iˇsˇcezne u graniˇcnom sluˇcaju R → ∞ tako da izbor ugla koji tre´ci deo konture zaklapa sa x−osom zavisi od vrednosti kompleksnog parametra a. Ovde ´ce biti razmatran sluˇcaj kada se kompleksni parametar nalazi u prvom kvadrantu, a ostale situacije se mogu analizirati sliˇcnim postupkom. Definisa´cemo a = beiϑ = b (cos ϑ + i sin ϑ) ,

0 < ϑ < π/2,

(C.13)

gde je b > 0 budu´ci da predstavlja moduo kompleksnog broja a. Primeti´cemo da standardni Gausov integral odgovara vrednosti ϑ = 0 a Gausov integral sa imaginarnim eksponentom se dobija za ϑ = π/2. Dakle, da bismo izraˇcunali integral Z ∞ 2 dxe−ax , Re(a) > 0 (C.14) I2 = −∞

posmatra´cemo konturni integral u kompleksnoj ravni I 2 dze−az , Re(a) > 0

(C.15)

Γ

gde je Γ kontura sa Sl. C.2. Ugao ψ ´cemo kasnije izabrati tako da dobijemo ˇzeljeni integral. Podintegralan funkcija ponovo nema singularitete u oblasti ograniˇcenoj konturom Γ, tako da vaˇzi I Z Z Z = + + = 0, (C.16) Γ

1

2

3

Poˇsto je prvi deo konture isti kao u prethodnom sluˇcaju, odmah moˇzemo pisati Z

Z =

1

R

2

dxe−bx

(C.17)

0

207

pri ˇcemu je sada b kompleksni broj sa pozitivnim realnim delom. Za deo konture oznaˇcen sa 2 ponovo biramo parametrizaciju z = Reiφ pa nalazimo Z Z ψ   = dφiReiφ exp −aR2 ei2φ 2 0 Z ψ h  i iφ 2 dφe exp −bR cos(ϑ + 2φ) + i sin(ϑ + 2φ) . (C.18) = iR 0

Ugao ψ sada moˇzemo odrediti nametanjem uslova π π ϑ , odnosno ψ= − . (C.19) 2 4 2 Sa ovakvim izborom imamo π ϑ < ϑ + 2φ < (C.20) 2 tako da je cos(ϑ + 2φ) > 0 na drugom delu konture (podse´camo da smo izabrali taˇcku a iz prvog kvadranta) pa ponovo vaˇzi (C.9). Za tre´ci deo konture uzimamo z = ρeiψ pa imamo Z 0 Z Z R     iψ 2 i2ψ iψ dρe exp −aρ e = = −e dρ exp −ibρ2 ei(θ+2ψ) R 3 0 Z R 2 = −eiπ/4 eiϑ/2 dρe−ibρ , (C.21) ϑ + 2ψ =

0

pri ˇcemu smo iskoristili (C.19). Puˇstaju´ci limes R → ∞ i ponavljaju´ci proceduru sa kraja prethodnog odeljka, nalazimo Z ∞ h i r π iθ 2 dx exp − be x = , 0 < ϑ < π/2. (C.22) beiϑ −∞ Opisani postupak se moˇze ponoviti i u sluˇcaju kada a = beiϑ ne leˇzi u prvom kvadrantu sa tom razlikom da je potrebno paˇzljivo odabrati konturu integracije. Tako za proizvoljno kompleksno a vaˇzi, u opˇstem sluˇcaju, r Z ∞ 2π b2 − a2 x2 +bx dxe e 2a , = Re(a) > 0, (C.23) a −∞ pri ˇcemu b moˇze biti i kompleksan parametar (parametri a i b iz gornjeg integrala nisu povezani uslovom (C.13)). Konaˇcno, direktna genrealizacija integrala (C.2) na sluˇcaj kompleksnih integrala se ˇcesto zapisuje kao Z π u¯v Re(ω) > 0 (C.24) I3 = d(¯ z , z)e−¯zωz+¯uz+¯zv = e ω , ω gde z¯ ozaˇcava kompleksno-konjugovani broj za z a integracije je definisana kao Z Z ∞ Z ∞ −¯ z d(¯ z , z)e ≡ dRe(z) dIm(z), −∞

(C.25)

−∞

pri ˇcemu su u i v dva proizvoljna kompleksna broja. Integrali sa kompleksin promenjivim se koriste prilikom raˇcunanja integrala Gausovog tipa izraˇzenih pomo´cu Furijeovih amplituda [Wilson (1975); Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010); Ma, S.K. (2018)]. 208

C.3

Viˇ sedimenzioni realni integrali

Prvi viˇsedimenzioni integral koji ´cemo raˇcunati je Z 1 T I4 = e− 2 x ·Ax ,

(C.26)

x

pri ˇcemu smo uveli skra´ceno oznaˇcavanje integracije po komponentama vektora x: Z ∞ Z ∞ Z Z ∞ 1 2 dx dx · · · dxN ≡ x

−∞

−∞

(C.27)

−∞

a A je simetriˇcna nesingularna matrica sa pozitivnim konstantnim koeficijentima α, β = 1, 2, · · · N.

Aαβ = Aβα ,

(C.28)

Osnovna ideja raˇcunanja integrala (C.26) je da se on napiˇse u obliku proizvoda nezavisnih jednodimenzionih Gausovih integrala i da se zatim iskoristi rezultat (C.1). U tom cilju ´cemo se podsetiti standardnog rezultata po kojem je simetriˇcna matrica (sa realnim koeficijentima) na konaˇcnodimenzionom prostoru uvek dijagonalizabilna ortogonalnom transformacijom [Miloˇsevi´c, I. (1997)]. To znaˇci da postoji ortogonalna matrica OT = O−1 za koju vaˇzi OAO−1 = D, gde je D dijagonalna matrica. Konkretno, neka je je svojstveni problem matrice A dat sa AX (α) = dα X (α)

(bez sume po α)

(C.29)

gde su dα svojstvene vrednosti a X (α) svojstveni vektori matrice A; skup vektora {X (α) } saˇcinjava jedan ortonormirani bazis u RN (X (α) · X (β) ≡ ⟨X (α) |X (β) ⟩ = δαβ ) a {eα } je standardni bazis u RN (tj. (eα )β = δαβ ). Matrica O se sada moˇze napisati kao X X |eα ⟩⟨X (α) |, (C.30) eα ⊗ X (α) ≡ O= α

α

tako da je D = OAO−1 =

X

|eα ⟩⟨X (α) |A|X (β) ⟩⟨eβ | =

X

dα |eα ⟩⟨eα |.

(C.31)

α

α,β

Drugim reˇcima, Dαβ = dα δαβ . Takodye, lako je videti da je O ortogonalna matrica jer je X X OT O = |eα ⟩⟨X (α) |X (β) ⟩⟨eβ | = |eα ⟩⟨eα | = I (C.32) α,β

α

odakle sledi da je |detO| = 1. Vratimo se sada raˇcunanju integrala I4 . Koriste´ci (C.32), argument eksponencijalne funkcije iz (C.24) moˇzemo zapisati kao X xT · Ax = xT OT · OAOT Ox ≡ y T · Dy = (y α )2 dα (C.33) α

pri ˇcemu smo uveli oznaku. y := Ox

(C.34) 209

Zapravo, relacija (C.34) se moˇze uzeti i za smenu promenjivih u integralu (C.24). Budu´ci da je |detO| = 1, element zapremine se ne menja pri uvodyenju novih promenjivih. Prema tome, koriste´ci (C.33), imamo Z e

I3 =

− 21 xT ·Ax

x

Z =

e

− 21 y T ·Dy

N Z Y

=

y

∞ α

dy e

−

(y α )2 dα 2



−∞

α=1

=

N  Y α=1

r

 2π . dα

(C.35)

Sada ´cemo se podsetiti da se determinanta matrice tipa N × N definiˇse kao [Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)] detM := ϵα1 α2 ...αN M1α1 M2α2 · · · MN αN ,

(C.36)

tako da u sluˇcaju dijagonalne matrice D nalazimo detD = ϵα1 α2 ...αN d1 δ1α1 d2 δ2α2 · · · dN δN αN = ϵ12...N d1 d2 · · · dN = d1 d2 · · · dN .

(C.37)

Prema tome, rezultat (C.35) se kompaktno moˇze zapisati kao Z I4 =

1

T ·Ax

e− 2 x

x

(2π)N/2 = √ , detA

(C.38)

ˇsto je traˇzeni rezultat. Pri tome smo iskoristili da je   detD = det OAO−1 = detO detA detOT = detA.

(C.39)

Primeti´cemo da je, zbog pretpostavljene nesingularnosti matrice A, izraz (C.38) dobro definisan. Na sliˇcan naˇcin se moˇze izraˇcunati i integral Z 1 T T I5 = e− 2 x ·Ax+b ·x (C.40) x

pri ˇcemu je b proizvoljan (konstantni) vektor iz RN . Najpre uvodimo nove promenjive orogonalnom transformacijom 1 T 1 x · Ax − bT · x = y T · Dy − B T · y, 2 2

(C.41)

gde je B = Ob a y i D su definisani ranije. Prema tome Z I5 =

− 12 y T ·Dy+B T ·y

e y

=

N Z Y α=1

∞

(y α )2 dα − +Bα y α 2

dy α e

−∞



N/2

"

X B2 (2π) α √ exp = 2dα detA α

# (C.42)

gde smo iskoristili i (C.2) i (C.38). Medyutim, X B2

α

α

dα

=

X

B α (dα )−1 δαβ B β = B T · D−1 B

α,β

210

(C.43)

jer su (dα )−1 δαβ elementi matrice D−1 (poˇsto je matrica A nesingularna, njene svojstvene vrednosti su razliˇcite od nule. Samim tim je i matrica D dobro definisana). Kako iz OAO−1 = D sledi D−1 = OA−1 O−1 , nalazimo X B2

α

α

dα

= B T · D−1 B = bT · O−1 OA−1 O−1 Ob = bT · A−1 b,

tako da (C.42) konaˇcno moˇzemo zapisati kao   Z (2π)N/2 1 T −1 − 21 xT ·Ax+bT ·x e I5 = = √ exp b · A b . 2 detA x

(C.44)

(C.45)

Izraz (C.45) je dobro definisan jer je A nesingularna matrica. Konaˇcno, preostala je joˇs i generalizacija viˇsedimenzionih integrala na sluˇcaj matrica sa kompleksnim elementima. Tako, u sluˇcaju ermitske matrice A imamo integral Z π N u† ·A−1 v † † † I6 = d(z † , z)e−z ·Az+u ·z+z ·v = e (C.46) detA gde su z, u i v N −dimenzioni vektori sa kompleksnim koeficijentima a integracija je definisana kao Z

†

d(z , z) :=

N Z Y α=1

∞

−∞

α

Z

∞

dRe(z )

dIm(z α ).

(C.47)

−∞

Dokaz relacije (C.46), koji se zasniva na ˇcinjenici da je ermitska matrica dijagonalizabilna unitarnom transformacijom, vrlo je sliˇcan dokazu reˇsenja (C.45), odnosno (C.38).

211

C.4

Vikova teorema

C.4.1

Srednje vrednosti i momenti raspodela

U prethodnom odeljku smo videli kako se egzaktno raˇcunaju odredyeni integrali Gausovog tipa. Sada ´cemo videti primenu tih integrala na sluˇcaj kada podintegralna funkcija Gausovog tipa opisuje raspodelu vektorske promenjive. Ispostavlja se da je u tom sluˇcaju, koji predstavlja direktnu generalizaciju dobro poznate Gausove raspodele, mogu´ce na´ci egzaktna reˇsenja integrala koji predstavljaju proizvode komponenti sluˇcajnog vektora. Ovaj rezultat, poznat pod nazivom Vikova teorema, predstavlja osnovu za teoriju perturbacija u Lagranˇzevoj, odnosno Fajnmanovoj, formulaciji fizike mnoˇstva interaguju´cih ˇcestica. Pre nego ˇsto formuliˇsemo Vikovu teoremu, podseti´cemo se nekih osnovnih rezultata [Zinn-Justin, J. (2007)]. Neka je Ω : RN → R funkcija raspodele, tj. gustina verovatno´ce. Tada se, za neku veliˇcinu F (x), srednja vrednost raˇcuna kao Z ⟨F ⟩ := F (x)Ω(x). (C.48) x

Specijalno, za F (x) = 1, dobijamo tzv. uslov normiranja Z Ω(x) = 1. ⟨1⟩ =

(C.49)

x

  Srednju vrednost funkcije exp bT · x , gde je b konstantni vektor, nazivamo generatrisom momenata raspodele Ω. Konkretno, neka je Z T bT ·x eb ·x Ω(x). (C.50) Z(b) = ⟨e ⟩ = x

Diferenciranjem (C.50) po komponentama vektora b, nalazimo momente raspodele Z ∂ ∂ ∂ b·x xα1 xα2 . . . xαk Ω(x)e ... Z(b) = = ⟨xα1 xα2 . . . xαk .⟩ ∂bα1 ∂bα2 ∂bαk x b=0 b=0

(C.51)

Poznavanje svih momenata ⟨xα1 xα2 . . . xαk ⟩ omogu´cava da se, u principu, odredi srednja vrednost proizvoljne veliˇcine F . Ako je funkcija F odredyena Tejlorovim redom ∞ ∞ X X 1 X ∂ 1 ∂ ∂ n F (x+a) = (a · ∇) F (x) = ... F (x)aα1 aα2 . . . aαn , (C.52) n! n! α ,...α ∂xα1 ∂xα2 ∂xαn n=0 n=0 n

1

tada moˇzemo pisati i F (x) =

∞ X 1 X Fα1 α2 ...αn xα1 xα2 . . . xαn , n! α ,...α n=0 1

(C.53)

n

gde su koeficijenti iz razvoja definisani kao ∂ ∂ ∂ ... F (x) . Fα1 α2 ...αn = ∂xα1 ∂xα2 ∂xαn x=0 212

(C.54)

Na osnovu (C.53) vidimo da se srednja vrednost od F (x) moˇze izraziti pomo´cu momenata raspodele Ω ∞ X 1 X Fα1 α2 ...αn ⟨xα1 xα2 . . . xαn ⟩. ⟨F (x)⟩ = n! α ,...α n=0 1

(C.55)

n

Sada iz (C.51) i (C.55) nalazimo ∞ X 1 X ∂ ∂ ∂ ⟨F (x)⟩ = Fα1 α2 ...αn ... Z(b) n! α ,...α ∂bα1 ∂bα2 ∂bαk b=0 n=0 n 1   ∂ = F Z(b) ∂b b=0

(C.56)

pri ˇcemu F (∂/∂b) tumaˇcimo kao diferencijalni operator, koji je u opˇstem sluˇcaju definisan beskonaˇcnim redom sa koeficijentima (C.54). Primer C.1. Neka je funkcija F data sa F (x) = 3(x1 )2 + 6(x1 )2 (x3 )4 . Tada imamo   Z  2 6 ∂ ∂ ∂ T ·x b e Ω(x) ⟨F (x)⟩ = F Z(b) = 3 2 +6 2 4 ∂b ∂b2 ∂b2 ∂b3 x b=0 b=0 Z   = Ω(x) 3(x1 )2 + 6(x1 )2 (x3 )4 = 3⟨(x1 )2 ⟩ + 6⟨(x1 )2 (x3 )4 ⟩, x

pri ˇcemu smo iskoristili definiciju (C.50).

■

Dakle, vidimo da se i u jednostavnom sluˇcaju funkcije iz Primera C.1 pojavljuje ˇclan ⟨(x1 )2 (x3 )4 ⟩ koji sadrˇzi srednju vrednost proizvoda 6 komponenti vektora x. Vikova teorema nam, u sluˇcaju kada je funkcija raspodele Gausovog tipa, daje recept za izraˇzavanje ovakvih srednjih vrednosti samo pomo´cu srednjih vrednosti parova komponenti vektora x.

C.4.2

Generalisana Gausova raspodela

Pogledajmo sada paˇzljivije sluˇcaj u kojem je funkcija raspodele Gausovog tipa: Ω(A, x) =

1 − 1 xT ·Ax e 2 Z(A)

(C.57)

gde je A simetriˇcna nesingularna matrica sa pozitivnim konstantnim koeficijentima a Z(A) faktor koji obezbedyuje normiranje. Znaju´ci za rezultat (C.38), imamo Z Z(A) =

e x

− 21 xT ·Ax

(2π)N/2 = √ . detA

(C.58)

Sada moˇzemo uvesti i funkciju generatrisu koja zavisi od proizvoljnog vektora b i komponenti simetriˇcne matrice A   Z 1 T −1 1 − 21 xT ·Ax+bT ·x Z(A, b) = e = exp b · A b , (C.59) Z(A) x 2 213

pri ˇcemu smo iskoristili (C.45) i (C.58). Dakle, u sluˇcaju raspodele Gausovog tipa, raˇcunanje momenata se svodi na diferenciranje eksponencijalne funkcije   ∂ ∂ 1 T −1 ∂ ... exp b · A b . ⟨xα1 xα2 . . . xαk ⟩ = (C.60) ∂bα1 ∂bα2 ∂bαk 2 b=0 Konkretno, " #     ∂ 1 T −1 1 T −1 1 ∂ X −1 ⟨xα ⟩ = exp b · A b (A )µν bµ bν exp b · A b = ∂bα 2 2 ∂bα µ,ν 2 b=0 b=0   X 1 = 0, (C.61) = (A−1 )µα bµ exp bT · A−1 b 2 b=0 µ pri ˇcemu smo koristili da je inverzna matrica simetriˇcne matrice i sama simetriˇcna1 . Sliˇcno,   1 T −1 ∂ X −1 ∂ ∂ exp b · A b = (A )µα bµ ⟨xα xβ ⟩ = ∂bα ∂bβ 2 ∂bβ µ b=0 b=0   X 1 ∂ exp bT · A−1 b + (A−1 )µα bµ ∂bβ 2 b=0 µ = (A−1 )αβ ,

(C.62)

jer sabirak koji sadrˇzi ˇclan linearan po bµ iˇsˇcezava pri b = 0. Imaju´ci u vidu prethodno dobijene rezultate, moˇzemo formulisati i Vikovu teoremu Teorema C.1. Neka je sa (C.57) definisana raspodela Gausovog tipa, tako da je funkcija generatrisa momenata raspodele data sa (C.59). Tada su od nule razliˇciti samo momenti parnog reda i oni se svode na sumu proizvoda svih mogu´cih srednjih vrednosti ⟨xα xβ ⟩ = (A−1 )αβ tj. X (C.63) ⟨xα1 xα2 . . . xαn ⟩ = ⟨xαi1 xαi2 ⟩⟨xαi3 xαi4 ⟩ · · · ⟨xαin−1 xαin ⟩. po svim parovima iz skupa {i1 ,i2 ,...in }

Dokaz. Dokaz prati [Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010)] i njegova osnovna ideja je da se paˇzljivo izbace svi sabirci koji nakon diferenciranja po komponentama vektora b imaju ˇclanove proporcionalne bµ jer oni iˇsˇcezavaju pri b = 0. Polaze´ci od (C.60), moˇzemo najpre diferencirati po bα1 . Tako dobijamo   ∂ ∂ ∂ 1 T −1 ⟨xα1 xα2 . . . xαn ⟩ = ... exp b · A b ∂bα1 ∂bα2 ∂bαn 2 b=0 (  ) X ∂ ∂ ∂ 1 = ... (A−1 )µα1 bµ exp bT · A−1 b . (C.64) ∂bα2 ∂bα3 ∂bαn 2 b=0 µ Svaki od preostalih izvoda deluje na proizvod funkcija: prva je linearna po komponentama vektora b a druga je eksponencijalna funkcija. Medyutim, svi ˇclanovi kod kojih izvodi deluju na eksponencijalnu funkciju iˇsˇcezavaju pri b = 0. Odavde vidimo da se srednja vrednost Neka je A simetriˇcna matrica, AT = A. Ako je A−1 A = I, imamo (A−1 A)T = AT (A−1 )T = A(A−1 )T = I. Iz poslednje jednakosti sledi (A−1 )T = A−1 , ˇsto znaˇci da je i A−1 simetriˇcna matrica. 1

214

⟨xα1 xα2 . . . xαn ⟩ sastoji od n − 1 ˇclanova od kojih svaki ima po n − 2 operatora izvoda   ∂ ∂ 1 T −1 ∂ −1 ... exp b · A b ⟨xα1 xα2 . . . xαn ⟩ = (A )α1 α2 ∂bα3 ∂bα4 ∂bαn 2   b=0 ∂ ∂ 1 ∂ ... exp bT · A−1 b + (A−1 )α1 α3 + ··· ∂bα2 ∂bα4 ∂bαn 2 b=0   ∂ ∂ 1 T −1 ∂ −1 ... exp b · A b . (C.65) + (A )α1 αn ∂bα2 ∂bα3 ∂bαn−1 2 b=0 Skoncentriˇsimo se sada na sabirak uz (A−1 )α1 α2 i oznaˇcimo ga sa Sα1 α2 . Deluju´ci prvo sa ∂/∂bα3 , nalazimo   ∂ ∂ ∂ 1 T −1 Sα1 α2 = ... exp b · A b ∂bα3 ∂bα4 ∂bαn 2 b=0   ∂ 1 T −1 ∂ ∂ X −1 (C.66) (A )α3 µ bµ exp b · A b . = ... ∂bα4 ∂bα5 ∂bαn µ 2 b=0 Kao i u sluˇcaju (C.65), doprinose razliˇcite od nule nalazimo samo kada izvodi po komponentama vektora b deluju na ˇclan proporcionalan sa bµ . Tako nalazimo da se Sα1 α2 sastoji od n−3 sabirka   1 T −1 ∂ ∂ ∂ −1 Sα1 α2 = (A )α3 α4 exp b · A b ... ∂bα5 ∂bα6 ∂bαn 2   b=0 ∂ 1 ∂ ∂ + (A−1 )α3 α5 + ··· exp bT · A−1 b ... ∂bα4 ∂bα6 ∂bαn 2 b=0   ∂ ∂ ∂ 1 T −1 −1 + (A )α3 αn (C.67) ... exp b · A b . ∂bα4 ∂bα5 ∂bαn−1 2 b=0 Ovaj postupak ponavljamo sve dok ne ”potroˇsimo” sve izvode i tako nalazimo da se Sα1 α2 sastoji od (n − 3)(n − 5)(n − 7) · · · 3 · · · 1 sabiraka Sα1 α2 = (A−1 )α3 α4 (A−1 )α5 α6 · · · (A−1 )αn−1 αn + (A−1 )α3 α4 (A−1 )α5 α7 (A−1 )α6 α6 · · · (A−1 )αn−1 αn   ˇclanovi sa svim ostalim sparivanjima indeksa −1 + (A )α3 α4 × iz skupa {α5 , α6 , · · · , αn }   ˇclanovi sa svim sparivanjima indeksa −1 + (A )α3 α5 × iz skupa {α4 , α5 , α6 , · · · , αn }   ˇclanovi sa svim sparivanjima indeksa −1 + (A )α3 αn × . (C.68) iz skupa {α4 , α5 , α6 , · · · , αn−1 } Sabiraka tipa Sα1 α2 u (C.65) ima (n − 1) i njihov zbir daje   ˇclanovi sa svim sparivanjima indeksa −1 ⟨xα1 xα2 . . . xαn ⟩ = (A )α1 α2 × iz skupa {α3 , α4 , α5 , · · · , αn }   ˇclanovi sa svim sparivanjima indeksa −1 + (A )α1 α3 × + ··· iz skupa {α2 , α4 , α5 , · · · , αn }   ˇclanovi sa svim sparivanjima indeksa −1 . (C.69) + (A )α1 αn × iz skupa {α2 , α3 , α4 , · · · , αn−1 } 215

Ukupan broj sabiraka je (n − 1)(n − 3)(n − 5)(n − 7) · · · 3 · 1 = (n − 1)!! ˇsto je baˇs jednako ukupnom broju svih mogu´cih sparivanja n objekata. Drugim reˇcima, X ⟨xα1 xα2 . . . xαn ⟩ = (A−1 )αi1 αi2 (A−1 )αi3 αi4 · · · (A−1 )αin−1 αin , (C.70) po svim parovima iz skupa {i1 ,i2 ,...in }

ˇcime je dokaz zavrˇsen.

■

Pogledajmo sada dva osnovna primera primene Vikove teoreme Primer C.2. Srednja vrednost koja se sastoji od proizvoda ˇcetiri komponente vektora x se faktoriˇse kao ⟨xα xβ xγ xδ ⟩ = ⟨xα xβ ⟩⟨xγ xδ ⟩ + ⟨xα xγ ⟩⟨xβ xδ ⟩ + ⟨xα xδ ⟩⟨xβ xγ ⟩.

(C.71)

Pri tome, tri sabirka dolaze od (4 − 1)!! = 3. U sluˇcaju proizvoda 6 komponenti vektora x, imamo (6 − 1)!! = 15 sabiraka. Oni se formalno mogu napisati kao   ⟨x1 x2 x3 x4 x5 x6 ⟩ = ⟨x1 x2 ⟩ ⟨x3 x4 ⟩⟨x5 x6 ⟩ + ⟨x3 x5 ⟩⟨x4 x6 ⟩ + ⟨x3 x6 ⟩⟨x4 x5 ⟩   + ⟨x1 x3 ⟩ ⟨x2 x4 ⟩⟨x5 x6 ⟩ + ⟨x2 x5 ⟩⟨x3 x6 ⟩ + ⟨x2 x6 ⟩⟨x4 x5 ⟩   + ⟨x1 x4 ⟩ ⟨x2 x3 ⟩⟨x5 x6 ⟩ + ⟨x2 x5 ⟩⟨x3 x6 ⟩ + ⟨x2 x6 ⟩⟨x3 x5 ⟩   + ⟨x1 x5 ⟩ ⟨x2 x3 ⟩⟨x4 x6 ⟩ + ⟨x2 x4 ⟩⟨x3 x6 ⟩ + ⟨x2 x6 ⟩⟨x4 x5 ⟩   + ⟨x1 x6 ⟩ ⟨x2 x3 ⟩⟨x4 x5 ⟩ + ⟨x2 x4 ⟩⟨x3 x5 ⟩ + ⟨x2 x5 ⟩⟨x4 x6 ⟩ , (C.72) pri ˇcemu smo, radi preglednosti, koristili skra´ceni zapis xαi ≡ xi .

■

Dokaz za sluˇcaj Gausove raspodele sa ermitskom matricom A preskaˇcemo i navodimo krajnji rezultat [Altland, A., Simons, B. (2010)] Teorema C.2. Neka je sa raspodela Gausovog tipa data sa Z  †    πN 1 exp −z · Az , Z(A) = d(z † , z) exp −z † · Az = , Ω(A) = Z(A) detA gde je A ermitska matrica a generatrisa momenata raspodele je Z 1 † † † † −1 † Z(A, u , v) = d(z † , z)e−z ·Az+u ·z+z ·v = eu ·A v . Z(A)

(C.73)

(C.74)

Tada je ⟨¯ zα1 z¯α2 . . . z¯αn zβ1 zβ1 . . . zβn ⟩ =

X

⟨¯ zαi1 zβj1 ⟩⟨¯ zαi2 zβj2 ⟩ · · · ⟨¯ zαin zβjn ⟩. (C.75)

po svim parovima iz skupa {i1 ,i2 ,...in ,j1 ,j2 ,...jn }

Pri tome je ⟨¯ zα zβ ⟩ = (A−1 )αβ .

(C.76)

216

Dodatak D Lijeve grupe i algebre Teorija Lijevih grupa igra vaˇznu ulogu u klasiˇcnoj i kvantnoj teoriji polja. Na ovom mestu dajemo samo neke osnovne ˇcinjenice potrebne za dokaz Goldstonove teoreme. Viˇse detalja i primera se moˇze na´ci u [Isham (1999); Arvanitoyeorgos, A. (2003); Fecko, M. (2006); Hilgert & Neeb (2011); Sternberg, S. (1964); Hall (2015); Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)]. U opˇstem sluˇcaju, Lijeva grupa je diferencijabilna mnogostrukost koja ima dodatnu strukturu grupe. Ipak, na ovom mestu ne´cemo ulaziti u detalje teorije ve´c ´ce izlaganje biti ograniˇceno na matriˇcne Lijeve grupe. Za poˇcetak, dajemo definiciju generalne linearne grupe nad Poljem F. Definicija D.1. Generalna (ili opˇsta) linearna grupa nad poljem F, u oznaci, GL(N, F), prestavlja skup invertibilnih matrica tipa N × N takvih da su matriˇcni elementi iz polja F. Takodye, pod nizom u GL(N, C) podrazumevamo niz matrica {Am }, odredyen nizom odgovaraju´cih matriˇcnih elemenata {(Am )αβ } gde α, β = 1, 2 . . . N . Sada moˇzemo definisati i matriˇcnu Lijevu grupu: Definicija D.2. Matriˇcna Lijeva grupa G je podgrupa od GL(N, C) tako da vaˇzi slede´ce: ako je {Ak } niz matrica u G i lim Ak = A

(D.1)

k→∞

tada A ∈ G ili A nije invertibilna matrica. Pri tome je graniˇcna vrednost matrice odredyena pomo´cu graniˇcne vrednosti matriˇcnih elemenata limk→∞ (Ak )αβ = Aαβ . Pod (realnom) dimenzijom Lijeve grupe podrazumevamo broj nezavisnih realnih parametara koji u potpunosti odredyuju datu matricu. Recimo, dim[GL(N, R)] = N 2 i dim[GL(N, C)] = 2N 2 . Osnovni primeri matriˇcnih Lijevih grupa su: 1. Specijalna linearna grupa SL(N, R) = {A ∈ GL(N, R)| detA = 1},

dim[SL(N, R)] = N 2 − 1

(D.2)

dim[U(N )] = N 2

(D.3)

2. Unitarna grupa U(N ) = {A ∈ GL(N, C)| A† A = AA† = I}, 217

3. Ortogonalna grupa O(N ) = {A ∈ GL(N, R)| AT A = AAT = I},

dim[O(N )] =

N (N − 1) 2

(D.4)

4. Specijalna unitarna grupa dim[SU(N )] = N 2 − 1

SU(N ) = {A ∈ U(N )| detA = 1},

(D.5)

5. Specijalna ortogonalna grupa SO(N ) = {A ∈ O(N )| detA = 1},

dim[SO(N )] =

N (N − 1) . 2

(D.6)

Slede´ci bitan pojam je Lijeva algebra: Definicija D.3. Lijeva algebra je vektorski prostor (u oznaci g) nad poljem F u kojem je uvedena dodatna operacija [ , ] : g × g → g koja zadovoljava tri uslova (α, β ∈ F) 1. [ , ] je bilinearna, tj. [αX + βY , Z] = α[X, Z] + β[Y , Z], ∀X, Y , Z ∈ g. Sliˇcna relacija vaˇzi i za linearnu kombinaciju na mestu druge promenjive 2. [ , ] je antisimetriˇcna, tj. [X, Y ] = −[Y , X], ∀X, Y ∈ g 3. Vaˇzi Jakobijev identitet: [X, [Y , Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y , [X, Z]] = 0,

∀X, Y , Z ∈ g.

Dimenzija Lijeve algebre je dimenzija odgovaraju´ceg vektorskog prostora. Veza izmedyu Lijeve grupe G i odgovaraju´ce algebre g je data eksponencijalnim preslikavanjem (videti [Hall (2015); Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)] za osobine matriˇcne eksponencijalne funkcije i primere vezane za konkretne grupe i algebre): Definicija D.4. Neka je G matriˇcna Lijeva grupa. Tada Lijevu algebru Lijeve Grupe G, u oznaci g, definiˇsemo kao skup svih matrica X takvih da exp (tX) ∈ G za realan parametar t. Na osnovu ove definicije se pokazuje da je 1. gl(N, F) = M(N, F),

dim[gl(N, F)] = dim[GL(N, F)],

2. sl(N, R) = {X ∈ M(N, R)| TrX = 0}, 3. o(N ) = {X ∈ M(N, R)| X T = −X}, 4. u(N ) = {X ∈ MN (R)| X † = −X},

dim[sl(N, R)] = dim[SL(N, R)] = N 2 − 1, dim[o(N )] = dim[O(N )] =

N (N −1) , 2

dim[u(N )] = dim[U(N )] = N 2

5. so(N ) = o(N ), 6. su(N ) = {X ∈ M(N, R)| X † = −X ∧TrX = 0},

dim[su(N )] = dim[SU(N )] = N 2 −1,

gde je M(N, R) skup matrica tipa N ×N nad poljem R. Za navedene primere je dim[G] = dim[g] a ispostavlja se da ta relacija vaˇzi i u opˇstem sluˇcaju Lijeve grupe i odgovaraju´ce Lijeve algebre. Nekada je korisno definisati vezu izmedyu Lijeve grupe i odgovaraju´ce algebre tako da su generatori reprezentovani ermitskim operatorima. U tom sluˇcaju je exp (itX) ∈ G, za X † = X i realan parametar t [Videti, recimo Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020)]. Konaˇcno, navodimo i osnovne rezultate vezane za Lijeve podgrupe i podalgebre. 218

Teorema D.1. Neka je G Lijeva grupa (sa Lijevom algebrom g) i neka je H zatvoreni podskup (u smislu diferencijabilne mnogostrukosti) od G koji je u algebarskom smislu podgrupa. Tada H ima strukturu Lijeve grupe (tj. H je Lijeva podgrupa grupe G). Ako je h Lijeva algebra grupe H, tada je h podalgebra od g. Za primenu Lijevih grupa i algebri na razliˇcite modele koji se koriste u fizici, vaˇznu ulogu ima teorija reprezentacija. Definicija D.5. Reprezentacija grupe G je homomorfizam sa grupe G na grupu linearnih operatora koji deluju na nekom vektorskom prostoru V . Praktiˇcno, reprezentacija grupe G obezbedyuje skup matrica koje implementiraju odgovaraju´ce transformacije na prostoru vektorskih veliˇcina (koje su ˇcesto dinamiˇcki elementi fiziˇckih teorija). Recimo, u Glavi 2 je diskutovan O(N ) model kod kojeg su stepeni slobode komponente N dimenzionog vektorskog polja. Iako se vektorski prostori ˇcesto pojavljuju kao prostori u kojima fiziˇcke veliˇcine uzimaju vrednosti, to nije jedina mogu´cnost. Na primer, u sluˇcaju nelinearnog σ modela je prostor mogu´cih stanja G/H [Weinberg, S. (2010)]. Po definiciji, G/H je prostor taˇcaka G/H := {gH|g ∈ G}

(D.7)

gH = {g ∼ g ◦ h|h ∈ H},

(D.8)

uz

simbol ◦ je binarna operacija u G a ∼ oznaˇcava identifikaciju dva elementa u G koji se razlikuju do na mnoˇzenje elementom iz H ⊆ G. Ako je G Lijeva grupa a H zatvorena podgrupa od H, prostoru G/H (koji se naziva homogeni prostor) se moˇze pridruˇziti struktura diferencijabilne mnogostrukosti1 Definicija D.6. Dejstvo (sa leve strane) Lijeve grupe G na diferencijabilnu mnogostrukost M je preslikavanje σ : G × M → M koje zadovoljava 1. σ(e, p) = p, ∀p ∈ M , 2. σ(g1 , σ(g2 , p)) = σ(g1 ◦ g2 , p) gde je e jediniˇcni element u G. Ukoliko se za svake dve taˇcke p1 , p2 ∈ M moˇze prona´ci g ∈ G tako da vaˇzi p2 = σ(g, p1 ), kaˇzemo da je dejstvo tranzitivno. Pokazuje se da u sluˇcaju tranzitivnog levog dejstva Lijeve grupe G na mnogostrukost M vaˇzi M ∼ = G/H, gde H predstavlja grupu transformacija koje ostavljaju p ∈ M invarijantnim. Poznat primer je tranzitivno dejstvo grupe O(N ) na S N ∼ = O(N )/O(N − 1) [Videti Nakahara (2003); Isham (1999); Fecko, M. (2006)]. Neka su uA koordinatne funkcije na G/H. Tada je π A = uA ◦ π komponentna reprezentacija Goldstonovog polja, π : M → G/H, pri ˇcemu je M oznaka za prostorvreme date teorije. A Kilingova vektorska polja na G/H se tada mogu zapisati kao hi = hA i eA , gde je {eA = ∂/∂u } A B lokalni bazis vektorskih polja. Sliˇcno, metriˇcki tenzor se moˇze zapisati kao GAB du ⊗ du , pri 219

ˇ Slika D.1: Sematski prikaz klase skvivalencije A + U , gde je U potptrostor od R3 generisan ortom ez : Ai = A + zi ez za i = 1, 2, 3, 4. ˇcemu je {duA } dualni bazis u smislu duA (∂/∂uB ) = δBA [Videti, recimo Isham (1999); Fecko, M. (2006); Nakahara (2003)]. Na sliˇcan naˇcin se moˇze definisati i prostor V /U , gde je V vektorski prostor a U njegov potprostor. Za poˇcetak, definiˇsemo klasu ekvivalencije x + U := {x + u|u ∈ U }

(D.9)

kao skup vektora iz V koji koji se razlikuju do na proizvoljni element potprostora U . Prostor V /U je skup V /U := {x + U |x ∈ U }.

(D.10)

Prema tome, prostor V /U se efektivno dobija od V tako ˇsto se ceo potprostor U zameni nulavektorom. Ispostavlja se da V /U ima strukturu vektorskog prostora tako da je Rn+m /Rm ∼ = Rn [videti, recimo, Axler, S. (2015)]. Kao primer ove konstrukcije uzmimo prostor R3 i potprostor R koji je generisan ortom ez . Na Sl. D.1 su prikazani vektori A, A1 , . . . A4 koji pripadaju jednoj klasi ekvivalencije, jer se razlikuju do na vektor oblika zi ez . Za predstavnika ove klase uzimamo A koji leˇzi u x − y ravni tako da je R3 /R ∼ = R2 . Poˇsto vaˇze izomorfizmi vektorskih prostora o(3) ∼ = R3 i o(2) ∼ = R, vidimo da je o(3)/o(2) ∼ = R2 , ˇsto je koriˇs´ceno na viˇse mesta u tekstu.

1

Grubo govore´ci, diferencijabilna mnogostrukost je prostor koji lokalno izgleda kao RN . Detalji se mogu na´ci u knjigama navedenim u ovom Prilogu.

220

Literatura Abrikosov, A., Gorkov, L., Dzyaloshinski, I. (1963). Methods of quantum field theory in statistical physics. Dover Publications. Alet, F., Wessel, S., Troyer, M. (2005). Generalized directed loop method for quantum Monte Carlo simulations. Physical Review E, 71, 036706. Altland, A., Simons, B. (2010). Condensed Matter Field Theory. Cambridge University Press. Andersen, J. O., Brauner, T., Hofmann, C. P. Vuorinen, A. (2014). Effective Lagrangians for quantum many-body systems. Journal of High Energy Physics, 2014(8), 1–45. Anderson, P. W. (1984). Basic notions of condensed matter physics. The Benjamin/Cummings Publishing Company. Anderson, P. W. (1952). An approximate quantum theory of the antiferromagnetic ground state. Physical Review, 86(5), 694. Arod´z, H., Hadasz, Leszek (2010). Lectures on Classical and Quantum Theory of Fields. Springer. Arvanitoyeorgos, A. (2003). An Introduction to Lie Groups and the Geometry of Homogeneous Spaces. American Mathematical Society. Ashcroft, N. W., Mermin, N. D. (1976). Solid state physics. Auerbach, A. (2012). InteractingElectrons and Quantum Magnetism. Springer. Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right. Springer. Bauer, B. et al (2011). The ALPS project release 2.0: open source software for strongly correlated systems. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2011(05), P05001. Beekman, A. J., Rademaker, L., & van Wezel, J. (2019). An Introduction to Spontaneous Symmetry Breaking. SciPost Physics Lecture Notes, 11. Binder, K. & Luijten, E. (2001). Monte Carlo tests of renormalization-group predictions for critical phenomena in Ising models. Physics Reports, 344(4), 179–253. Renormalization group theory in the new millennium. Brauner, T. (2010). Spontaneous Symmetry Breaking and Nambu–Goldstone Bosons in Quantum Many-Body Systems. Symmetry, 2(2), 609–657. 221

Brauner, T., Jakobsen, M. F. (2018). Scattering amplitudes of massive Nambu-Goldstone bosons. Physical Review D, 97, 025021. Burgess, C. P. (2020). Introduction to effective field theory. Cambridge University Press. Burgess, C.P. (2000). Goldstone and pseudo-Goldstone bosons in nuclear, particle and condensed-matter physics. Physics Reports, 330(4), 193–261. Capitani, S. (2003). Lattice perturbation theory. Physics Reports, 382(3-5), 113. Cheng, T. P., Li, L. F. (2000). Gauge theory of elementary particle physics – Problems and solutions. Oxford university press. Chow, C.-K. (1999). Discretization errors and rotational symmetry: the Laplacian operator on non-hypercubical lattices. Nuclear Physics B, 547(1), 281 – 302. Coleman, S. (1973). There are no Goldstone bosons in two dimensions. Communications in Mathematical Physics, 31(4), 259. Colussi, V. & Wickramasekara, S. (2008). Galilean and U(1)-gauge symmetry of the Schr¨odinger field. Annals of Physics, 323(12), 3020 – 3036. Elizalde, E. (2008). Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions. Springer. Fazekas, P. (1999). Lecture notes on electron correlation and magnetism. World scientific. Fecko, M. (2006). Differential Geometry and Lie Groups for Physicists. Cambridge University Press. Fetter, A., Walecka, J. (1971). Quantum theory of many-particle systems. McGraw-Hill. Feynman, R.P. (1973). Statistical mechanics: a set of lectures. W.A. Benjamin Press. Fradkin, E. (2013). Field theories of condensed matter physics. Cambridge University Press. Fr¨obrich, P., Kuntz, P.J. (2006). Many-body Green’s function theory of Heisenberg films. Physics Reports, 432(5), 223. Garbaczewski, P. (1978). The method of Boson expansions in quantum theory. Physics Reports, 36(2), 65. Gombar, S., Mali, P., Panti´c, M., Pavkov-Hrvojevi´c, M., Radoˇsevi´c, S. (2018). Dynamics of Frenkel Excitons in Pentacene. Materials, 11(11). Gongyo, S., Kikuchi, Y., Hyodo, T., Kunihiro, T. (2016). Effective field theory and the scattering process for magnons in ferromagnets, antiferromagnets, and ferrimagnets. Progress of Theoretical and Experimental Physics, 2016. Greiner, W. (1996). Field Quantization. Springer. Greiter, M. (2005). Is electromagnetic gauge invariance spontaneously violated in superconductors? Annals of Physics, 319(1), 217–249. 222

Gross, D. (1996). The role of symmetry in fundamental physics. Proceedings of the National Academy of Sciences, 93, 14256. Guralnik, G., Hagen, R., Kibble, T. (1968). Broken symmetries and the Goldstone theorem. Advances in particle physics, 2, 567. Haldane, F. D. M. (1986). Geometrical Interpretation of Momentum and Crystal Momentum of Classical and Quantum Ferromagnetic Heisenberg Chains. Physical Review Letters, 57, 1488–1491. Hall, B. (2015). Lie Groups, Lie Algebras and Representations. Springer. Herbut, I. (2007). A modern approach to critical phenomena. Cambridge University Press. Hilgert, J. & Neeb, K. H. (2011). Structure and Geometry of Lie Groups. Springer. Hofmann, C. P. (1999). Spin-wave scattering in the effective Lagrangian perspective. Physical Review B, 60, 388. Hofmann, C. P. (2011). Spontaneous magnetization of an ideal ferromagnet: Beyond Dyson’s analysis. Physical Review B, 84, 064414. Hofmann, C. P. (1999a). Effective analysis of the O (N) antiferromagnet: Low-temperature expansion of the order parameter. Physical Review B, 60, 406. Hofmann, C. P. (1999b). Effective analysis of the O (N) antiferromagnet: Low-temperature expansion of the order parameter. Physical Review B, 60(1), 406. Hofmann, C. P. (2010). Thermodynamics of O(N ) antiferromagnets in 2 + 1 dimensions. Phys. Rev. B, 81, 014416. Hohenberg, P. C. (1967). Existence of Long-Range Order in One and Two Dimensions. Physical Review, 158, 383. Hohenberg, P. C., Krekhov, A. P. (2015). An introduction to the Ginzburg–Landau theory of phase transitions and nonequilibrium patterns. Physics Reports, 572, 1 – 42. An introduction to the Ginzburg–Landau theory of phase transitions and nonequilibrium patterns. Honerkamp, J. (1972). Chiral multi-loops. Nuclear Physics B, 36, 130. Huang, K. (1987). Statistical mechanics. John Wiley & Sons. H¨ ubsch T. (2011). Fundamentalna fizika elementarnih ˇcestica. Prirodno-matematiˇcki fakultet, Novi Sad. Isham, C. (1999). Modern Differential Geometry for Physicists. World Scientific. Jones, W., March, N. (1973). Theoretical solid state physics, Vol 1 and Vol 2. Dover Publications. K¨ampfer, F., Moser, M., Wiese, U.J. (2005). Systematic low-energy effective theory for magnons and charge carriers in an antiferromagnet. Nuclear Physics B, 729(3), 317. 223

Kaloper, N. (1987). Funkcionalni integrali u modernoj teorijskoj fizici - diplomski rad . ˇ Kapor, D., Panti´c, M., Skrinjar, M., Pavkov, M., Radoˇsevi´c, S., Rutonjski, M. (2007). Boson Green’s functions treatment of three-layer ferrimagnetic superlattice. physica status solidi (b), 244(10), 3750. Kogut, J. B. (1979). An introduction to lattice gauge theory and spin systems. Reviews of Modern Physics, 51, 659. Kopietz, P., Bartosh, L., Sch¨ utz, B. (2010). Introduction to the Functional Renormalization Group. Springer. Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (2013). Course of theoretical physics – Mechanics. Pergamon. Leutwyler, H. (1994a). Nonrelativistic effective Lagrangians. Physical Review D, 49, 3033. Leutwyler, H. (1994b). On the Foundations of Chiral Perturbation Theory. Annals Physics, 235, 165. L´evy, L. P. (2000). Magnetism and superconductivity. Springer. Ma, S.K. (2018). Modern Theory of Critical Phenomena. Routledge. Mahan, G. D. (2000). Many-particle physics. Kluwer Academic/Plenum Publishers. ˇ Manojlovi´c, M., Pavkov, M., Skrinjar, M., Panti´c, M., Kapor, D., Stojanovi´c, S. (2003). Spinwave dispersion and transition temperature in the cuprate antiferromagnet La2 CuO4 . Physical Review B, 68, 014435. Manousakis, E. (1991). The spin− 21 Heisenberg antiferromagnet on a square lattice and its application to the cuprous oxides. Reviews of Modern Physics, 63, 1. McKane, A., Stone, M. (1980). Non-linear σ models: A perturbative approach to symmetry restoration. Nuclear Physics B, 163, 169. Mermin, N. D. (1967). Absence of ordering in certain classical systems. Journal of Mathematical Physics, 8(5), 1061. Mermin, N. D., Wagner, H. (1966). Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in Oneor Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models. Physical Review Letters, 17, 1133. Mili´c, B. (1997). Njutnova mehanika. Studentski trg. Mili´c, B. (2002). Meksvelova elektrodinamika. Studentski trg. Miloˇsevi´c, I. (1997). Vektorski prostori i elementi vektorske analize. Univerzitet u Beogradu. Miloˇsevi´c, S. (1979). Osnovi fenomenoloˇske termodinamike. Univerzitet u Beogradu. Muˇsicki, Dj. (1987). Uvod u teorijsku fiziku – teorijska mehanika. Prirodno matematiˇcki fakultet, Beograd. 224

Nair, V.P. (2005). Quantum Field Theory – A Modern Perspective. Springer. Nakahara, M. (2003). Geometry, Topology and Physics. Institute of Physics. Nambu, Y. (2004). Spontaneous breaking of Lie and current algebras. Journal of Statistical Physics, 115, 7. Negle, J.W., Orland, H. (1998). Quantum Many-particle Systems. Westview Press. Nolting, W., Ramakanth, A. (2009). Quantum theory of magnetism. Springer. Oguchi, T. (1960). Theory of spin-wave interactions in ferro-and antiferromagnetism. Physical Review, 117, 117. Oitmaa, J., Hamer, C. J., & Weihong, Z. (1994). Heisenberg antiferromagnet and the XY model at T =0 in three dimensions. Physical Reviev B, 50, 3877. Olver, P. (2000). Application of Lie Groups to Differential Equations. Springer. Panti´c, M. (2005). Uvod u Ajnˇstajnovu teoriju gravitacije. PMF Novi Sad. ˇ Pavkov-Hrvojevi´c, M., Skrinjar, M., Kapor, D., Krstonoˇsi´c, P. (2007). Zbirka zadataka po odabranim poglavljima statistiˇcke fizike. Univerzitet u Novom Sadu. Pelissetto, A. & Vicari, E. (2002). Critical phenomena and renormalization-group theory. Physics Reports, 368(6), 549. Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview. Preis, T., Virnau, P., Paul, W., Schneider, J. (2009). GPU accelerated Monte Carlo simulation of the 2D and 3D Ising model. Journal of Computational Physics, 228(12), 4468–4477. Radoˇsevi´c, S.M. (2015). Magnon—magnon interactions in O(3) ferromagnets and equations of motion for spin operators. Annals of Physics, 362, 336 – 362. Radoˇsevi´c, S.M., Panti´c M.R., Pavkov-Hrvojevi´c M.V., Kapor, D.V. (2013). Magnon energy renormalization and low-temperature thermodynamics of O(3) Heisenberg ferromagnets. Annals of Physics, 339, 382 – 411. ˇ Radoˇsevi´c, S.M., Rutonjski, M., Panti´c M.R., Pavkov-Hrvojevi´c M.V., Kapor, D.V., Skrinjar, M. G. (2011). The N´eel temperature of a D-dimensional bcc Heisenberg antiferromagnet. Solid State Communications, 151(23), 1753. Radoˇsevi´c, S., Mali, P. (2020). Zbirka zadataka iz matematiˇcke fizike – drugo proˇsireno izdanje. PMF Novi Sad. ˇ Radoˇsevi´c, S., Panti´c, M., Kapor, D., Pavkov-Hrvojevi´c, M., Skrinjar, M. (2010). Evaluation of Watson-like integrals for a hyper bcc antiferromagnetic lattice. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 43(15), 155206. 225

ˇ Radoˇsevi´c, S., Pavkov-Hrvojevi´c, M., Panti´c, M., Rutonjski, M., Kapor, D., Skrinjar, M. (2009). Magnetic properties of quasi two-dimensional antiferromagnet Rb2MnCl4 with XXZ interaction anisotropy. European Physical Journal B, 68(4), 511. ˇ Rutonjski, M., Radoˇsevi´c, S., Skrinjar, M., Pavkov-Hrvojevi´c, M., Kapor, D., Panti´c, M. (2007). Temperature dependence of sublattice magnetization in quasi-two-dimensional S = 12 cuprate antiferromagnets: Green’s function approach. Physical Review B, 76, 172506. Ryder, L.H. (1996). Quantum Field Theory. Cambridge University Press. Sandvik, A. W. (1997). Finite-size scaling of the ground-state parameters of the twodimensional Heisenberg model. Physical Review B, 56, 11678. Sandvik, A. W. (1998). Critical Temperature and the Transition from Quantum to Classical Order Parameter Fluctuations in the Three-Dimensional Heisenberg Antiferromagnet. Phys. Rev. Lett., 80, 5196. Scheck, F. (2018). Classical Field Theory. Springer. Schultz, T. D., Mattis, D. C., Lieb, E. H. (1964). Two-Dimensional Ising Model as a Soluble Problem of Many Fermions. Reviews of Modern Physics, 36, 856–871. ˇ L. (1968). Kvantna mehanika. Vuk Karadˇzi´c, Beograd. Sif, Srednicki, M. (2007). Quantum field theory. Cambridge University Press. Stanley, H. E. (1971). Phase Transitions and Critical Phenomena. Clarendon Press, Oxford. Sternberg, S. (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall, inc. Stone M.,Goldbart P. (2009). Mathematics for Physics. Cambridge University Press. Strocchi, F. (2005). Symmetry Breaking, volume 643. Springer. Syromyatnikov, A. (2010). Spectrum of short-wavelength magnons in a two-dimensional quantum Heisenberg antiferromagnet on a square lattice: third-order expansion in 1/S. Journal of Physics: Condensed Matter, 22(21), 216003. Tasaki, H. (2019). Long-range order,“tower” of states, and symmetry breaking in lattice quantum systems. Journal of Statistical Physics, 174(4), 735. Troyer, M., Wessel, S., Alet, F. (2003). Flat Histogram Methods for Quantum Systems: Algorithms to Overcome Tunneling Problems and Calculate the Free Energy. Physical Review Letters, 90, 120201. Tsvelik, A. M. (2003). Quantum Field Theory in Condensed Matter Physics. Cambridge University Press. Umantsev, A. (2012). Field theoretic method in phase transformations, volume 840. Springer. 226

Utkarsh B., Suresh, A., Nikoli´c, B. K. (2021). Quantum many-body states and Green’s functions of nonequilibrium electron-magnon systems: Localized spin operators versus their mapping to Holstein-Primakoff bosons. Physical Review B, 104, 184425. Wang, F., Landau, D. P. (2001). Efficient, Multiple-Range Random Walk Algorithm to Calculate the Density of States. Physical Review Letters, 86, 2050. Watanabe, H., Brauner, T., Murayama, H. (2013). Massive Nambu-Goldstone Bosons. Physical Review Letters, 111, 021601. Watanabe, H., Murayama, H. (2012). Unified Description of Nambu-Goldstone Bosons without Lorentz invariance. Physical Review Letters, 108, 251602. Watanabe, H., Murayama, H. (2014). Effective Lagrangian for Nonrelativistic Systems. Physical Review X, 4, 031057. Weinberg, S. (2008). The Quantum Theory of Fields, Vol. I. Cambridge University Press. Weinberg, S. (2010). The Quantum Theory of Fields, Vol. II. Cambridge University Press. Weinberg, S. (2012). Lectures on Quantum Mechanics. Cambridge University Press. Wen, X. G. (2007). Quantum Field Theory of Many Body Systems. Oxford University Press. Wessel, S. (2010). Critical entropy of quantum Heisenberg magnets on simple-cubic lattices. Physical Review B, 81, 052405. Wilson, K. G. (1975). The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem. Reviews of Modern Physics, 47, 773–840. Wilson, K. G. & Kogut, J. B. (1974). The renormalization group and the ϵ expansion. Physics Reports, 12(2), 75 – 199. Witten, E. (2018). [arXiv:1710.01791].

Symmetry and emergence.

Nature Physics, 14, 116 (2018)

Zee, A. (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell. Princeton University Press. Zhitomirsky, M. E., Chernyshev, A. L. (2013). Colloquium: Spontaneous magnon decays. Reviews of Modern Physics, 85, 219. Zinn-Justin, J. (2007). Phase Transitions and Renormalization Group. Oxford University Press.

227

View publication stats