Mécanique classique - Cours et exercices corrigés - Tome 1: Lois de Newton, énergie, statique, gravitation 9782759826667

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Mécanique classique Cours et exercices corrigés Tome 1 Lois de Newton, énergie, statique, gravitation

Mécanique classique Cours et exercices corrigés Tome 1 Lois de Newton, énergie, statique, gravitation

A. Colin de Verdière et S. Pogossian

Photographie de couverture : Station spatiale internationale ISS. Crédit : ESA/NASA - Thomas Pesquet Conception graphique de la couverture : CB Defretin, Lisieux

Imprimé en France

ISBN (papier) : 978-2-7598-2665-0 – ISBN (ebook) : 978-2-7598-2666-7 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1er de l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal. © EDP Sciences, 2022

Table des matières Avant-propos 1 Pourquoi ce livre ? 1 Un brin d’histoire 2 Quel contenu ? 3 Pour qui ? 4 Comment apprendre ? 4 Qui sommes-nous ? 5 Remerciements 5  Chapitre 1  • Introduction 7 1.1 Contexte 7 1.2 Mesures et unités en physique 12 1.2.1 Unités 12 1.2.2 Mesures 14 1.2.3 Ordre de grandeur 16 1.2.4 Conversion d’unités 16 1.3 Vecteurs 17 1.3.1 L’addition des vecteurs 17 1.3.2 Les composantes d’un vecteur 21 1.3.3 Le produit scalaire 24 1.3.4 Le produit vectoriel 25 1.4 Dérivées 27 1.4.1 Définition 27 1.4.2 Tableau des dérivées 28

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1.5 Intégrales 29 1.5.1 Définition 29 1.5.2 Les théorèmes du calcul différentiel 31 1.6 Applications 33 1.6.1 La méthode DPCE ou Démarrage, Plan, Calculs, Évaluation 34 1.6.2 Questions de réflexion et concepts 35 1.6.3 Exercices 36  Chapitre 2  • Cinématique : déplacement, vitesse, accélération 45 2.1 Introduction 45 2.2 Déplacement, vitesse et accélération 48 2.2.1 Représentation cartésienne 48 2.2.2 Chute libre et mouvement d’un projectile 52 2.2.3 Représentation intrinsèque, mouvement circulaire 54 2.2.4 Coordonnées polaires 61 2.3 Mouvement relatif 63 2.4 Applications 66 2.4.1 Exemples 66 2.4.2 Questions de réflexion et concepts 69 2.4.3 Exercices 71  Chapitre 3  • Les lois de la dynamique de Newton 83 3.1 La première loi ou le principe d’inertie 84 3.2 La deuxième loi 86 3.3 La troisième loi 90 3.4 Les conditions initiales 92 3.5 Applications 92 3.5.1 Les forces solide-solide 93 3.5.2 Exemples 96 3.5.3 Questions de réflexion et concepts 109 3.5.4 Exercices 110  Chapitre 4  • Énergie et travail 119 4.1 Le théorème de l’énergie cinétique 120 4.1.1 Force constante 120 4.1.2 Force variable en position 121 4.1.3 En plusieurs dimensions 122 4.2 Conservation de l’énergie mécanique 124 4.2.1 Le travail du poids et l’énergie potentielle 124 4.2.2 Les forces conservatives 126

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Table des matières

4.3 Applications 127 4.3.1 Le pendule 127 4.3.2 Le ressort 131 4.3.3 Généralisation 132 4.3.4 L’énergie interne et le travail des forces de frottement 134 4.3.5 Le travail fait sur un système 135 4.3.6 La conservation de l’énergie 136 4.3.7 Questions de réflexion et concepts 137 4.3.8 Exercices 138  Chapitre 5  • Équilibre statique 149 5.1 Introduction 149 5.2 Le moment d’une force 151 5.2.1 Définition et propriétés 151 5.2.2 Les composantes du produit vectoriel 153 5.3 Analyse de situations 154 5.3.1 Le cas de plusieurs forces concourantes 154 5.3.2 Couple de forces 154 5.3.3 Composition de forces parallèles 155 5.3.4 Le cas de la gravité, le centre de masse 156 5.4 Les conditions d’équilibre statique 157 5.5 Élasticité 158 5.5.1 Tension-compression 159 5.5.2 Compression uniforme 161 5.5.3 Cisaillement 163 5.5.4 Valeur des coefficients 164 5.6 Applications 166 5.6.1 Méthode générale 166 5.6.2 Exemples 166 5.6.3 Questions de réflexion et concepts 171 5.6.4 Exercices 172  Chapitre 6  • Dynamique d’un ensemble de particules 185 6.1 Le mouvement du centre de masse 186 6.2 Le mouvement à deux corps 188 6.3 Conservation de la quantité de mouvement 190 6.3.1 Collisions 190 6.3.2 Propulsion à réaction 194 6.4 Le moment cinétique (ou angulaire) 196 6.4.1 Le moment cinétique d’une particule 196 6.4.2 Le moment cinétique d’un ensemble de particules 197 6.5 L’énergie d’un ensemble de particules 199 6.6 Réversibilité des équations de la mécanique classique 202

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6.7 Rotation de corps rigides autour d’un axe fixe 203 6.7.1 Moment cinétique 203 6.7.2 Travail et énergie 205 6.7.3 Moment d’inertie 206 6.7.4 Analogies translation-rotation 208 6.8 Applications 208 6.8.1 Sismographe, accéléromètre et résonance 208 6.8.2 Boule sur un plan incliné 213 6.8.3 Équilibrage des roues de voiture 214 6.8.4 Effets gyroscopiques 215 6.8.5 Questions de réflexion et concepts 219 6.8.6 Exercices 220  Chapitre 7  • La gravitation 235 7.1 Introduction 235 7.2 La découverte de la force de gravitation 238 7.2.1 Une force en 1/distance2 238 7.2.2 Le produit des masses 239 7.2.3 La loi des aires et la force centrale 240 7.2.4 La loi de la gravitation universelle 241 7.3 Considérations énergétiques 242 7.3.1 Énergie potentielle 242 7.3.2 Énergie totale, vitesse d’échappement 243 7.3.3 L’orbite circulaire 245 7.4 Le cas général du problème à deux corps 246 7.4.1 Introduction 246 7.4.2 Conservation de l’énergie et du moment cinétique 247 7.4.3 Le mouvement des planètes 250 7.5 Applications 256 7.5.1 La masse de la Terre et l’expérience de Cavendish 256 7.5.2 La gravité terrestre, la forme de la Terre et les marées 259 7.5.3 Questions de réflexion et concepts 267 7.5.4 Exercices 268 Références Tome 1 275 Constantes physiques fondamentales et valeurs utiles 279 Correction des exercices du tome 1 283 Index général tomes 1 et 2 389 Une annexe numérique et informatique est disponible en ligne en libre accès sur la boutique en ligne de l’éditeur : https://laboutique.edpsciences.fr/

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Avant-propos

Pourquoi ce livre ? Quand nous avons commencé à écrire des notes de cours de Mécanique pour des étudiants de physique en première année d’université, l’idée ne nous avait pas effleurés d’en faire un livre. Et puis sont apparus ces vingt dernières années des ouvrages d’enseignement en langue anglaise proposant une approche moins mathématique, plus orientés sur les applications pratiques et favorisant le développement de l’intuition physique (physical insight), prélude à la résolution de problèmes de toute nature. Des orientations qui étaient bien dans la tradition des fameux cours de Feynman au CalTech mais, bien que les étudiants de CalTech soient parmi les meilleurs d’une classe d’âge, les cours de Feynman pouvaient être déroutants à plus d’un titre pour un débutant. Des ouvrages comme celui de Halliday-ResnickWalker reformulés à partir de bases admises autrefois comme des prérequis offrent un niveau beaucoup plus accessible pour des étudiants de parcours variés. Nous avons alors réalisé qu’il n’y avait pas tant d’ouvrages en français avec ces orientations pédagogiques. La deuxième motivation a été d’ouvrir la Mécanique vers les problèmes de la vie quotidienne, des milieux naturels ou de l’industrie pour dépasser la relative sécheresse des présentations formelles sur les points matériels habituelles en première année qui n’attisaient guère la curiosité des étudiants. Parmi ces applications, citons les transports (avion-auto-bateau-train-vélo), les transformations d’énergie au cœur des processus industriels, le sport, le mouvement des planètes, l’architecture (au travers de l’équilibre statique), la circulation sanguine, la musique, le mouvement des insectes, les ailes d’avion, les voiles de bateau, les vagues, les

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Mécanique classique

dépressions atmosphériques et les marées… La vie s’organise dans des milieux fluides, atmosphère ou océan, et la mécanique de Newton et la thermodynamique de Carnot sont les outils pour la compréhension de ce monde-là. Les fluides sont souvent présentés après que les outils d’analyse vectorielle, les opérateurs rotationnel et divergence, aient été mis en place, écartant de facto les étudiants n’ayant pas eu cette préparation. Pourtant beaucoup de situations expérimentales peuvent être expliquées avec des outils plus élémentaires. Il n’y a pas besoin d’un vélo professionnel pour découvrir la géographie du Tour de France. En allant moins vite, la curiosité s’en trouve aiguisée. La Thermodynamique est souvent présentée de façon autonome, quand bien même sa filiation avec la Mécanique est si évidente. Le menuisier dont la scie s’échauffe quand il coupe du bois voit bien que dynamique et thermique sont liées. C’est juste que pour traiter la mécanique de milliards de milliards de molécules, les méthodes doivent s’adapter. L’inclusion de la Thermodynamique permet d’introduire en application la physique du réchauffement global du climat et les choix énergétiques au cœur des préoccupations sur le climat de demain.

Un brin d’histoire La révolution scientifique des xvie et xviie siècles s’est faite par la force de persuasion d’expériences contrôlées et reproductibles comme celles des boules roulant sur les plans inclinés de Galilée, des observations du mouvement des planètes par Kepler, ou encore de l’origine de la pression atmosphérique par Pascal (Wootton, 2015). Et puis arrive Newton qui trouve le cadre théorique, force = masse × accélération, pour expliquer ces observations et prédire les mouvements. De la confrontation expérience - théorie, la révolution de la connaissance était en marche. Cette histoire fait de la Mécanique une formation assez incomparable pour découvrir et apprendre la méthode scientifique : des expériences assez faciles à réaliser, des observations sous nos yeux et le cadre newtonien pour échafauder les hypothèses et les tester. La révolution industrielle du xixe siècle est pratique avec l’usage de la machine à vapeur qui s’impose pour produire du travail mécanique. Mais cette machine à vapeur va s’avérer cruciale pour permettre à Carnot de découvrir la loi physique la plus fondamentale, la croissance de l’entropie (du désordre) pour un système isolé, une loi qui agit partout dans la nature et dont l’influence s’étend à la chimie et à la biologie. Elle explique pourquoi la production d’électricité du monde moderne s’accompagne inévitablement d’énormes pollutions à l’origine des dérèglements climatiques qui commencent à être observés. La révolution du xxe  siècle, celle du digital, a pénétré le monde scientifique. Le numérique permet aujourd’hui de calculer la déformation et le crash de voitures, de calculer des écoulements fluides, certes à nombre de Reynolds encore modestes, de calculer l’interaction de N  planètes sur des millions d’années, d’aborder des problèmes de mécanique non linéaires qui résistaient aux méthodes analytiques

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Avant-propos

traditionnelles avant l’essor des ordinateurs, de calculer le temps de demain et le climat d’après-demain. Assembler la Mécanique et l’apprentissage de la programmation offre un bénéfice mutuel qui dépasse la simple addition des deux domaines.

Quel contenu ? Le livre marche dans les pas de Newton, de Laplace, de Carnot, de Lorenz et de bien d’autres naturellement, sans demander de prérequis. Organisé en douze chapitres et une annexe, la progression est régulière depuis les rappels sur les vecteurs et le calcul différentiel de base, le calculus des anglophones. La cinématique, la première loi de Galilée, la deuxième et la troisième loi de Newton, la statique avec une brève discussion des milieux déformables, les notions de travail et d’énergie et la dynamique de N particules en interaction forment les six premiers chapitres de mécanique classique. Le chapitre 7 présente la gravitation, le mouvement des planètes et la gravité terrestre en étant les applications phares. Cet ensemble forme le premier tome. Le deuxième tome commence par la modification de la deuxième loi de Newton nécessaire pour prendre en compte la rotation de la Terre, ce qui permet de découvrir la nature des forces de Coriolis qui jouent un rôle si important pour le climat. Les quatre derniers chapitres tiennent une place plus originale dans un livre d’introduction en offrant une ouverture à la physique des milieux naturels et aux choix d’énergie à l’origine de la crise du réchauffement climatique. La mécanique des fluides est présentée avec ses applications classiques à la plomberie bien sûr, mais aussi aux flots sur des obstacles (ailes et voiles), à la météorologie, aux ondes dans les fluides, marée, acoustique ou autres vagues de surf. Le chapitre  10 est une introduction à la thermodynamique qui permet de découvrir les contraintes de la deuxième loi qui gouverne la production de travail mécanique et d’électricité. On y découvre que la pollution, définie comme la croissance du désordre, est toujours obligatoirement présente au cœur des transformations énergétiques même les plus sobres. Mais la thermodynamique va bien au-delà en expliquant aussi ce qui se cache derrière l’évolution spontanée d’un système, la fameuse flèche du temps. Le choix de sources d’énergie optimales pour atténuer le réchauffement climatique est la grande question du xxie siècle et un texte comme celui-ci ne pouvait échapper à la présentation des nombreuses manières de produire de l’électricité. Le chapitre  11 fait découvrir les phénomènes macroscopiques aux surfaces des liquides causés par les forces intermoléculaires qui permettent de découvrir l’origine des bulles de savon, des gouttes de pluie ou de rosée, du mouvement des insectes et des ondes capillaires. Le dernier chapitre est une introduction aux systèmes dynamiques, des systèmes différentiels à un, deux ou trois degrés de liberté, linéaires ou non, dont les applications en électricité, biologie, épidémiologie ou économie dépassent le cadre de la pure mécanique, mais offre un cadre conceptuel

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Mécanique classique

pour unifier le comportement de ces systèmes. Le choix d’inclure le système de Lorenz permet ainsi de faire la part entre ce qui est calculable de façon robuste et ce qui relève de prédictions hasardeuses dans des systèmes sensibles aux conditions initiales. Les systèmes dynamiques offrent ici une opportunité de choix pour s’amuser à programmer des modèles simples et une annexe présente les bases de l’analyse numérique et de la programmation pour y parvenir.

Pour qui ? Le premier tome, la Mécanique classique, a été écrit pour la première année d’université, IUT, ou classes préparatoires aux grandes écoles. Les référentiels non inertiels, la mécanique des fluides, la thermodynamique, les phénomènes de surface et les systèmes dynamiques qui constituent le deuxième tome sont typiquement des sujets de deuxième année souvent présentés avec des outils mathématiques avancés, mais l’introduction proposée ici n’en demande aucun. Ce choix permettra également aux étudiants d’autres parcours de se familliariser aux applications de la physique aux milieux naturels sous l’angle quantitatif.

Comment apprendre ? Les lois de la Mécanique et de la Thermodynamique sont d’une simplicité et d’une généralité désarmante, une page suffit probablement. Les difficultés commencent dès qu’on veut les appliquer. La plupart des gens apprennent avec des exemples et les chapitres ont donc tous été conçus en donnant une large place aux applications des résultats théoriques. Dans ses Tips on Physics, Feynman admet qu’il ne connaît pas de méthodes miracles pour apprendre la Physique aux étudiants autres que de pratiquer au travers d’un grand nombre de problèmes concrets. Voulant donner dès le départ les outils pour rendre l’étudiant autonome dans l’acquisition de ses connaissances, chaque chapitre est suivi de questions de réflexion, qui demandent d’avoir saisi l’essentiel des concepts, et de 400 exercices au total dont les trois quarts sont résolus in extenso. La lecture de ces solutions ne saurait remplacer le temps passé par l’étudiant à sécher sur un problème, temps d’interrogation et de frustration qui construit l’intuition physique et permet l’acquisition en profondeur des concepts et des méthodes. Il nous a semblé qu’un texte de mécanique était aussi idéal pour motiver l’usage des outils que sont les schémas numériques et la programmation. Bien sûr il existe des codes tout faits pour résoudre un problème particulier, mais une liste de recettes passerait à côté de l’apprentissage exceptionnel à la logique qu’offre une pratique de la programmation au travers de l’écriture personnelle d’un code.

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Avant-propos

Qui sommes-nous ? Chercheurs au Laboratoire d’Océanographie physique et spatiale, l’un en Océanographie et en Physique du climat (A. Colin de Verdière), l’autre en Physique du solide et en Mécanique céleste (S. Pogossian), nous avons enseigné la mécanique classique en première année d’université pendant une quinzaine d’années et rétrospectivement cette discipline nous semble idéale pour acquérir les qualités nécessaires à la recherche scientifique que sont logique, curiosité et rigueur.

Remerciements O. Arzel, X. Carton, N. Daniault, T. Huck, L. Géli, N. Grima et R. Scott ont accepté de relire certains chapitres et leurs remarques judicieuses ont permis de supprimer des erreurs et d’améliorer le manuscrit. J. Sirven et A. Wirth ont fait une relecture très approfondie du chapitre Thermodynamique qui a permis d’éclaircir plusieurs points délicats. Nous restons bien sûr seuls responsables des erreurs qui pourraient subsister. J. Le Bars a contribué à la frappe de notes initiales du tome 1 et partagé avec patience ses connaissances de traitement de texte. Les reproductions de figures ont été rendues possibles grâce aux permissions de EDP Sciences, Elsevier, ESA/NASA et Thomas Pesquet, Dover, NASA, National Parks Gallery, Ocean Data Lab (Deolen). Que tous soient chaleureusement remerciés.

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Chapitre 1 Introduction

1.1 Contexte La méthode scientifique se résume en trois étapes  : observer la nature, faire une hypothèse sur son fonctionnement qui débouche sur une prédiction, puis tester expérimentalement cette prédiction. Si ce test expérimental s’avère positif, l’hypothèse devient une « théorie ». La phase d’induction est l’étape qui permet de passer de l’observation à la formulation de l’hypothèse, une partie où l’intuition joue le rôle principal. Le passage de l’hypothèse à la prédiction est une phase de déduction où logique et calcul jouent les rôles principaux. La révolution scientifique du milieu du xvie siècle n’a été rendue possible que par l’identification de ce lien entre hypothèse et expérience, identifié par les travaux précurseurs de Galilée (l’étude de la chute des corps), de Kepler (les lois du mouvement des planètes), de Snell et Descartes (les lois de la réfraction de la lumière), de Torricelli et Pascal (les premières pierres de la mécanique des fluides). Cette approche prend tout son essor quand Isaac Newton du Trinity College de Cambridge publie ses Principia le 8 mai 1686 et donne l’objectif de la philosophie 1 : … for the whole burden of philosophy seems to consist in this – from the phenomena of motions to investigate the forces of nature, and then from these forces of nature to demonstrate the other phenomena… 1.  La philosophie a un sens plus restrictif aujourd’hui et traite de questions existentielles sur les causes et les conditions de la vie humaine pour lesquelles les lois restent qualitatives, guidées entre autres par la lutte pour la survie, la raison, la justice, la morale…

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Mécanique classique

… tout l’effort de la philosophie semble consister en ceci – trouver les forces de la nature à partir du phénomène des mouvements puis démontrer les autres phénomènes à partir de ces forces… Une théorie validée expérimentalement va alors servir pour expliquer d’autres faits naturels ou développer les applications qui en découlent. L’histoire de l’origine de la méthode scientifique est documentée par D. Wootton, 2015, The Invention of Science. Certes la mécanique de Newton (dite classique) fait faire un bond considérable, mais le début du xxe siècle trouve ses limites d’application quant à la vitesse des objets et à leur taille. Les vitesses doivent en effet être petites devant la vitesse de la lumière dans le vide (3 × 108 m s–1), tandis que la taille des objets doit être bien supérieure à la dimension des atomes (typiquement ~ 10–10 m). Deux autres branches de la Physique sont alors apparues, la théorie de la relativité d’Einstein  -  Poincaré qui rend compte des phénomènes lorsque la vitesse d’un corps s’approche de la vitesse de la lumière et la mécanique quantique pour les objets d’échelle atomique ou moléculaire de Schrödinger, Heisenberg et Dirac pour ne citer que les principaux. La figure suivante schématise ce lieu d’application de la mécanique classique dans un espace construit sur la vitesse des objets V et leur taille L.

 Figure 1.1  

La mécanique de Newton s’applique donc à des objets macroscopiques qui se déplacent suffisamment lentement. La 2e loi de Newton contient toutes les informations nécessaires pour prédire le mouvement d’un corps sous une forme très compacte : Forces = masse × accélération

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Les forces appliquées sur le corps sont égales à la masse de ce corps fois son accélération. Les caractères gras indiquent que force et accélération sont des vecteurs,

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Chapitre 1. Introduction

des entités qui possèdent une intensité mais aussi une orientation dans l’espace et plusieurs nombres sont alors nécessaires pour les caractériser, deux dans le plan, trois dans l’espace, appelés les composantes du vecteur. Par contraste la masse est un scalaire, parfaitement déterminé par un seul nombre. Elle mesure la quantité de matière dans le corps en question. Une des grandes difficultés de la loi 1-1 est la notion d’accélération. On se représente facilement une vitesse, un déplacement parcouru en un temps donné. Si l’intervalle de temps devient très petit, la vitesse devient instantanée et s’approche de la dérivée du déplacement par rapport au temps. L’accélération est simplement la variation de cette vitesse durant un temps donné et de façon similaire tend vers la dérivée de la vitesse lorsque l’intervalle de temps devient très petit. Reste les forces. Pour les définir, on peut certes utiliser la relation 1-1 et dire que la force est juste la masse fois l’accélération. Pour sortir de cette tautologie, il faut réaliser qu’un corps ne peut changer sa vitesse que lorsqu’il interagit avec un autre corps. Un corps isolé (loin de tout) conservera sa vitesse et la relation 1-1 dit alors que la force totale sur ce corps est nulle, un résultat qui constitue la 1re loi de la Mécanique due à Galilée. Ce n’est qu’en étudiant les interactions entre les corps que l’on peut connaître les forces et si les forces sont connues, alors la deuxième loi de Newton devient prédictive puisqu’elle donne l’accélération égale à force/masse et se pose alors la question de trouver vitesse et déplacement des corps en interaction. Le calcul différentiel a été inventé simultanément par Newton et Leibniz, précisément pour cet objectif. Le juge suprême de toutes les conséquences que l’on peut tirer de la loi 1-1 reste l’observation et l’expérience. Ce sont elles qui peuvent guider l’intuition et aider à réaliser par exemple si l’ordre de grandeur du résultat d’un calcul est raisonnable ou franchement délirant. La mécanique classique déduite de 1-1 a des applications industrielles considérables (machines, transports, architecture, sport, acoustique…) et les calculs de l’ingénieur sont entièrement ancrés dans le réel pour garantir la solidité d’un pont ou d’une aile d’avion. Mais 1-1 fournit aussi le cadre théorique pour calculer les mouvements de l’atmosphère, des océans. Un modèle de prévision du temps applique la relation 1-1 en chaque point d’une grille couvrant l’atmosphère. En appliquant 1-1, on apprend au lycée que la position verticale x(t) d’une pomme lancée vers le haut avec une vitesse verticale v0 en x = 0 s’écrit : x = ½ g t2 + v0 t

1-2

L’axe Ox est ici orienté vers le bas et si v0 < 0, la pomme commence par monter, mais son poids associé à la gravité prend le dessus et au bout d’un peu de temps, la vitesse de la pomme devient positive et augmente comme t. Cela ne sert à rien de mémoriser cette formule 1-2 car elle est très facile à retrouver à partir de 1-1 puisque le poids mg dans la direction de l’axe x est la seule force qui agit sur la pomme : m ax = m g soit ax = g

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L’accélération ax vers le bas est donc juste constante, égale à g. Mais la vitesse est juste l’intégrale de l’accélération par rapport à la variable temps de sorte que : v  gt  C1 où C1 est une constante d’intégration totalement arbitraire. Elle traduit le fait que la loi 1-1 est incomplète. Pour prédire le mouvement d’un objet, il faut aussi savoir d’où il part à un instant donné, ce sont les conditions initiales. Ainsi, pour déterminer v, on a besoin de connaître la vitesse de la pomme v0 à t = 0 et on écrira : v0 = g · 0 + C1 et donc C1 = v0 de sorte que : v = gt + v0 Mais la position x(t) est juste l’intégrale de la vitesse v : x = ½g t2 + v0 t + C2 avec une deuxième constante d’intégration définie par la position initiale de l’objet x = 0 à t = 0 : 0 = ½g · 0 + v0 · 0 + C2 ce qui démontre 1-2. Si on change les conditions initiales de la pomme, C1 et C2 ne sont plus les mêmes et la formule 1-2 change. La seule chose à retenir est donc juste la deuxième loi 1-1 et les conditions initiales. Ensuite il faut connaître les bases du calcul différentiel pour passer de l’accélération à la vitesse puis à la position. Cet exemple très simple contient les bases de la dynamique (la mécanique du mouvement des objets), une démarche que l’on retrouvera dans une multitude de situations : pour appliquer la deuxième loi 1-1, il faut certes connaître les forces, mais l’exemple de cette pomme montre que cela ne suffit pas. Pour prédire le mouvement d’un corps, il faut savoir d’où il part et avec quelle vitesse à un instant donné. On peut appliquer 1-2 pour le saut en hauteur. On pourrait se dire qu’un sauteur léger va monter plus haut qu’un sauteur lourd mais 1-2 ne fait pas intervenir la masse… On pourrait aussi se dire que si on court deux fois plus vite, on va sauter deux fois plus haut… mais c’est faux. On va sauter quatre fois plus haut. Vérifiez ce point avec la relation ci-dessus. Le saut en hauteur (ou à la perche) cache déjà quelques subtilités. Les succès de la mécanique classique ont commencé par expliquer des mouvements assez simples, les trajectoires des pommes, de la lune, des planètes. On pourrait y ajouter l’architecture classique, démarrée il y a plus de 2 000 ans, dont l’objectif est d’interdire le mouvement relatif des parties d’un bâtiment, une part importante de la mécanique appelée Statique. La solution complète du problème à deux corps (une planète autour du soleil) fut une réussite considérable validant la loi de la gravitation universelle en 1/(distance)2. Cette réussite fut conceptualisée par Laplace qui cent ans après émit l’hypothèse d’un univers calculable et donc prévisible, si tant est que position et vitesse initiale de tous les corps en interaction fussent connues à un instant t. Pour plus de deux corps en interaction, la théorie du chaos redécouverte

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Chapitre 1. Introduction

dans les années 1970 a mis un terme à cette idée, car une prévision à long terme exige une précision croissante des conditions initiales impossibles à réaliser en pratique. Ces systèmes qui possèdent la propriété de sensibilité aux conditions initiales (SCI) se rencontrent dans les observations de la vie quotidienne : volutes de fumée de cigarettes, gouttes de lait dans une tasse de thé, sillage d’un bateau, tsunamis ou cyclones tropicaux montrent une grande complexité souvent rassemblée dans le contexte des fluides sous le vocable turbulence qui symbolise des mouvements erratiques, imprévisibles et jamais reproductibles en détail. Cette situation n’avait pas échappé à Aristote qui distinguait déjà les mouvements ordonnés des orbites des planètes du monde supra-lunaire et ceux désordonnés du quotidien terrestre du monde sub-lunaire dans lequel se développe la vie. Le besoin de transports toujours plus rapides, de constructions toujours plus audacieuses et la nécessité de s’armer pour se protéger donnent aujourd’hui une place prépondérante à la recherche en Mécanique. Les applications industrielles, du vélo et autos aux navires, avions et fusées ne sont au final que des applications de la loi 1-1. Le devenir de la planète Terre dans son contexte de changement climatique requiert également l’apport de la Mécanique pour observer et tenter de prédire les évolutions couplées de l’Océan et de l’atmosphère. Comme l’intérieur de la Terre ne peut être découvert que par des observations à sa surface, la Mécanique joue là aussi un rôle primordial dans les méthodes de reconstruction de l’intérieur à partir d’observations faites de la surface. Si ce livre est essentiellement un livre de pratique de la Mécanique, R. Feynman avoue lui-même que «  résoudre des problèmes de physique  » est très difficile à enseigner (Tips on Physics, exercices d’accompagnement du tome de Mécanique de Feynman). Feynman reconnaît que la seule façon d’apprendre est de résoudre personnellement de multiples problèmes, une approche babylonienne par comparaison avec les Grecs qui conceptualisaient et généralisaient. Ce livre suit l’approche de Feynman en offrant la possibilité de pratiquer de très nombreux exercices avec du papier et un crayon, puis avec un ordinateur portable lorsque les solutions analytiques deviennent impossibles. Il faut faire la différence entre apprendre et comprendre. Apprendre des formules par cœur n’aide pas beaucoup ici, car il faudrait mémoriser toutes les situations qui se présentent en pratique. L’avantage de la mécanique est qu’il y a très peu de choses à mémoriser, juste la deuxième loi 1-1 et quelques autres éléments importants comme l’énergie, le travail, la quantité de mouvement ou le moment cinétique. En revanche, il faut apprendre à mener une logique de réflexion et de calcul. « Comprendre » voudra dire être capable de résumer le comportement du système étudié, de confirmer ou d’infirmer l’intuition initiale et de relier la théorie (le résultat du calcul) aux observations. Au bout du compte, expliquer la situation physique en jeu en se détachant des formules et du calcul. Le gain de cette compréhension sera de voir d’un coup la similarité entre des situations apparemment différentes mais qui obéissent à la même physique : similarité entre la chute de la pomme et celle de la lune (ou d’un satellite artificiel), similarité entre l’oscillation d’un pendule et celle d’une masse accrochée à un ressort, ou encore similarité entre la musique et

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Mécanique classique

les marées océaniques. Pour un ingénieur, les applications sont aussi au centre de la démarche et on dit parfois dans ce milieu que l’on ne comprend correctement que ce que l’on a construit. La suite de ce chapitre rappelle les notions d’unités et les bases du calcul (le calculus des anglophones) nécessaires pour aborder la Mécanique. Des quantités définies par un seul nombre sont appelées scalaires. Le temps, l’énergie, la température, la pression, le dioxyde de carbone… sont des scalaires. Mais d’autres quantités comme le déplacement d’un point à un autre nécessitent pour les définir une distance et une direction : un vecteur est cette entité mathématique qui possède un module (une longueur) et une direction dans l’espace (soit un angle mesuré par rapport à une direction de référence). La direction a aussi un sens  : elle est orientée. Le déplacement d’un corps est donc un vecteur défini par la longueur du déplacement et sa direction dans l’espace. La vitesse et l’accélération sont aussi des vecteurs. La force est un vecteur. La loi de Newton qui régit le mouvement s’exprime au moyen de vecteurs. On peut calculer la vitesse à partir du déplacement via une opération mathématique, la dérivée. De la même façon, on peut déterminer l’accélération en dérivant la vitesse. En pratique, le problème à résoudre est inverse : on connaît les forces, donc l’accélération, mais on veut remonter à la vitesse puis au déplacement, opérations qui nécessitent de connaître la notion de primitive et d’intégrale.

1.2 Mesures et unités en physique 1.2.1

Unités

En mathématiques, on utilise des équations qui traduisent des égalités entre des nombres, par exemple : X = 25

1-3

Maintenant dans le monde réel de la physique, cette égalité a un sens plus riche. X peut désigner par exemple la longueur d’un champ mesurée en mètres. Alors la même équation ci-dessus signifie pour un physicien que la longueur du champ X vaut 25 mètres. Cette longueur traduit une comparaison avec la longueur du mètre, gardée quelque part comme standard et que tout le monde s’accorde à utiliser pour mesurer des longueurs de champs. Le champ mesure 25 fois cette longueur standard. Si un voisin utilisait un mètre de longueur différente, les deux voisins ne pourraient jamais se mettre d’accord sur la longueur commune de leur frontière. En physique, de chaque côté d’une égalité, il faut s’assurer d’avoir des combinaisons de symboles qui aient les mêmes unités. La physique s’est développée de façon analogue par cette nécessité fondamentale que les expériences faites par l’un peuvent et doivent être reproduites par un autre afin que les résultats puissent être comparés entre eux. Si le résultat d’une expérience ne peut pas être reproduit, on ne peut pas se servir de cette expérience pour avancer.

12

Chapitre 1. Introduction

Tout le monde a besoin de mesurer des longueurs, de calculer des durées et de savoir ce que représente un kilo de pommes ou d’oranges au marché, et donc tout le monde sait à peu près ce que représente un mètre, une seconde ou un kilogramme, les unités M.K.S du système international. Mais pourquoi avoir choisi ces unités et comment s’en servir ? Y a-t-il une signification particulière au choix du mètre tel qu’on le connaît ? La réponse est aucune. La seule considération est pratique. Avoir un instrument disponible sous la main pour mesurer a toujours été la raison fondamentale sous-jacente. Sous l’Ancien Régime, on utilisait le pouce (~ 2,7 cm), le pied (12 pouces), la toise (6 pieds), l’arpent (220 pieds), la lieue de Paris (12 000 pieds, ~ 3,9 km) et en Angleterre et en Russie encore d’autres unités. Le Parlement français décida en 1790 de définir le mètre comme la longueur d’un quadrant du méridien terrestre divisée par 107. On fabriqua un étalon gardé précieusement aux Archives nationales. Le problème de cette définition est qu’avec les mesures plus précises de la longueur du méridien au xixe siècle, le mètre changeait. Il fut décidé d’abandonner cette définition et d’appeler mètre la longueur de l’étalon de 1799 conservé au Bureau des poids et mesures de Sèvres. Et toutes les autres unités de longueur ne furent plus que des multiples (ou sous-multiples) de 10 du mètre, simplifiant énormément les calculs. En 1960, le mètre a été redéfini par un processus physique via un certain nombre de longueurs d’onde d’une ligne d’émission du krypton 86. Puis, en 1989, la définition a encore changé et le mètre a été relié à la valeur de la vitesse de la lumière et à la seconde : le mètre est la longueur parcourue par la lumière dans le vide pendant 1/299 792 458 seconde. Pour ce qui est du temps, la rotation de la Terre autour du Soleil permit de définir l’année et la rotation de la Terre sur elle-même le jour, la subdivision du jour en heure, minute et seconde étant un héritage des Babyloniens qui utilisaient un système de numération sexagésimal (1-60). Mais avec les horloges plus précises, on s’aperçut que la durée du jour variait selon la période de l’année et donc on choisit plutôt le jour solaire moyen. Puis on réalisa que sous l’influence des marées lunaires et solaires, la Terre ralentit sa rotation, certes très lentement, mais introduisant un argument philosophiquement gênant pour définir un étalon. Aujourd’hui la seconde est donc définie par la fréquence de transition entre deux états d’énergie d’un atome (le césium 133), dont l’inverse est une période bien définie et permet d’asseoir la seconde de façon bien plus précise. Mais il faut remarquer que le temps a une nature bien différente de la longueur. Il existe en effet une flèche du temps. Le temps s’écoule dans une direction passé, présent, futur. La vie a un début et une fin. Le temps permet de définir la séquence d’événements reliés entre eux pour appliquer éventuellement le principe de causalité. Si l’événement  A est la cause de l’événement  B, alors A arrive forcément avant B. La condition est nécessaire mais pas suffisante : ce n’est pas parce que A arrive avant B que A est la cause de B, cela reste à prouver. En physique, les phénomènes sont classés selon qu’ils sont réversibles ou irréversibles par rapport au temps. Un phénomène est réversible s’il est possible pratiquement de faire passer le film en arrière. Si par exemple on fait tomber une balle verticalement sur le sol, au point de contact avec le sol le signe des vitesses change et la balle retrace son parcours initial – le phénomène de la chute libre est réversible. Si maintenant

13

Mécanique classique

on fait tomber un œuf qui s’écrase sur le sol, il est impossible de voir se réaliser le parcours inverse  : le phénomène est irréversible. Si la mécanique classique traite essentiellement de phénomènes réversibles, il faut reconnaître que ce n’est qu’une approximation : la balle qui rebondit sur le sol ne revient pas exactement dans la main de laquelle elle a été lâchée. Le frottement introduit de la physique irréversible, quand de l’énergie mécanique est transformée en énergie interne (chaleur), l’énergie des mouvements à l’échelle moléculaire. Cette physique irréversible sera l’objet du chapitre 10 (Thermodynamique) qui traite de la mécanique d’un immense nombre de molécules de fluide sous forme gazeuse ou liquide. La masse a été définie par un kilogramme de matériau, un cylindre de platine, fabriqué en 1889 et également gardé au Bureau des poids et mesures de Sèvres. Pour autant, la masse de cet étalon mesurée aujourd’hui diverge de 5 10–7 kg de sa masse initiale. Pour se libérer de cette définition, depuis le 20 mai 2019 le kilogramme est défini en prenant la valeur numérique fixée de la constante de Planck, h = 6,62607015 × 1034 J·s à partir des définitions du mètre et de la seconde. La masse volumique est définie par le rapport : 

m V

C’est une unité dérivée des précédentes, le kg m–3, qui permet de comparer entre eux des corps de nature différente. La masse volumique de l’eau est autour de 103 kg m–3, et celle de l’air autour de 1 kg m–3, quantités qui varient avec la température et la pression. On appelle densité le rapport de la masse volumique à celle d’une référence, souvent l’eau pure aux conditions standard, à savoir 20 °C et pression atmosphérique 1 013 hpa – hectopascal. Voici les densités de quelques corps usuels. Matériau

Bois

Plastiques

Roches

Aluminium

Fer

Plomb

Densité

~0,5

~1

2,2 - 2,7

2,7

7,3

11,3

1.2.2

Mesures

Supposons qu’un voisin mesure son champ avec son mètre (un ruban plié dans une boîte) et trouve X1 = 24,96. Il prête ce mètre à son voisin qui trouve X2 = 25,12. Ainsi, avec ce même instrument de mesure, les deux valeurs X1 et X2 ne coïncident pas. C’est normal, car dès qu’il y a mesure, il y a toujours des erreurs associées. Pour que les deux voisins s’accordent, ils doivent donc estimer l’ordre de grandeur des erreurs de mesure. Il y a deux façons de procéder : la première est de refaire la mesure un certain nombre de fois  ; supposons que l’on obtienne la série de 11 mesures : Xi = [24,96 25,12 24,03 24,87 25,02 24,98 25,07 25,15 24,94 25,09 25,06]

14

Chapitre 1. Introduction

A priori cela ne nous avance pas beaucoup, mais on peut se dire que la moyenne arithmétique des mesures doit mieux approcher la vraie valeur. Cette moyenne vaut ici :

〈X〉 = 24,9354545 1-4

où les crochets 〈 〉 dénotent la somme des Xi de i = 1 à 11, le tout divisé par 11 :

 X 

i 11

1 X i 1-5 11  i 1

Si en effet les erreurs sont dues au hasard, cette valeur 〈X〉 doit être plus proche de la vraie valeur, car les valeurs par excès vont compenser les valeurs par défaut. Plus important encore, on peut estimer l’erreur e autour de cette moyenne. Une estimation classique est de considérer la variance, la moyenne quadratique des écarts Xi – 〈X〉 : 1 Var   X i  X 2 N 1  i L’écart-type ou en anglais « standard deviation » ou encore rms pour root mean square est juste :

  Var  0,3117 1-6

Maintenant ces calculs fournissent vraiment beaucoup de chiffres. Il ne sert à rien de garder tous les chiffres de l’erreur e et le bon sens dicte de ne garder que deux chiffres significatifs, soit e ≈ 0,3. L’erreur estimée est de 0,3 m, soit de l’ordre du 3e chiffre sur la moyenne donnée par 1-4. Il n’y a donc aucun sens à garder plus de 3 chiffres significatifs pour cette moyenne et les observateurs concluront que la longueur du champ est : X ≈ 24,9 avec une erreur quadratique moyenne e = 0,3 où le symbole ≈ signifie approximativement égal avec l’erreur associée. On conclut que le nombre de chiffres significatifs d’une quantité physique observée est le nombre de chiffres connu avec certitude. Il doit être compatible avec les erreurs de mesures de cette quantité. Quantitativement 748, 9,07, 8,60 et 0,56 ont tous trois chiffres significatifs. Mais 0,0095 n’en a que deux. On ne compte pas les zéros situés avant le premier chiffre différent de zéro. De fait, ce chiffre s’écrira 9,5 10–3. L’autre façon de procéder pour mettre d’accord les deux voisins est qu’ils trouvent une autre méthode de mesure qui fournisse des résultats avec un niveau d’erreur plus proche de ce qu’ils sont prêts à accepter, une méthode optique par exemple. L’utilisation d’un autre instrument de mesure permet aussi d’éliminer une erreur qui serait systématique, le biais d’un instrument : le mètre ruban utilisé précédemment a peut-être une erreur intrinsèque par rapport au mètre standard. S’il sous-estime par exemple la longueur du mètre, la moyenne sur un milliard de mesures n’améliorera en rien la précision du résultat qui sera toujours sous-estimé de la même quantité.

15

Mécanique classique

1.2.3

Ordre de grandeur

Bien souvent, pour discuter des idées, un physicien veut juste savoir si tel ou tel effet est important ou pas et pour cela on a besoin de simplifier les valeurs des quantités à comparer. On peut vouloir aussi simplifier un calcul pour estimer si le résultat est plausible. L’ordre de grandeur d’une quantité A est 10n lorsque : 3 10n–1 FLIM, il y a une accélération et les blocs glissent sur le sol. La deuxième loi de Newton donne : M1a1  T1  f1 i  M1g  N1 j

M2a 2  T2  f 2  F cos  i  M2g  N 2  F sin  j Puisque la masse du fil est nulle T1 = T2 = T. Les accélérations des deux blocs sont identiques car le fil est tendu et rigide : a1 = a2 = a. En projetant sur les axes x et y : M1a  T  f1 , N1  M1g M2a  T  f 2  F cos  , N 2  M2g  F sin  Par ailleurs : f1  N1c  M1gc

f 2  N 2c  M2g  F sin  c

On remplace les fi par leurs valeurs et on élimine T :

M2  M1 a  F cos   f 2  f1  F cos   c sin   c M2  M1 g Quand F est 10 % plus grand que FLIM, F = 324 N et : F cos   c sin  a  g   c   0,74 m s 2  g M2  M1  T  M1a  f1  M1 a  gc   162N 8.  L’énergie mécanique du système est la somme des énergies mécaniques de chacune des deux masses. En prenant l’origine de l’axe z au sol : 1 1 m v 2  m1gh  m 2 v 2  m 2g  0  m1g  0  m 2gh t 0 2 1 2 t puisque la vitesse des deux masses est la même (le fil est tendu). On en déduit : 1/2 m  m1  gh   24,5 m s 1 v   2 2  m1  m 2  9.  En l’absence de frottement, l’énergie mécanique du système est conservée : 1 1 m1v 2  m1g  0  m 2 v 2  m 2gz  m1g  0  m 2gh0 t 0 2 2 t On prend l’axe z vers le haut et l’origine sur la table et la masse m2 part de z = –h0. Bien que les directions des vitesses soient différentes, les modules sont identiques (fil tendu). Lorsque la masse m2 est en z, on obtient : m g(  z  h0 ) v2  2 2 m1  m 2

360

Correction des exercices du tome 1

En dérivant par rapport au temps, on va pouvoir trouver l’accélération az : m 2g dz dv 2v  2 dt m1  m 2 dt et comme v = dz/dt : m2 a z  2 g m1  m 2 Ce système permet de réduire beaucoup l’accélération de la chute libre quand m1 >> m2. La méthode de l’énergie cinétique permet ici de se passer du calcul des tensions du fil. 10.  Vitesse et accélération des deux masses sont identiques. La 2e loi de Newton projetée sur l’axe z vers le haut est : m1a z  T1  T2  m1g m 2a z  T2  m 2g ce qui donne : T2  m 2(a z  g)

T1  (m1  m 2 )(a z  g) (i) au repos ou à vitesse constante az = 0, T1 = 7 N, T2 = 5 N (ii) accélération vers le haut az = +2, T1 = 8,4 N, T2 = 6 N (iii) accélération vers le bas az = –2, T1 = 5,6 N, T2 = 4 N 11.  Comme l’eau se contente ici d’équilibrer le poids, il y a conservation de la quantité de mouvement total mais celle-ci est nulle au départ. Quand la personne va vers l’avant avec une vitesse v1, la barque va bouger vers l’arrière avec une vitesse v2 : m1v1 + m2v2 = 0 soit v2 = –(m1/m2)v1 = –1,6 v1 La barque s’éloigne du quai avec la vitesse v2 et la personne ne peut pas débarquer ! 14.  (i) On prend l’axe  x vers la droite. La quantité de mouvement horizontale est conservée puisqu’il n’y a pas de forces extérieures dans cette direction en l’absence de frottements. (1) m A v A  mB v B  0 En intégrant par rapport au temps : m A x A  mB x B  constant

361

Mécanique classique

Mais le centre de masse xC des 2 billes est défini par : (m A  mB )x C  m A x A  mB x B donc xC = cst et C ne bouge pas. (ii) En utilisant (1), le rapport des énergies cinétiques est : ECA mB = ECB m A La plus petite masse A a la plus grande énergie. 1 (iii) U = kd 2 2 (iv) La conservation de l’énergie totale donne : ECA  ECB FINAL  U INITIAL Ceci permet avec (1) de calculer les vitesses des deux billes lorsque le ressort n’est plus comprimé. 1/2

mA  v B   2U  1  m  A /m B 

1/2

mB  v A    2U  1 m /m   B A Les vitesses sont opposées à cause de (1). 15.  (i) Jo = r × mv = m(i − 2j) × (−6t4i + 3j) = 3m(1 − 4t4) k L’accélération est a = −24t3i. La force F = ma permet de calculer le moment de force : tO = r × F = −48m t3 k et on vérifie bien que tO = dJo/dt. (ii) JB = rBA × mv = (r − rB) × mv = Jo − rB × mv avec rB = −2i−3j. 17.  Le moment cinétique de la particule 1 est : J1 = r1 × p1

Pour calculer ce produit vectoriel J1  mv hkxi  Rjxi  mv hj  Rk  on utilise le fait que r1 = (hk – Rj) et p1 = mv i

De la même façon, r2 = (hk + Rj) et p2 = –mv i Le moment cinétique par rapport à O de la particule 2 est : J 2  mv hkxi  Rjxi  mv hj  Rk  Le moment total est donc : J  2mR 2k

362

Correction des exercices du tome 1

Le moment cinétique est parallèle à k, produit du moment d’inertie I = 2mR2 fois la vitesse angulaire ω (puisque v = ωr). Ce moment est le même pour tous les points de l’axe z. Si on rajoute deux autres masses symétriques par rapport au centre, l’expression est juste 4mR2k. Et on peut continuer de la sorte si bien que pour un anneau de masse M, le résultat est simplement : J = MR2ωk 18.  !
U
T






I2


Via la 2e loi de Newton, le mouvement du cylindre est suivant l’axe x, et obéit à : max = mg sin α − F may = 0 = N − mg cos α D’autre part, la 2e loi pour le mouvement de rotation autour de l’axe passant par le centre de masse donne : Fr = Idω/dt = 1/2mr2dω/dt Car la force de frottement F est la seule dont le moment par rapport au centre de la sphère soit non nul  : c’est le moment de la force de frottement qui permet la rotation. Alors on obtient : max = mg sin α − 0,5mrdω/dt Comme d’autre part v = ωr, ax = rdω/dt, on a :

gh 3 On peut maintenant retrouver ce résultat en utilisant la conservation de l’énergie totale. Attention, il faut maintenant ajouter l’énergie cinétique du centre de masse et l’énergie cinétique de rotation du cylindre autour du centre de masse. L’énergie totale s’écrit : v2 2  mgh, avec ω = vc/r, I = 1/2 mr2 Et = m c  I 2 2 v2 v2 v2 3 v2 2 Initialement Et = mgh et à la fin Et = m c  I  m c  0,5mr 2 c2  m c 2 2 2 2 2 2r 2 2 2 2 2 gh v v v  3 v  m c  0,5mr 2 c2  m c , d’où vc = 2 Et = m c  I 2 2 2 2 2 3 2r max = mg sin α −1/2max et d’où ax = 2/3g sin α et v = 2a x L = 2

Pour un moment d’inertie arbitraire IC, Fr = Icax/r et max = mg sin α − F, d’où g sin  mg sin  I g sin  ax = et F = 2c = Ic I mr 2 r 1 c 1 2 1 2 Ic mr mr

363

Mécanique classique

Le temps de chute est T =

I 2L 2h 1 2h   1 c2 ax a x sin  sin  g mr

Ic est plus grand et par conséquent T sera aussi mr 2 2gh 2a x L plus grand. La relation générale pour la vitesse = est v c = I 1+ c2 mr

Lorsque le cylindre est creux,

19. 

U T

,


&
8


&
8


I2


I2


Ce problème a déjà été traité au chapitre 3 sans se préoccuper du rôle de la poulie supposée de masse négligeable. La nouveauté ici est de tenir compte de sa rotation et du coup la tension n’est plus conservée au passage de la poulie. La 2e loi de Newton : m1 a = T1 + mg, –m2a = mg + T2 L’accélération aY de m1 est reliée à l’accélération angulaire par : rdω/dt = –aY car si aY > 0, la poulie accélère dans le sens trigonométrique négatif. La dynamique de la rotation de la poulie s’écrit : d I  r(T1  T2 ) dt L’accélération angulaire est négative si T2 > T1. Ce qui se réécrit : Ia T2  T1  2Y r avec : m1aY = T1−m1g, −m2aY = T2 − m2g, on retrouve : (m1 + m2)aY = T1 − T2 + (m2 − m1)g, mais aussi : (m1 + m2)aY = −IaY/r2 + (m2 − m1)g, d’où finalement : aY =

m 2  m1 2m 2  I / r 2 2m1  I / r 2 g , T1  m1 g g, T2  m 2 2 2 m1  m 2  I / r m1  m 2  I / r m1  m 2  I / r 2

L’importance de la poulie se juge donc en comparant I/r2 à la somme des deux masses.

364

Correction des exercices du tome 1

20.  La dynamique de la rotation par rapport au point support O du pendule physique est gouvernée par : d I   avec   mgb sin  dt avec τ le moment du poids par rapport au point O, b la distance entre le point de suspension O et C le centre de masse et I le moment d’inertie par rapport au point O. D’où l’équation d’oscillation du pendule physique :   mgb     I sin   0   Pour les petites oscillations, la pulsation du pendule physique est ω = lations de plus en plus lentes quand b diminue et quand I augmente. 21. 

mgb , oscilI

!


+






+2


La deuxième loi de Newton appliquée au centre de masse de la barre, projetée sur un axe vertical orientée vers le haut, s’écrit : Ma = N−Mg avec a l’accélération du centre de masse. La rotation autour du point A est donnée par : L d IA   A  Mg dt 2 Le moment du poids est négatif car il fait tourner la barre dans le sens négatif. Le lien entre ω et la vitesse v du centre de masse dans une rotation est v = ωL/2 donc a = L/2dω/dt, ce qui donne : MgL2 a 4I A En reportant dans la première équation, on trouve N : ML2  N  M(g  a)  Mg 1  4I A   Si la barre est une tige mince, on calcule IA avec 6-28 : L2 1 1 I A  ML2  M  ML2 12 4 3

365

Mécanique classique

Ce qui donne : Mg 3 a   g et N = 4 4 On voit que la tige accélère avec une accélération plus petite que g. La réaction N est divisée par deux par rapport à l’état de repos initial lorsque la tige est aussi supportée en B. 22.  On utilise le résultat de l’exercice 20 du pendule physique. L’équation gouvernant les oscillations est :   mgb     I sin   0   Dans le cas du pendule, mgb/I = mgL/mL2 = g/L. Pour la tige, b = L/2 et le moment d’inertie de la tige par rapport à son extrémité est 1/3ML2. Donc mgb/I = 3/2(g/L). L’équation d’oscillation est la même que pour le pendule, seul le coefficient change, coefficient qui contrôle ω2 pour les petites oscillations. Donc on s’attend à ce que la période de la tige soit inférieure à celle du pendule dans le rapport (2/3)1/2 = 0,81. 26.  La tige a un simple mouvement de rotation autour de son support O. On écrit la conservation de l’énergie mécanique totale : 1 I 2  mgz  constante 2 O soit : 2mgh 2  IO Ici h = L/2, la position du centre de masse quand la tige est verticale. La vitesse à l’extrémité de la tige est v = ωL et donc : mL2 v 2 = 2gh IO La vitesse de la chute libre est corrigée par ce facteur de forme mL2/IO. Une tige mince a un moment d’inertie par rapport à une extrémité IO = 1/12 mL2 + m(L/2)2 = 1/3 mL2, ce qui donne : v  3 2gh1/2 soit 3 fois la vitesse de la chute libre. En remplaçant par la valeur de h : v  3 gL1/2

366

Correction des exercices du tome 1

On peut aussi trouver avec la conservation de l’énergie comment l’angle θ varie avec le temps. À un instant t, on écrit : Lcos L 1 mg  I 2  mg 2 t 0 2 O 2 t On obtient :



 6gsin2 mgL 1  cos  3g 1 cos  6g  d 6g       2 sin  sin 2      IO L L L 2 dt L 2 En posant φ = θ/2, la loi horaire de chute de la tige obéit à : f

d

t

 sin   T

avec T 

0

2L , et 0     / 4 3g

On essaie de généraliser un peu en prenant un angle initial arbitraire θ0. Dans ces conditions : 2 

mgL cos0  cos 3g cos0  cos  IO L

2  1  cos 6g    sin    sin    L  2 2 

En utilisant : 2sin 2 

d  dt

d



2

 

   sin 2 0 sin 2 2 2

2



0

6g dt L

  Faisons un changement de variable :   , et 0  0 de sorte que j varie entre 2 2 q0/2 et p/4 / 4



0

3g T d TCHUTE ⇒ CHUTE   2 2 2L T sin   sin 0

/ 4



0

d sin 2  sin 20

On peut arriver à mettre cette dernière expression sous la forme d’intégrales elliptiques qui permettent de trouver : Pour θ0 = 2° Pour θ0 = 4° Pour θ0 = 20°

Tchute = 4,89 T Tchute = 4,21 T Tchute = 2,58 T

367

Mécanique classique

27.  U
T
&


D
$

I2


La deuxième loi appliquée au centre de masse permet d’écrire dans la direction y : MaY = T – mg Avec aY la composante de l’accélération dans la direction y. La dynamique de la rotation autour du centre de masse C permet d’écrire : d IC  C  TR 0 dt Ici le yoyo tourne dans le sens positif. Le lien entre l’accélération angulaire et ay est : R0dω/dt = −aY (puisque aY < 0) Ceci permet de trouver la tension dont le moment permet la rotation : I T   C2 a Y R0 ce qui donne aY, g aY   IC   1  MR 2   0 Supposons que le yoyo ait la forme d’un disque de rayon  R.  Dans ce cas, IC = 1/2MR2 et : g aY    R2  1  R 2   0 de sorte que si R >> R0, le yoyo a une accélération très petite devant g. C’est possible 1 car la tension du fil T  Mg tend vers le poids quand R/R0 → ∞. Dans  R 02  1  R 2    cette limite, on est en quasi-équilibre…

368

Correction des exercices du tome 1

28. 

L . Le pendule de même longueur avec g un disque de rayon R accroché à l’extrémité du balancier a une pulsation donnée par l’exercice 20 avec b = L et IO = 1/2 MR2 + ML2, soit :

Le pendule ponctuel a une période T0  2

T  T0 1  1/2

R2 L2

Quand le rayon R du disque est beaucoup plus petit que L, un développement limité en puissance de R/L donne : R2 T  T0 1  1/4 2  L   Pour la sphère, il suffit de remplacer par son moment d’inertie IC = 2/5 MR2, T  T0 1  2/5

R2 R2 et T  T0 1  1/5 2  2 L  L 

30.  Conservation de la quantité de mouvement pour choc mou : Mv = (M + m)u E0 = Mv2/2 est l’énergie cinétique initiale. 2 M2 v 2 M u 2 (M  m)u E   (i) EFINAL = (M  m)  2 2(M  m) 2(M  m) M  m 0 (ii) Théorème de l’énergie cinétique : le travail de la force de résistance du bois sur le clou est égale à la variation d’énergie cinétique. Si F est cette force de résistance moyenne, alors : M E F∆l = M+m 0 (iii) Lorsque le marteau est lourd (M >> m), une grande fraction de l’énergie initiale E0 est disponible pour réaliser le travail d’enfoncement du clou. 31.  Données : v = 100 m s–1 m = 0,01 kg M = 1 kg k = 400 N m–1 (i) La conservation de la quantité de mouvement avant et après le choc mou est : m v mv = (m + M)u, d’où u  Mm

369

Mécanique classique

L’énergie cinétique de l’ensemble après le choc mou est de : Ec  Ec =

M  m u 2 2



m2 v 2 m mv 2  2 M  m M  m 2

0,01 0,01  1002  0,5 J 101 , 2

Lors de la contraction maximale du ressort après le choc, toute l’énergie cinétique du mouvement est convertie en énergie potentielle du ressort : kL2 m mv 2 mv 1  L   5 cm 2 Mm 2 k m  M 400  1,01 (ii) Les quantités de mouvement de m et de M avant et après le choc élastique sont : mv = mv1 + Mu, d’où m(v – v1) = Mu Lors d’un choc élastique, on a une deuxième loi de conservation, celle de l’énergie cinétique. v2 u2 v2 m  m 1  M , d’où m v  v1 v  v1  Mu 2 , ainsi v  v1  u , et donc 2 2 2 v  v1  u  M v  v1  u  m



u





Mm 2m u M  v v et v1  1  Mm Mm 2 m

L’énergie cinétique de la masse M après le choc élastique est de : 2Mm 2 v 2 4Mm mv 2 4M m mv 2   , l’énergie cinétique de M 2 2 2 Mm Mm 2 M  m M  m est environ 4 fois supérieure à l’énergie lors d’un choc mou : Ec = 2 J.

Ec 

Lors de la contraction maximale du ressort après le choc, toute l’énergie cinétique du mouvement est convertie en énergie potentielle du ressort. 2E c kL2  Ec  L   10 cm 2 k 32.  La vitesse V de l’ensemble après impact vient de la conservation de la quantité de mouvement : mv = (M + m)V. La conservation de l’énergie mécanique donne la hauteur à laquelle le pendule remonte : ½(M + m)V2 = (M + m)gh soit :



v  1

370



M 2gh1/2  633 m s1 m

Correction des exercices du tome 1

33.  (i) Puisque la tension du fil ne travaille pas, la conservation de l’énergie mécanique donne la vitesse de la boule 2 : 1 m v 2  m 2gd  v 2  2gd1/2  1,98 m s 1 2 2 2 (ii) Collision inélastique, même vitesse vF des deux boules après le choc. La conservation de la quantité de mouvement avant et après le choc donne : (m1  m 2 )v F  m 2 v 2 , v F  0,66 m s 1 La conservation de l’énergie mécanique après le choc donne la hauteur dF à laquelle les boules collées de masse m1 + m2 vont remonter : v2 d F  F  2,2  102m 2g (iii) Collision élastique, soit v1F et v2F les vitesses après le choc. On utilise les deux conservations, quantité de mouvement et énergie cinétique (voir cours pour la deuxième) : m1v1F  m 2 v 2F  m 2 v 2 v1F  v 2F  v 2 On trouve : 2m 2 2 v  v v1F  m1  m 2 2 3 2 m  m1 1 v   v2 v 2F  2 m1  m 2 2 3 La balle 1 part vers la gauche et la 2 part vers la droite. Elles remontent à des hauteurs données par la conservation de l’énergie mécanique : v2 d1F  1F  8,8  102m 2g d 2F 

v 22F  2,2  102m 2g

35.  (i) Puisque la balle rentre dans le bloc, la collision est inélastique. La conservation de la quantité de mouvement avant et après le choc donne : m1v1 = (m1 + m2)v2 Il y a eu perte d’énergie cinétique utilisée pour déformer les objets. (ii) Après le choc, on a une masse M attachée à un ressort. L’équation d’oscillation est : Mx  kx

371

Mécanique classique

Des solutions en cos ωt ou sin ωt sont possibles avec ω = (k/M)1/2. On pose : x = A cos ωt + B sin ωt Les conditions initiales à t = 0 permettent de trouver A et B : t = 0, x = 0 ⇒ A = 0 et v = v2 ⇒ B = v2/ω et donc x = (v2/ω) sin ωt (iii) L’amplitude des oscillations x0 permet de trouver v2 = ωx0. ω = 40 rad s–1, v2 = 8 m s–1, v1 = 400 m s–1 (iv) Comme il n’y a plus de frottement après le choc, l’énergie cinétique + potentielle du ressort est conservée : 1 1 Mv 2  kx 2  constant 2 2 On en déduit : 1 1  kx 02 Mv 22 2 2 t 0 t  /2 On retrouve v2 = ωx0. 38.  Les deux balles atteignent une vitesse v = (2 gh)1/2 dans la chute libre. On considère d’abord la collision de la balle 2 sur le sol. Elle rebondit vers le haut avec la même vitesse  v. Les deux balles entrent en collision frontale avec des vitesses opposées (–v pour la balle 1, +v pour la balle 2 – on compte les vitesses positivement vers le haut). On écrit la conservation de la quantité de mouvement totale et de l’énergie cinétique totale avant et après cette deuxième collision : m1v1  m 2 v 2  m1v  m 2 v 1 1 1 1 m v 2  m v 2  m v 2  m2 v 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 On procède comme au chapitre 6 pour réécrire ces équations : (1) (2)

m1(v  v1 )(v  v1)  m 2(v 2  v)(v 2  v) m1(v+v1)  m 2(v 2  v)

Et on divise (1) par (2) pour obtenir : (v  v1)  (v 2  v) Ce qui permet d’écrire le système linéaire : m1v1  m 2 v 2  (m 2  m1)v  v1  v 2  2v et on trouve en posant x = m1/m2,

372

Correction des exercices du tome 1

v1 3  x  v 1 x v 2 1  3x  v 1 x v1 est une fonction décroissante de x de sorte que la vitesse de rebond la plus élevée est obtenue quand x tend vers 0, soit v1 = 3v. La vitesse v2 est aussi une fonction décroissante de x ; notons qu’elle s’annule quand x = 1/3 et toute l’énergie du système {1 + 2} passe alors dans celle de la petite balle pour laquelle v1 = 2v. On peut vérifier pour x = 1/3 que l’énergie potentielle finale est égale à l’énergie potentielle initiale (on a normalisé par m2gh) : U 4 1 x  m 2gh AVANT 3

  

m gh m v2 / 2 U 3x  1 1 1 1 x m 2gh APRES m 2gh m 2gh 1 x

2



1 3  1/3 3 1  1/3

  34 2

A.N. : m1 = 57,5 × 10–3 kg (tennis) et m2 = 0,624 kg (NBA) x = 0,0921, v1/v = 2,66 et v2/v = 0,66. Les hauteurs de rebond varient comme (vitesse)2. La hauteur atteinte par la petite balle est 7 fois la hauteur initiale tandis que la hauteur atteinte par la grosse balle n’est que de 0,43 fois la hauteur initiale. En pratique, les chocs ne sont pas parfaitement élastiques et le rebond moins spectaculaire. Sans violer la conservation de l’énergie totale, la petite balle monte clairement plus haut que sa hauteur initiale en récupérant de l’énergie de la grosse balle. Si on rajoute encore une balle 3 sur la balle 1, il suffit de considérer la troisième collision entre cette balle 3 et la balle 1 dont on vient juste de calculer la vitesse v1… 39.  Conservation de la quantité de mouvement selon les directions x et y : (m1  m 2 )VX  m1V1  m 2 V2 cos  (m1  m 2 )VY  m 2 V2 sin  VX = 2 m s–1, VY = −1,73 m s–1 40.  Quand les deux voitures accrochées ensemble dérapent, la force de frottement est : f = µC N avec N = (m1 + m2)g, soit f = 1,35 × 104 N. Sa direction est opposée au déplacement. La seule force qui travaille est f, dont le travail est W = f ⋅ d = 8,1 × 104 J. On applique le théorème de l’énergie cinétique : ∆EC = W

373

Mécanique classique

1 0  (m1  m 2 )v 02  C(m1  m 2 )gd 2 soit v 0  (2Cgd)1/2  8,4 m s 1 Juste avant et juste après le choc, il y a conservation de la quantité de mouvement : m1V1  m 2 V2  (m1  m 2 )v 0 m1V1x  (m1  m 2 )v 0 cos  m 2 V2y  (m1  m 2 )v 0 sin  Ceci permet de déterminer les modules des vitesses des deux voitures avant le choc : (m1  m 2 ) v 0 cos   16,2 m s 1 m1 (m  m 2 ) V2  1 v 0 sin   8,6 m s 1 m1 V1 

La voiture 1 dépassait la limite autorisée. 41.  (i) On applique la loi de conservation de la quantité de mouvement juste avant et juste après l’explosion, de sorte que l’on peut négliger la gravité dans cet exercice. (m1  m 2  m3 )V AVANT  m1V1  m 2 V2  m3 V3 APRES et conservation de la masse: M  m1  m 2  m3 On trouve : V3x = 666 m s–1 V3y = 166 m s–1 |V3| = 686 m s–1, angle (Ox,V3) = 14° (ii) La vitesse du centre de masse n’est pas modifiée par l’explosion. 0,5  s après l’explosion il est au point (100, 0). (iii) Énergie cinétique avant ECI = 4 × 105 J Énergie cinétique après ECF = 1,5 × 106 J ∆EC = +1,1 × 106 J La cause de cette augmentation de l’énergie cinétique provient de l’énergie chimique libérée dans l’explosion.

374

Correction des exercices du tome 1

42.  Si v1 est la vitesse de la boule 1 avant le choc et u1 et u2 les vitesses après le choc, la conservation de la quantité de mouvement donne : (1) v1  u1  u 2 Le choc est élastique donc l’énergie cinétique est aussi conservée : (2) |v1|2  |u1|2 |u 2|2 Cette relation (2) n’est autre que le théorème de Pythagore dans le triangle formé par les 3 vecteurs compte tenu de (1). Les vecteurs u1 et u2 forment donc un angle droit. 43.  (i) Repère x vers la droite, y vers le haut de la figure. La molécule 1 a une masse m et la molécule 2 une masse 2m. On écrit la conservation de la quantité de mouvement selon ces deux directions : Ox : 2mv = mvX Oy : −mv = −2mv + mvY Soit vX = 2v, vY = v, |v| = √5 × v, θ = 26° (ii) ∆EC = 2 mv2 > 0, le gain d’énergie cinétique indique que la collision est super-élastique. 44.  Lors du choc, la fléchette exerce une force F21 sur l’anneau au point d’impact O, l’anneau exerce une force opposée F12 sur la fléchette : F12 + F21 = 0. Le pivot P joue un rôle central ici. Qu’en est-il du moment de ces forces par rapport au point P ? En prenant le produit vectoriel par rapport à P, on a : PO × (F12 + F21) = 0. Cela suggère de prendre comme système l’ensemble {fléchette + anneau} car la résultante des moments des forces intérieures lors de l’impact est alors nulle. On en déduit que le moment cinétique de ce système est conservé avant et après le choc. Le moment cinétique par rapport à P avant le choc pointe vers le lecteur et vaut : J AVANT  PO  m 2 v J AVANT  Rm 2 v Après le choc, on ajoute le moment cinétique de la fléchette J2 et celui de l’anneau J1 qui tournent tous les deux à la vitesse angulaire ω dans le sens positif. La fléchette est à une distance OP = R√2 du centre de rotation P et sa vitesse ⊥ à OP vaut ωR√2 et donc :

J2  m 2 2R 2  

375

Mécanique classique

Pour trouver le moment cinétique de J1 par rapport à P, il faut connaître le moment d’inertie de l’anneau par rapport à P : I1  m1R 2  m1R 2  2m1R 2 et donc : J APRES  2m 2R 2  2m1R 2 En écrivant que JAVANT = JAPRES, on trouve : m2 v  2(m1  m 2 )R

Chapitre 7 R12. La démonstration par Newton que la force de gravitation est centrale. ?
!



1


On trace les parallèles à SB passant par A et c. Ces deux droites sont à la même distance h de SB. Quelle que soit la position du point C, on en déduit que les aires des deux triangles SBC et SBA sont égales à SB × h/2. La force de gravitation dirigée selon SB est donc centrale si la loi des aires s’applique. 3.  Pour que les deux forces d’attraction aient des directions opposées, il faut déjà que le point en question soit situé entre les deux masses. Prenons l’origine x d’un repère à la position de la masse m. Pour que les forces exercées par m à la distance x et par 5 m à la distance d – x, il faut que la masse test m3 soit placée telle que : Gmm3 5Gmm3  x2 (d  x)2

376

Correction des exercices du tome 1

Soit en simplifiant : 4x2 + 2dx – d2 = 0 dx 2 d d  5 ⇒ 1 5  x   0,31d x x 1 5

 

En déplaçant un peu la masse test d’un côté ou de l’autre, on voit tout de suite que les nouvelles forces en présence ne la ramènent pas vers sa position d’équilibre. L’équilibre est donc instable. 4.  L’énergie potentielle à une hauteur h au-dessus de la surface de la Terre (rayon R) est mg R 2 donnée par U(z) =  0 . Rz Au sol, l’énergie totale mécanique est égale à : mg R 2 mv 02 mg 0R 2   , à une hauteur h lorsque le corps s’arrête v = 0 et U =  0 Et = 2 R 0 Rh La loi de conservation de l’énergie mécanique donne : mg R 2 mv 02 v 2 g Rh  −mg 0R =  0 , d’où 0 = 0 Et = 2 Rh 2 R+h v 02R Soit : h = = 25 501 km 2g 0R − v 02 v2 On retrouve la loi avec gravité uniforme quand v 02