Analyse MP : cours, méthodes et exercices corrigés 9782100701896, 2100701894

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Jean-Marie Monier

5e édition

Maquette intérie ure: Lasertex Couverture: Bruno Loste

Le pictogramme qui figure ci-contre d'enseignement supérieur, provoquant une mérite une explication. Son objet est baisse brutale des achats de livres et de d'alerter le lecteur sur la menace que revues, au point que la possibilité même pour représente pour l'avenir de l'écrit, les auteurs de créer des œuvres particulièrement dans le domaine DANGER nouvelles et de les faire éditer corde l'édition technique et universirectement est aujourd'hui menacée. taire, le développement massif du Nous rappelons donc que toute photocopillage. reproduction, partielle ou totale, Le Code de la propriété intellecde la présente publication est tuelle du l er juillet 1992 interdit LE PHOTOOR1AGE interdite sons autorisation de en effet expressément la phatocoTif LE LIVRE l'auteur, de son éditeur ou du pie à usage collectif sons autoriCentre fronçais d'exploitation du sation des ayants droit. Or, cette pratique droit de copie (CFC, 20, rue des s'est généralisée dans les établissements Grands-Augustins, 75006 Paris).

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© Dunod, Paris, 2007, 2013 © Dunod, Paris, 1995 pour la première édition

ISBN 978-2-10-070189-6

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Le Code de Io propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5 , 2 ° et 3° a), d'une port, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective»

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et, d 'autre port, que les analyses et les courtes citations dans un but d' exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intég rale ou partielle faite

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sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (art. L. 1224). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles Code de la propriété intellectuelle.

L. 335-2 et suivants du

Cours CHAPITRE 1

1.1

Espaces vectoriels normés

3

Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé

4

1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7 1.1.8 1.1.9

1.2

1.3

1.4

Norme, distance associée Boules, sphères Parties bornées d' un evn Voisinages Ouverts, fermés Comparaison de normes Intérieur, adhérence, frontière Distance d'un point à une partie non vide d' un evn Suites dans un evn

4 11 13 14 15 19 26 29 31

Limites, continuité

39

l.2.l 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5

39 42 49 49 52

Limites Continuité Continuité uniforme Applications lipschitziennes Applications linéaires continues

Compacité

58

1.3.1 1.3.2

58 62

Généralités Cas de la dimension finie

Complétude

66

1.4.1 l.4.2 1.4.3

66 68 71

Suites de Cauchy Parties complètes Supplément : théorème du point fixe

1.5

Connexité par arcs

72

1.6

Espaces préhilbertiens

76

1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5

76 79 83 88

Produit scalaire Inégalités, normes euclidiennes Orthogonalité Procédé d 'orthogonalisation de Schmidt Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie l .6.6 Norme d'un endomorphisme d' un espace euclidien Problèmes

90 95 98 V

Table des matières

CHAPITRE

2

Fonctions vectorielles d'une variable réelle 2.1

2.2

2.3

2.4

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c

99

Généralités

100

2.l.l 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6

100 101 102 103 105 106

Structure de Ex Parité Périodicité Applications bornées Limites Continuité par morceaux

Dérivation

109

2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7

109 110 112 115 116 120 121

Dérivée en un point Propriétés algébriques des applications dérivables en un point Application dérivée Dérivées successives Classe d ' une application Différentielle Dérivation des fonctions à valeurs matricielles

Intégration sur un segment

122

2.3.1 2.3.2 2.3.3

Intégration des applications en escalier sur un segment Suites d'applications (première étude) Approximation uniforme par des applications en escalier ou par des applications affines par morceaux et continues 2.3.4 Intégration des applications continues par morceaux sur un segment 2.3.5 Sommes de Riemann 2.3.6 Intégration et dérivation 2.3.7 Inégalité des accroissements fini s 2.3.8 Changement de variable 2.3.9 Intégration par parties 2.3.10 Formule de Taylor avec reste intégral 2.3.11 Théorème de relèvement

122 124

Comparaison locale

148

2.4.l 2.4.2 2.4.3

Prépondérance, domination Équivalence Développements limités vectoriels Problèmes

148 150 151 152

Intégration sur un intervalle quelconque

153

Fonctions intégrables à valeurs réelles positives ou nulles

154

3. l.l 3.1.2 3.1.3

154 156 158

127 129 135 136 139 142 143 145 146

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CHAPITRE

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3

3.1

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3.2

VI

Définition Propriétés algébriques Intégrabilité sur un intervalle semi-ouvert

Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes

165

3.2.1 3.2.2 3.2.3

165 167 173

Général ités Propriétés Intégrabilité sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert

Table des matières

9.1.5 9.1.6 9.1.7

9.2

9.3

Inégalité des accroissements finis C 1 -difféomorphismes Exemples de résolution d' équations aux dérivées partielles du premier ordre

509 512 515

Dérivées partielles successives

521

9.2.l 9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.2.5

521 522 523 527

Définition Applications de classe ck sur un ouvert Interversion des dérivations ck-difféomorphismes Exemples de résolution d' équations aux dérivées partielles d'ordre ;:::: 2

Extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles 9.3. l 9.3 .2 9.3.3 9.3.4

Définitions Étude à 1'ordre l Étude à l' ordre 2 Extremums globaux

528

533 533 534 534 540

9.4

Fonctions implicites

543

9.5

Formes différentielles

546

9.5.l Définition 9.5 .2 Formes différentielles exactes 9.5.3 Formes différentielles fermées Problème

546 546 547 552

Solutions des exercices Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6 Chapitre 7 Chapitre 8 Chapitre 9

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X

554 574 584 618 648 701 723 738 757

Index des notations

777

Index alphabétique

779

Jeune lycéen, j'avais, pour les manuels scolaires, une vénération quasi-religieuse. Que représentaient pour moi ces livres qu'une main zélée avait soigneusement recouverts en début d'année ? Je ne saurais le dire avec précision : ils contenaient, sans doute, la Vérité. A mon sens, par exemple, un théorème ne pouvait être énoncé que dans le scrupuleux respect des termes de l'ouvrage ; approximative, la restitution n'était pas valable. L'utilisation, par les professeurs, des polycopiés (rappels et compléments de cours, énoncés de problèmes ... ) n'était pas, alors, habituelle ; je pense, aujourd'hui, que cela était dû bien plus aux difficultés de reprographie qu'à un non-désir de ces professeurs d'imprimer leur griffe personnelle par le choix d'exercices originaux. Ils se référaient constamment aux manuels, en suivaient fidèlement la progression, y puisaient les exercices. Je me souviens, d'ailleurs, d'avoir été troublé quand, en Terminale, mon professeur de Math., que je révérais aussi, se permettait parfois quelques critiques à l'égard d'un ouvrage qu'il nous avait pourtant conseillé ! Quant aux auteurs de ces livres, ils restaient énigmatiques : qui étaient ces demi-dieux détenteurs du Savoir ? Plus tard, mes rapports d'étudiant avec les manuels didactiques ont, évidemment, évolué, mais je crois avoir, naïvement sans doute, conservé cette approche faite d'envie et de respect qui m'empêche, par exemple, de porter des annotations en marge - je ne jouerai pas la farce d'un Pierre de Fermat ! - et cet a priori favorable qui me rendrait difficile la rédaction d'une critique objective. Heureusement, tel n'est pas mon propos aujourd'hui ! Mais j'ai voulu, par ces quelques mots, souligner l'importance capitale - même dans le subconscient de chacun - de ces livres de cours sur lesquels vous travaillez durant vos études et qui vous accompagnent toute votre vie. Aucun professeur, fût-il auteur de manuels, ne songerait à conseiller un livre en remplacement d'un enseignement vivant et vécu. Mais, le cours imprimé, s'il est fidèle à la lettre et à l'esprit du programme d'une classe, peut aider, de façon très importante, l'étudiant consciencieux. Celui-ci, surtout lorsqu'il est débutant, trouvera la sécurité dont il a besoin dans un plan clair, précis, rigoureux, dans une présentation particulièrement soignée où les diverses polices de caractères sont judicieusement alternées, dans la vision d'ensemble des questions dont traite l'ouvrage. Il y recherchera, avec la certitude de les obtenir, telle démonstration qu'il n'a pas bien comprise, tel exemple ou contre-exemple qui l'aidera à mieux assimiler une notion , la réponse à telle question qu'il n'a pas osé poser sinon à lui-même ... Pour que le livre joue ce rôle d'assistant - certes passif mais constamment disponible - il doit, je pense, être proche des préoccupations immédiates de l'étudiant, ne pas exiger, pour sa lecture, un savoir qui n'a pas encore été acquis, ne pas rebuter par l'exposé trop fréquent de notions trop délicates ; mais il doit, cependant, contenir une substance suffisante pour constituer les solides fondations sur lesquelles s'échafaude la pyramide du savoir scientifique. On l'imagine, dès lors, aisément : l'écriture d'un tel manuel, à l'intention des étudiants des classes préparatoires ou d'un premier cycle universitaire, demande, à côté de la nécessaire compétence, des qualités pédagogiques certaines, affinées par une longue expérience professionnelle dans ces sections, une patience et une minutie rédactionnelles inouïes. Jean-Marie Monier a eu le courage de se lancer dans ce gigantesque travail et les ouvrages qu'il nous propose aujourd'hui - après les recueils d'exercices qui ont eu le succès que l'on sait - montrent qu'il a eu raison : il a, me semble-t il, pleinement atteint le but qu'il s'était fixé, à savoir rédiger des livres de cours complets à l'usage de tous les étudiants et pas seulement des polytechniciens en herbe. Les nombreux ouvrages d'approfondissement ou de spécialité seront, évidemment, lus et savourés plus tard, ... par ceux qui poursuivront. Pour l'instant, il faut, à l'issue de la Terminale, assimiler complètement les nouvelles notions de base (la continuité, la convergence, le linéaire ... ) ; le lecteur est guidé, pas à pas, par une main sûre qui le tient plus fermement dès qu'il y a danger : les mises en garde contre certaines erreurs sont le fruit de l'observation répétée de celles-ci chez les élèves. A tout instant, des exercices sont proposés qui vont l'interpeller : il sera heureux de pouvoir, quelques dizaines de pages plus loin, soit s'assurer que, par une bonne démarche il est parvenu au bon résultat, soit glaner une précieuse indication pour poursuivre la recherche : le livre forme un tout, efficace et cohérent. XI

Préface

J'ai dit quel rôle majeur dans la formation d'un jeune esprit scientifique peut jouer un manuel qui lui servira de référence pendant longtemps. Sa conception, sa rédaction, sa présentation sont, alors, essentielles : on ne peut que viser à la perfection ! C'est tout le sens du travail effectué par Jean-Marie Monier avec une compétence, un goût, une constance admirables, depuis le premier manuscrit jusqu'aux ultimes corrections, dans les moindres détails, avant la version définitive. Ces ouvrages qui répondent à un réel besoin aujourd'hui, seront, j'en suis persuadé, appréciés par tous ceux à qui ils s'adressent - par d'autres aussi sans doute - ceux-là mêmes qui, plus tard, diront : « Ma formation mathématique de base, je l'ai faite sur le MONIER ! ». H. Durand Professeur en Mathématiques Spéciales PT* au lycée La Martinière Monplaisir à Lyon

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XII

Ce Cours de Mathématiques avec exercices corrigés s'adresse aux élèves des classes préparatoires aux grandes écoles (2e année MP-MP*), aux étudiants du premier cycle universitaire scientifique et aux candidats aux concours de recrutement de professeurs. Le plan en est le suivant : Analyse MPSI : Algèbre MPSI : Géométrie MPSI : Analyse MP: Algèbre et géométrie MP :

Analyse en 1. re année Algèbre en 1re année Géométrie en 1re année Analyse en 2e année Algèbre et géométrie en 2e année.

Cette nouvelle édition répond aux besoins et aux préoccupations des étudiant(e)s. Une nouvelle maquette, à la convivialité accrue, assure un meilleur accompagnement pédagogique. Le programme officiel est suivi de près ; les notions ne figurant pas au programme ne sont pas étudiées dans le cours. Des exercicestypes résolus et commentés, incontournables et cependant souvent originaux, aident le lecteur à franchir le passage du cours aux exercices. Les très nombreux exercices, progressifs et tous résolus, se veulent encore plus accessibles et permettent au lecteur de vérifier sa bonne compréhension du cours. Des compléments situés à la limite du programme sont traités, en fin de chapitre, sous forme de problèmes corrigés. J'accueillerai avec reconnaissance les critiques et suggestions que le lecteur voudra bien me faire parvenir aux bons soins de Dunod, éditeur, 5, rue Laromiguière, 75005 Paris. Jean-Marie Monier

XIII

Pour bien utiliser La page d'entrée de chapitre

Elle propose une introduction au cours, un rappel des prérequis et des objectifs, ainsi qu'un plan du chapitre.

Le cours

Le cours aborde toutes les notions du programme de façon structurée afin d'en faciliter la lecture. La colonne de gauche fournit des remarques pédagogiques qui accompagnent l'étudiant dans l'assimilation du cours. Il existe quatre types de remarques, chacun étant identifié par un pictogramme.

Les pictogrammes dans la marge Commentaires pour bien comprendre le cours (reformulation d' un énoncé, explication d' une démonstration ... ). Indication du degré d'importance d'un résultat.

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Mise en garde contre des erreurs fréquentes. Rappel d'hypothèse ou de notation.

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Les exercices-types résolus

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XIV

Régulièrement dans le cours, des exercicestypes résolus permettent d'appliquer ses connaissances sur un énoncé incontournable. La solution est entièrement rédigée et commentée.

cet ouvrage Les méthodes à retenir

Régulièrement dans le cours, cette rubrique propose une synthèse des principales méthodes à connaître.

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XV

Je tiens ici à exprimer ma gratitude aux nombreux collègues qui ont accepté de réviser des parties du manuscrit ou de la saisie: Robert AMBLARD, Bruno ARSAC, Chantal AURAY, Henri BAROZ, Alain BERNARD, Isabelle BIGEARD, Jacques BLANC, Gérard BOURGIN, Gérard-Pierre BOUVIER, Gérard CASSAYRE, Gilles CHAFFARD, Jean-Yves CHEVROLAT, Jean-Paul CHRJSTIN, Yves COUTAREL, Catherine DONY, Hermin DURAND, Jean FEYLER, Nicole GAILLARD, Marguerite GAUTHIER, Daniel GENOUD, Christian GIRAUD, Alain GOURET, André GRUZ, André LAFFONT, Jean-Marc LAPIERRE, Jean-Paul MARGIRIER, Annie MICHEL, Rémy NICOLAÏ, Michel PERNOUD, Jean REY, René ROY, Philippe SAUNOIS, Patrice SCHWARTZ et Gérard SIBERT. Enfin, je remercie vivement les Éditions Dunod, Gisèle Maïus, Bruno Courtet, Michel Mounic, Nicolas Leroy et Dominique Decobecq, dont la compétence et la persévérance ont permis la réalisation de ces volumes.

Jean-Marie Monier

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CHAPITRE

Plan

Jnt.,.oduction

1.1 Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé

4

Exercices 10, 13,25,28, 30,38

1.2 Limites, continuité

39

1.3 Compacité

58 62,66

Exercices

1.4 Complétude Exercices

66 67, 71

1.5 Connexité par arcs Exercices

72

75

Une attention particulière est portée aux espaces préhilbertiens, c'est-à-dire les espaces vectoriels réels ou complexes munis d' un produit scalaire (et non nécessairement de dimension finie).

Pt4él4equis • • • • • •

Les nombres réels (Analyse MPSI, ch. 1) Les nombres complexes (Analyse MPSI, ch. 2) Suites numériques (Analyse MPSI, ch. 3) Espaces vectoriels (Algèbre MPSI, ch. 6) Espaces vectoriels (Algèbre MPSI, ch. 6) Applications linéaires (Algèbre MPSI, ch. 7).

Objectifs

1.6 Espaces préhilbertiens

Problèmes

Les notions d'analyse relatives aux suites et fonctions réelles ou complexes qui ont servi de base à l'enseignement de première année vont être généralisées au cas d'espaces vectoriels, souvent de dimension finie, munis de normes. Une première approche a déjà été faite lors de l'étude élémentaire des fonctions de deux variables réelles, Analyse MPSI, ch. 11.

48,51,57

Exercices

Exercices

1

76

82, 88, 95, 98 98

• Généralisation des notions d 'analyse relatives aux réels et aux complexes (convergence de suites, limites, continuité) vues en première année, au cas des espaces vectoriels normés • Acquisition du vocabulaire topologique : voisinages, parties ouvertes, parties fermées, intérieur, adhérence, frontière, parties denses, ... • Mise en évidence d'applications remarquables et fréquemment rencontrée : applications continues, uniformément continues, lipschitziennes, homéomorphismes • Étude spécifique des applications linéaires continues • Définition et étude de parties remarquables jouant un rôle essentiel : parties compactes, complètes, connexes par arcs • Bilan sur les espaces préhilbertiens réels ou complexes.

3

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

Dans ce chapitre 1, OC désigne IR ou C . Une étude élémentaire a été faite dans Analyse MPSI (ch. 3, 4, 11). On abrège espace vectoriel en ev.

1.1 Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé 1.1.1

Norme, distance associée 1) Définition d'une norme, exemples

On appelle norme sur un JK-ev E toute application N : E ----+ IR telle que: (i) : positive-homogénéité

(i) VÀ

E

JK, V x

N(ÀX) = IÀIN(x)

E E,

(ii) : non-dégénérescence

(N(x) = 0

x = 0)

(iiil :inégalité triangulaire.

(ii) Vx E E,

On rajoute quelquefois:

(iii) V (x ,y) E E 2 , N(x +y) ~ N(x)

(iv) V x E E ,N(x ) ~ 0, ce qui est en fait inutile (cf.ci-dessous).

===}

+ N(y).

On appelle espace vectoriel normé (en abrégé evn) tout couple (E,N) où E est un JK-ev et N une norme sur E. Remarque: Soit (E, N ) un OC-evn.

,.,

\J.--.

On noteO le réel nul (ou le complexe nul) et aussi 0 le vecteur nul.

à À= O,on déduit N(O) =O.

1) En appliquant (i)

2) Pour tout x de E, en appliquant (iii) à x on déduit alors:

0 = N(O) = N(x et donc N(x )

+ (- x )) ~ N(x) + N (-x) =

N(x)

+ 1-

l lN(x) = 2N(x) ,

~ O.

La condition N(x)

~

0 serait donc superflue dans la définition.

Une norme sur E est souvent notée

li.li : E----+

IR , ou encore

x~ llx ll

11.llE·

S'il n'y a pas de risque d'ambigüité, on note Eau lieu de (E,N). Ces exemples sont fondamentaux. -0 0

Exemples: 1) Les trois normes usuelles sur ocn (dites aussi normes standard sur ocn).

c

Soit n E N*. Considérons, pour tout X = (x1 , ... ,Xn) de ocn, les réels l lx ll 1, l lx l b l lx l loo définis par :

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0 (V)

......

0 N

n

~)xkl,

llxl l1 =

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.._,

llx lloo = Max lxk l· l ~k ~ n

k= I

.s::

Vérifions que les applications 11 .1 11, 11. 1li, 11 . l loo : OC11 ____.,. IR ains i définies sont des normes. Les calculs suivants sont valables pour tous x = (x 1, ... ,xn) ,y = (y 1, . .. ,y,i) de ocn et À de oc.

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n

a) (i)

ll >..x ll 1 =

L

n

l>..xk l = l>..I

k= I

L

lxkl = l>.. I llxl l1

k =I n

(ii)

llxl l1=0

~

L lxkl = 0 ~ (Vk E {l , ... ,n}, lxkl = 0) k= I

~

4

(Vk E {!, ... ,n},

Xk

= 0)

~X= Ü

1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé n

L

llx + Yl l1=

(iii)

k=I

lxk

n

n

n

k=I

k=I

k=I

+ Yk l ,.: _:; L (lxk l + IYk D= L lxk l + L IYkl = llxll1 + llyl l1.

n

(ii) On a vu, dans Algèbre MPSI, que l'inégalité triangulaire pour Il · 112 sur ~n, appelée aussi inégalité de Minkowski, résultait de l'inégalité de Cauchy et Schwarz pour le produit scalaire canonique sur ~ •

llxll2= 0

L

lxkl 2 = 0

(Vk E {l , ... ,n},

k=I llx + yl l2 ,.: .:; llxlli + llylli

lxkl 2= 0)

x

=0

(iii) L'inégalité est acquise pour OC = lR d'après l'étude des produits scalaires (cf. Algèbre MPSI, 10.1.2 Th. 2). Nous allons cependant en donner une preuve élémentaire.

11

n

L

(lxk + Ykl

On retrouve ici l'inégalité de CauchySchwarz dans OC11•

L'implication réciproque, de symbole ;k,/ :>;n

-

2

lxd1Yt l

l :>;k, l :>;n

(lxd1Ytl 2+ lx1 12 1Yd - XkYkXIYl - XtY1XkYk) ~ 0

L l :>;k < l :>;n

L

lxkYt -x1 yd ~ O.

l :>;k ;n

La norme

11.112 est appelée

la norme euclidienne usuelle sur JR"

mitienne usuelle sur

0

= N(x -

y) ,

et, pour exprimer une norme N à partir distance associée d sur E, utiliser :

"' ï5. ë ..c:

d(x,y)

'v'x E E,

N(x) = d(O,x),

(ex. 1.1.2) . • Pour établir une inégalité faisant intervenir une norme (ex. 1.l.10), on pourra essayer d' appliquer judicieusement l'inégalité triangulaire.

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9

Chapitre 1 • Espaces vecto riels no rmés

1.1.1 Trouver toutes les no rmes sur le IR -espace vectoriel IR .

-

1.1.2 Soient E un JK-ev, d : E 2 ~ IR une application telle que, pour tout (x , y, z) de E 3 et tout À de lK : 1) d(y,x) = d (x ,y) 2) d(x, y ) = 0 {:::::::}X= y 3) d(x ,z) ::::.;; d (x ,y) +d (y,z ) 4) d (h ,Ày ) = l)..ld (x ,y) 5 ) d(x + z,y + z) = d(x ,y).

d (x ,y) = N(x - y ).

lR l'application définie par :

,

'v'À

~

IR une application

l~XkYk l: : .; llx llpllY llq (analogue de l'inégalité

de

Cauchy-Schwarz),

(x 1, . . . ,x 11 )

où

JK, N(h + y ) ::::.;; IÀIN(x) + N(y ) .

N(x) = L

1.1.9 Normes de HOlder sur C([a; b],IK) Soient (a ,b) E IR2 te l que a < b , E = C([a; b],JK) , p E]l ; + oo[, q

ak Nk(x ).

a) Montrer :

p

= - -. p -1

V(a ,{3 ) E (IR+)2 ,

1 l af3 ::::.;; - a P + - f3q p

= ['

la

lt

xdk(t) l dt.

k= I

Déterminer une CNS sur (f1, . . . , fp ) pour que N soit une norme sur JRP . 1.1.6 Soient E , F deux JK-ev, 11 .ll F une norme sur F ,

'v' f

ll f llp =

E,

E

(1blf( t )IP dt ) "",

et de même pour 11 .l lq· b) Montrer, pour tout (f,g) de E 2 a)

:

11bf g l::::.;; ll f llpllg llq

Il !+ g ll" : : .; 11! 11" + llgll p· déduire que 11 .llp est une norme sur E , appelée norme de Holder. d) Montrer, pourtout f de E: llfl l ~ llf lloo f3)

c) En

E L ( E , F ), N: E ~ lR x t-----+ 11! (x) 11 F

Trouver une CNS sur f pour que N soit une norme sur E.

(V)

p

(cf. exercice 1.1.8 a)). On note 11.llp : E ~ IR l'application définie par :

par:

f

l lx l loo,

où llx lloo = Max lxk 1 lorsque x = (x i , ... ,xn) .

1.1.5 Soient E = C([O; 1],IR) , p E N*, (f1, ... ,fp) E EP, N: JR P ~ IR l'application définie

:J

-----*

1,;;b :;;n

Montrer que N est une norme sur E.

V(x , , ... ,Xp) E IRP, N (x, , ... ,Xp)

llx llp

p ~+oo

k= I

0

et

llx + Yll p : : .; llx ll p + ll y llp·

f3)

p

c

=x

norme de Holder.

1.1.4 Soient E un JK-ev, p E N*, N1, ... ,Np des normes sur E, (a 1 , ••• ,ap) E JR~ - {(0, ... ,0)}, N : E ~ lR définie par :

"O 0

:

a)

Montrer que N est une norme sur E.

"lx E E ,

P,

c) En déduire que 11 .llp est une norme sur JK11 , appelée

N(x) > 0

E

.!.

n

ll (x1, ... ,Xn) llp = ( [ ; lxk lp)

E lK" ,

d) Montrer, pour tout x de lK" : 2

1

(y , , ... ,yn) = y

2)N(0)= 0 3) V (x ,y) E E

~

1

ab ::::.;; - a P + - bq . p q

et de même pour 11 .llq · b) Montrer, pour tout (x,y) de (lK11 ) 2

1.1.3 Soient E un JK-ev, N : E telle que : 1) V x E E - {0},

On note 11 .llp : JK" 'v'(x1, ... ,Xn)

Montrer qu'il existe une norme unique N sur E telle que : V (x, y) E E 2 ,

V (a ,b) E (IR+) 2 ,

a) Montrer:

.--t

p----> +oo

0 N

1.1. 7 Soient n E N*, a0 On note :

@

. . .

,a 11 E lR deux à deux distincts.

où ll f lloo = Sup lf(t) I. IE[a ;b]

Il

.......

N : 1R11 [X] ~ lR ,

J:: O'l

P t-----+ N (P ) =

L IP (ak) I . k=O

·;::::

>-

0. 0

Montrer que N est une norme sur IR 11 [X] .

u

1.1.8 Normes de HO!der sur JK" Soient n E N*, p E]l ; + oo[, q = _P_

1.1.10 Soient (E ,11.11) un evn, (a ,b) E ( E - {O}) x E, f : lR ~ lR . Montrer que f est convexe (c'est-àt t-----+ llt a + hl1 dire : V (u ,v) E IR2 , VÀ E [0; l], f(Àu + (1 - À)v) : : .; )..j(u)

p - l

l

l

p

q

(donc - + - = 1 ).

10

cf. Analyse MPSI, 5.4. l Déf.) et que :

lim f

'fOO

= + oo.

+ (1 -

À)f(v),

1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé

1.1.2

Boules, sphères Soient (E , 11 -11) un IK-evn et d la distance associée.

Soient a E E, r E JR'+ ; on définit les parties suivantes de E, appelées respectivement boule ouverte, boule fermée, de centre a et de rayon r :

'

._

Remarquer l'inégalité stricte pour la boule ouverte, large pour la boule fermée.

l__

B(a; r)

=

{x E E; d(a,x) < r}

B' (a; r)

=

{x E E; d(a,x) ~ r}.

On appelle aussi sphère de centre a et de rayon r: Remarque :Si E

i=

S(a; r) =

J {x

E

E; d(a ,x ) = r}.

{0},alors,pourtous a ,b de E et r, s de IR+ . on a: B(a ; r) = B(b ; s)

f/J

ou B' (a; r) = B ' (b; s)

Cf.exercice 1.1.11 5) p.13.

{:::::::} { a

=b

r=s

ou S(a; r) = S(b; s)

Ainsi, une boule ouverte (resp. boule fermée, resp. sphère) de E n'a qu'un« centre» et qu'un «rayon».

On peut noter BE(a; r)au lieu de B(a; r) pour éviter des confusions, si plusieurs evn interviennent. Exemples:

Dans IR2 , on peut représenter graphiquement les boules fermées de centre 0 et de rayon l pour les trois normes usuelles :

-1

y

y

y

1

X

0

1

B'

-1

1

0

X

l I , (ü: Il -1

- 1

Exercices 1.1.11à1.1.13.

X

B'

1

(0; 1)

Un exemple de norme sur JR2 , tracé de la boule unité fermée On considère l'application N: JR2 ----+ IR, (x ,y)

r-----+ N(x ,y)

. = Sup lx+ tyl IE IR l +f2

a) Montrer que N est une norme sur IR 2 .

b) Déterminer et tracer, dans JR2 usuel, la boule fermée B~ (0; 1).

11

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

Cot\seils

Solutio"

Ne pas oublier de montrer d'abord l'exis-

a) •Existence

Soit (x ,y) E IR

2

tence de N (x ,y) pour tout (x ,y) E IR

.

2

.

Soit t E IR.

.

S1

.

S1

ltl :S: 1,

lx +ty l ~ lx l + ltllYI ~ lxl + IYI ~ lx l + I I.

alors:

1 + t2

1 + t 2 "'

1 + t2

"'

y

"'

lx +tyl ::;; lx l + ltllYI ::;; lxl + t ~Y I ::;; lxl + lyl. 1 + t2 1+ t2 1+ t 2

ltl

~

1, alors:

Ceci montre :

Vt

. t done 1,app1·1cat10n

~

• (i) On a, pour tout

lx+ t yl 1 + t2

(ii) On a, pour tout (x ,y) E IR2

:

Sup

Ç=:}

:

IÀx + tÀ.y l lx+ tyl = IÀI Sup = 1).. IN (x ,y). 2 J+ l I EIR 1+ f2

t EIR

t ER

~

' d'ou' I'existence . de N( x ,y ) . est bornee,

E IR et tout (x ,y) E IR2

À

N(À(x ,y)) = Sup

N(x ,y)=O

lx + tyl l + 12 :S: lxl + lyl,

IR,

E

V t E IR, x

lx + tyl 1+ l2

lx+ ty l 1+ l2

=Ü ~ V'tE IR,

+ ty = 0

~

(x ,y)

=Ü

= (0,0).

Par exemple, remplacer t par 0 puis remplacer t par 1.

(iii) On a, pour tous (x, y ), (x',y') E IR2 : ,

,

,

,

N((x ,y )+(x ,y))=N(x +x ,y+ y )=Sup

1

(x

+ x ' ) + t (y + y' ) 1 1 + t2

t E IR

~ S

"'

:S: Sup

Jx + tyl 1+ f2

IEIR

up

( lx + tyl lx' +ty'J ) 2 + 2 l +t 1+ t

+

Sup

/ER

lx' + ty'I 1 + f2

I ER

Inégalité triangulaire dans ~ .

= N(x ,y) +

, , N(x ,y ).

Propriété de la borne supérieure d'une somme de deux fonctions.

On conclut : N est une norme sur IR 2 •

b) On a, pour tout (x, y) E IR2 (x ,y)

-0 0

:

E B~ (O ; 1) Ç=:}

:S: 1

N(x ,y)

Définition de la boule unité fermée B ~ (O !).

c

::J

0

Ç=:}

(V)

......

0 N

lx+ t yJ Sup IEIR 1 + t2 Ç=:}

Vt

E

:S:

l

Ç=:}

IR, -1 - t 2

@

.._,

t2

.s::

Ç=:}

Ol

V t E IR,

1

t2

·;::

>0. 0

u 0.

1.1.4

0

u

LJ Ai est bornée. Î= I

•

Voisinages Soient (E , 11- 11) un IK-evn, d la distance associée à 11-11.

Autrement dit, un voisinage de a dans E est une partie de E qui contient au moins une boule ouverte centrée en a.

r

Il

oient a E E, VE l_p(E) ; on dit que V est un voisinage de a (dans E) si et seulement s'il exister E ~~ tel que B(a; r) C V. On note VE(a) (ou V(a)) l'ensemble des voisinages de a (dans E).

14

)

1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé

(i)Toutvoisinagede a contient a (ii) Toute partie contenant un voisinage de a est elle-même un voisinage de a

(i)

VV E VE(a) ,

(ii)

VVE VE(a), VW E

a E V ~(E),

(V C W

==:::}

W E VE(a))

n

(iii) L'intersection d'un nombre fini de voisinages de a est un voisinage de a.

(iii) Vn E N*, VV1, ... , Vn E VE(a),

n

Vi E VE(a).

i=I

Preuve (i) et (ii) : immédiat. (iii) Puisque V. , ... , Vn E Ve(a) , il existe r 1 , ••• ,rn dans lR";. tels que: 'Vi E {l , . .. ,n},

B(a; ri) CV;.

n n

on a r > 0 et B(a; r) =

En notant r = Min ri, l ~;i ~n

B(a; r;)

n n

c

i=I

V;.

i= I

•

Remarques: 1) La propriété (ii) ci-dessus montre que, pour toute famille (V;); Et de voisinage de a,

LJ V; iE I

o'tJJ

est un voisinage de a.

n]-~;~ [=101 neN•

2) L'intersection d'une famille infinie de voisinages de a, peut ne pas être un voisinage de a,

et (0) n'est pas un voisinage de 0 dans IR.

comme le montre

l .......................········· ........ -....

0 , on a:

l ~k ~n

=TI BEk(xk ; r) C TI BEk(xk ; rk ) C TI fh .

n

Ainsi,

TI Q k est un voisinage de chacun de ses points, donc est ouvert.

•

k=I

Remarque: Avec les notations de la proposition précédente, il peut exister des ouverts de E n

' ._

Un ouvert de E1 x E2 n'est pas nécessairement le produit cartésien d'un ouvert de E 1 et d'un ouvert de E1.

qui ne soient pas de la forme

TI Qk. Par exemple, Q =] -

l ; 0[2U]O; 1[2 est un ouvert

k=I

de IR2 et il n'existe pas de couple (Q 1, Q 2 ) de parties de IR tel que Q = Q 1 x Q 2 •

2) Fermés

.. r'J \ Rappel de notation : 1 \...:,..) CE( F) est le complémentaire de F dans E : CE(F) = {x

E

E ; x (j. F ).

Une partie F de E est dite fermée (dans E) si et seulement si CE(F) est une partie ] ouverte de E.

l~_o_n_d_i_t_a_us_s_i_q_u_e_F~e-st_u_n~t-er_m~é-(_d_e_E_)_·~~~~~~~~~~~~~~~----J Exemple:

Toute boule fermée de E est un fermé de E. En effet, pour tout (a ,r) de E x IR'f- et tout x de Ceci montre que

CE (B'(a ; r)) est ouvert, donc 8 1 (a ; r ) est fermé.

'

Remarquer la dissymétrie des propriétés relatives à l'intersection (pour une famille quelconque) et à la réunion (pour une famille finie).

CE(B'(a ; r)), on a:

a

B(x ; d(a,x) - r) C CE(B' (a ; r)) .

(i) 0 et E sont des fermés de E.

(ii) Pour tout ensemble let toute famille (F;)i EI de fermés de E,

n

F; est un

i E/

fermé de E. n

(iii) Pour tout n de N* et tous fermés Fi , . .. , Fn de E,

LJ F; est un fermé de E. i=l

Preuve Tl suffit de passer aux complémentaires dans la proposition analogue sur les ouverts (cf. 1.1.5 1) Prop. 1 p. 16) . Par exemple, schématiquement, pour la propriété (iii) : ("li E {l ,. .. ,n }, Fi fermé){=} ("li E {l ,. .. ,n},CE(Fi) ouvert)

• 17

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

Remarques: 1) La réunion d'une famille infinie de fermés de E peut ne pas être un fermé de E.

LJ

Par exemple, dans IR usuel, pour tout x de ]0, IL {x} est un fermé, mais

'

._.,,,.. • une partie non ouverte n'est pas nécessairement fermée • une partie non fermée n'est pas nécessairement ouverte.

{x}, qui vaut

x E]O; I[

Attention:

]0; l L n'est pas un fermé de IR . 2) Une partie de E peut être à la fois ouverte et fermée, par exemple 0. 3) Une partie de E peut n'être ni ouverte ni fermée, par exemple ]0; l] dans IR usuel.

Exemples: l ) Toute sphère est fermée, puisque:

S(a; r)

2) Tout sing leton est fermé, puisque:

{x } =

=

B'(a; r)

n

n CE ( B(a; r)).

B'(x; r).

rE IR~

3) Toute partie finie est fermée, car réunion d'un nombre fini de si ngletons.

n n

Soient n EN*, (Ek, Nk) 1,;;b :;n des OC -evn, E

g

=

Eh v la norme définie sur Epar :

k= l Cf.l.1.13)b)p.8.

n n

Soit, pour chaque k de {l, . .. ,n},Fk un fermé de Ek. Alors

Fk est un fermé

k=l

de E . Preuve

cE(lJ

Fk)

=

k~ Q k,

où

D1 = (cE (F1)) x 1

E1 x ... x En, ... ,Qn = E1 x ... x En- 1 x CE,,( Fn). Il

D'après 1.1.5 1) Prop. 1 (ii) p. 16, chaque

Q k

est un ouvert de E , et donc

n

aussi; finalement,

•

k=I

c

Qk

k= I

fl Fk est un fermé de E. -0 0

LJ

Remarque:

::J

0 ~

......

0 N

Un fermé de E1 x E1 n'est pas nécessairement le produit cartésien d'un fermé de E 1 et d'un fermé de E1 .

Avec les notations de la proposition précédente, il peut exister des fermés de E qui ne soient n

pas de la forme

fl Fk. Par exemple,F =

{(-1 , -1), (1, l)} est un fermé de IR2 et il n'existe pas

k= I

@ ..._, .s::

de couple (F1 , F2 ) de parties de IR tel que F = F 1 x F2 •

·;::

3) Ouverts et fermés d'une partie d'un K-evn

Ol

>0. 0

u On dit aussi que les ouverts (resp. fermés) de A sont les traces sur A des ouverts (resp.fermés) de E.

Soit A

E

'f3 (E).

(i) On appelle ouvert de A (ou : ouvert relatif de A) toute partie U de A telle qu'il existe un ouvert Q de Etel que U = Q n A. (ii)

On appelle fermé de A (ou: fermé relatif de A) toute partie G de A telle qu'il

l existe un fermé F de Etel que G = 18

F

n A.

1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé

Pour a

E

A et r

E IR'f-,

on note souvent :

BA(a; r )

= BE(a ; r) n A= (x

E

A ; d(a,x) < r};

définition analogue pour B~ (a ; r),SA (a ; r). Les résultats de 1.1.5 1) et 2) restent valables en y remplaçant l'evn E par une partie A de E. Mises en garde:

On prendra garde qu'un ouvert de A peut ne pas être un ouvert de E.

•un fermé de A n'est pas nécessairement un fermé de E.

Par exemple, dans IR usuel, [0; 1[ est un ouvert de [0; l] (car [0; 1[ = ] - l ; 1[n [O; l]), mais [0; l[ n'est pas un ouvert de IR .

1.1.6 '

Remarque:

·un ouvert de A n'est pas nécessairement un ouvert de E.

Bien noter dans cette définition :

._:,,.,,. ·a et f3 sont strictement positifs

Comparaison de normes Soient E un IK-ev, N,N' deux normes sur E. On dit queN est équivalente à N' , et on note N ~ N', si et seulement si :

·a et f3 ne dépendent pas de x

3 (a,{3) E (1~~) 2 , Vx E E,

'(

\.J.....

aN(x) ~ N'(x) ~ f3N(x).

Rappel de définition : une relation est une relation d'équivalence si et seulement si elle est réflexive, symétrique, transitive.

La relation « est équivalente à » est une relation d'équivalence dans l'ensemble des normes sur E. Preuve 1) Réfiexi vité : évidente. 2) Symétrie:

Si N ~ N',ilexiste (a,{3) E (IR'f_)2 tel que: 'v'x E E, aN(x) ~ N ' (x) ~ f3N(x), l l d'où: 'v'x E E, -N'(x) ~ N(x) ~ - N ' (x) , et donc N ~ N ' . f3 a 3) Transitivité :

Si (N ~ N' et N' ~ N " ), il existe (a,{3 ,y,o) E (IR'f_ ) 4 tel que: 'v'x E E ,

d'où: -0 0

'v'x E E,

aN(x) ~ N '(x) ~ f3N(x) { yN' (x) ~ N " (x) ~ oN' (x)'

ayN(x) ~ N " (x) ~ f38N(x) ,

et donc N

~ N" .

•

Exemple

c

::J

Les trois normes usuelles sur ocn (cf. 1.1 .1 p. 4) sont équivalentes car, pour tout

0 (V)

X

......

=

(X1,. . . ,Xn) de JKn :

0 N

Max

@

l ..f) = 1 + (>..J)I = 1 l>..11!' +fi= 1>..1 1 If'+ fi= l>..lv(f) .

l O.

l V f E E , --N(f)

~ v(f) ~ 2N(f), l+e et on conclut : N et v sont des normes équivalentes.

l+e

Un exemple de deux normes non équivalentes On note E Je JR. -espace vectoriel des applications f

: lR. ----+

lR. continues et bornées. On note, pour toute f E E :

N(f) = Sup (e - lxll.f(x) I) ,

v(f)

xelR

= Sup((l -e - lxl) l.f(xl). xeR

a) Montrer que N et v sont des normes sur E.

b) Démontrer que les normes N et v ne sont pas équivalentes.

Conseils

Solution Remarquons d'abord que E est bien un JR. -espace vectoriel.

.f E E , l'application x 1--+ e -lxll.f(x) I est bornée sur JR. , car e - \xi est bornée et .f est bornée, donc N (f) existe.

a) 1) Pour toute

x

1--+

(i) On a, pour tout À E E et toute .f E E :

S'assurer d'abord de l'existence de N(f) pour toute/ E E. On a: \lx E ~. 0 < e- lxl :::=; 1.

N(Àf) = Sup (e - lxl ICV)(x) I) = Sup (IÀ I(e - lx 11f (x)I) xd

xd

IÀI est une constante.

= IÀI Sup(e - x lf(x) I) = IÀ INCJ). 1 1

x elR

(ii) On a, pour toute f

E

E :

N(f) = 0 ~ Sup (e -lxllf(x) I) = 0 ~ V x E JR., e -lxllf(x) I = 0 xelR ~

(iii) On a, pour toutes f ,g

V x E IR, E

f

(x) = 0 ~

f =

0.

E:

N(f + g) = Sup (e - lxll (J + g)(x)I) ~ Sup (e - !xi(If (x) I + lg(x) I)) xd

xd

~ Sup (e - \xi If (x) I) + Sup (e - \xi lg(x) I) xeR

e-lxl ne s'annule en aucun réel.

=

N(f) + N(g) .

Inégalité triangulaire dans ~ et propriété de la borne supérieure. Propriété de la borne supérieure.

xelR

On conclut : N est une norme sur E.

23

Chapitre 1 · Espaces vectoriels normés

Solution

Conseils

2) Pour toute f E E, l'application x t----+ (1 - e - lxl) If (x) 1est bornée sur IR, car

S'assurer d'abord de l'existence de v(f) pour toute / E E. On a:

x t----+ 1 - e - lxl est bornée et/ est bornée, donc v(f) existe. (i ) Comme en 1 ), on a :

\lx E IR, 0 =::;; 1 - e-lxl < 1.

V À E IR, V f E E, v(J..f) = IJ..lv(f). (ii) Soit f E E telle que v(f) = O. On a alors: VxeIR, (1-e-lxl)l/(x)i= O, d'où:

1 - e-lxl ne s'annule qu'en O.

VxeIR*, f(x)=O.

Comme de plus f est continue en 0, on conc lut : f = O. (iii) Comme en I ), on montre :

V g E E , v(f

+ g)

~

v(f)

+ v(g).

On conclut : v est une norme sur E. b) Considérons, pour tout n EN*:

f,,: IR~ IR, x t----+ f,,(x) = e-nlxl. Il est clair que:

Pour tout 11

Vn EN*, f,, E E .

E

N*, J,, est continue et bornée.

Calculons N(f,,) et v(f,,) pour tout n EN*. Cette borne supérieure est atteinte pour X =0.

1) On a: N(f,,)

= Sup(e-lxle-11lxl)

= Supe- Un =0)}.

-

A, A, Fr (A).

Déterminer

0

~

Montrer F = 0, E étant muni d'une norme quelconque.

1.1.8

Distance d'un point à une partie non vide d'un evn Soient ( E, 11 -11) un IK -evn, d la distance associée à 11 -11-

L'ensemble {d(x ,a); a E A} est une partie non vide de IR, minorée par 0, donc admet une borne inférieure.

Soient x E E , A une partie non vide de E ; on appelle distance de x à A le réel, noté d(x,A), défini par: d(x,A)

L

=

Inf d(x,a).

aEA

Remarque: Il se peut que d(x,A) ne soit pas« atteinte », c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'élément a de A tel qued(x, A) =d(x ,a) ;exemple:dans !R usuel, A= [O; 1[, x = 2. En particulier:

x E A

=}

d(x ,A) =O.

Mais la réciproque est fausse.

Soient XE

E

et A une partie non vide de

E;

on a:

d(x,A)

~0

=

x E A.

J

Preuve 1) Supposons d(x , A) =O. Soit V E VE(x) ; il existe r E

IR+ tel que

B(x ; r) C V, puis, comme

d(x,A) = 0 < r, il existe a E A tel que d(x ,a) < r. On a alors: a E B(x ; r) C V et a E A, donc V

n Ai- 0

. Ceci prouve: 'v'V

E

2) Réciproquement, supposons x E

VE(X) , V

n Ai- 0,

A. Soit s

> 0 ; on a: B(x ; s)

Tl existe donc a E A tel que d(x ,a) < s; d'où Ainsi:

Vs > 0,

0

~ d(x,A)

< s,

d(x,A)

et donc:

et donc (cf. 1.1.7 Prop. 2 p. 27), XE A.

~

n Ai- 0 (cf. 1.1.7 Prop.2 p. 27).

d(x ,a) < s.

d(x ,A) =O.

•

Exercices 1.1.31 .

29

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

Cette définition est licite car l'ensemble {d(a,b); (a,b)E A x 8) est une partie non vide de IR, minorée par 0, donc admet une borne inférieure.

Soient A, B deux parties non vides de E ; on appelle distance entre A et B le réel, noté d(A,B) , défini par: d(A,B) = Inf d(a,b). (a ,b) EA xB

En particulier, pour tout x de E et toute partie non vide A de E:

d(x,A)

~

d({x},A)J

Remarques: 1) L'application ('f}(E) - {0 )) 2 ~ IR peut ne pas être une distance (cf.1.1.1 2) Rem. p. 7) sur

(A , B) t---+ d(A ,B) l'ensemble 'f}(E) - {0 }. En effet, il se peut que :d(A ,B) = 0 et A

=f. B; exemple:

dans IR usuel, A= IR_ , B = IR+ . De plus, il se peut que: d(A,C) > d(A,B) +d(B ,C) exemple: dans IR usuel, A =] - oo; -1], B =] - 2; 2[, C = [l; +oo[. 2) Il se peut que :An B = 0 et d(A ,B) = 0 ;exemple :dans IR usuel, A= [-1; 0[,B =]0; l].

Exercices 1.1.32, 1.1.33.

Les méthodes à retenir Distance d'un point à une partie non vide d'un evn • Utiliser essentiellement l'inégalité triangulaire : V (a,b ,c) E E ,

~

d(a,c)

d(a ,b)

+ d(b ,c)

et la définition de la distance d'un point à une partie non vide A de E : d(x ,A) = Inf d(x,a). aEA

• En particulier, avec les notations ci-dessus : Va E A,

et, pour tout réel k

~

~

d(x,A)

d(x,a)

0 : (Va E A,

k ~ d(x,a))

===}

k ~ d(x , A).

-0 0

c

::J

0 (V)

......

0 N

Exercices

--

@ ..._, .s::

1.1.31

Ol

·;::

E , dA:

>0.

Soient E un evn, A,B deux parties non vides de E ~ IR , dB de même. x t---+ d(x ,A)

0

u

Montrer:

dA =dB{=? A= B.

1.1.32 Soient E un evn, A, B deux parties non vides et bornées de E. Montrer : diam (AU B)

30

~

diam (A)+ diam (B) + d(A, B).

1.1.33

Soient E un evn, A ,B deux parties non vides de

E, C, D deux parties de E telles que : A C C CA et B

c

D

c B. Montrer:

d(C,D) = d(A,B).

1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé

1.1.9

Suites dans un evn Nous allons généraliser ici certains résultats relatifs aux suites numériques (cf. Analyse MPSI, 3.1). Soient ( E, 11 -11) un evn, d la distance associée à 11 -11 Une suite dans E est une appl.ication de N dans E , souvent notée (u 11 ) 11 eN (ou (u 11 ) 11 ;;,0 , ou (u11 )n) au lieu de u : N -----+ E. On appelle aussi suite dans E toute application de {n EN; n ~ n 0 } dans n~u(n)

E, où no E N est fixé ; la plupart des notions étudiées ici ne feront intervenir les un qu'à « partir d'un certain rang ».

1) Convergence, divergence

..

1) On dit qu'une suite (un)nE N dans E converge vers un élément l de E si et seulement si: 'v's > 0, 3N EN, 'v'n EN,

(n

~

N

=> d(un,l)

~

s).

2) On dit qu'une suite (un)nEN dans E converge (dans E) si et seulement s'il existe l E Etel que (u 11 )nEN converge vers l, c'est-à-dire :

31 E E, 'v's > 0, 3N EN, 'v'n EN,

(n ~ N

=> d(un,l)

~

s).

3) On dit qu'une suite (un)nEN dans E diverge si et seulement si (un)nE N ne converge pas, c'est-à-dire :

'v'l E E, 3 s > 0, 'v' NE N, 3n EN,

Méthode : pour montrer qu'une suite (un )neN converge vers l dans E, on peut essayer de montrer que la suite (d(un - l)) 11 eN converge vers 0 dans IR.

{

n ~ N d(un,l) > s

Remarque : (u,,)neN converge vers l si et seulement si la suite numérique (d(u 11 ,l))ne N converge vers O.

Unicité de la limite, si elle existe

Si une suite (un)nE N dans E converge vers /1 et converge vers /2, alors 11 = l2.

Q

Preuve Raisonnement par l'absurde.

Supposons que (u 11 )neN converge vers l 1 et converge vers / 2, et que / 1 # 12 . Notons s

-0 0

l

= "3d (l 1,/2)

> 0. Il existe N 1, N 2 E N tels que :

c

::J

Vn EN, { Vn EN,

0 (V)

......

0 N

En notant N = Max(N 1, N2 ), on a :

@ ..._, .s::

d'où

Ol

·;::

>0.

(n ~Ni

===:}

d(u 11 ,l1) ~ s)

(n ~ N1

===:}

d(u 11 ,l2) ~ s).

d(uN ,11) ~ S { d(uN , l2) ~s'

d(/ 1,/ 2 )::;:; d(/ 1,uN) +d(u N, 12) ::;:; 2s < d(/ 1,l 2 ), contradiction.

•

La proposition précédente montre qu'on peut utiliser un symbole fonctionnel : si (u 11 )n eN converge vers l, on dit que l est la limite de (u 11 )ne N, et on note l = lim Un (ou l = lim Un) noo 11-> + oo ou Un-----+ l (ou u,, -----+ /). noo 11->+oo

0

u

Autrement dit, on ne change pas la nature d'une suite (convergence, divergence) si on modifie ses termes jusqu'à un indice fixé.

Remarque : Si deux suites coïncident à partir d'un certain rang, alors elles sont de même nature, c'est-à-dire que la convergence de l'une entraîne la convergence de l'autre et réciproquement.

31

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

La convergence d'une suite dans un produit cartésien d'un nombre fini d'evn revient à la convergence de chacune des suites composantes.

'QM.I.f1Dt !rfl

Suites à valeurs dans un produit fini d'evn

0

n N

Soient NE N*,

E1 , ... ,EN

des JK-evn, (x11)11EN une suite dans

Ek,

k=I N

l En Ek; notons, pour chaque n de N, (XJ,71,. .. ,XN,n) = Xn et (/1, ... ,LN)= l. k=I

On a alors:

l-

Xn -----+ l {::::::::} (vk E { 1,. . ., N}, Xk n -----+ 1k) . noo ' noo

Preuve Il suffit de remarquer : llxn -11 loo

=

•

Max llxk ,n - lk ll -

1,;;;k,;;;n

2) Propriétés des suites convergentes

i'

Attention : la réciproque est fausse : \ il existe des suites bornées divergentes; .... par exemple, ((-1 )")n eN dans lR

~

11

)

Toute suite convergente est bornée.

usuel.

-------Preuve

Supposons Un---+ l ; il existe NE N tel que:

Vn E N,

(n

~

N

1100

On a donc, pour tout n de N tel que n

~

===}

d(u 11 ,l) ,,:;; l).

N :

llunll,,:;; llun -111+111 11,,:;; l+lllll.

= Max(ll uoll,. .. ,lluNll.

En notant M

1+1111 1), on conclut:

Vn E N, lun l,,:;; M.

•

Propriétés algébriques des suites convergentes

Soient (un)nE N,(vn)nEN deux suites dans E, ()..n)nEN une suite dans JK, l ,/ 1 E E,À E lK. On a: 1) Un -----+ l

==::::}

1100

2) u11 -----+ 1100

"O 0

3)

c

::J

l lun 11 -----+ 11111 1100

o {::::::::} 11 un 11 -----+ o noo

Un -----+ f noo l' Vn-----+

l

==::::}

Un

+ Vn -----+ l + l' noo

1100

0 (V)

......

4)

0 N

À 11 -----+ 1100

0

}

(vn)n

bornée

(Àn)n

bornée }

-----+ noo

0

Àn Vn -----+ noo

0

==::::} À 11 v11

@

.._,

.s::

5) V -----+ 0

Ol

n

·;::

>0. 0

u

6)

1100

Àn-----+ À noo l' Vn-----+ noo

==::::}

l

==::::}

Àn Vn -----+ Àl noo

1 •

Preuve 1) Résulte de 2) Immédiat.

32

Vn EN,

lllunll - llllli , :; llun -/Il.

1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé

3) Soit

&

> 0; il existe N,N' EN tels que:

On peut aussi se ramener à des suites numériques: ll(u11

+ v,.) -

(/

+ l')ll

~

En notant N 0

u 11

/' Il~

ll vn -

===}

2)

= Max(N,N'), on a alors:

'Vn EN,

Donc :

llun - /Il ~ 2~

===}

[ 'Vn E N,(n ~ N'

ll un - /Il+ llvn - /'Il et appliquer le théorème d'addition et le théorème d'encadrement vus dans Analyse MPSI.

c

Vn E N,(n ~ N

ll Cu11 +v,,)- (l

(n ~ No===}

1

llu11 -lll + llvn - l

+l )Il~

1

c

c

11~2+2

= c).

+ Vn ----+ l + l' . noo

4) Il existe M

E

IR+ tel que :

'Vn EN,

Soit & > 0 ; il existe N E N tel que : Alors: Vn EN, (n

~

N

===}

llvnll

~ M.

'Vn EN,

(

ll>..11vn ll = l>..n l ll vn ll

l>..111 ~

_&_) · M+l

n

~N

~

c - - M ~ &), et donc À11V11----+ O. M +1 1100

===}

5) Preuve analogue à celle de 4 ).

6) Notons, pour tout n de N : et11

= À11 -

w 11

=v

(cf 3)). On a:

=(À+ a 11 )(l +

w 11 )

=

Vn ----+

0.

D'après 5):

Vn EN,

1100

et

1

d'après 4) :

ÀWn----+ Ü;

On déduit (cf 3)):

Caractérisation séquentielle des éléments de l'adhérence.

À 11 v11

À

Ctn

noo

l' , de sorte que et11 ----+ 0 et

11 -

noo

>..L'

w 11 ----+ noo

0

+ Àw11 + a 11 v11 •

•

>..11 v11 ----+ M'.

noo

Caractérisation de l'adhérence en termes de suites

Soient x E E, A E l.lJ (E). Pour que x E A, il faut et il suffit qu'il existe une suite d'éléments de A convergeant vers x.

Preuve 1) Supposons x E

A. Pour chaque n de N*, B

(x; ~) n

A

=f. 0

; il existe donc une suite (a11 )nEN*

1 N*, d (x ,a11 ) < - ) , donc convergeant vers x . n 2) Réciproquement, supposons qu'il existe une suite (a11 )n EN d'éléments de A convergeant vers x, et soit V E VE(x). Il exister > 0 tel que B(x; r) C V ; puis il existe N E N tel que:

d'éléments de A telle que ('Vn

E

'Vn EN, (n ~ N

-0 0

c

En particulier:

::J

0

Ainsi:

(V)

......

VV

GN+ I E

B(x ; r)

c

E VE(x), V

n A =/=

0,

===}

d(an,x) ~

V. Ceci montreV

n

A

r

2
2p

/>t-->2p+ 1

• On appelle extractrice toute application a : N ----+ N strictement croissante.

pt-> p2

•Etant donné une suite (un)nEN dans E, on appelle suite extraite de (un)n EN· toute suite (ua (n) )nEN où a est une extractrice.

33

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

\JJ

Remarques: Preuve immédiate, par récurrence sur n.

1) Pour toute extractrice a, on a :

2) Si

'Vn E N,

a, r sont des extractrices, alors r

o

a (n) ? n.

a est une extractrice.

Donc toute suite extraite d'une suite extraite de (u,,)n eN est elle-même extraite de (u,, )n eN·

~

Propriété très utile en pratique.

Si une suite (un)neN dans E converge vers un élément l de E, alors toute suite extraite de (un)nEN converge aussi vers /. Preuve Supposons u 11 --+ l, et soit a une extractrice. 1100

Soit e > O. Il existe N E N tel que : 'Vn E N,

On a alors:

'Vn EN, (n ? N

(n ? N

==> a(n)

==> d(u,,,l)

? a(N) ? N

::( e).

==> d(ua(n),l)

::( e) ,

•

et donc Ua(n) --+ l. noo

Si une suite (u,, ),, admet deux suites extraites ayant des limites différentes, alors (11 11 ) 11 diverge.

~

Propriété très utile en pratique.

Remarque: La contraposée de la Proposition 1 précédente permet de montrer que certaines suites divergent. Par exemple, dans IR usuel ((- 1)"),, eN• diverge, puisque les suites extraites formées des termes d'indices pairs et d'indices impairs convergent vers des limites différentes, 1 et - 1.

Soient (un)n EN une suite dans E , l

E

E.

Pour que (un)nEN converge vers /, il faut et il suffit que (u2n )n EN et (u2n+ 1) n EN convergent toutes deux vers /. Preuve • Un sens résulte de la Prop. 1. •Réciproquement, supposons U2n----+ let u2n+ I ----+ l . noo

noo

Soit E > 0 ; il existe N1 ,N2 EN tels que: 'V p E N, { 'V p EN,

-0 0

h

~ .-t 0 N

Tout entier est pair ou impair.

==> d(u2p+ 1,l)

::( e) ::( e)

Dans le premier cas (n = 2p) , on a 2p ? 2Ni, donc p ? N 1, d'où d(u,, ,l) Dans

le

second

d(u,,,l)

·;::

Ceci montre :

>0.

==> d(u2p,l)

(p ? N2

Notons N = Max(2N 1 ,2N2 + 1) et soit n E N tel que n ? N. Tl existe p E N tel que n = 2p ou n = 2p + 1.

@ ..._, .s::

Ol

(p ? N1

(n = 2p

cas

= d(u2p+1,l)

::(

+ 1),

on

a

2p

+1?

2N2 + 1

= d(u 2 p,l) donc

::( e .

p ? N 2,

d'où

€.

•

u,,--+ l. noo

0

u

Soient (un)nEN une suite dans E, a

E

E.

On dit que a est valeur d'adhérence de (un)nEN si et seulement s'il existe une extractrice a telle que Ua(n) ----+ a. noo

34

1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé

Remarque: D'après la Prop. 1, toute suite ayant au moins deux valeurs d'adhérence distinctes est divergente.

Un exemple de suite ayant deux limites différentes suivant deux normes On note E le IR -espace vectoriel IR[X]. N

a) Montrer que les applications N 0 , Ni : E -------* IR , définies, pour tout P =

LaX 11

11

E E

par :

11= 0

~ ~ L 2 11'

N, (P ) =

o

ll = Û

sont des normes sur E . b) Montrer :

l

X" -;;;;; 0 dans (E ,No) X" -------* l 1100

dans

( E,N1 ).

Les normes No et Ni sont-elles équivalentes ?

Solution

Conseils

a) D'abord, il e st clair que, pour tout P E E, N0 (P) et N 1(P) existent.

Les sommations définissant No( P) et N i (P) ne portent que sur un nombre fini de termes.

N

1 ) (i) On a, pour tout À E IR et tout P

L:aX

=

11

E E:

11

n=O

N

(ii) On a, pour tout p =

LanX"

E E :

n=O

N 0 (P) = 0

{=}

~ lanl = 0 L n=O

2"

Vn

{=}

N

(iii) On a, pour tous P

+

Q) =

a11 X 11 , Q =

P =O.

11

11

E

On peut indexer les deux sommations de 0 à N, où N est un entier naturel tel que :

E :

11=0

N ~ deg( P )

et

N ~ deg (Q) .

11

n= O

=

LbX

~ la11 + b,. I ~ ~ lanI + lb I L

o

{=}

N

=L 11=0

N, (P

{O, ... ,N}, a11 = 0

E

2"

"' Ln= O

2"

~ ~ +~ ~ = N,0 (P ) + N,0 (Q). L2n L 2n

n= O

n= O

On conclut : N0 est une norme sur E. N

2 ) (i) On a, pour tout À E IR et tout P =

LaX 11

11

E E :

n=O

35

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

Conseils

Solution N

(ii) On a, pour tout p

=

Lan X" 11=0

E

E :

I~

~a,,

Ni(P)=O {::::::}

1

~lan l =0 +;SJ2n

N

{::::::} l.:a 11 = 0

et \ln

E

{l , ... ,n}, a 11 = 0

n=O

{::::::} V n E {0, ... , n}, a11 (iii) On a, pour tous p =

=0

N

N

n=O

ll=Û

{::::::} P

= O.

L anX", Q = L b11X" :

~la11+h11I + Q) = ~ ~(a,, +b,,) + ;SJ 211

I

Ni(P

1

lan 1

Ibn I

~ ~a,. + ~b,, +~ln+~ ln = Ni(P) + Ni(Q). N

1

1 N

1

N

N

1

On conclut : N i est une norme sur E. n

1

b) • N0 (X) = -

2n

---+ 0,donc X" ---+ 0 dans (E,N0 ). nOO

nOO

•Pour n ;?! 1 :

Ni(X11 - 1) =

11 -

1 1 l i+ - 11 = - 11 ---+ 0 ,

2

2

1100

donc X" ---+ 1 dans (E ,N 1). 1100

Si les normes N0 et Ni étaient équivalentes, comme No(X") ---+ 0, on aurait aussi

Raisonnement par l'absurde.

1100

11

Ni (X

---+ 0, donc X

)

11

---+ 0 dans (E, Ni) , contradiction avec X

1100

11

1100

---+ 1 dans 1100

(E,N1).

Unicité de la limite.

On conclut que les normes N 0 et Ni ne sont pas équivalentes.

4) Exemples de méthodes d'accélération de convergence

-0 0

c

Soit (un ) 11 eN une suite réelle convergeant vers un réel l.

::J

0

Supposons que U n

(V)

-

e admette un développement asymptotique de la forme :

......

0 N

Un -

e=

Àk11

+

O(k"'),

@

où

À,

k, k' sont des réels non nul s fixés te ls que : lk' I < lkl

< l.

Méthode de Richardson Remarquer que, puisque k' est fixé non nul:

kO(k")

= O(k") = O(k"'),

O(k 111 +i) = O(k' k 1 " ) = O (k 111 )

On a : u +i - ku,, - - - - e= 11

1- k

(u 11 +i - f,) - k(u 11

-

f,)

--------

1 -k

(u +i + O(k +i )) - k(U" + O (k'")) -------------- = 11

111

1-k

36

O(k"') .

1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé

Notons, pour tout n

Alors,

f, = Àk

U11 -

converge vers .f. plus rapidement que (u,,)11 EN, puisque :

(v,,),,Ew 11

N* :

E

+ O(k"' ),

V 11 -

lk'I

f, = O(k'" ),

lkl
-

0. 0

u

u,,

~

.Jj r::·

noo .yn

Ainsi, (u 11 ) 11 converge lentement vers O.

38

1 n

F,; + -.

la suite réelle définie par u 1 E lR+ et:

u,,

J:: O'l

.

O.

b) On note, pour tout n E N : V,,= 2·

@

c 2" e 0 (211 )

(On pourra utiliser la notion de série, cf. chapitre 4.)

Vn E N, Un+I = sin u,,.

:J

= u~ e - u.

a) Montrer : u 11 ~ O.

211--1 •

Convergence lente

O n considère la suite réelle

0

définie par uo = 1 et :

b) Montrer qu'il existe C E ]O; 1[ tel que :

Vn

c

(u,.),.~o

noo

b) Montrer :

-0 0

On considère la suite réelle

+ u,,).

a) Montrer que (un)n ~o converge vers un réel l.

1.1.35

Conver gence rapide

n

a) Mo ntrer : Un

~

+

1 2· n

O.

1100

b) Établir :

u,, ~ 2 . 1100 n

c) Former un développement asymptotique de Un à la pré-

cision

0(:3)

lorsque l'entier n tend vers l'infi ni.

1.2 • Limites, continuité

1.2 Limites, continuité 1.2.1

Limites Soient (E,11-ll E), (F, ll -llF) deux IK-evn, dE (resp. dF) la distance associée à 11 -llE (resp. 11 .llF).

,...,

Soient XE

Rappel de notation :

\JJ X désigne l'adhérence de X dans E.

~(E),

a EX,

f:

X-----+ F, l E F.

On dit que f admet l pour limite en a si et seulement si : Vt: > 0, 37] > 0, Vx EX ,

~ T] ~

(dE(x ,a)

dFCf(x) ,l)

~

8) ,

ce qui revient à : '(

\J.._.

Rappel de notation :

VW

E

VF(l), 3V

E

VE(a), Vx

EX

n V,

f(x)

E

W.

VE(a) désigne l'ensemble des voisinages de a dans E.

On généralise aisément cette définition au cas de l'infini : •Si f : [a; +oo[--+ F (où a E IR) et l E F , on dit que f admet l pour limite en +oo si et seulement si: \fr > 0 , 3A > 0 , "lx E [a; +oo[,

• Si f : E ---+ F et l et seulement si :

E F,

(x

~ A===:} dFCf(x) ,l) ~ s ).

on dit que f (x) admet l pour limite quand llx 11 E tend vers +oo si

Vs > 0, 3A > 0, "lx E E,

(l lx ll E

~ A===:} dF(f(x) ,l) ~

s).

•Si XE ~(E) , a E X,f : X---+ IR, on dit quef admet +oo pour limite en a si et seulement si: VA > 0 , 317 > 0, "lx EX ,

(dE(x ,a)

~

1'/ ===:} f(x)

~ A).

Définitions analogues pour -OO.

Unicité de la limite, si elle existe Si f admet l et l' pour limites en a, alors l

= l'.

Preuve Raisonnons par l'absurde : supposons que f admette l et l ' pour limites en a, et que l ':l l ' . li existe alors W E VF(l) et W' E VF(l ' ) tels que W n W' = 0 . Puis il existe V E VE(a) et V ' E VE(a) tels que:

"O 0

c

::J

Vx E X { "lx E X

0 (V)

......

0 N

n V, f (x) E w n V', f (x) E W'.

Comme V n V' E VE(a) et que a EX, il existe x 0 EX tel que x0 EV n V'. On a alors f(x 0 ) E W n W ' = 0, contradiction .

@ .j,,,J

.s::

Ol

La proposition précédente montre qu'on peut utiliser un symbole fonctionnel : si f admet l pour limite en a, on dit quel est la limite def en a , et on note l = lim f (x), ou l = lim f, ouf (x)---+ l, ouf__.,, l .

·;::

>0. 0

u

-

x~a

Attention: la réciproque est fausse; une fonction peut être bornée sans être continue, comme le montre l'exemple de la fonction caractéristique de Q dans lR : XQ : lR ~ JR, ] si XE Q X f----+ { 0 Si Xi, Q .

a

x--+a

a

Sif: X-----+ F admet une limite finie en a (a EX), alorsf est bornée au voisinage de a, c'est-à-dire :

l

3V

E

VE(a), 3C

E

lR+, Vx

EX

n V, llf(x)llF

~ C. 39

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

Preuve Il existe V

tel que:

E V e (a)

ll f(x) llP

V XE X, (x EV===} d p(f(x),l) ~ l ===}

Q

~

111 11,, + l).

•

---Utilisation de suites pour traduire une limite de fonction

Caractérisation séquentielle d'une limite.

Pour que/ : X ----+ F admette l pour limite en a(a E X), il faut et il suffit que: pour toute suite (un)nEN dans X telle que Un----+ a, on af(un)----+ l. noo

noo

J

.

Preuve 1) Supposons que f admette l pour limite en a, et soit (un )nEN une suite dans X telle que Un -----+ a. noo

Soit W E VF(l) ; il existe V E VE(a) tel que: 'Vx EX n V,f(x) E W. Puis il existe N E N tel que : On a alors:

Vn E N ,

(n

Vn E N , ~

(n

~

N ===}Un EX

N ===} Un E V).

n V===}

f(u n ) E W) ,

et donc f (un)-----+ l. noo

La contraposée d'une implication p ==> q est l'implication

2) Montrons la réciproque par contraposition. Supposons que f n'admette pas I pour limite en a, c'est-à-

dire:

(Non q) ==>(Non p).

Non(vw E VF(l),

3V E VE(a ) , 'Vx EX ,

Il existe donc W E VF(l) tel que:

Considérons, pour tout n de N* , V11 On a donc:

'Vn E N*, 3u11 E X,

(x EV===} f(x) E

'VV E VE(a), 3x E X ,

=

BE

W)).

(x E V et f (x) fj W).

(a; ~) .

(u 11 E V11 etf(u 11 ) fj W).

On voit alors que la suite (un)n EN dans X ainsi construite satisfait: Un-----+ a noo

•

et f(u 11 )-f-* l . 1100

Limite suivant une partie

Soient X ,Y E 'lJ(E) telles que Y C X, a E Y,

f:

X----+ F, l E F.

On dit que f admet l pour limite en a suivant Y si et seulement si la restriction

fi Y def à

-0 0

c

Y admet l pour limite en a.

f

On note alors :

::J

(x) ----+ l.

0

x-+a xeY

(V)

......

0 N

Un cas particulier fréquent est Y = X - {a}. Si a est un point adhérent à X dans E tel que a rt X, on dit que/ admet l pour limite stricte en a si et seulement si/ admet l pour limite en a suivant X - {a}, c'est-à-dire :

@ ..._, .s::

Ol

·;::

>0. 0

u

'v'W E VF(l), 3V E VE(X),'v'x EX , ( { :

On note alors

f

(x)

~ x ~a

x =faa

40

l.

~~

===}

f(x) E

w).

1.2 · Limites, continuité

L'étude de la limite d'une fonction à valeurs dans un produit cartésien d'un nombre fini de facteurs se ramène à celle des fonctions composantes.

Cas des fonctions à valeurs dans un produit d'evn

n n

Soient n EN*, E, F1 , ... .Fn des IK.-evn, XE ~(E), a EX,

f:

X-+

Fk.

k= l

n n

l = (/1,. .. Jn) E

Fk. Pour chaque k de {l, ... ,n}, on note fk = prk o f,

k=l

où prk : F -----+ Fk

est la kème projection.

(y1,. .. ,yn)~Yk

On a:

f-----+ l a

{==::::}

(Vk E {l, ... ,n},fk-----+ lk). a

Preuve

rr n

Fk est ici muni de la norme

V

définie par :

k=l

où Nk est la norme de Fk (cf. 1.1.1 3) b) p. 8). On a alors, pour tout x

=

(x i , . .. ,xn) de X et touts > 0:

v(f(x) -1)

~

s

(vk

E

{l,. .. ,n},

Nk(fk(x) - lk)

~

s ).

Le résultat s'en déduit aisément.

•

Théorème d'encadrement pour les fonctions à valeurs dans ~ --...,

~

Soient XE

~(E) ,

a EX, f, g, h:

X-----+~.

Si { f eth admettent l pour limite en a 3V E VE(a), Vx EX n V , f (x) ~ g(x)

Résultat important pour la pratique.

l E

~

~.

I'

h(x)

alors g admet l pour limite en a.

Preuve

Soit s > 0; il existe V1 , V2 En notant V3

=

V

E VE(a)

n Vi n V2 'Vx E X

-0 0

tels que:

E VE(a),

n V3,

Vx EXnVi, { Vx EX n Vi,

lf(x) lh (x) -

li ~

li ~

s s ·

on a:

l - s ~ f (x) ~ g(x) ~ h(x) ~ l

+ s,

•

ce qui prouve :

c

::J

0 (V)

......

Composition des limites

0 N

Soient E , F,G trois evn, XE ~(E), Y E ~(F), a EX, b E Y,

@

D >- . o. 0

u

On a ici noté, abusivement : g o f X-)- G

:

f:

X-----+ F, g: Y-----+ G telles quef(X) C Y , l E G.

XI-> g(/(x))

. { SI

f

admet b pour limite en a 1 . . b , alors g o g ad met l pour 1umte en

f

.

.

admet l pour hm1te en a.

Preuve

Soit W E VG (l). JI existe V E VF(b) tel que: Puis il existe U E V E(a) tel que: On a alors:

'Vx E X

'Vy E Y n V ,

'Vx EX n U,

n U , g(f (x))

g(y) E W.

f(x) EV.

E W.

41

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

MiiillliiilllilillilWIML'P ropriétés algébriques des fonctions admettant des limites

Soient X

!fJ (E) , a

E

E

X , f,g : X -----+ F ,À: X -----+ JK, / , l 1

E

F, a

E

lK .

On a:

l) f (x) -----+ l ===> 11/(x )l lF-----+ 11111 x--+a

x--+a

2)f(x)-----+ 0 ===> 11 /(x)ll F-----+ 0

l

x--+ a

3)

f -----+ l a l' g-----+

x--+a

==> f+g----+ l+l' a

a

4) À

7

°

g bornée au voisinage de a À

}===>

bornée au voisinage de a }

5) g -----+ 0 a

6) À -----+ a a L' g -----+

l

a

===>

Àg -----+ 0 a

Àg

7

0

==>f..g----+ al'. a

Preuve On peut se ramener aux propriétés algébriques des suites convergentes (1.1.9 2) Prop. 2 p. 32) grâce à la Prop. 3 de 1.2.1 p. 40. On peut aussi donner un preuve « directe »; par exemple, pour la propriété 4) : Par hypothèse, il existe V E VE(a ) et M E IR+ tels que: Soit E > 0 ; il existe Vi

E VE(a )

tel que:

\lx E X

V x E X n V , llg(x)ll F ~

n Vi , IÀ(x)I

~

M.

E

- -. M+ l

On a alors, en notant V2 = V n Vi E VE(a) : Vx E X

ce qui prouve :

1.2.2

Àg -----+ a

n Vi,

ll(Àg)(x) ll F = IÀI llg(x) llF

~

E

--M M+ l

~

e,

•

O.

Continuité Soient (E,11-llE),(F,11 -ll F) deux IK-evn, dE (resp. dF) la distance associée à 11- llE (resp. 11-llF).

"'O 0

c

1) Continuité en un point

:J

0 (V)

.--t

0 N

Soient X ment si:

@ .......

J:: O'l

E

!fJ (E) , f : X -----+ F, a

E

X. On dit que f est continue en a si et seule-

'v'W E VF(f(a )) , 3V E VE (a) , 'v'x EX

·;::::

>-

0. 0

n V,

f (x ) E W ,

ce qui revient à :

u

'v't: > 0, 317 > 0, 'v'x

E

X,

(dE(x ,a)

~ 1J

===> dF(f(x ), f(a))

~

t:) .

On dit que f est discontinue en a si et seulement si f n'est pas continue en a. Les cinq propositions suivantes sont immédiates. 42

1.2 · Limites, continuité

l

Soient X E s;p (E) , f : X -----+ F , a E X. Pour que f soit continue en a, il faut et il suffit quefadmettef(a) pour limite en a.

Si f est continue en a, alors f est bornée au voisinage de a. Utilisation de suites pour traduire la continuité en un point

Pour quef: X -----+ F soit continue en a (a EX) , il faut et il suffit que

Caractérisation séquentielle de la continuité en un point.

pour toute suite (un)n eN dans X telle que Un-----+ a , on a noo

La continuité d'une fonction à valeurs dans un produit cartésien d'un nombre fini de facteurs se ramène à celles des fonctions composantes.

1 \ Ici, nFk est muni de la norme \Jj

f

(un)-----+ noo

f

~ ­

(a).

Cas des fonctions à valeurs dans un produit d'evn

n n

Soient XE s;p(E), a E X,n EN*, F1, ... ,Fn des IK.-evn, f: X-----+

Fk

pour

k=I

Il

chaque k de {l,. .. ,n}, notonsfk = prk o f où prk est la kème projection.

V

k= I

définie par

On a alors : (f est continue en a)

0. 0

u

Les implications (ii) ~ (i) et (iii) ~ (i) ne sont pas au programme.

Soient X E s;p(E),f: X-----+ F. Les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes : (i)

f est continue

(ii)

L'image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de X

(iii)

L'image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de X.

43

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

Preuve (i) ===? (ii)

Supposons l continue, et soit Q un ouvert de F. Montrons que l- 1 (Q) est un ouvert de X en montrant que l- 1 (Q ) est un voisinage de chacun de ses points dans X (cf. 1.1.5 1) Déf. p. 15). Soit a E l - 1 (!1) . Puisquel(a) E

Q

etque Q est un ouvert de F , ona:

Q E VF(f (a)).

Comme lest continue en a, il existe V E V E(a) tel que : Vx E X n V , l(x) E Q , c'est-à-dire tel que: xn V c l- 1 (!1 ). Ceci montre que l- 1 (Q) est un voisinage de a dans X (cf. l. l.4 Prop. 1 (ii) p. 15). (ii) ===? (i)

Supposons que l'image réciproque par l de tout ouvert de F soit un ouvert de X. Soient a E X et W E VF(l (a)). li existe un ouvert Q de F tel quel (a ) E 1(Q)

Q

et

Q

C W.

Par hypothèse, l - (Q) est un ouvert de X, et a E l ; donc l - (Q) E Vx (a). Il existe donc 1 VE V E(a) tel quel- (!1) =X n V. On a alors: Vx EX n V, l(x) E Q C W. 1

1

Ceci montre que l est continue en a. Puisque lest continue en tout a de X,f est continue. (ii)

{:=}

(iii)

Immédiat en passant aux complémentaires et en utilisant 1- I (CF (Q)) = tie Q de F.

cX u- 1(Q)) pour toute par-

Exemple:

On peut essayer de montrer qu'une partie est ouverte (resp. fermée) en la présentant comme image réciproque d'une partie ouverte (resp. fermée) par une application continue.

{(x,y) E JE.2 ; xy > l} est un ouvert de JE. 2 car c'est l'image réciproque de l'ouvert ]O; +oo[ de JE. par l'application continue JE.2 ----+ JE. (x,y) ~ xy -1 Remarque: L'image directe d'une partie ouverte (resp. fermée) par une application continue peut ne pas être ouverte (resp. fermée). Exemples: 1) l :JE.----+ JE. est continue, Q =JE. est ouverte,j(Q ) = {0} n'est pas ouverte x~ o

Exercices 1.2.1, 1.2.2, 1.2.4 à 1.2.6.

2) l

: lR ----+ lR est continue, A = lR est fermée,f (A) x~ex

= IR~ n'est pas fermée.

3) Opérations sur les applications continues Co'!!Position

Propriété très utile en pratique.

SoientE , F ,G, troislK-evn, X E 'f}(E),Y E 'f}(F),f : X-----* F ,g: Y-----* G telles que/(X) c Y; on note g o f :X-----"* G . x~g(f(x))

-0 0

c

1) Soit a E X .

::J

0

S1.

(V)

.-t

0 N

@

{ f est continue en a . alors g o f est continue en g est continue en f (a) , 1

.

a.

2) Si f est continue (sur X) et si g est continue (sur Y), alors go (sur X) .

.....,

.s:; Ol

f est continue

·;::

>0.

Preuve

0

u

1) Soit W E Vc((g o f)(a)). Puisque g est continue en l (a), il existe V E VF(l (a)) tel que : g(Y n V) C W. Ensuite, puisque l est continue en a, il existe V E V E(a) tel que

l(X n V) c V .

On a alors :

(g o f)(X

n V) c

g(Y

n

V)

c

W,

et donc g o lest continue en a. 2) Appliquer 1) en tout point de X.

44

•

1.2 • Limites, continuité

~

Propriétés algébriques des fonctions continues Propriétés très utiles en pratique.

I Soient

XE

'f)(E), a

E

X,f,g:

X----+

F,

1) Si f est continue en a, alors X ----+ lR

Xf----+ 11f(x)11 F

2) Si f et g sont continues en

À: X----+

K On a:

est continue en a

+ g est continue en a

a, alors f

3) Si À et f sont continues en a, alors Àf est continue en a

4) Si À est continue en a et si À(a)

1

# 0, alors -

est continue en a.

À

II 1) Sif est continue sur X, alors X

----+

Xf----+ 11!

2) Si f et g sont continues sur X, alors f

lR

(x)lIF

est continue sur X

+ g est continue sur X

3) Si À etf sont continues sur X, alors Àf est continue sur X 4) Si À est continue sur X et si (Va E X, À(a)

1

# 0), alors - est continue sur X. À

Preuve

Exercice 1.2.3.

Se ramener aux propriétés algébriques des fonctions admettant des limites (1.2. l p. 42) à l'aide de 1.2.2 1) Prop. l p. 43. On peut aussi donner des preuves « directes ». La Proposition suivante est immédiate.

---.,

1) Soient n E N*, E 1, ... , En des JK-evn ; pour chaque k de {1, ... ,n}, la projection prk : E1 x ... En ----+ Ek est continue.

kème

(xi , ... ,xn)f----+Xk

2) Toute application polynomiale (à plusieurs indéterminées) à coefficients dans lK

est continue.

En particulier, les applications suivantes sont continues: OC x Mn ,p(OC)-----+ Mn ,p(OC), (À,A) f----+ ÀA

(M11 ,p (OC)) 2 -----+ M 11 ,p(OC), (A,B) t------+ A+ B "'O 0

M 11 ,p(OC) -----+ M p,n (OC) , At------+ '.4

c

::J

0

M n (OC) -----+ OC, A f----+ tr( A)

(V)

......

0 N

~ ·;::

>0. 0

u

Pour montrer que deux fonctions continues sont égales, il suffit de montrer qu'elles coïncident sur une partie dense.

Soient X

E

M 11 ,p(OC)

M p,q(OC)-----+ M 11 ,q(OC), (A,B) t------+ AB

X

M 11 ,p( 0 ou fa < O. Supposons, par exemple, fa > O. Puisque fa est continue sur le segment [O; l], d'après le théorème fondamental, fa est bornée et atteint ses bornes. En particulier, il existe a > 0 tel que :

Le cas fa < 0 se ramène au cas fa > 0 en remplaçant fo par - fo.

On peut choisir :

V x E [0; l] , fa(x) ;;,:: a. a= Inf fa(x) > O.

.

Smtf E E telle que llf - /alloo


0,

donc f EU. Ceci montre : V f E E , ( llf - fall oo
f

EU ).

c'est-à-dire :

Ainsi, U est voisinage de chacun de ses points, donc U est ouvert.

b) Remarquons d'abord que est correctement définie, car, pour toute l l 1 existe et est continue, donc E E.

-0 0

f

c

::J

0

f

f

E

U,

S'assurer d'abord que est correctement définie.

f

Soit/a EU.

(V)

......

Comme en a), quitte à remplacer fo par - f 0 , on peut supposer qu'il existe a > 0 tel que:

0 N

@ ..._, .s::

V x E [0 ; l] , fa(x) ;;,:: a .

Ol

·;::

.

>0.

Smtf EU telle que llf - foll oo ~

0

u

a

2·

On a alors, pour tout x E [O ; l] : lf(x)I

= l(.fCx) -

fa(x))

+ fa(x)

;:: lfa(x) l - lf(x) - fa(x)I;;::: a 1

d'où, pour tout x E [O; l] :

46

a

a

2 = 2'

Inégalité triangulaire renversée.

1.2 · Limites, continuité

Conseils

Solution

If (x ) - fo(x) I If (x)l lfo(x)I

~ Il! - folloo

22 ll f

=

a-

- folloo,

a

2

donc:

11(f) -(fo)l loo

~

2

211! - fol loo·

Passage à la borne supérieure lorsque x décrit [O; 1) .

a

Il en résulte :

11(f) - (fo)lloo

---+ 0,

f ---. Jo

donc (f) ---+ (fo), est continue en fo. f

--->

Jo

On conclut : est continue sur U.

Un exemple d'application non continue On note E

= C([O ; 1],IR)

muni de

11.11 1et 0 tel que : 1

11

2 E X ,

"l(x ,x

)

1

X2 ,

1

(dE(X ,x

11 )

:::;;;

a==:? dF(f(x'), f(x")):::;;;

T/).

On a alors: "l(x ,x

et donc g o -0 0

c

::J

0

1.2.4

(V)

f

11

)

E

(

1

dE(X ,x

11

):::;;;

a==:? dG(g(f(x

1

)) ,

g(f(x

11

)))):::;;;

s ).

est uc sur X.

•

Applications lipschitziennes Soient (E,11.llE), (F,11.llF) deux JK -evn, d E (resp. dF) la distance associée à 11. llE (resp. 11. ll F).

......

0 N

..

@

Les applications 0-lipschitziennes sont les applications constantes.

Soient X

E

5.p(E),f : X -----+ F une application.

• 1) Soit k E rn?.+ ; on dit que f est k-Iipschitzienne si et seulement si :

2) On dit que f est lipschitzienne si et seulement s'il existe k E fi?.+ tel que f soit

k-lipschitzienne. • Une application f : X -----+ X est dite contractante si et seulement s'il existe k E [O; 1[ tel quef soit k-lipschitzienne. 49

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

On note, pour tout k de IR+, Lipk (X , F) l'ensemble des applications k-lipschitziennes de X dans F ; on note Lip(X, F ) l'ensemble des applications lipschitziennes de X dans F : Lip(X, F)

Exercice 1.2.7.

=

LJ Lipk(X, F).

k EIR+

~ Attention :En général,Lipk(X, F ) n'est '-

l)

pas un espace vectoriel.

2)

3)

f {g {

E E

Lipk(X, F) 1 . ==::::} L1pk1(X, F)

À E

f

E

f

E

JK. 1 ==::::} J...f L1pk(X,F)

E

E

LiPk+k' (X,F)

LiplÀlk(X, F)

Lipk(X,F) ==::::}g o f

g E Lipk'(Y,G)

{

f +g

E

Lipkk' (X,G).

f(X) C Y

P reuve Pour tout (X1 ,x2) de X 2' on a : 1) ll (f + g)(x1) - (f + g)(x2) ll F :::;; llf(x1) - f(x2) ll F + ll g(x1) - g(x2) ll F

:::;; (k + k') llx1 -x2ll E 2) ll (Àf)(x1) - (Àf)(x2) llF

=

l>\.l llf(x1) - f(x2) ll F :::;; IÀlk llx1 - x2ll e

•

3) ll (g o f)(x1) - (g o f)(x2) ll c :::;; k'll f(x 1) - f(x2) ll F :::;; k'k llx1 - x2 llE ·

Remarques: 1) Si X

#

0 , d'après les propriétés 1) et 2) ci-dessus, Lip(X, F) est un IK-ev.

2) Si f ,g : X

--?

IK sont lipschitziennes,fg peut ne pas l'être; exemple:

X = lK = TR.,f,g : TR.

-7

TR. .

X f----+ X

l) L'application

Il· Il : E-----+

lR. est l-lipschitzienne.

xr----+ l lx 11

2) Pour tout partie non vide A de E, l'application E -----+ lR. est !-lipschitzienne. xr----+d (x , A)

3) Soient n E N*, (Ek , Nk)t ~k~n des JK-evn, v la norme définie sur E =

"O 0

c

n n

Ek par:

k=I

::J

D N

@

Cf.1.1.13) b) p.8.

Pour tout k de {l , ... ,n} , prk:

est 1-Iipschitzienne.

E-----+ Ek (xi , ... ,xn)r----+xk

..._, .s::

Ol

·;::

>0.

Preuve

0

u

1) On a:

'v'(x ,y) E E 2,

l llx ll -

llYl l

2) Soit (x ,y) E E 2. On a: Va E A , rieures lorsque a décrit A :

I : :; llx -

Yll.

d(x ,a) :::;; d(x ,y) + d(y ,a) , d'où, en passant aux bornes infé-

d(x , A) :::;; d(x,y)

et donc:

50

d(x , A) - d(y,A) ,,:;; d(x ,y) .

+ d(y, A) ,

1.2 • Limites, continuité

En appliquant ce dernier résultat à (y,x) au lieu de (x ,y) , on a aussi: d(y ,A ) - d (x, A) ::::;; d (y,x),

et finalement :

ld(x ,A) - d(y,A)I ::::;; d(x ,y).

3) On a, pour tous x =(x i , ... ,x,,) , y= (Yi, ... ,y11 ) de E et tout k de {l , ... ,n):

•

Nk (Prk (x ) - prk(y)) = Nk(xk - yk) ::::;; M_ax Ni(Xi - yi) = v (x - y) . 1 :::;;; 1 ~n

Toute application lipschitzienne est uc. Preuve Supposons f

:X

-----+ F

k-lipschitzienne, et soit & > O.

ê

En notant 17 = - - > 0 , k+ I on a: 1

V(x ,x

11 )

E

X2 ,

1

( d E(x ,x

11 )

< 17

===}

1

dp(f(x ),f(x

8

11 )) ::::;;

k- k+ I

::::;;

&),

•

et donc f est uc sur X.

Remarque: La réciproque de la proposition précédente est fausse: une application peut être uc sans être lipschitzienne; exemple :f : [O; 1] -----+ IR . X 1----7

..jX

Rappelons (cf. Analyse MPSI, 5.2.2 Prop.) : Soit l un intervalle de IR et

-----+ IR une application dérivable sur l ; alors,

f

est

lipschitzienne si et seulement si f' est bornée.

Exercice 1.2.8.

1.2.7 On note L le IR -ev des applications lipschitziennes de [0; l] dans IR, et Ei = ci([O; l] ,IR) . a) Montrer que Vf EL,

f :l

11- 11: L

-----+ IR définie par :

11!11= lf(O)I +

Soient E , F deux evn, X E i+J ( E) , B (X, F) l'ensemble des applications bornées de X dans F , muni de 11-lloo· Pour (a,f) E X x B(X, F) on appelle oscillation de f en a, et on note w(f,a) l'élément de IR+ défini par:

1.2.8

lf(x) - f(y)I

Sup (x ,y)EIO; JJ2

w(f,a) =

lx -yl

Tnf (diam (f (V))). VEVx (a)

x#-y

est une norme sur L , et qu'elle n'est pas équivalente à

Montrer que, pour tout (a ,&) de X x IR'f., l'ensemble

11-lloo·

{f

lf(O)I +

Sup

&}est

fermé

dans

(B (X,F),

11-1loo).

b) Montrer que N : E i -----+ IR définie par :

Vf E Ei , N(f) =

E B (X,F);w(f,a)::::;;

lf'(t) I

TE[O, i )

est une norme sur Ei et qu'elle coïncide avec (restriction de 11-11 à Ei).

11-11

51

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

1.2.5

Applications linéaires continues Soient (E,11 .ll E) , ( F ,11 .ll F) deux OC-evn, dE (resp. dF) la distance associée à 11 .ll E (resp. 11.llF). Rappelons quelques définitions, notations, et résultats d'algèbre. Une application f : E ~ Fest dite linéaire (ou : OC-linéaire) si et seulement si : 2 'O.. E OC, 'v'(x ,y) E E , f(ÀX + y)= )..j(x ) + j(y). On note .C(E, F ) (ou .Coc(E,F)) l'ensemble des applications linéaires de E dans F, et .C(E) (ou .Cn 0 tel que : 'v'u E E ,

Soitx

E

E - {O}; comme

d'où

ll f(x) ll F

~

~ T/ ===?

(Jlu llE

11- T/ - xllE = llxll E

'f} ,

on a

ll f(u) llF Il !

~

1) .

(11:~IE X) ll F ~ 1,

1 - llx ll E· 'f}

Ceci montre :

'v'x E E ,

llf(x)llF

~

l

-llx ll E· T/

2) Réciproquement, supposons qu'il existe M 'v'x E E ,

E

IR+ tel que :

ll f(x) llF ~ M llxl lE·

On a alors: 'v'(x1,x2)

E

E 2,

ll f(x1)-f(x2) ll F = llf (x 1 -x2)llF ~ Mllx1 -x2ll E·

Ainsi, f est M -lipschitzienne, donc continue.

•

Remarque: "'O 0

Le théorème précédent permet de déduire aisément que, pour f E .C(E,F), les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :

c

::J

0

......

1) f est continue en 0

0 N

2) f est continue (sur E)

(V)

@

..._, .s::

3) f est uniformément continue

·;::

4) f est lipschitzienne

Ol

>0.

5) 3M E IR+, 'v'x E E,

0

u

ll f(x) ll F ,,:;; M llx JJ E

6) f est bornée sur la boule unité fermée de E, c'est-à-dire:

7) f est bornée sur la sphère unité, c'est-à-dire: Exercices 1.2.10 à 1.2.13.

52

1.2 • Limites, continuité

Nous verrons plus loin (cf. 1.3.2 Prop. 1 p. 64) que, si E est de dimension finie, alors toute application linéaire de E dans Fest continue.

---.. On note : • .CC(E, F) l'ensemble des applications linéaires continues de E dans F • .CC(E) l'ensemble des endomorphismes continus de E

• E' = .CC(E,JK), appelé dual topologique de E. Cette borne supérieure existe puisque

llf (x)ll F ; XE { llxllE

l~MMU.j, ____________________

E - {0}} est

Si E

#

{O}, on note, pour toutl de .CC(E , F) :

une partie majoréedelR (d.théorème précédent) et non vide.

1111111 = Sup lll(x)llF·J xEE - {O}

llxllE

----

Si E = {0} et f E .CC(E, F), alors f = 0 et on notera donc 11 11111 =O. Remarque:

Exercices 1.2.14 à 1.2.19.

. S1Ef.{O}etfE.CC(E,F),ona: Sup

ll f (x)l lF Il = Sup ll f(x) ll F= Sup ll f(x) llF · xe E~ {O) llx E llxl lE,,; 1 llxllE=I

l)Vl E .CC(E ,F) , Vx E E ,

3) VÀ E IK, Vf E .CC(E , F),

E

.CC(E,F), Vg

E

1111111 llxllE

l + g E .CC(E ,F) { Ill/ +glll ~ 1111111 +

2) V(f,g) E (.CC(E,F)) 2 ,

4)Vf

lll(x)llF ~

lllglll

À/ E .CC(E, F) { lllÀllll = IÀI 111/111

.CC(F,G) ,

g o f E .CC(E,G) { lllg o /Ill ~ lllglll

111/111.

Preuve

Résulte immédiatement de la définition de 111 f 111 . 2) 'Vx E E , ll (f + g)(x) ll F ~ ll f(x) llF + llg(x) llF ~ Clllf ll l + lllglll)llx llE . 3) 'Vx E E , ll (Àf)(x) ll F = IÀI llf(x) ll F ~ IÀI lll fl ll llxllE , ce qui montre Àf E iX(E , F) et ll lV ll l ~ l>1.l lll fll l. 1)

Q

Le cas À

= 0 est d'étude immédiate.

En appliquant ce résultat au couple ( ~,

Àf) au lieu de (À ,f) , si ). f. 0, on obtient :

111 ~Àf111 ~ 1 ~ 111 IV ll I, c'est-à-dire IÀI 111! 111 ~ 111;..1111, et finalement 11I V I11 =

"O 0

c

::J

4) 'Vx

0

E

E,

ll (g o f)(x) llc

~

IÀI 111! 111 .

lll gl ll ll f(x) ll F ~ lllglll ll lf lll llxl lE·

•

La Proposition précédente montre que :

(V)

......

~~

(.CC(E , F),1 11 -11 1) est un JK-evn { (.CC(E) ,111-11 1) est une OC-algèbre normée(ll lldE lll = 1 trivialement). La norme 111- 111 sur .CC(E , F) est appelée la norme subordonnée aux normes 11. ll E et 11 -1 IF·

'" @~

"

.j,,,J -

..c O'l

.~-al ~ -~

Exercice 1.2.9.

>- ~

o.~

0 "' Us (3(a,,B) On ne peut avoir M 1 = 0 ou M2 0 que si E {0}.

=

=

(JR.~) 2 , Vx

E

en prenant a= -

1

M2

(i)

{:::=>

continue continue

et ,B

E E,

aN(x)

~

M2N'(x)

N ' (x)

~

,BN(x)),

= M 1.

(iii) :

•

Cf. 1.1.6 Rem. p. 19.

Plus généralement, voir P 1.1 p. 98.

Caractérisation de la continuité pour une application bilinéaire.

Soient E, F , G trois OC-evn, B : E x F -----+ G une application bilinéaire. S'il existe k E lR+ tel que: B est continue.

lIB(x,y)l IG

V(x ,y) E E x F,

~

kl lxl IE l IYI IF, alors

Preuve Soit (x 0 ,y0 ) E E x F. On a, pour tout (x,y) de Ex F: ll B(x ,y) -

B(xo,Yo)l lc

= ~ ~

llB(x - Xo ,y) + B(xo,y - Yo)llc llB(x - xo,Y)llc + llB(xo,Y - Yo) llc kllx - xoll ll Yll + kl lxol l llY - Yoll

0,

(x,y)--+(xo.Yo)

•

ce qui montre que B est continue en (x0 ,y0 ).

Q

Ces trois applications sont bilinéaires.

1) Soit E un OC-evn. L'application

Il{

x E -----+ E est continue.

(À,X)~ÀX

2) Soit A une OC-algèbre normée. L'application A x A -----+ A est continue. (u ,v )~uv

3) Soit E un OC-evn. L'application f:C(E) x f:C(E) -----+ f:C(E) est continue.

"'O 0

(f,g )~g o f

c

::J

0 (V)

......

Preuve

0 N

La Prop. 3 s'applique :

@ ..._, .s::

1) Exercices 1.2.20 à 1.2.22.

Ol

·;::

>0. 0

u

54

llhll

=

IÀI llxll.

2)

lluvll

~

llull llvll,

3)

lllg o !Ill

~

lllglll 111!111.

•

1.2 · Limites, continuité

Un exemple de calcul de la norme d'une application linéaire continue On note E

= C([O; l ],R) muni de 11 .ll 1,

et

0. 0

u

Preuve

Soit (x11,Y11)11eN une suite dans X x Y. Puisque X est compact, il existe une extractrice a et un élément x de X tels que Xa( 11 )

~

x.

1100 Ensuite, comme Y est compact, la suite (Ya(11i) 11 eN admet au moins une valeur d'adhérence dans Y ; il existe donc une extractrice Tet un élément y de Y tels que Ya(r(n)) ~ y. 1100

59

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés ~

Comme Xrr(n)

noo converge vers (x, y) .

x, la suite extraite (x.,.(r(n))) 11 converge aussi vers x, et donc (x.,.(r(11 JJ>Yu(r(11JJ) 11

Ceci montre que toute suite dans X x Y admet au moins une valeur d'adhérence dans X x Y, et donc X x Y est compacte. Exercice 1.3.5.

Soient X On a:

E

{

Sf,l (E), Fun JK-evn,f : X ---+ F une application.

X compact 1 . f contmue

===}

f

(X) compact.

Preuve Soit (yn)ne N une suite dans f (X). Pour chaque n de N, il existe Xn

E

X tel que y,,

=f

(x,,).

Comme X est compacte, il existe une extractrice Œ et un élément x de X tels que Xrr(n)

~

x.

1100

Puisquef estcontinue,

Yu(n )

= f(x.,.c11J)

~

f(x).

1100

Ainsi, la suite (y,, )n admet f (x) ( E

f

(X)) pour valeur d'adhérence, et finalement f (X) est compacte.

Remarque: L'image réciproque d'une partie compacte par une application continue peut ne pas être compacte ; exemple : f : lR --+ lR est continue, {0} est compact, f - 1 ({0}) = lR n'est pas xr--+0

compact (IR n'est pas borné).

~

1) Soient X une partie non vide de E etf : X -----+ ~ une application. Si X est compacte et f continue, alors f est bornée et atteint ses bornes. Propriété très utile en pratique.

2) Soient X une partie non vide de E, F un JK-evn et f Si X est compacte et f continue, alors 11f11 X -----+ XI--+

:X ~

11! (x) lIF

F une application. est bornée et atteint ses -----+

bornes. Preuve

-0 0

c

1) f (X) est une partie compacte, donc fermée bornée de lR .

0

2) Appliquer 1) à llfl l, qui est continue sur le compact X.

::J

•

(V)

C:

Exercices 1.3.1, 1.3.2.

N

@ ..._,

D

n N

Cf.1.1.1, 3) b) p. 8.

Soient NE N*,E1,. .. ,EN des JK-evn ; on munit

o.

Ek de la norme V définie par:

k= I

0

u

v(x1 , . .. ,XN) = Max llxkllEk l ,;;;k .;;;N

Soit, pour chaque k de {1,. .. , N}, X k une partie non vide de Ek.

n N

Alors

X k est compact si et seulement si, pour chaque k de {1, . .. , N}, X k est

k=I

compact.

60

1.3 · Compacité

Preuve

f1

1) Supposons N

Xk

f1

compact. Comme, pour chaque i de {1, ... , N }, X i = pri ( N X k )

k=I

,

et que les

k= I

projections pr; sont continues (cf. 1.2.2 1)) Prop. 4 p. 43), on en conclut que X; est compact (cf. 1.3.1 Prop. 5 p. 60).

•

2) Réciproque par récurrence sur N , le cas de deux parties ayant été vu (Prop. 4 p. 59).

1-~:::::=:::::::::.~- Théorème de Heine

Soient X E ~i

~(E),

F un IK -evn,f: X -----+ F une application.

X est compacte et si f est continue, alors f est uniformément continue.

Preuve Supposons X compacte et f continue. Raisonnons par l'absurde ; supposons f non uniformément continue, c'est-à-dire : non(Vs> 0, 317 > 0, V(x',x" ) E X

2

,

(dE(x',x" )

~ 11 ==> dF(f (x') ,f(x") ) ~ s )).

Tl existe donc s > 0 tel que :

' 0, 3(x',x ")

E

X

2, (dE(x',x ") ~ 17

En particulier, pour tout n de N*, il existe (x~ , x~)

dE (X~,x~) ~ ~

E

et

dF(f (x ') ,f(x" )) >

X 2 tel que :

dF(f(x~),f(x~))

et

S).

> s.

Puisque X est compacte, X2 est compacte (cf. Prop. 4 p. 59), donc la suite (x~ ,x~)nEN* admet au moins une valeur d'adhérence dans X 2 . Il existe ainsi une extractrice a et (x' ,x " ) x'a(n) -----* noo x' et x"a(n) -----* noo x".

E

X 2 tels que :

Comme, pour tout n de N* :

d E(x ',x") on déduit

d E(x',x" ) = 0,

~ d(x',x~(n) ) +d(x~(n)'x~(n)) +d(x~(n)•x") , x' = x" .

Mais, puisque f est continue en x' et x" :

f (x~(n)) --;;;;;:

f(x')

et

f(x~(n) ) --;;;;;:

donc d (!Cx~(ni>J(x~(n))) --;;;;;: d (tcx'),f (x")) '

Vx E E ,

Max lx;! l ~i ~ "

i =I

Théorème 1 p. 63, il existe ME IR+ tel que:

. D'après le

E----+ IR

:

N 00 (x) ::::;; M N(x).

n

On a alors, pour tout x

=

L x;e; de E : i=I

n

11

ll f(x) llF =li 8x;f(e;)llF : : ; 8 lx;l ll f(e;)ll F : : ;

(

n

8 llf(e;)llF

)

Noo (x) ::::;; CN(x) ,

n

où C Exercice 1.3.1O.

=

ML lIf (e;)lIF. D'après 1.2.6 Théorème p. 52, on conclut que f est continue. i= I

•

Continuité d'une application multilinéaire en dimension finie

-

~

Soient NE N*, (Ek,ll · llk)I .;;k.;;N des IK -evn de dimensions finies, F un IK-evn.

n N

J

Ek -----+ F est continue.

Toute application multilinéaire

ll 0; il existe N 1 et il existe N 2

E

E

N tel que:

E

N

~

N 1 et a (N)

(n ~ N 1

!':!,

=> d(Xa (11 ),X)

({: ! z: =>

V(p ,q) E !':12 ,

N tel que :

Il existe N E N tel que :

Vn

~

d(Xp , Xq)

~

ê

2) ,

~ ~) .

N2 .

On a:

Ceci montre Xp

~

~ p oo

•

x, et finalement X est complète.

Remarques: Résultat utile en pratique.

1) La preuve précédente établit que, si valeur d'adhérence x, alors x 11 ~ x .

est une suite de Cauchy ayant au moins une

(x,,)n EN

1100

2) La réciproque de la proposition précédente est fausse: une partie complète peut ne pas

être compacte; exemple : IR est complet (cf. Th. 2 ci-après) et non compact. 3) Dans le cas où E est complet, on a :

X compacte => X fermée

r rnf:t.1f:'l .. t:ill ,.,

Rappel de notation :

\J_, X désigne l'adhérence de X dans E.

l

=>

X complète.

CNS de Cauchy d'existence d'une limite pour une fonction à valeurs dans un evn complet

Soient XE l.lJ(E) , a E X ,F un JK-evn complet,/: X---+ F une application. que f admette une limite finie en a, il faut et il suffit que : 1

Ve> Ü, 3V E VE(a), V(x ,x

11

)

E X 2 , ( (x ,x 1

11

)

E V 2 ===} dF(/(x ),f(x 1

11

))

~

Pour ~

ê)

Preuve 1) Supposons que f admette une limite l en a, et soit ê > O. Il existe V E VE(a) tel que:

Vx E Xn V,

dF(f(x) ,l) ~

ê

2·

On a alors: V(x' ,x") E (X

n V) 2 ,dF(/(x 1 ),f (x11 )) ~ dF(f (x 1 ),l) + dF(l,f (x 11 )) ~ ~

+~

=

ê.

2) Réciproquement, supposons la condition de Cauchy satisfaite.

a) Puisque a E X, il existe au moins une suite (x11 ) 11 EN dans X convergeant vers a.

La suite (f (x11 ) )n EN est de Cauchy dans F. En effet, soit ê > 0; il existe V E VE(a) tel que: V(x',x")

Puis, comme x 11

~

E

(X

n V) 2 ,

a , il existe N

E

dF(f(x 1 ),f(x 11 )) ~

ê.

N tel que :

1100

Vn E N,

(n ?: N

=> x,,

E V).

On a alors:

69

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

Ainsi, l est défini comme limite de la suite (f (xn ))neN où (x11 ) 11 eN est une suite fixée convergeant vers a.

Puisque (f (x11 ))n EN est de Cauchy dans F et que Fest complet, (f (x11 ))nEN converge vers un élément l de F. b) Soit (y11 )n EN une suite (quelconque) dans X convergeant vers a, et soit s > O.

Il existe VE VE(a) tel que:

V(x' ,x") E (X n V)2 ,

~ a

il existe N E N tel que :

Puisque Xn

11 00

et y11

~ a, 1100

Vn E N,

On a alors: ce qui montre Commef(x11 ) Utilisation de la caractérisation séquentielle de la continuité en un point

Vn E N,

(

(n ?: N

d(f (x11 ),f(y11 )) ~

noo

n ?: N ===:}

X 11

E

dF(f(x' ),f(x")) :::;; s.

V) .

y E V

===:} {

11

dF(f (xn)J(Yn)) :::;; ê) ,

~O.

noo

l , on déduitf(y11 ) ~ l. noo

Ainsi, pour toute suite (y11 )nEN dans X convergeant vers a, la suite (f(y11 )) 11 EN converge vers l. Ceci montre (cf. 1.2.1 Prop. 3 p. 40) que f admet l pour limite en a. Remarque: On montre de façon similaire le résultat suivant. Soient XE 5,p(IR) tel que +oo E Xi" (adhérence de X dans la droite numérique achevée iih

F un lK-evn complet, f : X ~ F une application. Pour que en +oo, il faut et il suffit que: Vs > 0,3V E VR(+oo), V(x' ,x" ) E X 2 ,

((x 1,x

11

E V2

)

===:}

f

admette une limite finie

dF(f(x 1),f(x

11

)) :::;;

s).

Tout evn de dimension finie est complet.

Preuve Soient E un JK-evn de dimension finie et (u 11 )n EN une suite de Cauchy dans E. D'après 1.4.1 Prop. 1 p. 67, (u 11 ) 11 est bornée: il existe M E Vn EN,

llun ll:::;;

IR~

tel que:

M.

Puisque B' (0; M) est une partie fermée bornée de l'evn E de dimension finie, d'après 1.3.2 Th. 2 p. 63, B' (0; M) est compacte, donc complète (cf. Prop. 3). Ainsi, (un ) 11 converge dans B' (0; M) , donc dans E, et, finalement, E est complet. Exercices 1.4.3, 1.4.4.

•

Remarques: 1) Il existe des evn complets et qui ne sont pas de dimension finie (cf. ex. 1.4.7 p. 71 ). 2) Il existe des evn non complets (cf. ex. 1.4.6 p. 71 ).). -0 0

c

::J

0

Les méthodes à retenir

(V)

......

0 N

@

Parties complètes

.._,

.s::

Ol

·;::

• Pour montrer, dans un evn de dimension finie, qu'une partie est fermée, on peut essayer de montrer qu' elle est complète cf. §1.4.2 Cor. p. 68 et Th. 2 p. 70 (ex. 1.4.3). • Pour montrer qu ' une partie X d'un evn E est complète, on peut: - soit montrer que E est complet et que X est fermée dans E - soit montrer que X est compacte - soit revenir à la définition, et montrer que toute suite de Cauchy dans X converge vers un élément de X (ex. 1.4.5 b)). • Pour montrer qu'une partie X d'un evn E n'est pas complète, on peut revenir à la définition: essayer de trouver une suite (xn)n de Cauchy dans X et qui ne converge pas dans X (ex. 1.4.6 b)).

>0. 0

u

70

1.4 • Complétude

1.4.3 Soient E un evn, F un sev de E ; montrer que, si F est de dimension finie, alors F est fermé.

b) (E,N) est-il complet?

1.4.6 1.4.4

Soient E un evn et L = {(x,y) E E 2 ; (x ,y) libre}.

N : C[X]

On note 1U = {z E C; lzl = l} et ~ lR l'application définie par

Montrer que Lest ouvert dans E 2 .

'v'P E C[X],

E JR 2 tel que a < b ,E le JR-ev des

1.4.5 Soient (a,b)

applications lipschitziennes de [a ; b] dans lR . a) Montrer que N : E ~ lR définie par : 'v'f E E,

N(f)

=

ll fl loo

+

Sup (x.vJefa:bJ2 - x:j:.y

a) Montrer que N est une norme sur C[X]. b) (C[X], N) est -il complet?

lf(x) - f(y) I lx - YI

1.4.7 On note e00 le C-ev des suites (un)n elll de C 111 bor-

nées, muni de 11 .11 00 ; montrer que e00 est un evn complet et n'est pas de dimension finie.

est une norme sur E.

1.4.3

N(P) = SuplP(z) I. zEl!J

Supplément : théorème du point fixe Théorème du point fixe

Soient F

E ~(E),f

: F -----+ F une application.

Si F est complète et si f est contractante, alors f admet un point fixe et un seul, et, UQ

=a

pour tout a de F , la suite (u 11 )nEN définie par { vvn E le point fixe de f

iM

f (Un ) converge vers

_

n, Un + I -

Rappelons:

'

~

• x est un point fixe de f si et seulement sif (x) La condition k < 1 est fondamentale.

•f

est contractante si et seulement s'il existe k E [0; 1 [ tel que :

V(x,y) -0 0

= x.

2 E F ,

d(f(x),f(y)) ~ kd(x ,y).

Preuve

c

1) Si x ,y sont deux points fixes de f alors:

::J

0

d(x ,y) = d(f (x),f (y))

~

kd(x , y),

d'où d (x, y) = 0 , puisque k E [O; l [. Ainsi,f admet au plus un point fixe.

(V)

......

0 N

2) Montrons que (un)n eN converge vers un point fixe de f.

@

• Montrons que (un)n eN est de Cauchy dans F. Pour tout n de N :

.._,

.s::

Ol

·;::

>0.

d'où, par récurrence:

0

u

d(u,, ,u,, + 1) ~ k"d(u 0 ,u 1).

Puis, pour tout (p ,r) de N x N* : r- 1

Sommation d'une progression géométrique.

r- 1

d(up ,Up+r) ::;; Ld(u p+;, Up+i+ 1) ::;; Lkp+i d(uo ,u1) i=O

=

i=O

1 - k' d(uo ,u1) kP - - d(uo ,u1) ::;; kP .

1-k

1-k

71

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

Intervention de la condition

. kPd(uo ,u 1) O. . . Soit e > 0 ; puisque -----+ , il existe N 1- k

On a alors:

\:/(p,r) E N x N*,

poo

(p ;?: N

==}

E N tel que :

d(up,up+r)

~

e),

et donc (u 11 )n eN est de Cauchy dans F. • Puisque Fest complet, (u 11 )neN converge vers un élément l de F. Commef est continue (car k-lipschitzienne), on déduit f (u 11 ) -----+ f (l). 1100

•

Mais d'autre part u 11 + 1 -----+ l. Finalement : f (l) = l. 1100

On remarquera les relations d(u 11 ,l)

~

k 11 - - d (uo ,u 1) et d(u n,l)

1-k

~

k - -d(u 11 - J ,Un)

1- k

(pour n ;?: 1 ), utiles en vue du Calcul Numérique.

1.5 Connexité par arcs Soient (E, 11 · 11) un OC-evn de dimension finie, d la distance associée à 11 • 11 - L'étude qui suit peut être aisément généralisée au cas d'un evn quelconque. On appelle ici arc toute application continue y : l -----+ E où lest un intervalle fermé borné de IR non vide et non réduit à un point. Au lieu du terme arc, on emploie aussi : chemin, arc continu, chemin continu. Puisque tout intervalle fermé borné de IR non v ide et non réduit à un point est homéomo rphe à [O; 1], on peut, dans la définition précédente, remplacer l par [0; 1]. Pourtout(a,b) E JR2 tel que a < b, l'application t ~ a + (b - a )t est un homéomorphisme de [O; I] sur [a; b].

Une partie A de E est dite connexe par arcs si et seulement si, pour tout (x, y) A 2 , il existe un arc y : [a; b] ----+ Etel que :

On dit que y est un arc joignant x et y dans A.

d~

y(a) =X, y(b) =y { 'rit E [a; b] , y(t) E A.

"'O 0

c

A

::J

0 (V)

......

0 N

@ ..._, .s::

On abrège ici connexe par arcs en : cpa .

X

Ol

·;::

>0. 0

Exemple:

u

Pour toute application continue y : [O; 1] -----+ E, la «courbe » y ([O; 1]) est une partie cpa de E. Par exemple, llJ (= {z E C; lzl = 1)) est une partie cpa de C, car llJ = y([O; 1]) , où y : [0; 1] -----+ Exercices 1.5.1 à 1.5.4.

72

c.

t~exp(2in t)

1.5 · Connexité par arcs

Toute partie convexe de E est connexe par arcs.

1\

\J.j

Rappelons qu'une partie A d'un !K-ev E est dite convexe si et seulement si: lf(x,y) E A 2 , Vt E [0; 1],

Preuve Soient A une partie convexe de E et (x, y) E A 2 . Puisque A est convexe, pour tout t de [O; 1], tx + (1 - t)y est dans A , et il est clair que l'application y: [0; l] ----+ A est continue, donc est un

tx+( l -t)yEA.

t~tx+( 1- t)y

•

arc joignant x et y dans A. Ainsi, A est cpa.

_ _ _)

Les parties connexes par arcs de IR sont les intervalles.

Preuve 1) Comme tout intervalle de IR est une partie convexe de IR, d'après la Proposition précédente, tout intervalle de IR est cpa.

2) Réciproquement, soit A une partie cpa de IR .

Soit (x, y) E A 2 . Il existe un arc y : [0; 1] ----+ A Joignant x et y dans A. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (Analyse MPSI, 4.3.3 Th.), y([O; l]) est un intervalle de IR. Comme cet intervalle contientx et y , on a: [x; y ] C y([O; l]) CA, et ainsi A est une partie convexe de IR, donc est un intervalle.

•

L'image d 'une partie cpa par une application continue est cpa.

Soient X E s.+J(E) , A

c X, Fun JK-evn de dimension finie,f:

X~

F une appli-

cation. Si A est connexe par arcs et f continue, alors f (A) e st connexe par arcs.

Preuve Soit (u,v) E

(!CA))2 ;il existe (x,y) E A tel que u = 2

f(x) et v = f(y).

Puisque A est cpa, il existe un arc y : [O; l]----+ A tel que y(O) = x et y(l) =y. Alors f o y : [O; l] ----+ f (A) est un arc (car f et y sont continues, donc f o y aussi) joignant u et v, puisque

u = f(x) = f(y(O)) = (f o y)(O)

et

v = (f o y) (l ).

Exemple:

Pour tout intervalle Ide IR et toute application continue f une partie cpa de E.

:I

----+ E, la « courbe » f

(/) est

IR2 ; y2 = x} e st une partie cpa de IR2 , car c'est l'image de IR (qui est cpa) par l'application continue f : IR ----+ IR 2 . Par exemple, la parabole {(x,y)

E

y~(y2 ,y)

Remarque:

L'image réciproque d'une partie cpa par une application continue peut ne pas être cpa, comme le montre l'exemple :f: IR ----+ IR2 , B = [l ; +oo[xIR. Dans cet exemple, Best cpa y~(y 2,y)

(car convexe de IR ),maisf- (B) n'est pas cpa,puisquef- 1 (B) = ] - oo; -1] u [l ; +oo[. 2

1

73

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

l Ce théorème généralise le théorème des valeurs intermédiaires vu dans Analyse MPSI, 4.3.3 Th.

Soient A

E

Théorème des valeurs intermédiaires

s.p (E) ,f : A ----+ ~

une application.

__

Si A est connexe par arcs et f continue, alors fa la propriété des valeurs intermédiaires, c'est-à-dire : f atteint tout réel entre deux réels qu'elle atteint déjà. ) Preuve Puisque A est cpa et f continue, f (A) est cpa, et, comme f (A) est une partie cpa de IR, f (A) est un intervalle de IR .

Exercice 1.5.5.

e;xetAcice-type tAésolu

GL11 (C) est connexe par arcs a) Démontrer que GL11 (1C) est connexe par arcs.

b) Est-ce que GL11 (IR) est connexe par arcs?

Conseils

Sohdion a) Soit (A , B) E (GL,JIC))2. Considérons les application

f : IC ~ M,,(IC),

= 0, c'est-à-dire l lxj 112 = 0, et donc Xj = 0. Ceci montre que L

i= I

E; est directe.

i= I

2) C'est une traduction de I ).

Ceci revient à ce que E soit somme directe-orthogonale de F et G.

Soit (E , < ., . >) un espace préhilbertien. Deux sev F ,G de E sont dits supplémentaires orthogonaux si et seulement si : {

Puisque P est un projecteur, Ker(p) et lm(p) sont déjà supplémentaires dans E.

F et G sont orthogonaux .

E=F + G

Soient (E , < ., . > ) un espace préhilbertien et p un projecteur de E (c'est-à-dire un endomorphisme de Etel que p o p= p). On dit que p est un projecteur orthogonal si et seulement si Ker(p) et Im(p) sont supplémentaires orthogonaux dans E .

Soient (E ,< .,. > ) un espace préhilbertien et E1 ,. .. ,E11 des sev de E tels que E soit somme directe-orthogonale de E 1, . .. , E11 • On appelle Avec les notations ci-contre, on a : 11

L p; = ldE et, pour tout (i ,j) de i= I 2

( 1, .. ., n} tel que p; o Pj = Pj o p; = O.

i =/= j ,

Il

projecteurs orthogonaux associés à la décomposition E

i= I

directe-orthogonale les projecteurs Pi (1 à

(p

Ej.

l .;; j .;;n

J=l=i

-0 0

c

::J

0 (V)

......

0 N

Étude de sous-espaces orthogonaux dans un espace préhilbertien

@

.._,

.s::

Ol

·;::

Soient (E ,(.

>0.

On suppose:

0

I .))

un espace préhilbertien, F,G deux sous-espaces vectoriels de E.

u

E

=

F EB G

et

F c GJ..

a) Démontrer que F et G sont fermés dans E . b) Établir :

F = GJ.

86

= ÇP Ei de E en somme

et

G = F l. .

~

i

~

n)

sur Eï parallèlement

1.6 • Espaces préhilbertiens

Solution

Conseils

a)• Soit (f.,)neN une suite dans F , convergeant vers un élément x de E.

On va utiliser la caractérisation séquentielle des fermés.

Puisque E

=

F

œG , il existef E F , g E G tels que: x = f + g.

On a: Vn E N, f,, E F C G l.,

donc:

Vn

E

N, (f,, 1 g) = O. Cf.§ 1.6.3 Pro p. 4.

Comme f,, -----+ x et que le produit scalaire est continu, on déduit : noo

(x 1 g) =O.

Puis: (g 1g) = (x -

f 1g) =

f +g = f

d'où g = 0 , puis : x =

E

(x 1g) - (f 1g)=0,

= 0 et (f 1g ) = 0, car

On a (x 1 g)

x

F.

E F C

G l.,

f

E

F C Gl. , g E G.

On conclut: Utilisation de la caractérisation séquentielle des fermés.

F est fermé dans E.

•Par hypothèse:

E = F

œG et F c

G l. ,

donc aussi : E = G œ F et G C Gu C F l. .

F C Gl.

===> F l.

:::i G u .

On peut donc appliquer le résultat précédent au couple (G , F) au lieu de (F ,G) et on conclut : G est fermé dans E.

Rôles symétriques de F et G.

b) •Soit y E G J. .

On a déjà par hypothèse F c Gl. . On va donc montrer l'autre inclusion: G l. c F.

Puisque E = F

œG,

il existe u

E

F,

VE

G tels que: y= u

+V.

Ona: y E GJ.

donc : v

=y

et

u E F C Gl. ,

- u E GJ. .

Alors : v E G et v E GJ. , donc v

G l. est un sev de E.

= 0,

puis y

=u+v=u

E F.

Ceci montre : G l. C F. On conclut : F = G l. . • Par rôles symétriques de F et G, on conclut aussi : G = F l. .

Les méthodes à retenir Orthogonalité • Pour manipuler des orthogonaux, on essaiera de garder une écriture globale et d'utiliser les propriétés générales (Prop. 1. p. 83) avant d'envisager de passer aux éléments (ex. 1.6.3 à 1.6.5). • Dans un espace préhilbertien

(E,(.I.)), pour montrer une inclusion du genre A Va E A, Vb E B ,

C 8 1- , il suffit de prouver:

(alb) = 0

(ex.1.6.5 a)). On remarquera d' ailleurs: A

c

8 1- {:::::::::} B

c

A 1- .

En revanche, prouver une inclusion du genre A1- c B est plus difficile; on pourra essayer d' utiliser un raisonnement par l'absurde (ex. 1.6.5 a)). Dans un espace euclidien (donc de dimension finie), une argumentation fondée sur la dimension peut permettre de conclure.

87

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

Exercices 1.6.3 Soient E un espace préhilbertien, F un sev de E ; montrer : (F) 1- = p1-.

1.6.4 Soient E

1 le

= C([O :

= C([O: 1],IR)

1.6.5 Soient E (f,g) r--+

F

l],IR) muni du produit scalaire

= {f

E

11

fg,

E; \lx E [0:

1

(f,g)

1-+

lIV;l 12

Àn+ l,i = -

Considérons le vecteur Vn+i ainsi défini. Par construction, (V0 , ... , V11 +1) est une fami lle orthogonale. Si Vn+1 = 0, alors : n

en+ I = - L Àn+ 1,kVk E Vect(Vo, ... ,V11 ) k=O n

V11+1 = en+ I + L À11+1 ,kVk. k=O

Vect(eo, ... ,en) ,

contradiction avec (e0 ,. .. ,e11 + 1) libre. Donc V11 + 1 =f:. O. Comme V11 + 1 E Vect(e11 + 1, Vo,. .. Vn) et que Vect(Vo,. .. , Vn) = Vect(eo, ... ,en), on a: Vn+1

E

Vect(e0 ,. .. ,e11 +1), et donc Vect(V0 ,. .. , V11 + 1) C Vect(e0 ,. .. ,e11 +1).

Il

en+I = Vn+I - L Àn+l.k vk. k=O

De même, en+1 E Vect(Vo, ... , V,,, Vn+ 1) et Vect(eo, ... ,en)= Vect(Vo, ... Vn), d'où Vect(eo,. .. ,e,,+ 1) C Vect(Vo,. .. , V11+1). Finalement:

Vect(eo, ... ,e 11 + 1) = Vect(Vo, ... , V11 +1).

Résumons l'étude :

Orthogonalisation de Schmidt

Soient (E , < ., . >) un espace préhilbertien, (en)nE N une famille libre dans E. Dans ce théorème, il y a unicité de (V11 ) 11 eN si on rajoute la condition:

Il existe une famille (Vn)nE N dans E telle que :

Vn EN, < V11 ,e11 > = 1.

(Vn)nEN est orthogonale {

-0 0

"ln EN,

Vn =/= 0

"ln EN,

Vect(Vo,. .. , Vn) = Vect(eo,. .. ,en) .

En reprenant l'étude précédente pour une famille finie, il est clair que l'on obtient le résultat suivant :

c

::J

0 (V)

......

0

~ ..._,

.s::

Cas d'une famille finie (e 1 , ••• ,e,,) .

Soient (E, < ., . >) un espace préhilbertien, n dans E. Il existe (V1, ... , Vn) E En tel que :

E

N*, (e1,. . . ,e11 ) une famille libre

Ol

·;::

>0. 0

u

{

Vi, ... , Vn sont deux à deux orthogonaux Yi E {l ,. .. ,n}, Vi =/= 0 Vi

E

{l ,. .. ,n} ,

Vect(VJ ,. .. ,Vi) =Vect(e1,. . .,ei).

Remarque : Comme, dans la construction, Vise décompose sure;, Vi ,... , v, _1 , la matrice de passage de (e 1 ,. •• ,e;) à (Vi,. .. , V;) est triangulaire supérieure à termes diagonaux égaux à 1.

89

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

1.6.5

Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie Soient (E, < ., . >) un espace préhilbertien, F un sev de dimension finie de E,x E E. Nous allons montrer qu'il existe un élément et un seul y de F tel que (x - y)..LF, puis étudier l'application x ~ y .

F

Puisque F est de dimension fini e, (où n = dim(F)) .

F admet au moins une base (e1, . .. ,en )

D'après le procédé d'orthogonalisation de Schmidt (cf. 1.6.4 p. 89) et en normant les vecteurs obtenus, on voit que F admet au moins une base orthonormale (/1, ... , fn). n On cherche y par sa décomposition sur la base (/1, . .. ,Jn) de F.

y E F

Soit

quelconque,

y= L

Yifi

sa

décompositon

sur

(/1 , ... , fn ),

où

i=l

On a: (x - y)..lF

{:::::::} 'Vk

E

{1, ... ,n},

(x - y)..lfk n

{:::::::} 'Vk

E

{1,. . . ,n},

< fk,x - L

Yifi > = 0

i=I Ona:

(f;,fi)

=

=

k 1 si i { 0 si i =;t:k.

{:::::::} Vk

E { l ,.

{:::::::} Vk

E

. . , n },

{1,. . . , n },

< fk,x > -yk = 0 Yk = < fk ,x > ·

Résumons l'étude :

Théorème de projection orthogonale sur un sev de dimension finie

Soient (E , - )- un espace préhilbertien, Fun sev de dimension finie de E, x ~ Il existe un élément et un seul y de F tel que (x - y)..lF ; il s'agit de

-0 0

n

c

::J

y =

0

L

< fk,X > fh où (/1,. .. .fn) est n'importe quelle base orthonormale

k= I

(V)

......

de F . Cet élément y est appelé la projection orthogonale de x sur F ou : le pro-

0 N

jeté orthogonal de x sur F .

@

.._,

.s::

Ol

·;:

>0.

Soient ( E ,< .,. >) un espace préhilbertien, Fun sev de dimension finie de E. On note p F : E ~ E l'application qui, à chaque x de E, associe l'unique élément y de F tel que (x - y)..l F.

0

u

Alors: 1) p Fest un projecteur de E, c'est-à-dire : p F E L (E ) et p F o p F = p F 2) Im(pp) = F

90

et

Ker( pp ) = F J_

1.6 • Espaces préhilbertiens \ ") \

Rappel de notation : \.,;..) .CC ( E) est l'ensemble des applications linéaires et continues de E dans E.

3) p F est symétrique, c'est-à-dire : 2 'v'(x ,x') E E , < PF(X) ,x ' > = < x,pF(x') >

Pourf E .CC(E) :

1111111

= Sup llf(x)l l. llxll.;; 1

4) PF E ,CC(E) et, si F -::f. {0},

lllPFlll

5) L'application F ----+ lR

llx - /11

t~

= 1

admet une borne inférieure, atteint celle-ci et

l'atteint en p F (x) seulement. L'application p F est appelé le projecteur orthogonal sur F.

p1 (x)

F

Preuve

Utilisons les notations du Théorème p. 90. n

1) •'v'À E OC, 'v'(x ,x')

E2,

E

L

PF(Àx +x') =

n

n

=LÀ < fk.x > fk + k= I

< fk.ÀX +x' > fk

k=I

L

1

< fk ,X > fk = ÀPF(X) + PF(x').

k=I

•Pour tout x de E, pp(x)

E

F et donc pF(PF(x) ) = pF(x).

2) • ('v'z E F, p F(Z) = z), donc F C Im (PF ).

o('v'x E E ,pF(x) E F) , donclm(PF) CF.

• Ker(PF) = (x

E

E; PF(X) = 0} = {x

E

E; x..LF} = Fl. . n

'v'(x,x') E E 2 ,

3)

< PF(x) ,x' > =
fk ,X1 >

k=I

n

'

Remarquer la conjugaison sur le premier facteur.

=

L < fk,X > < fk,X

n

1

L < fk,X

> =

k= I

1

> < fk,X >

k=I

= < PF(x' ),x > = < x,pp(x') > .

"'O 0

c

4) •

::J

0

Soient

x

E

Comme

E , y= pp(x). 2

(x - y)..LF, 2

d'où (théorème de Pythagore): llx ll = llx - yll + llYll

(V)

......

0 N

Ceci prouve:

@ ..._, .s::

Comme p F

'v'x

E

E .C(E),

>0.

5) Soient x donne:

0

u

E

E,f

E

,

en

particulier

(x - y)..Ly,

et donc llY ll ::;:; llxll.

llpF(x) ll :S; llx ll .

E,

il s'ensuit PF

•Si F =!= {0}, il existe!

Ol

·;::

2

E

E /X(E)

et 111PF1 11 ::;:; 1 (cf. 1.2.5 Th. p. 52) .

F tel quef =!= 0, et alorsPFCf) = f, d'où lll PF lll:? 1.

F. Comme (x - pF(x))..L(pF(X) - f) , le théorème de Pythagore 2

2

llx - !11 = llx - PF(x)ll + ll PF(X) - 111

2

•

Ceci montre : llx - f ll :? llx - PF(x) ll { llx - fl l = llx - PF(x) ll fk

k=l

-

soit revenir à la définition.

1.6.7 Soient E = M 2 (JR.) muni du produit scalaire cano-

1.6.8 Soient E = M 3 (JR.) muni du produit scalaire canonique, F le sev des matrices antisymétriques,

nique, F = T 2 ,s (JR.) le sev des matrices triangulaires supérieures. Pour A = (

~

!)

M = E E,

-ci'{ \

g_;..;

Rappelsd'algèbrebilinéaireetd'algèbre sesquilinéaire.

::J

0

0

0

Déterminer le projeté orthogonal de M sur F et calculer la distance de M à F.

orthogonal de A sur F.

1.6.6

(~ ~ ~). 0

calculer le projeté

Norme d'un endomorphisme d'un espace euclidien Soient (E , < ., . > ) un espace euclidien (c'est-à-dire préhilbertien réel de dimension finie), la norme associée à < . , . > . Rappelons quelques définitions et résultats d'Algèbre (cf. Algèbre et géométrie MP) :

11 · 11

• Pour tout endomorphisme f de E , il existe un endomorphisme et un seul de E, appelé adjoint de f et noté f*, tel que :

(V)

......

~~

'" @~

'v'(x,y)

....., _ "

..c O'l

•On a, pour tout

.~-al

À

E

E2 ,

< f(x),y > = < x,f*(y) > .

de lR. et tous f ,g de /:,(E) :

~ -~ >- ~

o.~

(Àf + g)*=V*+g* ,

0 "'

Us

(IdE)*=IdE,

(g o f)*=f* o g*,

(f*)*=f.

•Pour toutf de /:,(E) et toute b.o.n. B de E , on a:

p(f) ~

111!111

=

p(f) ,

= Àk0 ,

et alors f(ek 0 )

=

p(f)ek0 , d'où

et donc:

•

et p(f) ~ Sup < f(x),x > . l lx l l ~ I

l)VfEl(E),

111!*111 =1 11/111.

2) V f E C(E),

Ill!* o !Ill= 111/111 2 .

Preuve 1) D'après la Prop. 1 appliquée à f* puis à f:

111!* 111=

Sup

1< J*(x),y

>

1=

ll xl l~ l, ll Yl l~ l

1< x,f(y)

Sup

>

1= 11 1!111-

llxl l~ l.llY ll~ l

2) Il est clair que f* o f est symétrique positif, d'où, en appliquant la Prop. 2 à f* of: lllf* o flll

=

Sup < f* o f(x),x > llx l l~ l

2

=

Sup < f(x),f(x) > llxl l~ I

=(

Sup llf(x)ll )

= 111!111 2 .

ll xl l ~ l

•

Norme d'un endomorphisme d'un espace euclidien • Pour déterminer l'adjoint/* d'un endomorphisme/d'un espace euclidien ( E ,< ., . > ) ,on peut revenir à la définition, et transformer< f(x),y > pour (x ,y) E E 2 , en une expression du type< x,g(y) >où g ne dépend pas de x et y, et vérifier que g est linéaire (ex. 1.6.9, 1.6.10). • Pour tout endomorphisme/ d ' un espace euclidien (E,< . , . >),et tout x de E, l'égalité : < x,f* o f(x) > =

llf(x)ll 2

est très utile (ex. 1.6.11 ).

97

Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

1.6.9 Soit n E N* . On munit M n(IR) du produit scalaire canonique, et on note f: M n(IR) ~ M n(IR) . Af--> tA

b) Soit A

E

M ,,(IR) ; on note hA : Mn(IR)-----+ M ,,(JR). M f--> tr(M) A

Déterminer h ~ .

Que l est l'adjoint f* de f?

1.6.10 Soit n E N*. On munit Mn (IR) du produit scalaire canonique. a) Pour A ,B E M n(IR), on note/A: M 11 (IR) ~ Mn (IR) et Mf-->AM

1.6.11 Soient (E , < .,. >) un espace euclidien,/ tel que f 2 = 0. Montrer : Ker(f) C Im(f)

~ M n(IR) . Mf-->MB

{:::=:}

f + J*

E .C (E)

E Ç[,(E) .

gs: M n(IR)

Déternùner les adjoints

.r; et g8.

P 1.1 Caractérisation de la continuité pour une application multilinéaire Ce problème P 1.1 étudie une extension du théorème de caractérisation de la continuité pour les applications linéaires (§ 1.2.5, théorème p. 52) au cas des applications multilinéaires. E N*, E 1 , ••• , En , F des IK-evn, x ... x En -----+ F une application n-linéaire.

Soient n

0. 0

u Cette condition revient à ce que, pour chaque i de (0, ...

fÏ]a; :a;+ 1 [

admette un prolonge-

ment continu à [a;; a;+ il.

106

n - 1},

• l a

= ao

< . . . < an

=b

• pour tout i de {0, ... , n - 1}, la restriction de f à ]ai ; ai+ 1[ est continue sur ]ai ; ai+ 1[ et admet une limite finie en ai à droite et une limite finie en ai+ 1 à gauche.

2.1 • Généralités

l

Soient l un intervalle de ffi., f E E 1. On dit que f est continue par morceaux) sur l si et seulement si, pour tout (a,b) de 12 tel que a < b.Jl[a;b] est continue par morceaux sur [a ; b]. ) y Exemples:

'

·Une application continue par morceaux sur un segment n'admet qu'un nombre fini de points de discontinuité. • Mais une application continue par morceaux sur un intervalle quelconque peut admettre une infinité de points de discontinuité.

1

1) L'application f

s'il existe n f(x) =

1

E

N tel que

1 1 - - ~X< 211+1 "' 2n

1 2

si X

1 4 l 8

=

1

est continue par morceaux sur JO; lJ. g admet une infinité de points de

Cependant, l'application g : [O; lJ ---+ IR défig(x) = {

f~x)

~~~~~~~~~

1 8

0

discontinuité.

nie par

y = f (x)

: JO; 1J ---+ IR définie par :

six EJO; lJ

1 2

1 4

1 X

si x = 0 obtenue en complétant g par continuité en 0, n'est pas continue par morceaux sur [O; lJ. 2) L'application f

: IR ---+

IR définie par :

si XE Z f(x) =

1:

s'il existe n

E

Z tel que 2n < x < 2n

-1

s'il existe n

E

Z tel que 2n - 1 < x < 2n

+1

est continue par morceaux sur IR. y

y= f (x)

-2

-1

1

0

2 X

On montre aisément les deux Propositions suivantes.

Soit l un intervalle de IR. 1) L'ensemble des applications de l dans E continues par morceaux sur l est un JK-ev (pour les lois usuelles).

2) Si À : l ----+ lK etf : l ----+ E sont continues par morceaux, alors Àf est continue par morceaux.

Supposons que E soit muni d'une base B .

l

Soient l un intervalle de IR, f E E 1, f1, ... .fN les applications composantes de f dans B. Pour que f soit continue par morceaux sur /, il faut et il suffit que, pour chaque j de {1, ... , N}, fj soit continue par morceaux sur 1. 107

Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle

CS;x:e.-cice.-type .-ésolu Un exemple d'inéquation fonctionnelle Montrer qu'il n'existe pas d'application f

: lR -----+

lR telle que :

V X E lR, V h E IR+,

f

(x

+ h)

~

f

(x)

+ .Jh.

Solution

Conseils

Supposons qu'il existe f convenant.

Raisonnement par l'absurde.

Soit n E N* . On a: Application de l'hypothèse à :

1 2 n- 1 0, -, - , ... , - - . n n n

(n-1)

f(l) ~ f - n -

(1

+y~· Télescopage.

d'où, en additionnant et en télescopant :

f

(l)

~ f (0) +nif,

c'est-à-dire :

f

(l) ~

f

(0)

+ Jn.

En faisant tendre n vers l'infini, on obtient une contradiction. On conclut qu'il n'existe pas d'application f convenant.

Les méthodes à retenir -0 0

c

:J

0

Continuité

(V)

......

0 N

@

.._,

.s::

• Pour étudier une fonction à valeurs dans JR2 , on se ramène souvent à l'étude des deux fonctions composantes. • Pour la résolution d'équations fonctionnelles faisant intervenir f (t) etf

(~) ,on pourra essayer, en changeant

Ol

·;::

>0.

de fonction inconnue, de se ramener à une équation fonctionnelle plus simple :

0

u

'v'tE IR,

g(t)=g(~),

puis on pensera à itérer dans cette égalité :

g(t)=g(~) (ex. 2.1.4).

108

=g(;2) =. .

2.2 • Dérivation

2.1.4 Trouver toutes les applications f

: IR

~ IR2 conti-

2.1.5 Soient (a, b) continue telle que :

nues en 0 et telles que :

(Ré(f(t)) = 0 ===? lm(f (t)) =/=

'v't E [a ; b],

Montrer qu'il existe m E

f(O) = (-1,1) { 'v't E IR,

E IR2 tel que a < b, f: [a; b] ~ C

!Ri tel que :

'v't E [a ; b],

f(2t) = cht · f(t).

o).

lf(t) I ~ m.

2.2 Dérivation Dans ce § 2.2, I désigne un intervalle de IR non vide et non réduit à un point.

Dérivée en un point

2.2.1

,.,

\J_,

Rappelons que, dans ce chapitre, E désigne un K-ev de dimension finie.

l

Soient a E /, f E E 1. On dit que f est dérivable en a si et seulement si 1 lim -(f(a + h) - f(a)) existe (dans E); cette limite est alors notéef'(a) et appeh~o h lée dérivée de f en a . Ainsi, sous réserve d 'existence :

.

1

f'(a) =hm - (f(a h-+0 h

+ h) -

f(a))

On peut aussi noter (Df)(a) , (D 1 f)(a), ou df (a) au lieu def'(a). dt Toute application constante À : I ~ E est dérivable en tout a de I, et t t----+ À

-0 0

À

1

(a) = 0 .

Supposons que E soit muni d'une base B.

Cette proposition permet, lors d'une étude de dérivation de fonction à valeurs vectorielles, de se ramener à des fonctions à valeurs réelles ou complexes.

Soient a E J,f E E 1,J1 , ... JN les applications composantes de f dans B. Alors,f est dérivable en a si et seulement si, pour chaque j de {1, .. . , N}, fj est dérivable en

c

N

::J

0

a; de plus, on a alors

J

f ' (a) ~ [;, Jj (a)ej.

(V)

......

~~~~~~~~~~~~~~~-

l

0 N

@ ..._, .s::

Preuve Il suffit de remarquer que, pour tout h de !, tel que h =I= 0 et a

Ol

·;::

>0.

1

h(f(a

0

u

g

Î

+ h) -

f(a)) =

LN

1

h(fj(a

+h E

+ h) -

l :

•

.fJ(a))ej.

J=I

Remarque: N

Généralisation de la Prop.1 .

Plus généralement, soient NE N* , E 1 , ••• , E N des IK-evn de dimensions finies, E

=

Jl Ej, j=I

f :I

~

que: 'v't

E une application. Notons, pour chaque j de {l, ... ,N} , fj: I E /,

f(t)

=

~

Ej, de façon

(fj(t))1 ~ j ,;;, N-

109

Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle

Alors,f est dérivable en a si et seulement si, pour chaque j de {l , ... ,N}, f; est dérivable en a ;de plus, on a alorsf'(a) = (fj(a)) 1 ~J ,;;, N ·

Soient a

E

J,f

E

E 1.

l) On dit que f est dérivable à droite en a si et seulement si

1 lim -(f(a + h) - / (a)) existe (dans E) ; cette limite est alors notée f~(a) et h--+O+ h appelée dérivée de f à droite en a.

l

2) On dit que f est dérivable à gauche en a si et seulement si

1

lim -(f(a + h) - / (a)) existe (dans E) ; cette limite est alors notée f,g' (a) et h appelée dérivée de f à gauche en a. h--+O-

On dispose d'une Proposition analogue à la Prop. 1 pour des dérivées à droite (resp. à gauche) en a. La Proposition suivante est immédiate.

0

Soient a El ,f E E 1.

On pourra essayer d'utiliser cette Proposition lorsque f (x) est donné par deux« formules »distinctes suivant la position de x par rapport à a.

Pour que f soit dérivable en a, il faut et il suffit que f soit dérivable à droite et à gauche en a et quef~ (a) = f~(a). De plus, sous ces hypothèses, on a alors f ' (a)

'

..._

La réciproque est fausse. La fonction valeur absolue 1 · 1 est continue en 0 et n'est pas dérivable en O.

l

Si f est dérivable en a, alors f est continue en a .

. 1 pmsque -(f(a h

c

2.2.2

::J

0

+ h) =

f(a)

f(a))

~

+ h) -

1

+h·-

h

(f(a

J

___]

Soient a E /,f E E 1.

f(a

-0 0

= f~(a) = J;(a).

+ h) -

f(a)) ~ f(a), h-->0

•

f' (a) .

h-->0

Propriétés algébriques des applications dérivables en un point

(V)

......

0 N

@• .....,_. .s::

Ici, ex est un scalaire fixé, À est une fonction à valeurs scalaires.

Soient a

E

/,a

E

IK,

À:

J

~

IK,f,g : J

~

E.

·;::

On suppose que À,j,g sont dérivables en a. Alors :

>0.

l)f

Ol

+ g est dérivable en a

(f

2) af est dérivable en a

et

(af)'(a) = af'(a)

3) Àf est dérivable en a

et

(Àf) 1 (a)

4) Si À(a)

l 110

+ g)'(a) =

et

0

u

#

1

0, alors - est dérivable en a

et

À 1

1) '

(

À

(a)

=-

À

(a)

(À(a)) 2 ·

f '(a)

+ g'(a)

= À1 (a)f(a) + À(a)f'(a)

2.2 • Dérivation

Preuve

•

Analogue à celle du Th. I de 5.1 .2 Analyse MPSI.

1

"} \

\.,;...>

Soient E,F deux JK-evn de dimensions finies,