Mathematische Grundlagen für Betriebswirte: Fragen und Aufgaben. Antworten und Lösungen. Testklausuren mit Musterlösungen. [9 ed.] 9783482001093, 9783482566790, 9783482615825

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9. Auflage Dieses bewährte Lehrbuch vermittelt Ihnen die für Ihr Studium notwendigen mathematischen Grundlagen. Alle Kapitel sind einheitlich gegliedert. Leicht verständlich geschrieben stellen sie das jeweilige mathematische Gebiet sowie dessen ökonomische Anwendung dar. Zahlreiche Beispiele und Graphiken erleichtern Ihnen die Erarbeitung des Lehrstoffes. Mit den Aufgaben am Ende jedes Kapitels trainieren und festigen Sie das Gelernte. Anhand von vier abschließenden Testklausuren überprüfen Sie Ihren Wissensstand unter Prüfungsbedingungen.

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Die Themen:

” Potenzrechnung ” Wurzelrechnung ” Logarithmenrechnung ” Gleichungen ” Funktionenlehre ” Reihenlehre ” Einführung in die Differentialrechnung ” Differentialrechnung 2 ” Lineare Algebra Die Autoren Sabine Hoffmann, Dipl.-Ing., ist Dozentin an der Wirtschaftsakademie Schleswig-Holstein und hatte in der Vergangenheit zahlreiche Lehraufträge, u. a. an der FH Kiel sowie am Multimedia-Campus in Kiel.

Hoffmann · Krause · Mathematische Grundlagen für Betriebswirte

Mathematische Grundlagen für das betriebswirtschaftliche Studium

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Hoffmann · Krause

Mathematische Grundlagen für Betriebswirte ” ” ”

Fragen und Aufgaben Antworten und Lösungen Testklausuren mit Musterlösungen 9. Auflage

Hugo Krause ist Oberstudienrat für Mathematik und Erdkunde am Abendgymnasium Kiel sowie Dozent für Mathematik und Statistik an der Berufsakademie der Wirtschaftsakademie Schleswig-Holstein. € 26,90 (D) ISBN: 978-3-482-56679-0

9 783482 566790

56679 Hoffmann.indd 1

16.08.13 10:49

Hoffmann ! Krause Mathematische Grundlagen fÅr Betriebswirte

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NWB Studium Betriebswirtschaft

Mathematische Grundlagen fÅr Betriebswirte Fragen und Aufgaben " Antworten und LÇsungen " Testklausuren mit MusterlÇsungen "

Von Diplom-Ingenieur Sabine Hoffmann und Oberstudienrat Hugo Krause

9., Åberarbeitete Auflage

Kein Produkt ist so gut, dass es nicht noch verbessert werden kÇnnte. Ihre Meinung ist uns wichtig! Was gef^llt Ihnen gut? Was kÇnnen wir in Ihren Augen noch verbessern? Bitte verwenden Sie fÅr Ihr Feedback einfach unser Online-Formular auf: www.nwb.de/go/feedback_bwl Als kleines DankeschÇn verlosen wir unter allen Teilnehmern einmal pro Quartal ein Buchgeschenk.

ISBN 978-3-482-56679-0 eISBN 978-3-482-00109-3 9., Åberarbeitete Auflage 2013 ] NWB Verlag GmbH & Co. KG, Herne 1984 www.nwb.de Alle Rechte vorbehalten. Dieses Buch und alle in ihm enthaltenen Beitr^ge und Abbildungen sind urheberrechtlich geschÅtzt. Mit Ausnahme der gesetzlich zugelassenen F^lle ist eine Verwertung ohne Einwilligung des Verlages unzul^ssig. Satz: Griebsch & Rochol Druck GmbH & Co. KG, Hamm Druck: StÅckle Druck und Verlag, Ettenheim

VORWORT Vorwort zur 9. Auflage Das vorliegende Buch beinhaltet eine Einführung in alle wesentlichen Themenbereiche der Wirtschaftsmathematik und deren mathematische Grundlagen. Besonderer Wert wurde auf die methodisch-didaktische Aufbereitung des Stoffes und auf eine praxisorientierte Stoffauswahl gelegt. Bei allen Kapiteln wurde konsequent eine einheitliche Gliederung beachtet, nämlich •

Darstellung des jeweiligen mathematischen Gebietes

•

Ökonomische Anwendung des betreffenden Gebietes

Die zahlreichen Beispiele und Graphiken erleichtern die Erarbeitung des Lehrstoffes. Am Ende eines jeden Kapitels stehen Aufgaben, die der Einübung und Sicherung des Gelernten dienen. Zur Selbstkontrolle können die Lösungen dem letzten Kapitel entnommen werden. Der Leser sollte die im Text enthaltenen Beispiele mit dem Bleistift in der Hand nachvollziehen, da sich das Gebiet der Mathematik nicht durch bloßes Lesen durchdringen lässt. Die Konzeption des Buches konnte von uns im Rahmen unserer Lehrtätigkeit an der Fachhochschule Kiel und an der Wirtschaftsakademie Schleswig-Holstein erprobt werden. Des Weiteren konnten wir auf Erfahrungen aus Veranstaltungen zur Aus- und Weiterbildung von Führungskräften der Praxis zurückgreifen. Das Werk richtet sich nicht nur an Studierende, sondern auch an den interessierten Wirtschaftspraktiker. Es eignet sich als vorbereitende und begleitende Literatur, besonders für das Mathematikmodul im Bachelor-Studium an der Universität, Fachhochschule oder Berufsakademie. Wegen der elementaren Aufbereitung der komplexen mathematischen Inhalte ist das Buch aber auch geeignet für Studierende mit mittleren Bildungsabschlüssen an Fachschulen und für die Ausbildung an Berufs-, Wirtschafts- und Verwaltungsakademien. Für Anregungen oder Hinweise auf Fehlerteufel danken wir unseren Dozentenkolleginnen und Kollegen, unseren aufmerksamen Studentinnen und Studenten und allen von uns geschätzten Leserinnen und Lesern der 8. Auflage.

August 2013 Sabine Hoffmann Oberdorf 12 24582 Brügge E-Mail: [email protected]

Hugo Krause Nöhrenkoppel 16b 24229 Dänischenhagen E-Mail: [email protected]

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VORWORT

INHALTSVERZEICHNIS Vorwort zur 9. Auflage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1

Potenzrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Vorzeichenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Addition und Subtraktion von Potenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Multiplikation von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Division von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Potenzieren von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Potenzieren von Summen und Differenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ökonomische Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Fragen und Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 11 11 12 12 13 14 15 17 18

2

Wurzelrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Addieren und Subtrahieren von Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Radizieren von Produkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Radizieren von Quotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Radizieren von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Radizieren von Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ökonomische Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Fragen und Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 21 23 23 24 24 25 25 27

3

Logarithmenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Logarithmensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Logarithmieren von Produkten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Logarithmieren von Brüchen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Logarithmieren von Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ökonomische Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Fragen und Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 29 29 30 30 31 31 31 32

4

Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Darstellung von Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Umformung von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 35 35 35 38 41 7

VERZEICHNIS

Inhalt

4.2.4.1 Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4.2 Lösen von reinquadratischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4.3 Lösen von gemischtquadratischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Gleichungen höheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Exponentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Ökonomische Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Fragen und Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 42 43 46 47 48 49 54

5

Funktionenlehre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Aufstellen von Funktionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Ökonomische Anwendung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3.1 Nachfrage- und Angebotsfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3.2 Kostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3.3 Umsatz- und Gewinnfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Darstellung von Parabeln 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Darstellung von Parabeln 3. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Parabeln höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Ökonomische Anwendung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Hyperbeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Ökonomische Anwendung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Ökonomische Anwendung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2.1 Die Rendite im Zweizahlungsfall dargestellt als Funktion von Kn . . 5.5.2.2 Degressive Kostenfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Darstellung von Exponentialfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Darstellung von Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Ökonomische Anwendung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Fragen und Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 58 60 60 65 68 68 75 77 81 81 86 87 89 94 94 99 101 101 103 103 104 105 105 107 108 112

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Reihenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Arithmetische Folge und Arithmetische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Geometrische Folge und geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Unendliche geometrische Reihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Ökonomische Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Aufzinsung und Abzinsung einmaliger Zahlungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Kapitalisieren einer Rente (abzinsen und aufsummieren) . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Verrentung eines heute fälligen Betrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Verrentung eines in n Jahren fälligen Betrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116 116 118 119 120 120 121 125 129

8

Inhalt

VERZEICHNIS

6.4.5 Endwertermittlung einer Rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Berechnungen mit dem Tabellenkalkulationsprogramm Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Fragen und Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133 136 137

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Einführung in die Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Grundbegriffe der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Steigung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Differenzenquotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Differentialquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Differenzierungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Potenzregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Konstantenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Extremwertbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Ökonomische Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Grenzkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Grenzumsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3 Gewinnmaximierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.4 Die optimale Bestellmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.5 Optimale Lagerauffüllung vor Preiserhöhungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Fragen und Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139 139 139 139 141 143 146 146 148 149 149 150 157 157 162 164 172 174 175

8

Differentialrechnung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Grundlegendes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Ökonomische Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Weiterführende Differenzierungsregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Ableitungsregeln für logarithmische Funktionen, Exponentialfunktionen und trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Differenzieren von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen . . . . . . . . . 8.3.1 Partielle Differenzenquotienten und partielle Differentialquotienten . . . . 8.3.2 Extremwertbestimmung bei Funktionen mit n unabhängigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Lösung von Optimierungsproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Variablenelimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Multiplikatorregel nach Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Ökonomische Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Gewinnoptimales Produktionsprogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Materialminimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Fragen und Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177 177 177 179 181 181 183 184 185 185 185 190 197 197 202 204 204 204 206

9

VERZEICHNIS

9

Inhalt

Lineare Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Grundlegendes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Ökonomische Anwendung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Fragen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Grundlegendes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Lösbarkeit Linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.4 Ökonomische Anwendung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.5 Fragen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Lineare Optimierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Grundlegendes zur Ressourcenknappheit und Nutzenmaximierung . . . . . 9.4.2 Nutzenmaximierung – Graphischer Lösungsansatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3 Nutzenmaximierung – Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.4 Schlussbemerkung zur Nutzenoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.5 Ökonomische Anwendung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

208 208 209 209 212 226 232 233 233 241 252 264 268 269 269 271 281 297 298 306

Testklausur 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309

Testklausur 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311

Testklausur 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

313

Testklausur 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

315

Kurzantworten und Kurzlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

317

Lösungen zur Testklausur 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363

Lösungen zur Testklausur 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

367

Lösungen zur Testklausur 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

372

Lösungen zur Testklausur 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

374

Anhang: Finanzmathematische Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

376

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

379

Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

381

10

1.1 Darstellung

1

Potenzrechnung

1.1

Darstellung

1.1.1

Begriff

KAPITEL 1

Ein Produkt aus mehreren gleichen Faktoren lässt sich verkürzt als Potenz1 schreiben. B1

4

4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4 = 256

D1 n

a⋅a⋅a⋅a⋅…⋅a = a = c n

n

a (sprich a hoch n) ist das Produkt von n gleichen Faktoren a. Man nennt a die n-te Potenz von a; a heißt Basis oder Grundzahl, n heißt Exponent2 oder Hochzahl und ist seiner Bedeutung entsprechend eine natürliche Zahl. Das Ergebnis heißt Potenzwert.

Basis

Exponent

a

n

Potenzwert

c

=

1

Durch obige Definition ist a nicht erklärt, es ist aber sinnvoll festzusetzen: D2 1

a = a

1.1.2 B2

Vorzeichenregel 3

( +2 ) = ( +2 ) ⋅ ( +2 ) ⋅ ( +2 ) = 8

R1 n

( +a ) = +a

n

Ist die Basis einer Potenz positiv, so ist auch der Potenzwert positiv. B3

2

( –2 ) = ( –2 ) ⋅ ( –2 ) = + 4

1 Potenz = lat. potentia, Macht, Kraft. 2 Exponent = lat. exponere, heraussetzen, herausstellen.

11

1 Potenzrechnung

KAPITEL 1

B4

3

( –2 ) = ( –2 ) ⋅ ( –2 ) ⋅ ( – 2 ) = ( + 4 ) ⋅ ( – 2 ) = – 8

R2 ( – a) ( – a)

2n

2n – 1

=

a

2n

2n – 1

= –a

}

für n = 1, 2, 3, ...

Ist die Basis einer Potenz negativ und der Exponent eine gerade Zahl, so ist der Potenzwert positiv. Ist die Basis einer Potenz negativ und der Exponent eine ungerade Zahl, so ist der Potenzwert negativ.

1.1.3

Addition und Subtraktion von Potenzen

Im Allgemeinen sind Potenzen nicht addierbar, es sei denn, es handelt sich um identische Potenzen. R3 Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten addiert oder subtrahiert. 2

2

3

4

2

B5

3a + 5a = 8a

B6

2a + 6a + 2a + 5a 4

3

4

4

3

= 6a + 5a + 2a + 2a 4

= 11a + 4a B7

3

3

3

1. Schritt: Ordnen nach fallenden Potenzen 2. Schritt: Zusammenfassen

2

3

2

26ac + 20a c + 12ac + 17a c + 3ac 2

2

2

2

2

3

2

3

= 20a c + 17a c + 3ac + 26ac + 12ac = 37a c + 3ac + 38ac

3

Beachten Sie, dass nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten durch Addition oder Subtraktion zusammengefasst werden können.

1.1.4

Multiplikation von Potenzen

R4 n

a ⋅a

m

= a

n +m

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert. B8

12

2

4

2 ⋅ 2 = (2 ⋅ 2 )(2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ) = 2

2+4

= 2

6

1.1 Darstellung

2

3

7

2+3

1+7

5

5a n ⋅ 6a n = 5 ⋅ 6 ⋅ a

B 10

x

B 11

2 ⋅ 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = ( 2 ⋅ 3 ) ⋅ ( 3 ⋅ 2 ) = 6 = 36

B 12

( 5a ) = 5 a = 125a

2

⋅x

7n – 3b

= x

6n + 7n + 7b – 3b

= 30a n

8

B9

6n + 7b

⋅n

= x

13n + 4b

2

3

KAPITEL 1

2

3 3

3

R5 n

n

a ⋅ b = ( ab )

n

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Ergebnis mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. Umkehrung: Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert.

1.1.5

Division von Potenzen

R6 n

a ÷a

m

= a

n–m

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert. B 13

4 2 4–2 2 2⋅2⋅2⋅2 = 2 2 ÷ 2 = -------------------------- = 2 2⋅2

Damit R 6 auch dann gilt, wenn n = m oder n < m setzt man fest: D3 0

a = 1 für a ≠ 0 B 14

5

5

b ÷b = b

5–5

0

= b = 1

D4 1 = ----na Jeder echte Bruch lässt sich als Potenz mit negativem Exponent darstellen. a

B 15

– n

2–4 –2 2 4 1 a⋅a = a a ÷ a = -------------------------- = ----2- = a a⋅a⋅a⋅a a

13

1 Potenzrechnung

KAPITEL 1

B 16

3

2

4

–1

⋅n

3 2

( 15x n b ) ÷ ( 5x n b ) = ( 15 ÷ 5 ) ⋅ x = 3x

–1

⋅b

–1

3–4

⋅n

2–3

⋅b

1–2

3= --------bnx

R7 n a = ⎛ --a- ⎞ n ----n ⎝b⎠ b Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

Umkehrung: Ein Bruch wird potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert. 2

2

6 2 2 6 ----2- = ⎛⎝ --- ⎞⎠ = 3 = 9 2 2

B 17

36 6 ----2- = ------ = 9 4 2

B 18

4 4 16 2 ⎛2 --- ⎞ ⎝ 3 ⎠ = ----4- = ----81 3

B 19

16 2 2 16 -------- = ⎛⎝ ------ ⎞⎠ = 4 = 16 2 4 4

1.1.6

2

Potenzieren von Potenzen 3 2

B 20

(2 ) = (2 ⋅ 2 ⋅ 2)(2 ⋅ 2 ⋅ 2) = 2

B 21

(b ) = b

3 4

3⋅2

= 2

6

12

R8 n m

(a )

= a

n⋅m

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert. x 2

B 22

(n ) = n

B 23

(b )

B 24

14

x –n

2x

= b

2 ⎛ –1 --- ⎞ ⎝ 2 ⎠

– nx

–3

1 = ------nx b

1 = ⎛ – --- ⎞ ⎝ 2 ⎠

–6

6

= ( – 2 ) = 64

1.1 Darstellung

1.1.7

KAPITEL 1

Potenzieren von Summen und Differenzen

R9 Eine Summe oder Differenz wird potenziert, indem man die Potenz in ein Produkt verwandelt und dieses ausmultipliziert. 2

2

2

2

2

2

2

2

B 25

( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) = a + ab + ab + b = a + 2ab + b

B 26

( a – b ) = ( a – b ) ( a – b ) = a – ab – ab + b = a – 2ab + b

B 27

( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) = ( a + 2ab + b ) ( a + b )

3

2

3

2

3

2

2

2

2

B 28

2

2

2

= a + 2a b + b a + a b + 2ab + b = a + 3a b + 3ab + b

2

3

3

3

2

2

( a – b ) = ( a – b ) ( a – b ) ( a – b ) = ( a – 2ab + b ) ( a – b ) 3

2

3

2

2

2

2

= a – 2a b + b a – a b + 2ab – b 2

= a – 3a b + 3ab – b

3

3

Die in B 25 bis B 28 abgeleiteten Formeln werden häufig benötigt. Eine Summe aus zwei Gliedern nennt man Binom1. Die abgeleiteten Formeln werden daher auch als binomische Formeln bezeichnet. n

Schreibt man die Koeffizienten der aus ( a + b ) für n = 1, 2, 3, ... abgeleiteten Formeln untereinander, so erhält man das Pascalsche2 Dreieck. 0

1

(a + b) = 1 1

1

(a + b) = a + b 2

2

3

3

( a + b ) = a + 2ab + b 2

2

1 2

( a + b ) = a + 3a b + 3ab + b

3

1

4

1

(a + b) = 5

1

(a + b) = 6

1

(a + b) = ............

.

.

2 3

4 5

6

1 3

6 10

15 .

1

4 10

20 .

1 1 5 15

.

1 6

.

1 .

.

Folgende Gesetzmäßigkeiten lassen sich aus dem Pascalschen Dreieck ableiten: (1) Die k’te Zeile im Pascalschen Dreieck enthält die Koeffizienten der einzelnen Summanden k von ( a + b ) . Jede Zeile beginnt und endet mit einer 1. 1 Binominis = lat. zweinamig. 2 Benannt nach dem französischen Mathematiker und Philosophen Blaise Pascal (1623–1662), der als Begründer der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt.

15

1 Potenzrechnung

KAPITEL 1

(2) Man erhält die (k + 1)’te Zeile, indem man die jeweils benachbarten Koeffizienten der vorangehenden Zeilen addiert. (3) Die Summanden sind nach fallenden Potenzen des 1. Gliedes a und nach steigenden Potenzen des Gliedes b geordnet. Bei jedem Summanden ist die Summe der Exponenten gleich k dem Exponenten k von ( a + b ) . Vorzeichenregel: Ist das Binom eine Differenz, so wechseln die Vorzeichen ab. Das erste Glied hat immer ein positives Vorzeichen B 29

6

Berechnen Sie den Ausdruck ( a – b ) mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks. Lösung: 1. Schritt:

Ermitteln Sie die Koeffizienten und schreiben Sie sie auf.

2. Schritt:

Schreiben Sie darunter die fallenden Potenzen des ersten Gliedes und darunter die steigenden Potenzen des zweiten Gliedes.

3. Schritt:

Multiplizieren Sie die Zahlen in den Spalten miteinander.

4. Schritt:

Verbinden Sie die so gefundenen Ausdrücke bei einer Summe mit positiven Vorzeichen, bei einer Differenz mit wechselnden Vorzeichen.

1.

1

6

15

20

15

6

1

6

5

a 1 b

4

3

2

1

a 6 b

6

6a b

2.

a 0 b

3.

a

a 2 b

5

6

4.

a 3 b

4 2

15a b 5

4 2

3 3

20a b

3 3

a 4 b 2 4

15a b 2 4

0

a 5 b 6ab 5

a – 6a b + 15a b – 20a b + 15a b – 6ab + b

5

b

6

6

Häufig ist es für den weiteren Rechenvorgang von Vorteil, aus gegebenen Ausdrücken Faktoren auszuklammern. B 30

3

6

3

3

15x + 10x = 5x ( 3 + 2x )

Der gemeinsame Faktor kann auch eine Summe oder Differenz sein. B 31

16

2x ( 7a + 10 ) + 3 ( 7a + 10 ) = ( 7a + 10 ) ( 2x + 3 )

1.2 Ökonomische Anwendung

KAPITEL 1

Die Differenz zweier Quadrate lässt sich wie folgt zerlegen: R 10 2

2

a – b = (a + b)(a – b) 2

2

2

Beweis: ( a + b ) ( a – b ) = a + ab – ab – b = a – b B 32

1.2

2

2

2

16a – 4x - = -----------------------------------------------( 4a + 2x ) ( 4a – 2x -) = 4a – 2x -------------------------4a + 2x 4a + 2x

Ökonomische Anwendung

Das Potenzieren gehört zu den elementaren Rechenarten. Die Kenntnis der Rechenregeln bei Potenzen ist daher auch bei vielen wirtschaftsmathematischen Fragestellungen nötig. Ein besonderes Anwendungsgebiet der Potenzrechnung liegt in der rechnerischen Erfassung von Wachstumsvorgängen. B 33

Der Aufzinsungsfaktor Ein Sparer zahlt heute 100 € bei seiner Bank ein. Die Bank zahlt ihm auf das Kapital 5 % Zinsen pro Jahr. Der Sparer möchte gerne wissen, auf welchen Betrag sein Kapital in 10 Jahren unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszins angewachsen ist. Die Zinsen werden jeweils am Ende eines Jahres dem Kapital zugeschlagen und sodann mitverzinst. Gegeben: K 0 = 100 €

Kapitaleinlage zum Zeitpunkt 0

5 i = --------- = 0, 05 Zinssatz in Dezimalschreibweise 100 n = 10 Jahre Gesucht: K n

Anlagezeitraum Kapital nach 10 Jahren

Das Problem lässt sich am Zeitstrahl folgendermaßen darstellen:

Wir wollen nun die Entwicklung des Kapitals im Zeitablauf verfolgen. Das Kapital am jeweiligen Jahresende ergibt sich aus der Summe des Kapitals am Jahresanfang und den Zinsen auf das Kapital.

17

1 Potenzrechnung

KAPITEL 1

Lösung: Zeitpunkt

Kapital

0

K0

1

K 1 = K0 + K 0 ⋅ i = K0 ( 1 + i )

2

K2 = K1 + K1 ⋅ i = K1 ( 1 + i ) = K0 ( 1 + i ) ( 1 + i ) = K0 ( 1 + i )

3 ... n

K3 = K2 + K2 ⋅ i = K2 ( 1 + i ) = K0 ( 1 + i ) ( 1 + i ) = K0 ( 1 + i ) ... n Aufzinsungsfaktor (AuF) Kn = K 0 ( 1 + i )

2

2

3

Auf das Beispiel angewandt ergibt sich: K n = 100 ( 1 + 0, 05 )

10

= 100 ⋅ 1, 05

10

= 100 ⋅ 1, 6289 = 162, 89

Der Sparer kann nach 10 Jahren über einen Betrag von 162,89 € verfügen.

1.3

Fragen und Aufgaben

Fassen Sie so weit wie möglich zusammen: 2

2

2

2

1.1

2a + 5b + 4a + 10b

1.2

22ac + 10ab + 35ac

1.3

10a n ⋅ 7an

1.4

a

1.5

36a

1–m

1.6

c ÷c

8

5

1.7

a x ÷a x

1.8

x ⋅b

1.9

⎛1 --- ⎞ ⎝3 ⎠

1.10

1.11

18

3

2

2

b+c

⋅a

2 5

5

5

b–c

1 m–1 ⋅ --- a 2

3 6

5

5

–3 ⎛–5 --- ⎞ ⎝ 2⎠ 7x + 5y

–3

6y + 8x

b b --------------- – --------------4x – 5y 5x – 4y b b

3

1.3 Fragen und Aufgaben

3

4

1.12

⎛ 20a ----------⎞ ---------- ⎞ ⋅ ⎛ 12x ⎝ 12x ⎠ ⎝ 4x ⎠

1.13

10a 4a ----------4- – -------------------n+4 5a 12a

1.14

2a - ⎞ ⎛ b 2a- ⎞ 3 ⎞ ÷ ⎛ -----⎛ -----------⋅ ⎝ 3b 5 ⎠ ⎝ a 2 ⎠ ⎝ 3b ⎠

4

3

1.15

⎛a ----- ⎞ ⎝ x3 ⎠

–2

5x

2

KAPITEL 1

5x + n

2

2

2

2x - ⎞ ⋅ ⎛ ---------⎝ 5a –3 ⎠

–1

⋅ 2ax

–4

Potenzieren von Summen: 5

1.16

(a + b)

1.17

( 2x + 3a )

1.18

(y + x – z)

1.19

(x – y)

2 2

2

4

Zerlegen in Faktoren: 2

1.20

a – 16

1.21

4a + 72ab + 81b

1.22

3x b – 12xb

1.23

9m + 9mx -------------------------2 1–x

1.24

(x + y) -----------------2 2 x –y

2

2

2

2

2

1.25

Leiten Sie ausführlich den Aufzinsungsfaktor ab. Erläutern Sie alle verwendeten Symbole.

1.26

Auf welchen Betrag wäre ein Cent bis 2010 angewachsen, wenn man ihn im Jahre Null zu 3 % Zinsen angelegt hätte?

1.27

Das Sozialprodukt eines Staates betrage heute eine Billion Euro. Auf welche Höhe wächst das Sozialprodukt in 20 Jahren, wenn man ein Wachstum von 2 % unterstellt und der Zuwachs jeweils am Jahresende zugerechnet wird?

1.28

Ein Heizölhändler hat mit einem Jahresabsatz von 32.000 Tonnen Heizöl einen regionalen Marktanteil von 25 %. Für die nächsten 5 Jahre wird mit einer jährlichen Steigerung

19

1 Potenzrechnung

KAPITEL 1

des eigenen Absatzes von 2 % gerechnet. Wie hoch ist der Marktanteil des Heizölhändlers, wenn a) der Gesamtabsatz in der Region über die betrachteten 5 Jahre konstant bleibt? b) der Gesamtabsatz jährlich um 5 % schrumpft? 1.29

Problem aus der Zeit um die Jahrhundertwende: Man rechnet in den nächsten 20 Jahren mit einem Anstieg der Weltbevölkerung um 2 % jährlich und einem Wachstum der Weltgetreideproduktion um jährlich 1 %. Die Weltbevölkerung beträgt zur Zeit ca. 6,1 Mrd. und die Weltgetreideproduktion 1,9 Mrd. Tonnen. a) Wie groß ist die Weltbevölkerung nach 20 Jahren? b) Wie groß ist die Weltgetreideproduktion nach 20 Jahren? c) Um wieviel Prozent ist der Pro-Kopf-Verbrauch an Getreide nach 20 Jahren gesunken?

1.30

Ein Unternehmen der Fahrzeugbranche stellt Güllewagen vom Typ „Frühlingsduft“ her. In den nächsten Jahren rechnet man mit einem Anstieg der Preise um 5 % pro Jahr und einer Zunahme der Absatzzahl um 2 % pro Jahr. Um wieviel Prozent ist der Umsatz nach 5 Jahren angestiegen?

1.31

Ein Unternehmen führt einen Erfolgsvergleich seiner Produkte A, B und C durch. Es liegen folgende Daten vor: Mai Produkt A B C

Preis (€/Stück) 20 100 420

Juni Absatz (Stck/Mon.) 10000 2000 1600

Preis (€/Stück)

Absatz (Stück/Mon.)

21 103 432

10500 2200 1580

a) Welches Produkt weist die größte prozentuale Umsatzsteigerung auf? b) Um wieviel Prozent steigt der Gesamtumsatz im Unternehmen in 6 Monaten (Basismonat: Mai), wenn man gleichbleibendes Wachstum unterstellt?

20

2.1 Darstellung

2

Wurzelrechnung

2.1

Darstellung

2.1.1

Begriff

KAPITEL 2

Wie die Subtraktion eine „Umkehrung“ der Addition und die Division eine Umkehrung der Multiplikation ist, so ist die Wurzelrechnung eine Umkehrung der Potenzrechnung. Bei der Berechnung einer Potenz sind die Basis und der Exponent bekannt. Gesucht ist der Potenzwert. 3

2 = ? n

oder

b = ?

Bei der Berechnung einer Wurzel („Radizieren“1) sind der Potenzwert und der Exponent bekannt. Gesucht ist die Basis. 3

(?) = 8 n

oder ( ? ) = a Gesucht ist die positive Zahl, die mit 3 potenziert 8 ergibt, oder allgemein, gesucht ist die positive Zahl b, die mit n potenziert, a ergibt. In der Darstellungsweise der Wurzelrechnung schreibt man: 3

(3 8 = ?)

statt

(? ) = 8

n

statt

(? ) = a

a=?

n

D1 n

n

a = b↔b = a

a, b ≥ 0und n ist eine natürliche Zahl

Die n-te Wurzel aus einer positiven Zahl a ist die positive Zahl b, die mit n potenziert a ergibt. Wurzelexponent

n

a = b

Radikand

1 Radizieren: lat. radix = die Wurzel.

21

2 Wurzelrechnung

KAPITEL 2

Aus der Wurzeldefinition folgt: R1 n

n

( n a ) = a und n a = a Wurzelziehen und nachfolgendes Potenzieren mit dem gleichen Exponenten heben sich auf. n

Wegen 0 = 0 ergibt sich aus D 1: R2 n

Für negative a ist der Ausdruck Es gilt

3

n

0 = 0

a genau dann definiert, wenn n ungerade ist.

3

– 8 = – 2 , da ( – 2 ) = – 8

Die Zahl 2 ist der häufigste Wurzelexponent. Man lässt sie zur Vereinfachung meist weg. a = B1 B2

3

B3

2

a 2

4 = 2

denn

2 =4

8 = 2

denn

2 =8

3

2

81 = 9 denn

9 = 81

Zur Berechnung der Quadratwurzeln gibt es Rechenverfahren, die vor dem Siegeszug der Taschenrechner Pflichtstoff waren. Wir verzichten auf die Erörterung dieser Rechenverfahren und schlagen vor, die Berechnung von Wurzelwerten mit einem Taschenrechner durchzuführen. Allgemein setzt man fest: D2 n

a=a

1 --n

und

n

k

a = a

--kn

n und k sind natürliche Zahlen und n ≠ 1 . Jede Wurzel lässt sich als Potenz mit gebrochenem Exponenten schreiben. Für Potenzen mit gebrochenen Exponenten gelten die gleichen Rechenregeln wie für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten.

B4

a = a 2

--12 --23

B5

3

b = b

B6

3

a⋅5 a = a ⋅a = a

22

1 --3

1 --5

1 --- + 1 --3 5

= a

8----15

=

15

a

8

2.1 Darstellung

2.1.2

KAPITEL 2

Addieren und Subtrahieren von Wurzeln

Wurzeln und Potenzen lassen sich durch Addition und Subtraktion nur zusammenfassen, indem man die Zahlenwerte berechnet und zusammenfasst. B7

3

8 + 25 = 2 + 5 = 7 2 + 3 = 1, 41 + 1, 73 = 3, 14

B8

Eine Ausnahme bilden identische Wurzeln. R3 Wurzeln mit gleichen Exponenten und gleichen Radikanden werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten addiert oder subtrahiert. B9

2+ 2 = 2 2

B 10

33 6 + 23 6 = 53 6

B 11

2 a – 8 a = –6 a

2.1.3

Radizieren von Produkten

Wegen

n

--1n

--1n

--1n

ab = ( ab ) = a ⋅ b =

n

a ⋅ n b gilt:

R4 n

ab =

n

a⋅n b

Ein Produkt wird radiziert, indem man jeden Faktor radiziert und die Wurzelwerte multipliziert. B 12

4 ⋅ 16 =

64 = 8

4 ⋅ 16 =

4 ⋅ 16 = 2 ⋅ 4 = 8

Manchmal lässt sich der Radikand so in Faktoren zerlegen, dass man aus dem Produkt teilweise die Wurzel ziehen kann. B 13

12 =

B 14

72 – 18 =

B 15

4⋅3 =

4⋅ 3 = 2 3

2 ⋅ 36 – 2 ⋅ 9 = 6 2 – 3 2 = 3 2

1 1 5 --- ⋅ 6 2 = 5 ⋅ 6 --- ⋅ 2 = 30 1 = 30 2 2

23

2 Wurzelrechnung

KAPITEL 2

2.1.4

Radizieren von Quotienten --1-

--1-

Wegen

n n a a n a a --- = ⎛ --- ⎞ = -----1- = -------- gilt: ⎝ ⎠ b n b b --n b

n

R5 n a --a- = ------n b b Ein Bruch wird radiziert, indem man Zähler und Nenner radiziert und den Wurzelwert des Zählers durch den Wurzelwert des Nenners dividiert. n

B 16

16 ------ = 4

B 17

3 9 9 --- = ------- = --2 4 4

B 18

3 27 --- ÷ ------ = 4 4

2.1.5

Radizieren von Potenzen

Wegen

n

16 16 = 4 ------ = ------------ = 2 4 2 4

4 = 2

3 --- ÷ 27 ------ = 4 4

--k-

1 ---

3⋅4 -------------- = 27 ⋅ 4

1 1 --- = --9 3

k

k n n k a = a = ⎛ a ⎞ = ( n a ) gilt: ⎝ ⎠

R6 n

k

a = (n a)

k

Potenzen werden radiziert, indem man die Wurzel aus der Basis zieht und mit dem Exponenten der Basis potenziert. B 19

--4-

--1-

2 2 4 4 = 4 = ⎛4 ⎞ ⎝ ⎠ 4

4 = --kn

Wegen a = a

bk-----bn

4

= ( 4)

4⋅4⋅4⋅4 =

4

4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = ( 4)

4

gilt:

R7 n

k

a =

bn

a

bk

Wurzelexponent und Exponent des Radikanden lassen sich kürzen und erweitern. B 20

24

4 = 2 =

2⋅2

2

4 =

4

16 = 2

2.2 Ökonomische Anwendung

--84

8

B 21

4

a = a = a

B 22

6

b

2.1.6 Wegen

18

= b

18----6

KAPITEL 2

2

= b

3

Radizieren von Wurzeln n m

a =

n

a

1---m

1 1- --n---m⎞

= ⎛a ⎝ ⎠

= a

1 -----------m⋅n

=

n⋅m

a gilt:

R8 n m

a =

n⋅m

a

Eine Wurzel wird radiziert, indem man die Wurzelexponenten mulipliziert und die Basis mit dem Produkt radiziert.

B 23

B 24

2.2

2 3

3 2

1 ---

3 a = ⎛a ⎞ ⎝ ⎠

64 =

6

1 --2

= a

64 = 2

1 --- ⋅ 1 --3 2

= a

3 2

1---------3⋅2

=

2⋅3

a =

6

a

64 = 3 8 = 2

Ökonomische Anwendung

Wurzeln kommen in einer Vielzahl betriebswirtschaftlicher Formeln vor. Einige Beispiele seien im Folgenden aufgeführt. B 25

Renditebestimmung im Zweizahlungsfall Ein Kunstsammler kauft ein Stilleben für 10.000 €. Er glaubt, das Bild nach 10 Jahren für 20.000 € weiterverkaufen zu können. Der Kunstsammler möchte gerne wissen, wie hoch die Verzinsung seines Kapitaleinsatzes ist. Gegeben ist eine Zahlung K 0 = 10.000 € zum Zeitpunkt 0 und eine Zahlung K n = 20.000 € zum Zeitpunkt n = 10. Gesucht ist der Zinssatz, mit welchem man K 0 aufzinsen muss, um nach n Jahren den Betrag K n zu erhalten1.

1 Zur Effektivzinsbestimmung und zu den Methoden der Investitionsrechnung vgl. etwa: K.-D. Däumler, Grundlagen der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung, 12., vollständig überarbeitete Aufl., Herne/Berlin 2007.

25

2 Wurzelrechnung

KAPITEL 2

Unter 1.2 wurde der Aufzinsungsfall betrachtet. Danach gilt: Kn = K0 ( 1 + i )

n

Durch Auflösen der Gleichung nach i erhält man folgende Formel1: i =

n

K -----n- – 1 K0

--1n

K i = ⎛ -----n- ⎞ – 1 ⎝ K0 ⎠

oder in Potenzschreibweise2

Für das Beispiel gilt danach: i =

20000 ---------------- – 1 = 10000

10

10

2 – 1 = 1, 072 – 1 = 0, 072

Der Kunstsammler erhält eine Verzinsung des eingesetzten Kapitals von 7,2 %. B 26

Ermittlung des Kalkulatorischen Unternehmerlohnes Einzelunternehmer und Gesellschafter von Personengesellschaften erhalten für ihre unternehmerische Tätigkeit kein Gehalt, sondern sie haben Anspruch auf den Gewinn. Zur Ermittlung der Selbstkosten ist es jedoch notwendig, ihre Tätigkeit zu bewerten. Man steht vor dem Problem der Ermittlung eines kalkulatorischen Unternehmerlohnes. Ein sinnvoller Ansatz zur Ermittlung des kalkulatorischen Unternehmerlohnes besteht in der Beantwortung der Fragen: •

Wie hoch wäre das Gehalt eines leitenden Angestellten, der den Unternehmer ersetzt?

•

Wieviel würde der Unternehmer in vergleichbarer Position außerhalb des Betriebes selbst verdienen? K n = K0 ( 1 + i )

1 Herleitung:

n

n

| ÷ K0

Kn n ------ = ( 1 + i ) K0

|

Kn ------ = 1 + i K0

|–1

i =

n

n

K -----n- – 1 K0

2 Diese Formel eignet sich zur Effektivzinsbestimmung bei unterjährigen Zweizahlungsfällen (wie Lieferantenkredite, Kundenanzahlungen).

26

2.3 Fragen und Aufgaben

KAPITEL 2

Dem Umstand, dass diese Fragen häufig nicht einfach zu beantworten sind, ist es wohl zuzuschreiben, dass in der Praxis und auch in der neueren Literatur immer noch folgende, als Seifenformel1 bekanntgewordene Faustregel zur Bestimmung des kalkulatorischen Unternehmerlohnes herangezogen wird2. Kalkulatorischer Unternehmerlohn/Jahr = 18 Jahresumsatz In der Formel wird ein Zusammenhang zwischen Unternehmerlohn und Umsatzhöhe unterstellt, der sich nicht begründen lässt. Die Formel führt nur selten zu vernünftigen Ergebnissen und ist daher abzulehnen. Folgende Fälle mögen das verdeutlichen: Fall

Jahresumsatz

Kalkulatorischer Unternehmerlohn/Jahr

1

1€

2

100.000 €

18 100000 = 5692

3

1.000.000 €

18 1000000 = 18000

18 1 = 18

In allen drei Fällen ergibt sich kein adäquater Lohn für die Tätigkeit eines Unternehmers.

2.3

Fragen und Aufgaben

Fassen Sie so weit wie möglich zusammen: 2.1

53 2 + 85 2 + 23 2

2.2

6 18 + 2 8 + 72

2.3

3 96x – 2 150x

2.4

2ab 72 + 5ab 98 – 2b 162a

2.5

12 ⋅ 3

2.6

1 --- ⋅ 2 2

2.7 2.8

7

2

8⋅7 2⋅7 8

2 12 ------ ÷ --3 8

1 Die Formel wurde in der Seifenindustrie verwendet. 2 Vgl. hierzu: W. Kilger, Einführung in die Kostenrechnung, 3., durchges. Aufl., Wiesbaden 1987, S. 151. – H. Hahn, Rechnungswesen der Industriebetriebe, 10., überarb. und erw. Auflage, Bad Homburg 1995, S. 209 f. – B. Huch, Einführung in die Kostenrechnung, 8. Aufl., Heidelberg 1986, S. 54 f. – K.-D. Däumler/J. Grabe, Kostenrechnungs- und Controllinglexikon, 2., neubearbeitete und wesentlich erw. Aufl., Herne/Berlin 1997, S. 163 f.

27

2 Wurzelrechnung

KAPITEL 2

16 -----36

2.9

2.10

1 – --2

–4 --3 --14⎞

2- + ⎛ a -----–3 ⎝ ⎠ a

Schreiben Sie als Potenz und fassen Sie zusammen: 2.11 2.12

6

3

5

a ⋅ 18 a 5

b ÷9 b

2.13

1-----⋅a a

2.14

( 2a – 4b )

2.15

a+4

a

6

2

( x – y ) ÷ ( 3a – 6b ) ( x – y ) b+5

3

a+7

x x x ---------- + b ----------+ a ---------a+3 b+6 8+a y y y

2.16

Ein Geldanleger kauft einen Kilobarren Gold für 24.000 €. Nach 5 Jahren ist der Goldpreis auf 28.000 €/kg geklettert. Wie hoch wäre die Verzinsung des eingesetzten Kapitals, wenn der Goldkäufer zu diesem Preis verkauft?

2.17

Wie hoch wäre der kalkulatorische Unternehmerlohn nach der Seifenformel bei einem Umsatz von 500.000 €, 5.000.000 €, 50.000.000 €? Wie ist eine derartige Festlegung des kalkulatorischen Unternehmerlohnes zu bewerten?

2.18

Die Bevölkerung einer Stadt ist in den letzen 10 Jahren von 52.000 auf 65.000 Einwohner angewachsen. a) Wie hoch war der durchschnittliche prozentuale Zuwachs pro Jahr? b) Wie hoch wird die Einwohnerzahl in zehn Jahren sein, wenn man gleichbleibendes Wachstum unterstellt?

2.19

Der Halter eines Autos hat die Wahl, seine Beiträge zur Kfz-Versicherung jährlich oder halbjährlich zu zahlen. Bei halbjährlicher Zahlungsweise erhebt die Versicherung einen Aufschlag von 3 % auf den Jahresbeitrag. Der Beitrag betrage 500 €. a) Stellen Sie die Zahlungsalternativen und das Kreditverhältnis, das sich bei halbjährlicher Zahlung ergibt, am Zeitstrahl dar. b) Wie hoch ist die Effektivverzinsung dieses Versicherungskredites?

28

3.1 Darstellung

3

Logarithmenrechnung

3.1

Darstellung

3.1.1

Begriff

KAPITEL 3

Das Logarithmieren ist eine zweite Umkehrung der Potenzrechnung. Beim Potenzieren sind die Basis und der Exponent bekannt. Gesucht ist der Potenzwert. 2

2 = ? n

oder

a = ?

Beim Wurzelziehen sind Potenzwert und Exponent bekannt. Gesucht ist die Basis. 3

( ?) = 8 oder

3

⇔

n

(?) = b

8=? n

⇔

b = ?

Beim Logarithmieren sind Potenzwert und Basis bekannt. Gesucht ist der Exponent. ?

2 = 8 ?

oder

a = b

Gesucht ist der Exponent, mit dem man die Basis 2 potenzieren muss, um 8 zu erhalten, oder allgemein, gesucht ist der Exponent n, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um b zu erhalten. In der Logarithmenschreibweise sieht das folgendermaßen aus: ?

⇔

log 2 8 = ?

?

⇔

log a b = ?

2 =8 oder

a =b

D1 log a b = x

↔

x

a =b

a, b > 0 a≠1

Der Logarithmus von b zur Basis a ist der Exponent x, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Numerus log a b = x

Logarithmus

Basis 1

log a a = 1

da wegen D 1 gleichbedeutend mit a = a

log a 1 = 0

da wegen D 1 gleichbedeutend mit a = 1

x

log a ( a ) = x

0 x

da wegen D 1 gleichbedeutend mit a = a

x

29

3 Logarithmenrechnung

KAPITEL 3

2

B1

log 4 16 = 2

4 = 16

B2

log 3 27 = 3

3 = 27

3.1.2

3

Logarithmensysteme

Die Logarithmen mit gleicher Basis bilden zusammen ein Logarithmensystem. Als Basis können alle positiven Zahlen außer 0 und 1 auftreten. Am häufigsten wird die Basis 10 verwendet. Die Logarithmen zur Basis zehn werden als dekadische Logarithmen oder nach dem Engländer Henry Briggs als Briggssche Logarithmen bezeichnet. Folgende Schreibweise ist für Logarithmen zur Basis zehn üblich: R1 log 10 b = lg b Neben der Basis 10 spielt noch die Basis e (Eulersche Zahl e = 2,71828...) eine besonders wichtige Rolle1. Die Logarithmen zur Basis e heißen natürliche Logarithmen: R2 log e b = ln b

3.1.3

Logarithmieren von Produkten

R3 log a ( u ⋅ v ) = log a u + log a v Ein Produkt wird logarithmiert, indem man die Logarithmen der Faktoren addiert. B3

log 2 ( 4 ⋅ 8 ) = log 2 4 + log 2 8 = 2 + 3 = 5 log 2 ( 4 ⋅ 8 ) = log 2 32 = 5

B4

lg 300 = lg ( 100 ⋅ 3 ) = 2 + lg 3

1 Zur Herleitung der Zahl e siehe 5.6.3, S. 110.

30

3.2 Ökonomische Anwendung

3.1.4

KAPITEL 3

Logarithmieren von Brüchen

R4 u log a ⎛ ---⎞ = log a u – log a v ⎝ v⎠ Ein Bruch wird logarithmiert, indem man vom Logarithmus des Zählers den Logarithmus des Nenners subtrahiert. B5

3.1.5

4 log 2 --- = log 2 4 – log 2 8 = 2 – 3 = – 1 8 4 1 –1 1 log 2 --- = log 2 --- = – 1 denn 2 = --8 2 2

Logarithmieren von Potenzen und Wurzeln

R5 n

log a ( b ) = n ⋅ log a b Eine Potenz wird logarithmiert, indem man den Logarithmus der Basis mit dem Exponenten multipliziert. B6

3

log 2 ( 4 ) = 3 ⋅ log 2 4 = 3 ⋅ 2 = 6

R6 m ----n

m = ----- log a b n Eine Wurzel wird logarithmiert, indem man die Wurzel in eine Potenz verwandelt und dann nach R 5 vorgeht. log a

n

b

m

= log a b

3

6

--1 3 6 4 = log 2 ⎛ 4 ⎞ = --- ⋅ 2 = 1 ⎝ ⎠ 2

B7

log 2

3.2

Ökonomische Anwendung

Vor dem Zeitalter von Taschenrechnern und Computern spielten Logarithmen als Rechenhilfe eine große Rolle. Heute wird das Logarithmieren beim Lösen von Exponentialgleichungen benötigt. In der Statistik verwendet man Logarithmen im Bereich der linearen Regressionsrechnung, in der Volkswirtschaft zur Beschreibung von Wachstumsprozessen. Eine weitere Anwendung der Logarithmenrechnung aus dem Bereich der Finanzmathematik zeigt B 15.

31

3 Logarithmenrechnung

KAPITEL 3

B8

Frieda Geierblick möchte gern Millionärin werden. Sie hat 100000 € geerbt und zu 8 % Zinsen angelegt. Sie möchte gern wissen, nach wieviel Jahren der Betrag auf 1000000 € angewachsen ist. Gegeben ist der Betrag K 0, der zum Zinssatz i angelegt wird. Gesucht ist die Zeit n in Jahren, in der der Betrag K 0 auf den Betrag K n angewachsen ist.

Nach 1.2 gilt: K n = K 0 ( 1 + i )

n

Durch Auflösen der Gleichung nach n ergibt sich1: lg K n – lg K 0 n = ------------------------------lg ( 1 + i ) Für das Beispiel erhält man: lg 1000000 – lg 100000- = -----------------6 – 5 - = 29, 9 n = -------------------------------------------------------------lg 1, 08 0, 0334 Nach 29,9 Jahren darf sich Frieda Geierblick zu den Millionären rechnen.

3.3

Fragen und Aufgaben

Berechnen Sie ohne Taschenrechner: 3.1

lg ( 1000 ⋅ 100 ) ------------------------------------1 lg ⎛ ------⎞ ⎝ 10⎠

3.2

log 3( 27 ⋅ 9 )

5

3

1 Ableitung:

Kn = K0 ( 1 + i )

n

lg K n = lg K 0 + n ⋅ lg ( 1 + i ) n ⋅ lg ( 1 + i ) = lg K n – lg K 0 lg K n – lg K 0 n = -------------------------------lg ( 1 + i )

32

lg K 0 – lg K 0 ÷ lg ( 1 + i )

3.3 Fragen und Aufgaben

KAPITEL 3

3.3

32 log ⎛ ---------⎞ ⎝ ⎠ 128 2

3.4

lg ( 10 ÷ 100 )

3.5

3

3.6

Nach wieviel Jahren sind 100 € bei 10 % Zinsen auf 100000 € angewachsen?

3.7

Die Zahl der Gefängnisinsassen in den USA nimmt jährlich um 10 % zu. Zur Zeit sind 270000 Personen inhaftiert. Die Gesamtbevölkerung beträgt 280 Millionen. In wieviel Jahren wären alle Einwohner der USA inhaftiert, wenn man von konstanter Gesamtbevölkerung und gleichbleibendem Anwachsen der Zahl der Gefängnisinsassen ausgeht?

6

5

lg ( 1000 ⋅ 10 )

33

4 Gleichungen

KAPITEL 4

4

Gleichungen

4.1

Begriff

Gleichungen spielen eine große Rolle in Naturwissenschaft, Technik und Wirtschaft. Eine Gleichung ist eine Aussage. Unter einer Aussage versteht man einen Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Gleichungen lassen sich am Bild einer Waage veranschaulichen, die auf beiden Seiten gleich belastet ist.

B1

4 = 2+2 9 = 13 – 4 6 = 3⋅2 8 = 32 ÷ 4

}

Gleichungen

Gleichungen können auch Leerstellen enthalten. Man spricht dann von Aussageformen oder von Bestimmungsgleichungen. B2

15 + ? = 33 ? ÷ 20 = 6

Die Leerstellen oder Lösungsvariablen werden in der Mathematik mit den letzten Buchstaben des Alphabets, meist x, y oder z gekennzeichnet. Ziel ist es, die Zahl zu bestimmen, die die Gleichung erfüllt, d. h. zu einer wahren Aussage macht. B3

15 + x = 33

Lösung: x = 18

y ÷ 20 = 6

Lösung: y = 120

Bestimmungsgleichungen sind Hilfsmittel, die es erlauben, gesuchte Größen (Variablen) zu ermitteln. B4

Der Umsatz U errechnet sich aus dem Preis p eines Produktes multipliziert mit der abgesetzten Stückzahl x. Es gilt folgende Gleichung: U = p⋅x Sind zwei der drei Variablen bekannt, so lässt sich die dritte Variable aus der Gleichung bestimmen. U = 100 € und p = 20 € z. B.: Bekannt: Gesucht:

x = ?

Die Bestimmungsgleichung lautet dann: 100 = 20 ⋅ x Wie man aus verschiedenen Bestimmungsgleichungen die gesuchte Lösung bestimmt, wird in den folgenden Abschnitten behandelt. 34

4.2 Darstellung von Lösungsverfahren

4.2

Darstellung von Lösungsverfahren

4.2.1

Umformung von Gleichungen

KAPITEL 4

Zur Umformung von Gleichungen sind folgende Operationen1 erlaubt: •

Vertauschen beider Seiten,

•

Addition oder Subtraktion der gleichen Zahl auf beiden Seiten,

•

Multiplikation beider Seiten mit dem gleichen Faktor,

•

Division beider Seiten durch die gleiche Zahl,

•

Potenzieren beider Seiten mit dem gleichen Exponenten,

•

Radizieren beider Seiten mit dem gleichen Exponenten,

•

Logarithmieren beider Seiten zur gleichen Basis

Bei den Umformungen ist zu beachten, dass stets die gleiche Rechenoperation auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt wird, entsprechend einer Waage, die nur dann im Gleichgewicht bleibt, wenn auf beiden Seiten die gleiche Veränderung durchgeführt wird.

4.2.2

Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten

Als lineare Gleichung oder Gleichungen ersten Grades bezeichnet man Gleichungen, bei denen die Lösungsvariable nur in 1. Potenz auftritt. Beim Lösen von linearen Gleichungen benötigt man nur die Grundrechenarten, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. R1 Ein Summand (Subtrahend) auf der Seite der Variablen wird beseitigt, indem man auf beiden Seiten den Summanden (Subtrahenden) subtrahiert (addiert). B5

x + 9 = 27

–9

x + 9 – 9 = 27 – 9 x = 18 B6

x – 15 = 32 x – 15 + 15 = 32 + 15

+ 15

x = 47 R2 Ein Faktor wird beseitigt, indem man beide Seiten der Gleichung durch den Faktor dividiert.

1 Eine Ausnahme bilden Rechenoperationen mit der Zahl Null.

35

KAPITEL 4

B7

4 Gleichungen

3x = 15

÷3

3x ------ = 15 -----3 3 x = 5 R3 Ein Divisor wird beseitigt, indem man beide Seiten der Gleichung mit dem Divisor multipliziert. x --- = 30 5

B8

⋅5

x --- ⋅ 5 = 30 ⋅ 5 5 x = 150 Häufig kommt die Lösungsvariable in mehreren Gliedern der Gleichung vor. B9

3x + 5 = 95 – 7x 1. Schritt:

Alle Glieder, in denen x vorkommt, auf eine Seite bringen und zusammenfassen. 3x + 5 = 95 – 7x

| + 7x

7x + 3x + 5 = 95 10x + 5 = 95 2. Schritt:

|–5

Alle Glieder, in denen x nicht vorkommt, auf die andere Seite bringen und zusammenfassen. 10x = 95 – 5 10x = 90

3. Schritt:

| ÷ 10

Durch den Faktor 10 dividieren. x = 9

Kommen in der Gleichung Brüche vor, so werden diese zuerst beseitigt. 5 3 11 3x + --- = --- x + -----2 4 4

B 10 1. Schritt:

Alle Glieder der Gleichung durch Erweitern auf den Hauptnenner bringen. HN = 4 3 ⋅ 4x- + 3 5 ⋅ 2x- + 11 --------------- = -----------------4 4 4 4 12x + 3 10x + 11 ------------------- = ---------------------4 4

36

|⋅4

4.2 Darstellung von Lösungsverfahren

2. Schritt:

KAPITEL 4

Mit dem HN multiplizieren: 12x + 3 = 10x + 11

| – 10x

2x + 3 = 11

|–3

2x = 8

|÷2

x = 4 B 11

14 – 2x- – -----1 ------ + 8 --- = 46 -----------------x 3 3x 2x HN = 6x 14 ⋅ 6- + ------------8 ⋅ 2x- = (--------------------------46 – 2x )2 – ----3------------6x 6x 6x 6x

| ⋅ 6x

84 + 16x = 92 – 4x – 3

| + 4x

84 + 20x = 89

| – 84

20x = 5 1 x = --4 B 12

| ÷ 20

9(x + 1) 6(x + 1) 9(x – 1) --------------------- – 6 + --------------------- = -------------------4x – 32 2x – 16 2x – 16 HN = 4x – 32 9 ( x + 1 ) – 6 ( 4x – 32 ) + 2 ⋅ 6 ( x + 1 ) 2 ⋅ 9( x – 1) ------------------------------------------------------------------------------------------ = ---------------------------4x – 32 4x – 32

| ⋅ ( 4x – 32 )

9x + 9 – 24x + 192 + 12x + 12 = 18x – 18 – 3x + 213 = 18x – 18

| + 3x

213 = 21x – 18

| + 18

231 = 21x

| ÷ 21

11 = x Anstelle von Zahlen können auch Formvariablen in Gleichungen vorkommen. Für Formvariablen können beliebige Zahlen eingesetzt werden. Als Symbole für Formvariablen benutzt man meist die ersten Buchstaben des Alphabets, a, b, c usw. B 13

21a – 27 3x + 45 3x – 18 ------------------- – ------------------- = ----------------------------------(a + 1)(a – 1) a–1 a+1 HN = ( a + 1 ) ( a – 1 ) 21a – 27 ( 3x + 45 ) ( a – 1 ) – ( 3x – 18 ) ( a + 1 ) ------------------------------------------------------------------------------------------ = ----------------------------------(a + 1 )( a – 1 ) ( a + 1) ( a – 1)

37

KAPITEL 4

4 Gleichungen

3ax + 45a – 3x – 45 – 3ax + 18a – 3x + 18 = 21a – 27 – 6x + 63a – 27 = 21a – 27

| – 63a

– 6x – 27 = – 42 a – 27 | + 27 – 6x = – 42a

| ÷ (– 6)

x = 7a abx abx m+n ---------- + ---------- = -------------m n mn

B 14

HN = m ⋅ n

4.2.3

abnx abmx m+n -------------- + --------------- = -------------mn mn mn

| ⋅ mn

abnx + abmx = m + n

| x ausklammern

x ( abn + abm ) = m + n m+n x = ----------------------------abn + abm m+n x = -------------------------ab ( m + n ) 1 x = -----ab

| ÷ ( abn + abm ) |ab ausklammern | kürzen

Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten1

Eine Gleichung mit mehreren Unbekannten hat unendlich viele Lösungen. B 15

x + y = 15 Setzt man für x eine beliebige Zahl ein, so ist y bestimmt. x

y

10

5

8

7

2

13

...

...

Sind mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten gegeben und sind die Zahlenpaare, Tripel, Quadrupel oder allgemein N-Tupel gesucht, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen, spricht man von einem Gleichungssystem. B 16

x + y = 15 x–y = 5

1 Zur Lösung Linearer Gleichungssysteme siehe auch Kap. 9.3, S. 233 ff.

38

4.2 Darstellung von Lösungsverfahren

KAPITEL 4

Es gibt nur ein Zahlenpaar, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt: x = 10; y = 5. Dieses Zahlenpaar ist die Lösung des gegebenen Gleichungssystems. Verfahren zur Bestimmung der Lösungen aus Gleichungssystemen sind: 1. Additions- oder Subtraktionsverfahren 2. Einsetzungsverfahren 3. Gleichsetzungsverfahren Alle drei Verfahren gehen nach einem einheitlichen Schema vor: •

Reduzierung des Gleichungssystems auf eine Gleichung mit einer Unbekannten,

•

Bestimmung der Lösung der abgeleiteten Gleichung und

•

sukzessive Bestimmung der übrigen Lösungen durch Einsetzen der bereits bestimmten Lösungen. 1. Additionsverfahren

B 17

I

x + 2y = 15

II

x – y = 12

1. Schritt:

|⋅2

Multiplikation der Gleichung II mit 2, um bei der Variablen y den gleichen Koeffizienten wie in Gleichung I zu erhalten. Man erhält die Gleichung IIa. x + 2y = 15

I IIa

2x – 2y = 24

2. Schritt:

Addition von I und IIa. Anschließend Auflösen nach x.

I + IIa

x + 2x + 2y – 2y = 15 + 24 3x = 39

|÷3

x = 13 3. Schritt:

Einsetzen der gefundenen Lösung in Gleichung I oder II. Anschließend Auflösen nach y. 13 + 2y = 15

I

2y = 2

| – 13 |÷2

y = 1 2. Einsetzungsverfahren B 18

I

x + 2y = 15

II

x – y = 12

1. Schritt: Ia

| – 2y

Auflösen der Gleichung I nach der Variablen x. Man erhält die Gleichung Ia. x = 15 – 2y x – y = 12

39

KAPITEL 4

2. Schritt: Ia in II

4 Gleichungen

Einsetzen von Ia in II und Auflösen nach y. ( 15 – 2y ) – y = 12 15 – 3y = 12

| – 15

– 3y = – 3

| ÷ (– 3)

y = 1 3. Schritt: Ia

Einsetzen der gefundenen Lösung in Gleichung Ia. x = 15 – 2 ⋅ 1 x = 13

3. Gleichsetzungsverfahren B 19

I

x + 2y = 15

II

x – y = 12

1. Schritt: Ia IIa 2. Schritt: Ia = IIa

Auflösen der Gleichung nach der gleichen Variablen. Man erhält die Gleichung Ia und IIa. x = 15 – 2y x = 12 + y Gleichsetzen der rechten Seiten von Ia und IIa und Auflösen nach y. 12 + y = 15 – 2y1 3y = 3 1 = y

3. Schritt: Ia

Einsetzen der gefundenen Lösung in Ia. x = 15 – 2 ⋅ 1 x = 13

Bei Gleichungssystemen mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten geht man analog vor.

B 20

40

1. Schritt:

Reduzierung des Gleichungssystems auf ein System aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

2. Schritt:

Reduzierung des Gleichungssystems aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten auf eine Gleichung mit einer Unbekannten und Bestimmung der 1. Unbekannten.

3. Schritt:

Einsetzen der Lösung in eine Gleichung mit 2 Unbekannten und Bestimmung der 2. Unbekannten.

4. Schritt:

Einsetzen der bereits ermittelten Unbekannten in eine der Ausgangsgleichungen und Bestimmung der 3. Unbekannten.

I

2x + 3y – 4z = 10

| ⋅ 2 → Ia

II

4x + 5y – 3z = 3

|

| ⋅ 3 → IIa

III

– 3x – 2y + 5z = – 7

|

| ⋅ 4 → IIa

4.2 Darstellung von Lösungsverfahren

Ia

4x + 6y – 8z = 20

- II

4x + 5y – 3z = 3

= IV

y – 5z = 17

IIa

12x + 15y – 9z = 9

+ IIIa

– 12x – 8y + 2z = – 28

=V

KAPITEL 4

7y + 11z = – 19

IV

y – 5z = 17

V

7y + 11z = – 19

IVa

7y – 35z = 119

-V

7y + 11z = – 19

| ⋅ 7 → IVa

|

| ÷ ( – 46 )

– 46z = 138 z = –3 in IV

y – 5 ( – 3 ) = 17 | – 15

y + 15 = 17 y = 2 in I

2x + 3 ⋅ 2 – 4 ( – 3 ) = 10 2x + 18 = 10

| – 18

2x = – 8

| ÷2

x = –4

4.2.4

Quadratische Gleichungen

4.2.4.1

Begriff

Man spricht von einer quadratischen Gleichung, bzw. von einer Gleichung zweiten Grades, wenn die Variable x in 2. Potenz auftritt. Man spricht von einer reinquadratischen Gleichung, wenn ne2 ben x keine weiteren Glieder mit x vorkommen. B 21

2

2x – 18 = 0

Die allgemeine Form einer reinquadratischen Gleichung lautet: 2

a⋅x –b = 0

Reinquadratisch

Kommt neben dem quadratischen Glied zusätzlich ein Glied mit x vor, so spricht man von einer gemischtquadratischen Gleichung. B 22

2

– 3x + 33x = 90

Gemischtquadratisch

Die allgemeine Form einer gemischtquadratischen Gleichung lautet: 2

ax + bx + c = 0

Gemischtquadratisch

41

4 Gleichungen

KAPITEL 4

Glieder, in denen x nicht vorkommt, heißen absolute Glieder. Hat das quadratische Glied den Koeffizienten eins und steht auf einer Seite der Gleichung eine Null, so hat man die Normalform der quadratischen Gleichung vor sich. Allgemein lautet die Normalform: 2

x + px + q = 0

Normalform

Jede gemischtquadratische Gleichung lässt sich auf die Normalform bringen. B 23

2

– 3x + 33x = 90

| – 90

2

| ÷ ( –3 )

– 3x + 33x – 90 = 0 2

x – 11x + 3 = 0 4.2.4.2 B 24

Normalform

Lösen von reinquadratischen Gleichungen 2

2x – 18 = 0

| ÷2

2

1. Schritt: Auflösen nach x . 2

x –9 = 0 2

x = 9

| +9 |

2. Schritt: Gesucht sind die Zahlen x i , deren Quadrat 9 ergibt. Dazu werden beide Seiten radiziert. Es ist dabei zu beachten, dass es zwei Zahlen gibt, die die Gleichung erfüllen. x1 =

9 = 3

x2 = – 9 = –3 2

2x --------- = 576 18

B 25

2

x = 5184 x1 =

| ⋅ 18 | ÷ 2 |

5184 = 72

x 2 = – 5184 = – 72 7x ------ = 1050 ------------3 2x

B 26

HN = 6x 7x ⋅ 2x- = 3150 ----------------------------6x 6x 2

| ÷ 14

2

|

14x = 3150 x = 225 x1 =

225 = 15

x 1 = – 225 = – 15

42

| ⋅ 6x

4.2 Darstellung von Lösungsverfahren

4.2.4.3

KAPITEL 4

Lösen von gemischtquadratischen Gleichungen

Fehlt das absolute Glied, lassen sich die Lösungen einer gemischtquadratischen Gleichung dadurch bestimmen, dass man x ausklammert und die Faktoren anschließend Null setzt. R4 Ein Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. 2

B 27

x – 6x = 0 1. Schritt: x ausklammern. x(x – 6) = 0 2. Schritt: Faktoren einzeln Null setzen.

0

=

={

{

x(x – 6) = 0 0

x1 = 0 x2 – 6 = 0 B 28

| +6

x2 = 6 2 16x – 10x = 0 x ( 16x – 10 ) = 0 x1 = 0 16x 2 – 10 = 0

| +10 | ÷ 16

--x2 = 5 8 Ist in der Gleichung ein absolutes Glied vorhanden, führt das Ausklammern von x nicht zum Ziel. Bei dem folgenden Beispiel bildet jedoch die rechte Seite ein vollständiges Quadrat. 2

x + 2x + 1 = 0 2

2

2

Nach der binomischen Formel a + 2ab + b = ( a + b ) lässt sich die linke Seite der Gleichung wie folgt faktorisieren. = 0

{ ={

( x + 1 )(x + 1)

=

B 29

0

0

x1 + 1 = 0

| –1

x1 = – 1 x2 + 1 = 0

| –1

x 2 = –1 In B 29 fallen die beiden Lösungen der Gleichungen zusammen. Im folgenden Beispiel ist kein vollständiges Quadrat vorhanden.

43

KAPITEL 4

B 30

4 Gleichungen

2

| –6

x + 7x + 6 = 0

1. Schritt: Subtraktion des absoluten Gliedes.

7 | + ⎛ ---⎞ ⎝ 2⎠

2

x + 7x = – 6

2

2. Schritt: Ergänzung der linken Seite zum vollständigen Quadrat. Um den Inhalt der Glei49 chung nicht zu verändern, wird die quadratische Ergänzung ------ auf beiden Seiten addiert. 4 2 49 49 x + 7x + ------ = – 6 + -----4 4 2 25 ⎛x + 7 ---⎞⎠ = -----⎝ 2 4

3. Schritt: Radizieren beider Seiten. 7 x + --- = ± 2 5 7 x 1 = --- – --- = – 2 2 5 7 x 2 = – --- – --- = – 2 2

|

25 -----4

7 | – --2

1 6 2

Durch Lösen der allgemeinen Gleichung x + px + q = 0 lässt sich eine allgemeingültige Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen ableiten. 2

x + px + q = 0

| –q p 2 | + ⎛ --- ⎞ ⎝ 2⎠

2

x + px = – q p 2 p 2 2 x + px + ⎛ --- ⎞ = – q + ⎛ --- ⎞ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 p 2 ⎛x + p --- ⎞ = ⎛ --- ⎞ – q ⎝ ⎝ ⎠ 2⎠ 2

p 2 p x + --- = ± ⎛ --- ⎞ – q ⎝ 2⎠ 2

| p | – --2

R5 p 2 p x 1, 2 = – --- ± ⎛ --- ⎞ – q ⎝ 2⎠ 2 2

p Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ⎛ --- ⎞ – q heißt Diskriminante. Es gilt Folgendes: ⎝ 2⎠

44

4.2 Darstellung von Lösungsverfahren

KAPITEL 4

Diskriminantenwert

Anzahl der Lösungen

D>0

2

D=0

1

D 0 ), wenn n gerade ist.

4.2.6

Wurzelgleichungen

Bei Wurzelgleichungen steht die Variable x unter dem Wurzelzeichen. Kommen in einer Gleichung Wurzeln vor, so versucht man, die Wurzeln durch Potenzieren zu beseitigen. Dabei ist zu beachten, dass durch Potenzieren Lösungen hinzukommen können, die die Ursprungsgleichung nicht erfüllen. Bei der Lösung von Wurzelgleichungen ist eine Probe daher unerlässlich. B 38

3 x + 2 = 17

| –2

|÷3

47

4 Gleichungen

KAPITEL 4

1. Schritt: Auflösen nach

x. x = 5

()

2

()

2

2. Schritt: Quadrieren der Gleichung. x = 25 3. Schritt: Probe. 3 25 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 = 17 Lösung

x = 25 1 ---------------- = 4 --x+5 x

B 39

HN = x x + 5 x = 4 x+5 2

x = 16 ( x + 5 ) 2

x = 16x + 80

– 16x | – 80

2

x – 16x – 80 = 0 x 1, 2 = 8 ± 64 + 80 x 1 = 20 x2 = –4 Probe:

1.

2.

x 1 = 20

4 1 --------------------- ≠ ------– 4 –4+5

4 1 -------------------- = -----20 20 + 5

Lösung

4.2.7

x2 = – 4

1 1 --- = --5 5

1 ≠ –1 x = 20

Exponentialgleichungen

Steht in einer Gleichung die Variable x im Exponenten, so spricht man von einer Exponentialgleichung. Exponentialgleichungen können in manchen Fällen mit Hilfe der Logarithmenrechnung gelöst werden. B 40

x

2 = 8

|lg

x

lg 2 = lg 8 x lg 2 = lg 8 lg 8 x = -----------lg 2 0, 9031 x = -----------------0, 3010 x = 3 48

| ÷ lg 2 | Logarithmen berechnen

4.3 Ökonomische Anwendung

B 41

4

x–3

KAPITEL 4

1= ----16

( x – 3 )lg 4 = lg 1 – lg 16 1 – lg 16x – 3 = lg -----------------------------lg 4 lg 1 – lg 16- + 3 x = -----------------------------lg 4 0 – 1, 2041 + 3 x = ---------------------------0, 6020

| ÷ lg 4 |+3

x = 1 Lassen sich beide Seiten einer Exponentialgleichung als Potenz mit gleicher Basis ausdrücken, so kann die Lösung durch Exponentvergleich erfolgen. Es gilt: R7 Sind zwei Potenzen mit gleicher Basis gleich, dann sind auch die Exponenten gleich. B 42

4

x–3

4

x–3

4

x–3

1= ----16 1 = ----4

= 4

2

–2

x – 3 = –2

| Exponenten gleichsetzen | +3

x = 1

4.3

Ökonomische Anwendung

Gleichungen sind ein unerlässliches Werkzeug in der betriebswirtschaftlichen Theorie und Praxis. Viele Probleme lassen sich mit Hilfe von Gleichungen lösen. Gleichungen werden insbesondere zur Darstellung betriebswirtschaftlicher Funktionen benötigt (vgl. daher auch Kapitel 5). Auch das, was man gemeinhin als Formeln bezeichnet, sind Gleichungen, die man je nach Fragestellung umformen kann (siehe 1.2, 2.2 B 22, 3.2). Im Folgenden wird eine betriebswirtschaftliche Anwendungsmöglichkeit linearer Gleichungssysteme dargestellt. Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Eine innerbetriebliche Leistungsverrechnung1 wird immer dann notwendig, wenn in einem Betrieb nicht nur Leistungen für den Markt erzeugt werden, sondern auch solche Leistungen erstellt werden, die im Betrieb selbst verbraucht werden. Man spricht dann von innerbetrieblichen oder 1 Eine ausführliche Darstellung der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung findet sich etwa bei: K.-D. Däumler/ J. Grabe, Kostenrechnung 1, Grundlagen, 9., vollst. neubearb. Aufl., Herne/Berlin 2003, S. 252 ff.

49

KAPITEL 4

4 Gleichungen

Eigenleistungen. Beispiele für Eigenleistungen sind selbsterstellte Anlagen und Maschinen, Erzeugung von Strom, Gas oder Dampf, eigene Reparatur- oder Transportleistungen. Handelt es sich um Eigenleistungen, die mehrjährig nutzbar sind (selbsterstellte Anlagen, Gebäude, Maschinen), so werden diese aktiviert1 und damit wie Marktleistungen behandelt. Werden die innerbetrieblichen Leistungen jedoch in der Periode ihrer Erstellung verbraucht (selbsterzeugter Strom, Reparaturleistungen usw.), ist eine Verrechnung der Leistung zwischen den Kostenstellen notwendig. Die innerbetriebliche Leistungsverrechnung ist in der Regel mittels eines linearen Gleichungssystems möglich und dient nicht nur der exakten Bestimmung der Kosten verschiedener einander gegenseitig beliefernder Kostenstellen, sondern auch einer genauen Quantifizierung der Leistungen dieser Kostenstelle und damit einer präzisen Stückkostenermittlung. Die innerbetrieblichen Verrechnungspreise geben darüberhinaus einen Hinweis, ob die Erstellung von Eigenleistung oder der Fremdbezug wirtschaftlicher ist. In Zusammenhang mit der Ermittlung innerbetrieblicher Verrechnungspreise unterscheidet man zwischen primären Kosten, die durch den Verzehr von außen bezogener Kostengüter entstehen (Löhne, Material usw.) und sekundären Kosten, die dadurch entstehen, dass innerbetriebliche Leistungen verbraucht werden.

An den folgenden Beispielen soll dargestellt werden, wie man mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems die Verrechnungspreise für innerbetriebliche Leistungen ermittelt. B 43

In einem Betrieb stehen zwei Hilfskostenstellen A und B in ständigem Leistungsaustausch. Bei der Hilfskostenstelle A handelt es sich um eine Reparaturschlosserei, die Reparaturstunden zur Verfügung stellt. Bei der Hilfskostenstelle B handelt es sich um die Transportabteilung. Die Leistungsabgabe dieser Abteilung wird in Tonnenkilometern (tkm) gemessen. In der letzten Abrechnungsperiode sind in der Reparaturschlosserei 7500 € primäre Kosten angefallen. Daneben wurden 500 tkm der Transportabteilung beansprucht. Insgesamt leistete die Reparaturschlosserei 200 Stunden. Die Gesamtleistung der Transportabteilung betrug im gleichen Zeitraum 20000 tkm. Es entstanden primäre Kosten von 18000 €. Außerdem wurden 50 Reparaturstunden verbraucht. Graphisch lässt sich die Leistungsverflechtung wie folgt darstellen:

1 Aktivieren = Erfassen von Vermögensgegenständen in der Bilanz.

50

4.3 Ökonomische Anwendung

KAPITEL 4

Bei der Ermittlung der innerbetrieblichen Verrechnungspreise geht man von dem Prinzip aus, dass der Wert des Inputs gleich dem Wert des Outputs ist („Istkostenabwälzverfahren“). Inputwert = Outputwert Bezeichnet man die Verrechnungspreise für eine Reparaturstunde mit a und für einen Tonnenkilometer mit b, so erhält man: Inputwert von

A = 7500+500b

Outputwert von

A = 200a

Inputwert von

B = 18000+50a

Outputwert von

B = 20000b

Nach dem Prinzip des Istkostenabwälzverfahrens ergibt sich daraus ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Aus diesem Gleichungssystem lassen sich die Verrechnungspreise a und b bestimmen. I

7500 + 500b = 200a

| – 200a

II

18000 + 50a = 20000b

| – 20000b

I

– 200a + 500b = – 7500

II

50a – 20000b = – 18000

I

– 200a + 500b = – 7500

II

200a – 80000b = – 72000

I + IIa

– 79500b = – 79500

| – 7500 | – 18000

| ⋅4

| ÷ 79500

b = 1 in II

18000 + 50a = 20000 50a = 2000

| – 18000 | ÷ 50

a = 40

51

4 Gleichungen

KAPITEL 4

Ergebnis: Der innerbetriebliche Verrechnungspreis für eine Reparaturstunde beträgt 40 €, der Preis für einen Tonnenkilometer 1 €. Mit Hilfe der innerbetrieblichen Verrechnungspreise lässt sich auch die Frage nach den Gesamtkosten, die auf die verschiedenen Kostenstellen entfallen, beantworten. Gesamtkosten bei A = 7500 + 500 ⋅ 1 = 8000 (€/Per) Gesamtkosten bei B = 18000 + 50 ⋅ 40 = 20000 (€/Per) B 44

In einem Betrieb arbeiten 3 Kostenstellen, A, B und C zusammen. Für den abgelaufenen Monat wurden folgende Daten ermittelt: Leistungsabgabe an (in Stck)

primäre Kosten

Leistungs-

(in €/Mon)

abgabe (in E1/Mon)

A

B

C

A

–

200

100

1500

800

B

–

–

200

700

2000

C

100

300

–

3800

500

1 E = Mengeneinheiten. In der graphischen Darstellung sieht die Leistungsverflechtung der drei Kostenstellen A, B, C folgendermaßen aus:

52

4.3 Ökonomische Anwendung

KAPITEL 4

a) Ermitteln Sie die innerbetrieblichen Verrechnungspreise für je eine Einheit der Leistungsabgabe der Kostenstellen A, B, C. b) Ermitteln Sie die Gesamtkosten jeder Kostenstelle. zu a) Die Verrechnungspreise seien a, b und c. Das Gleichungssystem lautet dann: 1500 + 100c = 800a

I II III I II III

700 + 200a + 300c = 2000b 3800 + 100a + 200b = 500c – 800a + 100c = – 1500

| –800a | –1500 | –2000b | –700 | –500c | –3800 | ⋅ 1, 5

200a – 2000b + 300c = – 700 100a + 200b – 500c = – 3800

IIIa

1000a + 2000b – 5000c = – 38000

+ II

200a – 2000b + 300c = – 700

= IV

1200a – 4700c = – 38700

+ Ia

– 1200a + 150c = – 2250 – 4550c = – 40950

=V

| ⋅ 10

| ÷ – 4500

c = 9 in I

– 800a + 900 = – 1500 – 800a = – 24

| – 900 | ÷ – 800

a = 3 in II

600 – 2000b + 2700 = – 700 – 2000b = – 4000

| – 3300 | ÷ – 4000

b = 2 Die Verrechnungspreise betragen für eine Einheit der Leistungsabgabe von A:

a = 3 (€/E)

B:

b = 2 (€/E)

C:

c = 9 (€/E)

zu b) Die Gesamtkosten der Kostenstellen betragen bei A:

K a = 800 ⋅ 3 = 2400 (€/Mon)

B:

K b = 2000 ⋅ 2 = 4000 (€/Mon)

C:

K c = 500 ⋅ 9 = 4500 (€/Mon)

53

4 Gleichungen

KAPITEL 4

4.4

Fragen und Aufgaben

Lineare Gleichungen 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

x+1 7–x 3 x+3 ------------ + ------------ + --- = 3 – -----------12 6 2 12 x+4 12x + 14 ------------ = ---------------------8 12 x+2 x–2 ------------ + ------------ = 2 7 3 ax x 2a 1 ------ – ------ = ------- – --bc 2c bd d 2x + 15 7b – 9 2x – 6 ------------------- – ----------------------------------- = ---------------b+1 (b + 1 )(b – 1) b–1 10x + 1 x–2 ------------------- = 1 + -----------3x + 3 x+1 2x 4a + 4b 4b + 2x 4x ------ + 4 + ------------------- = ------------------- + -----a ab b a

Lineare Gleichungssysteme 4.8

3x + 7y = 60 x + 9y = 40

4.9

x – 1 = 3y 7y – 6 = 3x

4.10

2x + 14 = – 3y x + 2y = – 8

4.11

2x + y = 11 x–y = 1

4.12

7x – 3y – 11z = 38 9x + 2y – 60z = 4 x–y–z = 2

4.13

x + y + z = 1000 x÷y÷z = 6÷3÷1

54

4.4 Fragen und Aufgaben

4.14

KAPITEL 4

7x + 4y + z = 89 4x + y + 7z = 74 x + 7y + 4z = 77

4.15

3x – y – 11 = 0 7y + 5z – 33 = 0 8z – 7x + 27 = 0

Quadratische Gleichungen 2

4.16

8x – 24x = 0

4.17

( 6x – 42 ) = 0

4.18

10x – 55x – 30 = 0

4.19

3x – 27 = 0

4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25

2

2

2

10x 4 ---------------- + ------------ = 2 3x + 7 x + 3 ab b ------------ – b = --------------a–x ax – 1 5 11 2x + ---------------- = 3 + ---------------3 – 2x 2x – 3 ax + b 2ax ---------------- – 2 = ---------ax b x–a a ------------ + 2 = -----------b x+b a b ------------ + ------------ = 2 x–b x–a

Wurzelgleichungen 4.26

b x+a = a

4.27

2 x – 4 = 18

4.28

x+6 = 9

4.29

5 3 x – 2 = 18

4.30

1 +b --- x ( a + b ) – x = – a -----------2 2

55

4 Gleichungen

KAPITEL 4

Exponentialgleichungen x–1

4.31

4

4.32

3⋅4

4.33

3

4.34

81

4.35

x–3

4.36

In einem Betrieb stehen zwei Kostenstellen A und B in gegenseitigem Leistungsaustausch. Für die letzte Abrechnungsperiode wurde Folgendes ermittelt:

= 16

3x – 3

4x – 4

= 3⋅8

x

x–1

3 = ----------3

x+2 --------------x + 12

32

1 = --3 x + 17

=

x–7

( 0, 25 ⋅ 128 )

x+5

Leistungsabgabe in ME an

Gesamtleistung in ME

primäre Kosten in €

A

B

A

–

100

250

750

B

50

–

150

1000

a) Stellen Sie die Leistungsverflechtung graphisch dar. b) Ermitteln Sie die innerbetrieblichen Verrechnungspreise für je eine Mengeneinheit (ME) von A und B. 4.37

In einem Betrieb stehen drei Kostenstellen in gegenseitigem Leistungsaustausch. Für die letzte Abrechnungsperiode wurde Folgendes ermittelt: Leistungsabgabe in ME an

Gesamtleistung in ME

primäre Kosten in €

A

B

C

A

–

40

10

400

10880

B

20

–

60

880

34080

C

5

30

–

235

10340

a) Stellen Sie die Leistungsverflechtung graphisch dar. b) Ermitteln Sie die innerbetrieblichen Verrechnungspreise für je eine Mengeneinheit von A, B und C. c) Wie hoch sind die Gesamtkosten jeder Kostenstelle?

56

4.4 Fragen und Aufgaben

4.38

KAPITEL 4

Gegeben ist folgende Gleichung für den Aufzinsungsfall (vgl. Kapitel 1.2, S. 17 ff.): Kn = K 0 ( 1 + i )

n

a) Lösen Sie die Gleichung auf nach K 0 und geben Sie ein Anwendungsbeispiel für die abgeleitete Gleichung. b) Lösen Sie die Gleichung auf nach i und geben Sie ein Anwendungsbeispiel. c) Lösen Sie die Gleichung auf nach n und formulieren Sie die Fragestellung, bei der die abgeleitete Gleichung anzuwenden ist.

57

KAPITEL 5

5 Funktionenlehre

5

Funktionenlehre

5.1

Begriff

In der Ökonomie werden durch Funktionen Abhängigkeitsverhältnisse zwischen Größen beschrieben und quantifiziert. Dabei versteht man unter einer Funktion oder Abbildung eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Wert einer Variablen genau einen Wert einer anderen Variablen zuordnet. Wird den Werten der Variablen x je ein Wert der Variablen y zugeordnet, dann ist y eine Funktion von x. Man schreibt für y = f ( x ) (sprich: y gleich f von x). In der Wirtschaft findet man viele Beispiele für solche Abhängigkeitsverhältnisse zwischen Variablen, die sich durch Funktionen beschreiben lassen. •

Die Gesamtkosten K eines Produktionsverfahrens hängen ab von der produzierten Stückzahl x des hergestellten Produktes. K = K(x)

•

Die nachgefragte Menge x eines Produktes hängt ab von seinem Preis p . x = x(p)

•

Die gezahlte Einkommensteuer t eines Erwerbstätigen hängt ab von seinem Einkommen Y. t = t (Y )

•

Der Getreideertrag pro Hektar e ist abhängig von der Düngermenge pro Hektar d. e = e( d)

Die Variable, die durch die Funktion beschrieben wird, heißt abhängige Variable (Funktionswert). Die Variable, von der der Funktionswert abhängt, heißt unabhängige Variable. y

= f( x )

abhängige unabhängige Variable Variable Häufig hängt die betrachtete Größe nicht nur von einer Variablen ab, sondern von mehreren. So ist der Endwert K n eines Geldbetrages K 0 , den man auf ein Sparbuch einzahlt, abhängig von der Höhe des Zinssatzes, von der Länge der Laufzeit und von der Höhe des Betrages K 0 . K n = K n ( K 0, i, n ) Es ist jedoch schwierig, den Einfluss aller drei unabhängigen Variablen gleichzeitig zu untersuchen. Daher betrachtet man in vielen Fällen nur den Einfluss einer Variablen und setzt die anderen als konstant voraus1. 1.

Kn = Kn ( K0 )

2.

Kn = Kn ( i )

K 0, n = kons tan t

3.

Kn = Kn ( n )

K 0, i = kons tan t

i, n = kons tan t

1 Dieses als ceteris paribus Methode bezeichnete Verfahren wurde in den Wirtschaftswissenschaften zuerst von Johann Heinrich von Thünen (1783–1850) angewandt. Vgl. hierzu: J. H. von Thünen, Der isolierte Staat in Beziehung auf Landwirtschaft und Nationalökonomie, Neudruck nach der Ausgabe letzter Hand, eingel. von H. Waentig, 3. Aufl., Jena 1930. Thünen sprach damals von der Isoliermethode.

58

5.1 Begriff

KAPITEL 5

Weitere wichtige Begriffe in der Funktionenlehre sind Definitionsbereich und Wertebereich. Unter dem Definitionsbereich versteht man die Menge der Zahlenwerte, die die unabhängige Variable annehmen kann. Unter dem Wertebereich versteht man die Menge der Zahlenwerte, die die abhängige Variable annehmen kann. Wirtschaftliche Variablen können in der Regel nur bestimmte Zahlenwerte annehmen. So können beispielsweise keine negativen Stückzahlen produziert werden und die Kapazitätsgrenze kann nicht überschritten werden. Soweit der Sachverhalt klar ist, wird im folgenden auf eine Angabe des Werte- und Definitionsbereiches verzichtet. Funktionen lassen sich unterschiedlich darstellen. Möglichkeiten der Darstellung sind: •

Gleichungen

•

Wertetabellen

•

graphische Darstellungen.

Die graphische Darstellung erfolgt üblicherweise in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.

Die waagerechte Achse heißt Abszisse. An ihr wird in der Regel die unabhängige Variable abgetragen. Die senkrechte Achse heißt Ordinate. An ihr steht die abhängige Variable. Der Schnittpunkt von Ordinate und Abszisse heißt Koordinatenursprung. Zwischen den Achsen liegen vier Bereiche, die als Quadranten bezeichnet werden. Für die Vorzeichen der Variablen in den Quadranten gilt: I

II

III

IV

x

+

-

-

+

y

+

+

-

-

59

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

Da wirtschaftliche Variablen häufig nur positive Werte annehmen können, verlaufen die Graphen wirtschaftlicher Funktionen meist im ersten Quadranten. Ein Wertepaar ( x 1 ⁄ y 1 ) wird im Koordinatensystem als Punkt dargestellt. Der Punkt P ( x 1 ⁄ y 1 ) hat die Koordinaten x 1 und y 1 .

Die graphische Darstellung von Funktionen ist meist anschaulicher als die formelmäßige Darstellung. Graphische Funktionsauswertungen geben einen guten Gesamteindruck vom Zusammenhang der betrachteten Größen, haben jedoch den Nachteil der geringeren Genauigkeit gegenüber dem rechnerischen Ansatz. Häufig reicht diese Genauigkeit für die angestrebten Aussagen jedoch voll aus1.

5.2

Lineare Funktionen

5.2.1

Darstellung

B1

Gegeben ist eine lineare Funktion mit der Gleichung 3 y = --- x + 3 2 Ist die Zuordungsvorschrift einer Funktion durch eine Gleichung bestimmt, so lassen sich die Funktionswerte für vorgegebene x-Werte berechnen. Die Ergebnisse solcher Berechnungen lassen sich in einer Wertetabelle zusammenfassen. x

–3

–2

–1

0

1

2

y

– 1, 5

0

1, 5

3

4, 5

6

1 Vgl. H. Müller-Merbach, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, München 1974, S. 154 ff.

60

5.2 Lineare Funktionen

KAPITEL 5

Zur graphischen Darstellung trägt man die durch die Wertepaare bestimmten Punkte in ein Koordinatenkreuz ein und verbindet sie. Man erhält das Bild der Funktion.

3 Das Bild der Funktion y = --- x + 3 ist eine Gerade. Die Gerade schneidet die Abszisse im 2 Punkt ( – 2 ⁄ 0 ) . Der Schnittpunkt mit der Abszisse heißt Nullstelle der Funktion. Rechnerisch erhält man die Nullstelle, indem man y gleich Null setzt. 3 0 = --- x 0 + 3 2 x 0 = –2 Die Gerade schneidet die Ordinate im Punkt ( 3 ⁄ 0 ). Die Strecke vom Ursprung zum Ordinatenschnittpunkt heißt Ordinatenabschitt. Den Ordinatenabschnitt erhält man, indem man x gleich Null setzt. 3 y 0 = --- ⋅ 0 + 3 2 y0 = 3 3 Wenn x um eine Einheit wächst, wächst y um --- Einheiten. Das Verhältnis 2 Δy Änderung der abhängigen Variablen ------------------------------------------------------------------------------------------------------ = -----Δx Änderung der unabhängigen Variablen 3 nennt man Steigung. Die betrachtete Gerade hat die Steigung --- . 2

61

KAPITEL 5

5 Funktionenlehre

Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet: y = mx + b y

= abhängige Variable

x

= unabhängige Variable

m

= Steigung

b

= Ordinatenabschnitt

Das Bild einer linearen Funktion ist stets eine Gerade. Der Verlauf einer Geraden ist durch 2 Punkte genau bestimmt. Um das Bild einer linearen Funktion zeichnen zu können, genügt es also, zwei Punkte der Geraden zu bestimmen. Als ersten Punkt nimmt man zweckmäßigerweise den Ordinatenschnittpunkt, der unmittelbar aus der Geradengleichung y = mx + b abgelesen werden kann. Er hat die Koordinaten ( 0 ⁄ b ) . Dann ermittelt man die Koordinaten eines zweiten Punktes und legt die Gerade durch beide Punkte. Um eine hohe Genauigkeit der Zeichnung zu erreichen, sollten die beiden Punkte nicht zu eng zusammenliegen.

Die Steigung m einer Geraden ist eine Konstante, d. h. die Steigung ändert sich im Verlauf der Geraden nicht. Es gilt: y2 – y1 Änderung der abhängigen Variablen m = ------------------------------------------------------------------------------------------------------ = ---------------x2 – x1 Änderung der unabhängigen Variablen Das rechtwinklige Dreieck, das durch die Strecken P 1 P 2 , y 2 – y 1 und x 2 – x 1 begrenzt wird, heißt Steigungsdreieck.

62

5.2 Lineare Funktionen

B2

Zeichne:

y = 2x + 2

1 y = --- x + 2 2

y = –2x + 2

1 y = – --- x + 2 2

KAPITEL 5

Je größer der Betrag von m, desto steiler verläuft die Gerade. Für die Abhängigkeit der Variablen gilt folgendes: Änderungsrichtung der Variablen

steigt

m>0

x

→ y

x

→ y

m 0 ist sie nach oben

82

5.3 Parabeln

KAPITEL 5

geöffnet, für m < 0 nach unten geöffnet. Ist m > 1 oder < – 1 ( |m| > 1 ; gelesen: m absolut größer 1), so handelt es sich um eine gestreckte Parabel. Ist 0 < m < 1 oder 0 > m > – 1 ( 0 < m < 1 ), so handelt es sich um eine gestauchte Parabel. B3

2

2

Zeichnen Sie die Bilder der Funktionen y = x + 2 und y = x – 2. 1. Wertetabelle x

–2

–1

0

1

2

x +2

2

6

3

2

3

6

2

2

–1

–2

–1

2

x –2 2. Zeichnung

2

Das Bild der Funktion y = x + 2 ist eine um 2 Einheiten in y-Richtung verschobene Normalparabel. 2

Das Bild der Funktion y = x – 2 ist eine um 2 Einheiten in negative y-Richtung verschobene Normalparabel. Allgemein: 2

Das Bild einer Funktion der Form y = mx + b ist eine Parabel, die gegenüber der Parabel 2 y = mx um b Einheiten in y-Richtung verschoben ist. Der Scheitelpunkt liegt in ( 0 b ) .

83

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

B4

2

2

Zeichnen Sie die Bilder der Funktionen y = ( x + 2 ) und y = ( x – 2 ) . 1. Wertetabelle x

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

(x + 2)

2

9

4

1

0

1

4

9

[16

25

36

49]

(x – 2)

2

[49

36

25

16]

9

4

1

0

1

4

9

[ ... ] in der Zeichnung nicht berücksichtigt 2. Zeichnung

2

Das Bild der Funktion y = ( x + 2 ) ist eine um 2 Einheiten in negative x-Richtung verschobene Normalparabel. 2

Das Bild der Funktion y = ( x – 2 ) ist eine um 2 Einheiten in positive x-Richtung verschobene Normalparabel. Allgemein: 2

Das Bild einer Funktion der Form y = m ( x + a ) ist eine Parabel, die gegenüber der Parabel 2 y = mx um – a Einheiten in x-Richtung verschoben ist. Der Scheitelpunkt liegt in ( – a 0 ) . 2

Das Bild einer Funktion der Form y = m ( x + a ) + b ist eine Parabel, die gegenüber der Parabel 2 y = mx um b Einheiten in y-Richtung und um – a Einheiten in x-Richtung verschoben ist. Die Form der Funktionsgleichung 2

y = m( x + a ) + b heißt Scheitelform, da man aus ihr unmittelbar die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen kann. Der Scheitelpunkt liegt in ( – a b ) . Ausmultiplizieren der Scheitelform ergibt: 2

2

y = mx + 2amx + ma + b

84

5.3 Parabeln

KAPITEL 5

2

Unter Verwendung der Bezeichnungen a 0 = ma + b, a 1 = 2am , a 2 = m ergibt sich die allgemeine Form einer Funktion 2. Grades. 2

y = a2 x + a 1 x + a 0 Will man eine Funktion 2. Grades, deren Funktionsgleichung in der allgemeinen Form gegeben ist, graphisch darstellen, ist eine Umwandlung in die Scheitelform hilfreich. B5

Gegeben ist folgende Funktion 2. Grades: 2

y = 2x – 8x + 9 Zeichnen Sie das Bild der Funktion. Wandeln Sie dazu die Funktionsgleichung in die Scheitelform um. Lösung 2

| Ausklammern von 2

y = 2x – 8x + 9 2

y = 2 ( x – 4x ) + 9 Im nächsten Schritt wird in der Klammer zum vollständigen Quadrat ergänzt. Damit sich der Wert der rechten Seite nicht ändert, muss der gleiche Betrag wieder subtrahiert werden. 2

y = 2 ( x – 4x + 4 ) + 9 – 2 ⋅ 4 2

y = 2(x – 2) + 1 Aus der Funktionsgleichung in Scheitelform kann man folgende Information entnehmen: 1. Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel ( m > 0 ) . 2. Sie ist gegenüber der Normalparabel gestreckt ( m > 1 ) . 3. Sie ist um eine Einheit in y-Richtung verschoben. 4. Sie ist um 2 Einheiten in x-Richtung verschoben. 5. Der Scheitelpunkt liegt in ( 2 1 ) . Nach diesen Informationen kann man gezielt den Wertebereich der Wertetabelle um den x-Wert des Scheitelpunktes anordnen. 1. Wertetabelle x

–1

0

1

2

3

4

5

2x – 8x + 9

19

9

3

1

3

9

19

2

85

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

2. Zeichnung

5.3.2

Darstellung von Parabeln 3. Grades 3

B6

Zeichnen Sie das Bild der Funktion y = x . 1. Wertetabelle

x

–2

–1

–1 --2

0

1 --2

1

2

3

–8

–1

1 – --8

0

1 --8

1

8

x

86

5.3 Parabeln

KAPITEL 5

2. Zeichnung

3

Das Bild der Funktion y = x heißt Wendeparabel. Sie verläuft im I. und III. Quadranten und geht durch den Koordinatenursprung. Im negativen Bereich ist sie rechtsgekrümmt, sie ändert im Ursprung ihre Krümmung und ist im positiven Bereich linksgekrümmt. Die Wendeparabel verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung. 3

Das Bild einer Funktion der Form y = mx ist eine gestauchte ( m < 1 ) oder gestreckte ( m > 1 ) Wendeparabel. Für positive Werte von m verläuft die Funktion im I. und III. Quadranten, für negative m im II. und IV. Quadranten. 3

3

Das Bild einer Funktion der Form y = mx + b ist eine gegenüber der Funktion y = mx um b Einheiten in y-Richtung verschobene Wendeparabel. 3

Das Bild einer Funktion der Form y = m ( x + a ) + b ist eine in x- und y-Richtung verschobene Wendeparabel. Die Koordinaten des Wendepunktes sind ( – a b ). Die allgemeine Form einer Funktion 3. Grades lautet: 3

2

y = a3 x + a 2 x + a1 x + a 0

5.3.3

Parabeln höherer Ordnung 2

4

Zeichnen Sie das Bild der Funktion y = x und y = x in ein Koordinatensystem.

B7

1. Wertetabelle x

–2

–1

x

2

4

1

x

4

16

1

1 – --2 1 --4 1----16

0

1 --2

1

2

0

1 --4

1

4

0

1----16

1

16

87

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

2. Zeichnung

2

4

Wie das Bild der Funktion y = x ist auch das Bild der Funktion y = x eine Parabel, die achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft. Sie ist eine Parabel 4. Ordnung. Allgemein: 2n

Das Bild einer Funktion der Form y = x für n = 1, 2, 3, ... ist für gerade positive Exponenten eine Kurve, die achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft. Man bezeichnet sie als Parabel 2., 4., 6., ... Ordnung. 3

B8

5

Zeichnen Sie die Bilder der Funktionen y = x und y = y in ein Koordinatensystem. 1. Wertetabelle

x

– 1,50

–1

1 – --2

0

1 --2

1

1,50

x

3

– 3,38

–1

1 – --8

0

1 --8

1

3,38

x

5

– 7,59

–1

1– ----32

0

1----32

1

7,59

88

5.3 Parabeln

KAPITEL 5

2. Zeichnung

3

5

Wie das Bild der Funktion y = x verläuft auch das Bild der Funktion y = x punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Man bezeichnet das Bild als Parabel 5. Ordnung. Allgemein: 2n + 1

Das Bild einer Funktion der Form y = x für n = 1, 2, 3, ... ist für ungerade positive Exponenten eine Kurve, die punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft und im Ursprung ihren Wendepunkt hat.

5.3.4 B9

Ökonomische Anwendung Für einen Betrieb gelte folgende Preis-Absatzfunktion: p ( x ) = – 10x + 160 Ermitteln Sie die Umsatzfunktion und zeichnen Sie beide Funktionen in ein Koordinatensystem. Für den Umsatz U gilt:

U = px

Für den Betrieb gilt:

p = – 10x + 160

Man erhält als Umsatzfunktion des Betriebes: U ( x ) = ( – 10x + 160 )x 2

U ( x ) = – 10x + 160x

89

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

1. Wertetabelle x

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Stück/Periode

u

0

280

480

600

640

600

480

280

0

€/Periode

2. Zeichnung

Bei einem Preis von 160 € und darüber wird nichts abgesetzt, der Umsatz ist dementsprechend Null. Liegt der Preis unter 160 €/pro Stück, so steigt der Absatz linear bis zur maximalen Nachfrage von 16 Stück/Periode. Diese Sättigungsnachfrage von 16 Stück/Periode kann nur erreicht werden, wenn der Preis auf Null gesunken ist, daher ist auch der Umsatz an dieser Stelle Null. Der Umsatz steigt zunächst mit zunehmendem Absatz an, erreicht ein Maximum bei einer abgesetzten Menge von 8 Stück, sinkt mit weiter zunehmender Absatzmenge und fällt auf Null bei einer Menge von 16 Stück. Bei der Umsatzfunktion handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel 2. Grades. Die Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die parallel zur Ordinate durch den Scheitelpunkt (Umsatzmaximum) verläuft. Das Umsatzmaximum liegt also in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Auch Kosten- und Gewinnfunktionen können Funktionen 2. Grades sein. B 10

90

Ein Produktionsverfahren sei durch folgende progressive Kostenfunktion gekennzeichnet: 1 2 K ( x ) = --- x + 30x + 2475 (€/Stck) 3 Für das hergestellte Produkt gelte folgende Preis-Absatzfunktion: 10 p ( x ) = – ------ x + 250 (€/Stck) 3

5.3 Parabeln

KAPITEL 5

a) Ermitteln Sie Umsatz- und Gewinnfunktion. b) Zeichnen Sie Umsatz-, Kosten- und Gewinnfunktion in ein Koordinatensystem. c) In welchem Bereich der abgesetzten Menge werden positive Gewinne erzielt, und bei welcher Menge ist der Gewinn maximal? Lösung a) Die Umsatzfunktion ergibt sich aus U = px : 10 2 U ( x ) = – ------ x + 250x 3 Die Gewinnfunktion ergibt sich aus G = U – K :

(€/Periode)

1 2 10 2 G ( x ) = – ------ x + 250x – --- x – 30x – 2475 3 3 11 2 G ( x ) = – ------ x + 220x – 2475 (€/Periode) 3 b) 1. Wertetabelle x

0

15

30

37,5

45

60

75

U

0

3000

4500

4687,50

4500

3000

0

K

2475

3000

3675

4068, 75

4500

5475

6600

G

– 2475

0

825

618, 75

0

– 2475

– 6600

Hinweis zur Anfertigung der Wertetabelle: Die Wertetabelle sollte den Bereich zwischen den Nullstellen der Umsatzfunktion umfassen. Die Nullstellen der Umsatzfunktion ermittelt man, indem man den Umsatz Null setzt. 10 2 U = 0 = – ------ x 0 + 250x 0 3 10 0 = x 0 ⎛⎝ – ------ x 0 + 250⎞⎠ 3 x 01 = 0 x 02 = 75 Wir wissen weiterhin: Bedingt durch die Symmetrieverhältnisse bei Parabeln liegt das Umsatzmaximum in der Mitte zwischen den Nullstellen, also bei 37,5. Damit hat man drei markante Punkte der Umsatzfunktion (Nullstellen und Scheitelpunkt). Weitere wichtige Punkte sind die Nullstellen und der Scheitelpunkt der Gewinnfunktion (siehe unter c).

91

KAPITEL 5

5 Funktionenlehre

2. Zeichnung

a) Um zu erfahren, in welchem Bereich Gewinne erzielt werden, muss man Gewinnschwelle und -grenze ermitteln. Dazu berechnet man zunächst die Nullstellen der Gewinnfunktion: 11 2 G = – ------ x 0 + 220x 0 – 2475 = 0 | ÷ – 11 -----3 3 2

x 0 – 60x 0 + 675 = 0 x 0 1,2 = 30 ± 900 – 675 x 01 = 15 x 02 = 45 Werden zwischen 15 und 45 Stück des hergestellten Produktes abgesetzt, so erzielt der Betrieb einen positiven Gewinn. Wie bei der Umsatzfunktion handelt es sich auch bei der Gewinnfunktion um eine nach unten geöffnete Parabel. Die gewinnmaximale Absatzmenge liegt demnach genau zwischen den beiden Nullstellen. Für das Beispiel ergibt sich eine gewinnmaximale Absatzmenge von x = 30 . In der Betriebswirtschaftslehre werden neben linearen und quadratischen Kostenfunktionen auch Kostenfunktionen 3. Grades verwendet. Funktionen 3. Grades eignen sich zur Beschreibung von S-förmigen Kostenverläufen.

92

5.3 Parabeln

B 11

KAPITEL 5

Ein Produktionsverfahren sei durch folgende Kostenfunktion gekennzeichnet: 3

2

K ( x ) = x – 18x + 120x + 200 K in T€/Periode x in TStck/Periode Zeichnen Sie das Bild der Kostenfunktion und versuchen Sie, aus der Zeichnung zu ermitteln, wie sich die Grenzkosten bei zunehmender Produktionsmenge verhalten. 1. Wertetabelle x

0

2

4

6

8

10

12

14

(TStck/Per)

K

200

376

456

488

520

600

776

1096

(T€/Per)

2. Zeichnung

Die Entwicklung der Grenzkosten, die angeben, um welchen Betrag die Gesamtkosten steigen, wenn die Produktion um eine Einheit ausgedehnt wird, lässt sich beurteilen, wenn man an die Kostenkurve Stützdreiecke einzeichnet. Die Grenzkosten erhält man dann als Verhältnis der Gegenkathete ΔK zur Ankathete Δx dieser Stützdreiecke1.

1 Zu den Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck:

c = Hypotenuse, dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite a = Gegenkathete, dem Winkel alpha gegenüberliegende Seite b = Ankathete, dem Winkel alpha anliegende Seite

93

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

Im unteren Stückzahlenbereich fallen die Grenzkosten bei zunehmender Stückzahl bis eine Produktion von 6 TStück erreicht ist. Danach steigen die Grenzkosten mit zunehmender Stückzahl an.

5.4

Hyperbeln

5.4.1

Darstellung

B1

Als Beispiel für eine Hyperbel betrachten wir die Funktion mit der Funktionsgleichung y = 1 --- . x –1 1 Zeichnen Sie das Bild der Funktion y = x = --- . x 1. Wertetabelle

x

±5

±4

±3

±2

±1

1 ± --2

1 ± --3

1 ± --4

1 ± --5

y

1 ± --5

1 ± --4

1 ± --3

1 ± --2

±1

±2

±3

±4

±5

Zu beachten ist, dass die Funktion nicht definiert ist für x = 0 , da an dieser Stelle der Nenner 0 wäre. Aus der Wertetafel ist bereits zu erkennen, dass der Funktionswert um so größer wird, je näher der x-Wert an Null liegt. Lässt man x gegen Null streben, strebt der Funktionswert gegen unendlich. Nähert sich der x-Wert der Null von der negativen Seite, strebt der Funktionswert gegen minus unendlich. Nähert man sich der Null vom positiven Bereich, wächst der Funktionswert ins positiv Unendliche. 1 Man sagt, die Funktion y = --- hat an der Stelle x = 0 eine Polstelle (Unendlichkeitsstelle) x mit Vorzeichenwechsel.

94

5.4 Hyperbeln

KAPITEL 5

2. Zeichnung

1 Das Bild der Funktion y = --- besteht aus zwei Ästen, die im I. und III. Quadranten verlaux fen. Die Hyperbeläste sind – punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung – achsensymmetrisch zur I. und – zur II. Winkelhalbierenden. – Sie nähern sich asymptotisch1 den Koordinatenachsen. Wegen der senkrecht aufeinanderstehenden Asymptoten wird das Bild der Funktion als rechtwinklige Hyperbel bezeichnet. B2

Zeichnen Sie die Bilder der Funktionen: –1 –1 11y = 1 y = –1 --- = ------- = – ----2x 2x 2 2 –1 –1 --y = –2 x = – 2 --y = 2x = 2 x x

1 Asymptotos (griech.) = nicht zusammenfallend.

95

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

1. Wertetabelle x

±4

±3

±2

±1

1 ± --2

1 ± --3

1 ± --4

1 y = -----2x

1 ± --8

1 ± --6

1 ± --4

1 ± --2

±1

3 ± --2

±2

1 y = – -----2x

1 ± --8

1 ± --6

1 ± --4

1 ± --2

±1

3 ± --2

±2

2 y = --x

1 ± --2

2 ± --3

±1

±2

±4

±6

±8

y = –2 --x

1 ± --2

2 ± --3

±1

±2

±4

±6

±8

2. Zeichnung

96

5.4 Hyperbeln

KAPITEL 5

Bei den gezeichneten Funktionen handelt es sich um rechtwinklige Hyperbeln, mit den gleichen Symmetrieeigenschaften wie y = 1 --- . x Allgemein: –1

Das Bild einer Funktion der Form y = ax ist eine rechtwinklige Hyperbel. Die Hyperbeläste sind punktsymmetrisch zum Ursprung und achsensymmetrisch zu beiden Winkelhalbierenden. Für a > 0 verlaufen die Äste im I. und III. Quadranten, für a < 0 im II. und IV. Quadranten. Für a > 1 –1 sind die Hyperbeläste gegenüber y = x gedehnt, für 0 < a < 1 sind die Hyperbeläste gestaucht. –1

Für x = 0 ist die Funktion y = ax nicht definiert. An der Stelle x = 0 hat sie eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Die Kurve nähert sich der y-Achse, ohne sie zu schneiden. Man sagt die Kurve nähert sich asymptotisch der y-Achse. Für x gegen unendlich nähert sich die Kurve asymptotisch der x-Achse. B3

Zeichnen Sie die Bilder der Funktionen: y = x

–2

und y = x

–4

1. Wertetabelle x y = x

–2

y = x

–4

±3

±2

±1

1 ± --2

1 ± --4

1 --9

1 --4

1

4

16

1 -----81

1 -----16

1

16

256

97

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

2. Zeichnung

–2

–4

Die Bilder der Funktionen y = x und y = x sind Hyperbeln, deren Äste im ersten und zweiten Quadranten verlaufen. Für x = 0 sind die Funktionen nicht definiert. An der Stelle x = 0 liegen Polstellen ohne Vorzeichenwechsel vor. Die Hyperbeläste verlaufen achsensymmetrisch zur y-Achse. Sie nähern sich asymptotisch den Koordinatenachsen, wobei sie sich der x-Achse schneller nähern als der y-Achse. Allgemein: – 2n

Jede Funktion der Form y = ax für n = 1, 2, 3 ... und x ≠ 0 ist eine Hyperbel, die achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft. Für a > 0 liegen die Hyperbeläste im I. und II. Quadranten, für a < 0 im III. und IV. Quadranten. Sie nähern sich für n > 1 asymptotisch schneller der x-Achse als der y-Achse. B4

Zeichnen Sie die Bilder der Funktionen: y = x

–1

und y = x

–3

1. Wertetafel x

98

y = x

–1

y = x

–3

±3

±2

±1

1 ± --2

1 ± --4

1 ± --3

1 ± --2

±1

±2

±4

1 ± -----27

1 ± --8

±1

±8

± 64

5.4 Hyperbeln

KAPITEL 5

2. Zeichnung

Die Bilder der gezeichneten Funktionen sind Hyperbeln, deren Äste punktsymmetrisch zum Ursprung verlaufen. Die Äste liegen im I. und III. Quadranten. Sie nähern sich asymp–3 totisch der x- und der y-Achse. Die Funktion y = x nähert sich schneller der x-Achse als der y-Achse. Allgemein: – ( 2n – 1 )

Jede Funktion der Form y = ax für n = 1, 2, 3 ... und x ≠ 0 ist eine Hyperbel, die punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft. Für a > 0 verlaufen die Äste im I. und III. Quadranten, für a < 0 im II. und IV. Quadranten.

5.4.2

Ökonomische Anwendung

Im Betrieb ist nicht nur die Entwicklung der Gesamtkosten mit zunehmender Produktionsmenge von Interesse, sondern auch die Entwicklung der Stückkosten k in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x. Die Stückkosten errechnen sich aus den Gesamtkosten, indem man durch die Stückzahl dividiert. Es gilt: K k = --x Setzen sich die Gesamtkosten aus variablen und fixen Kosten zusammen, so setzen sich die StückK kosten entsprechend aus den variablen Stückkosten k v = -----v und den anteiligen Fixkosten x K k f = -----f zusammen. x K = Kv + Kf K K k = K --- = -----v + -----f x x x k = kv + kf Die Stückkostenfunktion erhält man, indem man die Kostenfunktion durch x dividiert. 99

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

B5

Gegeben ist folgende lineare Kostenfunktion: K ( x ) = 3 + 2x a) Wie lautet die Stückkostenfunktion k ( x ) ? b) Stellen Sie die Stückkostenfunktion graphisch dar. c) Zeigen Sie in einer Tabelle wie sich die fixen Stückkosten k f und die variablen Stückkosten kv entwickeln. Lösung a) Die Kostenfunktion lautet K ( x ) = 3 + 2x . Für die Stückkostenfunktion gilt: (x) = 3 k( x) = K ------------- + 2x -----x x x k( x ) = 3 --- + 2 x b) Der Funktionsgleichung lässt sich bereits entnehmen, dass es sich bei der Stückkostenfunktion um eine Hyperbel handelt, die in k-Richtung verschoben ist. 1. Wertetabelle x

1

2

3

4

5

6

k

5

3, 5

3

3 2 --4

3 2 --5

1 2 --2

Der ökonomisch sinnvolle Bereich bei der Darstellung der Stückkostenfunktion beginnt bei einer produzierten Stückzahl von einer Einheit. 2. Zeichnung

Das Bild der Stückkostenfunktion ist eine Hyperbel, die sich asymptotisch der Parallelen zur x-Achse im Abstand 2 nähert.

100

5.5 Wurzelfunktion

KAPITEL 5

c) Es gilt k f = 3 --- und k v = 2. x x

1

2

3

4

5

6

10

100

kv

2

2

2

2

2

2

2

2

kf

3

1, 5

1

0, 75

0, 6

0, 5

0, 3

0, 33

Die variablen Stückkosten betragen im Beispiel konstant 2 €/Stck. Die anteiligen Fixkosten fallen mit zunehmender Produktionsmenge, da der Fixkostenblock auf mehr Einheiten verteilt werden kann. Die anteiligen Fixkosten streben mit steigender Produktionsmenge gegen Null. Die gesamten Stückkosten nähern sich mit steigender Menge den variablen Stückkosten. Die Stückkostenfunktion nähert sich asymptotisch der variablen Stückkostenfunktion. Im Beispiel gilt k v ( x ) = 2 = constant .

5.5

Wurzelfunktion

5.5.1

Darstellung

--1n

Wurzelfunktionen sind Funktionen der Form y = f ( x ) = n x = x . Bei der Darstellung von Wurzelfunktionen ist die Kenntnis der Bedeutung der Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion hilfreich. Die Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion erhält man, wenn man die Variablen vertauscht. B1 Zur linearen Funktion y = 2x + 1 ergibt sich so zunächst für die Umkehrfunktion x = 2y + 1. Will man die Umkehrfunktion graphisch darstellen, so empfiehlt es sich, die Gleichung nach y aufzulösen.

101

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

1 Man erhält: y = --- x – 1--2

2

Das Bild der Umkehrfunktion zu einer gegebenen Funktion erhält man, wenn man das Bild der Funktion an der 1. Winkelhalbierenden y = x spiegelt. B2

2

2

2

Kehrt man die Funktion y = x um, so erhält man x = y . Die Gleichung x = y ist nur definiert für x ≥ 0 . Bei der Umkehrung einer gegebenen Funktion wird der Definitionsbereich der Funktion zum Wertebereich der Umkehrfunktion. Es ergibt sich dann als Umkehrfunktion die Wurzelfunktion y = x . Das Bild der Funktion y = x erhält man durch 2 Spiegelung des Bildes der Funktion y = x für x ≥ 0 an der ersten Winkelhalbierenden.

Allgemein: Bildet man die Umkehrfunktion zu einer Potenzfunktion mit ganzzahligem positiven Exponenten für x ≥ 0 , so erhält man eine Wurzelfunktion. y = x Umkehrfunktion:

x = y y =

n

(x ≥ 0)

n

n

x

Der Wertebereich der Umkehrfunktion ist auf x ≥ 0 beschränkt, da Wurzeln gerader Ordnung nur für positive Radikanden definiert sind. B3

Zeichnen Sie das Bild der Funktion y =

3

x.

Durch Vertauschen der Variablen erhält man: x =

3

y = x

102

y 3

5.5 Wurzelfunktion

KAPITEL 5

3

Das Bild der Funktion y = 3 x erhält man durch Spiegelung der Wendeparabel y = x für x > 0 an der ersten Winkelhalbierenden.

5.5.2

Ökonomische Anwendung

5.5.2.1

Die Rendite im Zweizahlungsfall dargestellt als Funktion von Kn

Unter 2.2 B 25 (siehe Seite 26) wurde die Bestimmungsgleichung für die Rendite im Zweizahlungsfall abgeleitet.

Es gilt:

i =

n

K -----n- – 1 K0

In folgendem Beispiel soll ermittelt werden, wie sich die Rendite i in Abhängigkeit von der Zahlung K n (Endkapital) verhält. B4

Ein Anleger möchte einen Betrag von 10.000 € für 4 Jahre anlegen. Er möchte wissen, wie hoch die Verzinsung seines eingesetzten Kapitals K 0 bei verschiedenen Endwerten K 4 ist. Gegeben:

K 0 = 10000 € n = 4 Jahre

Für die Rendite i ergibt sich: i ( K4 ) =

4

K4 ---------------–1 10000

4 K i ( K 4 ) = ---------4- – 1 10

103

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

1. Wertetafel K4

0

5000

10000

15000

20000

30000

40000

100000

i

–1

– 0, 16

0

0, 11

0, 19

0, 32

0, 41

0, 78

2. Zeichnung

Aus Wertetafel und Zeichnung ist Folgendes zu erkennen: Erhält der Anleger nach 4 Jahren kein Geld zurück, so entspricht das einer Verzinsung von – 1 (-100 %) . Erhält er genau 10.000 € nach Ablauf der 4 Jahre, so entspricht das einer Verzinsung von 0; er bekommt genau soviel zurück, wie er eingesetzt hat. Erhält er nach 4 Jahren mehr als 10.000 € zurück, erzielt er eine positive Verzinsung. Die Zinszuwächse werden jedoch mit steigendem Endkapital immer geringer. 5.5.2.2

Degressive Kostenfunktionen

Stellt man in einem Betrieb einen degressiven Gesamtkostenverlauf fest, so lässt sich der Kostenverlauf gelegentlich durch eine Wurzelfunktion beschreiben1. B5

Die Kostenfunktion einer Einproduktunternehmung laute: K ( x ) = 10 x + 100

(€/Per)

Stellen Sie die Kostenfunktion graphisch dar und beschreiben Sie die Entwicklung der Grenzkosten mit zunehmender Produktionsmenge. 1 Vgl. J. Schwarze, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Band 2, 12. Aufl., Herne/Berlin 2005.

104

5.6 Exponential- und Logarithmusfunktionen

KAPITEL 5

1. Wertetabelle x

0

9

16

25

36

49

64

K

100

130

140

150

160

170

180

2. Zeichnung

Aus der Darstellung erkennt man, dass die Grenzkosten (= Kostenzuwächse pro zusätzlich produzierter Mengeneinheit) mit steigender Produktionsmenge abnehmen. Bei einem derartigen Kostenverlauf erkennt man den Vorteil der Massenproduktion. Degressive Kostenverläufe ergeben sich z. B. dann, wenn mit zunehmender Ausbringungsmenge Rohstoffe aufgrund von Mengenrabatten günstiger eingekauft werden können.

5.6

Exponential- und Logarithmusfunktionen

5.6.1

Darstellung von Exponentialfunktionen

Man spricht von einer Exponentialfunktion, wenn in der Funktionsgleichung die unabhängige Variable im Exponent steht. Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion lautet: y = a B1

x

a > 0 und a ≠ 1

Zeichnen Sie die Bilder der Funktionen: 1 x x x y = 2 , y = 3 , y = ⎛ --- ⎞ , ⎝ 2⎠

1 y = ⎛ --- ⎞ ⎝ 3⎠

x

105

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

1. Wertetabelle x 2

x

3

x

⎛1 --- ⎞ ⎝ 2⎠

x

⎛1 --- ⎞ ⎝ 3⎠

x

–3

–2

–1

0

1

2

3

1 --8

1 --4

1 --2

1

2

4

8

1 -----27

1 --9

1 --3

1

3

9

27

8

4

2

1

1 --2

1 --4

1 --8

27

9

3

1

1 --3

1 --9

1----27

2. Zeichnung

Allgemein: x

Das Bild einer Exponentialfunktion der Form y = a für a > 0 verläuft im I. und II. Quadranten, also oberhalb der x-Achse. Die Funktionen gehen alle durch ( 0 1 ). Für a > 1 nähern sie sich asymptotisch der negativen x-Achse und für a < 1 nähern sie sich asymptotisch der positiven x-Achse. Für a = 1 ergibt sich eine Parallele zur x-Achse im Abstand 1. 1 x x Die Funktionen y = a und y = ⎛⎝ --- ⎞⎠ verlaufen achsensymmetrisch zur y-Achse. a x

Für a < 0 ist die Funktion y = a nicht definiert.

106

5.6 Exponential- und Logarithmusfunktionen

5.6.2

KAPITEL 5

Darstellung von Logarithmusfunktionen x

Bildet man zu der Funktion y = a die Umkehrfunktion, so erhält man eine Logarithmusfunktion. Funktion

y = a

x

Umkehrfunktion

x = a

y

y = log a x Ähnlich wie bei der Umkehrung der Potenzfunktion ist auch die Logarithmusfunktion nur für x > 0 definiert. B2

Zeichnen Sie die Bilder der Funktionen: y = 2

x

und

y = log 2 x

1. Wertetabelle x 2

x

log x

–2

–1

0

0,2

0,5

1

2

4

6

8

1 --4

1 --2

1

1,15

1,41

2

4

16

64

256

– 2,32

–1

0

1

2

2,59

3

nicht definiert

Die Funktionswerte zu y = log 2 x berechnet man am besten unter Verwendung von Zehnerlogarithmen. Die äquivalente Funktion zu y = log 2 x lautet: x = 2

y

Gesucht sei der Funktionswert für x = 6 . In die Funktionsgleichung eingesetzt ergibt sich: 6 = 2

y

| lg

lg 6 = y ⋅ lg 2 lg 6 y = ---------lg 2 0,7782 y = ----------------0,301 y = 2,59

107

KAPITEL 5

5 Funktionenlehre

2. Zeichnung

Allgemein: x

Das Bild der Logarithmusfunktion y = log a x erhält man durch Spiegelung der Funktion y = a an der I. Winkelhalbierenden. Funktionen der Form y = log a x verlaufen im I. und IV. Quadranten und gehen durch den Punkt ( 1 0 ). Für a > 1 nähern sie sich asymptotisch der negativen y-Achse, für a < 1 nähern sie sich asymptotisch der positiven y-Achse. Für a < 0 ist die Funktion y = log a x nicht definiert.

5.6.3

Ökonomische Anwendung

Exponentialfunktionen spielen in den Wirtschaftswissenschaften als Wachstumsfunktionen eine Rolle. Bereits in Kapitel 1 (siehe unter 1.2, S. 17) haben wir uns mit einem Wachstumsvorgang beschäftigt. Wir haben uns gefragt, auf welchen Wert ein gegebener Geldbetrag K o in bestimmter Zeit anwächst, wenn er jährlich mit einem bestimmten Satz verzinst wird, wobei die Zinsen dem Betrag jeweils am Jahresende zugeschlagen werden. Es ergab sich folgende Beziehung: Kn = K o ( 1 + i ) K n = Betrag nach n Jahren K o = Anfangsbetrag i = Zinssatz (bezogen auf ein Jahr) n = Anzahl der Jahre

108

n

5.6 Exponential- und Logarithmusfunktionen

B3

KAPITEL 5

Ein Anleger bringt 100 € zur Bank und erhält auf diesen Betrag 10 % Zinsen. Die Zinsen werden dem Kapitel jeweils am Jahresende zugeschlagen. Stellen Sie die Entwicklung des Geldbetrages in den ersten 5 Jahren graphisch dar. Lösung 1. Funktionsgleichung K n = K n ( n ) = 100 ⋅ 1, 1

n

für n = 1, 2, 3, ...

2. Wertetabelle n

1

2

3

4

5

Kn

110

121

133, 1

146, 4

161, 1

Da der Zuwachs nur am Jahresende stattfindet, erhält man ein treppenförmiges Bild der Funktion. Wir haben es mit einem diskontinuierlichen oder unstetigen Wachstum zu tun. 3. Zeichnung

i Wird dem Kapital halbjährlich jeweils 5 % ⎛⎝ ---⎞⎠ an Zinsen zugeschlagen, so ergibt sich folgendes 2 Bild:

109

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

Nach einem halben Jahr ist der Betrag K o angewachsen auf i K 0, 5 = K 0 ⎛ 1 + --- ⎞ = 100 ⋅ 1,05 = 105 ⎝ 2⎠ Nach einem Jahr beträgt das Kapital 2 i 2 K 1 = K 0 ⎛⎝ 1 + --- ⎞⎠ = 100 ⋅ 1, 05 = 110, 25 2 Das Kapital entwickelt sich in den nächsten Jahren wie folgt: 4 i 4 K 2 = K 0 ⎛⎝ 1 + --- ⎞⎠ = 100 ⋅ 1, 05 = 121, 55 2 6 i 6 K 3 = K 0 ⎛⎝ 1 + --- ⎞⎠ = 100 ⋅ 1, 05 = 134, 01 2 Für den Fall halbjährlicher Zinstermine ergibt sich allgemein: i 2n K n = K 0 ⎛⎝ 1 + --- ⎞⎠ 2 Halbjahreszinssatz Allgemein: Existieren pro Jahr m Zinsperioden und werden dem Kapital in jeder Zinsperiode Zinsen in Höhe i von ----- zugeschlagen, dann gilt für das Kapital K n nach n Jahren: m i- ⎞ mn K n = K 0 ⎛ 1 + ---⎝ m⎠ Werden die Zinsen nicht erst am Ende einer Zinsperiode dem Kapital zugeschlagen, sondern wachsen dem Kapital in jedem Augenblick zu, spricht man von einer stetigen Verzinsung. Die Dauer der Zinsperiode ist dann unendlich kurz, die Anzahl der Zinsperioden m pro Jahr ist demnach unendlich groß. Um eine Aussage über K n unter diesen Umständen machen zu können, muss man den obigen Ausdruck für den Fall untersuchen, dass m über alle Grenzen wächst. Für diese Betrachtung ist folgende Umformung sinnvoll: i- ⎞ m ⋅ n K n = K 0 ⎛ 1 + ---⎝ m⎠ i K n = K 0 ⎛ 1 + ----- ⎞ ⎝ m⎠

m ----- ⋅ n ⋅ i i

i K n = K 0 ⎛ 1 + ----- ⎞ ⎝ m⎠

m- n ⋅ i ---i

In dem gefundenen Ausdruck sind K 0 , i und n feststehende Größen. Es bleibt zu untersuchen, wie m ----i

sich der Ausdruck ⎛⎝ 1 + ----i- ⎞⎠ entwickelt, wenn m gegen unendlich strebt. m

Der Mathematiker Euler (1707–1783) hat bewiesen, dass der Ausdruck ⎛⎝ 1 + ----i-⎞⎠ m

m ----i

für m gegen un-

endlich einem Grenzwert zustrebt, der als unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch auf beliebig viele Stellen berechnet werden kann. Diesen Grenzwert bezeichnet man als Eulersche Zahl e.

Es gilt: e = 2,71828 ...

110

5.6 Exponential- und Logarithmusfunktionen

KAPITEL 5

Anstelle eines mathematischen Beweises soll dieser Zusammenhang durch folgende Zahlenwerte verdeutlicht werden: Für i = 1 ergibt sich für: m = 1

(1 + 1)

= 2

m = 10

1- ⎞ 10 ⎛ 1 + ----⎝ 10 ⎠

= 2,5

m = 10

2

m = 10

7

1 - ⎞ 100 ⎛ 1 + -------2 ⎠ ⎝ 10 1 - ⎞ 1000000 ⎛ 1 + -------7 ⎠ ⎝ 10

= 2,7048 = 2,718282

Für die stetige Verzinsung ergibt sich damit folgende Beziehung: Kn = K0 ⋅ e

i⋅n

Stetige Verzinsung

K o = Ausgangsgröße i = Jahreszinssatz n = Anzahl der Jahre K n = Größe nach n Jahren Die stetige Verzinsung eines Geldbetrages spielt in der Wirtschaftspraxis keine Rolle. Mit Funktirn onen der Form y n = y 0 ⋅ e lässt sich aber natürliches Wachstum, etwa das Wachstum einer Bevölkerung, beschreiben. yn = y0 ⋅ e

r⋅n

Wachstumsfunktion

r

Dabei entspricht e dem Zinsfaktor für ein Jahr 1 + i . B4

Die Bevölkerung eines Landes ist im vergangenen Jahr von 9,8 auf 10 Millionen Menschen angewachsen. Stellen Sie die Bevölkerungsentwicklung für die nächsten 50 Jahre dar. Dabei ist von einer gleichbleibenden Wachstumsrate auszugehen. 1. Ermittlung der Wachstumsrate r 10 r e = -------- | ln 9, 8 10 r ⋅ ln e = ln -------9,8 10 r = ln -------9,8 r = 0, 0202 2. Aufstellen der Wachstumsfunktion 0, 0202n (in Mio) B n = 10 ⋅ e 111

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

3. Wertetabelle n

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Bn

11,1

12,2

13,5

15

16,6

18,3

20,3

22,4

24, 8

27,5

4. Zeichnung

5.7

Fragen und Aufgaben

5.1

Zeichnen Sie die Bilder folgender Funktionen a) y = 2x – 3 b) y = 4x c) x = 2 d) y = 6 e) y = – 3x + 2

5.2

Ein Betrieb ermittelte in seiner Kostenrechnung für die Abrechnungsperioden Oktober und November folgende Daten:

112

Monat

Oktober

November

Gesamtkosten K (€/Mon)

110.000

95.000

Produktionsmenge x (Stck/Mon)

20.000

15.000

5.7 Fragen und Aufgaben

KAPITEL 5

a) Zeichnen Sie die Kostengerade. Wie lautet die Funktionsgleichung in der Zwei-Punkte-Form und in der Normalform? b) Wie lautet die Umsatzfunktion des Betriebes (Mengenanpasser), wenn mit einem Stückpreis von 8 € gerechnet? c) Wie lautet dann die Gewinnfunktion und wie hoch wäre der Gewinn bei einer abgesetzten Menge von 25.000 Stück? 5.3

Ein Marktforschungsinstitut ermittelte in einem Testmarkt für ein Produkt einen Maximalpreis von 250 € und eine Sättigungsmenge von 1.000 Stück pro Periode. a) Zeichnen Sie die Nachfragegerade und berechnen Sie die Funktionsgleichung. b) Wie hoch sind Gleichgewichtspreis und Gleichgewichtsmenge, wenn im Testmarkt folgende Angebotsfunktion gilt: p = 40 + 0,5x a c) Welcher staatliche Preis darf maximal für das Produkt festgelegt werden, wenn ein Angebotsüberhang von 180 Stück nicht überschritten werden soll?

5.4

Ein Einproduktunternehmen produzierte in der letzten Periode 25.000 Stück Komfortbleistiftanspitzer. Die Gesamtkosten der Periode betrugen 200.000 €. Davon waren 150.000 € fixe Kosten. a) Zeichnen Sie die Kostenfunktion und stellen Sie die Funktionsgleichung für den Fall auf, dass eine lineare Kostenfunktion angenommen wird. b) Wie hoch ist der Gewinn, wenn der Verkaufspreis 5 €/Stück beträgt und 70.000 Stück produziert und abgesetzt werden können? c) Was geschieht, wenn der Verkaufspreis unter 2 €/Stück sinkt?

5.5

Bei der Herstellung von 100 Einbauküchen entstehen Gesamtkosten in Höhe von 270.000 €. Die variablen Kosten betragen 1.500 € pro Küche. Die Küchen werden für 2.500 €/Stück verkauft. Ermitteln Sie zeichnerisch und rechnerisch den Kostenverlauf und die Gewinnschwelle unter der Annahme einer linearen Kostenfunktion.

5.6

Der Preis für eine Flasche Gerstenkorn-Pilsener beträgt 90 Cent. Die fixen Kosten der Brauerei betrugen in den vergangenen Abrechnungsperioden 300.000 € pro Monat, die variablen Stückkosten wurden mit 40 Cent/Flasche ermittelt. a) Wieviel Flaschen müssen pro Monat mindestens hergestellt und verkauft werden, damit die Brauerei Gewinn erzielt? b) Wie hoch ist der Gewinn, wenn an der Kapazitätsgrenze von 2 Millionen Flaschen pro Monat produziert wird?

5.7 5.8

Stellen Sie folgende Funktionen graphisch dar: 2 3 2 2 2 xa) y = x b) y = – ---c) y = – --- x – 2 d) y = ( x + 3 ) 2 2 Wandeln Sie folgende Funktionsgleichungen in die Scheitelform um und stellen Sie die Funktionen graphisch dar: 2

a) y = x + 2x + 3

2

b) y = 2x – 8x + 9

2

c) y = – 3x + 12x – 9

113

5 Funktionenlehre

KAPITEL 5

5.9

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen in 5.7 und 5.8, soweit vorhanden.

5.10

Stellen Sie folgende Funktionen graphisch dar: a) y = ( x + 2 )

5.11

3

b) y = – 2x

3

c) y = ( x – 3 ) + 2

Wie lautet die Umsatzfunktion zu folgenden Preis-Absatzfunktionen: a) p = 100 – 2x

5.12

3

b) p = 50

c) p = 750 – 10x

Der Präsident eines Bundesligavereins denkt angesichts steigender Kosten über eine Preisveränderung bei den Eintrittskarten nach. Aus der Vergangenheit weiß man, dass bei einem Eintrittpreis von durchschnittlich 15 € pro Spiel im Schnitt 45.000 Zuschauer kamen. Bei einem Preis von 20 € waren es noch 40.000 Zuschauer. a) Wie lautet die Nachfragefunktion nach Eintrittskarten unter der Annahme einer linearen Nachfragefunktion? b) Der Preis beträgt im Augenblick 20 € pro Karte. Soll der Preis gesenkt oder erhöht werden, wenn das Ziel eine Umsatzsteigerung ist? Zeichnen Sie zur Beantwortung dieser Frage Nachfrage- und Umsatzfunktion in ein Koordinatenkreuz. c) Bei welchem Preis würde maximaler Umsatz erzielt? Lesen Sie diesen Preis aus der Zeichnung ab.

5.13

Eine Fabrik stellt Staubsauger her. Die Gesamtkosten berechnen sich wie folgt: 1 2 K ( x ) = --- x + 30x + 1000 3 Zur Feststellung der Nachfrage wurde eine Marktuntersuchung durchgeführt, deren Ergebnis aus folgender Tabelle zu entnehmen ist. p

50

100

150

250

€/Gerät

x

60

45

30

0

Gerät/Woche

a) Zeichnen Sie die Nachfragefunktion und ermitteln Sie die zugehörige Funktionsgleichung. b) Ermitteln Sie Umsatz- und Gewinnfunktion. c) Zeichnen Sie Umsatz-, Kosten- und Gewinnfunktion in ein Koordinatensystem. d) Schätzen Sie aus der Zeichnung, wieviele Geräte wöchentlich hergestellt werden müssen, damit 1. der Umsatz 2. der Gewinn maximal wird. e) In welchem Bereich werden positive Gewinne erzielt?

114

5.7 Fragen und Aufgaben

5.14

KAPITEL 5

Ermitteln Sie zeichnerisch und wenn möglich rechnerisch die Gewinnschwelle und Gewinngrenze, wenn folgende Kosten- und Nachfragefunktionen gelten: a) K = 6x + 40 und p = 30 – 2x 2

b) K = 2x + 5x + 238 und p = 53 3

2

c) K = 10x – 5x + 2x + 100 und p = 400 – 80x 5.15

Stellen Sie folgende Funktionen graphisch dar: 2 1 1 a) y = --b) y = 3 + --c) y = x + ----2x x x

5.16 5.17

Zeichnen Sie die Kostenfunktion und die Stückkostenfunktion: 1 2 a) K = 5 + 3x b) K = 10 + 0, 5x c) K = --- x + 20 4 Bilden Sie zu folgenden Funktionen die Umkehrfunktion. Zeichnen Sie Ausgangsfunktion und Umkehrfunktion. 1 2 1 3 2 a) y = 2x b) y = --- x c) y = --- x 4 2

5.18

Zeichnen Sie das Bild der Funktion y = a)

5.19

2

b)

3

x und lesen Sie folgende Wurzelwerte ab:

c) 5

Die Rendite im Zweizahlungsfall berechnet sich wie folgt: i =

n

K -----n- – 1 K0

Ein Investor kauft heute Gold im Wert von 100.000 €. Nach 5 Jahren will er das Gold wieder verkaufen. a) Stellen Sie den Sachverhalt am Zeitstrahl dar. b) Stellen Sie die Rendite r als Funktion des Wiederverkaufspreises K n dar (Funktionsgleichung und graphische Darstellung). 5.20

Der Holzbestand eines jungen Waldes wurde mit 75 m3/ha ermittelt. Man kann mit einem jährlichen Zuwachs von 2,5 % rechnen. Stellen Sie die Entwicklung des Holzbestandes mit Hilfe einer Wachstumsfunktion dar.

115

KAPITEL 6

6 Reihenlehre

6

Reihenlehre

6.1

Arithmetische Folge und Arithmetische Reihe

Wenn Zahlen nach einem bestimmten Gesetz aufeinanderfolgen, spricht man von einer Zahlenfolge. B1

2; 4; 6; 8; 10

B2

0; 3; 6; 9; 12

B3

2; 4; 8; 16; 32

B4

1 1 1 1 1; --- ; --- ; ------ ; -----2 8 16 32

}

Zahlenfolgen

Die einzelnen Zahlen heißen Glieder der Zahlenfolge. Werden diese Glieder addiert, so spricht man von einer Reihe. B5

2 + 4 + 6 + 8 + 10

B6

2 + 4 + 8 + 16 + 32

}

Reihen

D1 Man spricht von einer arithmetischen Folge, wenn die Differenz aufeinanderfolgender Glieder immer gleich groß ist. ; a a+d ; 1. Glied 2. Glied

;

a + 2d 3. Glied

...

...

;

a + ( n – 1 )d n-tes Glied = letztes Glied

a = Anfangsglied d = Differenz aufeinanderfolgender Glieder n = Anzahl der Glieder Bei steigenden Folgen ist die Differenz d positiv. B7

1; 2; 3; 4; 5

d = 1

Bei fallenden Folgen ist die Differenz negativ. B8

10; 8; 6; 4

d = –2

Werden die Glieder einer arithmetischen Folge addiert, so erhält man eine arithmetische Reihe. Häufig benötigt man den Wert s (Summe der einzelnen Glieder) der arithmetischen Reihe. Die Berechnung der Summe wird umso langwieriger, je größer die Anzahl der Glieder ist. Deshalb liegt es nahe, eine Formel zur vereinfachten Berechnung abzuleiten. Die Formel soll der große Mathematiker Karl Friedrich Gauß (1777–1855) schon als Junge in der Volksschule entdeckt haben. Es wird folgende Anekdote berichtet: Der kleine Gauß besuchte die Schule noch nicht lange, als der Lehrer seine Klasse dadurch beschäftigen wollte, dass er alle ganzen Zahlen von 1 bis 100 addieren ließ. Gauß war zum großen Erstaunen des Lehrers nach kurzer Zeit fertig. Er rechnete wie folgt: 116

6.1 Arithmetische Folge und Arithmetische Reihe

KAPITEL 6

1 + 2 + 3 + 4 + 5 ... + 50 + 51 ... + 98 + 99 + 100 = ( 1 + 100 )+ (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) ... + (50 + 51) = 50 ⋅ 101 = 5050 Dieses von Gauß entdeckte Verfahren lässt sich folgendermaßen verallgemeinern. Man schreibe die Reihe zweimal in allgemeiner Form untereinander, einmal vorwärts und einmal rückwärts. Dabei ist es zur Vereinfachung zweckmäßig, das letzte Glied mit z zu bezeichnen. Es soll gelten: z = a + ( n – 1 )d . Anschließend werden beide Zeilen addiert. s = a + a + d + a + 2d + a + 3d + ... + a + ( n – 2 )d + z s = z + z – d + z – 2d + z – 3d + ... + z – ( n – 2 )d + a 2s = a + z + a + z + a + z + a + z + ... + a + z + a + z 2s = n ( a + z ) R1

Summenformel der Arithmetischen Reihe n n s = --- ( a + z ) = --- [ 2a + ( n – 1 )d ] 2 2

B9

Berechnen Sie die Größe des letzten Gliedes und die Summe einer arithmetischen Reihe mit: a = 3;

d = 5;

n = 200

Lösung: z = a + ( n – 1 )d z = 3 + 199 ⋅ 5 = 998 n s = --- ( a + z ) 2 s = 100(3 + 998 ) = 100100 B 10

Ein Angestellter erhält ein jährliches Gehalt von 25000 €. Nach Ablauf eines jeden Jahres erhöht sich sein Gehalt um 1200 €. Wie hoch ist sein Gehalt im 15. Jahr und wieviel hat er bis dahin ingesamt verdient? a = 25000 ;

d = 1200 ;

n = 15;

z = ?;

s = ?

Lösung: z = a + ( n – 1 )d z = 25000 + 14 ⋅ 1200 = 41800 n s = --- ( a + z ) 2 s = 7, 5 ( 25000 + 41800 ) = 501000 Im 15. Jahr beträgt das Gehalt 41800 €. Der Gesamtverdienst beträgt 501000 €.

117

6 Reihenlehre

KAPITEL 6

6.2

Geometrische Folge und geometrische Reihe

D2 Man spricht von einer geometrischen Reihe oder Folge, wenn der Quotient aufeinanderfolgender Glieder immer gleich groß ist. ; ; a aq 1. Glied 2. Glied

2

aq 3. Glied

;

;

...

...

n–1

aq n-tes Glied

a = Anfangsglied q = Quotient aufeinanderfolgender Glieder n = Anzahl der Glieder B 11

2; 4; 8; 16; 32;

q = 2

B 12

1 1 1 1 1; --- ; --- ; ------ ; ------; 4 8 16 32

1 q = --2

Zur Ermittlung der Summenformel für die geometrischen Reihen schreibt man diese in allgemeiner Form auf. Darunter schreibt man die gleiche Reihe, nachdem man die Gleichung mit q multipliziert hat. Anschließend subtrahiert man die zweite von der ersten Gleichung. s = a + aq + aq + aq + ... + aq

2

3

n–1

2

3

n–1

sq =

aq + aq + aq + ... + aq

s – sq = a – aq

+ aq

n

n n

s(1 – q) = a(1 – q ) R2

Summenformel der geometrischen Reihe n

n

1–q q –1 s = a --------------- = a --------------1–q q–1 B 13

Ermitteln Sie die Summe einer geometrischen Reihe mit: 3 a = 5; q = --- ; n = 10 2 Lösung 10

1,5 – 1 s = 5 --------------------1,5 – 1 s = 566, 65 B 14

Der Erfinder des Schachbretts erbat sich als Belohnung für das erste Feld 2 Weizenkörner, für das zweite 4 Körner, für das dritte 8 Körner usw. a) Wieviel Körner waren das insgesamt? b) Wieviel Tonnen Weizen hätte das ergeben, wenn 20000 Körner ein Kilogramm wiegen?

118

6.3 Unendliche geometrische Reihe

KAPITEL 6

Lösung a) Es ergibt sich folgende geometrische Reihe, deren Summe gesucht ist: a = 2;

q = 2;

n = 64

s = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 ... =? n

64

2 –1 q –1 19 s = a --------------- = 2 ----------------- = 3, 6893489 ⋅ 10 q –1 2 –1 b)

3, 6893489 ⋅ 10

19

÷ 20000000 = 1,8446745 ⋅ 10

Die Anzahl der Körner beträgt 3, 6893489 ⋅ 10 12 von 1,8446745 ⋅ 10 Tonnen.

6.3

19

12

. Das entspricht einem Gesamtgewicht

Unendliche geometrische Reihe

Hat eine geometrische Reihe unendlich viele Glieder, so ist die Summe dieser Reihe unendlich groß, wenn der Quotient q größer oder gleich 1 ist. B 15

s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... =∞

q>1

B 16

s = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + ... = ∞

q = 1

Liegt der Quotient q zwischen 0 und 1, dann strebt die Summe bei unendlich vielen Gliedern gegen eine bestimmte Zahl, genannt Grenzwert. B 17

1 1 1 1 s = 1 + --- + --- + --- + ------ + ... =2 2 4 8 16

0Finanzmathematik“

•

Sie fügen die Funktion Barwert (BW) ein und erhalten folgende Eingabeaufforderung. Zins

Hier Zinssatz i oder ein Feld, welches diesen enthält eingeben

ZZr

Laufzeit n oder ein Feld eingeben, welches diese enthält

RMZ

jährliche Zahlung g (mit negativem Vorzeichen) oder Feld eingeben, welches diese enthält

ZW

Endwert (nur beim Abzinsen, sonst nichts) eingeben

F

bei nachschüssiger Zahlungsweise nichts eingeben, bei vorschüssiger Zahlungsweise den Wert 1 eingeben

In der Eingabezeile erscheint folgende Eintragung: BW(0,1;10;-1000;;1) Sie erhalten als Ergebnis BW = 6144, 57 €. Die nachfolgende Übersicht zeigt Ihnen die Excel-Funktionen für die besprochenen finanzmathematischen Problemstellungen und die notwendigen Eingaben jeweils für nachschüssige Zahlungsweise. Wollen Sie vorschüssig rechnen, geben Sie bei der Eingabeaufforderung „F“ eine 1 ein. •

Öffnen Sie zunächst das Programm Excel.

•

Rufen Sie im Menue Einfügen => Funktion =>Finanzmathematik die benötigte Funktion auf.

•

Nehmen Sie Ihre Eingaben gemäß nachfolgender Tabelle.

136

6.6 Fragen und Aufgaben

Vorgang und

Eingabeaufforderung und

Gleichung

ExcelFunktion

Aufzinsen

ZW

ZW(Zins;ZZR;RMZ;BW;F)

BW

BW

RMZ

RMZ

ZW

K n = g ⋅ EWF

6.6 6.1

RMZ(Zins;ZZR;BW;ZW;F) RMZ(i;n;;- K n )

g = K n ⋅ RVF

Endwertermittlung

RMZ(Zins;ZZR;BW;ZW;F) RMZ(i;n; – K 0 )

g = K 0 ⋅ KWF

Restwertverteilung

BW(Zins;ZZR;RMZ;ZW;F) BW(i;n;-g)

K 0 = g ⋅ DSF

Verrentung

BW(Zins;ZZR;RMZ;ZW;F) BW(i;n;;- K n )

K 0 = K n ⋅ AbF

Rentenbarwert

Eingabe

ZW(i;n;;- – K 0 )

K n = K 0 ⋅ AuF

Abzinsen

KAPITEL 6

ZW(Zins;ZZR;RMZ;BW;F) ZW(i;n;-g)

Fragen und Aufgaben Gegeben ist die Folge 10, 15, 20, ... a) Bestimmen Sie die Summe der ersten 10 Glieder. b) Wie groß ist das 20. Glied?

6.2

Gegeben ist die Folge 10, 15, 22,5 a) Bestimmen Sie die Summe der ersten 10 Glieder. b) Wie groß ist das 10. Glied?

6.3

Gegeben ist die Folge 100, 50, 25, ... a) Wie groß ist das 15. Glied der Folge? b) Welchem Grenzwert strebt diese geometrische Reiche mit wachsendem n entgegen?

6.4

Eine Familie, die gerne ein Haus auf dem Lande erwerben möchte, könnte pro Jahr einen Betrag von 25000 € für Zins und Tilgung aufbringen (nachschüssig). a) Welcher Betrag ließe sich mit dieser Annuität finanzieren, wenn man von einer Laufzeit von 30 Jahren und einem Zinssatz von 8 % ausgeht? b) Überprüfen Sie das Ergebnis auf seine Richtigkeit, indem Sie die auf den in a) errechneten Kreditbetrag entfallende Annuität ermitteln.

137

KAPITEL 6

6.5

6 Reihenlehre

Ein Landwirt überlegt, ob es lohnend für ihn ist, die Milchabwärme über eine Wärmepumpe zur Brauchwassererwärmung und zu Heizzwecken zu nutzen. Die Anlage kostet mit Einbau 12000 €. Die Nutzungsdauer beträgt 10 Jahre. Für Strom und Wartung entstehen pro Jahr Auszahlungen in Höhe von 500 €. a) Wie hoch müssen die jährlichen Öleinsparungen sein (in Geld bewertet), damit sich die Investition bei einem Zinssatz von 10 % lohnt (Rechnung vorschüssig)?

6.6

Ein Raucher gibt jährlich 2400 € für Zigaretten aus. a) Über welchen Betrag könnte der Mann in 30 Jahren verfügen, wenn er das Rauchen aufgäbe und die 2400 € jeweils am Jahresende auf ein Konto einzahlen würde? Die Bank bietet ihm 5 % Zinsen.

6.7

Welchen Betrag müsste man jährlich über einen Zeitraum von 20 Jahren in eine Lebensversicherung einzahlen, um auf eine Versicherungssumme von 500000 € zu kommen? Die Verzinsung betrage für den Erlebensfall 4 %. a) Lösen Sie das Problem für vorschüssige Zahlungen. b) Lösen Sie das Problem für nachschüssige Zahlungen.

6.8

Sie wollen gerne einen Sparvertrag zur Altersversorgung abschließen, so dass Sie ab Ihrem 60. Lebensjahr eine jährliche Rente in Höhe von 24000 € (nachschüssig) erhalten. Sie sind heute 30 Jahre alt (Einzahlungszeitraum 30 Jahre). Welchen Betrag müssten Sie jährlich nachschüssig anlegen, um auf die gewünschte Rente zu kommen, wenn Sie eine Verzinsung von 5 % pro Jahr erzielen und die Rente eine Laufzeit von 18 Jahren haben soll?

6.9

Die Eltern eines Studenten haben über 10 Jahre jährlich einen Betrag von 2400 € angelegt, um das Studium ihres Sohnes zu finanzieren. Über welchen Betrag kann der Student jährlich verfügen, wenn er von einer Studienzeit von 5 Jahren ausgeht und sich das angelegte Kapital zu 5 % verzinst? (Rechnung nachschüssig)

138

7.2 Grundbegriffe der Differentialrechnung

7

KAPITEL 7

Einführung in die Differentialrechnung

7.2 Grundbegriffe der Differentialrechnung

7.1

Problemstellung

In Kapitel 5 haben wir uns mit elementaren Funktionen beschäftigt. Um diese graphisch darstellen zu können, haben wir einige Punkte rechnerisch bestimmt und dann zu Kurven verbunden. Bei komplizierten Funktionen ist zur Darstellung des genauen Verlaufs die Kenntnis der Lage von markanten Punkten der Funktion, wie Minima, Maxima und Wendepunkten, erforderlich. Die Lage dieser Punkte lässt sich mit Hilfe der Differentialrechnung ermitteln. Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit der Steigung von Funktionen. Eine der Fragestellungen der Differentialrechnung lautet: Wie ändert sich die abhängige Variable, wenn sich die unabhängige Variable ändert? Dieses ist eine Fragestellung, die in der Wirtschaft eine hervorragende Rolle spielt. So interessiert man sich nicht nur für die Gesamtkosten bei einer bestimmten Ausbringungsmenge, sondern auch, wie sich die Gesamtkosten ändern, wenn man die Ausbringungsmenge variiert. Will man die Preise für ein bestimmtes Produkt erhöhen, so ist es wichtig zu wissen, ob die geplante Preiserhöhung auch die gewünschte Umsatzsteigerung erbringt oder ob der Umsatz nicht sogar fällt. Es handelt sich hier um die für die Wirtschaftswissenschaften typische Betrachtung von Grenz- oder Marginalgrößen wie etwa von Grenzkosten, Grenzumsatz, Grenznutzen, Grenzsteuer usw. Diese Größen geben jeweils an, um welchen Betrag sich die abhängige Variable ändert, wenn sich die unabhängige Variable um eine Einheit ändert. Die Differentialrechnung wurde von Leibnitz1 und Newton2 fast gleichzeitig entwickelt. Die Differentialrechnung gehört zusammen mit der Integralrechnung zu dem Gebiet der Infinitesimalrechnung3 oder Analysis4.

7.2

Grundbegriffe der Differentialrechnung

7.2.1

Steigung von Funktionen

In Kapitel 5, Seite 62, haben wir uns mit der Steigung von Geraden beschäftigt. Die Steigung m einer Geraden ist in ihrem gesamten Verlauf konstant und ergibt sich als Verhältnis der Änderung der abhängigen Variablen zur dazugehörigen Änderung der unabhängigen Variablen.

1 Gottfried Wilhelm Frh. v. Leibnitz, 1646–1716, universeller deutscher Gelehrter und Denker, auf den auch die gebräuchliche mathematische Zeichengebung zurückgeht. 2 Isaac Newton, 1643–1727, engl. Naturforscher. 3 Infinitum (lat.) = unendlich. 4 Analysis (grch.) = Zerlegung.

139

KAPITEL 7

.

7 Einführung in die Differentialrechnung

y2 – y1 m = ---------------x2 – x1

Steigt (sinkt) der Wert der unabhängigen Variablen um eine Einheit, dann steigt (sinkt) der zugehörige Wert der abhängigen Variablen um m Einheiten. Bei nichtlinearen Funktionen ist die Steigung nicht an jedem Punkt der Kurve gleich. Die Steigung in einem Punkt P 1 der Kurve ist gleich der Steigung der Tangente1, die die Kurve in diesem Punkt P 1 berührt.

Als Tangente bezeichnet man eine Gerade, die mit der gegebenen Kurve einen Punkt gemeinsam hat und in diesem Berührungspunkt auch die gleiche Steigung wie die Kurve hat. Die Steigung ändert sich im Verlauf der Kurve, ist also abhängig von der Lage des betrachteten Punktes. Die Steigung ist somit abhängig von der unabhängigen Variablen x. Die Steigung einer Funktion y = f ( x ) lässt sich ebenfalls als Funktion y′ = f′ ( x ) der Variablen x darstellen. Diese 1 Von tangere (lat.) = berühren.

140

7.2 Grundbegriffe der Differentialrechnung

KAPITEL 7

Funktion y′ = f′ ( x ) lässt sich nach den Methoden der Differentialrechnung für die meisten der in der wirtschaftlichen Anwendung wichtigen Funktionen ermitteln.

7.2.2

Differenzenquotient

Gegeben sei eine Funktion y = f ( x ) und zwei beliebige Punkte der Funktion P [ x ⁄ f ( x ) ] und Q [ x + Δx ⁄ f ( x + Δ x ) ] .

Die durchschnittliche Steigung einer Kurve zwischen zwei Punkten P und Q ergibt sich als Verhältnis der Änderung der abhängigen Variablen Δy zur Änderung der unabhängigen Variablen Δx . Die durchschnittliche Steigung einer Kurve zwischen zwei Punkten P und Q ist gleich der Steigung der Sekante1 g, die durch die Punkte verläuft. Sie lässt sich wie folgt berechnen: R1

Differenzenquotient Δy f ( x + Δx ) – f ( x ) ------ = --------------------------------------Δx Δx

Δy Der Quotient ------ heißt Differenzenquotient. Er gibt an, wie groß die durchschnittliche Steigung Δx der Kurve im Bereich von x bis x + Δx ist. B1

Ein

Produktionsverfahren 1 2 K ( x ) = --- x + 1000 4

ist

durch

folgende

Kostenfunktion

gekennzeichnet:

a) Zeichnen Sie das Bild der Kostenfunktion im Bereich von x = 0 bis x = 200 . b) Berechnen Sie die durchschnittliche Kostenänderung pro Einheit, wenn die produzierte Menge x im Bereich von x 1 = 50 bis x 2 = 100 bzw. wenn sie von x 2 = 100 bis x 3 = 150 variiert wird. 1 Als Sekante bezeichnet man eine Gerade, die die Kurve in mindestens zwei Punkten schneidet.

141

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

c) Berechnen Sie allgemein die durchschnittliche Steigung der Kostenfunktion mit Hilfe des Differenzenquotienten im Bereich von x bis x + Δx und überprüfen Sie das Ergebnis von b). Lösung a) Wertetabelle und Zeichnung x

0

50

100

150

200

K(x)

1000

1625

3500

6625

11000

b)

Wird die produzierte Menge von x 1 = 50 auf x 2 = 100 Stck/Per ausgedehnt, dann steigen die Gesamtkosten von K 1 = 1625 auf K 2 = 3500 €/Per. K2 – K 1 3500 – 1625 ΔK = -------------------------------- = 37, 5 ------- = ----------------x2 – x 1 100 – 50 Δx Wird die produzierte Menge im Bereich von x = 50 bis x = 100 ausgedehnt (eingeschränkt), dann steigen (sinken) die Gesamtkosten um durchschnittlich 37,5 €/Einheit. Wird die produzierte Menge von x 2 = 100 auf x 3 = 150 Stck/Per ausgedehnt, dann steigen die Gesamtkosten von K 2 = 3500 auf K 3 = 6625 €/Per. K3 – K 2 6625 – 3500 ΔK = -------------------------------- = 62, 5 ------- = ----------------x3 – x 2 150 – 50 Δx Wird die produzierte Menge im Bereich von x = 100 bis x = 150 ausgedehnt (eingeschränkt), dann steigen (sinken) die Gesamtkosten um durchschnittlich 62,5 €/Einheit.

142

7.2 Grundbegriffe der Differentialrechnung

c)

KAPITEL 7

Der Differenzenquotient lautet allgemein ΔK K ( x + Δx ) – K ( x ) ------- = -----------------------------------------Δx Δx 1 2 K ( x ) = --- x + 1000 4 1 2 K ( x + Δx ) = --- ( x + Δx ) + 1000 4 1 1 --- ( x + Δx ) 2 + 1000 – --- x 2 – 1000 ΔK 4 4 ------- = --------------------------------------------------------------------------------Δx Δx 1 1 2 1 1 --- x + --- x Δx + --- Δx 2 + 1000 – --- x 2 – 1000 ΔK 2 4 4 4 ------- = -------------------------------------------------------------------------------------------------Δx Δx 1 1 --- Δxx + --- Δx 2 ΔK 2 4 ------- = --------------------------------Δx Δx 1 1 ΔK ------- = --- x + --- Δx 2 4 Δx Wenn x im Bereich von x bis x + Δx um eine Einheit variiert wird, dann ändern sich 1 1 die Gesamtkosten im Durchschnitt um --- x + --- Δx. 2 4 Im Bereich von x 1 = 50 bis x 2 = 100 gilt: 1 1 ΔK ------- = --- ⋅ 50 + --- ⋅ 50 = 37, 5 2 4 Δx Im Bereich von x 2 = 100 bis x 3 = 150 gilt: 1 1 ΔK ------- = --- ⋅ 100 + --- ⋅ 50 = 62, 5 2 4 Δx Mit Hilfe des Differenzenquotienten kann man für beliebige Kurvenabschnitte die durchschnittliche Steigung berechnen.

7.2.3

Differentialquotient

Die Steigung einer Kurve in einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente, die die Kurve im betrachteten Punkt berührt. Mit Hilfe des Differenzenquotienten haben wir die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten P und Q bestimmt. Strebt der Punkt Q auf den Punkt P zu, so nähert sich die durchschnittliche Steigung zwischen P und Q immer mehr der Steigung der Kurve im Punkt P.

143

KAPITEL 7

7 Einführung in die Differentialrechnung

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, hat man den Differenzenquotienten für den Fall zu untersuchen, dass der Punkt Q schließlich mit dem Punkt P zusammenfällt, genauer: man muss den Grenzwert des Differenzenquotienten für Δx gegen Null bestimmen. Für die Steigung einer Kurve in einem Punkt ergibt sich: R2

Differentialquotient ( x + Δx ) – f ( x ) Δy dy = f′ ( x ) = y′ = lim f-------------------------------------lim ----- = -----Δx → 0 Δx dx

Δ x → 0 Δx

Man bezeichnet diesen Grenzwert als Differentialquotient oder erste Ableitung der Funktion dy y = f ( x ). Die mathematische Kurzbezeichnung des Differentialquotienten ist ------ (sprich “dy dx nach dx”), f′ ( x ) oder y′. Mit Hilfe des Differentialquotienten kann man die Steigung in jedem beliebigen Punkt der Kurve bestimmen. Der Differentialquotient ist wiederum eine Funktion von x. B2

144

2

Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion y = f ( x ) = x . Zeichnen Sie Funktion und erste Ableitung in zwei genau untereinanderliegende Koordinatenkreuze (gleiche x-Achsen-Einteilung) und lesen Sie die Steigung der Funktion in den Punkten P 1 ( – 2 ⁄ 4 ) , P 2 ( – 1 ⁄ 1 ) , P 3 ( 0 ⁄ 0 ) , P 4 ( 1 ⁄ 1 ) und P 5 ( 2 ⁄ 4 ) ab.

7.2 Grundbegriffe der Differentialrechnung

1. Schritt:

KAPITEL 7

Bilden des Differenzenquotienten 2

2

Δy = (---------------------------------x + Δx ) – x -----Δx Δx 2 2 2 Δy = ------------------------------------------------------x + 2 Δx ⋅ x + Δx – x -----Δx Δx Δy = 2x + Δx -----Δx 2. Schritt:

Grenzwertbetrachtung des Differenzenquotienten für Δx → 0 dy y′ = ------ = lim ( 2x + Δx ) dx Δx → 0 dy Differentialquotient y′ = ------ = 2x dx

Bei der gegebenen Funktion handelt es sich um die Normalparabel. Als erste Ableitung der Funktion erhält man eine Ursprungsgerade mit der Steigung 2. Die Steigungswerte m der 2 Funktion y = x für die Punkte P 1 bis P 5 lassen sich am Bild der ersten Ableitung ablesen:

145

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

Steigung P1 ( –2 ⁄ 4 ) → m1 = – 4 P2 ( –1 ⁄ 1 ) → m2 = – 2 P3 ( 0 ⁄ 0 ) → m3 =

0

P4 ( 1 ⁄ 1 ) → m4 =

2

P5 ( 2 ⁄ 4 ) → m5 =

4

Die Bestimmung des Differentialquotienten aus dem Differenzenquotienten ist häufig sehr aufwändig. Zur Bestimmung der Differentialquotienten von Funktionen gibt es Rechenregeln, von denen die wichtigsten im Folgenden dargestellt werden sollen.

7.3

Differenzierungsregeln

7.3.1

Potenzregel 2

Die Ableitung der Funktion y = x wurde bereits bestimmt. 2

y = f ( x ) = x → y′ = 2x B3

3

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion y = f ( x ) = x . 1. Schritt:

Bildung des Differenzenquotienten Δy f ( x + Δx ) – f ( x ) ------ = --------------------------------------Δx Δx 3 3 ( x + Δx ) – x = ---------------------------------Δx 3 2 2 3 3 x + 3x Δx + 3x Δx + Δx – x = ----------------------------------------------------------------------------Δx 2 2 3 3x Δx + 3x Δx + Δx = -----------------------------------------------------Δx 2

= 3x + 3x Δx + Δx 2. Schritt:

2

Grenzwertbetrachtung für Δx gegen Null 2

2

y′ = lim ( 3x + 3x Δx + Δx ) Δx → 0

y′ = 3x B4

4

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion y = f ( x ) = x . 1. Schritt:

146

2

Bildung des Differenzenquotienten. Δy = f-------------------------------------( x + Δx ) – f ( x )-----Δx Δx 4 4 ( x + Δ x) – x = ---------------------------------Δx

7.3 Differenzierungsregeln

4

3

2

2

3

4

KAPITEL 7

4

+ 4x Δx + 6x Δx + 4x Δx + Δx – x = x ----------------------------------------------------------------------------------------------------Δx 3

2

2

= 4x + 6x Δx + 4x Δx + Δx 2. Schritt:

3

Grenzwertbetrachtung. 3

2

2

3

y′ = lim ( 4x + 6x Δx + 4x Δx + Δx ) Δx → 0

y′ = 4x

3

Folgende Ableitungen zu Potenzfunktionen sind nun bestimmt: 2

y = f ( x ) = x → y′ = 2x y = f ( x ) = x → y′ = 3x

3

2

4

3

y = f ( x ) = x → y′ = 4x

Die allgem. Regel zur Bildung der 1. Ableitung von Potenzfunktionen lautet: Potenzregel1 n n–1 dy y = f ( x ) = x → y′ = ------ = nx dx

1 Auf eine allgemeine Herleitung der Potenzregel über den Binomialsatz wird in diesem Zusammenhang verzichtet. Vgl. hierzu J. Schwarze, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Band 2, a. a. O., S. 15.

Das Bilden der 1. Ableitung von f ( x ) wird i. a. als „Differenzieren“ der Funktion f ( x ) bezeichnet. Bilden Sie zu den in Beispiel B 5 bis B 7 aufgeführten Funktionen die erste Ableitung. B5

B6

y = x

6

y′ = 6x

6–1

y′ = 6x

5

–1 1 y = --- = x x

y′ = – 1x y′ = – x

–1–1

–2

1 y′ = – ----2x B7

y =

x = x

1-2

1

1 --2- – 1 y′ = --- ⋅ x 2

147

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

1 1 y′ = --- ⋅ ------2 x 1 y′ = ---------2 x B8

y = 3 = 3x y′ = 0 ⋅ x

0

0–1

y′ = 0 Hinweis: Die Ableitung eines absoluten Gliedes ist gleich Null.

7.3.2

Konstantenregel

Wird eine Potenzfunktion mit einem konstanten Faktor a multipliziert, so bleibt dieser Faktor bei der Ableitung erhalten. R3 n n–1 dy y = f ( x ) = ax → y′ = ------ = anx dx

B9

y = 5x

4

y′ = 5 ⋅ 4x y′ = 20x B 10

B 11

3

3

–1 y = 2 --- = 2 ⋅ x x 1-⎞ y′ = 2 ⋅ ⎛ – ---⎝ 2⎠ x 2 y′ = – ----2x –1 --3- = 3 --- ⋅ x 3 y = ---------4 43 x 1

– --- – 1 3 3 --- ⎞ ⋅ x y′ = --- ⋅ ⎛ – 1 4 ⎝ 3⎠ 4

1 – --3y′ = – --- ⋅ x 4 1 y′ = – ------------3 4 4 x

148

7.3 Differenzierungsregeln

7.3.3

KAPITEL 7

Summenregel

Ist die Funktionsgleichung aus einer Summe oder Differenz mehrerer Potenzfunktionen zusammengesetzt, so wird jeder Summand einzeln differenziert. n

m

y = a ⋅ x + b ⋅ x → y′ = anx

n–1

+ bmx

m–1

Allgemein: R4 n

y =

∑a x i

i

i

(Sprich: Summe von a i x von i = 0 bis i = n

i=0

1

2

3

= a0 + a1 x + a2 x + a3 x + … + an x

n

n

y′ =

∑ a ix i

i–1

i=1

2

3

= a1 + a 2 ⋅ 2x + a3 ⋅ 3x + a4 ⋅ 4x + … + a n ⋅ nx 5

B 12

n–1

3

y = 5x – 7x + 2x + 1 4

2

y′ = 25x – 21x + 2 4

B 13

3

2

y = x +x +x +x+1 3

2

4

2

y′ = 4x + 3x + 2x + 1 2 100 y = 112x + 20x – --------x 100 y′ = 224x + 20 + --------2 x

B 14

2 6 3x + 5x + 6 - = 3x + 5 + ----2y = --------------------------------2 x x

B 15

-----3y′ = 6x – 12 x

7.3.4

Ableitungen höherer Ordnung

Gegeben sei eine Funktion y = f ( x ) . Die erste Ableitung der Funktion lautet y′ = f′ ( x ) . Bildet man nun die Ableitung von f′ ( x ) , so erhält man die zweite Ableitung y″ = f″ ( x ). Leitet man weiter ab, so erhält man die dritte, vierte, ... Ableitung. B 16

5

2

y

= 6x + 3x + 2x

y′

= 30x + 6x + 2

y″

= 120x + 6

4

3

149

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

y′″

= 360x

y″″

= 720x

2

y″″′ = 720 y″″″ = 0

7.4

Extremwertbestimmung

Ein besonders wichtiges Gebiet der Differentialrechnung ist die Extremwertbestimmung. Gegeben sei eine Funktion y = f ( x ) mit folgendem Verlauf:

An der Stelle x 1 besitzt die Funktion ein lokales oder relatives Maximum (Hochpunkt). Alle Funktionswerte in der Umgebung von y 1 sind kleiner als y 1. An der Stelle x 2 hat die Funktion ein lokales oder relatives Minimum (Tiefpunkt). Alle Funktionswerte in der Umgebung von y 2 sind größer als y 2. Eine Funktion hat in dem Punkt P E ( x E ⁄ y E ) ein absolutes Maximum (Minimum), wenn es im gesamten Definitionsbereich keinen Funktionswert gibt, der größer (kleiner) als y E ist. Wird im Folgenden von einem Maximum oder Minimum gesprochen, so ist stets ein lokales Extremum (Maximum oder Minimum) gemeint. B 17

2

Gegeben sei die Funktion y = – x + 4x – 1. Bilden Sie die erste und zweite Ableitung und zeichnen Sie die Funktion sowie erste und zweite Ableitung untereinander. Welche Werte nehmen die erste und zweite Ableitung im lokalen Extremum an? 2

y = – x + 4x – 1 y′ = – 2x + 4 y″ = – 2

150

7.4 Extremwertbestimmung

KAPITEL 7

Wertetabelle x

-1

0

1

2

3

4

5

2

-6

-1

2

3

2

-1

-6

y = – x + 4x – 1 Zeichnung

An der Stelle x = 2 hat die Funktion ein Maximum. Die Tangente, die die Kurve im Maximum berührt, verläuft waagerecht, d. h. ihre Steigung ist an dieser Stelle gleich Null. Verfolgt man den Verlauf der Parabel im Bereich des Maximums, so stellt man fest, dass für x < 2 die Steigung der Funktion positiv ist. Je näher man sich der Stelle x = 2 nähert, des-

151

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

to kleiner wird die Steigung. Bei x = 2 erreicht die Steigung den Wert Null, um dann für x > 2 negative Werte anzunehmen. Die Werte der ersten Ableitung fallen also vom positiven in den negativen Bereich, d. h. die Steigung der ersten Ableitung im Bereich des Maximums ist negativ. In unserem Beispiel ist die erste Ableitung linear, die zweite Ableitung ist konstant gleich – 2 . B 18

2

Gegeben ist die Funktion y = x – 6x + 12. Bilden Sie die erste und zweite Ableitung und zeichnen Sie die Funktion, erste und zweite Ableitung untereinander. 2

y = x – 6x + 12 y′ = +2x – 6 y″ = 2 Wertetabelle x

0

1

2

3

4

5

6

y = x – 6x + 12

12

7

4

3

4

7

12

2

152

7.4 Extremwertbestimmung

KAPITEL 7

Zeichnung

An der Stelle x = 3 hat die Funktion ein Minimum. Die Steigung im Minimum ist gleich Null. Für x < 3 ist die Steigung negativ, für x > 3 positiv. Die erste Ableitung steigt also vom negativen in den positiven Bereich und hat eine Nullstelle bei x = 3. Die zweite Ableitung ist im Bereich des Minimums positiv.

153

KAPITEL 7

7 Einführung in die Differentialrechnung

Allgemein gilt für die Bestimmung eines Extremums (Hoch- oder Tiefpunkt): R5 Hat die Funktion y = f ( x ) an der Stelle x E ein Extremum, so gilt: f′ ( x E ) = 0 (notwendige Bedingung) Gilt für die Funktion y = f ( x ) an der Stelle x E f′ ( x E ) = 0 und f″ ( x E ) < 0, so hat die Funktion an dieser Stelle ein lokales Maximum. Gilt für die Funktion y = f ( x ) an der Stelle x E f′ ( x E ) = 0 und f″ ( x E ) > 0, so hat die Funktion an dieser Stelle ein lokales Minimum. Als Sonderfall ist zu beachten f′ ( x E ) = 0 und f′′ ( x E ) = 0. In diesem Fall kann an der Stelle x E sowohl ein Extremum, als auch ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente (Sattelpunkt) vorliegen1. In diesem Falle lässt sich durch die Betrachtung unmittelbarer Nachbarpunkte klären, ob ein Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt. Unter dem Wendepunkt einer Kurve versteht man einen Punkt, in dem die Kurve ihre Krümmung ändert. Über die Krümmungseigenschaften einer Funktion y = f ( x ) an einer Stelle x 1 gibt das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der Stelle x 1 Auskunft. Gilt an der Stelle x 1 f″ ( x 1 ) > 0, dann ist die Funktion an der Stelle x 1 konvex oder linksgekrümmt. Gilt an der Stelle x 1 f″ ( x 1 ) < 0, dann ist die Funktion an der Stelle x 1 konkav oder rechtsgekrümmt. Ist f″ ( x 1 ) = 0 und f′″ ( x 1 ) ≠ 0, dann liegt an der Stelle x 1 ein Wendepunkt vor. Eine zusammenfassende Darstellung der möglichen Verläufe des Bildes von y = f ( x ) an der Stelle x 1 gibt folgende Graphik:

1 Vgl. hierzu: J. Schwarze, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Band 2, a. a. O., S. 47 ff.

154

7.4 Extremwertbestimmung

B 19

5

KAPITEL 7

3

Gegeben ist die Funktion y = x – 5x + 4x. a) Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion und prüfen Sie, ob es sich um Minima oder Maxima handelt. b) Bestimmen Sie die Nullstellen. c) Stellen Sie die Funktion graphisch dar. Lösung a) 1. Schritt:

Bilden der 1. Ableitung: 4

2

y′ = 5x – 15x + 4 2. Schritt:

Nullsetzen der 1. Ableitung: 4

2

0 = 5x – 15x + 4 4 2 4 0 = x E – 3x E + --5 2 4 0 = z – 3z + --5 9 4 3 z 1, 2 = --- ± --- – --4 5 2

|÷5 2

|x E = z

z 1,2 = 1,5 ± 1, 2 155

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

z 1 = 2,7 z 2 = 0, 3 x E1, 2 = ± 2,7 = ± 1, 64 x E3,4 = ± 0, 3 = ± 0, 55 3. Schritt:

Bilden der 2. Ableitung: 3

y″ = 20x – 30x 4. Schritt:

Berechnete x-Werte einsetzen: y″ ( 1, 64 ) =

39, 02 > 0

→ Minimum

y″ ( – 1, 64 ) = – 39, 02 < 0

→ Maximum

y″ ( 0, 55 ) = – 13, 17 < 0

→ Maximum

y″ ( – 0, 55 ) = b)

13, 17 > 0

→ Minimum

Nullstellen 5

3

5

3

y = x – 5x + 4x 0 = x 0 – 5x 0 + 4x 0 4

3

0 = x 0 ( x 0 – 5x 0 + 4 ) x 01 = 0 4

2

2

0 = x 0 – 5x 0 + 4

|x = z

2

0 = z – 5z + 4 5 25 16 z 1, 2 = --- ± ------ – -----2 4 4 5 3 z 1,2 = --- ± --2 2 z1 = 4 z2 = 1 x 02,3 = ± 4 = ± 2 x 04,5 = ± 1 = ± 1 c)

Wertetabelle und Zeichnung Bei den Nullstellen und den Extremstellen handelt es sich um markante Stellen der Kurve, die in die Wertetabelle aufgenommen werden.

x

-3

-2

-1,64

-1

-0,55

0

0,55

1

1,64

2

3

y

-120

0

3,63

0

-1,42

0

1,42

0

-3,63

0

120

156

7.5 Ökonomische Anwendung

7.5

Ökonomische Anwendung

7.5.1

Grenzkosten

KAPITEL 7

Ein wichtiger Begriff der Betriebswirtschaftslehre ist der Begriff der Grenzkosten. Unter den Grenzkosten versteht man den Betrag, um den die Gesamtkosten steigen (oder fallen), wenn die Produktionsmenge um eine Einheit erhöht (oder verringert) wird. Die Grenzkosten sind häufig abhängig von der Produktionsmenge. KK- für Δx = 1. Da für Δx = 1 der Differenzenquotient Δ -----Es gilt: Grenzkosten = Δ ungefähr -----Δx Δx dK gleich dem Differentialquotienten ------- ist, ermittelt man die Grenzkosten näherungsweise, indem dx man die Kostenfunktion nach x ableitet. Die 1. Ableitung der Gesamtkostenfunktion ergibt die Grenzkostenfunktion. dK Grenzkosten = GK = K′ ( x ) = ------dx

B 20

Ein Produktionsverfahren ist durch die lineare Kostenfunktion gekennzeichnet: a) b)

K ( x ) = 1000 + 2x Ermitteln Sie die Grenzkostenfunktion. Zeichnen Sie Kostenfunktion und Grenzkostenfunktion.

157

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

Lösung a)

K ( x ) = 1000 + 2x dK GK = ------- = 2 dx

Es ergeben sich konstante Grenzkosten von 2 €, d. h. wird die Produktionsmenge um eine Einheit ausgedehnt (eingeschränkt), dann steigen (fallen) die Gesamtkosten um 2 €. Bei linearen Kostenfunktionen sind die Grenzkosten konstant und gleich den variablen Stückkosten k v . b)

B 21

Zeichnung

2

x Ein Produktionsverfahren ist durch die Kostenfunktion gekennzeichnet: K ( x ) = --------- + 50 100 a) Bestimmen Sie die Grenzkostenfunktion. b) Zeichnen Sie Kosten- und Grenzkostenfunktion. c) Wie hoch sind die Grenzkosten bei einer Produktionsmenge von 50, 100, 150, 200 Stück? Lösung a)

158

2

x K ( x ) = --------- + 50 100 1 dK GK = ------- = ------ x 50 dx

7.5 Ökonomische Anwendung

KAPITEL 7

Wenn die produzierte Menge x um eine Einheit verändert wird, ändern sich die 1 Gesamtkosten um ------ x . 50 b)

Wertetabelle und Zeichnung

x

50

100

150

200

250

K

75

150

275

450

675

c)

Die Grenzkosten betragen bei 1 dK ------- = ------ ⋅ 50 = 1 x = 50: 50 dx

159

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

x = 100: x = 150: x = 200: B 22

1 dK ------- = ------ ⋅ 100 = 2 50 dx 1 dK ------- = ------ ⋅ 150 = 3 50 dx 1 dK ------- = ------ ⋅ 200 = 4 50 dx

Ein Produktionsverfahren ist durch folgende S-förmige Kostenfunktion gekennzeichnet: 3

2

K ( x ) = 0,001x – 0,6x + 130x + 2000 a) b) c) d)

Bestimmen Sie die Grenzkostenfunktion. Bei welcher Produktionsmenge sind die Grenzkosten minimal? Wie hoch sind die Grenzkosten bei einer Produktionsmenge von 0, 100, 200, 300, 400 Stück pro Periode? Zeichnen Sie Kosten- und Grenzkostenfunktion.

Lösung a)

b)

3

2

K ( x ) = 0, 001x – 0,6x + 130x + 2000 2 dK GK = ------- = 0, 003x – 1, 2x + 130 dx

Um das Minimum der Grenzkostenfunktion zu bestimmen, muss man diese ableiten und anschließend die erste Ableitung Null setzen. GK′ = 0, 006 – 1, 2 0 = 0, 006x E – 1, 2 x E = 200 Die Grenzkostenfunktion hat an der Stelle x = 200 ein Extremum. Um zu prüfen, ob es sich um ein Minimum handelt, hat man das Ergebnis in die zweite Ableitung der Grenzkostenfunktion einzusetzen. GK″ = 0,006 Die zweite Ableitung ist konstant und größer gleich Null. An der Stelle x = 200 hat die Grenzkostenfunktion ein Minimum.

c)

160

Wertetabelle

x

0

100

200

300

400

GK

130

40

10

40

130

d)

Wertetabelle

x

0

100

200

300

400

K

2000

10000

12000

14000

22000

7.5 Ökonomische Anwendung

KAPITEL 7

Zeichnung

161

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

7.5.2

Grenzumsatz

Unter Grenzumsatz versteht man den Betrag, um den sich der Umsatz verändert, wenn die abgesetzte Menge sich um eine Einheit ändert. Wie die Grenzkosten bestimmt man auch den Grenzumsatz näherungsweise durch Ableiten der Umsatzfunktion nach x. dU Grenzumsatz = GU = U′ ( x ) = ------dx B 23 Ein Mengenanpasser verkauft sein Produkt zum Marktpreis von p = 100 € pro Stück. a) Wie lauten Umsatz- und Grenzumsatzfunktion? b) Zeichnen Sie Umsatz- und Grenzumsatzfunktion. Lösung a)

U ( x ) = px U ( x ) = 100x dU GU = ------- = p dx dU GU = ------- = 100 dx

b)

B 24

Die Umsatzfunktion ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung 100. Der Grenzumsatz beträgt konstant 100 € pro Stück, d. h. wenn die abgesetzte Menge um eine Einheit steigt, dann steigt der Umsatz um 100 €.

Ein Betrieb stellt ein Produkt her, für das am Markt folgende Preisabsatzfunktion ermittelt wurde: p ( x ) = 400 – 0, 1x

162

7.5 Ökonomische Anwendung

a) b) c)

KAPITEL 7

Wie lauten Umsatz- und Grenzumsatzfunktion? Wie groß ist die umsatzmaximale Absatzmenge? Zeichnen Sie Umsatz-, Preisabsatz- und Grenzumsatzfunktion.

Lösung a)

U ( x ) = px U ( x ) = ( 400 – 0, 1x )x 2

b)

U ( x ) = 400x – 0, 1x GU = dU ------- = 400 – 0, 2x dx Im Umsatzmaximum gilt: GU = 0 400 – 0, 2x E = 0 x E = 2000 Überprüfung des Maximums: GU′ = – 0,2 Die zweite Ableitung der Umsatzfunktion ist konstant und kleiner als Null. Bei einer Absatzmenge von x = 2000 Stück pro Periode wird der maximale Umsatz erzielt.

163

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

c)

Wertetabelle

x

0

1000

1500

2000

2500

3000

4000

U

0

300000

375000

400000

375000

300000

0

Bis zu einer Absatzmenge von 2000 Stück pro Periode steigt der Umsatz. Der Grenzumsatz ist in diesem Bereich positiv. Bei einer Absatzmenge von 2000 Stück ist der maximale Umsatz erreicht, der Grenzumsatz ist hier Null. Steigt die Absatzmenge von 2000 auf 4000 Stück, so fällt der Umsatz und wird schließlich Null. Der Grenzumsatz ist negativ. Vergleicht man Grenzumsatzfunktion und Preisabsatzfunktion, so erkennt man: •

Beide Funktionen sind linear und haben den gleichen Ordinatenabschnitt.

•

Die Steigung der Grenzumsatzfunktion ist dem Betrage nach doppelt so groß, wie die Steigung der Preisabsatzfunktion.

{

{

Diese am Beispiel gewonnene Erkenntnis lässt sich allgemein für den Fall linearer Absatzfunktionen nachweisen. Für ein Produkt gelte eine lineare Preisabsatzfunktion: p ( x ) = pmax – mx OrdinatenAbschnitt

Steigung

Die Umsatzfunktion lautet dann: U ( x ) = pmax x – mx

2

Die Grenzumsatzfunktion lautet:

7.5.3

– 2m x

{

{

dU GU = ------- = pmax dx OrdinatenAbschnitt

Steigung

Gewinnmaximierung

Das Hauptziel eines am wirtschaftlichen Erfolg orientierten Unternehmens ist das Ziel der Gewinnmaximierung, d. h. der Unternehmer ist bestrebt, mit der gegebenen Ausstattung größtmöglichen Gewinn zu erzielen. Mathematisch lässt sich das Gewinnmaximum dadurch ermitteln, dass man die erste Ableitung der Gewinnfunktion Null setzt. G′ ( x ) = 0 Die Gewinnfunktion ergibt sich als Differenz von Umsatz- und Kostenfunktion: G(x) = U(x ) – K(x) Nach der Summenregel folgt daraus: G′ ( x ) = U′ ( x ) – K′ ( x ) 164

7.5 Ökonomische Anwendung

KAPITEL 7

Die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Gewinnmaximums lautet dann: U′ ( x G ) – K′ ( x G ) = 0 U′ ( x G ) = K′ ( x G ) Grenzumsatz = Grenzkosten An der Stelle des Gewinnmaximums haben Umsatz- und Kostenfunktion gleiche Steigung. Eine Produktionsausdehnung führt so lange zu einer Gewinnsteigerung, wie die letzte produzierte Einheit gerade noch mehr bringt als ihre Herstellung kostet. Hat man die Produktionsmenge ermittelt, bei der die erste Ableitung der Gewinnfunktion Null wird, so ist das Vorliegen des Maximums anhand der zweiten Ableitung zu überprüfen. Es muss gelten: G″ ( x G ) < 0 Außerdem ist es bei einer rein rechnerischen Betrachtung sinnvoll, zu überprüfen, ob an der Stelle x G tatsächlich ein positiver Gewinn erzielt wird. Für den Mengenanpasser lässt sich die Bedingung – Grenzumsatz gleich Grenzkosten – noch weiter präzisieren. Für den Mengenanpasser gilt: U′ ( x G ) = p Die Bedingung für das Vorliegen eines Gewinnmaximums lautet dann: K′ ( x G ) = p Grenzkosten = Preis B 25

Für die Produktion eines bestimmten Gutes gelte folgende Kostenfunktion: 3

2

K ( x ) = 0, 01x – 1, 2x + 50x + 600 Wie wird sich ein gewinnmaximierender Unternehmer verhalten, wenn für das Produkt ein Preis von 5 €, 18 € oder 29 € gilt? a) Zeichnen Sie die Kostenfunktion und die alternativen Umsatzfunktionen in ein Koordinatensystem und zeichne Grenzkosten-, Grenzumsatz- (Preisgeraden), Stückkosten- und variable Stückkostenkurve in ein zweites Koordinatensystem. b) Berechnen Sie zu jedem Preis die gewinnmaximale Absatzmenge und den sich ergebenden Gewinn. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Zeichnung. Wie wird sich der Unternehmer verhalten? Lösung a) Die Gleichungen der zu zeichnenden Funktion lauten: 3

2

K ( x ) = 0, 01x – 1, 2x + 50x + 600 U 1 ( x ) = 5x

GU 1 = p 1 = 5

U 2 ( x ) = 18x

GU 2 = p 2 = 18

U 3 ( x ) = 29x

GU 3 = p 3 = 29

165

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

2

GK ( x ) = 0,03x – 2, 4x + 50

2 600 k ( x ) = 0,01x – 1, 2x + 50 + --------x 2 k v ( x ) = 0,01x – 1,2x + 50

Wertetabelle und Zeichnungen x

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

K( x)

600

990

1200

1290

1320

1350

1440

1650

2040

2670

GK

50

29

14

5

2

5

14

29

50

77

k

-

99

60

43

33

27

24

23,6

25,5

29,7

kv

-

39

30

23

18

15

14

15

18

23

166

7.5 Ökonomische Anwendung

b)

KAPITEL 7

Bedingung für das Vorliegen eines Gewinnmaximums ist: GK = p Für p = 5 ergibt sich: 2

0,03x G – 2,4x G + 50 = 5 2

x G – 80x G + 1500 = 0 x G1,2 = 40 ± 10 x G1 = 30 x G2 = 50 Im nächsten Schritt muss man die gefundenen x G -Werte auf das Vorliegen eines Maximums der Gewinnfunktion überprüfen. Dazu setzt man sie in die zweite Ableitung der Gewinnfunktion ein. 3

2

G ( x ) = – 0, 01x + 1, 2x – 45x – 600 2

G′ ( x ) = – 0, 03x + 2, 4x – 45 G″ ( x ) = – 0, 06x + 2, 4 G″ ( 30 ) = – 0, 06 ⋅ 30 + 2, 4 G″ ( 30 ) = 0,6 > 0

→ Minimum

G″ ( 50 ) = – 0,6 < 0

→ Maximum 167

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

Bei einer produzierten Menge von 50 Einheiten ist der Gewinn maximal. Setzt man den gefundenen Wert in die Gewinnfunktion ein, so erhält man: 3

2

G ( 50 ) = – 0,01 ⋅ 50 + 1,2 ⋅ 50 – 45 ⋅ 50 – 600 G ( 50 ) = – 1100 Bei einer produzierten Menge von 50 Einheiten ist der Gewinn zwar maximal, jedoch negativ. Es ensteht ein Verlust von 1100 €. Der Verlust ist größer als die fixen Kosten, d. h. bei einem Preis von 5 € pro Einheit ist eine Produktion nicht sinnvoll. Für p = 18 ergibt sich aus der Bedingung GK = p: 2

0, 03x G – 2,4x G + 50 = 18 2 3200 x G – 80x G + ------------- = 0 3

3200 1600 – ------------3 = 40 ± 23, 09

x G1,2 = 40 ± x G1, 2

x G1 = 16, 91 x G2 = 63, 09 Überprüfen der Werte auf Vorliegen eines Maximums durch Einsetzen in die zweite Ableitung der Gewinnfunktion: 3

2

Gx = – 0, 01x + 1, 2x – 32x – 600 2

G′ ( x ) = – 0,03x + 2,4x – 32 G″x = – 0,06 + 2,4 G″ ( 16, 91 ) = 1, 39 > 0

→ Minimum

G″ ( 63, 09 ) = – 1, 39 < 0

→ Maximum

Bei einer Produktionsmenge von 63 (gerundet) Einheiten erzielt man den größten Gewinn, wenn ein Preis von 18 € für das Produkt gilt. Der Gewinn ergibt sich aus: G ( 63 ) = – 353,67 Auch bei einem Preis von 18 € wird kein positiver Gewinn erzielt. Im Gewinnmaximum bei x = 63 ergibt sich ein Verlust in Höhe von 353,67 €. Der Verlust ist geringer als die fixen Kosten, also lohnt es sich für einen Unternehmer kurzfristig (solange die Fixkosten nicht abbaufähig sind) bei einem Preis von 18 € zu produzieren. Für einen Preis von 29 € pro Einheit ergibt sich aus der Bedingung GK = p : 2

0, 03x G – 2,4x G + 50 = 29 2

x G – 80x G + 700 = 0 x G1,2 = 40 ± 1600 – 700 x G1 = 10 x G2 = 70

168

7.5 Ökonomische Anwendung

KAPITEL 7

Überprüfen der Werte auf Vorliegen eines Maximums durch Einsetzen in die zweite Ableitung der Gewinnfunktion: 3

2

G ( x ) = – 0, 01x + 1, 2x – 21x – 600 2

G′ ( x ) = – 0,03x + 2, 4x – 21 G″ ( x ) = – 0,06x + 2,4 G″ ( 10 ) = 1,8 > 0

→ Minimum

G″ ( 70 ) = – 1,8 < 0

→ Maximum

Bei einem Preis von 29 € pro Einheit liegt das Gewinnmaximum bei einer produzierten Menge von 70 Einheiten. Der Gewinn beträgt: G ( 70 ) = 380 Bei einem Preis von 29 € erzielt der Unternehmer mit einer produzierten Menge von 70 Einheiten den maximalen Gewinn in Höhe von 380 € pro Periode. Im Gegensatz zum Mengenanpasser ist für den Monopolisten der Preis kein Datum. Er fragt sich, welchen Preis er zweckmäßigerweise verlangen soll, damit sein Gewinn maximal ist. Für die Produktionsplanung ist es erforderlich, die Menge des Produktes zu ermitteln, die bei diesem Preis abgesetzt werden kann. B 26

Ein Unternehmen der Fahrzeugbranche hat sich auf den Bau von PKW-Anhängern für den Transport von Schlittenhunden spezialisiert und hat sich bereits bei den europäischen Schlittenhundzüchtern einen Namen gemacht mit seinem 5-Boxen-Anhänger „Eskimoglück“. In der Vergangenheit betrug der Absatz 20 Hänger pro Monat bei einem Preis von 3.200 €. Bei einer Preiserhöhung um 100 € erwartet man einen Rückgang des Absatzes auf 18 Hänger. Die Gesamtkosten der Hängerproduktion hängen wie folgt ab von der hergestellten Stückzahl: 2 3 2 K ( x ) = --- x – 30x + 1950x + 25000 3 Welchen Preis muss der Unternehmer für seinen Hänger verlangen, um maximalen Gewinn zu erzielen und wieviele Hänger wird er bei diesem Preis absetzen, wenn eine lineare Preisabsatzfunktion angenommen wird? a)

Ermitteln Sie rechnerisch die gewinnmaximale Preismengenkombination.

b)

Überprüfen Sie das Ergebnis zeichnerisch durch Darstellung von Umsatz- und Kostenfunktion sowie Preisabsatz-, Grenzumsatz- und Grenzkostenfunktion.

Lösung a) Zuerst hat man die Preisabsatzfunktion zu ermitteln. Nach der Punktsteigungsform der Geradengleichung gilt: p–p m = --------------1x – x1 p – 3200 100 – --------- = ---------------------x – 20 2 p = 4200 – 50x 169

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

Die Umsatzfunktion lautet: U ( x ) = 4200x – 50x

2

Es ergibt sich die Gewinnfunktion: G( x) = U( x) – K( x ) 2 3 2 G ( x ) = – --- x – 20x + 2250x – 25000 3 Die erste Ableitung der Gewinnfunktion lautet: 2

G′ ( x ) = – 2x – 40x + 2250 Zur Ermittlung des Maximums wird die erste Ableitung Null gesetzt: 2

– 2x G – 40x G + 2250 = 0 2

x G + 20x G – 1125 = 0 x G1,2 = – 10 ± 100 + 1125 x G1 = – 45 x G2 = 25 x G1 ist negativ und damit ökonomisch nicht relevant. Durch Einsetzen von x G2 = 25 in die zweite Ableitung wird überprüft, ob an dieser Stelle ein Maximum vorliegt. G″ ( x ) = – 4x – 40 G″ ( 25 ) = – 140 < 0

→ Maximum

Bei einer abgesetzten Menge von 25 Hängern erzielt der Unternehmer maximalen Gewinn. Der Preis, den er verlangen muss, ergibt sich aus der Preisabsatzfunktion: p ( x ) = 4200 – 50x p ( 25 ) = 2950 Der Unternehmer muss einen Preis von 2950 € verlangen. Den maximalen Gewinn erhält man durch Einsetzen der ermittelten Absatzmenge in die Gewinnfunktion: G ( 25 ) = 8333, 33 Wenn der Unternehmer einen Preis von 2950 € verlangt, wird er 25 Hänger pro Monat absetzen und den maximalen Gewinn von 8333,33 € erzielen. b)

Graphisch ermittelt man die gewinnmaximale Preismengenkombination, indem man in ein Koordinatenkreuz Preisabsatz-, Grenzumsatz- und Grenzkostenfunktion einzeichnet. Am Schnittpunkt von Grenzumsatz- und Grenzkostenfunktion kann man die gewinnmaximale Absatzmenge ablesen, denn für diese Menge gilt Grenzumsatz = Grenzkosten . Zu dieser Absatzmenge ermittelt man den zugehörigen Punkt auf der Preisabsatzfunktion und kann nun den gewinnmaximalen Preis ablesen. Der Punkt auf der Preisabsatzfunktion, der die gewinnmaximale Preismengenkombination angibt, heißt Cournot-Punkt1.

1 Der französische Mathematiker und Nationalökonom Antoine Augustin Cournot (1801–1877) hat als erster eine exakte Darstellung der Preisbildung im Monopol geliefert. Hauptwerk: Recherches sur les Principes Mathèmatiques de la Thèorie des Richesses, Paris 1838.

170

7.5 Ökonomische Anwendung

KAPITEL 7

Zur besseren Anschaulichkeit sollen auch Umsatz- und Kostenfunktion gezeichnet werden. Die Gleichnungen der zu zeichnenden Funktionen lauten: 2

U ( x ) = 4200x – 50x 2 3 2 K ( x ) = --- x – 30x + 1950x + 25000 3 p ( x ) = 4200 – 50x GU ( x ) = 4200 – 100x 2

GK ( x ) = 2x – 60x + 1950 Wertetabelle x

0

5

15

25

35

42

55

U

0

19750

51750

73750

85750

88200

79750

K

25000

34083

49750

65417

85083

103372

152417

G

-25000

-14333

2000

8333

667

-15172

-72667

GK

1950

1700

1500

1700

2300

2958

4700

Preisabsatz- und Grenzumsatzfunktion verlaufen linear, daher ist eine ausführliche Wertetabelle nicht erforderlich.

171

KAPITEL 7

7 Einführung in die Differentialrechnung

Die Zeichnung bestätigt die vorangegangene Rechnung. Als gewinnmaximale Absatzmenge ergibt sich x G = 25 Stück pro Monat. Der gewinnmaximale Preis beträgt ca. 2900 € pro Stück.

7.5.4 B 27

Die optimale Bestellmenge Eine Weinhandlung verkauft pro Jahr 5000 Flaschen Rhabarberwein der Marke „Hasseler Krötendach“. Der Einkaufspreis beträgt 4 € pro Flasche. Die Lagerkosten betragen 0,5 € pro Flasche und Jahr. Für das im Lager gebundene Kapital wird ein kalkulatorischer Zinssatz von 12 % angesetzt. Pro Bestellung fallen Kosten an in Höhe von 200 €. a)

Wieviele Flaschen soll der Weinhändler pro Bestellung ordern?

b)

Wie oft pro Jahr soll er bestellen?

Lösung a) Die Kosten für eine Flasche Rhabarberwein setzen sich zusammen aus dem Einkaufspreis, den Bestellkosten und den Lager- und Zinskosten. Mit steigender Bestellmenge sinken die anteiligen Bestellkosten pro Flasche, gleichzeitig steigen die Zins- und Lagerkosten. Gesucht ist die Bestellmenge, bei der die Stückkosten pro Flasche minimal sind. Es gilt: Stückkosten = k → min! Bestellmenge = x Jahresbedarf = 5000

(Flaschen/Jahr)

Bestellkosten = 200

(€/Bestellung)

Einkaufspreis = 4

(€/Flasche)

Lagerkosten = 0, 5 Zinssatz = 0, 12 172

(Flaschen/Bestellung)

(€/Flasche/Jahr)

7.5 Ökonomische Anwendung

KAPITEL 7

Die Bestellkosten pro Flasche betragen dann: Bestellkosten- = 200 Bestellkosten/Flasche = -----------------------------------------Bestellmenge x Um die Lager- und Zinskosten pro Flasche zu ermitteln, ist die Lagerdauer t zu bestimmen. Bestellt der Weinhändler nur einmal pro Jahr, so beträgt die durchschnittliche Lagerdauer pro Flasche ein halbes Jahr. Bestellt er 2 mal pro Jahr, so beträgt die Lagerdauer die Hälfte, nämlich ein Vierteljahr. 1 --2 Lagerdauer = -----------------------------------------------Bestellungen ⁄ Jahr Die Anzahl der Bestellungen pro Jahr ergibt aus: JahresbedarfBestellungen ⁄ Jahr = ---------------------------------Bestellmenge Bestellmenge Lagerdauer = ----------------------------------------2 ⋅ Jahresbedarf x = -------------------2 ⋅ 5000 Für die Lagerkosten pro Flasche gilt: Lagerkosten/Flasche = Lagerkosten ⋅ Lagerdauer x = 0, 5 ⋅ --------------------2 ⋅ 5000 Die Zinskosten/Flasche für das im Lager gebundene Kapital ergeben sich aus dem Zinsatz, der Lagerdauer und den Anschaffungskosten (Einkaufspreis + anteilige Bestellkosten). Zinskosten/Flasche = Zinssatz ⋅ Lagerdauer ⋅ Anschaffungskosten x 200 = 0, 12 ⋅ --------------------- ⋅ ⎛⎝ 4 + ---------⎞⎠ 2 ⋅ 5000 x Die Stückkosten k einer Flasche setzen sich wie folgt zusammen: k = Einstandspreis + Bestellkosten + Lagerkosten + Zinskosten x 200 x 200 k = 4 + --------- + 0, 5 ⋅ --------------------- + 0, 12 ⋅ --------------------- ⋅ ⎛ 4 + ---------⎞ 2 ⋅ 5000 ⎝ x ⎠ x 2 ⋅ 5000 200 0, 5x 0, 48x k = 4 + --------- + ---------------- + ---------------- + 0, 0024 x 10000 10000 0, 98x 200 k = 4,0024 + ---------------- + --------x 10000 Die Bestellmenge, bei der die Stückkosten einer Flasche Rhabarberwein minimal sind, erhält man, indem man die erste Ableitung der ermittelten Stückkostenfunktion Null setzt und nach x auflöst. 0, 98 200 k′ = ---------------- – --------10000 x 2 200 0 = 0, 000098 – --------2 xk 173

KAPITEL 7

7 Einführung in die Differentialrechnung

200 x k1, 2 = ± -------------------------0, 000098 x k1, 2 = ± 1428,57 Der negative Wert liegt außerhalb des ökonomisch relevanten Bereichs. Wir überprüfen das Vorliegen eines Minimums, indem wir x k = 1428, 57 in die zweite Ableitung der Stückkostenfunktion einsetzen. 400 k″ = --------3 x k″ ( 1428,57 ) = 0, 00000014 > 0 → Minimum Die optimale Bestellmenge beträgt 1429 Flaschen. Bei dieser Menge sind die Kosten pro Flasche minimal. Sie betragen k ( 1429 ) = 4,28 (€/Flasche). b)

Die optimale Bestellhäufigkeit pro Jahr ergibt sich wie folgt: Jahresbedarf optimale Bestellhäufigkeit = ----------------------------------------------------------optimale Bestellmenge = 5000 ------------1429 = 3, 5 Der Weinhändler sollte 3,5 Bestellungen pro Jahr aufgeben, d. h. der Abstand zwischen zwei Bestellungen beträgt 104 Tage.

7.5.5 B 28

Optimale Lagerauffüllung vor Preiserhöhungen Wir bleiben bei dem Weinhändler aus Beispiel 27 unter 7.5.4, der pro Jahr 5.000 Flaschen des Rhabarberweins „Hasseler Krötendach“ zu einem Preis von 4 € pro Flasche bezieht. Die Lagerkosten werden mit 0,5 € pro Flasche und Jahr veranschlagt. Für das im Lager gebundene Kapital wird ein Zinssatz von 12 % angesetzt. Pro Bestellung fallen bestellfixe Kosten in Höhe von 200 € an. Der Lieferant kündigt für die nächste Zeit eine Preiserhöhung um 0,5 € pro Flasche an, der Händler könne aber jetzt noch zum alten Preis beziehen. Welche Menge soll der Weinhändler vor der Preiserhöhung bestellen? Lösung Was liegt für den Weinhändler näher, als vor der Preiserhöhung sein Lager aufzufüllen? Dabei hat er jedoch zu beachten, dass den Minderauszahlungen auch Kosten gegenüberstehen. Die Minderauszahlungen ergeben sich aus der Preisdifferenz zwischen dem alten und dem neuen Preis und der eingekauften Menge. Die Kosten setzen sich zusammen aus Zins- und Lagerkosten. Für den Händler ist die Bestellmenge optimal, bei der er den höchsten Gewinn erzielt. Gewinn = G = Minderauszahlungen – Kosten

174

7.6 Fragen und Aufgaben

KAPITEL 7

Für die Minderauszahlungen gilt: Minderauszahlungen = Preisdifferenz ⋅ Bestellmenge = 0, 5 ⋅ x Für die Kosten gilt: Kosten = zusätzliche Zinsen + zusätzliche Lagerkosten Die Lagerkosten pro Flasche haben wir in B 27 ermittelt: x Lagerkosten/Flasche = 0, 5 ⋅ --------------------2 ⋅ 5000 Die gesamten Lagerkosten betragen dann: x gesamte Lagerkosten = 0, 5 ⋅ --------------------- ⋅ x 2 ⋅ 5000 = 0, 00005x

2

Die Zinsen pro Flasche betragen nach B 27:

x 200 Zinskosten/Flasche = 0, 12 ⋅ --------------------- ⋅ ⎛ 4 + ---------⎞ 2 ⋅ 5000 ⎝ x ⎠ Die gesamten Zinsen betragen dann: x 200 gesamte Zinsen = 0, 12 ⋅ --------------------- ⋅ ⎛⎝ 4 + ---------⎞⎠ ⋅ x 2 ⋅ 5000 x 2

= 0,000048x + 0,0024x Als Gewinnfunktion erhält man: 2

2

G = 0,5x – ( 0,00005x + 0, 000048x + 0, 0024x ) 2

G = – 0,000098x + 0,4976x Zur Ermittlung der gewinnmaximalen Bestellmenge wird die erste Ableitung der Gewinnfunktion Null gesetzt. G′ = – 0, 000196x + 0, 4976 0 = – 0, 000196x G + 0, 4976 x G = 2538,78 Zur Überprüfung auf Vorliegen eines Maximums wird die zweite Ableitung gebildet. G″ = – 0,000196 < 0

→ Maximum

Der Weinhändler maximiert seinen Gewinn, wenn er vor der Preiserhöhung noch 2539 Flaschen bestellt.

7.6 7.1

Fragen und Aufgaben Bilden Sie den Differenzenquotienten zu folgenden Funktionen: 2

a) y = 3x + 2x + 5 3

b) y = 4x + 6 2

c) y = – 2x + 15x

175

7 Einführung in die Differentialrechnung

KAPITEL 7

7.2

Bilden Sie die erste Ableitung zu folgenden Funktionen: a) y = 5x

3 5

3

b) y = 4x + 2x – 10 1 c) y = --------25x 4 d) y = – -----3x e) y = 6 4 x

3

2 1000 f) y = 100x – 20x + 3 + ------------x

7.3

Berechnen Sie zu folgenden Funktionen (soweit möglich) Nullstellen und Extremstellen und zeichnen Sie anschließend das Bild der Funktion: 3 x a) y = ----- – x 4 4

2

b) y = x – 5x + 4 7.4

Für ein Produktionsverfahren gilt folgende Kostenfunktion: 3

2

K ( x ) = 0, 02x – 1, 5x + 90x + 1000 (€/Per) Für das erstellte Produkt wird ein Preis von 126 € erzielt. Wie groß ist die gewinnmaximale Produktionsmenge und wie hoch der maximale Gewinn? 7.5

Für ein Produkt gilt die Preis-Absatz-Funktion p = 24 – 2x . Die Produktionskosten sind wie folgt von der produzierten Menge abhängig: 2

K ( x ) = 0, 2x + 2x + 11 (€/Per) a) Ermitteln Sie rechnerisch und zeichnerisch die gewinnmaximale Preismengenkombination. b) Wie hoch ist der maximale Gewinn? 7.6

Ein Produzent bezog und verbrauchte bislang pro Monat 10000 kg eines Rohstoffes zum Preise von 2 € pro kg. Sein Jahresbedarf an diesem Rohstoff beträgt somit 120000 kg. Die Lagerkosten betragen pro Jahr und kg 0,05 €. Für das im Lager gebundene Kapital wird ein Zinssatz von 10 % veranschlagt. Pro Bestellung fallen, unabhängig von der Bestellmenge, bestellfixe Kosten in Höhe von 600 € an. a) Wie groß ist die optimale Bestellmenge? b) In welchen Zeitabständen soll bestellt werden? c) Der Lieferant kündigt eine Preiserhöhung von 0,1 € pro kg an. Welche Menge soll der Produzent vor der Preiserhöhung bestellen?

176

8.1 Elastizitäten

8

Differentialrechnung 2

8.1

Elastizitäten

8.1.1

Grundlegendes

KAPITEL 8

Mit Hilfe der Ableitungen können Sie das Steigungsverhalten einer Funktionskurve untersuchen. Bei wirtschaftlichen Funktionen ist jedoch häufig nicht nur die absolute Änderung der abhängigen Variablen von Bedeutung, sondern auch die relative Änderung bezogen auf die Ausgangsituation. Zum Beispiel könnte man sich fragen, um wieviel Prozent sich die nachgefragte Menge nach einem bestimmten Produkt ändert, wenn man den Preis um z.B. 1 Prozent ändert. Auf solche Fragen kann man eine Antwort erhalten, wenn man statt der Ableitung der Nachfragefunktion ihre wie folgt eingeführte Elastizität betrachtet. D1 Gegeben sei eine Funktion f mit der Gleichung y=f(x). Die Bogenelastizität oder durchschnittliche Elastizität ist das Verhältnis der relativen Änderung der abhängigen Variablen zur relativen Änderung der unabhängigen Variablen in dem Intervall [ x, x + Δx ] Δy -----Δy x y η yx = ------- = ------- ⋅ --Δx y Δx ------x f ( x + Δx ) – f ( x ) ---------------------------------------f ( x + Δx ) – f ( x ) x f( x) = ---------------------------------------- = ---------------------------------------- ⋅ ---------Δx f(x) ( x + Δx ) – x -----------------------------x

B1

Gegeben sei die Funktionsgleichung y = f ( x ) = – 5x + 100 Wie groß ist die durchschnittliche Elastizität im Bereich von x1 = 10 bis x 2 = 11 ? Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. Δy x η xy = ------- ⋅ --Δx y 10 ( – 5 ⋅ 11 + 100 ) – ( – 5 ⋅ 10 + 100 ) = ------------------------------------------------------------------------------------- ⋅ ----------------------------------– 5 ⋅ 10 + 100 1 10 = – 5 ⋅ ------ = – 1 50 Steigt der Wert der unabhängigen Variablen x im Intervall [x 1,x 2] = [10,11] um 1%, sinkt der Wert der abhängigen Variablen y um 1%.

177

KAPITEL 8

8 Differentialrechnung 2

Bildet man den Grenzwert der durchschnittlichen Elastizität für Δx → 0 so erhält man die Punktelastizität. D2 Für alle Funktionen f mit y = f(x) heißt der Grenzwert Δy x dy x x ε yx = lim ------- ⋅ --- = ------ ⋅ --- = y′ ⋅ --dx y y Δx → 0 Δx y (Punkt-)Elastizität von y in Bezug auf x. Die Elastizität von y in Bezug auf x wird folgendermaßen interpretiert: Ändert sich die unabhängige Variable x um 1% (mathematisch streng genommen: um „eine undy x endlich kleine relative Änderung), so ändert sich y um εyx = ------ ⋅ --- %. dx y

D3 Gilt für eine Funktion f mit y = f(x) dy x ε yx = ------ ⋅ --- > 1 dx y so heißt dieser Bereich elastisch.1 Gilt dy x ε yx = ------ ⋅ --- < 1 dx y so heißt dieser Bereich unelastisch. Gilt ε yx = 0 spricht man von vollkommen unelastisch, bei ε yx → ∞ von vollkommen elastisch. 1 Für alle Zahlen a heißt a Betrag von a mit der Eigenschaft – a = +a und +a = +a

B2

Gegeben sei die Funktionsgleichung y = f ( x ) = – 5x + 100 Bestimmen Sie die Elastizität ε yx der Funktion. Berechnen Sie die Elastizität für x 1 = 0 , x 2 = 5 , x 3 = 10 , x 4 = 15 und x 5 = 20 .

178

8.1 Elastizitäten

KAPITEL 8

dy x x – 5x - = --------------------5x εyx = ------ ⋅ --- = – 5 ⋅ --------------------------- = -------------------------dx y – 5x + 100 – 5x + 100 5x – 100 Das Ergebnis ist eine gebrochen rationale Funktion. Für x 5 = 20 ist die Funktion nicht definiert, da der Nenner gleich Null ist. Sie erhalten einen unbestimmten Ausdruck. Um eine Aussage über die Elastizität machen zu können, müssen Sie eine Grenzwertbetrachtung 5x durchführen. lim ---------------------- = – ∞ . Die übrigen Elastizitäten lassen sich nun berechnen. x → 20 5x – 100

x

0

5

10

15

ε yx

0

1 – --3

–1

-3

x → 20 –∞

Die Funktion verhält sich für 0 < x < 10 unelastisch und für 10 < x < 20 elastisch. Für x = 0 ist die Funktion vollkommen unelastisch, für x → 20 ist die Funktion vollkommen elastisch.

8.1.2

Ökonomische Anwendung

Die in der Wirtschaftspraxis wohl am häufigsten berechnete oder in der Marktforschung empirisch ermittelte Elastizität ist die Elastizität der Nachfrage x eines Gutes in Abhängigkeit des Preises p, kurz als Preiselastizität der Nachfrage bezeichnet mit εxp

dx -----dx p x p = ------- = ------- ⋅ --- = x' ⋅ --- . dp dp x x ------p

Diese gibt an, um wieviel Prozent sich die abgesetzte Menge eines Gutes ändert, wenn sich der Preis um 1 % ändert. Die Preiselastizität der Nachfrage ist im Regelfall negativ, d.h. Preis und Absatzmenge entwickeln sich gegenläufig. Preissenkungen führen zu Absatzsteigerungen, Preissteigerungen zu einem Rückgang der Absatzmenge. Möchte man wissen, welchen Einfluss Preisänderungen auf den Umsatz haben, so gibt die Preiselastizität Auskunft. Im elastischen Bereich führt eine Preisänderung um 1% zu einer mehr als einprozentigen Mengenänderung. Die Folge ist, dass bei steigenden Preisen der Umsatz sinkt und bei sinkenden Preisen der Umsatz steigt. Im unelastischen Bereich verhält es sich genau umgekehrt. Eine einprozentige Preisänderung führt zu einer Mengenänderung von weniger als 1%. Bei Preiserhöhungen steigt der Umsatz, bei Preissenkungen geht auch der Umsatz zurück. Den Zusammenhang verdeutlicht folgende Graphik einer typischen Preisabsatzfunktion x(p) und der dazugehörigen Umsatzfunktion U(p)

179

KAPITEL 8

8 Differentialrechnung 2

U,x

Δy → 0

ε = –1

ε< 1

ε> 1

p Aus der Graphik ist erkennbar, dass bei einer Preiselastizität ε xp = – 1 = 1 , also beim Übergang vom elastischen zum unelastischen Bereich, das Umsatzmaximum erreicht wird. Wie der Umsatz auf eine Preisänderung reagiert, hängt davon ab, ob wir uns im elastischen oder unelastischen Bereich befinden. Den Zusammenhang zeigt folgende Tabelle:

Bereich

elastisch

unelastisch

ε xp > 1

ε xp < 1

Preisverhalten

Preiserhöhung Preissenkung

Preiserhöhung Preissenkung

Umsatzreaktion

Umsatz sinkt Umsatz steigt

Umsatz steigt Umsatz sinkt

B3

Die Nachfragefunktion nach einem bestimmten Produkt sei x = x ( p ) = 100000 – 500p Der Marktpreis für dieses Produkt beträgt 75 €. Sie möchten gerne wissen, ob ein Rückgang des Marktpreises um 1 % zu einer Absatzsteigerung von mehr als 1 % und damit zu einer Umsatzsteigerung auf dem Markt führt. Es ergibt sich folgende Preiselastizität der Nachfrage: dx p p – 500p ε xp = ------- ⋅ --- = – 500 ⋅ --------------------------------------- = -------------------------------------dp x 100000 – 500p 100000 – 500p Bei p=75 ergibt sich somit – 500 ⋅ 75 ε xp = ---------------------------------------------- = – 0, 6 100000 – 500 ⋅ 75

180

8.2 Weiterführende Differenzierungsregeln

KAPITEL 8

Für den Marktpreis von 75 € ergibt sich eine Preiselastizität von -0,6. D.h. die Nachfrage reagiert unelastisch. Eine Preissenkung um 1% führt zu einer Absatzerhöhung von nur 0,6%. Ein Rückgang des Marktpreises würde somit zu einem Rückgang des Gesamtumsatzes auf dem Markt für dieses Produkt führen. Hinweis: Die Nachfragefunktionen bzw. Preis-Absatz-Funktionen werden meist in der Form p = p(x) gegeben.1 In diesem Fall ist die Funktionsgleichung zunächst nach x umzustellen. B4

Gegeben sei die Preis-Absatz-Funktion mit p ( x ) = 250 – 0, 01x . Bestimmen Sie die Preiselastizität der Nachfrage. Im Moment wird das Produkt zu einem Preis von 110 € verkauft. Müsste der Preis gesenkt oder erhöht werden, wenn das Ziel eine Umsatzsteigerung ist? Zunächst stellen Sie die Funktionsgleichung nach x um: x ( p ) = 25000 – 100p Im nächsten Schritt bestimmen Sie die Elastizität: dx p p – 100p ε xp = ------- ⋅ --- = – 100 ⋅ ------------------------- = -----------------------------------dp x 25000 – p 25000 – 100p Bei einem Preis von 110 € ergibt sich: – 100 ⋅ 110 ε xp = ---------------------------------------------- = – 0, 7857 25000 – 110 ⋅ 100 Für den Preis von 110 € ergibt sich eine Preielastizität von ε xp = – 0, 79 < 1 . D.h. die Nachfrage reagiert unelastisch. Eine Preisänderung von 1% hat eine Absatzmengenänderung von weniger als 1% zur Folge. Wenn das Ziel einer Umsatzsteigerung erreicht werden soll, muss der Preis erhöht werden.

8.2

Weiterführende Differenzierungsregeln

8.2.1

Produktregel

In den meisten praktischen Fällen wird man mit den in Kapitel 7 besprochenen Differenzierungsregeln zurechtkommen. In den Wirtschaftswissenschaften kommen jedoch gelegentlich auch zusammengesetzte Funktionen vor, die mit den schon besprochenen Ableitungsregeln nicht differenzierbar sind. Im folgenden werden weitere Differenzierungsregeln dargestellt. Auf eine Herleitung wird an dieser Stelle verzichtet, da es hier um die Anwendung geht. R1

Produktregel Gegeben sei eine Funktion f mit y = f ( x ) = u ⋅ v mit u = f1 ( x ) und v = f 2 ( x ) . Dann gilt für die erste Ableitung: du dv dy ------ = ------- ⋅ v + u ⋅ ------ oder f′ ( x ) = y′ = u′ ⋅ v + u ⋅ v′ dx dx dx

1 siehe auch S. 70 ff.

181

8 Differentialrechnung 2

KAPITEL 8

B5

Gegeben sei die Funktionsgleichung y = f ( x ) = ( x 2 – 1 ) ( x 3 + 5x ) 2

Es gilt: u = x – 1 und u′ = 2x 3

2

v = x + 5x und v′ = 3x + 5

Dies bedingt: 3

2

2

f′ ( x ) = 2x ( x + 5x ) + ( x – 1 ) ( 3x + 5 ) 4

2

4

2

4

2

2

= 2x + 10x + 3x + 5x – 3x – 5 = 5x + 12x – 5 Das gleiche Ergebnis muss man erhalten, wenn man den Funktionsterm zunächst ausmultipliziert und dann nach den schon vorher bekannten Regeln differenziert. 5

3

3

5

3

f ( x ) = x + 5x – x – 5x ⇔ f ( x ) = x + 4x – 5x 4

2

f′ ( x ) = 5x + 12x – 5 B6

Mit Hilfe der Produktregel lässt sich nun auch allgemein der Zusammenhang zwischen der Preiselastizität der Nachfrage und dem Grenzumsatz herleiten. Gegeben sei die Preisabsatzfunktion p = p ( x ) Aus der Definition des Umsatzes mit U = p ⋅ x ergibt sich die Umsatzfunktion U mit dU U ( x ) = x ⋅ p ( x ) . Bestimmen Sie die Grenzumsatzfunktion ------- . dx

dp dU ------- = 1 ⋅ p + ------- ⋅ x dx dx dp x dU ⎛ ------- = p 1 + ------- ⋅ ---⎞ ⎝ dx p⎠ dx dU 1-⎞ ------- = p ( x ) ⎛ 1 + -----⎝ dx ε xp⎠

p ausklammern oder

Die so gefundene Beziehung zwischen dem Grenzumsatz und der Preiselastizität der Nachfrage wird in der Mikroökonomie nach ihren Entdeckern als Amoroso-Robinson-Relation1 bezeichnet. Der Grenzumsatz stimmt mit dem Preis überein, wenn die direkte Preiselastizität der Nachfrage (absolut) unendlich ist (vollkommene Konkurrenz). Der Grenzumsatz ist kleiner als der Preis, wenn die direkte Preiselastizität der Nachfrage nicht vollkommen elastisch ist (negativ geneigte Preis-Absatz-Funktion). Der Grenzumsatz ist negativ, wenn die direkte Preiselastizität der Nachfrage (absolut) unter 1 liegt. Kein (am Gewinn interessierter) Anbieter bietet daher im unelastischen Bereich an.

1 Nach Luigi Amoroso (1886-1965), italienischer Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler, Anhänger Paretos, und Joan Violet Robinson (1903-1983), Ökonomin.

182

8.2 Weiterführende Differenzierungsregeln

8.2.2 R2

KAPITEL 8

Quotientenregel Quotientenregel u Gegeben sei eine Funktion f mit y = f ( x ) = --- und v u = f1 ( x ) und v = f 2 ( x ) . Dann gilt für die 1. Ableitung dy u′ ⋅ v – u ⋅ v′ y′ = ------ = -----------------------------2 dx v

B7

2x Gegeben sei die Funktionsgleichung y = f ( x ) = ---------------- . 5x – 7 dy Bilden Sie die 1. Ableitung f′ ( x ) = -----. u = 2x dann gilt: u′ = 2

dx

2

v = 5x – 7 dann gilt: v′ = 5 und v = ( 5x – 7 )

2

2 ( 5x – 7 ) – 2x ⋅ 5 –7 - = ---------------------f′ ( x ) = -------------------------------------------2 2 ( 5x – 7 ) ( 5x – 7 ) B8

Gegeben sei die empirisch ermittelte Nachfragefunktion nach einem Produkt des täglichen Bedarfs mit p = 10 – 0, 5x . Zu zeigen ist, dass die Preiselastizität der Nachfrage mit sinkenden Preisen und steigenden Absatzmengen abnimmt. dx p Zunächt gilt für die Preiselastizität ε xp = ------- ⋅ --- . dp x

dp dx ------- = – 0, 5 ⇔ ------- = – 2 dx dp 10 – 0, 5x – 20 + x ε xp = – 2 ⋅ ------------------------- = -------------------x x Die Preiselastizität ist hier als Funktion von x dargestellt (denkbar wäre auch eine Darstellung als Funktion von p). Um zu beurteilen, wie sich die Preiselastizität verändert, wenn dε sich die abgesetzte Menge ändert, bilden Sie die 1. Ableitung ------ . dx

20 1 ⋅ x – ( x – 20 ) ⋅ 1 dε - = -----2- > 0 ------ = -------------------------------------------2 dx x x Die Funktion ε ( x ) weist in ihrem gesamten Verlauf eine positive Steigung auf. D.h. mit steigenden Absatzmengen nimmt auch der Wert der Preiselastizität zu. Zu beachten ist allerdings, dass die Preiselastizität negativ ist. Betrachtet man den Funktionsverlauf, so stellt man fest, für x → 0 strebt der Wert der Preiselastizität gegen – ∞ und erreicht bei x = 20 den Wert 0. Bei der gängigen Interpretation der Elastizitäten geht man von den absoluten Werten aus. Betrachtet man die absoluten Werte, so nimmt die Elastizität der Funktion mit steigenden Absatzmengen und sinkenden Preisen ab.

183

8 Differentialrechnung 2

KAPITEL 8

8.2.3 R3

Kettenregel Kettenregel Gegeben sei eine Funktion f mit y = f ( z ) . Dabei ist z eine innere Funktion g mit z = g ( x ) . Dann gilt: dy dz dy y ′ = ------ = ------ ⋅ ------ = f′ ( z ) ⋅ g′ ( x ) dz dx dx dy dz ------ heißt „äußere Ableitung“, ------ heißt „innere Ableitung“. dz dx

B9

Gegeben sei die Funktion y =

2

5x – 2x , somit ist y =

z= z

2

z = 5x – 2x . 1

Äußere Ableitung:

1 – --2dy 1 - = ----------------------------1 ------ = --- z = --------2 dz 2 2 z 2 5x – 2x

dz = 10x – 2 -----dx 1 10x – 2 dy- = ----------------------------5x – 1 ----⋅ ( 10x – 2 ) = ----------------------------- = ------------------------2 2 dx 2 2 5x – 2x 2 5x – 2x 5x – 2x

Innere Ableitung:

184

--12

und

8.3 Differenzieren von Funktionen mit unabhängigen Variablen

8.2.4 R4

KAPITEL 8

Ableitungsregeln für logarithmische Funktionen, Exponentialfunktionen und trigonometrische Funktionen Ableitungsregeln dy 1 y = f ( x ) = log bx → f′ ( x ) = ------ = ---------------dx x ⋅ ln b dy 1 y = f ( x ) = ln x→ f′ ( x ) = ------ = --dx x x x dy y = f ( x ) = b → f′ ( x ) = ------ = b ⋅ ln b dx x x dy y = f ( x ) = e → f′ ( x ) = ------ = e dx x dy = x x ⋅ ( 1 + ln x) y = f ( x ) = x → f′ ( x ) = -----dx

y = f( x) = x

g(x)

→ f′ ( x ) = x

g(x)

g( x ) ⋅ ⎛ g′ ( x ) ⋅ ln x + -----------⎞ ⎝ x ⎠

dy = cos x y = f ( x ) = sin x → f′x ) = -----dx dy = – sin x y = f ( x ) = cos x → f′ ( x ) = -----dx dy = ------------1 y = f ( x ) = tan x → f′ ( x ) = -----2 dx cos x dy –1 y = f ( x ) ) = cot x → f′ ( x ) = ------ = ------------2 dx sin x

8.3

Differenzieren von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

8.3.1

Partielle Differenzenquotienten und partielle Differentialquotienten

8.3 Differenzieren von Funktionen mit unabhängigen Variablen

Die Veränderung wirtschaftlicher Größen läßt sich in den seltensten Fällen nur durch einen Einflussfaktor erklären. Der Tagesumsatz eines Verbrauchermarktes mit einem Angebot von z.B. 40000 Artikeln errechnet sich aus der Summe der Umsätze mit jedem einzelnen Artikel. Für den Umsatz U gilt U = p 1 ⋅ x 1 + p 2 ⋅ x 2 + ...+p 40000 ⋅ x 40000

185

KAPITEL 8

8 Differentialrechnung 2

Der Tagesumsatz hängt also von den Absatzmengen x 1, x 2, ...,x 40000 ab. Damit ist der Tagesumsatz U der Funktionswert U ( x 1, x 2, ...,x 40000 ) einer Funktion U mit 40000 frei veränderbaren Variablen. D4 Gegeben seien die Variablen x 1, x 2, ...,x n . Die Gleichung f ( x 1, x 2, ...,x n ) = y bestimmt eine Funktion f mit n unabhängigen Variablen und dem Funktionswert y. Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen lassen sich im dreidimensionalen Raum als gebogene Flächen oder Raumkurven darstellen. Bei mehr Variablen entfällt die Möglichkeit der grafischen Darstellung. In einem Mehrproduktbetrieb sind z.B. die Gesamtkosten nicht nur von der Produktionsmenge eines Produktes abhängig, sondern von den Produktionsmengen aller Produkte. Für einen Zweiproduktbetrieb könnte die Gesamtkostenfunktion K ( x 1 x 2 ) im Falle eines linearen Zusammenhangs wie folgt aussehen. B 10

K ( x 1, x 2 ) = K f + k v1 ⋅ x 1 + k v2 ⋅ x 2 K ( x 1, x 2 ) = 2500 + 2x 1 + 4x 2 Mit der Kenntnis der Kostenfunktion lässt sich nun für alle in Frage kommenden Produktionsmengenkombinationen der Produkte 1 und 2 der Betrag der Gesamtkosten errechnen. Natürlich sind auch Umsatz und Gewinn des Unternehmens abhängig von der gewählten Mengenkombination. Für die beiden Produkte gelten die folgenden Preis-Absatz-Funktionen: p1 ( x 1 ) = 10 – 0, 002x 1 und p 2 ( x 2 ) = 12 – 0, 004x 2 daraus ergibt sich folgende Gesamtumsatzfunktion U ( x1, x ) = U ( x 1 ) + U ( x2 ) 2

U ( x 1, x 2 ) = x 1 ⋅ ( 10 – 0, 002x 1 ) + x 2 ⋅ ( 12 – 0, 004x 2 ) 2

2

= 10x 1 – 0, 002x 1 + 12x 2 – 0, 004x 2 und aus G = U – K erhält man die Gewinnfunktion: 2

2

G ( x 1, x 2 ) = 10x 1 – 0, 002x 1 + 12x 2 – 0, 004x 2 – ( 2500 + 2x 1 + 4x 2 ) 2 2 = – 0, 002x 1 + 8x 1 – 0, 004x 2 + 8x 2 – 2500 Möchte man nun wissen, wie sich der Gewinn ausgehend von einer bestimmten Ausgangssituation durchschnittlich ändert, wenn wir die Ausbringungsmenge des Produktes 1 bzw. des Produktes 2 erhöhen, so geben die partiellen Differenzenquotienten eine Antwort.

186

8.3 Differenzieren von Funktionen mit unabhängigen Variablen

KAPITEL 8

D5 Gegeben sei die Funktion f mit z = (x,y). Die partiellen Differenzenquotienten ergeben sich als Quotient aus der Differenz der Funktionswerte an den Stellen (x,y) und ( x + Δx, y ) bzw. ( x, y + Δy ) und der Differenz der unabhängigen Variablen Δx bzw. Δy . Δz Δf ( x, y ) f ( x + Δx, y ) – f ( x, y ) ) ------- = -------------------- = -----------------------------------------------------Δx Δx Δx und Δz Δf ( x, y ) f ( x, y + Δy ) – f ( x, y ) ) ------ = -------------------- = -----------------------------------------------------Δy Δy Δy

B 11

Ausgehend von den in Beispiel 10 gegebenen Funktionen gelte für unsere Ausgangsituation x 1 = 4000 und x 2 = 1400 . Um welchen Betrag würde sich der Gewinn durchschnittlich verändern, wenn vom 1. Produkt 200 Einheiten mehr verkauft würden? ΔG Wir bestimmen zunächst den partiellen Differenzenquotienten --------- .

( x 1 + Δx 1, x 2 ) – G ( x 1, x 2 ) ΔG- = G -------------------------------------------------------------------------Δx Δx 1 ΔG- = –----------------------------820 – 860- = – 8, 4 -------Δx 1 200

Δx 1

Wird die Ausbringungsmenge von Produkt 1 im Intervall [4000,4200] um eine Einheit erhöht, sinkt der Gewinn um durchschnittlich 8,4 Geldeinheiten. Insgesamt verändert sich der Gewinn um – 8, 4 ⋅ 200 = –1680 Geldeinheiten. Ähnliche Überlegungen könnte man für das zweite Produkt anstellen. Der partielle Differenzenquotient zeigt, wie sich der Funktionswert durchschnittlich ändert, wenn sich eine unabhängige Variable um eine Einheit ändert während die anderen Variablen unverändert bleiben, also sich wie Konstante Größen verhalten. Der partielle Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Steigung einer Funktion in Richtung der betrachteten Variablen an. Will man die Steigung der Raumkurve in Richtung einer Variablen für einen bestimmten Punkt bestimmen, so muss man den Differenzenquotienten einer Grenzwertbetrachtung für Δx → 0 unterziehen. Man erhält so den partiellen Differentialquotienten.

8.3 Differenzieren von Funktionen mit unabhängigen Variablen

187

8 Differentialrechnung 2

KAPITEL 8

D6 Gegeben sei die Funktion f mit z=f(x,y). Die partiellen Differentialquotienten (partiellen Ableitungen) ergeben sich als Quotient aus der Differenz der Funktionswerte an den Stellen (x,y) und ( x + Δx, y ) bzw. ( x, y + Δy ) und der Differenz der unabhängigen Variablen Δx bzw. Δy für Δx → 0 und Δy → 0 . f ( x + Δx, y ) – f ( x, y ) ) Δz lim ⎛ -------⎞ = ∂z = lim ⎛ ------------------------------------------------------⎞ ⎠ Δx Δx → 0⎝ ∂x

Δx → 0⎝ Δx⎠

und f ( x, y + Δy ) – f ( x, y ) ) Δz ∂z lim ⎛ ------⎞ = = lim ⎛ ------------------------------------------------------⎞ ⎠ Δy Δy → 0⎝ ∂y

Δy → 0⎝ Δy⎠

Der partielle Differentialquotient einer unabhängigen Variablen gibt die Steigung der Tangente in Variablenrichtung an der Stelle ( x, y ) an. Bei der Ermittlung der partiellen Ableitungen gelten die bereits für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen besprochenen Ableitungsregeln. Dabei leitet man nach der gewünschten Variablen ab und betrachtet die übrigen Variablen als konstante Größen. Bemerkung:

∂y ∂y ∂y ∂y Für eine Funktion f mit f ( x 1, x 2, ...,x n ) = y existieren mit n partielle Ab, , , ..., ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ∂ xn leitungen der Funktion f. B 12

Es soll die Gewinnfunktion aus B 10 zunächst nach x 1 und dann nach x 2 abgeleitet werden. 2

2

G ( x 1, x 2 ) = – 0, 002x 1 + 8x 1 – 0, 004x 2 + 8x 2 – 2500 ∂G -------- = – 0, 004x 1 + 8 ∂x 1 ∂G -------- = – 0, 008x 2 + 8 ∂x 2 B 13

∂z ∂z 2 3 Bilden Sie die partiellen Ableitungen ------ und ----- der Funktion z = f ( x, y ) = 2x + 7xy – 6y ∂x

∂y

∂z ------ = 4x + 7y ∂x 2 ∂z ----- = 7x – 18y ∂y

In diesem Fall ergibt sich, dass die partiellen Ableitungen wiederum Funktionen der Variablen x und y sind. 188

8.3 Differenzieren von Funktionen mit unabhängigen Variablen

B 14

KAPITEL 8

Gegeben sei die Aufzinsungsfunktion K n mit der Gleichung K n ( K 0, i, n ) = K 0 ( 1 + i )

n

Leiten Sie die Funktion partiell nach K 0 , i und n ab. ∂K n --------n = ( 1 + i ) ∂K 0 ∂K n n–1 n–1 ⋅ 1 = n ⋅ K0 ⋅ ( 1 + i ) -------- = n ⋅ K 0 ⋅ ( 1 + i ) ∂i

nach Kettenregel

Für die Ableitung nach n ist es sinnvoll, zunächst beide Seiten der Gleichung zu logarithmieren. ln K n = n ⋅ ln ( 1 + i ) Im nächsten Schritt werden beide Seiten der Gleichung nach n abgeleitet. K 1- ∂-----------⋅ n = 1 ⋅ ln ( 1 + i ) linke Seite nach der Kettenregel abgeleitet K n ∂n Im nächsten Schritt werden beide Seiten der Gleichung mit K n multipliziert. ∂K n n -------- = ln ( 1 + i ) ⋅ K n = ln ( 1 + i ) ⋅ K 0 ( 1 + i ) ∂n

189

KAPITEL 8

8.3.2

8 Differentialrechnung 2

Extremwertbestimmung bei Funktionen mit n unabhängigen Variablen

Die Extremstellenuntersuchung wird zunächst für Funktionen mit 2 Argumenten x und y betrachtet. Das folgende Bild zeigt einen Raumkurvenausschnitt der Funktionsleichung z = f ( x, y ) = sin ( x ) + sin ( y ) .

Die Flächenkurve zeigt im Vordergrund einen räumlichen Hochpunkt. Dieser entspricht dem Gipfel eines Berges in einem Gebirge. Der Funktionswert ist damit an der Stelle ( x max ;y max ) maximal mit f max ( x max ;y max ) = z max und erzeugt einen Hochpunkt H ( xmax ;y max, z max ) . Die Berechnung der Koordinaten erfolgt mittels der partiellen Ableitungen nach folgender Idee. Unter allen Ebenen E gibt es eine, die die Flächenkurve im Hochpunkt H in genau einem Punkt berührt. Diese Tangentialebene T E liegt parallel zur „Fußbodenebene“ E, in der alle Punkte E ( x, y, 0 ) liegen. Damit haben alle Geraden, die in der Tangentialebene T E liegen, in jedem Punkt die Steigung null. Da genau zwei Geraden, die nicht aufeinander oder parallel zueinander liegen, eine Ebene eindeutig festlegen, folgt die Steigungsbedingung null aus den partiellen Ableitungen nach x und y mit der Bedingung ∂z- = 0 und ---∂z- = 0. ----∂x ∂y

190

8.3 Differenzieren von Funktionen mit unabhängigen Variablen

KAPITEL 8

Da aus dem Steigungsverhalten null der Tangentialebene offen bleibt, ob der Berührpunkt der Raumkurve ein Maximum, Minimum oder einen räumlichen Sattelpunkt festlegt, ist dies allgemein die notwendige Bedingung für Extremstellen von Funktionen mit n Argumenten. D7 Notwendige Bedingung für Extremstellen: Für alle Funktionen f mit f ( x 1, x 2, ...,x n ) = y mit E ( x 1, x 2, ...,x n ) = y E len Ableitungen gilt:

könnte eine Stelle E

Extremstelle y E sein, falls für die partiel-

∂y ∂y ∂y = 0, = 0, ..., =0 ∂ x1 ∂x2 ∂xn

Ein räumlicher Sattelpunkt ist in der Graphik links vom vorderen Hochpunkt (Kurvengipfel) erkennbar. Dabei beschreibt die Raumkurve parallel zur x-Achse einen Anstieg (Funktionswerte werden größer bis zum Maximum. Parallel zur y-Achse werden die Funktionswerte kleiner bis zu einem Minimum. Die Anatomie eines Pferdes legt ebenfalls diesen Zustand auf dem Pferderücken fest. Entlang der Wirbelsäule des Pferdes gibt es einen minimalen Punkt. Entlang der Rippen einen maximalen Punkt. Gemeinsam folgt daraus ein räumlicher Sattelpunkt. Anschaulich mußte tatsächlich der Pferdesattel für den Fachbegriff Sattelpunkt im Zusammenhang mit Funktionsuntersuchungen herhalten. B 15 Gesucht sind mögliche Extremstellen der Funktion f mit der Gleichung . 2

f ( x, y ) = x – 4x + y

2

Zunächst die paritiellen Ableitungen bestimmen: ∂ ∂ fx′ = ------ f = 2x – 4 und fy′ = ----- f = 2y. ∂y ∂x Ableitungen null setzen und die Lösungen der Gleichungen bestimmen. 0 = 2x – 4 ⇔ x = 2 und 0 = 2y ⇔ y = 0 . Damit könnte die Stelle (2; 0) eine Extremstelle festlegen. Nun stellt sich das Problem, ob die Stelle E (2; 0) eine Extremstelle ist oder einen räumlichen Sattelpunkt festlegt. Dies erfordert wie bei Funktionen mit einem Argument eine Bedingung. Diese wird hier zunächst erläuternd über ein Vorzeichenwechselkriterium in der Umgebung der Extremstelle für passende Beispiele eingeführt und später für beliebige Funktionen als hinreichende Bedingung verallgemeinert. Falls die Stelle ein Maximum festlegt, ist in der Nähe der vermuteten

191

KAPITEL 8

8 Differentialrechnung 2

Extremstelle das Steigungsverhalten aller Kurventangenten bis zum Gipfel stets positiv, danach negativ. Wenn diese Bedingung für die Tangenten entlang der x-Achse und entlang der y-Achse erfüllt ist, dann könnte die Extremstelle für passende Funktionen ein Maximum bestimmen. Aus der Bedingung folgt analog durch den Vorzeichenwechsel der Steigungen von negativ nach positiv entlang der x- und y-Achse ein Minimum. Aus allen anderen Vorzeichenkombinationen folgt eindeutig ein räumlicher Sattelpunkt. Nun folgt die hinreichende Bedingung für die Stelle (2; 0) aus Beispiel 15. Zunächst wird das Steigungsverhalten der Flächenkurve entlang der x-Achse untersucht. Wähle dazu als x-Werte links und rechts um die mögliche Extremstelle x = 2 die Abschätzung 1 < 2 0 ∂x Dieser Vorzeichenwechsel im Steigungsverhalten legt entlang der x-Achse ein Minimum fest. Nun folgt die Untersuchung des Vorzeichenwechsels entlang der y-Achse. Dafür bleibt x = 2 fest und als y-Werte um die mögliche Extremstelle y = 0 wird die Abschätzung -1 < 0 < 1 gewählt. Einsetzten in die partielle Ableitung nach y. ∂f ( 2, – 1 ) ----------------------- = 2 ⋅ ( – 1 ) < 0 und ∂y ∂f ( 2, 1 ) ------------------- = 2 ⋅ 1 > 0 ∂y Damit ist das Steigungsverhalten entlang beider Achsen identisch und die Stelle (2; 0) könnte ein Minimum festlegen. Bei alleiniger Betrachtung des Vorzeichenwechselkriteriums entlang der x- und y-Achse und dem Schluss auf eine Extremstelle könnte es sein, dass das Verhalten der Flächenkurve abseits dieser linearen Betrachtung kein eindeutiges extremes Verhalten festlegt. Die Funktionswerte des folgenden Bildes legen entlang der Koordinatenachsen einen Tiefpunkt fest. Entlang der Winkelhalbierenden dagegen steigen die Funktionswerte von 2 monoton bis zur „Extremstelle“ E(xE; yE) = 6 an und fallen danach monoton bis zum Funktionswert 2. Damit legt die Stelle insgesamt keine Extremstelle fest.

192

8.3 Differenzieren von Funktionen mit unabhängigen Variablen

KAPITEL 8

Zum besseren räumlichen Verständnis könnte das Bild ein offenes Treppenhaus modellieren. Die Treppen im rechten Winkel der x- und y-Achse ermöglichen von der Ebene E=6 den Aufstieg zu einer Galerie. Die Treppen der Diagonalen (Winkelhalbierende) dagegen den Abstieg in eine tiefere Ebene eines Gebäudes. Nun ließe sich auch für die Diagonalen ein Vorzeichenwechselkriterium bestimmen. Nur, Treppen können in einem beliebigen Winkel z.B. 30° geplant werden. Das erfordert ein Vorzeichenwechselkriterium als hinreichende Bedingung für alle Winkel von 0° bis 360°. Aber zwischen 2 Winkeln gibt es unendlich viele Winkelsekunden. Daher die Vorüberlegung: Eine Stelle f(xE, yE) legt nur dann eindeutig eine Extremstelle fest, wenn für alle Punkte P(x, y, f(x, y)) in der Umgebung der Extremstelle E gilt: f(x, y) – f(xE , yE) = d mit d > 0 für ein Maximum oder d < 0 für ein Minimum.

Ohne Beweis gilt diese Bedingung für Funktionen f mit 2 Argumenten x, y, wenn folgende Abschätzung für die 2. partiellen Ableitungen der Funktion f erfüllt ist: 2

f xx ″ ( x E, y E ) ⋅ f yy ″ ( x E, y E ) – [ f xy ″ ( x E, y E ) ] > 0 (*) E(xE, yE) legt dann mit fxx ″ ( x E ; y E ) < 0 ein Maximum bzw. f xx ″ ( x E ; y E ) > 0 ein Minimum (**) fest.

193

8 Differentialrechnung 2

KAPITEL 8

Es sind für die 1. partielle Ableitung nach x die Ableitungen f xx ″ und f xy ″ die 2. partiellen Ableitungen nach x und y der Funktion f. Für das Beispiel B 15 könnte E(2; 0) eine Extremstelle festlegen. Aus f x ′ = 2x – 4 folgen die 2. Ableitungen nach x mit f xx ″ = 2 und y mit f xy ″ = 0 . Wegen fy ′ = 2y gilt f yy ″ = 2. 2

Einsetzen in die Abschätzung (*): 2 ⋅ 2 – 0 > 0 ⇔ 4 > 0 . Damit legt E eindeutig eine Extremstelle fest. Mit (**) f xx ″ ( 2 ; 0 ) = 2 > 0 hat die Funktion an der Stelle E(2; 0) ein Minimum. Dies wurde bereits mit dem Vorzeichenwechselkriterium vermutet. Zusammenfassung: Eine Funktion f mit f(x; y) = z hat an der Stelle E(xE; yE) genau dann eine Extremstelle, wenn gilt (1) Notwendige Bedingung f x ′ ( x E ; y E ) = 0 und f y ″ ( x E ; y E ) = 0 . (2) Hinreichende Bedingung f xx ″ (x E, y E) ⋅ f yy ″ (x E, y E) – [ f xy ″ (x E, y E) ] 2 < 0 Maximum, falls fxx ″ ( x E ; y E ) < 0 Minimum, falls f xx ″ ( x E ; y E ) > 0 (3) Anderenfalls legt mit f xx ″ (x E, y E) ⋅ f yy ″ (x E, y E) – [ f xy ″ (x E, y E) ] 2 > 0 die Stelle E(xE; yE) für den Flächengraphen einen Sattelpunkt fest. (4) Eine eindeutige Aussage für E(xE; yE) ist mit (*) nicht möglich, falls die Abschätzung f xx ″ (x E, y E) ⋅ f yy ″ (x E, y E) – [ f xy ″ (x E, y E) ] 2 = 0 ist. Dieser Spezialfall erfordert höhere Ableitungen und wird hier nicht weiter betrachtet. B 16

Gesucht sind Extrempunkte der Funktion f mit der Gleichung 3

f ( x, y ) = x – 6xy + y

2

Als notwendige Bedingung für mögliche Extrempunkte werden zunächst die partiellen Ableitungen nach den Variablen x und y null gesetzt. Partielle Ableitungen 2 ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) ------------------- = 3x – 6y und ------------------- = – 6x + 2y ∂y ∂x

Partielle Ableitungen null setzten. Dies erzeugt 2 Gleichungen I und II mit 2 Variablen. I

194

2

0 = 3x – 6y

8.3 Differenzieren von Funktionen mit unabhängigen Variablen

II

KAPITEL 8

0 = – 6x + 2y

Dieses nichtlineare Gleichungssystem ist mit dem Einsetzungsverfahren lösbar (siehe Kapitel 4.2.3). Dafür Gleichung II nach x oder y umformen. Aus äquivalentem Umformen nach y folgt II

y = 3x

.

In Gleichung I Variable y durch 3x ersetzen und für x lösen. 2

2

0 = 3x – 6 ⋅ 3x ⇔ 0 = 3x – 18x Lösungen der quadratischen Gleichung sind x = 0 oder x = 6. Dies sind die x-Koordinaten möglicher Extremstellen. Die Berechnung der y-Koordinaten erfolgt mit Gleichung II. Aus x = 0 in II folgt y = 0 und aus x = 6 in II folgt y = 18. Damit könnten die Stellen E1(0, 0) und E2(6, 18) Extremstellen festlegen. Hinreichende Bedingung für E1(0, 0). Zunächst wird das Vorzeichenverhalten der Tangentensteigungen entlang der x-Achse in der Umgebung der Stelle E1 untersucht. Wähle dafür die Stellen (-1, 0) < E1(0, 0) < (1, 0). Einsetzen in die partielle Ableitung nach x. ∂---------------------f ( – 1, 0 )- = 3 ( – 1 ) 2 – 0 = 3 > 0 und ∂x ∂------------------f ( 1, 0 ) = 3 ⋅ 1 2 – 0 = 3 > 0 . ∂x Da hier kein Vorzeichenwechsel im Steigungsverhalten erfolgt, legt die Stelle E1 keine Extremstelle fest. Die Untersuchung des Steigungsverhaltens entlang der y-Achse ist damit nicht mehr erforderlich. Hinreichende Bedingung für E2(6, 18). Vorzeichenverhalten der Tangentensteigungen entlang der x-Achse. Wähle die Stellen (5, 18) < E2(6, 18) < (7, 18). In partielle Ableitung nach x einsetzen. ∂f ( 5, 18 ) ----------------------- = – 33 < 0 und ∂x ∂f ( 7, 18 ) ----------------------- = 39 > 0 ∂x Hier liegt ein Vorzeichenwechsel im Steigungsverhalten vor. Da das Steigungsverhalten links von der Stelle E2 negativ ist und rechts davon positiv ist, läuft die Flächenkurve in ein Tal. Wenn das Steigungsverhalten entlang der y-Achse ebenfalls negativ - positiv ist, legt E2 ein Minimum fest. Wähle für die Untersuchung geeignete Stellen in der Umgebung von E2. Die Abschätzung (6, 17) < E2(6, 18) < (6, 19) erfüllt die Bedingung. Einsetzen in die partielle Ableitung nach y. ∂---------------------f ( 6, 17 )- = – 6 ⋅ 6 + 2 ⋅ 17 = – 2 < 0 ∂y

und

195

KAPITEL 8

8 Differentialrechnung 2

∂---------------------f ( 6, 19 -) = – 6 ⋅ 6 + 2 ⋅ 19 = 2 > 0 ∂y

.

Damit läuft die Flächenkurve auch entlang der y-Achse in ein Tal. Insgesamt legt damit eventuell die Stelle E2(6, 18) ein Minimum fest. Mit den 2. partiellen Ableitungen f xx ″ = 6x und f yy ″ = 2 und f xy ″ = – 6 gilt für E2(6, 19) die 2 Abschätzung ( 6 ⋅ 6 ) ⋅ 2 – ( – 6 ) = 36 > 0 . Damit ist die hinreichende Bedingung (2) erfüllt und mit fxx''(6, 19)=36 > 0 legt E2 nun eindeutig ein Minimum fest. Abschließend werden noch die Koordinaten des räumlichen Tiefpunktes T berechnet. Die fehlende z-Koordinate folgt aus dem Funktionswert der Ausgangsfunktionsgleichung 3 2 f ( x, y ) = x – 6xy + y für die Stelle E2. f ( 6, 18 ) = – 108 Damit hat die Raumkurve im Punkt T(6, 18, -108) einen Tiefpunkt. B 17

2

2

Zu untersuchen ist die Raumkurve der Gleichung f ( x, y ) = x – y auf Extrempunkte. Zunächst als notwendige Bedingung für die Existenz von Extremstellen die partiellen Ableitungen nach x und y null setzen und das daraus folgende Gleichungssystem lösen. ∂f ( x, y ) ------------------- = 2x ⇒ 0 = 2x ⇔ x = 0 ∂x ∂f ( x, y ) ------------------- = – 2y ⇒ 0 = – 2y ⇔ y = 0 ∂y Damit könnte die Stelle E(0, 0) eine Extremstelle festlegen. Vorzeichenwechselkriterium als hinreichende Bedingung, ob E eine Extremstelle ist. Zunächst wird das Vorzeichenverhalten der Tangentensteigungen in der Umgebung der Stelle E entlang der x-Achse untersucht. Wähle dafür die Abschätzung (-1, 0) < E(0, 0) < (1, 0). Einsetzen in partielle Ableitung nach x. ∂f ( – 1, 0 ) ----------------------- = – 2 < 0 ∂x ∂f ( 1, 0 ) ------------------- = 2 > 0 ∂x Aus der Abschätzung und dem Vorzeichenwechsel folgt, dass die Stelle E entlang der xAchse in einem Tal liegt. Es folgt die analoge Untersuchung entlang der y-Achse mit den Umgebungsstellen (0, –1) < E(0, 0) < (0, 1). Einsetzen in partielle Ableitung nach y. ∂f ( 0, – 1 ) ----------------------- = 2 ∂y ∂f ( 0, 1 ) ------------------- = – 2 ∂y

196

8.4 Lösung von Optimierungsproblemen

KAPITEL 8

Aus dem Vorzeichenwechsel von plus nach minus folgt hier, dass die Raumkurve entlang der y-Achse in einen Gipfel strebt. Wegen des ungleichen Vorzeichenwechsels entlang der Achsen mit x-Achse: minus - plus y-Achse: plus - minus legt die Stelle E(0, 0) keinen Extrempunkt fest, sondern einen räumlichen Sattelpunkt. Dies verdeutlicht auch die folgende Abbildung der Funktionsgleichung in der Umgebung der Stelle E(0, 0). .

8.4

Lösung von Optimierungsproblemen

8.4.1

Variablenelimination

In Kapitel 7.5 ging es um die Lösung von Extremwert- oder Optimierungsproblemen, deren Problemstellung mit Funktionen modellierbar und lösbar waren, die von einem Argument abhängen. Hier geht es nun um Optimierungsprobleme, deren Modellierung Funktionen mit mehreren Argumenten oder Variablen erfordern. Die Festlegung einer optimalen Lösung erfolgt mit Hilfe der Differentialrechnung und entspricht der Lösung eines Extremwertproblems. Eingeführt werden als Lösungsansätze die Variablenelimination und die Multiplikatorregel nach Lagrange (Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Italienischer Mathematiker und Astronom).

197

KAPITEL 8

8 Differentialrechnung 2

Zur Verdeutlichung des Verfahrens der Variablenelimination sei folgendes Beispiel gegeben. B 18

Anlässlich der Kindergeburtstagsfeier seines fußballbegeisterten Sohns möchte der Vater für seinen Sprößling spontan ein Fußballtor zimmern und im Garten aufstellen. Für den Torrahmen findet er in seinen Holzbeständen eine 4 Meter lange Dachlatte. Diese möchte er nun für die beiden Torpfosten und die Querlatte so zurechtsägen, dass der Flächeninhalt der Torfläche ein Maximum annimmt.

Folgende Zerlegungsbeispiele zwischen der Pfostenhöhe h und der Querlattenbreite b verdeutlichen, dass die Flächeninhalte dabei variieren. 1. Fall: Aus einer Pfostenhöhe von h = 0,5 m folgt die Querlattenbreite b = 3 m, da so die Dachlatte mit 2 ⋅ 0, 5 m + 3 m = 4 m vollständig verbraucht wird. Für diesen Tortyp 2 flach, aber breit folgt ein Flächeninhalt A mit A = 0, 5 m ⋅ 3 m ⇔ A = 1, 5 m 2. Fall: Wähle nun h = 1,2 m und b = 1,6 m. In diesem Fall wird die Dachlatte von 4 m Länge ebenfalls vollständig verbraucht. Der Flächeninhalt A des Tortyps schmal, aber hoch beträgt nun 1,92 Quadratmeter. Da der Flächeninhalt im 2. Fall größer ist, stellt sich die Frage, für welche Kombination Torpfostenhöhe h und Querlattenbreite b der Flächeninhalt A maximal ist. Zur Lösung des Problems wird zunächst eine Flächeninhaltsfunktion eingeführt, die für jede Kombination h, b einen Torflächeninhalt modelliert. Da die Torfläche einem Rechteck entspricht, genügt die Funktion A mit der Gleichung A ( h, b ) = h ⋅ b den Anforderungen. Diese Funktion heißt allgemein Zielfunktion. Da für A noch die Variablen h und b frei wählbar sind, könnten h und b gegen unendlich streben und damit im Extremfall eine unendlich große Torfläche festlegen. Nun existiert aber eine Dachlattenbeschränkung von 4 m Länge. Deshalb sind die Kombinationsmöglichkeiten für die Variablen h und b beschränkt. Daraus folgt, dass hier eine Nebenbedingung mit der Gleichung 4 = 2 ⋅ h + b (Für die Übersichtlichkeit wird die Einheit Meter weggelassen) existiert. Damit gibt es stets eine Abhängigkeit zwischen den Variablen h und b und jedes gewählte h legt in der Zielfunktion A eindeutig die Variable b fest. Wegen dieser Abhängigkeit kann die Gleichung der Nebenbedingung nach h oder b umgestellt werden. Die Sprechweise dafür ist, dass die Variablen explizit getrennt werden. Die Ausgangsform der Nebenbedingung erfolgte in einer impiziten Darstellung der Variablen, d.h. beide Variablen erscheinen auf einer Gleichungsseite in einem gemeinsamen Term. Nach Trennung der Variablen in der Nebenbedingung gelingt es, in der Zielfunktion eine der Variablen - wie folgt gezeigt - zu ersetzen oder zu eliminieren. Da-

198

8.4 Lösung von Optimierungsproblemen

KAPITEL 8

mit reduziert sich dann das Extremwertproblem auf eine Extremstellenuntersuchung für eine Funktion mit einem Argument. Umstellen der Nebenbedingung nach b. 4 = 2⋅h+b⇔4–2⋅h = b Einsetzen in die Zielfunktion. A ( h, b ) = h ⋅ b ⇔ A ( h ) = h ⋅ ( 4 – 2 ⋅ h ) ⇔ A ( h ) = 4h – 2h

2

Diese nach Variablenelimination auf ein Argument reduzierte Funktion A wird nun unter Anwendung der Differentialrechnung auf Extremstellen untersucht. Für die notwendige Bedingung einer Extremstelle zunächst die 1. Ableitung bestimmen. A' ( h ) = 4 – 4h Nun die 1. Ableitung null setzen und nach h umstellen 0 = 4 – 4h ⇔ h = 1 Damit könnte h = 1 eine Extremstelle sein. Der Extremstellennachweis mit der hinreichenden Bedingung über die 2. Ableitung der Funktion A ist hier überflüssig, da der Torflächeninhalt minimal ist, wenn die Dachlatte in voller Länge von 4 Meter auf den Gartenrasen gelegt wird. Damit ist der Flächeninhalt für eine Pfostenhöhe von 1 Meter maximal. Mit der Nebenbedingung 4 – 2 ⋅ h = b beträgt die Breite der Querlatte dann 2 Meter. Der Flächeninhalt des Tors liegt dann bei 2 Quadratmetern. Insgesamt konnte so der Vater die Torfläche maximieren, aber wegen des doch gewöhnungsbedürftigen Höhen-Breitenverhältnisses seines Fußballtors das Geburtstagskind nicht so ganz überzeugen.... Allgemein erfolgt die Lösung eines Optimierungsproblems nach Variablenelimination wie oben gezeigt. Für die Optimierung eines Sachproblems wird zunächst eine Zielfunktion aufgestellt, die mit ihren Argumenten alle veränderbaren Größen des Sachproblems erfasst. Abhängigkeiten zwischen den Argumenten legen als Gleichung mindestens eine Nebenbedingung fest. Die Nebenbedingung ermöglicht die Eleminiation einer Variablen in der Zielfunktion. Denkbar sind auch mehrere Nebenbedingungen zur Elimination mehrerer Variablen in der Zielfunktion. B 19

2

Gegeben sei die Zielfunktion f mit der Gleichung f ( x, y ) = 3x – x ⋅ y . Die Variablen der 4x + 6 Funktion f hängen von der Nebenbedingung ---------------- = 2 ab. Gesucht sind mögliche Exy–2 tremstellen. Zunächst die Nebenbedingung nach y umstellen. 4x + 6 ---------------- = 2 ⇔ 4x + 6 = 2 ( y – 2 ) ⇔ … ⇔ 2x + 5 = y y–2 199

8 Differentialrechnung 2

KAPITEL 8

Einsetzen in Zielfunktion. f(x) = f(x) =

2

3x – x ( 2x + 5 ) ⇔ f ( x ) = 2

2

x – 5x ⇔ f ( x ) = ( x – 5x )

2

2

3x – 2x – 5x 1 --2

1. Ableitung nach der Kettenregel bestimmen. 1 2 f′ ( x ) = --- ( x – 5x ) 2

–1 --2

⋅ ( 2x – 5 )

„Rohling“ mit Potenzregeln umstellen. 2x – 5 f′ ( x ) = -------------------------2 2 x – 5x Für den Nachweis der notwendigen Bedingung einer Extremstelle die 1. Ableitung null setzen. 2x – 5 0 = -------------------------- ⇔ 0 = 2x – 5 ⇔ x = 2, 5 2 2 x – 5x Damit könnten x = 2,5 und nach Einsetzen in die Nebenbedingung y = 10 eine mögliche Extremstelle festlegen. B 20

200

Ein Kunsthandwerker fertigt Wanduhren und Wandleuchten. Jedes aufwändig gestaltete Produkt ist dabei ein Unikat. Der Wert W seiner Produkte hängt dabei von der eingesetzten Zeit ab und ist aus Erfahrungswerten mit der Funktionsgleichung W ( x, y ) = ln ( 2x ) + ln y bestimmbar. x legt dabei die Zeit fest, die die Fertigung und Gestaltung einer Wanduhr verbraucht. Analog beschreibt y den Zeitaufwand für eine Tischleuchte. Die natürliche Logarithmusfunktion ln ist hier für die Modellierung des Wertzuwachses geeignet, weil das Zuwachsänderungsverhalten für eine geringe Fertigungszeit größer ist, als wenn bereits viel Zeit in die Gestaltung des Produkts investiert wurde. Der Kurvenverlauf der Gleichung y = ln x Funktion ln möge dies verdeutlichen.

8.4 Lösung von Optimierungsproblemen

KAPITEL 8

Der Kunsthandwerker arbeitet pro Woche 30 Stunden und fertigt in dieser Zeit genau eine Wanduhr und eine Tischleuchte. Die Zeit soll so auf die Produkte verteilt werden, dass der Wert maximiert wird. Zunächst legt hier die Funktion W die Zielfunktion des Extremwertproblems fest. Die Nebenbedingung folgt mit 30 = x + y aus der Wochenzeitbeschränkung. Nebenbedingung nach y umstellen. 30 – x = y und in Zielfunktion W einsetzen. W ( x ) = ln ( 2x ) + ln ( 30 – x ) Als notwendige Bedingung für eine Extremstelle x E gilt W′ ( x E ) = 0 . Daraus folgt mit der Ableitung von W nach x nach der Kettenregel: 1 1 1 ------ ⋅ 2 + --------------- ⋅ ( – 1 ) = 0 ⇔ 1 --- – --------------- = 0 2x 30 – x x 30 – x 30 – x – x ---------------------------- = 0 ⇔ 30 – 2x = 0 ⇔ x = 15 x ⋅ ( 30 – x ) Nach Einsetzen von x = 15 in die Nebenbedingung könnte die Stelle E(15; 15) ein Extremum festlegen. Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle x E ist erfüllt, wenn die 2. Ableitung W’’ ungleich null ist. 2 30 – 2x – 2 ⋅ ( 30x – x ) – ( 30 – 2x ) ⋅ ( 30 – 2x -) W′ ( x ) = --------------------2- ⇔ W′′ ( x ) = ----------------------------------------------------------------------------------------------2 2 30x – x ( 30x – x )

201

KAPITEL 8

8 Differentialrechnung 2

2

2

– 2 ⋅ ( 30x – x ) – ( 30 – 2x ) W′′ ( x ) = --------------------------------------------------------------------2 2 ( 30x – x ) Daraus folgt für x = 15 – 450 W′′ ( 15 ) = -------------2- < 0 225 Damit legt die Stelle x = 15 ein Maximum fest. Für den Kunsthandwerker ergibt sich ein maximaler Wertzuwachs, wenn er jeweils 15 Stunden Zeit in eine Wanduhr und eine Wandleuchte investiert.

8.4.2

Multiplikatorregel nach Lagrange

Als Alternative zur Variablenelimination wird dieser Lösungsansatz für Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen anhand dem obigen Beispiel 20 eingeführt. Es gilt die Zielfunktion W ( x, y ) = ln ( 2x ) + ln y und die Nebenbedingung 30 = x + y . Die Zielfunktion W wird um eine weitere Zahlenvariable λ wie folgt erweitert. W L ( x, y, λ ) = ln ( 2x ) + ln y – λ ⋅ 0 Insgesamt wurde W um eine Null erweitert. λ heißt Lagrangefaktor und W L Zielfunktion nach Lagrange. Nach Umstellen der Nebenbedingung 30 = x + y in die Form 0 = x + y – 30 kann die Null in der Zielfunktion nach Lagrange durch den rechen Term der Nebenbedingung ersetzt werden. Damit gilt: W L ( x, y, λ ) = ln ( 2x ) + ln y – λ ⋅ ( x + y – 30 ) Die Funktion W L wird nun auf Extremstellen untersucht. Dafür werden zunächst die partiellen Ableitungen nach den nun drei Variablen gebildet. ∂W L ( x, y, λ ) ------------------------------- = 1 --- + 0 – λ ⋅ ( 1 + 0 – 0 ) = 1 --- – λ ∂x x x ∂W L ( x, y, λ ) 1 ------------------------------- = --- – λ ∂y y ∂W L ( x, y, λ ) ------------------------------- = – 1 ⋅ ( x + y – 30 ) ∂λ Die partiellen Ableitungen null setzen und das Gleichungssystem lösen. 1 1 --- – λ = 0 ⇔ --- = x λ x 1 1 II --- – λ = 0 ⇔ --- = y λ y 1 1 III x + y – 30 = 0 ⇔ --- + --- – 30 = 0 λ λ I

202

8.4 Lösung von Optimierungsproblemen

III

KAPITEL 8

2 2- = ----1--- – 30 = 0 ⇔ … ⇔ λ = ----λ 30 15

In I und II einsetzen. 1 = x ⇔ x = 15 I -----1----15 1 = y ⇔ y = 15 II -----1----15 Damit ergibt sich auch hier wie beim Ansatz der Variablenelimination der maximale Wertzuwachs für x = 15 und y = 15. Allgemein gilt für eine Zielfunktion f mit f ( x 1, …, x n ) = z und den Nebenbedingungen N 1, …, N m die Zielfunktion f L nach Lagrange mit der Gleichung f L ( x 1, …, x n, λ1, …, λ m ) = z z = f ( x 1, …, x n ) + λ1 ⋅ N 1 ( x 1, …, x n ) + … + λ ⋅ N m ( x 1, …, x n ) Die Nebenbedingungen sind dabei Funktionsgleichungen des Typs N 1 ( x 1, …, x n ) = 0 , ... , N m ( x 1, …, x n ) = 0 . B 21

2–x

Gegeben seien die Zielfunktion f mit der Gleichung f ( y, x ) = y ⋅ e und die Nebenbedingung x + y = 1 . Zu untersuchen ist die Funktion in Abhängigikeit der Nebenbedingung auf mögliche Extremstellen. Aus der Funktion f und der Nebenbedingung folgt die Lagrangegleichung f L ( y, x, λ ) = y ⋅ e

2–x

– λ(x + y – 1)

f L partiell differenzieren. ∂f L ( x, y, λ ) 2–x –λ --------------------------- = – y ⋅ e ∂x Die Ableitung der Exponentialfunktion erfolgte nach der Kettenregel. Dabei hat die innere Funktion 2 – x die Ableitung –1. ∂fL ( x, y, λ ) 2–x --------------------------- = e –λ ∂y ∂f L ( x, y, λ ) --------------------------- = – x – y + 1 ∂λ Partielle Ableitungen null setzen und das Gleichungssystem lösen. I

0 = –y⋅e

2–x

–λ⇔λ = –y⋅e

2–x

203

8 Differentialrechnung 2

KAPITEL 8

II

0 = e

2–x

–λ⇔λ = e

2–x

III 0 = – x – y + 1 Rechte Terme von I und II gleichsetzen. –y⋅e

2–x

= e

2–x

⇔ y = –1

Lösung in III einsetzen. 0 = – x – ( –1 ) + 1 ⇔ x = 2 Damit könnten x = 2 und y = –1 eine Extremstelle festlegen.

8.5

Ökonomische Anwendung

8.5.1

Gewinnoptimales Produktionsprogramm

In einem Unternehmen werden die Produkte A, B, C in den Mengen a, b, c gefertigt. Für den Gewinn G in € gilt die Gleichung 1 2 2 3 2 G ( a, b, c ) = – a + 90a – --------- b – c – 1200a + 16b + 40c – 3900 100 Gesucht ist das Produktionsprogram mit maximalem Gewinn. Dafür alle partiellen Ableitungen null setzen. 2 2 ∂G ( a, b, c ) --------------------------- = – 3a + 180a – 1200 = 0 ⇔ a = 52, 36 ∨ a = 7, 64 ∂a 1 ∂G ( a, b, c ) --------------------------- = – ------ b + 16 = 0 ⇔ b = 800 50 ∂b ∂G ( a, b, c ) --------------------------- = – 2c + 40 = 0 ⇔ c = 20 ∂c

Die beiden Lösungen der Variablen a werden zu a = 52 oder a = 8 ab- bzw. aufgerundet. Vergleiche den Gesamtgewinn in Abhängigkeit der beiden Lösungen für a. Es gilt: G ( 52, 800, 20 ) = 43252 und G ( 8, 800, 20 ) = – 1752 Damit ist der Gewinn für die Produktionskombination A, B, C mit a = 52, b = 800 und c = 20 Einheiten maximal. Der maximale Gewinn beträgt 43252 €.

8.5.2

Materialminimierung

Man stelle sich vor, die EU plane eine Verordnung mit dem Ziel der Materialverbrauchsminimierung für Gebrauchsgegenstände des täglichen Bedarfs. Dafür könnte eine aus Mitgliedern aller 204

8.5 Ökonomische Anwendung

KAPITEL 8

EU-Staaten zusammengesetzte Kommission eine Trinkglasnorm so festlegen, dass der Oberflächenmaterialverbrauch minimiert wird. Denkbar wäre auch, dass nach einem längeren Verhand3 lungsmarathon sich die Kommission auf einen Inhalt von 314cm für das Eurotrinkglas einigt. Weitere zähe Verhandlungen könnten zum Konsens für den Zylinder als Glasgrundform führen.

r

h

Gesucht ist ist nun die Höhe h und der Radius r des Zylinders so, dass der Oberflächenverbrauch minimiert wird. Für den Zylindermantel M gilt die Flächenformel M = 2π ⋅ r ⋅ h . Für den Glasboden gilt die 2 Kreisflächenformel K mit K = π ⋅ r . Damit gilt für die Glasoberfläche O als Zielgleichung der Optimierung die Funktionsgleichung 2

O ( h, r ) = M + K ⇔ O ( h, r ) = 2π ⋅ r ⋅ h + π ⋅ r . Für die wählbaren Radien r und Höhen h gilt die Nebenbedingung, die das Volumen V des Zylin3 ders festlegt. Mit dem festen Glasvolumen V = 314 cm gilt 2

314 = π ⋅ r ⋅ h . Für den Lösungsansatz der Variablenelimination wird die Nebenbedingung nach h umgstellt und anschließend in die Zielfunktion O eingesetzt. 314 2 314 = π ⋅ r ⋅ h ⇔ -----------2- = h π⋅r Nach Einsetzen in O folgt die Gleichung der Zielfunktion 2 314- + π ⋅ r 2 ⇔ O ( r ) = 628 --------- + π ⋅ r O ( r ) = 2π ⋅ r ⋅ ----------2 r π⋅r

205

KAPITEL 8

8 Differentialrechnung 2

Zielfunktion differenzieren und null setzen. --------+ 2π ⋅ r ⇒ 0 = – 628 --------+ 2π ⋅ r O′ ( r ) = – 628 2 2 r r 3 628 = 2π ⋅ r ⇔ 628 --------- = r 3 ⇔ 3 628 ----------------- = 3 r ⇔ r = 4, 64 2 2π 2π r Damit beträgt der Radius r = 4,64 cm. Nach Einsetzen in die Nebenbedingung folgt die Höhe h mit h = 4,64 cm. Damit hätte das Oberflächenmaterialminimerte Trinkglas einen Durchmesser von 9,28 cm und eine Höhe von 4,64 cm.

Da unsere Trinkgläser zur Zeit noch nicht diesem gewöhnungsbedürftigen Höhen- Grundflächenverhältnis entsprechen, gab es offensichtlich noch keine entsprechenden EU-Überlegungen.

8.6 8.1

8.2

Fragen und Aufgaben Bestimmen Sie jeweils die Elastizitätenfunktion ε in einfacher Form. 2

a)

f( x) = x – x

b)

f ( x ) = 4x – 2x

c)

f ( x ) = 4x ⋅ sin ( x )

d)

4x f ( x ) = ---------------2x – 1

3

2

1 Gegeben sei die Preisabsatzfunktion p mit der Gleichung p ( x ) = 20 – --------- x . Bestimmen 200 Sie die Elastizität der Nachfrage für die Preise p = 4, p = 16 und für den Preis der umsatzmaximalen Absatzmenge.

8.3

206

Bestimmen Sie unter Anwendung geeigneter Regeln der Differentialrechnung die 1. Ableitung der folgenden Funktionsgleichungen. 2

a)

f ( x ) = ( x – 4x + 2 ) ⋅ sin ( x )

b)

f ( x ) = sin ( x ) ⋅ cos ( x )

c)

f(x) = x ⋅ e

d)

f(x ) = (x – x ) ⋅ e

e)

f ( x ) = ( 4x + x ) ⋅ ln ( x )

f)

f ( x ) = sin ( 4x + 2 )

g)

f ( x ) = ln ( 3x – 6x )

2

4

x

2

x

2

4

2

8.6 Fragen und Aufgaben

h)

f(x ) = e

4x – 8

i)

f( x) =

x – 4x

j)

x – 4f ( x ) = --------------2x + 6 2x – 1 f ( x ) = ----------------------

k)

8.4

8.5

KAPITEL 8

2

2

2

l)

( 4x + 2 ) ln ( 4x ) f ( x ) = -------------------------ln ( 2x – 4 )

m)

k ( r ) = ( 4r – t ) ⋅ e

n)

α ( m ) = ( 1 – m ) ln ( m + 1 )

o)

s( k) =

2r + t

2

4

2

ln ( 4k – 2k )

Differenzieren Sie die folgenden Gleichungen partiell nach allen Variablen. 3

2

2

4

a)

f ( x, y ) = x – 4y + x ⋅ y – 2

b)

f ( x, y, z ) = x ( 2y – 4z ) + x ⋅ y ⋅ z

c)

f ( x, y ) = ln ( x ⋅ y – 4x + 2y )

d)

u + 4k k ( u, v ) = ----------------2 k + 2k

e)

r ( s, t ) = ( s + t ) ⋅ e

4s – t + s ⋅ t

Gegeben sei die Funktionsgleichung

3

2

f ( x, y ) = x – 4x + 4x ⋅ y – 4y

2

.

a) Untersuchen Sie die Funktion auf Extremstellen. b) Nun sei zusätzlich die Nebenbedingung 1 = x – y gegeben. Untersuchen Sie unter Anwendung der Variablenelimination die Funktion auf Extremstellen. 8.6

Untersuchen Sie die Funktion f mit der Gleichung f ( u, v ) = ln ( u ⋅ v – 4v + 6u ) mögliche Extremstellen (ohne hinreichende Bedingung).

8.7

Gegeben sei die Nutzengleichung N mit N ( u, v ) = ln ( u ⋅ v ) . u, v sind dabei Einsatzgrößen, die den Nutzen positiv oder negativ ändern. Für die Einsatzgrößen gilt die Nebenbedingung u + 2v = 10 . Maximieren Sie den Nutzen unter Anwendung der Methode nach Lagrange.

8.8

Frau K. hat sich eine neue Kasserolle gekauft. Der Topf hat laut Herstellerangaben einen Durchmesser von 14 cm, eine Höhe von 6,5 cm und ein Fassungsvermögen von ca 0,9 Liter. Untersuchen Sie, ob der Topf für das Fassungsvermögen näherungsweise oberflächenminimal gestaltet wurde.

auf

207

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

9

Lineare Algebra

9.1

Einordnung

Die Lineare Algebra ist ein Teilgebiet der allgemeinen Algebra. Das wesentliche Trennmerkmal der Linearen Algebra zur Nichtlinearen Algebra verdeutlichen die Kurveneigenschaften der folgenden Gleichungen mit 2 Variablen x und y 2

2

(1)

x +y = 9

(2)

x+y = 3

(2)

y 3

(1)

3

x

Die Kurve der 1. Gleichung ist ein Kreis. Damit ist der Graph nicht linear. Die 2. Gleichung erzeugt eine Gerade. Geraden sind stets Graphen linearer Funktionen (Kapitel 5.2). Die Variablen der Kreisgleichung bestimmen Potenzen 2. Ordnung, die der Geraden Potenzen 1. Ordnung.1 Variablen wie 3

z. B. a, b, c heißen linear. Terme wie x2 , x ⋅ y , 9 – x nicht linear. Die Graphen nicht linearer Gleichungen sind stets Kurven. B1

Ein Straßenhändler für Modeschmuck verkauft Ketten für 18 €, Ringe für 8 € und Armreifen für 12 €. Der Tagesumsatz U folgt für die Absatzmengen k, r, a der Ketten, Ringe und Armreifen aus der Gleichung U = 18k + 8r + 12a Diese Gleichung ist linear. Ein konkretes Umsatzbeispiel könnte (wenn es mal nicht so gut läuft mit dem Geschäft) U = 0 für die Absatzmengen k = 0, r = 0, a = 0 sein.

B2

Eine Kapitalverzinsung über mehrere Jahre (Kapitel 5.6.3) entwickelt sich in Abhängigkeit der Zeit nicht linear, da das Kapitalwachstum aus einer Potenz höherer Ordnung folgt. Das Wachstum bedingt eine progressiv steigende Kurve. 1

1 Für eine Variable gilt dann a = a . Der Exponent ist 1 und wird in der Regel nicht mitgeschrieben.

208

9.2 Matrizen und Vektoren

B3

KAPITEL 9

Für den Flächeninhalt z eines Rechtecks mit den Kantenlängen x und y gilt z = x ⋅ y . Der Flächeninhalt entwickelt sich in Abhängigkeit der linearen Variablen x und y als Produkt nicht linear. Das Bild ist eine Raumkurve. x⋅y z

y

x Zum besseren Verständnis der Raumdarstellung kann die Buchseite an der oberen Ecke ein wenig angehoben werden. Das erzeugt ebenfalls eine Raumkurve. Vereinbarung: In den folgenden Kapiteln werden Variablen und ihre Verknüpfungen stets in linearer Form betrachtet.

9.2

Matrizen und Vektoren

9.2.1

Grundlegendes

B4

Hinführendes Beispiel: Ein Produzent für Kunststoffbauteile lässt diese in China (C) und Tschechien (T) fertigen. Vertrieben werden die Bauteile für den Deutschen Markt aus 3 Zentrallagern in Hamburg 209

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

(H), München (M) und Leipzig (L). C liefert periodisch nach L 5000, nach M 8000 und H 3000 Teile. T liefert nach H 0, nach L 1000 und M 2000 Teile. Die gegebene Beschreibung der Verteilung ist in einem nach Zeilen und Spalten geordneten rechteckigen Zahlenschema übersichtlich darstellbar. Hamburg

Leipzig

München

China

3000

5000

8000

Tschechien

0

1000

2000

Die Tabelle der Zahlen ist ein Beispiel für eine Matrix mit 2 Zeilen und 3 Spalten.

3000 5000 8000 0 1000 2000

D1 Eine rechteckige Anordnung von Zahlen in m Zeilen und n Spalten heißt m x n -Matrix A (Sprechweise m Kreuz n Matrix A). m, n sind Zahlen wie 1, 2, 3, 4, .... und bestimmen die Ordnung der Matrix. Schreibweise:

a 11 a 12 … a1j … a1n a 21 a 22 … a2j … a2n A =

… … … … … … ai1 a i2 … a ij … a in … … … … … … a m1 a m2 … a mj … a mn

Die Indizierung1 der Matrixelemente legt die Zeilen- und Spaltenposition des Elements fest. Die linke Indexzahl bestimmt die Zeilen-, die rechte Indexzahl die Spaltenposition. In der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht das Element aij . Für das Beispiel gilt

1 Gemeint sind die tiefergestellten Zahlen 11 bis mn.

210

9.2 Matrizen und Vektoren

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23

KAPITEL 9

= 3000 5000 8000 0 1000 2000

a23 = 2000 ist z. B. das Element, das in der 2. Zeile und 3. Spalte steht. Die Sprechweise ist a zwei drei - nicht a dreiundzwanzig! Die Pünktchen ... in der Matrix geben in dieser allgemeinen Form an, dass die Matrix beliebig viele Zeilen – genau m – und Spalten – genau n – festlegt. Mathematisch abstrakt sind folgende Kurzschreibweisen für m x n- Matrizen üblich: A, B, C, ... oder Amn, Bmn, ... Bemerkung: In einer Tabellenkalkulation wie z.B. Excel bestimmt jede Zelle ein Element einer Matrix. D2 Eine einzeilige Matrix heißt Zeilenvektor und eine einspaltige Matrix Spaltenvektor. a = a1 a 2 a 3 a1

a = a2 a3

Die abstrakte Schreibweise für Vektoren sind kleine Buchstaben a, b, c ... B5

Die Verkaufsmengenzahlen k, r, a des Straßenhändlers aus B1 definieren den Zeilenvektor v mit v = (k r a) . Die Preise für Ketten Ringe und Armbänder könnten als Spaltenvektor p mit

18 dargestellt werden. 8 = p 12

Das Minimalmodell einer Matrix ist eine 1 x 1 - Matrix, also eine einelementige Matrix. Diese Matrix wird durch jede beliebige Zahl k festgelegt. Im Zusammenhang mit Matrizen heißt k Skalar. D3 Das Element k einer 1 x 1 Matrix heißt Skalar.

211

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

Für das weitere Verständnis der Linearen Algebra sind Matrizen von fundamentaler Bedeutung. Sie sind vergleichbar mit der Bedeutung von Funktionen f mit f(x) = y in der Analysis. Ohne Funktionen sind z. B. Anwendungen der Differentialrechnung schwer vorstellbar.

9.2.2

Verknüpfungen

In der Algebra werden Terme wie a + a + a unter Anwendung von Gesetzen (Axiomen) vereinfacht. Es gilt

a + a + a = 1a + 1a + 1a = (1 + 1 + 1 )a = 3a.

In diesem Fall wurde der Term unter Anwendung des Distributivgesetzes k(a + b) = ka + kb für alle Zahlen a, b, k vereinfacht. Das Gesetz (Axiom) regelt das Setzen und Auflösen von Klammern. Mit folgenden Definitionen und Regeln werden entsprechend die Verknüpfungen für Matrizen und Vektoren eingeführt. Diese sind für ökonomische Anwendungen wesentlich und rationalisieren den Umgang mit Tabellenkalkulationen erheblich. D4 Für alle m x n - Matrizen A, B heißt A+B = C⇔ a 11 … a 1n … a m1 … a mn

a 11 + b11 … a 1n + b 1n b11 … b 1n + … … … = … … … bm1 … bmn a m1 + bm1 … amn + b mn

Addition der Matrizen A und B. Die Summe C ist ebenfalls eine m x n - Matrix. B6 2 3 + 6 –3 = 2 + 6 3 + ( –3 ) = 80 54 –7 5 5 + ( –7 ) 4 + 5 –2 9 B7 k+1 2– k + 1 + 4k = k 4 – 2k 3k – 5

(k + 1) + (2 – k) 3 = 5k + 1 k + ( 1 + 4k ) ( 4 – 2k ) + ( 3k – 5 ) k–1

Die Klammern in der ersten Summenmatrix folgen aus dem Assoziativgesetz (a + b) + c = a + (b + c) für Zahlen a, b, c. Bemerkung: Die Matrizenaddition ist assoziativ. Es gilt für alle Matrizen A, B, C gleicher Ordnung: (A + B) + C = A + (B + C)

212

9.2 Matrizen und Vektoren

KAPITEL 9

B8 ⎞ ⎛ 23 + 10⎟+ 21 = 3 3 + 21 = 5 4 ⎜ ⎝ 41 9 7 32 6 5 32 24⎠ und 2 3 +⎛ 1 0 + 2 1 ⎞ = 2 3 + 3 1 = 5 4 ⎟ ⎜ 4 1 ⎝ 24 32⎠ 9 7 4 1 56 führt zur identischen Lösung. Die Klammern gliedern bei der Addition den Term und können auch weggelassen werden. B9 Gegeben seien die Vektoren a = 2 42 und

5 b = 6 7 Vektor a beschreibt für einen Geschäftstag Absatzmengen des Straßenhändlers aus B1 Kapitel 8.1. Er verkaufte demnach 2 Ketten, 4 Ringe und 2 Armbänder. Vektor b gibt analog Auskunft über die Absatzmengen seiner Frau. Sie verkaufte 5 Ketten, 6 Ringe und 7 Armbänder. Die gemeinsame Absatzmenge für Ketten, Ringe und Armbänder sollte aus der Summe der Vektoren a + b folgen. Nun ergibt sich hier folgendes Problem. 5 a+b = 2 4 2 + 6 7 Die Summe ist nach D 1 nicht definiert, da der Zeilenvektor als Spezialfall einer 3x1-Matrix nicht mit dem Spaltenvektor b einer 1x3-Matrix addierbar ist. Zweifellos sind die Gesamtabsatzmengen bestimmbar. Es wurden z. B. zwei und fünf Ketten verkauft. Die Summe ergibt eindeutig 7 Ketten. Lösung des Problems: Spaltenvektor b wird so in einen Zeilenvektor b T transformiert, dass die Summen der Vektorelemente eindeutig die Absatzmengen für Ketten, Ringe und Armbänder festlegen. Mit diesem Ansatz gilt: T

a + b = 2 4 2 + 5 6 7 = 7 10 9

213

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

Aus dem Summenvektor folgt mit 7 Ketten, 10 Ringen und 9 Armbändern der Gesamtabsatz. Die wie zuvor beschriebene Transformation eines Spaltenvektors in einen Zeilenvektor oder umgekehrt Zeilen- in Spaltenvektor wird als Transponieren des Vektors bezeichnet. D5 Für alle Vektoren v mit n Elementen heißt vT oder v’ der transponierte Vektor des vVektors, falls gilt a1 T v = a 1 … an ⇔ v = … an

Auch bei der Addition von Matrizen A und B kann es vorkommen, dass sie wie im letzten Beispiel aussagenlogisch zusammenpassen, aber wegen der Anordnung der Zeilen- und Spaltenvektoren nicht addierbar sind. B 10

Ein Textilproduzent lässt saisonal in zwei Werken W1 (Istanbul), W2 (Mailand) hochwertige Badehosen (Ba) und Bikinis (Bi) fertigen. Jedes produzierte Teil wird nach den Gütekriterien perfekte A-Ware, mit Preisnachlass verkaufbare B-Ware und unverkäufliche C-Ware in den Werken beurteilt. Für eine Übersicht der Bi-Ba-Produktionsmengen nach Klassen wählen die Werke unabhängig folgende Tabellendarstellungen. Werk W1 Ba

Bi

A

6012

18142

B

672

3560

C

97

357

Werk W2 A

B

C

Ba

4312

452

63

Bi

12143

2112

197

Wegen der vertauschten Zeilen- und Spaltenfestlegung nach Qualität und Produkt ist die Summe der daraus resultierenden Zahlenmatrizen nicht definiert. Die Matrizen sind als 2x3 und 3x2 - Matrizen für die Addition nicht kompatibel. Allerdings können die Vektoren der 2x3- Matrix W2 nach D 2 in eine 3x2-Matrix W2T transponiert werden.

214

9.2 Matrizen und Vektoren

W1 + W2 =

KAPITEL 9

6012 18142 4312 452 63 672 3560 + 12143 2112 197 97 357

Die Summe ist nicht definiert. Transponiere

W2 =

4312 452 63 ⇔ W2 T = 12143 2112 197

4312 12143 452 2112 63 197

Der Zeilenvektor der 1. Zeile wird 1. Spaltenvektor und analog der 2. Zeilenvektor zum 2. Spaltenvektor der transponierten Matrix. Mit der transponierten Matrix W2T ist die Summe

T

W1 + W2 =

6012 + 4312 18142 + 12143 10424 30285 672 + 452 3560 + 2112 = 1124 5672 97 + 63 357 + 197 160 554

D6 Für alle m x n - Matrizen A mit a 11 a 12 … a1n A =

a 21 a 22 … a2n … … a ij … a m1 a m2 … a mn

heißt die m x n - Matrix A T die transponierte Matrix von A. a 11 a 21 … a m1 T

A =

a 12 a 22 … a m2 … … a ji … a1n a2n … a mn

215

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

Die Matrixelemente in der Hauptdiagonalen1 a 11 … … … A =

… a 22 … … … … a 33 … … … … …

bleiben beim Vertauschen der Zeilen und Spalten fest oder fix2. B 11 1 A = 5 9 13

2 6 10 14

3 7 11 15

4 15 8 ⇔ AT = 2 6 12 37 16 48

9 10 11 12

13 14 15 16

Fixelemente sind hier die Hauptdiagonalenelemente 1, 6, 11 und 16. Bemerkung: Die Elemente der Matrixdiagonale von Nord-Ost nach Süd-West legen die Nebendiagonale fest. Im Beispiel sind dies für Matrix A die Elemente 4, 7, 10 und 13. Folgend wird eine Vereinbarung eingeführt, die die Addition von identischen Matrizen vereinfacht. Dazu folgendes Beispiel: B 12

Die Tochter unseres bereits bekannten Straßenhändlers für Modeschmuck fertigt täglich 5 Ketten, 12 Ringe und 7 Armbänder. Dies entspricht pro Tag dem Fertigungsmengenvektor m mit 5 m = 12 7 Eine Wochenproduktion über 5 Werktage folgt aus der Vektorsumme m + m + m + m + m. Dieser umständliche Ansatz ließe sich für eine 1x1-Matrix in die einfache Variante 5m vereinfachen. Wird der m-Vektor zerlegt in drei 1x1-Matrizen gilt für die Wochenproduktion w: 5 5⋅5 25 w = 5m = 5 12 = 5 ⋅ 12 = 60 7 5⋅7 35

Dieser Ansatz entpricht der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.

1 Matrixelemente der Diagonalen von Nord-West nach Süd-Ost. 2 Elemente, die beim Transponieren die Lage in der Matrix beibehalten heißen Fixelemente.

216

9.2 Matrizen und Vektoren

KAPITEL 9

D7 Gegeben seien ein Vektor v und ein Skalar s. Dann heißt

s⋅v = s⋅

v1

s ⋅ v1

v2

s ⋅ v2

=

… vn

… s ⋅ vn

S-Multiplikation des Vektors v mit dem Skalar s. B 13 2 10 5 – 3 = – 15 0 0 Für Zeilenvektoren gilt analog: B 14 4 ⋅ 2 – 3 5 = 8 – 12 20 Die S-Multiplikation wird vektorweise in die Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar s übertragen. D8 Für alle Matrizen und Skalare s heißt

sA = s

a 11 a 12 … a 1n

s ⋅ a 11 s ⋅ a 12 …

s ⋅ a 1n

a 21 a 22 … a 2n

s ⋅ a 21 s ⋅ a 22 …

s ⋅ a 2n

… … a ij … a m1 … … a mn

=

…

…

s ⋅ am1

…

s ⋅ a ij

…

… s ⋅ a nm

S-Multiplikation von A mit s

217

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

B 15

Ein Unternehmen verkauft seine Produkte P1, P2 und P3 in 3 Regionen R1, R2, R3 zu Preisen, die den regionalen Marktverhältnissen angepasst wurden. P1

P2

P3

R1

12 €

8€

10 €

R2

11 €

8€

11 €

R3

14 €

9€

12 €

Die Preise der Produkte werden linear in allen Regionen um 10 % erhöht. Dann folgen die Preise nach Preiserhöhung aus der S-Multiplakation der gegebenen Preismatrix mit dem Skalar 1,11 12 8 10 13,2 8, 8 11 1,1 11 8 11 = 12,1 8, 8 12,1 14 9 12 15, 4 9, 9 13,2 B 16

Der folgende Vektor legt die Stundenverteilung fest, die ein schneller Zentralrechner vier Forschungseinrichtungen einer Universität pro Tag (24 Stunden) im Idealfall zur Verfügung steht. g 8268

Der Skalar g beschreibt die tatsächliche Verfügbarkeit in Abhängigkeit der Systemstabilität des Rechners. Im Idealfall ist g = 1 also 100 %. Mit g = 0, 5 steht der Rechner den Abteilungen nur jeweils 50 % der Vorgabezeit zur Verfügung. Für einen Totalausfall des Rechners ist g = 0 . Dann folgt für die Rechnerstunden der Abteilungen:

0⋅ 8 2 6 8 = 0⋅8 0⋅2 0⋅6 0⋅8 = 0 0 0 0 D9 Ein Vektor v0 heißt Nullvektor, wenn alle Vektorelemente null sind. Eine Matrix M0 heißt Nullmatrix, wenn alle Zeilen- und Spaltenelemente null sind. B 17

Die folgende Matrix beschreibt die Produktionsmengen für 4 Automobiltypen (Geländewagen, Cabriolet, Kombi, Van), die in 3 Werken (Deutschland, Spanien, Tschechien) produziert werden. Dann bestimmt die Nullmatrix

1 100 % + 10 % = 1,1.

218

9.2 Matrizen und Vektoren

0 0 0 0

0 0 0 0

KAPITEL 9

0 0 0 0

die Produktionsmengen für Spezialfälle wie Werksferien, Generalstreik oder Konkurs. Für alle m x n -Matrizen folgt aus der Definition von Addition und S-Multplikation: R1 Subtraktion von Matrizen A – B = A + ( – 1 )B

R2 Kommutativität und Assoziativität A +B = B+A

A + (B + C) = (A + B ) + C

R3 Distributivität mit Skalaren r, s

r ( A + B ) = rA + rB und

( r + s )A = rA + sA

B 18

Gegeben seien die Matrizen A, B mit A =

2 –1 3 0

Bestimme:

und B =

1 4 2 –2

2A – B + 3 ( A – B ) 219

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

Die Berechnung erfolgt nach Termvereinfachung unter Anwendung der Regeln R1 bis R3 2A – B + 3 ( A – B ) = 2A – B + 3A – 3B = 2 A + 3A – B – 3B = 5A – 4B = 5 2 – 1 – 4 1 4 = 10 – 5 – 4 16 = 6 – 21 7 8 15 0 8 –8 2 –2 3 0 Das folgende Beispiel motiviert zur Definition einer allgemeinen Multiplikation A ⋅ B zwischen Matrizen A und B. Die Matrizenmultiplikation wird über folgende Verknüpfungen eingeführt: – Produkt zweier Vektoren – 1. Fall – Produkt aus Matrix und Vektor – 2. Fall – Produkt zweier Matrizen – 3. Fall 1. Fall – Produkt zweier Vektoren B 19

Der Textilproduzent aus B 5 vertreibt als A-Ware Badehosen zu 69 € und Bikinis zu 96 €. BWare wird im Fabrikverkauf für 39 € und 58 € angeboten. Insgesamt konnten bis zum Spätsommer einer Saison 2113 A-Badehosen, 452 B-Badehosen, 8212 A-Bikinis und 1624 B-Bikinis verkauft werden. Gesucht ist der Gesamtumsatz U der A- und B-Ware. Für den Gesamtumsatz U(A-Ware) gilt: U ( A – Ware ) = 2113 ⋅ 69 + 8212 ⋅ 96 = 934149 Der Gesamtumsatz von 934149 € folgt aus einer Verknüpfung des Absatzmengenvektors x = mit dem Preisvektor p =

2113 8212 69 . 96

Wegen der Multiplikation der Vektorelemente und Addition der Produkte sei vereinbart: D 10 Für alle Vektoren a, b n-ter – also identischer – Ordnung heißt b1 a ⋅ b = a1 a 2 … a n ⋅

b2 … bn

= a1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b2 + … + an ⋅ b n

Skalarprodukt der Vektoren a und b. Grundsätzlich ist der linke Faktor ein Zeilen- und der rechte Faktor ein Spaltenvektor. Die Multiplikation aus Zeilen und Spaltenvektor ist nicht kommutativ. Es gilt a ⋅ b ≠ b ⋅ a.

220

9.2 Matrizen und Vektoren

KAPITEL 9

b1

Bemerkung: Das Skalarprodukt b ⋅ a = … ⋅ a 1 … a n erzeugt eine Matrix. Dies wird später gezeigt.1 bn Der Umsatz U(B-Ware) folgt mit D 10 aus dem Skalarprodukt 39 = 452 ⋅ 39 + 1624 ⋅ 58 = 111820 452 1624 ⋅ 58 Der Umsatz mit B-Ware beträgt 111820 €. Bemerkung: Weil die Lösung als 1 x 1 - Matrix ein Skalar ist, heißt das Produkt Skalarprodukt. B 20

Handelsketten bieten in der Regel in ihren Märkten tausende Artikel wie Milch, Rasierklingen, Wäscheklammern, Trittleitern, Käse usw. an. Der Tagesumsatz U einer Filiale folgt aus dem Skalarprodukt des Mengenabsatzvektors x mit Preisvektor p. Die Berechnung könnte mit einer Tabellenkalkulation2 unter Anwendung des Befehls Matrizenmultiplikation erfolgen.

2. Fall – Produkt einer Matrix mit einem Vektor B 21

3 Handelsvertreter h1, h2, h3 vertreiben 4 Produkte p1, p2, p3, p4 eines Werkzeugmaschinenproduzenten. Matrix M beschreibt in den Zeilenvektoren die Absatzzahlen der 3 Handelsvertreter mit den 4 Produkten. 4023 M = 5135 8659 Vektor p gibt mit seinen Elementen Auskunft über die Preise der Werkzeugmaschinen in €. 240 p = 860 530 380 Der Umsatz, den der Produzent mit jedem Handelsvertreter erzielt, folgt aus dem Skalarprodukt der Zeilenvektoren der Matrix M mit dem Preisvektor p. Die 3 Umsatzzahlen der Handelsvertreter bestimmen einen Umsatzvektor u. Es gilt

1 Vielen Leserinnen und Lesern ist das Skalarprodukt aus Verschiebungsvektoren (Pfeilvektoren) bekannt. Koordinaten dieser Vektoren sind Spaltenvektoren. Diese werden als Spaltenvektoren skalar multipliziert. Hier gibt es keine Konflikte mit Zeilenvektoren. 1 4 u ⋅ v = 3 ⋅ 5 = 4 + 15 + 14 = 33 2 7 2 In Excel ist dies der Befehl MMULT.

221

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

24 40 23 M ⋅ p = 5 1 3 5 ⋅ 86 = 53 86 59 38

4 ⋅ 24 + 0 ⋅ 86 + 2 ⋅ 53 + 3 ⋅ 38 5 ⋅ 24 + 1 ⋅ 86 + 3 ⋅ 53 + 5 ⋅ 38 8 ⋅ 24 + 6 ⋅ 86 + 5 ⋅ 53 + 9 ⋅ 38

Die rechte Matrix wird vereinfacht zum Umsatzvektor u mit u =

316 555 1315

Der Umsatz mit Handelsvertreter h1 beträgt 316 €, mit h2 555 € und mit h3 1315 €. Diese Lösung ist sicher auch „irgendwie“ bestimmbar und erfordert nicht zwingend den Ansatz eines Matrix-Vektorproduktes. Allerdings gibt es auch hier eine Fülle von Praxisanwendungen mit tausenden von Matrixelementen, die dann einfach mit einem endlos langen Vektor in einer Tabellenkalkulation vergleichbar verknüpfbar sind. R4 Gegeben seien eine m x n Matrix A und ein Vektor v n-ter Ordnung. Spaltenzahl der Matrix und Ordnung des Vektors sind damit identisch. Dann gilt: a11 a 12 … a 1n

v1

a21 a 22 … a 2n

v2

… … … … a m1 am2 … a mn

⋅

… vn

a11 ⋅ v1 + a12 ⋅ v2 + … + a1n ⋅ vn =

a21 ⋅ v1 + a22 ⋅ v2 + … + a2n ⋅ vn … a m1 ⋅ v 1 + a m2 ⋅ v2 + … + a mn ⋅ vn

Die Spaltenzahl der Matrix und die Ordnung des Vektors sind identisch, da sonst die Skalarprodukte der Matrixzeilenvektoren mit dem v-Vektor nicht definiert sind. Der Lösungsvektor ist ebenfalls ein Vektor n-ter Ordnung. Viele Anwendungen erfordern eine Addition der Elemente des Lösungsvektors. Zum Beispiel ist in B 21 neben den Umsatzzahlen der Handelsvertreter h1, h2, h3 auch der Gesamtumsatz U von Interesse. Dieser folgt aus der Summe

U = 316 + 555 + 1315 = 2186 Für einen Lösungsvektor hoher Ordnung sollte die Gesamtumsatzberechnung in einer Tabellenkalkulation automatisiert werden. Dies gelingt wie folgt:

316 316 + 555 + 1315 = 1 ⋅ 316 + 1 ⋅ 555 + 1 ⋅ 1315 = 1 1 1 ⋅ 555 1315

222

9.2 Matrizen und Vektoren

KAPITEL 9

Bemerkung: Die Summe der Elemente eines Vektors folgt aus dem Skalarprodukt mit einem Einsvektor identischer Ordnung. D 11 1 Ein Vektor v mit v = 1 1 … 1 oder v = 1 heißt Einsvektor. … 1 B 22

Gesucht ist die Quersumme der Zahl 732. Die Zahl entspricht dem Zeilenvektor (7 3 2). Dann folgt die Quersumme aus dem Skalarprodukt

1 7 3 2 ⋅ 1 = 7 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 = 12 1 3. Fall – Produkt aus 2 Matrizen Das folgende Beispiel erläutert grundsätzlich das Verfahren der Multiplikation zweier Matrizen. B 23

Ein Einzelhändler beschränkt sein Warenangebot auf die Artikel A1 und A2, die er in drei Läden L1, L2, L3 vertreibt. Gesamtumsatz und Deckungsbeitrag aus den drei Läden sollen für die 2 Produkte übersichtlich in einer Tabelle dargestellt werden. Zum einfacheren Verständnis sei vorausgesetzt, dass der Gesamtdeckungsbeitrag D sich aus dem Produkt von Stückdeckungsbeitrag d und der Absatzmenge x ergibt. Es gilt für den Preis p und den Deckungsbeitrag d in € pro Einheit: p

d

A1

7

2

A2

9

3

Die Absatzzahlen x in den 3 Läden betragen für einen Tag: A1

A2

L1

4

5

L2

3

0

L3

2

4

223

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

Aus den Tabellen folgen die Absatzmengenmatrix X mit 4 5 X= 3 0 2 4 und die Preis-/Deckungsbeitragsmatrix Y mit Y= 7 2 93 Der Gesamtumsatz des Ladens L1 mit beiden Artikeln folgt aus dem Skalarprodukt 4 ⋅ 7 + 5 ⋅ 9 = 73 Analog ist der Umsatz der Läden L2 und L3 bestimmbar. Auch folgt der Deckungsbeitrag der Läden aus drei Skalarprodukten. Insgesamt sind die Lösungen der 6 Skalarprodukte in einer 3 x 2 Matrix darstellbar. Dies motiviert zu einer passenden Verknüpfung der Matrizen X und Y 4⋅7+5⋅9 45 72 = 3⋅7+0⋅9 30 ⋅ 93 2⋅7+4⋅9 24

4⋅2 +5 ⋅3 73 23 3 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 = 21 6 2⋅2 +4 ⋅3 50 16

Man erhält die Gesamtumsatz- und Deckungsbeitragstabelle. U

D

L1

73

23

L2

21

6

L3

50

16

Bemerkung: Die Multiplikaiton einer m x n - Matrix A mit einer n x k- Matrix B entspricht m ⋅ k Skalarprodukten der Zeilenvektoren der Matrix A mit allen Spaltenvektoren der Matrix B. Zeilen und Spaltenvektoren werden für den allgemeinen Fall wie folgt kombiniert.

224

9.2 Matrizen und Vektoren

KAPITEL 9

R5 Für alle m x n - Matrizen A und n x k- Matrizen B gilt: a 11 … a 1n

b 11 … b1k ⋅ … … … … … … am1 … amn b n1 … b nk ist gleich a 11 ⋅ b 11 + … + a 1n ⋅ b n1 … a 11 ⋅ b1k + … + a 1n ⋅ b nk … … … a m1 ⋅ b 11 + … + a mn ⋅ bn1 … a m1 ⋅ b1k + … + amn ⋅ b nk

B 24 Gegeben seien die Matrizen A = 1 2 34

und B = 5 –3 . Dann ist 0 –4

A ⋅ B = 1 2 ⋅ 5 –3 = 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 0 3 4 0 –4 3⋅5 +4 ⋅0

1 ⋅ ( – 3 ) + 2 ⋅ ( – 4 ) = 5 – 11 3 ⋅ ( –3 ) + 4 ⋅ ( –4 ) 15 – 25

aber B ⋅ A = 5 – 3 ⋅ 1 2 = 5 ⋅ 1 + ( –3 ) ⋅ 3 0 –4 34 0 ⋅ 1 + ( –4 ) ⋅ 3

5 ⋅ 2 + ( –3 ) ⋅ 4 = –4 – 2 0 ⋅ 2 + ( –4 ) ⋅ 4 – 12 – 16

Daher gilt R6 Die Matrizenmultiplikation ist für A ≠ B nicht kommutativ.

A⋅B≠B⋅A B 25 Gegeben seien die Vektoren a = (2 4) und b =

4 . Multipliziere 5

a ⋅ b = 2 4 ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 = 28 5 und b⋅a = 4 ⋅ 2 4 = 4⋅2 5 5⋅2

4 ⋅ 4 = 8 16 5⋅4 10 20

225

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

Das Produkt eines Spaltenvektors n-ter Ordnung mit einem Zeilenvektor n-ter Ordnung erzeugt eine quadratische n x n - Matrix. R7 Für die Multiplikation von Matrizen passender Ordnung gilt das Assoziativgesetz A ⋅ (B ⋅ C) = (A ⋅ B) ⋅ C und Distributivgesetz mit (1) A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C (2) ( A + B ) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C

B 26 Gegeben sei für Matrizen, A, B, C passender Ordung der Term A( B + C) – (A ⋅ B – A ⋅ C ) Dann gilt: A( B + C) – (A ⋅ B – A ⋅ C ) = A ⋅ B + A ⋅ C – A ⋅ B + A ⋅ C = 2 ⋅ A ⋅ C

9.2.3 B 27

Ökonomische Anwendung In einer Metropolregion wie z.B. Hamburg diktiert die Fashionkette K-F@shion mit dem markanten K-Logo die Trends der Zielgruppe Best Ager1 mit überdurchschnittlichem Einkommen. Saisonal werden 2 Kollektionen Frühjahr/Sommer und Herbst/Winter angeboten. Als Highlight des Sommers werden traditionell für Damen und Herren Strohhüte angeboten, die garantiert für einen Auftritt auf der Pferderennbahn tauglich sind. Eine Zielgruppenanalyse führte zu dem Ergebnis, dass immerhin etwa 4000 Männer und 6000 Frauen der Metropolregion bereit wären, einen Hut des Anbieters zu tragen, wenn er nichts kostet. Bekannt ist auch, dass kein Best Ager mehr als 100 € für einen Herrenhut oder 180 € für einen Damenhut ausgibt. Dies entspricht in etwa den Achsenabschnitten zweier Nachfragefunktionen2 mit den Grenzpreisen oder Maximalpreisen 100 €, 180 € und den Sättigungsmengen 4000 Stück und 6000 Stück. Damit definieren die Wertepaare 2 Vektoren, die das Nachfrageverhalten der Best Ager getrennt nach Geschlechtern beschreiben. Sättigungsmenge x s = 4000 6000 Grenzpreis p g = 100 180

1 Lebendige Menschen, die älter als 50 Jahre sind. 2 siehe auch Kapitel 5.2.3.1.

226

9.2 Matrizen und Vektoren

KAPITEL 9

Von der Gesamtproduktion für den europäischen Absatzmarkt steht den Läden der Metropolregion ein Kontingent von 800 Herrenhüten und 1000 Damenhüten zur Verfügung. Dies definiert den Absatzmengenvektor x mit 800 1000

x =

Gesucht sind die Absatzpreise für Herren- und Damenhüte, mit denen die 800 Herren- und 1000 Damenhüte im Verlauf der Sommersaison absetzbar sind. Gesucht ist demnach ein Preis-Absatz-Vektor p mit p =

p ( 800 ) p ( 1000 )

Unter der Annahme, dass das Nachfrageverhalten der Zielgruppe Best Ager linear sei, gilt für die Preis-Absatzfunktion p die Gleichung p p ( x ) = p g – -----g ⋅ x xs Vor Berechnung der Preise werden alle bekannten Komponenten übersichtlich in einer Matrix zusammengefasst. 100 4000 800 180 6000 1000

100 100 – ------------- 800 4000 180 180 – ------------- 1000 6000

4. Spalte vereinfachen 100 4000 800 180 6000 1000

80 150

1. Zeile

Herrenhüte

2. Zeile

Damenhüte

1. Spalte

Grenzpreis oder Maximalpreis p g

2. Spalte

Sättigungsmenge x

3. Spalte

Geplante Absatzmenge x

4. Spalte

Absatzpreis p(x) für die Absatzmenge x

(*)

s

Um das Kontingent Hüte im Laufe der Saison abzusetzen, sollten Herrenhüte für ungefähr 80 € und Damenhüte für 150 € angeboten werden. Die Matrixdarstellung hat den Vorteil, dass nach Übertragung der Matrix in eine Tabellenkalkulation die Berechnung der Absatzpreise automatisierbar ist und auch Matrixelemente wie Sättigungsmenge oder Absatzmengen aktuellen Gegebenheiten angepasst werden können.

227

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

Der Umsatz mit Damen- und Herrenhüten folgt aus dem Vektor u mit u =

800 ⋅ 80 = 64000 1000 ⋅ 150 150000

Damit beträgt der erwartete Umsatz mit Herrenhüten 64000 € und mit Damenhüten 150000 €. Vektor u könnte zur Matrix (*) als 5. Spaltenvektor ergänzt werden. Damit ließe sich in einer Tabellenkalkulation auch die Umsatzberechnung automatisieren. Die Gesamtumsatzerwartung U aus Herren- und Damenhüten folgt aus dem Skalarprodukt des Einsvektors 1 1 mit dem Umsatzvektor. U = 1 1 ⋅ 64000 = 1 ⋅ 64000 + 1 ⋅ 150000 = 214000 150000 Alternativ folgt der Gesamtumsatz U auch aus dem Skalarprodukt T U = p ⋅ x = 80 150 ⋅ 800 = 80 ⋅ 800 + 150 ⋅ 1000 = 214000 1000

Damit könnte der Hutumsatz für die Saison 214000 € betragen. Das setzt allerdings voraus, dass das Nachfrageverhalten über die Saison beständig bleibt. Die Geschäftsleitung ist mit dem prognostizierten Umsatzergebnis unzufrieden und entwickelt Szenarien zur Umsatzsteigerung. Folgendes Modell wird favorisiert. Da aus Sicht der Geschäftsleitung das Kontingent Hüte für die aus der Preis-Absatz-Funktion folgenden Preise von 80 € bzw. 150 € stets absetzbar ist, kommt die Geschäftsleitung auf die Idee, die Hüte mit Saisonbeginn zu einem höheren Preis anzubieten und im Laufe der Saison den Preis auf 80 € bzw. 150 € zu senken. Die Geschäftsleitung einigt sich auf folgende Preismatrix: 95 80 177 150 1. Zeile

Preise der Herrenhüte

2. Zeile

Preise der Damenhüte

1. Spalte

Preis zu Saisonbeginn

2. Spalte

Im Lauf der Saison gesenkter Preis

Nun überlegt die Geschäftsleitung, wann die Preise gesenkt werden sollten. Nach verschiedenen Vorschlägen wie u. a. zur Saisonmitte wird der Vorschlag favorisiert, die Preise genau dann zu senken, wenn die nach der bekannten Preis-Absatz-Funktion zu den höheren Preisen verkaufbare Menge abgesetzt wurde. Da nun die Absatzmenge für bekannte Preise gesucht ist, wird die Preisabsatzfunktion so umgeformt, dass die Absatzmenge x(p) von einem gegebenen Preis p abhängt.

228

9.2 Matrizen und Vektoren

KAPITEL 9

p(x) = p ⇔ x = x(p) p p p ( x ) = pg – ----g- ⋅ x ⇔ p = p g – ----g- ⋅ x ( p ) xs xs p pg ----- ⋅ x ( p ) + p = p g | -p | : ----gxs xs x x ( p ) = ( pg – p ) ⋅ -----s pg Die Absatzmengen für die höheren Preise 95 € und 177 € legt folgende Matrix fest. 4000 95 ( 100 – 95 ) ⋅ ------------100 = 95 200 6000 177 100 177 ( 180 – 177 ) ⋅ ------------180

(*)

Damit sind etwa 200 Herrenhüte für 95 € und 100 Damenhüte für 177 € verkaufbar. Da insgesamt 800 Herrenhüte und 1000 Damenhüte absetzbar sind, folgt aus der Differenz zu 200 bzw. 100 die Absatzmenge für den niedrigeren Preis. Damit gilt für den Umsatzvektor u: u = 200 ⋅ 95 + ( 800 – 200 ) ⋅ 80 = 100 ⋅ 177 ( 1000 – 100 ) ⋅ 150 19000 + 48000 = 67000 17700 135000 152700 Der erwartete Umsatz für Herrenhüte beträgt nun 67000 € und für Damenhüte 152700 €. Der zusätzliche Umsatz Δu folgt aus der Differenz des alten Umsatzvektors für konstante Preise minus dem zuvor berechneten Umsatzvektor. Δu =

67000 – 64000 = 3000 152700 150000 2700

Damit beträgt der zusätzliche Umsatz mit Herrenhüten 3000 € und mit Damenhüten 2700 €. Die gesamte Umsatzdifferenz ΔU aus Herren- und Damenhüten folgt aus dem Skalarprodukt 3000 = 3000 + 2700 = 5700 = ΔU 1 1 ⋅ 2700 Die Geschäftsleitung sieht sich mit dem positiven Grenzumsatz ΔU bestätigt, dass das Modell Umsatzwachstum mit unterschiedlichen Preisen funktionieren könnte, ist aber über den geringen Zuwachs etwas enttäuscht. Daher wird mit anderen Preiskonstellationen experimentiert. Eine weitere Preisfestlegung sei mit folgender Matrix wie in (*) strukturiert gegeben:

229

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

4000 97, 50 ( 100 – 97, 50 ) ⋅ ------------100 = 97, 5 100 6000 174 200 174 ( 180 – 174 ) ⋅ ------------180 Damit gilt für den Umsatz u aus Herren- und Damenhüten u = 100 ⋅ 97, 50 + ( 800 – 100 ) ⋅ 80 = 200 ⋅ 174 ( 1000 – 200 ) ⋅ 150 9750 + 56000 = 65750 154800 34800 120000 Der zusätzliche Umsatz Δu folgt aus Δu =

65750 – 64000 = 1750 154800 150000 4800

und der veränderte Gesamtumsatz ΔU aus 1750 = 1750 + 4800 = 6550 = ΔU 1 1 ⋅ 4800 Insgesamt ist das Umsatzwachstum für die hier gewählten Preise etwas höher als im ersten Ansatz. In der folgenden Matrix werden die Preismodelle mit den Umsatzveränderungen gegenübergestellt. Die Paare der Matrixelemente beschreiben den 1. Absatz- und 2. Absatzpreis. ( 80, 80 ) ( 95, 80 ) ( 97, 80 ) ( 150, 150 ) ( 177, 150 ) ( 174, 150 ) 0 + 5700 + 6550 1. Zeile

Preise der Herrenhüte

2. Zeile

Preise der Damenhüte

3. Zeile

Umsatzveränderungen ΔU

Nun ist die Geschäftsleitung ein wenig ratlos. Offensichtlich nimmt jede veränderte Preiskombination Einfluss auf das Umsatzergebnis. Daher soll herausgefunden werden, für welche Preiskombination der Umsatz maximiert wird. Zur Lösung des Problems wird nun genau die Absatzmenge x gesucht, die für den zuerst verlangten Preis absetzbar ist und den Gesamtumsatz U maximiert. Zunächst wird der Lösungsansatz für die Herrenhüte betrachtet. Der Gesamtumsatz der Herrenhüte folgt aus dem Skalarprodukt U = x

230

( 800 – x ) ⋅ p ( x ) = x ⋅ p ( x ) + ( 800 – x ) ⋅ 80 80

9.2 Matrizen und Vektoren

KAPITEL 9

Damit hängt der Gesamtumsatz U von der Absatzmenge x ab und es gilt mit der Preis-Absatz-Funktion der Herrenhüte 100 1 p ( x ) = 100 – ------------- ⋅ x = 100 – ------ x 4000 40 die Umsatzfunktion U mit der Gleichung 1 U ( x ) = x ⋅ ⎛⎝ 100 – ------ x⎞⎠ + ( 800 – x ) ⋅ 80 40 Klammern ausmultiplizieren 1 2 U ( x ) = 100x – ------ x + 64000 – 80x ⇔ 40 1 2 U ( x ) = – ------ x + 20x + 64000 40 Nun ist unter allen definierten Absatzmengen x genau die gesucht, die den Umsatz U maximiert. Die umsatzmaximale Absatzmenge x max folgt aus der 1. Ableitung U' der Funktion U mit U' ( x max ) = 0 Nach Differenzieren der Funktion U gilt 2 – ------ x + 20 = 0 ⇒ x max = 400 40 Damit beträgt die umsatzmaximale Absatzmenge zum 1. Preis 400 Einheiten. Für den 1. Absatzpreis der Hüte gilt 1 p ( 400 ) = 100 – ------ 400 ⇔ p ( 400 ) = 90 40 Deshalb sollten die Herrenhüte zunächst für 90 € angeboten werden und nachdem eine Nachfrage von 400 Hüten befriedigt wurde, der Preis zur Deckung der Restnachfrage von 400 Einheiten auf 80 € gesenkt werden. Der maximale Umsatz folgt dann aus der Berechnung des Funktionswertes U(400) oder aus dem Skalarprodukt der Absatzmengen mit dem Preisvektor U max = U ( 400 ) = 400 400 ⋅ 90 = 68000 80 Dies ist der maximale Umsatz nach Festlegung zweier Absatzpreise für die limitierte Absatzmenge von 800 Einheiten der Herrenhüte 68000 €. Für Damenhüte ergibt sich wie bei den Herrenhüten ebenfalls die Intervallhalbierung der Absatzmenge zur Umsatzmaximierung. Damit gilt hier U max = U ( 500 ) = 500 500 ⋅ p ( 500 ) ⇔ 150

231

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

U max = 500 500 ⋅ 165 = 157500 150 Der maximale Umsatz für Damenhüte beträgt 157500 € Der Gesamtumsatz U aus Damen- und Herrenhüten beträgt nach Maximierung der Einzelumsätze U = 68000 + 157500 ⇔ U = 225500 Der maximale Umsatz mit Strohhüten beträgt demnach 225500 €, wenn jeweils die Hälfte des Hütekontingents für die obig festgelegten Preise angeboten wird. Die Umsatzveränderung ΔU ist damit ΔU = 225000 – 214000 = 11000 Mit diesem Ansatz zur Umsatzmaximierung ist ein Mehrumsatz von 11000 € gegenüber dem Eingangsmodell – Verkauf des Kontingents zu einem Preis – realisierbar.

9.2.4 9.1

Fragen und Aufgaben Gegeben seien die Matrizen A = 1 5 –2 , B = 2 0 3 , C = 34 1 3 –6 1

3 –1 0 7 –2 2

Berechnen Sie, falls möglich: a)

A + B, B + C, A + C, A – B

b)

A – ( B – A ), C – ( B + C ) + A

c)

A+C ,

d)

2 ⋅ A – 3 ⋅ B, 3 ⋅ ( A – 2 ⋅ B )

e)

2 ⋅ C – (2 ⋅ A – C) + 3 ⋅ (B – C)

T

T

B – C, C – ( A + B )

T

Entscheiden Sie, für welche Elemente b ij der Matrix B gilt a11 ≤ b ij 1 9.2

Multiplizieren Sie 3 1, 2 3 0 –1 ⋅ 6 2

1 Lösungshinweis:

232

1 ≤ 2 ⇒ a 11 ≤ b11 .

3 1 ⋅ 2 3 0 –1 6 2

9.3 Lineare Gleichungssysteme

9.3

KAPITEL 9

Gegeben seien die Matrizen A = 1 5 –2 , B = 2 0 –1 , C = 3 –6 1 30 1

2 –1 0 4 –2 2

Berechnen Sie, falls möglich:

9.4

T

a)

A ⋅ C, C ⋅ A, A ⋅ B, A ⋅ B

b)

A ⋅ (B – 2 ⋅ C)

c)

B ⋅ C – B ⋅ (A + C)

T

T

Vereinfachen Sie den Term a + 2 b – 3 + 5 – 3a 2 – b c + 5 2d 6 – 2c 1 – 2d

9.5

Vereinfachen Sie den Term 2a 1 – b – 2 ⋅ a – 3 2b + 1 3( 2 – c ) 0 4+c 0

9.6

Vereinfachen Sie den Term ⎛ 0 ⎞⎟ 2 ⎜ 1 1 1 ⎜ ( k + 2 ) 1 – ( 1 – 2k ) 2 ⎟ ⎜ ⎟ 3⎠ 0 ⎝

9.3

Lineare Gleichungssysteme

9.3.1

Grundlegendes

B1

Hinführendes Beispiel: Gegeben seien Matrix A =

Vektor x =

x1 x2

1 2 , Vektor b = 7 und ein –1 3 3

. A, b und x legen die folgende Gleichung fest.

A⋅x =b⇔

Gesucht ist für x =

x1 x2

1 2 ⋅ x1 = 7 –1 3 3 x2

eine Lösung.

233

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

Nach Matrix-Vektormultiplikation gilt A⋅x =b⇔

x 1 + 2x 2 – x 1 + 3x 2

= 7 3

Die Vektoren sind genau dann gleich, wenn die Elemente zeilenweise gleich sind. Daher gilt I

x 1 + 2x 2 = 7

II

– x 1 + 3x 2 = 3

Damit bestimmt die Matrizengleichung ein Lineares Gleichungssystem. Nach den in Kapitel 4.2.3 eingeführten Lösungsverfahren für Lineare Gleichungssysteme gilt nach Addition der Gleichungsterme I+II

5x 2 = 10 ÷ 5 Lösung in Gleichung I einsetzen:

x2 = 2 x1 + 2 ⋅ 2 = 7 – 4 x1 = 3 Der transponierte Vektor A⋅x = b.

T

x = 32

ist damit Lösungsvektor der Matrizengleichung

Dies bestätigt auch die Probe: A⋅x =b⇔

12 ⋅ 3 = 3+4 = 7 –1 3 2 –3+6 3

Für die weiteren Betrachtungen seien folgende Begriffe vereinbart: D1 Für alle m x n - Matrizen A, Vektoren x, b der Ordnung n, m mit der Eigenschaft a 11 a 12 … a 1n A⋅x =b⇔

a 21 a 22 … a 2n … … … … a m1 … … a mn

x1 ⋅

x2 … xn

b1 =

b2 … bm

heißt A Koeffizientenmatrix, x Variablenvektor und b Konstantenvektor In der Gleichung A ⋅ x = b sind wie in B 1 die Koeffizienten der Matrix A und Konstanten des Vektors b bekannt und die Elemente des Vektors x Variablen.

234

9.3 Lineare Gleichungssysteme

KAPITEL 9

Die Gleichung A ⋅ x = b entspricht einem Linearen Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen. Es gilt: a 11 a 12 … a 1n A⋅x =b⇔

a 21 a 22 … a 2n … … … … a m1 … … a mn

b1

x1 x2

⋅

… xn

=

b2 … bm

Die Gleichung ist nach Multiplikation der Matrix A mit Vektor x äquivalent zu a11 ⋅ x 1 + a 12 ⋅ x 2 … + … … a1n ⋅ x n A⋅x =b⇔

a21 ⋅ x 1 + a 22 ⋅ x 2 … + … … a2n ⋅ x n … … … … a m1 ⋅ x 1 + a m2 ⋅ x 2 … + … … a mn ⋅ x n

b1 =

b2 … bm

Aus der Gleichheit der Vektoren folgt mit a 11 ⋅ x 1 + a 12 ⋅ x 2 + … + a1n ⋅ x n = b 1 a 21 ⋅ x 1 + a 22 ⋅ x 2 + … + a2n ⋅ x n = b 2 .............. a m1 ⋅ x 1 + a m2 ⋅ x 2 + … + a mn ⋅ x n = b m die Summendarstellung des linearen Gleichungssystems mit m Gleichungen und n Variablen. Beispiel B 1 entspricht dem Spezialfall: 2 Gleichungen mit 2 Variablen. A⋅x =b⇔

a 11 a 12 a 21 a 22

⋅

x1 x2

=

b1 b2

a11 ⋅ x 1 + a12 ⋅ x 2 = b1 a21 ⋅ x 1 + a22 ⋅ x 2 = b2

235

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

Allgemein gilt für m Gleichungen mit n Variablen R1

a 11 a 12 … a 1n A⋅x =b⇔

a 21 a 22 … a 2n … … … … a m1 … … a mn

b1

x1 ⋅

x2 … xn

b2

=

… bm

ist äquivalent zu m Gleichungen I a 11 ⋅ x 1 + a 12 ⋅ x 2 + … + a1n ⋅ x n = b 1 II a 21 ⋅ x 1 + a22 ⋅ x 2 + … + a 2n ⋅ x n = b 2 .......... (m) a m1 ⋅ x 1 + a m2 ⋅ x 2 + … + a mn ⋅ x n = b m

Ferner sind Lineare Gleichungssysteme mit m Gleichungen und n Variablen als Vektorgleichung darstellbar. Es gilt: I a 11 ⋅ x 1 + a 12 ⋅ x 2 + … + a 1n ⋅ x n = b 1 II a21 ⋅ x 1 + a 22 ⋅ x 2 + … + a 2n ⋅ x n = b 2 .......... (m) a m1 ⋅ x 1 + a m2 ⋅ x 2 + … + a mn ⋅ x n = b m ist äquivalent zur Matrizendarstellung a 11 ⋅ x 1 + a 12 ⋅ x 2 … + … … a1n ⋅ x n a 21 ⋅ x 1 + a 22 ⋅ x 2 … + … … a2n ⋅ x n … … … … a m1 ⋅ x 1 + a m2 ⋅ x 2 … + … … a mn ⋅ x n

b1 =

b2 … bm

Dies entspricht der Vektorsumme a11 ⋅ x 1

a 12 ⋅ x 2

a 1n ⋅ x n

b1

a21 ⋅ x 1

a 22 ⋅ x 2

a 2n ⋅ x n

b2

… a m1 ⋅ x 1

236

+

… am2 ⋅ x 2

+…+

… a mn ⋅ x n

=

… bm

9.3 Lineare Gleichungssysteme

KAPITEL 9

Nach Ausklammern der Skalare xi

x1 ⋅

a11

a 12

a1n

a21

a 22

a2n

… a m1

+ x2 ⋅

… am2

+ … + xn ⋅

… a mn

b1 =

b2 … bm

erzeugt dies die Vektorgleichung des Linearen Gleichungssystems. B2

Zu bestimmen sind die Variablen (Skalare) r, s, t der Gleichung –5 –3 1 2 r ⋅ –1 + s ⋅ 3 + t ⋅ 0 = 5 7 1 2 0 Als Lösungsansatz die Gleichung in Summendarstellung umstellen. I

2r + s – 3t = – 5

II

– r + 3s = 5

III

2s + t = 7

Terme der Gleichungen I und II so verknüpfen, dass r „verschwindet“. Ansatz: 2 mal II + I= I+ . Die Terme der Gleichung II werden mit 2 multipliziert und mit den Termen der Gleichung I addiert. I+

7s – 3t = 5

III

2s + t = 7

| 3 mal III plus I+

13s = 26 ⇔ s = 2 s = 2 in III einsetzen: 4 + t = 7 ⇔ t = 3 s = 2 in II einsetzen: – r + 6 = 5 + r – 5 ⇔ r = 1 Damit sind die Skalare r = 1, s = 2 und t = 3 die Lösung des als Vektorgleichung gegebenen Gleichungssystems. Für Vektorgleichungen ist auch folgende Sprechweise üblich. Der Konstantenvekor ist Lösung einer Linearkombination der Koeffizientenvektoren mit geeigneten Skalaren r, s, t. Hier erfüllen r = 1, s = 2 und t = 3 die Bedingung. 2 1 –3 –5 1 ⋅ –1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 0 = 5 0 2 1 7 Der Konstantenvektor ist damit linear abhängig von den Koeffizientenvektoren. Die Wahl anderer Skalare erzeugt weitere Linearkombinationen eines Konstantenvektors. Zum Beispiel bestimmt r = 0, s = 1 und t = -1 folgende Linearkombination: 237

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

4 –3 1 2 0 ⋅ –1 + 1 ⋅ 3 – 1 ⋅ 0 = 3 1 1 2 0 B3

Gegeben sei die Linearkombination 6 0 0 1 r⋅ 0 +s⋅ 1 +t 0 = 3 8 1 0 0 Die Gleichung ist äquivalent zu 6 0 0 r 0 + s + 0 = 3 8 t 0 0 Linke Seite zusammenfassen r 6 s = 3 t 8 Damit bestimmen die Skalare r = 6, s = 3 und t = 8 die Linearkombination des Konstantenvektors. Im Gegensatz zum Beispiel B 2 war hier die Lösung des als Vektorgleichung gegebenen Gleichungssystems mit wenig Aufwand verbunden. Dies hängt in diesem Fall mit der Struktur der Koeffizientenvektoren – Nullen und eine Eins – zusammen.

D2 Ein Vektor v heißt Einheitsvektor, wenn an einer beliebigen Stelle das Vektorelement eins ist und alle anderen Vektorelemente null sind. B4

0 – Einheitsvektor in Spaltenschreibweise : 1 , 0 0 – Einheitsvektor in Zeilenschreibweise 0 0 1 0 0 – Vektor 0 1 1 0 0 ist kein Einheitsvektor (2 Einsen) –

238

0 0 4 = 4 ⋅ 0 0 1 Vierfaches eines Einheitsvektors.

9.3 Lineare Gleichungssysteme

KAPITEL 9

Aus Beispiel B 3 folgt die Matrizendarstellung: 6 r 100 6 0 0 1 r⋅ 0 +s⋅ 1 +t 0 = 3 ⇔ 0 1 0 ⋅ s = 3 8 t 001 8 1 0 0 1 00 Die Matrix 0 1 0 heißt Einheitsmatrix. 0 01 D3 Eine Matrix E mit 1 0 … 0 0 1 … 0 E = ………… 0 0 … 1 heißt Einheitsmatrix Die folgenden Beispiele sollen zeigen, dass in der Regel die verschiedenen Schreibweisen für Lineare Gleichungssysteme anwendungsorientiert sind. Häufig gelingt ein Lösungsansatz, wenn das Problem gedanklich in eine passende Darstellungsstruktur des Linearen Gleichungssystems übertragen wird. B5

Ein Tabakhändler möchte für eine Werbeaktion zwei Sorten Pfeifentabak T1, T2 zu einer Sorte T3 so zusammenmischen, dass der Einkaufspreis 19,50 € für 1 kg beträgt. Die Einkaufspreise betragen für T1 24 € und für T2 18 € pro kg. Zu bestimmen sind die Gewichtsanteile g1 und g2 (in kg) der Sorten T1 und T2 für 1 kg der Mischsorte T3. Vorüberlegungen zum Lösungsansatz: Hier ist es schwierig den Text gedanklich in Matrizen oder Vektoren zu übertragen. Die Festlegung von Koeffizientenvektoren und das Bestimmen eines geeigneten Konstantenvektors aus den gegebenen Bedingungen erfordert einige Gehirnakrobatik. In diesem Fall ist es einfacher eine Vorstellung zu entwickeln, dass die gesuchten Gewichtsanteile mit den Tabakgewichten g1 und g2 bereits gelöst sind – nur die konkreten Zahlenwerte fehlen noch. Weil g1 und g2 bekannt sind, folgt 1 kg Tabak T3 aus der Summe der Gewichte g1 und g2. Dies führt zur 1. Gleichung I

g1 + g2 = 1

Eine weitere Gleichung ergibt sich aus der Kostenbedingung, für die ebenfalls eine Summe der Tabkakosten für T1 und T2 aus den gegebenen Bedingungen ablesbar ist. Die Gesamtkosten für 1 kg T3 betragen genau 19,5 €, wenn die Kosten der Tabakanteile T1 und T2 ad-

239

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

diert werden. Die Kosten für T1 und T2 folgen aus den Termen: 24 € mal Menge g1 in kg und 18 € mal Menge g2 in kg. Damit gilt: II

24 ⋅ g1 + 18 ⋅ g2 = 19, 5

Insgesamt ist hier eine direkte Übersetzung des Textes in die Summendarstellung eines Linearen Gleichungssystems mit 2 Gleichungen und 2 Variablen sinnvoll. Lösung des Gleichungssystems: I

g1 + g2 = 1

II

24 ⋅ g1 + 18 ⋅ g2 = 19, 5 | II - 18 mal I = I+

I+

6 ⋅ g1 = 1, 5 ⇔ g1 = 0, 25

Einsetzen in I: 0, 25 + g2 = 1 ⇔ g2 = 0, 75 1 kg Pfeifentabak T3 wird gemischt aus 0,25 kg T1 und 0,75 kg T2. Für andere Tabakmengen beträgt das Mischungsverhältnis demnach 1:3. B6

V2A-Stahl ist eine Legierung aus 74 % Eisen, 18 % Chrom und 8 % Nickel. Ein Stahlproduzent kann Überkapazitäten der Legierungen A, B, C günstig einkaufen. Die Legierungen enthalten Eisen, Chrom und Nickelanteile wie in der folgenden Tabelle dargestellt. A

B

C

Eisen

70 %

80 %

85 %

Chrom

22 %

10 %

12 %

Nickel

8%

10 %

3%

Zu untersuchen ist, ob aus den Legierungen A, B, C V2A-Stahl kombinierbar ist. Wenn ja, sind die Gewichtsanteile von A, B, C für z. B. 1 Tonne (1000 kg) V2A-Stahl zu berechnen. Unter der Annahme, dass das Problem lösbar ist, sollen a, b, c die Gewichtsanteile sein. Unter den gegebenen Bedingungen erfordert es hier ein ziemliches Abstraktionsvermögen, aus den Zusammenhängen mehrere lineare Gleichungen zu erkennen. Wesentlich elementarer ist es, die Tabelle als Matrix mit drei Spaltenvektoren zu definieren. Aus diesen drei Spaltenvektoren soll V2A-Stahl mit folgender Eigenschaft kombiniert werden. V2A-Stahl

240

Eisen

74 %

Chrom

18 %

Nickel

8%

9.3 Lineare Gleichungssysteme

KAPITEL 9

Mit den Gewichtsanteilen a, b, c der Legierungen A, B, C ergibt sich damit folgende Linearkombination der Vektoren: 0, 74 0, 85 0, 8 0, 7 (1) a 0, 22 + b 0, 1 + c 0, 12 = 0, 18 0, 08 0, 03 0, 1 0, 08 Dies entspricht der Summendarstellung des Gleichungssystems: I

70a + 80b + 85c = 74 (2)

II

22a + 10b + 12c = 18 |8mal II - I = I+ 8a + 10b + 3c = 8

III

| III - II = II+

106a + 11c = 70

I+ II+

– 14a – 9c = – 10 | 11 mal II+ plus 9 mal I+ 800a = 520 ⇔ a = 0, 65

| Einsetzen in I+

106 ⋅ 0, 65 + 11c = 70 ⇔ c = 0, 1

| a,c in III

8 ⋅ 0, 65 + 10b + 3 ⋅ 0, 1 = 8 ⇔ b = 0, 25 Da alle Lösungen positiv sind, ist die Produktion von V2A-Stahl aus den Legierungen A, B, C möglich. Für 1 t = 1000 kg V2A-Stahl werden 650 kg der Legierung A, 250 kg von B und 100 kg von C gemischt.

9.3.2

Lösbarkeit Linearer Gleichungssysteme

Laut Definition legen m Gleichungen mit n linearen Variablen ein Lineares Gleichungssystem fest. I a 11 ⋅ x 1 + a 12 ⋅ x 2 + … + a 1n ⋅ x n = b1 II a 21 ⋅ x 1 + a 22 ⋅ x 2 + … + a 2n ⋅ x n = b2 .......... (m) a m1 ⋅ x 1 + am2 ⋅ x 2 + … + a mn ⋅ x n = b m In allen Beispielen des letzten Kapitels ging es um Gleichungssysteme mit der Eigenschaft, dass die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Variablen übereinstimmte. Für m verschiedene Gleichungen wurden genau m Variablen eingeführt. Die Definition läßt aber auch Gleichungssysteme mit weniger oder mehr Gleichungen als Variablen zu. In den folgenden Absätzen geht es um Lösbarkeitsmerkmale für m Gleichungen mit n Variablen und der Eigenschaft m < n, m = n oder m > n.

( 1) Prozentzahlen wurden in Dezimalzahldarstellung umgeformt. ( 2) Alle Koeffizienten und Konstanten mit 100 multipliziert.

241

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

1. Fall: m = n Ein Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen der Art m = n heißt ausgeglichen oder erfüllt. Für die Lösungsmengen der erfüllten Gleichungssysteme gibt es zwei Ausgänge. Entweder ist das Lösungstupel1 der Variablen eindeutig oder kein Zahlentupel erfüllt das Gleichungssystem. Die bisher betrachteten Linearen Gleichungssysteme stehen für ausgeglichene Systeme mit genau einem Lösungstupel für alle Variablen. Es folgt ein Beispiel für ein nicht lösbares Lineares Gleichungssystem. B7

Student K. kauft jeden Samstag stets 1 Roggen- und 2 Mohnbrötchen. Seit einiger Zeit überkommt ihn das Gefühl, dass die Preisgestaltung des Bäckers eher zufällig erfolgt. Nach einiger Überlegung fällt ihm beim Frühstück ein, dass er für die Brötchen 1,30 € und in der Vorwoche 1,20 € bezahlt hat. Da in ihm das Unbehagen nagt, ob er in dieser Woche zu viel oder in der letzten Woche zu wenig bezahlt hat, beschließt er, herauszufinden wieviel ein Roggen- und ein Mohnbrötchen kostet. Da ihm der Weg zum Bäcker für einen Blick auf die Preisschilder zu weit ist, kommt er auf die Idee, das Problem mit einem mathematischen Lösungsansatz zu erschlagen. Zunächst notiert Student K. die Sachlage in einer Tabelle. Roggen

Mohn

Betrag in €

1. Tag

1

2

1,20

2. Tag

1

2

1,30

Zwei Schluck Kaffee später ist K. klar, dass der Betragsvektor 1, 20 1, 30 eine Linearkombination aus dem Roggenbrötchenvektor

und dem Mohnbrötchenvektor

2 2

1 1

des 1. und 2. Tages ist.

Die Vektoren sind nur dann linear abhängig, wenn es geeignete Preisskalare pR für den Preis eines Roggenbrötchens und Preis pM eines Mohnbrötchens gibt. Damit gilt pR ⋅ 1 + p M ⋅ 2 = 1, 20 1 2 1, 30 Die Vektorgleichung ist äquivalent zu 1 Tupel steht für eine Aufzählung von Zahlen in einer geordneten Reihenfolge. In der Regel erfolgt dies als Klammerdarstellung. (3,4,5,7,8) ist ein Beipiel für ein 5-Tupel und ungleich zu (4,3,5,7,8). 2-Tupel heißen Paare, 3-Tupel Tripel, 4Tupel Quadrupel und Tupel mit n Elementen n-Tupel.

242

9.3 Lineare Gleichungssysteme

I

p R + 2pM = 1, 20

II

p R + 2pM = 1, 30

KAPITEL 9

Mit II - I gilt 0 + 0 ⋅ p M = 0, 10 ⇔ 0 = 0, 10 ⇒ Widerspruch zu 0 ≠ 0, 1 Daher existiert kein Lösungspaar pR,pM, das eine Lösung der 1. und 2. Gleichung bestimmt. Da die Lösung eines Linearen Gleichungssystems eine Lösungsmenge L festlegt, ist hier die Menge L leer. Schreibweise für eine leere Menge: L = { }. Leider kann Student K. nach diesem ernüchternden Ergebnis nicht entscheiden, ob er zu viel oder zu wenig bezahlt hat. Um das herauszufinden, bleibt ihm der Gang zum Bäcker nicht erspart. R2 Für alle ausgeglichenen Linearen Gleichungssysteme mit m verschiedenen1 Gleichungen und m Variablen x 1, x 2, …x m gibt es entweder genau ein Lösungstupel k 1, k, …k m mit x 1 = k 1, x 2 = k 2, …, x m = k m oder kein Lösungstupel. 1 Zwei Gleichungen sind genau dann ungleich, wenn die eine Gleichung nicht in die andere Gleichung äquivalent umformbar ist. x + y = 1 ⇔ 2 x + 2y = 2 Die Gleichungen sind nicht verschieden; aber x + y = 1 ist nicht äquivalent zu 2x + y = 4 Die Gleichungen sind damit verschieden.

B8

Gesucht ist für die Variablen u, v, die Lösung des Linearen Gleichungssystems I

u + 2v = 0

II

u + 10v = 16

| II - I

8v = 16 ⇔ v = 2

| Einsetzen in I

u + 4 = 0 ⇔ u = –4 Die Lösung

u = – 4, v = 2

entspricht der

Tupeldarstellung ( u, v ) = ( – 4, 2 ) oder Vektordarstellung u = – 4 bzw. u v = – 4 2 . v 2 Die gewählte Schreibweise der Lösung hängt in der Regel vom Anwendungsproblem ab. Für ein Lineares Gleichungssystem mit 2 oder 3 Variablen ist die Vektor- oder Tupeldarstellung kaum erforderlich. Für Systeme mit vielen Variablen ist für eine überschaubare Lösungsauswertung die Tupel- oder Vektordarstellung hilfreich.

243

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

B9

Gesucht ist die Lösung (u, v) des Linearen Gleichungssystems I

u – 2v = 3

II

– 4u + 8v = 5

| | II + 4 mal I

0 + 0v = 17 Aus 0v = 0 für alle Zahlen v folgt für 0 = 17 ein Widerspruch zu 0 ≠ 17 . Damit ist die Lösungsmenge mit L = { } leer, da kein Zahlenpaar (u, v) eine Lösung der I. und II. Gleichung ist. 2. Fall m > n Wegen m > n hat ein Lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen nun mehr Gleichungen als Variablen. Damit ist es für die Zahl n der zu bestimmenden Variablen übererfüllt, weil für eine eindeutige Lösung der n Variablen genau n Gleichungen genügen. B 10

Studentin L. bevorzugt wie Student K. aus B 1 zum Frühstück Roggen und Mohnbrötchen. Die folgende Tabelle zeigt ihre Brötchenkombinationen und die gezahlten Beträge für 3 Tage. Roggen

Mohn

Betrag in €

1. Tag

2

3

2,05

2. Tag

4

2

2,70

3. Tag

1

4

1,90

Die Tabelle zeigt, dass die Kombination der Roggen- und Mohnbrötchen unterschiedlicher ist, als das homogene Frühstücksverhalten von Student K. Die recht beachtliche Brötchenmenge ist darauf zurückzuführen, dass Studentin L. Brötchen für mehrere Tage einfriert. Ähnlich wie Student K. sind ihr die Preise für ein Roggen- oder Mohnbrötchen nicht bekannt. Auch sie möchte wissen, ob die für die Brötchen gezahlten Beträge korrekt berechnet wurden. Wie in B 1 folgt aus der Tabelle die Vektorgleichung 2 3 2, 05 pR ⋅ 4 + p M ⋅ 2 = 2, 70 1 4 1, 90 Damit gilt I

2pR + 3p M = 2, 05

II

4p R + 2pM = 2,70

III

1pR + 4p M = 1, 90

| II - 2 mal I

– 4 ⋅ p M = – 1, 4 ⇔ pM = 0, 35 In I einsetzen 2p R + 3 ⋅ 0, 35 = 2, 05 ⇔ pR = 0, 50 244

9.3 Lineare Gleichungssysteme

KAPITEL 9

Für den 1. und 2. Tag ist die Lösung eindeutig mt 0,50 € für ein Roggenbrötchen und 0,35 € für ein Mohnbrötchen. Insgesamt hat das übererfüllte Gleichungssystem aber nur dann eine eindeutige Lösung, wenn das Lösungspaar auch die III. Gleichung erfüllt. Einsetzen des Lösungspaars in III: 1 ⋅ 0, 50 + 4 ⋅ 0,35 = 1, 90 ⇔ 1, 90 = 1,90 Da das Paar (0,50; 0,35) auch eine Lösung der Gleichung III ist, hat das Lineare Gleichungssystem die Lösung (0,50; 0,35). Damit bezahlte Studentin L. jeden Tag für ein Roggen- und Mohnbrötchen jeweils den gleichen Preis. R3 Ein übererfülltes Lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen des Typs m > n hat genau dann eine Lösung, wenn ein aus n der m Gleichungen bestimmtes Lösungstupel x 1, x 2, …x n Lösung aller m Gleichungen ist. Anderenfalls ist die Lösungsmenge leer. B 11

Gesucht ist für die Variablen u, v die Lösung des folgenden Gleichungssystems I

u + 2v = 3

II

u + 6v = 7

III

2u – v = 1

IV

3u + 6v = 9

Zunächst die gemeinsame Lösung für I und II bestimmen: Aus II - I folgt 4v = 4 ⇔ v = 1 | Einsetzen in I: u+2 = 3⇔u = 1 u = 1 und v = 1 sind für die I. und II. Gleichnug eine gemeinsame Lösung. Einsetzen in III. und IV. Gleichung: III

2–1 = 1⇔1 = 1

IV

3+6 = 9⇔9 = 9

Damit ist das Lösungpaar (1, 1) eine gemeinsame Lösung aller Gleichungen. B 12

Gesucht ist die Lösung (u, v) des Gleichungssystems I

u+v = 3

II

–u+v = 3

245

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

III

2u – v = – 3

IV

3u + 4v = 11

Auch hier die gemeinsame Lösung für I und II bestimmen: II + I 2v = 6 ⇔ v = 3 | In I einsetzen u+3 = 3⇔u = 0 Prüfen, ob das Lösungspaar ( 0 , 3 ) auch Lösung der III. und IV. Gleichung ist. III

2 ⋅ 0 – 3 = –3

Damit ist (0, 3) eine Lösung der III. Gleichung. IV

3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 3 = 11 ⇔ 12 = 11

Aus IV folgt ein Widerspruch zu 12 ≠ 11 . Damit ist (0 , 3) keine Lösung der IV. Gleichung. Obwohl für die I. bis III. Gleichung eine gemeinsame Lösung existiert, bedeutet der Widerspruch, dass die Lösungsmenge insgesamt leer ist, also L = { }. Es gibt keine gemeinsame Lösung für alle 4 Gleichungen. B 13

Gesucht ist die Lösung (u , v) des Gleichungssystems I

u+v = 1

II

u+v = 0

III

2u + v = 2

Da aus I + II die Gleichung 0 = 1 folgt, ist durch den Widerspruch zu 0 ≠ 1 die Lösungsmenge ohne Betrachtung der Gleichung III leer. 3. Fall m < n Aus m < n folgt, dass ein Gleichungssystem weniger Gleichungen als Variablen hat. Da für eine eindeutige Lösung der Variablen zu wenige Gleichungen zur Verfügung stehen, wird das Gleichungssystem als untererfülltes System linearer Gleichungen bezeichnet. B 14

Gegeben sei eine Gleichung mit 2 Variablen I

x+y = 4

In diesem Fall sind Paare wie (0, 4), (1 , 3) oder (-2 , 6) mögliche Lösungen der Gleichung. Da das Bild der Gleichung in einem x-y-Koordinatensystem eine Gerade erzeugt, gibt es damit unendlich viele Lösungspaare, die die Gleichung erfüllen. Die Darstellung einer Lösungsmenge mit unendlich vielen Elementen verdeutlichen die folgenden Beispiele. B 15

Gegeben sei die Gleichung 0⋅x = 0 Da das Produkt zweier Faktoren genau dann null ist, wenn wenigstens einer der Faktoren null ist, kann für x jede beliebige Zahl eingesetzt werden. Damit ist die Lösung für x eine frei wählbare Zahl t mit der Eigenschaft x = t. Die Zahl t heißt Parameter und die Lösung

246

9.3 Lineare Gleichungssysteme

KAPITEL 9

der Gleichung Parameterlösung. Die Wahl eines eindeutigen Parameterwerts wie z. B. t = 1 oder t = -7 hängt in der Regel vom Anwendungsproblem ab. Dazu das folgende Beispiel: B 16

Student M. macht sich Gedanken über seine Vermögensentwicklung. Er traut sich zu, seine Ersparnisse so anzulegen, dass sich das eingesetzte Kapital innerhalb eines Jahres verdoppelt bis verdreifacht. Damit bestimmt der Parameter t mit 2 < t < 3 seine Vermögensentwicklung. Da seine Ersparnisse momentan 0 € betragen, ist der Plan für die Grenzen t = 2 oder t =3 blitzschnell realisiert. Mit Anfangskapital 0 € beträgt das Endkapital nach 1 Jahr beachtliche

B 17

Zu bestimmen ist die Lösung der Variablen u, v, w des folgenden untererfüllten Gleichungssystems.

0⋅2 = 0

I

u+v+w = 4

II

u – v – 3w = 0

bzw.

0 ⋅ 3 = 0 Euro.

Zur Verdeutlichung der Vorgehensweise wird hier eine Gleichung III wie folgt eingeführt: III

0⋅w = 0

Da jede Zahl t mit w = t die Gleichung III erfüllt, ist t Lösung der Variablen w. Lösung t wird nun in Gleichung I und II eingesetzt. I

u+v+t = 4

|-t

II

u – v – 3t = 0

| +3t

Aus der Umformung folgt ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen, das nun in Abhängigkeit des Parameters t eindeutig lösbar ist oder eine leere Lösungsmenge hat. I

u+v = 4–t

II

u – v = 3t

| II + I

2u = 4 + 2t ⇔ u = 2 + t u = 2 + t und w = t in Gleichung II einsetzen: 2 + t – v – 3t = 0 ⇔ v = 2 – 2t Damit existiert die Parameterlösung: u = 2 + t, v = 2 - 2t, w = t für alle Zahlen t. Alternative Schreibweisen: – Tripel (2 + t, 2 -2 t, w) 2+t – Vektor 2 + t 2 – 2t t oder 2 – 2t t 247

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

Wird für t ein konkreter Zahlenwert vereinbart, ergeben sich spezielle Lösungen des Gleichungssystems. Aus z. B. t = 0 folgt die Lösung ( u, v, w) = ( 2, 2, 0) Für z. B. t = 5 gilt ( u, v, w) = ( 7, -8, 5) In Beispiel B 11 wurde die Variable w mit Parameterlösung w = t als gelöst vorausgesetzt. Die Wahl der Variablen eines untererfüllten Gleichungssystems, die als gelöst vorausgesetzt werden, ist beliebig und hängt in der Regel von der Struktur des Gleichungssystems ab. Ziel ist es, den Aufwand an Äquivalenzumformungen möglichst gering zu halten. Dazu B 18

Zu bestimmen ist die Lösung der Variablen a, b, c, d des folgenden Gleichungssystems. I

a+b = 1

II

a+c = 3

III

a+d = 5

Da a Variable jeder Gleichung ist, wird hier a = t als Parameterlösung vorausgesetzt. Dann gilt I

b = 1–t

II

c = 3–t

III

d = 5–t

Damit ist (a, b, c, d) = ( t , 1 - t, 3 - t, 5 - t ) für alle Zahlen t. Bemerkung: Für ein m < n Gleichungssystem werden m minus n Variablen mit Parametern als gelöst vorausgesetzt. Dazu B 19

Gegeben I

a + b – 2c + d = 0

II

2a + b + c – d = 0

In diesem Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 4 Variablen seien die Parameter r, s mit c = r und d = s Lösungen der Variablen c und d. Nach Umformung des Gleichungssystems gilt: I

a + b = 2r – s

II

2a + b = – r + s

| II - I

a = – 3r + 2s

| Einsetzen in I

– 3r + 2s + b = 2r – s ⇔ b = 5r – 3s Damit ist das 4-Tupel (a, b, c, d) = ( -3r+2s, 5r -3s, r, s) für alle Zahlen r, s eine gemeinsame Lösung der Gleichungen I und II. 248

9.3 Lineare Gleichungssysteme

KAPITEL 9

Im Beispiel B 13 sind die Konstanten der beiden Gleichungen null. Daher heißt das Lineare Gleichungssystem homogen. D4 Ein Lineares Gleichungssystem heißt homogen, wenn alle Konstanten null sind. Dann ist der Konstantenvektor ein Nullvektor O. a 11 a 12 … a 1n

x1

a 21 a 22 … a 2n

x2

0 = 0 A⋅x =O⇔ ⋅ … … … … … … 0 am1 … … a mn xn Anderenfalls heißt das Lineare Gleichungssystem inhomogen. R4 Für ein homogenes Gleichungssystem a11 a12 … a1n

x1

a21 a22 … a2n

x2

0 A⋅x =O⇔ ⋅ = 0 … … … … … … 0 a m1 … … a mn xn mit m = n Gleichungen und Variablen gilt die Lösung x1

0 = 0 … … 0 xn x2

B 20

Aus I

– x 1 + 5x 2 = 0

II

3x 1 + 4x 2 = 0

folgt für die Variablen das Lösungspaar ( 0, 0 ). Für ein ausgeglichenes homogenes Gleichungssystem mit m Gleichungen und m Variablen ist eine Lösung stets der Nullvektor 0 0 … 0 . Diese Lösung heißt triviale Lösung des Gleichungssystems. Das folgende Beispiel zeigt, dass ausgeglichene homogene Gleichungssysteme nicht grundsätzlich nur eine triviale Lösung bedingen. B 21

Gegeben sei eine Matrix A mit A = 2 –1 2 2 249

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

x1 Zu bestimmen sind ein Skalar k und ein Vektor x = x 2 mit x 1, x 2 ≠ 0 so, dass die 2 Variablen eine Lösung der folgenden Matrizengleichung festlegen. x x A ⋅ x= k ⋅ x ⇔ 1 4 ⋅ 1 = k ⋅ 1 x2 x2 1 –2 Für die so strukturierte Gleichung heißt Skalar k Eigenwert und Vektor x Eigenvektor der Matrix A. Aus der Matrizengleichung folgt nach Ausmultiplizieren und Umformung ein homogenes Gleichungssystem. I

x 1 + 4x 2 = k ⋅ x 1

| –k ⋅ x1

II

x 1 – 2 x 2 = k ⋅ x2

| – k ⋅ x2

I

x 1 – k ⋅ x 1 + 4x 2 = 0

II

x 1 – 2x 2 – k ⋅ x 2 = 0

I

( 1 – k )x 1 + 4x 2 = 0

II

x1 –( 2 + k ) x 2 = 0

I

( 1 – k )x 1 + 4x 2 = 0

II

( 1 – k )x 1 – ( 1 – k ) ( 2 + k ) x 2 = 0

(*)

4x 2 + ( 1 – k ) ⋅ ( 2 + k ) ⋅ x 2 = 0

| | mal ( 1 - k)

| I - II

Division durch x 2 , da x 1, x 2 ≠ 0 erfüllt ist: 4 + (1 – k) ⋅ (2 + k) = 0 2

4+2–k–k = 0

| mal -1

2

–6+k+k = 0 Diese Gleichung heißt Charakteristische Gleichung für das Eigenwert- und Eigenvektorproblem. Es gilt mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen: 1 1 k1, 2 = – --- ± --- + 6 ⇔ k 1 = 2 ; k 2 = – 3 4 2 Damit bestimmen k 1 = 2 und k2 = – 3 Eigenwerte der Gleichung A ⋅ x = k ⋅ x . Wähle zunächst k 1 = 2 zur Berechnung des Eigenvektors. Einsetzen in Gleichung (*) (*)

4x 2 + ( 1 – 2 ) ⋅ ( 2 + 2 ) ⋅ x 2 = 0 4x 2 – 4x 2 = 0 ⇔ 0x 2 = 0

250

9.3 Lineare Gleichungssysteme

KAPITEL 9

Da jede Zahl t für x 2 eine Lösung ist, folgt daraus die Parameterlösung x2 = t . Eigenvektorelement x 1 nach Einsetzen der gelösten Größen mit Gleichung I bestimmen. ( 1 – k )x 1 + 4x 2 = 0

I

entspricht

( 1 – 2 )x 1 + 4t = 0 ⇔ 4t = x 1

I

Damit sind alle Variablen gelöst und bestimmen für k = 2 die Parameterform des Eigenvektors x = 4t t Mit Eigenwert k = -3 gilt analog: (*)

4x 2 + ( 1 + 3 ) ⋅ ( 2 – 3 ) ⋅ x 2 = 0 4x 2 – 4x 2 = 0 ⇔ 0x 2 = 0 ⇒ x 2 = t

Einsetzen von k = -3 und t in I ( 1 + 3 )x 1 + 4t = 0 ⇔ x 1 = – t Für den Eigenwert k = - 3 existiert der Eigenvektor x = – t t Damit gibt es für die gegebene Matrix unendlich viele Eigenvektoren in Abhängigkeit des Prameters t. Daher gilt A ⋅ x = k ⋅ x ⇔ 1 4 ⋅ 4t = 2 ⋅ 4t 1 –2 t t oder A ⋅ x = k ⋅ x ⇔ 1 4 ⋅ –t = –3 ⋅ –t 1 –2 t t Die Wahl einer konkreten Zahl für den Parameter t ergibt sich in der Regel aus dem Anwendungsproblem. Hier sei als Beispiel t = 1 gewählt. Dann sind Eigenwert k = 2 und Eigenvektor 4 die gesuchten Größen der Matrix A = 2 – 1 . Es gilt 2 2 1 A ⋅ x= k ⋅ x ⇔ 1 4 ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 ⇔ 4 + 4 = 8 1 –2 1 1 4–2 2 D5 Für alle n x n - Matrizen A heißt ein Vektor x der Ordnung n Eigenvektor und ein Skalar k Eigenwert, falls gilt A ⋅ x= k ⋅ x .

251

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

9.3.3

Lösungsverfahren

Die in den bisherigen Beispielen betrachteten Linearen Gleichungssysteme waren wegen der überschaubaren Gleichungs- und Variablenzahl unter Anwendung des Additions- oder Subtraktionsverfahrens direkt lösbar. Viele Praxisanwendungen bedingen Gleichungssysteme mit sehr vielen Gleichungen und Variablen. Um im Lösungsweg solcher Systeme nicht den Überblick zu verlieren, wird folgend das Lösungsverfahren systematisiert. Dazu ein hinführendes Beispiel: B1

Gegeben sei die Gleichung A ⋅ x = b mit 1 0 0 0 0

2 –1 0 0 0

3 1 2 0 0

4 2 5 3 0

x1 9 5 x2 0 1 1 ⋅ x3 = 1 5 1 x4 2 1 x5

Gesucht ist das Lösungstupel des Variablenvektors. Nach Multiplikation der Matrize A mit Vektor x ist die Gleichung A ⋅ x = b äquivalent zur Summendarstellung: I

x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 = 9

II

– x 2 + x 3 + 2x 4 + x 5 = 0

III

2x 3 + 5x 4 + x 5 = 1

IV

3x 4 + x 5 = 5

V

x5 = 2

Mit Gleichung V ist

x5 = 2

Einsetzen in IV: IV

3x 4 + 2 = 5 ⇔ x 4 = 1

Gelöste Variablen in III. Gleichung einsetzen: III

2x 3 + 5 + 2 = 1 ⇔ 2x 3 = – 6 ⇔ x 3 = – 3

Alle mit der III. bis V. Gleichung gelösten Vaiablen in II einsetzen: II

– x2 – 3 + 2 + 2 = 0 ⇔ x2 = 1

Alle bekannten Variablenlösungen in I einsetzen: I

x 1 + 2 – 9 + 4 + 10 = 9 ⇔ x 1 = 2

Damit bestimmt das 5-Tupel ( 2, 1, -3, 1, 2) eine gemeinsame Lösung der 5 Gleichungen.

252

9.3 Lineare Gleichungssysteme

KAPITEL 9

Die Berechnung des Lösungstupels war in diesem Fall relativ einfach, weil ausgehend von der Gleichung V in jeder davorstehenden Gleichung genau eine Variable hinzukam. Deshalb reichte hier das Einsetzen der bekannten Variablengrößen zur Lösung der nächsten Variablen. Sonst übliche Äquivalenzumformungen des Gleichungssystems nach dem Additions- oder Subtraktionsverfahren waren nicht nötig, weil in der Koeffizientenmatrix unter der Hauptdiagonalen alle Koeffizienten null sind. Da die Nullen in der Koeffizientenmatrix einem Dreieck ähneln, hat das im Beispiel gegebene Gleichungssystem eine Dreiecks- oder Stufenform. D1 Ein Lineares Gleichungssystem hat eine Dreiecks- oder Stufenform, wenn in der Koeffizientenmatrix alle Koeffizienten unter der Hauptdiagonalen null sind. 1. Bemerkung: Jedes in Dreiecksform gegebene Lineare Gleichungssystem ist wie in Beispiel B 1 dargestellt lösbar. 2. Bemerkung: Jedes Lineare Gleichungssystem mit mehr als einer Gleichung ist durch Äquivalenzumformungen in eine Dreiecksform transformierbar. Die Vorgehensweise verdeutlicht das folgende Beispiel: B2

Bestimme für das folgende Gleichungssystem die Dreiecksform und das Lösungstupel

1 1 0 –1

2 1 –2 2

–2 –4 0 1

x1 3 5 x 1 ⋅ 2 = – 10 x3 2 –2 2 13 x4

Ziel ist es nun, unter der Hauptdiagonalen Nullen zu erzeugen. Dies gelingt durch Äquivalenzumformungen des Gleichungssystems. Zunächst wird das Gleichungssystem in die Summendarstellung umgeformt und geeignete Transformationen festgelegt, die die Nullen des 1. Spaltenvektors unter der Hauptdiagonalen erzeugen. Grundsätzlich sollte immer mit der 1. Spalte begonnen werden und anschließend die Herleitung der Nullen in der 2. , 3. Spalte u.s.w erfolgen. Folgende Transformationen des Gleichungssystems führen dabei zu äquivalenten Darstellungen: •

Multiplikation (Division) beider Terme einer Gleichung mit einer Zahl;

•

Addition oder Subtraktion der Gleichungsterme zweier Gleichungen;

•

Vertauschen von Gleichungen;

•

Vertauschen von Variablensummanden in allen Gleichungen (Spaltentausch).

253

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

I

x 1 + 2x 2 – 2 x 3 + 3x 4 = 5

II

x 1 + x 2 – 4x 3 + x 4 = – 10

III

0x 1 – 2x 2 + 0x 3 + 2x 4 = – 2

IV

– x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 13

| II - I | IV + I

Damit gilt: I

1x 1 + 2x 2 – 2 x 3 + 3x 4 = 5

II

0x 1 – x 2 – 2x 3 – 2x 4 = – 15

III

0x 1 – 2x 2 + 0x 3 + 2x 4 = – 2

IV

0x 1 + 4x 2 – x 3 + 5x 4 = 18

Dies entspricht der Matrixdarstellung 1 0 0 0

2 –1 –2 4

–2 –2 0 –1

x1 3 5 x – 2 ⋅ 2 = – 15 2 x3 –2 5 18 x4

Im nächsten Schritt wird das Gleichungssystem äquivalent so umgeformt, dass im 2. Spaltenvektor in der 3. und 4. Zeile Nullen erzeugt werden. Dabei ist darauf zu achten, dass alle Umformungen mit der 2. Zeile durchgeführt werden und hier niemals mit der 1. Zeile. Sonst werden bei Anwendung des Additions- oder Subtraktionsverfahrens Nullen der 1. Spalte „zerstört“. Nun folgt die Umformung in der Summendarstellung: I

1x 1 + 2x 2 – 2 x 3 + 3x 4 = 5

II

0x 1 – x 2 – 2x 3 – 2x 4 = – 15

III

0x 1 – 2x 2 + 0x 3 + 2x 4 = – 2

| III - 2 mal II

IV

0x 1 + 4x 2 – x 3 + 5x 4 = 18

| IV + 4 mal II

entspricht I II III IV

1x 1 + 2x 2 – 2 x 3 + 3x 4 = 5 0x 1 – x 2 – 2x 3 – 2x 4 = – 15 0x 1 + 0x 2 + 4x 3 + 6x 4 = 28 0x 1 + 0x 2 – 9x 3 – 3x 4 = – 42

Die in der Summendarstellung des Gleichungssystems erfolgten Umrechnungen sind mit viel weniger Schreibaufwand auch als Zeilenumformungen in der Matrixdarstellung realisierbar. Entsprechend gilt: 3. Zeile der Matrix- und des Konstantenvektors minus dem 2fachen der 2. Matrix- und Konstantenvektorzeile. Die Umformung der IV. Gleichung entspricht 4. Zeile plus 4 mal II. Zeile. Daraus folgt:

254

9.3 Lineare Gleichungssysteme

1 0 0 0

2 –1 0 0

–2 –2 4 –9

KAPITEL 9

x1 3 5 x – 2 ⋅ 2 = – 15 6 x3 28 –3 – 42 x4

Zur Erhaltung der bereits erzeugten Nullen wurden auch hier alle Umformungen der 2. Spalte mit der 2. Zeile durchgeführt. Für die vollständige Transformation in die Dreiecksform fehlt noch in der Koeffizientenmatrix eine Null in der 3. Spalte und 4. Zeile. Die Null wird erzeugt, indem zum 4-fachen der 4. Zeile in der Matrixdarstellung das 9-fache der 3. Zeile addiert wird. Kürzer: 4 ⋅ IV + 9 ⋅ III 1 0 0 0

2 –1 0 0

–2 3 x1 5 – 2 – 2 ⋅ x 2 = – 15 4 6 x3 28 0 42 84 x4

Damit hat das Gleichunssystem die Struktur wie das in B 1 gegebene System. Die Lösung der Variablen erfolgt nun ausgehend von der 4. Zeile der Matrixdarstellung durch Einsetzen der gelösten Variablen in die 3. bis 1. Zeile. IV

42x 4 = 84 ⇔ x 4 = 2

III

4x 3 + 6 ⋅ 2 = 28 ⇔ x 3 = 4

II I

– x 2 – 2 ⋅ 4 – 2 ⋅ 2 = – 15 ⇔ x 2 = 3 x 1 + 2 ⋅ 3 – 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 2 = 5 ⇔ x1 = 1

Damit bestimmt das Zahlentupel ( x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ( 1, 3, 4, 2 ) eine eindeutige Lösung des Gleichungssystems. Das in B 2 erläuterte Verfahren zum Lösen Linearer Gleichungssyseme nach Herleitung der Dreiecksform wird als Gaußscher Lösungsalgorithmus1 bezeichnet.

B3

1 4 . gesucht ist eine Matrix B so, dass das Produkt der 1 –2 Matrizen dem Einheitsvektor E entspricht. Gegeben sei die Matrix A mit

b b A ⋅ B = E ⇔ 1 4 ⋅ 11 12 = 1 0 b 21 b22 01 1 –2 Das Problem ist für vertraute Zahlen 1, 2, 3 oder a, b vergleichbar mit 1 Hier gilt mit b = --- der Ansatz a

a⋅b = 1

1 Carl Friedrich Gauß (1777–1855), Mathematiker, Physiker, Astronom.

255

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

1 a ⋅ b = 1 ⇔ a ⋅ --- = 1 a 1 --a

heißt inverses Element a

–1

der Zahl a.

Entsprechend ist für die obige Matrix A eine inverse Matrix B = A –1 A ⋅ A = E gesucht. Für die 4 Variablen der inversen Matrix

–1

mit der Eigenschaft

1 4 ⋅ b 11 b12 = 1 0 1 –2 b 21 b22 0 1 gilt nach Multiplikation der Matrizen die Summendarstellung eines Linearen Gleichungssystems I

b 11 + 4b21 = 1

II

b 11 – 2 b 21 = 0

II

b 12 + 4b22 = 0

IV

b 12 – 2 b 22 = 1

Äquivalente Darstellung als Matrizengleichung zur Herleitung der Dreiecksform. 1 1 0 0

0 0 1 1

4 –2 0 0

b 11 1 0 0 ⋅ b 12 = 0 b 21 0 4 1 –2 b 22

Da bei den Äquivalenzumformungen der Variablenvektor stets unverändert übernommen wird, sei folgendes vereinbart. Die Koeffizientenmatrix und der Konstantenvektor werden in einer erweiterten Koeffizientenmatrix zusammengefasst. In dieser erfolgt die Umformung in äquivalente Zeilen so, dass die Dreieicksform erzeugt wird. 1 1 0 0

0 0 1 1

4 –2 0 0

0 0 4 –2

1 0 0 1

Damit entsprechen die 4 Zeilenvektoren den Koeffizienten und Konstanten aller 4 Gleichungen. Analog beschreiben die 4 linken Spaltenvektoren die Koeffizienten der 4 Variablen und der rechte Vektor die Konstanten der 4 Gleichungen. Nun zur Herleitung der Dreiecksform. In der 1. Spalte fehlt lediglich in der 2. Zeile die Null der Dreiecksform. Diese folgt aus der Subtraktion der 1. von der 2. Zeile.

256

9.3 Lineare Gleichungssysteme

1 0 0 0

0 0 1 1

4 –6 0 0

0 0 4 –2

KAPITEL 9

1 –1 0 1

Nach Betrachtung der Matrix fällt auf, dass die 3. Spalte mit den Nullen in der 3. und 4. Zeile bereits die Struktur der Dreiecksform aufweist. Daher ist es sinnvoll, die Spalten zu tauschen. Der Tausch hat Konsequenzen für die Variablenzuordnung der Variablen b 12 und b 21 innerhalb des Lösungstupels. Auch diese werden getauscht. Daher gilt für das Lösungstupel folgende Variablenzuordnung. ( b11, b 12, b21, b 22 ) → ( b11, b 21, b 12, b22 ) 1 0 0 0

0 4 0 –6 1 0 1 0

0 0 4 –2

1 1 –1 0 0 0 ⇔ 1 0

b 12 b 21

4 –6 0 0

0 0 0 0 1 4 1 –2

1 –1 0 1

b 21 b 12

Die letzte fehlende Null unterhalb der Hauptdiagonalen folgt aus der Subtraktion der 3. Zeile von der 4. Zeile. 1 40 0 –6 0 0 01 0 00

0 0 4 –6

1 –1 0 1

Bestimmen des Lösungstupels ( b 11, b 21, b12, b 22 ) 4. Zeile

1 – 6b 22 = 1 ⇔ b22 = – --6

3. Zeile

1 2 b 12 – 4 ⋅ --- = 0 ⇔ b 12 = --6 3

2. Zeile

1 – 6b 21 = – 1 ⇔ b 21 = --6

1. Zeile

1 1 b 11 + 4 ⋅ --- = 1 ⇔ b 11 = --6 3

257

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

Damit sind alle Elemente der Inversen Matrix B = A

1 --1 4 A⋅B = E⇔ ⋅ 3 1 1 –2 --6

–1

1 2 --- --= 3 3 bestimmt und es gilt 1 1 --- – --6 6

2 --3 = 10 01 –1 --6

D2 Für alle n x n - Matrizen A heißt A A⋅A B4

–1

–1

inverse Matrix, falls gilt

= E

Gesucht ist das Lösungstupel ( a, b, c, d, e) der Gleichung 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

a 2 7 b 3 ⋅ 2 c = 4 4 d 6 5 e

Aus der 4 x 5 Koeffizientenmatrix folgt ein Lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 5 Variablen. Damit ist das Lösungstupel nur in Abhängigkeit eines Parameters t bestimmbar. Die Matrixgleichung ist äquivalent zur Vektorgleichung 1 a⋅ 0 +b⋅ 0 0

0 1 +c⋅ 0 0

0 0 +d⋅ 1 0

0 0 +e⋅ 1 0

2 7 3 = 2 4 4 6 5

Wegen der Einheitsvektoren ist es hier am geschicktesten, Variable e mit e = t als gelöst vorauszusetzen. Wie später gezeigt wird, ergibt sich für viele Anwendungsprobleme der spezielle Parameterwert t = 0. Dieser Fall sei hier vorausgesetzt. Dann gilt 2 e⋅ 3 ⇒0⋅ 4 6

2 3 4 6

Dies entspricht dem Nullvektor. Damit reduziert sich die Vektorgleichung auf eine Linearkombination aus Einheitsvektoren

258

9.3 Lineare Gleichungssysteme

1 a⋅ 0 +b⋅ 0 0

0 1 +c⋅ 0 0

0 0 +d⋅ 1 0

KAPITEL 9

0 7 0 = 2 0 4 1 5

Wie bereits im Kapitel Matrizenverknüpfungen gezeigt gilt 7 a 7 0 0 0 a 0 + b + 0 + 0 = 2 ⇔ b = 2 4 c 4 0 c 0 0 5 d 5 d 0 0 0 Damit legt jeder Einheitsvektor ein Element des Konstantenvektors als Lösung der zugehörigen Variablen fest. Insgesamt konnte hier das Lösungstupel ( a, b, c, d, e ) = ( 7, 2, 4, 5, 0 ) nach der Parameterentscheidung e = t = 0 abgelesen werden. Die Vektorgleichung (ohne Variable e) entspricht der Matrizengleichung 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 a 7 0 ⋅ b = 2 0 c 4 1 d 5

Entsprechend folgt aus der Einheitsmatrix die Gleichheit zwischen Variablenvektor und Konstantenvektor. Allgemein ist ein Lineares Gleichungssystem auf diese Art genau dann gelöst, wenn die Koeffizientenmatrix eine Einheitsmatrix ist. Bemerkung: Jedes Lineare Gleichungssystem mit m verschiedenen Gleichungen und m Variablen kann in eine äquivalente Einheitskoeffizientenmatrix umgeformt werden. Die Umformung einer Koeffizientenmatrix zur Einheitsmatrix ergibt sich aus der Fortsetzung des Verfahrens zur Herleitung der Dreiecksform. Dazu wird nochmals Beispiel B 3 aufgegriffen. B5

Fortsetzung B 3 Ausgehend von der erweiterten Koeffizientenmatrix 1 0 0 0

4 –6 0 0

0 0 1 0

0 0 4 –6

1 –1 0 1

wurde das Lösungstupel ( b 11, b 12, b21, b 22 ) der inversen Matrix

B = A

–1

1 --- 2 --= 3 3 1 1 --- – --6 6

259

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

durch Einsetzen in die Summendarstellung des Gleichungssystems bestimmt. Alternativ soll nun die erweiterte Koeffizientenmatrix so umgeformt werden, dass die linken vier Vektoren Einheitsvektoren sind. Das entspricht dann in der Matrizendarstellung des Gleichungssystems der Einheitsmatrix. Betrachte dazu 1 0 0 0

4 –6 0 0

0 0 0 0 1 4 0 –6

1 –1 0 1

Da die Matrix unterhalb der Hauptdiagonalen Dreiecksform hat, genügt es über der Hauptdiagonalen Nullkoeffizienten zu erzeugen. Ähnlich wie bei der Herleitung der Dreiecksform werden zunächst die Nullen der 4. Spalte erzeugt. Hier stört lediglich die 4 in der 3. Zeile. Zur Erzeugung der Null wird die 3. Zeile mit 6 multipliziert und zum 4-fachen der 4. Zeile addiert. 1 0 0 0

4 –6 0 0

0 0 6 0

0 0 0 –6

1 –1 4 1

Da die 2. Spalte bereits das 6-fache eines Einheitsvektors repräsentiert, wird die 1. Zeile mit der 2. Zeile so umgeformt, dass der 2. Koeffizient der 1. Zeile null wird. Dies gelingt nach Addition des 6-fachen der 1. Zeile zum 4-fachen der 2. Zeile. Damit gilt 6 00 0 0 –6 0 0 0 0 6 0 0 0 0 –6

2 –1 4 1

Abschließend werden die Einheitsvektoren der Matrix erzeugt. In der obigen Matrix sind dies noch Vielfache der Einheitsvektoren. Dividiere daher die 1. Zeile durch 6, die 2. durch -6, die 3. durch 6 und die 4. durch -6. Dann gilt 1 1 0 0 0 --3 1 0 1 0 0 --6 2 0 0 1 0 --3 1 0 0 0 1 – --6 Daraus folgt das bekannte Lösungstupel der inversen Matrix.

260

9.3 Lineare Gleichungssysteme

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

b 11 0 0 ⋅ b 21 0 b 12 1 b 22

KAPITEL 9

1 --3 1 --= 6 2 --3 1 – --6

Das Verfahren bietet sich in der Regel an, wenn nach Herleitung der 1. Dreiecksform bereits viele Nullen oberhalb der Hauptdiagonalen existieren. B6

Zu bestimmen ist das Lösungstupel ( a, b, c, d ) des Gleichungssystems I

a+b+d = 0

II

c–d = 1

III

b + d = –1

IV

–a–b–d = 0

Die Summendarstellung entspricht der erweiterten Koeffizientenmatrix 1 0 0 –1

1 0 1 –1

0 1 0 0

1 –1 1 –1

0 1 –1 0

Zunächst wird die Dreiecksform unter der Hauptdiagonalen erzeugt. Nach Betrachtung bereits existierender Nullen bietet sich ein Tausch der 2. und 3. Zeile an. Weiterhin folgt die fehlende Null in der letzten Zeile der 1. Spalte durch Addition der 1. zu der 4. Zeile. 1 0 0 0

1 1 0 0

0 0 1 0

1 1 –1 0

0 –1 1 0

Damit ist die Dreiecksform unter der Hauptdiagonalen erzeugt. Hier ergibt sich der Fall, dass das Hauptdiagonalenelemt in der 4. Zeile null ist. Daraus folgt für das Gleichungssystem eine Parameterlösung, weil alle Elemte des Zeilenvektors null sind. Es gilt damit für die Variable d die Lösung d = t für alle Zahlen t. Parameter t in die 4. Spalte derMatrix einsetzen. Wäre die Konstante der letzten Zeile eine Zahl k mit k ≠ 0 , hätte das Gleichungssystem wegen des Widerspruchs 0 ⋅ d = k ≠ 0 keine Lösung. Nun gilt

261

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

1 0 0 0

1 1 0 0

0 0 1 0

11 t 0 –t t – 1 –t ⇔ 0 1 00 – t 1 +t 00 0 0

0 0 1 0

– t I – II –1–t 1+t 0

Der Einheitsvektor der 2. Spalte folgt aus der Subtraktion der 2. von der 1. Zeile. 1 0 0 0

0 1 0 0

0 1 0 –1–t 1 1+t 0 0

Damit ist das Lösungstupel ( a, b, c, d ) = ( 1, -1 - t, 1 + t, t ). Die eindeutige Lösung der Variablen a mit a = 1 folgt hier daraus, dass sich nach der Subtraktion der 2. Zeile von der 1. Zeile der Parameter t der Konstanten aufhebt. – t – (– 1 – t) = – t + 1 + t = 1 Die Herleitung der Einheitsvektoren wird als vollständige Elimination der Koeffizienten unterund oberhalb der Hauptdiagonalen bezeichnet. Dieser Lösungsalgorithmus ist auch geeignet zur programmgesteuerten Lösung Linearer Gleichungssysteme mit einem programmierbaren Rechner. Neben der Systematisierung des Lösungsweges Linearer Gleichungssysteme gibt die Dreiecksform wesentliche Informationen zur Lösungsstruktur des Gleichungssystems. Die Zusammenhänge klären folgende Beispiele, in denen jeweils 4 Gleichungen mit 4 Variablen a, b, c, d betrachtet werden. Die als erweiterte Koeffizientenmatrix gegebenen Gleichungssysteme wurden jeweils in die Dreiecksform umgeformt. B7 1 0 0 0

1 –2 0 0 0 1 0 0

0 2 0 1

0 1 1 0

Hier signalisiert die Null in der 2. Zeile der Hauptdiagonalen, dass die Lösungsmenge leer ist oder unendlich viele Lösungen existieren. Es gilt 4. Zeile

d = 0

3. Zeile

c = 1

2. Zeile 0⋅b+0⋅c+2⋅d = 1⇔0⋅b+0⋅1+2⋅0 = 1⇔0 = 1 Damit ergibt sich aus der 2. Gleichung ein Widerspruch zu 0 ≠ 1 . Damit ist das Gleichungssystem nicht lösbar und die Lösungsmenge leer.

262

9.3 Lineare Gleichungssysteme

KAPITEL 9

B8 1 0 0 0

1 0 0 0

–2 0 1 0

0 2 0 1

0 0 1 0

Situation wie in B 7. Es gilt d = 0 und 0⋅b+0⋅c+2⋅d = 1⇔0⋅b = 0⇒b = t le:

c = 1.

Einsetzen

in

2.

Zei-

Lösungen der Variablen a, b, c in 1. Zeile einsetzen. a + b + –2 c + d = 0 ⇔ a + t – 2 + 0 = 0 ⇔ 2 – t Damit existiert für alle Zahlen t die Parameterlösung ( a, b, c, d ) = ( 2 – t, t, 1, 0 ) B9 1 0 0 0

1 –2 1 0 0 1 0 0

0 2 0 1

0 0 1 0

In diesem Fall existiert eine eindeutige Lösung, weil alle Elemente der Hauptdiagonalen ungleich null sind. Es gilt d = 0 , c = 1 Einsetzen in 2. Zeile: b + 0c + 2d = 0 ⇔ b = 0 Einsetzen in 1. Zeile: a + b – 2c + 0d = 0 ⇔ a + 0 – 2 ⋅ 1 + 0 = 0 ⇔ a = 2 Daraus folgt das eindeutige Lösungstupel ( a, b, c, d ) = ( 2, 0, 1, 0 ) Bemerkung: Nach Herleitung der Dreiecksform entspricht die Anzahl der Nullen in der Hauptdiagonalen der Anzahl der Parameter einer Parameterlösung bei Lösbarkeit des Gleichungssystems. B 10 1 0 0 0

1 –2 0 0 0 0 0 0

0 2 1 1

0 0 3 0

Aus den 2 Nullen in der Hauptdiagonalen folgen genau 2 Parameter s, t bei Lösbarkeit. Allerdings gilt hier mit d = 0 für die 3. Zeile 0 ⋅ c + 0 = 3 ⇔ 0 = 3 Aus dem Widerspruch zu 0 ≠ 3 folgt. dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist.

263

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

B 11 1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 1 1 0

1 0 0 0

Aus den 3 Nullen in der Hauptdiagonalen folgen bei Lösbarkeit 3 Parameter r, s, t. 4. Zeile:

0⋅d = 0⇒d = r

3. Zeile

0⋅c+1⋅d = 0⇔0⋅c+1⋅r = 0

Die Gleichung hat nur dann eine Lösung, wenn r = 0 gesetzt wird. Dann gilt 0 ⋅ c + 1 ⋅ 0 = 0 ⇒ c = s . Die Variable d hat damit die eindeutige Lösung d = 0 und legt nicht mehr eine Parameterlösung fest. Alles in die 2. Zeile einsetzen: 0⋅b+0⋅c+1⋅d = 0⇔0⋅b = 0⇒b = t Alles in die 3. Zeile einsetzen: a+b +c +d = 1⇔a+t +s+0 = 1⇔a = 1– t–s Damit bestimmt das Tupel ( a, b, c, d ) = ( 1 – t – s, t, s, 0 ) für alle Zahlen s, t eine Lösung des Gleichungssystems.

9.3.4

Ökonomische Anwendung

Ein Großhändler für Biodiesel lagert den Treibstoff an drei Standorten in Tanklagern L1, L2, L3. Versorgt werden die drei Lager von 2 Produzenten P1 und P2. Da alle Lager einen Gleisanschluss haben, erfolgt der Transport mit Tankwaggons. Der periodische Bedarf der Lager beträgt 20 Waggons Biodiesel, die auf die Lager wie folgt verteilt werden. L1

L2

L3

8

5

7

7 Waggons werden aus der Produktionsanlage P1 und 13 aus der Anlage P2 bezogen. Gesucht ist ein Tourenplan, mit dem festgelegt wird, wie die Treibstoffverteilung von den Produzenten in die Lager erfolgt. Dafür ist die Anzahl der Waggons zu bestimmen, mit denen die Produzenten die Verteilung in die Lager vornehmen. Da die Verteilung zunächst unbekannt ist, gilt mit den Verteilungsvariablen a, b, c, d, e, f für die jeweilige Waggonzahl

264

L1

L2

L3

P1

a

b

c

P2

d

e

f

9.3 Lineare Gleichungssysteme

KAPITEL 9

Produzent P1 liefert demnach a Waggons zum Lager L1, b Waggons zum Lager L2 und c Waggons zum Lager L3. Da der Händler insgesamt 7 Waggons von dem Produzenten bezieht, entspricht die Verteilung der Gleichung I

a+b+c = 7

Analog folgt eine weitere Gleichung aus der Versorgung der Lager mit den 13 Waggons Treibstoff des 2. Produzenten II

d + e + f = 13

Aus den 2 Gleichungen mit 6 Variablen folgt ein untererfülltes Lineares Gleichungssystem, das daher nicht eindeutig lösbar ist. Ein mögliches Lösungstupel des Gleichungssystems ist ( a, b, c, d, e, f ) = ( 4, 2, 1, 6, 4, 3 ) übersichtlicher dargestellt L1

L2

L3

P1

a=4

b=2

c=1

P2

d=6

e=4

f=3

Nun ist zu klären, ob das Lösungstupel einen möglichen Tourenplan bestimmt. Lager L1 bezieht demnach 4 Waggons von Produzent P1 und 6 Waggons von Produzent P2. Da aber die Summe von 10 Waggons nicht dem Bedarf von 8 Waggons entspricht, legt das Lösungstupel keinen geeigneten Tourenplan fest. Die Variablen a, d sind daher so zu wählen, dass folgende Gleichung erfüllt ist. III

a+d = 8

Analog folgen aus dem Bedarf der Lager L2 und L3 die Gleichungen IV

b+e = 5

V

c+f = 7

Damit folgt ein Tourenplan aus der Lösung eines Linearen Gleichungssystems mit 5 Gleichungen und 6 Variablen. Dieses Gleichungssystem ist ebenfalls untererfüllt und nicht eindeutig lösbar. Eine vereinfachte Darstellung des Gleichungssystems bietet folgende Tabelle, die mit den Zeilenvektoren P1, P2 die entsprechenden Gleichungen I, II und mit den Spaltenvektoren L1, L2, L3 die Gleichungen III, IV und V repräsentiert. L1 - III

L2 - IV

L3 - V

P1 - I

a

b

c

7

P2 - II

d

e

f

13

8

5

7

20

265

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

Eine mögliche Lösung ist bestimmbar, indem für Variable a als Parameterlösung konkret eine Waggonzahl gewählt wird, die gemäß der Produzenten- oder Bedarfsbeschränkung zulässig ist. Wähle z. B. a = 7 Waggons. Für d folgt daraus d = 1 Waggon. Die weiteren Lösungen ergeben sich analog. Damit gilt als ein möglicher Tourenplan. L1 - III

L2 - IV

L3 - V

P1 - I

7

0

0

7

P2 - II

1

5

7

13

8

5

7

20

L1 - III

L2 - IV

L3 - V

P1 - I

4

2

1

7

P2 - II

4

3

6

13

8

5

7

20

Mit a = 4 folgt ein weiterer Tourenplan.

Die Waggonzahl a beträgt maximal a = 7 und minimal a = 0. Daraus folgen für das Gleichungssystem 8 Lösungen, mit denen zulässige Tourenpläne kombinierbar sind. Da die Beförderung des Treibstoffs für jeden Waggon Kosten verursacht, ist ein Tourenplan so zu bestimmen, dass die Kosten minimiert werden. Die Transportkosten pro Waggon sind wegen der unterschiedlichen Entfernungen der Standorte Lager - Produzent unterschiedlich hoch. Die Kosten pro Waggon in Geldeinheiten (GE)1 beschreibt das Verflechtungsdiagramm

L1 10

L2 2

12 5

P1

P2

8

9 L3

1 Geldeinheiten (GE) einer Phantasiewährung.

266

9.3 Lineare Gleichungssysteme

KAPITEL 9

Daraus folgt die Transportkostenmatrix L1

L2

L3

P1

10 GE

2 GE

8 GE

P2

12 GE

5 GE

9 GE

Die Gleichung K = 10a + 2b + 8c + 12d + 5e + 9f bestimmt die Transportkosten K für einen Tourenplan. Für den Tourenplan mit a = 7 betragen die Tansportkosten K K = 10 ⋅ 7 + 2 ⋅ 0 + 8 ⋅ 0 + 12 ⋅ 1 + 5 ⋅ 5 + 9 ⋅ 7 ⇔ K = 170 Für a = 4 betragen die Transportkosten K K = 10 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 + 8 ⋅ 0 + 12 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2 + 9 ⋅ 7 ⇔ K = 167 Damit sind für diesen Tourenplan die Transportkosten mit 167 GE geringer als im ersten Beispiel mit 170 GE. Zur Bestimmung des kostenminimalen Tourenplans werden alle Lösungskombinationen für a = 7, a = 6, ....... a = 1, a = 0 in folgender Tabelle verglichen.

Plan

a

b

c

d

e

f

K

1

7

0

0

1

5

7

170

2

6

1

0

2

4

7

169

3

5

2

0

3

3

7

168

4

4

3

0

4

2

7

167

5

3

4

0

5

1

7

166

6

2

5

0

6

0

7

165

7

1

5

1

7

0

6

166

8

0

5

2

8

0

7

167

Die 20 Waggons sollten nach Plan 6 von den Produktionsstandorten auf die Lagerstandorte verteilt werden. L1

L2

L3

P1

a=2

b=5

c=0

P2

d=6

e=0

f=7

267

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

Jede andere Verteilung der Waggons auf die Lager führt zu höheren Transportkosten. Der hier praktizierte Ansatz zur Minimierung der Transportkosten heißt Nord-West-Ecken-Methode, weil der kostenminimale Tourenplan von der Tourenzahl a in der nördlichsten und westlichsten Ecke der Tourverteilungstabelle abhängt. Die Nord-West-Ecken-Methode ist für komplexe Tourverteilungen – viele Anbieter und viele Abnehmer – mit hohem Rechenaufwand verbunden. Für diese Fälle ist die Transportkostenminimierung mit Tabellenkalkulationen oder maßgeschneiderten Computerprogrammen automatisierbar. Abschließend sei bemerkt, dass es sich bei der Transportkostenminimierung um die Lösung eines Extremwertproblems handelt, das mit Hilfe der Differentialrechnung nicht lösbar ist. Die Transportkostenminimierung erfolgte durch systematisches Lösen eines Linearen Gleichungssystems. Diese Vorgehensweise wird auch als Lineares Optimieren oder Lineares Programmieren bezeichnet. In Kapitel 8.4 folgt die Vertiefung Linearer Optimierungen.

9.3.5

Fragen und Aufgaben

Lösen Sie die in verschiedenen Darstellungen gegebenen Linearen Gleichungssysteme. Bedenken Sie dabei, dass nicht alle Linearen Gleichungssysteme eine eindeutige Lösung haben! 9.7

x + 4y = 2 , x – 2y = 8 und x + y = 5

9.8

3x – y = 0 , 5x + y = 16 und 7x – 3y = – 5

9.9

1 00 a 7 ⋅ = 0 10 b 4 0 01 c 9

9.10

2 3 ⋅ u = 14 0 1 v 2

9.11

23 ⋅ u = 3 11 v 0

9.12

42 ⋅ u = 1 21 v 3

9.13

1 11 a 0 ⋅ = 0 02 b 6 0 01 c 3

9.14

12 3 a 14 2 3 2 ⋅ b = 14 11 4 c 15

9.15

268

a + b – c = 1 und a – b + c = 3

9.4 Lineare Optimierungen

9.16

x + y + 3z = 0 und x – y + 5z = 0

9.17

2 0 0 1 r 0 +s 1 +t 1 = 0 6 2 0 0

9.18

1 1 1 1 r 2 +s 1 +t 1 = 2 –3 2 0 –1

KAPITEL 9

9.19

Student K. hat in der Mensa die Bekanntschaft zweier Kommilitoninnen gemacht. Auf die Frage nach deren Alter erhielt er die Information, dass das gemeinsame Alter der Kommilitoninnen bei einem Altersunterschied von 5 Jahren genau 47 Jahre beträgt. Bestimmen Sie das Alter der Kommilitoninnen.

9.20

Busunternehmer T. ist verzweifelt. Schon vor Wochen hat er den Bedarf an Bussen des Typs I und II für einen Firmenausflug berechnet. Nun ist ihm auf seine Kalkulation eine Tasse Kaffee ausgekippt und die Verteilung der Busse ist unlesbar. Lesbar ist noch mit 360 die Gesamtzahl der zu befördernden Personen und mit 2400 € das Auftragsvolumen. Bekannt ist auch, dass alle Plätze in den Bussen besetzt sind. In einen Bus des Typs I passen 40 und einen Bus des Typs II 60 Fahrgäste. Ein Bus des Typs I kostet 320 € und ein Bus des Typs II 360 €. Bestimmen Sie die Anzahl des Bustyps I und die Anzahl des Bustyps II, die zur Beförderung unter den gegebenen Bedingungen benötigt werden.

9.21

Zur Herstellung eines Fruchtsaftgetränks können drei Grundsorten Saft A, B und C eingesetzt werden. Der Fruchtanteil von A beträgt 20 %, der von B 40 % und der von C 70 %. Aus den drei Grundsorten soll 1 Liter Fruchtsaft mit 50 % Fruchtanteil gemischt werden. Bestimmen Sie 2 alternative Lösungen für das Problem.

9.4

Lineare Optimierungen

9.4.1

Grundlegendes zur Ressourcenknappheit und Nutzenmaximierung

Lineare Optimierungen sind ein Teilgebiet des Operations Research. Darunter versteht man den Einsatz mathematischer Modelle zur optimalen Lösung eines Planungsproblems. In Kapitel 8.3.4 wurde mit der Transportkostenminimierung bereits ein Beispiel einer Linearen Optimerung eingeführt. Vorbemerkung zu einigen hinführenden Beispielen: Ein Problem, das sich aus der kugelähnlichen Gestalt der Erde ergibt ist, dass Landflächen für eine Nutzung durch Menschen nicht endlos zur Verfügung stehen. Daher stellt sich die Frage, wie Land am sinnvollsten verwertet werden kann, um einen möglichst großen Nutzen zu erzielen. B1

Der Englische Garten in München ist z. B. ein großer Park, der mitten im Stadtgebiet den Münchnern und ihren Gästen zur Naherholung oder Freizeitgestaltung dient. Dies ist eine

269

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

mögliche Nutzung des Areals. Der Park könnte alternativ auch als Parkplatz, Gewerbegebiet mit Industrieansiedlung, Wohnanlage, landwirtschaftliche Nutzfläche o. ä. funktional genutzt werden. Zu klären ist, ob die derzeitige Funktion oder eine andere den Nutzen für die Bevölkerung optimiert. Unter der Prämisse, dass die Lebensqualität der Stadtbevölkerung optimiert werden soll, ist die derzeitige Nutzung sicher optimal. In anderen Fällen ist die Entscheidung eines Ressourcenverbrauchs zur Optimierung eines Nutzens nicht so einfach wie beim Freizeitproblem. B2

An einer stark frequentierten städtischen Ausfallstraße soll ein Einkaufsmarkt einer Handelskette für Güter des täglichen und längerfristigen Bedarfs errichtet werden. Dafür steht eine Gewerbefläche von 1 ha zur Verfügung. Nun ergibt sich aus der Grundstücksbeschränkung folgender Nutzenkonflikt. Da es an der Ausfallstraße keine Parkmöglichkeiten gibt, muß für jeden Kunden ein freier Parkplatz zur Verfügung stehen. Das heißt, dass der Einkaufsmarkt nur von vielen Kunden gleichzeitig frequentiert wird, wenn genügend Parkraum p zur Verfügung steht. Damit reduziert sich aber die Restfläche v, die als Verkaufsfläche zur Verfügung steht. Eine zu kleine Verkaufsfläche v senkt das Warenangebot und bedingt trotz ausreichender Parkplätze ein Fernbleiben der Kunden. Umgekehrt wird ein gigantisches Warenangebot nicht angenommen, wenn permanent kein Parkraum p zur Verfügung steht.

Parkraum p

Verkaufsfläche v

Hier gilt es die Variablen p und v des Parkraums und der Verkaufsfläche so zu wählen, dass die Gleichung p + v = 1ha ⇔ p + v = 10000 m

2

erfüllt ist und ein Nutzen maximiert wird. Dieser Nutzen könnte z. B. in einer Umsatzoptimierung bestehen. Folgende Randbedingungen zeigen, dass in Abhängigkeit der Parkoder Verkaufsfläche der Umsatz U steigt oder fällt. (1)

p = 1ha ⇒ v = 0ha ⇒ U = 0 €

(2)

v = 1ha ⇒ p = 0ha ⇒ U = 0 €

Damit beträgt der Umsatz 0 €, wenn kein Parkraum zur Verfügung steht, oder wenn die gesamte zur Verfügung stehende Fläche als Parkplatz erschlossen wird. Mit wachsendem p ist davon auszugehen, dass der Umsatz steigt. Da allerdings die Verkaufsfläche v damit sinkt, ist das Verkaufsangebot ab einer Parkfläche p so eingeschränkt, dass der Umsatz 270

9.4 Lineare Optimierungen

KAPITEL 9

wieder fällt. Eine genaue Entscheidung zur Wahl der Flächen p und v ist hier aus den gegebenen Bedingungen nicht möglich, weil nicht bekannt ist, welches Warenmindestangebot die Kundenzielgruppe erwartet. Auch ist unbekannt wie hoch der Umsatz mit einem „Parkplatz“ im Mittel ist und wie sich der Umsatz auf Güter des täglichen Bedarfs und längerfristigen Bedarfs verteilt. Daraus ergibt sich bereits das nächste Optimierungsproblem. Wie soll die Verkaufsfläche zur Umsatzmaximierung für Güter des täglichen Bedarfs und längerfristigen Bedarfs verteilt werden. Insgesamt folgt aus der Planung der Ressourcenvergabe für einen Einkaufsmarkt sehr viel Optimierungsbedarf.

9.4.2

Nutzenmaximierung – Graphischer Lösungsansatz

Die folgenden Beispiele dienen der Hinführung zum allgemeinen mathematischen Ansatz einer Nutzenmaximierung. B3

Student K. plant seine jährliche Geburtstagsfeier. In diesem Jahr soll Bier in Strömen fließen. Das Vorhaben scheitert aber an den eingeschränken Kühlkapazitäten seiner Wohnung. Student K. kann in der Badewanne und dem Kühlschrank maximal 120 Bierflaschen kühl halten. Durch diese Kühlbeschränkung ist die positive Zahl x der Bierflaschen auf weniger als 120 oder maximal 120 begrenzt. Diesen Zusammenhang beschreibt die folgende Ungleichung I

x ≤ 120

Mit x = 120 Flaschen werden die Kühlkapazitäten vollständig verbraucht. Für den Bierkauf hat Student K 40 € zur Verfügung. Eine Flasche Bier kostet 0,50 €. Daraus ergibt sich eine weitere Beschränkung für die Zahl x der Bierflaschen. II

0, 5 ⋅ x ≤ 40

Wegen 0, 5 ⋅ 80 = 40 kann Student K. maximal 80 Flaschen Bier einkaufen. Damit beschränkt die Geldkapazität die maximale Zahl x der Bierflaschen mehr als die Kühlbeschränkung I mit x = 120 Flaschen. Aus der Differenz der verbrauchten Kapazität x = 80 und der zur Verfügung stehenden Kühlkapzität von 120 Flaschen folgt, dass eine Restkapazität y 1 für 40 Flaschen in der Kühlung zur Verfügung steht. Folgende Gleichung verdeutlicht den Zusammenhang I

x + y 1 = 120

Mit x = 80 folgt die Gleichung 80 + y 1 = 120 ⇔ y 1 = 40 . Hier beschreibt Variable x die verbrauchte Kapazität der 120 Flaschen Gesamtkapazität und die Variable y 1 die nicht verbrauchte Kapazität. Im Zusammenhang mit den später folgenden Linearen Optimierungen heißt die Restkapazitätvariable y 1 Schlupfvariable. Allgemein lassen sich derartige Beschränkungen durch eine Gleichung der Art verbrauchte Kapazität + Restkapazität = Gesamtkapazität

271

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

beschreiben. Da Student K. auch weniger als 40 € für Bier ausgeben kann, folgt für die Beschränkungen x + y 1 = 120

I II

0, 5x + y 2 = 40

Die Gleichungen beschreiben für jede festgelegte Menge Bierflaschen x, die nicht verbrauchten Kühl- und Geldkapazitäten. Die 2 Gleichungen definieren ein Lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen. Damit ist das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar und die Lösung einer Variablen wird als Parameterlösung festgelegt, d.h. es gibt eine Vielzahl von Lösungen. Unser Student K ist aber nur an einer Lösung interessiert. Seine Zielsetzung besteht darin, soviel Bier wie möglich anzubieten. In dem Fall ist die Bierflaschenvariable x maximal. In diesem Beispiel ist leicht nachzuvollziehen, dass K sein Ziel erreicht, indem er sein gesamtes Geld ausgibt. So ergibt sich für die Schlupfvariable y 2 der Wert null. Bei einem Linearen Optimierungsproblem mit n Variablen und m Gleichungen werden stets m – n der Lösungen null gesetzt. Gewählt wird hier als Nulllösung die Schlupfvariable, die die Bierbereitstellung am meisten beschränkt. Wie oben gezeigt, ist dies hier die Schlupfvariable y 2 der Geldbeschränkung. Setze

y2 = 0

Einsetzen in II: 0, 5x + 0 = 40 ⇔ x = 80 Einsetzen in I: 80 + y 1 = 120 ⇔ y 1 = 40 Aus dem Lösungstupel ( x, y 1, y 2 ) = ( 80, 40, 0 ) folgt hier nochmals, dass Student K. unter Berücksichtigung der Kühl- und Geldbeschränkung maximal 80 Flaschen Bier bereitstellen kann. Kühlressourcen für 40 Flaschen werden nicht verbraucht. Die Geldressourcen verbraucht Student K. vollständig. B4

Goldschmiedin G. produziert in Heimarbeit Ringe und Ketten. Die Variablen x 1, x 2 bestimmen allgemein die Produktionszahlen der Ringe und Ketten. Für die Eilanfrage eines Schmuckhändlers über 60 Ringe und 40 Ketten gilt demnach x 1 = 60 und x 2 = 40. Die Lieferung soll in spätestens 1 Woche erfolgen. Die wöchentliche Arbeitszeit der Goldschmiedin beträgt maximal 54 Stunden. Ein Ring verbraucht 2 Stunden Fertigungszeit, eine Kette 3 Stunden. Wegen der Zeitbeschränkung ist zu klären, ob die angefragte Fertigungskombination aus Ringen und Ketten in einer Woche realisierbar ist. Da von den maximal 54 Fertigungsstunden jeder Ring 2 Stunden Zeit und jede Kette 3 Stunden Zeit verbraucht, gilt: 2 ⋅ 60 + 3 ⋅ 40 ≤ 54 ⇔ 240 ≤ 54 ⇒ Widerspruch zu 240 ≥ 54 Damit ist wegen der Zeitbeschränkung die geplante Fertigungskombination in einer Woche nicht realisierbar. Auch ein Einsatz rund um die Uhr über 7 Tage reicht mit 7 ⋅ 24 = 168 Stunden nicht aus, um die Fertigungszeit von 240 Stunden abzudecken. Die-

272

9.4 Lineare Optimierungen

KAPITEL 9

se Betrachtung zeigt, dass Zeit generell ein sehr knappes Gut ist. Gesucht sind nun die Produktionskombinationen x 1, x 2 für Ringe und Ketten, die maximal 54 Stunden Fertigungszeit verbrauchen. x 1, x 2 ist genau dann eine zulässige Produktionskombination, wenn folgende Ungleichung erfüllt ist: 2 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 2 ≤ 54 Da Fertigungszahlen stets null oder positiv sind, gibt es in Abhängigkeit der Ungleichung endlich viele Fertigungskombinationen x 1, x 2 . Unter allen Kombinationen x 1, x 2 wird genau dann die zur Verfügung stehende Zeit von 54 Stunden restlos verbraucht, wenn der linke Term der Ungleichung mit dem rechten Term gleich ist. Dann gilt 2 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 2 = 54 Diese lineare Gleichung mit 2 Variablen erzeugt als Bild in einem Koordinatensystem eine Gerade. Damit legen alle Punkte P ( x 1, x 2 ) mit x 1, x 2 positiv und keine Bruchzahl Fertigungskombinationen so fest, dass die zur Verfügung stehende Zeit restlos ausgenutzt wird. Wegen der Struktur der Geradengleichung bietet sich zur schnellen Darstellung eine Umformung der Gleichung in die Achsenabschnittsform an. 2 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 2 = 54 | : 54 x x -----1- + -----2- = 1 27 18 Aus den Nennern folgen nun die Schnittpunkte (27 / 0) und (0 / 18) mit den Koordiantenachsen. x2

Skizze

18

27

x1

Damit liegen alle zulässigen Fertigungskombinationen x 1, x 2 innerhalb des Dreiecks oder auf dem Rand des Dreiecks, das die Achsenschnittpunkte mit dem Ursprung des Koordinatensystems festlegt. Fertigungspunkte, die auf der Hypotenuse liegen, verbrauchen die zur Verfügung stehende Zeitkapazität restlos. Goldschmiedin G. kauft wöchentlich für die Schmuckfertigung Materialien wie Gold und Edelsteine ein. Für den Einkauf kann sie maximal 1560 € aufbringen. Die Materialkosten für einen Ring betragen 80 €, für eine Kette nur 60 €, weil die Kette edelsteinfrei ist. Daraus ergibt sich neben der Wochenzeitbeschränkung eine weitere Beschränkung der Produktion. Bedingt durch die Kapitalbeschränkung von 1560 € sind nur Ringe und Kettenkombinationen x 1, x 2 herstellbar, die folgende Ungleichung erfüllen. 273

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

80 ⋅ x 1 + 60 ⋅ x 2 ≤ 1560 Mit dem einsetzbaren Kapital könnten z. B. 4 Ringe und 20 Ketten gefertigt werden, weil die Ungleichung 80 ⋅ 4 + 60 ⋅ 20 ≤ 1560 ⇔ 1520 ≤ 1560 erfüllt ist. Allerdings stellt sich nun die Frage, ob das Fertigungspaar (4, 20) auch eine mögliche Kombination der Zeitbeschränkung ist. Einsetzen in Zeitbeschränkungsungleichung 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 20 ≤ 54 ⇔ 68 ≤ 54 ⇒ Widerspruch zu 68 ≥ 54 Wegen des Widerspruchs ist die Fertigungskombination (4, 20) nicht realisierbar. In diesem Fall schränkt die Zeitbeschränkung die Produktion stärker als die Kapitalbeschränkung ein. Gesucht sind nun alle Ring-Kettenkombinationen x 1, x 2 so, dass sowohl die Zeitbeschränkung (I) wie auch Kapitalbeschränkung (II) erfüllt ist. Dafür werden die Lösungspunkte beider Ungleichungen im Koordinatensystem dargestellt. Es gilt (I)

2 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 2 ≤ 54

(II)

80 ⋅ x 1 + 60 ⋅ x 2 ≤ 1560

In Achsenabschnittsform umstellen x x (I) -----1- + -----2- = 1 27 18 (II)

x1 x + -----2- = 1 -----------19, 5 26

x2 Skizze

26

18

II I S

19,5

26

x1

Damit liegen alle Fertigungskombinationen innerhalb oder auf dem Rand der Fläche, die von den Koordinatenachsen und den Geraden der Beschränkungen begrenzt wird. Im Schnittpunkt S der Geraden sind sowohl die Zeit- als auch die Kapitalressource restlos erschöpft. Die Schnittpunktkoordianten folgen aus der Randbedingung der Beschränkungen (I) und (II). Es gilt

274

9.4 Lineare Optimierungen

(I)

2 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 2 = 54

(II)

80 ⋅ x 1 + 60 ⋅ x 2 = 1560

KAPITEL 9

Nach Lösung des Linearen Gleichungssystems gilt x 1 = 12 und x 2 = 10 . Mit der Fertigung von 12 Ringen und 10 Ketten werden die zur Vergügung stehenden Arbeitsstunden und das Kapital für den Materialeinkauf vollständig verbraucht. Probe (I) (II)

2 ⋅ 12 + 3 ⋅ 10 = 54 ⇔ 54 = 54 80 ⋅ 12 + 60 ⋅ 10 = 1560 ⇔ 1560 = 1560

Da Goldschmiedin G nicht nur viel Freude an der Fertigung von Ringen und Ketten hat, sondern mit ihrer Arbeit und dem eingesetzten Kapital auch möglichst viel verdienen will, ist ihr Nutzen maximal, wenn sie ihren Deckungsbeitrag1 maximiert. Das heißt, aus den realisierbaren Mengenkombinationen von Ringen und Ketten ist diejenige zu ermitteln, die maximalen Deckungsbeitrag verspricht. Der Deckungsbeitrag pro Stück ergibt sich aus dem gebotenen Preis abzüglich der Materialkosten. Der Stückdeckungsbeitrag für einen Ring beträgt 50 €, der Stückdeckungsbeitrag einer Kette 30 €. Damit gilt für den Gesamtdeckungsbeitrag D einer Fertigungskombination x 1, x 2 D = 50 ⋅ x 1 + 30 ⋅ x 2 Wenn nicht produziert wird, ergibt sich der minimale Gesamtdeckungsbeitrag bei x 1 = 0 und x 2 = 0 mit D = 0 €. Mit zunehmenden Fertigungszahlen steigt D. Gesucht ist nun eine Fertigungskombination x 1, x 2 , die die Beschränkungen oder Nebenbedingungen erfüllt und den Gesamtdeckungsbeitrag D maximiert. Dies führt zu folgenden Optimierungsansatz. Maximiere den Deckungsbeitrag

D = 50 ⋅ x 1 + 30 ⋅ x 2

unter den Beschränkungen oder Nebenbedingungen (I)

2 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 2 = 54

(II)

80 ⋅ x 1 + 60 ⋅ x 2 = 1560

und der Nichtnegativitätsbedingung

x 1, x 2 ≥ 0

Die Bestimmung des gewinnmaximalen Lösungstupels ( x 1, x 2, D ) erfolgt durch Deckungsbeitragsvergleich. Da die Stückdeckungbeiträge beider Produkte positiv sind, gilt: Je mehr produziert wird, desto größer ist der Gesamtdeckungsbeitrag. Also überprüft man nicht alle Mengenkombinationen, die realisierbar sind, sondern nur die Fertigungskombinationen, die die zur Verfügung stehenden Ressourcen möglichst restlos verbrauchen. Das sind genau die Punkte im Koordinatensystem, die auf dem äußeren Rand der Fläche liegen, die die zulässigen Fertigungskombinationen festlegt. 1 Der Gewinn ergibt sich aus dem Gesamtdeckungsbeitrag abzüglich der fixen Kosten. Da die fixen Kosten durch die Produktionsentscheidung nicht beeinflusst werden, wird im Folgenden nur der Deckungsbeitrag betrachtet. Wird der Deckungsbeitrag maximiert, wird auch der Gewinn maximiert.

275

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

Gewählt wird zunächst mit Punkt S eine Fertigungskombination, von der wegen des vollständigen Ressourcenverbrauchs erwartet wird, dass der Deckungsbeitrag maximal sein sollte. Mit Punkt S( 12 / 10) gilt der Deckungsbeitrag D = 50 ⋅ 12 + 30 ⋅ 10 ⇔ D = 900 Für eine Fertigung von 12 Ringen und 10 Ketten beträgt der Gesamtdeckungsbeitrag 900 €. Nun ist noch zu klären, ob dies tatsächlich der maximale Deckungsbeitrag ist. Dazu erfolgt ein Vergleich der Deckungsbeiträge in den Achsenschnittpunkten ( 0 / 18) und (19,5 / 0). Im Punkt (0 / 18 ) beträgt der Deckungsbeitrag D = 50 ⋅ 0 + 30 ⋅ 18 ⇔ D = 540 Damit ist der Deckungsbeitrag mit 540 € für diese Kombination deutlich niedriger. Für den Schnittpunkt (19,5 / 0) ist zu bedenken, dass kein halber Ring verkaufbar ist. Daher wird der Deckungsbeitrag für die Kombination x 1 = 19 und x 2 = 0 bestimmt. Es gilt D = 50 ⋅ 19 + 30 ⋅ 0 ⇔ D = 950 Damit folgt aus dem Lösungstupel ( x 1, x 2, D ) = ( 19, 0, 950 ) etwas überraschend mit 950 € ein höherer Gesamtdeckungsbeitrag als für die Kombination im Punkt S. Der maximale Deckungsbeitrag, der unter den gegebenen Bedingungen realisierbar ist, beträgt damit 950 € für 19 Ringe und null Ketten. Es gibt keinen höheren Deckungsbeitrag, weil im Koordinatensystem zwischen den Punkten ( 0 / 0 ) und ( 19 /0 ) der Deckungsbeitrag linear wächst und zwischen den Geradenpunkten (19 / 0) und S der Deckungsbeitrag linear von 950 € auf 900 € fällt. Alle weiteren Punkte im Koordinatensystem, die zulässige Fertigungskombinationen definieren, ergeben einen niedrigeren Deckungsbeitrag, weil beide Ressourcen (I) und (II) nicht vollständig verbraucht werden. Abschließend wird für die gewinnmaximale Lösung der Ressourcenverbrauch untersucht. Nach Einführung der Schlupfvariablen y 1, y 2 , die die Restkapazität der Beschränkungen I und II festlegen, gilt (I)

2 ⋅ x 1 + 3 ⋅ x 2 + y 1 = 54

(II)

80 ⋅ x 1 + 60 ⋅ x 2 + y 2 = 1560

Einsetzen von x 1 = 19 und

x2 = 0

(I)

2 ⋅ 19 + 3 ⋅ 0 + y 1 = 54 ⇔ y 1 = 16

(II)

80 ⋅ 19 + 60 ⋅ 0 + y 2 = 1560 ⇔ y 2 = 40

Die nicht verbrauchten 40 € Kapital ergeben sich daraus, dass eigentlich 19,5 Ringe den Gesamtdeckungsbeitrag maximieren. Aus den nicht verbrauchten 16 Arbeitsstunden folgt hier das eher seltene Ergebnis einer Gewinnmaximierung mit gleichzeitigem Freizeitgewinn.

276

9.4 Lineare Optimierungen

KAPITEL 9

Die in B2 betrachtete Vorgehensweise zur Gewinnmaximierung läßt sich für zwei Produkte P1, P2, die in den Mengen x 1, x 2 unter drei Beschränkungen I, II, III produziert werden, wie folgt verallgemeinern. x2 B I

C II D III

A

E x1

Die aus den Schnittpunkten der Beschränkungen folgenden Punkte B, C, D, E schließen mit dem Ursprung A eine Fläche ein, deren Punkte zulässige Produktionskombinationen x 1, x 2 beschreiben. Alle Punkte außerhalb der Fläche bestimmen Paare x 1, x 2 , die mit den gegebenen Ressourcen nicht realisierbar sind. Die Punkte B, C, D, E bestimmen einen Streckenzug oder Polygonzug mit der Eigenschaft, dass jeder Punkt des Polygonzuges eine Produktionskombination x 1, x 2 festlegt, mit der wenigstens eine der Ressourcen I, II, III vollständig verbraucht wird. Deshalb folgt eine Gewinnmaximierung grundsätzlich über einen dieser Randpunkte. Da im Punkt A wegen x 1 = 0 und x 2 = 0 der Gewinn null ist, wächst der Deckungsbeitrag im Punkt B und wird beim Vergleich der Deckungsbeiträge in den Punkten C, D, E zurück zum Punkt A zunächst wachsen und wieder auf Null sinken. So erklärt sich, dass der Ertrag meistens in genau einem der Punkte maximal ist. Welche Punktkoordinaten den maximalen Deckungsbeitrag festlegen, ist durch Vergleich der Deckungsbeiträge für die einzelnen Punkte entscheidbar. Als Lösungsansatz werden zunächst die Punktkoordinaten aus der graphischen Darstellung abgelesen oder als Schnittpunkte der Beschränkungen berechnet. Anschließend erfolgt die Berechnung der Deckungsbeiträge durch Einsetzen der Punktkoordinaten B, C, ... in die Deckungsbeitragsgleichung. Der Deckungsbeitrag ist für einen Punkt genau dann maximal, wenn er für den Folgepunkt des Polygonzuges wieder kleiner wird. Als Startpunkt könnte auch E gewählt werden. Dann erfolgt die Ertragsberechnung in der Reihenfolge E, D, ... . In speziellen Fällen kann es vorkommen, dass aus 2 benachbarten Punkten ein identisches Ertragsmaximum folgt. In diesem Fall ergibt sich für das Optimierungsproblem eine mehrdeutige Lösung. Sind dies in der Darstellung die Punkte C und D, so legt jeder Punkt der Strecke CD ein ertragsmaximales Produktionsprogramm fest. B5

Zwei Produkte P1, P2 werden in den Mengen x 1, x 2 produziert. Die Produktion unterliegt drei Beschränkungen I, II, III . Die Geraden der Beschränkungen schneiden sich und die Koordinatenachsen in den Punkten B, C, D, E.

277

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

x2

Skizze

B(0/20) I

C(10/15) II D(20/10) III

A

E(25/0) x1

Der Stückdeckungsbeitrag d betrage für Produkt P1 40 € und für Produkt P2 30 € pro Stück. Gesucht ist das gewinnmaximale Produktionsprogramm x 1, x 2 . Daraus folgt der Optimierungsansatz: Maximiere D = 40 ⋅ x 1 + 30 ⋅ x 2 unter den Beschränkungen I, II, III und der Nichtnegativitätsbedingung x 1, x 2 ≥ 0 . Alternativ zum in Beispiel 2 gezeigten Vergleich der Gewinne in den Schnittpunkten des Polygonzuges ist die gewinnmaximale Produktionskombination auch über einen graphischen Lösungsansatz bestimmbar. Dieser Ansatz beweist nebenbei die Existenz wenigstens einer gewinnmaximalen Produktionskombination. Zur Verdeutlichung des Verfahrens werden zunächst alle Produktionsprogramme x 1, x 2 mit den willkürlich gewählten Deckungsbeiträgen 360 €, 600 € und 1200 € im Bild der Beschränkungen dargestellt. Die Deckungsbeiträge legen drei Geradengleichungen D 360 , D 600 und D 1200 fest: D 360 ⇒ 360 = 40 ⋅ x 1 + 30 ⋅ x 2

(1)

D 600 ⇒ 600 = 40 ⋅ x 1 + 30 ⋅ x 2

(2)

D 1200 ⇒ 1200 = 40 ⋅ x 1 + 30 ⋅ x 2 (3) Die durch die Gleichungen definierten Geraden heißen Isodeckungsbeitragsgeraden. Jeder Punkt auf der Geraden D 360 beschreibt mit seinen Produktionsmengenkoordinaten x 1, x 2 den identischen Gewinn von 360 €. Analoges gilt für die D 600 und D 1200.

278

9.4 Lineare Optimierungen

x2

(3)

Skizze

B(0/20) I (1)

KAPITEL 9

C(10/15) (2) II D(20/10) III

A

E(25/0) x1

Die Isodeckungsbeitragsgerade (3) liegt außerhalb der durch den Polygonzug begrenzten technisch möglichen Produktionsmengenkombinationen x 1, x 2 . Damit ist ein Deckungsbeitrag von 1200 € nicht realisierbar. Da die Geraden (1), (2) zulässige Produktionsmengenkombinationen x 1, x 2 beschreiben, existiert mit D 600 und D 1200 ein maximaler Deckungsbeitrag D max mit der Eigenschaft 600 < D max < 1200 . Die deckungsbeitragsmaximale Produktionskombination ist graphisch wie folgt beschrieben bestimmbar. Zunächst ist auffällig, dass alle Isodeckungsbeitragsgeraden parallel verlaufen. Jede Isodeckunsbeitragsgerade, die durch Parallelverschiebung Richtung Nord-Ost erzeugt wird, realisiert Produktionskombinationen x 1, x 2 mit einem höheren Deckungsbeitrag, als die Geraden (1) und (2). Dabei sind folgende Fälle zu unterscheiden: •

Die Isodeckungsbeitragsgerade schneidet den Polygonzug produzierbarer Kombinationen x 1, x 2 in 2 Punkten. Dann ist der Deckungsbeitrag der Isogeraden nicht maximal, weil die Gerade weiter Richtung Nord-Ost verschiebbar ist. Dort werden höhere Deckungsbeiträge realisiert. Diesen Fall verdeutlicht Gerade (4) in der folgenden Skizze

•

Die verschobene Isogewinngerade hat mit dem Polygonzug keinen gemeinsamen Punkt, läuft am Polygonzug vorbei wie Isogerade (3). Dann beschreibt die Gerade einen nicht realisierbaren Deckungsbeitrag.

Die Isodeckungsbeitragsgerade wird nun so weit nach Nord-Ost verschoben bis genau ein Punkt des Polygonzuges eine zulässige Produktionskombination x 1, x 2 definiert. Dann ist der Deckungsbeitrag genau für diese Kombination x 1, x 2 maximal. Diesen Fall beschreibt Gerade (5).

279

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

x2

(4)

Skizze

B(0/20) C(10/15)

I

(5)

(2) II

(1)

D(20/10) III

A

E(25/0) x1

Nach Parallelverschiebung legt damit die Isogerade (5) mit dem Produktionsprogramm D(20/10) den maximalen Deckungsbeitrag fest. Für den maximalen Deckungsbeitrag D max gilt: D max = 40 ⋅ 20 + 30 ⋅ 10 ⇔ D max = 1100 Damit ist ein maximaler Deckungsbeitrag von 1100 € realisierbar, wenn vom 1. Produkt 20 Einheiten und vom 2. Produkt 10 Einheiten hergestellt werden. Nach der graphischen Optimierung wird das Problem alternativ mit dem eingangs gezeigten Deckungsbeitragsvergleich gelöst. Verglichen werden die Deckungsbeiträge, die durch die Polygonpunkte A bis E festgelegt werden. Der Algorithmus1 startet hier mit dem Punkt E, weil der Stückgewinn des Produktes P1 höher ist, als für P2. Es gilt D E = 40 ⋅ 25 + 30 ⋅ 0 = 1000 D D = 40 ⋅ 20 + 30 ⋅ 10 = 1100 D C = 40 ⋅ 10 + 30 ⋅ 15 = 850 Wegen D C ≤ D D

folgt D max = D D = 1100

Damit beträgt auch hier der maximale Deckungsbeitrag 1100 €, wenn Produkt P1 mit 20 Einheiten und P2 mit 10 Einheiten produziert wird. Angebot- und Nachfrageänderungen erfordern für die Produkte P1 und P2 Preisanpassungen. Dies bedingt die Deckungsbeiträge 20 € für eine Einheit P1 und 40 € für eine Einheit P2. Gesucht ist unter den neuen Bedingungen das deckungsbeitragsmaximale Produktionsprogramm. Dies soll durch Parallelverschiebung einer Isodeckungsbeitragsgeraden bestimmt werden. Wähle den Gesamtdeckungsbeitrag D = 400 €. Dies definiert die Isogeradengleichung : 400 = 20 ⋅ x 1 + 40 ⋅ x 2

(1)

1 Eine genau definierte Verfahrensvorschrift, die bis zu einer Abbruchbedingung n-mal wiederholt wird.

280

9.4 Lineare Optimierungen

x2

Skizze

B(0/20) I (1)

KAPITEL 9

C(10/15) II D(20/10) III

A

E(25/0) x1

Nach Parallelverschiebung der Isodeckungsbeitragsgeraden (1) in eine Produktionskombination mit maximalem Gewinn fällt auf, dass alle Punkte der Strecke CD eine gewinnmaximale Produktionskombination festlegen. Damit bedingen die Deckungsbeiträge 20 € und 40 € den Spezialfall einer mehrdeutigen Lösung. Vergleiche dazu D C = 20 ⋅ 10 + 40 ⋅ 15 = 800 und D D = 20 ⋅ 20 + 40 ⋅ 10 = 800 Sowohl im Punkt C als auch im Punkt D beträgt für diese mehrdeutige Deckungsbeitragskombination der maximale Gesamtdeckungsbeitrag 800 €.

9.4.3

Nutzenmaximierung – Simplexverfahren

Ein Nachteil des graphischen Optimierungsverfahrens ist der, dass nur für zwei Produkte ein nutzenoptimales Produktionsprogramm bestimmbar ist. Für Unternehmen, in denen mehr als zwei Produkte angeboten werden, versagt das Verfahren, da der Darstellungsraum des Menschen maximal dreidimensional ist. Mit viel Aufwand könnte auch in einem dreidimensionalen Gittermodell mit x-y-z-Koordinaten für drei Produkte ein nutzenmaximales Produktionsprogramm durch Parallelverschiebung einer Isogewinnebene bestimmt werden. Da das Verfahren praxisfremd ist, soll darauf nicht näher eingegangen werden. Hier geht es nun um einen Lösungsansatz, mit dem für eine beliebige Anzahl von Produkten P1, P 2, ,P3, …, P n , die unter m Beschränkungen I, II, III, ..., M produziert werden, ein Produktionsmengenprogramm x 1, x 2, …, x n so bestimmbar ist, dass der Nutzen N – bei wirtschaftlichen Anwendungen häufig der Deckungsbeitrag – maximiert wird. Dafür betrachten wir zunächst den allgemeinen Ansatz eines linearen Optimierungsproblems: R1 Maximiere den Nutzen N mit der Eigenschaft N = d1 ⋅ x1 + d2 ⋅ x2 + … + dk ⋅ xk + … + d n ⋅ xn unter den Beschränkungen oder Nebenbedingungen I

a 11 ⋅ x 1 + a12 ⋅ x 2 + … + a 1k ⋅ x k + … + a 1n ⋅ x n + y 1 = b1

II

a 21 ⋅ x 1 + a 22 ⋅ x 2 + … + a 2k ⋅ x k + … + a2n ⋅ x n + y 2 = b 2

281

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

(...) a m1 ⋅ x 1 + a m2 ⋅ x 2 + … + amk ⋅ x k + … + a mn ⋅ x n + y m = bm

M

und der Nichtnegativitätsbedingung x 1, x 2, …, x n ,y 1, y 2, …, y m ≥ 0 N ist definiert als der zu maximierende Nutzen (Deckungsbeitrag), d k ist der Deckungsbeitrag des k-ten Produktes, das in der Menge x k produziert wird. Die Variablen b 1, b 2, … ,b m beschreiben die verfügbare bzw. verbrauchbare Kapazität der Beschränkungen I bis M. Den Verbrauch der Kapazitäten für die Produktion der n Produkte beschreiben die Variablen a 11, … ,a mn . Die Schlupfvariablen y 1, … ,y m legen die Kapazitäten der Beschränkungen fest, die im Rahmen eines Produktionsprogramms nicht verbraucht werden. Fällt z. B. für einen Tag die Stromversorgung eines Unternehmens aus, kann in der Regel nichts produziert werden. Dann gilt x 1 = 0, x 2 = 0, … ,x n = 0 . Damit folgen aus den obigen Beschränkungsgleichungen die Lösungen y 1 = b 1, y 2 = b 2, … ,y m = b m . In diesem Fall geben die Schlupfvariablen an, dass wegen des Stromausfalls von den zur Verfügung stehenden Kapazitäten der Beschränkungen – z. B. Arbeitskräfte in der Produktion, Roboter, Lager-, Transport-, Rohstoffbeschränkungen – nichts verbraucht wird. Aus dem in R1 festgelegten allgemeinen Ansatz eines Optimierungsproblems folgt ein lineares Gleichungssystem. Dieses Gleichungssystem ist nun so zu lösen, dass in einem Lösungstupel ( x 1, … ,x n, y 1, … ,y m, N ) der Nutzen N maximal ist. Zur Vorbereitung einer Lösungsstruktur – hier Simplexalgorithmus – einer Nutzenmaximierung soll zunächst eine Schematisierung des aus R1 resultierenden linearen Gleichungssystems erfolgen. Dies erfordert zunächst eine äquivalente Umformung der Nutzengleichung aus R1. N = d1 ⋅ x1 + d2 ⋅ x2 + … + dk ⋅ x k + … + dn ⋅ x n Rechten Term auf beiden Seiten der Gleichung subtrahieren: –d 1 ⋅ x1 –d 2 ⋅ x 2 – … – d k ⋅ xk – … – d n ⋅ xn + N = 0 Die Gleichungen I bis M der Regel 1 und die umgestellte Nutzengleichung bestimmen für den Spezialfall 4 Produkte und 3 Beschränkungen die folgende Vektorgleichung: a 11 x1 ⋅

a 21 a 31 –d1

a14 + … + x4 ⋅

a24 a34 –d4

1 + y1 ⋅ 0 + … + y3 ⋅ 0 0

0 0 +N⋅ 1 0

b1 0 0 = b2 0 b3 1 0

Aus dieser Vektorgleichung folgt ein Lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 7 Variablen. Damit hat das Lineare Gleichungssystem keine eindeutige Lösung. Es gibt unendlich viele Lösungen, die von 3 Parametern abhängen. Diese werden für drei der sieben Variablen eingeführt. Erfolgt keine Produktion der drei Produkte (z. B. Stromausfall, Werksferien), dann legen die Pro-

282

9.4 Lineare Optimierungen

KAPITEL 9

duktionsmengenvariablen x 1, x 2, x 3 mit x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0 die Lösung der drei Parameter fest. Für die Vektorgleichung gilt dann:

0⋅

a 11

a 14

a 21

a 24

a 31 –d1

+…+0⋅

a 34 –d3

1 + y1 ⋅ 0 + … + y3 ⋅ 0 0

0 0 +N⋅ 1 0

b1 0 0 = b2 0 b3 1 0

Die Multiplikation eines Vektors mit dem Skalar 0 erzeugt Nullvektoren. Damit gilt 1 y1 ⋅ 0 + … + y3 ⋅ 0 0

0 0 +N⋅ 1 0

b1 0 0 = b2 0 b3 1 0

Nach Zusammenfassen des Vektorterms gilt: y1 y2 y3 N

b1 =

b2 b3 0

Mit der festgelegten Parameterlösung erzeugt das Lineare Gleichungssystem folgendes Lösungstupel ( 0, 0, 0, 0, b 1, b 2, b 3, 0 ) ausführlicher x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0 ,x 4 = 0, y 1 = b1, y 2 = b 2, y 3 = b 3, N = 0 Dies entspricht der Basislösung einer Linearen Optimierung. Alle Produktionsmengenvariablen haben die Lösung 0, weil nichts produziert wird. Der Nutzen oder Deckungsbeitrag ist demnach ebenfalls 0. Die Lösungen der Schlupfvariablen, die die noch zur Verfügung stehenden Restkapazitäten der Beschränkungen beschreiben, entsprechen deshalb exakt den gegebenen Kapazitäten. Wesentlich ist bereits hier die Erkenntnis, dass jeder Einhheitsvektor eine Lösung im Konstantenvektor erzeugt und aus jedem Vektor, der kein Einheitsvektor ist, die Lösung 0 der Variablen resultiert. Zur Erinnerung: Ein Einheitsvektor beinhaltet als Vektorelemente nur Nullen und an einer Stelle eine 1. Die Idee des Simplexverfahrens ist die, dass durch Veränderung der Parameterlösungen der Nutzen stetig wächst, bis er maximal ist. Dieser Prozess, der dem bereits in 8.4.2 gezeigten Verfahren des Deckungsbeitragsvergleichs zur Nutzenmaximierung entspricht, soll anhand des folgenden Beispiels erläutert werden. B1

Eine Möbeltischlerei fertigt zur Zeit traditionell das Stuhlmodell S1 und Tischmodell T1 in den Mengen x 1 und x 2 . Die Tischlerei erhält das Lizenzangebot, Designerstühle S2 und

283

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

-tische T2 in den Mengen x 3 und x 4 zu produzieren. Unter der Voraussetzung, dass für alle Produkte eine genügend große Nachfrage besteht, ist nun zu klären, wie die Produktionsressourcen für eine deckungsbeitragsoptimierte Produktionskombination verbraucht werden sollen. Die Tisch- und Stuhlproduktion durchläuft nacheinander drei Fertigungsstufen: I – Rohmaterialverarbeitung und Zuschnitt, II – Montage, III – Polsterei. Bemerkt sei, dass die Fertigungsstufe III – Polsterei für die Tische keine Beschränkung definiert. Mit folgender Tabelle seien die zur Verfügung stehenden Tagesressourcen in Zeiteinheiten (5) der Beschränkungen (6) bis (8), der Ressourcenverbrauch für die Produktion (1) bis (4) und die Deckungsbeiträge (9) der einzelnen Produkte gegeben: S1 (h/Stück) (1)

T1 (h/Stück) (2)

S2 (h/Stück) (3)

T2 (h/Stück) (4)

Kapazität (h/Tag) (5)

F I (6)

4

2

4

2

100

F II (7)

6

4

2

2

80

F III (8)

4

0

2

0

120

20 €

24 €

40 €

30 €

Deckungsbeitrag (€/Stück) (9)

Mit den bekannten Größen folgt nun nach R1 der allgemeine Ansatz der Linearen Optimierung: Maximiere den Deckungsbeitrag D mit der Gleichung D = 20 ⋅ x 1 + 24 ⋅ x 2 + 40 ⋅ x 3 + 30 ⋅ x 4 unter den Beschränkungen I

4x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 ≤ 100

II

6x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 ≤ 80

III

4x 1 + 0x 2 + 2x 3 + 0x 4 ≤ 120

und den Nichtnegativitätsbedingungen x 1, …, x 4, y 1, y 2, y 3 ≥ 0 . Aus dem Ansatz folgt mit den Schlupfvariablen y 1, y 2, y 3 und der umgestellten Deckungsbeitragsgleichung IV ein Lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 8 Variablen. Damit gilt: I

4x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 + y 1 = 100

II

6x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 + y 2 = 80

III

4x 1 + 0x 2 + 2x 3 + 0x 4 + y 3 = 120

IV

– 20x 1 – 24x 2 – 40x 3 – 30x 4 + D = 0

Zum besseren Verständnis der geplanten Matrizendarstellung des Gleichungssystems werden alle Schlupfvariablen in die Gleichungen eingearbeitet: 284

9.4 Lineare Optimierungen

KAPITEL 9

I

4x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 + 1y 1 + 0 ⋅ y 2 + 0 ⋅ y 3 = 100

II

6x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 0 ⋅ y 1 + 1 ⋅ y 2 + 0 ⋅ y 3 = 80 4x 1 + 0x 2 + 2x 3 + 0x 4 + 0 ⋅ y 1 + 0 ⋅ y 2 + 1 ⋅ y 3 = 120

III IV

– 20x 1 – 24x 2 – 40x 3 – 30x 4 + 0y 1 + 0y 2 + 0y 3 + 1D = 0

Darstellung als Matrizengleichung: x1 x2 4 6 4 – 20

2 4 0 – 24

4 2 2 – 40

2 2 0 – 30

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

x3 100 0 x 0 ⋅ 4 = 80 120 0 y1 0 1 y2 y3 D

Für die Herleitung einer nutzenoptimierten Produktionskombination bietet sich die Umstellung des Linearen Gleichungssystems in eine erweiterte Koeffizientenmatrix an. Bei Verständnisschwierigkeiten können die verschiedenen Schreibweisen für Lineare Gleichungssysteme in einem früheren Kapitel nachgearbeitet werden. 4 6 4 – 20

2 4 0 – 24

4 2 2 – 40

2 2 0 – 30

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

100 80 120 0

Die Elemente der erweiterten Koeffizientenmatrix werden nun in ein Schema übertragen, das als Simplextableau bezeichnet wird.

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

D

L

I

4

2

4

2

1

0

0

0

100

II

6

4

2

2

0

1

0

0

80

III

4

0

2

0

0

0

1

0

120

IV

-20

-24

-40

-30

0

0

0

1

0

Zunächst legt der Konstantenvektor L genau die Lösungen der Variablen fest, die in dem Schema Einheitsvektoren definieren. Die 1 im Einheitsvektor markiert die Zeile, in der im Lösungsvektorvektor L das Lösungselement der Variablen abgelesen wird. Hier gilt daher y 1 = 100, y 2 = 80, y 3 = 120, D = 0 . Die Schlupfvariablen legen damit genau als Restkapazität die zum Verbrauch zur Verfügung stehenden Tageskapazitäten der Fertigungsstufen I, II, II der Stuhl- und Tischproduktion fest. Da nichts verbraucht wird, ist der

285

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

Deckungsbeitrag D = 0 €. Weil von den zur Verfügung stehenden Fertigungsressourcen nichts verbraucht wird, sind die Fertigungsmengen ebenfalls alle 0. Dafür setzen wir als Parameter alle x-Variablen 0. Damit bestimmt in dem Simplexschema jede Variable, unter der kein Einheitsvektor steht, die Variablenlösung 0. Das obige Ausgangsschema einer Linearen Optimierung nach dem Simplexverfahren definiert damit die folgende Lösung: x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, y 1 = 100, y 2 = 80, y 3 = 120, D = 0 Dies ist die Basislösung der Linearen Optimierung. Durch in der Regel mehrfache Veränderung der Parameterlösung und der damit verbundenen Lösung des Linearen Gleichungssystems, ist die Lösung der Variablen D so zu bestimmen, dass D maximal ist. D ist nur dann maximierbar, wenn nicht alle Produktionsvariablen x 1 bis x 4 null sind. Die Grundidee des Simplexverfahrens besteht darin, zunächst nur das Produkt mit dem höchsten Deckungsbeitrag zu produzieren. Dieses Produkt soll dann in der höchstmöglichen Stückzahl produziert werden. Nur so ist mit dem Produkt ein maximaler Deckungsbeitrag realisierbar. Die maximale Produktionszahl hängt von der Fertigungsstufe ab, die die Produktion des deckungsbeitragsmaximalen Produkts am meisten beschränkt. Zunächst wird in diesem Beispiel mit 40 € der höchste Stückdeckungsbeitrag bei dem Designerstuhl S2 erzielt. Damit soll S2 in einer höchstmöglichen Stückzahl produziert werden. Im nächsten Schritt ist zu klären, welche Fertigungsstufe I, II oder III die Produktion am meisten beschränkt. Dafür dividieren wir die zur Verfügung stehende Kapazität der Fertigungssufe durch den Verbrauch zur Herstellung einer Einheit S2. Diese Betrachtung erfolgt im Simplextableau mit dem Konstantenvektor und dem Vektor der Variablen x 3 wie folgend gezeigt.

D

L

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

I

4

2

4

2

1

0

0

0

100

100:4=25

II

6

4

2

2

0

1

0

0

80

80:2=40

III

4

0

2

0

0

0

1

0

120

120:2 = 60

IV

-20

-24

-40

-30

0

0

0

1

0

In der Fertigungsstufe I – Rohmaterialverarbeitung – sind maximal für 25 Stühle die Vorarbeiten zur Weiterverarbeitung realisierbar. In der Fertigungsstufe II – Montage – könnten theoretisch 40 Stühle zusammengebaut werden, aber es kommen wegen der Ressourcenknappheit in der Fertigungsstufe I maximal Teile für 25 Stühle. Damit können in dieser Fertigungsstufe Ressourcen für 15 Stühle S2 nicht verbraucht werden. I beschränkt damit mehr als die II Fertigungsstufe. Fertigungsstufe III – Polsterei hat mit einer Kapazität für 60 Stühle ebenfalls mehr Kapazitäten als verbraucht werden können. Damit legt die Fertigungsstufe I unter den gegebenen Bedingungen die maximale Produktionsmenge des 3. Produkts S2 fest. Dies hat zur Folge, dass die Kapazitäten der Beschränkung I völlig verbraucht werden. Damit ist die Restkapazität nach einer Tagesproduktion 0. Dies bedingt für die Schlupfvariable y 1 die Parameterlösung y 1 = 0 . Damit ist der Einheitsvektor unter der Schlupfvariablen y 1 überflüssig, da die Lösung bereits 0 gesetzt wurde. Dieser 286

9.4 Lineare Optimierungen

KAPITEL 9

Einheitsvektor wird nun analog unter der Produktionsvariablen x 3 erzeugt. Da die Variable x 1 die Produktionsmenge des 3. Produktes S2 beschreibt, wird sie wegen der angestrebten Nutzenoptimierung nicht mehr als Parameterlösung 0 gesetzt. Weil das Simplextaubleau einem Linearen Gleichungssystem in der Darstellung einer erweiterten Koeffizientenmatrix entspricht, wird der Einheitsvektor unter Anwendung des Additionsoder Subtraktionsverfahrens mit geeigneten Vielfachen passender Zeilen erzeugt. Die 1 des Einheitsvektors wird wie in dem Einheitsvektor unter der 1. Schlupfvariablen in der 1. Zeile erzeugt. Das in der 1. Zeile und 3. Spalte stehende Vektorelement hat auch die Bezeichnung Pivotelement1. Folgend werden in der 3. Matrixspalte des Tableaus unter der 1. Zeile der Koeffizienten durch Äquivalenzumformungen des Gleichungssystems Nullen des Einheitsvektors erzeugt. Dies entspricht dem Zielvektor: x1

x2

x3

I

1

II

0

III

0

IV

0

x4

y1

y2

y3

D

L*

In folgendem Tableau erfolgt in einem Protokoll die Vereinbarung geeigneter Zeilenumformungen zur Erzeugung des Einheitsvektors. L*

Protokoll

0

100

I:4

0

0

80

2 ⋅ II – I

0

1

0

120

2 ⋅ III – I

0

0

1

0

IV + 10 ⋅ I

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

I

4

2

4

2

1

0

0

II

6

4

2

2

0

1

III

4

0

2

0

0

IV

-20

-24

-40

-30

0

D

Das Protokoll im Tableau beschreibt, wie der Einheitsvektor mit dem Ausgangstableau durch Zeilenverknüpfungen erzeugt wird. Die folgende Tabelle zeigt das vollständig umgeformte Tableau. x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

D

L

I

1

0,5

1

0,5

0,25

0

0

0

25

II

8

6

0

2

-1

2

0

0

60

III

4

-2

0

-2

-1

0

2

0

140

IV

20

-4

0

-10

10

0

0

1

1000

1 Pivot = Dreh- und Angelpunkt (französisch).

287

KAPITEL 9

9 Lineare Algebra

Dieses Tableau definiert mit dem Lösungsvektor L, dessen Elemente den Einsen der Einheitsvektoren zugeordnet werden und den Parameterlösungen 0 der Nichteinheitsvektoren die folgende Zwischenlösung der Linearen Optimierung. Dabei ist zu bedenken, dass im Tableau unter den Variablen y 2, y 3 durch die Äquivalenzumformungen das Zweifache der Einheitsvektoren erzeugt wurden. Damit gilt: x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 25, x 4 = 0, y 1 = 0, 2y 2 = 60, 2y 3 = 140, D = 1000 Nach Umformung der y 2, y 3 -Gleichungen (Division durch 2) folgt: x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 25, x 4 = 0, y 1 = 0, y 2 = 30, y 3 = 70, D = 1000 Nach diesem Ansatz beträgt der Deckungsbeitrag D = 1000 €, wenn die traditionellen Stühle und Tische S1, T1, der Designertisch T2 nicht produziert werden und der Designerstuhl S2 in der Menge 25 Stück pro Tag. Die Fertigungsstufe I ist dann voll ausgelastet, in der Fertigungsstufe II können 30 Einheiten der zur Verfügung stehenden Kapazitäten nicht verbraucht werden. Die Polsterei Fertigungsstufe III ist mit diesem Produktionsprogramm ebenfalls nicht voll ausgelastet. Eine Kapazität von 70 Einheiten bleibt unverbraucht. Nun stellt sich das Problem, ob mit einer alternativen Produktionskombination die Fertigungsstufen I, II, III besser ausgelastet werden können und dann auch der Deckungsbeitrag größer ist, als im 1. Ansatz. Zunächst ist allerdings zu klären, ob ein höherer Deckungsbeitrag überhaupt realisierbar ist. Dafür gibt es im Simplextableau einen Hinweis in der letzten Zeile im Bereich der Koeffizienten der Produktionsvariablen x 1, …, x 4 . Solange dort nach einer Optimierungsstufe Koeffizienten negativ sind, ist der Deckungsbeitrag noch nicht maximal. Negative Koeffizienten bedingen bei der Herleitung eines Einheitsvektors im Bereich der Produktionsvariablen stets einen höheren Deckungsbeitrag, weil bei der Erzeugung der Null im Einheitsvektor der letzten Zeile stets das Additionsverfahren angewendet wird. Da im Lösungsvektor alle Elemente positiv sind, führt die Addition zweier postiver Zahlen stets zu einer größeren positiven Zahl. Dies war auch bei der 1. Umformung des Ausgangstableaus der Fall ( IV + 10 ⋅ I bedingte für den Deckungsbeitrag D = 0 + 10 ⋅ 100 = 1000 ). Folglich sollten nur noch die Produkte in das Produktionsprogramm aufgenommen werden, deren Koeffizienten in der Zielzeile IV im Simplextableau ein negratives Vorzeichen haben. Dies sind in diesem Beispiel die Produkte des 2. und 4. Vektors, also Tisch T1 und Tisch T2. Alle Produkte mit einem Koeffizienten 0 oder größer als null bleiben für eine weitere Optimierung des Deckungsbeitrags unberücksichtigt. Eine genauere Begründung folgt nach Abschluss der Optimierung. Zur weiteren Optimierung erfolgen exakt die Überlegungen und Lösungsschritte wie für die obige erste Umformung des Simplextableaus. Zunächst ist zu klären, mit welchem Produkt, das zur Zeit nicht produziert wird, der höchste Deckungsbeitragszuwachs erzielt wird. In diesem Beispiel ist dies das 4. Produkt – Tisch T2 – mit 10 € Deckungsbeitragszuwachs1. Damit ist im nächsten Schritt zu klären, welche der Fertigungsstufen die Produktion des 4. Produktes am meisten

1 Der Stückdeckungsbeitrag von T2 beträgt 30 €/Stück. Da die Fertigungskapazität von F1 schon mit der Produktion von S2 ausgelastet ist, müssen wir für jeden Tisch T2, den wir produzieren, auf einen halben Stuhl S2 verzichten. Wir gewin1 nen dann 1 ⋅ 30 € Deckungsbeitrag und verlieren --- ⋅ 40 €. Pro Teil würde sich unser Ergebnis um 10 € verbessern. 2

288

9.4 Lineare Optimierungen

KAPITEL 9

beschränkt und damit voll ausgelastet wird. Dafür wird wieder die Kapazität der Beschränkungen durch den Verbrauch pro Einheit dividiert.

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

D

L

I

0,5

25

25 : 0,5 = 50

II

2

60

60 : 2 = 30

III

-2

140

200:(-2) nicht definiert*

IV

-10

1000

*Der Bruch ist wegen der Negativität nicht definiert. Es gibt keinen negativen Verbrauch. Dieser mathematische Hinweis ist auch aus Sicht der Tischproduktion plausibel. Die Polsterei – Fertigungsstufe III – stellt für die Tischproduktion keine Beschränkung dar. Mit dem Vergleich 30 < 50 beschränkt die 2. Fertigungsstufe die maximale Tischproduktion T2 mehr als die 1. Fertigungsstufe. Damit werden die noch zur Verfügung stehenden Kapazitäten der Fertigungsstufe II voll verbraucht und die Schlupfvariable y 2 kann damit als Parameterlösung null gesetzt werden. Im Gegenzug hat die Parameterlösung x 4 = 0 der 1. Optimierungsstufe nun keine Bedeutung mehr, da das 4. Produkt in die Produktion aufgenommen wird. Im nächsten Schritt wird der Einheitsvektor unter der Variablen x 4 erzeugt. Die Lage des Pivotelements ist mit der 2. Zeile durch die größte Kapazitätsbeschränkung der Fertigungsstufe II festgelegt. Das aus dem Simplextableau resultierende Gleichungssystem wird nun zur Erzeugung des Einheitsvektors wie im Protokoll vereinbart umgeformt.

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

D

L

Protokoll

I

1

0,5

1

0,5

0,25

0

0

0

25

4 ⋅ I – II

II

8

6

0

2

-1

2

0

0

60

:2

III

4

-2

0

-2

-1

0

2

0

140

III + II

IV

20

-4

0

-10

10

0

0

1

1000

IV + 5 ⋅ 2

289

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

Daraus folgt das äquivalente Simplextableau:

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

D

L

I

-4

-4

4

0

2

-2

0

0

40

II

4

3

0

1

-0,5

1

0

0

30

III

12

4

0

0

-2

2

2

0

200

IV

60

26

0

0

5

10

0

1

1300

Da in der 4. Zeile im Bereich der Produktionsvarbiablen alle Koeffizienten 0 oder größer als 0 sind, folgt der maximale Deckungsbeitrag aus dem letzten Simplextableau. Vor der Auswertung des Tableaus werden in den Spalten, in denen durch die Zeilenumformungen vielfache von Einheitsvektoren erzeugt wurden, diese durch geeignete Zeilenumformungen in Einheitsvektoren umgeformt. Das folgende Tableau mit den zu erzeugenden Einheitsvektoren verdeutlicht die Vorgehensweise.

y3

D

L

0

0

0

40

:4

0

1

0

0

30

*

III

0

0

2

0

200

:2

IV

0

0

0

1

1300

*

x1

x2

x3

x4

I

4

II

y1

y2

*Keine Umformung erforderlich, da die Vektoren unter der Variablen x 4 und D bereits die Struktur der Einheitsvektoren erfüllen. Nach Umformung der I. und III. Zeile folgt das Endtableau der Linearen Optimierung:

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

D

L

I

-1

-1

1

0

0,5

-0,5

0

0

10

II

4

3

0

1

-0,5

1

0

0

30

III

6

2

0

0

-1

1

1

0

100

IV

60

26

0

0

5

10

0

1

1300

290

9.4 Lineare Optimierungen

KAPITEL 9

Aus dem Endtableau ergeben sich spaltenweise folgende Lösungen: x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 10, x 4 = 30, y 1 = 0, y 2 = 0, y 3 = 100, D = 1300 Damit ist unter den gegebenen Produktionsbedingungen ein maximaler Tagesdeckungsbeitrag von 1300€ realsierbar. Dafür wird allerdings die Produktion der traditionellen Stühle S1 und Tische T1 eingestellt. Die Produktion der Designerstühle S2 erfolgt mit 10 Einheiten, die Fertigung der Designertische mit 30 Einheiten. Die Fertigungsstufen I und II sind nun voll ausgelastet. Da die Stuhlproduktion gegenüber der Zwischenlösung von 25 auf 10 Einheiten reduziert wird, können 100 Fertigungseinheiten der Polsterei nicht verbraucht werden. Ein höherer Deckungsbeitrag ist unter den gegebenen Bedingungen nicht realisierbar. Jede Änderung des Produktionsprogramms bedingt eine Reduzierung des Deckungsbeitrages. Annahme: der Seniorchef möchte auch weiterhin seinen traditionellen Stuhl S1 produzieren. Dies erfordert eine Umformung des Simplextableaus dahingehend, dass unter der Variablen x 1 ein Einheitsvektor erzeugt wird. Die Erzeugung der Null in der 4. Zeile gelingt nun wegen der positiven Koeffizienten nur unter Anwendung des Subtraktionsverfahrens. Dies bedingt auch eine Subtraktion der Elemente des Konstantenvektors. Damit reduziert sich der maximale Deckungsbeitrag von 1300 €. Zum vertiefenden Veständnis des Simplexverfahrens folgt nun eine kurze Zusammenfassung der Vorgehensweise zur Planung des nutzenoptimalen Produktionsprogramms R2 1. Gleichungssystem des Planungsproblems mit Schlupfvariablen aufstellen: Das allgemein formulierte Optimierungsproblem als allgemeinen mathematischen Lösungsansatz des Typs: Maximiere Nutzen N = ... unter den Beschränkungen I ..., II ... III ... M festlegen. 2. Simplextableau mit Basislösung: Die Koeffizienten des aus 1. resultierenden Gleichungssystems in das Simplextableau übertragen. Die Deckungsbeiträge der Nutzengleichung werden mit negativen Vorzeichen in die letzte Zeile übernommen (Zielfunktionszeile).

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

D

L

I

4

2

4

2

1

0

0

0

100

II

6

4

2

2

0

1

0

0

80

III

4

0

2

0

0

0

1

0

120

IV

-20

-24

-40

-30

0

0

0

1

0

291

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

3. Produkt mit höchstem Stückdeckungsbeitrag festlegen: Dies entspricht der Wahl des kleinsten Koeffizienten der letzten Zeile. x1

x2

x3

x4

-20

-24

-40

-30

y1

y2

y3

D

L

I II III IV

Hier folgt daraus das 3. Produkt mit 40 € Deckungsbeitrag. Damit ist die Pivotspalte des zu erzeugenden Einheitsvektors festgelegt. 4. Pivotzeile des Einheitsvektors bestimmen x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

D

L

I

4

100

100 : 4=25

II

2

80

80 : 2 = 40

III

2

120

120 : 2 = 60

IV

-40

0

Die Pivotzeile legt die Beschränkung (hier eine Maschine) fest, die die Produktion durch ihre zur Verfügung stehende Kapazität am meisten einschränkt. Hier ist dies die 1. Beschränkung, weil nach Division Kapazität durch Verbrauch für eine zu produzierende Einheit des Produkts mit 25 Einheiten die geringste Gesamtproduktion realisierbar ist. 5. Zur Herleitung des Einheitsvektors das Gleichungssystem mit der Pivotelementzeile I geeignet umformen: x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

D

L

I

4

I:4

II

2

2 ⋅ II – I

III

2

2 ⋅ III – I

IV

-40

IV + 10 ⋅ I

292

9.4 Lineare Optimierungen

KAPITEL 9

Nach Umformung gilt: x1

x2

x3

I

1

II

0

III

0

IV

0

x4

y1

y2

y3

D

L

Nochmals der Hinweis, dass alle Äquivalenzumformungen grundsätzlich mit der Pivotzeile erfolgen. In diesem Fall Zeile I. Bei Nichtbeachtung dieser wichtigen Regel werden Nullen anderer Einheitsvektoren zerstört. Das Planungsproblem ist dann entweder nicht lösbar oder eine Lösung folgt nach vielen nicht notwendigen Rechenoperationen. 6. Abbruchbedingung überprüfen: x1

x2

x3

I

1

II

0

III

0

IV

20

-4

0

x4

y1

y2

y3

D

L

-10

Sind in der letzten Zeile die Vektorelemente der Produktionsvariablen alle 0 oder größer als 0 ist die Abbruchbedingung des Verfahrens erfüllt und das Endtableau wird wie im Beispiel gezeigt ausgewertet. Ist wenigstens ein Vektorelement in der letzten Zeile der Produktionsvektoren negativ beginnt der Lösungsalgorithmus wieder mit dem 1. Schritt. 7. Endtableau vorbereiten und auswerten y3

D

L

0

0

0

40

0

1*

0

0

30

III

0

0

2**

0

200

IV

0

0

0

1*

1300

x1

x2

x3

x4

I

4**

II

y1

y2

:4

:2

293

9 Lineare Algebra

KAPITEL 9

Jeder Einheitsvektor mit Lösungselement 1* legt eine Lösung im Lösungssvektor L fest. Für Lösungselemente ungleich 1 ** werden Einheitsvektoren erzeugt. Dafür wird das Lösungselement der Lösungselementzeile des L-Vektors durch das Pivotelement ** dividiert.

y3

D

L

0

0

0

10

0

1

0

0

30

III

0

0

1

0

100

IV

0

0

0

1

1300

x1

x2

x3

x4

I

1

II

y1

y2

Die Festlegung der Lösungen erfolgt spaltenweise. Die Variablen der Nichteinheitsvektoren haben stets die Lösung 0. Eine Lösung einer Einheitsvektorvariablen folgt genau aus dem Element des Lösungsvektors L, das durch die Zeile des Einselements bestimmt wird. Damit gilt x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 10, x 4 = 30, y 1 = 0, y 2 = 0, y 3 = 100, D = 1300 Es folgt ein weiteres Beispiel zum besseren Verständnis der Zusammenhänge. B2

Ein Unternehmen produziert die Güter 1, 2 und 3 mit den Deckungsbeiträgen 20 €, 24 € und 16 € pro Einheit. Zur Produktion werden 3 Maschinen I, II, II, benötigt, deren Kapazität mit 200, 200 und 100 Maschinenstunden beschränkt ist. Der Verbrauch der Maschinenstunden ergibt sich aus folgendem Optimierungsansatz. Maximiere D der Zielgleichung

D = 20 ⋅ x 1 + 24 ⋅ x 2 + 16 ⋅ x 3

unter den Beschränkungen I

2x 1 + 4x 2 + 2x 3 + y 1 = 200

II

6x 1 + 2x 2 + 4x 3 + y 2 = 200

III

4x 1 + 0x 2 + 2x 3 + y 3 = 100

und den Nichtnegativitätsbedingungen

x 1, …, y 1, y 2, y 3 ≥ 0

1. Koeffizienten in Ausgangstableau übertragen.

x1

x2

x3

y1

y2

y3

D

L

Pivotzeile**

I

2

4***

2

1

0

0

0

200

200:4=50***

II

6

2

4

0

1

0

0

200

200:2=100

III

4

0

2

0

0

1

0

100

200:0 nicht definiert

IV

-20

-24*

-16

0

0

0

1

0

294

9.4 Lineare Optimierungen

KAPITEL 9

2. Spalte des Produkts mit höchstem Stückdeckungsbeitrag festlegen * 3. Pivotzeile des Einheitsvektors bestimmen ** 4. Stelle der 1 im Einheitsvektor festlegen: Hier gilt 50 < 100 *** 5. Einheitsvektor durch folgende Zeilenumformungen erzeugen: Zeile I: Koeffizienten übernehmen Zeile II: 2 mal II minus I Zeile III: übernehmen Zeile IV: IV plus 6 mal I

x1

x2

x3

y1

y2

y3

D

L

Pivotzeile**

I

2

4

2

1

0

0

0

200

200:2=100

II

10*

0

6

-1

2

0

0

200

200:10=20***

III

4

0

2

0

0

1

0

100

100:4=25

IV

-8*

0

-4

6

0

0

1

1200

6. Abbruchbedingung überprüfen: Wegen -8, -4 in Zeile IV nicht erfüllt. 7. Da -8 kleiner als -4 ist, wird der Einheitsvektor unter x 1 erzeugt*. 8. Pivotzeile** des Einheitsvektors bestimmen 9. Stelle der 1 im Einheitsvektor festlegen: Hier gilt 20 < 25 0 und f ( 1, 0 ) = – 5 < 0 . Entlang der x∂x ∂x

Steigungsverhalten:

Achse strebt die Flächenkurve damit gegen ein Maximum. Analog mit ( 0, – 1 ) < E1 < ( 0, 1 ) gilt für das Vorzeichenverhalten der Steigungen entlang der yAchse:

∂ f ( 0, – 1 ) = 8 > 0 und ∂ f ( 0, 1 ) = – 8 < 0 . Damit strebt die Flächenkurve ∂y ∂y

auch entlang der y-Achse in ein Maximum. Insgesamt legt die Stelle E1 ein Maximum fest. Entsprechende Untersuchung für die Stelle E2. Wähle entlang der x-Achse die Abschätzung ( 1, 1 ) < E2 < ( 3, 1 ) . Es gilt

∂ ∂ f ( 1, 1 ) = – 1 < 0 und f ( 3, 1 ) = 7 > 0 . Da∂x ∂x

mit läuft der Flächengraph in ein Minimum. Wähle entlang der y-Achse die Abschätzung

( 2, 0 ) < E2 < ( 2, 2 ) .

Damit

gilt

∂ f ( 2, 0 ) = 8 > 0 ∂y

und

∂ f ( 2, 2 ) = – 8 < 0 . Damit strebt der Graph entlang der y-Achse in ein Maximum. Da∂y mit ist der Vorzeichenwechsel ungleich und E2 legt keine Extremstelle fest. E2 bestimmt einen räumlichen Sattelpunkt. b) Nebenbedingung nach y umstellen: 1 = x – y ⇔ y = x – 1 und in die Zielfunktion einsetzen. 3

2

3

2

3

2

f ( x ) = x – 4x + 4x ⋅ ( x – 1 ) – 4 ( x – 1 ) 2

2

2

f ( x ) = x – 4x + 4x – 4x – 4x + 8x – 4 f ( x ) = x – 4x + 4x – 4 1. Ableitung null setzen.

356

Kurzantworten und Kurzlösungen

LÖSUNGEN

2 2 2 f′ ( x ) = 3x – 8x + 4 ⇒ 3x – 8x + 4 = 0 Mit den Lösungen x = --- oder x = 2 der 3

Gleichung sind die möglichen Extremstellen festgelegt. Mit der hinreichenden Bedin2 2 gung f′′ ( x ) = 3x – 8 ≠ 0 gilt f′′ ⎛⎝ ---⎞⎠ < 0 und f′′ ( 2 ) > 0 . Damit sind die Stellen 3 2 x = --- und x = 2 Extremstellen und legen ein Maximum und ein Minimum fest. 3 8.6

Gegeben f ( u, v ) = ln ( u ⋅ v – 4v + 6u ) . Die Funktion f partiell differenzieren. ∂ f ( u, v ) = ----------------------------------v+6 ∂u u ⋅ v – 4v + 6u ∂ u–4 f ( u, v ) = -----------------------------------∂v u ⋅ v – 4v + 6u Ableitungen null setzen. v+6 0 = ----------------------------------u ⋅ v – 4v + 6u u–4 0 = -----------------------------------u ⋅ v – 4v + 6u Gleichungen auf beiden Seiten mit Nenner multiplizieren. 0 = v + 6 und 0 = u – 4 Damit können die Stellen v = – 6 und u = 4 Extremstellen festlegen.

8.7

Gesucht ist eine Nutzenmaximierung für die Zielgleichung N ( u, v ) = ln ( u ⋅ v ) . Es gilt für Logarithmen

N ( u, v ) = ln ( u ⋅ v ) = ln ( u ) + ln ( v ) . Mit der Nebenbedingung

u + 2v = 10 ⇔ u + 2v – 10 = 0 folgt die Lagrangegleichung N L ( u, v, λ ) = ln ( u ) + ln ( v ) – λ ( u + 2v – 10 ) . Gleichung partiell differenzieren und die Ableitungen null setzen. 1 1 ∂ N ( u, v, λ ) = --- – λ = 0 ⇔ --- = u λ u ∂u L 1 ∂ 1 N ( u, v, λ ) = --- – 2λ = 0 ⇔ ------ = v 2λ ∂v L v ∂ N ( u, v, λ ) = 10 – u – 2v = 0 ∂λ L Obige Lösungen einsetzen. 10 – 1 --- – 1 --- = 0 ⇔ λ = 1 --λ λ 5

357

Kurzantworten und Kurzlösungen

LÖSUNGEN

Damit gelten für u, v die nutzenoptimalen Lösungen: u = 5 und v = 2, 5. Der maximale Gesamtnutzen in Abhängiggkeit der Nebenbedingung beträgt damit 5 25 N ⎛⎝ 5, ---⎞⎠ = ln ⎛⎝ ------⎞⎠ = 2, 53 . 2 2 8.8

Die

Oberfläche

A

des

Kochtopfzylinders

legt

die

Zielgleichung

2

A ( r, h ) = 2π ⋅ r ⋅ h + π ⋅ r für einen Radius r und eine Höhe h fest. Gesucht sind nun die materialminimierende Höhe h und der Radius r für ein Volumen von 0,9 Liter. Dies 3

entspricht 900cm . Aus dem Volumen folgt die Nebenbedingung 2 900 900 = π ⋅ r ⋅ h ⇔ h = -----------2- . π⋅r

In die Zielfunktion einsetzen. 2 900- + π ⋅ r 2 = 1800 A ( r ) = 2π ⋅ r ⋅ ----------------------- + π ⋅ r 2 r π⋅r

A differenzieren und null setzen. 1800 – ------------ + 2π ⋅ r = 0 ⇔ … ⇔ r = 6, 6 2 r Mit der Nebenbedingung gilt dann h = 6, 6 . Damit minimiert ein Topf mit einer Höhe von 6,6 cm und einen Durchmesser von 13,2 cm den Materialverbrauch. Damit sind Höhe und Durchmesser der angebotenen Kasserolle in etwa materialminimert.

9.1

a) A + B = 3 5 1 , B + C und A + C sind nicht definiert, 6 –2 2 A – B = –1 5 –5 0 10 0 b) A – B + A = 2A – B = 0 10 – 7 , C – B – C + A = A – B = – 1 5 – 5 3 14 1 0 10 0 T c) A + C = 1 5 – 2 + 3 0 – 2 = 4 5 – 4 34 1 –1 7 2 2 11 3

T

B –C =

358

–1 4 0 – 13 5 –1

Kurzantworten und Kurzlösungen

3 –1 3 5 1 0 7 – 6 –2 2 –2 2

T

=

LÖSUNGEN

0 –7 3 6 3 –1 0 7 – 5 – 2 = –5 9 –3 0 1 2 –2 2

d) 2 ⋅ A – 3 ⋅ B = – 4 10 – 13 , 3A – 6B = – 9 15 – 24 – 3 26 – 1 – 9 48 – 3 e) 2C – 2A + C + 3B – 3C = 3B – 2A = 4 –10 13 3 –26 1 Entscheidungsproblem a 11 ≤ b 11, b 13, b21 b22, da 6 2 12 4

9 3 18 6

9.2

7,

9.3

a) A ⋅ C = 6 15 , 4 –1

0 0 0 0

1 < 2, 1 < 3, 1 < 3, 1 ≤ 1

–3 –1 –6 –2

– 1 10 – 5 C ⋅ A = 12 0 4 4 – 10 6

A⋅B

ist nicht definiert,

11 – 18 2 T A ⋅ B = 10 0 – 5 – 1 –6 3 –2 5 b) A ⋅ 0 – 14 = – 8 – 59 – 3 12 3 –3 c) Tipp! T T T B ⋅ C – B ⋅ ( A + C ) = B ( C – A – C ) = –B ⋅ A = –4 – 5 29 –10

9.4

7 – 2a 11 – c

9.5

6 – 5c – 2

–1 1 – 5b – 1 0

359

LÖSUNGEN

9.6

Kurzantworten und Kurzlösungen

⎛ 2k + 4 0 ⎜ 1 1 1 ⎜ k + 2 – 2 – 4k ⎜ 3 – 6k 0 ⎝

⎞ 2k + 4 ⎟ = 13k + 1 ⎟ = 111 5k ⎟ – 3 + 6k ⎠

9.7

Aus der 1. und 2. Gleichung folgt die gemeinsame Lösung x = 6 und y = – 1. Da das Lösungspaar auch Lösung der 3. Gleichung ist, hat damit das Gleichungssystem die zuvor genannte Lösung.

9.8

x = 2 und y = 6 legt das Lösungspaar der 1. und 2. Gleichung fest. Nach Einsetzen des Lösungspaars in die 3. Gleichung ergibt sich mit 14 – 18 = – 5 ein Widerspruch zu – 4 > – 5. Damit ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems leer.

9.9

Mit der Koeffizientenmatrix in Diagonalform gilt a = 7, b = 4, c = 9.

9.10

u = 4, v = 2

9.11

u = – 3, v = 3

9.12 9.13

Es existiert kein gemeinsames Lösungspaar. Die Lösungsmenge ist leer. Wegen der Null in der Hauptdiagonalen des in Dreiecksform gegebenen Gleichungssystems ist die Lösungsmenge leer oder es existiert eine Parameterlösung. Hier gilt mit Parameter t: a = – 3 – t, b = t, c = 3 für alle Zahlen t.

9.14

a = 1, b = 2, c = 3

9.15

Setze c = t . Dann gilt: a = 2 und b = t – 1 für alle Zahlen t.

9.16

Setze z = t. Damit ist x = – 4t und y = t für alle Zahlen t.

9.17

r = 2, s = – 3, t = 3

9.18

r = 1, s = 1, t = – 1

9.19

x und y sei das Alter der Kommilitoninen. Dann gilt nach Voraussetzung x + y = 47 und x – y = 5. Nach Lösung des Gleichungssystems beträgt das Alter 26 und 21 Jahre.

9.20

Mit x sei die Anzahl der Busse des Typs I und mit y die Anzahl der Busse des Typs II festgelegt. Die 360 zu befördernden Personen verteilen sich mit 40x + 60y = 360 auf die Busse. Die 2400 € Auftragsvolumen ergeben sich aus 320x + 360y = 2400. Nach Lösung des Gleichungssystems setzt der Busunternehmer 3 Busse des Typs I und 4 Busse des Typs II ein.

9.21

a, b, c sei jeweils der Mengenanteil der Fruchtsäfte A, B, C für 1 Liter gemischten Fruchtsaft. Damit gilt a + b + c = 1 . Aus der Fruchtanteilbedingung folgt die Gleichung 0, 2a + 0,4b + 0,7c = 0, 5. Mit der Parameterlösung c = t

3 1 gilt a = --- t – --2 2

und

3 5 b = --- – --- t . Ein t ist für ein definiertes Mischungsverhältnis so zu wählen, dass a, b und 2 2 c positiv sind. Für diese Bedingung ist t geeignet abzuschätzen. Es gilt:

360

Kurzantworten und Kurzlösungen

3 1 1 0 ≤ a ⇔ 0 ≤ --- t – --- ⇔ --- ≤ t und 2 2 3

LÖSUNGEN

3 3 5 0 ≤ b ⇔ 0 ≤ --- – --- t ⇔ t ≤ --- . Damit ist für eine 5 2 2

1 3 Fruchtsaftmischung t mit --- ≤ t ≤ --- definiert. Wähle als ein Lösungsbeispiel t = 1 --- . 3 5 3 2 1 Damit ist nach Einsetzen a = 0, b = --- und c = --- . Ein Liter Fruchtsaft mit 50 % Frucht3 3 2 1 anteil folgt aus --- Liter der Sorte B und --- Liter der Sorte C. Eine weitere Lösung ist mit 3 3 t = 3 --- aus der rechten Grenze der Abschätzung realisierbar. Dann gilt a = 2 --- , b = 0 5 5 und c = 3 --- . 5 9.22

Mit x 1 = 10 und x 2 = 5 folgt D max = 70 .

9.23

Ein maximaler Deckungsbeitrag von 40 Geldeinheiten ist realisierbar, wenn vom 1. und 2. Produkt jeweils 4 Einheiten produziert werden.

9.24

a) Der maximale Deckungsbeitrag beträgt 970 Geldeinheiten (GE), wenn vom 1. Produkt x 1 = 200 Einheiten (E), vom 2. Produkt x 2 = 0 E, vom 3. Produkt x 3 = 100 E und vom 4. Produkt x 4 = 0 E produziert werden. Die 1. und 4. Maschine sind wegen der Schlupfvariabeln y 1 = 0, y 4 = 0 voll ausgelastet. Weil y 2 = 300, y 3 = 200 gilt, können 300 Einheiten Kapazität der 2. und 200 Einheiten Kapazität der 3. Maschine nicht verbraucht werden. Die Schattenpreise der Maschinen mit Vollauslastung legen fest, dass sich der maximale Deckungsbeitrag um 18 GE erhöht, wenn die Kapazität der 1. Maschine um eine Einheit steigt. Eine Kapazitätserweiterung um 1 Einheit auf der 4. Maschine steigert den maximalen Deckungsbeitrag um 29 GE. b) Hier gilt D max = 48000, x 1 = 700, x 2 = 0, x 3 = 900, x 4 = 0 y 1 = 0, y 2 = 0, y 3 = 80, Schattenpreise 12 und 14 GE

9.25

x 1 = 0, x 2 = 50, x 3 = 25, y 1 = 0, y 2 = 25, y 3 = 0, D max = 800

9.26

x 1 = 100, x 2 = 0, x 3 = 25, x 4 = 0 y 1 = 300, y 2 = 0, y 3 = 0, D max = 700

9.27

Die Beschränkungen IV und V sind hier nicht einschränkend. I, II und III sind einschränkender. Gemäß IV gilt x 1 ≤ 400 . Da I nur eine Bearbeitung von maximal 100 E. x 1 ermöglicht, kann im Optimierungsansatz auf die Beschränkung IV verzichtet werden. Eine analoge Plausibilitätsbetrachtung gilt für Beschränkung V. Lösung mit den Beschränkungen I bis III: x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 40, x 4 = 0, y 1 = 50, y 2 = 20, y 3 = 0, D max = 480

9.28

Zunächst seien mit x 1, x 2 die Produktionsmengen des 1. Produktes auf den Fertigungsanlagen I und II vereinbart. Mit x 3, x 4 seien die Produktionsmengen des 2. Produktes

361

LÖSUNGEN

Kurzantworten und Kurzlösungen

analog festgelegt. Unter den gegebenen Voraussetzungen ist das Optimierungsproblem Maximiere D = 80x 1 + 100x 2 + 120x 3 + 80x 4 unter den Beschränkungen: I x 1 + x 3 ≤ 20000, II x 2 + 2x 4 ≤ 10000 , III x 1 + x 2 ≤ 8000 , IV x 3 + x 4 ≤ 14000. Lösung: D max = 2480000, x 1 = 0, x 2 = 8000, x 3 = 14000, x 4 = 0 y 1 = 6000, y 2 = 2000, y 3 = 0, y 4 = 0

zu lösen.

Aus den Lösungen folgt, dass das 1. Produkt ausschließlich auf der 2. Anlage und das 2. Produkt nur auf der 1. Anlage produziert wird. Die Produktionsanlagen sind wegen der Nachfragebeschränkung mit jeweils 6000 und 2000 Einheiten nicht voll ausgelastet. Die Nachfrage des Folgemonats kann daher vollständig befriedigt werden. 9.29

n 1 sei der Nutzen einer Golfrunde, n 2 der Nutzen einer Tenniseinheit. Zu maximieren ist der Nutzen N mit N = 5n 1 + 3n 2 . Für die Geldbeschränkung gilt 40n 1 + 14n 2 ≤ 280 , für die Zeitbeschränkung 5n 1 + 4n 2 ≤ 40 . Lösung des Optimierungsproblems: N max = 37, 78 ; n 1 = 6,22 ; n 2 = 2,22. Wegen der gebrochenen Nutzenlösungen sollte Studentin P. monatlich 6-mal Golf und 2-mal Tennis spielen, um ihren persönlichen Nutzen aus sportlichen Aktivitäten zu maximieren.

362

Lösungen zur Testklausur 1

LÖSUNGEN

Lösungen zur Testklausur 1 Aufgabe 1 2a 2b ------------ + b = ------------ + a x+1 x+1

a)

| HN = x + 1

2a + b ( x + 1 ) = 2b + a ( x + 1 ) 2a + bx + b = 2b + ax + a

| – ax – b – 2a

bx – ax = 2b – b – 2a + a x(b – a) = b – a

| ÷ ( b – a)

x = 1 mn cn ----------- + -------------- = 2n x–c x–m

b)

| HN = ( x – c ) ( x – m )

mn ( x – m ) + cn ( x – c ) = 2n ( x – c ) ( x – m ) 2

2

2

mnx – m n + cnx – c n = 2nx – 2cnx – 2mnx + 2cmn 2

2

2

– 2nx + 3mnx + 3cnx – m n – 2mnc – c n = 0 2

2

3(m + c) 2 m + 2mc + c x – ---------------------- x + ------------------------------------- = 0 2 2 2 (m + c) 2 (m + c) x – 3 ------------------ x + --------------------- = 0 2 2 2

2

3( m + c ) 9( m + c) 8( m + c ) x 1,2 = ---------------------- ± ------------------------- – ------------------------16 16 4 3( m + c) ( m + c ) x 1,2 = ---------------------- ± -----------------4 4 x1 = m + c m+c x 2 = -------------2 c)

x

81 = 9 9

2x

= 9

4x – 4

| 81 = 9

2

4x – 4

2x = 4x – 4

| – 4x

– 2x = – 4

|÷2

x = 2 Aufgabe 2 n

Es gilt:

Kn = K0 ( 1 + i )

Gesucht:

n für i = 0, 1 und K n = 5K 0

363

Lösungen zur Testklausur 1

LÖSUNGEN

5K 0 = K 0 ⋅ 1, 1 5 = 1, 1

n

| ÷ K0

n

| lg

lg 5 = n ⋅ lg1, 1 lg 5 -------------- = n lg 1,1

| ÷ lg 1, 1

n ≈ 16, 9 Aufgabe 3

% = M in --------100 eigener Absatz = x hl/Jahr

Marktanteil

Gesamtabsatz = X hl/Jahr a) In der Ausgangssituation gilt: x 300000 M0 = -----0 = ------------------- = 0, 2 X0 X0 X 0 = 1500000 5

300000 ( 1 – 0, 015 ) M 5 = --------------------------------------------------- = 0, 1854 1500000 Bei unverändertem Gesamtabsatz beträgt der Marktanteil in 5 Jahren noch 18,54 %. b)

5

300000 ( 1 – 0, 015 ) M5 = --------------------------------------------------5- = 0,2397 1500000 ( 1 – 0, 05 ) Bei schrumpfendem Gesamtumsatz wächst der Marktanteil in 5 Jahren auf 23,97 %.

Aufgabe 4 Verrechnungspreis für eine ME der Kostenstelle A = a Verrechnungspreis für eine ME der Kostenstelle B = b a)

364

Lösungen zur Testklausur 1

b)

LÖSUNGEN

Nach dem Istkostenabwälzprinzip gilt: Inputwert = Outputwert

A:

150000 + 1000b = 20000a

| – 20000a

| – 150000

B:

400000 + 2500a = 8500b

| – 8500b

| – 400000

– 20000a + 1000b = – 150000 2500a – 8500b = – 400000

|⋅8

– 20000a + 1000b = – 150000 + 20000a – 68000b = – 3200000 – 67000b = – 3350000

| ÷ ( – 67000 )

b = 50 150000 + 1000 ⋅ 50 = 20000a

| ÷ 20000

10 = a Die Verrechnungspreise betragen für eine ME der Kostenstelle A 10 € und für eine ME der Kostenstelle B 50 €. Aufgabe 5 a)

b)

Nach der Achsenabschnittsform der Geradengleichung ergibt sich für die Nachfragefunktion: xN xN p = 1 | – --------------------------- + ------------------100000 100 100000 1 p = 1 – ------------------| ⋅ 100 --------x 100000 N 100 1 p = 100 – ------------- x N 1000

365

Lösungen zur Testklausur 1

LÖSUNGEN

Nach der Zwei-Punkteform der Geradengleichung ergibt sich für die Angebotsfunktion: 55 – 50 p – 50 --------------------------------------- = ---------------------------30000 – 20000 x A – 20000 1 p – 50 | ⋅ ( X A – 20000 ) ------------- = ---------------------------2000 x A – 20000 1 ------------- x A – 10 = p – 50 | + 50 2000 1 p = 40 + ------------- x A 2000 c)

xN 1 100 – ------------- x G 1000 3 – ------------- x G 2000 xG

= xA = x G 1 = 40 + ------------- x G 2000

1 | – ------------- x G 2000

| – 100

3 | ÷ – -----------2000

= – 60 = 40000

1 p G = 100 – ------------- ⋅ 400000 1000 p G = 60

d)

Die Gleichgewichtsmenge beträgt 40000 Einheiten pro Jahr, der Gleichgewichtspreis beträgt 60 € pro Einheit. x A – x N = 30000 x N = 100000 – 1000p x A = – 80000 + 2000p

– 80000 + 2000p – 100000 + 1000p = 30000 3000p = 210000

| + 180000 | ÷ 3000

p = 70 Wenn ein Angebotsüberhang von 30000 Einheiten nicht überschritten werden soll, darf ein Preis von maximal 70 €/Einheit festgelegt werden.

366

Lösungen zur Testklausur 2

LÖSUNGEN

Lösungen zur Testklausur 2 Aufgabe 1 a) Zeitstrahl

K 20 = Wert der Sparleistung zum Zeitpunkt 20 g = Wert der jährlichen Sparleistung b)

1. Schritt: Ermittlung von K 20 5

( 1 + 0, 07 ) – 1 K 20 = 12000 ⋅ ----------------------------------------50, 07 ( 1 + 0, 07 ) K 20 = 12000 ⋅ 4, 1001974 K 20 = 49202, 37 2. Schritt: Ermittlung von g 0,07 g = 49202,37 ⋅ -------------------------------------20 ( 1 + 0,07 ) – 1 g = 49202,37 ⋅ 0,0243929 g = 1200,19 Die erforderliche Sparleistung der Eltern beträgt 1200 € pro Jahr. Aufgabe 2 a)

8 2 y′ = 24x + --- x + 5 3

b)

y′ = – 12x

c)

20 y′ = --------------3⋅6 x

–5

= – 12 -----5x

367

Lösungen zur Testklausur 2

LÖSUNGEN

Aufgabe 3 a)

y 1 2 2 --- x N – 4x N + 8x 2 1 2 x N ⎛ --- x N – 4x N + 8⎞ ⎝2 ⎠ x N1 1 2 --- x N – 4x N + 8 2

= 0 = 0

| Ausklammern von x

= 0

| Nullsetzen der Faktoren

= 0 = 0

2

x N – 8x N + 16 = 0 x N2 = 4 ± 16 – 16 x N2 = 4 y′ = 0 3 2 3 --- x E – 8x E + 8 = 0 | ÷ --2 2 2 16 16 x E – ------ x E + ------ = 0 3 3 16 256 192 x E1,2 = ------ ± --------- – --------6 36 36 16 8 x E1,2 = ------ ± --6 6 x E1 = 4 4 x E2 = --3

b)

y″ ≠ 0 y″ = 3x – 8 y″ ( 4 ) = 4 > 0

→ Minimum

4 y″ ⎛ --- ⎞ = – 4 < 0 ⎝3⎠

→ Maximum

c)

368

x

-1,0

0

1

4 --3

2

3

4

5

y

-12,5

0

4,5

4,74

4

1,5

0

2,5

Lösungen zur Testklausur 2

LÖSUNGEN

Aufgabe 4 a) Umsatzfunktion U ( x ) = 7x Grenzumsatzfunktion GU = dU ------- = 7 dx Grenzkostenfunktion 1 dK GK = ------- = --- x 5 dx b)

An der Nutzenschwelle/-grenze gilt: U = K 1 2 7x 0 = ------ x 0 + 100 10 1 2 0 = ------ x 0 – 7x 0 + 100 10

| – 7x 0 | ⋅ 10

2

0 = x 0 – 70x 0 + 1000 x 01, 2 = 35 ± 1225 – 1000 x 01, 2 = 35 ± 15 x o1 = 20 x 02 = 50 Die Nutzenschwelle liegt bei 20 Stück, die Nutzengrenze bei 50 Stück.

369

Lösungen zur Testklausur 2

LÖSUNGEN

c) x

0

10

20

30

35,0

40

50

60

U

0

70

140

210

245,0

280

350

420

K

100

110

140

190

222,5

260

350

460

d)

e)

370

Für die gewinnmaximale Absatzmenge x G gilt: GK = GU. Aus der Zeichnung ergibt sich x G = 35Stück .

Lösungen zur Testklausur 2

f)

GK = GU 1 --- x G = 7 5 x G = 35

LÖSUNGEN

|⋅5

G( x) = U ( x ) – K( x) 1 2 G ( x ) = 7x – ⎛ ------ x + 100⎞ ⎝ 10 ⎠ 1 2 G ( x ) = – ------ x + 7x – 100 10 G ( 35 ) = 22,5 Der maximale Gewinn ergibt sich bei einer Absatzmenge von 35 Stück. Er beträgt 22,50 €. Aufgabe 5 a) 1. Ermittlung der Kosten k je kg des Rohstoffes in Abhängigkeit von der Bestellmenge x x 50000 k = 1, 50 + ---------------- + ------------------------------ ⋅ 0,075 2 ⋅ 1200000 x x 50000 + 0, 12 ⋅ ------------------------------ ⋅ ⎛⎝ 1, 50 + ----------------⎞⎠ 2 ⋅ 1200000 x 50000 0, 075x 0, 18x 6000 k = 1, 50 + ---------------- + ----------------------- + ----------------------- + ----------------------x 2400000 2400000 2400000 0, 255x 50000 k = ----------------------- + 1, 5025 + ---------------2400000 x 2. Ermittlung des Kostenminimums k′ = 0 und k″ > 0. 0, 255 50000 k′ = ----------------------- – --------------2 2400000 x 2 0, 255 50000 | ⋅ 2400000x E 0 = ----------------------- – --------------2 2400000 x E

2

0 = 0, 255x E – 1, 2 ⋅ 10 1, 2 ⋅ 10

11

4,70588 ⋅ 10

11

11

| + 1, 2 ⋅ 10 2

= 0, 255x E =

11

| ÷ 0, 255

2 xE

x E1, 2 = ± 685994, 34 100000 k″ = ------------------3 x 100000 k″ ( 685994, 34 ) = -----------------------------3- > 0 → Minimum 685994,34 Der Betrieb sollte pro Bestellung 685994 kg ordern.

371

Lösungen zur Testklausur 3

LÖSUNGEN

Lösungen zur Testklausur 3 Aufgabe 1 5 5u – 4 1 – 3u 4u – 4

a)

2

u – u + 12

b)

2

2u + 8u

Aufgabe 2 K M ( 30 ) K G ( 30 )

= 69000 36000

Die Gesamtkosten für 30 Motoren betragen 166200 €. Für 30 Getriebe fallen 36000 € Gesamtkosten an. Die Antriebskosten für 30 Yachten folgen aus dem Produkt 69000 = 105000 . 11 ⋅ 36000 Damit betragen die Gesamtkosten für 30 Antriebseinheiten 105000 €. Aufgabe 3 a = 2, b = 3, c = 1 Aufgabe 4 Aus den gegebenen Bedingungen folgt für die Gesamtkosten K und Grenzkosten K’: I

Fixkosten 16 GE

⇒ K ( 0 ) = 16

II

Gesamtkosten 43 GE für x = 3

⇒ K ( 3 ) = 43

III

Grenzkosten 0 GE für x = 3

⇒ K’ ( 3 ) = 0

IV

Minimale Grenzkosten

⇒ K’’ ( 3 ) = 0

3

2

2

I, II in K ( x ) = ax + bx + cx + d, III in K’(x) = 3ax + 2bx + c und IV in K’’(x) = 6ax+2b einsetzen.

372

I

d = 16

II

27a + 9b + 3c + d = 43

III

27a + 6b + c

= 0

IV

18a + 2b

= 0

Lösungen zur Testklausur 3

LÖSUNGEN

Nach Lösung des Gleichungssystems ist a = 1, b = – 9, c = 27, d = 16. Damit erfüllt 3 2 die Gesamtkostenfunktion K mit K ( x ) = x – 9x + 27x + 16 die gegebenen Bedingungen. Aufgabe 5 Ein maximaler Deckungsbeitrag von 56140 GE ist realisierbar, wenn vom 1. Produkt 180 Einheiten und vom 3. Produkt 270 Einheiten hergestellt werden. Das 2. Produkt wird nicht gefertigt. Die 1. und 2. Maschine ist voll ausgelastet. 60 Einheiten Kapazität der 3. Maschine können nicht verbraucht werden. Die Schattenpreise betragen für die 1. Maschine 13 GE und für die 2. Maschine 14 GE. Aufgabe 6 x 1 = 0, x 2 = 50, x 3 = 25, y 1 = 0, y 2 = 50, y 3 = 0, D max = 1600GE Aufgabe 7 Da P3 eine Kombination aus P1 und P2 ist, beträgt der Zeitaufwand für eine Einheit P3 für A 3 Stunden und für B ebenfalls 3 Stunden. Zunächst lautet der allgemeine Optimierungsansatz: Maximiere D = 30x 1 + 20x 2 + 54x 3 unter den Beschränkungen I

2x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 200

II

1, 5x 1 + 1, 5x 2 + 3x 3 ≤ 100

Daraus folgt das Simplextableau: x1

x2

x3

y1

y2

D

I

2

1

3

1

0

0

200

II

1,5

1,5

3

0

1

0

100

III

-30

-20

-54

0

0

1

0

373

LÖSUNGEN

Lösungen zur Testklausur 4

Lösungen zur Testklausur 4 Aufgabe 1 Gegeben seien die Gesamtkostenfunktion K mit der Gleichung 3 2 K ( x ) = 2x – 180x + 5400x + 2000 und die Umsatzfunktion U mit der Gleichung U ( x ) = 3000x eines Einproduktunternehmens. a) K′ min = K′ ( 30 ) = 0 . Die Grenzkosten sind für x = 30 minimal und betragen 0 €. b)

K′ ( 20 ) = 600 und K ( 20 ) = 54000 . Die Gesamtkosten der Ausbringungsmenge 20 betragen 54000 €/Periode. Wird die Ausbringungsmenge 20 um eine Einheit erhöht, steigen die Gesamtkosten näherungsweise um die Grenzkosten von 600 €.

c)

Aus G’(x)=0 folgt x = 52,36 oder x = 7,64. Wegen G’’(52,36)