Mathematik-Handbuch für Technik und Naturwissenschaften [1 ed.] 387144149X, 9783871441493

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Vorwort

Das "Mathematik-Handbuch", das dem Leser hiermit in einer Übersetzung aus dem Polnischen vorgestellt wird, soll dem in der Praxis tätigen Naturwissenschaftler und Ingenieur das mathematische Rüstzeug bieten, das er benötigt. Dabei genießt das Streben nach handbuchartiger Kürze Vorrang vor mathematisch möglichst exakten Formulierungen. Das Spektrum der dargestellten Stoffgebiete ist äußerst \v eitgespannt ; es reicht von den klassischen Gebieten der Analysis, Algebra und Geometrie über Funktionalanalysis. Numerik und Nomographie bis hin zu Wahrscheinlichkeitsrechnung, stochastischen Prozessen und Informationstheorie. Das Buch bringt somit eine Reihe von Gebieten, die in dem im gleichen Verlag erschienenen Nachschlagewerk "Taschenbuch der Mathematik" von I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew nicht oder nur in Teilgebieten enthalten ist, wie projektive Geometrie, Tensorrechnung, Mengentheorie, abstrakte Algebra, Theorie der Summierbarkeit, Topologie, Funktionalanalysis, Theorie der Distributionen, Approximationstheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, stochastische Prozesse, stochastische Differentialgleichungen, Informationstheorie, numerische Methoden, Nomographie, Logik und Rechner. Die Diktion der einzelnen Beiträge, die in Stil und Niveau unterschiedlich sind, ist wesentlich durch die Auffassung der jeweiligen Autoren bestimmt; hierin und an den Bezeichnungen wurde in der Übersetzung möglichst wenig geändert. Während sich die meisten dieser Beiträge darauf konzentrieren, anwendungsbereites Wissen zu vermitteln, aber auf Beweise weitgehend verzichten, geben einige, namentlich algebraisch orientierte Autoren eine ausführlichere Darstellung, bei der auch viele Beweise ausgeführt werden, und bieten damit in gewissem Maße sogar die Möglichkeit, sich ab ovo in das betreffende Gebiet einzuarbeiten. Alle Beiträge sind durch zahlreiche durchgerechnete Beispiele ergänzt und mit vielen Abbildungen illustriert. Das Buch ist als Nachschlagewerk geeignet und läßt sich auch ausgezeichnet zur Auffrischung verschütteter mathematischer Kenntnisse verwenden. Die den einzelnen Abschnitten beigegebenen Literaturverzeichnisse wurden für die vorliegende Ausgabe durch ausgewählte Beispiele vornehmlich internationaler Bücher ergänzt. Neben diesen Zusammenstellungen findet der Leser am Schluß des Buches zu jedem Abschnitt Hinweise auf weitere Literatur. Der Verlag

Inhaltsverzeichnis

1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8.

Arithmetik. Algebraische Rechenoperationen Die natürlichen Zahlen Die ganzen Zahlen Die rationalen Zahlen . Die reelIen Zahlen . . . Die komplexen Zahlen . Quaternionen . • . • . . . . . • . . . . . . . . Eigenschaften von Gleichungen und Ungleichungen . ZahlendarsteIlung in verschiedenen Positionssystemen

2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Elementargeometrie . . . . . . • . . . . . . . . . Gegenstand und Aufbau der Geometrie . Grundbegriffe und Axiome, Einteilung der Geometrie. Geometrie der Geraden . . . . . . . . . . . . . . Planimetrie . . . . . . . . . . . Stereometrie. . . . . . . . . . . Konstruktionsaufgaben . . . . . .

58

3. 3.1. 3.2.

Ebene und sphärische Trigonometrie Ebene Trigonometrie . • Sphärische Trigonometrie.

63 63 86

4.

Kombinatorik . . . . . . . Einleitung . . . . . . . . . Ungeordnete Paare • . • . . • . . . . . . Stichproben (Variationen mit Wiederholungen) Variationen und Permutationen • • . . • . . Klassen von Permutationen, Transpositionen . Kombinationen • . . Binomialkoeffizienten . Binomischer Lehrsatz

94 94 94 95 95 96 98 98 100

Lineare Aillebra . . . Vektorräume . . . . . . Beispiele für Vektorräume Lineare Unterräume . . . Lineare Abbildungen. . . Linearer Isomorphismus . . . . Linearkombination von Vektoren . . . Lineare Unabhängigkeit von Vektoren. Basen des Vektorraumes • . • • Fortsetzung von Abbildungen. . . n-dimensionale Vektorräume • • . Matrix einer linearen Abbildung . . Produkt linearer Abbildungen . . . Algebra linearer Selbstabbildungen Multiplikation von Matrizen • • . . Algebra der quadratischen Matrizen . Elementare Matrizenoperationen . , Rang einer Matrix. • . • . • • . . . . . Lineare und antisymmetrische Funktionale . Determinanten • . . . . . . . . . . • . Wichtigste Eigenschaften der Determinanten . Geometrische Interpretation einer Determinante Laplacescher Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendung der Determinanten zur Auflösung linearer Gleichungssysteme . Ähnliche Selbstabbildungen und ähnliche Matrizen . . . . . . . . . . Invariante Unterräume einer linearen Selbstabbildung . Unitäre Räume . • . Der Betrag eines Vektors Orthonormalsysteme . .

102 102 103 104 104 105 106 106 107 108 108

4.1. 4.2.

4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8.

S. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10.

5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. 5.16.

5.17. 5.18. 5.19. 5.20. 5.21. 5.22. 5.23. 5.24. 5.25. 5.26. 5.27. 5.28.

1 1 3 6 8 10 12 13 15

22

22 22 24

28 44

110 112 113 114 115 116 117

119 119 121

122 124 126

129 130 139 139

140

VIII

Inhaltsverzeichnis 5.29. 5.30. 5.31. 5.32. 5.33. 5.34. 5.35. 5.36. 5.37. 5.38. 5.39. 5.40.

Orthogonalisierungsverfahren . . Vektorraum linearer Funktionale Adjungierte Selbstabbildungen Bilinearformen . . • . . . . . Unitäre Selbstabbildungen . . . Normale Selbstabbildungen • • . • . . . . . . Selbstadiungierte (bermitesche) Selbstabbildungen Schiefhermitesche Selbstabbildungen Quadratische Formen. • . . Hermitesche Formen. . . . Euklidische Räume Reelle quadratische Formen

141 143 144 145 147 148 150 151 152 155 156 158

6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10.

161 161 162 165 166 166 167 169 170 170

6.11. 6.12. 6.13. 6.14. 6.15. 6.16. 6.17. 6.18. 6.19. 6.20.

Algebraische Gleichungen . . Grundbegriffe . . . . . . . Polynome . . . . . . • . . . . . . • . . . . Teilbarkeit eines Polynoms durch ein Polynom . NullstelIen von Polynomen . . . • . . . . • . . . Teilbarkeit eines Polynoms durch einen Linearfaktor Interpolationsformeln . . . . . . . . . . . . . . . Mehrfache NullstelIen . . . . . . . . . . . . . . Vietasche Wurzelsätze . . . . . . . . . . . . . . Quadrieren von Wurzeln • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Näherungsverfahren zur Berechnung der Nullstellen eines Polynoms mittels des Verfahrens von Graeffe und Lobatschewski Reelle Polynome . . . . . • . • • . . Rationale und ganze Polynome . Näherungslösungen reeller Gleichungen . . . . Sturmsehe Theorie . Algebraische Auflösung von Gleichungen . Tabellarische Lösung von Gleichungen 3. Grades. Die Resultante. . . . . . . . . . . . . . . . Näherungsweise Berechnung komplexer Wurzeln Schranken für die Nullstellen Hurwitzsches Kriterium

171 173 173 174 174 176 177 177 178 179 181

7. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9.

Differential- und Integralrechnung Zahlenfunktion einer Variablen . Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen. Ableitung einer Funktion. . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . Zuwachs und Differential einer Funktion, Differentiale höherer Ordnung . Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . Bestimmtes (Riemannsches) Integral . . . Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . Von einem Parameter abhängige Integrale

182 182 193 201 205 206 219 230 237 242

8. 8.1. 8.2. 8.3.

Folgen, Reihen, Ent"icklungen. . . . . Zahlenfolgen. . . . . . . . . . . . . Zahlenreihen. . . . . . . . . . . . . Funktionenfolgen und Funktionenreihen

246 246 250 255

9. 9.1.

266 266

9.3. 9.4.

Funktionen mehrerer Variablen Grundbegriffe und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen Partielle Ableitungen. . . . . . . Anwendungen . . . . . . . . . .

271 281

10. 10.1. 10.2. 10.3.

Analytische Geometrie . Analytische Geometrie der Ebene . Analytische Geometrie des Raumes Kurven zweiter Ordnung .

286 286 304 323

11. 11.1. 11.2.

Vektorrechnung Vektoralgebra Vektoranalysis

356 356 367

12. 12.1. 12.2. 12.3. 12.4.

Kurven-, Gebiets- und Mehrlaehiategrale Kurvenintegrale . . Gebietsintegrale . . Oberflächenintegrale Mehrfachintegrale .

386 386 391 399 401

9.2.

270

Inhaltsverzeichnis -~-------

-------------------

--

IX -

~~

13. 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6.

Elemente der projektiven Geometrie • . . . Gegenstand der projektiven Geometrie. . . Axiomensystem der projektiven Geometrie . Modelle der projektiven Geometrie . . . Projektive Koordinaten, Doppelverhältnis Projektive Abbildungen . Kurven und Flächen 2. Ordnung .

405 405 405 407 409 412 413

14. 14.1. 14.2. 14.3.

416 416 421

14.8. 14.9. 14.10. 14.11. 14.12.

Gewöbnliche Differentialgleichungen Grundlegende Definitionen . . .,. . . . . . . . . . Differentialgleichungen erster Ordnung in Normalform . . . . . . . . . . Differentialgleichungen erster Ordnung, die nicht in der Normalform dargestellt sind . . . . . . . . . • • . • . . . . . . . . . . . . . . . . . Trajektorien . Differentialgleichungen n-ter Ordnung . . . • . . . . . . . . . . . . . Abhängigkeit der Lösungen der Differentialgleichungen von den Parametern und den Anfangswerten . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asymptotisches Verhalten der Lösungen der Differentialgleichungen bei x -> 00, oszillatorische Lösungen, periodische Lösungen ... Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung . . . . . . . . Differentialgleichungen 2. Ordnung mit variablen Koeffizienten. Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen . Stabilität, singuläre Punkte . • . . . . . Die Methoden des kleinen Parameters. .

15. 15.1. 15.2. 15.3. 15.4.

Differentialgeometrie . . . . Ebene Kurven. . . . . . . Raumkurven. . . . . . . . Flächen. Kurven auf Flächen Krümmung

484 484 504 511 517

16. 16.1. 16.2. 16.3. 16.4.

Tensorrecbnung . . • . . . . . . . . . . . . . . . Tensoralgebra im dreidimensionalen Euklidischen Raum Tensoranalysis im dreidimensionalen Euklidischen Raum. Vektoralgebra und -analysis in orthogonalen Koordinaten Beispiele für orthogonale Koordinatensysteme

523 523 538 541 543

17. 17.1. 17.2. 17.3. 17.4. 17.5. 17.6. 17.7. 17.8. 17.9. 17.10. 17.11. 17.12.

Komplexe Funktionen . Einführung . . . . . Komplexe Zahlen . . Komplexe Folgen . . Komplexe Reihen . . . . . . . . . . . . . Reihenentwicklung für elementare Funktionen Komplexe Funktionen reeller Variablen . . Komplexe Funktionen komplexer Variablen . Mehrdeutige Funktionen . . . . . . . . . . U,n~es!immtes Integral (Stammfunktion) . . . LInienintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entwicklung holomorpher Funktionen in Taylorreihen und Laurentreihen Harmonische Funktionen und konforme Abbildungen. . . .

550 550 551 556 557 561 569 570 579 581 582 587 592

18.

Orthogonale Systeme und Reihen, Randwertprobleme. Eigenwerte Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orthogonale Funktionen, Fourierreihen . . . . . . . . . . Spezielle Orthogonalsysteme . Randwertprobleme für lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung, Eigenwerte und Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenhang von Randwertproblemen und Eigenwertproblemen mit Integralgleichungen und mit der Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . Abschätzung von Eigenwerten . . . . . . . . . . Randwertprobleme und Eigenwerte für Systeme gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen . Lineare Randwertprobleme 2. Ordnung . . . Einige allgemeinere lineare Eigenwertprobleme

598 598 600 606

19.1. 19.2. 19.3. 19.4.

Spezielle Funktionen . . . . . . . . . . Einige spezielle Funktionen. . . . . . . . . Orthogonale Polynome . Besselsche Funktionen . . . . . . . . . . . Hypergeometrische und elliptische Funktionen

634 634

20. 20.1. 20.2.

Partielle Differentialgleichungen Einleitung. . . . . . . . . . Gleichungen 1. Ordnung . . .

671 671 675

14.4. 14.5. 14.6. 14.7.

18.1. 18.2. 18.3. 18.4. 18.5. 18.6. 18.7. 18.8. 18.9.

19.

. . . . .

430 434 435 440 441 444 452 459 469 477

609 615 620' 623 628 631

645 655 664

x

Inhaltsverzeichnis 20.3. 20.4. 20.5. 20.6. 20.7. 20.8. 20.9. 20.10. 20.11. 20.12. 20.13. 20.14. 20.15.

Wichtigste Gleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . • . . Einteilung der quasilinearen Gleichungen 2. Ordnung. Kanonische Formen Gleichung der Saitenschwingung, d' Alembertsche Lösung . . . . Wellengleichung . . . . • . . • . . . . . . . . . . . . . . . Fouriermethode für zwei unabhängige Variablen . • . . . . . . Fouriermethode für mehr als zwei unabhängige Variablen . . . . Lineare hyperbolische Gleichung mit zwei unabhängigen Variablen Cauchysches Problem . . . . • • . • . . . . . • . • . . . . Gemischte Probleme für beschränkte Gebiete. . . . . . . . . . Grundkenntnisse, Laplacesche und Poissonsche Gleichung . . . . Methode der Greensehen Funktion . . . . . . . . . . . . . . Die Fouriermethode für spezielle Probleme (Laplacesche Gleichung) Helmholtzsche Gleichung, Eigenwertproblem

683 688 696 701 703 715 721

21. 21.1. 21.2. 21.3. 21.4. 21.5.

Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . Einführung . . . . . . . . . . . . . . . Methode der sukzessiven Approximation. . Fredholmsche Alternative. . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . Einige Eigenschaften von Integralgleichungen mit symmetrischen Kernen. Integralgleichungen mit unbeschränkten Kernen

762 762 765 774 786 794

22. 22.1. 22.2. 22.3. 22.4. 22.5. 22.6.

VariatioDsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notwendige Existenzbedingung für ein Extremum eines Funktionals . . . Hinreichende Existenzbedingungen für ein Extremum eines Funktionals . Extremum mit Nebenbedingungen (Isoperimetrisches Problem) Weitere Variationsprobleme mit Nebenbedingungen . Näherungsmethoden in der Variationsrechnung.

800 800 801 809 811 812 813

23. 23.1. 23.2. 23.3. 23.4. 23.5. 23.6.

Integraltransformationen . Einleitung. . . . . . . . . . . . . . Laplace-Transformation . Anwendung der Laplace-Transformation Laplace-Carson-Transformation F ourier-Transformation Weitere Integraltransformationen

816 816 821 827 845

24. 24.1. 24.2. 24.3. 24.4. 24.5. 24.6. 24.7. 24.8.

Mengentbeorie . . . . . . Mengen • . . . . . . . Mengenalgebra . . . . . Kreuzprodukt der Mengen Funktionen • . . . . . . Mächtigkeit einer Menge. . . Arithmetik der Kardinalzahlen Geordnete Mengen . Wohlgeordnete Mengen, Ordnungszahlen.

874 874 875 878 878 880 882 884 886

25. 25.1. 25.2. 25.3. 25.4. 25.5. 25.6. 25.7. 25.8. 25.9. 25.10. 25.11. 25.12. 25.13. 25.14. 25.15. 25.16. 25.17. 25.18. 25.19. 25.20. 25.21. 25.22. 25.23. 25.24. 25.25. 25.26. 25.27.

Abstrakte Algebra . . . . . . . . Einführung . . . . . . . . . . . Mengen, Relationen, Abbildungen Äquivalenzrelationen . Operationen. . . . Algebren . . . . . Ähnliche Algebren . Unteralgebren . . . Erzeugende Mengen Homomorphismus . Isomorphismus . . Kongruenzen • . . . . . . . . . Faktoralgebren, Restklassenalgebren Kongruenzen und Homomorphismen. Direktes Produkt von Operationen Direktes Produkt von Algebren . Operationen vom Typ Cl) • Algebra der Terme . . . . Algebraische Operationen. . Algebraische Gleichungen . Homomorphe Fortsetzungen Freie Algebren . Durch Gleichheiten definierbare Algebren Halbgruppen . Gruppen . Gruppen von Selbstabbildungen . Zulässige Unteralgebren . Endliche Gruppen .

888 888 891 892 893 894 894 895 895 896 896 897 898 898 899 899 900 900 901 902 903 904 904 90S 90S 906

726

733 738 741 747 754

846

862

907

909

XI

Inhaltsverzeichnis . . . . .

912 915

25.28. 25.29.

Ringe Boolesche A1gebren

26. 26.1. 26.2. 26.3. 26.4. 26.5. 26.6. 26.7. 26.8. 26.9. 26.10. 26.11. 26.12. 26.13. 26.14. 26.15.

Theorie der Summierbarkeit Einführung . . . • . . . . Matrixverfahren ..••....•. Satz von Toeplitz, Kojima und Schur . . Satz von Hahn, Takenaka und Bosanquet . . Quasimatrixverfahren bzw. Funktionenverfahren Echt reguläre Verfahren . . • . . . . . . . . Cesärosche Zahlen. . . . . . . . • • . . . . . . . Faltungen, Summen und Differenzen beliebiger Ordnung Cesärosche Mittel . . Höldersche Mittel . . Nörlundsche Mittel . Eulersche Mittel Hausdorffsche Mittel Abelsches Verfahren . BoreIsches Verfahren .

918 918 921

27. 27.1. 27.2. 27.3. 27.4. 27.5. 27.6. 27.7. 27.8. 27.9. 27.10. 27.11.

Tonoloeie • • . . . . . . . . Euklidische Räume, Definition Metrische Räume . . . . . . Topclogische Räume. . . . . . . . . . . . . . . . . . Körper Borelseher Untermengen des topologischen Raumes X Dichte Mengen, Randmengen, nirgendsdichte Mengen. ". Umgebungen, Häufungspunkte, isolierte Punkte Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . Topologische Abbildungen und Invarianten . Wichtige Klassen topologischer Räume. . . . Kartesisches Produkt topologischer Räume. . Konvergente Folgen in topologischen Räumen

939 939

28. 28.1. 28.2. 28.3. 28.4. 28.5. 28.6. 28.7. 28.8.

Reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . Lebesguesches Maß auf der Geraden . . . . Allgemeine Maßdefinition . . . . . . . . . . . . . . . Produktmaß, Lebesguesches Maß im n·dimensionalen Raum Meßbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesguesches Integral . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen endlicher Variation, absolutstetige Funktion . Stieltiessche Integrale . . . . . • . . . . . . Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen

953 953 956 956 958 960 965 967 972

29. 29.1. 29.2. 29.3. 29.4. 29.5.

Funktionalanalysis . . . . . . . . . Einleitung. . . . . . . . . . . . . Banachraum . Kompakte Mengen . . . . . . . . Lineare Operatoren und Gleichungen NichtIineare Operationen . • . . . .

976 976 977 984 987 997

30. 30.1. 30.2. 30.3. 30.4.

Theorie der Distributionen • • . . . . . . . . . . . . Distribution als Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes . Distributionen in Folgenauffassung . . Operationen mit Distributionen . . . . Distributionen in Funktionalauffassung

1003 1003 1004 1007 1017

31. 31.1. 31.2. 31.3. 31.4. 31.5. 31.6. 31.7. 31.8.

Ä pproximationstheorie . . . . . . . . Approximationskriterien . . . . . . . . . . . . Allgemeine Probleme der linearen Approximation. Lineare Approximation im Hilbertraum . . . . . Approximation im Sinn von Tschebyscheff . . . Approximation im Raum L(a, b) • . . • . . • . . . . . . . . . . . Konvergenz der Approximationspolynome und Genauigkeit der Näherung Lineare Polynomoperatoren . Problem der nichtlinearen Approximation im Raum C(a, b)

1028 1028 1032 1034 1040 1044 1046 1048 1052

32. 32.1. 32.2. 32.3. 32.4. 32.5. 32.6. 32.7. 32.8. 32.9.

Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeitsraum und Wahrscheinlichkeit . Sätze über Wahrscheinlichkeiten . Bedingte Wahrscheinlichkeit und Bayessche Formel Unabhängige Ereignisse Eindimensionale Zufallsvariable . . . Mehrdimensionale Zufallsvariablen . . Funktionen der ZufalIsvariablen. . . Folgen von ZufalIsvariablen . . . . Unabhängigkeit der ZufalIsvariablen

1057 1057 1059 1060 1060 1061 1065 1067 1067 1068

922 924

925 926 926 927 929 930 930 931 931 934 935

940

941 943 944

945 945 945 948 951 952

XII

Inhaltsverzeichnis

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--------

32.10. 32.11. 32.12. 32.13.

Erwartungswert und Momente einer Zufallsvariablen . . . . . . . . Charakteristische Funktion . . • . . • . . • • . . . . . . . . . . Tschebyscheffsche Ungleichungen und das Gesetz der großen Zahlen. Grenzwertsätze . . . .

1068 1073 1076 1077

33. 33.1. 33.2. 33.3. 33.4. 33.5.

Mathematische Statistik Grundbegriffe . . • . . Stichprobenverteilungen Schätzwerte . . • . . . Vertrauensbereiche . . . . . . . • . . . . Statistische Hypothesen und ihre Verifikation

1079 1079 1082 1083 1086 1088

34. 34.1. 34.2. 34.3. 34.4. 34.5. 34.6.

Stochastische Prozesse . . . . Einleitung. . . . . . . . . . . Grundbegriffe . . . . . . . . . Elemente der Zufallsanalysis . . Stationäre stochastische Prozesse Markowsche Prozesse . . . • . . . . Weitere Probleme stochastischer Prozesse

1100 1100 1100 1107 1114 1119 1124

35. 35.1. 35.2. 35.3. 35.4. 35.5. 35.6. 35.7.

Stochastische Differentialgleichungen . . . Einführung . . . . . . . . • . • . . . . . . . . Stochastische Vorgänge und Probleme der Analysis. Gleichungen mit stochastischen Anfangsbedingungen Gleichungen mit stochastischen Störfunktionen . . . Gleichungen mit Zufallskoeffizienten . • . . . . • . . • . . Partielle stochastische Differentialgleichungen. Anmerkungen . Schlußbemerkungen

1127 1127 1127 1132 1134 1140 1142 1143

36. 36.1. 36.2. 36.3. 36.4.

Informationstheorie . . . . . Einleitung . Diskrete Übertragungsketten Stetige Informationsketten . Abschließende Betrachtungen

1145 1145 1146 1151 1154

37. 37.1. 37.2. 37.3. 37.4. 37.5. 37.6. 37.7. 37.8. 37.9.

Numerische Methoden Interpolation . • . . . . Numerische Differentiation Numerische Integration Approximation. . . . . . . . . . Lineare Gleichungen und Matrizen . . . . Algebraische und transzendente Gleichungen . . . • . . . Gewöhnliche Differentialgleichungen, Anfangswertaufgaben . Gewöhnliche Differentialgleichungen, Randwertprobleme Partielle Differentialgleichungen

1155 1155 1166 1170 1179 1185 1197 1202 1206 1211

38. 38.1. 38.2. 38.3. 38.4. 38.5. 38.6. 38.7. 38.8. 38.9. 38.10. 38.11.

Nomographie • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einleitung . Funktionsskalen . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soreausehe Determinante: Nomographierbarkeit einer Funktion /(u, v. w) = 0 I. Kanonische Form: f3(W) = fl(U)f2(V) • • . • . • • • . • . • • • . . 11. Kanonische Form: f3(W) = fl(U)+f2(V) . • . . . . IIl. Kanonische Form: {,.(w) = fl(U)+f2(V)f3( w) •. Nomogramme der Formel f,.(s, t) = fJ(u)+f2(V)f3(S, t) Zusammengesetzte Nomogramme Netznomogramme (Netztafeln) Kollineare Netznomogramme Projektive Abbildung

1219 1219 1220 1222 1224 1227 J229 1230 1232 1234 1236 1238

39. 39.1. 39.2. 39.3. 39.4. 39.5.

Logik • • . . . . . . . . Aussagenkalkül . Prüfung der Tautologien, binäre Methoden Deduktionsmethode . . Prädikatenkalkül Mathematische Theorien

1242 1242 1246 1247 1251 1256

40. 40.1. 40.2. 40.3. 40.4. 40.5.

Rechner. . . . .. Einleitung. . . . . . . Analogrechner. . . . . Digitalrechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorbereitung eines Rechenvorganges für einen Digitalrechner Entwurf von Digitalsystemen

1259 1259 1260 1263 1268 1274

41.

Mathematische Tafeln.

1281 1327

Sachwortverzeichnis Literatur

.

1339

41. Mathematische Tafeln Bearbeitet von

MARIAN WOJDAT

Erklärungen zu den Tafeln Einf'dhrung Die Zahlenwerte der in den Tafeln angegebenen Funktionen beziehen sich auf die angegebenen Werte des Arguments. Den Argumentwerten xo, Xl, X2, ... , x" werden z.B. die Funktionswerte Yo = f(xo) , Yl = f(xl) , Y2 = f(x2) , Y" = fex,,) zugeordnet. Mit den angegebenen Zahlenwerten der Funktionen lassen sich in bestimmten Intervallen angenäherte Diagramme dieser Funktionen (Abb, 41.1) zeichnen. Je dichter die Punkte x" auf der x-Achse liegen, desto genauer kann man fex) darstellen. y

-t----6-.....Q.---------'o--_ _ Abb. 41.1