Mathematik für die ersten Semester [2., verb. Aufl.] 9783486711400

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Mathematik für die ersten Semester von Prof. Dr.Wolfgang Mückenheim 2., verbesserte Auflage

Oldenbourg Verlag München

Wolfgang Mückenheim studierte Physik, Mathematik und Astronomie an der GeorgAugust-Universität Göttingen, wo er 1979 mit einem Thema zur Vakuumpolarisation promovierte. Unter seinen weit über 100 Publikationen fand die Erweiterung des Wahrscheinlichkeits-begriffs für eine formale Lösung der Nichtlokalitätsprobleme der relativistischen Quanten-mechanik besondere Beachtung. 1989 wurde er als Hochschuldozent an die TU Clausthal berufen. 1990 nahm er einen Ruf auf eine Professur an der Hochschule Augsburg an. Dort lehrt er seitdem Mathematik und Physik.

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© 2010 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Kathrin Mönch Herstellung: Anna Grosser Coverentwurf: Kochan & Partner, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Grafik + Druck GmbH, München ISBN 978-3-486-59185-9

Vorwort Die vorliegende zweite Auflage ist eine durchgesehene Version der ersten Auflage. Stil und Umfang blieben weitgehend unverändert, doch wurden Erläuterungen präzisiert, Druckfehler korrigiert und die Interpunktion im Bereich von Formeln vereinheitlicht. Der Stoff wird weiterhin in berichtendem Stil vermittelt – mit vielen anschaulichen Beispielen und Übungsaufgaben und solchen Beweisen, die kurz und übersichtlich genug sind, um das Verständnis zu fördern. Das strenge Euklidische Schema von Definition, Satz und Beweis wird, abgesehen von wenigen Ausnahmen, nicht eingehalten. Vektoren werden weiterhin als Spaltenvektoren dargestellt und ebenso wie Matrizen vorzugsweise mit fetten lateinischen Großbuchstaben bezeichnet. Diese Darstellungsform wird noch konsequenter gehandhabt als in der ersten Auflage. Die Definition der Stetigkeit ist nun so gefasst, dass diskontinuierliche Funktionen, vor allem Folgen, nicht als stetig gelten. Da in diesem Buch die reellen Funktionen im Vordergrund stehen, erscheint mir diese Abweichung vom heute üblichen Gebrauch gerechtfertigt. Trennzeichen sind zwar für das Textverständnis wichtig, aber in Formeln oder im Anschluss daran verwirren sie eher. Kommata wurden aus den Gleichungen entfernt, wenn ein Absatz oder ein größerer Zwischenraum als Trennzeichen ausreichend erscheint. Wo nötig, wurden abschließende Punkte zwar auch in Zeilen gesetzt, die nur Gleichungen enthalten, doch wurden Sie jeweils durch ein Spatium von der vorausgehenden Gleichung getrennt, um deren optischen Eindruck möglichst wenig zu stören; überdies wurde reichlich von der Regel Gebrauch gemacht, dass auch Punkte wegfallen, wenn der vorausgehende verbale Text mit einem Punkt oder Doppelpunkt schließt. Verweise in runden Klammern ohne Zusätze beziehen sich stets auf die durchnummerierten Gleichungen. Meinen Kollegen an der Hochschule Augsburg, den Professoren Stefan Glasauer, Elmar Müller-Horsche, Maximilian Weiß und Anton Zacherl danke ich für wertvolle Hinweise und Verbesserungsvorschläge, ebenso wie Prof. Edgar Ossner und Dr. Christine Zerbe. Letztere haben sich überdies der mühevollen Aufgabe unterzogen, sämtliche Übungen durchzurechnen. Die Lösungen mit stichwortartigen Lösungswegen stehen in Kürze auf meiner Webseite und auf der des Oldenbourg-Verlages kostenlos zur Verfügung (Links dazu auf S. 321). Das Buch basiert auf einem Mathematikverständnis, das im Vorwort zur ersten Auflage ausführlich dargelegt wurde, woraus im Folgenden ein Auszug abgedruckt ist.

VI

Über Mathematik und Wirklichkeit und dieses Buch

Über Mathematik und Wirklichkeit und dieses Buch Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. (Richard Dedekind) Da moderne Axiomensysteme leider zu mancherlei wirklichkeitsfernen Konsequenzen führen, sollte eine wirklichkeitsnahe Mathematik aus den Grundlagen entwickelt werden, aus denen sie tatsächlich entstanden ist, nämlich aus dem Zählen von Einheiten und dem Zeichnen von Linien. Denn die Mathematik verdankt ihre Entstehung der Abstraktion aus Beobachtungen der Wirklichkeit. Eine Aussage wie „I + I = II“ muss nicht aus einem über viele Seiten sich hinziehenden Beweise hergeleitet werden. Diese Aussage selbst ist eine viel natürlichere Grundlage der Arithmetik als irgendein dazu erdachtes Axiom. Sie kann mit einem Abakus zwingender bewiesen werden als durch jede noch so tiefgründige Kette von logischen Schlüssen. Im Zuge ihrer Axiomatisierung wurde die Mathematik auf Georg Cantors Lehre von den transfiniten Zahlen aufgebaut, die er nach eigener Aussage entwickelte, um die von ihm vermuteten aktualen, d. h. vollendeten Unendlichkeiten in der Natur und jedem noch so kleinen, ausgedehnten Teil des Raumes beschreiben zu können [1]. Im Lichte moderner Naturerkenntnis ist aber klar geworden, dass die Wirklichkeit nichts enthält, worauf transfinite Zahlen angewandt werden könnten. Im geistigen Gesamtbilde unseres Jahrhunderts wirkt das aktual Unendliche geradezu anachronistisch [2]. Die Endlichkeit des zugänglichen Universums führt aber auch zu der Erkenntnis, dass die Mathematik wie jede andere Wissenschaft gezwungen ist, mit endlichen Mitteln auszukommen. Doch ohne unendliche Mittel gibt es auch keine unendlichen Resultate. Eine Zahlenmenge besteht aus Zahlen, die in irgendeiner Weise voneinander unterscheidbar sein müssen, die also unterschiedliche Bezeichnungen erfordern. Eine Zahl kann durch einen Namen, durch eine Definition, durch eine Ziffernfolge oder durch andere Merkmale eindeutig bezeichnet und von allen übrigen Zahlen unterschieden werden. Ist die Anzahl aller Merkmale aber begrenzt, so gilt dies auch für die Menge der unterscheidbaren Elemente. Das Universum mit seinen 1080 Protonen und erst recht jeder zum Denken und Rechnen nutzbare Teilbereich besitzen eine endliche Informationsspeicherkapazität und beschränken so die Zahl der Unterscheidungsmerkmale aus rein materiellen Gründen. Können nur deutlich weniger als 10100 Informationseinheiten oder Ziffern gespeichert werden, so ist es ganz gewiss nicht möglich, 10100 Zahlen zu unterscheiden. Was aber nicht bezeichnet, nicht unterschieden und daher auch nicht gedacht werden kann, kann auch keine Zahl sein –

Über Mathematik und Wirklichkeit und dieses Buch

VII

Ungedachtes und niemals Denkbares gehört nicht zur Menge der Gedanken. Um hier einer müßigen Existenzdiskussion aus dem Wege zu gehen, kann wohl Konsens darüber vorausgesetzt werden, dass es unmöglich ist und für immer unmöglich bleiben wird, „Zahlen“, die nicht bezeichnet werden können, in irgendeiner Weise als Individuen zu verwenden. Sie gehören nicht zur Mathematik, sofern die Mathematik zur Wirklichkeit gehört. Die Endlichkeit aller Zahlenmengen impliziert aber nicht die Existenz einer größten Zahl, wie zuweilen fälschlich angenommen wird. Die Zahl 10100 und auch viel größere Zahlen wie 101000 können benannt und identifiziert werden, z. B. hier auf dem Papier oder im Bewusstsein der Leser.1 Aber viele Zahlen, deren Darstellung 10100 verschiedene Ziffern erfordern würde, können nicht definiert und deshalb auch nicht verwendet werden. Es ist unmöglich, 100 von 1 bis 1010 zu zählen – unabhängig von der verfügbaren Zeit. Die Folge der natürlichen Zahlen kommt nicht makellos daher wie ein nicht endender ICE. Sie weist Lücken auf [3]. Und diese Lücken wachsen mit zunehmender Zahlengröße. Deswegen kann man nicht sinnvoll von einer aktual unendlichen Zahlenfolge sprechen, und im vorliegenden Buch wird auch nicht der Versuch gemacht, die Existenz von aktual unendlichen Mengen zu postulieren oder mit transfiniten Zahlen zu rechnen. Die wichtigen Sätze einer wirklichkeitsorientierten Mathematik können mit Hilfe von Experimenten – vor allem auf leistungsfähigen Rechenmaschinen – in guter Näherung nachgeprüft werden. Rechenmaschinen sind für den Mathematiker das, was Teleskope für den Astronomen sind. Sie bringen das Entfernte näher und erlauben eine Unterscheidung von Details, die ohne Hilfsmittel nicht gelingt. Zwar werden die Begriffe „unendliche Menge“ oder „Menge aller Zahlen mit einer bestimmten Eigenschaft“ in diesem Buch verwendet, doch sind darunter Mengen zu verstehen, die nicht aktual existieren, die nicht überschaubar und also in des Wortes eigentlicher Bedeutung unendlich sind. Im Gegensatz zu einer aktual unendlichen Menge kann die Anzahl der Elemente einer solchen potentiell unendlichen Menge weder bestimmt noch übertroffen werden, denn sie ist niemals vollendet. Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes [4]. Deren Anzahl ist endlich und wird stets endlich sein. Eine Konstruktion existiert nicht, ehe sie gemacht wurde. Wenn etwas neu gemacht wurde, so ist es etwas Neues und nicht eine Auswahl aus einer vorher schon existierenden Kollektion [5]. Daher sind Zahlenmengen nicht fixiert. Die natürlichen Zahlen von heute sind nicht die natürlichen Zahlen von gestern [6]. Das Unendliche findet sich nirgends realisiert; es ist weder in der Natur vorhanden, noch als Grundlage in unserem verstandesmäßigen Denken zulässig – eine bemerkenswerte Harmonie zwischen Sein und Denken [7]. Mit der Endlichkeit einer jeden Menge ist auch die Menge aller Ziffern einer Zahl endlich. Die meistens stillschweigend angenommene Voraussetzung, dass jede reelle Zahl „beliebig genau“ approximierbar sei, gilt nicht uneingeschränkt – die Zahlenachse weist Lücken auf; die Stetigkeitsannahme, der Konvergenzbegriff und andere Grundpfeiler der Infinitesimalrechnung werden problematisch; schon der Zwischenwertsatz oder der Fundamentalsatz der Algebra „leiden Ausnahmen“.

1

Um diese ungewohnte Überlegung verständlich zu machen, stelle man sich einen einfachen Speicher vor, der nur sieben Zeichen fasst. Bei Verwendung des Dezimalsystems kann dort jede beliebige positive Zahl zwischen 0 und 9999999 gespeichert werden. Mit der Vereinbarung, dass E einen Exponenten einleitet, kann auch die Zahl 101000 in der Form 10E1000 dort gespeichert werden, die viel kleinere Zahl 12345678 aber nicht.

VIII

Über Mathematik und Wirklichkeit und dieses Buch

Das kann niemand ändern! Die Mathematik steht nicht außerhalb der Wirklichkeit. Es hilft wenig, die Existenz aktual unendlicher Mengen axiomatisch zu fordern und so die Vollständigkeit der reellen Zahlen zu „beweisen“. Damit behebt man den Mangel ebenso wenig, wie ein Kaufmann seine Bilanz durch Anhängen einiger Nullen aufbessern kann – wie Immanuel Kant in einem ähnlichen Zusammenhang feststellte [8]. Das wirklich zugängliche „Kontinuum“ besitzt eine körnige Struktur. Die Korngröße hängt von der verfügbaren Rechenkapazität ab. Dem mit einem Abakus allein ausgerüsteten Mathematiker stellt sie sich als 1 dar, denn ihm sind nur ganze Zahlen zugänglich. Glücklicherweise ist die Körnung in der Regel fein genug, um ohne nachteilige Auswirkungen zu bleiben. Ebenso wie die Quantisierung der Erdbahn für astronomische Probleme ohne jede Relevanz ist und die molekulare Struktur von Butter deren Portionierbarkeit nicht merklich beschränkt, wird die prinzipielle Unsicherheit von Zahlen ihren im Eingangszitat genannten Zweck nicht beeinträchtigen. In der Regel genügt schon die zehnstellige Genauigkeit des Taschenrechners oder die 100-stellige Genauigkeit einfacher Rechenprogramme. Die Kenntnis von 10100 Stellen wird man äußerst selten anstreben und bei irrationalen Zahlen niemals erreichen [9]. Doch dieser Mangel ist allenfalls für die mathematische Grundlagenforschung von Bedeutung, und selbst dafür hat der Erfinder der Non-Standard-Analysis festgestellt: Unendliche Gesamtheiten existieren in keinem Sinne des Wortes, weder real noch ideell. Genauer gesagt, jede Erwähnung oder Behauptung unendlicher Gesamtheiten ist buchstäblich sinnlos. Trotzdem sollten wir weiterhin wie gewohnt Mathematik machen, d. h. wir sollten so tun als wenn unendliche Gesamtheiten wirklich existierten [10]. Ohne also den Mangel aus unserem Bewusstsein zu verdrängen, können und dürfen wir zur Erkenntnis der Verschiedenheit der Dinge in der Wirklichkeit weiterhin so vorgehen, als gäbe es unendliche Mengen. Deswegen wird das Problem im folgenden Text gar nicht mehr erwähnt. Dieses Buch enthält die so genannte höhere Mathematik, also die über das einfache Rechnen hinausgehende Mathematik, deren Lehre gewöhnlich in den letzten Schuljahren begonnen und in den ersten Studiensemestern erweitert und vertieft wird. Der für einen zweisemestrigen Kurs mit jeweils sechs bis acht Semesterwochenstunden berechnete Inhalt ist so angeordnet, dass nach einer Einführung in die mathematische Sprache Arithmetik, Algebra und Geometrie im ersten Semester behandelt werden, die Infinitesimalrechnung im zweiten. Der überwiegende Teil des Buches ist aus Mathematik-Vorlesungen für Studierende der Ingenieurwissenschaften hervorgegangen, die ich seit nunmehr 20 Jahren an der Hochschule Augsburg halte. Lediglich die Abschnitte zur Vektoranalysis und zu den Integraltransformationen habe ich aus meinen früheren Vorlesungen zur Theorie der elektromagnetischen Felder an der Technischen Universität Clausthal übernommen. Für die meisten technischen Studienfächer ist der Umfang völlig ausreichend, und für Studierende der Mathematik, Informatik oder Physik bildet er ein solides Fundament. Im Prinzip sind Vorkenntnisse zum Verständnis nicht erforderlich, allerdings ist es eine bekannte Weisheit, dass man beim Wiederholen wesentlich einfacher und sicherer lernt als beim ersten Mal. So viel über Mathematik und Wirklichkeit. Über dieses Buch muss noch eines gesagt werden: Es wäre nicht entstanden ohne die entscheidende Idee und das unermüdliche Engagement von Kathrin Mönch vom Oldenbourg-Verlag und ohne die stetige Liebe und Unterstützung meiner Frau Christa-Luise. Danke!

Inhaltsverzeichnis I

Grundlagen

1

1

Logik.......................................................................................................................... 3

2

Mengen ...................................................................................................................... 7

3 3.1

Relationen ................................................................................................................ 15 Abbildungen ............................................................................................................ 18

II

Arithmetik

4 4.1 4.2 4.3

Die natürlichen Zahlen............................................................................................. 25 Das Prinzip der vollständigen Induktion.................................................................. 25 Der binomische Satz ................................................................................................ 26 Primzahlen ............................................................................................................... 29

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Erweiterungen der Zahlenmenge ............................................................................. 31 Die ganzen Zahlen ................................................................................................... 31 Gruppe ..................................................................................................................... 33 Die rationalen Zahlen............................................................................................... 34 Körper ...................................................................................................................... 35 Die reellen Zahlen.................................................................................................... 36 Die komplexen Zahlen............................................................................................. 37

III

Elementare Geometrie

6

Ebene Geometrie...................................................................................................... 45

7

Trigonometrie .......................................................................................................... 51

8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

Vektoren .................................................................................................................. 55 Vektoraddition ......................................................................................................... 56 Skalarmultiplikation................................................................................................. 57 Einheitsvektor .......................................................................................................... 58 Skalarprodukt........................................................................................................... 59 Kreuzprodukt ........................................................................................................... 62 Parallelverschiebung ................................................................................................ 63 Polarkoordinaten...................................................................................................... 64 Vektorraum .............................................................................................................. 65

23

43

X

Inhaltsverzeichnis

9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Geometrie des —3 ......................................................................................................69 Geradengleichungen .................................................................................................69 Abstand eines Punktes von einer Geraden................................................................71 Ebenengleichungen...................................................................................................73 Reguläre Polyeder.....................................................................................................74 Orthonormalbasis......................................................................................................74

IV

Lineare Algebra

10 10.1 10.2 10.3

Lineare Gleichungssysteme ......................................................................................81 Darstellung von linearen Gleichungssystemen.........................................................83 Elementaroperationen...............................................................................................83 Gaußsches Eliminationsverfahren ............................................................................84

11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

Matrizen....................................................................................................................89 Addition und Multiplikation von Matrizen...............................................................89 Die transponierte Matrix...........................................................................................91 Elementarmatrizen....................................................................................................92 Inversion von Matrizen.............................................................................................93 Das Matrixinversionsverfahren ................................................................................95

12 12.1 12.2 12.3 12.4

Determinanten ..........................................................................................................99 Sätze über Determinanten.......................................................................................101 Berechnung von Determinanten .............................................................................103 Die adjungierte Matrix............................................................................................107 Die Cramersche Regel ............................................................................................109

13 13.1 13.2 13.3 13.4

Transformationen mit Matrizen ..............................................................................113 Drehungen ..............................................................................................................114 Streckung und Spiegelungen ..................................................................................117 Orthogonale Matrizen.............................................................................................118 Lösungsmengen irregulärer linearer Gleichungssysteme .......................................120

14 14.1 14.2

Iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen ...............................................127 Das Verfahren nach Gauß und Seidel.....................................................................127 Stabilität..................................................................................................................128

V

Algebra und Geometrie

15 15.1 15.2

Polynome................................................................................................................131 Geschlossene Lösungsverfahren.............................................................................135 Approximation der Nullstellen ...............................................................................138

16 16.1 16.2

Zweidimensionale quadratische Formen ................................................................143 Allgemeine Gleichungen zweiten Grades...............................................................146 Eigenwerte und Eigenvektoren...............................................................................149

79

129

Inhaltsverzeichnis

XI

17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6

Die Kegelschnitte................................................................................................... 151 Die Ellipse ............................................................................................................. 151 Die Parabel............................................................................................................. 158 Die Hyperbel.......................................................................................................... 160 Tangenten und Polaren der Kegelschnitte.............................................................. 166 Vergleich der Kegelschnitte................................................................................... 169 Begründung der Bezeichnung „Kegelschnitt“ ....................................................... 169

18 18.1

Sphärische Geometrie ............................................................................................ 177 Sphärische Trigonometrie...................................................................................... 180

VI

Infinitesimalrechnung

19

Folgen .................................................................................................................... 185

20

Reihen .................................................................................................................... 193

21

Stetige Funktionen ................................................................................................. 199

22

Funktionenfolgen und Funktionenreihen ............................................................... 201

VII

Differentialrechnung

23 23.1 23.2

Der Differentialquotient......................................................................................... 207 Ableitungen einfacher Funktionen......................................................................... 208 Ableitungsregeln.................................................................................................... 210

24 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5

Die Exponentialfunktion........................................................................................ 215 Der natürliche Logarithmus ................................................................................... 218 Grenzwerte............................................................................................................. 219 Irrationalität der Basis der natürlichen Logarithmen ............................................. 221 Die allgemeine Potenz ........................................................................................... 221 Logarithmisches Differenzieren............................................................................. 222

25 25.1 25.2

Die Winkelfunktionen............................................................................................ 225 Die Kreisbogenfunktionen ..................................................................................... 226 Die Hyperbelfunktionen......................................................................................... 228

26 26.1

Kurvendiskussion................................................................................................... 233 Beispiel einer Kurvendiskussion............................................................................ 234

27 27.1 27.2 27.3

Approximation von Funktionen ............................................................................. 237 Der allgemeine binomische Satz............................................................................ 237 Fourier-Analyse ..................................................................................................... 240 Die Taylor-Reihe ................................................................................................... 242

28 28.1 28.2 28.3

Funktionen mehrerer Variablen ............................................................................. 249 Partielle Differentiation ......................................................................................... 249 Das totale Differential............................................................................................ 251 Implizite Differentiation ........................................................................................ 252

183

205

XII

Inhaltsverzeichnis

VIII

Integralrechnung

255

29

Das Integral ............................................................................................................257

30 30.1 30.2 30.3 30.4 30.5 30.6

Integrationsmethoden .............................................................................................261 Direkte Integration..................................................................................................261 Integration mittels Substitution...............................................................................262 Partielle Integration ................................................................................................263 Logarithmische Integration.....................................................................................265 Partialbruchzerlegung.............................................................................................266 Uneigentliche Integrale...........................................................................................269

31

Kurvenlänge und Kurvenkrümmung ......................................................................273

32 32.1

Mehrfachintegrale...................................................................................................275 Rotationskörper ......................................................................................................276

33 33.1 33.2 33.3 33.4 33.5

Integraltransformationen ........................................................................................279 Beweis der Gleichungen für die Fourier-Koeffizienten..........................................279 Fourier-Transformation ..........................................................................................280 Etwas Funktionentheorie ........................................................................................282 Laplace-Transformation .........................................................................................284 Rechenregeln für die Laplace-Transformation .......................................................287

IX

Vektoranalysis

34 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5

Differentiation von Feldern ....................................................................................293 Vektoralgebra .........................................................................................................293 Differentiation eines Vektorfeldes nach einem Skalar ...........................................294 Räumliche Differentiation eines Feldes..................................................................295 Mehrfache Differentiation eines Feldes..................................................................298 Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten.............................................................299

35 35.1 35.2 35.3

Integralsätze............................................................................................................303 Der Satz von Gauß..................................................................................................304 Greensche Sätze......................................................................................................306 Der Satz von Stokes................................................................................................307

X

Differentialgleichungen

36 36.1 36.2 36.3 36.4

Gewöhnliche Differentialgleichungen....................................................................313 Homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten ..........................................314 Lineare DGL mit Störfunktion ...............................................................................315 Trennung der Variablen..........................................................................................316 Lösen von DGL mit der Laplace-Transformation ..................................................316

291

311

Literatur

319

Stichwortverzeichnis

323

I Grundlagen

1

Logik

Um mathematische Sätze aufzustellen, macht und verknüpft man Aussagen. Diese können wahr (w) oder falsch ( f ) sein, d. h. ihnen kann ein Wahrheitswert unabhängig vom persönlichen Standpunkt zugeordnet werden. Beispiele für mathematische Aussagen sind: 1 ist kleiner als 2. (w) Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl. (w) Für drei Punkte gibt es immer eine Ebene, zu der sie gehören. (w) 2 ist kleiner als 1. ( f ) Es gibt eine natürliche Zahl, die größer als alle anderen ist. ( f ) Für drei Punkte gibt es immer eine Gerade, zu der sie gehören. ( f ) Dagegen sind die folgenden Aussagen zwar zu begrüßen, aber nicht mathematisch: Mathematischer Unterricht sollte stärker gefördert werden. Es ist unangemessen, die Null als natürliche Zahl zu bezeichnen. Außerdem gibt es Aussageformen, deren Wahrheitswert erst nach Festlegung der Variablen entschieden werden kann: 3n ist eine gerade Zahl. m teilt n ohne Rest. Um auch bei der Beschreibung und Erklärung komplexerer Zusammenhänge von der oft unpräzisen Alltagssprache unabhängig zu sein, um Schreibarbeit zu sparen und vor allem um eine möglichst übersichtliche Darstellung zu gewinnen, hat man eine prägnante Symbolsprache geschaffen. Zum Verständnis mathematischer Texte muss man diese Symbole wie Vokabeln und Grammatik einer fremden Sprache lernen. Die Aussage

'

ist kleiner als

)

kann man mit den speziellen Definitionen

' := H , 1

nen Definition „ b a 0 ∧ |B| ÿ Spur (B33) < 0 fl Ellipse oder Kreis

(16.23) (16.24) (16.25)

Zur Bestimmung und Vereinfachung einer beliebigen quadratischen Gleichung mit zwei Variablen und vorgegebenen Koeffizienten kann folgendes Schema dienen: 1. Ablesen der Koeffizienten bij der Matrix B (s. 16.14) aus den gegebenen Zahlen. 2. Bestimmung der Art des Kegelschnittes aus |B|, |B33| und Spur (B33). 3. Berechnung von α, β, q nach (16.18 – 16.20) unter Berücksichtigung der Identität A = B33 (16.15 – 16.17). 4. Drehung der symmetrischen 2ä2-Matrix B33 = A nach (16.4), so dass eine diagonale 2ä2-Matrix C entsteht.

16 Zweidimensionale quadratische Formen

16.2

149

Eigenwerte und Eigenvektoren

Wenn die Gleichung A Ë X = λÿX

(16.26)

mit λ œ — besteht, dann heißt λ ein Eigenwert und X ein Eigenvektor der Matrix A. Ein zweidimensionales Beispiel ist ⎛λ 0⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ Ë ⎜ ⎟ = λÿ ⎜ ⎟ . λ y 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ y⎠

Satz Die Eigenwerte der nän-Matrix A sind Lösungen der Gleichung

D(A – λI) = 0 .

(16.27)

Beweis. Die Determinante der Matrix (A – λI) verschwindet genau dann, wenn der Kern der durch sie vermittelten Abbildung mindestens einen Vektor X ∫ 0 enthält, so dass (A – λI)X = 0, also AX = λIX = λX. É ⎛1 Beispiel: Für A = ⎜ ⎝2 2 (1 – λ) – 4 = 0 fl λ2 – (16.26) aus

2⎞ 1− λ 2 . Die Eigenwerte folgen also aus ⎟ ist D(A – λI) = 1⎠ 2 1− λ

2λ – 3 = 0 fl λ1 = 3, λ2 = –1. Die Eigenvektoren ergeben sich nach

⎛1 2⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ Ë ⎜ ⎟ = 3ÿ ⎜ ⎟ ⎝2 1⎠ ⎝ y⎠ ⎝ y⎠

und

⎛1 2⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ Ë ⎜ ⎟ = –1ÿ ⎜ ⎟ . ⎝2 1⎠ ⎝ y⎠ ⎝ y⎠

Die zugehörigen linearen Gleichungssysteme sind: x + 2y = 3x 2x + y = 3y flx=y

x + 2y = –x 2x + y = –y fl x = –y

⎛λ⎞ ⎛ λ ⎞ Die Eigenvektoren sind ⎜ ⎟ und ⎜ ⎟ mit λ œ —, z. B. ⎝ −λ ⎠ ⎝λ⎠

⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ und ⎜ ⎟ . ⎝ 1⎠ ⎝ −1⎠

⎛1 1 ⎞ Bilden wir aus diesen Eigenvektoren eine Matrix M = ⎜ ⎟ und berechnen ihre Inverse ⎝1 −1⎠ ⎛1/ 2 1/ 2 ⎞ M–1 = ⎜ ⎟ , dann ist ⎝1/ 2 −1/ 2 ⎠

⎛1/ 2 1/ 2 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 3 0 ⎞ C = M–1 Ë A Ë M = ⎜ ⎟ Ë ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ Ë ⎜ ⎟ ⎝1/ 2 −1/ 2 ⎠ ⎝ 2 1 ⎠ ⎝1 −1⎠ ⎝ 0 −1⎠ Diagonalmatrix, deren Diagonale die Eigenwerte enthält.

150

V Algebra und Geometrie

Übungen 16.1 Beweisen Sie anhand der folgenden Gleichung: Bei der Drehung einer symmetrischen 2ä2-Matrix bleibt die Spur erhalten

⎛ cos ϕ sin ϕ ⎞ ⎛ a11 ⎜ ⎟ Ë ⎜ ⎝ − sin ϕ cos ϕ ⎠ ⎝ a21

a12 ⎞ ⎛ cos ϕ − sin ϕ ⎞ ⎛ c11 c12 ⎞ ⎟ =⎜ ⎟ Ë ⎜ ⎟ . a22 ⎠ ⎝ sin ϕ cos ϕ ⎠ ⎝ c21 c22 ⎠

16.2 1 = 5x2 + 3xy + 7y2. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage. 16.3 5 = 3x2 – 2xy + y2. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage. 16.4 1 = x2 + 2xy + y2. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage. 16.5 Gegeben ist die allgemeine Gleichung zweiten Grades 0 = 9x2 + 4y2 – 54x – 32y + 109. Formen Sie um in Mittelpunktslage. Bestimmen Sie |B|, |B33| und Spur (B33). Skizzieren Sie die quadratische Form im kartesischen Koordinatensystem. 16.6 a) Gegeben ist die quadratische Form –4 = x2 + 3y(x – y). Man bestimme die Art des Kegelschnittes und die Richtung seiner Achsen. Skizzieren Sie die quadratische Form im kartesischen Koordinatensystem. b) Zur alternativen Berechnung der C-Matrix benutze man |C| = |A| und Spur (C) = Spur (A). 16.7 1 = xy. Bestimmen Sie |B|, |B33| und Spur (B33). Finden Sie die Diagonalmatrix C. Skizzieren Sie die quadratische Form im kartesischen Koordinatensystem.

17

Die Kegelschnitte

Da sich alle quadratischen Formen durch Koordinatentransformationen diagonalisieren lassen, betrachten wir im Folgenden nur quadratische Formen in solcher einfachen Gestalt. Zu den Kegelschnitten gehören Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel sowie die entarteten Kegelschnitte Punkt, Gerade und gekreuzte Geraden.

17.1

Die Ellipse

Die quadratische Form q = c11x2 + c22y2 mit sgn c11 = sgn c22 = sgn q, d. h. alle Vorzeichen sind gleich, heißt Ellipse und im Grenzfall c11 = c22 Kreis. Durch Streckung kann jede Ellipse in einen Kreis überführt werden. Analog entsteht eine Ellipse, wenn ein Kreis in einer Richtung gestreckt wird. Durch Umbenennung der Koeffizienten q = a2 c11

q = b2 c22

erhält man die implizite Mittelpunktsgleichung der Ellipse 2

2

⎛ y⎞ ⎛x⎞ 1= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ . a ⎝b⎠ ⎝ ⎠

(17.1)

OBdA sei a ≥ b: Dann heißt a große Halbachse und b kleine Halbachse der Ellipse. 2a ist die Hauptachse, 2b die Nebenachse. Für a = b = r heißt r Radius und 2r Durchmesser des Kreises. Umformung der impliziten Mittelpunktsgleichung ergibt die explizite Mittelpunktsgleichung für die Ellipse y=±

b 2 a − x2 a

(17.2)

bzw. für den Kreis y=±

r 2 − x2 .

(17.3)

152

V Algebra und Geometrie

y

b a

Abb. 17.1:

x

Ellipse und Kreis vom Radius r = a.

Die liegende Ellipse geht somit aus einem Kreis mit dem Radius r = a durch Stauchung seiner y-Koordinaten um den Faktor b/a = b/r hervor. (Eine Streckung um einen Faktor kleiner als 1 wird auch Stauchung genannt.) Da jedes Flächenelement der Ellipse um diesen Faktor verkleinert wird, geht die Fläche A der Ellipse aus der des Kreises (s. S. 50) hervor AEllipse =

b b AKreis = πa2 = πab . a a

(17.4)

Die Schnittpunkte des Ellipsenrandes mit den Achsen heißen Scheitel. Die Hauptscheitel liegen auf der (längeren) Hauptachse, die Nebenscheitel auf der (kürzeren) Nebenachse. Bei der Ellipse bezeichnet man e=

a2 − b2

(17.5)

als lineare Exzentrizität. Die lineare Exzentrizität des Kreises ist e = 0. Die im Abstand e vom Mittelpunkt M auf der Hauptachse gelegenen Punkte F1 und F2 heißen Brennpunkte. Sie sind um e aus dem Zentrum gerückt, also "exzentriert" Wegen e2 + b2 = a2 ist die Strecke zwischen einem Brennpunkt und einem Nebenscheitel gleich a.

17 Die Kegelschnitte

153

y a

b e

F1

Abb. 17.2:

a

e

0

F2

x

Die Ellipse in Mittelpunktslage und ihre Bestimmungsgrößen.

Das Verhältnis von linearer Exzentrizität und großer Halbachse ε=

e a

(17.6)

heißt numerische Exzentrizität. Für jede Ellipse ist ε < 1. Die Länge des von F1 zum Punkt P führenden Radius r1 (s. Abb. 17.3) ist r12 = (e + x)2 + y2 b2 2 2 (a – x ) a2 b2 = a2 – b2 + 2ex + x2 + b2 – 2 x2 a a2 − b2 2 x + 2ex + a2 = a2 e2 = 2 x2 + 2ex + a2 a

= e2 + 2ex + x2 +

fl

⎛e ⎞ = ⎜ x + a⎟ ⎝a ⎠ r1 = a + εx .

2

(17.7)

Entsprechend findet man für die Länge des zum selben Punkt P führenden, von F2 ausgehenden Radius (s. Abb. 17.3) fl

r22 = (e – x)2 + y2 r2 = a – εx .

(17.8)

Die Summe der Radiuslängen ist daher mit (17.7) und (17.8) r1 + r2 = 2a .

(17.9)

154

V Algebra und Geometrie

y P r1 ϕ F1

x

e

y

b

r2 F2

x

Abb. 17.3:

Zur Berechnung der Radiensumme und zur Ableitung der Polargleichung.

Abb. 17.4:

Fadenkonstruktion der Ellipse.

Diesen Umstand benutzt man zur zeichnerischen Gärtner- oder Fadenkonstruktion der Ellipse nach Anthemios von Tralleis (Erbauer der Hagia Sophia in Konstantinopel). Eine andere zeichnerische Konstruktion geht von Gleichung (17.2) aus, die leicht umgeformt zu der Proportionalität y a2 − x2 =± b a

(17.2')

führt. Konstruktion der Ellipse (a und b gegeben): Nach Abb. 17.5 konstruiert man zwei konzentrische Kreise mit Radien a und b, zeichnet einen Radius ein und fällt von seinem Ende das Lot L auf die x-Achse. Vom Schnittpunkt des Radius mit dem kleineren Kreis fällt man das Lot auf das erste Lot L. Der Schnittpunkt beider Lote ist ein Punkt der Ellipse, denn nach dem Strahlensatz verhält sich die Lothöhe L = zum kleinen Radius b.

a 2 − x 2 zum großen Radius a wie die Ordinate y

17 Die Kegelschnitte

155

y

a

L = a2 - x 2

b y

x

x

Abb. 17.5:

Zweikreiskonstruktion der Ellipse.

Durch Parallelverschiebung der Ellipse um a in x-Richtung erreicht man, dass der linke Scheitel im Ursprung liegt. Die explizite Mittelpunktsgleichung der Ellipse wird dann zu b2 ⎛ x2 ⎞ b2 2 b2 2 2 2 2 ⎡ ⎤ ( ) = 2 = 2 x − a − x − a a − x + xa − a ⎜ ⎟ . ⎦ a2 a ⎝ a ⎠ a2 ⎣ b2 p= a

(

y2 =

)

(17.10)

heißt Parameter der Ellipse. Damit erhält man die Scheitelgleichung y 2 = 2 px −

(

)

p 2 x = 2 px − 1 − ε 2 x 2 . a

Für den Kreis mit Radius r ergibt sich analog die Scheitelgleichung y2 = r2 – (x – r)2 = r2 – x2 + 2rx – r2 = 2rx – x2 . Für x → 0 sind quadratische Glieder vernachlässigbar. Beide Kurven stimmen dann überein, wenn r = p. In den Scheitel der Halbachse a kann man einen Schmiegekreis des Radius p einbeschreiben. p heißt daher Scheitelkrümmungsradius ra ra =

b2 =p . a

(17.11)

Der Mittelpunkt dieses Schmiegekreises (s. Abb. 17.6 und Abb 17.9) ist nicht der Brennpunkt! Es sei denn, die Ellipse ist zu einem Kreis entartet. Den Scheitelkrümmungsradius des Nebenscheitels erhält man durch Vertauschen von a und b zu rb =

a2 . b

156

V Algebra und Geometrie

y

2p F1

Abb. 17.6:

Ellipse in Scheitellage mit Schmiegekreisen in Hauptscheitel und Nebenscheitel.

r(ϕ) ϕ

rx

ry F2

F1

Abb. 17.7:

x

F2

Zur Parameterform der Polargleichung.

Wir wollen nun die Ellipse von ihrem linken Brennpunkt F1 aus beschreiben. Wir bezeichnen diesen Punkt, um den sich alles dreht, als Pol und die sich ergebende Gleichung als Polargleichung. Um den Abstand zwischen Pol F1 und Ellipsenpunkt P als Funktion des Winkels ϕ zu berechnen, entnehmen wir aus Abb. 17.3 mit r := r1 cosϕ =

e+ x fl x = rcosϕ – e . r

Die Länge des unter dem Winkel ϕ zur Hauptachse liegenden Radius r ist nach (17.7) r = a + εx, so dass r = a + εrcosϕ – εe . Mit εe =

e2 a2 − b2 = =a–p a a

folgt r(1 – εcosϕ) = p

17 Die Kegelschnitte

157

und damit die von der Wahl des Koordinatensystems unabhängige Polargleichung der Ellipse p . 1 − ε cos ϕ

r=

(17.12)

Die Ordinate in den Brennpunkten (cosϕ = 0) ist |y| = p. Der Radius r kann auch als Vektor betrachtet werden. Damit gelangen wir zur Parameterform der Polargleichung (s. Abb. 17.7): rx =

p cos ϕ 1 − ε cos ϕ

ry =

p sin ϕ 1 − ε cos ϕ

Mit den Koordinaten x und y der Mittelpunktsgleichung besteht der Zusammenhang (s. r1 in Abb. 17.3) rx = x + e

und

ry = y .

Eine weitere Definition der Ellipse geht von einer Leitgeraden L und einem nicht auf ihr liegenden Brennpunkt F aus. Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstände d von L und r von F im Verhältnis r =ε 1 ist, kann r in (17.12') negativ werden. Dies ist der Fall, wenn der Winkel ϕ < arctan(b/a) ist. Dann trifft der Radius nicht auf den näher liegenden Zweig der Hyperbel. Auch hier hilft die Vorstellung von der Durchmessung des Unendlichen. Trägt man nämlich die negative Strecke in Richtung ϕ, also die positive in der Gegenrichtung auf, so erhält man einen Punkt des ferner liegenden linken Hyperbelastes. In (17.12') gehen wir vom rechten Brennpunkt aus, den wir als F1 bezeichnen (s. Abb. 17.12 und Abb. 17.13 und Fußnote 7). Unter Beachtung dieses Zusammenhangs ist die Summe der Längen der Radien |r(0)| = − p 1− ε p von F1 zu den beiden Scheiteln der Hyperbel und damit der Abstand ihrer und r(π) = 1+ ε Brennpunkte |r(0)| + r(π) =

7

− p(1 + ε) + p (1 − ε) = 1 − ε2

−2 pε −2 pε 2 pε = = = 2e . p a 2 + b2 b2 1− − 2 a a2 a

Dies entspricht der Vorstellung, dass der linke Brennpunkt F1 der Ellipse ins negativ Unendliche auswandert und als Brennpunkt einer Hyperbel aus dem positiv Unendlichen wiederkehrt. F2 nimmt den umgekehrten Weg.

17 Die Kegelschnitte

163

y

F2

α x

F1

Abb. 17.13: Konstruktion von Punkten der Hyperbel mit der Polargleichung (17.12').

Der Radius vom Brennpunkt F1 unter dem Winkel ϕ kann auch als Vektor verstanden und durch seine Komponenten ausgedrückt werden. Damit gelangen wir zur Parameterform der Polargleichung: rx =

p cos ϕ 1 − ε cos ϕ

ry =

p sin ϕ 1 − ε cos ϕ

Mit den Koordinaten x und y der Mittelpunktsgleichung besteht der Zusammenhang (s. r1 in Abb. 17.14) rx = x – e

und

ry = y .

Die Länge des von F1 zum Punkt P führenden Radius r1 ist in Mittelpunktskoordinaten r12 = (x – e)2 + y2 b2 2 x − a2 2 a b2 = x2 – 2ex + a2 + b2 + 2 x 2 – b2 a a2 + b2 2 x – 2ex + a2 = a2 e2 = 2 x2 – 2ex + a2 a

= x2 – 2ex + e2 +

fl

r1

⎛e ⎞ = ⎜ x − a⎟ ⎝a ⎠ = εx – a .

(

)

2

(17.24)

164

V Algebra und Geometrie

y P

x r2 r1 F2

a

y

e F1

x

Abb. 17.14: Zur Differenz der Radien bei der Hyperbel.

Abb. 17.15: Fadenkonstruktion der Hyperbel mit Hilfe eines drehbar fixierten Lineals (nach Guido Ubaldi del Monte). Genau genommen muss sich das Lineal um seinen in F2 gelegenen Eckpunkt links unten drehen, nicht um das Loch zum Aufhängen!

Entsprechend findet man für die Länge des zum selben Punkt P führenden, von F2 ausgehenden Radius fl

r22 = (e + x)2 + y2 r2 = εx + a .

(17.25)

Die Differenz der Längen der Radien ist daher r2 – r1 = 2a .

(17.26)

17 Die Kegelschnitte

165

d f r ϕ F1

L

Abb. 17.16: Hyperbelkonstruktion mit einer Leitgeraden.

Eine weitere Definition der Hyperbel geht von einer Leitgeraden L und einem nicht auf ihr liegenden Brennpunkt F aus. Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstände d von L und r von F im Verhältnis r =ε>1 d

(17.27)

stehen. Mit (17.12') und der aus Abb. 17.16 folgenden Beziehung d = f + r cosϕ ergibt sich die Bedingung 1 d f f fε = = + cosϕ = – cosϕ + cosϕ = const. ε r p p r

Diese Bedingung ist erfüllbar und erfüllt für f=

p = ε

b2 a 2 + b2

.

Der Scheitelabstand vom näheren Brennpunkt ist r(π) = e – a =

p . 1+ ε

Wie bei Ellipse und Parabel gilt daher (17.15).

(17.28)

166

V Algebra und Geometrie

r e b α a

e a

F2

p

ϕ F1

p

Abb. 17.17: Übersicht: Von kartesischen Koordinaten unabhängige Größen der Hyperbel.

17.4

Tangenten und Polaren der Kegelschnitte

Eine Gerade, die den Kreis in einem Punkte berührt, heißt Tangente an den Kreis. Die Tangente t steht senkrecht auf dem zum Berührungspunkt weisenden Radiusvektor R. Mit dem zu einem anderen Punkt der Tangente weisenden Vektor T folgt die Gleichung Rÿ(T – R) = 0 fl RÿT = RÿR = R2. Dies ist die Mittelpunktsform der Tangentengleichung, vektoriell also RÿT = R2

R ⋅T =1 R2

oder

(17.29)

und als Koordinatengleichung xRxT + yRyT = R2

oder

xR xT y R yT + 2 =1. R2 R

(17.30)

y T R

t

R x Abb. 17.18: Eine Tangente an den Kreis mit Radius R.

17 Die Kegelschnitte

167

Liegt der Kreismittelpunkt nicht im Ursprung des Koordinatensystems, sondern bei M, so sind die Gleichungen entsprechend zu transformieren: (R – M)ÿ(T – M) = R2 (xR – xM)ÿ(xT – xM) + (yR – yM)ÿ(yT – yM) = R2 Um die Tangentengleichung der Ellipse abzuleiten, kann man nicht vom Verschwinden des Skalarproduktes Rÿ(T – R) ausgehen, da hier die Tangente im Allgemeinen nicht senkrecht auf dem Radiusvektor R des Berührungspunktes steht. Man erhält die Mittelpunktsform der Tangentengleichung aber aus (17.30), indem alle x-Koordinaten mit R/a und alle y-Koordinaten mit R/b multipliziert werden xR xT y R yT + 2 =1. a2 b

(17.31)

Für die um M aus dem Mittelpunkt verschobene Ellipse haben wir

( xR − xM ) ⋅ ( xT − xM ) ( yR − yM ) ⋅ ( yT − yM ) +

a2

b2

=1.

Die Tangenten der Hyperbel ergeben sich ganz analog, in Mittelpunktsform also aus xR xT y R yT − 2 =1. a2 b

(17.32)

Eine Gerade, die den Kreis schneidet, heißt Sekante. Ihr im Kreisinnern gelegener Teil heißt Sehne. Von einem Punkt S außerhalb eines Kreises lassen sich immer zwei Tangenten an den Kreis legen. Die Sehne, welche diese beiden Berührungspunkte verbindet, heißt Polare.

y S

t1

t2

R1

p ϕ

R

x P R2

Abb. 17.19: Zum Punkt S gehörende Tangenten t1 und t2 und Polare p eines Kreises vom Radius R.

168

V Algebra und Geometrie

Wie man aus Symmetriegründen erkennt, liegt die Polare p in der Richtung von R1 – R2 und damit senkrecht zu dem Vektor S, dem Schnittpunkt t1 … t2 der beiden Tangenten. Für alle Punkte P der Polare p gilt daher Sÿ(P – R1) = 0 oder SÿP = SÿR1. Wegen SÿR1 = |S||R1|ÿcosϕ = |S||R1|ÿ|R1|/|S| = |R1|2 = R2

gilt die Mittelpunktsform der Polarengleichung SÿP = R2

S⋅P =1 R2

oder

(17.33)

und als Koordinatengleichung xSxP + ySyP = R2

oder

xS xP y S y P + 2 =1. R2 R

(17.34)

Liegt der Kreismittelpunkt nicht im Ursprung des Koordinatensystems, sondern bei M, so sind die Gleichungen entsprechend zu transformieren: (S – M)ÿ(P – M) = R2 (xS – xM)ÿ(xP – xM) + (yS – yM)ÿ(yP – yM) = R2 Um die Polarengleichung der Ellipse abzuleiten, kann man nicht vom Verschwinden des Skalarproduktes Sÿ(P – R1) ausgehen, denn die Polare p steht im Allgemeinen nicht senkrecht auf dem Vektor S. Man erhält die Mittelpunktsform der Polarengleichung aber aus (17.34), indem alle x-Koordinaten mit R/a und alle y-Koordinaten mit R/b multipliziert werden xS xP y S y P + 2 =1. a2 b

(17.35)

y S t1

t2

R1

p P

a b

R2

Abb. 17.20: Zum Punkt S gehörende Tangenten t1 und t2 und Polare p einer Ellipse.

x

17 Die Kegelschnitte

169

Für die um M aus dem Mittelpunkt verschobene Ellipse haben wir

( xS − xM ) ⋅ ( xP − xM ) ( y S − y M ) ⋅ ( y P − y M ) +

a2

b2

=1.

Die Polare der Hyperbel ergibt sich ganz analog, in Mittelpunktsform also aus xS xP y S y P − 2 =1. a2 b

17.5

(17.36)

Vergleich der Kegelschnitte

[M, S] = a

Kreis

Ellipse

Parabel

Hyperbel

a

a

–

a

2

2

b a

b a

b2 a

p

r=a=b

[M, F] = e

0

a2 − b2

–

e a

0

0

p 2

p 2




p 2

p 2


p

ε=

[F, L] = f =

p ε

p

a2 + b2

z0 eindeutig bestimmt durch die Gleichung tanγ =

x2 + y 2 z − z0

(17.38)

oder mit der Abkürzung tanγ = k x2 + y2 = [k(z – z0)]2 .

(17.39)

Der Kegel schneidet die durch z=0

(17.40)

definierte x,y-Ebene. Dabei entsteht ein Kreis mit dem Radius kz0, nämlich die Lösungsmenge des Gleichungssystems aus (17.39) und (17.40) x2 + y2 = (kz0)2 .

(17.41)

Für z0 = 0 besitzt der Kreis den Radius 0, d. h. er ist zu einem Punkt entartet. Nun drehen wir das Koordinatensystem mit Hilfe der Drehmatrix Dϕ,y aus (13.1') um den Winkel (-ϕ) um die y- bzw. v-Achse (s. Abb. 17.21 und Abb. 17.22). Dies bedeutet eine Drehung des Kegels um den Winkel ϕ, also im mathematisch positiven Sinne relativ zum Koordinatensystem. Eine Drehung im mathematisch positiven Sinne erfolgt gegen den Uhrzeigersinn, wenn man von der positiven Seite auf die Drehachse blickt.8 Wir blicken in Abb. 17.22 aber von der negativen Seite auf die Drehachse.9 Daher erfolgt die Drehung des Kegels relativ zum Koordinatensystem aus unserer Perspektive im Uhrzeigersinn. 8

9

Merkregel: Weist der Daumen der rechten Hand in die Drehrichtung, so zeigen die gekrümmten Finger den mathematisch positiven Drehsinn. Für das Endergebnis ist es natürlich ohne Belang, in welchem Sinne die Ebene gedreht wird.

17 Die Kegelschnitte

171

w v

u z0

Abb. 17.22: Ein Kegel wird von der um den Winkel (–ϕ) um die y-Achse = v-Achse gedrehten u,v-Ebene geschnitten.

Die Koordinaten (u, v, w) der Punkte im gedrehten Koordinatensystem ergeben sich aus der Transformation ⎛ u ⎞ ⎛ cos ϕ 0 sin ϕ ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 0 ⎟ Ë ⎜ y⎟ ⎜v⎟ = ⎜ 0 ⎜ w ⎟ ⎜ − sin ϕ 0 cos ϕ ⎟ ⎜ z ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

zu u = xcosϕ + zsinϕ v=y w = –xsinϕ + zcosϕ .

(17.42) (17.43) (17.44)

Gehören die Punkte mit den Koordinaten (x, y, z) im ursprünglichen Koordinatensystem zum Kegel, erfüllen also (17.39), so gehören auch die Punkte mit den daraus nach (17.42)–(17.44) hervorgehenden Koordinaten (u, v, w) zum Kegel. Zum Beispiel befindet sich die Spitze (17.37) des gedrehten Kegels bei u0 = z0sinϕ v0 = 0 w0 = z0cosϕ wie man durch Einsetzen ihrer ursprünglichen Koordinaten (0, 0, z0) aus (17.37) in (17.42)– (17.44) erkennt (vgl. Abb. 17.22, z0 ist dort negativ). Die Schnittmenge des Kegels mit der gedrehten Ebene ergibt sich also aus dem aus (17.39) und w=0 bestehenden Gleichungssystem.

(17.45)

172

V Algebra und Geometrie

(17.44) liefert mit der Bedingung (17.45) xsinϕ = zcosϕ oder z = xtanϕ. Setzen wir dies jedoch in (17.39) ein, so beschreiben wir den Schnitt des Kegels mit der gedrehten Ebene in den Koordinaten des ursprünglichen Systems, nicht aber innerhalb der u,v-Ebene. Deswegen lösen wir (17.42)–(17.44) nach (x, y, z) auf. Diese geschieht am bequemsten mit Hilfe der inversen Drehmatrix D–1ϕ, y = DTϕ, y ⎛ x ⎞ ⎛ cos ϕ 0 − sin ϕ ⎞ ⎛ u ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ Ë ⎜v⎟ ⎜ y⎟ = ⎜ 0 ⎜ z ⎟ ⎜ sin ϕ 0 cos ϕ ⎟ ⎜ w ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

und liefert x = ucosϕ – wsinϕ y=v z = usinϕ + wcosϕ . Einsetzen in (17.39) liefert unter Berücksichtigung von (17.45) u2cos2ϕ + v2 = [k(usinϕ – z0)]2 .

(17.46)

z0 ist ebenso wie k eine Konstante und wird nicht transformiert. Nach kurzer Umformung ergibt sich u2[cos2ϕ – k2sin2ϕ] + 2uk2z0sinϕ + v2 = k2z02 . Mit den Abkürzungen cos2ϕ – k2sin2ϕ := b11 k2z0sinϕ := b13

(17.47) (17.48)

b11u2 + 2b13u + v2 = k2z02

(17.49)

folgt und für b11 ≠ 0 2

b ⎞ (b ) 2 ⎛ b11 ⎜ u + 13 ⎟ + v2 = k2z02 + 13 . b11 b11 ⎠ ⎝

(17.50)

Für b11 > 0 ist der absolute Term, d. h. die rechte Seite von (17.50) positiv. Da der Koeffizient von v2 gleich (+1) ist, ergibt sich eine Ellipse. Für z0 < 0 ist b13 § 0 (vgl. (17.48), denn bei der Wahl des Drehwinkels ϕ zwischen 0 und π wird sinϕ niemals negativ). Daher ist der Mittelpunkt der Ellipse um |b13/b11| in u-Richtung verschoben. In diesem Falle schneidet die u,v-Ebene den oberen Kegel (vgl. Abb. 17.21 und Abb. 17.22). Der Schnittpunkt des rechten Kegelrandes mit der u,v-Ebene wandert mit wachsendem Drehwinkel ϕ immer schneller in u-Richtung, während sich ihr Schnittpunkt mit dem linken Kegelrand kaum verändert (vgl. Abb. 17.22). Daher wandert der Mittelpunkt der Ellipse immer weiter in die u-Richtung. (Ein Schnitt der u,v-Ebene mit dem unteren Kegel, also z0 > 0, würde b13 ¥ 0 implizieren und den Mittelpunkt der Ellipse um –|b13/b11|, also in die negative u-Richtung verschieben.)

17 Die Kegelschnitte

173

a

b

Abb. 17.23: (a) Parabel und (b) Hyperbel.

Für b11 = 0 folgt aus (17.47) cos2ϕ = k2sin2ϕ oder cos2ϕ = tan2γÿsin2ϕ, d. h. 1 = tan2γÿtan2ϕ oder kurz ϕ = π/2 – γ. Nun schneidet die u,v-Ebene den Kegel nicht mehr vollständig (s. Abb. 17.23 a). Der Mittelpunkt der Ellipse ist ins Unendliche ausgewandert. Wie man aus (17.49) abliest, ergibt sich eine Parabel. Im Grenzfalle z0 = 0 wird auch b13 = 0, und die Parabel entartet zu der Geraden v = 0 in der u,v-Ebene. Der Schnitt des Kegels mit der u,v-Ebene ist also in diesem Falle die u-Achse. Weitere Drehung ϕ > π/2 – γ führt zu einer Hyperbel, da b11 nun negativ ist und die Koeffizienten von u und v in (17.50) somit verschiedene Vorzeichen besitzen (s. Abb. 17.23 b). Für den Drehwinkel ϕ = π/2 liefert (17.46) ein Paar sich kreuzender Geraden v2 = [k(u – z0)]2 fl v = ≤k(u – z0) . Übungen 17.1 x = 0 ist die Gleichung der y-Achse in der x,y-Ebene. Welche Geraden beschreiben die folgenden Gleichungen in der x,y-Ebene? a) x – 3 = 0 b) y + 5 = 0 c) y – 2 = 3(x – 5) + 3 17.2 x2 + y2 = 0 ist die Ursprungsgleichung eines entarteten Kreises, also eines Punktes. Welche Punkte beschreiben die folgenden Gleichungen in der x,y-Ebene? a) (x – 3)2 + y2 = 0 b) x2 + (y + 5)2 = 0 c) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 0 17.3 Wo schneiden sich die Ellipsen 1 = (x/10)2 + (y/5)2 und 1 = ((x – 5)/10)2 + (y/5)2?

174

V Algebra und Geometrie

17.4 Wo schneiden sich die quadratische y2 = 25 – (x/2)2 und die lineare Form y = 2x + 1? Skizzieren Sie die Formen! 17.5 Welche Kegelschnitte beschreiben die folgenden quadratischen Formen? a) 2x2 – y2 = 2 b) (x – 2)2 = 0 c) x2 – 3y2 – 2 = 0 d) 2 – 4x2 – y2 = 0 17.6 Eine Ellipse besitzt den Parameter p = 3,2 und die Fläche 20 π. a) Bestimmen Sie die Halbachsen und geben Sie die explizite Mittelpunktsgleichung an, so dass die Hauptachse in der x-Achse liegt. b) Wie lautet diese Gleichung, wenn die Ellipse so weit verschoben wird, dass ihr linker Scheitel die Koordinaten x = 2 und y = 2 besitzt? c) Bestimmen Sie lineare und numerische Exzentrizität der Ellipse. d) Bestimmen Sie den Abstand ihrer Brennpunkte. e) Tragen Sie die berechneten Größen in eine Skizze ein. 17.7 Die Fläche einer Ellipse beträgt A = 50 π, ihre numerische Exzentrizität ist ε = (◊3)/2. Im Mittelpunkt der Ellipse ist eine Höhe h = 10 errichtet. Von ihrem oberen Punkt führen Geraden zu den Scheiteln der Ellipse. a) Wie groß sind die Winkel zwischen den Geraden? b) Wie groß sind die Winkel zwischen den Geraden und der Höhe? 17.8

Berechnen Sie die charakteristischen Größen (a, b, e, ε) für eine Ellipse, deren Fläche A = 25 beträgt und deren Schmiegekreis im Hauptscheitel den Radius 2 besitzt. b) Der Mittelpunkt der Ellipse besitzt die Koordinaten (1, –3). Wie lautet die implizite Mittelpunktsgleichung dieser Ellipse?

a)

17.9

Berechnen Sie die charakteristischen Größen (a, b, e, ε) für eine Ellipse, deren Fläche A = 17 beträgt und deren Schmiegekreis im Hauptscheitel den Radius 2 besitzt. b) Der Mittelpunkt der Ellipse besitzt die Koordinaten (1, –3). Wie lautet die implizite Mittelpunktsgleichung dieser Ellipse?

a)

17.10 Eine Hyperbel besitzt den Parameter p = 8 und die numerische Exzentrizität ε = 3. Ihre Brennpunkte liegen auf der x-Achse. Stellen Sie die Polargleichung auf, tabellieren Sie die Radiuslängen r(ϕ) für ϕ = 0°, 30°, 120°,150°, 180° und skizzieren Sie die Hyperbel mit ihren Bestimmungsgrößen (a, e) sowie die Endpunkte der berechneten Radien. 17.11 Eine Ellipse besitzt den Parameter p = 30/7 und die numerische Exzentrizität ε = 4/7. Skizzieren Sie einige Punkte der Ellipse mit Hilfe der Polargleichung. Berechnen Sie a, b und die lineare Exzentrizität e.

17 Die Kegelschnitte

175

17.12 Die Polargleichung einer Ellipse liefert r(0) = 10, r(π/3) = 6. Was wissen Sie über diese Ellipse? 17.13 Konstruieren Sie mit Hilfe der Polargleichung die Ellipse mit p = 5 und ε = 1/2 und die Hyperbel mit p = 5 und ε = 2. 17.14 Eine Hyperbel besitzt den Parameter p = 3 und die numerische Exzentrizität ε = 1/3. Was stimmt nicht an diesem Aufgabentext? 17.15 Eine Straße soll in 50 m Höhe verlaufen. Ihre Stützpfeiler besitzen einen Abstand von 10 m voneinander und ruhen auf einer Parabel (s. folgende Abbildung). Die markierten Punkte besitzen die Koordinaten in der Einheit Meter: P1 = (30, 20), P2 = (60, 40), P3 = (120, 30). Wie lang müssen die Pfeiler bei 30, 40, 50, …, 120 m sein? y

2

3

1 x

17.16 Skizzieren Sie eine Parabel mit p = 10 mittels Schnellkonstruktion. 17.17 Gegeben ist eine Ellipse mit den Halbachsen a = 5 (in der x-Richtung) und b = 3 (in der y-Richtung). Ihr Mittelpunkt besitzt die Koordinaten (xM, yM) = (3, –2). Die Ellipse wird von einer Geraden geschnitten, welche die Punkte (1, 1) und (3, 7) enthält. a) Wie lautet die implizite Mittelpunktsgleichung der Ellipse? b) Wie lautet die Gleichung der Geraden? c) In welchen Punkten (x1, y1) und (x2, y2) schneidet die Gerade die Ellipse? 17.18 Man berechne alle Bestimmungsgrößen der folgenden quadratischen Formen und skizziere sie unter Verwendung der Schmiegekreise: a) 0,32ÿx2 + 0,5ÿy2 – 8 = 0 b) 0,32ÿx2 – 0,5ÿy2 – 8 = 0 c) 0,32ÿx2 – 0,5ÿy2 + 8 = 0 d) y2 – 8x = 0 17.19 a) Wie lauten die Gleichungen der Tangenten durch den Punkt (x, y) = (7, 3) an den Kreis xK2 + yK2 = 1? b) Man bestimme die Gleichungen der vom Punkt (8, 13) an den Kreis xK2 + yK2 = 25 gelegten Tangenten.

176

V Algebra und Geometrie

17.20 a) Wie lautet die Gleichung einer Tangente, die in xE = 2 die Ellipse xE2/16 + yE2/25 = 1 berührt? b) Berechnen Sie eine Tangente, die in xE = 3 dieselbe Ellipse berührt. c) Und dasselbe noch einmal für xE = 4. 17.21 Wie lautet die Gleichung einer Tangente, welche die Hyperbel xH2/16 – yH2/25 = 1 in yH = 20 berührt? 17.22 Wie lauten die Gleichungen der Tangenten, welche den Kreis (xK – 1)2 + (yK + 3)2 = 9 bei xK = 2 berühren? 17.23 Der Kreis xK2 + yK2 = 36 wird von der Geraden y = 3x + 1 geschnitten. In welchem Punkt S schneiden sich die in den Schnittpunkten R1 und R2 an den Kreis gelegten Tangenten t1 und t2 (vgl. Abb. 17.19)? Wie lang ist die Sehne (die Sekante p im Kreisinnern)?

18

Sphärische Geometrie

Gegenstand der sphärischen Geometrie ist die Geometrie auf der Kugeloberfläche. Zur Vereinfachung der Notation wählen wir den Kugelradius R = 1 und legen den Ursprung des Koordinatensystem in den Kugelmittelpunkt. Dann ist die Kugeloberfläche S2 die Menge aller Punkte R = (x, y, z) mit Abstand 1 vom Koordinatenursprung S2 = { R | x2 + y2 + z2 = 1 } .

(18.1)

Nach (8.20) genügen zur Bestimmung eines Punktes auf der Kugeloberfläche zwei Koordinaten: θ mit 0 § θ § π ϕ mit 0 § ϕ < 2π In kartesischen Koordinaten ergibt sich mit (8.21) R(θ, ϕ) = (sinθÿcosϕ, sinθÿsinϕ, cosθ) .

(18.2)

z N θ sinθ

dθ

dΩ

ϕ

Abb. 18.1:

10

x dϕ

Zur Definition der Kugelkoordinaten in mathematischen und physikalischen Systemen.10

Die geographische Einteilung der als kugelförmig angenommenen Erdoberfläche in Längen- und Breitengrade geht auf Claudius Ptolemäus (im zweiten Jahrhundert n. Chr.) zurück. Die Meridiane erstrecken sich vom Nordpol zum Südpol. Sie werden durch Längengrade von 0° bis 180° östlicher bzw. 0° bis 180° westlicher Länge unterschieden. Der Nullmeridian schneidet die britische Sternwarte in Greenwich. Die Breitenkreise liegen konzentrisch um die Erdachse. Die Zählung der Breitengrade beginnt am Äquator bei 0° und läuft bis 90° nördlicher bzw. südlicher Breite. Mit Ausnahme des Äquators sind dies keine Großkreise.

178

V Algebra und Geometrie

Am Nordpol N ist θ = 0 und z = 1. Am rechten Kugelrand (s. Abb. 18.1) befindet sich der Nullmeridian, d. h. dort ist ϕ = 0. Mit dieser Vereinbarung geht aus (18.2) hervor, dass die y-Richtung nach hinten weist. Ein kleines Oberflächenelement hat die Fläche dΩ = dθ dϕ sinθ .

(18.3)

Die gesamte Kugeloberfläche ist somit (vgl. auch (32.10)) Ω(S2) =

2π

π

0

0

∫ dϕ∫ sin θdθ = 4π .

(18.4)

Als Großkreis bezeichnet man den Schnitt einer Ebene E durch das Kugelzentrum (0, 0, 0) mit der Kugeloberfläche S2. Wird die Ebene durch den auf ihr senkrechten Vektor RE definiert, so ergibt sich aus E = { R | RÿRE = 0 } und S2 = { R | RÿR = 1 } die Großkreismenge G(RE) = { R | RÿR = 1 ∧ RÿRE = 0 } .

(18.5) 2

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten R1 und R2 aus S mit R1 ∫ ≤R2 liegt in der von ihnen aufgespannten Ebene G(R1, R2) = { R | RÿR = 1 ∧ R = αR1 + βR2 , α, β œ — } in Koordinaten also wegen

R12

2

=

R22

=1

2

α + 2αβcos(R1, R2) + β = 1 .

RE R1

R2

Abb. 18.2:

Ein Großkreis, definiert durch die Normale RE oder durch zwei Vektoren der Schnittebene.

(18.6)

18 Sphärische Geometrie

179

C γ

N ϕ

U

a A‘

b

β

V B

c

α B‘ a

A C‘

b

Abb. 18.3: (a) Ein Kugelzweieck wird begrenzt durch zwei Großkreise. (b) Ein Kugeldreieck wird begrenzt durch drei Großkreise.

Ein Großkreis teilt S2 in zwei gleiche Hälften. Zwei Großkreise, die nicht zusammenfallen, teilen S2 in vier Kugelzweiecke, von denen mindestens zwei kongruent sind. Wir betrachten nur eines von ihnen. OBdA kann ein Schnittpunkt der beiden Großkreise in den Kugelnordpol (θ = 0) gelegt werden. Der zweite Schnittpunkt ist dann der Gegenpunkt des Nordpols, der Südpol. Der Winkel zwischen den Großkreisen ist identisch mit dem Winkel zwischen den Tangenten an die Großkreise am Nordpol (s. Abb. 18.3). Die Fläche eines Kugelzweiecks ist Ω(ϕ) = 2ϕ

(18.7)

denn sie wächst linear mit dem Winkel und für den Vollkreiswinkel 2π ergibt sich nach (18.4) die Gesamtfläche 4π. Ein Kugeldreieck kann durch drei Großkreise definiert werden. Die Flächen der Kugelzweiecke in Abb. 18.3b sind nach (18.7): Ω(α) = 2α

Ω(β) = 2β

Ω(γ) = 2γ

(18.8)

Im Folgenden wollen wir uns an die Eulersche Konvention halten, wonach kein Winkel größer als π sein soll. Ein Dreieck und das durch die Gegenpunkte seiner Eckpunkte definierte Gegendreieck sind kongruent, besitzen also gleiche Flächen Ω(A', B, C) = Ω(A, B', C') .

(18.9)

Die in Abb. 18.3b durch β und γ definierten Kugelzweiecke liegen vollständig auf der vorderen Kugelseite. Der auf der hinteren Kugelseite liegende Teil des durch α definierten Zweiecks kann mit (18.9) auf die Vorderseite projiziert werden. Damit wird jeder Punkt der vorderen Hemisphäre (Halbkugel) von Zweiecken bedeckt, und zwar die innerhalb der Fläche

180

V Algebra und Geometrie

Ω(A, B, C) gelegenen Punkte dreimal und die außerhalb gelegenen einmal. Die Summe der drei Zweiecksflächen ist also die gesamte Hemisphärenfläche 2π und zusätzlich die zweifache Dreiecksfläche Ω(α) + Ω(β) + Ω(γ) = 2π + 2Ω(A, B, C) . Daraus ergibt sich die Dreiecksfläche zu Ω(A, B, C) = α + β + γ – π .

(18.10)

Die Innenwinkelsumme von Kugeldreiecken ist stets größer als π. Der Überschuss (18.10) wird auch als sphärischer Exzess bezeichnet. Er bestimmt die Fläche des Dreiecks. Auf der Einheitskugel sind demnach Dreiecke, die gleiche Winkel besitzen, nicht nur ähnlich, sondern sogar kongruent.

18.1

Sphärische Trigonometrie

Im Folgenden werden einige Sätze der sphärischen Trigonometrie hergeleitet; das ist die Lehre vom Zusammenhang zwischen Winkeln und Seiten in Kugeldreiecken. Zur Unterstützung des Vorstellungsvermögens kann das Koordinatensystem so gewählt werden, dass ein Eckpunkt des Kugeldreiecks im Nordpol und ein weiterer auf dem Nullmeridian liegt (s. Abb. 18.3b): A = (xA, yA, zA) B = (xB, 0, zB) C = (0, 0, 1) Unabhängig von dieser speziellen Wahl, die im Folgenden nicht benutzt wird, gilt (da alle Vektoren den Betrag 1 besitzen): cosa = BÿC cosb = AÿC cosc = AÿB

(18.11) (18.12) (18.13)

Der Winkel γ wird von den Vektoren U und V aufgespannt (s. Abb. 18.3b). U liegt in der von C und A aufgespannten Ebene senkrecht zu C. Wir können U also darstellen, indem wir A verwenden, den zu C parallelen Anteil aber subtrahieren, so dass U = A – Ccosb. Analog ergibt sich der Vektor V = B – Ccosa. Somit gilt für γ: cos γ = cos γ =

( A − C cos b) ⋅ ( B − C cos a) | A − C cos b | ⋅ | B − C cos a | AB − AC cos a − CB cos b + C 2 cos b cos a A2 − 2 AC cos b + C 2 cos 2 b ⋅ B 2 − 2 BC cos a + C 2 cos 2 a

18 Sphärische Geometrie

181

Mit (18.11)–(18.13) sowie A2 = B2 = C2 = 1 folgt cos γ =

cos c − cos b cos a − cos a cos b + cos b cos a

1 − 2 cos b cos b + cos 2 b ⋅ 1 − 2 cos a cos a + cos 2 a cos c − cos a cos b . cos γ = sin a sin b

(18.14)

Daraus ergibt sich der Seitenkosinussatz cosc = cosacosb + sinasinbcosγ .

(18.15)

Durch zyklische Vertauschung folgen die analogen Sätze für die übrigen Seiten. Speziell für das rechtwinklige Kugeldreieck mit γ = π/2 folgt daraus cosc = cosacosb .

(18.16)

Mit Hilfe von (18.15) finden wir: sin γ = 1 − cos 2 γ =

⎛ cos c − cos a cos b ⎞ 1− ⎜ ⎟ sin a sin b ⎝ ⎠

2

sin γ =

sin 2 a sin 2 b − (cos c − cos a cos b) 2 sin 2 a sin 2 b

sin γ =

sin 2 a sin 2 b − cos 2 c + 2 cos c cos a cos b − cos 2 a cos 2 b sin a sin b

sin γ =

1 − cos 2 a − cos 2 b − cos 2 c + 2 cos a cos b cos c sin a sin b

sin γ = sin c

1 − cos 2 a − cos 2 b − cos 2 c + 2 cos a cos b cos c sin a sin b sin c

(18.17)

Zyklische Vertauschung liefert sin α = sin a

1 − cos 2 a − cos 2 b − cos 2 c + 2 cos a cos b cos c sin a sin b sin c

(auf der rechten Seite ändert sich nichts). Daraus folgt der Sinussatz sin α sin β sin γ = = . sin a sin b sin c

(18.18)

Für das rechtwinklige Kugeldreieck mit γ = π/2 speziell sin α =

sin a . sin c

(18.19)

182

V Algebra und Geometrie

Aus den beiden vorangehenden Sätzen kann der Winkelkosinussatz abgeleitet werden. Wir beginnen mit dem Quadrat von (18.17) 1 – cos2a – cos2b – cos2c + 2cosacosbcosc = sin2asin2bsin2γ multiplizieren auf beiden Seiten mit cosa und verwenden gleichzeitig rechts einmal sinbsinγ = sincsinβ aus (18.18) cosa – cos3a – cosacos2b – cosacos2c + 2cos2acosbcosc = sin2asinbsincsinβsinγcosa . Ergänzung der linken Seite durch cosbcosc und Umordnung führt auf [cosa – cosbcosc – cos3a + cos2acosbcosc] + [cosbcosc – cosacos2b – cosacos2c + cos2acosbcosc] = sin2asinbsincsinβsinγcosa [(cosa – cosbcosc)(1 – cos2a)] + [(cosb – cosacosc)(cosc – cosacosb)] = sin2asinbsincsinβsinγcosa cos a − cos b cos c cos b − cos c cos a cos c − cos a cos b + = sinβsinγcosa . ÿ sin b sin c sin c sin a sin a sin b Mit Gleichung (18.15) und ihren durch zyklische Vertauschung entstehenden Varianten ergibt sich cosα + cosβcosγ = sinβsinγcosa und damit der Winkelkosinussatz cosα = –cosβcosγ + sinβsinγcosa .

(18.20)

Übungen 18.1 Wie groß ist die Fläche des Kugeldreiecks (|R| = 1) mit α = π/2, β = π/3, γ = π/4? 18.2 Bestimmen Sie die Seitenlängen im Kugeldreieck aus Übung 18.1. 18.3 Der Mond hat einen Radius von 1738 km. Da die Erde ausgedehnt ist und der Mond etwas schwankt, sind nur 41 % seiner Fläche für uns unsichtbar. a) Welchem Kugelzweieck entspricht das? b) Welches gleichseitige Kugeldreieck auf dem Mond besitzt dieselbe Fläche? 18.4 Neapel (14° östliche Länge) und New York (76° westliche Länge) liegen beide auf 41° nördlicher Breite. a) Wie groß ist der Abstand zwischen den Orten auf der Erdoberfläche? b) Wie lang ist der Weg von Neapel bis New York auf dem 41. Breitengrad? [Hinweis: Die Zählung der Breitengrade beginnt am Äquator, nicht wie in Abb. 18.1 am Nordpol. Die Erde kann als Kugel mit Radius 6370 km angenommen werden.] 18.5 Berechnen Sie die Fläche des Kugeldreiecks, dessen Eckpunkte im mathematischen System (θ, ϕ) durch A = (π/2, 0), B = (π/2, π/3), C = (π/6, 0) gegeben sind. [Hinweis: Zwei Seiten stehen senkrecht aufeinander und besitzen die Länge π/3.]

VI Infinitesimalrechnung

Das Rechnen mit dem Unendlichen, dem Infiniten, unterscheidet sich deutlich von der finiten Mathematik; wir haben es schon am Beispiel unendlicher Dezimalbruchentwicklungen und in noch stärkerem Maße am Beispiel der irrationalen Zahlen kennengelernt. Dieses Kapitel vermittelt die grundlegenden Kenntnisse, vor allem den Grenzwertbegriff. Die wichtigsten Anwendungen der Infinitesimalrechnung, die Differential- und Integralrechnung mit ihren speziellen Techniken bis zur Laplace-Transformation sowie Vektoranalysis und Differentialgleichungen werden dann in gesonderten Kapiteln behandelt.

19

Folgen

Eine (reelle, unendliche Zahlen-) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird. Bei endlichen Folgen wird nur eine endliche Untermenge der natürlichen Zahlen abgebildet. Wir bezeichnen die Glieder der Folge allgemein mit an und die ganze Folge mit (an). (an) = 3, 6, –1, π, 3, 3, ◊7, 2, 13 und (an) = 1, 4, 9, 16, 25 sind endliche Folgen. Sie sind im Allgemeinen von geringem Interesse. Wir wollen von jetzt an unter Folgen nur noch unendliche Folgen verstehen. (n) = 1, 2, 3, … ↓ ↓ ↓ (an) = a1, a2, a3, … Unendliche Folgen kann man nur dann geschlossen behandeln, wenn ihren Gliedern ein Bildungsgesetz zugrunde liegt. Sie werden entweder durch Aufzählung der ersten Glieder, aus denen das Bildungsgesetz ablesbar sein muss, beschrieben oder mit Hilfe des Bildungsgesetzes selbst oder rekursiv, indem jedes Glied aus dem vorhergehenden berechnet wird11. Dann muss aber zusätzlich auch das erste Glied angegeben werden. Einige Beispiele sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt: Aufzählung

Bildungsgesetz

Rekursionsformel

Anfangsglied

(an) = 2, 4, 6, 8, 10, …

an = 2ÿn

an = 2 + an–1

a1 = 2

(bn) = 8, 10, 12, 14, …

bn = 2ÿ(n + 3)

bn = 2 + bn–1

b1 = 8

(cn) = 2, 4, 8, 16, … (dn) = 1, 4, 9, 16, …

cn = 2

n

dn = n

cn = 2ÿcn–1

2

en = (n + 2)

( fn) = 1, 1/2, 1/3, …

fn = 1/n gn = (–1)

d1 = 1

2

e1 = 9

fn = (1 + 1/fn–1)–1

f1 = 1

gn = –gn–1

g1 = –1

dn = (1 + ◊dn–1)

(en) = 9, 16, 25, 36, … (gn) = –1, 1, –1, 1, –1, …

c1 = 2 2

n

2

en = (1 + ◊en–1)

In dieser Tabelle wird selbstverständlich vorausgesetzt, dass die Rekursionsformel erst ab n = 2 anzuwenden ist. Eine Folge wie (an) oder (bn) mit konstanter Differenz zwischen benachbarten Gliedern heißt arithmetische Folge. Eine Folge wie (cn) mit konstantem Quotienten benachbarter Glieder 11

Das ist allerdings nicht immer möglich. Ein Beispiel für eine unendliche Folge, die nicht mit einer expliziten Formel beschrieben werden kann, ist die Folge (pn) = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … der Primzahlen (s. Abschn. 4.3).

186

VI Infinitesimalrechnung

heißt geometrische Folge. Die Folge ( fn) der Stammbrüche 1/n nennt man auch die harmonische Folge. Eine Folge wie (gn) mit wechselnden Vorzeichen benachbarter Glieder, allgemein eine Folge mit an = (–1)n|an|, heißt alternierende Folge. Definition. Eine Folge (an) ist beschränkt, wenn es zwei reelle Zahlen S– und S+ gibt, so dass ∀ n œ Ù: S– ≤ an ≤ S+ .

(19.1)

S– heißt untere Schranke, S+ heißt obere Schranke. Gilt nur eine der beiden Ungleichungen (19.1), so heißt die Folge nach unten beschränkt bzw. nach oben beschränkt. Bei S muss es sich keineswegs um die kleinstmögliche obere oder die größtmögliche untere Schranke handeln. Die Folge der Stammbrüche besitzt eine obere Schranke S+ = 10, denn jede reelle Zahl S+ ≥ 1 ist eine obere Schranke dieser Folge. Die kleinste obere Schranke heißt obere Grenze oder Supremum der Folge. Die größte untere Schranke heißt untere Grenze oder Infimum der Folge. Definition. Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren Umgebung (h – ε, h + ε) für jedes ε > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen. (Eine Umgebung ist also ein offenes Intervall (a, b) = { x | a < x < b }, das oft auch in der Form ]a, b[ dargestellt wird.) Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge. In Abb. 19.1 sind die beiden Häufungspunkte der Folge 50 + 10ÿ(–1)n und der einzige Häufungspunkt der Folge 100/n durch h markiert. Definition. Eine Folge (an) konvergiert gegen den endlichen Grenzwert a, wenn zu jeder reellen Zahl ε > 0 eine natürliche Zahl nε œ Ù existiert, so dass für alle n ≥ nε gilt |an – a| < ε .

Abb. 19.1:

Veranschaulichung einiger Folgen.

(19.2)

19 Folgen

187

Man schreibt dann mit der Abkürzung „lim“ für „Limes“ lim an = a

n →∞

oder kurz (an) → a . Die Beispielfolgen (an) bis (en) wachsen mit zunehmendem n beständig an. Sie besitzen keinen Grenzwert. Die Folge ( fn) dagegen konvergiert gegen einen Grenzwert. Folge (gn) konvergiert nicht gegen einen Grenzwert. Sie besitzt zwei Häufungspunkte, h1 = -1 und h2 = 1. Der Grenzwert der Folge ( fn) ist offenbar Null. Wählen wir ε = 1/k, so gilt für alle natürlichen Zahlen m ≥ nε := k + 1 |am – 0| = |am| = 1/m < 1/k = ε . Das Konvergenzkriterium (19.2) ist also erfüllt. Und es gibt keine andere Zahl als 0, für die es erfüllt wäre. Eine Folge, die gegen den Grenzwert Null konvergiert, heißt Nullfolge. Eine Folge, die nicht gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert, heißt divergent. Häufig schreibt man für Folgen, die entweder keine untere oder keine obere Schranke besitzen,

lim an = –¶

n →∞

oder

lim an = ¶ .

n →∞

Hierbei handelt es sich nicht um Grenzwerte nach (19.2). Solche Folgen sind nicht konvergent. Jede nicht konvergente Folge ist divergent. Jedoch können wir die Angabe uneigentlicher Grenzwerte dadurch rechtfertigen, dass die Kehrwerte der Folgenglieder gegen 0 konvergieren. Satz Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis. Die ersten nε Glieder der Folge sind jeweils endlich und daher gibt es stets Schranken, so dass für diese Glieder (19.1) erfüllt ist. Für die gesamte Folge gilt dann wegen (19.2) S– – ε ≤ an ≤ S+ + ε. É Aber nicht jede beschränkte Folge ist konvergent. Die Folge (gn) z. B. ist sicher durch S– = –10 und S+ = 10 beschränkt. Aber sie besitzt keinen Grenzwert, denn schon für ε = 1/2 ist (19.2) nicht erfüllbar. Definition. Eine Folge heißt monoton steigend bzw. monoton fallend, wenn gilt an ≤ an+1

bzw.

an ≥ an+1 .

Gelten die strikten Ungleichungen an < an+1

bzw.

an > an+1

so heißt die Folge streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend. Satz Eine beschränkte monotone Folge ist konvergent. Beweis. Die Existenz eines Häufungspunktes ergibt sich sofort aus der Beschränkung. Die Folge besitzt keine Glieder außerhalb eines Intervalls [S–, S+]. Einteilung dieses Intervalls in beliebig schmale Teilintervalle der Breite b führt auf (S+ - S–)/b := k Teilintervalle. Wenn

188

VI Infinitesimalrechnung

jedes von ihnen maximal m Glieder der Folge enthält, so besitzt die Folge höchstens kÿm Glieder, im Widerspruch zur Annahme einer unendlichen Folge. Also befinden sich in mindestens einem Teilintervall unendlich viele Glieder. Das entspricht einem Häufungspunkt, denn die positive Intervallbreite b kann kleiner als der kleinste Abstand zwischen zwei verschiedenen Häufungspunkten der Folge gewählt werden. Wir überzeugen uns nun, dass es nur ein einziges Teilintervall dieser Art und damit nur einen einzigen Häufungspunkt gibt, indem wir die gegenteilige Annahme zum Widerspruch führen. OBdA sei die Folge monoton steigend. Sie besitze mindestens zwei verschiedene Häufungspunkte, h1 und h2 > h1. Da h2 Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Glieder im Intervall (h2 – ε, h2 + ε) mit ε = (h2 – h1)/2. Das erste dieser Glieder sei an. Wegen der Monotonie der Folge liegen alle weiteren Glieder außerhalb des Intervalls (h1 – ε, h1 + ε). Also können in diesem Intervall um h1 höchstens (n – 1), d. h. endlich viele Glieder liegen. Deshalb kann h1 kein Häufungspunkt sein. É Definition. Eine Teilfolge entsteht dadurch, dass Glieder der Folge weggelassen werden, wobei noch unendlich viele übrig bleiben. Definition. Ein Glied as der Folge (an) heißt Spitze der Folge, wenn es von keinem der darauf folgenden Glieder übertroffen wird: n > s fl an § as. Beispiel: Die konstante Folge 1, 1, 1, … enthält nur Spitzen, ebenso wie die Folge der Stammbrüche ( fn). Sie Folge der natürlichen Zahlen enthält keine Spitze.

an

n

Abb. 19.2: Eine nach einem einfachen Bildungsgesetz aufgebaute Folge. Ihre Spitzen sind durch schwarz gefüllte Kreise markiert.

Satz Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge. Beweis. Eine Folge enthält entweder endlich viele Spitzen (z. B. gar keine) oder unendlich viele Spitzen. Im ersten Fall existiert nach der letzten Spitze zu jedem Glied ein größeres Glied. Die Teilfolge dieser größeren Glieder ist streng monoton steigend. Im zweiten Fall bildet die Folge der unendlich vielen Spitzen eine monoton fallende Folge. É Da aus Beschränkung und Monotonie Konvergenz folgt, gilt der Satz Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge.

Mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium gelingt es, das Konvergenzverhalten auch dann zu prüfen, wenn ein Grenzwert nicht bekannt ist.

19 Folgen

189

Satz (Cauchy) Die Folge (an) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl nε œ Ù gibt, so dass für m, n ≥ nε gilt

|an – am| < ε .

(19.3)

Beweis (fl). Die Folge (an) sei konvergent. Dann besitzt sie einen Grenzwert a. Also existiert zu jeder reellen Zahl ε/2 > 0 eine natürliche Zahl nε/2, so dass für m, n ≥ nε/2 gilt |an – a| < ε/2

und

|a – am| < ε/2 .

Mit der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung (s. Übung 5.4) folgt dann ε > |an – a| + |a – am| ≥ |an – a + a – am| = |an – am| .

Das Cauchysche Konvergenzkriterium (19.3) ist also erfüllt. Beweis (›). Nun gelte (19.3). (an) ist sicher beschränkt und enthält daher eine konvergente Teilfolge ( ank ) mit Grenzwert a. Für n, nk ≥ nε/2 gilt |an – ank | < ε/2 und wegen der Konvergenz der Teilfolge ( ank ) gegen a gilt auch | ank – a| < ε/2 . Wieder folgt mit der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung ε > |an – ank | + | ank – a| ≥ |an – ank + ank – a| = |an – a| .

Die Folge (an) ist nach (19.2) konvergent. É Eine konvergente Folge nennt man deshalb auch Cauchy-Folge. In den reellen Zahlen besitzt jede Cauchy-Folge einen Grenzwert. In den rationalen Zahlen ist dies nicht der Fall. Beispiel: Eine Folge sei definiert durch die Rekursionsformel an+1 =

1⎛ 2 ⎞ an + ⎟ ⎜ 2⎝ an ⎠

(19.4)

mit a1 = 1. Alle Glieder sind rationale Zahlen. Für den Grenzwert a muss gelten a=

1⎛ 2⎞ ⎜a + ⎟ 2⎝ a⎠

da sich an und an+1 für n → ¶ nicht mehr unterscheiden. Daraus folgt a = ◊2 – – . Die Folge (19.4) kann also dazu dienen, den Wert von ◊2 zu approximieren. Auch die Quadratwurzeln anderer Zahlen lassen sich auf diese Weise mit beliebiger Genauigkeit berechnen. Der Ausgangspunkt dieser Überlegung ist die Gleichung 2x2 = x2 + k die offenbar dann erfüllt ist, wenn x2 = k gilt. Da x unbekannt ist, formt man die Gleichung um

190

VI Infinitesimalrechnung x=

1⎛ k⎞ ⎜x+ ⎟ 2⎝ x⎠

setzt für die rechts stehenden Unbekannten x einen Anfangswert a1 ein, z. B. x = a1 = 1, und rechnet aus, ob sich derselbe Wert für das links stehende x ergibt. Dies ist für irrationale Wurzeln nie der Fall, sondern man erhält a2 =

1⎛ k ⎞ a1 + ⎟ ≠ a1 ⎜ 2⎝ a1 ⎠

und eine Folge analog zu (19.4). Der Prozess wird fortgesetzt, bis sich an+1 im Rahmen der gewünschten Genauigkeit nicht mehr von an unterscheidet. Auf diese Weise lassen sich auch höhere Wurzeln als Grenzwerte von Folgen berechnen, z. B. 3◊k

fl

2x3 = x3 + k 1⎛ k ⎞ an+1 = ⎜ an + 2 ⎟ . 2⎝ an ⎠

(19.5)

Die reellen Zahlen — können gleichermaßen durch Dedekind-Schnitte (s. Abschn. 5.5) wie durch Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen definiert werden. Die in den rationalen Zahlen nicht existierenden Grenzwerte bilden die Menge der irrationalen Zahlen. Zum Umformen von Folgen kann man die folgenden trivialen Regeln anwenden. Seien (an) und (bn) konvergente Folgen und c œ —, dann gilt: lim (c ÿ an) = c ÿ lim an

n→∞

n→∞

lim (an + bn) = lim an + lim bn

n→∞

n→∞

n→∞

lim (an ÿ bn) = lim an ÿ lim bn

n→∞

n→∞

n→∞

1 1 lim = , falls an ≠ 0 und lim an ≠ 0 n→∞ an n→∞ lim an

lim

n→∞

anc

(

n →∞

= lim an n →∞

) , falls a c

c n

(

und lim an n →∞

)

c

existieren

Eine Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a genau dann, wenn die Folge (an – a) eine Nullfolge ist. Seien (an) und (bn) konvergente Folgen mit an ≤ bn für fast alle12 n, dann gilt lim an ≤ lim bn .

n →∞

n →∞

(bn) heißt dann Majorante von (an), und (an) heißt Minorante von (bn). Bei der Berechnung der Grenzwerte von verwickelten Ausdrücken verwende man diese Regeln und Sätze, um einfache Ausdrücke mit klar ersichtlichem Grenzverhalten zu erzeugen, vor allem die Folgen (n) und (1/n) sowie ihre Potenzen. 12

„Fast alle“ bedeutet „alle bis auf endlich viele“.

19 Folgen

191

Übungen 19.1 Man setze a1 = 1 und berechne mit Hilfe der Folge (19.5) die dritte Wurzel aus 3 auf vier zählende Stellen genau. 19.2 Man bestimme die Grenzwerte der unten definierten Folgen oder stelle ihre Divergenz fest (große Buchstaben bezeichnen positive reelle Zahlen).

an = n −1/ 2 ⎛J ⎞ n − Kn ⎟ I 5 4 U − Vn + Wn 2 ⎜⎝ n ⎠ ⋅ n + Cn ⋅ bn = 2 2 5 Un + n Kn n D+ 2 E n+B cn = A+ n dn =

(

L Kn3/ 4 + Mn5 / 8 2

(

n 7+L n 4

)

)+

Ln

( 5n − 3n

6

2

+ n3

)

2

1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜1 − − ⎟ n2 ⎝ n n2 ⎠ + + Gn H 1 1 1 + − Un 2 Vn3 Wn 4

19.3 Fibonacci-Folge: Ein Mann bekommt im Januar ein Pärchen Kaninchen geschenkt, die gerade geboren sind und erst im übernächsten Monat (März) und dann in jedem folgenden Monat ein Pärchen erzeugen. Auch dieses und alle weiteren Pärchen erzeugen ab dem zweiten Monat nach ihrer Geburt jeweils ein Pärchen monatlich. Wie viele Pärchen hat der Mann im Dezember? Wie lautet die Rekursionsformel für diese erste implizit definierte Folge? [„Fibonacci“ (Sohn des Gutchens) war der Spitzname von Leonardo von Pisa.]

20

Reihen

Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder ∞

∑ an = a1 + a2 + a3 + …

(20.1)

n =1

eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partialsumme oder Teilsumme k

sk = ∑ an = a1 + a2 + a3 + … + ak .

(20.2)

n =1

Ist die Folge der Partialsummen (sk) konvergent, so heißt die Reihe konvergent. Der Grenzwert der Partialsummenfolge heißt dann Wert oder Summe s der Reihe lim sk = lim

k →∞

Satz Ist

k →∞

∞

∑ an

k

∞

n =1

n =1

∑ an = ∑ an = s .

(20.3)

konvergent, so gilt lim an = 0. n →∞

n =1

Der Beweis für diese notwendige Bedingung ist trivial. ∞

Die Umkehrung des Satzes gilt nicht, z. B. ist die harmonische Reihe

1

∑n

divergent. Beweis

n =1

durch Reihenverdichtung, s. (20.10). Existiert kein Grenzwert s der Partialsummenfolge, so heißt die Reihe divergent. Ein Beispiel dafür bilden die arithmetischen Reihen, deren Stammfolgen durch eine konstante Differenz d ihrer Glieder ausgezeichnet sind: a1 + ( a1 + d ) + (a1 + 2d ) + (a1 + 3d ) + …

Eine spezielle und sehr wichtige Klasse von Reihen sind die geometrischen Reihen. Der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern ist konstant q=

an +1 . an

In der einfachsten Form lautet die Partialsumme n

sn = 1 + q + q 2 + ... + q n −1 = ∑ q k −1 = k =1

1 − qn . 1− q

(20.4)

194

VI Infinitesimalrechnung

(1 + q + q

Beweis.

2

)

+ … + q n −1 ⋅ (1 − q ) = 1 − q n .

É

1 − qn 1 = . n →∞ 1 − q 1− q

Für |q| < 1 konvergiert die geometrische Reihe gegen lim Die allgemeine Form der geometrischen Reihe ist daher a1 + a1q + a1q 2 + a1q 3 + … = a1

1 1− q

für |q| < 1 .

(20.5)

Beispiel: Trinkt man ein Glas Wasser zur Hälfte aus und dann immer nur die Hälfte dessen, was man beim letzten Mal getrunken hat, so könnte man unendlich lange von einem Glas Wasser trinken (vorausgesetzt, es gäbe keine Atome), denn die Hälfte bleibt immer übrig 1 1 1 1⎛ 1 1 ⎞ 1 1 + + + … = ⎜ 1 + + + …⎟ = ⋅ =1 . 2 4 8 2⎝ 2 4 ⎠ 2 1− 1 2

Gibt man jeweils die Hälfte zurück und trinkt davon wieder nur die Hälfte 1 1 1 1 1⎛ 1 1 1 1 ⎞ 1 1 − + − + − … = ⎜1 − + − + − …⎟ = ⋅ = 2 4 8 16 2⎝ 2 4 8 ⎠ 2 1+ 1 3 2 so benötigt man sogar nur 1/3 Glas Wasser für die Ewigkeit. Satz Konvergenzkriterien für Reihen mit nichtnegativen Gliedern. ∞

(20.6) Die Reihe

∑ an n =1

k

konvergiert genau dann, wenn die Folge (sk) = (∑ an ) der Partialsumn =1

men beschränkt ist. (20.7) Majorantenkriterium: Sei bn ≥ an für n ≥ n0, und es konvergiere

∞

∑ bn , dann konvern =1

giert auch

∞

∑ an . n =1

(20.8) Quotientenkriterium: Für n ≥ n0 und 0 < q < 1 gelte

an +1 ≤ q, dann konvergiert an

Anstelle von „für n ≥ n0“ kann die Bedingung auch in die Form lim

n →∞

∞

∑ an . n =1

an +1 ≤ q gefasst werden. an

Man beachte, dass q echt kleiner als 1 sein muss. (20.9) Wurzelkriterium: Für n ≥ n0 und 0 < q < 1 gelte ∞

dann konvergiert

∑ an . n =1

n

an ≤ q bzw. es gelte lim

n →∞

n

an ≤ q ,

20 Reihen

12

4

195

8

16

12

4

8

16

Abb. 20.1: Zur Reihenverdichtung. Darstellung aller Reihenglieder an als senkrechte Balken. Links sind jeweils 2k–1 Balken der Größe des Gliedes a2k dunkel markiert; sie werden von der Reihe vollständig überdeckt. Rechts sind 2k Balken der Größe des Gliedes a2k dunkel markiert. Sie überdecken alle Glieder der Reihe mit Ausnahme des ersten Gliedes a1.

(20.10) Reihenverdichtung: Sei (an) eine monoton fallende Nullfolge.

∞

∑ an

konvergiert

n =1

genau dann, wenn

∞

∑ 2k a2

k

konvergiert.

k =1

Beweis. (20.6) und (20.7) sind trivial, (20.8) und (20.9) wurden mit (20.5) bereits bewiesen, denn als Majorante lässt sich immer eine konvergente geometrische Reihe finden. Zu (20.10): Da eine monoton fallende Folge (an) vorausgesetzt wurde, ist a2k nicht größer als irgendein vorhergehendes und nicht kleiner als irgendein darauf folgendes Glied. Teilt man die Reihe geschickt auf (s. Abb. 20.1), so ergeben sich die Ungleichungen: a1 + (a2) + (a3 + a4) + (a5 + a6 + a7 + a8) + … ≥ a1 + 1ÿa2 + 2ÿa4 + 4ÿa8 + … = a1 +

∞

∑ 2k −1 a2 k =1

a1 + (a2 + a3) + (a4 + a5 + a6 + a7) + (a8 + … ≤ a1 + 2ÿa2 + 4ÿa4 + 8ÿa8 + … = a1 +

∞

∑ 2k a2 k =1

Mit ∞

∑ 2k −1 a2 k =1

k

=

1 ∞ k ∑ 2 a2k 2 k =1

folgt

a1 +

1 ∞ k ∑ 2 a2k § 2 k =1

∞

∞

n =1

k =1

∑ an § a1 + ∑ 2k a2

k

.

k

k

196

VI Infinitesimalrechnung

Konvergiert die rechte Reihe, so konvergiert auch die linke, da sie sich nur um den Faktor 1/2 von der rechten unterscheidet (das endliche Glied a1 spielt für das Konvergenzverhalten keine Rolle). Da der Wert der mittleren Reihe aber größer als der Wert der linken und kleiner als der Wert der rechten ist, muss er endlich sein. Umkehrschluss: Konvergiert die mittlere É Reihe, so konvergiert notwendig auch die linke (Minorante) und damit auch die rechte. Reihenverdichtung ist ein äußerst nützliches Konvergenzkriterium, das in vielen Fällen zum Ziele führt, in denen andere Kriterien versagen, z. B. bei der harmonischen Reihe, die weder mit dem Wurzelkriterium noch mit dem Quotientenkriterium behandelt werden kann, da sich a wegen lim n an = 1 und lim n +1 = 1 kein q < 1 finden lässt, aber für n œ Ù gilt n an < 1 n →∞ n →∞ an a und n +1 < 1, so dass das Konvergenzverhalten ungewiss bleibt. Die Reihenverdichtung an zeigt aber, dass

∞

1

∑n

nicht konvergiert, weil

n =1

∞

1

∑ 2k 2k k =1

=

∞

∑1 nicht konvergiert. k =1

Satz (Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen): Sei (an) eine monoton fallende Nullfolge. ∞

∑ (−1)n+1 an .

Dann konvergiert

n =1

2m

Beweis. Die Notwendigkeit der Bedingung ist klar. Sei nun m œ Ù, dann ist ∑ (−1) n +1 an § s n =1

§

2 m +1

2 m +1

2m

n =1

n =1

n =1

∑ (−1)n +1 an . Also liegt s in einem Intervall der Größe ∑ (−1)n+1 an – ∑ (−1)n+1 an = a2m+1

und diese geht gegen Null für n → ¶.

Definition.

∞

∑ an

heißt absolut konvergent, wenn

n =1

É ∞

∑ | an | konvergiert. n =1

Satz Eine absolut konvergente Reihe lässt sich beliebig umordnen, ohne den Grenzwert zu ändern. Eine nicht absolut konvergente Reihe besitzt eine divergente Umordnung. Beispiel: Nach dem Leibniz-Kriterium ist die alternierende harmonische Reihe ∞

1

1

1

1

∑ (−1)n+1 n = 1 − 2 + 3 − 4 + − … n =1

konvergent. Die Konvergenz ist nicht besonders stark; man benötigt viele Glieder für eine genauere Berechnung ihres Wertes s = ln2 (s. Aufgabe 27.8), aber die ersten vier Glieder 7 5 liefern bereits die Abschätzung < s < . Wir ordnen die Reihe nun folgendermaßen um: 12 6 ⎛ 1 1⎞ ⎛1 1 1⎞ ⎛1 1 1⎞ ⎛ 1 1 1⎞ ⎜1 + − ⎟ + ⎜ + − ⎟ + ⎜ + − ⎟ + ⎜ + − ⎟ + … ⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 5 7 4 ⎠ ⎝ 9 11 6 ⎠ ⎝ 13 15 8 ⎠

20 Reihen

197

Alle negativen Glieder erscheinen, wenn auch etwas später. Der Wert der ersten Klammer ist 5/6 und der Wert der zweiten Klammer 13/140. Keine Klammer kann negativ werden, da in jedem Falle der kleinere positive Summand größer als die Hälfte des negativen ist. Damit hat sich der Grenzwert geändert: s > 5/6. Man kann diese Reihe auch so umordnen, dass immer erst dann ein negatives Glied (–1/k) eingeschaltet wird, wenn die Summe der direkt davor stehenden positiven Glieder größer als 2/k ist. Da unendlich viele positive und negative Glieder vorhanden sind, divergiert die so gebildete Reihe. Definition. Eine Reihe konvergiert unbedingt, wenn jede Umordnung gegen denselben Grenzwert konvergiert. ∞

∞

n =1

n =1

∑ an konvergiert absolut ‹ ∑ an

Satz

konvergiert unbedingt.

Übungen 20.1 Man untersuche das Konvergenzverhalten folgender Reihen:

a)

∞

1

∑ (−1)n + 2 n n =1

b)

∞

1

∑ 2n n =1 ∞

c)

n2

∑ 2n n =1

d)

∞

∑ n =1

e)

∞

2n n!

1

∑ n + n2 n =1 ∞

f)

n2 ∑ 1 + n3 n =1

g)

∑ ln 2n

∞

1

n =1

[Hinweis: Für ln2n beachte man Abschn. 24.1, insbesondere (24.9).] 20.2 Für welche Zahlen q konvergiert die Reihe

∞

∑ q n−1 ? n =1 ∞

20.3 Für welche Zahlen q konvergiert die Reihe

qn

∑ n! ? n =1

198

VI Infinitesimalrechnung

20.4 Man bestimme eine konvergente Majorante für ∞

a)

1

∑ n + n 2 + n3 n =1

b)

∞

1

∑ 3n2 + ln 3n

.

n =1

[Hinweis: Für ln3n beachte man Abschn. 24.1, insbesondere (24.9).] [Anmerkung: Selbstverständlich kann man auch

∞

2

∑ an

als konvergente Majorante angeben,

n =1

∞

wenn man weiß, dass

1

∑ an

konvergiert.]

n =1

20.5 Man stelle 0,123123123… als Bruch dar. [Hinweis: Umformung mit Hilfe der geometrischen Reihe.] 20.6 97 ist als Summe einer geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied 1 darzustellen. 20.7 In einen Würfel von 1 m Kantenlänge ist eine Kugel einbeschrieben, in diese wieder ein Würfel, in diesen eine Kugel usw. Wie groß ist die Oberfläche aller Würfel? [Hinweis: Der Durchmesser der Kugel im Würfel n ist die Raumdiagonale des Würfels n + 1.]

21

Stetige Funktionen

Die Definition einer Funktion als einer Abbildung zwischen Zahlenmengen wurde bereits in Abschn. 3.1 gegeben. Demnach gehören auch Folgen und Reihen zu den Funktionen. Da ihr Definitionsbereich nur aus den Indizes 0, 1, 2, 3, … besteht, werden sie zuweilen auch als Indexfunktionen bezeichnet. Wir wollen in diesem Abschnitt reelle Funktionen betrachten; Definitionsbereich und Wertebereich sind Untermengen der reellen Zahlen. Von besonderem Interesse sind stetige Funktionen. Eine Funktion ist dann stetig, wenn man ihren Graphen ohne abzusetzen zeichnen kann. Das zeichnerische Prüfverfahren scheitert allerdings in manchen Fällen, z. B. bei schnell oszillierenden Funktionen. Zur formalen Prüfung der Stetigkeit gibt es zwei äquivalente Definitionen, die Epsilon-Delta-Definition und die Folgen-Definition. Definition. Die Funktion f (x) ist genau dann stetig in x0 œ D, wenn es zu jeder Zahl ε > 0 eine Zahl δ > 0 gibt, so dass für alle x œ — mit 0 < |x – x0| < δ gilt | f (x) – f (x0)| < ε. Anmerkung: Eine heute weit verbreitete Definition fordert nur, dass für alle x œ D (nicht —) mit |x – x0| < δ gilt | f (x) – f (x0)| < ε. Damit sind auch Indexfunktionen stetig, was jedoch dem Grundgedanken der Stetigkeit reeller Funktionen zuwiderläuft. Definition. Die Funktion f (x) ist genau dann stetig in x0 œ D, wenn für jede Folge (xn) mit xn ∫ x0 und Grenzwert x0 gilt: lim f (xn) = f (x0). Da dies für jede Folge gelten muss, kann n →∞

man auch lim f (x) = f (x0) schreiben. Gilt dies nicht für jede Folge oder existiert keine Folx → x0

ge (xn) mit xn ∫ x0 und Grenzwert x0, so ist die Funktion nicht stetig an der Stelle x0. Definition. Die Funktion f (x) ist nicht stetig an der Stelle x0 œ D, wenn es eine Zahl ε > 0 gibt, so dass zu jeder Zahl δ > 0 ein x œ — existiert mit 0 < |x – x0| < δ und | f (x) – f (x0)| e ε. Hinweis: Die Bedingung | f (x) – f (x0)| e ε bedeutet nicht allein | f (x) – f (x0)| ¥ ε, sondern schließt auch den Fall ein, dass f (x) nicht definiert ist.

f(x)

f(x)

2ε

2ε

2δ Abb. 21.1:

x a

x0 2δ

x b

(a) stetige Funktion, (b) in x0 unstetige Funktion.

200

VI Infinitesimalrechnung

Ist eine Funktion an der Stelle x0 nicht erklärt, also x0 – D, so ist sie dort auch nicht stetig, z. B. f (x) = x/x ist unstetig an der Stelle x0 = 0. Definition. Die Funktion f (x) heißt stetig im Intervall B Œ D, wenn f (x) an jeder Stelle x œ B stetig ist. Beispiel: Jedes reelle Polynom ist überall stetig. Satz (Zwischenwertsatz von Bolzano) Sei f (x) stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] Œ D und sei f (a) ≤ y ≤ f (b). Dann gibt es eine Stelle x0 œ [a, b] mit f (x0) = y. Wenn f (a) und f (b) verschiedene Vorzeichen besitzen, so liegt im Intervall mindestens eine Nullstelle. Nicht jede stetige Funktion ist beschränkt, wie f (x) = x mit D = (–¶, ¶) oder f (x) = 1/x mit D = (0, 1) zeigen. Aber wenn f (x) an der Stelle x0 stetig ist, dann gibt es eine Umgebung U = (x0 – ε, x0 + ε) von x0 mit ε > 0, so dass f (U … D) beschränkt ist.

Definition. Die Funktion f (x) heißt gleichmäßig stetig auf dem Intervall B Œ D, wenn es zu jeder Zahl ε > 0 eine Zahl δ > 0 gibt, so dass für alle x, y œ B mit |x – y| < δ gilt | f (x) – f (y)| < ε. δ(ε) ist dabei für das gesamte Intervall B dasselbe, unabhängig von der speziellen Wahl von x und y. Jede auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion ist dort gleichmäßig stetig. Beispiele für gleichmäßig stetige Funktionen auf — sind die konstante Funktion f (x) = c und die lineare Funktion f (x) = mÿx + c sowie der Absolutbetrag f (x) = |x|. Polynome zweiten und höheren Grades sind auf — zwar stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. Die lineare Funktion f (x) = x ist auf — gleichmäßig stetig. Wählen wir einfach δ = ε, so folgt aus |x – y| < δ, dass auch | f (x) – f (y)| = |x – y| < δ = ε. Die Hyperbel-Funktion f (x) = 1/x ist im Intervall (0, ¶) nicht gleichmäßig stetig. Um | f (x) – f (y)| = |1/x – 1/y| = |(x – y)/(xÿy)| < ε sicherzustellen, muss |x – y| < εÿxÿy gelten. δ § εÿxÿy hängt also nicht allein von ε ab, sondern auch von den Argumenten x und y, die beliebig klein werden können, so dass δ sehr klein werden muss. Auch die Parabel-Funktion f (x) = x2 ist auf — nicht gleichmäßig stetig. | f (x) – f (y)| = |x2 – y2| = |(x – y)ÿ(x + y)| < ε gilt nur, falls |x – y| < δ § ε/|x + y|. Übungen 21.1 Man prüfe mit der ε,δ-Definition die Stetigkeit der folgenden Funktionen auf —: a) f (x) = x + 2 b) f (x) = |x| c) f (x) = x3 21.2 Man zeige die Stetigkeit der Funktion f (x) = ◊x im Intervall (0, ¶). Wie ist δ zu wählen? [Hinweis: |◊x – ◊x0| = |(x – x0)/(◊x + ◊x0)|] 21.3 Man zeige die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion f (x) = x–1 im Intervall [1, 10]. Wie ist δ zu wählen? [Hinweis: |1/x – 1/x0| = |(x – x0)/xÿx0|] 21.4 Man zeige die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion f (x) = x2 im Intervall [0, 10] mit Hilfe eines nur von ε abhängenden δ.

22

Funktionenfolgen und Funktionenreihen

Die Glieder einer Folge oder einer Reihe können auch Funktionen sein. Definition. Sei D Œ — und n0 œ Ù fest. Für jedes n ≥ n0 sei fn: D → — gegeben. Dann heißt ( fn) eine Funktionenfolge. ⎛ n ⎞ Definition. Die Funktionenfolge ⎜⎜ ∑ f k ⎟⎟ heißt Funktionenreihe und ⎝ k = n0 ⎠ oder Summe der Reihe.

∞

∑

f k heißt Wert

k = n0

Definition. Sei ( fn) eine Funktionenfolge und B Œ D. Die Funktionenfolge heißt konvergent im gewöhnlichen Sinne oder punktweise konvergent auf B, wenn eine Funktion f: B → — existiert, so dass für alle x œ B gilt f (x) = lim f n ( x) . f heißt Grenzfunktion und ist eindeutig n →∞

bestimmt. Definition. Die Funktionenfolge mit der Grenzfunktion f: B → — heißt gleichmäßig konvergent auf B, wenn zu jedem ε > 0 ein nε ≥ n0 existiert, so dass für n ≥ nε und alle x œ B gilt | fn(x) – f (x)| < ε. Die zweite Definition ist wesentlich schärfer als die erste, denn sie besagt, dass von einem gewissen nε an die Funktionen fn(x) an keinem Punkt x des Intervalls stärker als um ±ε von f (x) abweichen. Ist eine Funktionenfolge gleichmäßig konvergent, so ist sie auch punktweise konvergent. Sind die Funktionen fn stetig und gleichmäßig konvergent, so ist auch die Grenzfunktion f stetig. Sind die Funktionen dagegen nur punktweise konvergent, so kann die Grenzfunktion unstetig sein. Definition. ( fn) ist nicht gleichmäßig konvergent, wenn es ein ε > 0 und ein x œ B gibt, so dass zu jedem nε ein n ≥ nε existiert mit | fn(x) – f (x)| ≥ ε.

ε ε f(x) x Abb. 22.1:

Grenzfunktion mit Epsilon-Umgebung.

202

VI Infinitesimalrechnung

f(x)

1

0 0

1/2n

Abb. 22.2:

1/n

1

x

Beispiel einer nicht gleichmäßig konvergenten, stetigen Funktion mit stetiger Grenzfunktion.

Beispiel: fn(x) = xn. Die Funktionen der Folge sind offenbar stetig und konvergieren auf dem Intervall B = [0, 1] punktweise gegen die unstetige Grenzfunktion ⎧0 für 0 ≤ x < 1 . f (x) = ⎨ ⎩ 1 für x = 1 Es gibt ein ε > 0 und ein x œ B, so dass für n ≥ nε gilt | fn(x) – f (x)| ≥ ε. Man wähle ε = 1/2 und die Stelle x =

n

3 / 4 < 1. Dort ist fn(x) = 3/4 und f (x) = 0, also | fn(x) – f (x)| = 3/4 ≥ 1/2.

Im Intervall [0, a] mit 0 < a < 1 herrscht aber gleichmäßige Konvergenz, da

n

x
0 und n so groß, dass 1/n < x. Dann ist fn(x) = 0. Für alle x > 0 strebt also fn(x) gegen Null. Für x = 0 und alle n ist fn(x) = 0 (s. Abb. 22.2). Die Grenzfunktion ist also auf dem gesamten Intervall [0, 1] f (x) = 0 und damit stetig. Für den Beweis der nicht gleichmäßigen Konvergenz wähle man ε = 1/2, n = nε und x = 1/2nε. Dann ist fn(x) = 1 und | fn(x) – f (x)| = 1 ≥ 1/2. xk für x œ —. Diese Funktionenreihe konvergiert auf dem Intervall [–a, a] k =0 k ! n

Beispiel: fn(x) = ∑

mit a œ — gleichmäßig gegen f (x) =

∞

k =0 ∞

xk

∞

xk ≤ k = n +1 k !

∑ k ! , denn | f (x) – fn(x)| = ∑

∞

| x |k ≤ k = n +1 k !

∑

k

a und das ist der Rest einer konvergenten Reihe, der beliebig klein wird. k = n +1 k !

∑

Die Definition der gleichmäßigen Konvergenz kann auch mit dem Cauchy-Kriterium erfolgen: Satz Die Funktionenfolge fn(x) konvergiert gleichmäßig auf B Œ D, wenn zu jedem ε > 0 ein n0 existiert, so dass für alle m, n ≥ n0 und für alle x œ B gilt | fn(x) – fm(x)| < ε.

22 Funktionenfolgen und Funktionenreihen

203

Das Weierstraßsche Majorantenkriterium vereinfacht den Beweis der gleichmäßigen Konvergenz: ∞

∑

Satz

f k ist auf B Œ D gleichmäßig konvergent, wenn es eine konvergente Reihe

k = n0

∞

∑ an

n = n0

gibt, so dass | fn(x)| ≤ |an| für alle x œ B. Beispiel: Die Reihe und

∞

1

∑ k2

∞

1 sin(kx) sin(kx) konvergiert gleichmäßig für alle x œ —, denn ≤ 2 2 2 k k k k =1

∑

konvergiert.

k =1

Fast alle Funktionen einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge weichen also im gesamten Definitionsbereich nur um ein beliebig kleines ε von der Grenzfunktion ab. Daher muss die Grenzfunktion dieselben Stetigkeitseigenschaften wie die Funktionen der Folge besitzen. Damit ergibt sich der Satz: Satz Ist fn(x) gleichmäßig konvergent und sind die fn stetig, so ist auch die Grenzfunktion f stetig. Dann sind die Grenzprozesse vertauschbar: Die Funktion der Grenzwerte ist der Grenzwert der Funktionenfolge lim lim fn(x) = lim f (x) = f (x0) = lim fn(x0) = lim lim fn(x) .

x → x0

x → x0

n→∞

n→∞

n→∞

x → x0

(22.1)

Dann ist der Grenzübergang mit der Summenbildung vertauschbar lim

x → x0

∞

∑

f n ( x) =

∞

fn(x) ∑ xlim →x

n = n0

n = n0

(22.2)

0

und für differenzierbare Funktionen (s. Abschn. 23) gilt d ∞ ∑ f n ( x) = dx n = n0

∞

d

∑ dx fn(x) .

(22.3)

n = n0

Definition. ρ heißt Konvergenzradius einer Potenzreihe

∞

∑ an x n , wenn die Reihe für alle x

n = n0

mit –ρ < x < ρ konvergiert. Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Potenzreihe mit den Gliedern anxn, wenn an +1 x n +1 < 1 für ∀ n > n0 oder für n → ¶. Wegen |x| < ρ, ergibt sich daraus sofort der Konan x n vergenzradius ρ = lim

n→∞

an . an +1

(22.4)

204

VI Infinitesimalrechnung ∞

Beispiel: Der Konvergenzradius der Reihe

∑ xn

ist ρ = 1, denn die geometrische Reihe kon-

n=0

∞

xn ∑ nk mit n =1 beliebigem aber festem k. Für |x| < 1 ist die geometrische Reihe Majorante. Für |x| > 1 diver−1 1 giert die Reihe nach dem Quotientenkriterium, denn für n ≥ n0 > k | x | − 1 ist < k | x | − 1 n k k 1 n +1 1 ⎛ n +1⎞ ⎛ n ⎞ fl 1 + < k |x| fl < k |x| fl ⎜ , und es folgt ⎟ < |x| fl ⎜ ⎟ > n n n n + 1 x| | ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

vergiert für |x| < 1 gegen (1 – x)–1. Denselben Konvergenzradius besitzt die Reihe

(

)

k

| x |n +1 | x |n ⎛ n ⎞ = |x| ⎜ ⎟ > 1. Die Reihenglieder wachsen also ab n0 beständig an, und die k k (n + 1) n ⎝ n +1⎠ Reihe – ob alternierend oder nicht – kann nicht konvergieren. Für x = 1 hängt das Konvergenzverhalten von der Größe von k ab: Für k = 1 ergibt sich die divergente harmonische Reihe, für k ≥ 2 liegt Konvergenz vor. Für x = –1 konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium.

Satz Ist die Potenzreihe

∞

∑ an x n konvergent, so konvergiert auch die Reihe

n=0

∞

∑ nr an y n

mit

n =1

r œ — und |y| < |x|. (n + 1) r an +1 y n +1 (n + 1) r a y 1 = ÿ n +1 < 1 + r n r n an n an y n

Beweis.

r

ÿ

an +1 x . an

Für n → ¶ strebt der linke Faktor gegen 1 und der rechte nach Voraussetzung gegen q < 1. É Satz Sei

∞

∑ an ( x − x0 )n

n=0

=

∞

∑ bn ( x − x0 )n

für x œ (x0 – ρ, x0 + ρ), dann gilt an = bn. (Identi-

n=0

tätssatz für Potenzreihen) Übungen ∞

22.1 Welchen Konvergenzradius besitzt die Reihe

⎛1

⎞

∑ (−1)n ⎜⎝ 2 + x ⎟⎠

n

?

n=0

[Hinweis: Man substituiere x + 1/2 := y.] 22.2 Man zeige, dass folgende Reihen (vgl. Kap. VII) den Konvergenzradius ρ = ¶ besitzen: ∞

xn n =0 n !

a) e x = ∑

∞

b) cos x = ∑ (−1) n n =0

x2n (2n)!

∞

c) sin x = ∑ (−1) n

[Hinweis: Man setze x2n = (x2)n := (y)n und zerlege

n =0

2 n +1

x 2 n +1 (2n + 1)!

x x x2n in , worin der erste (2n + 1)! 2n + 1 (2n)!

Faktor für n → ¶ verschwindet, also gewiss kleiner als 1 ist.]

VII Differentialrechnung

23

Der Differentialquotient

Die Differentialrechnung dient zur Ermittlung der Steigung von Tangenten an Kurven. Tangenten können aber nur angelegt werden, wenn der Definitionsbereich der die Kurven erzeugenden Funktionen nicht zu willkürlich ist, z. B. wie bei einer Folge nur aus isolierten Punkten besteht. Daher soll im Folgenden die Einschränkung gelten: Definition. Eine Teilmenge D Œ — heißt zulässig als Definitionsbereich, wenn jeder Punkt x œ D Häufungspunkt ist, d. h. unendlich viele Punkte aus D in jeder Umgebung von x liegen.

f(x)

df (x ) dx 0

f(x 1) f(x 2) f(x 3) f(x0)

x0

x3

x2

x1

x

Abb. 23.1: Strebt die Folge (xn) = x1, x2, x3, … gegen x0, so strebt die Folge der Differenzenquotienten (Steigung der Sekanten) gegen den Differentialquotienten (Steigung der Tangente an der Stelle x0).

Definition. Die Funktion f (x) heißt an der Stelle x0 differenzierbar, wenn der Grenzwert der Folge der Differenzenquotienten eindeutig, d. h. für jede Folge (xn) → x0, existiert. Da der Grenzwert von der Wahl der speziellen Folge unabhängig ist, schreiben wir kurz lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 ) df := ( x0 ) ≡ f '( x0 ) . dx x − x0

(23.1)

Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von f an der Stelle x0. Die Bezeichnung df/dx stammt von Leibniz, die Bezeichnung f ' (eigentlich ein f mit einem Punkt darüber) von Newton. Satz Ist f an der Stelle x0 differenzierbar, so ist f dort stetig. fl Ist f an der Stelle x0 nicht stetig, so ist f dort nicht differenzierbar.

208

VII Differentialrechnung

Stetigkeit ist also eine notwendige, aber nicht hinreichende Voraussetzung für die Differenzierbarkeit. Ein Beispiel für eine überall stetige, aber nicht überall differenzierbare Funktion ist der Absolutbetrag f (x) = |x|. Für x0 > 0 ist df /dx = 1, für x0 < 0 ist df /dx = (–1), für x0 = 0 existiert kein Differentialquotient. Um dies zu sehen, wählen wir für den Grenzübergang x → 0 die Folge xn = (–1)n/n, die zweifellos den Grenzwert x0 = 0 besitzt. Dort gilt aber für die Folge der Differenzenquotienten ⎛ (−1) n ⎞ (−1)n (−1) n − f ( x0 ) −0 f⎜ ⎟ ⎜ n ⎟ n n 1 ⎠ = = = fl (an) = –1, 1, –1, 1, … an = ⎝ n n n (−1) (−1) (−1) (−1) n − x0 −0 n n n

Sie besitzt also keinen Grenzwert. Wenn wir Funktionen betrachten, die in ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar sind, brauchen wir uns nicht auf einen speziellen Punkt x0 zu beschränken, sondern können Regeln aufstellen, die für alle x œ D gelten. Wir können dann den Differentialquotienten an jeder beliebigen Stelle x bilden. Ersetzen wir x durch x0 + Δx und lassen anschließend den Index 0 weg, so erhält (23.1) die für viele Zwecke übersichtlichere Form lim

Δx → 0

f ( x + Δx) − f ( x) df := ( x) ≡ f '( x) . Δx dx

(23.2)

Ist die Ableitung f '(x) einer differenzierbaren Funktion f (x) wieder eine differenzierbare Funktion, so kann die zweite Ableitung d d d d 2 f ( x) f '( x) = f ( x) = ≡ f ''( x) dx dx dx dx 2

(23.3)

gebildet werden. Ist diese wieder differenzierbar, so kann die dritte Ableitung f ''' gebildet werden usw. Höhere als dritte Ableitungen werden nicht durch Striche sondern durch in Klammern gesetzte Exponenten angegeben: f (4), f (5), … Es ist aber stets zu untersuchen, ob die bearbeitete Funktion auch differenzierbar ist. Die mehrfache Anwendung des Differentialn

d ⎛ d ⎞ bezeichnet man in exponentieller Schreibweise durch ⎜ ⎟ . Gewöhnlich dx ⎝ dx ⎠ wird der Exponent aber am oberen und am unteren Teil angebracht, und zwar so, wie aus (23.3) ersichtlich – also im Zähler vor dem Funktionssymbol.

operators

23.1

Ableitungen einfacher Funktionen

Für die lineare Funktion f (x) = mÿx + c mit D = — ist die Ableitung gleich der konstanten Steigung m lim

Δx → 0

[m( x + Δx) + c] − [mx + c ] mΔ x = lim =m . Δ x → 0 Δx Δx

23 Der Differentialquotient

209

Daran erkennen wir drei Regeln, die sofort aus der Definition des Differentialquotienten (23.1) bzw. (23.2) folgen: Die Ableitung der konstanten Funktion f (x) = c verschwindet c' = 0 .

(23.4)

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist die Summe der beiden Ableitungen ( f + g)' = f ' + g ' .

(23.5)

Eine additive Konstante entfällt also bei der Differentiation ersatzlos. Eine multiplikative Konstante m bleibt dagegen bei der Differentiation unverändert ( fÿm)' = f 'ÿm .

(23.6)

Die Ableitung der Funktion f (x) = x2 mit D = — ist d 2 ( x + Δx ) 2 − x 2 x 2 + 2 x Δx + ( Δ x ) 2 − x 2 x = lim = lim = 2x . Δx → 0 Δx → 0 dx Δx Δx

Die Ableitung der Funktion f (x) = xn mit D = — und n œ Ù erhalten wir ebenfalls mit Hilfe der binomischen Formel

d n ( x + Δx ) n − x n nx n −1Δx + R(Δx) 2 x = lim = lim = nx n −1 Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx dx

(23.7)

denn der Rest R(Δx)2 enthält den Faktor Δx mindestens in der zweiten Potenz, so dass er beim Grenzübergang verschwindet. Wie man aus folgendem Beispiel ersieht, sind Polynome unendlich oft differenzierbar: f (x) = x3 f '(x) = 3x2 f ''(x) = 6x f '''(x) = 6

f (4)(x) = 0 f (5)(x) = 0 usw.

Dagegen ist die zweite Ableitung f ''(x) = 6|x| der Funktion f (x) = |x|3 zwar überall stetig, aber an der Stelle 0 nicht differenzierbar. Mit (23.7) erhalten wir für alle Polynome und sogar für Potenzreihen (die obere Summationsgrenze ist dann ¶) d dx

n

n

k =0

k =1

∑ ak xk = ∑ ak kx k −1 .

(23.8)

Zu beachten ist, dass die untere Summationsgrenze von 0 auf 1 gesetzt werden muss (denn die Ableitung von x0 ist 0 und nicht 0ÿx–1, weil das für x = 0 einen unbestimmten Ausdruck ergäbe). Wie später noch gezeigt wird (s. Abschn. 27.1), lässt sich der binomische Satz verallgemeinern, so dass wir nicht nur für natürliche Zahlen k, sondern für alle reellen Zahlen r außer Null erhalten d r x = rÿxr–1 dx

für r œ — \ { 0 } .

(23.9)

210

VII Differentialrechnung

Zum Beispiel besitzt die Funktion f (x) = x–1 auf ihrem gesamten Definitionsbereich D = — \ { 0 } die Ableitung f '(x) = –x–2 x − ( x + Δx ) 1 1 − d 1 −Δx 1 ( x + Δx ) x = lim x + Δx x = lim = lim =− 2 . Δx → 0 Δx → 0 ( x + Δ x ) x ⋅ Δ x dx x Δx →0 Δx Δx x

23.2

Ableitungsregeln

Satz (Kettenregel) Seien g(y) in y0 und f (x) in x0 differenzierbare Funktionen mit y = f (x), dann gilt

dg df dg (x0) = (y0) (x0) . dx dx dy dg g ( y ) − g ( y0 ) g ( y ) − g ( y0 ) y − y0 = lim ⋅ (x0) = lim . x → x0 x → x0 dx x − x0 y − y0 x − x0

Beweis.

Da f (x) = y in x0 differenzierbar ist, ist f dort auch stetig und es gilt lim y = lim f (x) = f ( lim x) = f (x0) = y0 = lim y

x → x0

x → x0

x → x0

y → y0

d. h. y → y0 für x → x0. Man erhält das Produkt der Limites dg df g ( y ) − g ( y0 ) f ( x) − f ( x0 ) dg ⋅ lim (x0) = lim = (y0) ÿ (x0) y → y x → x 0 0 dx dx y − y0 x − x0 dy

oder kurz dg dg dy = ÿ dx dy dx

(23.10)

wie es vom Grenzwert einer Folge von Brüchen zu erwarten ist. É Bemerkung: In Fällen wie diesem ist die Leibnizsche Notation der Newtonschen vorzuziehen. Satz Sei f (x) = y auf D streng monoton und differenzierbar. Dann existiert die Umkehrfunktion f –1(y) = x und es gilt dy dx ⋅ =1 . dx dy

(23.11)

Beweis. Der Beweis folgt abermals aus der Tatsache, dass der Differentialquotient Grenzwert einer Folge ist, für welche die Regeln der Bruchrechnung ohne Einschränkung gelten 1 df (x ) d f (x ) = −1 = . Man kann auch von (23.10) ausgehen, wobei dg/dx = 1, da dx df (f (x )) df −1 (y ) dy –1 g = f ( f (x)) = x . É

23 Der Differentialquotient

211

Satz (Produktregel) Seien f (x) und g(x) auf D differenzierbar, dann gilt

d ( f ÿg) = f 'ÿg + f ÿg ' . dx Beweis.

(23.12)

d(f ⋅ g ) f ( x ) g ( x) − f ( x0 ) g ( x0 ) (x0) = lim x → x0 dx x − x0 f ( x ) g ( x) − f ( x) g ( x0 ) + f ( x ) g ( x0 ) − f ( x0 ) g ( x0 ) = lim x → x0 x − x0 g ( x) − g ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) . = lim f ( x ) lim + g ( x0 ) lim x → x0 x → x0 x → x0 x − x0 x − x0

É

(23.7) ergibt sich auch durch wiederholte Anwendung von (23.12): d 2 x = (xÿx)' = 1ÿx + xÿ1 = 2x dx

d 3 x = (x2ÿx)' = 2ÿxÿx + x2ÿ1 = 3ÿx2 dx

usw.

Der Beweis durch vollständige Induktion benutzt x' = 1ÿx0 und den Schritt d n+1 x = (xnÿx)' = nÿxn–1ÿx + xnÿ1 = (n + 1)ÿxn . dx Satz (Quotientenregel) Seien f (x) und g(x) auf D differenzierbar, wobei auf dem gesamten Definitionsbereich g(x) ≠ 0 gelten soll, dann gilt d f f ' g − fg ' = . dx g g2

Beweis. Die Produktregel liefert

(23.13) ⎛ 1 ⎞' d ⎛ 1⎞ 1 ⎜ f ⋅ ⎟ = f 'ÿ + f ÿ ⎜ ⎟ . Mit der Kettenregel folgt für den dx ⎝ g ⎠ g ⎝g⎠

1 d 1 −1 g dg zweiten Term = = 2 ⋅ g ' . Erweitern des ersten Terms mit g liefert (23.13). É ⋅ dx g dg dx g d

Satz (Mittelwertsatz) Sei f : [a, b] → — auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar und auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig. Dann gibt es ein x0 œ (a, b) mit

f (b) − f (a) = f '(x0) . b−a

(23.14)

Dies ist eine Folge des Zwischenwertsatzes (S. 200) für die stetige Ableitung f ' der differenzierbaren Funktion f. Verallgemeinerung: Seien f und g auf [a, b] differenzierbar und g' ≠ 0 für x œ D. Dann gibt es ein x0 œ (a, b) mit f (b) − f (a) f '( x0 ) = . g (b) − g (a) g '( x0 )

212

VII Differentialrechnung

f(x)

df (x ) dx 0 f(b)

f(a)

a

x0

b

x

Abb. 23.2: Zum Mittelwertsatz. Die Tangente muss an mindestens einer Stelle zwischen a und b parallel zur Sekante verlaufen, wenn die Funktion f dort überall differenzierbar ist (also keine Ecken oder Lücken hat).

Satz (l’Hospitalsche Regel) Seien f und g auf dem abgeschlossenen Intervall B differenzierbar, sei g ' ≠ 0 für x œ B und a ein Endpunkt von B. Ist lim f ( x) = lim g ( x) = 0 ( x∈B ) → a

und existiert lim

lim

( x∈B ) → a

( x∈B ) → a

( x∈B ) → a

f '( x) , dann ist g '( x)

f ( x) f '( x) = lim . g ( x) ( x∈B ) → a g '( x)

Übungen 23.1 Man berechne die ersten und zweiten Ableitungen der Funktionen ◊x, 3◊x, x3,14, 3x + 3, (7x + 2)ÿ(3x3 – 2x6/7), (x2 – 3x)/(x – 1), (x + 7)/(x – 3), (3x2 + 2)1/2, (3x2 + 2)–1/2, ((x3 + 2x2 + x + 2)–1 + 2x)–1, ◊◊x, ((x1/2)1/2)1/2, x1/2ÿx1/2

und gebe die Definitionsbereiche der Funktionen und ihrer Ableitungen an. 23.2 Man berechne mit Hilfe der Kettenregel

1 x , d(3x + 5) , ((x + f (x))2)', d ((x5 + 1)3 + 3x)4, df (x) , df (x) . d2 x d(2 x − 3) dx dg (x) d 1 x d

23.3 Man berechne mit Hilfe der Quotientenregel

d 3 x + 5 d 5 x + 5 d (f (x))3 . , , dx 2 x − 3 dx 2 x 2 + 3 dx 1 + g ( y )

(23.15)

23 Der Differentialquotient

213

23.4 Man berechne mit Hilfe der Produktregel:

d ( f ( x) g ( y ) + h( z )) dx [Hinweis: Funktionen, die nicht von x abhängen, ändern sich nicht bei Änderung von x.] a)

d ( f ( x) g ( x)h( x)) dx [Hinweis: fÿgÿh = (fÿg)ÿh.]

b)

c)

d n ∏ f k ( x) dx k =1

[Hinweis: Π ist eine Abkürzung für das Produkt aller Funktionen von f1 bis fn.] 23.5 Man berechne mit Hilfe der l’Hospitalschen Regel die Grenzwerte

( x − 3) 4 x2 − 1 x3 + x 2 − 2 ( x − 1)3 x −1 x2 − 1 , lim , lim 5 , lim , lim , , lim 3 3 x → ( −1) x + 1 x →1 x →1 x + x − 2 x →3 ( x − 3) x →1 x − 1 x →1 x − 1 x −1 lim

sin x sin 2 x − 1 , lim . [Hinweis: (sinx)' = cosx, (cosx)' = –sinx, s. Abschn. 25.] x →π / 2 cos x x →0 x

lim

23.6 An welcher Stelle läuft die Tangente der Kurve

2 x2 parallel zur Geraden 1 – 2x? x +1

23.7 An welcher Stelle läuft die Tangente der Kurve

−2 parallel zur Geraden 2 + x/3? x2

23.8 An welcher Stelle stimmen die Ableitungen von x2 und ◊x überein? 23.9 Bilden Sie die erste Ableitung:

3

3

3

∞

n=0

n=0

n=0

n=0

xn

∑ n2 x n , ∑ x2 x n , ∑ ( x2 + 2 )(1 − x 2n ) , ∑ n ! .

24

Die Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion ∞

x 0 x1 x 2 x3 xn = + + + +… 0! 1! 2! 3! n=0 n !

exp(x) = ∑

(24.1)

ist auf allen reellen Zahlen erklärt. Ihr Wertebereich ist (0, ¶). Bemerkung: Die Schreibweise expx ist ebenfalls erlaubt, aber etwas verwirrend, insbesondere, wenn nicht zwischen kursiven und normalen Buchstaben unterschieden wird, weil die Funktionsbezeichnung ebenfalls ein x enthält. Anstelle der von Newton stammenden Reihe (24.1) kann auch die Eulersche Formel für den Grenzwert einer Folge ⎛ x⎞ exp(x) = lim ⎜ 1 + ⎟ n →∞ ⎝ n⎠

n

(24.2)

zur Berechnung verwendet werden.

Beweis. Nach der binomischen Formel (S. 27) ist n

n x n(n − 1) x 2 n(n − 1)(n − 2) x3 ⎛ x⎞ + + +… ⎜1 + ⎟ = 1 + 1n 1⋅ 2 n2 1⋅ 2 ⋅ 3 n3 ⎝ n⎠

woraus (24.1) im Grenzfalle n → ¶ folgt. É Eine dritte Möglichkeit zur Definition der Exponentialfunktion ergibt sich mit Hilfe der Funktionalgleichung exp(x1 + x2) = exp(x1)ÿexp(x2).

(24.3)

Beweis. ∞

x1n ÿ n=0 n !

exp(x1)ÿexp(x2) = ∑

∞

xm

∑ m2!

m=0

Das Produkt dieser beiden unendlichen Reihen kann auf die übliche Art gebildet werden (alle Terme der zweiten Reihe mit dem ersten Term der ersten Reihe multiplizieren, dann mit dem zweiten Term der ersten Reihe usw.) oder aber nach dem Cauchyschen Diagonalverfahren:

VII Differentialrechnung

...

216

Abb. 24.1:

.. 0 1 23 4 5

...

5 4 3 2 1 0

Zum Cauchyschen Diagonalverfahren.

Anstelle der Indexkombinationen (0, 0), (0, 1), (0, 2), … (1, 0), (1, 1), (2, 1), … (2, 0), (2, 1), (2, 2), … … werden die Indexkombinationen (0, 0) (0, 1), (1, 0) (0, 2), (1, 1), (2, 0) summiert. Offensichtlich kommt auch auf die zweite Art jede Kombination genau einmal zustande. ∞

∞

xn

xm

∑ n1! ÿ ∑ m2!

n=0

m=0

=

∞

∑ ∑

k =0 n+ m =k

∞

x1n ⋅ x2m = n !⋅ m !

k

xn ⋅ xk −n

∑ ∑ n !⋅1(k −2 n)!

k =0 n=0

Der letzte Ausdruck kann mit k! erweitert werden. Da k in der zweiten Summe nicht als Summationsindex, sondern nur als Grenze, also als Konstante vorkommt, kann k! vor das letzte Summenzeichen geschrieben werden. Es ergibt sich dann mit (4.7), wobei dort die Buchstaben k und n vertauscht sind, was aber belanglos ist, ∞

1

k

k!

∞

1

k

⎛k ⎞

∞

1

∑ k ! ∑ n !⋅ (k − n)!x1n ⋅ x2k − n = ∑ k ! ∑ ⎜ n ⎟ x1n ⋅ x2k − n = ∑ k ! ( x1 + x2 )k

k =0

n =0

k =0

n =0 ⎝

⎠

k =0

also exp(x1 + x2). Damit ist (24.3) bewiesen. É Aus historischen Gründen schreibt man die Exponentialfunktion auch als ex mit der irrationalen, also nicht-periodischen Basis n

⎛ 1⎞ e = lim ⎜ 1 + ⎟ = 2,718281828… n →∞ ⎝ n⎠

24 Die Exponentialfunktion

217

exp(x) 2

1

-1 Abb. 24.2:

0

1

x

Graph der Exponentialfunktion.

so dass die Funktionalgleichung lautet ex1+x2 = ex1ÿex2 .

(24.3')

Satz exp(–x) = 1/exp(x) . Beweis. 1 = exp(0) = exp(x – x) = exp(x)ÿexp(–x) .

(24.4) É

Satz exp(x) ist streng monoton wachsend mit dem Wertebereich (0, ¶).

Beweis. Für x ≥ 0 gilt nach (24.1) exp(x) ≥ 1. Nach (24.3) ist für Δx > 0 und alle x œ — exp(x + Δx) = exp(x)ÿexp(Δx) > exp(x) . Und nach (24.4) ist exp(x) auch für negative Argumente positiv mit den Grenzwerten exp(x) → ¶ für x → ¶

und

exp(x) → 0 für x → –¶ .

É

xn =0. x →∞ exp( x )

Satz exp(x) wächst schneller als jedes Polynom von x: lim

xn x n +1 xn (n + 1)! > fl < → 0 für x → ¶ . n ! ( + 1)! x x n exp( ) n =0 ∞

Beweis. ex = ∑

Satz Die Ableitung der Exponentialfunktion exp(x) ist exp(x). Beweis.

exp'(x) =

d ∞ xn ∑ = dx n = 0 n !

nx n −1 = n =1 n ! ∞

∑

∞

x n −1

∞

xm

∑ (n − 1)! = ∑ m! n =1

É

(24.5)

= exp(x)

m =0

denn es ist ganz gleichgültig, mit welchem Buchstaben der laufende Index bezeichnet wird. É

218

VII Differentialrechnung

Satz Die Exponentialfunktion ist die einzige Funktion mit den Eigenschaften exp'(x) = exp(x) und exp(0) = 1. Beweis. Sei f (x) = f '(x). Dann ist d f ( x) f '( x ) ⋅ exp( x) − f ( x) ⋅ exp( x) f '( x) - f ( x) = = =0. dx exp( x) exp( x) (exp( x)) 2

Also ist

24.1

f ( x) konstant, f (x) = Cÿexp(x), f (0) = C. exp( x)

É

Der natürliche Logarithmus

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion heißt natürlicher Logarithmus oder logarithmus naturalis mit der Abkürzung ln. Man schreibt ln(x) oder kurz lnx. Der natürliche Logarithmus einer Zahl x ist der Exponent13, mit dem man die Zahl e potenzieren muss, um x zu erhalten. Wie sich aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion ergibt, ist lnx eine streng monoton wachsende Funktion mit dem Definitionsbereich (0, ¶) und dem Wertebereich —. Funktion und Umkehrfunktion erfüllen lnex = x = elnx

(24.6)

wobei die rechte Gleichung x > 0 erfordert. Im Definitionsbereich gelten die im Folgenden beschriebenen und bewiesenen Rechenregeln. Man vergleiche zum Beweis jeweils das in eckige Klammern gesetzte Argument der Exponentialfunktion links und rechts. Wegen der strengen Monotonie der Exponentialfunktion implizieren gleiche Funktionswerte gleiche Argumente. ln1 = 0 denn exp[ln1] = 1 = exp[0] . lne = 1 denn exp[lne] = e = exp[1] . ln(1/x) = –ln(x) denn exp[ln(1/x)] = 1/x = 1/explnx = exp[–lnx] . ln(x1ÿx2) = lnx1 + lnx2 denn exp[ln(x1ÿx2)] = x1ÿx2 = explnx1 ÿ explnx2 = exp[(lnx1 + lnx2)] . ln(xa) = aÿln(x) denn ln(xa) = ln(xÿxÿÿÿx) = lnx + lnx + … + lnx = aÿlnx .

(24.7) (24.8) (24.9)

(24.8) ist die Funktionalgleichung der Logarithmusfunktion; sie führt direkt auf (24.9) und diese mit negativem Exponenten auf (24.7). b b b Zur Bezeichnungsweise: ea := e(a ) ≠ (ea) ª eab denn ln((ea) ) = bÿln(ea) = bÿaÿln(e) = aÿb = (aÿb)ÿln(e) = ln(eab) b aber ln(e(a )) = abÿln(e) = ab ≠ aÿb, z. B. für a = b = 0 . b

13

Die Bezeichnung Logarithmus ist daher eigentlich überflüssig. Man hätte ebenso gut Exponent benutzen können.

24 Die Exponentialfunktion

219

ln(x)

2 0

2

4

6

8

10 x

-2 -4 -6 -8 Abb. 24.3:

Graph der Logarithmusfunktion.

ln x = 0. x →∞ x n

Satz ln(x) wächst langsamer als jede Potenz von x: lim

Beweis. Wegen der strengen Monotonie der Exponentialfunktion gilt x1 < x2 ‹ exp(x1) < exp(x2). Weil der Grenzwert 0 ist, kann dies ausgenutzt werden zur Umformung von ln x exp ln x x = lim = lim =0. É lim x →∞ x n x →∞ exp x n x →∞ exp x n Satz Die Ableitung der Logarithmusfunktion ist d ln x 1 = . x dx

(24.10)

Beweis. 1 d ln x 1 1 = = = . d exp ln x dx x exp ln x d ln x

24.2

É

Grenzwerte ex −1 =1 x →0 x

lim

(24.11)

folgt unmittelbar aus (24.1). Also gilt auch lim

x →0

x =1 . e −1 x

(24.11')

220

VII Differentialrechnung

Damit ergibt sich lim

x →1

denn

ln x =1 x −1

ln x ln x y und y → 0 für x → 1. = = y x − 1 exp(ln x) − 1 e − 1

Die Behauptung folgt mit (24.11'). É (24.2) lässt sich ebenfalls durch eine derartige Grenzwertbetrachtung gewinnen. Mit (24.11') ist y ⎞ ⎛ exp(x) = lim exp ⎜ x y ⎟ y →0 ⎝ e −1 ⎠ ⎛ ⎞ ln(1 + x / n) = lim exp ⎜ x ⎟ n →∞ ⎝ exp(ln(1 + x / n)) − 1 ⎠

da ln(1 + x/n) → 0 für n → ¶. Und mit (24.6) folgt ⎛ ln(1 + x / n) ⎞ exp(x) = lim exp ⎜ x ⎟ n →∞ x/n ⎝ ⎠ = lim exp(n ⋅ ln(1 + x / n)) n →∞

= lim exp ln(1 + x / n) n n →∞

= lim (1 + x / n) n .

É

n →∞

Auch lnx lässt sich als Grenzwert einer Folge schreiben ln x = lim n n →∞

(

n

)

x − 1 für x > 1 .

(24.12)

Abermals wird (24.11) angewandt lnx = lim ln( x) ⋅ y →0

e y −1 y

⎛ ln( x) ⎞ exp ⎜ ⎟ −1 n ⎠ ⎝ = lim ln( x ) ⋅ n →∞ ln( x ) n ⎛ ln( x )⎞ ⎞ ⎛ = lim n ⋅ ⎜ exp ⎜ ⎟ − 1⎟ n →∞ ⎝ n ⎠ ⎠ ⎝

(

)

= lim n ⋅ exp ln x1/ n − 1 . n →∞

É

24 Die Exponentialfunktion

24.3

221

Irrationalität der Basis der natürlichen Logarithmen

Satz e ist eine irrationale Zahl. p mit natürlichen Zahlen p und q. Da e nicht ganzzahlig ist, q muss gelten q ≥ 2. Summiert man nur vom nullten bis zum q-ten Glied, so bleibt der Rest

Beweis. Wir nehmen an, e =

q

1 n n =0 !

R = e−∑ =

1⎞ 1 1 1 p ⎛ 1 1 − ⎜1 + + + …+ ⎟ = + + +… q ⎝ 1! 2! q ! ⎠ (q + 1)! (q + 2)! (q + 3)!

q! ist Hauptnenner der linken Seite, also muss q!ÿR eine positive ganze Zahl sein. Multiplizieren wir die rechte Seite mit q!, so ergibt sich die Abschätzung 1 1 1 + + +… (q + 1) (q + 1)(q + 2) (q + 1)(q + 2)(q + 3) 1 1 1 < + + +… 2 (q + 1) (q + 1) (q + 1)3

q !⋅ R =

Das ist eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied a1 =

1 und dem Quotienten q +1

1 . Mit der Summenformel der geometrischen Reihe führt die Abschätzung für q ≥ 2 auf q +1

q!ÿR
k0 gelte

Beweis. Da die Umgebung ein offenes Intervall ist, gilt stets |x – x0| < ρ. Wählt man n0 groß genug, so lässt sich für jedes ε > 0 und jedes n > n0 die Ungleichung

x − x0

n

ρn


k0 und n > n0 gilt dann Rn+1(x, x0)| §

f (n +1) (ξ) (x − x0 ) n +1 = n!

f (n +1) (ξ) n +1 (x − x0 ) n +1 ε ρ < C und das n! C ρn +1

Restglied (27.15) wird beliebig klein.

É

Übungen 27.1 Man berechne mit Hilfe von binomischer Reihenentwicklungen 1/1,3 und 0,8 jeweils auf drei zählende Stellen genau. 27.2 Kann man trotz der Bedingung |x| < 1 auch ◊3 aus einer binomischen Reihenentwicklung finden? [Hinweis: Ja.] 27.3 Berechnen Sie die Binomialkoeffizienten für (1 + x)–2, (1 + x)–3, (1 + x)–4 und (1 + x)–5 durch wiederholte Ableitung von (1 + x)–1 = 1 – x + x2 – x3 +– … 27.4 Man bestimme die MacLaurin-Entwicklungen für x3 und (x – 1)3. 27.5 Man entwickle die Funktion ex um den Punkt x0 = 0, bestimme den Konvergenzradius und gebe die Reihe mit Hilfe des Σ-Symbols an. 27.6 Man entwickle die Funktion cosx um den Punkt x0 = 0, bestimme den Konvergenzradius und gebe die Reihe mit Hilfe des Σ-Symbols an. 27.7 Man entwickle die Funktion sinx um den Punkt x0 = 0, bestimme den Konvergenzradius und gebe die Reihe mit Hilfe des Σ-Symbols an. 27.8 Man entwickle die Funktion lnx um den Punkt x0 = 1 (warum nicht um x0 = 0?) und bestimme den Konvergenzradius und gebe die Reihe mit Hilfe des Σ-Symbols an. Welche Reihe ergibt sich für x = 2? 27.9 Man zeige

sowie

1 3

1+ x

1 1+ x

=1–

=1–

1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 4 1 1⋅ 3 2 1⋅ 3 ⋅ 5 3 x –+… x + x – x + 2⋅ 4⋅ 6⋅8 2⋅4⋅6 2 2⋅4

1 ⋅ 4 2 1 ⋅ 4 ⋅ 7 3 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅10 4 1 x – x + x –+… x + 3⋅ 6 3⋅ 6 ⋅9 3 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅12 3

und stelle weitere ähnliche Formeln auf.

27 Approximation von Funktionen

247

27.10 Man entwickle

1 um den Punkt x0 = 0 und vergleiche mit Übung 27.3. (1 + x) 2

27.11 Man entwickle

1 um den Punkt x0 = 0 und vergleiche mit Übung 27.3. (1 + x)3

2 ⎪⎧exp(−1/ x ) für x ≠ 0 27.12 Man versuche, die nicht analytische Funktion f ( x) = ⎨ um den ⎪⎩ 0 für x = 0 Punkt x0 = 0 zu entwickeln. [Allgemeiner Hinweis: Für die Rechnungen zur Taylor-Reihe oder zur MacLaurin-Reihe empfiehlt es sich, eine Tabelle nach folgendem Muster anzufertigen:

Entwicklung von (1 + x)r um x0 = 0

k 0 1 2 …

f (k)(x) (1 + x)r rÿ(1 + x)r–1 rÿ(r – 1)ÿ(1 + x)r–2 …

f (k)(x0) 1 r rÿ(r – 1) …

f (k)(x0)/k! 1 r rÿ(r – 1)/2 …

f (k)(x0)(x – x0)k/k! 1 rÿx rÿ(r – 1)x2/2 …

Man beachte jedoch, dass die Reihe abbricht, falls r in diesem Beispiel eine nichtnegative ganze Zahl ist.]

28

Funktionen mehrerer Variablen

Wenn eine Funktion von mehr als einer Variablen abhängt, so lässt sich eine anschauliche Darstellung in zwei Dimensionen nur schwer angeben. Bei zwei Variablen kommt neben einer perspektivischen Darstellung noch die auf Landkarten gebräuchliche Verwendung von Höhenlinien in Betracht (s. Abb. 28.1). Bei drei und mehr Variablen versagen auch diese Methoden. Dennoch sind solche Funktionen in Wissenschaft und Technik von großer Bedeutung. Beispiele sind das Volumen eines Quaders als Funktion von Länge, Breite und Höhe oder der Ertrag eines Feldes als Funktion des Einsatzes an Arbeitskraft, Saatgut, Regenmenge und Düngemitteln.

1

f y

0.5 2 1

1

0

0.5

-1 -1

0

- 0.5

0

y

-0.5

-0.5

0 0.5

x

-1 1

-1 -1

-0.5

0

0.5

x

1

Abb. 28.1: Darstellung der Funktion f (x, y) = x + y2, links perspektivisch, rechts als Höhenliniendiagramm im Intervall –1 ≤ x ≤ 1 und –1 ≤ y ≤ 1.

28.1

Partielle Differentiation

Um herauszufinden, wie Funktionswerte von einer bestimmten Variablen abhängen, betrachtet man die übrigen Variablen als Konstanten und führt damit das Problem auf die Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen zurück. Um die Konstanz der Variablen nicht ständig vermerken zu müssen, verwendet man eine spezielle Schreibweise zur Angabe der partiellen Ableitung nach x bzw. y: df ( x, y ) dx

:= y = const

∂f ( x, y ) ∂x

df ( x, y ) dy

:= x = const

∂f ( x, y ) ∂y

(28.1)

250

VII Differentialrechnung

Die Steigung der Funktion f (x, y) = x + y2 in x-Richtung ist für y = 3 also genauso groß wie die Steigung der Funktion f (x) = x + 32, nämlich 1. Im Nullpunkt ist die Steigung der Funktion in x-Richtung 1, in y-Richtung 0. Hängt eine Funktion von n Variablen ab, so gibt es n partielle Ableitungen. Wie im eindimensionalen Fall auch, können Differentialoperatoren hintereinander geschaltet werden. Wir betrachten als Beispiel die ersten und zweiten Ableitungen einer Funktion von drei Variablen f (x, y, z) = (x + y2)ÿsinz . Die ersten partiellen Ableitungen sind ∂f = sinz ∂x

∂f = 2yÿsinz ∂y

∂f = (x + y2)ÿcosz . ∂z

Neben den drei reinen zweiten Ableitungen ∂2 f =0 ∂x 2

∂2 f = 2ÿsinz ∂y 2

∂2 f = –(x + y2)ÿsinz ∂z 2

kommen auch sechs gemischte zweite Ableitungen vor ∂2 f ∂2 f =0= ∂x∂y ∂y∂x

∂2 f ∂2 f = 2yÿcosz = ∂y∂z ∂z∂y

∂2 f ∂2 f = cosz = . ∂z∂x ∂x∂z

Bei höheren Ableitungen wächst die Zahl der Kombinationsmöglichkeiten entsprechend. Eine Funktion von n Variablen besitzt nm Ableitungen m-ter Ordnung. Wenn eine Variable im zu differenzierenden Ausdruck nicht vorkommt, so ist das Ergebnis natürlich Null. Die Reihenfolge der Anwendung der Differentialoperatoren ergibt sich aus der Notation ∂2 f ∂ ∂ = f . ∂x∂y ∂x ∂y

(28.2)

Sie ist im Beispiel ohne Belang. Die Differentialoperatoren kommutieren. Man kann jedoch Gegenbeispiele finden. Die stetige und differenzierbare Funktion ⎧ x ⋅ y3 für ( x, y ) ≠ (0, 0) ⎪ 2 f (x, y) = ⎨ x + y 2 ⎪0 für ( x, y ) = (0, 0) ⎩

besitzt an der Stelle (0, 0) verschiedene gemischte zweite Ableitungen. Mit Hilfe der Quotientenregel erhält man die ersten Ableitungen: ∂f y 3 ( x 2 + y 2 ) − xy 3 2 x − x2 y3 + y5 = = 2 2 2 ∂x ( x 2 + y 2 )2 (x + y )

(28.3)

∂f x3 y 2 ( x 2 + y 2 ) − xy 3 2 y 3x3 y 2 + xy 4 = = 2 2 2 ∂y (x + y ) ( x 2 + y 2 )2

(28.4)

28 Funktionen mehrerer Variablen

251

f 2 1 0 -1 -2 -2

2 1y 0 -1

Abb. 28.2:

-1

0

1

x 2 -2

Graph der Funktion.

Nähern wir uns dem Nullpunkt auf der y-Achse (x = 0), so gilt für alle y ∂f (0, y) = y fl ∂x

∂2 f (0, y) = 1 fl ∂y∂x

∂2 f (0, 0) = 1 . ∂y∂x

Nähern wir uns dem Nullpunkt auf der x-Achse (y = 0), so gilt für alle x ∂f (x, 0) = 0 fl ∂y

fl

∂2 f (x, 0) = 0 fl ∂x∂y

∂2 f (0, 0) = 0 . ∂x∂y

∂2 f ∂2 f (0, 0) ≠ (0, 0) . ∂y∂x ∂x∂y

Bei rein formaler Bildung der zweiten Ableitungen ergibt sich in beiden Fällen dieselbe, an der Stelle (0, 0) allerdings nicht stetige Funktion ∂2 f ∂2 f −3x 4 y 2 + 6 x 2 y 4 + y 6 = = 2 2 3 ∂y∂x ∂x∂y (x + y )

für

(x, y) ≠ (0, 0) .

(28.5)

Auf der x-Achse (y = 0) verschwindet (28.5) überall identisch, auf der y-Achse (x = 0) besitzt (28.5) den Wert 1. Auf der Diagonale x = y := z (ebenso wie für x = –y, denn es kommen ja nur gerade Potenzen vor) beträgt der Funktionswert 4z6/(2z2)3 = 1/2. Allgemein gilt der Satz von Schwarz: Ist eine Funktion f: —n → — m-mal differenzierbar und stetig, so sind die m-ten gemischten Ableitungen von der Reihenfolge der Ableitungsbildung unabhängig. Dies ist für alle in Naturwissenschaft und Technik wichtigen Funktionen der Fall.

28.2

Das totale Differential

Der Formalismus der Taylor-Reihe kann ohne besondere Schwierigkeiten auf Funktionen von mehreren Variablen ausgedehnt werden. Den Ausdruck erster Ordnung ∂f dxk ∂ k =1 xk m

df = ∑

(28.6)

252

VII Differentialrechnung

bezeichnet man als totales Differential der Funktion f (x1, x2, …, xk). Für eine Funktion von drei Variablen liefert (28.6) df (x, y, z) =

∂f ∂f ∂f dx + dy + dz . ∂x ∂z ∂y

(28.6')

Ändert man den Aufpunkt in x-Richtung um die kleine Strecke dx, in y-Richtung um die kleine Strecke dy und in z-Richtung um die kleine Strecke dz, so gibt das totale Differential die Änderung des Funktionswertes in erster Näherung an.

28.3

Implizite Differentiation

Steht der Wert einer Funktion oder Relation isoliert und somit leicht ablesbar auf einer Seite einer Gleichung, so spricht man von expliziter (ausgewickelter) Form. Die Funktion oder Relation kann aber auch in impliziter (eingewickelter) Form gegeben sein. Das ist zum Beispiel der Fall für die Linien gleicher Höhe in Abb. 28.1. Wenn der Funktionswert als konstant vorausgesetzt wird, ist die Bewegungsfreiheit in der x-y-Ebene durch die Nebenbedingung f (x, y) = const. eingeschränkt. Damit stehen x und y in einer Relation, die bei genügender Einschränkung des Definitionsbereichs als Funktion aufgefasst werden kann. Bezeichnen wir die konstante Höhe mit h, so ergibt sich die implizite Relation x + y2 = h .

(28.7)

Es ist in diesem Beispiel leicht möglich, sie explizit hinzuschreiben und durch Einschränkung des Definitionsbereichs auf positive y-Werte eine Funktion y(x) zu erhalten, deren Graph die Höhenlinie der Höhe h ist y=

h−x .

(28.8)

In anderen Fällen kann eine Explizierung schwierig oder unmöglich sein, insbesondere wenn höhere Formen wie x5 + y6 + x7y8 = h oder verwickelte Ausdrücke wie sin(x + y2) + cosx + tany = h vorliegen. Doch ist es möglich, die Steigung des Graphen in der x-y-Ebene zu berechnen, ohne die explizite Form herbeizuführen. Dazu fassen wir y als Funktion von x auf und differenzieren die Terme, die Funktionen von y sind, mit Hilfe der Kettenregel nach x df ( y ) df ( y ) dy . = ⋅ dx dy dx

Für f (y) = y2 in (28.7) ergibt sich df /dx = 2yÿy', wobei der Strich die totale (nicht die partielle – sie wäre Null) Ableitung nach x bezeichnet. Da h konstant und dx/dx = 1 ist, ergibt die implizite Differentiation von (28.7) nach x 1 + 2yÿy' = 0 oder y' =

−1 . 2y

28 Funktionen mehrerer Variablen

253

Dasselbe Ergebnis liefert die explizite Differentiation von (28.8). y' ist weiterhin die Steigung der Funktion y(x), d. h. der Tangens des Steigungswinkels der in der x-y-Ebene an die Kurve y(x) gelegten Tangente. Übungen 28.1 Man bilde alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung: a) f (x, y) = (x + y)/2 b) f (x, y) = xÿy c) f (x, y) = 1/(xÿy) d) f (x, y) = (x + y)ÿsin(x – y) e) f (x, y, z) = xÿy2ÿlnz f) f (x, y, z) = ex/yÿz 28.2 Man differenziere implizit nach x unter Beachtung von y = f (x): a) xÿy = 1 b) x3ÿy2 = 1/y' c) xÿyÿsin(xÿy) = const. d) xÿy + x6ÿy9 = 2 e) y2 = x/(x2 + tany) f) y/x = 1 28.3 Man bestimme die Tangenten von Ellipse, Hyperbel und Parabel (s. Abschn. 17). 28.4 Für zwei Variablen lautet die Taylor-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung

f (x + Δx, y + Δy) = f (x, y) +

⎤ ∂2 f ∂2 f ∂f ∂f 1 ⎡ ∂2 f 2 Δx + Δy + ( x ) 2 x y (Δy ) 2 ⎥ . Δ + ⋅ Δ Δ + ⎢ 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y 2! ⎣ ∂x ∂y ⎦

Man entwickle f (x, y) = x2 + y2 um den Punkt (2, 3) und bestimme so f (3, 4). Warum ergibt sich der exakte Wert f (3, 4) = 25? b) Man entwickle f (x, y) = 1/(xÿy) um den Punkt (2, 3) und bestimme so f (3, 4). Warum ergibt sich nicht der exakte Wert f (3, 4) = 1/12?

a)

VIII Integralrechnung

29

Das Integral

Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung in demselben Sinne, in dem die Addition die Umkehrung der Subtraktion darstellt. Aus historischen Gründen wird das Zeichen ∫ verwendet; es stellt ein symbolisiertes S dar und erinnert ähnlich wie das große griechische Sigma Σ an einen Summationsprozess. Wir wollen uns die Integralbildung zunächst an einem einfachen Beispiel veranschaulichen. Gegeben sei die Funktion f (x) = x2. Gesucht ist die Fläche unter dem rechten Ast der Parabel auf dem Intervall [0, x]. Nehmen wir diese Fläche F(x) vorerst als gegeben an und fragen lediglich nach ihrer Änderung, wenn x um Δx vergrößert wird. Der Zuwachs kann durch f (x)ÿΔx approximiert werden. Diese Näherung ist umso genauer, je kleiner Δx ist, und wird im Grenzfall Δx → 0 exakt. Also gilt:

lim F(x + Δx) = lim [F(x) + f (x)ÿΔx]

Δx → 0

Δx → 0

f (x) = lim

Δx → 0

F ( x + Δx ) − F ( x ) dF (x) = = F '(x) Δx dx

(29.1)

f (x) = F '(x) ist demnach die Ableitung der Funktion F(x). Man nennt F(x) daher auch die Stammfunktion des Integranden f (x).

f(x)

F(x) x Abb. 29.1:

x + dx

Die Funktion f (x) als Ableitung der Fläche F(x).

258

VIII Integralrechnung

Abb. 29.2:

Zur Definition von (a) Untersumme und (b) Obersumme.

x3 +C 3 besitzen, wobei C œ — eine beliebige Konstante darstellt. C heißt Integrationskonstante. Um sie festzulegen, beachten wir, dass die Fläche F(x) für x = 0 verschwindet, d. h. F(0) = C = 0.16 Damit ist die Aufgabe gelöst. Die Fläche unter dem rechten Ast der Parabel auf dem Intervall [0, x] beträgt F(x) = x3/3. Dieses Ergebnis kann aber auch auf einem anderen Wege gewonnen werden.

Nach obigem Beispiel ist F '(x) = x2. Folglich muss die Stammfunktion die Form F(x) =

Um die Fläche F(x) elementar zu berechnen, unterteilen wir sie in m vertikale Streifen der Breite Δx = x/m. Mit Hilfe der die Fläche F(x) einschränkenden, in Abb. 29.2 dargestellten Flächen Untersumme Su und Obersumme So lässt sich folgende Abschätzung gewinnen: Su =

m −1

∑

n =0

m

f (n ⋅ Δx) ⋅ Δx ≤ F ( x) ≤ ∑ f (n ⋅ Δx) ⋅ Δx = So n =1

2

Mit f (nÿΔx) = (nÿΔx) und Δx = x/m ergeben sich die Ungleichungen: ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎝m⎠

3 m −1

⎛x⎞ ∑ n2 ≤ F ( x) ≤ ⎜⎝ m ⎟⎠ n =0

3 m

∑ n2 n =1

Die Summen sind aus Übung 4.3a bekannt 3

3

⎛ x ⎞ (m − 1)m(2m − 1) ⎛ x ⎞ m(m + 1)(2m + 1) ≤ F ( x) ≤ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ 6 6 ⎝m⎠ ⎝m⎠

16

Läge der linke Rand der Fläche bei x = 1, so wäre F(1) = 1/3 + C = 0, also C = –1/3.

29 Das Integral

259

Offenbar nähern sich Su und So einander umso stärker an, je größer m, d. h. je kleiner die Streifenbreite Δx ist, und im Grenzfall m → ¶ gilt wegen

lim

m →∞

(m − 1)m(2m − 1) m(m + 1)(2m + 1) 1 = = 3 6m3 6m3

Su = So. Wenn eine untere und eine obere Schranke einander gleich sind, so muss auch der eingeschränkte Wert damit übereinstimmen: F(x) = lim

Δx → 0

x / Δx

∑ ( n ⋅ Δx ) 2 Δ x = n =1

x3 = 3

x

∫ f (t )dt

(29.2)

0

in Übereinstimmung mit unserem ersten Ergebnis. Den Grenzwert der Summen Su bzw. So nennt man auch das Integral der Funktion. Die Grenzen des Intervalls (hier 0 und x) heißen Integrationsgrenzen. Die untere Integrationsgrenze wird unter das Integralzeichen geschrieben, die obere darüber. Das Argument der Funktion f darf hier nicht mit x bezeichnet werden, da dieses Symbol bereits für die obere Integrationsgrenze verwendet wurde, die Summation aber über die Funktionswerte an allen Stellen nÿΔx verläuft. Man wähle daher ein beliebiges anderes Symbol zur Bezeichnung; üblich sind u, v, t oder z. Wird als untere Integrationsgrenze nicht Null, sondern a und als obere nicht x, sondern b gewählt, so kann x als Variablenbezeichnung verwendet werden. Die Integration lässt sich dann mit Hilfe der Differenzbildung auf b

∫

b

f ( x)dx =

a

∫

a

f ( x)dx –

0

∫ f ( x)dx

= F(b) – F(a) = [ F ( x) ]a b

(29.3)

0

zurückführen. Sind die Integrationsgrenzen festgelegt, so heißt das Integral bestimmtes Integral. Die Lösung F(b) – F(a) wird kurz wie in (29.3) angegeben geschrieben. Geht es nur darum, die Stammfunktion zu finden, so heißt das Integral unbestimmtes Integral, und die Lösung muss in jedem Fall mit einer Integrationskonstante C versehen sein

∫ f ( x)dx

= F(x) + C .

(29.4)

Das unbestimmte Integral kann als bestimmtes Integral mit der üblicherweise nicht hingeschriebenen oberen Grenze x (weshalb x in diesem Fall gleichzeitig als Funktionsargument verwendbar ist) interpretiert werden. Die untere Grenze a wird bei Wahl eines konkreten Wertes für die Integrationskonstante C = –F(a) festgelegt. (Daher darf die Integrationskonstante nicht vergessen werden).

260

VIII Integralrechnung

Übungen 29.1 Man integriere mit Hilfe von (29.2) die Funktionen: a) f (x) = x im Intervall [0, b] im Intervall [0, b] b) f (x) = x3 im Intervall [a, b] c) f (x) = x3

[Hinweis: Die Summe der ersten Kubikzahlen wurde in Übung 4.3b berechnet.] 29.2 Man integriere durch geometrische Berechnung der Flächen die Funktionen

⎧5 für x < 10 im Intervall [0, 20] f (x) = ⎨ ⎩2 für x ≥ 10 ⎧⎪ 100 − x 2 für x < 10 b) f (x) = ⎨ im Intervall [–10, 10] für x ≥ 10 ⎪⎩ x a)

29.3 Die unter 29.2a integrierte Funktion f (x) ist unstetig. Zeichnen Sie die Stammfunktionen x

F(x) = 0Û f (t)dt auf und beurteilen Sie deren Stetigkeit. x

29.4 Zeichnen Sie die folgenden Stammfunktionen für f (x) aus 29.2b auf: F1(x) = –10Û f (t)dt, x

x

F2(x) = 0Û f (t)dt, F3(x) = 10Û f (t)dt und beurteilen Sie deren Verlauf und Stetigkeit. 29.5 Die Funktion f (t) = |t| ist nicht überall differenzierbar. Ermitteln Sie die Stammfunktion x

F(x) = –1Û |t|dt und prüfen Sie ihre Differenzierbarkeit an der Stelle x = 0.

30

Integrationsmethoden

Hauptsächliches Ziel der Integralrechnung ist das Auffinden der Stammfunktion einer vorgegebenen Funktion. Dies ist nicht immer möglich, jedoch gibt es einige Algorithmen, welche die Suche erleichtern.

30.1

Direkte Integration

Aus (23.9) folgt sofort Ûxr dx =

x r +1 + C für r ≠ –1 r +1

(30.1)

und für den Fall r = –1 liefert (24.10) für positive Argumente Ûx–1 dx = lnx + C .

(30.2)

Für die Exponentialfunktion gilt mit (24.5) überall Ûex dx = ex + C .

(30.3)

Mit (25.2), (25.1), (25.4), (25.3), (25.6) und (25.7) findet man innerhalb der Definitionsbereiche (s. Abb. 25.1 bis 25.4): Ûsinx dx = –cosx + C Ûcosx dx = sinx + C 1 Û 2 dx = –cotx + C sin x 1 Û dx = tanx + C cos 2 x 1 dx = arcsinx + C Û 1 − x2 1 Û dx = arctanx + C 1 + x2

(30.4) (30.5) (30.6) (30.7) (30.8) (30.9)

Weitere Beziehungen dieser Art lassen sich einfach aufstellen, indem die Ableitung f ' einer beliebigen differenzierbaren Funktion f gebildet und Ûf '(x)dx = f (x) + C

gesetzt wird.

(30.10)

262

VIII Integralrechnung

Da Integrale Grenzwerte von Summen sind, können die Regeln für Summen angewandt werden Û[f (x) + g(x)]dx = Ûf (x)dx + Ûg(x)dx .

Eine multiplikative Konstante c darf wie beim Ausklammern einer Summe vor das Integral gezogen werden Ûcÿf (x)dx = cÿÛf (x)dx .

Bei Integration über ein Intervall ist darauf zu achten, dass der Integrand im ganzen Intervall definiert ist. Für Ausnahmen siehe Abschn. 30.6. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion ist stetig. Die Stammfunktion einer stetigen Funktion ist differenzierbar.

30.2

Integration mittels Substitution

Oft ist es möglich und nützlich, die Integrationsvariable x als Funktion einer Hilfsvariablen t aufzufassen: x = g(t). Der Einprägsamkeit halber wollen wir diese Funktion hier kurz mit x(t) bezeichnen und ihre als existent vorausgesetzte Umkehrfunktion t = g–1(x) eben so kurz mit t(x). fl

x = x(t)

dx =

dx(t ) dt . dt

(30.11)

Damit wird das Intergral substituiert t (b )

b

∫

∫

fl

f ( x)dx

a

f ( x(t ))

t (a)

dx(t ) dt . dt

(30.12)

Die Integrationsgrenzen findet man dabei folgendermaßen: Ist x(t) wie vorausgesetzt eine umkehrbare Funktion mit der Umkehrfunktion t(x), so gilt x(t(a)) = a = t(x(a)). Wenn die Integration über dx bei x = a beginnen soll, so ist der zugehörige Anfangswert für t = t(x) = t(a) die untere Grenze bei Integration über dt. Analog ergibt sich die obere Grenze. Untere Integrationsgrenze: x = a fl t(x) = t(a) Obere Integrationsgrenze: x = b fl t(x) = t(b) b

Beispiel: Zu berechnen ist

∫ 4 xdx . Substitution: x(t) = a

dx(t ) 1 1 tfl = . Die Umkehrfunkdt 2 2

tion ist t(x) = 2x, die Grenzen sind t(a) = 2a, t(b) = 2b. b

2b

⎡1 ⎤ 1 ∫ 4 xdx = ∫ 4 ⎢⎣ 2 t ⎥⎦ 2 dt = a 2a

2b

2b

⎡t2 ⎤ (2b) 2 (2a ) 2 t d t = = = 2(b2 – a2) . − ⎢ ⎥ ∫ 2 2 2 ⎣ ⎦ 2a 2a

30 Integrationsmethoden

263

f(x) R

0 Abb. 30.1:

R x 2

2

R −x .

Die Funktion f (x) =

R

∫

Beispiel: Zu berechnen ist die Fläche des Viertelkreises

R 2 − x 2 dx .

0

Substitution: x = Rÿsint fl dx = Rÿcost dt

und t(x) = arcsin(x/R) mit |x| ≤ R

Grenzen: t(0) = arcsin(0/R) = 0 und t(R) = arcsin(R/R) = π/2 R

∫

R 2 − x 2 dx =

π/ 2

∫

π/ 2

∫

R 2 − R 2 sin 2 t R cos t dt =

0

0

R cos t ⋅ R cos t dt .

0

Dieses Integral wird partiell integriert und liefert nach (30.16) ein Viertel der Kreisfläche R2

π/ 2

∫ cos

2

t dt = R 2

0

30.3

1 π [t + sin t cos t ]0π / 2 = R2 . 4 2

Partielle Integration

Die partielle Integration oder Integration nach Teilen macht Gebrauch von der Produktregel der Differentialrechnung. Bestimmte Integration beider Seiten von (23.12) liefert b

d ∫ dx f ( x) g ( x)dx = a

b

∫ g ( x) a

d f ( x)dx + dx

b

d

∫ f ( x) dx g ( x)dx .

(30.13)

a

Da die Integration die Umkehrung der Differentiation ist, ist die linke Seite von (30.13) lediglich eine Zahl. Manchmal ist es günstiger, das Integral Ûfg 'dx anstelle des IntegralsÛf 'gdx auszurechnen, oder umgekehrt. Umstellung von (30.13) erlaubt die Auswahl, z. B. b

∫ a

f '( x) g ( x)dx = [ f ( x) g ( x) ]a – b

b

∫ f ( x) g '( x)dx a

.

(30.14)

264

VIII Integralrechnung ∞

Beispiel: Sei k > 0. Das Integral

∫e

− kx

x dx berechnen wir mit f '(x) = e–kx und g(x) = x:

0

∞

∞

∫e

− kx

0

⎡ e − kx ⎤ xdx = ⎢ x⎥ – ⎣ −k ⎦ 0

∞

∞

⎡ e − kx ⎤ e − kx 1 d x = 0 – ⎢ 2 ⎥ = 2 ∫ −k k ⎣ k ⎦0 0

(30.15)

b

Beispiel: Das Integral ∫ cos 2 xdx berechnen wir mit f '(x) = cosx und g(x) = cosx: a

b

b

∫ cos x cos x dx = [sin x cos x ]a – ∫ sin x(− sin x) dx b

a

a

b

= [sin x cos x ]a + ∫ sin 2 x dx b

a

b

= [sin x cos x ]a + ∫ (1 − cos 2 x) dx b

a

b

= [sin x cos x ]a + ∫ dx – b

a

b

∫ cos

2

x dx

a

b

Nun wird der rechts auftretende Term – ∫ cos 2 x dx nach links gebracht: a

b

2ÿ ∫ cos 2 x dx = [sin x cos x ]a + [ x ]a b

b

a

b

∫ cos

2

x dx =

a

1 [ x + sin x cos x ]ba 2

(30.16)

Dieses Verfahren liefert ebenfalls das Integral b

∫ sin

2

x dx =

a

1 [ x − sin x cos x ]ba 2

(30.16')

insbesondere ist π

∫ cos 0

2

π

x dx =

π = ∫ sin 2 x dx 2 0

(30.16'')

30 Integrationsmethoden

265

und es erlaubt die Aufstellung einer Rekursionsformel: π

∫ sin

n+2

π

x dx =

0

∫ (− cos x) 'sin

n +1

x dx

0

π

π

= ⎡⎣ (− cos x) sin n +1 x ⎤⎦ – ∫ (− cos x)(n + 1) sin n x cos x dx 0 0

π

= 0 + ∫ cos 2 x ⋅ (n + 1) sin n x dx 0

π

= (n + 1) ∫ (1 − sin 2 x) sin n x dx 0

π

fl

π

(n + 2) ∫ sin n + 2 x dx = (n + 1) ∫ sin n x dx 0

0

π

∫ sin

n+2

x dx =

0

n +1 n+2

π

∫ sin

n

x dx

0

π

Für n = 8 führt dies wegen ∫ sin 0 x dx = π auf 0

π

∫ sin

8+ 2

x dx =

0

9 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅1 ÿπ 10 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2

π

für n = 9 wegen ∫ sin x dx = 2 auf 0

π

∫ sin

9+ 2

xdx =

0

10 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 ÿ2 . 11 ⋅ 9 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅1

Für n → ¶ werden die Integrale gleich, und wir erhalten das Wallissche Produkt 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅⋅⋅ π = . 1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 9 ⋅⋅⋅ 2

30.4

Logarithmische Integration b

Wegen

d ln f ( x) ∫ dx dx = a

ln f ( b )

∫

d ln f ( x) = [ ln f ( x) ]a ergibt die Integration beider Seiten von b

ln f ( a )

(24.21) für 0 < a < b

[ln f ( x)]ba

b

=

∫ a

f '( x) dx . f ( x)

(30.17)

266

VIII Integralrechnung

Kann also der Integrand in der Form f '/f geschrieben werden, so ist die Stammfunktion lnf (x) + C. Wie in Abschn. 30.6 gezeigt wird, gilt aber nicht nur für 0 < a < b, sondern für beliebige Integrationsgrenzen mit Ausnahme von 0 und ≤¶ b

∫ a

f '( x) f (b) . dx = ln| f (b)| – ln| f (a)| = ln f ( x) f (a) b

Beispiel: Um das Integral

dx

∫ px + q

(30.18)

auszuführen, berücksichtigen wir, dass p die Ableitung

a

von px + q ist. Also schreiben wir b

1 p 1 1 1 pb + q b . dx = [ ln | px + q |]a = (ln|pb + q| – ln|pa + q|) = ln p ∫a px + q p p p pa + q b

Beispiel: Zu bestimmen ist das Integral

∫ tan x dx

für 0 ≤ a < b ≤ π/2.

a

b

∫ tan x dx = a

b

Beispiel: Der Integrand in cos x

b

− sin x sin x cos a b ∫ cos x dx = – ∫ cos x dx = – [ln | cos x |]a = ln cos b a a dx

∫ sin x cos x 1

kann mit cosx erweitert werden.

1

∫ sin x cos 2 x dx = ∫ sin x cos2 x dx = ∫

cos −2 x dx = ln | tan x | + C tan x

cos x

30.5

Partialbruchzerlegung

Eine echt gebrochen rationale Funktion kann in Teilbrüche oder Partialbrüche zerlegt werden. Dazu bestimmt man die Linearfaktoren des Nenners und formt den Bruch damit in eine Summe von Brüchen um. Diese können dann elementar integriert werden. Für zwei teilerfremde Zahlen kann man nach Abschn. 5.1 immer zwei ganzzahlige Multiplikatoren finden, so dass die Linearkombination der Produkte 1 ergibt. Einen ähnlichen Satz können wir auch für Polynome formulieren, die nach Abschn. 15 einen Ring bilden. Satz. Seien a(x), b(x) und p(x) drei teilerfremde Linearfaktoren, dann gibt es zwei Zahlen A und B, so dass

∀ x: Bÿa(x) + Aÿb(x) = p(x) .

(30.19)

Beweis. Die Linearfaktoren seien (x – α), (x – β) und (x – γ). Wir berechnen A und B und zeigen damit die Existenz.

30 Integrationsmethoden

267

Um für alle x die Gleichung ∀ x: Bÿ(x – α) + Aÿ(x – β) = (x – γ)

(30.20) 0

zu erfüllen, vergleichen wir die Glieder mit verschiedenen Potenzen von x (hier nur x und x1) separat miteinander. Denn bei Änderung von x ändern sich diese Glieder in unterschiedlicher Weise. Da wir in den resultierenden Gleichungen (30.21) und (30.22) die Potenzen von x nicht aufzuführen brauchen (sie kürzen sich für x ≠ 0 heraus), werden nur deren Faktoren oder Koeffizienten verglichen. Daher heißt diese Methode Koeffizientenvergleich. x0: Bÿα + Aÿβ = γ x1: B + A = 1

(30.21) (30.22)

Mit B = 1 – A aus (30.22) führt (30.21) auf A =

γ−α γ −β und B = . β−α α −β

É

Bemerkung: Auch für ein konstantes p(x) = –γ liefert (30.19) eine Lösung. Das Gleichungssystem lautet dann Bÿα + Aÿβ = γ, B + A = 0 und führt auf B = γ/(α – β) und A = γ/(β – α). Eine echt gebrochen rationale Funktion zweitens Grades ist der Quotient zweier Polynome, worin der Zähler (vom Grad 0 oder 1) nicht durch einen Linearfaktor des Nenners (vom Grad 2) teilbar ist. Wie gerade gezeigt wurde, können wir in diesem Falle folgende Umformung durchführen, wenn α ≠ β, die Linearfaktoren des Nenners also verschieden sind: p( x) A B = + a ( x ) ⋅ b( x ) a ( x ) b( x )

(30.23)

denn nach (30.19) ist A B A⋅b B ⋅ a A⋅b + B ⋅ a p + = = = . + a b a ⋅b b ⋅ a a ⋅b a ⋅b x+3

∫ x 2 + x − 2 dx

Beispiel:

ist mit Partialbruchzerlegung zu integrieren.

x+3 x+3 A B = = + x + x − 2 ( x − 1) ⋅ ( x + 2) x − 1 x + 2 ∀ x: x + 3 = Aÿ(x + 2) + Bÿ(x – 1) 2

(30.24) (30.24')

Koeffizientenvergleich oder die Festlegung bestimmter Werte wie 1 und –2 für x (denn (30.24') soll ja im Gegensatz zu (30.24) für alle x gelten) liefert A = 4/3 und B = –1/3. x+3

∫ x 2 + x − 2 dx

4 1 1 1 dx – ∫ dx ∫ 3 x −1 3 x+2 4 1 = ln | x − 1| – ln | x + 2 | + C 3 3

=

= ln 3

| x − 1|4 +C | x+2|

268

VIII Integralrechnung

Wenn die beiden Linearfaktoren des Nenners identisch sind, führt der Ansatz (30.23) nicht zum Ziel. Man benutzt stattdessen den Ansatz p( x) A A = 1 + 22 . 2 a( x) a ( x) a ( x)

Beispiel:

7x + 2

∫ ( x + 1)2 dx

(30.25)

ist zu integrieren.

7x + 2 A1 A2 = + ( x + 1) ⋅ ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2

fl ∀ x: 7x + 2 = A1ÿ(x + 1) + A2

führt auf A1 = 7 und A2 = –5. Dies entspricht einer Umformung des Zählers von 7x + 2 auf 7(x + 1) – 5. 7x + 2

∫ ( x + 1)2 dx

= 7∫

1 5 1 +C dx – 5∫ dx = 7 ln | x + 1 | + 2 x +1 x +1 ( x + 1)

Für echt gebrochen rationale Funktionen höheren Grades kann man die Partialbruchzerlegung ebenfalls anwenden. Bei drei Linearfaktoren wird (30.23) fortgesetzt zu p ( x) A B C = + + a ( x ) ⋅ b( x ) ⋅ c ( x ) a ( x ) b( x ) c ( x )

(30.26)

und bei noch mehr Linearfaktoren wird entsprechend weiter fortgesetzt. Bei mehreren gleichen Linearfaktoren ist (30.25) so fortzusetzen, dass jeweils eine Potenz hinzugefügt wird. Bei drei gleichen Linearfaktoren wird (30.25) fortgesetzt zu p ( x) A A A = 1 + 22 + 33 . a( x) a ( x) a ( x) a3 ( x)

(30.27)

Ist eine unecht gebrochen rationale Funktion zu integrieren, so teilt man den Zähler durch den Nenner und integriert das bei der Division entstehende ganze Polynom direkt.

2 x 4 + x3 + 3x 2 − x + 1 ∫ x3 + 2 x2 + x dx ist nicht echt gebrochen, doch durch Polynomdivision ergibt sich ein ganzes Polynom und eine echt gebrochen rationale Funktion Û(2x – 3)dx + 7 x2 + 2 x + 1 ∫ ( x − 0)( x + 1)2 dx . Zur Bestimmung der Partialbrüche beachten wir die doppelte Nullstelle: Beispiel:

B 7 x2 + 2 x + 1 A B2 = + 1 + 2 x x +1 ( x − 0)( x + 1) ( x + 1) 2 2 2 7x + 2x + 1 = Aÿ(x + 1) + B1ÿxÿ(x + 1) + B2ÿx Koeffizientenvergleich liefert: x0: 1 = A x2: 7 = A + B1 x1: 2 = 2A + B1 + B2

fl A=1 fl B1 = 6 fl B2 = –6

30 Integrationsmethoden

269

Damit wird das Integral zu: Û(2x – 3)dx +

A

B1

B2

∫ x dx + ∫ x + 1 dx + ∫ ( x + 1)2 dx = Û(2x – 3)dx +

1

∫ x dx

+6∫

1 1 dx – 6 ∫ dx ( x + 1) ( x + 1) 2

= x2 – 3x + ln|x| + 6ÿln|x + 1| +

6 +C x +1

Im Falle komplex-konjugierter Nullstellen zerlegt man nur bis zum irreduziblen quadratischen Polynom und bringt es durch Substitution auf die Form 1 + t2. Die komplexe Nullstelle sei u + iv, das irreduzible Polynom x2 – 2ux + u2 + v2 = (x – (u + iv))ÿ(x – (u – iv)) . Mit der Substitution x – u := y vereinfacht sich das Polynom zu ⎛ ⎛ y ⎞2 ⎞ (y – iv)ÿ(y + iv) = y2 + v2 = v2 ⎜ ⎜ ⎟ + 1⎟ . ⎜⎝ v ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

Der Faktor v2 wird vor das Integral gezogen, so dass nur noch 2

⎛ y⎞ 2 ⎜ ⎟ + 1 := t + 1 ⎝v⎠

zu integrieren bleibt. Damit wird die Partialbruchzerlegung: 1 Dt + E D 2t = ⋅ + E⋅ 2 1+ t2 1+ t2 1+ t2 D Dt + E 2 ∫ 1 + t 2 dt = 2 ln|1 + t | + Eÿarctant + C

30.6

(30.28)

Uneigentliche Integrale

Gelegentlich lässt sich eine Funktion f auch über einem Intervall integrieren, wenn sie nicht auf dem gesamten Intervall definiert ist. Man spricht dann von uneigentlicher Integration. Satz f (x) ist uneigentlich integrierbar über [a, ¶), wenn zu jedem ε > 0 ein b0 œ [a, ¶) b2

existiert, so dass für b1, b2 ≥ b0 gilt:

∫ f ( x) dx

< ε.

b1

Zur Prüfung kann das Majorantenkriterium herangezogen werden.

270

VIII Integralrechnung

1/x

-b

-a a

Abb. 30.2:

b

x

Zur Begründung von Ûdx/x = ln|x| + C.

Insbesondere erhalten wir für Funktionen der Form 1/xc: ∞

c > 1:

dx ∫ xc = 1

∞

∞

1

speziell

dx

∫ x2

=1

(30.29)

=2

(30.30)

1

1

1

1

⎡ x1− c ⎤ 1 −c ∫ x dx = ⎢⎣1 − c ⎥⎦ = 1 − c 0 0

dx ∫ xc = 0

0 < c < 1:

∞

⎡ x1− c ⎤ 1 −c ∫ x dx = ⎢⎣1 − c ⎥⎦ = c − 1 1 1

speziell

∫ 0

dx x

Im Grenzfall c = 1 kann die Funktion 1/x nicht von 0 und nicht bis ¶ integriert werden, da die Integrale ln0 und ln¶ nicht definiert sind. Jedoch ersieht man aus Abb. 30.2, dass aus Gründen der Punktsymmetrie gilt: b

dx ∫ x = −b

dx =0 x −a

b

−a

dx ∫ x = −b

a

∫

dx ∫ x + −b

a

dx ∫ x + −a

−a

b

dx ∫x a

fl

dx ∫ x =– −b

b

dx x a

∫

Da bei Vertauschung der Integrationsgrenzen das Vorzeichen des Integrals wechselt, ist −b

dx ∫ x = −a

−b

b

dx ∫x a

fl

dx ∫ x = −a

b

dx ∫ x = −a

−b

∫ a

dx = x

b

dx . x a

∫

Das Vorzeichen der Integrationsgrenze spielt daher in diesem speziellen Fall keine Rolle, und wir können schreiben b

dx b b = [ ln | x |]a = ln|b| – ln|a| = ln . a x a

∫

(30.31)

30 Integrationsmethoden

271

Übungen 30.1 Man bestimme die folgenden Integrale: a) ∫e2xdx 2 b) ∫xÿex dx 3 c) ∫x2ÿex dx d) ∫axdx e) ∫cos(kÿx)dx f) ∫xn–1sin(xn)dx dx g) ∫ [Hinweis: sin2x = 2sinxcosx] sin x dx h) ∫ cos x ⋅ tan x dx i) ∫ cos 2 x j) ∫lnxdx k) ∫xÿlnxdx ln x dx l) ∫ x 3x 4 − 2 x3 − 2 x 2 + 2 x dx [Hinweis: zuerst Polynomdivision, dann Partialbruchzerlegung] m) ∫ x2 − 1 dx n) ∫ ( x − 3)5 30.2 Man integriere beide Seiten der Gleichung

∞

1

∑ xk = 1 − x

und gewinne daraus eine Rei-

k =0

henentwicklung für ln|1 – x|. Konvergenzradius? 30.3 Man entwickle f (x) =

1

und bestimme durch Integration beider Seiten die Ent1 − x2 wicklung für arcsinx. Aus arcsin(1/◊2) = π/4 soll eine Reihe für π/4 angegeben werden. 30.4 Berechnen Sie die Fläche der Ellipse. 30.5 Berechnen Sie die Fläche unter der Parabel y = kÿx2 im Intervall [a, b]. 30.6 Berechnen Sie die Fläche unter der Hyperbel y = k/x im Intervall [a, b], a ≠ 0 ≠ b. 30.7 Eine Rakete der Gesamtmasse M0 enthält Treibstoff, der mit der konstanten Geschwindigkeit u ausgestoßen wird. Bezeichnet m die Masse des schon verbrannten Treibstoffs, so −u liefert der Impulserhaltungssatz 0 = uÿdm + (M0 – m)ÿdv fl dv = dm. Man berechne M0 − m die Endgeschwindigkeit v(m = MT) der Rakete im schwerefreien Raum als Funktion der Gesamtmasse MT des mitgeführten Treibstoffs. Die Anfangsgeschwindigkeit sei v(m = 0) = 0.

31

Kurvenlänge und Kurvenkrümmung

Der Graph einer differenzierbaren Funktion f (x) zwischen zwei Werten des Arguments x und x + Δx kann im Grenzfall Δx → 0 durch eine Gerade approximiert und seine Länge Δs nach dem Satz des Pythagoras berechnet werden: (Δs)2 = (Δx)2 + (Δf (x))2

für Δx → 0

Δs ⎛ Δf ( x ) ⎞ = lim 1 + ⎜ ⎟ Δx → 0 Δx Δx → 0 ⎝ Δx ⎠

fl

s'(x) = lim

fl

[ s ]0x

x

=

∫ s '(t )dt = 0

x

∫

2

= 1 + [ f '( x) ]

2

1 + [ f '(t )] dt 2

(31.1) (31.2)

0

Wird die Ableitung der Kurvenlänge integriert, so ergibt sich wieder die Länge; (31.2) beschreibt die Länge s des Graphen im Intervall [0, x]. In Abschn. 26 haben wir gesehen, dass die zweite Ableitung einer Funktion deren Krümmung beschreibt. Wir wollen diesen Begriff jetzt präzisieren: Genauso wie man in eindeutiger Weise eine Tangente an den Graphen jeder mindestens einmal differenzierbaren Funktion legen kann, kann man in eindeutiger Weise einen Schmiegekreis an den Graphen jeder mindestens zweimal differenzierbaren Funktion legen. (Der Schmiegekreis wurde bereits in Abschn. 17 benutzt.) Als objektives Maß für die Kurvenkrümmung wählt man den Kehrwert von dessen Krümmungsradius. (Großer Radius ‹ kleine Krümmung, kleiner Radius ‹ große Krümmung). Wenn die Krümmung variiert, d. h. f '' ≠ const., so ändert sich natürlich auch die Größe und die Lage der Schmiegekreise von Punkt zu Punkt. Die Kurve ihrer Mittelpunkte heißt Evolute. In Abb. 31.1 ist ein Teil eines Schmiegekreises (K) abgebildet. Er wurde gewonnen, indem in den beiden eng benachbarten Punkten (x, f (x)) und (x + Δx, f (x + Δx)) die Normalen oder Lote auf den Tangenten t1 und t2 konstruiert und als Radien r1 und r2 im Krümmungsmittelpunkt miteinander zum Schnitt gebracht wurden. Der Winkel Δϕ ist daher die Differenz der Steigungswinkel der beiden Tangenten Δϕ = |arctanf '(x + Δx) – arctanf '(x)| . Der von den Radien eingeschlossene Kreisbogen rÿΔϕ kann im selben Grenzfall durch eine Gerade approximiert und seine Länge wie in (31.1) geschehen nach Pythagoras durch Δs =

⎛ Δf ⎞ ( Δx ) 2 + ( Δ f ) 2 = ( Δx ) 1 + ⎜ ⎟ ⎝ Δx ⎠

2

274

VIII Integralrechnung

t1

t2 f K

f(x + Δx)

r2

f(x) r1

Δϕ M

x x + Δx

Abb. 31.1:

Der Schmiegekreis K mit Krümmungsmittelpunkt M, Radien rk und Tangenten tk an eine Kurve f (x).

angegeben werden. Mit Δf = f (x + Δx) – f (x) und Δϕ = Δs/r ergibt sich für die Krümmung an der Stelle x: Δϕ 1 = Δs r | arctan f '( x + Δx) − arctan f '( x) | Δx → 0 Δx

= lim

⎡ dx ⎤ = ⎢ arctan f '( x ) ⎥ ⎣x ⎦ 1 f ''( x) = r ( x) (1 + [ f '( x)]2 )3/ 2

⎛ f ( x + Δx) − f ( x) ⎞ 1+ ⎜ ⎟ Δx ⎝ ⎠

2

1 + [ f '( x)]2

(31.3)

Übungen 31.1 Man bestimme die Krümmungen von Ellipse, Hyperbel und Parabel. 31.2 Man berechne den Kreisumfang. 31.3 Man berechne die Länge der Parabel y = kx2 über dem Intervall [0, a]. 31.4 Im Straßenbau wird die Klothoide (auch Cornu-Spirale genannt) verwendet, da ihre Krümmung 1/r linear mit ihrer Länge s zunimmt. Eine explizite Definitionsgleichung existiert s nicht. Die Parameterdarstellung lautet mit dem Parameter t = und einer Konstante a: a π t

⎛π ⎞ x(t ) = a π ∫ cos ⎜ u 2 ⎟ du ⎝2 ⎠ 0

Man zeige: rÿs = a2. [Hinweis: y ' =

t

⎛π ⎞ y (t ) = a π ∫ sin ⎜ u 2 ⎟ du ⎝2 ⎠ 0

dy dy dt dy = = dx dt dx dt

dy ' dt dx .] und y '' = dt dt dx

32

Mehrfachintegrale

In Abschn. 28 haben wir Funktionen von mehreren Variablen kennengelernt. Auch solche Funktionen lassen sich integrieren. Da das Integral der Grenzwert einer Summe ist, gelten die in Abschn. 20 abgeleiteten Konvergenzkriterien und Vertauschungsregeln sinngemäß. Um eindeutig anzugeben, welches Integrationsintervall zu welcher Integrationsvariablen gehört, schreibt man Letztere zweckmäßig direkt hinter das Integralzeichen ⎛d ⎞ d x ∫ ⎜⎜ ∫ dy f ( x, y) ⎟⎟ ª a ⎝c ⎠ b

b

d

a

c

∫ dx ∫ dy f (x, y) .

Dies ist stets erlaubt, jedoch nicht notwendig, wenn durch konventionelle Bezeichnung der Integrationsvariablen ihr Integrationsintervall klar ist 2π

X

0

0

∫ dϕ

∫ dx f (x, ϕ) ª

⎛X ⎞ ∫ ⎜⎜ ∫ f ( x, ϕ) dx ⎟⎟ dϕ ª 0 ⎝0 ⎠

2π

2π X

∫ ∫ f ( x, ϕ) dx dϕ . 0 0

(Man beachte, dass die obere Integrationsgrenze hier durch ein großes X bezeichnet wird, die Variable durch ein kleines x.) Sind die Grenzen einer Fläche A oder eines Volumens V bekannt, so bezeichnet man das entsprechende Mehrfachintegral oft kurz mit

∫∫ f ( x, y)dxdy

∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz .

bzw.

A

V

Beispiel: Die konstante Funktion 1 liefert das Integrationsintervall selbst

∫∫ dxdy

∫∫∫ dxdydz

= A bzw.

A

=V.

V

Sind die Grenzen fest, so ist die Reihenfolge der Integration beliebig. Ist dagegen die Grenze einer Variablen y eine Funktion einer anderen Variablen x, so muss zuerst über die erste Variable y integriert werden. Beispiel: Das Volumen unter der Fläche f (x, y) = x + y2 (s. Abb. 28.1) im Rechteck 0 § x § 2 und 0 § y § 1 ist zu bestimmen. Die Integrationsreihenfolge ist beliebig: 2

1

1

2

2

1

2

2 ⎡ 1 ⎞ ⎡ x2 x ⎤ 8 y3 ⎤ ⎛ + dx dy (x + y ) = d x xy = d x x + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = ⎢ + ⎥ = ∫ ∫ ∫ ⎣ ∫ 3 ⎦0 0 ⎝ 3 ⎠ ⎣ 2 3 ⎦0 3 0 0 0 2

1

2

1

1 ⎡ x2 ⎡ 8 y3 ⎤ 2 2⎤ + + dy dx (x + y ) = d y xy = d y (2 + 2 y ) = 2 y 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ∫ ∫ ∫ ⎣2 ∫ 3 ⎦0 3 ⎦0 ⎣ 0 0 0 0 2

276

VIII Integralrechnung

y 2 1 0

2 x

1

Abb. 32.1:

Die obere Integrationsgrenze von y ist eine Funktion von x.

Ist das Volumen unter der Fläche f (x, y) = x + y2 nur im Dreieck 0 § x § 2 und 0 § y § x zu bestimmen (s. Abb. 32.1), so ist nun die obere Integrationsgrenze für y eine Funktion von x. Würden wir zuerst über x integrieren, so wäre am Ende unklar, bis zu welchem Wert sich die Integration über y erstreckt. Daher ist zuerst von 0 bis x über y zu integrieren 2

x

0

0

2 ∫ dx ∫ dy (x + y ) =

32.1

x

2

⎡ y3 ⎤ + d x xy ⎥ = ∫ ⎢⎣ 3 ⎦0 0

2

⎛ 2 x3 ⎞ ⎡ x3 x 4 ⎤ d x ∫ ⎜⎝ x + 3 ⎟⎠ = ⎢⎣ 3 + 12 ⎥⎦ = 4 . 0 0 2

Rotationskörper

Entsteht ein Körper durch Drehung der Fläche unter der (positiven) Kurve f (x) auf dem Intervall [a, b] um den Winkel Δϕ um die x-Achse, so erzeugt jedes kleine Kurvenelement Δs, für das der Funktionswert f als konstant angenommen werden kann, einen Kreisbogen der Länge fÿΔϕ und der Breite Δs. Die Mantelfläche des Rotationskörpers ist dann mit (31.2) und bei vollständiger Drehung um 2π 2π

M=

∫ dϕ 0

b

∫ a

b

f 1 + f '2 dx = 2πÿ ∫ f 1 + f '2 dx .

(32.1)

a

Jedes Flächenelement fÿΔx unter der Kurve erzeugt bei Drehung um den kleinen Winkel Δϕ f ⋅ Δϕ ⋅ f ⋅ Δx . Das Volumen des Rotationskörpers ist damit bei volldas Volumenelement 2 ständiger Drehung um 2π 2π b

V=

∫∫ 0 a

b

f2 dϕdx = πÿ ∫ [ f ( x )]2 dx . 2 a

(32.2)

Unter dem Moment n-ter Ordnung bezüglich der Variablen x versteht man das folgende Integral über das Volumen V eines Körpers

∫∫∫ x dxdydz . n

V

(32.3)

32 Mehrfachintegrale

277

f(x)

Δs

Δϕ a

Δx

x

b

Abb. 32.2: Ein Kurvenstück erzeugt bei Drehung um den Winkel Δϕ um die x-Achse die dunkel getönte Mantelfläche. Die Stirnfläche besitzt bei kleinem Winkel Δϕ die Form eines Dreiecks mit der Basis f (b)ÿΔϕ und der Höhe f (b).

Das Moment nullter Ordnung ist das Volumen selbst, die Momente erster Ordnung liefern die Schwerpunktkoordinaten (xs, ys, zs): xs =

∫∫∫ xdxdydz V

∫∫∫ dxdydz V

ys =

∫∫∫ ydxdydz V

∫∫∫ dxdydz V

zs =

∫∫∫ zdxdydz V

∫∫∫ dxdydz

(32.4)

V

Ebenso lässt sich der Schwerpunkt (xs, ys) der Fläche A unter einer (positiven) Funktion f (x) = y im Intervall [a, b] berechnen: xs =

∫∫ xdxdy A

∫∫ dxdy

=

b b ⎛ f ( x) ⎞ 1 1 x x y = x ⋅ f ( x) dx d d ⎜ ⎟ ⎟ A ∫a ⎜⎝ ∫0 A ∫a ⎠

(32.5)

A

∫∫ ydxdy

b b ⎛ f ( x) ⎞ 1 1 1 ys = = ∫ dx ⎜ ∫ dyy ⎟ = ∫ [ f ( x)]2 dx ∫∫ dxdy A a ⎜⎝ 0 ⎟⎠ A a 2 A

(32.6)

A

Nach (32.2) ist das rechte Integral in (32.6) V/2π. Damit ergibt sich die erste Guldinsche Regel für das Volumen eines Rotationskörpers, der bei Rotation der Fläche A unter einer Funktion um die x-Achse entsteht V = 2πÿAÿys .

(32.7)

278

VIII Integralrechnung

Auch eine Kurve besitzt einen Schwerpunkt. Die y-Koordinate ist b

ys =

∫f

1 + f '2 dx

a

∫

(32.8)

wobei f (x) = y .

b

2

1 + f ' dx

a

Mit (32.1) und (31.2) folgt die zweite Guldinsche Regel: Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Kurvenlänge s und dem Weg 2πÿys des Kurvenschwerpunktes M = 2πÿsÿys .

(32.9)

Beispiel: Der Rand des halben Einheitskreises f(x) = 1 − x 2 (für -1 § x § 1) besitzt die Länge s = π (s. Übung 31.2). Der Schwerpunkt des Randes ist (xs, ys) mit 1

ys =

∫

1 − x2 1 +

−1 1

∫

−1

1+

x2 dx 1 − x2

x2 dx 1 − x2

1

=

∫

1 − x2

−1 1

∫

−1

1 dx 1 − x2

1 dx 1 − x2

=

[dx]1−1 2 = 1 [arcsin x]−1 π

(und aus Symmetriegründen xs = 0, was hier jedoch ohne Belang ist). Die Oberfläche Ω der Kugel mit Radius R = 1 (Einheitskugel) ergibt sich aus dem Weg 2πÿys des Schwerpunktes und der Kurvenlänge s = π zu Ω = 2πÿπÿ2/π = 4π .

(32.10)

Die Oberfläche der Kugel mit dem Radius R berechnet man mit dem Halbkreis der Länge πR (s. Übung 31.2) und dem Schwerpunkt bei ys = 2R/π (s. Übung 32.1) zu AKugel = 2πÿπRÿ2R/π = 4πR2 .

(32.11)

Übungen 32.1 Man berechne die Schwerpunktkoordinate ys des halben Kreisbogens nach (32.8). 32.2 Man berechne die Schwerpunktkoordinate ys der Halbkreisfläche nach (32.6) und daraus das Volumen der Kugel mit der ersten Guldinschen Regel (32.7). 32.3 Man berechne den Schwerpunkt der Fläche unter der Parabel y = kx2 (0 § y § h). 32.4 Man berechne das Volumen des Kegels mit halbem Öffnungswinkel ϕ und Höhe h. 32.5 Man berechne das Volumen des Paraboloids z = kÿ(x2 + y2) der Höhe h. 32.6 Man berechne das Integral der Funktion f (x, y) = x2 + xÿy3 im Kreis mit Radius R = 1 um den Ursprung.

33

Integraltransformationen

Eine Transformation ist eine Umwandlung. Man bezeichnet zum Beispiel den Übergang von einer Vektorbasis in eine andere oder die Vereinfachung einer Matrix als Transformationen. Das Wort bedeutet in der Mathematik etwa dasselbe wie Abbildung. Eine Integraltransformation bildet Funktionen auf Funktionen ab. Im Abschn. 27.2 haben wir z. B. periodische Funktionen durch Linearkombinationen von trigonometrischen Funktionen dargestellt. Dieses Verfahren hätten wir auch im Rahmen des nächsten Abschnittes behandeln können. Wir wollen daher den Stoff hier wieder aufnehmen und zunächst zeigen, dass die Behauptungen (27.5) bis (27.7) zutreffen. Dann werden wir zu nicht periodischen Funktionen übergehen und sehen, dass auch dort eine Fourier-Analyse durchgeführt werden kann, wobei allerdings nicht mehr diskrete Winkelfunktionen der Form cos(kÿω0t) oder sin(kÿω0t) mit k œ Ù0, sondern ein Kontinuum anzuwenden ist, denn eine nicht periodische Funktion kann als periodische Funktion mit unendlich großer Periodenlänge T aufgefasst werden. Für T → ¶ gilt ω0 → 0, und die Winkelfunktionen rücken beliebig nahe aneinander.

33.1

Beweis der Gleichungen für die Fourier-Koeffizienten

Zunächst berechnen wir für m œ Ù das Integral ∫

T /2

−T / 2

cos(mω0 t )dt mit der Substitution x(t) = mω0t,

dx = mω0dt und den Grenzen ≤mÿω0ÿT/2 = ≤mπ 1 mω0

Das Integral 1 mω0

mπ

∫

1 [sin x ]m− mπ π = 0 . mω0

cos xdx =

− mπ

∫

T /2

−T / 2

sin(mω0 t )dt verschwindet für m œ Ù ebenfalls

mπ

∫

− mπ

(33.1)

sin xdx =

−1 [cos x ]m− mπ π = 0 . mω0

(33.2)

Die Integrale (27.5) bis (27.7) können nun durch Umformung der Integranden auf (33.1) und (33.2) bzw. (30.16'') zurückgeführt werden. Aus Übung 7.6 folgt cosmω0t ÿ cosnω0t =

1 [cos((m – n)ω0t) + cos((m + n)ω0t)] . 2

280

VIII Integralrechnung

Der Integrand ist demnach die Summe zweier Kosinusfunktionen, deren Integrale nach (33.1) verschwinden, es sei denn m = n, in welchem Falle der Integrand

1 1 cos((m – n)ω0t) = von 2 2

–T/2 bis T/2 integriert zum Ergebnis T/2 führt. Damit ist (27.5) bewiesen. Aus Übung 7.7 folgt sinmω0t ÿ sinnω0t =

1 [cos((m – n)ω0t) – cos((m + n)ω0t)] 2

mit denselben Ergebnissen für das Integral (27.6) wie oben. Schließlich verwenden wir noch Übung 7.5 mit dem Ergebnis sinmω0t ÿ cosnω0t =

1 [sin((m – n)ω0t) + sin((m + n)ω0t)] . 2

Der Integrand ist demnach die Summe zweier Sinusfunktionen, deren Integrale nach (33.2) verschwinden, und zwar wegen sin0 = 0 auch für den Fall m = n. Damit ist (27.7) ebenfalls bewiesen. (27.8) ist trivial.

33.2

Fourier-Transformation

Schreiben wir in (27.4) a0/2 anstelle von a0, so kann der Koeffizient a0 in die Summe einbezogen und mit derselben Formel (27.9) wie die übrigen berechnet werden. Da der Koeffizient b0 wegen sin0 = 0 nach (27.11) ohnehin verschwindet, wird (27.4) damit zu f (t) =

∞

∑ [ak cos(k ω0t ) + bk sin(k ω0t )] .

(33.3)

k =0

2 π(2k + 1)

ω0 Abb. 33.1:

3ω0

5ω0

7ω0 kω 0 ω

Die Fourier-Koeffizienten bj der Funktion aus Abb. 27.3.

33 Integraltransformationen

281

Wir setzen nun (27.9) und (27.11) ein, wobei τ als Integrationsvariable verwendet wird, da t bereits als Argument für f dient. Der gemeinsame Faktor 2/T = ω 0/π wird herausgezogen und zur Abkürzung die Zählung über ω 0 durch ω k := kω 0 notiert f (t) =

ω0 π

∞

⎡ T /2

∑⎢ ∫ k =0 ⎢

⎣ −T / 2

T /2

f (τ) cos(ωk τ)dτ cos(ωk t ) +

∫

−T / 2

⎤ f (τ) sin(ωk τ)dτ sin(ωk t ) ⎥ . ⎥⎦

Mit T → ¶ geht die Streifenbreite ω 0 (s. Abb. 33.1) gegen Null. Anstelle von ω 0 schreiben wir dω . Die Summe wird zum Integral f (t) =

∞ ∞ ∞ ⎤ 1 ⎡ ⎢ ∫ f (τ) cos(ωτ)dτ cos(ωt ) + ∫ f (τ) sin(ωτ)dτ sin(ωt ) ⎥ dω ∫ π 0 ⎣⎢ −∞ −∞ ⎦⎥

(33.4)

oder kürzer, bei erlaubter Vertauschung der Integrale und mit (7.5): ∞

∞

f (t) =

1 ∫ f (τ) ∫ [cos(ωτ) ⋅ cos(ωt ) + sin(ωτ) ⋅ sin(ωt )] dω dτ π −∞ 0

f (t) =

∞ ⎡∞ ⎤ 1 f (τ) ⎢ ∫ cos ω(t − τ)dω⎥ dτ ∫ π −∞ ⎣⎢ 0 ⎦⎥

(33.5)

Es ist üblich, den Faktor 1/π auf die Integrale aufzuteilen. Damit ergibt sich aus (33.4) der Fouriersche Integralsatz in der Form: f (t) = ϕa(ω) = ϕb(ω) =

1 π

∞

∫ [ϕa ⋅ cos(ωt ) + ϕb ⋅ sin(ωt )] dω

(33.6)

0

1

∞

∫

π −∞ 1

f (τ) cos(ωτ)dτ

(33.7)

f (τ) sin(ωτ)dτ

(33.8)

∞

∫

π −∞

f (t) heißt Zeitfunktion, ϕa und ϕb Spektralfunktionen. Der Satz gilt für uneigentlich absolut integrierbare Funktionen, also für Funktionen der Art ∞

∫−∞ | f (t ) |dt

0) die Zeitfunktion zu p p+δ dieser Bildfunktion. Beispiel: Die Bildfunktion L[e–δtcosωt] der gedämpften Schwingung ist mit L[cosω t] = p p+δ und (33.35) L[e–δtcosω t] = . Also ist e–δtcosω t (für t > 0) die Zeit2 2 p +ω ( p + δ) 2 + ω2 funktion zu dieser Bildfunktion. Übungen 33.1 Man berechne das Fourier-Spektrum für einen Rechteckimpuls der Höhe h, der sich von (–t0) bis (+t0) erstreckt. ∞

33.2 Zeigen Sie, dass für jedes t0 > 0 gilt

sin(ωt0 ) dω = π/2. [Hinweis: Verwenden Sie ω 0

∫

anstelle des in Abb. 33.2 dargestellten Impulses den Impuls aus Übung 33.1.] 33.3 Warum sind die folgenden Funktionen (mit x, y œ —) für x, y ≠ 0 nicht komplex differenzierbar? a) w = x [Hinweis: x = (1ÿx + 0ÿy) + i(0ÿx + 0ÿy)] b) w = iy [Hinweis: iy = (0ÿx + 0ÿy) + i(0ÿx + 1ÿy)] c) w = zÿz* = x2 + y2 [Hinweis: v = 0] 33.4 Man prüfe (33.15) für die folgenden Funktionen (mit x, y œ —):

a) w = z = x + iy b) w = z2 = (x + iy)2 c) w = exp(x + iy) = excosy + iexsiny 33.5 Man prüfe (33.16) für die folgenden Funktionen (mit x, y œ —):

a) w = z = x + iy b) w = z2 = (x + iy)2 33.6 Wie sind a, b, c, d zu wählen, damit w = (ax + by) + i(cx + dy) differenzierbar ist? 33.7 Man berechne die Laplace-Transformierte von g(t) = 2 + 3t – tn.

290

VIII Integralrechnung

33.8 Man berechne die Fourier-Transformierte und die Laplace-Transformierte für einen Impuls der Höhe 1, der sich von 0 bis 1 erstreckt. 33.9 Man beweise tn È−Ë n!/pn+1. 33.10 Man berechne die Laplace-Transformierte von sin(2ω t). 33.11 Man berechne die Laplace-Transformierte von e–δtsin(ω t).

IX Vektoranalysis

34

Differentiation von Feldern

Eine Funktion, deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich ein n-dimensionaler Vektorraum ist, bezeichnet man auch als Skalarfeld. Eine Funktion, deren Funktionswerte Vektoren sind und deren Definitionsbereich ein n-dimensionaler Vektorraum ist, heißt Vektorfeld. In jedem Punkt des Raums ist nicht nur eine Zahl f (V), sondern auch eine Richtung A(V) definiert. Ein Beispiel ist das Vektorfeld A(x, y) = xX0 + yY0 oder der rotierende Einheitsvektor A0(t) = X0cosω t + Y0sinω t . Wir wollen uns im Folgenden auf Felder im dreidimensionalen Raum beschränken, da sie für die Anwendung, z. B. in der Elektrotechnik, von großer Bedeutung sind. Bevor wir aber mit der Differentiation und Integration von Vektorfeldern beginnen, benötigen wir noch einige algebraische Regeln für dreidimensionale Vektoren.

34.1

Vektoralgebra

Das in (8.16) definierte Kreuzprodukt kann mit Hilfe der Matrixschreibweise leicht memorierbar als formale Determinante ausgedrückt werden X0

ax

bx

AäB= Y

0

ay

by

Z

0

az

bz

(34.1)

z. B. X0 0

0

X äY = Y

0

Z0

1 0 0 1 = Z0 . 0 0

Das Spatprodukt besitzt folgende zyklische Umformungen: A ÿ (B ä C) = C ÿ (A ä B) = B ÿ (C ä A)

(34.2)

294

IX Vektoranalysis

Das Produkte aus Seitenfläche und zugehöriger Höhe, zum Beispiel aus der Fläche |A|ÿ|B|sin(A, B) und der zugehörigen Höhe CÿN0 (vgl. (8.18) und Abb. 8.5), ist für einen gegebenen Spat in jedem Falle dasselbe, denn bei Scherung bleibt das Spatvolumen unverändert. Die direkte Rechnung bestätigt (34.2) ebenfalls, z. B. (A ä B) ÿ C = (aybz – azby)cx + (azbx – axbz)cy + (axby – aybx)cz = aybzcx – azbycx + azbxcy – axbzcy + axbycz – aybxcz = axbycz – axbzcy + aybzcx – aybxcz + azbxcy – azbycx = ax (bycz – bzcy) + ay (bzcx – bxcz) + az (bxcy – bycx) = A ÿ (B ä C) . Häufig benötigt man das Produkt A ä (B ä C) = B ÿ (AÿC) – C ÿ (AÿB) .

(34.3)

Der Beweis durch direktes Ausrechen sei dem Leser als Übung 34.3 überlassen. Wir überlegen uns, dass (B ä C) senkrecht auf B und C steht. A ä (B ä C) steht wiederum senkrecht auf dieser Senkrechten, ist also eine Linearkombination A ä (B ä C) = βB + γC mit den reellen Zahlen β und γ in der aus B und C aufgespannten Ebene. A ä (B ä C) steht aber auch senkrecht auf A, so dass das Skalarprodukt mit A verschwindet 0 = A ÿ (A ä (B ä C)) = A ÿ (βB + γC) = βAÿB + γAÿC . Diese Gleichung ist erfüllt für β = AÿC und γ = –AÿB

β = –AÿC und γ = AÿB .

oder

Das in (34.3) gewählte Vorzeichen bestätigt man mit X0 ä (Y0 ä X0) = X0 ä (–Z0) = Y0 = Y0 ÿ (X0ÿX0) – X0 ÿ (X0ÿY0) .

34.2

Differentiation eines Vektorfeldes nach einem Skalar

Die Differenzierbarkeit des Vektorfeldes sei im Folgenden stets vorausgesetzt. Die Definitionsgleichung des Differentialoperators kann direkt angewandt werden: ⎛ da x ⎜ dt ⎜ A(t + Δt ) − A(t ) ⎜ da y dA = lim =⎜ Δt dt Δt →0 dt ⎜ ⎜ daz ⎜ dt ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(34.4)

34 Differentiation von Feldern

295

Aus einem Vektor entsteht so wieder ein Vektor. Wie im Fall reeller Funktionen folgen Summen- und Produktregel:

d dA dB ( A + B) = + dt dt dt d dA dα αA = α +A mit α œ — dt dt dt d dB dA A⋅ B = A +B dt dt dt

(34.5) (34.6) (34.7)

Aus einem Skalar entsteht so wieder ein Skalar. Und aus einem Kreuzprodukt wird schließlich wieder ein Kreuzprodukt: d dB dA A× B = A× − B× dt dt dt

(34.8)

Das negative Vorzeichen in (34.8) ergibt sich aus der Umstellung der Faktoren. Man schreibt den Faktor B besser vor den Differentialoperator, um deutlich zu machen, dass B nicht differenziert werden soll.

34.3

Räumliche Differentiation eines Feldes

Zur partiellen Differentiation nach den drei Raumkoordinaten dient der Nabla-Operator19 ⎛ ∂ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎜ ∂ ⎟ “ = X0 +Y 0 + Z0 =⎜ ⎟ . ∂x ∂y ∂z ∂y ⎜ ⎟ ⎜ ∂ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠

(34.9)

Dieser Differentialoperator ist ein Vektor, der sowohl auf Skalarfelder als auch auf Vektorfelder angewendet werden kann. Eine reelle Funktion F(x, y, z) = F(R) der Raumkoordinaten ist ein Skalarfeld. Ihr totales Differential ist nach (28.6') dF =

19

∂F ∂F ∂F dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z

benannt nach einem phönizischen Saiteninstrument dieser Form.

296

IX Vektoranalysis

Das ist gerade das Skalarprodukt des auf F angewandten Nabla-Operators ⎛ ∂F ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ∂F ∂F ∂F ⎜ ∂F ⎟ +Y 0 + Z0 = grad F(R) := “F(R) = X 0 ∂x ∂y ∂z ⎜ ∂y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂F ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠

(34.10)

mit dem differentiellen Wegstück dR = X0dx + Y0dy + Z0dz dF = “F ÿ dR

(34.11)

so dass wir formal schreiben können “F =

dF . dR

(34.12)

Diese Operation wird auch als Gradientenbildung bezeichnet. Sie erzeugt aus einem Skalarfeld F ein Vektorfeld “F oder grad F. Wenn sich F in der Richtung dR nicht ändert, so verschwindet das Skalarprodukt 0 = dF = “F ÿ dR . Also steht “F senkrecht auf dieser Richtung dR. grad F weist in die Richtung der stärksten Änderung von F. Die räumliche Differentiation eines Vektorfeldes erzeugt ein Skalarfeld. Diesen Vorgang bezeichnet man auch als Divergenzbildung div A(R) := “ÿA(R) ª “A(R) =

∂ax ∂a y ∂az + + . ∂x ∂y ∂z

(34.13)

Hier wird ein Skalarprodukt gebildet. Der Nabla-Operator kann auch in Form des äußeren Produktes mit dem Vektorfeld verknüpft werden. Dann ergibt sich wieder ein Vektorfeld. Diesen Vorgang bezeichnet man auch als Rotationsbildung. Mit (34.1) und (34.9) finden wir rot A(R) := “ ä A(R) ⎛ ∂a ∂a y ⎞ ⎛ ∂a y ∂ax ⎞ ∂a ⎞ 0 ⎛ ∂a x = X0 ⎜ z − − z ⎟ + Z0 ⎜ − ⎟+Y ⎜ ⎟ . ∂z ⎠ ∂x ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂y ⎝ ∂x

(34.14)

Die für diese Differentialoperationen geltenden Produktregeln sind im Folgenden aufgeführt: “(AF) = F(“A) + Aÿ“F = F div A + A grad F “ ä (AF) = F(“ ä A) – A ä“F “(A ä B) = B ÿ (“ ä A) – A ÿ (“ ä B)

(34.15) (34.16) (34.17)

Zur Herleitung der letzten Zeile wird die zyklische Vertauschung der Faktoren so angewandt, dass hinter dem Nabla-Operator jeweils nur ein Vektorfeld steht. Zur Auflösung der Rotation

34 Differentiation von Feldern

297

eines Kreuzproduktes verwenden wir zunächst die BACCAB-Regel (34.3) in der Form, dass alle Vektoren hinter dem Nabla-Operator stehen, sodann die Produktregel “ ä (A ä B) = (“B)A – (“A)B = (Bÿ“)A + A(“B) – B(“A) – (Aÿ“)B

(34.18)

wo (Cÿ“) = cx

∂ ∂ ∂ . + cy + cz ∂x ∂y ∂z

(34.19)

Die Berechnung von “(AÿB) gestaltet sich etwas schwieriger, weil AÿB ein Skalar ist, die Anwendung des Nabla-Operators auf die einzelnen Faktoren aber keinen Gradienten, sondern eine Divergenz liefert. Nach (34.3) ist B ä (“ ä A) = “(BÿA) – (Bÿ“)A A ä (“ ä B) = “(AÿB) – (Aÿ“)B wobei “(BÿA) und “(AÿB) anzeigen, dass der Nabla-Operator nur auf den jeweils zweiten Faktor anzuwenden ist. Damit ergibt sich “(AÿB) = “(BÿA) + “(AÿB) = (Bÿ“)A + (Aÿ“)B + B ä (“ ä A) + A ä (“ ä B) .

(34.20)

Im Folgenden werden einige Beispiele zur Differentiation von Feldern vorgestellt; dabei ist ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ R = ⎜ y ⎟ = X0x + Y0y + Z0z, und A ist ein fester Vektor. ⎜z⎟ ⎝ ⎠ ∂( X 0 x + Y 0 y + Z 0 z) ∂( X 0 x + Y 0 y + Z 0 z ) ∂( X 0 x + Y 0 y + Z 0 z) +Y 0 + Z0 ∂x ∂y ∂z = X0X0 + Y0Y0 + Z0Z0 = 3 .

“ÿR = X 0

“|R| = X 0

= X0 =

∂ x2 + y2 + z 2 ∂ x2 + y2 + z 2 ∂ x2 + y2 + z 2 +Y 0 + Z0 ∂x ∂y ∂z x 2

2

x +y +z

2

+Y 0

y 2

2

x +y +z

2

+ Z0

z 2

x + y2 + z2

R = R0 . |R|

Wenn F nur vom Abstand vom Ursprung abhängt, liefert die Kettenregel “F(|R|) =

dF dF . ⋅ ∇ | R | = R0 d|R| d|R|

298

IX Vektoranalysis

Mit diesem Ergebnis und der Produktregel erhalten wir 3 − R0 R 1 1 2 = = . ∇R + R∇ +R = 2 |R| |R| |R| |R| | R| | R| “|R0| = “1 = 0 . ⎛ ∂z ∂y ⎞ ⎛ ∂y ∂x ⎞ ⎛ ∂x ∂z ⎞ “ ä R = X0 ⎜ − ⎟ +Y 0 ⎜ − ⎟ + Z0 ⎜ − ⎟ = 0 . ∂ ∂ ∂ ∂ y z z x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ “R0 = ∇

Mit A = const. und “ ä R = 0 ergibt sich aus (34.20) ⎛ x⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ay + az ⎟ ⎜ y ⎟ = ax ⎜ 0 ⎟ + a y ⎜ 1 ⎟ + az ⎜ 0 ⎟ = A “(AÿR) = (Aÿ“)R = ⎜ ax ∂ ∂ ∂ x y z ⎝ ⎠ ⎜z⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

und außerdem: “(A ä R) = –A ÿ (“ ä R) = 0 “ ä (A ä R) = A(“R) – (Aÿ“)R = Aÿ3 – A = 2A

34.4

Mehrfache Differentiation eines Feldes

Die Divergenz eines Gradientenfeldes “F berechnet man mit dem Laplace-Operator ΔF divgrad F = “(“F) = (“ÿ“)F =

∂2 F ∂2 F ∂2 F := ΔF . + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(34.21)

Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder angewendet werden, in kartesischen Koordinaten: ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ divgrad A = (“ÿ“)A = ΔA = ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ (X0ax + Y0ay + Z0az) ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x

(34.22)

Davon zu unterscheiden ist graddiv A = “(“A) ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂a ∂a y ∂az ⎞ = ⎜ X0 + +Y 0 + Z0 ⎟ ⎜ x + ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝

(34.23)

worin auch die gemischten Ableitungen auftreten. Weiterhin definiert man rotrot A, während die Rotation eines Gradientenfeldes (34.25) und die Divergenz eines Wirbelfeldes (34.26) identisch verschwinden: rotrot A = “ ä (“ ä A) = “(“A) – ΔA rotgrad F = “ ä (“F) = (“ ä “)F ª 0 divrot A = “(“ ä A) = (“ ä “)A ª 0

(34.24) (34.25) (34.26)

34 Differentiation von Feldern

34.5

299

Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten

Für die Differentiation kugelsymmetrischer Felder ist die Darstellung des Laplace-Operators (34.21) in Polarkoordinaten von Vorteil. Dazu sind die kartesischen Differentiale dx, dy, dz mit Hilfe der Kettenregel durch die Differentiale der Polarkoordinaten dr, dθ, dϕ auszudrücken: ∂ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ ∂ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂ϕ ∂x ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂ϕ ∂x

(34.27)

Die partiellen Differentialquotienten wurden rechts vor die mit ihnen verketteten Differentialoperatoren gezogen, um zu verdeutlichen, dass Letztere nicht auf sie anzuwenden sind. Mit der Produktregel gibt sich daraus die zweite partielle Ableitung nach x: ∂ 2 r ∂ ∂r ∂ ∂ ∂ 2 θ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ 2 ϕ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 2⋅ + ⋅ ∂x ∂x ∂x ∂r ∂x ∂x ∂r ∂x 2 ∂θ ∂x ∂x ∂θ ∂x 2 ∂ϕ ∂x ∂x ∂ϕ

(34.28)

Nun wird ∂/∂x nach (34.27) in die Differentialoperatoren eingesetzt ⎛ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ ∂ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂r ∂ 2 ∂θ ∂ 2 ∂ϕ ∂ 2 ⋅ ⎟ ⋅ 2+ ⋅ + ⋅ =⎜ ⋅ + ⋅ + = ∂x ∂r ∂x ∂r ∂x ∂θ∂r ∂x ∂ϕ∂r ⎝ ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂ϕ ⎠ ∂r ⎛ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ ∂ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂r ∂ 2 ∂θ ∂ 2 ∂ϕ ∂ 2 ⋅ + ⋅ 2+ ⋅ = =⎜ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎟ ∂x ∂r ∂θ ∂x ∂θ ∂x ∂ϕ∂θ ∂x ∂θ ⎝ ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂ϕ ⎠ ∂θ

⎛ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ ∂ ⎞ ∂ ∂r ∂ 2 ∂θ ∂ 2 ∂ϕ ∂ 2 ∂ ∂ = =⎜ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎟ ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂x ∂ϕ ⎝ ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂ϕ ⎠ ∂ϕ ∂x ∂r ∂ϕ ∂x ∂θ∂ϕ ∂x ∂ϕ2 so dass (34.28) schließlich folgende Form erhält: ∂2 ∂2r ∂ ∂r ∂r ∂ 2 ∂r ∂θ ∂ 2 ∂r ∂ϕ ∂ 2 ⋅ ⋅ 2+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 2⋅ + 2 ∂x ∂x ∂θ∂r ∂x ∂x ∂ϕ∂r ∂x ∂x ∂r ∂x ∂x ∂r +

∂ 2θ ∂ ∂θ ∂r ∂ 2 ∂θ ∂θ ∂ 2 ∂θ ∂ϕ ∂ 2 ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∂x 2 ∂θ ∂x ∂x ∂r ∂θ ∂x ∂x ∂θ2 ∂x ∂x ∂ϕ∂θ

+

∂ϕ ∂r ∂ 2 ∂ϕ ∂θ ∂ 2 ∂ϕ ∂ϕ ∂ 2 ∂ 2ϕ ∂ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 ∂x ∂ϕ ∂x ∂x ∂r ∂ϕ ∂x ∂x ∂θ∂ϕ ∂x ∂x ∂ϕ2

(34.28')

Analoge Gleichungen ergeben sich für die Differentialoperatoren ∂2/∂y2 und ∂2/∂z2 des Laplace-Operators. Nun werden die einzelnen Differentialquotienten berechnet. Dazu verwenden wir (8.20) und (8.21), schreiben aber wie schon oben zur Abkürzung r statt |R|

fl

r = x2 + y 2 + z 2

θ = arccos(z/r)

ϕ = arctan(y/x)

(8.20')

x = rÿsinθÿcosϕ

y = rÿsinθÿsinϕ

z = rÿcosθ

(8.21')

2

x +y

2

= rÿsinθ

300

IX Vektoranalysis

und erhalten die ersten Differentialquotienten: ∂r x = = sinθÿcosϕ ∂x r 2

fl

2

∂r y = = sinθÿsinϕ r ∂y

∂r z = = cosθ ∂z r

2

⎛ ∂r ⎞ ⎛ ∂r ⎞ ⎛ ∂r ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1 ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ∂θ xz cos θ ⋅ cos ϕ = = 2 2 2 ∂x r r x +y

(34.29) ∂θ yz cos θ ⋅ sin ϕ = = 2 2 2 ∂y r r x +y

∂θ x2 + y 2 − sin θ = − = ∂z r r 2 x2 + y2 2

fl

2

fl

2

2

1 ⎛ ∂θ ⎞ ⎛ ∂θ ⎞ ⎛ ∂θ ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 2 ∂ x ∂ y ∂ z r ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ϕ − sin ϕ cos ϕ ∂ϕ x −y = 2 = = 2 = 2 2 ∂x r ⋅ sin θ r ⋅ sin θ ∂y x +y x +y 2

(34.30)

∂ϕ =0 ∂z

2

1 ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 2 2 r sin θ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠

(34.31)

Die zweiten reinen Differentialquotienten sind: ∂2r 1 x2 = – r r3 ∂x 2

fl

∂2r 1 y2 = – r ∂y 2 r3

∂2r 1 z2 = – r ∂z 2 r3

∂2r ∂2r ∂2r 2 + + = ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 r

(34.32)

z (r 2 x 2 + y 2 ) − xz (2 x x 2 + y 2 + r 2 x / x 2 + y 2 ) ∂2θ = ∂x 2 (r 2 x 2 + y 2 )2 z (r 2 x 2 + y 2 ) − yz (2 y x 2 + y 2 + r 2 y / x 2 + y 2 ) ∂2θ = 2 ∂y (r 2 x 2 + y 2 )2

( x 2 + y 2 )2 z x 2 + y 2 ∂2θ = ∂z 2 (r 2 x 2 + y 2 )2 fl

∂2θ ∂ 2θ ∂ 2θ z cos θ + + = = ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 r 2 x 2 + y 2 r 2 sin θ ∂2ϕ 2 xy = 2 2 ∂x ( x + y 2 )2

fl

∂2ϕ ∂2ϕ ∂ 2ϕ + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

∂2ϕ −2 xy = 2 2 ∂y ( x + y 2 )2

(34.33) ∂2ϕ =0 ∂z 2

(34.34)

34 Differentiation von Feldern

301

Es zeigt sich, dass die gemischten Differentialquotienten, die als Faktoren bei den gemischten Differentialoperatoren auftreten, bei der Summation über die drei kartesischen Koordinaten alle verschwinden: ∂r ∂θ ∂r ∂θ ∂r ∂θ sin θ cos θ cos 2 ϕ sin θ cos θ sin 2 ϕ cos θ sin θ ⋅ + ⋅ + ⋅ = + − ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z r r r ∂θ ∂ϕ ∂θ ∂ϕ ∂θ ∂ϕ cos θ cos ϕ − sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ +0 r r sin θ r r sin θ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z cos ϕ ∂ϕ ∂r ∂ϕ ∂r ∂ϕ ∂r − sin ϕ sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + 0 ⋅ + ⋅ + ⋅ = r sin θ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z r sin θ

So bleiben für den vollständigen Laplace-Operator in Polarkoordinaten nur die aus den Gleichungen (34.29) bis (34.34) resultierenden Faktoren; sie sind in die Summe aus (34.28') und den entsprechenden Gleichungen für ∂2/∂y2 und ∂2/∂z2 einzusetzen: Δ=

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

Δ=

2 ∂ ∂2 cos θ ∂ 1 ∂2 ∂ 1 ∂2 ⋅ + 1⋅ 2 + 2 ⋅ + 2 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 0⋅ ∂ϕ r ∂r ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r sin θ ∂θ

∂2 ∂2 ⎞ 2 ∂ 1 ⎛ cos θ ∂ 1 ∂2 ⋅ + 2+ 2 ⋅ 2⎟ + ⋅ + 2 ⎜ 2 r ∂r r ⎝ sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ ⎠ ∂r 1 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ 1 ⎛ 1 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂2 ⎞ Δ= 2 ÿ ⋅ ⎜ sin θ ⋅ ⎟ + 2 ⋅ 2 ⎟ ⎜r ⋅ ⎟ + 2 ÿ⎜ ∂θ ⎠ sin θ ∂ϕ ⎠ ∂r ⎠ r ∂r ⎝ r ⎝ sin θ ∂θ ⎝ ∂ ⎞ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂2 ⎤ 1 ⎡∂ ⎛ 1 1 ⋅ ⎜ sin θ ⋅ ⎟ + 2 ⋅ 2 ⎥ Δ = 2 ⎢ ⎜ r2 ⋅ ⎟ + ∂r ⎠ sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ sin θ ∂ϕ ⎦ r ⎣ ∂r ⎝

Δ=

Beispiel: Ein Zentralpotential gehorcht der Gleichung φ =

c für r ≠ 0. Anwendung des r

Laplace-Operators liefert ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂2 ⎤ c 1 ⎡∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ 1 1 sin r ⋅ + ⋅ θ ⋅ + ⋅ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂r ⎠ sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ2 ⎦ r r 2 ⎣ ∂r ⎝ 1 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ c Δφ = 2 ⎜r ⋅ ⎟ ∂r ⎠ r r ∂r ⎝ 1 ∂ 2 −c r 2 Δφ = 2 r r ∂r 1 ∂ Δφ = 2 (–c) r ∂r Δφ = 0 für r ≠ 0 .

Δφ =

(34.35)

302

IX Vektoranalysis

Übungen 34.1 Berechnen Sie für X ∫ 0: X ä (A ä X) + X ÿ (AÿX) 34.2 Berechnen Sie: a) Y0 ä (X0 ä (X0 ä Y0)) b) A ÿ (A ä B) c) (X0 ä Y0) ä X0 d) X0 ÿ (AÿX0) + Y0 ÿ (AÿY0) + Z0 ÿ (AÿZ0) 34.3 Zeigen Sie die BACCAB-Regel: A ä (B ä C) = B ÿ (AÿC) – C ÿ (AÿB) 34.4 Zeigen Sie die Lagrange-Identität: (A ä B) ÿ (C ä D) = (AÿC) ÿ (BÿD) – (AÿD) ÿ (BÿC) [Hinweis: Nach (34.2) ist (A ä B) ÿ C = A ÿ (B ä C), also (A ä B) ÿ (C ä D) = A ÿ (B ä (C ä D)).] 34.5 Berechnen Sie für R ∫ 0: a) div R b) grad 1/|R| c) div R/|R3| d) rot R/|R3|.

[Hinweis: “ ä R|R–3| = |R–3| “ ä R – R ä “|R–3|. (Ein Feld, für das die Rotation verschwindet, nennt man konservatives Feld.)] 34.6 Es gibt neun Möglichkeiten, Paare aus grad, div, rot zu bilden. Prüfen Sie, welche dieser Kombinationen auf Vektoren und welche auf Skalare (oder beides) angewandt werden können. Beschreiben Sie ebenfalls die Bildmengen. Prüfen Sie ferner, welche identisch verschwinden [Hinweis: 2 Paare] und welche nicht definiert sind [Hinweis: 4 Paare].

35

Integralsätze

Die Integralsätze stellen einen Zusammenhang her zwischen dem Feld in einem Gebiet G und an dessen Rand ∑G. Ist das Gebiet ein Volumen, so kann es durch das Integral differentieller Volumenelemente (dies sind keine Vektoren) in orthogonalen Koordinaten d3R = dxdydz beschrieben werden. Der Rand eines Volumens ist eine Fläche, das Integral differentieller Flächenelemente. Wird jedes Flächenelement nicht allein durch seinen Betrag, sondern auch durch seine Richtung gekennzeichnet, zum Beispiel d2R = (X0 ä Y0)dxdy so muss das Integral über die geschlossene Oberfläche eines Volumens verschwinden, weil sich gegensinnige Vektoren aufheben (s. Abb. 35.1). Die Wahl der Normalenrichtung (entweder nach innen oder nach außen weisend) ist zwar freigestellt, muss aber für alle Flächenelemente dieselbe sein, denn insbesondere bei kantenlosen Flächen wie der Kugeloberfläche gibt es keine Grenze, an der ein Wechsel erfolgen könnte.

0

z

No

Nl

0

0

Nr

0

y

Nu

x Abb. 35.1: Darstellung von Flächennormalen eines Würfels. Die Vektoren Nr0 und Nl0 der rechten und linken Seite heben sich ebenso auf wie die Vektoren No0 und Nu0 von Ober- und Unterseite oder die hier nicht dargestellten Vektoren von Vorder- und Hinterseite.

304

IX Vektoranalysis

35.1

Der Satz von Gauß

Das Integral eines Feldes über eine geschlossene Oberfläche muss ebenfalls verschwinden, wenn das Feld konstant ist. Ändert es sich, so gilt die hier am Beispiel der x-Richtung dargestellte Überlegung (s. Abb. 35.1 und Abb. 35.2): An der linken Würfelseite haben wir

A(x, y, z)ÿd2R = axX0 ÿ dydz Nl0 = –axdydz wegen X0ÿNl0 = – 1, und an der rechten Würfelseite ∂a ⎛ ⎞ A(x + dx, y, z)ÿd2R = (ax + dax)X0 ÿ dydz Nr0 = ⎜ ax + x dx ⎟ dydz ∂x ⎝ ⎠ ∂ax dxdydz. Analog werden die beiden übrigen Flächenpaare ∂x behandelt. Für die gesamte Oberfläche ∑V des Würfels erhalten wir

wegen X0ÿNr0 = 1. Netto bleibt

∫v A( R) ⋅ d

2

R =

∂V

∂a y ∂ax ∂az dxdydz + dxdydz + dxdydz . ∂x ∂z ∂y

Es ist üblich, in diesem Zusammenhang nur ein Integralzeichen zu verwenden, weil d2R ebenso wie d3R als ein Differential interpretiert werden kann. Geteilt durch das differentielle Volumen dxdydz ergibt sich ∂a y ∂ax ∂az 1 + + ≡ “A(R) = lim V → 0 ∂y ∂z V ∂x

∫v A( R) ⋅ d

2

R.

∂V

z

dz

ax X

0

(a x + dax)X

0

dy dx y x Abb. 35.2: In das Skalarprodukt aus Flächenelement (Y0 ä Z0)dydz und Vektor A geht nur dessen x-Komponente axX0 ein, da Y0 ÿ (Y0 ä Z0) = 0 und Z0 ÿ (Y0 ä Z0) = 0. ax kann sich mit dx ändern.

35 Integralsätze

Abb. 35.3:

305

Bei zwei zusammengesetzten Würfeln entfallen die Beiträge der inneren Oberflächen.

Fügt man mehrere Volumenelemente zusammen, so entfallen die inneren Flächen im Integral aufgrund der gegensinnigen Normalenvektoren. Somit bleibt nur das Integral über die äußere Oberfläche. Bei genügender Verfeinerung der Würfelstruktur gilt daher für jedes beliebige Volumen der Satz von Gauß:

∫ d R div A( R) = ∫v d 3

2

R ⋅ A( R)

(35.1)

∂V

V

Als Beispiel berechnen wir die Divergenz des Vektorfeldes R mit Hilfe einer konzentrisch um den Ursprung gelegten Kugel. Für jedes Oberflächenelement ist d2RÿR = |d2R|ÿ|R|, weil R parallel zu der Normalen des betreffenden Oberflächenelementes steht. Mit |R| als multiplikativer Konstante, (32.11) und dem Ergebnis aus Übung 34.5a, div R = 3, wird (35.1) zu 3∫ d 3 R = | R | V

∫v| d

2

R | = 4π|R|3 .

∂V

Als Nächstes betrachten wir ein Skalarfeld F(R) und übertragen Abb. 35.2 auf diesen Fall. An der linken Würfelseite haben wir F(x, y, z) d2R = F dydz Nl0 = F dydz (–X0) wegen Nl0 = –X0, und an der rechten Würfelseite wegen Nr0 = X0 ∂F ⎛ F(x + dx, y, z) d2R = (F + dF) dydz Nr0 = ⎜ F + dx ∂x ⎝

⎞ 0 ⎟ dydz X . ⎠

Mit den entsprechenden Ergebnissen für die übrigen Flächen folgt

∫v F ( R) d

∂V

2

R =

∂F ∂F ∂F dxdydz X0 + dxdydz Y0 + dxdydz Z0 ∂x ∂z ∂y

oder X0

1 ∂F ∂F ∂F ≡ “F(R) = lim +Y 0 + Z0 V →0 V ∂x ∂y ∂z

∫v F ( R) d

2

R.

∂V

Setzt man mehrere Volumenelemente zusammen, so entfallen die inneren Flächen im Intergral aufgrund der gegensinnigen Normalenvektoren. Somit bleibt nur das Integral über die

306

IX Vektoranalysis

äußere Oberfläche. Bei genügender Verfeinerung der Würfelstruktur gilt daher für jedes beliebige Volumen

∫ d R grad F ( R) 3

∫v d

=

2

R F ( R) .

(35.2)

∂V

V

Dieser Zusammenhang kann auch direkt aus (35.1) hergeleitet werden. Dazu definieren wir A(R) = N0F(R) für einen beliebigen, aber festen Einheitsvektor N0. “A(R) = “(N0F(R)) = N0ÿ“F(R). Dies eingesetzt in (35.1) liefert

N0 ÿ ∫ d 3 R grad F ( R) = N0 ÿ V

∫v d

2

R F ( R)

∂V

und da N0 beliebig war, folgt (35.2). Sei schließlich das Feld A(R) ä N0 mit einem beliebigen, aber festen Einheitsvektor N0 gegeben. Hierfür liefert der Satz von Gauß (35.1)

∫d

3

R ∇( A × N 0 ) =

∫v d

2

R ⋅ ( A× N 0 )

∂V

V

also mit (34.2) und (34.17)

N0 ÿ ∫ d 3 R (∇× A) = N0 ÿ V

∫v d

2

R× A

∂V

und da N0 beliebig ist, folgt

∫d

3

R rot A( R) =

2

R × A( R) .

(35.3)

∂V

V

35.2

∫v d

Greensche Sätze

Die Greenschen Sätze sind eine einfache Folge des Satzes von Gauß. Ersetzen wir den Vektor A durch den Vektor F“G, so folgt mit (35.1) und der Produktregel der erste Greensche Satz

∫v F ∇G ⋅ d

2

∂V

R = ∫ ∇( F ∇G ) d 3 R = ∫ (∇F ⋅∇G + F ΔG ) d 3 R V

(35.4)

V

und analog mit dem Vektor G“F

∫v G∇F ⋅ d

∂V

2

R = ∫ ∇(G∇F )d 3 R = ∫ (∇G ⋅ ∇F + GΔF ) d 3 R . V

V

Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung liefert den zweiten Greenschen Satz

∫ ( F ΔG − GΔF ) d R = ∫v ( F ∇G − G∇F ) ⋅ d 3

V

∂V

2

R.

(35.5)

35 Integralsätze

35.3

307

Der Satz von Stokes

Wir betrachten ein in z-Richtung orientiertes, quadratisches Flächenelement G. Die Zirkulation des Vektorfeldes A(R) ist definiert als das Integral

∫v A( R) ⋅ dR

∂Gz

über den Rand ∑G, der wie in Abb. 35.4 dargestellt zu durchlaufen ist (rechte-Hand-Regel). Die einzelnen Beiträge sind (vgl. Abb. 35.4): 1. (X0ax + Y0ay + Z0az) dxX0 = axdx ⎛ ∂a y ⎞ ∂a ∂a ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ dx ⎟ + Z 0 ⎜ az + z dx ⎟ ⎟ dyY0 2. ⎜ X 0 ⎜ ax + x dx ⎟ + Y 0 ⎜ a y + ∂ x ∂ x ∂ x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∂a y ⎞ ⎛ dx ⎟ dy = ⎜ ay + ∂x ⎝ ⎠ 3.

4.

⎛ 0⎛ ∂a y ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ∂ax ⎞ ∂a dy ⎟ + Y 0 ⎜ a y + dy ⎟ + Z 0 ⎜ az + z dy ⎟ ⎟ dx(–X0) ⎜ X ⎜ ax + ∂ ∂ ∂ y y y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ∂a = – ⎜ ax + x dy ⎟ dx ∂ y ⎝ ⎠ (X0ax + Y0ay + Z0az) dy(–Y0) = –aydy

Fast alle Terme heben sich weg, übrig bleibt nur

∫v A( R) ⋅ dR

∂Gz

⎛ ∂a y ∂ax ⎞ ∂a ⎞ 0 ⎛ ∂a y =⎜ − − x ⎟ ÿZ0dxdy . ⎟ dxdy = Z ⎜ ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ∂x

y 3 dy 4

G

2

1 dx

x Abb. 35.4:

Eine in z-Richtung orientierte Fläche.

308

IX Vektoranalysis

Das ist die z-Komponente der Rotation von A multipliziert mit der in z-Richtung orientierten Fläche G. Da die Koordinaten beliebig gewechselt werden können und die Fläche damit beliebig gedreht wird, gilt allgemein rot A(R) = lim

1

G →0 G

∫v dR ⋅ A( R) .

∂G

Fügt man mehrere Flächen aneinander, deren Ränder alle im selben Richtungssinne durchlaufen werden, so entfallen die Beiträge an den inneren Grenzen und es gilt der Satz von Stokes

∫d

2

R ⋅ rot A( R) =

∫v dR ⋅ A( R) .

(35.6)

∂G

G

Sei nun A(R) = N0F(R) ein Skalarfeld mit einem konstanten Einheitsvektor multipliziert. Dann führt der Stokessche Satz auf

∫d

2

R ⋅ (∇ × ( N 0 F )) =

∫v dR ⋅ ( N

0

F)

∂G

G

∫ (d

2

R ×∇) ⋅ ( N 0 F ) =

∫v (dR F ) ⋅ N

0

∂G

G

N 0 ⋅ ∫ d 2 R ×∇F = N 0 ⋅ G

∫v dR F

∂G

und da N0 beliebig ist, erhalten wir allgemein

∫d

2

R × grad F ( R) =

∫v dR ⋅ F ( R) .

(35.7)

∂G

G

Übungen 35.1 Wird der Satz von Gauß (35.1) auf ein Vektorfeld der Form B = rot A angewendet, so kann das Ergebnis mit dem Satz von Stokes (35.6) weiterverarbeitet werden

∫d

V

3

R divrot A( R) =

∫v d

2

∂V

R ⋅ rot A( R) =

∫v dR ⋅ A( R) .

∂∂V

Man zeige den bereits aus (34.26) bekannten Sachverhalt, dass das Ergebnis identisch verschwindet. [Hinweis: Der Rand ∑∑V der geschlossenen Oberfläche ∑V eines Volumens V existiert nicht.] 35.2 Ein Vektorfeld heißt quellenfrei, wenn seine Divergenz verschwindet. Man zeige, dass ein quellenfreies Vektorfeld stets als Rotation eines Vektorfeldes dargestellt werden kann, d. h.

div B ª 0 fl B = rot A .

35 Integralsätze

309

35.3 Analog zu Aufgabe 35.1 wende man (35.3) und (35.7) auf ein Vektorfeld an, das der Gradient eines Skalarfeldes ist und berechne rotgrad F(R) mit Hilfe von ∑∑V = 0. [Bemerkung: In differentieller Form ist dieser Sachverhalt bereits aus (34.25) bekannt. Er gilt für jedes einfach zusammenhängende Volumen (das ist ein Volumen, in dem sich jeder geschlossene Weg auf einen Punkt zusammenziehen lässt – Gegenbeispiel: Torus).] 35.4 Ein Vektorfeld heißt wirbelfrei, wenn seine Rotation verschwindet. Man zeige, dass ein wirbelfreies Feld stets als Gradient eines Skalarfeldes dargestellt werden kann:

rot B ª 0 fl B = grad F . [Hinweis: Man benutze das Ergebnis von Übung 35.3.]

X Differentialgleichungen

36

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Differentialgleichungen (DGL) n-ter Ordnung enthalten die n-te Ableitung f (n) sowie eventuell weitere Ableitungen niedrigerer Ordnung einer Funktion f (x), die Funktion selbst und das Argument x. Gewöhnliche Differentialgleichungen enthalten keine partiellen Differentialquotienten. Lineare Differentialgleichungen enthalten keine Produkte der Funktion oder ihrer Ableitungen mit der Funktion oder ihren Ableitungen. Homogene Differentialgleichungen enthalten kein absolutes Glied. Eine Differentialgleichung liegt in Normalform vor, wenn der Koeffizient der höchsten Ableitung 1 ist. Beispiele: f '' + f = 0 ist eine gewöhnliche, lineare und homogene DGL 2. Ordnung. f '''ÿf + ( f '')2 + h = 0 mit h ≠ 0 ist eine gewöhnliche, nichtlineare und inhomogene DGL 3. Ordnung. b

d

d

2 ⎛ h⋅ x ⎞ ⎛ ∂f ( x, y, z ) ⎞ 2 ⎟ ⎟ = kÿy + f (x, y, 0)ÿsin ⎜ ∂z ⎠ ⎝ f (0, y, z ) ⎠

∫a dx ∫c dy ∫a dz f (x, y, z) + ⎜⎝

ist eine partielle nichtlineare Integro-Differentialgleichung „mit allem“; so etwas wird im Folgenden nicht behandelt. Aufgabe der Theorie der Differentialgleichungen ist es, Funktionen anzugeben, welche die Differentialgleichungen erfüllen. Dazu ist es nützlich, einen Vorrat an Funktionen zur Verfügung zu haben. Zum Beispiel wissen wir bereits ohne Rechnung: Die DGL f ' – f = 0 wird gelöst durch die Funktion ex. Die DGL f '' – f = 0 wird gelöst durch sinhx und coshx und ex. Die DGL f '' + f = 0 wird gelöst durch sinx und cosx und eix. Linearkombinationen dieser Lösungsfunktionen und deren Produkte mit konstanten Faktoren sind ebenfalls Lösungen.

314

X Differentialgleichungen

36.1

Homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten20

Homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten ak werden am einfachsten gelöst, indem die DGL 0 = a0 f + a1 f ' + a2 f '' + … + anf (n) =

n

∑ ak f (k )

(36.1)

k =0

durch die Substitution (Lösungsansatz)

f = Cepx fl f (k) = pkCepx = pkf

(36.2)

in eine algebraische Gleichung umgewandelt wird. Meistens ist die triviale Lösung C = 0 uninteressant. In allen anderen Fällen ist f ≠ 0, so dass durch f dividiert werden kann. Dann ergibt sich die sogenannte charakteristische Gleichung der DGL, eine algebraische Gleichung 0 = a0 + a1p + a2p2 + … + anpn =

n

∑ ak p k

(36.3)

k =0

die nach bekannten Methoden gelöst wird. Nach Abschn. 15 existieren n (verschiedene oder identische) Wurzeln pi. Sind alle pi verschieden, so ergibt sich die allgemeine Lösung der DGL aus der Linearkombination

f (x) = C1ep1x + C2ep2x + … + Cnepnx .

(36.4)

Die Konstanten Ci müssen durch Nebenbedingungen festgelegt werden. Sind mindestens zwei Exponentialfaktoren gleich, z. B. pi = pj, so erhält man mit Cij = Ci + Cj eine unvollständige, da nur aus (n – 1) Summanden bestehende Lösung. In diesem Fall bilde man eine vollständige Lösung unter Verwendung des Terms (Ci + xCj )epix

f (x) = C1ep1x + C2ep2x + … + (Ci + xCj)epix + … + Cnepnx .

(36.5)

Als Beispiel betrachten wir die DGL

f '' + f ' – 2f = 0 . Die charakteristische Gleichung p2 + p – 2 = 0 besitzt die beiden Lösungen p1 = 1 und p2 = –2. Die allgemeine Lösung der DGL lautet damit

f (x) = C1ex + C2e–2x . Durch zwei Nebenbedingungen wie z. B.

f (0) = A fl C1 + C2 = A und f '(0) = B fl C1 – 2C2 = B werden die freien Konstanten festgelegt C1 =

20

2A + B 3

und C2 =

n

A− B 3

Falls die inhomogene DGL ∑ ak f ( k ) = c mit a0 ∫ 0 vorliegt, führt die Koordinatentransformation f → g mit k =0

a0g(0) = a0f (0) – c und g(k) = f (k) für k œ Ù zu einer homogenen DGL.

36 Gewöhnliche Differentialgleichungen

315

und die allgemeine Lösung ist unter diesen Nebenbedingungen

f (x) =

2 A + B x A − B –2x e . e + 3 3

Weitere Beispiele in Normalform: f '' – f = 0 f '' = 0 f ''' + f '' = 0 f '' + f = 0

fl fl fl fl

f (x) = C1ex + C2e–x . f (x) = C1 + xC2 . f (x) = C1 + xC2 + C3e–x . f (x) = C1eix + C2e–ix .

p1,2 = ±1 p1,2 = 0 p1,2 = 0, p3 = –1 p1,2 = ±i

Die komplexen Exponentialfaktoren pi im letzten Beispiel können mit Hilfe der Eulerschen Gleichung (25.9) aufgelöst werden C1eix + C2e–ix = (C1+ C2)cosx + i(C1 – C2)sinx .

36.2

Lineare DGL mit Störfunktion

Häufig enthalten DGL neben der Funktion f (x) und ihren Ableitungen noch eine Funktion g(x); Letztere wird Störfunktion genannt: g(x) = a0 f + a1 f ' + a2 f '' + … + an f (n) =

n

∑ ak f (k )

(36.6)

k =0

Um (36.6) zu lösen, suche man zunächst die allgemeine Lösung der homogenen DGL (36.1) und bilde dann die Linearkombination mit einer speziellen Lösung von (36.6). Beispiel: f ' – f = 3 [mit der konstanten Funktion g(x) = 3]. Die Lösung der homogenen DGL lautet (mit p = 1): fhom = Cex; eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL ist finh = –3. Damit ergibt sich die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL zu f (x) = Cex – 3. Sie hätte nach der Fußnote 20 auch durch Koordinatentransformation gewonnen werden können. Das ist im folgenden Beispiel nicht möglich. Beispiel: f ' – f = 3x. Wiederum ist fhom = Cex. Eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL findet man mit dem Ansatz: fl

finh = Ax + B f 'inh – finh = A – (Ax + B) = 3x

Koeffizientenvergleich liefert A – B = 0 und –A = 3, d. h. f 'inh = –3x – 3. Von der Richtigkeit der vollständigen Lösung f (x) = Cex – 3x – 3 überzeuge man sich durch Einsetzen in die DGL.

316

36.3

X Differentialgleichungen

Trennung der Variablen

Nichtlineare DGL lassen häufig eine Separation der Variablen auf verschiedenen Seiten der Gleichung zu, wobei das folgende Schema anwendbar ist dy = y' = g(x)ÿf (y) dx

y' = g(x) f ( y)

fl

fl

dy = g(x)dx f ( y)

und anschließend integriert werden kann. Beispiel: y' = x2 ÿ◊y

⎛x C⎞ y(x) = ⎜ + ⎟ ⎝ 6 2⎠ 3

fl

36.4

dy

fl

y

= x2dx

Ûy –1/2dy = Ûx2dx

fl

fl

2◊y =

x3 +C 3

2

Lösen von DGL mit der Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformierte L[g'(t)] der Ableitung einer Zeitfunktion g(t) kann durch partielle Integration auf die Laplace-Transformierte L[g(t)] der Zeitfunktion zurückgeführt werden: ∞

L[g'(t)] =

0

fl

∞

∞

− pt − pt − pt ∫ g '(t ) ⋅ e dt = ⎡⎣ g (t ) ⋅ e ⎤⎦ 0 + p ∫ g (t ) ⋅ e dt

0

L[g'(t)] = pÿL[g(t)] – g(0)

(36.7)

Die Differentiation im Zeitbereich entspricht der Multiplikation mit einem Faktor im Bildbereich. Die zweite Ableitung wird mit (36.7) L[g''(t)] = pÿL[g'(t)] – g'(0) = p2ÿL[g(t)] – pÿg(0) – g'(0) .

(36.7')

Höhere Ableitungen findet man entsprechend. Durch eine Laplace-Transformation kann eine DGL in eine algebraische Gleichung verwandelt werden, die auch schon die Anfangswerte enthält. Beispiel: Die Laplace-Transformierte der Lösung der DGL g''(t) – 4g(t) + t2 = 0 mit den Anfangsbedingungen g(0) = 0 und g'(0) = 1 findet man mit Hilfe von (36.7') und (33.25') aus p2ÿL[g(t)] – pÿg(0) – g'(0) – 4L[g(t)] + zu L[g(t)] =

−2 + p 3 . p 3 ⋅ ( p 2 − 4)

2 =0 p3

36 Gewöhnliche Differentialgleichungen

317

Damit ist die algebraische Gleichung gelöst. Die Zeitfunktion g(t) berechnet man durch Rücktransformation der Bildfunktion. Zu diesem Zweck ist eine Partialbruchzerlegung der Bildfunktion nützlich

p3 − 2 A B B B C + 1 + 22 + 33 + = 3 2 p−2 p p p+2 p ⋅ ( p − 4) p =

3 1 1 1 1 1 1 5 1 ⋅ + ⋅ + 0⋅ 2 + ⋅ 3 − ⋅ 16 p − 2 8 p 2 p 16 p + 2 p

denn mit (33.25') und (33.26) ergibt sich daraus die Zeitfunktion

g(t) =

3 2t 1 0 1 t 2 5 −2t 1 t 2 5e −2t 3e 2t ⋅e + ⋅t + ⋅ − ⋅e = + − + . 16 8 2 2 16 8 4 16 16

Durch Umstellung von (36.7) erhält man auch die Laplace-Transformierte L[Ûg(t)dt] der Stammfunktion einer Zeitfunktion g(t) L[Ûg(t)dt] = p–1ÿ ( L[ g (t )] + C (0) )

(36.8)

wobei die Integrationskonstante C(0) den Anfangswert der Stammfunktion bezeichnet. Dies kann zur Lösung von Integro-Differentialgleichungen genutzt werden. Übungen 36.1 Man bestimme die allgemeinen Lösungen der folgenden DGL: a) f (4) = x [Hinweis: Schrittweise direkt integrieren und die Konstanten nicht vergessen!] b) f '' + f ' – f = 0 c) f '' + 2f ' + f = 0 36.2 Welche der Lösungen aus Übung 36.1 erfüllen die Anfangsbedingung f (0) = 0? 36.3 Welche der Lösungen aus Übung 36.1 sind stabil, d. h. f (x) < ¶ für x → ¶? 36.4 Man löse die folgenden DGL durch Trennung der Variablen: a) f 'ÿsinx = f ÿcosx b) a – b ÿ y2 = f ' für a > b ÿ y2 36.5 Bei konstanter Temperatur sinkt der Luftdruck p mit zunehmender Höhe dh um den Beitrag der Luftschicht in diesem Intervall, der wiederum proportional zum Luftdruck in dieser Höhe ist. Mit der Proportionalitätskonstante K > 0 ist also dp = –Kpdh. Stellen Sie eine Formel für p(h) auf. Passen Sie K so an, dass p(5,54 km) = p(0)/2. 36.6 Innerhalb des kleinen Zeitintervalls dt ändert sich die Anzahl von N radioaktiven Atomen um dN = –KÿNÿdt (K > 0). Wie lautet das Zerfallsgesetz N(t)? Nach welcher Zeit ist noch die Hälfte der Atome vorhanden?

318

X Differentialgleichungen

36.7 Gegeben sei eine homogene Kugel mit Radius R. Der Laplace-Operator der Funktion f lautet in Polarkoordinaten Δf (r ≤ R) = K > 0, Δf (r > R) = 0. Man bestimme f (r) innerhalb und außerhalb der Kugel. Nebenbedingungen: f (¶) = 0, f (0) < ¶, f und “f sind überall stetig, auch bei R. 36.8 Lösen Sie die DGL des Beispiels von Seite 315 f ' – f = 3x mit der Anfangsbedingung f (0) = 0 mit Hilfe einer Laplace-Transformation.

Literatur [1] E. Zermelo (Hrsg.): Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Springer, Berlin 1932, S. 399. [2] P. Lorenzen: Das Aktual-Unendliche in der Mathematik, Philosophia naturalis 4, 1957, S. 3. http://www.sgipt.org/wisms/geswis/mathe/ulorenze.htm#Das Aktual-Unendliche in der Mathematik [3] W. Mückenheim: Physical Constraints of Numbers, Proceedings of the First International Symposium of Mathematics and its Connections to the Arts and Sciences, A. Beckmann, C. Michelsen, B. Sriraman (Hrsg.), Franzbecker, Berlin 2005, S. 141. http://arxiv.org/pdf/math.GM/0505649 [4] R. Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen?, Vieweg, Braunschweig 1888, S. III. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=46393 [5] E. Nelson: Predicative Arithmetic, Princeton University Press, Princeton 1986, S. 2. http://www.math.princeton.edu/~nelson/books/pa.pdf [6] D. Isles: What evidence is there that 2^65536 is a natural number?, Notre Dame Journal of Formal Logic 33, No. 4, 1992, S. 478. http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.ndjfl/1093634481?abstract [7] D. Hilbert: Über das Unendliche, Math. Ann. 95, 1925, S. 190. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=26816 [8] I. Kant: Kritik der reinen Vernunft, Hartknoch, Riga 1781, Kap. 103. http://gutenberg.spiegel.de/ index.php?id=5&xid=1368&kapitel=103&cHash=3a05522a122#gb_found [9] W. Mückenheim: Die Mathematik des Unendlichen, Shaker, Aachen 2006, S. 137. [10] W.A.J. Luxemburg, S. Koerner (Hrsg.): A. Robinson: Selected Papers, Band 2, North Holland, Amsterdam, 1979, S. 507.

Lexika und Formelsammlungen K. Bosch: Mathematik-Lexikon, Oldenbourg, München 2000. J.J. O’Connor, E. F. Robertson: The MacTutor History of Mathematics archive. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ N. Egge, A. Krowne et al.: PlanetMathOrg. http://planetmath.org/ M. Hazewinkel et al.: Encyclopaedia of Mathematics. http://eom.springer.de/ H. Meschkowski: Mathematisches Begriffswörterbuch, Bibl. Inst., Mannheim 1971. L. Sanger, J. Wales et al.: Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Portal:Mathematics G. Walz et al.: Lexikon der Mathematik, Spektrum, Heidelberg 2003. E. Weisstein et al.: WolframMathworld. http://mathworld.wolfram.com/

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Ergänzende und weiterführende Literatur G. Bärwolff: Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure, Spektrum, Heidelberg 2006. W. Brauch, H.-J. Dreyer, W. Haacke: Mathematik für Ingenieure, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2006. R. Dobbener: Analysis, Oldenbourg, München 2007. R. Dobbener: Lineare Algebra, Oldenbourg, München 2001. G. Dobner, H.-J. Dobner: Lineare Algebra für Naturwissenschaftler und Ingenieure, Spektrum, Heidelberg 2007. J. Erven, D. Schwägerl: Mathematik für Ingenieure, Oldenbourg, München 2008. G.H. Hardy, E.M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie, Oldenbourg, München 1958. N. Herrmann: Höhere Mathematik, Oldenbourg, München 2007. H. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1–2, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2006, 2008. K. Jänich: Lineare Algebra, Springer, Berlin 2008. K. Jänich: Vektoranalysis, Springer, Berlin 2005. T. Needham: Anschauliche Funktionentheorie, Oldenbourg, München 2001. I. Niven, H.S. Zuckermann: Einführung in die Zahlentheorie, Band I, Bibl. Inst., Mannheim 1991. I. Niven, H.S. Zuckermann: Einführung in die Zahlentheorie, Band II, Bibl. Inst., Mannheim 1987. L. Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1–3, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2007–2008. L. Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Klausur- und Übungsaufgaben, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2007. T. Rießinger: Mathematik für Ingenieure, Springer, Berlin 2007.

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Die angegebenen Links zu Internetseiten gelten für den Zeitpunkt der Drucklegung. Erfahrungsgemäß fallen sie im Laufe der Zeit nach und nach aus. Kontakt: [email protected] Homepage: http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/ Dort findet man auch Lösungen zu den Übungsaufgaben: http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Mathematerial/

Stichwortverzeichnis Abbildung 18ff, 33f, 41, 56, 58f, 62, 65f, 69, 99f, 102, 113f, 118f, 121f, 124, 149, 175, 185, 199, 227, 279, 282 Abbildungsmatrix 123 abelsche Gruppe 33f, 65f abgeschlossen 31, 33, 35f, 83, 200, 211f, 242 abklingende Exponentialfunktion 289 Ableitung 6, 52, 139, 141, 156, 207ff, 217, 219, 222ff, 230, 233ff, 243, 245f, 249ff, 257, 261f, 266, 273, 286, 298f, 313, 315f Ableitungsregeln 210 Absolutbetrag 33, 200, 208 absoluter Term 86, 172 absolutes Glied 137f, 146, 313 absolut integrierbar 281 absolut konvergent 196f, 239 Absorptionsgesetz 13 Abstand 69, 71ff, 77, 81, 139, 152, 156ff, 162, 165, 174f, 177, 182, 283, 297 Abszisse 48, 134, 138, 161, 233 Abtrennungsregel 6 Achse 9, 16, 37ff, 48, 59ff, 63, 76ff, 82, 114, 116f, 122, 124f, 144, 147, 150ff, 160, 169ff, 173ff, 177, 251, 276f Achsenabschnitt 78 Additionstheorem 52 adjungierte Matrix 107, 111 Adjunkte 105ff, 111 Ähnlichkeitssatz 288 algebraisch 36, 293, 314, 316f Algorithmus 31, 86, 132 allgemeine Gleichung 70, 146f, 150 allgemeine Lösung 314f, 317 allgemeine Potenz 221

allgemeine quadratische Form 146 allgemeiner binomischer Satz 237 allgemeines Dreieck 53 Allquantor 4 alternierende Folge 186, 238 alternierende Reihe 196, 204, 237f alternierend in den Zeilen 100 analytische Funktion 245, 247 analytische Geometrie 48 Anfangswert 140, 190, 262, 316f angeordneter Körper 35f Ankathete 51 Anordnung 9, 36, 63, antikommutativ 62 antisymmetrisch 17 Approximation 127, 138, 237ff Äquator 177, 182 Äquivalenz 4, 6, 102 Äquivalenzklasse 16, 31, 35, 55, 58, 61, 190 Äquivalenzrelation 16, 21, 58 Äquivalenzumformung 4, 6, 28 Archimedes 50 Arcuskosinus-Funktion 227f Arcuskotangens-Funktion 227f Arcussinus-Funktion 227f Arcustangens-Funktion 227f arithmetisch 10, 41 arithmetische Folge 185 arithmetische Reihe 193 assoziativ 11, 33ff, 56ff, 59, 63, 89f, 94, 132 Assoziativgesetz 6 Ast 162, 174, 226, 257f asymmetrisch 16, 241 Asymptote 161 aufspannen 73f, 82, 178, 180, 294 Aussage 3ff, 14, 25, 36, 69, 100, 110

324 Aussageform 3f Aussagenverknüpfung 4f äußeres Produkt 62, 296 Axiom 25, 33, 36f, 41, 69, 131 BACCAB-Regel 294, 297, 302 Basis 35, 46, 50, 67, 74ff, 82, 112, 118ff, 124f, 216, 221f, 226, 277, 279 Basisvektor 74ff, 82, 114, 119f Bernoullische Ungleichung 30 beschränkt 11, 54, 65, 186ff, 194, 200, 285 bestimmtes Integral 259 Betrag 37, 39, 40, 42, 56, 58f, 61, 64, 69, 71, 75, 81, 180, 245, 303 bijektiv 19f, 34, 41, 55, 113 Bild 18f, 41, 56, 65, 101, 113, 121ff Bildbereich 18f, 316 Bildebene 123f Bildfunktion 285, 288f, 317 Bildmenge 18, 302 Bildraum 122 Bildungsgesetz 28, 185, 188, 241 bilinear 119 binär 15f, 35 Binärzahl 35, 41 Binom 27, 136 Binomialkoeffizienten 27ff, 237ff, 244, 246 Binomialverteilung binomische Formel 26, 209, 215, 237 binomische Reihe 239, 246 binomischer Satz 26, 30, 136, 209, 237 Bolzano 200 Breitengrad 177, 182 Breitenkreis 177 Brennpunkt 152, 156ff, 165, 169, 174 Briggsscher Logarithmus 222 Bruch 34ff, 198, 210, 230, 266 Bruchrechnung 210, 230 Cantor 7 Cardano 137 Cauchy-Folge 189f Cauchy, Restglied 245 Cauchy-Riemann DGL 283 Cauchy, Satz 189, 283

Stichwortverzeichnis Cauchysches Diagonalverfahren 215f Cauchysches Konvergenzkriterium 188f, 202 Cauchysches Multiplikationsschema 238 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 41, 69, 189 charakteristische Gleichung 314 Cornu-Spirale 274 Cramersche Regel 109, 111f Dämpfungssatz 288 Dedekind-Schnitt 36, 190 Defekt 122, 124 Definitionsbereich 9, 12, 18f, 52, 54, 121, 199, 203, 207f, 210ff, 218, 226, 234, 252, 293 Definitionsgleichung 58, 225, 274, 285, 294 Descartes 48 Determinante 99ff, 116, 128, 148f, 293 dezimal 35 Dezimalbruchentwicklung 184 Dezimaldarstellung 8 Dezimalzahl 35, 41 DGL 313ff Diagonale 50, 77, 149, 251 Diagonalelement 17, 106, 108, 148 Diagonalmatrix 144, 147, 148ff Differential 251f, 295, 299, 304 Differentialgleichung 184, 283, 311ff Differentialoperator 208, 250, 294f, 299, 301 Differentialquotient 207ff, 230, 299ff, 313 Differentialrechnung 184, 205ff, 257, 263 Differentiation 209, 249, 252f, 263, 283, 293ff Differenz 32, 164, 185, 193, 229, 239, 242f, 259, 273, 286 Differenz (Matrizen) 89 Differenz (Mengen) 10f, 13 Differenz (Vektoren) 57, 69 Differenzenquotient 207f, 245 differenzierbar 203, 207ff, 222, 225, 242, 245f, 250f, 260ff, 273, 283, 289, 294 differenzieren 222, 228, 244, 250, 252, 282

Stichwortverzeichnis Dimension 65, 83, 121f, 249 dimensional 11, 55ff, 62, 72, 82f, 121f, 143ff, 250, 293 Dimensionszahl 82 disjunkt 10, 16 Disjunktion 4f, 11 Distanz 69 distributiv 35, 58f, 62, 90 Distributivgesetz 6, 11, 62 divergent 187, 193, 196, 204 Divergenz (Feld) 296ff, 305, 308 divergieren 197, 204 Dividend 32 Division 31, 34f, 38f, 41f, 58, 132, 268, 271 Divisionsalgorithmus 31, 132 Divisor 32 Dodekaeder 74 Doppelindizierung 83, 92 Drehachse 116, 170 Drehmatrix 76, 106, 114, 116f, 125, 144, 170, 172 Drehrichtung 116, 170 Drehung 40, 114, 116, 124, 144, 147f, 150, 170, 173, 276f Drehwinkel 116f, 125, 145, 150, 172f dreidimensional 55f, 62, 72, 293 Dreieck 28, 46ff, 74, 179f, 226, 238, 276f Dreiecksform 86 Dreiecksungleichung 69 Dreiervektor 113 dreikomponentig 33 duale Aussage 14 Durchmesser 151, 198, 236 Durchschnitt 10f, 13, 16, 84 Ebene 3, 37, 42, 64, 72ff, 81ff, 113f, 117, 119, 123f, 145, 169ff, 178, 180, 252f, 283, 294 ebene Geometrie 45f Ebenengleichung 73 Eckpunkt 49, 164, 179f, 182 Eigenvektor 149 Eigenwert 149 eindeutig 18f, 29, 36, 56, 82, 88, 95, 100, 102, 109, 120, 127, 133, 143, 170, 201, 207, 227, 234, 273, 275

325 Eindeutigkeit 29, 226 einfach zusammenhängend 309 Einheit 37, 67, 147, 175 Einheitskreis 9, 45f, 50, 226 Einheitskugel 180 Einheitsmatrix 90, 93f, 100, 103, 106, 119 Einheitsvektor 58ff, 69f, 75, 77, 81, 116, 293, 306, 308 Einheitswurzel 40, 42 Einselement 65, 131 Einsvektor 58 Element 7ff, 13, 15ff, 33ff, 55f, 59, 66, 82f, 85, 89, 102, 104f, 107ff Elementarmatrix 92ff, 97 Elementaroperation 83f, 87, 93f, 101, 103, 107 Eliminationsverfahren 84, 88 Ellipse 145, 148, 151ff, 161f, 165, 167ff, 172ff, 253, 271, 274 endlich 185ff, 190, 196, 285 Endpunkt 50, 174, 212 entartet 148, 151, 170, 173 entwickelbar 245 Entwicklungspunkt 243f Entwicklungssatz von Laplace 105 Entwicklungsspalte 109 Epsilon-Delta 199f Epsilon-Umgebung 201 erweitern 34, 211, 238 Euklid 29, 45 euklidischer Raum 11, 55 Euler 46, 179 Euler-Diagramm 9 Eulersche Formel 215 Eulersche Gleichung 39, 228, 315 Evolute 273 Exhaustionsverfahren 50 Existenzquantor 4 explizit 135, 185, 252f, 274, 285 explizite Mittelpunktsgleichung 151, 155, 161, 174 Exponent 28, 35, 208, 218, 221, 224, 234, 238f, 243 Exponentialfaktor 314f Exponentialfunktion 215ff, 229, 261, 282, 286, 289

326 Exponentialrechnung 35, 40 Extremstelle 233, 235 Extremum 233 Exzentrizität 152f, 158, 161, 174f Fadenkonstruktion 154, 164 faktorisieren 134 fallend 187f, 195f, 233 fast alle 190, 203, 307 Feld 249, 293ff, 303f, 306, 309 Fermat 30, 48 Fermatscher Satz 29f, 41 del Ferro 136 Fibonacci 191 Fläche 10, 46ff, 63, 74, 152, 170, 174, 177ff, 182, 198, 236, 257f, 260, 263, 271, 275ff, 294, 303ff, 307f Flächenelement 152, 303ff, 307 Flächennormale 303 Folge 18, 28, 32, 87, 185ff, 193ff, 199, 201ff, 207f, 210f, 215, 220, 239 Fourier 240 Fourier-Analyse 240, 279 Fourier-Koeffizient 242, 279f Fourierscher Integralsatz 281 Fourier-Spektrum 289 Fourier-Transformation 280 Fourier-Transformierte 290 Fundamentalsatz der Algebra 133 Fundamentalsatz der Zahlentheorie 29 Fünfeck 47f, 74 Funktion 18f, 48, 54, 66, 156, 199ff, 207ff, 218, 222, 224, 226, 229f, 233ff, 237ff, 249ff, 257ff, 261ff, 266ff, 273, 275ff, 279f, 281ff, 289, 293, 295, 313, 315, 318 Funktionalgleichung 215, 217f Funktionenfolge 201ff Funktionenreihe 201ff Funktionentheorie 282 Funktion mehrerer Variablen 249ff, 275 Funktionswert 218, 237, 242, 244, 249, 251f, 259, 276, 293 Ganze Zahl 8, 25, 30, 31ff, 36, 40, 88, 137f, 221, 238, 266 ganzzahlig 30, 137f, 141, 221, 240

Stichwortverzeichnis Gärtnerkonstruktion 154 Gauß-Ebene 37 Gauß, Fundamentalsatz der Algebra 133 Gauß-Jordan-Algorithmus 86 Gauß, Satz 304ff, 308 Gaußsches Eliminationsverfahren 84, 88, 100 Gauß und Seidel, Verfahren 127 Gebiet 283f, 303 gebrochen 35, 138, 238, 266ff gedämpfte Schwingung 289 Gegendreieck 179 Gegenkathete 51 Gegenpunkt 179 Gegenrichtung 162 gemischte Ableitungen 250f, 298 gemischte Differentialoperatoren 301 gemischte Differentialquotienten 301 geometrische Folge 186 geometrische Reihe 193ff, 198, 204, 221, 237f geordnetes n-Tupel 55 geordnetes Paar 10 geordnetes Tripel 11, 15, 55 Gerade 3, 16, 21, 45ff, 49, 61, 69ff, 77f, 81f, 125, 138, 145, 148, 151, 166f, 173ff, 213, 233, 273 Geradenabschnitt 45 Geradengleichung 69f, 72 gerade Zahl 3, 9, 29 geradzahlig 32 geschlossen 135, 138, 185, 283, 303f, 308f gewöhnliche DGL 313ff ggT 32 Gleichheit 9, 47, 57 gleichmäßig konvergent 201, 202f, 239 gleichmäßig stetig 200 gleichschenklig 47, 49 gleichseitig 48f, 182 Gleichungssystem 81ff, 89, 92f, 95f, 100ff, 109ff, 120ff, 127f, 149, 170f, 267 Grad 131ff, 146f, 150, 200, 244, 267f Gradient eines Feldes 297, 309 Gradientenbildung 296 Gradientenfeld 298

Stichwortverzeichnis Greensche Sätze 306 Grenze 50, 89, 186, 209, 216, 230, 259, 262f, 266, 270, 275f, 279, 288, 303, 308 Grenzfall 136, 145, 151, 158, 173, 215, 257, 259, 270, 273 Grenzfunktion 201ff Grenzübergang 203, 208f, 239 Grenzwert 184, 186ff, 193, 196f, 199, 203, 207f, 210, 213, 215, 217, 219f, 230f, 235, 239, 259, 262, 275, 282f, 285 Großkreis 177ff größter gemeinsamer Teiler 32 Grundfläche 63, 236 Grundkreisfrequenz 240 Grundseite 53 Gruppe (algebraisch) 33f, 41, 65f Gruppenaxiome 33 Guldinsche Regel 277f Halb 34 Halbachse 151, 153, 155, 174f Halbkreis 46, 278 Halbkreisfläche 278 Halbkugel 179 Halbordnung 17 harmonische Folge 186 harmonische Reihe 193, 196, 204 Häufungspunkt 186ff, 207 Hauptachse 151f, 156, 174 Hauptachsenlage 144, 150 Hauptdiagonale 91, 116, 122 Hauptnenner 38, 221 Hauptscheitel 152, 174 Hemisphäre 179f Hessesche Normalform 72f, 78 Hexagon 48ff, 74 hinreichende Bedingung 86, 233 hinreichende Voraussetzung 208 Höhe 15, 46, 49ff, 53, 63, 154, 174f, 226, 236, 249, 252, 277f, 288ff, 294, 317 Höhenlinie 249, 252 Höhenliniendiagramm 249 holomorphe Funktion 283 homogen 96, 100, 120ff, 313ff, 318

327 Homomorphismus 20 horizontale Tangente 234 Horner-Schema 135, 138 L’Hospitalsche Regel 212f Hyperbel 145f, 148, 151, 160ff, 169, 173ff, 200, 253, 271, 274 Hyperbelfunktion 228f Hyperbelkonstruktion 165 Hyperebene 83 Hypotenuse 47, 50f Idempotenzgesetz 13 identische Abbildung 20, 113 identische Zeilen 100f Identitätssatz 204 Ikosaeder 74 imaginäre Einheit 37 Imaginärteil 37, 283 Implikation 4f implizit 191, 252f implizite Differentiation 252 implizite Form 252 implizite Mittelpunktsgleichung 151, 160f, 174f Index 90, 103, 216f, 222 Indexfolge 87 Indexfunktion 199 Indexkombination 216 Indexmenge 89 Indexvektor 103f Indexvertauschung 92 Indizes 55, 62, 87, 91f, 104, 116, 199 Indizierung 83, 92 Induktion 25ff, 30, 211 Induktionsannahme 26 Induktionsbeweis 25 Induktionsschluss 27f Infimum 186 Infinitesimalrechnung 183ff inhomogen 120ff, 313ff injektiv 19, 56, 58f, 62, 113f Inklusion 8f Innenwinkelsumme 47f, 180 inneres Produkt 59 Integral 32, 257ff, 262ff, 269ff, 275ff, 279ff, 303ff, 307 Integralrechnung 178, 184, 241, 255ff

328 Integralsätze 303ff Integraltransformationen 279ff Integrand 32, 257, 262, 266, 279f Integration 237, 241, 259, 261ff, 265, 269, 271, 275f, 283, 286, 288, 293, 316 Integrationsgrenze 259, 262, 266, 270, 275f, 288 Integrationsintervall 275 Integrationskonstante 258f, 317 Integrationsmethoden 261ff Integrationsreihenfolge 275 Integrationsvariable 262, 275, 281, 285 Integrationsweg 283 integrierbar 269, 281 integrieren 240, 260, 263, 266ff, 273, 275f, 280, 316f Integro-Differentialgleichung 313, 317 Intervall 138, 140f, 186ff, 196, 200ff, 211f, 242, 245f, 249, 257ff, 262, 269, 271, 273ff, 285, 317 Intervallhalbierung 141 Intervallschachtelung 140 inverse Abbildung 20 inverse Matrix 93ff, 102, 109, 113, 115f, 145, 149, 172 inverser Vektor 56 Inverses 33, 35, 59, 93ff, 111 Inversion 93 irrational 36, 138, 184, 189f, 216, 221 irreduzibel 133, 269 irreguläre Matrix 96, 101 irreguläres Gleichungssystem 120 isolierter Punkt 207 Isomorphismus 20, 113 Iteration 127f, 139 Iterationsverfahren 139 Kanonische Basis 75f, 119 Kante 67, 74, 77 Kantenlänge 198 kantenlos 303 Kardinalzahl 8 kartesisch 9f, 15, 19, 48f, 55, 59, 61, 64f, 76f, 150, 158, 166, 177, 298f, 301 Kastenfunktion 241f Kastenimpuls 286, 288

Stichwortverzeichnis Kathete 47 Kegel 145, 169ff, 278 Kegelschnitt 145, 148, 150, 151ff Kehrwert 34, 51, 187, 273 Kern 121ff, 149 Kettenregel 210ff, 221, 223f, 252, 283, 297, 299 Klassen quadratischer Formen 145 Klothoide 274 Koeffizient 74, 81f, 85f, 88f, 93, 102, 105, 127f, 137f, 145ff, 151, 160, 172f, 238, 240f, 244, 267, 280, 313f Koeffizientenvergleich 137, 267f, 315 kollinear 73 kommutativ 11, 33, 35, 56ff, 84, 89f, 93, 116, 131 Kommutativer Ring 131 Kommutativgesetz 6 Komplement 12 komplex 138, 148, 282f, 288, 315 komplex differenzierbar 283, 289 komplexe Analysis 282 komplexe Ebene 37, 42, 283 komplexe Funktion 282 komplexe Nullstelle 133f, 138, 269 komplexer Abstand 283 komplexes Argument 229, 282 komplexes Polynom 133 komplexe Zahl 8, 36, 37ff, 66, 133, 199 komplex konjugiert 38, 42, 134, 269 Komponente 39, 55, 58, 60, 62, 70, 72f, 75, 81, 99, 113, 157, 163, 304, 308 Komponentenform 38, 40ff komponentenweise 38, 56 konditioniert 128 kongruent 31, 179f Konjunktion 4f, 11 Konklusion 5 konservatives Feld 302 Konstruktion 46f, 49f, 154, 163 Kontradiktion 6 Kontraposition 5 konvergent 187ff, 193, 195f, 198, 201ff, 237 Konvergenz 188f, 196, 202ff

Stichwortverzeichnis Konvergenzintervall 245 Konvergenzkriterium 187ff, 194, 196, 275 Konvergenzradius 203f, 246, 271 Konvergenzverhalten 188, 196f, 204 konvex 283 konzentrisch 64, 154, 177, 305 Koordinaten 10, 48f, 55, 64, 82f, 114, 145, 152, 157ff, 163, 166ff, 171f, 174f, 177f, 277, 298, 301, 303, 308 Koordinatenachse 59 koordinatenfrei 58 Koordinatengleichung 166, 168 Koordinatensystem 9, 19, 48f, 55, 60f, 63, 65, 67, 71, 76f, 81, 113, 137, 144, 147, 150, 157ff, 167f, 170f, 177, 180, 288 Koordinatentransformation 143ff, 151, 158, 314f Koordinatenvektoren 119f Körper (algebraisch) 35f, 41, 65f, 131 Körper (geometrisch) 74, 276 Körperaxiome 36 Korrespondenz 285, 288 Korrespondenznotation 285 korrespondierendes Paar 285 Kosinus 51, 116 Kosinusfunktion 225, 229, 241, 280, 287 Kosinus hyperbolicus 229 Kosinussatz 52f, 60 Kotangens 51 Kotangensfunktion 225 Kotangens hyperbolicus 230 Kreis 46, 49f, 117, 145, 148, 151f, 154f, 158, 160, 162, 166f, 169f, 173, 175f, 188, 236, 278, 284 Kreisbogen 45f, 50, 226, 273, 276, 278 Kreisbogenfunktion 226 Kreisfläche 50, 263 Kreismittelpunkt 167f Kreisradius 45, 50 Kreisumfang 45, 274 Kreuzprodukt 62f, 66, 72, 293, 295, 297 Kroneckersches Delta-Symbol 61 Krümmung 233f, 273f Krümmungsmittelpunkt 273f

329 Krümmungsradius 273 Kubikwurzel 40 kubische Gleichung 136f Kugel 64, 198, 236, 278, 305, 318 Kugeldreieck 179ff Kugelkoordinaten 65, 177 Kugelmittelpunkt 177 Kugeloberfläche 177f, 303 Kugelradius 177 kugelsymmetrisch 299 Kugelzentrum 178 Kugelzweieck 179, 182 Kurve 155, 207, 213, 233f, 253, 273f, 276, 278 Kurvendiskussion 233ff Kurvenkrümmung 273 Kurvenlänge 273, 278 Kurvenschwerpunkt 278 Lagrange-Identität 302 Längengrad 177, 182 Laplace 105f, 108 Laplace-Entwicklung 105f, 108, 111 Laplace-Operator 298f, 301, 318 Laplacesche Differentialgleichungen 283 Laplacescher Entwicklungssatz 105 Laplace-Transformation 184, 282, 284f, 287, 316, 318 Laplace-Transformierte 285f, 288ff, 316f leere Menge 9f, 13, 17 leere Zeile 100 Leibniz 207 Leibniz-Kriterium 196, 204 Leibnizsche Notation 210 Leitgerade 157, 159, 165, 169 Limes 187, 210 linear 17f, 20, 99, 113, 124, 133, 147, 179, 274 linear abhängig 74, 102, 123 lineare Abbildung 20, 34, 99, 113, 121, 124 lineare Algebra 79ff lineare DGL 313ff lineare Exzentrizität 152f, 161, 174 lineare Form 143, 174 lineare Funktion 200, 208, 286 lineare Gleichung 81, 89, 95

330 lineare Ordnungsrelation 17 lineares Gleichungssystem 81ff, 93, 95, 101, 103, 109, 120, 123f, 127f, 149 Linearfaktor 133f, 137, 235, 266ff, 282 Linearität 21, 100f, 105 Linearkombination 32, 74f, 82, 100, 266, 279, 294, 313ff linear unabhängig 74f, 77, 82, 100 linksgekrümmt 234 Linksinverses 93f links total 18 logarithmische Integration 265 logarithmisches Differenzieren 222 Logarithmus 218, 221f Logarithmusfunktion 218f logarithmus naturalis 218 Logik 3ff logische Aussage 9, 14 logische Gesetze 6 logische Verknüpfung 4 Lösung 4, 36f, 41, 81ff, 87, 89, 95f, 101f, 109f, 112, 120ff, 127f, 135ff, 140f, 149, 259, 267, 313ff Lösungsansatz 314 Lösungsfunktion 313 Lösungsmenge 81ff, 88, 112, 120ff, 135, 170 Lösungsvektor 128 Lösungsverfahren 103, 135 Lot 45ff, 49f, 154, 273 MacLaurin-Entwicklung 246 MacLaurin-Reihe 245, 247 Majorante 190, 195, 198, 204 Majorantenkriterium 194, 203, 269 Mantelfläche 170, 276ff Maßstabsstreckung 113 mathematisch positiv 39, 76, 116, 124, 170 Matrix 33, 89ff, 99ff, 107ff, 113ff, 143ff, 279 Matrixaddition 89f Matrixelement 105, 108 Matrixinversionsverfahren 95 Matrixmultiplikation 33, 90, 93f, 101, 116

Stichwortverzeichnis Matrixprodukt 91f Matrixschreibweise 293 maximal 87, 96, 100, 188, 236 Maximum 233ff, 245 Mehrfachintegral 275ff Menge 7ff, 15ff, 25, 29, 31, 33ff, 41, 49, 55, 65f, 71, 81, 83, 121f, 124, 131, 135, 177, 190 Mengendiagramm 9, 13 Mengenklammer 8 Mengenoperation 9 Mengensubtraktion 10 Meridian 177 Metrik 69, 71, 118 metrischer Raum 69 Minimum 233ff Minorante 190, 196 Mittelpunktsgleichung 151, 155, 157, 160ff, 174f Mittelwert 241 Mittelwertsatz 211f, 245 Modul 32 modulo 31 modus ponens 6 modus tollens 6 Moment 276f monoton 187f, 195f, 210, 217f, 285 Monotonie 188, 218f de Morgan 6, 12f multilinear 99, 102 Multilinearität 102 Multiplikationstheorem für Determinanten 103 Multiplizität 133f, 136 Nabla-Operator 295ff Näherung 127f, 128, 138, 141, 237, 242f, 252, 257 natürlicher Logarithmus 218, 221f natürliche Zahl 3, 7f, 11, 25ff, 29, 31, 36f, 55, 185ff, 209, 221, 237, 240, 242 n-dimensional 11, 62, 72, 82, 121, 293 Nebenachse 151f Nebenbedingung 252, 314f, 318 Nebenscheitel 152, 155 n-Eck 47 Negation 4ff

Stichwortverzeichnis negativ 10, 61, 100, 104, 117, 134, 137, 141, 162, 170ff, 194, 197, 217f, 237f, 295 negativer Vektor 56f negatives Element 66 negative Zahl 31, 33, 35f, 41, 238 Nenner 29, 34f, 266ff neutrales Element 13, 33ff, 56, 59, 66 Newton 207, 215 Newtonsche Notation 210 Newton-Verfahren 139ff nichtabelsch 33f, 41 nichtlinear 17, 313, 316 Nordpol 177ff, 182 Normale 45, 72, 77, 123f, 178, 273, 303, 305 Normalenrichtung 303 Normalenvektor 63, 71, 73, 81f, 305 Normalform (einer DGL) 313, 315 Normalform (eines linearen Gleichungssystems) 86ff, 93, 103 Normalform (eines Polynoms) 135, 137 Normalform (Hessesche) 72f, 78 Normalform (reduzierte) 86ff, 93, 103 normiert 75, 81, 135, 137f notwendige Bedingung 86, 193, 196 n-Tupel 11, 55, 83 Null 3, 32, 35, 86, 91, 101f, 105f, 127, 187, 196, 202, 209, 233, 240, 243, 245, 250, 252, 259 , 281 Nullfolge 187, 190, 195f Nullmeridian 177f, 180 Nullpolynom 132 Nullpunkt 67, 241, 250f, 284 Nullstelle 132ff, 137ff, 200, 235, 268f nullte Näherung 127, 242 nullten Grades 133 nullte Ordnung 277 nulltes Glied 221 Nullvektor 56, 62, 83, 110, 121 Nullzeile 101 numerisch 127, 135, 237 numerische Exzentrizität 153, 158, 161, 174f OBdA 29, 151, 179, 187, 237 obere Dreiecksform 86

331 obere Grenze 186, 259, 262 obere Schranke 186f, 259 Oberfläche 198, 303ff, 308 Oberflächenelement 305 Obermenge 8f, 17 Obersumme 258 offenes Intervall 186, 246 Öffnungswinkel 169f, 278 Oktaeder 74 ONB 75, 118f Ordinate 48, 54, 154, 157, 160, 162, 241 Ordinatenabschnitt 233 Ordnung 17, 36, 41, 104f, 127, 243, 250f, 253 Ordnungsrelation 16ff, 21 Oresme 35 Originalfunktion 285 orthogonale Koordinaten 303 orthogonale Koordinatentransformation 143f orthogonale Matrix 116, 118, 120 orthogonale Transformation 118 orthogonale Vektoren 75 Orthonormalbasis 74ff Ortsvektor 55 Paar 10, 17, 31f, 35, 56, 136, 173, 285, 302, 304 paarweise 75, 133 Parabel 145, 148, 151, 158ff, 162, 165, 169, 173, 175, 200, 253, 257f, 271, 274, 278 Parabelscheitel 159 parallel 16, 21, 28, 57, 61, 81f, 180, 212f, 305 Parallele 45 Parallelepiped 63 Parallelschaltung 5 Parallelverschiebung 63f, 146ff, 155, 159, 162 Parameter 71, 73, 155, 159, 162, 174f, 240, 274 Parameterdarstellung 70, 274 Parameterform 157, 163 Parkettierung 48 Partialbruch 266, 268 Partialbruchzerlegung 32, 266ff, 271, 317

332 Partialsumme 193f Partialsummenfolge 193 partielle Ableitung 249f, 252f, 299 partielle Differentialquotienten 299, 313 partielle Differentiation 249, 283, 295 partielle Integration 263, 286, 316 partielle Ordnungsrelation 17 Pascalsches Dreieck 28, 238 Pentagon 48, 50, 74 Periode 54 Periodenlänge 240, 279 periodisch 54, 216, 240, 279 Peripheriewinkel 49 Permutation 103f, 106 Pfeil 55ff, 65 von Pisa 31, 191 Pivotelement 85 Platonischer Körper 74 Platzhalter 88 Polardarstellung 40 Polare 166ff Polarengleichung 168 Polarform 39, 41f, 284 Polargleichung 156f, 159, 162f, 174f Polarkoordinaten 39, 64f, 299, 301, 318 Polarvektor 55 Polyeder 74 Polygon 48, 74 Polynom 131ff, 200, 209, 217, 242f, 266ff, 282, 288 Polynomdivision 268, 271 positiv definit 119 Potential 64 potentiell unendlich 25 Potenz 133, 135, 137, 146, 190, 209, 219, 221, 238f, 251, 267f potenzieren 218, 222 Potenzmenge 17 Potenzrechnung 36 Potenzreihe 203f, 209, 242, 245 Potenzreihenentwicklung 237 Prämisse 5 Primfaktor 29 Primfaktorzerlegung 29, 36, 138 Primzahl 29f, 32, 133, 185 Primzahlsatz 29 Prinzip des falschen Ansatzes 138

Stichwortverzeichnis Produkt 10f, 14f, 28f, 59, 61ff, 81, 89, 91f, 97, 104, 134, 137, 210, 213, 215, 236, 265, 278, 294, 296, 313 Produktmatrix 108 Produktmenge 10, 18 Produktregel 211, 213, 244, 263, 295ff, 306 Produktreihe 231 Projektion 61, 72, 77 Ptolemäus 177 Punktspiegelung 117 Punktsymmetrie 234, 270 punktsymmetrisch 54 punktweise konvergent 201f Pyramide 67 Pythagoras, Satz 46f, 49, 51, 56, 273 Pythagoras, Winkelsatz 61 Quadrat 36f, 47f, 49, 60, 69, 74, 182, 236 quadratische Ergänzung 135 quadratische Form 143ff, 151, 160, 174f quadratische Gleichung 135ff, 145ff quadratische Matrix 90f, 93, 99, 101, 118 quadratisches Flächenelement 307 quadratisches Gleichungssystem 127 quadratisches Glied 136f, 147, 155 quadratisches Polynom 269 Quadratwurzel 36ff, 40, 47, 189 Quantor 4 Quotient 32, 185, 193, 221, 267 Quotientenkriterium 194, 196, 203f Quotientenregel 211f, 250 Radius 45f, 50, 64, 151ff, 159f, 162ff, 170, 174, 182, 273, 278, 284, 318 Radiusvektor 157, 163, 166f, 305 Radizieren 40 Rang 87, 96, 100, 109, 122, 124, 144 rational 8, 30f, 34ff, 138, 189f, 239, 266ff Raum 11, 55, 58, 65, 69, 74, 83, 113f, 118, 138, 271, 293 Raumdiagonale 77, 198 Raumkoordinaten 118, 295 räumliche Differentiation 295f Raum-Zeit-Kontinuum 83 Realteil 37, 283 Rechteck 46, 61, 236, 275

Stichwortverzeichnis rechteckig 236 Rechteckimpuls 281f, 286, 288f Rechte-Hand-Regel 63, 307 rechter Winkel 45ff rechts eindeutig 18 rechtsgekrümmt 234 Rechtsinverses 93f Rechtssystem 55, 63 reduzibel 133 reduzierte Form 144 reduzierte Normalform 86ff, 93, 103 reell 4, 37, 136, 145, 148, 185, 282f reelle Achse 38f reelle Funktion 66, 199, 282, 295 reelle Matrix 119 reelle Nullstelle 134 reeller Exponent 221, 239 reeller Hauptnenner 38 reeller Koeffizient 240 reelles Argument 229 reelles Polynom 131, 134, 200 reelle Variable 131, 282 reelle Zahl 8, 20, 25, 36f, 41, 55ff, 65f, 69, 82, 93, 99, 105, 119, 133, 135, 145, 185f, 188ff, 199, 209, 215, 228, 239, 246, 293f reflexiv 16f Regula falsi 138f, 141 reguläre Matrix 103, 111 reguläres Gleichungssystem 120 reguläres Polyeder 74 Reihe 193f, 199, 201ff, 215, 221, 229, 237ff, 246, 271 Reihe (Matrix) 103, 106f Reihenentwicklung 39, 228f, 246, 271 Reihenglied 195, 204 Reihenschaltung 5 Reihenverdichtung 193, 195f reine Ableitungen 250 reine Differentialquotienten 300 Rekursionsformel 185, 189, 191, 265 rekursiv 87, 185 Relation 8, 15ff, 58, 252 Repräsentant 16, 55 Rest 3, 16, 29, 31f, 34, 132, 202, 209, 221 Restglied 244ff Restklasse 31

333 Richtung 39, 55, 58f, 61, 63f, 69f, 117, 124, 147, 150f, 155, 159, 162, 168, 172, 175, 178, 250, 252, 293, 296, 303f, 307f Ring 131, 266 Rotation 114, 277 Rotation (Feld) 296, 298, 302, 308f Rotationsachse 76 Rotationsbewegung 64 Rotationsbildung 296 Rotationskörper 64, 276ff rotationssymmetrisch 64 Rücktransformation 288, 317 Sarrus 104, 106f, 111 Sattelpunkt 233ff Scheitel 49, 152, 155, 158ff, 162, 169, 174 Scheitelabschnitt 159 Scheitelabstand 165 Scheitelgleichung 155, 158, 162 Scheitelkrümmungsradius 155 Schenkel 28, 47 Schmiegekreis 155f, 159, 162, 174f, 273f Schnellkonstruktion (Parabel) 160, 175 Schnitt 82, 145, 169f, 172f, 178, 273 Schnittaxiom 36f Schnittbildung 13 Schnittebene 178 Schnittmenge 10, 81, 171 Schnittpunkt 9, 46,125, 138, 152, 154, 168, 172, 176, 179 Schnittzahl 37 Schranke 186f, 259 schwache Inklusion 9 Schwarz 41, 69, 189, 251 Schwerpunkt 277f Sechseck 48 Sehne 49, 167, 176 Seitendiagonale 67 Seitenkosinussatz 181 Seitenverhältnis 51, 54 Sekante 138f, 167, 176, 207, 212 Separation der Variablen 316 sgn 151, 160, 233 Sinus 51f, 231 Sinusfunktion 225, 228f, 280, 287

334 Sinus hyperbolicus 229 Sinussatz 52, 181 Skalar 57f, 121, 294f, 297, 302 Skalarfeld 293, 295f, 305, 308f Skalarmultiplikation 57f, 65, 83 Skalarprodukt 57, 59, 61, 63, 66, 69, 71f, 75, 91, 118ff, 124, 143, 167f, 294, 296, 304 Spaltenoperation 102f Spaltenvektor 91, 99, 110 Spat 63, 294 Spatprodukt 63, 293 Spatvolumen 63, 294 spektrale Zerlegung 240 Spektralfunktion 281, 284 Spektrum 240, 282 spezielle Lösung 315 sphärische Geometrie 177ff sphärischer Exzess 180 sphärische Trigonometrie 180 sphärisches Koordinatensystem 65 spiegelsymmetrisch 54 Spiegelung 116, 117f Spiegelungsmatrizen 118 Spitze einer Folge 188 Spur 148, 150 stabil (Funktion) 317 stabil (Gleichungssystem) 128 Stabilität 128 Stammbruch 186, 188, 239 Stammfolge 193 Stammfunktion 257ff, 266, 317 Stauchung 152 steigend 187f, 233 Steigungswinkel 233, 253, 273 stetige Teilung 50 Stetigkeit 199f, 208, 242, 260 Stetigkeitseigenschaften 203 Stirnfläche 277 Stokes 307f Störfunktion 315 Strahl 45 Strahlensatz 45, 50, 138, 154 Strecke 45, 50, 66, 152, 162, 252 Streckung 117, 151f Streckungsmatrix 117 Streifenbreite 259, 281

Stichwortverzeichnis strenge Ordnungsrelation 16f streng monoton 187f, 210, 217ff strikte Inklusion 8 strikte Ungleichung 187 Stufenfunktion 286 stumpfer Winkel 52 Substitution 136f, 262f, 269, 279, 281, 288, 314 Subtraktionssymbol 10 Südpol 177, 179 Summationsgrenze 209, 230 Summe (Ableitungen) 209 Summe (Binomialkoeffizienten) 28, 238 Summe (Diagonalelemente) 148 Summe (Funktionen) 209, 280 Summe (Kubikzahlen) 260 Summe (Matrizen) 89 Summe (Radiuslängen) 153, 162 Summe (Reihe) 193, 198, 201, 237 Summe (Vektoren) 57, 61, 66 Summe (Winkel im Dreieck) 46, 51 Summenbildung 203 Summenformel 221 Summenregel 289, 295 Summenvektor 57 Supremum 186 surjektiv 19, 56, 58f, 62, 113f Syllogismus 6 Symmetrie 16 Symmetriebedingung 119 Symmetrieeigenschaften 229, 234 symmetrisch 16 symmetrische Funktion 241 symmetrische Matrix 96, 119, 143f, 146ff, 150 symmetrische quadratische Form 146 Systemmatrix 88f Tangens 51, 233, 253 Tangensfunktion 225 Tangens hyperbolicus 230 Tangente 139, 166ff, 175f, 179, 207, 212f, 233f, 242, 253, 273f Tangentengleichung 166f Tartaglia 136 Taylor-Entwicklung 253 Taylor-Polynom 243ff

Stichwortverzeichnis Taylor-Reihe 242, 245ff, 251, 283 Teiler 32, 132f, 137 teilerfremd 32, 138, 266 Teilfolge 188f Teilmenge 8ff, 15, 18, 207 Teilsumme 193 Term 27, 40, 62, 86f, 135, 172, 211, 215, 243, 252, 264, 307, 314 Terrassenpunkt 233 Tertium non datur 6 Tetraeder 74 Thalessatz 46f, 49 totales Differential 252, 295 von Tralleis 154 Transformation 113ff, 143, 148, 159, 171, 184, 279f, 282, 284f, 287, 316, 318 transitiv 16f transponierte Matrix 91f, 102, 107, 118, 120 transponierter Vektor 91 transponiertes Gleichungssystem 102 Transposition 34, 92, 103f, 106, 116 Trennung der Variablen 316f Trichotomie 36 Trigonometrie 51, 53, 60, 180 Tripel 11, 15, 55, 74 triviale Lösung 96, 121, 314 Ubaldi del Monte 164 Uhrzeigersinn 39, 76, 114, 170 Umfang 48ff Umgebung 186, 200f, 207, 245f, 283 Umkehrabbildung 20, 34, 113 umkehrbar 33, 94, 102f, 109, 143, 234, 262 Umkehrfunktion 210, 218, 222, 226, 262 Umordnung 182, 196f Umrechnung (Logarithmen) 222 Umrechnung (Polarkoordinaten) 39, 64 unbedingt konvergent 197 Unbekannte der Klasse 1 87 Unbekannte der Klasse 2 87 unbestimmter Ausdruck 209 unbestimmtes Integral 259 unechte Untermenge 9 unecht gebrochen 268

335 uneigentlicher Grenzwert 187 uneigentliches Integral 269, 285 Unendlichkeitsstelle 283f ungerade 21, 30, 36, 106, 134, 233f Ungleichung 30, 41, 69, 186f, 189, 195, 246, 258 Unstetigkeit 199 Unterdeterminante 105f untere Grenze 186, 259, 262 untere Schranke 186f, 259 Untermatrix 105, 107, 111, 148 Untermenge 8f, 17, 25, 185 Unterraum 83, 121f Untersumme 258 unvollständige Lösung 314 Urbild 18, 41, 113 Urbildbereich 18 Urbildraum 122 Ursprung 9, 49, 54f, 63f, 67, 69ff, 77, 81, 117, 137, 155, 158, 160, 162, 167f, 177, 278, 297, 305 Ursprungsgleichung 173 Vektoraddition 33, 56, 58f, 62 Vektoranalysis 184, 291ff Vektorfeld 293ff, 298, 305, 307ff Vektorprodukt 62 Vektorraum 65f, 72, 82f, 121, 293 Vektorsubtraktion 58 Venn-Diagramm 9 Vereinigung 10f, 13 Verknüpfung 4, 9, 20, 34ff, 57, 59 Verschiebungssatz 288 Vertauschungsregeln 275 Verzinsung 224 Vielfaches 30, 102 Vielflach 74 Viereck 47f, 74 Viertelkreis 263 Vieta, Produktreihe 231 Vieta, Sätze 137, 140 Vollkreiswinkel 45f, 179 vollständige Induktion 25ff, 30, 211 vollständige Lösung 314f Volumen 63, 236, 249, 275ff, 294, 303ff, 308f Volumenelement 276, 303, 305

336 Wahrheitstafel 4ff, 9 Wahrheitswert 3ff, 9 Wallissches Produkt 265 Weg 162, 278, 283f, 309 Wegintegral 283 Weierstraß, Approximationssatz 242 Weierstraß, Majorantenkriterium 203 Wendepunkt 233f Wertebereich 18, 199, 215, 217f, 235 Wert einer Reihe 193, 196f, 201 Wertevorrat 18 Widerspruch 29, 138, 188 Wilson 32 Winkel 39, 45ff, 51ff, 60f, 67, 75, 78, 114, 116, 118, 125, 145, 156f, 159, 161ff, 170f, 174, 179f, 273, 276f Winkelfunktionen 39, 52ff, 225ff, 240, 279 Winkelhalbierende 49 Winkelkosinussatz 182 Winkelsatz 61 Wirbelfeld 298 wirbelfrei 309 Würfel 74, 77, 198, 303ff Würfeldiagonale 67, 77 Würfelstruktur 305f Wurzel 36ff, 40ff, 189ff Wurzel (des Wortes „halb“) 34

Stichwortverzeichnis Wurzel (eines Polynoms) 135, 137f, 314 Wurzelkriterium 194, 196 Zahlenmenge 18, 31ff, 199 Zahlensystem 31 Zahlentheorie 29, 31 Zähler 29, 35, 208, 267f Zehnersystem 224 zeichnerische Addition 57 zeichnerische Darstellung 57 zeichnerische Konstruktion 154 zeichnerische Subtraktion 57 Zeilenoperation 92, 94, 100, 102, 107 Zeilenvektor 91, 99 Zeitbereich 316 Zeitfunktion 281f, 285, 289, 316f Zentralpotential 301 Zentrum 49, 161, 178 Zentrumswinkel 49 Zerlegung 29, 133, 240 Zermelo 29 Zirkulation 307 Zuwachs 257 zweidimensional 143ff Zweiervektor 113 Zweikreiskonstruktion 155 Zwischenwertsatz 200, 211 zyklisch 53, 62, 181f, 293, 296 zyklometrische Funktion 226