Mathematik – Übungsbuch: für das Studium der Wirtschaftswissenschaften. 150 Verständnisfragen und 250 Rechenaufgaben mit ausführlichen Lösungen [8., wesentlich erw. Aufl.] 9783486856040, 9783486721072

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Otto Opitz, Robert Klein, Wolfgang R. Burkart Mathematik ‒ Übungsbuch

Otto Opitz, Robert Klein, Wolfgang R. Burkart

Mathematik ‒ Übungsbuch für das Studium der Wirtschaftswissenschaften

150 Verständnisfragen und 250 Rechenaufgaben mit ausführlichen Lösungen 8., wesentlich erweiterte Auflage

ISBN 978-3-486-72107-2 e-ISBN (PDF) 978-3-486-85604-0 e-ISBN (EPUB) 978-3-11-039892-2 Library of Congress Cataloging-in-Publication Data A CIP catalog record for this book has been applied for at the Library of Congress. Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de abrufbar. © 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/München/Boston Lektorat: Dr. Stefan Giesen Herstellung: Tina Bonertz, Cornelia Horn Titelbild: eigene Darstellung der Autoren Druck und Bindung: Hubert & Co. GmbH & Co. KG, Göttingen ♾ Gedruckt auf säurefreiem Papier Printed in Germany www.degruyter.com

Vorwort Das erfolgreiche Studium der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten und Hochschulen erfordert in zunehmendem Maße mathematisches Grundlagenwissen, dessen Anwendung und Durchdringung durch intensives Üben erheblich gefördert wird. Aus diesem Grund legen die Autoren eine wesentlich erweiterte 8. Auflage des Titels „Mathematik – Übungsbuch für das Studium der Wirtschaftswissenschaften“ vor, die in Aufbau und Gliederung der Darstellung Opitz, O.; Klein, R.: Mathematik – Lehrbuch für das Studium der Wirtschaftswissenschaften, 11. Auflage, De Gruyter Oldenbourg, München, 2014 folgt. Kapitelweise werden zunächst Verständnisfragen in Form von unterschiedlichen Aussagen formuliert, die als richtig oder falsch zu beurteilen sind – versehen mit einer kurzen Begründung. Im Anschluss an die Verständnisfragen folgen jeweils mehrere Rechenaufgaben, durch deren Lösung die Fähigkeit zur Anwendung der im jeweiligen Kapitel behandelten mathematischen Konzepte und Methoden erworben werden soll. Durch die Kennzeichnung von leicht (*) bis schwer (***) besteht dabei die Möglichkeit, die Fragen und Aufgaben entsprechend des eigenen Lernfortschritts gezielt auszuwählen. Da zudem bei der Erstellung der Aufgaben darauf geachtet wurde, kein Wissen aus späteren Kapiteln zu nutzen, ist sichergestellt, dass sich bei sukzessivem Durcharbeiten des begleitenden Lehrbuchs sämtliche Fragen und Aufgaben auf Basis der bis zu diesem Zeitpunkt erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten beantworten bzw. lösen lassen. Selbstverständlich können die Verständnis- und Rechenaufgaben auch unabhängig voneinander bearbeitet werden, eine Auseinandersetzung mit beiden Formen wird jedoch ausdrücklich empfohlen. Um die Ergebniskontrolle zu ermöglichen, werden alle Verständnisfragen und Rechenaufgaben kapitelweise beantwortet bzw. gelöst. Ergänzend zu der ausführlichen Gliederung der Fragen und Aufgaben nach Sachgebieten wurde die Darstellung bewusst so gewählt, dass geeignete Fragen und Antworten auch bei Nutzung anderer Lehrbücher erfolgreich identifiziert und bearbeitet werden können.

VI

Danksagung zur achten Auflage Die vorliegende Auflage enthält insgesamt 150 Verständnisfragen und 250 Rechenaufgaben jeweils mit ausführlichen Lösungen. Im Vergleich zu den früheren Auflagen wuchsen damit Umfang und Inhalt um ein Vielfaches. Dazu wurden sowohl in den letzten Jahren an der Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Universität Augsburg neu entwickelte Aufgaben für Hörsaalübungen als auch in den vergangenen Jahren und Jahrzehnten gestellte Klausuraufgaben entsprechend aufbereitet. Daher möchten sich die Autoren bei allen ehemaligen und aktuellen Mitarbeitern, die bei der Entwicklung beteiligt waren, herzlich bedanken. Für die tatkräftige Unterstützung bei der kritischen Durchsicht und dem Satz des Manuskripts sowie der Korrektur der vorläufigen Endfassungen danken wir Frau B.Sc. Sabine Landgraf, Frau B.Sc. Cornelia Schuhbauer sowie den Herren Dipl.-Kfm. Johannes Kolb, Dipl.-Kfm. Dipl.-Math. oec. Michael Hassler und M.Sc. Rouven Schur sehr herzlich. Dem Verlag De Gruyter Oldenbourg, insbesondere Herrn Dr. Stefan Giesen, danken wir für die Aufgeschlossenheit in allen Fragen und die gute Zusammenarbeit. Augsburg, im September 2014 Otto Opitz Robert Klein Wolfgang Burkart

Inhaltsverzeichnis Vorwort

V

Elementare Grundlagen 1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

1

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Formale Grundlagen 2 Aussagenlogik

29

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Mengen

53

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4 Binäre Relationen

69

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

VIII

Inhaltsverzeichnis

Analysis von Funktionen einer Variablen 5 Reelle Funktionen einer Variablen

87

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6 Elementare reelle Funktionen

101

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 7 Grenzwerte und Stetigkeit

113

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 8 Differentiation von Funktionen einer Variablen

131

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 9 Kurvendiskussion

143

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150 10 Integration von Funktionen einer Variablen

161

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

Lineare Algebra 11 Matrizen und Vektoren

179

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

Inhaltsverzeichnis 12 Punktmengen im Rn

IX 195

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202 13 Vektorräume

213

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217 14 Lineare Gleichungssysteme

225

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232 15 Lineare Abbildungen

243

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249 16 Lineare Optimierung

259

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266 17 Determinante einer Matrix

279

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284 18 Eigenwertprobleme

293

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300

X

Inhaltsverzeichnis

Analysis von Funktionen mehrerer Variablen 19 Reelle Funktionen mehrerer Variablen

309

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314 20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

321

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .328 21 Mehrfache Integrale

341

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346

Differenzen- und Differenzialgleichungen 22 Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung

351

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .356 23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

365

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .365 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .367 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .369 24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

377

Verständnisfragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .377 Rechenaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382 Symbolverzeichnis

395

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Behauptungen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 1.1 * Für alle reellen Zahlen gelten die folgenden Gleichungen:  ja C bj D jaj C jbj ˇaˇ jaj ˇ ˇ  ˇ ˇD .b ¤ 0/ b jbj p p p  a C b D a C b .a; b  0/ p p p  a  b D a  b .a; b  0/ ab a b  D  .c; d ¤ 0I c 6D d / cCd c d a b ab D  .c; d ¤ 0/  cd c d

Verständnisfrage 1.2 ** Für alle reellen Zahlen a; b mit a; b ¤ 0; a < b gilt:  a2 < b 2  a3 < b 3  a1 > b 1  a1 < b 0  a0 < b 1  a0 > b 1

Verständnisfrage 1.3 **

p  Für alle reellen a > 0 gilt a  a. p  Für alle reellen a besitzt 5 a das gleiche Vorzeichen wie a.  Für alle natürlichen Zahlen m; n und reellen Zahlen a > 1 gilt stets

pp p p a  n a > m n a.

m

2

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Verständnisfrage 1.4 * Für alle reellen Zahlen b; x; y mit b > 1, x > y > 1 gilt:  logb .xy/ > 0   x 1, x  1, 0 < y  1 gilt:  logb .x/  logc .x/  logb .x/  logc .x/  logb .y/  logc .y/  logb .y/  logc .x/

Verständnisfrage 1.6 **    

n P i D1 n P i D1 n P i Dk

xi C xi 

j D1 m P

j D1

iD

n Q i DkC1

n P

yj D

nk P i D1

iD

yj D

n P

.xk C yk /

kD1 n P m P i D1 j D1

xi yj

.i C k/

nk Q i D1

.i C k/

.1 < k < n/

Verständnisfrage 1.7 ***  Für alle natürlichen Zahlen k; n mit k  n sind die Ausdrücke    n  . und es gilt stets nk D nk  Für alle natürlichen ! Zahlen n; n1 ; n2 mit n1 C n2 D n gilt: n nŠ D n1 Š n2 Š n2

n   n  k , nk natürliche Zahlen

Verständnisfragen

3

Verständnisfrage 1.8 *** Für die Kombinationen k-ter Ordnung aus n Objekten .2  k  n/ gilt stets: nŠ  nk > .n  k/Š ! n nŠ >  .n  k/Š k ! ! n nCk1  > k k

Verständnisfrage 1.9 ** Die lineare Gleichung ax  b D 0 .a; b reell; a ¤ 0/  ist für x stets lösbar  kann für x unlösbar sein Die lineare Ungleichung ax  b  0 .a; b reell; a < 0/  besitzt für x stets mehrere Lösungen  kann für x unlösbar sein

Verständnisfrage 1.10 ** Eine quadratische Gleichung der Form ax 2 Cbx Cc D 0 mit reellen Koeffizienten und a ¤ 0  besitzt stets zwei unterschiedliche Lösungen  besitzt zwei unterschiedliche Lösungen, wenn c D 0; b ¤ 0 gilt  besitzt zwei unterschiedliche Lösungen, wenn a D c D 1; b D 2 gilt  besitzt keine reellen Lösungen für a D b D c D 1

Verständnisfrage 1.11 *** Eine quadratische Ungleichung der Form ax 2 C bx C c  0 mit reellen Koeffizienten und a¤0  besitzt stets reelle Lösungen  ist lösbar für a D b D c D 1  ist lösbar für a D b D c D 1  ist unlösbar für a D 1

4

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Verständnisfrage 1.12 *  Die Gerade x D 0 entspricht der x-Achse.  Die Gerade y D 0 entspricht der x-Achse.  Zwei Geraden einer Ebene schneiden sich, wenn ihre Steigungen verschieden sind.  Zwei Geraden einer Ebene sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind.

Verständnisfrage 1.13 *** Gegeben ist eine Halbebene h der Form ax C by C c < 0.  Der Punkt .0; 0/ gehört zu h, falls c D 0.  Alle Punkte .x; 0/ mit x < 0 gehören zu h, falls a; c > 0.  Alle Punkte .0; y/ mit y > 0 gehören zu h, falls a; b; c < 0.

Verständnisfrage 1.14 ** Welche der folgenden Gleichungen passt zu der entsprechenden geometrischen Form?  .x  1/2 C 2y D 0

charakterisiert einen Kreis

 x C 6x  2y  1 D 0

charakterisiert eine Parabel

 x C 2x C y C 1 D 0

charakterisiert einen Kreis

 x C 4x C y  4y C 7 D 0

charakterisiert eine Parabel

 xy  y C x  5 D 0

charakterisiert eine Hyperbel

2 2 2

2

2

Verständnisfrage 1.15 **  Für ˛ D 90ı gilt: sin2 ˛ C cos2 ˛ D 1  Für ˛ D 90ı gilt: sin2 ˛  cos2 ˛ D 1  Für ˛ D 0ı gilt: sin2 ˛ C cos2 ˛ D 1  Für ˛ D 0ı gilt: cos2 ˛  sin2 ˛ D 1  Für ˛ D 45ı gilt: sin2 ˛ C cos2 ˛ D 1  Für ˛ D 45ı gilt: sin2 ˛  cos2 ˛ D 0

Verständnisfrage 1.16 ** Für ˛ mit 0ı  ˛  90ı gilt stets:  sin ˛ C cos ˛  1  sin ˛ C cos ˛ < 1  sin ˛ C cos ˛ > 0  sin ˛ C cos ˛ < 0  sin ˛  cos ˛  0  sin ˛  cos ˛  0

Verständnisfragen

5

Verständnisfrage 1.17 ** Eine quadratische Gleichung ax 2 C bx C c D 0 mit reellen Koeffizienten a; b; c .a ¤ 0/ besitzt stets  reelle Lösungen.  komplexe Lösungen, die nicht reell sind.  entweder reelle oder komplexe Lösungen.  im Fall genau einer Lösung eine reelle Lösung.

Verständnisfrage 1.18 ** Gegeben sind zwei komplexe Zahlen z1 D a1 C i b1 ; z2 D a2 C i b2 mit a1 ; a2 ; b1 ; b2 ¤ 0. Welche der folgenden Ergebnisse sind niemals reell?  z1 C z2  z1  z2  z1 z2 z1  z2

Verständnisfrage 1.19 *** Gegeben ist eine Gleichung höheren Grades g W an x n C : : : C a1 x C a0 D 0 mit n  3; an ¤ 0:  Die Gleichung g mit komplexen Koeffizienten besitzt stets komplexe Lösungen.  Mit jeder komplexen Lösung z D a C i b von g ist auch zN D a  i b eine Lösung.  Die Gleichung g mit reellen Koeffizienten besitzt stets reelle Lösungen.  Die Gleichung g mit reellen Koeffizienten besitzt für geradzahliges n mindestens zwei reelle Lösungen.  Die Gleichung g mit reellen Koeffizienten besitzt für ungeradzahliges n mindestens eine reelle Lösung.  Für a0 D a1 D : : : D ak D 0 .0 < k < n/ existiert die reelle Lösung x D 0.

6

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 1.20 ** a) Für welche reellen a; b; c gilt ja C bjjcj D jacj C jbcj ? b) Für welche reellen a; b; c; d .c; d ¤ 0; c C d ¤ 0/ gilt

ab a b D  ? cCd c d

Rechenaufgabe 1.21 * Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: sp p p p 3 25=2  21  2 2 144  93=2 x2  x3 p ; p ; p ; p p 3 4 x 4=3  3 x 0:62  3 64 2 22 C 23

p 4 a4 b 2 c  ab 1=2 c 3=4 p 3 ab 2 c 3  a2=3 b 1=3 c

Rechenaufgabe 1.22 *** a) Berechnen Sie n sowie a2 ; a4 ; a6 für folgende arithmetische Summe: n P ai D 78, ai  ai 1 D 0:5 .i D 1; : : : ; n/ und a0 D 3 i D0

b) Lösen Sie Teilaufgabe a) für

n P i D0

ai D 0, ai  ai 1 D 0:5 .i D 1; : : : ; n/ und a0 D 3.

c) Berechnen Sie n sowie a1 ; a3 ; a5 für folgende geometrische Summe: n P ai ai D 1968:75, D 0:5 .i D 1; : : : ; n/ und a0 D 1000 a i 1 i D0 ai d) Berechnen Sie den Wert q D .i D 1; : : : ; n/ für folgende geometrische Summe: a i 1 5 P ai D 0 und a0 D 1000 i D0

Rechenaufgabe 1.23 * a) Ein Autokennzeichen besteht neben dem Städtesymbol aus einem oder zwei Buchstaben sowie aus einer ein- bis vierziffrigen Zahl. Wie viele verschiedene Kennzeichen können in Augsburg ausgegeben werden, wenn 26 Buchstaben zur Wahl stehen? b) Ein Autohersteller bietet für eines seiner Fahrzeuge 20 Extras zur freien Auswahl an. Wie viele verschiedene Zusammenstellungsmöglichkeiten gibt es? c) Im Sonderpaket „Speedy“ können aus jedem der drei Teilpakete Fahrwerk, Motor, Outfit, die ihrerseits jeweils aus 5 Komponenten bestehen, zwei verschiedene Ausstattungskomponenten ausgewählt werden. Wie viele Möglichkeiten der Zusammenstellung gibt es? d) Die Firma „Blaue Wolke“ möchte ihren Fuhrpark um 5 Fahrzeuge aufstocken. Sie kann dabei unter drei Motortypen auswählen. Wie viele Bestellmöglichkeiten gibt es?

Rechenaufgaben

7

Rechenaufgabe 1.24 * Eine Basketballmannschaft fährt mit 10 Spielern auf ein Turnier. Vor Beginn der Spiele muss sie aus ihren Reihen einen Schiedsrichter und einen Schriftführer bestimmen, die somit als aktive Spieler ausscheiden. a) Wie viele unterschiedliche Schiedsrichter-Schriftführer-Kombinationen kann die Mannschaft stellen? b) Der Schriftführer muss die aktiven Spieler in eine Tabelle eintragen. Wie viele verschiedene Anordnungsmöglichkeiten stehen ihm dafür zur Verfügung? c) Wie viele Möglichkeiten, aus den aktiven Spielern 5 Feldspieler auszuwählen, gibt es? d) Nach dem Spiel will sich die Mannschaft für ein Photo in einer Reihe aufstellen. Wie viele Möglichkeiten besitzt sie dafür, wenn innerhalb der rot gekleideten aktiven Spieler und zwischen den schwarz gekleideten Personen (Schiedsrichter und Schriftführer) nicht unterschieden werden soll?

Rechenaufgabe 1.25 * Zu ihrem 2 000-jährigen Jubiläum veranstaltet eine Stadt einen Festumzug mit 5 mobilen Kapellen, 10 Schützenvereinen und 5 historischen Gruppen. a) Wie viele unterschiedliche Anordnungen der 20 Teilnehmergruppen des Festzuges gibt es, falls jeweils innerhalb der Kapellen, Schützenvereine und historischen Gruppen nicht unterschieden werden soll? b) Für einen anschließenden Festakt müssen 2 Kapellen ausgewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? c) An jedem der 3 folgenden Tage soll jeweils ein Schützenverein salutieren. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Vereine auszuwählen, falls jeder Schützenverein dabei auch mehrmals beansprucht werden kann? Auf die Reihenfolge soll es dabei nicht ankommen. d) Die Kostüme der 5 historischen Gruppen werden bewertet und in eine Rangfolge gebracht. Wie viele unterschiedliche Anordnungen der Gruppen können dabei auftreten? e) Für die 3 besten historischen Kostümgruppen stehen Preise zur Verfügung. Wie viele Gruppenkombinationen sind für diese Plätze möglich?

Rechenaufgabe 1.26 ** Die Marktforschungsabteilung einer Gummibärchenfabrik möchte die Attraktivität von 5 Farben untersuchen. Dazu werden mit 1 000 Kindern folgende Tests durchgeführt: a) Jedes Kind bekommt von jeder Farbe ein Gummibärchen und soll die 5 Bärchen gemäß seiner Farbpräferenz anordnen. Wie viele unterschiedliche Anordnungen können dabei bei einem einzelnen Kind auftreten? b) Für das Gummibärchenkonfekt sollen in Zukunft genau 3 Farben verwendet werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Farben 3 verschiedene auszuwählen?

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1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

c) Die 3 am stärksten präferierten Farben sollen im Gummibärchenkonfekt in Zukunft je nach Beliebtheit unterschiedlich stark vertreten sein. Wie viele Möglichkeiten gibt es, unterschiedliche 3-Farben-Anordnungen der angegebenen Art aus den 5 Farben zu wählen? d) Um die unterschiedliche Beliebtheit der 5 Farben stärker zu quantifizieren, bekommt jedes Kind von jeder Farbe 5 Gummibärchen (also insgesamt 25 Gummibärchen), aus denen es entsprechend seiner Präferenz 5 Bärchen auswählen und anordnen soll. Wie viele unterschiedliche Anordnungen können dabei bei 1 000 Kindern auftreten? e) In Zukunft sollen maximal 3 Farben im Gummibärchenkonfekt enthalten sein. Wie viele unterschiedliche Farbkombinationen können auf den ersten drei Positionen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge entstehen?

Rechenaufgabe 1.27 ** Ein Verlag möchte einen Jahres-Wandkalender mit Landschaftsbildern produzieren, wobei pro Monat ein Bild enthalten sein soll. Nach einer Vorauswahl kommen noch 30 Bilder in Frage. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, aus dem Vorrat von 30 Bildern 12 verschiedene auszuwählen? b) Unter den 30 Bildern sind je 9 Sommer- bzw. Winterbilder und je 6 Frühlings- bzw. Herbstbilder. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den 30 Bildern 12 verschiedene so auszuwählen, dass jede Jahreszeit mit drei Bildern vertreten ist? Innerhalb jeder Jahreszeit soll die Reihenfolge der Bilder unberücksichtigt bleiben. c) Eine der unter b) angegebenen Möglichkeiten ist nun realisiert. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann noch, die 12 ausgewählten Bilder dem jahreszeitlichen Ablauf entsprechend anzuordnen, wobei mit zwei Winterbildern für Januar, Februar begonnen und mit einem Winterbild für Dezember aufgehört werden soll, und innerhalb der zu einer Jahreszeit gehörenden Bilder die Reihenfolge jeweils frei wählbar ist?

Rechenaufgabe 1.28 ** a) In einem Raum gibt es 8 Lampen, die man unabhängig voneinander ein- und ausschalten kann. Wie viele Möglichkeiten gibt es, so dass 1) genau 5 Lampen brennen? 2) mindestens 5 Lampen brennen? b) Drei Ehepaare passieren eine Drehtür. Dabei geht jede der 6 Personen einzeln durch die Drehtür, doch passieren zwei zusammengehörende Ehepartner die Drehtür stets unmittelbar hintereinander. Wie viele mögliche Reihenfolgen gibt es für die 6 Personen, durch die Drehtür zu gehen, 1) wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, dass bei jedem Ehepaar die Dame zuerst durch die Tür geht? 2) ohne die Voraussetzung aus 1)?

Rechenaufgaben

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c) Bei einer Tanzparty sind 10 Damen und 12 Herren anwesend. 1) Wie viele Tanzpaarkombinationen sind für den ersten Tanz möglich, wenn zu einem Tanzpaar jeweils eine Dame und ein Herr gehören sollen? 2) Die im ersten Tanz allein gebliebenen Herren dürfen für den zweiten Tanz jeweils einen Herrn der ersten Runde ablösen. Wie viele neue Tanzpaarkombinationen sind möglich? 3) Wie viele unterschiedliche Tanzpaare hat ein unparteiischer Gast als Schiedsrichter nach dem zweiten Tanz tatsächlich zu bewerten?

Rechenaufgabe 1.29 * Für welche reellen x sind nachfolgende Gleichungen erfüllt? a) .x C 1/.x  2/ D .x  3/.x C 4/ b) .x C 1/.2x C 1/x D .2x  1/x.x C 1/ xC2 x2 D .x ¤ ˙2/ c) xC2 x2 x2  1 x2  1 D .x ¤ ˙1/ d) xC1 x1

Rechenaufgabe 1.30 ** a) Die Fläche eines Quadrates ist das Doppelte der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen eine an den rechten Winkel angrenzende Seite um 1 kürzer und dessen andere an den rechten Winkel angrenzende Seite um 2 länger ist als die Quadratseite. Bestimmen Sie die Seitenlängen des Quadrates und des Dreiecks. b) Zwei PKW mit den Geschwindigkeiten 90 km/h und 120 km/h starten mit 30 Minuten Abstand. Wann überholt das schnellere, später gestartete Auto? c) Um 100 Liter eines 40-prozentigen Alkohols herzustellen, werden 30-prozentiger und 80prozentiger Alkohol gemischt. Wie viele Liter beider Sorten werden benötigt? d) Die verkaufte Auflage einer Zeitschrift steigt innerhalb eines Jahres von 2 750 auf 3 300. Wie viel Prozent beträgt die Steigerung?

Rechenaufgabe 1.31 * Für welche reellen x sind nachfolgende Gleichungen erfüllt? a) .2x C 1/.1  2x/ D .x C 3/.x  5/ 3x C 2 2x C 3 D .3x C 4 ¤ 0; 2x C 1 ¤ 0/ b) 3x C 4 2x C 1 .x  1/2 .x C 1/2 D .x ¤ ˙1/ c) x1 xC1

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1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Rechenaufgabe 1.32 ** a) Ein rechteckiges Grundstück ist um 30 m länger als breit und hat eine Fläche von 18 000 m2 . Berechnen Sie die Länge und Breite des Grundstücks. b) Der Umsatz eines Unternehmens beträgt 5 Millionen Euro. Aufgrund von zwei gleich hohen prozentualen Steigerungen beträgt der Umsatz nach zwei Jahren 5 408 000 Euro. Berechnen Sie die prozentuale Steigerung pro Jahr. c) Ein Getränkebetrieb kauft für 720 Euro eine bestimmte Sorte Bier. Drei Monate später ist das Bier pro Kasten um 0.75 Euro billiger, sodass er für 720 Euro 4 Kästen mehr bekommt. Berechnen Sie den früheren und den späteren Preis für einen Kasten Bier.

Rechenaufgabe 1.33 ** Für welche reellen x sind nachfolgende Ungleichungen erfüllt? xC8 x1 3x  C 2 3 2 1 1 b)  .x ¤ ˙1/ x1 xC1 c) x 2 C x < 0 a) 2 C

d) x 2  2x  3 > 0

Rechenaufgabe 1.34 ** a) Skizzieren Sie den gemeinsamen Bereich der nachfolgenden Halbebenen: h1 W 2x C 5y  10 h2 W

xy



0

h3 W

y



0

b) Berechnen Sie die Schnittpunkte der zu h1 ; h2 ; h3 gehörenden Geraden. c) Wie verändert sich das Bild mit der zusätzlichen Halbebene h4 W x  5?

Rechenaufgabe 1.35 ** Gegeben ist die Kreisfläche k mit x 2 C y 2  4 sowie die Halbebene h mit 2x  y C 4  0. Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden zugehörigen Gleichungen und veranschaulichen Sie den Bereich der Punkte, die zur Kreisfläche und zugleich zur Halbebene gehören, in einer Skizze.

Rechenaufgabe 1.36 * Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a D 5 und b D 12. Berechnen Sie für alle drei Winkel den Sinus, Kosinus und Tangens.

Rechenaufgaben

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Rechenaufgabe 1.37 ** Zeigen Sie, dass die Gleichungen sin.90ı  ˛/ D cos ˛ sowie cos.90ı  ˛/ D sin ˛ aus den folgenden beiden Formeln abgeleitet werden können: sin.˛  ˇ/ D sin ˛ cos ˇ  cos ˛ sin ˇ cos.˛  ˇ/

D

cos ˛ cos ˇ C sin ˛ sin ˇ

Rechenaufgabe 1.38 * Gegeben sind die komplexen Zahlen zn D 1 C i n .n D 1; 2; 3/. Berechnen Sie: a) z1 C z2  z3 b) z1  z2  z3 c) d)

z3  z1 z2 z3 2z2 z3 3z1

Rechenaufgabe 1.39 ** a) Stellen Sie die in Polarkoordinatendarstellung gegebenen komplexen Zahlen z1 D 2.cos 60ı C i sin 60ı / z2

D

3.cos 45ı  i sin 45ı /

z3 D 4.cos 90ı C i sin 90ı / in der Form zk D ak C i bk .ak ; bk reell; k D 1; 2; 3/ dar. b) Geben Sie die komplexen Zahlen zk D 1Ci k .k D 1; 2; 3/ in Polarkoordinatendarstellung an.

Rechenaufgabe 1.40 ** Berechnen Sie alle reellen und komplexen Nullstellen der folgenden Gleichungen: a) x 4  1 D 0 b) x 4  10x 2 C 9 D 0

Rechenaufgabe 1.41 * Berechnen Sie für die folgenden Gleichungen alle reellen Nullstellen mit Polynomdivision: a) x 5  2x 4  x 3 C 2x 2 D 0 b) x 4  2x 3  x C 2 D 0

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1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Lösungen Verständnisfragen Lösung 1.1 Für alle reellen Zahlen gelten die folgenden Gleichungen:  ja C bj D jaj C jbj Begründung: Für a D 2; b D 1 gilt: ja C bj D 1; jaj C jbj D 2 C 1 D 3 ˇaˇ jaj ˇ ˇ .b ¤ 0/  ˇ ˇD b jbj Begründung: Zu betrachten sind die Fälle a D 0, a und b positiv oder negativ, a positiv und b negativ oder umgekehrt. p p p  a C b D a C b .a; b  0/ p p p Begründung: 9 C 16 D 5; 9 C 16 D 7 p p p  a  b D a  b .a; b  0/ Begründung: .ab/1=2 D a1=2 b 1=2 a b ab D  .c; d ¤ 0; c ¤ d /  cCd c d Begründung: Für a D b D 1; c D 2; d D 3 gilt: 

a b ab D  cd c d

a b 1 ab D 0;  D cCd c d 6

.c; d ¤ 0/

ab a b Begründung: D ab.cd /1 D ac 1 bd 1 D  cd c d

Lösung 1.2 Für alle reellen Zahlen a; b mit a; b ¤ 0; a < b gilt stets:  a2 < b 2 Begründung: z. B. a D 2; b D 1  a3 < b 3 Begründung: a; a3 bzw. b; b 3 haben identische Vorzeichen  a1 > b 1 Begründung: z. B. a D 2; b D 1  a1 < b 0 Begründung: z. B. a D 12 ; b D 2  a0 < b 1 Begründung: z. B. a D 1; b D 2  a0 > b 1 Begründung: z. B. a D 0:1; b D 12

Lösung 1.3  Für alle reellen a > 0 gilt Begründung: Für a D

1 4

p a  a.q

> 0 gilt:

1 4

D

1 2

>

1 4

Lösungen

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p  Für alle reellen a besitzt 5 a das gleiche Vorzeichen wie a. Begründung: Ungerade Wurzeln existieren stets, das Vorzeichen ändert sich nicht. pp p p  Für alle natürlichen Zahlen m; n und reellen Zahlen a > 1 gilt stets m a  n a > m n a. p p nCm 1 1 Begründung: m a  n a D a m  a n D a mn 1   pp nCm 1 1 m m n a D an D a nm < a mn

Lösung 1.4 Für alle reellen Zahlen b; x; y mit b > 1, x > y > 1 gilt:  logb .xy/ > 0 

  



Begründung: Für xy > 1 gilt stets logb .xy/ > 0.   x logb y > 1 bzw. > 1 gilt stets logb > 0. y y y  y > 1 bzw. 0 < < 1 gilt stets logb < 0. x x p logb xy < 0 p p Begründung: Für xy > xy > 1 gilt stets logb xy > 0. r x >0 logb r r y x x x Begründung: Für > > 1 gilt stets logb > 0. y y y r y logb c > 1, x  1, 0 < y  1 gilt:  logb .x/  logc .x/ I Mit b > c > 1 gilt logc .b/ > 1 Begründung :

und mit x > 1 ) logb .x/ > 0; logc .x/ > 0 gilt logb .x/ D  logb .x/  logc .x/

logc .x/ < logc .x/. logc .b/

I Begründung: siehe   logb .y/  logc .y/

Begründung: Mit b > c > 1 gilt logc .b/ > 1 und mit y < 1 ) logb .y/ < 0; logc .y/ < 0 gilt logb .y/ D  logb .y/  logc .x/

logc .y/ > logc .y/. logc .b/

Begründung: Aus logb .y/ < 0; logc .x/ > 0 folgt logb .y/ < logc .x/.

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1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Lösung 1.6 

n P i D1

xi C

n P j D1

D

yj

n P

.xk C yk /

kD1

Begründung: .x1 C : : : C xn / C .y1 C : : : C yn / D .x1 C y1 / C : : : C .xn C yn / n m n P m P P P xi  yj D xi yj  i D1

j D1

i D1 j D1

Begründung: .x1 C: : :Cxn /.y1 C: : :Cym / D x1 .y1 C: : :Cym /C: : :Cxn .y1 C: : :Cym / n nk P P  i D .i C k/ i Dk

Begründung:

i D1 n P

i Dk



n Q

i

i DkC1

i D k C ::: C n ¤

nk Q

D

i D1 n Q

Begründung:

.i C k/

i DkC1

nk P i D1

.i C k/ D .1 C k/ C : : : C n

.1 < k < n/

i D .k C 1/  : : :  .n/ D

nk Q i D1

.i C k/

Lösung 1.7

   n   Für alle natürlichen Zahlen k; n mit k  n sind die Ausdrücke nk , nk natürliche Zahlen n   n  und es gilt stets k D nk . ! ! nŠ n n D Begründung: D kŠ .n  k/Š nk k  Für alle natürlichen ! Zahlen n; n1 ; n2 mit n1 C n2 D n gilt: nŠ n D n1 Š n2 Š n2 ! nŠ nŠ n wegen n1 D n  n2 D D Begründung: n1 Š n2 Š .n  n2 /Š n2 Š n2

Lösung 1.8 Für die Kombinationen k-ter Ordnung aus n Objekten .2  k  n/ gilt stets: nŠ  nk > .n  k/Š Begründung: n ::: … n > n.n  1/  : : :  .n  k C 1/ „  ƒ‚ „ ƒ‚ … k Faktoren



nŠ n > .n  k/Š k

!

k Faktoren

n.n  1/  : : :  .n  k C 1/ Begründung: n.n  1/  : : :  .n  k C 1/ > 1  2  :::  k ! ! n nCk1  > k k     Begründung: Für n D 5, k D 2 gilt 52 D 10; 62 D 15.

Lösungen

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Lösung 1.9 Die lineare Gleichung ax  b D 0 .a; b reell; a ¤ 0/  ist für x stets lösbar b I x D ist eindeutige Lösung Begründung : a  kann für x unlösbar sein I Begründung: siehe  Die lineare Ungleichung ax  b  0 .a; b reell; a < 0/  besitzt für x stets mehrere Lösungen b II Alle x mit x  Begründung : lösen die Ungleichung. a  kann für x unlösbar sein II Begründung: siehe 

Lösung 1.10 Eine quadratische Gleichung der Form ax 2 Cbx Cc D 0 mit reellen Koeffizienten und a ¤ 0  besitzt stets zwei unterschiedliche Lösungen  p 1  I x D Begründung : b ˙ b 2  4ac mit einer Lösung, falls b 2  4ac D 0 2a  besitzt zwei unterschiedliche Lösungen, wenn c D 0; b ¤ 0 gilt p  1  I b ˙ b 2 (siehe ) Begründung: x D 2a  besitzt zwei unterschiedliche Lösungen, wenn a D c D 1; b D 2 gilt  p 1 I 2 ˙ 4  4 D 1 (siehe ) Begründung: x D 2  besitzt keine reellen Lösungen für a D b D c D 1  p p 1 I 1 ˙ 1  4 , da 3 nicht reell. (siehe ) Begründung: x D 2

Lösung 1.11 Eine quadratische Ungleichung der Form ax 2 C bx C c  0 mit reellen Koeffizienten und a¤0  besitzt stets reelle Lösungen Begründung: Für a D c D 1; b D 0 gilt stets ax 2 C bx C c D x 2  1 < 0.  ist lösbar für a D b D c D 1 p Begründung: x 2 C x C 1 D 0 ) x D 12 .1 ˙ 1  4/ Damit gilt x 2 C x C 1 > 0 für alle reellen x.  ist lösbar für a D b D c D 1 p Begründung: x 2  x  1 D 0 ) x D  12 .1 ˙ 1  4/ Damit gilt x 2  x  1 < 0 für alle reellen x.  ist unlösbar für a D 1 Begründung: Für a D 1; b D 0; c D 1 gilt x 2 C 1  0 bzw. x 2  1.

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1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Lösung 1.12  Die Gerade x D 0 entspricht der x-Achse. Begründung: Auf der x-Achse liegen alle reellen Zahlen x, auf der y-Achse gilt x D 0.  Die Gerade y D 0 entspricht der x-Achse. Begründung: Auf der x-Achse gilt stets y D 0.  Zwei Geraden einer Ebene schneiden sich, wenn ihre Steigungen verschieden sind. Begründung: Für zwei Geraden y1 D a1 C b1 x, y2 D a2 C b2 x existiert ein Schnittpunkt, falls b1 ¤ b2 .  Zwei Geraden einer Ebene sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind. Begründung: Zwei Geraden mit identischer Steigung können auch zusammenfallen.

Lösung 1.13 Gegeben ist eine Halbebene h der Form ax C by C c < 0.  Der Punkt .0; 0/ gehört zu h, falls c D 0. Begründung: Für .0; 0/ gilt stets ax C by D 0 im Widerspruch zu ax C by < 0.  Alle Punkte .x; 0/ mit x < 0 gehören zu h, falls a; c > 0. c Begründung: ax C by C c D ax C c < 0 bzw. x <  < 0 a  Alle Punkte .0; y/ mit y > 0 gehören zu h, falls a; b; c < 0. c Begründung: ax C by C c D by C c < 0 bzw. y >  , also auch y > 0 b

Lösung 1.14 Welche der folgenden Gleichungen passt zu der entsprechenden geometrischen Form?  .x  1/2 C 2y D 0 charakterisiert einen Kreis. Begründung: Durch Umformung erhält man y D  12 .x  1/2 , also eine Parabel.  x 2 C 6x  2y  1 D 0 charakterisiert eine Parabel. Begründung: Durch Umformung erhält man y D 12 Œ.x C 3/2  10, also eine Parabel.  x 2 C 2x C y 2 C 1 D 0 charakterisiert einen Kreis. Begründung: Wegen x 2 C 2x C y 2 C 1 D .x C 1/2 C y 2 D 0 ergibt sich lediglich der Punkt .1; 0/.  x 2 C 4x C y 2  4y C 7 D 0 charakterisiert eine Parabel. Begründung: Wegen x 2 C 4x C y 2  4y C 7 D .x C 2/2 C .y  2/2  8 C 7 D 0 ergibt sich ein Kreis mit dem Radius 1.  xy  y C x  5 D 0 charakterisiert eine Hyperbel. Begründung: Wegen xy  y C x  5 D .x  1/.y C 1/  4 D 0 ergibt sich eine Hyperbel.

Lösung 1.15  Für ˛ D 90ı gilt: sin2 ˛ C cos2 ˛ D 1 I Es gilt stets sin2 ˛ C cos2 ˛ D 1. Begründung : Hier speziell: sin2 .90ı / C cos2 .90ı / D 1 C 0 D 1

Lösungen

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 Für ˛ D 90ı gilt: sin2 ˛  cos2 ˛ D 1 Begründung: sin2 .90ı /  cos2 .90ı / D 1  0 D 1  Für ˛ D 0ı gilt: sin2 ˛ C cos2 ˛ D 1 I Begründung: siehe  ı  Für ˛ D 0 gilt: cos2 ˛  sin2 ˛ D 1 Begründung: cos2 .0ı /  sin2 .0ı / D 1  0 D 1  Für ˛ D 45ı gilt: sin2 ˛ C cos2 ˛ D 1 I Begründung: siehe  ı  Für ˛ D 45 gilt: sin2 ˛  cos2 ˛ D 0 p p Begründung: sin2 .45ı /  cos2 .45ı / D 12 2  12 2 D 0

Lösung 1.16 Für ˛ mit 0ı  ˛  90ı gilt stets:  sin ˛ C cos ˛  1 I Im Einheitskreis gilt sin ˛ C cos ˛  r D 1. Begründung :  sin ˛ C cos ˛ < 1 I Begründung: siehe   sin ˛ C cos ˛ > 0 I Begründung: siehe   sin ˛ C cos ˛ < 0 I Begründung: siehe   sin ˛  cos ˛  0 II sin .0ı /  cos .0ı / D 0  1 D 1 Begründung : sin .90ı /  cos .90ı / D 1  0 D 1  sin ˛  cos ˛  0 II Begründung: siehe 

Lösung 1.17 Eine quadratische Gleichung ax 2 C bx C c D 0 mit reellen Koeffizienten a; b; c .a ¤ 0/ besitzt stets  reelle Lösungen Begründung: x 2 C 1 D 0 hat keine reellen Lösungen  komplexe Lösungen, die nicht reell sind Begründung: x 2  1 D 0 hat nur reelle Lösungen  entweder reelle oder komplexe Lösungen   p 1 I Lösung x D Begründung : b ˙ b 2  4ac 2a zwei reellen Lösungen, falls b 2  4ac > 0 einer reellen Lösung, falls b 2  4ac D 0 zwei komplexen Lösungen, falls b 2  4ac < 0  im Fall genau einer Lösung eine reelle Lösung I Begründung: siehe  mit

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1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Lösung 1.18 Gegeben sind zwei komplexe Zahlen z1 D a1 C i b1 ; z2 D a2 C i b2 mit a1 ; a2 ; b1 ; b2 ¤ 0. Welche der folgenden Ergebnisse sind niemals reell?  z1 C z2 Begründung: z1 C z2 D a1 C a2 C i.b1 C b2 / ist reell für b1 C b2 D 0  z1  z2 Begründung: z1  z2 D a1  a2 C i.b1  b2 / ist reell für b1  b2 D 0  z1 z2 Begründung: z1 z2 D .a1 C i b1 /.a2 C i b2 / D a1 a2  b1 b2 C i.b1 a2 C a1 b2 / ist reell für b1 a2 C a1 b2 D 0 z1  z2 z1 a1 C i b1 .a1 C i b1 /.a2 C i b2 / Begründung: D D z2 a2 C i b2 a22 C b22 a1 a2  b1 b2 b1 a2 C a1 b2 D Ci ist reell für b1 a2 C a1 b2 D 0 a22 C b22 a22 C b22

Lösung 1.19 Gegeben ist eine Gleichung höheren Grades: g W an x n C : : : C a1 x C a0 D 0 mit n  3; an ¤ 0  Die Gleichung g mit komplexen Koeffizienten besitzt stets komplexe Lösungen. Begründung: Fundamentalsatz der Algebra  Mit jeder komplexen Lösung z D a C i b von g ist auch zN D a  i b eine Lösung. Begründung: Mit der reellen Produktdarstellung kann g zerlegt werden in lineare und qua2 dratische der Form  Faktoren  x  r bzw. x C px C q, die nicht weiter zerlegbar sind: p x D 12 p ˙ p 2  4q , wobei p 2  4q < 0,     p p also x1 D 12 p C i 4q  p 2 , x2 D 12 p  i 4q  p 2 p bzw. z D a ˙ i b mit a D  p2 ; b D 12 4q  p 2  Die Gleichung g mit reellen Koeffizienten besitzt stets reelle Lösungen. I Nicht jede quadratische Gleichung besitzt eine reelle Lösung. Begründung :  Die Gleichung g mit reellen Koeffizienten besitzt für geradzahliges n mindestens zwei reelle Lösungen. I Begründung: siehe   Die Gleichung g mit reellen Koeffizienten besitzt für ungeradzahliges n mindestens eine reelle Lösung. Begründung: Für n ungeradzahlig liefert die Produktdarstellung mindestens einen linearen Faktor und damit eine Nullstelle.  Für a0 D a1 D : : : D ak D 0 .0 < k < n/ existiert die reelle Lösung x D 0. Begründung: an x n C : : : C akC1 x kC1 D x kC1 .an x nk1 C : : : C akC1 / D 0 ist lösbar für x D 0.

Lösungen

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Lösungen Rechenaufgaben Lösung 1.20 a) Für a; b  0 oder a; b < 0 gilt ja C bj D jaj C jbj und damit ja C bjjcj D .jaj C jbj/jcj D jajjcj C jbjjcj D jacj C jbcj. Für a  0; b < 0 oder a < 0; b  0 gilt ja C bj < jaj C jbj und damit ja C bjjcj < .jaj C jbj/jcj D jajjcj C jbjjcj D jacj C jbcj. a b ad  bc ab b)  D soll gleich sein c d cd c Cd .ad  bc/.c C d / D cd.a  b/ adc  bc 2 C ad 2  bcd D acd  bcd   bc 2 ad 2 Die Gleichheit gilt für ad 2 D bc 2 bzw. a D 2 ; b D 2 ; : : : . d c

Lösung 1.21

sp 144  93=2 p 0:62  3 64 p 25=2  21  2 2 p p p 3 4 2  22 C 23 p p 3 x2  x3 p x 4=3  3 x p 4 a4 b 2 c  ab 1=2 c 3=4 p 3 ab 2 c 3  a2=3 b 1=3 c

r D

p 12  27 D 225 D 15 0:36  4

D

23=2  23=2 D0 21=2  22=3 C 23=4

D

p x 2=3  x 3=2 x 3=2 D x D 5=3 x x

D

a2 bc a ab 1=2 c 1=4 ab 1=2 c 3=4 D D 2 1=3 2=3 2=3 1=3 abc c a b ca b c

Lösung 1.22

ˇ ˇ n.n C 1/ ˇ 4  0:5 D 78 ˇ 2 i D0 .n C 1/  12 C n.n C 1/ D 312 n2 C 13n  300 D 0 p 1 n1;2 D .13 ˙ 169 C 1 200/ D 12 .oder 25/ 2 Ergebnis: n D 12; a2 D 3 C 2  0:5 D 4; a4 D 5; a6 D 6 ˇ n ˇ P n.n C 1/  .0:5/ D 0 ˇˇ  4 ai D .n C 1/  3 C b) 2 a)

n P

ai

D .n C 1/  3 C

i D0

.n C 1/  12  n.n C 1/ D 0 n2  11n  12 D 0 p 1 n1;2 D .C11 ˙ 121 C 48/ D 12 .oder 1/ 2 Ergebnis: n D 12; a2 D 3 C 2  .0:5/ D 2; a4 D 1; a6 D 0

20

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie n P

1  0:5nC1 D 1968:75 1  0:5 i D0 1  0:5nC1 D 0:984375 0:5nC1 D 0:015625 Ergebnis: n D 5; a1 D 1 000  0:5 D 500; a3 D 125; 5 P 1  q6 d) D 0 ai D 1 000  1q i D0 1  q6 D 0 Ergebnis: q D 1 c)

ai

D

1 000 

ˇ ˇ ˇ  0:5 ˇ 1 000

a5 D 31:25 ˇ ˇ ˇ  1  q .q ¤ 1/ ˇ 1 000

Lösung 1.23 a) A: Buchstabe 1: Buchstabe 2: Ziffer 1,2,3,4: insgesamt also:

1 26 Möglichkeiten + 1 Leerstelle 26 Möglichkeiten Zahlen 1 bis 9 999, also 9 999 Möglichkeiten 1  27  26  9 999 D 7 019 298 Möglichkeiten ! 20 b) 0 Extras: 1 D Möglichkeit 0 ! 20 1 Extra: 20 D Möglichkeiten 1  ! 20 allgemein k Extras: Möglichkeiten .k D 0; 1; : : : ; 20/ k Damit gibt es nach der Binomischen Formel insgesamt

20 P kD0

! 20 D .1 C 1/20 D 220 k

Möglichkeiten.

! 5 c) Je Teilpaket gibt es D 10 Möglichkeiten, 2 ! ! ! 5 5 5 also insgesamt D 10  10  10 D 1 000 Möglichkeiten. 2 2 2 d) Kombination ! fünfter Ordnung für n D 3 ohne Reihenfolge, mit Wiederholung: 3C51 D 21 Möglichkeiten 5

Lösung 1.24 a) Kombination zweiter Ordnung .k D 2/ für n D 10 mit Reihenfolge, ohne Wiederholung: 10Š D 10  9 D 90 Kombinationen 8Š

Lösungen

21

b) Es existieren 8Š D 40 320 verschiedene Anordnungsmöglichkeiten für 8 Spieler. c) Kombination fünfter Ordnung .k D 5/ für n D 8 ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung: ! 8Š 876 8 D D D 56 unterschiedliche Teams 5Š3Š 3Š 5 d) n D 10 Personen als Elemente, 2 Gruppen mit n1 D 8 (rot) und n2 D 2 (schwarz) nicht unterscheidbaren Elementen: 10  9 10Š D D 45 unterschiedliche Anordnungen 8Š2Š 2Š

Lösung 1.25 a) n D 20 Gruppen, n1 D 5 mobile Kapellen, n2 D 10 Schützenvereine, n3 D 5 historische Gruppen: 20Š D 46 558 512 unterschiedliche Anordnungen 5Š10Š5Š b) Kombination zweiter Ordnung .k D 2/ für n D 5 ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung: ! 5 D 10 Möglichkeiten 2 c) Kombination dritter Ordnung .k D 3/ für n D 10 ohne Reihenfolge, mit Wiederholung: ! 10 C 3  1 D 220 Möglichkeiten 3 d) Es existieren 5Š D 120 Anordnungen. e) Kombination dritter Ordnung .k D 3/ für n D 5 mit Reihenfolge, ohne Wiederholdung: 5Š D 60 Kombinationen 2Š

Lösung 1.26 a) Es existieren 5Š D 120 Anordnungen. b) Kombination dritter Ordnung .k D 3/ für n D 5 ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung: ! 5 D 10 Möglichkeiten 3 c) Kombination dritter Ordnung .k D 3/ für n D 5 mit Reihenfolge, ohne Wiederholung: 5Š D 60 Anordnungen 2Š d) Kombination fünfter Ordnung .k D 5/ für n D 5 mit Reihenfolge, mit Wiederholung: 55 D 3 125 Anordnungen Da nur 1 000 Kinder vorhanden sind, können auch nur 1 000 verschiedene Anordnungen auftreten. e) Kombination ! dritter Ordnung .k D 3/ für n D 5 ohne Reihenfolge, mit Wiederholung: 5C31 D 35 Kombinationen 3

22

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Lösung 1.27 a) Kombination zwölfter Ordnung .k D 12/ für n D 30 ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung: ! 30 D 86 493 225 Möglichkeiten 12 b) 2 Kombinationen dritter Ordnung .k D 3/ für n D 9 und 2 Kombinationen dritter Ordnung .k D 3/ für n D 6 jeweils ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung: ! ! ! ! 9 9 6 6 D 84  84  20  20 D 2 822 400 Möglichkeiten 3 3 3 3 c) Es existieren für jede Jahreszeit 3Š Anordnungen, also insgesamt 3Š  3Š  3Š  3Š D 64 D 1 296 Anordnungen.

Lösung 1.28 a) Kombinationen fünfter Ordnung .k D 5/ für n D 8 bei 1) bzw. Kombinationen mindestens fünfter Ordnung .k D 5; 6; 7; 8/ für n D 8 bei 2) ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung: ! 8 1) D 56 Möglichkeiten 5 ! ! ! ! 8 8 8 8 2) C C C D 56 C 28 C 8 C 1 D 93 Möglichkeiten 5 6 7 8 b) Es existieren: 1) 3Š D 6 Möglichkeiten 2) 6  4  2 D 48 Möglichkeiten c) 1) Kombinationen zehnter Ordnung .k D 10/ für n D 12 mit Reihenfolge, ohne Wieder12Š holung: D 239 500 800 Möglichkeiten 2Š 2) Kombinationen zweiter Ordnung .k D 2/ für n D 10 mit Reihenfolge, ohne Wiederho10Š D 90 Möglichkeiten lung: 8Š 3) Zu bewerten sind 12 Paare.

Lösung 1.29 a) .x C 1/.x  2/

D .x  3/.x C 4/

x x2 D 10 D 2

b)

ˇ ˇ  x 2 C x C 12

x 2 C x  12 2x also x D 5

.x C 1/.2x C 1/x

ˇ D .2x  1/x.x C 1/ ˇ  .2x  1/x.x C 1/

x.x C 1/Œ.2x C 1/  .2x  1/ D x.x C 1/2 D also x D 0 oder x D 1

0 0

Lösungen

23

x2 D c) xC2 x 2  4x C 4 D 0 D d)

x2  1 xC1

D

xC2 .x ¤ ˙2/ x2 x 2 C 4x C 4 8x; also x D 0

x2  1 x1

.x ¤ ˙1/

ˇ ˇ ˇ  .x C 2/.x  2/ ˇ ˇ ˇ  x 2 C 4x  4 ˇ ˇ ˇ W .x 2  1/ ˇ

1 1 D bzw. x C 1 D x  1 .Widerspruch: 1 ¤ 1/ xC1 x1 Es existiert keine Lösung.

Lösung 1.30 a) x D Seitenlänge des Quadrates .x  1/.x C 2/ D x 2 C x  2, also ist x D 2 die Seitenlänge des Quadrates. x2 D 2  2 p p Für die Seitenlängen des Dreiecks gilt: x  1 D 1; x C 2 D 4 sowie 1 C 16 D 17 (Pythagoras) b) x D Zeit bis zur Überholung (in Stunden) ˇ ˇ  90x C 60 90x D 120.x  0:5/ D 120x  60 60 D 30x, also x D 2 (Stunden) c) x D Literanzahl des 30 %-Alkohols 0:3x C 0:8.100  x/ D 0:4  100 ˇ ˇ C 0:5x  40 80  0:5x D 40 40 D 0:5x; also 80 D x Man benötigt 80 Liter des 30 %-Alkohols, 20 Liter des 80 %-Alkohols. d) x D Prozentsteigerung x 3 300  2 750 550 D D D 0:2 also x D 20 % 100 2 750 2 750

Lösung 1.31 a) .2x C 1/.1  2x/

D

.x C 3/.x  5/

1  4x 2 D x 2  2x  15 0 D 5x 2  2x  16 p 1 .2 ˙ 4 C 320/ D 2 oder 1:6 x1;2 D 10 3x C 2 2x C 3 D .3x C 4 ¤ 0; 2x C 1 ¤ 0/ b) 3x C 4 2x C 1 4x 2 C 8x C 3 D 9x 2 C 18x C 8 0 D 5x 2 C 10x C 5 D 5.x C 1/2 x1;2 D 1

ˇ ˇ  1 C 4x 2

ˇ ˇ ˇ  .3x C 4/.2x C 1/ ˇ ˇ ˇ  4x 2  8x  3

24

c)

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

.x  1/2 .x C 1/2 D .x ¤ ˙1/ x1 xC1 x 3 C 3x 2 C 3x C 1 D x 3  3x 2 C 3x  1 6x 2 D 2 (Widerspruch!)

ˇ ˇ  .x  1/.x C 1/

Es existiert keine reelle Lösung.

Lösung 1.32 a) x D Breite des Grundstücks .x C 30/x D x 2 C p30x D 18 000 x1;2 D 12 .30 ˙ 900 C 72 000/ D 120 (oder 150) Das Grundstück ist 120 m breit und 150 m lang. b) x D prozentuale Steigerung des Umsatzes  x  x  5 000 000 1 C 1C D 5 408 000 100 100 ˇ ˇ x2 5 408 2x ˇ  10 000 C D 1C ˇ 100 10 000 5 000 10 000 C 200x C x 2 D 10 816 j  10 000 200x C x 2 D 816  p  x1;2 D 12 200 ˙ 40 000 C 3 264 D 4 (oder 204) Der Umsatz steigt pro Jahr um 4 %. c) x D ursprünglicher Preis pro Kasten Bier 720 D Anzahl der gekauften Kästen Bier x 720 D Anzahl der Kästen Bier nach 3 Monaten x  0:75 ˇ ˇ 720 720 ˇ  x.x  0; 75/ C4 D ˇ x x  0:75 720.x  0:75/ C 4x.x  0:75/ D 720x 4x 2  3x  540 D 0    p  90 x1;2 D 18 3 ˙ 9 C 8 640 D 12 oder  8 Früherer Preis 12:00 Euro mit 60  12 D 720 Späterer Preis 11:25 Euro mit 64  11:25 D 720

Lösung 1.33 a)

3x 2 12 C 3.3  x/ 21  3x 8 2C

   

xC8 x1 C 3 2 2.x C 8/ C 3.x  1/ 5x C 13 8x also x  1

ˇ ˇ ˇ 6 ˇ ˇ ˇ C 3x  13

Lösungen

b)

1 1  x1 xC1

25

.x ¤ ˙1/

1 1  . x1 xC1 1 1 1 1 < 0 und > 0, also < . Für 1 < x < 1 gilt x1 xC1 x1 x C1 c) x 2 C x D x.x C 1/ < 0 gilt für x > 0 und 1  x < 0; also x > 1 bzw. x < 0 und 1  x > 0; also x < 0 d) x 2  2x  3 Dp0 x1;2 D 12 .2 ˙ 4 C 12/ D 3 oder 1 Für x > 1 oder x < 1 gilt

Wegen x 2  2x  3 < 0 für x D 0 > 0 für x D 4 gilt x 2  2x  3 > 0 für x < 1 oder x > 3 bzw. x 2  2x  3 < 0 für 1 < x < 3

Lösung 1.34 a)

y 5 4 h1

3 2

h2

1 7 6 5 4 3 2 1 1

h3 1

2

3

4

5 x

2 b) Schnittpunkt h1 = h2 W Schnittpunkt h1 = h3 W Schnittpunkt h2 = h3 W

μ 2x C 5x D 3x D 10 2x C 5y D 10 10 Dy xD xy D 0 3 μ 2x C 5y D 10 2x D 10 x D 5; y D 0 yD0 μ xy D0 xDyD0 yD0

c) Bei Hinzunahme von h4 haben die vier Halbebenen keinen gemeinsamen Bereich, da h4 als Parallele zur y-Achse bei x D 5 beginnt und Werte x  5 aufweist.

26

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Lösung 1.35 y 4 h

3 2 k

1 3

2

1 1

1

2

3

x

2 Schnittpunkte: x 2 C y 2 D 4; y D 2x C 4 x 2 C .2x C 4/2 D x 2 C 4x 2 C 16x C 16 D 4 5x 2 C 16x C 12 D 0 p 1 .16 ˙ 256  240/ D 2 oder 1:2 x1;2 D 10 Für die Schnittpunkte gilt: x D 2; y D 0 bzw. x D 1:2; y D 1:6

Lösung 1.36 B c A

ˇ 

˛ b

a  C

Rechtwinkliges Dreieck: c 2 D a2 C b 2 D 25 C 144 D 169, somit ist c D 13 5 b a D ; cos ˛ D D c 13 c 12 a b ; cos ˇ D D sin ˇ D D c 13 c  D 90ı ; sin  D 1; cos  D 0; sin ˛ D

12 a 5 ; tan ˛ D D 13 b 12 5 b 12 ; tan ˇ D D 13 a 5 tan  existiert nicht

Lösung 1.37 sin.90ı  ˛/ D sin 90ı cos ˛  cos 90ı sin ˛ D cos ˛ cos.90ı  ˛/ D cos 90ı cos ˛ C sin 90ı sin ˛ D sin ˛

Lösungen

27

Lösung 1.38 a) z1 C z2  z3

D 1 C i C 1 C 2i  1  3i D 1

b) z1  z2  z3

D .1 C i /.1 C 2i /.1 C 3i / D .1  2 C 3i /.1 C 3i / D 9i 2  1 D 10 .1 C 4i  3/.1  2i / z3 .1 C 3i /.1 C i / D c) z1 D z2 1 C 2i .1 C 2i /.1  2i / 6 C 8i 2 C 8 C 8i D D 1:2 C 1:6i D 5 5 z3  2z2 1  i 1 1 C 3i  2  4i d) D D .1 C i / D z3  3z1 1 C 3i  3  3i 2 2

Lösung 1.39 a) z1

D

z2

D

z3

D

b) zk

D

zk

D D D D

p ! p 3 1 Ci D1Ci 3 2.cos 60ı C i sin 60ı / D 2 2 2 p ! p 3p 2 2 ı ı i D 3.cos 45  i sin 45 / D 3 2.1  i / 2 2 2 4.cos 90ı C i sin 90ı / D 4.0 C i / D 4i p 1 C i k; jzk j D 1 C k 2   p ik 1 2 D 1Ck p Cp 1 C k2 1 C k2   p p i 1 2 p Cp D 2 .cos 45ı C i  sin 45ı /, für k D 1 2 2   p p 2i 1 5 p Cp D 5 .cos 63:4ı C i  sin 63:4ı /, für k D 2 5 5   p p 3i 1 10 p C p D 10 .cos 71:6ı C i  sin 71:6ı /, für k D 3 10 10

Lösung 1.40 a) Mit x 4 D 1 gilt x 2 D ˙1 oder x1 D 1; x2 D 1; x3 D i; x4 D i b) Für x 4  10x 2 C 9 D 0 mit y D x 2 gilt: p y 2  10y C 9 D 0; y1;2 D 12 .10 ˙ 100  36/ D 9 oder 1 x1 D 3; x2 D 3; x3 D 1; x4 D 1

28

1 Grundkenntnisse der Arithmetik und analytischen Geometrie

Lösung 1.41 a) x 5  2x 4  x 3 C 2x 2

D x 2 .x 3  2x 2  x C 2/ also x1 D x2 D 0

x 3  2x 2  x C 2 D 0

mit Nullstelle x3 D 1

.x  2x  x C 2/ W .x  1/ D x 3 C x 2 3

2

x 2  x  2 mit Nullstelle x4 D 1 .x 2  x  2/ W .x C 1/ D x 2  x

x 2  x x2  x

2x  2 2x C 2

2x C 2 2x  2

0

0 Ergebnis: x 5  2x 4  x 3 C 2x 2 D x 2 .x  1/.x C 1/.x  2/ mit Nullstellen x1 D x2 D 0; x3 D 1; x4 D 1; x5 D 2 b) x 4  2x 3  x C 2 D 0

mit Nullstelle x1 D 1

.x 4  2x 3  x C 2/ W .x  1/ D x 4 C x 3

x 3  x 2  x  2 mit Nullstelle x2 D 2

x 3  x x3  x2 x 2  x Cx 2  x 2x C 2 C2x  2 0 .x  x  x  2/ W .x  2/ D x 3 C 2x 2 3

2

x 2 C x C 1 besitzt keine reelle Nullstelle

x2  x x 2 C 2x x2 x C 2 0 Ergebnis: x 4  2x 3  x C 2 D .x  1/.x  2/.x 2 C x C 1/ mit reellen Nullstellen x1 D 1; x2 D 2

x2

2 Aussagenlogik Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 2.1 * Nachfolgende Formulierungen sind Aussagen:  Heute scheint die Sonne.  Gehst du heute zur Vorlesung?  Achte auf pünktliches Erscheinen!  In der Vorlesung werden heute Gleichungen behandelt.  Auf los geht’s los.  Auf geht’s!  Nach der Vorlesung trinke ich gerne einen Kaffee.  Wenn Studierende beieinander sitzen, gibt es oft interessante Diskussionen, auch über Vorlesungen.  Hast du heute alles verstanden?  Prost!

Verständnisfrage 2.2 * Gegeben sind die Aussagen Ui .i D 1; 2; 3; 4; 5/: „Die Übungsaufgabe i ist schwer.“ Dann existieren zu nachfolgenden kombinierten Aussagen die angegebenen Interpretationen:  U1 ^ U2 ) U5 :

Wenn Aufgaben 1 und 2 schwer sind, dann auch Aufgabe 5.

 U3 () U4 :

Aufgabe 3 ist genau dann nicht schwer, wenn Aufgabe 4 nicht schwer ist.

   U1 ) U2 ^ U5 : Wenn Aufgabe 1 nicht schwer ist, dann auch Aufgabe 2, gleichzeitig ist Aufgabe 5 aber schwer.    U4 _ U5 ) U1 : Wenn Aufgabe 4 oder 5 nicht schwer ist, dann ist Aufgabe 1 schwer.  U2 ) U3 ^ U4 :

Wenn Aufgabe 2 schwer ist, dann sind nicht beide Aufgaben 3 und 4 schwer.

30

2 Aussagenlogik

Verständnisfrage 2.3 ** a) Nachfolgende kombinierte Aussagen sind Tautologien:  A^B) A_B  A ^ B () A _ B  A^B) A_B W V A.x/ ) A.x/  x

x

b) Nachfolgende kombinierte Aussagen sind Kontradiktionen:  A ^ B ^ .A ^ B/  A _ B () A _ B  A _ B ^ C () A ^ B _ C W V A.x/ ) A.x/  x

x

Verständnisfrage 2.4 * Gegeben sind die Aussagen A und B.  Wenn A ) B wahr ist, dann existiert ein Beispiel, das A ) B bestätigt.  Wenn ein Beispiel existiert, das die Aussage B ) A bestätigt, dann ist B ) A wahr.  Wenn ein Beispiel existiert, das die Aussage B ) A bestätigt, dann ist B ) A falsch.  Die Aussage A () B ist genau dann wahr, wenn A () B falsch ist.  Die Aussage A () B ist genau dann wahr, wenn A () B falsch ist.

Verständnisfrage 2.5 ** Gegeben ist eine für die natürliche Zahl n wahre Aussage A.n/ sowie die für die natürlichen V Zahlen wahre Aussage A.n/. Dazu äquivalent sind folgende Aussagen: n

 B1 W

A.1/ ist wahr und es existiert eine natürliche Zahl k mit A.k/ ) A.k C 1/.

 B2 W

A.1/ ist wahr und für alle natürlichen Zahlen k  2 gilt A.k/ ) A.k C 1/.

 B3 W

A.0/ ist wahr und für alle natürlichen Zahlen k  1 gilt A.k/ ) A.k C 1/.

 B4 W

A.1/ ist wahr und für alle natürlichen Zahlen k  1 gilt A.k/ ) A.k C 1/.

Rechenaufgaben

31

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 2.6 * a) Vervollständigen Sie die folgende Tabelle: A

w

w

f

f

B

w

f

w

f

A B A)B b) Werten Sie den Ausdruck A ) B ^ A ) B aus, indem Sie die gesamte Tabelle vervollständigen: A

w

w

f

f

B

w

f

w

f

A)B^A)B

Rechenaufgabe 2.7 ** Gegeben sind die Aussagen A, B, C und D. a) Bestimmen Sie für den Fall, dass A und D wahr, B und C falsch sind, den Wahrheitsgehalt der folgenden verknüpften Aussagen:     1) A ^ C _ B ^ D _ D 2) A ) D ) C ) B     3) A () A () B () B     4) A ) B () A ) B b) Ermitteln Sie die Wahrheitstafeln der folgenden verknüpften Aussagen und interpretieren Sie die Ergebnisse:   1) A ^ A ) B ) B   2) B ^ A ) B ) A c) Stellen Sie zu den Aussagen A, B die Aussage „entweder A oder B“ formal dar.

32

2 Aussagenlogik

Rechenaufgabe 2.8 * Gegeben sind folgende Aussagen: A1 W Die Löhne steigen. A2 W Die Preise steigen. a) Formulieren Sie verbal: A W A1 ) A2 ;

B1 W A1 ^ A2 ;

B2 W A1 ^ A2

b) Überprüfen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, welche der Aussagen A ) Bi ; Bi ) A ; A () Bi .i D 1; 2/ stets (also unabhängig von den Wahrheitswerten der Ai ) wahr sind.

Rechenaufgabe 2.9 * Gegeben sind folgende Aussagen: A W

Es regnet.

B W

Die Straße ist nass.

C W

A)B

a) Formulieren Sie verbal: D1 W A ^ B ; D 2 W A _ B ; D 3 W A ^ B b) Zeigen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, welche Aussage(n) Di .i D 1; 2; 3/ äquivalent zu Aussage C ist/sind.

Rechenaufgabe 2.10 ** a) Welche der nachfolgenden Aussagen sind für reelle x wahr? 1) e x  1 () x  1 2) e x < 1 ) x nicht reell 3) x reell ) e .x

2/

 ex

b) Gegeben ist Aussage A.x/: „Die reelle Zahl x erfüllt die Ungleichung e x  1.“ Formulieren Sie die folgenden All- und Existenzaussagen verbal und geben Sie an, welche davon wahr oder falsch sind: ^ ^ ^ A.x/ ; A.x/ ; A.x/ ; x

_ x

x

A.x/ ;

_ x

x

A.x/ ;

_ x

A.x/ :

Rechenaufgaben

33

Rechenaufgabe 2.11 * Gegeben ist Aussage P.x/ : „Der Angestellte x der Firma F ist mit seiner Position zufrieden.“ Interpretieren Sie die folgenden Aussagen und formuliere Sie die dazu äquivalenten Aussagen: _ ^ _ ^ P.x/ ; P.x/ ; P.x/ ; P.x/ ; x

^

x

P.x/ ;

x

_

x

P.x/ ;

x

^

x

P.x/ ;

x

_

P.x/ :

x

Rechenaufgabe 2.12 * Gegeben ist Aussage A.x/ : „Die reelle Zahl x erfüllt die Gleichung x 4 C 1 D 0.“ Welche der folgenden All- und Existenzaussagen sind wahr? ^

A.x/ ;

x

_

^

^

A.x/ ;

x

A.x/ ;

x

_

A.x/ ;

x

^

A.x/ ;

x

_

A.x/ ;

x

A.x/ ;

x

_

A.x/ :

x

Rechenaufgabe 2.13 ** Gegeben sind die folgenden All- bzw. Existenzaussagen: _ ^ .x 2  x  1 D 0/ ; .x 2  x  1 D 0/ ; x

^

x

.x  x C 1 D 0/ ; 2

x

^

.x 2  x  1 D 0/ ; .x 2  x  1 D 0/ ;

.x 2  x  1 D 0/ ;

_

.x 2  x  1 D 0/ ;

x

.x 2  x  0/ ;

x

^

_ x

x

^

.x 2  x C 1 D 0/ ;

x

x

^

_

_

.x 2  x  0/ ;

x

3

.x  x  0/ ;

x

_

.x 3  x  0/ :

x

Welche der Aussagen sind wahr, wenn a) x eine reelle Zahl ist? b) x eine reelle Zahl mit x > 1 ist?

34

2 Aussagenlogik

Rechenaufgabe 2.14 *** Auf einem quadratischen Spielfeld mit 8  8 Feldern wurden geometrische Elemente in Form ) und kleinen Dreiecken ( ) folgendermaßen von kleinen und großen Quadraten ( , angeordnet: oben

unten Folgende Aussagen sind für die geometrischen Elemente x; y; z auf dem Spielfeld definiert: Q.x/

W x ist ein Quadrat

K.x/

W x ist klein

U.x; y/

W

V.x; y; z/ W

x liegt unterhalb von y x liegt auf der Verbindungsstrecke der Mittelpunkte von y und z

Entscheiden und begründen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind: _ a) Q.x/ x  _ b) Q.x/ ^ K.x/ x  ^ c) Q.x/ ) K.x/ x   ^ _ d) V.z; x; y/ ^ Q.z/ Q.x/ ^ Q.y/ ) x;y

e)

" ^  x

z



 ^ Q.x/ ^ K.x/ ) K.y/ ) U.y; x/ y

!#

Rechenaufgaben

35

Rechenaufgabe 2.15 ** a) Von den 450 Teilnehmern der letztjährigen Mathematik-Klausur haben 300 Teilnehmer den Klausurenkurs besucht. Insgesamt haben 20 % der Klausurteilnehmer die Klausur nicht bestanden. Bei den Besuchern des Klausurenkurses betrug die Durchfallquote nur 10 %. Beweisen Sie die Richtigkeit der Aussage „Die Durchfallquote der Teilnehmer der MathematikKlausur, die den Klausurenkurs nicht besucht haben, beträgt 40 %“. b) Beweisen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussagen: 2x 4  6x 2  12x 6D 72 x  2x C x D 2 3

2

)

x 6D 3

()

xD2

./

c) Zeigen Sie, dass die Umkehrung von ./, also x 6D 3 ) 2x 4  6x 2  12x 6D 72; nicht allgemein richtig ist.

Rechenaufgabe 2.16 ** Beweisen Sie indirekt die Implikationen: p a) x C 2 3 x D 3 ) x D 1 ist die einzige reelle Lösung 1 1 > ) jxj  1 b) x1 xC1 c) x 2  4x C 3  0 ) 1 < x  1 _ 3  x < 1

Rechenaufgabe 2.17 ** a) Beweisen Sie für reelle a die Äquivalenz .a C 1/5 > .a C 1/4 () a > 0 b) Beweisen Sie mit A W

1 < a < 1

B W

a a  ja C 1j ja  1j

die Aussagen A ) B;

B 6) A.

Rechenaufgabe 2.18 ** Zeigen Sie unter Verwendung der Formel ! n X n n ank b k .a reell; b reell; n natürlich/ .a C b/ D k kD0

mittels eines direkten Beweises die Richtigkeit der folgenden Aussage: .1 C b/n  1 C n  b

.b > 0 reell; n natürlich/

36

2 Aussagenlogik

Rechenaufgabe 2.19 * a) Untersuchen Sie die folgenden Gleichungen unter Berücksichtigung von n P

2n3 C 3n2 C n für natürliche n auf ihre Richtigkeit: sowie i2 D 6 i D1 n X 2i D n.n C 1/

n P i D1

iD

n.n C 1/ 2

i D1 n X 4n3 C 6n2 C 2n .2i /2 D 3 i D1

b) Zeigen Sie mit Hilfe von Teilaufgabe a), dass folgende Gleichung erfüllt ist: n X .2i C 1/ D n2 C 2n für alle natürlichen n i D1

Rechenaufgabe 2.20 *** Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass die folgenden Aussagen für alle natürlichen n wahr sind: n X i  i Š D .n C 1/Š  1 A1 .n/ W i D1

A2 .n/ W

n X

2i D 2nC1  1

i D0 n X

1 1 D 1 i.i C 1/ nC1 i D1 ! 2n X 2n C 1 i 2 .1/  i D A4 .n/ W 2

A3 .n/ W

i D1

Rechenaufgabe 2.21 * Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlichen n  2 wahr ist:  n  Y 1 1 D 1 A.n/ W i n i D2

Rechenaufgaben

37

Rechenaufgabe 2.22 *** Überprüfen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, für welche natürlichen Zahlen n folgende Aussagen wahr sind: p p A1 .n/ W n n > n C n A2 .n/ W A3 .n/ W

nŠ > 2n n Q

 n.nC1/  ii < n 2

i D1

Rechenaufgabe 2.23 *** Für alle natürlichen n gelten die Gleichungen n bn  1 an D an1 mit a0 D 1 bzw. bnC1 D mit b1 D 0: 2 2 Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion die Gültigkeit der Gleichungen nŠ 1  2n1 für alle natürlichen n: an D n bzw. bn D 2 2n1

Rechenaufgabe 2.24 *** Gegeben ist b0 D .1  p/10 und p mit 0 < p < 1 als fester Parameter. Ferner gilt rekursiv: 8 < bn1  p  11n für n D 1; 2; : : : ; 10 1p n bn D : 0 für n D 11; 12; : : : Beweisen Sie mit vollständiger Induktion nach n folgende explizite Darstellung: 8   < 10 p n .1  p/10n für n D 0; 1; : : : ; 10 n bn D : 0 für n D 11; 12; : : :

38

2 Aussagenlogik

Lösungen Verständnisfragen Lösung 2.1 Nachfolgende Formulierungen sind Aussagen:  Heute scheint die Sonne. Begründung: Es liegt eine Aussage vor, die wahr oder falsch ist.  Gehst du heute zur Vorlesung? Begründung: Es liegt eine Frage, aber keine Aussage vor.  Achte auf pünktliches Erscheinen! Begründung: Es liegt eine Aufforderung, aber keine Aussage vor.  In der Vorlesung werden heute Gleichungen behandelt. Begründung: Es liegt eine Aussage vor.  Auf los geht’s los. Begründung: Es liegt eine Aussage vor.  Auf geht’s! Begründung: Es liegt eine Aufforderung, aber keine Aussage vor.  Nach der Vorlesung trinke ich gerne einen Kaffee. Begründung: Es liegt eine Aussage vor.  Wenn Studierende beieinander sitzen, gibt es oft interessante Diskussionen, auch über Vorlesungen. Begründung: Es liegt eine Aussage vor.  Hast du heute alles verstanden? Begründung: Es liegt eine Frage, aber keine Aussage vor.  Prost! Begründung: Es liegt eine Aufforderung, aber keine Aussage vor.

Lösung 2.2 Gegeben sind die Aussagen Ui .i D 1; 2; 3; 4; 5/: „Die Übungsaufgabe i ist schwer.“ Dann existieren zu nachfolgenden kombinierten Aussagen die angegebenen Interpretationen:  U1 ^ U2 ) U5 : Wenn Aufgaben 1 und 2 schwer sind, dann auch Aufgabe 5. Begründung: U5 bedeutet, dass Aufgabe 5 nicht schwer ist.  U3 () U4 : Aufgabe 3 ist genau dann nicht schwer, wenn Aufgabe 4 nicht schwer ist. Begründung: Es handelt sich um Fälle, bei denen U3 nicht äquivalent zu U4 ist, also Aufgabe 3 schwer und Aufgabe 4 nicht schwer ist, oder umgekehrt.    U1 ) U2 ^ U5 : Wenn Aufgabe 1 nicht schwer ist, dann auch Aufgabe 2, gleichzeitig ist Aufgabe 5 aber schwer. Begründung: Interpretation stimmt.    U4 _ U5 ) U1 : Wenn Aufgabe 4 oder 5 nicht schwer ist, dann ist Aufgabe 1 schwer. Begründung: Interpretation stimmt.  U2 ) U3 ^ U4 : Wenn Aufgabe 2 schwer ist, dann sind nicht beide Aufgaben 3 und 4 schwer. Begründung: Interpretation stimmt.

Lösungen

39

Lösung 2.3 a) Nachfolgende kombinierte Aussagen sind Tautologien:  A^B)A_B Begründung: A und B impliziert stets A oder B.  A ^ B () A _ B Begründung: A ^ B bedeutet, dass nicht beide Aussagen A und B wahr sind. A _ B bedeutet, dass mindestens eine der beiden Aussagen A und B falsch ist. Damit sind beide Teilaussagen A ^ B und A _ B äquivalent.  A^B)A_B Begründung: Wenn mindestens eine der beiden Aussagen A, B falsch ist, dann folgt daraus nicht, dass beide Aussagen A, B falsch sein müssen. V W  A.x/ ) A.x/ x

x

x

x

Begründung: Wenn alle Aussagen A.x/ falsch sind, dann ist auch mindestens eine davon falsch. b) Nachfolgende kombinierte Aussagen sind Kontradiktionen:  A ^ B ^ .A ^ B/ Begründung: Die Aussagen A ^ B und A ^ B können nicht gleichzeitig wahr sein.  A _ B () A _ B Begründung: A_B bedeutet, dass mindestens eine der beiden Aussagen A und B falsch ist. A _ B bedeutet, dass keine der beiden Aussagen A und B wahr ist. Damit sind die Teilaussagen A _ B und A _ B nicht äquivalent.  A _ B ^ C () A ^ B _ C Begründung: Für A, B wahr, C falsch ist A _ B ^ C falsch, aber A ^ B _ C wahr. W V  A.x/ ) A.x/ Begründung: Wenn keine wahre Aussage A.x/ existiert, dann ist A.x/ nicht für alle x wahr, also liegt hier eine Tautologie vor.

Lösung 2.4 Gegeben sind die Aussagen A und B.  Wenn A ) B wahr ist, dann existiert ein Beispiel, das A ) B bestätigt. Begründung: Für eine wahre Aussage existieren Beispiele.  Wenn ein Beispiel existiert, das die Aussage B ) A bestätigt, dann ist B ) A wahr. Begründung: Ein Beispiel reicht nicht aus, um eine Aussage als wahr zu identifizieren.  Wenn ein Beispiel existiert, das die Aussage B ) A bestätigt, dann ist B ) A falsch. Begründung: Ein Beispiel zugunsten von B ) A zeigt, dass die Negation B ) A nicht generell wahr sein kann.  Die Aussage A () B ist genau dann wahr, wenn A () B falsch ist. I A () B bedeutet, dass A und B beide falsch oder beide wahr sind. Begründung :  Die Aussage A () B ist genau dann wahr, wenn A () B falsch ist. I Begründung: siehe 

40

2 Aussagenlogik

Lösung 2.5 Gegeben ist eine für dieVnatürliche Zahl n wahre Aussage A.n/ sowie die für die natürlichen Zahlen wahre Aussage A.n/. Dazu äquivalent sind folgende Aussagen: n

 B1 W A.1/ ist wahr und es existiert eine natürliche Zahl k mit A.k/ ) A.k C 1/. I Richtig wäre: A.1/ wahr und für alle natürlichen Zahlen k gilt A.k/ ) Begründung : A.k C 1/  B2 W A.1/ ist wahr und für alle natürlichen Zahlen k  2 gilt A.k/ ) A.k C 1/. I Begründung: siehe   B3 W A.0/ ist wahr und für alle natürlichen Zahlen k  1 gilt A.k/ ) A.k C 1/. I Begründung: siehe   B4 W A.1/ ist wahr und für alle natürlichen Zahlen k  1 gilt A.k/ ) A.k C 1/. I Begründung: siehe 

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 2.6 a) A

w

w

f

f

B

w

f

w

f

A

f

f

w

w

B

f

w

f

w

A)B

w

w

f

w

b) Eine Konjunktion besitzt eine höhere Priorität als eine Implikation und ist somit zuerst auszuwerten: A

w

w

f

f

B

w

f

w

f

B^A

w

f

f

f

A) B^A

w

f

w

w

A) B^A) B

w

w

w

f

Lösungen

41

Lösung 2.7 a) Gegeben: Aussage Wahrheitsgehalt

A w

B f

C f

D w     A ^ C _ B ^ D falsch,

1) A ^ C falsch, B ^ D falsch,   A ^ C _ B ^ D _ D wahr 2) A ) D wahr, A ) D ) C falsch, A ) D ) C ) B wahr         3) A () A falsch, B () B falsch, A () A () B () B wahr         A ) B () A ) B falsch 4) A ) B falsch, A ) B wahr, b) 1) A B A)B   A^ A)B   A^ A)B )B

w w w w w

w f f f w

f w w f w

f f w f w

Offenbar folgt aus A und (A impliziert B) stets die Aussage B. 2) A B A B A)B   B^ A)B   B^ A)B )A

w w f f w w w

w f f w w f w

f w w f f f w

f f w w w f w

Wegen der Äquivalenz .A ) B/ () .B ) A/ kann die Interpretation zu b1) hier übertragen werden. c) Die Aussage „entweder A oder B“ ist genau dann wahr, wenn A wahr und B falsch ist, oder wenn A falsch und B wahr ist (Kontravalenz). Man erhält:       X D A^B _ A^B oder Y D .A _ B/ ^ A ^ B mit A B A^B A^B X

mit w w f f f

w f w f w

Damit ist X () Y.

f w f w w

f f f f f

A B A_B A^B A^B Y

w w w w f f

w f w f w w

f w w f w w

f f f f w f

42

2 Aussagenlogik

Lösung 2.8 a) A W Wenn die Löhne steigen, dann steigen auch die Preise. B1 W Die Löhne und die Preise steigen. B2 W Die Löhne steigen und die Preise steigen nicht. b) A1 A2 A W A1 ) A 2 B1 W A1 ^ A2 B2 W A1 ^ A2 A ) B1 A ) B2 B1 ) A B2 ) A A () B1 A () B2

w w w w f w f w w w f

w f f f f w w w w w w

f w w f w f w w w f w

f f w f f f f w w f f

immer wahr immer wahr

Lösung 2.9 a) D1 W Es regnet und die Straße ist nass. D2 W Es regnet nicht oder die Straße ist nass. D3 W Es regnet nicht und die Straße ist nicht nass. b) A B CWA)B D1 W A ^ B D2 W A _ B D3 W A ^ B C () D1 C () D2 C () D3

w w w w w f w w f

w f f f f f w w w

f w w f w f f w f

f f w f w w f w w

Die Aussage D2 ist äquivalent zu Aussage C.

Lösung 2.10 a) A () B wahr, wenn die beiden direkten Beweise A ) B und B ) A wahr sind: 1) e x  1 ) x  1 falsch für x D 0 x  1 ) e x  e 1 > 1 wahr Damit ist die Äquivalenz e x  1 () x  1 falsch. 2) e x < 1 ) x nicht reell falsch für x D 1 2 3) x reell ) e .x /  e x falsch für x D 0:5 wegen e 0:25 < e 0:5

Lösungen

b)

V x

V x

V x

W x

W x

W x

43

A.x/ W Für alle reellen x gilt e x  1 W

falsch für x D 1

A.x/ W Für alle reellen x gilt e x < 1 W

falsch für x D 1

A.x/ W Nicht für alle reellen x gilt e x  1 W

wahr, da Negation der ersten Aussage

A.x/ W Es gibt ein reelles x mit e x  1 W

wahr für x D 1

A.x/ W Es gibt kein reelles x mit e x  1 W

falsch, da Negation der vierten Aussage

A.x/ W Es gibt kein reelles x mit e x < 1 W

falsch für x D 1

Lösung 2.11 V

x W x

V x

W x

V x W x

V x

W x

P.x/ :

Alle Angestellten x der Firma F sind mit ihrer Position zufrieden.

P.x/ :

Mindestens ein Angestellter x der Firma F ist mit seiner Position zufrieden.

P.x/ :

(alternativ: Es gibt (mindestens) einen Angestellten x der Firma F , der mit seiner Position zufrieden ist.) Alle Angestellten x der Firma F sind mit ihrer Position nicht zufrieden.

P.x/ :

(Falsch wäre „unzufrieden“, da die Angestellten auch „neutral eingestellt“ sein könnten.) Mindestens einer der Angestellten x der Firma F ist mit seiner Position nicht zufrieden. Nicht alle Angestellten x der Firma F sind mit ihrer Position zufrieden.

P.x/ :

Keiner der Angestellten x der Firma F ist mit seiner Position zufrieden.

P.x/ :

Nicht alle Angestellten x der Firma F sind mit ihrer Position nicht zufrieden.

P.x/ :

(Es ist also mindestens einer zufrieden.) P.x/ :

Keiner der Angestellten x der Firma F ist mit seiner Position nicht zufrieden, also sind alle zufrieden.

Negation der Existenz-/Allaussage bei gleichzeitiger Umwandlung des Quantors und Negation von P.x/ ergibt ein aussagenlogisches Äquivalent: V W W V P.x/ () P.x/ I P.x/ () P.x/ x

V x

x

P.x/ ()

W x

x

P.x/ I

W x

x

P.x/ ()

V x

P.x/

44

2 Aussagenlogik

Lösung 2.12 V x

V x

V x

W x

W x

W x

V x

W x

A.x/ W Für alle reellen x gilt die Gleichung x 4 C 1 D 0 ) falsch A.x/ W Für alle reellen x gilt x 4 C 1 ¤ 0

) wahr

A.x/ W Nicht für alle reellen x gilt x 4 C 1 D 0

) wahr

A.x/ W Mindestens für ein reelles x gilt x 4 C 1 D 0

) falsch

A.x/ W Mindestens für ein reelles x gilt x 4 C 1 ¤ 0

) wahr

A.x/ W Es gibt kein reelles x, mit x 4 C 1 D 0

) wahr

A.x/ W Nicht für alle reellen x gilt x 4 C 1 ¤ 0

) falsch

A.x/ W Es gibt kein reelles x mit x 4 C 1 ¤ 0

) falsch

Lösung 2.13 a) Zur Beurteilung, ob die Aussagen wahr sind, sind zuerst alle Lösungen der Gleichungen und Ungleichungen zu berechnen: p p 1 ˙ 1  4  1  .1/ 1˙ 5 2 i) x  x  1 D 0 ) x1=2 D D 2 2 p p 1C 5 1 5 1:6 und x2 D 0:6 ) x1 D 2 2 p p 1 ˙ 3 1˙ 1411 2 D ii) x  x C 1 D 0 ) x1=2 D 2 2 p Da 3 keine reelle Zahl darstellt, besitzt die Gleichung x 2  x C 1 D 0 keine reelle Lösung. iii) x 2  x  0 () x.x  1/  0 Daraus ergeben sich zwei Fälle: Fall 1: .x  0/ ^ .x  1/ Fall 2: .x  0/ ^ .x  1/ Daraus folgt x  1 oder x  0. iv) x 3  x  0 () x.x 2  1/  0 Daraus ergeben sich zwei Fälle: Fall 1: x  0 ^ .x  1 _ x  1/ () x  0 ^ x  1 () x  1 Fall 2: x  0 ^ .1  x  1/ () 1  x  0 Daraus folgt x  1 oder 1  x  0.

Lösungen

a,b)

45

a) x ist reelle Zahl

b) x ist reelle Zahl, x > 1

V 2 .x  x  1 D 0/

falsch für x D 2

falsch für x D 2

W 2 .x  x  1 D 0/

wahr für x 1:6

wahr für x 1:6

siehe Rechnung i)

siehe Rechnung i)

falsch, da x nicht reell

falsch, da x nicht reell

siehe Rechnung ii)

siehe Rechnung ii)

falsch, da x nicht reell

falsch, da x nicht reell

siehe Rechnung ii)

siehe Rechnung ii)

.x 2  x  1 D 0/

falsch für x 0:6

falsch für x 1:6

.x 2  x  1 D 0/

wahr für x D 0

wahr für x D 2

V 2 .x  x  1 D 0/

wahr für x D 0

wahr für x D 2

W 2 .x  x  1 D 0/

falsch für x 0:6

falsch für x 1:6

V 2 .x  x  0/

falsch für x D 0:5

wahr für alle x > 1

x

x

V 2 .x  x C 1 D 0/ x

W 2 .x  x C 1 D 0/ x

V x

W x

x

x

x

siehe Rechnung iii)

W 2 .x  x  0/

wahr für x D 1

wahr für x D 2

V 3 .x  x  0/

falsch für x D 0:5

wahr für alle x > 1

x

x

W 3 .x  x  0/ x

siehe Rechnung iv) wahr für x D 2

wahr für x D 2

Lösung 2.14 a) Es gibt mindestens ein x mit der Eigenschaft: x ist ein Quadrat. (Bzw.: Es gibt ein Quadrat.) Aussage ist wahr, siehe etwa Zeile 1, Spalte 7. b) Es gibt mindestens ein x, das kein Quadrat und klein ist. (Bzw.: Es gibt ein kleines Dreieck.) Aussage ist wahr, siehe etwa Zeile 7, Spalte 1. c) Für alle x gilt: Wenn x kein Quadrat ist, dann ist x klein. (Bzw.: Alle Dreiecke sind klein.) Aussage ist wahr, siehe Zeile 7, Spalte 1 und 4 sowie Zeile 5, Spalte 5. d) Für alle x und y, x ist kein Quadrat und y ist ein Quadrat, gilt: Es gibt ein z, das auf der Verbindungsstrecke von x und y liegt und kein Quadrat ist. (Bzw.: Es gibt ein Dreieck auf jeder Verbindungsstrecke zwischen einem Dreieck und einem Quadrat.) Aussage ist falsch, siehe etwa Zeile 7, Spalten 1 und 3.

46

2 Aussagenlogik

e) Für alle x gilt: Wenn x ein Quadrat und klein ist, liegen alle großen y unterhalb von x. (Bzw.: Alle großen Quadrate befinden sich unterhalb der kleinen Quadrate.) Aussage ist wahr, da sich alle kleinen Quadrate in den Zeilen 1 und 2 liegen, während alle großen Quadrate in den Zeilen 3 und 7 sind.

Lösung 2.15 a) Beweis durch Nachrechnen: Durchfallquote insgesamt: 450  0:2 D 90 Durchfallquote mit Klausurenkurs: 300  0:1 D 30 9030 D 0:4 Durchfallquote ohne Klausurenkurs: 450300 4 2 b) 2x  6x  12x 6D 72 ) x 6D 3 bzw. x D 3 ) 2x 4  6x 2  12x D 72 (indirekter Beweis) durch Einsetzen: 2  34  6  32  12  3 D 72 x 3  2x 2 C x D 2 () x D 2 „(“ durch Einsetzen: 23  2  22 C 2 D 2 „)“ Polynomdivision: .x 3  2x 2 C x  2/ W .x  2/ D x 2 C 1 .x 3  2x 2 / 0Cx2 .x  2/ 0 Wegen x 3  2x 2 C x  2 D .x  2/.x 2 C 1/ mit x 2 C 1 > 0 ist x D 2 einzige Nullstelle. c) Für x D 2 gilt: 2x 4  6x 2  12x D 2.2/4  6.2/2  12.2/ D 32 < 72 Für x D 3 gilt: 2x 4  6x 2  12x D 2.3/4  6.3/2  12.3/ D 144 > 72 Damit existiert ein x im Intervall h3; 2i mit 2x 4  6x 2  12x D 72.

Lösung 2.16 Beweis der Implikation B ) A als aussagenlogisches Äquivalent zur Implikation A ) B p a) Zu zeigen ist: .x ¤ 1 ) x C 2 3 x ¤ 3/ p 1. Fall: x > 1 ) x C 2 3 x > 3 p 2. Fall: x < 1 ) x C 2 3 x < 3 b) Zu zeigen ist: 1 1 jxj < 1 )  x1 xC1     1 1 1 1 0 )  jxj < 1 ) x1 xC1 x1 xC1 c) Zu zeigen ist: x im Intervall h1; 3i ) x 2  4x C 3 < 0 x im Intervall h1; 3i ) x 2  4x C 3 D .x  1/ .x  3/ < 0 „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … >0

.aC1/4 () .aC1/4 .aC1/ > .aC1/4 () .aC1/ > 1 wegen .aC1/4 > 0 () a > 0 b) Beweis von A ) B: Fall 1: 0  a < 1 ) ja C 1j  ja  1j 1 1 )  ja C 1j ja  1j a a  (da a  0) ) ja C 1j ja  1j Fall 2: 1 < a  0

)

ja C 1j 1 ja C 1j a ja C 1j

) ) Beweis von B 6) A:

Für a D 2 ist B erfüllt wegen

  

ja  1j 1 ja  1j a ja  1j

(da a  0)

2  2, nicht jedoch A, da 2 nicht im Intervall h1; 1i liegt. 3

Lösung 2.18 .1 C b/n D

n   P n nk k b k 1

kD0

n 1 n 2 n n      n0 b 0 C n1 b 1 D 1 C nb 1 b C 2 b C ::: C n b   wegen b > 0; kn > 0 D

n 0

b0 C

Lösung 2.19 a)

n P

2i

i D1 n P

.2i /2

i D1

b)

n P

D2 D4

.2i C 1/ D

i D1

n P i D1 n P i D1

n P i D1

i D2

n.n C 1/ D n.n C 1/ 2

i2 D 4

2i C

4n3 C 6n2 C 2n 2n3 C 3n2 C n D 6 3

n P i D1

1 D n.n C 1/ C n D n2 C 2n

48

2 Aussagenlogik

Lösung 2.20 A1 .n/: Induktionsanfang A1 .1/ W 1 P i  i Š D 1  1Š D 1, linke Seite:

rechte Seite: 2Š  1 D 1

i D1

damit ist A1 .1/ wahr C 1/ W Induktionsschluss A1 .n/ ) A  1 .n    n nC1 P P i  i Š D .n C 1/Š  1 ) i  i Š D .n C 2/Š  1 i D1

Beweis:

nC1 P i D1

i  iŠ D

i D1

n P i D1

i  i Š C .n C 1/.n C 1/Š

A1 .n/

D

.n C 1/Š  1 C .n C 1/Š.n C 1/

D .n C 1/Š.1 C n C 1/  1 D .n C 2/Š  1 Induktionsanfang wahr ^ Induktionsschluss wahr ) A1 .n/ wahr für alle natürlichen n A2 .n/: Induktionsanfang A2 .1/ W linke Seite: 20 C 21 D 3, damit ist A2 .1/ wahr

rechte Seite: 22  1 D 3

Induktionsschluss A2 .n/) A2 .n C 1/ W   n nC1 P i P i 2 D 2nC1  1 ) 2 D 2nC2  1 i D0

Beweis:

nC1 P i D0

2i D

n P i D0

i D0

2i C 2nC1

A2 .n/

D

2nC1  1 C 2nC1 D 2  2nC1  1 D 2nC2  1

Induktionsanfang wahr ^ Induktionsschluss wahr ) A2 .n/ wahr für alle natürlichen n A3 .n/: Induktionsanfang A3 .1/ W 1 1 D , linke Seite: 12 2 damit ist A3 .1/ wahr

rechte Seite: 1 

1 1 D 1C1 2

1/ W Induktionsschluss A3 .n/ ) A3.n C    n nC1 P P 1 1 1 1 D1 ) D1 nC1 nC2 i D1 i.i C 1/ i D1 i.i C 1/ nC1 n P P 1 1 1 1 1 A3 .n/ Beweis: D C C D 1 .n C 1/.n C 2/ n C 1 .n C 1/.n C 2/ i D0 i.i C 1/ i D0 i.i C 1/ .n C 2/  1 nC1 1 D1 D1 .n C 1/.n C 2/ .n C 1/.n C 2/ nC2 Induktionsanfang wahr ^ Induktionsschluss wahr ) A3 .n/ wahr für alle natürlichen n D1

Lösungen

49

A4 .n/: Induktionsanfang A4 .1/ W 2 P .1/i  i 2 D .1/1  12 C .1/2  22 D 1 C 4 D 3, linke Seite: i D1 ! ! 21C1 3 rechte Seite: D D3 2 2 damit ist A4 .1/ wahr Induktionsschluss A4 .n/ )A4 .nC 1/ W   2n 2nC2   2nC3 P P i 2 i 2 ) .1/  i D 2nC1 .1/  i D 2 2 i D1

Beweis:

2nC2 P i D1

.1/ i D i 2

2n P

i D1

.1/i i 2 C .1/2nC1 .2n C 1/2 C .1/2nC2 .2n C 2/2 ! 2n C 1 A4 .n/ D  .4n2 C 4n C 1/ C .4n2 C 8n C 4/ 2 2n.2n C 1/ .2n C 1/Š C 4n C 3 D C 4n C 3 D .2n  1/Š  2Š 2 4n2 C 10n C 6 .2n C 3/.2n C 2/ .2n C 1/2n C 8n C 6 D D D 2 2 2 ! .2n C 3/Š 2n C 3 D D .2n C 1/Š  2Š 2 i D1

Induktionsanfang wahr ^ Induktionsschluss wahr ) A4 .n/ wahr für alle natürlichen n

Lösung 2.21 A.n/: Induktionsanfang A.2/  W  2 Q 1 1 D , 1 linke Seite: 2 2 i D2 damit ist A.2/ wahr

rechte Seite:

1 2

Induktionsschluss C 1/ W  A.n/) A.n nC1    n  Q Q 1 1 1 1 D ) D 1 1 i n i nC1 i D2  i D2n     nC1 Q Q 1 1 1 Beweis: D 1 1 1 i  i D2 nC1 i D2 i 1 1 1 .n C 1/  1 A.n/ 1 1 D  D D n nC1 n n.n C 1/ n.n C 1/ n 1 D D n.n C 1/ nC1 Induktionsanfang wahr ^ Induktionsschluss wahr ) A.n/ wahr für alle natürlichen n

50

2 Aussagenlogik

Lösung 2.22 A1 .n/: Induktionsanfang: p A1 .1/ W linke Seite: 1 1 D 1 , p A1 .2/ W linke Seite: 2 2 2:8, p A1 .3/ W linke Seite: 3 3 5:2,

p 1D2 p rechte Seite: 2 C 2 3:4 p rechte Seite: 3 C 3 4:7 rechte Seite: 1 C

falsch falsch wahr

Annahme: A1 .3/ ist Induktionsanfang Induktionsschluss A1 .n/ ) A1 .n C 1/ W  p p   p p  n n > n C n ) .n C 1/ n C 1 > .n C 1/ C n C 1 p p p A1 .n/ p p p p Beweis: .nC1/ n C 1 D n n C 1C n C 1 > n nC n C 1 > nC nC n C 1 p > n C 1 C n C 1 (für n  3) Induktionsanfang wahr ^ Induktionsschluss wahr ) A1 .n/ wahr für alle natürlichen n  3 A2 .n/: Induktionsanfang: A2 .1/ W linke Seite: 1Š D 1, A2 .2/ W linke Seite: 2Š D 2,

rechte Seite: 21 D 2 rechte Seite: 22 D 4

falsch falsch

A2 .3/ W linke Seite: 3Š D 6,

rechte Seite: 23 D 8

falsch

A2 .4/ W linke Seite: 4Š D 24, rechte Seite: 2 D 16 Annahme: A2 .4/ ist Induktionsanfang

wahr

4

Induktionsschluss A2 .n/ ) A2 .n C 1/ W   .nŠ > 2n / ) .n C 1/Š > 2nC1 A2 .n/

Beweis: .n C 1/Š D nŠ.n C 1/ > 2n .n C 1/ > 2n  2 D 2nC1 (für n  4) Induktionsanfang wahr ^ Induktionsschluss wahr ) A2 .n/ wahr für alle natürlichen n  4 A3 .n/: Induktionsanfang: A3 .1/: linke Seite: A3 .2/: linke Seite:

1 Q i D1 2 Q i D1

i i D 1, i i D 1  4,

rechte Seite: 1.

12 2

/ D 1

rechte Seite: 2.

23 2

/ D 8

Annahme: A3 .2/ ist Induktionsanfang Induktionsschluss A3 .n/ ) A3 .n C 1/: nC1  n     n.nC1/ .nC1/.nC2/ Q i Q i 2 ) i < n 2 i < .n C 1/ i D1

i D1

falsch wahr

Lösungen

Beweis:

51 nC1 Q i D1

ii D

n Q i D1

A3 .n/


0 für n D 0; 1; 2; : : : ; 9 mit bnC1 D 0 für n D 10; 11; 12; : : :

D

Induktionsanfang wahr ^ Induktionsschluss wahr ) B.n/ wahr für alle natürlichen n inklusive der Zahl 0

3 Mengen Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 3.1 **  ¹x W x ist ein Vokal im Wort „Mathematiklehrbuch“ º D ¹ a,e,i,o,u º  ¹n2 W n 2 N; n < 10º D ¹1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100º  ¹xi 2 R W i D 1; : : : ; n; x1 D 1; xi C1 D xi  i º D ¹xi 2 R W i D 1; : : : ; n; xi D i Šº  ¹xi 2 N W i D 1; : : : ; n; x1 D 1; xi C1 D xi º D ¹1º

Verständnisfrage 3.2 **  8 Z  RC h5; 1i \ Œ0; 1i   2Q  ¹7; 10º  h10; 10 \ Œ7; 12:5i  ¹2; 1; 0º Œ2; 0 \ Œ2;  12  \ Z  RC nZ ¤ ¹x 2 R W .x … N/ ^ .x > 0/º

Verständnisfrage 3.3 **  Jede nichtleere Menge besitzt mindestens eine echte Teilmenge.  Jede endliche Menge ist Teilmenge von N.  Die Potenzmenge der leeren Menge ist leer.  Für die Menge A mit jAj D 2 gilt jP.A/j D 4, jP.P.A//j D 16; jP.P.P.A///j D 65 536.

54

3 Mengen

Verständnisfrage 3.4 ***  Für beliebige Mengen A; B gilt: A \ .A [ B/ D A [ .A \ B/  Es existieren Mengen A; B mit A [ B D A \ B.  Die Teilmengenbeziehungen A \ B A; B A [ B sind nicht gleichzeitig erfüllbar.  Für drei Mengen A; B; C gilt stets: .A \ B [ C / ..A [ C / \ .B [ C //  Für drei endliche Mengen A; B; C gilt stets: jA [ B [ C j C jA \ B \ C j D jAj C jBj C jC j  Für beliebige Mengen Ai .i D 1; : : : ; n/ gilt stets: n n T S Ai

Ai i D1

i D1

 Für die Mengen Ai .i D 1; : : : ; n/ gilt identisch sind.

n T i D1

Ai D

n S i D1

Ai genau dann, wenn alle Mengen

Verständnisfrage 3.5 ***  Für zwei identische Mengen A; B ist B nA eine nichtleere Teilmenge von B.  Jede Komplementärmenge ist auch eine Differenzmenge.  Für A B gilt stets: .A [ B/ n .A \ B/ D B nA.  Für zwei endliche Mengen mit A B gilt stets: jB nAj D jBj  jAj.  Für zwei beliebige Mengen A; B gilt: .AnB/ [ .A \ B/ D A  Für zwei beliebige Mengen A; B gilt: .B nA/ \ .A [ B/ D B.

Verständnisfrage 3.6 ** Gegeben sind die Mengen A und B sowie die Aussagen A W a 2 A und B W a 2 B. Dann gilt:  Die Konjunktion A ^ B ist wahr () a 2 A \ B  Die Implikation A ) B ist wahr () A B  Die Negation A ist wahr () AB ist Komplement von A bzgl. B  Die Aussage B ^ A ist wahr () a 2 B n A

Rechenaufgaben

55

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 3.7 * Gegeben ist das Venndiagramm mit den Mengen A; B; C; D: A d

a b c C

e

h f

i

g

j

l

m n

B

k

p q o r s D

Geben Sie die Mengen B [ C; A \ C; B n A; A n B; A [ D; B \ D; D n .A [ B/; .A [ B [ C / n D explizit an.

Rechenaufgabe 3.8 * Gegeben sind die Mengen AD

¹x 2 R W x 2 Œ1; 6º;

BD

¹x 2 N W x < 6º;

C D

¹x 2 N W x  2º;

DD

¹x 2 R W x < 6º:

Bestimmen Sie die Mengen A \ B; A \ C; B \ C; B [ C; A \ N; AnD; C nA; RnA; NnB:

Rechenaufgabe 3.9 * Bestimmen Sie zur Menge M D ¹a; b; c; d º die Menge T1 aller 3-elementigen Teilmengen sowie die Menge T2 aller Teilmengen, die a; b als Elemente enthalten. Geben Sie ferner die Mengen S1 D T1 \ T2 , S2 D T1 nT2 , S3 D T2 nT1 an und untersuchen Sie S1 , S2 , S3 auf echte Teilmengenbeziehungen. Welche echten Teilmengenbeziehungen existieren ferner zwischen den Elementen von S1 , S2 , S3 ?

56

3 Mengen

Rechenaufgabe 3.10 ** Gegeben ist die Menge M D ¹x 2 RC W x < 10º. Welche der folgenden Mengen ist Teilmenge von M ? M1

D

¹0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9º

M2

D

¹x 2 RC W x 2 D 1 ^ x < 10º

M3

D

¹x 2 RC W x > 5 _ x < 10º

M4

D

¹x 2 RC W x 2 D 9 _ x D 1º

M5

D

¹x 2 RC W x < 10 ) x D 1º

M6

D

¹x 2 RC W .x < 10 _ x > 10/ ) x D 1º

M7

D

¹x 2 RC W x  10 ) x D 1º

Rechenaufgabe 3.11 ** Bestimmen Sie zu den Mengen A D ¹0; aº, B D ¹;; ¹;; bºº die Potenzmengen P.A/ und P.B/. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? ;  A;

; 2 A;

0  A;

¹0; aº  A;

;  P.A/; 0 2 P.A/;

A 2 P.A/;

¹aº  P.A/;

; 2 B;

¹;; bº  B; ¹;º  B;

;  B;

¹¹;; bºº 2 P.B/

Rechenaufgabe 3.12 * Stellen Sie die linke und rechte Seite der Gleichungen jeweils in einem Venndiagramm dar und entscheiden Sie, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Dabei gilt: Z D A [ B [ C     a) AZ [ .B \ C / D AZ [ B \ AZ [ C     b) .C n.A [ B// \ C D AZ \ C [ B Z \ C         c) AZ \ B [ AZ \ C Z D AZ [ B \ B [ C Z

Rechenaufgabe 3.13 * Gegeben sind die Mengen A (Rechtecksfläche), B (Kreisfläche) und C (Dreiecksfläche) gemäß der folgenden Zeichnung:

a) Kennzeichnen Sie in der obigen Zeichnung diejenigen Punkte, die in allen drei, in genau zwei, in genau einer der Mengen liegen.

Rechenaufgaben

57

b) Skizzieren Sie folgende Mengen: A [ B; A \ C; B nA; AnB;

B \ C;

AnC;

A [ C; B nC

c) Formulieren Sie .A [ B [ C / als Vereinigung paarweise disjunkter Mengen.

Rechenaufgabe 3.14 ** Über die Anzahl der Elemente der Mengen A; B; C ist Folgendes bekannt: jAj D jBj D jC j D 100; jA \ Bj D 30; jA \ B \ C j D 20; jB [ C j D 150; jA [ B [ C j D 200: Berechnen Sie die Anzahl der Elemente folgender Mengen: B \ C; A [ B; C n A; B n C n A; .B [ C / n .B \ C /;

.A [ B/ n .A \ B/

Rechenaufgabe 3.15 ** Der Ski-Club „Buckelpiste“ möchte anlässlich seines 1000-tägigen Bestehens eine alpine Vereinsmeisterschaft in den Disziplinen Abfahrt (A), Slalom (S ), und Riesenslalom (R) austragen, zu der sich 40 Teilnehmer melden. Selbstverständlich darf auch in mehreren Disziplinen gestartet werden. Für die Abfahrt melden sich 15 Läufer, die bis auf 7 nur diese eine Disziplin bestreiten. Am Slalom wollen 20 Läufer teilnehmen, die allesamt auch im Riesenslalom gemeldet sind. An der Abfahrt beteiligt sich von ihnen außer zwei Sportskanonen, die als einzige alle drei Disziplinen belegen, niemand. a) Wie viele Läufer starten insgesamt im Riesenslalom, wie viele davon ausschließlich im Riesenslalom, wie viele kombinieren den Riesenslalom mit dem Slalom, wie viele den Riesenslalom mit der Abfahrt? b) In jeder der drei Disziplinen wird genau eine Gold-, eine Silber- und eine Bronzemedaille vergeben. Wie viele Möglichkeiten der Medaillenverteilung gibt es in der Abfahrt, im Slalom, im Riesenslalom? c) Am Abend werden die Medaillengewinner gefeiert. Unter den 40 Teilnehmern sind 31 Biertrinker (B), 22 Weintrinker (W ), ferner 6 Personen, die Bier und Wein ablehnen (N ). Wie viele Personen trinken Bier und Wein, wie viele ausschließlich Bier, wie viele ausschließlich Wein?

58

3 Mengen

Rechenaufgabe 3.16 ** Bei einer Feier gibt es Eis als Dessert. Jede der 20 teilnehmenden Personen bestellt mindestens zwei Sorten, bei allen 20 Personen ist Schokoladeneis, bei 16 Personen Vanilleeis und bei 14 Personen Walnusseis dabei. Andere Eissorten stehen nicht zur Verfügung. a) Begründen Sie, dass die Kombinationen „nur Vanille- und Walnusseis“ nicht auftreten kann. b) Wie viele Personen bestellen nur Schokoladen- und Vanilleeis, nur Schokoladen- und Walnusseis bzw. alle drei Sorten? Nehmen Sie an, dass 12 Personen zusätzlich Schlagsahne und 10 Personen zusätzlich einen Espresso bestellen. c) Ermitteln Sie die Mindest- und Höchstanzahl der Personen, die r alle drei Eissorten mit Schlagsahne verzehren, r ein Eis ohne Vanille, zusammen mit einem Espresso nehmen, r alle drei Eissorten mit Schlagsahne und Espresso bestellen.

Rechenaufgabe 3.17 ** Eine Fakultät für Geisteswissenschaften hat 1000 Studierende. Davon studieren 780 (mindestens) Englisch (E), 220 (mindestens) Französisch (F ) und 52 (mindestens) Spanisch (S ). Unter diesen sind r 110, die (mindestens) Englisch und Französisch, r 32, die (mindestens) Englisch und Spanisch, r 15, die (mindestens) Französisch und Spanisch, r 10, die alle drei Sprachen studieren. a) Wie viele studieren Englisch und Französisch, aber nicht Spanisch? b) Wie viele studieren Englisch, aber nicht Französisch? c) Wie viele studieren keine Sprachen?

Lösungen

59

Lösungen Verständnisfragen Lösung 3.1  ¹x W x ist ein Vokal im Wort „Mathematiklehrbuch“ º D ¹ a,e,i,o,u º Begründung: Das Wort „Mathematiklehrbuch“ enthält die Vokale a, e, i, u.  ¹n2 W n 2 N; n < 10º D ¹1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100º Begründung: Aus n < 10 folgt n2 < 100.  ¹xi 2 R W i D 1; : : : ; n; x1 D 1; xi C1 D xi  i º D ¹xi 2 R W i D 1; : : : ; n; xi D i Šº Begründung: xi D i Š D xi 1  i ¤ xi  i für i D 2; : : : ; n  ¹xi 2 N W i D 1; : : : ; n; x1 D 1; xi C1 D xi º D ¹1º Begründung: x1 D x2 D : : : D xn

Lösung 3.2  8 Z Begründung: 8 ist keine Menge; richtig wäre 8 2 Z  RC h5; 1i \ Œ0; 1i Begründung: h5; 1i \ h0; 1i D Œ0; 1i D RC   2Q Begründung: Die Kreiszahl  D 3:14159 : : : ist mit ihren unendlichen, nichtperiodischen Nachkommazahlen nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar.  ¹7; 10º  h10; 10 \ Œ7; 12:5i Begründung: h10; 10 \ Œ7; 12:5i D Œ7; 10  ¹2; 1; 0º Œ2; 0 \ Œ2;  12  \ Z Begründung: Œ2; 0 \ Œ2;  12  \ Z D ¹2; 1º 6 ¹2; 1; 0º  RC nZ ¤ ¹x 2 R W .x … N/ ^ .x > 0/º Begründung: Beide Mengen sind identisch.

Lösung 3.3  Jede nichtleere Menge besitzt mindestens eine echte Teilmenge. Begründung: Für alle nichtleeren Mengen ist ; eine echte Teilmenge.  Jede endliche Menge ist Teilmenge von N. Begründung: ¹a; b; cº ist endlich, jedoch keine Teilmenge von N.  Die Potenzmenge der leeren Menge ist leer. Begründung: P.;/ D ¹;º ist einelementig.  Für die Menge A mit jAj D 2 gilt jP.A/j D 4, jP.P.A//j D 16; jP.P.P.A///j D 65 536. Begründung: jAj D 2 ) jP.A/j D 22 D 4; jP.P.A//j D 24 D 16; jP.P.P.A///j D 216 D 65 536

60

3 Mengen

Lösung 3.4  Für beliebige Mengen A; B gilt: A \ .A [ B/ D A [ .A \ B/ Begründung: A \ .A [ B/ D A; A [ .A \ B/ D A  Es existieren Mengen A; B mit A [ B D A \ B. Begründung: Für A D B gilt: A [ B D A \ B D A  Die Teilmengenbeziehungen A \ B A; B A [ B sind nicht gleichzeitig erfüllbar. Begründung: Für beliebige Mengen gilt: A \ B A; B A [ B.  Für drei Mengen A; B; C gilt stets: .A \ B [ C / ..A [ C / \ .B [ C // Begründung: Distributivgesetz der Mengenlehre  Für drei endliche Mengen A; B; C gilt stets: jA [ B [ C j C jA \ B \ C j D jAj C jBj C jC j Begründung: jA [ B [ C j D jAj C jBj C jC j  jA \ Bj  jA \ C j  jB \ C j C jA \ B \ C j  Für beliebige Mengen Ai .i D 1; : : : ; n/ gilt stets: n n T S Ai

Ai i D1

i D1

Begründung: Schnittmengen sind Teilmengen von Vereinigungsmengen. n n T S  Für die Mengen Ai .i D 1; : : : ; n/ gilt Ai D Ai genau dann, wenn alle Mengen identisch sind.

i D1

i D1

Begründung: „)“ (Indirekter Beweis): Ai ¤ Aj für ein i ¤ j „(“ : Ai D Aj .i ¤ j /

)

n T i D1

Ai D Ai D

) n S i D1

n T i D1

Ai 

n S i D1

Ai

Ai

Lösung 3.5  Für zwei identische Mengen A; B ist B nA eine nichtleere Teilmenge von B. Begründung: A D B ) A n A D ;  Jede Komplementärmenge ist auch eine Differenzmenge. Begründung: A B ) AB D B n A  Für A B gilt stets: .A [ B/ n .A \ B/ D B nA. Begründung: A B ) A [ B D B; A \ B D A  Für zwei endliche Mengen mit A B gilt stets: jB nAj D jBj  jAj. Begründung: jB n Aj D jAB j D jBj  jAj  Für zwei beliebige Mengen A; B gilt: .AnB/ [ .A \ B/ D A Begründung: A n B D A n .A \ B/ ) .A n B/ [ .A \ B/ D A n .A \ B/ [ .A \ B/ D A  Für zwei beliebige Mengen A; B gilt: .B nA/ \ .A [ B/ D B. Begründung: Für A \ B ¤ ; gilt: B nA  B  A [ B ) .B nA/ \ .A [ B/  B

Lösungen

61

Lösung 3.6 Gegeben sind die Mengen A und B sowie die Aussagen A W a 2 A und B W a 2 B. Dann gilt:  Die Konjunktion A ^ B ist wahr () a 2 A \ B Begründung: A^B wahr () A wahr und B wahr () a 2 A, a 2 B () a 2 A\B  Die Implikation A ) B ist wahr () A B Begründung: .A ) B/ wahr () .a 2 A ) a 2 B/ wahr () A B  Die Negation A ist wahr () AB ist Komplement von A bzgl. B Begründung: A wahr () a … A AB D B n A mit A B () a 2 B, a … A  Die Aussage B ^ A ist wahr () a 2 B n A Begründung: B ^ A wahr () a 2 B, a … A () a 2 B n A

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 3.7 B [C A\C B nA AnB A[D B \D

D D D D D D

¹a; b; c; f; g; h; i; j; k; l; m; nº ¹a; b; cº ¹h; i; j; kº ¹a; b; c; d; eº ¹a; b; c; d; e; f; g; o; p; q; r; sº ;

D n .A [ B/ D D D ¹o; p; q; r; sº .A [ B [ C / n D D ¹a; b; c; d; e; f; g; h; i; j; k; l; m; nº

Lösung 3.8 A\B

D ¹x 2 N W x < 6º D B D ¹1; 2; 3; 4; 5º

A\C B \C B [C A\N AnD C nA RnA NnB

D D D D D D D D

¹x ¹x ¹x ¹x ¹x ¹x ¹x ¹x

2 N W x  2 ^ x  6º D ¹2; 3; 4; 5; 6º 2 N W x  2 ^ x < 6º D ¹2; 3; 4; 5º 2 N W x  2 _ x < 6º D ¹1; 2; 3; : : :º D N 2 N W x 2 Œ1; 6º D ¹1; 2; 3; 4; 5; 6º 2 R W x 2 Œ1; 6 ^ x  6º D ¹6º 2 N W x  2 ^ x … Œ1; 6º D ¹7; 8; 9; : : :º D N n ¹1; 2; 3; 4; 5; 6º 2 R W x … Œ1; 6º D h1; 1i [ h6; 1i D R n Œ1; 6 2 N W x  6º D ¹6; 7; 8; : : :º D N n ¹1; 2; 3; 4; 5º

62

3 Mengen

Lösung 3.9 T1 D ¹¹a; b; cº; ¹a; b; d º; ¹a; c; d º; ¹b; c; d ºº T2 S1 S2 S3

D ¹¹a; bº; ¹a; b; cº; ¹a; b; d º; ¹a; b; c; d ºº D T1 \ T2 D ¹¹a; b; cº; ¹a; b; d ºº D T1 nT2 D ¹¹a; c; d º; ¹b; c; d ºº D T2 nT1 D ¹¹a; bº; ¹a; b; c; d ºº

Zwischen S1 , S2 , S3 existieren keine echten Teilmengenbeziehungen (keine der Mengen S1 ; S2 ; S3 ist echte Teilmenge einer anderen Menge aus S1 ; S2 ; S3 ), wohl aber zwischen den Elementen von S1 , S2 , S3 : ¹a; bº  ¹a; b; cº; ¹a; b; d º; ¹a; b; c; d º ¹a; b; cº; ¹a; b; d º; ¹a; c; d º; ¹b; c; d º  ¹a; b; c; d º

Lösung 3.10 M1

D

¹0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9º  M; da 0 2 RC

M2

D

¹x 2 RC W x 2 D 1 ^ x < 10º D ¹1º ) M2  M

M3

D

¹x 2 RC W x > 5 _ x < 10º D Œ0; 1i ) M3 6 M

M4

D

¹x 2 RC W x 2 D 9 _ x D 1º D ¹1; 3º ) M4  M

M5

D

¹x 2 RC W x < 10 ) x D 1º Aussagenlogisches Äquivalent: A ) B () A ^ B mit A W x < 10 und B W x D 1 ) x 2 Œ10I 1/ [ ¹1º ) M5 6 M

M6

D

¹x 2 RC W .x < 10 _ x > 10/ ) x D 1º D ¹1; 10º ) M6 6 M

M7

D

¹x 2 RC W x  10 ) x D 1º D M ) M7 M

Lösung 3.11 P.A/ D ¹;; ¹0º; ¹aº; ¹0; aºº P.B/ D ¹;; ¹;º; ¹¹;; bºº; ¹;; ¹;; bººº ;AW ;2AW 0AW ¹0; aº  A W ;  P.A/ W 0 2 P.A/ W A 2 P.A/ W

wahr, da die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist falsch, da die leere Menge zwar Teilmenge jeder Menge, aber nicht Element von A ist falsch, eine Teilmenge (außer ;) steht immer in Mengenklammern falsch, da ¹0; aº D A und somit ¹0; aº A, aber nicht ¹0; aº  A wahr, da die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist falsch, aber beispielsweise ¹0º 2 P.A/ wahr, da eine Menge stets Element ihrer Potenzmenge ist

Lösungen

63

¹aº  P.A/ W ;2B W ;B W ¹;; bº  B W ¹;º  B W ¹¹;; bºº 2 P.B/ W

falsch, aber beispielsweise ¹aº 2 P.A/ wahr wahr falsch, da ¹;; bº 2 B; aber nicht ¹;; bº  B wahr wahr

Lösung 3.12 AZ [ .B \ C /

a)

A

D

B

.AZ [ B/ \ .AZ [ C /

A

C

C AZ [ B AZ [ C .AZ [ B/ \ .AZ [ C /

AZ B \C Gesamter markierter Bereich: AZ [ .B \ C / .C n.A [ B// \ C

b)

A

C n.A [ B/ C .C n.A [ B// \ C

.AZ \ C / [ .B Z \ C /

¤

B

C

B

A

B

C .AZ \ C / .B Z \ C / Gesamter markierter Bereich: .AZ \ C / [ .B Z \ C /

64

3 Mengen

.AZ \ B/ [ .AZ \ C Z /

c)

A

¤

.AZ [ B/ \ .B [ C Z /

B

A

C

B

C

.AZ \ B/ .AZ \ C Z / Gesamter Bereich: .AZ \ B/ [ .AZ \ C Z /

.AZ [ B/ .B [ C Z / .AZ [ B/ \ .B [ C Z /

Lösung 3.13 a)

Punkte in allen 3 Mengen Punkte in genau 2 Mengen Punkte in genau 1 Menge b)

A[B

AnB

A\C

B \C

B nA ;

AnC

c) B  A ) A [ B [ C D A [ C D A [ .C nA/

A[C

B nC

Lösungen

65

Lösung 3.14 jB [ C j D 150 D jA [ Bj D jC n Aj D wobei jA [ B [ C j 200 ) jA \ C j jB n C n Aj

jBj C jC j  jB \ C j 100 C 100  jB \ C j ) jB \ C j D 50 jAj C jBj  jA \ Bj D 100 C 100  30 D 170 jC j  jA \ C j D 100  jA \ C j D 100  40 D 60 D jAj C jBj C jC j  jA \ Bj  jA \ C j  jB \ C j C jA \ B \ C j D 100 C 100 C 100  30  jA \ C j  50 C 20 D 240  200 D 40 D D

jBj  jB \ C j  jA \ Bj C jA \ B \ C j 100  50  30 C 20 D 40

j.B [ C / n .B \ C /j j.A [ B/ n .A \ B/j

D jB [ C j  jB \ C j D 150  50 D 100 D jA [ Bj  jA \ Bj D 170  30 D 140

Man erhält folgendes Venndiagramm:

jAj D 100

jBj D 100 10

50 20

20

40 30

30 jC j D 100

Lösung 3.15

jS j D 20

R S

a) Aus der Angabe: jA [ S [ Rj D 40 jAj D 15 jS j D 20; S R jA \ S \ Rj D 2

2

5 8

Daraus folgt: jA \ Rj jAnS nRj jA \ Rj  jA \ S \ Rj jS \ Rj jRj jRnAnS j

D D D D D D

7 15  7 D 8 72D5 20 40  8 D 32 32  5  20 D 7

jAj D 15

mindestens Abfahrt und Riesenslalom nur Abfahrt nur Abfahrt und Riesenslalom mindestens Slalom und Riesenslalom mindestens Riesenslalom nur Riesenslalom

66

3 Mengen

b) jAj D 15 W

15  14  13 D 2 730 Möglichkeiten

jS j D 20 W 20  19  18 D jRj D 32 W 32  31  30 D c) jB [ W [ N j D 40 jBj D 31 jW j D 22 jN j D 6 Daraus folgt: jB [ W j jB \ W j jB nW j jW nBj

D D D D

6 840 Möglichkeiten 29 760 Möglichkeiten jBj D 31

jW j D 22

6 jB [ W [ N j  jN j D 40  6 D 34 jN j D 6 jBj C jW j  jB [ W j D 31 C 22  34 D 19 Bier- und Weintrinker jBj  jB \ W j D 31  19 D 12 nur Biertrinker jW j  jB \ W j D 22  19 D 3 nur Weintrinker

Lösung 3.16 Anzahl der Personen: jAj D 20 Anzahl der Personen, die Schokolade nehmen: jS j D 20 Anzahl der Personen, die Vanille nehmen: jV j D 16 Anzahl der Personen, die Walnuss nehmen: jW j D 14 a) Die Kombination „nur Vanille- und Walnusseis“ kann nicht auftreten, da alle Personen Schokolade nehmen. .jS j D 20 D jAj/ b) S \ V \ W D 0 S V V \S \W D0 0 x 0 W \S \V D0 z V \W \S D0 y 0 I: x C z D 16 ) x D 16  z II: y C z D 14 ) y D 14  z 0 W III: x C y C z D 20 x; y in III: 16  z C 14  z C z D 20 ) z D 10 ) x D 6 ) y D 4 12 Personen bestellten zusätzlich Schlagsahne und 10 Personen zusätzlich einen Espresso. c) Anzahl der Personen, die alle 3 Eissorten mit Schlagsahne verzehrten: mindestens 2, höchstens 10 Anzahl der Personen, die ein Eis ohne Vanille zusammen mit einem Espresso nahmen: mindestens 0, höchstens 4 Anzahl der Personen, die alle 3 Eissorten mit Schlagsahne und Espresso bestellten: mindestens 0, höchstens 10

Lösungen

67

Lösung 3.17 jE [ F [ S j D 1000, jEj D 780, jF j D 220, jS j D 52, jE \ F \ S j D 10

E x v S

y

u 10

F

w

z

a) Englisch und Französisch: u C 10 D 110 () u D 100 v C 10 D 32 () v D 22 w C 10 D 15 () w D 5 Die Anzahl der Studierenden, die nur Englisch und Französisch studieren, beträgt 100. b) Englisch, aber kein Französisch: x C 100 C 10 C 22 D 780 () x D 648 y C 100 C 10 C 5 D 220 () y D 105 z C 22 C 10 C 5 D 52 () z D 15 Die Anzahl der Studierenden, die Englisch oder Englisch und Spanisch studieren, beträgt 648 C 22 D 670. c) Die Anzahl der Studierenden, die keine Sprache studieren, beträgt 1000  648  105  15  100  22  5  10 D 95.

4 Binäre Relationen Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 4.1 * Gegeben sind binäre Relationen Ri und Graphen Gi .i D 1; 2; 3; 4/. Dann gilt: b 3 G1 2  Die Grafik

passt zu R1 D ¹.a; b/ W a 2 N; b 2 RC º

1 a 1 3

 Die Grafik

2

3

4

b G2

2

passt zu R2 D ¹.a; b/ W a 2 R; b 2 Nº

1 a 1 3  Die Grafik

2

3

4

b G3

2

passt zu R3 D ¹.a; b/ W a; b 2 RC º

1 a 1

2

2



G4 

1





1

2

3  Die Grafik

3

4

b passt zu R4 D ¹.a; b/ W a; b 2 N; a  b  2º a 3

4

70

4 Binäre Relationen

Verständnisfrage 4.2 * Gegeben sind die Mengen A; B; C . Dann gilt:  AB D B A)AD B  AB D B A(AD B  AD;)AB C DC B A

Verständnisfrage 4.3 ** Gegeben sind die endlichen Mengen A; B. Dann gilt:  jA  Bj D jB  Aj  jA  Bj  jAj  jBj D 1 ) jA  Bj D jAj  jBj D 0 ( jA  Bj < jAj

Verständnisfrage 4.4 * Gegeben sind binäre Relationen Si auf A mit A D ¹a; b; 0; 1º und Relationsgraphen Gi .i D 1; 2; 3; 4/. Dann gilt: a

0 passt zu S1 D ¹.a; a/; .a; 0/; .a; 1/; .b; b/º

 Relationsgraph G1 b

1

a

0

 Relationsgraph G2

passt zu S2 D ¹.a; a/; .a; 0/; .a; 1/; .1; b/; .1; a/º b

1

a

0

 Relationsgraph G3

passt zu S3 D ¹.b; b/; .1; 1/º b

1

a

0

 Relationsgraph G4

passt zu S4 D ¹.a; 0/; .a; 1/; .b; 0/; .b; 1/; .b; b/º b

1

Verständnisfragen

71

Verständnisfrage 4.5 ** Gegeben sind die Relationen R und S auf der Menge A. Dann gilt:  R DS )RıS DS ıR  R D;)RıS DS ıR  S D R1 ) R ı S D .R ı S /1  R D R1 ; S D S 1 ) R ı S D .R ı S /1

Verständnisfrage 4.6 * Gegeben ist die binäre Relation R auf der Menge A. Dann gilt:  R antisymmetrisch () R nicht symmetrisch  R vollständig ) R reflexiv  R symmetrisch, vollständig ) R transitiv  R ist eine Ordnung ) Es gibt eine Äquivalenzrelation Q  R, die nur einelementige Klassen enthält.

Verständnisfrage 4.7 * Gegeben ist die folgende Relationstabelle der binären Relation R auf der Menge M D ¹a; b; cº. Dann gilt:  R ist reflexiv

R

a

 R ist symmetrisch

a



 R ist vollständig

b

 

 R ist transitiv

c

 R ist antisymmetrisch

b

c  

72

4 Binäre Relationen

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 4.8 * Gegeben sind die Mengen A D ¹1; 2; 3º, B D ¹a; bº und C D ¹1º. a) Geben Sie die kartesischen Produkte A  B  C sowie B  C  A explizit an. b) Wie viele Elemente haben die kartesischen Produkte C B AC; AB B A und AAAC ‹ Geben Sie jeweils ein beliebiges Element der kartesischen Produkte an.

Rechenaufgabe 4.9 * Gegeben sind die Menge M D ¹a; b; c; d º sowie die Relationen R D ¹.a; b/; .a; c/; .b; a/; .c; d /º  M M S D ¹.a; a/; .b; c/; .c; b/; .d; d /º  M M: a) Bestimmen Sie die inversen Relationen R1 , S 1 sowie die Kompositionen R1 ı S und S 1 ı R. b) Geben Sie zu den in a) ermittelten Relationen die Relationsgraphen und Relationstabellen an.

Rechenaufgabe 4.10 ** Auf der Menge A D ¹1; 2; 3; 4; 5º sind die folgenden zwei binären Relationen gegeben: R D ¹.a; b/ 2 AA W a2  bºI S D ¹.a; b/ 2 AA W a  b D 1º a) Geben Sie R durch Aufzählen aller Elemente an und erstellen Sie die zugehörige Relationstabelle. b) Geben Sie S durch Aufzählen aller Elemente an und skizzieren sie den zugehörigen Relationsgraphen. c) Geben Sie die Relation S ı R durch Aufzählen aller Elemente an.

Rechenaufgabe 4.11 *** Gegeben sind folgende Relationen: R1

D ¹.x; y/ 2 R2 W y D x 3 º

R2

D ¹.x; y/ 2 R2 W x 2 C y 2 D 1º

R3

D ¹.x; y/ 2 R2 W y  x D 1º

Rechenaufgaben

73

a) Stellen Sie die Relationen R1 , R2 , R3 sowie die inversen Relationen R11 , R21 , R31 grafisch dar. b) Bilden Sie, soweit möglich, die Kompositionen R2 ı R1 , R1 ı R2 und .R2 ı R1 /1 .

Rechenaufgabe 4.12 *** Gegeben sind folgende Relationen: S1

D ¹.x1 ; x2 / 2 R2C W x1  x2  2º

S2

D ¹.x1 ; x2 / 2 R2C W x1 C x2 D 2º

S3

D ¹.x1 ; x2 / 2 R2C W x1 > 2º

Ermitteln Sie die Kompositionen S1 ı S2 , S2 ı S1 , S3 ı S1 sowie deren Umkehrrelationen .S1 ıS2 /1 , .S2 ıS1 /1 , .S3 ıS1 /1 und stellen Sie die Ergebnisse sowie S1 , S2 , S3 grafisch dar.

Rechenaufgabe 4.13 *** Überprüfen Sie die Relationen R1

D

¹.1; 1/; .1; 2/; .1; 3/; .2; 2/; .2; 3/; .3; 2/; .3; 3/º

R2

D

¹.a; b/ 2 NN W b  a D 1º

auf ¹1; 2; 3º

bezüglich Reflexivität, Transitivität, Vollständigkeit, Antisymmetrie und Symmetrie.

Rechenaufgabe 4.14 ** Gegeben sind nochmals die Relationen aus Aufgabe 4.13: R1

D

¹.1; 1/; .1; 2/; .1; 3/; .2; 2/; .2; 3/; .3; 2/; .3; 3/º

R2

D

¹.a; b/ 2 NN W b  a D 1º

auf ¹1; 2; 3º

Welche der Relationen ist eine Präordnung bzw. Ordnung? Charakterisieren Sie den prinzipiellen Unterschied zwischen einer Präordnung und einer Ordnung.

Rechenaufgabe 4.15 *** Ein Konsument beurteilt eine Güterkombination x D .x1 ; x2 / 2 R2C mit x1 bzw. x2 als Quantität von Gut 1 bzw. Gut 2. Der Nutzen der Güterkombination .x1 ; x2 / beträgt x1 x2 . a) Zeigen Sie, dass folgende Relation P eine vollständige Präordnung, aber keine Ordnung darstellt: .x; y/ 2 P () x1 x2  y1 y2 b) Geben Sie die zugehörige Äquivalenzrelation an und stellen Sie eine Äquivalenzklasse grafisch dar. c) Bestimmen Sie in der Menge aller Güterkombinationen G D ¹x 2 N2 W x1 C x2 D 5º alle größten Elemente von P .

74

4 Binäre Relationen

Rechenaufgabe 4.16 *** Zur Besetzung einer Stelle führt eine Unternehmung folgendes Auswahlverfahren für die in der engeren Wahl befindlichen Bewerber durch: n Bewerber treffen sich mit m Gutachtern in einem Auswahlseminar. Jeder Gutachter führt mit jedem Bewerber ein Einzelgespräch und vergibt dann eine Note zwischen 1 und 4, wobei 1 die beste und 4 die schlechteste Note ist. Wir bezeichnen mit x1 ; : : : ; xn die Bewerber, mit y1 ; : : : ; ym die Gutachter und mit sij die Note des Gutachters yi für Bewerber xj . Für die Aggregation der Einzelnoten gibt es zwei Vorschläge: .xk ; xl / 2 P1

()

.xk ; xl / 2 P2

()

m P i D1

si k 

m P i D1

si l

min si k  min si l i

i

a) Interpretieren Sie die Relationen P1 , P2 . b) Geben Sie für m D 3, n D 5 und das folgende Notentableau die Relationen P1 , P2 durch Aufzählen der Elemente an: x1

x2

x3

x4

x5

y1

2

1

2

2

3

y2

3

3

2

4

3

y3

2

4

2

3

4

c) Prüfen Sie, ob P1 , P2 aus b) vollständige Ordnungen sind.

Rechenaufgabe 4.17 *** Ein Unternehmen plant für ein neues Produkt eine Einführungswerbung in mindestens einem der drei Medien Fernsehen (F), Radio (R) und Internet (I). Eine Marktübersicht ergab, dass durch das Fernsehen 70 %, durch das Radio 50 % und durch das Internet 40 % aller potentiellen Käufer erreicht werden. Ferner werden 40 % durch Fernsehen und Radio, 20 % durch Radio und Internet, 15 % durch Fernsehen und Internet sowie 10 % durch alle drei Medien erreicht. a) Geben Sie die Abbildung f , die jeder zugelassenen Medienkombination x ¹F; R; I º, x ¤ ; die genaue Prozentzahl aller mindestens einmal erreichten potentiellen Käufer zuordnet, explizit an. b) Auf der Menge M aller zugelassenen Medienkombinationen ist nachfolgende Relation S gegeben. Interpretieren Sie S . .x; y/ 2 S

()

f .x/  f .y/

c) Zeigen Sie, dass S eine vollständige Präordnung ist, und geben Sie die Äquivalenzklassen sowie alle größten und kleinsten Elemente an.

Lösungen

75

Lösungen Verständnisfragen Lösung 4.1 Gegeben sind binäre Relationen Ri und Graphen Gi .i D 1; 2; 3; 4/. Dann gilt: b 3 G1 2  Die Grafik G1 passt zu R1 D ¹.a; b/ W a 2 N; b 2 RC º 1 a 1 2 3 4 Begründung: Grafik G1 beschreibt R1 , z.B. gilt: .1; 2/; .2; 1:5/; .3; 0:25/ 2 R1 3  Die Grafik G2

b G2

2

passt zu R2 D ¹.a; b/ W a 2 R; b 2 Nº

1 a 1 2 3 4 Begründung: Negative Werte von a 2 R fehlen in der Grafik. 3  Die Grafik G3

b G3

2

passt zu R3 D ¹.a; b/ W a; b 2 RC º

1 a 1 2 3 4 Begründung: R3 beschreibt den gesamten ersten Quadranten. Die Grafik gilt nur für a  1; b  1. 3  Die Grafik G4

b

2



G4 

1





passt zu R4 D ¹.a; b/ W a; b 2 N; a  b  2º

a 1 2 3 4 Begründung: a; b 2 N; a  b  2 ) .a; b/ 2 ¹.1; 1/; .1; 2/; .2; 1/º

76

4 Binäre Relationen

Lösung 4.2 Gegeben sind die Mengen A; B; C . Dann gilt:  AB D B A)AD B Begründung: A D ;; B 6D ; ) A  B D B  A D ;, aber A 6D B  AB D B A(AD B Begründung: A D B ) A  B D A  A D B  A  AD;)AB C DC B A Begründung: A D ; ) A  B  C D ; D C  B  A

Lösung 4.3 Gegeben sind die endlichen Mengen A; B. Dann gilt:  jA  Bj D jB  Aj Begründung: jAj D n; jBj D m ) jA  Bj D n  m D m  n D jB  Aj  jA  Bj  jAj Begründung: Für jAj D 1; jBj D 0 gilt: jA  Bj D 0  jBj D 1 ) jA  Bj D jAj Begründung: Für jAj D n  0 gilt: jA  Bj D n  1 D jAj  jBj D 0 ( jA  Bj < jAj Begründung: jAj D n  0; jBj D m  0; jA  Bj D n  m < jAj D n ) m D jBj D 0

Lösung 4.4 Gegeben sind binäre Relationen Si auf A mit A D ¹a; b; 0; 1º und Relationsgraphen Gi .i D 1; 2; 3; 4/. Dann gilt: a

0 passt zu S1 D ¹.a; a/; .a; 0/; .a; 1/; .b; b/º

 Relationsgraph G1 b

1

Begründung: Für alle Elemente aus S1 existieren Pfeile in G1 . a

0

 Relationsgraph G2

passt zu S2 D ¹.a; a/; .a; 0/; .a; 1/; .1; b/; .1; a/º b

1

Begründung: Für alle Elemente aus S2 existieren Pfeile in G2 .

Lösungen

77

a

0

 Relationsgraph G3

passt zu S3 D ¹.b; b/; .1; 1/º b

1

Begründung: .1; 1/ 2 S3 ist im Relationsgraphen nicht enthalten; der Pfeil 0 ! 1 ist nicht in S3 enthalten. a

0

 Relationsgraph G4

passt zu S4 D ¹.a; 0/; .a; 1/; .b; 0/; .b; 1/; .b; b/º b

1

Begründung: .b; 1/ 2 S4 und der Pfeil .1 ! b/ in G4 passen nicht zusammen.

Lösung 4.5 Gegeben sind die Relationen R und S auf der Menge A. Dann gilt:  R DS )RıS DS ıR Begründung: R D S ) R ı S D R ı R D S ı R  R D;)RıS DS ıR Begründung: R D ; ) R ı S D ; ı S D ; D S ı ; D S ı R  S D R1 ) R ı S D .R ı S /1 Begründung: S D R1 ) R ı S D R ı R1 D .R ı R1 /1 D .R ı S /1  R D R1 ; S D S 1 ) R ı S D .R ı S /1 Begründung: R D R1 ; S D S 1 ) .R ı S /1 D S 1 ı R1 D S ı R, wobei nicht generell R ı S D S ı R gilt

Lösung 4.6 Gegeben ist die binäre Relation R auf der Menge A. Dann gilt:  R antisymmetrisch () R nicht symmetrisch Begründung: R D ; symmetrisch und antisymmetrisch  R vollständig ) R reflexiv Begründung: R auf A vollständig ) .a; a/ 2 R für alle a 2 A ) R reflexiv  R symmetrisch, vollständig ) R transitiv Begründung: R auf A symmetrisch und vollständig ) Für alle a1 ; a2 2 A gilt: .a1 ; a2 /; .a2 ; a1 / 2 R ) Im Relationsgraphen ist also jedes Punktepaar .a1 ; a2 / 2 A  A durch zwei Pfeile verbunden. ) R ist transitiv, also .a1 ; a2 / 2 R; .a2 ; a3 / 2 R; .a1 ; a3 / 2 R  R ist eine Ordnung ) Es gibt eine Äquivalenzrelation Q  R, die nur einelementige Klassen enthält. Begründung: Jede Ordnung beinhaltet eine Identitätsrelation, d.h. eine antisymmetrische Äquivalenzrelation, die nur einelementige Äquivalenzklassen enthält.

78

4 Binäre Relationen

Lösung 4.7 Gegeben ist die folgende Relationstabelle der binären Relation R auf der Menge M D ¹a; b; cº. Dann gilt:  R ist reflexiv R a b c Begründung: Die gesamte Hauptdiagonale von a   links oben nach rechts unten ist markiert. b    R ist symmetrisch c  Begründung: .b; a/ 2 R, aber .a; b/ … R  R ist vollständig Begründung: .b; c/ … R ^ .c; b/ … R  R ist transitiv Begründung: Es gilt .b; a/ 2 R; .a; c/ 2 R aber .b; c/ … R  R ist antisymmetrisch Begründung: Zu jedem markierten Feld außerhalb der Hauptdiagonale ist das an der Hauptdiagonale gespiegelte Feld nicht markiert.

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 4.8 a) A  B  C D ¹.1; a; 1/; .2; a; 1/; .3; a; 1/; .1; b; 1/; .2; b; 1/; .3; b; 1/º B  C  A D ¹.a; 1; 1/; .b; 1; 1/; .a; 1; 2/; .b; 1; 2/; .a; 1; 3/; .b; 1; 3/º b) jC  B  A  C j D 1  2  3  1 D 6 mit .1; a; 1; 1/ 2 C  B  A  C jA  B  B  Aj D 3  2  2  3 D 36 mit .1; a; a; 1/ 2 A  B  B  A jA  A  A  C j D 3  3  3  1 D 27 mit .1; 1; 1; 1/ 2 A  A  A  C

Lösung 4.9 a) R1 1

S R1 ı S S 1 ı R

D

¹.b; a/; .c; a/; .a; b/; .d; c/º

D ¹.a; a/; .c; b/; .b; c/; .d; d /º D S D ¹.a; b/; .c; a/; .b; a/; .d; c/º D R1 D ¹.a; c/; .a; b/; .b; a/; .c; d /º D R

b) R1 D R1 ı S

S 1 D S

S 1 ı R D R

a

a

a

a

a

a

b c

b c

b c

b c

b c

b c

d

d

d

d

d

d

Lösungen

79

R1 D R1 ı S a

b

c

S 1 D S

d

a  b  c  d 

a

b

S 1 ı R D R c

d

a

b

c

d

a   b  c  d

a  b  c  d 

Lösung 4.10 1

a) R D ¹.1; 1/; .1; 2/; .1; 3/; .1; 4/; .1; 5/; .2; 4/; .2; 5/º 1 2 3 4 5 b) S D ¹.2; 1/; .3; 2/; .4; 3/; .5; 4/º

c) Aus a) und b) folgt:

2

3

4

5

      

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

) S ı R D ¹.1; 1/; .1; 2/; .1; 3/; .1; 4/; .2; 3/; .2; 4/º Wir schließen eine etwas allgemeinere Berechnung an: S ıR

D D

¹.a; c/ 2 A  A W es existiert ein b 2 A mit .a; b/ 2 R ^ .b; c/ 2 S º ¹.a; c/ 2 A  A W es existiert ein b 2 A mit a2  b ^ b  c D 1º

Man erhält folgendes Ungleichungssystem: a2  b; b  c D 1 Daraus ergibt sich: S ıR

()

b D1Cc

)

a2  1 C c; c  4 wegen b  5

D ¹.a; c/ 2 A  A W a2  c  1; c  4º D ¹.1; 1/; .1; 2/; .1; 3/; .1; 4/; .2; 3/; .2; 4/º

80

4 Binäre Relationen

Lösung 4.11 a) R1 W

R2 W

R3 W

y

y

1

y

1

1

1

x

R11 W

1

x

R21 W

1

R31 W

y

y

1

y

1

1

x

x

1

1

x

1

x

.R11 ; R21 und R31 entstehen durch Spiegelung an der Geraden y D x) b) R2 ı R1 D ¹.x; y/ 2 R2 W es existiert ein z 2 R mit .x; z/ 2 R1 ^ .z; y/ 2 R2 º D ¹.x; y/ 2 R2 W es existiert ein z 2 R mit z D x 3 ^ z 2 C y 2 D 1º Wegen z D x 3 bzw. z 2 D x 6 gilt: R2 ı R1 D ¹.x; y/ 2 R2 W x 6 C y 2 D 1º R1 ı R2 D ¹.x; y/ 2 R2 W es existiert ein z 2 R mit .x; z/ 2 R2 ^ .z; y/ 2 R1 º D ¹.x; y/ 2 R2 W es existiert ein z 2 R mit x 2 C z 2 D 1 ^ y D z 3 º Wegen z 3 D y bzw. z 2 D y 2=3 gilt:

2

R1 ı R2 D ¹.x; y/ 2 R2 W x 2 C y 3 D 1º

.R2 ı R1 /1 D R11 ı R21 W R21

D ¹.y; x/ 2 R2 W x 2 C y 2 D 1º

R11

D ¹.y; x/ 2 R2 W y D x 3 º

R11 ı R21

D D D D

¹.y; x/ 2 R2 ¹.y; x/ 2 R2 ¹.y; x/ 2 R2 ¹.y; x/ 2 R2

W es existiert ein z 2 R mit .y; z/ 2 R21 ^ .z; x/ 2 R11 º W es existiert ein z 2 R mit z 2 C y 2 D 1 ^ z D x 3 º W .x 3 /2 C y 2 D 1º W x 6 C y 2 D 1º D R2 ı R1

Lösungen

81

Lösung 4.12 S1 W

S2 W x2

3

S3 W 3

x2

3

2

2

2

1

1

1

x1

1 1

1

S1 ı S2

2

3

x1

1 1

1

2

1 1

3

x2

x1 1

2

3

D ¹.x1 ; x2 / 2 R2C W es existiert ein z 2 RC mit .x1 ; z/ 2 S2 ; .z; x2 / 2 S1 º D ¹.x1 ; x2 / 2 R2C W es existiert ein z 2 RC mit x1 C z D 2; z  x2  2º D ¹.x1 ; x2 / 2 R2C W 2  x1  x2  2; 2  x1  0º D ¹.x1 ; x2 / 2 R2C W 2  x1 C x2 ; x2  2; x1  2º

S2 ı S1

D ¹.x1 ; x2 / 2 R2C W es existiert ein z 2 RC mit .x1 ; z/ 2 S1 ; .z; x2 / 2 S2 º D ¹.x1 ; x2 / 2 R2C W es existiert ein z 2 RC mit x1  z  2; z C x2 D 2º D ¹.x1 ; x2 / 2 R2C W x1  2  x2  2; 2  x2  0º D ¹.x1 ; x2 / 2 R2C W x1 C x2  2; x1  2; x2  2º D ¹.x1 ; x2 / 2 R2C W x1 C x2  2º

S3 ı S1

D ¹.x1 ; x2 / 2 R2C W es existiert ein z 2 RC mit x1  z  2; z > 2º D ;

.S1 ı S2 /1

D

¹.x2 ; x1 / 2 R2C W 2  x1 C x2 ; x2  2; x1  2º D S1 ı S2

.S2 ı S1 /1

D

¹.x2 ; x1 / 2 R2C W x1 C x2  2º D S2 ı S1

S3 ı S1

D

; ) .S3 ı S1 /1 D ;

S1 ı S2 D .S1 ı S2 /1 W

S2 ı S1 D .S2 ı S1 /1 W

y

y

2

2

1

1

2 1 1 2

x 1

2

2 1 1 2

x 1

2

S3 ı S1 D .S3 ı S1 /1 D ;

82

4 Binäre Relationen

Lösung 4.13 Relationstabelle von R1 : 1 2 3

1

2

3



  

  

R1 W .1; 1/; .2; 2/; .3; 3/ 2 R1

) reflexiv

.1; 1/; .2; 2/; .3; 3/; .1; 2/; .1; 3/ 2 R1 .1; 3/ 2 R1 ; aber .3; 1/ … R1 .2; 3/; .3; 2/ 2 R1

) vollständig, reflexiv ) nicht symmetrisch ) nicht antisymmetrisch

Relation R auf A ist transitiv, wenn .a; b/ 2 R ^ .b; c/ 2 R ) .a; c/ 2 R für alle a; b; c 2 A Damit sind alle Fälle mit a D b; b D c bzw. a D b D c vernachlässigbar. .1; 2/; .2; 3/; .1; 3/ 2 R1 ; .1; 3/; .3; 2/; .1; 2/ 2 R1 ; .2; 3/; .3; 2/; .2; 2/ 2 R1 ; .3; 2/; .2; 3/; .3; 3/ 2 R1

) transitiv

Grafische Veranschaulichung von R2 : b  6 

5 

4 

3 2



1 a 1

2

3

4

5

6

7

R2 W .1; 1/ … R2 .1; 2/; .2; 3/ 2 R2 ; .1; 3/ … R2 .1; 2/ 2 R2 ; aber .2; 1/ … R2 .a; b/; .b; a/ 2 R2 nicht möglich

) nicht reflexiv ) nicht vollständig ) nicht transitiv ) nicht symmetrisch ) antisymmetrisch

Lösungen

83

Lösung 4.14 R1 ist reflexiv, transitiv und vollständig (siehe Aufgabe 4.13) und somit eine vollständige Präordnung, aufgrund der fehlenden Antisymmetrie allerdings keine Ordnung. R2 ist antisymmetrische Relation, also weder Präordnung noch Ordnung. Ordnung: antisymmetrische Präordnung Ordnung enthält einelementige Äquivalenzklassen Präordnung enthält einelementige und/oder mehrelementige Äquivalenzklassen

Lösung 4.15 .x; y/ 2 P () x1 x2  y1 y2 a) Reflexivität: .x; x/ 2 P () .x1 x2  x1 x2 / ) reflexiv Œ.x; y/; .y; z/ 2 P ) .x; z/ 2 P  () .x1 x2  y1 y2  z1 z2 / ) .x1 x2  z1 z2 / () .x; z/ 2 P ) transitiv Vollständigkeit W Œ.x; y/ … P ) .y; x/ 2 P  () .x1 x2 > y1 y2 ) y1 y2  x1 x2 / () .y; x/ 2 P ) vollständig Antisymmetrie: Œ.x; y/ 2 P ^ .y; x/ 2 P ) x D y () .x1 x2 D y1 y2 / 6) ..x1 ; x2 / D .y1 ; y2 // Gegenbeispiel: .x1 ; x2 / D .2; 3/; .y1 ; y2 / D .1; 6/; x1 x2 D y1 y2 D 6

Transitivität:

) P ist vollständige Präordnung, aber keine Ordnung b) Äquivalenzrelation: .x; y/ 2 A () x1 x2 D y1 y2 () .x; y/; .y; x/ 2 P Äquivalenzklasse mit x1 x2 D 4: x2 5 4

x2 x1

3

D 4

2 1 1

2

3

4

5 x1

c) G D ¹.1; 4/; .2; 3/; .3; 2/; .4; 1/º Nutzenwerte: 4, 6, 6, 4 Größte Elemente: .2; 3/; .3; 2/ mit Nutzen D 6

84

4 Binäre Relationen

Lösung 4.16 a) .xk ; xl / 2 P1 W

Bewerber xk ist mindestens so hoch einzustufen wie xl in dem

.xk ; xl / 2 P1 W

Sinn, dass seine Notensumme bzgl. aller Gutachter kleiner oder gleich der von xl ist. Bewerber xk ist mindestens so hoch einzustufen wie xl in dem Sinn, dass seine Bestnote bzgl. aller Gutachter kleiner oder gleich der von xl ist.

b) Werte bzgl. P1 ; P2 : Bewerber

x1

x2

x3

x4

x5

Notensumme Bestnote

7 2

8 1

6 2

9 2

10 3

P1

D ¹.x3 ; x3 /; .x3 ; x1 /; .x3 ; x2 /; .x3 ; x4 /; .x3 ; x5 /; .x1 ; x1 /; .x1 ; x2 /; .x1 ; x4 /; .x1 ; x5 /; .x2 ; x2 /; .x2 ; x4 /; .x2 ; x5 /; .x4 ; x4 /; .x4 ; x5 /; .x5 ; x5 /º

P2

D ¹.x2 ; x2 /; .x2 ; x1 /; .x2 ; x3 /; .x2 ; x4 /; .x2 ; x5 /; .x1 ; x1 /; .x1 ; x3 /; .x1 ; x4 /; .x1 ; x5 /; .x3 ; x3 /; .x3 ; x1 /; .x3 ; x4 /; .x3 ; x5 /; .x4 ; x4 /; .x4 ; x1 /; .x4 ; x3 /; .x4 ; x5 /; .x5 ; x5 /º

c) Pi .i D 1; 2/ ist definitionsgemäß (-Zeichen) reflexiv, transitiv und vollständig. Antisymmetrisch ist lediglich die Relation P1 , da die Bewertungen paarweise verschieden sind. Damit ist nur P1 vollständige Ordnung. P2 ist vollständige Präordnung.

Lösung 4.17 a) j¹F; Rºj D 70 C 50  40 D 80

F

j¹F; I ºj D 70 C 40  15 D 95 j¹R; I ºj D 50 C 40  20 D 70

R 25

30 5

I

0

10

10

15

jA [ B [ C j D jAj C jBj C jC j  jA \ Bj  jA \ C j  jB \ C j C jA \ B \ C j ) j¹F; R; I ºj D 70 C 50 C 40  40  15  20 C 10 D 95 x

¹F º

¹Rº

¹I º

¹F; Rº

¹F; I º

¹R; I º

f .x/

70

50

40

80

95

70

¹F; R; I º 95

Lösungen

85

b) .x; y/ 2 S () f .x/  f .y/: Der Prozentsatz aller durch die Medienkombination x mindestens einmal erreichten Käufer ist kleiner oder gleich dem Prozentsatz aller durch y mindestens einmal erreichten Käufer. c) f .x/  f .x/ () .x; x/ 2 S

) reflexiv

.x; y/; .y; x/ 2 S () f .x/  f .y/  f .z/ ) .x; z/ 2 S .x; y/ … S () f .x/ > f .y/ ) f .y/  f .x/ ) .y; x/ 2 S

) transitiv ) vollständig

) S ist vollständige Präordnung Prozentwerte Äquivalenzklassen

40

50

70

80

¹¹I ºº ¹¹Rºº ¹¹F º; ¹R; I ºº ¹¹F; Rºº

Größte Elemente: ¹F; I º, ¹F; R; I º Kleinstes Element: ¹I º

95 ¹¹F; I º; ¹F; R; I ºº

5 Reelle Funktionen einer Variablen Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 5.1 * f W A ! B ist eine Abbildung. Dann gilt:  Zu jedem a 2 A gibt es genau ein Bild b 2 B.  Alle a 2 A müssen als Urbilder auftreten.  Verschiedene a 2 A führen eventuell zu gleichen Bildern b 2 B.  Alle b 2 B können als Bilder auftreten.  Nicht alle b 2 B müssen als Bilder auftreten.  Verschiedene b 2 B besitzen eventuell genau ein Urbild a 2 A.  Zu jedem b 2 B existiert genau ein Urbild a 2 A.

Verständnisfrage 5.2 *  Es gibt eine surjektive Abbildung der Form f W N ! RC  Es gibt eine surjektive Abbildung der Form g W RC ! N  Es gibt eine injektive Abbildung der Form f W N ! RC  Es gibt eine injektive Abbildung der Form g W RC ! N

Verständnisfrage 5.3 ** Für die endlichen Mengen A; B mit jAj D m, jBj D n gilt:  f W A ! B surjektiv ) m  n  f W A ! B injektiv ) m  n  f W A ! B bijektiv ) m D n

Verständnisfrage 5.4 ** Gegeben sind die Funktionen f; g W N ! N. Dann gilt:  f besitzt eine Umkehrfunktion f 1 ) f ist injektiv  Für f bijektiv gilt stets f ı f 1 .x/ D x für alle x 2 N  g ı f bijektiv ) g und f bijektiv.

88

5 Reelle Funktionen einer Variablen

Verständnisfrage 5.5 *** Gegeben ist eine reelle Funktion f W R ) R. Dann gilt:  f ist monoton, falls sie eine Maximalstelle besitzt.  f ist konstant () x ist eine Extremalstelle für alle x 2 R.  f ist nicht monoton ) es gibt mindestens eine Extremalstelle.  f besitzt eine Extremalstelle ) f ist beschränkt.

Verständnisfrage 5.6 ** Gegeben sind die reellen Funktionen f; g W RC ! R. Dann gilt:  f ist konvex ) f besitzt eine Minimalstelle  f ist konkav ) f besitzt eine Maximalstelle  f kann nicht gleichzeitig monoton und konvex sein.  f kann gleichzeitig konvex und konkav sein.  f C g ist konvex, falls f; g konvex sind.  f  g ist konvex, falls f; g konvex sind.

Verständnisfrage 5.7 *  Es gibt eine gerade nicht konstante Funktion, die monoton ist.  Alle ungeraden Funktionen sind monoton.  Sind die reellen Funktionen f; g periodisch mit jeweils der Periode p, dann auch f C g und f  g.

Verständnisfrage 5.8 * Gegeben ist eine reelle Funktion f durch nachfolgende Grafik: f .x/

0

 2



3 2

2

x

Dann gilt:  f ist streng monoton steigend.  Im Bereich von x D 5 bis x D 6 ist f konvex.  Im Bereich von x D 2 bis x D 4 ist f streng monoton fallend.  Keine der obigen drei Aussagen ist wahr.

Rechenaufgaben

89

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 5.9 * Gegeben sind die Mengen X

D ¹Äpfel, Birnen, Kiwi, Bananen, Nüsseº

Y

D ¹Wolfgang, Udo, Rainer, Magdalenaº

von Obstsorten und Vornamen, sowie die Abbildungen l W X ! Y mit Äpfel

Wolfgang

Birnen

Udo

Kiwi

Rainer

Bananen

Magdalena

Nüsse und m W Y ! ¹2; 3; 4; 5º mit: y

Wolfgang

Udo

Rainer

Magdalena

m.y/

2

3

5

4

a) Sind die Abbildungen l und m surjektiv, injektiv bzw. bijektiv? Begründen Sie alle Antworten! b) Konstruieren Sie die Abbildungen m ı l und l ı m, falls möglich. c) Geben Sie die Urbildbereiche von ¹2; 3º bezüglich m und m ı l an. d) Geben Sie die Bildbereiche von ¹Äpfel, Kiwi, Nüsseº bezüglich l und m ı l an.

Rechenaufgabe 5.10 * Gegeben sind die Mengen A D ¹a; b; cº, B D ¹1; 2; 3; 4º und C D ¹rot, grün, gelb, blauº sowie folgende Abbildungen: f1 W A ! B mit f1 .a/ D 1; f1 .b/ D 2; f1 .c/ D 3 f2 W B ! C

mit f2 .2/ D rot; f2 .1/ D f2 .3/ D f2 .4/ D grün

a) Welche der Abbildungen f1 , f2 ist surjektiv, injektiv, bijektiv? b) Ermitteln Sie gegebenenfalls f11 , f21 , f1 ı f2 , f2 ı f1 .

90

5 Reelle Funktionen einer Variablen

Rechenaufgabe 5.11 ** Gegeben sind die Abbildungen g1 W R ! h0; 1i mit g1 .x/ D 2x und g2 W

R ! h0; 1

mit g2 .x/ D .x 2 C 1/1 :

a) Welche der Abbildungen g1 , g2 sind surjektiv, injektiv, bijektiv? b) Ermitteln Sie gegebenenfalls g11 , g21 , g1 ı g2 , g2 ı g1 .

Rechenaufgabe 5.12 *** Gegeben sind die Abbildungen: f1 W

R!R

mit f1 .x/

D

f2 W

R!R

mit f2 .x/

D

x C1 x3  1 x2

a) Untersuchen Sie die Abbildungen f1 , f2 auf Surjektivität, Injektivität und Bijektivität. b) Ermitteln Sie gegebenenfalls f1 ı f2 , f2 ı f1 , f11 , f21 sowie f2 ı f2 und .f2 ı f2 /1 .

Rechenaufgabe 5.13 * Geben Sie zu den folgenden Funktionen fi .i D 1; 2; 3/ an, für welche Werte der reellen Zahlen sie definiert sind (Definitionsbereich). Geben Sie auch ihre Umkehrfunktion an, falls diese existiert. Der Wertebereich der Funktionen ist jeweils R. a) f1 .x/ D 3x 2 C 5 b) f2 .x/ D .x C 1/3  2 p c) f3 .x/ D 5 x  5

Rechenaufgabe 5.14 ** Gegeben sind die Funktionen f und g mit f .x/ D x  1 und g.x/ D x 2 C 1.   f .x/ sowie die jeweiligen Definitionsbereiche a) Bestimmen Sie .f C g/.x/, .f  g/.x/, g und Nullstellen. b) Überprüfen Sie die Funktionen f C g und f  g auf Monotonie und die Existenz von Extremalstellen ohne Differentialrechnung.   f f c) Zeigen Sie mit Hilfe von Funktionswerten .x/ für x D 1; 0:5; 0; 1; 2; 4 dass g g mindestens eine Minimal- und eine Maximalstelle besitzt.

Rechenaufgaben

91

Rechenaufgabe 5.15 *** In Abhängigkeit des Bruttojahreseinkommens x ist die Steuerschuldfunktion s gegeben mit: ´ 0 für x 2 Œ0; 5 000 s.x/ D 0:3.x  5 000/ für x 2 Œ5 000; 100 000 Für x > 100 000 gilt ein Steuersatz von 50 % pro Einheit des Bruttojahreseinkommens. a) Ergänzen Sie die Steuerschuldfunktion für x  100 000. b) Wie hoch muss das Bruttojahreseinkommen sein, um ein Nettojahreseinkommen von mindestens 68 000 zu erreichen? c) In dem betrachteten Land werde jedem Arbeitslosen eine Arbeitslosenunterstützung gewährt, die monatlich p % des letzten Monatslohns der Beschäftigungsperiode beträgt. Herr Fleißig ist permanent beschäftigt mit einem Brutto-Monatslohn von 4 000. Herr Clever ist jeweils alternierend ein halbes Jahr beschäftigt mit einem Brutto-Monatslohn von 3 500 und ein halbes Jahr arbeitslos. Bei welchem Prozentsatz kann in diesem Falle von einer sozialen Hängematte geredet werden, d. h. wann ist das Netto-Jahreseinkommen von Herrn Clever höher als das von Herrn Fleißig?

Rechenaufgabe 5.16 *** Gegeben sind die Funktionen f1 ; f2 W RC ! R mit f1 .x/ D

x1 1 , f2 .x/ D x C . xC1 xC1

a) Diskutieren Sie ohne Differentialrechnung das Monotonieverhalten beider Funktionen. b) Diskutieren Sie ohne Differentialrechnung das Krümmungsverhalten beider Funktionen im Intervall Œ0; 3.

92

5 Reelle Funktionen einer Variablen

Lösungen Verständnisfragen Lösung 5.1 f W A ! B ist eine Abbildung. Dann gilt:  Zu jedem a 2 A gibt es genau ein Bild b 2 B. Begründung: Formulierung entspricht genau der Definition einer Abbildung.  Alle a 2 A müssen als Urbilder auftreten. Begründung: A ist Definitionsbereich.  Verschiedene a 2 A führen eventuell zu gleichen Bildern b 2 B. Begründung: f W R ! R mit f .x/ D x 2 ) f .1/ D f .1/ D 1  Alle b 2 B können als Bilder auftreten. Begründung: Dann ist f eine surjektive Abbildung.  Nicht alle b 2 B müssen als Bilder auftreten. Begründung: f W R ! R mit f .x/ D x 2 ) f .x/ ¤ 1 für alle x 2 R  Verschiedene b 2 B besitzen eventuell genau ein Urbild a 2 A. Begründung: Ein Urbild kann nicht mehrere Bilder aufweisen.  Zu jedem b 2 B existiert genau ein Urbild a 2 A. Begründung: Es können mehrere Urbilder zu einem Bild existieren.

Lösung 5.2  Es gibt eine surjektive Abbildung der Form f W N ! RC Begründung: f .N/  RC , Surjektivität nicht erreichbar  Es gibt eine surjektive Abbildung der Form g W RC ! N Begründung: g.x/ D n für alle x 2 Œn  1; ni; n 2 N ) g surjektiv  Es gibt eine injektive Abbildung der Form f W N ! RC Begründung: f .x/ D x für alle x 2 N ) Injektivität  Es gibt eine injektive Abbildung der Form g W RC ! N Begründung: N  RC , Injektivität nicht erreichbar

Lösung 5.3 Für die endlichen Mengen A; B mit jAj D m, jBj D n gilt:  f W A ! B surjektiv ) m  n Begründung: f .A/ D B ) jf .A/j D jBj D n Mit der Annahme m < n könnten nicht alle Bilder b 2 B erreicht werden, d.h. die Surjektivität wäre verletzt.  f W A ! B injektiv ) m  n Begründung: Für m > n könnte die Implikation a1 ¤ a2 ) f .a1 / ¤ f .a2 / nicht für alle a1 ; a2 2 A erreicht werden, d. h. die Injektivität wäre verletzt.  f W A ! B bijektiv ) m D n Begründung: f bijektiv () f surjektiv und injektiv ) m  n; m  n () m D n

Lösungen

93

Lösung 5.4 Gegeben sind die Funktionen f; g W N ! N. Dann gilt:  f besitzt eine Umkehrfunktion f 1 ) f ist injektiv Begründung: Angenommen f sei nicht injektiv, d.h. es existieren n1 ; n2 2 N mit n1 ¤ n2 und f .n1 / D f .n2 /: ) Die Umkehrfunktion f 1 hätte für f .n1 / D f .n2 / zwei verschiedene Bilder n1 ; n2 . ) f 1 ist keine Funktion.  Für f bijektiv gilt stets f ı f 1 .x/ D x für alle x 2 N Begründung: Zu f bijektiv existiert f 1 und f ı f 1 ist Identität mit f ı f 1 .x/ D x für alle x 2 N.  g ı f bijektiv ) g und f bijektiv. Begründung: f; g W N ! N mit f .n/ D n C 1; g.m/ D m  1 Dann ist f nicht surjektiv (f .n/ D 1 existiert nicht). Andererseits ist g ı f W N ! N mit g ı f .n/ D g.n C 1/ D n bijektiv.

Lösung 5.5 Gegeben ist eine reelle Funktion f W R ) R. Dann gilt:  f ist monoton, falls sie eine Maximalstelle besitzt. Begründung: Für x1 < xmax < x2 gilt f .xmax /  f .x1 /; f .x2 / im Widerspruch zur Monotonie.  f ist konstant () x ist eine Extremalstelle für alle x 2 R. Begründung: Für f .x/ D c 2 R sind alle x 2 R Extremalstellen.  f ist nicht monoton ) es gibt mindestens eine Extremalstelle. Begründung: Es gibt entweder einen Übergang von monoton wachsend zu monoton fallend mit einem lokalen Maximum oder von monoton fallend zu monoton wachsend mit einem lokalen Minimum.  f besitzt eine Extremalstelle ) f ist beschränkt. Begründung: f mit f .x/ D x 2 besitzt ein Minimum für x D 0; g mit g.x/ D x 2 ein Maximum für x D 0. Beide Funktionen sind jedoch nicht beschränkt.

Lösung 5.6 Gegeben sind die reellen Funktionen f; g W RC ! R. Dann gilt:  f ist konvex ) f besitzt eine Minimalstelle 1 Begründung: f mit f .x/ D ist konvex, besitzt aber keine Minimalstelle xC1  f ist konkav ) f besitzt eine Minimalstelle 1 Begründung: f mit f .x/ D  ist konkav, besitzt aber keine Maximalstelle xC1  f kann nicht gleichzeitig monoton und konvex sein. Begründung: f mit f .x/ D e x ist streng monoton wachsend und konvex  f kann gleichzeitig konvex und konkav sein. Begründung: Alle linearen Funktionen mit f .x/ D ax C b sind konvex und konkav.

94

5 Reelle Funktionen einer Variablen

 f C g ist konvex, falls f; g konvex sind. Begründung: (f; g konvex ) f C g konvex) gilt allgemein  f  g ist konvex, falls f; g konvex sind. Begründung: f mit f .x/ D x 2 und g mit g.x/ D x sind konvex, im Gegensatz zu f  g mit f .x/  g.x/ D x 3

Lösung 5.7  Es gibt eine gerade, nicht konstante Funktion, die monoton ist. Begründung: f gerade Funktion mit f .x/ D f .x/ Für alle x > 0 gilt andererseits x < x. Also ist f nur monoton für konstante Funktionen.  Alle ungeraden Funktionen sind monoton. Begründung: f mit f .x/ D x 3  3x ist ungerade Funktion mit f .x/ D f .x/. Wegen f .0/ D 0; f .1/ D 2; f .2/ D 2 kann diese Funktion nicht monoton sein.  Sind die reellen Funktionen f; g periodisch mit jeweils der Periode p, dann auch f C g und f  g. Begründung: f; g mit f .x/ D f .x C kp//, g.x/ D g.x C kp/ für k D ˙1; ˙2; : : : ) .f C g/.x/ D f .x/ C g.x/ D f .x C kp/ C g.x C kp/ D .f C g/.x C kp/; .f  g/.x/ D f .x/  g.x/ D f .x C kp/  g.x C kp/ D .f  g/.x C kp/

Lösung 5.8 Gegeben ist eine reelle Funktion f durch nachfolgende Grafik: f .x/

0

 2



3 2

2

x

Dann gilt:  f ist streng monoton steigend. Begründung: f fällt im Intervall Œ 2 ; 3 2  monoton  Im Bereich von x D 5 bis x D 6 ist f konvex. Begründung: Œ5; 6  Œ; 2 ) f in Œ5; 6 konvex  Im Bereich von x D 2 bis x D 4 ist f streng monoton fallend. Begründung: Œ2; 4  Œ 2 ; 3  ) f in Œ2; 4 streng monoton fallend 2  Keine der obigen drei Aussagen ist wahr. Begründung: siehe oben

Lösungen

95

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 5.9 a) Die Abbildung l ist q surjektiv, da zu jedem Vornamen eine Obstsorte existiert, q nicht injektiv, da zwei verschiedene Obstsorten nicht immer zu zwei verschiedenen Vornamen führen. ) l ist nicht bijektiv Die Abbildung m ist q surjektiv, da zu jeder Ziffer ein Vorname existiert, q injektiv, da zwei verschiedene Vornamen stets zu zwei verschiedenen Ziffern führen. ) m ist bijektiv b) l W X ! Y; m W Y ! ¹2; 3; 4; 5º ) m ı l W X ! ¹2; 3; 4; 5º existiert mit x m ı l.x/

Äpfel 2

Birnen 3

Kiwi 2

Bananen Nüsse 4 5

l ı m existiert nicht, da m.Y / 6 X c) Urbildbereich von ¹2; 3º bzgl. m W

¹y 2 Y W m.y/ 2 ¹2; 3ºº D ¹Wolfgang, Udoº

bzgl. m ı l W

¹x 2 X W m ı l.x/ 2 ¹2; 3ºº D ¹Äpfel, Kiwi, Birnenº

d) Bildbereich von ¹Äpfel, Kiwi, Nüsseº bzgl. l W

l.¹Äpfel, Kiwi, Nüsseº/ D ¹Wolfgang, Rainerº

bzgl. m ı l W

m.¹Wolfgang, Rainerº/ D ¹2; 5º

Lösung 5.10 a) f1 ist nicht surjektiv wegen 4 … f1 .A/ f2 ist nicht surjektiv wegen gelb, blau … f2 .B/ f1 ist injektiv wegen x; y 2 A; x ¤ y ) f1 .x/ ¤ f1 .y/ f2 ist nicht injektiv wegen f .1/ D f .3/ D f .4/ ) Weder f1 noch f2 ist bijektiv. b) Wegen fehlender Bijektivität existiert weder f11 noch f21 . f1 ı f2 existiert nicht wegen f2 .B/ 6 A f2 ı f1 existiert wegen f1 .A/ D ¹1; 2; 3º B und es gilt .f2 ı f1 /.a/ D .f2 ı f1 /.c/ D grün, .f2 ı f1 /.b/ D rot

96

5 Reelle Funktionen einer Variablen

Lösung 5.11 ln.y/ ln.2/ 1 1 1 2 2 () x C 1 D () x D  1 g2 W y D 2 x C1 y y g1 W y D 2x () ln.y/ D x ln.2/ () x D

Daraus folgt: g1 ist surjektiv, da zu jedem y > 0 ein x 2 R existiert mit x D

ln.y/ ln.2/ q

g2 ist surjektiv, da zu jedem y 2 h0; 1 ein x 2 R existiert mit x D ˙ y1  1 g1 ist injektiv wegen x1 ¤ x2 ) y1 D 2x1 ¤ 2x2 D y2 1 1 1 D D 2 D y2 g2 ist nicht injektiv wegen x1 D 1 ¤ x2 D 1, aber y1 D 2 2 x1 C 1 x2 C 1 ) Nur g1 ist bijektiv. ln.x/ , g21 existiert nicht g11 .x/ D ln.2/ g1 ı g2 existiert wegen g2 .R/ D h0; 1 R mit     1 1 2 C1 x D2 .g1 ı g2 /.x/ D g1 x2 C 1 g2 ı g1 existiert wegen g1 .R/ D h0; 1i R mit 1 .g2 ı g1 /.x/ D g2 .2x / D 2x 2 C1

Lösung 5.12 a) f1 ist nicht surjektiv wegen p x 1˙ 14 2 2 D 1 ) x D x C 1 ) x  x C 1 D 0 ) x1;2 D x2 C 1 2 also existiert zu f1 .x/ D 1 kein Urbild f1 ist nicht injektiv wegen x2 x1 D 2 ) x1 x22 C x1 D x2 x12 C x2 x12 C 1 x2 C 1 ) x1 x22  x2 x12 D x2  x1 ) x1 x2 .x2  x1 / D x2  x1 ) x1 x2 D 1 für x1 ¤ x2 ; 1 bzw. 2 x1 x2 2 2 1=2 D : D ; 2 D 5 x2 C 1 1=4 C 1 5 x12 C 1 also gilt z.B. x1 D 2; x2 D

f1 ist nicht bijektiv

Lösungen

f2 ist surjektiv wegen p x3  1 D y ) x3 D y C 1 ) x D 3 y C 1 p also existiert zu jedem y 2 R ein x D 3 y C 1: f2 ist injektiv wegen x1 ¤ x2 ) x13 ¤ x23 ) x13  1 ¤ x23  1 Damit ist f2 auch bijektiv. x3  1 b) .f1 ı f2 /.x/ D f1 .x 3  1/ D 3 .x  1/2 C 1   3  x x D .f2 ı f1 /.x/ D f2 1 x2 C 1 x2 C 1 f11 existiert nicht p f21 .x/ D 3 x C 1 .f2 ı f2 /.x/ D f2 .x 3  1/ D .x 3  1/3  1 p y D .x 3  1/3  1 () y C 1 D .x 3  1/3 () 3 y C 1 D x 3  1 p p p p 3 () 3 1 C 3 y C 1 D x; also gilt .f2 ı f2 /1 .x/ D 1 C 3 x C 1

Lösung 5.13 a) f1 .x/ D y1 D 3x 2 C 5 mit Definitionsbereich R

q y1 D 3x 2 C 5 () 13 .y1  5/ D x 2 ) x1;2 D ˙ 13 .y1  5/; ) nicht injektiv ) es existiert keine Umkehrfunktion

b) f2 .x/ D y2 D .x C 1/3  2 mit Definitionsbereich R p y2 D .x C 1/3  2 () y2 C 2 D .x C 1/3 () 3 y2 C 2 D x C 1 p p () x D 3 y2 C 2  1; also existiert f21 .x/ D 3 x C 2  1 p c) f3 D y3 D 5 x  5 mit Definitionsbereich R p y3 D 5 x  5 () y35 D x  5 () x D y35 C 5; also existiert eine Umkehrfunktion mit f31 .x/ D x 5 C 5

Lösung 5.14 a) .f C g/.x/ D x  1 C x 2 C 1 D x 2 C x D x.x C 1/ ist definiert für alle x 2 R mit den Nullstellen x.x C 1/ D 0 () x D 0 _ x D 1 .f  g/.x/ D .x  1/.x 2 C 1/ D x 3  x 2 C x  1 ist definiert für alle x 2 R mit den Nullstellen .x  1/.x 2 C 1/ D 0 () x D 1   x1 f .x/ D 2 ist definiert für alle x 2 R g x C1 x1 mit den Nullstellen 2 D 0 () x D 1 x C1

97

98

5 Reelle Funktionen einer Variablen

b) f C g beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel, in der der Scheitelpunkt ein Minimum von f C g darstellt, ein Maximum existiert nicht. Wir erhalten den Scheitelpunkt durch folgende quadratische Ergänzung: 2  .f C g/.x/ D x 2 C x D x 2 C 2x  12 C 14  14 D x C 12  14 2  Damit ist f C g minimal für x C 12 D 0 bzw. x D  12 .   ) Scheitelpunkt D  12 ;  14 Für x   12 fällt die Funktion monoton, für x   12 wächst sie monoton. .f  g/.x/ D x 3  x 2 C x  1 D .x  1/.x 2 C 1/ x1 < x2 ) x1  1 < x2  1 ) .x1  1/.x12 C 1/ < .x2  1/.x22 C 1/ Damit wächst f  g streng monoton für alle x 2 R. Es gibt keine Extremalstellen. c) x   f g

.x/

1

0:5

0

1

2

4

1

1:2

1

0

0:2

3 17

Damit muss im Intervall Œ1; 0 eine Minimalstelle, im Intervall Œ2; 1i mindestens eine Maximalstelle liegen.

Lösung 5.15 a) Aus s.100 000/ D 0:3.100 000  5 000/ D 28 500 folgt: s.x/ D 28 500 C 0:5.x  100 000/ für x  100 000 b) Zu bestimmen: x mit x  s.x/  68 000 Für x 2 Œ5 000; 100 000 gilt: x  0:3.x  5 000/  68 000 0:7x  66 500 x  95 000 c) Nettojahreseinkommen von Herrn Fleißig: 48 000  0:3.48 000  5 000/ D 48 000  12 900 D 35 100 Nettojahreseinkommen von Herrn Clever: 21 000  0:3.21 000  5 000/ C 21 000p

D 21 000  4 800 C 21 000p D 16 200 C 21 000p

() ()

16 200 C 21 000p > 35 100 18 900 < 21 000p 0:9 < p

Für p > 90 % ist das Nettojahreseinkommen von Herrn Clever höher.

Lösungen

99

Lösung 5.16 a)

x2  1 x1  1 < () .x1  1/.x2 C 1/ < .x2  1/.x1 C 1/ x1 C 1 x2 C 1 () x1 x2  x2 C x1  1 < x2 x1  x1 C x2  1 () 2x1 < 2x2 ) f1 ist in RC streng monoton wachsend x1 C

1 1 1 1 < x2 C ()  < x2  x1 x1 C 1 x2 C 1 x1 C 1 x2 C 1

x2  x1 x2 C 1  .x1 C 1/ < x2  x1 () < x2  x1 .x1 C 1/.x2 C 1/ .x1 C 1/.x2 C 1/ mit x1 ; x2 2 RC ; x1 < x2 ) .x1 C 1/.x2 C 1/ D a > 1 Daraus folgt: x2  x1 x2  x1 D < x2  x1 x1 < x2 ) .x1 C 1/.x2 C 1/ a ) f2 ist in RC streng monoton wachsend b) Für x1 D 0; x2 D 3 vergleichen wir die Funktionswerte fi .  x1 C .1  /x2 /, fi .x1 / C .1  /fi .x2 / für i D 1; 2: 2  3 1 C .1  /3 D f1 .  0 C .1  /3/ D 1 C .1  /3 4  3 1  3   f1 .0/ C .1  /f1 .3/ D .1/ C .1  / 42 D 2 4  6  .1  3/.4  3/ 9  92 9.1  / 2  3 1  3  D D D >0 4  3 2 2.4  3/ 2.4  3/ 2.4  3/ für alle  2 h0; 1i ) f1 .x1 C .1  /x2 / > f1 .x1 / C .1  /f2 .x2 / in Œ0; 3 ) f1 ist streng konkav in Œ0; 3 f2 .0C.1/3/ D .1/3C

.3  3/.4  3/ C 1 13  21 C 92 1 D D .1  /3 C 1 4  3 4  3

1 f2 .0/ C .1  /f2 .3/ D  C .1  / 13 4 D 4 .13  9/

52  84 C 362  .52  75 C 272 / 9 C 92 13  21 C 92 13  9  D D 4  3 4 4.4  3/ 4.4  3/ D

9.  1/ < 0 für alle  2 h0; 1i 4.4  3/

) f2 .x1 C .1  /x2 / < f2 .x1 / C .1  /f2 .x2 / in Œ0; 3 f2 ist streng konvex in Œ0; 3

6 Elementare reelle Funktionen Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 6.1 ***  Wenn ein Polynom pn .x/ n-ten Grades n verschiedene, reelle Nullstellen x1 ; : : : ; xn besitzt, dann gibt es eine Darstellung der Form pn .x/ D a  .x  x1 /  : : :  .x  xn / mit a ¤ 0:  Ein Polynom ungeraden Grades besitzt ausschließlich reelle Nullstellen.  Wenn ein Polynom geraden Grades nichtreelle Nullstellen besitzt, sind diese paarweise konjugiert komplex.  Die Summe der Vielfachheiten reeller Nullstellen gibt den Grad eines Polynoms an.

Verständnisfrage 6.2 ***  Der Quotient eines Polynoms n-ten Grades und eines Polynoms k-ten Grades .k < n/ ist stets ein Polynom .n  k/-ten Grades.  Jedes Polynom kann für alle x 2 R definiert werden.  Jede rationale Funktion kann für alle x 2 RC definiert werden.

Verständnisfrage 6.3 *** Gegeben sind die Polynome positiven Grades p; p1 ; p2 ; r und es gilt die Gleichung r.x/ p1 .x/ r D p.x/ C , wobei eine echt-gebrochen-rationale Funktion darstellt. p2 .x/ p2 .x/ p2 Dann gilt:  Gr.p/  Gr.p1 /  Gr.p/  Gr.p2 /  Gr.p1 /  Gr.p2 /  Gr.r/ < Gr.p2 /  Gr.p1 / > Gr.r/

102

6 Elementare reelle Funktionen

Verständnisfrage 6.4 **  Jede Wurzelfunktion ist eine Potenzfunktion und umgekehrt.  Für jede Potenzfunktion f mit f .x/ D x a (a ungerade natürliche Zahl) gibt es eine Umkehrfunktion.  Für jede Potenzfunktion der Form f .x/ D x a gilt .f .x//2 D f .x 2 /:

Verständnisfrage 6.5 ** Zu den nachfolgenden Wurzelfunktionen f1 ; f2 ; f3 passen die jeweils angegebenen Definitionsbereiche D1 ; D2 ; D3 : q  D1 D h1; 1 [ Œ1; 1i passt zu f1 mit f1 .x/ D x  x1 q 2  D2 D h1; 1 [ Œ1; 1i passt zu f2 mit f2 .x/ D 1x x 2 p p  D3 D RC passt zu f3 mit f3 .x/ D x x  1

Verständnisfrage 6.6 ***  Zu jeder Logarithmusfunktion f W Rn¹0º ! R mit f .x/ D loga x .a > 0/ existiert eine Umkehrfunktion. ax  Für a > b > 1, x > 0 gilt x > 1 b loga x >0  Für a > b > 1, x > 0 gilt logb x ax  Für x > y > 0, a > 1 gilt y > 1 a loga x >0  Für x > y > 0, a > 1 gilt loga y

Verständnisfrage 6.7 ** Zu den nachfolgenden Funktionen f1 ; f2 ; f3 passen die jeweils angegebenen Definitionsbereiche D1 ; D2 ; D3 :  D1 D h0; 1i passt zu f1 mit f1 .x/ D 10ln x  D2 D R passt zu f2 mit f2 .x/ D lg e x  D3 D Œ1; 1i passt zu f3 mit f3 .x/ D log2 .log2 x 2 /

Verständnisfrage 6.8 * Sinus- und Kosinusfunktionen können angepasst werden an eine beliebige  Periodenlänge p > 0  Breite des Bildbereichs der Funktion  Verschiebung des Nullpunktes x 2 R

Verständnisfragen

Verständnisfrage 6.9 * Die Funktion f mit f .x/ D sin x C cos x  kann Werte größer als 1 annehmen  hat nur nichtnegative Werte Die Funktion f mit f .x/ D sin x cos x  kann nur Werte im Bereich x 2 Œ1; 1 annehmen  hat eine Periode von p D 2

103

104

6 Elementare reelle Funktionen

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 6.10 * a) Bestimmen Sie für das Produkt q.x/ D x.x  5/.x C 1/.x  1/ ein Polynom der Form p.x/ D ax 4 C bx 3 C cx 2 C dx C e und bestimmen Sie alle Nullstellen von p. b) Zeigen Sie, dass die folgende Äquivalenz erfüllt ist: q.x/ > 0 () x 2 h1; 1i [ h0; 1i [ h5; 1i

Rechenaufgabe 6.11 * x 2 C 2x  3 . x2  4 a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von q sowie alle Nullstellen.

Gegeben ist die rationale Funktion q mit q.x/ D

b) Für welche x-Werte ist q.x/  0 bzw. q.x/ > 0?

Rechenaufgabe 6.12 * 4x C 1 x 4  3x 3 C 2x 2 , f2 .x/ D 2x  1 x1 a) Für welche x 2 R sind die Funktionen f1 ; f2 definiert?

Gegeben sind die Funktionen f1 ; f2 mit f1 .x/ D

b) Zerlegen Sie f1 und f2 in ein Polynom und gegebenenfalls eine echt-gebrochen-rationale Funktion. c) Zeigen Sie, dass f1 für x  1 streng monoton fällt und f2 für x  2 streng monoton wächst. d) Für welche x > 1 gilt f1 .x/ > 1 bzw. f2 .x/ < 0?

Rechenaufgabe 6.13 ** Führen Sie für die gebrochen-rationale Funktion q mit q.x/ D bruchzerlegung durch.

1 eine Partialx.x  1/.x C 2/

Rechenaufgabe 6.14 ** Führen Sie eine Partialbruchzerlegung für die gebrochen-rationale Funktion q mit x 5 C 5x 4 C 10x 3 C 16x 2 C 15x C 7 durch. .x/ D .x C 2/2 .x 2 C x C 1/

Rechenaufgaben

105

Rechenaufgabe 6.15 *** Bei der Produktion eines Gutes wirken sich die mit steigenden Stückzahlen gewonnenen Produktionserfahrungen kostensenkend aus. Die für eine Mengeneinheit (ME) des Produktes anfallenden Stückkosten k (in €/ME) hängen von der Gesamtproduktionsmenge x folgendermaßen ab: k.x/ D a  x b

mit a; b 2 R; x  1

Es wird nun Folgendes beobachtet: q Die erste produzierte Einheit verursacht Kosten in Höhe von 160 €. q Verdoppelt man die Produktionsmenge ausgehend von einer beliebigen Stückzahl, so sinken die Stückkosten um 20 % gegenüber dem Wert vor Stückzahlverdoppelung. a) Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion k. b) Wie hoch muss die Gesamtproduktionsmenge sein, damit die gesamten Produktionskosten 80 000 € betragen?

Rechenaufgabe 6.16 ** 1

Gegeben ist die Funktion f mit f .x/ D 2 x  ln .x/. a) Für welche x 2 R ist f definiert? b) Zeigen Sie ohne Differentialrechnung, dass f streng monoton fällt für x < 1.

Rechenaufgabe 6.17 * Bestimmen Sie den Definitionsbereich sowie die Nullstellen der Funktionen f und g mit: a) f .x/ D ln .x 2  3/ b) g.x/ D e 2x

2 4x

1

Rechenaufgabe 6.18 ** Gegeben sind die Funktionen g1 ; g2 ; f W RC ! R mit     x ; g2 .x/ D sin x C  ; f .x/ D g1 .x/ C g2 .x/: g1 .x/ D cos 6 3 a) Zeigen Sie, dass g1 ; g2 ; f periodische Funktionen sind und bestimmen Sie die Perioden. b) Skizzieren Sie g1 ; g2 und bestimmen Sie mit Hilfe der Skizze max ¹f .x/ W x 2 Nº sowie min ¹f .x/ W x 2 Nº.

106

6 Elementare reelle Funktionen

Lösungen Verständnisfragen Lösung 6.1  Wenn ein Polynom pn .x/ n-ten Grades n verschiedene, reelle Nullstellen x1 ; : : : ; xn besitzt, dann gibt es eine Darstellung der Form pn .x/ D a  .x  x1 /  : : :  .x  xn / mit a ¤ 0: Begründung: pn .x/ D a  .x  x1 /  : : :  .x  xn / mit a ¤ 0 ist ein Polynom n-ten Grades mit pn .xi / D 0 für alle i D 1; : : : ; n.  Ein Polynom ungeraden Grades besitzt ausschließlich reelle Nullstellen. 3 2 2 Begründung: pp 3 mit p3 .x/ D x C 1 D .x C 1/.x  x C 1/, wobei x  x C 1 D 0 mit 1 x1;2 D 2 .1 ˙ 1  4/ nur komplexe Nullstellen liefert.  Wenn ein Polynom geraden Grades nichtreelle Nullstellen besitzt, sind diese paarweise konjugiert komplex. Begründung: Bei der reellen Produktdarstellung eines Polynoms n-ten Grades pn .x/ D an .x  x1 /˛1 .x  x2 /˛2  : : :  .x  xr /˛r  .x 2 C b1 x C c1 /ˇ1  : : :  .x 2 C bs x C cs /ˇs , r s P P ˛i C 2 ˇj D n liefert jede nicht zerlegbare quadratische Funktion .x 2 C bj x C cj / i D1

j D1

zwei zueinander konjugiert komplexe Nullstellen.  Die Summe der Vielfachheiten reeller Nullstellen gibt den Grad eines Polynoms an. Begründung: Wenn pn komplexe Nullstellen besitzt, dann ist die Summe der Vielfachheiten reeller Nullstellen kleiner als Gr.pn /.

Lösung 6.2  Der Quotient eines Polynoms n-ten Grades und eines Polynoms k-ten Grades .k < n/ ist stets ein Polynom .n  k/-ten Grades. x 2 C1 Begründung: p.x/ D x 2 C 1; q.x/ D x C 1; p.x/ q.x/ D xC1 ist kein Polynom  Jedes Polynom kann für alle x 2 R definiert werden. Begründung: pn .x/ D an x n C : : : C a1 x C a0 liefert für alle x 2 R einen Funktionswert  Jede rationale Funktion kann für alle x 2 RC definiert werden. Begründung: p.x/ q.x/ ist nicht definiert für q.x/ D 0

Lösung 6.3 Gegeben sind die Polynome positiven Grades p; p1 ; p2 ; r und es gilt die Gleichung r.x/ r p1 .x/ D p.x/ C , wobei eine echt-gebrochen-rationale Funktion darstellt. p2 .x/ p2 .x/ p2 Dann gilt:  Gr.p/  Gr.p1 / Begründung: Gr.p1 / > 0; Gr.p2 / > 0; Gr.p/ D Gr.p1 /  Gr.p2 / < Gr.p1 /  Gr.p/  Gr.p2 / Begründung: Gr.p1 / > 0; Gr.p2 / > 0; Gr.p/ D Gr.p1 /  Gr.p2 / > Gr.p2 / für Gr.p1 / D 5; Gr.p2 / D 2

Lösungen

107

 Gr.p1 /  Gr.p2 / I Gr.p/ D Gr.p1 /  Gr.p2 / > 0 ) Gr.p1 / > Gr.p2 / Begründung :  Gr.r/ < Gr.p2 / r II Begründung : echt-gebrochen-rational ) Gr.r/ < Gr.p2 / p2  Gr.p1 / > Gr.r/ I und , II Gr.r/ < Gr.p2 / < Gr.p1 / Begründung: siehe 

Lösung 6.4  Jede Wurzelfunktion ist eine Potenzfunktion und umgekehrt. Begründung: f mit f .x/ D x a mit a reell ist Potenzfunktion, mit a rational auch Wurzelfunktion. Damit ist jede Wurzelfunktion auch Potenzfunktion; die Umkehrung gilt nicht.  Für jede Potenzfunktion f mit f .x/ D x a (a ungerade natürliche Zahl) gibt es eine Umkehrfunktion. p Begründung: f .x/ D y D x a (a ungerade) ) x D a y D f 1 .y/  Für jede Potenzfunktion der Form f .x/ D x a gilt .f .x//2 D f .x 2 /: Begründung: .f .x//2 D .x a /2 D x 2a D .x 2 /a D f .x 2 /

Lösung 6.5 Zu den nachfolgenden Wurzelfunktionen f1 ; f2 ; f3 passen die jeweils angegebenen Definitionsbereiche D1 ; D2 ; D3 : q  D1 D h1; 1 [ Œ1; 1i passt zu f1 mit f1 .x/ D x  x1 q 2 Begründung: Für x < 1 gilt: x  x1 D x x1 < 0 ) x  x1 ist nicht reell q 2  D2 D h1; 1 [ Œ1; 1i passt zu f2 mit f2 .x/ D 1x x 2 1  x2 Begründung: x 2 D2 ) x 2  1 ) 0 2 px p  D3 D RC passt zu f3 mit f3 .x/ D x rx  1 q   Begründung: x D 12 2 D3 ) f3 12 D 12  12 ist nicht reell

Lösung 6.6  Zu jeder Logarithmusfunktion f W Rn¹0º ! R mit f .x/ D loga x .a > 0/ existiert eine Umkehrfunktion. Begründung: f mit f .x/ D ax ; f 1 .x/ D loga x ) f ı f 1 D aloga x D x x  Für a > b > 1, x > 0 gilt ab x > 1   x a x a >1 Begründung: x D b b loga x >0  Für a > b > 1, x > 0 gilt logb x loga x loga x  loga b Begründung: D D loga b > 0 logb x loga x

108

6 Elementare reelle Funktionen x

 Für x > y > 0, a > 1 gilt aay > 1 x Begründung: aay D axy > 1 loga x >0  Für x > y > 0, a > 1 gilt loga y loga x Begründung: < 0 für x > 1; y < 1 loga y

Lösung 6.7 Zu den nachfolgenden Funktionen f1 ; f2 ; f3 passen die jeweils angegebenen Definitionsbereiche D1 ; D2 ; D3 :  D1 D h0; 1i passt zu f1 mit f1 .x/ D 10ln x Begründung: x > 0 ) ln x 2 R ) f1 .x/ > 0  D2 D R passt zu f2 mit f2 .x/ D lg e x Begründung: x 2 R ) e x > 0 ) lg e x 2 R 2  D3 D Œ1; 1i passt zu f3 mit f3 .x/  D log22.log2 x / Begründung: Für x D 1 gilt: log2 log2 x D log2 .log2 1/ D log2 0 ist nicht definiert

Lösung 6.8 Sinus- und Kosinusfunktionen können angepasst werden an eine beliebige  Periodenlänge p > 0 Begründung: s.x/ D sin.ax/; c.x/ D cos.ax/: Für a > 1 verkürzt sich die Periodenlänge, für a 2 h0; 1i verlängert sie sich.  Breite des Bildbereichs der Funktion Begründung: s.x/ D b sin x; c.x/ D b cos x. Für b > 1 erhöht sich die Breite des Bildbereichs der Funktion, für b 2 h0; 1i verringert sie sich.  Verschiebung des Nullpunktes x 2 R Begründung: s.x/ D sin.x C c/; c.x/ D cos.x C c/. Für c > 0 verschiebt sich der Nullpunkt nach links .x D c/, für c < 0 nach rechts .x D c/.

Lösung 6.9 Die Funktion f mit f .x/ D sin x C cos x  kann Werte größer als 1 annehmen p p p   2 2 Begründung: sin C cos D C D 2>1 4 4 2 2  hat nur nichtnegative Werte Begründung: sin  C cos  D 0  1 < 0 Die Funktion f mit f .x/ D sin x cos x  kann nur Werte im Bereich x 2 Œ1; 1 annehmen Begründung: sin x; cos x 2 Œ1; 1 ) sin x  cos x 2 D  Œ1; 1  hat eine Periode von p D 2 Begründung: sin x D sin.x C 2k/; cos.x C 2k/ für k D ˙1; ˙2; : : : ) sin x  cos x D sin.x C 2k/  cos.x C 2k/

Lösungen

109

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 6.10 a) x.x  5/.x C 1/.x  1/ D .x 2  5x/.x 2  1/ D x 4  5x 3  x 2 C 5x D p.x/ Nullstellen: x1 D 0, x2 D 5, x3 D 1, x4 D 1 b) p.x/ > 0 () Von den Faktoren x; x  5; x C 1; x  1 sind alle positiv, also x > 5, oder genau 2 positiv, also x 2 h0; 1i, oder alle negativ, also x < 1 () x 2 h1; 1i [ h0; 1i [ h5; 1i.

Lösung 6.11 a) Definitionsbereich D D ¹x 2 R W x 2  4 6D 0º x 2  4 ¤ 0 () x 2 ¤ 4 () x ¤ ˙2 ) D D R n ¹2; 2º p 2 ˙ 4 C 12 1 2 ) x1=2 D .2 ˙ 4/ Nullstellen: x C 2x  3 D 0 ) x1=2 D 2 2 ) x D 1; x D 3 1

2

.x C 3/.x  1/ x C 2x  3 D x2  4 .x C 2/.x  2/ Ein Vorzeichenwechsel für q ist zu untersuchen für die Nullstellen und Definitionslücken: x>2 ) q.x/ > 0 x 2 Œ1; 2i ) q.x/  0 x 2 h2; 1i ) q.x/ > 0 x 2 Œ3; 2i ) q.x/  0 x 2 h1; 3i ) q.x/ > 0

b) q.x/ D

2

) q.x/  0 () q.x/ > 0 ()

x 2 Œ3; 2i [ Œ1; 2i x 2 h1; 3i [ h2; 1i [ h2; 1i

Lösung 6.12

® ¯ a) f1 ist definiert für 2x  1 6D 0 () x 6D 12 ) Df1 D Rn 12 f2 ist definiert für x  1 6D 0 () x 6D 1 ) Df2 D Rn¹1º 3 4x C 1 D2C b) .4x C 1/ W .2x  1/ D 2 ) 2x  1 2x 1 4x C 2 3 .x 4  3x 3 C 2x 2 / W .x  1/ D x 3  2x 2 x 4 C x 3  2x 3 C 2x 2 C2x 3  2x 2 0

)

x 4  3x 3 C 2x 2 D x 3  2x 2 D x 2 .x  2/ x1

110

6 Elementare reelle Funktionen

c) 1  x1 < x2 ) 2x1 < 2x2 ) 2x1  1 < 2x2  1 )

3 3 > 2x1  1 2x2  1

3 3 >2C ) f1 .x1 / > f1 .x2 / 2x1  1 2x2  1 2  x1 < x2 ) x12 < x22 ) x12 .x1  2/ < x22 .x2  2/ ) f2 .x1 / < f2 .x2 /

)2C

Also fällt f1 streng monoton für x  1 bzw. steigt f2 streng monoton für x  2. d) x > 1 ) 4x C 1 > 2x  1 ) f1 .x/ > 1 x 2 .x  2/.x  1/ 0 x2) x1 2 x .x  2/.x  1/

1 x2

1

1

) 2 x1 > 2 x2 ) f1 .x1 / > f1 .x2 / [mit f1 .x1 /; f1 .x2 / > 0]

x1 > x2 > 1 ) ln.x1 / > ln.x2 / ) f2 .x1 / > f2 .x2 / [mit f2 .x1 /; f2 .x2 / > 0] ) f .x1 / D f1 .x1 /f2 .x1 / > f1 .x2 /f2 .x2 / D f .x2 /, also ist f für x < 1 streng monoton fallend

112

6 Elementare reelle Funktionen

Lösung 6.17 a) f .x/ D ln.x 2  3/ definiert für x 2  3 > 0 p p ) x 2 > 3 ) x1 > 3; x2 <  3 p p ) Definitionsbereich D D h1;  3i [ h 3; 1i Nullstellen: f .x/ D 0 () ln.x 2  3/ D 0 () x 2  3 D 1 () x 2 D 4 () x1 D 2; x2 D 2 2 b) g.x/ D e 2x 4x  1 definiert für alle x 2 R 2

Nullstellen: g.x/ D 0 () e 2x 4x D 1 () 2x 2  4x D 0 ) 2x.x  2/ D 0 ) x1 D 0; x2 D 2

Lösung 6.18 a) g1 .x C 12/ D cos. 6 .x C 12// D cos. 6 x C 2/ D cos. 6 x/ D g1 .x/ g2 .x C 6/ D

sin. 3 .x C 6/ C / D sin. 3 x C 3/ D sin. 3 x C / D g2 .x/

f .x C 12/ D

cos. 6 .x C 12// C sin. 3 .x C 12/ C /

D

cos. 6 x/ C sin. 3 x C / D f .x/

Damit besitzen g1 und f die Periode 12, g2 hat eine Periodenlänge von 6. b) gi .x/ g1 .x/

1

g2 .x/ 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

Nach der Zeichnung liegt das Maximum von f bei x D 10 oder 11, das Minimum bei x D 7 oder 8. Im Einzelnen erhalten wir: p 3 1 2 C 2 p p 3 C 23 2

f .10/

13 D cos. 10 6 / C sin. 3 /

D cos. 13 / C sin. 13 /

D

f .11/

/ C sin. 14 / D cos. 11 6 3

D cos. 16 / C sin. 23 /

D

f .7/

D cos. 76 / C sin. 10 3 /

D  cos. 61 /  sin. 32 /

1:732

f .8/

/ D cos. 86 / C sin. 11 3

D  cos. 31 /  sin. 31 /

1:366

1:366 1:732

Damit ist x D 11 maximal mit f .11/ 1:73; x D 7 minimal mit f .7/ 1:73.

7 Grenzwerte und Stetigkeit Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 7.1 **  Jede endliche Zahlenfolge ist beschränkt.  Jede unendliche Zahlenfolge ist unbeschränkt.  Jede unendliche Zahlenfolge ist durch endlich viele Glieder der Folge eindeutig bestimmt.  Jeder Grenzwert einer Zahlenfolge ist auch ein Häufungspunkt.  Für eine arithmetische Folge gilt: d > 0 () an < anC1 für alle n 2 N.  Für eine geometrische Folge gilt: q > 0 () an < anC1 für alle n 2 N.

Verständnisfrage 7.2 ** Gegeben ist eine unendliche Folge .rn /nD0;1;2;::: mit rn D a0 C a1 C : : : C an .ai 2 R für i D 0; 1; : : : ; n/. Dann gilt:  .rn / konvergiert ) .an / ist Nullfolge  .rn / mit ai C1  ai D d konvergiert für d < 0 ai C1  .rn / mit D q konvergiert für jqj < 1 ai

Verständnisfrage 7.3 *  Eine reelle Funktion f konvergiert an der Stelle x0 gegen f .x0 /, wenn f in x0 keinen Sprung aufweist.  f konvergiert in x0 gegen f .x0 / ) f ist für x0 definiert.  Es gibt reelle Funktionen f mit lim f .x/ D 0. x!1

 Es gibt reelle Funktionen f mit lim f .x/ D 1. x!0

114

7 Grenzwerte und Stetigkeit

Verständnisfrage 7.4 **  Die Funktion f ist stetig in x0 2 R ) .x sehr nahe an x0 ) f .x/ sehr nahe an f .x0 //  Jede stetige Funktion ist beschränkt. x ist für alle x 2 R stetig bzw. stetig fortsetzbar.  f1 mit f1 .x/ D jxj r x4  x2  f2 mit f2 .x/ D ist für alle x  1 stetig bzw. stetig fortsetzbar. x2  1 1  f3 mit f3 .x/ D (g ist für alle x 2 RC stetig) ist für alle x 2 RC stetig bzw. stetig g.x/ fortsetzbar.

Verständnisfrage 7.5 ** Für f W R ! R stetig, a; b 2 R; a < b, f .a/ D f .b/  existiert mindestens eine Maximal- oder Minimalstelle x 2 Œa; b  existiert mindestens eine Maximal- oder Minimalstelle mit x … Œa; b Für f W Œ1; 1 ! R stetig mit f .1/ > 0; f .1/ < 0  existiert in Œ1; 1 mindestens eine Nullstelle  existiert in Œ1; 1 mindestens eine Maximal- bzw. Minimalstelle  existiert in Œ1; 1 genau dann eine Maximalstelle, wenn eine Minimalstelle existiert

Rechenaufgaben

115

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 7.6 * Prüfen Sie für die Folgen .an /; .bn /; .cn /; .dn / mit n 2 N und ! p en 1 1 n n ; dn D n2 C 1  n; an D n ; bn D .1/ C ; cn D 2 2 n n 2 welche der Folgen beschränkt und welche konvergent sind. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte bzw. die Häufungspunkte.

Rechenaufgabe 7.7 ** Berechnen Sie für die Folgen .an /; .bn /; .cn / mit n 2 N und   n   12   nC1 2  n13 .1/n n3 C .n C 3/2 1 n n n  ; cn D .1/ an D ; bn D p  1 C n2 C 4n3 2 n2 C 1 n n32  n44 alle Häufungspunkte und Grenzwerte.

Rechenaufgabe 7.8 *** Gegeben sind die Folgen .an /; .bn /; .cn / mit n 2 N und an1 C 1 n 2 ; bn D bn1  ; cn D cn1 : 2 nC1 a) Geben Sie die Folgen .an / und .bn / mit a0 D b0 D 2 explizit als Funktion von n 2 N0 an und berechnen Sie die Grenzwerte für n ! 1. an D

b) Zeigen sie, dass .cn / für c0 2 h0; 1i konvergiert und für c0 > 1 divergiert.

Rechenaufgabe 7.9 * Überprüfen Sie für die Folgen .an /; .bn /; .cn /; .dn /; .en / mit n 2 N und p p 3n n  n1 bn nn ; bn D p ; cn D .an /2 ; dn D an  bn ; en D an D p an nCnC1 n.2 C n/ die Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte.

Rechenaufgabe 7.10 * Für welche k 2 N konvergieren die Folgen .an /; .bn /; .cn / mit an D

3.n10  1/ ; 2.n C 1/k

bn D an1 ;

cn D an2 ?

Geben Sie gegebenenfalls die entsprechenden Grenzwerte an.

116

7 Grenzwerte und Stetigkeit

Rechenaufgabe 7.11 *** Im Jahr 2005 betrug die weltweite jährliche Korkproduktion ca. 300 000 Tonnen. Kork wird insbesondere als Verschluss für Weinflaschen benötigt. Für die Prognose der zukünftigen Korkproduktion wird ein erwartetes jährliches Wachstum der Korkvorkommen – basierend auf der Folge .an / – zugrunde gelegt: an D 1:03an1 .a0 D 300 000/ a) Um welchen Prozentsatz verändert sich die Korkproduktion im Vergleich zum Vorjahr, wenn sich das Wachstum durch die Folge .an / beschreiben lässt? b) Geben Sie die Folge .an / in expliziter Form an und beweisen Sie dieses Ergebnis mit Hilfe vollständiger Induktion. c) Wie viel Kork wird im Jahr 2015 produziert? d) Für das Jahr 2015 wird eine Nachfrage für Kork in Höhe von 444 000 Tonnen prognostiziert. Um wie viel muss die jährliche Produktion prozentual steigen, um diese Nachfrage im Jahr 2015 zu decken? e) In Portugal wird 2005 auf einer Fläche von 10 000 km2 Kork angebaut. Damit entfällt etwa die Hälfte der weltweiten Korkproduktion auf Portugal. Ab Beginn welchen Jahres ist Portugal mit einer Fläche von ca. 92 000 km2 „ein einziges Korkanbaugebiet“, wenn q das Wachstum der Weltproduktion im Jahr 2006 ausschließlich durch eine Ausweitung der Produktionsfläche in Portugal entsteht und q dieses Wachstum in Portugal auch in den kommenden Jahren beibehalten wird?

Rechenaufgabe 7.12 ** Ermitteln Sie für die Funktionen f1 ; f2 ; f3 W R ! R mit 8 p ˆ x  1 für x2 ˆ ´ ˆ < x 2 für x  0 2 f1 .x/ D ; f2 .x/ D für x 2 h0; 2i ; ˆ jxj für x < 0 x ˆ ˆ : ln.1  x/ für x0 8 sin x ˆ < für x 2 h0; i cos xC1 f3 .x/ D ˆ : 0 sonst die Grenzwerte limx!0 f1 .x/;

limx!2 f2 .x/;

limx!0 f2 .x/;

limx!0 f3 .x/;

limx! f3 .x/:

Rechenaufgaben

117

Rechenaufgabe 7.13 * Ermitteln Sie für die Funktionen g1 ; g2 ; g3 ; g4 mit g1 .x/ D

3x 3  1 ; x3 C x2 C x 2

g3 .x/ D e x ;

g2 .x/ D

3x 3  1 ; x2 C x C 1

g4 .x/ D ln.x 2 C 1/

alle Grenzwerte für x ! ˙1.

Rechenaufgabe 7.14 *** Gegeben sind die reellen Funktionen f1 ; f2 ; f3 von einer reellen Variablen mit p p   1  8x f1 .x/ D ; f2 .x/ D 2  x x  1; f3 .x/ D e x ln x1 2 1  4x a) Für welche x 2 R sind die Funktionen definiert, für welche x 2 R sind sie stetig? b) Zeigen Sie ohne Differentialrechnung, dass die Funktionen f1 ; f3 weder globale Maximalnoch Minimalstellen besitzen. c) Zeigen Sie, dass f2 für x D 1 maximal und für x D 2 minimal wird.

Rechenaufgabe 7.15 * Untersuchen Sie die folgenden Funktionen f; g; h W R ! R auf Stetigkeit: 8 ˆ < x  2 für x 6D 2 jx  2j a) f .x/ D ˆ : 0 für x D 2 8 p 2 ˆ für 1 < x < 1 ˆ < 1x b) g.x/ D 0 für x D ˙1 ˆ ˆ : pjxj  1 sonst 8 ˆ ˆ < 1 für x > 0 c) h.x/ D js.x/j, wobei s.x/ WD 0 für x D 0 ˆ ˆ : 1 für x < 0

118

7 Grenzwerte und Stetigkeit

Rechenaufgabe 7.16 *** Gegeben ist die Funktion f W R ! R mit 8 1 ˆ xCc für x < 0 ˆ ˆ ˆ < 3 f .x/ D ln e c für x D 0 ˆ ˆ ˆ ˆ : 1 x 2 C c für x > 0 a a) Bestimmen Sie a und c so, dass f für alle x 2 R stetig ist. 1 b) Zeigen Sie, dass die Funktion f mit a D 5 und c D im Intervall [2,5] den Wert 3 2 mindestens einmal annimmt. c) Diskutieren Sie Monotonie- und Konvexitätseigenschaften von f für a D 1; c D 1 ohne Verwendung der Differentialrechnung. d) Ermitteln Sie alle Extremalstellen und Extremalwerte für a D 1; c D 1.

Rechenaufgabe 7.17 *** Gegeben ist die stetige Kostenfunktion k W Œ0; 1000 ! RC mit k.0/ D 80. Für die konstanten Grenzkosten gilt: x2

h0; 100

h100; 500

h500; 1000

Grenzkosten

2

5

1

a) Geben Sie die Kostenfunktion für x 2 Œ0; 1000 sowie die Stückkostenfunktion für x 2 h0; 1000 explizit an. b) Skizzieren Sie den Verlauf der in a) ermittelten Funktionen. c) Ermitteln Sie mit Hilfe der Monotonieeigenschaften der Stückkostenfunktion deren Minimalstellen und Minimalwerte.

Rechenaufgabe 7.18 * Gegeben ist eine Produktionsfunktion f W RCn¹0º ! RC mit y D f .x/ D .0:5C0:5x 2 /0:5 , wobei x das Verhältnis von Kapital- zu Arbeitsinput und y das Verhältnis von Bruttonationaleinkommen zu Arbeitsinput ausdrückt. a) Zeigen Sie, dass ein x 2 Œ1; 1:2 existiert mit f .x/ D 1:05. b) Bestimmen Sie einen x0 -Wert, der von einem x mit f .x/ D 1:05 maximal um 0:05 abweicht, und interpretieren Sie das Ergebnis.

Rechenaufgaben

119

Rechenaufgabe 7.19 * Gegeben ist die Funktion f W R ! R mit f .x/ D x C e x . a) Zeigen Sie, dass f streng monoton wächst und stetig in R ist. b) Zeigen Sie, dass f genau eine Nullstelle besitzt. c) Bestimmen Sie diese Nullstelle mit einer maximalen Abweichung von 0.01 vom wahren Wert.

Rechenaufgabe 7.20 ** x 3 C x 2  x C 1 . x2  1 Für welche x 2 R ist die Funktion definiert, stetig, stetig fortsetzbar?

Gegeben ist die rationale Funktion f mit f .x/ D

Rechenaufgabe 7.21 ** Gegeben ist die Funktion g mit 8 p < x C 1  a für x  1 g.x/ D 2x : C b für x < 1 2 x C1 a) Für welche Konstanten a; b 2 R ist die Funktion g stetig? b) Bestimmen Sie im Intervall Œ1; 0 eine Nullstelle der Funktion g für a D 0:4 und b D 0:6 bei einer maximalen Abweichung von 0.1 mit Hilfe des Zwischenwertsatzes.

120

7 Grenzwerte und Stetigkeit

Lösungen Verständnisfragen Lösung 7.1  Jede endliche Zahlenfolge ist beschränkt. Begründung: Eine endliche Zahlenfolge enthält endlich viele Zahlen aus R und ist damit beschränkt.  Jede unendliche Zahlenfolge ist unbeschränkt. n Begründung: Für .an / mit an D nC1 gilt an 2 Œ0; 1.  Jede unendliche Zahlenfolge ist durch endlich viele Glieder der Folge eindeutig bestimmt. Begründung: Nach endlich vielen Gliedern ist der weitere Verlauf der Folge ungewiss.  Jeder Grenzwert einer Zahlenfolge ist auch ein Häufungspunkt. Begründung: Für a als Grenzwert von .an / gilt jan  aj < " für alle n > n."/ ) jan  aj < " für unendlich viele n ) a ist Häufungspunkt von .an /.  Für eine arithmetische Folge gilt: d > 0 () an < anC1 für alle n 2 N. Begründung: anC1  an D d > 0 () anC1 > an  Für eine geometrische Folge gilt: q > 0 () an < anC1 für alle n 2 N. anC1 Dq>1>0 Begründung: „(“ wahr, da an < anC1 ) an „)“ falsch, z.B. q D 12 > 0 ) anC1 < an

Lösung 7.2 Gegeben ist eine unendliche Folge .rn /nD0;1;2;::: mit rn D a0 C a1 C : : : C an .ai 2 R für i D 0; 1; : : : ; n/. Dann gilt:  .rn / konvergiert ) .an / ist Nullfolge Begründung: .an / ist keine Nullfolge ) rnC1 D rn C anC1 ¤ rn für alle n 2 N ) .rn / divergiert  .rn / mit ai C1  ai D d konvergiert für d < 0 Begründung: d < 0 ) anC1  an D d < 0 ) anC1 < an für alle n 2 N ) .rn / divergiert ai C1  .rn / mit D q konvergiert für jqj < 1 ai n P a0 1  q nC1 D Begründung: jqj < 1 ) lim rn D lim ai D lim a0 n!1 n!1 i D0 n!1 1q 1q

Lösung 7.3  Eine reelle Funktion f konvergiert an der Stelle x0 gegen f .x0 /, wenn f in x0 keinen Sprung aufweist. Begründung: f konvergiert in x0 nicht gegen f .x0 / ) f besitzt eine Sprungstelle in x0 .  f konvergiert in x0 gegen f .x0 / ) f ist für x0 definiert. Begründung: f mit f .x/ D xx konvergiert für x D 0 gegen f .0/ D 1. Dennoch ist f für x D 0 zunächst nicht definiert.  Es gibt reelle Funktionen f mit lim f .x/ D 0. x!1

Begründung: f mit f .x/ D

1 x

) lim f .x/ D 0 x!1

Lösungen

121

 Es gibt reelle Funktionen f mit lim f .x/ D 1. x!0

Begründung: f mit f .x/ D

1 x

) lim f .x/ D 1 x!0

Lösung 7.4  Die Funktion f ist stetig in x0 2 R ) .x sehr nahe an x0 ) f .x/ sehr nahe an f .x0 // Begründung: f stetig in x0 ) f konvergiert in x0 gegen f .x0 / ) für x ! x0 gilt f .x/ ! f .x0 /:  Jede stetige Funktion ist beschränkt. Begründung: f mit f .x/ D x 2 ist stetig, aber nicht beschränkt. x  f1 mit f1 .x/ D ist für alle x 2 R stetig bzw. stetig fortsetzbar. jxj Begründung: f1 .x/ D 1 für x > 0, f1 .x/ D 1 für x < 0 ) f1 in x D 0 nicht stetig und nicht stetig fortsetzbar. r x4  x2  f2 mit f2 .x/ D ist für alle x  1 stetig bzw. stetig fortsetzbar. x2  1 r x4  x2 x4  x2 2 Begründung:f2 ist stetig für alle x >1. Wegen 2 D x für x ¤ 1 gilt lim D x!1 x 1 x2  1 p 2 lim x D 1 und f2 ist für x D 1 stetig fortsetzbar. x!1

 f3 mit f3 .x/ D

1 (g ist für alle x 2 RC stetig) ist für alle x 2 RC stetig bzw. stetig g.x/

fortsetzbar. Begründung: f3 ist stetig für alle x mit g.x/ ¤ 0, wobei die expliziten Funktionswerte von g nicht bekannt sind.

Lösung 7.5 Für f W R ! R stetig, a; b 2 R; a < b, f .a/ D f .b/  existiert mindestens eine Maximal- oder Minimalstelle x 2 Œa; b Begründung: f auf Œa; b definiert und damit beschränkt. Also existiert mindestens eine Extremalstelle.  existiert mindestens eine Maximal- oder Minimalstelle mit x … Œa; b Begründung: f ist für x … Œa; b nicht notwendig beschränkt. Damit ist die Existenz einer Extremalstelle nicht gesichert. Für f W Œ1; 1 ! R stetig mit f .1/ > 0; f .1/ < 0  existiert in Œ1; 1 mindestens eine Nullstelle Begründung: f .1/ > 0; f .1/ < 0 ) f muss in Œ1; 1 die x-Achse schneiden.  existiert in Œ1; 1 mindestens eine Maximal- bzw. Minimalstelle I Œ1; 1 beschränkt und abgeschlossen ) Es existiert eine Maximalstelle Begründung : und eine Minimalstelle.  existiert in Œ1; 1 genau dann eine Maximalstelle, wenn eine Minimalstelle existiert I Begründung: siehe 

122

7 Grenzwerte und Stetigkeit

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 7.6 e D 2:71828 : : : ist Eulersche Zahl, also ist

e 2

> 1 ) lim an D lim n!1

 e n

n!1 2

D1

.an / ist nicht beschränkt, .an / ist damit divergent und besitzt weder einen Grenzwert noch einen Häufungspunkt. b1 D 0; b2 D 32 ; b3 D  23 ; b4 D 54 ; b5 D  45 ˇ ˇ jbn j D ˇ.1/n C 1 ˇ  2 n

.bn / ist 8 beschränkt. Es gilt: 1 ˆ < 1C für n geradzahlig n bn D ˆ : 1 C 1 für n ungeradzahlig n Damit ist .bn / divergent und besitzt keinen Grenzwert. Andererseits besitzt .bn / zwei Häufungspunkte 1 und 1. n.n  1/ 1 Wegen cn D ! für n ! 1 ist .cn / konvergent mit dem Grenzwert 12 . 2 2n 2 Ferner ist .cn / beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt. p p 2 C 1  n/. n2 C 1 C n/ p . n2 C 1  n2 1 n p D p D p dn D n2 C 1  n D n2 C 1 C n n2 C 1 C n n2 C 1 C n Wegen dn ! 0 für n ! 1 ist .dn / konvergent mit dem Grenzwert 0. Damit ist .dn / beschränkt mit genau einem Häufungspunkt.

Lösung 7.7 .1/ n.n1/.n2/ C .n C 3/2 .1/n .n3  3n2 C 2n/ C 6.n C 3/2 123 1 ! ˙ 24 D n!1 1 C n2 C 4n3 6.1 C n2 C 4n3 / 1 .an / besitzt zwei Häufungspunkte ˙ 24 und somit keinen Grenzwert. an D

bn D

2 3 1 n2



1 n2 4 5 n2

! 1 n!1

.bn / ist divergent und besitzt weder Häufungspunkte noch einen Grenzwert. n   12   nC1 1 1 n cn D .1/n ! .˙1/   0 D 0 2 n!1 2 n C1 2 .cn / besitzt den Grenzwert 0 und damit auch einen Häufungspunkt 0.

Lösung 7.8 a) a0 D 2;

a1 D 32 ;

a2 D 54 ; a3 D 98 ; : : : 2n C 1 Wir vermuten an D (Induktionshypothese A.n/) und beweisen dies mit vollständi2n ger Induktion.

Lösungen

123

Induktionsanfang A.0/: rekursive Form: a0 D 2,

explizite Form: a0 D

Damit ist A.0/ wahr.

20 C 1 D2 20

Induktionsschluss A.n/ ) A.n C 1/: 2n C 1 2nC1 C 1 an1 C 1 an C 1 D D ) anC1 D an D n 2 2 2 2nC1 2n C1 n 2 C 1 C 2n an C 1 A.n/ 2n C 1 2nC1 C 1 D Beweis: anC1 D D D 2 2 2nC1 2nC1 Induktionsanfang wahr ^ Induktionsschluss wahr ) A.n/ wahr für alle n 2 N0 2n C 1 Ferner gilt: lim an D lim D1 n!1 n!1 2n b0 D 2;

b1 D 2 

Wir vermuten bn D Induktion.

1 2

D 1;

2 nC1

b2 D 1  23 ;

b3 D

2 3



3 4

D 24 ;

b4 D

1 2



4 5

D 25 ; : : :

(Induktionshypothese B.n/) und beweisen dies mit vollständiger

Induktionsanfang B.0/: rekursive Form: b0 D 2, Damit ist B.0/ wahr.

explizite Form: b0 D

2 0C1

D2

Induktionsschluss B.n/ ) B.n C 1/: 2 2 n nC1 D ) bnC1 D bn  D bn D bn1  nC1 nC1 nC2 nC2 nC1 2 2 nC1 B.n/  D Beweis: bnC1 D bn D .n C 1/ C 1 nC1 nC2 nC2 Induktionsanfang wahr ^ Induktionsschluss wahr ) B.n/ wahr für alle n 2 N0 2 D0 Ferner gilt: lim bn D lim n!1 n!1 n C 1 n b) Wir vermuten cn D c02 (Induktionshypothese C.n/) und beweisen mit vollständiger Induktion. Induktionsanfang C.1/: rekursive Form: c1 D c02 , Damit ist C.1/ wahr.

1

explizite Form: c1 D c02 D c02

Induktionsschluss C.n/ ! C.n C 1/: n nC1 2 D c02 ) cnC1 D cn2 D c02 cn D cn1 n nC1 C.n/  n 2 Beweis: cnC1 D cn2 D c02 D c02 2 D c02 Induktionsanfang wahr ^ Induktionsschluss wahr ) C.n/ wahr für alle n 2 N ´ 0 für c0 2 h0; 1i 2n Ferner gilt: lim cn D lim c0 D n!1 n!1 1 für c0 > 1 Damit konvergiert .cn / für c0 2 h0; 1i bzw. divergiert .cn / für c0 > 1.

124

7 Grenzwerte und Stetigkeit

Lösung 7.9

p 3n n  n1 p ! 3 n.2 C n/ n!1 dn D an  bn ! 1  3 D 4

p nn ! 1; an D p n C n C 1 n!1 cn D .an /2 ! .1/2 D 1; en D

n!1 bn 3     ! 1 an n!1

bn D

n!1

D 3 wobei .en / nur für n  2 definiert.

Alle Folgen sind konvergent, d.h. alle Grenzwerte existieren.

Lösung 7.10

8 ˆ < 1

für k < 10 μ 3.n  1/ 3 an D ! für k D 10 2 konvergiert 2.n C 1/k n!1 ˆ : 0 für k > 10 8 ˆ < 1 für k > 10 μ 1 2 bn D an ! für k D 10 3 n¤1; n!1 ˆ konvergiert : 0 für k < 10 8 ˆ für k < 10μ < 1  3 2 cn D an2 ! für k D 10 2 n!1 ˆ konvergiert : 0 für k > 10 10

Lösung 7.11 a) Das Wachstum beträgt jährlich 3 % : an D 1:03an1 D an1 .1 C 0:03/ b) a0 D 300 000 a1 D 300 000  1:03 a2 D 300 000  1:03  1:03 D 300 000  1:032 a3 D 300 000  1:03  1:03  1:03 D 300 000  1:033 ) Hypothese: an D 300 000  1:03n (Induktionshypothese A.n/) Beweis durch vollständige Induktion: Induktionsanfang A.0/: rekursive Form: a0 D 300 000, explizite Form: a0 D 300 000  1:030 D 300 000 Damit ist A.0/ wahr. Induktionsschluss: A.n/ ) A.n C 1/ an D 1:03an1 D 300 000  1:03n ) anC1 D 1:03an D 300 000  1:03nC1 A.n/

Beweis: anC1 D 1:03an D 1:03  300 000  1:03n D 300 000  1:03nC1 Induktionsanfang wahr ^ Induktionsschluss wahr ) A.n/ wahr für alle n 2 N0 c) Jahr 2015 ) n D 10 a10 D 300 000  1:0310 D 403 175 Tonnen p d) 300 000  x 10  444 000 () x 10  1:48 () x  10 1:48 1:04 ) 4 % Wachstum

Lösungen

125

e) 20 000  1:03 D 10 000  x C 10 000 ) x D 1:06 Bei weltweitem Wachstum von 3 % muss der Korkanbau in Portugal um 6 % steigen. 10:000  1:06n  92 000 () 1:06n  9:2 () n  ln 1:06  ln 9:2 () ln 9:2 38:1 ) n D 39 n ln 1:06 Ab Beginn des Jahres 2005 C 39 D 2044 ist Portugal „ein einziges Korkanbaugebiet“.

Lösung 7.12 lim f1 .x/ D 0 D f1 .0/ W

f1 verläuft für x D 0 ohne Sprung mit Grenzwert 0 9 2 = f verläuft für x D 2 ohne Sprung mit Grenzwert 1; für lim f2 .x/ D D 1 D f2 .2/ > 2 2 x%2 > lim f2 .x/ D 1 6D f2 .0/ D 0 ; x D 0 mit einem Sprung von 0 auf 1 .kein Grenzwert/ x&0 9 sin 0 D 0 D f3 .0/ > lim f3 .x/ D = f verläuft für x D 0 und x D  3 cos 0 C 1 x&0 sin  > jeweils ohne Sprung mit Grenzwert 0 ; D 0 D f3 .0/ lim f3 .x/ D cos  C 1 x%

x%0

Lösung 7.13 g1 .x/ D g2 .x/ D

3

1 x3

1 C x1 C x12 3x  x12 1C

g3 .x/ D e x

1 x

2

C

1 x2

)

g4 .x/ D ln.x 2 C 1/

)

lim g1 .x/ D 3

x!˙1

)

lim g2 .x/ D 1 ;

x!1

lim g2 .x/ D 1 (kein Grenzwert)

x!1

2

lim e x D 0

x!˙1

)

lim ln.x 2 C 1/ D 1 (kein Grenzwert)

x!˙1

Lösung 7.14 a) f1 ist definiert und stetig für alle x 2 R mit 1  4x 2 6D 0, also für alle x 2 Rn p f2 ist definiert und stetig für alle x 2 R mit x  1  0 und 2  x x  1  0, also für alle x 2 Œ1; 2 f3 ist definiert und stetig für alle x > 0 1  8x D 1 ; lim f1 .x/ D 1 1  4x 2 x& 1 2     1 1 x x D 1 ; lim f3 .x/ D lim e ln D 1 lim f3 .x/ D lim e ln x!1 x!1 x x x&0 x&0 p c) f2 .1/ D 2 ; f2 .2/ D 0 p p p Für " 2 h0; 1i gilt: f2 .1 C "/ D 2  .1 C "/ " 2 h0; 2i Damit wird f2 für x D 1 maximal, für x D 2 minimal.

b) lim f1 .x/ D lim x% 1 2

x% 1 2

®1 2

;  12

¯

126

7 Grenzwerte und Stetigkeit

Lösung 7.15 a) f ist stetig für alle x 6D 2 x2 D 1 6D 0 D f .2/ ; also ist f nicht stetig für x D 2 lim f .x/ D lim x&2 x&2 jx  2j b) g ist stetig für x 6D p˙1 lim g.x/ D lim jxj  1 D 0 D g.1/ x&1 x&1 p lim g.x/ D lim 1  x 2 D 0 D g.1/ x%1 x%1 p lim g.x/ D lim 1  x 2 D 0 D g.1/ x&1 x&1 p jxj  1 D 0 D g.1/ ; also ist g stetig für alle x 2 R lim g.x/ D lim x%1

x%1

c) h ist stetig für x 6D 0 lim h.x/ D 1 6D 0 D h.0/ ; also ist h nicht stetig für x D 0 x&0

Lösung 7.16 a) f ist stetig für alle x 6D 0 f ist zusätzlich stetig für x D 0, falls lim f .x/ D f .0/ D lim f .x/, x%0

x&0

also 13  0 C c D ln e c D c D a1  0 C c Dies ist für alle a 6D 0; c 2 R der Fall. b) Für a D 5; c D 12 gilt: f .2/ D 15  4 C 12 D 1:3 f .5/ D 15  25 C 12 D 5:5 Damit existiert ein x 2 Œ2; 5 mit f .x/ D 3. c) 1. Fall: x < 0 x1 < x2 ) 13 x1 C 1 < 13 x2 C 1 ) f .x1 / < f .x2 / x1 6D x2 ) f .x1 C .1  /x2 / D 13 .x1 C .1  /x2 / C 1 D . 13 x1 C 1/ C .1  /. 13 x2 C 1/ D f .x1 / C .1  /f .x2 / für  2 h0; 1i Für x  0 wächst f streng monoton und ist gleichzeitig konvex und konkav. 2. Fall: x > 0 x1 < x2 ) x12 C 1 > x22 C 1 ) f .x1 / > f .x2 / x1 6D x2 ) f .x1 C .1  /x2 / D .x1 C .1  /x2 /2 C 1 < .x12 C .1  /x22 / C 1 D .x12 C 1/ C .1  /.x22 C 1/ D f .x1 / C .1  /f .x2 / Für x  0 fällt f streng monoton und ist streng konkav. Damit ist die Funktion insgesamt konkav.

Lösungen

127

d) lim f .x/ D lim .x 2 C 1/ D 1 x!1 x!1   lim f .x/ D lim 13 x C 1 D 1 x!1 x!1 Also existiert kein Minimum. Aus der Monotonie folgt: f ist maximal nur für x D 0 mit f .0/ D 1.

Lösung 7.17

8 ˆ < 80 C 2x a) k.x/ D a C 5x ˆ : bCx

für x 2 Œ0; 100 für x 2 h100; 500 für x 2 h500; 1000

Aus der Stetigkeit von k folgt lim k.x/ D lim .a C 5x/ D a C 500 D k.100/ D 280 x&100

x&100

) a D 220

lim k.x/ D lim .b C x/ D b C 500 D k.500/ D 220 C 2500 x&500 8 ˆ 80 C 2x für x 2 Œ0; 100 < k.x/ D 220 C 5x für x 2 Œ100; 500 ˆ : 1780 C x für x 2 Œ500; 1000 x&500

8 ˆ ˆ ˆ
1:05

Ferner ist f stetig in Œ1; 1:2. Somit existiert ein x 2 h1; 1:2i mit f .x/ D 1:05. b) f .1:1/ D .0:5 C 0:5

1 0:5 / 1:21

D 1:0464

Es existiert ein x 2 h1:1; 1:2i mit f .x/ D 1:05. ) Maximale Abweichung 0.05 für x0 D 1:15. D 1:05“ wird von (mindestens) einem zwischen 1:1 Das Ergebnis „ Bruttonationaleinkommen Arbeitsinput und 1:2 liegenden und somit von 1:15 höchstens um 0:05 entferntem Wert des Quotienten Kapitalinput Arbeitsinput

geliefert.

Lösung 7.19 a) x1 < x2 ) x1 C e x1 < x2 C e x2 ) f .x1 / < f .x2 / ; also ist f streng monoton wachsend in R f ist stetig für alle x 2 R b) f .1/ D 1 C e 1 < 0 f .0/ D 0 C e 0 D 1 > 0 Wegen a) besitzt f genau eine Nullstelle, diese liegt im Intervall h1; 0i: c) f .0:5/ D 0:5 C e 0:5 D 0:1065 f .1/

D 1 C e 1 D 0:6321 ) h1; 0:5i enthält Nullstelle von f

f .0:6/

D 0:6 C e 0:6 D 0:0512 ) h0:6; 0:5i enthält Nullstelle von f

f .0:55/

D 0:55 C e 0:55 D 0:0270 ) h0:6; 0:55i enthält Nullstelle von f

f .0:57/

D 0:57 C e 0:57 D 0:0045 ) h0:57; 0:55i enthält Nullstelle von f

) x0 D 0:56 weicht um maximal 0.01 vom wahren Wert ab

Lösungen

129

Lösung 7.20 f ist definiert und stetig für x 2  1 6D 0

) x D ˙1

Wir überprüfen auf stetige Fortsetzbarkeit: .x 3 C x 2  x C 1/ W .x 2  1/ D x C 1 Cx 3  x x 2  2x x 2 C 1  2x C 2 2.x  1/ x 3 C x 2  x C 1 D x C 1  2 ) 21 x x  1    2.x  1/ 2 D lim x C 1  D 1 ) lim x C 1  2 x!1 x!1 x 1 xC1   2.x  1/ lim x C 1  2 D1 x!1 x 1 ) f ist in x D 1 stetig fortsetzbar, nicht in x D 1.

Lösung 7.21 a) g stetig für alle x 6D 1 (a,b beliebig)   2x C b D 1 C b lim g.x/ D lim x%1 x%1 x 2 C 1 p g.1/ D 1 C 1  a D a p b) Intervall Œ1; 0 W g.x/ D x C 1  0:4

9 > > = > > ;

g in x D 1 stetig für a C b D 1

g.1/ D 0:4 g.0/ D 0:6 p g.0:5/ D 0:5  0:4 0:3 p g.0:75/ D 0:25  0:4 D 0:1 p g.0:85/ D 0:15  0:4 < 0 ) x0 D 0:8 weicht um maximal 0:05 (also auch um 0:1) vom wahren Wert ab.

8 Differentiation von Funktionen einer Variablen Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 8.1 ** Eine für alle reellen x ¤ x0 differenzierbare Funktion f ist an der Stelle x D x0 differenzierbar, wenn  f für x D x0 stetig ist  die Grenzwerte lim f .x/ und lim f .x/ übereinstimmen x%x0

x&x0

 die Grenzwerte lim f 0 .x/ und lim f 0 .x/ übereinstimmen x%x0

x&x0

Verständnisfrage 8.2 ** Mit der ersten Ableitung einer differenzierbaren Funktion bleibt der Funktionstyp erhalten  bei Polynomen  bei rationalen Funktionen  bei echt-gebrochen rationalen Funktionen  bei Potenzfunktionen  bei Exponentialfunktionen  bei Logarithmusfunktionen

Verständnisfrage 8.3 * f W R ! R ist für alle x 2 R differenzierbar. Dann gilt:  f  f D f 2 ist für alle x 2 R differenzierbar.  Mit g.x/ D f .x/ C 1 ist  f

1

f g

für alle x 2 R differenzierbar.

ist für alle x 2 R differenzierbar.

 f ı f ist für alle x 2 R differenzierbar.

132

8 Differentiation von Funktionen einer Variablen

Verständnisfrage 8.4 **  Für eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit f D f 0 sind alle weiteren Ableitungen identisch mit f .  Es gibt eine elementare Funktion f mit f D f 0 D f 00 D f .3/ D : : :  Es gibt eine rationale Funktion, deren erste Ableitung für mindestens einen x-Wert den Funktionswert 0 annimmt.  Es gibt ein Polynom positiven Grades, dessen erste Ableitung für alle x-Werte Funktionswerte gleich 0 annimmt.

Verständnisfrage 8.5 ** Die Aussage „Eine in ihrem Definitionsbereich D einmal differenzierbare Funktion ist in D beliebig oft differenzierbar.“ gilt für  Polynome  rationale Funktionen  Wurzelfunktionen  Potenzfunktionen  Exponentialfunktionen  Logarithmusfunktionen

Verständnisfrage 8.6 ***  Es gibt differenzierbare Funktionen mit konstanter Änderungsrate.  Es gibt differenzierbare Funktionen mit konstanter Elastizität.  Für alle differenzierbaren Funktionen ist die Elastizität stets größer als die Änderungsrate, falls x > 0 ist. c.x/ .x > 0/ gilt  Für die Kostenfunktion c und die Stückkostenfunktion k mit k.x/ D x stets c .x/ > k .x/ und "c .x/ > "k .x/.

Rechenaufgaben

133

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 8.7 ** Beweisen Sie: Für ein Polynom p mit p.x/ D x n gilt für die n-te Ableitung: p .n/ .x/ D nŠ

Rechenaufgabe 8.8 ** f ist differenzierbar in x. Finden Sie Ausdrücke für die Ableitungen folgender Funktionen: a) x C f .x/ b) Œf .x/2  x

e) x 2 f .x/ C Œf .x/3 p f) f .x/

c) Œf .x/4

g)

x2 f .x/ Œf .x/2 h) x3

d) x  f .x/

Rechenaufgabe 8.9 ** Gegeben sind die reellen Funktionen f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 : R ! R mit 2

f1 .x/

D ex

f2 .x/

D cos .2x 3 /

f3 .x/

D ln .x 2 / p D x3 x2 C 1 ´ p x2 C x C 1 x  0 D x x 0 ist. Begründung: "f .x/ D xf .x/ ) "f .x/ < f .x/ für x 2 h0; 1i c.x/ .x > 0/ gilt  Für die Kostenfunktion c und die Stückkostenfunktion k mit k.x/ D x stets c .x/ > k .x/ und "c .x/ > "k .x/. D1 Begründung: x .x/ D x1 , "x .x/ D 1x x )  c.x/ D c.x/ .x/  x .x/ D c.x/  x1 < c.x/ wegen x > 0 x " c.x/ D "c.x/ .x/  "x .x/ D "c.x/  1 < "c.x/ x

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 8.7 Beweis: p 0 .x/ D nx n1 ; p 00 .x/ D n.n  1/x n2 ) p .k/ .x/ D n.n  1/  : : :  .n  k C 1/x nk für k D 1; : : : ; n ) p .n/ .x/ D nŠ  x 0 D nŠ

Lösung 8.8 1 C f 0 .x/ 2  f .x/  f 0 .x/  1 4Œf .x/3  f 0 .x/ 1  f .x/ C x  f 0 .x/ 2x  f .x/ C x 2  f 0 .x/ C 3Œf .x/2  f 0 .x/ 1 f 0 .x/ 1 f) Œf .x/ 2  f 0 .x/ D p 2 2  f .x/

a) b) c) d) e)

x 2  f 0 .x/ 2x 2xf .x/  x 2  f 0 .x/  bzw. f .x/ Œf .x/2 Œf .x/2 0 2  f .x/  f .x/ 3  Œf .x/2 h) 2  f .x/  f 0 .x/  x 3 C Œf .x/2  .3/  x 4 D  x3 x4 0 2 2  f .x/  f .x/  x  3Œf .x/ D x4 g) 2x Œf .x/1 Cx 2 .1/Œf .x/2 f 0 .x/ D

Lösungen

139

Lösung 8.9 Im Folgenden werden die Aufgaben a) und b) zusammen gelöst: 2

f1 .x/ D e x definiert, stetig und differenzierbar für alle x 2 R 2

f10 .x/ D e x  2x f2 .x/ D cos.2x 3 / definiert, stetig und differenzierbar für alle x 2 R f20 .x/ D  sin.2x 3 /  6x 2 f3 .x/ D ln.x 2 / definiert, stetig und differenzierbar für alle x 2 Rn¹0º f30 .x/ D

 2x D x2 p 1 f4 .x/ D x 3 x 2 C 1 D x 3  .x 2 C 1/ 2 definiert, stetig und differenzierbar für alle x 2 R p x4 1 1 f40 .x/ D 3x 2  .x 2 C 1/ 2 C x 3  12 .x 2 C 1/ 2  2x D 3x 2  x 2 C 1 C p x2 C 1 μ ´ p x2 C x C 1 x  0 definiert für alle x 2 R; stetig und f5 .x/ D x x0

1

x1 >1

1p 2 x

() ()

2

1 2 e 2x

"2 .x/ D x 2 "3 .x/ D

b) "1 .x/ D

1

xe 2 x

Dx

p

1e x 1 p p D p 2 x 2 xe x p x p D 12 x 2 x

f1 elastisch für kein x 2 RC x > 1 ) f2 elastisch für alle x > 1 x > 4 ) f3 elastisch für alle x > 4

Lösung 8.15 a) f .p/ D

f 0 .p/ f .p/

g .p/ D

g 0 .p/ g.p/

D

a.b/e bp ae bp

D

cd e dp ce dp

D b

Dd

Damit sind beide Änderungsraten f und g konstant. ) b entspricht dem prozentualen Rückgang der Nachfrage, d der prozentualen Steigerung des Angebots. b) xN D xA 

a  e bp ln a  bp  ln a  ln c p



D c  e dp D ln c C dp  D p  .d C b/ c D lndaln Cb

p  ökonomisch nur sinnvoll, falls p  > 0, d.h. ln a  ln c > 0 () a > c

D

1 p

 0:2

142

8 Differentiation von Funktionen einer Variablen

Lösung 8.16 a)

y.t/ 107 7:32 

9:8  9:25 9:62  8:55  

9:9 9:95  

5:35 

5  106 2:87  106

0:82 

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Interpretation: Für t  3 erhält man ein progressives Wachstum, für t  3 ein degressives Wachstum, für t  7 eine allmähliche Sättigung. t

b) lim 107 e 5.0:5/ D 107 e 50 D 107 x!1

t

c) y 0 .t/ D 107 e 5.0:5/ .5.0:5/t ln 0:5/ t D 107 e 5.0:5/ .C5.0:5/t ln 2/ y .t/ D

y 0 .t / y.t /

Œ.0:5t /0 D 0:5t ln 0:5 Œln 21 D  ln 2

D 5.0:5/t ln 2 > 0 für t  1

d) "y .t/ D ty .t/ D 5 ln 2.0:5/t  t t "y .t/

1 1.73

2 1.73

3 1.3

4 0.87

5 0:54

6 0:32

Damit ist die Nachfrage für t D 1; 2; 3 elastisch ."y .t/ > 1/, für t D 4; 5; 6 unelastisch ."y .t/ < 1/.

9 Kurvendiskussion Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 9.1 * Für stetige Funktionen mit mehreren Maximal- und Minimalstellen gilt:  Jedes lokale Maximum ist kleiner als das globale Maximum.  Alle lokalen Maxima sind größer als alle lokalen Minima.  Nicht alle Minimalwerte müssen verschieden sein.  Zu den Maximalstellen x1 ; x2 mit x1 < x2 gibt es stets mindestens eine Minimalstelle x0 2 hx1 ; x2 i.

Verständnisfrage 9.2 *** Gegeben sind die zweimal stetig differenzierbaren Funktionen f; g W R ! R. Dann gilt:  f wächst monoton () f fällt monoton  f ist konkav () f ist konvex  f ist konvex () f 0 wächst monoton  f und g wachsen monoton ) f C g wächst monoton  f und g wachsen monoton ) f  g wächst monoton  f und g sind konvex ) f C g ist konvex  f und g sind konvex ) f  g ist konvex

Verständnisfrage 9.3 *** Folgende Funktionen sind in ihrem gesamten Definitionsbereich monoton wachsend oder fallend:  Polynome ersten Grades  Polynome dritten Grades  Exponentialfunktionen der Form f .x/ D ax

.a > 0/

 Logarithmusfunktionen der Form g.x/ D ln.ax 2 /

.a > 0/

 Trigonometrische Funktionen der Form h.x/ D .a sin.x//2

.a > 0/

144

9 Kurvendiskussion

Verständnisfrage 9.4 ** Folgende Funktionen sind in ihrem gesamten Definitionsbereich konvex:  Exponentialfunktionen der Form f .x/ D e ax mit a 2 h1; 1i  Logarithmusfunktionen der Form g.x/ D a ln.x 2 / mit a 2 h1; 1i p  Wurzelfunktionen der Form h.x/ D a2 x mit a 2 h1; 1i

Verständnisfrage 9.5 ** Die Funktion f W Œa; b ! R mit a < b sei in ha; bi zweimal stetig differenzierbar und nicht konstant.  f .a/ D f .b/ ) Es existieren mindestens eine Minimal- und eine Maximalstelle  f .a/ D f .b/ ) f ist konvex oder konkav  f .a/ < f .b/ ) Es existieren mindestens eine Minimal- und eine Maximalstelle  f .a/ < f .b/ ) f wächst monoton

Verständnisfrage 9.6 **  Ein Polynom sechsten Grades besitzt eine ungerade Anzahl von Extremalstellen.  Die Exponentialfunktion f mit f .x/ D ax .a > 1/ besitzt weder Maximal- noch Minimalstellen.  Die trigonometrische Funktion s mit s.x/ D a sin.x/ und a > 0 besitzt unendlich viele Maximal- und Minimalstellen.

Verständnisfrage 9.7 ** Für eine beliebig oft differenzierbare Funktion f W R ! R gilt:  x0 ist Maximalstelle von f ) f 0 .x0 / D 0  x0 ist Terrassenpunkt von f ) f 0 .x0 / D 0  x0 ist Minimalstelle von f ( f 0 .x0 / D 0  x0 ist Wendepunkt von f ( f 00 .x0 / D 0

Verständnisfrage 9.8 **  Es gibt beliebig oft differenzierbare Funktionen f W R ! R mit: x0 ist eine Extremalstelle und f 0 .x0 / D f 00 .x0 / D f 000 .x0 / D 0  Das Taylorpolynom an der Stelle x0 D 0 eines Polynoms n-ten Grades stimmt mit dem Polynom überein.

Rechenaufgaben

145

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 9.9 * Der Verlauf der stetigen Funktion f W Œx1 ; x9  ! R ist durch folgende Skizze veranschaulicht: f .x/     x1

  x2 x3 





 x4

 x5

  x6 x7 

  x8 x9 

x



Es ist bekannt, dass f in jedem offenen Intervall hxi ; xi C 1i zweimal differenzierbar ist .i D 1; : : : ; 8/. a) Tragen Sie in folgende Tabelle ein, für welche Intervalle die Funktionen f 0 .x/ und f 00 .x/ Werte > 0, < 0 bzw. D 0 besitzen. hx1 ; x2 i hx2 ; x3 i hx3 ; x4 i hx4 ; x5 i hx5 ; x6 i hx6 ; x7 i hx7 ; x8 i hx8 ; x9 i f 0 .x/ f 00 .x/ b) Geben Sie für sämtliche in folgender Tabelle aufgelisteten Intervalle – jeweils durch die Eintragung von ja oder nein – an, ob f .x/ dort streng konvex, konvex, streng konkav bzw. konkav ist. f .x/ streng konvex konvex streng konkav konkav

Œx1 ; x2 

Œx1 ; x3 

Œx2 ; x4 

Œx4 ; x6 

Œx5 ; x8 

146

9 Kurvendiskussion

Rechenaufgabe 9.10 ** Für die Funktion f W Œ4; 4 ! R ist lediglich der Graph ihrer ersten Ableitung f 0 gegeben: f 0 .x/ 3 2 1 x 4

3

2

1 1

1

2

3

4

Beantworten Sie damit folgende Fragen: a) In welchen Intervallen ist die Funktion f (streng) monoton fallend bzw. (streng) monoton steigend? b) Wo liegen lokale Minima bzw. lokale Maxima von f ? c) In welchen Intervallen ist die Funktion f (streng) konvex bzw. (streng) konkav?

Rechenaufgabe 9.11 *** Zu einer Kostenfunktion k W RC ! R charakterisiert c W RC ! R mit c.x/ D die Durchschnittskostenfunktion.

k.x/ .x > 0/ x

a) Beweisen Sie allgemein die Aussage: Im Minimum der Durchschnittskosten stimmen diese mit den Grenzkosten überein. b) Verifizieren Sie die Aussage mit der Kostenfunktion k, wobei gilt: k.x/ D 5x 2 C 20x C 80 gilt.

Rechenaufgabe 9.12 *** Die zweite Ableitung einer ganzrationalen Funktion f W R ! R mit f .x/ D ax 3 C bx 2 C cx C d ist gemäß der Gleichung f 00 .x/ D 34 x gegeben. Des Weiteren berührt der Graph der Funktion f die x-Achse an der Stelle x D 2. a) Bestimmen Sie die Koeffizienten a; b; c; d der Funktionsgleichung von f . b) Bestimmen Sie Art und Lage der lokalen Extremalstellen von f . c) Bestimmen Sie den Wendepunkt von f sowie die Gleichung der Tangente an die Funktion f im Wendepunkt.

Rechenaufgaben

147

Rechenaufgabe 9.13 ** Gegeben ist die stetige und beliebig oft differenzierbare Funktion f W R ! R mit der Gleichung f .x/ D 4x 5  5x 4 C 2. a) Berechnen Sie alle Extremalstellen und Wendepunkte. b) Berechnen Sie die Funktionswerte für x D 1; 0; 0:75; 1; 2 und skizzieren Sie den Verlauf der Funktion. c) Diskutieren Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktion. d) Zeigen Sie, dass die Funktion f genau eine Nullstelle besitzt, die im Intervall h0:75; 0:7i liegt.

Rechenaufgabe 9.14 ** 2x . x2 a) Für welche x ist die Funktion monoton wachsend bzw. fallend, für welche x konvex bzw. konkav?

Gegeben ist die Funktion f W Rn¹0º ! R mit der Gleichung f .x/ D

b) Bestimmen Sie alle globalen und lokalen Extremalstellen sowie alle Wendepunkte. c) Skizzieren Sie die Funktion.

Rechenaufgabe 9.15 * Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extremalstellen der Funktion f mit x2 x3 .  f .x/ D ln.1 C x/  x C 2 3 Untersuchen Sie f hinsichtlich Monotonie- und Krümmungsverhalten.

Rechenaufgabe 9.16 ** Gegeben sind die Funktionen f1 ; f2 ; g W R ! R mit: f1 .x/ D 2x 3  6x 1 3 3 2 x  x C 2x C c mit der Konstante c 2 R f2 .x/ D 3 2 ´ f1 .x/ für x  1 g.x/ D f2 .x/ für x > 1 a) Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Maximal- und Minimalstellen von f1 ; f2 sowie deren Funktionswerte. b) Wie ist c zu wählen, sodass g im Punkt x D 1 differenzierbar ist? c) Ermitteln Sie unter Berücksichtigung der in b) berechneten Konstanten c die Werte f1 .2/, f1 .1/; f1 .0/; f1 .1/; f1 .2/ sowie f2 .0/; f2 .1/; f2 .2/; f2 .3/ und skizzieren Sie f1 und f2 . d) Bestimmen Sie mit Hilfe von a) und c) alle lokalen Extremalstellen und -werte von g und untersuchen Sie die Monotonieeigenschaften von g.

148

9 Kurvendiskussion

Rechenaufgabe 9.17 ** In einem Einproduktunternehmen mit dem Absatz x und dem Preis p gilt für die Preis-AbsatzFunktion f : 8 < 1300  1 p 2  10p für p 2 Œ0; 45 3 x D f .p/ D : 0 sonst Für die Kostenfunktion c gilt: c.x/ D 30x C

2000 3

a) Ermitteln Sie die Gewinnfunktion g in Abhängigkeit von p. b) Wie ist p zu wählen, damit der Gewinn maximal wird? Ermitteln Sie den maximalen Gewinn. c) Diskutieren Sie für p 2 Œ0; 45 das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktion g.

Rechenaufgabe 9.18 ** Ein Unternehmen geht bei einem Produktionsniveau x eines Gutes von einer Kostenfunktion k W RC ! RC mit folgender Funktionsgleichung aus: k.x/ D 1 C 0:2x  0:03x 2 C 0:002x 3 a) Diskutieren Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktion und skizzieren Sie die Funktion mit Hilfe der Werte k.0/; k.5/; k.10/ und k.20/. k.x/ und zeigen Sie, dass c für b) Ermitteln Sie die Stückkostenfunktion c mit c.x/ D x x D 10 minimal wird. c) Zeigen Sie, dass die Kostenelastizität für x < 10 kleiner als 1 ist.

Rechenaufgabe 9.19 ** Der Bekanntheitsgrad des Duschvorhangs „Regenschein“ nach Einführung einer Werbekampagne wird in Abhängigkeit von der Zeit t  0 durch folgende Funktion b beschrieben: t b.t/ D ˛ C .ˇ  ˛/  e  ˛ a) Skizzieren Sie den Verlauf des Bekanntheitsgrades des Produktes für die Parameter ˛ D 0:8 und ˇ D 0:2. Erstellen Sie dazu auch eine Wertetabelle für t D 0; 1; 3; 5. b) Wie kann man den Parameter ˇ interpretieren? c) Mit welchem Bekanntheitsgrad des Produktes kann die Herstellerfirma langfristig rechnen? d) Welche Bedingung muss für die Parameter ˛ und ˇ gelten, damit der Bekanntheitsgrad streng monoton wächst?

Rechenaufgaben

149

Rechenaufgabe 9.20 ** t

Gegeben ist nochmals die kumulierte Nachfrage y mit y.t/ D 107 e 5.0:5/ aus Aufgabe 8.16. Zeigen Sie anhand von Differentialrechnung, dass die Nachfrage für t  3 elastisch und für t  4 unelastisch ist.

Rechenaufgabe 9.21 * Gegeben sei die Funktion f mit f .x/ D e 0:5x  2x a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Grades f2 von f an der Stelle x D 1. Runden Sie dabei Ihre Zwischenergebnisse und Ergebnisse auf drei Nachkommastellen genau. b) Überprüfen Sie die Approximation von f durch das Taylorpolynom f2 mit Hilfe von jf .0/  f2 .0/j und jf .1/  f2 .1/j.

Rechenaufgabe 9.22 **

p 3 a) Zur Funktion f mit f .x/ D x C x 3 D x C x 2 bestimme man das Taylorpolynom 2. Grades f2 sowie das Restglied r3 .x/ an der Stelle x D 2.

ein Intervall minimaler b) Berechnen Sie f2 .1:5/ sowie r3 .1:5/ und konstruieren Sie daraus p Schwankungsbreite für den echten Funktionswert f .1:5/ D 1:5 C 1:53 D 3:33712.

150

9 Kurvendiskussion

Lösungen Verständnisfragen Lösung 9.1 Für stetige Funktionen mit mehreren Maximal- und Minimalstellen gilt:  Jedes lokale Maximum ist kleiner als das globale Maximum Begründung: Zu jedem lokalen Maximum kann es höhere Maximalwerte geben, zum globalen Maximum nicht.  Alle lokalen Maxima sind größer als alle lokalen Minima Begründung: f .x/  

lokales Minimum f .x0 / > lokales Maximum f .x1 /

x x0 x1  Nicht alle Minimalwerte müssen verschieden sein Begründung: s mit s.x/ D sin x besitzt unendlich viele Minimalstellen mit identischen Werten 1 für x D k .k D 1; 3; 5; 7; : : :/: 2  Zu den Maximalstellen x1 ; x2 mit x1 < x2 gibt es stets mindestens eine Minimalstelle x0 2 hx1 ; x2 i. Begründung: Rechts von der Maximalstelle x1 fällt die Funktion monoton, links von der Maximalstelle x2 wächst die Funktion monoton.

Lösung 9.2 Gegeben sind die zweimal stetig differenzierbaren Funktionen f; g W R ! R. Dann gilt:  f wächst monoton () f fällt monoton Begründung: f wächst monoton () f 0 .x/  0 für alle x () f 0 .x/  0 für alle x () f fällt monoton  f ist konkav () f ist konvex Begründung: f konkav () f 00 .x/  0 für alle x () f 00 .x/  0 für alle x () f konvex  f ist konvex () f 0 wächst monoton Begründung: f konvex () f 00 .x/  0 () .f 0 /0 .x/  0 () f 0 wächst monoton  f und g wachsen monoton ) f C g wächst monoton Begründung: f 0 .x/, g 0 .x/  0 für alle x ) f 0 .x/ C g 0 .x/  0 für alle x () f C g monoton wachsend  f und g wachsen monoton ) f  g wächst monoton Begründung: f; g mit f .x/ D g.x/ D x und f .x/  g.x/ D x 2 ) f 0 .x/ D g 0 .x/ D 1 > 0, .f  g/0 .x/ D 2x < 0 für x < 0  f und g sind konvex ) f C g ist konvex Begründung: f 00 .x/, g 00 .x/  0 für alle x ) f 00 .x/ C g 00 .x/  0 für alle x () f C g konvex

Lösungen

151

 f und g sind konvex ) f  g ist konvex Begründung: f; g mit f .x/ D x 2 ; g.x/ D x 2  1 und fq.x/g.x/ D x 4  x 2 ) f 00 .x/ D g00 .x/ D 2 > 0, .f  g/00 .x/ D 12x 2  2 < 0 für jxj
0 bzw. p1 fällt monoton für a1 < 0  Polynome dritten Grades  q 8 q 0/  0 für a  1 Begründung: f .x/ D ax ) f 0 .x/ D ax ln.a/ < 0 für a 2 h0; 1i  Logarithmusfunktionen der Form g.x/ D ln.ax 2 / .a ´ > 0/ 2ax 2 > 0 für x > 0 D Begründung: g.x/ D ln.ax 2 / ) g 0 .x/ D 2 ax x < 0 für x < 0 2  Trigonometrische Funktionen der Form h.x/ D .a sin.x//8 .a > 0/ h i ˆ 0 für a 2 h1; 1i  Logarithmusfunktionen der Form g.x/ D a ln.x 2 / mit a 2 h1; 1i 2a 00 2a , g .x/ D 2 < 0 für a > 0 und  0 für Begründung: g.x/ D a ln.x 2 /, g 0 .x/ D x x a  0 ) g ist konvex nur für a  0 p  Wurzelfunktionen der Form h.x/ D a2 x mit a 2 h1; 1i a2 1=2 00 a2 1 x , h .x/ D  x 3=2 < 0 für a 2 h1; 1i Begründung: h.x/ D a2 x 2 , h0 .x/ D 2 4 ) h ist konkav

152

9 Kurvendiskussion

Lösung 9.5 Die Funktion f W Œa; b ! R mit a < b sei in ha; bi zweimal stetig differenzierbar und nicht konstant.  f .a/ D f .b/ ) Es existieren mindestens eine Minimal- und eine Maximalstelle I Folgende drei Fälle sind möglich: Begründung : 1) x0 ; x1 2 ha; bi mit f .x0 / D min f .x/; f .x1 / D max f .x/ 2) Es existiert genau ein x0 2 ha; bi mit f .x0 / D min f .x/ ) f .a/ D f .b/ D max f .x/ 3) Es existiert genau ein x1 2 ha; bi mit f .x1 / D max f .x/ ) f .a/ D f .b/ D min f .x/  f .a/ D f .b/ ) f ist konvex oder konkav I Punkt 1) Begründung: siehe ,  f .a/ < f .b/ ) Es existieren mindestens eine Minimal- und eine Maximalstelle II Entweder gilt f .a/ D min f .x/; f .b/ D max f .x/ oder in ha; bi exisBegründung : tieren weitere Minimal- bzw. Maximalstellen.  f .a/ < f .b/ ) f wächst monoton II Begründung: siehe 

Lösung 9.6  Ein Polynom sechsten Grades besitzt eine ungerade Anzahl von Extremalstellen. Begründung: p6 Polynom sechsten Grades () p60 Polynom fünften Grades ) nach der reellen Produktdarstellung von Polynomen besitzt p60 eine, drei oder fünf Extremalstellen  Die Exponentialfunktion mit f .x/ D ax .a > 1/ besitzt weder Maximal- noch Minimal´ μ stellen. ! 1 für x ! 1 ) f besitzt für a > 1 kein Extremum Begründung: f .x/ D ax ! 0 für x ! 1  Die trigonometrische Funktion s mit s.x/ D a sin.x/ und a > 0 besitzt unendlich viele Maximal- und Minimalstellen. Begründung: s mit s.x/ D a sin.x/ ist periodisch mit Periode p D 2 ) max s.x/ D a sin k D a für k D 1; 3; 5; 7; : : : 2 min s.x/ D a sin k D a für k D 1; 3; 5; 7; : : : 2

Lösung 9.7 Für eine beliebig oft differenzierbare Funktion f W R ! R gilt:  x0 ist Maximalstelle von f ) f 0 .x0 / D 0 Begründung: In einer Maximalstelle von f ist die Steigung D 0.  x0 ist Terrassenpunkt von f ) f 0 .x0 / D 0 Begründung: In einem Terrassenpunkt von f ist die Steigung D 0.  x0 ist Minimalstelle von f ( f 0 .x0 / D 0 Begründung: f 0 .x0 / D 0 ) x0 ist nicht notwendig Minimalstelle, evtl. auch Maximalstelle oder Terrassenpunkt.

Lösungen

153

 x0 ist Wendepunkt von f ( f 00 .x0 / D 0 Begründung: f mit f .x/ D 1  x 4 , f 0 .x/ D 4x 3 , f 00 .x/ D 12x 2 D 0 für x D 0 Andererseits ist f .0/ D 1 maximal und kein Wendepunkt.

Lösung 9.8  Es gibt beliebig oft differenzierbare Funktionen f W R ! R mit: x0 ist eine Extremalstelle und f 0 .x0 / D f 00 .x0 / D f 000 .x0 / D 0 Begründung: f mit f .x/ D x 4 ist minimal für x D 0. Andererseits gilt f 0 .x/ D 4x 3 , f 00 .x/ D 12x 2 , f 000 .x/ D 24x bzw. f 0 .0/ D f 00 .0/ D f 000 .0/ D 0.  Das Taylorpolynom an der Stelle x0 D 0 eines Polynoms n-ten Grades stimmt mit dem Polynom überein. Begründung: pn mit pn .x/ D a0 C a1 x C a2 x 2 C : : : C an x n .an ¤ 0/ xn xi mit pn.i / .0/ D Taylorpolynom: fn mit fn .x/ D pn .0/ C pn0 .0/x C : : : C pn.n/ .0/ nŠ iŠ ai .i D 0; : : : ; n/

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 9.9 a)

hx1 ; x2 i hx2 ; x3 i hx3 ; x4 i hx4 ; x5 i hx5 ; x6 i hx6 ; x7 i hx7 ; x8 i hx8 ; x9 i 0

f .x/ f 00 .x/ b)

D0 D0

f .x/ streng konvex konvex streng konkav konkav

>0 D0

>0 >0

>0 0 Tangente an f in x D 0: t.x/ D f .0/  f 0 .0/.x  0/ D 2  1:5x

Lösung 9.13 a) f .x/ D 4x 5  5x 4 C 2 f 0 .x/ D 20x 4  20x 3 D 0 ) x1 D 0; x2 D 1 f 00 .x/ D 80x 3  60x 2 D 0 ) x3 D x1 D 0; x4 D 34 f 00 .x1 / D 0; f 00 .x2 / > 0 ) x2 D 1 Minimalstelle, f .1/ D 1 f 000 .x/ D 240x 2  120x D 0 ) x5 D x1 D 0; x6 D 12 f 000 .x3 / D 0; f 000 .x4 / D f 000 . 43 / ¤ 0 ) x4 D

3 4

ist Wendepunkt, f . 34 / D 1:37

f .4/ .x/ D 480x  120 < 0 für x1 D x3 D x5 D 0 ) x1 D 0 Maximalstelle, f .0/ D 2 Ergebnis: Minimalstelle x D 1, Minimum f .1/ D 1 Maximalstelle x D 0, Maximum f .0/ D 2 Wendepunkt x D 34 , Funktionswert f . 34 / D 1:37

Lösungen

155

b) f .x/ 3 2  1

x

0

1

1

2

0:75

f .x/

2

1

7

50

1:37

Wendepunkt   x

2 1 1

1

2 c) f wächst monoton für x 2 h1; 0 [ Œ1; 1i f fällt monoton für x 2 Œ0; 1 f ist konvex für x 2 Œ0:75; 1i f ist konkav für x 2μh1; 0:75 d) f .0:75/ D 0:5 es gibt ein x 2 h0:75; 0:7i mit f .x/ D 0 f .0:7/ D 0:13 Wegen f monoton wachsend für x  0 sowie f .x/ > 0 für x > 0 ist die Nullstelle eindeutig.

Lösung 9.14 a) f .x/ D

2x x2

D .2  x/x 2

f 0 .x/ D 1x 2 C .2  x/.2/x 3 D x 3 .x  4 C 2x/ D x 3 .x  4/ D f 00 .x/ D 3x 4 .x  4/ C x 3  1 D x 4 .3x C 12 C x/ D x 4 .12  2x/ f f f f

x4 x3 D 122x x4

wächst monoton () f 0 .x/ D x4  0 () x  4 oder x < 0 x3 fällt monoton () x 2 h0; 4 konvex () f 00 .x/ D 122x  0 () x  6 x4 konkav () x 2 h1; 6 n ¹0º

b) Wendepunkt: x D 6 ) f .6/ D

26 36

D  19

Kandidat für Extremalstelle: x D 4 ) f .4/ D lim f .x/ D 1;

x!0

lim 2x 2 x!˙1 x

D0

24 16

D  18

  Damit existiert ein eindeutiges globales Minimum .x; f .x// D 4;  18 , ein Maximum existiert nicht.

156

9 Kurvendiskussion

c)

f .x/ 1:5 1:0 0:5 3 2 1 0:5

 1 2 3 4 5 globales Minimum

x  6 7 Wendepunkt

Lösung 9.15 f ist definiert und differenzierbar für alle x > 1 1  1 C x  x 2 D 0 () 1  1.1 C x/ C x.1 C x/  x 2 .1 C x/ D x 3 D 0 f 0 .x/ D 1Cx () x D 0 1 C 1  2x D 0 () 1 C 1.1 C x/2  2x.1 C x/2 D 0 f 00 .x/ D .1 C x/2 () 1 C 1 C 2x C x 2  2x  4x 2  2x 3 D 3x 2  2x 3 D 0 () x D 0 2  2 ) f 000 .0/ D 0 f 000 .x/ D .1 C x/3 6 < 0 für alle x > 1 f .4/ .x/ D .1 C x/4 Damit ist x D 0 lokale Maximalstelle von f mit f .0/ D 0. Wegen f 0 .x/ > 0 () x 3 > 0 () x < 0 wächst f streng monoton für alle x 2 h1; 0 bzw. fällt f streng monoton für alle x  0. Ferner gilt: lim f .x/ D 1 x&1

00

Wegen f .x/ < 0 () x 2 .3 C 2x/ < 0 () x 2 h1; 0i [ h0; 1i ist f für alle x > 1 streng konkav. Damit ist x D 0 auch globale Maximalstelle, es existiert weder eine Minimalstelle noch ein Wendepunkt.

Lösung 9.16

9 > f1 besitzt eine lokale Maximalstelle für a) f10 .x/ D 6x 2  6 D 0 ) x D ˙1 = f100 .x/ x D 1 mit f1 .1/ D 4 und eine lokale D 12x > 0 für x D 1 > ; < 0 für x D 1 Minimalstelle für x D 1 mit f1 .1/ D 4: Wegen lim f1 .x/ D 1, lim f1 .x/ D 1 gibt es keine globalen Extremalstellen. x!1 x!1 9 f20 .x/ D x 2  3x C 2 D 0 ) x D 1; 2 > = f2 besitzt eine lokale Maximalstelle für 00 f2 .x/ x D 1 mit f2 .1/ D 56 C c und eine lokale D 2x  3 > 0 für x D 2 > ; < 0 für x D 1 Minimalstelle für x D 2 mit f2 .2/ D 23 C c: Auch in diesem Fall gibt es keine globalen Extremalstellen.

Lösungen

157

b) g ist für alle ´ x ¤ 1 differenzierbar mit: für x < 1 6x 2  6 und g 0 .x/ D 2 x  3x C 2 für x > 1 lim .6x 2  6/ D 0 D lim .x 2  3x C 2/

x%1

x&1

g ist für x D 1 differenzierbar, wenn g für x D 1 stetig ist Man erhält die Bedingung:   lim g.x/ D lim 13 x 3  32 x 2 C 2x C c D x&1

x&1

c)

4

5 6

C c D g.1/ D 4, also c D  29 6 Wertetabellen:

f .x/ f1 .x/

3

x

2

1

0

1

2

2

f1 .x/

4

4

0

4

4

1

x

x 3 2 1 1

1

2

f2 .x/

3

0  29 6

1

2

3

4

 25 6

 20 6

2 3 4

f2 .x/

5 d) Mit a) und c) gilt: g besitzt für x D 1 eine lokale Maximalstelle mit g.1/ D 4 und für x D 2 eine lokale Minimalstelle mit g.2/ D  25 . 6 g wächst monoton für x 2 h1; 1 [ Œ2; 1i und fällt monoton für x 2 Œ1; 2.

Lösung 9.17 a) g.p/

g.p/

D Umsatz  Kosten D px  c.x/ D 1 300p  13 p 3  10p 2  30.1 300  13 p 2  10p/  D

1 600p  13 p 3  39 000 

D

 2 000 3

0

2000 3

2 000 3

für p 2 Œ0; 45

sonst

b) g .p/ D 1 600  p D 0 () p D 40 2

g 00 .p/ D 2p < 0 für p D 40 Der Gewinn wird maximal für p D 40 mit g.40/ D 64 000 

64 000 3

 39 000 

2 000 3

D 3 000.

c) Wegen g0 .p/ > 0 für p < 40; g 0 .p/ < 0 für p > 40 ist der Gewinn für p 2 Œ0; 40 streng monoton wachsend, für p 2 Œ40; 45 streng monoton fallend. Wegen g 00 .p/ D 2p < 0 für p 2 h0; 45i ist g für alle p 2 Œ0; 45 streng konkav.

158

9 Kurvendiskussion

Lösung 9.18 a)

k.x/ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 





x

0

5

10

20

k.x/

1

1:5

2

9

 x

5 10 15 20 Kostenfunktion: k.x/ D 1 C 0:2x  0:03x 2 C 0:002x 3 k 0 .x/ D 0:2  0:06x C 0:006x 2 k 00 .x/ D 0:06 C 0:012x k 0 .x/ D 0 () 0:2  0:06x C 0:006x 2 D 0   p 1 0:06 ˙ 0:062  4  0:2  0:006 D x D 0:012

1 0:012



0:06 ˙

 p 0:0012

Damit existiert keine reelle Nullstelle von k. Wegen k 0 .0/ D 0:2 > 0 gilt k 0 .x/ > 0 für alle x  0 ) k wächst streng monoton. k 00 .x/ D 0 () 0:06 C 0:012x D 0 () x D 5 k 00 .x/ > 0 für x > 5 ) k ist streng konvex für x > 5 k 00 .x/ < 0 für x < 5 ) k ist streng konkav für x < 5 b) Stückkostenfunktion c.x/ D

1 x

C 0:2  0:03x C 0:002x 2

c 0 .x/ D  x12  0:03 C 0:004x, c 0 .10/ D 0:01  0:03 C 0:04 D 0 c 00 .x/ D

2 x3

C 0:004 > 0, also ist x D 10 stückkostenminimal

x  k 0 .x/ k.x/ Ferner gilt: "k .x/ < 1 () () ()

c) "k .x/ D

D

0:2x  0:06x 2 C 0:006x 3 , wobei x  k 0 .x/; k.x/ > 0 1 C 0:2x  0:03x 2 C 0:002x 3

0:2x  0:06x 2 C 0:006x 3 < 1 C 0:2x  0:03x 2 C 0:002x 3 0:004x 3 < 1 C 0:03x 2 x < 10

Lösungen

159

Lösung 9.19 t

a) b.t/ D 0:8  0:6e  0:8 t b.t/

0

1

0:2

0:63

b.t/ 3

0:8 0:6 0:4 0:2 

5

0:789 0:799

b) b.0/ D ˛ C .ˇ  ˛/e 0 D ˇ ) ˇ ist Bekanntheitsgrad für t D 0 (vor Werbekampagne)   t c) lim b.t/ D lim ˛ C .ˇ  ˛/e  ˛ D ˛ t !1







t 1

2

3

4

5

t !1

d) b 0 .t/ > 0 () Bekanntheitsgrad wächst streng monoton  t   t  b 0 .t/ D .ˇ  ˛/e  ˛  ˛1 D  ˇ˛ C 1 e  ˛ > 0 () 1 

ˇ ˛

> 0 () ˇ < ˛

Lösung 9.20 "y .t/ D t  y .t/ D 5 ln.2/  .0:5/t  t Wertetabelle aus der Lösung von Aufgabe 8.16: t "y .t/

1 1.73

2 1.73

3 1.3

4 0.87

5 0:54

6 0:32

Zu zeigen: Nachfrage elastisch für j"y .t/j > 1 Ermittlung der Extremalstellen: "y0 .t/

D 5 ln.2/  .0:5/t  ln.0:5/  t C 5 ln.2/  .0:5/t D D 5 ln.2/  .0:5/t  .ln.0:5/  t C 1/ D 0

) t  ln.0:5/ C 1 D 0 () t D

1 ln.0:5/

1:44

Monotonie: "y0 .t/ D 5 ln.2/  .0:5/t  .t  ln.0:5/ C 1/ 1 ln.0:5/ 1 ln.0:5/

) "y .t/ monoton wachsend, falls t  ln.0:5/ C 1  0 () t  "y .t/ monoton fallend, falls t  ln.0:5/ C 1  0 () t 

1:44 1:44

Mit Hilfe der angegebenen Wertetabelle und der Monotonieeigenschaften sowie "y .t/ > 0 für alle t  0 folgt die Behauptung.

160

9 Kurvendiskussion

Lösung 9.21 a) Taylorpolynom 2. Grades von f an der Stelle x D 1: 00 f2 .x/ D f .1/ C f 0 .1/.x  1/ C f 2Š.1/ .x  1/2 f .x/ D e 0:5x  2x ) f .1/ D e 0:5  2 1:393 f 0 .x/ D 0:5e 0:5x  2 ) f 0 .1/ D 0:5e 0:5  2 2:303 f 00 .x/ D 0:25e 0:5x ) f 00 .1/ D 0:25e 0:5 0:152 ) f2 .x/ 1:393  2:303.x  1/ C 0:076.x  1/2 ˇ ˇ ˇ ˇ b) ˇf .0/  f2 .0/ˇ D ˇ1  .1:393 C 2:303 C 0:076/ˇ D j1  0:986j D 0:014 ˇ ˇ ˇ 0:5 ˇ ˇf .1/  f2 .1/ˇ D ˇ.e  2/  .e 0:5  2/ˇ D 0

Lösung 9.22 3

a) f .x/ D x C x 2 , f .2/ D 2 C

p

1

8 D 4:83 p 3 2 D 3:12 2

f 0 .x/ D 1 C 32 x 2 , f 0 .2/ D 1 C 1

f 00 .x/ D 34 x  2 , f 00 .2/ D 000

 38 x

3 p 4 2

D 0:53

3 2

f .x/ D ) f2 .x/ D f .2/ C f 0 .2/.x  2/ C

f 00 .2/ .x 2Š 2

 2/2

D 4:83 C 3:12.x  2/ C 0:265.x  2/ f 000 .z/ 3 3 .x  2/3 D  86 r3 .x/ D z 2 .x  2/3 für z 2 hx; 2i 3Š b) f2 .1:5/ D 4:83 C 3:12.0:5/ C 0:265.0:5/2 D 3:336 3 3 3 r3 .1:5/ D  48 z 2 .0:5/3 D 0:0078z  2 D 0:0078 p1 3  0:0078  0:354  0:003 z für z D 2 Daraus folgt: f .1:5/ 2 Œ3:336; 3:339

10 Integration von Funktionen einer Variablen Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 10.1 * Für f W R ! R gilt:  f differenzierbar in D  R ) f integrierbar in D  R  f integrierbar in D  R ) f differenzierbar in D  R  Existiert zu f eine Stammfunktion, so ist diese eindeutig.  Ist eine Stammfunktion differenzierbar, so ist das Ergebnis eindeutig. R 0 R  f differenzierbar in R ) f 0 .x/dx D f .x/ C c D .f .x/ C c/dx

Verständnisfrage 10.2 * Für die integrierbaren Funktionen f; g W R ! R gilt:  f C g ist integrierbar R R R  f .x/dx C g.x/dx D .f .x/ C g.x//dx  f  g ist integrierbar R R R  f .x/dx  g.x/dx D .f .x/  g.x//dx R R  .f .x/  g.x// dx D  .g.x/  f .x// dx

Verständnisfrage 10.3 *** Für die integrierbaren Funktionen f; g W R ! R gilt: Rb Rb  Es existiert ein c 2 R mit f .x/g.x/dx D c g.x/dx a

a

 Mit f0 D min ¹f .x/ W x 2 Œa; bº und f1 D max ¹f .x/ W x 2 Œa; bº gilt: Rb Rb Rb f0 g.x/dx  f .x/g.x/dx  f1 g.x/dx a

a

a

162

10 Integration von Funktionen einer Variablen

Verständnisfrage 10.4 ** Für die integrierbare Funktion f W R ! R gilt: Rb  f .x/dx D 0 ) f .x/ D 0 für alle x 2 Œa; b a



Rb

f .x/ > 0 ) f .x/ > 0 für alle x 2 Œa; b

a

 0 4 t 3 Dabei beschreibt a.t/ die Absatzmenge im Zeitpunkt t. a) Bestimmen Sie die Stammfunktion A.t/, die den kumulierten Absatz für das stetige Zeitintervall Œ0; t angibt. b) Welche Menge wird im Intervall Œ2; 5 abgesetzt? c) Die Kosten der Produktentwicklung betrugen 2 000 Euro, der Deckungsbeitrag je verkaufter Produkteinheit 2 Euro. Wann wird der Punkt, an dem sich der kumulierte Deckungsbeitrag und die Produktentwicklungskosten gerade aufheben, also der Break-Even-Point, erreicht?

Rechenaufgaben

167

Rechenaufgabe 10.17 ** Der Umsatz eines Produktes zum Zeitpunkt t  0 sei aus den beiden Funktionen f W

RC ! RC

sW

RC ! RC

0:5t mit f .t/ D e8 und < t für 0  t  2 mit s.t/ D : 4  t für 2  t  4

und s.t C 4n/ D s.t/I n 2 N (d.h. s ist periodisch mit der Periode 4) multiplikativ zusammengesetzt. a) Zeigen Sie, dass f streng monoton wächst. b) Geben Sie für f und s eine ökonomische Erklärung. c) Bestimmen Sie die Umsatzfunktion u mit u.t/ D f .t/  s.t/ zu einem beliebigen Zeitpunkt t  0 und geben Sie den kumulierten Umsatz U.T / für den Zeitraum Œ0; T  mit T 2 Œ3; 4 an. d) Berechnen Sie den kumulierten Umsatz in Zeitintervall Œ0; 4.

168

10 Integration von Funktionen einer Variablen

Lösungen Verständnisfragen Lösung 10.1 Für f W R ! R gilt:  f differenzierbar in D  R ) f integrierbar in D  R Begründung: Jede differenzierbare Funktion ist auch integrierbar.  f integrierbar in D  R ) f differenzierbar in D  R Begründung: Treppenfunktionen sind integrierbar, an den Sprungstellen jedoch nicht differenzierbar.  Existiert zu f eine Stammfunktion, so ist diese eindeutig. Begründung: Ist F Stammfunktion zu f , dann auch F C c für alle c 2 R.  Ist eine Stammfunktion differenzierbar, so ist das Ergebnis eindeutig. Begründung: Differentialquotienten sind stets eindeutig. R 0 R  f differenzierbar in R ) f 0 .x/dx D f .x/ C c D .f .x/ C c/dx Begründung: Bei differenzierbaren Funktionen sind Differentiation und Integration vertauschbar.

Lösung 10.2 Für die integrierbaren Funktionen f; g W R ! R gilt:  f C g ist integrierbar Begründung: Summen integrierbarer Funktionen sind integrierbar. R R R  f .x/dx C g.x/dx D .f .x/ C g.x//dx Begründung: siehe Rechenregeln  f  g ist integrierbar Begründung: Produkte integrierbarer Funktionen sind integrierbar. R R R  f .x/dx  g.x/dx D .f .x/  g.x//dx Begründung: siehe Rechenregeln: R R Mit den Stammfunktionen F von f und G von g gilt: F .x/G.x/ D F .x/g.x/dx C f .x/G.x/dx R R  .f .x/  g.x// R dx D  .g.x/  fR.x// dx R R R Begründung: .f .x/  g.x// dx D f .x/dx  g.x/dx D  g.x/dx C f .x/dx D R  .g.x/  f .x// dx

Lösung 10.3 Für die integrierbaren Funktionen f; g W R ! R gilt: Rb Rb  Es existiert ein c 2 R mit f .x/g.x/dx D c g.x/dx a

Begründung: Es existieren r1 ; r2 2 R mit c existiert mit c D

r1 r2

bzw. cr2 D r1

Rb a

a

f .x/g.x/dx D r1 ;

Rb a

g.x/dx D r2 , wobei ein

Lösungen

169

 Mit f0 D min ¹f .x/ W x 2 Œa; bº und f1 D max ¹f .x/ W x 2 Œa; bº gilt: Rb Rb Rb f0 g.x/dx  f .x/g.x/dx  f1 g.x/dx a

a

a

Begründung: f0 g.x/  f .x/g.x/  f1 g.x/

Lösung 10.4 Für die integrierbare Funktion f W R ! R gilt: Rb  f .x/dx D 0 ) f .x/ D 0 für alle x 2 Œa; b ˇ x 2 ˇˇ1 Begründung: a D 1; b D 1; f .x/ D x ) xdx D D 0, aber f .1/ > 0 2 ˇ1 1 a



Rb

R1

f .x/ > 0 ) f .x/ > 0 für alle x 2 Œa; b

a

Begründung: a D 1; b D 2; f .x/ D x )  0 > ; x0 W 1 D a x2 C x C 1 1 1 ) D 2C 3 2 x Cx x xC1 Z2 4 Z2 Z2 Z2 3 2 x Cx Cx CxC1 1 1 dx D x dx C dx c) I D 2 dx C 2 x x .x C 1/ xC1 1 1 1 1 ˇ2 ˇ2 ˇ2 1  ˇ x2 ˇ 1ˇ 3 D 2 ˇ  x ˇ C ln jx C 1jˇ D 2  2  1 C ln 3  ln 2 D 2 C ln 32 2:4 )

1

1

Lösung 10.10 Z

1

Z

2x dx D ln jx 2  1j C c .x ¤ ˙1/ 21 x Z Z Z Z 1 1 2 dx D dx  dx D ln jx  1j  ln jx C 1j C c f2 .x/ dx D 21 x x  1 x C 1 ˇ ˇ ˇx 1ˇ ˇCc D ln ˇˇ x C 1ˇ 2 1 1 mit Partialbruchzerlegung: 2 D  x  1 x  1 x C 1 ˇ ˇ Z Z Z ˇx  1ˇ 2 ˇCc f3 .x/ dx D f1 .x/ dx  f2 .x/ dx D ln jx  1j  ln ˇˇ x C 1ˇ jx 2  1jjx C 1j C c D ln jx C 1j2 C c D ln jx  1j Z2

2 b) I1 D f1 .x/ dx D lim ln jx 2  1j a D lim Œln 3  ln ja2  1j D 1 a)

f1 .x/ dx D

a!1

1

Z2 I2 D 1

Z2 I3 D 1

a!1

ˇ ˇ ˇ  ˇ  ˇa 1ˇ ˇx 1ˇ 2 1 ˇ ˇ ˇ D ln 1 C 1 D 1 ˇ f2 .x/ dx D lim ln ˇ D lim ln  ln ˇ ˇ a!1 x C 1 a a!1 3 a C 1ˇ 3 ˇ2 ˇ   9 2ˇ f1 .x/  f2 .x/ dx D ln.x C 1/ ˇ D ln 9  ln 4 D ln 0:81 4 1

174

10 Integration von Funktionen einer Variablen

Lösung 10.11 Z

a) Zy 1

3x 2 p 2 x3 C 1

Z

p p dt p D t C c D x3 C 1 C c t ˇy p p p ˇ dx D x 3 C 1ˇˇ D y 3 C 1  2

3x 2 p dx D 2 x3 C 1

1 2

1

1 < y1 < y2 ) y13 < y23 )

q

y13 C 1 

für t D x 3 C 1; dt D 3x 2 dx

q p p 2 < y23 C 1  2

) I.y1 / < I.y2 /; also I streng monoton wachsend p p p I.2/ D 8 C 1  2 D 3  2 b) f .x/ D g.x/ () 5  12 x 2 D x 2 C 3x C 12 () 0 D  92 C 3x C 32 x 2 p ) x D 13 .3 ˙ 9 C 27/ D 1 oder 3 Für x 2 .3; 1/ gilt f .x/ > g.x/ wegen f .0/ D 5; g.0/ D 12 : Z1



Z1



9

f .x/  g.x/ dx D

3

2

ˇ1  ˇ  3x  32 x 2 dx D 92 x  32 x 2  12 x 3 ˇ D 3

3

Die Fläche zwischen f und g beträgt 16.

Lösung 10.12

p a) Nullstellen von f mit f .x/ D x. x  1/ W x D 0 und x D 1 Daraus folgt für die absolute Gesamtfläche: Z4 Z1 Z4 p p p jx. x  1/j dx D x.1  x/ dx C x. x  1/ dx 0

0

1

Z1  Z4    3 3 D x  x 2 dx C x 2  x dx 0 

D D Z2 b) 2

D D

x2 2





2 5

5 2 2 x 5

2 1 14 60  32  16 2  5 C 2 D  2 C 5 D 5 Z1 Z1 Z2 2 2 2 jx  1j dx D .x  1/ dx C .1  x / dx C .x 2  1/ dx 1 2



C

ˇ  ˇ1 1 2  ˇ4 ˇ ˇ C 2 x 52  x ˇ ˇ 5 2 ˇ1 0

2 5

2

x3 3

 13

 ˇ1  ˇ x ˇ C x 2

C1C

8 3

1

x3 3

2C1

1

 ˇ1  3  ˇ2 ˇ ˇ ˇ C x3  x ˇ

1 3

1

C1

1

1 3

C

8 3

2

1 3

C1D4

5 2

C

27 2

D 16

Lösungen

175

Zur Veranschaulichung der Ergebnisse von a) und b) skizzieren wir die Funktionen f W Œ0; 4 ! R und g W Œ2; 2 ! R: f .x/

g.x/

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1 x 1

2

3

4

x 2

1

1

Lösung 10.13 a) K 0 .x/ D x.x 2 C 3/2 D x 5 C 6x 3 C 9x R K.x/ D .x 5 C 6x 3 C 9x/ dx D 16 x 6 C 32 x 4 C 92 x 2 C c K.3/ D

729 6

C

243 2

C

81 2

C c D 283:5 C c D 300

mit c D 16:5 gilt K.x/ D 16 x 6 C 32 x 4 C 92 x 2 C 16:5 b) Polynomdivision: .x 7 C 9x 5 C 25x 3 C 8x 2 C 21x C 24/ W .x 2 C 3/ D x 5 C 6x 3 C 7x C 8 .x 7 C 3x 5 / 6x 5 C 25x 3 .6x 5 C 18x 3 / 7x 3 C 8x 2 C 21x .7x 3 C 21x/ 2 8x C 24 .8x 2 C 24/ 0 E 0 .x/ D x 5 C 6x 3 C 7x C 8 E.x/ D 16 x 6 C 32 x 4 C 72 x 2 C 8x C c mit c D 0 wegen E.0/ D c c) G.x/ D E.x/  K.x/ D x 2 C 8x  16:5 G 0 .x/ D E 0 .x/  K 0 .x/ D 8  2x D 0 () x D 4 G 00 .x/ D 2 < 0 ) x D 4 ist gewinnmaximal mit G.4/ D 0:5:

2

176

10 Integration von Funktionen einer Variablen

Lösung 10.14 a) Stammfunktion im Intervall Œ0; T  für T  3: ZT ˇ t t ˇT T X.T / D 500e 2 dt D 500  2e 2 ˇ D 1 000e 2  1 000 0

0

) X.0/ D 0 bzw. X.3/ D 3 481:7 Stammfunktion im Intervall Œ0; T  für T > 3: ZT X.T / D 3 481:7 C .1 500  e 3t C 500/ dt 3

ˇT ˇ D 3 481:7 C .1 500e 3t C 500t/ˇ 3

D 3 481:7 C .1 500e 3T C 500T  .1 500  1 C 1 500// D 3 481:7 C .500T  1 500e 3T / ´ T für T  3 1 000e 2  1 000 Ergebnis: X.t/ D 3 481:7 C 500T  1 500e 3T für T > 3 b) Absatz zum Zeitpunkt t ! 1: lim x.t/ D lim .1 500e 3t C 500/ D 500 ) x beschreibt kein Sättigungsmodell t !1

t !1

c) X.10/ D 3 481:7 C 5 000  1 500e 7 8 480:3

Lösung 10.15 x 2 Œ0; 100 W

c.x/ D

R

p 1 3 3x 2 dx D 2x 2 C c1 D 2 x 3 C c1

) c.0/ D c1 D 1 000; c.100/ D 3 000 R x 2 h100; 400 W c.x/ D 30 dx D 30x C c2 ) lim c.x/ D 3 000 C c2 D 3 000 ) c2 D 0; c.400/ D 12 000 x&100

x 2 h400; 900 W c.x/ D

R

p 1 1 600x  2 dx D 600  2x 2 C c3 D 1 200 x C c3

) lim c.x/ D 1 200  20 C c3 D 12 000 x&400

Ergebnis:

) c3 D 12 000; c.900/ D 24 000 8 p 2 x 3 C 1 000 für x 2 Œ0; 100 ˆ ˆ < c.x/ D 30x für x 2 h100; 400 ˆ ˆ p : 1 200 x  12 000 für x 2 h400; 900

mit c.100/ D 3 000; c.150/ D 4 500; c.625/ D 18 000

Lösungen

177

Lösung 10.16 a) Stammfunktion im Intervall Œ0; t für t  4: Zt ˇ 2 ˇt A.t/ D 100t dt D 100 t2 ˇ D 50t 2 ) A.0/ D 0; A.4/ D 800 0

0

Stammfunktion im Intervall Œ0; t für t > 4: Zt ˇt 100 ˇ dt D 800 C 100 ln jt  3jˇ D 800 C 100 ln.t  3/ A.t/ D 800 C 4 t 3 4 ´ für t  4 50t 2 Ergebnis: A.t/ D 800 C 100 ln.t  3/ für t > 4 b) A.5/  A.2/ D 800 C 100 ln 2  50  4 D 669:3 c) Deckungsbeitrag 2A.t/ D Produktentwicklungskosten 2 000 () A.t/ D 1000 () 800 C 100 ln.t  3/ D 1 000 () 100 ln.t  3/ D 200 () ln.t  3/ D 2 () .t  3/ D e 2 () t D e 2 C 3 10:39 Bei t D 10:39 wird der Break-Even-Point erreicht.

Lösung 10.17 a) f .t/ D e 0:5t ) f 0 .x/ D 0:5e 0:5 t > 0 ) f wächst streng monoton b) f beschreibt den Trend (generelle Tendenz) der Umsatzentwicklung, während s als periodische Funktion Saisonschwankungen, evtl. der 4 Quartale, beschreibt. Die multiplikative Verknüpfung besagt, dass die Saisonschwankungen bei höherem Trendwert zunehmen. c) u.t/ D f .t/  s.t/ D te 0:5t für t 2 Œ0; 2; Œ4; 6; : : : 0:5t D .4  t/e für t 2 Œ2; 4; Œ6; 8; : : : Z2 ZT U.T / D te 0:5t dt C .4  t/e 0:5t dt Z te Z

2Z

0 0:5t

12e 0:5t dt D 2te 0:5t 4e 0:5t Cc mit f .t/ D t; g 0 .t/ D e 0:5t Z Z 0:5t dt D 4e dt  te 0:5t dt D 8e 0:5t  .2te 0:5t  4e 0:5t / C c

dt D t 2e

.4  t/e 0:5t

0:5t



D 12e 0:5t  2te 0:5t C c

ˇ2 ˇT ˇ ˇ ) U.T / D .2te 0:5t  4e 0:5t /ˇ C .12e 0:5t  2te 0:5t /ˇ 0 0:5T

2

D 4e  4e  .0  4/ C 12e  2T e  .12e  4e/ D 4  8e C 12e 0:5T  2T e 0:5T d) U.4/ D 4  8e C 12e 2  8e 2 D 4.1  2e C e 2 / D 4.1  e/2 11:81 0:5T

11 Matrizen und Vektoren Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 11.1 *  Für jede quadratische Matrix gilt AT D A.  Für jede quadratische, symmetrische Matrix gilt .AT /T D A.  Jede Diagonalmatrix ist symmetrisch.  Eine Einheitsmatrix lässt sich darstellen als Vektor von Einheitsspaltenvektoren.

Verständnisfrage 11.2 *  Die Addition zweier symmetrischer n  n-Matrizen ist symmetrisch.  Die Addition einer 1  m-Matrix und einer m  1-Matrix führt zu einer m  m-Matrix.  Wenn die Addition der Matrizen A und B definiert ist, dann auch die Addition von BT und AT .  Die Summe einer beliebigen quadratischen Matrix A mit AT ist symmetrisch.

Verständnisfrage 11.3 ** Zur Matrix A D .aij /n;n existiert eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix: ´ aij für j  i Ao D .bij /n;n mit bij D bzw. 0 sonst ´ aij für j  i Au D .cij /n;n mit cij D 0 sonst Dann gilt:  Ao C Au ist symmetrisch.  In der Matrix Ao  Au enthält die Hauptdiagonale nur Nullen.  Die Matrix A  Au ist eine Dreiecksmatrix.

180

11 Matrizen und Vektoren

Verständnisfrage 11.4 **  Die Multiplikation einer quadratischen, symmetrischen Matrix mit einer reellen Zahl ergibt eine quadratische, symmetrische Matrix.  Die Multiplikation einer quadratischen, symmetrischen Matrix mit einer passenden Diagonalmatrix ergibt eine quadratische, symmetrische Matrix.  Die Multiplikation zweier quadratischer, symmetrischer Matrizen ergibt eine symmetrische Matrix.

Verständnisfrage 11.5 * Gegeben sind die m  n-Matrix A mit m < n, die n  n-Matrizen B; C sowie a; b 2 Rn . Dann sind folgende Ausdrücke berechenbar:  .A C B/a  ABb  .B C CT /a  BA.a C b/  .a C b/bT BT  aT BCT b

Verständnisfrage 11.6 * Für zwei Spaltenvektoren a; b 2 Rn sowie zwei quadratische n  n-Matrizen A; B gilt:  aT b und bT a sind berechenbar und es gilt aT b D bT a.  aT a und aaT sind symmetrische Matrizen.  AT B D BT A  BA D .AB/T  aT ABT b ist eine reelle Zahl.

Rechenaufgaben

181

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 11.7 ** Gegeben sind folgende Matrizen: 0 1 0 1 0 1 2 3 1 0 1 1 2 B C B C B C B C B A1 D B @ 2 1 0A, A2 D @ 0 1 0 A, A3 D @ 2 2 1 0 1 1 0 1 2 0 0 1 ! ! 1 1 B C 2 1 0 4 5 C B1 D , B2 D B @ 2 3A, B3 D 5 7 1 2 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 2 3 C C B B B C C C B B C C1 D B @3 2A, C2 D @0 2 0 A, C3 D @4 3A 0 1 0 0 12 1 2 ! 1 0 ED . 0 1

2

1

C 2C A 1

Ferner ist X eine unbekannte 3  3-Matrix, Y eine unbekannte 2  2-Matrix und Z eine unbekannte 3  2-Matrix. Lösen Sie – falls möglich – die folgenden Matrizengleichungen: a) A1  A2 C X D A3 b) B1  B2  2EY D B3 c) C1 C C2 Z D C3

Rechenaufgabe 11.8 ** Gegeben sind die n  n-Matrizen A; D und E. D ist Diagonalmatrix und E Einheitsmatrix. Beweisen Sie folgende Aussagen: a) .ADE/T D EDAT b) D2 D D () D D E c) A D A2 ) .E  A/2 D .E  A/ T    D  A  AT d) A  AT e) AAT D E ) AT A D E

182

11 Matrizen und Vektoren

Rechenaufgabe 11.9 ** a) Gegeben sind die folgenden Matrizen: 0 0 1 1 a11 a12 a13 B B C B B C A D .aij /3;3 D @a21 a22 a23 A ; P D @0 0 a31 a32 a33

1 0 0

C 0 1C A 1 0

Berechnen Sie AP und PA. Was bewirken diese Matrixmultiplikationen jeweils? b) Die Matrix C mit C D .cij /5;5

0 c11 B : B D @ ::

::: :: :

c51

:::

1 c15 :: C C : A c55

gibt die Lieferverflechtungen einer Volkswirtschaft mit 5 Wirtschaftssektoren an, d. h. Sektor i liefert an Sektor j Güter im Wert von cij Währungseinheiten. 1) Führen Sie zur Matrix S mit 0 1 1 1 0 0 0 B C B0 0 1 0 0C C SDB B C @0 0 0 1 0A 0 0 0 0 1 die Matrixmultiplikation SC bzw. SCST durch und interpretieren Sie die Ergebnisse. 2) Wie ist die Matrix S zu wählen, wenn in SCST gegenüber C genau die Sektoren 1, 2 und 3 bzw. die Sektoren 3 und 5 zu einem Sektor zusammengefasst sind?

Rechenaufgabe 11.10 ** Eine Firma stellt aus vier Rohprodukten R1 ; : : : ; R4 drei Zwischenprodukte Z1 ; : : : ; Z3 und aus diesen Zwischenprodukten vier Endprodukte E1 ; : : : ; E4 her. q Für die Herstellung einer Einheit von E1 benötigt man: 2Z1 ; 1Z2 ; 2Z3 q Für eine Einheit von E2 benötigt man: 3Z2 ; 2Z3 q Für eine Einheit von E3 benötigt man: 2Z1 ; 2Z2 ; 3Z3 q Für eine Einheit von E4 benötigt man: 3Z1 ; 4Z3 q Für die Herstellung einer Einheit von Z1 benötigt man: 3R1 ; 1R2 ; 4R4 q Für eine Einheit von Z2 benötigt man: 3R1 ; 2R2 ; 4R3 ; 1R4 q Für eine Einheit von Z3 benötigt man:

1R2 ; 3R3

Rechenaufgaben

183

a) Stellen Sie jeweils die Matrix der Produktionskoeffizienten für folgende Zusammenhänge auf: Rohprodukt

 Zwischenprodukt

Zwischenprodukt  Endprodukt Rohprodukt

 Endprodukt

b) Wie viele Einheiten der Rohprodukte R1 ; : : : ; R4 benötigt man, um eine Einheit von E1 bzw. zwei Einheiten von E3 zu produzieren? c) Welche Menge an R2 benötigt man, um zwei Einheiten von E1 , eine Einheit von E2 und drei Einheiten von E4 herzustellen? Notieren Sie die Ansätze jeweils in Matrixnotation und berechnen Sie anschließend die Ergebnisse.

Rechenaufgabe 11.11 ** Ein Unternehmen verwendet drei Rohstoffe, mit deren Hilfe drei verschiedene Halbfertigerzeugnisse produziert werden. Rohstoffe und Halbfertigerzeugnisse werden in einem weiteren Arbeitsgang zu Fertigprodukten verarbeitet. Es sind die folgenden Matrizen gegeben: 1 0 1 2 1 C B C A D .aij / D B @2 2 1A mit aij D 3 2 2 0 1 1 1 2 B C C B D .bjk / D B @3 3 1A mit bjk D 4 2 1 0 1 1 1 1 B C C C D .ci k / D B @3 2 1A mit ci k D 1 1 2

Einheiten von Rohstoff i zur Herstellung von einem Halbfertigprodukt j

Einheiten von Halbfertigprodukt j zur Herstellung eines Fertigproduktes k

Einheiten von Rohstoff i zur Herstellung eines Fertigproduktes k

Wie viele Rohstoffeinheiten yk .k D 1; 2; 3/ benötigt man, um 1 Einheit des ersten bzw. zweiten bzw. dritten Fertigproduktes bzw. den Fertigproduktvektor xT D .10; 5; 5/ herstellen zu können? Notieren Sie die Ansätze in Matrixnotation und berechnen Sie anschließend die Ergebnisse.

184

11 Matrizen und Vektoren

Rechenaufgabe 11.12 *** Ein Unternehmen produziert aus drei Rohstoffen R1 ; R2 ; R3 drei Zwischenprodukte Z1 ; Z2 ; Z3 und daraus zwei Endprodukte E1 ; E2 . In der nachfolgenden Grafik gibt die Pfeilbewertung x x mit U ! V an, wie viele Mengeneinheiten von U zur Herstellung einer Einheit von V benötigt werden. 2

R1

Z1 3

3 2 1

R2

2 Z2

E1

2

1 E2 2

4 R3

1

Z3

1

a) Bestimmen Sie die Matrizen A D .aij /3;3 und B D .bij /3;2 mit aij D Anzahl der Einheiten von Ri zur Herstellung einer Einheit von Zj bij D Anzahl der Einheiten von Zi zur Herstellung einer Einheit von Ej und interpretieren Sie das Produkt AB. b) Berechnen Sie den Rohstoff- und den Zwischenproduktvektor für den Fall, dass jeweils 100 Einheiten von E1 bzw. E2 hergestellt werden sollen. c) Berechnen Sie die Gesamtkosten für die in b) ermittelten Rohstoff-, Zwischenprodukt- und Endproduktvektoren mit Hilfe der folgenden Vektoren: Beschaffungskosten je Rohstoffeinheit W cT1 D .1; 2; 1/ Produktionskosten je Zwischenprodukteinheit W

cT2 D .4; 2; 3/

Produktionskosten je Endprodukteinheit aus den Zwischenprodukten W

cT3 D .2; 4/

Rechenaufgaben

185

Rechenaufgabe 11.13 *** Ein regionaler Markt wird von drei konkurrierenden Produkten P1 ; P2 ; P3 beherrscht. Bezeichnet man mit aij 2 Œ0; 1 den Anteil von Pi -Käufern zum Zeitpunkt t 2 N, der zum Zeitpunkt t C 1 2 N das Produkt Pj kauft, so charakterisiert die Matrix A die anteiligen Käuferfluktuationen zwischen den Produkten: 0 1 0:6 0:4 0 B C C A D .aij /3;3 D B @0:2 0:6 0:2A 0 0:2 0:8 Ferner beschreibt der Vektor xT1 D .0:5; 0:5; 0/ die Marktanteile der Produkte P1 ; P2 ; P3 zum Zeitpunkt t D 1. a) Interpretieren Sie die in A und x1 enthaltenen Nullen. b) Berechnen Sie A2 und interpretieren Sie das Ergebnis. c) Berechnen Sie die Marktanteile der Produkte zu den Zeitpunkten t D 2; 3 und begründen Sie die Marktanteilszuwächse von P3 mit Hilfe von A. d) Zeigen Sie, dass für xT D .0:2; 0:4; 0:4/ die Gleichung xT A D xT erfüllt ist und interpretieren Sie diese Tatsache.

Rechenaufgabe 11.14 *** Für eine bestimmte Personengruppe wird das langfristige Übergangsverhalten zwischen Rauchen und Nichtrauchen durch die folgende Matrix A beschrieben: ! ! 0:6 0:4 a11 a12 D AD a21 a22 0:1 0:9 Dabei gilt für einen beliebigen Zeitpunkt t D 0; 1; 2; : : :: a11 D 0:6 W der Anteil von Rauchern, die auch im Zeitpunkt t C 1 Raucher bleiben; a22 D 0:9 W

der Anteil Nichtraucher, die auch im Zeitpunkt t C 1 Nichtraucher bleiben;

a12 D 0:4 W

der Anteil der Wechsler von Rauchern zu Nichtrauchern sowie

a21 D 0:1 W

der Anteil der Wechsler von Nichtrauchern zu Rauchern

a) Berechnen Sie unter der Annahme, dass die Personengruppe zum Zeitpunkt t D 0 nur aus Rauchern bestand, jeweils den Zeitpunkt, in dem die Gruppe weniger als 50 % bzw. weniger als 25 % Raucher enthält. b) Der Anteil von Rauchern zum Zeitpunkt t wird mit x t bezeichnet. Zeigen Sie unter Verwendung der Gleichung ! 0:6 0:4 .x t C1 ; 1  x t C1 / D .x t ; 1  x t / ; 0:1 0:9 dass gilt: x t C1 < x t () x t > 0:2. Interpretieren Sie das Ergebnis. c) Wie müsste sich die Matrix A ändern, wenn der Raucheranteil schneller abnehmen soll?

186

11 Matrizen und Vektoren

Lösungen Verständnisfragen Lösung 11.1 T  Für jede quadratische Matrix ! gilt A D A.! a11 a21 a11 a12 ¤ für a12 ¤ a21 Begründung: a21 a22 a12 a22

 Für jede quadratische, symmetrische Matrix gilt .AT /T D A. Begründung: .AT /T D A gilt für alle Matrizen.  Jede Diagonalmatrix ist symmetrisch. Begründung: aij D aj i D 0 für alle i 6D j  Eine Einheitsmatrix lässt sich darstellen als Vektor von Einheitsspaltenvektoren. Begründung: Für die n  n-Einheitsmatrix gilt E D .e1 ; : : : ; en /.

Lösung 11.2  Die Addition zweier symmetrischer n  n-Matrizen ist symmetrisch. Begründung: .aij /n;n und .bij /n;n mit aij D aj i ; bij D bj i ) aij C bij D aj i C bj i für alle i; j  Die Addition einer 1  m-Matrix und einer m  1-Matrix führt zu einer m  m-Matrix. Begründung: Die Addition einer 1  m-Matrix (= Zeilenvektor) und einer m  1-Matrix (= Spaltenvektor) ist nicht definiert.  Wenn die Addition der Matrizen A und B definiert ist, dann auch die Addition von BT und AT . Begründung: Wenn C D A C B existiert, dann auch CT D .ACB/T D AT CBT D BT CAT .  Die Summe einer beliebigen quadratischen Matrix A mit AT ist symmetrisch. Begründung: Für C D A C AT gilt: cij D aij C aj i D cj i

Lösung 11.3 Zur Matrix A D .aij /n;n existiert eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix: ´ aij für j  i bzw. Ao D .bij /n;n mit bij D 0 sonst ´ aij für j  i Au D .cij /n;n mit cij D 0 sonst Dann gilt: ´  Ao C Au ist symmetrisch. 2aij füri D j Begründung: Ao CAu D .xij /n;n mit xij D ist nur dann symmetrisch, aij füri ¤ j wenn A symmetrisch ist.  In der Matrix Ao  Au enthält die Hauptdiagonale nur Nullen. Begründung: Für i D j gilt: bi i  ci i D ai i  ai i D 0  Die Matrix A  Au ist eine Dreiecksmatrix. Begründung: Für i  j gilt aij  cij D aij  aij D 0, also ist A  Au obere Dreiecksmatrix (mit Nullen in der Hauptdiagonalen).

Lösungen

187

Lösung 11.4  Die Multiplikation einer quadratischen, symmetrischen Matrix mit einer reellen Zahl ergibt eine quadratische, symmetrische Matrix. Begründung: A mit aij D aj i ) cA mit caij D caj i für alle c 2 R  Die Multiplikation einer quadratischen, symmetrischen Matrix mit einer passenden Diagonalmatrix ergibt eine quadratische, symmetrische Matrix. Begründung: A mit aij D aj i für alle i; j , D mit di i D c für alle i ) AD D Ac D cA  Die Multiplikation zweier quadratischer, symmetrischer Matrizen ergibt eine symmetrische Matrix. ! ! ! 2 3 1 0 2 6 Begründung: D 3 1 0 2 3 2

Lösung 11.5 Gegeben sind die m  n-Matrix A mit m < n, die n  n-Matrizen B; C sowie a; b 2 Rn . Dann sind folgende Ausdrücke berechenbar:  .A C B/a Begründung: .m  n-Matrix A/ C .n  n-Matrix B/ ist nicht definiert  ABb Begründung: .m  n-Matrix A/  .n  n-Matrix B/  .n  1-Vektor b/ D .m  1-Vektor ABb/  .B C CT /a

  Begründung: .n  n-Matrix B/ C n  n-Matrix CT  .n  1-Vektor a/   D n  1-Vektor .B C CT /a  BA.a C b/ Begründung: .n  n-Matrix B/  .m  n-Matrix A/ ist nicht definiert  .a C b/bT BT    Begründung: Œ.n  1-Vektor a/ C .n  1-Vektor b/ 1  n-Vektor bT  n  n-Matrix BT 

D n  n-Matrix .a C b/  bT BT  aT BCT b     Begründung: 1  n-Vektor aT  .n  n-Matrix B/  n  n-Matrix CT  .n  1-Vektor b/   D 1  1-Matrix aT BCT b

188

11 Matrizen und Vektoren

Lösung 11.6 Für zwei Spaltenvektoren a; b 2 Rn sowie zwei quadratische n  n-Matrizen A; B gilt:  aT b und bT a sind berechenbar und es gilt aT b D bT a. n P Begründung: aT D .a1 ; : : : ; an /; bT D .b1 ; : : : ; bn / ) aT b D ai bi D bT a i D1

 aT a und aaT sind symmetrische Matrizen. n P Begründung: aT a D ai2 ist eine 1  1-Matrix und damit symmetrisch. i D1 0 2 1 a1 a1 a2 : : : a1 an B C a22 : : : a2 an C Ba2 a1 aaT D B :: :: C :: B :: C ist eine n  n-Matrix und symmetrisch. : @ : : : A an2 an a1 an a2 : : :  AT B D BT A  T Begründung: AT B und BT A sind n  n-Matrizen, aber AT B D BT A ¤ AT B, da AT B nicht notwendig symmetrisch ist.  BA D .AB/T Begründung: .AB/T D BT AT ¤ BA  aT ABT b ist eine reelle Zahl. Begründung: .1  n-Matrix/  .n  n-Matrix/  .n  n-Matrix/  .n  1-Matrix/ D .1  1-Matrix/ ) aT ABT b ist eine reelle Zahl.

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 11.7 a) X D A3  1 0A1 A2 2 2 2 C B A1 A2 D @ 2 1 2 A, 2 0 2

0

1 B A3  A1 A2 D @0 0

1 0 0 C 1 0A D X 0 1

b) 2EY D B1 B2  B3 ) Y D 12 .B1 B2  B3 / ! ! 4 5 0 0 B1 B2 D , B1 B2  B3 D DY 5 7 0 0 c) C2 Z0D C3  C11 0 z11 z11 z12 B C B C2 @z21 z22 A D @ 2z21 1 z31 z32 2 z31

1 z12 C 2z22 A, 1 2 z32

0

1 B C3  C1 D @1 1

1 1 C 1A, 1

0

1

B Z D @ 12 2

1

1

1C 2A

2

Lösungen

189

Lösung 11.8 a) .ADE/T D .DE/T AT D ET DT AT D EDAT b) D D .dij /n;n mit dij D 0 für i ¤ j ) D2 ist Diagonalmatrix mit di2i .i D 1; : : : ; n/ in der Hauptdiagonalen D2 D D () di2i D di i () di i D 1 () D D E c) A D A2 ) .E  A/2 D .E  A/.E  A/ D E  A  A C A2 D E  A d) .A  AT /T D AT  A D .A  AT / e) AAT D E ) AAT D .ai n /n;n  .aj n /n;n D ! n P T ajk ai k DE )A AD kD1

Lösung 11.9 0

a11 B a) AP D @a21 a31

a13 a23 a33

!

n P

DE

ai k ajk

kD1

n;n

n;n

1 a12 C a22 A a32

0

a11 B PA D @a31 a21

a12 a32 a22

1 a13 C a33 A a23

Vertauscht man in der Matrix A die 2. und 3. Spalte, so erhält man AP. Vertauscht man in A die 2. und 3. Zeile, so erhält man PA. 1 0 c11 C c21 c12 C c22 c13 C c23 c14 C c24 c15 C c25 B c c32 c33 c34 c35 C C B 31 b) SC D B C @ c41 c42 c43 c44 c45 A 0

c51

c52

c11 C c21 C c12 C c22 B c31 C c32 B SCST D B @ c41 C c42 c51 C c52

c53

c54

c13 C c23 c33 c43 c53

c14 C c24 c34 c44 c54

c55

1 c15 C c25 c35 C C C c45 A c55

SC charakterisiert Lieferverflechtungen mit 4 Liefersektoren und den ursprünglichen 5 Empfangssektoren. Bei den Liefersektoren wurden die Sektoren 1,2 zu einem Sektor zusammengefasst. SCST charakterisiert Lieferverflechtungen mit 4 Liefer- und 4 Empfangssektoren, wobei die Sektoren 1,2 jeweils zusammengefasst wurden. 1 0 1 1 1 0 0 C B c) Zusammenfassung von 1,2,3: S D @0 0 0 1 0A 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 B0 1 0 0 0C C B Zusammenfassung von 3,5: S D B C @0 0 1 0 1A 0 0 0 1 0

190

11 Matrizen und Vektoren

Lösung 11.10 a) aij D Anzahl der Einheiten von Ri zur Herstellung einer Einheit von Zj bij D Anzahl der Einheiten von Zi zur Herstellung einer Einheit von Ej cij D Anzahl der Einheiten von Ri zur Herstellung einer Einheit von Ej 3 P D ai k bkj ) C D .cij /4;4 D .aij /4;3 .bij /3;4 D AB kD1

Mit den Zahlenangaben erhält man: 1 0 0 3 3 0 2 0 2 B1 2 1C B C B ADB C ; B D @1 3 2 @0 4 3A 2 2 3 4 1 0

1 3 C 0A ; 4

1 9 9 12 9 B6 8 9 7C C B C D AB D B C @10 18 17 12A 9 3 10 12 0

b) y 2 R4 D Vektor der verbrauchten Rohprodukteinheiten z 2 R3 D Vektor der hergestellten Zwischenprodukteinheiten x 2 R4 D Vektor der hergestellten Endprodukteinheiten ) y D Az; z D Bx; y D ABx D Cx 1 0 9 9 12 9 B6 8 9 7C C B bzw. y D B Cx @10 18 17 12A 9 3 10 12 10 1 0 1 0 9 1 9 9 12 9 B 6 8 9 7 C B0 C B 6 C CB C B C B Eine Einheit E1 : B CB C D B C @10 18 17 12A @0A @10A 9 0 10 1 0 1 24 0 9 9 12 9 B 6 8 9 7 C B0C B18C CB C B C B Zwei Einheiten E3 : B CB C D B C @10 18 17 12A @2A @34A 20 0 9 3 10 12 0 1 0 1 2 2 B1C B1C B C B C c) x D B C: .6; 8; 9; 7/ B C D 41 @0A @0A 9 0

3

3

3

10 12

Lösungen

191

Lösung 11.11 Produktionsprozess: C

Rohstoffe

Fertigprodukte B

A

Halbfertigerzeugnisse ) y D .AB C C/x 13 1 0 10 20 1 1 1 1 1 2 1 2 1 C7 C B CB 6B D 4@2 2 1A @3 3 1A C @3 2 1A5 x 1 1 2 4 2 1 3 2 2 1 13 0 1 0 20 12 10 6 1 1 1 11 9 5 C C7 B C B 6B D 4@12 10 7 A C @3 2 1A5 x D @15 12 8 A x 18 14 12 1 1 2 17 13 10 0

Eine Einheit von Produkt 1:

Eine Einheit von Produkt 2:

Eine Einheit von Produkt 3: 0 1 10 B C x D @ 5 A: 5

12 B y D @15 18 0 12 B y D @15 18 0 12 B y D @15 18

10 1 0 1 12 1 10 6 CB C B C 12 8 A @0A D @15A 18 0 14 12 10 1 0 1 10 0 10 6 CB C B C 12 8 A @1A D @12A 14 0 14 12 10 1 0 1 6 0 10 6 CB C B C 12 8 A @0A D @ 8 A 12 1 14 12

1 10 1 0 200 10 12 10 6 C CB C B B y D @15 12 8 A @ 5 A D @250A 310 5 18 14 12 0

192

11 Matrizen und Vektoren

Lösung 11.12 0 2 B a) A D @2 0

1 3 0 C 1 1A ; 4 1

0

3 B B D @2 2

1 0 C 2A ; 1

1 12 6 C B AB D @10 3A D .dij /3;2 mit 10 9 0

dij D Anzahl der Einheiten von Ri zur Herstellung einer Einheit von Ej 1 0 1 0 1 0 ! 300 3 0 z1 C B C 100 B C B D @400A b) Zwischenproduktvektor: @z2 A D @2 2A 100 300 2 1 z3 0 1 0 1 1 0 10 r1 1 800 300 2 3 0 B C B C C B CB Rohstoffvektor: @r2 A D @2 1 1A @400A D @1 300A 1 900 300 0 4 1 r3 1 0 1 0 ! 1 800 12 6 C B C 100 B D @1 300A D @10 3A 100 1 900 10 9 1 0 1 800 C B c) Rohstoffkosten: .1; 2; 1/ @1 300A D 6 300 1 900 0 1 300 B C Zwischenproduktkosten: 6300 C .4; 2; 3/ @400A D 9 200 300 ! 100 Endproduktkosten: 9 200 C .2; 4/ D 9 800 100

Lösungen

193

Lösung 11.13 a) xT1 D .0:5; 0:5; 0/: Für t D 1 ist der Marktanteil von P3 gleich 0. 1 0 0:6 0:4 0 C B A D @0:2 0:6 0:2A 0 0:2 0:8 beschreibt die anteiligen Käuferfluktuationen in einer Zeitperiode (von t nach t C 1). Demnach gibt es in einer Zeitperiode weder Käufer, die von P1 nach P3 wechseln (a13 D 0), noch Käufer, die von P3 nach P1 wechseln (a31 D 0). 1 0:44 0:48 0:08 C B b) A2 D @0:24 0:48 0:28A 0:04 0:28 0:68 beschreibt die anteiligen Käuferfluktuationen in 2 Zeitperioden (von t nach t C 2), z.B. Wechsel von P1 nach P3 über P2 : a12  a23 D 0:4  0:2 D 0:08, Wechsel von P2 nach P1 über P1 : a21  a11 D 0:12 sowie über P2 : a22  a21 D 0:12 und über P3 : a23  a31 D 0, also insgesamt 0.24. 0

0 0:6 B c) xT1 A D .0:5; 0:5; 0/ @0:2 0

1 0:4 0 C 0:6 0:2A D .0:4; 0:5; 0:1/ D xT2 0:2 0:8

Marktanteilszuwachs von P3 : a23  Marktanteil P2 D 0:2  0:5 D 0:1 1 0 0:6 0:4 0 C B xT2 A D .0:4; 0:5; 0:1/ @0:2 0:6 0:2A D .0:34; 0:48; 0:18/ D xT3 0 0:2 0:8 2 2 Marktanteilszuwachs von P3 (mit Hilfe von A2 ): a13  Marktanteil von P1 Ca23  Marktanteil von P2 D 0:08  0:5 C 0:28  0:5 D 0:18 (Alternativ gilt: xT3 D xT1 A2 )

0 0:6 B d) .0:2; 0:4; 0:4/ @0:2 0

1 0:4 0 C 0:6 0:2A D .0:2; 0:4; 0:4/ 0:2 0:8

Die Übergänge zwischen Produkten heben sich bezüglich der Marktverteilung auf, die Marktverteilung ändert sich nicht mehr.

194

11 Matrizen und Vektoren

Lösung 11.14 a) Wir legen folgenden Vektor fest: .r; n/ D (Anteil Raucher, Anteil Nichtraucher) Daraus folgt: t D 0 W .r; n/ D .1; 0/ t D1W t D2W t D3W t D4W t D5W

! 0:6 0:4 .1; 0/ D .0:6; 0:4/ 0:1 0:9 ! 0:6 0:4 .0:6; 0:4/ D .0:4; 0:6/ 0:1 0:9 ! 0:6 0:4 .0:4; 0:6/ D .0:3; 0:7/ 0:1 0:9 ! 0:6 0:4 .0:3; 0:7/ D .0:25; 0:75/ 0:1 0:9 ! 0:6 0:4 .0:25; 0:75/ D .0:225; 0:775/ 0:1 0:9

Weniger als 50 % Raucher: t D 2 Weniger als 25 % Raucher: t D 5

! 0:6 0:4 D .0:6x t C 0:1  0:1x t ; 0:4x t C 0:9  0:9x t / b) .x t C1 ; 1  x t C1 / D .x t ; 1  x t / 0:1 0:9 ) x t C1 D 0:5x t C 0:1 Daraus folgt: x t C1 D 0:5x t C 0:1 < x t () 0:1 < 0:5x t () 0:2 < x t Nach a) nimmt der Raucheranteil schrittweise ab, bleibt aber über 20 %. c) A: Alle Komponenten  0, Zeilensummen D 1 ) Wenn a11 kleiner oder a22 größer wird, nimmt der Raucheranteil schneller ab.

12 Punktmengen im Rn Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 12.1 *** Für a; b 2 Rn ; a; b ¤ 0 gilt:  aT b D jjajj  jjbjj () a D b  aT b < jjajj  jjbjj () a ¤ b  aT b D 0 () a; b sind orthogonal

Verständnisfrage 12.2 ** Für a; b 2 Rn ; a; b ¤ 0 gilt:  a D b ) jja C bjj D jjajj C jjbjj  a D b ) jja  bjj D jjajj  jjbjj  a D b ) jjaT bjj D jjajj  jjbjj

Verständnisfrage 12.3 *** Für Rn bezeichnet i D ¹x 2 Rn W aTi x D bi º für i D 1; 2 eine Hyperebene, HD Hi D ¹x 2 Rn W aTi x  bi º einen Halbraum, i D ¹x 2 Rn W jjx  ci jj D ri º eine Kugeloberfläche und KD i D ¹x 2 Rn W jjx  ci jj  ri º ein Kugelvolumen. K

Dann gilt: 1 2 \ HD D ; () a1 D a2 ; b1 ¤ b2  HD

 H1 \ H2 ¤ ; () a1 ¤ a2 1 2  KD \ KD D ; () c1 D c2 ; r1 ¤ r2 1 2  K \ K ¤ ; () c1 D c2 1 1  KD \ HD ¤ ; () aT1 c1 D b1

12 Punktmengen im Rn

196

Verständnisfrage 12.4 *  M  Rn beschränkt ) Rn n M unbeschränkt  Rn n M unbeschränkt ) M  Rn beschränkt  Es gibt eine Menge M  Rn , so dass M und Rn n M beschränkt sind.  Es gibt eine Menge M  Rn , so dass M und Rn n M abgeschlossen sind. Für eine offene Menge M1  Rn und eine abgeschlossene Menge M2  Rn gilt:  M1  M2 () M1 [ M2 abgeschlossen  M1  M2 () M1 \ M2 offen

Verständnisfrage 12.5 ** Für die Vektoren a D

1 0

!

;b D

! 1 1

gilt:

 Mit allen Linearkombinationen der Form x D r1 a C r2 b .r1 ; r2 2 R/ kann man den gesamten R2 erreichen.  Mit allen Linearkombinationen der Form x D r1 a C r2 b .r1 ; r2  0/ kann man den gesamten R2C erreichen.  Die Vektoren x D r1 a C r2 b .r1 ; r2 2 R; r1 C r2 D 1/ spannen eine unbeschränkte Teilmenge des R2 auf.

Verständnisfrage 12.6 **  Hyperebenen im Rn sind konvex.  Kugeloberflächen im Rn sind konvex.  Eine konvexe Menge im Rn mit genau 3 Eckpunkten ist ein Dreieck im Rn .  Eine Kugel im Rn hat unendlich viele Eckpunkte.

Rechenaufgaben

197

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 12.7 * Gegeben0sind 1 die folgenden 0 1Vektoren: 1 2 B C B C B C B a D @ 0 A ; b D @1C A; c D b  a 1 0 2 a) Berechnen Sie die von a; b bzw. a; c bzw. b; c eingeschlossenen Winkel. 0 1 x1 B C C b) Bestimmen Sie alle Vektoren x D B @x2 A ; die sowohl zu a als auch zu b orthogonal sind x3 und deren Länge gleich 1 ist.

Rechenaufgabe 12.8 ** Gegeben sind die Vektoren a D

a1 a2

! 2 R2 ; b D

b1 b2

! 2 R2 .

Beweisen Sie die Äquivalenz: jja C bjj D jja  bjj () a1 b1 C a2 b2 D 0.

Rechenaufgabe 12.9 * Gegeben sind die folgenden Punktmengen des R2 : M1 D ¹x 2 R2C W .2; 1/x D 3º ˇˇ ! ˇˇ ˇˇ ˇˇ 2 ˇ ˇˇ ˇ M2 D ¹x 2 R2 W ˇˇx  ˇˇ  1º ˇˇ 2 ˇˇ M3

D ¹x 2 R2 W x2 < x12 º

M4

D ¹x 2 R2C W x1 ¤ x2 ) x2 D 1º

a) Stellen Sie die Mengen grafisch dar. b) Prüfen Sie den Wahrheitsgehalt der in der nachfolgenden Tabelle angegebenen Aussagen mit Hilfe der Zeichnungen aus a). Für jede der Aussagen ist das Ergebnis der Prüfung in der entsprechenden Spalte der Tabelle durch Ankreuzen zu vermerken.

12 Punktmengen im Rn

198

Aussage

wahr

falsch

M1 ist abgeschlossen M2 ist abgeschlossen M3 ist offen M2 ist beschränkt M2 ist konvex M3 ist konvex M4 ist konvex .x1 ; x2 / D .0; 3/ ist innerer Punkt von M1 .x1 ; x2 / D .2; 1/ ist Randpunkt von M2 .x1 ; x2 / D .0; 0/ ist Randpunkt von M3 .x1 ; x2 / D .0; 3/ ist Eckpunkt von M1 .x1 ; x2 / D .2; 1/ ist Eckpunkt von M2

Rechenaufgabe 12.10 ** Im R2 werden´folgende ! Punktmengen definiert: μ x1 2 2 RC W 3x1 C 2x2 D 12 M1 D xD x2 8 9 ˇˇ ! ˇˇ2 ! ˇ ˇ ˇ < ˇ = 0 ˇˇ x1 ˇˇ 2 R2C W ˇˇx  xD M2 D ˇˇ < 4 ˇˇ : ; 4 ˇˇ x2 ! ´ μ x1 M3 D 2 M1 W x1 ; x2 ganzzahlig xD x2 M4

D

M2 \ M3

a) Stellen Sie beide Mengen M1 und M2 in einer gemeinsamen Grafik dar. ˇˇ ! ˇˇ2 ! ! ˇˇ 0 ˇˇˇˇ 1 2 ˇˇ b) Berechnen Sie ˇˇx  und für x D . ˇˇ für x D ˇˇ 4 ˇˇ 3 3 c) Geben Sie, soweit dies möglich ist, je einen inneren Punkt von M1 bzw. M2 an. d) Beschreiben Sie, soweit dies möglich ist, jede der beiden Mengen M3 ; M4 durch Aufzählen ihrer Elemente.

Rechenaufgaben

199

e) Geben Sie jeweils die Mengen Mi .i D 1; 2; 3; 4/ mit folgenden Eigenschaften an: q offen q abgeschlossen q konvex q nicht offen q nicht abgeschlossen q nicht konvex

Rechenaufgabe 12.11 ** Gegeben sind´die folgenden Mengen: ! μ x1 2 2 R W x2  x1 ; x1  0 M1 D x2 ! μ ´ x1 2 x1 2 R W x2 C 1  e M2 D x2 ! ´ μ x1 2 2 R W jx1 j C jx2 j < 1; x1 > 0 M3 D x2 a) Skizzieren Sie die drei Mengen. b) Beweisen Sie die Ungleichung M1 \ M2 ¤ ;. c) Welche der Mengen M1 ; M2 ; M3 ; M4 D M1 \ M2 ; M5 D M3 n M1 ist offen bzw. abgeschlossen (ohne Beweis)? d) Beweisen Sie die Konvexität von M1 .

Rechenaufgabe 12.12 ** Gegeben sind´die folgenden Punktmengen: μ ! x1 2 R2 W x1 < x2 ; x2 > 0 M1 D x2 ! ´ μ x1 2 2 2 2 R W jx1 C x2 j D 1; x1 C x2  1 M2 D x2 ! ´ μ x1 2 2 2 R W x2  x1 ; x1  0 M3 D x2 a) Stellen Sie die gegebenen Punktmengen grafisch dar. b) Prüfen Sie mit Hilfe von a), welche der Mengen offen, abgeschlossen, konvex sind. c) Zeigen Sie mit Hilfe von gesonderten Grafiken, dass die Menge M1 \ M2 konvex und die Menge M1 [ M3 nicht konvex ist.

12 Punktmengen im Rn

200

Rechenaufgabe 12.13 ** Mit Hilfe der Vektoren ! ! 2 c1 aD ;c D c2 0 werden folgende Mengen definiert: D

Œc; a ® ¯ M 2 D x 2 R2 W a T x D 2 ® ¯ M3 D x 2 R2 W x D r1 a C r2 c; r1 ; r2 2 RC ; r1 C r2  1 ! c1 2 M2 , die mit dem Vektor a einen Winkel von 60° a) Berechnen Sie alle Vektoren c D c2 einschließen. M1

b) Stellen Sie unter Verwendung von a) die Mengen M1 ; M2 ; M3 grafisch dar. c) Geben Sie zu jeder der Mengen M1 ; M2 ; M3 alle Eckpunkte explizit an.

Rechenaufgabe 12.14 ** Gegeben sind folgende Punktmengen Mi .i D 1; 2; 3/: ! ´ μ x1 W x1  x2 D 0 ^ x1 ; x2 2 N [ ¹0º M1 D x2 ! ´ μ x1 W 2x1 C x2  8 D 0 ^ x1 ; x2 2 RC n ¹0º M2 D x2 ! ˇˇ ! ˇˇ ´ μ ˇˇ 3 ˇˇˇˇ x1 ˇˇ W ˇˇx  M3 D ˇˇ  2 ^ x1 ; x2 2 R ˇˇ 3 ˇˇ x2 a) Stellen Sie M1 ; M2 und M3 grafisch dar und überprüfen Sie ohne strengen Beweis die drei Mengen auf Abgeschlossenheit, Beschränktheit und Konvexität. b) Bestimmen Sie M1 \ M2 , M1 \ M3 sowie M1 [ M3 . c) Welche der Mengen M1 ; M2 ; M3 ; M1 \ M2 ; M1 \ M3 ; M1 [ M3 besitzt innere Punkte bzw. Randpunkte?

Rechenaufgaben

201

Rechenaufgabe 12.15 *** a) Gegeben sind die folgenden Mengen: I1

D ¹z1 2 R W z12  4º

I2

D ¹z2 2 R W 0  z2  2º

Stellen Sie die kartesischen Produkte I1  I2 und I2  I2 jeweils in einem Koordinatensystem dar. Geben Sie alle Eckpunkte von I1  I2 und I2  I2 an. b) Das Unternehmen „Trinkfest“ benötigt für die Herstellung eines neuartigen Mixgetränkes zwei Flüssigkeiten in den Mengen x1 und x2 . Die für die Produktion möglichen Mengenkombinationen ! werden durch die Menge ´ μ x1 2 2 2 2 R W x1 C x2 D 9; x1 ; x2 > 0 M D x2 ausgedrückt. Da das Einkaufsbudget beschränkt ist, können nur x1 ; x2 -Kombinationen gekauft werden, !die in der Menge ´ μ x1 2 2 R W x1 C x2  3:5; x1 ; x2  0 B D x2 liegen. Skizzieren Sie die Mengen M; B und M \ B in einem Koordinatensystem. Welche dieser Mengen ist konvex und/oder beschränkt? Interpretieren Sie die Menge M \ B.

Rechenaufgabe 12.16 *** a) Gegeben sind die folgenden Punktmengen im R2 : ! ´ μ x1 2 2 2 R W x1 C x2  0 M1 D x2 ! ´ μ x1 2 2 R W x1 C x2  2 M2 D x2 ! ´ μ x1 2 2 R W x1 C x2  2 M3 D x2 Skizzieren Sie die Menge M D M1 \ M2 \ M3 und entscheiden Sie, ob diese Menge konvex und/oder kompakt ist. Charakterisieren Sie alle Eckpunkte von M . b) Die Firma „Schrotti“ produziert über ein Recycling-Verfahren aus Schrottautos (D x1 , gemessen in Tonnen) „neuen“ Stahl (D x2 , gemessen in Tonnen). Die Technologiemenge, d.h. die Menge aller möglichen Input-Output-Vektoren .x1 ; x2 / ist durch ! ´ μ x1 2 2 2 2 R W .x1 C 3/ C .x2 C 4/  25; x1  0; x2  0 S D x2 gegeben (Inputmengen werden negativ, Outputmengen positiv angegeben). Skizzieren Sie die Technologiemenge S . Geben Sie für die Input-Output-Vektoren .2; 0:5/; .3; 1/; .4; 2/ an, ob sie zulässig sind und ob es sich gegebenenfalls um Randpunkte von S handelt.

202

12 Punktmengen im Rn

Lösungen Verständnisfragen Lösung 12.1 Für a; b 2 Rn ; a; b ¤ 0 gilt:  aT b D jjajj  jjbjj () a D b Begründung: Wegen aT b D jjajj  jjbjj  cos  mit cos  2 Œ1; 1 gilt: aT b D jjajj  jjbjj () cos  D 1 ()  D 0 () a D rb .r > 0/  aT b < jjajj  jjbjj () a ¤ b Begründung: „)“ richtig wegen a D b ) aT a D jjajj  jjajj (indirekter Beweis), „(“ falsch für a D rb .r > 0/  aT b D 0 () a; b sind orthogonal Begründung: aT b D 0 () jjajj  jjbjj  cos  D 0 () cos  D 0 ()  D 90ı

Lösung 12.2 Für a; b 2 Rn ; a; b ¤ 0 gilt:  a D b ) jja C bjj D jjajj C jjbjj Begründung: jja C ajj D jj2ajj D 2jjajj D jjajj C jjajj  a D b ) jja  bjj D jjajj  jjbjj Begründung: jja  ajj D 0 D jjajj  jjajj  a D b ) jjaT bjj D jjajj  jjbjj Begründung: jjaT ajj D jjajj  jjajj

Lösung 12.3 Für Rn bezeichnet i HD D ¹x 2 Rn W aTi x D bi º für i D 1; 2 eine Hyperebene, i H D ¹x 2 Rn W aTi x  bi º einen Halbraum, i KD D ¹x 2 Rn W jjx  ci jj D ri º eine Kugeloberfläche und i K D ¹x 2 Rn W jjx  ci jj  ri º ein Kugelvolumen. Dann gilt: 1 2  HD \ HD D ; () a1 D a2 ; b1 ¤ b2 1 2 Begründung: a1 D a2 ; b1 ¤ b2 () HD und HD sind parallel, jedoch nicht deckungs1 2 gleich () HD \ HD D ;  H1 \ H2 ¤ ; () a1 ¤ a2 1 2 Begründung: a1 ¤ a2 () HD und HD sind nicht parallel () H1 \ H2 ¤ ; 1 2 \ KD D ; () c1 D c2 ; r1 ¤ r2  KD 1 2 Begründung: „(“ wahr, da c1 D c2 ; r1 ¤ r2 ) KD \ KD D ; (konzentrische Kugeloberflächen) 1 2 „)“ falsch, da KD \ KD ¤ ; für c1 ¤ c2 , jjc1  c2 jj < r1 ; r2 möglich 1 2  K \ K ¤ ; () c1 D c2 1 2 Begründung: „)“ falsch, da K \ K ¤ ; mit c1 ¤ c2 möglich 1 2 ; K für c D c1 D c2 „(“ wahr, da c 2 K

Lösungen

203

1 1  KD \ HD ¤ ; () aT1 c1 D b1 1 Begründung: „)“ falsch, falls HD Tangentialhyperebene der Kugeloberfläche ist 1 1 „(“ wahr, da c1 2 HD Mittelpunkt von KD ist

Lösung 12.4  M  Rn beschränkt ) Rn n M unbeschränkt Begründung: Die Differenzmenge der unbeschränkten Menge Rn und der beschränkten Teilmenge M ist unbeschränkt.  Rn n M unbeschränkt ) M  Rn beschränkt Begründung: M D RnC ) M  Rn , aber M unbeschränkt  Es gibt eine Menge M  Rn , so dass M und Rn n M beschränkt sind. Begründung: Mit M; Rn n M beschränkt müsste auch die Vereinigung M [ Rn n M D Rn beschränkt sein.  Es gibt eine Menge M  Rn , so dass M und Rn n M abgeschlossen sind. Begründung: M D ; ) M und Rn n M D Rn abgeschlossen Für eine offene Menge M1  Rn und eine abgeschlossene Menge M2  Rn gilt:  M1  M2 () M1 [ M2 abgeschlossen Begründung: M1  M2 ) M1 [ M2 D M2 ist abgeschlossen  M1  M2 () M1 \ M2 offen Begründung: M1  M2 ) M1 \ M2 D M1 ist offen

Lösung 12.5

! ! 1 1 Für die Vektoren a D ;b D gilt: 0 1  Mit allen Linearkombinationen der Form x D r1 a C r2 b .r1 ; r2 2 R/ kann man den gesamten R2 erreichen. Begründung: Für r1 ; r2  0 erhält man alle Vektoren zwischen a und b, für r1 ; r2  0 alle Vektoren zwischen a und b. Für r1 < 0; r2  0 bzw. r1  0; r2 < 0 wird der R2 vervollständigt.  Mit allen Linearkombinationen der Form x D r1 a C r2 b .r1 ; r2  0/ kann man den gesam! ten R2C erreichen. 0 Begründung: Der Punkt c D kann beispielsweise nicht erreicht werden, da 1 ! ! ! 0 1 1 D r1 C r2 für r1 ; r2  0 nicht lösbar ist. 1 0 1  Die Vektoren x D r1 a C r2 b .r1 ; r2 2 R; r1 C r2 D 1/ spannen eine unbeschränkte Teilmenge des R2 auf. ! ! ! 1 1 1 C .1  r1 / D Begründung: Mit r1 C r2 D 1 gilt x D r1 0 1 1  r1 ! 1 liegen auf einer Parallelen zur Ordinate. ) Alle Punkte x D 1  r1

12 Punktmengen im Rn

204

Lösung 12.6  Hyperebenen im Rn sind konvex. Begründung: Mit x1 ; x2 2 HD gehören auch alle Punkte z D rx1 C .1  r/x2 mit r 2 Œ0; 1 zur Hyperebene, also z 2 HD .  Kugeloberflächen im Rn sind konvex. Begründung: Mit x1 ; x2 2 KD erhält man für c D 12 x1 C 12 x2 den Mittelpunkt der Kugel, der nicht zur Kugeloberfläche gehört.  Eine konvexe Menge im Rn mit genau 3 Eckpunkten ist ein Dreieck im Rn . Begründung: Die Aussage ist nur richtig für abgeschlossene konvexe Polyeder mit drei Ecken, also 2-Simplexe, nicht für offene konvexe Mengen.  Eine Kugel im Rn hat unendlich viele Eckpunkte. Begründung: Jeder Punkt der Kugeloberfläche erfüllt die Bedingungen eines Eckpunktes.

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 12.7

0 1 0 1 0 1 1 1 2 B C B C B C a) a D @ 0 A, b D @1A, c D @ 1 A 1  12 0 2 Winkel zwischen den Vektoren a; b D ^a; b q q p jjajj  jjbjj D 1 C 0 C 14 4 C 1 C 0 D 54  5 D 52 q q q p jjajj  jjcjj D 1 C 0 C 14 1 C 1 C 14 D 54  94 D 34 5 q q p p jjbjj  jjcjj D 4 C 1 C 0 1 C 1 C 14 D 5  94 D 32 5 2 aT b D 5 D 45 ) ^a; b 36:87ı jjajj  jjbjj 2 3 aT c 4 D 3p cos.^a; c/ D D p15 ) ^a; c 63:435ı jjajj  jjcjj 5 4 3 bT c D 3 p D p25 ) ^b; c 26:565ı cos.^b; c/ D jjbjj  jjcjj 2 5

) cos.^a; b/ D

b) aT x D bT x D 0 ) x1 C 12 x3 D 0; 2x1  x2 D 0; ) xT D .x1 ; 2x1 ; 2x1 / jjxjj D 1 () x12 C 4x12 C 4x12 D 1 ) x12 D 19 bzw. x1 D ˙ 13     Lösung: xT D 13 ; 23 ;  23 oder xT D  13 ;  23 ; 23

Lösungen

205

Lösung 12.8 jja C bjj D jja  bjj () .a1 C b1 /2 C .a2 C b2 /2 D .a1  b1 /2 C .a2  b2 /2 () a12 C 2a1 b1 C b12 C a22 C 2a2 b2 C b22 D a12  2a1 b1 C b12 C a22  2a2 b2 C b22 () 2a1 b1 C 2a2 b2 D 2a1 b1  2a2 b2 () 4a1 b1 C 4a2 b2 D 0 () a1 b1 C a2 b2 D 0

Lösung 12.9 a)

x2 4 3 2 1

x2 4 3 2 1

M1 x1 1 2 3 4 5 x2 4 3 2 1 3 2 1

b)

M3

M2  x1 1 2 3 4 5 x2

x1

4 3 2 1

1 2 3

Aussage M1 ist abgeschlossen M2 ist abgeschlossen M3 ist offen M2 ist beschränkt M2 ist konvex M3 ist konvex M4 ist konvex .x1 ; x2 / D .0; 3/ ist innerer Punkt von M1 .x1 ; x2 / D .2; 1/ ist Randpunkt von M2 .x1 ; x2 / D .0; 0/ ist Randpunkt von M3 .x1 ; x2 / D .0; 3/ ist Eckpunkt von M1 .x1 ; x2 / D .2; 1/ ist Eckpunkt von M2

M4 x1 1 2 3 4 5 wahr     

falsch

      

12 Punktmengen im Rn

206

Lösung 12.10 a)

x2 6 5 4 3 2 1

M2

M1

x1

1 2 3 4 5

b) c) d) e)

Die x2 -Achse gehört zu M2 , die Kreislinie rechts der x2 -Achse nicht. ˇˇ ! ˇˇ ! ! ˇˇ2 ! ˇˇ2 ˇˇ ˇˇ 1 ˇˇ 2 0 ˇˇˇˇ 0 ˇˇ ˇ ˇˇ ˇ   ˇˇ D 12 C 12 D 2I ˇˇ ˇˇ D 22 C 12 D 5 ˇˇ ˇˇ 3 ˇˇ 3 4 ˇˇ 4 ˇˇ ! 1 innerer Punkt von M2 (wegen b); M1 besitzt keinen inneren Punkt 3 ´ ! ! !μ 0 2 4 M3 D ; ; , M4 D ; 6 3 0 offen: M4 abgeschlossen: M1 ; M3 ; M4 konvex: M1 ; M2 ; M4 nicht offen: M1 ; M2 ; M3 nicht abgeschlossen: M2 nicht konvex: M3

Lösung 12.11 a)

x2

x2 2

2

M2 1

1

2 1

M1

x2

x1

x1 1

2

1 M1 liegt rechts unterhalb der Winkelhalbierenden mit Rand

2

1

1 1

M2 links oberhalb der Kurve mit Rand

x1

M3 1 1

M3 als Dreieck ohne Rand

Lösungen

!

207

! 0 D 2 M1 \ M2 0

b)

x1 x2

c)

Menge M1 offen nein abgeschlossen ja ! ! x1 y1 ; 2 M1 ) x1 x2 y2

d)

M2 nein ja

M3 ja nein

M4 nein ja

M5 ja nein

 0; y1  0; x2  x1 ; y2  y1 μ ) z1 D rx1 C .1  r/y1  0 für r 2 Œ0; 1 z2 D rx2 C .1  r/y2  rx1 C .1  r/y1 D z1 ! z1 2 M1 ) z2

Lösung 12.12 a)

x2

x2

2

2 1 

1 M1 1

x1 1

2

 1

M1 liegt links oberhalb der gestrichelten Linie ohne Rand Eigenschaft M1 M2 M3

2 M2  1

1 x1

1 

1

b)

x2

offen C  

M2 entspricht den beiden Strecken im 1. und 3. Quadranten abgeschlossen  C C

konvex C  

x1 M3

1

1 M3 liegt links der x2 -Achse und unterhalb der Parabel

12 Punktmengen im Rn

208

c)

x2 x2

2

2

M1 [ M3

A

1

1 

x1

B x1 1 1

2

1

1

1 1

M1 \ M2 entspricht der Strecke AB mit   A D .0; 1/; B D 12 ; 12 einschließlich A; ausschließlich B: Man erhält ein halboffenes Intervall, das konvex ist.

M1 [ M3 entspricht der hellblauen Fläche und ist wegen .1; 2/; .0; 2/ 2 M1 [ M3 ; aber 12 .1; 2/ C 12 .0; 2/   D 12 ; 0 … M1 [ M3 nicht konvex.

Lösung 12.13

! ! ! 1 2 c1 T D2)cD a) a D ; c 2 M2 ) a c D .2; 0/ c2 c2 0 q T 2 a c D q cos.^a; c/ D 12 D ) 1 C c22 D 2 ) 1 C c22 D 4 jjajj  jjcjj 2 2 1 C c2 ! ! p 1 1 p ) c2 D ˙ 3 ) c1 D p ; c2 D 3  3 ! 1 2 p b) M1 D Œc; a nur definiert für c < a, also c D  3 p  3

x2

p  3

1

p  3

1 a 1

1 p  3

x2

c2

c1

1

x1

x1

2 M1

x2

1 1 p  3

a

2

M2

1 1 p  3

x1

2

c2

M1 entspricht einem Rechteck zwischen c2 und a. M2 ist eine Gerade parallel zur x2 -Achse mit x1 D 1. M3 entspricht für c1 der Dreiecksfläche über der x1 -Achse, für c2 der Dreiecksfläche unter der x1 -Achse.

Lösungen

209

! ! ! ! 2 1 2 1 p ; p ; ; c) Eckpunkte zu M1 :  3 0 0  3 ! ! ! ! ! 0 2 0 2 1 ; ; ; ; p bzw. Eckpunkte zu M3 : 3 0 0 0 0

1 p  3

!

M2 besitzt keinen Eckpunkt.

Lösung 12.14 x2

a)

x2 

4 3 2 1

   

x1

1 2 3 4

x2

x1

5 4 3 2 1

M2 als Strecke ohne Eckpunkte M1 ja nein nein

M2 nein ja ja ´

M3 ja ja ja ! 2 ; 2

b) M1 \ M2 D ;; M1 \ M3 D ´ ! ! 0 1 ; ; M1 [ M 3 D M 3 [ 0 1

x1

M3 als Kreisfläche mit Rand,   Mittelpunkt 33 und Radius 2

! 3 ; 3

! 5 ; 5



1 2 3 4 5

1 2 3 4

M1 als Menge einzelner Punkte Menge abgeschlossen beschränkt konvex

8 7 6 5 4 3 2 1

!μ 4 ; 4 ! μ

6 ;::: 6

innere Punkte gibt es nicht. c) M1 ; M2 bestehen ˇˇ ˇˇ nur aus!Randpunkten, ˇˇ 3 ˇˇˇˇ ˇˇ Für ˇˇx  M3 : ˇˇ < 2 erhält man alle inneren Punkte, ˇˇ 3 ˇˇ ˇˇ ! ˇˇ ˇˇ 3 ˇˇˇˇ ˇˇ für ˇˇx  ˇˇ D 2 alle Randpunkte. ˇˇ 3 ˇˇ M1 \ M2 besitzt nach b) weder innere noch Randpunkte, M1 \ M3 besteht nur aus Randpunkten. M1 [ M3 enthält die inneren Punkte und Randpunkte wie M3 , ferner die Randpunkte .n; n/ für n D 0; 1; 5; 6; : : :

12 Punktmengen im Rn

210

Lösung 12.15 a)

x2

x2

3

3

2

2

1

I1  I 2

I2  I 2

1 x1

2

1

1

2

3

Eckpunkte: .2; 0/; .2; 0/; .2; 2/; .2; 2/ b)

x2 4 3 2 1

x1 1

M x1 1 2 3 4

M als Kreisbogen     ohne 30 ; 03

3

Eckpunkte: .0; 0/; .2; 0/; .2; 2/; .0; 2/

x2 4 3 2 1

2

x2

B x1 1 2 3 4 B als Dreieck mit Rand

4 3 2 1

 

x1

1 2 3 4 M \ B entspricht den Kreisbogenstücken     innerhalb des Dreiecks B ohne 30 ; 03

M ist beschränkt, nicht konvex. B ist beschränkt und konvex. M \ B ist beschränkt, nicht konvex. M \ B D Menge aller Quantitäten x1 ; x2 der zwei zu mischenden Flüssigkeiten, die der „Produktionsgleichung“ genügen und im Rahmen des Einkaufsbudgets liegen.

Lösungen

211

Lösung 12.16 a) M ist konvex und´kompakt !μ 0 Eckpunkte: E [ mit E D ¹x 2 R2 W x12 C x2 D 0; x1 2 Œ1; 1º 2 x2 4 3 2 M

1

x1 2

1 1 M mit Rand

1

2

b) c

x2 

2 b S

6

5

4

3

a

1 

2

x1 1 1 2 3

!

Mittelpunkt des Kreises 

4

2 innerer Punkt von S (zulässig) 0:5 ! 3 bD Randpunkt von S (zulässig) 1 ! 4 cD äußerer Punkt von S (nicht zulässig) 2

aD

1

13 Vektorräume Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 13.1 *  Für jeden Vektorraum V  Rn gilt a 2 V () a 2 V .  Für jede Teilmenge V  Rn mit o 2 V gilt: V ist Vektorraum.  V  Rn ist Vektorraum ) o 2 V .  V  Rn ist Vektorraum mit a; b; c 2 V ) r1 a C r2 b C r3 c 2 V für alle r1 ; r2 ; r3 2 R.

Verständnisfrage 13.2 ***  Die Menge Rk ist für alle k 2 N ein Vektorraum.  Jede Hyperebene H  Rn , die den Nullpunkt o 2 Rn enthält, ist ein Vektorraum.  Jede Hyperebene H D ¹x 2 Rn W aT x D b; x1 D 0º mit a 2 Rn ; b 2 R ist ein Vektorraum.  Jede Hyperebene H  Rn vereinigt mit ¹oº  Rn ist ein Vektorraum.

Verständnisfrage 13.3 ** Für zwei Vektorräume V1 ; V2 2 Rn ; V1 ¤ ;; V2 ¤ ; gilt:  V1 \ V2 ist Vektorraum, falls V1 \ V2 ¤ ;.  V1 [ V2 ist Vektorraum.  V1  V2 ist Vektorraum.

Verständnisfrage 13.4 **  Die Vektoren a1 ; : : : ; am 2 Rn sind linear unabhängig ) a1 ; : : : ; am1 2 Rn sind linear unabhängig.  Die Vektoren a1 ; : : : ; am 2 Rn sind linear abhängig ) a1 ; : : : ; am1 2 Rn sind linear abhängig.  Streicht man in einem Vektorraum einen Basisvektor, so verringert sich die Dimension.  Erweitert man die Basis eines Vektorraums um einen Vektor, so erhöht sich die Dimension.

214

13 Vektorräume

Verständnisfrage 13.5 ** ¹b1 ; : : : ; bm º ist die Basis eines Vektorraums V  Rn . Dann gilt: m P  Mit c D ri bi und ri ¤ 0 für alle i D 1; : : : ; m kann jedes beliebige bi gegen c i D1

ausgetauscht werden.  Jeder Einheitsvektor ej 2 Rn kann in die Basis aufgenommen werden, wobei ein bi 2 V dafür weichen muss.  Besteht eine Basis des Rn aus den Einheitsvektoren e1 ; : : : ; en , so kann jeder Einheitsvektor gegen den Vektor aT D .1; : : : ; 1/ 2 Rn ausgetauscht werden.

Verständnisfrage 13.6 **  Eine von der Nullmatrix verschiedene mn-Matrix .m; n 2 N/ hat mindestens den Rang 1.  Eine m  n-Matrix mit mindestens zwei vom Nullvektor verschiedenen Zeilen hat mindestens den Rang 2.  Eine n  n-Diagonalmatrix .n 2 N/, deren Hauptdiagonalkomponenten alle ¤ 0 sind, hat den Rang n.  Durch elementare Zeilenumformungen in einer mn-Matrix wird die Dimension des durch die Zeilenvektoren aufgespannten Vektorraums (=Zeilenraum) nicht verändert.  Der Rang einer Matrix entspricht der Dimension des Zeilenraums einer Matrix.

Rechenaufgaben

215

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 13.7 * Gegeben0 sind 1 die fünf folgenden 0 1 Vektoren: 0 1 1 1 1 B C B C B C C C B B B a1 D @1A ; a2 D @ 2 A ; a3 D @3C A; 2 1 1

1

0 7

B C C bDB @17A ; 4

1

0 7

B C C cDB @12A 9

a) Überprüfen Sie, ob die drei Vektoren a1 ; a2 und a3 eine Basis des R darstellen. 3

b) Bestätigen Sie die beiden folgenden Gleichungen: b D a1 C 2a2 C 4a3 c

D

4a1 C a2 C 2a3

c) Bestimmen Sie – falls möglich – eine Basis des R3 , die die Vektoren b und c enthält. d) Wie viele Möglichkeiten kann es höchstens geben, aus den Vektoren a1 ; a2 ; a3 ; b und c unterschiedliche Basen im R3 zu bilden?

Rechenaufgabe 13.8 *** Gegeben0 sind 1 die folgenden 0 1Vektoren: 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 B C B C B C B C B C B C B C B C B C B a1 D @0A ; a2 D @0A ; b1 D @0A ; b2 D @1A ; b3 D @1C A 0 1 0 1 1 Ermitteln Sie die durch die Mengen ¹a1 ; a2 º bzw. ¹b1 ; b2 ; b3 º erklärten Vektorräume Va ; Vb und prüfen Sie, welche der Mengen Va \ Vb und Va [ Vb wieder einen Vektorraum darstellen. Bestimmen Sie gegebenenfalls für die erhaltenen Vektorräume deren Dimension.

Rechenaufgabe 13.9 *** Gegeben sind die m  n-Matrizen A und B mit Rg A D m; Rg B D m  1 sowie der Vektor a 2 Rn mit a ¤ o. Welche der Mengen erfüllen die Eigenschaften eines Vektorraums? V1

D

¹x 2 Rn W x1 C x2 C x3 D 0º

V2

D

¹x 2 Rn W x1 D x2 º

V3

D

¹x 2 Rn W aT x D 1º

V4

D

¹x 2 Rn W Ax D aº

V5

D

¹x 2 Rn W Bx D oº

Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Basis sowie die Dimension des Vektorraums.

216

13 Vektorräume

Rechenaufgabe 13.10 * Gegeben ist die Matrix:

0

1 1

B A D .a1 ; a2 ; a3 ; a4 / D B @0

0

1

1

2 1

1

1 1 C 2C A 0

a) Bestimmen Sie den Rang der Matrix A. b) Zeigen Sie, dass die Vektoren a1 ; a2 linear unabhängig, je drei der Vektoren a1 ; a2 ; a3 ; a4 linear abhängig sind. c) Stellen Sie a3 und a4 als Linearkombination von a1 und a2 dar. d) Stellen Sie – falls möglich – den dritten Zeilenvektor der Matrix A durch eine Linearkombination der übrigen beiden Zeilenvektoren dar.

Rechenaufgabe 13.11 ** Gegeben ist die folgende Matrix: 0 1 1 B 1 2 3 4 B A D .a ; a ; a ; a / D @2 1 2 0

1 3

2

C 1C A 1 2 2

a) Zeigen Sie, dass die Vektoren a1 ; a2 ; a3 linear unabhängig, die Vektoren a1 ; a2 ; a4 linear abhängig sind. b) Inwiefern hängt der Rang der Matrizen .2a1 ; 5a2 ; 3a3 /, .a1 C a2 ; a2 ; a1 C a3 /, .a1 C a2 ; a2 C a3 ; a3  a1 / von der Lösung a) ab?

Rechenaufgabe 13.12 *** Gegeben ist die folgende0von den zwei1Parametern a; b abhängige Matrix: 3 1 b B C 1 2 3 C .x ; x .a/; x .b// D B @1 a 3 A 2 0 2 a) Bestimmen Sie die Menge aller a 2 R, für die die Spaltenvektoren x1 ; x2 .a/ linear unabhängig sind. b) Bestimmen Sie die Menge aller .a; b/ 2 R2 , für die die Spaltenvektoren x1 ; x2 .a/; x3 .b/ linear abhängig sind. c) Diskutieren Sie den Rang der Matrizen .x1 ; x2 .a/; x3 .1// bzw. .x1 ; x2 .1/; x3 .b// in Abhängigkeit von a bzw. b.

Lösungen

217

Lösungen Verständnisfragen Lösung 13.1  Für jeden Vektorraum V  Rn gilt a 2 V () a 2 V . Begründung: a 2 V ) ra 2 V für alle r 2 R ) a 2 V für r D 1  Für jede Teilmenge V  Rn mit o 2 V gilt: V ist Vektorraum. Begründung: V D ¹o; aº .a ¤ o/. Damit ist V kein Vektorraum.  V  Rn ist Vektorraum ) o 2 V . Begründung: a 2 V ) ra 2 V für alle r 2 R ) o 2 V für r D 0  V  Rn ist Vektorraum mit a; b; c 2 V ) r1 a C r2 b C r3 c 2 V für alle r1 ; r2 ; r3 2 R. Begründung: Mit a; b; c 2 V gilt auch a C b C c 2 V und ra 2 V .

Lösung 13.2  Die Menge Rk ist für alle k 2 N ein Vektorraum. Begründung: Addition und Skalarmultiplikation sind in Rk .k 2 N/ erklärt.  Jede Hyperebene H  Rn , die den Nullpunkt o 2 Rn enthält, ist ein Vektorraum. Begründung: Für die Hyperebene H  Rn mit o 2 H gilt: aT x D 0 Daraus folgt: Mit x 2 H gilt auch rx 2 H wegen aT  rx D 0 und mit x1 ; x2 2 H auch aT .x1 C x2 / D aT x1 C aT x2 D 0 C 0 D 0.  Jede Hyperebene H D ¹x 2 Rn W aT x D b; x1 D 0º mit a 2 Rn ; b 2 R ist ein Vektorraum. Begründung: Mit x 2 H .x1 D 0/ gilt aT x D b; aT rx D rb, also rx … H für r ¤ 1 und b ¤ 0.  Jede Hyperebene H  Rn vereinigt mit ¹oº  Rn ist ein Vektorraum. Begründung: x 2 H ) aT x D b ) rx mit aT rx D rb … H für r ¤ 1

Lösung 13.3 Für zwei Vektorräume V1 ; V2 2 Rn ; V1 ¤ ;; V2 ¤ ; gilt:  V1 \ V2 ist Vektorraum, falls V1 \ V2 ¤ ; Begründung: x1 ; x2 2 V1 ; V2 ) rx1 ; rx2 2 V1 ; V2 ; x1 C x2 2 V1 ; V2 ) V1 \ V2 ist Vektorraum  V1 [ V2 ist Vektorraum Begründung: Im R2 sind die x-Achse und die y-Achse jeweils Vektorräume V1 bzw. V2 . Für xT1 D .1; 0/ 2 V1 und xT2 D .0; 1/ 2 V2 gilt jedoch xT1 C xT2 D .1; 1/ … V1 [ V2 .  V1  V2 ist Vektorraum Begründung: .x1 ; x2 /.y1 ; y2 / 2 V1  V2 ) r1 x1 C s1 y1 2 V1 ; r2 x2 C s2 y2 2 V2 für r1 ; r2 ; s1 ; s2 2 R ) .r1 x1 C s1 y1 ; r2 x2 C s2 y2 / 2 V1  V2

218

13 Vektorräume

Lösung 13.4  Die Vektoren a1 ; : : : ; am 2 Rn sind linear unabhängig ) a1 ; : : : ; am1 2 Rn sind linear unabhängig. Begründung: Wären a1 ; : : : ; am1 2 Rn linear abhängig, dann auch a1 ; : : : ; am 2 Rn .  Die Vektoren a1 ; : : : ; am 2 Rn sind linear abhängig ) a1 ; : : : ; am1 2 Rn sind linear abhängig. Begründung: Die Einheitsvektoren e1 ; e2 ; e3 und e1 C e2 C e3 2 R3 sind linear abhängig, aber nicht die Vektoren e1 ; e2 ; e3 .  Streicht man in einem Vektorraum einen Basisvektor, so verringert sich die Dimension. Begründung: Die Dimension eines Vektorraums V entspricht genau der Maximalzahl linear abhängiger Vektoren in V .  Erweitert man die Basis eines Vektorraums um einen Vektor, so erhöht sich die Dimension. Begründung: Die Erweiterung der Basis eines Vektorraums um Vektor a bedeutet, dass sich a linear kombinieren lässt.

Lösung 13.5 ¹b1 ; : : : ; bm º ist die Basis eines Vektorraums V  Rn . Dann gilt: m P  Mit c D ri bi und ri ¤ 0 für alle i D 1; : : : ; m kann jedes beliebige bi gegen c i D1

ausgetauscht werden. Begründung: Für ri ¤ 0 ist ein Austausch von bi gegen c möglich.  Jeder Einheitsvektor ej 2 Rn kann in die Basis aufgenommen werden, wobei ein bi 2 V dafür weichen muss. m P Begründung: Für ej D ri bi mit ri ¤ 0 für mindestens ein i kann bi gegen ej ausgei D1

tauscht werden.  Besteht eine Basis des Rn aus den Einheitsvektoren e1 ; : : : ; en , so kann jeder Einheitsvektor gegen den Vektor aT D .1; : : : ; 1/ 2 Rn ausgetauscht werden. n P Begründung: a D ri ei mit ri D 1 für alle i ) ei gegen a austauschbar i D1

Lösung 13.6  Eine von der Nullmatrix verschiedene mn-Matrix .m; n 2 N/ hat mindestens den Rang 1. Begründung: Ein von o verschiedener Zeilen- oder Spaltenvektor besitzt den Rang 1.  Eine m  n-Matrix mit mindestens zwei vom Nullvektor verschiedenen Zeilen hat mindestens den Rang 2. Begründung: Sind alle Zeilen ein Vielfaches einer Zeile bzw. Nullvektoren, so ergibt sich der Rang 1.  Eine n  n-Diagonalmatrix .n 2 N/, deren Hauptdiagonalkomponenten alle ¤ 0 sind, hat den Rang n. Begründung: Die Matrix besteht zeilen- oder spaltenweise aus den Vektoren r1 e1 ; : : : ; rn en , die linear unabhängig sind. Damit ergibt sich Rang D n.

Lösungen

219

 Durch elementare Zeilenumformungen in einer mn-Matrix wird die Dimension des durch die Zeilenvektoren aufgespannten Vektorraums (=Zeilenraum) nicht verändert. I Die elementaren Zeilenumformungen entsprechen Basisaustauschschritten Begründung : in Vektorräumen, die die Dimension des Zeilen- oder Spaltenraums und damit den Rang einer Matrix nicht verändern.  Der Rang einer Matrix entspricht der Dimension des Zeilenraums einer Matrix. I Begründung: siehe 

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 13.7 a)

Zeile

Basis

a1

a2

a3

Operation

1 

e1

1

1

1

2  3  4 

e2 e3 a1

1 2 1

2 1 1

3 1 1

1 

5 

e2

0

1

2

2  1 

6  7  8 

e3 a1 a2

0 1 0

3 0 1

1 1 2

3 1 2  4  5  5 

9 

e3

0

0

5

6 C3 5 

10  11  12 

a1 a2 a3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 7 9 C 5  2 8 9    5 1 9   5

) Die Vektoren a1 ; a2 ; a3 sind linear unabhängig und bilden damit eine Basis des R3 . 0 1 0 1 0 1 0 1 7 1 1 1 B C B C B C B C b) a1 C 2a2 C 4a3 D @1A C 2 @ 2 A C 4 @3A D @17A D b 4 1 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1 7 1 1 1 B C B C B C B C 4a1 C a2 C 2a3 D 4 @1A C @ 2 A C 2 @3A D @12A D c 9 1 1 2

220

13 Vektorräume

c) Nach b) gilt beispielsweise: a1 D b  2a2  4a3 sowie c D 4.b  2a2  4a3 / C a2 C 2a3 D 4b  7a2  14a3 ) 7a2 D 4b  c  14a3 ) a2 D 47 b  17 c  2a3 Also ist ein Basistausch von a1 gegen b bzw. von a2 gegen c möglich und ¹a3 ; b; cº ist eine Basis des R3 . d) Kombination 3. Ordnung aus 5 Vektoren ohne Wiederholung und ohne Reihenfolge ) 5 D 10 mögliche Basen 3

Lösung 13.8

0 1 0 1 1 1 B C B C 3 C r r1 ; r2 2 Rº mit dim Va D 2 Va D ¹x 2 R W x D r1 @0A 2 @0A ; 0 1 0 1 0 1 1 0 B C B C 3 Vb D ¹x 2 R W x D r3 @0A C r4 @1A ; r3 ; r4 2 Rº mit dim Vb D 2 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 B C B C B C wegen b1 C b2 D @0A C @1A D @1A D b3 1 1 0 0 1 Daraus folgt: 1 B C Va \ Vb D ¹x 2 R3 W x D r1 @0A ; r1 2 Rº ist ein Vektorraum mit dim.Va \ Vb / D 1 0 0 1 0 1 0 1 B C B C Für Va [ Vb gilt: @0A ; @1A 2 Va [ Vb 1 1 Andererseits gilt: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 B C B C B C B C B C B C … V D @0A C @1A @1A a wegen @1A ¤ r1 @0A C r2 @0A für alle r1 ; r2 2 R 2 1 2 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 B C B C B C B C B C B C bzw. @0A C @1A D @1A … Vb wegen @1A ¤ r3 @0A C r4 @1A für alle r3 ; r4 2 R. 2 1 2 1 0 1 0 1 1 B C Damit ist der Vektor @1A auch nicht Element von Va [ Vb . Va [ Vb ist also kein Vektorraum. 2

Lösungen

221

Lösung 13.9 x; y 2 V1 ; r 2 R ) x C y 2 V1 wegen x1 C x2 C x3 D 0; y1 C y2 C y3 D 0 ) .x1 C y1 / C .x2 C y2 / C .x3 C y3 / D 0 ) rx 2 V1 wegen r.x1 C x2 C x3 / D 0 V1 ist ein Vektorraum mit Vektoren der Form xT D .x1 ; x2 ; : : : ; xn /, wobei x1 D x2  x3 , also mit maximal n1 linear unabhängigen Vektoren in der Basis, z.B. e2 e1 ; e3 e1 ; e4 ; : : : ; en . Ferner ist dim V1 D n  1. x; y 2 V2 ; r 2 R ) x C y 2 V2 wegen x1  x2 D 0; y1  y2 D 0 ) .x1 C y1 /  .x2 C y2 / D 0 ) rx 2 V2 wegen r.x1  x2 / D 0 V2 ist ein Vektorraum mit Vektoren der Form xT D .x2 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn / Damit ist dim V2 D n  1. Eine Basis ist z.B. e1 C e2 ; e3 ; : : : ; en . x; y 2 V3 ; r 2 R ) x C y … V3 wegen aT .x C y/ D aT x C aT y D 2. Ebenso gilt rx … V3 für r ¤ 1. V3 ist kein Vektorraum. x; y 2 V4 ; r 2 R ) x C y … V4 wegen A.x C y/ D Ax C Ay D 2a. Ebenso gilt rx … V4 . V4 ist kein Vektorraum. x; y 2 V5 ; r 2 R ) x C y 2 V5 wegen B.x C y/ D Bx C By D o ) rx 2 V5 wegen B.rx/ D rBx D o V5 ist ein Vektorraum mit Vektoren der Form xT D .x1 ; : : : ; xn / Wegen Rg B D m  1 besitzt B maximal m  1 linear unabhängige Zeilenvektoren. Wegen Bx D o und m1 < n gilt dim V5 D m2. Eine Basis besteht z.B. aus m2 Einheitsvektoren der Form ej .

222

13 Vektorräume

Lösung 13.10 a)

Zeile

Basis

a1

a2

a3

a4

1 

e1

1

1

0

1

2  3  4 

e2 e3 a1

0 2 1

1 1 1

1 1 0

2 0 1

1 

5 

e2

0

1

1

2

2 

6  7  8  9 

e3 a1 a2 e3

0 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

2 1 2 0

3 1 2  4 5 C  5  6  5 

Operation

) Rg A D 2 7  8 ) a1 ; a2 sind linear unabhängig, je drei der Vektoren sind linear abhängig b) Zeile , 7  8 ) a3 D a1 C a2 , a4 D a1 C 2a2 c) Zeile , d) .2; 1; 1; 0/ D r1 .1; 1; 0; 1/ C r2 .0; 1; 1; 2/ ) 2 D r1 ; 1 D r1 C r2 ; 1 D r2 ; 0 D r1 C 2r2 ) r1 D 2; r2 D 1 ) 2-mal 1. Zeile + 2. Zeile = 3. Zeile

Lösung 13.11 a)

Zeile

Basis

a1

a2

a3

a4

1 

e1

1

1

3

2

2  3  4 

e2 e3 a1

2 2 1

1 0 1

2 1 3

1 2 2

1 

5 

e2

0

1

4

3

2 1 2 

6  7  8  9 

e3 a1 a2 e3

0 1 0 0

2 0 1 0

5 1 4 3

6 1 3 0

3 1 2  4 5 C  5  6 5 2 

Operation

7 , 8 : 9 Die Vektoren a1 ; a2 ; a3 sind linear unabhängig Zeile , 7 : 8 a4 D a1 C 3a2 , also sind die Vektoren a1 ; a2 ; a4 linear abhängig Zeile ,

Lösungen

223

b) a1 ; a2 ; a3 linear unabhängig () .r1 a1 C r2 a2 C r3 a3 D o ) r1 D r2 D r3 D 0/ Daraus folgt einerseits: .2r1 a1 C 5r2 a2  3r3 a3 D o ) r1 D r2 D r3 D 0/ ) 2a1 ; 5a2 ; 3a3 linear unabhängig und andererseits: r1 .a1 C a2 / C r2 a2 C r3 .a1 C a3 / D .r1 C r3 /a1 C .r1 C r2 /a2 C r3 a3 D o ) r1 C r3 D r1 C r2 D r3 D 0 ) r1 D r2 D r3 D 0 Dagegen sind die Vektoren a1 C a2 ; a2 C a3 ; a3  a1 wegen .a1 C a2 /  .a2 C a3 / C .a3  a1 / D o linear abhängig.

Lösung 13.12

1 0 1 r 3 B C B C a) Wegen @1A ¤ @raA für alle r; a 2 R sind x1 ; x2 .a/ linear unabhängig für alle a 2 R. 0 2 0

b) Wir bestimmen Rg .x1 ; x2 .a/; x3 .b//: Basis x1 x2 .a/ Zeile 1  e1 3 1 2  e2 1 a

x3 .b/ b 3

Operation

3 

e3

2

0

2

4 

x1

1

0

1

5 

e1

0

1

bC3

1 3 2  3 1 3   2

6  7  8  9 

e2 x1 x2 .a/ e2

0 1 0 0

a 0 1 0

2 1 bC3 2  a.b C 3/

1 2 3 C 2  4  5  6 5 a 

Ergebnis: Rg .x1 ; x2 .a/; x3 .b// D 2 für 2  a.b C 3/ D 0 D 3 für 2  a.b C 3/ ¤ 0 Für alle .a; b/ 2 A D ¹.a; b/ 2 R  R W 2 D a.b C 3/º sind die Vektoren x1 ; x2 .a/; x3 .b/ linear abhängig. 1 0 3 1 1 C B c) Rg .x1 ; x2 .a/; x3 .1// D Rg @1 a 3 A D 2 für a D 1 2 0 2 D 3 für a ¤ 1 1 0 3 1 b C B 1 2 3 Rg .x ; x .1/; x .b// D Rg @1 1 3 A D 2 für b D 5 2 0 2 D 3 für b ¤ 5

14 Lineare Gleichungssysteme Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 14.1 * Für ein homogenes lineares Gleichungssystem HGS gilt:  HGS ist stets lösbar.  Wenn HGS mit n 2 N Gleichungen und n 2 N Variablen lösbar ist, ist die Lösung eindeutig.  HGS mit mehr Gleichungen als Variablen ist unlösbar.  HGS mit weniger Gleichungen als Variablen besitzt unendlich viele Lösungen.

Verständnisfrage 14.2 * Für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem IGS gilt:  IGS mit n 2 N Gleichungen und n 2 N Variablen ist stets eindeutig lösbar.  IGS mit mehr Gleichungen als Variablen ist stets unlösbar.  IGS mit mehr Gleichungen als Variablen kann lösbar sein.  IGS mit weniger Gleichungen als Variablen ist stets lösbar.  IGS mit weniger Gleichungen als Variablen kann unlösbar sein.

Verständnisfrage 14.3 ** Gegeben sind die m  n-Matrizen A; B; C; die n  n-Diagonalmatrix D mit Rang n sowie die Vektoren b; x 2 Rn . Dann gilt:  Ax D b lösbar () xT AT D bT lösbar  Ax D Bx ist stets lösbar  ABT Cx D b ist stets unlösbar  ADx D b kann lösbar sein  DT x D b ist eindeutig lösbar

226

14 Lineare Gleichungssysteme

Verständnisfrage 14.4 *** Gegeben ist das homogene Gleichungssystem Ax D o mit m Gleichungen und n Variablen sowie n  m D 2. Dann gilt:  Mit x1 ; x2 als Lösungen ist auch jede Linearkombination eine Lösung von Ax D o.  In jeder Lösung x sind zwei beliebige Komponenten frei wählbar.  Die Menge aller Lösungen ist ein Vektorraum der Dimension  2.

Verständnisfrage 14.5 *** Gegeben ist ein lösbares inhomogenes Gleichungssystem Ax D b mit m Gleichungen und n Variablen sowie n  m D 2. Dann gilt:  Mit x1 ; x2 als Lösungen ist auch jede Linearkombination eine Lösung von Ax D b.  In jeder Lösung x können zwei Komponenten frei gewählt werden.  Die Menge aller Lösungen ist ein Vektorraum der Dimension 1.

Rechenaufgaben

227

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 14.6 * a) Prüfen Sie, welches der folgenden Gleichungssysteme keine Lösung, genau eine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen besitzt, und geben Sie jeweils eine geeignete Begründung an. Eine explizite Angabe von Lösungen ist nicht erforderlich. I)

3x1 6x1

II)

3x1



x2

D

7

C 2x2

D

14



D

0

x2

III)



x1 2x1

IV)

x1



x3

D

1

C 4x2

C 2x3

D

2



C

D

1

2x2

2x2

x3

0 2x1 C 4x2 C 2x3 D 2 6x1 C 2x2 D b) Für zwei lineare Gleichungssysteme hat die Durchführung des Gaußalgorithmus folgende Endtableaus geliefert: x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 1

0

0

1

2

1

0

3

1

4

0

0

1

1

1

0

1

7

2

1

0

0

0

0

2

Geben Sie für jedes der Gleichungssysteme die Lösungsmenge an.

Rechenaufgabe 14.7 * Gegeben sind folgende Gleichungssysteme: .G1 / x1 C x2 C x3 D 4 x1

C

x2



x3

D

0

.G2 /

3x1

C x2

C 2x3

D

3

x1

C x2

C

D

2

x3

2x1 C x3 D 1 x1  x2 C x3 D 2 a) Welches der beiden Gleichungssysteme besitzt keine Lösung, eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen? b) Wie verändert sich die Lösungsmenge von .G1 /, wenn die Gleichung x1 C x2 C x3 D 2 zusätzlich berücksichtigt werden soll? c) Wie verändert sich die Lösungsmenge von .G2 /, wenn die Gleichung 2x1 C x3 D 1 entfallen soll? d) Bestimmen Sie für .G1 / und .G2 /, falls möglich, eine Lösung mit x3 D 1.

228

14 Lineare Gleichungssysteme

Rechenaufgabe 14.8 * a) Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren des R4 linear unabhängig sind: T

T

T

x1 D .1; 2; 3; 4/; x2 D .1; 1; 1; 1/; x3 D .2; 1; 2; 2/ b) Welche der Vektoren x1 ; x2 ; x3 lösen das folgende Gleichungssystem: 3x1  x2 C 2x3 C x4 D 1 x4 D 2 2x1  2x2 C 3x3  x1  3x2 C 4x3  3x4 D 3 C x3 C 3x4 D 0 4x1 c) Geben Sie die allgemeine Lösung des Gleichungssystems an.

Rechenaufgabe 14.9 ** Ein Teegroßhändler führt drei Sorten Tee: Darjeeling, Nepal und Java mit den Anfangsbeständen x1 ; x2 ; x3 . Der Lagerbestand zu Beginn der ersten Woche beträgt 32 Tonnen. Nach der ersten (zweiten) Woche hat er 25 % (50 %) des Bestandes an Darjeeling und jeweils 20 % (40 %) des Bestandes an Nepal bzw. Java verkauft. Der Lagerbestand beträgt nach der ersten (zweiten) Woche 25 (18) Tonnen. Nach der dritten Woche hat er bei einem Gesamtlagerbestand von 5.2 Tonnen noch Vorräte von 10 % Darjeeling und jeweils 20 % Nepal bzw. Java (im Vergleich zu deren Anfangsbeständen). a) Formulieren Sie ein lineares Gleichungssystem mit den unbekannten Variablen x1 ; x2 ; x3 , das alle gegebenen Informationen angemessen wiedergibt. b) Ermitteln Sie alle ökonomisch sinnvollen Lösungen des Gleichungssystems. c) Verwerten Sie  falls möglich  die zusätzliche Information, dass zu Beginn der ersten Woche der Vorrat an Darjeeling um 20 % höher war als der Vorrat an Nepal. Wie verändert sich damit die Lösung von b)?

Rechenaufgabe 14.10 ** Eine Firma kauft bei gleichbleibenden Preisen p1 ; p2 ; p3 und vier Bestellungen folgende Mengen der Rohstoffe R1 ; R2 ; R3 ein: Bestellungen

1

2

3

4

R1 R2 R3

4 1 2

1 3 1

2 1 2

6 2 4

Rechnungsbetrag in EUR

1 200

600

800

2 000

a) Beschreiben Sie die Problemstellung durch ein Gleichungssystem mit den Unbekannten p1 ; p 2 ; p 3 . b) Berechnen Sie die Preise p1 ; p2 ; p3 der Rohstoffe.

Rechenaufgaben

229

c) Weshalb ergibt sich genau eine Lösung? d) Welcher Rechnungsbetrag ergibt sich bei einer fünften Bestellung von je 2 Einheiten der drei Rohstoffe, wenn die Preise gegenüber a) um 5 % angehoben wurden?

Rechenaufgabe 14.11 ** Ein mittelständischer Unternehmer hat einen Auftrag für vier Produkte vorliegen. Die Produkte lassen sich aus vier Rohstoffen herstellen, wobei je Endprodukt unterschiedliche Mengenkombinationen an Rohstoffen benötigt werden, wie aus der folgenden Tabelle ersichtlich ist: 1 Endprodukt

1 2 3 4

1 1 0 0

Rohstoff 2 3 4 1 2 1 0

2 3 1 0

0 1 2 1

nachgefragte Menge 4 7 3 1

Es sind die Mengen x1 ; x2 ; x3 ; x4 der Rohstoffe zu ermitteln, wenn weder Rohstoffe noch Endprodukte übrig bleiben sollen. a) Der Sohn des Unternehmers, ein frischgebackener Betriebswirt, teilt dem Vater mit, dass das Problem unlösbar sei. Beweisen Sie dies, indem Sie das Gleichungssystem aufstellen und untersuchen. b) Weiterhin führt der Sohn aus: Könnte man den Auftrag so ändern, dass 4 Einheiten von Produkt 3 zu liefern sind, so gäbe es nicht nur die Lösung .x1 ; x2 ; x3 ; x4 / D .2; 2; 0; 1/, sondern sehr viele mehr. Beweisen Sie dies durch Untersuchung des neuen Gleichungssystems und geben Sie die Lösungsmenge an. Achten Sie dabei darauf, dass die Lösungsmenge ökonomisch sinnvoll ist.

Rechenaufgabe 14.12 *** Die Abteilungen A1 ; A2 ; A3 eines Betriebes sind durch mengenmäßige Leistungen aij .i; j D 1; 2; 3/ von Ai nach Aj gegenseitig verbunden. Jede der Abteilungen gibt ferner Leistungen bi .i D 1; 2; 3/ an den Markt ab und hat sogenannte Primärkosten ci .i D 1; 2; 3/ zu tragen. Gegeben sind die folgenden Daten: 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 c1 b1 40 50 0 10 10 C C B C B C B C B B C C B C B C B C B A D .aij /3;3 D B @20 0 10A ; @b2 A D @70A ; @c2 A D @170A 60 60 30 10 0 b3 c3 a) Formulieren Sie mit den Variablen x1 ; x2 ; x3 als den innerbetrieblichen Verrechnungspreisen ein lineares Gleichungssystem für ein innerbetriebliches Kostengleichgewicht der Abteilungen A1 ; A2 ; A3 . b) Lösen Sie das Gleichungssystem von a) und interpretieren Sie das Ergebnis.

230

14 Lineare Gleichungssysteme

Rechenaufgabe 14.13 ** Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem für ein Marktgleichgewicht mit xN = Nachfragemenge, xA = Angebotsmenge, xP = Preis pro Mengeneinheit, t = Steuer pro angebotener Mengeneinheit: xN D a  bxP a; b > 0 (Nachfragefunktion) xA

D

c C d.xP  t/

xN

D

xA

c; d > 0

(Angebotsfunktion) (Marktgleichgewicht)

a) Zeigen Sie, dass sich das gegebene Gleichungssystem in die Form Ax D b überführen lässt mit 0 1 0 1 0 1 a 1 0 b xN B C C B B C B C C B C ADB @0 1 d A ; x D @ xA A ; b D @c  dt A xP 0 1 1 0 und berechnen Sie die Lösung x. b) Interpretieren Sie volkswirtschaftlich, weshalb die Lösung des Gleichungssystems eindeutig ist.

Rechenaufgabe 14.14 *** Lösen Sie das folgende Gleichungssystem in Abhängigkeit von a und b: 0 1 0 1 0 1 x1 2 1 0 0 1 B C B C B C B0 1 1 1 C Bx2 C B3C B CB CDB C B C B C B C 0 A @x3 A @1A @0 0 a 0 0 1 0 b x4 Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem a) keine Lösung, d.h. L D ;, b) genau eine Lösung, d.h. jLj D 1, c) mehrere Lösungen, d.h. jLj > 1? d) Geben Sie für a D 1 und b D 0 die Lösungsmenge L des Gleichungssystems an.

Rechenaufgaben

231

Rechenaufgabe 14.15 ** Bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax D b ergab sich das folgende Tableau: x1

x2

x3

b

1

1

1

1

0

1

aC2

2

0

0

.3 C a/.2  a/

2a

a) Für welchen Wert a hat das Gleichungssystem keine Lösung? b) Bestimmen Sie die Werte von a so, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat. c) Begründen Sie, dass das Gleichungssystem für a D 2 lösbar ist und mehr als eine Lösung besitzt. d) Geben Sie für a D 0 und a D 2 alle Lösungen des Gleichungssystems an.

232

14 Lineare Gleichungssysteme

Lösungen Verständnisfragen Lösung 14.1 Für ein homogenes lineares Gleichungssystem HGS gilt:  HGS ist stets lösbar. I HGS Ax D o hat stets die Lösung x D o Begründung :  Wenn HGS mit n 2 N Gleichungen und n 2 N Variablen lösbar ist, ist die Lösung eindeutig. Begründung: x1 C x2 D 0; 2x1 C 2x2 D 0 ) es gibt unendlich viele Lösungen mit x1 D x2  HGS mit mehr Gleichungen als Variablen ist unlösbar. I Begründung: siehe   HGS mit weniger Gleichungen als Variablen besitzt unendlich viele Lösungen. Begründung: Rg A entspricht höchstens dem Zeilenrang von A. Damit gibt es lineare Abhängigkeiten in den Spalten von A. HGS besitzt unendlich viele Lösungen.

Lösung 14.2 Für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem IGS gilt:  IGS mit n 2 N Gleichungen und n 2 N Variablen ist stets eindeutig lösbar. Begründung: x1 C x2 D 1; x1 C x2 D 2 ist unlösbar  IGS mit mehr Gleichungen als Variablen ist stets unlösbar. I Bei ausreichender linearer Abhängigkeit in den Zeilen der KoeffizientenBegründung : matrix einschließlich dem Konstantenvektor kann IGS lösbar sein.  IGS mit mehr Gleichungen als Variablen kann lösbar sein. I Begründung: siehe   IGS mit weniger Gleichungen als Variablen ist stets lösbar. II x1 C x2 C x3 C x4 D 1; x1 C x2 C x3 C x4 D 2 ist unlösbar Begründung :  IGS mit weniger Gleichungen als Variablen kann unlösbar sein. II Begründung: siehe 

Lösung 14.3 Gegeben sind die m  n-Matrizen A; B; C; die n  n-Diagonalmatrix D mit Rang n sowie die Vektoren b; x 2 Rn . Dann gilt:  Ax D b lösbar () xT AT D bT lösbar Begründung: Ax D b () .Ax/T D bT () xT AT D bT  Ax D Bx ist stets lösbar Begründung: Ax D Bx () .A  B/x D o ) x D o ist Lösung  ABT Cx D b ist stets unlösbar Begründung: G D ABT C W .m  n-Matrix/  .n  m-Matrix/  .m  n-Matrix) ergibt eine m  n-Matrix ) Gx D ABT Cx D b kann für beliebige m; n 2 N lösbar sein

Lösungen

 ADx D b kann lösbar sein Begründung: AD ist m  n-Matrix ) ADx D b kann lösbar sein  DT x D b ist eindeutig lösbar Begründung: mit di 6D 0 als Hauptdiagonalelement von D gilt: xi D

233

bi di

.i D 1; : : : ; n/

Lösung 14.4 Gegeben ist das homogene Gleichungssystem Ax D o mit m Gleichungen und n Variablen sowie n  m D 2. Dann gilt:  Mit x1 ; x2 als Lösungen ist auch jede Linearkombination eine Lösung von Ax D o. Begründung: Ax1 D Ax2 D o ) A.r1 x1 C r2 x2 / D r1 Ax1 C r2 Ax2 D o C o D o  In jeder Lösung x sind zwei beliebige Komponenten frei wählbar. Begründung: x1 C x2 D 0; x1 C x2 C x3 C x4 D 0, also m D 2; n D 4 Dennoch sind die Variablen x1 ; x2 nicht gleichzeitig frei wählbar.  Die Menge aller Lösungen ist ein Vektorraum der Dimension  2. Begründung: Es existieren mindestens 2 linear unabhängige Lösungen x1 ; x2 2 Rn und damit ist jeder Vektor r1 x1 C r2 x2 2 Rn Lösung. Die Lösungen bilden damit einen Vektorraum der Dimension  2.

Lösung 14.5 Gegeben ist ein lösbares inhomogenes Gleichungssystem Ax D b mit m Gleichungen und n Variablen sowie n  m D 2. Dann gilt:  Mit x1 ; x2 als Lösungen ist auch jede Linearkombination eine Lösung von Ax D b.  Begründung: Ax1 D Ax2 D b ) A r1 x1 C r2 x2 D r1 Ax1 C r2 Ax2 D r1 b C r2 b 6D b für r1 C r2 6D 1  In jeder Lösung x können zwei Komponenten frei gewählt werden. Begründung: Rg A entspricht höchstens dem Zeilenrang von A, also höchstens m D n  2. Damit sind zwei Komponenten frei wählbar, jedoch nicht beliebig.  Die Menge aller Lösungen ist ein Vektorraum der Dimension 1. Begründung: Für die Menge aller Lösungen ergibt sich wegen n  m D 2 ein Vektorraum der Dimension  2.

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 14.6 a) Für ein lineares Gleichungssystem Ax D b mit x 2 Rn gilt: Rg A < Rg .Ajb/ () Ax D b nicht lösbar Rg A D Rg .Ajb/ D n () Ax D b eindeutig lösbar Rg A D Rg .Ajb/ < n () Ax D b besitzt unendlich viele Lösungen Daraus folgt ! ! 3 1 3 1 7 für I): Rg D Rg D 1, also unendlich viele Lösungen 6 2 6 2 14

234

3 für II): Rg 6

14 Lineare Gleichungssysteme

! 1 D Rg 2

3 1 6 2

0 0

! D 2, also eine eindeutige Lösung

! ! 2 1 1 2 1 1 D 1 < 2 D Rg , also keine Lösung 2 4 2 2 4 2 ! ! 1 2 1 1 2 1 1 für IV): Rg D Rg D 2, also unendlich viele Lösun2 4 2 2 2 4 2 gen b) 1. Endtableau: inhomogene Lösung: xIT D .2; 0; 1; 0/; T allgemeine homogene Lösung: xH D r1 .0; 1; 0; 0/ C r2 .1; 0; 1; 1/ ) 4 T L1 D ¹x 2 R W x D .2; 0; 1; 0/ C r1 .0; 1; 0; 0/ C r2 .1; 0; 1; 1/; r1 ; r2 2 Rº 2. Endtableau: aus der letzten Zeile folgt L2 D ; 1 für III): Rg 2

Lösung 14.7 a) G1 : Zeile 1  2  3  4  5  6 

x1 1 1 1 1 0 0

x2 1 1 1 1 0 2

x3 1 1 1 1 2 0

Operation 4 0 2 4 4 2

1  2  1  3  1 

eindeutige Lösung: xT D .1; 1; 2/ G2 : Zeile 1  2  3  4  5  6  7  8 

x1 3 1 2 1 0 0 1 0

x2 1 1 0 1 2 2 0 1

x3 2 1 1 1 1 1

Operation 3 2 1 2 3 3

2  3 2 2  1 2 3  1 1 1 4 5 C  2 2 2 1 3 1 5  2  2 2     unendlich viele Lösungen: xT D 12 ; 32 ; 0 C r  12 ;  12 ; 1 ; r 2 R b) zusätzlich x1 C x2 C x3 D 1 C 1 C 2 D 2 ) eindeutige Lösung bleibt 3 ) 6 c) streichen von 2x1 C x3 D 1 ) keine Änderung der Lösung (Zeile , d) x3 D 1 in G1 nicht möglich, da eindeutige Lösung mit x3 D 2 x3 D 1 in G2 möglich ) neue eindeutige Lösung .r D 1/I xT D .0; 1; 1/

Lösungen

235

Lösung 14.8

0

1 0 T x1 1 B TC B a) Wir berechnen den Rang von B D @x2 A D @ 1 T 2 x3

2 3 1 1 1 2

Zeile

Basis

b1

b2

b3

b4

1 

e1

1

2

3

4

2  3  4 

e2 e3 b1

1 2 1

1 1 2

1 2 3

1 2 4

1 

5 

e2

0

1

4

5

2  1 

6  7  8  9 

e3 b1 b2 e3

0 1 0 0

5 0 1 0

8 5 4 12

10 6 5 15

3 1 C2  4 5 C2  5  6 5 C5 

1 4 C 1A: 2

Operation

wegen Rg B D 3 sind die Vektoren x1 ; x2 ; x3 linear unabhängig b) Durch Einsetzen der Vektoren x1 ; x2 ; x3 in das Gleichungssystem folgt: x1 ist keine Lösung, x2 ; x3 sind Lösungen. c)

Operation

Zeile 1  2 

x1 3 2

x2 1 2

x3 2 3

x4 1 1

1 2

3 

1

3

4

3

3

4  5 

4 1

0 3

1 4

3 3

0 3

6 

0

4

5

5

7  8  9  10 

0 0 1 0

4 4 0 1

5 5

5 5

4

4 4 1 3 0 4 4 5  54 1 4 0 1 0 B1C B C spezielle inhomogene Lösung: x1 D B C @0A 0

3  2 3 2  1  2  3  4 2 2  3 5 6 C 4  1 6   4

236

14 Lineare Gleichungssysteme

8 ˆ ˆ ˆ
> > = B 5 C B 5 C B 4 C B 4C 4 allgemeine homogene Lösung: LH D x 2 R W x D r1 B C C r2 B C ; r1 ; r2 2 R ˆ > @ 1 A @ 0 A ˆ > ˆ > : ; 0 1 8 9 0 1 0 11 0 31 0 4 4 ˆ > ˆ > ˆ > < B1C = B 5 C B 5 C B C B 4 C B 4C 4 allgemeine Lösung: L D x 2 R W x D B C C r1 B C C r2 B C ; r1 ; r2 2 R ˆ > @0A @ 1 A @ 0 A ˆ > ˆ > : ; 0 0 1

Lösung 14.9 a) Lagerbestand zu Beginn: Lagerbestand nach der 1.Woche: Lagerbestand nach der 2.Woche: Lagerbestand nach der 3.Woche: b)

x1 0:75x1 0:5x1 0:1x1

C x2 C 0:8x2 C 0:6x2 C 0:2x2

C C C C

x3 0:8x3 0:6x3 0:2x3

D 32 D 25 D 18 D 5:2

Operation

Zeile

x1

x2

x3

1 

1

1

1

32

2  3  4  5  6  7 

0.75 0.5 0.1 1 0 0

0.8 0.6 0.2 1 0.05 0.1

0.8 0.6 0.2 1 0.05 0.1

25 18 5.2 32 1 2

1  2 1 0:75  3 1 0:5 

8 

0

0.1

0.1

2

4 1 0:1 

9  10 

1 0

0 1

0 1

12 20

5 8 10  8 10

6 , 7  8 identisch Zeilen , 6  7 streichen ) z.B. ,

L D ¹x 2 R3C W x1 D 12; x2 C x3 D 20º ) Anfangsbestand Darjeeling x1 D 12 Anfangsbestand Nepal + Java x2 C x3 D 20, wobei die Einzelbestände von Nepal und Java nicht ermittelt werden können. c) x1 D 1:2x2 D 12 ) x2 D 10 ) x3 D 10

Lösungen

237

Lösung 14.10 C C C C

C C C C

D D D D

a)

4p1 p1 2p1 6p1

b)

Zeile 1 

p1 4

p2 1

p3 2

1 200

2 

1

3

1

600

3  4  5 

2 6 1

1 2 3

2 4 1

800 2 000 600

2 

6 

0

5

0

400

3 2 2 

7  8  9  10  11 

0 0 1 0 0

1 0 0 1 0

2 0 1 0 2

400 0 360 80 320

1 3 2  4  1  3  3 5 6 C 5  6  15  1 7 6  5 

p2 3p2 p2 2p2

2p3 p3 2p3 4p3

1 200 600 800 2 000 Operation

also .p1 ; p2 ; p3 / D .200; 80; 160/ 0 1 0 4 1 2 4 1 2 B 1 3 1 B1 3 1C B C B c) Rg B C D Rg B @ 2 1 2 @2 1 2A 6 2 4 6 2 4

1 200 600 800 2 000

1 C C CD3 A

d) neuer Preisvektor: .q1 ; q2 ; q3 / D .210; 84; 168/ Rechnungsbetrag für Bestellvektor .2; 2; 2/ W 420 C 168 C 336 D 924

238

14 Lineare Gleichungssysteme

Lösung 14.11 a) x1 x1

C x2 C 2x2 x2

C C C

2x3 3x3 x3

C x4 C 2x4 x4

D D D D

4 7 3 1 Operation

Zeile

x1

x2

x3

x4

1 

1

1

2

0

4

2  3  4  5 

1 0 0 1

2 1 0 1

3 1 0 2

1 2 1 0

7 3 1 4

1 

6 

0

1

1

1

3

2  1 

7  8 

0 0

1 0

1 0

1 1

2 1

3  4  4 

3 durch 0 b) Man ersetzt die Zeile  7 durch 0 1 1 1 und die Zeile  Damit erhält man weiter: Zeile x1 x2 x3 x4 9  1 0 1 1 10  0 1 1 1 11 

0

12  13  14 

1 0 0

0

0

1

³

Widerspruch: das Problem ist nicht lösbar

1 1 2 | 4 | 3.

1 3

Operation 5  6  6 

1

8 

7 entfällt 

9 11 C  10  11  11  9 0 1 0 1 1 2 > > > = B1C B2C C B C B 4 Lösungsmenge L D x 2 RC W x D B C C r B C ; r 2 R > ˆ @1A @0A > ˆ > ˆ ; : 0 1 bzw. x  o8) 2  r  0; r  0 ) r 2 Œ0; 2 9 0 1 0 1 1 2 ˆ > ˆ > ˆ > < = B1C B2C B C B C 4 L D x 2 R W x D B C C r B C ; r 2 Œ0; 2 ˆ > @1A @0A ˆ > ˆ > : ; 0 1

0 1 0

1 1 0 8 ˆ ˆ ˆ
0 ist die Lösung eindeutig und damit existiert auch ein eindeutiges Marktgleichgewicht. Ferner gibt b > 0 an, um wie viele Einheiten die Nachfrage xN sinkt, wenn der Preis xP um eine Einheit steigt; d > 0 gibt an, um wie viele Einheiten das Angebot xA steigt, wenn der steuerbereinigte Preis xP um eine Einheit steigt.

Lösungen

241

Lösung 14.14 Zeile

x1

x2

x3

x4

1 

1

0

0

1

2

2  3  4  5  6 

0 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 a 0 0 0

1 0 b 1 b

3 1 0 2 0

7 

0

0

1

0

1 a

8  9 

0 1

0 0

0 0

1b 0

3 C a1 3aC1 2 C a.1b/

10 

0

1

0

0

 b.3aC1/ a.1b/

1 3 a  1 2 C 4 3   a 1 5 8 C   1b b 6 8  1b 

11 

0

0

1

0

1 a 3aC1 a.1b/

1 8  1b

12 

0

Operation

0 0 1  3aC1 ;  b.3aC1/ .x1 ; x2 ; x3 ; x4 / D 2 C a.1b/ a.1b/ ;

1 3aC1 a ; a.1b/

1  4 

7 



für a 6D 0; b 6D 1

1 3 oder b D 1; a 6D  (Zeile ) 8 a) L D ; für a D 0 (Zeile ) 3 9 bis , 12 angegebene Lösung) b) jLj D 1 für a 6D 0; b 6D 1 (Zeilen  5 bis ) 8 mit c) jLj > 1 für b D 1; a D  13 (Zeilen  8 9 0 1 0 1 2 1 ˆ > ˆ > ˆ > < B0C = B1C C C B B 4 L D x 2 R W x D B C C r1 B C ; r1 2 R ˆ > @3A @0A ˆ > ˆ > : ; 0 1

80 19 ˆ > ˆ 6 > ˆ =

B C d) Für a D 1; b D 0 existiert genau eine Lösung: L D B C > ˆ@1A> ˆ > ˆ ; : 4

242

14 Lineare Gleichungssysteme

Lösung 14.15 a) letzte Tableauzeile: .3 C a/.2  a/x3 D .2  a/ für a D 3 gilt 0 D 5 ) es existiert keine Lösung b) letzte Tableauzeile: .3 C a/.2  a/ 6D 0 ) a 6D 3 und a 6D 2 c) a D 2 )

x1 1 0 0

x2 1 1 0

x3 1 4 0

1 2 0

Rg A D Rg .Ajb/ D 2 ) es existieren unendlich viel Lösungen d)

aD0 x1 x2 x3 1 1 1 1 0 1 2 2 0 0 6 2 ) x3 D 13 x2 D 2  2x3 D 43 x1 D 1  x2 C x3 D 2   xT D 2; 43 ; 13

aD2 x1 x2 x3 1 1 1 1 0 1 4 2 0 0 0 0 ) x3 D r 2 R x2 D 2  4x3 D 2  4r x1 D 1  x2 C x3 D 1  2 C 4r C r D 3 C 5r Wir erhalten die Lösungsmenge 9 8 0 1 0 1 > ˆ 5 3 = < B C B C 3 L D x 2 R W x D @ 2 A C r @4A ; r 2 R > ˆ ; : 1 0

15 Lineare Abbildungen Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 15.1 * Für jede lineare Abbildung mit der m  n-Matrix A gilt:  mn  m>n  Rg A D min¹m; nº  Rg A < min¹m; nº

Verständnisfrage 15.2 * Für jede lineare Abbildung f W Rn ! Rm gilt:  f .o/ D o    f x1 6D o für alle x1 6D 0        f x1 C x2 D f x1 C f x2        f x1  x2 D f x1  f x2        f x1  x2 D f x1  f x2

Verständnisfrage 15.3 * Für die linearen Abbildungen f; g W Rn ! Rm gilt:  f C g ist definiert  f ı g ist nur für m D n definiert  f Cg DgCf  f ıg Dgıf

244

15 Lineare Abbildungen

Verständnisfrage 15.4 ** Gegeben sind die n  n-Matrizen A D .aij /n;n ; C D .cij /n;n ; D D .dij /n;n mit ´ D 0 für i 6D j cij ; dij . Dann gilt: 6D 0 für i D j  C und D sind invertierbar  .CD/1 D D1 C1  .CD/1 D C1 D1  AAT D C ) die Zeilenvektoren von A sind paarweise senkrecht

Verständnisfrage 15.5 **  Sind die Matrizen A; B invertierbar, dann auch AB und BA.  Sind die Matrizen A; B orthogonal, dann auch A C B und B C A.  Ist eine Diagonalmatrix D orthogonal, so ist sie die Einheitsmatrix.  Es gibt neben der Einheitsmatrix eine weitere Matrix A, die mit ihrer Inversen identisch ist.  Jede symmetrische Matrix ist invertierbar.  Jede obere oder untere Dreiecksmatrix mit von 0 verschiedenen Hauptdiagonal-Komponenten ist invertierbar.

Verständnisfrage 15.6 ** Gegeben ist eine n  n-Matrix A sowie das lineare Gleichungssystem Ax D b. Dann gilt:  Ax D b besitzt genau 1 Lösung () A1 existiert.  Ax D b besitzt genau 1 Lösung () A1 x D b besitzt genau 1 Lösung.  Rg A D k < n () Ax D b besitzt genau 1 Lösung x, bei der n  k Komponenten D 0 sind.

Rechenaufgaben

245

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 15.7 * Gegeben sind folgende lineare Abbildungen: ! 1 2 3 x f1 W R3 ! R2 mit f1 .x/ D 3 4 2 0 1 1 0 0 B C C f2 W R3 ! R3 mit f2 .x/ D B @0 1 1A x 1 0 1 1 0 1 0 C B f3 W R2 ! R3 mit f3 .x/ D B 1C Ax @0 1 1 Bestimmen Sie – falls möglich – die zusammengesetzten Abbildungen f1 ı f2 ; f1 ı f3 ; f1 ı f2 ı f3 und f3 ı f2 ı f1 : Welche der Abbildungen sind surjektiv, injektiv, bijektiv?

Rechenaufgabe 15.8 *

  Gegeben ist die lineare Abbildung f W R ! R mit f .x/ D Ax sowie die Punkte 0 , 0     1 und 1 . 0 2 a) Skizzieren Sie das durch die angegebenen Punkte definierte Dreieck. 2

2

b) Bestimmen Sie die lineare Abbildung f mit f .0; 0/ D .0; 0/; f .1; 0/ D .0; 1/; f .1; 2/ D .2; 1/. c) Skizzieren Sie das durch die Bildpunkte aus b) definierte Dreieck. d) Interpretieren Sie die Abbildung f mit Hilfe von a) und c). e) Geben Sie – falls möglich – die inverse Abbildung f 1 an und interpretieren Sie Ihr Ergebnis mit Hilfe von c).

Rechenaufgabe 15.9 * f W R3 ! R3 und g W R3 ! R4 sind lineare Abbildungen mit 1 0 1 0 1 1 1 1 0 2 C B B0 2 2C C B C: B C B f .x/ D Fx; F D @0 1 1 A bzw. g.y/ D Gy; G D B C @2 2 6A 0 1 1 0 1 1 Welche der folgenden Abbildungen f 1 ; g 1 ; g ı f; .g ı f /1 ; f ı g; .f ı g/1 existieren? Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie gegebenenfalls die Abbildungen an.

246

15 Lineare Abbildungen

Rechenaufgabe 15.10 *** In einem Unternehmen werden 4 Produkte P1 ; P2 ; P3 ; P4 in den Mengen x1 ; x2 ; x3 ; x4 auf 4 Maschinen M1 ; M2 ; M3 ; M4 gefertigt. Die folgende Tabelle gibt die für eine Einheit von Pi .i D 1; 2; 3; 4/ auf Maschine Mj .j D 1; 2; 3; 4/ benötigten Zeiteinheiten an: M1

M2

M3

M4

P1

0

1

1

0

P2

1

0

0

1

P3

0

1

0

1

P4

1

1

1

0

An den Maschinen entstehen pro Zeiteinheit folgende Kosten in Geldeinheiten: Strom

Öl

Personal

Reparatur

M1

0

3

3

0

M2

2

0

1

0

M3

0

3

0

2

M4

1

0

2

1

a) Geben Sie in matrizieller Form die linearen Abbildungen an für 1) den Zeitvektor in Abhängigkeit vom Produktmengenvektor, 2) den Kostenvektor in Abhängigkeit vom Zeitvektor, 3) den Kostenvektor in Abhängigkeit vom Produktmengenvektor. b) Welchen Zeitaufwand an den einzelnen Maschinen bewirkt die Produktion von xT D .250; 100; 50; 350/? Welcher Kostenvektor entsteht dabei? c) Nennen Sie zwei Möglichkeiten, wie man diejenigen Produktmengen x1 ; x2 ; x3 und x4 berechnen kann, bei denen ein vorgegebener Kostenvektor entsteht. Formulieren Sie dabei lediglich die Ansätze, ein numerisches Ergebnis ist nicht erforderlich. T

d) Wie kann man ausgehend von einem festen Kostenvektor z D .145; 315; 230; 135/ mit Hilfe von a) und b) auf den dazu passenden Zeit- und Produktmengenvektor schließen?

Rechenaufgaben

247

Rechenaufgabe 15.11 ** Gegeben ist folgende Input-Output-Tabelle: H an H HH Landwirtschaft Verkehr von H H Landwirtschaft 100 100 200

Verkehr

Endverbrauch 300

100

100

a) Geben Sie den Gesamtoutput der Sektoren Landwirtschaft und Verkehr an. b) Berechnen Sie die Matrix A der Input-Output-Koeffizienten, sowie E  A und .E  A/1 . c) Berechnen Sie mit Hilfe von EA den Endverbrauchsvektorfür einen Outputvektor .600; 500/. d) Berechnen Sie mit Hilfe von .EA/1 den Outputvektor, wenn der Endverbrauch für beide Sektoren gegenüber den Tabellenangaben um 10 % ansteigt.

Rechenaufgabe 15.12 * Gegeben sind die Matrizen 0 ! b1 B 1 0 ; BDB AD @ b4 a0 1 b5

1 0 b2 b6

0

C 0C A; b3

CD

c1

c2

c2

c1

!

mit a0 ; b1 ; : : : ; b6 ; c1 ; c2 2 R. a) Invertieren Sie – falls möglich – A. b) Wie ist a0 zu wählen, dass A orthogonal ist? c) Zeigen Sie: B ist orthogonal () B ist Diagonalmatrix mit b1 D ˙1; b2 D ˙1; b3 D ˙1 d) Zeigen Sie: C ist orthogonal () c1 D ˙1; c2 D 0 oder c1 D 0; c2 D ˙1

Rechenaufgabe 15.13 ** Gegeben sind die Matrizen 0 1 1 1 1 1 B C B1 1 1 1C C; ADB B C @1 1 1 1A 1 1 1 1 a) Zeigen Sie, dass

1 2

0 1 B B1 BDB B @1 1

1 1 1 0 0 1 0 0

1 1 C 0C C C 0A 1

A orthogonal ist.

b) Berechnen Sie – falls möglich – A1 und B1 . c) Lösen Sie das Gleichungssystem ABx D c mit xT D .x1 ; x2 ; x3 ; x4 /; cT D .1; 2; 3; 4/ unter Verwendung von b).

248

15 Lineare Abbildungen

Rechenaufgabe 15.14 ** Gegeben sind die Matrizen: 0 1 1 1 1 C 1B AD B 1 1 1 C @ A 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 B C 1 1 1 C 1B 1 C CD B p p C 2B 0 A @ 2  2 0 p p 2  2 0 0

0 p 1 p 3 2 8 3 2 p C p 1 B B6 4 2 4 2C BD @ 10 p p A 0 5 2 5 2 0 1 1 0 0 0 B C 1 B0 2 0 0C C DD B C 4B @0 0 4 0A 0

0 0

8

a) Welche der Matrizen sind orthogonal? b) Bestimmen Sie für alle Matrizen den Rang und gegebenenfalls die inversen Matrizen. c) Berechnen Sie die Matrix X, die der Gleichung CXCT D D genügt.

Lösungen

249

Lösungen Verständnisfragen Lösung 15.1 Für jede lineare Abbildung mit der m  n-Matrix A gilt:  mn I Es muss lediglich m; n 2 N erfüllt sein. Begründung :  m>n I Begründung: siehe   Rg A D min¹m; nº I Begründung: siehe   Rg A < min¹m; nº I Begründung: siehe 

Lösung 15.2 Für jede lineare Abbildung f W Rn ! Rm gilt:  f .o/ D o Begründung: f .o/ D A  o D o    f x1 6D o für alle x1 6D 0 ! ! ! ! !  1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 Begründung: x D ; AD ) f x D Ax D D 1 1 1 1 1 1 0  1   1  2 2  f x Cx D f x Cf x       I f r1 x1 C r2 x2 D r1 f x1 C r2 f x2 gilt auch für r1 D r2 D 1 Begründung :        f x1  x2 D f x1  f x2 I für r1 D 1; r2 D 1 Begründung: siehe   1 2  1    f x  x D f x  f x2 Begründung: Produkt x1  x2 zweier Spaltenvektoren ist nicht definiert.

Lösung 15.3 Für die linearen Abbildungen f; g W Rn ! Rm gilt:  f C g ist definiert Begründung: f .x/ D Ax; g.x/ D Bx; f C g .x/ D .A C B/x  f ı g ist nur für m D n definiert Begründung: f .x/ D Ax; g.x/ D Bx mit m  n-Matrizen A; B ) f ı g .x/ D ABx, wobei AB nur für m D n definiert ist.  f Cg DgCf Begründung: f .x/ C g.x/ D Ax C Bx D Bx C Ax D g.x/ C f .x/  f ıg Dgıf Begründung: f ı g ist nur definiert für m D n, ferner gilt im Allgemeinen AB 6D BA.

250

15 Lineare Abbildungen

Lösung 15.4 Gegeben ´ sind die n  n-Matrizen A D .aij /n;n ; C D .cij /n;n ; D D .dij /n;n mit D 0 für i 6D j . Dann gilt: cij ; dij 6D 0 für i D j  C und D sind invertierbar Begründung: C und D sind Diagonalmatrizen mit ci i ; di i in den Hauptdiagonalen ) C1 ; D1 sind Diagonalmatrizen mit c1 ; d1 in den Hauptdiagonalen und es gilt: ii ii C1 C D D1 D D E  .CD/1 D D1 C1 I CD; .CD/1 ; C1 D1 ; D1 C1 sind Diagonalmatrizen mit ci i di i bzw. Begründung : 1 ci i di i in der Hauptdiagonalen.  .CD/1 D C1 D1 I Begründung: siehe  T  AA D C ) die Zeilenvektoren von A sind paarweise senkrecht Begründung: aiT aj D cij D 0 für i 6D j (Andererseits sind die Zeilenvektoren wegen aiT ai D ci i nicht notwendig normiert.)

Lösung 15.5  Sind die Matrizen A; B invertierbar, dann auch AB und BA. Begründung: Es existieren A1 ; B1 ) .AB/1 D B1 A1 ; .BA/1 D A1 B1  Sind die Matrizen A; B orthogonal, dann auch A C B und B C A. Begründung: Es gilt AT A D BT B D E ) .A C B/T .A C B/ D AT A C BT A C AT B C BT B 6D E.  Ist eine Diagonalmatrix D orthogonal, so ist sie die Einheitsmatrix. I DT D D E gilt auch für D mit di i D 1 Begründung :  Es gibt neben der Einheitsmatrix eine weitere Matrix A, die mit ihrer Inversen identisch ist. I Begründung: siehe   Jede symmetrische Matrix ist invertierbar. ! 1 1 Begründung: Zu A D mit Rg A D 1 existiert kein A1 . 1 1  Jede obere oder untere Dreiecksmatrix mit von 0 verschiedenen Hauptdiagonal-Komponenten ist invertierbar. Begründung: Ax D b mit A als oberer Dreiecksmatrix ist eindeutig lösbar: der Reihe nach berechnen von xn ; xn1 ; : : : ; x1 (analog bei unterer Dreiecksmatrix) ) A1 existiert und es gilt x D A1 b.

Lösungen

251

Lösung 15.6 Gegeben ist eine n  n-Matrix A sowie das lineare Gleichungssystem Ax D b. Dann gilt:  Ax D b besitzt genau 1 Lösung () A1 existiert. Begründung: Rg A D Rg .Ajb/ D n ) A1 existiert  Ax D b besitzt genau 1 Lösung () A1 x D b besitzt genau 1 Lösung. Begründung: Ax D b () x D A1 b A1 x D b () x D Ab  Rg A D k < n () Ax D b besitzt genau 1 Lösung x, bei der n  k Komponenten D 0 sind. 10 1 0 1 0 x1 1 0 1 3 CB C B C B Begründung: Ax D @0 1 1A @x2 A D @2A mit Rg A D 2 1 1 2 5 x3 T

T

) x1 D .3; 2; 0/ und x2 D .1; 0; 2/ sind Lösungen

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 15.7 .f1 ı f2 / .x/ D

1 0 4 C 1A x D 5 1

0 1 ! ! x1 2 5 B C 4x1 C 2x2 C 5x3 @x2 A D 5x1 C 4x2 C 6x3 4 6 x3

2 5 D 2 ) f1 ı f2 ist surjektiv, nicht injektiv, nicht bijektiv 4 6 1 0 ! ! ! ! 1 0 2 1 x1 2x1  x2 1 2 3 B C D .f1 ı f3 / .x/ D 1 Ax D @0 1 2 x2 x1 C 2x2 3 4 2 1 1 ! 2 1 mit Rg D 2 ) f1 ı f3 ist surjektiv, injektiv und bijektiv 1 2 1 10 0 ! ! ! ! 1 0 0 1 0 1 3 x1 x1  3x2 1 2 3 B C CB D .f1 ı f2 ı f3 / .x/ D 1 Ax D @0 1 1A@ 0 1 2 x2 x1  2x2 3 4 2 1 1 1 0 1 ! 1 3 mit Rg D 2 ) f1 ı f2 ı f3 ist surjektiv, injektiv und bijektiv 1 2 1 10 0 ! 1 0 0 1 0 C 1 2 3 CB B x .f3 ı f2 ı f1 / .x/ D @ 0 1 A @0 1 1A 3 4 2 1 0 1 1 1 „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … Multiplikationen sind nicht definiert ) f3 ıf2 ıf1 existiert nicht mit Rg

4 5

1 3 !

0 ! 1 0 2 3 B @0 1 4 2 1 0

252

15 Lineare Abbildungen

Lösung 15.8 a)

x2 2 1 x1 2

1

1

b) f .x/ D Ax ! y1 a11 D y2 a21

a12 a22

f .0; 0/ D .0; 0/

)

a11 a21

a11 C 2a12 a21 C 2a22

c)

x1 x2

!

! ! 1 0 D ) a11 D 0; a21 D 1 0 1 ! ! ! a12 1 2 D 2 1 a22 μ ! D 2 ) a12 D 1 0 1 )AD D 1 ) a22 D 0 1 0

a12 a22

a11 f .1; 0/ D a21 f .1; 2/ D

!

!

x2 2 1 x1 2

1 1

1

d) Die Abbildung f mit f .x/ D Ax bewirkt eine Drehung des ursprünglichen Dreiecks um 90ı nach links. ! ! 0 1 1 0 wegen A1 A D e) f 1 .x/ D A1 x mit A1 D 1 0 0 1 ! ! ! 0 1 x1 y1 D 1 0 y2 x2 f 1 .0; 0/ D .0; 0/; f 1 .0; 1/ D .1; 0/; f 1 .2; 1/ D .1; 2/ Die inverse Abbildung f 1 macht die in d) beschriebene Drehung wieder rückgängig.     Es gilt f ı f 1 .x/ D f 1 ı f .x/ D x

Lösungen

253

Lösung 15.9 Zum Nachweis der Existenz von f 1 wird F1 berechnet: Zeile 1  2  3  4  5  6 

1 0 0 1 0 0

F 0 2 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1

Damit existiert f 1

1 0 0 1 0 0

E 0 1 0 1

Operation 0 0 1 1

1 2 1 2

1 2  12

1 C 2 3   1 1 2 3  C   2 2 1 1 2 3   2 2 0 1 1 1 1 B 1 C mit f 1 .x/ D F1 x D @0 12 x. 2 A 0 12  12

g 1 existiert nicht, da G als 4  3-Matrix nicht invertierbar ist. 0 1 0 1 1 1 1 1 0 B0 B0 2 2 C 1 0 2 B C CB B g ı f mit .g ı f / .x/ D B C @0 1 1 A x D B @2 @2 2 6 A 0 1 1 0 0 1 1

0 4 8 0

1 0 0C C Cx 0A 2

.g ı f /1 existiert nicht, da GF als 4  3-Matrix nicht invertierbar ist. 1 0 1 1 1 1 0 1 0 2 B C C B0 2 2 C B f ı g mit .f ı g/ .x/ D @0 1 1 A B C x existiert nicht @2 2 6 A 0 1 1 0 1 1 1 und damit auch nicht .f ı g/ .

254

15 Lineare Abbildungen

Lösung 15.10 a) Mit dem Produktmengenvektor x 0 z 2 R4C ergibt sich: 0 B1 B f1 W R4C ! R4C mit f1 .x/ D B @1 0 0 0 B3 B f2 W R4C ! R4C mit f2 .y/ D B @3 0

2 R4C , dem Zeitvektor y 2 R4C und dem Kostenvektor 10 1 0 1 x1 y1 1 0 1 B C B C 0 1 1C Bx2 C By2 C C CB C D B C 0 0 1A @x3 A @y3 A 1 1 2 0 1 0

0 3 0 2

0 x4 y4 10 1 0 1 y1 z1 1 By C Bz C 0C C B 2C B 2C CB C D B C 2A @y3 A @z3 A 1

z4 10 1 x1 2 1 3 2 B3 3 0 6C Bx C C B 2C B f3 W R4C ! R4C mit f3 .x/ D .f2 ı f1 /.x/ D B CB C @1 5 3 4A @x3 A 2 1 1 2 x4 0 1 1 0 1 0 250 450 1450 B100C B650C B3150C B C C B C B b) x D B C ; y D f1 .x/ B C ; z D f2 .y/ B C @ 50 A @600A @2300A 350 150 1350 1 0 2 1 3 2 B3 3 0 6C C B c) Wir berechnen Rg A mit A D B CW @1 5 3 4A 2

0

1 1

2

y4

Zeile 1 

Basis e1

a1 2

a2 1

a3 3

a4 2

2 

e2

3

3

0

6

3  4 

e3 e4

1 2

5 1

3 1

4 2

5 

e1

0

1

3

2

2 1 2   3

6  7  8  9  10  11  12 

a1 e3 e4 a2 a1 e3 e4

1 0 0 0 1 0 0

1 4 0 1 0 0 0

0 3 2 3 3 15 2

2 2 0 2 0 6 0

1 2 3  1 3 2  3  4  1 

Operation

5  6 5 C  7 5 C4  8 

Lösungen

255

) Rg A D 4. Damit existieren 2 Lösungsverfahren: 1) Gaußalgorithmus 2) mit Hilfe von A1 W Ax D b ) x D A1 b d) Nach b) gilt:

1 45   B65C 1 1 1 1 B C  z D zD f2 .y/ D f2 y ) y D yDB C @60A 10 10 10 10 15 0 1 25   B10C 1 1 1 1 C B y D yD f1 .x/ D f1 x ) x D xDB C @5A 10 10 10 10 0

35

Lösung 15.11 a) Output Landwirtschaft: x1 D 100 C 100 C 300 D 500 Output Verkehr: x2 D 200 C 100 C 100 D 400 ! ! 100 100 0:2 0:25 500 400 b) A D 200 100 D 0:4 0:25 500 400 ! 0:8 0:25 EAD 0:4 0:75 Berechnung von .E  A/1 : EA

Zeile

E

Operation

1 

4 5

 14

1

0

2  3 

 25 1

3 4 5  16

0 5 4

1 0

5 1  4

4 

0

5 8

1 2

1

1 2 1 C  2

5  6 

1 0

0 1

3 2 4 5

1 2 8 5

1 3 4 C  2 8 4   5

1:5 D 0:8

0:5 1:6

.E  A/1

!

! 0:8 0:25 c) Endverbrauch: y D 0:4 0:75 ! ! 1:5 0:5 330 d) Output: x D D 0:8 1:6 110

! ! 600 355 D 500 135 ! 550 440

256

15 Lineare Abbildungen

Lösung 15.12 1 1 a) A1 D 1 a0 ! 1 a 0 b) AT A D 0 1 0 b1 b4 B c) BT B D @ 0 b2 0 0

! ! 0 1 0 D mit A1 A D E 1 a0 1 ! ! 1 0 1 C a02 a0 D D E () a0 D 0 a0 1 a0 1 10 1 0 b1 0 0 b12 C b42 C b52 b4 b2 C b5 b6 b5 CB C B b6 A @b4 b2 0 A D @ b2 b4 C b6 b5 b22 C b62 b5 b6 b3 b3 b3 b5 b3 b6

3.Zeile: b32 D 1; b3 b5 D b3 b6 D 0 ) b3 D ˙1; 2.Zeile: b22 D 1; b2 b4 D 0 ) b2 D ˙1; b4 D 0 1.Zeile: b12 D 1 ) b1 D ˙1 ! ! c1 c2 c 2 C c22 c1 c2 T D 1 d) C C D CC D c2 c1 c c 2c1 c2 μ 2 1 c1 c2 D 0 () c1 D ˙1; c2 D 0 () 2 2 c1 C c2 D 1 0

Lösung 15.13

4 B0  1 T  1   1 B 1 T a) 2 A B 2A D 4 A A D 4 @0 0  T  1 1 1 b) A A D E D 4 A A ) A D

0 4 0 0 1 T 4A

b5 D b6 D 0

2c1 c2 c12 C c22

! DE

oder c1 D 0; c2 D ˙1

1 0 0C C CDE 0A

0 0 4 0

4

D

1 4A

B

E

Operation

Zeile 1  2  3 

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

4 

1

0

0

1

0

0

0

1

5  6  7 

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1 1

0 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1 1

4  2  4  3 4 

8 

0

0

0

2

1

1

1

1

1  2 C 3 4  

9 

1

0

0

0

 12

0

1

0

0

11 

0

0

1

0

12 

0

0

0

1

1 2 1 2 1 2

1 2  12 1 2  12

1 2  12  12 1 2

1 5 8   2

10 

1 2 1 2  12  12

1 6 8 C  2 1 7 8 C  2 1 8 2 

1 b5 b3 C b6 b3 A D E b32

Lösungen

257

0

) B1

1 1B B1 D B 2@1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1C C C 1A 1

c) ABx D c, ferner existiert A1 ; B1 mit B1 A1 D .AB/1 ) x D .AB/1 .AB/ x D .AB/1 c D B1 A1 c D B1  14 Ac 1 10 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B C C B B 1B1 1 1 1C 1 B1 1 1 1C B2C C D B C B CB C 2 @ 1 1 1 1A 4 @1 1 1 1A @3A 1

1

1 1 1B 1 B1 D B 8 @ 1 1 1 1

1 1 1 1

1 0

1 1 0 1 2 10 1 B4C B 1 C 1C CB C B C CB C D B C 1A @2A @1:5A 2 0 1 1

10

1 1

1

4

Lösung 15.14

1 3 1 1 1B C a) AAT D @1 3 1A 6D E, also ist A nicht orthogonal. 4 1 1 3 1 0 64 C 18 C 18 48  24  24 30  30 1 B C BBT D @ 48  24  24 36 C 32 C 32 40 C 40A D E, also ist B orthogonal. 100 30  30 40 C 40 50 C 50 1 0 4 0 0 0 B 1 B0 4 0 0 C C CCT D B C D E, also ist C orthogonal. 4 @0 0 4 0 A 0

0 0 0 4 0 1 0 0 B0 4 0 1 B DDT D B 16 @0 0 16 0 0 0

1 0 0C C C 6D E, also ist D nicht orthogonal. 0A 64

258

b)

15 Lineare Abbildungen

Zeile

E

Operation

1 

1 2

1 2

 12

1

0

0

2  3  4  5 

1 2  12

 12 1 2

1 2 1 2

1 0

1 1

1 1

0 0 2 1

1 0 0 1

0 1 0 0

1 2 2  1 

6 

0

1

0

1

0

1

3 1 C 

7  8  9 

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1 0

1 0 1

0 1 1 1

4 5 C  6  6 5 C 

1

B

A

DB D T

C1 D CT D 01 4

B0 B DDB @0 0

0 1 2

0 0

0

Rg A D 3; 1 0 1 1 0 C B A1 D @1 0 1A 0 1 1

8 6 0 p p C 1 B p @3 2 4 2 5 2 A ; Rg B D 3 p p p 10 3 2 4 2 5 2 p 0 1 1 1 2 0 p C 1B B1 1  2 p0 C B C ; Rg C D 4 2 @1 1 0 2A p 1 1 0  2 1 0 1 4 0 0 0 0 0 B0 2 0 0 C 0 0C C B C C ) D1 D B C ; Rg D D 4 @0 0 1 0 A 1 0A 0 0

0 2

0

1 2

c) CXCT D D ) CT CXCT C D EXE D X D CT DC p 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2 0 p C B B B C 1 B0 2 0 0C 1 B 1 1 B1 1  2 1 1 0 p C p )XD B C Bp C B 2 @1 1 0 2 A 4 @0 0 4 0A 2 @ 2  2 0 p p 0 0 0 8 1 1 0  2 0 0 2 p 0 10 1 1 1 1 1 1 2 4 2 0 p B B C 1 B1 2 4 2 1 1 1 C 0 B 1 C p C p D B C Bp C 16 @1 2 0 8 2 A@ 2  2 0 0 A p p p 1 2 0 8 2 0 0 2  2 1 0 11 5 1 1 B 1 B5 11 1 1 C C D C B 16 @1 1 19 13A 1 1

13

19

1 1 1 C C C 0 A p  2

16 Lineare Optimierung Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 16.1 ** Gegeben sind die Ungleichungssysteme Ax  b; aT x  c mit der m  n-Matrix A .m  n/ sowie a; x 2 Rn ; b 2 Rm ; c 2 R. Dann gilt:  Ax  b ist stets lösbar.  Ax  b ist stets unlösbar.  Ax  b; x  o; b  o ist stets lösbar.  aT x  c; aT x  c; a 6D o ist stets unlösbar.  aT x  c; aT x  c; a 6D o besitzt unendlich viele Lösungen.

Verständnisfrage 16.2 ** Das Ungleichungssystem Ax  b; x  o mit der m  n-Matrix A; x 2 Rn ; b 2 Rm ist  stets lösbar für m  n  eventuell lösbar für m > n  stets lösbar für Rg A  m und b  o  stets lösbar für Rg A D Rg .Ajb/ und b  o  unlösbar für Rg A < Rg .Ajb/

Verständnisfrage 16.3 ** Gegeben ist ein Standardmaximumproblem der linearen Optimierung mit dem Zulässigkeits¯ ® ¯ ® bereich Z D x 2 RnC W Ax  b und dem Optimalbereich Z  D x 2 Z W cT x D max cT x . Dann gilt:  Z D ; () Z  D ;  Z 6D ; und beschränkt ) Z  6D ; und beschränkt  Z 6D ; und unbeschränkt ) Z  D ;  Z  6D ; und beschränkt ) Z 6D ; und beschränkt  Z  6D ; und unbeschränkt ) Z 6D ; und unbeschränkt

260

16 Lineare Optimierung

Verständnisfrage 16.4 ** Gegeben ist ein Standardmaximumproblem der Form max cT x mit Ax  b; x  o, wobei b  o erfüllt ist. Für ein errechnetes Simplexendtableau gilt dann:  Enthält die Zielfunktionszeile Nullen in den Spalten der Basisvariablen und positive Werte in den Spalten der Nichtbasisvariablen, dann ist das Problem eindeutig lösbar.  Enthält die Zielfunktionszeile auch Nullen in den Spalten der Nichtbasisvariablen, so existieren mehrere Lösungen, die aus dem vorliegenden Tableau direkt ablesbar sind.  Existiert eine Spalte mit negativen Werten in der Zielfunktionszeile und allen Zeilen der Nebenbedingungen, so ist das Problem nicht lösbar.  Existiert eine Spalte mit nichtpositiven Werten in allen Zeilen der Nebenbedingungen und einem positiven Wert in der Zielfunktionszeile, so besitzt das Problem unendlich viele Lösungen.  Existiert eine Spalte mit negativen Werten in allen Zeilen der Nebenbedingungen und einer Null in der Zielfunktionszeile, so ist das Problem lösbar und der Optimalbereich ist unbeschränkt.

Verständnisfrage 16.5 *** Ausgangspunkt ist die Dualitätsaussage der linearen Optimierung: (P) max cT x; Ax  b; x  o ist genau dann lösbar,wenn (D) min bT y; AT y  c; y  o lösbar ist. Dann gilt:  (P) und (D) lösbar ) max cT x > min bT y  (P) und (D) lösbar ) b  o; c  o  b  o; c  o ) (P) und (D) lösbar  Weder (P) noch (D) ist lösbar ) Beide Zulässigkeitsbereiche sind leer.  min bT y D 1 ) Der Zulässigkeitsbereich von (P) ist leer.

Rechenaufgaben

261

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 16.6 * Eine Molkerei erhält täglich 50 000 Liter Rohmilch; aus Versorgungsgründen müssen mindestens 30 000 Liter zu Frischmilch, mindestens 6 000 Liter zu Käse und mindestens 3 000 Liter zu Butter verarbeitet werden. Die Produktionskapazität für Käse und Butter beträgt maximal 15 000 Liter Rohmilch täglich und es wird angenommen, dass nicht mehr als 4 000 Liter Frischmilch zusätzlich täglich zu verkaufen sind. Die restliche Rohmilch wird zu Milchpulver verarbeitet. Das Management der Molkerei möchte zur Auslastung der Milchpulveranlage aber mindestens 5 000 Liter Rohmilch zu Milchpulver verarbeiten. 1 Liter Rohmilch bringt einen Gewinn von 0:50 EUR bei der Herstellung von Frischmilch, 0:10 EUR bei Käse, 0:12 EUR bei Butter und 0:11 EUR bei Milchpulver. Welchen Produktionsplan soll das Management der Molkerei unter diesen Bedingungen auswählen, wenn es einen möglichst großen Gewinn erzielen möchte? a) Beschreiben Sie das Problem mit Hilfe der linearen Optimierung. b) Versuchen Sie das Problem ohne Simplexalgorithmus zu lösen.

Rechenaufgabe 16.7 * Zur Verhütung eines grippalen Infektes während der Klausurvorbereitung will eine Studentin täglich mindestens 600 mg Vitamin C und mindestens 400 mg Kalzium in Form von Tabletten zu sich nehmen. In einer Apotheke sind 2 verschiedene Vitamin C/Kalzium-Tabletten erhältlich, deren Zusammensetzung der nachfolgenden Tabelle entnommen werden kann: Tablettensorte

1

2

Vitamin C-Gehalt (in mg)

60

30

Kalzium-Gehalt (in mg)

25

50

a) Bezeichnen Sie mit xi ; i D 1; 2, die Quantität, die die Studentin pro Tag von Tablettensorte ! i einnimmt, und geben Sie die Menge Z aller in Frage kommenden

x1 x2

2 R2C an.

b) Stellen Sie die in a) ermittelte Menge grafisch dar und bestimmen Sie alle Eckpunkte von Z. c) In welchem Eckpunkt von Z sind die täglichen Beschaffungskosten minimal, wenn für die Tablettensorte 1 bzw. 2 Preise von 0:05 EUR bzw. 0:07 EUR pro Tablette verlangt werden?

262

16 Lineare Optimierung

Rechenaufgabe 16.8 ** Ein Kaffeehändler will 2 Sorten Kaffee einkaufen, eine teure Sorte A und eine billige Sorte B. Von A kann er höchstens 120 kg, von B höchstens 180 kg bekommen. Aus diesen beiden Sorten stellt er 2 Mischungen her. Die erste Mischung soll 20 % der Sorte A und 80 % der Sorte B, die zweite Mischung soll 60 % der Sorte A und 40 % der Sorte B enthalten. Der Verkaufspreis der ersten Mischung beträgt 12 EUR/kg, der zweiten Mischung 18 EUR/kg, die Kosten 9 EUR/kg bzw. 14 EUR/kg. A B Verkaufspreis Kosten Mischung 1

20 %

80 %

12 EUR

9 EUR

Mischung 2

60 %

40 %

18 EUR

14 EUR

Kapazitätsgrenzen 120 180 a) Welche Menge Kaffee muss der Händler von jeder Mischung verkaufen, damit er seinen Deckungsbeitrag maximiert? Stellen Sie das entsprechende lineare Programm auf und lösen Sie es durch grafische Optimierung. b) Der Händler kann noch Kaffee nachkaufen. Ein weiteres Kilogramm von Sorte A kostet ihn dann 7 EUR. Wird er das zusätzliche Kilogramm kaufen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Rechenaufgabe 16.9 ** Ein Unternehmen produziert auf drei Maschinen M1 ; M2 ; M3 die drei Produkte P1 ; P2 ; P3 , wobei jedes Produkt alle Maschinen durchlaufen muss. Die Produktionszeiten betragen für P1 : 5 min auf M1 , 7 min auf M2 , 1 min auf M3 P2 : 4 min auf M1 , 2 min auf M2 , 3 min auf M3 P3 : 3 min auf M1 , 1 min auf M2 , 2 min auf M3 Die Maschinenkapazitäten liegen für M1 bei 180 min, M2 bei 170 min und M3 bei 100 min. 0 1 x1

B C a) Geben Sie die Menge aller produzierbaren Quantitäten @x2 A 2 R3C an. x3

b) P3 ist ein spezielles Einzelteil, von dem genau 20 Einheiten produziert werden müssen. Geben Sie unter!dieser zusätzlichen Nebenbedingung die Menge Z aller produzierbaren Quantitäten

x1 x2

2 R2C für P1 und P2 an und stellen Sie die Menge grafisch dar.

c) Der Gewinn beträgt ! 12 EUR/Einheit für P1 und 4 EUR/Einheit für P2 . Welcher Produktionsvektor

x1 x2

2 Z maximiert den Gewinn? Wie hoch ist der Gewinn?

d) Ein Händler bietet dem Unternehmen eine neue Maschine mit einer Kapazität von 120 min als Ersatz für M2 an. Die Produktionszeiten betragen dann 4 min für P1 , 2 min für P2 und 1 min für P3 . Lohnt sich der Tausch unter dem Gesichtspunkt der Gewinnmaximierung?

Rechenaufgaben

263

Rechenaufgabe 16.10 ** Ein Bauunternehmer beabsichtigt, zwei Typen von Eigenheimen zu bauen. Er rechnet mit einer Bauzeit von 2 Jahren und damit, dass sich sofort Käufer für die fertiggestellten Eigenheime finden. Folgende Daten wurden in Tausend EUR ermittelt: Typ A

Typ B

Baukosten 1. Jahr

200

200

Baukosten 2. Jahr

120

200

Verkaufserlöse

330

420

pro Eigenheim

Im 1. Jahr stehen 1 600 000 EUR, im 2. Jahr 1 200 000 EUR zur Verfügung. Ziel ist die Ermittlung eines gewinnmaximalen Bauprogrammes bestehend aus Typ A und/oder Typ B. a) Formulieren Sie das zugehörige lineare Optimierungsproblem. b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Simplexverfahrens alle optimalen Lösungen von a) und geben Sie das Gewinnmaximum an. c) Wie ist das zur Verfügung stehende Kapital im 1. bzw. 2. Jahr minimal zu erhöhen, wenn die Nachfrage nach je 4 Eigenheimen vom Typ A und vom Typ B erfüllt werden soll? d) Formulieren Sie unter der Bedingung, dass für beide Bauabschnitte insgesamt 2 800 000 EUR zur Verfügung stehen, die beliebig auf die beiden Jahre aufgeteilt werden können, ein gegenüber a) modifiziertes Optimierungsproblem und lösen Sie es grafisch.

Rechenaufgabe 16.11 *** Aus einem unbegrenzten Vorrat von Stangen mit 25 m Länge sollen mindestens 14 Stangen mit 8 m Länge und mindestens 16 Stangen mit 7 m Länge geschnitten werden. Dabei sind folgende Zuschnittsvarianten vorgesehen: Z1 : drei 8 m-Stangen Z2 : zwei 8 m-Stangen, eine 7 m-Stange Z3 : eine 8 m-Stange, zwei 7 m-Stangen Der Gesamtverschnitt (in Metern) soll minimal werden. a) Geben Sie ein lineares Optimierungsmodell an, das diese Aufgabe löst. b) Lösen Sie das Optimierungsproblem von a) mit Hilfe eines geeigneten Simplexverfahrens. c) Geben Sie für jede der Zuschnittsvarianten Z1 ; Z2 ; Z3 an, wie viele 8 m-Stangen bzw. 7 m-Stangen insgesamt im Optimum produziert werden und welche Verschnittmengen im einzelnen auftreten. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse auf Plausibilität bezüglich der Aufgabenstellung.

264

16 Lineare Optimierung

Rechenaufgabe 16.12 *** Mit Hilfe von zwei Rohstoffen R1 ; R2 , die in den Quantitäten 240 bzw. 400 Einheiten verfügbar sind, können zwei Güter G1 ; G2 hergestellt werden. Der dabei auftretende Rohstoffbedarf und die benötigte Arbeitszeit ergibt sich aus nachfolgender Tabelle: Für eine Einheit von

G1

G2

Bedarf an Einheiten R1

4

6

Bedarf an Einheiten R2

5

10

Bedarf an Arbeitsstunden

2

1

Insgesamt können höchstens 100 Arbeitsstunden aufgewendet werden. Es ist davon auszugehen, dass die produzierbaren Gütermengen absetzbar sind, wobei für jede Einheit von G1 ein Gewinn von 25 EUR und jede Einheit von G2 ein Gewinn von 30 EUR erzielt wird. Nicht verbrauchte Rohstoffeinheiten von R1 bzw. R2 können direkt mit einem Gewinn von 2 EUR/Einheit bzw. 1 EUR/Einheit weiterverkauft werden. a) Formulieren Sie ein entsprechendes lineares Optimierungsproblem mit der Zielsetzung Gesamtgewinnmaximierung (= Gewinn durch Absatz der Produktionsmenge + Gewinn durch Verkauf nicht verbrauchter Rohstoffe). b) Wie viele Einheiten von G1 ; G2 sind herzustellen und wie viele Einheiten von R1 ; R2 sind direkt zu verkaufen, damit der Gesamtgewinn maximal wird? Welcher Teilgewinn wird dabei aus dem Verkauf der Gütermenge, welcher Teilgewinn aus dem direkten Verkauf von Rohstoffmengen erzielt? c) Beantworten Sie alle in b) gestellten Fragen, wenn vom Rohstoff R1 insgesamt 300 anstatt 240 Einheiten verfügbar sind.

Rechenaufgabe 16.13 *** a) Lösen Sie das folgende Standardmaximierungsproblem mit Hilfe des Simplexalgorithmus: max .2x1 C 2x2 C 2x3 /

mit

2x1 x1 2x1

C

x3



7

C 2x2

C 2x3



8

C

C 2x3



9



0

x2 x2

C

x1 ; x2 ;

x3

[Anmerkung: Ersetzt man max.2x1 C 2x2 C 2x3 / durch max.2x1 C 2x2 C x3 /, so kann Teilaufgabe b) entfallen!] b) Woran erkennt man im Endtableau, dass es mehrere Optimallösungen gibt?

Rechenaufgaben

265

c) Zeigen Sie, dass das Problem unlösbar ist, wenn man bei gleichbleibender Zielfunktion die Nebenbedingungen in folgender Weise abändert: 2x1 C x2  x3  7 x1 2x1

C 2x2

 2x3



8

C

 2x3



9



0

x2

x1 ; x2 ;

x3

Rechenaufgabe 16.14 *** Anlässlich und zur Finanzierung einer Examensfeier soll ein neues Mixgetränk „Leichte Prüfung“ (LP) kreiert werden. Zum Mischen stehen drei Basisflüssigkeiten in ausreichendem Maße zur Verfügung: Alkohol (%)

Kosten (EUR/Liter)

Klarer

40

12

Kräuterlikör

20

18

Orangensaft

0

2

Basisflüssigkeit

Folgende Anforderungen werden an das Mixgetränk LP gestellt: q LP soll einen Alkoholgehalt von mindestens 6 % haben. q Um Verwechslungen mit bekannten Mixgetränken (Wodka-Orange etc.) zu vermeiden, soll LP mindestens zu 10 % Kräuterlikör enthalten. q Der Orangensaftanteil soll höchstens 75 % betragen. q LP soll möglichst geringe Kosten pro Liter verursachen. a) Beschreiben Sie das Problem durch ein lineares Optimierungsproblem mit drei Variablen x1 ; x2 ; x3 . b) Zeigen Sie, dass eine grafische Lösung des Problems im R2 möglich ist und lösen Sie die Aufgabe auf diese Weise. c) Wie verändert sich die Lösung von b), wenn LP einen Alkoholgehalt von genau 10 % haben soll?

Rechenaufgabe 16.15 *** Gegeben ist das lineare Optimierungsproblem cT x ! min mit Ax  b; x  0 und 0 1 0 1 0 1 6 5 1 5 1 B C B C B10C B5 5 1C B C B C B C C cDB @1A ; A D B1 5 1C ; b D B 6 C . @ A @ A 2 4 1 1 1 Lösen Sie das Problem mit Hilfe des Simplexalgorithmus.

266

16 Lineare Optimierung

Lösungen Verständnisfragen Lösung 16.1 Gegeben sind die Ungleichungssysteme Ax  b; aT x  c mit der m  n-Matrix A .m  n/ sowie a; x 2 Rn ; b 2 Rm ; c 2 R. Dann gilt:  Ax  b ist stets lösbar. Begründung: x1 C x2  1; x1  x2  2  Ax  b ist stets unlösbar. Begründung: x1 C x2  1; x1 C x2  0  Ax  b; x  o; b  o ist stets lösbar. Begründung: A  o D o  b  aT x  c; aT x  c; a 6D o ist stets unlösbar. Begründung: aT x  c; aT x  c ) aT x D c stets lösbar für a 6D o  aT x  c; aT x  c; a 6D o besitzt unendlich viele Lösungen.  Begründung: aT x  c () aT x  c ) Es existieren unendlich viele Lösungen für a 6D o.

Lösung 16.2 Das Ungleichungssystem Ax  b; x  o mit der m  n-Matrix A; x 2 Rn ; b 2 Rm ist  stets lösbar für m  n Begründung: x1 C x2  1; x1 C x2  2; x  o  eventuell lösbar für m > n Begründung: x1 C x2  1; 2x1 C x2  2; x1 C 3x2  3; x  o  stets lösbar für Rg A  m und b  o I b  o ) x D o ist Lösung unabhängig von Rg A Begründung :  stets lösbar für Rg A D Rg .Ajb/ und b  o I Begründung: siehe   unlösbar für Rg A < Rg .Ajb/ Begründung: x1 C x2  1; x1 C x2  2

Lösung 16.3 Gegeben ist ein der linearen Optimierung mit dem Zulässigkeits-¯ ® Standardmaximumproblem ¯ ® bereich Z D x 2 RnC W Ax  b und dem Optimalbereich Z  D x 2 Z W cT x D max cT x . Dann gilt:  Z D ; () Z  D ; Begründung: „)“: Z D ; ) Z  Z 6D ;, also wahr „(“: Z  D ; mit max cT x D 1 ) Z 6D ; und unbeschränkt  Z 6D ; und beschränkt ) Z  6D ; und beschränkt Begründung: Z 6D ; ist abgeschlossen und beschränkt ) max cT x existiert und Z  Z ist beschränkt und nicht leer

Lösungen

267

 Z 6D ; und unbeschränkt ) Z D ; ® ¯ Begründung: Z D x 2 R2C W x1  x2  1 6D ; und unbeschränkt cT x D x1  x2  1 ) Z  6D ;  Z  6D ; und beschränkt® ) Z 6D ; und beschränkt ¯ Begründung: Für Z D x 2 R2C W x1  x2  1 und cT x D x1  x2 gilt: max cT x D 0 für x D o, also Z  D ¹oº, andererseits ist aber Z ¤ ; und unbeschränkt  Z  6D ; und unbeschränkt ) Z 6D ; und unbeschränkt Begründung: Z  Z ) Z 6D ; und unbeschränkt

Lösung 16.4 Gegeben ist ein Standardmaximumproblem der Form max cT x mit Ax  b; x  o, wobei b  o erfüllt ist. Für ein errechnetes Simplexendtableau gilt dann:  Enthält die Zielfunktionszeile Nullen in den Spalten der Basisvariablen und positive Werte in den Spalten der Nichtbasisvariablen, dann ist das Problem eindeutig lösbar. I Positive Werte in den Spalten der Nichtbasisvariablen zeigen an, dass bei Begründung : einem weiteren Basisaustausch der Zielfunktionswert abnimmt.  Enthält die Zielfunktionszeile auch Nullen in den Spalten der Nichtbasisvariablen, so existieren mehrere Lösungen, die aus dem vorliegenden Tableau direkt ablesbar sind. I Ferner bedeuten die Nullen der Zielfunktionszeile in Spalten der Begründung: Siehe . Nichtbasisvariablen, dass ein Basisaustausch den Zielfunktionswert nicht verändert. Man erhält neue Lösungen, die jedoch aus dem vorliegenden Tableau nicht direkt ablesbar sind.  Existiert eine Spalte mit negativen Werten in der Zielfunktionszeile und allen Zeilen der Nebenbedingungen, so ist das Problem nicht lösbar.

Begründung: Negative Werte in einer Spalte bei der Zielfunktion und allen Nebenbedingungen zeigen an, dass die entsprechende Spalten-Variable sowie der aktuelle Zielfunktionswert beliebig erhöht werden können. Dann ist das Problem nicht mehr lösbar.  Existiert eine Spalte mit nichtpositiven Werten in allen Zeilen der Nebenbedingungen und einem positiven Wert in der Zielfunktionszeile, so besitzt das Problem unendlich viele Lösungen. Begründung: Ein positiver Wert in der Zielfunktionszeile bedeutet stets, dass ein Basisaustausch an dieser Position nur zu einer Abnahme des Zielfunktionswertes führen kann. Ein Einfluss auf die Lösbarkeit bzw. Lösung ist hier nicht gegeben.  Existiert eine Spalte mit negativen Werten in allen Zeilen der Nebenbedingungen und einer Null in der Zielfunktionszeile, so ist das Problem lösbar und der Optimalbereich ist unbeschränkt. Begründung: Negative Werte in einer Spalte bei allen Nebenbedingungen und einer Null in der Zielfunktion bedeuten, dass bei einem Basisaustausch die entsprechende Variable beliebig erhöht werden kann, ohne dass der Zielfunktionswert sich ändert. Das Problem ist also lösbar und der Optimalbereich unbeschränkt.

268

16 Lineare Optimierung

Lösung 16.5 Ausgangspunkt ist die Dualitätsaussage der linearen Optimierung: (P) max cT x; Ax  b; x  o ist genau dann lösbar,wenn (D) min bT y; AT y  c; y  o lösbar ist. Dann gilt:  (P) und (D) lösbar ) max cT x > min bT y Begründung: yT b  yT Ax D xT AT y  xT c ) min yT b  max xT c  (P) und (D) lösbar ) b  o; c  o Begründung: Für (P) max x2 mit x1 C x2  1; x1 C x2  2; x  0 und (D) min y1 C 2y2 mit y1 C y2  0; y1 C y2  1; y  0 existieren die Lösungen xT D .1:5; 0:5/ für (P) bzw. yT D .0:5; 0:5/ für (D). Andererseits ist bT D .1; 2/ 6 o.  b  o; c  o ) (P) und (D) lösbar Begründung: b  0; c  0 ) (P) lösbar mit x D o und (D) lösbar mit y D o  Weder (P) noch (D) ist lösbar ) Beide Zulässigkeitsbereiche sind leer. Begründung: (P) max.x1 C x2 / mit x1  x2  1; x1 ; x2  0 ) max.x1 C x2 / D 1 also ist (P) nicht lösbar (D) min y1 mit y1  1; y1  1 bzw. y1  1; y1  0 ) (D) besitzt keine zulässige Lösung und ist damit nicht lösbar.  min bT y D 1 ) Der Zulässigkeitsbereich von (P) ist leer. Begründung: min bT y D 1 ) max cT x  min bT y D 1 ) Der zulässige Bereich von (P) muss leer sein.

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 16.6 a) Menge Frischmilch: Menge Käse: Menge Butter: Menge Milchpulver: Restriktionen: x1 C x2 C x1 x2 x2

C

x3

x1 x2 x3 x4

0 0 0 0

C x4

x3 x3

x1 x4

Gewinn 0; 50 EUR/Liter Rohmilch Gewinn 0; 10 EUR/Liter Rohmilch Gewinn 0; 12 EUR/Liter Rohmilch Gewinn 0; 11 EUR/Liter Rohmilch D      

50 000 30 000 6 000 3 000 15 000 34 000 5 000

(Tägliche Rohmilchlieferung) (Mindestmenge für Frischmilch) (Mindestmenge für Käse) (Mindestmenge für Butter) (Höchstmenge für Käse und Butter) (Höchstmenge für Frischmilch) (Mindestmenge für Milchpulver)

Zielfunktion (Gewinnmaximierung): max.0:5x1 C 0:1x2 C 0:12x3 C 0:11x4 /

Lösungen

269

b) Hoher Gewinn für Frischmilch ) max x1 D 34 000 Niedriger Gewinn für Käse, Milchpulver ) min x2 D 6 000; min x4 D 5 000 Rohmilchrest für Butter: 50 000  34 000  6 000  5 000 D 5 000 ) Optimale Lösung: .x1 ; x2 ; x3 ; x4 / D .34 000; 6 000; 5 000; 5 000/ mit Zielfunktionswert: 17 000 C 600 C 600 C 550 D 18 750 EUR

Lösung 16.7 a) Z D ¹x 2 R2C W 60x1 C 30x2  600; 25x1 C 50x2  400º D ¹x 2 R2C W 2x1 C x2  20; x1 C 2x2  16º b) x 2

20 

    16 0 ; Eckpunkte: 0 20   8 als Schnittpunkt sowie ´ 4 2x1 C x2 D 20 von x1 C 2x2 D 16

Z 8 

 10

 16

x1

c) Zielfunktion (Kostenminimierung): min.5x1 C 7x2 / x2 20  Eckpunkte

Z

Kosten in EUR 8 

 

 

 

0.80

1.40

0.68

16 0

0 20

Optimallösung: .x1 ; x2 / D .8; 4/  10 5x1 C 7x2 D 0

 16

x1

Minimalkosten: 0:68 EUR

8 4

270

16 Lineare Optimierung

Lösung 16.8 a) Verkaufsmenge Mischung 1: x1 Verkaufsmenge Mischung 2: x2 Restriktionen: (I) 0:2x1 C 0:6x2  120 (II) 0:8x1 C 0:4x2  180

 0; Deckungsbeitrag 3 EUR/kg  0; Deckungsbeitrag 4 EUR/kg (Maximalmenge von Sorte A) (Maximalmenge von Sorte B)

Zielfunktion (Deckungsbeitragsmaximierung): max.3x1 C 4x2 / x2 200 

! 0 Eckpunkte von (I) : ; 200 ! 225 Eckpunkte von (II): ; 0

Maximum

(I)

150

Z (II)

150

 225

x1

! 150 150 ! 150 150

Optimallösung .x1 ; x2 / D .150; 150/ Deckungsbeitrag: 3  150 C 4  150 D 1 050 EUR

3x1 C 4x2 D 0 b) Nachkauf 1 kg von Sorte A ) Maximalmenge von Sorte A = 121 ´ μ 0:2x1 C 0:6x2 D 121 Schnittpunkt: ) .x1 ; x2 / D .149; 152/ 0:8x1 C 0:4x2 D 180 Deckungsbeitrag: 3  149 C 4  152 D 1 055 EUR μ Zusätzliche Kosten/kg: 7 EUR ) Ein Nachkauf lohnt sich nicht. Zusätzlicher Deckungsbeitrag/kg: 5 EUR

Lösung 16.9

0 1 x1 B C a) Menge aller produzierbaren Quantitäten x D @x2 A 2 R3C W x3 ¹x 2 R3C W

5x1 C 4x2 C 3x3  180 (Maschine M1 ) 7x1 C 2x2 C x3  170 (Maschine M2 ) x1 C 3x2 C 2x3  100 (Maschine M3 )º

Lösungen

271

b)

x2 5x1 C 4x2 C 3  20  180 7x1 C 2x2 C 20  170 x1 C 3x2 C 2  20  100

40 30  20 

10

Z



10 g.x/ D 0

B

 150 7 24 30

x1

c) Zielfunktion g W R2C ! R1 mit g.x1 ; x2 / D 12x1 C 4x2 Punkt A aus ! ! μ 120   x1 5x1 C 4x2 D 120 180 11 D 180 ; g 120 W 11 ; 11 D x1 C 3x2 D 60 x2 11

2 160 11

Punkt B aus ! ! μ 20 x1 5x1 C 4x2 D 120 D ; g.20; 5/ D 260 W 7x1 C 2x2 D 150 5 x2 ! 20 Damit maximiert der Vektor x D den Gewinn. 5 Es ergibt sich g.20; 5/ D 260. d)

x2 30  20  10

A 

Z C 25 10

> ;

)

Z D ¹x 2 R2C W 5x1 C 4x2  120 7x1 C 2x2  150 x1 C 3x2  60º

A 

10

9 > =

24 30

x1

Neue Maschine für M2 W 4x1 C 2x2 C x3  120 bzw. 4x1 C 2x2  100 (anstatt 7x1 C 2x2  150/ ! ! 24 x1 D Neuer Punkt C: 0 x2 mit g.24; 0/ D 288 > 260 Der Tausch lohnt sich.

272

16 Lineare Optimierung

Lösung 16.10 a) x1  0: Eigenheime vom Typ A x2  0: Eigenheime vom Typ B 200x1 C 200x2  1 600 (Kosten in Tausend Euro im 1. Jahr) 120x1 C 200x2  1 200 (Kosten in Tausend Euro im 2. Jahr) .330  320/x1 C .420  400/x2 D 10x1 C 20x2 ! max (Gewinn) b) Simplexalgorithmus: Zeile Basis 1  e1

x1 200

x2 200

e1 1

e2 0

1 600

e2

120

200

0

1

1 200

2’  3 

e1

10 80

20 0

0 1

0 1

0 400

1  2 

4 

x2

0.6

1

0

1 200

6

1 2  200

2

0

0

0.1

120

1 2’ 2 C  10

2 

4’ 

Pivotspalte Pivotzeile Operation 2 x2  da 20 minimal

200 da 1200 minimal

Für die Lösung des Problems gilt: .x1 ; x2 / D .0; 6/ mit 10x1 C 20x2 D 120 Für den Bau von 6 Eigenheimen vom Typ B wird der Gewinn mit 120 000 EUR maximal. c) Kosten im 1. Jahr: 200  4 C 200  4 D 1 600 Kosten im 2. Jahr: 120  4 C 200  4 D 1 280 ) Erhöhung des Kapitals nur im 2. Jahr um 80 000 EUR nötig. d)

x2 7 

20x2 ! max 400x2  2 800 (I) x1 ; x2  0 Lösung: .x1 ; x2 / D .0; 7/ Gewinn D 140 000 EUR

10x1 320x1 (I)

Z  8:75 10x1 C 20x2 D 0

x1

C C

Lösungen

273

Lösung 16.11 a) Z1 : drei 8 m-Stangen ! x1  0 (1 m Verschnitt) Z2 : zwei 8 m-Stangen, eine 7 m-Stange ! x2  0 (2 m Verschnitt) Z3 : eine 8 m-Stange, zwei 7 m-Stangen ! x3  0 (3 m Verschnitt) Restriktionen: 3x1 C 2x2 C x3 x2 C 2x3 x1 ; x2 ; x3

 14 (Mindestanzahl am 8 m-Stangen)  16 (Mindestanzahl am 7 m-Stangen) 0

Zielfunktion (Gesamtgewinnmaximierung): min.x1 C 2x2 C 3x3 / Dazugehöriges primales Problem: max.14y1 C 16y2 /

mit

3y1 2y1 C y2 y1 C 2y2 y1 ; y2

1 2 3 0

b) Simplexalgorithmus Zeile Basis 1  e1 2  e2 3 

e3

3’ 

a1 3 2

a2 0 1

e1 1 0

e2 0 1

e3 0 0

1 2

1

2

0

0

1

3

14

16

0

0

0

0

Pivotspalte Pivotzeile Operation 2 3 da 16 da 32 minimal

minimal

4 

e1

3

0

1

0

0

1

1

1

1 

5  6  6’  7  8  9  9’ 

e2 a2

3 2 1 2

0 0 0

1 2 3 2

da 6 minimal

da 13 minimal

a e2 a2

1 0 0 0 1 0 0

 12

6 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0

1 2 3  2  1 3   2 3’ 3 C8  1 4  3 1 5 4  2  1 6 4   6 6’ 4 C2 

1

1 3  12  16

2

1 2

8 0  12

24

1 2

4 3

8

26

1 3

0

Ergebnis des Minimumproblems: .x1 ; x2 ; x3 / D .2; 0; 8/ Gesamtverschnitt: 26 m c) Im Einzelnen gilt: 2 mal Z1 : sechs 8 m-Stangen, Verschnitt 2 m 8 mal Z3 : acht 8 m-Stangen, sechzehn 7 m-Stangen, Verschnitt 24 m ) insgesamt vierzehn 8 m-Stangen, sechzehn 7 m-Stangen, Verschnitt 26 m Es werden insgesamt 10 Stangen der ursprünglichen Länge von 25 m benötigt.

274

16 Lineare Optimierung

Lösung 16.12 a) Herstellung G1 : x1  0 ! Gewinn 25 EUR/Einheit Herstellung G2 : x2  0 ! Gewinn 30 EUR/Einheit Restriktionen: (A) 4x1 C 6x2  240 (Vorrat von Rohstoff R1 ) (B) 5x1 C 10x2  400 (Vorrat von Rohstoff R2 ) (C) 2x1 C x2  100 (Arbeitsaufwand in Stunden) x1 ; x2  0 Zielfunktion (Gesamtgewinnmaximierung): max.25x1 C30x2 C2.2404x1 6x2 /C1.4005x1 10x2 // D max.12x1 C8x2 C880/ b)

x2 Maximum im Schnittpunkt von (A),(C): μ 4x1 C 6x2 D 240 ) .x1 ; x2 / D .45; 10/ 2x1 C x2 D 100

100  (C)

40 

Maximum

Z

) Gewinn durch Absatz von G1 ; G2 D 25  45 C 30  10 D 1 425 Gewinn durch Verkauf von R2 = 1  75 D 75 (siehe (B)) Gesamtgewinn = 12  45 C 8  10 C 880 D 1 500

(B) (A)    80 50 60



x1

12x1 C 8x2 D 0 c) (A’) 4x1 C 6x2  300: Gerade (A) nach rechts oben parallel verschieben Schnittpunkt von (B),(C): μ 5x1 C 10x2 D 400 ) .x1 ; x2 / D .40; 20/ erfüllt (A’) 2x1 C x2 D 100 ) Gewinn durch Absatz von G1 ; G2 D 25  40 C 30  20 D 1 600 Gewinn durch Verkauf von R1 = 2  20 D 40 (siehe (A’)) Gesamtgewinn = 12  40 C 8  20 C 1 000 D 1 640

Lösungen

275

Lösung 16.13 a) Simplexalgorithmus: Zeile Basis

a1

a2

a3

e1

e2

e3

Pivotspalte Pivotzeile Operation

1 

e1

2

1

1

1

0

0

7

1

1

2  3  3’  4 

e2 e3

2 1 2

2 2 2

0 0 0

da 72 minimal

1 2

1 2

0 1 0 0

da 2 minimal

1 2

1 0 0 0

8 9 0

a1

1 2 2 1

7 2

2

2

5 

e2

0

3 2

3 2

 12

1

0

9 2

da 1

6  6’  7  8  9  9’ 

e3

0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0

1 1

0 0  13

1 0 0 0 1 0

2 7 2 3 2 10

minimal

a1 a2 e3

2 3  13

2 3

1

0

2 3

2 3

da

1 1 2  9 3

minimal

1 2 1  2  3  1  3’  1 C 1 4 5  3  2 5 3  6  2 6’ 5 C  3

Optimallösung .x1 ; x2 ; x3 / D .2; 3; 0/ Zielfunktionswert: 2  2 C 2  3 C 2  0 D 10 2 2 9’ c D 10  y1  y2 b) Zielfunktionszeile : 3 3 Damit ist im Optimum x3 > 0 möglich, z.B. Pivotspalte 3,Pivotzeile 3, da 21 minimal. 7 , 9  9’ bleiben unverändert. Die Zeilen , 2 2 8 : 9 0 1 0 |  1j1 3 3 ) Neue Optimallösung .x1 ; x2 ; x3 / D .2; 1; 2/ Zielfunktionswert: 2  2 C 2  1 C 2  2 D 10 c) Die negativen Koeffizienten der Variable x3 bewirken, dass x3  0 beliebig erhöht werden kann, ohne die Restriktionen zu verletzen ) max.2x1 C 2x2 C 2x3 / D 1

Lösung 16.14 a) x1  0: Anteil Klarer an LP x2  0: Anteil Kräuterlikör an LP x3  0: Anteil Orangensaft an LP x1 40x1

C C

D 1  6  0:1 x3  0:75 12x1 C 18x2 C 2x3 ! min x2 20x2 x2

C x3

(Mischungsbedingung) (Alkoholgehalt) (Kräuterlikör) (Orangensaft) (Kosten)

276

16 Lineare Optimierung

b) x1 D 1  x2  x3  0 ) 12.1  x2  x3 / C 18x2 C 2x3 D 12 C 6x2  10x3 ! min mit 40.1  x2  x3 / C 20x2  6 ) 20x2 x2

C

40x3

x3 C x3 x1 ; x2

x2 x3

    

1  0:85  0:75 

(III) 6x2  10x3 D 0 (II)

Z  0:1

(I)

(IV)  1

 1:7

x2

Aus der Zeichnung folgt für die Optimallösung .x2 ; x3 / D .0:1; 0:75/ ) x1 D 1  x2  x3 D 0:15 Kosten pro Liter: 12 C 6  0:1  10  0:75 D 5:10 EUR c) (I) wird ersetzt durch die Gleichung 20x2 C 40x3 D 30 (V) x3 1  (III)

0:75 

6x2  10x3 D 0 (II)

Z  0:1

(IV)  1

(V)

 1:5

) .x2 ; x3 / D .0:1; 0:7/ ) x1 D 1  x2  x3 D 0:2 Kosten pro Liter: 12 C 6  0:1  10  0:7 D 5:60 EUR

x2

34 0:1 0:75 1 0

(I) (II) (III) (IV)

Lösungen

277

Lösung 16.15 Duales Problem ! Primales Problem x1 C x2 C 2x3 ! min 6y1 C 10y2 C 6y3 C 4y4 ! max mit mit 5x1 C x2 C 5x3  6 5y1 C 5y2 C y3 C y4  1 5x1 C 5x2 C x3  10 y1 C 5y2 C 5y3 C y4  1 x1 C 5x2 C x3  6 5y1 C y2 C y3 C y4  2 x1 C x2 C x3  4 y1 ; y2 ; y3 ; y4  0 x1 ; x2 ; x3  0 Simplexalgorithmus: Zeile Basis

a1

a2

a3

a4

e1

e2

e3 b Pivotspalte Pivotzeile Operation

1 

e1

5

5

1

1

1

0

0

1

2

1

2  3  3’  4 

e2 e3

5 1 10 1

5 1 6

1 1 4

0 0 0

da 15 minimal

1 5

1 5

0 1 0 0

da 10 minimal

1 5

1 0 0 0

1 2 0

a2

1 5 6 1

1 5

3

2

5 

e2

4

0

4

0

1

1

0

0

da 4

6  6’ 

e3

4 4

0 0

4 5

4 5

1 0

minimal

minimal

2

0 0

9 5

4

 15 2

2

1 3 1   5 3’ 1 C2 

7 

a2

6 5

1

0

1 5

1 4

1  20

0

1 5

4

1

1 4 5  20 

8  9  9’  10  11  12  12’ 

a3 e3

1

0 0 0 5 0 4 10

1 0 0 0 1 0 0

0

 14 0 1

1 4  15

0 1 0 0 0 1 0

0

da 2 minimal

da 1 minimal

1 5 4  1 6 5   5

a4 a3 e3

24 5

0 6 1 0 12

4 5

2 1 0 0 0

5 4  14

1  14 1 4

1

0

7 2

1 2

Für die Lösung des Minimierungsproblems gilt: .x1 ; x2 ; x3 / D .3:5; 0:5; 0/ mit x1 C x2 C 2x3 D 4

9 5

2 1 0 1 4

da

1 1  5 0 4

2  1 

6’  5 C 7 5 8  9 7 4  9’ 7 C10 

17 Determinante einer Matrix Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 17.1 *  Für die 1  1-Matrix A D .a/1;1 gilt det A D a.  Für die n  n-Matrix A .n  3/ erhalten wir nach der Sarrus-Regel n2 Summanden. n Q  Für eine Diagonalmatrix D D .dij /n;n mit dij D 0 für i 6D j gilt stets det D D di i . i D1

 Für eine Dreiecksmatrix A D .aij /n;n mit aij D 0 für i > j gilt stets det A D

n Q

i D1

ai i .

Verständnisfrage 17.2 ** Gegeben ist eine beliebige n  n-Matrix A. Dann gilt:  det.A/ D  det A  det.rA/ D r n det A für r 2 R  Ist eine Zeile von A durch andere Zeilen linear kombinierbar, dann existiert keine Determinante.  Die Determinante eines Minors Aij von A ist genau dann positiv, wenn i C j geradzahlig ist.  Die Determinante eines Minors Aij von A kann 0 sein.

Verständnisfrage 17.3 ** Gegeben sind zwei beliebige n  n-Matrizen A; B. Dann gilt:  A D B ) det.A C B/ D det A C det B  A; B sind Diagonalmatrizen ) det.A C B/ D det A C det B  A; B sind orthogonale Matrizen () det.AB/ D det A  det B

280

17 Determinante einer Matrix

Verständnisfrage 17.4 ** Gegeben ist eine invertierbare n  n-Matrix A. Dann gilt:  det.AAA1 A1 / D 1  det.A1 AAAA1 / D det A  det Ak det Ak D 1 für alle k 2 N  A orthogonal ) det A2k D 1 für alle k 2 N

Verständnisfrage 17.5 ** Gegeben ist eine invertierbare n  n-Matrix A D .a1 ; : : : ; an / sowie das Gleichungssystem Ax D b mit x; b 2 Rn ; xT D .x1 ; : : : ; xn /; bT D .b1 ; : : : ; bn /. Dann gilt:  Ist b eine Linearkombination der Spalten a1 ; : : : ; an , so ist das Gleichungssystem nicht lösbar.  xi D 0 für ein i () b ist eine Linearkombination von Spalten ak .k 6D i /  xi D 1 für ein i () b D ai

Rechenaufgaben

281

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 17.6 ** Berechnen sie die Determinanten der folgenden Matrizen: 1 1 0 0 0 0 1 0 1 2 0 3 C C B B B0 1 4 8C B0 1 4 8 C C; C; B A D ADB 1 C C B B @1 2 0 3A @0 0 1 0 A 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 2 1 0 2 2 1 0 B C B C B3 B6 0 2 0C 0 2 0C B C B C; BDB C ; B1 D B C @ 1 2 1 2A @ 2 2 1 2A 1 0 3 0 2 0 3 0

0 0 B B0 A2 D B B @2

0 2

0

C 16C C C 6A 2

2 8 4 0

0 0 0 0 1 2 1 B B3 0 2 B2 D B B @ 1 2 1 2 4

0

1

0

1

C 0C C C 2A 2

Hinweis: Die Berechnungen vereinfachen sich, wenn man wichtige Eigenschaften von Determinanten ausnutzt.

Rechenaufgabe 17.7 * Gegeben sind die Matrizen 1 0 2 1 1 2 C B B0 2 1 1C C; B A1 D B C 2A @0 0 2 0 0 1 1

0 2

1

B A2 D B @0 2 0 1

1 1 C 2C A; 1

A3 D

2

2

!

1 1

a) Berechnen Sie die Determinanten von A1 ; A2 ; A3 . b) Begründen Sie, dass die Gleichungssysteme A1 x1 D b1 ; A2 x2 D b2 ; A3 x3 D b3 mit x1 ; b1 2 R4 ; x2 ; b2 2 R3 ; x3 ; b3 2 R2 für beliebige b1 ; b2 ; b3 lösbar sind. T

T

c) Lösen Sie die angegebenen Gleichungssysteme für b1 D .3; 2; 0; 2/ bzw. b2 D .2; 0; 2/ T

bzw. b3 D .0; 2/ mit Hilfe der Cramerschen Regel.

282

17 Determinante einer Matrix

Rechenaufgabe 17.8 ** Gegeben sind die Matrizen 0 1 1 B C 3 C A1 D B @ 0 A ; A2 D 2 1

! 6 4

0 1 B ; A3 D B @1 2

1 2 1 1

0

C 1C A 2

Bestimmen Sie – soweit dies möglich ist – zu jeder der Matrizen Ai .i D 1; 2; 3/ a) die Determinante, b) den Rang, c) die Inverse,

0 1 2 B C C d) sämtliche Lösungen des linearen Gleichungssystems Ai  x D B @ 0 A, wobei x jeweils so 2 gewählt sei, dass Ai  x definiert ist.

Rechenaufgabe 17.9 ** Gegeben ist die Matrix 1 0 2 0 0 0 C B B2 1 a 1C C mit a 2 R: B ADB C @ 0 1 4 0A 2 0 1 2 a) Berechnen Sie – in Abhängigkeit von a 2 R – die Determinante von A. b) Bestimmen Sie alle Werte a 2 R mit der Eigenschaft Rg A < 4. c) Berechnen Sie für a D 3 die Inverse von A.

0 1 2 B C B0 C C d) Bestimmen Sie für a D 3 sämtliche Lösungen des Gleichungssystems A  x D B B C. @0 A 1 0 1 b1 B C Bb2 C C e) Legen Sie die in A auftretende Zahl a 2 R und einen Vektor b D B B C so fest, dass das @b3 A b4 Gleichungssystem A  x D b keine Lösung besitzt.

Rechenaufgaben

283

Rechenaufgabe 17.10 *** Gegeben ist das folgende volkswirtschaftliche Modell für das Volkseinkommen: Y D C C I0 C G0

(Gütermarktgleichgewichtsbedingung)

C D ˛ C ˇ.Y  T /

(Konsumfunktion)

T D tY (Steuerfunktion) mit ˛ > 0; 0 < ˇ < 1; 0 < t < 1. Y entspricht dem Volkseinkommen, C den Konsumausgaben, I0 den autonomen Investitionen, G0 den autonomen Staatsausgaben und T dem Steueraufkommen. a) Schreiben Sie das obige Gleichungssystem in der Matrixform Ax D b, wobei der Vektor x die endogenen Variablen des Modells, also Y; C und T , enthält. b) Weisen Sie nach, dass die Determinante der Matrix A aus Teil a) nicht 0 ist. c) Berechnen Sie die Lösungswerte für Y; C und T in Abhängigkeit von I0 ; G0 ; ˛; ˇ; t über die Gleichung x D A1 b. Berechnen Sie dabei die Inverse zu A mit Hilfe der Kofaktoren.

Rechenaufgabe 17.11 ** Für eine Volkswirtschaft mit zwei Sektoren ist folgende Matrix der Input-Output-Koeffizienten gegeben: ! 0:8 0:3 A D .aij /2;2 D 0:1 0:6 a) Was sagen die Koeffizienten aij aus? b) Berechnen Sie .EA/1 zunächst mit dem Gaußalgorithmus und zusätzlich unter Nutzung der Kofaktoren von .E  A/. ! 10 c) Berechnen Sie für einen Endverbrauchsvektor y D den erforderlichen Gesamt20 outputvektor x 2 R2C der Volkswirtschaft mit Hilfe von b). d) Bestätigen Sie das Ergebnis von c) mit Hilfe der Cramerschen Regel.

Rechenaufgabe 17.12 ** Gegeben ist die Matrix 0 1 1 2 3 B C C ADB @1 c 3A 1 2 c a) Für welche c 2 R gilt Rg A D 1, Rg A D 2, Rg A D 3 ? b) Für welche c 2 R gilt det A D 0, det A > 0, det A < 0 ? c) Lösen Sie im Fall Rg A D 3 das Gleichungssystem Ax D b mit bT D .2; 1; 0/ mit Hilfe der Cramerschen Regel in Abhängigkeit von c.

284

17 Determinante einer Matrix

Lösungen Verständnisfragen Lösung 17.1  Für die 1  1-Matrix A D .a/1;1 gilt det A D a. Begründung: Definitionsgemäß gilt: det A D a für A D .a/1;1  Für die n  n-Matrix A .n  3/ erhalten wir nach der Sarrus-Regel n2 Summanden. Begründung: Definitionsgemäß erhalten wir nŠ Summanden. n Q  Für eine Diagonalmatrix D D .dij /n;n mit dij D 0 für i 6D j gilt stets det D D di i . i D1

I Anwendung des Entwicklungssatzes: entwickeln nach Zeilen 1, 2, 3, ... Begründung : n Q  Für eine Dreiecksmatrix A D .aij /n;n mit aij D 0 für i > j gilt stets det A D ai i . i D1

I Begründung: siehe 

Lösung 17.2 Gegeben ist eine beliebige n  n-Matrix A. Dann gilt:  det.A/ D  det A ! 1 0 Begründung: E D ) det E D 1 D det.E/ 6D  det.E/ 0 1  det.rA/ D r n det A für r 2 R Begründung: rA D .raij /n;n ) det.rA/ D r n det A  Ist eine Zeile von A durch andere Zeilen linear kombinierbar, dann existiert keine Determinante. Begründung: Rg A < n ) det A D 0  Die Determinante eines Minors Aij von A ist genau dann positiv, wenn i C j geradzahlig ist. Begründung: Unabhängig von i C j geradzahlig oder ungeradzahlig kann det Aij positiv, negativ oder gleich Null sein.  Die Determinante eines Minors Aij von A kann 0 sein. Begründung: det Aij D 0 () Rg Aij < n  1

Lösung 17.3 Gegeben sind zwei beliebige n  n-Matrizen A; B. Dann gilt:  A D B ) det.A C B/ D det A C det B Begründung: det.2A/ D 2n det A 6D det A C det A  A; B sind Diagonalmatrizen ) det.A C B/ D det A C det B n n n Q Q Q Begründung: det.A C B/ D .ai i C bi i / 6D ai i C bi i D det A C det B i D1

i D1

i D1

 A; B sind orthogonale Matrizen () det.AB/ D det A  det B Begründung: det.AB/ D det A  det B gilt für alle n  n-Matrizen, aber: Aus det.AB/ D det A  det B folgt nicht notwendig die Orthogonalität von A; B.

Lösungen

285

Lösung 17.4 Gegeben ist eine invertierbare n  n-Matrix A. Dann gilt:  det.AAA1 A1 / D 1 I det.AAA1 A1 / D det A  det A  det A1  det A1 Begründung : D det A  det A  .det A/1  .det A/1 D 1  det.A1 AAAA1 / D det A I Begründung: siehe  k k  det A det A D 1 für alle k 2 N   Begründung: det Ak det Ak D det.Ak Ak / D det .AA1 /k D 1  A orthogonal ) det A2k D 1 für alle k 2 N k  Begründung: det A2k D det Ak det Ak D .det A/k .det A/k D det AT .det A/k D det.AT A/k D 1

Lösung 17.5 Gegeben ist eine invertierbare n  n-Matrix A D .a1 ; : : : ; an / sowie das Gleichungssystem Ax D b mit x; b 2 Rn ; xT D .x1 ; : : : ; xn /; bT D .b1 ; : : : ; bn /. Dann gilt:  Ist b eine Linearkombination der Spalten a1 ; : : : ; an , so ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Begründung: Ax D b ) x D A1 b ) das Gleichungssystem ist stets lösbar  xi D 0 für ein i () b ist eine Linearkombination von Spalten ak .k 6D i / Ai D 0 mit Ai D .a1 ; : : : ; b; : : : ; an / und b ersetzt ai Begründung: xi D det det A ) det Ai D 0 ) a1 ; : : : ; b; : : : ; an sind linear abhängig  xi D 1 für ein i () b D ai Begründung: b D ai ) A D Ai D .a1 ; : : : ; b; : : : ; an / ) det Ai D det A ) xi D 1; die Umkehrung gilt nicht, z.B. ! ! ! 1 1 x1 2 D mit det A D det A1 D det A2 D 1 sowie x1 D x2 D 1 1 2 3 x2

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 17.6 A ist Dreiecksmatrix ) det A D 1  1  1  1 D 1 A1 entsteht aus A durch Vertauschung der Zeilen 1 und 3 ) det A1 D 1 A2 D 2  A1 ) det A2 D 24 det A1 D 16 Entwicklung von B nach der 4. und anschließend nach der 2. Spalte: 1 0 ! 1 2 1 3 2 C B D 4.9 C 2/ D 44 det B D .2/ det @ 3 0 2A D .2/.2/ det 1 3 1 0 3 B1 entsteht aus B durch Verdopplung der 1. Spalte ) det B1 D 2 det B D 88 B2 entsteht aus B durch Addition der 3. Zeile zur 4. Zeile ) det B2 D det B D 44

286

Lösung 17.7

17 Determinante einer Matrix

0

2 B a) det A1 D 2 det @0 0

1 ! 1 1 2 2 C D 2  2  4 D 16 2 2 A D 2  2  det 1 1 1 1

) det A2 D 8; det A3 D 4 b) det A 6D 0 () A1 existiert () .Ax D b () x D A1 b/ eindeutig c) A1 x1 D b1 mit det A1 D 16 1 0 1 1 0 0 3 1 1 2 3 1 2 2 1 1 B2 2 1 1C C C B B C B det B 2A 2 A C 2 det @0 2 C D 1 det @0 2 @0 0 2 2A 2 1 1 2 1 1 2 0 1 1 D 1.4 C 4  .4  4// C 2.6  4  .8  6// D 16 C 32 D 16 1 0 1 0 2 3 1 2 2 1 1 B0 2 1 1C C B C B det B 2 A D 2  16 D 32 C D 2 det @0 2 A @0 0 2 2 2 1 1 0 2 1 1 1 0 1 0 2 1 3 2 ! 2 2 1 B0 2 2 1C 0 2 C B C B D 2  2  .4/ D 16 det B C D 2 det @0 0 2 A D 2  2 det @0 0 0 2 A 2 1 0 2 1 0 0 2 1 1 0 1 0 2 1 1 3 ! 2 1 2 B0 2 1 2 C 2 0 C B C B D 2  2  4 D 16 det B C D 2 det @0 2 0A D 2  2 det @0 0 2 0 A 1 2 0 1 2 0 0 1 2   16 32 16 16 T ) x1 D ; ; ; D .1; 2; 1; 1/ 16 16 16 16 A2 x2 D b2 mit det A2 D 8 1 1 0 0 2 2 1 2 1 1 0 C C B B det @0 2 2 A D 16; det @0 0 2 A D 2 det 2 0 2 1 2 1 1 1 0 ! 2 1 2 2 0 C B D24D8 det @0 2 0A D 2 det 1 2 0 1 2   16 8 8 T ) x2 D ; ; D .2; 1; 1/ 8 8 8

! 2 D 2.4/ D 8 1

Lösungen

287

A3 x3 D b3 mit det A3 D 4 ! ! 0 2 2 0 det D 4; det D4 2 1 1 2   4 4 T ; D .1; 1/ ) x3 D 4 4

Lösung 17.8 a) det A1 existiert nicht, da A1 nicht quadratisch ist ! 3 6 D 12  12 D 0 det A2 D det 2 4 1 0 1 2 0 C B det A3 D det @ 1 1 1A D 2  4  .1  4/ D 1 2 1 2 b) Rg A1 D 1 (ein Spaltenvektor 6D o) Rg A2 D 1 (1. Zeile = .1:5/ 2. Zeile) Rg A3 D 3 (da det A3 6D 0) c) A1 nicht invertierbar, da nicht quadratisch A2 nicht invertierbar, da Rg A2 < 2 Zeile

A3

E

Operation

1 

1

2

0

1

0

0

2  3  4 

1 2 1

1 1 2

1 2 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 

5 

0

1

1

1

1

0

2 1 C 

6  7  8 

0 1 0

3 0 1

2 2 1

2 1 1

0 2 1

1 0 0

3 1 C2  4 5 C2  5 

9 

0

0

1

1

3

1

6 5 3 

0 1 0

0 0 1

1 0 1

10  1 11  0 12  0 0 1 2 B mit @ 1 1 2 1

10 1 4 0 CB 1A @ 0 2 1 3 2

7 9 4 2 C2  8 9 2 1 C  9 3 1  1 1 0 1 0 0 2 C C B 1A D @0 1 0A 0 0 1 1

288

17 Determinante einer Matrix

1 0 1 2 1 B C B C d) A1 x D @ 0 A x D @ 0 A ) x D 2 2 1 0 1 ! ! 2 3 6 x1 B C A2 x D D @ 0 A nicht lösbar x2 2 4 2 10 1 0 1 0 1 0 0 x1 x1 1 2 0 2 1 CB C B C B C B B A3 x D @ 1 1 1A @x2 A D @ 0 A ) @x2 A D @ 0 2 1 2 2 1 x3 x3 0

Lösung 17.9

0

1 B a) det A D 2 det @1 0

4 2 3

10 1 0 1 6 2 2 CB C B C 1A @ 0 A D @2A 4 2 1

1 1 C 0A D 2.8  1  .2a// D 14 C 4a 2

a 4 1

b) Rg A < 4 () det A D 14 C 4a D 0 () a D 3:5 c) Zeile

A

E

Operation

1 

2

0

0

0

1

0

0

0

2  3  4  5 

2 0 2 1

1 1 0 0

3 4 1 0

1 0 2 0

0 0 0 1 2

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 1 2 

6 

0

1

3

1

1

1

0

0

2 1 C 

7  8  9  10 

0 0 1 0

1 0 0 1

4 1 0 3

0 2 0 1

0 1 1

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

3  4  1  5  6 

11 

0

0

1

1

1

1

1

0

7 6 C 

12  13  14  15 

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 4 0

2 4 3

1 0 4 2

1 0 3 2

1 0 0 1

8  11  9  10 11 C3  11  12 

16 

0

0

0

1

2

1

1

1

12 

17 

0

1

0

0

12

8

7

4

14 16 4 

1 2

1 2

Lösungen

289

0

) A1

1 2

0 B 12 8 B DB @3 2 2 1

0 7 2 1

0 1 0 1 2 2 B0C B 12 B 1 B C d) x D A B C D B @0A @ 3 1 2

1 0 4C C C 1A 1

0 0 8 7 2 2 1 1

10 1 0 1 1 2 0 B0C B 20 C 4C CB C B C CB C D B C 1A @0A @ 5 A 3 1 1

e) aus b): a D 3:5 .)Rg A < 4/ Zeile

A

b

Operation

1 

2

0

0

0

b1

2  3  4  5 

2 0 2 1

1 1 0 0

3:5 4 1 0

1 0 2 0

b2 b3 b4 1 2  b1

1 1 2 

6  7  8  9 

0 0 0 1

1 1 0 0

3:5 4 1 0

1 0 2 0

b1 C b2 b3 b4  b1 1 2  b1

1 2 C  3  4  1  5 

10  11  12  13 

0 0 0 1

0 1 0 0

0:5 4 1 0

1 0 2 0

b1 C b2 C b3 b3 b4  b1 1  b1 2

6 7 C  7  8  9 

14 

0

0

0

0

14 Widerspruch für Zeile :

3 2

3 2

 b1 C b2 C b3 

 b1 C b2 C b3 

1 2

1 2

 b4

1 10 12   2

 b4 6D 0, z.B. für bT D .1; 0; 0; 0/

290

17 Determinante einer Matrix

Lösung 17.10 a)

Y ˇY tY 0

C CC

1 B b) det @ˇ t

1 1 0

C ˇT C T

9 0 > 1 D I0 C G0 = B ) @ˇ D˛ > ; t D0

10 1 0 1 I0 C G0 Y 1 0 CB C B C 1 ˇ A @C A D @ ˛ A T 0 1 0

1 0 C ˇ A D 1 C ˇt C 0  0  ˇ  0 D 1 C ˇt  ˇ 1

Wegen ˇ; t 2 h0; 1i gilt: .t  1/ 2 h1; 0i ) ˇ.t  1/ 2 h1; 0i ) 1 C ˇ.t  1/ 2 h0; 1i c) Berechnung der Kofaktoren zu A: ! ! ! 1 ˇ ˇ ˇ ˇ 1 d11 D det D 1; d12 D  det D ˇ  ˇt; d13 D det Dt 0 1 t 1 t 0 ! ! ! 1 0 1 0 1 1 D 1; d22 D det D 1; d23 D  det Dt d21 D  det 0 1 t 1 t 0 ! ! ! 1 0 1 0 1 1 D ˇ; d32 D  det D ˇ; d33 D det d31 D det 1 ˇ ˇ ˇ ˇ 1 0

1 1 1 1 B T D D A D @ˇ  ˇt 1 det A 1 C ˇt  ˇ t t 0 1 0 Y 1 1 B C B x D A1 b ) @C A D @ˇ  ˇt 1 C ˇt  ˇ T t 1

1

D1ˇ

ˇ C ˇ A 1ˇ 1 1 t

10 1 I0 C G0 ˇ CB C ˇ A @ ˛ A 1ˇ 0

Daraus erhält man: I0 C G0 C ˛ .ˇ  ˇt/.I0 C G0 / C ˛ t.I0 C G0 / C t˛ Y D ; C D ; T D 1 C ˇt  ˇ 1 C ˇt  ˇ 1 C ˇt  ˇ

Lösungen

291

Lösung 17.11 a) aij D

xij mit xij D wertmäßiger Lieferstrom von Sektor i nach Sektor j xj xj D Gesamtoutput des Sektors j D Lieferströme an die Sektoren 1,2 + Endnachfrage

Demnach bezeichnet aij den Lieferstrom von i nach j je Einheit des Gesamtoutputs von j . b) Zeile 1  2 

EA 0:2 0:3 0:1 0:4

E

Operation

1 0

0 1

3 

1

4

0

10

2 10

4  5 

2 1

3 4

10 0

0 10

1 10 3 

6 

0

5

10

20

4 3 2 

7 

1

0

8

6

4 5 6 C  5

8 

0

1

2

4

1 6  5

Matrix der Kofaktoren zu E  A: ! 0:4 0:1 DD 0:3 0:2 .E  A/

1

1 1 0:4 DT D D det.E  A/ 0:05 0:1

! ! 0:3 8 6 D 0:2 2 4

c) Input-Output-Gleichung: .E  A/x D y ! ! ! ! 10 x1 8 0:2 0:3 x1 D ) D ) 20 2 x2 x2 0:1 0:4 d) det.E  A/ D 0:05 ! 10 10 0:3 D 200 det D 10 ) x1 D 0:05 20 0:4 ! 5 0:2 10 D 100 det D 5 ) x2 D 0:05 0:1 20

! ! ! 6 10 200 D 4 20 100

292

17 Determinante einer Matrix

Lösung 17.12 a) Zeile Basis

a1

a2

a3

1 

e1

1

2

3

2  3  4  5  6 

e2 e3 a1 e2 e3

1 1 1 0 0

c 2 2 c2 0

3 c 3 0 c3

Operation

1  2  1  3  1 

Rg A D 1 unmöglich, da c nicht gleichzeitig die Werte 2 und 3 annehmen kann. Rg A D 2 für c 2 ¹2; 3º Rg A D 3 für c 62 ¹2; 3º 0

1 2 B b) det A D det @1 c 1 2

1 3 C 3A D c 2 C 6 C 6  3c  2c  6 D c 2  5c C 6 c

det A D 0 () c 2  5c C 6 D .c  2/.c  3/ D 0 () c 2 ¹2; 3º det A > 0 () c 2  5c C 6 D .c  2/.c  3/ > 0 () c 2 h1; 2i [ h3; 1i det A < 0 () c 2 h2; 3i c) Nach der Sarrus-Regel gilt: 1 0 2 2 3 C B det @1 c 3A D 2c 2 C 0 C 6  0  12  2c D 2.c 2  c  3/ 0 2 c 1 0 1 2 3 C B det @1 1 3A D c C 6 C 0  3  0  2c D 1.c  3/ 1 0 c 1 0 1 2 2 C B det @1 c 1A D 0 C 2 C 4  2c  2  0 D 2.c  2/ 1 2 0 Daraus erhält man die Lösung für c ¤ 2; 3: x1 D

1 2 2.c 2  c  3/ 1.c  3/ 2.c  2/ ; x2 D D ; x3 D D 2 c  5c C 6 .c  2/.c  3/ 2c .c  2/.c  3/ 3c

18 Eigenwertprobleme Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 18.1 *

  Von einem gleichförmigen Prozess spricht man, wenn für eine Folge xt von Vektoren mit xt 2 Rn gilt: xt C1 D xt D Axt ; t D 1; 2; 3; : : : (A ist n  n-Matrix,  2 RC ). Dann erhält man  für  > 1 einen Wachstumsprozess  für  D 1 einen konstanten Prozess  für  < 1 einen Schrumpfungsprozess

Verständnisfrage 18.2 ** Für eine reelle n  n-Matrix A gilt:  Es existieren stets n verschiedene, evtl. komplexe Eigenwerte.  Es existieren n reelle, nicht notwendig verschiedene Eigenwerte, falls A symmetrisch ist.  Es existiert kein Eigenwert, wenn Rg A < n gilt.  Die charakteristische Gleichung zur Berechnung der Eigenwerte ist ein Polynom n-ten Grades.  Die charakteristische Gleichung zur Berechnung der Eigenwerte lässt sich in lineare Faktoren zerlegen, falls A eine Diagonalmatrix ist.

Verständnisfrage 18.3 *** Für reelle symmetrische invertierbare n  n-Matrizen A; B mit den Eigenwerten i ; i .i D 1; : : : ; n/ gilt:  A3 besitzt die Eigenwerte 3i .i D 1; : : : ; n/:  2  A1 besitzt die Eigenwerte 2 i .i D 1; : : : n/:  AB besitzt die Eigenwerte i  i .i D 1; : : : n/:  Zu zwei verschiedenen Eigenwerten lassen sich stets zwei verschiedene Eigenvektoren finden.  Zu zwei identischen Eigenwerten lassen sich nur zwei identische Eigenvektoren finden.

294

18 Eigenwertprobleme

Verständnisfrage 18.4 *** Gegeben ist eine symmetrische n  n-Matrix A, die dazugehörigen Hauptunterdeterminanten det H1 ; : : : ; det Hn , die Diagonalmatrix L der Eigenwerte 1 ; : : : ; n sowie die dazu gehörige orthogonale Matrix X der Eigenvektoren, die Einheitsmatrix E und c 2 R. Dann gilt:  XL D AX  L D cE ) A D L  i > 0 .i D 1; : : : ; n/ () det Hi > 0 .i D 1; : : : ; n/  i < 0 .i D 1; : : : ; n/ () det Hi < 0 .i D 1; : : : ; n/

Verständnisfrage 18.5 ** Für eine symmetrische n  n-Matrix A gilt:  A ist indefinit () A ist weder positiv noch negativ definit  A ist positiv oder negativ definit ) Rg A D n  Rg A < n ) A ist positiv oder negativ semidefinit  A ist indefinit, wenn die Summe ihrer Eigenwerte gleich Null ist und dabei nicht alle Eigenwerte gleich Null sind.

Rechenaufgaben

295

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 18.6 ** In einem Augsburger Biergarten wird vor allem Bier und Zitronenlimo getrunken. Der an einem Abend nach der Stunde t noch vorhandene Bestand (in Liter) an Bier bzw. Zitronenlimo soll mit x t bzw. y t bezeichnet werden. Der Biergartenbetreiber hat auf der Basis längerer Beobachtungen festgestellt, dass Zitronenlimo ausschließlich zur Mischung von Radler verwendet wird, daneben aber auch Bier ohne Zumischung von Zitronenlimo getrunken wird. So erklärt sich auch, dass sich nach der Stunde t C 1 der Bestand an Bier um 20 %, der Bestand an Zitronenlimo nur um 10 % des nach der Stunde t gegebenen Bierbestandes reduziert. Damit ergeben sich also die folgenden Beziehungen: x t C1 D

0:8x t

y t C1 D 0:1x t C y t Der Biergartenbetreiber möchte nun wissen, ob und unter welchen Bedingungen ein gleichförmiger Bestandsrückgang möglich ist. a) Formulieren Sie das Problem als Eigenwertproblem. b) Untersuchen Sie, ob und unter welchen Bedingungen ein gleichförmiger Bestandsrückgang festgestellt werden kann. c) Angenommen, zum Zeitpunkt t D 0 beträgt der Bestand an Bier bzw. Zitronenlimo 1 000 bzw. 500 Liter. Wie hoch sind die entsprechenden Bestände nach 5 Stunden .t D 5/.

Rechenaufgabe 18.7 **

p ! 3 4 . Gegeben ist die Matrix A D p 3 2 a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A. b) Berechnen Sie die Eigenwerte von A1 . c) Diskutieren Sie die Definitheitseigenschaften von A und A1 . ! p ! 3 1 , d) Zeigen Sie, dass die Vektoren p Eigenvektoren von A und A1 sind. 1  3

296

18 Eigenwertprobleme

Rechenaufgabe 18.8 ** Peter will sich das Rauchen durch den Genuss von gesundheitsunschädlichem Kaugummi abgewöhnen. Zwischen der Anzahl der konsumierten Zigaretten x t und der Anzahl der konsumierten Kaugummis y t in der Zeitperiode t sowie den entsprechenden Quantitäten x t C1 und y t C1 in der Zeitperiode t C 1 wird der folgende Zusammenhang angenommen: ! ! ! 1 0:5 xt xt C1 D y t C1 yt 0:4 1:1 Peter möchte nun wissen, ob ein für Zigaretten und Kaugummis gleichförmiger Konsumrückgang möglich ist. a) Formulieren Sie das Problem als Eigenwertproblem und berechnen Sie die Eigenwerte und den für einen Schrumpfungsprozess relevanten Eigenvektor. b) Angenommen Peter raucht in der Zeitperiode 1 insgesamt 25 Zigaretten. Welche Menge an Kaugummis muss Peter in der Zeitperiode 1 konsumieren, damit ein gleichförmiger Konsumrückgang in Gang kommt? Wie viel Prozent beträgt dieser gleichförmige Konsumrückgang und welche Menge an Zigaretten und Kaugummis werden dann in der Zeitperiode 2 konsumiert?

Rechenaufgabe 18.9 ** Ein Unternehmen bietet in der Zeitperiode t zwei komplementäre Güter A und B an. Man schätzt, dass die Absatzquantitäten x t und y t der Güter A und B in der Periode t von dem Absatz x t 1 und y t 1 in der Periode t  1 folgendermaßen abhängen: ´ p C 0:06 y t 1 ; t D 1; 2; : : : x t D 0:9 x t 1 ./ p 0:06 xx1 C 0:8 y t 1 ; t D 1; 2; : : : yt D Das Unternehmen strebt für beide Güter gleichförmige Prozesse von p % an, d.h. es gilt:  p  x t 1 D x t 1 ; t D 1; 2; : : : 1C xt D 100   p yt D y t 1 D y t 1 ; t D 1; 2; : : : 1C 100 a) Bestimmen Sie p so, dass die mit ./ gegebenen Abhängigkeiten erfüllt sind. b) Interpretieren Sie die Ergebnisse von a) ökonomisch. c) Wie ist für p .p > 0/ aus a) in der Periode 0 das Verhältnis x0 W y0 der Absatzquantitäten zu wählen, damit sich bei Gültigkeit von ./ ein gleichförmiges Wachstum ergibt?

Rechenaufgaben

297

Rechenaufgabe 18.10 ** Der Student Issge Sund ernährt sich während seiner Prüfungsphase vor allem von Bananen und Schokoriegeln. Zwischen der Anzahl x t der Bananen und der Anzahl y t der Schokoladenriegel am Tag t sowie den entsprechenden Werten x t C1 und y t C1 am Tag t C 1 wird der folgende Zusammenhang angenommen: ! ! ! ! 1:6 0:4 xt xt x t C1 D , dabei gilt: >0 y t C1 yt yt a 0:8 ! x t C1 a) Formulieren Sie das obige Problem als Eigenwertproblem unter der Annahme, dass y t C1 ! xt ein Vielfaches von sein soll. yt b) Bestimmen Sie die Konstante a so, dass für den durch das obige Problem beschriebenen Prozess eine gleichförmige Konsumsteigerung von 40 % erreicht wird. c) Geben Sie die Anzahl der täglichen Bananen für den Fall an, dass der Bananen- und Schokoladenriegelkonsum im Zeitverlauf konstant bleibt, d.h. dass weder ein Wachstums- noch ein Schrumpfungsprozess vorliegt, wenn Issge Sund täglich 6 Schokoladenriegel isst. d) Für welche reellen Zahlen a gibt es in dem unter a) formulierten Eigenwertproblem keine reellen Eigenwerte?

Rechenaufgabe 18.11 ** Ein Unternehmen produziert in der Periode t drei Güter in den Quantitäten x t , y t und z t die in der Folgeperiode t C 1 teilweise als Rohstoffe wieder verwendet werden. Es gilt der Zusammenhang 0 1 1 0 10 1 0 a 12 0 xt xt x t C1 B C C B CB C B By t C1 C D Bb 1 c C By t C D A By t C mit a; b; c 2 R. @ A A @ A@ A @ 3 z t C1 zt zt 0 c 4 Die Matrix A besitzt den Eigenwert  D u > 0.

3 2

und den zugehörigen Eigenvektor .u; u; 0/ mit

a) Bestimmen Sie die Konstanten a; b; c der Matrix A. b) Interpretieren Sie den Eigenwert  und den Eigenvektor .u; u; 0/ bezogen auf die Aufgabenstellung, wenn ein gleichmäßiger Wachstumsprozess unterstellt wird. c) Der Gesamtoutput für die 3 Güter im Zeitpunkt t beträgt 200 Einheiten. Wie verteilen sich diese Einheiten bei Unterstellung eines gleichförmigen Wachstumsprozesses auf x t , y t und z t ? Geben Sie die Anzahl der zu produzierenden Güter für die Perioden t C 1 und t C 2 an, wenn ein gleichmäßiger Wachstumsprozess unterstellt wird.

298

18 Eigenwertprobleme

Rechenaufgabe 18.12 * Gegeben sind die Matrizen 0 1 0 0 a 0 0 B C B B C B A D @0 1 0A und B D @0 a 0 0 a

1 0

a

1

C 0C A mit a 2 R:

0

0

a) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrizen A, B in Abhängigkeit von a. b) Diskutieren Sie auf Basis der Ergebnisse von a) die Definitheitseigenschaften von A, B.

Rechenaufgabe 18.13 * 0

c1

B Für die Matrix A D B @2 2 1 D 1.

2

1 2

c2

C T 1C A ist x D .1; 0; 2/ ein Eigenvektor zum Eigenwert

1

c3

a) Was folgt hieraus für die Konstanten c1 ; c2 ; c3 ? b) Nennen Sie einen weiteren Eigenvektor zu 1 . c) Kann man zusätzlich zu den Ergebnissen aus a) Bedingungen an die Konstanten angeben, sodass A außerdem positiv definit ist? Nennen Sie gegebenenfalls diese Bedingungen. d) Kann man für den Fall, dass A positiv definit ist, die Konstanten auch noch so bestimmen, dass 2 D 3 ein weiterer Eigenwert von A ist?

Rechenaufgabe 18.14 *** a) Berechnen Sie alle Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren für die Matrix ! 0 1 AD . 1 0 b) Geben Sie eine  nicht notwendigerweise symmetrische  Matrix B an, die die folgenden Eigenwerte und dazugehörigen Eigenvektoren besitzt: Eigenwert

dazugehöriger Eigenvektor

1 D a

.1; 0; 0/T

2 D b

.1; 1; 0/T

3 D c

.1; 1; 1/T

Hinweis: Verwenden Sie dabei die Gleichung Bx D x, wobei  ein Eigenwert ist und x der dazu passende, nicht normierte Eigenvektor.

Rechenaufgaben

299

Rechenaufgabe 18.15 ** Gegeben ist die Matrix A mit 1 0 3 1 0 5 2 C B B0 1 2 0 0 C C B C B A D B0 0 a 6 6 C und a; b 2 R C B B0 0 0 2 1C A @ 0 0 0 0 b a) Bestimmen Sie die Determinante von A und  falls möglich  von A1 . b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und A2 . c) Diskutieren Sie den Rang von A in Abhängigkeit der Konstanten a und b. 0 D 0 für i 6D j die d) Diskutieren Sie für A0 mit ai0 i D ai i .i D 1; 2; : : : ; 5/ bzw. aij 0 0 2 Definitheitseigenschaften von A und .A / in Abhängigkeit der Konstanten a und b.

300

18 Eigenwertprobleme

Lösungen Verständnisfragen Lösung 18.1

  Von einem gleichförmigen Prozess spricht man, wenn für eine Folge xt von Vektoren mit xt 2 Rn gilt: xt C1 D xt D Axt ; t D 1; 2; 3; : : : (A ist n  n-Matrix,  2 RC ). Dann erhält man  für  > 1 einen Wachstumsprozess Begründung: xt C1 D xt > xt ) Wachstumsprozess  für  D 1 einen konstanten Prozess Begründung: xt C1 D xt D xt ) konstanter Prozess  für  < 1 einen Schrumpfungsprozess Begründung: xt C1 D xt < xt ) Schrumpfungsprozess

Lösung 18.2 Für eine reelle n  n-Matrix A gilt:  Es existieren stets n verschiedene, evtl. komplexe Eigenwerte. Begründung: A D E ) alle Eigenwerte sind reell und gleich 1  Es existieren n reelle, nicht notwendig verschiedene Eigenwerte, falls A symmetrisch ist. Begründung: Mit A D AT kann man zeigen, dass A nur reelle Eigenwerte besitzt, die nicht notwendig verschieden sein müssen.  Es existiert kein Eigenwert, wenn Rg A < n gilt. Begründung: Rg A < n ) Rg .A  E/ < n für  D 0 ) det.A  E/ D det A D 0 )  D 0 ist reeller Eigenwert  Die charakteristische Gleichung zur Berechnung der Eigenwerte ist ein Polynom n-ten Grades. Begründung: det.A  E/ D .1/n n C    D 0 ) man erhält ein Polynom n-ten Grades  Die charakteristische Gleichung zur Berechnung der Eigenwerte lässt sich in lineare Faktoren zerlegen, falls A eine Diagonalmatrix ist. Begründung: det.A  E/ D .a11  /.a22  / : : : .ann  / D 0

Lösung 18.3 Für reelle symmetrische invertierbare n  n-Matrizen A; B mit den Eigenwerten i ; i .i D 1; : : : ; n/ gilt:  A3 besitzt die Eigenwerte 3i .i D 1; : : : ; n/: 3  Begründung: A3 X D XLX T X D L3 X (mit L als Diagonalmatrix der Eigenwerte)  2  A1 besitzt die Eigenwerte 2 i .i D 1; : : : n/: 2  Begründung: X ist orthogonale Matrix der Eigenvektoren, also X1 D XT ) A1 X D  1 2 2  X D XL1 XT X D L2 X XLXT

Lösungen

301

 AB besitzt die Eigenwerte i  i .i D 1; : : : n/: ! 1 1 Begründung: A D besitzt die Eigenwerte 2 und 0 1 1 ! 2 0 BD die Eigenwerte 3 und 2 0 3 ! 2 3 AB D die Eigenwerte 5 und 0 2 3  Zu zwei verschiedenen Eigenwerten lassen sich stets zwei verschiedene Eigenvektoren finden. I Die Eigenvektoren lassen sich in einer orthogonalen Matrix zusammenfasBegründung : sen, also sind sie paarweise verschieden.  Zu zwei identischen Eigenwerten lassen sich nur zwei identische Eigenvektoren finden. I Begründung: siehe 

Lösung 18.4 Gegeben ist eine symmetrische n  n-Matrix A, die dazugehörigen Hauptunterdeterminanten det H1 ; : : : ; det Hn , die Diagonalmatrix L der Eigenwerte 1 ; : : : ; n sowie die dazu gehörige orthogonale Matrix X der Eigenvektoren, die Einheitsmatrix E und c 2 R. Dann gilt:  XL D AX Begründung: Ax D x ) AX D XL  L D cE ) A D L Begründung: A D XLX T D XcEX T D cXX T D cE D L  i > 0 .i D 1; : : : ; n/ () det Hi > 0 .i D 1; : : : ; n/ Begründung: i > 0 .i D 1; : : : ; n/ () L positiv definit () A positiv definit () det Hi > 0 .i D 1; : : : ; n/  i < 0 .i D 1; : : : ; n/ () det Hi < 0 .i D 1; : : : ; n/ Begründung: A D L mit 1 ; 2 < 0 ) det H2 D i 2 > 0

Lösung 18.5 Für eine symmetrische n  n-Matrix A gilt:  A ist indefinit () A ist weder positiv noch negativ definit Begründung: Eine positiv oder negativ semidefinite Matrix ist nicht indefinit.  A ist positiv oder negativ definit ) Rg A D n Begründung: det Hn 6D 0 ) Rg A D n  Rg A < n ) A ist positiv oder negativ semidefinit 1 0 1 0 1 C B Begründung: A D @0 1 1A ist indefinit und Rg A D 2 1 1 2  A ist indefinit, wenn die Summe ihrer Eigenwerte gleich Null ist und dabei nicht alle Eigenwerte gleich Null sind. Begründung: Es existiert mindestens 1 positiver und 1 negativer Eigenwert ) A indefinit.

302

18 Eigenwertprobleme

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 18.6 a)

x t C1 y t C1 "

b) det

!

! ! ! 0:8 0 xt xt D D 0:1 1 yt yt ! !# 0:8 0 1 0 0:8    D det 0:1 1 0 1 0:1

! 0 D .0:8  /.1  / D 0 1

) 1 D 1; 2 D 0:8 ) Gleichförmiger Bestandsrückgang für 2 D 0:8 möglich. D.h. 0:1x t C .1  0:8/y t D 0 () 0:2y t D 0:1x t () y t D 0:5x t Bedingung für Schrumpfprozess (20% pro Stunde): Der Bestand an Limo beträgt die Hälfte des Bestandes an Bier (in Litern). ! ! 1 000 327:68 c) Nach 5 Stunden: 0:85 D 500 163:84

Lösung 18.7

p ! 3 4 D .4  /.2  /  3 D 5  6 C 2 D 0 ) 1 D 5; 2 D 1 a) det p 3 2

b) Eigenwerte von A:

Ax D x

1 1 x D A1 x mit als Eigenwert von A1 und   x als Eigenvektor zum Eigenwert von A1 () Die Eigenvektoren von A und A1 sind identisch.) 1 1 1 D ; 2 D D1 ) Eigenwerte von A1 W 1 D 1 5 2 c) Die Matrizen A und A1 sind positiv definit. d) Für A gilt: ! ! ! p ! p ! p ! 1 3 3 0 3 3 1 0 p p p D D bzw. 1 0 3 3 3 1  3 0 ) A1 Ax D A1 x ) x D A1 x )

aus Teilaufgabe b): x Eigenvektor von A () x Eigenvektor von A1

Lösung 18.8 a)

x t C1 y t C1

!

1 0:5 D 0:4 1:1

Eigenwerte: det

1 0:4

!

xt yt

!

xt D yt !

!

0:5 D .1  /.1:1  /  0:2 D 2  2:1 C 0:9 D 0 1:1  

) 1 D 0:6; 2 D 1:5

Lösungen

303

Eigenvektor zu 1 D 0:6: ! ! 0:4 0:4 0:5 xt D 0 ) 0:4x t  0:5y t D 0 ) y t D x t D 0:8x t 0:5 0:4 0:5 yt ! ! a xt D mit a > 0 ) 0:8a yt b) x1 D 25 ) y1 D 0:8  25 D 20 Prozentualer Konsumrückgang: 40 % ! ! ! x2 25 15 ) D 0:6 D 20 12 y2

Lösung 18.9 a) Es gilt die Beziehung ! ! ! ! p xt 0:06 0:9 x t 1 x t 1 D p D yt 0:06 0:8 y t 1 y t 1

! p 0:06 0:9 . Und wir erhalten ein Eigenwertproblem der Matrix A D p 0:06 0:8 ! p 0:06 0:9   D .0:9  /.0:8  /  0:06 D 0:66  1:7 C 2 det p 0:06 0:8   D .0:6  /.1:1  / D 0 ) 1 D 1:1; 2 D 0:6 p folgt p1 D 10; p2 D 40. Mit  D 1 C 100

b) Mit p1 D 10 erhält man einen gleichförmigen Wachstumsprozess je Periode um 10 % mit ! ! x t 1 xt D 1:1 , yt y t 1 mit p2 D 40 erhält man einen gleichförmigen Schrumpfungsprozess je Periode um 40 % ! ! x t 1 xt D 0:6 . mit yt y t 1 c) Wir bestimmen die Eigenvektoren zu 1 D 1:1 aus ! ! ! ! ! p p 0:9  1:1 0:06 0:06 0:2 0 x0 x0 p D p D 0 0:06 0:8  1:1 y0 0:06 0:3 y0 ! ! p 0:06 x0 x0 0:2 D ) 1:225 , also y0 y0 1

304

18 Eigenwertprobleme

Lösung 18.10 a)

x t C1 y t C1

!

1:6 0:4 D a 0:8

!

xt yt

!

xt D yt

!

b) Konsumsteigerung um 40% )  D 1:4 ! 1:6  1:4 0:4 det D 0:2.0:6/ C 0:4a D 0 ) a D a 0:8  1:4 c)  D 1; y t D 6 1:6  1 ) 0:3

0:4 0:8  1

!

xt 6

!

0 D 0

0:12 0:4

D 0:3

! )

0:6x t  2:4 D 0

)

xt D 4

! 1:6   0:4 D .1:6  /.0:8  / C 0:4a D 1:28  2:4 C 2 C 0:4a D 0 d) det a 0:8     p ) 1;2 D 12 2:4 ˙ 5:76  4.1:28 C 0:4a/ Keine reellen Eigenwerte existieren für 5:76  4.1:28 C 0:4a/ D 5:76  5:12  1:6a < 0 ) 0:64 < 1:6a ) a > 0:4

Lösung 18.11

0 10 1 0 1 1 0 u a  32 0 2 B CB C B C a) @ b 1  32 c A @uA D @0A 3 3 0 0 0 c 4  2   ) a  32 u C 12 u C 0 D 0 ) a  32 C 12 D 0 ) a D 1   bu C 1  32 u C c  0 D 0 ) b  12 D 0 ) b D 12 0  u C cu 

b)  D

3 2

3 4

0D0)c D0

D 1:5 bedeutet gleichmäßiges Wachstum der Produktion der 3 Güter in einer Zeit-

periode um 50 %. xT D .u; u; 0/: Das gleichmäßige Wachstum um 50 % wird erreicht, falls die Produktionsmengen der Güter 1,2 identisch sind und Gut 3 nicht produziert wird. c) Gesamtproduktion D 200 D u C u ) u D 100 0 1 0 1 0 1 225 150 100 B C B C B C ) Produktion in t: @100A, in t C 1: @150A, in t C 2: @225A 0 0 0

Lösungen

305

Lösung 18.12

1 a 0 0 C B a) det @ 0 1 0 A D .a  /2 .1  / D 0 ) 1 D 2 D a; 3 D 1 0 0 a 1 0  0 a C B det @ 0 1   0 A D 2 .1  /  a2 .1  / D .2  a2 /.1  / D 0 a 0  0

) 1 D a; 2 D a; 3 D 1 b) A ist positiv definit für i > 0, also a > 0 positiv semidefinit für i  0, also a  0 indefinit für i R 0, also a < 0 B ist positiv semidefinit für i  0, also a D 0 indefinit für i R 0, also a 6D 0

Lösung 18.13 a) Mit dem angegebenen Eigenwert und Eigenvektor folgt: 10 1 0 1 0 1 0 c1  1  4 1 0 c1  1 2 2 CB C B C B C B c2  1 22 1 A@ 0 A D @ A D @0A @ 2 2 0 2  2.c3  1/ 2 1 c3  1 ) c1 D 5; c3 D 2; c2 2 R 1 1 0 a 1 C B B C b) Mit x D @ 0 A ist jedes y D @ 0 A mit a 6D 0 Eigenvektor. 2a 2 0

c) Für die Hauptunterdeterminanten gilt: det H1 D det 5 D 5 > 0 ! 4 5 2 D 5c2  4 > 0 für c2 > det H2 D det 5 2 c2 0 1 5 2 2 5 B C det H3 D det @2 c2 1A D 10c2 C 4 C 4  4c2  5  8 D 6c2  5 > 0 für c2 > 6 2 1 2 5 6 d) Offenbar steht der Eigenwert 2 D 3 im Widerspruch zur positiven Definitheit von A. ) A ist genau dann positiv definit, wenn c2 >

306

Lösung 18.14  a) Eigenwerte von A W det.A  E/ D det 1 ) 1 D 1; 2 D 1

18 Eigenwertprobleme

! 1 D ./2  1 D 0 

Eigenvektor zu 1 D 1: ! ! ! 0 1 1 x1 D ) x1 C x2 D 0 0 1 1 x2 ! a xD mit a 6D 0 a Eigenvektor zu 2 D 1: ! ! ! 0 1 1 y1 D ) y1 C y2 D 0 0 1 1 y2 ! b yD mit b 6D 0 b b) B D .bij /3;3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 b11 b11 1 1 a B C B C B C B C B C  D a ) B @0A D @b21 A D a @0A ) @b21 A D @0 A 0 0 0 b31 b31 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 b11 C b12 b11 C b12 1 1 b B B C B B C C C B C  D b ) B @1A D @b21 C b22 A D b @1A ) @b21 C b22 A D @b A 0 0 0 b31 C b32 b31 C b32 1 0 1 0 1 0 1 0 ba b12 a b C B C B C B C B ) @b22 A D @b A  @0 A D @ b A 0 0 0 b32 0 1 0 1 0 1 b11 C b12 C b13 1 1 B C B C B C  D c ) B @1A D @b21 C b22 C b23 A D c @1A 1 1 b31 C b32 C b33 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 cb b11 C b12 C b13 b13 b c c C B B C B C B C B C B C ) @b21 C b22 C b23 A D @c A ) @b23 A D @c A  @b A D @c  b A c 0 c c b31 C b32 C b33 b33 1 0 a ba c b C B ) B D @0 b c  bA 0 0 c

Lösungen

307

Lösung 18.15 a) A ist Dreiecksmatrix ) det A D 3  1  a  2  b D 6ab 1 ) det A1 D für a; b 6D 0 6ab b) Eigenwerte von A: 3; 1; a; 2; b Eigenwerte von A2 : 9; 1; a2 ; 4; b 2 c) a; b 6D 0 ) det A 6D 0 )Rg A D 5 a 6D 0; b D 0 ) A enthält eine Nullzeile und die Zeilen 1,2,3,4 sind linear unabhängig )Rg A D 4 a D 0; b 6D 0 ) die Zeilen 3,4,5 sind linear abhängig: 3. Zeile  3  4. Zeile  b3  5. Zeile D 0 und die verbleibenden 4 Zeilen sind linear unabhängig )Rg A D 4 a D b D 0 ) die Zeilen 1,2,3,4 sind linear unabhängig )Rg A D 4 d) A0 positiv definit () Alle Eigenwerte sind > 0 () a; b > 0 A0 positiv semidefinit () Alle Eigenwerte sind  0 () a; b  0 A0 indefinit () Es gibt negative und positive Eigenwerte () a; b nicht beide  0 .A0 /2 positiv definit () a; b 6D 0 .A0 /2 positiv semidefinit () a; b 2 R

19 Reelle Funktionen mehrerer Variablen Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 19.1 ** Für reelle Funktionen der Form f W Rn ! R mit f .x1 ; : : : ; xn / D y und n > 1 gilt:  Jedes Polynom ist auch rationale Funktion.  Jede Wurzelfunktion ist auch Potenzfunktion.  Es gibt Potenzfunktionen, die als Exponentialfunktionen aufgefasst werden können.  Es gibt lineare reelle Funktionen mehrerer Variablen, die invertierbar sind.

Verständnisfrage 19.2 ** Für f W Rn ! R mit f .x1 ; : : : ; xn / D y; .n > 1/ gilt:  Jede lineare Funktion ist homogen vom Grad 1.  Eine Funktion vom Homogenitätsgrad 1 muss linear sein.  Jede quadratische Form ist homogen vom Grad 2.  Jedes Polynom ist homogen.  Es gibt Potenzfunktionen mit dem Homogenitätsgrad 0.

Verständnisfrage 19.3 **  Das Produkt zweier stetiger Funktionen mehrerer Variablen mit identischem Definitionsbereich ist stetig.  Der Quotient zweier stetiger Funktionen mehrerer Variablen mit identischem Definitionsbereich ist stetig.  Jede stetige Funktion ist nach allen Variablen partiell differenzierbar.  Ist eine Funktion nach allen Variablen partiell differenzierbar, so ist sie auch stetig.

310

19 Reelle Funktionen mehrerer Variablen

Verständnisfrage 19.4 **  Für f existieren alle Richtungsableitungen () f ist nach allen Variablen partiell differenzierbar.  Es existiert grad f .x/ ) in x ist die Tangentialhyperebene an f berechenbar.  Bei homogenen Funktionen ist der Homogenitätsgrad identisch mit der Summe der partiellen Elastizitäten.  Es gibt eine Funktion f , deren partielle Änderungsraten identisch sind.

Verständnisfrage 19.5 * Für f W Rn ! R mit f .x1 ; : : : ; xn / D y und n > 1 gilt:  Ist f zweimal stetig nach allen Variablen differenzierbar, dann ist die dabei entstehende n  n-Hessematrix symmetrisch.  f ist eine quadratische Form ) Die Hessematrix ist eine Diagonalmatrix.  f ist eine quadratische Form ) Die Hessematrix ist unabhängig von den Variablen x1 ; : : : ; xn .  f ist eine lineare Funktion ) Die Hessematrix entspricht der Einheitsmatrix.

Rechenaufgaben

311

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 19.6 *** Bestimmen Sie für alle nachfolgenden Funktionen f; g; h die partiellen Ableitungen erster Ordnung: a) f W R2 ! R mit f .x1 ; x2 / D x1 x2 ln.x12 C 1/ C x1 e x1 Cx2 x1 x2 sin.x1 x2 / cos x3 b) g W R3 ! R mit g.x1 ; x2 ; x3 / D 2 x3 C 1 x1 C x2 c) h W R4 ! R mit h.x1 ; x2 ; x3 ; x4 / D  e x1 x4 1 C e x3

Rechenaufgabe 19.7 * Gegeben ist folgende Produktionsfunktion f eines Einproduktunternehmens: p y D f .x1 ; x2 ; x3 / D x1 C x2 x3 D x1 C x20:5 x30:5 mit den Produktionsfaktorquantitäten x1 ; x2 ; x3  0 und der Produktquantität y  0 a) Zeigen Sie, dass f homogen vom Grad 1 ist und interpretieren Sie diese Aussage. b) Berechnen Sie die partiellen Grenzproduktivitäten fx1 ; fx2 ; fx3 und vergleichen Sie die Ergebnisse für x2 > x3 bzw. x2 < x3 . c) Bestimmen Sie alle Produktionsfaktorkombinationen .x1 ; x2 ; x3 /, für die die Grenzrate der @x2 Substitution den Wert 1 annimmt. @x3 d) Zeigen Sie: Stimmen die in b) ermittelten Grenzproduktivitäten mit den Faktorpreisen q1 ; q2 ; q3 überein, so sind die variablen Kosten identisch mit der Produktquantität y.

Rechenaufgabe 19.8 ** Gegeben ist folgende Produktionsfunktion f eines Einproduktunternehmens: q f .x1 ; x2 ; x3 / D x12 C 2x22 C 3x32  x1 .x2 C x3 / a) Zeigen Sie, dass das Produktionsniveau f homogen vom Grad 1 ist und interpretieren Sie diese Aussage. b) Ermitteln Sie – jeweils für x1 D x2 D x3 D c – die partiellen Grenzproduktivitäten @x3 @x3 der Faktoren sowie die Grenzraten der Substitution und . Interpretieren Sie die @x1 @x2 erhaltenen Werte. c) Bestimmen Sie die partiellen Änderungsraten und Elastizitäten des Produktionsniveaus f .x1 ; x2 ; x3 / bezüglich aller drei Faktoren. d) Zeigen Sie für diese Aufgabe, dass die Summe der Elastizitäten dem Homogenitätsgrad von f entspricht.

312

19 Reelle Funktionen mehrerer Variablen

Rechenaufgabe 19.9 * Die Absatzwirkung y einer Werbekampagne für ein Produkt hängt von den für zwei Medien eingesetzten Werbebudgets x1 ; x2 in folgender Weise ab: p y D f .x1 ; x2 / D 10 x1 C 20 ln.x2 C 1/ C 50I x1 ; x2  0 Runden Sie die Ergebnisse von a) und b) auf zwei, die Ergebnisse von d) auf vier Nachkommastellen. a) Berechnen Sie f .100; 100/ sowie die partiellen Änderungsraten und Elastizitäten der Absatzwirkung bezüglich der beiden Werbebudgets für .x1 ; x2 / D .100; 100/. b) Ermitteln Sie die Richtungsableitungen von f im Punkt .x1 ; x2 / D .100; 100/ in Richtung .1; 2/ bzw. .2; 1/ und zeigen Sie, dass die Richtung .2; 1/ für die Absatzwirkung günstiger als die Richtung .1; 2/ ist. Interpretieren Sie dieses Ergebnis. c) Ermitteln Sie die Menge aller Budgetvektoren .x1 ; x2 /  .1; 1/, für die die Grenzrate der Substitution von x2 bzgl. x1 genau 1 ergibt. Stellen Sie diese Menge grafisch dar und interpretieren Sie das Ergebnis. d) Berechnen Sie die Veränderung der Absatzwirkung f .100; 100/ D f .100 C x1 ; 100 C x2 /  f .100; 100/ mit x1 D x2 D 1 näherungsweise mit Hilfe des totalen Differentials und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Wert.

Rechenaufgabe 19.10 ** Der durch den Verkauf eines Produktes erzielte Gewinn ist abhängig vom Preis p und der Nachfrage q, wobei von der folgenden Gewinnfunktion ausgegangen wird: p G.p; q/ D 2p C 4q  log10 .2p C 4q/ .p; q > 0/ a) Bestimmen Sie die ersten partiellen Ableitungen von G.p; q/. b) Bestimmen Sie mit Hilfe des totalen Differentials näherungsweise die Änderung des Gewinns, wenn der Preis von 20 auf 20:1 Einheiten erhöht wird und die Nachfrage dabei von 15 auf 14:8 Einheiten absinkt, und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit dem exakten Wert. Runden Sie dabei die Ergebnisse jeweils auf drei Nachkommastellen genau. c) Wie muss an der Stelle .p; q/ D .20; 15/ das Verhältnis aus Nachfrageänderung q und Preisänderung p sein, damit ! der Gewinn näherungsweise unverändert bleibt, d.h. p D0 .grad G.20; 15//T  q gilt? Wie muss sich die Nachfrage bei einer Preiserhöhung von 0:1 Einheiten ändern, damit der Gewinn näherungsweise unverändert bleibt?

Rechenaufgaben

313

Rechenaufgabe 19.11 * Bestimmen Sie zur Funktion f W R2 ! R mit f .x; y/ D x 3  x 2  ln.y 2 C 1/  3x a) den Funktionswert f .1; 0/, b) den Gradienten, c) die Hesse-Matrix, d) alle Nullstellen des Gradienten, e) die Definitheitseigenschaft der Hesse-Matrix in jeder Nullstelle des Gradienten, f) die Gleichung der Tangentialhyperebene im Punkt .x; y/ D .3; 1/.

Rechenaufgabe 19.12 * Gegeben ist die folgende Funktion g, die den Ausstoß y eines pharmazeutischen Produktes in Abhängigkeit von den Quantitäten x1 ; x2 > 0 zweier Ausgangschemikalien wie folgt beschreibt: y D g.x1 ; x2 / D ax13  x12 C x22 ; a 2 RC a) Bestimmen Sie für a 2 RC den Grenzaufwand pharmazeutischen Produktes.

@x2 der Chemikalie 2 zur Herstellung des @y

b) Bestimmen Sie für a D 0 die Grenzrate der Substitution der ersten Chemikalie bezüglich der zweiten Chemikalie.

314

19 Reelle Funktionen mehrerer Variablen

Lösungen Verständnisfragen Lösung 19.1 Für reelle Funktionen der Form f W Rn ! R mit f .x1 ; : : : ; xn / D y und n > 1 gilt:  Jedes Polynom ist auch rationale Funktion. Begründung: Eine rationale Funktion ist Quotient zweier Polynome p1 ; p2 . Mit p2 .x1 ; : : : ; xn / D 1 ist das Polynom p1 auch rationale Funktion.  Jede Wurzelfunktion ist auch Potenzfunktion. Begründung: f mit f .x1 ; : : : ; xn / D a0 x1˛1  : : :  xn˛n mit ˛i 2 QC .i D 1; : : : ; n/ ist Wurzelfunktion, mit ˛i 2 RC .i D 1; : : : ; n/ Potenzfunktion.  Es gibt Potenzfunktionen, die als Exponentialfunktionen aufgefasst werden können. Begründung: Bei Exponentialfunktionen treten im Gegensatz zu Potenzfunktionen die Variablen x1 ; : : : ; xn als Exponenten auf.  Es gibt lineare reelle Funktionen mehrerer Variablen, die invertierbar sind. Begründung: f ist linear () f .x/ D aT x D y, wegen n > 1 ist die Funktion nicht invertierbar.

Lösung 19.2 Für f W Rn ! R mit f .x1 ; : : : ; xn / D y; .n > 1/ gilt:  Jede lineare Funktion ist homogen vom Grad 1. Begründung: Mit a; x 2 Rn ; r 2 R gilt: f .rx/ D aT rx D raT x D rf .x/  Eine Funktion vom Homogenitätsgrad 1 muss linear sein. p Begründung: f .x1 ; x2 / D x1 x2 ist nicht linear, andererseits gilt: p p f .rx1 ; rx2 / D rx1  rx2 D r x1 x2 D rf .x1 ; x2 /  Jede quadratische Form ist homogen vom Grad 2. Begründung: Mit der n  n-Matrix A, sowie x 2 Rn ; r 2 R gilt: f .x/ D xT Ax bzw.   f .rx/ D rxT A.rx/ D r 2 xT Ax D r 2 f .x/  Jedes Polynom ist homogen. Begründung: f .x1 ; x2 / D x12 C x1 x2 C x22 C x1 C x2 C 1 ist nicht homogen  Es gibt Potenzfunktionen mit dem Homogenitätsgrad 0. q q q x1 rx1 x1 Begründung: f .x1 ; x2 / D ) f .rx ; rx / D D D f .x1 ; x2 / D 1 2 x2 rx2 x2 r 0 f .x1 ; x2 /

Lösung 19.3  Das Produkt zweier stetiger Funktionen mehrerer Variablen mit identischem Definitionsbereich ist stetig. Begründung: Der Stetigkeitsbegriff für reelle Funktionen einer Variablen ist übertragbar.  Der Quotient zweier stetiger Funktionen mehrerer Variablen mit identischem Definitionsbereich ist stetig. .x/ Begründung: Für x 2 Rn ist fg.x/ nur für g.x/ 6D 0 definiert und stetig.

Lösungen

315

 Jede stetige Funktion ist nach allen Variablen partiell differenzierbar. Begründung: Bei stetigen Funktionen können Bruchstellen auftreten, z.B. lim

x%x0

@f .x/ @x1

6D lim

x&x0

@f .x/ @x1

) f ist in x0 nicht partiell differenzierbar.

 Ist eine Funktion nach allen Variablen partiell differenzierbar, so ist sie auch stetig. Begründung: Partielle Differenzierbarkeit nach allen Variablen bedeutet lediglich Stetigkeit längs der Koordinatenachsen.

Lösung 19.4  Für f existieren alle Richtungsableitungen () f ist nach allen Variablen partiell differenzierbar. Begründung: „(“: Wenn alle Richtungsableitungen existieren, dann auch alle partiellen Ableitungen. „)“: Partielle Differenzierbarkeit impliziert nicht Stetigkeit allgemein, also müssen Richtungsableitungen nicht existieren.  Es existiert grad f .x/ ) in x ist die Tangentialhyperebene an f berechenbar. Begründung: Für x 2 Rn beschreibt die Gleichung y D f .Ox/ C grad f .Ox/T .x  xO /, abhängig von der Existenz von grad f , eine Tangentialhyperebene in xO an f .  Bei homogenen Funktionen ist der Homogenitätsgrad identisch mit der Summe der partiellen Elastizitäten. Begründung: Der Beweis erfolgt mit Hilfe der Eulerschen Homogenitätsrelation.  Es gibt eine Funktion f , deren partielle Änderungsraten identisch sind. Begründung: f .x1 ; : : : ; xn / D e x1 CCxn D e x1 e x2 : : : e xn )

@f .x/ @xi

D f .x/,

Änderungsrate i D 1 für alle i D 1; : : : ; n

Lösung 19.5 Für f W Rn ! R mit f .x1 ; : : : ; xn / D y und n > 1 gilt:  Ist f zweimal stetig nach allen Variablen differenzierbar, dann ist die dabei entstehende n  n-Hessematrix symmetrisch. 2

@ f .x/ Begründung: Für @x D fij gilt fij D fj i , falls f zweimal stetig partiell differenzierbar i @xj ist ) H D .fij /n;n ist symmetrisch.  f ist eine quadratische Form ) Die Hessematrix ist eine Diagonalmatrix. ! 2 1 ist nicht diagonal Begründung: f .x1 ; x2 / D x12 C x1 x2 C x22 ) H D 1 2

 f ist eine quadratische Form ) Die Hessematrix ist unabhängig von den Variablen x1 ; : : : ; xn . Begründung: Für die n  n-Matrix und x 2 Rn gilt: f .x/ D xT Ax ) H D A  f ist eine lineare Funktion ) Die Hessematrix entspricht der Einheitsmatrix. Begründung: f .x1 ; x2 / D x1 C x2 ) H D o

316

19 Reelle Funktionen mehrerer Variablen

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 19.6 a) f .x1 ; x2 / D x1 x2 ln.x12 C 1/ C x1 e x1 Cx2 x1 Cx2 1 fx1 .x/ D x2 ln.x12 C 1/ C x1 x2 x2x C x1 e x1 Cx2 2 C1 C e 1

D

x2 ln.x12

C 1/ C

fx2 .x/ D x1 ln.x12 C 1/ C b) g.x1 ; x2 ; x3 / D

x1 x2 x32 C1

2x12 x2

C e x1 Cx2 .1 C x1 /

x12 C1 x1 e x1 Cx2

sin.x1 x2 / cos x3

gx1 .x/ D

x2 x32 C1

sin.x1 x2 / cos x3 C

D

x2 x32 C1

cos x3 .sin.x1 x2 / C x1 x2 cos.x1 x2 //

gx2 .x/ D

x1 x32 C1

sin.x1 x2 / cos x3 C

D

x1 x32 C1

cos x3 .sin.x1 x2 / C x1 x2 cos.x1 x2 //

gx3 .x/ D D

2x1 x2 x3 .x32 C1/2 x1 x2 .x32 C1/2

x1 x2 x32 C1

x1 x2 x32 C1

sin.x1 x2 / cos x3 C

cos.x1 x2 /x2 cos x3

cos.x1 x2 /x1 cos x3

x1 x2 x32 C1

sin.x1 x2 /. sin x3 /

sin.x1 x2 /.2x3 cos x3  .x32 C 1/ sin x3 /

c) h.x1 ; x2 ; x3 ; x4 / D

x1 Cx2 1Ce x3

 e x1 x4

C x4 e x1 x4

hx1 .x/ D

1 1Ce x3

hx3 .x/ D

.x1 Cx2 /e x3 .1Ce x3 /2

; hx2 .x/ D

1 1Ce x3

; hx4 .x/ D x1 e x1 x4

Lösung 19.7

p p a) f .cx1 ; cx2 ; cx3 / D cx1 C cx2 cx3 D c.x1 C x2 x3 / D cy Eine gleichzeitige Erhöhung aller Faktorquantitäten auf das c-fache impliziert die gleiche Erhöhung der Produktquantität. f ist homogen vom Grad c D 1. b) fx1 .x/ D 1 q fx2 .x/ D 0:5x20:5 x30:5 D 0:5

q

x3 x2

fx3 .x/ D 0:5x20:5 x30:5 D 0:5 xx23 q q x2 > x3 () xx23 > xx32 () fx3 .x/ > fx2 .x/; fx1 .x/ D 1 q q x2 < x3 () xx23 < xx32 () fx3 .x/ < fx2 .x/; fx1 .x/ D 1 c)

@x2 @x3

f

.x/

0:5x 0:5 x 0:5

D  fxx3 .x/ D  0:5x20:53x 0:5 D  xx23 D 1 () x2 D x3 ; x1 ist beliebig 2

2

3

d) Variable Kosten: q1 x1 C q2 x2 C q3 x3 D fx1 .x/x1 C fx2 .x/x2 C fx3 .x/x3 D y (folgt aus a) mit Hilfe der Eulerschen Homogenitätsrelation)

Lösungen

317

Lösung 19.8 a) f .rx1 ; rx2 ; rx3 / D

p

.rx1 /2 C 2.rx2 /2 C 3.rx3 /2  rx1 .rx2 C rx3 / q D r x12 C 2x22 C 3x32  x1 .x2 C x3 / D rf .x1 ; x2 ; x3 /

Gleichzeitige Erhöhung aller Faktorquantitäten auf das r-fache bewirkt eine Erhöhung der Produktquantität auf das r-fache. b) Man erhält für x1 D x2 D x3 D c: fx1 .x/ D

2x1 .x2 Cx3 / 2f .x/

fx2 .x/ D

4x2 x1 2f .x/

D

p 4cc 2 6c 2 2c 2

D

3c 4c

D 0:75

fx3 .x/ D

6x3 x1 2f .x/

D

p 6cc 2 6c 2 2c 2

D

5c 4c

D 1:25

D

2c.cCc/ p 2 6c 2 2c 2

D0

Bei gleichen Faktorquantitäten .x1 D x2 D x3 D c/ ergibt sich in x1 -Richtung die Steigung 0 des Produktionsniveaus, in x2 - bzw. x3 - Richtung die Steigung 0.75 bzw. 1.25. f

.x/

@x3 @x1

0 D  fxx1 .x/ D  1:25 D0

@x3 @x2

D  fxx2 .x/ D  0:75 1:25 D 0:6

3

f

.x/

3

Für x1 D x2 D x3 D c ergibt sich das Produktionsniveau 2c, das durch geeignete Faktorsubstitution erhalten werden kann. Wird der zweite Faktor um 1 Einheit erhöht, so kann der dritte Faktor um 0.6 Einheiten gesenkt werden. Eine Veränderung des ersten Faktors hat keine Auswirkungen auf die anderen beiden Faktoren. 2x1 .x2 Cx3 / 2.f .x//2

;

"f;x1 D

2x1 .x2 Cx3 / x1 2.f .x//2

f;x2 D

4x2 x1 2.f .x//2

;

"f;x2 D

4x2 x1 x 2.f .x//2 2

f;x3 D

6x3 x1 2.f .x//2

;

"f;x3 D

6x3 x1 x 2.f .x//2 3

c) f;x1 D

d) Es gelten folgende Äquivalenzen: 2x12 x1 x2 x1 x3 2.f .x//2

C

4x22 x1 x2 2.f .x//2

C

6x32 x1 x3 2.f .x//2

D1

() 2x12  x1 x2  x1 x3 C 4x22  x1 x2 C 6x32  x1 x3 D 2.f .x//2 () x12  x1 x2  x1 x3 C 2x22 C 3x32 D .f .x//2 q () x12 C 2x22 C 3x32  x1 .x2 C x3 / D f .x/

318

19 Reelle Funktionen mehrerer Variablen

Lösung 19.9 a) f .100; 100/ D 10  10  20 ln 101 C 50 242:30 fx1 .x1 ; x2 / D

10 p 2 x1

) fx1 .100; 100/ D

fx2 .x1 ; x2 / D

20 x2 C1

) fx2 .100; 100/ D

f;x1 .100; 100/ D f;x2 .100; 100/ D

0:5 242:30 0:002 20 0:0008 101242:30

p10 2 100 20 100C1

D 0:5 D

; "f;x1 .100; 100/ D 100  ; "f;x2 .100; 100/ D 100  ! 1

20 / b) rT D .1; 2/ W .grad f .100; 100//T r D .0:5; 101

T

r D .2; 1/ W .grad f .100; 100// r D .0:5; T

20 101

20 / 101

p

5 p2 5 p2 5 p1 5

0:5 242:30 0:2 20 0:08 101242:30

D 0:224 C 0:177 D 0:40 ! D 0:447 C 0:089 D 0:54

Die Richtung .1; 2/ bewirkt einen Absatzzuwachs von 0:40, die Richtung .2; 1/ einen Absatzzuwachs von 0:54. Wird das Budget x1 doppelt so stark erhöht wie das Budget x2 , so ist dies für die Absatzwirkung wegen 0:54 > 0:40 günstiger als eine Erhöhung des Budgets x2 um das Doppelte von Budget x1 . c) Grenzrate der Substitution: p f .x ;x / 2 C1 p 2 C1/ D  xp 1 D  fxx1 .x11 ;x22 / D  10.x () 4 x1 D x2 C 1 2 x 20 4 x 1

2

1

x2 

15 

11 

7 3

Die Absatzzuwächse bei steigendem Budget x1 bzw. x2 sind gleich für alle p .x1 ; x2 /  .1; 1/ mit x2 D 4 x1  1, z.B. .x1 ; x2 / D .1; 3/; .4; 7/; .9; 11/; : : : Der Quotient xx21 fällt für steigendes x1 .

 x1 1

4

9

16

d) f .100; 100/ D fx1 .100; 100/x1 C fx2 .100; 100/x2 0:6980 p p f .100; 100/ D 10 101 C 20 ln 102  10 100 C 20 ln 101 192:9982  192:3024 D 0:6958 Die Ergebnisse sind nahezu identisch.

Lösungen

319

Lösung 19.10 a) Gp .p; q/ D Gq .p; q/ D

p 2 2 2pC4q p 4 2 2pC4q

p 2p C 4q  p  log10 .2p C 4q/ C 2p C 4q   log10 .2p C 4q/ C

2 .2pC4q/ ln 10 4 .2pC4q/ ln 10

Q b) G.20; 15/ D Gp .20; 15/  0:1 C Gq .20; 15/  .0:2/   p 1 2  0:1  log10 .40 C 60/ C 40 C 60  .40C60/ D p40C60 ln 10   p 2 4 C p40C60  log10 .40 C 60/ C 40 C 60  .40C60/ ln 10  .0:2/ 1    1 2 D 10  2 C 10  50 ln  0:1 C 15  2 C 10  50 ln  .0:2/ 10 10 D 0:287  0:1 C 0:574  .0:2/ D 0:086 Exakter Wert: G.20; 15/ D G.20:1; 14:8/  G.20; 15/ D 19:914  20 D 0:086 Die Ergebnisse stimmen überein. c) G.p; q/ D 0:287p C 0:574q D 0 q D  0:287 ) p 0:574 D 0:5 bzw. q D 0:5p Für p D 0:1 folgt: q D 0:5  0:1 D 0:05

Für eine Preiserhöhung um 0:1 ergibt sich ein Nachfragerückgang um 0:05 Einheiten.

Lösung 19.11 a) f .1; 0/ D .1/3  12 ln.0 C 1/  3.1/ D 1 C 3 D 2 b) grad f .x; y/T D .3x 2  2x ln.y 2 C 1/  3; x 2 y 22yC1 / 0 1 6x  2 ln.y 2 C 1/  y4xy 2 C1 A c) H.x; y/ D @ 2  y4xy 2x 2 .y1y 2 C1 2 C1/2 d) grad f .x; y/ D o () 3x 2  2x ln.y 2 C 1/  3 D 0 .) x 6D 0/ x 2 y D 0 .) y D 0 wegen x 6D 0/ ) 3x 2  3 D 0 bzw. x D ˙1 grad f .x; y/ D o für .x; y/ D .1; 0/ oder .1; 0/ ! 6 0 e) H.1; 0/ D mit Eigenwerten 1 D 6; 2 D 2 ) H.1; 0/ indefinit 0 2 ! 6 0 H.1; 0/ D mit Eigenwerten 1 D 6; 2 D 2 ) H.1; 0/ negativ definit 0 2 f) Gleichung der Tangentialhyperebene y D f .Ox/ C grad f .Ox/T .x  xO / für .x; y/ D .3; 1/: !  x  xO   2  3 2yO 2 2 2 2 xO  xO ln.yO C 1/  3xO C 3xO  2xO ln.yO C 1/  3; xO  yO 2 C1  y  yO !  x3    3 21 2 2 2 2 2 D 3  3 ln.1 C 1/  3  3 C 3  3  2  3 ln.1 C 1/  3; 3  12 C1  y1 D 45 C 9 ln.2/ C 24x  6x ln.2/  9y

320

19 Reelle Funktionen mehrerer Variablen

Lösung 19.12 a) f .x1 ; x2 ; y/ D y  ax13 C x12  x22 D 0 ) b)

@x1 @x2

@x2 @y

f .x1 ;x2 ;y/ .x1 ;x2 ;y/ 2

D  fxy f

1 D  2x D 2

.x ;x ;y/

1 2x2

2x2 D  fxx2 .x11 ;x22 ;y/ D  3ax D 2 C2x 1

1

1

x2 x1

für a D 0

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 20.1 *  Eine lineare Funktion f mit f .x/ D cT x und c > o; x 2 Rn wächst monoton für x 2 Rn .  Eine quadratische Funktion g mit g.x/ D xT Ax, der n  n-Matrix A und x 2 Rn wächst monoton für x  o.  Eine Potenzfunktion p mit p.x1 ; x2 / D x1a1 x2a2 ; .a1 ; a2 2 h0; 1i/ wächst monoton für x1 ; x2  0.  Eine Funktion f wächst monoton, wenn alle Richtungsableitungen positiv sind.

Verständnisfrage 20.2 **  Mit f W Rn ! R wächst auch g W Rn ! R mit g.x/ D f .x/  f .x/ monoton für alle x 2 Rn .  Mit f W Rn ! R konkav ist auch g mit g.x/ D f .x/  f .x/ konkav für alle x 2 Rn .  Es gibt konkave Funktionen f W Rn ! R mit der Eigenschaft g mit g.x/ D f .x/  f .x/ ist konvex.

Verständnisfrage 20.3 **  Eine Funktion f W RnC ! R mit grad f .x/ > o für alle x > o besitzt in x D o eine Minimalstelle.  Für die Funktion f W Rn ! R mit grad f .x / D o für ein x 2 Rn ist x nicht notwendig eine Extremalstelle.  Es gibt konvexe bzw. konkave Funktionen f W Rn ! R ohne Extremalstellen.

322

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

Verständnisfrage 20.4 *  Die Methode der kleinsten Quadrate kann zur Lösung einfacher linearer Regressionsaufgaben nur dann angewandt werden, wenn alle Beobachtungspaare .xi ; yi / positiv sind.  Die Güte einer Regressionsschätzung kann u.a. durch ein Minimierungsproblem beurteilt werden.  Falls für alle verschiedenen Beobachtungswerte xi konstante y-Werte gemessen werden, ist die Methode der kleinsten Quadrate nicht anwendbar.  Die Methode der kleinsten Quadrate liefert eine eindeutige Lösung, wenn 2  n n P P n xi2 > xi erfüllt ist. i D1

i D1

Verständnisfrage 20.5 ** Gegeben ist folgendes Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen: max f .x/ mit g i .x/ D 0; .i D 1; : : : ; m/; x 2 Rn Dann gilt:  Das Problem ist für alle m  n lösbar.  Bei Anwendung der Methode der Variablensubstitution bleibt die Anzahl der Variablen gleich.  Bei Anwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren vergrößert sich die Anzahl der Variablen.  Sind die Funktionen f und g i .i D 1; : : : ; m/ linear, so ist das angegebene Optimierungsproblem nicht lösbar.  Ist das Optimierungsproblem lösbar, so gibt es stets genau eine Lösung.  Es gibt lösbare Optimierungsprobleme der angegebenen Art, deren Lösung mit der Standardmethode der Lagrange-Multiplikatoren nicht gefunden werden kann.

Rechenaufgaben

323

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 20.6 *** Gegeben ist die Funktion f W R2 ! R mit der Gleichung f .x1 ; x2 / D 3x1 x22 C 4:5x12  6x22  45x1 a) Ermitteln Sie alle lokalen und globalen Maximal- und Minimalstellen. b) Zeigen Sie, dass die Funktion f für x1  5; x2  0 monoton wächst und für x1 2 Œ0; 2; x2 2 Œ0; 3 monoton fällt. c) Zeigen Sie, dass die Funktion f für x1 < 2 und beliebiges x2 2 R weder konvex noch konkav sein kann.

Rechenaufgabe 20.7 ** Ein Zweiproduktunternehmen produziert nach folgender Gesamtkostenfunktion: k W Œ1; 1i  Œ1; 1i ! RC mit k.x1 ; x2 / D x13  3x1 x2 C 2x22  10x2 C 40 a) Berechnen Sie die kostenminimalen Produktionsquantitäten x1 ; x2 . 1/, wenn keine weiteren Restriktionen gegeben sind, und geben Sie das Kostenminimum an. b) Welche Zeitkapazitäten benötigt man im Kostenminimum auf zwei Maschinen M1 ; M2 , wenn je eine Einheit des ersten Produktes auf M1 eine bzw. auf M2 drei Minuten und je eine Einheit des zweiten Produktes auf M1 zwei bzw. auf M2 eine Minute benötigt? c) Wie sieht die Lösung von a) aus, wenn auf beiden Maschinen jeweils genau fünf Minuten zur Produktion genutzt werden sollen?

Rechenaufgabe 20.8 ** Gegeben ist die Funktion f W R3 ! R mit f .x1 ; x2 ; x3 / D 4x12  2x22  12 x32 C 4x1 x2 C x2 x3 C 100x3 a) Ermitteln Sie alle lokalen und globalen Extremalstellen. b) Für welche x1 ; x3 wächst die Funktion fO mit fO.x1 ; x3 / D f .x1 ; 0; x3 / monoton?

Rechenaufgabe 20.9 ** Überprüfen Sie die Funktion f W R3 ! R mit f .x1 ; x2 ; x3 / D 3x12 C 13 x23  12 x32 C 2x1 x3  2x1 C x3  e  auf Konvexität bzw. Konkavität und bestimmen Sie alle lokalen Maximal- und Minimalstellen.

324

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

Rechenaufgabe 20.10 ** Zwei Produzenten A1 und A2 bieten je ein Gut an. Zwischen den Absatzvariablen x1 ; x2 und den Preisvariablen p1 ; p2 gelten folgende Beziehungen: x1 D 100  2p1  p2 ; x2 D 120  p1  3p2 Die Kosten sind gegeben durch: c1 .x1 / D 120 C 2x1 ; c2 .x2 / D 120 C 2x2 a) Ermitteln Sie die Gewinnfunktionen g1 ; g2 beider Produzenten sowie die gemeinsame Gewinnfunktion G D g1 C g2 , jeweils in Abhängigkeit von p1 ; p2 . b) Wie sind die Preise zu wählen, dass der gemeinsame Gewinn maximal wird? Geben Sie den maximalen Gewinn an. c) Nach einem Streit setzt Produzent A2 den Preis p2 D 16. Wie hat dann A1 den Preis p1 zu wählen, damit g1 maximal wird? d) Ist es für die Käufer des von A1 angebotenen Gutes von Vorteil, wenn der Konflikt zwischen A1 und A2 beigelegt wird?

Rechenaufgabe 20.11 ** Gegeben ist die reelle Funktion f W Œ0; 1  Œ0; 1 ! R mit f .x1 ; x2 / D .1  x1 /e x2 a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen der Funktion und zeigen Sie, dass im Bereich h0; 1i  h0; 1i keine Extremalstellen existieren. b) Führen Sie eine Randuntersuchung durch und bestimmen Sie damit alle Maximal- und Minimalstellen sowie die zugehörigen Werte der Funktion. c) Berechnen Sie die Hessematrix H.x1 ; x2 / und zeigen Sie, dass diese im gesamten Definitionsbereich indefinit ist. d) Bestimmen Sie alle Maximal- und Minimalstellen sowie die zugehörigen Werte von f mit der Nebenbedingung x1 D x2 .

Rechenaufgabe 20.12 ** Gegeben ist folgende Zeitreihe für den Absatz eines Produktes: Zeit t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Absatz y.t/

10

12

12

12

14

15

15

15

17

10 18

a) Ermitteln Sie Werte a; b so, dass die lineare Beziehung y.t/ D a C bt zwischen der Zeit t und dem Absatz y.t/ die angegebene Wertetabelle im Sinne der KQ-Methode bestmöglich approximiert. b) Veranschaulichen Sie die Wertepaare der Tabelle sowie die berechnete Beziehung grafisch. c) Zeigen Sie, dass die Absatzänderungsrate monoton fällt und die Absatzelastizität monoton wächst. d) Prognostizieren Sie mit Hilfe von a) den Absatz y.11/; y.12/.

Rechenaufgaben

325

Rechenaufgabe 20.13 ** Zwischen den produzierten Stückzahlen x und den Herstellungskosten k.x/ eines Gutes wird ein linearer Zusammenhang angenommen. Folgende Daten sind verfügbar: x

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

k.x/

500

580

650

700

750

800

840

870

900

920

930

a) Ermitteln Sie Werte a; b so, dass die lineare Beziehung k.x/ D a C bx die angegebene Wertetabelle im Sinne der KQ-Methode bestmöglich approximiert. b) Veranschaulichen Sie die Wertepaare der Tabelle sowie die berechnete Beziehung grafisch. auf c) Berechnen Sie mit Hilfe der Wertepaare der Tabelle die Stückkosten c.x/ D k.x/ x zwei Nachkommastellen genau und beantworten Sie a) und b), indem Sie k.x/ durch c.x/ ersetzen. d) Interpretieren Sie die Ergebnisse mit Hilfe der Grafiken.

Rechenaufgabe 20.14 ** Für ein Dreiproduktunternehmen gelten folgende Beziehungen zwischen den Preisen p1 ; p2 ; p3 und den Absatzquantitäten x1 ; x2 ; x3 : p1 D f1 .x1 / D 100  x1 ; p2 D f2 .x2 / D 200  x2 ; p3 D f3 .x3 / D 300  x3 Aus Kapazitätsgründen muss die wöchentliche Produktion der Gleichung x1 C2x2 C3x3 D 70 genügen. a) Berechnen Sie die Kombination .x1 ; x2 ; x3 /, die den wöchentlichen Umsatz u.x1 ; x2 ; x3 / maximiert, mit Hilfe der Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Geben Sie den maximalen Umsatz an. b) Interpretieren Sie den in a) erhaltenen Lagrange-Multiplikator. c) Wie verändert sich das Ergebnis von a) unter der zusätzlichen Bedingung x3 D x2 ?

Rechenaufgabe 20.15 ** Für die Produktion eines Gutes werden die Einsatzfaktoren A; B und C in den Quantitäten x; y bzw. z benötigt. Diese Faktoren müssen den beiden Gleichungen x C z D 11 und x C y D 20 genügen. Die Produktionskosten werden in folgender Kostenfunktion zusammengefasst: C.x; y; z/ D 3x 2 C 2y 2 C z 2 C 6z a) Bestimmen Sie unter Verwendung des Lagrange-Ansatzes die kostenminimale Kombination der Einsatzfaktoren und das Kostenminimum. b) Geben Sie die annähernde Kostenänderung im Optimum an, wenn nur die erste Restriktion von 11 auf 12 Einheiten geändert wird. c) Um wie viel würden sich die optimalen Kosten ändern, wenn nur die zweite Restriktion auf 18 Einheiten gesenkt wird?

326

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

Rechenaufgabe 20.16 *** Gegeben sind die Funktionen f; g W R2 ! R mit f .x1 ; x2 / D x1 x2 ; g.x1 ; x2 / D x12 C x2  3 a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Lagrange-Multiplikatoren ein lokales Maximum der Funktion f unter der Nebenbedingung g.x1 ; x2 / D 0 und zeigen Sie, dass ein globales Maximum nicht existiert. b) Wie verändert sich die Lösung von a), wenn zusätzlich die Bedingung x2 D x12 erfüllt sein soll?

Rechenaufgabe 20.17 *** Ein Unternehmen stellt unter Verwendung von drei Chemikalien als Produktionsfaktoren eine Schönheitscreme her. Für die Produktionsfunktion gilt folgende Beziehung: y D f .x1 ; x2 ; x3 / D x1 x2 x3 Dabei steht xi .i D 1; 2; 3/ für die Mengeneinheiten des Faktors i , y für die Produktquantität. Für die Faktorpreise gilt .p1 ; p2 ; p3 / D .2; 2; 1/. a) Berechnen Sie die kostenminimale Faktorkombination für y D 2 000. b) Ermitteln Sie die partiellen Änderungsraten und Elastizitäten der Produktionsfaktoren für die in a) berechnete Faktorkombination.

Rechenaufgabe 20.18 *** Es soll ein Glasbehälter mit quadratischer Grundfläche – mit Kantenlänge a – und dazu senkrechten Außenflächen konstanter Höhe b hergestellt werden (vgl. Skizze). Der Glasbehälter ist oben offen und fasst – gefüllt bis zum oberen Rand – einen halben Kubikmeter. Die Fläche des dabei insgesamt (d.h. für den Boden sowie die vier Außenflächen) verbrauchten Glases ist mit F bezeichnet. Das Glas ist hinreichend dünn, sodass zwischen Innen- und Außenfläche des Behälters nicht unterschieden werden muss.

b

a a

a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode die Kantenlänge a sowie die Höhe b, durch die F minimiert wird. b) Berechnen Sie den minimalen Wert für die Fläche. c) Um wie viele Quadratzentimeter würde sich die minimale Fläche ungefähr erhöhen, wenn der Glasbehälter 0:51 Kubikmeter anstatt 0:5 Kubikmeter fassen sollte?

Rechenaufgaben

327

Rechenaufgabe 20.19 ** Es soll ein quaderförmiges, oben offenes Terrarium aus Glas mit den Kantenlängen a; 2a der Grundfläche und der Höhe h entstehen. Zur Herstellung des Terrariums stehen 6 m2 Glas zur Verfügung. Berechnen Sie a und h so, dass das Volumen des Terrariums maximal wird a) durch geeignete Variablensubstitution. b) mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren.

Rechenaufgabe 20.20 ** Eine Biogasanlage besteht aus einem zylindrischen, oben offenen Grundkörper. Das Dach ist kegelförmig. Die Mantellänge s des Kegels beträgt 12 m. Die Höhe des Grundkörpers beträgt das Dreifache der Höhe des Kegels.

h

s

Berechnen Sie r und h so, dass das Volumen der Gesamtanlage maximal wird:

3h

a) durch geeignete Variablensubstitution b) mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren

 r

328

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

Lösungen Verständnisfragen Lösung 20.1  Eine lineare Funktion f mit f .x/ D cT x und c > o; x 2 Rn wächst monoton für x 2 Rn . Begründung: grad f .x/ D c > o ) f wächst monoton für alle x 2 R.  Eine quadratische Funktion g mit g.x/ D xT Ax, der n  n-Matrix A und x 2 Rn wächst monoton für x  o. ! ! ! 1 0 x1 x1 Begründung: g.x/ D .x1 ; x2 / D .x1 ; x2 / D x12  x22 x2 x2 0 1 grad g.x/T D .2x1 ; 2x2 / < .0; 0/ für x > o  Eine Potenzfunktion p mit p.x1 ; x2 / D x1a1 x2a2 ; .a1 ; a2 2 h0; 1i/ wächst monoton für x1 ; x2  0.   Begründung: grad p.x/T D a1 x1a1 1 x2a2 ; a2 x1a1 x2a2 1 > o für alle x1 ; x2 > 0 ) p wächst monoton für alle x 2 R2C .  Eine Funktion f wächst monoton, wenn alle Richtungsableitungen positiv sind. Begründung: Mit allen Richtungsableitungen gilt auch grad f > o.

Lösung 20.2  Mit f W Rn ! R wächst auch g W Rn ! R mit g.x/ D f .x/  f .x/ monoton für alle x 2 Rn . Begründung: f .x/ D x1 C x2 mit grad f .x/T D .1; 1/ ) f wächst monoton für alle x 2 Rn g.x/ D .x1 C x2 /2 mit grad g.x/T D .2.x1 C x2 /; 2.x1 C x2 // ) g fällt z.B. für x1 ; x2 < 0  Mit f W Rn ! R konkav ist auch g mit g.x/ D f .x/  f .x/ konkav für alle x 2 Rn . I f .x/ < 0 für alle x 2 Rn und konkav, jedoch nicht konstant ) g.x/ > 0 Begründung : für alle x 2 Rn und konvex  Es gibt konkave Funktionen f W Rn ! R mit der Eigenschaft g mit g.x/ D f .x/  f .x/ ist konvex. I Begründung: siehe 

Lösung 20.3  Eine Funktion f W RnC ! R mit grad f .x/ > o für alle x > o besitzt in x D o eine Minimalstelle. Begründung: f in x D o unstetig ) x D o muss keine Minimalstelle sein.  Für die Funktion f W Rn ! R mit grad f .x / D o für ein x 2 Rn ist x nicht notwendig eine Extremalstelle. Begründung: Für Extremalstellen müssen zusätzlich Bedingungen der Hessematrix erfüllt sein.  Es gibt konvexe bzw. konkave Funktionen f W Rn ! R ohne Extremalstellen. Begründung: f W Rn ! R mit f .x/ D cT x; c 2 Rn ist konvex und konkav, besitzt aber keine Extremalstelle.

Lösungen

329

Lösung 20.4  Die Methode der kleinsten Quadrate kann zur Lösung einfacher linearer Regressionsaufgaben nur dann angewandt werden, wenn alle Beobachtungspaare .xi ; yi / positiv sind. Begründung: Die Methode der kleinsten Quadrate funktioniert auch für nicht-positive xi - bzw. yi -Werte.  Die Güte einer Regressionsschätzung kann u.a. durch ein Minimierungsproblem beurteilt werden. Begründung: Die Methode der kleinsten Quadrate besteht darin, eine Gerade mit y D a C bx so zu bestimmen, dass die Summe der quadratischen Abweichungen von a C bxi und yi minimal wird.  Falls für alle verschiedenen Beobachtungswerte xi konstante y-Werte gemessen werden, ist die Methode der kleinsten Quadrate nicht anwendbar. Begründung: Für die Beobachtungspaare .xi ; yi / mit yi D c führt die Methode der kleinsten Quadrate zu der Geraden y D c.  Die Methode der kleinsten Quadrate liefert eine eindeutige Lösung, wenn 2  n n P P 2 n xi > xi erfüllt ist. i D1

i D1

Begründung: Die Methode der kleinsten Quadrate führt zu einem Gleichungssystem der 2  n n P P Form Ax D b mit det A D n xi2  xi > 0, damit ist Ax D b eindeutig lösbar. i D1

i D1

Lösung 20.5 Gegeben ist folgendes Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen: max f .x/ mit g i .x/ D 0; .i D 1; : : : ; m/; x 2 Rn Dann gilt:  Das Problem ist für alle m  n lösbar. Begründung: g1 .x1 ; x2 / D x1 C x2  1 D 0, g 2 .x1 ; x2 / D x1 C x2  2 D 0  Bei Anwendung der Methode der Variablensubstitution bleibt die Anzahl der Variablen gleich. Begründung: Bei einer Nebenbedingung kann eine Variable eingespart werden.  Bei Anwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren vergrößert sich die Anzahl der Variablen. Begründung: Je Nebenbedingung kommt ein Lagrange-Multiplikator i .i D 1; : : : ; m/ als Variable hinzu.  Sind die Funktionen f und g i .i D 1; : : : ; m/ linear, so ist das angegebene Optimierungsproblem nicht lösbar. Begründung: max f .x1 ; x2 / D max.x1 C x2 / mit x1 C x2 D 1 ist lösbar.  Ist das Optimierungsproblem lösbar, so gibt es stets genau eine Lösung. Begründung:pmax f .x1p; x2 / D max.x12 C x22 / mit x12 C x22 D 2 besitzt die Lösungen .x1 ; x2 / D . 2; 0/; . 2; 0/.

330

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

 Es gibt lösbare Optimierungsprobleme der angegebenen Art, deren Lösung mit der Standardmethode der Lagrange-Multiplikatoren nicht gefunden werden kann. Begründung: Führt die Standardmethode nicht zu einer Lösung, ersetzt man die LagrangeMultiplikatoren i durch variable Multiplikatoren i .x/ wodurch oft eine Lösung gefunden werden kann.

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 20.6 f .x1 ; x2 / D 3x1 x22 C 4:5x12  6x22  45x1 a) fx1 .x/ D 3x22 C 9x1  45 D 0 fx2 .x/ D 6x1 x2  12x2 D 6x2 .x1  2/ D 0 ) x2 D 0 ) 9x1  45 D 0 ) x1 D 5 x1 D 2 ) 3x22 C 18  45 D 0 ! ) 3x22 D 27!) x2 D ˙3 ! 5 2 2 ) grad f .x/ D o () x1 D ; x2 D ; x3 D 0 3 3 ! 9 6x2 H.x/ D 6x2 6.x1  2/ ) H.x/ ist positiv definit für det H2 .x/ D 9  6.x1  2/  36x22 > 0 ! 5 1 x D ) det H2 .x1 / D 54  3  0 D 162 > 0 0 ! ! 2 2 2 3 ; x D ) det H2 .x2 / D det H2 .x3 / D 0  36  9 < 0 x D 3 3 ! 5 1 lokal minimal, ) f ist für x D 0 ! ! 2 2 2 3 und für x D weder lokal minimal noch maximal. für x D 3 3 Wegen lim f .x1 ; 0/ D 1; lim f .0; x2 / D 1 existieren keine globalen Maximalx1 !1

x2 !1

stellen bzw. globalen Minimalstellen.   b) grad f .x/T D 3x22 C 9x1  45; 6x2 .x1  2/ > 0 für x1 > 5; x2 > 0 < 0 für x1 2 h0; 2i; x2 2 h0; 3i Damit ist f monoton wachsend für .x1 ; x2 /  .5; 0/ bzw. monoton fallend für .x1 ; x2 / 2 Œ0; 2  Œ0; 3. c) x1 < 2; x2 2 R ) det H1 D 9; det H2 D 54.x1  2/  36x22 < 0 Damit ist H.x/ indefinit und f ist weder konvex noch konkav.

Lösungen

331

Lösung 20.7 k.x1 ; x2 / D x13  3x1 x2 C 2x22  10x2 C 40 a) kx1 .x/ D 3x12  3x2 D 0 ) x2 D x12 kx2 .x/ D 3x1 C 4x2  10 D 0 ) 4x2 D 3x1 C 10 ) 4x12  3x1  10 D 0  p  ) x1;2 D 18 3 ˙ 9 C 160 D 2 oder .1:25/ ) .x1 ; x2 / D .2; 4/ ! 6x1 3 positiv definit für alle x 2 Œ1; 1i2 H.x/ D 3 4 ) .x1 ; x2 / D .2; 4/ global kostenminimal mit k.2; 4/ D 8  24 C 32  40 C 40 D 16 b) M1 W x1 C 2x2 D 2 C 2  4 D 10; M2 W 3x1 C x2 D 3  2 C 4 D 10 Auf beiden Maschinen benötigt man je 10 Minuten. c) M1 W x1 C 2x2 D 5; M2 W 3x1 C x2 D 5 Einzige Lösung des Gleichungssystems: .x1 ; x2 / D .1; 2/ mit k.1; 2/ D 1  6 C 8  20 C 40 D 23

Lösung 20.8 f .x1 ; x2 ; x3 / D 4x12  2x22  12 x32 C 4x1 x2 C x2 x3 C 100x3 a) fx1 .x1 ; x2 ; x3 / D 8x1 C 4x2 D 0 () x2 D 2x1 fx2 .x1 ; x2 ; x3 / D 4x2 C 4x1 C x3 D 0 () x3 D 4x2  4x1 D 8x1  4x1 D 4x1 fx3 .x1 ; x2 ; x3 / D x3 C x2 C 100 D 0 () x3 D x2 C 100 D 2x1 C 100 ) 2x1 C 100 D 4x1 ) x1 D 50 ) x2 D 100 ) x3 D 200 grad f .x/ D o () .x1 ; x2 ; x3 / D .50; 100; 200/ 1 0 det H1 .x/ D 8 8 4 0 C B ) H.x/ D @ 4 4 1 A mit det H2 .x/ D 16 0 1 1 det H3 .x/ D 8 und H.x/ ist negativ definit für alle x 2 R3 ) xT D .50; 100; 200/ ist einzige globale und gleichzeitig lokale Maximalstelle ) eine lokale bzw. globale Minimalstelle existiert nicht, ferner ist f streng konkav in R3 b) fOx1 .x1 ; x3 / > 0 () x1 < 0 fOx .x1 ; x3 / > 0 () x3 < 100 3

Somit wächst fO monoton für alle .x1 ; x3 / mit x1  0; x3  100.

332

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

Lösung 20.9 f .x1 ; x2 ; x3 / D 3x12 C 13 x23  12 x32 C 2x1 x3  2x1 C x3  e  fx1 .x/ D 6x1 C 2x3  2;

fx2 .x/ D x22 ;

fx1 x1 .x/ D 6;

fx2 x2 .x/ D 2x2 ; fx3 x3 .x/ D 1

fx1 x2 .x/ D 0; 0 6 B ) H.x/ D @ 0 2

0 2x2 0

fx1 x3 .x/ D 2; 1

fx3 .x/ D x3 C 2x1 C 1 fx2 x3 .x/ D 0

2 C 0A 1

Wir überprüfen die (Semi-)Definitheit mit Hilfe der Eigenwerte: 0 1 6   0 2 B C det @ 0 2x2   0 A 2 0 1   D .6 C /.1 C /.2x2  /  4.2x2  / D .2x2  /.2 C 7 C 2 / D 2 C 7 C 2 D 0 p p () 1;2 D  12 .7 ˙ 49  8/ D  12 .7 ˙ 41/ < 0 Ferner ist 3 D 2x2  0 für x2  0 und f ist in ¹x 2 R3 W x2  0º konkav bzw. in ¹x 2 R3 W x2 < 0º streng konkav. Ferner ist f nirgends positiv semidefinit oder positiv definit, also auch nirgends konvex. grad f .x / D o () x D .0; 0; 1/ 1 0 6 0 2 C B det @ 0 0 0 A mit det H1 D 6; det H2 D 0; det H3 D 0 2 0 1 Damit besitzt f weder lokale Minimal- noch Maximalstellen.

Lösung 20.10 a) g1 .p1 ; p2 / D p1 x1  c1 .x1 / D 100p1  2p12  p1 p2  120  200 C 4p1 C 2p2 D 2p12  p1 p2 C 104p1 C 2p2  320 g2 .p1 ; p2 / D p2 x2  c2 .x2 / D 120p2  p1 p2  3p22  120  240 C 2p1 C 6p2 D 3p22  p1 p2 C 2p1 C 126p2  360 G.p1 ; p2 / D 2p12  2p1 p2  3p22 C 106p1 C 128p2  680 b) Gp1 .p/ D 4p1  2p2 C 106 D 0 Gp2 .p/ D 2p1  6p2 C 128 D 0 Gp1 .p/  2Gp2 .p/ D 10p2  150 D 0 ) p2 D 15; p1 D 19 ! 4 2 H.p/ D mit det H1 .p/ D 4; det H2 .p/ D 20 2 6 ) H.p/ ist negativ definit für alle p 2 R2C .

Lösungen

333

Mit dem Preisvektor .19; 15/ wird der gemeinsame Gewinn global maximal: G.19; 15/ D 722  570  675 C 2014 C 1920  680 D 1287 c) g1 .p1 ; 16/ D 2p12 C 88p1  288 D gO 1 .p1 / μ gO 10 .p1 / D 4p1 C 88 D 0 () p1 D 22 p1 D 22 maximiert gO 1 global mit gO 1 .22/ D 680 gO 100 .p1 / D 4 < 0 d) Da der Preis von p1 D 19 auf p1 D 22 ansteigt, ist es für die Käufer vorteilhaft, wenn der Konflikt beigelegt wird.

Lösung 20.11 f .x1 ; x2 / D .1  x1 /e x2 a) fx1 .x/ D e x2 6D 0 für alle x2 2 R fx2 .x/ D .1  x1 /e x2 )in h0; 1i  h0; 1i existieren keine Extremalstellen b) f .0; x2 / D e x2 2 Œe 1 ; 1

f .x1 ; 0/ D 1  x1 2 Œ0; 1 f .x1 ; 1/ D .1  x1 /e 1 2 Œ0; e 1 

f .1; x2 / D 0

) globale Maximalstellen: .0; 0/ mit f .0; 0/ D 1 globale Minimalstellen: .1; x2 /; x2 2 Œ0; 1 mit f .1; x2 / D 0 ! ! 1 0 e x2 x2 0 De c) H.x/ D x 1 1  x1 e 2 .1  x1 /e x2 mit det H1 D 0; det H2 D 0  1 D 1 ) H.x/ indefinit d) x1 D x2 ) g.x1 / D .1  x1 /e x1 ) g fällt monoton in Œ0; 1 ) globale Maximalstelle 0 mit g.0/ D 1 globale Minimalstelle 1 mit g.1/ D 0

Lösung 20.12 a) Aus den 10 beobachteten Wertepaaren berechnen wir 10 10 10 10 P P P P t D 55; t 2 D 385; y.t/ D 140; ty.t/ D 836 t D1

t D1

t D1

t D1

und erhalten die Normalgleichungen μ 10a C 55b D 140 ) b D 0:8; a D 9:6 55a C 385b D 836 und damit die lineare Beziehung y.t/ D 9:6 C 0:8t:

334

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

b)

y.t/ 18





16





14 

12







Tabellenwerte: lineare Beziehung:



10



 

 t

1 c) y .t/ D "y .t/ D

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y 0 .t /

0:8 y.t / D 9:6C0:8t fällt monoton gegen 0 0 y .t /t 0:8t y.t / D 9:6C0:8t wächst monoton gegen

d) y.11/ D 9:6 C 8:8 D 18:4;

1

y.12/ D 9:6 C 9:6 D 19:2

Lösung 20.13 a) Aus den 11 beobachteten Wertepaaren .x; k.x// berechnen wir 11 11 11 11 P P P P xi D 1 650; xi2 D 258 500; k.xi / D 8 440; xi k.xi / D 1 312 900 i D1

i D1

i D1

i D1

und erhalten folgende Normalgleichungen: 11 a C 1 650 b D 8 440 I) 1 650 a C 258 500 b D 1 312 900 II) II)150 I): 11 000 b D 46 900 ) b D 4:263 aus I): 11 a D 8 440  7 035 D 1 405 ) a D 127:72 ) k.x/ D 127:72 C 4:263x ist die gesuchte Beziehung. b)

k.x/

1000 900 800 700



600

















 Tabellenwerte: lineare Beziehung:

 

500  

x

 100

120

140

160

180

200

Lösungen

335

c) Neue Wertetabelle: 100 5.00

x c.x/

110 5.27

120 5.42

130 5.38

140 5.36

Daraus folgt: 11 11 11 P P P xi D 1 650; xi2 D 258 500; i D1

i D1

i D1

150 5.33

k.xi / xi

160 5.25

D 56:62;

11 P i D1

170 5.12

180 5.00

i/ xi k.x xi D

11 P i D1

190 4.84

200 4.65

k.xi / D 8 440

Wir erhalten folgende Normalgleichungen: C

1 650 b

D

56:62

II) 1 650 a C

258 500 b

D

8 440

I)

11 a

II)150 I): 11 000 b D 53 ) b D 0:00481 aus I): 11 a D 56:62 C 7:95 D 64:57 ) a D 5:87 ) c.x/ D 5:87  0:00481x ist die gesuchte Beziehung. c.x/ 5.5 











5 4.5



 



 Tabellenwerte: lineare Beziehung: 





 x

100

120

140

160

180

200

d) Die Wertepaare .x; k.x// zeigen eine konkave Tendenz, d.h. die Herstellungskosten wachsen degressiv mit wachsender Produktionsmenge, sodass die lineare Approximation die Daten am linken und rechten Rand eher überschätzt, in der Mitte eher unterschätzt. Entsprechendes gilt auch für die zweite Grafik, mit dem Unterschied, dass die Wertepaare nicht monoton wachsend sind, das heißt die Grenzkosten steigen zuerst und fallen dann für x > 120.

336

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

Lösung 20.14 a) u.x1 ; x2 ; x3 / D x1 f1 .x1 / C x2 f2 .x2 / C x3 f3 .x3 / D 100x1  x12 C 200x2  x22 C 300x3  x32 Für die Lagrangefunktion erhalten wir: L.x; / D 100x1  x12 C 200x2  x22 C 300x3  x32 C .x1 C 2x2 C 3x3  70/ Lx1 .x; / D 100  2x1 C  D 0 Lx2 .x; / D 200  2x2 C 2 D 0 Lx3 .x; / D 300  2x3 C 3 D 0 ) 2Lx1 .x; /  Lx2 .x; / D 4x1 C 2x2 D 0 () x2 D 2x1 3Lx1 .x; /  Lx3 .x; / D 6x1 C 2x3 D 0 () x3 D 3x1 L .x; / D x1 C2x2 C3x3 70 D x1 C4x1 C9x1 70 D 14x1 70 D 0 () x1 D 5 ) .x1 ; x2 ; x3 / D .5; 10; 15/;  D 100 C 2x1 D 90 1 0 O 1 .x; / D 2 2 0 0 det H C B O O 2 .x; / D 4 H.x; / D @ 0 2 0 A mit det H O 3 .x; / D 8 0 0 2 det H O Also ist H.x; / negativ definit für alle x  o und .x1 ; x2 ; x3 / D .5; 10; 15/ ist globales Umsatzmaximum mit u.5; 10; 15/ D 6 650. b) Der Wert  D 90 gibt – ausgehend von der Optimallösung – die näherungsweise Umsatzsteigerung für den Fall an, dass die Kapazität c D 70 um 1 Einheit erhöht wird. c) Aus x3 D x2 und x1 C 2x2 C 3x3 D 70 folgt: x1 C 5x2 D 70 oder x1 D 70  5x2 u.x1 ; x2 ; x3 / D 100.70  5x2 /  .70  5x2 /2 C 200x2  x22 C 300x2  x22 D 2 100 C 700x2  27x22 u0 .x2 / D 700  54x2 D 0 ) x2 D 700 12:96 D x3 ; x1 D 5 54 u00 .x2 / D 54 < 0 u.5; 12:96; 12:96/ D 6 637:04

Lösung 20.15 a) L.x; y; z/ D 3x 2 C 2y 2 C z 2 C 6z C .11  x  z/ C .20  x  y/ I)

Lx .x; y; z/ D 6x     D 0

II)

Ly .x; y; z/ D 4y   D 0

)  D 4y

III)

Lz .x; y; z/ D 2z C 6   D 0

)  D 2z C 6

IV)

L .x; y; z/ D 11  x  z D 0

) x D 11  z

V)

L .x; y; z/ D 20  x  y D 0

) y D 20  x D 20  11 C z D 9 C z X 

II), III) in I):

6x  2z  6  4y D 0

X IV), V) in :

6.11  z/  2z  6  4.9 C z/ D 24  12z D 0 ) z D 2

) x D 11  z D 9; y D 9 C z D 11;  D 4  11 D 44;  D 2  2 C 6 D 10 ) .x  ; y  ; z  / D .9; 11; 2/; . ;  / D .10; 44/

Lösungen

337

0 6 B H.x; y; z;  ;  / D @0 0

1 0 0 C 4 0A ist positiv definit 0 2

) global kostenminimale Kombination der Einsatzfaktoren .x; y; z/ D .9; 11; 2/ Kostenminimum C.9; 11; 2/ D 243 C 242 C 4 C 12 D 501 b) Erhöhung der ersten Restriktion von 11 auf 12 ) Kostenerhöhung um ca.  D 10 von 501 auf 511 c) Senkung der zweiten Restriktion von 20 auf 18 ) Kostensenkung um ca. 2 D 88 von 501 auf 413

Lösung 20.16 a) Für die Lagrangefunktion erhalten wir L.x1 ; x2 ; / D x1 x2 C .x12 C x2  3/ Lx1 .x; / D x2 C 2x1 D 0; Lx2 .x; / D x1 C  D 0; L .x; / D x12 C x2  3 D 0 ) Lx1 .x; /  2x1 Lx2 .x; / D x2  2x12 D 0 () x2 D 2x12 ) L .x; / D x12 C 2x12  3 D 0 ) x12 D 1; x2 D 2 ) .x1 ; x2 ; / D .1; 2; 1/; .1; 2; 1/ ! 2 1 O H.x; / D ist für  D ˙1 indefinit 1 0 Wir nutzen den variablen Lagrange-Multiplikator  D x1 : O 1 ; x2 / D x1 x2  x 3  x1 x2 C 3x1 D 3x1  x 3 L.x 1

1

LO x1 .x1 ; x2 / D 3  3x12 D 0 () x1 D ˙1 LO x x .x1 ; x2 / D 6x1 < 0 für x1 D 1 1 1

> 0 für x1 D 1 Der Wert .x1 ; x2 / D .1; 2/ ist lokal maximal mit f .1; 2/ D 2: Andererseits ergibt sich: max¹f .x1 ; x2 / W g.x1 ; x2 / D 0º D max¹x1 x2 W x12 C x2  3 D 0º D max.x1 .3  x12 // D max.3x1  x13 / ! 1 für x1 ! 1

q b) x2 D x12 ) g.x1 ; x2 / D x2 C x2  3 D 0 () x2 D 32 ) x1 D ˙ 32  q  q p 3 3 3 3 ist maximal mit f D 32p32 . Der Wert .x1 ; x2 / D ; ; 2 2 2 2

338

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

Lösung 20.17 a) Zu lösen ist das Problem min¹2x1 C 2x2 C x3 W x1 x2 x3 D 2 000º, wobei x1 ; x2 ; x3 > 0. Mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes erhalten wir: L.x; / D 2x1 C 2x2 C x3 C .x1 x2 x3  2 000/ Lx1 .x; / D 2 C x2 x3 D 0 Lx2 .x; / D 2 C x1 x3 D 0 Lx3 .x; / D 1 C x1 x2 D 0 1 0 0   C B O H.x; / D @   A ist weder positiv noch negativ definit.    Mit dem Standardansatz nach Lagrange erhalten wir keine Aussage über ein Minimum. Daher verwenden wir hier variable Lagrange-Multiplikatoren. Es gilt: Lx1 .x; / D 2 C x2 x3 D 0 )  D  x22x3 O L.x/ D 2x1 C 2x2 C x3  LO x2 .x/ D 2 

4 000 x22 x3

2 .x1 x2 x3 x2 x3

O x3 .x/ D 1  D 0; L

 2 000/ D 2x2 C x3 C 4 000 x2 x32

4 000 x2 x3

D0

O x2 .x/  x3 LO x3 .x/ D 2x2  x3 D 0 () x3 D 2x2 ) x2 L 1

4 000 x2 x32

D1

4 000 4x23

D 0 () x2 D 10; x3 D 20

x1 x2 x3 D 200x1 D 2 000 () x1 D 10 0 1 8 000 4 000 det H1 .x2 ; x3 / D 3 2 2 B x2 x3 x2 x3 C H.x2 ; x3 / D @ A mit 4 000 8 000 det H2 .x2 ; x3 / D 2 2 3 x2 x3

x2 x3

8 000 x23 x3

>0

.6416/106 x24 x34

>0

Also ist H.x2 ; x3 / positiv definit und .x1 ; x2 ; x3 / D .10; 10; 20/ stellt die global kostenminimale Faktorkombination zum Produktionsniveau 2 000 dar. Mit Variablensubstitution ergibt sich alternativ: x1 ; x2 ; x3 D 2000 ) x1 D

2000 x2 x3

) 2x1 C 2x2 C x3 D

C 2x2 C x3

4000 x2 x3

O Dieser Ausdruck ist identisch mit L.x/. b) Für die partiellen Änderungsraten und Elastizitäten ergibt sich: f;x1 .10; 10; 20/ D

200 2 000

D

1 10

f;x3 .10; 10; 20/ D

100 2 000

D

1 20

D f;x2 .10; 10; 20/

"f;x1 .10; 10; 20/ D 1 D "f;x2 .10; 10; 20/ D "f;x3 .10; 10; 20/

Lösungen

339

Lösung 20.18 a) Zu lösen ist das Problem min¹F .a; b/ W a2 b D 0:5º D min¹a2 C 4ab W a2 b D 0:5º: Wir erhalten die Lagrangefunktion: L.a; b; / D a2 C 4ab C .0:5  a2 b/ La .a; b; / D 2a C 4b  2ab D 0 Lb .a; b; / D 4a  a2 D 0 aLa .a; b; /  2bLb .a; b; / D 2a2 C 4ab  8ab D 2a2  4ab D 2a.a  2b/ D 0 Wegen a > 0 gilt a D 2b ) a2 b D 4b 3 D 0:5 ) b D 12 ; a D 1 ! 2  2b 4  2a O H.a; b; / D ist weder positiv noch negativ definit. 4  2a 0 O L.a; b/ D a2 C 4ab C a4 .0:5  a2 b/ D a2 C a2 LO a .a; b/ D 2a  22 D 0 () a D 1 bzw. b D 1 2

a

O aa .a; b/ D 2 C 43 > 0 für a D 1 )L a Die Fläche wird global minimal für a D 1 [m], b D 0:5 [m]. 

  b) F 1; 12 D 3 m2 2 c) Ein Volumen von

a2 b D 0:51 wird etwa  erreicht durch eine Vergrößerung der Fläche mit   0:01 D 0:04 m , also um 400 cm2 .

Lösung 20.19 Volumen V D a  2a  h D 2a2 h Oberfläche O D 2a2 C 2  2a  h C 2  a  h D 2a2 C 6ah Zu lösen ist max¹2a2 h W 2a2 C 6ah D 6º: a) Variablensubstitution: 2a2 C 6ah D 6 ) h D ) max 2a2 h D max

1 6a .6

2a2 .6 6a

 2a2 /  2a2 / D max .2a 

2a3 / 3

D max V .a/

V 0 .a/ D 2  2a2 D 0 ) a D 1 ) h D 23 V 00 .a/ D 4a < 0 für alle a > 0 ) globales Maximum

 ) Volumenmaximum V D 43 m3 für a D 1 Œm; h D 23 Œm

340

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

b) Lagrangefunktion: L.a; h; / D 2a2 h C .6  2a2  6ah/ La .a; h; / D 4ah  4a  6h D 0 Lh .a; h; / D 2a2  6a D 0 ) a D 3 ! 4h  4 4a  6 H.a; h; / D 4a  6 0 ist indefinit wegen det H D .4a  6/2 für beliebige a; h; . Variabler Lagrange-Multiplikator  D a3 : 3 O L.a; h/ D 2a2 h C a3 .6  2a2  6ah/ D 2a  2a3 LO a .a; h/ D 2  2a2 D 0 ) a D 1; h D 1 .6  2/ D

6

2 3

LO aa .a; h/ D 4a < 0für alle a > 0 ) globales Maximum

 ) Volumenmaximum V D 43 m3 für a D 1 Œm; h D 23 Œm

Lösung 20.20 Volumen V D Zylindervolumen C Kegelvolumen D 3hr 2  C 13 hr 2  mit r 2 Ch2 D s 2 D 144 2 2 2 Zu lösen ist max¹ 10 3 hr W r C h D 144º mit r; h > 0. a) Variablensubstitution:     h 144  h2 D max 10  144h  h3 max 10 3 3     2 V 0 .h/ D 10 D 10 48  h2 D 0 3  144  3h p p ) h2 D 48 bzw. h D 4 3 6:9 Œm ; r 2 D 96 bzw. r D 4 6 9:8 Œm

V 00 .h/ D 20h < 0 für alle h ) globales Maximum p

   4 3  96 6 955 m3 ) Volumenmaximum V D 10 3 b) Lagrangefunktion: hr 2 C .144  r 2  h2 / L.r; h; / D 10 3 Lr .r; h; / Lh .r; h; / Lrr .r; h; /

D

20 hr  2r D 0 3 D 10  r 2  2h D 0 3 D 20 h  2 D 0 wegen 3

) H.r; h; / D

0

20 r 3

!

)D )D

10 h 3 2 5   rh 3

.1/ .2/

.1/

ist indefinit. 2 Variabler Lagrange-Multiplikator  D 10 3 h:   10 10 2 2 O h/ D hr C h 144  r  h2 D 10h  48  10 h3 L.r; 3 3 3 p LO h .r; h/ D 480  10h2 D 0 ) h2 D 48 bzw. h D 4 3 Œm p r 2 D 96 bzw. r D 4 6 Œm LO hh .r; h/ D 20h < 0 für alle r; h ) globales Maximum p

3 ) Volumenmaximum V D 10 3   4 3  96 6 955 m 20 3 r

21 Mehrfache Integrale Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 21.1 * Für die stetige Funktion f W R2 ! R ist das Parameterintegral

Rb a

 eine reelle Funktion einer Variablen x1  eine reelle Funktion einer Variablen x2  eine reelle Funktion zweier Variablen x1 ; x2

Verständnisfrage 21.2 * Für die stetige Funktion f W R3 ! R gilt: R1  f .x1 ; 0; 0/dx1 ist eine Konstante. 0

  

R1

f .x1 ; x2 ; 0/dx1 ist eine Funktion zweier Variablen.

0 R1 R1

f .x1 ; x2 ; x3 /dx1 dx2 ist eine Funktion dreier Variablen.

0 0 R1 R1 R1

f .x1 ; x2 ; x3 /dx1 dx2 dx3 ist eine Konstante.

0 0 0

Verständnisfrage 21.3 ** Für die stetige Funktion f W Œ0; 1  Œ0; 1 ! Œ0; 1 gilt stets: R1  f .x1 ; x2 /dx2  1 0

 

R1

f .x1 ; x2 /dx1  0

0 R1 R1 0 0

f .x1 ; x2 /dx1 dx2 D 1

f .x1 ; x2 /dx2 .a; b 2 R/

342

21 Mehrfache Integrale

Verständnisfrage 21.4 *** Für die stetige Funktion f W Œ0; 1  Œ0; 1 ! Œ0; 1 und a; b 2 Œ0; 1 können folgende Fälle auftreten: Ra R1 R1 R1  f .x1 ; x2 /dx2 dx1  f .x1 ; x2 /dx2 dx1 

0 0

0 0

Rb R1

R1 R1

f .x1 ; x2 /dx1 dx2 >

0 0

 

R1 Rb 0 0 R1 R1 0 0

f .x1 ; x2 /dx1 dx2

0 0

f .x1 ; x2 /dx2 dx1 D f .x1 ; x2 /dx1 dx2 C

R1 Ra 0 0 R0 R0 1 1

f .x1 ; x2 /dx1 dx2 f .x1 ; x2 /dx1 dx2 D 0

Rechenaufgaben

343

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 21.5 ** Berechnen Sie für die stetige Funktion f W Œ1; 1  Œ0; 1 ! R mit f .x1 ; x2 / D 2e x1 die Parameterintegrale F1 .x2 / D

R1

2e x1

1

x2 x22 C 1

R1 x2 x2 dx1 und F2 .x1 / D 2e x1 2 dx2 . C1 x 0 2 C1

x22

Für welche x1 2 Œ1; 1 bzw. x2 2 Œ0; 1 werden die Funktionen F1 und F2 maximal?

Rechenaufgabe 21.6 ** Lösen Sie folgende Doppelintegrale: R1 R2 .x1 x2  x1 C x2  1/dx2 dx1 a) 0 1

b)

R1 R5 0 2

3 dx1 dx2 .x1  1/2

R2 xR1 4x2 c) dx2 dx1 1 1 x1 x1

Rechenaufgabe 21.7 ** Gegeben ist die Funktion f W R2 ! R mit f .x1 ; x2 / D .x1  1/2 e x2 C 1. Ermitteln Sie einen Wert x1 so, dass die Fläche zwischen f und der x2 -Achse im Intervall Œ0; 1 minimal wird. R1

 Verwenden Sie dabei das Parameterintegral F .x1 / D .x1  1/2 e x2 C 1 dx2 . 0

Rechenaufgabe 21.8 ** Gesucht ist das Integral der Funktion f W Œ0; 1  Œ0; 1 ! R

mit

f .x1 ; x2 / D 6x1

in einem x1 -x2 -Bereich B, der von den Funktionsgleichungen x2 D f1 .x1 / D 2x1  x12

und

x2 D f2 .x1 / D x12

mit

f1 .x1 /  f2 .x1 /

eingeschlossen ist. a) Veranschaulichen Sie den Integrationsbereich B der x1 -x2 -Ebene grafisch. b) Berechnen Sie

R1

2x1 x12

0

x12

R

6x1 dx2 dx1 und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

344

21 Mehrfache Integrale

Rechenaufgabe 21.9 **

  Die Grundfläche in m2 einer Halle ist durch die sie begrenzende Parabel x2 D f .x1 / D 22:5  0:1x12 ;

x2 22.5

x1 2 Œ15; 15 beschrieben (s. Skizze). Das Hallendach ist eine schräge Fläche, die in x2 -Richtung ansteigt. Für die Dachhöhe gilt in Abhängigkeit von x2 W h.x2 / D 10 C 0:1x2 . Berechnen Sie das Volumen dieser Halle.

x1 15

15

Rechenaufgabe 21.10 *** Die Nachfrage y eines Konsumenten nach einem Gut ist abhängig von der Zeit t und der räumlichen Entfernung r des Konsumenten von der Einkaufsstätte, also y D f .t; r/. In einem kreisförmigen Einzugsbereich des anbietenden Unternehmens mit r 2 Œ0; R ist die Bevölkerungsdichte a konstant. Dann registrieren wir im Abstand r vom Anbieter für einen kleinen Streifen der Breite r näherungsweise 2 r  a  r Konsumenten. Bezogen auf ein Zeitintervall der Länge t erhalten wir näherungsweise die Gesamtnachfrage 2 r  a  f .t; r/tr D g.t; r/tr: Für t ! 0; r ! 0 ist die Gesamtnachfrage bezogen auf ein Zeitintervall Œ0; T  und den Einzugsbereich mit dem Radius R gleich einem Doppelintegral G.T; R/ D

RR RT 0 0

g.t; r/dtdr D

RR RT

2 r  a  f .t; r/dtdr;

0 0

falls f stetig ist. 1 Unterstellt man f .t; r/ D .1  sin 2t/ , so ist die Nachfrage umgekehrt proportional zur r Entfernung r und variiert periodisch mit der Zeit zwischen 0 und 2, wobei wegen 1 1 f .t C 1; r/ D .1  sin 2.t C 1// D .1  sin 2 t/ D f .t; r/ r r die Periodenlänge p D 1 beträgt.

Rechenaufgaben

Berechnen Sie a) die Gesamtnachfrage G.T; r/ D der Einkaufsstätte,

345

RT

b) die Gesamtnachfrage G.t; R/ D Zeitpunkt t,

g.t; r/dt im Zeitraum Œ0; T  bei festem Abstand r von

0

RR

g.t; r/dr im Einzugsbereich Œ0; R zu einem festen

0

c) die Gesamtnachfrage G.T; R/. d) Lösen Sie a), b), c) für a D 1; T D R D 10.

346

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

Lösungen Verständnisfragen Lösung 21.1 Für die stetige Funktion f W R2 ! R ist das Parameterintegral

Rb

f .x1 ; x2 /dx2 .a; b 2 R/

a

 eine reelle Funktion einer Variablen x1 Rb I Begründung : f .x1 ; x2 /dx2 D F2 .x1 / a

 eine reelle Funktion einer Variablen x2 I Begründung: siehe   eine reelle Funktion zweier Variablen x1 ; x2 I Begründung: siehe 

Lösung 21.2 Für die stetige Funktion f W R3 ! R gilt: R1  f .x1 ; 0; 0/dx1 ist eine Konstante. 0

Begründung: f .x1 ; 0; 0/ D fO.x1 / )

R1

f .x1 ; 0; 0/dx1 D

0



R1

R1

fO.x1 /dx1 2 R

0

f .x1 ; x2 ; 0/dx1 ist eine Funktion zweier Variablen.

0

Begründung:

R1

f .x1 ; x2 ; 0/dx1 D F .x2 /

0



R1 R1

f .x1 ; x2 ; x3 /dx1 dx2 ist eine Funktion dreier Variablen.

0 0

Begründung:

R1 R1

f .x1 ; x2 ; x3 /dx1 dx2 D F .x3 /

0 0



R1 R1 R1

f .x1 ; x2 ; x3 /dx1 dx2 dx3 ist eine Konstante.

0 0 0

Begründung: D

R1 0

R1 R1 R1

f .x1 ; x2 ; x3 /dx1 dx2 dx3 D

0 0 0

f 2 .x3 /dx3 2 R

R1 R1 0 0

f 1 .x2 ; x3 /dx2 dx3

Lösungen

347

Lösung 21.3 Für die stetige Funktion f W Œ0; 1  Œ0; 1 ! Œ0; 1 gilt stets: R1  f .x1 ; x2 /dx2  1 0

Begründung: 0  f .x1 ; x2 /  1 )

R1

f .x1 ; x2 /dx2 

0



R1

R1 0

ˇ1 ˇ 1dx2 D x2 ˇˇ D 1 0

f .x1 ; x2 /dx1  0

0

Begründung: f .x1 ; x2 /  0 )

R1

f .x1 ; x2 /dx1  0

0



R1 R1

f .x1 ; x2 /dx1 dx2 D 1

0 0

R1 R1 R1 R1 Begründung: f .x1 ; x2 / D x1 x2 ) f .x1 ; x2 /dx1 dx2 D x1 x2 dx1 dx2 0 0 0 0 ˇ ˇ1 R1 x 2 ˇ1 R1 x2 ˇ D 21 x2 ˇˇ dx2 D x22 dx2 D 42 ˇˇ D 14 0

0

0

0

Lösung 21.4 Für die stetige Funktion f W Œ0; 1  Œ0; 1 ! Œ0; 1 und a; b 2 Œ0; 1 können folgende Fälle auftreten: Ra R1 R1 R1  f .x1 ; x2 /dx2 dx1  f .x1 ; x2 /dx2 dx1 0 0

0 0

Ra R1 Ra R1 Begründung: f .x1 ; x2 / D x1 x2 ) f .x1 ; x2 /dx2 dx1 D .x1 x2 /dx2 dx1 0 0 0 0 ˇ  a 1 Ra Ra R1 R1 2 x2 x2 ˇ D x1 22 dx1 D x21 dx1 D 41 ˇˇ D a4  14 D x1 x2 dx2 dx1 0



Rb R1

0

0

f .x1 ; x2 /dx1 dx2 >

0 0

0 0

0

R1 R1

f .x1 ; x2 /dx1 dx2

0 0

Begründung: f .x1 ; x2 / 2 Œ0; 1 )

Rb R1

f .x1 ; x2 /dx1 dx2 

0 0



R1 Rb

f .x1 ; x2 /dx2 dx1 D

0 0

R1 Ra

R1 R1 0 0

f .x1 ; x2 /dx1 dx2

0 0

Begründung: Für a D b sind beide Seiten identisch. R1 R1 R0 R0  f .x1 ; x2 /dx1 dx2 C f .x1 ; x2 /dx1 dx2 D 0 0 0

Begründung:

R0 R0 1 1

1 1

f .x1 ; x2 /dx1 dx2 D 

R1 R1 0 0

f .x1 ; x2 /dx1 dx2

f .x1 ; x2 /dx1 dx2

348

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 21.5 F1 .x2 / D F10 .x2 /

R1

2e x1

1

D .e  e 1

x2 dx1 x22 C1 1

D 2e x1

ˇ1 ˇ

x2 ˇ x22 C1 ˇ

  D e 1  e 1

1

2x2 x22 C1

22x22

/ .x 2 C1/2  0 für x2 2 Œ0; 1 2

) F1 ist in diesem Intervall monoton wachsend   ) max¹F1 .x2 / W x2 2 Œ0; 1º D e 1  e 1 22 2:35 für x2 D 1 F2 .x1 / D

R1

2e

x1

0

x2 dx2 x22 C1

De

x1

ˇ ˇ 2 ˇˇ1 ˇ ˇ ln x2 C 1 ˇˇ D e x1 ln 2 0

F20 .x1 / D e x1 ln 2 > 0 für x1 2 Œ1; 1 ) F2 ist in diesem Intervall streng monoton wachsend ) max¹F2 .x1 / W x1 2 Œ1; 1º D e 1 ln 2 für x1 D 1

Lösung 21.6 a)

R1 R2

.x1 x2  x1 C x2  1/dx2 dx1 D

0 1

D

 D

.2x1  2x1 C 2  2/ 

x12 4

C

x1 2

 ˇ1 ˇ ˇ D ˇ 0

1 4

C

1 2

 x1 2

x1 x22 2

 x1 C

1 2

 x1 x2 C 

 1 dx1 D

x22 2

 ˇ2 ˇ  x2 ˇˇ dx1 1

R1  x1 0

2

C

1 2

D 0:75

ˇ  ˇ5 3.x1  1/1 ˇˇ dx2 0 2 0 2 ˇ1 ˇ R1  3 R1 9   4 C 3 dx2 D 4 dx2 D 9x42 ˇˇ D 2:25 D R1 R5

3 dx1 dx2 .x1 1/2

D

0

c)



0

R1

0

b)

R1

R2 Rx1 1

D

1 x1

R2 1

R1 

0

4x2 dx2 dx1 x1

2 x1

 x12 

D

R2 1

1 x1

0

ˇx1 ˇ  2x22 ˇˇ dx1 1

 1 x12

dx1 D

x1

R2

 2 x1 

1

    D 2 2 C 18  2 12 C 12 D 2:25

 1 x13

 dx1 D 2

x12 2

C

1 2x12

 ˇ2 ˇ ˇ ˇ 1



dx1

Lösungen

349

Lösung 21.7 Das Parameterintegral F .x1 / D

R1

 .x1  1/2 e x2 C 1 dx2 beschreibt die Fläche zwischen der

0

Funktion f mit f .x1 ; x2 / D .x1  1/2 e x2 C 1 und der x2 -Achse in Abhängigkeit von x1 . Offenbar ist die Funktion f für alle x1 ; x2 2 R positiv. Ein Minimum für F wird daher für x1 D 1 erreicht. Durch Rechnung erhält man:

 ˇ1 ˇ R1 @ .x1 1/2 ex2 C1 R1 dF .x1 / x2 x2 ˇ dx2 D 2.x1  1/e dx2 D 2.x1  1/e ˇ dx1 D @x1 0

0

0

  D 2 .x1  1/ e 1  1 D 0 für x1 D 1

d 2 F .x1 / dx12

D 2.e  1/ > 0 ) x1 D 1 minimiert F .x1 / ˇ1 ˇ R1 R1 x2 ) F .1/ D .0  e C 1/ dx2 D 1  dx2 D x2 ˇˇ D 1 0

0

0

Lösung 21.8 a) f1 .x1 /  f2 .x1 / () 2x1  x12  x12 () 2x1  2x12 () x1  x12 () x1 2 Œ0; 1 x2 1 Wertetabelle: x1

0

f1 .x1 /

0

f2 .x1 /

0

1 4 7 16 1 16

1 2 3 4 1 4

3 4 15 16 9 16

1



3 4

1

1 2

1

1 4



2

b)

0

x12

B



 

R1 2x1Rx1





x1

 1 4

1 2

3 4

1

ˇ2x1 x 2 1 ˇ R1   12x12  6x13  6x13 dx1 6x1 dx2 dx1 D 6x1 x2 ˇˇ dx1 D 2 0 0 x1 ˇ 1 R   12 3 12 4  ˇ1 2 3 12x1  12x1 dx1 D 3 x1  4 x1 ˇˇ D 4  3 D 1 D R1

0

0

Die Achse der Funktionswerte für f .x1 ; x2 / D 6x1 verläuft senkrecht zur x1 -x2 -Ebene. Da f .x1 ; x2 /  0 ist für alle .x1 ; x2 / 2 B, entspricht das eben berechnete Integral gerade dem Volumen zwischen der von f über dem Bereich B aufgespannten Fläche und dem Bereich B.

350

20 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variablen

Lösung 21.9 Volumen =

R15

22:50:1x12

15

0

R

.10 C 0:1x2 /dx2 dx1 D

R15   10 22:5  0:1x12 C D 15

D

R15 15

 10x2 C

0:1x22 2

 ˇ22:50:1x12 ˇ ˇ dx1 ˇ 0

 2  0:1 22:5  0:1x12  0 dx1 2

R15   225  x12 C 25:3125  0:225x12 C 0:0005x14 dx1

15

D 250:3125x1 

1:225 3 3 x1

ˇ15 ˇ C 0:0001x15 ˇˇ

15

  D 2 .3 754:6875  1 378:125 C 75:9375/ D 4 905 m2

Lösung 21.10 a) G.T; r/ D

RT 0

RT g.t; r/dt D 2 ra 1r .1  sin.2t//dt 0

 D 2a t C cos.2t/ 

1 2

ˇ  ˇT  ˇ D 2a T C cos.2T /  ˇ 0

1 2



 2a

D 2aT C a cos.2T /  a RR RR b) G.t; R/ D g.t; r/dr D 2a.1  sin.2t// dr 0

0

ˇR ˇ D 2a.1  sin.2t//r ˇˇ D 2a.1  sin.2t//R 0

c) G.T; R/ D

RR RT 0 0

g.t; r/dtdr D

RR

G.T; r/dr

0

ˇR ˇ RR D .2aT C a cos.2T /  a/dr D ar.2T C cos.2T /  1/ˇˇ 0

D aR.2T C cos.2T /  1/ d) G.T; r/ D 20 C cos.20/  1 D 20 62:83 G.t; R/ D 20.1  sin.2t// 2 Œ0; 125:66   bspw. G.t; R/ D 0 für sin.2t/ D 1 t D 14 ; 54 ; : : :   D 62:83 für sin.2t/ D 0 t D 12 ; 1; 32 ; : : :   D 125:66 für sin.2t/ D 1 t D 34 ; 74 ; : : : G.T; R/ D 10.20 C cos.20/  1/ D 200 628

0



1 2



22 Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Behauptungen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 22.1 ** Gegeben sind die lineare Differenzengleichung (A) mit der Lösung yA .t/ D .1 C a/t y.0/ y.t C 1/ D .1 C a/y.t/ sowie die lineare Differentialgleichung (B) mit der Lösung yB .t/ D y.0/e at . y 0 .t/ D ay.t/ Mit jeweils a 2 R gilt:  (B) ist das kontinuierliche Pendant von (A).  Die Lösungen beider Gleichungen sind identisch.  Für a > 0 und t 2 N gilt stets yB .t/ > yA .t/.  Für a < 0 und t 2 N gilt stets yB .t/ < yA .t/.

Verständnisfrage 22.2 * Eine lineare Differenzengleichung erster Ordnung y.x C 1/ D a.x/y.x/ C b.x/ für x D 0; 1; 2; : : : ist  lösbar für b.x/ D 0  unlösbar für a.x/ D 0  lösbar für y.0/ D 0  unlösbar für a.x/ D 1; b.x/ D 0

(C)

352

22 Differenzen- und Differenzialgleichungen

Verständnisfrage 22.3 * Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung y 0 .x/ D a.x/y.x/ C b.x/

(D) ist

 lösbar für a.x/ D b.x/ D 0  lösbar für a.x/ D b.x/ D c > 0  unlösbar für y.0/ D 0  unlösbar für y.x/ D c 2 R für alle x 2 R

Verständnisfrage 22.4 * Die Differentialgleichung y 0 .x/ D f .x/g.y/ ist stets:  eine homogene Differentialgleichung  eine lineare Differentialgleichung  eine nichtlineare Differentialgleichung  lösbar, falls g.y/ eine lineare Funktion ist R R dy und f .x/dx lösbar sind g.y/

 lösbar, falls

Verständnisfrage 22.5 * Zu jeder Funktion y kann man genau  eine Differenzengleichung erster Ordnung  eine Differentialgleichung erster Ordnung bestimmen.

Verständnisfrage 22.6 ** Nachfolgende Differentialgleichungen sind linear und erster Ordnung, wobei a; b; c; d 2 R:  y 0 .x/ C y.x/ D a  y 0 .x/  y.x/ D b 

y 0 .x/ Dc y.x/



y.x/ Dd y 0 .x/

Rechenaufgaben

353

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 22.7 ** a) Berechnen Sie für die Gleichung y.x C1/.x C1/y.x/e x D 0; x 2 N0 mit y.0/ D 1 den Wert y.x/ an der Stelle x D 2. b) Wie sieht die allgemeine Lösung mit y.0/ D 0 aus? Fassen Sie diese so weit wie möglich zusammen.

Rechenaufgabe 22.8 ** Gegeben ist folgende Differenzengleichung: y.x/ y.x C 1/  y.x/   e x D 0; x 2 N0 ; y.0/ D 10 1Cx a) Geben Sie die allgemeine Lösung y.x/ in möglichst kompakter Darstellung an. b) Berechnen Sie y.1/ und y.2/ mit y.0/ D 10 durch Einsetzen in die Lösung von a).

Rechenaufgabe 22.9 ** Gegeben sind zwei voneinander unabhängige Ausbreitungsprozesse y; z mit den folgenden Differenzengleichungen für t D 0; 1; 2; : : :: y.t C 1/ D ty.t/ C 1 z.t C 1/ D cz.t/ C 1 .c > 0/ a) Geben Sie für beide Fälle die Lösung in Abhängigkeit von y.0/ bzw. z.0/ an und fassen Sie diese so weit wie möglich zusammen. b) Vergleichen Sie die beiden mittleren Wachstumsraten für t D t0 mit y.t0 / D z.t0 / und t0 D 1. c) Berechnen Sie für c D 2; .y.0/; z.0// D .0; 0/ die Werte .y.1/; z.1//; .y.2/; z.2//; .y.3/; z.3//; .y.4/; z.4// sowie .y.t/; z.t// für t ! 1.

Rechenaufgabe 22.10 ** Gegeben sind folgende Differentialgleichungen: .y.x//2 D 0; x 2 Œ1; 1i; y.x/ ¤ 0 y 0 .x/  x y.x/ y 0 .x/   xe x D 0; x 2 Œ1; 1i x a) Geben Sie den Typ dieser Gleichungen an. b) Berechnen Sie in beiden Fällen die allgemeine Lösung y.x/. c) Bestimmen Sie in beiden Fällen y.x/ mit y.1/ D 1.

354

22 Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung

Rechenaufgabe 22.11 * Zwischen den Grenzkosten ki0 .x/ und den Durchschnittskosten alternativ folgender Zusammenhang: k1 .x/ I) k10 .x/ D a mit 0 < a < 1; k1 .x/ > 0 x k2 .x/  b II) k20 .x/ D mit 0 < b < k2 .x/ x a) Berechnen Sie k1 .x/; k2 .x/ mit k1 .1/ D k2 .1/ D 5.

ki .x/ .i D 1; 2/; x > 0 gilt x

b) Diskutieren Sie für die Fälle a D b D 1; a D b D 12 ; a D b D 2 und jeweils x  1, welcher Kostenverlauf für die Unternehmung günstiger erscheint.

Rechenaufgabe 22.12 ** Bei der Einführung eines neuartigen Produktes sind für den Absatz y > 0 in den folgenden 36 Monaten steigende Absatzzahlen vorhergesagt. Die Wachstumsrate w wird in Abhängigkeit p 1 t geschätzt. von t 2 Œ0; 36 durch w.t/ D 48 a) Ermitteln Sie den Absatz y.t/ in Abhängigkeit von t, wenn der Absatz y.36/ um 191 Einheiten über dem Absatz y.0/ liegt. b) Berechnen Sie näherungsweise y.0/; y.12/; y.24/; y.36/ sowie das prozentuale Wachstum für t D 24 und t D 36. c) Beantworten Sie a), wenn die Wachstumsrate konstant ist mit w.t/ D 0:1 und berechnen Sie y.0/; y.36/.

Rechenaufgabe 22.13 * Für die jährliche Staatsverschuldung s.t/ > 0 in Abhängigkeit der Zeit t > 0 gilt folgende Beziehung: t a s 0 .t/ D bs.t/ mit a 2 R; b > 0 a) Geben Sie s als explizite Funktion von t an. b) Bestimmen Sie mit s.1/ D 10; a D 0:5; b D 0:1 die Staatsverschuldung für t D 25. Bis zu welchem Zeitpunkt t verdoppelt sich die Staatsverschuldung gegenüber s.1/ D 10?

Rechenaufgaben

355

Rechenaufgabe 22.14 * Für den Verlauf des Absatzes eines Produktes in Abhängigkeit der Zeit t  0 wird eine so genannte Gompertzfunktion angenommen: y 0 .t/ D ay.t/b t

a > 0; b 2 h0; 1i

y.t/ > 0 beschreibt den bis zum Zeitpunkt t getätigten Absatz, a und b sind Modellkonstanten. a) Bestimmen Sie y als explizite Funktion von t. b) Zeigen Sie, dass die in a) erhaltene Integrationskonstante c mit dem Grenzwert lim y.t/ t !1 übereinstimmt. c) Berechnen Sie die Konstante a, falls die Werte b D e 1 ; c D 100; y.0/ D 50 bekannt sind und ermitteln Sie damit eine spezielle Lösung für y.t/.

Rechenaufgabe 22.15 *** Die Abnahme des Absatzes y.t/ eines Produktes in Abhängigkeit der Zeit t  0 ohne Werbeeinsatz ist proportional zum jeweiligen Absatzniveau. Wird für das Produkt geworben, so bewirkt dies eine Zunahme des Absatzes. Mit dem zeitabhängigen Werbeeinsatz w.t/ ergibt sich die Differentialgleichung y 0 .t/ D ay.t/ C w.t/ . Geben Sie die allgemeine Lösung für y.0/ D 100 mit a D 0:1 an, wobei alternativ w.t/ D 0, w.t/ D 6 bzw. w.t/ D 6.sin. t/ C 1/ anzusetzen ist.

356

22 Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung

Lösungen Verständnisfragen Lösung 22.1 Gegeben sind die lineare Differenzengleichung (A) mit der Lösung yA .t/ D .1 C a/t y.0/ y.t C 1/ D .1 C a/y.t/ sowie die lineare Differentialgleichung (B) mit der Lösung yB .t/ D y.0/e at . y 0 .t/ D ay.t/ Mit jeweils a 2 R gilt:  (B) ist das kontinuierliche Pendant von (A). Begründung: (A) y.t C 1/  y.t/ D ay.t/ / Ersetze t C 1  t durch t; y.t C 1/  y.t/ durch y.t/, dann gilt y.t D ay.t/. Falls t y.t / 0 y.t/ differenzierbar ist, gilt y .t/ D lim t D ay. t !0

 Die Lösungen beider Gleichungen sind identisch. Begründung: .1 C a/t ¤ e at für t ¤ 0  Für a > 0 und t 2 N gilt stets yB .t/ > yA .t/.   2 Begründung: e at D 1 C at C .at2Š/ C : : : > .1 C a/t D 1 C at C 2t a2 C : : :  Für a < 0 und t 2 N gilt stets yB .t/ < yA .t/. Begründung: a D 2 ) .1 C a/t D .1/t < e 2t für t D 1; 3; 5; : : :

Lösung 22.2 Eine lineare Differenzengleichung erster Ordnung y.x C 1/ D a.x/y.x/ C b.x/ für x D 0; 1; 2; : : : ist  lösbar für b.x/ D 0 I y.x/ D 0 löst (C) für b.x/ D 0 Begründung :  unlösbar für a.x/ D 0 I bzw. y.x C 1/ D b.x/ für x D 0; 1; 2; : : : Begründung: siehe   lösbar für y.0/ D 0 I Begründung: siehe   unlösbar für a.x/ D 1; b.x/ D 0 I bzw. y.x C 1/ D y.x/ D : : : D y.0/ Begründung: siehe 

(C)

Lösung 22.3 Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung y 0 .x/ D a.x/y.x/ C b.x/ (D) ist  lösbar für a.x/ D b.x/ D 0 1 (D) ist stets lösbar bzw. y 0 .x/ D 0 ) y.x/ D c 2 R Begründung :  lösbar für a.x/ D b.x/ D c > 0 1 bzw. y 0 .x/ D cy.x/ C c ) y.x/ D 1 C .y.0/ C 1/e cx Begründung: (siehe )  unlösbar für y.0/ D 0 1 Begründung: siehe   unlösbar für y.x/ D c 2 R für alle x 2 R 1 Begründung: y.x/ D c ) y 0 .x/ D 0 (siehe )

Lösungen

357

Lösung 22.4 Die Differentialgleichung y 0 .x/ D f .x/g.y/ ist stets:  eine homogene Differentialgleichung Begründung: Für g.y/ D c 2 R ist y 0 mit y 0 .x/ D cf .x/ inhomogen.  eine lineare Differentialgleichung Begründung: Für g.y/ D y 2 ist die Differentialgleichung nicht linear.  eine nichtlineare Differentialgleichung 1 Für g.y/ D a C by ist die Differentialgleichung linear. Begründung :  lösbar, falls g.y/ R eine lineare Funktion ist Begründung: f .x/dx ist nicht notwendig lösbar. R dy R  lösbar, falls g.y/ und f .x/dx lösbar sind R R dy D f .x/dx löst obige Differentialgleichung. Begründung: Die Integralgleichung g.y/

Lösung 22.5 Zu jeder Funktion y kann man genau  eine Differenzengleichung erster Ordnung Begründung: Zu y.x/ berechnen wir y.x C 1/ und erhalten damit eine Differenzengleichung erster Ordnung.  eine Differentialgleichung erster Ordnung Begründung: y muss differenzierbar sein. bestimmen.

Lösung 22.6 Nachfolgende Differentialgleichungen sind linear und erster Ordnung, wobei a; b; c; d 2 R:  y 0 .x/ C y.x/ D a Begründung: y 0 .x/ D y.x/ C a  y 0 .x/  y.x/ D b Begründung: y 0 .x/ D by.x/1 y 0 .x/ Dc  y.x/ Begründung: y 0 .x/ D cy.x/ y.x/  0 Dd y .x/ Begründung: y 0 .x/ D d1 y.x/

358

22 Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 22.7 a) x D 0: y.1/  1y.0/  e 0 D y.1/  1  1 D 0 ) y.1/ D 2 x D 1: y.2/  2y.1/  e 1 D y.2/  4  e 1 D 0 ) y.2/ D 4 C e 1 4:37 b) Allgemeine Lösung für y.x C 1/ D a.x/y.x/ C b.x/ mit x D 0; 1; 2; : : :: ! x1 x2 x1 Q P Q a.k/ y.0/ C b.i / a.k/ C b.x  1/ für x 2 N y.x/ D i D0

kD0

kDi C1

Aus y.0/ D 0; a.x/ D x C 1; b.x/ D e x folgt: y.x/ D 0 C

x2 P

x1 Q

e i

i D0

.k C 1/ C e .x1/ D

kDi C1

x1 P

e i

i D0

xŠ .i C 1/Š

Lösung 22.8 a) Allgemeine Lösung für y.x C 1/ D a.x/y.x/ C b.x/ für x D 0; 1; 2; : : :: ! x1 x2 x1 Q P Q a.k/ y.0/ C b.i / a.k/ C b.x  1/ für x 2 N y.x/ D i D0

kD0

kDi C1

1 Aus y.0/ D 10; a.x/ D 1 C 1Cx ; b.x/ D e x folgt: ! x1 x2 Q P i x1 Q 1 .1 C 1Ck /  10 C e .1 C y.x/ D i D0

kD0

Dabei gilt: 1 C )

1 1Ck

x1 Q

D

x1 Q

.1 C

kDi C1

1 / 1Ck

C e .x1/

2Ck 1Ck

.1 C

kD0

kDi C1

1 1Ck /

1 1Ck /

D2

3 2



i C3 i C2



i C4 i C3

D

) y.x/ D 10.x C 1/ C D 10.x C 1/ C b) y.1/ D 10  2 C e 0 

2 2

D 21

y.2/ D 10  3 C e 0 

3 2

C e 1 

3 3

 ::: 

4 3

x2 P i D0 x1 P i D0

 ::: 

x x1

x x1



xC1 x



xC1 x

DxC1 D

.x1/ e i xC1 i C2 C e

e i xC1 i C2

D 31:5 C e 1 31:87

xC1 i C2

Lösungen

359

Lösung 22.9 a) Für die allgemeine Lösung von y.t C 1/ D a.t/y.t/ C b.t/ erhalten wir: ! tQ 1 tP 2 tQ 1 k y.0/ C 1 k C 1 für a.t/ D t; b.t/ D 1 y.t/ D i D0

kD0

kDi C1

D 0 C .1  : : :  .t  1// C .2  : : :  .t  1// C : : : C .t  1/ C 1 D

z.t/ D

b)

tP 2 .t  1/Š .t  1/Š .t  1/Š .t  1/Š C C ::: C C1D C1 0Š 1Š .t  2/Š iŠ i D0

8

() t0 > c y.t0 / z.t0 /

c) c D 2; .y.0/; z.0// D .0; 0/ ) z.t/ D 2t  1 Ferner gilt: t y.t/ z.t/

1 1 1

2 2 3

3 5 7

4 16 15

!1 !1 !1

Lösung 22.10 a) Differentialgleichung erster Ordnung mit trennbaren Variablen: y 0 .x/ D f .x/g.y/ ) y 0 .x/ D

.y.x//2 x

für

f .x/ D x1 ; g.y/ D y 2

Lineare inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung: y 0 .x/ D a.x/y.x/ C b.x/ ) y 0 .x/ D

y.x/ C xe x für a.x/ D x1 ; b.x/ D xe x x

360

22 Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung

b,c) y 0 .x/ D )

R dy R dx .y.x//2 () D 2 x y x

1 D ln x C c ) y D .ln x C c/1 y

y.1/ D .ln 1 C c/1 D 1 ) c D 1 ) y.x/ D .ln x  1/1 y 0 .x/ D a.x/y.x/ C b.x/ R R dx D ln x .x 2 Œ1; 1i/ mit a.x/ D x1 , A.x/ D a.x/dx D x R R R x x e dx D e x und b.x/ D xe x , b.x/e A.x/ dx D xe x e  ln x dx D x   R ) y.x/ D e A.x/ c1 C b.x/e A.x/ dx D x.c1  e x / y.1/ D 1.c1  e 1 / D 1 ) c1 D 1 C e 1 ) y.x/ D x.1 C e 1  e x /

Lösung 22.11 a) I)

R a a k10 .x/ D ) ln jk1 .x/j D dx D a ln jxj C c1 k1 .x/ x x ) jk1 .x/j D e a ln jxjCc1 D jxja  c

.c D e c1 > 0/

) k1 .1/ D 1a  c D 5 ) k1 .x/ D 5x a II)

R dx 1 k20 .x/ D ) ln jk2 .x/  bj D dx D ln jxj C c1 k2 .x/  b x x ) jk2 .x/  bj D e ln jxjCc1 D jxj  c

.c D e c1 > 0/

) k2 .x/ D b C jxj  c k2 .1/ D b C c D 5 ) k2 .x/ D b C .5  b/jxj b) a D b D 1 W aDbD

1 2

W

k1 .x/ D 5x; k2 .x/ D 1 C 4x;

x1

) k1 .x/  k2 .x/; k2 ist günstiger p k1 .x/ D 5 x; k2 .x/ D 0:5 C 4:5x; x  1 p ) k1 .x/  k2 .x/ D 5 x  4:5x  0:5 k10 .x/  k20 .x/ D

5 p 2 x

 4:5 < 0 wegen

k1 ist günstiger aDbD2W

k1 .x/ D 5x 2 ; k2 .x/ D 2 C 3x; k2 ist günstiger

x1

5 p 2 x

< 4:5

Lösungen

361

Lösung 22.12 1 1 y 0 .t/ D t2 y.t/ 48 R 1 1 t 2 dt D ) ln jy.t/j D 48

a) w.t/ D

3 Cc

1

) jy.t/j D e 72 t 2

1

1

1 48

3

 23 t 2 C c1 D

3

1

1 72 t

3 2

C c1

3

D e 72 t 2  e c1 D e 72 t 2  c (mit c D e c1 > 0) 9 1 3 y.36/ D ce 72 6 D ce 3 = ) ) c.e 3  1/ D 191 ) c 10 ; 0 y.0/ D ce D c 1

3

) y.t/ D 10e 72 t 2 b) y.0/ D c 10 1

3

y.12/ D 10e 72 12 2 17:8 1

3

p 24 0:1021, also 10:21 %

y.24/ D 10e 72 24 2 51:2; w.24/ D

1 48

y.36/ D 10e 3 200:9; w.36/ D

D 0:1250, also 12:5 %

1 48 6

y 0 .t/ D 0:1 y.t/ R ) ln jy.t/j D 0:1 dt D 0:1t C c1

c) w.t/ D

) jy.t/j D ce 0:1t (mit c D e c1 > 0) 9 y.36/ D ce 3:6 = ) c.e 3:6  1/ D 191 ) c 5:37 ) ; y.0/ D c ) y.t/ D 5:37e 0:1t Damit ist y.0/ 5:37; y.36/ 5:37e 3:6 196:53

362

22 Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung

Lösung 22.13 a)

R s 0 .t/ D bt a ) ln js.t/j D b t a dt s.t/ Fall 1: a D 1

ln js.t/j D b ln t C c1 js.t/j D e b ln t Cc1 D ct b

.c D e c1 > 0/

b 1a t C c1 1a b b 1a 1a js.t/j D e 1a t Cc1 D ce 1a t

Fall 2: a ¤ 1

ln js.t/j D

.c D e c1 > 0/

0:1

b) s.1/ D ce 0:5 1 D ce 0:2 D 10 ) c 8:2 ) s.25/ D 8:2e 0:2 s.t/ D 8:2e

p 25

p 0:2 t

D 8:2e 22:3

D 2  s.1/ D 20 p 20 20 ) e 0:2 t D ) 0:2 t D ln 8:2 8:2   p 20 20 2 1 ln ) t D 5 ln tD 19:9 0:2 8:2 8:2 p

Die Staatsverschuldung verdoppelt sich für t 19:9.

Lösung 22.14 a)

R y 0 .t/ bt D ab t ) ln jy.t/j D a b t dt D a C c1 y.t/ ln b a

) jy.t/j D e ln b b

t Cc

1

a

a

t

D ce ln b b .c D e c1 > 0/ t

b) lim y.t/ D c lim e ln b b D c  1 wegen b 2 h0; 1i bzw. lim b t D 0 t !1

t !1 a

c) y.0/ D 100e ln e1

1

t !1

D 100e a D 50 ) 2 D e a ) a D ln 2 0:693

Spezielle Lösung: y.t/

ln 2

D 100e ln e1

e t

D 100e  ln 2e

t

D 100  . 12 /e

t

D 100  2e

t

Lösungen

363

Lösung 22.15 y 0 .t/ D ay.t/ C w.t/ ) y.t/ D e at .c1 C w.t/ D 0 ) y.t/ D c1 e 0:1t D 100e 0:1t w.t/ D 6 ) y.t/ D c1 e

0:1t

C 60 D 40e

R

w.t/e at dt/

(wegen y.0/ D c1 D 100)

0:1t

C 60

(wegen y.0/ D c1 C 60 D 100 ) c1 D 40)

R w.t/ D 6.sin  t C 1/ ) y.t/ D e 0:1t .c1 C 6 .sin  t C 1/e 0:1t dt/ Dabei gilt: R .sin  t/e 0:1t dt

D

R

f .t/g0 .t/dt

mit f .t/ D sin  t; g 0 .t/ D e 0:1t R D f .t/g.t/  f 0 .t/g.t/dt mit f 0 .t/ D  cos  t; g.t/ D 10e 0:1t R D 10e 0:1t sin  t  10 .cos  t/e 0:1t dt R D 10e 0:1t sin  t  10 f .t/g 0 .t/dt mit f .t/ D cos  t; g0 .t/ D e 0:1t

 R D 10e 0:1t sin  t  10 f .t/g.t/  f 0 .t/g.t/dt mit f 0 .t/ D  sin  t; g.t/ D 10e 0:1t D 10e 0:1t sin  t  100e 0:1t cos  t  100 2

R

sin  te 0:1t dt

R ) .1 C 100 2 / sin  te 0:1t dt D 10e 0:1t .sin  t  10 cos  t/ Daraus folgt für y.t/:  y.t/ D e 0:1t c1 C D c1 e 0:1t C

60 e 0:1t .sin  t  10 cos  t/ C 60e 0:1t 1 C 100 2



60 .sin  t  10 cos  t/ C 60 1 C 100 2

41:9e 0:1t C 0:06.sin  t  10 cos  t/ C 60 (wegen y.0/ D c1 C

600 600 C 60 D 100 ) c1 D 40 C 41:9 2 1 C 100 1 C 100 2

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Behauptungen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 23.1 * Für eine inhomogene Differenzengleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten bezeichnen wir mit yH .x/ eine spezielle Lösung der homogenen und mit yI .x/ eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung. Dann gilt:  c1 yH .x/ mit c1 2 R löst die homogene Gleichung.  c2 yI .x/ mit c2 2 R löst die inhomogene Gleichung.  yH .x/ C yI .x/ löst die inhomogene Gleichung.  c1 yH .x/ C yI .x/ mit c1 2 R löst die inhomogene Gleichung.  c1 yH .x/ C c2 yI .x/ mit c1 ; c2 2 R löst die inhomogene Gleichung.

Verständnisfrage 23.2 * Für eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten bezeichnen wir mit yH .x/ eine spezielle Lösung der homogenen und mit yI .x/ eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung. Dann gilt:  c1 yH .x/ mit c1 2 R löst die homogene Gleichung.  c2 yI .x/ mit c2 2 R löst die inhomogene Gleichung.  yH .x/ C yI .x/ löst die inhomogene Gleichung.  c1 yH .x/ C yI .x/ mit c1 2 R löst die inhomogene Gleichung.  c1 yH .x/ C c2 yI .x/ c1 ; c2 2 R löst die inhomogene Gleichung.

366

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

Verständnisfrage 23.3 * Die Lösung homogener Differenzen- bzw. Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten erfolgt mit Hilfe einer charakteristischen Gleichung. Dann gilt:  Die Ordnung der Differenzengleichung und der Grad der charakteristischen Gleichung stimmen stets überein.  Die Ordnung der Differentialgleichung und der Grad der charakteristischen Gleichung stimmen stets überein.

Verständnisfrage 23.4 * Für eine inhomogene Differenzen- bzw. Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten bezeichnen wir mit b.x/ das Störglied und mit yI .x/ eine inhomogene Lösung der Gleichung. Für einen Störgliedansatz gelten dann folgende Regeln:  b.x/ D x 2 ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D z0 C z1 x C z2 x 2 .z0 ; z1 ; z2 2 R/  b.x/ D 22x ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D z0 22x .z0 2 R/  b.x/ D xe x ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D z1 xe x .z1 2 R/  b.x/ D sin 2x ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D z0 sin 2x C z1 cos 2x .z0 ; z1 2 R/  b.x/ D e x cos x ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D e x .z1 sin x C z2 cos x/ .z1 ; z2 2 R/

Rechenaufgaben

367

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 23.5 ** Die Differentialgleichung y 00 .t/  .a C ab/y 0 .t/ C .1  a/y.t/ D c mit a 2 h0; 1i; b; c > 0 beschreibt den Kurs einer Aktie in Abhängigkeit der Zeit. a) Berechnen Sie die allgemeine Lösung dieser Gleichung für a D 0:5, b D 1 oder 2 sowie c D 25. b) Interpretieren Sie den Typ der Lösung für y.0/ D 51; y./ D 55 im Fall b D 1 bzw. y.0/ D 51; y.2/ D 50 C e im Fall b D 2.

Rechenaufgabe 23.6 ** Für den Zusammenhang von Angebot x.t/, Nachfrage y.t/ und Preis p.t/ eines Gutes unterstellen wir die Beziehungen x.t/ D 100 C 0:5p.t/ C 0:5p.t  1/ C 0:2p.t  2/ bzw. y.t/ D 120  0:5p.t/  0:5p.t  1/  0:3p.t  2/: Angebot und Nachfrage hängen damit direkt vom aktuellen Preis p.t/ sowie von den Preisen p.t  1/; p.t  2/ der letzten beiden Vorperioden ab. a) Ermitteln Sie eine Differenzengleichung für p.t/ im Marktgleichgewicht x.t/ D y.t/. b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung dieser Gleichung mit den Anfangsbedingungen p.0/ D 8; p.1/ D 7. c) Berechnen Sie p.t/ für t D 2; 3; : : : ; 8 und veranschaulichen Sie das Ergebnis grafisch.

Rechenaufgabe 23.7 * Das Produktionsniveau eines Gutes im Jahr t setzt sich aus jeweils 50 % des Niveaus der Jahre .t  1/ und .t  2/ zusammen. a) Geben Sie die zu den Daten passende Differenzengleichung an und berechnen Sie die allgemeine Lösung. b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung unter der Bedingung, dass für t D 1 ein Niveau von 100, für t D 2 ein Niveau von 106 erreicht wird. c) Welches Produktionsniveau wird für t ! 1 erreicht?

368

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

Rechenaufgabe 23.8 * Gegeben ist die folgende Differentialgleichung: y 00 .x/ C y 0 .x/  2y.x/ D e 2x .8x 2  1/ a) Berechnen Sie die allgemeine Lösung. b) Welche spezielle Lösung ergibt sich mit den Anfangsbedingungen y.0/ D 8; y 0 .0/ D 5?

Rechenaufgabe 23.9 * Gegeben ist die folgende Differenzengleichung: y.x C 3/  y.x C 2/  y.x C 1/ C y.x/ D 9x2x a) Berechnen Sie die allgemeine Lösung der homogenen und inhomogenen Gleichung. b) Beantworten Sie a), wenn für die homogene Gleichung die Anfangsbedingungen yH .0/ D 4; yH .1/ D 1; yH .2/ D 6 gelten.

Rechenaufgabe 23.10 * Gegeben ist die folgende Differentialgleichung: y 000 .x/  y 0 .x/ D 2 cos x a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung. b) Beantworten Sie a) mit den Anfangsbedingungen y.0/ D 1; y 0 .0/ D 1; y 00 .0/ D 2. c) Zeigen Sie, dass die in b) erhaltene Lösungsfunktion für x 2 RC streng monoton wächst und konvex ist.

Lösungen

369

Lösungen Verständnisfragen Lösung 23.1 Für eine inhomogene Differenzengleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten bezeichnen wir mit yH .x/ eine spezielle Lösung der homogenen und mit yI .x/ eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung. Dann gilt:  c1 yH .x/ mit c1 2 R löst die homogene Gleichung. I yH .x C 2/ C a1 yH .x C 1/ C a0 yH .x/ D 0 Begründung : ) c1 yH .x C 2/ C a1 c1 yH .x C 1/ C a0 c1 yH .x/ D c1  0 D 0 für alle c1 2 R  c2 yI .x/ mit c2 2 R löst die inhomogene Gleichung. II yI .x C 2/ C a1 yI .x C 1/ C a0 yI .x/ D b.x/ ¤ 0 Begründung : ) c2 yI .x C 2/ C a1 c2 yI .x C 1/ C a0 c2 yI .x/ D c2 b.x/ ¤ b.x/ für c2 ¤ 1  yH .x/ C yI .x/ löst die inhomogene Gleichung. I  II Begründung: siehe ,  c1 yH .x/ C yI .x/ mit c1 2 R löst die inhomogene Gleichung. I  II Begründung: siehe ,  c1 yH .x/ C c2 yI .x/ mit c1 ; c2 2 R löst die inhomogene Gleichung. I  II Begründung: siehe ,

Lösung 23.2 Für eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten bezeichnen wir mit yH .x/ eine spezielle Lösung der homogenen und mit yI .x/ eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung. Dann gilt:  c1 yH .x/ mit c1 2 R löst die homogene Gleichung. I y 00 .x/ C a1 y 0 .x/ C a0 yH .x/ D 0 Begründung : H H 00 0 ) c1 yH .x/ C a1 c1 yH .x/ C a0 c1 yH .x/ D c1  0 D 0 für alle c1 2 R  c2 yI .x/ mit c2 2 R löst die inhomogene Gleichung. II y 00 .x/ C a1 y 0 .x/ C a0 yI .x/ D b.x/ ¤ 0 Begründung : I I 00 ) c2 yI .x/ C a1 c2 yI0 .x/ C a0 c2 yI .x/ D c2 b.x/ ¤ b.x/ für c2 ¤ 1  yH .x/ C yI .x/ löst die inhomogene Gleichung. I  II Begründung: siehe ,  c1 yH .x/ C yI .x/ mit c1 2 R löst die inhomogene Gleichung. I  II Begründung: siehe ,  c1 yH .x/ C c2 yI .x/ c1 ; c2 2 R löst die inhomogene Gleichung. I  II Begründung: siehe ,

370

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

Lösung 23.3 Die Lösung homogener Differenzen- bzw. Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten erfolgt mit Hilfe einer charakteristischen Gleichung. Dann gilt:  Die Ordnung der Differenzengleichung und der Grad der charakteristischen Gleichung stimmen stets überein. Begründung: Differenzengleichung: y.x C n/ C : : : C a1 y.x C 1/ C a0 y.x/ D 0 Charakteristische Gleichung: n C : : : C a1  C a0 D 0  Die Ordnung der Differentialgleichung und der Grad der charakteristischen Gleichung stimmen stets überein. Begründung: Differentialgleichung: y .n/ .x/ C : : : C a1 y 0 .x/ C a0 y.x/ D 0 Charakteristische Gleichung: n C : : : C a1  C a0 D 0

Lösung 23.4 Für eine inhomogene Differenzen- bzw. Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten bezeichnen wir mit b.x/ das Störglied und mit yI .x/ eine inhomogene Lösung der Gleichung. Für einen Störgliedansatz gelten dann folgende Regeln:  b.x/ D x 2 ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D z0 C z1 x C z2 x 2 .z0 ; z1 ; z2 2 R/ .k/ Begründung: Alle Werte yI .x C k/ bzw. yI .x/ haben die Form z0 C z1 x C z2 x 2 mit z0 ; z1 ; z2 2 R  b.x/ D 22x ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D z0 22x .z0 2 R/ Begründung: Alle Werte yI .x C k/ bzw. yI.k/ .x/ haben die Form z0 22x .z0 2 R/  b.x/ D xe x ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D z1 xe x .z1 2 R/ Begründung: Richtiger Ansatz ist yI .x/ D e x .z0 C z1 x/ .z0 ; z1 2 R/  b.x/ D sin 2x ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D z0 sin 2x C z1 cos 2x .z0 ; z1 2 R/ .k/ Begründung: Alle Werte yI .x C k/ bzw. yI .x/ haben die Form z0 sin 2x C z1 cos 2x mit z0 ; z1 2 R  b.x/ D e x cos x ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D e x .z1 sin x C z2 cos x/ .z1 ; z2 2 R/ Begründung: Alle Werte yI .x C k/ bzw. yI.k/ .x/ haben diese multiplikative Verknüpfung e x .z1 sin x C z2 cos x/ mit z1 ; z2 2 R von Exponentialfunktion und trigonometrischer Funktion.

Lösungen

371

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 23.5 Differentialgleichung: y 00 .t/  .a C ab/y 0 .t/ C .1  a/y.t/ D c 1. Fall: a D 0:5; b D 1; c D 25 ) y 00 .t/  y 0 .t/ C 0:5y.t/ D 25 a) Charakteristische Gleichung: p 2   C 0:5 D 0 )  D 12 .1 ˙ 1  2/ D 12 .1 ˙ i / 1

1

Spezielle Lösungen: y1;2 .t/ D e . 2 ˙ 2 /t Allgemeine Lösungen der homogenen Gleichung: t t t yH .t/ D c1 e 2 cos 2t C c2 e 2 sin 2t D e 2 .c1 cos 2t C c2 sin 2t / Störgliedansatz für eine inhomogene Lösung: yI .t/ D z0 ) yI0 .t/ D yI00 .t/ D 0 ) yI00 .t/  yI0 .t/ C 0:5yI .t/ D 0:5z0 D 25 ) z0 D 50 D yI .t/ Allgemeine Lösung: t y.t/ D yH .t/ C yI .t/ D e 2 .c1 cos 2t C c2 sin 2t / C 50 b) y.0/ D 1  .c1  1 C 0/ C 50 D 51 ) c1 D 1  y./ D e 2 .0 C c2  1/ C 50 D 4:81  c2 C 50 D 55 ) c2 D 1:04 t ) y.t/ D e 2 .cos 2t C 1:04 sin 2t / C 50 Die Lösung setzt sich multiplikativ zusammen aus dem Term cos 2t C sin 2t , der eine Schwingung mit der Periode 4 beschreibt, und dem streng monoton wachsenden Term t e 2 . Damit charakterisiert y.t/ eine Schwingung mit zunehmenden Amplituden und ist zur Beschreibung eines Aktienkursverlaufs durchaus in beschränkten Zeitintervallen tauglich. 2. Fall: a D 0:5; b D 2; c D 25 ) y 00 .t/  1:5y 0 .t/ C 0:5y.t/ D 25 a) Charakteristische Gleichung: p 2  1:5 C 0:5 D 0 )  D 12 .1:5 ˙ 2:25  2/ D 1 oder 0:5 1

Spezielle Lösungen: y1 .t/ D e t ; y2 .t/ D e 2 t Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: t yH .t/ D c1 e t C c2 e 2 Störgliedansatz für eine inhomogene Lösung: yI .t/ D z0 ) yI0 .t/ D yI00 .t/ D 0 ) yI00 .t/  1:5yI0 .t/ C 0:5yI .t/ D 0:5z0 D 25 ) z0 D 50 D yI .t/ Allgemeine Lösung: t y.t/ D yH .t/ C yI .t/ D c1 e t C c2 e 2 C 50 b) y.0/ D c1 C c2 C 50 D 51 ) c1 C c2 D 1 y.2/ D c1 e 2 C c2 e C 50 D 50 C e ) c1 e 2 C c2 e D e ) c1 D 0; c2 D 1 t ) y.t/ D e 2 C 50 Die Lösung beschreibt eine monoton wachsende Funktion mit lim y.t/ D 1. Zur Bet !1

schreibung eines Aktienkursverlaufs ist y.t/ durchaus in beschränkten Zeitintervallen tauglich.

372

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

Lösung 23.6 a) Differenzengleichung für x.t/  y.t/ D 0: b) Charakteristische Gleichung: 2 C  C 0:5 D 0 )  D  12 .1 ˙

20 C p.t/ C p.t  1/ C 0:5p.t  2/ D 0

p 1  2/ D 12 .1 ˙ i /

Spezielle Lösungen: y1;2 .t/ D .˛ ˙ iˇ/t D . 12 ˙ 2i /t Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: pH .t/ D c1 r t cos 't C c2 r t sin 't D r t .c1 cos 't C c2 sin 't/ q p p mit ˛ D  12 ; ˇ D 12 ; r D ˛ 2 C ˇ 2 D 14 C 14 D 22 cos ' D

˛ r

D

) pH .t/ D c1 .

p

p

2 2 ;

2 t / 2

sin ' D

ˇ r

cos 5 t C c2 . 4

p

2 2

) ' D 54 

2 t / 2

sin 5 t D. 4

D p

p

2 t / .c1 2

cos 5 t C c2 sin 5 t/ 4 4

Störgliedansatz für eine inhomogene Lösung: pI .t/ D z0 ) pI .t  1/ D pI .t  2/ D z0 ) pI .t/ C pI .t  1/ C 0:5pI .t  2/ D z0 C z0 C 0:5z0 D 20 ) z0 D 8 D pI .t/ Allgemeine Lösung: p.t/ D pH .t/ C pI .t/ D .

p

2 t / .c1 2

cos 5 t C c2 sin 5 t/ C 8 4 4

p.0/ D 1.c1  1 C 0/ C 8 D 8 ) c1 D 0 p.1/ D ) p.t/ c)

t p.t/

p

p 2 . 22 2 p D . 22 /t

1 7

2 9

0

p 2 c / 2 2

C 8 D  12 c2 C 8 D 7 ) c2 D 2

 2 sin 5 t C8 4 3 7.5

4 8

5 8.25

6 7.75

7 8.125

8 8

p.t/ 

9 8 7

 















t 1

2

3

4

5

6

7

8

Lösungen

373

Die zeitabhängige Preisfunktion p.t/ setzt sich multiplikativ zusammen aus dem Term 2 sin 5 t, der eine Schwingung mit der Periode q D 1:6 beschreibt, und dem streng mono4 p

ton abnehmenden Term . 22 /t . Damit beschreibt p.t/ eine Schwingung mit abnehmender Amplitude. Mit zunehmender Zeit t konvergiert p.t/ gegen den Wert 8.

Lösung 23.7 a) y.t/ D 0:5y.t  1/ C 0:5y.t  2/ Charakteristische Gleichung: 2  0:5  0:5 D 0 )  D 12 .0:5 ˙

p 0:25 C 2/ ) 1 D 1; 2 D 0:5

Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: y.t/ D c1 1t C c2 .0:5/t D c1 C c2 .0:5/t b) y.1/ D c1  0:5c2 D 100 y.2/ D c1 C 0:25c2 D 106 y.1/  y.2/ W 0:75c2 D 6 ) c2 D 8; c1 D 104 ) y.t/ D 104 C 8.0:5/t c) lim y.t/ D 104 t !1

374

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

Lösung 23.8 a) Differentialgleichung: y 00 .x/ C y 0 .x/  2y.x/ D e 2x .8x 2  1/ Charakteristische Gleichung: 2 C   2 D 0 )  D 12 .1 ˙

p 1 C 8/

)

1 D 1; 2 D 2

Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: yH .x/ D c1 e x C c2 e 2x Störgliedansatz für eine inhomogene Lösung: yI .x/ D e 2x .z0 C z1 x C z2 x 2 / ) y 0 .x/ D 2e 2x .z0 C z1 x C z2 x 2 / C e 2x .z1 C 2z2 x/ yI00 .x/ D 4e 2x .z0 C z1 x C z2 x 2 / C 2e 2x .z1 C 2z2 x/ C 2e 2x .z1 C 2z2 x/ C e 2x  2z2 Differentialgleichung für yI .x/: yI00 .x/ C yI0 .x/  2yI .x/ D e 2x .8x 2  1/ ) 4e 2x .z0 C z1 x C z1 x 2 / C 4e 2x .z1 C 2z2 x/ C e 2x  2z2 C 2e 2x .z0 C z1 x C z2 x 2 / C e 2x .z1 C 2z2 x/  2e 2x .z0 C z1 x C z2 x 2 / D e 2x .4z0 C 5z1 C 2z2 C x.4z1 C 10z2 / C x 2 4z2 / D e 2x .8x 2  1/ Koeffizientenvergleich: x 2 W 4z2 D 8 ) z2 D 2 x 1 W 4z1 C 10z2 D 4z1 C 20 D 0 ) z1 D 5 x 0 W 4z0 C 5z1 C 2z2 D 4z0  25 C 4 D 1 ) z0 D 5 Spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung: yI .x/ D e 2x .5  5x C 2x 2 / Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung: y.x/ D yH .x/ C yI .x/ D c1 e x C c2 e 2x C e 2x .5  5x C 2x 2 / b) y 0 .x/ D c1 e x  2c2 e 2x C 2e 2x .5  5x C 2x 2 / C e 2x .5 C 4x/ ) y.0/ D c1 C c2 C 1  5 D 8 ) c1 C c2 D 3 y 0 .0/ D c1  2c2 C 2  5 C 1.5/ D 5 ) c1  2c2 D 0 y.0/  y 0 .0/ W 3c2 D 3 ) c2 D 1 ) c1 D 2 Allgemeine Lösung mit Anfangsbedingungen: y.x/ D 2e x C e 2x C e 2x .5  5x C 2x 2 /

Lösungen

375

Lösung 23.9 a) Differenzengleichung: y.x C 3/  y.x C 2/  y.x C 1/ C y.x/ D 9x2x Charakteristische Gleichung: 3  2   C 1 D .  1/2 . C 1/ D 0 )  D 1; 1; 1 Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: y.x/ D c1 1x C c2 x1x C c3 .1/x D c1 C c2 x C c3 .1/x D c1 C c2 x C c3 .1/x Störgliedansatz für eine inhomogene Lösung: yI .x/ D .z0 C z1 x/2x yI .x C 1/ D .z0 C z1 .x C 1//2  2x yI .x C 2/ D .z0 C z1 .x C 2//4  2x yI .x C 3/ D .z0 C z1 .x C 3//8  2x Differenzengleichung für yI .x/: .z0 Cz1 .xC3//82x .z0 Cz1 .xC2//42x .z0 Cz1 .xC1//22x C.z0 Cz1 x/2x D 9x2x Koeffizientenvergleich: x2x W 8z1  4z1  2z1 C z1 D 9 ) 3z1 D 9 ) z1 D 3 2x W 8z0 C 24z1  4z0  8z1  2z0  2z1 C z0 D 3z0 C 14z1 D 3z0  42 D 0 ) z0 D 14 Spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung: yI .x/ D .14  3x/2x Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung: y.x/ D yH .x/ C yI .x/ D c1 C c2 x C c3 .1/x C .14  3x/2x 9 > b) yH .0/ D c1 C c3 D 4 = c1 D 2 yH .1/ D c1 C c2  c3 D 1 c2 D 1 > ; yH .2/ D c1 C 2c2 C c3 D 6 c3 D 2 ) Homogene Lösung: yH .x/ D 2 C x C 2.1/x Inhomogene Lösung: y.x/ D 2 C x C 2.1/x C .14  3x/2x

376

23 Differenzen- und Differentialgleichungen höherer Ordnung

Lösung 23.10 Differentialgleichung: y 000 .x/  y 0 .x/ D 2 cos x a) Charakteristische Gleichung: 3   D .2  1/ D 0 )

 D 0; 1; 1

Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: yH .x/ D c1 C c2 e x C c3 e x Störgliedansatz für eine inhomogene Lösung: yI .x/ D z1 sin x C z2 cos x )

yI0 .x/ D z1 cos x  z2 sin x yI00 .x/ D z1 sin x  z2 cos x yI000 .x/ D z1 cos x C z2 sin x

Differentialgleichung für yI .x/: z1 cos x C z2 sin x  z1 cos x C z2 sin x D 2 cos x Koeffizientenvergleich: sin x W z2 C z2 D 2z2 D 0 ) z2 D 0 cos x W z1  z1 D 2z1 D 2 ) z1 D 1 Spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung: yI .x/ D  sin x Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung: y.x/ D yH .x/ C yI .x/ D c1 C c2 e x C c3 e x  sin x 9 b) y.0/ D c1 C c2 C c3 D 1 > = c1 D 1 0 y .0/ D c2  c3  1 D 1 c2 D 2 > ; y 00 .0/ D c2 C c3 D 2 c3 D 0 Inhomogene Lösung: y.x/ D 1 C 2e x  sin x c) y 0 .x/ D 2e x  cos x  2  1 > 0 für x  0 y 00 .x/ D 2e x C sin x  2  1 > 0 für x  0 Damit ist y.x/ streng monoton wachsend und konvex für x  0.

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung Verständnisfragen Kreuzen Sie die jeweils richtigen Behauptungen an und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Verständnisfrage 24.1 * Nachfolgende Gleichungen sind – eventuell nach kleinen Umformungen – lineare Differenzenbzw. Differentialgleichungssysteme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten, also von der Form y.x C 1/ D Ay.x/ C b.x/ bzw. y0 .x/ D Ay.x/ C b.x/:  y1 .x C 1/ D y1 .x/  y2 .x/ C 2x sin x y2 .x C 1/ D y1 .x/ C y2 .x/ C 2x cos x  y1 .x C 1/ D 0:52 y1 .x/ C 1 C x y2 .x C 1/ D ln 2y2 .x/ C 1 C

1 x2

 y1 .x C 1/ D e x y2 .x/ C 25 y2 .x C 1/ D ey1 .x/  5  y10 .x/ D xy1 .x/  y2 .x/ y20 .x/ D y1 .x/ C y2 .x/ C x  y10 .x/ D y1 .x/  y20 .x/ y20 .x/ D y10 .x/  y2 .x/  y10 .x/ D sin y1 .x/ C cos y2 .x/ C e x sin x x y20 .x/ D cos x 2 y1 .x/  e cos x

378

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Verständnisfrage 24.2 ** Für je ein lineares System von zwei Gleichungen der Form .1/ y.x C 1/ D Ay.x/ C b.x/

und

.2/ y0 .x/ D Ay.x/ C b.x/

gilt:  A quadratisch ) (1) und (2) sind lösbar  A diagonal ) (1) und (2) sind lösbar  A ist Einheitsmatrix ) (1) und (2) sind lösbar  A ist Nullmatrix ) (1) und (2) sind unlösbar  Rg A < 2 ) (1) und (2) sind unlösbar

Verständnisfrage 24.3 ** Gegeben ist ein homogenes lineares Differenzen- oder Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten: .1/ y.x C 1/ D Ay.x/

bzw.

(2) y0 .x/ D Ay.x/

Dann gilt:  Für (1) existieren stets spezielle Lösungen der Form cax .a 2 R; c 2 Rn /.  Für (1) können konstante Vektoren c 2 Rn als Lösungen auftreten.  Für (2) existieren stets spezielle Lösungen der Form cax .a 2 R; c 2 Rn /.  Für (2) können konstante Vektoren c 2 Rn als Lösungen auftreten.  Für (2) können Exponentialfunktionen als Lösungen auftreten.

Verständnisfrage 24.4 * Für inhomogene lineare Differenzen- oder Differentialgleichungssysteme erster Ordnung mit ! ! b1 .x/ y1I .x/ bezeichnet yI .x/ D konstanten Koeffizienten und dem Störglied b.x/ D b2 .x/ y2I .x/ eine inhomogene Lösung. Dann gilt für z0 ; z1 ; : : : ; z5 2 R: ! ! sin x z0 sin x  b.x/ D ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D .z1 C z2 x/ cos x x cos x ! ! x  2x 2 z0 C z1 x C z2 x 2  b.x/ D ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D 2x z3 C z4 x C z5 x 2 ! ! ln 2 z0  b.x/ D ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D z1 cos  ! ! x sin x .z0 C z1 x/.sin x C cos x/  b.x/ D ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D .z2 C z3 x/.sin x C cos x/ cos x

Rechenaufgaben

379

Rechenaufgaben Stellen Sie den Lösungsweg nachvollziehbar dar.

Rechenaufgabe 24.5 * Gegeben ist das System von Differenzengleichungen: y1 .x C 1/ D y1 .x/ C 2y2 .x/ C 1 y2 .x C 1/ D 3y1 .x/ C 2y2 .x/  3x a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des homogenen und des inhomogenen Systems. b) Wie sieht die allgemeine Lösung mit den Anfangsbedingungen y1 .0/ D 6; y2 .0/ D 0 aus? c) Beschreiben Sie verbal den Verlauf der Lösungen y1 .x/ und y2 .x/ für x  0 unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen.

Rechenaufgabe 24.6 ** Gegeben ist das System von Differentialgleichungen: y10 .x/ D 4y1 .x/ C y2 .x/ y20 .x/ D 2y1 .x/ C y2 .x/  2e x a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des homogenen und des inhomogenen Systems. b) Wie sieht die allgemeine Lösung mit den Anfangsbedingungen y1 .0/ D y2 .0/ D 0 aus? c) Für welche x 2 RC sind die Lösungsfunktionen von b) monoton wachsend?

Rechenaufgabe 24.7 ** Beweisen Sie, dass eine lineare Differenzen- bzw. Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten y.x C 2/ C a1 y.x C 1/ C a0 y.x/ D b.x/ bzw. y 00 .x/ C a1 y 0 .x/ C a0 y.x/ D b.x/ sich in ein lineares System von zwei Differenzen- bzw. Differentialgleichungen erster Ordnung der Form y.x C 1/ D Ay.x/ C b.x/ bzw. y0 .x/ D Ay.x/ C b.x/ ! 0 1 , mit A D a0 a1 überführen lässt.

b.x/ D

0 b.x/

! ,

y.x/ D

y1 .x/ y2 .x/

!

380

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Rechenaufgabe 24.8 ** Beweisen Sie, dass ein lineares System von zwei Differenzen- bzw. Differentialgleichungen erster Ordnung der Form y.x C 1/ D Ay.x/ C b.x/ bzw. y0 .x/

D Ay.x/ C b.x/ ! ! b1 .x/ a11 a12 , , b.x/ D mit A D a21 a22 b2 .x/

y.x/ D

y1 .x/

!

y2 .x/

und y zweimal, b einmal in beiden Komponenten partiell differenzierbar sich in eine lineare Differenzen- oder Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten y.x C 2/ C c1 y.x C 1/ C c0 y.x/ D d.x/ 00

0

y .x/ C c1 y .x/ C c0 y.x/

bzw.

D d.x/

überführen lässt, falls a12 ¤ 0 oder a21 ¤ 0 gilt.

Rechenaufgabe 24.9 ** Die Absatzentwicklung zweier Produkte in Abhängigkeit der Zeit t 2 N0 wird durch folgendes System von Differentialgleichungen beschrieben: y10 .t/ D 0:6y1 .t/ C 0:2y2 .t/ y20 .t/ D 0:8y2 .t/ a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems sowie eine spezielle Lösung mit y1 .0/ D 250; y2 .0/ D 200. b) Überführen Sie das gegebene System von Differentialgleichungen in eine Differentialgleichung zweiter Ordnung und bestimmen Sie deren allgemeine Lösung. c) Inwiefern stimmen die allgemeinen Lösungen aus a) und b) überein?

Rechenaufgabe 24.10 *** Gegeben ist folgende Differenzengleichung zweiter Ordnung: y.x C 2/  y.x C 1/ C y.x/ D 0 a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieserpGleichung sowie eine spezielle Lösung mit den Anfangsbedingungen y.0/ D 0; y.1/ D 3. b) Überführen Sie die Differenzengleichung in ein lineares System von Differenzengleichungen erster Ordnung und bestimmen Sie deren Lösung mit den Anfangsbedingungen ! 0 y.0/ D p . 3 c) Inwiefern sind die Lösungen von a) und b) vergleichbar?

Rechenaufgaben

381

Rechenaufgabe 24.11 *** Gegeben ist das System von Differentialgleichungen erster Ordnung: y10 .x/ D y2 .x/ C x 2 y20 .x/ D y1 .x/ C e 2x a) Formen Sie dieses System in eine Differentialgleichung zweiter Ordnung um und geben Sie die allgemeine Lösung dieser Gleichung an. b) Bestimmen Sie eine spezielle Lösung der Differentialgleichung zweiter Ordnung für y.0/ D 1:2; y 0 .0/ D 1:4. c) Berechnen Sie die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems. d) Welche Anfangsbedingungen sind für das System von Differentialgleichungen zu wählen, sodass die Lösungen von b) und c) vergleichbar sind.

382

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Lösungen Verständnisfragen Lösung 24.1 Nachfolgende Gleichungen sind – eventuell nach kleinen Umformungen – lineare Differenzenbzw. Differentialgleichungssysteme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten, also von der Form y.x C 1/ D Ay.x/ C b.x/ bzw. y0 .x/ D Ay.x/ C b.x/:  y1 .x C 1/ D y1 .x/  y2 .x/ C 2x sin x y2 .x C 1/ D y1 .x/  y2 .x/ C 2x cos x ! ! ! 2x sin x 1 1 y1 .x/ ; b.x/ D x Begründung: A D ; y.x/ D y2 .x/ 2 cos x 1 1  y1 .x C 1/ D 0:52 y1 .x/ C 1 C x y2 .x C 1/ D ln 2y2 .x/ C 1 C x12 ! ! ! 0 y1 .x/ 1Cx 0:52 ; y.x/ D ; b.x/ D Begründung: A D 0 ln 2 y2 .x/ 1 C x12  y1 .x C 1/ D e x y2 .x/ C 25 y2 .x C 1/ D ey1 .x/  5 ! 0 ex ist abhängig von x, also nicht konstant. Begründung: A D e 0  y10 .x/ D xy1 .x/  y2 .x/ y20 .x/ D y1 .x/ C y2 .x/ C x ! x 1 Begründung: A D ist abhängig von x, also nicht konstant. 1 1  y10 .x/ D y1 .x/  y20 .x/ y20 .x/ D y10 .x/  y2 .x/ Begründung: Durch Umformen erhält man y10 .x/ D 12 .y1 .x/ C y2 .x//; y20 .x/

D

1 2 .y1 .x/

 y2 .x//

bzw.

y 0 .x/ D Ay.x/ mit A D

1 2

1 1

! 1 1

 y10 .x/ D sin y1 .x/ C cos y2 .x/ C e x sin x y20 .x/ D cos x 2 y1 .x/ ! sin  cos  Begründung: A D ist abhängig von x, also nicht konstant. cos x 0 2

Lösungen

383

Lösung 24.2 Für je ein lineares System von zwei Gleichungen der Form .1/ y.x C 1/ D Ay.x/ C b.x/ und .2/ y0 .x/ D Ay.x/ C b.x/ gilt:  A quadratisch ) (1) und (2) sind lösbar Begründung: (1), (2) sind genau dann lösbar, wenn A quadratisch.  A diagonal ) (1) und (2) sind lösbar I Diagonalmatrizen sind stets quadratisch. Begründung :  A ist Einheitsmatrix ) (1) und (2) sind lösbar I Begründung: siehe   A ist Nullmatrix ) (1) und (2) sind unlösbar Begründung: y.x C t/ D b.x/ bzw. y0 .x/ D b.x/ sind lösbar.  Rg A < 2 ) (1) und (2) sind unlösbar Begründung: Die Lösbarkeit von (1), (2) ist unabhängig von Rg A.

Lösung 24.3 Gegeben ist ein homogenes lineares Differenzen- oder Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten: .1/ y.x C 1/ D Ay.x/ bzw. (2) y0 .x/ D Ay.x/ Dann gilt:  Für (1) existieren stets spezielle Lösungen der Form cax .a 2 R; c 2 Rn /. I Durch Einsetzen erhält man caxC1 D Acax bzw. mit .A  aE/c D o ein Begründung : Eigenwertproblem der Matrix A.  Für (1) können konstante Vektoren c 2 Rn als Lösungen auftreten. I für a D 1 und Rg .A  E/ < n Begründung: siehe   Für (2) existieren stets spezielle Lösungen der Form cax .a 2 R; c 2 Rn /. Begründung: Durch Einsetzen erhält man cax ln a D Acax bzw. mit .A  ln aE/c D o ein Eigenwertproblem der Matrix A. Dabei ist ln a Eigenwert, c Eigenvektor.  Für (2) können konstante Vektoren c 2 Rn als Lösungen auftreten. Begründung: Durch Einsetzen erhält man o D Ac. Dieses Gleichungssystem ist lösbar für Rg A < n.  Für (2) können Exponentialfunktionen als Lösungen auftreten. Begründung: Für y.x/ D ce ax erhält man ace ax D Ace ax bzw. mit .A  aE/c D o ein Eigenwertproblem der Matrix A.

384

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Lösung 24.4 Für inhomogene lineare Differenzen- oder Differentialgleichungssysteme erster Ordnung mit ! ! y1I .x/ b1 .x/ bezeichnet yI .x/ D konstanten Koeffizienten und dem Störglied b.x/ D b2 .x/ y2I .x/ eine inhomogene Lösung. Dann gilt für z0 ; z1 ; : : : ; z5 2 R: ! ! z0 sin x sin x  b.x/ D ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D .z1 C z2 x/ cos x x cos x ! .z0 C z1 x/.sin x C cos x/ Begründung: Der korrekte Ansatz lautet: yI .x/ D .z2 C z3 x/.sin x C cos x/ ! ! z0 C z1 x C z2 x 2 x  2x 2 ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D  b.x/ D 2x z3 C z4 x C z5 x 2 Begründung: Der Ansatz für yI .x/ ist korrekt. ! ! z0 ln 2  b.x/ D ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D z1 cos  Begründung: Der Ansatz für yI .x/ ist korrekt. ! ! .z0 C z1 x/.sin x C cos x/ x sin x  b.x/ D ) Ansatz für yI .x/ W yI .x/ D .z2 C z3 x/.sin x C cos x/ cos x Begründung: Der Ansatz für yI .x/ ist korrekt.

Lösungen Rechenaufgaben Lösung 24.5 a) Differenzengleichungssystem: y1 .x C 1/ D y1 .x/ C 2y2 .x/ C 1 y2 .x C 1/ D 3y1 .x/ C 2y2 .x/  3x ! ! 1 2 1 )AD b.x/ D 3 2 3x Eigenwerte von A W .1  /.2  /  6 D 2  3  4 D 0 ) 1 D 4; 2 D 1 ! ! ! ! 0 d11 3 2 d11 D ) d1 D 3 Eigenvektoren: 0 d12 3 2 2 d11 ! ! ! ! 2 2 d21 0 d21 D ) d2 D 3 3 0 d22 d21

Lösungen

385

Allgemeine Lösung des homogenen Systems: ! 1 x x x yH .x/ D d1 4 C d2 .1/ D d11 3 4 C d21 2

! 1 .1/x 1

Störgliedansatz für eine inhomogene Lösung: ! ! z10 C z11 x z10 C z11 .x C 1/ ) yI .x C 1/ D yI .x/ D z20 C z21 x z20 C z21 .x C 1/ Differenzengleichungssystem für yI .x/: ! 1 z10 C z11 .x C 1/ D yI .x C 1/ D z20 C z21 .x C 1/ 3

! ! ! 2 z10 C z11 x 1 C z20 C z21 x 2 3x ! z10 C 2z20 C .z11 C 2z21 /x C 1 D 3z10 C 2z20 C .3z11 C 2z21 /x  3x

Koeffizientenvergleich: 9 x 0 W z10 C z11 D z10 C 2z20 C 1 > > > = z20 C z21 D 3z10 C 2z20 z10 D z20 D z21 D 0; z11 D 1 > x 1 W z11 D z11 C 2z21 > > ; z21 D 3z11 C 2z21  3 Spezielle Lösung des inhomogenen Systems: ! ! x xC1 bzw. yI .x C 1/ D yI .x/ D 0 0 Allgemeine Lösung des inhomogenen Systems: ! ! ! 1 x 1 x .1/x C y.x/ D d11 3 4 C d21 1 0 2 ! ! 6 d11 C d21 ) d11 D 2:4; d21 D 3:6 b) y.0/ D D 3 d  d21 0 2 11 ! ! ! 3:6 x 2:4 x x .1/ C ) y.x/ D 4 C 3:6 0 3:6 c)

x y1 .x/ y2 .x/

0 6 0

1 7 18

2 44 54

3 153 234

Obwohl man wegen der Terme 4x und .1/x für kleine x nahe bei 0 von einer Schwingung ausgehen kann, erweisen sich beide Funktionen y1 und y2 für x  1 als streng monoton wachsend.

386

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Lösung 24.6 a) Differentialgleichungssystem: y10 .x/ D 4y1 .x/ C y2 .x/ y20 .x/ D 2y1 .x/ C y2 .x/  2e x ! ! 4 1 0 )AD b.x/ D 2 1 2e x Eigenwerte von A W .4  /.1  / C 2 D 2  5 C 6 D 0 ) 1 D 3; 2 D 2 ! ! ! ! 0 d11 d11 1 1 D ) d1 D Eigenvektoren: 0 d12 d11 2 2 ! ! ! ! 0 2 1 d21 d21 D ) d2 D 0 d22 2d21 2 1 Allgemeine Lösung des homogenen Systems: ! ! 1 1 3x 2x 3x e C d21 e 2x yH .x/ D d1 e C d2 e D d11 1 2 Störgliedansatz für eine inhomogene Lösung: ! z11 e x D yI0 .x/ yI .x/ D z12 e x Differentialgleichungssystem für yI .x/: ! ! ! ! ! z11 e x 4 1 z11 e x 0 .4z11 C z12 /e x D C D 2 1 2e x z12 e x z12 e x .2z11 C z12 /e x  2e x Koeffizientenvergleich: ex W

z11 D 4z11 C z12 z12 D 2z11 C z12  2

μ z11 D 1; z12 D 3

Spezielle Lösung des inhomogenen Systems: ! 1 x e yI .x/ D 3 Allgemeine Lösung des inhomogenen Systems: ! ! ! 1 1 1 x 3x 2x e C d21 e C e y.x/ D yH .x/ C yI .x/ D d11 1 2 3 μ b) y1 .0/ D d11 C d21  1 D 0 d11 D 1; d21 D 2 y2 .0/ D d11  2d21 C 3 D 0 ! ! ! 2 1 x 1 3x 2x e C e ) y.x/ D e C 4 3 1

Lösungen

387

c) y1 .x/ D .1/e 3x C 2e 2x  e x y10 .x/ D 3e 3x C 4e 2x  e x D .3e 2x C 4e x  1/e x  0 () .3e 2x C 4e x  1/  0 () 3z 2 C 4z  1  0 für z D e x   p 3z 2  4z C 1 D 0 () z D 16 4 ˙ 16  12 ) z1 D 1; z2 D Wegen

1 3

) e x1 D 1 bzw. x1 D 0,

y10 .1/ D 3e 3C 4e 2 e 1 > 0

e x2 D

1 3

bzw. x2 1:1

wächst y1 nur für x 2 Œ1:1; 0, also nicht in RC .

y2 .x/ D e 3x  4e 2x C 3e x y20 .x/ D 3e 3x  8e 2x C 3e x D .3e 2x  8e x C 3/e x  0 () .3e 2x  8e x C 3/  0 () 3z 2  8z C 3  0 für z D e x   p 3z 2  8z C 3 D 0 () z D 16 8 ˙ 64  36 ) z1 2:22; z2 0:45 ) e x1 2:22 bzw. x1 0:8, e x2 0:45 bzw. x2 0:8 Wegen y20 .0/ D 3  8 C 3 < 0 wächst y2 für x1  0:8 bzw. x2  0:8.

Lösung 24.7 Setzen wir in der Differenzengleichung y1 .x/ D y.x/; y2 .x/ D y1 .x C 1/ D y.x C 1/; y2 .x C 1/ D y.x C 2/; so ergibt sich y1 .x C 1/

D y2 .x/;

y2 .x C 1/

D y.x C 2/ D a1 y.x C 1/  a0 y.x/ C b.x/ D a1 y2 .x/  a0 y1 .x/ C b.x/;

also mit

! y1 .x C 1/ 0 D y2 .x C 1/ a0

1 a1

!

! ! y1 .x/ 0 C y2 .x/ b.x/

die Behauptung.

! y1 .x/ entspricht der Lösung y.x/ der urDie erste Komponente y1 .x/ der Lösung y.x/ D y2 .x/ sprünglichen Differenzengleichung. Die zweite Komponente y2 .x/ ist identisch mit y.x C 1/. Im Fall einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ersetzt man lediglich y.x C 1/ durch y 0 .x/ sowie y.x C 2/ durch y 00 .x/. Der Beweis erfolgt in identischer Weise.

388

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Lösung 24.8 Gegeben ist das folgende lineare System von Differentialgleichungen erster Ordnung: y10 .x/ D a11 y1 .x/ C a12 y2 .x/ C b1 .x/

.1/

y20 .x/ D a21 y1 .x/ C a22 y2 .x/ C b2 .x/

.2/

mit a12 ¤ 0. Dann folgt aus (1): y2 .x/ D y20 .x/

D

1 0 a12 .y1 .x/  a11 y1 .x/  b1 .x// 1 .y100 .x/  a11 y10 .x/  b10 .x// a12

.3/ .4/

Dann gilt mit (2)D(4): y100 .x/  a11 y10 .x/  b10 .x/ D a12 .a21 y1 .x/ C a22 y2 .x/ C b2 .x// D a12 .a21 y1 .x/ C )

y100 .x/



y10 .x/.a11

a22 0 a12 .y1 .x/

 a11 y1 .x/  b1 .x// C b2 .x//

C a22 /  y1 .x/.a12 a21  a11 a22 / D a22 b1 .x/ C a12 b2 .x/ C b10 .x/

Wir erhalten die Differentialgleichung: y 00 .x/ C c1 y 0 .x/ C c0 y.x/ D d.x/ mit y.x/ D y1 .x/ sowie c1 D a11  a22 ; c0 D a11 a22  a12 a21 ; d.x/ D a22 b1 .x/ C a12 b2 .x/ C b10 .x/ Setzt man y1 .x/ sowie y10 .x/ in .3/ ein, so ergibt sich y2 .x/. Im Fall eines linearen Systems von zwei Differenzengleichungen erster Ordnung ersetzt man lediglich y10 .x/; y20 .x/ durch y1 .x C 1/; y2 .x C 1/. Der Beweis erfolgt in identischer Weise. Wir verweisen darauf, dass die Voraussetzung a12 ¤ 0 oder a21 ¤ 0 essentiell für die Beweisführung ist. Andernfalls gilt a12 D a21 D 0 und man erhält mit y1 .x C 1/ D a11 y1 .x/ C b1 .x/ y2 .x C 1/ D a22 y2 .x/ C b2 .x/

bzw.

y10 .x/ D a11 y1 .x/ C b1 .x/ y20 .x/ D a22 y2 .x/ C b2 .x/

zwei Differenzen- bzw. Differentialgleichungen erster Ordnung, die unabhängig voneinander gelöst werden können.

Lösung 24.9 a) Differentialgleichungssystem: y10 .t/ D 0:6y1 .t/ C 0:2y2 .t/ .1/ y20 .t/ D 0:8y2 .t/ .2/ ! 0:6 0:2 )AD , Eigenwerte: .0:6  /.0:8  /  0 D 0 ) 1 D 0:6; 2 D 0:8 0 0:8 ! ! ! ! 0 d11 0 0:2 d11 D ) d1 D Eigenvektoren: 0 d12 0 0 0:8 ! ! ! ! 0:2 0:2 d21 0 d21 D ) d2 D 0 0 0 d22 d21

Lösungen

389

Allgemeine Lösung des homogenen Systems: ! ! 1 0:6t 1 0:8t 0:6t 0:8t e e C d2 e D d11 C d21 y.t/ D d1 e 0 1 Spezielle Lösung des homogenen Systems: y1 .0/ D d11 C d21 D 250 ) d11 D 50 y2 .0/ D d21 D 200 ) y1 .t/ D 50e 0:6t C 200e 0:8t y2 .t/ D 200e 0:8t b) y2 .t/ D

1 .y 0 .t/ 0:2 1

y20 .t/ D .2/ D

 0:6y1 .t//

1 .y 00 .t/  0:6y10 .t// 0:2 1 .4/ W y100 .t/  0:6y10 .t/ D

.3/ .4/ 0:2  0:8y2 .t/ D 0:8.y10 .t/  0:6y1 .t//

) y100 .t/  1:4y10 .t/ C 0:48y1 .t/ D 0 .5/ Charakteristische Gleichung: 2  1:4 C 0:48 D .  0:8/.  0:6/ D 0 ) 1 D 0:8; 2 D 0:6 Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: y1 .t/ D c1 e 0:8t C c2 e 0:6t sowie y10 .t/ D c1 0:8e 0:8t C c2 0:6e 0:6t c) Aus (3) folgt: y2 .t/

D D



1 0:8t C c2 0:6e 0:6t 0:2 c1 0:8e 1 0:8t / D c1 e 0:8t 0:2 .c1 0:2e



 0:6.c1 e 0:8t C c2 e 0:6t /

! ! ! 1 0:8t 1 0:6t y1 .t/ e e D c1 ) C c2 y2 .t/ 1 0 Die Differentialgleichung (5) liefert nur die allgemeine Lösung der Funktion y1 .t/. Um y2 .t/ zu erhalten, nutzt man y1 .t/ sowie y10! .t/ und setzt beide Terme in (3) ein. Damit y1 .x/ . erhält man genau die Lösung y.x/ D y2 .x/

Lösung 24.10 a) Differenzengleichung: y.x C 2/  y.x C 1/ C y.x/ D 0 Charakteristische Gleichng: p p 2   C 1 D 0 )  D 12 .1 ˙ 1  4/ D 12 ˙ 2i 3 Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: p p y.x/ D c1 . 12 C 2i 3/x C c2 . 21  2i 3/x

390

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Moivre-Formeln:ˇ ˇ p x ˇ1 p ˇx 1 i i ˇ . 2 ˙ 2 3/ D ˇ 2 ˙ 2 3ˇˇ .cos x˛ ˙ i sin x˛/ ˇ ˇ ˇ1 p ˇ q1 p i ˇ Aus ˇ 2 ˙ 2 3ˇˇ D 4 C 34 D 1, cos ˛ D 12 ; sin ˛ D 12 3 ) ˛ D p ˙ i sin x / . 12 ˙ 2i 3/x D 1  .cos x 3 3

 3

; y2 .x/ D sin x Spezielle Lösungen sind y1 .x/ D cos x 3 3 ! ! 1 0 y1 .0/ y2 .0/ p und det W D D 1 mit der Wronskimatrix W D 3 y1 .1/ y2 .1/ 2 2

folgt:

p

3 2

Daraus ergibt sich die allgemeine Lösung x y.x/ D c1 y1 .x/ C c2 y2 .x/ D c1 cos x 3 C c2 sin 3 . Spezielle Lösung der homogenen Gleichung: y.0/ D c1 C 0 D 0 ) c1 D 0 p p y.1/ D 12 c1 C 23 c2 D 3 ) c2 D 2 ) y.x/ D 2 sin x 3 b) Setzen wir in der Differenzengleichung y1 .x/ D y.x/; y2 .x/ D y1 .x C 1/ D y.x C 1/; so ergibt sich y2 .x/ y1 .x C 1/ D y.x C 1/ D y2 .x C 1/ D y.x C 2/ D y1 .x/ C y2 .x/

! 0 1 bzw. y.x C 1/ D Ay.x/ mit A D ; 1 1 Eigenwerte von A: .0  /.1  / C 1 D 2   C 1 D 0 )  D

y2 .x C 1/ D y.x C 2/,

! y1 .x/ . y.x/ D y2 .x/ 1 2

˙

i 2

p 3

Allgemeine Lösung des homogenen Systems: p p y.x/ D z1 .x/ C z2 .x/ D . 12 C 2i 3/x d1 C . 12  2i 3/x d2 Eigenvektoren: p  12  2i 3 1 p  12 C 2i 3 1

! 0 p D ) d1 D d11 1 0  2i 3 2 ! ! ! 1 0 d21 p D ) d2 D d21 1 0 C 2i 3 d22 2 1

!

d11 d12

d 1 ; d 2 2 R2

!

Aus den Moivre-Formeln folgt wie in a): p ˙ i sin x . 12 ˙ 2i 3/x D cos x 3 3

1 1 2

C

i 2

1 1 2



i 2

! p 3 p 3

!

¤ 0.

Lösungen

391

und damit z1 .x/ D .cos

x 3

C i sin

!

1

x 3 /

1 2

C

i 2

! z11 .x/ D 1 D z12 .x/ . 2 cos x 3 

p d11 3 p

3 2

!

x cos x 3 C i sin 3

sin x 3 / C i. !

p 3 2

cos x 3 C

1 z2 .x/ D .cos x  i sin x / 1 i p d21 3 3 2 3 2 ! x cos x z21 .x/ 3  i sin p p 3 D 1 D 3 3 x x z22 .x/ . 2 cos x 3  2 sin 3 /  i. 2 cos 3 C Spezielle Lösungen: y1 .x/ D

1 2

cos x 3 p

cos x  3

3 2

! sin x 3

,

y2 .x/ D

p

3 2

1 2

! 1 2

sin x 3 /

d21

!

sin x 3 cos x C 3

d11

sin x 3 /

1 2

sin x 3

Damit erhält die allgemeine Lösung des homogenen Systems folgende Form: ! ! x cos x sin 3 3 p C c2 p3 y.x/ D c1 y1 .x/ C c2 y2 .x/ D c1 1 cos x  23 sin x cos x C 12 sin x 2 3 3 2 3 3 ! ! ! 0 1 0 y.0/ D c1 1 C c2 p3 D p 3 2 2 ) c1 D 0; c2 D 2 ) y.x/ D 2

!

x 3 p 3 x  3 2

sin

1 2

cos

sin x 3

c) Allgemeine Lösung der Differenzengleichung: y.x/

x D c1 cos x 3 C c2 sin 3

y.x C 1/ D c1 cos. x 3 C D c1 .cos

 3/ x cos 3 3

 D c1 .cos x 3

1 2

C c2 sin. x 3 C

 3/

 sin x sin 3 / C c2 .sin x  cos 3 C cos x  sin 3 / 3 3 3

 sin x  3

p

3 / 2

C c2 .sin x  3

1 2

C cos x  3

p

3 / 2

Damit gilt:

! ! y.x/ y1 .x/ D y.x/ D y2 .x/ y.x C 1/

Geht man von der Lösung des Differenzengleichungssystems aus, so entspricht die erste Komponente y1 .x/ der Lösung der Differenzengleichung zweiter Ordnung.

392

24 Differenzen- und Differentialgleichungssysteme erster Ordnung

Lösung 24.11 a) System von Differentialgleichungen erster Ordnung: y10 .x/ D y2 .x/ C x 2

.1/

y20 .x/ D y1 .x/ C e 2x

.2/

Aus (1): y2 .x/ D y10 .x/  x 2

.3/

) y20 .x/ D y100 .x/  2x D y1 .x/ C e 2x )

y100 .x/

C y1 .x/ D 2x C e

2x

aus (2)

(4)

Charakteristische Gleichung: 2 C 1 D 0 )  D ˙i Allgemeine Lösung des homogenen Systems: yH .x/ D c1 e ix C c2 e ix Euler-Formel: e .a˙bi /x D e ax .cos bx ˙ i sin bx/ bzw. e ˙ix D 1.cos x ˙ i sin x/ für a D 0; b D 1 Daraus folgt: yH .x/ D c1 cos x C c2 sin x Störgliedansatz: yI .x/ D z0 C yI0 .x/ D yI00 .x/ D

z1 x

C z2 e 2x

z1

C 2z2 e 2x 4z2 e 2x

) yI00 .x/ C yI .x/ D z0 C z1 x C z2 e 2x C 4z2 e 2x D 2x C e 2x Koeffizientenvergleich: 9 x 0 W z0 D 0 > = ) yI .x/ D 2x C 0:2e 2x x 1 W z1 D 2 > ; 2x e W 5z2 D 1 Allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: y.x/ D yH .x/ C yI .x/ D c1 cos x C c2 sin x C 2x C 0:2e 2x b) y.0/ D c1 C 0 C 0 C 0:2 D 1:2 ) c1 D 1 y 0 .0/ D 0 C c2  1 C 2 C 0:4 D 1:4 ) c2 D 1 ) y.x/ D cos x  sin x C 2x C 0:2e 2x

Lösungen

393

c) Die Lösung y.x/ entspricht der Funktion y1 .x/ im ursprünglichen System der Differentialgleichungen. Aus (3): y2 .x/ D y10 .x/  x 2 D c1 sin x C c2 cos x C 2 C 0:4e 2x  x 2 Allgemeine Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems: ! ! c1 cos x C c2 sin x C 2x C 0:2e 2x y1 .x/ D y.x/ D y2 .x/ c1 sin x C c2 cos x C 2  x 2 C 0:4e 2x d) Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung zweiter Ordnung: y.0/ D 0:2; y 0 .0/ D 1:4 Dann gilt: y1 .x/ D y.x/ ) y1 .0/ D 1:2 y2 .x/ D y10 .x/  x 2 ) y2 .0/ D 1:4 Spezielle Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems: ! ! 1:2 c1 C 0 C 0 C 0:2 D ) c1 D 1; c2 D 1 y.0/ D 0 C c2 C 2 C 0:4 1:4 ! cos x  sin x C 2x C 0:2e 2x ) y.x/ D  sin x  cos x C 2  x 2 C 0:4e 2x

Symbolverzeichnis Symbol

Bedeutung

a C b; a  b a a  b; .a=b; a W b/ b N

Summe bzw. Differenz zweier Zahlen a; b Produkt bzw. Quotient zweier Zahlen a; b

N0

Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0

Z

Menge der ganzen Zahlen

Q

Menge der rationalen Zahlen

R

Menge der reellen Zahlen

e D 2:71828 : : :

Eulersche Zahl

 D 3:14159 : : :

Kreiszahl

ab

a kleiner oder gleich b

ab

a größer oder gleich b

jaj; : : : ; jxj; : : :

Betrag einer reellen Zahl oder Variablen

max¹a; b; : : :º

größte der Zahlen a; b; : : :

min¹a; b; : : :º

kleinste der Zahlen a; b; : : :

an

n-te Potenz von a mit a 2 R als Basis, n 2 R als Exponent

1

an D

p n a

Menge der natürlichen Zahlen

n-te Wurzel von a mit a 2 R als Radikand, n 2 N als Wurzelexponent

396

Symbolverzeichnis

Symbol

Bedeutung

loga b

Logarithmus der Zahl b > 0 zur Basis a > 0

loge b D ln b

natürlicher Logarithmus von b > 0

log10 b D lg b

dekadischer Logarithmus von b > 0

n P i Dk n Q

ai

Summe der Zahlen ak ; akC1 ; : : : ; an

ai

Produkt der Zahlen ak ; akC1 ; : : : ; an

i Dk

nŠ D 1  2  : : :  n ! n nŠ D kŠ .n  k/Š k

n-Fakultät Binomialkoeffizient n über k

a; b; : : : ; x; y

reelle Zahlen oder Variablen

Œa; b

abgeschlossenes Intervall zwischen a und b

ha; bi

offenes Intervall zwischen a und b

Œa; bi; ha; b

halboffene Intervalle zwischen a und b

sin ˛

Sinus des Winkels ˛

cos ˛

Kosinus des Winkels ˛

tan ˛

Tangens des Winkels ˛

cot ˛

Kotangens des Winkels ˛

C

Menge der komplexen Zahlen

z D a C ib

komplexe Zahl mit Realteil a und Imaginärteil b

z D a C i b, z D a  ib

konjugiert komplexe Zahlen

A; B; : : :

Aussagen

w, f

Wahrheitsgehalt von Aussagen: w entspricht wahr, f entspricht falsch

Symbolverzeichnis

397

Symbol

Bedeutung

A; B; : : :

Negation von Aussagen: nicht A, nicht B; : : :

A^B

Konjunktion von Aussagen: A und B

A_B

Disjunktion von Aussagen: A oder B

A ) B

Implikation von Aussagen: Wenn A, dann B

A () B 9 V = A.x/

Äquivalenz von Aussagen: A gleichwertig zu B

x

Aussage A.x/ für alle x

x

Aussage A.x/ für mindestens ein x

8x W A.x/ ; 9 W = A.x/ 9x W A.x/ ; A; B; : : :

Mengen

a2A

a ist Element der Menge A, a aus A

a 62 A

a ist nicht Element der Menge A, a nicht aus A

RC

Menge der nichtnegativen reellen Zahlen

R

Menge der nichtpositiven reellen Zahlen

ADB

Mengengleichheit: A ist gleich B

A 6D B

Mengenungleichheit: A ist ungleich B

A B

A ist Teilmenge von B oder beide Mengen sind gleich

AB

A ist echte Teilmenge von B

A 6 B

A ist nicht Teilmenge von B

jAj

Anzahl der Elemente der Menge A

;

leere Menge, enthält kein Element

P.A/

Potenzmenge: Menge aller Teilmengen von A

A\B

Schnittmenge, Durchschnitt, enthält alle Elemente von A und B

398

Symbolverzeichnis

Symbol

Bedeutung

A[B

Vereinigungsmenge, Vereinigung enthält alle Elemente von A oder B

T

Ax

Durchschnitt der Mengen Ax für alle x

Ax

Vereinigung der Mengen Ax für alle x

x

S x

B nA

Differenzmenge, enthält alle Elemente von B ohne A

AB

Komplementärmenge, enthält alle Elemente von B ohne A, wobei A Teilmenge von B ist

AB

kartesisches Mengenprodukt, alle Elementpaare mit a aus A und b aus B

.a; b/ 2 A  B

geordnetes Elementpaar mit a 2 A, b 2 B

n

X Ai

i Dk n

kartesisches Produkt der Mengen Ai für alle i D k; : : : ; n

R

Menge aller n-Tupel .a1 ; : : : ; an / reeller Zahlen, alle n-dimensionalen reellen Vektoren

R; S  A  B

binäre Relationen von A in B

R1

inverse Relation, Umkehrrelation

S ıR

zusammengesetzte Relation, Komposition

f W A!B

Abbildung oder Funktion f von A in B mit A als Definitionsbereich, B als Wertebereich und f .A/ als Bildbereich von f

y D f .x/

Funktionsgleichung: x ist Urbild, y ist Bild bzgl. f

gıf

zusammengesetzte Abbildung oder Funktion, Komposition

f 1

inverse Abbildung oder Funktion, Umkehrabbildung

max¹f .x/ W x 2 Dº D f .xmax /

Maximum der Funktion für alle x aus D

Symbolverzeichnis

399

Symbol

Bedeutung

min¹f .x/ W x 2 Dº D f .xmin /

Minimum der Funktion für alle x aus D

Gr.p/

Grad des Polynoms p

f .x/ D x a mit x > 0 reell a reell

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion

f .x/ D ax mit a > 0 x reell

Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion zur Basis a

f .x/ D loga x mit a > 1 x > 0 reell

Funktionsgleichung einer Logarithmusfunktion zur Basis a

f .x/ D sin x; cos x; tan x; cot x x reell

Funktionsgleichungen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens

.an /

Folge der reellen Zahlen a0 ; a1 ; a2 ; a3 ; : : :

lim an D a

n! 1

9 =

an ! a .n ! 1/ ;

Grenzwert der Folge .an / für n gegen 1 ist gleich a oder Folge .an / strebt gegen a

lim f .x/ D f .x0 /

Grenzwert der Funktion f für x ! x0

lim f .x/ D f .x0 /

Grenzwert von f von oben gegen f .x0 /

lim f .x/ D f .x0 /

Grenzwert von f von unten gegen f .x0 /

x! x0 x& x0 x% x0

 x D .x C  x/  x

Differenz der Variablen x

 f .x/ D f .x C  x/  f .x/

Differenz der Funktionswerte bei Übergang von x zu x C  x

f .x/ x

Differenzenquotient von f in x

f 0 .x/ D lim

 x!0

f .x/ x

Differentialquotient von f in x Steigung von f in x erste Ableitung von f in x

400

Symbolverzeichnis

Symbol

Bedeutung

f 00 .x/

zweite Ableitung von f in x erste Ableitung von f 0 in x

f .n/ .x/ R f .x/ dx D F .x/ C c

n-te Ableitung von f in x

Rb

f .x/ dx D F .b/  F .a/

a

0



a11 B A D @ :::

AT

0

1

bestimmtes Integral von f im Intervall zwischen a und b

1 a1n :: C D a  ij mn : A

   amn

am1

Stammfunktion F von f , unbestimmtes Integral

0

1

Matrix mit m Zeilen und n Spalten, mn-Matrix mit mn (reellen) Zahlen

transponierte Matrix von A

x a B 1C B 1C B :: C B :: C a D B : C; x D B : C @ A @ A an xn

n-dimensionale Spaltenvektoren,

aT D .a1 ; : : : ; an /, xT D .x1 ; : : : ; xn /

n-dimensionale Zeilenvektoren, 1  n-Matrizen

ADB

Matrix A ist gleich Matrix B

A 6D B

Matrix A ist ungleich Matrix B

A