Matemáticas Conceptuales: Una primera introduccíon a categorías [2 ed.]

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Matemáticas Conceptuales Una primera introducci´on a categor´ıas

Segunda Edici´on F. William Lawvere Stephen H. Schanuel

Traducci´on: Francisco Marmolejo

Matem´aticas Conceptuales Una primera introducci´on a categor´ıas

Segunda Edici´on

F. William Lawvere Stephen H. Schanuel

Traducci´on: Francisco Marmolejo.

A F´atima

Contenido Prefacio

ix

Palabras de Bienvenida

xi

Agradecimientos

xiii

Organizaci´ on del libro Sesi´on 1. Galileo y la multiplicaci´on de objetos . . 1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Galileo y el vuelo de un ave . . . . . . . . . 3 Otros ejemplos de multiplicaci´on de objetos

xiv 1 1 1 4

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Parte I: La categor´ıa de conjuntos Art´ıculo I. Conjuntos, morfismos y composici´ on 1 Gu´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sesi´on 2. Conjuntos, morfismos y composici´on . . . . . . . . . . . . 1 Repaso del art´ıculo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Un ejemplo de reglas diferentes para un morfismo . . . . . . 3 Diagramas externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Problemas acerca del n´ umero de morfismos de un conjunto a Sesi´on 3. Componer y contar morfismos . . . . . . . . . . . . . . .

9

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11 19 21 21 26 27 28 30

Parte II: El ´ algebra de la composici´ on

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Art´ıculo II. Isomorfismos 1 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Problemas generales de la divisi´on: determinaci´on y elecci´on 3 Retracciones, secciones, idempotentes . . . . . . . . . . . . . 4 Isomorfismos y automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Gu´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sesi´on 4. Divisi´on de morfismos; isomorfismos . . . . . . . . . . . . 1 Divisi´on de morfismos contra divisi´on de n´ umeros . . . . . . 2 Inversos contra rec´ıprocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 39 44 48 53 57 59 59 60

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3 Isomorfismos como “divisores” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Un peque˜ no zool´ogico de isomorfismos en otras categor´ıas . . . . . Sesi´on 5. Divisi´on de morfismos: secciones y retracciones . . . . . . . . . 1 Problemas de determinaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Un caso especial: los morfismos constantes . . . . . . . . . . . . . 3 Problemas de elecci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Dos casos especiales de divisi´on: secciones y retracciones . . . . . 5 Apilar o clasificar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Apilar en un restaurante chino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sesi´on 6. Dos aspectos generales del uso de morfismos . . . . . . . . . . . 1 Clasificaci´on del dominio mediante una propiedad . . . . . . . . . 2 Nombrar o parametrizar el codominio; figuras . . . . . . . . . . . 3 Explicaci´on filos´ofica de los dos aspectos . . . . . . . . . . . . . . Sesi´on 7. Isomorfismos y coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Un uso de los isomorfismos: sistemas de coordenadas . . . . . . . 2 Dos abusos de los isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sesi´on 8. Dibujos de un morfismo que hacen evidentes sus caracter´ısticas Sesi´on 9. Retractos e idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Retractos y comparaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Idempotentes como registros de retractos . . . . . . . . . . . . . . 3 Un acertijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Tres clases de problemas de retracci´on . . . . . . . . . . . . . . . 5 Comparaci´on de conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C´omo resolver las preguntas del cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Problema 2(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Composici´on de morfismos opuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cuestionario de pares de morfismos “opuestos” . . . . . . . . . . . . . . Resumen: sobre la ecuaci´on p◦j =1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Revisi´on de las “palabras con i” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Examen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sesi´on 10: Los teoremas de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Bolas, esferas, puntos fijos y retracciones . . . . . . . . . . . . . . 2 Digresi´on sobre la regla contrapositiva . . . . . . . . . . . . . . . 3 La demostraci´on de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Relaci´on entre puntos fijos y teoremas de retracci´on . . . . . . . . 5 C´omo entender una demostraci´on: la objetivizaci´on y “morfizaci´on” de conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 El ojo de la tormenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parte III: Categor´ıas de conjuntos estructurados

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62 64 68 68 70 70 71 73 76 80 80 81 83 86 86 89 91 98 98 99 101 102 105 106 107 107 110 112 114 115 116 117 118 118 122 122 123

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Art´ıculo III: Ejemplos de categor´ıas 133 1 La categor´ıa de endomorfismos de conjuntos . . . . . . . . . . . . . 133 2 Aplicaciones t´ıpicas de endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3 Dos subcategor´ıas de endomorfiismos . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4 Categor´ıas de endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5 Gr´aficas irreflexivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6 Endomorfismos como gr´aficas especiales . . . . . . . . . . . . . . . 140 7 La categor´ıa m´as sencilla S ↓ : los objetos son simplemente morfismos de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8 Gr´aficas reflexivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 9 Resumen de los ejemplos y su relevancia en general . . . . . . . . . 143 10 Retracciones e inyectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 11 Tipos de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 12 Gu´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Sesi´on 11: Ascender a categor´ıas con estructuras m´as ricas . . . . . . . . . 150 1 Una categor´ıa con estructuras m´as ricas: endomorfismos de conjuntos150 2 Dos subcategor´ıas: idempotentes y automorfismos . . . . . . . . . . 153 3 La categor´ıa de gr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Sesi´on 12: Categor´ıas de diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 1 Sistemas din´amicos o aut´omatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 ´ 2 Arboles geneal´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3 Otra visita a sistemas din´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Sesi´on 13: Monoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Sesi´on 14: Los morfismos preservan propiedades positivas . . . . . . . . . . 168 1 Propiedades positivas contra propiedades negativas . . . . . . . . . 171 Sesi´on 15: Objetivizaci´on de propiedades en sistemas din´amicos . . . . . . 173 1 Morfismos que preservan la estructura de un ciclo a otro endomorfismo173 2 Nombrar los elementos que tienen un periodo dado mediante morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 3 Nombrar elementos arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4 El papel filos´ofico de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Sesi´on 16: Idempotentes, involuciones, gr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . 185 1 Soluci´on a ejercicios de idempotentes e involuciones . . . . . . . . . 185 2 Resolver ejercicios de morfismos de gr´aficas . . . . . . . . . . . . . . 187 Sesi´on 17: Algunas gr´aficas u ´tiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 1 Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 2 Gr´aficas como formas de diagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3 Diagramas conmutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 4 ¿Un diagrama es un morfismo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Examen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Sesi´on 18: Revisi´on del examen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Parte IV: Propiedades universales elementales de morfismo

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Art´ıculo IV. Propiedades universales de morfismo 209 1 Objetos terminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 2 Separar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 3 Objeto inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 4 Productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5 Leyes conmutativa, asociativa e identidad para la multiplicaci´on de objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 6 Sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7 Leyes distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8 Gu´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Sesi´on 19: Objetos terminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Sesi´on 20: Puntos de un objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Sesi´on 21: Productos en categor´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Sesi´on 22: Propiedades universales de morfismo . . . . . . . . . . . . . . . 241 1 Una propiedad especial de la categor´ıa de conjuntos . . . . . . . . . 241 2 Una propiedad similar en la categor´ıa de endomorfismos de conjuntos242 3 Relaciones de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 4 Tipos de figuras b´asicos, figuras singulares e incidencia en la categor´ıa de gr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Sesi´on 23: M´as sobre propiedades universales de morfismo . . . . . . . . . 250 1 Una categor´ıa de pares de morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 2 C´omo calcular productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Sesi´on 24: Unicidad del producto y definici´on de suma . . . . . . . . . . . 257 1 El objeto terminal como la identidad para la multiplicaci´on . . . . . 257 2 El teorema de unicidad para productos . . . . . . . . . . . . . . . . 259 3 Suma de dos objetos en una categor´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Sesi´on 25: Etiquetados y productos de gr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . 264 1 Detectar la estructura de una gr´afica mediante etiquetados . . . . . 265 2 Calcular las gr´aficas F × Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 3 La ley distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Sesi´on 26: Categor´ıas distributivas y categor´ıas lineales . . . . . . . . . . . 271 1 El morfismo can´onico A × B1 + A × B2 → A × (B1 + B2 ) . . . . . . 271 2 Multiplicaci´on de matrices en categor´ıas lineales . . . . . . . . . . . 274 3 Sumas de morfismos en una categor´ıa lineal . . . . . . . . . . . . . 275 4 La ley asociativa para sumas y productos . . . . . . . . . . . . . . . 276 Sesi´on 27: Ejemplos de construcciones universales . . . . . . . . . . . . . . 279 1 Construcciones universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 2 ¿Pueden los objetos tener negativos? . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 3 Objetos idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 4 Resolver ecuaciones y dibujar morfismos . . . . . . . . . . . . . . . 287 Sesi´on 28: La categor´ıa de conjuntos punteados . . . . . . . . . . . . . . . 289 1 Un ejemplo de una categor´ıa no distributiva . . . . . . . . . . . . . 289 Examen 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Examen 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Examen 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sesi´on 29: Operaciones binarias y argumentos diagonales 1 Operaciones binarias y acciones . . . . . . . . . . 2 El argumento diagonal de Cantor . . . . . . . . .

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Parte V

294 295 296 296 297 305

Art´ıculo V: Objetos de Morfismos 307 1 Definici´on de objeto de morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 2 Distributividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 3 Objetos de morfismos y el argumento diagonal . . . . . . . . . . . . 311 4 Propiedades universales y “observables” . . . . . . . . . . . . . . . 311 5 Gu´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Sesi´on 30: Exponenciaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 1 Objetos de morfismos o espacios de funciones . . . . . . . . . . . . 315 2 Un ejemplo fundamental de la transformaci´on de objetos de morfismos318 3 Leyes de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 4 La ley distributiva en categor´ıas cartesianamente cerradas . . . . . 322 Sesi´on 31: Objeto de morfismos contra producto . . . . . . . . . . . . . . . 324 1 Definici´on de objeto de morfismos contra definici´on de producto . . 325 2 Calcular los objetos de morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Art´ıculo VI: El funtor partes contravariante 1 Condiciones estables y partes . . . . . . 2 Im´agenes inversas y verdad . . . . . . . Sesi´on 32: Subobjetos, l´ogica y verdad . . . . . 1 Subobjetos . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 El objeto valores de verdad . . . . . . . Sesi´on 33: Partes de un objeto: toposes . . . . . 1 Partes e inclusiones . . . . . . . . . . . . 2 Topos y l´ogica . . . . . . . . . . . . . . .

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Art´ıculo VII: El funtor componentes conexas 1 Conexo contra discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 El funtor puntos, paralelo al funtor componentes . . . . . . . . 3 El topos de acciones derechas de un monoide . . . . . . . . . . Sesi´on 34: Teor´ıa de grupos y el n´ umero de tipos de objetos conexos . Sesi´on 35: Constantes, objetos codiscretos y muchos objetos conexos 1 Las constantes y los objetos codiscretos . . . . . . . . . . . . . 2 Monoides con al menos dos constantes . . . . . . . . . . . . .

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331 331 332 335 335 338 340 344 344 348

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355 . 355 . 357 . 357 . 360 . 364 . 364 . 365

Ap´ endices: Hacia estudios posteriores Ap´endice I: La geometr´ıa de figuras y el ´algebra de funciones . 1 Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 La geometr´ıa de figuras y el ´algebra de funciones como en s´ı mismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ap´endice II: La descripci´on de funtores adjuntos . . . . . . . . Ap´endice III: El surgimiento de la teor´ıa de las categor´ıas . . . Ap´endice IV: Bibliograf´ıa anotada . . . . . . . . . . . . . . . .

366 . . . . . . . 367 . . . . . . . 367 categor´ıas . . . . . . . 368 . . . . . . . 371 . . . . . . . 377 . . . . . . . 380

Prefacio Desde su primera introducci´on hace ya m´as de 60 a˜ nos, el concepto de categor´ıa ha sido utilizado con frecuencia creciente en todas las ramas de las matem´aticas, en especial en estudios en los que la relaci´on entre diferentes ramas es importante. Las ideas categ´oricas surgieron originalmente del estudio de la relaci´on entre la geometr´ıa y el ´algebra; la simplicidad fundamental de estas ideas pronto hizo posible su m´as amplia aplicaci´on. Los conceptos categ´oricos est´an latentes en las matem´aticas elementales; hacerlos m´as expl´ıcitos nos ayuda a ir m´as all´a del a´lgebra elemental hacia ciencias matem´aticas m´as avanzadas. Antes de la aparici´on de la primera edici´on de este libro, su simplicidad era accesible solamente a trav´es de libros de texto de nivel de maestr´ıa porque los ejemplos disponibles involucraban temas tales como m´odulos y espacios topol´ogicos. Nuestra soluci´on a dicho dilema fue desarrollar desde lo m´as b´asico los conceptos de gr´afica dirigida y de sistema din´amico, que son estructuras matem´aticas de amplia importancia pero que son, sin embargo, accesibles para cualquier estudiante interesado de preparatoria. Conforme progresa el libro, las relaciones entre estas estructuras ejemplifican las ideas elementales de categor´ıas. De forma sorprendente, resulta que a´ un algunos aspectos detallados de gr´aficas y de sistemas din´amicos son compartidos por otras categor´ıas que son m´as continuas, e.g. aquellas cuyos morfismos est´an definidos mediante ecuaciones diferenciales. Muchos lectores de la primera edici´on han expresado su deseo de una indicaci´on m´as detallada de las ligas entre el material categ´orico y las aplicaciones m´as avanzadas. Esta segunda edici´on responde a esta petici´on al agregar dos art´ıculos nuevos y cuatro ap´endices. Un nuevo art´ıculo introduce la noci´on de componente conexa, la cual es fundamental para los brincos cualitativos que se estudian en teor´ıa elemental de gr´aficas y en topolog´ıa avanzada; la introducci´on de esta noci´on fuerza el reconocimiento del papel de los funtores. Los ap´endices usan ejemplos del texto para esbozar el papel de funtores adjuntos como gu´ıa para construcciones matem´aticas. A pesar de que estos condensados ap´endices no pueden sustituir un estudio m´as detallado de temas avanzados le permitir´an el estudiante, armado con lo aprendido del texto, acercarse a tal estudio con una mayor comprensi´on. Buffalo, 8 de Enero de 2009. F. William Lawvere Stephen H. Schanuel

palabras de bienvenida Todos comenzamos a coleccionar ideas matem´aticas en los primeros a˜ nos de la ni˜ nez, cuando descubrimos que nuestras manos son reflejo la una de la otra y, despu´es, cuando aprendemos que otros ni˜ nos tambi´en tienen abuelas —de manera que ´esta es una relaci´on abstracta que un ni˜ no puede tener con una persona mayor—; y, luego, cuando nos damos cuenta de que las relaciones “t´ıo” y “primo” son tambi´en de este tipo; cuando nos cansamos de perder en el juego de tres en l´ınea (o gato) y lo analizamos completamente para nunca m´as perder; cuando tratamos de descifrar por qu´e las cosas se ven m´as grandes conforme se van acercando o si el contar alguna vez termina. Conforme el lector avanza, este libro puede agregar algunos tesoros a la colecci´on pero ´este no es su objetivo. En lugar de esto, esperamos mostrar c´omo poner la gran bodega en orden y encontrar la herramienta adecuada en el momento en que se la necesita, de manera que las ideas y m´etodos nuevos que se coleccionan y desarrollan a lo largo de la vida puedan tambi´en encontrar sus lugares apropiados. Hay en estas p´aginas conceptos generales que trascienden las fronteras artificiales que dividen aritm´etica, l´ogica, a´lgebra, geometr´ıa, c´alculo, etc´etera. Habr´a poca discusi´on sobre c´omo llevar a cabo c´alculos especializados pero mucha sobre el an´alisis que sirve para decidir qu´e pasos es necesario hacer y en qu´e orden. Cualquiera que haya batallado con un problema genuino sin que se le haya ense˜ nado un m´etodo expl´ıcito sabe que ´esta es la parte m´as dif´ıcil. Este libro no podr´ıa haber sido escrito hace sesenta a˜ nos; el lenguaje preciso de conceptos que utiliza apenas estaba siendo desarrollado. Cierto, las ideas que estudiaremos han sido empleadas por miles de a˜ nos pero aparecieron primero solamente como analog´ıas apenas percibidas entre temas. Desde 1945, cuando la noci´on de “categor´ıa” fue formulada con precisi´on por primera vez, estas analog´ıas han sido afinadas y se han convertido en maneras expl´ıcitas de transformar un tema en otro. La buena fortuna de los autores les ha permitido vivir en estos tiempos interesantes y observar c´omo la visi´on fundamental de categor´ıas ha llevado a una comprensi´on m´as clara, y de all´ı a organizar de mejor manera y, a veces, dirigir el crecimiento del conocimiento matem´atico y sus aplicaciones. Este libro ha sido usado en clases de preparatoria y universidad, seminarios de posgrado y por profesionales en varios pa´ıses. La respuesta ha reforzado nuestra convicci´on de que personas de diversa formaci´on pueden dominar estas importantes ideas.

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agradecimientos

Mientras m´as “elemental” sea un libro, mayor es la dificultad de recrearlo en otro idioma. Nos sentimos muy afortunados de que nuestro colega Francisco Marmolejo, quien es un experto en el tema y comparte las metas del original, haya llevado a cabo tanto la traducci´on como la producci´on de los diagramas. Su excelente trabajo con la primera edici´on lo hizo la elecci´on natural para esta segunda edici´on. Nunca seremos capaces de agradecerle lo suficiente por su entusiasmo y generosidad; estamos llenos de alegr´ıa por el resultado y esperamos que el lector comparta nuestro aprecio. Queremos agradecerles a Ivonne Pallares, Iv´an Monroy, Ricardo Vald´es, Beatriz Stellino y al Profesor Mario Bunge quienes ayudaron con la primera edici´on en espa˜ nol, la cual fue publicada por siglo xxi. F´atima Fenaroli nos persuadi´o originalmente de que estas ideas deb´ıan convertirse en un libro. Ella fue el alma del proyecto, transformando visi´on en realidad, cuid´andolo a trav´es de todas las versiones en varios idiomas como si fuera su jard´ın. F. William Lawvere Stephen H. Schanuel

Junio de 2014

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Organización del libro Es necesario que el lector est´e al tanto de que este libro tiene dos clases muy diferentes de “cap´ıtulos”: los Art´ıculos y las Sesiones. Los Art´ıculos forman “la columna vertebral” del libro; ellos corresponden al material escrito que les fue dado a nuestros estudiantes la primera vez que impartimos el curso. Las horas de clase dieron origen a las Sesiones, m´as informales, que le dan “cuerpo” al material con discusiones y muchos ejemplos y ejercicios. Los estudiantes que tuvieron dificultades con algunos de los ejercicios en los Art´ıculos pod´ıan a menudo resolverlos despu´es de las Sesiones que les segu´ıan. Hemos tratado, en las Sesiones, de preservar la atm´osfera (y hasta los nombres de los estudiantes) de aquella primera clase. El lector con experiencia puede obtener una visi´on general leyendo solamente los Art´ıculos pero perder´ıa muchos ejemplos y perspectivas esclarecedores. La Sesi´on 1 es introductoria; la Sesi´on 10 es excepcional porque tiene la intenci´on de darle al lector una probada de aplicaciones m´as sofisticadas; el dominio de dicha sesi´on no es esencial para el resto del libro. Vemos a continuaci´on cuales sesiones elaboran los Art´ıculos. Art´ıculo I

Sesiones 2 y 3

Art´ıculo II

Sesiones 4 a 9

Art´ıculo III

Sesiones 11 a 17

Art´ıculo IV

Sesiones 19 a 29

Art´ıculo V

Sesiones 30 y 31

Art´ıculo VI

Sesiones 32 y 33

Art´ıculo VII

Sesiones 34 y 35.

Los Ap´ endices, escritos de una manera menos relajada, tienen la intenci´on de dar un r´apido resumen de algunas de las posibles conecciones del material b´asico del curso con varios desarrollos m´as avanzados de las matem´aticas modernas.

[xiv]

´n 1 Sesio

Galileo y la multiplicación de objetos

1. Introducci´ on En este libro pretendemos explorar las consecuencias de una concepci´on nueva y fundamental de la naturaleza de las matem´aticas, la cual ha conducido a m´etodos mejores para comprender y utilizar los conceptos matem´aticos. Aunque esta concepci´on parece simple, no es lo suficientemente familiar; dominarla require de cierto esfuerzo, pero dicho esfuerzo ser´a recompensado con una claridad de comprensi´on que sera u ´til para descifrar los aspectos matem´aticos de cualquier tema. La noci´on b´asica que subyace a todas las dem´as es la de categor´ıa o “universo matem´atico”. Hay diversas categor´ıas, una indicada para cada tema particular, y hay formas de pasar de una categor´ıa a otra. Al introducir de manera informal esta noci´on con algunos ejemplos, veremos que los ingredientes ser´an objetos, morfismos y composici´on de morfismos. La idea de que las matem´aticas involucran diferentes categor´ıas y las relaciones que hay entre ´estas ha estado impl´ıcita durante siglos; no obstante, no fue sino hasta 1945 cuando Eilenberg y Mac Lane dieron definiciones expl´ıcitas de las nociones b´asicas en su revolucionario art´ıculo “A general theory of natural equivalences”, en el que sintetizan muchas d´ecadas de an´alisis del funcionamiento de las matem´aticas as´ı como de las relaciones entre sus partes.

2. Galileo y el vuelo de un ave Comencemos con Galileo quien, hace cuatro siglos, intentaba descifrar el problema del movimiento. Deseaba comprender el movimiento preciso de una piedra lanzada y el arco elegante del chorro de agua de una fuente. Con el tiempo, Galileo encontr´o f´ormulas simples para estos movimientos pero su primer paso fue el de encontrar un m´etodo conceptual preciso para describir los movimientos en general, incluso uno tan impredecible y caprichoso como el vuelo de un ave. Galileo comprendi´o que un movimiento es m´as que su camino. El movimiento de un ave contiene, para cada instante, la posici´on del ave en ese instante; para registrarlo se necesita una pel´ıcula, m´as que una fotograf´ıa de exposici´on prolongada. Decimos que el movimiento es un “morfismo” (o “funci´on”) del tiempo al [1]

2

´n 1 Sesio

espacio. El vuelo de un ave como morfismo del tiempo al espacio

tiempo 9

tiempo de inicio

• •c

espacio

.•

•Y

,•

•

un poco tiempo m´as tarde final

Esquem´aticamente: vuelo del ave

tiempo

/

espacio

Sin duda habr´an o´ıdo la leyenda: Galileo dej´o caer un objeto pesado y uno ligero desde la torre inclinada de Pisa sorprendiendo a los espectadores cuando los objetos tocaron el piso simult´aneamente. Por ser tan especial, el estudio del movimiento vertical de objetos lanzados hacia arriba, lanzados hacia abajo o simplemente dejados caer, parecer´ıa no aportar mucho a la comprensi´on del movimiento en general. El camino de una roca que se dej´o caer es, como todo ni˜ no bien sabe, una l´ınea recta. Sin embargo, su movimiento no es tan simple; la roca se acelera al ir cayendo, de tal forma que los u ´ltimos metros los cae en menos tiempo que los primeros. ¿Por qu´e habr´ıa decidido Galileo concentrar su atenci´on en esta cuesti´on particular sobre el movimiento vertical? La respuesta yace en una simple ecuaci´on: ESPACIO = PLANO×L´INEA

¡pero esto requiere de cierta explicaci´on! Ahora entran en escena dos morfismos nuevos. Imaginemos el sol cayendo de manera vertical; para cada punto en el espacio obtendremos un punto sombra en el plano horizontal: espacio 

sombra

plano

•p 

• sombra de p

´ Este es el morfismo “sombra” del espacio al plano. La mejor manera de imaginar el segundo morfismo es pensar en una l´ınea vertical, quiz´a un poste clavado en la tierra. Para cada punto en el espacio hay un punto correspondiente en la l´ınea, al

3

´ n de objetos galileo y la multiplicacio

mismo nivel del punto en el espacio. Llamemos “nivel” este morfismo. nivel

espacio

/

l´ınea

/

• nivel de p /

• nivel de q

p• q•

Si juntamos ambos morfismos, tenemos: nivel

espacio

/

l´ınea

sombra 

plano Estos dos morfismos, “sombra” y “nivel”, al parecer reducen cada problema sobre el espacio a dos problemas m´as simples, uno para el plano y otro para la l´ınea. Por ejemplo, si un ave est´a en el espacio y conocemos s´olo la sombra y el nivel del ave, podemos reconstruir su posici´on. A´ un hay m´as: supongan que tenemos una pel´ıcula de la sombra del ave conforme ´esta vuela y una pel´ıcula de su nivel —quiz´a hab´ıa un observador de aves escalando un poste, manteni´endose siempre al nivel del ave, y nosotros lo filmamos. ¡A partir de estas dos pel´ıculas podemos reconstruir el vuelo entero del ave! As´ı que no s´olo una posici´on en el espacio se reduce a una posici´on en el plano y a una en la l´ınea, sino tambi´en un movimiento en el espacio se reduce a un movimiento en el plano y a uno en la l´ınea. Pongamos ahora todas las piezas juntas. Del movimiento, o vuelo, de un ave vuelo del ave

tiempo

/

espacio

obtenemos dos movimientos m´as simples al “componer” el morfismo vuelo con los morfismos sombra y nivel. A partir de estos tres morfismos, tiempo

vuelo del ave $

espacio 

sombra

plano

nivel / l´ınea

4

´n 1 Sesio

obtenemos estos dos morfismos nivel de vuelo del ave /

tiempo



l´ınea

sombra de vuelo del ave

plano

y ahora el espacio ha desaparecido del mapa. El descubrimiento de Galileo consiste en que a partir de estos dos movimientos m´as simples, en el plano y en la l´ınea, se puede recapturar completamente el movimiento complicado en el espacio. De hecho, si los movimientos de la sombra y del nivel son “continuos”, de tal forma que la sombra no desaparece s´ ubitamente de un lugar y reaparece instant´aneamente en otro, el movimiento del ave tambi´en ser´a continuo. Este descubrimiento le permiti´o a Galileo reducir el estudio del movimiento a los casos especiales de movimiento horizontal y vertical. Ser´ıa una desviaci´on describir aqu´ı los hermosos experimentos que dise˜ no´ para estudiarlos, as´ı como lo que descubri´o, pero les recomiendo que lean acerca de ellos. ¿Parece razonable expresar esta relaci´on del espacio al plano y la l´ınea, dada por dos morfismos, espacio 

nivel / l´ınea

sombra

plano por la ecuaci´on ESPACIO = PLANO×L´INEA? ¿Qu´e tienen que ver estos morfismos con la multiplicaci´on? Ser´ıa u ´til considerar otros ejemplos.

3. Otros ejemplos de multiplicaci´ on de objetos La multiplicaci´on aparece con frecuencia bajo el disfraz de elecciones independientes. He aqu´ı un ejemplo. Algunos restaurantes tienen una lista de opciones para primer platillo y otra para platillo principal; una “comida” comprende un platillo de cada lista. Primeros platillos: sopa, pasta, ensalada. Platillos principales: res, ternera, pollo, pescado. As´ı que una “comida” posible es: “sopa, despu´es pollo”; pero “ternera, despu´es res” no est´a permitido. He aqu´ı un diagrama de las comidas posibles:

5

´ n de objetos galileo y la multiplicacio

Principal

Comidas sopa, res sopa, ternera sopa, pollo sopa, pescado

pasta, res

sopa

pasta

/

res ternera pollo pescado



ensalada

1er platillo

(Encuentren ustedes mismos las dem´as comidas.) Noten la analog´ıa con el diagrama de Galileo: comidas

/

principal

espacio



1er

/

l´ınea



plato

plano

Este esquema con tres “objetos” y dos “morfismos” o “procesos” es la representaci´on correcta de la multiplicaci´on de objetos y se aplica a una variedad sorprendente de situaciones. La idea de multiplicaci´on es la misma en todos los casos. Tomemos por ejemplo un segmento y un disco en geometr´ıa. Tambi´en los podemos multiplicar y el resultado es un cilindro. No me refiero al hecho de que el volumen del cilindro se obtenga multiplicando el a´rea del disco por la longitud del segmento. El cilindro en s´ı es el producto, segmento multiplicado por disco, porque nuevamente hay dos procesos o proyecciones que nos llevan del cilindro al segmento y al disco, de forma completamente an´aloga a la de los ejemplos anteriores. Cada punto en el cilindro tiene un correspondiente punto “nivel” en el segmento y un correspondiente punto “sombra” en el disco, y si conocemos los puntos sombra y nivel, podemos encontrar el punto en el cilindro al cual corresponden. Al igual que antes, el movimiento de una mosca atrapada en el cilindro est´a determinado por el movimiento de su punto nivel en el segmento y por el movimiento de su punto sombra en el disco. • · •

•

6

´n 1 Sesio

Un ejemplo tomado de la l´ogica sugiere que hay una conexi´on entre la multiplicaci´on y la palabra “y”. Desde un enunciado de la forma “A y B ” (por ejemplo, “Juan est´a enfermo y Mar´ıa est´a enferma”) podemos deducir A y podemos deducir B: Juan est´ a enfermo y Mar´ıa est´a enferma “A y B”

Juan est´a enfermo “A” /



Mar´ıa est´ a enferma “B”

Pero m´as que eso: deducir el enunciado “Juan est´a enfermo y Mar´ıa est´a enferma” de alguna otra oraci´on C es lo mismo que deducir de C cada una de las oraciones. En otras palabras, las dos deducciones /

C

A



B vienen a ser lo mismo que una deducci´on C

/ (A

y B). Comparen este diagrama

C /

AyB

"

A

" 

B

con el diagrama de la idea de Galileo. Una u ´ltima ilustraci´on, quiz´a la m´as simple de todas, alude a la relaci´on con la multiplicaci´on de n´ umeros:

6

nivel

/2

•

•

•

•

•

•

 

 

 

6

sombra 

3

3 ¿Por qu´e 3 × 2 = 6?

•

•

•

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