Matematica 4to Educacion Media

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EDUCACIÓN MEDIA

AÑO 2010

TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

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4 o Medio

24/7/09

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑO 2010

ISBN 956-15-1250-5

ALEJANDRO PEDREROS MATTA ÁNGELA BAEZA PEÑA MARCIA VILLENA RAMÍREZ PABLO JORQUERA ROZBACZYLO GABRIEL MORENO RIOSECO

MATEMÁTICA

PORTXTO MATEMATICA IV 07

9 789561 512504

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑO 2010

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El texto Matemática, para Cuarto Año de Educación Media, es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA Coordinación Área Científico-Matemática: GABRIEL MORENO RIOSECO Edición: ÁNGELA BAEZA PEÑA MARCIA VILLENA RAMÍREZ Ayudante de edición: PABLO JORQUERA ROZBACZYLO Autores: ALEJANDRO PEDREROS MATTA ÁNGELA BAEZA PEÑA MARCIA VILLENA RAMÍREZ PABLO JORQUERA ROZBACZYLO GABRIEL MORENO RIOSECO VILLENA RAMÍREZ Corrección de estilo: ISABEL SPOERER VARELA Documentación: PAULINA NOVOA VENTURINO RUBÉN ÁLVAREZ ALMARZA La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de VERÓNICA ROJAS LUNA con el siguiente equipo de especialistas: Coordinación gráfica: CARLOTA GODOY BUSTOS Diseño y diagramación: XIMENA MONCADA LOMEÑA ALFREDO GALDAMES CID Cubierta: XENIA VENEGAS ZEVALLOS

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

www.santillana.cl [email protected]

© 2006, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile) PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por Quebecor World S.A. ISBN: 956 - 15 - 1250 - 5 Inscripción N°159.772 www.santillana.cl

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EDUCACIÓN MEDIA

TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

ALEJANDRO HUMBERTO PEDREROS MATTA PROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE DOCTOR EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN (C), PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE ÁNGELA ROSSANA BAEZA PEÑA PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE MAGÍSTER EN EDUCACIÓN MENCIÓN DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE MARCIA ROMINA VILLENA RAMÍREZ PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE MAGÍSTER EN EDUCACIÓN MENCIÓN DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE (C), PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE PABLO ALFONSO JORQUERA ROZBACZYLO PROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA (C), PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO GABRIEL IVÁN MORENO RIOSECO PROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE DIPLOMADO EN DISEÑO Y PRODUCCIÓN DE MULTIMEDIOS INTERACTIVOS, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

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ORGANIZACIÓN DEL TEXTO

En este texto encontrarás 6 unidades temáticas, 2 evaluaciones semestrales y un glosario de términos matemáticos. Cada unidad temática se estructura de manera que puedas identificar lo mejor posible los contenidos, los ejercicios, los ejercicios resueltos, los desafíos y las evaluaciones que te proponemos.

DOBLE PÁGINA INICIAL Presenta una introducción y motivación al tema de la unidad a través de elementos e imágenes de la vida diaria. Además se presentan los objetivos que se pretenden lograr. Por otra parte, como uno de nuestros objetivos es la integración de las tecnologías de la información y comunicación (TIC) con la matemática, te proponemos que al comienzo de cada unidad desarrolles el laboratorio que encontrarás en la página web: www.santillana.cl/emedia/mat4 . REPASO En estas dos páginas pretendemos que revises tus aprendizajes anteriores y que te detengas en aquellos que todavía no dominas. Es un buen momento para que te autoevalúes y pidas ayuda a tu profesor o profesora en lo que estimes que estás más débil.

PÁGINAS DE CONTENIDOS Las páginas de contenidos están en un lenguaje muy sencillo y directo que se apoyan en una gran cantidad de ejercicios. Algunas secciones que encontrarás son: “Para archivar”, que generaliza o enfatiza lo importante del contenido, En equipo, Enlace, Historia, Ayuda y algunos “tips” que complementan los contenidos. Además, se indica cuándo debes realizar una actividad de laboratorio a través del sitio www.santillana.cl/emedia/mat4 .

EJERCICIOS RESUELTOS En estas dos páginas te mostramos cómo resolver cierto tipo de ejercicios, con algunas estrategias muy particulares que te pueden ayudar a solucionar problemas similares. Eso sí, en matemática siempre hay más de un camino para resolver un problema.

ÍCONOS DE SEÑALIZACIÓN

Para archivar

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Organización del texto

Definición

Ir a la Web

Ayuda

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DESAFÍOS Y MEDIOS Tomando en cuenta que una de las alternativas al egresar de la Educación Media es rendir la PSU, incluimos algunas preguntas tipo de esta prueba, y otras que hemos recopilado de evaluaciones internacionales para que midas tus destrezas matemáticas frente a jóvenes de otros países. En la sección Medios te presentamos la matemática en conexión con diversos ámbitos de la vida diaria: medios de comunicación, Internet, el arte, etc. SÍNTESIS Este es un espacio para que construyas tu mapa conceptual a partir de algunos conceptos clave. Además, encontrarás el resumen de los conceptos y definiciones tratados en la unidad.

EVALUACIÓN En estas dos páginas podrás autoevaluarte con respecto a los contenidos matemáticos aprendidos en la unidad.

EJERCICIOS DE REFUERZO Según tu evaluación o lo que indique tu profesor o profesora, podrás reforzar aquellos contenidos que no dominas bien o que quieras practicar aún más.

EVALUACIÓN SEMESTRAL Luego de terminar las primeras 3 unidades del texto, te proponemos una evaluación semestral que incluya estos contenidos. Al final de las 3 unidades siguientes encontrarás la segunda evaluación semestral.

En equipo

Tips

Enlaces

Historia

Organización del texto

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ÍNDICE

Unidad

Unidad

1

Estadística I

Repaso Historia de la estadística - Conceptos básicos Ordenando la información - Tabla de frecuencias de datos agrupados - Diagrama de tallo y hoja Análisis de gráficos Uso del computador Ejercicios resueltos Desafíos Medios: Indicadores mensuales: INE Síntesis Evaluación Ejercicios de refuerzo

8 10 12 13 14 15 16 17 21 24 26 27 28 30 32

Unidad

2

Estadística II

34

Repaso - Media aritmética Medidas de tendencia central Medidas de dispersión - Desviación media - Desviación estándar o típica - Desviaciones para datos agrupados - Correlación Medidas de localización: cuartiles, percentiles y deciles Diagrama de cajas Muestras al azar - Muestras representativas - Nivel de confianza - Margen de error - Tamaño de la muestra Aplicaciones de la estadística Distribución normal Ejercicios resueltos Desafíos Medios: ¿Cuántas personas tendrán un accidente mañana?

36 38 38 41 42 43 43 45

Síntesis Evaluación Ejercicios de refuerzo

62 64 66

6

Índice

46 49 50 50 51 51 52 53 56 58 60 61

3

Función Potencia y Logarítmica

68

Repaso Funciones - Función inversa - Funciones periódicas Gráficos con Javamath Función potencia - Análisis de la función potencia - Traslaciones verticales y horizontales Concepto de logaritmo - Base de un logaritmo - Propiedades de los logaritmos Función logarítmica - Distintas gráficas de la función logarítmica - Profundizando en los logaritmos - Logaritmo natural o neperiano Ecuaciones logarítmicas con una incógnita Aplicaciones de los logaritmos Ejercicios resueltos Desafíos Medios: Modelación matemática Síntesis Evaluación Ejercicios de refuerzo

70 72 73 74 75 76 77 79 80 81 82 84 86 88 89 90 92 94 96 97 98 100 102

Evaluación semestral 1

104

Unidad

4

La función exponencial

Repaso Función exponencial Aproximándonos al número e Función exponencial natural Función exponencial y función logarítmica - Caso particular Ecuaciones exponenciales Crecimiento exponencial Decrecimiento exponencial - Aplicaciones de la función exponencial

108 110 112 116 117 118 119 120 122 124 126

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Unidad

Ejercicios resueltos Desafíos Medios: Ley de enfriamiento de Newton Síntesis Evaluación Ejercicios de refuerzo

128 130 131 132 134 136

Unidad

5

Vectores

Repaso Rectas en el espacio Planos en el espacio - Posiciones relativas entre 2 planos - Planos y sistemas de ecuaciones - Intersección de planos Coordenadas cartesianas - Vectores - Módulo de un vector - Operatoria con vectores - Regla del paralelogramo - Producto de un número real por un vector - Propiedades del producto - Producto escalar - Producto cruz Vectores en el plano cartesiano - Ecuación vectorial de la recta Ecuación vectorial de la recta en el espacio Ecuación vectorial de un plano en el espacio Gráfico de rectas y planos Intersección de rectas y planos en el espacio Transformaciones geométricas - Traslación - Composición de traslaciones - Homotecia - Composición de homotecias Ejercicios resueltos Desafíos Medios: Ajedrez: un juego de razonamiento y concentración Síntesis Evaluación Ejercicios de refuerzo

138 140 142 144 144 145 146 148 150 150 152 152 154 155 156 157 158 160 162 164 166 168 170 170 171 172 173 174 176 177 178 180 182

6

Geometría: áreas y volúmenes

184

Repaso Concepto de área Concepto de volumen Principio de Cavalieri Teorema de Euler Área y volumen de prismas - Volumen de un prisma Área y volumen de pirámides Área y volumen de cilindros Área y volumen de conos Área y volumen de la esfera - Volumen de una esfera - Área de una esfera Secciones de una esfera Proyecciones en el plano Cuerpos generados mediante rotación Problemas de aplicación I Problemas de aplicación II Ejercicios resueltos Desafíos Medios: Las latas de bebida Síntesis Evaluación Ejercicios de refuerzo

186 188 189 190 191 192 193 194 196 198 200 200 201 202 204 206 208 210 212 214 215 216 218 220

Evaluación semestral 2

222

Solucionario

226

Glosario

251

Bibliografía

255

Índice

7

UNIDAD

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1 Estadística I Hoy en día no se entendería una campaña publicitaria sin los estudios previos basados en la información que aporta la estadística. En general, la mayoría de las empresas tienen su departamento de estudios estadísticos que se encarga de recopilar, organizar y analizar los datos referentes a un determinado producto.

Los avances tecnológicos de hoy, como la red de Internet, y los que vendrán, causarán efectos sobre la producción, ya que esta se orientará de acuerdo a la información que se obtenga sobre las necesidades, gustos e intereses de la población. De ahí, la importancia de conocer mecanismos para analizar la información que se tiene.

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Estadística I

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En esta unidad aprenderás a... Conocer algunos hitos importantes en el desarrollo de la estadística. Trabajar con algunos conceptos básicos de la estadística: muestra, población y tipos de variables. Ordenar y organizar la información. Analizar tablas y gráficos. Usar el computador para analizar y presentar la información.

Explora Realiza el laboratorio 1 correspondiente a la unidad 1 que aparece en www.santillana.cl/emedia/mat4

Estadística I

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REPASO

¿Cuánto sabes?

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I 1. La siguiente es una tabla que muestra el número de alumnos(as) que hay en 4º medio en un colegio, agrupados por curso y por sexo. Niñas

Niños

4º A

20

25

4º B

22

23

Escribe la razón entre: a. el número de niñas y el número de niños del 4º A. b. el número de mujeres y el número de hombres. c. los estudiantes del 4º A y del 4º B.

2. Completa la tabla. Porcentaje

75

Fracción

Fracción irreductible

Expresión decimal

75 100 62 100

3 4

0,75

1 50 – 0,3 90

3. Indica qué números enteros están contenidos en los siguientes intervalos. a.

关2, 9兴

b. 兴–3 , 3关

c. 兴0 , 1关

d. 关–1 , 10兴

4. Encuentra un intervalo de números reales que cumpla con lo pedido. a. Un intervalo abierto que contenga a

1 1 ,0y– . 2 3

b. Un intervalo que contenga todos los números mayores que 5. c. Un intervalo que no contenga a los números positivos. d. Un intervalo semiabierto que no contenga ni al 8,3 ni al

10

Estadística I

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I 5. En la siguiente tabla se muestran las edades de 6 niños pertenecientes a un taller de teatro. Nombre

Edad (años)

Pablo

8

Daniela

6

Enrique

10

Carolina

6

Angélica

8

Jaime

6

Construye un gráfico de barras que tenga como variables la edad y la cantidad de personas que tienen esa edad.

6. En la siguiente tabla se muestra la población por grupos de edad del censo de 1992. Completa los recuadros de la tabla con la frecuencia acumulada. Grupos de edad

Habitantes

0 – 14

3.929.468

15 – 24

2.425.140

25 – 39

3.286.011

40 – 49

1.415.589

50 – 64

1.415.149

65 y más

Frecuencia acumulada

877.044

1 El a% de un número se puede representar con la fracción Ejemplo: 34% se representa por

a . 100

34 17 . Su fracción irreductible es y 100 50

¿Qué debes recordar?

la expresión decimal equivalente es 0,34. 2

关a, b兴 es la representación del intervalo cerrado a, b; por tanto, contiene a a y a b y a todos los números comprendidos entre ellos.

3

兴a, b关 es la representación del intervalo abierto a, b; por tanto, solo contiene a aquellos números que están comprendidos entre a y b.

4

关a, b关 o 兴a, b兴 son representaciones de un intervalo semiabierto que contiene a a o b, según sea el caso, también contiene a los valores comprendidos entre a y b.

5 Frecuencia: es la cantidad de veces que ocurre un suceso. 6 Frecuencia acumulada: es la suma de las frecuencias observadas hasta un cierto punto.

Estadística I

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CONTENIDOS

Unidad 1 ESTADÍSTICA I

Historia de la estadística Los orígenes de la estadística, aunque no se sabe con exactitud cuándo se comenzó a utilizar, pueden estar ligados al antiguo Egipto como a los censos chinos que se realizaron hace unos 4.000 años, aproximadamente. Sin duda, fueron los romanos, maestros de la organización política, quienes mejor supieron ocupar la estadística. Cada cinco años realizaban un censo de la población, cuyos datos de nacimientos, defunciones y matrimonios eran esenciales para estudiar los avances del imperio; sin olvidar los recuentos de ganado y las riquezas que dejaban las tierras.

HISTORIA

Desde esa época, diversos Estados realizaron estudios sobre algunas características de sus poblaciones, sus riquezas, posesiones, etc. En 1662, John Graunt (1620 – 1674), un mercader inglés, publicó un libro sobre los nacimientos y defunciones ocurridos en Londres; el libro contenía conclusiones acerca de ciertos aspectos relacionados con estos acontecimientos. Esta obra es considerada como el punto de partida de la estadística moderna.

Karl Pearson (1857 – 1936) Matemático inglés, trabajó en la University College de Londres. Es considerado el padre de la Estadística Moderna.

La palabra estadística comenzó a usarse en el siglo XVIII, en Alemania, en relación a estudios donde los grandes números, que representaban datos, eran de importancia para el Estado. Sin embargo, la estadística moderna se desarrolló en el siglo XX a partir de los estudios de Karl Pearson. Hoy, la estadística tiene importancia no solo porque presenta información, sino que además permite inferir y predecir lo que va a ocurrir, y por lo tanto, es una herramienta fundamental a la hora de tomar decisiones de importancia.

EJERCICIOS 1. Averigua en qué parte del libro “Números”, del Antiguo Testamento, se hace referencia a censos o recuentos estadísticos. ¿Qué semejanzas hay con los censos actuales?

2. ¿Qué importante acontecimiento relacionado con la estadística marcó el momento del nacimiento de Cristo?

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Estadística I

3. En tu vida diaria, ¿cuándo usas la estadística para informarte? ¿Cuándo lo haces para tomar decisiones?

4. ¿Por qué crees tú que la estadística demoró tanto tiempo en desarrollarse?

5. Señala 4 áreas distintas en las cuales se utilice la estadística como herramienta de investigación.

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I

Conceptos básicos El Instituto Nacional de Estadísticas (INE) es el organismo encargado de recoger, de forma fidedigna y oportuna, información relevante para la administración del Estado y para las actividades nacionales, con el objetivo de mejorar la calidad de vida de las personas. En muchas ocasiones, para llevar a cabo una investigación se hacen encuestas, las cuales son dirigidas a una muestra representativa de la población. Para comprender mejor este tipo de estudio es importante que conozcas los siguientes términos básicos:

Población: es un conjunto de personas, eventos o cosas de las cuales se desea hacer un estudio, y tienen una característica en común. Muestra: es un subconjunto cualquiera de la población; es importante escoger la muestra en forma aleatoria (al azar), pues así se logra que sea representativa y se puedan obtener conclusiones más afines acerca de las características de la población.

Portada del estudio “Estadísticas Sociales de los Pueblos Indígenas en Chile” publicado por el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) acerca de la información recopilada en el censo del año 2002.

Para estudiar alguna característica específica de la población se pueden definir los siguientes tipos de variables: Variables cualitativas: relacionadas con características no numéricas de un individuo (por ejemplo: atributos de una persona). Variables cuantitativas: relacionadas con características numéricas del individuo. Las variables cuantitativas se dividen en discretas (aquellas que pueden tomar solo algunos valores en un intervalo y no valores intermedios) o continuas (aquellas que pueden tomar cualquier valor en un intervalo real).

ENLACES En la página web www.ine.cl podrás encontrar más información relacionada con estudios estadísticos.

EJERCICIOS 1. Se desea saber si los dueños de automóviles catalíticos están dispuestos a pagar la conversión de sus motores a gas natural. Para ello se decide realizar una encuesta. a. Determina cuál de las siguientes es la mejor muestra: i. Escoger al azar a adultos que caminan por el centro de las principales ciudades del país.

iii. Escoger al azar del registro de vehículos motorizados a dueños de automóviles catalíticos y enviarles un encuestador. b. Explica la razón de tu elección, señala las ventajas y desventajas de cada alternativa. c. ¿Cuáles son las variables utilizadas en la encuesta? ¿A qué tipo de variables corresponden? ¿Por qué?

ii. Escoger al azar a conductores de automóviles en las intersecciones más concurridas.

Estadística I

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CONTENIDOS

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I

Ordenando la información Al ordenar datos muy numerosos, es usual agruparlos en clases o categorías. Al determinar cuántos pertenecen a cada clase, establecemos la frecuencia. Construimos así una tabla de datos llamada tabla de frecuencias. Ejemplo Los siguientes datos corresponden a las notas obtenidas por un curso de 24 alumnos en un trabajo de matemática: 3,2 3,2

4,2 3,2

5,6 4,2

6,0 5,6

2,8 6,0

3,9 6,0

4,2 3,2

4,2 6,0

5,0 4,2

5,0 5,0

3,9 5,6

3,9 5,0

Ordenemos estos datos en la siguiente tabla:

TIPS

Nota A veces, por efecto de las aproximaciones, es posible que la suma de las frecuencias relativas porcentuales no sea exactamente 100%.

Frecuencia absoluta (fi)

Frecuencia relativa (hi)

Frecuencia relativa porcentual (%)

1

1 24

4,2

2,8 3,2

4

3,9

3

4,2

5

5,0

4

5,6

3

6,0

4

4 24 3 24

16,7 12,5

5 24

20,8

4 24 3 24 4 24

16,7 12,5 16,7

¿Qué conclusiones puedes obtener de la tabla anterior? Solo un 16,7% del curso obtuvo nota seis. El 33,4% del curso obtuvo nota deficiente, etc.

PA R A A R C H I VA R IR

A LA

WEB

Desarrolla el laboratorio 2. www.santillana.cl/emedia/mat4

La frecuencia absoluta de una clase es el número de datos que forma dicha clase, mientras que la frecuencia relativa corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta y el total de datos, la cual se puede expresar mediante el uso de porcentajes.

EJERCICIOS 1. Los siguientes datos corresponden a los lugares favoritos de vacaciones de los empleados de una empresa.

Frecuencia Lugar

Campo

Mar - Montaña - Campo - Mar - Mar - Montaña -

Mar

Campo - Mar - Mar - Montaña - Campo - Mar - Campo.

Montaña

a. Completa la siguiente tabla y luego obtén al menos dos conclusiones.

Total

14

Estadística I

F. Absoluta

F. Relativa %

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I

Tabla de frecuencias de datos agrupados En ocasiones, el agrupar los datos en intervalos, nos puede ayudar para realizar un mejor análisis de ellos. Ejemplo Consideremos los siguientes datos, expresados en metros, correspondientes a las estaturas de 80 estudiantes de Cuarto año de Educación Media. 1,67 1,84 1,78 1,82 1,86 1,77 1,83 1,76

1,72 1,86 1,77 1,69 1,80 1,67 1,77 1,76

1,81 1,73 1,67 1,70 1,77 1,74 1,75 1,79

1,72 1,84 1,83 1,81 1,80 1,75 1,77 1,88

1,74 1,87 1,83 1,66 1,76 1,78 1,77 1,66

1,83 1,83 1,72 1,76 1,88 1,77 1,84 1,80

1,84 1,81 1,71 1,75 1,75 1,74 1,83 1,72

1,88 1,77 1,85 1,80 1,79 1,73 1,79 1,75

1,92 1,73 1,84 1,79 1,87 1,83 1,82 1,79

1,75 1,75 1,93 1,84 1,79 1,76 1,76 1,77

AY U D A El rango, está dado por la diferencia entre el máximo y el mínimo valor de una variable.

Estatura mayor: 1,93 m; estatura menor: 1,66 m; rango: 0,27 m = 27 cm. Formaremos 6 intervalos. Para calcular el tamaño de cada uno dividimos 27 : 6 = 4,5 艐 5. Nos queda la siguiente tabla, Intervalo

Marca de clase

Frecuencia absoluta

1,65 – 1,69

1,67

6

1,70 – 1,74

1,72

12

1,75 – 1,79

1,77

30

1,80 – 1,84

1,82

22

1,85 – 1,89

1,87

8

1,90 – 1,94

1,92

2

AY U D A La marca de clase es el representante de un intervalo, y corresponde al promedio entre los extremos de este.

Total: 80

PA R A A R C H I VA R Para construir una tabla de frecuencias para datos agrupados, determinamos el tamaño de cada intervalo, dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desea obtener. Se recomienda tomar como longitud de los intervalos un valor entero que sea mayor o igual al cociente obtenido.

EJERCICIOS 1. Utilizando los datos anteriores, haz una tabla de frecuencias para datos no agrupados. Luego responde: a. ¿Cuántos alumnos miden entre 1,75 m y 1,89 m? b. ¿Qué ventajas y desventajas tiene la utilización de cada tipo de tabla?

2. Considera los siguientes datos: 1, 2, 5, 4, 7, 8, 9, 5, 6, 4, 7, 4, 1, 8, 5, 2, 3, construye una tabla de datos agrupados y determina la marca de clase de cada intervalo.

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I

Diagrama de tallo y hoja Otra forma de organizar la información, es la utilización del diagrama de tallo y hoja, este nos sirve para analizar la variabilidad de los datos, o bien para comparar dos grupos diferentes.

TIPS La variabilidad de los datos se relaciona con cuán dispersos están estos.

Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a la esperanza de vida de hombres y mujeres correspondientes a diversos países. Hombre 62 62 43 47 62 80 76 71

68 42 68 74

ENLACES Para mayor información acerca de datos estadísticos de diversos países ingresa a la página web: www.amstat.org/publications/jse/

56 63 53 66

75 46 71 77

66 47 78 82

Mujer 66 50 73 75

67 69 52 72

Si observas los datos anteriores podrás apreciar que son similares, sin embargo, el siguiente diagrama de hoja nos permite apreciar algunas diferencias. Esperanza de vida del hombre

7

AY U D A 2

En este caso el tallo representa la cifra de las decenas y las hojas, las unidades.

6

8

3

2 4

3 3 2 6

2 6 8 1 0

Esperanza de vida de la mujer

4 5 6 7 8

6 0 6 5 2

7 2 6 1

7 8

9 3

7

5

2

El diagrama anterior nos permite visualizar que la esperanza de vida de la mujer es mayor que la del hombre. Además podemos obtener otras conclusiones, como por ejemplo, que el intervalo 关62, 68兴, presenta la mayor frecuencia respecto a la esperanza de vida del hombre.

EJERCICIOS 1. Los siguientes datos corresponden a la tasa bruta de natalidad y mortalidad infantil de algunos países de Latinoamérica. Natalidad (niños nacidos vivos en 1 año, por cada 1.000 habitantes): 21 28

47 29

29 35

27 33

23 18

33 28

Mortalidad (número de muertes al año por cada 1.000 habitantes, niños menores de 1 año): 26 56

51 43

63 42

40 109

17 22

63 23

a. Construye un diagrama de tallo y hoja para los datos anteriores.

16

Estadística I

b. Se afirma que la tasa de mortalidad infantil correspondiente a países africanos es de aproximadamente 96. ¿A qué crees que se debe la diferencia entre países latinoamericanos y africanos? c. ¿A qué problemas puede conllevar la diferencia entre tasas de natalidad y mortalidad? d. Averigua las tasas de natalidad y mortalidad correspondientes a otros grupos de países, por ejemplo, países de Oriente o Asia, y compáralos con las tasas de Latinoamérica. Comparte tus resultados con tus compañeros.

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I

Análisis de gráficos En mayo del 2005, el Consejo Nacional para el Control de Estupefacientes, (CONACE), publicó el Sexto Estudio Nacional de Drogas en Población General de Chile (realizado en el año 2004), relacionado con las tendencias en el uso de algunas drogas en el país.

ENLACES Para obtener más información visita el sitio www.conace.cl. Recuerda que el contenido de la página puede variar.

En los siguientes gráficos se muestran las tendencias, de los adolescentes (entre 12 y 18 años) en el uso de ciertas drogas (lícitas e ilícitas), según el ingreso total, al mes, de la familia. Ejemplo 1: Histograma

TIPS 25

19,5

20

Marihuana 15

Pasta Base Cocaína

10

El polígono de frecuencias se grafica a partir de un histograma. Se construye uniendo los puntos medios de cada barra (marca de clase). Ejemplo:

6,7 5,4

5,5

5 0,9

1,1

0,3

1,0

1,1

0,6

0 Menos de $ 100.000 – $ 200.000

$ 200.001 – $ 500.000

$ 500.001 – $ 1.000.000

0,0

0,0

$ 1.000.001 – Más de $ 2.000.000

Fuente: Sexto Estudio Nacional de Drogas en Población General de Chile (2004), www.conace.cl, julio 2005.

La más alta frecuencia de consumo de marihuana se registra entre las personas cuyas familias tienen ingresos promedios mensuales sobre 1 millón de pesos, con una tasa cercana al 20%. Esta tasa porcentual de marihuana es tres veces más alta que en familias con los más bajos ingresos, con tasas de 6,7%. El consumo de cocaína entre adolescentes está latente, con tasas que bordean el 1%, en familias de todos los niveles de ingresos, con la salvedad de las familias con los más altos recursos. Ejemplo 2: Gráfico circular Consumo de cigarrillos

20% 36% 20%

Edad

Marca de clase

fi

16 – 20

18

5

21 – 25

23

12

26 – 30

28

30

31 – 35

33

37

36 – 40

38

34

41 – 45

43

26

46 – 50

48

12

fi 40 30 20 10

De aquellos adolescentes que consumen cigarrillos, el 36% provienen de familias con los más altos ingresos mensuales. Dicha tasa es 16 puntos porcentuales más alta que en familias con los más bajos ingresos, con tasas de 20%.

0 18 23 28 33 38 43 48

Edad

24%

Menos de $ 100.000 – $ 200.000 $ 200.001 – $ 500.000 $ 500.001 – $ 1.000.000 $ 1.000.001 – más $ 2.000.000

IR

Fuente: Sexto Estudio Nacional de Drogas en Población General de Chile (2004), www.conace.cl, julio 2005.

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Estadística I

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CONTENIDOS

Unidad 1 ESTADÍSTICA I Ejemplo 3: Pictograma El consumo de cigarrillos en adolescentes de familias con el ingreso más alto, tiene una tasa que supera casi por 21 puntos porcentuales al consumo en familias con el ingreso más bajo.

41,2

38,7

30

30,0

25,4

35

25,1

29,2

40

32,4

45

44,1

Consumo de alcohol y cigarrillos 50

25 20 15 10 5 0 Menos de $ 100.000 –$ 200.000

$ 200.001 – $ 500.000

$ 500.001 – $ 1.000.000

$ 1.000.001 – Más de $ 2.000.000

Fuente: Sexto Estudio Nacional de Drogas en Población General de Chile (2004), www.conace.cl, julio 2005.

cigarrillos

alcohol

Ejemplo 4: Gráfico de barras La encuesta Consumo de Cultura, realizada por el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) entre varias temáticas, arrojó la siguiente información relacionada con el tipo de música que escuchan hombres y mujeres. Tipo de música

ffii

Rock latino

138.478 138.478

160.000

Hip-hop

156.305 156.305

120.000

Electrónica (tecno)

37.436 37.436

Funk

13.529 13.529

Punk

5.205 5.205

Cumbia

120.129 120.129

Sound

12.308 12.308

Bossa Nova

26.074 26.074

180.000

140.000

100.000 80.000 60.000 40.000 20.000 0 ck Ro

o tin la

p o) ho cn p(te Hi ca i n tró ec El

nk Fu

nk Pu

a bi m Cu

d un So

a ss Bo

va No

Fuente: Encuesta Consumo de Cultura, www.ine.cl , julio 2005.

TIPS

Ejemplo 5: Gráfico de dispersión

Observa otro tipo de gráfico que te permite un buen análisis de información.

Cantidad de población por región (Chile. Censo 2002) 7.000

7

6.000

5 4 3 2

Mujer Hombre

1 0

miles de personas

Años de estudio

6 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 15 – 19

20 – 34

35 – 49

50 y más

Grupos de edad

Fuente: Estudio de la Mujer (2004), www.sernam.cl, julio 2005.

0 I

II

III IV V VI VII VIII IX X XI XII RM regiones cantidad de población

18

Estadística I

En la gráfica se observan datos obtenidos del Censo del año 2002, relacionado con la cantidad de población que hay en cada región del país. Por millones de habitantes, una de las regiones está por sobre las demás, con aproximadamente seis millones de personas. Le siguen en tamaño, con más de un millón de habitantes, dos regiones más. En las restantes regiones, la cantidad de población es bastante homogénea. Fuente: Censo 2002, www.ine.cl , julio 2005.

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I PA R A A R C H I VA R Utilidad de diversos tipos de gráficos: Gráfico de barras: facilita la comparación entre las frecuencias de las variables. Pictograma: mediante figuras o diagramas representa los valores de una variable estadística. Gráfico circular: es útil cuando se necesita representar porcentajes. Histograma: sirve para expresar información sobre datos que están agrupados. Gráfico de dispersión: sirve para estudiar la homogeneidad o heterogeneidad de los datos.

EJERCICIOS 1. El gráfico muestra la cantidad de pacientes semanales que asistieron al hospital Sótero del Río, por motivos de enfermedades respiratorias.

2. El siguiente gráfico nos presenta la información obtenida de 300 encuestados por la Fundación Futuro (2004), acerca de la pregunta: ¿Qué nota colocas a lo bueno y malo en el deporte chileno?

ATENCIONES SEMANALES A ADULTOS POR CAUSAS RESPIRATORIAS EN SERVICIO DE URGENCIA HOSPITAL SÓTERO DEL RÍO, ABRIL A AGOSTO 2003–2005.

LO BUENO

Número de atenciones 500

Massú y González campeones olímpicos

400

Carlo de Gavardo campeón de Rally mundial

6,9

6,7

Chile a la serie mundial de Copa Davis

300

6,5

Salida de Orozco de U. de Chile

5,4

Cobreloa campeón del torneo de clausura

5,4

200

100

U. de Chile campeón del torneo de apertura

2005 2003 2004 0 14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

Semanas Estadísticas

Fuente: DEIS. Departamento de Estadísticas e Información de Salud, Ministerio de Salud.

4,6 LO MALO

Quiebra de Colo-Colo

2,5

Retiro del Chino Ríos del tenis

3,9 1

a. ¿Qué conclusiones puedes obtener a partir del gráfico? b. ¿En qué período las atenciones médicas fueron similares, en cantidad de pacientes? c. ¿En qué período se produjo mayor demanda en el hospital?

2

3

4

5

6

7

Nota promedio

Fuente: Encuesta Lo bueno, lo malo y lo feo, www.fundacionfuturo.cl, julio 2005.

a. ¿Cuál fue la categoría mejor evaluada? ¿Tú también la hubieras evaluado con esa nota? ¿Por qué?

Estadística I

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CONTENIDOS

Unidad 1 ESTADÍSTICA I

EJERCICIOS b. De lo bueno, ¿qué área del deporte tiene el mejor promedio, el tenis o el fútbol? c. Con la información obtenida en b, construye un gráfico circular que muestre la diferencia obtenida? ¿A qué atribuyes esta diferencia?

3. Dada la siguiente tabla, que muestra los resultados de la prueba SIMCE (Sistema de Medición de la Calidad de la Educación) año 2002 de 4º año Básico, responde: Región

Comunas

Más pobres %

1

Mulchén

59,5

2

Angol

53,3

3

Carahue

50,8

Matemática

Lenguaje

4

Gorbea

50,6

I Tarapacá

240

245

5

Constitución

49,9

II Antofagasta

247

250

6

Coihueco

48,5

III Atacama

244

248

7

Curanilahue

47,8

IV Coquimbo

242

249

8

Padre Las Casas

46,9

V Valparaíso

249

254

9

Nueva Imperial

46,4

VI L. Bdo. O´Higgins

246

252

10

Traiguén

45,4

VII Maule

243

248

11

Coronel

44,5

VIII Bío- Bío

243

247

12

Lebu

44,4

IX Araucanía

235

243

13

Collipulli

44,1

X Los Lagos

242

249

14

Nacimiento

44,0

XI Aisén

254

261

15

Cañete

43,8

XII Magallanes

254

260

RM Región Metropolitana

254

257

Total

248

252

Fuente: Prueba SIMCE, 4º Año Educación Básica (2002), www.mineduc.cl, julio 2005.

a. ¿Cuáles son las regiones que tienen menos de 246 puntos en Matemática? b. ¿Qué región obtuvo el puntaje más bajo en cada área? ¿Coinciden estos puntajes con la misma región? c. ¿Qué región obtuvo el mejor promedio en Lenguaje? Esta región, ¿también obtuvo el puntaje más alto en Matemática? d. ¿Qué tipo de variables son las consideradas en esta tabla? e. ¿Qué tipo de gráfico representa mejor la diferencia de puntajes totales en cada área? f. ¿Qué tipo de gráfico construirías para representar los puntajes de las mejores 5 regiones?

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4. Uno de los problemas más complejos que debe abordar nuestra sociedad es la pobreza; un país que quiere surgir debe eliminar este problema. En la tabla se ven las comunas más pobres del país; en la mayoría de ellas vive población mayoritariamente mapuche que no ha podido salir del círculo de la pobreza.

Estadística I

Fuente: CASEN 1998, MIDEPLAN

a. ¿Qué gráfico representaría mejor la información dada en la tabla? ¿Por qué? b. ¿Qué tipo de variable utilizaste para el gráfico anterior? c. De la tabla, determina los dos pueblos que presenten mayor porcentaje de pobreza y dos que tengan el menor porcentaje. Elige algún tipo de gráfico que te permita estudiar la comparación, ¿qué puedes concluir? d. ¿Qué factores culturales crees tú que afectan al pueblo mapuche y le impiden salir de la pobreza? e. ¿Qué factores de nuestra sociedad impiden a los mapuches vivir como ellos desean? f. ¿Qué soluciones ves tú al problema? g. Averigua en cuáles de las comunas del cuadro vive mayoritariamente gente mapuche.

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I

Uso del computador Las planillas de cálculo permiten ahorrar gran cantidad de tiempo al hacer trabajos estadísticos. A continuación se presenta un ejemplo de cómo utilizar el programa Excel para graficar un conjunto de datos. Lo primero que se debe hacer es construir una tabla de valores, luego seleccionarla y por último pulsar “Asistente de gráficos”. Ejemplo La siguiente tabla muestra las hectáreas afectadas en 1999 por incendios forestales, para graficarla realizamos lo siguiente: 1. Seleccionamos presionando con el mouse, desde la columna B2 hasta la columna D14. 2. En la barra de menú, selecciona “Insertar”, luego selecciona “Gráfico” en el submenú. 3. Elegimos “Tipo de gráfico”, en este caso seleccionamos un gráfico de barras. 4. Finalizamos nuestro gráfico en “Terminar”.

TIPS Puedes personalizar tu gráfico, haciendo clic sobre él, de esta manera puedes cambiar los colores. Además en “Título”, puedes poner nombre a los ejes y al gráfico.

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EJERCICIOS 1. Utilizando los datos anteriores realiza lo siguiente:

c. ¿En qué regiones se observa mayor cantidad de hectáreas afectadas por incendios forestales? ¿A qué crees que se debe?

a. Ingresa la tabla anterior en una planilla Excel. b. Realiza un gráfico de dispersión y otro circular. ¿Qué ventaja tiene la utilización de cada tipo de gráfico?

d. Está comprobado que la mayor cantidad de incendios forestales es causada directa o indirectamente por el ser humano. ¿Qué medidas tomarías tú para proteger nuestros bosques?

Estadística I

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CONTENIDOS

Unidad 1 ESTADÍSTICA I

EJERCICIOS 2. Las siguientes son las respuestas de un grupo de jóvenes a la pregunta: ¿Cuál es tu deporte favorito? Fútbol - Tenis - Fútbol - Basquetbol - Fútbol Automovilismo -Tenis - Fútbol - Natación Fútbol - Tenis - Automovilismo - Gimnasia Fútbol - Hockey - Fútbol - Tenis - Atletismo Fútbol -Gimnasia - Tenis - Atletismo - Gimnasia a. Construye en Excel un gráfico circular e interpreta los resultados. b. ¿Qué deporte presenta mayor frecuencia?

3. Según la Empresa Metropolitana de Obras Sanitarias (EMOS), el consumo promedio de agua, en metros cúbicos, en una familia de 5 integrantes es: Uso Duchas Aseo en lavatorios Descarga WC Comida y lavado de vajilla Lavado general Riego Total diario Total mensual

Invierno

Verano

250

350

50

60

300

300

80

90

150

185

5

165

835

1.150

25.050

34.500 Fuente: EMOS.

a. Construye en Excel, un gráfico que permita comparar el consumo de una familia de 5 integrantes en invierno y verano. b. Construye un gráfico circular, para el consumo de invierno que muestre los porcentajes de agua destinados a cada fin. c. Repite el ejercicio anterior para mostrar el consumo de agua en verano. d. ¿A qué crees que se deba el incremento del consumo de agua en verano? e. Divide cada uno de los valores dados en la tabla por 5, luego construye un gráfico que muestre estos valores. ¿Qué resultados nos entrega este gráfico?

22

Estadística I

f. Discute con tus compañeros acerca de la escasez del agua y su mal uso.

4. La siguiente tabla de frecuencias muestra la cantidad de colesterol total de un grupo de pacientes cuya edad es de 50 a 60 años. Colesterol total (mg/dl)

Frecuencia

170 – 179

4

180 – 189

7

190 – 199

12

200 – 209

16

210 – 219

35

220 – 229

37

230 – 239

11

240 – 249

8

a. Calcula las frecuencias relativas para cada intervalo. b. Se considera un nivel normal de colesterol entre 200 y 239 (mg/dl). ¿Cuántos de los pacientes se encuentran dentro de los niveles normales? c. Construye en Excel un histograma para comparar la frecuencia de cada intervalo. ¿Qué puedes concluir?

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I EJERCICIOS 5. En septiembre del año 2003, la Fundación Futuro realizó un estudio en 34 comunas de Santiago, que arrojó los siguientes resultados, respecto a la siguiente pregunta: ¿En qué lugar se siente más seguro? Casa %

Lugar Lugares Calle de trabajo públicos % % %

6. La siguiente tabla muestra la disponibilidad de agua (en miles de metros cúbicos) por persona en el año 1950 y en el año 2000. 1950

2000

17,8

4,8

Asia

7,6

2,9

Europa

5,9

4,5

África

Muy seguro

53

41

41

13

América del Norte

32,4

17,6

Muy inseguro

47

30

55

86

América Latina

72,1

22,8

No responde

1

29

5

1

Ex URSS

24,1

14,8

Oceanía

159,5

65,6

Fuente: Estudio Fundación Futuro, julio 2005.

a. Construye un gráfico circular para cada uno de los lugares. ¿Qué puedes concluir? b. Construye un histograma que muestre las diferencias entre los cuatro lugares. ¿A qué crees que se deba esta diferencia? c. Si la muestra de la encuesta anterior fue de 402 personas, ¿cuántas personas corresponden a cada categoría? d. La encuesta fue realizada telefónicamente. ¿Cómo influye este hecho en los resultados de la encuesta? Discútelo con tus compañeros(as). e. ¿Qué medidas implementarías para mejorar los problemas relacionados con la seguridad?

Fuente: FAO (Food and Agriculture, Organization of the United Nations)

a. Construye un gráfico de barras que permita comparar la disponibilidad de agua durante ambos períodos. b. Calcula el porcentaje de descenso para cada lugar. c. ¿Por qué crees que en algunos lugares el descenso de la cantidad de agua es mayor que en otras? d. ¿Qué crees que sucederá con la disponibilidad de agua en 50 años más? e. Construye un gráfico circular que muestre la diferencia de disponibilidad de agua en el año 2000. ¿Qué puedes concluir? ¿A qué se debe la diferencia?

Estadística I

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EJERCICIOS RESUELTOS

Unidad 1 ESTADÍSTICA I

Ejercicio 1 Los siguientes gráficos piramidales, muestran la distribución poblacional de Chile en tres años diferentes. Observa y luego responde las siguientes preguntas. a. ¿Cuántos hombres aproximadamente comprende el intervalo 关10, 24兴 en cada uno de los años mostrados en los gráficos? b. ¿En qué año la población masculina comprendida en el intervalo 关10, 24兴 presentó una mayor diferencia por tramos de edad? c. ¿Qué consecuencias geográficas podrían derivarse de la pirámide poblacional proyectada para el año 2025? d. ¿En qué tipo de análisis es recomendable la utilización de gráficos piramidales? Chile: Población estimada al 30 de junio

1950

Edad (años)

2000

Edad (años)

80 y más 75 – 79 70 – 74 65 – 69 60 – 64 55 – 59 50 – 54 45 – 49 40 – 44 35 – 39 30 – 34 25 – 29 20 – 24 15 – 19 10 – 14 5–9 0–4

Edad (años)

500 400 300 200 100

800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800

0 100 200 300 400 500

Miles de personas

Miles de personas Hombres

2025

80 y más 75 – 79 70 – 74 65 – 69 60 – 64 55 – 59 50 – 54 45 – 49 40 – 44 35 – 39 30 – 34 25 – 29 20 – 24 15 – 19 10 – 14 5–9 0–4

80 y más 75 – 79 70 – 74 65 – 69 60 – 64 55 – 59 50 – 54 45 – 49 40 – 44 35 – 39 30 – 34 25 – 29 20 – 24 15 – 19 10 – 14 5–9 0–4

800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800

Miles de personas Fuente: Proyecciones de población INE-CELADE.

Mujeres

Solución a. Para responder, debemos determinar la frecuencia de cada uno de los tramos comprendidos en el intervalo 关10, 24兴, es decir, en los tramos 关10, 14兴, 关15, 19兴, 关20, 24兴 para cada año. Intervalo

1950 Frecuencia absoluta

Frecuencia acumulada

Intervalo

2000 Frecuencia absoluta

[10, 14]

300.000

300.000

[10, 14]

[15, 19]

280.000

580.000

[15, 19]

[20, 24]

300.000

880.000

[20, 24]

Cantidad de habitantes por kilómetro cuadrado. Cantidad de hombres comprendidos en el intervalo 关10, 24兴, por cada año.

24

Estadística I

Frecuencia acumulada

Intervalo

2025 Frecuencia absoluta

700.000

700.000

[10, 14]

700.000

700.000

650.000

1.350.000

[15, 19]

700.000

1.400.000

600.000

1.950.000

[20, 24]

700.000

2.100.000

Frecuencia acumulada

b. Si observamos la frecuencia acumulada para cada año, podemos concluir que en el año 2025 la población masculina comprendida en el intervalo 关10, 24兴 presentará una mayor diferencia por tramos de edad. c. Dado que en el año 2025 se observa un importante incremento de la población, uno de los principales problemas podrá estar dado por la densidad, y como consecuencia, el espacio disponible por individuo se verá disminuido. d. Se recomienda el uso de gráficos piramidales para realizar comparación de variables que presentan más de una categoría, por ejemplo, sexo.

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I

Ejercicio 2 El siguiente gráfico circular muestra la distribución de personas de 60 años o mayores, según estado civil en Chile. a. Determina el porcentaje correspondiente a cada categoría. b. Determina el ángulo central aproximado correspondiente a cada uno de los grupos indicados en el gráfico.

65.142 364.120 Casado Conviviente Soltero Viudo Anulado o separado

150.833 684.590 40.872

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas, www.ine.cl, Julio 2005.

Solución a. Para calcular el porcentaje correspondiente a cada categoría, completaremos la siguiente tabla de frecuencias. Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa porcentual (%)

684.590

0,524

52,43

40.872

0,031

3,13

Soltero

150.833

0,115

11,55

Viudo

364.120

0,27

27,9

65.142

0,05

4,98

1.305.557

0,99

99,99

Categoría Casado Conviviente

Anulado o separado Total

b. Ahora que hemos calculado los porcentajes correspondientes, determinaremos el ángulo central correspondiente a cada grupo. Sabemos que los 360º del círculo representan la frecuencia relativa porcentual acumulada, es decir 100%, por lo tanto cada 1% corresponderá a 3,6º. Luego para obtener el ángulo correspondiente, basta con multiplicar cada porcentaje por 3,6. Nos queda: Categoría

%

Ángulo (grados)

52,43

188,75

3,13

11,27

Soltero

11,55

41,58

Viudo

27,9

100,44

Casado Conviviente

Anulado o separado Total

4,98 99,99

Porcentaje correspondiente a cada categoría.

Resolviendo la proporción 360º 100% = xº 1% x = 3,6º

Ángulo correspondiente a cada categoría.

17,93 359,9

Estadística I

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DESAFÍOS

Unidad 1 ESTADÍSTICA I

1. (Ensayo PSU, 2004) En un curso cada estudiante puede optar solamente por una actividad extraprogramática: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro. ¿Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje de estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?

A. Solo I

D. I y II

B. Solo II

E. I y III

C. Solo III

4. (Pisa, 2003) Un presentador de TV mostró este gráfico y dijo: “El gráfico muestra que hay un enorme aumento del

A. Menos del 91%

número de robos comparando 1998 con 1999”.

B. Entre el 91% y el 93% C. Entre el 93% y el 95% D. Entre el 95% y el 97% E. Más del 97%

2. (Ensayo PSU, 2004) La distribución del número de horas que duraron encendidas 200 ampolletas está dada en el gráfico siguiente. La duración promedio de una ampolleta en horas, aproximadamente, es: No de ampolletas

A. 1

100

B. 380 C. 400

5. (Pisa, 2003) Los siguientes gráficos muestran información sobre las exportaciones de Zedlandia, un país cuya moneda es el zed.

50

D. 480 E. 580

¿Consideras que la afirmación del presentador es una interpretación razonable del gráfico? Da una explicación que fundamente tu respuesta.

10 0 200

400

600

Total de las exportaciones anuales de Zedlandia en millones de zeds, 1996–2000

800 horas

Distribución de las exportaciones de Zedlandia en el año 2000

50 45

3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) El estadio A de una ciudad tiene capacidad para 40.000 personas sentadas y otro estadio B para 18.000. Se hacen eventos simultáneos; el A se ocupa hasta el 25% de su capacidad y el B llena solo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I)

El estadio A registró mayor asistencia de público que el B. II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habría quedado en este, menos del 50% de sus asientos vacíos. III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a la capacidad de B.

26

Estadística I

42,6

40

Tejido de algodón 26%

37,9

35 30 25,4

27,1

25

Carne 14%

Lana 5%

20,4 20

Tabaco 7%

15

Zumo de fruta 9%

10 5 0

Otros 21%

1996

1997

1998

1999

Té 5% Arroz 13%

2000

Año

¿Cuál fue el valor de las exportaciones de zumo de fruta en el año 2000? A. 1,8 millones de zeds. B. 2,3 millones de zeds. C. 2,4 millones de zeds. D. 3,4 millones de zeds. E. 3,8 millones de zeds.

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MEDIOS

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I

Indicadores mensuales: INE En la página web del Instituto Nacional de Estadísticas (INE) se publican mensualmente las variaciones que experimentan los precios de los productos con lo cual se obtiene el IPC del mes. El siguiente texto corresponde a las variaciones de julio del 2005. Una variación mensual de 0,6% experimentó el IPC en julio, con lo cual la inflación acumulada en el año es de 2,4%. En doce meses se registra un alza de 3,1%. El grupo Transporte, con un aumento promedio de 1,5%, muestra la más importante alza de precios. También se observaron aumentos en los grupos Vivienda (0,8%), Salud (0,7%), Alimentación (0,6%) y Equipamiento de la Vivienda (0,1%). En tanto, los precios del grupo Vestuario cayeron en 0,8%, fundamentalmente por las liquidaciones de temporada. Por otra parte, este grupo muestra una tendencia a la baja que se refleja en una caída de 16,4% en los últimos cinco años. Los grupos Educación y Recreación y Otros se mantuvieron sin variación respecto de junio. Especial incidencia en el alza del grupo Vivienda tuvo el aumento del precio de la electricidad que alcanzó al 4,4%. Éste obedeció al efecto rezagado del aumento de tarifas de mediados de junio. Entre los veinte productos con mayor ponderación en el cálculo del IPC resaltan las alzas de la bencina y el gas licuado, frente a caídas en los precios medios del pasaje de micro, el agua potable y el dividendo hipotecario.

1.

Actualiza esta información según la fecha en que te encuentres ingresando a la página web del INE.

2.

¿Cuál es la variación histórica del IPC del mes buscado?

3.

¿Cuáles son los productos con mayor variación? ¿Y cuáles son los que no tuvieron variación?

4.

¿Qué elementos importantes hacen que se produzcan variaciones importantes del IPC?

Estadística I

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SÍNTESIS

Mapa conceptual

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos clave dados.

Conceptos clave: Población Muestra Variables Clase Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Intervalos Diagrama de tallo y hoja Gráficos

Resumen

1 Población: conjunto completo de individuos u objetos a observar, que tienen una característica que se desea medir.

2 Muestra: parte representativa de la población sobre la que se efectúa la medición.

3 Variable estadística: característica o atributo que se observa en cada uno de los elementos de la población y que se mide en la muestra.

4 Variable cualitativa: son aquellas que no se pueden expresar con números, pues representan una cualidad (color de pelo, comuna, deporte preferido, etc.).

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Estadística I

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3:10 PM

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I 5 Variable cuantitativa: son aquellas que se pueden expresar numéricamente, pues representan una cantidad (edad, peso, cantidad de habitantes, etc.).

6 Frecuencia absoluta: número de veces que se repite un valor de la variable en la muestra.

7 Frecuencia relativa: razón entre la frecuencia absoluta y el número total de elementos de la muestra.

8 Frecuencia relativa porcentual: corresponde a la frecuencia relativa expresada en porcentaje.

9 Diagrama de tallo y hoja: sirve para comparar la distribución de frecuencias, se puede realizar considerando una o dos variables.

10 Tipos de gráficos: los gráficos nos permiten representar la información de manera visual, algunos de ellos son: Gráfico de barras

Gráfico circular

4%

9%

20%

8% 12%

18% 25%

4%

Gráfico de dispersión

Histograma

90 80 70 60 50 40 30 20 10

6 5 4 3 2 1 0

0

10

20

30

40

50

60

70

1

2

3

4

5

6

7

Estadística I

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EVALUACIÓN

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I

1. De las siguientes afirmaciones, son correctas:

5. El gráfico que mejor representa la tabla es:

I)

Los chinos hacían censos desde hace miles de años atrás. II) La palabra estadística comenzó a usarse en Alemania. III) Pearson es considerado el padre de la Estadística Moderna. A. Solo I B. I y II C. II y III

D. I y III E. Todas.

2. En un análisis estadístico, el conjunto de todos los elementos que conforman el objeto de estudio se llama: A. B. C. D. E.

rango. marca de clase. muestra. población. datos.

3. La estatura de un grupo de personas, empleada para un estudio estadístico, es una variable: I) cuantitativa. II) continua. III) discreta.

Nº de semanas

fi

0

2

1

4

2

15

3

2

A.

D.

B.

E.

C.

6. Catalina quiere estudiar psicología. La tabla muestra sus resultados y las ponderaciones pedidas. N.E.M.

PSU Leng.

PSU Matem.

PSU Hist. y Geog.

PSU Ciencia

740

712

770

605

610

20%

20%

30%

10%

20%

Con respecto a la tabla es verdadero que: A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo I y III

4. El tipo de muestra que es adecuado escoger para un estudio estadístico, es: A. B. C. D. E.

30

una muy grande. una muy pequeña. una proporcional a la población. una representativa de la población. según sea el caso.

Estadística I

I)

El puntaje de postulación es levemente superior a 700. II) La prueba de más valor es la de matemática. III) Si el 10% del valor de la prueba de historia se va a la prueba de lenguaje, el puntaje de lenguaje aumenta unos 10 puntos. A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III I y II Todas.

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I 7. El gráfico muestra las temperaturas máximas del mes de enero en el Valle Central. días 6 5

9. El ser humano debe consumir mayormente: I) II) III) IV)

grasas. proteínas. carbohidratos. fibra.

4

A. Solo I

D. Solo II y III

2

B. Solo III

E. Todas las anteriores.

1

C. Solo I y II

3

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 ºC

Con respecto a la información del gráfico es falso que:

10. De los siguientes gráficos el único que presenta una variabilidad homogénea es: A.

C.

B.

D.

E.

A. Más de la mitad del mes hubo entre 29º a 31º. B. Los días más calurosos tuvieron temperaturas de 30º y 31º. C. La menor frecuencia fue 34º. D. Ningún día la máxima fue 34º. E. 11 días hubo menos de 30º. El gráfico circular nos muestra los porcentajes de los componentes alimenticios que el ser humano debiera consumir. 25% Carbohidratos Fibra Proteínas Grasas 15%

57%

3%

Fuente: RDA (Recommended Dietary Allowences)

Según el gráfico anterior contesta las siguientes preguntas: 8. ¿Qué porcentaje corresponde a aquellos componentes alimenticios que no sean carbohidratos? A.

43 100

C.

1 4

B.

3 100

D.

3 20

E.

57 100

11. La siguiente tabla de frecuencias muestra las calificaciones de un examen de matemática. ¿Cuál es la proposición falsa? Calificaciones

Cantidad de alumnos

7.0 6.9 – 6.0 5.9 – 5.0 4.9 – 4.0 3.9 – 3.0 2.9 – 2.0

3 6 5 13 10 3

A. Hay 6 alumnos que tienen una calificación entre 6.0 y 6.9. B. Hay 14 alumnos que tienen una calificación mayor a 4.9. C. El total de la muestra es de 40 alumnos. D. Hay 13 alumnos que obtuvieron nota insuficiente. E. Hay 11 alumnos que calificaron con nota inferior a 7.0 y superior a 6.0.

Estadística I

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EJERCICIOS DE REFUERZO

Unidad 1 ESTADÍSTICA I

1. Determina cuál de las siguientes muestras son representativas. En el caso de que no lo sean, explica por qué. a. Se aplicó una encuesta durante la campaña para la elección de senadores de una región. El muestreo se realizó seleccionando 2.000 personas al azar, a las cuales se las llamó por teléfono. Para la selección se usó la guía de la región. b. En un hospital se hace una encuesta acerca de los hábitos alimenticios de los pacientes, para ello cada médico debe encuestar a tres pacientes en una semana; la selección debe ser al azar. c. En un club social y deportivo quieren saber qué deportes nuevos le interesan a sus asociados, para ello encuestaron a los asistentes a un bingo un día sábado.

a. Construir una tabla de frecuencias para cada categoría. b. Construir un gráfico de dispersión para cada categoría. c. Compara ambas distribuciones ¿qué conclusiones puedes obtener? 4. La siguiente tabla de distribución de frecuencias agrupa las marcas, expresadas en metros, obtenidas por un grupo de estudiantes en el lanzamiento del disco. Intervalo (m)

fi

34,1 – 34,9

12

35,1 – 35,9

15

36,1 – 36,9

18

37,1 – 37,9

30

38,1 – 38,9

28

39,1 – 39,9

20

40,1 – 40,9

17

41,1 – 41,9

6

42,1 – 42,9

4

2. La siguiente tabla presenta los gustos musicales de los alumnos(as) de dos cuartos medios. Música

fi

Sound

5

Hip-hop

7

Romántica

12

Rock

16

Reagee

10

a. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo marcas en el intervalo 39,1 – 39,9? b. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo una marca igual o superior a los 40 m? a. Calcula la frecuencia relativa de cada tipo de música.

b. Construye un gráfico circular.

3. El siguiente diagrama de tallo y hoja, nos permite visualizar el porcentaje de atenciones respiratorias en niños, de abril a julio del 2005 (datos aproximados) www.minsal.cl . Niños menores 1 año

9 6 4 2 0 9 8 3 3 2 7 5 3 2 1 0 1

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Estadística I

Niños entre 1 y 14 años

5 6 7 8 9

4 1 2 1

6 9 2 3 4 9 2 5 7 7 7 8 1

5. Completa la siguiente tabla de distribución de frecuencias correspondientes a las medidas de una pieza de motor, después de un año de uso. Expresa las frecuencias relativas aproximadas a las milésimas (tres decimales). Intervalo (mm)

fi

100 – 109

4

110 – 119

17

120 – 129

29

130 – 139

18

140 – 149

10

150 – 159

5

160 – 169

2

fr

Frecuencia relativa porcentual

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Unidad 1 ESTADÍSTICA I 6. Dibuja, en un solo gráfico, el histograma y el polígono de frecuencias correspondiente a la tabla del ejercicio anterior. 7. Los siguientes datos corresponden a la duración en horas, de uso continuo de 50 dispositivos electrónicos iguales, sometidos a un control de calidad.

9. Construye un diagrama de tallo y hoja con los datos del ejercicio 7. 10. El siguiente gráfico muestra la principal razón para no estar estudiando, según nivel socioeconómico (NSE). Principal razón para no estar estudiando por NSE 54,3 50,4

47

480 570 775 826 890 666 830 680

496 802 712 560 590 746 452 660

724 795 683 794 750 668 810 490

780 886 830 676 489 880 720 895

801 714 560 760 725 570 680 660

Construye una tabla de distribución de frecuencias agrupadas que considere las columnas: intervalo, frecuencia absoluta, frecuencia relativa.

8. A un curso de 40 estudiantes de cuarto medio se les preguntó su grupo sanguíneo. grupo O 42%

grupo AB 8%

grupo A 32%

grupo B 18%

a. ¿A qué tipo de gráfico corresponde el representado? b. ¿Qué procedimiento utilizarías para encontrar la cantidad de personas por grupo sanguíneo? c. Realiza un gráfico de barras cuyas variables sean el grupo sanguíneo y su frecuencia absoluta.

Problemas económicos/ trabajo

31,2

Porque tengo que cuidar a mi hijo 19,2 Terminé mi educación

14,1 14 8,8

9

Alto

Medio Nivel socioeconómico

Bajo

a. ¿Qué NSE presenta, en mayor medida, motivos para no poder terminar los estudios? b. ¿Cuál es el que tiene más personas con sus estudios terminados? 11. Los datos que se indican a continuación corresponden a g/dl de hemoglobina en la sangre de pacientes hombres entre 25 y 35 años de edad. 14,3 15,0 15,2 13,2 15,4 15,2 15,1 14,3 15,5 13,9 14,7 15,8 14,8 15,7 14,6 16,3 17,2 16,0 17,5 15,7

15,1 14,5 15,7 15,4 16,2 15,3 15,2 14,6 14,1 15,0 14,7 16,4 14,8 16,5 14,9 16,5 15,8 17,1 16,8 15,9

15,3 15,2 15,4 16,1 14,2 16,7 14,2 13,3 15,5 16,2 15,0 17,3 16,4 14,8 15,6 16,9 16,3 16,8 16,4 16,1

15,5 14,2 15,8 17,1 15,4 15,5 13,2 15,2 14,8 15,2 14,9 14,7 16,8 15,6 16,0 17,3 15,9 16,7 17,4 15,8

13,0 15,9 17,5 15,2 13,3 16,9 15,3 14,3 13,6 14,9 15,9 16,3 15,0 14,8 14,7 15,8 16,9 17,3 16,0 16,4

Con ayuda de una planilla Excel, construye una tabla de frecuencias que agrupe estos datos.

Estadística I

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UNIDAD

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2 Estadística II A veces, cuando las poblaciones son muy grandes, es muy difícil, por problemas de tiempo y dinero, hacer un análisis que incluya a toda la población. Por este motivo, lo que se hace es estudiar una parte de ella, llamada muestra; cuando los individuos de la muestra han sido seleccionados de acuerdo a procedimientos estadísticos, se pueden sacar conclusiones que caracterizan a toda la población. A estos resultados los llamaremos inferencias. Es común, hoy en día, recibir invitaciones a participar de encuestas en la mayoría de los sitios de Internet relacionados con las comunicaciones o empresas que necesitan saber lo que quieren sus clientes. Por ejemplo, en un diario electrónico se publicó una encuesta sobre la creencia en extraterrestres. En relación con ella, ¿se puede decir que el 67% de las personas cree en extraterrestres? ¿Bastará con encuestar a 316 personas para obtener conclusiones relevantes?

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Estadística II

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En esta unidad aprenderás a... Conocer las medidas de tendencia central: promedio, mediana y moda. Conocer las medidas de dispersión: rango, desviación media, desviación estándar. Trabajar con las medidas de localización: cuartiles, deciles, percentiles. Conocer y trabajar con muestras, identificando niveles de confianza y margen de errores.

Explora Realiza el laboratorio 1 correspondiente a la unidad 2 que aparece en www.santillana.cl/emedia.cl/mat4

Estadística II

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REPASO

¿Cuánto sabes?

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II 1. Calcula el valor de x en las siguientes proporciones. a.

6 15 = 24 x

c.

1 15 1 : = :x 6 12 3

b.

7 x = 21 900

d. x : 2,4 = 3 : 1,8

e.

0,7 2,5 = x 1,4

f.

x 24 = 6 x

2. Calcula los siguientes porcentajes. a. 10% de 457

c. 99% de 1.246

e.

18% de 310.000

b. 25% de 398

d. 5,7% de 45.980

f.

60% de 94.327

3. Completa. a. 281,49 representa el

% de 853

b. 38.000 representa el

% de 95.000

c. 13.891,5 representa el

% de 18.522

d. 2.809,8 representa el

% de 46.830

e. 652 representa el

% de 65.200

f. 55.928,95 representa el

% de 76.615

4. En una empresa se ha entregado la planilla de sueldos correspondiente al mes de julio. Completa la planilla para poder saber cuánto dinero recibe cada persona al cobrar su sueldo. Nombre

Sueldo (imponible)

Daniel

$ 165.249

Carolina

$ 237.860

Andrea

$ 551.925

Sebastián

$ 618.004

Jorge

Fonasa o Isapre

AFP

(7% del imponible)

(13% del imponible)

Sueldo líquido

$ 1.045.776

5. Usando tu calculadora, evalúa cada expresión dados los siguientes valores (aproxima el resultado a tres decimales): a= a. b.

a + bd − c a : a4 + b2 i acd c

c. a i d − c2

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Estadística II

1 9

b=0

c = –5

d = 80

d. (c – b : d3) : (a2 + d ) e.

abc3d c

f. a – b + c – d2

g. (b − c ) :

c4 2a

h. (c – a) • (b + d) i.

3

(a + d)6

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II 6. Los siguientes datos corresponden a las estaturas, en metros, de los alumnos de IV Medio de un colegio. Mujeres 1,56 – 1,49 – 1,63 – 1,71 – 1,56 – 1,55 – 1,61 – 1,74 – 1,68 – 1,52 – 1,57 – 1,48 – 1,54 – 1,60 – 1,55 – 1,54 – 1,49 – 1,50 – 1,56 – 1,53 – 1,72 – 1,66 – 1,53 – 1,62 – 1,59 – 1,63 – 1,71 – 1,69 – 1,73 – 1,67 – 1,59 – 1,63 – 1,65 – 1,76 – 1,61 – 1,57 – 1,58 – 1,71 – 1,51 – 1,66 – 1,64 – 1,63 Hombres 1,65 – 1,69 – 1,74 – 1,81 – 1,72 – 1,68 – 1,61 – 1,73 – 1,79 – 1,81 – 1,74 – 1,85 – 1,84 – 1,76 – 1,66 – 1,69 – 1,73 – 1,72 – 1,76 – 1,79 – 1,86 – 1,69 – 1,63 – 1,79 – 1,77 – 1,76 – 1,74 – 1,81 – 1,83 – 1,69 – 1,74 – 1,77 – 1,71 – 1,75 – 1,68 – 1,88 – 1,76 – 1,74 – 1,68 – 1,83 – 1,81 – 1,73 – 1,76 – 1,78 – 1,76 – 1,79 – 1,83 – 1,66

a. Determina el valor máximo y mínimo en cada caso. b. Construye un gráfico de barras y un polígono de frecuencias con la estatura de todos los alumnos de IV Medio. c. Usando una planilla Excel, construye un gráfico de dispersión que permita comparar la estatura de los hombres y la estatura de las mujeres. ¿Qué conclusiones puedes obtener?

1 Teorema fundamental de las proporciones: “Dos razones forman una proporción si y solo si el producto de sus términos extremos es igual al producto de sus términos medios”.

¿Qué debes recordar?

términos extremos

a : b = c : d

⇔

a c = b d

⇔ a • d = b • c, b ≠ 0, d ≠ 0

términos medios

2 Para calcular el a% de un número b cualquiera, puedes aplicar el siguiente procedimiento: a • b 100 O puedes calcular x el a%.

•

b, donde x es la expresión decimal que representa

3 Sean a, b dos números reales cualesquiera. Para calcular a qué porcentaje corresponde a de b, puedes aplicar el siguiente procedimiento: Si x es el porcentaje, entonces x =

a • 100 . b

4 Población: es un conjunto de personas, situaciones o cosas de las cuales se desea hacer un estudio y las cuales tienen una característica en común. 5 Muestra: es un subconjunto cualquiera de la población.

Estadística II

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CONTENIDOS

Unidad 2 ESTADÍSTICA II

Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central nos dan una idea acerca del comportamiento de los datos a los que se refieren. Se puede decir que expresan el grado de centralización de los datos que representan. Antes de profundizar en las principales medidas de tendencia central, es necesario conocer la siguiente notación de sumatoria. Una suma como x1 + x2 + x3 + x4 + … + xn se puede expresar de manera resumida mediante el uso del símbolo de sumatoria: Σ.

TIPS El símbolo Σ es la letra griega “sigma” mayúscula. Corresponde a la decimoctava letra del alfabeto griego, que equivale a la letra S de nuestro alfabeto.

La suma de los términos de la forma xk, donde k es un número natural que n

varía desde 1 a n, se simboliza por n

Entonces,

Σx

k

Σx

k.

k=1

= x1 + x2 + x3 + x4 + … + xn

k=1

PA R A A R C H I VA R

AY U D A 5

1+2+3+4+5=

Σ

k

El uso de sumatoria tiene evidentes ventajas, puesto que permite escribir fórmulas de manera reducida.

k=1

Media aritmética TIPS La media aritmética se designa – por el signo x .

La media aritmética de n datos numéricos que expresan cantidades, es el cociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia total de ellos. n

x + x2 + x3 + x4 + … + xn – x = 1 = n

Es decir,

TIPS El promedio que se emplea en las calificaciones escolares, corresponde a la media aritmética de estas.

Σx

k=1

k

n

Ejemplo 1 La siguiente tabla muestra el precio (en pesos) de un cuaderno en diferentes tiendas comerciales (según un estudio del SERNAC). Tienda 1

Tienda 2

Tienda 3

Tienda 4

Tienda 5

940

1.100

845

820

745

Calculemos la media aritmética de los precios anteriores: 940 + 1.100 + 845 + 820 + 745 4.450 – x = = = 890 pesos 5 5 Observa que el promedio en este caso no coincide con ninguno de los valores dados en la tabla. 38

Estadística II

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II Ejemplo 2

AY U D A

La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias de los puntajes obtenidos por 50 alumnos en una prueba de matemática. Intervalo

Frecuencia absoluta Marca de clase (xi) (fi)

fi

•

5

62

310

65 – 69

5

67

335

70 – 74

8

72

576

75 – 79

12

77

924

80 – 84

16

82

1.312

85 – 89

4

87

348

– El promedio de los valores está dado por x =

PA R A A R C H I VA R

Σfi Σfi xi = Σfi •

•

se calculó la media aritmética para datos agrupados (separados en intervalos, en una tabla de frecuencias).

xi

60 – 64

Σfi = 50

• Observa que, en el ejemplo 2,

• La marca de clase es un valor

representativo de cada intervalo, corresponde al punto medio de este y lo calculamos sumando cada extremo del intervalo y dividiéndolo en dos. Si se conocen solo los intervalos y no los datos, para calcular el promedio, consideraremos que el valor de los datos corresponde a la marca de clase del intervalo al que pertenecen (se puede calcular de manera abreviada como un promedio ponderado).

xi = 3.805

3.805 = 76,1 puntos. 50

n

Para calcular la media aritmética de datos no agrupados utilizamos la

•

Σ

f

•

x=

Σ

xk

k=1

n

i

i

n

fórmula

Σ f Σf

xi • i=1 n

Σfi xi , Σfi

i=1

•

, mientras que para datos agrupados utilizamos

donde fi es la frecuencia absoluta y xi la marca de clase correspondiente a cada intervalo.

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Desarrolla el laboratorio 2. www.santillana.cl/emedia/mat4

EJERCICIOS 1. Un alumno obtuvo las siguientes notas parciales en Matemática: 4,8; 2,5; 6,0; 3,9 y una quinta nota que no recuerda. Si su promedio fue 4,6, calcula la nota que falta. 2. Dos alumnos obtuvieron el mismo promedio semestral de notas. ¿Significa que tuvieron las mismas notas? Justifica numéricamente tu respuesta.

3. En una oficina, el jefe gana $ 540.000 y tres empleados ganan $ 100.000, $ 155.000 y $ 165.000, respectivamente. La media aritmética de los sueldos, ¿es un valor representativo de esos sueldos? 4. En una muestra de control se midieron 10 clavos de una bolsa, con los siguientes resultados: 5 de 2,00”; 3 de 1,99” y 2 de 2,05”. Calcula la longitud media de la muestra.

Estadística II

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CONTENIDOS

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II Ejemplo 3 Un alumno que postula a la Universidad tiene los siguientes puntajes en las Pruebas de Selección Universitaria (PSU) y en sus notas de Educación Media.

AY U D A La importancia de un dato se traduce en un número que corresponde a su ponderación.

Puntaje

Ponderación (%)

Prueba Lenguaje

680

10

Prueba Matemática

752

20

Prueba Ciencias

640

10

Prueba Historia y Geografía

720

40

Notas E. Media

590

20

Calculemos su puntaje ponderado, es decir, la media aritmética ponderada de sus puntajes: 10 • 680 + 20 • 752 + 10 • 640 + 40 • 720 + 20 • 590 68.840 – x= = = 688,4 puntos. 10 + 20 + 10 + 40 + 20

100

Hemos calculado la media aritmética ponderada, la cual nos sirve para calcular el promedio de datos que no tienen igual ponderación.

PA R A A R C H I VA R Si pk es la ponderación de un dato xk, el promedio ponderado se obtiene n

– utilizando la siguiente expresión: x =

Σx

k•

pk

k=1

n

Σp

k

k=1

AY U D A La mediana divide los datos en dos subconjuntos que contienen igual cantidad de elementos.

Mediana La mediana de un conjunto de datos numéricos ordenados en forma creciente o decreciente, es el dato que se encuentra al centro de dicha ordenación, o la media aritmética de los datos centrales (en caso que la muestra tenga un número de datos pares). Ejemplos

EN EQUIPO

1

3

6

7

Mediana: 6 Averigüen el promedio de notas por cada alumno del curso. Ordenen la información en una tabla de frecuencia, luego determinen media, mediana y moda. ¿Qué pueden concluir?

40

Estadística II

9

1

3

4

5

7

9

Mediana: 4,5 (promedio entre 4 y 5)

Moda La moda de un conjunto de datos, es aquel que tiene la mayor frecuencia.

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II

Medidas de dispersión Las medidas de dispersión determinan cuán cercanos o lejanos están los datos de un valor central, respecto a la media aritmética. También indican el grado de variabilidad de los datos. En estas páginas estudiaremos algunas de ellas: rango, desviación con respecto a la media y la desviación estándar o típica. Ejemplo El colegio otorgará una beca de matrícula para la universidad, al alumno cuyo buen rendimiento se haya mantenido por mayor tiempo, en el último trimestre de 4º medio. Para calcular el mejor promedio solo consideraron algunas asignaturas. Los mejores alumnos de la promoción fueron Pablo y Soledad. La media aritmética (promedio) de cada uno es 6,3. Si solo uno debe ser elegido ¿quién ganará la beca? Las calificaciones son las siguientes: Lenguaje

Matemática

Historia

Ciencias

Pablo

6,2

6,8

5,8

6,4

Soledad

6,9

5,0

7,0

6,3

Observa la siguiente representación de las calificaciones,

AY U D A

6,3

Pablo 5,8

6,4

6,2

6,8

6,3

Soledad

5,0

6,3

6,9 7,0

Las calificaciones de Pablo se encuentran más cercanas a la media aritmética, que las notas de Soledad. Es decir, las calificaciones de Soledad se encuentran más dispersas. ¿Es suficiente este argumento para optar por Pablo, como un alumno que ha mantenido su buen rendimiento? Las medidas de dispersión nos permitirán realizar un análisis más certero. Rango Anteriormente utilizamos el rango para determinar el tamaño de cada intervalo en una tabla de frecuencias. Simbolizaremos el rango por la letra R. Aunque no es una medida muy significativa, este nos indica cuán dispersos se encuentran los datos entre los valores de los extremos. Pablo

R: 6,8 – 5,8 = 1

Soledad

R: 7,0 – 5,0 = 2

Como el valor del rango de las notas de Pablo es menor que el de Soledad, podemos decir que sus calificaciones son menos dispersas. Por lo tanto, sería el más apto para ganar el premio por mantener un buen rendimiento.

Recuerda que el rango de un conjunto de datos numéricos, se calcula como la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.

TIPS ¿Qué significado tiene un rango de notas 4,2 respecto de las notas de otro alumno cuyo rango es 2,1? En el primer caso las notas están más dispersas que en el segundo. Sin embargo, no sabemos en qué caso son mejores; para determinarlo debemos disponer de más información. Muchos conjuntos de notas pueden tener rango 2,1 y sus respectivas medias aritméticas ser muy diferentes.

Estadística II

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CONTENIDOS

Unidad 2 ESTADÍSTICA II

Desviación media

TIPS La idea de desviación representa el mayor o menor alejamiento – de un dato con respecto a x .

La media aritmética de ambos alumnos es de 6,3. Si calculamos la diferencia de una nota con la media aritmética tendremos – la desviación de la nota con respecto a x . Las desviaciones de todas las – notas, de Pablo y Soledad, con respecto a x = 6,3 se indican a continuación:

Pablo

Soledad

Nota Desviación respecto a la media

x

6,2

6,8

5,8

6,4

Nota

– x–x

–0,1

0,5

–0,5

0,1

Desviación respecto a la media

x

6,9

5,0

7,0

6,3

– x–x

0,6

–1,3

0,7

0

Si sumamos las desviaciones medias de cada uno resulta 0.

AY U D A

PA R A A R C H I VA R

Comprobemos que la suma de las desviaciones es siempre 0:

– está La desviación de una variable x con respecto a la media aritmética x dada por la diferencia: d = x – x– . La suma de las desviaciones de todos los datos con respecto a su media aritmética es cero.

Pablo: –0,1 + 0,5 – 0,5 + 0,1 = 0 Soledad: 0,6 – 1,3 + 0,7 + 0 = 0

Para conocer quién presenta un valor de desviación, que nos indique cuán cercano o lejano está de la media aritmética, será necesario calcular el valor absoluto de la desviación. Pablo

Soledad

Nota Desviación respecto a la media

x

6,2

6,8

5,8

6,4

Nota

⎟x – x–⎟

0,1

0,5

0,5

0,1

Desviación respecto a la media 4

Desviación absoluta de Pablo:

TIPS

Σ⎟x

k=1

La desviación se puede calcular con respecto a cualquier valor, no solo respecto a la media aritmética. Esta puede ser positiva, cero o negativa.

EN EQUIPO Si las desviaciones se calculan en relación a un valor distinto de la media aritmética, ¿cuánto suman sus valores?, ¿por qué?

k

4

Desviación absoluta de Soledad:

Σ⎟x

k

k=1

Estadística II

6,9

5,0

7,0

6,3

⎟x – x–⎟

0,6

1,3

0,7

0

– – x⎟ = 0,1 + 0,5 + 0,5 + 0,1 = 1,2 – – x⎟ = 0,6 + 1,3 + 0,7 + 0 = 2,6

Como el valor de la desviación absoluta de Soledad es mayor, entonces las notas de Pablo son las que representan mejor un buen rendimiento durante un período de tiempo.

Se define desviación media como la media aritmética de las desviaciones absolutas respecto a la media. La designaremos como DM. n

DM =

Σ⎟x

k=1

k

– – x⎟

n

La DM de Pablo es 0,3 y la de Soledad es 0,65.

42

x

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II

Desviación estándar o típica

TIPS

Otra importante medida de dispersión es la desviación estándar. La desviación estándar o típica expresa el grado de dispersión de los – ) . Se designará con la datos con respecto a la media aritmética (x letra s, y se calculará de la forma: n

∑(x s=

k

k=1

− x)

TIPS

2

n

Continuando con el análisis de quién ganará la beca, obtendremos el valor de la desviación estándar de cada alumno:

Soledad

Pablo

4

Nota (x)

6,2

6,8

5,8

6,4

Σ共x

k=1

– (xk – x )2

0,01

0,25

0,25

0,01

Nota (x)

6,9

5,0

7,0

6,3

k

Σ共x

k=1

0,36

1,69

0,49

– 2 – x兲

s=

0, 52 ≈ 0, 36 4

s=

2, 54 ≈ 0, 79 4

Recuerda que la desviación estándar (s) puede estar referida a otro valor que no sea la media – – aritmética (x ). Si se emplea x , el valor de s que se obtiene es mínimo. En otros casos este valor sería mayor.

0,52 4

– (xk – x )2

La desviación estándar es muy inestable a pequeñas variaciones que se producen respecto a la media.

0

k

– 2 – x兲

2,54

Observamos que el valor de la desviación estándar de las notas de Pablo es menor que la de Soledad, entonces, podemos decir que las calificaciones de Pablo están más cercanas a la media, y son menos dispersas. Por lo tanto, el más indicado para ganarse la beca que otorga el colegio es Pablo, ya que sus calificaciones cumplen con haber mantenido un buen rendimiento.

PA R A A R C H I VA R

AY U D A La desviación típica (s) es un valor de la misma naturaleza que los datos con que se calcula. Si el valor de s en un conjunto de notas es s = 1,8, el número 1,8 se refiere a puntos de notas.

EN EQUIPO

Mientras menor sea el valor de la desviación estándar, el grupo de observaciones es más “homogéneo” que si el valor de la desviación estándar fuera más grande. O sea, a menor dispersión mayor homogeneidad y a mayor dispersión, menor homogeneidad.

Averigüen, ¿qué significa la palabra “homogéneo” y “heterogéneo”?

Desviaciones para datos agrupados Recordemos que los datos agrupados pertenecientes a una clase se consideran iguales a la respectiva marca de clase. Para datos agrupados, el cálculo de ambos tipos de desviaciones se puede aplicar al método abreviado, tal como se obtuvo en la media aritmética: Desviación media: Desviación estándar: DM =

∑f • x – x ∑f

s=

∑ f i ( x − x)

2

n

Estadística II

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II

EJERCICIOS 1. El análisis de las notas de un curso señala que en ambos trimestres el promedio en matemática es 5,1, al término del primer y segundo trimestre, la nota máxima es 7,0 y la mínima es 3,2. Sin embargo, los alumnos tienen la sensación de mejores resultados en un trimestre que en otro.

2. Un grupo de alumnos obtuvo las siguientes marcas, en salto con garrocha, expresadas en metros: 2,50 ; 2,80 ; 2,60 ; 3,00 ; 2,90. a. Comprueba que la suma de las desviaciones – de estos datos respecto a x es 0. b. Calcula la desviación media de los datos.

Primer trimestre 7,0 6,9 6,5 5,8 5,6

5,6 5,4 5,2 4,8 4,8

4,3 4,3 4,1 4,1 3,2

7,0 6,8 6,3 5,7 5,6

5,4 5,2 5,2 4,8 4,5

4,3 4,1 4,1 3,2 3,2

3. La tabla de distribución de frecuencias muestra la puntuación obtenida por 1.800 alumnos de 5º a 8º Básico en un cuestionario de cultura general.

Segundo trimestre 7,0 6,1 5,7 5,4 5,3

5,3 5,2 5,1 5,0 5,0

5,0 4,7 4,7 4,5 3,2

6,4 6,0 5,5 5,3 5,3

5,2 5,2 5,0 5,0 5,0

4,9 4,1 4,6 4,5 3,2

Responde las siguientes preguntas: a. ¿Cuánto es el coeficiente del rango en cada trimestre? ¿Qué trimestre tiene un coeficiente de rango menor? b. Según el coeficiente del rango, ¿qué trimestre presenta calificaciones más dispersas, en relación al promedio? c. ¿Cuánto es el valor del coeficiente de la desviación media en cada trimestre? d. Según la situación, ¿cómo interpretarías el coeficiente de desviación media? ¿Corrobora la “sensación” de los estudiantes? e. Calcula el coeficiente de la desviación estándar para cada trimestre. f. ¿Qué trimestre presenta calificaciones más homogéneas? g. ¿Cómo interpretarías el valor del coeficiente de desviación estándar? h. ¿Cuál fue el mejor trimestre?, ¿por qué lo consideras mejor? i. Construye la gráfica que mejor represente la situación.

44

Estadística II

Puntaje

Frecuencia

0–2 3–5 6–8 9 – 11 12 – 14 15 – 17 18 – 20 21 – 23 24 – 26 27 – 29

21 50 110 241 423 457 275 134 66 23

a. Calcula la desviación estándar de la distribución. b. ¿A qué cantidad de puntos corresponden los – – valores de x + s y x – s?

4. En una misma prueba de Matemática dos cursos A y B, obtuvieron resultados cuyos datos estadísticos son los siguientes: Curso A

Curso B

– x

5,3

5,4

s

0,7

0,4

De acuerdo con estos datos: a. Un alumno del curso A obtuvo un 6,7 y uno del curso B un 6,6. ¿A cuál de los alumnos le fue mejor en la prueba, en relación a su curso? b. Justifica la respuesta anterior y compártela con un compañero.

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II

Correlación

TIPS

La correlación indica el grado de asociación de dos variables; la influencia que pueda tener una sobre la otra, lo que a veces permite encontrar funciones que predicen ciertos comportamientos, como, por ejemplo, el modelo que se usa para aplicar la restricción vehicular.

Para calcular el coeficiente de x2 – 4x –en 960Excel = 0 se utiliza la correlación función estadística COEF. DE CORREL.

Veamos algunos ejemplos gráficos. Correlación positiva

Correlación negativa

AY U D A Correlación nula La correlación se puede medir usando el coeficiente de correlación lineal de Pearson (r). r=

sxy sx • sy

n

sxy =

Σxi

i=1

•

yi

– – x

•

– y

n

sx = Desviación típica x. sy = Desviación típica y.

PA R A A R C H I VA R El grado de asociación o correlación de dos variables puede ser: • positiva: están directamente relacionadas. • negativa: se relacionan de manera inversa. • nula: no existe relación entre ellas.

r cercano a 1, indica correlación positiva. r cercano a –1, indica correlación negativa. r cercano a cero, indica correlación nula.

EJERCICIOS 1. En las siguientes situaciones señala si la correlación es positiva, negativa o nula. a. Cantidad de hijos de una familia y dinero gastado por esa familia en el supermercado. b. Edad de una persona y cantidad de libros que ha leído. c. Promedio en matemática de cuarto medio y resultado de esa persona en la PSU de matemática. 2. Averigua los promedios que tus compañeros obtuvieron en el primer semestre en los subsectores de Lengua Castellana y Comunicación, Historia y Ciencias Sociales, Educación Matemática, Biología, Química y Física. a. Calcula los coeficientes de correlación entre: - Educación Matemática y Física - Educación Matemática y Química - Lengua Castellana y Comunicación

e Historia y Ciencias Sociales - Química y Biología - Lengua Castellana y Comunicación y Educación Matemática b. ¿Entre qué asignaturas existe mayor correlación? c. ¿Son lógicos los resultados? Justifica. 3. Al estudiar la relación entre la masa y la edad de los niños de un jardín infantil, la directora obtuvo que el coeficiente de correlación de Pearson era de 0,85, por lo que dedujo que había un alto grado de asociación entre ambas variables. Por otra parte, el director de una casa de reposo para ancianos hizo el mismo estudio, obteniendo como coeficiente de correlación 0,345, por lo que determinó que la edad no tenía ninguna relación con la masa. ¿A qué se deben estas diferentes conjeturas.

Estadística II

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CONTENIDOS

Unidad 2 ESTADÍSTICA II

Medidas de localización: cuartiles, percentiles y deciles Anteriormente aprendiste que la mediana de un conjunto de datos ordenados, de acuerdo a su magnitud, los separa en dos mitades. Ahora estudiaremos otros valores típicos que dividen a un conjunto de datos numéricos en cierta cantidad de partes iguales, como los cuartiles, deciles, percentiles.

La prueba de tolerancia a la glucosa se realiza mediante muestras de sangre, determinando si los niveles de glicemia están dentro de los percentiles considerados normales.

Cuartil Los cuartiles de una distribución de datos numéricos, corresponden a los 3 valores que dividen a estos en 4 partes iguales, es decir, al 25%, 50% y 75%. Los cuartiles se designan por Q1(25%), Q2(50%) y Q3(75%). Q1

Q2

Q3

25%

Ejemplo

TIPS Observa que, en el caso de los cuartiles, la mediana corresponde a Q2. En el caso de los deciles, corresponde a D5.

En la distribución de notas de un grupo de alumnos, el cuartil Q2 es una nota de referencia que permite afirmar que el 50% de los alumnos obtuvo esa nota o una menor.

Deciles Los deciles de una distribución de datos numéricos corresponden a los 9 valores que dividen a estos en 10 partes iguales. Los deciles se designan por D1, D2, ..., D9 D1

D2

D3

D4

D5

D6

D7

D8

D9

10%

Ejemplo En el caso anterior, el decil D6 es una nota de referencia que nos permite afirmar que el 60% de los alumnos obtuvo esa nota o una menor.

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Estadística II

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II Cuando queremos estudiar una muestra que contiene muchos datos, podemos subdividir esta en percentiles. Los percentiles de una distribución de datos numéricos, corresponden a los 99 valores que dividen a estos en 100 partes iguales. Los percentiles se designan por P1, P2, … , P99

AY U D A Observa que: P50 equivale a la mediana.

Ejemplo El percentil P70 de una distribución de frecuencias dadas en una competencia del lanzamiento de la jabalina, nos indica que el 70% de los competidores alcanzó esa distancia o una menor.

TIPS En Excel podemos calcular percentiles utilizando la función: =PERCENTIL(). Por ejemplo, el percentil 5 de los datos A1 hasta A6 se ingresa: =PERCENTIL(A1:A6,5).

PA R A A R C H I VA R Para calcular el n-ésimo percentil utilizamos la siguiente fórmula Pn = Ii + (Ii + 1 – Ii)

•

fn – fi , con fi + 1 – fi

li : extremo izquierdo del intervalo donde se ubica el percentil. li + 1 : extremo derecho del intervalo donde se ubica el percentil. fi : frecuencia acumulada hasta li. fi + 1 : frecuencia acumulada hasta li + 1. fn : frecuencia acumulada hasta el percentil buscado (Pn).

Ejemplo Calculemos el percentil 45 considerando la distribución de frecuencias de 212 puntajes obtenidos en la PSU. Puntaje

Frecuencia absoluta

Frecuencia acumulada

[400, 450[

10

10

[450, 500[

9

19

[500, 550[

20

39

[550, 600[

31

70

[600, 650[

80

150

[650, 700[

42

192

[700, 750[

10

202

[750, 800[

10

212

AY U D A La frecuencia acumulada hasta el percentil Pn, se calcula de la siguiente manera: fn =

n 100

•

N

(N: tamaño de la muestra).

212

Estadística II

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CONTENIDOS

Unidad 2 ESTADÍSTICA II El 45% de los datos es 95,4, entonces fn = 95,4, este valor se encuentra en el intervalo [600, 650[. Además li = 600; li + 1 = 650; fi = 70; fi + 1 = 150.

TIPS Los percentiles, deciles y cuartiles reciben el nombre de cuantiles. Conocer estos valores nos proporciona una importante información acerca de los datos de una cierta distribución.

Remplazando en la fórmula tenemos: P45 = 600 + (650 – 600)

•

(95,4 – 70) 艐 615,9. 150 – 70

El resultado nos indica que el 45% de los alumnos obtuvo puntajes menores o iguales a 615,9. Nota La fórmula para encontrar un determinado percentil se puede generalizar para encontrar cuartiles y deciles, solo varía el cálculo de fn.

EJERCICIOS 1. A partir de los datos dados en la tabla anterior: a. b. c. d.

Calcula D3. Calcula Q3. ¿Qué información nos entrega (a) y (b)? ¿Qué porcentaje de los 212 alumnos obtuvo resultados entre 620 y 680 puntos?

2. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias, que muestra los puntajes obtenidos por 50 alumnos en un test (se consideran valores enteros), calcula:

4. Analiza el siguiente cuadro que muestra la evolución de la distribución del ingreso per cápita entre 1987 y 1998 según quintiles (divide a la muestra en 5 partes iguales). Años Quintil 1987

1990

1992

1994

1996

1998

I

4,3

4,4

4,6

4,3

4,1

4,1

Intervalo

F. Absoluta

F. Acumulada

II

7,9

8,2

8,5

8,2

8,2

8,2

[60, 64]

5

5

III

11,7

12,3

12,2

12

11,9

11,8

[65, 69]

5

10

IV

19

18,1

18,4

18,5

19,1

19,1

V

57,2

56,9

56,3

56,9

56,7

56,9

Total

100

100

100

100

100

100

[70, 74]

8

18

[75, 79]

12

30

[80, 84]

16

46

[85, 89]

4

50

a. P3 b. P90 c. Q1 d. Q3 e. Interpreta los resultados obtenidos.

48

3. ¿Qué significa que un alumno haya obtenido un puntaje superior al noveno decil D9 en un cuestionario de intereses científicos?

Estadística II

Fuente: MIDEPLAN, encuesta CASEN.

a. Investiga sobre el monto de ingresos per cápita en los años que indica el cuadro y establece los valores por año y quintil. b. Establece el significado de los quintiles y su aporte como complemento a la media aritmética que es el ingreso per cápita.

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II

Diagrama de cajas El diagrama de cajas consiste en un gráfico que muestra simultáneamente diferentes características de un conjunto de datos, tales como, mediana, rango, cuartiles, valores extremos, etc. Este diagrama presenta los tres cuantiles, (y los valores mínimos y máximos) alineados sobre una caja horizontal o verticalmente.

TIPS A este tipo de gráfico se le llama también “cajón con bigotes”.

Ejemplo Los siguientes datos corresponden a la masa (en kg) de 24 mujeres de 17 años. 44 52 55

48 52 57

48 54 57

48 54 57

48 54 57

50 55 58

50 55 60

51 55 61

AY U D A

Al analizar estos datos podemos obtener lo siguiente: Tamaño muestra

Mediana

Cuartiles

Valor mínimo

Valor máximo Rango

Q1 = 50 24

54

Q2 = 54

44

61

17

Q3 = 57 Visualizaremos todos los elementos anteriores mediante el siguiente diagrama de caja. Observa que en el gráfico, los extremos del rectángulo indican los cuartiles Q1 y Q3, mientras que la línea que divide a este horizontalmente indica la mediana (Q2). Las líneas que sobresalen del rectángulo, indican el valor mínimo y máximo de la distribución, y el signo + indica la media aritmética.

Observa que Q1 = 50 indica que el 25% pesó menos de 50 kilos o igual; Q2 que el 50% pesó menos o igual que 54 kilos y Q3 que el 75% pesó menos de 57 kilos o igual.

70 61

60

Q3

57 54

+

Q2 Q1

50

AY U D A En un gráfico de cajas se pueden expresar los datos de manera vertical u horizontal.

44

40 masa (kg)

EJERCICIOS 1. La siguiente tabla muestra la tasa de desocupación, correspondiente a los meses de abril, mayo y junio del 2005, según el Boletín Informativo del Instituto Nacional de Estadísticas. Actividad Agricultura, caza, pesca Minas y canteras Industria manufacturera Electricidad, gas y agua Construcción Comercio

Tasa desocupación 685,01 73,07 798,13 30,69 451,36 1.122,93

a. Calcula la media. b. Construye el diagrama de caja correspondiente. c. ¿A qué crees que se debe la diferencia entre la tasa de desocupación de cada actividad? d. Si la tasa de desocupación de servicios financieros es de 510,32, ¿a qué cuartil corresponde?

Estadística II

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II

Muestras al azar En determinadas ocasiones se debe obtener el número de elementos que tiene una cierta población. Para este fin, se toma una muestra, se marca y se devuelve a la población originaria. Se vuelve a tomar una segunda muestra, y con los elementos marcados de esta muestra, se forma una razón con su total, entregando así un total aproximado del tamaño de la población. Ejemplo Un grupo de científicos llegó al parque nacional Pan de Azúcar a estudiar la fauna del lugar. Observaron una gran colonia de pingüinos Humboldt, para calcular la cantidad total siguieron el siguiente procedimiento: Durante 4 días, en diversos lugares del parque, capturaron 120 pingüinos, a los cuales marcaron con una cinta: a la semana, en diversos sitios del parque, capturaron 160 pingüinos, de los cuales 30 estaban marcados. Con esta simple proporción obtuvieron la cantidad aproximada de pingüinos en la isla. 30 120 = 160 N

TIPS

⇒ 160 •

120 = 640 30

PA R A A R C H I VA R

El término muestreo es el nombre que recibe la forma de seleccionar a un individuo de la población, para una muestra. Algunas técnicas de muestreo son: muestreo aleatorio, muestreo sistemático, muestreo estratificado, entre otros.

El tamaño de la población se aproxima despejando N de la ecuación: n m = 1 . N n2 Donde, n1 : tamaño de la primera muestra. n2 : tamaño de la segunda muestra. m : número de individuos marcados en la segunda muestra. N : tamaño de la población.

Muestras representativas El cálculo anterior no es más que una estimación de la cantidad de población, ya que dependerá de lo representativa que sea la muestra escogida. La estimación en la práctica es muy difícil, por esta razón se toman varias muestras para mejorarla.

AY U D A Recuerda: – x : media muestral. s : desviación estándar muestral. µ : media poblacional. σ : desviación estándar poblacional.

50

Estadística II

Para que la muestra sea representativa se deben considerar varios aspectos; uno de ellos es el tamaño de la muestra, mientras mayor sea su tamaño mayor será su confiabilidad, pero a su vez más costoso será el estudio. Otro aspecto se relaciona con que todos los integrantes de la población tengan la misma probabilidad de ser seleccionados en la muestra, por este motivo la selección debe ser al azar, es decir una muestra aleatoria. Las muestras, al igual que las poblaciones, nos permiten calcular parámetros estadísticos como la media, la desviación estándar, etc.; para diferenciarlos – usaremos x y s, respectivamente, en el caso de la muestra, µ y σ en el caso de la población.

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II

Nivel de confianza Si se desea conocer la media aritmética de una población, se puede obtener un intervalo, que con cierto nivel de confianza, pueda asegurar que esta se encuentra dentro de un intervalo.

PA R A A R C H I VA R Llamaremos intervalo de confianza al intervalo en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro que se está estimando, con una probabilidad determinada. El nivel de confianza es la “probabilidad” de que el intervalo calculado contenga al verdadero valor del parámetro. La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo de confianza: s – – x± k , donde x : media muestral n k: coeficiente asociado al nivel de confianza s: desviación estándar de la muestra n: número de elementos de la muestra

AY U D A La estimación por intervalos, es más útil, ya que se calculan dos valores, entre los que se encontrará el parámetro, con un nivel de confianza fijado de antemano.

AY U D A Un parámetro es una característica numérica de una población. Equivale a una constante fija para cada estudio particular.

Margen de error El margen de error depende del nivel de confianza y del tamaño de la muestra.

PA R A A R C H I VA R Al estimar la media poblacional a partir de una muestra, el intervalo de s – – confianza está dado por: 关x – E, x + E兴 siendo E = k • (error). n

AY U D A

Ejemplo Un grupo de médicos de distintos hospitales desea saber cuánto tiempo permanecen hospitalizados los pacientes con problemas cardíacos. Extraen una muestra de 80 pacientes obteniendo una media muestral de 2,5 días; ellos sabían que la desviación típica era de 4 días. Si el nivel de confianza es de un 95%, ¿cuál es el intervalo? 2, 5 ± 1, 96 i

4 ⇒ 关1,62 ; 3,38兴 con un 95% de confianza. 80

Por lo tanto, la cantidad de días que permanecerán los pacientes, será aproximadamente entre los valores dados en el intervalo.

El coeficiente k se obtiene de la siguiente tabla. Nivel de confianza (%)

Coeficiente k

68

0,99

75

1,15

80

1,28

90

1,64

95

1,96

96

2,05

97

2,17

98

2,32

99

2,58

Estadística II

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II

Tamaño de la muestra El tamaño de la muestra está dado por el número de sujetos que componen la muestra extraída de una población.

TIPS El error porcentual está dado E por – x

•

PA R A A R C H I VA R

100.

El tamaño de la muestra se calcula de la siguiente forma: 2

⎛k • σ ⎞ n=⎜ ⎟ donde, k: nivel de confianza ⎝ E ⎠ σ: desviación estándar de la población E: margen de error Ejemplo

AY U D A El tamaño de la muestra corresponde al número mínimo de unidades de análisis (personas, organizaciones, municipios, etc), que se necesitan para conformar una muestra n que asegure un error estándar menor que un valor determinado, fijado por el investigador, dado que la población N.

En un colegio de 1.600 alumnos se está estudiando la relación entre la estatura de los niños al nacer y otras variables. Se sabe que la desviación típica poblacional es de 1,5 cm y se desea estimar la media con un 99% de confianza y con un error máximo de 0,5 cm. E=ki n=

σ

→ 0, 5 = 2, 58 i

n

kiσ E

→

n=

1, 5 n

2, 58 i 1, 5 = 7, 74 0, 5

2

⎛k i σ ⎞ n=⎜ ⎟ → n = 59, 9076 ≈ 60 ⎝ E ⎠ Se debe tomar al menos una muestra de 60 alumnos.

EJERCICIOS 1. Para estimar la cantidad de salmones en un lago se realizó lo siguiente: I. Se capturó una muestra al azar, se les marcó y fueron devueltos al agua. II. Breve tiempo después, se capturó una nueva muestra, se registró la proporción de salmones marcados versus el total de salmones de la muestra. a. Si en el primer proceso se capturan y marcan 100 salmones. Posteriormente, 80 salmones, de los cuales 20 están marcados, ¿cuántos salmones hay aproximadamente en el lago?

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Estadística II

2. Trabajo experimental: Se dispone de una bolsa con 100 fichas numeradas y distribuidas como lo indica la tabla. Nº de ficha

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Cantidad

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

a. Obtén muestras al azar de tamaño 10, 20 y 30. Calcula para cada una de ellas la media de los valores de las fichas y su desviación estándar. b. Compara los valores de las medias y desviaciones estándar obtenidos para cada muestra de la pregunta a. c. ¿Qué inferencias puedes sacar a partir de las medias poblacionales anteriores?

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II

Aplicaciones de la estadística Ciencias naturales Los estudios estadísticos, realizados por el Ministerio de Salud, relacionados con el estado nutricional de las personas, tienen como uno de sus objetivos el “supervisar la situación alimentario-nutricional de la población chilena, detectando grupos en riesgo de sufrir alguna forma de malnutrición, y normar la implementación de acciones y programas orientados a prevenir el daño en dichos grupos y en la población general” (www.minsal.cl). La siguiente tabla y gráfico nos muestran la cantidad de población adulto mayor, de la Región Metropolitana, que se encuentra en algún estado de normalidad o no, en relación a su masa.

Metropolitano norte Metropolitano occidente Metropolitano central Metropolitano oriente Metropolitano sur Metropolitano oriente

Bajo peso

Peso normal

Sobrepeso

Obesidad

2.220 2.218 1.453 3.647 2.727 2.527

8.454 13.356 5.760 14.514 11.827 10.898

7.580 10.000 4.806 9.433 11.017 8.926

6.878 9.988 4.019 7.183 8.894 7.816

ESTADO NUTRICIONAL DEL ADULTO MAYOR EN CONTROL, SEGÚN SERVICIOS DE SALUD, DICIEMBRE 2004.

Cantidad de personas

16.000 14.000 12.000

Bajo peso

10.000

Peso normal

8.000

Sobrepeso

6.000

Obesidad

4.000 2.000 Metropolitano sur oriente

Metropolitano sur

Metropolitano oriente

Metropolitano central

Metropolitano occidente

Metropolitano norte

0

En los últimos 40 años, el grupo llamado “adulto mayor” ha crecido más de un 25%, llegando a representar más del 10% de la población total. Por este motivo, el país ha creado nuevas políticas, con el fin de mejorar su calidad de vida.

Fuente: Estado nutricional del adulto mayor en control, según servicios de salud, (diciembre 2004), www.minsal.cl, julio 2005.

¿Qué puedes concluir? De la población estudiada, observamos que en toda la Región Metropolitana la población se ordena en: personas con peso normal, sobrepeso, obesidad y bajo peso. Por otro lado, la cantidad de población con sobrepeso y obesidad, supera en demasía a la población con peso normal. Siendo el rango de bajo peso, el que considera la menor porción de población adulto mayor.

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II Al igual que las ciencias naturales, la estadística es aplicable a otros campos, tales como las ciencias humanas, económicas, entre otras. Ciencias humanas

En la tabla se observa que la asistencia de los chilenos a espectáculos masivos ha cambiado en los 10 últimos años. Se Año Espectáculos deportivos Cine Teatro Conciertos Recitales aprecia claramente un aumento en even1989 110 9.258 195 246 6.957 tos de orden artístico cultural, como son 1990 122 7.257 150 275 7.034 1991 113 6.242 158 191 7.524 el teatro, los conciertos y los recitales; un 1992 127 5.189 246 333 8.816 resurgimiento del cine, y una leve baja 1993 203 4.856 179 273 8.140 en los espectáculos deportivos. El cine 1994 159 4.262 221 331 7.807 1995 145 4.403 175 403 5.467 bajó mucho durante la década de los 90 1996 156 4.054 247 306 7.483 debido al auge de los video club y cuan1997 225 5.039 354 440 7.145 do parecía que este iba a ser un espec1998 230 6.198 352 373 6.300 1999 308 7.739 407 512 5.885 táculo cada vez menos masivo, hubo un Fuente: Anuario de Cultura y Medios de Comunicación 1989–1998 y Datos preliminares 1999. resurgimiento producto de un cambio en el concepto del cine. En vez de tener grandes salas para mostrar una gran película, ahora se tienen EN EQUIPO muchas salas pequeñas con gran variedad de películas, más un ambiente acogedor y venta de chocolates, cabritas, bebidas, etc. El cine volvió a ser atracSegún la información de ciencias humanas, contesten tivo, pues es una alternativa interesante y entretenida que permite desconeclas siguientes preguntas: tarse de los deberes del hogar, cosa que no se logra con el video. Tasa de asistentes (Por cien mil habitantes) Cine, Teatro, Recitales, Conciertos y Espectáculos Deportivos 1989-1999 (promedio mensual)

a. ¿Cuál de los espectáculos tuvo mayor aumento en estos años? b. De mantenerse el ritmo de aumento de asistencia al cine, ¿en qué año se superará la asistencia de 1989? ¿La asistencia a este tipo de espectáculos, sería superior a los años señalados en la tabla? Fundamenten. c. Si hicieran una encuesta este año, ¿la asistencia a este tipo de espectáculos sería superior a los años señalados en la tabla? Fundamenten.

Ciencias económicas

EN EQUIPO ¿A qué causas atribuyen ustedes que el área agrícola utilice menor cantidad de energía eléctrica? Fuente: indicadores del mes de INE, Empleo y sectoriales. Boletín Nº 81 de junio de 2005 Distribución de energía eléctrica por sectores económicos. Junio 2005.

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Unidad 2 ESTADÍSTICA II EJERCICIOS 1. En la tabla y en el gráfico se aprecia la evolución de la relación edad/matrimonio en los últimos años. Edad media al matrimonio por sexo de los contrayentes 1980–1998

Porcentaje

Año

Hombre

Mujer

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

26,6 26,7 27,0 26,9 27,0 27,0 27,0 27,1 27,2 27,2 27,5 27,8 27,9 27,7 27,9 28,0 28,3 28,5 28,9

23,8 23,9 24,3 24,2 24,3 24,3 24,4 24,6 24,7 24,7 25,0 25,2 25,3 25,2 25,4 25,5 25,8 26,0 26,3

3. El IPC se calcula sobre la base de un promedio ponderado, de modo que cada rubro tiene distinta importancia de acuerdo a los consumos de la población. a. Observa la tabla y determina cuál es el rubro que tiene mayor importancia. b. ¿Por qué crees tú que los rubros de salud y educación son los que más subieron? c. ¿Por qué crees tú que el rubro vestuario es el que más bajó? IPC 2001 Variaciones e incidencias anuales Grupos

Porcentajes de matrimonios por grupos de edad del contrayente. 1980 y 1998

50,00 45,00

1980

40,00

1998

35,00 30,00

Variación anual % Incidencia anual

Alimentación Vivienda Equipamiento de la Vivienda Vestuario Transporte Salud Educación y Recreación Otros Índice General

2,0 3,5 0,1 –4,8 4,4 4,9 4,9 0,0 2,6

0,52 0,73 0,00 –0,31 0,65 0,47 0,56 0,00 2,64

Indicadores del mes precios y remuneraciones del INE, Boletín Nº 38, www.ine.cl, enero 2002.

4. El gráfico muestra la variación de las ventas de marzo de 2004 comparado con noviembre del 2005.

25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 f(y)

f(y) f(x) x

y

f(x) f(y) x

y

Si en la gráfica de la función cuadrática, el vértice es el punto más bajo de los valores del eje Y, entonces el eje de simetría indica un cambio de decreciente a creciente. Por el contrario, si en la gráfica de una función cuadrática, el vértice es el punto más alto de los valores en el eje Y, entonces el eje de simetría indica un cambio de creciente a decreciente. Función Potencia y Logarítmica

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

Funciones AY U D A Un método para encontrar el recorrido de f(x) es despejar la variable x y luego analizar los valores que puede tomar la variable y en la expresión resultante.

En cursos anteriores has estudiado diversos tipos de funciones: función por tramos, función cuadrática, etc. Recordemos el concepto de función: Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento f(x) de un conjunto B, donde A se conoce como dominio (dom(f)) de la función y B es el conjunto de llegada o codominio, además el conjunto de valores que la función puede tomar se conoce como imagen o recorrido (rec(f)).

TIPS Muchas de las teclas de la calculadora definen funciones, por ejemplo, la tecla así:

9

funciona

Por ejemplo, consideremos 5 a la función f(x) = (x – 32) 9 que convierte grados

ºC 50

Fahrenheit (ºF) a

=

aparecerá en la pantalla 3, que es la imagen de 9 en la función y = x . Sin embargo, si remplazamos 9 por –4, aparecerá –E–. Esto nos indica que –4 no pertenece al dominio de la función, y por ende, no podemos encontrar su imagen.

25

grados Celsius (ºC).

ºF -75

-50

-25

0

25

50

75

Dominio de f

Por ejemplo, f(32) = 0 indica que 32 ºF equivalen a 0 ºC, f(5) = –15 indica que 5 ºF son equivalentes a –15 ºC, etc.

-25 Recorrido de f -50

EJERCICIOS 1. Si x es un número natural, se define f(x) de la siguiente manera: Si x = 1 o x = 2, f(x) = 1 Si x > 2 entonces f(x) = f(x – 1) + f(x – 2)

3. Si f(x) = |x – 1| + |x – 2|, completa los datos que faltan en el gráfico de f(x). Indica el dominio y recorrido de f(x). Y

a. Calcula: f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) y f(6). b. Determina el dominio y el recorrido de la función. 2. Determina el dominio y recorrido de: a. f(x) =

b. f(x) =

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x x–1

c. f( x ) = x + 2

1 1 + x x–1

d. f( x ) =

Función Potencia y Logarítmica

x +1 x −1

X

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

Función inversa 5 (x – 32) estudiada anteriormente. 9 Buscaremos una expresión que nos permita expresar grados Celsius en función de grados Fahrenheit, para esto debemos expresar x en función de f(x), es decir, despejaremos la variable x de la expresión original. Consideremos la función f(x) =

y = f(x) =

5 (x – 32) 9

y=

• Observa que la función inversa

en función de y también se representa con x. • Se define una composición de

funciones como una función denotada por (g o f)(x) que resulta de aplicar primero f sobre x y después g sobre el resultado obtenido. Es decir: (g o f)(x) = g[f(x)].

5 (x – 32) 9

9y = 5(x – 32) 9 y = x – 32 5 9 x = y + 32 5

• Observa que: (fof

La expresión obtenida en el proceso anterior se conoce como función inversa de f, y se escribe como f –1(x). Luego, tenemos por ejemplo: f(–4) =

AY U D A

5 9 (–4 – 32) = –20 y f –1(–20) = (–20) + 32 = –4 9 5

PA R A A R C H I VA R f –1(x) corresponde a la función inversa de f(x). Para determinar la función inversa de una función f(x), despejamos la variable x. Además, si f(a) = b entonces f –1(b) = a.

–1

)(x) = x

TIPS Criterio de la recta horizontal. No todas las funciones tienen inversa. Por ahora, puedes utilizar un método que se basa en el gráfico para saber si una función tiene o no tiene inversa. Uno de los métodos consiste en trazar una recta imaginaria paralela al eje X y moverla de arriba a abajo. Si intersecta a la función en dos o más puntos, entonces la función NO tiene inversa.

EJERCICIOS 1. Encuentra la inversa de la función x–1 y = f(x) = , con x ≠ 3. x–3

3. Determina, a partir del gráfico, cuáles de las siguientes funciones tienen inversas.

a. ¿Cuál es el dominio de f –1(x)? b. ¿Cuál es el recorrido de f –1(x)?

a.

c.

b.

d.

2. Encuentra la función inversa para: a. y =

3x – 5 10

b. y = 3 + x − 4

c.

y= x+

d. y =

1 2

1 x +1

Función Potencia y Logarítmica

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

Funciones periódicas Observa las siguientes gráficas correspondientes a las funciones sen(x) y cos(x), respectivamente. Y

2π

π

π

π

π

X

2

-1

y = f(x) = cos(x)

1

3π 2

1 La válvula de aire de la rueda de una bicicleta describe una curva periódica conocida como cicloide. Esta curva está dada por las ecuaciones: x = x(t) = a(t – sen(t)); y = y(t) = a(1 – cos(t)) (a: radio de la rueda)

Y

y = f(x) = sen(x)

-1

3π 2

2

2π X

¿Qué puedes observar? • El recorrido de ambas funciones corresponde al intervalo [–1, 1]. • Ambas funciones tienen un comportamiento que se repite cada ciertos valores. • El comportamiento de ambas funciones nos permiten predecir cómo será la prolongación de su gráfica. • Tanto la función sen(x) como cos(x) son funciones periódicas, con período de 360º o 2π.

AY U D A Y

PA R A A R C H I VA R

T

x

x+T

Una función f es periódica de período T, si T es el menor número positivo tal que x + T está en el dominio de la función y f(x) = f(x + T). Gráficamente se puede observar que la función se repite en intervalos de largo T.

X

EJERCICIOS 2. El siguiente gráfico corresponde a la función tan(x).

1. Observa las siguientes gráficas e indica el período de la función representada. Y

1 a. y = cos(x)

-π

-π 2

π 2

π X

-π

π

-π 2

π

2

X

b. y = sen(x) • cos(x)

2

a. Indica el dominio y recorrido de la función. b. ¿Cuál es el período de tan(x)? 3. Gráfica las siguientes funciones e indica si son periódicas o no; en caso afirmativo, indica el período. (Puedes usar un computador)

Y

π

π X

a. y =

1 tan(x)

b. y = sen(x + 24)

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Y

Función Potencia y Logarítmica

c. y =

cos(x) sen(x)

d. y = x2 + tan(x)

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

Gráficos con Javamath

TIPS

La utilización de programas computacionales, resulta muy útil para el análisis de funciones. En esta página te enseñaremos acerca de Java Components for Mathematics, un sitio web que utiliza el lenguaje de programación Java para desarrollar applets (pequeños programas de aplicación) que complementan y apoyan el aprendizaje de las matemáticas. Además, puedes descargar el sitio completo a tu computador.

Javamath fue un proyecto desarrollado por David Eck en el Hobart and William Smith Colleges, en el año 2001.

Este programa funciona mediante el ingreso de funciones, en las cuales puedes variar los parámetros y observar su comportamiento. Veamos cómo ingresar dichas funciones: 1. Ingresamos a http://math.hws.edu/javamath/ 2. Con el mouse seleccionamos "Configurable applets" 3. Seleccionamos "MultiGraph", luego "Launch MultiGraph". 4. Ingresamos las funciones a graficar en f1(x), f2(x), f3(x) o f4(x).

AY U D A

Ejemplo

Observa que la función raíz cuadrada de x se ingresó como sqrt(x). Para ver cómo se ingresan otras funciones puedes buscar en "Configurable applets": "Expressions in JCM"

Queremos comparar la gráfica de las funciones f(x) = x2, para x ⱖ 0, y su −1 inversa dada por f ( x ) = x . Ingresamos ambas funciones en f1(x) y f2(x) respectivamente (ver pantalla adjunta).

EJERCICIOS Utilizando Javamath, realiza lo siguiente: 1. Grafica las siguientes funciones y determina si tienen o no inversa.

a. f(x) = sen2 (x)

1 a. f(x) = x–1

d. f(x) = |x – 2|

1 b. f(x) = x

e. f(x) = x3

c. f(x) =

1 x2

2. Grafica las siguientes funciones e indica dominio, recorrido y período.

b. f(x) =

d. f(x) = x2 + x + 41

1 sen(x) • cos(x)

e. f(x) =

1 1 + x x–1

c. f(x) = cos x

Función Potencia y Logarítmica

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

Función potencia Observa las siguientes gráficas correspondientes a la función f(x) = x2 y g(x) = x3. f(x) = x2

g(x) = x3

¿Cuál es el dominio de cada función? Ambas funciones están definidas para todo ⺢, es decir: dom (f) = dom (g) = ⺢ ¿Cuál es el recorrido de cada función? En el primer caso, el rec (f) es ⺢+o y en el segundo es rec (g) = ⺢. Las funciones estudiadas anteriormente pertenecen al tipo de función denominada función potencia: axn.

PA R A A R C H I VA R Una función potencia es una función de la forma f(x) = axn, donde a es un número real y n = 0, 1, 2, 3,… Su dominio es ⺢.

EJERCICIOS 1. Utilizando algún programa computacional, o bien en papel milimetrado, grafica las siguientes funciones. Luego responde. y = x4

y = x5

y = x6

y = x7

a. Las funciones dadas, ¿son simétricas? b. A medida que el exponente aumenta, ¿qué sucede con las gráficas de las funciones? c. ¿Cuál es el dominio de cada función? d. ¿Cuál es el recorrido de cada función?

76

Función Potencia y Logarítmica

2. Se quiere construir una caja de cartón con forma similar a un paralelepípedo recto de base cuadrada. Se dispone de 12 dm totales de cinta para pegarla en cada una de sus aristas. ¿Cuál es el mayor volumen que puede tener la caja? 3. Determina para qué valores de x las siguientes funciones son positivas. a. y = 4x2;

b. y =

2 3 x 3

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

Análisis de la función potencia Exponente par Los siguientes gráficos corresponden a la función y = axn, para n par. y = x2

y = x4

Y

y = x6

Y

Y

EN EQUIPO

X

X

y = –x2

X

y = –x4

y = –x6

Y

Y

Grafiquen las siguientes funciones: 2 2 y = 0,05x y=x 2 2 y = 3x y = 5x ¿Qué sucede a medida que a crece? ¿Ocurrirá lo mismo para a < 0?

Y

X

X

X

Observando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones: • Si a > 0, entonces la gráfica de la función y = axn, para n par tiene su vértice en el punto más bajo de la curva. • Si a < 0, entonces la gráfica de la función y = axn, para n par, tiene su vértice en el punto más alto de la curva. • En ambos casos las gráficas presentan simetría respecto al eje Y, es decir, f(x) = f(–x), para todo x perteneciente al dominio de la función.

TIPS Si f(x) = f(–x), para cualquier x en el dominio, la función f es par.

PA R A A R C H I VA R Sea y = axn una función potencia con n par, entonces: Si a > 0, la gráfica de la función es de la forma:

Si a < 0, la gráfica de la función es de la forma:

Y 3

3

2

2

1

1

Y

IR -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

-4

-3

-2

-1

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

1

2

3

4

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X

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Función Potencia y Logarítmica

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA Exponente impar Ampliaremos nuestro análisis para n impar. y = 2x3

y=

Y

EN EQUIPO

1 5 x 3

y = 4x7

Y

Determinen qué sucede con el gráfico de una función de la n forma y = ax para 0 < a < 1 y n

Y

X

X

X

impar.

y=–

3 3 x 2

y = –3x5

Y

y=–

Y

X

1 7 x 2

Y

X

X

Observando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones:

TIPS Si f(–x) = –f(x), para cualquier x en el dominio, a función f es impar.

• Si a > 0, la gráfica de la función se encuentra en el primer y tercer cuadrante. • Si a < 0, la gráfica de la función se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante. • Las gráficas presentan simetría central respecto al origen, es decir, f(–x) = –f(x), para todo x perteneciente al dominio de la función.

PA R A A R C H I VA R Sea y = axn una función potencia con n impar, entonces: Si a > 0, la gráfica de la función es de la forma: Y

Y

X

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Función Potencia y Logarítmica

Si a < 0, la gráfica de la función es de la forma:

X

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

Traslaciones verticales y horizontales La figura muestra las gráficas de las siguientes funciones:

Y

EN EQUIPO

y = x3

Comprueben que para el caso de funciones potencia con exponente par, también se cumple este tipo de traslación.

y = (x + 2)3 1 y = (x – )3 2 X

Podemos observar que el gráfico de estas funciones polinomiales es el mismo pero trasladado con respecto al de la función potencia: x3.

AY U D A Las funciones polinomiales o polinómicas son aquellas que se pueden formar sumando funciones potencia, cuyos exponentes correspondientes son enteros. Ejemplos, f(x) = 3x2 + x + 1

PA R A A R C H I VA R Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n, con c > 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la izquierda. Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n, con c < 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la derecha.

f(x) = –3x5 – 1 f(x) = 3x4 + x3 + x2 + x – 7

EJERCICIOS 1. Grafica las siguientes funciones (puedes utilizar un programa computacional): a. y = x4 b. y = 2x3

y = (x + 2)4 y = 2(x – 1)3

y = (x – 2)4 y = 2(x + 1)3

2. Construye 2 funciones polinomiales que correspondan a una traslación horizontal en cada caso. Dibuja los gráficos.

4. Indica la función que representa a cada una de las siguientes gráficas. Y

X

a. y = –3x3 b. y = 5x4 c. y = –5x5 3. A partir del gráfico de la función f(x) = 2x5, haz un bosquejo de g(x) = 2x5 + 3. a. ¿Qué semejanzas encuentras? b. Según lo obtenido, ¿cómo se obtiene una función trasladada verticalmente con respecto a f(x) = –3x2?

5. Comprueba que para una función del tipo f(x) = axn + c, con n par, su recorrido está dado ⬁[. por el intervalo [c, +⬁ 6. Determina el dominio y recorrido de las funciones del ejercicio 1, e indica para qué valores son positivas.

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

Concepto de logaritmo

HISTORIA

Logaritmo de un número A partir de la expresión bn = p, podemos plantear distintas ecuaciones, dependiendo de cuál de sus tres elementos es el desconocido.

John Napier (1550 - 1617). Los logaritmos fueron inventados por John Napier. “Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos”, es el título del libro que publicó en 1614. El término acuñado por él tiene la descomposición: logos razón, aritmos números.

Caso I: Se desconoce el valor de la potencia: p. Si p = x, entonces se tiene la ecuación x = bn. Esto implica el cálculo del valor de una potencia, operación que se denomina potenciación. El valor de x es la enésima potencia de b. x = bn

En relación al logaritmo se puede deducir que, tal como una potencia se puede escribir como un logaritmo, de manera recíproca, un logaritmo puede expresarse en forma exponencial.

Ejemplo: x = 34 = 81

Caso II: Se desconoce el valor de la base de la potencia: b. Si b = x, entonces se tiene la ecuación xn = p. Esto implica el cálculo del valor de una raíz enésima, que se denomina radicación. El valor de x es la raíz enésima de p. xn = p

TIPS

⇒

⇔ x = np

⇒

Ejemplo: x3 = 64

⇒ x = 3 64 = 4

Caso III. Se desconoce el valor del exponente de la potencia: n. Si n = x, entonces se tiene la ecuación exponencial bx = p. Esto implica calcular el exponente de una potencia conocida su base y su valor, operación que se denomina logaritmización. Este exponente x es el logaritmo de p en base b, lo que en símbolos se representa por: x = logb p Ejemplo: x = log2 16

⇔ bx = p

⇔ 2x = 16 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 4

PA R A A R C H I VA R Dada la expresión bx = p ⇔ x = logb p podemos decir que el logaritmo es el exponente de una potencia, siendo p un valor real positivo. La expresión logb p se leerá como: “logaritmo de p en base b“

TIPS En algunas textos, el número p en la expresión logb p, recibe el nombre de antilogaritmo o argumento.

Ejemplos a. Calcula el valor de log7 343. log7 343 = x

AY U D A

b. Obtener el valor de x en logx 32 = 5. n

Recuerda que, x = c ⇒ x = n c

80

⇔ 7x = 343 = 73 ⇒ x = 3 ⇒ log7 343 = 3

Función Potencia y Logarítmica

logx 32 = 5

⇒ x5 = 32 ⇒ x = 5 32 ⇒ x = 2

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

Base de un logaritmo Revisemos algunas particularidades de los logaritmos. Ejemplo 1: Base positiva. ¿Cuánto resulta log8 512?

¿Cuánto resulta log 1 64?

TIPS

2

Sea x = log8 512

Sea x = log 1 64 2

x

entonces, 8 = 512 = 8

3

⇒ x=3

entonces,




x

1 2

= 64 = 26



 1 2

x

=

1 2

–6

⇒ x = –6

¿Qué podrías concluir?

Los logaritmos más utilizados son los logaritmos decimales (de base 10) que se denotan escribiendo simplemente log. Por convención matemática se ha establecido que cuando la base del logaritmo es 10, se puede representar por la expresión log (x). Entonces, log10 (x) = log (x). Sin embargo, hay libros que no la utilizan, ya que no existe una única notación universal, pero en este texto la ocuparemos.

Ejemplo 2: Base negativa. ¿Cuánto resulta log(–2) 8? Sea x = log(–2) 8, entonces (–2)x = 8 = 23 No existe un valor real de x, tal que (–2)x sea igual a 8. Ejemplo 3: Base igual a 1. 1 ? 4

¿Cuánto resulta log1 5?

¿Cuánto resulta log1

Sea x = log1 5

Sea x = log1

entonces, 1x = 5

entonces, 1x =

No existe un valor real de

No existe un valor real de x, 1 tal que 1x sea igual a . 4

x

x, tal que 1 sea igual a 5.

1 4 1 4

TIPS Se denomina sistema logarítmico al conjunto de todos los logaritmos que tienen la misma base. Ejemplo: log3 3, log3 5, log3 27 y log3 81 son logaritmos del sistema de base 3.

¿Será una restricción considerar 1 como base de un logaritmo?

PA R A A R C H I VA R En relación a la base de un logaritmo: - es siempre positiva; - el número 1 no puede ser considerado como base de un logaritmo. En general, la base de un logaritmo es un número real positivo distinto de 1. Es decir, en la expresión logb p, la base b pertenece a los ⺢+ – {1}.

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

Propiedades de los logaritmos Ya vimos que un logaritmo es el exponente de una potencia y, por lo tanto, puede ser escrito en forma exponencial. O sea, a partir de las propiedades de las potencias, se pueden demostrar las propiedades de los logaritmos. Para las propiedades consideraremos un sistema logarítmico de base b, donde b pertenece a los ⺢+ – {1}. Las propiedades son las siguientes.

TIPS

1. Logaritmo de la unidad

En relación a las propiedades de los logaritmos se debe tener presente lo siguiente:

logb 1 = 0

logb b = 1

Ejemplo: log5 1 = 0

Ejemplo: log3 3 = 1

logb (p • q)

≠

logb p • logb q

logb (p + q)

≠

logb p + logb q

≠

logb a = n • logb a

logb (p – q)

logb p – logb q

Ejemplo:

logb p logb q

≠

2. Logaritmo de la base del sistema

3. Logaritmo de una potencia n

p q

log2 43 = 3 • log2 4 = 3 • 2 = 6

5. Logaritmo de un producto logb (a • c) = logb a + logb c

AY U D A

Ejemplo: Dado un determinado logaritmo podemos encontrar su valor con una calculadora científica. Observa atentamente.

Entonces, x = log3 7 ⇒ x =

log 7 log 3

Con este cambio a base 10, basta obtener el cociente entre los valores del log 7 y log 3.

Ejemplo 81 log3 243

 

5 6

= log3 81 – log3 243 =4–5=–1

= 2 + log2 6 7. Logaritmo de una potencia con igual base

8. Fórmula de cambio de base logc B logb B = logc b

Ejemplo

para todo b, c, B > 0; b, c

log6 63 = 3

Ejemplo log2 5 =

≠1

log5 log2

Revisemos algunas demostraciones de las propiedades anteriores. Propiedad 1 logb 1 = x bx = b0

Propiedad 7

⇔ b =1 x

logb b = x

⇔ bx = bn ⇒ b(x – n) = 1

⇒ x=0

⇒ x – n = 0 (b ≠ 1)

⬖ logb 1 = 0

x=n

⬖ logb b = n 82

1=

 

= log2 4 + log2 6

logb bn = n

•

6. Logaritmo de un cociente a logb = logb a – logb c c

log2 24 = log2 (4 • 6)

Ejemplo 1. Logaritmo decimal. Calcular log 20,6. En algunas calculadoras debes seguir los siguientes pasos: 1º Anota el número (20,6). 2º Pulsa la tecla log El valor es 1,313… En otras calculadoras, se procede primero con el paso 2º y luego 1º. Ejemplo 2. Para calcular el valor de log3 7, primero se debe hacer un cambio de base, ya que la base del logaritmo no es 10.

4. Logaritmo de una raíz m n logb am = • logb a n Ejemplo: 5 5 6 log4 45 = • log4 4 = 6 6

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA EJERCICIOS 1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos. 1 36 9 g. log 3 2 4

a. log9 243

f. log6

b. log2 128

c. loga a9

h. loga

d. log0,7 0,343

i. log8 16

e. log16 8

j. loga

a8

5 2

a

2. Dada cada expresión, encuentra el valor de x. a. log2 x = 6

c. log 3 x = –2 4

b. log0,3 x = 3

d. log0,004 x = –3

5. Utilizando calculadora encuentra el valor de las siguientes expresiones. a. log 4

b. log6 7

c. log7 9

d. log6 11

6. Demuestra las siguientes propiedades. a. logb an = n • logb a b. logb

n m

a

=

m n

•

logb a

c. logb (a • c) = logb a + logb c d. logb

  a c

= logb a – logb c

7. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo. a. 2logb 3 + 3logb 2

3. Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones. a. log4 64 + log 1.000 + log5 125 b. log 2 3

4 125 – log 5 + log 10.000 9 6 216

c. 2log5 25 – 3log7 49 + 4log8 4.096 d. 2 log 100.000 – 2 log4 256 + 4 log2 32 4. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones, utilizando propiedades. a. logp

a2 b4 c5 d2

b.

1 logb c – 6logb a 2

c.

3 2 3 2 logb a – logb c – logb d + logb e 4 3 4 3

d.

2 3 logb c + logb a – 1 3 5

e. logm a – 2logm b +

1 3 logm c – 3logm d 3 4

f.

logb (x2 + 1) + logb (x + 1) + logb (x – 1)

g.

1 logp (x + y + z) – 4logp (x – y – z) 4

h. logp (x + 3) – 4logp (x – 2)

3 4 b. logm (a – b) c

8. Si log6 2 = A, log6 3 = B y log6 5 = C, expresa en términos de A, B y C.

1

(d + f) 5 .

a. log6 5.400

c. logb (x2 – 9x – 22) 8

7

8 6 3

d. logb (100x – 80x + 16x ) e. logb (x3 + y3)2

b. log6 90 c. log6 216 d. log6

1.080 32.400

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

Función logarítmica La función logarítmica se representará por f(x) = logb (x), donde la base b es un valor perteneciente a ⺢+ – {1}. Para estudiar las características de la función logarítmica, graficaremos en Javamath, algunas de ellas.

AY U D A El programa Javamath acepta como expresiones válidas los siguientes logarítmos: log10 y log2 .

Caso I. Consideremos la función logaritmica: f(x) = logb (x), con b > 1. Grafiquemos en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones: f1(x) = log2 (x), f2(x) = log3 (x), f3(x) = log4 (x) y f4(x) = log5 (x). Y

Para escribir expresiones en el computador debes usar lo siguiente: f(x)=log10 x ⇒ f(x)=log10(x) f(x)=log2 x ⇒ f(x)=log2(x) Para otras base deberás usar cambio de variable:

X

f(x)=log3x⇒ f(x)=log10(x)/log10(3)

Si observamos los gráficos de las funciones anteriores, podemos generalizar con respecto a la función f(x) = logb (x) que para b > 1: • La curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisas X en el punto (1, 0). • La función es creciente para todo valor real de x. • El dominio de la función son los números reales positivos: ⺢+

EJERCICIOS 1. Utilizando Javamath, grafica las siguientes funciones. Luego, responde en tu cuaderno. i. f(x) = log5 (x) ii. f(x) = log10 (x)

iii. f(x) = log15 (x) iv. f(x) = log20 (x)

a. ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre las gráficas? Justifica.

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Función Potencia y Logarítmica

2. Dada la función y = log7 (x), grafícala y determina observando el gráfico, el valor aproximado a las décimas de los siguientes logaritmos. a. log7 (4) b. log7 (7)

c. log7 (10) d. log7 (2)

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA Caso II. Consideremos la función f(x) = logb (x), con 0 < b < 1. En un mismo sistema de coordenadas grafiquemos las siguientes funciones: f1(x) = log 1 (x), f2(x) = log 1 (x), f3(x) = log0,6 (x) y f4(x) = log0,75 (x). 3

2

Y

X

Observando las gráficas anteriores de la función, con 0 < b < 1, se puede generalizar lo siguiente:

• la curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisas X en el punto (1, 0). • La función es decreciente para todo valor real de x. • Los reales positivos son el dominio de la función: ⺢+. ¿Qué conclusiones puedes sacar de ambos casos?

PA R A A R C H I VA R La función logarítmica, f(x) = logb (x), tiene las siguientes características: - El dominio de la función son los números reales positivos. - El conjunto de valores que puede tomar la variable y (recorrido) es ⺢. - La curva asociada a la función, intersecta al eje de las abscisas en el punto (1, 0). Si b > 1, entonces la función es creciente.

Si 0 < b < 1, entonces la función es decreciente.

Y

Y

IR X

X

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

EJERCICIOS 1. Dada la función logarítmica f(x) = log2 (x), determinar:




e. f

b. f(16)

f. 2f(2) – 6f

c. f(32)

g. 2f(4) + 3f(32) – f




d. f

1 8

a. La función f(x) = log(x) es creciente. b. La gráfica de la función f(x) = log3 (x) pasa por el punto (2, 9). c. Una función logarítmica es decreciente para valores negativos de x. d. Una función logarítmica es siempre creciente. e. La gráfica de una función logarítmica es siempre simétrica con respecto al eje de las abscisas. f. El punto, (1, 0) pertenece a cualquier función logarítmica.

1 64

a. f(4)


 1 2


 1 8




h. 2f(128) – 8f

2. Determina si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

1 128

Distintas gráficas de la función logarítmica Ya conocida la función f(x) = logb (x), con b perteneciente a ⺢+ – {1}, analizaremos distintas gráficas según sea el caso.

Caso I. Función logarítmica f(x) = a logb (x) con a perteneciente a ⺢. Graficaremos las siguientes funciones. b = 10 y a > 0

Y

f1(x) = log (x)

f3(x)

b = 10 y a < 0

f2(x) f1(x) f4(x)

f1(x) = log (x)

Y

X

f2(x) = 2 log (x)

f2(x) = –3 log (x)

f3(x) = 4 log (x)

f3(x) = –5 log (x)

X

f1(x) f4(x) f2(x) f3(x)

f4(x) = 0,5 log (x)

b=2ya>0

f4(x) = –0,3 log (x)

Y

f1(x) = log2 (x) f2(x) = 2 log2 (x) f3(x) = 4 log2 (x)

X

f3(x)

b=2ya 0, la gráfica de la función será siempre creciente. • Si a < 0, la gráfica de la función será siempre decreciente. ¿Qué otras conclusiones se podrían obtener de las gráficas anteriores? con Caso II. Sea f(x) = logb (x + a), con a ∈ ⺢.

Para b = 10

Caso III. Sea f(x) = logb (x) + a, con a ∈ ⺢.

Y

Y

Para b = 10

f2(x)

f1(x) = log (x)

f1(x) = log (x) X

f1(x)

f2(x) = log (x + 1)

f2(x) = log (x) + 3

f3(x) = log (x – 1)

f3(x) = log (x) – 3

X

f3(x)

f2(x) f1(x) f3(x)

En el caso II, observamos que las gráficas corresponden a traslaciones horizontales de la función f1(x) = log (x) y según sea el valor de a, positivo o negativo, la traslación es hacia la izquierda o hacia la derecha, respectivamente. En las gráficas del caso III, las traslaciones son verticales, hacia abajo o hacia arriba, según sea el valor positivo o negativo de a.

EN EQUIPO Discutan la siguiente pregunta. En el caso II o III, ¿cambiará la gráfica de la función si la base del logaritmo toma otro valor? Justifiquen su respuesta.

EJERCICIOS 1. Utilizando algún programa computacional grafica las siguientes funciones logarítmicas. Luego indica el tipo de traslación en relación a la función f(x) = log (x). a. f(x) = log (x) + 4 b. f(x) = log (x – 5)

c. f(x) = –log (x + 1) d. f(x) = 2 log (x) – 3

2. Grafica las siguientes funciones, y luego responde. i. f(x) = log (x – 1) + log (x + 1) ii. f(x) = log (x + 2) + log (x – 2) iii. f(x) = log (x – 3) + log (x + 3) a. ¿Qué regularidad observas entre las gráficas? b. ¿Cuál es el dominio de cada función?

c. ¿Las funciones son crecientes o decrecientes? 3. Grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones, y luego responde. i. f(x) = log (x) y f1(x) = –log (x) ii. g(x) = log2 (x) y g1(x) = –log2 (x) iii. m(x) = log (x – 4) y m1(x) = –log (x – 4) a. ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones de i?, ¿y de ii?, ¿y de iii? b. En las funciones de i, ii y iii, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X? c. ¿Cuál es el dominio de las funciones i, ii y iii?

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CONTENIDOS

Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

Profundizando en los logaritmos HISTORIA

Googol y grandes números En muchas ocasiones es necesario trabajar con grandes cantidades, por esto a lo largo del tiempo se han establecido algunas abreviaturas para expresar dichas cantidades de manera más sencilla. En 1930, Edward Kasner popularizó el número “googol”, es decir, un número que tiene 100 ceros: 10................0. En 1953 un comité internacional de pesos y medidas sugirió las siguientes denominaciones (n – plex es 10n):

Arquímedes (287 a. C. - 212 a. C.) Arquímedes, el sabio griego de la Antigüedad, estaba interesado en determinar la cantidad de granos de arena que cabrían en el Universo y afirmaba que aunque podría ser un número muy grande, no significaba que fuese infinito.

10 mil millones

dekaplex

1010

googol

hectoplex

10100

kiloplex

10

1.000

megaplex

10

1.000.000

gigaplex

10

1.000.000.000

teraplex

10

1.000.000.000.000

googolplex

10

goolgol

o hectoplexplex

Ejemplo Calculemos log (n – plex). Sabemos que n – plex equivale a 10n, entonces: log (n – plex) = log 10n = n log 10 =n entonces log (n – plex) = n

EJERCICIOS 1. Completa. a. log (googol) b. log (log googol) c. log log log (googolplex)

b. ¿Qué número es mayor: 6970 o 7069? 3. El número de configuraciones de un cubo de Rubik es, según la matemática de conteo: 227 • 314 • 53 • 72 • 11

2. Verifica la siguiente afirmación: “El número de dígitos de un número n está entre log n y (log n + 1) o, dicho de otra manera: si n > 0, entonces n tiene [log n] + 1 dígitos, donde [log n] equivale a la parte entera”. a. Determina el número de dígitos de 2195.

88

Función Potencia y Logarítmica

a. Demuestra que este número tiene 20 cifras. b. ¿Es mayor o menor que 43 trillones? 4. Demuestra que: log (hectoplex-plex) = googol

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11:01 PM

Página 89

Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

Logaritmo natural o neperiano

AY U D A

Entre las funciones logarítmicas, merece especial importancia aquella que tiene como base el número irracional e. La denotaremos por y = loge x, o bien y = ln x y se lee "logaritmo natural de x".

y y=

1 x

El gráfico de esta función es el siguiente: Y

1

Sabemos que e > 1, por lo tanto sus características son similares a las funciones logarítmicas de bases mayores que 1.

u

x

Neper concibió los logaritmos como el área bajo la curva. Así ln u es el valor numérico del área bajo y = 1 entre 1 y u. x

X

AY U D A Recuerda que e  2,7182818

PA R A A R C H I VA R Sea y = logb x, con b = e  2,7182…., entonces loge x se representa por ln x y se llama logaritmo natural de x. Además, ln 1 = 0 y ln e = 1.

EJERCICIOS 1. Dada la función y = ln x, calcula utilizando calculadora científica, el valor de y para los siguientes valores de x. a. 1

b. 2

c. 5

d.

1 2

e.

3. En los siguientes gráficos aparece la función y = f(x) =

1 5

1 para x > 0. x

Y

2. Usa una calculadora científica para resolver.

Y y=

1 x

1

1,5

y=

1 x

1

1,5

a. ln 2






1 1 1 1 1 + • + • 3 3 5 33 35 c. ¿Qué sucede si agregas más términos a la suma en b? d. Escribe la suma del ejercicio b con 7 términos y determina la diferencia entre este valor y el de ln 2. b. Calcula 2

2

X

2

X

Usando las áreas achuradas, completa: a.

< ln 2
1, el gráfico de la función está dado por:

Si 0 < b < 1, el gráfico de la función está dado por:

Y

Y

X

X

10 Logaritmo natural: corresponde a y = loge x, con e 艐 2,7182 y se puede representar como ln x.

Función Potencia y Logarítmica

99

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3:23 PM

Página 100

EVALUACIÓN

Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

( x − 1) ( x − 2)

1. El dominio de f(x) =

es:

A. ]1, 2[ D.
– {1, 2} B. ]–∞, 2[ E.
C. ]–∞, 1] U [2, +∞[

7. ¿Cuál de las siguientes funciones no es periódica? A. y = sen x B. y = –sen x

x

2. El dominio de f(x) =

( x − 1) ( x − 2)

A. ]–∞, 1[ U [2, +∞[ B. ]–∞, 1[ U ]2, +∞[ C.
– {0, 1, 2} D. ]1, 2[ E.


es:

E. y = sen

x −1

D.

3

( x − 1)3

B. x + 3 x

E.

3

( x + 1)3

C.

3

3

8. ¿Cuál de los siguientes corresponden al gráfico de la función g(x) = 2x3? A.

B.

1 2 4 8 Ninguna de las anteriores.

5. Si f(x) = 2x + 3, entonces f–1 (33) A. 15 B. 18 C. 30

C.

D. 69 E. 70

6. El recorrido de f(x) = 2x2 + 5, con x ⱖ 0 es el conjunto: A. B. C. D. E.

1 x

x −1

4. Si h(x) = x3 y k(x) = 3x – 4, entonces (k–1 o h–1) (8) es: A. B. C. D. E.

1 sen x 2

D. y = sen x + 2

3. La función inversa de g(x) = x3 + 1 es: A.

C. y = –

D.

[5, +∞[ ]5, +∞[
+
–
E. Ninguna de las anteriores.

100

Función Potencia y Logarítmica

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Page 101

Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA 1 , entonces el valor de b es: 3

9. Si logb 3 = – A. 3–1

D. 12

1 27

E. 27

B.

A. x = 0 B. x = 1 C. x = 2

C. 9 10. Una expresión equivalente a 1 • (3 loga x – 5 loga y – 30 loga z) es: 2 A. loga

3x 5y + 30z

B.

loga

C.

loga

D.

loga

x 5

y + z30 3x 5y + 30z

D. x = 3 E. x = 2,5

15. La siguiente fórmula relaciona los decibeles según la potencia de un amplificador D = 10 • log(l • 1012) (con I: intensidad). Si en un amplificador de sonido triplicamos la potencia, ¿en cuánto aumentan los decibles? A. B. C. D. E.

3

x

14. Encuentra el valor de x en la ecuación log2 x + log2 x = 2

Aproximadamente 4 unidades. Aproximadamente 5 unidades. Aproximadamente 10 unidades. Aproximadamente 12 unidades. Ninguna de las anteriores.

16. Si en el mismo amplificador se aumenta de I a 5I, ¿cuántos decibeles aumenta D?

3

5

y + z30 A. 5 B. 7 C. 10

E. N.A.

D. 15 E. 70

11. Si logb 16 = –2, entonces el valor de b es: 1 A. 4 B.

1 1 y– 4 4

D. 2

兲

y

E. 4 y –4 A. A + B = C B. A + C = B C. B + C = A

12. Si pH = –log [H+], halla la concentración de H+ si el pH de una sustancia es 6,8. D. 6,8 • 10–7 E. 1,58 • 107

D. A + B + C = 0 E. N.A.

18. ¿Cuál de las siguientes propiedades son siempre verdaderas? I. a = blogb a II. logb a • loga b = 1

2

13. La solución de la ecuación log3 3x = 1 es: A. 0 B. 1 C. 1 y –1

1 x

C = log (1 + x), entonces se cumple:

C. 4

A. 1,58 • 10–7 B. –6,8 C. 6,8 • 107

共

17. Si A = log x con x > 1, B = log 1 +

D. 3 E. Todos los reales.

III. logb

1 a

A. Solo I B. Solo II C. I y II

•

loga a = 0 D. II y III E. Todas.

Función Potencia y Logarítmica

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Page 102

EJERCICIOS DE REFUERZO

Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA

1. Grafica las siguientes funciones, considerando como dominio el conjunto de los números reales. a. f(x) = 4x

c. h(x) = –

2 x 3

b. g(x) = 2 • 1,25x 2. Calcula la inversa de las siguientes funciones. a. f(x) = 4 + 7x x−5 5

b. g ( x ) =

a. si la función tiene algún período en ese intervalo. b. El recorrido de cada una. c. si es posible extender el intervalo dado y obtener igualmente una función. 7. Caracteriza el parámetro a y el exponente n en la función y = axn, para los siguientes gráficos:

⎞ ⎛1 c. h ( x ) = 3, 5 ⎜ + 4 x ⎟ ⎠ ⎝7 d. k(x) = 10 –

6. Representa en un gráfico las funciones trigonométricas y = cot(x), y = sec(x) e y = cosec(x) en el intervalo [0, π]. A partir de estas gráficas, determina:

3+x 2

a.

c.

c.

d.

3. A partir de la gráfica de la función g(x) = x5, dibuja la gráfica de las funciones: c. v(x) = g(x + 1) d. w(x) = g(x – 2) + 5

a. t(x) = g(x) + 4 b. u(x) = g(x) – 3

4. Determina el recorrido y el período de las siguientes funciones. a. y = 2 sen x b. y = –2 cos x c. y = –

d. y = sen x + 2 e. y = cos x – 1

1 sen x 2

f. y =

8. Expresa en la forma más reducida posible.

1 cos x 2

a. log13 + log 13 – 13

5. La gráfica siguiente muestra una función que representa cómo varía la tensión arterial mínima de una persona a lo largo de varios días.

b. –

1 log ab + log a + log b 2

c. log b +

1 log a – 2

ab

9. Demuestra que: 16 12 8 4

(loga b) (logb c) (logc d)… (logm n) (logn a) = 1

1

2

3

4

5

a. ¿Es una función periódica? Si lo es, indica el período. b. Utiliza la prueba de la recta vertical, para ver si la gráfica representa una función. Si lo es, indica el dominio y el recorrido de la función. 102

Función Potencia y Logarítmica

para cualquier conjunto de números positivos a, b, c,…, n distintos de 1. 10. Calcular, en cada caso, el dominio de f(x) a. f(x)= log (log x) b. f ( x ) =

(log x )2 − 5 log x + 6

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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA 11. Sean x1 y x2 dos números reales positivos tales que: log

共

x1 • x2 3

兲

=

1 (log x1 + log x2) 2

16. Demuestra las siguientes propiedades: a. a = blogb a b. logb

Calcula el valor de: 5x1x2

共 兲 1 a

+ logb a = 0

c. log xn = n • log x

12. Demuestra o refuta la igualdad: 17. ¿En qué casos se cumple la siguiente igualdad?

loga x + logb x = logab x para todo valor de x, siendo a y b positivos. 13. Las funciones logarítmicas graficadas son del tipo y = log (x – a) Y 1

(loga b) (logb a) = 1 18. Si se verifica que log a + log b = 0, ¿cuál es la relación entre a y b? 19. Si a, b pertenecen a , calcula el valor de: log 1 a + logb a

–3

–1

1

3

5

7

9

X

14. Analiza la validez afirmaciones:

de

las

siguientes

a. Los logaritmos son siempre positivos. b. No existen logaritmos de números negativos. c. Los logaritmos están definidos para bases positivas. d. Las potencias de un número positivo son todas positivas. 15. Considera que log 2 = 0,301030, y calcula el valor de las siguientes expresiones: ⎛ 32⎞ a. log ⎜ ⎟ ⎝ 25 ⎠

⎛ 1 ⎞ b. log ⎜ ⎝ 2 2 ⎟⎠

1 b

20. Completa el siguiente cuadro: Producto

a. Halla el valor de a para cada una de ellas. b. ¿Cuál de las gráficas corta al eje Y?

共 兲 +

Concentración de H

pH

Leche

6,6

Pasta de dientes

9,9

3,162 • 10–4

Vino

21. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a. log3 (3x – 2) = 2 b. log2 x2 + 3log2 x = 10 c. log (x + 3) – log (2x – 1) = 0 d. log2 (x + 1) + log2 (x – 1) = log2 8 e. ln x3 –

1 5 ln x= 2 2

f. log x–1 + (log x)

–1

=–

3 2

g. log8 x – log8 3 – log8 7 =

1 3

Función Potencia y Logarítmica

103

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3:28 PM

Página 104

EVALUACIÓN SEMESTRAL 1 1. Una distribución de datos tiene como diagrama de barras:

Para los problemas 3 a 7, consideraremos la distribución de frecuencia con las alturas (en metros) de 100 estudiantes.

3.5

Intervalo

fi

1,60 – 1,62

5

1.5

1,63 – 1,65

18

1

1,66 – 1,68

42

1,69 – 1,71

27

1,72 – 1,74

8

3 2.5 2

0.5 0

A. B. C. D. E.

La La La La La

1

2

3

4

5

N = 100

media es 3. mediana es 3. moda es 3. desviación media es 3. desviación estándar es 3.

3. La media aritmética es: A. 1,658 m

D. 1,6901 m

B. 1,6745 m

E. Ninguna de las anteriores.

C. 1,683 m 2. Observa el siguiente gráfico circular asociado a una encuesta sobre veracidad de la información en los medios de comunicación.

4. La mediana es aproximadamente: A. 1,665 m

D. 1,674 m

B. 1,669 m

E. 1,681 m

C. 1,671 m Muy veraz Aceptable Poco veraz Nada veraz

5. La moda es aproximadamente: A. 1,66 m

D. 1,69 m

B. 1,67 m

E. 1,70 m

C. 1,68 m Sabiendo que 400 personas dijeron que la información es muy veraz, ¿a cuántas personas se encuestó aproximadamente? A. B. C. D. E.

1.000 1.600 4.000 8.000 Ninguna de las anteriores.

6. La desviación estándar es: A. 0,0185 m

D. 0,0304 m

B. 0,0216 m

E. 0,0417 m

C. 0,0292 m

7. La desviación media es: A. 0,0193

D. 0,0292

B. 0,0216

E. Ninguna de las anteriores.

C. 0,0227

104

Evaluación semestral 1

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17:30

Page 105

EVALUACIÓN SEMESTRAL 1

8. Se lanza un dado cierta cantidad de veces y con los valores obtenidos se construye la tabla de frecuencias que se indica. Si la media aritmética de los valores es 3,8, el número total de lanzamientos es: x

fi

1

5

2

2

3

4

4

a

5

4

6

7

B. 4

E. Ninguna de las anteriores.

C. 19 9. Las calificaciones de un estudiante en Química son: 5,4 – 4,8 – 6,2 y 3,5. Si las ponderaciones son 20%, 10%, 30% y 40%, respectivamente, entonces su promedio ponderado final será·:

B. 4,9

D. 5,2

A. 4,5

D. 10

B. 5

E. Ninguna de las anteriores.

C. 9 Para los problemas 11, 12 y 13, considera el conjunto de datos: {2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18, 20}. 11. La media aritmética es: C. 9,5

B. 8,2

D. 10,1

B. 9

D. 11

E. 20

A. 2

C. 9

E. 20

B. 7

D. 18

A. 2,8

C. 5,5

B. 3,6

D. 6

E. 6,3

15. La desviación estándar de los datos, 3 – 5 – 6 – 7 – 10 – 12 – 15 – 18, es: A. 2,48

C. 9

E. 11,36

B. 4,87

D. 9,5

E. 5,3

10. Las marcas de clase en una distribución de frecuencias son: 126 – 135 – 144 – 153 – 162 – 171 – 180. Entonces, el tamaño de los intervalos de clase es:

A. 7,4

C. 10

14. La desviación media del conjunto de datos {2, 3, 6, 8, 11} es:

D. 25

C. 5,0

A. 7

13. La moda es:

A. 3

A. 4,8

12. La mediana es:

Para los problemas 16, 17 y 18, la tabla de distribución de frecuencias muestra los puntajes obtenidos por 120 estudiantes de una universidad en una prueba de álgebra. Puntaje

fi

38 – 46 47 – 55 56 – 64 65 – 73 74 – 82 83 – 91 92 – 100

1 3 11 21 43 32 9

16. El percentil P70 es: A. 73,5

C. 82,5

B. 74,9

D. 83,9

E. 90,5

E. 11,7

Evaluación semestral 1

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Page 106

EVALUACIÓN SEMESTRAL 1

A. 66

1 es: x+1 A. todos los números reales.

B. 67

B. todos los números negativos.

C. 78,52

C. todos los números reales mayores que 1.

D. 83

D. todos los números reales, sin incluir al –1.

17. El cuartil Q2 es:

E. Ninguna de las anteriores. 18. El decil D3 es: A. 47,5 B. 55,5 C. 64,5 D. 73,5 E. Ninguna de las anteriores.

21. El dominio de f(x) =

E. todos los números reales menores que 1.

22. ¿Cuál es el recorrido de la función que asocia a cada número su raíz cúbica? A. Solo los números reales positivos. B. Todos los números reales. C. Solo los números no negativos. D. Solo los múltiplos de 3.

19. El cuartil Q3 es un valor que, ordenados todos los datos: A. deja por encima el 50%. B. deja por debajo el 75%. C. deja por debajo el 25%. D. deja por encima el 75%. E. Ninguna de las anteriores. 20. En una encuesta se obtiene una media muestral x; se sabe que la desviación estándar de la población es σ, el tamaño de la muestra es n y la variable tiene una distribución normal. El intervalo de confianza con un 99,7% de confianza para la media µ , está dado por: A.

关 x– – 3σ, x– + 3σ兴

– – B. 关 x – 2σ, x + 2σ兴

关 x– – 3σn , x– + 3nσ 兴 2σ – 2σ – D. 关 x – ,x + 兴 n n kσ – kσ – E. 关 x – ,x + 兴 n n C.

106

Evaluación semestral 1

E. Solo los números naturales.

23. Si f es una función periódica y T es su período, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa para todo x? A. f(x) = f(x – T) B. f(x) = f(x + 4T) C. f(x) = f(2x + T) D. f(x) = f(x + 6T) E. Ninguna de las anteriores.

24. Dada la función g, que asocia a cada número su triple menos 2 unidades, ¿cuánto es g(2)? A. –2 B. 0 C. 2 D. 4 E. 6

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Page 107

EVALUACIÓN SEMESTRAL 1

25. Dado el gráfico de la función h(x) = axn.

5

–8

–4

4

28. El valor de la expresión 1 1 1 log2 – log3 + log5 es: 16 81 125 A. –3

C. 4

B. 3

D. 7

E. 11

8

29. ¿Cuál de las siguientes igualdades es incorrecta?

–5

A. log 53 = 3 log 5 B. log 10 + log 100 = log 1.000

Es correcto afirmar que:

C. log 81 = 2 log 9

I) a es positivo II) n es par III) a 艋 0

D. log 6 2 =

log 2 6

E. log 8 = log 12 – log 4 A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III I y II II y III

30. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) para la función f(x) = logb x?

26. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? A. La gráfica de la ecuación y = xn, para todo n par, se encuentra ubicada en los cuatro cuadrantes del plano. B. El gráfico de f(x) = x3 tiene forma de parábola. C. La gráfica de y = (x + 7)2 e y = x2 + 7 es exactamente la misma. D. La gráfica de la función t(x) = 5x6, se encuentra ubicada en el primer y segundo cuadrante. E. Ninguna de las anteriores. 27. Si log 3 艐 0,47 y log 5 艐 0,70, entonces el valor de la expresión log 75 – log 125 + log 81 es: A. 0,47

C. 0,94

B. 0,9

D. 1,41

E. 1,65

I) Si b >1 entonces f(x) es creciente. II) logb x = logb z ⇔ x = z III) El recorrido de f(x) es ⺢. A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III II y III Todas

31. El valor de x en la ecuación log2 x = log3 x es: A. –1 B. –

1 2

C. 0 D.

E. 1

1 2

32. El valor de x en la expresión log0,4 0,064 = x es: A. 3

C. 16

B. 4

D. 60

E. 64

(soluciones en página 250)

Evaluación semestral 1

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6/30/08

11:07 PM

Página 108

UNIDAD

U4 Pág. 108 - 127

4 La función exponencial

Según el último censo (2002), publicado por el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) la población de nuestro país llegaba a 15.116.435 personas. Mediante modelos matemáticos se estimó la población para los años siguientes, esperándose para el año 2005, 16.267.278 personas. ¿Qué expresiones matemáticas estarán involucradas en esta predicción? En esta unidad trabajarás con expresiones del tipo f(x) = Cax, en que la variable independiente x es el exponente de una constante positiva y cuyo aporte es el estudio del crecimiento o decrecimiento de poblaciones. De esta manera, surge otro de los números importantes en la matemática: el número e.

108

La función exponencial

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Page 109

En esta unidad aprenderás a... Conocer el concepto de función exponencial y su gráfico. Trabajar con el número e en funciones exponenciales. Analizar el crecimiento y decrecimiento de funciones exponenciales: crecimiento geométrico y aritmético. Relacionar la función logarítmica y exponencial. Resolver ecuaciones exponenciales. Resolver problemas de aplicación.

Explora Realiza el laboratorio 1 correspondiente a la unidad 4 que aparece en www.santillana.cl/emedia/mat4

La función exponencial

109

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Page 110

REPASO LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Unidad 4

¿Cuánto sabes?

1. Encuentra el valor de x. a. 52x – 1 = 25

g. 2x + 5 = 32

b. 22x + 3 = (0,5)3x + 2

h.

c.

共兲

d.

1 22

2x2

1 2

=

•

•

1 2

•

2

– 5x – 84

•

共兲 1 5

2

2x – 15

3 – 2x

1 4

= 82x

i. 28x = 42x

2

e. 1 – ax f. 5

1 128

共兲

•

1 =2 x

•

1 8

j. 3–2x

=0

k.

= 253x

2

+ 14x – 6

共 兲 1 27

=

x2 – 2x + 4

1 1 = 12 92x 3

l. (0,25)3 + 10x =

1 4–2

2. Un capital estuvo depositado 3 años con un interés de 1,8% mensual. Si dio una utilidad de $ 382.761, ¿cuánto fue el capital depositado? 3. Romina reunió un capital de $ 6.000.000 y lo depositó. Si en dos años produjo una utilidad de $ 600.000, ¿a qué tasa de interés anual lo colocó? 4. Completa la siguiente tabla. Capital inicial

Interés

$ 200.000

Capital final después de 3 años

1,5% anual

$

10% anual

$ 300.000

% anual

$ $ 2.600.000 $ 435.000

5. Dado log 2 艐 0,301; log 3 艐 0,477; log 5 艐 0,699; log 7 艐 0,845 y log 11 艐 1,041. Calcula: a. log 70

d. log

b. log 0,22

e. log 0,6

c. log

6 7

f. log

g. log 2.401

30

h. log

11.000 15

4 55 5

i. log

21 330

6. Grafica las siguientes funciones indicando en qué intervalo la función es creciente y en cuál decreciente. a. u(x) = x2 – 5 3 b. y = x +

9 2

c. v(x)= (x – 1,7)2 + 3

110

La función exponencial

d. y = – x e. w(x) = 6 + x – 1

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Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

7. A partir de los siguientes gráficos, escribe la representación algebraica de esas funciones y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. a.

c.

Y

e.

Y

Y

5 5 –2 4 –4

8

X

2

12 X

8 X

4

–3 –5 –5

b.

d.

Y 5

f.

Y

Y 3

5

4

–5

8

X

4,5

9

13,5 X

–8

4X

–4

–5

–3

8. Un tipo de bacteria se reproduce de tal forma que cada hora hay 10 veces más bacterias que la hora anterior. Si partimos con 1 sola bacteria, a. ¿cuántas habrá dentro de una hora? ¿Y 2 horas? ¿Y 10 horas? b. Si en un instante tenemos 10 millones de bacterias, ¿cuántas había una hora antes? ¿Y 3 horas antes? c. ¿En cuántas horas hay 1 millón de bacterias?

1 Para resolver una ecuación exponencial debes igualar las bases de las potencias y luego resolver la ecuación que resulta de igualar los exponentes. Por ejemplo:

¿Qué debes recordar?

32x – 5 = 27x – 1 32x – 5 = 33(x – 1) 32x – 5 = 33x – 3

⇔

2x – 5 = 3x – 3 –5 + 3 = 3x – 2x –2 = x

2 El interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dura una inversión, se deben únicamente al capital inicial. 3 La utilidad u producida al invertir $ C durante t meses con un interés simple mensual de r% es: u=

t•r•C 100

La función exponencial

111

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CONTENIDOS Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Función exponencial Una función exponencial se representa por f(x) = ax, con a perteneciente ⺢+ – {1} y x perteneciente a ⺢. Observa las siguientes gráficas para determinar las características de esta función. Caso I. Función exponencial f(x) = ax, con a > 1. En el mismo sistema de coordenadas graficaremos las siguientes funciones: f1(x) = 2x, f2(x) = 4x, f3(x) = 9x y f4(x) = 100x. Y

AY U D A Para graficar la función f(x) = 2x puedes usar la página www.santillana.cl/emedia/mat4/ grafica.htm y escribir la expresión

2^x en el espacio correspondiente.

TIPS

X

La curva de la función exponencial se dice que es asintótica al eje X, ya que se acerca a esa recta sin llegar nunca a intersectarla.

En estas gráficas observamos varios aspectos importantes: • la curva asociada a la función exponencial f(x) = ax, para los valores de a: 2, 4, 9 y 100, intersecta al eje de las ordenadas (Y) en el punto (0, 1). No hay intersección con el eje X. • La función es creciente para todo valor de x. • El dominio de la función son todos los números reales. • Los valores que toma la variable dependiente y son los números reales positivos.

EJERCICIOS 1. Utilizando algún programa computacional, grafica las siguientes funciones, y luego responde. i. f(x) = 2x

iii. f(x) = 22x

ii. f(x) = 2 • 3x

iv. f(x) = 4 • 3x

a. ¿Cuál es el dominio de cada función? b. ¿En qué punto intersectan al eje Y?

112

La función exponencial

c. Las gráficas, ¿mantienen las características de una función exponencial f(x) = ax, con a > 1? 2. Dada la función f(x) = 3x, determina en el gráfico el valor aproximado de: 1

a. 30,5

b. 3 3

c. 3

2

d. 3

3

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Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Caso II. Función exponencial f(x) = ax, con 0 < a < 1. Graficaremos en el mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones: f1(x) =

共 兲 1 2

x

, f2(x) =

共 兲 1 4

x

, f3(x) =

共 兲 1 9

x

y f4(x) =

共 兲 1 100

x

.

Y

X

Al observar las gráficas anteriores podemos generalizar lo siguiente: • la curva asociada a la función exponencial f(x) = ax, con 0 < a < 1, intersecta al eje Y en el punto (0, 1). No hay intersección con el eje X. • La función es decreciente para todo valor real de x. • Los números reales son el dominio de la función; y el recorrido, los reales positivos.

IR

A LA

WEB

Desarrolla el laboratorio 2. www.santillana.cl/emedia/mat4

Dados los dos casos, ¿podrías sacar algún tipo de conclusión?

PA R A A R C H I VA R La función exponencial, f(x) = ax, con a perteneciente a ⺢+ – {1} y x perteneciente a ⺢, posee las siguientes características: • el dominio de la función son los números reales. • Los números reales positivos son el recorrido de la función. • La curva asociada a la función, intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1). Si a > 1, la función es creciente. Y

Si 0 < a < 1, la función es decreciente. Y

X

X

La función exponencial

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CONTENIDOS Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Algunas consideraciones para a en la función f(x) = ax: • Base a = 1. Y

Si la base de la función es el número real 1, la función es f(x) = 1x. Se observa que para todo valor real de x se tiene que f(x) = 1, de lo cual resulta una recta paralela al eje de las abscisas X, es decir, se trata de una función constante, por lo que no se habla de una función exponencial.

X

Y

• Base a = 10.

f(x) = 10x

Si la base de la función es el número 10, la función es f(x) = 10x. Si comparas su gráfica con la gráfica de f(x) = log x obtienes curvas simétricas con respecto a la gráfica de la función f(x) = x. Compruébalo.

X

Ejemplo

AY U D A

→

El semieje OY está representado por: Y

Grafiquemos en el mismo sistema de coordenadas las funciones f(x) = 2x y g(x) =

共 兲 1 2

x

= 2–x

Y

g(x)

f(x)

¿Qué semejanzas y diferencias hay entre ellas? O

X

Semejanzas: • el dominio de cada una de ellas son los números reales. • el recorrido de cada una de ellas son los números reales positivos.

X

Diferencias: • En f(x), si los valores de x se hacen cada vez más grandes, los valores de y aumentan con rapidez, mientras que en g(x) si los valores de x se hacen cada vez más grandes, los valores de y se acercan cada vez más a cero. • La base de g(x) es el inverso multiplicativo de la base de f(x). → • Las gráficas de f(x) y g(x) son simétricas entre sí, con respecto al semieje OY.

→

Cuando las funciones son inversas, ¿son siempre simétricas al semieje OY? Verifica tu respuesta graficando este tipo de funciones exponenciales.

114

La función exponencial

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Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

EJERCICIOS 1. Utilizando algún programa computacional, grafica las siguientes funciones. a. f(x) = 4x b. f(x) =

g. f(x) = 2–x

共 兲 1 4

c. f(x) = –4

x

i. f(x) = 2

共 兲

j. f(x) =

共 兲

–x

l. f(x) = –

共 兲

x

2 3

2. Grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones. Luego responde. a. f(x) = 5x y g(x) = b. f(x) =

共 兲 1 7

x

共 兲 1 5

c. f(x) = 2 y g(x) = 2

–x

e. f(x) = –2x y g(x) = 2x

共 兲 共 兲

g. f(x) = 2

x

1 2

y g(x) =

1 2

•

4. Sin construir las tablas de valores ni las gráficas, indica cuáles de las siguientes funciones son crecientes o decrecientes. a. r(x) = 675x b. r(x) =

c. r(x) = 0,001x

共 兲 4 5

x

d. r(x) = 2,01x

5. Encuentra la función f(x) = ax que pasa por los siguientes puntos, respectivamente.

d. f(x) = 3–x y g(x) = 3x

f. f(x) = –

f. f(x) = 3x – 3–x

x

y g(x) = 7x

x

e. f(x) = 3x + 2 – 9

c. s(x) = 2⎟x⎟

x

k. f(x) = 2x + 1

1 2

d. r(x) = 2x

1 4x

x–1

2 3

2

a. m(x) = 5–x b. n(x) =

共 兲

x

e. f(x) = 5x

–x

1 3

h. f(x) =

1 d. f(x) = – 4

f. f(x) =

共 兲

x

3. Dadas las siguientes funciones indica su dominio, recorrido y el punto de intersección con cada eje.

x

x

y g(x) = 3

x

•

d. (3, 743)

b. (–1, 5)

e. (–4, 0,625)

c. (4, 4.096)

f. (m, m5)

6. Dada la función exponencial f(x) = (0,09)x, indica cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) correcta(s). Justifica.

共 兲 1 2

a. (3, 216)

共 兲 1 2

x

a. f(–m) = 关f(m)兴–1 b. f(n + m) = f(n) • f(m)

x

h. f(x) = 3 • 2 y g(x) = 2 • 2

i. f(x) = 2x + 1 y g(x) = 2x – 1 j. f(x) =

共 兲 1 3

x

+ 1 y g(x) =

共 兲 1 3

x–1

k. En relación a la gráfica, dominio y recorrido, ¿qué puedes concluir entre las funciones de: a y b, c y d, e y f, g y h, i y j?

7. Indica cuál(es) de las siguientes funciones exponenciales pasa(n) por el origen del sistema de coordenadas. a. y = 2x + 1

c. y = 1 – 2x

b. y = 2x + 1

d. y = 1 – 2x + 1

La función exponencial

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CONTENIDOS LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Unidad 4

Aproximándonos al número e El número e se define como el valor al que tiende la expresión 1 x 1+ cuando x toma valores muy grandes. Su expresión x

共

兲

decimal es aproximadamente e = 2,71828182845.

HISTORIA

共

1 El número e surge del estudio de la función definida por f(x) = 1 + x donde x es un número positivo.

兲

x

,

Estudiaremos los valores de la función a medida que x aumenta. x

f(x)

Aproximación

Leonhard Euler (1707- 1783)

10

共

1 10

Euler fue el primero en simbolizar el número e, utilizando este símbolo, quizás, por ser la primera letra de la palabra exponencial.

100

共

1 100

1.000

共

1 1.000

10.000

共

1 10.000

100.000

共

1 100.000

1.000.000

共

1 1.000.000

.

TIPS La siguiente simbología f(x) → e cuando x → +∞, es una forma de escribir que la función f(x) se aproxima a e cuando x tiende a infinito (números cada vez más grandes).

1+

1+

1+

1+

1+

1+

兲

10

2,5937424601...

兲

100

2,70481382942...

兲

1.000

2,71692393224...

兲

10.000

2,71814592683...

兲

100.000

2,71826823717...

兲

1.000.000

2,71828046923...

¿Qué tendencia hay en la función f(x) a medida que los valores de x se hacen cada vez más grandes? Como observas, a medida que los valores de x aumentan, el valor de la función f(x) se aproxima al valor 2,71828… O dicho de otra forma, a medida que los valores de x se hacen cada vez más grandes, la función f(x) se aproxima al número e.

Y

Graficaremos la función f(x) para observar cómo se comporta a medida que los valores de x crecen infinitamente. El gráfico de la función muestra que f(x) tiende a estabilizarse en la medida en que x aumenta. X

116

La función exponencial

Verifica, de manera análoga, lo que sucede para valores negativos de x.

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Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Función exponencial natural Una función exponencial especialmente importante es f(x) = ex, cuya base es el número irracional e, y x perteneciente a los números reales. Para estudiar f(x) = ex graficaremos las siguientes funciones: f(x) = ex

g(x) = e–x

Y

Y

X

X

Observamos que para ambas funciones el dominio y recorrido es el mismo. El dominio serán los reales, y el recorrido corresponderá a los reales positivos. La curva asociada a f(x) es creciente, mientras que para g(x) es decreciente. Ambas gráficas intersectan al eje Y en el punto (0, 1).

AY U D A Las características de la función exponencial natural son las mismas que una función exponencial.

La función exponencial natural f(x) = ex, con base el número e, y x perteneciente a los números reales, posee las siguientes características: • El dominio de la función son los números reales. • El recorrido son los números reales positivos. • La curva asociada a la función, intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).

IR

A LA

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EJERCICIOS 1. Grafica las siguientes funciones y analiza qué sucede con cada una. a. f(x) = e0,1x

c. f(x) = e0,001x

b. f(x) = e0,01x

d. f(x) = e0,0001x

2. Dadas las siguientes funciones, ¿cuál es su dominio y recorrido? a. f(x) = e

x+1 x

b. f(x) = –e + 1

c. f(x) = e

2x

3. En cada uno de los siguientes puntos, la gráfica de una función exponencial f(x) = ax pasa por el punto dado. Encuentra f. a. (–1, e2)

b. (2, e)

4. En un sistema de coordenadas realiza un esbozo de las siguientes funciones. a. f(x) =

ex 2

c. f(x) =

ex e–x + 2 2

b. f(x) =

e–x 2

d. f(x) =

ex + 1 ex + 1 + 2 2

d. f(x) = e–2x

La función exponencial

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CONTENIDOS LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Unidad 4

Función exponencial y función logarítmica Dada y = bx, determinemos la función inversa de y, para b > 0, b = 1, para esto debemos despejar x en función de y.

AY U D A

y = bx

logb a =

aplicamos logaritmo ya que y y b son números positivos

log y = log bx

Recuerda que: log a log b

log y = x log b x=

AY U D A

ya que b = 1

log y log b

utilizando la propiedad de cambio de base, tenemos

x = logby Luego, y–1 = logbx.

y–1 = f –1(x)

al encontrar la función inversa remplazamos x por y

PA R A A R C H I VA R

TIPS La recta y = x es bisectriz de los cuadrantes I y III, es decir, los divide en dos regiones iguales.

Sea y = bx una función exponencial, su inversa está dada por y–1 = logb x.

Para realizar un mejor análisis graficaremos ambas funciones. Caso I: Si b > 1 Y y=b

Caso II: Si 0 < b < 1 x

x

Y

y=b

y=x y–1 = logbx

X

X

y–1 = logbx y=x

¿Qué puedes observar?

TIPS Una manera de graficar la función logarítmica es “reflejando” sobre la recta y = x, la función exponencial correspondiente.

118

La función exponencial

• Ambas funciones son simétricas con respecto a la recta y = x. • El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los reales positivos, lo cual corresponde al recorrido de la función exponencial. • El recorrido de la función logarítmica es el conjunto de los números reales y corresponde al dominio de la función exponencial.

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Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Caso particular ¿Cuál es la función inversa de y = ln x?

⇒ y = loge x, luego, por definición de logaritmo se tiene que

Si y = ln x ey = x.

Por lo tanto, y–1 está dada por la función y = ex.

AY U D A Recuerda que para encontrar una función inversa despejamos la variable independiente en función de la variable dependiente y, luego, intercambiamos las variables x e y en la expresión resultante.

PA R A A R C H I VA R La función inversa del logaritmo natural y = ln x, está dada por la función y = ex.

EJERCICIOS 1. En un mismo sistema de coordenadas, grafica las funciones y = ln x e y = ex. a. Indica los puntos de intersección con los ejes. b. Determina el dominio y recorrido de cada función. c. Determina el eje de simetría.

2. Determina la función inversa de las siguientes funciones exponenciales. a. y = 2x

b. y = 3

x

c. y =

共 兲

x

5 4

x

3. Determina la función inversa de las siguientes funciones logarítmicas. a. y = log6 x

5. Si f(x) = xa + 1 y f(2) = 32, determina el valor de a.

6. Determina la veracidad de las siguientes proposiciones: a. Si la función y = ax es creciente, entonces y = loga x es decreciente. b. La función y =

共 兲

15 d. y = 7

4. Dada la función y = 4x, determina su función inversa y grafícalas en un mismo sistema cartesiano.

c. y = log 2 x

共 兲 1 2

x

es la función inversa

de y = log2 x. c. Una función exponencial es siempre decreciente, al igual que una función logarítmica. d. Las gráficas de la función logarítmica y su respectiva función inversa son simétricas respecto a una recta.

5

b. y = log9 x

d. y = log 3 x 4

7. Dadas las funciones exponencial y = 3x y logarítmica y = log3 x, represéntalas en un mismo sistema de coordenadas. ¿Qué puedes concluir?

La función exponencial

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CONTENIDOS Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Ecuaciones exponenciales Una ecuación exponencial es una igualdad en la que intervienen potencias, en uno o en ambos lados de la ecuación, y que consta de una incógnita en al menos uno de sus exponentes.

En cursos anteriores hemos resuelto ecuaciones exponenciales en la que es posible igualar las bases de las potencias, aplicar propiedades y por último igualar los exponentes. Este año estudiaremos aquellas ecuaciones exponenciales en la que no es posible igualar sus bases y se resuelven aplicando logaritmos y sus propiedades. Ejemplo 1 La población de un país dentro de t años está dada por la relación P(t) = 2 • 3

2t 3

millones de habitantes. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para

que la población del país sea 148 millones de habitantes? Si t es la incógnita, remplazamos P(t) = 148, y obtenemos: 148 = 2 • 3

2t 3.

Aplicamos logaritmos y sus propiedades, ya que ambas expresiones de la igualdad son positivas.

共

log 148 = log 2 • 3

2t 3

兲

log 148 = log 2 +

2t log 3 3

2t log 3 = log 148 – log 2 3 t=

3(log 148 – log 2) 3(2,17026 – 0,30102) 艐 5,876 = 2 log 3 2 • 0,47712

Deben transcurrir entre 5 y 6 años. Ejemplo 2 3x + 6 = 2 Aplicamos logaritmos y propiedades, ya que 3x+6 y 2 son expresiones positivas. log 3x + 6 = log 2

(x + 6) log 3 = log 2

x log 3 + 6 log 3 = log 2

x log 3 = log 2 – 6 log 3 despejamos la incógnita x, x=

120

La función exponencial

log 2 – 6 log 3 log 2 6 log 3 = – log 3 log 3 log 3

x=

log 2 –6 log 3

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Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Ejemplo 3 Resuelve la siguiente ecuación exponencial: ax + 3 = b2x + 5 con a y b positivos, a = b2. ax + 3 = b2x + 5 (x + 3) log a = (2x + 5) log b

aplicamos logaritmo y propiedades, ya que ax+3 y b2x+5 son expresiones positivas

Utilizamos propiedad distributiva:

IR

x log a + 3 log a = 2x log b + 5 log b

A LA

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Agrupamos y factorizamos los términos de la incógnita: 2x log b – x log a = 3 log a – 5 log b x(2 log b – log a) = 3 log a – 5 log b

Ya que a = b2, tenemos que 2 log b – log a = 0, por lo que despejamos la incógnita: x=

3 log a – 5 log b 2 log b – log a

solución de la ecuación.

EJERCICIOS 1. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales, igualando las bases. x–1

a. 2

d. 8x = 81 =4

3x + 1

b. 8

c. 81 d. 8

e. 64

•

e. 3 • 2x + 1 = 5

= 32x

x2 – 1

–3x

x

c. 3 2 = 768

= 27 x+1

2

2

x + 2x

•

–(7 – 5x) x+2

=4

16

x–5

f. 5 • 23x = 9 g. 2x + 4 = 3 • 4x – 3 h. 4x + 2 = 93x – 4

=0

i. a3x + 4 = b2x – 3 x+ 1

2. Determina el radio de una esfera si su volumen es 113,04 m3. (El volumen de una esfera está dado por la relación 4 3 • π • R ). V= 3 Resuelve el problema utilizando ecuaciones exponenciales. Compara tu respuesta con la de un compañero.

j. m

3

2x + 2

k. p

8

–

l. m

3

3

= q0,75x – 1

x +4 4

3x + 1

m. a

3x + 2

=n

= 4x – 2 3

= c7

x+1

n. 2 • 3x = 5

4. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. 3. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales. a. 22x + 1 = 3x + 5 x2 – 1

b. 4

a. 3x + 5 – 3x + 2 + 3x = 506 b. 22(x + 3) + 22(5 + x) = 3.264 c. 0,1252(x + 1) – 0,253(x + 2) = 189

= 154

La función exponencial

121

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CONTENIDOS Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Crecimiento exponencial

AY U D A Si a > 1, f(x) = ax es una función estrictamente creciente, es decir, si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2), y el gráfico es de la forma: Y

En el mundo de los negocios, en la biología y en las ciencias sociales, el estudio del crecimiento de las variables es de mucho interés, ya que permite, por ejemplo, predecir valores de las monedas, número de bacterias o poblaciones en el futuro.

ax

PA R A A R C H I VA R

X

Si el crecimiento de las variables se puede modelar mediante la función f(x) = c • ax, con c > 0, a > 1, diremos que crecen exponencialmente, o bien que presentan un crecimiento exponencial.

Ejemplo Según información entregada por el INE, la población en nuestro país en 1960 era de 7.643.277 habitantes, y en 1970, de 9.569.631 habitantes. Solo con estos datos, se podría estimar la cantidad de habitantes en Chile para el año 2000. El crecimiento poblacional, ya sea de insectos, bacterias o seres humanos, lo podemos modelar como:

TIPS A la modelación del crecimiento de la población mediante la fórmula P(t) = P0ert, se le llama teoría malthusiana del crecimiento de la población.

P(t) = P0ert, donde P(t): población en un tiempo t. P0:

población cuando t = 0 (año 1960).

r:

constante relacionada con la tasa de crecimiento en porcentaje anual.

Como transcurrieron 10 años (t) entre las 2 mediciones, podemos conocer el valor de r resolviendo la ecuación: 8.836.223 = 7.374.712 • e10r 8.836.223 = e10r 7.374.712

Aplicamos logaritmo natural para despejar la incógnita. Recuerda que ln e = 1 ⇒ ln(ex) = x. ln

共

8.836.223 7.374.712

兲

= 10r

r = 0,018080

Luego, la proyección estimada de la población para el año 2000 es: P = 8.836.223 • e0,018080

•

30

P(30) = 15.199.454 habitantes, lo cual es bastante cercano a la población real que existió en Chile en el año 2002.

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Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

EJERCICIOS 1. Actualmente la población de Chile bordea los 15 millones de habitantes y la tasa de crecimiento, entre el censo de 1982 y el censo de 1992, fue de 1,6% anual. a. ¿En cuánto tiempo se habrá duplicado la población? b. Si la tasa de crecimiento se mantiene en los siguientes 20 años, ¿cuál será la población en el año 2012? c. Estima la población de Chile en el año 1980.

2. En un almanaque del año 1970 se encontraron los siguientes datos: Provincias

Antofagasta

1970

1960

(cantidad de habitantes)

(cantidad de habitantes)

250.665

215.376

3.218.155

2.436.398

Concepción

638.118

539.450

Magallanes

88.244

73.426

Santiago

a. Determina expresiones matemáticas de crecimiento para cada ciudad. b. Calcula, según estas fórmulas, la proyección para el año 2002. c. ¿Por qué el crecimiento no es lineal? Fundamenta tu respuesta

3. El crecimiento de organismos en ambientes limitados sigue otro tipo de fórmula o modelo. Por ejemplo, si se quiere predecir el número de alumnos de una universidad que tiene planes de expansión limitada, el modelo usado es: 0,4t

donde t es el número de P(t) = 1.500 • (0,5) años después de abierta la universidad. a. ¿Qué cantidad de alumnos había cuando abrió la universidad? b. Después de 2 años de funcionamiento, ¿cuántos alumnos tiene? c. ¿Qué forma tiene la curva del gráfico? d. ¿A qué valor máximo se aproxima P?

4. Según investigaciones médicas, las personas que conducen bajo los efectos del alcohol tienen un riesgo R(x) de tener un accidente, el cual está dado por la siguiente expresión: R(x) = 6ekx, donde k es una constante y x es la concentración porcentual de alcohol en la sangre. a. Se sabe que un 4% de alcohol en la sangre implica un riesgo de 10% de tener un accidente. ¿Cuál es el valor de la constante? b. Grafica la función f(x) = R(x) = 6ekx. c. Indica si la función es creciente o decreciente. d. ¿Cuál es el máximo riesgo posible? e. Si el riesgo de tener un accidente es de un 90%, ¿cuál es la concentración de alcohol en la sangre? f. ¿Cuál es la máxima concentración de alcohol en la sangre para no sobrepasar un riesgo del 20%? g. Averigua acerca del “alcotest” y de los máximos niveles de alcohol que puede soportar el cuerpo humano.

5. Una empresa dedicada a vender viviendas decide colocar en marcha una campaña publicitaria. La agencia proyecta que el número de viviendas que se venderán está dado por la siguiente expresión: x y = 800 • (0,1)0,7 en que x representa la cantidad de meses que transcurren una vez que empieza la campaña. a. Antes del comienzo de la campaña, ¿cuántas viviendas se vendían? b. ¿Cuántas se venden después de 5 meses? c. ¿Cuál es el máximo que se espera vender? d. Haz un esbozo de la función.

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CONTENIDOS Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Decrecimiento exponencial Para cada sustancia radiactiva, existe un tiempo llamado vida media, que es el tiempo que transcurre hasta que se desintegra la mitad de su masa (de la sustancia radiactiva). Usando esta información es posible hallar la edad aproximada de objetos de antigüedad desconocida. Este tipo de situaciones se puede modelar mediante una ecuación de decrecimiento exponencial.

PA R A A R C H I VA R Si el decrecimiento de las variables se puede modelar mediante la función, f(x) = c • arx con c > 0, a > 1 y r < 0, diremos que las variables decrecen exponencialmente o bien, que presentan un decrecimiento exponencial.

Gentileza, Consejo de Monumentos Nacionales.

Ejemplo

AY U D A Una función se dice decreciente si x1 < x2, entonces, f(x1) > f(x2). Un ejemplo de la gráfica de funciones decrecientes es el decrecimiento exponencial como se muestra:

En los años 80 se encontraron unos cacharros y unos huesos. Para datar sus λ edades se usó el modelo matemático dado por: P(t) = P0 • e– t. Se elige el Carbono–14, cuya vida media es conocida y es de 5.570 años, y λ está dado por λ =

0,693 = 0,0001244. 5.570

Y

X

Luego, si se analiza la cantidad de radiación del Carbono–14 que emite, por ejemplo, uno de estos huesos, es posible hallar la edad aproximada de este. Si un hueso hallado emana 15,5 unidades por minuto y un hueso normal actual emana 19,5 unidades por minuto se obtiene: 15,5 = 19,5 • e–0,0001244t Entonces, el problema se reduce a encontrar el valor de t en la expresión anterior. 15,5 = 19,5 • e–0,0001244t 15,5 = e–0,0001244t 19,5 ln

IR

A LA

WEB

Desarrolla el laboratorio 5. www.santillana.cl/emedia/mat4

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La función exponencial

共 兲

共

15,5 = ln e–0,0001244t 19,5

–0,229574 = –0,0001244t

兲

⇒ 1.845,45 = t

Por lo tanto, los huesos hallados tienen una antigüedad de 1.845 años, aproximadamente.

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Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

EJERCICIOS 1. Se dispone de 500 miligramos de Carbono–14 de un organismo muerto. Si la cantidad que queda después de x años está dada por P(x) = 500e–0,000115x miligramos: a. Expresa x en términos de P.

c. Si la cantidad de medicamento no puede ser menor a 2 miligramos, ¿cada cuánto tiempo se debe tomar el remedio? d. Discute con tus compañeros acerca de la importancia de respetar los horarios de ingesta de medicamentos.

b. Indica el dominio y recorrido de la función. c. ¿Qué cantidad es posible encontrar en 1.000 años más? d. ¿Cuántos años deben transcurrir para que solo sea posible hallar 1 miligramo? e. ¿En cuánto tiempo la cantidad de Carbono-14 baja a la mitad?

2. Al momento de morir, un organismo contiene 50 miligramos de átomos de Carbono–14 radiactivo. La cantidad de Carbono–14 x años después, se ajusta a la función: P(x) = 50e–0,000119x miligramos.

共

共 RL 兲

t

E 4. La ecuación I(t) = 1–e R

兲

, en que t es el

tiempo en segundos, es utilizada en el estudio de algunos circuitos eléctricos. Si E = 10 volts, R = 12 ohms y L = 7 henrys, entonces: a. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para llegar a una corriente de I = 0,9 amperes? b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para llegar a una corriente de I = 0,55 amperes? 5. Halla el valor de f(10) si f(x) = 30 – ae–kx, sabiendo que f(0) = 10 y f(3) = 20.

a. ¿Después de cuánto tiempo de la fecha de muerte del organismo, le quedará 0,8 miligramos de Carbono–14?

a. ¿Existirá un punto a tal que f(a) = 15?

b. Indica el dominio y el recorrido de la función.

c. Indica el dominio y el recorrido de la función.

3. Al consumir un medicamento, este queda en el organismo una cierta cantidad de tiempo, dado por la expresión: m(h) = 10e–0,2h, donde m representa los miligramos del medicamento y h el tiempo en horas. a. Utilizando algún programa computacional, grafica la función e indica qué tipo de función es (creciente o decreciente). b. Si en un organismo se encuentran 0,407 miligramos de un cierto medicamento, ¿cuánto tiempo ha transcurrido desde que se ingirió?

b. Grafica la función. ¿Qué puedes observar?

6. Para tratar el virus de la influenza, en una región del país, se vacunó a la población. Se espera que la cantidad de contagiados disminuya siguiendo el siguiente modelo: f(x) = 150 e–0,472x , donde x representa las horas transcurridas.

共

兲

a. ¿Cuál es el número de contagiados luego de 2 horas? b. Grafica la función y discute con tus compañeros acerca de la validez del modelo utilizado.

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CONTENIDOS LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Unidad 4

Aplicaciones de la función exponencial Como has estudiado a lo largo de esta unidad, la función exponencial está presente en diversas áreas. Entre algunas de sus importantes aplicaciones se encuentran las matemáticas financieras, la biología y la física. Ejemplo 1 Una persona deposita en un banco $ 2.000.000 al 12% anual de interés. ¿En qué tiempo ascenderá su capital a $ 2.508.800? Aplicamos logaritmos a la fórmula para el cálculo de capital, estudiado en años anteriores:

AY U D A Para calcular el capital, utilizamos la fórmula:

共

Cf = Ci 1 +

t 100

兲

关共

log Cf = log Ci 1 +

n

Donde: Ci: capital a depositar. Cf: capital final. t: porcentaje de interés. n: tiempo.

t 100

兲 兴⇒

共

n

log Cf = log Ci + n log 1 +

t 100

共

log Cf = log Ci + log 1 +

兲⇒

n=

t 100

兲

n

log Cf – log Ci

共

log 1 +

t 100

兲

Entonces: Ci: $ 2.000.000 y log 2.000.000 = 6,30103 Cf: $ 2.508.000 y log 2.508.000 = 6,3993 t = 12% anual. Calculamos:

共

log 1 + luego,

t 100

兲

共

= log 1 +

12 100

兲

= log (1,12) = 0,04922

6,3993 – 6,30103 艐2 0,04922

Entonces, su capital será de $ 2.508.000 al cabo de 2 años. Ejemplo 2 Un cultivo de bacterias experimenta un crecimiento dado por la función Nt + 1 = Nt • er

•

t

.

Donde, Nt: población inicial de bacterias que tienen la capacidad de reproducirse. Nt + 1: población de bacterias luego de transcurrido un tiempo determinado. r: índice de crecimiento poblacional por bacteria. t: tiempo de cultivo.

AY U D A e8 • 10 艐 5,54 • 1034

Consideremos Nt = 100 bacterias y r = 8. ¿Cuál es la población de bacterias al cabo de 10 horas? Nt +1 = 100 • e8

•

10

⇒ Nt+1 艐 100 • 5,54 • 1034 ⇒ Nt + 1 艐 5,54 • 1036

Luego de 10 horas la población de bacterias será de Nt + 1 艐 5,54 • 1036.

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Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

EJERCICIOS 1. En muchas situaciones, el crecimiento de las poblaciones de seres vivos comienza acorde a una función exponencial, pero luego se ve frenado por condiciones medioambientales. En estos casos se presenta un tipo de crecimiento que se puede aproximar mediante una función, llamada logística, según la siguiente expresión: L , donde L es el valor máximo 1 + k • e–at al que crece esta población, k y a son constantes por determinar y t el tiempo transcurrido en días. f(t) =

a. Utilizando algún programa computacional grafica la función anterior e indica dominio, recorrido e intervalos de crecimiento o decrecimiento según corresponda. b. La siguiente función de crecimiento corresponde a una población de mosquitos: 500.000 f(t) = 1 + 499 • e–0,02t ¿Cuál es la población en 50 días? ¿Y en 300 días? ¿Y en 800 días?

2. Calcula la tasa de interés compuesto al que se invierten $ 10.000.000, si al cabo de 2 años produjeron 2 millones de pesos.

3. Determina una fórmula que describa el crecimiento exponencial de una población que aumenta el 12% cada 5 años, considerando una cantidad inicial de 55 millones de personas.

a. Si se invierten dos millones de pesos a una tasa de interés anual del 6,9%, calcula el monto después de 6 años si el interés se capitaliza continuamente. b. ¿Después de cuánto tiempo se duplicará la fortuna de un millonario si la invierte a una tasa de interés anual del 7,1% con capitalización continua? c. El dinero depositado en una financiera se duplica cada 12 años. Esta capitaliza el interés en forma continua. ¿Cuál es la tasa de interés de la financiera?

5. Utilizando la fórmula para calcular el interés capitalizado al cabo de cierto tiempo, dado en el ejercicio anterior, responde: a. ¿Cuánto dinero debe invertir un corredor de la Bolsa, a una tasa anual del 7,2% para que dentro de 5 años tenga 8 millones de pesos, si el interés se capitaliza continuamente?

6. La población de un continente está dada por la función: t 3 2 P(t) = 10 • 2

共 兲

Si t se mide en años, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que la población de este continente se cuadruplique?

a. ¿Cuál será la población en 40 años más?

4. Interés capitalizado continuamente. Si se invierten P0 pesos a una tasa de interés anual de R y el interés se capitaliza continuamente, después de t años se dispone de P(t) = P0 • eRt pesos.

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EJERCICIOS RESUELTOS Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Ejercicio 1 2

Grafica la función y = f(x) = e–x , luego responde: a. ¿Cuál es el valor máximo de la función? b. ¿Qué sucede para valores grandes de x? c. Evalúa f(105) y f(–105). d. ¿Es f(x) una función par?

Solución Y

El gráfico de la función está dado por:

X

a. Como se puede apreciar en el gráfico, el valor máximo de la función es 1. b. Observando el gráfico, podemos afirmar que a medida que x crece, la función se acerca a cero. c. Evaluaremos la función para 105. c

Recuerda: 共ab兲 = ab • c

y = f(105) = e –共10

兲

5 2

10

f(105) = e–10

Ahora evaluaremos la función para x = –105. y = f(–105) = e–共–10

兲

5 2

Si c es par, entonces ac = (–a)c.

10

f(–105) = e–10

Por lo tanto, f(105) = f(–105). f(x) es par si f(x) = f(–x). d. Determinemos si f(x) es una función par. De c, podemos deducir que sí es una función par, sin embargo, verificaremos esta condición algebraicamente. Para esto evaluaremos la función para x y –x: Se puede observar en el gráfico que f(x) es par, pues es simétrica respecto a la recta x = 0.

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La función exponencial

2

2

f(x) = e–x y f(–x) = e–(–x) , por lo tanto 2

f(x) = f(–x), es decir y = f(x) = e–x es una función par.

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Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Ejercicio 2 Si y =

1 1+y e2x – 1 , demuestra que x = ln . 2 1–y e2x + 1

Solución y=

e2x – 1 e2x + 1

Despejamos x en función de y.

y(e2x + 1) = e2x – 1 ye2x + y = e2x – 1 Factorizamos.

ye2x – e2x = –1 – y e2x(y – 1) = –1 – y e2x =

–1 – y y–1

ln e2x = ln

2x = ln

x=

共 共

–1 – y y–1

兲

–(y + 1) –(1 – y)

1 ln 2

共

Aplicamos logaritmo natural. Recuerda que ln ea = a

兲 兲

y+1 , q.e.d. 1–y

Ejercicio 3 Sin usar calculadora, obtén el valor de 25log58.

Solución 25log58 = x log (25log58) = log x

Aplicamos logaritmo. Realizamos cambio de base.

log5 8 • log 25 = log x log 8 log 5

•

log 52 = log x

⇒ log 8 log 5

•

2 • log 5 = log x

Usando propiedades de los logaritmos.

2 • log 8 = log x log 82 = log x

⇒ 82 = x ⇒

x = 64

La función logarítmica es inyectiva.

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DESAFÍOS Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

1. (Ensayo PSU, 2004) Una persona P decide apostar en un casino, para lo cual elabora el siguiente plan: apostar cada vez el doble de su apuesta anterior. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el dinero que apuesta P en la jugada n, si comienza con $ 1.000? A. B. C. D. E.

$ $ $ $ $

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

• • • • •

2n 2n – 1 2n n 2(n – 1)

4. Al resolver la ecuación 2x • 42x – 1 = 84 – 2x, el valor que se obtiene para x es: A. 10 B.

C.

14 11

1) a = 0 2) b = 0 A. B. C. D. E.

1 por sí sola. 2 por sí sola. Ambas juntas, 1 y 2. Cada una por sí sola, 1 ó 2. Se requiere información adicional.

3. Después de x semanas del brote de influenza en una región del país, la cantidad de personas (en cientos) que había contraído el virus se podía modelar mediante la expresión matemática: 22 f(x) = 1 + 21e–1,12x a. ¿Cuántas personas padecían la enfermedad cuando se comenzó a hablar de brote? b. Después de un mes y si las condiciones siguen igual, ¿cuántas personas tendrán influenza? c. Si no se ataca el brote en su momento, ¿en cuánto tiempo es posible esperar 1.000.000 de infectados? ¿Qué medidas consideras se debieran tomar en una situación similar? d. Grafica f(x) y compara tus respuestas con las de tus compañeros(as).

130

La función exponencial

E. 27

D. –4

5. Si f(x) = 2x + 2–x y g(x) = 2x – 2–x, entonces f(2) – g(–2) es igual a: 1 2 1 B. 8 A.

2. (Ensayo PSU, 2004) a2 + b2 = (a + b)2 es cierto si:

1 2

C.

1 16

D. 64

3x – 3–x , entonces f(2) es igual a: 3x + 3–x

6. Si f(x) =

A. 10

C. 80

40 41

D. 82

B.

7. Si f(t) =

E. –1

25 , ¿qué valor tiene 40 + 12 • 6–25t

f para t =

A.

E. 8

1 ? 25

25 40

C.

B. 42

25 42

E.

1 2

D. 0

8. Sea la función exponencial f(t) =

4.500 t 64 12

. ¿Cuál es el valor de f(4)?

A. 15

C. 60

B. 25

D. 1.125

E. 9.000

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MEDIOS Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Ley de enfriamiento de Newton Newton, junto a Arquímedes y Einstein, figura como uno de los más grandes pensadores de la historia, tanto por el impacto de sus teorías como por los giros radicales que significaron en su época. Una de las tantas aplicaciones del cálculo que Newton desarrolló es la llamada Ley del enfriamiento, la cual dice: “La rapidez con que un objeto se enfría es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el objeto y el medio que lo rodea”. El modelo matemático de esta ley se expresa por:

T(t) = T0 +
• e–kt

donde k > 0 es una constante y
es la diferencia de temperatura entre el estado inicial y el medio ambiente T0. En algunas películas, como en Los 7 pecados capitales, los protagonistas deducen la hora en que fueron cometidos los crímenes. ¿Cómo lo hacen? Analicemos un ejemplo concreto. • La policía llegó al lugar de los hechos a las 10:00 y la temperatura del cadáver a esa hora era de 29 °C. • La temperatura de la pieza donde se encontró el cuerpo era de 23 °C. • Una hora y media después, la temperatura del cuerpo bajó a 27 °C. ¿A qué hora fue el crimen? Usando la expresión dada por Newton, tenemos: T0 = 23 °C y
= 29 – 23 = 6. Falta por determinar k. Tenemos entonces: T(t) = 23 + 6 • e–kt Por otra parte, la temperatura del desafortunado era de 27 °C a las 11:30, es decir: T(1,5) = 27. Igualando y aplicando logaritmo natural tenemos: 23 + 6 • e–1,5k = 27 k = 0,27031007 Por lo tanto, T(t) = 23 + 6 • e–0,27031007t Gentileza, Carabineros de Chile.

Volviendo al problema original, se sabe que la temperatura normal del cuerpo humano es 36,5 °C, se obtiene: 36,5 = 23 + 6e–0,27031007t Al resolver esta ecuación, se obtiene t = –3 con lo que podemos concluir que el crimen se cometió 3 horas antes, es decir, a las 7 de la mañana.

1.

Plantea un problema similar pero variando los datos. Pídele a un compañero(a) que lo resuelva.

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SÍNTESIS Unidad 4

Mapa conceptual

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos clave dados.

Conceptos clave: Función exponencial Número e Ecuación exponencial Crecimiento exponencial Decrecimiento exponencial

Resumen

1 Función exponencial: es una función de la forma y = f(x) = ax, donde a > 0 y a ≠ 1; x
⺢. 2 Propiedades de la función exponencial: • El dominio de la función exponencial está dado por todos los números reales. • El recorrido de la función exponencial está dado por los reales positivos. • El punto de intersección de la función con el eje Y es (0, 1). • La función no intersecta al eje X. • La función exponencial se sitúa encima del eje de las abscisas: eje X. 3 Ecuación exponencial: es aquella en la cual la incógnita aparece en el exponente. Ejemplo: 35x = 9x – 6

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Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

共

1 4 Número e: el número e surge del análisis de la función f(n) = 1 + n donde n es un entero positivo. e se aproxima a 2,71828182...

兲

n

,

5 Crecimiento exponencial: una función exponencial y = f(x) = ax, es creciente si a > 1, es decir, si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2) y su gráfica es de la forma: Y

ax

X

6 Decrecimiento exponencial: una función exponencial y = f(x) = ax, es decreciente si 0 < a < 1, es decir: si x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2) y su gráfica es de la forma: Y

X

7 Inversa de la función exponencial: sea f(x) = ax una función exponencial, su inversa está dada por f–1(x) = logax. Además, sus gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Si a > 1

Si 0 < a < 1 Y

f(x)

f(x)

Y

f–1(x)

X

X

f–1(x)

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EVALUACIÓN Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

1. Al simplificar ln ex + eln x + 1 se obtiene:

6. La solución de ln e–4x + 5 = 21 es:

A. 1

A. x= –4

B. x + 1

B. x = 4

C. 2x + 1

C. x = 4 y x = –4

x

D. ln (e + 1)

D. x = e

E. Otro valor.

E. Ninguna de las anteriores.

2. ¿Qué valor tiene x en la siguiente ecuación 200 = 150 • e0,15x? A. 1,917

7. La solución de la ecuación 2ex + 5 = 3e–x es: A. e2 B. e

C. ln 2

–2

E. ln (–2)

D. –ln 2

B. 19,17 C. 10 8. Si f(x) =

D. 1,5 E. 1,05

共

兲

共

兲

1 x 1 x 3 + 3–x y g(x) = 3 – 3–x , 2 2

entonces f(x) + g(x) es igual a:

3. ¿Cuánto demora un capital P en duplicarse si se invierte con un interés compuesto del 11%?

A. 3x B.

A. 4,5 años B. 5 años

3x 2

C. 3x – 3–x

E. 3x + 3–x

D. –3–x

9. Un cultivo de bacterias tiene 300 bacterias en un principio y después de una hora hay 450 bacterias. Según este crecimiento, ¿en cuánto tiempo el número de bacterias se triplica?

C. 6,5 años D. 11 años E. 1,1 años 4. El valor de x en eln (5x – 5) = 5 es:

A. 163 minutos

A. x = 0

B. 2 horas

B. x = e

C. 2,5 horas

C. x = 2 y x = –2

D. 3 horas

D. x = 2

E. 3,5 horas

E. x = 5 2

5. La solución de eln x = 9 es: A. x = 9 y x = –9

10. Una población de bacterias duplica su tamaño cada 21 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en incrementarse el número de organismos de 106 a 109 bacterias?

B. x = 3 y x = –3

A. 1 hora

C. x = 3

B. 2 horas

D. x = 9

C. 200 minutos

E. Ninguna de las anteriores.

D. 209 minutos E. Ninguna de las anteriores.

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La función exponencial

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Unidad 4 11. Cuando x toma un valor muy grande, f(x) = 2 + 3 • 10–x se acerca a: A. 2

D. 6

B. 3

E. Falta información

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 16. El número de bacterias en un cultivo, está dado por la relación f(t) = B • 2kt, con t medido en horas. Si al cabo de 8 horas, el número de bacterias es 16 2 veces lo que había al principio, ¿cuál es el valor de k?

C. 5 A. 12. Las soluciones de la ecuación (x2 – 5)ex + 4exx = 0 son:

1 2

B. 2 C. 64

A. x = 0

1 128

B. x = 0 y x = 5

D.

C. x = 1 y x = –5

E. Ninguna de las anteriores.

D. x = –4 y x = 5 E. Infinitas soluciones. 13. El valor de 3x + 3x + 1 es igual a: A. 3 • 3x + 1 B. 2 • 32x + 1 C. 4 • 3x D. 32x + 1 E. Otro valor. 14. El valor de log2(3x + 3x + 1) es igual a: A. x log 3 + 2 B. x log2 3 + 2

17. ¿Cuál de las siguientes relaciones son verdaderas para la función exponencial f(x) = ax con a > 0 y a ≠ 1? I) El dominio de f(x) es ⺢. II) Si a > 1 entonces f(x) es creciente. III) ax = az ⇔ x = z A. Solo I B. Solo II

D. log2 3

E. 32x + 1 15. Al despejar la variable x en la ecuación 1 y= ln (x – 1) se obtiene: 2

A. 5 – e–2

B.

5 – e–2 2

C.

e–2 10

D.

5 2

E. Ninguna de las anteriores.

19. Si f(x) = ax, a > 0, entonces f(x) • f(z) es:

A. x = e2y + a

A. axz

D. f(x + z)

B. x = e2y + 1

B. ax + az

E. ax – az

C. x = e2y

E. Todas.

18. Al resolver la ecuación ln (5 – 2x) = –2, el valor de x es:

C. log2 3x + log2 3x + 1 2x + 1

C. I y III D. II y III

x

C. a z

D. x = 2ln (x – 1) E. x = ln (x – 1)

La función exponencial

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EJERCICIOS DE REFUERZO Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

1. Tiempo de duplicación. Si una población crece sin interrupción a razón del 3% anual, ¿en cuánto tiempo se duplica? Indicación: usa la fórmula de crecimiento y = aert con r = 0,03. 2. Estudios hechos por agrónomos han demostrado que el crecimiento de un bosque se puede proyectar mediante la expresión:

5. En circuitos eléctricos aparecen las siguientes fórmulas para la intensidad I(t). Despeja en cada una de ellas la variable t.

共

a. I(t) =

–Rt E 1–e L R

b. I(t) =

E e R

t RC

M(t) = m(1 + i)t en que M es la madera que habrá dentro de t años, m la madera inicial e i la tasa de crecimiento anual, que en este caso consideraremos como i = 0,03. a. Si al inicio se tienen 3 há de madera, ¿cuántas há habrá dentro de 10 años? b. Obtener una expresión para t(M). c. ¿Cuántos años tarda en duplicarse la madera del bosque?

兲

6. La función f(x) =

共

兲

1 ax e + e–ax ; a > 0, describe 2

algunos fenómenos como la curva de los tendidos eléctricos o los cables de los puentes colgantes. Resuelve la ecuación f(x) = 1 para a = 1. 7. Demuestra la equivalencia: ex – e–x = 2y

共

⇔ x = log y + y2 + 1

兲

3. Una población de bacterias crece en un 10% cada día. Un estudio sobre cierto cultivo indica que el crecimiento de la población P(x), después de x días, está dado por la fórmula P(x) = 5.000 e0,17x.

8. Una suma de dinero se invierte a 4 años con un interés del 4% y luego 6 años más a un interés del x%. Determina x, si la cantidad de dinero se duplica exactamente a los 10 años.

a. ¿Cuántas bacterias había en un comienzo? b. ¿Cuál es el número de bacterias después de 5 días? c. ¿Cuánto tiempo debe pasar para alcanzar una población de 20.000 unidades?

9. Si la población de la ciudad de Concepción en un instante t está dada por P(t)= 1,1 • e0,025t millones. ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento por año? (t: años) 10. Un cultivo de laboratorio tiene una cantidad

4. Encuentra el valor de la incógnita en cada caso: a. ex = 5,2 100

b. eln e

=x

c. 2ex =

1 3

de 100100 bacterias. Después de 1 hora la 3 100 cantidad de bacterias es • 100 . 2 Encuentra el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique.

11. Si y = d.

136

ex – 1 = e2x 4

La función exponencial

ex – e–x donde e = 2,71828... ex + e–x

demuestra que x =

1 1+y ln . 2 1–y

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Unidad 4

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

12. Dadas las siguientes funciones, f(x) =

1 ln (x – 1) ; F(x) = e2x + 1 ; 2

g(x) =

1 1+x e2x – 1 ; G(x) = ln calcula: 2x 2 1–x e +1

18. Un hueso fosilizado, supuestamente de un milodón, encontrado en Magallanes contiene 1 de la cantidad de Carbono-14. 1.000 Determina la edad del fósil. 19. La medida de la presión atmosférica P en pulgadas de mercurio a una altitud de x millas sobre el nivel del mar, está dada por la ecuación p(x) = 28 e–0,22x.

a. (f o F)(x) b. (F o f)(x) c. (g o G)(x) d. (G o g)(x)

13. Si y = x=

1 ln (x – 1), demuestra que 2

1 1+y ln . 2 1–y

14. Un plato de lentejas con temperatura de 80 ºC se pone en la mesa de un comedor que está a 22 ºC. Su temperatura después de x minutos está dada por, f(x) = 22 + 58e–0,051x ºC. ¿Cuánto tarda cada plato de lentejas en enfriarse hasta llegar a una temperatura de 37 ºC? 15. Un experimento parte con P0 gramos de polonio y la cantidad que queda después de x días está dada por: P(x) = P0e–0,0005x Encuentra el número de días necesarios para que la cantidad de polonio sea de 0,48 P0 gramos.

2

– 4x – 1

20. Encuentra la función inversa de las siguientes funciones:

共 兲 2 3

a. h(x) =

x

b. g(x) = 2 • 1,25x c. l(x) = 0,1x

d. f(x) =

1 3

•

共 兲 1 64

–

1 x 2

21. Grafica en un mismo sistema de ejes coordenados las siguientes funciones: I)

y = ln x

II) y = ex III) y = 4x

16. Resuelve la ecuación: (20.736)x

a. Si la presión en la cima de la montaña es de 15 pulgadas de mercurio, determina la altura de la montaña. b. ¿Cuál es la presión atmosférica en la cima del Everest? (Altura 8.000 metros).

IV) y = log4 x = 248.832 x

17. Despeja x en la ecuación ab = c. ¿Qué condiciones deben cumplir a, b y c?

a. Indica el dominio de cada función. b. Indica el recorrido de cada función. c. Encuentra la función inversa para cada una de las funciones anteriores.

La función exponencial

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UNIDAD

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5 Vectores

→ p1 → p2

O

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Vectores

En Astronomía, gracias a la labor heroica y milenaria de hombres y mujeres que han contemplado los diferentes planetas y estrellas, ha permitido proponer y desarrollar leyes que intentan desentrañar los grandes secretos del Universo. Gracias a la geometría, como formalización del conocimiento, se ha permitido modelar, conocer y comprender nuestro sistema solar y nuestro planeta.

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En esta unidad aprenderás a... Calcular magnitudes vectoriales y escalares. Utilizar operatoria con vectores. Identificar vectores en el plano y en el espacio. Obtener la ecuación vectorial de la recta y del plano. Identificar la intersección de planos. Identificar ángulos diedros. Realizar traslaciones y homotecias.

Explora Realiza el laboratorio 1 correspondiente a la unidad 5 que aparece en www.santillana.cl/emedia/mat4

Vectores

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REPASO

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Unidad 5 VECTORES

¿Cuánto sabes?

1. Grafica las siguientes funciones. a. y = 2 b. y =

1 x+7 2

c. y = 2x + 1

e. y = –(x + 1)

d. y = –3x + 3

f. y = –

1 x+2 4

2. Analiza los siguientes gráficos y determina si corresponden a una función continua o discontinua. Y

Y

Y X

X X

3. Resuelve las siguientes ecuaciones. a. 円x円 = 2 b.

1 円x円 = 10 2

c. 円x – 2円 = 1

e. 3円x + 4円 = 8

d. 円–x円 = 5

f. –3円x – 5円 = 12

4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y analiza sus soluciones. a. 3x + 2y = 14 x – y = 28

b.

x + y = 42 2x + 2y = 24

c.

1 1 x– y=3 2 4 4x – 2y = 24

5. Comprueba la falsedad de las siguientes afirmaciones dando un contraejemplo. Como por ejemplo: La suma de dos números primos siempre es otro número primo. Contraejemplo: Los números 3 y 7 son primos, pero su suma es 10, y este número no es un número primo. Por lo tanto la proposición es falsa. a. El producto de un número impar por otro par es siempre impar. b. Todo número natural al cuadrado es siempre un número par. c. El producto de dos fracciones es siempre menor que 1.

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Vectores

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Unidad 5 VECTORES 6. Representa las siguientes proposiciones, tal como lo indica el ejemplo. Ejemplo: Representaremos simbólica y gráficamente la afirmación “la recta a’ y la recta b’ se intersectan en el punto C”. Lenguaje simbólico:

Representación grafica:

La’ 艚 Lb’ = C  C La’

Lb’

a. Las rectas α y β se encuentran a la misma distancia de un punto p. b. Los planos γ y δ no se intersectan. c. La intersección de la recta α con el plano φ es la misma recta alfa.

1 El módulo de un número o de una expresión algebraica es siempre el valor absoluto de esta.


x
=



¿Qué debes recordar?

–x si x < 0 x si x ⱖ 0

2 Todo sistema de dos ecuaciones lineales presenta tres posibilidades en cuanto a las soluciones. Si se tiene que una

Si se tiene que ambas

Si se tiene que las rectas

ecuación de la recta es

rectas tienen igual valor

no son coincidentes ni

una amplificación de la

de la pendiente y la

paralelas, el sistema

otra, el sistema tiene

ecuación no es la misma,

tiene una única solución,

infinitas soluciones,

el sistema no tiene solu-

ya que sus rectas son

ya que las rectas son

ción, ya que sus rectas

secantes.

coincidentes.

son paralelas.

1 2

2x + 6y = 10 x + 3y = 5

x2

x–y=0 x–y=2

x–y=0 2x – y = 1

1 es una amplificación

de 2 .

Vectores

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CONTENIDOS

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Unidad 5 VECTORES

Rectas en el espacio Para conocer aproximadamente dónde se encuentra la Línea del Ecuador, podemos fijar una varilla verticalmente en una superficie plana y horizontal, y posteriormente trazar varios círculos concéntricos cuyos centros sean el pie de la varilla.

AY U D A Tres puntos son colineales si pertenecen a una misma recta.

Luego de haber marcado en la mañana y en la tarde los diferentes puntos en que la extremidad de la sombra de la varilla toca los círculos concéntricos, y trazando a continuación las bisectrices correspondientes a cada sector circular, obtendremos la dirección de la meridiana o plano meridiano.

TIPS

Sol

Si la intersección de dos rectas o de dos planos es no vacía, se dice que son secantes.

SUR LÍNE A

MER IDIA NA

NORTE

Como podemos observar, si se une el punto ubicado en el pie de la varilla y el punto de intersección en cada círculo se forma un segmento, dando origen a un plano. ¿Cómo podemos determinar un único plano π ?

TIPS Los planos se simbolizan utilizando la letra π.

Puntos no colineales

Dos rectas que se intersectan

C

L1 L2

A

B

π

Tres puntos no colineales determinan un único plano.

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π

Si dos rectas secantes pertenecen a un mismo plano, estas dan origen a cuatro semiplanos.

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Unidad 5 VECTORES Dos rectas paralelas

TIPS Si dos rectas están contenidas en planos distintos y no se intersectan, diremos que dichas rectas son alabeadas.

L1 L2

π

Dos rectas paralelas determinan un único plano. Una recta y un punto exterior a ella

L

A C

π

B

Una recta y un punto exterior a ella determinan un único plano.

EJERCICIOS 1. Indica ejemplos de modelos físicos en que se observen:

a. Los puntos A, E y F son colineales. b. Los puntos B, C, E y F son coplanarios.

a. Rectas: concurrentes, paralelas y alabeadas.

c. El segmento AC se intersecta con BD.

b. Puntos no colineales.

d. El segmento AC se intersecta con DF.

c. Rectas y planos: secantes, paralelos y coincidentes.

e. Los puntos B, E y F son coplanarios.

2. De acuerdo con la figura, en la cual los puntos A, B, C y D son coplanarios (pertenecen al mismo plano), indica en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa, según corresponda. E

D G

A

C

f. Los puntos B, D, F y G son coplanarios.

3. Construye un contraejemplo para cada una de las siguientes proposiciones. a. Si dos rectas diferentes se intersectan, existen solo dos planos que las contienen. b. Dado tres puntos colineales, existe un único plano que los contiene.

B

F

Vectores

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Unidad 5 VECTORES

Planos en el espacio Observa la siguiente representación de 3 planos en el interior de un cubo.

PA R A A R C H I VA R

AY U D A Por una recta pasa un número infinito de planos. Se habla de un haz de planos.

L

La intersección de tres planos en un punto (el piso y dos murallas de un dormitorio) da origen a tres semiplanos distintos, los cuales nos permiten hacer referencia al largo, ancho y a la altura.

Posiciones relativas entre 2 planos • Planos paralelos π1

Dos planos paralelos no tienen puntos de intersección.

π2

• Planos secantes π1 La intersección de dos planos secantes determina una recta y por ende poseen infinitos puntos de intersección pertenecientes a esa recta.

π2

• Planos coincidentes π1 B A

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Vectores

C

π2

Dos planos coincidentes tienen todos sus puntos en común.

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Unidad 5 VECTORES

Planos y sistemas de ecuaciones Las representaciones gráficas de planos en el espacio tienen directa relación con un sistema de ecuaciones, de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas. Ejemplo Siempre que tres planos conformen un haz de planos, es decir, que la intersección entre estos planos dé origen a una línea recta, podemos inferir que el sistema de ecuaciones asociado a la representación gráfica tiene infinitas soluciones, ya que una línea recta está constituida por infinitos puntos. Al intersectar estos 3 planos se obtiene una recta llamada arista del haz.

PA R A A R C H I VA R Un sistema de ecuaciones de tres ecuaciones y tres incógnitas puede representarse gráficamente mediante la intersección de planos. π3

AY U D A π2 π1

π1

π2

π3

No hay solución.

Una solución.

EN EQUIPO Utilizando alguno de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones aprendidos anteriormente intenten resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

π3

π1

π2

B A

π2

C

π3

Infinitas soluciones (3 planos coincidentes).

La solución de un sistema de ecuaciones debe satisfacer a cada una de las ecuaciones involucradas.

π1

Infinitas soluciones (tres planos secantes)

EJERCICIOS 1. Representa gráficamente las siguientes situaciones. a. El plano π1 tiene origen a partir de la recta Lβ y un punto Z exterior a ella. b. El plano π1 es secante con el plano π2 dando origen a la recta L1 que es perpendicular a la recta L2 que pertenece al plano π2.

c. El plano π1 es perpendicular con el plano π2 dando origen a la recta L1 que es paralela a la recta L2 que pertenece al plano π1. d. Dado los planos π1, π2 y π3, cada uno de ellos intersecta a los otros dos planos. ¿Cuántos semiplanos se forman en esta representación gráfica?

Vectores

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Unidad 5 VECTORES

Intersección de planos

Arista

Como hemos aprendido, la intersección de dos planos da origen a distintos semiplanos que se cortan. El ángulo de intersección entre dos semiplanos se denomina ángulo diedro.

Cara

Cara

Ángulo diedro

Se llama ángulo diedro a la porción de espacio comprendida entre
 dos semiplanos que tienen un borde (recta) común AB , y están situados en planos distintos.

P A Q B

π2 π1

π1 y π2 es el nombre que representa a cada semiplano.

En la figura observamos que P se ubica en una cara y Q en la otra (cada cara corresponde a un semiplano). Mientras, los puntos A y B se ubican en la arista del diedro (recta común a los dos semiplanos).
 Los ángulos diedros se simbolizan de la siguiente manera: ⱔ(P, AB , Q), donde
 P y Q representan puntos de cada semiplano, respectivamente, y la recta AB representa la recta común a ambos semiplanos. Dado el nombre de
cada semiplano, un ángulo diedro también se puede representar por: ⱔ(π1, AB , π2). ¿Dónde se utiliza un ángulo diedro? Las avionetas que conforman un ángulo diedro entre las alas, tienen mayor estabilidad de vuelo (que el diedro neutro).

Diedro positivo

Diedro neutro

Diedro negativo

¿Cómo conocer la medida del ángulo diedro? Observa la figura. Se conoce como ángulo rectilíneo al ángulo formado por dos rectas situadas una en cada cara del ángulo diedro, de manera
tal  que ambas sean perpendiculares a la recta AB en un mismo punto de ella. La medida del ángulo diedro es igual a la medida del ángulo rectilíneo correspondiente.

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Vectores

π2 A

Q

O P

π1

B

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Unidad 5 VECTORES Como sabemos, los cuerpos geométricos son poliedros que están conformados por caras regulares y congruentes.

Cubo

El cubo es un cuerpo geométrico con 6 caras cuadradas congruentes, lo cual implica que dos rectas pertenecientes a distintas caras se intersectan perpendicularmente, es decir, el ángulo rectilíneo mide 90º. Por lo tanto, el ángulo diedro en el cubo (hexaedro) mide 90º.

PA R A A R C H I VA R En los cuerpos geométricos regulares se encuentra el hexaedro, tetraedro, octaedro, icosaedro y dodecaedro. A continuación se presentan las medidas del ángulo diedro en cada uno de ellos (el ángulo diedro del cubo ya fue revisado).

Tetraedro 70,53º

Octaedro 109,45º

Icosaedro 138,2º

Dodecaedro 116,57º

EJERCICIOS 1. Observa los siguientes poliedros.

a. ¿Cuál o cuáles de los poliedros anteriores no se pueden apoyar sobre todas sus caras? b. ¿Qué característica tiene el ángulo diedro en los poliedros que sí se pueden apoyar en todas sus caras?

c. Según la siguiente clasificación: A los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar, se les llama cóncavos y a los demás, convexos. ¿Cuáles de los poliedros anteriores son convexos o cóncavos? 2. Busca en tu sala los siguientes tipos de ángulos. Triedro

Tetraedro

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Unidad 5 VECTORES

HISTORIA

Coordenadas cartesianas Y

Las coordenadas cartesianas fueron creadas por René Descartes y representan una de las herramientas más usadas y útiles en el estudio de las matemáticas.

2

–2

–1

Recuerda que todo plano cartesiano tiene 4 cuadrantes: en el primer cuadrante ambas coordenadas son positivas, en el tercer cuadrante ambas coordenadas son negativas.

1

2

X

–1

(–1, –1)

René Descartes (1596–1650)

AY U D A

(2, 1)

1

–2

Descartes consiguió establecer una sólida relación entre la geometría y las ecuaciones. A cada recta se le asigna una ecuación que relaciona el eje Y con el eje X, de tal modo que se pueden representar gráficamente en el plano cartesiano.

Y y=x–1

2

(2, 1)

1

–2

–1

1

2

X

–1 –2

(–1, –2)

AY U D A

Ejemplo

• Dado dos puntos distintos, se puede obtener una única ecuación de la recta. • Todo punto en el plano cartesiano tiene coordenadas (x, y).

IR

A LA

WEB

Desarrolla el laboratorio 2. www.santillana.cl/emedia/mat4

La ecuación de una recta es y = 2x – 3, de tal modo que para cada valor de x tenemos un valor para y. Si x = 0, al evaluar en la expresión y = 2 • 0 – 3 = –3 obtenemos el punto de coordenadas (0, –3). Si x = 2, al evaluar en la expresión y = 2 • 2 – 3 = 1 obtenemos el punto de coordenadas (2, 1).

PA R A A R C H I VA R El plano cartesiano está formado por dos líneas rectas (ejes) perpendiculares entre sí. La representación en coordenadas de los cuadrantes es la siguiente: Y

Primer cuadrante

(x, y)

Segundo cuadrante

(–x, y)

Tercer cuadrante

(–x, –y)

II

I O

III

IV

X

Cuarto cuadrante (x, –y) (Considerando x > 0, y > 0). El eje horizontal se llama eje de abscisas o también eje X, el eje de las ordenadas o eje Y, y el punto O se llama origen de coordenadas.

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Unidad 5 VECTORES ¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos del plano cartesiano? Por el teorema de Pitágoras podemos calcular la distancia de cada cateto del triángulo rectángulo que se muestra en la figura a continuación. Y B

P1(x1, y1)

AY U D A C

A 0

P2(x2, y2)

D

Teorema de Pitágoras: la suma de las medidas de los catetos al cuadrado es igual a la medida de la hipotenusa al cuadrado.

X E

Dado que el punto E tiene coordenadas (x1, y2), la medida de los lados estaría dada por: P2E = (x1 – x2), EP1 = (y1 – y2) y P1P2 = d. 2

2

2

Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos que P2E + EP1 = P1P2 , y sustituyendo (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = d2, de donde, d = (x1 – x 2 )2 + (y1 – y 2 )2 .

EJERCICIOS 1. Completa las siguientes afirmaciones. a. Si la abscisa y la ordenada tienen el mismo signo, el punto (x, y) se encuentran en el cuadrante.

3. Probar que los puntos son vértices de un triángulo equilátero. Y P3(3 3 , 3 3 )

b. Si la ordenada es negativa y la abscisa es positiva, el punto (x, y) se encuentran en el cuadrante. c. Si la abscisa es negativa y la ordenada es positiva, el punto (x, y) se encuentra en el cuadrante. 2. Responde. a. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que está a 4 unidades a la izquierda del eje de las ordenadas y 3 unidades por encima del eje de las abscisas? b. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos que se encuentran a 5 u del origen del plano cartesiano?

P1(3, 3)

O

X

P2(–3, –3)

4. Probar que los puntos son vértices de un paralelogramo. Y

B(2, 10)

C(20, 14)

D(14, 6) A(–4, 2) O

X

5. Escoge cuatro puntos de tal manera que sean los vértices de un cuadrado, y cada punto pertenezca a un único cuadrante.

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HISTORIA

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Unidad 5 VECTORES

Vectores Johannes Kepler logró deducir las famosas tres leyes descriptivas del movimiento orbital de los planetas. Una de sus leyes tiene relación con que el radio vector que va desde el Sol al planeta describe áreas iguales en tiempos iguales.

Johannes Kepler (1571–1630)

Como podemos observar, el radio vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Por lo tanto, cada radio vector posee un origen, un sentido y una dirección.

Sol

TIPS La Tierra

La palabra vector, proviene del latín, y significa “el que conduce”.

PA R A A R C H I VA R Todo radio vector posee las siguientes características. Origen o también denominado punto de aplicación: corresponde al punto exacto sobre el cual actúa el vector. Dirección: está dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Módulo de un vector TIPS • Dos vectores son iguales al ser paralelos y tener la misma intensidad o módulo.

Se sabe que cuando el planeta está más alejado del Sol su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol. Observa la siguiente imagen:


v • Dos vectores son opuestos al tener igual intensidad y dirección, pero sentido contrario.

r θ r2


v2

r1


v1


El vector velocidad v1 tiene mayor módulo (longitud) que
el vector v2.

円円 v1 円円 > 円円 v2 円円 El radio r tiene menor módulo que el radio r2.

円r円 < 円r2円

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Vectores

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Unidad 5 VECTORES ¿Qué sucede si el origen de un vector coincide con el punto O del plano cartesiano?  v

Cuando el punto de aplicación de un vector está en el origen de un sistema de coordenadas, su extremo, coincidirá con un punto del plano, el punto (x, y).

O

y

AY U D A El vector o segmento orientado con origen en A y extremo en B, se  representa por el símbolo: AB .

x

Entonces, si el punto de aplicación es el punto (0, 0), utilizando el teorema de Pitágoras, podemos determinar el módulo de este vector , pues la suma de los cuadrados de los catetos (las coordenadas) debe ser el cuadrado de la hipotenusa (la intensidad o módulo del vector). Es decir: 

B

 AB A





v

2 = x2 + y2 o bien,

v

= x2 + y2 PA R A A R C H I VA R

TIPS

Las coordenadas de un vector se denominan componentes, además todo vector está definido por dos puntos, y a su vez, cada punto tiene dos componentes, una x y otra y, que corresponden a las componentes cartesianas del vector.







v

=

– v



Todo vector posee además módulo que corresponde a la longitud o tama ño del vector, dado por la expresión:

v

= x 2 + y 2 .

EJERCICIOS 1. Dibuja y calcula el módulo de los siguientes vectores centrados en el origen del plano y cuyo extremo es el siguiente punto: a. A(3, 4) b. B(–7, 12)

2. Dos vectores de igual intensidad, pero distinta dirección y sentido, son distintos; cuando tienen la misma dirección y sentido, pero distinta intensidad, también son distintos. ¿Cómo son los siguientes vectores? a.

c.

b.

d.

c. C(–9, –12) d. D(–13, 12) e. E(–1, 0) f. F(0, –4)

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Unidad 5 VECTORES

Operatoria con vectores Un bote se desplaza en línea recta desde el puerto hasta una isla, y luego lo hace desde la isla hasta el faro. Si obser vas el dibujo, el desplazamiento final s del bote corresponde al vector que tiene su origen en el puerto y su    extremo en el faro, y se expresa como: s = a + b .    En general, para hallar el vector suma s = a + b , dibujas  uno de ellos, por ejemplo a , y luego representas el    vector b colocando el origen de b en el extremo de a .   El vector resultante tiene su origen en a y su extremo en b .

 b

 a    s=a+ b

AY U D A

 a

La adición de vectores da como resultado un vector.

 a

 b

 b    s=a+ b

PA R A A R C H I VA R La adición de vectores cumple las siguientes propiedades:     • Conmutativa: a + b = b + a       • Asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c  → →   • Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a     • a +b ≤ a + b   • Dado un vector a existe un elemento opuesto (– a ), de igual módulo y dirección, pero sentido opuesto, de forma que al sumarlos se obtiene     el vector 0 o nulo a + (– a ) = 0 .

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Vectores

Regla del paralelogramo   Otra forma de realizar la suma de a y b es dibujar dos representantes de ambos vectores con un mismo origen, O. A continuación se   dibuja un paralelogramo cuyos lados son a y b ,   el vector suma a + b es la diagonal de dicho paralelogramo de origen O.

  a+b

 a  b

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Unidad 5 VECTORES Al igual que en el caso de los números, la sustracción es la operación inversa de la adición. Restar dos vectores
consiste en sumarle al primero, el vector opuesto


del segundo: a – b = a + (– b ). Gráficamente, si empleamos el método del paralelogramo, para la sustracción, la otra diagonal del paralelogramo obtenido representa la resta de los dos vectores.

AY U D A La diagonal de un paralelogramo es la recta que pasa por dos vértices opuestos.

AY U D A → →

→ v–w

→ w

→ v+w

→

v

→

→ v+w

→ w –→ v

→ w

→

v

La representación de la diago



nal como a – b o b – a , dependerá del punto de aplicación del vector y de su extremo.

PA R A A R C H I VA R La suma de vectores en forma analítica se efectúa a través de sus coordenadas cartesianas. La adición se realiza entonces sumando componente a componente. Por ejemplo, la suma de los vectores centrados en el origen y cuyos extremos son (2, 3) y (–1, 2) respectivamente, será el vector resultante de (2, 3) + (–1, 2) = (2 + –1, 3 + 2) = (1, 5).

EJERCICIOS 1. Resuelve las siguientes sumas de vectores, representando gráficamente los resultados. a. (2, 5) + (3, –2) b. (–1, 3) + (–1, –1) c. (0, –5) – (3, 6) d. (–6, –9) – (5, –3)

2. Encuentra el valor de x e y en los siguientes casos. a. (x, y) + (1, 6) = (2, –3) b. (x, 3) + (2, y) = (9, –2) c. (x, 2) – (–3, y) = (–1, 3) d. (–1, –4) – (x, y) = (5, 6)

3. Resuelve los siguientes problemas. a. El minutero de un reloj mide 5 cm. Representa gráficamente el vector desplazamiento de su punta después de quince minutos, media hora, tres cuartos de hora y después de una hora. b. Una araña está en un vértice de una sala cuyas dimensiones son 7 m de largo, 5 m de ancho y 3 m de alto, y desea ir al vértice diametralmente opuesto. Determina la distancia mínima que recorrería y el vector desplazamiento que realizaría. c. Dos vectores de desplazamiento centrados en el origen tienen módulos iguales a 6 metros y 8 metros. ¿Cuál debe ser la dirección y sentido de cada uno de estos vectores para que la resultante tenga un módulo igual a 14 metros, 2 metros y 6 metros? Representa gráficamente cada uno de los casos pedidos.

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Unidad 5 VECTORES

Producto de un número real por un vector  El producto de un número real λ por un vector a , de coordenadas  (x, y), es otro vector dado por λ a , y se define como:  λ a = λ(x, y) = (λx, λy). Ejemplo

Y

 Dado el vector a = (2, 3) lo representaremos geométricamente, de color rojo.

3

 2a

 a

En el mismo sistema de coordenadas,  ¿cómo representarías el vector 2 a?

2

Aplicaremos la definición de ponderación  del vector a . Entonces se tiene,   a = (2, 3) ⇒2 a = 2 • (2, 3) = (2 • 2, 2 • 3) = (4, 6)

TIPS Al número real que pondera a un vector también se le llama escalar.

AY U D A Hay que mencionar que existen magnitudes vectoriales (velocidad, fuerza, etc.) y aquellas que no lo son; estas últimas son las llamadas magnitudes escalares (distancia, masa, etc.).

Observa, que tanto gráfica como algebraicamente, el vector ponderado aumenta al doble su módulo, manteniendo su dirección y sentido. ¿Cómo se graficará el mismo vector, pero ponderado por –1? Revisemos su representación algebraica,   a = (2, 3) ⇒ –1 a = –1 • (2, 3) = (–1 • 2, –1 • 3) = (–2, –3) Y

Gráficamente resulta,

 a  –a

¿Qué puedes concluir?

PA R A A R C H I VA R  El producto de un número real (λ: escalar) por un vector a , resulta el  vector ponderado λ a , que tiene las siguientes características: • Mantiene la misma dirección.   λ a

=
λ λ
•

a

. •

λ • Si λ > 0, el vector mantiene el mismo sentido. Si λ < 0, el vector cambia de sentido.   • Si λ = 0, entonces λ a = 0 (vector nulo).

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X

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X

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Unidad 5 VECTORES

Propiedades del producto

TIPS

  Dado los escalares λ y µ, y los vectores u y v , se cumplen las siguientes propiedades:     1. λ ( u + v ) = λ u + λ v

  3. λ(µ u ) = (λ µ) u

   2. (λ + µ)u = λ u + µ u

  4. 1 u = u

La colinealidad de puntos se puede expresar y verificar vectorialmente por medio de la ponderación. Si M, N y P son tres puntos colineales, entonces existe algún número real λ tal que:





MP = λ MN .

P

Ejemplo   1   Dados los vectores u = (–5, 2) y v = (3, –4), ¿cuánto resulta ( u + v )? 2



N M

  32 , –2 = – 52 + 32 , 1 – 2 = (–1, –1)

1   1  1  1 1 5 ( u + v) = u+ v = (–5, 2) + (3, –4) = – , 1 + 2 2 2 2 2 2 Aplico propiedad no1

Sumo coordenadas de vectores

EJERCICIOS 1. Comprueba numéricamente las propiedades 2, 3 y 4.    2. Conocidos los vectores u , v y w representa sobre una cuadrícula los siguientes vectores.   a. u + v  b. 3 u   c. 2 u – v   d. v – 2 w    e. 2 u – v + w

4. Considera los siguientes vectores (1, 2); (4, 8); (0, 0) y (–2, –4). a. Expresa algebraicamente, por medio del producto de un escalar por un vector, cada uno en términos del otro. b. Grafica los cuatro vectores en el mismo sistema de coordenadas.

 u

c. De la pregunta a y b, ¿se genera alguna

 v

regularidad?

 w

  3. Dado el producto de µ a , con a las siguientes preguntas:

d. ¿Qué conclusiones puedes obtener?



≠ 0 , contesta

5. Dados los siguientes vectores, selecciona aquellos que pueden representarse en función de otro. (–2, 1); (2, –1); (0, 1); (4, –2); (1, –0,5); (3, 1,5) a. Los vectores seleccionados, represéntalos en

a. ¿Qué características cumple el producto si:

µ > 1?, ¿µ = 1?, ¿0 < µ < 1?, ¿µ = 0?, ¿µ = –1?, µ < –1? b. Para cada caso anterior, justifica tu respues-

un sistema de coordenadas. b. ¿Qué regularidad se cumple? c. Reflexiona acerca de la siguiente frase: “que uno o más vectores puedan escribirse

ta con la representación gráfica correspon-

en función de otro, quiere decir que

diente.

pertenecen a la misma recta”. Justifica tu respuesta.

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Unidad 5 VECTORES

Producto escalar Así como está definida la operación suma para dos vectores, se define otra operación, el producto escalar entre dos vectores. Este producto debe su nombre a que su resultado es un número, no un vector. El producto escalar se
define para dos vectores representados en forma carte
siana, a = (a1, a2) y b = (b1, b2), como la multiplicación de las coordenadas de ambos vectores, componente a componente y sumando sus resultados. Ejemplo 1

Dados los vectores a = (2, –1) y b = (3, 4), ¿cuánto resulta su producto escalar?

a • b = (2, –1) • (3, 4) = 2 • 3 + (–1) • 4 = 6 – 4 = 2
Otra manera de obtener el producto escalar entre dos vectores a = (a1, a2) y
b = (b1, b2), es cuando está involucrado el ángulo que se forma entre ellos (α).



Este se calcula como, a • b = 円円 a 円円 • 円円 b 円円 • cos(α). Ejemplo 2

TIPS • El producto escalar es conmu



tativo: a • b = b • a • Se cumple que:


a•b ≤ b

•


a

Se tienen los mismos vectores que en el ejemplo 1. ¿Cuál es el ángulo comprendido entre ellos?



De, a • b = 円円 a 円円 • 円円 b 円円 • cos(α) despejamos cos(α) Ya se calculó el producto escalar

cos α =



a•b

2 =

5 5 円円 a 円円 • 円円 b 円円

艐 0,179

Calcular el módulo de cada vector

EN EQUIPO Analicen qué ocurre con el

producto escalar de a y b si:

a. a aumenta y b se mantiene constante.

b. a y b aumentan.

c. a y b son perpendiculares.

d. a y b son paralelos.

cos (α) 艐 0,179 ⇒ α 艐 79,7°

PA R A A R C H I VA R El producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de uno de ellos por la proyección ortogonal del otro sobre él. El producto

escalar de dos vectores a y b está dado por la expresión:



a • b = 円円 a 円円 • 円円 b 円円 cos (α) (α: ángulo comprendido entre ambos vectores)

o bien si a = (a1, a2, ..., an) y b = (b1, b2 ..., bn)

a • b = a1 • b1 + a2 • b2 + ... + an • bn Por ejemplo:

Dados los vectores a = (a1, a2) y b = (b1, b2), el producto escalar se obtiene de la siguiente forma:

a • b = (a1, a2) • (b1, b2) = a1 • b1 + a2 • b2

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Unidad 5 VECTORES

Producto cruz

AY U D A



En el producto escalar entre dos vectores a y b se obtiene como resultado un valor numérico (escalar), en cambio, en el producto cruz se obtiene un nuevo vector.

El producto cruz o vectorial entre dos vectores a y b , se define


como un tercer vector p , perpendicular a los vectores a y b , cuyo

módulo corresponde al área del paralelogramo que forman a y b ,


y se simboliza por a x b , el cual corresponde al nuevo vector p , es


decir, a x b = p .


α) , donde α es el ángulo menor Además: 円円 p 円円 = 円円 a 円円 • 円円 b 円円 • sen(

formado por los vectores a y b
a
p


p
a

α

α


b


b


b sen(α)


b

α




p=a x b




p=b x a


a



p = a

•


b

El producto cruz cumple con las siguientes propiedades:

sen(α)


a



ax b


b

Si colocas los dedos de tu mano derecha, de modo que el dedo índice apunte en el mismo senti
do que el vector a y el dedo del medio en el mismo sentido
que el vector b , el sentido del

producto cruz entre a y b está dado por el dedo pulgar cuando este se estira en forma perpendicular a los otros dos dedos. Esto se conoce como “la regla de la mano derecha”.

EN EQUIPO Demuestren que el producto cruz no es conmutativo.

• Es distributivo respecto de la suma de vectores. • El producto cruz de un vector por sí mismo es nulo.

EJERCICIOS 1. Demuestra algebraicamente: a. Que el producto cruz es distributivo. b. Que el producto cruz de un vector por sí mismo es el vector nulo.

3. En el pizarrón se dibuja un vector horizontal de 12 unidades y otro de 10 unidades que forman un ángulo de 30º con el anterior.

2. Considera un cubo de 4 unidades de arista y los posibles vectores que se pueden formar. Completa en cada caso con el vector que resulta. a. b. c. d.



AB x AD 

CD x CB 

 EA x EF 

BF x BC

H G D

C E F

A B

a. b. c. d.



¿Cuál es la dirección del producto de a x b ? ¿Cuál es el sentido de este vector? ¿Cuál es el módulo de este producto cruz? ¿Cuál es el área del paralelogramo que se forma con estos vectores?

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Unidad 5 VECTORES

Vectores en el plano cartesiano Se denominan vectores unitarios aquellos vectores cuya magnitud o módulo es igual a la unidad. Estos definen las coordenadas de un vector respecto del origen del plano cartesiano.

TIPS Y • Para representar vectores unitarios que están en los ejes X e Y, utilizamos las letras ˆi y ˆj respectivamente. • El vector unitario ˆi tiene la misma dirección que el eje X, en sentido positivo.

3 2

El vector unitario ˆj es perpendicular al

1

vector unitario ˆi .

ˆj –3

–2

ˆi

–1

1

2

3 X

–1



ˆi

= 1 y

ˆj

= 1

–2

• El vector unitario ˆj tiene la misma dirección que el eje Y, en sentido positivo.

PA R A A R C H I VA R Si los vectores unitarios ˆi y ˆj están centrados en el origen, estos se pueden escribir en la forma canónica, es decir: ˆi = (x , y ) = (1, 0) i i



ˆi

= 1

ˆj = (x , y ) = (0, 1) j j



ˆj

= 1

Ejemplos
Observa la siguiente imagen en que se muestra el vector c cuya proyección sobre el eje X es 2 vectores unitarios ˆi , y cuya proyección sobre el eje Y es 3 vectores unitarios ˆj . Y

De esta manera, las componentes o
coordenadas del vector c son:


c

3


c = 2 ˆi + 3 ˆj = (xc, yc)

2 1 –3

–2

–1

1 –1 –2

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Vectores

2

3

X


c = 2 ˆi + 3 ˆj = (2, 3)

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Unidad 5 VECTORES
Entonces, para expresar en forma canónica el vector c , debemos descomponer las coordenadas (xc, yc) en función de las coordenadas de los vectores unitarios.
c = (2 , 3) = 2 ˆi + 3 ˆj = 2 (1, 0) + 3 (0, 1)

PA R A A R C H I VA R
Todo vector v = (vx, vy) puede ser escrito en forma canónica de la siguiente manera:
v = (vx, vy) = vx ˆi + vy ˆj = vx(1, 0) + vy(0, 1)

¿Cómo realizarías la suma de vectores en el plano cartesiano?




Dado los vectores a = (ax, ay), b = (bx, by) y c = a + b

Entonces se tiene que a = ax ˆi + ay ˆj y b = bx ˆi + by ˆj .


c = a + b = ax ˆi + ay ˆj + bx ˆi + by ˆj


c = a + b = (ax + bx) iˆ + (ay + by) ˆj


Finalmente c = a + b = (ax + bx, ay + by).

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EJERCICIOS 1. Expresa en forma canónica los siguientes vectores y grafícalos.
a. s = (–1, 2)




1 b. t = –3, – 3
c. u = (–4, 0)


d. v = (0, 5)






1 1 e. x = – , – 2 2



2. Escribe en forma canónica los vectores señalados en la imagen.

3. En un mismo sistema cartesiano dibuja los siguientes vectores de posición. 
OA = (–1, 4)


OB =


OD = (2, –2)

 12 , 3


OE = (1, 1)


OC = (–1, –3) 
OF = (1, –1)




4. Expresa los vectores a , b y c en términos de los vectores unitarios ˆi y ˆj .

Y

4


b

–4


c


a


a
d

O


b

O

ˆj O ˆ i

4

X


c O

–4

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Ecuación vectorial de la recta Sabemos que dos puntos determinan una recta en el plano. Del mismo modo, si esos puntos son extremos de vectores, podríamos generalizar diciendo que dos vectores dan origen a una recta. En un plano cartesiano se puede representar una recta L que pasa por el punto
P0(x0, y0) y con vector de dirección d . Si P es un punto cualquiera de la recta

de coordenadas P(x, y), existe un número real λ, tal que, P0P = λ d , y por lo tanto: 


OP = OP0 + λ d 

Utilizando los vectores de posición p0 de P0 y p de P, resulta:


p = p0 + λ d

Y L




P0
d

p0

P




p O

X


Además, si d1 y d2 son las componentes del vector d, la ecuación vectorial de la recta, expresada en coordenadas es: (x, y) = (x0, y0) + λ(d1, d2)

PA R A A R C H I VA R


La expresión p = p0 + λ d recibe el nombre de ecuación vectorial de la
recta o ecuación de la recta en la forma vectorial, donde d es el vector dirección conocido, paralelo a la recta, y λ es un parámetro que al tomar diferentes valores nos entrega diferentes puntos que forman la recta.

Ejemplo 1 Dado los puntos A(2, 3) y B(5, 2) determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por ellos.


Calculamos el vector dirección de la recta buscada d = a – b = (–3, 1). De esa manera podemos escribir la ecuación de la recta vectorial como: (x, y) = (5, 2) + λ(–3, 1) con λ ∈ ⺢. También podemos escribir la ecuación vectorial como: (x, y) = (5 – 3λ, 2 + λ) o bien, x = 5 – 3λ y=2+λ 160

Vectores



la cual se conoce como ecuación paramétrica de la recta.

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Unidad 5 VECTORES 1 ? 2 Remplacemos en la ecuación (x, y) = (5 – 3λ, 2 + λ)

¿Qué sucede si λ =



(x, y) = 5 –

3 1 ,2+ 2 2

 =  102– 3 , 4 +2 1  =  72 , 52 

Por otra parte, el punto medio del segmento determinado por estos vectores está dado por:

 2 +2 5 , 3 +2 2  =  72 , 52 , lo cual coincide con el punto correspondiente a λ =

AY U D A El punto medio de un segmento, cuyos extremos son (a, b) y (c, d) está dado por:



a+c b+d , 2 2



1 . 2

AY U D A Ejemplo 2

La ecuación cartesiana de la recta está dada por ax + by + c = 0, o bien y = mx + n.

Dada la ecuación paramétrica de la recta: x = 5 + 3λ y=2+λ determina la ecuación cartesiana. Para esto debemos despejar el parámetro en cada una de las ecuaciones anteriores: x–5 x = 5 + 3λ ⇒ λ = 3 y=2+λ

⇒ λ=y–2

Igualamos ambos parámetros y despejamos: x–5 =y–2 3

⇒ x – 5 = 3y – 6 ⇒ y =

TIPS Si d es un vector director cuyas coordenadas son (d1, d2), la pendiente de la recta m correspondiente está dada por d m= 2 . d1

1 1 x+ 3 3

(Ecuación cartesiana de la recta) 1 Observa que la recta tiene como pendiente , esto indica que un vector 3 director posible es (3, 1).

PA R A A R C H I VA R Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta, es poder obtener ecuaciones para un segmento específico de la recta por medio de una restricción del parámetro λ. Por ejemplo, la ecuación vectorial (x, y) = (2, –1) + λ(1, 2); 1 ⱕ λ ⱕ 3 describe el segmento de recta que va desde (3, 1) hasta (5, 5) (obtenidos al remplazar por el mínimo y el máximo valor del parámetro).

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Unidad 5 VECTORES

Ecuación vectorial de la recta en el espacio

AY U D A

Z Q P


d L


q


p O

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(d1, d2, d3)

Y

X

(x, y, z) = (x0 + λd1, y0 + λd2, z0 + λd3)

Además:

Si P es cualquier punto de la recta L, se tiene:


p = q + λd

Para representar la ecuación vectorial de una recta en el espacio, podemos generalizar a partir de su ecuación vectorial en el plano, es decir, dado un punto P(x0, y0, z0) perteneciente a una recta L, cuyo vector director tiene coordenadas (d1, d2, d3). Entonces la ecuación vectorial en el espacio es:

λ∈⺢

λ∈⺢

La forma paramétrica de esta recta se obtiene al despejar las coordenadas, es decir, (x, y, z) = (x0 + λd1, y0 + λd2, z0 + λd3) entonces: x = x0 + λd1 Ecuación paramétrica de y = y0 + λd2 la recta en el espacio. z = z0 + λd3



AY U D A

Ejemplo 1


• Recuerda que los vectores v
y w son paralelos si existe un número real λ, tal que:

v = λw

Consideremos la recta L que pasa por P(1, 3, –2) y Q(2, 1, –2). En este caso, el 

vector director está dado por d = PQ = (1, –2, 0), luego la ecuación vectorial de L es: (x, y, z) = (1, 3, –2) + λ(1, –2, 0)



• Dos vectores v y w son per

pendiculares si v • w = 0.

Ejemplo 2 ¿Cómo podemos determinar si tres puntos son colineales y por tanto que pertenecen a una misma recta? Dados los puntos P(1, 1, 1), Q(1, 0, –1) y R(1, 2, 3), debemos comprobar que 



los vectores PQ y QR son paralelos, PQ = (0, –1, –2) y QR = (0, 2, 4). 

Ahora debemos comprobar que existe un número real λ, tal que QR = λ PQ . Veamos si se cumple:

TIPS


Sean L1: p = p0 + λ v y


L2: q = q 0 + µ w , entonces L1 es
paralela con L2 solo si v es para
lelo a w . Del mismo modo, L1 es perpen
dicular a L2 solo si v es perpen
dicular a w .

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Vectores

(0, 2, 4) = λ(0, –1, –2) ⇒ 2 = –λ y 4 = –2λ, de donde se infiere que λ = –2. Por lo tanto, los puntos P, Q y R son colineales y pertenecen a la misma ecuación vectorial de la recta.

Q R

P



QR = –2PQ

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Unidad 5 VECTORES PA R A A R C H I VA R La ecuación vectorial de la recta en el espacio que pasa por (x0, y0, z0), con vector director (d1, d2, d3) está dada por (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(d1, d2, d3), con λ 僆 ⺢.

EJERCICIOS 1. ¿Se puede determinar la ecuación vectorial de la recta a partir de los puntos (1, 1) y (4, 4)? Si la respuesta fuera sí. ¿Cuál sería la ecuación vectorial? 2. Dado el punto P(2, –2) y el punto Q(–4, 4). ¿Cuál es el punto medio del segmento PQ?

10. Escribe la ecuación vectorial de la recta L que pasa por P(12 , –5, 7) y Q(0, 6 , –3). 11. Determina si los siguientes puntos son colineales. a. P(1, 0, 2), Q(–1, 1, 1) y R(3, –1, 1). b. P(–1, –1, –1), Q(–1, 0, 1) y R(–1, –2, –3)

3. Dada la ecuación vectorial de la recta (x, y) = (1, 2) + λ(4, 8). Determina tres puntos que pertenezcan a la recta. 4. Dada la ecuación vectorial de la recta (x, y) = (1, 2) + λ(4, 8). Determina la ecuación cartesiana de la recta. 5. Dada la recta y = 3x, grafícala y luego obtén su ecuación vectorial. 6. Encuentra la ecuación cartesiana correspondiente a la recta que pasa por el punto (5, –2) y es
paralela a la dirección del vector d = (–2, 3). 7. Encuentra la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (–3, 2) y es paralela a la recta y = 3x – 2.

c. P(0, –1, –2), Q(0, 2, 4) y R(0, 1, 2) d. Escribe la ecuación vectorial para cada trío de puntos colineales encontrados anteriormente. 12. Encuentra la ecuación vectorial de la recta L1 de tal manera que sea paralela a la recta L2: (x, y, z) = (1, 3, –2) + λ(6, 4, 2). 13. Generaliza la ecuación vectorial de la recta en el espacio, para una recta que pasa por el origen. 14. Generaliza la ecuación vectorial de la recta en el espacio, para una recta que pasa por un punto cualquiera y es paralela a una recta que pasa por el origen.

8. Determina si los puntos (0, 0); (0, 11); (–3, 0) pertenecen a la recta anterior. 9. Determina la ecuación vectorial de una recta perpendicular a (x, y) = (2, –5) + λ(1, –4), luego grafica ambas rectas.

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Unidad 5 VECTORES

Ecuación vectorial de un plano en el espacio π
s
r

A

P
s A

π

Anteriormente aprendiste que un plano queda determinado por tres puntos no colineales, dos rectas secantes, dos rectas paralelas o una recta y un punto que no está en ella. Complementaremos lo anterior con algunas herramientas matemáticas revisadas en la unidad, por lo tanto, un plano en el espacio π, también puede estar determinado por un punto A(a1, a2, a3) y dos vectores directores no paralelos,

r = (r1, r2, r3) y s = (s1, s2, s3). Observando la figura, para un punto P(x, y, z) cualquiera del plano π se 


cumple lo siguiente: OP = OA + AP . 



Por lo que AP es un vector que pertenece al plano π, entonces AP = λ r + µ s , 



con λ y µ números reales, luego OP = OA + λ r + µ s .


r O

¿Cuál será la ecuación vectorial del plano?

PA R A A R C H I VA R La ecuación vectorial del plano en el espacio queda determinada por





p = a + λ r + µ s , siendo a y p los vectores posición de los puntos A y P, respectivamente; con λ y µ números reales.

Expresando la ecuación vectorial por sus coordenadas, tenemos: (x, y, z) = (a1, a2, a3) + λ(r1, r2, r3) + µ(s1, s2, s3). Igualando componente a componente, encontraremos las ecuaciones paramétricas de un plano, x = a1 + λr1 + µs1; y = a2 + λr2 + µs2; z = a3 + λr3 + µs3. Las ecuaciones paramétricas se pueden reescribir como sistemas de ecuaciones, para ser eliminados los parámetros λ y µ, para así obtener la ecuación general o cartesiana de un plano. Ax + By + Cz + D = 0 Ejemplo 1

Dados A(2, –2 , 1), r = (1, 0, –1) y s = (–2, 3, 2). Determina la ecuación vectorial del plano.



Conocida la ecuación vectorial p = a + λ r + µ s , se tiene que la ecuación pedi
da es: p = (2, –2, 1) + λ(1, 0, –1) + µ(–2, 3, 2). Ejemplo 2 Dado un plano π que pasa por los puntos no colineales P(1, 1, 1), Q(2, 1, 2) y R(0, 2, –1), ¿cuál es la ecuación vectorial del plano? Para obtener la ecuación pedida tenemos que encontrar los vectores directores.

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r = QP = p – q = (1 – 2, 1 – 1, 1 – 2) = (–1, 0, –1) 



s = RP = p – r = (1 – 0, 1 – 2, 1 + 1) = (1, –1, 2)

TIPS Si la ecuación vectorial de un plano es 

(x, y, z) = P + λ QP + µ RP ;

Por lo tanto la ecuación vectorial del plano es: π : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(–1, 0, –1) + µ(1, –1, 2). Ejemplo 3 Dados tres puntos, P(0, 0, –1), Q(1, 2, 1) y R(1, 4, 4) no colineales. Obtén un punto T, tal que los cuatro puntos conformen un paralelogramo. Determinamos T de la siguiente manera:











t = p + PQ + PR = p + ( q – p ) + ( r – p ) = q + r – p
t = (1 + 1 – 0, 2 + 4 – 0, 1 + 4 + 1) = (2, 6, 6) ¿Cuál es la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos P(0, 0, –1), Q(1, 2, 1) y R(1, 4, 4)? 

(x, y, z) = P + λ QP + µ RP ; λ, µ 僆 ⺢. (x, y, z) = (0, 0, –1) + λ(–1, –2, –2) + µ(–1, –4, –5) Vamos a determinar su ecuación vectorial y luego comprobar que el punto T(2, 6, 6) pertenece al plano. Para esto debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

λ, µ 僆 ⺢, se tiene que: • El plano es paralelo al eje X, si 

los vectores QP y RP son paralelos al vector unitario iˆ = (1, 0, 0). • El plano es paralelo al eje Y, si 

los vectores QP y RP son paralelos al vector unitario ˆj = (0, 1, 0). • El plano es paralelo al eje Z, si 

los vectores QP y RP son paralelos al vector unitario kˆ = (0, 0, 1).

AY U D A Planos en el espacio tridimensional Plano horizontal XY ecuación z = 0. Z

Y X

(2, 6, 6) = (0, 0, –1) + λ(1, 2, 2) + µ(2, 6, 7) 
Con λ, µ 僆 ⺢ y su vector director TP = (2 – 0, 6 – 0, 6 + 1) = (2, 6, 7) 2 = –λ – 2µ 6 = –2λ – 6µ 6 = –1 – 2λ – 7µ

冧

4 = –2λ – 4µ –6 = 2λ + 6µ

⇒

λ=0 µ = –1

Plano vertical YZ ecuación x = 0. Z

Y X

Plano vertical XZ ecuación y = 0. Z

Como este sistema tiene solución (satisface las tres ecuaciones), el punto T pertenece al plano y además conforma un paralelogramo originado a partir de los puntos P, Q y R.

Y X

EJERCICIOS 1. Caracteriza el plano definido por
λ(2, 2, 0) + µ(0, 0, 1) = v , con λ y µ números cualesquiera.
2. Analiza la suma λ v + µ(0, 0, 1) para cualquier
valor de los parámetros, con v un vector en el espacio tridimensional. ¿Qué se obtiene? 3. Sitúa un cubo con vértices en el origen, de modo que las aristas se ubiquen sobre los ejes

X, Y, Z. Determina la ecuación vectorial y analítica de los planos portadores de sus caras y de las rectas formadas por la prolongación de sus aristas. 4. La ecuación vectorial de un plano es (x, y, z) = (0, 0, 2) + k (2, 4, 4) + g (2, 6, 7), k, g 僆 ⺢. Determina si es paralelo a alguno de los ejes X, Y o Z.

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Gráfico de rectas y planos Como ya sabemos, la ecuación vectorial de la recta está determinada por un punto y una dirección, por consiguiente por un punto de la recta y un vector paralelo a ella. ¿Cómo graficar una recta en el plano, dada la ecuación vectorial de esta? Ejemplo Consideremos una recta L en el plano, A(5, 7) un punto perteneciente a L y
d = (2, 2) un vector paralelo a L. Primer paso: determinamos la ecuación vectorial de la recta. (x, y) = (5, 7) + λ(2, 2) con λ: número real.
Segundo paso: graficamos el punto A y el vector d en el plano cartesiano.

16 14 12 10 8

A 6 4 2


d

–2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

–2

Tercer paso: asignamos un valor cualquiera a λ. Si λ = 3 el punto B resultante es: (x, y) = (5, 7) + 3 • (2, 2) (x, y) = (5, 7) + (6, 6) (x, y) = (11, 13)

16 14

B

12 10 8

A 6 4 2


d

–2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

–2

Cuarto paso: unimos el punto A y B para obtener la recta L.

16 14

B

12 10 8

A

6 4 2

–2

2 –2

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d 4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

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Unidad 5 VECTORES Veamos ahora cómo graficar un plano en el espacio. Ejemplo 1

Ejemplo 2

Considera el plano π paralelo a XY, que pasa por el punto A(1, 4, 6).

Considera la ecuación cartesiana del plano 4x + 3y = 12.

Primer paso: determinamos la ecuación vectorial del plano. π: (x, y, z) = (1, 4, 6) + λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 0); con λ, µ números reales.

Primer paso: determinar los puntos en que corta a los ejes coordenados. Intersección eje X: y = 0 y z = 0, entonces 4x = 12 ⇒ x = 3. Punto obtenido (3, 0, 0). Intersección eje Y: x = 0 y z = 0, entonces 3y = 12 ⇒ y = 4. Punto obtenido (0, 4, 0). Intersección eje Z: x = 0 e y = 0, entonces 0 = 12 ⇒ falso. Como esto no es cierto significa que no existe un punto en el eje Z.

Segundo paso: obtenemos la ecuación paramétrica del plano. x = 1 + λ; y = 4 + µ; z = 6 Tercer paso: como el plano es paralelo a XY, se obtiene la ecuación cartesiana del plano, z = 6.

Segundo paso: como no hay un punto común al eje Z, el plano que se graficará es paralelo a ese eje.

Cuarto paso: graficamos.

Z 6

Z (1, 4, 6)

π

Y

Y 4

X

X

3

EJERCICIOS 1. Grafica la recta que pasa por el punto A(–1, 3, 4) y es paralela al vector
v = (3, –1, 2).

4. Grafica el plano 4x + 5z = 20. ¿A qué eje es paralelo?

2. Grafica el plano que pasa por el punto (1, 6, 1) y es paralelo al plano XZ.

5. ¿Qué sucede cuando en la ecuación cartesiana de un plano no aparece una variable x, y o z? Justifica.

3. Encuentra la ecuación cartesiana y el gráfico de un plano, dadas las ecuaciones: x = λ, y = 3µ, z = µ y con λ, µ números reales.

6. Grafica el plano que pasa por el punto A(3, 3, 4) y es paralelo a los vectores

v = (2, 1, 1) y u = (–3, –3, –3).

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Unidad 5 VECTORES

Intersección de rectas y planos en el espacio Si consideras una recta y un plano en el espacio, se pueden dar las siguientes situaciones: Recta paralela al plano

Recta contenida en el plano

Recta secante al plano L

L

L

P

π

π

Su intersección es vacía.

π

Su intersección es la recta L.

Su intersección es un punto P.

Ejemplo Considera el plano π : 4x + 3y – z = 2 y la recta L:

L:



x = 4 + 2h y = 6 + 3h z = –2

con h en ⺢. ¿Cuál es la intersección?

Sea el punto (x0, y0, z0) que pertenece al plano y a la recta. Entonces se tiene:

EN EQUIPO

π:

4x0 + 3y0 – z0 = 2

L:

x0 = 4 + 2h0 y0 = 6 + 3h0 z0 = –2



Se tienen 4 ecuaciones. Basta obtener el valor de h0.

Remplazamos las ecuaciones de la recta, en la ecuación del plano. 4(4 + 2h0) + 3(6 + 3h0) – (–2) = 2

¿Cómo tendrían que ser las ecuaciones del plano y de la recta, para que su intersección sea vacía? ¿Y para que sea una recta? Justifica.

16 + 8h0 + 18 + 9h0 + 2 = 2 h0 = –2 Por lo tanto:

x0 = 4 + 2 • –2 = 0 y0 = 6 + 3 • –2 = 0 z0 = –2

El punto obtenido es (0, 0, –2). Este punto satisface la ecuación del plano y la de la recta, por lo tanto, estamos en el caso en que la recta es secante al plano.

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Unidad 5 VECTORES Si consideramos dos planos en el espacio, estos pueden ser paralelos, secantes o coincidentes.

HISTORIA

Ejemplo Considera los planos:

π1: 4x + 3y + z = 6 π2: 3x + 4y + 4z = 12



Graficamos los planos, revisando los puntos de intersección en cada eje. Z

6

Eje x

Eje y

Eje z

π1

 32 , 0, 0

(0, 2, 0)

(0, 0, 6)

π2

(4, 0, 0)

(0, 3, 0)

(0, 0, 3)

π1

3

Giuseppe Peano (1858–1932)

P Q π2 3

3 2

X

Y

2

4

Observamos en la gráfica que P y Q son los puntos de intersección de ambos planos. El punto P se ubica en el plano XZ, por lo que su ordenada es cero.

⬖

y=0



4x + z = 6 3x + 4z = 12

Luego, P tiene coordenadas

x=

El punto Q se ubica en el plano YZ, por lo que su abscisa es cero.

⬖

12 30 ,z= 13 13

 1213 , 0, 3013 .

Desarrolló el concepto de espacio vectorial, en 1888, a partir de lo cual fue posible encontrar importantísimas aplicaciones a la geometría en el siglo XX.

x=0



3y + z = 6 4y + 4z = 12

Luego, Q tiene coordenadas

y=z=

3 2

 0, 32 , 32 .

La intersección de los planos es una recta, ya que estos son secantes. Determinaremos su ecuación de la recta, considerando que pasa por el punto 
12 3 21 P y que su vector director es PQ = – , ,– . 13 2 26





Entonces la ecuación vectorial de la recta es: 12 30 12 3 21 (x, y, z) = , 0, +λ – , ,– , con λ perteneciente a ⺢. 13 13 13 2 26



 



EJERCICIOS 1. Obtén el punto de intersección de la recta x = 2t, y = 3t + 1, z = t con el plano 3x + 2y – 11z – 5 = 0. 2. ¿Cuál es la posición relativa del plano x + y + z + 1 = 0 y la recta de ecuaciones z x–1=2–y= ? 3

3. Dados los siguientes planos: x+y=1 mz + z = 0 determina los valores de m para los cuales: a. se cortan en un plano. b. se cortan en una recta. c. no se cortan.

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Transformaciones geométricas Traslación Una figura dada se puede trasladar según un vector, es decir, considerando una dirección, un sentido y una magnitud dadas. Observa a continuación la traslación T del cuadrilátero ABCD. C

d C’

AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = d ABCD T A’B’C’D’

B D B’

D’ A En esta obra de M. C. Escher se aprecian diferentes transformaciones geométricas, como la traslación y la rotación.

T

A’

Una traslación en el plano cartesiano considera las coordenadas de los vértices de la figura a trasladar y las coordenadas del vector que traslada. Ejemplo

AY U D A

La traslación del triángulo cuyos vértices son A(–4, 4), B(–2, 2) y C(–3, 6), dada
por el vector v = (2, 1) es:

En el ejemplo: ABC ≅ A’B’C’

A’: (–4, 4) + (2, 1) = (–2, 5)

C’ C

B’: (–2, 2) + (2, 1) = (0, 3) C’: (–3, 6) + (2, 1) = (–1, 7)

7 6

A’ A B’

En la siguiente imagen se muestra la traslación del triángulo ABC. La traslación anterior se denota como T(2, 1) de los puntos ⌬ABC.

B

2 1

–4

–2


v 2

4

PA R A A R C H I VA R La traslación de una figura en el plano cartesiano, da origen a una nueva figura que es congruente con la anterior, es decir, mantienen la misma forma y medidas. T(x, y) es la traslación de una figura en el plano cartesiano, en cambio T –1 (x, y) es la traslación inversa de T(x, y), y corresponde a la trasformación de A’B’C’ en ABC.

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Composición de traslaciones Si al resultado de una traslación se le aplica otra traslación, hablaremos de composición de traslaciones.

EN EQUIPO

Observa la figura:

4

2

–6

–4

C

T1

–2

2

A‘

4

C‘ 6

8

10

–2

A

T2

B‘

–4

C ‘’

B –6

A‘’

Consideren dos circunferencias, una con centro O(–2, 3) y la otra con centro A(–1, 1). Determinen el vector que permite trasladar la circunferencia de centro O a la posición con centro en A. Luego determinen el vector de la traslación opuesta a la realizada. ¿Qué pueden concluir?

–8

B‘’

Como podemos observar, A’B’C’ se obtiene aplicando T1 (10, 2) a los vértices del triángulo ABC. En cambio, A’’B’’C’’ se obtiene aplicando T2 (1, -6) a los vértices del triángulo A’B’C’. ¿Cómo podríamos designar directamente la traslación de los vértices del triángulo ABC a los vértices del triángulo A’’B’’C’’? Si los vértices del triángulo A’’B’’C’’ se obtienen aplicando T1 a ABC y luego T2 a los vértices del triángulo A’B’C’, podemos inferir que existe una composición de traslaciones, es decir, si T1(x1, y1) y T2(x2, y2), entonces T1 o T2 = (x1 + x2, y1 + y2).

PA R A A R C H I VA R Una composición de traslaciones resulta de aplicar una traslación a otra traslación ya realizada.

EJERCICIOS 1. Identifica las traslaciones inversas de cada una de las siguientes traslaciones.

2. Los vértices de un cuadrilátero son (1, 0); (0, 2); (–3, 0); (0, –1). ¿Cuáles serán los vértices del cuadrilátero si se aplica una traslación (3, –2)?

a. T1(2, 3) b. T2(–3, 4) c. T3(–6, –7) d. T4(0, –4)

3. Una circunferencia de radio 1 tiene su centro en el punto (2, 2), realiza una traslación de esta circunferencia respecto al vector (1, –2).

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Homotecia Una homotecia se refiere a una transformación geométrica realizada a una figura geométrica, de manera que mantiene inalterable su forma, pero no necesariamente su tamaño. También se puede decir que dos figuras son homotéticas si al unir mediante rectas los puntos o vértices correspondientes de ellas, estas rectas concurren en un único punto que es el centro de homotecia O.

AY U D A Una homotecia con centro en O y razón a, se escribe H(O, a).

Ejemplo Y

En la siguiente figura se puede observar el cuadrilátero KLMN de vértices

M

K(–5, 1), L(–2, 4), M(–6, 6) y N(–7, 3), y sus L

respectivas transformaciones

N



homotéticas: H1(O, –2) y H2 O, –

K O

K2

X

K1

Observa que –2 y –



3 . 2

3 corresponden a la razón 2

de homotecia. N2 L2

N1 L1 M2

M1

PA R A A R C H I VA R

TIPS En homotecias de centro en el origen de coordenadas, si se considera A(x, y), y su homotético A’(x’, y’), la relación que hay entre ellos es la siguiente: x’ = kx e y’ = ky

Una homotecia es una transformación geométrica que no afecta la forma de la figura, pero sí puede cambiar su tamaño y orientación. Además: Si k > 0 se llama homotecia directa. Si k < 0 se llama homotecia inversa. k = –1 corresponde a una rotación alrededor del centro O en un ángulo de 180º. ¿Qué sucederá con las homotecias en el espacio? Sea A(ax, ay, az) un punto cualquiera en el espacio, y A’(ax’, ay’, az’) el punto transformado de A por la homotecia H(C, k), con centro en C = (cx, cy, cz) y razón k. Se cumple que: A’ = (cx, cy, cz) + k(ax – cx, ay – cy, az – cz) lo cual se denomina ecuación vectorial de la homotecia H(C, k).

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Composición de homotecias Al igual que con las traslaciones, se puede realizar una composición de homotecias. La composición de homotecias con distinto centro y razón nos muestra que las figuras se invierten cuando la constante de homotecia es -1. Ejemplo A continuación se muestra la composición de homotecias H1 o H2 , con H1(M, –1) y H2(N, –1). C

A

ABC

H1(M, –1)

A1B1C1

H2(N, –1)

A2B2C2

TIPS La palabra homotecia, proviene del griego homos (semejante) y thesis (posición).

C2

B1

M

A2

B

A1

N

B2

C1

PA R A A R C H I VA R Algunas características de las homotecias son: • Las figuras generadas mediante homotecia son semejantes a las figuras originales. • Los lados correspondientes entre dos figuras homotéticas son paralelos. • El producto de dos homotecias de centro C es otra homotecia de centro C, y razón, el producto de las razones, esto es: H’(C, k’) o H(C, k) = H1(C, kk’).

EJERCICIOS 1. Considera un cuadrilátero ABCD de coordenadas A(3, –3); B(6 , –6); C(10, 1) y D(4, 3). Encuentra su figura homotética, respecto de a. H(0, –1)

 

b. H 0,

3 2

3. Obtén la razón de homotecia entre ⌬ABC y ⌬A’B’C’. Además, calcula las dimensiones de los triángulos.

O C

2. Comprueba que el área de una figura homotética es igual al producto del área de la figura original por el cuadrado de la razón de homotecia.

A’

A 5

B

15

C’ 12

B’

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EJERCICIOS RESUELTOS

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Unidad 5 VECTORES

Ejercicio 1

Dados los vectores u = (2, x) y v = (y, 3), determina el valor de x e y para que


u sea perpendicular a v y

v

= 5.

Solución (a, b) • (d, c) = ad + bc El módulo de un vector (a, b) está dado por a2 + b2 .



Si u es perpendicular a v , su producto escalar debe ser cero, entonces 2y + 3x = 0.
Además si

v

= 5 ⇒

y 2 + 32 = 5

Despejamos y en la ecuación anterior: y2 + 9 = 25

⇒ y2 = 16

Entonces y = 4 o y = –4. Remplacemos los valores para y en la ecuación dada por el producto escalar de ambos vectores: 8 3 8 x= 3

⇒x=–

Para y = 4

8 + 3x = 0

Para y= –4

–8 + 3x = 0

Despejamos x

⇒

Luego, tenemos dos soluciones: x=–

8 8 ey=4;x= e y = –4 3 3

Comprobemos que las soluciones sean correctas.

Comprobamos que los vectores sean perpendiculares mediante el producto escalar.

Con x = –
u

•



 y v
= (4, 3)



 y v
= (–4, 3)


8 8 e y = 4, tenemos u = 2, – 3 3


v =8–8=0






v

= 42 + 32 = 25 = 5


El módulo de v debe ser 5. Con x =
u

•





8 8 e y = –4 , tenemos u = 2, 3 3


v = –8 + 8 = 0



v

=

( –42 ) + 32

=

25 = 5

Por lo tanto, ambas soluciones son correctas.

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Unidad 5 VECTORES

Ejercicio 2 Dado un paralelogramo ABCD, se conocen tres vértices A(1, –2), B(6, 1) y D(–6, 3). a. Calcula el cuarto vértice C. b. Encuentra el punto M de intersección de las diagonales. 7

C

Solución

6 5

Para facilitar la resolución del problema lo representaremos gráficamente.


a. Observa que c está dado por la suma de b y BC , es decir, 

c = B + BC 

c = B + AD



c = b + ( d – a) = (6, 1) + (–6, 3) – (1, –2) = (–1, 6)

4

D

3 2

B

1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

–1 –2

Entonces C tiene coordenadas (–1, 6). b. Las dos diagonales se cortan en su punto medio, por lo tanto M=

A+C = 2

共 1 2– 1 , –2 2+ 6 兲 = (0, 2) o bien,

M=

B+D = 2

del punto medio de las 共 6 2– 6 , 1 +2 3兲 = (0, 2) , coordenadas diagonales.

A

En un paralelogramo, los lados paralelos tienen igual medida, por lo tanto: 



b + BC = b + AD También se puede resolver 


utilizando c = d + DC . El punto medio entre (a, b) y (d, c) está dado por

共 a +2 d , b 2+ c 兲.

Ejercicio 3 Determina si el punto (–2, 7) pertenece a la recta L: (x, y) = (2, 1) + λ(–2, 3).

Solución Escribiremos la ecuación vectorial en la forma cartesiana, L: (x, y) = (2 – 2λ, 1 + 3λ). 2–x Entonces, x = 2 – 2λ e y = 1 + 3λ , por lo tanto, λ = 2 Igualamos los valores de λ,

共

2–x y–1 = 2 3

兲 y λ = 共 y 3– 1 兲.

Despejando λ de x e y.

⇒ 6 – 3x = 2y – 2 ⇒ –2y – 3x + 8 = 0

Por último evaluamos la pertenencia del punto en la recta –2 • 7 – 3 • –2 + 8 = –14 + 6 + 8 = 0

Si un punto pertenece a una recta, entonces satisface la ecuación de esta.

Podemos concluir que (–2, 7) pertenece a la recta L.

Vectores

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DESAFÍOS

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Unidad 5 VECTORES

1. (Demre, 2003) ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por la ecuación x = a? A. La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a).

4. (Demre, 2004) El ⌬ABC de la figura, se sitúa en el sistema cartesiano tridimensional, tal como se ilustra en la figura. ¿Cuál es el perímetro de este triángulo? Z

A. 3 2

B. La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0).

B. 10 + 3 2

C. La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a).

D. 3 2 + 5

4

C

C. 10 + 2 B

E. N. A.

D. La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0). E. La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a).

2. (Demre, 2004) El paralelepípedo recto se sitúa en un sistema cartesiano tridimensional tal como lo ilustra la figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto D?

3

3

Y

A

X

5. (Olimpiadas matemáticas, 2003) Investiga si puede un caballo de ajedrez recorrer un mini tablero de tamaño 4 x 4 de modo que llegue a cada uno de los 16 casilleros una única vez. Nota: el dibujo abajo muestra los puntos finales de las ocho posibles movidas del caballo (C) en un tablero de ajedrez de tamaño 8 x 8.

Z

D c

b X

C Y

a

A. (a, b, c)

D. (b, 0, c)

B. (0, a, c)

E. (0, b, c)

C. (a, 0, c)

3. (Olimpiadas matemáticas, 2003) Dadas 3 rectas en el plano, que concurren en el punto O, considere los 3 ángulos consecutivos que se forman entre ellas (cuya suma es, naturalmente, 180 grados). Sea P un punto del plano que no se encuentra en ninguna de las rectas y sean A, B, C los pies de las correspondientes perpendiculares trazadas desde P a cada recta. Demuestra que el triángulo ABC tiene los mismos ángulos que los que las rectas forman entre sí.

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Vectores

6. (Demre, 2004) En la figura, se tiene un círculo de centro (–2, 2) y radio 1, entonces al efectuar una traslación del círculo al nuevo centro (2, 1) sitúa al punto P en las coordenadas: Y

A. (1, 2)

4

B. (2, 1)

3

C. (0, 2)

P

2

D. (2, 2) E. (1, 1)

1

–4

–3

–2

–1

1

X

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MEDIOS

Unidad 5 VECTORES

Ajedrez: un juego de razonamiento y concentración Se cree que el origen del ajedrez data del siglo VI. Este consiste en un tablero que está formado por 64 cuadrados organizado en filas y columnas (llamadas escaques), de las cuales la mitad son blancos y la otra mitad son negros. Sobre el tablero se disponen fichas con las cuales se pueden realizar distintos movimientos. Para describir el movimiento de una pieza podemos indicar el número de cuadrados que se desplaza.

Un juego de ajedrez termina cuando uno de los jugadores realiza un “jaque mate”, palabra derivada de shah mat (“el rey ha muerto” en idioma persa).

Por ejemplo, el alfil blanco que está colocado en la cuadrícula (1, 1), para pasar a la cuadrícula (4, 4), se desplaza tres cuadraditos hacia el este y tres cuadraditos hacia el norte. Describimos el movimiento del alfil de la siguiente manera: (3, 3) = (4, 4) – (1, 1) Con la operación anterior hemos encontrado las componentes del vector desplazamiento del alfil.

1.

Indica el vector de desplazamiento descrito por los pares de números que se indican a continuación:

a. b. c. d.

2.

Torre blanca pasa de (5, 3) a (5, 7). Alfil negro pasa de (3, 6) a (7, 2). Peón blanco pasa de (7, 2) a (7, 4). Caballo negro pasa de (6, 5) a (7, 7).

Para mayor información acerca del ajedrez y de torneos que se realizan en nuestro país, puedes ingresar al sitio web: www.clubajedrezchile.cl (recuerda que las páginas o su contenido pueden variar).

Vectores

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SÍNTESIS

Mapa conceptual

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Unidad 5 VECTORES Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos clave dados.

Conceptos clave: Vector Sentido Magnitud Dirección Plano Recta Espacio Vector director Ángulo diedro

Resumen

1 Módulo de un vector: longitud del segmento determinado por el vector.

2 2 El módulo de un vector a = (a1, a2) está dado por

a

= a1 + a2 .

2 Dirección de un vector: está dada por la recta que lo contiene.

3 Sentido de un vector: está indicado por la punta de la flecha.

4 Operatoria con vectores Suma o resta de vectores: se realiza de la siguiente manera,

a ± b = (a1, a2) ± (b1, b2) = (a1 ± b1, a2 ± b2),

donde a = (a1, a2) y b = (b1, b2)

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Vectores

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Unidad 5 VECTORES Producto escalar de dos vectores: Geométricamente, el producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de uno de ellos por la proyección ortogonal del otro sobre él. Si el sentido de esta proyección es opuesto al del primer vector, esta proyección es negativa. El producto escalar da como resultado un número dado por:



a • b =

a



b

cos(α)


b

α


b

cos(α)


a



a • b = (a1, a2) • (b1, b2) = a1 • b1 + a2 • b2 Producto cruz o vectorial: este producto entre dos vectores está dado

por la expresión

a



b

sen(α), donde α representa el ángulo formado por ambos vectores. El resultado de este producto resulta un nuevo vector, perpendicular a los anteriores.

Vector ponderado: sean a y b dos vectores con la misma dirección. Si los situamos en el mismo origen, vemos que podemos expresar uno en



función del otro multiplicando por un escalar: a = k b o b = k’ a .



Recíprocamente, si a = k b o b = k’ a , los dos vectores tienen la misma dirección y por lo tanto son paralelos (k: constante).



ax b
b
a


b
b
a


a

a = kb

5 Ecuación de la recta en el plano Ecuación cartesiana de la recta:

Ecuación vectorial de la recta:

Ax + By + C = 0



(x, y) = p0 + λ d = (x0, y0) + λ(d1, d2)

Ecuación paramétrica de la recta:

x = x0 + λd1 y = y0 + λd2


d : vector director de la recta que contiene al vector; P0(x0, y0): un punto perteneciente a dicha recta λ : parámetro (número real). 6 Ecuación de la recta en el espacio La ecuación de la recta en el espacio, está dada por la expresión,

(x, y, z) = P0 + λ d = (x0, y0, z0) + λ(d1, d2, d3), donde d : vector director de la recta; P0(x0, y0, z0): un punto perteneciente a dicha recta; λ: parámetro (número real). 7 Ecuación vectorial de un plano en el espacio: está dada por

π: (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(d1, d2, d3) + µ(v1, v2, v3), con d y v vectores directores del plano; P0(x0, y0, z0) un punto perteneciente a él.

Vectores

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EVALUACIÓN

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Unidad 5 VECTORES

1. Los vectores de la figura tienen la misma mag



nitud. Si r = 2 a – b + c , entonces el vector
que mejor representa la dirección de r es:

4. Sobre una partícula actúan dos fuerzas, como indica la figura. El módulo de la fuerza resultante es: 9N


a


c


b

A. 3 N

12 N

B. 15 N A.

C.

C. 21 N

E.

D. 225 N E. Ninguna de las anteriores. B.





5. Si a = (2, 1); b = (0, 1) entonces a • b =

D.

A. 1 B. 2 2. Los módulos de los vectores de la figura son 4,



3 y 2 unidades. Si r = a – 2 b – 3 c , entonces
el módulo de r es:
a
b
c

C. 3 D. (2, 1) E. (0, 1)
6. La ponderación entre λ = 5 y a = (1, 5) es: A. 5 B. 25

A. 4 unidades

C. (1, 5)

B. 8 unidades

D. (5, 25)

C. 14 unidades

E. Ninguna de las anteriores.

D. 16 unidades E. 18 unidades

3. Los vértices de un hexágono regular definen los vectores de la figura. ¿Cuál de las siguientes relaciones es incorrecta? A. B. C. D. E.

180





a +b + c=0



e +d=b –a


e –c =a


d + a = –2c


e – d = 3c

Vectores


d


a


e


b
c

7. Los vectores de la figura forman un cuadrilátero. ¿Cuál de las siguientes relaciones entre ellos es correcta?



A. a + d = b + c



B. a – c = b – d



C. a + d = c – b



D. a + c = d – b



E. a + b = c + d


c


d


a


b

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Unidad 5 VECTORES


8. Si los vectores a , b y c se encuentran en un plano cartesiano, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) correcta(s)?
a = –5 ˆi – 2 ˆj
II) b = – 3 ˆi – 4 ˆj
III) c = 3 ˆi – 3 ˆj






B. r
b

X

C. Solo III

9. Sobre una partícula se aplican tres fuerzas 

 F1 = 8 ˆi – 11ˆj , F2 = –5 iˆ + 7 ˆj . Si la partícula se 
 mantiene en equilibrio, la expresión para F3 es:


s





D.



(a + b)2 a2 – b2 , d c



E.



(a + b)(c2 + 1) 2a , cd c

D. I, II y III E. Ninguna de las anteriores.

•

a2 – b2 (a + b)2 , d c2d

C.

B. Solo II




12. Si P es un punto de la recta MN y Q es un punto que no pertenece a esta recta, entonces es falso que:

C. –3 iˆ + 4 ˆj


A. hay una recta perpendicular a MN que pasa por Q. 
B. hay un plano que contiene MN .

D. –3 iˆ – 4 ˆj

C. P, Q y M son colineales.

E. Ninguna de las anteriores.

D. P, M y N son colineales.

A. 3 iˆ – 4 ˆj B. 13 iˆ – 18 ˆj



10. Sean a = (2, 3) y b = (7, 2), entonces


a • b + b es: A. 29





A.

r

+

s




a
c




ac + bc a – b a+b a+b , y s= , d c cd c

con c y d no nulos, entonces r + s es:

Y

I)

A. Solo I


11. Si r =

E. hay un solo plano que pasa por Q, M y N.

13. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la misma recta que la ecuación vectorial:
x = (1, 1) + λ(–1, 1)?

B. (21, 8) C. (27, 22) D. 27

(–1, 1)

(1, 1)

E. No se puede determinar.

A. y – x – 2 = 0

D. –y – x – 2 = 0

B. y + x – 2 = 0

E. –y – x + 2 = 0

C. y + x + 2 = 0

Vectores

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EJERCICIOS DE REFUERZO

Unidad 5 VECTORES

1. Un profesor de Educación Física ideó la formación de su equipo de fútbol en dos esquemas, A y B. Uno para jugar como local y otro de visita. Los vectores indican los desplazamientos que realizan los jugadores desde sus puestos en un partido. Completa el esquema B con los vectores correspondientes de acuerdo a las indicaciones del profesor.

Zurita Salas

Gómez

Moreno

2. Los vectores de la figura tienen su origen en el centro de un cuadrado y el extremo en un vértice o en el punto medio de uno de los lados del cuadrado. ¿Cuál de las siguientes igualdades es incorrecta? Explica en cada caso.

Prado

Solano

Pérez

Reyes

Esquema A

F. Prado se mueve en una sola dirección. G. Moreno se mueve igual que Reyes en el esquema A. H. Salas se mueve de la misma forma que en el esquema A y además en dirección a la posición de Zurita. I. Quiroz y Zurita repiten su esquema.

>

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>

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b

Pinto

Quiroz


a


d


c

>

>

Zurita

Moreno

Salas Quiroz

Prado

Pinto

Solano

Gómez

Pérez

Reyes

Esquema B




a. a – c = –2c


b. a + b = 2d



c. a – d = b + c




d. c – d = b



e. c + a = b + d

3. En el sistema de la ilustración, aparecen dos bloques sobre planos inclinados en los cuales no hay fuerza de roce.

Indicaciones A. Gómez se mueve en 2 direcciones distintas y en una dirección en un solo sentido. B. Reyes se mueve en las mismas direcciones que en el esquema A, pero en una de las direcciones en las que se mueve supera la línea central de la cancha. C. Solano, desde su nuevo puesto, se mueve en 2 direcciones distintas, y sobre cada dirección en 2 sentidos. D. Pérez se desplazará según 3 vectores y 2 de ellos son iguales a los correspondientes a Pinto. E. Pinto se mueve de la misma forma que en el esquema A.

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Vectores

35 kg 30 kg 30º 40º

a. Haz un diagrama que te permita representar las fuerzas que intervienen. b. Calcula el peso de cada uno de los bloques. c. ¿Hacia qué lado se deslizarán los bloques?

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Unidad 5 VECTORES 4. Sobre el cuerpo de la figura actúan las fuerzas 

 
 f1 = (6, 8), f2 = (–15, 20) y f3 = (–4, –16).

7. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos dados: A(–4, 6) y B(4, –2).

8. Considera un cuadrado ABCD, tal que el punto de intersección de sus diagonales es G. Haz el dibujo en tu cuaderno de las siguientes transformaciones homotéticas.

   

1 2 3 b. H1(A, 2) seguida de H2 A, – 2

a. H1(G, 3) seguida de H2 G,

Calcula: a. La magnitud del vector resultante. b. La dirección del vector resultante.


5. Si a = (–4, 5), b = (6, –3) y c = (–2, –2) grafica y




determina v de modo que v = a + b – 2c . Luego, calcula su módulo y dirección dando el ángulo que forma con el eje X.

9. Define cada una de las siguientes traslaciones.

T1–1 T2

T1 T2–1

T3–1 T3

6. En el paralelepípedo rectangular se han definido las traslaciones T1, T2 y T3 según se indica.

H

G T1

E

F T2

D

A

a. T1 y T1–1

b. T2 y T2–1

c. T3 y T3–1

T3

C B

Determina la imagen de los siguientes puntos, según las traslaciones indicadas.

10. Considera el triángulo de la figura y trans3 fórmalo mediante la homotecia H1 A, 2 seguida de H2(B, –1).

 

A B

a. D por T1 seguida de T2. b. D por T2 seguida de T1. c. A por T2 seguida de T1. d. C por T2 seguida de T3–1. e. G por T1–1 seguida de T2–1. f. A por T2 seguida de T3. g. F por T1–1 seguida de T2–1. h. H por T2–1 seguida de T1.

11. Sitúa un cubo con un vértice en el origen, de modo que las aristas se ubiquen sobre los ejes X, Y y Z. Determina al menos 3 ecuaciones vectoriales de los planos portadores de sus caras y 3 de las rectas portadoras de sus aristas.

Vectores

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UNIDAD

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6 Geometría: áreas y volúmenes

La construcción y remodelación de edificios ha tenido un desarrollo importante en los últimos años, producto del crecimiento económico de nuestro país. En una de las principales avenidas de Santiago, apreciamos esta realidad. Si nos detenemos un poco y observamos las formas geométricas presentes en estas construcciones encontraremos los mismos elementos que has estudiado a través de tus años de escolaridad. En esta unidad profundizarás acerca de dos conceptos muy importantes: el área y el volumen.

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Geometría: áreas y volúmenes

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En esta unidad aprenderás a... Calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Conocer y aplicar el principio de Euler y Cavalieri. Trabajar con las secciones de una esfera. Dibujar las proyecciones de un cuerpo en el plano. Calcular el área y volumen de cuerpos generados por traslación y rotación.

Explora Realiza el laboratorio 1 correspondiente a la unidad 6 que aparece en www.santillana.cl/emedia/mat4

Geometría: áreas y volúmenes

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REPASO

Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES

¿Cuánto sabes?

1. Si un lado del cuadrado PQRS de la figura mide 20 cm, y L, M, N son puntos medios de cada lado, calcula el área sombreada.

S

R

L

N

P

Q

M

2. Calcula el área del trapezoide ABCD de la figura, considerando que AB = 8 cm, DE = 12 cm, h = 3 cm y h1 = 7 cm.

C h

D

E h1

DE//AB A

B

3. Calcula el área del triángulo FHG de la figura, suponiendo que HG = 3 cm, FH = 5 cm, FG = 7 cm.

ρ=

H

3 2

ρ

F

G

4. Calcula el área de las siguientes figuras: c. 2 cm 3 cm

7 cm

6

e.

1,5 cm

a.

2 9

12 7

7 2

0,6

4 3,2 cm

5 cm

b.

d.

3

f.

2,5 cm

4 cm

3 4

6

4

2 3 2,5 cm

6

4 2 6

4 cm

5. Expresa la mitad del lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia, en función del radio. 6. Completa las siguientes equivalencias: a. 234 m = b. 8.400 dm2 = c. 4,51 m = d. 0,0079 cm2 = e. 5,606 cm3 = f. 3.600.000 m = 186

Geometría: áreas y volúmenes

g. 53.288 cm3 =

dm cm2 cm m2 m3 dm

dm3

h. 5.000 dm2 =

m2

i. 4,0009 m3 =

cm3

j. 0,0057 dm3 = k. 1.000 dm = 2

l. 9.350 cm =

m3 cm dm2

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES 7. Calcula el área coloreada de las siguientes figuras, considerando la unidad de medida.

15 m

7,5 m

a. A = ______ dm2

2m

b. A = ______ m2

3m

c. A = ______ cm2

8. La siguiente lata de conservas tiene un diámetro de 8 cm y una altura de 13 cm. a. ¿A qué cuerpo geométrico se asemeja? b. ¿Cuál es el área total de sus bases? c. Estima el área de la etiqueta de papel que cubre la lata. d. Estima el volumen de la lata.

1 Un polígono es una figura geométrica plana cerrada formada por la unión de un conjunto de segmentos consecutivos que se intersectan a lo más en un extremo común, donde cualquier par de ellos con un extremo común no es colineal.

¿Qué debes recordar?

2 Un polígono es convexo si cualquier par de puntos que pertenece a su interior, determina un segmento totalmente contenido en él. De lo contrario, es un polígono cóncavo. 3 Se llama polígono regular a todo polígono convexo cuyos lados y ángulos son congruentes. Por ejemplo: triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, etc. 4 Se llama polígono inscrito en una circunferencia a todo polígono cuyos vértices son puntos de ella. 5 Un polígono está circunscrito a una circunferencia si todos sus lados son tangentes a la circunferencia. 6 Equivalencias en las unidades de medida: 1 m = 10 dm = 100 cm 1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000.000 cm3

Geometría: áreas y volúmenes

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CONTENIDOS

Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES

Concepto de área A lo largo de tu educación básica y media estudiaste progresivamente las figuras en el plano, como cuadriláteros, círculos y triángulos entre otras. Así también, conociste fórmulas y procedimientos para determinar el área y el perímetro de estas figuras. En esta unidad ampliaremos nuestro estudio hacia el cálculo de áreas y volúmenes en el espacio tridimensional. Es común asignar al concepto de superficie y área el mismo significado; sin embargo, debemos diferenciar ambos términos.

Una idea intuitiva de superficie se refiere a aquellas formas que caracterizan a un cuerpo. Una superficie puede ser plana, como es en el caso de las caras de prismas, pirámides, etc., o bien, curvas, como por ejemplo, en el cono, cilindro, etc.

TIPS Superficie se puede entender como la cáscara que cubre a los cuerpos.

El área es la medida que se asocia a una superficie, el área de un cuerpo será entonces, la suma de las medidas de la superficie de cada una de sus caras. El área se mide en unidades tales como, centímetros cuadrados, metros cuadrados, etc.

EJERCICIOS 1. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide 4 2 cm. 2. El área de un cuadrado circunscrito en una circunferencia es 144 m2. Calcula el área de la circunferencia.

4. Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 8 cm. 5. Calcula el área y el perímetro de la figura, si para su construcción se dibujaron 4 semicírculos de radio 2 cm.

3. Halla el área de un triángulo cuya base y altura son respectivamente el lado del triángulo equilátero y el lado del cuadrado, inscritos en una circunferencia de radio 2 cm.

b

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Geometría: áreas y volúmenes

circunferencia circunscrita e inscrita al cuadrado. D

C

A

B

h

h

b

6. En la figura, el lado del cuadrado ABCD mide 10 m. Calcula la razón entre el área de la

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES

Concepto de volumen El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa.

Para calcular el volumen de un cuerpo en el espacio, lo comparamos con un cubo de arista una unidad. En el sistema métrico decimal, la unidad de volumen es el metro cúbico (volumen de un cubo de un metro de arista). Ejemplo Cada uno de los siguientes cuerpos está formado por cubitos de 1 metro de arista cada uno.

2

8

2 2

2

4

1 1 1

¿Cuál es el volumen de cada cuerpo? Todos tienen igual volumen, 8 m3, pues están formados por 8 cubitos de igual medida.

EJERCICIOS 1. Observa los cuerpos anteriores, luego responde. a. ¿Tienen igual área? b. ¿Qué puedes concluir? 2. Las medidas de las bases de los siguientes paralelepípedos son iguales, pero la altura del bloque C es igual a la suma de las alturas de los bloques A y B. C

H 3. Demuestra que el G E plano trazado que F contiene a las aristas D opuestas de un paraC A B lelepípedo oblicuo divide a este cuerpo en dos prismas triangulares equivalentes en volumen.

4. Considera un cubo de arista 2 cm. A

B

a. ¿Qué relación hay entre los volúmenes respectivos?

a. ¿Qué sucede con el volumen si el lado aumenta al doble? ¿Y con el área? b. Si entre dos cuerpos semejantes, el cociente de sus longitudes (ya sea referida a aristas, diagonales, etc.) es k, ¿cuál es el cociente entre sus volúmenes?

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Principio de Cavalieri HISTORIA

Observa la siguiente figura: A la izquierda tenemos un montón de discos iguales unos sobre otros, a la derecha se encuentran los mismos discos pero descolocados. ¿Tendrán el mismo volumen?

Bonaventura Cavalieri. (1598 - 1647)

PA R A A R C H I VA R Matemático y clérigo italiano, pionero del cálculo integral, enunció el teorema que actualmente lleva su nombre.

Si dos cuerpos tienen la misma altura y bases de igual área, y al cortarlos por cualquier plano paralelo a las bases el área de las secciones es la misma, ambos tienen el mismo volumen. Es decir, si A1 = A2, entonces V1 = V2

A2 A1 V2 V1

Lo anterior se conoce como principio de Cavalieri. Por lo tanto, en la figura anterior, ambos montones de discos tienen el mismo volumen.

EJERCICIOS 1. Determina si las siguientes construcciones tienen igual volumen en las cuales se ocuparon bloques de igual dimensión. Justifica.

2. Si el volumen del prisma de la figura es 340 cm3, calcula el área de una sección transversal que se obtiene mediante el corte con un plano paralelo a las bases.

12 cm

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Teorema de Euler En años anteriores estudiaste diferentes tipos de poliedros, recordemos su definición:

Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado delimitado por cuatro o más regiones poligonales. Las regiones poligonales que limitan al poliedro se llaman caras del poliedro, los lados de estos reciben el nombre de aristas y concurren a un punto llamado vértice.

AY U D A Poliedro convexo

Observa los siguientes poliedros convexos:

Todas sus caras se pueden "apoyar" en el plano. Poliedro cóncavo

¿Existe alguna relación entre el número de caras, vértices y aristas de cada uno?

PA R A A R C H I VA R En un poliedro convexo cualquiera se cumple la siguiente relación: nº de caras + nº de vértices = nº de aristas + 2 Esta relación se conoce como Teorema de Euler.

No todas sus caras se pueden "apoyar en el plano".

EJERCICIOS 1. En el siguiente cuadro se muestran 5 poliedros regulares (todas sus caras son polígonos regulares).

4. Determina la veracidad de las siguientes proposiciones. Justifica tus respuestas.

Cubo

Tetraedro

3. El número de vértices de una pirámide es 11 y el número de aristas 20, ¿cuántas caras tiene?

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

a. Verifica el teorema de Euler para cada uno de ellos. 2. Sabiendo que el número de vértices de un prisma es 20 y el número de aristas es 30, ¿cuántas caras tiene?

a. Un poliedro puede tener el mismo número de vértices que de aristas. b. Un poliedro puede tener el mismo número de caras y de aristas. c. Un poliedro puede tener el mismo número de vértices que de caras.

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Área y volumen de prismas TIPS Aquellos prismas cuyas bases y caras laterales son paralelogramos se denominan paralelepípedos.

Es fácil deducir cómo obtener el área de un prisma a partir de su desarrollo, es decir, la figura plana con la que podemos construir el prisma doblando y pegando. El desarrollo de un prisma está formado por rectángulos (que corresponden a las caras laterales) y por dos polígonos que forman las bases. Ejemplo

h

h B

¿Cómo calcularías el área total de un prisma?

PA R A A R C H I VA R El área total de un prisma es igual a la suma de las áreas de cada una de sus caras laterales y basales. Es decir, AT = AL + 2AB Donde AT: área total; AL: suma de áreas laterales; AB: área basal.

EJERCICIOS 1. Calcula el área de un prisma rectangular de 6,4 y 9,5 cm de base y 16,5 cm de altura.

5. Calcula el área de los siguientes prismas. a.

2. Calcula el área total de un prisma hexagonal regular de arista 8 cm de base y altura 10 cm. 3. Calcula la arista de un cubo que tiene igual área total que un octaedro formado por un triángulo de lado 6 cm. 4. Se quiere pintar una habitación rectangular (incluido el techo) de medidas 4 m de ancho, 6 m de largo y 3 m de alto. Cada tarro de pintura sirve para pintar 30 m2. a. ¿Cuántos tarros de pintura se necesitarán para realizar el trabajo?

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c. 8 cm 10 cm

2,4 cm 5 cm

b.

6 cm 4 cm

10 cm

d.

4 cm

4 cm 4 cm 12 cm

4 cm

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES

Volumen de un prisma Vamos a calcular el volumen de un prisma a partir del volumen de un paralelepípedo. Puedes observar que un prisma es una traslación de un polígono sobre un plano determinado, y como tal, puede tener dirección y sentido. En las siguientes figuras se observa esta situación. figura 1

figura 2

HISTORIA

figura 3

T T

h

T1

Gérard Desargues (1591 - 1661)

h B

h B

Matemático francés, precursor del planteamiento de la geometría proyectiva.

B

Todos estos cuerpos tienen la misma altura y sus bases tienen igual área, sin embargo, sus inclinaciones son distintas. Según el principio de Cavalieri: como las áreas transversales son iguales, los volúmenes también lo son, por tanto, resulta fácil calcular el volumen, ya que basta con determinar solo el del paralelepípedo.

PA R A A R C H I VA R

TIPS

El volumen de un prisma está dado por la expresión: V = B • h, donde B es el área de la base y h la altura del prisma.

En algunos problemas, lo más difícil es calcular el área basal.

EJERCICIOS 1. Calcula el volumen de un cubo de arista 12 cm. 2. Calcula el volumen de un prisma triangular regular donde la arista de la base mide 10 cm y altura 6 cm. 3. Calcula el volumen de los siguientes prismas. En ambos casos la arista de la base mide 3 cm, la altura 4 cm y sus bases son polígonos regulares. a.

b.

4. El área de la base de un prisma es x cm2, y su altura mide 2x cm. Si el volumen del prisma es 54 cm3, ¿cuál es la altura del prisma? 5. Las aristas de un paralelepípedo están en la razón 2 : 3 : 4 y su diagonal principal mide 4 29 cm. ¿Cuál es el área total y el volumen del paralelepípedo? 6. El volumen de un prisma recto de base hexagonal es 120 3 m3 y su altura mide 5 cm. ¿Cuál es la medida de los lados del hexágono? 7. En un envase con forma de prisma de base cuadrada, la altura es el doble de la medida del lado de la base y el área total es 250 m2. Calcula el volumen del envase.

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Área y volumen de pirámides Al igual que en el caso de los prismas o de cualquier otro poliedro, el área de una pirámide se calcula sumando el área de cada una de sus caras. ¿Pero, cómo se calculará el volumen de una pirámide?

AY U D A Una pirámide regular tiene todas sus aristas de igual medida.

En las siguientes figuras se observa la descomposición de un prisma triangular en tres pirámides regulares. P

N

P

N

M

P

N

P

M

M

M M Q

S

B

Q

S

R

S S

Q Q

R

R

Las 3 pirámides tienen el mismo volumen. Entonces, ¿qué puedes deducir respecto del volumen de una pirámide?

PA R A A R C H I VA R

TIPS Si la base de una pirámide tiene n lados, entonces el número de caras es n + 1, el de aristas 2 • n y el número de vértices n + 1.

El volumen de una pirámide equivale a un tercio del volumen del prisma, es decir, 1 1 Vpirámide = Vprisma = B • h (B: área de la base; h: altura) 3 3

Ejemplo Calcula el volumen de las siguientes pirámides, sabiendo que B = 3 cm2 y h = 10 cm. h

AY U D A Recuerda que H1, H2 y H3 corresponden a secciones definidas por el plano transversal.

H1

H2

B

B

H3

B

Como puedes observar, H1, H2, H3 son semejantes a las bases, en cada caso, además cada pirámide tiene igual área basal, por lo tanto podemos concluir que H1 = H2 = H3 Luego, aplicando el principio de Cavalieri, tenemos que las tres pirámides tienen, igual volumen, es decir, 1 3 V= • 3 • 10 = 10 cm 3 194

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES EJERCICIOS 1. Calcula en cada caso el volumen del prisma y el de la pirámide. Comprueba las relaciones obtenidas en la página anterior.

4. Calcula la masa del siguiente objeto de base cuadrada, si cada cm3 tiene una masa de 3,2 gramos.

a. 7 cm 4 cm

7 cm 4 cm

4 cm 3 cm

3 cm

b.

6 cm

5,3 cm

8 cm

12 cm 12 cm 8 cm 6 cm

2. Calcula el volumen y el área de las siguientes pirámides de base cuadrada.

5. Los siguientes son juguetes de madera que serán pintados del mismo color. Sobre cada uno se indica cuántos se van a fabricar. Calcula la cantidad de pintura necesaria para tal labor. (Un litro de pintura rinde aproximadamente 3 m2). 22

30

15

15 cm 10 cm

h = 24 cm

a.

10 cm

5 cm

15 cm

4 cm

3 cm

12 cm

14 cm

10 cm

b. h

6. En el museo del Louvre, en París, se construyó una pirámide de vidrio en el año 1989. Ésta tiene una altura de 22 m y la base tiene forma de un cuadrado de 30 m de lado. Calcula el volumen y el área de la pirámide.

12 cm

3. El techo de una casa tiene forma de pirámide cuya base es un cuadrado de 12 m de lado y 8 m de altura. Determina los metros cuadrados de tejas necesarios para cubrir todo el techo.

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Área y volumen de cilindros Observa la siguiente ilustración:

AY U D A El área de una circunferencia está 2 dada por la expresión π • r . (r: radio)

h

r

Las secciones definidas por el plano transversal tienen igual área, por tanto, aplicando el principio de Cavalieri, tenemos que el área de las bases es equivalente, además: Vprisma = Vcilindro V = h • B (B: área de la base) Vcilindro = h • π • r2

AY U D A

PA R A A R C H I VA R

Un cilindro se obtiene al rotar un rectángulo sobre uno de sus lados. La altura del rectángulo que genera el cilindro se denomina generatriz (g).

El volumen de un cilindro se calcula mediante la siguiente fórmula: V = h • π • r 2 (r: radio de la circunferencia de las bases)

Veamos ahora cómo calcular el área de un cilindro. Observa el desarrollo de un cilindro:

g h g r

Podemos ver que la superficie lateral del cilindro está formada por un rectángulo, mientras que sus bases corresponden a círculos.

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Entonces, el área del cilindro está dada por: A A A

cilindro cilindro cilindro

= 2 • A circunferencia + A πr • g = 2 • π • r2 + 2π = 2 • π • r (r + g)

AY U D A rectángulo

PA R A A R C H I VA R

g 2•π•r

El área de un cilindro es igual a la suma del área lateral, dada por un rectángulo, y sus áreas basales, dadas por dos circunferencias congruentes. Esto es: A cilindro = 2 • π • r (r + g) (g: generatriz o altura del rectángulo; r: radio de la circunferencia de la base)

La base del rectángulo coincide con el perímetro de la circunferencia.

EJERCICIOS 1. ¿Cuál es el área total de un tubo de acero con forma cilíndrica, si su radio basal mide 5 cm y su largo 2 m? a. ¿Cuántos cm3 de pintura se necesitan para pintar 100 de estos tubos? (1 litro de pintura rinde aproximadamente 3m2).

4. Se construyó un pozo como el de la figura. Si la altura es de 120 cm, el grosor es de 40 cm y el hueco mide 1 m, ¿cuál es el volumen del pozo?

1m

2. ¿Qué condición debe cumplir el radio y la altura de un cilindro para que su área lateral sea equivalente a la suma de las áreas basales? 3. Responde, dando un ejemplo en cada caso. a. ¿En qué razón están las áreas de dos cilindros rectos de igual altura, si el radio basal de uno de ellos es el doble del otro? b. ¿Qué sucede con el área de un cilindro si solo su altura se duplica? c. ¿Qué sucede con el área de un cilindro si el radio y la altura se duplican? d. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro si solo su altura se duplica? e. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro si solo su radio se duplica?

5. Las bebidas en lata, en general, tienen todas el mismo volumen (350 cm3) y tienen forma cilíndrica. ¿Cuál debería ser el diámetro de la base de cada lata si ahora todas deben tener una altura de 5 cm? ¿Por qué tendrán todas la misma medida?

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Área y volumen de conos En esta unidad, se ha estudiado cómo los prismas son generados por traslaciones de algún polígono, y cómo las pirámides son generadas por homotecias (proyecciones) con respecto a un polígono. Los conos, que ahora veremos son generados por revoluciones de una región triangular con respecto a un eje de simetría.

C C generatriz (g)

A

B

B

r

Un cono está formado por un círculo (base) y por un sector circular. El arco del sector circular tiene longitud 2 • π • r (porque es la longitud de la circunferencia de la base). Por consiguiente, el área lateral de un cono es igual al área del sector circular.

AY U D A r

Sector circular

α

Asc =

2•π•r•g longitud del arco • radio = =π•r•g 2 2

El área de la base corresponde al área de una circunferencia, es decir, π • r2, entonces, el área total de un cono se puede calcular mediante la siguiente fórmula: Acono = π • r • g + π • r2 Acono = π • r (g + r)

PA R A A R C H I VA R El área de un cono está dada por la expresión: Acono = π • r (g + r) (r: radio de la circunferencia de la base del cono, g: generatriz del cono).

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Hemos determinado una expresión para calcular el área de un cono, pero ¿cómo calculamos su volumen? Si construimos un cilindro y un cono (de cartón por ejemplo) cuyas bases tengan igual área y sus alturas sean congruentes, llenando el cono con arena y volcando su contenido en el cilindro, podremos comprobar que el contenido del cono cabe exactamente tres veces en el cilindro. Esto significa que el volumen del cono equivale a la tercera parte del volumen del cilindro.

PA R A A R C H I VA R El volumen de un cono está dado por la expresión V=

1 π • r2 • h 3

(r: radio de la base del cono; h: altura del cono)

EJERCICIOS 1. Calcula el área de un cono recto cuya generatriz mide 20 cm y cuyo radio basal es de 15 cm.

20 cm

4. En una planta de salitre almacenan el mineral formando cerros con forma similar a un cono de dimensiones: 40 m de radio y 10 m de altura. Si el salitre acumulado debe ser transportado en un camión con capacidad de carga de 300 m3, ¿cuántos viajes debería realizar el camión?

15 cm

2. Determina la capacidad de un depósito de arroz que tiene una forma similar a la que se muestra en la figura.

4 cm

5. Calcula el volumen del espacio limitado entre el cono y el prisma, según las medidas indicadas. 8 cm 4 cm 6 cm

8 cm

6 cm 12 cm

3. Calcula la altura de un cono si el área lateral mide 16 5 π cm2 y el radio basal mide 4 cm.

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Área y volumen de la esfera Volumen de la esfera Uno de los hallazgos más apreciados del matemático griego Arquímedes fue determinar cómo calcular el volumen de la esfera. El procedimiento que utilizó consistió en relacionar el volumen de la esfera con el volumen del cilindro y el del cono. Empezó considerando un cilindro de radio R, un cono de radio R y altura R y una semiesfera de radio R. Arquímedes observó que cuando se corta la semiesfera, el cilindro y el cono por un plano paralelo a las bases a una distancia h del vértice, las áreas de las secciones producidas en la semiesfera (A1), en el cilindro (A2) y en el cono (A3) verifican la siguiente relación:

TIPS

A1 = A2 – A3 La esfera se puede obtener a partir de la rotación de una semicircunferencia sobre un eje.

Observa esta situación en el siguiente cuadro. Sección de la semiesfera (A1)

Sección del cilindro (A2)

Sección del cono (A3)

O

O

O

R

R

h

h P

R

r

A2 = πR2

Como r2 + h2 = R2 Entonces r2 = R2 – h2 A1 = πr2 = πR2 – πh2

r

Q

A3 = πr2 Como el radio y la altura del cono son iguales, al cortar por un plano el cono se forma un triángulo OPQ, luego: h=r

πh2 = πr2 = A3

Se observa que A1 = πR2 – πh2 = A2 – A3 Considerando una nueva superficie: el cilindro menos el cono, aplicamos el principio de Cavalieri, ya que los cuerpos tienen la misma área en la base y la misma altura, y tenemos: Vsemiesfera = Vcilindro – Vcono Vsemiesfera = π • R2 • R – Vsemiesfera = πR3 – Vsemiesfera =

1 2 πR • R 3

1 3 πR 3

2 3 πR y a partir de esta relación podemos deducir el volumen 3

de la esfera.

PA R A A R C H I VA R El volumen de la esfera está dado por la expresión: Vesfera =

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4 3 πR 3

(R: radio de la esfera)

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Área de una esfera El cálculo del área de una superficie esférica es complejo, pues a diferencia de los poliedros, del cono y del cilindro, esta no se puede representar en el plano (no es posible construir una red). Para calcular el área de la superficie esférica, nos apoyaremos en el volumen de esta. El volumen de la esfera se puede aproximar sumando los volúmenes de muchas pirámides triangulares iguales, cuyas bases (triángulos) están inscritas o circunscritas en la superficie esférica y cuyos vértices están en el centro de la esfera, como muestra la siguiente ilustración.

El volumen de la esfera equivale a la suma de todos los volúmenes de las pirámides (supongamos n pirámides). Se obtiene: Vesfera =

1 1 1 1 B1 • h + B2 • h + … + Bn • h = (B1 + B2 + … + Bn) • h 3 3 3 3

Esta estructura corresponde a la Geode ubicada en Francia.

AY U D A B1 , B2 , …, Bn corresponden al área de la base de cada pirámide.

Además, B1 + B2 + … + Bn equivale al área total de la esfera, luego: Vesfera =

1 4 πR2 Aesfera • h = πR3, despejamos Aesfera, Aesfera = 4π 3 3

PA R A A R C H I VA R El área de la esfera está dada por la expresión: πR2 Aesfera = 4π

(R: radio de la esfera)

EJERCICIOS 1. Calcula el volumen y el área de una esfera de 6 cm de radio. 2. Una esfera, un cilindro y un cono tienen igual radio. La suma de los volúmenes del cilindro y del cono ¿puede equivaler al volumen de la esfera? Justifica.

3. Una esfera está inscrita en un cubo de 6 cm de arista, es decir, las caras son tangentes a la esfera. Calcula el volumen de la esfera y el área de la superficie esférica.

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Secciones de una esfera Al cortar una esfera por uno o más planos secantes, estos generan diferentes secciones. A continuación estudiaremos algunos casos particulares.

Casquete esférico: parte de la superficie esférica formada al cortar una esfera por un plano secante.

AY U D A

Ejemplo h

Al cortar una superficie esférica con un plano, las secciones obtenidas corresponden a circunferencias. Si el plano pasa por el centro de la esfera, las circunferencias se denominan circunferencias máximas.

h r

R

Observa que al cortar la esfera con un plano se forman dos secciones, se considera como casquete esférico a la menor de ellas. Para calcular el área de un casquete esférico, necesitamos conocer la medida de la altura de este y el radio de la esfera. Con estos datos, el área está dada por la expresión:

AY U D A R: radio de la esfera. r: radio de la circunferencia formada por la intersección del plano y la esfera.

πR • h Acasquete = 2π

Huso esférico: parte de la superficie de la esfera limitada por dos semicircunferencias máximas que tienen un diámetro en común.

Ejemplo

α

Como puedes apreciar, esta sección está relacionada con el ángulo que forman entre sí estas dos semicircunferencias.

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Para determinar el área de un huso, utilizaremos proporciones. Tenemos:

α 360º 2 = A πR 4π huso

(α: ángulo formado por las semicircunferencias) Ahuso =

πR2 • α 4π 360º

PA R A A R C H I VA R El área de un casquete esférico está dada por la expresión: πR • h Acasquete = 2π El área de un huso esférico está dada por la expresión: Ahuso =

πR2 • α 4π 360º

(R: radio de la esfera; α: ángulo formado por dos semicircunferencias; h: altura del casquete esférico).

EJERCICIOS 1. Calcula el área de un huso esférico con radio R = 10 cm y ángulo 90º. 2. Si la altura de un casquete es h, entonces el volumen de este casquete está dado por la fórmula: V = πRh2 –

1 3

πh3

a. ¿Cuál es el volumen de un casquete de 3 cm de altura en una esfera de 9 cm de radio? b. Si el volumen de un casquete es 54,43 cm3 y su altura es de 2 cm, ¿cuál es el radio aproximado de la esfera? c. ¿Cuál es el área del casquete en los dos casos anteriores?

5. ¿Qué amplitud en grados debe tener un huso esférico en una esfera de radio 12 cm para que su área sea igual a la de un casquete esférico de altura 5 cm? 6. El radio de la tierra es de 6.370 km. a. ¿Cuál es el área de un huso esférico de 5º? b. ¿Cuál es el área de un huso esférico de 18º? 7. En la figura se observa un foco que ilumina una esfera de radio 10 cm. Si la altura del sector iluminado es 2 cm, ¿cuál es el área de la superficie iluminada de la esfera? ¿Qué sucede con el área si se aleja o acerca el foco de luz? Comparte con tus compañeros.

3. Calcula el área de un huso esférico de 40º de amplitud, en una esfera de 3 cm de radio. 4. Calcula la amplitud de un huso esférico en una superficie esférica de 6 cm de radio y cuya superficie es de 32 cm2.

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Proyecciones en el plano En la unidad anterior aprendiste que mediante algunas transformaciones geométricas, tales como una traslación, se podían generar otras figuras. En estas páginas estudiaremos cómo, por medio de proyecciones, todo cuerpo puede ser representado en el plano. Ejemplo El cuerpo de la figura está representado en tres planos por medio de proyecciones ortogonales (perpendiculares a los planos).

EN EQUIPO

Z

Respondan las siguientes preguntas: ¿Qué tipo de cuerpo se genera mediante la proyección ortogonal de un polígono? ¿Qué cuerpo se genera mediante la proyección ortogonal de un círculo?

C

Y

X

A partir de las proyecciones de un sólido se puede obtener un modelo del mismo en tres dimensiones. Este principio es usado en programas computacionales para dar la idea de volumen de un cuerpo que se representa en una pantalla (plano).

AY U D A La línea de tierra representa la intersección entre el plano vertical y horizontal.

PA R A A R C H I VA R Si la representación del cuerpo es solo en dos planos perpendiculares, se habla de un sistema diédrico.

Veamos el siguiente ejemplo de un sistema diédrico.

PV

PV: plano vertical PH: plano horizontal

PH

LT: Línea de tierra LT

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES En la figura anterior, las proyecciones ortogonales originan dos vistas del objeto: la planta y el alzado, términos muy utilizados por profesionales del diseño y del arte. Veamos otros ejemplos: CILINDRO RECTO

TIPS

PRISMA RECTO

PV

PV

LT

LT LT

LT

PH

PH

PIRÁMIDE

En relación a las proyecciones ortogonales en un sistema diédrico se tiene que: Alzado: es la vista de frente del cuerpo. Planta: es la vista desde arriba. Además se tiene la vista de lado llamada perfil, cuando se representan 3 planos.

PRISMA OBLICUO

PV

PV

LT LT LT

LT PH

PH

EJERCICIOS 1. Dibuja en un sistema diédrico los siguientes cuerpos. a.

b.

2. Dibuja el cuerpo correspondiente a la siguiente representación en un sistema diédrico.

3. Supón que un cuadrado tiene uno de sus vértices en el origen, con uno de sus lados sobre los ejes de coordenadas y con una arista de 4 unidades de longitud. a. ¿Qué cuerpo se genera al trasladar este cuadrado por un vector (0, 0, 4)? b. ¿Cuál es el volumen de este cuerpo? c. ¿Cuál es el área total del cuerpo generado? d. Si el vector de traslación fuera (0, 0, –8), ¿qué cuerpo se generaría y cuánto sería su volumen? e. ¿Cuál debería ser el vector de traslación que se aplique al cuadrado para generar un paralelepípedo que tenga un volumen igual a 1.000 unidades cúbicas?

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Cuerpos generados mediante rotación Se denomina cuerpos o sólidos en revolución a aquellos que pueden obtenerse mediante la rotación de una figura plana sobre un eje.

Ejemplo Recordemos algunos cuerpos en revolución anteriormente estudiados: Cilindro

Cono

Esfera

(generado por la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados)

(generado por la rotación de un triángulo rectángulo respecto a uno de sus catetos)

(generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro)

A C

A

D

B

C

M

M

D

N

N

B

Tronco de un cono Un caso particular de cuerpo en revolución, es el tronco de un cono o cono truncado. Este se genera mediante la rotación de un trapecio rectángulo cuyo eje corresponde al lado que forman los ángulos rectos como muestra la siguiente figura: El área de un cono truncado, corresponde a la suma del área de la base del tronco del cono y el área lateral.

PA R A A R C H I VA R El área de tronco de cono está dada por la fórmula:

兴

AT = π 关(R + r) • g + R2 + r2

Por otra parte, el volumen del cono truncado está dado por la expresión: 1 VTronco de cono = π h(r2 + R2 + r • R) 3 donde, R: radio de la base mayor; r: radio de la base menor; g: generatriz del cono y h: altura del cono.

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Ejemplo Calcula el volumen de un tronco de cono cuyos radios basales miden 10 y 6 cm, respectivamente, y su generatriz mide 8 cm.

6 cm

Para calcular la altura del cuerpo, aplicaremos el teorema de Pitágoras, h = 82 – 4 2 = 48 (utilizamos las medidas del triángulo generado por la generatriz, la base mayor del cuerpo y la altura) V=

1 π 3

48 (102 + 62 + 10 • 6) =

48 π 3

•

196

8 cm

艐 1.422 cm3. 10 cm

EJERCICIOS 1. Calcula el área y volumen del siguiente cuerpo. c. 1 cm

14 cm

8 cm

2. Considera el tronco de cono generado por la rotación de un trapecio recto cuyas bases miden 11 y 6 cm y cuya generatriz mide 13 cm. a. Calcula la altura del tronco de cono. b. Calcula el área del tronco de cono. c. Calcula el volumen del tronco de cono que se genera. 3. Dibuja el cuerpo que se genera al rotar las siguientes figuras alrededor del eje indicado. a.

b.

4. Imagina que un rectángulo de lados 4 cm y 6 cm gira en torno a su lado menor. a. Dibuja el sólido que se genera. b. Calcula el volumen del sólido. c. Compara el volumen del sólido anterior con el que se genera si la rotación es respecto al lado mayor. d. Calcula el área de cada uno de los sólidos. e. ¿Qué condiciones debe satisfacer el rectángulo para que el volumen del sólido generado por la rotación en torno a uno de sus lados sea igual al doble del volumen del sólido generado por una rotación en torno al otro lado? 5. De los cuerpos geométricos estudiados a lo largo de esta unidad, ¿cuáles se pueden generar mediante rotaciones?, ¿qué tipo de rotaciones?

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CONTENIDOS

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Problemas de aplicación I Cuando en medicina se quiere obtener la imagen de un órgano por dentro, como por ejemplo el cerebro, se emplea una técnica que se llama tomografía. Consiste en tomar una serie de radiografías del órgano que se está examinando, que dan imágenes del mismo según cortes paralelos entre sí, como si se hubieran hecho cortes horizontales de muy poco espesor. Observa las tomografías que se hacen del siguiente cilindro.

En la siguiente figura se muestra una tomografía realizada a un cono. Las tomografías funcionan de manera similar a los rayos X, con la diferencia que la tomografía guarda las imágenes captadas en un computador, mientras que los rayos X son grabados en una placa radiográfica.

EJERCICIOS 1. Dibuja en perspectiva los cuerpos relacionados con las siguientes tomografías. a.

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b.

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c.

d.

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES EJERCICIOS 2. Imagina que el cubo de la figura puede ser cortado por un plano

b. ¿Cuál debería ser la posición del plano para que al cortar se origine un trapecio? Dibújalo. c. ¿Qué otros cuadriláteros se pueden obtener al cortar una pirámide de base cuadrada con un plano? 4. En la figura se observa una tomografía realizada a un cubo. Intenta dibujar los cortes realizados al cubo de manera de obtener estas tomografías.

a. ¿Cuál debería ser la posición del plano para que al cortar se origine un cuadrado? Dibújalo. b. ¿Cuál debería ser la posición del plano para que al cortar se origine un rectángulo? Dibújalo. c. ¿Cuántos tipos diferentes de cuadriláteros se pueden obtener? Dibújalos. d. De todos los rectángulos que se pueden obtener, ¿cuál es el de área máxima? e. ¿Se pueden obtener trapecios? f. Si se quiere obtener un triángulo equilátero, ¿cómo debería ser el corte? Calcula el área del mayor que se pueda obtener. g. ¿Hay alguna manera de obtener una superficie que sea un pentágono? Explica. h. Aunque no lo creas, es posible obtener un hexágono. Descúbrelo. i. ¿Es posible obtener polígonos de más de 6 lados? Explica.

5. Explica cómo son las posibles secciones que produce un plano secante en una esfera. Dibújalas en un papel. 6. Un plano corta a una superficie esférica dando origen a dos casquetes esféricos. El menor π cm2 de superficie. tiene 9 cm de altura y 192π Halla el área del otro casquete.

7. Explica cómo son las posibles secciones que produce un plano secante a un cilindro. Dibújalas en un papel.

3. Imagina que una pirámide de base cuadrada se corta con un plano secante. a. ¿Cuál debería ser la posición del plano para que al cortar se origine un cuadrado? Dibújalo.

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Problemas de aplicación II La pirámide de Keops es una pirámide cuadrada de arista básica 230 m y altura 146 m. Se ha construido una maqueta de ella a escala 1 : 5.000 ¿Cuál es el volumen de dicha maqueta? Resolveremos el problema mediante la utilización de proporcionalidad: Ambas pirámides son semejantes, por lo tanto: hmaqueta amaqueta 1 = = hpirámide apirámide 5.000 Pirámide de Keops.

entonces, la altura de la maqueta está dada por hmaqueta =

AY U D A

Del mismo modo calculamos la arista de la maqueta,

Recuerda la fórmula para calcular el volumen de una pirámide: V=

146 = 0,0292 m = 2,92 cm 5.000

1 Ab • h 3

(Ab: área de la base; h: altura)

amaqueta =

230 = 0,046 m = 4,6 cm 5.000

(como la pirámide es de base cuadrada el área de la base está dada por (4,6 cm)2 Por lo tanto el volumen de la maqueta es: Vmaqueta =

1 (4,6)2 • 2,92 3

艐 20,6 cm3

EJERCICIOS 1. Resuelve el problema anterior, utilizando la semejanza entre el volumen de ambas pirámides. 2. La maqueta de una piscina tiene forma de prisma rectangular con dimensiones 10, 25 y 1,5 cm. Si el volumen de la piscina real es de 3 millones de litros, calcula: a. El volumen de la maqueta. b. Las dimensiones reales de la piscina. c. El área de la maqueta y de la piscina real. 3. En un río contaminado hay una concentración de nitrógeno de 0,4 miligramos por litro. ¿Cuántos gramos de nitrógeno contiene un depósito cúbico de 12 m de arista?

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4. A un lápiz grafito con forma de cilindro se le sacó punta y esta quedó con forma cónica como muestra la figura. La densidad de la madera con la que está hecho el lápiz es de 0,7

g , mientras que la mina tiene una cm3

densidad de 2,25

kg . Considerando que dm3

la punta del grafito es un cono con 5 mm de altura, calcula en gramos la masa del lápiz con una precisión de milésimos de gramos. Considera π = 3,14. 2 cm

8 mm 8 cm

2 mm

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES EJERCICIOS 5. El radio de la Tierra es de 6.370 km y el de la luna es de 1.738 km. a. ¿Cuántas veces mayor es el radio de la Tierra respecto al radio de la luna? b. ¿Cuántas veces mayor es el volumen de la Tierra respecto al volumen de la luna?

8. Una empresa que vende jugo de fruta en envases con forma de prisma rectangular (11 x 6 x 15 cm) decide cambiar dichos envases por otros en los que disminuye un 10% el área de la base y aumenta un 10% la altura. a. El volumen del nuevo envase, ¿es mayor o menor que el del antiguo? b. Si mantienen el mismo precio, ¿es positivo para los consumidores? 9. Una empresa de reciclaje tiene un depósito lleno de aceite. Mide 25 m de largo y 14 m de ancho y su profundidad varía, desde los 16 m en su parte menos profunda a los 20 m de la zona más profunda.

6. Un arquitecto ha proyectado un edificio de dimensiones 25, 15 y 20 m. Sabiendo que solo se aprovecha el 85% del volumen total del edificio para construir y que la altura de cada piso es de 2,5 m, calcula: a. ¿Cuántos departamentos de 75 m2 podrán construirse? b. ¿Cuánto dinero obtendrá el arquitecto si cobra el 3% del total recaudado y el metro cuadrado de cada piso cuesta $1.200.000 ? 7. La Municipalidad de una ciudad revisó los planos para construir un nuevo depósito de agua con forma cilíndrica, y decidió que debía ser el doble del tamaño planeado originalmente. Por tanto, ordenó al constructor que duplicara el diámetro y que no cambiara la altura original. ¿Qué opinas acerca de esta decisión? Comenta con tus compañeros(as).

a. ¿Cuántos metros cuadrados tienen las paredes del depósito? b. ¿Cuál es el volumen del depósito? c. ¿Qué volumen tendría el depósito si fuera igual de profundo en todas partes? 10. En una habitación de 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de altura se requiere almacenar cajas de 1 m de largo, 60 cm de ancho y 40 cm de altura. ¿Cuántas cajas se pueden almacenar en esta habitación? 11. ¿Cuántos centímetros de papel se necesitan para una etiqueta de una lata cilíndrica de 10 cm de altura y base circular de 6 cm de diámetro? ¿Cuál es el volumen de la lata?

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EJERCICIOS RESUELTOS

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Ejercicio 1 Un piloto vuela a 6.000 m de altura. ¿Cuál es el área del casquete esférico que puede observar?

Solución Si realizamos un dibujo de la situación planteada podremos apreciar una serie de relaciones que nos pueden ayudar a resolver el problema. Para ello necesitamos conocer la altura h de dicho casquete esférico.

P d = 6.000 m

h r

Q

R = 6.370 km

R O

El triángulo PQO es un triángulo rectángulo al igual que el formado por R, r y (R – h). Además ambos triángulos son semejantes. Luego: d+R R = R R–h

Por criterio de semejanza AA

dR – dh + R2 – Rh = R2 despejemos h

dR = dh + Rh

Remplazamos los valores conocidos 6.000 m equivale a 6 km d + R = (6 + 6.370) km = 6.376

h=

h=

dR d+R

dR 6 • 6.370 38.220 = = d+R 6.376 6.376

艐 6 km

Por otro lado, sabemos que el área de un casquete esférico está dado por π • R • h, entonces: 2π π • 6.370 • 6 2π

艐 240.021,6 km2

El área que el piloto puede observar es de 240.021,6 km2.

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Ejercicio 2 Un depósito cilíndrico de 2 m de radio y 5 m de altura está lleno de agua. Se echa dentro una bola de piedra de 3 m de diámetro. a. ¿Qué cantidad de agua se desbordará? b. ¿Cuánta agua queda en el depósito? c. Si se arrojara otra bola, quedando en el depósito 35,3 m3 de agua, ¿cuál es el volumen de esta bola?

Solución a. La cantidad de agua que se desbordará será igual al volumen de la bola. Calculémoslo: Vbola =

4 π R3 3

π • (1,5)3 = 14,13 m3 Vbola = 4π 3

Volumen de una esfera. Vesfera =

4 π R3 3

Remplazamos los valores conocidos.

Luego, se desbordarán 14,13 m3 de agua. b. Para calcular la cantidad de agua que quedará en el depósito, debemos calcular su volumen y luego restar a este la cantidad de agua desbordada. Vcilindro = πr2 • h Vcilindro = π • 22 • 5

艐 62,83 m3

Luego restamos la cantidad de agua que contiene el depósito y la cantidad desbordada: 62,83 – 14,13 = 48,7 m3 Dentro del depósito quedará 48,7 m3 de agua. c. Si dentro del depósito quedó 35,3 m3 de agua entonces: 48,7 – x = 35,3

El volumen del depósito menos el agua desbordada será igual a 35,3 m3.

x = 13,4 Luego, el volumen de la bola arrojada es 13,4 m3.

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DESAFÍOS

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1. (Ensayo PSU, 2004) En la figura, se tiene un cuarto de círculo de centro O. Se hace rotar la figura indefinidamente en torno al eje OT . Si OT = 3 cm, entonces el volumen del cuerpo geométrico que se genera es: T

π cm A. 9π

3

A. Solo I B. Solo II C. I y II

π cm3 C. 36π π cm3 D. 27π π cm3 E. 18π

III. 45˚

r O

r

II. r

D. II y III E. En todos.

3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus alturas, entonces se forman dos triángulos:

A 2

X

I. El área total de la nueva figura duplica al área del hexágono. II. La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono. III. El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.

isósceles rectángulos congruentes. acutángulos escalenos congruentes. acutángulos congruentes. escalenos rectángulos congruentes. equiláteros congruentes.

Solo III I y II I y III II y III I, II y III

6. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En la figura, el área del ∆ABC es 90 cm2 y AB // DE. ¿Cuál es el área del trapecio ADEB? A. B. C. D. E.

36 40 50 54 60

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

C

D

E 10 cm

A

B 15 cm

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C –2

5. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

A. B. C. D. E.

E

C. I y III

A. B. C. D. E.

2

O

I.

A. Solo en II B. I y II

B

D. II y III E. I, II y III

D –2

2. (Facsímil PSU, Demre, 2004) Se han dibujado 3 circunferencias congruentes de radio r y centro O. ¿En cuál de los siguientes dibujos el triángulo es rectángulo?

O

I. el perímetro del polígono es 8 2 . II. cada diagonal del polígono mide 4. III. el área del polígono es 4 2 . Y

27 π cm3 B. 2

O

4. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En la figura, se muestra el polígono ABCD. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

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MEDIOS

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Las latas de bebida Uno de los envases más utilizados es el de las latas de bebida en sus diferentes usos: refrescos, cervezas, conservas, etc. Los hay en muchos tamaños, si nos referimos por ejemplo a la altura y el radio de cada uno. Para hacer un estudio acabado de este tema te sugerimos que visites un supermercado y realices las siguientes actividades.

1.

Haz una lista de todos los productos diferentes que conozcas que se envasan en lata.

2.

Mide 5 diferentes productos envasados en latas y completa: Producto

Capacidad

Diámetro

Altura

a. ¿Qué relación encuentras entre las dimensiones de la lata y su capacidad? b. ¿Y entre las dimensiones de las latas de diferentes capacidades?

3.

Propón otras 3 medidas de envase para una bebida de 300 cc de capacidad. Calcula la superficie de estos nuevos envases. ¿Qué relación tienen con las dimensiones del envase oficial para latas de 300 cc?

4.

A tu juicio, ¿cuáles deberían ser las dimensiones de una lata de bebida de modo que se gaste la menor cantidad de material y que almacene los mismos 300 cc? Compara tu respuesta con tus compañeros(as) indicando las ventajas y desventajas de tu nuevo envase.

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SÍNTESIS

Mapa conceptual

Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos clave dados.

Conceptos clave:

Área Volumen Traslación Rotación Prismas Pirámides Cuerpos redondos

Resumen

1 Área: medida de la superficie de un cuerpo o figura geométrica. Se puede distinguir: Área lateral: medida de las superficies de un cuerpo sin considerar sus bases. Área total: medida de toda la superficie de un cuerpo geométrico. 2 Volumen: medida del espacio que ocupa un cuerpo. 3 Principio de Cavalieri: dos cuerpos de la misma altura, bases de la misma área, y cuyas secciones paralelas a las bases, formadas por un plano secante tienen igual área, tienen el mismo volumen. 4 Teorema de Euler: en todo cuerpo poliedro convexo se verifica la siguiente relación: Nº caras + Nº vértices = Nº aristas + 2

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES 5 Área y volumen de cuerpos geométricos. Prismas

Pirámides

Cilindros

AT = AL + 2Ab V = Ab • h (Ab: área basal; h: altura)

AT = AL + Ab 1 V = Ab • h 3 (AL: áreas laterales; Ab: área basal; h: altura)

πr (h + r) AT = 2π V = π • r2 • h (r: radio de la base; h: altura)

Conos

Esfera

AT = πr (g + r)

π R2 AT = 4π

V=

1 π • r2 • h 3

(r: radio de la base; g: generatriz; h: altura)

V=

4 π • R3 3

(R: radio de la esfera)

6 Proyecciones en el plano: son proyecciones de un cuerpo sobre planos perpendiculares. Se puede distinguir las siguientes partes del cuerpo: perfil (vista de lado del cuerpo), planta (vista desde arriba) y alzada (vista de frente). 7 Cuerpos generados por traslación. - Prisma: generado por la traslación de un polígono en dirección a un plano paralelo respecto al plano que lo contiene. - Cilindro: generado por la traslación de un círculo en dirección a un plano paralelo respecto al plano que lo contiene. 8 Cuerpos generados por rotación. - Cilindro: generado por la rotación de un rectángulo sobre uno de sus lados. - Cono: generado por la rotación de un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. - Esfera: generado por la rotación de un semicírculo sobre su diámetro.

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EVALUACIÓN

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1. Si la medida de cada una de las aristas de un cubo aumenta en un 20%, entonces su volumen aumenta en: A. B. C. D. E.

10% 21% 30% 60% 72,8%

5.

En la figura se representa la mitad de un anillo circular. El volumen generado al girar este anillo en torno al eje indicado es: A.

16 π cm3 3

π cm3 B. 128π π cm3 C. 32π 2

2. Una pirámide cuya base es un cuadrado de lado 2a unidades tiene el mismo volumen que un prisma cuya base es un cuadrado de lado a. ¿En qué razón están las alturas de la pirámide y del prisma? A. B. C. D. E.

1 3 4 a 3

: : : : :

4 4 3 3 2 2a

2

224 π cm3 D. 3 π cm3 E. 208π 6. En la imagen está representado un cuerpo generado por una revolución de alguna figura plana. Indica la(s) posible(s) figura(s) generadora(s).

a

2a

3. La medida de la altura de un cono recto es igual al triple del radio basal. Su volumen es: A. B. C. D. E.

1 π r3 3

I

III

πr3 π r3 3π π r3 9π Ninguna de las anteriores.

r

A. Solo I B. Solo II 4. Un cubo de arista a está inscrito en una esfera de radio R. Entonces se cumple: A. a = 2R B. 2R = a 2 C. 2R = a 3 D. R = a 2 E. R = a 3

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II

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C. Solo III D. I y II

E. I y III

7. Si el radio basal de un cono recto aumenta en un 20% y su altura disminuye en un 10%, entonces su volumen aumenta en: A. B. C. D. E.

129,6% 29,6% 2,96% 0,296% Falta información.

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES 8. ¿Cuál es la diferencia, en relación a la superficie, entre construir un tubo de 15 cm de alto y 6 cm de diámetro y construirlo sin tapas? A. B. C. D. E.

al cuádruple. 18 veces. al triple. en 8 veces. al doble.

C. 5 3 cm D. 25 cm E. Ninguna de las anteriores.

r

pirámide superior si su altura es la mitad de la pirámide mayor?

cm3 cm3 cm3 cm3 6 cm

11. Las dimensiones de una boya cilíndrica son r = 2 m y h = 2 m. ¿Cuál es el volumen de la boya? A. B. C. D. E.

π m3 2π π m3 4π π m3 6π π m3 8π π m3 16π

C. 984,7 cm3 D. 890 cm3 E. Ninguna de las anteriores. 14. Un poliedro convexo tiene 9 caras y 15 aristas. Su número de vértices es: A. 12 B. 6

C. 8 D. 5

E. 15

15. En una esfera de radio r, si S es el valor del área y V el del volumen, se cumple que:

A. 96 cm3 64 48 36 12

13. El volumen de un tronco de cono cuyas medidas son r = 6 cm; R = 10 cm; h = 4,8 cm es: A. 900 cm3 B. 908,5 cm3

10. El volumen de la pirámide de base cuadrada es 96 cm3. ¿Cuál es el volumen de la

B. C. D. E.

A. 5 cm B. 6,25 3 cm

π cm2 18π π cm2 36π π cm2 72π π cm2 90π π cm2 108π

9. Si una esfera de radio r aumenta su área a 36r cm2, entonces su radio aumentó: A. B. C. D. E.

12. Si el área total de un tetraedro es 25 3 cm2, entonces la arista mide:

A. B. C. D. E.

S>V V>S S = V si r = 3 S=V Ninguna de las anteriores.

16. ¿Cuál es el volumen comprendido entre el cubo y el cono de la figura? A. B. C. D. E.

738 cm3 821 cm3 785 cm3 684 cm3 Ninguna de las anteriores.

10 cm

10 cm 10 cm

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EJERCICIOS DE REFUERZO

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1. De un cubo sólido de arista a unidades se extrajo un cubo de arista b unidades tal como se muestra en la figura. Calcula el volumen del cuerpo resultante, teniendo en cuenta los siguientes datos:

5. En una esfera con radio de 15 cm se inscribe un cilindro circular recto con un diámetro igual al radio de la esfera. Calcula el área lateral de este cilindro. r

(a – b)3 = 27 3a2b = 150 3ab2 = 60

r

2. Calcula el área total de un prisma recto de base hexagonal regular, cuya arista basal mide 4 cm y la arista lateral es de 16 cm.

6. ¿En qué razón están el área de una esfera y el área total de un cilindro circular recto, circunscrito a ella?

h r

h = 2r

16 cm

4 cm

3. El área total de un paralelepípedo rectangular es igual a la de un cubo. Si las medidas de tres aristas que concurren a un vértice del paralelepípedo miden 3, 5 y 7 cm respectivamente, ¿cuánto mide la diagonal del cubo? 4. Calcula la medida de la superficie total de una pirámide recta de base cuadrada, cuya arista de la región basal mide 6 cm y su altura 5 cm.

6 cm

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7. Supón que se dibuja un dodecaedro en el interior de una esfera de radio 10 cm y se coloca un foco de luz en el centro de la esfera. Al dividir cada pentágono en 5 triángulos equiláteros, el foco proyecta estos triángulos en la esfera formando triángulos esféricos. ¿Cuál es el área de cada uno de estos triángulos?

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Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES 8. Se tiene un cubo cuya arista es de 4 cm y está constituido por pequeños cubos independientes con aristas de 1 cm. Se desea construir con ellos un paralelepípedo. ¿Qué dimensiones tiene el paralelepípedo de menor área que se puede formar? ¿Y el de mayor área?

12. Dada la región trapecial de la figura: Eje 1

Eje 2

Eje 3

9. ¿Cuál es el área lateral de un cono recto π cm2 cuya región basal tiene un área de 25π y su altura mide 12 cm? h = 12 cm

a. Representa cada uno de los cuerpos de revolución generados por su rotación respecto de cada uno de los ejes indicados. b. Calcula el volumen de cada uno de los cuerpos generados, considerando que los lados paralelos miden 12 y 8 cm y su altura 5 cm.

h

10. Un triángulo isósceles de 16 cm de base y 13 cm de altura, es equivalente en superficie a un rectángulo de 12 cm de base. Halla las áreas laterales de los cuerpos que se generan al girar cada figura en torno a su eje de simetría. a.

b.

13. Las alturas de dos conos de igual base miden 14 y 6 cm respectivamente. Halla el volumen del cono mayor sabiendo que el del menor es de 81 cm3.

14. Un cono de revolución de 6 cm de radio y 8 cm de altura es cortado por un plano paralelo a la base en el punto medio de su altura. Determina el área lateral del tronco de cono resultante.

11. La razón de semejanza entre dos pirámides es 5. Halla el volumen de la menor, sabiendo que el de la mayor es igual al volumen de un cubo de 15 cm de arista.

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6/30/08

11:19 PM

Página 222

EVALUACIÓN SEMESTRAL 2

1. En la celebración de un matrimonio sirven un consomé que se enfría siguiendo la ley de Newton, con lo que su temperatura (°F) está dada por la función:

5. Dada la gráfica de la función y = han estimado ciertas potencias.

x

冢 冣 , se 1 5

Y

f(t) = 70 + 140e–0,04t ¿Cuál era la temperatura inicial del consomé? X

A. 70 °F B. 100 °F C. 140 °F

D. 150 °F E. 210 °F

¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa?

冢 冣

B.

冢 15 冣

2. Si dentro de t años la población de cierto país en África estará dada por la función: 16 + e–0,05t (millones). 3 ¿Cuál es la población actual aproximadamente?

⎛ 1⎞ C. ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ D.

16 C. millones 3 D. 16 millones E. No se puede saber.

1 5

= 0,276

–1

N(t) =

A. 3 millones B. 4 millones

0,8

A.

冢 冣 1 5

=5 2

= 1,027 3 2

= 0,089

E. Ninguna de las anteriores.

6. Dada la gráfica de la función y = e

1 –3x

Y

3. Patricio invierte $793.000 en un banco, a una tasa de interés anual del 9%. Después de 2 años y medio, ¿cuánto habrá ganado, si se considera un interés simple?

X

A. $17.270

D. $810.270

El gráfico de y–1 es:

B. $190.647

E. $983.647

A.

Y

C. $794.710

D.

Y

X

X

4. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones no es válida para la ecuación

2x

2

2x

=8?

2 I) Tiene más de una solución. II) Tiene exactamente dos soluciones. III) Una de sus soluciones no es real. A. Solo I B. Solo II

D. I y II E. I y III

C. Solo III

222

Evaluación semestral 2

B.

Y

E. X

C.

Y

X

Y

X

Eval Pág. 222-225

29/11/06

17:29

Page 223

EVALUACIÓN SEMESTRAL 2

7. De las siguientes funciones exponenciales (x > 0); I) y = e6x II) y = 5x 3 III) y = 8

x

冢 冣

la(s) que presenta(n) decrecimiento exponencial es(son): A. Solo II B. Solo III C. I y III

10. En la figura, el pentágono regular ABCDE está inscrito en una circunferencia. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 
 
I) EF = CB 
 

II) EF + FD = DE A 
 
III) EF = AF E

D. II y III E. Todas las anteriores.

B

F

8. La representación del plano cartesiano, corresponde a los siguientes vectores: A. Solo II B. I y II C. I y III

3
u

2


w

1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
v

0 1 –1

2

–2




A. u = (–5, 3); v = (–1, –2); w = (–4, 0)


B. u = (–5, 3); v = (–1, –2); w = (1, 2)


C. u = (3, –5); v = (–2, –1); w = (1, 2)


D. u = (2, 1); v = (–1, –2); w = (2, 1)

11. La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos C(1, –2) y D(3, –1) es:
A. x = t(0, 1) + (1, 0)
B. x = t(2, 1) + (1, –2)
C. x = t(1, –2) + (3, –1)
D. x = t(–3, 1) + (1, –2)

冢

A. (x, y) = t 3,

R

冣 + 冢–3, 13 冣

冢 13 , 1冣 + (1, 3)

C. (x, y) = t

冢 13 , 1冣 + (1, 1)

D. (x, y) = t

冢 13 , 1冣 + 冢– 13 , 3冣

E. (x, y) = t

冢 13 , 1冣

→ t → s

1 3

B. (x, y) = t

T

O

D. I, II y III E. Ninguna de las anteriores.

12. La ecuación vectorial de la recta 3x – y + 4 = 0 es:

9. En una semicircunferencia 



se dibujan los = t . Según esto, la OR = s OT vectores y alternativa falsa es: 





A. ST = s + t D. OR + OS = o 





B. RT = t − s E. ST + RT = 2 t

S

C

E. Ninguna de las anteriores.

E. Ninguno de los anteriores.



C. s = t

D

+ (3, 4)

Evaluación semestral 2

223

Eval Pág. 222-225

29/11/06

17:29

Page 224

EVALUACIÓN SEMESTRAL 2

13. La ecuación analítica y la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A(–2, 1) y es paralela a la recta y = 2x + 3 es: A. y = 2x + 5t ; L = t

冢 12 , 1冣 + 冢– 52 , 0冣

17. En un punto, en equilibrio, de un plano hay 


tres fuerzas A , B y C que actúan sobre él. 
¿Cuál representación corresponde a C ? A.


C

B. y = 2x – 1 ; L = t(1, 2) + (–5, 0)

B.


C

C. y = 2x + 5 ; L = t(1, 2) + (–5, 0)

C.


C

D.


C

E.


C

D. y = 2x – 1 ; L = t

冢 12 , 1冣 + 冢– 52 , 0冣 冢 12 , 1冣 + 冢– 52 , 0冣

E. y = 2x + 5 ; L = t

14. ¿Cuál de las siguientes igualdades es incorrecta, respecto al producto escalar entre dos vectores? A. (2, –1) • (1, 1) = 1 B. (3, 0) • (1, 2) = 3 C. (5, –2) • (1, –1) = 7 D. (0, 2) • (5, 0) = 0 E. Ninguna de las anteriores.

15. Sea u = (3, –2) y v = (7, 4), entonces la

expresión 5u − 2v equivale a: A. B. C. D. E.

13 (1, –17) (3, –17) (1, –18) (–17,3)


B


A




⎛ 5 ⎞ 3 , 1⎟ y 18. Sean P = (–3, 1), Q = – , 0 , R = ⎜ 2 ⎝ 2 ⎠
S = (2, –5).

冢

冣

¿Qué vectores tienen igual módulo? 



A. P y Q D. P y S 

B. Q y R E. Ninguna de 

las anteriores. C. R y S 19. Un tren se mueve con velocidad a con respecto a la tierra. Desde la ventanilla de un vagón cae un objeto con una velocidad respecto al tren, entonces, la velocidad del objeto respecto a la tierra está representada por el vector. V

A. B.

16. Considerando las siguientes igualdades:

t

C. desplazamiento

2(1, x) + 3(y, 2) = (8, –2) Los valores de x e y que verifican la igualdad, son, respectivamente: A. –2 y –4 B. 6 y 1 C. –2 y 4

224

D. –6 y –1 E. –4 y 2

Evaluación semestral 2

D. E. Un vector diferente a los anteriores. 20. ¿Cuántos vértices tendrá un poliedro con 8 caras y 18 aristas? A. 12

B. 18

C. 20

D. 24

E. 26

Eval Pág. 222-225

29/11/06

17:29

Page 225

EVALUACIÓN SEMESTRAL 2

21. El volumen de un hexaedro regular es 64 cm3. Se afirma que: I) la suma de todas sus aristas es 48 cm. II) El área de una cara es numéricamente igual al perímetro de ella. III) Su diagonal mide 4 3 .

25. La arista de un cubo es a. Si los cuatro vértices de la cara superior se unen con el centro de la cara inferior, se obtiene una especie de embudo cuyo volumen es:

De estas afirmaciones, es(son) verdadera(s): A. B. C. D. E.

Solo I I y II I y III II y III I, II y III

22. El volumen de un cilindro es V = πr2h. Si un cuerpo cilíndrico tiene un volumen de 3.080 cm3 y una altura de 20 cm, entonces el radio de su base, considerando el valor para 22 π= , es: 7 A. B. C. D. E.

5 cm 3

C.

a2 2

B.

a3 3

D.

3a3 8

A. 3 m B. 6 m

23. La generatriz de un cono recto mide 13 cm y la altura 12 cm. Para que su volumen sea 100π cm3, su radio basal debe medir:

B.

a3 4

E.

2a3 3

26. La tercera parte del volumen de un cubo es 9 m3. Luego, su arista mide:

1,4 mm 0,014 m 7 cm 70 cm 0,007 km

3 A. cm 5

A.

D. 5 cm E. Ninguna de las anteriores.

C. 3 cm π cm2. 24. La superficie de una esfera es 100π Entonces su volumen mide:

C. 9 m D. 18 m

E. 27 m

27. A un cilindro de altura igual al diámetro de la base de radio a, se le circunscribe una esfera. El volumen de la esfera es: A.

π a3 8π 3

2

C.

π a3 4π 3

B.

2 π a3 2 3

D.

π a3 3

2

π a3 8 E. 4π

2

28. Las diagonales de un rombo miden 2m y 2n. Entonces, la razón de los volúmenes de los cuerpos que se generan al girar sucesivamente en torno a cada diagonal es:

π cm3 A. 72π π cm3 B. 144π π cm3 C. 188π

A.

m+n n

C.

m n

D. 288π cm3 E. Ninguna de las anteriores.

B.

m–n n

D.

m+n m–n

E.

3m 4n

Evaluación semestral 2

225

P226 - 227

6/30/08

11:20 PM

Unidad 1

SOLUCIONARIO

Página 10

Página 226

1. a.

4 5

2.

b.

Porcentaje

c. 1

Fracción

Fracción irreductible

Expresión decimal

75%

75 100

3 4

0,75

62%

62 100

31 50

0,62

2%

2 100

1 50

0,02

33,333...%

300 900

1 3

– 0,3

90%

90 100

9 10

0,9

3. a. 2, 3, ..., 9

b. –2, –1, 0, 1, 2

c. Ninguno.

d. –1, 0, 1, 2, …, 9, 10

5.

6.

Grupos de edad

Frecuencia acumulada

0 – 14

3.929.468

15 – 24

6.354.608

25 – 39

9.640.619

40 – 49

11.056.208

50 – 64

12.471.357

65 y más

13.348.401

Cantidad de personas

Página 11

7 8

Edad

Página 13

1. a. iii c. Cualitativa.

Página 14

1. a.

Frecuencia

F. Absoluta

F. Relativa %

Campo

4

30,7

Mar

6

46,2

Montaña

3

23,1

Total

13

100

Lugar

Página 15

226

1. a. 60

Solucionario

2.

Intervalo

Marca de clase

1-3

5

4-6

7

7-9

5

P226 - 227

29/11/06

17:40

Page 227

Unidad 1

SOLUCIONARIO

Página 16

1. a.

Natalidad 9

Página 19

9

8

8

7 5

Mortalidad

3 3

8 1 3 7

1. b. Entre las semanas 16 y 17.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7 2

3

6

0 1 3

2 6 3

3

9

c. 2005 (semana 21)

2. a. Massú y González.

Página 20

3. a. I, III, IV, VII, VIII, IX, X b. Matemática: IX; Lenguaje: IX c. Lenguaje: XI; Matemática: XI, XII, RM d. Variable cuantitativa. 4. c. Mayor: Mulchén y Angol. Menor: Nacimiento y Cañete.

Página 22

2. b. Fútbol. 4. a. 0,0307

b. 99

0,0538 0,0923 0,1231 0,2692 0,2846 0,0846 0,0615

Página 23

5. c. Casa: Muy Seguro 213; Muy Inseguro 189; No responde 4. Trabajo: Muy Seguro 165; Muy inseguro 121; No responde 117. Lugares públicos: Muy seguro 165; Muy inseguro 221; No responde 20. Calle: Muy Seguro 52; Muy inseguro 346; No responde 4. 6. b. África: 73%; Asia: 62%; Europa: 24%; América del Norte: 46%; América Latina: 68%; Ex URSS: 39%; Oceanía: 59%

Página 26

1. B

2. D

3. E

5. E

Página 30

1. E

2. D

3. D

4. D

Página 31

7. E

8. A

9. B

10. C 11. E

5. C

6. D

Solucionario

227

P228 - 229

29/11/06

17:40

Unidad 1

SOLUCIONARIO

Página 32

Page 228

1. Solo b 2. a. Sound: 0,1 ; Hip-hop: 0,14 ; Romántica: 0,24 ; Rock: 0,32 ; Reagge: 0,2 b.

4. a. 13,3%

b. 18%

5.

Página 33

228

6.

Solucionario

Intervalo (mm)

fi

fr

Frecuencia relativa porcentual

100 – 109

4

0,047

4,7%

110 – 119

17

0,2

20%

120 – 129

29

0,341

34,1%

130 – 139

18

0,211

21,1%

140 – 149

10

0,117

11,7%

150 – 159

5

0,059

5,9%

160 – 169

2

0,024

2,4%

29/11/06

17:40

Page 229

Unidad 1

SOLUCIONARIO

7.

Intervalo

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

452 – 497

5

0,1

498 – 543

0

0

544 – 599

5

0,1

600 – 645

0

0

646 – 691

9

0,18

692 – 737

8

0,16

738 – 783

7

0,14

784 – 829

9

0,18

830 – 875

3

0,06

876 – 921

4

0,08

8. a. Circular. c.

Grupo sanguíneo alumnos

Frecuencia absoluta

P228 - 229

Grupo sanguíneo

9. 4 52 80 89 90 96 5 60 60 70 70 90 6 60 60 66 68 76 80 80 83 7 12 14 20 24 25 46 50 60 75 80 94 95 8 01 02 10 26 30 30 80 86 90 95 10. a. Nivel socioeconómico bajo. b. Nivel socioeconómico alto.

Solucionario

229

P230 - 231

6/30/08

11:21 PM

Unidad 2

SOLUCIONARIO

Página 36

Página 230

1. a. x = 60

b. x = 300

2. a. 45,7

b. 99,5

3. a. 33%

b. 40%

4.

Nombre

c. x = 2,5 c. 1.233,54 c. 75%

Sueldo (imponible)

d. x = 4

e. x = 0,392

d. 2.620,80 d. 6%

e. 55.800

e. 1%

f. x = 12 y x = –12 f. 56.596,2

f. 73%

Fonasa o Isapre AFP Sueldo líquido (7% del imponible) (13% del imponible)

Daniel

$ 165.249

11.567

21.482

$ 132.199

Carolina

$ 237.860

16.650

30.922

$ 190.288

Andrea

$ 551.925

38.635

71.750

$ 441.540

Sebastián

$ 618.004

43.260

80.341

$ 494.403

$ 1.045.776

73.204

135.951

$ 836.621

Jorge

5. a. 5,333 h. –408,89

b. –1,8

c. 3,888

d. –0,558

e. 0

f. –6.404,889

g. 0,094

i. 6.417,79

Página 37 6. a. Mujeres: 1,76 metros y 1,48 metros.

Hombres

Frecuencia

Frecuencia

b. Mujeres

Hombres: 1,88 metros y 1,61 metros.

Estatura

c.

Estatura

Dispersión de estaturas

1,48 - 1,53

1,60 - 1,65 1,72 - 1,78 1,84 - 1,89 1,54 - 1,59 1,66 - 1,71 1,79 - 1,83

: mujeres : hombres

230

Solucionario

P230 - 231

7/24/09

4:42 PM

Página 231

Unidad 2

SOLUCIONARIO

Página 39

1. x = 5,8 2. No. 3. No. 4. 2,007

Página 44

1. a. Primer trimestre: 3,8; Segundo trimestre: 3,8 c. Primer trimestre: 0,9067; Segundo trimestre: 0,52 e. Primer trimestre: 1,113; Segundo trimestre: 0,777 f. Las notas del segundo trimestre son más homogéneas. 2. b. Desviación media = 0,168 3. a. 5,098

b. Entre 9,722 y 19,918 aproximadamente.

4. a. Curso B.

Página 45

1. a. Positiva.

Página 48

1. a. 590

b. 661

2. a. 61,2

b. 83,75

b. Nula.

c. Positiva.

d. 35% c. 71,25

d. 81,875

3. Significa que está dentro del 10% de las calificaciones más altas.

Página 49

1. a. 526,87

Página 52

1. a. 400 salmones.

Página 55

1. b. No homogénea.

Página 56

1. b 2. a. 205

Página 57

b. 220

2. Aproximadamente 296.

3. a. Vivienda.

c. 0,5

1. 2 alumnos. 2. a. 0,1587

b. 0,0228

3. a. 0,0228

b. 0,3436

c. 0,9981

Página 60

1. A

2. B

3. B

4. D

5. E

Página 64

1. E

2. D

3. E

4. D

5. E

Página 65

7. C

8. B

9. D

10. D

11. C

6. A 12. A

13. A

Solucionario

231

P232 - 233

29/11/06

17:38

SOLUCIONARIO

Página 66

Page 232

Unidad 2

1. Media: 20,9

Edad

Frecuencia

19

1

20

3

21

2

22

2

23

1

Desviación media: 1,012 Desviación estándar: 1,269

2. 30,74 minutos. 3. Estatura: 1,70 metros; masa: 66,8 kilogramos. 4. a. Media: 6,5; moda: 0; mediana: 5,5; rango: 36; desviación estándar: 7,09 b. 15, 16, 18, 22, 36 5. a. Positiva. f. Nula.

b. Positiva. g. Nula.

6. a. 188 kilogramos.

Página 67

c. Nula.

d. Positiva.

e. Positiva.

h. Negativa. b. $ 488

7. a. 3,7% b. P10: 358,44; P30: 444,23; P40: 473,06; P60: 527,67; P70: 556,33; P80: 589,26; P90: 637,35 c. Mediana: 501,26; desviación estándar: 109,56 d. Q1: 428,68; Q2: 501,26; Q3: 572,79 e. D2: 413,13; D5: 501,26 f. P88 8. a. [2,854; 3,146]

b. [2,905; 3,095]

9. b. Al alumno del curso D. c. Curso C: 4,4 debajo de la media y 5,6 sobre la media. Curso D: 4,6 debajo de la media y 5,6 sobre la media. 10. a. 135 colmenas. b. 538 colmenas. c. Si el error disminuye a la mitad, el tamaño de la muestra aumenta cuatro veces.

232

Solucionario

P232 - 233

29/11/06

17:38

Page 233

Unidad 3

SOLUCIONARIO

Página 70

b. 10–3

1. a. 2 g. 6

h. 2

c. –4 i. 3

d. 3

f. 77

j. 2

2. a.

d.

g.

b.

e.

h.

c.

f.

i.

3. a. ⺢ –
–1, 1

e. x ⱖ a

i. ⺢ –
–5

b. ⺢

f. ⺢

j. x > b2

c. x > 1

g. ⺢

d. ⺢ –
–1

h. ⺢ –
–1

4. a. C D

Página 71

4 4 ,– 3 3

e.

→ ]–∞, –5[ → ]–5, +∞[

b. Siempre decreciente en el intervalo ]–4, +∞[

D

5. f(x) =

1 1 – x x–3

f(x) = x2 – 10

c. C

f0

]–∞, 0[ U ]3, +∞[

para ningún valor de x

]0, 3[

–

10 , 10



⫾ 10

]–∞, – 10 [ ∪ ] 10 , +∞[

f( x ) = 11 − x

para ningún valor de x

11

]–∞, 11[

f(x) = |x – 5|

para ningún valor de x

5

]–∞, 5[ ∪ ]5, +∞[

f(x) = 1 – 4x2 f( x ) = x + 7

∞   – ,–



1 1 U , +∞ 2 2

para ningún valor de x

→ ]10, +∞[ → ]–∞, 10[

⫾

1 2

–7



–

1 1 , 2 2



]–7, +∞[

Solucionario

233

P234 - 235

29/11/06

17:38

SOLUCIONARIO

Página 72

Page 234

Unidad 3

1. a. f(1) = 1; f(2) = 1; f(3) = 2; f(4) = 3; f(5) = 5; f(6) = 8 (Serie de Fibonacci) b. Dom f:


rec f: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (Serie de Fibonacci)

2. a. Dom:  –
1

c. Dom: 

rec:  –
1

rec: +0

b. Dom: –∞, 0 ∪ 0, 1 ∪ 1, +∞

d. Dom: –∞, –1 ∪ 1, +∞

rec:  –
0

3.

rec: + –
1

Y

3

1

dom: 

X

1

Página 73

1. a. Dom:  –
1 2. a. f–1(x) =

Página 74

b. Rec:  –
3

10x + 5 3

3. a. Sí

b. No

1. a. 2π

b. π

2. a. Dom:  –

b. f–1(x) = (x – 3)2 + 4

c. f–1(x) = x –

c. No

π


2 +– kπ, k ∈
c. No.

c. Sí, π

d. No.

d. Dom: ; rec: x ⱖ 40,75

b. Dom:  –
2kπ k ∈ ; rec: –∞, –2 ∪ 2, +∞; P = π c. Dom:

Página 76



2

(4k – 1);

2



(4k + 1) , k ∈ ; rec: [0, 1] ; P = π

1. c. Para todas en .

d. Rec x4: +0 rec x5:  rec x6: +0 rec x7: 

2. 1 dm

3

3. a. ∀ x

234

Solucionario

≠0

b. ∀ x > 0

d. No

e. Sí.

2. a. Dom:  ; rec: [0, 1]; P = π

π

1 x2

b. π

0

b. Sí.

π

d. f–1(x) =

d. No

b. Sí, 2π

1. a. Sí.

2 2

3. a. Sí, 2π

Página 75

rec: x ⱖ 1

2

e. Dom:  –
0, 1 rec: –∞, 0 ∪ 0, +∞

–1

P234 - 235

7/24/09

3:32 PM

Unidad 3

SOLUCIONARIO

Página 79

Página 235

6. a. Dom: ⺢ rec:

b. Dom: ⺢

⺢+0

rec: ⺢

f(x) > 0 para todo x ∈ ⺢

Página 83

1. a.

5 2

b. 7

c. 9

2. a. x = 64

b. x = 0,027

3. a. 9

b. 3

c. 14

f(x) > 0 para x > 0

d. 3

e.

c. x =

3 4

f. –2

16 9

d. x =

h. 4

4 3

i.

j.

2 5

109 64

d. 22

4. a. 2 logp a + 4 logp b + 5 logp c – 2 logp d b. 3 logm (a – b) + 4 logm c –

g. 2

d.

共

兲

16 logb 2 + logb (5x – 2) + 16 logb x 3

共

1 logm (d + f) 5

兲

e. 2 logb (x + y) + logb (x2 – xy + y2)

c. logb (x – 11) + logb (x + 2) 5. a. 0,602

b. 1,086

c. 1,129

d. 1,338 3

7. a. logb 72

c. logb

a c

2 3

ac3

e. logm

a6 3 4

g. logp

(x + y + z) 4 (x – y – z)4

h. logp

(x + 3) (x – 2)4

1

c b. logb

1

2

a5 c3 b

d. logb

e d

b2 d

2 3

f. logb (x4 – 1)

3 4

8. a. 3A + 3B + 2C

Página 84

2.

Página 86

1. a. 2

b. 4

2. a. V

b. F

9 4

b. A + 2B + C

c.

3 (A + B) 2

d. –(A + B + C)

a. 0,7

b. 1

c. 1,2

c. 5

d. –3

e. –6

f. 8

c. F

d. F

e. F

c. 0,4

g. 22

h. 70

f. V

Solucionario

235

P236 - 237

29/11/06

17:37

Unidad 3

SOLUCIONARIO

Página 87

Page 236

1. a. Vertical

b. Horizontal

2. b. Dom: x > 1

c. Horizontal

c. i. Creciente.

d. Vertical

ii. Creciente.

iii. Creciente.

dom: x > 2 dom: x > 3

3. b. i. (1, 0)

c. i. x > 0

ii. x > 0

iii. x > 4

ii. (1, 0) iii. (5, 0)

Página 88

1. a. 100

Página 89

1. a. 0

b. 2

c. 2

b. 0,693

2. a. 0,6931471...

c. 1,609

Página 91

1 6

1. a. 7

b.

2. a. 7

b. 104

d. –0,693

b. 10.000

b. 10

c. 2.000

d.

–11 ± 61 6

h. 5

i. 27

j.

n. 2

ñ. 6

o. 2

u. 6

v. 1

w. 10 3

1. a. 10–1 y 10–14

2. a. 4,0317...

x.

b. i. 4,2

3. a. 1020,8 ; 1022,3

b. t(M) =

Solucionario

e.

5

16

f. –10

q.

11 + 265 12

±

3

g. 5,1

l. 100

r. 3,8

s. 1,5 ; 3

m. 5 t. –

5 +1 2 ii. 7,4

M m

log 1,03

iii. 2,2

→ 1,62 • 10–8 Manzana → 10–3 Agua pura → 10–7

c. Huevo

c. En 23 años aproximadamente.

d. E = 1026,05

4. a. Aumentó en 10 log 2

236

4 7

k. No tiene solución real.

p. 5

log

Página 93

e. –1,609

b. Aumenta.

1

Página 92

3. b. Mayor que 43 trillones.

d. 1,04 • 10–8

b. 0,6930041...

3. a. 0,583 < ln 2 < 0,83

b. 6970

2. a. 126

c. D = 150 db

d. No, aumenta en 10 log 2.

1 6

P236 - 237

7/28/09

12:48 PM

SOLUCIONARIO

Página 93

Página 237

Unidad 3

4. e.

Intensidad

Decibeles

Susurro

Fuente

10–10

20

Tráfico callejero

10–5

70

Posible daño auditivo

10

–3,5

85

Cercano a un trueno

1

120

Umbral del dolor

10

130

Perforación instantánea del tímpano

104

160

Concierto de rock

101

130

Página 96

1. C

2. E

3. E

4. E

5. E

6. E

Página 100

1. C

2. B

3. C

4. B

5. A

6. A

Página 101

9. B

10. E

Página 102

1. a.

2. a.

11. A

12. A

7. E

8. B

13. C 14. C 15. B 16. B 17. A 18. C

b.

x–4 = f –1(x) 7

c.

b. f –1(x) = 25x2 + 5

3.

1 4

c. f –1(x) =

4.

共 27 y – 17 兲

2

d. f –1(x) = 17 – 2x

a. rec: [–2, 2]

d. rec: [1, 3]

P = 2π

P = 2π

b. rec: [–2, 2]

e. rec: [–2, 0]

P = 2π

P = 2π

关

c. rec: –

1 1 , 2 2

兴

关

P = 2π 5.

7. a. a < 0, n par. 8. a. log

13 13 13

b. a > 0, n par. b. log

11. 45

13. a. a = –4; a = 2

15. a. –1,404806

21. a. x =

11 3

= log 1 = 0

10

b. y = log (x + 4)

c. x = 4

10. a. dom: ⺢+

ab

14. a. Falso

d. x = 3

b. dom: ⺢+0 ; rec: [6, 10]

d. a < 0, n par.

17. a y b ∈ ⺢+ – 兵1其

b. –0,301029

b. x = 4

艐 1,25

ab

c. log

兴

P = 2π

c. a > 0, n par.

ab

10

Página 103

a b

a. Sí, P

1 1 , 2 2

f. rec: –

b. Verdadero 18. a =

e. e

c. Falso

1 b

f. 100 y

b. dom: x > 0

d. Verdadero 19. –2

10 10

g. x = 42

Solucionario

237

P238 - 239

6/30/08

11:24 PM

SOLUCIONARIO

Página 110

Página 238

Unidad 4

1. a. x =

3 2

h. x = –3

b. x = –1

c. x =

i. x = 0

2. $ 362.814

14

±

j. x = –4

±

3. t = 4,88%

5. a. 1,845

b. –0,658

h. 0,435

i. –2,2536

10

c. –0,067

C:
1, +∞

Página 112

x–2 +2

c. y = –

C:
2, +∞

e. –0,222

1 2

f. 2,865

g. 3,38

c. Creciente: ]1,7, +⬁[ Decreciente: ]–⬁, 1,7[

x+1

x –3

e. y = –x2 – 1

C:
0, +∞

C:
–∞, 0

d. y =

D:
–1, +∞

b. 1 millón de bacterias, 10.000 bacterias.

D:
0, +∞

f. y = (x + 4)2 – 3 D:
–∞, –4

C:
–4, +∞

c. 6 horas.

1. a. Todos los reales, en todos los casos. b. i) (0,1)

ii) (0,2)

iii) (0,1)

c. Sí, las mantendrían. 2. a. 1,732

238

g. x = 0

e. Creciente: ]1, +⬁[

b. y =

8. a. 10; 100; 1010

l. x = –

f. x = 2

b. Creciente: ]–⬁, +⬁[

d. Decreciente: ]–⬁, +⬁[

D:
–∞, 1

k. x = 3

d. 0,7385

Decreciente: ]–⬁, 0[

7. a. y = (x – 1)2

e. x = 12 y x = –7

4. Ci: $1.953.418; Interés: 1,5 %; CF: $ 209.136

6. a. Creciente: ]0, +⬁[

Página 111

d. x = 2

2

Solucionario

b. 1,442

c. 4,729

d. 6,705

iv) (0,4)

P238 - 239

29/11/06

17:36

Page 239

Unidad 4

SOLUCIONARIO

Página 115

1. a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

2. a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

3. a. Dom: ⺢; rec: ⺢+; intersección con eje Y: (0, 1) b. Dom: ⺢; rec: ⺢+; intersección eje Y: (0, 1) c. Dom: ⺢; rec: [1, +⬁[ ; intersección eje Y: (0, 1) d. Dom: ⺢; rec: [1, +⬁[ ; intersección eje Y: (0, 1) e. Dom: ⺢; rec: ]–9, +⬁[; intersección con los ejes (0, 0) f. Dom: ⺢; rec: ⺢; intersección con los ejes (0, 0)

Solucionario

239

P240 - 241

29/11/06

17:35

SOLUCIONARIO

Página 115

Page 240

Unidad 4

4. a. Creciente.

b. Decreciente.

5. a. f(x) = 6x

b. f(x) =

冠 冡

x

1 5

c. Decreciente. c. f(x) = 8x

d. Creciente.

d. f(x) = (9,057)x

e. f(x) = (1,12)x

5

y(x) = (–8)x

6. a y b son correctas. 7. Solo c.

Página 117

2. a. Dom: ⺢; rec: ⺢+ 3. a. f(x) =

冠 冡 1 e2

4. a.

Página 119

b. Dom: ⺢; rec: ]–⬁, 1[

x

c. Dom: ⺢; rec: ⺢+

d. Dom: ⺢; rec: ⺢+

冠 冡

x

b. f(x) =

a

b.

1.

c.

d.

a. (1, 0) y (0, 1) respectivamente. b. ln x: dom ⺢+ – {0}; rec ⺢ ex: dom ⺢; rec: ⺢+ c. y = x

2. a. y = log2 x

b. y = log3 x

c. y = log 5 x

d. y = log 15 x

4

3. a. y = 6x

7

冠 冡

b. y = 9x

c. y =

b. Falso.

c. Falso.

2 5

x

d. y =

4. y = log4 x

5. a = 4 6. a. Falso. 7.

240

Solucionario

d. Verdadero.

冠 冡 3 4

x

冠 冡

f. f(x) = m m

x

P240 - 241

29/11/06

17:35

SOLUCIONARIO

Página 121

Page 241

Unidad 4

1. a. x = 3

b. x = –

3 4

c. No tiene solución real.

d. x = –

3 10

e. No tiene solución real.

2. R = 3 cm 3. a. x = 16,685...

g. x = 8,4

l. x =

b. x = 2,15

h. x = 2,2211

4log m + 2log 4 1 log m + log 4 4

4. a. x = 0,6981...

Página 123

c. x = 12,095

d. x = 2,1133

2 1 log n – log m 3 3 j. x = log m – 3log n

3log b + 4log a i. x = 2log b – 3 log a

7(3log c – log a) 9(7log a – log c)

m. x =

b. x = 0,789

e. x = –0,26

k. x =

f. x = 0,28 1 log p + log q 4 3 log q – 2log p 4

n. x = 0,83404...

c. x = –2,264...

1. a. En 43 años aproximadamente.

b. Partiendo del 2005, 16.778.000 aproximadamente.

c. Aproximadamente 9.895.000 habitantes. 2. a. Antofagasta: P = 250.665 e0,01517t Santiago:

P = 3.218.155 e0,02782t

Concepción: P = 638.118 e0,01679t Magallanes: P = 88.244 e0,01838t 3. a. 750 alumnos.

1.500

b. 1.343 alumnos.

c.

4. a. 0,11 aproximadamente.

750

d. Se aproxima a 1.500.

b.

c. Creciente

e. Aproximadamente 21% de alcohol. f. Aproximadamente 9,4% de alcohol.

5. a. 80 viviendas.

Página 125

1. a. x = –8.695,652 ln

b. 543 viviendas.

冠 冡 P 500

c. 800 viviendas.

b. Dom: ⺢+; rec: ⺢+

d. 54.040 años aproximadamente.

c. 445,68 ml

e. 6.027 años aproximadamente.

2. a. 34.749 años.

b. Dom: ⺢+; rec: ⺢+

3. a. Decreciente.

b. 16 horas.

c. Cada 8 horas.

4. a. No tiene solución.

b. No tiene solución.

5. a. 28, 01 ; a = 1,24537

c. Dom: ⺢; rec: 兴–⬁, 30关

6. a. 58 contagiados.

Solucionario

241

P242 - 243

6/30/08

11:26 PM

Unidad 4

SOLUCIONARIO

Página 127

Página 242

1. b. 50 días: 2.708 habitantes.

2. 9,544% anual.

300 días: 223.524 habitantes. 800 días: 499.972 habitantes. 3. P(t) = 55.000.000 • (1,024)t a. 142.023.743 habitantes aproximadamente. 4. a. $ 3.025.714

b. 9,7 años.

5. a. $ 5.581.410

6. 7 años aproximadamente.

Página 130

1. B

2. D

3. a. 1

Página 134

1. C

2. A

3. C

Página 135 11. A

Página 136

12. C

b. 18

4. D

13. C

4. B

5. B

14. B

5. E

6. A

15. B

6. B

7. D

16. D

7. C

8. A

17. E

8. D

9. A

18. B

10. D

19. D

1. 23 años aproximadamente. 2. a. 4.03 há.

In(M) – ln(m) In(1 + i)

b. t =

3. a. 5.000 bacterias.

5. a. t =

冠

–L RI ln(1 – R E

6. x = 0

c. x = –1,79

冡冡

b. t = RC ln

8. 9,3%

12. a. x

b. x

c. 23,45 años.

b. 11.698 bacterias aproximadamente. b. e100

4. a. x = 1,65

Página 137

c. 5,77%

c. x

冠

c. Alrededor de 8 días.

d. x = –2,38

冡

R I(t) E

9. 2,53%

10. 2, 7 horas.

d. x

14. 26 minutos aprox.

15. 1.468 días aprox.

16.

9 1 y– 2 2

logc loga . logb

log 17. x =

18. 55.700 años. 19. a. 2,83 millas. 20. a. log 2 x 3

21.

b. 9,378 pulgadas de mercurio. b. log1,25

x 2

a. I)

c. –log 3x Dom: ⺢+

+

c. I) ex

II) Dom: ⺢

II) Rec: ⺢

II) ln(x)

III) Rec: ⺢+

III) log4(x)

IV) Rec: ⺢

IV) 4x

IV) Dom: ⺢

Solucionario

b. I) Rec: ⺢

III) Dom: ⺢ +

242

d. 2 log64 x

P242 - 243

1/12/06

16:35

Page 243

Unidad 5

SOLUCIONARIO

Página 140

1. a.

b.

c.

d.

e.

f.

2. a. Discontinua.

b. Continua.

c. Continua.

3. a. x = 2 o x = –2

b. x = 20 o x = –20

c. x = 3 o x = 1

d. x = 5 o x = –5

e. x = –

4. a. x = 14; y = –14

f. No tiene solución. c. ⺢

b. No tiene solución.

Página 143

2. a. Falso.

Página 147

1. a. Los dos primeros.

Página 149

1. a. Primer y tercer cuadrante. 2. a. (–4, 3)

4 20 ox=– 3 3

b. Falso.

c. Verdadero.

d. Falso.

b. Es menor que 180º.

e. Verdadero.

f. Verdadero.

c. Los dos primeros son cóncavos.

b. Cuarto cuadrante.

c. Segundo cuadrante.

b. (4, 3); (–4, –3); (–4, 3); (4, –3); (0, 5); (0, –5); (5, 0); (–5, 0)

3. No es equilátero.

Página 151

1. a. Módulo: 5

b. Módulo: 13,8 aproximadamente.

d. Módulo: 17,69 aproximadamente.

Página 153

2. a. Iguales.

b. Diferentes.

1. a. (5, 3)

b. (–2, 2)

2. a. x = 1; y = –9

e. Módulo: 1 c. Opuestos.

f. Módulo: 4

d. Diferentes.

c. (–3, –11)

b. x = 7; y = –5

c. Módulo: 15

d. (–11, –6) c. x = –4; y = –1

d. x = –6; y = –10

 3. b. 9,1 metros; v = (7, 5, 3)

Página 155

3. a.


> 1: resulta un vector con mayor magnitud que
= 1: resulta un vector equivalente a 0
0ya≠1

Ejemplo: f(x) = 3x

Desviación estándar: expresa el grado de dispersión de los datos con respecto a la media aritmética de estos. Dirección de un vector: corresponde a la inclinación de la recta que contiene al vector. Distribución normal: describe las distribuciones de los datos relacionados con variables, como por ejemplo: el tamaño de algunas especies, variables sociales, etc.

Función inversa: corresponde a la expresión en la cual la variable independiente está en función de la variable dependiente. Por ejemplo, si y = 3x + 2 entonces x =

Dominio de una función: conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente.

y–2 3

o bien, si f(x) = 3x + 2, entonces f –1(x) =

x–2 3

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GLOSARIO

Función logarítmica: es aquella cuya expresión matemática es: f(x) = logb x

b ∈ ⺢+ – {1}

Función periódica: es aquella cuyos valores se repiten cada cierto intervalo. Esto es: f(x) = f(x + T)

Homotecia: es una transformación geométrica que no altera la forma inicial, pero puede cambiar su tamaño y posición. Huso esférico: es una parte de la superficie esférica, limitada por la intersección de dos circunferencias máximas. Logaritmo: el logaritmo en base a de un número x es el exponente y al que hay que elevar la base para obtener dicho número. Es decir, Si loga x = y entonces, x = ay Logaritmo natural: es aquel cuya base es el número e. Media aritmética: corresponde al cociente entre la suma de los datos y el número total de ellos. Este cociente indica el valor al cual se aproximan los datos. Media aritmética ponderada: es la media de los datos que no poseen la misma ponderación o importancia. Mediana: valor de la variable cuya frecuencia acumulada es inmediatamente superior a la mitad del total de datos.

Glosario

Moda: es el valor de la variable o intervalo con mayor frecuencia absoluta.

T: período

Función potencia: está dada por f(x) = axn, donde a es un número real distinto de cero y n = 2, 3, 4, 5,...

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Medidas de dispersión: son los parámetros estadísticos que indican el mayor o menor grado de agrupamiento de los valores que forman el conjunto de datos.

Módulo de un vector: es la longitud del segmento determinado por el vector. Su expresión es: || a
|| = a12 + a22 Muestra: es una parte de la población. Número e: número que puede obtenerse de la expresión siguiente cuando n toma valores muy grandes. n

冢1 + n 冣 1

tiende a e = 2,7182...

Percentil: parte obtenida al dividir el total de datos en 100 partes iguales: 1%, 2%, 3%, ... 99%. Población: conjunto de elementos en los cuales se estudiará un determinado aspecto o característica. Principio de Cavalieri: dos cuerpos de la misma altura, con base de igual área y cuyas secciones paralelas a las bases son siempre de igual área tienen el mismo volumen. Principio de Euler: relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro convexo: Nº caras + Nº vértices = 2 + Nº aristas Producto cruz: es el producto entre dos vectores y que genera un nuevo vector, perpendicular a ambos y cuyo módulo es || a
|| • || b
|| • sen α , en que α representa el ángulo formado por ambos vectores.

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GLOSARIO

Producto escalar: es el producto del módulo de un vector por la proyección ortogonal de otro vector sobre él. El producto escalar da como resultado un número dado por la expresión

Sentido de un vector: está indicado por la punta de la flecha del vector. Sistema diédrico: se refiere a la representación de un cuerpo en dos planos perpendiculares.

a


Traslación: transformación geométrica que da origen a una nueva figura congruente con la anterior pero en otra posición.

α

|| a
|| cosαα

Recorrido de una función: conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente.

b


a
• b
= || a
|| || b
|| cos α, o bien, si ambos vectores están dados en coordenadas tenemos:

Variable cualitativa: variable relacionada con características no numéricas de un individuo. Variable cuantitativa: variable que se puede medir y expresar mediante números.

(a1, a2 ) • (b1, b2) = a1 • b1 + a2 • b2

Variable estadística: es todo carácter o aspecto de los elementos de una población o muestra, susceptible de ser estudiado.

Rango: diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

Volumen: medida del espacio que ocupa un cuerpo.

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GLOSARIO Productos notables 2

Alfabeto griego

2

(a ± b) = a ± 2ab + b

2

␣

Alpha

␤

Beta

(a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b

␥

Gamma

Factorización

␦

Delta

ka + kb = k(a + b)

␧

Épsilon

(a + b)x + (a + b)y = (a + b)(x + y)

␨

Zeta

␩

Eta

␪

Theta

␫

Iota

␬

Kappa

␭

Lambda

␮

Mu

␯

Nu

␰

Xi

␱

Ómicron

␲

Pi

␳

Rho

␴

Sigma

␶

Tau

␷

Úpsilon

␾

Phi

␹

Chi

␺

Psi

␻

Omega

(a + b)(a – b) = a2 – b2 2

(x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab 3

3

2

2

3

x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) Perímetros y áreas de figuras planas Figura

Perímetro a

c

h

Triángulo

a+b+c

b

h

Paralelogramo

a

2 • (a + b)

Área b•h 2

b•h

b

a

Rectángulo

2 • (b + a)

b•a

b

Cuadrado

a

4•a

2

a

a D

Rombo

4•a

d

D•d 2

a

Cometa

D

d

2 • (b + a)

D•d 2

B+b+a+c

(B + b) • h 2

2•π•r

π • r2

b b

Trapecio

a

c

h B

Círculo

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Glosario

r

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BIBLIOGRAFÍA

Centeno, Julia. Números decimales. Síntesis, Madrid,1995. Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Graó, Barcelona, 1995. Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números. Ediciones Siruela, España, 1998. Ernst, Bruno. El espejo mágico de M.C.Escher. Taschen, 1994. Gardner, Martin. ¡Ajá! Paradojas. Paradojas que hacen pensar. Labor S.A., Barcelona, 1989. Gardner, Martin. Carnaval matemático. Alianza Editorial, Madrid, 1980. Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números. Ediciones B, S.A., Barcelona,1998. Guedj, Denis. El teorema del loro. Anagrama, 2000. Jouette, André. El secreto de los números. Ediciones Robinbook, S.L., Barcelona, 2000. Julius, Edward. Matemáticas rápidas. Norma, Bogotá, 2002. Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1987. Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial Iberoamericano, México,1994. Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas. Gedisa, Barcelona, 1990. Tahan, Malba. El hombre que calculaba. Publitecsa, Barcelona, 1985.

Páginas web interesantes 1. El paraíso de las Matemáticas: www.matematicas.net 2. Sector Matemática: www.sectormatematica.cl 3. Aula virtual de Aritmética: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/aritmetica.htm Aula virtual de Álgebra: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/algebra.htm 4. El número de oro en el arte y la naturaleza: http://www.omerique.net/calcumat/arteoro.htm Demostraciones del teorema de Pitágoras (en inglés): http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythagoras.html Patrones numéricos: http://ciencias.huascaran.edu.pe/modulos/m_sucesiones/act1.htm 5. Entretenimientos matemáticos: www.geocities.com/Eureka/Gold/8274/matemati.htm www.geocities.com/Athens/Acropolis/4329/cumat.htm http://ar.geocities.com/matematicamente/cmagico.htm

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EDUCACIÓN MEDIA

AÑO 2010

TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

TEXTO PARA EL ESTUDIANTE

16:41

4 o Medio

24/7/09

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑO 2010

ISBN 956-15-1250-5

ALEJANDRO PEDREROS MATTA ÁNGELA BAEZA PEÑA MARCIA VILLENA RAMÍREZ PABLO JORQUERA ROZBACZYLO GABRIEL MORENO RIOSECO

MATEMÁTICA

PORTXTO MATEMATICA IV 07

9 789561 512504

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑO 2010