Matematica organizării

Citation preview

Mircea Malifa

Corneliu Zidaroiu

MAT-EMATICA ORGANIZARII '

Editura·Gt~hnica Bucure,ti -

1971

Control ~tiin\ific: acad. prof. N. Teodorescu Redactor : Valentina Ducur Tehnoredactor: Elena Gem Coperta ~i supraroperta: Valentin Vltan

Bun de tiJHJr 07.0/1.1971 Coli de liJHJr IS C.Z. 330.llS

IJltreprlnderea Po]Jgraffci ••Informatla" Str. Brezotanu nr. 28-25 Bucuret1ti

l\lATHEMATIQUE DE L'ORGANISATION L'ouvrage presente un ensemble de methodes et de modeles de recherche opcrationnelJe, en poursuivant le but de relever les elements unificateurs de cette nouvelle discipline c'est a dire: scs objectifs, ses ressourccs ct ses strategics. · La structure du livre met en evidence lcs deux sections principales, dans Iesquelles ii est divise, savolr: etabllssemcnt d'un systcmc pour la realisation optime de quelques objectifs; et le maintien du systeme dans cet etat optime dans des conditions de !'existence des facteurs actionnant dans le sens de le devier de l'etat optime respectif. La premiere partle examine des problemes d'optimisation, savoir: programmes Jineaires; programmes non-llneaires ; programmes dynamiqucs ; jeux strategiques; programmes aleatoirs, reseaux de transport. La deuxieme partie s'occupc des problemes a caractere statistique: analyse dispersionnelle et factorlelle; contrKHJ];aHHOCTb o6'L8J];llHHIOID;HX 3JI8l\18HTOB 3TOfi AJICQIIDJIHHLI: o6'LeKTOB, pecypcoa H CT})aTerutt. IlOCTj)08BHe KHHrH OTJ)amaeT TOT cI>aKT, tfTO npOOJICMLI opraunaa~HH IIOJJ;paaA8JIRIOTC11 Ha W3e rJiaBHLl8 qaCTH: DOCTpoeHUe CHCT8MLI, nperorcMaTp11Ba10m;eit ODTIIMaJibROe YJJ;OBJI8TBOpeHH8 aanpocoB 061,eKTOD, 11 noroi;ep>KHBaHHC CHCT8MLI B ODTBMaJI~HOI\I COCTOHHllH, H3 HOTOporo ee CTp8MIITCH BLIB8CT11 pa8JIH'IHLI0 q>aHTOpLI, B nepeott lfaCTH paCCl'tlaTpHDaIOTCR aaJ];aqD Ha ODTHMyM: JIHHettHLie nporpaMMbl, HCJI~HeAeLie npo:rpaMMLI, J];HHaMHqecKHe nporpallMLI, CT})aTerHll8CKHe DrpLI, CTOXaCTH118CKIIC nporpaMM&I, TpaHcnopTHYe C8TH. BTopaJI qacTL COJ];8piKHT SaJ];allll CTaTHCTH11CCKoro xapaKTepa: AHCnepcuomn.rtt H (J>aKTOpHaJILHLiit aHaJIH8LI, CTaTHCTH118CKDtt KOHTpOJib HatieCTBa, 3JI0M8HTLI T80p1U1 o6opy]];OBaHH.fl, Teopm1 OiKHJJ;aBHJI, aneMeHTLI Teopnu aanacoa. ABTopLI He CTOJibKO CTpe?tUITCJI )];aT& iIOJIHOe II CTpOroe H8JIOiK8HHC l\lCTO]J;OB, CKOJibKO OCBCTHTb npaKTH118CKH8 B081',IOiKIIOCTli IIX npHM8H8HH.fl. Oco6oe BHHMaBDe YACJIR8TCH q>Opl\1ym1ponKe l\lCTOAa, o6JiaCTH ero npHM8HCHHH, onncaHHIO OCHOBHLIX anropHTMOB H B H8KOTOpott l\tepe HX HJIJIIOCTpHpOBaHHIO, CpaBDHTCJibHO He6oJI&moit ~6'LeM KHHrH CJIYiKHT ee ~em1: DOBbICHTb JIHTepec, pacmupHTI, opu:eHTHpOBKY H J];aTL OCHOBHLl8 M8TOJ];LI, HaXOAfIID;H8CR B CTaJ];IIII KpHCTaJIJIH8aQHR a pa?.rnax noaott nayKu opramrn~nn. Pa6oTa npeJ];HaaHallaeTC.fl 3KOHOl\lDCTaM, DH>KeHepaM, ilaT8llaTIIKaM, CTYA8HTal\l BLICWHX 3KOHOM1l'18CKIIX H Texm111eCKHX y11e6HLIX aaBeAeHHA.

IIIATHEMATIK DER ORGANISIERUNG Das Werk erortert mehrere Modellnacb.bildungen und Verfahren der Operationsforschung, wobei versucht wird f olgende Einheltselemente dleser Dlsziplin in klarer Weise hervorzuhcben : Gegenstand dleser Forschung ; zur Verfilgung stehende Moglichkeiten ; die fUr dlesen Zweck clnzusetzende Strategic. Das Werk 1st derart gegliedert, um die Aufteilung der organisatorischen Fragcn auf zwei Hauptteile klar zum Ausdruclc zu bringen und zwar : Ermittlung eines Systems, um in optimaler ,veise verschiedene Fragen zu losen und Massnahmen, um filr das System auch dann diesc optimalen Zustande aufrecht zu halten, falls verschiedene Abweichungsfaktoren auftreten. Ein erster Teil crortert Optimie1·ungsfragen und zwnr : lincare Programme ; nichillneare Programme; dynam.ische Programme; strateglsche Spiele; aleatorlsche (Zufal!s-) Programme ; Transportnetze. Der zweltc Tell befasst sich mlt Fragen statistischen Charaktcrs : Strcuungs- und faktorielle Analyse ; statistische Qualitiitskontrolle ; Elementc der Thcorie der Ausrilstungen; Theorie der \Varteschlangen; Elemente der Theorie der Vorrate. Die Autoren verfolgen in erster Llnie den Zweck die praktischen Moglichkeiten der Anwendung der dargestellten Verfahren zu zeigen, ohne cine ersch6pfende und streng genaue Darstellung dieser in Frage kommenden Verfahren zu gebcn. Das Hauptgewicht wird auf die Formulierung des Verfahrens gelegt, ferner aur das entsprechendc Anwcndungsgeblet, sowic auf die Beschreibung dcr verschiedencn Algorlthmen und gcgebenenfalls auch auf entsprechende Befs,iele. Der knappc Umfang des Werkes entspricht dem damit verfolgten Zwcck: weiterc Kreise mit dem lnhalt vertraut zu machcn und die wlchtigsten Verfahren hervorzuheben, welche sich in der gegenwartigen Zeit in eine neue Wissenschaft der Organisierung kristallisieren. Das Buell wcndet sich an Wlrtschaftler, Ingenieurc, Mathematiker, Studlerende an wlrtschaftlichcn und technischen Hochschulinstituten.

INTRODUOERE Una diiltre cele mai tinere ramuri ale matematicilor aplicate o oonstituie cercetarea operajionaUI,. Pina la eel de al doilea razboi mondial au existat preocupari disparate de a crea modele matematice iri economie, iar metodele statistice in controlul calitat;ii produc~iei au fost aplicate cu mult inainte. Razboiul a pus insi cu atita insistenta problema mobilizarii totale a resurselor in batalie, incit toate ramurile matematicii care puteau oferi instrumente utile de calcul, in cautarea raspunsului la intrebarea : ,,care este modul optim de actiune Y", au fost solicitate sa-~i dea contributia. Rezultatul a fost o colec~ie de metode, considerata ,,secret militar" in timpul ostilitatilor, a~a cum geometria descriptiva a fost tratata, drept ,,descoperire confidentiala" timp de decenii, pentru ca creatorul ei, G. Monge, fusese ofiter de geniu. 0 data razboiul terminat, s a produs un transfer util ~i rapid al tuturor metodelor operationale la domeniul pa~nic al productiei industriale. Efectul a fost atit de mare, inclt numero~i economi~ti atribuie folosirii acestor metode o pondere mai insemnata in cre~terea spectaculoasa, a industriei, decit celorlalti factori, cum sint cercetarea ~tiintifica ~i progresul tehnologic. Metodele matematice stau la baza gestiu.nii sau a, conducerii ~tiintifice a intreprinderilor, la studiul balantelor economiilor nationale ~i a planurilor de dezvoltare pe termen lung. Dupa ce au explorat cu succes domeniile de natura economici, financiara, comerciala ~i de organizare a productiei modeme, metodele de mai sus ~i-au incercat eficacitatea in subiecte mai delicate ca acelea ale comportamentului uman, in psihologie §i sociologie, in teoria negocierilor ~i a relatiilor conflictuale. ou· toate acestea, metodele cercetitrii operationale nu s-au constituit intr-o disciplina matematica distincta, cum ar fi de exemplu geometria. 0 greutate a provenit din faptul ca obiectul lor nu este def~t. Dar nu scara mare ~i variata de aplicatii este principalul

10

INTRODUCERE

obstacol, ci intirzierea in a surprinde structura, comuna a problemelor operaiionale. Alta circumstania care impiedica constituirea metodelor intr-o disciplina unitara este caracterul lor eterogen. Provenind din mai multe domenii, ele constau din aparate ~i procedee de o mare diversitate. Pentru mul1ii cercetatori ele continua sa ramina o simpla, colectie fara nume f)i statut definitiv (termenul de ,,cercetare operationala" sufera contesta'(iii f)i este provizoriu), o lista de simple procedee convenabile in aplica'(iii, care beneficiaza colateral de progresul marilor ramuri constituite, ca: algebra, calculul probabilita'(iilor, logica matematica f)i analiza matematica. ln ciuda caracterului eteroclit, metodele cercetarii opera~ionale, care au atitea definitii ci'(ii autori se ocupa de ele, au remarcabile puncte comune. Toate se refera la probleme care au un numar mare sau o infinitate de solutii admisibile. Metodele cercetarii operationale ofera procedeul de selec'(iie, din spatiul solutiilor, a unei singure solutii, care satisface una sau mai multe conditii sau cerin'(ie fundamentale. Aceasta este solut;ia optima. Procurind metoda selectiei acelei solu'(iii, care conyine eel mai mult, metodele cercetarii operationale devin auxiliare pre'(iioase ale deciziei. Mul'(ii autori le numesc chiar ,,pregatirea f)tiiniifica a deciziei". tn programarea liniara decizia este luata asupra acelui mod de folosire a resurselor, care asigura ca o func'(iie liniara (c~tig, cost, randament, productie, consum de materie prima) sa fie maxima (minima). In teoria, jocurilor prin decizie este aleasa o strategie ce, t;inind seama de strategia adversarului, garanteaza un ciijtig sigur ~i impiedica pe oponent sa "i-1 mareasca pe al lui. 1n controlul statistic al calita'(iii se ia decizia de a se examina numai acele ef)antioane care dau siguran'(ia unei productu corespunzatoare. 1n teoria a~teptarii se urmare~te determinarea unui numar de statii corespunzator costului total minim al a~teptarii f)i inactivitaW statiilor. Decizia ar fi astfel un element unificator. Ea are insa dezavantajul de a pune accentul pe o latura exterioara a fenomenului, tndepartindu-se de esenta lui. Este convingerea autorilor prezentei lucrari ca elementele unificatoare ale metodelor operationale pot fi considerate urmatoarele trei: obiectivele, resursele ~i strategiile. Decizia nu este decit momentul particular al alegerii unei strategii, care aijaza resursele de asemenea maniera, tncit obiectivele sa fie satisfacute. Este interesant de remarcat ca in acest triptic logic resursele apar de cele mai multe ori sub forma constringerilor, condi~iilor sau restrictiilor, sau sint oglindite in coeficien'(iii ~i parametrii cu-

INTRODUCERE

11

noscuti. Un rol deosebit de important U joaca strategiile care conduc la satisfacerea obiectivelor. Problema alegerii celei mai bune cai de atingere a unui obiectiv nu este decit o alta definitie a organizarii. Acumularea de metode, fie ele disparate, care se desfa~oara asta.zi pe o scara intinsa, constituie procesul sigur de cladire a unei noi ~tiinte a organizarii. Nu incape indoiala ca in cursul formarii sale va fi creat un nu.mar mare de conceptii noi, vor fi stabilite ana~ logii §i simetrii intre diferitele metode ale ~tiintei organizarii, care vor fi tratate intr-un limbaj comun. 1ntr-un deceniu, doua, §tiinta aceasta va avea nu.me distinct. S-ar putea numi teinologie, de la verbul grecesc care inseamna ,,a a~eza intr-o .situatie determinata". Spre deosebire de tehnologie, care reprezinta totalitatea metodelor ~i procedeelor de prelucrare a materialelor, teinologia ar fi ~tiinta organizarii factorilor care concura la un rezultat urmarit, astfel ca cerintele optimizarii sa fie satisfacute. Aplicata in prezent de preferinta in domeniile econonue1 ~i produciiei, teinologia ar constitui in viitor o calauza utila ~i m alte cimpuri de activitate umana. Lucrarea de fata este impartita in doua parti. Prima pa'rte are o considerabila unitate prin faptul ca are in centrul sau p1·og'rama1·ea liniara. Cele mai multe aplicavii le ofera acest model simplu in care constringerile §i functia de optimizat sint liniare. 1n ·cazul in care functia obiectiv este patratica, programarea devine patratica, algoritmii sai pastrind analogii considerabile cu cei ai programarii liniare. Gasirea strategiilor optime pure sau mixte in jocurile matriceale se reduce la o problema de programare liniara. Teoria grafnrilor, in problemele sale cele mai frecvente de drum minim sau flux maxim, conduce de asemenea la modelul liniar. Putem sa consideram ca sintem in cadrul uneia ~i aceleia~i familii de metode. Este de meniionat ca grnpul acesta de metode nu face apel la calculul difereniial ~i integral, cu exceptia procedeelor utilizate pentru programele neliniare. Algebra este marea sursa pentru majoritatea metodelor primei parii. · Din punctul de vedere al aplicatiilor, intreg capitolul tine de o fttza decizionala care ee desfaijoara inainte de organizarea sistemului. Partea a doua i~i bazeaza metodele pe calculul probabilitatilor ~i pe statistica .matematica. tn fenomenele la care se refera, variabilele sint aleatoare. 0 pregatire pentru intrarea in acest gen de probleme a constituit-o cazul programarii liniare stochastice, in care coeficientii sint sup~i intimplarii, caz tratat in capitolul VI al primei parti.

12

INTRODUCEBE

Daca modelele controlului statistic al calitatii sint mai vechi, teoriile echipamentului, ~teptki.i ~i stoourilor stnt .in plina inflorire actuala, lucru oglindit fi de literatura, vasta ce se publiclt asupra lor. Modelele acestei sectiuni ~i giseso aplicatia in problemele de tntretinere a unui sistem dupa o~ganizarea sa, . sistem supus unui numar de factori care variaza intimplator (clientii, vinzirile, stricarea, m~inilor, fluctuatia personalului etc.). tn linii mari, problemele organizarii se hnpart deci in doua sectiuni principale : constituirea unui sistem in vederea satisfacerii optime a unor obiective ~i ment;inerea lui in starea optima, de la care incearca sa-1 devieze factori aleatori. Metodele liniare iji statistice nu epuizeaza, insa instrumentele matematice, pe care ijtiinta organizarii iji le va apropia, in viitor. Discut;ii intense sint purtate in jurul teoriei sistemelor, de concept;ie structuralista. Logica matematica, teoria algoritmilor ~i teoria informatiei sint domenii care nu iji-au oferit inca potent;ialul pentJ,"U intregirea ~tiintei organizarii. Este natural ca intr-o t;ara ca a noastra, in care atit ijcoala de algebra, cit ~i cea de probabilitat;i au o tradit;ie respectabili, literatura inchinata metodelor noi de programare liniara ~i neliniara, teoriei jocurilor ~i metodelor statistice sa fie bogata ~i actuala. Lucrarea de fat;a ~i propune nu atit o tratare exhaustiva ~i riguroasa a metodelor, cit o infatiijare a posibilitaW practice de a le aplica. Accentul cade pe emmt;ul metodei, domeniul sau de aplicat;ii, pe descrierea principalelor algoritmi iji eventual pe ilustrarea lor. Trimiterile bibliografice sint menite sa ajute pe cititor sa completeze incursiunea in calculele pentru care a c~tigat gust iji interes. Familiarizarea cu noile metode ~i pierde, in conditiile productiei moderne, caracterul facultativ. Investit;iile uriaije, numarul ridicat de factori, dimensiunile problemelor de productie au limitat sever clmpul intuitiei iji au obligat pe om sa caute o calauza mai sigura. Nici cele mai bune ~i experimentate minti nu pot indica solu~iile la care ne conduce calculul ~i rationamentul matematic. Productivitatea, ridicata iji eficienta marita ale industriei contemporane sint rezultatele unor modele care au ghidat decizia de constituire ~i mijloacele de intretinere a unor sisteme organizate. Numarul mare de elemente ~i variabile care sesizeaza astazi gindirea organizatoru.lui 1-au facut sa int;eleaga ca este necesara o extensiune a puterii de a .le ouprinde. De aceea ordinatoarele (caJculatoarele electronice), primite la inceput cu scepticism, sint astazi din ce in ce mai solicitate. Era ordinatoarelor a, inceput iji ele

INTRODUCE.'RE

13

au reu~it sa capteze interesul inginerilor, economii,tilor ~i factorilor de decizie. Se uita adesea, ca ordina,torul nu 1·aspunde decit problemelor ce i se pun, cu mijloacele ca,re i se dicteaza. Folosirea, lui pentru ~tiinia organizarii presupune stapinirea metodelor acestei ~tiinte. Drumul spre stapinirea EStiintifica a, marilor procese de productie ESi functionare ale societatii contemporane trece prin cnnoa~terea, modelelor matematice ale organizarii, pentru realizarea ~i calculul carora calculatoarele sint auxiliare pre~ioase ~i uneori indispensabile. Volumul redus al cartii este adecvat scopului ei : acela de a largi interesul, de a mari orientarea ESi de a infati~a principalele metode care sint in curs de a fi cristalizate intr-o noua IJtiinta a organizarii. A fost pentru autori o deosebita sursa de incurajare convingerea ca se inscriu in curentul de idei ESi notiuni, promovate cu vigoare in iara noastra, in vederea, ridicarii randamentului ESi efioientei in toate ramurile de productie, ca ~i in organizare ~i administratie. Locul central pe care Direotivele Congresului al X-lea al Partidului Comunist Roman il acorda metodelor de gestiune EStiintifioa ESi caracterul prioritar pe care il rezerva metodelor matematice in economie este o dovada a etapei calitativ noi de aotivitate ~tiintifioa in care intra intreaga noastra viata economica ESi sociala. Printre resursele marilor obiective urmarite in planul oincinal 1971-1975 figureaza, alaturi de judiciosul inventar de rezerve materiale iji umane, metodele de a le folosi optimal ~i pentru ca acest lucru sa functioneze fira gre~, matematica este chemata sa contribuie cu toate achizi-~iile sale recente, cu virtu~ile ~i promisiunile sale.

PARTEA lNTII

PROBLEME DE OPTIMIZARE

1 MODELAREA MATEMATICA. A PROBLEMELOR DE OPTIMIZARE

1.1. PRINCIPALELE MODELE MATEMATICE

Nu mai constituie o noutate faptul ca, activitatea moderna in domeni~ productiei industriale ~i conducerii economice a devenit atit de complexa, incit rezolvarile tradit;ionale nu mai sint . sufioiente. 0 mare parte dintre problemele care se pun in conducerea economici a intreprinderilor sint probleme de optimizare. Modelarea matematica a acestor probleme ofera posibilitatea determinarii solutiilor optime (din anumite puncte de vedere), contribuind pe aceasta cale la ridicarea eficienvei economice a inti•eprinderilor. ln multe cazuri concrete problemele economice pot fi transformate in probleme matematice in modul urmator. Daoa notam ·prin 1 roblema (1.6), (1. 7') are in acest caz singura solu~ie optima A

l»= ~--

Prin urmare, rezolvarea problemei (1.6), (1.7') cere compararea valorilor functiei f nu numai in punctele de maxim (aau minim) relativ, aflate prin anularea derivatei intii, dar ~i in punctele de la extremitatile inte1·valului inchis [ O; in al doilea caz punctul a nu este punct de extrem. Daca forma cp este degenerata, se ridica probleme deosebit de dificile, asupra carora nu vom insista aici. Daca functia f nu are derivate part;iale continue in vecinatatea punctelor stationare, testarea optimalitaW punctelor stavionare devine un obstacol aproape imposibil de trecut, cind numarul variabilelor este mare. Este evidenta inaplicabilitatea acestei metode in cazul unei funcfii f nediferentiabile, caz care se intilne§te frecvent in practica. tnca ~i mai complicata devine rezolvarea problemei (1.9)

I 01.

>0 >1

este contradictoriu (sau incompatibil); mult,imea vida (fig. 6).

(2.51)

solutiilor este

42

tn sfir,it sistemul .de inecua~ii · .aJ1'.~

a:1 -

- 2a;_

o;

W2 ~.

m2 ~ 0

+ a: :>. 0 2

01 (2.52) ·

"Z

Fig. 5 Xz

0---------------~ Fig. 6

·

PROGRAME LlNIABE

are O· singura solutie, multimea, solutiilor coniine u.n singur punct (~tjginea) (fig. 7). !n general se arata ca avem .

Xz

....

____ ____________

~~~_._

_,

~

· Fig. 7 1. Un sistem de ecuatii sau inecuat,ii liniare determi'nll o mulJime convexa ca1·e este fie vi~a, fie poliedrica ~i nema1·ginita, fie un poliedru convex . .A~a cum remarcam mai sus, fiecare vir.f al poligonului O.ABOD al soiuiiilor sistemului de inecuaiii (2.48) determina o soiuiie de bazi admisibila pentru sistemul (2.48'). 1n general vom numi soluJie tle baza a unui sistem de m ecuaiii cu n necunoscute (m 0, > 0, > 0, 'g~ > 0, > 0 4w + 2m + 3:» =/=mm.

2m1 2X1

$3

X1

-

aJ2

$3

2

1

'U2

'U2

(2.59)

.

2

Vom avea deci maximum Ci= 10 solu1iii de baza pe care le inscriem in tabelul 2. 1n acest tabel sint trecute iji valorile corespu.nzatoare a-le functiei obiectiv pentru solutiile de baza admiaibile. Se vede ca cea mai mica valoare a functiei obiectiv- este f = 6 7/12 ~i se a tinge pentru solutia optima de baza " " X2= 11/12 ; W3 = 5/4. Trebuie sa observam aici ca numarul maxim al solutiilor de baza cre~te foarte repede o data cu cre~terea lui m ~in, ceea ce face dificila aplicarea acestei metode, numita ~i metoda descrierii totale. Tabelul 2 Valoarea Baza

I

Solutia. de bazA

I

functlel oblecUv

!

Baza

I

Solulla de -

I

Valoaren. functlei oblectiv

(J:i, X2}

(5/2, -1/3)

-

(Xis, Y1)

(4/3-5)

-

(X1, X3)

(11/6,-1/3)

25/3

(Xz, 111)

nu exista

-

solu\ie (Xe, X3)

(11/12, 5/4)

67/12

(X3, Y1)

(4,11)

12

(X1, Y1)

(2, -1)

-

(Xa, Ya)

(5/4, -11 /4)

-

(x1, Y2)

(5/2, 1)

10

(U1, Us)

(-5,-4)

-

\,/

·,

P;ROGRAME LINIARE

47 \.t

.

!;

&

),

.I

'~:.· · 2.3. METODA SIMPLEX PENTRU REZOLVAREA :'"'-. PROGBAMELOR LINIARE 2.3.t. UN EXEMPLU NUMERIC

Dupa, cmri\ s-a, vazut mai sus, numarul bazelor este foarte mare clnd m ~i n stnt mari ,i aplicarea metodei descrierii totale este neeconomica, din pu#ctul de vedere al volumului de ca.foul. Din acest m.otiv se poate proceda, astfel : - se determ1µa o bazi (o soluiie de baza) initiala admisibila, .- se stabile~te un procedeu care permite sa se treaca de la o baza la alta, (de la un vtrf la, altul al poliedrului solutiilor admisibile), prin aceasta schimbare de baza obtintndu-se o valoare mai mica (mare) a, functiei obiectiv intr-o problema de minim (maxim), - se opre~te procedeul iterativ (trecerea de la o baza la alta) tn momentul cind nu mai este posibil sa, se mic,oreze (mareasca) valoa,rea, functiei obiectiv. .A.ceasta idee sta Ia, baza. multor algoritmi. pentru rezolvarea prograinelor liniare, eel mai cu.noscut ·fiind algoritmul simplex dat de G. B. Dantzig [5], [6] . .Pentru ilustrarea, acestui procedeu si consideram. din non programul linia,r de Ia, 2.2.4. Sa consideram ca baza initiala pe (~, y 2) cu valorile t»1 = 5/2, y 2 = 1 ~i valoarea, functiei obiectiv 10 (asupra ·mo.dului de determinare a, unei baze initiaJe, v. 2.3.3). Rezolvam sistemul de ecuatii in functie de variabilele din. afara bazei : 5

X1

= -2 -

21»3

+ -21

'J/1

(2.63) (2.64)

i}i, inlocuind in expresia, funciiei obiectiv, obtinem (2.65)

Se vede ca pentru. x 2 = a:3 = y1 .= O ob-(iinem solutia de baza ~i valoarea functiei obiectiv scrisa mai sus.

PROBLEME DE OPTIMIZARE

48

1n expresia funciiei obiectiv f, x 2 ~i y1 au coeficienti pozitivi, iar a:3 are coeficient nega,tiv. Daca, vom considera baze in care sa apara, :.v2 ~i (sau) '!Ju vaJoa,rea, fu.nciiei obiectiv va cre~te, ceea ce este contrar dorintei noastre. Dace, vom considera insa o baza in care apare a:3 , valoarea, functiei obiectiv se va mic~ora . Din (2.64) se poate scoate 1

:.V3

1

= -3 + :.V2 + -3

1 '!/1 -

-

3

'!/2

..._(2.66)

§i inlocnind in (2.63) ~i (2.65) obtinem respectiv: (2.67)

(2.68) Prin aceste transformari baza (mu x 2 ) se transforma in baza (x17 ro3 ) en valorile variabilelor de baza x1 = 11/6 ~i x3 = 1/3 t:i valoarea functiei obiectiv / = ~5/3. Transformarea efectnata aici reprezinta o iteralie a algoritmului simplex. Din expresia (2.68) a, lni / se vede ca este inca posibil sa mic~oram valoarea fnnctiei obiectiv, daca introducem o noua baza,, in care sa apara ~i x 2 ( deoarece are coeficient negativ). Scotind din (2.67) pe x2, avem (2.60)

~i inlocnind in (4) ~i (6), obtinem . 5

1

1

X3 = - - - I V 1

4

67

3

2

7

+-Yi, 4

2

f = ·-+-xi +-Yi +-Y2• 12 2 · 12 3

(2.70)

PROGRAME LINIARE

Prin urmare, obtinem o noua baza admisibila (a:2, a:3 ) cu vaJorile variab.ilelor de baza a:2 = 11/12 ~i a:3 = 5/4, ia;r valoa1•ea, functiei obieotiv f = 67 /12. Se vede din expresia (2. 71) ca nu mai este posibil sa mi~ram valoarea funciiei obiectiv f prin considerarea altor haze, deoarece toti coeficientii variabilelor din afara bazei (mi, '!Ju y 2 } sint pozitivi. Operatiile £acute mai sus pentru realizarea celor trei iteratii se pot realiza mult mai simplu pe un tabel care poarta numele de ,,ta.bel simplex". I

Coeftcientll I funcilel oblecth· j

YB

4

X1

0

Y2

:r,

a:a

1

0

2

1

0

-3

@

-1

1

10

0

-2

5

-2

0

IVVB I 5/2

.:l:3

fl1

V2

-1/2

-0

I

Acest tabel se construie~te in modul urmator. tn a doua coloana sint trecute variabilele de baza, in a treia sint trecute valorile acestor· variabile, iar in prima, sint trecuii coeficientii functiei obiectiv corespunzatori variabilelor din baza. 1n urmatoarele coloane sint trecuti coeficienVU variabilelor din ecuatiile (2.63), (2.64) luati cu semn schimbat. !n linia a treia trecem in coloana VVB valoarea, functiei obiectiv pentru solu~ia de baza respectiva, iar in urmatoarele coloane trecem coeficientii care apar in expresia (2.65) (tot cu semn schimbat). Se observa ca ip. noua baza va intra acea variabila, care corespunde celei mai mari valori pozitive aflate pe linia a treia (linia functiei obiectiv), adica a:3 • Aceasta proprietate este generala ~i poarta numele de criteriul de int.rare in baza (pentru o problema de minim). Va,ria,bila X3 va intra in baza iji va inlocui pe una dintre variabilele

de baza actuale (a:1 ~i y 2 ). Deoarece baza care se va obtine trebuie sa Jie admisibila, variabilele de baza ce se a,fla, pe linia in care coeficient,H situati pe coloana a:3 sint negativi nu pot parasi baza. Sa vedem cum se transforma tabelul simplex in noua baza. (a:u a:3 ) (explicatia faptului ca y 2 ~i nu aJi parase~te baza va fi data. mai departe). 4 -

c. 1130

PROBLEME DE OPTIMIZARE

50

Pentru scoaterea lui a,3 din ecuatia (2.64) a fost necesara im.partirea, ecuatiei prin 3 [v. ecuatia (2.66)]; aceea~i opera.tie o fooem-· pe fabelul simplex (li~a a dona).

,__", runcitel I

VB

IVVBI

:r. 1

11/6 1/3

1 0

25/3

0

oblectlT

-t

3

X3

311

...

:r,

11:i

T/i

11:a

CID

1/6

-1

1

1/6 -1/3

-2/3 1/3

3

0

-1/3

-5/3

Pentru transformarea liniei intii procedam astfel : scadem din elementul de pe coloana j elementul situat in aceasta pe linia a doua transformata (tabelul 2) inmul~it cu elementul situat pe coloana lni a,3 : 5/2 - (1/3) ·2

= 11/6,

1-0•2=1, 0 - (-1)·2

=

2-1·2

= o,

-1/2-(1/3) ·2 = 1/6, 2,

0- (1/3)·2 = -2/3..

Aceijti coeficienti cu semn schimbat se afla in ecuatia (2.67). Pentrn obtinerea coeficieniilor din linia a treia (a fnnctiei obiectiv) se procedeaza absolut analog : 10 -(1/3)-5 = 25/3, · 0 -0•5

= o,

-2-(-1)•5 = 3, 5-1•5

= o,

-2-(-1/3)•5 = -1/3, 0 - (1/3)•5

=-

5/8.

Elementul situ.at in linia 2 ~i coloana 3 (adica elementul 3 din tabelul precedent) se nume~te pivotuZ transformarii.

l,,,-O.o

}·)7

( .,,

✓'

~-- t lj

; '.

~

~G

6

J

,1

t,

-

,1

r-

________ ..:___._ _P_R_o_G_RAME _ _L_INIARE _ _ _ _ _ _ _- ____ - _______ ~_51

I

,i -

.,

z_,_

Urmatoa,rea, itera,~ie se rea,lizea,za a,na,log. Se vede ca .x2 este va- :·· ' . riabila ce intra in baza, ia,r x1 este variabila, ce parase~te ba,za, ele- ·" mentul pivot fiind ega,l cu 2. Ta,belul simplex urm.ator este Coeficlentll funcilel oblect.lv

4

3

BV

\ml

:i:,

Xz X3

11/12 5/4

1/2 1/2

0

67/12

-3/2

0

:r,

:1'3

1

f/1

1'2

0 -

1

1/12 -1/4

0

-1112; :....213

-1/3 0

Coeficientii plasati pe nltima linie fiind tofi nepozitivi, solufia de baza obtinuta este optima.

-2.3.2. FORMULE DE SCHIMBARE A BAZEi. ALGORIT.l\IUL SIMPLEX

Sa reluam problema, schimbarii unei baze in cazul general. Sa consideram, pentru claritate, ca primele m variabile sint variabile de baza, ale programului linia,r standard n

~

a,,

(1)1

= b0 1 ~ i

~

m,

(2.72)

i-1

(Cl

> 0,. 1 bu

ieI 2

j-1

(2.82)

II

~ ai1 x, ~ b"

i e 13

i=l

x,

> o,

1 ,2

+ m2).

Transformam problema aducind-o la forma standard: (2.86)

(2.87)

Aplicam metoda celor doua faze.

Faza 1. Rezolvam problema (2.88)

60

PROBLEME DE.OPTIMIZARE

cu restrictiile (2.87) • .A.vem succesiv

l--;.;-l-;;.;-1 1

:r~

3

I

0

0

0

.T1

Zt

:rj

®

1

-1

0

1

:r2

Z3

~1

0

0

1

0

1

1

eg

=I 0 .

0 '

1

xg

6

4

3

0

-1

0

0

1

0

1

xg

2

1

2

0

0

-1

0

0

1

-1

-1

0

0

0

-- -- -- --- --

11

8

G

-1

--

0

Xi

l

1

1/3

-1/3

0

0

0

0

1

x;

2

0

5/3

4!3

-1

0

1

0

1

x;

1

0

@)

1/3

0

-1

0

t

3

0

10/3

5/3

-1

-1

0

0

-2/5

0

1/5

0

CD

1

---- --

--- -0

Xi

4/5

1

0

1

•xa 2

l

0

0

1

X2

3/5

0

1

1/5

1

0

0

1

0

.--

-1

0

-3/5

0

-- - -1

1

0

---0

Xi

3/5

1

0

0

:rs

1

0

0

1

0

X2

6/5

0

1

4/5

1)

0

0

0

0

-3/5

1/5

0

-1

1

-~l/5

0

-0

0

'·

..

PROGRAME LINIARE

61

Prima, faza, se termini astfel cu e = 0 fi sotuiia de bazil, adm.isibili m1 = 3/5, tV2 = 6/5, m; = 1 care este soiuiie de baza admisibilA ~i pentru problema (2.86), (2.87).

Faza Z

hd~I

2

1

0

z,

:Z::

:ri

3/5

1

0

-3/5

.I 2

I

X

1

0

0

:r;

ea

1/5

0

-1-I j

0

Xe;j

1

0

0

1

1

X2

6/5

0

1

12/5

0

0

-1

=1

4/5

-3/5

0

-2/5

-1/5

0

'

[-_ -

Deoarece toti z1 I\

X1

I\

= 3/5; X2

-

c1 ~ ·O, am aflat chiai soiuiia optima : I\

A

I\

= 6/5, :»i = X2=0, Xs =

A

1;

:»1 =

cu valoarea minima : min (2x1 + x2} = 12 /5. 2.-1.2. EXEMPLUL 2 (CICLAJ)

Avem problema sub forma standard

+ + = 5, a:, > o, 1 < i < 5,

a':1

:»2

.X5

0, I< i ~ 3

PROBLEME DE OPTIMIZARE

62

Baza, admisibila, iniiiala este formata din variabilele m3; m4 , a:6 • Tabelul ··simplex este . ·o -1 1 0 0

l--;;-1~ 4

Z:a

:l:a

1·

z,

2

-1

4

1

-2

0

1

5

1

1

0

0

1

-1

0

0

0

Xa

0

Xe X5

0

0

=i

-=. 0

0

0 ...

1

---·0

Se vede ca variabila a:1 intra in baza ~i una din variabile x3 sau vor parasi baza. Aplicind regnla practici data, observam ca rapoartele obtinute in liniile lui m3 ~i a:4 prin hnpatj;irea, cu pivoiii posibili (2 iji 1) sint respectiv X4

1 1

Cum - 2

-

1 2 .

2

1

2

0

< - 2...., rezulta ca m4 parase~te baza, pivotul fiind 2· .

deci m41 = 1. Tabelele simplex urmatoare vor fi deci -1

I 0

VB

I

VVB

I

Z1

0

1 Z2

Za

0

0

:ii,,.

lrg

·- ...

-1-

0

0

@

1

-2

--~

2

-2

0

1

0

0 _i__

3

1 0

3

0

-1

1

---1 --1- __i_

-2

0

1

0

-1

0

0

0

1

®

-2/3

0

+2/3

7/3

0

-1

X2

2

-- 30 ~ ---2

0

1

0

0

0

-1

3

1

0

0

-1/3

-3

0

63

PROGRAME LINIARE

Solu1'ia optima {degenerata) este A

X1

= 2,

A

a,2

=

A

0, m3

=

A

0, :.V4

=

A

0,

:.V5

=3

~i valoarea corespunzatoare a func~iei obiectiv este min {mi+ a:2 )

=-

2.

2.5. DU.ALITATE 2.5.t. UN EXE.MPLU_ DE PROGRAl\lE DUALE

· Sa ·consideram exemplul simplu al unei probleme de dieta {amestec) n

min

t

c1(JJ1 ,

{2.89)

i=l

,. ~ i=l

a,,x, :>-bi, x,

a,,, b,, c,,

~

O, 1

{2.90)

0. ml

17

2,

3,

4,

5

?3

PROGRAME LINIARE

Variabilele x 1 ~i x 2 formeaza o baza, care nu este insa admisibila; deoarece soiuiia de baza corespunzatoare esoo a,1 = -2, m2 =l. Peiltru a face pozitivi toii coeficieniii func1iiei obiectiv, introducem restriciia artificiaJa

unde ev, = max {cJ} = c3 = -1 ~i deci programul se scrie ; I c1 < o

. Pentru acest program soiuiia de baza dual-admisibila este m1 = -2-M, x 2 = l+M, x3 = .ill. Tabelul simplex corespunzator este

=

1-·l- I-'I-'10

c,

I 0

VB

I

VVB

M

:I::

Q:1

0

--

X3

0 --

X1

-2-M

1

~

1 +M

0

0

0

M

0

0

--

- -e 0

--

X3

1 -0 --

X5

2+M

-1

X2

M+3

-1

M+2

-1

1 ·1 -z,·

1

:r:,

Za

Ce

0 1 -0 - -1 - - -0 - - -

0

0

1

e

-1

1

1 -0 - --1- -1 - --1 - --1 -0 - -0 - --1- 0 1 0 0 1 -----+1 -0- -0 - --1- 1 0 2 -l - ----2 - 0

'--

0

0

-2

0

0

.74

PBOBLEME DE OPTIMIZARE

'

...

·.•

ce arata ca, am obtinut o solutie ..de bad, a~isibila (a,i deci optima.), pentru. care vaJoarea functiei obiectiv este oricit de mare clnd M-+ oo ; progra,mul initial nu are deci solutii (restric~ii oontraceea,

dictorii).

2.6. REZOLV.A.REA PROGRAMELOR DE TRANSPORT 2.6.t. REZULTATE PRELIMINARE

Se poa,te arata

ca orice problemi de transport (vezi 2.1.2)

llEJOr

se poate aduce la forma, *) n

~

a:., =

a,,

m,

(2.111)

l ~ j ~ n,

(2.112)

1 ~i~

.1=1 m

~ , .. 1

a:,, = b

1,

(2.113).

min

.m

"

~ ~

oi,

(2.114)

(1), 1 ,

i=l i=l

unde m

h

~

a, = ~

i=l

1=1

b1 ,

a,> o,

b1 ~ O.

Ma,tricea, coeficientilor iii. sistemul (2.111), (2.112) este formate. numai din elementele zero l)i-1, avind rangul m+n-1. Se arati Ul)Or ca daca atribuim varia.bilelor problemei (2.111){2 .114) Ta.lorile ·

obpnem o solutie admis,bila, a programului de transport. •) lntr-adevar, restrictlllc . (2.16) -vor fi verifieate la optim cu egalitate, iar rest rlctfile (2.15) stnt transformate 1n egalitiitl prln introducerea unor variabile ecart.

. ~ R . O G ~ : . ~ . .. , ...

Programul dual pentru problema, (2.111)-(2.114) este (2.116) u, , v, -. oareoa.re ;

(2.116)

v,1) este optim, daca ~i numai

Cuplul de solu~ii duale (a:,,) ~i (u0 daca n

~ -:t.1.,

,.•:,, •.

: . ~ ...

i=l

,n

~

=. a" ..

:f,, = b,,

l=l

>·O, c,, -ii,- v, > o, x,, (ci, - u, - v,) = ·o, :i:;,

conform teoremei 4 din 2.6.2. mtima c~ndit;ie arata ca

lntroducem urmatoarele no~iuni : - celula: o pereche de numere (i, j). - oiclu: un ~ de celule de forma (i2, js), ... , (i,, j,), (i,, j1).

(ii, i1), (ii,

is), (i~u

is),

:U.2. ALGORITMUL DE TRANSPORT

Etapele unei iteraiii a, aJgoritmului sint urmitoarele :· a) Se considera tabelul de transport P ~i se determina o solu~e init;fala, de b,aza (vezi 2.6.8) care ee inscrie in tabelul T. ·

PROBLEME DE OPTIMIZARE

16

b) Notind cu I mul~imea celulelor (i, j) corespunzitoare va,riabilelor de baza, se rezolvi sistemul

u,

+ =c '01

0,

(i, j) e I,

fixtndu-se a,rbitrar valoarea unei variabile (de exemplu 1,'l = 0). Se inscriu valorile aflate u0 v, in· marginile tabelului T f1i se calculeazi expresia 8i, = u, v, pentru (i, j) El: I. b 1 ) Da.ca 3H O pentru orice celula (i, j) '= I, solu~ia (~.,, este optima. b 2) Dacli. 3i1 > O pentru eel puiin o celula (i, j), se calouleaza.


O.

Rezolvarea programului patratic dat initial revine deci la determinarea unei soluW admisibile a sistemului (3.39) - (3.41), in care w

= O, z1 =

z2

=

n

0 ~i

t

V/JJ,

=

0.

1-1

tn etapa intii a algoritmului se elimina, din baza variabilele artificiale 1 i ~ m, minimizind cu ajutorul algoritmului simplex obi~nuit forma liniara

w,,
o, 1 ~ j ~ n,

unde f ~i f, sint funct,ii convexe, diferen~iabile. Nu mai revenim aici asupra posibilitat,ii ca o problema de alt tip sa fie adusa la forma (3.59).

Rezultatul central obt,inut in directia abordarii acestui tip de probleme ~i care extinde la programul convex (3.53) rezultatul clasic relativ la extreme cu legaturi este cunoscut sub numele de

OondiJia

necesara

,i

8'ltficienta ca .;_ = (;i, ... , a::)' sa fie o soluJie optima a p,·oblemei (3.53) este A sit existe u = (it11 ••• , um}' 011, prop rietdJile : CONDITIILE KUHN;-TUCKER. I\

I\

1

A

fi(x) ~ 0, 1 ~ i ~

A

m, u,

> o,

(3.54)

/

110

/

PROBLEME DE OPTIMIZARE

A

{1)1

> O, 1 < j < n,

(3.55)

A

fl&

A

~ uJ,(x)

= O,

(3.56)

ia:l

(3.57)

Pentru necesitate facem in plus ipoteza ca A

/,(x) < O

(3.58)

pentru tot;i i pentru care funct;ia /, este neliniara. A Sa observam ca (3.54) sint condi1iii care asigura ca x este solutie admisibila a problemei (3.53), iar (3.55) sint condi1iii impuse multi" . plicatorilor 'U,,. Condit;iile (3.56), (3.57) sint echivalente cu A

A

= 0, 1 < i ~ m,

U;}';(X)

(3.56')

Caire arata ca

= O,

u, > 0 implica, f,(x)A A A


0 implica

A

af(x)

ax,

(3.58')

= o,

m

+~

}

A

ar,(x)

,... 1 ax,

A

u, =

o, (3.58")

A

af(x)

ax,

tli

+ 'E i=l

A

afi(X)

ax,

A

'll,i

> 0 implica,

A

X

1

= 0.

111

PROGRAME NELlNIABE

Cu alte cuvinte (3.58') arata ca : daca un mnltiplicator este strict pozitiv, restrict,ia corespunzatoare este satisfacuta cu egal, ~i invers, daca restrict,ia este satisfacuta strict, multiplicatornl corespunzator este nul; analog se intimpla pentru (3.58"). Se poate vedea u~or ca teorema Kuhn-Tucker, aplicata problemei considerate in 1.2.2, conduce la rezultatul pe care I-am prezentat in acela.Jji loc. 3.2.2. METODA GRADIENTULlil

Sint cunoscuii numero~i algoritmi pentru rezolvarea programelor neliniare convexe, baza~i pe faptul ca direct,ia celei mai rapide cre~teri (descre~teri) pentru o funct,ie este direct,ia data de vectorul gradient. Mai precis, daca ne punem problema determinarii direct,iei (vectorului) r, care da cea mai mare cre~tere (descrei,tere) a funct,iei diferent,iabile / (x) in punctul x", aceasta inseamna maximizarea derivatei dupa, rlirect,ia r in punctul x0 : (3.59)

rr + ,: + . . . + ,: = 1,

(3.60)

unde restrict,ia (3.60) arata ca vectorul r este de lungime 1, sau n

of(XO)

max ~--·-r ~

i= 1

rl

. !l

ux,

(3.59')

,,

+ r§ + . . . + r! = l.

(3.60')

Problema (3.59'), (3.60') este o problema de extrem legat clasica,. Introducincl deci multiplicatorul ,., . oh(iinem lagrangianul : (r, 1.)

=

t

n

1-1

. [ + ). 1 - ~ r,· • ax, . . ; ...

8( (XO)

.,......;.,_---'-r1

ff

]

1

/

PROBLEME DE OPTIMIZARE

112

Prin urmare, determinam 1·, ~i

a«1> (x > -or, = arax, -

11.

0

i)(f>

-

i})..

=

n

2 2

1 - ~ r, j= 1

11. t 1

=

din sistemul

= O, 1 < j

< n,

O,

de unde

~i 1

'1

= +

-l-~-n-(-0-,-~x-0>_)_2_]1-,2- · ar~=:) · ;.,._1

(3.61)

ax,

Se poate vedea ca semnul plus in (3.61) corespunde unei cre~teri maxime, iar semnul minus unei descre~teri maxime a func}iei f (x). Prin urmare, deplasindu-se in direc~ia gradientului, ob}inem cea mai mare cre~tera a func}iei, pe cind deplasarea in direc~ia gradientului luat cu semnul minus conduce la cea mai mare descre~tere a funcviei. .Aceasta observavie stala baza metodelor de rezolvare de tip gradient. Mai precis, sit presupunem ca sintem in posesia unei soluvii admisibile ini}iale x0 a unui program convex ~i sa calculam gradientul functiei obiectiv f in acest punct. Daca Vf (XO)

=

0,

atunci x0 este chiar solu}ia optima cautata. Daca vf {x0 ) =I= o, se cauta un alt punct x1 care sa fie solutie admisibila ~i pentru care sa avem f (x1 ) < f (x0 ). Daca vf (x1 ) = o, rezulta ca x1 este solutie; in caz contrai· se cauta o solu~ie admisibila x 2 , pentru care f (x 2 ) < f (x1 ) etc. Punctele admisibile· x1, x2, ••• stnt cautate de ~a maniera, incit

PROGRAME NELINIARE

113

deplasarea de la un punct la urmatorul sa produca cea mai mare descreijtere a valorii funcviei obiectiv (pentru problema de minim),. daca aceasta este posibil, sau sa asigure descre~terea stricta a valorii func~iei obiectiv. Vom da in continuare un algoritm de tip gradient datorat lui Zoutendijk pe care il vom expune, pentru simplitate, in cazul restriciiilor liniare. Mai precis, sa consideram problema max f (:»17

,. ~

a11 x,

i=l

, O,

(3.62)

x,,),

••• ,

1 ~j

+ 1 < i < 1n,

< n,

(3.63)

(3.64) (3.65)

unde f este concava, ~i fie x0 o solu'(iie admisibila [care verifica (3.63)- (3.65)] ini'(iiala.

Daca vf (x0 ) = o, rezulta ca x0 este optimul cautat. vf (x0 ) =/=: O, atunci cautam punctul x1 urmator sub forma X 1 =XO+

Ar,

Daca. (3.66)

unde r este un vector de lungime 1, r'r

=

(3.67)

1,

11. > 0 este un scalar. Sa observam ca solutia iniViala x0 = (x~, xg, ... , x2)' va verifica o parte din inegalita'(iile (3.63), (3.65) cu egal. Sa notam

iar

Jo = {j I xJ

=

O,

1

< j < n},

(3.68) (3.69)

8 -

c. 1130

/

PROBLEME DE OPTIMIZARE

114

Pentru ca x1

sa

fie admisibila, trebuie

+ )..r1 > O,

x~

,/

sa

avem pentru j-e J 0 :

j e J0

sau 1'1 ~

~i pentru j e J 0

0, j

E

Jo

(3.70)

:

(3. 71)

De asemenea trebuie n

sa avem pentru i e 1

a;~+

~ a,,

n

ii.~ a0 r1

j =-1

j= 1

< b.,

0 :

i e 10

sau

" ~

ai, 1·,

< O,

(3.72)

i e 1 0,

i=l

iar pentru ie 1 0 , 1

~

i

~

,r

~

i= 1

; =l

A ~ a,1 r, ~ b, -

1n sfir~it, pentru ni1

"

a,1 x~, l

+ 1 ~ i ~ m,

" a,, 1· = 1

~

sa

m, trebuie

o,

m,1

avem

< i < m,

trebnie

+ 1 < i < m...

; ... 1

I

Sa 0t

=

notam

m:n (- :: ) pentru j e J 0,

oo daca n.u exista j: r,
O, 1 < i < mu

i a: I ~'

i=l

y

Sa observam

ca daca

=

min (ex, ~).

A > o se ia, suficient de mic, adica 0


..OJ],

(3.93)

PROBLEME DE OPTIMIZARE

118

unde

z = 2y'v > 0.

ln plus avem

u'z zi

=

0

= 0 pentru m1

+ I.

2 (1

+ i..) + 4 = o,

Vom adopta deci pentru i.. valoarea i..1

Avem din nou Vf {x2)

=

{O, 2)'

>- O,

Ja =0,

12

= {2, 3, 4}.

i..'

=

=1

1.

~i, prin -ilrmare,

132

PROBLEME DE OPTIMIZARE

Prin urmare, determinam r din programul r1

+ r -l.

1

PROBLEME. DE .OPTIMIZARE

140

Al treilea pas va fi facut deci in directia,

\

i • o r i=X · - X .. =

-

(

. . •· _: •

(a,I~,,_ 1,6)·· • a12

-1,6

. care :Be determin~. ca ma~,inainte ~i se obiine

'·

'-·'·

.,

i': " , r

..

'

.• .. ,· ..

'

..

_

,

r

.

..

= ( ::: ) .

N oul punct va fi caut~t deci sub forma ..

•~ ..

+

xa ~ x2 +Ar= (1,6 ~,4 A) · 1,6 - 9,6 A

-

cu Ae (0,1]. . Punctul de minim al functiei f(x 3) ca functie de A se determina, ca mai inainte ~i se .. obtine 11.'_= 1/16 . .Alegem, prin urmare, 11.3

= ..!.. ~i 16 xs = x2 .

obtinem punctul

+ Asr

..

_.( 1,6 \ + _!_ ( 6,4) = ( 1,6 + o.,4 ) = ( 2 ) • . 1,6-J. 16 -9,6 1,6 - 0,6 1

Urmatorul punct va fi cautat in direc~ia 'I

.· x -x 3 r=

= {a:1-2)'· ,

.

a12 -

1

astfel incit si ob-~in.e~ min [VJ (x 3 )]'

[x - X

3]

=

6 (a:1 - 2)

+ 4 (a:2 -

1).

(3.151)

Programul·1in1ar (3~151'), (3:145) are insa minimul egal ell zero, astfel incit nu exista nici o direciie r in care funciia obiectiv· sii. mai descreasca; cu alte cuvinte, soluiia optima a ·probl~mei (3.144), (3.145) a fost gasita : 1 ,._·

••

x =·xs,_

(2)1 .

PROGRAME NELINIARE

141

Exemplul 5. Vom rezolva aici un program neliniar convex cu restrictii neliniare, aplicind metoda planului de sectiune a lui Kelley,. data in 3.3.4, B : min f(x)

= -Xi + x

f1(X) =Xi+

aJi

(3.152)

2,

+ 2X1 -

3,25

< 0,

(3.153) (3.154)

fa(X)

=2Xi-5aJi +0,2X2 + 0,5 < 0.

Vom: alege mai intii punctul x0 1 0 = {i : f.(x0)

=

(3·.155)

(1,0)'. Determina,m

> 0}

= {2; 3; 4}.

Avem apoi

V/1 (x) = (2x1 + 2 ; 2x2 )', V/2 (x) = (2xi; 4x2 - l)', Vf3 (x) Qi

=

(3.156) (3.157) (3.158)

(4xi - 5; 0,2)'

deci

= (2;

Vf1 (x0 ) = (4; O)'; Vf2 (x 0 )

-1)';

V/3 (x0 )

=

(-1; 0,2)'.

Vom determina deci x1 ca solut;ie optima a programului liniar min ( -Xi

+ X2),

4x1

-

(3.159)

4,25

2Xi - X2 - 2,25 -

Xi

+ 0,2 X2 -

< 0,

(3.160)

~

(3.161)

0,

1,5 ~ 0.

Rezolvind, obtinem xi= (-3,~5; 8,75)'. Vom avea apoi Ii= {i :/, (x1 )

> O} = {2, 3, 4}

(3.162}

PROBLEME DE·OPTIMIZARE

142

~i deci noul punct x~ va fi determ.inat ca solutie optima a progra,-

mului liniar

(3.163) 2X1 -

4,5m1

X2 -

2,25

-

17 ,5m2

-18m1

+ 0,2m

-

2 -

< 0,

(3.164)

< 0, 20,6 < 0,

(3.165)

90,4

(3.166)

la care se mai adauga ~i restric'(iiile (3.160)-(3.162). Se obtine x2 =

=

(-1; -4).

Continuind in mod asemanator, se ob'(iin punctele x 3, x4• Rezultatele calculelor sint date in tabelul urmator: Iteratla

1 2 8 4 5

6 7 8

I

Punctele

I Multlmlle lo, 1

:1°, J: 1 • • •

x0 = (1, O)' xl = (-3,25; -8,75)' x2 = (-1; -4)'

10

I

= {2,

x = (1;

Valorlle funotlel

f(J)

f (x0) = -1

3, 4} 3, 4} 3, 4} {2, 3, 4} {2} {2} {2} {1, 2}

= {2, 12 = {2,

11

(-0,1; -2)'' (0,6; -1)' (0,9; -0,5)' (1; -0,25)' (1,2; 0,1')

Solutia optima este

1, • • •

f(X 1) f(x2)

=

=

-5,5 -3 -1,9 -1,6 -1,4 -1,25 -1,1

0,5)' •

3.4. PROGRAME GEOMETRICE 3.4.t. INEGALITATI GEOMETRICE

Sa consideram numerele 8,

> o, i o, punctul de minim ft

~ ai, ln x,

=

A

hi Bi11,

1 - O ponderile corespunzatoare termenilor func- · tiei obiectiv : (3.196)

Analog avem (3.197) *) Vom nota

M4

=

inf {g0 (x):

g1 {x) ~ 1,

t', k~ p,

x~ O}.

152

PROBLEME DE OPTJMIZARE

unde a,> 0 , i e I"' sint variabile duale asociate termenilor~din expresia funciiei g"' iar . ··

b

Ai:=

8i.

iEik

Din (3.195) ~i (3.197) obtinem

sau m ( > II -. )81 •.II A/. ,=1 8, 'P

Ui

Uo(Xi, X2, •.• , Xn)

A

(3.198)

kml

tnlocuind in (3.198) expresia lui it, din (3~194), obiinem

Daca. punem acum conditia (3-.2.00)

inegalitatea (3.199) devine Uo (mu

X2, ••• , Xn)

> .m IT (C·)B• -· . n "A,_k = 'V (6), 8i P

4... 1

A

(3.. 2.0.1)

k ... 1

iar programul dual asociat programului primal (A} est& max v (6)

'E a. = 1, iEio m

b a, ai, = o,

,-1

1