Lieferzeitorientierte Distributionsplanung: Integrative Depot- und Transportoptimierung im Rahmen der Marketing-Logistik [1 ed.] 9783428442669, 9783428042661

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Betriebswirtschaftliche Schriften Heft 98

Lieferzeitorientierte Distributionsplanung Integrative Depot- und Transportoptimierung im Rahmen der Marketing-Logistik

Von

Werner Delfmann

Duncker & Humblot · Berlin

WERNER

DELFMANN

Lieferzeitorientierte Dietributionsplanung

Betriebswirtschaftliche Schriften Heft 93

Lieferzeitorientierte Distributionsplanung Integrative Depot- und Transportoptimierung im Rahmen der Marketing-Logistik

Von Dr. Werner Delfmann

DUNCKER

&

HÜMBLOT

/

BERLIN

D6 Alle Rechte vorbehalten © 1978 Duncker & Humblot, Berlin 41 Gedruckt 1978 bei Berliner Buchdruckerei Union GmbH., Berlin 61 Printed in Germany ISBN 3 428 04266 2

Geleitwort

Ein Verdienst der modernen Marketing-Theorie ist es, das analytische Interesse — i n der neoklassischen Theorie blieb es vornehmlich auf die Preispolitik beschränkt — auch auf die übrigen Marketing-Instrumente gelenkt zu haben, die für die Absatzpolitik von Industrieunternehmen immer größere Bedeutung gewinnen. I m Zuge dieses Bemühens befaßt sich die vorliegende Arbeit mit der Optimierung des Distributionssystems. Dieser Fragenkomplex ist i n der Literatur bereits vielfach behandelt worden. Dies jedoch lediglich unter dem K r i t e r i u m der Kostenminimierung. Damit aber w i r d nicht berücksichtigt, daß die Ausgestaltung des Distributionssystems auch einen nachhaltigen Einfluß auf die Nachfrage und damit auf den Erlös ausübt — dies vor allem über die Lieferzeit. Der Verfasser w i l l diesem Mangel abhelfen. Er entwickelt marketinglogistische Optimierungsmodelle, i n denen die Kosten und Erlösaspekte Berücksichtigung finden. Diese Modelle zeichnen sich zudem dadurch aus, daß die Optimierung des Distributionssystems i n verschiedene Stufen aufgespalten w i r d und für die einzelnen Optimierungsstufen (Teiloptimierung von Standort, Kapazität, Liefertour und dgl.) jeweils spezifische Algorithmen eingesetzt werden. Hierdurch werden Elastizität und Praktikabilität der Planung des Distributionssystems erhöht. Die vorliegende, beachtenswerte Arbeit bietet eine wertvolle Bereicherung des Instrumentariums der Distributionsplanung. Sie ist ein verdienstvoller Beitrag zur Diskussion über die marketing-logistische Optimierung. Ich wünsche ihr ein lebhaftes Echo i n Wissenschaft und Praxis. Münster, i m November 1978 Helmut

Koch

Vorwort I n jüngerer Zeit w i r d der Lieferzeit als absatzpolitischem Instrument i n der Betriebswirtschaftslehre vermehrte Bedeutung zuerkannt. Dies findet allerdings i n den Ansätzen zur Distributionsplanung noch keine Berücksichtigung, obwohl gerade das Distributionssystem der Unternehmung die Lieferzeiten determiniert. I n dieser Untersuchung w i r d die Lieferzeit i n die Distributionsplanung einbezogen. Damit soll die Lücke zwischen der praktischen Bedeutung der Lieferzeit und ihrer Berücksichtigung i n theoretischen Analysen weiter geschlossen werden. Die Arbeit wurde i m Herbst 1976 abgeschlossen und i m Wintersemester 1976/77 vom Fachbereich Wirtschafts- und Sozialwissenschaften der Universität Münster als Dissertation angenommen. Es ist m i r ein besonderes Anliegen, meinem verehrten akademischen Lehrer, Herrn Prof. Dr. Helmut Koch, für wohlwollende K r i t i k und wertvolle Anregungen zu danken. Außerdem danke ich meinen Kollegen am Institut für industrielle Unternehmensplanung der Universität Münster für ihre stete Bereitschaft zur kritischen Diskussion. Nicht zuletzt gehört mein Dank meiner Frau Elke, deren liebevolles Verständnis für den Fortgang der Arbeit besonders wichtig war. Münster, i m November 1978 Werner

Delfmann

nsverzeichnis Einleitung I. Problemstellung

1

I I . Plan der Untersuchung

7 ERSTER T E I L

Methoden der Distributionsoptimierung und ihre Problematik — Zum Stand der Entwicklung 1. Kapitel:

Einführung

8

2. Kapitel:

Simulationsgestützte Distributionsoptimierung

9

I. Die Merkmale von Methoden zur simulationsgestützten Distributionsoptimierung

9

I I . Die Eignung von Methoden zur simulationsgestützten Distributionsoptimierung

10

3. Kapitel:

Marginalanalytische Methoden zur Optimierung der MarketingLogistik

I. Der Ansatz von Miehle I I . Die Problematik marginalanalytischer Methoden zur Distributionsoptimierung 4. Kapitel:

12 12 15

Distributionsplanung mittels algorithmischer Methoden auf der Basis diskreter Optimierungsmodelle

I. Grundlagen für die E n t w i c k l u n g diskreter Distributionsmodelle I I . Diskrete Distributionsmodelle u n d ihre Problematik 1. Die Zweidimensionalität absatzlogistischer Variablen 2. Rein kostenorientierte Ansätze a) Modelle ohne Zeitbezug aa) Der Ansatz von B a u m o l u n d Wolfe ab) Kritische Würdigung b) Die Problematik von Modellen m i t der Prämisse eines vorgegebenen Lieferzeitstandards 3. Der Versuch der Erfassung der Erlösseite durch den Ansatz von Opportunitätskosten a) Der Ansatz von K u e h n u n d Hamburger b) Die Problematik des Opportunitätskostenansatzes

18 18 22 22 24 24 24 26 29 31 31 33

VIII

Inhaltsverzeichnis ZWEITER TEIL Eine Methode der lieferzeitorientierten Distributions-Optimierung

5. Kapitel:

Einführung

36

6. Kapitel:

Der Optimierungsgegenstand: Entscheidungsvariablen Entscheidungsfeld der Marketing-Logistik

und

I. Einführung

38 38

I I . Die Abhängigkeit der Logistik-Kosten von dungen

Distributionsentschei-

41

1. Die Komponenten des Vertriebssystems als Kosteneinflußgrößen a) Die Determinanten der Depotkosten b) Einflußgrößen der Transportkosten c) Möglichkeiten der Substitution zwischen Depot- u n d Transportkosten

41 41 49

2. Kostenabhängigkeiten i n einem bestehenden Distributionssystem

63

I I I . Der Einfluß von Distributionsentscheidungen auf den Unternehmenserlös

67

1. Die Abhängigkeit der Lieferzeit von absatzlogistischen Entscheidungen a) Zusammenhänge zwischen Depotnetzgestaltung u n d Lieferzeit b) Die Transportmittelabhängigkeit der Lieferzeit c) Lieferzeitbeeinflussung durch den selektiven Einsatz von Lageru n d Transportaktivitäten 2. Die Lieferzeitabhängigkeit der Nachfrage

Grundmerkmale thode

der lieferzeitorientierten

67 67 69 70 72

3. Vorrangig qualitative Aspekte des Zusammenhanges physischer Distribution u n d Erlös 7. Kapitel:

60

zwischen

Optimierungsme-

I. Charakterisierung der Methode

76

79 79

1. Allgemeine Prämissen

79

2. Das Prinzip der geteilten Optimierung

83

I I . Die Vorselektion 1. Die Festlegung von Gebieten gleicher Lieferzeitgrenzen f ü r alternative Transportsysteme

84 84

2. Die Erstellung v o n Lieferzeit-Nachfrage-Kurven a) Die Problematik der Annahme stetiger Abhängigkeiten z w i schen Lieferzeit u n d Nachfrage b) Stufenweise konstante Lieferzeit-Nachfrage-Kurven

87

3. Die E r m i t t l u n g depot- u n d produktspezifischer Nachfragemengen

93

I I I . Numerisch-exakte Optimierungsmodelle

87 88

99

Inhaltsverzeichnis 8. Kapitel:

Das numerisch-exakte Ausgangsmodell zur lieferzeitorientierten Distributionsoptimierung 100

I. Die Entscheidungsvariablen I I . Das Optimalitätskriterium

100 100

1. Die Zieldefinition

100

2. Die Erlöskomponente der Zielfunktion

101

3. Die Depotkosten

103

4. Die Kosten des Transportsystems

107

I I I . Das Entscheidungsfeld

109

1. Einführung

109

2. Restriktionen über den Lagerbestand i n den Vertriebszentren

110

3. Transportrestriktionen

111

4. Zuordnungsrestriktionen

112

5. Nichtnegativitäts-, B i n ä r - , Anfangs- u n d Endbedingungen

115

9. Kapitel:

Verfeinerungen des Ausgangsmodells

I. Einführung I I . Die Einbeziehung zusätzlicher Handlungsalternativen

117 117 117

1. Kurzfristige Inanspruchnahme von Lager- u n d Transportkapazitäten als Handlungsmöglichkeit 117 a) Die zusätzlichen Entscheidungsvariablen 117 b) Die erweiterte Zielfunktion 120 c) Erweiterung des Entscheidungsfeldes 122 2. Eigenbetriebliche Transportleistungen als zusätzliche Handlungsalternative 128 I I I . Die Verfeinerung der Zielfunktion

131

1. Die Einbeziehung der Annahme nichtlinearer Transportkostenfunktionen 131 a) Das Auftreten nichtlinearer Transportkostenfunktionen 131 b) Die modifizierte Z i e l f u n k t i o n 132 2. Das Problem der Annahme nichtlinearer Depotkostenfunktionen 133 10. Kapitel:

Spezifikation der Planungsmethode: Die Ableitung von Optimalaussagen i m konkreten Einzelfall 135

I. Grundüberlegungen zur A b l e i t u n g von Optimalaussagen i m Rahmen der lieferzeitorientierten Optimierungsmethode 135 1. Einführung

135

2. Z u r Eignung von Standardverfahren

136

I I . Grundlagen eines mehrphasigen Optimierungsalgorithmus I I I . Die algorithmische Optimierung auf der Basis von Teilmodellen 1. Vorbemerkungen

137 140 140

Inhaltsverzeichnis 2. Die Teiloptimierung der Depotstandorte u n d der Kundenzuordnung a) Das Teiloptimierungsmodell b) E i n heuristischer Teilalgorithmus ba) Die Grundlagen: A l g o r i t h m e n zur Lösung des ,WarehouseLocation-Problem' bb) Die Vorgehensweise

140 140 143

3. Teiloptimierung der Depotkapazitäten

151

143 146

4. Die Teiloptimierung der Belieferungspolitik der Vertriebsläger . . . 152 a) Die E n t w i c k l u n g des Bestellmengen- u n d -zeitpunktteilmodells 152 b) E i n Teilalgorithmus auf der Basis der dynamischen Programmierung 155 5. Die Teiloptimierung v o n Liefertouren a) Das Teilmodell zur Tourenplanung b) E i n heuristisches Lösungsverfahren I V . Die iterative Verknüpfung der Teilalgorithmen

158 158 160 163

V. Probleme der algorithmischen Optimierung auf der Basis verfeinerter Optimierungsmodelle 171 1. Die Modifikation der algorithmischen Optimierung bei Einbeziehung zusätzlicher Handlungsalternativen 171 2. Probleme der algorithmischen Optimierung bei verfeinerter Zielfunktion 171 V I . Abschließende Bemerkungen Schlußbetrachtung

172 173

Autorenverzeichnis

187

Sachwortregister

192

Abbildungsverzeichnis Abb.

1. Beispiel eines Graphen

18

Abb.

2. Schema eines Transportproblems

19

Abb.

3. Die Abhängigkeit der Kosten u n d Erlöse von der Ausprägung einer Unternehmensvariablen

23

Abb.

4. Der Zusammenhang zwischen der Aufwendigkeit eines D i s t r i b u tionssystems u n d den Vertriebskosten u n d Erlösen einer U n t e r nehmung

40

Abb.

5. Schema des Zusammenhangs zwischen absatzlogistischen E n t scheidungen u n d dem Unternehmensergebnis

41

Abb.

6. Der Anstieg der fixen Depotkosten bei wachsender Depotzahl . . .

43

Abb.

7. Die Kosten eigen- u n d fremdbetriebener Depots i n Abhängigkeit v o m Periodendurchsatz

45

Abb.

8. Die Kosten eigen- u n d fremdbetriebener Depots i n Abhängigkeit v o n der Nutzungsdauer

46

Abb.

9. Alternative Depotkapazitäten bei Bedarfsschwankungen i m Zeitablauf

47

Abb. 10. Transportkosten i n Abhängigkeit von der durchschnittlichen Geschwindigkeit eines Transportmittels

51

Abb. 11. Alternative Transportkapazitäten bei Bedarfsschwankungen i m Zeitablauf

59

Abb. 12. Transportkosten i n Abhängigkeit von der Depotzahl

61

Abb. 13. Substitutionsmöglichkeiten zwischen Depotkosten bei alternativen Lieferzeitniveaus

und

Transport-

62

Abb. 14. Variabler Bedarfsverlauf bei diskreten Bestellzeitpunkten

64

Abb. 15. Möglicher Verlauf der Kosten- u n d Erlösentwicklung bei zunehmender Lieferzeit

73

Abb. 16. Zeitliche S t r u k t u r der Planungssituation

81

Abb. 17. Beispiel einer Lieferzeit-Nachfrage-Funktion

83

Abb. 18. Beispiel eines Nachfrageverlaufs bei alternativen Lieferzeiten . .

83

Abb. 19. Schema der Gebiete gleicher Lieferzeitgrenzen u m ein Depot . . .

86

Abb. 20. Alternative stetige Lieferzeit-Nachfrage-Kurven

87

Abb. 21. Beispiel einer unstetigen, nicht konstanten Lieferzeit-NachfrageKurve Abb. 22. Grundschema einer stückweise konstanten Lieferzeit-NachfrageKurve Abb. 23. Beispiel einer stufenweise abnehmenden Lieferzeit-NachfrageKurve

88 89 90

XII

Abbildungsverzeichnis / Tabellenverzeichnis

Abb. 24. Typischer Verlauf einer Lieferzeit-Nachfrage-Kurve (zunächst zunehmender, später abnehmender Nachfragerückgang bei wachsender Lieferzeit)

91

Abb. 25. Lieferzeit-Nachfrage-Kurve bei Nachfragekonstanz bis zu einem spätesten Liefertermin

91

Abb. 26. Lieferzeit-Nachfrage-Kurve termin

92

bei exakt einzuhaltendem Liefer-

Abb. 27. Lieferzeit-Nachfrage-Kurve bei m i t wachsender Lieferzeit zunehmender Nachfrage

93

Abb. 28. Beispiel der räumlichen S t r u k t u r einer Aufgabe der D i s t r i b u tionsplanung

94

Abb. 29. P r o d u k t -

und

kundenspezifische

Lieferzeit-Nachfrage-Kurve

(Beispiel)

96

Abb. 30. Räumliche S t r u k t u r der Planungsaufgabe (Beispiel)

96

Abb. 31. Lagerbestandverlauf i n einer Teilperiode

106

Abb. 32. Entfernungsmatrix i m 3-optimal-approach

162

Abb. 33. A b l a u f p l a n des iterativen Lösungsverfahrens

170

Tabellenverzeichnie Tab. 1. Der Verlauf

v o n Transportkostenfunktionen

bei

alternativen

Parameterwerten

53

Tab. 2. Die Transportmittelausstattungen der Depotstandorte (Beispiel)

97

Tab. 3. Depot-, transportmittel- u n d abnehmerspezifische Lieferzeiten (Beispiel) Tab. 4. Depot- u n d produktspezifische Nachfragemengen bei alternativ e m Transportmitteleinsatz (Beispiel)

97 98

Abungsverzeichnis Abb.

Abbildung

AHE Aufl. Bd. bzw. Diss. dgl. d. h. ed. eds.

American Institute of Industrial Engineers Auflage Band beziehungsweise Dissertation dergleichen das heißt editor editors

f. ff. GE

folgende Seite folgende Seiten Geldeinheit(-en)

ggf. HBR HdB Hrsg. hrsg. i. a. III. insbes. IO JCORS Jg. JIE JoM JoMR JoRS Jr. Mass. ME MS MSU N. J. No. Nr. NRLO

gegebenenfalls H a r v a r d Business Review Handwörterbuch der Betriebswirtschaft Herausgeber herausgegeben i m allgemeinen Illinois insbesondere Industrielle Organisation Journal of the Canadian Operational Research Society Jahrgang The Journal of Industrial Engineering Journal of M a r k e t i n g Journal of M a r k e t i n g Research Journal of Regional Science Junior Massachusetts Mengeneinheit(-en) Management Science Michigan State University New Jersey number Nummer Naval Research Logistics Quarterly

XIV

Abkürzungsverzeichnis

OR ORQ Rev. S.

Operations Research Operational Research Quarterly Review Seite

SIAM Sp. Tab. u. a. usw. u. U. vgl. Vol. WE ZE ZfB ZfbF z. B. ZOR z. T. ZVDI

Society of Industrial and A p p l i e d Mathematics Spalte(-n) Tabelle u n d andere u n d so weiter unter Umständen vergleiche Volume Wegeinheit(-en) Zeiteinheit(-en) Zeitschrift f ü r Betriebswirtschaft Zeitschrift f ü r betriebswirtschaftliche Forschung zum Beispiel Zeitschrift für Operations Research zum T e i l Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure

Symbolverzeichnis I , Untere Indizes f 9 i λ i' Je, Je' m 0 r s t, t', r u

Lieferzeitstufen Fahrzeug Abnehmer Depotalternative Transportmittelart Fabrik obere Grenze Mengenstufe Entfernungsstufe Teilperiode untere Grenze I I . Obere Indizes

A e f fr h (j, Je) k l L ο q Τ T1 T2 ν

Nichtinanspruchnahme Eigenbetrieb fix Fremdbetrieb Kapazitätsdimension Depotalternative j u n d Transportmittelart k kurzfristig zu realisieren langfristig festzulegen Lager Kapazitätsreduktion Belieferungsanzahl Transport erste Transportstufe zweite Transportstufe variabel I I I . Indexmengen I

=

{i

/ 0 ^

i ^

J =

0

/ ο ^

j

4}

^

j}

Κ = {k / 0 £

k £

k}

L = {I / 0 ^

i

Î}

R =

r

3 Vgl. etwa W. Grundmann u.a., Standortbestimmung, S. 85ff.; K . Lüder, D. Budäus, Standortwahl, S. 62 ff.; P. Witten, Distributionsmodelle, S. 20 ff.; K.-W. Hansmann, Standortplanung, S. 35 ff. 4 Vgl. H. Müller-Merbach, Operations Research, S. 174. 5 Vgl. ebenda.

2*

20

(4.1.2) (4.1.3)

4. Kap. : Diskret-algorithmische Optimierung

Σ 7=1 Yii^O

=

(1 ^ i ^ i)

l ^ j ^ I )

Die Nebenbedingungen (1) und (2) garantieren, daß i n einer optimalen Lösung der Aufgabe die an den Versandorten lagernden Mengen sämtlich abtransportiert werden und der Bedarf an den Empfangsorten exakt gedeckt wird. Ungleichung (3) schließt negative Transportmengen aus. Für die Lösung dieses einfachsten Problems i m Rahmen der Warenverteilung stehen effiziente Verfahren zur Verfügung. Neben der normalen Simplexmethode 6 sind eine Reihe spezieller Algorithmen anwendbar, die der besonderen Struktur des Transportproblems angepaßt sind 7 . Durch Einführung weiterer Nebenbedingungen, Aufhebung der Vorgabe fester Angebots- und Nachfragemengen und -orte, Modifizierung der Zieldefinition und dgl. wurde das Grundmodell der Transportplanung i n einer Vielzahl von Veröffentlichungen erweitert 8 . Die resultierenden Modelle geben i n immer größer werdender Realitätsnähe kompliziertere absatzlogistische Zusammenhänge wieder und machen sie einer Lösung i m Rahmen von Optimierungsüberlegungen zugänglich. Schon das Grundmodell macht jedoch deutlich, daß die diskrete Betrachtungsweise der Struktur von Problemen der physischen Distribution gerecht w i r d und daß nur diskrete Modelle die realen Situationen angemessen beschreiben können. 3. Die Auswahl endlich vieler Punkte als potentielle Standorte zur Errichtung von Depots stellt nicht notwendig eine willkürliche Aussonderung möglicherweise optimaler Handlungsalternativen dar. Die A n wendung einiger grundlegender Theoreme der ,Theorie der (Verkehrs-) Netze' 9 rechtfertigt diese Vorauswahl. Das für die Distributionsoptimierung bedeutungsvollste, grundlegende Theorem dieser Theorie besagt 10 : 6

Vgl. H. Müller-Merbach, Operations Research, S. 91 ff. Vgl. etwa R. E. Burkard, Ganzzahlige Optimierung, S. 67 ff.; W. Schmidt, Revidierte Transportalgorithmen, S. 20 ff. 8 Vgl. etwa W. Grundmann u. α., Standortbestimmung, S. 85 ff. ; K . Lüder, Standortwahl, S. 62 ff.; W. Domschke, Modelle u n d Verfahren, S. Β 21 f.; K.-W. Hansmann, Standortplanung, S. 35 ff.; P. Rech, L. G. Barton, A Nonconvex transportation algorithm, S. 250ff.; H. J. Jaksch, Transport- u n d Standortmodelle, S. 1 ff. 9 Vgl. W. Domschke, Modelle u n d Verfahren, S. Β 14. 10 Vgl. S. L. Hakimi, O p t i m u m locations, S. 456 ff. ; ders., O p t i m u m distribution, S. 464 ff.; siehe auch N. Christo fides, P. Viola, Multi-centres, S. 145 ff.; H. Frank, Locations on a graph, S. 409 ff. ; ders., Locations on graphs, S. 552 ff . ; ders., A note. 7

I. Grundlagen

21

Gilt es, i n einer durch ein Verkehrsnetz darstellbaren Region zur Belieferung vorgegebener Nachfrageorte ρ Vertriebszentren so einzurichten, daß die Kosten der Transporte von den Depots zu den Abnehmern bei Belieferung vom jeweils nächstgelegenen Depot aus minimal sind, so reicht es aus, die Knoten des Verkehrsnetzes als potentielle Standorte der Depots zu untersuchen. Die Plazierung eines Vertriebszentrums an einer Kante (Verbindungsstraße) außerhalb eines Nachfragepunktes oder einer Kantenkreuzung kann nicht optimal sein. Dieses Theorem führt somit dazu, daß eine diskrete Problemformulierung ohne willkürliche Auswahl potentieller Standorte entlang der Kanten möglich ist. Darüber hinaus ist eine Begrenzung der Anzahl der i n das Optimierungskalkül einzubeziehenden potentiellen Standorte und daraus resultierend eine Begrenzung des Optimierungsaufwands möglich. Das Grundtheorem wurde i n mehrere Richtungen erweitert. Die Aussage des Theorems wurde unter immer weiter gefaßten Prämissen be^stäügt. Als wichtigste Erweiterungen erscheinen die folgenden 11 : Das Theorem gilt auch (1) bei konkaven Kostenfunktionen 1 2 , (2) für zweistufige Probleme (ζ. B. eine Fertigungsstätte — mehrere Depots — mehrere Kunden) 1 3 , (3) i m Mehrproduktfall, die Transportkosten können außer von der Entfernung von weiteren Einflußgrößen abhängen 14 , (4) bei Vorliegen von Kapazitätsbeschränkungen für die Transportmengen 15 , (5) bei Kapazitätsbeschränkungen für die Depots 16 . Auch unter realitätsnahen Prämissen bleibt also die fundamentale Aussage des Theorems bestehen. Die Bedeutung dieses Satzes für die Konstruktion absatzlogistischer Entscheidungsmodelle sei noch einmal hervorgehoben: Eine der Hauptaufgaben der Distributionsplanung ist die Plazierung von Vertriebslägern. Die reale Situation absatzlogistischer Prolbemstellungen w i r d durch Verkehrsnetze exakt beschrieben. Für die Errichtung 11

Vgl. die zusammenfassende Ubersicht bei W. Domschke, Modelle u n d Verfahren, S. Β 15 f. 12 Vgl. J. Levy, A n extended theorem, S. 433 ff. 13 Vgl. A. J. Goldman, O p t i m a l locations, S. 353 ff. 14 Vgl. S. L. Hakimi, S. Ν. Maheshwari, O p t i m u m locations, S. 967 ff. 15 Vgl. ebenda, S. 972. 16 Vgl. ebenda.

22

4. Kap. : Diskret-algorithmische Optimierung

von Depots kommen also zunächst alle Punkte irgendwo i n diesem Verkehrsnetz i n Frage. Eine diskrete Formulierung eines derartigen Problems ist zunächst also n u r durch die wilkürliche Vorgabe einer Menge von potentiellen Standorten möglich. Erst die Aussage des oben besprochenen Theorems macht die Probleme der Distributionsplanung einer Lösung durch diskrete Modelle zugänglich, indem es die theoretische Fundierung für die Auswahl einer endlichen Menge potentieller Standorte ohne Verfälschung oder willkürliche Beschränkung des Entscheidungsfeldes liefert. I I . Diskrete Distributionsmodelle und ihre Problematik 1. Die Zweidimensionalität absatzlogistischer Variablen

1. Die Variablen, die es i m Rahmen der Distributionsplanung festzulegen gilt, sind vielfältiger Natur. Neben der Zahl, der Größe und dem Standort von Vertriebslägern ist festzulegen, welche Abnehmer von welchen Depots beliefert werden, welche Transportmittel auf welchen Wegen zur Belieferung der Läger und zur Auslieferung an die Kunden eingesetzt werden sollen, welche Produkte i n welchen Lägern wie lange zu lagern sind, ob Lagerung und Transport selbst durchgeführt werden oder fremden Unternehmen überlassen werden soll und dgl. 1 7 . Durch die Festlegung der einzelnen Instrumentalvariablen w i r d die Struktur des absatzlogistischen Systems i n sachlicher, zeitlicher und räumlicher Hinsicht bestimmt. Die starken Interdependenzen zwischen den Entscheidungsgrößen machen eine Simultanentscheidung notwendig. Bedeutsam ist nun i m Rahmen einer Optimierungsüberlegung die Tatsache, daß die Fixierung jeder absatzlogistischen Variablen das Gesamtsystem i n zeitlicher und räumlicher Hinsicht festlegt. Jede solche Variable hat also zwei Dimensionen, die i m K a l k ü l erfaßt werden müssen. Diese Zweidimensionalität sei an einigen Beispielen verdeutlicht. Die Errichtung eines Vertriebszentrums an einem bestimmten Standort ist zunächst ganz offensichtlich eine räumliche Entscheidung. Doch gleichermaßen w i r d die Struktur des Gesamtsystems i n zeitlicher Hinsicht geprägt. Die Standortentscheidung beeinflußt direkt die Lieferzeit, die die Kunden i n Kauf nehmen müssen. Sie determiniert die Einsatzzeiten der Transportmittel und die Lagerzeiten der Produkte. Umgekehrt bewirken vordergründig zeitliche Entscheidungen auch eine räumliche Festlegung von Teilen des Gesamtsystems. M i t der Fixierung eines Lieferzeitpunktes beispielsweise werden Lagerung und Transport der zu liefernden Produkte mehr oder weniger räumlich festgelegt. 17

Vgl. H.-C. Pf ohi, Marketing-Logistik, S. 578 f.

I I . Diskrete Distributionsmodelle u n d ihre Problematik

23

Räumliche und zeitliche Dimension sind also für absatzlogistische Variablen kennzeichnend und aufgrund der über sie wirkenden Interdependenzen von erheblicher Bedeutung bei der Instrumentalentscheidung. Indirekt mündet dabei der Raumbezug der Variablen i n einen Zeitbezug ein. Die räumliche Ausprägung einer Variablen schlägt sich nieder i n Lagerzeiten, Transportzeiten, Lieferzeiten. Letztlich entscheidend ist hier die Beantwortung der Frage, welchen Zusammenhang zwischen den zeitlichen und räumlichen Ausprägungen absatzlogistischer Entscheidungsgrößen einerseits und den Kosten und Erlösen der Unternehmung andererseits anzunehmen realistisch ist und wie unter dieser Voraussetzung das Gesamtsystem optimal gestaltet werden kann. Dies bedeutet nun für die Modellkonstruktion i m Rahmen der Distributionsplanung, daß die zeitlichen und räumlichen Auswirkungen, die m i t der Entscheidung über die relevanten Unternehmensvariablen verbunden sind, explizit berücksichtigt werden müssen. Alle zeitlichen Effekte solcher Entscheidungen münden letztlich i n die Lieferzeit der Produkte ein und determinieren damit Absatz und Erlöse der Unternehmung. Jede Festlegung von Instrumentalvariablen ist zudem m i t bestimmten Kosten verbunden. Dabei liegt fast ausnahmslos der für ökonomische Sachverhalte übliche Zusammenhang zwischen Kosten und Erlösen vor, der i n Abb. 3 dargestellt ist. Je höher die Kosten sind, die man bereit ist, i m Zusammenhang m i t der Ausprägung einer Unternehmensvariablen i n Kauf zu nehmen, desto höher sind auch die Erlöse, die durch die Ausprägung der Variablen beeinflußt werden 1 8 .

Abb. 3. Die Abhängigkeit der Kosten u n d Erlöse von der Ausprägung einer Unternehmensvariablen

Zwischen beiden Effekten ist bei jeder absatzlogistischen Entscheidung abzuwägen. I n jedem Entscheidungsmodell der Marketing-Logistik hat m i t h i n die Einbeziehung der Kosten- und Erlöswirkung unabdingbarer Bestandteil zu sein, wenn ein homomorphes A b b i l d der Realität i m Modell erreicht werden soll. Es gilt nun zu prüfen, inwieweit die diskre18

Vgl. H.-C. Pfohl, Marketing-Logistik, S. 587.

4. Kap.: Diskret-algorithmische Optimierung

24

ten Modelle zur Distributionsplanung, die bisher i n der Literatur veröffentlicht wurden, dieser Anforderung gerecht werden können. 2. Rein kostenorientierte Ansätze

a) Modelle ohne Zeitbezug aa) Der Ansatz von Baumol und Wolfe Die erste Gruppe von Literaturansätzen ist durch die völlige Abstrahierung v o n jedem zeitlichen Bezug gekennzeichnet. E i n Zusammenhang zwischen der zeitlichen Ausgestaltung des physischen Distributionssystems u n d der Nachfrage der Abnehmer existiert nicht. Nachfrageorte u n d -mengen sind m i t h i n fest vorgegeben und nicht beeinf lußbar 1 9 . Die einzelnen Ansätze dieser Gruppe unterscheiden sich hinsichtlich der Komplexität der erfaßten Kostenfunktionen und verschiedener situationsbedingter Prämissen 20 . Beispielhaft sei hier das Modell von Baumol u n d Wolfe beschrieben, anhand dessen diese Gruppe von A n sätzen diskutiert sei 21 . Das Modell von Baumol u n d Wolfe w i r d m i t den folgenden Symbolen formuliert: Y·· · x ijrn· Menge des Produktes, das von der Fabrik m über das Depot j zum Abnehmer i versandt wird. (1 < i < Γ), (1 < j < j), (1 < m < m).

K-ijm ^ ijm) ' Kosten des Vertriebs der Menge Y ii m kosten.

einschließlich der relevanten Lager-

^ijm (^iim) ' Lagerbestand, der durch Y ij m verursacht wird. k

T

-

ijm '

Kostensatz für den Transport einer Mengeneinheit von der Fabrik m über das Vertriebslager j zum Nachfrageort i.

Lagerkostensatz pro Mengeneinheit pro Periode. 19

Vgl. die zusammenfassende Darstellung bei S. Eilon u. α., Distribution management, S. 20 ff. und die dort angegebene Literatur sowie M. L. Balinski, Integer programming, S. 284 f. und S. 286 ff. 20 Vgl. S. Eilon u. a., Distribution management, S. 20 ff. 21 Vgl. W. J. Baumol, P. Wolfe, A warehouse location problem, S. 252 ff.

I I . Diskrete Distributionsmodelle und ihre Problematik

25

Kf>: Mietkosten für Lager j .

Ym' Gesamtvertriebsmenge von Fabrik m. C,: Kapazität des Vertriebslagers j.

Vorgegebene Nachfragemenge i m Ort i.

M i t diesen Symbolen w i r d der folgende Modellansatz formuliert, m i t Hilfe dessen die gesamten Vertriebskosten m i n i m i e r t werden sollen. Zielfunktion (4.2.0)

M i n !

K = Σ K i j m Wim) ijtn

Nebenbedingungen (4.2.1)

Σ y am = ?m hi

(4.2.2)

Σ Υ im - N i it m

^ C,

(1 £ j £ J)

(4.2.3)

(1 ^ ™
χι · d { j · k pi

Durch Bedingungsgleichungen über die Werte der Binärvariablen bijkit und bijk'it w i r d i m Rahmen der Zuordnungsrestriktionen gewährleistet, daß i n jeder Teilperiode höchstens eine Transportalternative zur Belieferung eines Abnehmers eingesetzt w i r d . F ü r die E r m i t t l u n g der Kosten der zweiten Transportstufe ist es unerheblich, ob die transportierten Mengen i n einem langfristig festgelegten Depot selbst oder i n einem diesem Depot kurzfristig zugeordneten Zusatzlager gelagert waren. Da außerdem f ü r die E r m i t t l u n g der Lieferzeitgebiete und damit der Nachfragehöhe der Abnehmer lediglich der Standort u n d die langfristige Transportausstattung eines Depots bedeutend ist, reicht zur Bestimmung von K T2 v die Summation über j ξ J l und k e κ\ aus. Es gilt also bereits (9.3.6)

K T Tl v = K T2 v

c) Erweiterung

.

des Entscheidungsf eldest

1. Anhand der Änderungen der Restriktionen des Ausgangsmodells ist aufzuzeigen, wie das erweiterte Entscheidungsfeld sich von jenem des Ausgangsmodells unterscheidet.

I I . Die Einbeziehung zusätzlicher Handlungsalternativen

123

Zunächst sei die Restriktion über nichtnegative Lagerbestände betrachtet. Wegen der möglicherweise i n einer Teilperiode vorhandenen Zusatzkapazitäten Cf, h,/e j i eines langfristig realisierten Depots j ξ J l ist i n Abänderung der Situation des Grundmodells nunmehr die Gültigkeit der folgenden Ungleichung zu fordern: (9.4.1)

Σ Ywcit^Aiit-i

+

faiit-i\

Σ r a

+

Σ k

)

Yf U-t)

re Jk

Sie besagt: Z u einem Bestellzeitpunkt t darf nicht mehr ausgeliefert werden, als i m Depot j und i n den Zusatzlägern j y an Lagerbestand vorhanden ist. Durch Anwendung der Substitutionsgleichung für A 1 2 ist diese Größe aus der obigen Ungleichung zu eleminieren. Zusätzlich sind entsprechende Bedingungsgleichungen für die einzelnen Komponenten der Gesamtkapazität zu formulieren. F ü r die Z u satzkapazitäten ergeben sich diese Restriktionen analog zur entsprechenden Bedingung des Grundmodells. Für die Depotkapazität ändert sich die Bedingungsgleichung insoweit, als die Verteilung der Lagermengen auf die Zusatzkapazitäten zusätzlich erfaßt werden muß. Dies geschieht durch einfache Subtraktion dieser Differenzmengen. Insgesamt ergeben sich damit die folgenden — Bedingungen über nichtnegative Lagerbestände für lang- und kurzfristige Lagerkapazitäten eines Standorts (9.4.2)

Σ χ { ς (Y mw)

- Ynt'-l)

^ {Α ΗΟ +

Σ

Af

J

für alle j G J, l G L für langfristige Kapazitäten (9.4.3)

Σ χ { ς Y mit' - Y ut' -1 -

Σ

Y ir

kw

+ Yf w -1} ^

Aii o

J

*^3

für alle j G J 1, l G L für Zusatzkapazitäten (9.4.4)

Σ I Σ Y if kW - Yf it' -1} ^ Af

j/

G

J

i * ' *>

h

zu formulieren. Dabei w i r d unterstellt, daß jeweils an einem Standort höchstens eine langfristige Depotalternative realisiert w i r d und die Zusatzkapazitäten dementsprechend n u r einem Depot zugeordnet sind. Diese Annahme erscheint angebracht, da es nicht sinnvoll ist, an einem Standort mehrere Depots zu unterhalten. Durch Auswertung der Substitutionsgleichungen für A 1 4 und Einbeziehung der entsprechenden Binärvariablen ergeben sich nun die modifizierten

13 Vgl. die A b l e i t u n g i m Ausgangsmodell, Formel (8.7.3) i n Abschnitt I I I . 2. des 8. Kapitels. Vgl. Formel ( . ) Abschnitt I I . 1. des . Kapitels.

I I . Die Einbeziehung zusätzlicher Handlungsalternativen

125

— Depotkapazitätsbeschränkungen für langfristig festgelegte Depotalternativen (9.5.3)

Σ \aho + Σ

Σ k m -

l£L {

- (Σ

ΣΥ? M

\

yçjk

1

Σ γ ir «Ι·)} · c? £ cf h · bf

Σ Σ γ UM -

für alle h, i e Jl, t

7

für kurzfristig verfügbare Zusatzkapazitäten (9.5.4)

;

Σ {a,0 + Σ

k

Z

o

y

m

- -

Σ

ς Εο ς y

m t

]

• c? ^ c f

.bf

für alle j G J* h, t 3. Die Tatsache, daß die Mengen Yjit teilweise i n Lägern j ξ J k. gelagert werden können, die dem Depot j ξ Ji zugeordnet sind, macht es erforderlich, über die Beziehungen, die zwischen diesen Mengen einzuhalten sind, Nebenbedingungen zu formulieren. Es muß gewährleistet sein, daß die Lagermengen i n einem Zusatzlager j ' e J k. nicht größer sind als die insgesamt zur Aufteilung auf dieses Lager maximal zur Verfügung stehende Menge Y ut. I n entsprechender Weise sind Bedingungen über die abfließenden Mengen Ya>kit aufzustellen. Es ergeben sich so die — Bedingungen über die Beziehungen der Lagermengen i n Depots und deren Zusatzlägern m β

(9.6.1) (9.6.2)

Σ Ymt > Σ Σ Yj' kit KE 0 k£Koj,eJk

für alle j G Ji, t, i

i

4

k , %

Y i m

= 4

Ä

,'J*

Y i i

'

k U

)

für alle j G Ji, t, l Damit sind die Depotrestriktionen vollständig formuliert. 4. Die Kapazitätsrestriktionen für beide Transportstufen brauchen gegenüber dem Grundmodell kaum verändert zu werden: Für die zu einem langfristig festgelegten Depot j bzw. zu den zugeordneten Lagerkapazitäten am gleichen Standort i n einer Teilperiode t zu transportierenden Produktmengen Y m kommen neben einer langfristig realisierten Transportausstattung k £ K l 0 kurzfristig verfügbare Transportmittel k ^ K k 0 i n Frage, deren Kapazität i n der ,Kapazitäts-

126

9. Kap. : Verfeinerungen des Ausgangsmodells

dimension 1 h m i t C j angegeben sei. Es ergibt sich für diese wie für k g K l 0 ganz ähnlich wie i m Grundmodell die — Transportkapazitätsrestriktion der ersten Stufe (9.7.1)

Σ Y mu ' c? ^ Cl h - i>îl KJ1

f ü r alle k G K 0 , h, t

I n der zweiten Transportstufe stehen für Transporte von einem langfristig festgelegten Depot j g J l zu den Abnehmern i ebenfalls eine langfristige Transportausstattung k g κ] und möglicherweise kurzfristig einsetzbare Transportmittel H K · zur Verfügung. Analog zur ersten Stufe ergeben sich hier die — Kapazitätsrestriktionen der zweiten Transportstufe (9.7.2)

Σ Y mit ' c ? ^

c h

k

' b£}

i,l

f ü r

alle k G K p j G Jl, h, t

5. Erhebliche Änderungen ergeben sich aufgrund der verallgemeinerten Planungssituation bei den Zuordnungsrestriktionen. Lediglich die Restriktion über die Zuordnung von Abnehmern zu den (langfristigen) Depots bleibt formal wie i m Grundmodell erhalten 1 5 . Für die Zuordnung von Transportmitteln zu den Depots bzw. zum Werkslager ist nun folgende Überlegung anzustellen 16 : Von den langfristig festzulegenden Transportausstattungen Je g k\ darf nur genau eine realisiert werden (bj k = 1), falls das Depot j g J l überhaupt eingerichtet wird. Dieses w i r d gewährleistet durch die — Restriktion über die Festlegung langfristiger Transportausstattungen. (9.8.1)

Σ

bj» = bf

f ü r alle j G Jl

Die für die Depotalternative j zusätzlich kurzfristig verfügbaren Transportmittel k e K* können ebenfalls nur dann für Transporte vom vom Depot j aus eingesetzt werden, wenn dieses existiert. Eine Be15 Vgl. die entsprechende Zuordnungsrestriktion des Ausgangsmodells, Formel (8.9.1) i n Abschnitt I I I . 4. des 8. Kapitels. 16 Da die folgenden Restriktionen sowohl für die v o n der Fertigungsstätte räumlich getrennten Depots als auch f ü r das Werkslager Gültigkeit besitzen müssen, w i r d auf eine formale Unterscheidung der beiden Transportstufen aus Vereinfachungsgründen verzichtet. Statt b k l u n d bf k m i t j > 1 w i r d i m folΤ Τ Τ\. Τ yo ». genden bik geschrieben, wobei bok = bk u n d bjk = bik f ü r j > 1 gilt.

I I . Die Einbeziehung zusätzlicher Handlungsalternativen

127

schränkung des Einsatzes auf nur ein zusätzliches Transportmittel ist jedoch nicht vorgesehen. Man kann dies sicherstellen durch die folgende — Restriktion über den kurzfristigen Einsatz von Transportmitteln 1 7 (9.8.2)

Σ tfu

< M · bf

f ü r alle j G Jl, t

Ähnlich wie i m Grundmodell ist für die langfristig zugeordneten Transportausstattungen festzulegen, daß ein Einsatz i n einer Teilperiode nur dann stattfinden kann, wenn das entsprechende Transportsystem auch tatsächlich langfristig realisiert ist. Dies beschreibt die — Bedingung über die Abstimmung zwischen Zuordnung und Einsatz langfristig festgelegter Transportalternativen (9.8.3)

bßt ^ bf k

f ü r alle j G Jl, t, k G κ)

Neben der Bedingung über die Beziehung zwischen Nachfrage und Transportmittelzuordnung (8.9.4) sowie der Depotzahl-Begrenzung (8.9. 5) des Grundmodells 1 8 , die für die langfristig festzulegenden Depots j g Ji übernommen werden können, ist nun sicherzustellen, daß Zusatzkapazitäten nur dann verfügbar sind, wenn ein Depot am gleichen Standort langfristig realisiert wird. Dies geschieht durch die folgende — Restriktion über kurzfristig verfügbare Lagerkapazitäten 10 (9.8.4)

Σ

tf't

£M-bf

f ü r alle j G J\ t

Gewährend die Fabriklagerbedingung

(8.9.6) unverändert

aus dem

Grundmodell übernommen werden kann 2 0 , ist zusätzlich eine Restriktion über die Beziehung zwischen dem Periodeneinsatz eines Transportmittels (bijjdt = 1) und der Realisierung dieser Transportalternative i n der Periode (bf k t = 1) herzustellen. Ein Einsatz kann nur dann vorgenommen werden, wenn eine Alternative auch tatsächlich i n Anspruch genommen wird. Dies gewährleistet die 17

Durch den Ansatz eines sehr großen Wertes f ü r den Parameter M w i r d

gesichert, daß f ü r bf = 0 auch f ü r alle k u n d t bf k t = 0

gewährleistet ist,

während für bf = 1 de facto keine Beschränkung v o n Σ bf k t gegeben ist. 18 19 20

Vgl. Abschnitt I I I . 4. des 8. Kapitels. Z u r W a h l von M vgl. Fußnote 17 dieses Kapitels. V?l. Abschnitt I I I . 4. des 8. Kapitels.

9. Kap.: Verfeinerungen des Ausgangsmodells

128

— Restriktion über den Transportmitteleinsatz und die Nachfragezuordnung (9.8.5)

(9.8.6)

Σ hmt s i,l h

ijklt

für alle j G Ji

* »

für alle j* G ß»

^ ^ijkl

k G Κ) (9.8.7)

bijklt + Σ bijk'lt ^ ι

für alle i, l, t

für alle j G Ρ , k G Κ)

ve*}

6. Die Nichtnegativitäts- und Binärbedingungen des Grundmodells können übernommen werden. Die Indizes i, j, k, l beziehen sich hier wie dort auf die vollständigen Indexmengen I, J, Κ , L. Zusätzlich zum Grundmodell sind hier lediglich Binärbedingungen für die neu definierten Entscheidungsvariablen bijkit zu formulieren. (9.9)

b

ijkit

G

(Ml

f ü r

a l l e

h i, fcf l> t

Damit ist die formale Beschreibung der verallgemeinerten Planungs^ Situation vollständig durchgeführt. Vom Charakter des Modells hier liegt die gleiche gemischt-binäre, lineare Struktur vor wie i m Grundmodell. Durch die Einbeziehung der kurzfristig verfügbaren Transport- und Depotalternativen erhöht sich jedoch zweifellos die Zahl der Variablen und auch der Restriktionen. Die Grenzen der Lösbarkeit eines solchen Modells m i t Standardmethoden und Möglichkeiten der Lösung m i t mehrstufigen Optimierungsverfahren werden später zu diskutieren sein. 2. Eigenbetriebliche Transportleistungen als zusätzliche Handlungsalternative

1. Die bisher gesetzte Prämisse, daß für die Transportaufgaben des zu planenden Distributionssystems lediglich fremdbetriebene Transportmittelalternativen zur Auswahl stehen, t r i f f t für reale Problemstellungen nur i n Ausnahmefällen zu. Üblicherweise ist i m Transportbereich eine Entscheidung über Eigen- und Fremdbetrieb als Teil der Distributionsplanung zu treffen. Eine Integration dieser Wahlmöglichkeit i n ein formales Distributionsmodell w i r f t erhebliche Probleme auf. A n anderer Stelle wurde bereits deutlich zu machen versucht 21 , daß anders als bei Inanspruchnahme fremder Transportleistungen der Kostensatz i n der Dimension GE/WE für den Einsatz eigener Transportmit2

Vgl.

.

Abschnitt

I I . 1.

des 6. Kapitels.

I I . Die Einbeziehung zusätzlicher Handlungsalternativen

129

tel anzusetzen sei. Die Höhe der variablen Kosten eigener Fahrzeuge w i r d als i n erster Linie von der zurückgelegten Entfernung abhängig angesehen. Ebenso wurde bereits auf die relativ geringe Bedeutung der variablen Kosten, die m i t eigenen Transportmitteln verbunden sind, hingewiesen und der i n hohem Grade fixe Charakter der durch diese bedingten Kosten herausgestellt. 2. Die Einbeziehung eigenbetriebener Transportalternativen i n das bisher entwickelte Formalmodell stellt dann kein besonderes Problem dar, wenn die Belieferung der Depots bzw. die Auslieferung an die Abnehmer auf ,direktem Wege 1 erfolgt, d. h., wenn jeder Transport von einem Ausgangsort zu genau einem Zielort führt und anschließend die Rückfahrt zum Ausgangsort erfolgt. I n diesem Fall sind die Kosten der Alternative einfach i m Modell zu erfassen: Die fixen Bestandteile der Kosten einer solchen eigenbetriebenen Transportalternative werden genau wie diejenigen fremdbetriebener Alternativen i n der Zielfunktion angesetzt. Der Ansatz der variablen Kostenanteile weicht von der Erfassung der variablen Kosten bei Fremdbetrieb insofern ab, als lediglich die bei einem Transport zu überbrückende Entfernung, nicht aber die Transportmenge für die Kostenhöhe bestimmend ist. Der Ansatz der variablen Kosten eigenbetriebener Transportausstattungen des Werkslagers bzw. der Depots hat dann die folgende Form: (9.10.1)

κη*β=Σ Σ

(9.10.2)

KT2ve

=

Σ

f

-drh* Σ ^Γ '

Dieser Ansatz der variablen Kosten eigenbetriebener Fahrzeuge verändert die Struktur des Formalmodells nicht und hat für die Lösbarkeit des Modells ebenfalls keine Bedeutung. 3. Nun ist jedoch zu bedenken: Die Prämisse der direkten Belieferung ist für den Einsatz eigener Transportmittel nicht repräsentativ. Allenfalls für die Transportaufgaben der ersten Transportstufe von der Produktionsstätte zu den Depots kann diese Annahme noch als realitätsnah angesehen werden. I n der zweiten Transportstufe hingegen w i r d i n aller Regel die Form der Sammelauslieferung auf Liefertouren realisiert. Durch diese Einsatzform können bei relativ kleinen Transportmengen die Kapazitäten der Fahrzeuge bestmöglich ausgenutzt werden, die zurückzulegenden Entfernungen reduziert und damit letztlich die variablen Transportkosten gesenkt werden. Diese Lieferform stellt die 9 Delfmann

130

9. Kap. : Verfeinerungen des Ausgangsmodells

i n der Praxis übliche Form der Auslieferung von Produkten an A b nehmer dar 2 2 . Diese Tatsache i n einem Distributionsmodell zu erfassen, ist sehr schwierig. Grundlage für den Ansatz der variablen Kosten von i n dieser A r t eingesetzten Fahrzeugen sind hier nicht mehr die geradlinigen Entfernungen zwischen Ausgangs- und Zielorten der Transportaufgaben. Vielmehr sind die durch die Zusammenstellung der Liefertouren sich ergebenden Tourenentfernungen für die Höhe der variablen K o sten maßgeblich. Bezeichnet man die Gesamtlänge der Liefertouren, die m i t einer eigenbetriebenen Transportausstattung k von einem Depot j i n einer Teilperiode t zurückzulegen sind, m i t djkt, so ergeben sich die variablen Transportkosten dieser Alternative aus (9.10.3)

K™"

=

k jk-d jk t

Diese Kostenkomponenten gehen als Bestandteil der gesamten variablen Kosten i n die Zielfunktion des Formalmodells ein. Ihre Berücksichtigung ist für die Struktur des Distributionsmodells von entscheidender Bedeutung. Die Größen djkt sind nicht wie die Werte da bei Direktbelieferung Daten des Modells sondern Entscheidungsgrößen des Ansatzes. Die o p timale* Festlegung von Liefertouren i m Modell entscheidet erst über den Wert dieser Variablen und damit über die Höhe der variablen Kosten. Eine simultane Lösung des ,Liefertourenproblems' 28 i m Rahmen einer einstufigen Lösung des Gesamt-Distributionsproblems i n der hier geschilderten Form ist jedoch nicht möglich. Das sei nun verdeutlicht. Unter den bisher betrachteten Prämissenkomplexen hatten sich die Zielfunktionen der zugehörigen Formalmodelle i n der Form Ζ = max f (Y, b) ergeben, wobei Y und b die Entscheidungsvariablen charakterisieren. Durch die Einbeziehung des Liefertourenproblems verändert sich die Struktur der Zielfunktion, die nunmehr die Form Ζ = max f (Y, b, d) hat. Dabei stellt die Entscheidimgsgröße d ihrerseits das Ergebnis einer Minimierungsaufgabe dar, nämlich jener, die Entfernungen von Liefertouren zu minimieren. Etwas ausführlicher stellt sich die Zielfunktion also als Ζ = max j (Y, b, m i n g [Y, bl) dar. Die exakte Lösung des ,Tourenproblems' m i n g (Y, b) stellt ihrerseits bereits eine i n der einschlägigen Literatur häufig diskutierte Aufgabe dar 2 4 . F ü r ihre Lösung stehen einige Optimierungsverfahren zur Verfügung, die sich allerdings durch sehr 22

Vgl. M. Lamia, Auslieferungstouren, S. 239 ff. Vgl. S. Eilon u. a., Distribution management, S. 180 ff. u n d die dort angegebene Literatur. 24 Vgl. ebenda; siehe auch D. Meis, Der optimale Standort, S. 107 ff. 28

I I I . Die Verfeinerung der Zielfunktion

131

25

hohen Rechenaufwand auszeichnen . Eine Einbeziehung einer exakten Lösung des Tourenproblems i n die Zielfunktion des Gesamtproblems und eine hierauf aufbauende Lösung ist m i t vertretbarem Optimierungsaufwand nicht mehr durchführbar. Die Integration der Wahlmöglichkeit eigenbetriebener Transportalternativen i n Distributionsmodelle ist unter dem Aspekt der Modelloperationalität nur durch den Ansatz von Schätzwerten für die Tourenentfernungen djkt oder durch eine stufenweise Optimumbestimmung mittels heuristischer Approximationsverfahren möglich. Die letztere Möglichkeit w i r d i n einem späteren Abschnitt der vorliegenden Arbeit aufgezeigt 26 . I I I . Die Verfeinerung der Zielfunktion 1. Die Einbeziehung der Annahme nichtlinearer Transportkostenfunktionen

a) Das Auftreten

nichtlinearer

Transportkostenfunktionen

Der Ansatz der variablen Kosten fremdbetriebener Transportmittel wurde i n den bisher formulierten Modellvarianten unter der Prämisse der Proportionalität der Kosten zu Transportmenge und/oder -entfernung vorgenommen. Diese Annahme ist eine stark vereinfachende Abbildung der i n der Realität vorliegenden Zusammenhänge. Lineare Transportkostenfunktionen i n bezug auf Menge und Entfernung, d. h. konstante Kosten pro Mengen- und Entfernungseinheit sind i n Tarifsystemen von Transportunternehmen oder Verkehrsträgern durchaus unüblich 2 7 . I m Interesse einer realitätsbezogenen Modellformulierung sind m i t h i n die i n den bisher beschriebenen Modellvarianten verwendeten linearen Kostenfunktionen f ü r die Inanspruchnahme fremder Transportleistungen durch verallgemeinerte Funktionen zu ersetzen. Die Annahme eines proportionalen Zusammenhanges zwischen Transportentfernung und variablen Transportkosten erscheint demgegenüber für selbstbetriebene Transportmittel durchaus realitätsnah und der tatsächlich i n der Praxis anzutreffenden Kostenentwicklung angemessen28. Betrachtet man hier die Komponenten der variablen Transportkosten, so finden sich Größen, die sich relativ proportional m i t der zurückgelegten Entfernung entwickeln. Durchschnittliche Belastung unterstellt, gilt dies sicherlich für Benzin- und Ölverbrauch, Verschleiß, Re25

Vgl. S. Eilon, Distribution management, S. 193 ff. Vgl. das 10. K a p i t e l dieser Arbeit. 27 Vgl. ζ. B. Bundesministerium für Verkehr, Reichskraftwagentarif; siehe dazu auch die Ausführungen i n Abschnitt I I . 1. b des 6. Kapitels. 28 Vgl. dazu die Ausführungen i n Abschnitt I I . 1. b des 6. Kapitels. 28

9*

9. Kap. : Verfeinerungen des Ausgangsmodells

132

paraturkosten, leistungsabhängige Abschreibungen und m i t Einschränkungen auch für den Leistungslohn von Fahrern. M i t dem Ansatz linearer Transportkosten ist für den Fall eigenbetriebener Transportmittel also durchaus eine realitätsnahe Formulierung gefunden. b) Die modifizierte

Zielfunktion

Als allgemeine Beschreibung aller auf i n der Praxis Verwendung findenden Tarifsystemen basierenden Kostenfunktionen wurde oben die folgende Funktionalbeziehung entwickelt 2 9 : (9.11.1)

KTv (X, d) = (ä r. Y ar ) (5, · d ß°)

für Y r_ 1 ^ y ^ Y T d s_1 Y kr (dij > dks) gilt, da sonst die Ungleichungen — bijkit Φ 0 vorausgesetzt — nicht erfüllt werden. Durch die zweite Gruppe von Bedingungsgleichungen w i r d erreicht, daß — wenn bijkit = 1 gilt — genau ein Wert Wikrt (Zikst) den Wert Eins annehmen muß. Dies kann aus Optimalitätsgründen nur derjenige sein, der die für die Menge am · Nijki (die Entfernung dij) ,richtige' Stufe des Tarifsystems kennzeichnet, da jede andere Lösung zu absolut höheren Kosten führen würde. Während die formale Erfassung nichtlinearer Transportkostenfunktionen keine großen Probleme aufwirft, stößt eine konkrete Optimierung auf Schwierigkeiten. A n der beispielhaft dargestellten Zielfunktionskomponente w i r d dies deutlich. Die Linearität des Entscheidungsmodells geht verloren. Überdies w i r d es durch die notwendige Einführung der zusätzlichen Binärvariablen w und ζ erheblich aufgebläht. E i n derart komplexes Modell entzieht sich einer exakten Optimumbestimmung m i t vertretbarem Rechenaufwand. I n der dargestellten allgemeinen Form kann ein Distributionsmodell zunächst lediglich erklärenden Charakter haben. I m letzten Teil dieser Arbeit w i r d zu untersuchen sein, inwieweit heuristische Algorithmen der stufenweisen und approximativen Optimumbestimmung geeignet sind, auf der Basis einer Zerlegung der komplexen Gesamtaufgabe i n operationale Teilmodelle Näherungslösungen zu ermitteln. 2. Das Problem der Annahme nichtlinearer Depotkostenfunktionen

I m Gegensatz zum Transportbereich erscheint ein Ansatz verallgemeinerter Funktionen der variablen Depotkosten nicht realitätsnäher als eine Verwendung linearer Kostenfunktionen. Das sei begründet: Die Komponenten der variablen Depotkosten sind — das sei vorausgeschickt — i m Vergleich zu jenen Bestandteilen, die von der tatsächlichen Beanspruchung unabhängig sind, m i t h i n fixen Charakter haben, von relativ geringer Bedeutung. Die gesamte Ausstattimg eines Depots wie eines fremdbetriebenen Lagers einschließlich des überwiegenden Teils des Personals w i r d unabhängig von der tatsächlichen Auslastung des Lagers realisiert. Der überwiegende Teil der Kosten eines Vertriebslagers ergibt sich deshalb unabhängig von der Lagerbeanspruchung 30 . Abgesehen hiervon erscheint die Annahme nichtkonstanter Einheitslagerkosten weder für eigenbetriebene noch für fremdbetriebene Ver30

Vgl. Abschnitt I I . 1. a des 6. Kapitels.

134

9. Kap. : Verfeinerungen des Ausgangsmodells

triebsläger realitätsnäher als jene konstanter Kostensätze. Plausible Gründe für eine Veränderung der Einheitskosten bei unterschiedlicher Auslastung lassen sich kaum finden. Wesentlicher Bestandteil der variablen Depotkosten sind die Kosten der Kapitalbindung. Hierfür einen konstanten Kostensatz — Zinskostensatz — anzusetzen ist durchaus realitätsnah. Insgesamt ist m i t h i n durch den Ansatz nichtlinearer Lagerkostenfunktionen bei eigenbetriebenen Depots kein größerer Realitätsbezug herzustellen als durch lineare Kostenverläufe. Da sich auch von Lagereien und Speditionen i n der Praxis durchaus konstante Kostensätze für die Übernahme der Lagerung von Produkten i n Rechnung gestellt finden, erscheint es unangebracht, i n Distributionsmodellen stat linearer Lagerkostenfunktionen auf allgemeinere Funktionsverläufe überzugehen. Durch ein solches Vorgehen wäre eine erhebliche Verkomplizierung der Formalmodelle bedingt, der kein größerer Realitätsbezug der Modelle gegenüberstände. Die Erhöhung des Optimierungsaufwandes wäre also durch größere Repräsentativität der Modelle nicht gerechtfertigt.

10.

Kapitel

Spezifikation der Planungsmethode: Die Ableitung von Optimalauesagen im konkreten Einzelfall I. Grundüberlegungen zur Ableitung von Optimalaussagen im Rahmen der lieferzeitorientierten Optimierungsmethode 1. Einführung

Ziel der bisherigen Ableitungen und Untersuchungen war es, diskrete Optimierungsmodelle zu entwickeln, die die Grundlage der Methode der lieferzeitorientierten Distributionsoptimierung bilden. Dabei wurde vor allem Wert gelegt auf die Einbeziehung der zeitlichen Struktur absatzlogistischer Fragestellungen, insbesondere auf die Integration der Lieferzeitabhängigkeit der Abnehmernachfrage. Für alternative, abnehmend restriktive Prämissenkomplexe wurden zunehmend realitätsnahe Modelle entwickelt. Ziel jeder Wirtschaftlichkeitsrechnung muß jedoch sein, aus mehreren Alternativen jene auszuwählen, die ein vorgegebenes Optimalitätskriterium mutmaßlich am besten erfüllen 1 . A u f die Situation der Distributionsplanung bezogen, bedeutet dieses: Es sind i m konkreten Einzelfall unter den verschiedenen möglichen Ausprägungen der das physische Distributionssystem determinierenden Unternehmensvariablen jene zu bestimmen, die das Zielkriterium, hier die Maximierung des Gewinnbeitrages, bestmöglich erfüllen. Ziel der Analyse muß es daher sein, die lieferzeitorientierten Modelle mittels irgendwelcher Verfahren zu ,lösen4, d. h. Algorithmen anzugeben, die es erlauben, auf der Basis der Modelle i m konkreten Einzelfall m i t vertretbarem Aufwand Optimalaussagen ableiten und aus diesen Anweisungen für unternehmerisches Optimalverhalten gewinnen zu können. Insofern ist der eingangs der Arbeit aufgestellten Forderung nach der Entwicklung einer lieferzeitorientierten Optimierungsmethode bisher erst teilweise genügt worden. Aufgabe des folgenden Kapitels dieser A r beit ist es daher, aufzuzeigen, wie i m Rahmen der lieferzeitorientierten Optimierungsmethode i m konkreten Einzelfall Optimalaussagen m i t vertretbarem Optimierungsaufwand abgeleitet werden können. 1

Vgl. H. Koch, Wirtschaftlichkeitsrechnung, S. 21.

136

10. Kap.: Algorithmische Optimierung 2. Zur Eignung von Standardverfahren

1. Die Optimierungsmodelle, die bisher i m Rahmen der lieferzeitorientierten Optimierungsmethode aufgestellt worden sind, sind prinzipiell so gestaltet, daß sie einer Lösung m i t Standardverfahren der mathematischen Programmierung zugänglich sind. Für die hier vorliegenden gemischt-ganzzahligen Planungsaufgaben existieren Verfahren der Optimierungstheorie, die eine exakte Ermittlung der jeweiligen Optima erlauben 2 . Diese Algorithmen sind theoretisch i n der Weise fundiert, daß die Erreichung der globalen Optima unabhängig von der speziellen Modellstruktur durch formal-mathematische Beweise gesichert ist 3 . Bei Anwendung solcher Algorithmen w i r d das zu lösende gemischtganzzahlige Problem nach verschiedenen Kriterien so modifiziert, daß sich kontinuierliche Modelle ergeben. Diese werden m i t Hilfe eines Verfahrens zur Lösung kontinuierlicher Probleme gelöst und die Zulässigkeit der Lösungen für die Ausgangsprobleme werden untersucht. Liegt diese nicht vor, w i r d erneut modifiziert usw. Die Methoden, nach denen das Ausgangsproblem modifiziert wird, sind i m wesentlichen die der Relaxation, der Separation und der Bildung von Kandidatenproblemen 4 . Die auf dieser Basis entwickelten Verfahren sind sehr allgemein anwendbar, da sie nicht auf den speziellen Typ eines gemischt-ganzzahligen Modells abgestellt sind, sondern nur die generelle Problemstruktur eines derartigen Modells voraussetzen. Diese breite Anwendbarkeit muß aber i n aller Regel durch einen hohen Optimierungsaufwand erkauft werden, da bei der Generierung der modifizierten Modelle nicht spezielle, dem Einzelfall angepaßte Kriterien angewendet werden können sondern solche, die unabhängig von der konkreten Aufgabe für alle gemischt-ganzzahligen Probleme geeignet sein müssen. 2. Es erscheint aber sinnvoller, für die spezielle Struktur absatzlogistischer Optimierungsmodelle angepaßte Lösungsverfahren zu entwikkeln und anzuwenden, die nicht nur die formal-mathematische Struktur der Aufgabe als Grundlage ihrer Vorgehensweise auswerten, sondern den ökonomischen Hintergrund der formalen Modelle als zusätzliche Information ausnutzen und die Besonderheiten dieses ökonomischen Inhalts bei der Ableitung von Optimalaussagen i m konkreten Einzelfall auswerten. A u f diese Weise ist es möglich, den Optimierungsaufwand gegenüber allgemeiner anwendbarer Algorithmen zu senken. 2

Vgl. z. B. G. Hadley, Nichtlineare u n d dynamische Programmierung, S. 305 ff. ; P. Brucker, Ganzzahlige Programmierung u n d die dort angegebene Literatur. 3 Vgl. G. Hadley, Nichtlineare u n d dynamische Programmierung, S. 344 ff. 4 Vgl. P. Brucker, Ganzzahlige Programmierung, S. 47 ff.

I I . Grundlagen eines mehrphasigen Algorithmus

137

Überdies bietet ein solches Verfahren i n der Regel die Möglichkeit, die Optimumsuche bereits abzubrechen, auch wenn das totale Optimum noch nicht gefunden ist, eine weitere Optimierung aber aus ökonomischer Sicht gar nicht mehr sinnvoll oder wünschenswert erscheint, da die noch zu erzielenden Verbesserungen der Lösung den Optimierungsaufwand nicht zu rechtfertigen scheinen. 3. Es sei also i m folgenden nicht untersucht, welche Ergebnisse m i t den Standardverfahren der gemischt-ganzzahligen Optimierung zu erzielen sind. Vielmehr soll untersucht werden, inwieweit die Vielzahl spezieller Algorithmen, die i n der Literatur zur Optimierung der physischen Distribution zu finden sind, für lieferzeitorientierte Logistikmodelle herangezogen werden können und geeignet sind, welcher Optimierungsaufwand m i t ihrer Anwendung verbunden ist und ob durch Modifikationen bestehender Verfahren oder durch die völlige Neuentwicklung den Modellen genau angepaßter Algorithmen entscheidende Verbesserungen hinsichtlich des Optimierungsaufwandes erreicht werden können.

I I . Grundlagen eines mehrphasigen Optimierungsalgorithmus

1. Die algorithmische Optimumbestimmung i n mehreren Phasen beruht auf einer stufenweisen Lösung der lieferzeitorientierten Optimierungsmodelle. Die Ableitung von Optimalaussagen w i r d i m konkreten Einzelfall so durchgeführt, daß Lösungen für Teilmodelle ermittelt und iterativ miteinander verknüpft werden. Durch die iterative Struktur des Algorithmus w i r d eine approximative Optimierung auf der Basis der Optima der Teilmodelle ermöglicht 5 . 2. Die i m Rahmen der algorithmischen Optimierung vorzunehmende Zerlegung lieferzeitorientierter Distributionsmodelle i n Teilmodelle basiert auf der Zusammenf assung von Unternehmensvariablen, deren Festlegung ein gleiches Maß an Revidierbarkeit aufweist. A u f diese Weise w i r d ein lieferzeitorientiertes Optimierungsmodell bei der Anwendung des Algorithmus i n vier Teilmodelle zerlegt, deren wiederholte Lösung m i t Teilalgorithmen i m Rahmen des iterativen Prozesses zur Lösung des gesamten Modells führt. 5 I n ähnlicher Weise w i r d eine Zerlegung v o n Distributionsmodellen i n T e i l modelle i n einer Reihe von Ansätzen der L i t e r a t u r vorgenommen. Vgl. ζ. B. L. B. Ellwein, P. Gray, Location - allocation problems; Α. M. Geoff rion, G. W. Graves , M u l t i c o m m o d i t y distribution system; P. Gray , Site selection; K . Spielberg, On solving plant location problems; P. H. Randolph u. a., Warehouse allocation; W. Ischebeck , H. Ratsch, Simultane Lagerhaltungs- u n d D i s t r i b u tionsplanung; G. Zoutendijk , Warehouse allocation problem, S. 206 ff.

138

10. Kap. : Algorithmische Optimierung

3. I n der ersten Phase des Algorithmus w i r d die Kundenzuordnung zu den potentiellen Depotstandorten und m i t h i n die Standortplanung selbst durchgeführt. Darüber hinaus werden die Transportmittel ausgewählt, die zur Belieferung der Abnehmer einzusetzen sind. Die Entscheidungen, die i n dieser Phase der algorithmisdien Optimierung getroffen werden, determinieren vor allem die Erlösseite des Planungsproblems. Durch die Lösung dieses Teilmodells w i r d die Lieferzeit der Produkte und damit die Nachfrage der Abnehmer i n den Teilperioden des Planungszeitabschnitts bestimmt. Sie setzt damit den Rahmen für die detaillierteren Teilplanungen der folgenden Optimierungsphasen des Algorithmus. Insbesondere kann i n den restlichen drei Teiloptimierungen die Erlösseite des Planungsproblems unberücksichtigt bleiben. 4. A u f der Grundlage der i n der ersten Stufe des Algorithmus ermittelten Nachfragemengen kann i n einem nächsten Schritt die kostenoptimale Kapazität der Depots bestimmt werden. Hier w i r d auch die Entscheidung über Kauf oder Miete eigenbetriebener Depots sowie über Eigen- und Fremdbetrieb schlechthin getroffen. M i t der Lösimg der ersten beiden Teilmodelle ist die globale Festlegung des Distributionssystems vollzogen. Standort, Typ, Größe und Anzahl der Depots sind fixiert, die Abnehmer den Vertriebslägern zugeordnet. I n den beiden verbleibenden Stufen des Algorithmus werden detailliertere Planungen i m Rahmen dieses Vertriebsnetzes durchgeführt. 5. A u f der Basis eines dritten Teilmodells w i r d die Bestellpolitik der Depots für den gesamten Planungszeitabschnitt geplant. Aus den Ergebnissen der globalen Standortplanung (erster Teilalgorithmus) sind die von den einzelnen Vertriebszentren i n den Teilperioden zu liefernden Produktmengen bekannt. Sie dienen als Grundlage dieser Optimierungsstufe. Die Belieferung muß für alle Depots zentral festgelegt werden, wenn eine optimale Abstimmung der Bestellzeitpunkte und -mengen erreicht werden soll. I m Gegensatz zur ersten Planimgsphase stehen hier nicht die Beziehungen zwischen den Depots und den Abnehmern sondern jene zwischen der Fertigungsstätte und den Depots i m Mittelpunkt der Planung. Die größere Detailliertheit dieser Teiloptimierung zeigt sich bereits i n der Tatsache, daß nunmehr auf die einzelnen Teilperioden des Planungszeitabschnitts Bezug genommen wird, während i n der ersten Phase des Algorithmus lediglich der Gesamtabschnitt betrachtet wurde. 6. M i t einem vierten Teilalgorithmus w i r d der Einsatz von Transportmitteln optimiert. Waren die zuvor beschriebenen Algorithmenstufen

I I . Grundlagen eines mehrphasigen Algorithmus

139

noch auf die Gesamtheit der Vertriebsläger ausgerichtet, so w i r d nunmehr auf jedes Depot einzeln Bezug genommen und für jede Teilperiode isoliert der Einsatz von Transportmitteln festgelegt. Bei schwankenden Nachfragemengen können sich ständig wechselnde Optimalpläne ergeben. Da diese Teiloptimierung i m Rahmen der Entscheidungen der vorher durchgeführten Phasen des Gesamtalgorithmus zu vollziehen ist, braucht auf Interdependenzen zwischen den Entscheidungen über einzelne Depots hier keine Rücksicht genommen zu werden. 7. Die durch die Aufspaltung der algorithmischen Optimierung i n vier Teiloptimierungen bedingte Zerschneidung von Interdependenzen w i r d durch die Einbettung der Teiloptimierungen i n einen iterativen Prozeß weitgehend rückgängig gemacht. A u f der Basis von Rückkopplungen der nachgelagerten Phasen des Algorithmus werden die Teiloptimierungen mehrfach m i t modifizierten Parametern durchgeführt, so daß approximativ eine Optimallösung für das Gesamt-Distributionsmodell ermittelt w i r d 6 . Das mehrphasige, iterative Prinzip des hier vorgeschlagenen Algorithmus ermöglicht i m Rahmen der lieferzeitorientierten Optimierungsmethoden die Ableitung von Optimalaussagen i m konkreten Einzelfall m i t vertretbarem Optimierungsaufwand. Innerhalb der vier Stufen des Algorithmus ist es möglich, der Struktur der Teilmodelle optimal angepaßte Teilalgorithmen zu verwenden, die eine Optimierung m i t erheblich geringerem Aufwand ermöglichen, als eine einstufige Optimumbestimmung erforderte.

6

Dabei k o m m t der Teiloptimierung der Liefertouren i m Rahmen des Gesamt-Planungsprozesses n u r eine nachgeordnete Bedeutung zu. Der Detailliertheitsgrad dieser Teilplanung ist i m Grunde f ü r eine Einbeziehung i n eine Gesamtplanung von Distributionssystemen zu hoch. So w i r d m a n sich üblicherweise auch m i t dem Ansatz v o n Durchschnittswerten für die i m Rahmen der Gesamtoptimierung benötigten Daten begnügen. I m einen oder anderen F a l l mögen jedoch die Ergebnisse der Liefertouren-Teiloptimierung v o n so erheblicher Bedeutung sein, daß die Planimg des gesamten Distributionssystems entscheidend darauf aufbaut. Dies könnte dann der F a l l sein, w e n n die variablen Kosten der Auslieferung einen wesentlichen A n t e i l der D i s t r i b u tionskosten ausmachen. Üblicherweise ist dies jedoch nicht der Fall, so daß dann die vierte Phase des Algorithmus k a u m durchgeführt zu werden braucht. Der Vollständigkeit halber sei jedoch hier auf eine Beschreibung dieser Teiloptimierung nicht verzichtet. Es sei hier angemerkt, daß die Liefertourenoptimierung natürlich von w e sentlicher Bedeutung f ü r die Effizienz bereits installierter Distributionssysteme ist.

10. Kap. : Algorithmische Optimierung

140

I I I . Die algorithmische Optimierung auf der Basis von Teilmodellen 1. Vorbemerkungen

Die Vorgehensweise bei der Anwendung des mehrphasigen Algorithmus i m Rahmen der lieferzeitorientierten Optimierungsmethode ist für die verschiedenen oben entwickelten Verfeinerungen des Ausgangsmodells kaum unterschiedlich. Lediglich die Aufwendigkeit der einzelnen Teiloptimierungen hängt vom Grad der Verfeinerung ab. Es reicht daher aus, hier für einen ausgewählten Verfeinerungsgrad den Ablauf der algorithmischen Optimierung zu verdeutlichen. Es sei dazu angenommen, daß alle Kostenfunktionen linear verlaufen. Kurzfristige Inanspruchnahme fremder Transport- und Lagerkapazitäten sei nicht möglich, jedoch sei der Einsatz eigener Transportmittel als Handlungsalternative zu erwägen. Sammelbelieferung sei für die Abnehmer, nicht aber für die Depots vorgesehen. Grundlage der Darstellung ist m i t h i n das Ausgangsmodell, erweitert u m die Handlungsmöglichkeit des Einsatzes eigener Fahrzeuge. 2. Die Teiloptimierung der Depotstandorte und der Kundenzuordnung

a) Das Teiloptimierungsmodell 1. Vorab sei bemerkt, daß i m folgenden die Bezeichnungen und Definitionen des Ausgangsmodells weitgehend übernommen werden, so daß eine ausführliche Erklärung der Symbole nur dann vorgenommen wird, wenn abweichende oder zusätzliche Bezeichnungen verwendet werden. I n der ersten Phase der algorithmischen Optimierung werden Zahl und Standort von Depots sowie die Zuordnung der Abnehmer zu diesen Standorten u n d die zu ihrer Belieferung einzusetzenden Transportmittel festgelegt. Gegenstand der Teiloptimierung ist m i t h i n hier die Grobstruktur der zweiten Stufe des Distributionssystems. 2. Die Zielfunkion des Ausgangsmodells konnte vereinfacht wie folgt beschrieben werden 7 : (10.1.1)

GB = E-

KT 2v - KT2f

- KLf - KLv - KTlf - KTlv

I n der ersten Phase des Algorithmus sind die Komponenten E, K T2 v, K f Gegenstand der Optimierung. Wie bereits angedeutet sind die Teiloptimierungen eingebettet i n einen iterativen Prozeß, der es ermöglicht, eine ständige Rückkopplung und Einarbeitung der Ergebnisse T2

7

Vgl. Abschnitt I I . 2. des 8. Kapitels.

I I I . Algorithmische Optimierung auf der Basis von Teilmodellen

141

d e r n a c h g e l a g e r t e n P l a n u n g s s t u f e n i n die h ö h e r e n O p t i m i e r u n g s p h a sen v o r z u n e h m e n , d i e eine m e h r f a c h e O p t i m u m s u c h e a u f j e d e r Ebene des A l g o r i t h m u s b e d i n g t . D i e s b e w i r k t , daß b e i e i n e r W i e d e r h o l u n g e i n e r T e i l o p t i m i e r u n g andere P a r a m e t e r w e r t e i n das entsprechende T e i l m o d e l l e i n g e h e n k ö n n e n als b e i d e r v o r h e r g e h e n d e n D u r c h f ü h r u n g . I m R a h m e n d e r e r s t e n Phase des A l g o r i t h m u s i s t dies ü b l i c h e r w e i s e b e i d e n K o m p o n e n t e n K Lf, K Lv, K T 1f, K T1 V u n d m i t Einschränkungen T2 V bei K d e r F a l l . Diese G r ö ß e n w e r d e n d u r c h E n t s c h e i d u n g e n d e r a n d e r e n O p t i m i e r u n g s s t u f e n d e t e r m i n i e r t u n d f ü r sie k ö n n e n d e m e n t s p r e chend h i e r n u r D u r c h s c h n i t t s w e r t e oder solche W e r t e angesetzt w e r d e n , d i e a u f d e n E r g e b n i s s e n v o r a n g e g a n g e n e r T e i l o p t i m i e r u n g e n d e r ander e n S t u f e n des A l g o r i t h m u s a u f b a u e n . F ü r d i e A n w e n d u n g des ersten T e i l a l g o r i t h m u s e r g i b t sich a u f diese Weise das f o l g e n d e T e i l m o d e l l . M i t 7 gekennzeichnete P a r a m e t e r e r geben sich i n d e r gerade beschriebenen Weise. Z u n ä c h s t sei die Z i e l f u n k t i o n des T e i l m o d e l l s b e t r a c h t e t 8 : (10.1.2)

GB = Σ { Σ P r Nijki

· hm

-

3 U kl

• Σ aut · N im t kl

Σ Γ Σ , N L

M

•b

m

] - [Kf \ /

i.ctrt

f

r

m

+ KTif) /

·b

î m

·

•

• Σ Nijki - bufo} - > m a x ! β Die i m ersten T e i l der Z i e l f u n k t i o n erscheinenden Parameter d^ kennzeichnen die bei Einsatz eigenbetriebener Fahrzeuge anzusetzenden Transportentfernungen, die bei der Belieferung der Abnehmer zu überbrücken sind. Sie ergeben sich aus der Länge der Liefertouren der eigenbetriebenen F a h r zeuge. Üblicherweise ist der zusätzliche A u f w a n d für die Teiloptimierung der Liefertouren i m Rahmen einer Gesamtoptimierung eines Distributionssystems jedoch nicht gerechtfertigt. (Vgl. dazu auch die Ausführungen i n P u n k t 3. des Abschnitts I I . 2. des 9. Kapitels sowie Fußnote 6 dieses Kapitels.) F ü r den Ansatz von Durchschnittswerten f ü r die E r m i t t l u n g der entfernungsabhängigen variablen Transportkosten existieren i n der L i t e r a t u r v e r schiedene Vorschläge. Als einfachste Möglichkeit bietet sich an, die direkte Entfernung zwischen Start- u n d Zielort als Maßzahl zu wählen. Wie die E r gebnisse einer i n England durchgeführten Regressions-Analyse zeigen, ist dieser einfachste Ansatz bemerkenswert gut geeignet, Näherungswerte für die Gesamtentfernung beliebiger Liefertouren zu ermitteln. Vgl. dazu D. O. Griffiths, The use of regression analysis. Vorschläge zur E r m i t t l u n g komplizierterer Maßzahlen finden sich bei N. Christofides, S. Eilon, Expected distances; M. H. J. Webb, Cost functions; H.-U. Wiese, Struktur, S. 64 ff.; R. D. Snyder, A note on the location of depots.

10. Kap. : Algorithmische Optimierung

142

Hierzu die folgenden Erläuterungen: I n der Zielfunktion erfaßt die erste Summation über j alle Komponenten, deren optimale Gestaltung der eigentliche Gegenstand dieser Phase der algorithmischen Optimierung ist. I m zweiten Teil der Zielfunktion sind Komponenten erfaßt, bei deren Ansatz die Ergebnisse vorher durchgeführter Teiloptimierungen Verwendung finden. Bei der erstmaligen Durchführung der Standort-Teiloptimierung sind statt dieser Durchschnitts« bzw. Schätzwerte anzusetzen. Zweifellos kann das Ergebnis einer Teiloptimierung m i t solchen Werten noch nicht als Handlungsanweisung verstanden werden. Erst eine mehrfache Wiederholung der Optimierung auf der Grundlage der Ergebnisse der anderen Algorithmenstufen führt zu sinnvollen Entscheidungen. Das Optimalitätskriterium der ersten Optimierungsphase ist wie i m Gesamtmodell die Maximierung des Gewinnbeitrages. Hier gehen allerdings als Kostenkomponenten — wie gerade beschrieben — anfangs nur sehr grobe Schätzungen mancher Größen ein. Erst nach mehrfacher Wiederholung aller Phasen des Algorithmus stellt der Wert der Zielfunktion dieses Teilmodells annähernd den optimalen Beitrag der physischen Distribution zum Unternehmensergebnis dar. 2. Das Entscheidungsfeld des ersten Teilmodells w i r d durch die folgenden Nebenbedingungen beschrieben: M

' bjk

f ü r

a l l e

(10.2.1)

Σ hm ^

(10.2.2)

Σ bf^l £ 1

für alle j

(10.2.3)

Σ bijkl j,k

f ü r

(10.2.4)

Σ

(10.2.5)

Σ ail t · N

(10.2.6)

υ =

(10.2.7)

b

b

m

^

1

ß

t

m

. b

f

m

ü

r

a

. Cj rg &hΖΛ

l

· bß

l

a l l e

e

λ

k

i>

G

K

1

fc

e

κ

für alle j , Je, K ; , h

^0 ,

bf k 2 , b g G {0,1)

f ü r alle i, j , k , l, t

Diese Nebenbedingungen entsprechen jenen des Ausgangsmodells, die die zweite Stufe des Distributionssystems betreffen 9 . 9

Vgl. Abschnitt I I I . des 8. Kapitels.

i

I I I . Algorithmische Optimierung auf der Basis von T e i l m o d e l l e n 1 4 3

3. Die relativ einfache Struktur dieses Teilmodelles, auf dessen Basis die algorithmische Teiloptimierung erfolgt, w i r d deutlich, wenn die Zielfunktionskoeffizienten sinnvoll zusammengefaßt werden. Es sei dazu definiert:

(10.3)

^ijkl

m

•N

- ( Κγ + K Tl f)

m

- N

. d i f - k T k? - Σ (kfit

Vi · N

m

-N

m

,

+ Ψ υ)

ail t -

falls fc G K f

= Pi '

•N

- ä« · m

- (K

- Σ {kfu

Tl f

)-N ijk l,

+ Ψ ν)

*üt '

falls k G Κ)

Als reduzierte Zielfunktion des Teilmodells zur algorithmischen Standortoptimierung ergibt sich hiermit: (10.4)

GB = Σ { Σ \Cm

-b, falls Σ Yfitt' kj tf = l i M ( Μ

,

157

·

Q

die unter den Nebenbedingungen (10.17.1)

Σ

Σ Xm ^ C ™ für alle g, h

iVgt Κ*

9

zu minimieren ist. 3. Diese Zielvorschrift kann i n die Zielfunktion eines rein ganzzahligen (binären) Optimierungsmodells umgewandelt werden. Dazu seien Binärvariablen bgiU2 definiert, die den Wert Eins annehmen, wenn der Abnehmer %2 vom Transportmittel g direkt i m Anschluß an den Abnehmer i i beliefert wird. Sonst nehmen sie den Wert N u l l an. Ordnet man außerdem dem Depot die Indizes i t = 0 und ig = it + 1 zu, so können die Zielfunktion und die Nebenbedingungen wie folgt formuliert werden 4 8 : 48

Vgl. den ähnlichen Ansatz i n W. W. Garvin programming, S. 407 ff.

u. α., Applications of linear

10. Kap.: Algorithmische Optimierung

160

(10.18.0)

=

J

^

.

d

^

}

•min!

unter den Nebenbedingungen (10.18.1)

Sb^ v»

(10.18.2)

2

=1

1 2

^

=

1 2

1

(10.18.3) (10.18.4)

f ü r alle ig f ü r alle für alle i 2i g f ü r alle i l9 g

Σ %

2

(10.18.5)

Σ

/ b

9 i i V

J X ^ l ^ C ™ 'h J

f ü r alle g, h

Die Nebenbedingungen (10.18.1) und (10.18.2) sichern, daß jeder A b nehmer von genau einem Fahrzeug beliefert wird, (10.18.3) und (10.18.4) gewährleisten, daß i n einer Liefertour für jeden Abnehmer höchstens ein Vorgänger und ein Nachfolger existieren und (10.18.5) garantiert, daß die Kapazitäten der Transportmittel bei der Zuordnung der Abnehmer berücksichtigt werden. Offensichtlich sind die Ungleichungen (10.18.3) und (10.18.4) redundant, da die Gleichungen (10.18.1) und (10.18.2) diese Restriktionen implizieren. Zusätzlich ist eine Binärbedingung für die Entscheidungsvariablen b aufzustellen: (10.18.6)

b9h

i2

e { 0,1 }

f ü r alle i

h

% g

Durch die Lösung dieses Optimierungsmodells ist der kostenoptimale Einsatzplan der Fahrzeuge eines jeden Depots i n jeder Teilperiode zu ermitteln. b) Ein heuristisches Lösungsverfahren 1. Das Teilmodell zur Tourenplanung ist prinzipiell m i t den Algorithmen der binären Optimierung direkt lösbar. Der praktischen Anwendung dieser Algorithmen sind jedoch aufgrund der Struktur des Problems enge Grenzen gesetzt. Die Anzahl der Binärvariablen b ist m i t g - (U) 2 zu hoch 49 , als daß bei realistischen Werten von g und U eine Optimierung m i t vertetbarem Aufwand möglich wäre. Auch bei den ande49 Eine geringfügige Reduzierung dieser Z a h l läßt sich dadurch erreichen, daß f ü r sinnlose Kombinationen v o n Abnehmerorten (z. B. b g j ^ m i t i j — I2) Variablen nicht definiert werden.

I I I . Algorithmische Optimierung auf der Basis v o n Teilmodellen

161

ren für das vorliegende ,vehicle-scheduling'-Problem i n der Literatur vorgeschlagenen Modellformulierungen 5 0 ist eine exakte Optimumbestimmung m i t vertretbarem Aufwand nicht möglich. Es häufen sich aus diesem Grund i n der Literatur die Vorschläge, das durch das Modell (10.18) beschriebene Problem durch die Anwendung heuristischer Verfahren approximativ zu lösen 51 . Diese Vorgehensweise erscheint auch i m Rahmen des hier vorgeschlagenen mehrphasigen Algorithmus am geeignetsten. 2. Aus der Vielzahl heuristischer Verfahren zur Optimierung des Fahrzeugeinsatzes hebt sich keines als absolut bestes heraus. Je nach der speziellen Wahl der Daten wechselt die Güte der ermittelten Lösung, d. h. ihre Abweichung vom exakten Optimum und der zur Optimierung notwendige Rechenaufwand 52 . I n der Regel sehr gute Ergebnisse hinsichtlich der Abweichung der angebotenen Lösung vom globalen Optimum und des Optimierungsaufwandes sind i n der Literatur über den ^-optimal-approach' zu finden 5 3 . Dieses Verfahren, das zur Lösung des ,Travelling-Salesman' 54 -Problems entwickelt wurde, sei i m folgenden beschrieben und zur Optimierung des Fahrzeugeinsatzes angewendet. Ein Fahrzeugeinsatzplan heiße dann r-opümal, wenn durch den Austausch von r beliebigen Verbindungswegen, die laut diesem Plan zu befahren sind, gegen r andere, die Restriktionen erfüllende Verbindungen keine Senkung der variablen Kosten erreicht werden kann 5 5 . Diese Definition macht deutlich, daß n-Optimalität eines Einsatzplans zur Belieferung von η - 1 Abnehmern gleichzeitig die totale Optimalität garantiert. I n diesem Fall wären alle möglichen Liefertouren zu testen und eine Totalenumeration notwendig. Da der hiermit verbundene Rechenaufwand unverhältnismäßig hoch ist, w i r d auf die Garantie der 50

Vgl. S. Eilon u. a., Distribution management, S. 184. Vgl. ζ. B. M. L. Balinski, R. E. Quandi , Delivery problem; Ν. Christofides , 5. Eilon , The vehicle dispatching problem; G. Clarke , J. W. Wright , Scheduling of vehicles; G. B. Dantzig, J. H. Ramser , The truck dispatching problem; W. W. Garvin u. a., Applications; T. J. Gaskell , Vehicle fleet scheduling; Β . E. Gillett, L. R. Miller , Vehicle dispatch problem; R. L. Hayes , The delivery problem; K . W. Knight , J. P. Hof er, Vehicle scheduling; K . Knowles , Vehicle routing and scheduling; F. W. Matthäus, Lieferplanprobleme; F. A. Tillman , Η . Cochran, A heuristic approach; E. G. Unwin, J. D. H. Weatherby, Improved route planning; A. Wren, A. Holliday, Scheduling of vehicles; P. P étalas, J. Mayer, Tourenplanung. Siehe zu einem zusammenfassenden Überblick auch S. Eilon u. a., Distribution management, S. 180 ff. sowie G. TJebe, Optimale Fahrpläne. 52 Vgl. S. Eilon u. a., Distribution management, S. 193 ff. 53 Vgl. S. Lin, Computer solutions, S. 2245 ff. ; siehe dazu a u d i die Darstellung i n S. Eilon u. a., Distribution management, S. 132 ff. u n d 186 ff. 54 Vgl. S. Eilon u. α., Distribution management, S. 113 ff. u n d die dort angegebene Literatur. 55 Vgl. ebenda, S. 132. 51

11 D e l f m a n n

162

10. Kap. : Algorithmische Optimierung

Ermittlung des exakten Optimums verzichtet. Statt dessen werden für r Werte i n der Größenordnung von 2 oder 3 gewählt. Die 2- bzw. 3-optimalen Lösungen sind m i t geringem Aufwand zu ermitteln und bieten üblicherweise Lösungen, die nur geringfügig oder gar nicht vom exakten Optimum abweichen. 3. I m folgenden sei der Algorithmus zur Ermittlung von 3-optimalen Lösungen beschrieben und auf das vorliegende Problem angewendet. Dieser Algorithmus stellt einen guten Kompromiß zwischen Optimierungsaufwand und Güte der Lösimg dar 5 6 . Das Verfahren geht nun folgendermaßen v o r 5 7 : Schritt 1: (Start) Generierung einer zulässigen Ausgangslösung des Problems. Hierzu, kann auf andere heuristische Verfahren zurückgegriffen werden oder eine Ausgangstour w i r d durch beliebigen Einsatz aller Fahrzeuge aufgestellt. Die für die Berechnung der variablen Transportkosten zugrundezulegenden Entfernungen zwischen den Abnehmerorten sind einer Entfernungsmatrix zu antiiehmen:

9

jt

\

elemente gleich

/y

,\ —, \

< 0

\ alle Zeilen-


ij

die gemeinsam mit der Durchschnittsgröße k f f f als Grundlage der Berechnung der variablen Kosten bei Einsatz des Transportmittels k i n der Teilperiode t vom Depot j aus dienen können. Durch den Ansatz dieser Werte w i r d erreicht, daß die i n der Zielfunktion des Standort-Teilmodells ausgewiesenen variablen Transportkosten bei Auswahl der Transportausstattung k £ Kj den aufgrund der Teiloptimierung der vierten Phase tatsächlich anfallenden Kosten sehr nahe kommen. Falls die Zuordnung der Abnehmer zum Depot j i m Rahmen der algorithmischen Standort-Teiloptimierung identisch zu jener der vorhergehenden Durchführung dieser Teiloptimierung ist, sind diese Kosten sogar exakt erfaßt: (10.20)

= ιξ£.

— Kjkt

Σ ä t£i jt

m

= K™ . Σ

. Σ d,,