Leonardi Bigolli Pisani vulgo Fibonacci Liber Abbaci 9788822266583

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Leo S. Olschki MMXX

MUSEO GALILEO ISTITUTO E MUSEO DI STORIA DELLA SCIENZA FIRENZE

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BIBLIOTECA DI NUNCIUS STUDI E TESTI ------------------ LXXIX ------------------

Leonardi Bigolli Pisani vulgo Fibonacci

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Leo S. Olschki MMXX

Tutti i diritti riservati

Ca s a E d i t r i c e L e o S. O l s c h k i Viuzzo del Pozzetto, 8 50126 Firenze www.olschki.it

Volume pubblicato con il contributo di Ministero dei beni e delle attivita cultural] e del turismo

ISBN 978 88 222 6658 3

REGIONE TOSCANA

A Francesca che ha convissuto per vari anni con u n ospite m olto esigente

INDICE — CONTENTS

Prefazione di Paolo Galluzzi e Paolo Mancarella

ix xiii xiii xvii xviii xxiv xxvii xxix

Introduzione 1. Leonardo Bigollo Pisano vulgo Fibonacci. 2. Sulla data della seconda edizione dei Liber Abbaci. 3. Alia corte delVimperatore. 4. Il Liber Abbaci. 5. L’edizione. 6. I manoscritti esistenti. 7. Uarchetipo 0). 8. Lafamiglia a. 9. I codici CDEKOU. 10. Il codiceS. 11. I codici FR e lafamiglia (p. 12. Criteri editoriali. 13. Note al testo. 14. Ringraziamenti.

xxxvii xlv xlvi xlvii lii liv lix

Introduction 1. Leonardo Bigollo Pisano vulgo Fibonacci. 2. Dating the Liber Abbaci''s second edition. 3. At the emperor’s court. 4. The Liber Abbaci. 5. The edition. 6. The extant manuscripts. 7. The archetype 0). 8. The family a. 9. The codices CDEKOU. 10. The codex S. 11. The codices FR and the family (p. 12. Editorial criteria. 13. Notes on the text. 14. Acknowledgments.

lxi lxi lxv lxvi lxxii lxxv lxxvii lxxxiii lxxxvi xciv xcv xcvi ci ciii cviii

V ll

XXXV

INDICE — CONTENTS Appendice 1. Varianti ortografiche / Appendix 1. Orthographic Variants. Appendice 2. Lacune e omissioni / Appendix 2. Lacunae and omissions.

cix cxvii

Leonardi Bigolli Pisani Liber Abbaci Capitulum prim um

3

Capitulum secundum

13

Capitulum tertium

33

Capitulum quartum

39

Capitulum quintum

43

Capitulum sextum

79

Capitulum septimum

107

Capitulum octavum

141

Capitulum nonum

205

Capitulum decimum

235

Capitulum undecim um

249

Capitulum duodecim um

285

Capitulum tertium decim um

499

Capitulum quartum decim um

547

Capitulum quintum decimum

595

Appendix critica

693

— viii —

PREFAZIONE

Vede la luce, grazie alle cure di Enrico Giusti, coadiuvato da Paolo d’Alessandro, la prima edizione critica completa di u n testo che e alle origini della cultura moderna: il Liber abbaci di Leonardo Pisano, meglio noto dal XIX secolo in poi come Leonardo Fibonacci. Si tratta di un’opera che si colloca se non ali’alba, sicuramente nel primo mattino della civilta del Rinascimento in Italia: in essa Leonardo riuniva in una summa di centinaia e centinaia di carte il sapere matematico che era andato scoprendo nelle piazze commerciali di un Mediterraneo tornato nel corso del XII secolo a essere luogo di scambi, incontri e scontri fra il m ondo latino, le terre mussulmane e 1’Oriente greco. Questo Liber de numero - come egli lo chiamava, passato poi alia storia come liber abbaci: il libro dei calcolo - presentava gli algoritmi basati sulla notazione posizionale (i numeri indiani) e la loro applicazione ai problemi con cui la nuova classe mercantile, che stava emergendo dalla rinascita dell’Occidente, si trovava continuamente a far fronte: costituzione di societa, cambi di monete, cambi di unita di misura, baratti, interessi e sconti. Il tutto non solo presentato con chiarezza di esempi e con rigore, ma anche completato da terni di matematica “dilettevole e curiosa” (basti citare i famosi problemi della scacchiera e quello dei conigli) e da argomenti di matematica superiore, quali algorit­ mi complessi per cio che oggi chiameremmo risoluzioni di sistemi di equazioni lineari, estrazioni di radici quadrate e cubiche, risoluzione di equazioni di secondo grado. Il Liber abbaci sarebbe b en presto diventato una delle basi su cui si sviluppo nel1’Italia dei secoli XIII-XVI u n fenom eno dei tutto nuovo: le “scuole d’abaco”, un’istituzione fondamentale per la storia d’Europa. La diffusione di queste scuole, ancora esitante nel XIII secolo, fiorira a partire dall’inizio del Trecento. Si legga il passo della Cronica di Giovanni Villani (1276-1348): Istimavasi avere in Firenze da novantamila di bocche tra uomini e femmine e fanciulli, per 1’aviso del pane bisognavano al continuo alia citta. ... Trovamo che’ fanciulli e fanciulle che stavano a leggere del continuo da ottomila in diecimila. I garzoni che stavano ad aprendere l’abbaco e algorisimo in sei scuole da mille in milledugento. E quelli che stavano ad aprendere gramatica e loica in quattro grandi scuole da cinquecentocinquanta in seicento.1 1G. Villani, Nuova Cronica, XII.94, edizione critica a cura di G. Porta, Fondazione Pietro Bembo, Guanda, 1991, vol. III. Abbiamo riportato in lettere i numeri romani delToriginale.

IX

PREFAZIONE Nella sola Firenze, tra l’ultim o ventennio del Duecento e il prim o quarantennio del Cinquecento, operarono una settantina di abadsti, quasi tutti maestri d’abaco, e si ha notizia di venti scuole d ’abaco. Verso la fine del Quattrocento, almeno il 25% dei ragazzi in qualche m odo “scolarizzati” frequentava questo tipo di scuole; nella Venezia del Cinquecento la percentuale sale addirittura al 40%. Un’alfabetizzazione diffusa, quindi, a un livello che sarebbe stato raggiunto solo in tem pi m olto piu vicini a noi. Ne si creda che in queste scuole si formassero solo mercanti e banchieri; e da 11 che vennero gli artigiani, gli artisti, gli architetti, gli ingegneri, gli idraulici, gli agri­ mensori, i cartografi, i maestri d ’artiglieria. Molti dei grandi nom i del nostro Rinascim ento - per citarne solo alcuni, Piero della Francesca, Machiavelli, Leonardo da Vind , Michelangelo - studiarono e crebbero in questo am biente culturale: sia pur indirettam ente, alia base della loro formazione ritroviamo Leonardo Pisano e i suoi scritti. ★

Ci si potrebbe quindi stupire che u n ’opera di questa im portanza sia rimasta dimenticata per secoli; che solo verso la m eta dell’O ttocento Baldassarre Boncompagni ne abbia fornita u n ’edizione, basata pero su uno solo dei codici e non priva di scorrettezze; che solo in tem pi recenti (2002) ne sia stata approntata una traduzione inglese, anch’essa non priva di problemi. La spiegazione va trovata nell’enorm e mole di questo testo (nella presente edizione, quasi mille pagine) e nella difficolta di trovare un editore che possedesse le com petenze m atematiche, storiche e filologiche con cui affrontare il compito di allestire u n ’edizione critica basata sull’intera tradizione m anoscritta - diciannove testim oni scaglionati fra il XIII e il XIX secolo. E per questo motivo che il Museo Galileo e l’Universita di Pisa hanno accolto con entusiasmo la proposta di uno studioso come Enrico Giusti di sostenere il suo lavoro: non servono certo molte parole per presentare uno dei piu noti matematici italiani e al tem po stesso uno storico delle m atematiche di fama internazionale. Tanto piu che il lavoro si presenta anche come frutto di una cooperazione con Paolo d’Alessandro del D ipartim ento di Studi Umanistici dell’Universita di Roma 3: esempio da imitare di collaborazione interdisciplinare fra discipline m atem atiche e filologiche. N on era certo l’universita pisana a poter rifiutare di sostenere una simile impresa, dato che Leonardo non solo fu figlio di Pisa ma, come ebbe a scrivere u n altro suo figlio, Marco Tangheroni: E la mediterraneita insieme occidentale, meridionale ed orientale di Pisa che mi ha fatto una volta dire che Leonardo Fibonacci non poteva che essere pisano, forse solo con l’alternativa genovese: solo un Pisano poteva formarsi e perfezionarsi nei grandi spazi del Mediterraneo frequentati dalle navi e dai mercanti di Pisa. Il Museo Galileo e lieto di aver contribuito a realizzare u n ’opera, attesa da tempo, che costituira un duraturo punto di riferimento per la vasta com unita internazionale degli studiosi impegnati a lumeggiare i saperi e le imprese di quell’ardita e lungimi— x—

PREFAZIONE rante classe mercantile italiana che trasform d il M editerraneo in u n grande mercato di scambi di merci, di culture e di popoli. L’istituzione fiorentina - che si fregia del nom e di u n altro grande testim one della m odernita, che ebbe i natali a Pisa - guarda con fiduciose aspettative anche alia sperimentazione di modelli innovativi di edizioni critiche digitali, che questa m em orabile impresa editoriale, condotta in porto con straordinaria competenza da Enrico Giusti, ha contributo ad aw iare in proficua collaborazione con l’Universita di Pisa. Infatti, la collaborazione tra Museo e Universita non si arrestera con questa pubblicazione. Museo e Universita, insieme con una serie di altri partner2, hanno infatti lanciato il progetto 1202Fibonacci2021, cofinanziato dalla Regione Toscana, per trasformare questo bel volume, curato dalla tradizionale sapienza tipografica della casa editrice Olschki, in un ’edizione critica digitale. Questo progetto, diretto da Pier Daniele Napolitani del D ipartim ento di M atematica di Pisa, punta a rendere accessibili - utilizzando anche tecniche di intelligenza artificiale - i tesori che sono nascosti nelle pagine di questo libro, ricco di informazioni ancora sostanzialmente inesplorate sulla storia economica, la vita quotidiana, gli sviluppi della matematica. Leonardo Pisano e una com ponente essenziale del nostro patrim onio culturale e in particolare del patrim onio della Toscana, in cui videro la nascita decine e decine di scuole d’abaco, base culturale dei ceti emergenti nel Rinascimento. In tem pi di crisi di modelli globali consolidati, imposta da eventi imprevedibili come il Corona virus, assume un significato speciale tornare a m editare su u n testo che recito un ruolo fondamentale nella trasform azione civile, culturale, scientifica ed economica della societa medievale, traghettandola verso la M odernita. Firenze — Pisa 3 giugno 2020

Pa o l o G a l

l u z z i,

Direttore del Museo Galileo Pa o l o M a n c a r e l l a

Rettore dell’Universita di Pisa

2Gli altri partner del progetto sono la casa editrice Olschki; Fabrizio Serra Editore; la cooperativa eLabor di Pisa; il Dipartimento di studi um anistid dcll’Univcrsita di Roma 3; il Giardino di Archime­ de - Un m useo per la matematica di Firenze; il Seminar Air Griechische und Lateinische Philologie dell'Universita di Zurigo.

— xi —

INTRODUZIONE

1. Leonardo Bigollo Pisano vulgo Fibonacci. Della vita di Leonardo Pisano ben poco si sa, e le notizie di cui disponiamo, tratte per lo piu dai suoi scritti, sono a volte contraddittorie e di difficile interpretazione. A parte le testim onianze che troviamo nelle sue stesse opere, conosciamo al m o­ m ento solo due docum enti contem poranei, am bedue piu volte citati. Il prim o e un rogito del notaio Bonafidanza, datato 28 agosto 1226, nel quale Leonardo compare come acquirente di un terreno con torre e casa per conto di suo fratello Bonaccingo: Ex hoc publico instrumento omnibus sit manifestum quod Bartholomeus quondam Alberti Bonacii vendidit ettradidit Leonardo Bigollo quondam Guilielmi, procuratori et certo nuntio Bonaccinghi germani sui quondam suprascripti Guilielmi, ut apparet in sceda procurationis rogata a Pagano notario quondam Malagalliae, et a me Bonafidanza notario visa et lecta; ... duodecimam partem integram pro indiviso unius petii terre cum turri et sala, et omni hedificio et pertinentia sua; quod totum petium est positum Pisis Foriporte in cappella Sancti Petri ad Vincula ...* 1 Da questo docum ento emergono due fatti im portanti. Il prim o e relativo al nom e del padre: Guglielmo e non Bonaccio come si era creduto in precedenza. Il secondo riguarda 1’appellativo di "bigollo” con il quale Leonardo e spesso indicato, u n term i­ ne dal significato incerto e che ha fatto m olto discutere, ma dal quale pare esclusa ogni colorazione spregiativa. Il term ine era gia caduto in disuso nel Cinquecento, e il Vocabolario della Crusca non ne fa menzione; lo troviamo pero in u n sonetto di Cecco Angiolieri con u n significato corrispondente grosso m odo a quello della m oderna trottola: Qualunque giorno non veggio’1mio amore, la notte come serpe mi travollo, e si mi giro, che paio un bigollo: tanta e la pena che sente il mio core.2 1I1 rogito e stato pubblicato da G. M il a n e s i , Documento inedito e sconosciuto intorno a Lionardo Fibonacci. Giornale Arcadico, 198 (1867), pp. 81-88. 1Cecco Angiolieri, a cura di M. M a r t i , in Poeti giocosi del tempo di Dante, Milano, Rizzoli, 1956, p. 163. Si veda comunque S. Ba t t a g l ia , Grande dizionario della lingua italiana, Torino, UTET 1966-2002, vol. II, p. 228.

xiii

INTRODUZIONE II secondo documento, anch’esso notissimo, anche se di data incerta perm ette di fissare un terminus post quem per la data di m orte del Pisano, dato che e 1’ultimo docum ento a esso relativo. Si tratta di una delibera con la quale il Com une di Pisa assegna a Leonardo una pensione annua per i suoi meriti passati e per i servigi che rendera alia comunita: Considerantes nostre civitatis et civium honorem atque profectum, qui eis tam per doctri­ nam quam per sedula obsequia discreti et sapientis viri magistri Leonardi Bigolli in abbacandis estimationibus et rationibus civitatis eiusque officialium et aliis, quoties expedit, con­ feruntur, ut eidem Leonardo, merito dilectionis et gratie atque scientie sue prerogativa, in recompensationem laboris sui quem sustinet in audiendis et consolidandis estimationibus et rationibus supradictis, a comuni et camerariis publicis, de comuni et pro comuni, mercede sive salario suo, annis singulis libre XX denariorum et amisceria consueta dari debeant ipseque pisano comuni et eius officialibus in abbacatione de cetero more solito servat, presenti constitutione firmamus.3 La delibera si trova nel "Constitutum pisanum legis et usus”, ed e inserita tra le aggiunte dei 1241 al volume del 1233. Il docum ento non e datato, e quindi puo essere relativo a uno qualsiasi degli anni compresi tra queste due date. I due docum enti sono concordi nel cognomen Bigollo da affiancare al nom e Leo­ nardo, eventualm ente precisando quondam Guilielmi, e cosi dobbiam o pensare venis­ se chiamato dai suoi concittadini. Di questo troviamo conferm a in alcuni manoscritti dei Liber Abbaci e della Pratica Geometrie, come ad esempio: Explicit Liber Arismetricie Leonardi bigholli de Pisis,4 Incipit Pratica Geometrie composita a Leonardo Bigollosie filio Bonacii Pisano in anno M° CC° XXI.5 Piu avanti, caduto in disuso il term ine bigollo, Leonardo verra costantem ente in­ dicato come "Pisano”, sia nei manoscritti che nelle opere a stampa. Alcuni esempi saranno sufficienti: Cristofano di Gherardo di Dino: Qui incomincia la pratica della Geometria di M° Lunardo Pisano6

3F. Bo n a in i , Memoria unica sincrona di Leonardo Fibonacci, novamcnte scoperta, Giomale Storico degli Archivi Toscani, I (1858), pp. 238-246. 4Biblioteca Comunale di Siena, L.IV20, c. 224v. 5Biblioteca Nazionale Centrale Firenze, II.in.22, c. 2r. 6Leonardo Fibonacci, La Pratica di Geometria volgarizzata da Cristofano di Gherardo di Dino, a cura e con introduzione di G. A r m g h i . Pisa, D om us Galilaeana, 1966, p. 23.

— xiv —

INTRODUZIONE Pier Maria Calandri: Nel presente capitolo dobbiamo scrivere certi chasi d’indivinare, e’ quali sono absoluti per amicitia et forza di numeri, come mostra Lionardo Pisano nelbopera sua7 Luca Pacioli: e de nostri moderni Leonardo pisano8 Rafael Bombelli: Scrisse poi doppo questo (ma ci fu grande intervallo di tempo) Leonardo Pisano in idioma latino9 Muzio Oddi: Lionardo Pisano, che ne i tempi molto piu bassi scrisse assai accuratamente di questa materia10 Bernardino Baldi: Leonardo, che dalla Patria fu detto Pisano, fu grandissimo Geometra & Aritmetico.11 Nessuna di queste fonti m enziona il nom e Fibonacci con cui Leonardo e oggi conosciuto. Per questo bisognera aspettare il primo Settecento, quando u n gruppo di eruditi riscoprono delle opere dei Pisano e ne diffondono la notizia.12 Nel catalo­ go m anoscritto della Biblioteca Magliabechiana, redatto tra il 1737 e il 1747 da Gio­ vanni Targioni Tozzetti, bibliotecario dal 1739, e ora custodito presso la Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze, troviamo la seguente nota: Leonardi Pisani de filiis Bonaccii (Fibonaccii) Practica Geometriae composita anno MCCXX. N on si conosce la data esatta di questa scrittura, m a gia nel 1742 Dom enico Maria Manni inseriva nella sua Istoria dei Decamerone una notizia relativa al Liber Abbaci: Nella Libreria Magliabechiana vi ha un’Opera fattami cortesemente osservare dalla gentilezza di cui va quella distribuendo con bell’ordine, e con immensa applicazione facendone gl’Indici,13 vi ha un’Opera, dissi, in cartapecora a penna Autore Leonardo Fibonacci Pisano, composta, dic’egli stesso, 1’anno 1202 ed emendata da se 1’anno 1220.14 Poco piu avanti la scrittura di Targioni Tozzetti veniva ripresa da Francesco Antonio Zaccaria nel prim o volume dei suoi Excursus:

7Pier Maria Calandri, Tractato d ’abbacho, a cura e con introduzione di G. A r m g h i . Pisa, Dom us Galilaeana, 1974, p. 138. 8Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni i r Proportionalitd. Venezia, Paganino de’ Paganini, 1494, c .4 v. 9UAlgebra parte maggiore delVArimetica. Bologna, Rossi, 1572, c. d2v. 10Dello Squadro. Milano, Fobella, 1625, p. 52. Vedi anche p. 49 e 63. n Cronica de matematici overo Epitome delle vite loro. Urbino, Monticelli, 1707, pp. 88-89. 12Vedi L. P e pe , La riscoperta di Leonardo Pisano, in E. G iusn (ed.) Un ponte sui Mediterraneo. Leonardo Pisano, laseienzaarabaelarinascita della matematicain Occidente, Firenze, Polistampa, 2002, pp. 161-175. 13Cioe Giovanni Targioni Tozzetti. Istoria dei Decamerone di Giovanni Boccaccio, Firenze, 1742, p. 511.

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INTRODUZIONE Cod. XXIII. Leonardi Pisani defiliis Bonacci (fibonacii) Practica Geometriae composita anno MC-

cxx.15 Dopo queste prime apparizioni il cognomen Fibonacci divenne sempre piu popolare,16 e si affermd definitivamente quando Edouard Lucas chiamo numeri di Fibonacci la successione num erica derivante dal problem a dei conigli trattato nel Liber Abbaci.17 Degno di nota e il fatto che Baldassarre Boncompagni, ben noto per la sua acribia, abbia sempre usato 1’appellativo Leonardo Pisano. Al term ine di questo breve excursus suH’origine del nom e Fibonacci, devo menzionare il fatto che a quanto pare esso si troverebbe nei Ricordi di Ser Perizolo,18 databili all’inizio del Cinquecento. Qui troviamo Lionardo Fibonacci fuo nostro concive, e vivette nelli anni 1203. Vidde tutto el mondo; tornoe a Pisa, e reed i numeri arabichi e 1’arimetica, e ne compose un libro che in questo tempo, dello anno 1506 Pisano, nello tempo scrivo, tiene la famiglia delli Gualandi, e vi sono expressi li numeri fino al decimo, quale composto forma la decina, et insegna contare e l ... 19 Sull’autenticita del nom e Fibonacci e lecito piu di u n dubbio. Infatti come ci dice nella prefazione l’editore Francesco Bonaini, i Ricordi sono stati pubblicati sulla base non del codice originale, che gia allora era andato perduto, ma a partire da una copia che di esso aveva fatto nel 1751 Agostino Santelli, trascritta da Giuseppe Vivoli.20 N on e quindi escluso, e anzi e probabile, che sulla scorta del Targioni Tozzetti e del Manni, il Santelli (o piu tardi il Vivoli) abbia inserito il nom e Fibonacci, anche alio scopo di renderne piu agevole l’identificazione. In ogni caso, non sembra plausibile che i Ricordi di Ser Perizolo abbiano avuto una diffusione tale da influenzare l’attribuzione a Leonardo del cognomen Fibonacci.

15Prancisci Antonii Zachariae Societatis Jesu Excursus Litterarii per Italiam. Vol. 1, Venedis MDCCLIV ex Remondiniano Typographies, p. 232. lsPer la fortuna del nom e Fibonacci tra Settecento e Ottocento vedi B. B o n c o m p a g n i , Della vita e delle opere di Leonardo Pisano, matematico del secolo decimoterzo. Atti delFAccademia Pontificia dei Nuovi Lincei V (1852) pp. 7-12. 17Liber Abbaci, (12.996-1000). Con (A.b) indico il testo (b) del capitolo A della presente edizione. Per le altre opere di Leonardo Pisano faccio riferimento ali’edizione Boncompagni (Scritti di Leonardo Pisano matematico dei secolo decimoterzo, pubblicati da Baldassarre Boncompagni. Vol. II, Tipografia delle Scienze Matematiche e Fisiche, Roma 1862). lsRicordi di me Sere Perizolo da Pisa, Notaro Imperiale, raccolti en Livomo Vanno 1496 Pisano, allora sendo stato col Missere Andrea Galletti, Dottore di Leggi, al Govemo per pochi mesi; e posti con altri ante­ riori e posteriori Ricordi, Archivio Storico Italiano, Tomo VI, Parte seconda, Firenze, Viesseux, 1845, pp. 386-396. 19Ivi, p. 388. Il manoscritto Gualandi, certamente una copia dei Liber Abbaci, non e stato identificato e probabilmente e perduto. 20Archivio Storico Italiano, Tomo VI, Parte prima, Firenze, Viesseux, 1844, p. XXVII.

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INTRODUZIONE 2. Sulla data della seconda edizione del Liber Abbaci. Una volta chiarita l’origine del nom e Fibonacci, torniam o alle notizie sulla sua vi­ ta, notizie che provengono tu tte dalle sue opere, in particolare dal Liber Abbaci. Com e vedremo, esse pongono non pochi problemi di datazione. Tutti i manoscritti conosciuti del Liber Abbaci sono concordi nel fissare la sua composizione al 1202. Meno certa, anche se finora ritenuta tale, la data del 1228 per la revisione dell’opera, data che troviamo solo in alcuni dei manoscritti, che pure, a quanto se ne sa, fanno tutti capo a questa revisione.21 In effetti, u n ’analisi degli incipit dei manoscritti in questione fa sorgere qualche dubbio. I codici che riportano le date di composizione sono nove, e precisamente quelli indicati nei Sigla codicum (vedi infra, § 6) con le lettere ABFGHNRSV. Di questi, B e N sono copie di G,22 m entre H ha la prim a carta in volgare. Gli altri sei si possono dividere in tre gruppi relativamente all’incipit: FG: Incipit Liber Abbaci compositus a Leonardo filio23 Bonaccii Pisano in anno M0CC°II° ARV: Incipit LiberAbbaci compositus a Leonardo filiorum Bonaccii Pisano in anno M0CC°II° (1202 V) et correctus ab eodem XXVIII (28 V)24 S: Incipit abbacus Leonardi de domo filiorum Bonaccii Pisano compositus A. M0CC°II° et correptus ab eodem A. M°CC0XX°VIIP. E assai probabile che la lezione dell’archetipo com une a tutti i codici sia quella tradita da ARV; infatti come si vedra piu oltre AGV provengono da u n com une antigrafo a , indipendente da R, e mal si spiegherebbe la com une aggiunta di una data, per di piu nella form a assai inconsueta tradita da ARV. D ’altra parte, come si vede anche dagli incipit appena riportati, S tende a smussare le asperita di linguaggio e piu volte inserisce parole o brevi frasi atte a rendere il testo piu comprensibile. Un esempio lo abbiamo gia nella prim a parte: davanti a u n term ine piuttosto duro com e filiorum, F e G scrivono filio (e G che aveva scritto filiorum corregge), m entre S aggiunge de domo che rende la frase piu scorrevole. Lo stesso meccanismo governa la seconda parte dell’incipit: davanti a una frase come "et correctus ab eodem XXVIII” di difficile interpretazione, F e G la eliminano del tutto, m entre S interpreta XXVIII come una data e scrive come si deve "et correptus ab eodem A. M0CC0XX°VIII0”. 21La prima edizione del 1202 e probabilmente perduta, con l'eccezione del capitolo 12, che ci e pervenuto in un unico manoscritto (vedi E. G iu s t i , The twelfth Chapter o f Fibonacci’s Liber Abaci in its 1202 Version, Bollettino di Storia delle Sdenze Matematiche XXXVII (2017)). 22Vedi infra, § 8. 23In realta G avevafiliorum, m a poi - m m e stato eraso lasciandofilio. 24H ha “corretto dal m edesim o nel 28”.

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INTRODUZIONE Se le cose stanno cosi, e cioe se l’archetipo aveva il testo tradito da ARV, la data 1228 appare quanto m eno dubbia. Personalm ente non ho mai visto una data scritta nella form a riportata da questi codici;25 norm alm ente le date venivano scritte per esteso come in S e nelle altre opere datate di Leonardo, come la Pratica Geometric. Incipit pratica geometrie composita a Leonardo Pisano (Bigolosie) de filiis Bonaccii anno M° CC° XX°, e il Liber quadratorum: Incipit liber quadratorum compositus a Leonardo Pisano Anno M CC XXV In conclusione, la data del 1228, a quanto si puo ricavare dall’esame dei manoscritti che la riportano, anche se non puo essere esclusa con assoluta certezza, non puo essere accettata in m aniera acritica, e la cronologia che si basa su di essa deve essere considerata con m olta cautela. 3. Alla corte dell’imperatore. Possiamo invece ritenere ben fondata la datazione del 120226 per la prim a stesura del Liber Abbati. Da questa si puo congetturare la data di nascita di Leonardo, che viene usualm ente fissata tra il 1170 e il 1180. Contro una data troppo vicina al secondo term ine sta come si e detto la composizione del Liber Abbati nel 1202; contro il retrocedere della stessa verso o addirittura prima del 1170 gioca il fatto che - come risulta dalla delibera del Com une di Pisa- Fibonacci era attivo almeno nel 1233,27 e probabilmente piu tardi. Sempre nel Liber Abbati troviamo i notissimi riferimenti all’apprendistato di Leo­ nardo: Cum genitor meus a patria publicus scriba in duana Bugee pro Pisanis mercatoribus constitu­ tus preesset, me in pueritia mea ad se venire faciens, inspecta utilitate et commoditate futura, ibi me studio abbaci per aliquot dies stare voluit et doceri. Ubi ex mirabili magisterio in arte per novem figuras Indorum introductus, scientia artis in tantum mihi pre ceteris placuit, et intellexi ad illam, quod quicquid studebatur ex ea apud Egyptum, Syriam, Greciam, Siciliam et Provinciam cum suis variis modis, ad que loca negotiationis postea peragravi, per multum studium et disputationis didici conflictum.28 Che si sia trattato di qualche giorno, possiamo dubitare. Quello che e certo, e che il patrimonio di conoscenze che poi verra travasato nel Liber Abbati e nelle altre opere 25Per la scrittura delle date in vari documenti si puo vedere E. U l iv i , Maestri e scuole A.’abaco a Firenze, Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche XXIV (2005), pp. 43-91, in particolare le pp. 76-91. 26Che pero potrebbe essere il 1201 se la data fosse more pisano. 27Questo e un terminus post quem per la morte di Leonardo. 28Liber Abbaci, (1.7-8).

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INTRODUZIONE del Pisano si accumula durante u n lungo periodo di viaggi in tutto il M editerraneo, dal Medio Oriente alia Provenza, dalla Sicilia a Costantinopoli. Un evento centrale nella vita di Leonardo fu l’incontro con Federico II e la corte imperiale. Con ogni probability esso aw enne nel luglio 1226, in occasione di un soggiorno a Pisa deH’im peratore. Sembra infatti da escludere che Federico abbia visitato Pisa in una data anteriore,29 in particolare nel corso del suo viaggio a Roma, dove fu incoronato nel 1220, dato che quest’ultim o viaggio aw enne per la via Romea, ben lontano dalla costa tirrenica. A Federico e ai notabili della sua corte, con u n ’unica parziale eccezione, Fibonacci dedichera tutte le sue opere. Prima di quella data, nel 1220 o nel 1221,30 Fibonacci aveva pubblicato la Pratica Geometric, che aveva dedicato a u n non meglio identificato Maestro Dom enico.31 L’incontro con Domenico, aw enuto certam ente prima del 1220, potrebbe aver avuto luogo in Sicilia, nel corso di uno dei viaggi di cui Leonardo paria nel prologo del Liber Abbaci. In Sicilia avra avuto m odo di conoscere la traduzione degli Elementi di Euclide fatta direttam ente dal greco nell’ambito della corte norm anna di Guglielmo I, che poi utilizzera nelle sue opere.32 Lo stesso Dom enico appare nella dedica a Federico del Liber Quadratorum, nelle vesti di colui che introduce Leonardo alia presenza dell’imperatore: Cum magister Dominicus pedibus celsitudinis vestre, princeps gloriosissime domine Federice, me Pisis duceret presentandum, occurrens magister Johannes Panormitanus, questionem mihi proposuit infrascriptam, non minus ad geometriam quam ad numerum pertinentem; ut invenirem numerum quadratum, cui quinque additis vel diminutis, semper inde quadra­ tus numerus oriretur. Super cuius questionis solutione a me iam inventa considerans, vidi quod habebat originem solutio ipsa ex multis que quadratis et inter quadratos numeros acci­ dunt. Nuper autem cum relationibus Pisis positis, et aliorum reddeuntium ab imperiali curia, intellexerim quod dignatur vestra sublimitas maiestas legere super librum quem composui de numero, et quod placet vobis audire aliquotiens subtilitates ad geometriam et numerum contingentes; rememorans in vestra curia et a vestro phylosopho suprascriptam mihi pro­

29Vedi W. St u r n e r , Federico II e Vapogeo delVimpero, trad. ital. a cura di A. A. Velardi, Salerno, Roma 2009, p. 787, nota 79: “Federico non fu mai a Pisa prima dei 1226 e in seguito ci ritorno solo alia fine dei dicembre 1239”. 301 manoscritti della Pratica Geometric recano chi Tuna chi Faltra data. An che in questo caso, se la data fosse espressa morepisano, potrebbe trattarsi dei 1219. 31In mancanza di meglio, il Magister Dominicus e stato a volte identificato con un non m eglio conosciuto Dominicus Hispanus, citato dall'astrologo Guido Bonatti insieme a Michele Scoto. Peraltro nessun Dominicus figura nei documenti imperiali, dove invece troviamo il Magister Theodorus a cui Fibonacci indirizzera YEpistola, e quel Johannes Panormitanus dal cui problema ebbe origine il Liber Quadratorum. M. F o l k e r t s , Leonardo Fibonacci’s knowledge o f Euclid’s Elements and o f other mathematical texts, Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche XXIV (2005), pp. 93-113.

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INTRODUZIONE positam questionem, ab ea sumpsi materiam, et opus incepi ad vestrum honorem condere infrascriptum, quod vocari librum volui quadratorum.33 Abbiamo qui u n prim o problem a di datazione,34 perche il Liber Quadratorum, di cui 1’unico m anoscritto pervenutoci35 porta la data di composizione 1225, narra di u n aw enim ento svoltosi nel 1226. Questo fatto ha portato alcuni studiosi a congetturare una data precedente per 1’incontro dei Pisano con 1’im peratore, senza peraltro alcun docum ento che supporti questa tesi. D ’altra parte nel Liber Abbaci ci sono almeno due riferimenti al Liber Quadratorum: (12.13) Probavi enim geometrice que hic sunt dicta de collectionibus quadratorum in libro quem de quadratis composui. (15.162) Nam unde hee inventiones procedunt, geometrice demonstrata sunt in libello quem de quadratis composui. In m ancanza di ulteriori informazioni, pur senza azzardare una data precisa per la composizione dei due trattati, possiamo senz’altro ipotizzare che il Liber Quadrato­ rum preceda la seconda stesura dei Liber Abbaci. Simili problemi di datazione presenta 1’altra opera di Leonardo, il Flos. L opera e certam ente una compilazione di scritti precedenti e di altri composti per 1’occasione, come risulta chiaro dalla dedica al cardinale Ranieri Capocci da Viterbo: Intellecto beate pater et domine venerande R. Dei gratia Sancte Marie in Cosmidin diae. Cardinalis dignissime quod meorum operum copiam non preceptive saltem, quod vos ma­ gis decebat, sed simpliciter petere fuistis per litteras... non solum parere voto vestro sattegi devotius in hac parte, verum etiam de quarundam solutionibus questionum a quibusdam phi­ losophis serenissimi domini mei Caesaris, et aliis per tempora mihi oppositarum, et plurium que subtilius quam in libro maiori de numero, quem composui, sunt solute, ac de multis, quas ipsemet adinveni, ex diffusa quidem multitudine compilans hunc libellum ad laudem et gloriam nominis vestri compositum florem ideo volui titulari, quia .. 36 Subito dopo questa dedica al Cardinale, Leonardo inserisce scritti composti per Fe­ derico, al quale nel pream bolo ricorda di nuovo 1’incontro pisano e la conseguente genesi dei Liber Quadratorum:

33Liber Quadratorum, p. 253. Lo stesso episodio e narrato nel Flos, v. infra. 34Per una discussione approfondita della cronologia delle opere di Leonardo si veda C. M a c c a g n i , Leonardo Fibonacci e il rinnovamento delle matematiche, Atti dei Convegno “LItalia ed i paesi mediterranei”, Nistri Lischi e Pacini, Pisa 1988, pp. 91-115. 35Veneranda Biblioteca Ambrosiana, Milano, E 75 sup. 36Flos, in Scritti di Leonardo Pisano, Vol. II, p. 227.

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INTRODUZIONE Cum coram maiestate vestra, gloriosissime princeps Frederice, magister Iohannes Panormi­ tanus, phylosophus vester, Pisis mecum multa de numeris contulisset, inter que duas questio­ nes que non minus ad geometriam quam ad numerum pertinent, proposuit. Quarum prima fuit ut inveniretur quadratus numerus aliquis, cui addito vel diminuto quinario numero, egre­ diatur quadratus num erus.... Et cum diutius cogitassem unde oriebatur predicte questionis solutio, inveni ipsam habere originem ex multis accidentibus que accidunt quadratis nume­ ris, et inter quadratos numeros: quare hinc sumens materiam, libellum incepi componere ad vestre maiestatis celsitudinis gloriam; quem libellum quadratorum intitulavi, in quo con­ tinebuntur rationes et probationes, geometrice solutiones questiones predicte et multarum aliarum questionum solutiones quem habere poterit vestra immensitas, si celsitudine vestre placuerit.37 Sempre dal Flos apprendiam o che in quella occasione Giovanni da Palerm o non si limito al problem a descritto nel Liber Quadratorum, ma ne propose anche altri: Altera vero questio a predicto magistro Iohanne proposita fuit, ut inveniretur quidam cu­ bus numerus, qui cum suis duobus quadratis et decem radicibus in unum collectis essent viginti.38 Di questo secondo problema, che forse Giovanni da Palerm o aveva tratto dalle opere di al-Khayyam,39 Leonardo trovauna soluzione approssimata, dopo aver fatto vedere che nessuno degli irrazionali quadratici descritti nel decimo libro degli Elementi di Euclide poteva essere la soluzione esatta. Un terzo problema, sempre proposto da Giovanni da Palermo, non era nuovo a Leonardo, come prova la sua presenza nella prima versione dei Liber Abbati40 e nelle opere di Abu Kamil,41 da cui probabilmente Leonardo lo aveva tratto insieme a u n num ero considerevole di altre questioni:42 Tres homines habebant pecuniam comunem, de qua medietas erat primi, tertia secundi, sex­ ta quoque pars tertii hominis. Et cum eam in tutiori loco habere voluissent, ex ea unusquis­ que cepit fortuitu; et cum totam ad tutiorem locum deportassent, primus ex hoc quod cepit 37Flos, p. 227. 38Flos, p. 228. 39In effetti la stessa equazione si trova n elf opera di al-Khayyam, che la risolve geometricamente per m ezzo delTintersezione di una circonferenza e di un iperbole. Si veda R. R a s h e d e B. Va h a b z a d e h , Al-Khayydm mathematician, Paris, Blanchard, 1999, p. 185. 40E. G i u s t i , The twelfth chapter, (800)-(814), pp. 176-178. 41A b u Ka m il , Algebre et analyse diophantienne. Edition, traduction et commentaire par Roshdi Ra­ shed. D e Gruyter, Berlin-Boston, 2012, p. 674: “Si on d i t : trois individus ont distribue un bien entre eux, la moitie pour Fun, le tiers pour le second, et le sixieme pour le troisieme. Puis celui qui a eu la moitie a rendu la moitie de ce qu'il a aequis, celui qui a aequis le tiers a rendu le tiers de ce qu'il a aequis, et celui qui a eu le sixieme a rendu le sixieme de ce qu'il a aequis. Puis iis ont partage ce qu'ils ont rendu en trois parties et chacun a pris ce qui lui est du”. 42R. R a s h e d , Fibonacci et le prolongement latin des mathematiques arabes, Bollettino d i Storia delle Scienze matematiche XXIII (2003), pp. 55-73.

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INTRODUZIONE posuit in comune medietatem, secundus tertiam, tertius sextam. Et cum ex hoc quod in commune positum fuit inter se equaliter divisissent, suam unusquisque habuit portionem. Queritur quanta fuit illa pecunia, et quot unusquisque ex ea cepit. Hec itaque questio, domi­ ne serenissime imperator, in palatio vestro Pisis coram vestra maiestate a magistro Iohanne Panormitano mihi fuit proposita. Super cuius questionis solutionem cogitans, tres modos in solvendo ipsam inveni, quos in libro vestro quem de numero composui patenter inserui.43 N onostante non sia dedicato a Federico, e quindi a rigore non dovrebbe essere chiam ato vestro, il libro de numero e sicuram ente il Liber Abbaci, dove effettivamente troviamo le tre soluzioni al problem a in questione.44 Dalla dedica a Federico II, con 1’inconsueta m istura di passato e futuro nel descrivere il Liber Quadratorum (incepi, intitulavi - continebuntur, poterit) sembrerebbe di poter dedurre che questa opera fosse ancora in via di elaborazione all’epoca della stesura dei Flos, m entre il cenno al Liber Abbaci farebbe considerare quest’ultim o gia term inato. Questo creerebbe una contraddizione con quanto abbiamo detto sopra, cioe che il Liber Quadratorum precede la seconda stesura dei Liber Abbaci. Forse un modo per uscirne e di ricordare che il Flos non e u n ’opera unitaria, ma una silloge di testi elaborati in tem pi diversi e raccolti per 1’occasione. Bisogna quindi supporre che la dedica a Federico e il problem a che la segue nel Flos (trovare un quadrato tale che aggiungendovi o togliendovi 5 il risultato e ancora u n quadrato) precedano il Liber Quadratorum, m entre il terzo problem a del Flos, in cui si menziona il Liber Abbaci, segua quest’ultimo. Suile date di composizione dei vari trattati nulla si puo dire di certo. Q uanto al Flos, certam ente posteriore al Liber Abbaci, si puo solo congetturare che esso sia stato composto non dopo il 1235, data in cui i rapporti tra Ranieri e Federico sembrano aver cominciato a guastarsi; sicuram ente non dopo il 1239 quando il Cardinale fu l’ispiratore della scomunica e delle violentissime invettive papali contro 1’im peratore.45 Un m inim o di diplomazia avrebbe suggerito a Leonardo di non m andare al Cardinale degli scritti dedicati a Federico e a m em bri della sua corte. Probabilmente negli stessi anni o in quelli im m ediatam ente successivi e da situare la stesura delY Epistola ad magistrum Theodorum, quello stesso Teodoro che propone u n problem a alia fine dei Liber Quadratorum, sempre che YEpistola si debba conside­ rare come un ’opera a se stante e non come pare probabile una parte dei Flos. Infatti anche nelYEpistola troviamo riferimenti al Liber Abbaci', u n prim o alfinizio:

43Flos, p. 234. 44Liber Abbaci, (12.1083-1124) e (13.180-188). 45Almeno fino al 1235 (presa di Viterbo) i rapporti fra Ranieri e Federico sono (o sembrano) buoni. La rottura definitiva aw ien e nel 1239 con la scomunica di Federico e la Bolla ‘Ascendit de mare” dei 1° luglio 1239, in un testo indirizzato a tutti gli ardvescovi, i vescovi e i re della cristianita, nella quale Gregorio IX associa la bestia del XIII capitolo deA’Apocalisse a Federico II.

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INTRODUZIONE Assiduis rogaminibus et postulationibus a quodam mihi amicissimo invitatus, ut modum sibi componerem solvendi subscriptas avium et similium questiones; quia ipse tamquam noviter in hoc magisterio educatus, fortiora pabula in libro meo numeri apposita pavescebat, lac sibi, velut noviter genito filio, suavitatis preparans, ut robustius effectus capere valeat artiora, presentem sibi modum inveni, per quem non solum similes questiones solvuntur, verum et omnes diversitates consolaminum monetarum. Et quia ipsum in illa scientia prestantiorem et utilem elegi, vobis, reverende pater domine Theodore, imperialis aule summe phylosophe, mictendum decrevi, ut ipso perlecto, que utilia sunt, vestre celsitudinis probitas, resecatis superfluis, reconservet.46 e u n secondo alia fine: Et si unde talis inventio procedat habere volueritis, vobis illud, tanquam domino venerando mittere procurabo. Solvuntur etiam similes questiones aliter, ut in libro meo denominato vestra sapientia poterit invenire.47 In conclusione, a parte la prima stesura dei Liber Abbati e la Pratica Geometrie, per cui le date riportate sui manoscritti (1202 e 1220-21) sono da ritenere attendibili, per le altre opere e difficile alio stato attuale stabilire delle date certe di composizione. Al piu si puo tentare una cronologia relativa scorporando tra loro le varie parti dei Flos, e precisamente: Flos: Primo problema di Giovanni da Palermo, Liber Quadratorum, Seconda stesura dei Liber Abbati, Flos: terzo problem a di Giovanni da Palermo, Composizione dei Flos ed Epistola ad magistrum Theodorum. Q uanto alie altre parti del Flos, esse non contengono riferimenti che possano perm ettere di situarle con sicurezza in una serie cronologica, anche se sono propenso a credere che 1’ordine in cui sono poste nel Flos corrisponda alTordine tem porale di composizione. In ogni caso, quello compreso tra il 1220 e il 1235 fu u n periodo di grande attivita scientifica per Leonardo: pubblica la Pratica Geometrie, rivede il Liber Abati e com pone il Liber Quadratorum e il Flos: praticam ente tutte le sue opere conosciute. Oltre a queste, abbiamo notizia di altri scritti, di cui pero non ci e giunta traccia se non attraverso rimandi contenuti nelle opere di Leonardo. Tra queste u n Liber minoris guise, probabilm ente una versione abbreviata e semplificata della prim a parte dei Liber Abati, che Leonardo m enziona nel capitolo 11 dei suo trattato: 46Epistola ad Magistrum Theodorum, in Scritti di Leonardo Pisano, Vol. II, p. 247. 47Epistola, p. 251.

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INTRODUZIONE Est enim alius modus consolandi, quem in libro minoris guise docuimus48 e un Commento alX libro degli Elementi di Euclide, la cui esistenza si deduce da u n passo dei Flos: super hoc meditando putavi huius questionis solutionem egredi ex his que continentur in decimo libro Euclidis; et ob hoc super ipso decimo Euclidis accuratius studui, ... Et quia difficilior est antecedentium et quorundam sequentium librorum Euclidis, ideo ipsum deci­ mum librum glosare incepi, reducens intellectum ipsius ad numerum, qui in eo per lineas et superficies demonstratur.49 Ambedue queste opere sono m enzionate nella Praticha d ’arismetrica contenuta nel codice Palatino 573 della Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze; Chonpuose Lionardo molti libbri di nostra scientia, fra’ quali furon questi de’quali ho cogni­ tione, cioe: e’ Libro di merchanti detto di minor guisa, e’ Libro de’ fiori, el Libro de’ numeri quadrati, e’ Libro sopra il 10° d’Euclide, e’ Libro di Praticha di geometria, el libro di Praticha d’arismetricha del quale io 6 chavato quello che al presente voglio scrivere.50 L’esistenza di questi trattati sembra dunque certa, anche se sorprende il fatto che dei Liber minoris guise, che certam ente doveva essere di lettura piu agevole e di m aggior diffusione rispetto al Liber Abaci, non si sia rinvenuta a tu tt’oggi nessuna copia. 4. Il Liber Abbati. Fin dall’inizio del XIX secolo, e piu ancora dopo la pubblicazione da parte di Baldassarre Boncompagni, il Liber Abbati e stato oggetto di u n gran num ero di com m en­ ti e di analisi, che sarebbe impossibile registrare individualmente. Tra tutti, si erge per la sua completezza il saggio di Heinz Ltineburg;51 anche utili sono i saggi editi in occasione dell’ottavo centenario della sua pubblicazione,52 e per u n ’introduzione alia vita e alie opere di Leonardo Pisano il volum e curato da Pier Daniele Napolitani.5354 Rinviando il lettore a questi lavori, in particolare al libro di Ltineburg per una descrizione dettagliata, mi limitero qui a brevi cenni. 48Liber Abbaci, (11.84). 49Flos, p. 228. 50Vedi R. F r a n c i , Leonardo Pisano e la trattatistica delVabaco in Italia nei secoli X IV e XVI, «Bollettino di storia delle scienze matematiche», 23 (2003), p. 52. 51Leonard! Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnugen eines Matematikers. 2 Auflage, Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1993. 52R. F r a n c i , Il Liber Abaci di Leonardo Fibonacci 1202-2002. Boll. Unione Matematica Italiana, S. 8 Vol. 5-A (2002), pp. 293-328; E. G i u s t i , Matematica e commercio nel Liber Abaci, in E. G iu s t i (ed.) Un ponte sui Mediterraneo, pp. 59-120. 54Fibonacci. La rinascita della matematica in Occidente. Grandangolo Scienza, C om ere della Sera, Milano 2016.

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INTRODUZIONE II Liber Abbaci si divide in quindici capitoli, raggruppati intorno a quattro aree tematiche. La prim a parte, che include i capitoli 1-7, e dedicata alia scrittura posizionale dei num eri e alle regole delle operazioni aritmetiche. Segue una seconda parte, daH’ottavo all’undicesimo capitolo, che tratta di vari problem i relativi al commercio. Il dodicesimo capitolo e dedicato a u n ’ampia gam m a di problemi miscellanei, che possiamo classificare come m atematica ricreativa, anche se alcuni di essi hanno un innegabile contenuto teorico. Infine i capitoli dal tredicesimo al quindicesimo contengono la parte piu avanzata del volume: la doppia falsa posizione, il calcolo delle radici quadrate e cubiche e le operazioni relative, l’algebra. Veniamo ora al contenuto dei singoli capitoli. Il prim o e u n ’introduzione alle cifre indo-arabe, in particolare alia scrittura e alia lettura dei num eri. Benche non lo dica esplicitamente, Leonardo ha chiaro che il vantaggio della notazione posizionale rispetto ad altre form e di registrazione dei num eri, in particolare ai num eri romani, consiste nella possibility di scrivere e leggere num eri arbitrariam ente grandi. Da notare che, conform em ente all’uso arabo, Leonardo num era le posizioni delle cifre da destra verso sinistra: la prim a cifra di u n num ero e quella delle unita, la seconda del­ le decine e cosi via. Viene poi la cosiddetta “indigi tazione”, cioe la registrazione dei num eri da 1 a 9999 sulle due mani: le unita e le decine nella m ano sinistra, le centinaia e le migliaia nella destra. Il capitolo term ina con le tavole di addizione e di moltiplicazione. I tre capitoli che seguono trattano delTaritmetica degli interi: piu precisamente il secondo capitolo e dedicato alia moltiplicazione, il terzo all’addizione e il quarto alia sottrazione. Da notare che la moltiplicazione precede l’addizione. Questo fatto pud sembrare strano al lettore m oderno, ma probabilm ente dipende dalla partico­ lare tecnica di moltiplicazione, nella quale le addizioni necessarie vengono fatte direttam ente nel corso del calcolo, e non alia fine come si usa oggi. Ad esempio, per moltiplicare 12 per 23, Leonardo moltiplica 2 per 3, che fa 6; poi 1 per 3 e 2 per 2, che fanno 7, e infine 1 per 2, che da il risultato 276. N aturalm ente le cose si complicano quando si devono moltiplicare num eri di piu cifre (e Leonardo arriva fino a num eri di otto cifre ciascuno); in questo caso il num ero dei prodotti parziali da somm are m entalm ente aum enta rapidam ente e i calcoli diventano piu lunghi e verbosi, anche se u n certo aiuto viene dalla simmetria: et primam per octavam et primam per octavam et secundam per septimam et secundam per septimam, scilicet eas que sunt secus primam et octavam, et tertiam per sextam et tertiam per sextam, eo quod sunt secus secundas et septimas, et quartam per quintam, et quartam per quintam, ideo quia sunt secus tertias et sextas, et ponat.5454

54Liber Abbaci, (2.83).

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INTRODUZIONE Solo alia fine del capitolo troviamo una moltiplicazione a “quadrilatero”, che a parte la disposizione grafica differente e essenzialmente simile alia tecnica m oderna. Della som m a e della sottrazione c’e poco da dire, tranne che alia fine del terzo capitolo troviamo u n cenno, il solo dell’intera opera, alia tenuta dei libri contabili. Di tutte queste operazioni Leonardo insegna come fare la prova, per il m om ento limitandosi alia prova del nove, m a che in seguito estendera considerando i residui m odulo 7, 11 e 13. Il quinto capitolo tratta della divisione degli interi, cosa che richiede in via preliminare l’introduzione delle frazioni. Oltre alle frazioni “standard” del tipo | , Leo­ nardo introduce frazioni “graduali”55 (fractiones in gradibus), cioe con vari num eri al num eratore e altrettanti al denom inatore. Queste frazioni, particolarm ente utili per registrare successivi sottomultipli di una data quantita, rim arranno in uso lino alia seconda m eta del diciottesimo secolo.56 I due capitoli che seguono trattano dell’aritmetica delle frazioni e dei num eri misti, cioe composti di u n intero e di una o piu frazioni: il sesto riguarda la moltipli­ cazione e il settimo le altre operazioni. Da notare che in Leonardo, e ancora lino a non m olto tem po fa, due num eri scritti uno accanto all’altro senza u n ’indicazione di operazione dovevano essere sommati; ad esempio, | j 5 significa 5 + j + | . Nel settimo capitolo e inserito anche u n problem a che risale alia piu rem ota antichita: la decomposizione di una frazione - nella som m a di frazioni con num eratore 1. Il caso con m = 2 e n < 1 0 2 s i trova gia nel papiro Rhind; Leonardo tratta sistematicamente il caso generale elaborando una serie di strategic a seconda delle relazioni tra m e n . I quattro capitoli che seguono, dalfottavo alTundicesimo, sono dedicati alle ope­ razioni commerciali: acquisti e vendite (capitolo 8), baratti (capitolo 9), compagnie (capitolo 10) e fusione delle m onete (capitolo 11). II dodicesimo capitolo, di gran lunga il piu esteso dei Liber Abbaci, e che da solo occupa circa un terzo dell’intera opera, contiene questioni miscellanee che possiamo classificare coma m atem atica ricreativa, anche se non m ancano problem i e m etodi di carattere indubbiam ente teorico, come la regola della falsa posizione, che Leonardo chiama “regola degli alberi” (regula arborum) perche e usata alfinizio per risolvere vari problemi relativi alfaltezza di alberi. In questo capitolo troviamo il famoso problema dei conigli, insieme all’altro ben noto problem a della duplicazione della scacchiera e a quello della som m a di una progressione di ragione 7, simile a quello che si trova ancora una volta nel papiro Rhind. In ogni caso, anche quando i problemi sembra55A volte queste frazioni sono chiamate “frazioni continue ascendenti”; comunque preferisco re­ stare aderente alia term inologia di Leonardo. N ei successivi trattati italiani di aritmetica vengono chiamate “rotti in filza”. 56Vedi ad es. Giu s e p pe An t o n io A l b e r t i , Trattato di Aritmetica pratica, Venezia, Recurti 1752, vol. I, pp. 181-183 e G ir o l a m o P ie t r o C o r t t n o v is , Abbaco ovvero Pratica generale dell'A ritmetica, Venezia, Bassaglia 1759, pp. 109-110.

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INTRODUZIONE no tratti dalla vita quotidiana, come l’acquisto di cavalli o la vendita di mele, siamo sempre piuttosto lontani da questioni di carattere pratico. Gli ultimi tre capitoli riguardano la m atematica avanzata. Il tredicesimo tratta il m etodo della doppia falsa posizione o elchataym, che Leonardo padroneggia con indubbio virtuosismo. Il quattordicesimo e dedicato all’estrazione di radici quadrate e cubiche, e all’antm etica dei binomi, essenzialmente lungo le linee del decimo libro degli Elementi di Euclide. Inline l’ultimo capitolo, dopo una prima parte riservata alia ricerca di num eri in varie proporzioni, e dopo u n breve trattato di geometria, e dedicato per la m aggior parte all’algebra. 5. L’edizione. Il rinnovato interesse intorno alia figura di Leonardo Pisano nel volgere del XVIII secolo ha indotto molti studiosi a pubblicare parti sempre piu estese del Liber Abbaci. Gia nel 1754 il gesuita Francesco Antonio Zaccaria descriveva alcuni manoscritti della Biblioteca Magliabechiana (ora parte della Biblioteca Nazionale Centrale) di Firenze e pubblicava dal codice G la lettera di dedica a Michele Scoto e il prologo autobiografico.57 Com unque solo nel XIX secolo le opere di Leonardo, e in particolare il Liber Ab­ bati, furono pubblicate nella loro interezza. Nel 1838 Guglielmo Libri ne aveva pubblicato il capitolo quindicesimo nel secondo volum e della sua Histoire,58 estraendolo dallo stesso codice G. Un passo definitivo nella diffusione delle opere di Leonardo Pisano fu compiuto da Baldassarre Boncompagni, che tra il 1854 e il 1862 pubblico l’intero corpus dei suoi scritti; gli Opuscula (cioe Liber Quadratorum, Flos ed Epistola ad Magistrum Theodorum) prim a,59 e piu tardi le due opere m aggiori.60 Secondo lo stile dell’epoca, Boncom pa­ gni pubblico il Liber Abbati a partire da u n solo codice, in effetti il solo m anoscritto essenzialmente completo, il nostro codice F. L’edizione di Boncompagni aderisce totalm ente al m anoscritto di riferimento, di cui conserva tutti gli errori di scrittura, segnalando occasionalmente quelli piu evidenti con u n (sic). Il testo e sostanzialmen57Excursus Litterarii per Italiam. Vol. 1, pp. 229-232. Oltre a questi, Zaccaria ha pubblicato anche parti dcll'indice e un certo numero di titoli di sezione dal capitolo 8. 5SHistoire des Sciences Mathematiques en Italie, depuis la renaissance des lettres jusqu’d la fin du dix-septieme siecle. Paris, chez Jules Renouard 1838. Vol. 2, pp. 307-476. 59Tre scritti inediti di Leonardo Pisano. Firenze, Tipografia Galileiana 1854; Opuscoli di Leonardo Pisano. Seconda edizione. Firenze, Tipografia Galileiana 1856. 60Scritti di Leonardo Pisano matematico dei secolo decimoterzopubblicati da Baldassarre Boncompagni. Vo­ lum e I (Leonardi Pisani Liber Abbaci). Roma, Tipografia delle Sdenze Matematiche e Fisiche, MDCCCLVII. Volume II (Leonardi Pisani Practica Geometriae ed Opuscoli), Roma, Tipografia delle Sdenze Matematiche e Fisiche, 1862.

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INTRODUZIONE te corretto, m olto m eno la matematica. L’editore non controllo i calcoli (o forse non seppe farlo), in particolare quelli che coinvolgevano le varie specie di frazioni, e pertanto il risultato finale risulta poco attendibile quanto alia correttezza dei risultati. A questo proposito m erita attenzione la traduzione inglese dell'opera, eseguita da Laurence Sigler61 e pubblicata postum a nel 2002, nella quale gran parte degli errori sono stati corretti, anche se la traduzione spesso si allontana dal testo originale. D urante il ventesimo secolo molti studiosi hanno insistito sulla necessita di u n ’edizione critica, al punto che questo e diventato u n luogo comune. Ma come dice il proverbio "tra il dire e il fare c’e di mezzo il m are”, e nel periodo di piu di u n secolo e mezzo dall’edizione Boncompagni nessuno ha seriamente tenta to di intraprendere questo compito. Recentem ente Giuseppe Germ ano e Nicoletta Rozza hanno pubblicato u n ’edizione critica dei primi quattro capitoli del Liber Abbaci,62 u n ’edizione di cui Germano, Carotenuto e Caianiello63 e piu tardi G erm ano64 avevano in precedenza dato u n saggio pubblicando la lettera di dedica e il prologo autobiografico.65 Nella Premessa gli editori confessano candidamente di aver condotto la propria ricerca “soltanto sui ver­ sante filologico-testuale e linguistico”.66 La mancanza di conoscenze e com petenze matematiche, e forse una certa fretta nel pubblicare, hanno causato svariati fraintendimenti, cosi che in definitiva il testo stabilito da Boncompagni e piu affidabile di quello pubblicato da Germ ano e Rozza. Lo scopo principale della presente edizione e di fornire agli studiosi u n testo at­ tendibile sia dal versante m atem atico che da quello filologico. Alio scopo ho esaminato tutti i manoscritti disponibili, quelli completi o quasi completi come quelli che contengono solo parti dell’opera, e ho collazionato i piu significativi. Q uanto alia m ate­ matica, ho controllato tutti i calcoli e ho sistematicamente corretto gli errori quando questo era possibile, o altrimenti li ho segnalati in apparato e nelle Note al testo.

61Fibonacci’s Liber Abaci. A Translation into Modern English o f Leonardo Pisano's Book o f Calculation. N ew York, Springer-Verlag 2002. 62G. Ge r m a n o e N. R o z z a (ed.), Leonardo Pisano detto il Fibonacci, Liber Abaci - Il libro del calcolo. Epistola a Michele Scoto - Prologo - Indice - Capitoli I-W. Edizione critica, con Introduzione, traduzione e note. Napoli, Loffredo, 2019, pp. 59-60. 63Edizione critica, traduzione e commento dell’Epistola di dedica a Michele Scoto e del Prologo autobiografico del Liber Abaci di Leonardo Pisano, in Forme e modi delle Ungue e dei testi tecnici antichi. Napoli, D'Auria, 2012, p. 122-125. 64New editorial Perspectives on Fibonacci’s Liber Abaci. «Reti Medievali Rivista», 14, 2 (2013), pp. 170173. 65Una precedente edizione critica del prologo si trova in R. E. Grimm, The autobiography o f Leonardo Pisano. Fibonacci Quarterly 21 (1976), pp. 99-104. 66G. Ge r m a n o e N. R o z z a , p. 9.

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INTRODUZIONE 6 .1 manoscritti esistenti. Al m om ento sono noti diciannove testim oni del Liber Abbaci, la m aggior parte dei quali erano gia stati descritti da Boncompagni. Di questi, nove tram andano tutta o la m aggior parte dell’opera, m entre gli altri dieci contengono, in tutto o in parte, solo gli ultimi capitoli. Appartengono al prim o gruppo i seguenti codid: A Milano, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, ms. 1.72 sup.67 Codice pergamenaceo del XIII secolo, ft'. 125 di m m. 270 x 200 num erati a penna in alto a destra. O pera di u n unico copista con rare correzioni di m ano recenziore (A2). Manca l’epistola dedicatoria a Michele Scoto, il capitolo 10 e la parte finale del capito10 9.68 Sono caduti dopo la num erazione i flf. 35 e 38, che contenevano parte del cap. 11, e inoltre u n bifolio che si trovava dopo la carta 122, contenente una parte del cap. 15. Piu tardi i ff. 125 e 126 sono state rinum erati 123 e 124. 11 f. 85v contiene delle note “de baractis” di mani differenti. Tra i ff. 87 e 88 si trova u n foglio originariam ente non num erato e che reca a m atita il num ero 87bis. A parte un bifolio con le figure dell’indigitazione. B Berlin, Staatsbibliothek, Preussischer Kulturbesitz, ms. Lat. Fol. 418.69 Codice cartaceo del XIX secolo, ff. 805 di mm. 300 x 220 num erati a penna in alto a destra, oltre a due carte non num erate dopo il f. 714. Sono chiaram ente visibi­ li due mani, la prima dall’inizio a f. 686r, la seconda da 687r alia fine. La carta 686v e bianca. Sul prim o contropiatto troviamo il nom e di Franz Woepcke, uno storico della m atematica araba, a cui il volume probabilm ente apparteneva,70 e una nota che recita "Copie sur le Ms. Classe XI, N. 21 (i.e. G) de la Bibl. Magliabechiana de Florence”. Questa nota e riportata sulla scheda della Staatsbibliothek: "Neue Abschrift von Ms. Cl XI. N. 21 der Magliabecchiana in Florenz". Com e in G mancano una parte cospicua (circa u n terzo) del capito­ lo 9 e il capitolo 10. Manca inoltre l’intero capitolo 15. La lettera dedicatoria segue il prologo autobiografico. 67Descritto in B. Bo n c o m pa g n i , Intorno ad alcune opere di Leonardo Pisano, matematico del secolo decimoterzo. Roma, Tipografia delle Belle Arti, 1854, pp. 1-2. 68Per una descrizione piu dettagliata delle lacune e delle omissioni dei vari codid vedi piu oltre FAppendice 2. 69G. Ge r m a n o , New Editorial Perspectives, p. 159. Germano data il manoscritto al XVII secolo, correggendo in questo il repertorio Mirabile, che invece lo colloca nel XV secolo. In realta le calligrafie dei due copisti suggeriscono una data di composizione piu tarda, non prima delFinizio delFOttocento. 70Questo potrebbe spiegare Fassenza del capitolo 15, che era stato pubblicato da Guglielmo Libri nel 1838. In questo caso, il manoscritto sarebbe stato copiato tra il 1838 (ma certo piu tardi, dato che Woepcke era nato nel 1826) e il 1857, quando Boncompagni pubblico il Liber Abbaci. Woepcke possedeva anche una copia moderna della Pratica Geometrie, ora conservata alia Bibliotheque Nationale de France, Paris, con la segnatura Lat. Nouv. Acq. 1207.

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INTRODUZIONE F Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. Soppr. C.1.2616.71 Codice pergam enaceo del XIV secolo, ft'. 213 di mm. 300 x 209. Al copista principale si alterna una seconda mano che, oltre a rubricare titoli, sottotitoli e num eri, rivede il testo sulTantigrafo correggendolo e integrandolo. Saltuarie correzioni di m ani successive (F2), una delle quali ripassa talora il testo dove l’inchiostro si e staccato dal supporto a causa dell’eccessiva addita. Il codice riporta due num erazioni a penna: una coeva in alto al centro in inchiostro rosso e una piu recente in alto a destra. Mancano la m eta inferiore del prim o foglio, sostituita da altra di altra mano, e il f. 3, che doveva contenere le figure dell’indigitazione dei n u ­ m eri.72 Tram anda l’opera pressoche nella sua completezza. Su questo codice Baldassarre Boncompagni ha condotto 1’editio princeps del Liber Abbati.73 G Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Magi. XI.21.74 Codice pergamenaceo del secolo XIV ff. 286 di m m. 270 x 200. Un’unica m ano prow ede alia trascrizione del testo e alia rubricatura di titoli, sottotitoli e numeri. Saltuarie correzioni di mani successive (G2). Reca due num erazioni, una antica a penna in alto a destra talvolta tagliata dal legatore e una ottocentesca a m atita in alto al cen­ tro. Oltre alle figure dell’indigitazione, m ancano il capitolo 10 e la parte finale (circa u n terzo) del capitolo 9. La lettera dedicatoria e aggiunta in margine. H Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Fond. Prine. II.III.25.75 Codice cartaceo, XVI secolo, ff. 305 di mm. 320 x 225. Il codice e costituito dalla riunione di due manoscritti eseguita all’inizio dell’Ottocento, recanti due num erazioni a penna: una piu antica in alto a destra e una ottocentesca al centro. Q uest’ulti­ ma, probabilmente aggiunta al m om ento della riunione dei codici, ha u n salto da 9 a 11. Il foglio 1, che sostituisce u n foglio perduto ed e scritto da m ano di­ versa, contiene l’inizio dell’opera in una traduzione volgare; poi dal f. 2 al 174 continua in latino in una m ano del XVI secolo. La seconda parte, da f. 176 a 305 contiene una miscellanea di scritti alchemici. La carta 175 e bianca. Codice molto confuso e con moltissime mancanze, in particolare privo dalla parte finale dei capitoli 1 e 2, dei capitoli 3 e 10, della parte finale del capitolo 9, dell’inizio del capitolo 11, di parte del capitolo 12 e della conclusione del capitolo 15. N Napoli, Biblioteca Nazionale, ms. VIII.C.18.76 Codice cartaceo del secolo XVII, ff. 285 di mm. 315 x 225 num erati a penna in alto a destra. Coincide quasi totalm ente con G, di cui e una copia con correzioni in scribendo77. 71Descritto in B. Bo n c o m pa g n i , Della vita e delle opere di Leonardo Pisano, pp. 32-34. Queste illustrazioni sono presenti solo in A e S. 7SScritti di Leonardo Pisano, Volume I. 74B. Bo n c o m pa g n i , Della vita e delle opere di Leonardo Pisano, pp. 34-39. 75Gia Magi. IX.22. Descritto in B. B o n c o m pa g n i , Della vita e delle opere di Leonardo Pisano, pp. 50-54. 76B. Bo n c o m pa g n i , Intorno ad alcune opere di Leonardo Pisano, p. 3. 77Vedi infra, § 8.

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INTRODUZIONE

R Firenze, Biblioteca Riccardiana, Ms. 783.78 Codice cartaceo del secolo XV, ff. 346 di mm. 283 x 212 num erati m eccanicamente in alto a destra. Privo del capitolo 10, della parte finale del capitolo 9 e dell’inizio del capitolo 11. Il testo m ostra due mani, la prima fino alia carta 114r (doe fino a (12.153) evacua-), la seconda da 114v in poi. Questa seconda parte discende in linea diretta da F. S Siena, Biblioteca Com unale degli Intronati, L.IV20.79 Codice pergamenaceo della fine del secolo XIII o dell’inizio del XIV ff- 224 di mm. 306x202.1foglihanno tre num erazioni a penna: una antica in alto a destra, a volte rifilata in una successiva legatura, una ottocentesca in alto al centro e una terza per pagine in basso al centro. Nella copiatura del codice si susseguono almeno tre copisti, di cui il prim o si ferma a f. 96v (numerazione in alto al centro) e il terzo comincia da f. 177v r. 10. La copia e stata anche rubricata e collazionata c o n l’antigrafo da piu mani. Saltuarie correzioni di mani successive (S2), una delle quali appunta nei margini e in interlinea note form ulate in latino ma scritte in caratteri greci (S3). Manca del prologo autobiografico e della parte finale del capitolo 15. V Citta del Vaticano, Biblioteca Apostolica Vaticana, Pal. Lat. 1343.80 Codice per­ gamenaceo della fine del secolo XIII o dell’inizio del XIV ff 173 di mm. 300 x 209, scritto su due colonne da u n unico copista che om ette sistematicamente di riprodurre nei margini i calcoli illustrativi delle operazioni esposte nel testo. N um erose correzioni di mani successive (V2). Reca due num erazioni a penna in alto a destra, la prima piu antica cancellata e sostituita da una num erazione ottocentesca. Mancano la m aggior parte del capitolo 10 e una parte cospicua (518-652) del capitolo 12. Il secondo gruppo e composto dai seguenti manoscritti: C Paris, Bibliotheque Mazarine, ms. 3637 (1256 ancienne num eration).81 Codice pergam enaceo del secolo XIV, ff 88 di m m. 300 x 223 num erati recentem ente a m atita in alto a destra. Scrittura su due colonne. Legato in pelle nel 1968; la legatura precedente in pergam ena recava sui dorso la scritta “Sakir, Ameti, M aumeti et Asoth Libri m athem atici”. Contiene vari trattati: Verbafiliorum Moysy filii Sakir et Maumeti Arneti Asacht (ff. 1-15), Epistola Ameti filii Moysis de proportione et proportionalitate (ff. 15-30), il fram m ento In quantitatem diametri (f. 31). I ff. 34-88 tram andano i capitoli 14 e 15, il prim o con alcune omissioni, oltre ad alcune proposizioni miscellanee che occupano i ff. 85v-88r. La parte (1)-(10) dei capitolo 14 si trova a f. 88. 78B. Bo n c o m pa g n i , Delia vita e delle opere di Leonardo Pisano, pp. 45-50. 79I D , p p . 25-31. 80I D , pp. 31-32. 81I D , pp. 44-45.

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INTRODUZIONE

D Paris, Bibliotheque Nationale de France, Lat. 7367.82 Codice cartaceo del secolo XV ft'. 168 di mm. 223 x 160 con due num erazioni a penna praticam ente contem poranee tra loro, in alto a destra. I primi due fogli non sono num erati e al verso del prim o e al recto del secondo contengono unindice di m ano diversa. Tra i ff. 1 e 2 una carta num erata Ibis. I ft'. 1-147 tram andano i capitoli 14 e 15 del Liber Abbaci, probabilm ente esemplati su C. Seguono alcuni fogli bianchi num erati 148-155.1 ff. 156-162 riportano in volgare operazioni sulle ffazioni, seguite da due fogli con un paradosso aritmetico e da una carta bianca. E Paris, Bibliotheque Nationale de France, Lat. 7225A.83 Codice cartaceo del secolo XVI o XVII, ff. 227 di m m. 305 x 215 num erati a penna in alto a destra. Probabilmente si tratta di una copia di C. J Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Conv. Soppr. C .7.2645.84 Codice carta­ ceo del secolo XIV ff- 92 di m m. 308 x 208 num erati successivamente a penna in alto al centro 2-93. Il codice inizia con u n Algorismus sive Arimetica (ff. 2-37) seguito da un Tractatus Helcatainy ai ff. 38-51. Le carte 52 e 53 sono bianche. I ff. 54-76 contengono con moltissime ed estese lacune e con alcune aggiunte la terza parte del capitolo 15 relativa all’algebra,85 oltre ad alcuni problemi del capitolo 12. Seguono u n foglio bianco e da f. 78 alia fine un trattato di geometria. K Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Magi. XI.38.86 Codice cartaceo del XVI secolo, ff. 287 di mm. 275 x 210 con due num erazioni a penna in alto a de­ stra, delle quali la piu antica spesso illegibile. Contiene ai ff. 120-231 (nuova num erazione) i capitoli 14 e 15. L Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana, Gaddi 36.87 Codice cartaceo del se­ colo XIV ff 168 di mm. 277 x 225, num erati a penna in alto a destra. Il codice ha anche in basso al centro una num erazione dei fascicoli, ognuno dei quali e costituito da quattro bifolii. Contiene i capitoli 12-15, quest’ultim o incom ple­ to. Il testo del capitolo 12 differisce notevolm ente da quello tradito dagli altri manoscritti, ed e una copia della versione originale del 1202.88

82ID, pp. 54-55. 83ID, pp. 59-61. 84W Va n E g m o n d , Practical Mathematics in the Italian Renaissance. A Catalog o f Italian Abbacus M a­ nuscripts and printed Books to 1600. Supplemento agli Annali dellTstituto e Museo di Storia della Scienza, Firenze 1980, pp. 100-101. Vedi anche B. H u g h e s , Fibonacci teacher o f algebra: an Analysis o f Chapter 15.3 o f Liber Abbaci. Mediaeval Studies 2004, p. 314. S5Uincipit del testo recita: Incipit liber Meamed filii Moxii argorismi de algebra et almucabila. 86B. B o n c o m p a g n i , Della vita e delle opere di Leonardo Pisano, pp. 58-59. 87i d , pp. 40-44. 88E. G i u s t i , The twelfth chapter.

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R. Firenze, Biblioteca Riccardiana, Ms. 783, f. l r. Su concessione del MiBACT. E vietata oeni ulteriore riproduzione con qualsiasi mezzo. 1 d ^ mtenure

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S. Siena, Biblioteca Comunale degli Intronati, L.IV.20, f. l r.

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