Le Liber mahameleth: Édition critique et commentaires 3515092382, 9783515092388

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Le Liber mahameleth Édition critique et commentaires

Boethius

---------------------------------Texte und Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften

Begründet von Joseph Ehrenfried Hofmann, Friedrich Klemm und Bernhard Sticker Herausgegeben von Menso Folkerts

Band 60

Le Liber mahameleth Édition critique et commentaires

édité par Anne-Marie Vlasschaert

Franz Steiner Verlag Stuttgart 2010

Die Publikation wurde mit Mitteln der Kurt-Vogel-Stiftung in München gefördert.

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek: Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN 978-3-515-09238-8 Jede Verwertung des Werkes außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist unzulässig und strafbar. Dies gilt insbesondere für Übersetzung, Nachdruck, Mikroverfilmung oder vergleichbare Verfahren sowie für die Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen. © 2010 Franz Steiner Verlag, Stuttgart Gedruckt auf säurefreiem, alterungsbeständigem Papier. Druck: AZ Druck und Datentechnik, Kempten Printed in Germany

ÉPRQFKHU3DSD

TABLE DES MATIÈRES Commentaires TABLE DES MATIÈRES .............................................................................................. 1 AVANT-PROPOS .......................................................................................................... 5 Remerciements ................................................................................................................ 6 1

INTRODUCTION ................................................................................................... 7 1.1 LE COMMERCE DANS L’ÉCONOMIE ET LA SOCIÉTE DU XIIème SIÈCLE ...................................................................................................... 7 1.2 LE LIBER MAHAMELETH, UN TRAITÉ COMMERCIAL .................... 8 1.2.1 De quoi s’agit-il? ....................................................................................... 8 1.2.2 De quand date-t-il? .................................................................................. 11 1.2.3 Où a-t-il été écrit? .................................................................................... 12

2

L’AUTEUR DU TRAITÉ ...................................................................................... 2.1 PERSPECTIVE D’ENSEMBLE SUR L’HISTOIRE DE L’ESPAGNE DU VIIIème AU XIIIème SIÈCLE ......................................................... 2.2 LES CONTACTS INTERCULTURELS DANS LES MILIEUX INTELLECTUELS TOLÉDANS DU XIIème SIÈCLE ......................... 2.3 DOMINICUS GUNDISALVI, TRADUCTEUR ET INTERPRÈTE DE LA SCIENCE ET PHILOSOPHIE MÉDIÉVALE ...........................

15

HISTOIRE DU TEXTE ......................................................................................... 3.1 LES TÉMOINS DU TEXTE ................................................................... 3.1.1 Heuristique ou inventaire des témoins du texte (traditio) ....................... 3.1.2 Examen et classement des témoins (recensio) ......................................... 3.1.2.1 Manuscrit de BNF, Paris. Lat. 7377 A [A] ............................................. 3.1.2.2 Le manuscrit de Padoue, Biblioteca Capitolare D. 42 [D] ..................... 3.1.2.3 Manuscrit de BNF, Paris. Lat. 15461 [P] ............................................... 3.1.2.4 Manuscrit BNF, Paris. Lat. 15120 [I] ..................................................... 3.1.3 Première analyse ...................................................................................... 3.2 ÉTUDE CRITIQUE DE LA TRADITION ............................................. 3.2.1 Méthode d’édition et critique textuelle proprement dite (ou emendatio) ......................................................................................... 3.2.1.1 Les omissions ........................................................................................... 3.2.1.2 Les fautes communes ............................................................................... 3.2.1.3 Les additions et interpolations ................................................................ 3.2.1.4 Les variantes communes .......................................................................... 3.2.1.5 Les inversions, graphies et scolies .......................................................... 3.2.1.6 Premières conclusions ............................................................................. 3.2.1.7 Établissement du stemma ........................................................................ 3.3 LES PRINCIPES D’ÉDITION ................................................................ 3.3.1 Le texte ....................................................................................................

33 33 33 35 36 39 42 45 48 49

3

15 20 25

49 49 57 63 64 66 67 70 70 70

2

Table des matières

3.3.2 Les graphies ............................................................................................. 3.3.3 Les figures ............................................................................................... 3.3.4 Les tableaux ............................................................................................. 3.3.5 L’apparat .................................................................................................. 3.3.6 Conspectus siglorum ............................................................................... ANNEXE 1: Plan du Liber mahameleth ................................................................ ANNEXE 2: Suite logique de chaque manuscrit ................................................... 4

73 73 74 74 75 76 77

LA PLACE DU LIBER MAHAMELETH DANS LE COURANT DES ARITHMÉTIQUES DITES MARCHANDES ...................................................... 81 4.1 À MI-CHEMIN ENTRE THÉORIE ET PRATIQUE COMMERCIALE .................................................................................... 81 4.1.1 Distinction entre arithmétique, science du calcul et algèbre ................... 81 4.1.2 Les méthodes de calcul ............................................................................ 83 4.1.2.1 Les nombres ............................................................................................. 84 4.1.2.2 L’abaque, le calcul digital et le calcul indien ......................................... 84 4.2 LES MATHÉMATIQUES DANS NOTRE TRAITÉ ............................. 86 4.2.1 Introduction (pp. 5–12 de l’édition) ........................................................ 87 4.2.1.1 Résumé .................................................................................................... 87 4.2.1.2 Explication ............................................................................................... 87 4.2.2 Première partie (pp. 13–181 de l’édition) ................................................ 90 4.2.2.1 Résumé .................................................................................................... 90 4.2.2.2 Explication ............................................................................................... 91 4.2.2.2.1 Préliminaires ....................................................................................... 91 4.2.2.2.2 La multiplication ................................................................................. 93 4.2.2.2.3 La division et la dénomination ............................................................ 98 4.2.2.2.4 Les fractions ........................................................................................ 99 4.2.2.2.5 Les racines ........................................................................................ 105 4.2.3 Seconde partie (pp. 183–429 de l’édition) ............................................. 107 4.2.3.1 Résumé ................................................................................................... 107 4.2.3.2 Explication ............................................................................................. 108 4.2.3.2.1 Rappel ................................................................................................. 108 4.2.3.2.2 Problèmes d’achat et de vente: 51 problèmes ................................... 109 4.2.3.2.3 Problèmes de gain: 68 problèmes ..................................................... 110 4.2.3.2.4 Problèmes de morcellement: 36 problèmes ...................................... 112 4.2.3.2.5 Problèmes de mouture: 18 problèmes ............................................... 114 4.2.3.2.6 Problèmes sur la cuisson du moût: 13 problèmes ............................. 115 4.2.3.2.7 Problèmes sur le remboursement d’un emprunt: 5 problèmes .......... 117 4.2.3.2.8 Problèmes d’engagement d’ouvriers: 58 problèmes ......................... 117 4.2.3.2.9 Problèmes sur l’engagement de porteurs: 10 problèmes ................... 120 4.2.3.2.10 Problèmes sur l’engagement d’ouvriers: 13 problèmes .................... 121 4.2.3.2.11 Problèmes sur la consommation d’huile de lampes: 10 problèmes ... 122 4.2.3.2.12 Problèmes de consommation de nourriture par des animaux: 12 problèmes ..................................................................................... 122

Table de matières

3

4.2.3.2.13 Problèmes de consommation de pain par des hommes: 7 problèmes ....................................................................................... 4.2.3.2.14 Problèmes de change de monnaies: 24 problèmes ............................ 4.2.3.2.15 Problèmes de citernes: 10 problèmes ................................................ 4.2.3.2.16 Problèmes d’application du théorème de Pythagore: 18 problèmes ...................................................................................... 4.2.3.2.17 Problèmes de cordes et de fagots: 5 problèmes ................................. 4.2.3.2.18 Problèmes de mouvement: 7 problèmes ............................................ 4.2.3.2.19 Problèmes de participants: 7 problèmes ............................................ 4.2.3.2.20 Digression sur la division des proportions: ....................................... 4.2.3.3 Les omissions mathématiques importantes dans le Liber mahameleth ... 4.3 LES SOURCES UTILISÉES DANS LE TRAITÉ ............................... 4.3.1 Les sources grecques ............................................................................. 4.3.2 Les sources arabes ................................................................................. 4.3.3 Les sources inconnues ........................................................................... 4.4 Conclusion .............................................................................................

126 128 128 129 131 131 132 132 135 136 137

5

LE GLOSSAIRE .................................................................................................. 5.1 TERMES D’ARITHMÉTIQUE ............................................................ 5.2 UNITÉS DE MESURE ......................................................................... 5.3 UNITÉS DE MONNAIES .................................................................... 5.4 NOMS DE VILLE ................................................................................. 5.5 MOTS D’ORIGINE ARABE ................................................................

139 140 148 150 154 155

6

CONCLUSION GÉNÉRALE .............................................................................. 157

7

BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................... 161

INDICES .................................................................................................................. INDEX DES NOMS PROPRES .......................................................................... INDEX DES MOTS LATINS ............................................................................. INDEX DES MOTS FRANÇAIS (TERMES MATHÉMATIQUES) .................

123 124 125

177 177 180 183

4

Table des matières

Édition 1

INTRODUCTION ................................................................................................... 5

2

PREMIÈRE PARTIE ............................................................................................. 13 2.1 Préliminaires ............................................................................................ 15 2.2 Euclide ..................................................................................................... 25 2.3 Opérations fondamentales ....................................................................... 31 2.3.1 Mise au point ........................................................................................... 31 2.3.2 La multiplication ..................................................................................... 32 2.3.3 La division ............................................................................................... 62 2.3.4 La dénomination ...................................................................................... 69 2.3.5 Les fractions et les entiers ....................................................................... 75 2.3.6 Les racines ............................................................................................. 160

3

DEUXIÈME PARTIE .......................................................................................... 3.1 Rappel .................................................................................................... 3.2 Problèmes d’achat et de vente ............................................................... 3.3 Problèmes de gain .................................................................................. 3.4 Problèmes de morcellement ................................................................... 3.5 Problèmes de mouture ........................................................................... 3.6 Problèmes sur la cuisson du moût ......................................................... 3.7 Problèmes sur le remboursement d’un emprunt .................................... 3.8 Problèmes sur l’engagement de personnes ............................................ 3.9 Problèmes sur l’engagement de porteurs ............................................... 3.10 Problèmes sur l’engagement d’ouvriers ................................................ 3.11 Problèmes sur la dépense d’huile de lampes ......................................... 3.12 Problèmes sur la consommation de nourriture par des animaux ........... 3.13 Problèmes sur la consommation de pains par des hommes ................... 3.14 Problèmes de change de monnaies ........................................................ 3.15 Problèmes de bassins ............................................................................. 3.16 Problèmes d’application du théorème de Pythagore ............................. 3.17 Problèmes de cordes et fagots ............................................................... 3.18 Problèmes de mouvement ...................................................................... 3.19 Problèmes de paticipants .......................................................................

183 185 186 215 244 260 269 276 278 326 338 348 356 364 370 396 402 420 422 424

AVANT-PROPOS Les textes latins médiévaux, et de surcroît mathématiques, présentent un terrain d’investigation particulièrement riche, souvent diversifié, toujours surprenant. Tout comme les textes historiques, philosophiques ou patristiques, ils racontent eux aussi une histoire, un vécu. Il appartient aux scientifiques de les découvrir, de les décortiquer, de les décoder autant que faire se peut et d’autoriser ainsi un nouveau pas en avant dans le passé. La présente édition critique et son commentaire sont nés du désir de mieux comprendre la Renaissance du XIIème siècle et ses savants. Pour faire revivre et, en quelque sorte, réincarner des textes menacés, nous avons entrepris d’éditer la version latine médiévale d’un Kitāb al-mucāmalāt encore inédit. Cette œuvre, où nous découvrons les ajouts et omissions du temps, se révèle parfois énigmatique, comme son mystérieux auteur. Comment une édition critique devrait-elle se présenter? Il n’existe pas de réponse univoque à cette question étant donné que les buts et les conditions d’une édition varient. Il faut tenir compte de nombreux éléments et des possibilités techniques. Quant à l’appréciation «editor nascitur, non fit», on peut affirmer que bien des éditeurs, et non des moindres, ont appris leur métier à l’école de la pratique (edendo discens). Qui donc se voit placé devant un travail d’édition peut aborder le problème de plusieurs façons. Attentif à la seule pratique, il peut renoncer à toute prise de position sur la méthode à mettre en œuvre. Nous pensons à Gottfried HERMANN (1772–1848) qui évacuait les considérations de méthode avec la phrase: «Qui n’entend rien au sujet, écrit sur la méthode»1. Nous avons tenté de mettre au point une méthode adaptée à notre texte en mettant en lumière les éléments significatifs de celui-ci. Le texte, dont nous proposons l’édition, nous est parvenu au travers de quatre manuscrits, tous incomplets. Dans notre commentaire nous tenterons d’expliquer les raisons et les motifs qui nous ont amenée à privilégier le manuscrit lat. 7377A de la Bibliothèque Nationale de Paris et à le choisir comme texte de référence. Bien sûr, nous gardons toutes les réserves d’usage si quelques découvertes ultérieures nous apportaient un nouvel éclairage en la matière. En effet, il n’est pas impossible que l’on découvre d’autres témoins répertoriés sous un autre incipit ou titre. Ce serait l’occasion d’un nouvel élan à la recherche de la vérité. Le texte du traité est clair, sa langue précise, son lexique méthodique et son déroulement aisé à suivre. Il est accompagné d’un apparat critique mettant en perspective les leçons d’autres manuscrits de tradition directe ou indirecte. Conformément à la logique qui veut que l’on respecte le plus possible les manuscrits utilisés, nous avons maintenu les graphies médiévales du latin. ____________________ 1

Lu dans H. FUHRMANN, Réflexions d’un éditeur, in J. HAMESSE (éd.), Les problèmes posés par l’édition critique… (1992), p. 329.

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Avant-propos

En raison de leur importance, toutes les remarques, y compris les notices relatives au contenu, ont été étudiées dans le présent volume. Ce commentaire envisagera plusieurs points qui nous paraissent essentiels. Outre le contexte dans lequel ce traité a vu le jour et l’identité de son auteur, nous nous arrêterons à la tradition manuscrite, au contenu mathématique du traité et à ses sources. Un glossaire sera consacré aux mots de vocabulaire facilitant ainsi une meilleure compréhension du texte. Une table bibliographique 2 ainsi qu’un index des noms communs et de noms propres figurent également à la fin du présent volume. Notre but n’a pas seulement été de mener à bien une enquête scientifique, mais aussi d’entreprendre une investigation plus fouillée sur la place qu’occupait la science mathématique au sein de la culture médiévale et sur l’impact du savoir arabe au sein de la civilisation européenne. Certaines recherches n’ont pu être explorées entièrement en raison de travaux en cours de publication sans omettre la somme des travaux reposant au fond des tiroirs. Nous pensons en particulier à la vaste question euclidienne qui est loin d’avoir révélé tous ses secrets. Dans bien des cas, l’exploitation historique du patrimoine littéraire des XIème et XIIème siècles apparaît comme incommensurable tant sont nombreuses les sources inexplorées. De plus, les difficultés qu’il y a à situer les textes dont nous disposons dans un contexte chronologique encore mal connu sont légion. Pourtant, si le manque d’archives répertoriées entrave la connaissance des réalités économicosociales de l’époque, des recherches actives dans le domaine de l’archéologie devraient ouvrir de nouvelles pistes. Remerciements Je tiens à remercier chaleureusement toutes les personnes qui m’ont aidée de leur expérience et de leurs remarques appropriées. Et en particulier les Professeurs A. Tihon, J. Hamesse, Ch. Burnett, M. Crusafont i Sabater, J.-P. Hissette, P. Kunitzsch, T. Lévy ainsi que Mme G. l’Huillier et M. J.-P. Sutto. Mes remerciements vont aussi à M. H. Rauner qui a effectué la mise en page avec beaucoup de compétence et de patience.

____________________ 2

Afin d’éviter de nombreuses et inutiles redites, nous limiterons les référence bibliographiques complètes à la table bibliographique placée à la fin du présent volume. Pour les notes infrapaginales, nous nous en tiendrons seulement à l’auteur (ou, le cas échéant, l’un des auteurs), le titre ou les premiers mots du titre, l’année et enfin les pages y correspondant.

1 1.1

INTRODUCTION

LE COMMERCE DANS L’ÉCONOMIE ET LA SOCIÉTÉ DU XIIème SIÈCLE3

Un flux intellectuel intensif imprimé par la rencontre de cultures et des affrontements militaires incessants ont paradoxalement favorisé des échanges commerciaux allant s’intensifiant. Alors que dans le monde musulman du Xème siècle, contrairement au monde occidental, l’économie d’échanges tenait une place essentielle, le commerce européen prendra le dessus à partir du XIIIème siècle et connaîtra un essor important. Les facteurs qui, dès la formation du monde musulman, ont animé les échanges restent opérants du Xème au XVème siècle suite à son expansion sous différentes formes. Le commerce qui existait entre l’Espagne et le Maghreb au temps du califat omeyyade s’est développé ensuite, favorisé par l’inclusion d’al-Andalus dans l’Empire des Almoravides puis celui des Almohades. Suite à l’avancée chrétienne vers le sud, les importations se sont avérées de plus en plus nécessaires. Ce commerce avec les pays chrétiens a fait l’objet de traités dont nous connaissons des exemples dès le XIIème siècle: ils garantissent la sécurité des marchands, prévoient des recours et précisent les conditions de marché. Le trafic effectué par les embarcations des marins musulmans entre le royaume de Grenade et le Maghreb fut important jusqu’à la fin du XVème siècle. Il faut d’ores et déjà souligner que le poids social du grand commerce est resté considérable dans les villes, malgré la domination militaire4. Les grands marchands n’étaient pas spécialisés, et c’est un trait qui les distingue des détaillants. Il s’agit d’un commerce d’acquisition et de spéculation: le marchand doit vendre ce qui est rare et cher, ne pas hésiter à se déplacer, changer éventuellement de commerce, éviter le crédit et réinvestir le moindre bénéfice. Comme la règle était de diversifier les produits, on pouvait trouver chez un même marchand des produits alimentaires de base, des drogues, parfums, tissus, mais aussi les produits stratégiques et les matières premières. Parmi ces dernières, certaines n’étaient pas produites sur place et étaient nécessaires aux artisans comme les bois, les fibres textiles et les métaux. Ajoutons qu’à côté de ce genre de marchandise, le trafic et le commerce d’êtres humains était monnaie courante.

____________________ 3 4

H.E. DUFOURCQ/J. GAUTIER-DALCHE, Histoire économique et sociale de l’Espagne chrétienne au Moyen Âge (1976), pp. 71–89; J.-C. GARCIN, op. cit., vol. III, pp. 111–273. Cette expansion commerciale a été accompagnée de changements d’une grande portée tant sur le plan de la méthode que sur l’esprit des marchands: cfr A. SIMU, La compagnia mercantile negli abacisti italiani del ‘300, in Actes du Colloque International du CIHSO 1999, p. 76.

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Introduction

Quant au paiement, il s’effectuait généralement en espèces, mais aussi par chèques ou lettres de crédit, l’or étant réservé aux grosses opérations5. Dans notre traité, il sera question d’achat et vente d’huile de lampe, d’étoffes, de métaux précieux ou d’animaux comme les chevaux. Ajoutons qu’il n’y est nulle part fait mention d’un quelconque commerce d’êtres humains: l’auteur propose des exemples traitant uniquement d’engagement d’ouvriers. Les maisons de commerce importantes avaient une structure familiale et l’apprentissage du métier se faisait par la pratique au sein de la maison, en exerçant des charges de plus en plus importantes. Pour exercer leur activité, les marchands devaient savoir lire et écrire, bien calculer, avoir des connaissances étendues dans bien des domaines et se tenir informés de tout ce qui pouvait influer sur leurs affaires. Leur correspondance prouve que leur niveau d’instruction était en moyenne assez élevé et certains très cultivés. Afin de transmettre leur savoir, ils n’ont pas hésité à recourir à un enseignement privé, destiné à leurs successeurs, et à rédiger des traités reprenant l’ensemble des connaissances nécessaires. C’est très probablement à cet ensemble d’ouvrages qu’appartient le Liber mahameleth.

1.2

LE LIBER MAHAMELETH, UN TRAITÉ COMMERCIAL 1.2.1 De quoi s’agit-il?

Le texte que nous éditons fait pleinement partie du courant des arithmétiques dites commerciales. Si nous nous fions au titulus du manuscrit de Padoue, le texte que nous éditons est resté anonyme et son titre serait «Liber mahameleth»6, ce qui indique l’origine arabe de ses sources et son objet. En effet, «mahameleth» est une transcription infidèle de l’arabe «mucāmalāt», que l’on traduit par «affaires humaines», ou plus exactement «sur la manière dont les hommes traitent du commerce»7. ____________________ 5

6

7

Nous renvoyons à deux recueils d’articles consacrés aux monnaies circulant en Espagne à cette époque: M. G. MARQUES, Problems of medieval coinage in the iberian area, 1984; M.G. MARQUES/M. CRUSAFONT I SABATER, Problems of medieval coinage in the iberian area 2, 1986. Le titulus «Liber mahameleth» ne figure que dans le manuscrit de Padoue (sigle D) au folio 1r (cfr apparat de notre édition). Par contre, dans le texte lui-même, le titre de l’ouvrage apparaît également dans le ms. 15461 (sigle P) et 7377A (sigle A) de Paris. Nous trouvons en tout cinq occurrences: p. 7, l. 15 (mahameleth A D P); p. 25, l. 12 (mahamelet A D P); p. 25, l. 19 (librum mahamelet D P: mahabelet A); p. 31, l. 22 (libro mahameleth D P: mahamelleth A); p. 36, l. 8 (libro mahameleth D). Par «affaires humaines» on peut entendre un sens juridique (et donc plus large que «la manière dont les hommes traitent du commerce») ou un sens mathématique. Deux autres traductions plus courantes, mais moins correctes, sont parfois proposées: «affaires commerciales» ou «relations commerciales». Le Professeur P. KUNITZSCH nous a fait très justement remarquer que le titre exact aurait dû être «Liber almuhamelet». En effet, «mahameleth» est une forme hybride du mot arabe mu’āmalāt: le «h» au milieu du mot reproduit le [ayn] arabe; le «eth» rend le pluriel «–āt» (a=> e dans les versions hispano-arabes); le «h» en fin de mot

Le Liber mahameleth, un traité commercial

9

Il s’agit d’un terme utilisé par certains scientifiques pour désigner l’application des mathématiques à la science du négoce, et plus généralement à des situations issues de la vie de tous les jours. Nous traduirons donc «Liber mahameleth» par «Livre des transactions». Il faut toutefois préciser que le contenu de l’ouvrage touche des sujets plus larges que l’intitulé ne le laisse supposer: si l’auteur approfondit effectivement les questions liées aux affaires humaines et plus particulièrement au commerce, il établit auparavant une longue mise au point théorique qui constitue environ le tiers de l’ouvrage8. Ce texte serait une version latine d’un Kitāb al-mucāmalāt dont il n’est pas possible à ce jour de préciser l’origine. S’agit-il d’une traduction d’un Kitāb almucāmalāt (unique ou simultanée) ou plutôt d’une adaptation de plusieurs textes revus et traduits à partir d’un modèle arabe (ou modèle traduit à partir de l’arabe)? Dans le milieu médiéval, la traduction n’avait pas toujours une fonction mécanique et dépourvue de créativité. Cette dernière se révèle importante dans le processus de diffusion et de synthèse. C’est la raison pour laquelle nous préférons parler ici d’adaptation plutôt que de traduction. Les interventions de l’auteur dans notre version latine semblent autant de touches personnelles additionnées aux textes qui lui servaient de modèle. Plusieurs ouvrages arabes sont connus sous le titre de «mucāmalāt», ce qui pourrait nous aider dans l’identification du modèle de notre auteur et l’origine du texte que nous éditons9. À ce jour, nous en dénombrons une dizaine, que Ahmed DJEBBAR divise en trois catégories10. Parmi les auteurs de la première catégorie, à laquelle nous rattacherons notre traité, nous retiendrons certains noms: Ibn TURK (IXè s.), Abū BARZA (Xè s.) et AZ-ZAHRĀWĪ (XIè s.). Nous ajouterons aussi le nom de Abū l-Qāsim AL-MAJRĪṬĪ (X–XIè s.)11. Ibn TURK (IXè s.), de son vrai nom Abū l-Faḍl cAbdalḥamīd b. Wāsic Ibn TURK, fut un contemporain d’AL-KHWĀRIZMĪ (VIII–IXè s.). Sa vie est mal connue, et nous avons conservé partiellement une seule de ses œuvres, le Kitāb al-Ǧabr

____________________ est une extension hybride et ne peut être d’origine. Quant à la première syllabe «ma-», elle montre également une déformation graphique hybride apparue antérieurement. Ce qui est également frappant, c’est la disparition de l’article [al-]. La retranscription arabe attendue est Kitāb al-mucāmalāt. 8 Le manuscrit de Paris, B.N. lat. 15461 parlera de préliminaires avant d’aborder le Liber mahameleth à proprement parler. 9 Il n’est pas sûr que, dans les écrits mathématiques d’Orient et d’Occident musulman, le mot «mucāmalāt» englobe le même domaine d’application. Il n’y a pas encore eu de travail d’investigation minutieux dans ce domaine, mais il semblerait que les écrits de la tradition andalouse portant ce titre contiennent une matière plus variée que les écrits orientaux portant le même titre. 10 A. DJEBBAR, Les transactions dans les mathématiques arabes: Classification, résolution et circulation, in Actes du Colloque International du CIHSO 1999, pp. 327–344. 11 Les noms de Ibn TURK, Abū BARZA, AZ-ZAHRĀWĪ et Abū l-Qāsim AL-MAJRĪṬĪ sont repris dans les ouvrages de F. SEZGIN, Geschichte des arabischen Schrifftums, vol.V, 1974 et de H. SUTER, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, 1981.

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Introduction

wa-l-muqābala12. Par ailleurs, le bio-bibliographe Ibn AN-NADĪM dans son Fihrist (Index) rédigé au Xème siècle nous cite deux œuvres perdues qui lui sont attribuées: un Kitāb al-Ǧāmic fi l-ḥisāb et un Kitāb al-mucāmalāt. Ibn AL-QIFṬĪ en cite deux autres: un Kitāb Nawādir al-ḥisāb et un Kitāb Ḫawașș al-acdād13. La tentation serait grande de considérer cet auteur comme celui de notre texte, puisqu’une référence est faite à une Algèbre (Kitāb al-Ǧabr wa-l-muqābala)14. Mais dans le Liber mahameleth, cette Algèbre est clairement attribuée à Abū KĀMIL, ce qui ne nous permet pas d’appuyer cette première hypothèse15. Abū BARZA (Xè s.), autrement appelé al-Faḍl b. Muḥammad b. Abdalḥamīd, fut le petit-fils du précédent. Il aurait vécu à Bagdad et y serait mort en 910. Ibn AN-NADĪM nous propose deux œuvres à rattacher à cet auteur: un Kitāb al-Misāḥa (livre sur l’arpentage) et un Kitāb al-Mucāmalāt16. Cette dernière œuvre est perdue. Abū’l-Ḥasan cAlī b. Sulaimān AZ-ZAHRĀWĪ (XIè siècle) était un savant aussi bien dans le domaine de l’arithmétique que de la géométrie. Il écrivit un ouvrage excellent sur les comptes commerciaux intitulé Mucāmalāt, appelé aussi Le livre des fondements (fondations)17. Cet ouvrage n’est pas retrouvé à ce jour, seules quelques citations nous sont parvenues18. La plus grande partie de ses connaissances dans les disciplines mathématiques, il les doit à son maître Abū l-Qāsim Aḥmad AL-MAJRĪṬĪ (MASLAMA de Madrid dont il va être question ci-dessous) qu’il accompagna pendant une longue période19. Abū l-Qāsim Maslama b. Aḥmad AL-MAJRĪṬĪ (X–XIè s.), mieux connu sous le nom de MASLAMA de Madrid, serait né à Cordoue et aurait vécu aux environs de la moitié du Xème siècle pour mourir vers 1008. Autour de lui aurait évolué un groupe d’astronomes et de mathématiciens formant une véritable équipe de cher____________________ 12 Il ne nous est parvenu qu’un chapitre du livre d’Ibn TURK: A. SAYILI, Logical Necessity in mixed equations…, 1962. 13 Selon F. SEZGIN, Geschichte des arabischen Schrifttums, vol. V (1974), p. 241: «Es ist nicht ganz klar, ob es sich bei letzterem um den Titel einer selbständigen Schrift handelt oder ob es zum Titel des vorigen Werkes gehört». Nous ne pouvons pas nous prononcer pour l’instant sur cette question. 14 A.P. YOUSCHKEVITCH, Les mathématiques arabes (1976), p. 45. 15 F. SEZGIN, Geschichte des arabischen Schrifttums, vol. V (1974), pp. 241–242. Dans notre traité, il est clairement question de deux Algèbres, et l’une d’elles est celle d’Abū KᾹMIL. Nous ajouterons que les bio-bibliographes ne donnent souvent que des titres génériques qui ne sont pas nécessairement les titres par lesquels étaient connues les œuvres mentionnées. 16 F. SEZGIN, op. cit., p. 275; G. FLÜGEL (éd.), op. cit., p. 281. 17 Selon Ṣācid AL-ANDALUSĪ, Kitāb Țabaqat al-Umam (1935), pp. 129–139: «Al-Zahrawi (sic) (…) était, lui aussi, un savant en arithmétique et en géométrie. Il s’occupait également de médecine. Il a écrit un ouvrage remarquable sur l’arithmétique commerciale (mu’amalat), selon la méthode démonstrative.» 18 D’après A. DJEBBAR (La production scientifique arabe… (2000), pp. 356–57), cet ouvrage d’AZ-ZAHRĀWĪ (sic) n’aurait pas bénéficié de traduction, l’obstacle principal étant son niveau élevé et la difficulté de son contenu. Une autre raison invoquée par Djebbar est l’indisponibilité de l’œuvre à cette époque. 19 H. SUTER, Die Mathematiker und Astronomen… (1981), pp. 82–83.

Le Liber mahameleth, un traité commercial

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cheurs qualifiés 20 . Selon Ṣācid AL-ANDALUSĪ, MASLAMA était le premier des mathématiciens de son temps21. La majeure partie de son œuvre est perdue. Il aurait retravaillé les tables d’AL-KHWĀRIZMĪ ainsi que la planisphère de PTOLÉMÉE. Ṣācid AL-ANDALUSĪ et Ibn AL-QIFṬĪ citent un Timār cilm al-cadad connu en Andalus sous le titre de Mucāmalāt, un traité des affaires commerciales22. La conclusion est difficile. Notre connaissance des ouvrages relatifs à ces auteurs arabes restent encore trop succincte pour que nous puissions trancher sans hésitation avec des arguments solides et irréfutables. Le traité que nous éditons a pu s’inspirer du contenu de ces ouvrages diffusés en Andalus. De plus, la liste est plus longue qu’il n’y paraît, compte tenu d’autres noms de grands mathématiciens rencontrés au cours de nos lectures. Pour cette raison, nous réserverons notre réponse.

1.2.2 De quand date-t-il? C’est dans la seconde moitié du XIIème siècle que fut composé ce volumineux traité consacré à l’étude de l’arithmétique et de l’algèbre ainsi qu’à leurs applications. Nous pouvons l’établir avec certitude grâce aux unités de mesures et monnaie rapportées dans la seconde partie du traité et dont l’usage ne connut qu’une période très courte entre ca 1143 et ca 115323. Les manuscrits qui nous ont transmis une partie de cet ouvrage lui sont postérieurs d’un ou deux siècles (variation entre la fin du XIIème et le début du XIVème s.)24.

____________________ 20 F. GLICK (Islamic and Christian Spain… (1979), pp. 253–254) propose la liste ainsi qu’un commentaire circonstancié sur les collaborateurs de MASLAMA DE MADRID. 21 Sa’id AL-ANDALUSĪ, Kitāb Tabakat al-Uman (Livre des catégories des Nations) (1935), pp. 129–139: «Abu l-Qâsim Maslama b. Ahmad, connu sous le nom de al-Madjriti (le Madrilène), fut le premier des mathématiciens de son temps en Andalousie. (…) Il a écrit un bon livre sur l’arithmétique commerciale (thimar ‘ilm al-’adad), science désignée chez nous sous le nom de mu’amalat. (…) Il avait formé des élèves remarquables tels que n’en avait formé aucun maître avant lui en Andalousie. Parmi les plus célèbres citons Ibn al-Samh, Ibn alSaffar, al-Zahrawi, al-Kirmani et ibn Khaldun.» 22 F. SEZGIN, op. cit., pp. 334–335; P. L. CHEIKHO (éd.), Abou Qâsim ibn Sâcid, Kitâb Tabaqât al-Umam (1912), p. 69; J. LIPPERT, Ibn al-Qifṭî, Ta’rīh al-Ḥukamâ’ (1903), p. 326. RODOLPHE DE BRUGES (act. 1143), l’unique disciple connu d’HERMANN DE CARINTHIE, dédia à JEAN DE SÉVILLE sa traduction d’une œuvre de MASLAMA DE MADRID consacrée à l’astrolabe. 23 Nous tenons compte de la période de diffusion de deux monnaies auxquelles l’auteur fait allusion dans notre traité: le baetis (Baeza) et le melequinus (Malaga). Cfr glossaire aux pages 139–156 du commentaire. 24 Voir étude codicologique aux pages 35–47 du commentaire.

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Introduction

1.2.3 Où a-t-il été écrit? L’origine de cet ouvrage est espagnole, comme l’attestent trois types d’indice: les mesures utilisées, les unités de monnaies et les villes mentionnées25. D’ores et déjà, nous constatons que l’auteur mentionne des unités de capacité qui étaient toutes en usage en Espagne à cette époque. Alors que certaines sont d’origine romaine (ex. modius et sextarius) ou gréco-romaine (ex. (h)emina), d’autres ont été introduites par les Arabes en Espagne (ex. almodius (ar. al-mudd), arroua (ou arroba) (ar. alrubc), caficius (ou cafizius ou cafitius) (ar. al-qafīz) et denarius (ar. al-dīnār)). Pour les unités de monnaies, certaines sont d’origine romaine (ex. nummus et solidus), d’autres sont propres à l’Espagne, comme le morabitinus, et plus en particulier le melequinus (de Malaga) et le baetis (de Baeza). Comme les unités pouvaient varier d’une ville à l’autre, il fallait spécifier l’origine d’une mesure. C’est ainsi que l’auteur précise dans les exemples proposés que l’emina et le modius sont originaires de Ségovie tandis que le caficius ou l’arroua le sont de Tolède. L’auteur ajoute que les problèmes présentés pourraient l’être avec des unités «de régions diverses»26. De là à conclure qu’il a dû choisir celles de sa région natale ou tout au moins celles du lieu qu’il occupait à ce moment semble assez évident. Nous pouvons donc affirmer avec certitude que l’auteur séjourna dans la Castille du XIIème siècle et qu’il a pu voyager jusqu’à la pointe sud de la Péninsule27.

Frontière entre l’Islam et la Chrétienté au XIIième siècle

____________________ 25 Cfr glossaire aux pages 148–149 (mesures), 150–153 (monnaies) et 154 (villes) du commentaire. 26 Édition p. 369, l. 20: «diuersarum terrarum» (de contrées diverses); p. 370, l. 15: «diuersarum regionum» (de régions diverses). 27 Parmi les quatre villes proposées, nous privilégions Tolède qui fut le carrefour des traductions arabo-latines de textes scientifiques dont fait partie le Liber mahameleth.

Le Liber mahameleth, un traité commercial

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Outre l’Espagne, l’auteur a vraisemblablement dû fréquenter d’autres régions du continent européen comme l’attestent à la fois sa très bonne connaissance du latin scientifique et le peu d’arabismes présents dans son texte28. Cela nous permet déjà d’affirmer que sa formation ne fut pas acquise au seul contact des sources arabes. Nous savons qu’il n’était pas un Arabe, mais qu’il souhaitait se plier parfois aux pratiques de ses modèles arabes. Ses tendances culturelles sont subtilement exprimées. C’est ainsi qu’il opposera une seule fois les Arabi à nos: «sed quoniam maiores arabum a multiplicatione numerorum incipiunt, nos quosque sequentes eos ab ipsa prius incoabimus»29. Il s’agit là d’un témoignage indirect, mais qui nous permet d’affirmer que l’auteur n’est pas Arabe. D’autre part, l’expression «dei adiutorio» 30 , assez fréquente dans ce type d’ouvrage, n’exclut pas qu’il s’agisse d’un croyant monothéiste, chrétien ou juif.

____________________ 28 Nous reviendrons sur la question des arabismes dans la glossaire aux pages 155–156 du commentaire. 29 Édition p. 32, l. 1/2. Ainsi, il étudiera la multiplication avant l’addition, conformément à ce qui devrait être l’usage de ses modèles. Ceci n’est pourtant pas une convention que l’on retrouve chez tous les érudits arabes. L’interversion de l’ordre des opérations mathématiques (multiplication avant addition) est délicate. On la trouve au XIIème siècle dans des écrits de la tradition occidentale (Andalus et Maghreb). Elle renvoie, semble-t-il, au clivage ayant existé entre deux traditions arithmétiques au sein même de la tradition arabe. Donc, lorsque l’auteur parle de la «majorité des Arabes», il sous-entend ceux d’al-Andalus. 30 Édition, p. 25, l. 10.

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L’AUTEUR DU TRAITÉ

Afin de mieux connaître les circonstances de la parution de notre traité, il est important de revenir sur les événements politiques, sociaux et culturels qui ont bouleversé l’Espagne du XIIème siècle. L’impact culturel de l’héritage arabe fut considérable, non seulement au sein de l’Espagne médiévale, mais également audelà de ses frontières.

2.1

PERSPECTIVE D’ENSEMBLE SUR L’HISTOIRE DE L’ESPAGNE DU VIIIème AU XIIIème SIÈCLE31

C’est au milieu du VIIIème siècle que les califes de Bagdad, successeurs de MUḤAMMAD, soumirent la péninsule ibérique dans sa quasi totalité ainsi que la partie occidentale de l’Afrique du Nord. Ces provinces conquises par les Arabes et les Berbères devinrent pratiquement indépendantes du califat en 756 sous le règne du prince omeyyade CABD-AR-RAḤMĀN Ier (731–788) qui s’empara de Séville puis de Cordoue (756) et fonda un émirat. Il amorça l’introduction de la culture orientale en Espagne, entendons par là les Belles-Lettres ainsi que les sciences juridico-religieuses. C’est à l’époque d’CABD-AR-RAḤMĀN II (822–852) qu’apparaissent les premiers savants dignes de ce nom et c’est à ce moment qu’il faut placer l’origine de la science autochtone arabo-andalouse. La rupture officielle avec Bagdad ne s’opéra qu’en 929 sous l’émir de Cordoue CABD-ARRAḤMĀN III (889–961) qui prit le titre de calife et encouragea le commerce et l’agriculture tout en protégeant les lettres et les arts. Cordoue devint la capitale de son califat et le séjour préféré de nombreux savants et lettrés musulmans. C’est son successeur et héritier AL-HAKAM II (961–976) qui, épris de science et de littérature, financera l’achat et la copie d’un grand nombre d’ouvrages 32 . Toutefois, la faiblesse du régime omeyyade et l’instabilité politique du califat entraînera l’établissement d’un pouvoir parallèle à celui du calife: il s’agit du pouvoir du hādjib («chambellan») qui sera mis en place et ne laissera au souverain ____________________ 31 Plusieurs ouvrages traitent de cette période de manière plus précise que nous ne pourrions le faire: T. F. GLICK, Islamic and christian Spain in the Early Middle Ages, Princeton, University Presss, 1979; Antonio UBIETO (sous dir. de), Introduccion a la Historia de Espana, Teide, Barcelona, 1983; P. LINEHAM, History and the Historians of Medieval Spain, Oxford, 1993; J.C. GARCIN (sous dir. de), États, sociétés et cultures du monde musulman médiéval, 3 vols, PUF, Paris, 2000; P. GUICHARD, L’Espagne et la Sicile musulmanes aux XIème et XIIème siècles, Coll. Histoire et archéologie médiévale, PUF, Lyon, 2000. 32 Sa bibliothèque aurait compté près de quatre cent mille manuscrits. Il s’agit vraisemblablement d’un nombre topique pour désigner une grande quantité de livres: explication lue dans J. VERNET, Ce que la culture doit aux Arabes… (1985), p. 365, note 141.

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L’auteur du traité

de droit qu’un rôle symbolique. Le premier qui écarta totalement le calife de toute activité politique fut l’Amiride AL-MANSŪR. La crise politique califienne se manifesta très précisément lors de la «Révolution de Cordoue» (1009) et le califat fut fortement affaibli par une tentative de renversement par les Hammudides de Ceuta-Malaga dès 1016. Cette guerre civile entraîna la fuite d’un grand nombre d’intellectuels vers les régions périphériques de l’al-Andalus (c’est ainsi que les textes arabes du Moyen Âge appellent l’Espagne musulmane)33. Suite à son développement, le califat de Cordoue se divisa au début du XIème siècle (1031) en plusieurs petites principautés appelées taifas. Il s’agissait de «royaumes» ou émirats dont certains étaient de véritables états dotés d’un pouvoir dynastique: ce sera le cas de Tolède et de Séville. Mais la délimitation territoriale de ces pouvoirs concurrents sera souvent instable et leur légitimité restera mal fondée. Si, au début des taifas, le gouvernement des princes semblait considéré comme un moindre mal après les désordres provoqués par la crise du califat, le versement de tributs, l’alourdissement de la fiscalité et la perception d’impôts illégaux entraîneront l’impopularité de ces pouvoirs. Ainsi, les luttes intestines, mais aussi la pression de plus en plus insistante des princes chrétiens mineront une puissance musulmane fragilisée34. Entre 1060 et 1080, les souverains chrétiens, et parmi eux le roi de Castille ALPHONSE VI, s’engagèrent nettement dans une politique de reconquête territoriale des Asturies, du Léon, de la Galice puis de la Castille, avec l’occupation de Tolède en 1085: ces territoires ne formèrent alors plus qu’un même royaume, celui de la Castille. C’est ainsi que la monarchie issue des Asturies fut rétablie au centre géographique de l’Espagne. Il est intéressant de suivre l’évolution de ce royaume ainsi que son développement au cours de l’histoire: après avoir formé des comtés chrétiens arrachés aux Maures et d’abord dépendants du royaume de Léon, la Castille se constitua en royaume sous FERDINAND Ier (1037) qui travailla à l’agrandir (annexion du Léon, des Asturies et d’une partie de la Navarre). Elle combattit également à cette époque les rois musulmans de Tolède, de Saragosse et de Séville. Quand FERDINAND Ier mourut, la Castille perdit son unité suite à son partage entre les trois fils du roi: SANCHE II (Castille), ALPHONSE VI (Léon) et Garcie (Galice). Sanche II parvint néanmoins à refaire l’ œuvre d’unification de son père et ALPHONSE VI hérita de cette unité (1072). C’est sous son règne que Tolède devint la capitale de la Castille le 25 mai 1085. L’avancée chrétienne vers le sud de la Péninsule fut néanmoins ralentie, d’abord par les rivalités qui divisèrent les princes chrétiens, mais aussi par la venue en ____________________ 33 Il est question d’Andalus (à ne pas confondre avec l’Andalousie actuelle) sur une large période allant du VIIIème siècle jusqu’au XVème siècle: d’abord relativement vaste, elle se rétrécit graduellement jusqu’en 1492. 34 Nous renvoyons à deux cartes dans l’ouvrage rédigé sous la direction de J.-C. GARCIN, Sociétés et cultures du monde musulman (2000), p. CLXXVII (carte 5: la péninsule ibérique vers le milieu du XIème siècle) et p. CLXXXVIII (carte 6: Les taifas d’al-Andalus au milieu du XIème siècle).

Perspective d’ensemble sur l’histoire de l’Espagne

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Espagne des Almoravides appelés par les souverains des taifas. Leur entrée en alAndalus (juillet 1086), puis leur victoire à Zallāqa (octobre 1086) renversèrent définitivement le pouvoir en place. Le fait le plus marquant de l’époque almoravide (1086–1147) est sans doute l’unification politique réalisée pendant près d’un siècle et demi (de ± 1090 à 1228) entre le Maghreb occidental et al-Andalus. C’est sous le règne de son second souverain cAlī ibn YŪSUF (dès 1106) que l’empire almoravide atteignit son apogée territorial et politique. Après la victoire de Zallāqa, les plus notoires succès remportés dans la lutte contre les chrétiens furent la réoccupation de Valence en 1102 et la récupération en 1108 des places frontalières de Cuenca, Huete et Uclès qui anéantira les résultats de la prise de Tolède par ALPHONSE VI de Castille, aidé du célèbre Cid CAMPÉADOR. Toutefois, le régime almoravide connaîtra lui aussi son déclin à partir de la seconde décennie du XIIème siècle. Quels furent les facteurs d’affaiblissement du régime? Il est difficile de les hiérarchiser. Non seulement Tolède résista à une grande offensive menée en 1109, mais également de graves revers militaires face à la Catalogne et la perte de Saragosse en 1118 ternirent son prestige dans la Péninsule. Au même moment, la croisade d’Orient mobilisait l’essentiel des forces latines jusqu’aux environs de 1120. Puis, l’offensive en direction de la Péninsule reprit et la grande expédition (de 1125 à 1126) du roi d’Aragon, ALPHONSE le Batailleur, souligna une nouvelle fois les faiblesses des structures militaires de l’état almoravide. En al-Andalus, plusieurs révoltes se déclarèrent: dans l’Algarve (1144), à Cordoue et Valence dans les premiers mois de 1145, puis à Murcie, Grenade et Malaga (1145). À la même époque, les chefs andalous se rallièrent aux Almohades qui renversèrent le pouvoir almoravide pour le remplacer. Grenade résistera le plus longtemps puiqu’elle sera conquise en 1154/55. Les Almohades régnèrent sur la moitié de l’Espagne et la totalité du Maghreb entre 1147 et 1212. Ils furent mis en déroute à la célèbre bataille de Las Navas de Tolosa (1212) par tous les princes chrétiens de la Péninsule. Cette campagne réunit pour la première fois les royaumes de Castille, Aragon et Navarre soutenus par les croisés européens. Cette victoire ouvrit les portes du sud de l’Espagne et éclaira d’une nouvelle auréole la figure du chef de la coalition, Alphonse VIII, roi de Castille, dont l’œuvre fut continuée par son neveu FERDINAND III. La conquête de l’Andalousie suivit inéluctablement la défaite de Las Navas de Tolosa, mais l’effondrement ne fut pas soudain: Cordoue ne tomba qu’en 1236, Valence en 1238, Séville en 1248, Murcie en 1266, Gibraltar en 1309 et Algésiras en 1344. Bientôt, les musulmans ne conservèrent plus que le petit royaume d’Andalousie avec Grenade pour capitale. L’œuvre de reconquête et d’unification ne devait se terminer que sous le règne de FERDINAND D’ARAGON et ISABELLE DE CASTILLE, qui avaient réuni les deux grands royaumes par leur mariage en 1469. ISABELLE réprima en Castille la rébellion des grands barons et conquit Grenade en 1492 en chassant Abū cAbd-Allāh MUḤAMMAD XI (plus connu sous le nom de BOABDIL). Ce n’est donc qu’à la fin du XVème siècle que le mouvement de Reconquista prendra fin.

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L’auteur du traité

Comme nous pouvons le remarquer, les campagnes guerrières n’ont pas cessé dans la Péninsule, opposant l’Etat musulman aux principautés montagnardes, puis les taifas et les Etats chrétiens (cfr carte p. 19). Croisade et conquête ont eu des effets divergents selon les régions: face à une Sicile qui tentera une latinisation (qui restera partielle), l’Espagne observera la présence durable de communautés morisques. Mais, malgré le cours des événements politiques et militaires, la fragilité relative des pouvoirs califiens ainsi que celle des nouvelles puissances n’a en rien pu ternir l’éclat de la civilisation qui s’est épanouie autour d’eux. La littérature, la poésie, mais aussi les sciences, grâce aux bases posées sous le califat, s’élevèrent jusqu’à un apogée culturel dont les hommes de lettres andalous qui l’avaient vécu, leurs successeurs après eux et le monde arabo-musulman dans son ensemble ont gardé et transmis le souvenir. Quant aux époques almoravide et almohade, si la première correspond à une phase d’apparente prospérité économique reposant sur l’Afrique et l’unité des pays de l’Islam occidental, la seconde marquera la deuxième phase du rassemblement de l’occident musulman dans la cadre d’un empire berbéro-andalou à l’intérieur duquel s’épanouira la civilisation «hispano-mauresque». La première carte que nous proposons à la page suivante concerne l’Espagne du XIème au XIIIème siècle35 . Nous y avons repris les vagues successives qui ont marqué la reconquête chrétienne (années 850, ±1100 (1130), ±1200 (1210) et 1257). En la détaillant, il est frappant de constater que les villes qui nous intéressent plus particulièrement et dont nous avons déjà évoqué les noms (Ségovie, Tolède, Baeza, Malaga) vivaient soumises à des cultures différentes et à des régimes politiques en guerre avec leur voisin. Pourtant, leurs monnaies, leur érudition et le savoir scientifique circulaient aisément à travers la Péninsule et ce en dépit des conflits internes et surtout externes. Le seconde carte souligne les vagues successives qui ont touché des villes proches géographiquement mais néanmoins indépendantes les unes des autres.

____________________ 35 Pour l’élaboration de cette carte, nous nous sommes inspirée des Atlas de W.C. BRICE, An Historical Atlas of Islam, 1981 ainsi que des cartes proposées par J.-C. GARCIN, États, sociétés et cultures du monde musulman, 2000.

Perspective d’ensemble sur l’histoire de l’Espagne

Cartes 1 et 2: L’Espagne du IXème au XIIIème siècle

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L’auteur du traité

2.2

LES CONTACTS INTERCULTURELS DANS LES MILIEUX INTELLECTUELS TOLÉDANS DU XIIème SIÈCLE36

C’est donc au milieu d’une agitation politique et culturelle assez incroyable que le traité que nous éditons fut conçu. Né dans le giron espagnol, il fut le fruit des nombreux contacts culturels entre les pays de l’Islam et de l’Europe chrétienne37 et il nous plonge dans l’atmosphère fébrile voire anarchique de la Castille du XIIème siècle38. La Reconquista eut un grand retentissement dans le monde des savants, comme en témoigne le déplacement remarqué, sans être pour autant massif, des savants arabes installés à Tolède et qui se réfugièrent à Séville pour y poursuivre leurs activités39. Mais, contrairement à ce que l’on pourrait supposer, ce déplacement n’aboutira pas à la disparition totale de la science au sein des anciennes villes musulmanes de l’Espagne centrale et du nord. Richard LEMAY explique ce phénomène en soulignant l’habituelle tolérance et la «convivencia» de ces centres où musulmans, juifs et chrétiens mozarabes avaient créé une réalité scientifique: «Ce sera là le facteur le plus direct dans la naissance de l’intérêt des latins de l’Europe dans la science arabe, et l’étincelle qui engendrera un mouvement substantiel de traductions de l’arabe s’étendant sur tout le douzième siècle»40. Par ailleurs, les intellectuels venus de différents pays d’Europe (France, Italie, Allemagne,…) s’installeront dans les territoires espagnols reconquis afin d’y apprendre les sciences naturelles, la philosophie et les mathématiques. C’est surtout en Espagne, et plus particulièrement en Castille, que le mouvement d’échange entre savants et traducteurs prendra naissance de façon durable au point de faire naître ou renaître l’esprit scientifique dans l’Europe du Moyen Âge. ____________________ 36 De nombreux ouvrages ont été consacrés aux mouvements intellectuels et aux traductions circulant à cette époque: nous renvoyons à la bibliographie exhaustive dans l’article de H. DAIBER, Lateinische Übersetzungen… (1990), p. 203, note 1. À côté des ouvrages de CH. HASKINS, M.-TH. D’ALVERNY, CH. BURNETT ou R. LEMAY que nous exploiterons plus loin, nous en citerons d’autres qui méritent d’être lus: J. VERNET, Estudios sobre Historia de la Ciencia Medieval, 1979; J. VERNET, Ce que la culture doit aux Arabes d’Espagne, 1985; J. HAMESSE/M. FATTORI, Rencontres de cultures dans la Philosophie médiévale, 1990; O. WEIJERS (éd.), The Vocabulary of Teaching and Research between the Middle Ages and Renaissance, 1995; J. CASURELLAS/J. SAMSÓ, Studies in the Islamic exact Sciences, pp. 588– 612; A. DJEBBAR, Une histoire de la science arabe, 2001. 37 Dans un article qu’il consacre à L’Islam et la raison d’après quelques auteurs latins des XI et XIIème siècles (1987), Jean JOLIVET affirme que durant la période qui va de la conquête d’Espagne jusqu’à la prise de Constantinople, soit durant à peu près huit siècles, l’histoire des relations entre monde chrétien et musulman reste un sujet inépuisable. «Entre ces ensembles de puissances les relations économiques, politiques, militaires, religieuses, culturelles, le plus souvent antagonistes mais pas toujours, et intriquées les unes dans les autres, n’ont cessé de tisser un réseau extrêmement serré» (p. 155). 38 CH. BURNETT, Magister Iohannes… (1995), pp. 227–228 traite des conflits qui existaient entre l’état du Portugal et l’état de Léon-Castille. 39 Sur la conquête de Tolède voir CH.E. DUFOURCQ/J. GAUTIER-DALCHÉ, Histoire économique… (1976), pp. 73–75. 40 R. LEMAY, De la scolastique… (1984), p. 406.

Les contacts interculturels

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C’est en effet dans cette région centrale de l’Espagne que mathématiciens grandement qualifiés, traducteurs et commentateurs passionnés ou simples curieux, rechercheront avec grand intérêt les manuscrits scientifiques en arabe. La capitale Tolède jouera un rôle essentiel dans l’histoire de la culture scientifique: traducteurs et compilateurs pourront donner un nouvel essor aux ouvrages arabes ou traduits du grec en arabe. À cette époque l’existence ou non d’une «école de Tolède» est-elle possible? Dès la prise de Tolède en 1085, chrétiens mozarabes et chrétiens du nord désormais réunis ont commencé le lent travail d’osmose qui portera ses fruits un siècle plus tard. Tolède offre à cette époque une société divisée en communautés musulmanes, juives et mozarabes (chrétiens arabophones). Ces communautés étaient également particulièrement denses en Andalousie (Séville, Niebla, Malaga). Sur la base de témoignages authentiques des manuscrits de traductions latines du XIIème siècle, divers éléments sont proposés, sans qu’il soit possible aujourd’hui d’accréditer avec certitude certaines opinions considérées comme fausses par les uns et exactes par d’autres 41 . Ces témoignages médiévaux confirment le passage en Espagne de l’abbé de Cluny, PIERRE LE VÉNÉRABLE, au cours de l’année 1142. Après sa visite, son subordonné immédiat, RAYMOND DE SAUVETAT, archevêque de Tolède (ca 1125 – ca 1152), a montré un grand intérêt pour les traductions scientifiques de l’arabe. C’est sur la base de ce fait historique qu’est venue se greffer la fameuse «légende» de l’école de Tolède: l’archevêque aurait institué un collège de traducteurs et Tolède serait ainsi devenue le berceau d’une «école» où ces nombreux savants auraient travaillé sous son égide 42 . Mais, malgré les affirmations de Richard LEMAY qui exploite les raisons pour lesquelles il ne peut être question d’une école à Tolède 43 , ou encore les thèses de Marie-Thérèse 44 45 D’ALVERNY et Jose GIL , la prudence reste de rigueur car cette question n’a pas ____________________ 41 Nous renvoyons ainsi à l’article de A. N ADER, Rôle des traductions… (1994), p. 744 qui doit être lu à la lumière des découvertes plus récentes de Ch. Burnett. 42 Selon R. LEMAY, Dans l’Espagne du XIIème siècle… (1963), p. 639 cette légende aurait été mise sur pied pour la première fois par A. Jourdain. 43 R. LEMAY, De la scolastique… (1984), pp. 399–555. Nous les rappelons ici brièvement: (a) le nombre d’ouvrages traduits à Tolède sous la direction de Raymond est trop peu important pour que l’on puisse justifier l’existence d’une école; (b) GÉRARD DE CRÉMONE qui vivait à Tolède à cette époque était parfois entouré d’intellectuels (davantage une collaboration indirecte), mais une telle appellation pour le groupe qui l’entourait reste injustifiée; (c) le patronage de l’archevêque connut une courte durée car l’archevêque Jean qui lui succéda en 1151 ne semble montrer aucun intérêt dans la continuation du programme tardivement entrepris par Raymond. Dans l’ouvrage écrit sous la direction de J.-C. GARCIN (États, sociétés et cultures du monde musulman (2000), p. 198), on y retrouve le même point de vue: «Il n’existe (…) pas d’«école de Tolède», mais une nébuleuse de traducteurs membres du chapitre cathédral…». En cela, son hypothèse est appuyée par J. VERNET dans son ouvrage Ce que la culture doit aux Arabes… (1985), p. 123: «En toute rigueur on devrait éviter le terme d’école, du moment que la continuité et l’organisation d’un magistère y firent défaut». 44 M.-TH. D’ALVERNY, Translations and Translators (1982), p. 444. 45 J.S. GIL, The translators of the period of D. Raymundo (1990), pp. 109–119.

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L’auteur du traité

encore trouvé de preuves irréfutables. Cette discussion risque toutefois d’être oiseuse si l’on ne s’entend pas au départ sur l’appellation d’«école médiévale». Entend-on par école un groupe de savants commandités par un «patron» afin de mener à bien certains travaux, ici des traductions et commentaires, ou bien un groupe d’intellectuels travaillant en collaboration et sous l’égide d’un mécène ou d’un tuteur afin de produire des œuvres unitaires et concordantes. Nous privilégions cette seconde définition. Disons donc qu’il est plus que probable que Tolède ait joué un rôle central et coordonnateur durant les XIIème et XIIIème siècles alors que l’activité scientifique était dispersée à travers la Péninsule46. Qui étaient ces intellectuels et quelles étaient leurs ressources? La liste complète n’est pas connue et l’identification de certains d’entre eux pose encore problème. Nous pouvons avancer des noms célèbres tels que GÉRARD DE CRÉMONE, JOHANNES HISPANUS (ou Hispalensis), HERMANN DE CARINTHIE (ou Hermann le Dalmate), ROBERT DE KETTON (appelé erronément Robert de Chester), PLATON DE TIVOLI, PETRUS TOLETANUS, RODOLPHE DE BRUGES, HUGO DE SANTALLA ou encore DOMINICUS GUNDISALVI. Ce dernier pourrait être l’auteur de notre traité comme nous le verrons plus loin. Quant à leurs ressources, elles n’étaient pas négligeables. Dans une lettre qu’il adresse à l’abbé BERNARD DE CLAIRVAUX, PIERRE LE VÉNÉRABLE laisse sous-entendre que les érudits qui s’adonnaient à l’étude des sciences en Espagne se faisaient payer fort cher les traductions faites sur commande et qui les empêchaient de poursuivre leurs propres recherches47. De plus, ils jouissaient également de bénéfices ecclésiastiques là où ils résidaient. C’est ainsi que GÉRARD DE CRÉMONE par exemple bénéficia d’un canonicat à Tolède durant les trente dernières années de sa vie. Les travaux de ces savants furent aussi importants pour un nouvel essor des mathématiques en Europe que ceux des traducteurs de Bagdad l’avaient été pour le développement de la science dans les pays islamiques. Cet intérêt ne s’arrêta pas au XIIIème siècle, et l’influence féconde des mathématiques arabes sut apporter au développement de la science européenne un élan extraordinaire. Elan toutefois freiné par un ennemi incontournable et qui s’appelle le préjugé. Pour l’Europe chrétienne, en effet, ces mathématiques n’en restaient pas moins «nonoccidentales», et elles seront longtemps reléguées dans les combles de l’histoire

____________________ 46 F. GLICK, Islamic and christian Spain… (1979), pp. 262–263 considère Tolède comme une plaque tournante. Dans un article publié récemment, Adeline RUCQUOI s’intéresse à un traducteur proche des milieux intellectuels tolédans (Gundisalvus ou Dominicus Gundisalvi? (1999), pp. 85–106) et soulève la question relative au «collège des traducteurs» de Tolède: «Nous sommes (…) loin ici de l’image traditionnelle d’une «école de traducteurs», travaillant isolée sous la houlette de l’archevêque, recourant à des traducteurs juifs pour pallier aux lacunes en arabe de ses membres, et œuvrant à la diffusion en Occident des connaissances philosophiques et scientifiques transmises par les textes arabes. Nous nous trouvons en revanche face à une communauté intellectuelle importante, bilingue et composite qui vivait et travaillait à Tolède» (p. 106). 47 P. MIGNE, Patrologia Latina 189, pp. 649–650.

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des mathématiques classiques, alors qu’elles en assurent les fondations 48. Dans l’article qu’il consacre à l’influence arabe sur la philosophie médiévale, Jean JOLIVET attire l’attention sur les apports sans mesures de ceux que l’on appelait «Sarassins» ou «infidèles»49. PIERRE LE VÉNÉRABLE s’accorde à dire qu’ils sont des «hommes habiles et savants»50. À cet égard, il est intéressant de lire certains passages du Quaestiones naturales D’ADÉLARD DE BATH51 qui tente de faire partager à son neveu l’enthousiasme qui l’a gagné devant l’enseignement arabe reçu «sous la conduite de la raison» 52 , qu’il voit comme supérieure à l’«autorité». Malgré cela, son neveu demeure sceptique et défiant devant la nouveauté: il existe une véritable opposition entre zones culturelles et entre régimes mentaux. ADÉLARD n’en reste pas moins convaincu que «la raison et la science ont leur lieu chez les Arabes»53. Il ne faut pas négliger le rôle des traductions scientifiques latines du XIIème siècle, appelé à juste titre le grand siècle des traductions: c’est grâce à celles-ci que l’Occident chrétien a découvert des textes et des savoirs inconnus. Loin de nous étendre sur les innombrables travaux tant scientifiques que littéraires traduits à cette époque, nous nous en tiendrons à quelques traductions latines d’œuvres écrites en arabe et nous nous limiterons aussi au cadre des sciences mathématiques qui nous intéressent plus particulièrement, tout en soulignant bien l’importance égale de la philosophie arabe à cette époque. Richard LEMAY étudie la question des traductions de l’arabe, et place le début véritable de ce mouvement aux environs de l’année 1100 54 . Mais, parmi les innombrables textes circulant à ce moment, ce sont les traductions scientifiques de l’arabe qui constituèrent «le moment décisif et presque unique de l’éveil scientifique»55. L’activité de ces intellectuels, en particulier des traducteurs, a fait ____________________ 48 L’article de A. DJEBBAR (La production scientifique arabe, sa diffusion et sa réception au temps des croisades: l’exemple des mathématiques (2000), pp. 343–368) fournit des informations sur l’important corpus mathématique circulant dans les milieux intellectuels durant les croisades. Il s’intéresse à la diffusion de l’algèbre, de la théorie des nombres, de la géométrie et de la trigonométrie ainsi qu’à leur réception en al-Andalus. Pour une étude détaillée de l’histoire des mathématiques arabes, nous renvoyons à deux ouvrages: Les mathématiques arabes (VIIIè–XVè siècle) (1976) d’A.P. YOUSCHKEVITCH et Entre mathématique et Algèbre. Recherches sur l’histoire des mathématiques arabes (1984) de R. RASHED. Malgré le nombre impressionnant de textes arabes inédits ou mal connus, ces deux ouvrages offrent une vision plus claire sur la tradition scientifique arabe. 49 Différents articles de Jean JOLIVET traitant de la question de l’héritage arabe au niveau philosophique ont été rassemblés dans un recueil sous le titre «Philosophie médiévale arabe et latine» (Collection Etudes de philosophie médiévale LXXIII, Paris, 1995). 50 J. JOLIVET, Philosophie médiévale au XIIème siècle (1995), p. 47. 51 Un auteur et traducteur sur lequel nous reviendrons à la page 134 du commentaire. 52 Quaestiones naturales, éd. MÜLLER, BGPTM, 31, 2 (1934), 11: «a magistris Arabicis ratione duce didici». Une nouvelle édition des lettres a été éditée depuis: CH. BURNETT (éd.), Adelard of Bath, Conversations with his nephew, 1998. 53 J. JOLIVET, L’Islam et la raison … (1987), p. 161. 54 R. LEMAY, De la scolastique … (1985), pp. 399–555. 55 op. cit., p. 408.

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L’auteur du traité

l’objet de brillantes recherches. Nous pensons bien sûr à l’incoutournable Studies in the History of Mediaeval Science de Charles HASKINS56 qui, tout en nécessitant quelques améliorations et remises en question, mérite encore notre respect et peut toujours faire office de référence57. L’arabe était considéré comme une langue d’accès difficile, et rares ont été les occidentaux qui s’y sont attelés. L’emploi d’une langue vernaculaire intermédiaire (en Espagne, il s’agit d’un dialecte roman proche du latin courant) pour traduire les textes arabes en latin est attesté par de nombreux témoignages au cours du XIIème siècle (jusqu’au XVIème siècle). C’est ainsi que se répandra l’usage d’une traduction «a quattro mani»58: le texte était traduit mot à mot de l’arabe en langue vulgaire par un arabisant et transposé simultanément uerbo ad uerbum par un latiniste59. Qui étaient ces intermédiaires? Il s’agissait pour la plupart de collaborateurs juifs qui offraient plus de ressources que les traducteurs mozarabes moins nombreux. En effet, «au XIIème siècle, leur langue de culture est l’arabe, leur langue sacrée l’hébreu, leur langue courante le dialecte roman» 60 . Cette pratique de la traduction simultanée pourrait avoir été appliquée lors de la rédaction de notre texte. En se penchant sur cette importante question, il reste certain que le mouvement de traductions du XIIème siècle a joué un rôle essentiel dans l’évolution de ce que l’on peut appeler la scientia et a préparé une voie royale aux découvertes de la Renaissance. Bien sûr, il faut toujours un temps d’adaptation et d’assimilation avant l’adhésion et l’adoption finale: ce qui est vrai pour les personnes l’est tout autant pour les idées nouvelles. La traduction dispose mieux les esprits à les recevoir, à les juger à leur juste valeur et finalement à les rejeter ou à les adopter. Le XIIème siècle sera très fréquemment considéré comme une période d’acquisition de la science, avec son grand nombre de traductions et compilations, et cela avant le XIIIème siècle qui sera plutôt une période d’assimilation. Songeons par exemple à Leonardo FIBONACCI qui sut profiter des acquisitions du passé et y

____________________ 56 CH. HASKINS, Studies in the History of Mediaeval Science, 1924. 57 À cet égard, de nombreuses remarques sont à lire dans R. LEMAY, De la scolastique… (1985), pp. 399–555. Nous pensons également aux articles M.-TH. D’ALVERNY, Translations et Translators (1982), pp. 421–461; R. LEMAY, Dans l’Espagne du XIIème siècle (1963) pp. 639–665. Dans son recueil sur la transmission des textes philosophiques et scientifiques du Moyen Âge (Literal Translation and intelligent adaptation…, (1987), p. 12), Ch. Burnett fait référence à de nombreux articles ou ouvrages qui s’attardent sur les traducteurs, et en particulier leur but, profession, rôle des interprètes et sources des textes arabes utilisés. Ce qui l’intéresse, c’est le matériau primaire, autrement dit les textes arabes et latins eux-mêmes. 58 Expression reprise à D. ROMANO cité dans M.-TH. D’ALVERNY, Les traductions à deux interprètes (1986), p. 193. 59 De nombreux traducteurs travaillaient seuls, mais un modus operandi que l’on rencontre à diverses reprises est la traduction en tandem. Cfr article de M.-TH. D’ALVERNY, op. cit., pp. 193–206. 60 M.TH. D’ALVERNY, op. cit., p. 194. Nous ajouterons qu’en Andalus, et plus précisément à Tolède, le roman parlé était mêlé de mots arabes.

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ajouter son savoir61. Toutefois cette opinion, si proche soit-elle de la réalité, s’en écarte néanmoins lorsqu’il s’agit de notre texte. Certains y verrons peut-être une exception, mais les trop nombreuses lacunes dans le domaine des sciences mathématiques arabes ne nous permettront pas encore d’en juger. En effet, le Liber mahameleth reste en soi une œuvre originale, malgré les nombreuses influences que l’on peut y déceler.

2.3

DOMINICUS GUNDISALVI, TRADUCTEUR ET INTERPRÈTE DE LA SCIENCE ET PHILOSOPHIE MÉDIÉVALE

Étant donné qu’aucun nom ne figure dans les manuscrits étudiés, l’attribution de la version latine du Kitāb al-mucāmalāt que nous éditons nous plonge dans le domaine des conjectures. D’autre part, les nombreuses allusions à des ouvrages62 que l’auteur avait à sa disposition ne nous éclairent pas plus en ce domaine. Ajoutons que la difficulté est de taille. Nous ne disposons ni de l’autographe ni d’une version complète du Liber mahameleth63, et les quatre copies présentent des différences. Aussi devons-nous avancer avec prudence quand nous parlons de ce traité. Plusieurs noms ont déjà été avancés, mais les arguments qui appuient ces hypothèses ne peuvent pas toujours soutenir la critique. L’auteur n’était pas un arabe, mais maîtrisait bien cette culture, comme nous l’avons déjà souligné64. Comme il affiche sa croyance en un Dieu unique, il peut s’agir d’un juif ou d’un chrétien. Dans un premier temps, nous avons été tentée de voir dans l’auteur de notre ouvrage un savant juif résidant ou voyageant en Espagne. Sur base de ce que nous savons sur l’impact du milieu hébraïque en Espagne au XIIè et XIIIème siècle, on peut envisager cette hypothèse car de nombreux juifs ont participé activement à l’élan culturel que nous avons défini. De plus, ils étaient souvent trilingues (hébreu, arabe, langue romane) et la traduction de l’arabe en hébreu ne présentait pas de difficulté compte tenu des similitudes linguistiques et sémantiques. Néanmoins, ils se sont employés à jouer de leur influence dans la création d’un langage castillan qui pouvait être utilisé comme véhicule de la pensée scientifique et philosophique. Dans notre cas, cela impliquerait la création d’un langage scientifique entièrement nouveau. Or, tel n’est pas le cas pour notre ouvrage. De plus, aucun terme hébraïque n’y est présent et aucune allusion au milieu juif ne nous permet de soutenir ce point de vue. Enfin, les monnaies dont il est question dans notre traité sont postérieures à 1140, date qui marque le départ de nombreux juifs suite aux persécutions des Almohades. Il faut néanmoins préciser que beaucoup se sont réfugiés à Tolède, et que le Liber mahameleth fait allusion à cette ville. Parmi les savants originaires de cette communauté, nous avons Abraham ibn EZRA ____________________ 61 Ce mathématicien italien (ca 1175–1240) rédigea un Liber abbaci où il exposa les connaissances mathématiques des Arabes. 62 Cfr chapitre sur les sources aux pages 132–136 du commentaire. 63 Cfr chapitre sur l’histoire du texte aux pages 33–80 du commentaire. 64 Voir page 13 du commentaire.

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(ca 1092) et Abraham SAVASORDA (ca 1065 – ca 1145). Malgré les biographies succinctes, nous pouvons affirmer qu’aucun de ces deux auteurs n’a pu rédiger le Liber mahameleth. Le premier était un poète, grammairien, astronome-astrologue ainsi qu’un commentateur biblique de grande renommée. Il voyagera beaucoup en Italie et en France pour y trouver l’appui de mécènes et rédigera tous ses ouvrages en exil dans un laps de temps très court (entre 1145 et 1148). Il n’a pas écrit de grands traités scientifiques et ses ouvrages ne renouvellent pas à proprement parler la science. Or, le traité que nous éditons demandent de grandes connaissances mathématiques. Quant à l’attribution à Abraham SAVASORDA, proposée par Ghislaime L’HUILLIER 65 , elle semble également improbable. Mathématicien, astronomeastrologue et philosophe d’inspiration néo-platonicienne, il composa la plupart de ses œuvres à Barcelone même et rédigea en hébreu plusieurs textes originaux. Il destinait ses ouvrages de mathématiques, d’astronomie et de philosophie à des juifs vivant dans le sud de la France et qui étaient peu familiarisés avec la science arabe. Ses connaissances mathématiques n’étaient pas suffisamment étendues, et il aurait sans doute eu du mal à aborder le livre X des Éléments d’EUCLIDE abondamment utilisé dans le Liber mahameleth (références nombreuses dans le chapitre sur les racines). Nous pensons donc que ces deux noms doivent être écartés. Par ailleurs, une autre piste semble plus intéressante. Nombreux sont les chrétiens qui ont entrepris la traduction de traités arabes. Parmi les grands noms, citons GÉRARD DE CRÉMONE, JOHANNES HISPANUS (ou Hispalensis) et DOMINICUS GUNDISALVI. Il est peu probable que GÉRARD DE CRÉMONE soit l’auteur de notre traité. Il a certes vécu à la même époque (entre ca 1114 et 1160 ou 1187) et a traduit un très grand nombre d’œuvres à partir de l’arabe (soixante-douze nous sont connues). De plus, il connaissait particulièrement bien les Éléments d’EUCLIDE abondamment utilisés dans notre traité et quelques œuvres majeures de cet auteur ont été rassemblées dans notre manuscrit de base (Paris. lat. 7377A). Seulement, la piste est peu fiable et les preuves inexistantes. Par contre, une hypothèse plus intéressante a vu le jour et nous conduit à deux savants qui se sont connus et ont collaboré durant la moitié du XIIème siècle: JOHANNES HISPANUS et DOMINICUS GUNDISALVI. Cette hypothèse semble la meilleure, car nous avons trouvé plusieurs passages du Liber mahameleth dans les ouvrages qui leur sont attribués. Le nom de JOHANNES HISPANUS a fait couler beaucoup d’encre et suscité bien des débats, car derrière ce nom peuvent se cacher plusieurs auteurs. Pour une mise au

____________________ 65 G. L’HUILLIER, Le Quadripartitum numerorum…, pp. 43–45. Nous remercions tout particulièrement Madame l’Huillier pour son ouvrage qu’elle nous a très aimablement offert.

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point sur la question, nous renvoyons à l’article de Charles BURNETT qui a apporté une lumière nouvelle sur ce qui distingue Jean de Séville de Jean d’Espagne66. Parmi les ouvrages imputables à JOHANNES HISPANUS (ou Hispalensis), citons le Liber alchorismi de pratica arismetice paru vers 1147. Encore resté inédit, cet ouvrage est le plus détaillé et le plus complet issu de l’arithmétique d’ALKHWĀRIZMĪ. La version que nous avons conservée se trouve dans le manuscrit de la BNF, Paris. lat. 15461. Or, c’est dans ce même manuscrit que figure une copie de notre traité (sigle P). Pour Jacques SESIANO, l’auteur du Liber mahameleth est ce JOHANNES HISPALENSIS 67 . Un élément important semble corroborer cette hypothèse: nous retrouvons dans le Liber alchorismi de pratica arismetice un passage traitant de l’arithmétique pratique et qui correspond presque uerbatim à celui du Liber mahameleth. Nous avons repris ce passage en confrontant les deux textes. Pour plus de facilité, nous avons mis en caractère gras les passages similaires: Liber mahameleth

Liber alchorismi de pratica arismetice

(Édition, p. 8, ll. 15–32)

(Paris, BNF, lat. 15461 (P), fols 12 v–13 ra)

Primus autem numerus qui ex unitatibus componitur binarius est. Vnus est primus omnium et minimus. Binario uero addita unitate fit ternarius, et ternario addita unitate fit quaternarius, et ita semper per additionem unitatis numerus cresit in infinitum. Vnde singuli numeri non potuerunt propriis nominibus assignari.

Queritur cur non omnes uel plurimos numeros propriis nominibus designamus, uel cur non per adiectionem nouorum sed post decem per repetitionem priorum semper numeramus. Ad quod dicitur quia non fuit possibile ut omnes numeri propria nomina haberent, idcirco quod numerorum in infinitum crescit multitudo, nominum autem in qualibet lingua infinita non potest esse inuentio. Cum enim in omni lingua certa et terminata sint instrumenta et eorum definite naturaliter modulationes, quibus uox articulata formatur, unde litterarum figure apud omnes gentes et earum uarie, sed diffinite sunt secundum ordinem preponendi et postponendi ad representanda rerum omnium nomina compositiones, necessario omnes numeri, cum sint infiniti, nomina non potuerunt nec debuerunt habere singuli, precipue cum et homines in omni pene re numeris utentes nimis impedirentur, si in numerationibus suis infinitam numeralium nominum multitudinem in promptu

Cum enim in omni lingua certa et terminata sint loquendi instrumenta et eorum definita (sic) naturaliter modulationes, quibus uox articulata formatur. Vnde et litterarum figure apud omnes gentes et earum uarie, sed definite sunt secundum ordinem preponendi et postponendi ad representanda rerum omnium nomina compositiones, idcirco cum numeri sint infiniti, nomina non potuerunt nec debuerunt habere singuli, precipue cum homines in omni pene re numeris utentes nimis impedirentur, si in numerationibus suis infinitam numeralium nominum

____________________ 66 CH. BURNETT, John of Seville and John of Spain … (2002), pp. 59–78. 67 J. SESIANO, Un recueil du XIIIème s. de problèmes mathématiques (2000), p. 71.

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L’auteur du traité

multitudinem in promptu semper habere numerandi necessitate cogerentur. Vnde necesse fuit infinitam numerorum progressionem certis limitibus terminare, paucis nominibus designare, ne cogeretur homo in numerando per nouas addictiones tam numerorum quam nominum semper procedere.

Et quoniam omnes numeros habere nomina fuit impossibile et aliquos necesse, et quoniam necesse erat eos inter se multiplicari, idcirco disspositi sunt per ordines siue differentias.

semper habere numerandi necessitate cogerentur. Idcirco necesse fuit infinitam numerorum progressionem certis limitibus terminare, paucis nominibus illos designare, ne cogeretur homo in numerando per nouas additiones tam numerorum quam nominum semper procedere, sed per repetitionem priorum breuem quantamlibet summam paucis nominibus possit comprehendere. Vnde cum omnes numeros habere nomina fuerit impossibile et aliquos necesse ratio exegit, natura predictante, ut ex omnibus numeris soli 12 nominibus haberent….

Il serait tentant de suivre cette piste. Seulement, JOHANNES HISPANUS n’est pas le seul à s’être inspiré du Liber mahameleth. GUNDISALVI, qui a travaillé en étroite collaboration avec lui, propose également des passages du Liber mahameleth dans deux de ses œuvres. DOMINICUS GUNDISALVI, appelé également Dominicus Gundissalinus ou Dominicus Archidiaconus Segoviensis, aurait travaillé entre 1130 et 1180 (1181) en Espagne. Il fut Archidiacre de Cuéllar de 1162 à 1181 comme le prouvent des documents retrouvés dans la cathédrale de Tolède68. Il a de nombreux ouvrages à son actif: nous comptons au moins dix traductions d’œuvres arabes en latin et cinq traités philosophiques, probablement des compilations d’autres traités 69. Le Liber mahameleth s’inscrit parfaitement dans cette tradition. Les deux traités où nous retrouvons la trace du Liber mahameleth sont le Liber de scientiis et le De diuisione philosophiae. Le Liber de scientiis (ca 1150), un traité de AL-FĀRĀBĪ qu’il a traduit de l’arabe en latin70, présente non seulement des similitudes avec notre traité, mais le Liber mahameleth y est même cité. Dans son œuvre, pour bien cerner les différents types de science qui existent, l’auteur les définit. Parmi celles-ci figure la «scientia doctrinalis» qu’il définit au chapitre trois: «Scientia vero doctrinalis ____________________ 68 CH. BURNETT, op. cit., p. 63. 69 Liste dans l’article de J. GIL, The Translators of the period of D. Raymondo: their personalities and Translations (1125–1187), (in J. HAMESSE/M. FATTORI (éd.), Rencontres de culture…, 1990), pp. 115–117. 70 D. GUNDISALVI, De Scientiis (éd. M. ALONSO ALONSO), Madrid–Granada, 1954. Cet ouvrage de AL-FĀRĀBĪ a été également traduit par GÉRARD DE CRÉMONE sous le titre Liber Alfarabii de Scientiis translatus a magistro Girardi Cremonensis in Toleto, de Arabico in Latinum (ca 1175); M. ALONSO, Las traducciones del Arcediano Domingo Gundisalvo, (1947), pp. 298–299.

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dividitur in has partes, «que sunt Arithmetica, Geometria, Scientia De aspectibus, Scientia stellarum, Musica, Scientia De ponderibus, Scientia de ingeniis»»71. Il distingue l’arithmétique pratique de l’arithmétique spéculative, comme le fait l’auteur du Liber mahameleth aux pages 7–8 de l’édition72: «Arithmetica est scientia de numero. Numerus uero duobus modis consideratur, in se et in materia. Ideo Arithmetica alia est practica, alia est theorica (p. 85): Practica, que inquirit de numeris, in quantum aliquid numeratur eis, quomodo utuntur in commerciis et in negotiis ciuilibus. Theorica uero, que inquirit de numero, secundum quod denudatus est ab omni sensato et insensato, hoc est, secundum quod mens percipit eum absolute sine omni materia, et sine omni motu, et abstractum ab omni quod potest per eum numerari. Et considerat ea que accidunt eius essentie inter se propter hoc quod comparantur ad inuicem, scilicet quod alius est par, alius impar; quod alius est superfluus, alius diminutus; «et omnia alia que in Arithmetica Nichomachi plene possunt inveniri». «Vnaquaque istarum habet partes. Nam partes practice due sunt, scilicet scientia coniungendi numeros, et scientia disiungendi. Que uero docet numeros coniungere, alia est scientia aggregandi, alia duplicandi, alia multiplicandi. Illa uero que docet disiungere, alia est scientia minuendi, alia mediandi, alia dividendi». «Scientia uero radices inveniendi sub utraque (p. 87) continetur,et radix diuidendo et multiplicando inuenitur». «Huius autem practice multe sunt species: alia est scientia uendendi et emendi; et alia mutuandi et accomodandi. Alia conducendi et locandi. Alia expendendi et conseruandi. Alia est scientia profunditatis et altitudinis siue spatia inueniendi. Et alie multe, de quibus plenissime habetur in libro qui apud Arabes mahamalech [K. al-mucāmalāt] dicitur» (p. 88).

Malheureusement, quand il parle du Liber mahameleth, il ne fait pas mention de son auteur, mais uniquement de la matière traitée. Pourquoi? L’auteur lui est-il inconnu ou s’agit-il de sa propre traduction? Il ne le précise pas. Le De diuisione philosophiae73, une autre œuvre majeure de GUNDISALVI, reprend également des passages du Liber mahameleth. Cet ouvrage a été influencé par le Kitāb iḥṣā’ al-culūm d’AL-FĀRĀBĪ. Charles BURNETT a proposé une comparaison entre les passages similaires sous forme de tableau74. De cette confrontation il découle, selon lui, que GUNDISALVI est l’auteur possible de notre traité. D’autres preuves semblent confirmer son hypothèse, nous songeons en particulier au style de l’auteur. En effet, GUNDISALVI a un style bien à lui. Il aime synthétiser les œuvres grecques ou arabes qu’il traduit en latin et n’est pas toujours fidèle aux textes qu’il traduit: soit il élimine ____________________ 71 D. GUNDISALVI, De Scientiis , p. 85. 72 Les éléments que nous retrouvons aussi bien dans le Liber mahameleth que dans le Liber de Scientiis sont en caractère gras. Toutefois, les deux ouvrages ne les présentent pas toujours dans le même ordre. 73 L. BAUR (éd.), De Divisione Philosophiae , In Beiträge IV, part 1–3. 74 CH. BURNETT, op. cit., pp. 68–69.

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L’auteur du traité

des passages entiers, soit il en introduit de nouveaux. Nous en avons un exemple frappant avec le De Scientiis: alors que GÉRARD DE CRÉMONE propose une traduction minutieuse du texte d’AL-FĀRĀBĪ, GUNDISALVI abrège ou ajoute des éléments (sa traduction compte 29 pages, celle de GÉRARD DE CRÉMONE 58 pages). Ainsi, il ne reprend que quelques explications d’AL-FĀRĀBĪ sur l’arithmétique spéculative. En revanche, il lui paraît nécessaire d’ajouter des éléments supplémentaires sur la science pratique de la vie commerciale, plus développée alors parmi les musulmans que les Latins. On retrouve cette même politique dans le Prologue du De Divisione Philosophiae où il fait des ajouts par rapport au texte d’AL-FĀRĀBĪ. Le traité arabe qui servit de modèle au Liber mahameleth a sans doute lui aussi été modifié, transformé, oserions-nous dire amélioré par des retouches plus personnelles. GUNDISALVI, son auteur(?), a su mettre en perspective l’arithmétique pratique en s’imprégnant des sources à sa disposition et en les ajustant sur la charpente de son traité. Les progrès de l’historiographie qui sont assez sensibles dans le domaine des mathématiques arabes depuis quelques années vont certainement nous permettre d’affiner notre point de vue et de trouver le Kitāb qui inspira notre auteur. Le plan de l’œuvre nous permet de mieux suivre la pensée de l’auteur et ses visées. Si nous nous penchons sur le contenu, nous constatons que l’ouvrage se divise en deux parties. Le titre annonce ce qui sera surtout l’élément central de la seconde partie: un recueil de problèmes qui tendent à appliquer les mathématiques à la vie pratique (même si les derniers problèmes peuvent être qualifiés de récréatifs). La première partie quant à elle établit par des définitions, explications et théorèmes les fondements mathématiques qui seront utilisés dans la deuxième partie. Le plan que nous proposons ci-dessous (cfr annexe 1, p. 76 du commentaire) reste artificiel car nous ne retrouvons pas toujours dans les manuscrits l’intitulé des chapitres, et la disposition parfois chaotique des trois manuscrits utilisés, en particulier celle du manuscrit de base Paris. lat. 7377A, nous entraîne à considérer comme digression ce qui peut être une erreur dans la retranscription du manuscrit (probablement une glose ajoutée au texte original ou à l’une de ses copies). Toutefois, nous pensons que, nécessité faisant loi, ce plan facilite la lecture du texte et en permet une utilisation plus aisée75. La question qui reste posée est bien sûr celle de la destination de ce livre, et cela constitue ce qu’on pourrait appeler l’un des côtés déconcertants du Liber maha____________________ 75 Dans les manuscrits que nous possédons, ces «gloses» ont été insérées dans le texte à des endroits qu’un raisonnement logique n’a pas nécessairement dicté. La composition du texte et l’agencement des diverses parties posent quelques problèmes. Les indications que l’on possède sont rendues dans le texte par des rappels d’une partie à l’autre. C’est ainsi que dans la seconde partie, l’auteur fait de nombreuses allusions à un chapitre sur l’algèbre (sicut supradocuimus in algebra) qui devait sans doute figurer dans la première partie et qu’aucun des manuscrits conservés ne nous rapporte. Nous traiterons de la structure logique du texte aux pages 77–80 du commentaire.

Les contacts interculturels

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meleth. Il devait être écrit pour des hommes d’affaires et des commerçants au fait de tout ce qui touche le négoce, l’administration et la gestion 76 . Mais ce qui surprend, c’est l’assiduité avec laquelle l’auteur du livre tend à développer toutes les applications mathématiques. Nous pensons, par exemple, au long chapitre sur les fractions, ou mieux encore à la résolution d’équations quadratiques et de démonstrations géométriques de type euclidien ainsi qu’à la résolution de problèmes dont les solutions sont en nombre irrationnel. On peut y voir un véritable «débordement intellectuel» sans utilité pour des hommes du négoce 77. Pourtant, s’il reste déconcertant, le Liber mahameleth n’est pas unique en son genre et d’autres ouvrages reflètent le même modèle. Nous pensons en particulier au Livre sur l’arithmétique nécessaire aux scribes et aux marchands de Abū l-Wafā’ (écrit entre 961 et 976) dont les deux premières parties traitent du calcul des nombres entiers et des fractions (système de numération littéral et non de position), la troisième partie de géométrie, et les quatre dernières de problèmes relevant de l’arithmétique pratique 78 . Il existe d’autres manuels plus tardifs (Algorismes) qui présentent certaines similitudes avec ce modèle, et cette manière d’exposer l’arithmétique correspond mieux aux habitudes d’un grand nombre de commerçants. Rappelons que nombre d’entre eux était érudit. Aussi, si l’on tente de justifier cette «envolée mathématique», on ne peut affirmer qu’elle trouve sa source uniquement dans l’exaltation de l’auteur. Ce dernier devait avoir devant les yeux des modèles identiques. À première vue donc, cet ouvrage a plus l’apparence d’un «cours d’arithmétique, d’algèbre et d’économie» que celle d’un simple vade-mecum du parfait commerçant. Peut-être s’agit-il d’un cours élaboré à l’usage d’une même «famille commerçante». Ce fait ne serait pas étonnant si l’on sait l’importance que ces familles donnaient à tout ce qui touche l’érudition. Dans notre traité, l’abondance des exemples où les données seules varient alors que la méthode reste identique nous fait pencher vers cette hypothèse. À moins que l’on puisse envisager un double usage: à la fois une aide pour les commerçants et un instrument d’étude pour les enfants appelés à succéder aux affaires familiales. L’auteur du Liber mahameleth ne veut pas limiter ses ambitions à l’enseignement d’une pratique commerciale: il désire que son lecteur aiguise son intelligence en dépassant un domaine mathématique trop restreint. En conclusion, nous pouvons affirmer, en prenant appui sur les connaissances sérieuses et certaines dont nous disposons, que le Liber mahameleth est une ____________________ 76 Cet ouvrage devait être adressé à des intellectuels qui utilisaient peut-être encore l’abaque mais surtout le calcul digital et le calcul indien. 77 J. SESIANO, Le Liber Mahameleth… (1988), p. 95. 78 A.P. YOUSCHKEVITCH, Les mathématiques arabes (1976), pp. 24–25: Youschkevitch y analyse l’ouvrage d’Abū l-Wafā’ al-Buzdjāni (Kitāb fīmā yaḥtāǧu ilayhi al-kuttāb min cilm alḥisāb) qui influença l’œuvre d’AL-KARAǦĪ (X–XIème s.) Livre suffisant sur la science de l’arithmétique (Kitāb al-Kāfī fī l-ḥisāb). Cette œuvre est composée de soixante-dix chapitres (1–43: arithmétique; 44–54: géométrie; 55–70: algèbre).

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L’auteur du traité

version latine d’un Kitāb al-mucāmalāt qui aurait été rédigée en Castille entre 1143 et 1153, soit une période fort tourmentée politiquement, mais très riche culturellement suite aux échanges nombreux et fructueux entre lettrés arabes et européens. Si l’auteur du traité demeure encore inconnu, il pourrait s’agir de DOMINICUS GUNDISALVI, un savant proche des groupes d’intellectuels et de traducteurs tolédans.

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HISTOIRE DU TEXTE

3.1

LES TÉMOINS DU TEXTE

3.1.1 Heuristique ou inventaire des témoins du texte (traditio) Les conditions de transmission des textes sont telles qu’elles exigent de l’éditeur un long travail critique, minutieux et précis. Le premier travail consiste à réunir l’ensemble des copies du texte, en d’autres termes à en rassembler la tradition. Par tradition, nous entendons la «façon dont un texte a été successivement copié et progressivement transformé, du plus ancien exemplaire au plus récent»79. Nous nous sommes donc employée à retrouver tous les témoins du texte que nous éditons80. À côté de la tradition indirecte qui groupera les extraits, commentaires et citations qui ont été faits de ce texte au cours de son histoire, nous distinguerons la tradition directe qui comprend tous les manuscrits dans lesquels le texte est transmis comme tel et pour lui-même. Dans l’ordre actuel de nos connaissances, force est de constater que les copies manuscrites de notre texte restent rares. La tradition directe ne comprend que trois manuscrits81: A Paris, Bibliothèque Nationale, lat. 7377 A (fin XIIIème–XIVème s.); D Padoue, Biblioteca Capitolare, D.42 (XIIIème s.); P Paris, Bibliothèque Nationale, lat. 15461 (XIIIème s.). Par ailleurs, on peut distinguer la tradition indirecte présente dans notre texte sous diverses formes: – Dans le lat. 15120 (I) de la Bibliothèque Nationale de Paris (fin XIIème– XIIIème siècles), nous trouvons quelques extraits brefs et remaniés, relatifs à un ____________________ 79 D. MUZERELLE, Vocabulaire codicologique…(1985), p. 441 (n°442.01). 80 Pour distinguer les manuscrits, nous utiliserons les sigles suivants: [A] = Paris, Bibliothèque Nationale, lat. 7377 A [D] = Padoue, Biblioteca Capitolare, D.42 [P] = Paris, Bibliothèque Nationale, lat. 15461 [I] = Paris, Bibliothèque Nationale, lat. 15120 (quelques extraits utilisés). Nous avons choisi l’ordre alphabétique des manuscrits, en commençant par le manuscrit de base de notre édition critique, soit A (Paris 7377A), D (Padoue) et P (Paris 15461). Comme le manuscrit I (Paris 15120) ne reprend que quelques extraits, nous le placerons à la fin de cet ordre. 81 Dans l’ouvrage de L. THORNDIKE/P. KIBRE (Incipits of mediaeval scientific…, p. 99) il est question de deux manuscrits: le lat. 7377A et le lat. 15461.

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Histoire du texte

point de vue déterminé, en l’occurrence des problèmes liés au théorème de Pythagore82. – Nous retrouvons dans le manuscrit lat.15461 de la Bibliothèque Nationale de Paris (cfr tradition directe vue précédemment) certaines notes marginales, qui sont de brefs commentaires imputables à JEAN DE MURS. Nous ne développerons pas ce point étant donné que ces notes ont déjà fait l’objet d’une étude détaillée réalisée par Ghislaine L’HUILLIER83. – Par ailleurs, il ne serait pas impossible que les notes annexes du manuscrit de Padoue soient également du ressort de JEAN DE MURS84. – Nous retrouvons des citations de notre auteur, par exemple chez JOHANNES HISPANUS85, mais elles doivent être utilisées avec précaution, car elles nous reportent dans le passé plus loin que la voie directe. De plus, même si elle se voit réduite à un seul manuscrit, l’influence du traité reste possible pour ce qui touche d’autres traités d’arithmétique ou d’algèbre datant de cette époque ou ultérieurs86. La récurrence de certains problèmes liés par exemple à la règle de trois peut nous le faire supposer. Mais la prudence reste de mise. Par ailleurs, le texte que nous éditons semble lui-même davantage le résultat d’une compilation qu’une traduction à partir de l’arabe comme on pouvait le penser au départ 87. Les témoins indirects pourraient être d’un réel secours, mais il nous apparaît que ces éléments ne doivent en aucun cas remplacer les textes plus fiables transmis par la tradition directe. Si utile soit-elle, la tradition indirecte ne sera jamais qu’un apport supplémentaire. Un élément qui mérite notre attention concerne deux manuscrits de notre tradition directe, le lat. 15461 et le lat. 7377A, ainsi qu’un troisième de la même Bibliothèque Nationale de Paris, le lat. 9335: ____________________ 82 Une retranscription avec apparat critique ainsi qu’un commentaire de ces extraits sont proposés dans un article de J. SESIANO, Un recueil du XIIIème s. … (2000), pp. 71–132. 83 G. L’HUILLIER, Le quadripartitum numerorum de Jean de Murs (1990), pp. 46–47 et p. 63. Les notes additionnelles du manuscrit lat. 15461 semblent de deux sortes: les premières se rapportent à un «metre qui de neli» (fol.35r) inconnu par ailleurs; les secondes, plus scientifiques, sont dues à JEAN DE MURS, et ce pour des raisons paléographiques ou qui sont liées aux critères internes. Il est clair que JEAN DE MURS s’est inspiré du manuscrit lat. 15461 pour rédiger son Quadripartitum numerorum, sans pour autant se laisser embarrasser par les confusions et les complications de notre auteur. Il sera également influencé par Leonardo Fibonacci et Jordanus Nemorarius. 84 En ce qui concerne quelques textes annexes du manuscrit D.42 (difficilement déchiffrables), l’état actuel de nos recherches ne nous permet pas d’en retrouver l’auteur. Nous dirons simplement que la référence à BOÈCE apporte un éclairage intéressant au contenu du traité. 85 Cfr nos remarques aux pages 26–28 du commentaire. 86 Nous retrouvons certains problèmes de notre version latine du Liber mahameleth dans des textes plus tardifs (ex. Léonard de Pise). Néanmoins, ceci ne cautionne pas pour autant l’influence de notre traité. Comme nous le verrons, ces problèmes circulaient à cette époque sur le continent européen, plus particulièrement en Espagne et en Italie. 87 Cfr nos remarques à la page 29–30 du commentaire.

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Les témoins du texte

– Il apparaît clairement que le copiste (XIIIème s.) du lat. 15461 est le même que celui du lat.9335. – Par ailleurs, les folios 92v–133v du lat.9335 auraient servi de modèle au manuscrit lat.7377A pour les folios 1–70v (qui ne concernent pas notre édition). Compte tenu de ces circonstances, on aurait pu espérer une influence du lat.15461 sur le lat.7377A en ce qui concerne le texte que nous éditons, mais il n’en est rien. Peut-être un modèle commun aurait-il pu les inspirer: la question reste posée88. ?

Copiste (XIIIème s.)

Lat. 15461

Lat. 9335

Lat. 7377 A (XIVème s.) L’étude codicologique à laquelle nous allons procéder ne permet aucunement de déceler une filiation quelconque entre les différents manuscrits de la tradition directe. Il est fort possible que nous ne disposions pas de tous les témoins, car il faut tenir compte de la connaissance encore incomplète de certains fonds de bibliothèque, de l’acéphalie des manuscrits et des collections privées inaccessibles ou qui gardent jalousement leurs trésors89.

3.1.2 Examen et classement des témoins (recensio) «La codicologie est essentiellement la science du concret, de l’objet historique que nous tenons en main et qui nous livre le texte» 90 . Cette définition de A. DEROLEZ semble conjurer quelque peu les critiques relatives à la nécessité d’une telle étude. Pourtant, l’examen des manuscrits que l’on veut étudier est de la plus haute importance pour l’histoire de la tradition des textes. La recensio de notre texte, qui permet d’examiner, comparer et classer les témoins selon les rapports de dépendance qu’ils peuvent avoir entre eux ou avec des modèles perdus, ne nous ouvre pas largement les portes sur son histoire. Malgré le nombre croissant de catalogues de manuscrits et de nouveaux systèmes informatiques que nous avons pu consulter, les manuscrits sur lesquels nous travaillons restent peu connus. ____________________ 88 Nous renvoyons au stemma de la page 70 du commentaire. 89 Parmi les témoins, nous aurions pu également reprendre la retranscription que fait J. SESIANO (Survivance médiévale… (1987), pp. 45–56) dans le chapitre consacré aux problèmes appliquant le théorème de Pythagore (pages 402–420 de notre édition). Comme il ne s’agit pas d’une édition critique, nous ne l’avons pas reprise dans l’apparat. 90 A. DEROLEZ, La codicologie et les études médiévales (1995), p. 383.

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Histoire du texte

Lors de notre séjour à Paris et Padoue, nous avons pu examiner tous les manuscrits identifiés à ce jour. Malgré l’utilisation des lampes de Wood et du video-skanner, certaines difficultés de lecture propres aux manuscrits lat. 7377 A et lat. 15121 de Paris n’ont pu être entièrement résolues.

3.1.2.1 Manuscrit de BNF, Paris. Lat. 7377 A [A] Description matérielle Le manuscrit date de la fin du XIIIème siècle (au plus tôt) ou du début du XIVème siècle91. La seule date qui figure dans ce manuscrit se trouve sur le feuillet de garde: «20 mai 1896». Quant à la reliure (216 mm x 155 mm/7 nœuds), elle daterait peut-être du XVIIème siècle. Elle est en maroquin rouge aux armes de la couronne (sans doute réalisée sous Louis XIV). Nous y voyons des dorures et en lettres dorées le mot Geometria. Il n’y a pas de fermoir. Deux mains ont copié les textes: une main pour les folios 1r–70r et 99r–147v, une seconde pour les folios 71v–97r et 148r–203v. Le manuscrit est composé de 203 feuillets. Parchemin et papier sont mêlés, ce qui nous permet d’affirmer que ce manuscrit est postérieur au XIIème siècle. Leurs dimensions restent variables (cadre de justification de ± 210 mm x 150 mm) et il n’y a pas de respect particulier de mesures. De plus, l’absence d’une linéation a entraîné certaines erreurs comme des lignes peu horizontales et des rétrécissements de l’écriture. De nombreux folios se caractérisent par leur mutilation tantôt antérieure à la fabrication du parchemin, tantôt, et le cas est plus fréquent, postérieure aux fabrications du parchemin et papier. Il y a deux foliotations, toutes les deux apposées dans le coin supérieur droit. La première qui se trouve légèrement effacée s’interrompt au folio 70r (compris) et recommence du folio 71r jusqu’au folio 97r. La seconde foliotation part du folio 1r pour s’arrêter au folio 203r. Notons également l’ajout d’un folio 122r fragmentaire avec une foliotation particulière ainsi que celui d’un fragment appelé folio 189 bis (qui devait être le folio 190 lors de la première foliotation). Nous ajouterons que les folios 71r, 97v–98v, 122v et 147r sont demeurés intacts. Enfin, le folio 147v est partiellement inutilisé: 14 lignes d’écriture seulement. La plupart des folios de papier ont été traités (glaçage) ultérieurement, mais les derniers folios, qui ont malheureusement échappé à ce traitement, présentent de nombreuses lacunes.

____________________ 91 Datation confirmée par plusieurs spécialistes, tels que M. FOLKERTS ou J. SESIANO. R. HISSETTE (Guillaume de Luna… (tiré à part), pp. 2–3) fait remarquer que la transcription du codex est notablement postérieure au XIIème siècle. Deux indices le révèlent: les caractéristiques des écritures et l’insertion de folios de papier entre des folios de parchemin. Le catalogue S.Bib.Reg. 1744 , tome IV, de Paris le date érronément du XVIIème siècle, sans doute en raison de la reliure qui date de cette époque: «Is codex decimo septimo saeculo uidetur exaratus».

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La linéation est très variable. Chaque page comporte entre 31 et 40 lignes (une seule fois 12 lignes). Nous ne remarquons aucune piqûre, ce qui n’exclut pas qu’elles aient pu exister avant le rognage. Le codex est formé de 13 cahiers. Ces cahiers sont tous constitués de folios de papier insérés entre des feuillets de parchemin (au côté poil très visible), à l’exception des cahiers 5–7 et 10 constitués exclusivement de feuillets de papier. La composition des cahiers est ordonnée comme suit: 1 20(ff. 1–20; folios 1, 10, 11 et 20 en parchemin); 2 20 (ff. 21–40; folios 21, 30, 31 et 40 en parchemin); 3 20 (ff. 41–60; folios 41, 50, 51 et 60 en parchemin); 4 10 (ff. 61–70; folios 61, 65, 66 et 70 en parchemin); 512 (ff. 71–82; aucun en parchemin); 6 12 (ff. 83–94; aucun en parchemin); 74 (ff. 95–98; aucun en parchemin); 820 (ff. 99–118; les folios 99, 108, 109 et 118 en parchemin); 9 21 (ff. 119–139; les folios 119, 122, 129, 130 en parchemin et folio 122 = encart, dont il reste une bande de 1 cm, entre ff.136v–137r); 107 (ff.140–147; aucun en parchemin), 1120 (ff. 148–167; les folios 148, 157, 158 et 167 en parchemin); 12 20 (ff. 168–187; les folios 168, 177, 178 et 187 en parchemin); 1316 (ff. 188–203; les folios 188, 189bis, 195, 196 et 203 en parchemin). Espaces blancs/coupures: les folios 71r (à l’exception d’un petit tableau au bas du feuillet), 97v et 98r et 98v et 122v et 147r sont intacts, mais restent foliotés. L’écriture est typique de la fin du XIIIème siècle avec ajouts en cursive gothique. Les lettres sont exclusivement latines, tandis que les chiffres sont tantôt romains tantôt indo-arabes. Les encres noires et brunes forment les seuls éléments «colorés» du texte. Il n’y a pas à proprement parler de décoration, si ce n’est la présence de représentations linéaires et de figures géométriques qui ponctuent les démonstrations transcrites. Ce n’est pas l’œuvre d’un atelier d’écriture. Contenu Plusieurs auteurs sont à l’origine des textes contenus dans ce manuscrit. Tous ces écrits ont en commun le domaine scientifique: tandis que la première et la seconde partie sont formées des traductions latines de textes latins mathématiques arabes (le plus souvent attribuables à GÉRARD DE CRÉMONE), la troisième contient le Liber mahameleth. Page de garde f. 0r = «Volume de 203 feuillets plus le fragment 189 bis. Le feuillet 98 est blanc. 20 mai 1896». Trois parties: La première partie semble la copie du ms latin 9335 (f. 1= 92v; f. 34= 110v; f. 43v= 116v; f. 56v= 125v–126; f. 58= 126v; f. 68= 133v). 1) ff. 1r–33v = «Cum quantitates ad inuicem comparantur – expletus est liber» suivi d’un tableau: il s’agit du De numeris et lineis, un commentaire de Muḥam-

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mad ibn cAbd AL-BĀQĪ sur le livre X des Éléments d’EUCLIDE, traduit par GÉRARD DE CRÉMONE92. 2) ff. 34r–43v = «Liber maumeti filii moisi alchoarisimi de algebra et almuchabla. Hic post laudem dei et ispius exaltationem – et prouenient 440 dragme cuius radix est 9»: il s’agit du livre De Algebra et al muqābala d’ALKHWĀRIZMĪ, traduit par GÉRARD DE CRÉMONE93. 3) ff. 43v–56v = «Liber que continentur mensurationes ab abuchri – Cum aliquis tibi dixerit – expletus est totus liber mensurationis»: il s’agit du Liber mensurationum de Abū BAKR, traduit par GÉRARD DE CRÉMONE94. 4) ff. 56v–57v = «Incipit liber saydi abuothmi. Scias quod scientia figurarum superficialium – contingunt quadrato»: il s’agit du De mensuratione figurarum de Sayd ABUOTHMI95. 5) ff. 57v–58v = «Incipit liber aderameti. Scias quod aree cuiusque quadrati orthogoni – arta illius corporis»: il s’agit du De mensuratione d’Aderameti96. 6) ff. 58v–68r = «Liber augmenti et diminutionis – composuit. In ipso est capitulum de censibus – alius tenebit terciam rem»: il s’agit du Liber augmenti et diminutionis dont l’auteur serait un certain Abraham (?)97. 7) ff. 68r–70v = «Tractatus primus – decimo libri euclidis in elementis. Intentio in tractatu decimo libri Euclidis in radicibus est inquisitio – indubietate platonis»: il s’agit du Commentarius in Euclidis Elementorum librum X soit le commentaire du livre X des Éléments d’EUCLIDE par PAPPUS, probablement traduit par GÉRARD DE CRÉMONE. Ce texte semble avoir été ajouté après coup98. La seconde partie: 8) ff. 71v–93v = «Primum quod necessarium est aspicere – impossibile contingere»: il s’agit de l’Algebra d’Abū KĀMIL (également attribué à Sayd ABUOTHMI)99. ____________________ 92 M.-TH. D’ALVERNY, Translations and Translators (1982), p. 452, note 136 (= traductions par Gérard de Crémone d’opuscules mathématiques). 93 B. HUGHES, The medieval latin translation of Al-Kwarismi’s Al Jabr, in Manuscripta 26 (1982), p. 31; B. HUGHES, Gerard of Cremona’s translation of Al-Khwârizmî’s Al-Jahr: a critical edition, in Mediaeval studies 48 (1986), p. 226; G. LIBRI, Histoire des sciences mathématiques, I (1838), pp. 253–297 (= trad. latine de Al-Khwârismî). 94 M.-TH. D’ALVERNY, Translations and translators (1982), pp. 421–462. 95 H.L.L. BUSARD, Die Vermessungstraktate Liber Saydi Abuothmi und Liber Ademerati (édition d’après ce manuscrit), in Janus 56,3 (1969), p. 165. 96 H.L.L. BUSARD, The second part of chapter 5 of the «De arte mensurandi» by Johannes de Muris, in For Dirk Struik. Scientific, historical and political essays in honor of Dirk Struik (1974), pp. 147–167. 97 P. TANNERY, Sur le «Liber augmenti et diminutionis», compilé par Abraham ?, in Bibliotheca mathematica 3.F. 2 (1901), p. 45. 98 M. CLAGETT, Fragment du commentaire du livre X d’Euclide par Pappus (trad. Gérard de Crémone?), in Isis 44 (1953), p. 29; PAPPUS ALEXANDRINUS LATINUS, Commentaire sur le livre X des Éléments d’Euclide, traduit en latin par Gérard de Crémone (très probablement), in Catal. Transl., II (1971), pp. 211–212. 99 L.C. KARPINSKI, The Algebra of Abu-Kamil, in The American Monthly 21 (1914), pp. 37–48; R. HISSETTE, Guillaume de Luna a-t-il traduit Abû Kâmil?, in Bulletin de Philosophie

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9) ff. 93v–97r = «Incipiamus in inuentione quantitatis corde – 10 dragmis»: il s’agit de la version latine de l’Algèbre d’Abū KĀMIL (troisième partie incomplète): De pentagono et decagono100. Notons au f. 93v: «Dixit Abucamel – Postquam exposuimus quod indiget ex computatione restaurationis et oppositionis…». La troisième partie: 10) ff. 99r–203r = «Omnium que sunt alia sunt ex artificio hominis alia non – cetera huius considera secundum hoc/» = Il s’agit du texte que nous éditons. Le texte du traité d’arithmétique intitulé Liber mahameleth n’est pas complet: si la deuxième partie est presque complète, cela n’est pas le cas de la première partie du traité. De nombreuses allusions à une partie algébrique absente ainsi qu’une structure interne parfois chaotique nous permet de mettre en question une filiation directe avec l’original perdu (?). Histoire du manuscrit L’histoire de ce manuscrit reste fort difficile à démêler. Les seuls éléments dont nous disposons remontent au XVIIème siècle. À l’origine, il se trouvait dans la Bibliothèque de Colbert avec la cote n° 4397, puis il en est question dans le tome IV du catalogue S. Bib. Regius (1744) sous la cote n°6183-5. Ce manuscrit se trouve actuellement à la Bibliothèque Nationale de Paris, avec la cote Paris. Lat. 7377 A. Bibliographie (œuvres générales) Nous avons pu consulter les notices de manuscrits de la B. N. lat. contenant des textes d’arithmétique établis par Guy BEAUJOUAN pour sa thèse d’Ecole des Chartes en 1947. Il s’agit d’un dossier que les responsables du département des manuscrits ont eu la gentillesse de nous prêter. G. BEAUJOUAN, Notices de manuscrits de la B. N. lat. contenant des textes d’arithmétique faits pour sa thèse d’École des Chartes, 1947. M.-TH. D’ALVERNY, Renaissance and Renewal in the 12 century, Cambridge (Mass.), 1982, p. 452.

3.1.2.2 Le manuscrit de Padoue, Biblioteca Capitolare D. 42 [D] Description matérielle Ce manuscrit daterait du XIIIème siècle, mais les notes qui lui ont été ajoutées dateraient du XVème siècle. Dans l’index de Maldura, on date ce manuscrit du XVème siècle, ce qui n’est que partiellement exact. La reliure (230 mm x 345 ____________________ médiévale, (tiré à part); H.L.L. BUSARD, dans son introduction à l’édition du De arte mensurandi de JOHANNES DE MURIS, (tiré à part), 1974, p. 147. 100 R. LORCH, Abû Kâmil on the Pentagon and Decagon (1993), pp. 215–252; J. SESIANO, La version latine de l’Algèbre d’Abū Kāmil, pp. 315–452.

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mm/3 nœuds) est de bois, recouverte d’une peinture rouge qui existait depuis Battisti, soit le XVIIème siècle. Ce manuscrit est fort endommagé. Il y avait un fermoir (trois clous subsistent), mais il a disparu. Lors de la reliure, les feuillets ont été rognés: certains titres de chapitre qui se trouvaient aux extrémités du parchemin (ex. folio 20) n’ont pas survécu à ce dommage. Plusieurs copistes: deux (ou trois) mains, à deux (ou trois) moments différents. Nous pourrions en déduire qu’il s’agit d’une première main pour le texte proprement dit, une seconde pour les tituli et une troisième manifestation plus tardive pour les notes marginales ainsi que le texte du premier folio (f.0 recto et verso). Le manuscrit est composé de 86 feuillets et un feuillet de garde (230 mm x 340 mm) tous en parchemin. La foliotation est présentée sur deux colonnes et recto/verso La linéation (cadre de justification de 230 mm x 345 mm (intervalle de 120 mm entre les deux colonnes)) comporte 48 lignes. Les piqûres qui ont guidé le traçage des lignes horizontales à la mine de plomb ont souvent disparu suite au rognage. Le codex est formé de 12 cahiers. La composition des cahiers est ordonnée comme suit: 12 (ff.0r–0v): 28 (ff.1r–8v); 38 (ff.9r–16v); 48 (ff.17r–24v); 58 (ff.25r– 32v); 68 (ff.33r–39v); 78 (ff.40r–47v); 88 (ff.48r–55v); 96 (ff.56r–62v); 108 (ff.63r–70v); 118 (ff.71r–78v); 128 (ff.79r–86v). Les écritures datent du XIIème siècle ou sont plus tardives. Chiffres romains et indo-arabes sont également présents. Deux encres forment les seuls élements colorés: encre noire (foncée ou claire) et rouge pour les rubriques. Au niveau de la décoration, nous y trouvons des figures géométriques ainsi que le dessin de mains (pour attirer l’attention du lecteur). Il faut signaler l’omission de nombreuses figures comme en témoignent les longs espaces blancs. Contenu Nous trouvons avant notre traité un texte influencé par BOÈCE et dont l’origine est inconnue. 1) ff. 0r–0v = théorie sur les nombres premiers, inspirée de BOÈCE. 2) ff. 1r–86v = «Omnium que sunt, alia sunt – si quis…» = il s’agit de larges extraits des deux parties du Liber mahameleth (précisé dans le titulus), mais avec quelques désordres dans la disposition des chapitres. Incipit Liber mahameleth en tête du folio 1r (autre main que celle du texte semble-t-il). Le traité Liber mahameleth101 est incomplet et très chaotique au niveau de sa structure.

____________________ 101 P. O. KRISTELLER, Latin manuscript books before 1600 (1965), p. 171; F. C. MALDURA (éd.), Index codicum manuscriptorum…, 1830.

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Histoire du manuscrit La Biblioteca Capitolare102 fut fondée au XIIème siècle. Les premiers inventaires parus en 1339, 1350, 1359, 1407 et 1472 ne nous donnent aucune indication sur un quelconque Liber mahameleth 103 . Nous trouvons un premier indice de l’existence de ce manuscrit dans l’inventaire réalisé sous l’égide de PETRUS BAROCCUS (mort en 1507). On peut y lire «n°61 = Liber mahameleth: de numeris, in membraneis: A pena. cfr Cap. Bibl. cod. D. 42»104. Un autre inventaire réalisé sous le chanoine JOHANNES BAPTISTA VERUS en 1678 propose « D. 42: 2– Mahameleth in Aritmetica». Plus tard, un catalogue de la fin du XVIIIè-début du XIXème siècle sine anno place sous le nom «Mahameleth», qu’il croit être un nom d’auteur, un «De aritmetica» ainsi qu’un ouvrage d’anatomie. Une mélecture qui indique chez le cataloguiste une méconnaissance relative au sens du mot «mahameleth». Enfin, dans l’index qu’il fait paraître en 1830, F. MALDURA se montre plus explicite: «D. 42…Mahameleth: De numeris. Opus sic incipit: Omnium que sunt, alia sunt ex artificio hominis, alia non. Folia aliquot extrema desiderantur. Codex s(a)eculi XV membranaceus, duplici columna exaratus». Le dernier inventaire est celui de E. GOVIO en 1978. Il est à peu près certain que c’est PETRUS BAROCCUS (Pietro Barozzi) qui introduisit le texte du Liber mahameleth dans la Biblioteca Capitolare. Il était féru de sciences, et en particulier de sciences mathématiques, ce qui expliquerait la présence d’un tel manuscrit dans une bibliothèque capitulaire. Ce manuscrit se trouve actuellement à la Biblioteca Capitolare de Padoue, avec la cote D.42. Bibliographie (œuvres générales) A. BARZON, Codici miniati Biblioteca Capitolare della cattedrale di Padova, 2 vols, Tipographia Antoniana, Padova, 1950. F. DONDI DALL’OROLOGIO, Dizzertationi sopra l’Istoria Ecclesiastica di Padova, 1807. O. DA VAL, Gli incunabili della Biblioteca Capitolare di Padova, Tesi di laurea presentata all’Universita di Padova, 1948. E. GOVI, Patavinae cathedralis Ecclesia Capitularis Biblioteca, 1958. E. GOVI, La Biblioteca di Jacopo Zeno, in Bollettino dell’Istituto di patologia X (1951), pp.34–118. (320 mss, most of them identified at the Biblioteca Capitolare. Index 112–118). P.O. KRISTELLER, Latin manuscript books before 1600 (1965), p. 171. ____________________ 102 F. DONDI DALL’OROLOGIO, Dizzertationi sopra l’Istoria Ecclesiastica di Padova…, 1807; E. Govi, Iacopo Zeno e la sua biblioteca, 1947–48; E. GOVI, Patavinae cathedralis Ecclesiae Capitularis Biblioteca…, 1978; C. PARET/A. BRUNET/P. TREMBLAY, La Renaissance du XIIème siècle…, 1933, p. 90; L. TOSATO, Origine sviluppo della Biblioteca Capitolare di Padova…, 1948. 103 Lydia TOSATO a fait une étude précise de ces inventaires: voir notice bibliographique. 104 E. GOVI, (Patavinae cathedralis…, 1958) se trompe en parlant du n°60 au lieu du n°61.

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F.C. MALDURA (éd.), Index codicum manuscriptorum qui in Bibliotheca Reverendissimi Capituli Cathedralis Ecclesiae Patavinae asservantur, 1830. Mss. A 1–72; B 1–66; C 1–112; D 1–63. C. PARET/A. BRUNET/P. TREMBLAY, La Renaissance du XIIème siècle: Les écoles et l’enseignement, Paris-Ottava, 1933, p. 90. L. TOSATO, Origine sviluppo della Biblioteca Capitolare di Padova, Tesi di Laurea presentata all’Universita di Padova, 1948.

3.1.2.3 Manuscrit de BNF, Paris. Lat. 15461 [P] Description matérielle Ce manuscrit date de la fin du XIIème–début XIIIème siècle. Il a été écrit en Italie sur un modèle tolédan, comme l’indiquent un comput contenant des tables datées de 1143 à 1159 ainsi qu’un calendrier mentionnant le nom des saints de Tolède (ex. 13 février, transfert des reliques de S. Eugenius). Nous trouvons deux autres dates: «26 janvier 1869» sur le recto de la page de garde, et «1242» sur le verso de ce même feuillet. La reliure (410 mm x 277 mm/6 nœuds) est en cuir brun et daterait du XVIIIème siècle. Sur les revers ont été collées des feuilles de papier déjà utilisées par ailleurs. Ainsi on peut voir distinctement sur le revers de la couverture quelques mots d’un texte latin écrit en caractère gothique. Il n’y avait pas de fermoir. Il semblerait que, hormis la page de garde (trois mains), le manuscrit soit l’œuvre d’un seul copiste. Sur la feuille de garde, nous relevons la signature: G. de F. Dans les marges, nous constatons des annotations qui seraient celles de JEAN 105 DE MURS et celle de la main d’un certain metre qui de neli . Le manuscrit compte 50 feuillets (412 x 274 mm) tous en parchemin. Le côté poil reste apparent (il ne s’agirait pas de velin). Le manuscrit est mutilé à certains endroits: il est coupé au f. 19 et des trous sont apparents aux folios 7, 20, 32, 35 et 45. La foliotation à l’encre brune est placée dans l’angle supérieur droit (recto). La linéation (cadre de justification de 265 mm x 725 mm) est composée de 59 lignes alignées sur deux colonnes. Les piqûres qui ont guidé le traçage des lignes horizontales à la mine de plomb sont visibles dans la marge de droite au recto des feuillets. Le codex est composé de 14 cahiers. La composition des cahiers est ordonnée comme suit: un feuillet de garde suivi de 13 (ff. 1r–3v); 24 (ff. 4r–7v); 34 (ff. 8r– 11v); 48 (ff. 12r–19v); 52 (ff. 20r–21v); 61/71/81 = 3 feuillets séparés (ff. 22r–24v); ____________________ 105 Certaines notes tiendraient de l’essai de plume et pourraient être attribuées à son auteur «metre qui de neli» (fol.35r) que nous ne connaissons pas par ailleurs. D’autres notes ont un caractère scientifique plus sérieux et peuvent être imputables à JEAN DE MURS. Cette dernière attribution est certaine compte tenu de la paléographie et la critique interne. Cfr G. L’HUILLIER, Le Quadripartitum numerorum de Jean de Murs (1990), pp. 45–47.

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92 (ff. 25r–26v); 102 (ff. 25r–26v); 116 (ff. 27r–32v); 126 (ff. 32r–39v); 138 (ff. 40r– 46v); 144 (ff. 47r–50v). Certains espaces blancs sont ménagés au fil du texte. Le texte du manuscrit n’a pas été achevé et le copiste n’a pas eu le temps de terminer sa phrase. L’hypothèse de la perte de cahiers est à exclure car le copiste s’arrête au beau milieu du feuillet. De plus le verso de ce même folio reprend une tabula abbaci qui semble avoir été réalisée par le même copiste. L’écriture est une italienne du XIIème s.: elle présente le même type d’écriture que les manuscrits Vaticanus Rossianus lat. 579 et B.N. lat. 9335106. Pour ce dernier, nous avons pu le vérifier lors de notre passage à Paris. Nous trouvons également des chiffres romains et indo-arabes. Plusieurs encres apportent de la couleur au texte: noire, brune, rouge (incipit), jaune clair (feuillet 20r) et turquoise (feuillet 21v). Les figures sont tracées avec grand soin. Dans le manuscrit, des tableaux (en général pour le calendrier) et des cercles rehaussent la valeur de ce manuscrit. Deux mains ont été dessinées, l’une au folio 34r et la seconde au f.38r. Elles n’ont d’autre but que d’attirer l’attention du lecteur et sont à rapprocher des signes diacritiques. Contenu Comme nous l’avons déjà précisé, nous nous situons à la fin du XIIème siècledébut XIIIème siècle. Ce manuscrit est un témoin intéressant du rôle important joué par des copistes et savants italiens lors de la diffusion de traductions scientifiques. Plusieurs auteurs sont à l’origine des textes contenus dans ce manuscrit. Parmi ceux-ci, il est question d’un Maître Jean dont l’identité a été longtemps controversée. Quant à l’auteur anonyme de l’ouvrage que nous étudions, sa personnalité reste difficile à circonscrire. f. 0r = «Sub n° 981. Volume de 51 feuillets plus un feuillet préliminaire. 26 janvier 1869» f. 0v = «Iste algorismus de practica arismetice. Hic pulcher manuscritus est compotus prosaicus. Et alia practica Arismetice de proporcionibus et minutis est pariensi magnitudine de domo Sorbone in theologia parte studentium ex sexato magistri Gerardi de abbatis uilla precii viginti secundum istam quinque sextam. Inter qua diuinales primus. Cui si quidem detraxtus morte mouiatur in finali.» «1242. Ce beau manuscrit du commencement du 13 siècle a été légué à la maison de Sorbonne par M Geroudi d’abbeville. Il contient I° Le livre de l’alchorisme ou Pratique de l’arithmétique par M. Jean Hispalensis. Fin quisquis. 2° Le calendrier des mois, festes, jours et heures jusqu’à l’année 1266, inclusivement d’un traité par ce calendrier. Finis Claues Terminorum Currunt. 3° Pratique de l’arithmétique = Primus omnium que sunt alia. G. de F. 1784». ____________________ 106 R. HISSETTE, G. de Luna a-t-il traduit Abu Kamil? (tiré à part), pp. 302–317: nous remercions tout particulièrement le Professeur R. HISSETTE pour ses articles qu’il nous a très aimablement transmis et qui nous furent d’un grand secours.

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Ce codex est divisé en trois parties: 1) ff. 1r–14r (14v blanc) = «Incipit prologus in libro alchorismi de pratica arismetice qui editus est a magistro iohanne. Quisquis in quattuor matheseos disciplinis – si uero impar imparem impar exit»: il s’agit du Liber algorismi de JOHANNES HISPALENSIS. L’auteur en serait un maître Jean107. 2) ff. 15r–25r = «Iam primo dies – claues terminorum currunt per 19 annos»: il s’agit d’un calendrier tolédan de 1143 à 1159 qui devait apparaître dans son modèle . 3) ff. 26r–50r = «Omnium que sunt alia sunt que ex artificio hominis, alia non – quanta est eius magnitudo»: le titre de cette partie est omis. 4) f. 50v = Tabula abbaci de opere practico numerorum = il s’agit d’un abaque. Note ajoutée: «Iste liber est collegii parisiensi magnorum studiorum in theologia parte ex leganto magistri Geroudi de abbisuilla»108. Le copiste du Liber mahameleth ne connaissait pas suffisamment son sujet. Nous trouvons plusieurs passages sortis de leur contexte et accolés à un autre passage. Comme nous le verrons plus loin, la première partie du Liber mahameleth est moins complète dans ce manuscrit que dans le manuscrit Paris lat. 7377 A, et seul le début de la seconde partie se trouve repris. Cette partie semble apparentée à celle de Padoue et présente une structure fort incertaine à certains endroits109. Histoire du manuscrit On est en droit de penser que ce manuscrit fut copié en Italie, bien que le modèle soit tolédan. Nous savons qu’il passa entre les mains de GÉRARD D’ABBEVILLE110, qui le légua à la Sorbonne111. Par la suite, RICHARD DE FOURNIVAL dut l’ajouter à ____________________ 107 ALKORISMUS, De practica arismetica, compotus prosaicus, practica arismetica de proportionibus et minutis (= écrit par le même scribe que lat. 9335 acquis par RICHARD DE FOURNIVAL, bien que ne figurant pas dans la Biblionomia), in Revue d’hist. des Textes, III (1973), p. 256 et 2576 n°1; A. ALLARD, Muhammad ibn Musa al Khwarizmi. Le calcul indien (algorismus). Histoire des textes, édition critique, traduction et commentaire des plusnanciennes versions latines remaniées du XIIème siècle, (Collection Sciences dans l’Histoire. Collection d’Etudes Classiques), Paris-Namur, 1992; S.T. LIVESEY/R.H. ROUSE, Nimrod the astronomer, in Traditio 37 (1981), pp. 203–266 (p. 225). 108 R. LEMAY, The Hispanic Origin of our present numeral Forms, in Viator 8 (1977), pp. 435– 462. 109 Nous avons pu consulter les notices de manuscrits de la B. N. lat. contenant des textes d’arithmétique établis par G. BEAUJOUAN pour sa thèse d’Ecole des Chartes en 1947. Cfr L. DELISLE, Inventaire des manuscrits de Saint-Victor (1870), p. 13. 110 Né à Abbeville vers 1220–25, sa carrière fut presque exclusivement universitaire. Il mourut le 8 novembre 1272, léguant par testament un nombre considérable de volumes au nouveau collège de Sorbonne: P. GLORIEUX, Répertoire des maîtres… (1933), pp. 356–360. 111 Dans la plupart des universités médiévales ont été créées des bibliothèques scientifiques grâce aux legs des maîtres ou à des dotations princières. La plus grande et la plus importante en raison de sa croissance rapide fut la Bibliothèque de la Sorbonne, fondée en 1257, qui possédait près de 1017 volumes en 1290: B. BISCHOFF, Paléographie… (1985), p. 247.

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sa célèbre collection112: bien qu’il n’apparaisse pas dans sa Biblionomia, M.-Th. D’ALVERNY a pu y déceler une petite inscription qui apparaît dans les autres manuscrits de FOURNIVAL. Il a reçu la cote n° 881 (f.1r) et par après la cote n° 981 (verso de la page de garde). Il se trouve actuellement à la Bibliothèque Nationale de Paris, avec la cote Paris. Lat. 15461. Nous ajouterons que si ce manuscrit ne contient aucune traduction de GÉRARD 113 DE CRÉMONE, on peut supposer, si l’on en croit M.-Th. D’ALVERNY , qu’il existait un modèle espagnol. En effet, le calendrier (ff. 15r–25r) présente une liste de saints typiques de Tolède. Le manuscrit qui servit de modèle est aujourd’hui perdu. Il fut écrit à Tolède entre 1143 et 1159. Bibliographie (œuvres générales) G. BEAUJOUAN, Notices de manuscrits de la B.N. lat. contenant des textes d’arithmétique faits pour sa thèse d’Ecole des Chartes, 1947. M.-TH. D’ALVERNY, Renaissance and Renewal in the 12 cent., Cambridge (Mass.), 1982, p.459. L. DELISLE, Inventaire des manuscrits de Saint-Victor, Paris, Durand, 1870. L. THORNDIKE/P. KIBRE, Incipits of mediaeval scientific…Further addenda and corrigenda, in Speculum 43 (1968), pp. 78–114 (p.99).

3.1.2.4 Manuscrit BNF, Paris. Lat. 15120 [I] Description matérielle Ce manuscrit daterait du XIIIème siècle, peut-être même de la fin du XIIème siècle. La reliure (145 mm x 200 mm/4 nœuds) est en chagrin rouge au chiffre de Louis Philippe. Nous trouvons en lettres dorées: «Radulfus Laudunensis/ R.F.». Il n’y avait pas de fermoir. Il semblerait que six mains puissent être distinguées (exemple au feuillet 77r). Le manuscrit est composé de 77 feuillets (140 mm x 90 mm) en parchemin (et 4 folios de papier lors de la reliure, deux précédant le fol. 1r et deux suivant le fol. 77r). Il existe une double foliotation (folio de garde paginé, puis devenu folio 0). La foliotation recto est celle de CLAUDE DE GRANDRUE, conforme à la table du folio 77. Nous suivrons la foliotation à l’encre rouge114. ____________________ 112 Pour BIRKENMEYER (Bibliotheca Ryszarda de Fournival, p. 87), ce manuscrit qui provient de GÉRARD D’ABBEVILLE a peut-être appartenu à RICHARD DE FOURNIVAL. Pour plus d’explications, nous renvoyons à R. H. ROUSE, The early Library of the Sorbonne, in Scriptorium 21 (1967), p. 48; R. H. ROUSE, Manuscripts belonging to Richard de Fournival, in Rev. Hist. Textes 3 (1973), pp. 256–257 et 257 (note 1). 113 M.-TH. D’ALVERNY, Translations and Translators (1982), p. 459. 114 La double foliotation se présente comme suit (nous proposons la foliotation à l’encre rouge puis celle à l’encre noire qui lui correspond): ff.0r–46r // f.1r–47r; ff.46v–48v // ff.47v–49v; ff.49r–52v // 58r–61v; ff.53r–54v //78r–79v; ff.55r–56v // 81r–80v (inversé); ff.57r – 74v // ff.82r–99v; ff.75r–77v // néant.

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La linéation (cadre de justification de 550 mm x 94 mm) varie entre 26 ou 27 (variation dès le folio 53r). Les piqûres sont apparentes dans les marges. Le codex est composé de 15 cahiers. La composition des cahiers est ordonnée comme suit: 11 (ff. 0r–0v); 28 (ff. 1r–8v); 38 (ff. 9r–17v); 46 (ff. 18r–23v); 58 (ff. 24r–31v); 61 (ff. 32r–32v); 78 (ff. 33r–40v); 88 (ff. 41r–48v); 94 (ff. 49r–52v); 104 (ff. 53r–56v); 118 (ff. 57r–64v); 124 (ff. 65r–67v); 138 (ff. 68r–75v); 141 (ff. 76r–76v); 151 (ff. 77r–77v). Les ff. 38r–40v ainsi que ff. 46v–48v, f. 52v et ff. 75v–76v sont blancs mais foliotés. L’écriture latine est typique du XIIIème siècle. Nous trouvons des chiffres indo-arabes. L’encre est noire, et seul le blason de St Victor (rouge, doré et bleu) apporte un peu de couleur. Nous ne trouvons aucune figure géométrique. Contenu 1) f. 0r = «Volume de 77 feuillets. Les feuillets 38–40, 47, 48, 76 sont blancs? 26 septembre 1888». 2) ff. 1r–37v = «Incipit liber Radulfi laudunensis de abaco. Adiuuante domino, aliquid in abacum scripturi – semitonium minus»: il s’agit du Liber de abaco (traité de l’abaque) de RADULFUS LAUDUNENSIS, autrement dit RAOUL DE LAON. 3) ff. 41r–46r = «De semitonio. Quoniam et macrobii et platonis auctoritate – per integros explicari»: il s’agit du De semitonio (Traité du demi-ton) de RAOUL 115 DE LAON . 4) ff. 49r–52r = «it tabula ad latitudinem et longitudinem distincta campis – super quartipartiens est qui habet alium totum, et eius quintam partem quater ut LXXXI ad XLV super quinque partiens est»: il s’agit du traité connu sous le nom de «Rythmimachia» (Rithmomachia). Quelquefois attribué à ODO CLUNIA116 CENSIS, imprimé par GERBERT . 5) ff. 53r–67v = «Quod si quis dixerit: duo uni obuia uenientes – »: il s’agit de problèmes mathématiques qui seraient tirés du Liber augmenti et diminutionis de ABRAHAM JUDEI. Nous y trouvons une quarantaine de problèmes extraits du Liber mahameleth aux ff. 53r–67v117. 6) ff. 68r–74v = «Circa hunc librum quatuor sunt inquirenda – qui modus operandi equipollet ei qui docet incipere a loco millenarii»: il s’agit d’un Algorismus118. ____________________ 115 P. GLORIEUX, La Faculté des arts et ses maîtres au XIIIème siècle (1971), p. 463 (Etudes de Philosophie médiévale LIX); A. M. PEDEN, De Semitonio. Some medieval Exercises in Arithmetic, in Studi medievali XXXV,1 (1994), pp. 367–403. 116 A. BORST, Die mittelaterliche Zahlenkampfspiel, 1986. 117 Nous avons pu consulter les notices de manuscrits de la B. N. lat. contenant des textes d’arithmétique établis par G. BEAUJOUAN pour sa thèse d’Ecole des Chartes en 1947; D. CALVOT/G.OUY, L’œuvre de Gerson à Saint-Victor de Paris, Catalogue des manuscrits (1990), p. 20 (note 38); G. OUY (éd.), Le catalogue de St Victor de Cl. de Grandrue, Paris, 1983. 118 A. ALLARD, Muhammad ibn Musa…, 1992.

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7) f. 75r = copie d’un acte en faveur de l’abbaye passé devant le notaire Nivelle (écriture du XIVème siècle). 8) f. 77r = «Iste liber est sancti Victoris parisiensis. Quicumque eum furatus fuerit uel celauerit uel titulum istum deleuerit anathema sit. Que secuntur hic habent scilicet Radulphi Laudunen(sis) de abaco 2 de semytonio 42. Glose super tabulam compoti, 50. Quedam alia 58. Puluis mathematici 62. Quedam de algorismo 93. A «porrigit ipsa» et B «proposito contenti», C 99 et usque 101».

Histoire du manuscrit L’histoire de ce manuscrit semble très mouvementée. Il se serait trouvé à l’abbaye de Saint-Victor119. Ce recueil de mathématiques et de comput porte la signature de ADAM DE BODEIBOSC (†1418) (f.92v) et il aurait appartenu à SIMON DE PLUME120 TOT . Nous avons trouvé de nombreuses cotes, suivant les époques: FFF.28 (cote de CLAUDE DE GRANDRUE datant de 1514); 1159 (numéro ajouté vers 1620, sans doute par Etienne REGNARD, dans les marges du catalogue); Db 32 (cote d’EUSTACHE DE BLÉMUR datant de ± 1660); 299 (cote de VYON D’HÉROUVAL datant de ± 1690); 758 (cote soulignée datant de ±1750); 534 (cote du «fonds de Saint-Victor» attribuée aux manuscrits passés à la Bibliothèque Nationale en 1796). Il se trouve actuellement à la Bibliothèque Nationale de Paris, avec la cote Paris. Lat. 15120. Bibliographie (œuvres générales) D. CALVOT/G. OUY, L’œuvre de Gerson à Saint-Victor de Paris. Catalogue des manuscrits, Paris, 1990, p. 20 (note 38). L. DELISLE, Inventaire des manuscrits latins conservés à la Bibliothèque Nationale sous les numéros 8823–18613, Paris, 1863–1871. G. OUY (éd.), Le catalogue de St Victor de Claude de Grandrue, Paris, 1983. J. SESIANO, Un recueil du XIIIème siècle de problèmes mathématiques, in Sciamus 1 (2000), pp. 71–132.

____________________ 119 C’est vers le début du XIIème siècle qu’émergèrent, dans les milieux scolaires français, des écoles cathédrales dont l’éclat précipita le déclin des écoles monastiques. C’est ainsi que l’école de Saint-Victor connaîtra une double orientation, étant à la fois école et abbaye, vers 1112. Elle possédait près de trois cents manuscrits à la fin du XIIème siècle. Nous renvoyons à L’abbaye parisienne de Saint-Victor au Moyen Âge, in Bibliotheca Victorina, Paris-Turnhout, 1991. 120 G. OUY, Annuaire de l’Ecole des Hautes-Etudes (1965–1966), p. 259.

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3.1.3 Première analyse La méthode des critères extérieurs à laquelle nous venons de procéder 121 nous permet déjà d’établir un certain ordre au niveau des familles de manuscrits et de leur agencement. L’ancienneté des manuscrits et la proximité dans le temps de la plupart d’entre eux devraient nous permettre de dégager, de l’étude patiente des particularités des témoins, la preuve incontestable de la valeur particulière du manuscrit BNF, Paris. lat.7377A [A]. Il s’agissait d’abord de relever dans une collation aussi précise que possible toutes les particularités qualifiées d’accidents, offertes dans les manuscrits D, P et I par rapport au texte de base A choisi pour sa cohérence et son contenu, comme nous nous en expliquerons plus loin. Après la collation des manuscrits, il fallait établir le classement des manuscrits et déterminer quelles étaient les éventuelles familles. Il importe bien sûr de poursuivre cette recherche en mettant en lumière, outre les critères extérieurs à exploiter, d’autres critères, internes cette fois. Le premier résultat de nos analyses est qu’aucun texte en notre possession n’est «mort», mais plusieurs auteurs (par exemple JEAN DE MURS), des possesseurs de manuscrits sinon des copistes, se sont efforcés d’y apporter des corrections et d’en modifier la teneur. À plusieurs reprises, les textes analysés prennent l’aspect de versions successives plus ou moins remaniées122.

____________________ 121 Pour les critères extérieurs, le procédé de classement reste l’histoire du manuscrit, procédé sur lequel nous venons de nous pencher, reste à exploiter l’examen minutieux des omissions, fautes et accidents communs, additions et interpolations ainsi que des variantes communes. La division du texte jouera aussi un très grand rôle dans notre appréciation compte tenu des structures logiques particulières à chaque manuscrit. 122 Pour souligner cette réalité, nous avons adopté le principe d’édition en colonnes qui permettent, mieux qu’un apparat critique surchargé, de situer les manuscrits en présence et de mieux connaître l’état exact des textes.

Étude critique de la tradition

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49

ÉTUDE CRITIQUE DE LA TRADITION

3.2.1 Méthode d’édition et critique textuelle proprement dite (ou emendatio) Le but de cette édition est d’établir le texte critique de la version originale et complète. Or, celle-ci nous est inconnue. Le texte de base que nous avons choisi est le manuscrit lat.7377A (sigle A). Ceci a été réalisé sur base d’une méthode personnelle, en tenant compte des différentes formes d’altération du texte. Le choix des variantes s’est appuyé non sur la lectio antiquior potior, mais sur la lectio melioris codicis potior ainsi que la lectio codicis longioris. Le choix d’une méthode d’édition reste difficile, car aucun mode d’exploitation des sources manuscrites n’a permis à ce jour de fixer une méthode infaillible123. Face aux diverses méthodes connues, nous pensons à la méthode dite «des fautes communes» de LACHMANN, reprise et précisée par Jean-Nicolas MADVIG, ou celle des variantes communes, mieux connue sous le nom de méthode statistique de Dom QUENTIN, nous nous proposons d’en modeler une en nous inspirant de ces modèles. Nous traiterons des omissions, fautes et accidents communs, additions et interpolations, variantes communes, inversions, graphies et scolies. Afin d’éviter une liste trop longue, nous exploiterons quelques exemples, puis nous recenserons tous les exemples dans des tableaux. Nous parlerons seulement du manuscrit I (Paris. lat. 15120) dans les premières conclusions, étant donné qu’il s’agit d’un témoin indirect.

3.2.1.1 Les omissions Compte tenu de leur grand nombre, nous n’avons repris que les omissions importantes (d’une phrase minimum), que l’on appelle aussi traditionnellement lacunes (omissions de plus de trois mots). Il reste encore difficile de se prononcer sur la présence ou non de certains chapitres ou passages dans le modèle de nos manuscrits. En effet, nous ne pouvons parler d’omission véritable que lorsqu’un maillon important manque dans la structure du texte et que ce dernier est clairement défini. Nous avons également repris dans la liste des omissions celles qui pourraient être considérées comme des additions. Toutefois, la question reste parfois difficile à trancher et nous l’avons précisé pour les passages où un doute subsiste. Pour de nombreux passages, les témoins présentent certaines omissions communes qui trahissent leur dépendance vis-à-vis d’un ancêtre commun.

____________________ 123 H. FUHRMANN nous propose une mise au point intéressante dans son article Réflexions d’un éditeur, in J. HAMESSE (éd.), Les problèmes posés par l’édition critique… (1992), pp. 329– 359.

50

Histoire du texte

A. Les omissions communes aux trois manuscrits À partir de ces omissions, nous pouvons déjà souligner que le modèle unique perdu (?) a sans doute été mutilé par la perte de folios. L’attestent les nombreuses allusions au chapitre sur l’Algèbre (différent de l’Algèbre d’Abū KĀMIL) qui devait figurer à la fin de la première partie du traité, à la suite du chapitre sur les racines (page 269 de l’édition). Nous ajouterons qu’il y a d’autres omissions communes aux trois manuscrits, comme par exemple: a) «De minuendis iteratis – nouem in se» (éd., p. 56, l. 2–p. 57, l. 7a): il s’agit d’une digression sur la soustraction des mille répétés entre eux. À la fin de ce chapitre, on attend une suite étant donné qu’un exemple est commencé, mais non résolu. Seuls D et P ajoutent le résultat (cfr éd., p. 57, apparat 4). b) «– que sunt huiusmodi scilicet» (éd., p. 108, l. 7): le texte est interrompu dans les trois manuscrits: une suite devait figurer dans le texte original puisque l’auteur s’engage à expliquer ce qu’il affirme. B. Les omissions propres au manuscrit A contre D et P Parmi les exemples nombreux que nous proposons dans le tableau ci-dessous, nous en analyserons deux: a) «Significatio autem – in sequentibus assignabimus» (éd., p. 11, l. 12–p. 12, l. 10): nous trouvons ici la suite de la numération écrite commencée p. 11, l. 1 de l’édition avec le seul témoin P. [n°1] b) «ad uiginti octo – de eodem hec est» (éd., p. 76, l. 19–p. 77, l. 22): il s’agit clairement ici d’une omission de A, et non d’une addition des témoins D et P. Ce passage consacré à la multiplication d’une fraction par un nombre entier exploite une autre règle («Item alia regula de eodem») et s’arrête plus particulièrement sur la preuve. Le témoin A ne va pas au bout de la preuve et l’interrompt au début («Nam comparatio trium quartarum septime de uiginti octo/»). [n°4] N° 1 2 3

Références p.11, l.12– p.12, l.10 p.38, l.20– p.39, l.15 p.48, l.6–19

p.76, l.19– p.77, l.22 5 p.81, l.2–9/10 p.133, 6 l.22–26/27 4

A ø ø ø ø ø ø

D et P «Significatio autem – in sequentibus assignabimus». «De cognoscendo quilibet – et considera». «Capitulum de scientia – ut predictum est». «ad uiginti octo – de eodem hec est». «Si autem uolueris – exibit quod queris». «Vel aliter secundum ordinem – quod scire uoluisti».

Édition (police spéciale et texte en retrait) idem D/P idem D/P idem D/P idem D/P idem D/P idem D/P

51

Étude critique de la tradition

N°

Références

p.136, l.25–30 p.141, l.23– 8 p.142, l.10 p.143,l.10– 9 p.144,l.30 10 p.147,l.10–20 7

A

D et P

Édition (police spéciale et texte en retrait)

ø

«Vel aliter – exibit quod queritur».

idem D/P

ø

«Si uolueris diuidere – scilicet duo et due quinte».

idem D/P

ø

«Quisquis diuidit – dicitur denominatio»

idem D/P

ø

«Vel si e conuerso – quam scire uoluisti» idem D/P «Cum uolueris diuidere –considera idem D/P secundum hoc» «Capitulum de diuidendo – productum est idem D/P quod queris» idem A: le texte de D et P est repris dans l’apparat car il est «Si quis uero – quod queris» mal placé et devrait plutôt suivre la page 305 idem A: le texte de D et P est «Item si quis querat – maintenu dans l’apparat precedentes» (addition?)

11 p.150,l.20–28

ø

12 p.153,l.2–17

ø

13

p.187, apparat 11

ø

14

p.189, apparat 3

ø

C. Les omissions propres au manuscrit D contre A et P Nous pouvons déjà souligner que le témoin D omet récurremment les têtes de chapitre. Il est clair qu’il s’agit dans ce cas d’omissions. Nous avons retenu comme omission importante celle concernant une méthode qu’omet de reprendre le manuscrit: «Vel aliter – ex premissis» (édition p. 76, l. 9– 11). D. Les omissions propres au manuscrit P contre A et D Parmi les exemples nombreux que nous proposons dans le tableau ci-dessous, nous en analyserons trois: a) «Capitulum de eodem – numerus quem queris» (éd., p. 123, l. 4–p. 126, l. 27): s’agit-il d’une omission de P ou peut-on parler ici d’une glose additionnée au texte? Rien n’est moins sûr, car l’auteur a pris l’habitude des digressions, et il se pourrait qu’il juge important de proposer les formules de sommation qu’il exploitera ultérieurement. Nous privilégions l’omission chez P. [n°17] b) «Prima species – et lucrum 50» (éd., p. 221, l. 15–p. 222, l. 15): l’omission chez P est évidente, puisqu’il ne parle pas de la première espèce, et bien des suivantes. [n°25] c) Le témoin P omet tous les chapitres qui suivent (éd., pp. 269–429): problèmes de cuisson du moût, de remboursement d’un emprunt, d’engagement de

52

Histoire du texte

personnes, d’engagement de porteurs, d’engagement d’ouvriers, de dépenses d’huile de lampes, de consommation de nourriture par des animaux, de consommation de pains par des hommes, de changes de monnaie, de problèmes de bassins, d’application du théorème de Pythagore, de fagots, de mouvement. Il omet également la digression sur la division des proportions à la fin du traité. [n°32] N°

Références

P

15

p.94, l.3–24

ø

16

p.110, l.2–16

ø

17

p.123, l.4–p.126, l.27 ø

18

p.145, l.19–p.146, l.3 ø

19

p.156, l.11–p.159, l.40/41

ø

20

p.160, l.2–23

ø

21 22 23 24 25 26 27 28 29

p.198, l.24–p.211, l.6 ø (exc. p.328) p.213, l.21–p.214, ø l.21/22 p.217, l.13–23 p.218, l.34–p.219, l.8/9 p.221, l.15–p.222, l.15 p.223, l.11–p.224, l.29 p.225, l.28–p.226, l.27 p.227, l.15–p.228, l.24 p.248, l.21–31/32

30

p.249, l.25–p.252, l.41

31

pp.253, l.17–268

32

pp.269–430

ø ø ø

D et P «Quotiens ex multiplicatione – considera secundum hoc» «Si uolueris multiplicare tres – hec est quod uoluisti» «Capitulum de eodem – numerus quem queris» «Si uolueris denominare – per fractionem» «Item regule de – septigenti et uiginti unum» «Capitulum de inuencione radicum – Verbi gratia» «Si quis querat – proueniet quod uoluisti» «Si quis querat – de unoquoque sextario» «Cuius probatio – demonstrare uoluimus» «Probatio autem eius – demonstrare uoluimus» «Prima species – et lucrum 50»

ø «Hic capitale scitur – et duabus terciis» ø ø ø

«Hic capitale scitur – radix de 10» «Hic capitale scitur – per istas probatur» «Sic facies – sicut predictum est»

Édition idem A/D idem A/D idem A/D idem A/D idem A/D idem A/D idem A/D idem A/D idem A/D idem A/D idem A/D idem A/D idem A/D idem A/D idem A/D

«Si quis querat – exibit quod idem A/D uolueris» Dans les problèmes de morcellement, idem A/D: tous ø le témoin P omet le chapitre sur les les chapitres sont toiles de lin ainsi que celui sur le maintenus t idem A/D: tous Le témoin P omet toute la suite du ø les chapitres sont texte maintenus ø

Étude critique de la tradition

53

D. Les omissions propres aux manuscrit D et P contre A Parmi les exemples nombreux que nous proposons dans le tableau ci-dessous, nous en analyserons trois: a) «Capitulum de – maiorem euidentiam» (éd., p. 69, l.1–p. 73, l.12): dans une note ajoutée sous le texte (dans la manuscrit A), on lit: «non istud capitulum», ce qui nous permet d’affirmer que selon un copiste (ou lecteur?), ce chapitre ne devait pas être repris. On peut se perdre en conjectures sur les raisons de cette note: s’agit-il d’un passage n’apparaissant pas dans l’original? Était-il considéré comme sans intérêt? etc. Nous le maintenons néanmoins dans le texte. [n°33] b) «Primus uero – exibit quod uolueris» (éd., p. 262, l. 25–36): ce passage concerne la première manière pour les problèmes de mouture, et il est clair qu’il s’agit ici d’une omission chez D qui mentionne bien la seconde manière. [n°48] c) «Si quis querat – et remanebunt 6» (éd., p. 405, l.11–p. 407, l. 6): nous nous trouvons dans les problèmes d’échelle: il s’agit d’une réelle omission chez D, puisqu’il continuera l’explication (cfr éd., p. 407, l. 8). [n°72] N° 33

Références p.69, l.1–p. 73, l.12

D et P ø

34

p.160, l.2–10

ø

35

p.160, l.25–p.180, l.11 (figures)

ø

36

p.198, l.4–9

ø

37

p.215, l.2–33/34

ø

38

p.231, l.19–35

ø

39

p.235, l.29–38

ø

A «Capitulum de – maiorem euidentiam» «Capitulum de inuencione – nisi in decimo»

Édition idem A

«Si uolueris inuenire – figurae»

idem A

«Cum 6 sextarii dentur – hic est pretium rei» «Cum de una annona – sextariorum et quarte» «Item de lucris – tot fuerunt sextarii»

idem A

idem A idem A idem A

40 p.237, l.34–p.238, l.32

ø

41 p.240, l.27–p.242, l.11 p.244, l.27–p.246, 42 l.33/34 p.248, l.2–15 43

ø ø

44

p.249, l.2–23

ø

45

p.253, l.2–15

ø

«Cum aliquis – quod uoluisti» «Si quis autem dicat – fortasse inuenet eam» «Si quis querat – 100 erit 20» «Cum sit una massa – demonstrare uoluimus» «Si quis dicat – quod uoluisti» «Si de cortina ignote – est longitudo eius» «Si quis querat – demonstrare uoluimus»

46

p.253, l.31–p.254, l.4

ø

«Si de linteo – scilicet tres octaua eius»

idem A

47

p.258, l.7–p.259, l.41

ø

«Si quis querat – ex premissis»

idem A

48

p.262, l.25–36

ø

«Primus uero – exibit quod uolueris»

idem A

49

p.263, l.6–12/13

ø

«Sic facies – exibit quod uolueris»

idem A

ø

idem A idem A idem A idem A idem A idem A idem A

54

Histoire du texte

N°

Références

D et P

50

p.264, l.2–p.265, l.5

ø

51

p.271, l.2–p.272, l.33

ø

«Cum pro unoquoque – hoc est quod uoluisti» «Si uolueris coquere – que est 2 et 2/3»

52

p.274, l.13–p.275, l.2

ø

«Vel aliter – demonstrare uoluimus»

idem A

53 p.275, l.25–p.276, l.26

ø

«Si uolueris coquere – ad 2 et dimidiam»

idem A

ø

«Si quis querat – 2 et dimidium

54

p.293, l.2–7

A

Édition idem A idem A

idem D/P: Il s’agit ici d’une glose de A et nous la plaçons dans l’apparat.

55 p.295, l.17–p.296, l.16

ø

56 p.298, l.18–p.299, l.20

ø

«Si quis querat – quod demonstrare uoluimus» «Si quis querat – plures diebus mensis»

57

ø

«Si autem quis querat – inuenies ita esse»

idem A

58 p.310, l.2–p.312, l.37/38

ø

«Item de eodem – exibit quod uoluisti»

idem A

59 p.314, l.24–p.316, l.13

ø

60

p.324, l.9–35

ø

61

p.325, l.10–p.326, l.9

ø

62

p.327, l.32–p.329, l.2

ø

63

p.337, l.30–p.338, l.9

ø

64

p.367, l.2–p.368, l.2

ø

«Item aliud exemplum – patet ex premissis» «Cum aliquis conducitur – radicem que est 8» «Si quis querat – qui est 18 et 3/4»

65

p.370, l.21–32

ø

«Si quis querat – et ita inuenies»

idem A

66

p. 375, l.2–376, l.20

ø

«Vel aliter. Conuerte – et ita inuenies»

idem A

67

p.379, l.6– p.380, l.5

ø

«Si quis querat – demonstrare uoluimus»

idem A

68 p.382, l.22–p.388, l.24

ø

«Si autem diceretur – in aliquo»

idem A

69

ø

«Si quis querat – facile intelliges»

idem A

70 p.393, l.24–p.395, l.31

ø

«Item de eodem – ex premissis»

idem A

71 p.400, l.20a–p.401, l.29

ø

72 p.405, l.11–p. 407, l. 6

ø

«Cum in una cisterna – exibit quod uoluisti» «Si quis querat – et remanebunt 6»

73

p.416, l.22–p.417, l.7

ø

«Cum una arbor – arbor in altum»

idem A

74

p.423, l.13–p.427, l.28 (p.429, l.13)

ø

«Cum unus nuntius – alie questiones»

idem A

p.304, l.23–p.305, l.4

p.390, l.6–p.392, l.3

«Si quis querat – quod demonstrare uoluimus» «Et prius ad sciendum – maior siue minor» «Si quis querat – demonstrare uoluimus»

idem A idem A

idem A idem A idem A idem A idem A idem A

idem A idem A

55

Étude critique de la tradition

E. Les omissions propres aux manuscrit A et P contre D Nous analyserons deux exemples intéressants: a) «Si uolueris tres quartas – scire uoluisti» (éd., p. 110, l. 18–p. 111, l.21): ce passage qui concerne la multiplication de fractions avec soustraction pourrait être considéré comme une glose étant donné qu’il n’apparaît que dans D seul. Mais comme il s’agit d’un élément qui n’a pas encore été mentionné par ailleurs et qu’il suit la logique du développement mathématique, nous avons préféré le maintenir dans le texte et non dans l’apparat. [n°75] b) «Quod monstrabitur – completur morabitinus» (éd., p. 381, l. 1–p. 383, l. 20): D ajoute une explication figurative au moyen d’une figure géométrique, puis propose un autre exemple identique (10bis) que l’on ne trouve pas chez A (et P). [n°88]

N°

Références

A et P

D

Édition (avec police spéciale D et retrait)

75

p.110, l. 18–p. 111, l.21

ø

«Si uolueris tres quartas – scire uoluisti»

idem D

76

p.146, l.5–13

ø

«Si uolueris diuidere – tribus quartis

idem D

77

p.214, apparat 6

ø

«Si quis querat – eodem precio conductis

idem A/P: élément superflu chez D et repris uniquement dans l’apparat

78 p.220, l.32–p.221, l.13

ø

«Possunt etiam – ex quantum habebo»

idem D

79 p.287, l.23–p.288, l.27

ø

«Item de eodem – subiecta figura declarat»

idem D

80

p.294, l.10– p.295, l.14/15

ø

«Item de eodem – quod est triginta quinque

idem D

81

p.320, l.2–p.321, l.8

ø

«Protraham de – quod monstrare uoluimus»

idem D

idem A/P: élément superflu «est precium maioris chez D et repris uniquement – precium primi» dans l’apparat

82

p. 322, apparat 7

ø

83

p.350, l.11–25

ø

«Cuius probatio – multiplicare in sexdecim»

idem D

84 p.356, l.9–p.361, l.26

ø

«Numerum a quo denominatur – quod uoluisti»

idem D

85

ø

«Comedit enim quintam – quod illis remanet»

idem D

p.366, l.23–35

56

Histoire du texte

N°

Références

A et P

86

p.374, apparat 1

ø

87

p.379, apparat 3

ø

88 p.381, l.1–p.382, l.20

ø

Édition (police spéciale et retrait) idem A/P: élément «alium numerum – per superflu chez D et repris uniquement dans decem» l’apparat «Item de eodem – idem A/P: addition de D (suite cum p.14) dont la fin est tronquée et multipl» que nous plaçons dans l’apparat «Quod monstrabitur – idem D completur morabitinus» D

Nous devrions également ajouter l’omission chez A et P de ce que nous propose le manuscrit de Padoue (ff. 0r–0v), mais il s’agit clairement d’additions plus tardives. F. Les omissions propres aux manuscrit A et D contre P Nous en décelons deux importantes: a) «Compositi uero – precedentis uno» (éd., p. 11, l.2–10): après la numération parlée, P commence à développer un sujet que reprendra plus loin le manuscrit D, soit la numération écrite. b) «Similiter de omni – cetera considera» (éd., p. 37, l. 27–p. 38, l. 4): il s’agit probablement d’une glose sur la note inconnue et le nombre connu, car P l’ajoute dans la marge de gauche. Comme première conclusion, nous pouvons déjà dire qu’il est exclu qu’un manuscrit soit la copie d’un autre. Par conséquent, c’est indépendamment les uns des autres qu’ils se rattacheraient à un modèle commun. Ils présentent respectivement certaines leçons qui ne dérivent pas l’une de l’autre, par exemple dans des passages où l’on trouve un seul témoin en présence. Ces passages sont fort nombreux, comme l’atteste la structure logique différente de chacun des manuscrits. En effet, lors des collations nous avons pu constater que les chapitres ou parties de chapitres n’étaient pas tous placés aux mêmes endroits dans les manuscrits qui nous sont connus et aucun ne présentait, seulement du point de vue de la structure du contenu, un texte identique à un autre. Le texte du témoin A reste le plus cohérent. Nous avons réalisé l’étude de la suite logique des trois témoins (A, D et P) pour constater que chaque manuscrit suit le plus souvent sa logique propre. Soulignons toutefois que les manuscrits D et P présentent des similitudes à ne pas négliger. La structure du texte est la même dans les trois manuscrits de la tradition directe jusqu’à la page 32, l. 2 de l’édition, ensuite, il n’en va plus de même. Nous proposons aux pages 77–80 du commentaire une annexe (n°2) où la place de chaque partie est établie en fonction du manuscrit.

57

Étude critique de la tradition

3.2.1.2 Les fautes communes On relève également des fautes communes à chacun des témoins connus. Par faute nous entendons toute forme grammaticalement incorrecte ou mal orthographiée. Nous n’avons pas corrigé le texte lui-même (A est toujours suivi), mais nous avons proposé nos corrections dans l’apparat critique. A. L’existence d’un modèle commun entre A, D et P est présupposée par une série de fautes communes aux trois manuscrits. Deux suppositions permettraient d’expliquer ce phénomène: a) En plus d’un exemplaire proche de son archétype (a), le manuscrit A aurait en outre utilisé l’exemplaire ascendant de D et P (b). Cette hypothèse repose sur la préférence que A manifeste pour le modèle a lors de ses corrections; b) L’archétype présente déjà ces erreurs et les copistes n’ont pas jugé bon de les modifier, ou ne les ont pas reconnues. Ces fautes sont essentiellement des erreurs de calcul et quelques rares erreurs de transcription. Les fautes importantes impliquent une erreur dans la démonstration. Ainsi pour les erreurs de calcul, nous avons par exemple comme fautes communes aux trois manuscrits: a) «tercia undecime unius octaue» (éd., p. 88, apparat 6): nous avons corrigé ce texte présent chez A D P en «una undecima octaue et due tercie unius undecime unius octaue». [n°6] b) «Tunc restaura – introducendo sufficiant» (éd., p. 199, l. 17–24): on y décèle des erreurs de calcul chez A D P. [n°23]

N° 1 2 3 4 5 6

Références

duodecies A D P quadrigenta A: quadragenta D: p.50, apparat 4 quadraginta P p.55, apparat 9, 11 et 12 quater A D P p.83, apparat 21 de quinquaginta quinque A D P p.86, apparat 4 octaua A D P p.42, apparat 1

p.88, apparat 6

p.96, apparat 13 et p. 97 apparat 4 8 p.104, apparat 5 9 p.108, apparat 10 et 17 7

A, D et P

tercia undecime unius octaue ADP

Édition (A toujours suivi) Corrections dans l’apparat: undecies quadringenta quinquies undecime due octaue una undecima octaue et due tercie unius undecime unius octaue

632 A D P

672

1087 A D P 160 A D P

1088 1600

58

Histoire du texte

N°

Références

10

p.109, apparat 8

11

p.109, apparat 14

12 13 14 15 16 17

19 20 21 22

p.112, apparat 3 p.115, apparat 10 p.119, apparat 6 p.131, apparat 13 p.135, apparat 5 p.146, apparat 8 p.147, apparat 10 et p.148, apparat 1 p.152, apparat 16 p.153, apparat 9 et 12 p.189, apparat 2 p.190, apparat 11

23

p.199, l.17–24

24

p.211, apparat 10

18

Édition (A toujours suivi) Corrections dans l’apparat: nouem

A, D et P

sex A D P et decima agreges decimam de agreges decimam et tres sex et nona et tres quartas de sex quartas de nouem ADP 81 A P: 47 D 180 930 A D P 990 triginta A D P nonaginta sexaginta A D P septuaginta septuaginta A D P sexaginta quinte A D P octaue sexaginta quatuor A D P

nonaginta sex

octaue A D P duas tercias A D P tercia A D P quinque A D P «Tunc restaura – introducendo sufficiant» A D P et due tercie A D P

septime terciam due tercie tres nous maintenons de texte de A D P tercia

B. Parmi les fautes de calcul propres à deux manuscrits, nous avons: a) «octo» (éd., p. 244, apparat 2, 3 et 8/ A D P): nous avons apporté la correction attendue: «septem». [n°27] b) «2600» (éd., p. 334, apparat 3/ A D): nous avons corrigé en «2700». [n°33]

N°

Références

25 p.79, apparat 16 26 27 28 29 30 31 32

p.81, apparat 2 p.244, apparat 2, 3 et 8 p.269, apparat 9 p.286, apparat 1 p.293, apparat 5 p.301, apparat 1 p.301, apparat 2

A quinta ø

Édition D P (A toujours suivi) Corrections dans l’apparat: quinta ø due quinte tres et octo tres et octo tredecim et octo undecime undecime undecim et quinte undecime

octo

octo

octo

septem

4 400 12 primi 3

4 400 12 primi 3

ø ø ø ø ø

2 et dimidium 40 res minus 10 nummis tercii 2

59

Étude critique de la tradition

N°

Références

A

D

P

33 34 35 36

p.334, apparat 1 p.335, apparat 2 p.348, apparat 12 p.355, apparat 1

2600 50 quarta 990

2600 50 quarta 990

ø ø ø ø

Édition (A toujours suivi) Corrections dans l’apparat: 2700 500 tercia 960

C. Quant aux fautes de calcul propres à chaque manuscrit, elles sont bien sûr au rendez-vous. En même temps que des corrections, le manuscrit A, par exemple, véhicule aussi des imperfections. D’aucunes sont sans doute dues à une erreur de transcription du copiste, d’autres proviendraient des défauts de son modèle124: a) «Quorum dimidium – fac ut supradocuimus» (éd., p. 139, l. 15a–26a): il s’agit d’une erreur de A qui reprend un passage précédent. [n°39] b) «Sic facies – in terram» (éd., p. 416, l. 24–p. 417, l. 2): il s’agit d’une démonstration où le copiste de A a maintenu deux erreurs, ainsi à la page 417, ligne 1 où l’on trouve «54», on attendrait «54 et dimidium», et par voie de conséquence, à la même ligne où l’on a «54 et dimidium», on attendrait «55». Nous n’avons pas apporté la correction dans le texte, étant donné qu’il s’agirait probablement d’une faute de l’auteur. [n°54 et n°55]

N°

Références

A

XL ø «Quorum 39 p.139, l. 15a–26a dimidium – fac ut supradocuimus» octauam et 40 p.161, apparat 3 octauam octaue 41 p.173, apparat 4 quadraginta 42 p.177, apparat 3 duo 43 p.177, apparat 4 decem 44 p.242, apparat 2 120 45 p.244, apparat 18 100 46 p.245, apparat 3 10 47 p.246, apparat 3 180 37 p.70, apparat 3 38 p.111, apparat 2

D ø sexte

Édition (A toujours suivi) Corrections dans l’apparat: ø XXXII ø septime

P

ø (autre texte //)

ø

ø

ø octauam et octauam octaue

ø ø ø ø ø ø ø

ø ø ø ø ø ø ø

quinquaginta radicem duorum quinque 180 1000 100 1080

____________________ 124 Pourrait-on supposer l’existence de deux modèles remontant à l’archétype? Nous savons que: 1° Le modèle le plus complet de A n’a aucun ascendant connu à ce jour; 2° D et P complètent parfois A, et le modèle auquel ils ont empruntés ces passages perdus est le plus proche de leur commun archétype (cfr stemma expliqué à la page 70 du commentaire).

60

N° 48 49 50 51 52 53 54 55

Histoire du texte

A

D

P

Édition (A toujours suivi) Corrections dans l’apparat:

quinta

ø

ø

octaua

quarta 40 21 ø none 54 54 et dimidium

ø ø ø quadraginta ø ø ø

ø ø ø ø ø ø ø

quinta 50 10 quadringenti quinte 54 54 et dimidium

Références p.254, apparat 1 et 2 p.276, apparat 2 p.298, apparat 4 p.299, apparat 2 p.358, apparat 1 p.391, apparat 3 p.416, l.27 p.417, l.1/2

D. À côté de ces erreurs de calcul, nous avons d’autres accidents dans les démonstrations, lorsqu’il est question des figures et des lettres qui s’y rapportent. À ce propos, il est étonnant de constater le peu d’erreurs commises dans les manuscrits. Ainsi, par exemple, nous trouvons la même erreur à la page 379, l. 31/32 et à la page 380, l. 4 de l'édition: alors que ag est attendu, nous trouvons chez A ad (omission chez D et P). [n°62]

N°

Références

A

D

P

56 57 58

p.30, apparat 7 p.169, apparat 3 p.306, apparat 1

ab z ab

ab ø ab

ab ø ø

Édition (A toujours suivi) Corrections dans l’apparat: ad t gh

59 60 61

d b ag

d b ag

ø ø ø

b h ab

ad

ø

ø

ag

63

p.377, apparat 5 p.377, apparat 6 p.377, apparat 2 p.379, l.31/32 et p.380, l.4 p.381, apparat 3

ø

di

ø

bi

64 65

p.381, apparat 4 p.381, apparat 5

ø ø

dz at

ø ø

tz it

66 67

p.381, apparat 6 p.394, apparat 1

ø gb

hz ø

ø ø

kz ag

62

E. Nous avons également rencontré certains accidents de transmission qui comprennent aussi des substitutions de mots à d’autres dont les graphies abrégées se ressemblent, comme par exemple «diuidere» (D et P, omission chez A) au lieu de «diuide» (éd., p. 104, apparat 2). [n°71]

61

Étude critique de la tradition

N°

Références

A

D

P

68

p.38, apparat 11

ø

ad

ad

Édition (A toujours suivi) Corrections dans l’apparat: de

69

p.51, apparat 5

in

in

in

et

70

p.70, apparat 1

deicias

ø

ø

decies

71

p.104, apparat 2

diuidere

diuidere

diuidere

diuide

72

p.107, apparat 11

a te

a te

a te

ad te

73

p.122, apparat 9

agregata

agregata

agregata

agregate

74

p.144, apparat 5

ø

habet

habet

habeat

75

p.151, apparat 6

et

et

et P1: exp.P2

uel

76

p.169, apparat 1

minus

ø

ø

cum

77

p.172, apparat 3

alteratam

ø

ø

alteram

erat

erat

ø

erit

78 p.224, apparat 7 et 8 79

p.234, apparat 5

ordo (ou ordi)

ordi

ø

ordeo

80

p.245, apparat 4

frustrum

ø

ø

frustum

81 p.249, apparat 2 et 3 cortinem

ø

ø

cortine

82

p.256, apparat 4

multiplicans

multiplicans

ø

multiplicantem

83

p.270, apparat 5

tercia

tercia

ø

terciam

84

p.271, apparat 1

tantum

ø

ø

unum

85

p.271, apparat 2

tantum

ø

ø

unum et

86

p.278, apparat 4

sextarii

sextarii

ø

sextariis

87

p.288, apparat 1

ø

linea

ø

lineam

88

p.288, apparat 2

ø

figura

ø

figuram

89

p.304, apparat 6

mense

ø

ø

mensem

90

p.313, apparat 2

numeris

numeris

ø

nummis

91

p.313, apparat 7

debet

debent

ø

debetur

92

p.315, apparat 3

diuidat

ø

ø

diuidatur

93

p.321, apparat 2

ø

linea

ø

lineam

94

p.358, apparat 2

ø

sequitur et

ø

sequeretur ut

95

p.359, apparat 1

ø

conmedant

ø

conmedat

96

p.371, apparat 7

dicat

dicat

ø

dicatur

97

p.375, apparat 3

accipe

ø

ø

accipere

98

p.389, apparat 9

portiones

portiones

ø

proportiones

62

Histoire du texte

Notons encore une faute clairement due à une erreur d’inattention: «arbor» (A D: om. P) au lieu de «turris» (éd., p. 149, apparat 3). F. Le fait que A, D et P se sont avérés des produits composites, obtenus par la rencontre d’éléments provenant de modèles différents, fait craindre que l’un ou l’autre de ces témoins, les seuls que nous connaissions, réunisse des éléments appartenant à d’autres modèles. Bien sûr, ces aliae lectiones peuvent avoir pour origine l’amputation de certains passages. L’amputation «courante», que l’on retrouve à maintes reprises dans notre texte, concerne le saut du même au même dû à l’homoioteleuton: la perte de ces passages s’explique d’autant plus aisément comme accident de transmission, qu’un saut du même au même en fournissait l’occasion. Nous en proposons deux exemples clairs: a) «Capitulum de multiplicatione – tres quarte de septem» (éd., p. 75, l.2–7): ce chapitre sur la multiplication d’une fraction par un nombre entier est omis chez D car il s’agit probablement d’un homoioteleuton. En effet, le passage «Si uolueris multiplicare tres quartas in septem» apparaît à deux reprises chez A et P (ligne 3 et ligne 9). [n°99] b) «longitudo partis – longitudo et» (éd., p. 252, l. 33–36 (apparat 4)): il s’agit de l’homoioteleuton «longitudo» qui a entraîné chez A outre un saut du même au même, également l’omission du terme «longitudo»: au lieu de «qui sunt longitudo partis – longitudo et latitudo partis», nous avons «qui sunt latitudo partis». [n°107] N°

Références

99

p.75, l.2–7

100 101 102 103 104 105 106 107

p.79, l.18–11 (apparat 9) p.97, l.13/14 (apparat 12) p.103, l.10–11 (apparat 6) p.152, l.11 (apparat 4) p.191, l.18–19 (apparat 7) p.206, l.30 (apparat 6) p.250, l.1/2 (apparat 1) p.252, l. 33– 36 (apparat 4)

A

D

P

homoioteleuton homoioteleuton

Édition «Capitulum de multiplicatione – tres quarte de septem» «Vel aliter – quod queris»

homoioteleuton

«que sunt sex octaue» «scilicet multiplica – terciam»

homoioteleuton homoioteleuton

«ipsius ergo tres octaue»

homoioteleuton

«de 98 – sicut comparatio»

homoioteleuton

«de centum uiginti quinque» homoioteleuton

homoioteleuton

«hoc autem – et latitudo» «longitudo partis – longitudo et»

63

Étude critique de la tradition

N° 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117

Références p.254, l.21 (apparat 12) p.289, l.36/37 (apparat 6) p.290, l.27–30 (apparat 10) p.293, l.13/14 (apparat 3) p.307, l.20–24 (apparat 3) p.314, l.13 (apparat 2) p.322, l.22/23 (apparat 9) p.338, l.27/28 (apparat 11) p.342, l.38–40 (apparat 4) p.396, l.6/7 (apparat 3)

A

D homoioteleuton

homoioteleuton homoioteleuton homoioteleuton

Édition «et exiret eius» «numi. Ideo – tredecimis» «10 numis – numos» «qui equiualent – triginta numis»

homoioteleuton homoioteleuton homoioteleuton homoioteleuton homoioteleuton homoioteleuton

P

«Sic enim – 1 nummo» «Cum autem – seruiuit» «Quibus adde – ultimi» «Nosti autem – triginta diebus» «idem est – duabus terciis» «Nam ipse – octaua»

3.2.1.3 Les additions et interpolations À côté de textes amputés d’un passage ou de plusieurs passages, il faut tenir compte de certaines additions et/ou interpolations. Nous avons envisagé dans les exemples proposés les additions majeures (plus de trois mots). Ainsi est-ce le cas lorsque des gloses en marge d’un modèle sont introduites dans le texte courant là où elles sont utiles: ces gloses donnent alors lieu au texte qu’on lit. Lorsque ces additions conviennent parfaitement au contexte, leur présence pourrait correspondre à un autre modèle vis-à-vis duquel les autres témoins apportent ou non une variante (exemple les passages en parallèle dont nous allons parler). Ces additions sont-elles le fruit d’une intervention personnelle de l’auteur, d’un copiste, d’un lecteur ou bien sont-elles uniquement des omissions chez les autres témoins? Lorsqu’il a été question des omissions, nous avons souligné qu’il pouvait parfois s’agir d’additions. Nous ne reviendrons pas sur les passages qui posent problème, car les solutions proposées seraient sujettes à caution. Par contre, certaines additions communes aux trois manuscrits sont évidentes, comme par exemple: a) «Regule de multiplicatione – et considera» (éd., p. 35, l. 34–p. 40, l. 4): il s’agit d’une digression sur la «note» qui a été réexplorée et retravaillée. Elle coupe

64

Histoire du texte

le chapitre consacré à la multiplication des nombres entiers suivant la «note». Nous pouvons parler d’addition commune aux trois manuscrits. b) «Capitulum de conuersione – in omnibus aliis» (éd., p. 86, l. 10–p. 91, l. 16): il s’agit d’un passage sur la réduction des fractions qui n’intéresse pas directement le sujet débattu précédemment, où il est question des quatres opérations fondamentales. c) «Si quis querat – 2 et dimidium» (éd., p. 293, l. 2–7): nous avons visiblement une glose qui a été introduite dans le texte de A et qui est omise chez D (et P qui n’aborde pas ce chapitre). Quant aux intitulés de chapitres auxquels nous avons donné le nom de «digression» et qui sont au nombre de seize, ils n’engagent que nous-même. Mais il est clair que l’auteur ne devait pas toujours suivre une structure élaborée et qu’il s’est laissé emporter soit par son enthousiasme soit par sa volonté de clarification. Comme nous avions proposé de voir dans ce traité un «syllabus de cours», on pourrait alors envisager qu’une digression correspond à un simple excursus: Digression I = éd., p.36, l.1–p.40, l.4 Digression II = éd., p.42, l.7–p. 43, l.33 Digression III = éd., p.48, l.6–19 Digression IV = éd., p.48, l.21–24 Digression V = éd., p.56, l.2–p.57, l.3 Digression VI = éd., p.60, l.12–p.62, l.4 Digression VII = éd., p.86, l.10–p.91, l.16 Digression VIII = éd., p.120, l.9–p.123, l.2

Digression IX = éd., p.123, l.4–p.126, l.27 Digression X = éd., p.141, l.11–p.145, l.30 Digression XI = éd., p.156, l.11–p.159, l.41 Digression XII = éd., p.220, l.32–p.221, l.13 Digression XIII = éd., p.268, l.18–32 Digression XIV = éd., p.320, l.2–19 Digression XV = éd., p.356, l.9– p.361, l.26 Digression XVI = éd., p.427, l.30– p.429, l.13

3.2.1.4 Les variantes communes Indépendamment de l’archétype, par le jeu de copies et d’annotations, chacun des témoins a pu être atteint par des déformations: c’est le cas des variantes. Par variante nous entendons les leçons grammaticalement correctes et bien orthographiées qui s’opposent soit à une leçon correcte soit à une faute. Ces variantes ne peuvent être reprises comme accidents de transmission d’un modèle unique. Le problème le plus important, lorsque les variantes proposent des équivalences correctes, concerne le choix de la plus fidèle à l’original. Comment ces variantes (ou corrections) ont-elles été d’abord portées? Par annulations et surcharges dans le texte courant, mais aussi par annotations dans les marges et dans les interlignes. Des copies ultérieures aux corrections ont montré que celles-ci avaient été exposées aux avatars dont toute retouche augmente les risques: des «aliae lectiones» ajoutées ont été négligées ou déplacées; des substitutions ont été mal faites; etc. Nous en retrouvons quelques-unes dans le Liber mahameleth, comme par exemple:

65

Étude critique de la tradition

a) Édition p. 57, l. 19–p. 58, l. 17: concerne un ajout à la multiplication des mille «sans la note», et plus particulièrement la multiplication de 999 par luimême. Les trois manuscrits présentent tous les trois cette variante, mais ne la placent pas tous au même endroit. Alors que chez A ces deux variantes se suivent, chez D la seconde se trouve après la multiplication des «articules» (cfr p. 45 de l’édition), et chez P, après la multiplication des nombres entiers suivant la «note» (cfr p. 40 de l’édition). [n°2] b) Édition p. 139, l. 15–26: concerne un exemple avec somme d’argent dans le chapitre sur la soustraction des fractions. Nous avons placé comme variantes parallèles deux textes semblables en apparence seulement. En réalité, le copiste de A s’est trompé et a repris un passage qui figurait plus avant dans le texte, mais qui commence par les mêmes mots: «Quorum dimidium quod est…». Cela nous amène à nous interroger sur la raison de cette erreur. Un feuillet précédent s’est peut-être inséré par inadvertance et le copiste n’y a pas prêté attention, mais une autre hypothèse pourrait être accréditée: le copiste s’est inspiré d’un modèle en suivant un ordre personnel et a commis une erreur de jugement. Cela pourrait nous conforter dans l’idée que le texte que nous éditons est bien une adaptation et non une traduction. [n°4] c) Édition p. 319: ce texte ouvre le chapitre sur la variété de la paye des ouvriers. Le manuscrit A propose deux variantes de ce chapitre, et la seconde est apparentée à celle du manuscrit D. Chez A, ces deux variantes se suivent, ce qui nous laisse supposer qu’il est question ici d’exemples semblables que le copiste avait sous les yeux, et qu’il n’a pas jugé bon de prendre parti pour l’un plutôt que pour l’autre. Il laisse son lecteur seul juge, et confirme ainsi qu’il pourrait s’agir d’une adaptation. [n°6] Dans le tableau ci-dessous, nous omettrons la colonne «édition» étant donné que toutes les variantes parallèles ont été proposées dans l’édition en deux colonnes: N° 1

Références p.36, l.1–18

A texte

2

p.57, l.19–p.58, l.17

texte+variante

3

p.86, l.23–29

D P texte+variante texte texte+variante texte+variante (ailleurs) (ailleurs) texte+variante texte+variante

ø texte+variante 4 p.139, l.15–26 (erronée) 5 p.261, l.2–22 texte texte 6 p.319 texte+variante variante 7 p.342, l.20–29 texte texte texte (incomplet: 8 p.365, l.30–p.366, l.21 texte folio 189 bis) 9 p.400, l.20–26 texte ø 10 p.412, l.3–16 variante variante+texte

I ø ø ø

ø ø ø

ø ø variante

ø

ø

ø ø

texte ø

66

Histoire du texte

Après lecture de la liste des variantes parallèles, ne pourrait-on pas supposer que l’original aurait lui aussi, et toutes proportions gardées, comporté des extraits doubles et des aliae lectiones? Ces dernières auraient été le fruit de retouches plus ou moins immédiates (peut-être apportées par l’auteur lui-même), et auraient entraîné dans les copies des phénomènes analogues 125. Dans ces conditions, il se pourrait que des équivalents doubles dans les témoins ne soient nullement tributaires de contaminations. Bien plus, des copistes et correcteurs pourraient même avoir restitué, sans le savoir, des extraits doubles remontant aux premiers essais du texte original. Il serait tout aussi probable que des corrections faites lors de ce premier travail aient été négligées ou incomprises. Pour tous ces cas, nous pensons qu’il faut retenir l’hypothèse que ces variantes pourraient provenir d’un unique travail de retouches réalisé par l’auteur ou ses émules. Alors, la plupart des aliae lectiones rencontrées dans les témoins pourraient remonter à un archétype unique. Variantes plutôt qu’accidents de transmission, elles appartiendraient pleinement au texte et, sous ce rapport, ne pourraient en aucune manière être considérées comme des éléments négligeables, parce que périphériques ou accessoires. Parmi les variantes du texte dont nous venons de parler, quelques-unes sont probablement des gloses explicatives des leçons originales. L’une ou l’autre assurément peut aussi provenir de retouches apportées par un quelconque réviseur ou utilisateur.

3.2.1.5 Les inversions, graphies et scolies Quant à l’examen minutieux des inversions (tout déplacement dans l’ordre des mots), graphies (variantes orthographiques mineures) et scolies (annotations ou notes philologiques due à un commentateur ancien et servant à l’interprétation d’un texte), nous le jugeons inutile dans ce cadre-ci, car il n’apporte guère d’éléments neufs aux conclusions que nous pourrons tirer126. Nous ajouterons en ce qui concerne les référents arabes que les copistes sont généralement fidèles aux graphies des transcriptions de mots arabes peu nombreux dans notre traité. On constate leur ingéniosité à y substituer parfois des formes latines, mais on peut toujours retrouver le sens du référent arabe: – alcouzini (ms A), alcouzmi (mssD/P) (éd., p. 7, l. 16) – algebra (A/D/P), agebla (mss A (une seule occurrence)/D) (éd., p. 179, l. 28) ____________________ 125 Comme le seraient les notes de cours d’étudiants: ceci renforce notre hypothèse selon laquelle le Liber mahameleth serait plutôt un cours et non un traité. 126 Nous prendrons quatre exemples d’inversion qui ne nous apprennent rien de nouveau: éd., p. 7, l. 15 (apparat 10) = suffragatur humanis usibus A: humanis usibus suffragatur D P. éd., p. 7, ll. 19–20. (apparat 18) = occulta scientia per numeros A: scientia per numeros occulta D: scientia occulta per numeros P. éd., p. 118, l. 20 (apparat 18) = accipias de numero prelato A P: de numero prelato accipias D. éd., p. 119, l. 13 (apparat 10) = quod queris erit A D: erit quod queris P. Quant aux graphies, un même manuscrit peut en proposer différentes.

Étude critique de la tradition

67

– almencus (ms I), almenquet (ms A) (éd., p. 425, apparat 9) – auoquamel (mss A/D/P), auochemel (ms A), abuquemil (ms A) (éd., p. 18, l. 20) – caficius (mss A/D/P), cafitius (mss A/D), cafizius (ms A) (ex. éd., p. 224, l. 34) – gebleam ugabala (ms A), gebleamu gabala (mss D/P) (éd., p. 18, l. 20) – mahameleth (mss A/D/P), mahamelleth (ms A), mahabeleth (ms A) (éd., p. 25, l. 19, apparat 17) – muteqefia (mss A/D) (éd., p. 333, l. 2) – taccir (mss A/D) (éd., p. 255, l. 20) Il est évident que certaines de ces variantes peuvent être ramenées à de mauvaises lectures ou à des tentatives d’élucidation d’une unique graphie confuse (ex. gebleam ugabala).

3.2.1.6 Premières conclusions La collation systématique des copies avait fait apparaître clairement que le manuscrit A complétait les deux autres manuscrits D et P, car bien des passages ne se retrouvent que dans le témoin A. C’est le cas de nombreuses additions à la fin de la première partie (chapitre sur les racines) ainsi qu’à la fin de la seconde partie du traité. Ce l’est aussi pour d’autres passages, comme nous avons pu le constater. Dans l’ordre actuel de nos recherches, il demeure incontestable que le manuscrit lat.7377A, compte tenu de sa structure et sa logique interne, reste le manuscrit le plus fiable et le plus complet, malgré quelques lacunes. Il est le plus fiable, étant donné que son contenu et sa structure interne présentent une très grande cohérence. Le Liber mahameleth est composé de deux parties: la première (ff. 99r– 146v (exc. 147v)) étudie les opérations arithmétiques, tandis que la seconde (ff. 148r–202v (exc. 203r)) s’attache aux applications de cette théorie à la vie courante. Toutefois, nous trouvons dans ce texte un certain nombre d’imperfections. Ces dernières concernent de trop nombreuses digressions (cfr la liste p. 64 du commentaire), qui rendent ce texte légèrement chaotique. Mais rien ne nous permet d’attribuer cette confusion au copiste de notre traité. Ce manuscrit est aussi le plus complet, malgré certaines lacunes. Il l’emporte indéniablement sur les manuscrits Paris. lat. 15461 et D.42 plus courts et plus désordonnés, comme nous pouvons le constater. Les lacunes du lat. 7377 A (A) sont de plusieurs ordres, nous en présentons la liste non-exhaustive: – Nous songeons par exemple à une partie algébrique qui devait suivre le chapitre sur les racines (première partie du Liber mahameleth) et à laquelle l’auteur fait plusieurs fois allusion (cfr son chapitre sur les échelles aux ff. 198r–200v, dans la seconde partie du Liber mahameleth); – Une autre lacune concernerait une explication sur l’extraction des racines que l’auteur n’explique pas et qui devrait figurer dans son chapitre sur les racines aux ff. 139v–146v;

68

Histoire du texte

– Si nous regardons la fin du traité au folio 203r, les derniers problèmes doivent figurer à une place antérieure, dans le «Capitulum de diuisione proportiones»127. Lorsqu’il est question de passages traitant des mêmes sujets, les trois témoins ne révèlent pas des états de texte étrangers les uns aux autres. En effet, les parties communes au niveau interne (contenu) ne présentent pas de différences majeures, mais bien au niveau externe lorsqu’il s’agit de comparer l’ordre de chapitres, sous-chapitres, paragraphes, et lorsqu’il est question d’additions et omissions de mots, phrases ou longs passages. Ainsi, à partir de la page 32, l. 3 de notre édition, – soit le commencement du Liber mahameleth (f. 104v de A, f. 29ra de P et f. 5vb de D), après une étude préliminaire sur le nombre, la numération parlée et écrite, certains théorèmes d’Abū KĀMIL et d’EUCLIDE, – les manuscrits A et P débutent par une mise au point (excepté D), puis s’orientent différemment dès qu’il est question d’une digression sur la «nota». Pour l’ensemble des trois manuscrits, nous comptons un peu moins de deux cents structures ou modules ordonnés différemment (cfr annexe n° 2 aux pages 77–80 du commentaire). Ceci nous engage à poser certaines questions quant à l’influence et aux rapports possibles entre ces manuscrits, surtout qu’il est impossible d’attribuer cet état de chose à un mélange fortuit de feuillets. Influence de Ö sur Ø

Paris. lat. 7377A [A] début XIVème siècle

Paris. lat. 7377A [A] Padoue, D.42 [D]

impossible

Paris. lat. 15461 [P]

impossible

Padoue D.42 [D] XIIIème siècle

Paris. lat. 15461 [P] XIIIème siècle

impossible

impossible apparenté mais pas d’influence

apparenté mais pas d’influence

À la lecture de ce tableau, nous pensons que quatre types de rapports peuvent être étudiés, compte tenu de la date des manuscrits: 1° L’influence du manuscrit lat. 15461 (P) sur le manuscrit lat. 7377A (A) est impossible, malgré que ce dernier soit plus ancien d’un siècle (le lat. 15461 date du XIIIème s. alors que 7377 A date de la fin XIIIème–début XIVème s.). En effet, Paris. lat. 15461 est: – moins complet que lat. 7377A: première partie moins complète et seulement un court début de la deuxième partie; ____________________ 127 Le «Capitulum de diuisione proportiones» (f. 202v du lat. 7377 A) aurait dû être placé après le «Capitulum de lucro participum» (f. 161v du lat. 7377 A). Il s’agit sans doute d’une glose du chapitre sur la division selon les proportions.

Étude critique de la tradition

69

– plus désordonné que lat. 7377A: il présente une structure qui la plupart du temps reste incohérente. Deux exemples parmi tant d’autres: sous le chapitre concernant la réduction d’une fraction en une autre fraction, P proposera l’exemple de la réduction d’une fraction et d’une fraction de fraction en une autre fraction (or l’étude de ce chapitre est proposé plus loin dans P); par ailleurs, P place un exemple sur la denominatio après le chapitre sur le «De accipendo fractiones de iteratis milibus» (or il existe chez A tout un chapitre sur la denominatio antérieur à cet exemple, et qui est omis chez P). Donc, une influence directe est à écarter. 2° Le manuscrit lat.15461 (P) n’a pu influencer le Padoue D.42 (D). Une influence directe est à écarter, même s’il existe une parenté entre ces deux manuscrits. En effet, si ces deux manuscrits datent environ de la même époque, s’ils sont tous les deux incomplets et présentent par rapport à A certaines ressemblances au niveau de structures placées identiquement (une fois sur trois environ), ceci n’est pas vérifiable pour tous les modules (cfr annexe aux pages 77–80 du commentaire). Donc, une influence directe est à écarter, mais il doit exister une parenté entre ces deux manuscrits. En effet, D. 42 : – serait légèrement plus ancien que P (d’environ un demi-siècle); – est plus long que P (deuxième partie très longue). 3° Quant à l’influence de D. 42 (D) sur lat. 15461 (P), elle n’est pas possible pour les même raisons et elle ne nous paraît donc pas démontrable. 4° L’influence du manuscrit D.42 (D) sur lat. 7377A (D) n’est pas possible non plus, les structures sont trop différentes. Une influence directe est à écarter. En effet, D.42 est: – moins complet que 7377 A: première et deuxième parties moins incomplètes. Par exemple, alors que 7377 A présente dans ses marges les figures des démonstrations géométriques (chapitre sur les échelles), D. 42 laissera des espaces blancs; – plus désordonné: structure qui la plupart du temps reste incohérente. Deux exemples: le «De multiplicatione iteratorum milium inter se» coupé par le «De capitulo multiplicandi in fractionibus»; D place des exemples de multiplications de fraction de fraction de fraction par un composé avant le titre de ce chapitre et son explication théorique. 5° L’étude et l’influence de lat. 15120 (I) (fin XIIème s.) est a priori inconsistante, compte tenu du fait que l’on n’y trouve qu’une quarantaine de problèmes traités dans le Liber mahameleth. Le témoin Paris. lat.15120 ne semble pas avoir choisi comme modèle l’un des trois manuscrits de la tradition directe. En conclusion, nous dirons que A constitue le témoin de référence, et que les autres manuscrits s’en écartent suffisamment pour les considérer comme indépendants.

70

Histoire du texte

3.2.1.7 Établissement du stemma X a

b I? (XIIè–XIIIème s.) P (XIIIème s.)

D (XIIIème s.)

A (fin XIIIè–début XIVème s.)

Cette représentation du stemma tient compte des filiations connues et a été placée en fonction de l’échelle chronologique. Nous ne disposons plus de l’autographe du texte et nous savons que les trois témoins directs dépendent d’autres modèles encore inconnus.

3.3

LES PRINCIPES D’ÉDITION

Pour aborder ce chapitre, nous reprendrons les propos de Horst FUHRMANN: «Audelà de toutes les discussions d’atelier concernant les principes et la forme d’une bonne édition, il faut rappeler qu’une édition de texte sert la transmission d’un contenu, elle doit ouvrir le regard sur la genèse du texte ainsi que sur les implications de son contenu. La raison d’être et l’accomplissement d’une édition résident dans la compréhension et non dans quelques méthodes immuables»128. L’édition que nous proposons vise moins à refléter l’examen laborieux d’une tradition manuscrite qu’à définir au mieux, dans l’état actuel de l’inventaire des manuscrits scientifiques latins, l’établissement du texte retenu.

3.3.1 Le texte Pour certains éditeurs, trois exigences doivent être absolument émises comme: (a) imprimer le texte transmis, même dans le cas d’un latin incompréhensible; (b) éviter les corrections orthographiques et grammaticales; (c) adopter la ponctuation médiévale qui obéit à d’autres règles que les nôtres.

____________________ 128 H. FUHRMANN, Réflexions d’un éditeur (1992), p. 359.

Les principes d’édition

71

Si le respect des deux premières exigences (a et b) nous paraît évident et incontournable, la question liée à la ponctuation (c) nous semble plus contestable. Une édition intelligente doit, nous semble-t-il, tenter d’être une édition intelligible. Si la préoccupation première doit être celle de dégager le texte d’origine, il faut que la clarté de l’édition soit un des principes directeurs. Pour ce faire, il faut se donner les moyens d’exploitation adéquats (des coupures judicieuses des mots et des phrases ainsi qu’une ponctuation modernisée), tout en évitant à tout prix de actualiser à outrance et d’uniformiser les noms propres 129 ou transformer une orthographe médiévale en orthographe «classique»130. Une édition doit être une copie «servile», mais le texte doit être présenté de façon compréhensible ou expliqué en conséquence, ce qui n’exclut aucunement une annotation ou correction du texte dans l’apparat. Pour établir le texte du Liber mahameleth, le manuscrit lat. 7377A nous fournit à lui seul une base d’édition suffisante, ce qui ne veut pas dire que les autres témoins doivent être écartés. Pour éviter un texte trop mélangé, nous avons édité sous la forme d’une simple transcription le manuscrit A et notre intervention s’est limitée à quelques additions ou émendations (avec sigles) renvoyant à un apparat plus explicite. En aucun cas nous n’avons apporté de correction au texte de l’édition, même lorsque sa compréhension ou sa cohérence rendaient une telle opération nécessaire. C’est ainsi que lorsque la nature particulière du traité d’arithmétique, et notamment la présence de nombreux exemples chiffrés, ne permet qu’un seul résultat correct, nous ne privilégions pas les leçons (de quelque manuscrit qu’elles proviennent) assurant la correction mathématique des calculs. Ce principe peut être défendu, surtout si l’on sait que le texte original devait comporter un certain nombre d’erreurs (nous en voulons pour preuve les erreurs de démonstration découlant d’une simple erreur de calcul). Ainsi, lorsque les leçons des deux autres manuscrits D ou P s’avèrent meilleures que celles de A, nous renvoyons à l’apparat. Nous avons donc limité notre intervention à quelques additions et corrections ne remettant pas en cause l’originalité du texte. Nous les avons traitées en tenant compte de plusieurs facteurs: – Il est certain que l’auteur a dû omettre volontairement certains mots que le lecteur peut facilement retrouver. Ainsi nous n’ajouterons pas les mots suivants: cetera (édition: p. 7, l. 9; p. 8, l. 14; p. 11, l. 4) dantur (édition: p. 221, l. 26; p. 222, l. 4 et l. 13; p. 303, l. 17/18) dentur (édition: p. 226, l. 24; p. 228, l. 5; p. 235, l. 7/8; p. 235, l. 13/14) dicat (édition: p. 232, l. 2 ) emit (édition: p. 237, l. 12 ) emo (édition: p. 237, l. 15; p. 237, l. 25) ____________________ 129 Ainsi azemides (ARCHIMÈDE), auoquemel (Abū KĀMIL), etc. seront respectés. Par contre, face aux nombreux euclides, le copiste de lat. 7377A propose une seule occurrence de euchides: nous l’avons corrigée dans l’apparat. 130 C’est ainsi que nous maintenons par exemple cafizius, caficius ou cafitius (qafiz).

72

Histoire du texte

est (édition: p. 166, l. 21; p. 173, l. 36; p. 306, l. 7; p. 307, l. 2/3; p. 330, l. 1; p. 331, l. 22; p. 332, l. 24; p. 350, l. 25; p. 404, l. 23 (est id quod); p. 407, l. 20 et l. 26/27) habet (édition: p. 259, l. 7) hec (édition: p. 336, l. 20; p. 338, l. 26; p. 349, l. 29) id (édition: p. 18, l. 6/7) inquiram (édition: p. 37, l. 7) querat (édition: p. 240, l. 35; p. 283, l. 24; p. 284, l. 35; p. 286, l. 14; p. 287, l. 24; p. 289, l. 27; p. 291, l. 11; p. 292, l. 18; p. 293, l. 10 et l. 27; p. 294, l. 11; p. 295, l. 4; p. 296, l. 19; p. 301, l. 2; p. 397, l. 24 (quis querat) scilicet (édition: p. 292, l. 30; p. 298, l. 22/23; p. 299, l. 6/7; p. 387, l. 8/9; p. 422, l. 24) quod (édition: p. 404, l. 23; p. 406, l. 22/23; p. 407, l. 20/21 et l. 25) uendo (édition: p. 225, l. 31, p. 226, l. 1 et l. 8; p. 227, l. 27; p. 228, l. 21; p. 236, l. 36) – Par contre, certains additions personnelles se sont révélées indispensables et nous les avons placées entre crochets aigus dans le texte; – Lorsque les manuscrits D et P proposent également des additions nécessaires à la compréhension du texte, nous les avons suivis en en le précisant dans l’apparat (addidi cum) au lieu de l’accolade plus habituelle ( { ). Les sigles utilisés sont les suivants: a) (sic) = lorsque la leçon est erronée, nous renvoyons à l’apparat où nous proposons une correction; b) = crochets aigus pour signaler les additions personnelles par rapport au texte de A; c) […] = crochets droits pour signaler les passages de A à supprimer; d) †…† = passage illisible. La ponctuation, très inégalement indiquée dans les témoins, a été revue et modernisée. Certaines phrases comportent des parenthèses ((…) ) ou des tirets (– …–): leur seul but est de faire mieux ressortir la structure parfois compliquée des phrases en en isolant certains éléments. Les guillemets («…») ont été utilisés exclusivement pour les propositions en style direct, comme les citations. Le problème posé par les manuscrits touche, comme nous l’avons déjà soulevé, la structure logique de ceux-ci. Pour cette raison, lorsqu’un chapitre (ou une partie de chapitre) du manuscrit D, P ou I ne figure pas au même endroit que le manuscrit A ou bien n’existe pas dans ces manuscrits, nous avons placé comme en-tête les sigles des manuscrits (ADP si tous les trois ont le même texte, mais placé ailleurs; DP, AP, AD, A, D, P, I lorsqu’ils n’ont pas tous repris le passage concerné). Un problème spécial de constitution du texte s’est posé quand il a été question des variantes doubles: pour ne pas trancher radicalement, étant donné que la terminologie et le sens restent fort proches, nous les avons mis en parallèle. Nous avons placé dans la colonne de gauche la leçon du manuscrit A (ou quand ce témoin est absent, celle du manuscrit qui nous semblait le plus fiable), et quand le

Les principes d’édition

73

témoin A présentait deux versions, nous les avons placées en fonction de leur ordre d’apparition dans le manuscrit. La langue utilisée par l’auteur est simple, comme il sied à un discours scientifique précis, mais reste cependant fluide et claire. Par la force des choses, son lexique est tributaire des caractéristiques propres aux lexiques mathématiques. Nous avons conscience que certaines des options prises mériteraient d’être réexaminées à la lumière notamment de ce que l’étude de la tradition arabe pourrait révéler. Une édition n’échappe pas à la loi commune, surtout si elle se veut critique.

3.3.2 Les graphies Nous avons respecté les graphies du manuscrit A principalement, sans classiciser certaines terminologies (ex. cresit, estremis, addictiones, disspositi, …). Il n’était pas question de «normaliser» les graphies latines, mais de respecter les usages médiévaux. Ainsi, même lorsque le manuscrit présente des variantes graphiques (par exemple: cafizius, cafitius, caficius), elles ont été maintenues telles quelles. De même, la voyelle «e» n’a pas été remplacée par la diphtongue «ae», mais le «u» et le «v» ont été uniformisés en «u» (majuscule «V»). Quant aux noms des nombres, que les témoins attestent en chiffres ou en lettres, nous ne les avons pas uniformisés, excepté dans les cas litigieux. En effet, dans les manuscrits étudiés, les fractions non aliquotes ont souvent la désinence casuelle placée en exposant (ex. 5arum/6), alors que dans les fractions aliquotes cette désinence tient place du numérateur (ex.a/3, am/3,…). Nous n’avons pas conservé ce type d’écriture et nous l’avons «traduit», jugeant qu’il ne portait pas à conséquence en ce qui concerne le respect des graphies. Nous avons fait de même pour les termes abrégés (ex.IIIIor = quat(t)uor).

3.3.3 Les figures L’auteur a abondamment illustré son propos, puisque nous trouvons 115 figures présentées sous forme de lignes droites, cercles, rectangles ou triangles. Il est impossible de leur attribuer une valeur numérique. Le copiste de A, quand il ne les a pas omises, ne fait souvent qu’un croquis à main levée, sans aucune rigueur et précision; les copistes des manuscrits D et P, s’ils ont soigné leurs schémas en traçant des lignes droites, en font des figures abstraites. Ce phénomène ne semble pas inhabituel dans les textes mathématiques, puisque nous retrouvons la même application chez EUCLIDE: au lieu d’être la fin ou l’occasion d’un calcul numérique, la figure est interrogée en elle-même. Souvent, dans les propositions de notre traité où l’influence du mathématicien alexandrin est évidente, il existe une double représentation des nombres utilisés: l’une littérale où chaque nombre est représenté par des lettres et où les démonstrations sont largement développées; l’autre graphique, au moyen d’un segment de droite. Cette dernière joue un rôle très effacé, sauf lorsqu’il y a lieu de désigner une somme ou

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Histoire du texte

une différence. Le trait continu laisse à l’ensemble des points qui représentent le nombre étudié une valeur abstraite. La tentation était grande de concrétiser numériquement ces représentations, mais nous avons voulu maintenir le texte tel quel, d’autant plus que les représentations graphiques des trois manuscrits sont semblables dans leur configuration.

3.3.4 Les tableaux Les tableaux du manuscrit de base A ont tous été repris sans aucune modification, en particulier ceux proposés dans l’édition critique aux pages 75 à 118, l. 22 et qui sont configurés de la sorte (voir explication à la page 101 du commentaire): multiplicande multiplicateur numerus denominationis numerus denominationis numerus communis (numerorum denominationis) numerus collectionis numerus collectionis numerus communis (numerorum collectionis) Exit quod queris

3.3.5 L’apparat Nous ne pouvions reprendre dans l’apparat critique les milliers d’accidents relevés dans les manuscrits. Il fallait donc opérer une sélection sévère. Nous avons adopté pour notre texte le système de l’apparat positif: ce système permet de souligner dans les cas où le doute est possible, l’origine exacte des leçons retenues. Les leçons de tous les manuscrits concernés sont accompagnées par les sigles des témoins qui les attestent et, le cas échéant, par une correction personnelle (… in … corrigendum est); elles sont séparées entre elles par deux points (:). Pour le Conspectus siglorum, nous renvoyons à la page 75 du commentaire. Deux petits tirets indiquent qu’il faut suppléer un passage compris entre deux mots donnés. Certaines leçons sont accompagnées d’un point d’interrogation, ce qui signifie que le manuscrit est illisible à cet endroit; à d’autres leçons sont apposées la mention uid., ce qui signifie que celle-ci est douteuse. Pour faciliter l’utilisation de l’apparat, nous avons appliqué le renvoi de notes par la méthode exponentielle: ceci évite de recourir à la linéation qui rend la lecture plus malaisée. De plus, nous avons indiqué en tête de page, de paragraphe ou de colonne, les sigles des témoins présents. Enfin, nous avons éliminé des apparats critiques la plupart des détails orthographiques dont l’utilité se limite au seul classement des manuscrits. Ainsi en vat-il de la gémination (ex. quat(t)uor, num(m)us,…) ou des homonymes (cafitius/ caficius, diminucio/diminutio,…).

Les principes d’édition

3.3.6 Conspectus siglorum Les abréviations utilisées sont les suivantes: add. = addidit al.man. = altera manu cfr = conferatur coni. = coniecit (conjecture) corr. = correxit (correction) del. = deleuit (suppression) diuid. = diuidit (séparation) eras. = erasuit (grattage) exp. = expunxit (il a biffé, exponctué) incl. = inclusit (met entre parenthèse) iter. = iterauit l. = linea man. = manus mg. = in margine m.d. = in margine dextra m.s. = in margine sinistra om. = omisit (omission) p. = pagina praem. = praemisit (antéposition) restit. = restituit (restitution) s.l. = supra lineam s.v. = sub verbo uid. = uidetur (avec hésitation) = addition personnelle […] = suppression †…† = illisible dans le(s) manuscrit(s)

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76

Histoire du texte

ANNEXE 1: Plan du Liber mahameleth 1. Introduction 2. Première partie 2.1. Préliminaires 2.2. Euclide 2.3. Opérations fondamentales 2.3.1. Mise au point 2.3.2. La multiplication 2.3.3. La division 2.3.4. La dénomination 2.3.5. Les fractions et les entiers 2.3.6. Les racines 3. Deuxième partie 3.1. Rappel 3.2. Problèmes d’achat et de vente 3.3. Problèmes de gain 3.4. Problèmes de morcellement 3.5. Problèmes de mouture 3.6. Problèmes sur la cuisson du moût 3.7. Problèmes sur le remboursement d’un emprunt 3.8. Problèmes sur l’engagement de personnes 3.9. Problèmes sur l’engagement de porteurs 3.10. Problèmes sur l’engagement d’ouvriers 3.11. Problèmes sur la dépense d’huile de lampes 3.12. Problèmes sur la consommation de nourriture par des animaux 3.13. Problèmes sur la consommation de pains par des hommes 3.14. Problèmes de change de monnaies 3.15. Problèmes de bassins 3.16. Problèmes d’application du théorème de Pythagore 3.17. Problèmes de cordes et fagots 3.18. Problèmes de mouvement 3.19. Problèmes de participants + 16 digressions.

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Annexe

ANNEXE 2: Suite logique de chaque manuscrit Comme nous l’avons précisé plus haut, chaque manuscrit suit sa logique propre et ne présente pas toujours une grande cohérence dans l’enchevêtrement de ses chapitres ou parties de chapitre. Nous avons voulu préciser l’emplacement de chacun dans les trois manuscrits de la tradition directe. Dans un premier temps, nous numéroterons les parties du texte ou modules (qui figurent à des endroits différents dans les manuscrits proposés), et préciserons leur emplacement dans le texte du manuscrit A (tableau A). Ensuite, nous fixerons leur emplacement dans les manuscrits D et P par rapport au manuscrit A (tableau B): il s’agira de lire ce tableau de gauche à droite. Ainsi, par exemple, à la page 54 de l’édition où nous voyons ADP, nous ajouterons que ce passage apparaît à la douzième place dans la suite logique du manuscrit A. Mais dans les manuscrits D et P, il apparaît à la quarante-troizième place. Tableau A (exemple: 31,18–36,18 = de page 31, ligne 18 à page 36, ligne 18 (édition); 46–48,4 = de page 46 à page 48, ligne 4 (édition)) Édition

N°

Édition

N°

Édition

N°

Édition

N°

31,18–36,18 36,19–38,18 38,19–40,4 40,5–41,10 41,11–42,5 42,6–45 46–48,4 48,5–51,25 51,26–52 53,1–53,18 53,19–53,34 54–55,1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

62,5–62,29 62,30–63,20 63,21–64,15 64,16–65,8 65,9–65,16 65,17–73,12 73,13–73,27 73,28–74,9 74,10–74,20 74,21–74,33 75,1–75,7 75,8–76,7

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

81,23–81,29 82,1–82,9 82,10–85,11 85,12–85,20 85,21–86,11 86,12–86,21 86,22a–87,20a 86,22b–87,20b 87,21/22 87,23–87,27 88–89,9 89,10–90,5

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

55,2–55,23

13

76,8–76,11

33

90,6–90,12

53

56–57,3 57,4a–57,21a 57,17b–57,25b 58,1a–58,17a 58,1b–58,17b 58,18–60,10 60,11–62,4

14 15 16 17 18 19 20

76,12–76,16 76,17–77,22 77,23–79,11 79,12–79,21 79,22–80,8 80,9–81,10 81,11–81,22

34 35 36 37 38 39 40

90,13–90,17 90,18–91 92,1–92,20 92,21–93,3 93,4–93,18 94,1–94,24 94,25–95,8

54 55 56 57 58 59 60

95,9–97,4 97,5–97,22 98–99(tableau) 99,1–99,16 99,17–102,3 102,4–102,23 103–104,12 104,13–105,15 105,17–105,22 105,23–105,31 106–107,13 107,13–108,7 108,8– 110(tableau) 110,1–111,21 111,22–115 116,1–116,14 116,15–117,7 117,8–117,19 117,20–119,28 119,29–120,7

73 74 75 76 77 78 79 80

78

Histoire du texte

Édition

N°

Édition

N°

Édition

N°

120,8–121,28 121,29–123,2 123,3–126,27 126,28–127,16 127,17–127,28 127,29–128,24 128,25–130,2 130,3–130,21 130,22–131,10 131,11–131,19 131,20–132,15

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

145,18–145,30 146,1–146,13 146,14–147,20 147,21–148,6 148,7–149,31 149,32–150,5 150,6–150,16 150,17–153,17 153,18–154,21 154,22–155,11 155,12–156,9

109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

217,12–217,23 217,24–218,32 218,33–219,9 219,10–220,30 220,31–222,15 222,16–223,9 223,10–224,29 224,30–225,26 225,27–226,27 226,28–227,13 227,14–228,24

137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

132,16–132,23

92

156,10–156,36 120

132,24–133,27 133,28–134,11

93 94

157–159 160–181

121 122

134,12–136,30 95

185–189

123

190–192 193–194,25 194,26–196,11 196,12–198,22 198,23–199,9 199,10–199,24 199,25–206 207–208,7 208,8–211,6 211,7–213,19 213,20–214,13 214,14–215,34 215,35–217,11

124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136

137,1–137,14 137,15–137,23 137,24–138,29 138,30–139,7 139,8–139,26 139,27–141,9 141,10–141,13 141,14–142,10 142,11–143,8 143,9–144,30 144,31–144,33 144,34–145,8 145,9–145,17

96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

Édition

N°

292,16–292,34 165 293–296,16 166 296,17–299,20 167 299,21–318 168 319–326,9 169 326,10–338,8 170 338,9–363,28 171 363,29–365,28 172 365,29–366 173 367–370,16 174 370,17–407,6 175 407,7– 228,25–228,29 148 176 411(tableau) 228,30–230,2 149 411,1–414,5 177 230,3–238,32 150 414,6–415 178 238,33– 151 416–417 179 247(tableau) 247,1–265,5 152 418,1–418,9 180 265,6–266,28 153 418,10–418,17 181 266,29–268 154 418,18–420,2 182 269–270,11 155 420,3–421,17 183 270,12–272,33 156 421,18–421,29 184 272,34–276,26 157 422–427,28 185 276,27–284,15 158 427,29–429 186 284,16–284,32 159 ms.D 284,33–288,27 160 288,28–289,24 161 289,25–290,19 162 290,20–291,8 163 291,9–292,15 164

79

Annexe

Tableau B (suite logique à lire de gauche à droite) A D P

0 annexe 0 0

1 2 1

2 4 2

3 6 6

4 15 7

5 17 4

6 19 15

7 32 17

8 34 19

A D P

13 40 40

14 46 46

15 50 50

16 52 52

17 54 54

18 56 56

19 58 58

20 60 60

21 66 66

A D P

27 80 80

28 82 82

29 87 87

30 89 89

31 92 92

32 94 94

33 97 97

34 99 99

35 36 101 21 101 21

37 38 39 40 118 115 113 124 118 115 113 124

A D P

41 8 8

42 10 10

43 12 12

44 11 11

45 9 13

46 13 9

47 3 3

5 5

49 14 14

50 16 16

51 18 18

52 20 20

53 24 27

54 23 29

A D P

55 25 28

56 27 30

57 28 24

58 29 25

59 30 23

60 26 26

61 36 31

62 38 33

63 37 36

64 39 37

65 41 38

66 43 39

67 45 41

68 47 43

A D P

69 44 44

70 48 45

71 51 47

72 53 48

73 55 51

74 57 53

75 61 55

76 62 57

77 63 61

78 64 63

79 80 66 67 63bis 64

81 69 62

82 71 65

A D P

83 73 67

84 75 69

85 77 71

86 79 73

87 81 75

88 84 77

89 88 79

90 85 81

91 92 93 94 95 96 102 104 107 110 108 90 84 88 85 90 86 91

A D P

97 86 93

98 91 95

99 93 96

100 101 102 103 104 106 107 108 109 110 95 96 98 100 105 114 116 119 117 111 112 98 100 102 104 105 106 108 107 114 116 119

A D P

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 103 22 123 125 127 129 133 136 138 140 142 146 149 151 117 111 112 103 22 123 125 127 129 133 136 138 140 142

A D P

125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 152 154 153 156 157 158 165 164 159 161 163 162 120 166 144 146 149 151 152 *1

22 68 68

9 1 32 23 70 70

10 7 34

11 35 35

12 42 42

24 72 72

25 76 76

26 78 78

80

Histoire du texte

A D P

139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 160 167 168 170 171 185 172 174 169 175 177 179 181 180

A D P

153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 183 173 176 178 182 184 74 59 109 121 83 122 126 134

A D P

167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 155 135 130 128 132 131 137 139 141 143 147 145 148 150

A D P

181 182 183 184 185 186 *3 *2

Après l’étude de ces tableaux, le stemma que nous avions proposé (page 70 du commentaire) semble fiable. Les manuscrits D et P sont plus proches l’un de l’autre que du manuscrit A comme l’attestent de nombreux passages où ils présentent la même suite logique. Néanmoins, ce n’est pas toujours le cas, ce qui nous permet de souligner une nouvelle fois l’absence d’une filiation directe entre ces deux manuscrits. *1 Le texte du manuscrit P s’achève au milieu d’une phrase (cfr éd., p. 248, l. 19). *2 Le texte du manuscrit D s’achève au milieu d’une phrase (cfr éd., p. 237, l. 30). *3 Le texte du manuscrit A s’achève sur un chapitre qui doit être une digression sur la division des proportions (cfr éd., pp. 427, l. 30–429, l. 13).

4 LA PLACE DU LIBER MAHAMELETH DANS LE COURANT DES ARITHMÉTIQUES DITES MARCHANDES 4.1

À MI-CHEMIN ENTRE THÉORIE ET PRATIQUE COMMERCIALE

Rappelons le cadre historique dans lequel ont évolué les mathématiques arabes131, et soulignons une fois encore le rôle de premier plan que le commerce a joué dans le développement des sciences, et plus particulièrement celui de la science du calcul. Le texte que nous éditons en est un saisissant témoin. Il s’agira donc, dans un premier temps, d’analyser certains éléments qui rappellent les méthodes de calcul utilisées au XIIème siècle et permettent de mieux distinguer ce qui différencie l’arithmétique de la science du calcul et de l’algèbre.

4.1.1

Distinction entre arithmétique, science du calcul et algèbre

Avant de développer les éléments mathématiques de notre texte, il nous semble important de nous arrêter sur le sens exact des termes «arithmétique»132 et «algèbre»133 qui y sont mentionnés. L’«arithmétique» doit être regardée comme la science la plus ancienne 134. À partir du Xème siècle, les éléments de l’arithmétique rassemblent trois systèmes: le système sexagésimal (présenté comme la «méthode des astronomes»)135, le calcul digital (calcul mental à la base, mais qui utilise les doigts et les mains pour retenir les résultats intermédiaires) et le système indien (avec qui apparaît le système décimal et l’abaque136). Dans la tradition grecque, l’arithmétique correspond à ce que nous appelons aujourd’hui la «théorie des nombres», qui se préoccupe de l’étude des propriétés des nombres et de leurs relations. Les traducteurs arabes l’ont transcrit ariṯmātīqā. ____________________ 131 L’ouvrage de F. RUSSO, Libres propos sur l’histoire des sciences (1995) propose entre autres un bref historique des mathématiques du point de vue de leur constitution et des variations de leurs objets depuis le VIème siècle a.C.n. jusqu’au XIXème siècle p.C.n.. Nous renvoyons également à A. DJEBBAR, La science arabe… (1997), pp. 215–233. 132 A. S. SAIDAN, Numeration and arithmetic (1996), pp. 331–341. 133 R. RASHED, Algebra (1996), pp. 349–375. 134 A. ALLARD, L’enseignement du calcul arithmétique (1994), pp. 120–121; G. IFRAH, Histoire universelle des chiffres, 19942. 135 Dans notre traité, nous ne trouvons plus le système sexagésimal, mais on ne peut pour cela affirmer que le système décimal de position l’a remplacé. Comme nous nous trouvons ici dans le domaine de la science du calcul, c’est le système décimal positionnel qui y serait pratiqué exclusivement, compte tenu des sources connues. 136 Nous l’expliquons dans le point suivant aux pages 83–86 du commentaire.

82

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Dans les classifications des sciences, cette discipline a été appelée cIlm al-cadad [science du nombre], puis cette appellation a englobé, chez certains classificateurs arabes comme AL-FĀRĀBĪ, toutes les disciplines qui manipulent les nombres. Dans ce cas d’ailleurs, ils prennent bien soin de la diviser en deux grandes disciplines: la science du nombre théorique (= théorie des nombres) et la science du nombre pratique (= science du calcul). Les mathématiciens ont parfois distingué l’«Arithmétique» d’une autre science appelée «Logistique» (chez les Grecs) ou cIlm al-ḥisāb [Science du Calcul] (dans la tradition arabe médiévale). Cette science du calcul se préoccupe de la manipulation des nombres en vue de résoudre des problèmes. Elle englobe toutes les opérations du calcul (ce que nous appelons aujourd’hui malencontreusement «opérations arithmétiques») et tous les procédés de résolution des problèmes. Dans le Liber mahameleth, l’auteur distingue l’arithmétique théorique de l’arithmétique pratique (éd., p. 7, l. 19/20): l’arithmetica theorica est une arithmétique théorique ou spéculative où le nombre est examiné pour lui-même (cfr Arithmétique de NICOMAQUE); l’arithmetica pratica est une arithmétique pratique ou active où le nombre est examiné dans la matière (cfr Arithmétique d’AL-KHWĀRIZMĪ ou le Liber mahameleth). L’auteur du traité analyse cette dernière. Il apparaît clairement qu’il s’agit ici de Science du calcul: «Practice autem species multe sunt, quoniam alia est scientia coniungendi numeros, alia disiungendi, alia est scientia negociandi, alia est occulta scientia per numeros inueniendi, et multe alie…» (éd., p. 7, l. 20–32). Le plan de son explication peut se présenter ainsi: Arithmetica practica: – scientia coniungendi numeros: – scientia aggregandi – scientia dupplandi – scientia multiplicandi – scientia radices numerorum inueniendi – scientia disiungendi numeros: – scientia diminuendi – scientia mediandi – scientia diuidendi – scientia radices numerorum inueniendi – scientia negociandi: – scientia uendendi et emendi – scientia mutuandi et accomodandi – scientia conducendi et locandi – scientia expendendi et conseruandi – multe alie – scientia occulta per numeros inueniendi – multe alie scientie Quant à l’algèbre, elle n’était au départ qu’un chapitre de la Science du calcul. Cela apparaît clairement dans le titre du premier livre d’Algèbre d’AL-KHWĀRIZ-

À mi-chemin entre théorie et pratique commerciale

83

MĪ: L’abrégé sur le calcul par la restauration et la comparaison. On constate d’ailleurs que dans les classifications des Sciences, l’algèbre est souvent qualifiée d’«art» alors que le calcul est qualifié de «science». Malgré tout, cette notion demeure relativement incertaine, car elle ne se distingue pas clairement de la science du calcul et n’est pas libérée de la géométrie (en effet, cette dernière intervient dans la justification de l’existence des solutions positives des équations). Le terme «algèbre» va ensuite désigner une discipline distincte des mathématiques: il s’agit d’élaborer une théorie sur des équations résolubles au moyen de radicaux, ce qui peut être appliqué à certains problèmes arithmétique et géométrique (pas tous, ce qui explique le développement de l’Algèbre classique), et constitue une aide pour le calcul, les transactions commerciales ou l’arpentage d’un terrain137. L’Algèbre ne se distinguera de la science du calcul que bien plus tard, en tant que discipline à part entière. Comment les scientifiques de l’époque médiévale s’y retrouvaient-ils pour distinguer l’arithmétique de l’algèbre ou de la géométrie? Il existait plusieurs manières de classifier les nombres comme en témoignent plusieurs catalogues arabes138. Parmi ceux-ci, retenons celui d’AL-FĀRĀBĪ (ca 950) qui commença à être en vogue en Occident entre 1130 et 1150 139 . Son auteur y distingue: (1) l’arithmétique, (2) la géométrie et (3) des sciences des procédés ingénieux (parmi lesquelles il place l’algèbre) 140 . Malgré l’usage de cette classification à l’époque qui nous intéresse, nous ne retrouvons pas trace de cette influence dans notre traité. L’auteur étudie l’arithmétique pratique qui constitue l’épine dorsale de son ouvrage et, s’il fait de nombreuses références à une «algèbre», il travaille comme si les deux disciplines appartenaient à une même réalité: probablement la Science du calcul, même s’il ne lui donne pas ce nom.

4.1.2

Les méthodes de calcul

Comme nous venons de le préciser, le monde des mathématiques s’est modifié largement à partir du Xème siècle, avec la diffusion des systèmes sexagésimal, digital puis indien. Les nombres ont également subi de notables transformations. Nous ne ferons que reprendre ici les éléments que nous retrouvons dans notre traité.

____________________ 137 138 139 140

R. RASHED, Algebra (1996), pp. 349–375. J. JOLIVET, Classification of the sciences (1996), pp. 1008–1025. D. C. LINDBERG, Science in the Middle Ages (1978), pp. 14–15. En effet, l’Algèbre, en tant que procédure de résolution de problèmes est une science utilisant des procédés ingénieux, comme le fait la Mécanique. Cfr AL-FĀRĀBĪ, Kitāb iḥṣā’ al-culūm [Livre sur le recensement des sciences], 1968, pp. 93–95, 118–109. Avicenne avait proposé une autre classification où l’Algèbre était considérée comme une science du nombre.

84

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

4.1.2.1 Les nombres Comme on le sait, ce sont les Arabes qui ont transmis les nombres indiens et l’idée d’un système décimal à l’Occident médiéval. La transmission des nombres indiens porte une forte empreinte tolédane. C’est à Tolède en effet que fut traduit en latin sous le titre Algoritmi de numero indorum l’ouvrage d’AL-KHWĀRIZMĪ intitulé ḥisāb al-hind. Les nombres furent à ce point identifiés avec le mouvement de traduction centré à Tolède qu’ils seront appelés toletane figure141. Il est intéressant de constater combien chaque symbole numérique semble avoir sa propre histoire séparée142. C’est au XIIème siècle qu’il faut placer les racines véritables de la graphie de nos chiffres modernes. Peu à peu les chiffres furent tracés sur le sable ou la poussière au lieu d’être gravés sur des jetons de corne, entraînant du coup la disparition même des colonnes de l’abaque. D’où un calcul aux méthodes plus simples, plus pratiques, plus élégantes et plus expéditives, que l’on désigna dès lors sous le nom d’algorisme. Les chiffres ont valeur de position dans un système de base 10.

4.1.2.2 L’abaque, le calcul digital et le calcul indien Abaques et calcul digital firent partie au Moyen Âge de l’enseignement le plus élémentaire143. La rareté des textes qui leur sont spécifiquement consacrés ne peut contraindre à en marginaliser l’usage. Trois types de calcul arithmétique et donc trois types d’utilisation se sont profilés: l’abaque, le calcul digital et le calcul indien. Le mot «abaque» semble d’origine sémitique (le terme hébreu abaq signifiant «poussière»). Ce système a connu des variantes au cours des siècles: appliqué tout d’abord sur une surface de sable encadrée, on l’a remplacé par un châssis avec jetons indépendants, puis avec jetons assujettis144. Alors qu’il est difficile de savoir comment on calculait avec l’abaque de l’Antiquité, nous sommes en revanche mieux informés de la pratique médiévale grâce à GERBERT D’AURILLAC. Il aurait

____________________ 141 F. GLICK, Islamic and christian… (1979), p. 269–270: les neuf chiffres étaient en état de continuel changement à travers le Moyen-Âge et ces variations étaient les plus importantes en Espagne, foyer de multiples innovations. 142 Nous renvoyons à l’ article de B.P. WILLIAMS/R.S. WILLIAMS, Finger numbers… (1995), pp. 587–608. 143 A. ALLARD, L’enseignement du calcul arithmétique… (1994), p. 119–120; W. VAN EGMOND, Abacus, algorism, abbacus: methods of reckoning in the merchant culturres of Mediterranean, in Actes du Colloque ACISO 1999 (2001), pp. 21–54. 144 J. VERNET, Ce que la culture doit aux Arabes d’Espagne (1985), pp. 70–71. Selon W. VAN EGMOND, (op. cit., p. 25), l’abaque n’était pas utilisé ou même bien connu du XIIème au XVème siècle, dans le monde méditerranéen. Sa présence dans notre traité doit d’autant plus éveiller notre intérêt.

À mi-chemin entre théorie et pratique commerciale

85

emprunté aux Arabes d’Espagne l’usage d’un abaque145 à colonnes dont la pratique exigeait des règles difficiles146. GERBERT affirme que c’est un usage «que comprennent à peine les abacistes en nage» (que a sudantibus abacistis uix intelliguntur)147. Il s’agissait d’un abaque avec les neuf chiffres de la numération de position employée par les Arabes. Les manuscrits de notre texte présentent à la fois des chiffres romains et arabes: un mélange qui paraîtrait curieux à première vue, s’il ne se voyait expliqué par les influences grecques, latines et arabes dont cet ouvrage a fait l’objet. Ainsi, le manuscrit de BNF, Paris. lat. 15461 (P) présente au folio 50v un abaque caractéristique du XIIIème siècle. Toutefois, malgré la présence de cet abaque, rien ne justifie chez notre auteur l’usage de ce dernier si ce n’est l’utilisation qu’il semble en faire: pour trouver le dixième d’un nombre, l’auteur affirme qu’il suffit de reculer le nombre d’une position vers la droite (cfr commentaire p. 97–98). On ne peut préciser quand naquit un système de numérotation par les doigts et les mains, appelé calcul digital148. Il est certain que depuis le haut Moyen Âge, un moyen pratique de représentation des nombres par de savantes positions des doigts et des deux mains facilitait la mémorisation des reports dans les opérations effectuées par calcul mental et peut-être par abaque, au moins quand sur celui-ci les jetons ne portaient pas de chiffres149. Ce système, appelé aussi dactylonomie, évite tout recours à la notation graphique, ce que feront plus tard largement Leonardo FIBONACCI et Luca PACIOLI150. L’origine de cette méthode remonte peutêtre à l’Antiquité et à la description que nous en donne BÈDE LE VÉNÉRABLE (673–735)151. Dans notre texte, il est fait à plusieurs reprises allusion à ce système de calcul «cum digitis»: l’utilisation des termes digitus, articulus et surtout manus s’y retrouve maintes fois reprise. L’auteur propose à plusieurs moments de garder en main les reports dans les multiplications. Nous en proposons la liste ci-dessous: ____________________ 145 P. MOON, The Abacus (1971); C. MUGLER, Abaque, pp. 19–20; R. SCHRIMPF, Abaque (Extrême-Orient), pp. 17–19. 146 A. ALLARD, La révolution arithmétique du Moyen âge (1995), p. 744. Nous savons que GERBERT D’AURILLAC (945–1003), le futur pape de l’an mil, aurait appris, lors d’un séjour en Espagne musulmane, le système de numération et les méthodes de calcul d’origine indienne. C’est lui qui sera à l’origine de la première introduction des chiffres dits «arabes» en Europe occidentale: seulement les neuf chiffres, mais non le zéro ou les méthodes de calcul d’origine indienne. La raison en est le conservatisme des peuples chrétiens. 147 N. BUBNOV, Gerberti postea…, p. 387; G. BEAUJOUAN, L’enseignement du quadrivium (1972), p. 654. 148 A. ALLARD, La révolution arithmétique du Moyen âge (1995), p. 744. Les positions sont rapportées dans l’Arithmétique d’AL-UQLĪDĪSĪ. 149 BÈDE LE VÉNÉRABLE parle de deux méthodes: la première consiste à représenter les nombres de 1 à 9999 par les positions déterminées des doigts, l’autre utilise les phalanges. 150 R. LEMAY, The hispanic origin (1977), p. 436, note 4. 151 BÈDE LE VÉNÉRABLE, De loquela per gestum digitorum, chapitre I, et De temporum ratione, chapitre I (P. MIGNE, PL 90, p. 295).

86

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Méthode digitus/articulus Édition

p. 8, l. 2 (deux fois), 35; p. 9, l. 5, 15 p. 10, l. 12,14,15 (deux fois). 26,29; p. 11 (tableau) p. 11, l. 3 p. 11, l. 15 ; p. 12, l. 1 p. 32, l. 6–12 p. 33, l. 1,24,25,26,p. 34, l. 1 (deux fois),2,5 p. 34, l. 8(deux fois), etc.

manus p. 41, l. 18 «quos retine in una manu»(multiplication) p. 41, l. 29 «quos retine in manu tua» (multiplication) p. 48, l. 29 «agrega hec omnia in manu tua»(addition) p. 48, l. 29/30 «fit in una manu (…)in altera manu» p. 49, l. 32/33 «quos retine in una manu» p. 50, l. 19 «manus non possunt omnes retinere»

Ce système digital disparaîtra progressivement avec le développement du système indien. Les chrétiens d’Europe se sont montrés fort attachés à leurs systèmes archaïques et ont été très réticents une fois mis en présence de la numérotation et des méthodes de calcul d’origine indienne. Pour conclure ce point, nous pouvons une nouvelle fois affirmer que l’Espagne médiévale fut en quelque sorte un lieu privilégié de la diffusion des mathématiques, et ce dès le XIIème siècle. Aussi, pour apprécier les liens existant au Moyen Âge entre science et savoir-faire, faut-il bien se garder de trop penser aux architectes et aux ingénieurs qui illustreront la Renaissance. Si le Liber mahameleth traite de mathématiques simples, il n’en demeure pas moins une œuvre originale pour l’époque et un ouvrage avec lequel il faut compter. L’auteur ne se contente pas d’enseigner une pratique commerciale destinée aux marchands. Il souhaite aiguiser leur intelligence et les amener, à force d’exercices pratiques, à maîtriser toutes les finesses de l’arithmétique pratique, comme nous le verrons dans le point suivant.

4.2

LES MATHÉMATIQUES DANS NOTRE TRAITÉ

Le texte du Liber mahameleth a déjà fait l’objet de recherches, comme l’attestent plusieurs articles de Jacques SESIANO152. Nous y ferons plus clairement allusion dans les chapitres concernés. Comme nous l’avons déjà expliqué précédemment, le Liber mahameleth est divisé en deux parties. La première est une partie théorique qui établit par des définitions, des explications et des théorèmes les fondements mathématiques (essentiellement les opérations dites arithmétiques) qui seront utilisés dans la seconde partie, comme la pratique des opérations sur les entiers, fractions et racines. C’est ____________________ 152 Nous proposons ici la liste des articles que nous avons pu découvrir: J. SESIANO, Survivance médiévale en Hispanie…(1987), pp. 18–61; J. SESIANO, Le Liber mahameleth…(1988), pp. 69–98; J. SESIANO, Un recueil du XIIIème siècle …(2000), pp. 71–132.

Les mathématiques dans notre traité

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dans la seconde partie que seront traitées diverses sortes d’application des mathématiques à la vie courante: à l’exception des problèmes de type récréatif présents à la fin de l’ouvrage, les exemples proposés sont d’ordre pratique (ex. engagement d’ouvriers, achat et vente de produits divers,…). Les mathématiques utilisées dans le traité sont assez simples. Cette simplicité s’explique compte tenu de la limitation au commerce et à certains exercices qui en découlent. Néanmoins, de nombreux passages du traité nécessitent une explication claire et précise. Pour cette raison, nous avons choisi de suivre le plan du texte, tout en respectant un schéma-type: – Proposer un résumé du contenu au début de chaque partie (introduction, première partie, deuxième partie); – Pour chaque méthode utilisée par l’auteur, en expliquer la théorie, puis l’étayer au moyen d’un exemple choisi pour sa clarté. Cette méthode est différente de celle de l’auteur qui préfère souvent mettre le lecteur en face d’un problème concret sans en donner nécessairement l’explication.

4.2.1

Introduction (pp. 5–12 de l’édition) 4.2.1.1 Résumé

Dans son introduction, l’auteur tend à déterminer ce qu’il faut entendre par nombre. Il distingue l’arithmétique théorique de l’arithmétique pratique. Puis explique la nécessité qu’il y a d’utiliser l’arithmétique décimale de position. Enfin, il aborde le problème complexe de la «note» qui sera utilisée abondamment dans la première partie du traité. 4.2.1.2 Explication L’ouvrage s’ouvre sur une introduction qui tend à situer dans l’ensemble de la connaissance la science des mathématiques appliquées au négoce (éd., pp. 7). Comme précisé plus haut, l’arithmétique est la science des nombres, de leurs relations et de leurs propriétés. C’est précisément sur la propriété du concept de base des mathématiques, nous entendons par là le nombre, que l’auteur du traité s’interroge tout d’abord, et il se propose de le démarquer par rapport au tout de la réalité. Pour clarifier son exposé, nous l’avons reproduit en établissant le schéma suivant qui rappelle, à bien des égards, l’arbre de PORPHYRE153:

____________________ 153 PORPHYRE (234–305), disciple de PLOTIN, a proposé un diagramme logique, figurant par dichotomies successives la série des genres et des espèces, depuis le genre suprême (substance) jusqu’à l’individu.

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La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Omnia (tout) ex artificio hominis (produit de l’activité humaine)

sub motu (sous le mouvement)

non possunt esse sine motu et materia (ne peuvent exister sans mouvement et matière)

non possunt intelligi absque materia(ex. humanitas) ne peuvent être compris sans matière

non ex artificio hominis (pas le produit de l’activité humaine)

non sub motu (ex. deus, angelus) (pas sous le mouvement)

possunt esse sine motu (ex. unitas, numerus, causalitas,...) (peuvent exister sans mouvement)

possunt intelligi absque materia (ex. quadratura) peuvent être compris sans matière

À ce stade-ci du raisonnement, une première définition peut être envisagée: le nombre est un pur produit humain, soumis au mouvement, mais pouvant exister sans ce mouvement. L’auteur propose une longue explication sur l’arithmétique théorique et pratique, il y est notamment question du pair et de l’impair154. Il y parle de l’arithmétique théorique ou spéculative de NICOMAQUE DE GÉRASE et de l’arithmétique pratique ou active. Dans l’arithmétique pratique ou active, le nombre est étudié dans la matière. Cette arithmétique fait l’objet d’une étude chez AL-KHWĀRIZMĪ. En arithmétique moderne, nous parlerions de «nombre concret», puisque la nature de l’unité est indiquée. L’auteur précise que l’étude du grand mathématicien arabe sera effectuée dans le présent ouvrage, mais il s’agit ici de la seule allusion directe faite à AL-KHWĀRIZMĪ. À l’époque médiévale, cette arithmétique consistait essentiellement dans l’usage de la vieille numération romaine et dans la pratique des opérations au moyen de cailloux et de jetons sur l’abaque légué par la civilisation romaine. Elle comprenait aussi la manière de compter sur les doigts, transmise par ____________________ 154 Nous renvoyons à G. BEAUJOUAN, L’enseignement du quadrivium (1972), p.644, qui étudie le De institutione arithmetica de BOÈCE et l’opposition qu’il y trouve entre le pair et l’impair. Notons que la glose du manuscrit D.42 de Padoue qui figure sur la page de garde y fait allusion.

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ISIDORE DE SÉVILLE (mort en 636) et BÈDE LE VÉNÉRABLE (mort en 735). Quant à l’arithmétique «théorique», elle puise ses sources dans une œuvre attribuée au mathématicien latin BOÈCE (Vème siècle p.C.n.), qui s’était lui-même largement inspiré d’un ouvrage mathématique dû au Grec NICOMAQUE DE GÉRASE (IIème siècle p.C.n.). Chez lui, le nombre est étudié en lui-même. En arithmétique moderne, nous parlerions de «nombre abstrait», puisque la nature de l’unité n’est pas indiquée. Ensuite, l’auteur veut expliquer à son lecteur que pour former les nombres entiers, on compte au moyen d’unités. Ainsi le nombre entier se présente sous différentes formes155: «digite», «articule», «limite»156 ou composé. Par «limite» entend-il la position d’un nombre dans le système décimal (10, 20, 30,…) ou bien d’un nombre composé d’éléments ayant la même position (unité avec unité…)? L’auteur n’éclaircit pas ce point. D’autre part, il est important de souligner que tous les textes connus de cette époque n’envisagent que trois types de nombres entiers: les digites, les articules et les composés. En arithmétique moderne, pour n’avoir pas à créer un nom spécial pour chaque ordre, on a groupé ceux-ci trois par trois en classes. Ainsi on aime appeler les trois premiers ordres la classe des unités, le quatrième au sixième ordre la classe des mille, le septième au neuvième ordre la classe des millions, etc. Traduire dans ce cas-ci uniquement le terme «limes» par «classe» nous paraît possible. Par ailleurs, l’auteur ajoute que le nombre entier est divisible et n’est pas l’unité ni une réalité numérée. Nous ajouterons qu’il sous-entend que le nombre est le symbole caractérisant une unité157 ou une collection d’unités et ajoute que l’unité n’est pas le nombre mais la cause et le principe du nombre. L’auteur approfondit l’arithmétique pratique en étudiant les formes diverses sous lesquelles elle se présente: addition, multiplication, etc.158 La numération parlée (éd., pp. 8–11) permet de nommer beaucoup de nombres en employant peu de mots différents. Pour cette raison, des ordres (ou positions) ont été établis: il s’agit de l’arithmétique décimale de position (plus complète que ____________________ 155 Nous avons conservé la forme latine des termes «digite» et «articule» afin éviter de trop longues périphrases et parfois une traduction trop redondante (ex. éd., p. 9, l. 7: «Nota unorum uel digitorum est unum» qui aurait été traduit par «la note des unités ou des nombres formés d’unités est un»). Nous nous en expliquons plus longuement dans le glossaire. 156 Cfr glossaire à la page 145 du commentaire. 157 La définition sur l’unité que propose notre texte est proche de celle que nous trouvons dans les Éléments d’EUCLIDE VII, 2. Nous retrouvons également cette définition dans la traduction latine d’AL-KHWĀRIZMĪ chez ROBERT DE KETTON (cfr B.B. HUGUES): «et inueni nihil aliud esse numerum nisi quod ex unitatibus componitur. Vnitas ergo in omni numero reperitur». Il s’agirait d’une interpolation sur la définition de l’unité due à Johann SCHEUBEL et manifestement inspirée d’une traduction des Éléments d’EUCLIDE. 158 On remarque l’omission presque constante de la multiplication par deux et de la division par deux (exception faite de l’usage occasionnel de «dimidiare») que l’on retrouve pourtant dans de nombreux traités d’algorisme.

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La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

celle d’AL-KHWĀRIZMĪ159). L’auteur fait une courte allusion (éd., p. 8, l. 18) au nom des nombres160. Par numération écrite (éd., pp. 11/12), l’auteur désigne la numération qui a pour but de représenter tous les nombres au moyen de «notes». En effet, il constate qu’à chaque puissance de dix est associée sa «note», à savoir la valeur de cette puissance. Ainsi la «note» 1 est attribuée à la dizaine comprise entre un et neuf, la «note» 2 à ce qui est compris entre 11 et 99, la «note» 3 à ce qui est compris entre 100 et 999, etc161.

4.2.2

Première partie (pp. 13–181 de l’édition) 4.2.2.1 Résumé

L’auteur poursuit son exposé en proposant des «préliminaires»: – il introduit des identités dont certaines traduisent les propriétés d’associativité, de commutativité, de distributivité, et conclut en utilisant huit propositions du troisième livre de l’Algèbre d’Abū KĀMIL. – il redémontre, en les transposant de la géométrie à l’arithmétique, les dix premières propositions du livre II des Éléments d’EUCLIDE. Il considère que l’entièreté de cette œuvre du mathématicien grec doit être lue avant de poursuivre la lecture de son traité. Commence alors, à proprement parler, le Liber mahameleth. L’auteur va s’intéresser aux opérations sur les nombres entiers: – il consacrera l’essentiel de ce développement à la multiplication, en ayant soin de passer en revue toutes les sortes de multiplications existantes (vingt-huit au total). Puis il analyse, grâce au système des «notes» expliqué peu avant, les règles permettant de calculer dans quelle puissance de dix est situé le produit de deux nombres. – À côté de ce développement sur la multiplication, celui réservé à la division et à la dénomination (autre forme de division)162 paraît fort mince: leur étude ne portera que sur les grandes puissances de dix. ____________________ 159 A.P. YOUSCHKEVITCH, Les mathématiques arabes… (1976), pp. 15–25. 160 Les auteurs classiques de l’Antiquité en parlent déjà dans leurs œuvres. Prenons l’exemple de Cicéron dans les Tusculanes I, 62: «sonos uocis paucis litterarum notis» (tous les sons de la voix dans un petit nombre de lettres). Bien que ce soit un lieu commun que de souligner cette évidence, une source antique a pu influencer notre auteur. 161 Quand ce système apparaît-il pour la première fois? Certaines réserves doivent être émises quant à la paternité d’AL-KHWĀRIZMĪ. Selon J. RUSKA, Ibn HAYYAN la proposerait déjà. (Cfr A.P. YOUSCHKEVITCH, Les mathématiques arabes…, p. 15, note 4). 162 Le Liber mahameleth parle clairement ici d’une division (où le dividende est inférieur au diviseur), contrairement aux manuels connus de l’Occident musulman où la «dénomination» n’est pas à proprement parler une «division» (même si elle se voit placée dans le chapitre de la division).

Les mathématiques dans notre traité

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– S’ouvre alors le chapitre sur les fractions, qui doit être considéré comme le plus important du traité. Les quatre opérations principales font l’objet d’une étude ordonnée et l’auteur a soin de proposer les multiples combinaisons possibles. – Enfin, l’auteur (uniquement dans le manuscrit lat. 7377A) aborde un chapitre consacré à l’extraction des racines carrées et quatrièmes ainsi qu’aux opérations sur les radicaux.

4.2.2.2 Explication 4.2.2.2.1

Préliminaires

L’auteur a balisé son traité en proposant des «préliminaires»: il approfondit l’arithmétique pratique en étudiant les formes diverses sous lesquelles elle se présente (addition, duplication, multiplication, etc.). Il insiste plus loin sur l’arithmétique décimale de position et souligne qu’à chaque puissance de dix est associée sa «note», autrement dit la valeur de cette puissance. Il poursuit en introduisant des identités dont certaines traduisent: a) les propriétés d’associativité (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c ou (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) = a ∙ b ∙ c b) les propriétés de commutativité a+b=b+a ou a ∙ b = b ∙ a c) les propriétés de distributivité a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c Il étudie tout d’abord une mise au point sur la multiplication et l’addition avant l’étude de l’arithmétique pratique. Quand il aborde l’addition (éd., pp. 15–18)163, l’auteur s’attarde sur ce que nous appellerons la progression arithmétique164, soit une suite de nombres dont chacun est obtenu en ajoutant au précédent une constante que les mathématiciens modernes appellent raison165. Il conclut en reprenant huit propositions de type euclidien166 (éd., pp. 19–25). Il y est question des identités dont certaines traduisent ce qu’en mathématique mo____________________ 163 Le manuscrit D.42 de Padoue propose un tableau (après page 15, l. 12 de l’édition) ainsi qu’un texte que nous n’avons repris dans cette édition. Il aurait dû se trouver après l’explication sur la multiplication (p. 34, l. 8–p. 35, l. 3 de l’édition). Il s’agit d’une table de multiplication avec commentaires, très vraisemblablement une glose. 164 Il y reviendra ultérieurement au cours de la onzième digression p. 156, l. 10–p. 159 de l’édition. 165 Nous remarquons une erreur dans la figure du manuscrit Paris. lat. 15461 (f. 27r) où les points q et r sont placés sous le point k. Le manuscrit D.42 (ff. 2r–2v) présente deux figures en fonction de ce que nous appelons la raison paire et la raison impaire. 166 La seconde est reprise du troisième livre de l’Algèbre (Kitāb fi al-Gabr wa-l-muqābala) d’Abū KĀMIL.

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La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

derne nous appelons les propriétés de commutativité et d’associativité du produit. En voici la retranscription algébrique: [1] (a ∙ b) ∙ g = (g ∙ b) ∙ a (éd., p. 17, l. 1–17) [2] (a ∙ b) ∙ (g ∙ d) = (a ∙ g) ∙ (b ∙ d) (éd., p. 17, l. 18–p. 19) [3] (a : b) : d = a : (b ∙ d) (éd., p. 20, l. 1–17) [4] (a : b) ∙ d = (a ∙ d) : b (éd., p. 20, l. 18–p. 21, l. 7) [5] a1/a2 = a3/a4 et a5/a2 = a6/a4 => Ia1 – a5I/a2 = Ia3–a6I/a4 (éd., p. 21, l. 8–p. 22, l. 5) Il est indispensable d’ajouter qu’il s’agit de la valeur absolue, car a1>a5 et a3>a6 [6] Soit a>b: (a : b) – (b : g) = (a – b) : g (éd., pp. 22, l. 6–p. 23) [7] a/g + b/g = (a + b)/g (éd., p. 24, l. 1–20) [8] (a : g) + (b : g) = (a + b) : g (éd., p. 24, l. 21–p. 25, l. 9) Enfin, l’auteur redémontre les dix premières propositions du livre II des Éléments d’EUCLIDE (éd., p. 25, l. 10–p. 31, l. 17). L’auteur s’attarde sur les identités qui sont une adaptation aux nombres, et qu’EUCLIDE avait appliquées aux segments de droite dans les dix premières propositions de son second livre. Notre auteur redémontre ces dix propositions en pratiquant la transposition de la géométrie à l’arithmétique. Ce passage est intéressant, car l’auteur y explique que ce choix des Éléments n’est pas dû au hasard, mais a été fait en raison de son utilité. En effet, pour mieux connaître la science de mahameleth, il faut «lire et connaître parfaitement» celle d’EUCLIDE. Pour cette raison, il a semblé bon à notre auteur de reproduire les propositions du Livre II et certaines des livres VII, VIII et IX, en les appliquant aux grandeurs numériques167. Nous ferons toutefois une remarque à propos des propositions 1 à 10. Bien que les ressemblances avec l’algèbre soient claires puisque ces propositions élaborent des égalités, les objets sur lesquels porte le «calcul» restent néanmoins des éléments de représentations graphiques (cfr linéation numérique) et les propositions tiennent compte des problèmes de position relative des points (ex. II,10), caractéristique éminemment géométrique. En voici la traduction algébrique: [1] m ∙ (a + b +c +…) = m ∙ a + m ∙ b + m ∙ c + … [2] (a + b) ∙ a + (a + b) ∙ b = (a + b)2 [3] (a + b) ∙ a = a2 + a ∙ b [4] (a + b)2 = a2 + b2 + 2 a ∙ b [5] a ∙ b + [(a – b)/2]2 = [(a + b)/2]2 ou a ∙ b = [(a + b)/2]2 – [(a – b)/2]2 [6] (a + b) ∙ b + (a/2)2 = ((a/2) + b)2 ou (a + b) ∙ b = ((a/2) + b)2 – (a/2)2 [7] a2 + b2 = 2 a ∙ b + (a – b)2 ou (a – b)2 = a2 + b2 – 2 a ∙ b [8] 4 a ∙ b + (a – b)2 = (a + b)2 ____________________

(éd., p. 25, l. 10–p. 26, l. 15) (éd., p. 26, l. 16–25) (éd., p. 27, l. 1–12) (éd., p. 27, l. 13–p. 28, l. 2) (éd., p. 28, l. 3–20) (éd., p. 28, l. 21–p. 29, l. 6) (éd., p. 29, l. 7–21) (éd., p. 29, l. 22–p. 30, l. 5)

167 Une évidente référence au livre II est présente dans la retranscription du «in seipsam » que l’auteur reprend plusieurs fois en oubliant de le transformer.

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[9] a2 + b2 = 2 (((a + b)/2)2 + ((a – b)/2)2) [10] (a + b)2 + b2 = 2 [(a + b)/2]2 + [(a – b)/2]2

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(éd., p. 30, l. 6–p. 31, tabl. 19) (éd., p. 31, l. 1–17)

Commence alors, à proprement parler, le Liber mahameleth (éd., p. 31, l. 18– p. 32, l. 2)168. L’auteur va s’intéresser aux opérations sur les nombres entiers.

4.2.2.2.2

La multiplication

L’auteur va consacrer l’essentiel de ce développement à la multiplication (éd., p. 32, l. 3–p. 62, l. 4), en ayant soin de passer en revue toutes les sortes de multiplications existantes: celle des unités entre elles, des dizaines entre elles, des unités et dizaines entre elles, etc. jusqu’aux grandes puissances de dix. Il ébauche l’étude des fractions, mais il leur consacrera une étude spéciale ultérieurement (éd., pp. 75–159). Dans l’ensemble du Liber mahameleth, l’auteur se propose d’examiner vingthuit sortes de produits: il s’agit des produits de deux expressions composés chacun de trois termes au plus, dont l’un est un entier, l’autre une fraction et le troisième une fraction de fraction. Quand il aborde la multiplication des «digites» (éd., p. 34, l. 8–p. 35), il propose les «tables» de multiplication de 1 à 10, puis cinq cas de multiplication de digites par eux-mêmes. Il est ensuite question de la multiplication des «digites» par d’autres «digites». Enfin, il analyse, grâce au système des «notes» expliqué peu avant (éd., p. 36–p. 40, l. 4), les règles permettant de calculer dans quelle puissance de dix est situé le produit de deux nombres (éd., p. 35, l. 27–p. 36, l. 18 et p. 40, l. 5–p. 45). L’auteur propose deux méthodes pour multiplier les nombres. A. La première méthode applique le système de la «note»: les nombres y sont disposés en fonction de leur ordre (ordo) ou position (differentia)169, soit l’ensemble des neuf nombres compris entre chaque puissance de dix. À chaque puissance de dix est associée sa note, soit la valeur de cette puissance. Ainsi on peut distinguer chaque ordre par une «note». Exemple: dans le nombre 1 000, le «1» occupe le 4ème ordre et donc sa «note» est 4; dans le nombre 1 000 000, le «1» occupe le 7ème ordre et sa «note» est 7, etc.

Il est également question de «répétition»: il s’agit de la répétition des trois derniers chiffres, ainsi dans 1 000 000, il y a deux répétitions (de «000»). Précisons que l’auteur effectue seulement la répétition de la dernière partie du nombre. ____________________ 168 Il n’est toutefois pas absolument certain que le Liber mahameleth commençait ici: nous lisons dans le manuscrit lat. 15461 que ce qui précède la page 25, l. 10 de l’édition constituait les «Préliminaires», ce qui sous-entend que la mise au point sur EUCLIDE est un élément essentiel du traité, ce que l’auteur confirmera plus loin. 169 À travers les exemples proposés, nous remarquons que l’auteur ne fait aucune différence entre les termes «ordre» et «position», et imite en cela JEAN DE TOLÈDE: cfr glossaire à la page 143 du commentaire.

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La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Ainsi dans le second exemple (éd., p. 37, l. 17), il parle de «dix mille fois mille répété quatre fois». Or, ce n’est pas la totalité du nombre qui est répétée quatre fois (ce qui nous aurait donné 10 000 000 000 000 000), mais en réalité le dernier mille qui est répété quatre fois (ce qui donne 10 000 000 000 000). Pour éviter toute confusion possible, nous adopterons comme convention l’usage des parenthèses dans le nombre. Ainsi, pour le cas cité, nous proposerons 10 (000)4. Nous ajouterons que cette convention n’engage que nous-même. Quatres cas de figure sont proposés, suivant que l’on cherche la «note» ou le nombre : a) La «note» est inconnue et le nombre connu: «note» inconnue = (nombre n des chiffres d’une répétition) ∙ (nombre de répétition) + unité/dizaine/centaine. Exemple choisi: Nombre connu = 10 (000)4 Note = ? Comme 1 répétition = 3 chiffres, alors ici 4 répétitions font 4 ∙ 3 = 12 et 12 + 2 (dizaine) = 14. La «note» est donc 14.

b) La «note» est connue et le nombre inconnu: nombre inconnu = («note» connue) : 3 = nombre de la répétition + position du reste. Si ce reste est 1, on a 1 000 000; si ce reste est 2, on a 10 000 000; si ce reste est 3, on a 100 000 000, etc. Exemple choisi: Note = 15 Nombre = ? 15 : 3 = 5 ou 4 (nombre de répétitions) + 3 (reste => centaine) ∙ Nombre est donc 100(000)4

c) Le nombre est connu (la «note» connue) et la position est inconnue: position = (nombre de répétitions) ∙ (nombre d’une répétition) + «note» du premier chiffre. Exemple choisi: 6

Nombre = 100 (000) Note = 3

Position = 6 (nombre de répétitions) ∙ 3 (nombre d’une répétition) = 18 18 + 3 (= «note» du 1 de 100 000) = 21. La position est donc 21

d) La position est connue (et la «note» connue) et le nombre inconnu est annoncé. Ici, Au lieu de rechercher le nombre en fonction de la position (differentia), l’auteur propose des exemples qui permettent de rechercher le nombre en fonction de la «note», soit la règle déjà proposée au point b. Exemple choisi: Note = 11 = ?

Les mathématiques dans notre traité

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Position = ? 11 : 3 = 3 (nombre de répétitions) + 2 (reste => dizaine). En réalité, c’est le nombre qui est trouvé: 10 (000)3

L’auteur envisage ensuite de multiplier des nombres suivant la «note», mais il excepte les composés. Exemples choisis: Mille

100(000)3 ∙ 5(000)4 = ?

8(000)4 ∙ 400(000)7 = ?

La règle est: 1° Soit x, y qui sont des mille 1° 100(000)3 ∙ 5(000)4

1° 8(000)4 ∙ 400(000)7

2° Déterminer à quel ordre appartiennent x et y

2° Ordre des mille

2° Ordre des mille

3° Multiplier entre eux les 3° 1 ∙ 5 = 5 leur ordre et les mettre en retrait

3° 8 ∙ 4 = 32

4° Additionner les «note» de x et y et soustraire 1 de leur somme, puis établir l’ordre du chiffre

4 4° 5(000) a pour «note» 13 3 100(000) a pour «note» 12 13 + 12 = 25. 25 – 1 = 24 («note» des centaines) 7 24 = 100(000)

4° 8(000)4 a pour «note» 13 7 400(000) a pour «note» 24 13 + 24 = 37. 37 – 1 = 36 («note» des centaines) 11 36 = 100(000) *1

5° Établir le nombre de digites et articules

5° Dans 5 il y a 5 digites 5° Dans 32 il y a 3 articules 7 7 =>5.100(000) = 500(000) et 2 digites => (2 ∙ 100) + (30 ∙ 100) = 3200. Le résultat attendu est 3 200 11 (000) *2 *1 Erreur de l’auteur pour qui il s’agit de: 1 000(000)12. *2 Autrement dit: 3(000)12 + 200(000)11.

Après son étude sur les «note» des nombres et les règles de multiplication suivant la «note», l’auteur explique (éd., p. 42, l. 6–p. 43) la raison pour laquelle on retire un aux deux «notes» additionnées entre elles. Il se réfère abondamment à

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La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

EUCLIDE170 comme nous nous en expliquons longuement dans le chapitre consacré aux sources171. L’auteur continue son étude sur la multiplication: celle des «limites» (éd., p. 43, l. 29–p. 44, l. 12) et des «articules» (éd., p. 44, l. 13–p. 45). Pour les limites seulement, les règles précitées sont reprises. Ainsi pour trouver le produit de 3 000 par 4 (000)2, il propose que 3 000 ∙ 4 (000)2 = (3 ∙ d) ∙ (4 ∙ k). Or d ∙ k = m, alors (3 ∙ d) ∙ (4 ∙ k) = 12 ∙ m. B. La seconde méthode qui vise à multiplier deux nombres (éd., pp. 46–74) n’applique plus le système de la «note». L’auteur propose de multiplier les nombres entre eux en les dédoublant: deux exploitations de cette méthode sont possibles. Nous proposons de l’expliquer au moyen d’un exemple. Ainsi pour trouver 38 ∙ 40 = ? Exploitation (a) Il s’agit de multiplier entre eux les chiffres du multiplicande et du multiplicateur Exploitation (b) Il s’agit de multiplier au moyen des positions.

8 ∙ 40 = 320 30 ∙ 40 = 1200 320 + 1200 = 1520 38 = 40 – 2 40 ∙ 40 = 1600 (–2) ∙ 40 = (–80) 1600 – 80 = 1520

L’auteur envisage la multiplication des nombres entiers (digites, articules et centaines) (éd., p. 46–p. 48, l. 4), puis celle des nombres composés (éd., pp. 68–71), des «limites» (éd., p. 51) et des mille (éd., pp. 51–62). Il reprend également la règle des signes pour la multiplication (éd., p. 48)172. ____________________ 170 Il se réfère ici aux livres VIII et IX des Éléments. 171 L’auteur envisage également la solution d’un autre «opérateur» (actor dans le texte) sans préciser son nom. Selon lui, on soustrait toujours un de la «note» de deux nombres multipliés entre eux en se référant aux Éléments VII, 19 d’EUCLIDE où il s’agit de développer la propriété fondamentale selon laquelle quatre nombres sont en proportion si et seulement si le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Ainsi, dans le cas traité par l’auteur, la «note» du produit du premier et quatrième est égale à la «note» du produit du second et du troisième. Et donc la soustraction des «notes» du second et troisième de la «note» du premier donne comme résultat la «note» du quatrième que l’on cherche. Un exemple: si la «note» des digites est 2 et si la «note» de chaque nombre lie le précédent aux 2, alors on soustrait 2 de la multiplication de deux «notes». Si la «note» des digites est 3 et si la «note» de chaque nombre lie le précédent aux 3, alors on soustrait 3 de la multiplication de deux «notes». + multiplié par + => + – multiplié par + => – 172 + multiplié par – => – – multiplié par – => + L’auteur aurait pu ajouter pour les signes négatifs la règle plus générale selon laquelle un produit de facteurs est: positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair. S’il ne l’a pas fait, on peut l’expliquer étant donné que l’auteur s’est attaché à la multiplication de seulement deux facteurs.

97

Les mathématiques dans notre traité

Un exemple (éd., p. 54, l. 18–35) mérite d’être développé: 6 468 ∙ 4 564 = ?. En suivant l’ordre du calcul, 6 000 ∙ 4 000 = 24 000 000, puis 4 000 ∙ 400 = 1 600 000, etc., l’auteur place dans un tableau les chiffres sous les colonnes adéquates. Si une ligne est déjà occupée par un chiffre dans une colonne, par exemple le «1» de 1 600 000 avec le «4» des 24 000 000, il écrit sous les «4» le «1» de 1 600 000, puis continue la première ligne avec les 6, etc. Soit la première étape: 6 000 ∙ 4 000 = 24 000 000

2

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Puis la seconde étape: 4 000 ∙ 400 = 1 600 000

2

4 1

6

0

0

Puis la troisième étape: 4 000 ∙ 68 = 272 000

2

4 1

6 2

7

2

Et ainsi de suite… Pour reprendre les diverses étapes, nous avons décomposé ce tableau de la manière suivante: Le tableau 6000 ∙ 4000 = 24000000 2ème rangée 4000 ∙ 400 =

1600000 2ème et 3ème rangées

4000 ∙ 68 =

272000 2ème et 3ème rangées

500 ∙ 6000 =

3000000 4ème rangée

500 ∙ 400 =

200000 4ème rangée

500 ∙ 68 =

34000 3ème rangée

64 ∙ 6000 =

384000 4ème et 5ème rangées

64 ∙ 400 =

25600 2ème et 5ème rangées

64 ∙ 68 = Total

4352 2ème, 3ème et 6ème rangées 29519952 1ère rangée

98

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Le tableau final proposé par l’auteur est le suivant:

4.2.2.2.3

2

9

5

1

9

9

5

2

2

4 1 3

6 2 2 3

7 3 8 2

2 4 4 5 4

6 3

5

2

La division et la dénomination

À côté de ce développement sur la multiplication, celui réservé à la division (éd., p. 62, l. 5–p. 68)173 et la «dénomination» (éd., pp. 69–74)174 paraissent fort minces. Contrairement au chapitre sur la multiplication, la division et la «dénomination» ne seront étudiées que pour les grandes puissances de dix. Pour la division, deux méthodes sont proposées. Ainsi, pour trouver 24 : 8 = ? (éd., p. 63, l. 14–20). Méthode 1° a : b = c et d : b = e alors c : e = a : d (l’auteur écrit: Comme a : b = c, alors c ∙ b = a) Méthode 2° Un nombre/un nombre = commun divisé /commun divisé (l’auteur du texte écrit: Un nombre : un nombre = commun diviseur : commun diviseur)

24 : 4 = 6 et 8 : 4 = 2, alors 6 : 2 = 3 = 24 : 8 Ceci nous rappelle le calcul du plus grand commun diviseur, même si aujourd’hui nous prendrions plutôt 8 comme PGCD. 24/8 = 6/2 6 et 2 sont les communs divisés car le commun diviseur est ici 4.

Ensuite, l’auteur propose une forme de division (éd., p. 65, l. 17–p. 68) qui rejoint déjà les problèmes pratiques sur la conversion d’unités de mesure dont il sera question dans la seconde partie du traité. Puis, avec la «dénomination» (éd., pp. 69–74), il suggère une mise au point théorique sur la divisibilité ou non de certains nombres (par exemple: si x n’est pas divisible par 2, il ne l’est pas non ____________________ 173 La division n’est étudiée que pour les grandes puissances de dix. Dans la diuisio, le numérateur est supérieur au dénominateur. 174 Par denominatio (que nous traduisons par «dénomination»), l’auteur entend ici la division avec un numérateur inférieur au dénominateur. L’auteur utilise les termes dénomination, dénominande, dénominateur et dénominer au même titre qu’il utilise les termes division, dividende, diviseur et diviser. L’usage de ces derniers s’est maintenu, tandis que les premiers ont été fort atténués au fil du temps. Nous pensons que leur donner une nouvelle jeunesse n’est pas inutile, même s’il s’agit de pseudo-archaïsmes.

Les mathématiques dans notre traité

99

plus par 4, 6, 8 et 10; si x est divisible par 10, il l’est aussi par 5 et 2; si x est le numérateur 7, alors il est divisible par 7; un nombre x est divisible par 10, s’il n’a pas de digite; etc.), … Pour trouver le dixième ou le cinquième ou le nième d’un nombre, l’auteur fait usage de l’abaque (sans pour autant le préciser). Ainsi, pour trouver le dixième d’un nombre, il suffit de reculer le nombre d’une position vers la droite175. Enfin, l’auteur propose une explication de la décomposition d’une fraction selon les facteurs de son dénominateur (qui nous prépare au chapitre sur les fractions) en rappelant que, puisque 7 ∙ 10 = 10 ∙ 7, alors 1/10/7 = 1/7/10 et 1/8/9 = 1/9/8. Pour étayer cette explication, il propose comme exemple (éd., p. 71, l. 37– p. 72, l. 17). 1836 : 5040 = ? (a) Il s’agit de reculer le nombre d’une position vers la droite: 5 040 => 504 (b) diviser par 9 => 504 : 9 = 56 (c) diviser par 8 => 56 : 8 = 7 (d) diviser par 7 => 7 : 7 = 1 (e) Puis, on divise par chacun des quotients: (1°) 1836 : 504 = 3 + 324/504, (2°) 324: 56 = 5 + 44/56, (3°) 44 : 7 = 6 + 2 (f) Enfin, on additionne le tout et ainsi 1836 : 5040 = 3/10 + 5/9/10 + 6/8/9/10 + 2/7/8/9/10. Pour tous les exemples qu’il aborde, l’auteur divise par l’unité 12 (cfr exemple illustré), 13, 14, 1000, 1000000 et 80000. Puis suivent trois autres exemples (45 : 14 = ?; 5 000 : 40 (000)3 = ?; 400 : 10 000 000 = ?). C’est sûrement à cet endroit que devait se situer le court chapitre manquant sur les dénominations des mille répétés (éd., p. 74).

4.2.2.2.4

Les fractions

Le chapitre sur les fractions (éd., pp. 75–159) doit être considéré comme le plus important du traité. Pour la comptabilité, les transactions et la répartition des héritages, l’usage des fractions était répandu chez les habitants du Proche et Moyen-Orient176. Ce qui est frappant, c’est la large utilisation des fractions dont le numérateur est l’unité et la présentation des autres fractions sous forme de sommes et de produits de telles fractions (exemple: au lieu de dire 1/112, ils choisiront 1/2/8/7). On trouve ici la claire influence arabe sur les mathématiques: comme on ne peut dire «trois dix-huitième» en arabe, on l’exprime soit par «trois parts de dix-huit» ou ____________________ 175 L’auteur utilisait l’abaque, comme le prouve l’exemple suivant: 1 200 => 120 => 12 (qui n’a pas de dixième car présence du digite), mais 12 = 9 + 3 qui sont divisibles par 2, 3, 4 et 6. Pour trouver le cinquième d’un nombre, outre le recul d’une position vers la droite, il faut multiplier le nombre par 2, etc. 176 Sur les fractions au Moyen Âge, nous renvoyons à A.P. YOUSCHKEVITCH, Les mathématiques arabes… (1976), pp. 25–34; G. BEAUJOUAN, L’enseignement du quadrivium… (1972), p. 722 et H.L.L. BUSARD, Het rekenen met breuken (1968), pp. 3–20.

100

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

«trois parts de dix-huit parts». Il faut toutefois signaler que dans notre traité il n’est pas question de fractions sexagésimales, comme c’est le cas chez AL-KHWĀRIZMĪ. Dans le Liber mahameleth, les quatre opérations principales font l’objet d’une étude ordonnée et l’auteur a soin de proposer les multiples combinaisons possibles (ex. multiplication d’une fraction par un entier, multiplication d’une fraction de fraction par un entier, multiplication d’une fraction de fraction par un entier et une fraction, etc.). Les exemples numériques sont nombreux. L’auteur propose plusieurs méthodes pour résoudre les opérations sur les fractions (éd., p. 75–p. 77, l. 22): Méthodes

Exemples

1° La première méthode vise à faire tout d’abord disparaître le dénominateur de la fraction puis à diviser le résultat obtenu par ce même dénominateur.

3/4 ∙ 7 = ? Ainsi 4 ∙ 3/4 = 3 et 3 ∙ 7 = 21 et 21 : 4 = 5 + 1/4 Explication? Preuve: 3/4 = (3/4 ∙ 7)/7, donc 3 ∙ 7 = 1/4 ∙ 3/4 ∙ 7 et (3 ∙ 7)/4 = 3/4 de 7.

2° La seconde méthode reste proche de la première: il faut faire disparaître le dénominateur de la fraction et diviser ensuite le résultat obtenu par ce même dénominateur (ici référence aux proportions).

3/4 ∙ 7 = ? Ainsi 3/4 ∙ 4 = 3 et 3 ∙ 7 = 21 et 21/4 = 5 + 1/4 Explication? Le produit des moyens est égal au produit des extrêmes. Dans ce cas 3/4 = (3/4 ∙ 7)/7 et (3 ∙ 7)/4 = 3/4 ∙ 7

3° Avec la troisième méthode, l’auteur rappelle qu’un 3/4 ∙ 7 = ? nombre multiplié par l’unité ne change pas, et qu’une 1 ∙ 1/4 = 1/4 et 1 ∙ 3/4 = 3/4 et fraction est égale à l’unité lorsque le numérateur et le 21/4 = 5 + 1/4 dénominateur sont égaux. Si le numérateur dépasse le dénominateur, le nombre obtenu est supérieur à l’unité. 4° Dans la quatrième méthode, il s’agit de multiplier le numérateur ou les numérateurs entre eux, puis de diviser le produit par le dénominateur ou les dénominateurs. Si x, y, z, etc. (qui sont des dénominateurs) = W (nombres de dénomination), alors (N/x/y/z/etc.) ∙ E = N ∙ E /W

3/4 ∙ 7 = ? Ainsi 3 ∙ 7 = 21 et 21 : 4 = ) Explication? L’auteur propose une preuve que 3/4/7/28/28 = 3/4/7/15/15 Et comme le produit des moyens est égal au produit des extrêmes, alors (3 ∙ 15)/[1/4/7 ∙ 28/28] = 3/4/7 ∙ 15 L’auteur fait de plus remarquer que 3/4/7 ∙ 1 = 3/4/7, mais 3/4/7 ∙ 15 = 45/4/7 Et la division par 7 donne des quatrièmes et la division par 4 donne des septièmes, car 7/7/4 = 1/4 et 4/4/7 = 1/7. Ici 3/4/7/15 = ce qui est cherché et 3 ∙ 15 = 45 et 45 : 4 : 5 ou (3 ∙ 15) : (4 ∙ 5) La preuve en est que 45/4/7 ou 45/7/4 = 45/(7.4) Puis l’auteur annonce une autre règle, mais rien ne suit.

Les mathématiques dans notre traité

101

Nous trouvons (p. 75–p. 118, l. 22 de l’édition) de nombreux tableaux souvent incomplets. Pour en expliquer la logique, nous analyserons l’exemple (éd., p. 92/93) où il est question de (4 + 5/8) ∙ (9 + 3/5) = ? multiplicande

numerus denominationis

4 5 8 8

9 3 5 5 40

numerus collectionis (8 ∙ 4) + 5 (numerus fractionis)

37

48

1776 1776 : 40 = 44 + 2/5

44 16

multiplicateur

numerus denominationis numerus communis (numerorum denominationis) numerus collectionis (5 ∙ 9) + 3 (numerus fractionis) numerus communis (numerorum collectionis) 2/5 ∙ 40 = 16 (or 2/5 attendu)

40

L’auteur propose une digression sur la réduction d’une fraction (éd., p. 86, l. 10– p. 91). Nous avons traduit le terme conuersio par réduction, en mettant l’accent sur le fait qu’il s’agit ici d’une transformation ou «conversion» d’une fraction en une autre expression ou fraction. Pour réduire les dénominations de manière à ne conserver qu’un seul nombre, il faut que 1er nombre / 2nd nombre = x / 4ème nombre, alors (1er nombre ∙ 4ème nombre) / 2nd nombre = x et x = 3ème nombre. De plus, quand une fraction est répétée dans l’une et l’autre série (il s’agit du commun dénominateur), elle doit être omise (exemple: 5/6/8/7 = ?/11/5/8 => omettre le 8). L’auteur reprend ensuite le chapitre sur la multiplication des fractions. Outre les quatre méthodes proposées précédemment, il faut souligner deux aspects au moyen d’un exemple: Exemple ((2/9) + (2/7)) ∙ 10/11 = ? 1) Réduction des fractions au même dénominateur, puis addition entre elles. => ((2 ∙ 10) + (2 ∙ 10)) / 693 2) Multiplier par le mode de la distributivité, puis additionner les produits (2/9) ∙ (10/11) = produit a et (2/7) ∙ (10/11) = produit b et produit a + produit b = résultat. L’addition (éd., p. 111, l. 22–p. 120, l. 7) est étudiée dans les cas de monômes et de binômes constitués par des fractions, des fractions de fraction et des entiers. L’auteur précise qu’il y a autant de manières d’opérer une addition qu’une multiplication. Deux méthodes existent:

102

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Exemple: 3/8 + 4/5 = ? Méthodes 1° Addition pure et simple de tous les compo- 8 ∙ 5 = 40 et 3/8 = 15/40 et 4/5 = 32/40 et sants 15/40 + 32/40 = 47/40 = 1 + 1/8 + 2/5/8 2° Réduction au même dénominateur

Réduction en huitièmes: 4/5 = 6/8 + 2/5/8. Donc 6/8 + 2/5/8 + 3/8 = 1 + 1/8 + 2/5/8

L’auteur résout ensuite (éd., p. 120, l. 8–p. 123, l. 2) des problèmes dont l’inconnue est une somme d’argent (peccunia) à déterminer par la résolution d’une équation du premier degré. Ainsi le premier exemple que l’on propose est le suivant (éd., p. 120): Si (1/3 + 1/4) ∙ x = 10, alors x = ? a) 3 ∙ 4 = 12 et 1/3 + 1/4 = 7/12 Donc 7/12 = 10/x => (10 ∙ 12)/7 = x Ainsi x = 17 + 1/7 ou b) 10/12 = quotient a et quotient a ∙ reste a = ce qu’on cherche ou 12/12 = quotient b et quotient b ∙ reste b = ce qu’on cherche Le reste dont il est question (à partir du 5ème exemple) doit être considéré comme étant ce qu’il faut ajouter pour retourner à l’unité. Ansi dans le 9ème exemple, le reste de (1/5 ∙ x) + 2 sera (4/5 ∙ x) – 2. Dans une digression, l’auteur explique les formules de sommation (éd., p. 123, l. 3–p. 126, l. 27) des séries d’entiers naturels impairs, pairs, carrés et cubiques. Comme il s’agit d’un thème important dans les manuels de calcul de l’Occident musulman, nous allons ici en exposer le contenu. Le premier exemple concerne deux nombres inégaux 1/3 x et 1/4 y, avec 1/3 ∙ x + 1/4 y = 10. Il s’agit d’une équation du premier degré à deux inconnues. L’auteur propose de la résoudre de deux manières: a) 3 ∙ 4 = 12 Si x = 12, alors 12/3 = 4. Comme 10 – 4 = 6 et 6 = 1/4 y. Donc si y = 24, alors 1/3 ∙ 12 + 1/4 ∙ 24 = 10 b) Diviser 10 par x + y, puis x ∙ 4 et y ∙ 3 Suivent des exemples dont l’application se rapproche de ce qu’on appelle en arithmétique moderne «la progression arithmétique»: il s’agit d’une suite de nombres dont chacun est obtenu en ajoutant au précédent une constante appelée raison. Cette règle a déjà été proposée par l’auteur aux pages 15–17 de l’édition. Des variantes de la formule suivante sont proposés: n ∙ (n + 1) Sn = 2

Les mathématiques dans notre traité

103

Pour la somme des n nombres entiers allant de 1 à n, la constante ajoutée (raison) est 1. Ainsi, dans le premier exemple proposé par l’auteur: si nous avons des nombres allant de 1 jusqu’à n (soit 20) et que la raison soit de 1, en d’autres termes, si nous faisons 1 + 2 + 3 …+ 20, le résultat obtenu sera: 20 ∙ (20 + 1) = 210 Sn = 2 Comme pour l’addition, l’auteur propose une étude de la soustraction cas par cas (éd., p. 126, l. 28–p. 136), selon la diversité des termes composant les deux expressions (entiers, fractions et fractions de fraction). Il y a autant de manières d’opérer une soustraction qu’une addition ou une multiplication. Exemple: 4/5 – 3/8 = ? (éd., p. 126, l. 28–p. 127, l. 16) Méthodes 1° Soustraction pure et simple de tous les composants

8 ∙ 5 = 40 et 3/8 = 15/40 et 4/5 = 32/40 et (32 – 15)/40 = 3/8 + 2/5/8

2° Réduction du dénominateur

a) Réduction en huitièmes 4/5 = 6/8 + 2/5/8. Alors (6/8 + 2/5/8) – 3/8 = 3/8 + 2/5/8 b) Réduction en cinquièmes 3/8 = 1/5 + 7/8/5. Alors 4/5 – (1/5 + 7/8/5) = 2/5 + 1/8/5

Dans son chapitre consacré aux autres soustractions (éd., p. 136–141), l’auteur demande de déterminer une somme d’argent (que nous désignons ici par «x») satisfaisant à la relation. Remarquons que le dernier problème mène à la résolution d’une équation du second degré. Nous ajouterons que l’auteur n’utilise pas ici les termes «res» (= x inconnue) et «census» (= x2), seule sa formulation laisse sous-entendre qu’il s’agit d’inconnue(s). Exemple: Si x – (1/3 ∙ x + 1/4 ∙ x) = 10, alors x = ? (éd., p. 136) Méthodes 1° Soustraction pure et simple 3 ∙ 4 = 12 et 1/3 + 1/4 = 7/12 et 12 – 7 = 5. Donc 5/12 de tous les composants = 10/x, alors (10 ∙ 12)/5 = x = 24 2° Réduction du dénominateur

a) 12/5 = [2 + 2/5] et [2 + 2/5] ∙ 10 = ce que tu cherches b) 10/5 = [2] et [2] ∙ 12 = ce que tu cherches Remarquons qu’il y a confusion possible: l’auteur appelle prelatum le residuum. c) multiplicateur a/ reste = x et x ∙ multiplicateur b = ce que tu cherches

Avant d’aborder le chapitre sur la division, l’auteur propose des digressions sur les fractions (éd., pp. 141–145) et en particulier la «dénomination» (éd., pp. 144–145).

104

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Pour l’auteur, la «dénomination» consiste à diviser un nombre plus petit par un nombre plus grand, contrairement à la «division». Ainsi, quand il s’agit de diviser 1 et 1/2 par 3 et 1/3, l’auteur parlera de denominare. Quant aux numeri denominationis (nombres de dénomination), il s’agit ici de 2 et 3, soit les dénominateurs. Dans les ouvrages connus, la denominatio n’est pas à proprement parler une «division», même si on la place sous ce chapitre. Cette utilisation inhabituelle pourrait révéler l’esprit d’initiative en mathématiques des premiers auteurs latins ayant puisé dans la tradition indo-arabe du calcul. Commence alors à proprement parler le chapitre consacré à la division des fractions (éd., pp. 146–156): l’auteur envisage différents cas selon la forme des expressions intervenant dans la division (entier, fraction, fraction de fraction). Il faut une nouvelle fois préciser que la division au sens propre, à l’opposé de la dénomination dont il vient d’être question, concerne la division d’un nombre plus grand par un nombre plus petit. Il s’agit de chercher la fraction du diviseur, puis de multiplier le dividende et le diviseur par ce qui se rapproche du plus grand commun diviseur. Exemple: 3/5 : 1/3 = ? Méthodes 1° Multiplication pure et simple de tous les 5 ∙ 3 = 15 et 1/3 ∙ 15 = 5 et 3/5 ∙ 15 = 9 composants et 9/5 = ce que tu cherches 2° Réduction au même dénominateur

1 = 1/3 ∙ 3 et 3 ∙ 3/5 = 1 + 4/5

L’auteur propose (éd., pp. 157–159) encore deux nouveaux exemples de division, puis des problèmes qui concernent la répartition d’une somme d’argent entre un certain nombre d’hommes sous certaines conditions. Pour les deux derniers problèmes de cette série, les parts sont supposées égales. Cette fois, nous nous trouvons devant une équation du second degré: il est proposé que le quotient de la somme (donnée) par le nombre (inconnu) d’hommes, étant augmenté, puis respectivement diminué, de ce nombre inconnu, fasse une quantité donnée. Équation x + 18/x = 9

Liber mahameleth 2

(9/2) = 20 1/4 et 20 1/4 – 18 = 2 + 1/4 et √(2 + 1/4) = 1 + 1/2 et 1 + 1/2 + 9/2 = 6 et 6 = nombre d’hommes. Donc ici x + y/x = z 2 x = √((z/2) – y) + z/2

Algèbre moderne x ∙ (x + 18/x) = 9 ∙ x x2 – 9 x + 18 = 0 ajout de x aux deux membres de l’équation 2 2 2 x – 9 x + (9/2) = – 18 + (9/2) ajout du carré de la moitié du coefficient de x aux deux membres 2 2 (x – 9/2) = (9/2) – 18 produit remarquable 2 x – 9/2 = √((9/2) – 18) 2 x = √((9/2) – 18) + 9/2 = 6]

Les mathématiques dans notre traité

Équation x – 40/x = 3

4.2.2.2.5

Liber mahameleth 2

(3/2) = 2 1/4 et 2 1/4 + 40 = 42 1/4 et √(42 1/4) = 6 + 1/2 et 6 + 1/2 + 1 + 1/2 = 8 et 8 = nombre d’hommes

105

Algèbre moderne x ∙ (x – 40/x) = 3 ∙ x 2 x – 3 x – 40 = 0 ajout de x aux deux membres de l’équation 2 2 2 x – 3 x + (3/2) = 40 + (3/2) ajout du carré de la moitié du coefficient de x aux deux membres 2 2 (x – 3/2) = 40 + (3/2) produit remarquable 2 x – 3/2 =√(40 + (3/2) ) 2 x = √(40 + (3/2) ) + 3/2 = 8]

Les racines

Un passage intéressant du Liber mahameleth (éd., pp. 160–181) aborde un chapitre consacré à l’extraction des racines carrées et quatrièmes ainsi qu’aux opérations sur les radicaux177. On retrouve déjà chez AL-KHWĀRIZMĪ l’extraction de la racine carrée selon la méthode indienne, mais notre auteur préfère suivre EUCLIDE (livre X des Éléments). L’auteur fait remarquer que l’étude des racines (il envisage uniquement les racines carrées et quatrièmes) est particulièrement utile à celui qui veut employer l’algèbre. Référence est faite une nouvelle fois à Abū KĀMIL, mais l’auteur précise qu’il fera des ajouts, car les preuves que l’on trouve chez le mathématicien arabe sont peu claires tandis que le dixième livre des Éléments d’EUCLIDE est d’un grand secours. L’auteur n’a cure d’enseigner l’extraction exacte des racines d’entiers: il dit simplement d’entrée de jeu qu’elle est facile pour les rationnels, affirmation qu’il entend illustrer par des exemples numériques (de fait particulièrement banals, puisqu’il s’agit de 4, 9 et 16). Par contre, il n’en va pas de même pour les irrationnels (nombres qui ne sont pas carrés). Pour trouver leur racine, il propose deux méthodes d’approximation178: a) Si le rationnel le plus proche de l’irrationnel est plus petit que lui, alors on recherche √N, N entier compris entre les carrés entiers consécutifs a2 et (a + 1)2, on posera179: √N ≈ a + [(N – a2)/2a] ____________________ 177 A.P. YOUSCHKEVITCH, Les mathématiques arabes… (1976), pp. 21–22 (racines) et pp. 80–90 (nombres irrationnels). 178 Dans le chapitre consacré aux problèmes d’application du théorème de PYTHAGORE (problèmes de l’arbre cassé), une allusion sera faite à la méthode d’approximation. 179 Cfr EUCLIDE, Éléments X,1 où on démontre l’indéfinie divisibilité de la grandeur (voir B. VITRAC, Euclide…, vol.III, p.91). Ici, il s’agit de trouver le nombre le plus proche de la racine d’un nombre irrationnel.

106

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

b) Si le rationnel le plus proche de l’irrationnel est plus grand que lui, alors on recherche √N, N entier compris entre les carrés entiers consécutifs a2 et (a + 1)2, on posera: √N ≈ [(a + 1) – [((a + 1)2 – N) ] / [2 ∙ (a + 1)] ou bien on mettra √N sous la forme √(N ∙ s2)/s (généralement, S = 10k), et on pourra extraire la racine du numérateur selon la méthode précédente. Quant à l’extraction de la racine carrée d’une fraction, elle est ramenée à celle d’un entier en considérant que √p/q = √pq/q. On recherche √(N + fraction), N + fraction compris entre les carrés entiers consécutifs a2 et (a + 1)2 et on tiendra compte du dénominateur, on posera: √(N + fraction) ≈ √(N2 ∙ a2)/a ou √(N2 ∙ (a + 1)2)/(a + 1) Ces différentes méthodes sont appliquées dans la plupart des exemples proposés et concernent les opérations sur les racines carrées et quatrièmes (addition, soustraction, multiplication, division) appliquées à des expressions formées de termes qui sont des entiers, des racines, et des racines de racine. Pour déterminer la forme qu’aura l’expression résultante, l’auteur s’appuie sur des théorèmes du livre X des Éléments d’EUCLIDE. Ce livre est entièrement consacré à l’étude des lignes droites commensurables ou incommensurables entre elles avec la classification de certains irrationnels. Notre auteur considère qu’il faut avoir lu l’entièreté de ce livre pour comprendre l’étude des racines (éd., p. 160, l. 8/9). Il n’est pas étonnant que l’auteur de notre traité réserve une place particulière au Livre X des Éléments. En effet, ce livre représente environ le quart du traité euclidien et en constitue de ce fait le livre le plus long (115 propositions dans l’édition d’HEIBERG). Il n’est pas question de réexpliquer ici le contenu du traité: les ouvrages de Th. L. HEATH et B. VITRAC 180 l’ont éclairé d’un commentaire clair et nuancé. Toutefois, compte tenu des problèmes délicats qu’il pose au lecteur, il appert qu’une mise au point explicative reste indispensable. En effet, notre auteur présuppose chez son lecteur des connaissances acquises à la lecture du mathématicien alexandrin et n’explique donc pas le sens de certains termes qui nécessitent un éclairage 181 . L’auteur ne renvoit pas non plus aux premières propositions du Livre X qui en constituent le fondement182. Le Livre X a pour objet principal la distinction de deux sortes de grandeurs 183, les unes dites rationnelles (B. VITRAC préfère traduire «ῥητά» par «exprimables») ____________________ 180 TH. L. HEATH, The Thirteen Books…, 1956; B. VITRAC, Euclide…, vol. III, 1998. 181 La traduction de certains mots doit être soulignée : (in)communicans = (in)commensurable, qui (n’)a (pas) de commune mesure surdus = sourd (= irrationnel) (ir)racionalis = (ir)rationnel (bi)medialis = (bi)médial binomium = binôme residuum = «apotome» 182 À cela vient peut-être s’ajouter le motif selon lequel il existe un parallélisme avec les Livres Arithmétiques (VII–IX) et en particulier le Livre VII (cfr B. VITRAC, Euclide…, vol.III (1998), p. 97 et 103, etc.) 183 Comme nous l’avons précisé pour les livres V et suivants, EUCLIDE ne définit jamais le terme «grandeur», ce qui entraîne une relative incertitude quant à l’extension de cette notion. Voir

Les mathématiques dans notre traité

107

et les autres dites «irrationnelles» (ἄλογα) et l’établissement d’une classification rigoureuse de treize espèces de lignes droites parmi ces dernières. Le thème général est le classement scrupuleux des premières longueurs irrationnelles, nées des méthodes d’application des aires à partir d’une longueur prise pour unité. Euclide attache une grande importance aux nombres irrationnels dont il compte de nombreux genres différents. L’incommensurable (ἀσύμμετρον) concorde assez bien avec notre concept de nombre irrationnel, tandis que le rationnel (ῥητόν) et l’irrationnel (ἄλογον) s’écartent des notions que nous désignons par ces mots. Pour EUCLIDE est rationnel ce qui est mesurable, commensurable en soi ou en puissance (ce que Bernard VITRAC traduira par «exprimable»): des lignes sont rationnelles si elles sont commensurables avec l’unité de longueur, ou si les carrés construits sur elles sont commensurables avec l’unité de surface. Ainsi, en langage algébrique, a aussi bien que √a sont rationnels. Le mot irrationnel est réservé aux expressions renfermant un radical, à l’exception de l’expression simple √a. Donc les produits a. √b ou √a. √b sont considérés comme irrationnels (chacun de ces produits représentant déjà une aire, il ne saurait être question de «commensurable en puissance»). A fortiori on peut qualifier 4√(a ∙ b) d’irrationnelle (μέση, que l’on appelle médiale). Quant à l’addition et la soustraction de deux longueurs dont l’une au moins est incommensurable, elles donnent des irrationnalités de deux sortes: binôme = a + √b ou √a + √b (ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων) et apotome (ἀποτομή) = a – √b ou √a – b ou √a – √b. Ce Livre est sans conteste l’un des plus homogène des Éléments. D.H. FOW184 LER le jugera même monolithique . Comme J. GOW, nous pourrions affirmer que le Livre X, quoique de «forme géométrique», a un contenu arithmétique 185. Mais rien n’est moins sûr. Si un nombre peut être rationnel (exprimable), l’utilisation du qualificatif «commensurable» paraît fort discutable. Son application reste en principe réservée aux grandeurs et devrait donc relever de la géométrie186.

4.2.3

Seconde partie (pp. 183–429 de l’édition) 4.2.3.1 Résumé

Après une première partie consacrée aux explications théoriques étayées par des exemples, l’auteur ouvre une seconde partie où leur application va être réalisée. ____________________ B. VITRAC, Les Éléments, vol. II (1994), pp. 15–17, 56–58; III (1998), pp. 18–19 (englobe lignes droites et aires rectilignes). 184 B. VITRAC, Euclide…, vol. III (1998), p. 13, note 10. 185 B. VITRAC, Euclide…, vol. III (1998), p. 14, note 17. Nous ajoutons qu’il s’agit ici de l’interprétation médiévale du terme arithmétique, laquelle inclut la manipulation des nombres radicaux, ce que ne faisaient pas les Grecs, dont EUCLIDE. 186 Pour un exposé plus détaillé de la question, nous renvoyons à B. VITRAC, Euclide…, vol. III (1998), pp. 14–18.

108

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Cette partie du traité développe la règle de trois et propose de très nombreux problèmes commerciaux d’application. Cette règle de trois est fondée sur l’égalité de deux rapports. La liste des problèmes envisagés est longue: problèmes d’achat et vente, de gain, de morcellement, de mouture, de cuisson du moût, de remboursement d’un emprunt, d’engagement de personnes, d’engagement de porteurs et autres, de dépense d’huile de lampe, de consommation de nourriture par des animaux, de consommation de pains par des hommes, de change de monnaies, de remplissage de bassins, d’application du théorème de PYTHAGORE, de cordes et fagots, de mouvement et de participants. Tous ces problèmes sont assortis de très nombreux exemples. Le Liber mahameleth donne, pour les problèmes les plus communs, différentes méthodes de résolution. Après le titre (1°) et l’énoncé (2°), suivent les méthodes de résolution (3°) selon le schéma suivant: A. Résolution arithmétique (le procédé par le rapport): a) La méthode dite de la fausse position et des doubles fausses positions (on choisit arbitrairement une ou deux valeurs pour l’inconnue que l’on cherche)187 b) La règle des quatre grandeurs proportionnelles. B. Démonstration géométrique: cette formule est ensuite souvent démontrée par la géométrie, selon les normes de rigueur qu’avaient établies les Grecs. Elles sont souvent accompagnées de figures. C. Méthode algébrique: l’auteur propose des équations du premier ou du second degré résolues de façon algébrique.

4.2.3.2 Explication 4.2.3.2.1

Rappel

Une étude préalable (éd., p. 185, l. 1–p. 186, l) concerne les quatre nombres proportionnels, et plus particulièrement souligne que le rapport des moyens est égal au rapport des extrêmes. L’auteur propose des variantes quand l’un des membres du rapport est inconnu.

____________________ 187 A.P. YOUSCHKEVITCH, Les mathématiques arabes… (1976), pp. 45–48; G. L’HUILLIER, Le Quadripartitum numerorum…, pp. 61–64. Grâce à cette règle on peut résoudre tous les problèmes de la science du calcul qui se ramènent à des équations linéaires.

Les mathématiques dans notre traité

Règles

Exemples

1° En général, pour un ensemble de quatre nombres proportionnels a ∙ d = b ∙ c [a (1er)/b (2nd) = c (3ème)/d (4ème)] Et a/b ∙ d = c ou (a ∙ d)/b = c Donc si 4ème inconnu => (2nd ∙ 3ème)/1er = 4ème si 1er inconnu => (2nd ∙ 3ème)/4ème = 1er si 2nd inconnu => (1er ∙ 4ème)/3ème = 2nd si 3ème inconnu => (1er ∙ 4ème)/2nd = 3ème

2° En général, pour un ensemble de trois nombres proportionnels (1er ∙ 2nd)/3ème = (1er/3ème) ∙ 2nd

4.2.3.2.2

109

Ici le premier = 4, le second = 10, le troisième = 6, le quatrième = 15 4/10 = 6/15 et 4 ∙ 15 = 60 = 6 ∙ 10 Si le 4ème est inconnu, le 2ème ∙ 3ème = 60 et 60/4 (= 1er) = 15 Si le 1er est inconnu, 60/15 (=4ème) = 4 (=1er) Si le 3ème est inconnu, le 1er ∙ 4ème = 60 et 60/10 (= 2nd) = 6 (= 3ème) Si le 2nd est inconnu, 60/6 (=3ème) = 10 (= 2nd) Ici le premier = 4, le second = 10, le troisième = 6 (6 ∙ 10)/4 = 15 et (6/4) ∙ 10 = 15 et (10/4) ∙ 6 = 15

Problèmes d’achat et de vente (éd., p. 186, l. 6–p. 215, l. 34): 51 problèmes.

Ces problèmes sont disposés en ordre croissant de difficulté: alors que les premiers de ces problèmes imposent les valeurs de trois des termes du rapport, ceux qui les suivent donnent trois conditions liant les grandeurs dans des expressions rationnelles. Nous reprenons la règle générale proposée (éd., p. 192) par l’auteur: 1°) Une seule inconnue: Formule = n1/n2 = P1/P2 Une quantité n1 d’une marchandise coûte (à l’achat ou à la vente) le prix P1, une quantité n2 coûtera donc P2. 2°) Deux inconnues: Formule = n1/(n1 + P1) = n2/(n2 + P2) a) 2 inconnues, somme connue( n2 =?, P2 =?, n2 + P2 = x) b) 2 inconnues, reste après différence connue (n2 =?, P2 =?, n2 – P2 = x ou P2 – n2 = x) c) 2 inconnues, produit connu ( n2 =?, P2 =?, n2 ∙ P2 = x) Exemple (éd., p. 202, l. 19–204, l. 34): Une quantité n1 d’une marchandise coûte (à l’achat ou à la vente) P1, une quantité n2 coûtera donc P2, avec n1/n2 = P1/P2. n1 = ?; P1 =?; n2 = ?; P2 = même marché que P1. n1 P1 = 10; n2 P2 = 30; n1 + P1 + n2 + P2 = 20. L’auteur considère que, comme n1/n2 = P1/P2, on a: – d’une part (n1 + P1)/(n2 + P2) = P1/P2 – d’autre part (P1/P2)2 = (n1 P1)/(n2 P2)

110

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

En conséquence, (n1 + P1)/(n2 + P2) = √(n1 P1/n2 P2) = 1/√(n2 P2/n1 P1), d’où (n1 + P1)/[(n1 + P1) + (n2 + P2)] = 1/√(n2 P2/n1 P1) + 1 et donc n1 + P1 = (n1 + P1 + n2 + P2)/√(n2 P2/n1 P1) + 1 On peut déterminer n1 + P1 et n2 + P2. Lorsque de deux grandeurs u et v on connaît la somme et le produit, on peut en déterminer la demi-différence par la relation [(u + v)/2]2 – uv = [(u – v)/2]2. Et la connaissance de la demi-somme et de la demi-différence nous permet de calculer = (u + v)/2 ± (u – v)/2, soit respectivement u et v. C’est cette très ancienne méthode (déjà utilisée par les Mésopotamiens) qu’emploie notre auteur pour déterminer n1 et P1, puis n2 et P2. Et il remarque que, sans une supposition sur leurs grandeurs relatives, les valeurs de n1 et de P1 d’une part, de n2 et de P2 d’autre part, peuvent être échangées (suivant que n1 > P1 ou n1 < P1 et la même chose pour n2 et P2). Il parvient ainsi aux résultats: – n1 (ou P1) = √75 – 5 ± √(90 – √7500) ou – n2 (ou P2) = 15 – √75 ± √(270 – √67500) La fin du chapitre sur l’achat et la vente est consacrée aux cas de divers types de marchandises. Si les marchandises sont achetées ou vendues (toujours en quantité n1 et au prix P1 par unité de mesure), le coût total (P) sera de Σn1P1. Les quatre derniers problèmes font intervenir des prix qui suivent une progression arithmétique.

4.2.3.2.3

Problèmes de gain (éd., p. 215, l. 35–p. 244, l. 12): 68 problèmes

a) Cas élémentaires (éd., p. 215, l. 35–238, l. 32) Tout d’abord, l’auteur propose d’étudier des cas simples, sans qu’il soit tout d’abord question de partage de gain entre plusieurs participants. Une marchandise achetée avec des capitaux (c1 et c2) produit à la vente (à un même prix) des gains (g1 et g2), et nous avons la relation: c1/c2 = g1/g2 Ce type de problèmes comporte vingt espèces de base comprenant cinq cas ((1°) capital connu et gain inconnu, (2°) gain connu et capital inconnu, gain inconnu, (3°) capital inconnu mais somme c2 + g2 connue, (4°) gain inconnu et capital inconnu mais différence c2 – g2 connue, (5°) gain inconnu, capital inconnu, mais produit c2 ∙ g2 connue). De plus, pour chacun de ces cinq cas, le gain et le capital peuvent être donnés en nature (autrement dit en mesures de marchandise188) ou en argent. Comme le fait remarquer l’auteur, tous les problèmes de ce chapitre se ramènent à l’une ou l’autre de ces vingt espèces. ____________________ 188 Notons que l’on passe des muids au qafiz (car 1 qafiz = 1 muid pour l’auteur) au fil des exemples: au début de son exposé, l’auteur se proposait d’aborder uniquement des problèmes avec muids.

Les mathématiques dans notre traité

111

Exemple (éd., p. 236, l. 34–p. 237, l. 2) [20] = Une marchandise est achetée au prix de 10 pour 3 qafiz et vendue au prix de 20 pour 4 qafiz, et la somme de la racine du gain en qafiz et de la racine du capital en monnaie égale 50. On voit que, 3 qafiz étant achetés pour 10 et 2 étant vendus pour la même somme, un capital de 10 apporte un gain de 1 qafiz. Donc 10 g (en qafiz)= c (en monnaie), d’où √g/√c = 1/√10 et √g/(√g + √c) = 1/(√10 + 1) et puisque √g + √c = 50, √g = 50/(√10 + 1) b) Plusieurs associés (éd., p. 238, l. 33–p. 244, l. 12): Il s’agit ici de partager un gain entre plusieurs associés selon leur part ai du capital investi. Pour les premiers problèmes, les parts se déterminent simplement par la relation: gi = ai ∙ g/∑ ak (ai = part du dernier des associés; ak = total des parts) Les autres problèmes poseront les valeurs numériques d’expression rationnelle liant les inconnues g1, g2 et g3. Exemple (éd., p. 238, l. 33–p. 239, l. 26 [1]) = Soit 3 associés, avec c1 = 8 sous; c2 = 10 sous; c3 = 14 sous et [ck = 32 sous] gk = g1 + g2 + g3 = 22 sous g1 = ?; g2 = ? ; g3 = ? Trois modes de résolution: 1) Comme ck = 32 et gk = 22 = reporté Alors g1 = c1 ∙ gk/∑ ck [g1 = (8 ∙ 22)/32 = 22/4] g2 = c2 ∙ gk/∑ ck [g2 = (10 ∙ 22)/32 = 6 + 7/8] g3 = c3 ∙ gk/∑ ck [g3 = (14 ∙ 22)/32 = 9 + 5/8]

2) Comme 8/32 = 1/4, alors 22/4 = g1 Comme 10/32 = 2/8 + 1/2/8, alors 22/(2/8 + 1/2/8) = g2 Idem pour 14 (i.e. g3) L’auteur ne va pas au bout du calcul

3) 22/32 = 5/8 + 1/2/8 cfr règle sur les proportions = c1/g1 = c2/g2 ou g1/c1 = g2/c2 Ici ∑ ck/∑ gk = c1/g1 Si 32/22 = 8/ ? Soit (∑ gk c1)/ ∑ ck = g1 ou (∑ ck/∑ gk) ∙ c1 = g1 Idem pour g2 et g3 Idem pour tous les associés nombreux ou non. Il faut toujours associer les capitaux de tous, et ∑ gk/∑ ck = g1/c1 (c1 ∙ ∑ gk)/ ∑ ck) = g1

112 4.2.3.2.4

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Problèmes de morcellement (éd., p. 244, l. 13–p. 260, l. 11): 36 problèmes

On découpe la partie d’une pièce d’une certaine matière (métal, étoffe, toile ou pavement) qui est caractérisée par ses dimensions, composants, poids ou prix. De cette partie découpée on recherche une des caractéristiques. Les problèmes de morcellement, pour chacune des matières, sont abordés sous deux angles: A – soit il s’agit de matières homogènes: Si tout est de dimension D1, D2 (et éventuellement D3) et de prix (ou de poids) P, et que la partie ait les dimensions d1, d2 (et d3) et le prix (ou poids) p, on aura la relation: P/p = D1 D2 D3/d1 d2 d3. B – soit il s’agit de matières hétérogènes. Les composants se retrouvent dans la pièce selon le rapport des volumes (ou des surfaces). Ces deux cas (A et B) sont appliqués aux matières suivantes: a) Masse métallique (éd., p. 244, l. 13–247) (schéma) (5 problèmes): Outre qu’il résout trois problèmes des types décrits, l’auteur explique et applique le principe de la détermination des composants d’un alliage d’or et d’argent «sine examinatione ignis» par comparaison des poids de deux corps faits de ces métaux à l’état pur et ayant même grandeur (ce que l’on vérifie par comparaison du volume d’eau déplacé). Exemple (éd., p. 244, l. 26–p. 245, l. 2 [1]) = pour une matière homogène: Soit une masse ronde dont le diamètre est de 10 palmes. Avec un diamètre de 5 palmes, quelle sera la masse? Méthode = Volume du grand : volume du petit = masse cherchée 10 ∙ 10 = 100 et 100 ∙ 10 = 1000 5 ∙ 5 = 25 et 25 ∙ 5 = 125 1000/125 = 8 = masse recherchée189. Exemple (éd., p. 245, l. 12–29 [3]) = pour des matières hétérogènes: Soit une masse mk dont m1 = 10 onces d’or, m2 = 14 onces d’argent, m3 = 20 onces de laiton (= Cu + Zn). Si mk – 12 onces = combien de chaque? Il s’agit de la même méthode que celle des associés. Lorsqu’il est question de savoir si l’or et l’argent sont purs ou mêlés, la réponse suivante est proposée (éd., p. 246, l. 8–p. 247 (schéma)): Soit or pur = 1000 onces; soit argent pur = 864 onces. Or on a 1080 onces, donc l’or est impur. 1080 – 864 = 216, différence = 80 ____________________ 189 Cfr volume du grand : volume du petit = masse cherchée. 4/3 Pr 3 : 4/5 Pr3.

Les mathématiques dans notre traité

113

b) Etoffe (éd., p. 247, l. 1–253, l. 17) (14 problèmes): les problèmes sont de même type Exemple (éd., p. 248, l. 1–15 [2]) = pour une matière homogène: Etoffe 1: L1 = 10 coudées, l1 = 8 coudées, pd1 = 60 onces Etoffe 2: L2 = 15 coudées, l2 = 9 coudées, pd2 = ? La question est impossible à résoudre (pas mathématiquement, mais bien au niveau du découpage) car L1 < L2. Il faut que L1 > L2 et l1 > l2 Puis il faut multiplier = L2 ∙ l2 = S2 et L1 ∙ l1 = S1 et le rapport S2/S1 = pd2/pd1 Donc pd2 = (S2/S1) ∙ pd1 ou (S2 ∙ pd1)/S1 Exemple (éd., p. 251, l. 1–17 [9]) = pour des matières hétérogènes: Etoffe 1: L1 = 10 coudées; l1 = 8 coudées; Pd1 = soie = 10 onces; coton = 14 onces; lin = 20 onces Etoffe 2: L2 = 6 coudées; l2 = 4 coudées; Pd2 = ? L2 ∙ l2 = Grandeur 2 (6 ∙ 4 = 24) L1 ∙ l1 = Grandeur 1(10 ∙ 8 = 80) G2 ∙ (Pd1(10) ou Pd1 (14) ou Pd1 (20))/G1 = Pd2 (x + y + z) cfr proportions G1/Pd1 soie = G2/Pd2 soie c) Toile (éd., p. 253, l. 16–p. 259, l. 20) (15 problèmes): les problèmes sont de même type Exemple (éd., p. 253, l. 16–29 [1]) = pour une matière homogène: n gausapes = 1; L1 = 4 coudées; l1 = 3 coudées n gausapes = ?; L2 = 15 coudées; l2 = 8 coudées 3 modes de résolution: L1 ∙ l1 = 120 L2 ∙ l2 = 12 et G1/G2 = 120/12 = 10 = nombre de gausapes.

L1/L2 = 15/4 = 3 + 3/4 L1/l2 = et l1/l2 = 8/3 = 2 + 2/3 l1/L2 = et (3 + 3/4) ∙ (2 + 2/3) 5 ∙ 2 = 10 = 10

Exemple (éd., p. 257, l. 1–22 [9]) = pour des matières hétérogènes: Toile 1: L1 = 10 coudées; l1 = 8 coudées; prix1 = 20 sous Nombre de 4 gausapes Toile 2: L2 = ?; l2 = ? et rapport de L2/l2 = L1/l1 Deux modes de résolution: 2 G1/n = G2 (80/ = 20) L2 = √[(l1) ∙ G2/G1] L2 = √[(L1 ∙ G2)/l1] = 5 l2 = √[(l1 ∙ G2)/L1] = 4 l2 = √[(l1 ∙ G2)/L1] = 4

114

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Exemple (éd., p. 257, l. 23–33 [10]) = Exemples avec des toiles arrondies. Soit une toile arrondie: périmètre = 10 coudées; prix = 60 sous Si le périmètre = 5 coudées, alors le prix = ? Deux modes de résolution: 10 ∙ 10 = 100 et 5 ∙ 5 = 25 25 ∙ 60 = 1500 et 1500/100 = 15 = prix

(5 ∙ 5)/(10 ∙ 10) = 1/4 60 ∙ 1/4 = 15

d) Pavement (éd., p. 259, l. 21–260, l. 11) (2 problèmes): les problèmes sont de même type. Exemple (éd., p. 260, l. 1–11 [2]) = cfr chapitre sur les toiles de lin Soit un palais: L1 = 20 coudées; l1 = 8 coudées et soit une table: L2 = 2 coudées; l2 = 1 + 1/2 S1 = L1 ∙ l1 = 160 et S2 = L2 ∙ l2 = 3 alors 160/3 = 53 + 1/3 = nombre de tables 4.2.3.2.5

Problèmes de mouture (éd., p. 260, l. 12–268): 18 problèmes

On apporte à un meunier une certaine quantité de grain à moudre; pour son travail, il doit recevoir une fraction donnée 1/k de la quantité moulue. a) Premier cas (éd., p. 260, l. 12–p. 262, l. 23) (4 problèmes): Il est prélevé de chaque mesure moulue la kième partie. Alors si q est la quantité apportée et q' la quantité emmenée après la mouture, on aura: q' = [(k – 1)/k] ∙ q, le 1/(k ∙ q) qui reste reviendra au meunier. Exemple (éd., p. 261, l. 36–p. 262, l. 9 troisième manière) = Pour chaque qafiz à moudre, 2/7 sont donnés. Or il rapporte 80 qafiz. Combien sont alors apportés pour être moulus? Trois modes de résolution: 1/7 => on prend le 7 7–2=5 (7 ∙ 80)/5 = 112

7/5 ∙ 80 80/5 ∙ 7 cfr règle sur les proportions => 7/5 = x/80

b) Deuxième cas (éd., p. 262, l. 24–p. 264) (7 problèmes): Pour chaque mesure moulue, on prélève d’une autre la kième partie. Divisant dans ce cas la quantité q en k + 1 parties, la quantité emmenée après la mouture vaudra: q' = [k/(k + 1)] ∙ q, le [1/(k + 1)] ∙ q qui reste reviendra au meunier. Exemple (éd., p. 263, l. 14–25 troisième manière) = Pour chaque qafiz à moudre, 2/9 sont donnés. Or il rapporte 100 qafiz. Combien sont alors apportés pour être moulus?

Les mathématiques dans notre traité

115

Deux modes de résolution: 9 + 2 = 11 (11 ∙ 100)/9 = à moudre

11/9 ∙ 100 ou 100/9 ∙ 11 11/9 = ?/100 cfr règle sur proportions

c) Augmentation de volume après mouture (éd., p. 265, l. 6–p. 267, l. 7) (4 problèmes): Certains problèmes induisent une condition supplémentaire, tenant compte de l’augmentation du volume après la mouture. Si le volume initial croît de 1/p, alors les relations précédentes changent: q' = [(k – 1)/k] ∙ q devient q' = [(p + 1)/p] ∙ [(k – 1)/k] ∙ q et q' = [k/(k + 1)] ∙ q devient q' = [(p + 1)/p] ∙ [(k/(k + 1)] ∙ q. Exemple (éd., p. 265, l. 6–20 [1]) = Ap1 = 1 qafiz; Prix1 = 1/6; R1 = + 1/3 ∙ 4/6 Ap2 = 100 qafiz; Prix2 = ?; R2 = ? Avec 1/6 et 1/3 => 6 ∙ 3 = 18 Si Ap3 = 18; Prix3 = 3; R3 = 15 + 1/3 ∙ 5 = 20 Donc si Ap2 = 100, alors R2 = (100 ∙ 20)/18 Ap3/R3 = Ap2/R2 18/20 = ?/100 d) Autres exemples: soustraction, multiplication, participation (éd., p. 265, l. 21– p. 266, l. 28) (3 problèmes): Exemple (éd., p. 265, l. 21–p. 262, l. 2 avec la soustraction) = Ap1 = 1 qafiz; Prix1 = 1/5 qafiz Ap2 =?; R2 = ?; Prix2 = ?; si R2 – Prix2 = 20 Deux modes de résolution: 6/6 – 1/6 = 5/6 = R2 5/6 – 1/6 = 4/6 4/6 Ap2 = 20 Ap2 = 30

4.2.3.2.6

Ap2 = x x – 1/6 x = 5/6 x 5/6 x – 1/6 x = 4/6 x = 20 x = 30 et 1/6 ∙ 30 = 5 R2 = 25

Problèmes sur la cuisson du moût (éd., p. 269–p. 276, l. 26): 13 problèmes

Une quantité q de moût doit être réduite par cuisson jusqu’à ce qu’il en reste la quantité r1. Mais, lorsque la quantité d s’est évaporée, une quantité v déborde. la cuisson devra alors être poursuivie comme précédemment, mais jusqu’à un nouveau reste r2 qui sera lié aux autres grandeurs par la relation: (q – d)/[(q – d) – v] = r1/r2

116

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Exemple (éd., p. 272, l. 34–p. 273 [9]) = Si r1 = (1/m) ∙ q = (1/3) ∙ q, v = 2, r2 = 2 ∙ (1/2), alors q = ? En calculant q à partir de la relation vue ci-dessus, on a: q = (1/2) ∙ (m ∙ r2 + d + v) + √{[(1/2) ∙ (m ∙ r2 + d + v)]2 – m ∙ r2 ∙ d]} Avec les valeurs numériques, on obtient: q = (1/2) ∙ (23/2) + √{[(1/2) ∙ (23/2)]2 – 15} = 10. Raisonnement: (7 + 1/2) + 2 + 2 = 11 + 1/2 et (7 + 1/2) ∙ 2 = 15 (11 + 1/2) : 2 = 5 + 3/4 et (5 + 3/4) ∙ (5 + 3/4) = 33 + 1/2/8 (33 + 1/2/8) – 15 = 18/1/2/8 et √(18 + 1/2/8) = 4 + 1/4 (4 + 1/4) + (5 + 3/4) = 10 = q. L’auteur propose trois types de preuve: la première selon une démonstration géométrique190, la seconde selon une méthode algébrique191 que l’auteur affirme avoir présentée plus haut, mais qui est perdue, et enfin la troisième selon le procédé par le rapport192. ____________________ 190 Démonstration géométrique: q – d + x = r 1 ; q – d – v + y = r2 Donc le rapport est (q – d + x)/r1 = (q – d – v + y)/r2 Ici (ab – db)/bd = (gb – kb)/bg Donc le rapport ad/db = hg/gb kb = 1/3 de bh; hb = 7 + 1/2 ad/ab = hg/hb Donc ad ∙ hb = ab ∙ hg Or bh ∙ ad = 15 et ad = 2, alors bh = 7 + 1/2 et hg ∙ ab = 15 Soit at = hg, alors at ∙ ab = 15 Donc ht = 4; hb = 7 + 1/2 et tb = 11 + 1/2 Soit cq = tb = 11 + 1/2 et soit cp = ta, alors cp ∙ pq = 15 Soit cq : 2 = l Donc cp ∙ pq + (pl ∙ pl) = d ∙ cl Comme cl ∙ cl = 33 + 1/2/8, alors cp ∙ pq = 15 Donc pl ∙ pl = 15 + 1/2/8, pl = 4 + 1/4, ql = 5 + 3/4, pq = 10 = ce que l’on cherche. 191 Selon une méthode algébrique que l’auteur affirme avoir présentée plus haut, mais qui est perdue. Soit q = x; d = x – 2; v = x – 4 rapport (x – 2)/(1/3 x) = (x – 4)/(2 + 1/2) Donc (x – 2) ∙ (2 + 1/2) = (1/3 x ∙ (x – 4), alors x = 10. 192 Procédé par le rapport: q = ab ; r1 = hz; d1 = bg; v1 = gd; r2 = hk. rapport ag/hz = ad/hk Ici hz ∙ 3 = ab et hk . " = 7 + 1/2 Donc ag ∙ (7 + 1/2) = ad ∙ ab ab ∙ ad = (ad ∙ ad) + (ad ∙ db) et db = 4 (ad ∙ (ad + 4) = ag ∙ (7 + 1/2) ag ∙ (7 + 1/2) = ad ∙ (7+ 1/2) + (7 + 1/2) ∙ dg) dg ∙ (7 + 1/2) = 15 ad ∙ (ad + 4) = (ad ∙ (7 + 1/2)) + 15 et ad ∙ 4 soustrait de (ad ∙ (7 + 1/2)) Alors ad ∙ ad = (ad ∙ (3 + 1/2)) + 15

Les mathématiques dans notre traité

4.2.3.2.7

117

Problèmes sur le remboursement d’un emprunt (éd., p. 276, l. 26– p. 278, l. 28): 5 problèmes

Ce chapitre ne concerne pas un calcul d’intérêt, mais seulement la restitution d’une marchandise empruntée dans un système de mesure rendue dans une autre: si u unités du premier valent v unités du second, alors le nombre de mesure empruntées sera au nombre de mesures rendues dans le rapport u : v. Exemple (éd., p. 277, l. 30–38 [3]) = Soit u1 = 14 muids; v1 = 6 setiers; u2 = ?; v2 = ?; u2 ∙ v2 = 189. v2 = √[(14 ∙ 189)/6] = 21 u2 = √[(6 ∙ 189)/14] = 9

4.2.3.2.8

Problèmes d’engagement d’ouvriers (éd., p. 278, l. 29–326, l. 9): 58 problèmes

A. Une seule personne engagée (éd., p. 278, l. 29–p. 312, l. 18): a) Premier cas: une seule personne engagée (éd., p. 278, l. 29–p. 304, l. 21) (37 problèmes). Un ouvrier est engagé pour t1 jours, avec un salaire s1, mais ne travaille que t2 jours; il aura donc un salaire s2, avec t1/t2 = s1/s2. Exemple (éd., p. 286, l. 13–p. 287, l. 21 [12]) = Si t1 = 30 jours, s1 = 30 + x, t2 = 10 jours, s2 = x + √(30 + x), alors x = ? Comme t2 = (1/3) ∙ t1, il nous faut aussi avoir s2 = (1/3) ∙ s1 Donc x + √(30 + x) = 10 + (1/3)x ou √(30 + x) = 10 – (2/3)x Par élévation au carré, on obtient x2 + (157 ∙ 1/2) = (32 + 1/4) ∙ x dont l’auteur calcule la solution: x = (16 + 1/8) – [(16 ∙ 1/8)2 – (157 + 1/2)]1/2 = 6. Remarquons que s’il choisit la solution avec le signe négatif devant le radical, c’est parce que l’autre solution ne remplit pas les conditions. ____________________ Donc ad > 3 + 1/2. Soit 3 + 1/2 = at ad ∙ ad = (ad ∙ at) + 15 ad ∙ ad = ad ∙ at + ad ∙ dt ad ∙ at + ad ∙ dt = ad ∙ (at + dt) ad ∙ (at + dt) = ad ∙ at + 15 Donc at ∙ ad – ce qui est connu = xte ad ∙ dt Soit 15 : 2 = q Alors ad ∙ dt + tq ∙ tq = qd ∙ qd ad ∙ dt = 15, qt ∙ qt = 3 + 1/2/8, qd ∙ qd = 18 + 1/2/8 Donc qd = 4 + 1/4, aq = 1 + 3/4, ad = 6, db = 4, ab = 10. c.q.f.d.

118

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Trois modes de résolution

Explication

1) Comme t2 = t1/3, alors s2 = s1/3 = 10 + x/3 10 + x/3 = x + √(30 + x) 10 – 2/3 x = √(30 + x) 2 (10 – 2/3 x) = 30 + x 2 4/9 x + 100 – (13 + 1/3) x = 30 + x

2 Résolution de l’équation ax + bx + c = 0. Puisque a ≠ 0, l’équation peut 2 s’écrire x + b/a x + c/a = 0.

2

Cfr algèbre avec allusion aux deux ordines: x et x ou rien 2 4/9 x + 70 = (14 + 1/3) x 2 x + (157 + 1/2) = (32 + 1/4) x 2 2 Puis [(32 + 1/4)/2] = (16 + 1/8) = 260 + 1/8/8. (260 + 1/8/8) – (157 + 1/2) = 102 + 4/8 + 1/8/8 √(102 + 4/8 + 1/8/8) = 10 + 1/8 (32 + 1/4)/2 = 16+ 1/8 (16 + 1/8) + (10 + 1/8) = 6 = x

Ici on multiplie par 9/4, car il s’agit 2 de 4/9 x

2) 4 nombres proportionnels 30/(30 + x) = 10/((x + √(30 + x) Alors 30 ∙ (x + √(30 + x) = (30 + x) ∙ 10 30 x + √(27000 + 900 x) = 300 + 10 x (300 – 20 x) = (√(27000 + 900 x) 2 2 (300 – 20 x) = (√(27000 + 900 x) 2 400 x + 90000 – 12000 x = 27000 + 900 x 2 x + (157 + 1/2) = (32 + 1/4) x Puis [(32 + 1/4) x]/2 x=6

2 Résolution de l’équation ax + bx + c = 0. Puisque a ≠ 0, l’équation peut 2 s’écrire x + b/a x + c/a = 0. Ici on multiplie par 1/400, car il s’agit de 2 400 x

3) 30/10 ∙ x + √(30 + x) = 30 + x x=6 s1 = 30 + 6 = 36 s2 = 1/3 ∙ (30 + x) = 36/3 = 12 = x + √(30 + x)

cfr méthode ci-dessus

Il cherche la moitié du carré du 2 coefficient de x, soit [(32 + 1/4)/2] et il soustrait le résultat de cela Il cherche la racine de ce résultat Il cherche la moitié du coefficient de x Il additionne les deux dernières solutions pour obtenir la valeur de x

Il cherche la moitié du carré du 2 coefficient de x, soit [(32 + 1/4)/2] même méthode que ci-dessus

b) Second cas: une seule personne engagée ainsi qu’une seconde en complément (éd., p. 304, l. 22–p. 312, l. 18) (9 problèmes): Un ouvrier est engagé pour t1 jours, avec un salaire s1, mais ne travaille que t2 jours; mais pour le temps restant, il doit engager un autre ouvrier qui, travaillant durant le temps complet t1, recevrait le salaire complémentaire. Ainsi, il ne restera au premier ouvrier qu’une somme r de son salaire s1. La relation s’établit comme suit: – Le second ouvrier travaillant t1 – t2 jours, il devra donc recevoir la partie (t1 – t2)/t1 de son salaire à temps complet. – Le second ouvrier n’aura plus que: s1 – (t1 – t2)/t1 s = r Nous obtenons donc: (s1 – r)/s = (t1 – t2)/t1

Les mathématiques dans notre traité

119

Exemple (éd., p. 305, l. 5–p. 307, l. 10 [40]) = Exemple = soit s1 = 10, s (s du second travailleur) = 12, t1 = 30, r = 1, t2 = ? 10 – 1 = 9 et 12 – 9 = 3 t2 = (3 ∙ 30)/12 = 7 + 1/2 Donc t2 = 30 ∙ [12 – (10 – 1)]/12 = 7 ∙ 1/2. t1 – t2 = 22 + 1/2 B. Plusieurs ouvriers engagés (éd., p. 312, l. 20–p. 326, l. 9): a) Premier cas: engagés avec paye et temps différents (éd., p. 312, l. 20– p. 318) (4 problèmes): Les ouvriers sont engagés avec des payes différentes et chacun travaille durant une partie t1 du temps t. On aura une équation linéaire et des conditions permettant de lever l’indétermination. Exemple (éd., p. 312, l. 20–38 [47]) = Soit t = 20; sa = 2/jour et sb = (1 + 1/2)/jour; s2 (sa + sb) = 0; s = 3 + 1/2. Si le premier a travaillé 0 jour, le second a travaillé 20 jours à 3 + 1/2 = 70 sous. Mais si le premier avait travaillé 20 jours, il aurait gagné 40 sous. b) Second cas: engagés avec paye et temps égaux (éd., p. 319–p. 326, l. 9) (8 problèmes): Des ouvriers en nombre n sont engagés pour des salaires sn en progression arithmétique de raison d. Soit si le salaire du iième des n ouvriers, avec si = s1 + (i –1) ∙ d et S = ∑si. On a alors la relation: S = (s1 + sn) ∙ (n /2) = {[2 s1 + (i – 1) ∙ d] ∙ (n/2) = ∑si. L’auteur impose successivement les valeurs des trois grandeurs parmi n, s1, sn, d, Ssi, et calcule les deux autres par la relation ci-dessus. Exemple (éd., p. 321, l. 9–36 [52]) = Soit 10 ouvriers; s1 = 3; s2 = 3 + 2; s3 = 3 + 2 + 2 etc. alors s10 = ? sn = ? Trois modes de résolution: n–1=9 (n – 1) ∙ d = 18 (n – 1) ∙ d + s1 = 21 = s10

∑s1–10 = (s1 + sn) ∙ (n/2) d = (s10 – s1)/ (n – 1) d ∙ (n – 1) = s10 – s1 (d ∙ (n – 1)) + s1 = s10

s10 = x x – s1 = x – 3 = s10 – s1 (x – 3)/(n – 1) = d d ∙ (n – 1) = x – 3 d ∙ 9 = 18 = x – 3 x = 21 = s10 cfr algèbre

120 4.2.3.2.9

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Problèmes sur l’engagement de porteurs (éd., p. 326, l. 10–p. 338, l. 8): 10 problèmes

Un porteur est engagé avec un salaire s1 pour transporter des marchandises d’un poids p1 sur une distance d1. S’il effectue le transport d’un poids p2 sur une distance d2, son salaire sera s2. Comme le salaire est proportionnel à la quantité transportée et à la distance, on aura: s1/s2 = (p1 d1)/(p2 d2). Exemple (éd., p. 334, l. 8 – p. 335, l. 24 [6]) = Soit p1 = 10, d = 50, s1 = 100; p2 = 3, d2 – s2 = 4, alors s2 = ? et d2 = ? Par la relation ci-dessus, on sait que p2 s1/p1 d1 = s2/d2, on en déduit alors par transformation des rapports: (p1 d1 – p2 s1)/(p1 d1 = (d2 – s2)/d2 ainsi que p2 s1/(p1 d1 – p2 s1) = s2/(d2 – s2) d’où d2 = p1 d1 (d2 – s2)/(p1 d1 – p2 s1) = 10 et s2 = P2 s1 (d2 – s2)/(P1 d1 – P2 s1) = 6. Ces formules utilisées par l’auteur pour calculer d2 et s2, il ne les démontre pas par transformation des rapports, mais géométriquement. Quatre modes de résolution: 10 ∙ 50 = 500 500 – (3 ∙ 100) = 200 d2 = (4 ∙ 500)/200 = 10 s2 = (4 ∙ 300)/200 = 6 193 Preuve

500/200 = 2 + 1/2 (2 + 1/2) ∙ 4 = 10 = d2 et 200/100 = 2/3 2/3 = 4 ∙ s2, donc s2 = 6

d2 = x s2 = x – 4 s2 + 4 = x 3 x ∙ 100 = 500 ∙ (x – 4) 300 x = 500 x – 2000 200 x = 2000 x = 10 = d2 et s2 = 10 – 4 = 6

s2 = x d2 = x + 4 500 x = 300 ∙ (x + 4) 500 x = 300 x + 1200 200 x = 1200 x = 6 = s2

____________________ 193 Preuve: d2 = ab et s2 = gb => ag = 4 Rapport cfr ci-dessus (P1 ∙ d1)/s1 = (P2 ∙ d2)/s2 => 4 nombres proportionnels (P1 ∙ d1) ∙ s2 = s1 ∙ P 2 ∙ d2 Soit P1 ∙ d1 = 500 = tn et [P2 ∙ s1] = 300 = qt =>nt · gb = qt · ab a) s2 = ? b) d2 = ? nt/tq = ab/bg qt/qn = gb/ga conuersio qt/tn = gb/ab conuersio nq/qt = ag/gb dispersio qt/qn = bg/ga => qt · ag = nq · bg compositionq/nt = ag/ab => nq · ab = (qt · ag)/nq = bg = s2 nt · ag (nt · ag)/nq = ab = d2

121

Les mathématiques dans notre traité

4.2.3.2.10

Problèmes sur l’engagement d’ouvriers (éd., p. 338, l. 9–p. 348, l. 20): 13 problèmes

A. Engagement de tailleurs de pierre (éd., p. 338, l. 9–p. 345, l. 4 (7 problèmes)) a) Premier cas: huit grandeurs (éd., p. 338, l. 9–p. 342, l. 1–17 (2 problèmes)) Un nombre h1 d’ouvriers engagés durant un temps t1 pour tailler n1 pierres recevrait un salaire s1; alors un nombre h2 d’ouvriers travaillant durant un temps h2 pour tailler n2 pierres recevra le salaire s2. Ces huit grandeurs sont unies par la relation s1/s2 = (h1 t1 n1)/(h2 t2 n2). Exemple (éd., p. 341, l. 1–p. 342, l. 17 [2]) = Soit h1 = 3, t1 = 30, n1 = 4, s1 = 60; h2 = 2, n2 = 2, s2 = 6 ∙ 2/3, alors t2 = ? t2 = h1 et (t1 n1 s2)/(s1 h2 n2) = 10. Quatres modes de résolution: 2 ∙ 2 = 4 et 4 ∙ 60 = 240 (3 ∙ 4 ∙ 30 ∙ (6 + 2/3)/240 = 2400/240 = 10 = t2 Suit une explication.

(6 + 2/3)/60 = 2/3/6 (2/3/6) ∙ 360 = 40 et 40/10 = 4 = t2 Suit une explication.

3 ∙ 4 = 12 et 2 ∙ 2 = 4 et (6 + 2/3)/60 = 2/3/6 (2/3/6) ∙ 30 = 3 + 1/3 12/4 = 3 3 ∙ (3 + 1/3) = 10 = t2 Suit une explication.

(6 + 2/3)/60 = 2/3/6 (2/3/6) ∙ t = 3 + 1/3 Puis 4/2 = 2 et 2 ∙ (3 + 1/3) = 6 + 2/3 3/2 = 1 + 1/2 et (1 + 1/2) ∙ (6 + 2/3) = 10 = t2 cfr supra

b) Second cas: six grandeurs (éd., p. 342, l. 19–p. 345, l. 16 ): 7 problèmes: Un nombre h1 d’ouvriers engagés durant un temps t1 recevrait un salaire s1; alors un nombre h2 d’ouvriers travaillant durant un temps t2 recevra le salaire s2. Ces six grandeurs sont unies par la relation s1/s2 = (h1 t1)/(h2 t2). Exemple (éd., p. 343, l. 13–28 [4]) = Soit h1 = 45; t1 = 30; s1 = 60; h2 = 2; s2 = 8, alors t2 = ? Trois modes de résolution: 2 ∙ 60 = 120 (5 ∙ 30 ∙ 8)/120 = 10 = t2

(2/5) ∙ 60 = 24 8/24 = 1/3 et (1/3) ∙ 30 = t2

8/60 = (1/10) + (1/3/10) et (1/10) + (1/3/10) ∙ 30 = 4 Puis 5/2 = 2 + 1/2 (2 + 1/2) ∙ 4 = 10 = t2

B. Autres types d’engagement (éd., p. 345, l. 10–p. 348, l. 20): 6 problèmes. Les derniers problèmes apportent des modifications à l’énoncé: il y est question d’un berger gardant des têtes de bétail durant un certain temps, puis d’un ouvrier

122

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

travaillant, pour un salaire indépendant du temps, au creusement d’une fosse de dimension d1, d2, d3, ou aussi à la construction d’un coffre. Exemple (éd., p. 347, l.28–p. 348, l. 20 [13]) = construction d’un coffre L’auteur souligne la différence entre ce problème et celui qui concerne les fosses. Il ne faut pas confondre le volume (C) du coffre et la surface de ses parois (s). En effet, ce sont les parois qui sont vendues, non le volume du coffre. On aura donc: Formule = C1 /C2 = s1/s2 Soit s1/s2 = (2 ∙ (l1 ∙ d1 + l1 ∙ h1 + d1 ∙ h1))/(2 ∙ ((l2 ∙ d2 + l2 ∙ h2 + d2 ∙ h2)) alors (2 ∙ (10 ∙ 5 + 10 ∙ 8 + 5 ∙ 8))/ (2 ∙ 3 + 2 ∙ 4 + 3 ∙ 4)) = 340/52 Et ainsi, puisque s1 = 170, alors s2 = (52 ∙ 170)/340 = 26

4.2.3.2.11 Problèmes sur la consommation d’huile de lampes (éd., p. 348, l. 21– p. 356, l. 2): 10 problèmes Si n1 lampes consomment une quantité s1 d’huile en t1 nuits, alors n2 lampes consommeront de l’huile s2 en t2 nuits, selon la relation: s1/s2 = n1 t1/n2 t2. Exemple (éd., p. 354, l. 10–33 [8]) = premier type de question. Exemple = soit n1 = 6; s1 = 3/8; t1 = 1; s2 = 20; t2 = 30, alors n2 = ? n2 = s2 n1 t1/s1 t2 = 10 ∙ 2/3.

4.2.3.2.12 Problèmes de consommation de nourriture par des animaux (éd., pp. 356, l. 3–364, l. 21): 12 problèmes194. Si n1 animaux consomment une quantité s1 de nourriture en t1 jours, alors n2 animaux consommeront s2 en t2 jours. Ces problèmes sont semblables aux précédents, et l’on a de nouveau la relation: s1/s2 = n1 t1/n2 t2. Exemple (éd., p. 362, l. 15–p. 363, l. 7 [10]) = Soit t1 = 30, s1 = 60; n2 = 6, t2 = 5, s2 = (3/5) ∙ n1, alors n1 =? n1 = 60/[(3/5) ∙ x] = 30 x/5 ∙ 6 = 10. Comme les problèmes précédents, on a la relation: s1/s2 = (n1 ∙ s1)/(n2 ∙ s2). À la suite du chapitre sur la consommation de nourriture par les animaux, l’auteur propose deux problèmes de conversion d’unités locales de capacité, à savoir des ____________________ 194 L’auteur précise qu’il n’y a pas de différence avec le chapitre sur les lampes, à une exception près qu’il expliquera. Nous précisons que les problèmes [1] à [8] ne sont pas présents dans le manuscrit de base A: le copiste n’a pas jugé opportun de revenir sur des questions déjà longuement débattues dans les chapitres précédents. Toutefois, il est clair que ces problèmes devaient figurer dans le texte original (seul D les reprend).

Les mathématiques dans notre traité

123

muids de Ségovie en qafiz de Tolède (éd., pp. 363, l. 29–364, l. 21). Si m1 muids de Ségovie valent q1 de qafiz de Tolède, alors m2 muids de Ségovie valent q2 de qafiz de Tolède. L’auteur précise qu’il a ajouté ce chapitre afin que l’on sache que ces questions sont les mêmes que celles qui concernent l’achat et la vente.

4.2.3.2.13 Problèmes de consommation de pain par des hommes (éd., p. 364, l. 22–p. 370, l. 16): 7 problèmes À la suite du chapitre sur la consommation de nourriture par les animaux, l’auteur propose des problèmes sur la consommation de nourriture, en l’occurrence du pain, par des hommes. Si un nombre n1 d’hommes consomme un nombre p1 de pains ayant un nombre s1 de mesures de céréales (qafiz, arrove de Tolède (ou d’autres régions) ou émine de Ségovie) en t1 jours, alors un nombre n2 d’hommes consommera un nombre p2 de pains ayant un nombre s2 de mesures de céréales (qafiz, arrove de Tolède (ou d’autres régions) ou émine de Ségovie) en t2 jours. Nous ajouterons que les données concernant le nombre de pains ou de mesures de céréales sont rarement données simultanément. Nous retrouvons ici la relation: s1/s2 (ou p1/p2) = (n1 ∙ t1)/(n2 ∙ t2) Quatre éléments sont proposés (n, p, s, t) comme nous venons de le préciser, et ceci a pour conséquence que quatre espèces de questions peuvent être posées, ainsi que leurs dérivés. Le dernier problème de ce chapitre nécessite une conversion d’unités locales de capacité, qui sont l’arroua de Tolède et l’emina de Ségovie. Exemple (éd., p. 367, l. 26–p. 368, l. 2 [4]) = Soit n1 = 2, p1 = 4 pains, t1 = 1, (1 qafiz/30 pains); n2 = 40, s2 = 50 qafiz, alors t2 = ? t2 = n1 t1 s2/n2 s1 = 2 ∙ 1 ∙ (50 ∙ 30)/40 ∙ 4 = 18 ∙ 3/4. 2 modes de résolution: Il faut convertir les s2 qafiz => p2 pains cfr s1/s2 (ou p1/p2) = (h1 ∙ t1)/(h2 ∙ t2) 50 qafiz = 50 ∙ 30 pains Donc (2 ∙ 1)/(40 ∙ t2) = 4/1500 (2 ∙ 1500)/4 = 40 ∙ t2 t2 = (2 ∙ 1500)/4/40 [= 18 + 3/4] et (2 ∙ 1500)/4/40 = (2 ∙ 1500)/(4 ∙ 40)

Si n = 2, s = 4, t = 1, alors si n = 1, s = 2, t = 1; alors quand n = 40, s = 80 et t = 1 et 1 pain = [80/30 =] 2 + 2/3 qafiz Donc si n = 49, s = 50, t2 = 50/(2 + 2/3) = 18 + 3/4

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La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

4.2.3.2.14 Problèmes de change de monnaies (éd., p. 370, l. 17–p. 396, l. 22): 24 problèmes Un nombre m de maravédis est changé en n types de monnaies de valeur moindre, dont ai de la iième font un maravédi; du change proviennent k pièces de monnaie. Σai xi = k et Σxi = m. A. Un seul type de monnaie (n = 1) (éd., p. 370, l. 17–373, l. 26) (4 problèmes): Exemple (éd., p. 370, l. 28–32 [2]) = Soit m = 1; a1 = 25 (à partir de 10 sous)) ; a2 = ? (à partir de 15). a2 = [(15 ∙ 25)/10] = 36 + 1/2 Cfr Rapport 10/25 = 15/a2 B. Plusieurs types de monnaie (n = 2 ou n = 3) (éd., p. 371–p. 396, l. 22) (20 problèmes): Exemple (éd., p. 386, l. 12–p. 387, l. 29 [13]) = Ici n > ou = 3 Le problème est indéterminé si l’on n’ajoute pas des conditions supplémentaires. L’auteur propose dans ce but d’admettre l’égalité de n – 1 des x1, ou bien de poser les valeurs numériques de n – 2 des x1. Un maravédi est changé en cinq types de monnaies sous les conditions que 8 x1 + 12 x2 + 15 x3 + 18 x4 + 20 x5 = 16 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 L’auteur propose les hypothèses de détermination suivantes: 1° Mise en égalité de quatre des inconnues: a) Avec x1 = x2 = x3 = x5 = x, le système devient: 58 x + 15 x3 = 16 et 4 x + x3 = 1 Ce système est insoluble, et cette détermination ne convient donc pas. b) Avec x1 = x2 = x3 = x4 = x, le système devient: 53 x + 20 x5 = 16 et 4 x + x5 = 1 On trouve x = 4/27 et x5 = 11/27 c) Avec x2 = x3 = x4 = x5 = x, le système devient:? L’auteur n’effectue pas le calcul, mais se contente de remarquer que cette détermination est correcte, comme la précédente. 2° Pose trois des inconnues: Si l’on choisit x1 = 1/8, x3 = 1/4, x4 = 1/8, le système devient: 12 x2 = 20 x5 = 9 et x2 + x5 = 1/2 Ce système est résoluble et on trouve x2 = 1/8 et x5 = 3/8. Exemple (éd., p. 393, l. 23–395, l. 3 [21]) Ici n = 2

Les mathématiques dans notre traité

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On a normalement un système déterminé. Les solutions peuvent ne pas être entières, mais doivent être positives. Soit cent maravédis sont changés sous de deux espèces (en partie des pièces de Malaga et en partie de Baeza), à raison de 15 sous celle de Malaga et de 10 sous celle de Baeza. On demande combien il y a de maravédis de chaque espèce. Soit x1 = nombre des pièces de Malaga et x2 = nombre des pièces de Baeza Ce qui donne: 15 x1 + 10 x2 = 1200 et x1 + x2 = 100 L’auteur donne d’abord la condition. Pour un système de la forme: a1 x1 + a2 x2 = p et x1 + x2 = q la condition de résolution (pour une solution positive) est (pour avoir x1, x2 > 0 si a1 > a2 > 0 et p,q > 0) que a2q < p t3 = 1/3 jour Si ∑ t = 1 jour, alors c1 =1 C; c2 == 2 C; c3 == 3 C Donc ∑ c = 6 C, donc si S c = 1 C, alors S t = 1/6 jour Exemple (éd., p. 397, l. 1–10 [2]) = Quel sera le temps (t) de remplissage de la citerne (C) par les canaux (c) en nombre n si, au bas de la citerne, une brèche (o) laisse simultanément s’écouler l’eau? Soit C = 1; n = 3; t1 = 2 jours; t2 = 3 jours; t3 = 4 jours; to => 1/3 jour. Donc 3 citernes/1 jour => 6 C – 3 C = 3 C Donc des canaux en nombre n = 3 remplissent 1 C en ∑ t = 1/3 jour Si ∑ t = 1, alors c1 = 1/2; c2 = 1/3; c3 = 1/4, donc ∑ c = [ 1/2 + 1/3 + 1/4] = 1 + 1/2/6 [ = 13/12] Donc 3 canaux remplissent 1 citerne en 12/13 jour.

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B. Intrusion d’une pierre: Si une pierre de volume v (L2 ∙ l2 ∙ h (= densité)) est jetée dans une citerne de volume V (L1 ∙ l1 ∙ H (profondeur)) contenant une quantité M d’eau, alors une quantité m d’eau débordera ou provoquera une élévation h du niveau de l’eau dans la citerne. L’auteur envisage aussi le cas où la pierre est retirée de la citerne. On a la formule: m/M = v/V = h/H Exemple (éd., p. 397, l. 23–p. 398, l. 11 [4]) = Soit V = 10 (L1) ∙ 8 (l1) ∙ 6 (H); v = 4 (L2) ∙ 3 (l2) ∙ 5 (h); M = 1000; alors m = ? Trois modes de résolution: m = (v ∙ M)/V = Rapport v/V = m/M (M/V) ∙ v = m ((4 ∙ 3 ∙ 5) ∙ 1000)/(10 ∙ 8 ∙ 6) = Or v/V = 60/480 = 1/8 et 1000/480 = 2 + 1/2/6 et 60000/480 = 125 1/8 ∙ 1000 (M) = m = 125 (2 + 1/2/6) ∙ 60 = 125 m = (60 ∙ 1000)/480

C. Un tonneau arrondi: Un seul problème est envisagé: quelle est la mesure M d’un tonneau arrondi dont seul le diamètre D et la hauteur H sont donnés? Exemple (éd., p. 401, l. 30–p. 402, l. 14 [10]) = Soit d = 10; h = 8; M = ? et S (surface de la base) = ? Comme on sait que si V = 1 ∙ 1 ∙ 1, et M = 2 Deux modes de résolution: S = d2 [1 – (1/7 + (1/2 ∙ 1/7))] D ∙ (3 + 1/7) = P (périmètre, du tonneau, ce que l’auteur 2 appelle la grandeur de la surface) et S = (d /4) ∙ (3 + 1/7) M=S∙h∙2

4.2.3.2.16 Problèmes d’application du théorème de PYTHAGORE (éd., p. 402, l. 15–p. 420, l. 2): 18 problèmes195 Ces problèmes sont de trois types: problèmes de l’échelle, de l’arbre cassé et des deux tours. Ils sont tous des applications du théorème de PYTHAGORE. A. Problèmes de l’échelle (éd., p. 402, l. 15–p. 411 (tabl.)) (8 problèmes): Une échelle d’une longueur s appuyée verticalement contre un mur de même hauteur (également s) est déplacée par rapport à sa base et devient de ce fait inclinée: nous désignons par d la distance séparant le pied de l’échelle de la base du mur et ____________________ 195 Pour une étude très détaillée de ce chapitre, nous renvoyons à l’article de J. SESIANO, Survivance médiévale …, in Centaurus 30 (1987), pp. 18–61.

Les mathématiques dans notre traité

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nous désignons par h la distance séparant le sommet de l’échelle du haut du mur. Ces deux déplacements latéraux par rapport à la base et par rapport au sommet du mur sont liés à sa longueur par le théorème de PYTHAGORE. Formule: s2 = (s – h)2 + d2 Exemple (éd., p. 403, l. 9–p. 404, l. 5 [2]) = Soit AB = DG = s = 10, AD = h = 2, et BG = d = ? Comme la formule est d = √[s2 – (s – h)2], alors on a par le calcul arithmétique: √[102 – (10 – 2)2] = √36 = 6. Selon la démonstration géométrique reprise à Euclide I,47, on a: AB – AD = DB = 8 et DB2 + GB2 = DG2 BG2 = DG2 – DB2 = DG2 – (AB – AD)2 donc on connaîtra BG = √[DG2 – (AB – AD)2 Selon le raisonnement algébrique, on a: Soit Bg = x, alors x2 + 82 = 100, et donc x = 6. B. Problèmes de l’arbre cassé (éd., p. 411, l. 1–p. p. 417, l. 7) (8 problèmes): Si un arbre de longueur s + h planté verticalement est brisé en-dessous de sa mihauteur, soit la hauteur h, mais sans être sectionné, son sommet viendra toucher le sol. Posons que le tronçon de longueur s (supposant s > h) touche le sol à une distance horizontale d du pied de l’arbre. La distance entre ce point de contact et sa racine est liée à la longueur de la partie restée debout et à celle de la partie inclinée par le théorème de Pythagore. Formule = (s + h)2 = d2 + h2 + h ou s + h = √(d2 + h2) + h Exemple (éd., p. 414, l. 6–18 [11]) = Soit DB = h = 6 et BG = d = 8, alors AB = s + h = ? Comme la formule est s + h = √(d2 + h2) + h, alors on a: s + h = √(82 + 62) + 6 = 16. Selon la démonstration géométrique reprise à EUCLIDE I,47, on a: BD2 + BG2 = DG2 AB = √(BG2 + BD2) + DB Pour cet exemple, l’auteur ne propose pas de raisonnement algébrique. C. Problèmes des deux tours (éd., p. 417, l. 8–p. 420, l. 2) (3 problèmes): Deux tours ont des hauteurs inégales (s1 et s2 avec s1 > s2) et elles ont leurs pieds éloignés de d et leurs sommets distants de r. La différence de leur hauteur est liée à la distance de leurs bases et à l’éloignement de leurs sommets par le théorème de PYTHAGORE. Formule = r2 = d2 + (s1 – s2)2 ou r = √[(s1 – s2)2 + d2 Exemple (éd., p. 417, l. 8–23 [16]) = Soit AB = s1 = 30 et DG = s2 = 20, et BG = d = 8, alors AD = r = ? Comme la formule est r = √[(s1 – s2)2 + d2], alors on a r = √[(30 – 20)2 + 82] = √164 = 12 + 5/6

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La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

Selon la démonstration géométrique, on a: Comme on connaît AB, KB = DG et KD = BG AD = √[(AB – KB)2 + KD2] Pour cet exemple, l’auteur ne propose pas de raisonnement algébrique.

4.2.3.2.17 Problèmes de cordes et de fagots (éd., p. 420, l. 3–p. 421): 5 problèmes Ces problèmes nous ramènent à l’usage de la règle de trois. Si une corde de longueur l1 entoure un fagot dont on sait qu’il contient n1 baguettes, ou qu’il coûte p1, alors une corde de longueur l2 entourera un fagot de n2 baguettes semblables qui coûtera p2. Ces grandeurs sont associées selon la relation: n1/n2 = (l1)2/(l2)2 = p1/p2. Exemple (éd., p. 420, l. 1–15 [1]) = Soit l1 = 4, n1 = 100, l2 = 10, alors n2 = ? Rapport n1/n2 = (l1)2/(l2)2 Deux modes de résolution: n2 = (102 ∙ 100)/42 = 10000/16 = 625 2 2 Formule = n2 = [(l2) ∙ n1]/(l1)

n2 = (102/42) ∙ 100 = 625 2 2 Formule = n2 = (l2) /(l1) ∙ n1

4.2.3.2.18 Problèmes de mouvement (éd., p. 422–p. 424, l. 20): 7 problèmes A. Mouvement d’avance ou de poursuite: L’auteur a déjà proposé trois problèmes liés au mouvement d’avance dans le point (cfr pages 416–p. 417, l. 7 de l’édition: problèmes de l’arbre cassé dont la résolution ne fait pas intervenir la relation de Pythagore). Il s’agit du mouvement d’avance d’un arbre brisé dont le sommet, en tombant, parcourt un arc en longueur constante durant un nombre de jours N. Les problèmes que l’auteur propose maintenant concernent deux messagers: l’un des deux couvre chaque jour une distance r1, le second, j jours plus tard, le suit et parcourt la même distance r2, mais plus rapidement que le premier messager (v2>v1). Quand le second messager pourra-t-il rattraper le premier? Formule = j1 ∙ r1 = j2 ∙ r2 où j2 = j1 – j et donc j1 ∙ (r2 – r1) = j ∙ r2 Exemple (éd., p. 423, l. 12–20 [2]) = Soit r1 = 20; j = 15; d (j1 ∙ r1)= 400; r2 = ? Formule = r2 = (j1 ∙ r1)/j2 avec j2 = (d/r1) – j = (d – (j ∙ r1))/r1 = 5 et ainsi r2 = 80.

Les mathématiques dans notre traité

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B. Mouvement d’avance et de recul: La progression d’un mobile (ici navire ou serpent) due à une avance quotidienne de g est diminuée par un recul quotidien de h. La distance d sera couverte (avec comme supposé g > h) en un nombre N de jours. Nous noterons r comme reste de la division de (d – h)/(g – h). Formule = N = ((d – h)/(g – h)) + (r + h)/(g + h) Exemple (éd., p. 423, l. 21–28 [3]) = Un navire avance chaque jour de 20 milles et recule de 5 milles, et l’on demande en combien de temps il parviendra à un lieu distant de 300 milles. Soit d = 300; g (avance) = 20 milles/1 jour; h (recul) = 5; N = ? (d – h)/(g – h) = (300 – 5)/(20 – 5) = 295/15 = 19 + r (= 10/15) (r + h)/(g + h) = 15/(5 + 20) = 15/25 = 3/5 N = ((300 – 5)/(20 – 5)) + 10 + 5/(20 + 5) = 19 + 3/5 Ajoutons que l’auteur se trompe dans les quatre problèmes qui suivent (à propos du serpent). En ajoutant la fraction qu’il faudrait soustraire, il utilise la relation erronée: N' = (d – h)/(g – h) + h/(g + h) au lieu de N = (d – h)/(g – h) – h/(g + h).

4.2.3.2.19 Problèmes de participants (éd., p. 424, l 21–427, l. 28): 7 problèmes A. Doublement successif (éd., p. 424, l 21–p. 425, l. 29): Chacune des n personnes double à tour de rôle le bien des n – 1 autres. Les biens finals sont considérés comme égaux ou bien différents (avec des différences données). Avant d’examiner la résolution de l’auteur du texte, il faut considérer la situation générale. Soit n participants, avec si1 = le bien initial du iième; x(j)1 = le bien du ième juste après la distribution par le (j – 1)ième participant. x1(n + 1) = le bien du iième après la dernière distribution, donc son bien final. Dans les exemples de l’auteur, nous trouvons trois cas de figure: a) Premier cas: Premiers exemples (éd., p. 424, l. 21–p. 425, l. 4) [1]/[2] Dans les deux premiers exemples, où n = 3 et n = 4, l’auteur impose la condition de biens finals égaux. Il utilise des formules, sans en expliquer l’origine: x(j) = n + 1 x(i)1 = 2 x(j)i + l – l [i = 1,… n – 1]. d’où ses solutions: Si n = 3, alors x(i)3 = 4, x(i)2 = 7, x(i)1 = 13. Si n = 4, alors x(i)4 = 5, x(i)3 = 9, x(i)2 = 17, x(i)1 = 33. b) Second cas: Exemple (éd., p. 425, l. 5–12) [3] Dans le troisième exemple, où n = 3, on impose x (n + 1)i = C = 72. La solution du premier problème avait donné 24. Par multiplication par 3 on cherche la solution.

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La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

c) Troisième cas: Exemple (éd., p. 425, l. 13–29) [4] Dans le quatrième exemple, on a encore n = 3, mais l’on impose les différences suivantes entre les biens finals = x(4)1 = x(4)2 + 2, x(4)2 = x(4)3 + 1. L’auteur procède en résolvant le problème «à l’envers» (almencus): il part de la dernière condition et remonte vers les biens initiaux. Choisissant ainsi x(4)3 = 5, il en déduit x(4)2 = 6 et x(4)1 = 8. Comme la distribution du troisième a doublé x(3)2 et x(3)1, il a fallu avoir x(3)1 = (3) 4, x 2 = 3 et x(3)3 = 12. De même, on devait avoir avant la distribution du deuxième x (2)1 = 2 et x(2)3 = 6 et donc x(2)2 = 11. Selon le même principe, le second et le trosième ont dû avoir au début 3 et 5 ∙ 1/2, et le premier 10 ∙ 1/2. B. Achat d’un cheval (éd., p. 425, l. 30–p. 427, l. 28): Des personnes en nombre n désirent, chacune pour elle-même, faire l’acquisition d’un cheval, mais aucune n’a suffisamment d’argent; chacune aurait toutefois le prix du cheval en empruntant à ses partenaires une fraction donnée de leur bien. a) Premier cas: L’acheteur potentiel emprunte à son voisin: Si xi est le bien du iième partenaire, y le prix du cheval, 1/q la fraction donnée, le système d’équation sera: xi + (1/qi) ∙ xi + l = y [i = 1, … n (cycliquement)]. L’auteur résout deux exemples: Exemple (éd., p. 425, l. 30–p. 426, l. 16) [5]: Soit n = 3 avec q1 = 2, q2 = 3, q3 = 4. Il calcule alors y = q1 q2 q3 + 1 = 25. Donc x1 = q3 [ q2 (q1 – 1) + 1 ] = 16. x2 = q1 (y – x1) = 18. x3 = q2 (y – x2) = 21. Il énonce la règle de la variation du signe qui doit accompagner l’unité. Exemple (éd., p. 426, l. 17–38) [6]: Soit n = 4 avec q1 = 2, q2 = 3, q3 = 4, q4 = 5. Il calcule alors y = q1 q2 q3 q4 – 1 = 119. Donc x1 = q4 {q3 [ q2 (q1 – 1) + 1 ] – 1} = 75. x2 = q1 (y – x1) = 88. x3 = q2 (y – x2) = 93. x4 = q3 (y – x3) = 104. b) Second cas: L’acheteur potentiel emprunte à tous les partenaires (éd., p. 427, l. 1–28) (1 problème): L’auteur va procéder par traitement successif des équations. Dans l’unique exemple, n = 4, q1 = 2, q2 = 3, q3 = 4, q4 = 5.

Les mathématiques dans notre traité

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Il pose dans la première équation que x1 = 1 et x2 + x3 + x4 = x. Puis il exprime x2, x3, x4 en fonction d’unités et de x; leur somme égalera x. 4.2.3.2.20 Digression sur la division des proportions (éd., p. 427, l. 29–p. 429): En ce qui concerne les dernières lignes du traité, il s’agit d’une glose qui a été placée à la fin du manuscrit A, et qui devait être placée dans le chapitre consacré à la division des proportions (éd., p. 243–p. 244, l. 12).

4.2.3.3 Les omissions mathématiques importantes dans le Liber mahameleth Le texte que nous éditons n’est pas complet: nous en voulons pour preuve les nombreuses allusions à des chapitres pour l’heure perdus. Il faut souligner deux omissions importantes et qui conditionnent de nombreux exemples de la seconde partie du traité: a) Les transformations de rapports ne font l’objet d’aucune étude théorique, alors que la majeure partie des problèmes envisagés se traduit par l’établissement d’une proportion entre quatre grandeurs (ou expressions) pour aboutir à une règle de trois simple ou composée. Cette proportionnalité doit faire l’objet de transformations. Nous les proposerons avec, entre parenthèses et en italique, leur nom latin. Souvent, quand l’auteur les désigne, il utilise un verbe (ex. au lieu de compositio, il choisira le verbe componere et ses variantes). Les deux premiers concernent la permutation des termes entre eux: Si a/b = c/d, alors b/a = d/c (  ) a/c = b/d (

 , 

 ,    ) ⇒ (a + b)/b = (c + d)/d et a/(a + b) = c/(c + d) (   ) (a – b)/b = (c– d)/d et a/(a– b) = c/(c– d) (   ,    )

Si a/b = c/d et b/e = d/f, alors ⇒ / = / (        )

Il est évident que ces transformations de rapports font l’objet d’une étude chez EUCLIDE dans ses livres V à VII des Éléments. Pour cette raison, nous ne considérons pas ceci comme une véritable omission, entendu que l’auteur invite ses lecteurs à lire l’entièreté de cet ouvrage. b) Il n’en va pas de même quand il s’agit de l’omission d’un chapitre sur l’Algèbre (autre que celle d’Abū KĀMIL). De trop nombreuses allusions faites à ce chapitre que devait contenir le Liber mahameleth nous le confirment 196 . S’agirait-il de l’Algèbre d’AL-KHWĀRIZMĪ? En effet, au début de son ouvrage, le mathématicien ____________________ 196 Il s’agit de la remarque «sicut supradocuimus in algebra».

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La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

arabe distingue clairement les six formes canoniques d’équations du premier et second degré et indique par quel procédé on peut les résoudre. Pour notre texte, il paraît clair qu’après le chapitre sur les racines, l’auteur avait envisagé une explication concernant les six types classiques d’équations: ax2 = bx (les carrés sont égaux aux racines), ax2 = c (les carrés sont égaux à un nombre), bx = c (les racines sont égales à un nombre), ax2 + bx = c (les carrés et les racines sont égaux à un nombre), ax2 + c = bx (les carrés et les nombres sont égaux aux racines), ax2 = bx + c (les carrés sont égaux aux racines et aux nombres). En effet, les deux cas d’équations du second degré que l’on trouve à la fin du chapitre sur la division (première partie) ne devaient pas être isolés mais, croyons-nous, devaient préparer la partie consacrée à leur étude systématique, soit après le chapitre sur les racines197.

4.3

LES SOURCES UTILISÉES DANS LE TRAITÉ

Les sources de notre auteur requièrent une approche prudente à la recherche du moindre indice nouveau, avec une vigilance accrue pour toute nouvelle édition parue, et plus particulièrement celles concernant les sciences arabes.

4.3.1

Les sources grecques

L’auteur mentionne ARCHIMÈDE 198 et fait allusion à l’arithmétique spéculative chez NICOMAQUE DE GÉRASE (IIème s. av. J.C.)199, mais c’est EUCLIDE (ca IV– ____________________ 197 Il n’est pas inhabituel de trouver chez l’auteur quelques exemples ou exercices qui précèdent un développement plus théorique et mieux étayé: songeons au chapitre sur les fractions (quelques fractions étudiées dans le digression VI avant le long chapitre sur les fractions) ou celui sur les racines (des racines carrées précèdent leur étude et même la définition de la racine quatrième). 198 Le Liber mahameleth fait deux fois allusion à la théorie d’ARCHIMÈDE (ca IIIème s. av J.C.), – Azemides dans notre traité –, concernant Π. La première référence est directe: il y est question d’un problème de découpage d’une étoffe circulaire de diamètre donné en morceaux rectangulaires. L’auteur ajoute que la surface du cercle ne peut être connue exactement, et qu’ARCHIMÈDE a trouvé comme approximation du rapport du périmètre au diamètre la valeur 3 1/7 (éd., p. 258, l. 25–29). Dans la seconde allusion, la même valeur est attribuée par les Anciens («ab antiquis») (éd., p. 402, l. 9). Une autre référence indirecte à ARCHIMÈDE concernerait les alliages, et plus particulièrement celui de l’or et de l’argent. Sans faire allusion à la célèbre escroquerie à laquelle échappa HIÉRON II, le tyran de Syracuse, grâce à la précieuse aide d’ARCHIMÈDE, l’auteur revient sur la manière de distinguer la masse et le volume de l’or et de l’argent (éd., p. 245, l. 12–p. 247 (tabl.)). 199 L’auteur de notre livre ne fait qu’une seule fois allusion à NICOMAQUE (éd., p. 7, l. 13). L’auteur souligne qu’il y a deux manières d’approcher le nombre. Alors que d’une part le nombre peut être considéré dans la matière, ce qui est du ressort de l’arithmétique pratique ou active, le nombre peut d’autre part être étudié pour lui-même (selon ses différentes qualités, comme par exemple celle d’être pair ou impair), ce qui est du ressort de l’arithmétique théorique ou spéculative: celle-ci fait l’objet d’une étude chez NICOMAQUE DE GÉRASE.

133

Les sources utilisées dans le traité

IIIème s. av. J.C.) qui apparaît comme le maître à penser de notre auteur puisqu’il le mentionne soixante-sept fois. Tableau des occurrences: Pages (édition) Euclide

Pages (édition) Euclide

Pages (édition) Euclide

17, l.13 17, l.16 18, l.10 21, l.4 21, l.5 21, l.21 23, l.18–22 25, l.4–6 25, l.10–31, l.17 25, l.18 26, l.4 26, l.8 28, l.12 43, l.4–5 43, l.18 44, l.6 44, l.17 45, l.15 52, l.22 58, l.25 64, l.4 73, l.5 92, l.20

96, l.8 97, l.21 100, l.21 118, l.29 160–181 163, 27 (268, l.13 (268, l.17 164, l.16 166, l.4 170, l.25–27 171, l.23 171, l.37 171, l.39 172, l.1 172, l.3 172, l.24 172, l.32 173, l.6 173, l.20 173, l.27 173,l.28–29 176, l.13

177, l.16 178, l.11 179, l.14 180, l.2 181, l.9 181, l.13 199 l.23 273, l.35 302, l.29 306, l.12 320, l.5–6 333, l.3 400, l.33 403, l.20 404, l.17 406, l.3 410, l.19 412, l.33 413, l.13 413, l.16 421, l.17

VII,18 VII,19 VII,18 VII,17 VII,18 V,16 V,24 VII,19 II,1–10 VII–IX VII,18 V,24 II,5 IX,12 (11) VIII,8 VIII,5 VIII,9 VII,19 II,1 II,7 VII,19 ? II,1

II,1 II,1 II,1 VI,16 X (entier) IX,1 X,15) X,16) X,15–16 X,17–18 X,25 X,24 X,5 X,6 X,15 X,23–24 X,28 X,33 X,35 X,28 X X,36 X,48

X,37 X,55–65 X,91–102 X,71 X,55 X,56 I–XIII II VI,14 (13) VI,14 (13) I,34 VI,14 (13) I,33 I,47 II,4 II,6 II,6 II,3 III,35 III,3 XII

Quant à savoir sur quelle édition des Éléments repose les incursions de notre auteur, la réponse se complique vu le florilège de manuscrits et traductions. Les versions connues à ce jour sont les suivantes: A. Transmission gréco-arabe (il nous reste quelques fragments de traductions arabes à partir du grec. M. CLAGETT propose la liste détaillée des fragments que nous possédons dans sa Studies in Medieval Physics… (1979), pp. 16–17. Nous avons: (a) Deux versions des Éléments d’AL-HAJJĀJ ibn Yūsuf ibn Maṭar (ca 786–833) qui semblent aujourd’hui perdues (cfr R. LORCH, Some remarks… (1987), p. 46.); (b) une version d’ISḤĀQ IBN ḤUNAYN (mort en 910) (cfr H.L.L. BUSARD, The first Latin Translation… (1987), pp. 18–19); (c) la même version revue par TĀBIT IBN QURRA (mort en 901) (cfr H.L.L. BUSARD, The latin translation of the arabic version… (1984), p. ixb: les livres I–XIII figurent dans la traduction Isḥāq-Tābit; quant aux livres XIV et XV, ce sont des apocryphes qui ne

134

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

sont pas d’EUCLIDE, ils figurent dans la traduction de QUSṬĀ IBN LŪQĀ (mort vers 912)). B. Transmission arabo-latine: 1° ADÉLARD DE BATH (ca 1080–1151): les trois «versions» (cfr H.L.L. BUSARD, The first Latin translation … commonly ascribed to Adelard of Bath, Toronto, 1983.): (a) Version I: une traduction littérale, version hybride datant du second quart du XIIème siècle; Version II: un abrégé, dont le véritable auteur serait ROBERT DE KETTON, erronément appelé « Robert de Chester » (Nous trouvons le nom Robertus Ketenensis chez PIERRE LE VÉNÉRABLE (De Anglia, P.L. 189, l. 650). Nous avons parfois lu Kestrensis. R. LEMAY, Annales (1963), p. 648 parle d’un collaborateur d’HERMANN DE CARINTHIE s’appelant Robert de Rétines. Pour une meilleure connaissance de ROBERT DE KETTON, nous renvoyons à l’article de A.J. MARTIN DUQUE, El inglés Roberto Traductor del Coran (1962), pp. 483–506 ainsi qu’à l’édition de L.C. KARPINSKI, Robert of Chester’s Latin traduction of the Algebra of al-Khowarizmi, 1915; Version III: une paraphrase (Seule la préface a été éditée par M. CLAGETT sous le titre King Alfred and the Elements of Euclid aux pages 273–277 (in Isis 45 (1954), pp. 269–277). Cette longue préface contient la description de la méthode démonstrative.) 2° HERMANN DE CARINTHIE (fl. 1138–1143) (cfr H.L.L. BUSARD, The translation of the Elements…by Hermann of Carinthia, in Janus 54 (1967), pp. 1–40 (livres I–VI); Janus 59 (1972), pp. 125–187 (livres VII–IX); Amsterdam, 1977 (livres VII–XII)). 3° GÉRARD DE CRÉMONE (ca 1114–1160 ou 1187) (cfr H.L.L. BUSARD, The Latin translation…to Gerard of Cremona, Leiden, 1983). 4° Pour les commentaires des Éléments: au XIIème siècle, nous pouvons signaler celui d’Anaritius traduit par GÉRARD DE CRÉMONE, celui du livre X réalisé par Muḥammad ibn Abdulbāqī AL-BAGHDĀDĪ probablement traduit par GÉRARD DE CRÉMONE et enfin un fragment du commentaire du livre X par PAPPUS traduit selon toute vraisemblance par GÉRARD DE CRÉMONE. Aux XIIIème et XIVème siècles, le commentaire de CAMPANUS DE NOVARE connaîtra un grand succès et influencera grandement la science occidentale (cfr R. RASHED, Encyclopedia of the History…vol. II (1996), pp. 554–555). C. La transmission gréco-latine: Anonyme (vers 1160): traduction des livres I à XIII, XV et un résumé des livres XIV et XV des Éléments traduits du grec en latin par un étudiant de Sicile. D. Versions hébraïques: le corpus manuscrit des versions hébraïques des Éléments compte dans l’état actuel de nos connaissances trente-un manuscrits (cfr T. LÉVY, Les Éléments d’Euclide en hébreu (1997), pp. 79–94).

Les sources utilisées dans le traité

135

Certains de ces manuscrits sont des versions arabo-latines et l’une d’entre elles pourrait être à l’origine des ponctions effectuées pour notre texte200. D’autre part, nous trouvons des versions hébraïques influencées par la tradition arabo-latine, ce qui poserait comme seconde conclusion possible que notre auteur était très proche des milieux intellectuels juifs.

4.3.2

Les sources arabes

À côté des références euclidiennes, il faut constater celles consacrées à deux modèles arabes: – AL-KHWĀRIZMĪ (IXème s. ap. J.C.) a rédigé une Arithmétique et une Algèbre connues en Espagne et traduites en latin. Notre auteur a dû étudier ses ouvrages et pourrait même avoir été influencé, en ce qui concerne l’Algèbre, par la traduction latine de GÉRARD DE CRÉMONE. Une seule allusion directe est faite à cet auteur dans notre traité201. – Abū KĀMIL (ca 850–930) et son Algèbre sont plusieurs fois cités 202. Notre auteur ne le suit pas toujours et annonce que sa résolution algébrique sera diffé____________________ 200 Après l’étude comparative des différentes traductions latines à partir de l’arabe qui nous sont connues, on découvre qu’aucune d’entre elles n’a pu véritablement influencer la version latine du traité Liber mahameleth. Les quelques rares citations d’EUCLIDE présentes dans notre texte ne sont pas identiques aux définitions ou démonstrations que nous pouvons retrouver telles quelles dans les éditions avec apparat critique que nous connaissons. Ceci n’exclut cependant pas une parenté avec certaines traductions plutôt que d’autres. Il est par exemple intéressant de constater que le manuscrit Vat. Reg. lat.1268 (Adélard de Bath I) reprend les expressions trouvées dans le traité que nous éditons: Verbi grati, Quod sic probatur, Et hoc est quod monstrare uoluimus (cfr H.L.L. BUSARD, The first Latin Translation… ascribed to Adelard of Bath (1983), p. 11). D’autre part, le référent arabe «mutekefia» (= proportionaliter) que nous trouvons chez Adélard de Bath I trouve sont équivalent dans le Liber mahameleth (muteqefia). Mais ceci ne peut en aucun cas suffire pour confirmer une filiation directe. 201 Face à l’arithmétique spéculative dont il a été question avec NICOMAQUE DE GÉRASE, l’auteur propose une arithmétique pratique ou active. Il ajoute que le nombre y est utilisé dans des opérations liées à la réalité immédiate: «ce qu’on enseigne dans l’Arithmétique d’al-Khwārizmī et le mahameleth» (éd., p. 7, l. 15–16). Cette science d’application revêt divers aspects comme le calcul proprement dit avec ses opérations de réunion ou de séparation des nombres, l’utilisation des mathématiques pour le négoce, ou encore la détermination de certaines mensurations inconnues partant de la connaissance d’autres (cfr éd., pp.7–8). L’auteur ajoute que l’étude du grand mathématicien arabe sera abordée dans son ouvrage, mais nous ajouterons qu’il s’agit ici de la seule allusion directe faite à AL-KHWĀRIZMĪ (orthographié Alcouzini (A) et Alcouzmi (D et P). Il ne fait toutefois aucun doute qu’il faut lire alcorizmi: une confusion entre ri et u ainsi qu’entre ini et mi semble normale compte tenu de l’écriture médiévale). 202 Allusion est faite à Abū KĀMIL (nom orthographié auoquamel, auochemel ou abuquemil), et plus particulièrement à la troisième partie de son Kitāb fi al-jabr wa’l muqābala (Le mot «al muqabala» désigne l’opération consistant à réduire tous les termes semblables d’une équation. Le terme lui-même se traduit par «réduction» (cfr glossaire p. 139 du commentaire). Il est de nombreuses fois questions d’Algèbre dans notre traité, mais l’auteur insiste souvent sur la distinction à apporter entre l’Algèbre d’Abū KĀMIL et celle qui devait figurer dans le traité,

136

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

rente de celle d’Abū KĀMIL. Il le critique aussi (dans son chapitre sur les racines carrées) quand il souligne son manque de clarté à propos des preuves proposées. Comme nous sommes sûrs que cette Algèbre a inspiré notre auteur, la question posée concerne la version dont a pu s’inspirer notre texte. Est-elle arabe, latine ou hébraïque? Et pour compliquer le cheminement, notre auteur mentionne une seconde Algèbre qui figurait dans un chapitre (perdu) de son traité.

4.3.3

Les sources inconnues

D’autres sources sont proposées par l’auteur, sans qu’il soit possible d’en cerner les titres exacts. Il est ainsi question d’un Liber de taccir et d’(un) almenquet. Lorsqu’il est souhaite connaître la surface de pièces d’étoffe triangulaires ou autres découpées dans un morceau plus grand, l’auteur renvoie à un Liber de taccir (éd., p. 255, l. 20). Nous savons que le terme «taccir» est un mot arabe signifiant «mesurage»: nous pourrions donc traduire par «livre de mesurage». L’inexistence de l’article en latin rend la référence ambiguë. Plus loin, un problème caractérisé par des transformations successives aboutit à un résultat connu résolu «secundum almenquet» (éd., p. 425, l. 21). Nous savons que le référent arabe pourrait se traduire approximativement en latin par almencus, ce qui signifie «à rebours». L’auteur veut-il dire qu’il souhaite résoudre le problème à l’envers, ou bien s’agitil du titre d’une œuvre? Nous optons pour la première solution. Ce que les sources nous apprennent incontestablement, c’est que notre auteur dispose d’une vaste culture. ARCHIMÈDE, EUCLIDE ou Abū KĀMIL, pour n’en citer que quelques-uns, lui sont familiers, avec une mention spéciale pour EUCLIDE. En s’attardant sur les lieux visités par les textes dont s’inspire notre auteur, il est certain que nous découvrons de manière plus précise le milieu intellectuel tolédan auquel il a sans doute appartenu. De plus, nous pensons qu’il fréquentait des groupes de traducteurs très intéressés par ce genre de littérature.

____________________ après le chapitre sur les racines. Ainsi, par exemple: (a) Au début de son ouvrage, l’auteur traite des propriétés de commutativité et d’associativité du produit et insiste pour dire qu’elles sont propres à Abū KĀMIL (cfr éd., p. 18, l. 20–p. 25, l. 9); (b) lorsqu’il parle des racines carrées et des opérations mathématiques effectuées sur elles, notre auteur fait judicieusement remarquer que ceci est extrêmement utile à connaître, surtout pour qui veut appliquer l’Algèbre. Mais il ajoute qu’il faut ajouter des preuves plus claires que celles d’Abū KĀMIL (cfr éd., p. 160, l. 6–8); (c) le dernier problème du manuscrit A (fol.202r) concerne les mêmes données que celles avancées au début (fol. 95r). Notre auteur le résout tout en précisant que sa résolution algébrique sera différente de celle de l’Algèbre (Abū KĀMIL), l’inconnue étant posée différemment (cfr éd., p. 199, l. 22–24).

Conclusion

4.4

137

CONCLUSION

Ce chapitre pourrait être davantage développé et analysé. Si nous ne l’avons pas fait, c’est en raison de l’importance de l’entreprise qui aurait eu pour conséquence un chapitre trop volumineux. En effet, nous avons vérifié tous les exemples proposés par l’auteur, et force est de constater que chaque page de l’édition mériterait plusieurs pages de commentaire. Ces questions pourraient faire ultérieurement l’objet d’une étude appropriée dans des articles. Dans ce traité, nous retrouvons les innovations apportées dans les disciplines traditionnelles de la science mathématique arabe entre les IXème et XIIème siècles. Un premier aspect concerne la relecture des traités classiques grecs, et plus particulièrement ceux d’ARCHIMÈDE, de NICOMAQUE et d’EUCLIDE. Parmi les éléments repris dans le Liber mahameleth relevons: – la reformulation de la notion de rapport (livre V des Éléments) aboutissant à l’extension du concept de nombre, qui peut être aussi bien un entier, qu’un rationnel (comme les fractions) ou un réel positif (autre que les entiers et les fractions). – l’arithmétisation du livre X des Éléments que nous trouvons dans le chapitre sur les racines. On y étudie aussi bien les rationnels (a ou √a) que les irrationnels (a · √b ou √a · √b et ceux du type médial comme 4√(a.b)) ainsi que les binômes (a + √b et √a + √b) et les apotomes (a – √b, √a – √b et √a – b). On y trouve également l’étude des suites et des sommes infinies de nombres entiers (cfr la «progression arithmétique»). – en ce qui concerne la numération, le système décimal positionnel indien est l’outil de calcul par excellence grâce auquel les opérations dites arithmétiques peuvent être réalisées: addition, soustraction, multiplication, division, dénomination, extraction de racines carrées et quatrièmes. – enfin, dans le domaine de la géométrie, il faut évoquer les problèmes de mesure résolues à l’aide de la méthode d’ARCHIMÈDE parvenue aux Arabes par l’intermédiaire de son Épître sur la mesure du cercle et que notre auteur utilise souvent. Un second aspect relève de l’assimilation des traités classiques arabes, et plus particulièrement ceux d’AL-KHWĀRIZMĪ et d’Abū KĀMIL. Les éléments que reprend largement le Liber mahameleth sont: – l’utilisation des équations canoniques, la règle des signes ainsi que l’extension des opérations dites arithmétiques aux objets de l’algèbre (qui sont les numerus [nombre], radix [racine], res [chose] et census [carré]203). – les quatre éléments rassemblés chez AL-KHWĀRIZMĪ et qui visent une grande clarté dans un exposé mathématique: des définitions, des opérations, des procédés de résolution et des démonstrations. ____________________ 203 Nous privilégions cette traduction, même si certains préfèrent le traduire par «bien».

138

La place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques

À cet égard, les différents procédés de calcul utilisés dans le Liber mahameleth sont la méthode de fausse et celle des doubles fausses positions, la démonstration géométrique et enfin la méthode algébrique. Ajoutons que sous l’influence d’Abū KĀMIL, nous retrouvons dans notre traité l’intervention des nombres réels positifs dans la résolution des équations. L’esprit critique avec lequel la postérité a repris cet héritage mathématique l’a amenée à élaborer une réflexion sur les fondements de cette science. L’auteur du Liber mahameleth a su transmettre ce patrimoine que nous connaissons par ailleurs en y apportant de rares modifications (comme par exemple son utilisation particulière de la «dénomination»). Ajoutons que la place du Liber mahameleth dans le courant des arithmétiques dites marchandes reste problématique. Il s’agit d’une œuvre certes importante pour ses applications au commerce, mais nous n’avons pas retrouvé de traces significatives de son influence.

5

LE GLOSSAIRE

Loin de prétendre à l’exhaustivité, ce glossaire tente uniquement d’expliquer le sens de certains mots employés par l’auteur et qui pourraient poser quelques problèmes compte tenu de leurs différents sens possibles ou de leur emploi restrictif propre au Liber mahameleth204. Chaque terme a été recherché dans les dictionnaires classiques courants, ainsi que dans certains ouvrages et articles spécialisés205. Toutefois, on peut déplorer l’absence d’une étude systématique pour le vocabulaire mathématique206 . Nous avons également pu utiliser des outils de travail informatiques du CETEDOC (Louvain-la-Neuve)207.

____________________ 204 Pour la liste des mots de vocabulaire utilisés, nous renvoyons à l’index aux pages 180–184 du commentaire. 205 Une liste complète des dictionnaires du latin médiéval nous est proposée dans l’article de R. SHARPE, Modern Dictionaries of Medieval Latin (éd. J. HAMESSE), pp. 289–304. Nous proposons ici la liste des dictionnaires et ouvrages consultés ainsi que l’abréviation (entre crochets droits) utilisée pour les désigner. Dictionnaires: – Dictionary of Medieval Latin from British Sources (1997) [D.M.L.] – CH. DU CANGE, Glossarium mediae et infimae latinitatis (1840–1850) [D.C.] – Thesaurus Linguae latinae (1900 et en cours de publication) [T.L.L.] – Mittellateinisches Wörterbuch bis zum ausgehenden 13. Jahrhundert (1959). [M.W.] – F. Blatt (éd.), Novum glossarium medie latinitatis (1959) [N.G.] Ouvrages spécialisés: – G. BEAUJOUAN, Le vocabulaire scientifique du latin médiéval (1981), pp. 345–354 [BE] – J. DUPLESSY, La circulation des monnaies arabes…(1956), pp. 101–163 [DUP] – P. GRIERSON, Monnaies au Moyen Âge (1976), p. 109; 151; 308–312 [GR] – M. LAVENCY, VSVS (1985), pp. 299–302 [VSVS] – G. L’HUILLIER, Le Quadripartitum numerorum… (1990), pp. 43–45 [LH] – G. LIBRI, Histoire des sciences…(1838) [LIB] – M.G. MARQUES, Problems of Medieval coinage in the iberian Area I (1984) [MAR] – J. SESIANO, Le Liber mahameleth…(1988), pp. 69–98 [SE] – B. VITRAC, Euclide…, vols I (1990)– vol.II (1994) – vol. III (1998) [VIT] – O. WEIJERS, Etude sur le vocabulaire intellectuel…(1990), pp. 137–181 [WE] 206 G. BEAUJOUAN, Le vocabulaire scientifique médiéval (1981), pp. 348–353 ébauche une critique des grands dictionnaires du Moyen Âge en soulignant leur manquement concernant le vocabulaire des sciences médiévales. 207 Nous remercions tout particulièrement le Professeur P. TOMBEUR qui a mis à notre disposition le CD ROM CETEDOC (CLCLT3) qui propose une liste ouverte de mots ne figurant pas dans les dictionnaires existants.

140

Glossaire

5.1

TERMES D’ARITHMÉTIQUE

Le but de cette liste est d’expliquer le sens des termes mathématiques présentant des particularités d’emploi ou pouvant réellement faire difficulté. Certains de ces mots ne sont pas toujours attestés dans les dictionnaires courants. Cela implique une découverte du sens à partir des occurrences dans notre traité ainsi que dans d’autres textes mathématiques médiévaux. Nous avons voulu maintenir dans leur acception première certains termes ayant perdu aujourd’hui leur sens premier, comme articulus, denominatio et digitus. Nous les avons traduit en maintenant leur racine latine: articule, dénomination et digite. TERMES accipere

SENS COMMUN «prendre», «soustraire un nombre»

additio/-ere

«addition, expansion par addition» [D.M.L. I, p. 26b; M.W. I, p. 383, l.2]

synonymes = agregare, augere, adunare, iungere, componere adiectio/-icere «addition/-ner», «ajout/-er» [D.M.L. I, p. 29b] ag(g)regatio/-are «ajout(er)» [D.M.L. I, p. 52c– 53a] «ajout/-er(un nombre)», «addition/-ner (un nombre)»

algebra voir infra: «mots d’origine arabe»

«algèbre»

LIBER MAHAMELETH «prendre», «soustraire un nombre» (ex. édition p. 60, l. 25) Traduit par «ajout/-er)», «addition/-ner», mais lorsqu’il s’agit des proportions, on le traduit par «multiplication/-plier» (ex. édition p. 8, l. 16) «addition/-ner», «ajout/-er» (ex. édition p. 25, l. 14) Il est plus prudent de traduire ici ce terme par «agrégation» ou «réunion» afin de le distinguer de l’«addition». En effet, l’auteur l’utilise dans un sens plus général que celui de l’addition. Il s’agit de l’opération qui englobe à la fois l’addition et la multiplication parce qu’elle s’oppose à la «séparation» (soustraction et division). Il ne s’agit pas d’une initiative de notre auteur: cette utilisation s’inscrit dans une très ancienne tradition du calcul dont on retrouve la trace dans plusieurs ouvrages arabes d’Orient. (ex. édition p. 15, l. 9) «algèbre» (ex. édition p. 160, l. 7 (gebra), p. 209, l. 18 (algebra))

141

Termes d’arithmétique

TERMES aliquotus

almucabala voir infra: «mots d’origine arabe» arithmetica

articulus

augere

bimedialis = voir medialis binarius binomium census

SENS COMMUN «qui forme un facteur d’entier». Ce mot apparaît au XIIIème siècle avec comme définition: «Dicitur pars aliquota que aliquotiens sumpta redit suum totum». «Qui intervient dans la décomposition d’un nombre» (aliqua quantitate praeditus) [M.W. I, p. 463]; «qui forme un facteur entier» [D.M.L. I, p. 63b–c] «almucabala»

LIBER MAHAMELETH «aliquote» (ex. édition p. 32, l. 5)

«arithmétique». Alors que pour les Grecs il s’agissait de «la manipulation des nombres entiers», pour les Médiévaux, il s’agit en plus de «la manipulation des nombres radicaux» «Tout nombre multiplie de dix» (numerus denarius decas) [M.W. I, 992, l. 58]; «articulation (entre les doigts); décade, dix ou multiple de dix» [D.M.L. I, p. 133b– c]: «nombre formé de dizaines.» [WE, p. 153] «multiplier» [D.M.L. I, p. 160c; M.W. I, p. 1216, l. 22; T.L.L. II, p. 1345, ll. 15–20]

«arithmétique» (édition p. 7, l. 13, 16)

«muchabāla» (édition p. 160, l. 7)

Nous préférons à la traduction habituelle le néologisme «articule» (ex. édition p. 8, l. 2)

«additionner» (cfr JEAN DE MURS) (ex. édition p. 116, l. 11)

«le nombre deux» [D.M.L. I, p. 199c; T.L.L. II, p. 1992, l. 23] «binôme, binomiale» [VIT III]

«deux» (ex. édition p. 8, l. 16) «binôme» (ex. édition p. 167, l. 32) «carré d’une inconnue (x2)» [BE, «carré» = inconnue x2: il s’agit du 208 p. 347] carré de res (chose= inconnue x). (ex. édition p. 209, l. 26)

____________________ 208 Le sens algébrique de census ne figure pas dans les dictionnaires courants. Dans le livre d’ ALKHWĀRIZMĪ et dans toute la tradition algébrique arabe (et donc par prolongement dans la tradition latine, jusqu’au XVème siècle), mâl [census] signifie le bien (au sens de capital, de fortune, de troupeau ou de trésor) et la racine du māl est la racine [radix]. Donc à l’époque d’AL-KHWĀRIZMĪ, l’inconnue dans les énoncés est census, mais pour l’obtenir, on calcule 2 d’abord radix, puis on élève au carré pour obtenir census. Donc x + x = 10 est équivalent à 2 X + √X = 10, mais avec le changement d’inconnue, X = x .

142 TERMES circulus

Glossaire

SENS COMMUN «cercle» [VIT I]; «zéro» (plus fréquent que cifra) [D.C. II, 348] communicans/-are «Qui n’est pas premier avec» synonyme = (secundum quantitatem commucommensurans nem conueniens) [D.M.L. I, antonyme = pp. 398b–399a; M.W. II, incommunicans p. 1000, l.45] communis «commun». On appelle nombre commun celui qui provient de la multiplication des nombres de dénomination de deux colonnes entre eux (= dénominateur commun) [D.M.L. I, pp. 399c–401a] comparatio «Rapport». Selon PAPPUS, un commentateur d’EUCLIDE, ce mot a trois sens: (1°) sens général (Déf.V,3) qui s’applique aux quantités finies sans préciser davantage; (2°) sens «numérique» de relations entre nombres et que l’on peut appliquer aux grandeurs commensurables (X,5–6); (3°) sens propre aux grandeurs exprimables pour lequel le rapport est exprimé relativement à une unité connue [VIT III, p. 46] complere «compléter, remplir» [D.M.L. I, p. 408a–b]

LIBER MAHAMELETH «cercle» (ex. édition p. 255, l. 16) «commensurable» (ex. édition p. 164, l. 6)

«commun» Numerus communis = «nombre commun (produit des numeri denominationis)» (ex. édition p. 63, l. 18) «Rapport» (ex. édition p. 17, l. 12)

Suivant le contexte, le terme peut revêtir deux sens: celui de «compléter», mais aussi celui de «résoudre une équation» (ex. édition p. 95, l. 17) componere/-situs Numerus compositus = «Nombre «composé» composé» (formé d’unités et de numerus compositus = «nombre dizaines) [D.M.L. I, pp. 409c– composé» 410b] (ex. édition p. 8, l. 2) considerare «chercher» [D.M.L. I, p. 450a–b] «chercher (un nombre dans une opération)» (ex. édition p. 7, l. 10) continuare «assurer une continuité» [T.L.L. «joindre au rapport» lié aux IV, p. 726, ll. 52–57] termes «per comparationem» (ex. édition p. 219, l. 2)

Termes d’arithmétique

TERMES denominare/-tio

differentia

digitus

SENS COMMUN «dénominateur; dénomination, soit un nombre entier ou rationnel qui exprime la ratio (rapport ou raison?) pour les termes les plus bas» [D.M.L. I, p. 611b–c]; «rapport entre les deux parties d’une proportion»; «dénominateur» (pour les fractions) (chez JEAN DE MURS et JEAN DE TOLÈDE uniquement). Au XIIème s. une coloration du terme denominatio mérite d’être soulignée, même si notre arithmétique moderne n’a plus conservé que le terme «dénominateur» [LH, p. 652]; «le fait d’entrer dans la décomposition en facteurs d’un nombre» [T.L.L. V, p. 535, l. 52] «Différence en quantité; colonne dans la notation décimale» [D.M.L. I, p. 657a–b]; «ensemble des neuf nombres compris entre chaque puissance de dix et n’ayant qu’un seul chiffre significatif. par exemple, troisième différence: 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 [LH, p. 652]. JEAN DE TOLÈDE appelle differentia (position) ce que le texte appelle ordo (chaque puissance de dix) [LH, p. 42] «digit» [D.M.L. I, p. 661c]; «Chiffre» [LH, p. 652]

divisio

«division» [VIT II]

ducere

«multiplier, mettre au carré» [D.M.L. I, pp. 730c–731c]; «multiplier» [T.L.L. V, p. 2156, ll.1–23]

143 LIBER MAHAMELETH «dénomination»: soit il s’agit de «la division d’un nombre plus petit par un nombre plus grand», soit la dénomination d’une fraction est la manière d’appeler la partie d’un entier qu’elle représente comme la moitié, le tiers, le quart. (ex. édition p. 35, l. 21)

«note» (différence ou position). L’auteur attribue une valeur appelée nota (puissance de dix) à chaque differentia (ex. édition p. 8, l. 32)

Nous préférons à la traduction habituelle de «nombre formé d’unités», traduire par «digite». En somme, la langue anglo-saxonne use également de ce terme (ex. édition p. 8, l. 2) Il s’agit de la division (d’un nombre plus grand par un nombre plus petit) qu’il distingue de la denominatio (ex. édition p. 15, l. 2) «multiplier» (ducere per aliquem numerum ou ducere in aliquem numerum) (ex. édition p. 17, l. 1)

144

Glossaire

TERMES equalis

SENS COMMUN «égal»

equipollere

«avoir une force ou une valeur égale; être équivalent d’un point de vue logique» [D.M.L.I, p. 43a]; «avoir même dénominateur» (pour les fractions); «être dans la même proportion (pour les proportions). Même dualité de sens que le mot denominatio. [LH, p. 652] «opérer» [D.M.L. I, pp. 886a– 890a]; «résulter» [WE, p. 162] «figure forme; diagramme; figure géométrique; figure mathématique, digite» [D.M.L. I, pp. 940a– b]; «chiffre» [LH, p. 652] «division entre des parts; fraction» [D.M.L. I, pp. 997c–998a]. numerus fractus; (numerus) ruptus. [LH, p. 652]

facere/fieri figura

fractio

impar = voir par incommunicans = voir communicans integer irracionnalis = voir racionnalis. limes synonymes = differentia ou ordo.

«impair» «incommensurable»

«entier» (nombre) «irrationnel» «colonne dans la position déci209 male» [D.M.L. I, p. 1614a] ; «chaque puissance de dix» (1, 10, 100, 1000,…). Chaque limes détermine une differentia (JEAN DE TOLÈDE); même sens que differentia (idem est limes et differentia) (Algorisme de JORDANUS et de GERNARDUS); lorsque JEAN DE MURS copie de JEAN DE TOLÈDE.

LIBER MAHAMELETH «égal» (ex. édition p. 16, l. 5) «être dans la même proportion» (ex. édition p. 196, l. 20)

«opérer», «résulter» (ex. édition p. 34, l. 27) «chiffre» (dans l’abaque); «figure» (ex. édition p. 10, l. 33) «fraction». numerus fractionis = «numérateur» numerus denominationis = «dénominateur» (ex. édition p. 8, l. 1) «impair» (ex. édition p. 7, l. 12) «incommensurable» (ex. édition p. 177, l. 30) «entier» (nombre) (ex. édition p. 8, l. 1) «irrationnel» (ex. édition p. 165, l. 11) À traduire par «ordre» ou «limite». Il s’agit de la position d’un nombre dans le système décimal. Ici ce terme est mis sur le même pied que digitus, articulus et compositus, ce qui complique son interprétation et donc sa traduction: peut être à traduire par «nombre formé de centaines».

____________________ 209 Cfr un fragment du Prologus in Helaph ad Adelardum Batenseni de NICOLAS OCREATUS (mort en 1150): «ordinas igitur numerorum siue limites a primis numeris, qui digiti uocantur et sunt IX, per decuplos in infinitum procedunt. Sunt autem in unoquoque limite numerorum nouem termini…»

145

Termes d’arithmétique

TERMES limes

magnitudo medialis multiplicare/ -catio

mutuari/-atus nota

SENS COMMUN L’emploi est le même que chez celui-ci, ou le sens est le même que differentia et ordo (in qua proportione se habet primus ordo siue limes) (JEAN DE MURS II, 11) [LH, p. 652]; «position d’un nombre dans le système décimal, ordre des positions décimales» [WE, p. 164]. «grandeur» «médiale» et bimedialis par «bimédiale». [VIT III] «multiplier» Synonymes: augere (voir ce mot), ducere (voir ce mot), ampliare (pas attesté dans ce sens, excepté chez JEAN DE MURS), percutere (pas attesté dans ce sens, excepté chez JEAN DE MURS), extendere [LH, p. 652] «nombre choisi arbitrairement comme auxiliaire de calcul» [LH, p. 652] «note». Il s’agit de la valeur attribuée à chaque ordo (voir ce mot). À chaque puissance de dix est associée sa note, à savoir la valeur de cette puissance, la note 1 étant comprise entre zéro et dix [LH, pp. 37–38]211

LIBER MAHAMELETH On peut aussi dire qu’il s’agit de «chaque puissance de dix» (1, 10, 100, 1000,…). Chaque limes détermine une 210 differentia . (ex. édition p. 8, l. 2)

«grandeur» (ex. édition p. 245, l. 16) «médiale» (ex. édition p. 170, l. 24) «multiplier» (ex. édition p. 7, l. 14)

«emprunter» (ex. édition p. 7, l. 27) «note». Il s’agit de la valeur attribuée à chaque ordo. À chaque puissance de dix est associée sa note, à savoir la valeur de cette puissance, la note 1 étant comprise entre un et dix212 (ex. édition p. 11, l. 4)

____________________ 210 Habituellement, dans le système de position, chaque figure vaut sa valeur propre en première position, elle est multipliée par dix en seconde, par cent en troisième, par mille en quatrième, etc., et, de façon plus générale, elle vaut dix fois plus que dans la «limite». Cette séparation des nombres en tranche de trois chiffres rappelle les grands arcs qui réunissaient de trois en trois les colonnes de l’abaque. 211 Les Arabes ont eu deux attitudes vis-à-vis de la notion que nous appelons puissance: en Algèbre, ils ont généralisé la notion de monôme (c’est-à-dire «x») et ils ont considéré la «puissance zéro» qu’ils ont située entre la colonne des x et celles des 1/x. Par contre, dans la Science du calcul, la plupart s’en sont tenus à la démarche arithmétique qui parle de «position» (martaba) ou d’«ordre» (uss). L’ordre des unités est un, celui des dizaines est deux, celui des centaines est trois, etc. Il y a donc un décalage d’une unité par rapport aux puissances de l’algèbre. 212 Nous ajouterons que par puissance d’un nombre on entend le produit de plusieurs facteurs égaux à ce nombre, le nombre de facteurs étant indiqués par l’exposant. La note 1 est attribuée au premier ordo, soit aux chiffres de 1 à 9; le 2 est attribué aux dizaines de 10 à 90; le 3 est attribué aux centaines de 100 à 900, etc. Si on prend pour chaque ordo son limes, soit la puissance de dix correspondante, la multiplication des ordines obéit alors aux règles de m n (m + n –1) . Pour multiplication de puissances suivantes (si m et n sont des notes): 10 . 10 = 10 les fractions, la note 1 est attribuée aux fractions de 1/10 à 1/90; la note 2 aux fractions de (m + n) m n . 1/100 à 1/900, etc. La multiplication utilise alors: (1/10) . (1/10) = (1/10)

146 TERMES numerare

numerus

ordo

par antonyme: impar pervenire probare/-atio proportio synonyme: proportionalitas provenire quadrare/-atus racionabilis

radix reductio/-cere regula

Glossaire

SENS COMMUN «compter» [N.G., col. 1506]; «additionner» [WE, p. 167]; «entrer dans la décomposition en facteurs d’un autre nombre (pour un nombre) [LH, p. 653] «nombre»; «numérateur» [LH, p. 653]

«ensemble des neuf nombres compris entre chaque puissance de dix et n’ayant qu’un seul chiffre significatif. Par exemple, troisième différence: 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900» [LH, p. 652–3]; «rangée de chiffres; ordre, position d’un nombre dans le système décimal ou sexagésimal» [WE, p. 168] «pair» «résulter, atteindre une valeur» [WE, p. 169] «faire la preuve; produire un résultat» [WE, p. 170] «proportion»

«résulter d’une opération» [WE, p. 653] «extraire la racine carrée»; «élever au carré» [LH, p. 653] «rationnel»; «exprimable» [Vitrac I, II] Antonymes: irracionalis (qui n’a pas de désignation simple) et surdus (sourd ou irrationnel) «racine» [VIT I, p. 105; BE p. 347] «réduction; déplacement d’un nombre» [WE, p. 172] «règle»; «décomposition en facteurs (d’un nombre)». [LH, p. 653]

LIBER MAHAMELETH «compter»; «entrer dans la décomposition en facteurs d’un autre nombre (pour un nombre) (ex. édition p. 8, l. 11) «nombre»; numerus denominationis = «dénominateur»; numerus numerationis = «numérateur»; numerus collectionis = nombre de réunion; numerus fractionis/-um = «numérateur» (ex. édition p. 7, l. 9) «ordre», ou «ensemble des nombres compris entre chaque puissance de dix». Même sens que differentia (ex. édition p. 8, l. 33)

«pair» (ex. édition p. 7, l. 12) «résulter» (ex. édition p. 10, l. 13) «prouver» (ex. édition p. 15, l. 3) «proportion» (ex. édition p. 23, l. 19) «résulter» (ex. édition p. 22, l. 21) «élever au carré» (ex. édition p. 30, l. 13) «rationnel» (ex. édition p. 160, l. 18)

«racine» (ex. édition p. 7, l. 25) «réduction» (ex. édition p. 231, l. 15) «règle» (ex. édition p. 12, l. 9)

147

Termes d’arithmétique

TERMES res

SENS COMMUN «chose; nombre indéterminé». Au regard de ce que les textes mathématiques médiévaux nous proposent, nous constatons un véritable chaos quant au sens à donner à ce terme

residuum

«reste»

similis/-itudo

«semblable/similitude»

species

«espèce, aspect»

subtrahere

«soustraire»

superficialis

«nombre plan» (à distinguer de superficies qui signifie «aire») [VIT, III, p. 130] «irrationnel», «sourd» [LH, p. 653] Le terme ἄλογον est compris comme «celui qui n’a pas la parole», de là la traduction «sourd» [BE, p. 347] «unité»

surdus213

vnitas

LIBER MAHAMELETH 1° «chose» (en italique, pour le distinguer du sens habituel de res). Il s’agit le plus souvent dans notre texte du «nombre indéterminé», celui que les mathématiques contemporaines appellent l’inconnue x (ex. édition p. 8, l. 11) 2° sens de «prix» (ex. édition p. 199, l. 12) 1° «reste» : reste traditionnel (ex. édition p. 40, l. 2) 2° «apotome»: reste qui est à la soustraction ce que le binôme est à l’addition (= apotome). Nous reprenons la retranscription grecque d’«apotomé» (ex. édition p. 179, l. 8). «semblable/similitude (ex. édition p. 22, l. 7) «espèce, aspect» (ex. édition p. 7, l. 20) «soustraire» (ex. édition p. 40, l. 12) «nombre plan» (ex. édition p. 163, l. 25) «sourd(e)» (pour faire la distinction avec irracionalis) (ex. édition p. 160, l. 15)

«unité» (ex. édition p. 7, l. 9)

____________________ 213 J. VERNET, Ce que la culture doit… (1985), pp. 114–115: les homonymes furent la cause de fréquentes confusions et glissements sémantiques. Ainsi par exemple le nombre irrationnel s’appelle en grec ἄλογον («illogique», «dépourvu de raison» et «dépourvu de parole»); son équivalent syriaque a deux sens: «dépourvu de raison» et «dépourvu de parole»; c’est en ce sens qu’il s’emploie pour désigner le sourd-muet de l’évangile de Marc 9. De l’arabe, il fut traduit par ROBERT DE KETENE (Ketton?) dans le Liber algebrae et almucabola et par GÉRARD DE CRÉMONE dans le De Scientiis par «surdus»; et finalement GUNDISSALINUS dans sa traduction de la Métaphysique d’Avicenne parlera de surditas.

148

Glossaire

5.2

UNITÉS DE MESURE

L’auteur mentionne plusieurs unités de poids et de capacité en usage en Espagne au XIIème siècle. L’origine de ces mesures est aussi bien occidentale (grecque et romaine) qu’orientale. TERMES almod(i)us

SENS COMMUN «almodus» est la version arabisée de modius, le muid. [D.C. I, p. 196]

arroba/arroua

«?» On distingue l’arroba réservée à la mesure du blé de l’arroba réservée à la mesure du blé et des liquides. Aujourd’hui, la distinction entre ces deux termes n’existe plus. Elle équivaut à 25 livres espagnoles [D.C. I, p. 406] «qafiz». Une mesure de grain espagnole [D.C. II, p. 17]; dans la traduction de l’algèbre d’ALKHWĀRIZMĪ on trouve ce même mot cafficius qui serait équivalent à six drachmes [LIB I, p. 287] «coudée» (1,5 pied, soit 45 cm) [VSVS p. 299, n° 548] «hémine» (du grec ἡμίνα): une mesure liquide qui sera utilisée en latin classique jusqu’aux environs des années 200 p.C.n. [D.M.L. I, p. 1144b]

caficius/ cafitius/ cafizius

cubitus (h)emina

mensura/-are

«mesure»

LIBER MAHAMELETH «muid». Unité de capacité adoptée de l’Espagne musulmane. Selon notre auteur, alors qu’1 modius = 1 caficius, 1 almodius = 12 caficii. Semble être le mudd arabe correspondant à 18 litres dans certaines régions. (ex. édition p. 222, l. 24) «arrove». Unité de capacité adoptée de l’Espagne musulmane. Semble être le rub’ (quart) arabe. (ex. édition p. 348, l. 32)

«qafiz». Unité de capacité adoptée de l’Espagne musulmane (ex. édition p. 220, l. 34)

«coudée» (ex. édition p. 247, l. 3) «hémine». Unité de capacité d’origine gréco-romaine et d’usage en Espagne. Ne proviendrait-elle pas de almann (= 180 mithqâl). (ex. édition p.369, l. 22) «mesure» (ex. édition p. 247, l. 16)

149

Unités de mesure

TERMES modius synonyme= almodius

palma sextarius

vncius voir infra: unités de monnaies

SENS COMMUN «muid, boisseau»: cette unité de capacité est d’origine romaine et d’usage en Espagne et a une capacité d’environ 8,75 litres et est utilisé pour les matières sèches [VSVS p. 300 (n° 459)]. Nous ajoutons que la valeur du muid a varié selon les pays et la matière «paume» «setier»: cette mesure agraire est une unité de capacité d’origine romaine, et d’usage en Espagne. Il a une capacité d’environ 1/2 litre et on l’utilise pour les matières liquides [VSVS p. 300 (n° 459)] «once»

LIBER MAHAMELETH «muid», «boisseau». Cette mesure sert surtout pour le blé et les matières sèches, et équivaut à 16 setiers (sextarii) (ex. édition p. 189, l. 13)

«paume» (ex. édition p. 421, l. 7) «setier»: l s’agit du quart d’un modius (ex. édition p. 186, l. 21)

«once» (ex. édition p. 244, l. 18)

150

Glossaire

5.3

UNITÉS DE MONNAIES

À travers le Moyen Âge, les monnaies musulmanes ont circulé abondamment dans les royaumes chrétiens de la Péninsule ibérique214. Durant la période qui suivit l’extinction de la dynastie almoravide, certains royaumes de taifas continuèrent de frapper des monnaies de type almoravide. C’est ainsi que le maravédi de Castille, pure copie du maravédi almoravide, est clairement une monnaie destinée aux échanges commerciaux internationaux. C’est dans une région du sud de la péninsule (actuelle Andalousie) que mention est faite de deux sortes de monnaies attestées dans notre texte: morabitini melequini (entre 1143 et 1153) et le baetis (entre 1146 et 1171)215. TERMES baetis

denarius

LIBER MAHAMELETH «pièce de Baeza». Il s’agit d’un morabitinus particulier (vers 1146–1171), et qui fut sans doute frappée à Baeza. Baeza est une ville d’Espagne (appelée Vivatia sous l’occupation romaine) qui fut importante sous la domination arabe et fut conquise par les Espagnols en 1152 (ex. édition p. 393, l. 25) «denier»: ce mot peut être em«denier» (milieu du XIIème s.). ployé dans plusieurs sens: (1) à Il s’agirait des deniers de billon, l’origine, il s’agit d’une pièce de càd d’alliage de cuivre et d’armonnaie romaine en argent ayant gent. Pour la Castille, on peut la valeur de dix asses; (2) pièce penser à des pièces de ± 1 de monnaie quelconque (on a pu gramme avec une loi de 3/12 appeler de la même façon des deniers, soit 25% d’argent monnaies différentes en ce qui (ex. édition p. 187, l. 3) SENS COMMUN «pièce de Baeza». Les émissions de monnaies de Baeza peuvent être placées vers le milieu du XIIème siècle [SE, p. 95]. Le morabitinus (maravédi) est introduit à Barcelone entre 1017 et 1035

____________________ 214 Le Professeur M. CRUSAFONT I SABATER nous a très aimablement aidée dans la datation des monnaies mentionnées dans notre traité. Grâce à ces précisions, la datation du Liber mahameleth semble quasi certaine. Nous nous référons également à M.G. Marques-M. CRUSAFONT I SABATER, Problems of medieval coinage (1986), pp. 63–69: selon A. O. PERNAS, les difficultés rencontrées concernent la datation des pièces trouvées en Castille et Léon. La raison en est une connaissance de la chronologie qui est loin d’être satisfaisante, et ce pour diverses raisons: (1°) la rareté des documents qui nous donnent des informations précises; (2°) le fait que de nombreux rois portent le même nom (par exemple on dénombre pas moins de cinq ALFONSO sur une période allant de 1072 à 1230); (3°) l’usage de différents noms pour désigner les mêmes pièces et inversément le même nom pour des pièces différentes; (4°) de nombreuses émissions qui diffèrent les unes des autres en raison d’une typologie et métrologie variée,… 215 J. SESIANO, Le Liber mahameleth…(1988), p. 95, note 3.

151

Unités de monnaie

TERMES SENS COMMUN denarius concerne leur origine, poids et titre); (3) pièce d’argent, pesant entre un et deux grammes, qui fut effectivement la seule dénomination employée en Europe occidentale entre le IXème et le XIIIème siècle; (4) unité de base du système de compte médiéval (livre, sous, denier); (5) fraction d’un douzième, puisque le sou vaut 12 deniers, employée dans plusieurs pays pour exprimer le titre en argent (par exemple: argent de 3 deniers, c’est-à-dire de 250/1000). [GR, p. 309; DUP, p. 111]. Denarius aureus = «dinar», une monnaie d’or arabe domus «?» peccuniarum/ domus peccuniosa dragma

«drachme»

melequinus

«pièce de Malaga»: il s’agit d’un morabitinus particulier, et qui fut sans doute frappée à Malaga. Mention est faite en Catalogne de morabitini melequini entre 1143 et 1153 [SE, p. 95, note 3] «maravédi»: c’est le nom donné au dinar d’or des Almoravides en Espagne (XI–XIIème siècle). Cette monnaie fut imitée dans les régions limitrophes avec des noms variés (morobatinus, marabotinus, maravedinus).

morabitinus

LIBER MAHAMELETH

«édifice d’argent» équivaut à 1.000.000 morabitini. Il pourrait s’agir d’une valeur arbitraire (liée au trésor royal) (ex. édition p. 66, l. 27) «drachme». La présence de cette monnaie est étonnante à cette époque. A moins qu’il ne s’agisse du poids d’un drachme (unité de poids utilisée en pharmacie) (ex. édition p. 209, l. 19) «pièce de Malaga» On trouve différentes mentions de cette 216 monnaie entre 1143 et 1153 . Une mention est également faite 217 en 1140 (ex. édition p. 393, l. 25) «maravédi»: devenu le maravedi espagnol. Il s’agit d’une monnaie propre à l’Espagne, et qui était une monnaie d’or frappée à l’instar du dinar almoravide, comme l’indique l’origine de son nom.

____________________ 216 J. BOTET I SISO, Les monedes catalanes, vol.I, Barcelona (1908), p. 65. 217 F. MATEU Y LLOPIS, Glosario Hispanico de Numismatica, Barcelona (1945), p. 146.

152 TERMES

morabitinus

nummus

Glossaire

SENS COMMUN On la trouve au Portugal sous ALPHONSE I (1112–1185), en Léon sous FERDINAND II (1157– 1188), en Castille sous ALPHONSE VIII (1158–1214) à partir de 1180 environ [D.C. I, p. 257]. C’est déjà au XIIème siècle qu’apparaît le maravédi issu de Léon et du Portugal: il est conforme au standard métrologique du mavavédi almoravide [MAR, p. 266; pp. 328–331]. Le maravedi est le nom donné à des monnaies de valeurs différentes, mais surtout de billon, frappées en Espagne pendant les derniers siècles du Moyen Âge et remplaçant largement le denier comme base du système de compte. Comme le terme morabitino, le maravedi est une monnaie d’or frappée par les Almuravides (Morabiti, d’où le nom) [GR, p. 151 et 310]. «sou»: aux Vème et VIème siècles, une petite monnaie de cuivre qui servait comme base du système de compte [GR, p. 311]

pec(c)unia

«obole»: au Moyen Âge, équivaut à un demi-denier [GR, p. 311]. «argent»

pretium

«prix»

sac(c)ellus

«bourse»

obolus

LIBER MAHAMELETH Il ne doit pas s’agir du maravedi de Castille qui n’est frappé qu’à partir de 1173. Dans le contexte péninsulaire, on désigne toujours le dinar almoravide comme morabitinus. Plus tard, le terme prendra d’autres sens. On trouve des émissions locales de morabitinus dans les taifas entre 1146 et 1171, comme par exemple le baetis ou le melequinus mentionnés ci-dessus. Mais ces pièces sont mal connues (ex. édition p. 393, l. 2)

«sou» que nous distingons du solidus. Cette traduction est controversée ici, car il devrait plutôt s’agir d’un terme générique (ici le denier) (ex. édition p. 186, l. 21) «obole» ou la «maille» qui vaut un demi nummus (ou denier) (ex. édition p. 189, l. 14) «tête de bétail, somme d’argent» (voir domus peccuniarum) «prix, salaire, valeur» (ex. édition p. 190, l. 3) «bourse», «sacoche». Vaudrait 500 morabitini. En réalité, il ne s’agit pas d’une monnaie (ex. édition p. 65, l. 19)

153

Unités de monnaie

TERMES solidus

vncius

SENS COMMUN «sou»: Il s’agit d’une monnaie d’origine latine. C’est le nom de la monnaie d’or principale du Bas-Empire. Au Moyen Âge, cette monnaie de compte avait la valeur de 12 deniers d’argent et formait la vingtième partie d’une livre. D’où soldo (italien), sueldo (espagnol), sou (français), etc. [GR, p. 312; MAR, p. 311] «once»: mot employé au Moyen Âge dans deux sens: (1) comme unité de poids, une fraction de livre (cfr unités de mesure); (2) comme unité de compte, un douzième, notamment pour exprimer le titre d’argent, puisque la livre employée pour les métaux précieux renfermait douze onces [GR, p. 311].

LIBER MAHAMELETH Nous l’avons traduit par «pièce d’or» afin de le distinguer du nummus qui signifie également «sou». Il équivaut à douze deniers (ex. édition p. 220, l. 16)

«once» (unité de monnaie exclusivement) (ex. édition p. 244, l. 18)

154

Glossaire

5.4

NOMS DE VILLE

Nous avons déjà abordé la question des villes mentionnées dans le Liber mahameleth quand il a fallu localiser le traité. Comme les unités de capacité peuvent varier d’une ville à l’autre, l’auteur mentionne incidemment les manières de procéder à leur conversion. C’est ainsi que 1 et 1/4 modius de Ségovie est équivalent à 1 et 2/3 caficius de Tolède ou que 1 et 1/2 arroua de Tolède est équivalent à 1 et 1/4 emina de Ségovie. TERMES baetis voir supra: unités de monnaies melequinus voir supra: unités de monnaies secobia

SENS COMMUN «de Baeza»

LIBER MAHAMELETH «de Baeza» (ex. édition p. 393, l. 25)

«de Malaga»

«de Malaga» (ex. édition p. 393, l. 25)

«de Ségovie»

toletanus/ toletus

«de Tolède»

«de Ségovie» (ex. édition p. 369, l. 22) «de Tolède» (ex. édition p. 369, l. 21)

155

Mots d'origine arabe

5.5

MOTS D’ORIGINE ARABE

L’auteur utilise fort peu d’arabismes (neuf au total), mais cela ne doit pas surprendre si l’on sait que les mots arabes sont exceptionnels dans ce type de traité. Par contre, ils sont plus récurrents dans les ouvrages traitant de médecine, astronomie, astrologie ou sciences occultes. TERMES algebra

almenquet (ou almencus) almodus (ou almu(n)dus) voir supra: unités de mesure auoquamel (ou auochemel ou abuquemil) caficius (ou cafitius ou cafizius) voir supra: unités de mesure gebleam ugabala (= al mucabala)

mahameleth muteqefia

SENS COMMUN «algèbre»: mot arabe signifiant «restauration». On restaure les fractures, en éliminant les nombres positifs retranchés (que nous appelons nombres négatifs), ainsi x2 = 40 x – 4 x2 deviendra 5 x2 = 40 x [BE, p. 350] «à l’envers»

«muid»

LIBER MAHAMELETH «algèbre»: on le trouve sous la forme agebla dans le manuscrit de Padoue (ex. édition p. 209, l. 18)

Semble être l’expression arabe almankūs qui signifie «à l’envers» (ex. édition p. 425, l. 21) «muid» (ex. édition p. 222, l. 24)

«Abū KĀMIL»

«Abū KĀMIL» (ex. édition p. 160, l. 7)

«qafiz»

«qafiz» (ex. édition p. 220, l. 34)

Livre «wa-l-muqābala» = «Algèbre d’Abū KĀMIL» Mucabala signifie «opposition». On simplifie par opposition, ainsi 50 + x2 – 29 – 10 x devient 21 + x2 = 10 x [BE, p. 350] «mahameleth»

«gebleam ugabala»: nous maintenons tel quel le titre de l’ouvrage d’Abū KĀMIL (ex. édition p. 18, l. 20)

«inversement proportionnel»: il s’agit de l’application de EUCLIDE, Éléments, VI, 14

«mahamelet(h)» (ex. édition p. 7, l. 16) «inversement proportionnel» Le mot mutakâfi’a signifie en arabe «complémentaire», ou «qui se compensent» (ex. édition p. 302, l. 31)

156 TERMES taccir

Glossaire

SENS COMMUN «mesurage»

LIBER MAHAMELETH «mesurage». Il s’agirait peut-être ici d’un Liber tacsir, mais nous ne disposons d’aucune information nous permettant de l’affirmer. (ex. édition p. 255, l. 20)

6

CONCLUSION GÉNÉRALE

Arrivé au terme d’une édition critique, on éprouve un sentiment fort étrange qui s’apparente à la joie du conquérant. Mais un conquérant bousculé par de nouvelles interrogations et de nouveaux défis. C’est, en effet, une grande aventure que de se lancer à corps perdu dans la rediffusion d’un texte que l’on doit s’efforcer de rétablir en ayant soin de ne pas lui ôter son identité propre. En cela, on ne s’écarte pas des travaux d’archéologie où l’on s’évertue à faire surgir de la poussière les monuments légués par l’histoire. Nous avons constaté que les mathématiques médiévales avaient un rôle économique très important au XIIème siècle étant donné que leur usage ne se limitait pas aux simples érudits, mais s’étendait aux commerçants bien établis et aux itinérants. Le Liber mahameleth en est un bel exemple. Après l’assimilation de l’héritage grec et oriental, la rédaction au IXème siècle de traductions et commentaires favorisa le développement de ce que l’on peut véritablement appeler une culture mathématique. Celle-ci connaîtra son plein épanouissemnt entre le XIIIème et le XIVème siècle. L’assimilation de l’héritage classique a permis à la science arabe d’atteindre, dans le développement des algorithmes numériques et des problèmes correspondants, un plus haut niveau que celui jamais atteint par la science indienne ou chinoise. Comme l’explique A.P.YOUSCHKEVITCH, on peut distinguer trois étapes «entre lesquelles il n’existe pas de solution de continuité»218 dans le développement des mathématiques au sein des pays islamiques. Et lorsque les auteurs n’indiquent pas la manière dont ils ont établi les formules qu’ils appliquent, ils les énoncent clairement en détail. De nombreux ouvrages présentent également un nombre impressionnant d’exemples et de problèmes. «Cette abondance est caractéristique des ouvrages orientaux de mathématiques et leur contenu est souvent emprunté aux problèmes pratiques, en particulier aux problèmes de la vie quotidienne»219. Nous pouvons affirmer qu’en cela le texte que nous avons étudié ne déroge pas à cette tradition. Si l’auteur du Liber mahameleth nous demeure inconnu, nous avons pu établir qu’il a vécu vers 1150 et qu’il aurait séjourné sinon voyagé dans le sud-est de l’Espagne alors que les révoltes et les conflits armés y étaient multiples et variés. Pourtant, loin de traduire une quelconque préoccupation d’ordre militaire et politique, son ouvrage ne traite que de transactions commerciales. Issu du milieu intellectuel tolédan très avide de sciences nouvelles et révolutionnaires, notre auteur se serait-il enrégimenté dans une «école»? Nous n’avons fait qu’effleurer le sujet tant contesté de la mystérieuse école de Tolède en répondant par la négative. ____________________ 218 A.P.YOUSCHKEVITCH, Les mathématiques arabes…, p. 7. 219 op. cit., pp. 8–9.

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Conclusion générale

Mais la prudence est toujours de rigueur et il faut s’entendre sur les termes afin de ne pas sombrer dans une polémique sans issue. En ce qui concerne l’établissement du texte, il ne faut se cacher derrière aucune théorie puisque chacune d’elles est simplement l’expression généralisée d’un tempérament qui s’analyse. Le nombre peu important de manuscrits ne nous a pas permis d’établir un stemma définitif, même si nous avons repris le texte du manuscrit de Paris lat. 7377 A comme référence, en suivant une méthode critique traitant des omissions, fautes et accidents communs, additions, interpolations et variantes. Notre édition critique se veut le reflet d’un seul manuscrit choisi selon des critères précis et mis en lumière à travers les prismes des autres témoins. Dans le contenu du traité lui-même, il apparaît que l’auteur a su unir la science théorique et son application et qu’il a jugé bon de glisser le filtre de l’histoire entre son oeuvre et les auteurs dont il s’inspire. En effet, on décèle dans son traité une recherche de la vérité qui s’appuie sur une certaine technique de la lecture et de la preuve. Scientifique d’abord, il marque l’étendue de son domaine avec les noms de grands mathématiciens, puis il se spécialise dans une voie qui mérite d’être explorée: l’arithmétique pratique. Il s’agit ici de Science du calcul où la préoccupation essentielle concerne la manipulation des nombres en vue de résoudre des problèmes. Méthodique ensuite, il reprend ces données scientifiques pour les confronter à l’expérience commune: il nous suffit de relire le plan de son livre pour voir qu’il s’agit essentiellement d’une oeuvre à signification pédagogique. Le Liber mahameleth présente une liste exhaustive d’exemples où trois méthodes d’application sont proposées: le procédé par le rapport, la démonstration géométrique et accessoirement la méthode algébrique. Qui pouvait s’intéresser à ce genre de littérature? De futurs commerçants ou des économistes en herbe? On sait que les grandes maisons de commerce proposaient des cours aux futurs marchands. Sans doute avons-nous affaire ici à un cas d’école, ce qui expliquerait mieux pourquoi tous les manuscrits étudiés sont incomplets. Enfin, les recherches sur les sources nous apprennent que l’auteur du Liber mahameleth connaît les grands mathématiciens (ARCHIMÈDE, NICOMAQUE, EUCLIDE, AL-KHWĀRIZMĪ, Abū KĀMIL,…) et qu’il partage les mêmes intérêts que les milieux intellectuels de l’Occident médiéval. Une édition complète de l’oeuvre de JOHANNES HISPANUS devrait nous être d’un grand secours. En approfondissant le sujet de ce traité, nous avons été amenée à nous poser de nombreuses questions. Toutes n’ont pas encore trouvé leur réponse, car le domaine des sciences médiévales est loin d’avoir été totalement exploré. L’une de ces interrogations concerne la portée du traité sur des ouvrages contemporains ou plus tardifs. En effet, l’influence d’un texte peut être d’une grande importance pour l’évaluation et la mise en oeuvre d’un édition. Nous avons pu déjà le constater dans le chapitre consacré aux sources. Il est souhaitable qu’une édition permette de prendre connaissance aussi bien du texte d’origine que de ses remaniements influents. Qui veut donc présenter la valeur et la spécificité d’un texte dans l’environnement où il a circulé, doit s’intéresser à cette influence. Il n’est pas rare que des formes dérivées tardives soient qualitativement très éloignées de l’original: un

Conclusion générale

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texte est parfois mis en extraits dans des florilèges, des concordances ou encore des compilations thématiques. Pour le Liber mahameleth, nous songeons au manuscrit B.N. Paris. lat. 15120 qui appartient à la tradition indirecte ainsi qu’aux additions dans les manuscrits utilisés. Nous pensons en particulier à JEAN DE MURS qui ajouta des notes dans les marges du manuscrit lat. 15461 ou bien aux notes du manuscrit de Padoue D.42 . Nous avons commencé à opérer des recherches allant en ce sens, et nous avons pu découvrir des éléments concordants chez certains auteurs plus tardifs: ce fut par exemple le cas de JORDANUS NEMORARIUS (mort en 1237) ou de Leonardo FIBONACCI, plus connu sous le nom de LÉONARD DE PISE (1175–1240). Mais beaucoup de chemin reste encore à parcourir avant d’établir des hypothèses reposant sur des certitudes. L’étude sur l’influence de notre traité doit être poursuivie. Songeons à tous les rouages de cette grande machine qui s’appelle la condition scientifique. Comme nous l’avions précisé au début du chapitre consacré aux sources, les recherches concernant les influences peuvent entraîner le chercheur fort loin, recherches passionnantes et enrichissantes s’il en est. D’autres investigations permettront d’encore mieux circonscrire le champ si étendu de la vie et de découvrir de nouvelles vérités. Dans l’inexploré, la moindre étincelle, la moindre trouvaille peut éclairer d’un jour nouveau ce qui hier semblait confus et obscur. Et c’est cela la tâche mais aussi la récompense du chercheur.

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INDEX DES NOMS PROPRES Nous avons repris dans cet index les noms propres des auteurs antiques et médiévaux. al-Andalusī, Ṣācid (994–1064) 10sq. al-Bāqī, Muḥammad ibn cAbd (1611–1688) 38 al-Fārābī (Xe s.) 28–30, 82sq. al-Hajjāj ibn Yūsuf ibn Maṭar (ca 786–833) 133 al-Hakam II (961–976) 15 al-Karaǧī (X–XIe s.) 31 al-Khwārizmī (VIII–IXe s.) 10sq., 27, 38, 82–84, 88–90, 100, 105, 131, 135, 137, 141, 148, 158 al-Mansūr (938–1002) 16 al-MajrīÓī, Abū l-Qāsim (Maslama de Madrid) (X–XIe s.) 9–11 al-Qifṭī, Ibn (1172–1248) 10sq. an-Nadīm, Ibn (Xe s.) 10 az-Zahrāwī (XIe s.) 9sq. c Abd-ar-Raḥmān I (731–788) 15 c Abd-ar-Raḥmān II (822–852) 15 c Abd-ar-Raḥmān III (889–961) 15 Abuothmi, Sayd (dates inconnues) 38 Adam de Bodeibosc (†1418) 47 Adélard de Bath (ca 1080–1151) 23, 134, 144 Alphonse le Batailleur (1073–1134) 17 Alphonse I (1112–1185) 152 Alphonse VI (* av. 1040–1109) 16sq., 17 Alphonse VIII (1158–1214) 17, 152 Archimède (ca 287–212) 71, 132, 136sq., 158 Bakr, Abu (573–634) 38 Barza, Abū (Xe s.) 9sq. Bède le Vénérable (673–735) 85, 89, 134 Bernard de Clairvaux (1090–1153) 22 Boabdil (=Abū cAbd-Allāh Muḥammad XI) (1542–1533) 17 Boèce (Boethius) (Ve s.) 40, 88sq. Campanus de Novare (ca 1220–1296) 134 Campéador, Cid (1043–1099) 17

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Index des noms propres

Claude de Grandrue (XVIe s.) 45, 47 Euclide (ca IV–IIIe s. av. J.C.) 26, 38, 68, 73, 76, 89sq., 92sq., 96, 105–107, 127, 131–137, 142, 155, 158 Eustache de Blémur (XVIIe s.) 47 Ezra, Abraham ibn (ca 1092) 26 Ferdinand d’Aragon (1452–1516) 17 Ferdinand I (ca 1000–1065) 16 Ferdinand II (1157–1188) 152 Ferdinand III (1199–1252) 17 Fibonacci, Leonardo (ca 1175–1240) 24, 85, 159 Gérard d’Abbeville (XIIIe s.) 43sq. Gérard de Crémone (ca 1114–1160 ou 1187) 21sq., 26, 28, 30, 37, 38, 45, 134sq., 147 Gerbert (dates inconnues) 46 Gerbert d’Aurillac (ca 940–1003) 84sq. Gernardus (dates inconnues) 144 Gundisalvi, Dominicus (Gundissalinus) (ca 1110–ca 1190) 22, 25sq., 28–30, 32, 147 Hermann de Carinthie (ca 1100–ca 1160) 11, 22, 134 Hugo de Santalla (XIIe s.) 22 Isabelle de Castille (1451–1504) 17 Isḥāq ibn Ḥunayn († 910) 133 Isidore de Séville († 636) 89 Jean de Murs (XIVe s.) 34, 42, 48, 141, 143–145 Jean de Séville (XIIIe s.) 11 Jean de Tolède (XIIIe s.) 93, 143sq. Johannes Baptista Verus (XIIe s.) 41 Johannes Hispanus (Hispalensis) (XIIIe s.) 22, 26–28, 34, 43sq. Jordanus Nemorarius († 1237) 144, 159 Judei, Abraham (Ibn Ezra) (1089–1164) 46 Kāmil, Abū (ca 850–930) 10, 38sq., 50, 68, 71, 90sq., 105, 131, 135–138, 155, 158 Léonard de Pise voir Fibonacci, Leonardo Maslama de Madrid voir al-MajrīÓī Muḥammad ibn Abdulbāqī al-Baghdādī (dates inconnues) 134 Nicomaque de Gérase (IIe s.) 82, 88sq., 132, 135, 137, 158 Ocreatus, Nicolas († 1150) 144 Odo Cluniacensis (ca 878–942) 46 Pacioli, Luca (ca 1445–1514) 85 Pappus (III/IVe s.) 38, 134, 142 Petrus Toletanus (XI/XIIe s.) 22 Pierre le Vénérable (ca 1092–1156) 21–23 Platon de Tivoli (XIIe s.) 22 Plotin (ca 205–ca 270) 87 Porphyre (234–305) 87

Index des noms propres

Ptolémée (ca 100–ca 175) 11 Pythagore (ca 570–après 510 av. J.C.) 105, 108, 126–128 Quentin, Dom (dates inconnues) 49 Qusṭā ibn Lūqā († vers 912) 134 Radulfus Laudunensis (Raoul de Laon) (XVIIIe s.) 45sq. Raymond de Sauvetat (ca 1125–ca 1152) 21 Richard de Fournival (1201–1260) 44sq. Robert de Ketton (XIIe s.) 22, 89, 134, 147 Rodolphe de Bruges (XIIe s.) 11, 22 Sanche II (XIe s.) 16 Savasorda, Abraham (ca 1065–ca 1145) 26 Simon de Plumetot (1371–1443) 47 Tābit ibn Qurra († 901) 133 Turk, Ibn (IXe s.) 9sq. Vyon d’Hérouval (XVIIe s.) 47 Yūsuf, cAlī ibn (dès 1106) 17

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INDEX DES MOTS LATINS Les données sont répertoriées en fonction des mots latins ramenés à des formes de base. accipere: 140 additio/-dere: 140 adiectio: 140 ag(g)regatio/-are: 140 algebra: 66, 140 aliquota: 141 almencus: 67, 130, 137, 155 almod(i)us: 6, 148sq., 155 almucabala (wa-l-muqâbala): 4, 141, 155 arithmetica: 28sq., 82, 141 arroua/arroba: 6, 123, 148, 154 articulus: 85sq., 140sq., 144 augere: 140sq., 145 auoquamel: voir noms propres (Abū Kāmil) baetis: 12, 150, 152, 154 bimedialis: 141, 145 binomium: 141 caficius/cafitius/cafizius: 12, 67, 73–74, 148, 154sq. census: 103, 137, 141 circulus: 142 communicans/-are: 106 (note 179), 142 communis: 142 comparatio: 142 complere: 142 componere/-situs: 140, 142, 144 considerare: 142 continuare: 142 cubitus: 148 denarius: 12, 141, 150sq. denominare/-tio: 69, 101, 104, 140, 142–144, 146 differentia: 93–94, 143–146 digitus: 85sq., 140, 143sq. diuisio/divisio: 143 domus peccuniosa/-arum: 151sq. dragma: 151 ducere: 143, 145 equalis: 144 equipollere: 144 facere/fieri: 144 figura: 144

Index des mots latins

fractio: 143, 146 gebleam ugabala: 67, 155 (h)emina: 12, 123, 148, 154 impar: 144 incommunicans: 144 integer: 144 irracionnalis: 144, 146sq. limes: 89, 144sq. mahameleth: 8sq. magnitudo: 145 manus: 85sq. medialis: 145 melequinus: 12, 151sq., 154 mensura: 148 modius: 149 morabitinus: 12, 148, 151sq. multiplicare/-catio: 145 muteqefia: 67, 155 mutuari/-atus: 145 nota: 145 numerare: 146 numerus: 146 nummus: 12, 152sq. obolus: 152 ordo: 143–146 palma: 149 par: 146 pec(c)unia: 152 peruenire/pervenire: 146 pretium: 152 probare/-atio: 146 proportio: 146 prouenire/provenire: 146 quadrare/-atus: 146 racionabilis: 146 radix: 146 reductio: 146 regula 146 res: 104, 138, 141, 147 residuum: 147 sac(c)ellus: 152 secobia: 154 sextarius: 12, 149 similis/-itudo: 147 solidus: 152sq.

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182 species: 147 subtrahere: 147 superficialis: 147 surdus: 146sq. taccir: 67, 137, 156 toletanus: 154 vncius/uncius: 149, 155 vnitas/unitas: 147

Index des mots latins

INDEX DES MOTS FRANÇAIS (TERMES MATHÉMATIQUES) abaque: 31, 44, 46, 81, 144 addition (arithm.): 49, 51, 63sq., 86, 89, 91, 95, 99, 101–103, 106sq., 118, 137, 140sq., 146sq. algèbre: 10sq., 31, 34, 38, 50, 81–83, 90, 92, 104sq., 118sq., 131sq., 135–137, 140, 145, 148, 155 aliquote: 73, 141 apotome: 107, 137, 147 arithmétique: 6, 10sq., 27, 29–31, 34, 39, 43–46, 67, 71, 81–92, 102, 107sq., 110, 119, 127, 132sq., 135, 137sq., 140sq., 143, 145, 158 articule: 65, 89, 95sq., 140sq. bimédiale: 145 binôme: 101, 106sq., 141, 147 calcul: 31, 44, 57–60, 71, 73, 81–86, 92, 97sq., 102, 104, 108, 111, 117, 124, 127, 135, 137sq., 140, 145, 158 commerce: 7–9, 15, 81, 87, 138 carré: 91, 102, 104–107, 117sq., 132, 136sq., 141, 143, 146 chose: 137, 141, 147 commensurable: 106sq., 142, 144 cubique: 102 dénomination: 76, 90, 98–101, 103sq., 140,142sq., 151 digite: 89sq., 93, 95sq., 98, 100, 140,143sq. division: 52, 68, 76, 80, 89sq., 98, 100, 103sq., 106, 129, 131sq., 137, 140, 143sq. équation: 31, 83, 102–105, 108, 118sq., 130–132, 136–138, 142 fausse position (simple, double): 108, 138 figure: 144sq. fraction: 31, 50, 55, 62, 64sq., 69, 73, 76, 86, 90, 93, 98–101, 103sq., 106, 114, 129sq., 132, 137, 143–146, 151, 153 géométrie: 10, 23, 31, 83, 90, 92, 107sq., 137 grandeur: 92, 105–110, 112sq., 115, 119, 121, 126, 128, 131, 142, 145, incommensurable: 106–108, 144 irrationnel: 31, 105–107, 137, 144, 146sq. limite: 89, 96, 144sq. médiale: 107, 145 monnaie: 7sq., 11sq., 18, 25, 52, 76, 108, 111, 124, 149–154 multiplication: 13, 50, 52, 55, 62–65, 69, 76, 85sq., 89–91, 93, 95sq., 98sq., 101, 103sq., 106, 115, 129, 137, 140, 142, 145 nombre: 31, 82–85, 87–96, 98–109, 114, 117–119, 121–126, 129sq., 132sq., 136– 138 nombre (plan): 77sq. note: 87, 89–91, 93–96, 143, 145 numération: 31, 50, 56, 68, 85sq., 88sq., 138 ordre (ou position): 89, 93, 95 progression (arithmétique): 91, 102, 110, 119, 137

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Index des mots français (termes mathématiques)

proportion: 52, 80, 100, 111, 113–115, 131, 140, 143sq., 146 racine (carrée, cubique): 26, 50, 67, 76, 84, 86, 90, 105sq., 111, 118, 127, 132, 136sq., 141, 146 rapport: 108sq., 112–114, 116sq., 120, 124, 126–128, 131sq., 137, 142sq. rationnel: 105–107, 109, 137 réduction: 101–104, 136, 146 règle: 34, 50, 70, 84, 90, 93–96, 100, 102, 107–109, 114sq., 128, 130sq., 137, 145sq. reste: 94, 102sq., 109, 115, 129, 147 soustraction: 50, 55, 65, 95, 103, 106sq., 115, 137, 140, 147 unité: 88sq., 93sq., 98–100, 102, 107, 110, 117, 122sq., 130sq., 142sq., 145, 147– 151, 153–155

Le Liber mahameleth Édition critique et commentaires

édité par Anne-Marie Vlasschaert

Franz Steiner Verlag Stuttgart 2010

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INTRODUCTION DU LIBER MAHAMELETH

Introduction du Liber mahameleth

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Omnium1 que sunt, alia sunt2 ex artificio hominis, alia non. Que autem non sunt ex artificio hominis, alia cadunt sub motu, alia non, ut deus et angelus. Eorum autem que cadunt sub motu, alia non possunt esse sine motu et materia, ut humanitas et quadratura, alia possunt esse3 absque hoc. Eorum autem que non habent esse sine motu, alia nec possunt esse nec intelligi absque materia propria, ut humanitas, alia possunt intelligi absque materia propria, etsi non habeant esse nisi in materia, ut quadratura. Ea autem que commiscentur motui et possunt esse sine illo sunt ut unitas et numerus et causalitas et huiusmodi. Numerus ergo est de his que utroque modo considerantur4 in se scilicet et in materia. Numerus autem in se consideratur, cum eius natura uel proprietas tantum per se attenditur sicut quod est par uel impar5 et cetera huiusmodi que docentur in arimethica nichomachi6. In materia uero consideratur, cum prout est in7 subiecto attenditur ut tres8 uel quattuor, secundum quod ad multiplicandum et diuidendum et cetera9 huiusmodi suffragatur humanis usibus10, quod docetur in arimethica11 alcouzini12 et mahameleth. Illa autem consideratio, qua numerus per se attenditur, dicitur theorica uel speculatiua, qua uero in materia dicitur practica uel actiua. Quoniam13 artis arimethice est14 utroque modo de numero tractare, ideo arimethica alia est theorica, alia practica. Practice autem species multe sunt15, quoniam alia est scientia coniungendi numeros, alia disiungendi, alia est16 scientia negociandi17, alia est occulta scientia per numeros18 inueniendi, et multe alie. Illa autem que docet numeros coniungere: alia19 aggregandi, alia dupplandi, alia multiplicandi20; que uero disiungere: alia est diminuendi, alia mediandi, alia diuidendi. Scientia autem radices numerorum inueniendi sub utraque continetur, quoniam radix utroque modo inuenitur scilicet coniungendo et disiungendo, quia multiplicando et minuendo. Scientia uero negociandi: alia est uendendi et emendi, alia est mutuandi et accomodandi, alia est conducendi et locandi, alia expendendi et conseruandi, et multe alie de quibus in sequentibus tractabitur. Scientia uero per numeros occulta inueniendi et est in predictis speciebus negociandi21 et22 est in inueniendo pondere rerum uel profunditate uel capacitate ex cognita earum longitudine uel latitudine uel econuerso. ____________________ 1 praem. Incipit liber mahameleth de numeris D et iter. super textum D2 omnium A D: om. P 3 post esse eras. ? D2 4 post considerantur del. cum eius uel 2 post sunt exp. que P2 2 5 uel impar A P: add. D2 m.s. 6 nichomachi A: nicomachi D P proprietas A 9 cetera A D2 P: contra D1 10 suffragatur 7 in A D: om. P 8 tres A D2 P: res D1 humanis usibus A: humanis usibus suffragatur D P 11 arimethica A2 D P: arimetica A1 12 alcouzini A: alcouzmi D P 13 praem. et D P 14 est A D: om. P 15 add. 16 est D P: add. A2 s.l. 17 post negociandi praxeos arithmetice species multe D2 m.s. 18 occulta scientia per numeros A: scientia per numeros occulta add. per numeros D2 m.s. D: scientia occulta per numeros P 19 post alia add. est D P 20 alia dupplandi alia multiplicandi A P: alia multiplicandi alia dupplandi D 21 et est in predictis speciebus negociandi se clusit D 22 et A P: om. D

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Numerus autem alius est integer, alius fractio. Numerus uero integer alius1 digitus, alius articulus, alius limes, alius compositus. Digiti sunt primi numeri ex solis unitatibus agregati, ut sunt omnes ab uno usque ad nouem. Vnitas autem non est numerus, sed est origo et principium numeri. Ex ipsa enim omnis numerus componitur et in eandem resoluitur, ipsa uero non diuiditur2. Si enim poneremus eam diuidi, sequeretur non esse. Cum autem diuidamus (sic)3, ipsa habet esse. Dicimus enim unam partem et duas partes. Igitur si diuideretur, haberet simul esse et non esse in eodem tempore, quod est impossibile. Omnis autem numerus potest diuidi: numerus enim est id quod ex unitatibus componitur. Vnitas igitur non est numerus, sed nec numerus est unitas, nec numerus est etiam res numerata. Cum enim dicimus «tres», «decem», «centum», «mille», solos numeros significamus. Cum uero res numeratas significare uolumus4, statim illos suos numeros apponimus, dicentes tres homines, decem equi, centum sextarii et mille numi et huiusmodi. Numerus igitur non est res numerata. Primus autem numerus qui ex unitatibus componitur binarius est. Vnus est primus omnium et minimus. Binario uero addita unitate fit ternarius, et ternario addita unitate fit quaternarius, et ita semper per additionem unitatis numerus cresit in infinitum. Vnde singuli numeri non potuerunt propriis nominibus assignari5. Cum enim in omni lingua certa et terminata sint loquendi instrumenta et eorum definita (sic)6 naturaliter modulationes, quibus uox articulata formatur. Vnde et7 litterarum figure apud omnes gentes et earum uarie sed definite sunt secundum ordinem preponendi et postponendi ad representanda8 rerum omnium nomina compositiones9, idcirco cum numeri sint infiniti, nomina non potuerunt nec debuerunt habere singuli10, precipue cum homines in omni pene re numeris utentes nimis impedirentur si in numerationibus suis infinitam numeralium nominum multitudinem in promptu semper habere numerandi necessitate cogerentur. Vnde necesse fuit infinitam numerorum progressionem certis limitibus terminare, paucis nominibus designare, ne cogeretur homo in numerando per nouas addictiones tam numerorum quam nominum semper procedere11. Et quoniam omnes numeros habere nomina fuit impossibile et aliquos necesse, et quoniam necesse erat eos inter se multiplicari, idcirco disspositi sunt per ordines siue differentias. Vnusquisque autem ordo continet nouem numeros preter primum. Primum autem ordinem instituerunt ab uno usque ad nouem, qui habet nouem nomina et dicitur ordo12 unorum siue digitorum. Cuius principium siue limes est unitas.

____________________ 1 post alius add. est D P 2 add. quare unitas diuidi nequeit D2 m.d. 3 diuidamus A 1 1 2 2 4 uolumus A D: uoluimus P 5 assignari A D: designari P D P : diuidimus D P 6 definita A: definite D P add. quare propriis nominibus singuli numeri non nominari D2 m.d. 8 representanda A2 D: representandarum A1: represuntanda P 7 et A P: add. D2 s.l. 11 post procedere 9 compositiones A P: compones D 10 post singuli exp. numeri D2 add. ordo numerorum quare inuen? D 12 ordo addidi cum D P: om. A post ordo exp. numerorum D2

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Ad instar autem huius primi ordinis constitutus est etiam et1 secundus ordo continens2 numeros qui sunt a3 decem usque ad centum. Cuius ordinis principium siue limes est denarius. Ex quo geminato et multiplicato nascuntur omnes sui ordinis numeri, sicut prius ex unitate geminata et multiplicata nascebantur primi, et dicitur ordo decenorum siue articulorum. Articuli autem sunt omnes decupli digitorum consequenter a decem usque ad4 nonaginta. Decem enim decuplus est unitatis, et uiginti decuplus est5 binarii, et triginta ternarii et ita ceteri ceterorum6 decupli sunt consequenter usque ad7 nonaginta. Tercium uero ordinem instituerunt8 a centum usque ad9 mille. Cuius principium siue limes est centum. Ex quo geminato et multiplicato nascuntur omnes sui ordinis numeri, ad instar primi et secundi, ut ducenti, trescenti et usque ad nonaginta (sic)10, et dicitur ordo centenorum11. Quartum ordinem instituerunt a mille usque12 ad decem13 millia. Cuius principium siue limes est mille. Ex quo geminato et triplicato secundum primos digitos nascuntur ceteri sui ordinis numeri, et dicitur ordo millenorum. Ab hoc ordine ceperunt sequentes ordines iterari, et est principium iterationis. Quintum instituerunt a decem milibus usque ad14 nonaginta milia et ita in infinitum crescunt ordines numerorum sequentes semper decupli priorum. Sicut enim decem decuplus est unitatis et uiginti decuplus est binarii, et ita ceteri usque ad nonaginta, sic centum qui est15 limes centenorum decuplus est limitis decenorum. Mille uero qui est primus16 limes millenorum decuplus est centenorum. Similiter quintus limes decuplus est quarti, quia decem milia decuplus est17 milium, et uiginti milia decuplus duorum milium, et triginta milia decuplus est trium milium, et ita de ceteris consequenter usque ad nonaginta milia. Deinde in sexta differentia sequitur limes centenorum milium, decuplus quinti. Sicut enim centum milia decuplus est decem milium, ita ducenta milia decuplus est uiginti milium, et trescenta18 milia decuplus est triginta milium, et sic per ordinem consequenter19 usque ad20 nonaginta (sic)21 milia. Deinde in septima differentia sequitur limes milies milium, decuplus sexti, per ordinem consequenter usque nouies milies mille. Octaua autem differentia sequitur22 limes articulorum milies milium, ut decies milies mille uel uigies, uel trigies, uel quadragies milies mille, et ita per ordinem secuntur decupli precedentium usque nonagies milies mille.

____________________ 1 et A P: om. D 2 post continens add. nouem D P 3 a A D2 P: ad D1 4 ad A: 2 6 ceterorum A D: cetorum P om. D P 5 unitatis – est A P: add. D m.s. 7 ad A D: om. P 8 instituerunt A D: instituetur P 9 ad A D: om. P 10 nonaginta A: nongenta D P 11 add. hinc satis paret ordinem hunc qui ad similitudinem digitorum exoritur ponus iterationis principium dici debere quam quintum qui sequitur et per consequens secundam differentiam facere ut in § ut sint D m.s. al.man. (fol. 1v) 12 usque iter. D 13 decem A: nouem D P 14 ad A D: om. P 15 est A2 D: quoque A1 uid. P 16 primus A P: om. D 17 est A P: om. D 18 trescenta A P: trescentum D uid. 20 ad A: om. D P 21 nonaginta A D P1: nongenta P2 19 consequenter D P: add. A2 s.l. 2 22 post sequitur exp. milies D

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Introduction du Liber mahameleth

Nona autem differentia sequitur limes centenorum milies milium, decupli precedentium, usque nonagies milies mille1. Decima autem differentia sequitur limes milies milies milium, decupli priorum, usque nouies milies milies mille. Et ita in infinitum poteris procedere, ponendo sequentes decuplos precedentium, ad similitudinem priorum post terciam autem differentiam2 semper incoando quasi prius. Vt sicut primus limes est unitas, secundus decem, tercius centum, ita primus limes sit mille, secundus decies mille, tercius3 cencies mille. Similiter etiam primus sit milies mille, secundus decies milies mille, tercius centies milies4 mille, ita etiam primus sit milies milies mille, secundus decies milies milies mille, tercius cencies milies milies mille, et ita in infinitum semper quidem post terciam differentiam quasi semper incipiens a digitis per articulos usque ad centenos perueniendo. Sicut enim prima differentia est digitorum in unitatibus, ita quarta sit digitorum in milibus. Vt sicut in prima differentia digitorum dicatur unus, duo, tres et ita consequenter usque ad nouem, ita in quarta differentia que est milium dicatur unum mille, duo millia, tria millia, et sic per ordinem usque ad nouem, per primos digitos enumerando, mille. Sicut autem secunda differentia est articulorum in5 decenis, ita quinta differentia est articulorum in milibus. Vt sicut in secunda differentia dicatur decem, uiginti, triginta, et sic per ordinem usque ad6 nonaginta, sic in quinta differentia dicatur decem milia, uiginti milia, triginta milia et sic usque ad nonaginta multiplicando mille per primos articulos. Sicut autem in tercia differentia dicatur centum, ducenta, trescenta et sic usque ad nongenta, ita in sexta differentia dicatur centum milia, ducenta milia, trescenta milia et ita per ordinem, centum milia multiplicando per primos digitos, usque nongenta7 milia. Sic deinceps in8 infinitum de omnibus sequentibus ut semper9 post terciam prima sit unitatum10, secunda decenorum, tercia centenorum: prima enumeretur per digitos, secunda per articulos, tercia per centenos. Vnde principia uel limites tantum quattuor ordinum habent nomina propria ut unus, decem, centum, mille. Ceterorum uero principia ab istis generantur et ad istorum instar ordinantur. Quod ut clarius fiat subiecta figura declarat.

____________________ 2 terciam autem differentiam A2 D P : autem differentia 1 post mille exp. milium D2 1 2 3 tercius A D P: tercies A1 4 post milies add. milies D1 5 post in terciam A 1 6 ad A: om. D P 7 nongenta A P: nonaginta D 8 in addidi cum D add. milibus P 10 unitatum A P: unorum D P: om. A 9 semper A P: add. D2 m.d.

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decem 1

9 1

8 1

7 1

6 1

5 1

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9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 mille centum decem mille centum decem mille- cente- deceordo 7 8 9 mille mille mille mille- mille- mille- norum norum norum digito4 5 6 10 mille- mille- mille- norum norum norum rum 1 2 3 norum norum norum

P

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Compositi uero numeri dicuntur qui inter ipsos uel limites interiacent et sunt compositi semper ex digito et articulo uel limite ut duodecim, uiginti duo, ducenti, duo milia et huiusmodi. Vnicuique autem ordini apposuerunt notam uel signum per quod dinoscatur. Primi igitur ordinis notam posuerunt unitatem. Nam quia primus ordo est unitatum et principium ceterorum ordinum ita et nota eius conuenientius unitas esse debuit principium et origo reliquarum notarum. Notam uero secundi ordinis posuerunt duo, notam tercii tres. Et sic uniuscuiusque ordinis nota tantum distat ab uno, quantum ipse ordo distat a primo. Quia enim nota primi ordinis fuit unum, ideo nota cuiusque ordinis maior est nota precedentis uno11. DP

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Significatio autem note est ostendere cuius ordinis sit quilibet numerus cognitus. Vnde si nota ordinis fuerit decem et numerus erit in decimo ordine, si uero undecim et numerus erit in undecimo ordine. Digiti, deceni, centeni, milleni, decies mille, cencies mille, milies mille, decies milies mille, cencies milies mille, milies milies mille, et sic in infinitum. ____________________ 1 mille mille millenorum A: milies milies milias D P 2 centum mille millenorum A: cencies milies milias D P 3 decem mille millenorum A: decem milies milias D: decem mylies milia P 4 mille millenorum A: milies milias D: mylies milia P 5 centum millenorum A: centum milias D: centum milia P 6 decem millenorum A: decem milias D: decem milia P 7 millenorum A P: mille D 8 centenorum A P: om. D 9 decenorum A P: om. D 10 ordo digitorum A P: om. D 11 Compositi [l. 2] – precedentis uno addidi cum P: om. A D

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Nota unorum uel1 digitorum est unum, nota decenorum duo, nota centenorum tres, nota millenorum quattuor, nota de decies mille quinque, nota de cencies mille sex, nota de milies mille septem, nota de decies milies mille octo, nota de cencies milies mille nouem, nota de milies milies mille decem. Et e conuerso nomen unius unum, nomen duorum decem, nomen trium centum, nomen de quattuor mille, nomen de quinque est decies mille, nomen de sex centum millia, nomen de septem milies mille, nomen de octo decies milies mille, nomen de nouem est cencies milies mille, nomen de decem est milies milies mille, et sic in infinitum. Regulas autem cognoscendi notam, cognito numero, uel cognoscendi numerum, cognita nota, in sequentibus assignabimus2.

____________________ 1 uel D: add. P2 s.l. 2 Significatio [p. 11, l. 12] – assignabimus addidi cum D P: om. A post assignabimus add. assignabimus si in charta 6 § Postquam autem usque ad de multiplicatione D m.d. al.man.

2 PREMIÈRE PARTIE DU LIBER MAHAMELETH

Première partie du Liber mahameleth

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ADP

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Quoniam autem que de multiplicatione et diuisione et ceteris propositis speciebus dicenda sunt probare proponimus. Ideo quedam que ad probationem sequentium necessaria sunt premittere uolumus, ut quisquis hec prius cognouerit in sequentium probationibus expeditior fiat1. Que autem premittuntur hec sunt. Capitulum de hiis que debent preponi practice arithmetice2. Omnes numeri quotquot fuerint eadem differentia se superantes, si fuerint in numero pari, tantum reddunt duo extremi sibi agregati quantum quilibet duo medii, quorum unus tantum distet a primo, quantum alter ab ultimo. Si uero fuerint in numero impari3, similiter etiam erit hoc adiecto quod tantum reddent4 primus et ultimus sibi agregati, quantum medius duplatus. 5

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ADP

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Verbi gratia. Sint numeri a, bg, dh, zk, tq, lm et in numero8 pari et superantes se eadem differentia que sit pg. Dico igitur quod agregatus primus qui est a cum ultimo qui est lm tantum reddit quantum agregati quilibet duo ex illis, quarum9 ____________________ 1 fiat A: sit D P 2 Capitulum [l. 7] – arithmetice A: om. D P arithmetice A2 D P: 1 3 impari A2 D2 P: pari A1 D1 4 reddent A P: reddunt D 5 figura om. arimetice A 2 6 figura om. D P: add. A2 m.s. 7 figura om. A D: add. P sub D P: add. A m.s. 8 numero A P: uno D textu post figuras Huius propositionis – semel add. D2 m.d. al. man. 9 quorum D2 P: quarum A: quattuor D1 uid.

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unus tantum distet a primo quantum secundus ab ultimo, qui sunt uel bg cum tq, uel dh cum zk. Id autem in quo bg superat a sit pg. Id uero quo dh superat hg (sic)1 sit numerus fh, sed id in quo zk superat dg (sic)2 sit numerus ck. Id uero in quo tq superat zk sit numerus zq. Et lm superet tq in numero qui sit rm. Et omnes iste differentie quibus se superant sint equales. Dico igitur quod agregatus a cum lm tantum reddit quantum agregati bg et tq. Quod sic probatur. Cum enim protraxerimus mn equalem ad a, profecto monstrabitur rn equalem esse ad bg. a enim equalis est ad bp et est equalis ad mn. Igitur bp equalis est ad mn3. Sed pg equalis est ad rm4, igitur rn equalis est ad bg. Monstrabitur etiam quod rl equalis est ad tq. Nam id in quo lm uincit tq est rm. Ergo totus ln equalis est utrique bg et tq5 simul acceptis. Totus autem ln equalis est ad a et lm. Totus igitur a cum lm equalis est ad bg cum tq6, ad tq adiecta linea equali ad hg sicut prius ad lm mn equalis ad a7. Similiter etiam monstrabitur quod equalis est8 ad dh cum zk. Sint etiam in numero impari scilicet sint a9, bg, dh, zk, tq. Monstrabitur ergo quod a agregatus cum tq tantum reddit quantum bg cum zk, sicut premonstratum est. Dico etiam quod tantum10 reddit a agregatus cum tq quantum dupplatus dh. Quod sic probatur. Nos enim protraxerimus11 qu equalem12 ad a, et de tq accipiemus equalem ad a, que est te uel13 ex dh sumemus equalem14 ad a, que est ds. Manifestum est igitur quod in qe sunt quattuor super15 habundantie et in sh16 due, igitur qe17 est duppla est ad sh18. Et manifestum est etiam quod te et qu19 dupla est ad ds. Totus igitur tu duplus est ad totum dh. Totus autem tu equalis est20 toti a et tq. Igitur totus a21 et tq dupplus est ad dh, et hoc est quod monstrare proposuimus.

Fig.1: A, fol.100v m.s.; figuram bis habet D (fol.2r sub textu et fol.2 v s); P, fol.27 r s.

____________________ 1 hg A: bg D P 2 dg A: dh D P 3 mn A D P2: nm P1 4 rm A D: im P 5 post 2 6 post tq add. scilicet D P 7 ad tq [l. 12] – ad a om. D: add. A m.s. tq del. est totus A 10 post tantum exp. demonstratum est D2 P m.s. 8 est A P: om. D 9 a A D2 P: ad D1 11 protraxerimus A P: protraemus D 12 qualem A: equale D: equalem P 13 uel A P: talis D 14 equalem A P: equale D 15 super A P: sunt D 16 sh A D2 P: sq D1 17 qe A D: que est P 18 due igitur qe duppla est ad sh iter. D1 19 et qu A D: add. P m.s. 20 est A P: om. D 21 a A2 D P: au A1

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Omnium trium numerorum id quod fit ex ductu primi in secundum et ex ductu primi inde producti in tercium, id quod prouenit equum est ei quod fit ex ductu tercii in secundum et ex ductu producti1 inde in primum2. Verbi gratia. Sint tres numeri super quibus sint a, b, g. Dico igitur quia id quod fit ex ductu a in b et producti3 inde in g equum est ei quod fit4 ex ductu g in b et producti inde in a. Quod sic probatur. Sed prius id quod fit ex ductu a in b proueniat5 d6, quod fit ex ductu g in b sit h. Dico igitur quia id quod fit ex ductu a in h equum est ei quod fit ex ductu g in d7. Quod sic probatur. Ex ductu8 a in b prouenit d9 et ex ductu g in b prouenit h. Ex ductu igitur a et g in aliquem numerum proueniunt d et h. Et alia (sic)10 est igitur comparatio producti unius ad11 aliud productum, qualis est comparatio unius multiplicati ad12 aliud13 multiplicatum, sicut dixit euclides in septimo libro14. Talis15 est igitur comparatio de a ad g, qualis est comparatio de d ad h. Ergo sunt quattuor proportionalia. Quod igitur fit ex ductu a in h equum est ei quod fit ex ductu g in d, sicut dixit euclides in x° viiii°16, et hoc est quod monstrare17 proposuimus18.

Fig.2: A, fol.100v sub textu; D, fol.2 v s; P, fol.27 r s.

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Omnium quattuor numerorum cum multiplicatur primus in secundum et tercius in quartum, id quod fit ex ductu unius producti in aliud productum equum est ei quod fit ex ductu producti ex multiplicatione primi in tercium in productum ex multiplicatione secundi in quartum19.

____________________ 1 producti A D2 P: productu A1 2 id quod fit [l. 1] – in primum A P: cum multiplicantur primus in secundum et secundus in tercium, uel e conuerso tercius in secundum (add. D2 m.s.) numerum, id quod fit ex ductu unius producti in aliud productum numerum equum est ei quod fit ex ductu producti numerum quemlibet D 3 producti A2 D P: 1 2 4 fit D P: add. A 5 proueniat A: sit D P 6 post d add. et D P productu A 8 post ductu add. enim D P 9 post d add. ex ipotesi D: add. ex 7 d A D2 P: b D1 12 ad A D: in P ypotesi P m.s. 10 et alia A: talis D P 11 ad A P: add. D2 s.l. 1 14 post libro add. x°viii° theoremate D m.s. P m.s. 15 talis A D2 13 ad aliud iter. D 1 P: et D 16 in x°viiii° A: in x°viiii° septimi add. D m.s. P m.s. 17 monstrare A: 19 Omnium [l. 18] – quartum A D: add. P2 demonstrare D P 18 add. ? D2 al. man. m.s. : Omnium quattuor numerorum id quod fit ex ductu primi in secundum et tercii in quartum et unius producti in aliud productum equum est ei quod fit ex ductu primi in tercium et secundi in quartum et producti in productum P

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Verbi gratia. Sint quattuor numeri super primum quorum sit a, super secundum b, super tercium g1, super quartum d. Dico igitur quia id quod fit ex ductu a in b et g in d et producti ex illis in productum ex istis equum est ei quod fit ex ductu a in g et b in d et producti ex illis in productum ex istis. Id autem quod fit ex ductu a in b sit h, et quod fit ex ductu g in d sit z, et quod fit ex ductu a in g sit k. Quod uero fit ex ductu b in d sit t. Dico igitur quia quod fit ex ductu h in z equum est ei quod fit ex ductu k in t. Quod sic probatur. Ex ductu enim2 a in b prouenit h3 et ex ductu b in d prouenit t. Ex (sic)4 e conuerso illud idem. Ex ductu igitur a et d in b proueniunt h et t. Talis est igitur comparatio h ad5 t qualis est comparatio a ad d ex X° VIII° septimi6. Similiter etiam monstrabitur quod ex ductu a et d in g proueniunt k et z. Comparatio igitur de k ad z est sicut comparatio de a ad d ex eodem. Comparatio autem de a ad d iam erat sicut comparatio de h ad t. Comparatio igitur de h ad t est sicut comparatio de k ad z. Sunt igitur quattuor numeri proportionales h et t7, k et z. Quod igitur fit ex ductu h in z equum est ei quod fit ex ductu k in t8. Manifestum est igitur quod omnium quattuor numerorum id quod fit ex ductu primi in secundum et tercii in quartum et producti in productum equum est ei quod fit ex ductu primi in tercium et secundi9 in quartum et producti in productum. Et hoc est quod monstrare proposuimus.

Fig.3: A, fol.101 r; D, fol.2 v d; P, fol.27 r d. 20

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Hoc etiam monstrabitur ex eo quod dixit auoquamel in tercia parte libri gebleam ugabala10 secundum11 quod omnes duo numeri si diuidantur12 singuli per aliquem numerum13, et deinde eorum que de utriusque diuisione exeunt si multiplicetur unum in alterum, tunc id quod prouenit14 equum est ei quod exit ex diuisione producti ex multiplicatione unius diuisorum in alterum per15 productum ex ductu unius diuidentis in alterum16. ____________________ 1 g A D2 P: b D1 2 enim A2 P: om. A1 D 3 post h add. ex ipotesi D: add. ex ypotesi P m.s. 4 ex A: et D P 5 ad A P: et D 6 ex x°viii° septimi A: om. D: add. P m.s. 7 post t add. et D 8 post t add. per decimum nonum septimi P m.d. 9 secundi A2 D P: 1 10 gebleam ugabala A: gebleamu gabala D P 11 secundum A: secundum A uid. 13 post numerum add. 1 scilicet D P 12 diuidantur A P: diuidant D1: diuidant et D2 unus per unum rei et alius per alium et sic erunt duo diuidentes et duo diuisi A m.d. 15 per A 14 prouenit A P: fit D1: proueniunt D2: add. uel aliquos numeros P2 m.d. al. man. P: om. D 16 post alterum add. uel eiusdem in seipsum P2 m.d. al. man.

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Verbi gratia. Nam ex ductu a in b prouenit h1. Igitur si diuidatur h per b exibit a2. Similiter ex ductu g in d prouenit3 z. Si igitur diuidatur z per d exibit g. Habemus igitur quod ex diuisione h4 per b exit a, et ex diuisione z per d exit g. Cum ergo diuiserimus id quod fit ex ductu h in z per productum ex ductu b in d exibit id quod prouenit ex ductu a in g, sicut premonstratum est5. Id ergo quod prouenit ex ductu h in z sit q. Scimus6 etiam7 quod ex ductu b in d prouenit t, et quod prouenit ex ductu a in g est k. Si igitur diuidatur q per t exibit k. Id ergo quod prouenit ex ductu k in t erit q. Sed ex ductu h in z est etiam q. Id ergo quod fit ex ductu h in z equum est ei quod fit ex ductu k in t, et hoc est quod monstrare proposuimus. Postquam autem monstratum est quod proposuimus hoc modo de hac questione quam proposuit auoquamel et est necessaria nobis8, iterum inducam probationem9 de eo quod dixit auoquamel multo faciliorem ea quam ipse posuit. Age ex diuisione a per b exeat g, et ex diuisione d per h exeat z. Ex ductu autem a in d proueniat k, et ex ductu b in h proueniat t, et ex ductu g in z proueniat q. Dico igitur quod ex diuisione k per t exibit q. Quod sic probatur. Ex ductu g in b prouenit a, et ex ductu g in z prouenit q. Ergo talis est comparatio de a ad q qualis est comparatio de b ad z. Similiter etiam ex ductu10 b in h prouenit t, et ex ductu z in h prouenit d. Talis est igitur comparatio de h (sic)11 ad z qualis est comparatio de t ad d. Iam autem erat comparatio de b ad z sicut comparatio de a ad q. Igitur comparatio de a ad q est sicut comparatio de t ad d. Quod igitur fit ex ductu a in d equum est ei quod fit ex ductu q in t. Quod autem prouenit ex ductu a in d est k. Igitur ex ductu q in t prouenit k. Si igitur diuidatur k per t exibit q. Et hoc est quod demonstrare proposuimus.

Fig.4: A, fol.101 v; D, fol.3 r s; P, fol.27 r d.

____________________ 1 post h add. ex ipotesi D: add. ex ypotesi P m.d. 2 post exibit a add. Per hanc regulam: cum aliquis numerus multiplicatur in alium, si productus diuidatur per aliquem eorum, exibit alter. Vt si quattuor multiplicentur in tres uel e conuerso prouenient duodecim. Per quemcumque igitur eorum diuidantur duodecim, exibit alter. Et sic in omnibus D P m.d. 3 prouenit A: proueniet 5 premonstratum est A2 D P: premonstrabitur A1 D P 4 h A2 D P: g A1 uid. 6 scimus A2 P: simus A1 D 7 etiam A P: om. D 8 de hac questione [l. 11/12] – nobis 10 post ductu exp. in D2 A D: add. P m. d. 9 post probationem add. quam P1 uid. 11 h A P: b D uid.

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Cum aliquis numerus diuiditur per alium, et quod exit diuiditur per tercium, tunc id quod exit equum est ei quod exit de1 diuisione primi per productum2 ex ductu secundi in tercium. Verbi gratia. Ex diuisione a per b exeat g, et ex diuisione g3 per d exeat h. Dico igitur quod, si diuidatur a per productum ex ductu b in d, exibit h. Quod sic probatur. Ex diuisione enim g per d exit h ex ipotesi4. Ex ductu igitur h in d proueniet g per hanc regulam: «Omnium duorum numerorum cum diuiditur alter per alterum, si id quod exit multiplicetur in diuidentem5, proueniet6 diuisus7». Et ex diuisione a per b exit8 g. Ex ductu igitur g in b proueniet a. Ex ductu igitur h in d et inde producti in b proueniet a. Iam autem ostendimus quod omnium trium numerorum, id quod fit ex ductu primi in secundum et ex ductu inde producti in tercium equum est ei quod fit ex ductu tercii in secundum9, ex ductu inde producti in primum. Quod10 igitur fit ex ductu h in d11 et inde producti in b equum est ei quod fit ex ductu b in d et inde producti in h. Id autem quod fit ex ductu h in d et producti in b est a. Quod igitur fit ex ductu b in d et producti in h est a. Si igitur diuidatur a per productum ex ductu b in d exibit h, et hoc est quod monstrare12 uoluimus13.

Fig.5: A, fol.101 v; D, fol.3 r d; P, fol.27 r s.

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Cum aliquis numerus diuiditur per alium, et quod exit multiplicatur in tercium, tunc id quod prouenit equum est ei14 quod exit de diuisione producti ex ductu diuisi in multiplicatione (sic)15 per diuidentem16. Verbi gratia. Ex diuisione17 a per b exeat g, quia (sic)18 ex ductu g in d proueniat h. Dico igitur quia19 ex ductu a in d et ex diuisione producti per b exibit h.

____________________ 1 de A: ex D P 2 productum A D: producti P 3 et ex diuisione g A P: add. D2 m.d. 2 5 post diuidentem exp. proue D2 6 proueniet addidi 4 ex ypotesi A D: add. P m.s. cum D P: om. A 7 per hanc regulam [l. 7] – diuisus A D: add. P m.s. 8 exit A: exiuit DP 9 post secundum add. et D P 10 praem. ex premisso D P 11 d A D P2: b P1 12 monstrare A D: demonstrare P 13 uoluimus A2 D P: uolumus A1 14 post ei add. quod fit ex ductu primi in tercium et ex diuisione producti inde per secundum P 15 multiplicatione A D1: multiplicantem D2 P: add. sic intellige uero punctum ex multiplicatione exeuntium ex prima diuisione equum sit exeunti ex secunda diuisione producti ex secunda 17 post multiplicatione A m.s. 16 quod exit [l. 19] – diuidentem A D: add. P2 m.s. diuisione add. autem P 18 quia A: et D P 19 quia A D: quod P

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Cuius probatio hec est. Ex diuisione enim a per b exit g, ex ductu igitur g in h (sic)1 proueniet a, sed ex ductu g in d prouenit h. Ex ductu igitur g in b2 et3 d proueniunt a et h. Talis est4 comparatio de b ad d, qualis comparatio de a ad h ex X°VII° septimi libri5. Sunt igitur quattuor numeri6 proportionales7. Quod igitur fit ex ductu a in d equum est ei quod fit ex ductu b in h ex X°VIII° eiusdem8. Ergo si multiplicetur a in d et productum diuidatur per b exibit h9 , et hoc est quod monstrare uoluimus10.

Fig.6: A, fol.101 v; D, fol.3 r d; P, fol.27 v s.

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Cum fuerint11 sex numeri quorum primus sic se habeat ad secundum sicut tercius12 ad quartum, quasi (sic)13 sic se habeat quintus ad secundum sicut sextus ad quartum14, tunc id in quo superat primus quintum uel superatur a quinto15 sic se habebit ad secundum sicut id in quo superat tercius16 sextum uel superatur a sexto17 habet se ad quartum. Verbi gratia. Sint sex numeri ab, g, dh, z, ak, dt. Et comparatio primi qui est ab ad secundum qui est g sit sicut comparatio tercii qui est dh ad quartum qui est z. Et comparatio quinti qui est18 ak ad g qui est secundus sit sicut comparatio sexti qui est dt ad quartum qui est z. Dico igitur quia id in quo superat primus quintum et sit hoc19 kb, sic se habebit ad secundum qui est g, sicut id in quo superat tercius sextum et sit20 th ad quartum qui est z. Cuius probatio hec est. Nam comparatio ak ad g est sicut comparatio dt ad z21. Cum autem conuerterimus comparatio de g ad ak22 erit sicut comparatio z ad dt ex X°VI° quinti23. Habemus igitur comparationem de ab ad g sicut comparationem de dh ad z, et comparationem de g ad ak sicut comparationem z ad dt. Secundum

____________________ 1 h A P: b D 2 b A2 D P: h A1 3 post et add. in D P 4 post est add. igitur D P 6 post quattuor exp. libri D2 7 Sunt 5 ex x°vii° septimi libri A: add. D2 m.d. P2 m.s. 8 ex x°viii° eiusdem A P: add. D2 m.d. igitur – proportionales A D: add. P2 m.s. 10 add. Sic intellige ut productum (punctum A) ex 9 Ergo si – exibit h A D: add. P2 m.s. multiplicatione exeuntis (exeuntum A) ex prima diuisione equum sit exeunti ex secunda diuisione producti ex secunda multiplicatione A m.d. D m.d. 11 fuerint A D: fuerit P uid. 13 quasi A uid.: et D P 14 post quartum del. uerbi 12 tercius A D2 P: tercium D1 15 uel superatur a quinto A D: add. P2 m.s. 16 tercius A2 D P: primus A1 gratia A2 17 uel superatur a sexto A D: add. P2 m.s. 18 quinti qui est A P: qui est quinti D 20 post sit add. hoc D P 21 Cuius probatio [l. 19] – ad z addidi 19 hoc D P: add. A2 cum D P: om. A 22 ak A D: k P 23 ex x°vi° quinti add. A2 s.l. D m.s. P m.s.

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proporcionalitatem igitur equalitatis erit comparatio de ab ad ak sicut comparatio de dh ad dt1. Cum autem disiungerimus2 et conuerterimus, erit comparatio de bk ad ak sicut comparatio de ht ad td. Comparatio autem de ak ad g est sicut comparatio dt ad z. Ergo secundum proporcionalitatem3 equalitatis comparatio de bk ad g erit sicut comparatio th ad z, et hoc est quod monstrare uoluimus4.

Fig.7: A, fol.102 r; D, fol.3 v s; P, fol.27 v s.

Ex hoc autem quod premisimus monstrabitur etiam quod5 cum quilibet duo numeri inequales6 diuiduntur per aliquem numerum, tunc id in quo

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A

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verbi gratia equum est ei quod exit ex diuisione eius qua superat alter alterum numerorum per diuidentem exiens de diuisione maioris.

exiens de diuisione maioris superat aliud exiens de diuisione minoris7 equum est ei quod exit ex diuisione eius quo superat alter alterum numerorum per diuidentem. Verbi gratia8.

Sint igitur duo numeri diuersi9 ab et ak. Id autem in quo alter superat alterum sit kb. Diuidatur autem ab per g et exeat dh. Et diuidatur ak per g et exeat dt. Id autem quo superat ab ak est10 kb. Id11 quo superat dh dt est th. Dico igitur quod cum diuiseris12 kb, que est differentia duorum numerorum diuisorum, per g, exibit th, que est differentia duorum exeuntium de duabus diuisionibus. Quod sic probatur. Diuiditur enim ab per g et exit dh. Si igitur multiplicaueris dh in g, proueniet ab. Igitur g tociens numerat ab quotiens unitas est in dh. Vnitas

____________________ 1 Secundum proporcionalitatem [p. 21, l. 22/p. 22, l. 1] – ad dt A D: om. P 2 disiungerimus 4 uoluimus A2 A: disiunxerimus D P 3 proporcionalitatem A2 D: proportionalem A1 P 1 2 D P: uolumus A 5 quod A: quidem D P 6 inequales A D : diuersi P: equales D1 add. 2 1 P m.s. 7 minoris A D P: maioris D exiens de diuisione minoris A D: add. P m.s. 8 verbi gratia A D: om. P 9 diuersi A P: diuisi D 10 est A P: om. D 11 post id add. uero D P 12 post diuiseris exp. que A2

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autem numerat dh quotiens est in eo unitas. Comparatio igitur unius ad dh est sicut comparatio g ad ab. Cum autem conuerterimus, erit comparatio ab ad g sicut comparatio dh ad unum. Similiter etiam1 manifestabitur quod comparatio ak ad g est sicut comparatio dt ad unum. Igitur2 comparatio ab qui est primus ad g qui est secundus est sicut comparatio dh qui est tercius ad unum qui est quartus. Et comparatio ak qui est quintus ad g qui est secundus est sicut comparatio dt qui est sextus ad unum qui est quartus. Comparatio igitur kb, que est id quo primus superat quintum, ad g, qui est secundus, est sicut comparatio ht que est id quo tercius superat sextum, ad unum qui est3 quartus. Comparatio igitur kb ad g est sicut comparatio th ad unum.

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Cum autem conuerterimus, tunc comparatio unius ad th erit sicut comparatio de g ad kb. Vnum igitur numerat th quotiens g numerat kb, unum autem numerat th quotiens unum est in th. Igitur g numerat kb quotiens unum est in th. Vnde si multiplicaueris g in th proueniet4 kb. Cum igitur diuiseris kb per g exibit th, et hoc est quod monstrare uoluimus.

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Fig.8: A, fol.102 r; D, fol.3 v d; P, fol.27 v d.

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Hec etiam propositio agitatur in capitulo minuendi. Inducam autem aliam similem illi que similiter agitatur in capitulo agregandi, in quam5 incidit etiam id quod euchides (sic)6 dixit in quinto libro, quod est hec: «Cum fuerit proportio7 primi ad secundum sicut proportio tercii ad quartum et proportio quinti ad secundum fuerit sicut proportio sexti ad quartum, tunc proportio primi et quinti simul acceptorum ad secundum, erit sicut proportio tercii et sexti simul acceptorum ad quartum8». Cuius9 regule theorematis10 probationem quam euclides posuit nos pretermittimus. Dicam igitur quod intendimus scilicet probare11 propositionem que incidit in capitulo agregandi et in quam incidit preposita regula theoremi12.

____________________ 1 etiam A P: et D uid. 2 post igitur exp. manifestum D2 3 qui est iter. A 1 2 5 quam A2 D P: quod A1 6 euchides A D: 4 proueniet A D P: prouenit D uid. 8 quartum A2 D P: quintum A1 uid. euclides P 7 proportio A D2 P: proposito D1 uid. 9 post cuius add. regule P 10 theorematis A D: add. P m.d. 11 scilicet probare A P2: 1 12 preposita regula theoremi A: prepositam theoremam D P probare scilicet D P

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Cum quilibet duo numeri diuiduntur per aliquem numerum, tunc ea que de utraque diuisione exeunt simul accepta equalia sunt ei qui (sic)1 exit de diuisione utriusque numeri per diuidentem simul accepti. Verbi gratia. ab diuidatur per g et exeat dh et diuidatur bk per g et exeat ht. Dico igitur quod si diuidatur totus ak per g exibit totus dt. Cuius probatio hec est. Cum enim ab diuiditur per g exit dh. Si igitur multiplicetur dh in g proueniet ab. Igitur g numerat ab quotiens est unum in dh. Vnum autem numerat dh quotiens unum est in eo2. Comparatio igitur unius ad dh est sicut comparatio g ad ab. Cum autem conuerterimus comparatio de ab ad g3 erit sicut comparatio de dh ad unum. Similiter etiam monstrabitur quod comparatio de bk ad g est sicut comparatio ht ad unum. Comparatio igitur ab qui est primus ad g qui est secundus est sicut comparatio dh4 qui est tercius ad unum qui est quartus. Et comparatio de bk qui est quintus ad g qui est secundus est sicut comparatio de ht qui est sextus ad unum qui5 est quartus. Comparatio igitur tocius ak qui est primus et quintus ad g qui est secundus, est sicut comparatio tocius dt qui est tercius et sextus ad unum qui est quartus. Cum autem conuerterimus, tunc comparatio unius ad td erit sicut comparatio g ad ak. Quandoquidem autem ita est, tunc cum multiplicaueris dt in g proueniet ak, sicut ostendimus in questione que hanc precedit similiter6 huic. Cum igitur diuiseritis7 ak per g exibit dt, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.9: A, fol.102 v; D, fol.4 r s; P, fol.28 r s.

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Cum aliquis numerus diuiditur per alium et per id quod exit diuiditur alius, tunc id quod de ultima8 diuisione exit equum est ei quod exit de9 diuisione producti ex ductu secundi diuisi in diuidentem primum per primum diuisum. Verbi gratia. Diuidatur a per b et exeat g. Et diuidatur d per g et exeat h10. Dico igitur quod si multiplicetur d, qui est secundus diuisus, in b, qui est primus diuidens, et productus diuidatur per a, qui est primus diuisus, exibit h, quod est id quod exiuit de diuisione d11 per g. Cuius probatio hec est. Diuisimus enim a per b et exiuit g. Si ergo12 ultiplicetur g per b proueniet a. Id autem quod fit ex ductu g in b equum est ei quod fit ex b

____________________ 1 qui A: quod D P 2 Vnum autem – in eo D: add. A m.s. P m.d. 3 g A D: ag P 6 similiter A P: similis D 7 diuiseritis 4 dh A D: ad h P 5 qui A P: add. D2 m.s. 9 de A P: om. D 10 h A D2 P: g D1 A: diuiseris D P 8 post ultima exp. uolu D2 11 d A D: a P 12 ergo A P: uero D

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in g. Diuisimus1 etiam d per g et2 exiuit h. Si ergo multiplicetur h in g proueniet d. Ex ductu igitur g in b et in h proueniunt3 a et d. Comparatio igitur de h ad b est sicut comparatio d ad a. Quod igitur fit ex ductu h in a equum est ei quod fit ex ductu d in b, sicut ostendit euclides in libro septimo theoremate X°VIIII°4, dicens: «Omnium5 quattuor numerorum proporcionalium primus ductus in quartum tantum reddit quantum secundus in tercium». Postquam autem id quod fit ex ductu d in b equum est ei quod fit ex ductu h in a, tunc manifestum est quod si multiplicetur d in b et productum diuiserimus per a exibit h, et hoc est quod monstrare uoluimus6.

Fig.10: A, fol.102 v; D, fol.4 r d; P, fol.28 r s. 10

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Iam expleuimus cum dei adiutorio ea que debuerunt preponi, non sumpta quidem de libro euclidis, sed utilia ei qui7 uult habere scientiam mahamelet secundum probationes ad quas8 tamen probanda multa inducuntur de libro euclidis9, quod nobis necessarium est. Ipse enim est origo adinueniendi10 probationes istius scientie. Deinde uisum fuit nobis ut post hec adiceremus ea que euclides dixit in libro secundo, ut que assignantur11 in12 lineis nos assignemus similia in13 numeris. Ad que necessarium est inducere quedam de libro septimo. euclides enim non est locutus de numero nisi in septimo libro et14 in duobus sequentibus. Ideo euclides prius est legendus15 et perfecte cognoscendus et deinde accedendum est ad hunc librum16 mahabelet17. Cum fuerint duo numeri quorum unus diuidatur in quotlibet partes, tunc id quod fit ex ductu unius numeri in alium equum est eis18 simul acceptis que fiunt19 ex ductu indiuisi in singulas partes diuisi. Verbi gratia. Sint duo numeri a et bg, quorum unus scilicet bg diuidatur in partes que sint bd20 et dh et21 hg22. Dico igitur quia id quod fit ex ductu a in bg equum est eis simul que fiunt ex ductu a in bd et dh et hg.

____________________ 1 post diuisimus del. autem A2 2 et A P: add. D2 s.l. 3 proueniunt A D: prouenerunt P 4 theoremate x°viiii° A: add. D m.d. P m.s. 5 post omnium exp. quod fit ex ductu d in b D2 8 quas A P: 6 post uoluimus add. hic finiunt prepositiones P 7 equi A P: add. D2 s.l. que D 9 multa inducuntur de libro euclidis A: inducuntur (inducentur D1) multa de libro euclidis D: multa de libro euclidis inducuntur P 10 adinueniendi A P: adinueniendum D 11 assignantur A D: assignauit P 12 in iter. P 13 in A P: add. D s.l. 14 et addidi cum D P: om. A 15 legendus A D: eligendus P 16 hunc librum A D: librum hunc P 17 mahabelet A: mahamelet D P post mahabelet (mahamelet D) add. nota quod 18 eis A D2 P: ei D1 19 fiunt A P: librum euclidis debet precedere hunc librum D 2 m.d. 2 1 1 21 et iter. A 22 et hg A D: om. P fuit D 20 bd A D P: bg A

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Première partie du Liber mahameleth

Cuius probatio est hec. Multiplicetur enim a in bg et proueniat q. Et ex ductu a in bd proueniat z, et ex ductu a in dh proueniat k. Et ex ductu a in hg proueniat t. Ex ductu igitur a in bg prouenit q, et ex ductu eiusdem in bd prouenit z. Igitur comparatio1 z ad q est sicut2 comparatio bd ad bg ex XVIII septimi3. 5

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Ex ductu autem a in dh prouenit k. Et eiusdem in bg prouenit q. Comparatio igitur dh ad bg4 est sicut comparatio k ad q. Comparatio igitur db ad bg est sicut comparatio z ad q. Comparatio autem dh ad bg est sicut comparatio k ad q. Igitur comparatio de bh ad bg est sicut comparatio de z et k ad q, sicut euclides dixit in quinto. Similiter etiam ex ductu a in hg prouenit t. Et ex ductu a in bg prouenit q. Comparatio igitur de hg ad bg est sicut5 comparatio de t ad q. Habemus igitur quod comparatio de bh ad bg est sicut comparatio de z et k6 ad q. Comparatio autem de hg ad bg est sicut comparatio t ad q. Tocius igitur bd et dh et hg comparatio ad bg est sicut comparatio tocius z7 et k8 et t ad q. Sed bd et dh et hg equales9 sunt ad bg. Igitur z et k et t equales10 sunt ad q11, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.11: A, fol.103 r; figuram bis habet D (fol.4 r d et 4 v s); P, fol.28 r d.

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Cum aliquis numerus diuiditur in quotlibet partes, idem est ipsum multiplicare in se, quod in omnes partes eius. Verbi gratia. Numerus ab12 diuidatur in partes13 que sint ag et gd et db. Dico igitur quia idem fit ex ductu ab in se quod ex ductu eius in ag et gd et db14. Cuius probatio est hec. Ponat (sic)15 alius numerus equalis ad ab qui sit h16, ostensum est autem quia id quod fit ex ductu ab in se equum est ei quod fit ex ductu eius in h. Quod autem fit ex ductu ab in17 h equum est ei quod fit ex ductu ag in h et gd in h et db in h, sicut ostendimus in eo quod precessit. Sed h18 equalis est ad ab. Ergo id quod fit19 ex ductu ab in se equum est ei quod fit ex ductu ab in ag et in gd et in db. Et hoc est quod monstrare uoluimus. ____________________ 1 comparatio addidi cum D P: om. A 2 sicut D P: add. A2 3 ex xviii septimi A: add. 2 1 5 sicut addidi cum D P: om. A 6 z et k D D m.s. P m.s. 4 bg A D P: bh A uid. 7 z A D P2: g P1 8 k A2 D P: b A1 uid. 9 equales P2: add. A2 s.l. et k om. A1 P1 12 ab A D2 P: bg D1 A: equale D P 10 equales A: equale D P 11 q A D P2: k P1 13 post partes add. duas quarum una A1 uid. 14 db A2 D P: bd A1 uid. 15 ponat A: ponatur enim D P 16 h A P: hec D 17 ab in A D: add. P m.d. 18 h A P: hec D 19 quod fit iter. A

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Fig.12: A, fol.103 r; D, fol.4 v s; P, fol.28 r d.

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Cum aliquis numerus diuiditur in duas partes, id quod prouenit ex ductu tocius in unam, in quam multiplicatum est totum1 suarum partium, equum est eis que fiunt ex ductu ipsius partis in seipsam et alterius partis in alteram. Verbi gratia. Numerus ab diuidatur in duas partes, quarum una sit ag et altera gb. Dico igitur quia id quod2 fit ex ductu ab in gb equum est eis3 simul acceptis que fiunt ex ductu gb in seipsam et ex ductu eiusdem in ag. Cuius probatio hec est. Ponatur h equalis ad gb. Et monstratum est quia id quod fit ex ductu ab in bg equum est ei quod fit ex ductu h in ab. Id autem quod fit ex ductu h in ab equum est ei quod fit4 h in ag et in gh5. Id uero quod fit ex ductu h in gb equum est ei quod fit ex ductu gb in se. Igitur id quod fit ex ductu ab in bg equum est ei quod fit ex ductu ag in gb et gb in seipsam, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.13: A, fol.103 v; D, fol.4 v d; P, fol.28 r d.

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Cum aliquis numerus diuiditur in duas partes, tunc illud quod fit ex ductu tocius in seipsum equum est eis que fiunt et ex ductu6 utriusque partis in seipsam et alterius in alteram bis. Verbi gratia7. Numerus ab diuidatur in duas partes quarum una sit ag et altera gb. Dico igitur quia id quod fit ex ductu ab in seipsam equum est eis simul acceptis que fiunt8 et ex ductu ag in se et gb in se et eis que fiunt ex ductu ag in gb bis. Cuius probatio hec est. Id enim quod fit ex ductu ab in seipsam equum est ei quod fit ex ductu ab in ag, et ei quod fit ex ductu ab in gb sint (sic)9. Id autem quod fit ex ductu ab in ag equum est ei quod fit ex ductu ag in seipsam et ei quod fit ex ductu ag in gb. Id uero quod fit ex ductu ab in bg equum est ei quod fit ex ductu10 bg in seipsam et bg in ag. Quod autem fit ex ductu bg in ag equum est ei quod fit ex ductu ag in gb. Igitur id quod fit ex ductu ab in seipsam equum est ei11 ____________________ 1 in quam multiplicatum est totum A P: om. D 2 quod iter. A P 3 post eis add. que 4 fit A P: add. D2 s.l. post fit add. ex ductu D P 5 gh A: gb D P 6 et ex P1 8 que fiunt A P: add. D2 ductu addidi cum D P: om. A 7 post gratia exp. ab A2 m.d. 9 sint A: simul D P 10 ag in gb [l. 23] – ex ductu A P: add. D2 m.d. 11 ei 2 D P: add. A

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quod fit ex ductu ag in seipsam et gb in seipsam et ag in gb bis, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.14: A, fol.103 v; D, fol.4 v d; P, fol.28 v s.

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Cum aliquis numerus diuiditur in duas partes equales et in duas inequales, tunc1 id quod fit ex ductu unius partis equalis in seipsam equum est ei quod fit ex ductu unius2 inequalium in alteram, et ei quod fit ex ductu eius quo excedit una equalium minorem inequalium in seipsam. Verbi gratia. Numerus ab diuidatur in duo equalia scilicet in puncto g et in duo inequalia scilicet in puncto d. Dico igitur quia id quod fit ex ductu gb in seipsam equum est ei quod fit ex ductu ad in db, et ei quod fit ex ductu gd in seipsam. Cuius probatio est hec3. Id enim quod fit ex ductu gb in seipsam equum est ei quod fit ex ductu gb in gd et gb in db ex secundo huius4. Id autem quod5 fit ex ductu gb in db equum est ei quod fit ex ductu ag in db6. Igitur id quod fit ex ductu gb in seipsam equum est ei quod fit ex ductu gd in gb et ag in db. Sed id quod fit ex ductu gb in gd equum est ei quod fit ex ductu gd in seipsam et gd in db. Productus ergo ex ductu gb in seipsam equalis est ei quod fit ex ductu ag in db et ex gd in db et ex gd in seipsam. Id autem quod fit ex ductu ag in db et ex gd in db equum est ei quod fit ex ductu ad in db. Id ergo quod7 fit ex ductu gb in seipsam equum est ei quod fit ex ductu ad in db et ex gd in seipsam. Et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.15: A, fol.103 v; D, fol.5 r s; P, fol.28 v s.

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Cum aliquis numerus diuiditur in duo equalia additurque ei alius numerus, tunc id quod fit ex ductu dimidii cum addito in se equum est ei quod fit ex ductu primi numeri cum addito in additum et dimidii in se. Verbi gratia. Age numerus ab diuidatur per medium in puncto g, deinde addatur ei8 numerus ab (sic)9. Dico igitur quia id quod fit ex ductu gd in seipsam equum est ei quod fit ex ductu ad in db et ex gb in seipsam. Cuius probatio hec est. Id enim quod fit ex ductu gd in seipsam equum est ei quod fit ex ductu gd in gb10 et in db. Id autem quod fit ex ductu gd in gb equum est ei quod fit ex ductu gb in seipsam et in bd. Id ergo quod fit ex ductu gd in seipsam equum est ei quod fit ex ductu gd in db, et ei quod fit ex ductu gb in db, et ei quod ____________________ 1 et praem. D P 2 post unius exp. par D2 3 est hec A: hec est D P 4 ex secundo 2 5 Id autem quod A P: Quod autem D 6 db A D2 P: pb D1 huius A P: add. D m.s. uid. 7 quod A P: om. D 8 ei A P: om. D 9 ab A: bd D P 10 gb A2 D P: gd A1

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fit ex ductu gb in seipsam. Sed gb equalis est ad ag. Id ergo quod fit ex ductu gd in se equum est ei quod fit ex ductu ag in db et1 gd in db et gb in seipsam. Id autem quod fit ex ductu ag in db et ex gd in db equum est ei quod fit ex ductu ad in db. Id igitur quod fit ex ductu gd in se equum est ei quod fit ex ductu ad in db et ei quod fit ex ductu gb, qui est medietas numeri, in se, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.16: A, fol.103 v; D, fol.5 r s; P, fol.28 v s.

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Cum aliquis numerus diuiditur in duas partes, tunc id quod fit ex ductu tocius numeri in se et quod fit ex ductu alterutrius partis in se, equum est et2 ei quod fit ex ductu tocius numeri in eandem partem bis, et ei quod fit ex ductu alterius partis in seipsam. Verbi gratia. Numerus ab diuidatur in duas partes in puncto g. Dico igitur quia id quod fit ex ductu ab in se et gb in se equum est eis que fiunt3 ex ductu ab in gb bis et ag in seipsam. Cuius probatio hec est. Id enim quod fit ex ductu ab in se equum est et ei quod fit ex ductu ag in se et ex ductu gb in se et ex ductu ag in gb bis. Sit autem commune id quod fit ex ductu gb in se. Id igitur quod fit ex ductu ab in se et gb in se equum erit ei4 quod fit ex ductu ag in se et gb in se bis, et ag in gb bis. Id autem quod fit ex ductu gb in se bis, et ag in gb bis, equum est ei quod fit ex ductu ab5 in bg bis. Id enim quod fit ex ductu gb in se semel et ag in gb semel, equum est ei quod fit ex ductu ab in gb semel. Id ergo quod fit ex ductu ab in se et bg in se equum est6 quod fit ex ductu ab in bg bis et ag in se, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.17: A, fol.104 r; D, fol.5 r d; P, fol.28 v d.

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Cum aliquis numerus7 diuidatur8 in duas partes eique addatur numerus equalis9 uni partium, tunc id quod fit ex ductu tocius numeri cum addito in seipsum equum erit10 eis que fiunt et ex ductu prioris numeri in additum quater et ex ductu alterius11 partis in seipsam. Verbi gratia. Numerus ab diuidatur in duas partes in puncto g, cui addatur alius numerus equalis ad gb, qui sit bd. Dico igitur quia id quod fit ex ductu ad in se equum est ei quod fit ex ductu ab in bd quater et ag in se.

____________________ 1 post et exp. ex D2 uid. 2 et A P: om. D 3 post fiunt add. et D P 4 post ei add. autem D 5 post ab add. et D 6 post est add. ei D P 7 aliquis numerus A P: numerus aliquis D 8 diuidatur A: diuiditur D P 9 equalis A D P2: equalii P1 2 1 uid. 10 erit A D P : est P 11 alterius A P: alteri D

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Cuius probatio hec est. Id enim quod fit ex ductu ad in se equum est1 quod fit ex ductu ab in se et bd in se et ab in bd bis. Id autem quod fit ex ductu ab in se et bd in se equum est ei quod fit ex ductu ab in bd bis et ag in se. Id2 igitur quod fit ex ductu ad in se equum est ei quod fit ex ductu ab in bd quater et ag in se, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.18: A, fol.104 r; D, fol.5 r d; P, fol.28 v d.

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Cum aliquis numerus diuiditur in duo equalia duoque inequalia, tunc id quod fit ex ductu utriusque inequalium in se equum est ei quod fit ex ductu unius equalium in se bis, et ei quod fit ex ductu eius3 in se bis, quo una equalium superat minorem inequalium. Verbi gratia. Numerus ab diuidatur in duo equalia in puncto g, et in duo inequalia in puncto d. Dico igitur quia id quod fit ex ductu ad in se et db in se equum est4 quod fit ex ductu ag in se bis et5 gd in se bis. Cuius probatio hec est. Quadratus enim de ab equalis est quadrato de ag bis accepto et quadrato de gb bis accepto. Quadratus autem de gb bis acceptus est equalis quadrato de gd bis accepto et quadrato de db bis accepto, et ei quod prouenit ex ductu gd in db quater. Quadratus enim de gb est equalis et quadrato de gd et quadrato de db et ei quod fit ex ductu gd in db bis. Igitur quadratus de ab est equalis quadrato de ag bis accepto et quadrato de gd bis accepto et quadrato de db bis accepto6, et ei quod fit ex ductu gd in db quater. Quadratus autem de ab equalis est quadrato de ad et quadrato de db, et ei quod fit ex ductu ad in db bis. Igitur quadratus de ab (sic)7 et quadratus de db et id quod fit ex ductu ad in db bis sunt equalia eis que fiunt ex ductu ag in se bis et gd in se bis et db in se bis8 et ei quod fit ex ductu gd in db quater. De eo igitur quod fit ex ductu gd in db quater sumpto quod bis prouenit, et addito super quadrato de db bis accepto, tunc fiet equum ei quod fit ex ductu gb in bd bis. Id autem quod fit ex ductu gb in bd bis equum est ei quod fit ex ductu ag in bd bis. Quod igitur fit ex ductu ad in se et db in se et ad in db bis fiet equum ei quod fit ex ductu ag in se bis et gd in se bis, et ei quod fit ex ductu ag in db bis, et ei quod fit9 ex ductu gd in db bis. Id autem quod fit ex ductu ag in db bis et ex gd in db bis10 equum est ei quod fit ex ductu ad in db bis. Reiecto igitur communi quod est id quod fit ex ductu ad in db bis, remanebit id quod fit ex ductu ad in se11; ex db in se equum est ei quod fit ex ductu ag in se bis et ex gd in se bis, et hoc est quod monstrare uoluimus.

____________________ 1 post est add. 5 et D P: add. corrigendum add. D2 m.s.

3 eius om. A1 4 post est add. ei D P ei D P 2 id D P: add. A2 2 6 et quadrato de db bis accepto om. D 7 ab false A D P in ad A 9 post fit exp. q A2 10 bis A P: 8 et db in se bis A P: add. D2 m.s. 11 post se add. et D P

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Fig.19: A, fol.104 v; D, fol.5 v s; P, fol.29 r s.

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Cum aliquis numerus diuiditur in duo media eique alius numerus addatur, tunc id quod fit ex ductu tocius numeri cum addito in se, et quod fit ex ductu additi in se1 simul acceptum duplum est et2 ei quod fit ex ductu dimidii numeri in se et3 ex ductu dimidii4 cum addito in se. Verbi gratia. Numerus ab diuidatur per medium in puncto g, cui addatur alius qui sit bd. Dico igitur quia quod fit ex ductu ad in se et bd in se duplum est5 ei quod fit ex ductu ag in se, et ei quod fit ex ductu gd in se simul acceptis. Cuius probatio hec est. Sit dh equalis ad bd6, et gz sit equalis ad bd. Igitur ag est medietas de ab7 et gz est medietas de bh. Totus igitur az est medietas tocius ah. Numerus ergo ah diuisus est per medium in puncto z et in duo8 inequalia in puncto d. Quadratus ergo de ad et de dh duplus est quadrato de az et de zd. Sed az equalis est ad gd. Nam ag equalis est ad gb, et bd equalis est ad gz. Igitur az equalis est ad gd, et etiam ag equalis est ad zd. Nam gz equalis est ad bd. Sit autem zb communis. Igitur gb9 erit equalis ad zd, sed gb est equalis ad10 ag. Igitur ag11 equalis est ad zd et etiam dh equalis est ad bd. Id12 igitur quod fit ex ductu ad in se et bd in se duplum est13 ei quod fit ex ductu ag in se et ei quod fit ex ductu gd in se, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.20: A, fol.104 v; D, fol.5 v d; P, fol.29 r s.

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Postquam autem preposuimus ea que ad sequentium probationem necessaria uidebantur et assignauimus in numeris quod euclides in lineis, redibimus ad14 propositum sed (sic)15 ad agendum de predictis speciebus practice arimethice artis16, et demonstrabimus que continentur in libro mahamelleth17 probationibus necessariis. Inter omnes autem predictas species arimethice artis, species coniungendi numeros priores sunt. Nichil enim diuiditur nisi quod coniunctum est, ideo species coniungendi numeros speciebus disiungendi necessario priores sunt. Inter omnes autem species coniungendi numeros agregatio prior est. In omni enim duplatione et multiplicatione est agregatio18, sed non conuertitur. Vnde de ipsa prius agendum ____________________ 1 et quod [l. 2] – in se D P: add. A2 m.s. 2 et A P: om. D 3 et A P: om. D 4 post dimidii add. et D 5 post est add. et D P 6 bd A: db D P 7 post ab add. ad A1 8 et in duo A P: om. D 9 gb A P: add. D2 m.d. 10 ad iter. P 11 igitur ag A P: 13 post est add. et D P 14 ad iter. D 15 sed A: om. D 12 id A D: add. A2 scilicet D P 16 artis A: om. D P 17 mahamelleth A: mahameleth D P 18 et multiplicatione est agregatio addidi cum D P: om. A

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esset, sed quoniam maiores arabum a multiplicatione numerorum incipiunt, nos quoque sequentes eos ab ipsa prius incoabimus. Sciendum est autem quod numerus aliquando consideratur per se sine respectu alterius et1 dicitur integer, aliquando in comparatione alterius sicut (sic)2 pars uel partes3 et dicitur fractio, aliquando ueluti4 pars partis5 aliquota6 et7 0dicitur fractio fractionis [ex articulo et limite ut centum triginta] 8. Integer uero aut est digitus aut limes aut articulus aut compositus9. Limes uero aut est digitorum ut uno (sic)10 aut est decenorum uel primorum articulorum ut decem aut centenorum ut centum aut millenorum ut mille, et sic in infinitum crescunt limites precedentium semper decupli sequentes. Compositus uero numerus alius est compositus ex digito et11 articulo ut uiginti duo, alius ex digito et limite ut centum et octo, alius ex articulo et limite ut centum triginta12. Limes uero alius est simplex ut quattuor primi scilicet unitas, decem, centum et mille, alius est compositus ut decem millia. Compositus autem limes alius est compositus ex secundo et quarto limite, ut decem milia, alius est13 ex tercio et quarto, ut centum milia, alius ex quarto geminato uel sepius repetito, ut milies mille uel milies milies mille, et sic deinceps in infinitum. Fractio uero ut14 predictum est alia15 fractio integri, alia est fractio fractionis. Cum igitur16 hec tria scilicet integer et fractio et fractionis fractio multiplicantur inter se, necesse est uiginti octo species multiplicationis prouenire. Quotiens enim quelibet tria multiplicantur inter se, aut multiplicantur singula in se et sunt tres modi, aut17 singula in alia singula et sunt alii tres modi aut multiplicantur singula in se18 bina, quod fit nouem modis, aut singula in se terna, quod fit tribus modis. Aut multiplicabuntur bina in se bina, quod fit sex modis, aut multiplicabuntur bina in se terna, quod fit tribus modis, aut terna in se terna, quod fit semel. Que autem (sic)19 omnes modi simul agregati fiunt uiginti octo. Singula20 enim in se singula multiplicantur, cum aut multiplicatur integer in integrum aut fractio in fractionem, aut fractio fractionis in fractionem fractionis21. Singula22 autem in alia singula, cum aut multiplicatur integer in fractionem, aut in fractionem23 fractionis, aut fractio in fractionem fractionis. Singula24 autem in se bina multiplicantur, cum aut integer multiplicatur25 in integrum cum fractione, aut in26 fractionem cum fractione27 fractionis, aut in ____________________ 1 et D P: add. A2 s.l. 2 sicut A2 s.l.: si ut A1: scilicet ut D P 3 sicut (s) pars 5 partis A D P2: uel partes A D: add. P m.s. 4 ueluti A2 P: uel A1: om. D1: ut D2 uid. 1 2 1 2 6 aliquota A P: aliquando A : om. D 7 et addidi cum D P: om. A uid.: om. D1 partes P 8 emendaui ex articulo et limite ut centum triginta quod fallaciter post fractionis addiderunt A D1 (exp. D2) P1 (exp. P2) (cfr punctum 12) 9 aut compositus add. D2 m.d. 10 uno A D1: 2 11 et A P: om. D 12 alius ex articulo et limite ut centum triginta addidi cum unum D P 15 post alia P m.s.: om. A D (cfr punctum 8) 13 est A: om. D P 14 post ut add. in D1 2 2 17 aut A D P: at A1 18 singula in se A2 D add. est D P 16 post igitur exp. integer P 19 que autem A uid.: qui D P 20 add. tres modi D2 m.d. 21 in P: in se singula A1 2 2 23 post fractionem exp. in D fractionem fractionis A P: add. D m.d. 22 add. tres modi D m.d. 25 multiplicatur D P: add. A2 26 in D P: add. 24 add. nouem modi D2 m.s 2 2 27 fractione D P: add. A A

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integrum cum fractione1 fractionis2, uel cum fractio in integrum et fractionem uel in3 integrum et fractionem fractionis uel in fractionem et fractionem4 fractionis, uel cum fractio fractionis5 in integrum et fractionem uel in6 integrum7 et fractionem fractionis, et8 in fractionem et fractionem fractionis. Singula9 uero in se terna multiplicantur10, cum aut integrum in11 integrum cum fractione et fractione fractionis, aut fractio in integrum cum fractione et fractione fractionis, aut fractio fractionis in integrum cum fractione et fractione12 fractionis. Bina13 uero in se bina multiplicantur, cum integer cum fractione multiplicatur in integrum cum fractione, aut in fractionem cum fractione14 fractionis, aut in15 integrum cum fractione fractionis16. Bina17 autem in se terna multiplicantur, cum multiplicantur integer et fractio in integrum cum18 fractione et fractione fractionis, aut cum multiplicantur fractio et fractionis fractio in integrum cum fractione et fractione fractionis, aut cum19 multiplicantur integer et fractio fractionis in integrum cum fractione et fractione fractionis. Terna20 autem in se terna semel multiplicantur21, cum multiplicantur integer cum fractione et fractione fractionis in integrum cum fractione et fractione fractionis. Totidem22 etiam diuidendi23, agregandi et minuendi species possunt inueniri de quibus in sequentibus tractabitur. Sed quia omnis integer uel est digitus uel articulus uel limes uel compositus, idcirco cum multiplicatur integer in integrum necesse est ut aut multiplicentur singuli in se uel in alios singulos, aut singuli in binos, aut singuli in ternos, aut singuli in quaternos, aut bini in binos uel ternos uel quaternos, aut terni in ternos uel quaternos, aut quaterni in quaternos, quoniam aut multiplicatur digitus24 in digitum et articulus in articulum et limes in limitem et compositus in compositum, aut digitus in articulum et limitem aut articulus in limitem et compositum, aut compositus in compositum, aut articulus et limes in articulum et25 limitem, aut multiplicatur limes et compositus in limitem et articulum uel compositum. De quibus omnibus modis plene in sequentibus tractabitur.

____________________ 2 post fractionis del. aut fractio fractionis in integrum cum fractione et 1 cum fractione iter. A1 3 in A P: om. D 4 fractionem fractione fractionis bina uero in se bina multiplicantur A2 5 fractionis A P: add. D2 6 in A P: om. D 7 post integrum addidi cum D2 P: om. A D1 8 et A: uel D P 9 add. tres modi D2 m.s. 10 multiplicantur A P: exp. fractionis D2 13 add. sex modi D2 multiplicatur D 11 in om. D 12 fractione A D2 P: fractionis D1 1 2 1 m.s. 14 fractione om. A 15 aut in A D P: aut multiplicatur A 16 post fractionis add. aut fractio †…† cum fractione fractionis in fractione fractione fractionis in integrum cum †…† aut multiplicantur †…† et fractio fractionis et fractionem fractionis A2 m.d. (margo secata est): post fractionis add. aut integrum et fractio fractionis multiplicantur in integrum et fractionem fractionis aut in fractionem et fractionem fractionis aut fractio et fractio fractionis in fractionem fractionis D 2 m.s. 18 cum A D P2: et P1 19 cum A P: om. D 20 add. 17 add. tres modi D2 m.s. 2 21 multiplicantur semel A D: semel multiplicantur P 22 totidem unus modus D m.s. 23 post diuidendi add. et P 24 digitus iter. A 25 post et add. A D2 P: tociens D1 in D P

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Cum autem multiplicatur digitus in digitum aut prouenit tantum digitus aut tantum denarius aut digitus cum denario, semel uel aliquociens, aut denarius multociens. Quorum multiplicationem quisquis memoriter et1 impromtu non habuerit, scientiam multiplicandi numeros numquam plene assequi poterit. Vnde capitulum2 introducendi multiplicationem cuiusque digiti in se uel in alium quasi in foribus prescribimus, ut quisquis ad ulteriora uenire desiderat hanc prius memorie commendare contendat. De multiplicatione digitorum in se et in alios digitos3. Et prius de uno4. Cum unum multiplicatur in unum, non prouenit nisi unum. Cum unum multiplicatur in duo, non nisi duo proueniunt. Vnum ductum in tres non efficit nisi tres et sic in omnibus. Omnis enim numerus qui multiplicatur in unum uel in quem5 unum numquam geminatur uel excresit. De duobus6. Duo ducti in duo fiunt quattuor, duo uero in7 tres fiunt sex, duo ducti in quattuor fiunt8 octo, duo multiplicati in quinque efficiunt decem, duo uero in sex fiunt duodecim, duo in septem quattuordecim, duo in octo sexdecim, duo in nouem decem et octo, duo in decem uiginti. De tribus9. Tres multiplicati in tres fiunt nouem, tres ducti in quattuor efficiunt duodecim, tres in quinque fiunt quindecim, tres in sex fiunt decem et octo, tres in septem fiunt uiginti unum, tres in octo fiunt uiginti quattuor, tres in nouem10 fiunt uiginti septem, tres in decem fiunt11 triginta. De quattuor12. Quattuor ducti in quattuor fiunt sexdecim, ducti in quinque fiunt uiginti, ducti in sex fiunt uiginti quattuor, ducti in septem fiunt uiginti octo. Quattuor ducti in octo fiunt triginta duo, quattuor ducti in nouem fiunt triginta sex, ducti uero in decem fiunt quadraginta. De quinque13. Quinque multiplicati in quinque14 fiunt uiginti quinque. Multiplicati uero in sex fiunt triginta, ducti in septem fiunt triginta quinque, ducti in octo faciunt quadraginta, ducti in nouem fiunt quadraginta quinque, ducti in decem fiunt quinquaginta. De sex15. Sex multiplicati in sex fiunt triginta sex, ducti uero in septem fiunt quadraginta duo, ducti in octo fiunt quadraginta octo. Sex in nouem fiunt quinquaginta quattuor, sex in decem fiunt sexaginta. De septem16. Septem ducti in septem fiunt quadraginta nouem, ducti in octo fiunt quinquaginta sex, ducti in nouem fiunt sexaginta tres, ducti in decem faciunt septuaginta. De octo17. Octo ducti in octo fiunt sexaginta quattuor, ducti in nouem fiunt septuaginta duo, ducti in decem fiunt octoginta. ____________________ 1 et A D: om. P 2 capitulum addidi cum D P: om. A 3 De multiplicatione – digitos A P: om. D 4 Et prius de uno A P: om. D 5 quem A P: quam D 6 de duobus A P: 8 post fiunt exp. quattuor D2 9 de tribus A P: om. D om. D 7 post in exp. ? A2 11 fiunt D P: add. A2 12 de quattuor A P: om. D 10 nouem A2 D P: noues A1 uid. 13 de quinque A P: om. D 14 multiplicati in quinque A D: in quinque multiplicati P 15 de sex A P: om. D 16 de septem A P: om. D 17 de octo A P: om. D

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De nouem1. Nouem ducti in nouem fiunt octoginta unum, ducti in decem faciunt nonaginta. De decem2. Decem multiplicatus in decem efficit centum.

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Regule quibus deprehenditur multiplicatio digitorum in se et in alios digitos. Et prius in se3. Omnis digitus in se ductus tantum reddit quantum duo primi circumpositi in se ducti, et insuper unum. Omnis digitus in se ductus tantum reddit quantum duo circumpositi et circumpositi circumpositorum usque ad unitatem, sed adiectis differentiis in se ductis quas habet medius ad extremos. Tantum enim fit ex ductu quinarii in se, quantum ex ductu quaternarii in senarium cum differentiis in se ductis que sunt due unitates4 uel quantum ex ductu ternarii in septem cum differentiis in se ductis que sunt duo binarii, uel quantum ex ductu binarii in octonarium cum differentiis in se ductis que sunt duo5 ternarii, et sic usque ad unum. Omnis digitus in se ductus tantum reddit quantum quilibet duo in se ducti equa proportione6 ab illo distantes. Tantum enim efficit quattuor in se ductus quantum binarius ductus in octonarium qui eadem proportione a quaternario distant scilicet dupla. Item omnis digitus in se ductus tantum efficit quantum due partes eius, si utraque in se ducatur et altera in alteram bis7. Item omnis digitus ductus in se efficit summam sue8 denominationis decuplate, subtracta inde multiplicatione differentie ipsius ad denarium facta in seipsum. Senarius enim ductus in se dicatur efficere sexaginta, que est eius denominatio decuplata. Sed differentia ipsius ad denarium est quattuor, que ducta in ipsum senarium efficit uiginti quattuor. Quibus subtractis de sexaginta remanent triginta sex et tantum reddit senarius ductus in se. De multiplicatione digitorum in alios digitos9. Item cum digitus multiplicat alium digitum tantum prouenit quantum si idem multiplicet limitem, subtracto eo de summa quod differentia multiplicati ad limitem ducta per multiplicantem efficit. Item omnis digitus ductus in alium digitum tantum efficit quantum ductus in omnes partes eius. Tantum enim efficit ternarius ductus in quaternarium quantum ductus in duo10 binarios qui sunt partes eius et uterque productus agregetur. Regule de multiplicatione digitorum in articulos, limites et compositos11.

____________________ 1 de nouem A P: om. D 2 de decem A P: om. D 3 Et prius in se A P: om. D 4 unitates addidi cum D P: om. A 5 duo addidi cum D P: om. A 6 post proportione 7 et altera in alteram bis A D1 P: bis et altera in alteram exp. a quaternario D2 (cfr linea 17) 8 sue A D2 m.s. P: se D1 9 De multiplicatione – digitos A P: om. D D2 alt. manu 10 duo A: duos D P 11 regule – compositos A D: om. P

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ADP

Postquam autem iam ostendimus quod promisimus in hoc capitulo scilicet ostendimus in numeris quod euclides in lineis, et hoc pro omnibus euidentissimis, ideo redibimus ad propositum, scilicet ad demonstrandum ea que continentur in libro mahameleth pro omnibus necessariis.

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Sed quoniam nostra intentio est hic assignare regulas multiplicandi numeros secundum notam, idcirco primum de quo loquimur est capitulum de nota. Hoc enim principium est scientie1 multiplicandi numeros inter se siue magni sint siue parui. Scientia uero multiplicandi numeros inter se origo est tocius arimethice artis.

Primum autem de quo loquimur est capitulum de nota, quod est principium scientie multiplicandi numeros inter se siue sint magni siue parui. Scientia uero multiplicandi numeros inter se origo est2 tocius arimethice3.

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Capitulum de impositione note4. Item aliter de multiplicatione integrorum numerorum inter se absque nota hoc modo eat5 . Scias ergo quia origo numeri unum est, ex quo geminato fiunt duo, qui est primus numerus et minor6. Deinde addito uno duobus facti sunt tres, et sic addito uno et uno numerus crescit in infinitum. Sed quia necesse fuit numeros in se multiplicari, ita disspositi (sic) sunt per ordines. Et unicuique ordini assignauerunt notam per quam dinoscatur. Primum autem ordinem constituerunt ab uno usque ad nouem. Cuius notam posuerunt unum. Si autem aliquid aliud preter unum notam eius ponerent, concederetur, sed unum conuenientius fuit, quoniam unum est primus ordo. Secundum uero ordinem instituerunt a decem usque7 nonaginta. Cuius notam posuerunt duo. Tercium uero ordinem instituerunt a centum usque nonaginta (sic)8. Cuius notam posuerunt tres. Similiter etiam a mille usque ad nouem millia instituerunt quartum ordinem. Cuius notam uocauerunt quattuor. Et quia notam9 primi ordinis posuerunt unum, ideo nota cuiusque ordinis maior est nota precedentis10 ordinis uno11. Et sic uniuscuiusque ordinis ____________________ 1 scientie D P: add. A2 2 origo est A P: add. D2 m.d. 3 Postquam [l. 2b] – arimethice addidi cum D: om. A P 4 Capitulum – note A P: om. D 5 Item aliter de multiplicatione integrorum numerorum inter se absque nota hoc modo eat A: om. D P 6 post minor exp. 7 post usque add. ad P 8 Cuius notam numerus crescit in infinitum D2 (cfr linea 24) 9 notam A P: add. D2 [l. 30] – nongenta A P: add. D2 m.d. nonaginta A: nongenta D P m.d. 10 precedentis A D: precedenti P 11 uno A P: om. D

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nota tantum distat ab uno quantum ipse ordo distat a primo. Vnde significatio note est ostendere in quo ordine fit1 numerus. Si enim eius nota fuerit decem et numerus erit in ordine decimo, si uero undecim erit in ordine ondecimo (sic). Et quandoquidem hoc ita est, ergo inquiram regulam qua2 sciatur ordo numeri, cum numerus fuerit cognitus. Videlicet cum quesitum fuerit hic uel ille numerus in quo ordine est, quomodo sciam si est ordinis sexti uel septimi uel alicuius alterius ordinis. Et e conuerso regulam cognoscendi numerum cognita nota. Dico igitur quoniam primum ordinem posuerunt unorum, secundum uero decenorum, tercium autem centenorum. Et cum transilierunt centenos qui est ordo tercius3, posuerunt quartum millenorum, quintam (sic)4 uero decem milium, sextam (sic)5 autem de centum milibus. Et postquam transsilierunt ordinem sextum, addiderunt prime iterationi unam iterationem, dicentes milies mille qui est septimus ordo. Cum autem transilierunt tres ordines alios, addiderunt unam iterationem. Cum uero transsilierunt6 alios tres ordines, addiderunt unam iterationem. Et sic post tres ordines addiderunt prioribus unam iterationem. Regula de cognoscenda nota cognito numero7. Cum igitur aliquis quesierit milies mille iterata quater que est nota eorum, scilicet in quo ordine sunt8. Nos autem scimus quod post tres ordines semper additur una iteratio, idcirco tunc multiplicabimus numerum iterationis in tres, sicut hic9 quattuor in tres, et fient duodecim qui est numerus omnium ordinum precedentium ordinem in quo sunt milies milia iterata quater. Quibus addito uno fiunt10 tredecim. Differentia igitur milies milium iteratorum quater11 est tredecima. Cuius nota est tredecim. Si autem essent decem milies milia iterata quater 12, adderes13 duo ad duodecim. Si uero essent centum milies milia iterata quater, ad duodecim adderes tres. P

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Similiter de omni proposito poteris scire de qua nota sit. Videlicet ut numerum iterationis semper multiplices in tres, et producto addas numerum differentie, de qua est numerus adiunctus iterationi, et a numero qui inde fit, denominatur nota de qua queritur. Omnis enim iteratio numerorum fit post tercium ordinem, ut post primum qui est digitorum, et secundum qui est decenorum, tercium qui est centenorum, sequitur quartus qui est primus sequentis iterationis. Et quia omnis iteratio numerorum habet tres ordines unorum, decimorum et centenorum, iccirco ordo unorum habet duos ordines ante se decenorum et centenorum. Vnde cum ____________________ 4 quintam A: 1 fit A P: sit D uid. 2 qua A D: que P 3 tercius A2 D P: tercia A1 quintum D P 5 sextam A: sextum D P 6 transsilierunt A: transierunt D P 7 regula – numero P: add. A m.d.: posuit D post eorum (linea 17) 8 scilicet in quo ordine sunt A D: add. P m.s. 9 sunt A P: om. D hic A: hec D P 10 fiunt A: fient D P 11 quater A P: quattuor D 12 iterata quater A: quater iterata D P 13 adderes A P: addes D

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Première partie du Liber mahameleth

multiplicaueris numerum iterationis in tres, colligentur omnes differentie precedentes ipsam, de qua queritur. Vnde si numerus fuerit de unis iterationis, tunc adde producto unum. Si uero fuerit de decenis eius, adde duo, si de centenis eius, adde tres. Intellige et secundum hoc cetera considera1. 5

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ADP Capitulum contrarium priori scilicet regula de cognoscendo numero cognita nota2. Monstrabitur etiam ex primisis3 ut cum quesitum fuerit quattuordecim cuius numeri nota est, modus inueniendi fit per conuersam prioris. Scilicet ut diuidamus quattuordecim per tres4 et exibunt quattuor et remanebunt duo qui sunt nota decenorum. Dicemus igitur quod quattuordecim nota est5 de decem milies mille iteratis quater. Si autem de diuisione remansisset unum, diceremus numerum diuisum notam esse milies milium iteratorum quater. Si uero numerus ille esset diuisibilis per tres, scilicet si numerus esset quindecim uel numerus alius qui diuiditur per tres6, diceremus illum esse notam de centum milies milibus iteratis7 tociens quotiens unitas est in numero exeunte de diuisione minus uno. Sicut cum quindecim diuiditur per tres exeunt quinque, de quibus minue unum et remanent quattuor. Igitur8 quindecim nota est de centum milies mille iteratis quater et similiter in omnibus. DP

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De cognoscendo quilibet numerus cognitus de qua differentia sit9. Si uolueris scire de qua differentia10 sunt tria milia quinquies iterata, multiplica semper numerum iterationis in tres, et prouenient sicut hic quindecim. Quibus adiunge notam trium, scilicet unum, fient sexdecim a quo denominatur differentia quesita. Ad (sic)11 sexta decima igitur differentia est predictus numerus. Similiter si scire uolueris de qua differentia sint decem milia octies repetita, numerum iterationis qui est octo multiplica in tres et fient uiginti quattuor. Quibus adde notam decenorum scilicet duo et prouenient 26. De uicesima sexta igitur differentia est predictus numerus. Item si scire uolueris de qua differentia sunt centum milia iterata sexies, numerum iterationis qui est sex multiplica in tres et fient decem et octo. Quibus adde notam differentie centenorum que est tres. De tercia enim differentia sunt centum et proueniunt uiginti unum. Igitur uicesima12 prima est differentia de qua est predictus numerus. ____________________ 1 Similiter de omni [p. 37, l. 27] – cetera considera om. A D: add. P m.s. 2 Capitulum – 4 per tres A2 D nota A m.d.: om. D 3 ex primisis ( add. etiam A1) A: ex premissis D P 5 est A P: etiam D 6 uel numerus [l. 13] – per tres: praem. tociens P: partes A1 quotiens [l. 15] D 7 post iteratis add. quare ? D 8 igitur A: ergo D P 11 ad false 9 De cognoscendo – differentia sit P: om. D 10 post differentia exp. sit P2 D P in de corrigendum 12 uicesima P: uicesimum D post uicesima exp. differentia P2

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Similiter de omni proposito numero cuius differentie sit scire poteris. Videlicet ut numerum iterationis multiplices semper in tres et producto addas numerum differentie de qua est numerus adiunctus iterationi et a numero qui inde1 fit denominatur differentia de qua queritur. Causa autem huius rei manifesta est ex primo capitulo libri de comparatione numeri. Quoniam omnis iteratio numerorum habet tres differentias unorum scilicet2 et decenorum et centenorum et ideo omnis iteratio3 numerorum fit post terciam differentiam ut post primam que est unorum et secundam que est decenorum et terciam que est centenorum sequitur quarta que est prima sequentis iterationis. Et sic4 omnis differentia unorum habet duas differentias ante se decenorum et centenorum. Vnde cum multiplicaueris numerum iterationis in tres, colligentur omnes differentie que precedunt ipsam de qua queritur. Vnde si numerus fuerit de unis iterationis, tunc adde producto unum. Si uero fuerit de decenis eius, adde duo. Si uero fuerit de centenis eius, adde tres5. Intellige hoc et considera6. ADP

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Capitulum contrarium priori:7 cognita differentia cognoscere quis numerus eius sit8. Si uolueris scire undecim cuius numeri est9 nota, diuide undecim per tres et remanebunt duo qui significant decenos. Tres autem qui exeunt de diuisione sunt numerus iterationis. Dices10 ergo quod undecim est nota decem11 milium ter12 iteratorum. Item si uolueris scire tredecim cuius numeri nota est, diuide tredecim per tres et exibunt quattuor et remanebit13 unum, quod significatiuum est unorum de milibus iteratis quater14. Tredecim igitur nata (sic)15 est16 milium iteratorum quater. Si uolueris scire decem octo cuius numeri nota est, diuide decem et octo per tres,17 exibunt quinque remanentibus tribus qui tres significatiui sunt centenorum. Igitur decem et octo nota sunt centum milium quinquies iteratorum. Similiter facies in omnibus18 ad sciendum numerum, cuius notam19 cognoueris. Scilicet20 diuides semper notam cognitam per tres et quod exerit21 de integris erit numerus iterationis. Quod uero remanserit si fuerit unum22 est significatiuum unorum milium iteratorum tociens quantus est numerus exiens de diuisione. Si uero remanserit duo est significatiuum23 decem milium iteratorum ____________________ 1 qui inde P: quem D uid. 2 unorum scilicet P: add. D2 m.d. 3 omnis iteratio [l. 6] – 6 De ideo omnis iteratio D: add. P m.s. 4 sic P: sicut D 5 tres P: add. D2 s.l. cognoscendo [p. 38, l. 20] – hoc et considera D P: om. A 7 post priori scilicet add. P 8 Capitulum [l. 17] – eius sit A P: om. D 9 est A P: sit D 10 dices A P: dicens D 11 decem A D: om. P 12 ter addidi cum D P: om. A 13 remanebit A D2 P: 14 de milibus iteratis quater A P: om. D 15 nata A: nota D P remanebunt D1 16 est addidi cum D P: om. A 17 post tres add. et D P 18 in omnibus addidi cum D P: om. A 19 notam A P: nota D 20 scilicet A P: secundum D 21 exerit A: exierit D P 22 unum addidi cum D P: om. A 23 est significatiuum A: add. D2 s.l.: significatiuum est D1

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Première partie du Liber mahameleth

tociens quantus est numerus qui de diuisione exiuit1. Si uero nota fuerit diuisibilis per tres, pretermisis (sic) de eo tribus residuum eius diuide per tres, qui tres pretermissi significabunt centum milia tociens iterata quotiens unitas fuerit in numero qui2 de diuisione residui exit. Intellige et considera. 5

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ADP Capitulum de multiplicatione numerorum integrorum inter se secundum notam exceptis compositis3. Cum igitur uolueris4 multiplicare integros numeros exceptis compositis inter se secundum notam, uide quotus sit uterque numerus in suo ordine scilicet an sit secundus uel tercius et inceps5. Et6 numeros denominatos7 suorum locorum inter se8 multiplica et summam inde prouenientem retine. Deinde agrega notas utriusque numeri et de agregatione subtrahe unum9, et quod remanet uide cuius ordinis nota est. Deinde quotiens sit10 digitus in numero retento, si ibi fuerit, pone tociens11 numerum note12, et quotiens fuerit articulus, si ibi fuerit III, pone tociens numerum sequentem notam. Verbi gratia. Si uolueris multiplicare tres in quadraginta, uide quantus13 sit uterque numerus in ordine suo14. Sed tres est tercius in ordine15 digitorum, et quadraginta quartus est in ordine16 articulorum. Multiplica igitur numeros denominatos suorum locorum inter se, scilicet tres in quattuor, et fient duodecim. Hos retine. Deinde agrega notas numerorum que sunt unum et duo, et fiunt tres. De quibus subtrahe17 unum et remanent duo18. Duo autem nota est decenorum19. Quotiens igitur in retento numero fuerit digitus, tociens pone decem20, et quociens articulus, tociens pone numerum sequentem predictam notam qui est centum. Sed in numero retento qui est XII, duo sunt digito21 (sic). Ergo tociens pone decem qui fiunt XX. Et semel est ibi articulus qui est X22, ergo23 tociens pone numerum qui sequitur predictam notam scilicet centum. Ex multiplicatione igitur trium in quadraginta perueniunt24 centum uiginti. Similiter si uolueris multiplicare articulum in articulum, ut triginta in quinquaginta, multiplica numeros suorum locorum, scilicet tres in quinque, et fiunt quindecim. Deinde agrega notas utriusque que sunt duo et duo et fiunt quattuor. De quibus subtrae (sic) I et remanent tres, qui sunt nota centenorum. Sed

____________________ 1 Si uero remanserit [p. 39, l. 33] – exiuit om. P 2 qui exp. P2 3 Capitulum de multiplicatione [l. 6] – compositis: capitulum de multiplicandis ? D al. man. 4 uolueris A P: uoluit D 5 deinceps D P: inceps A 6 post et add. quod D 7 denominatos A D: denominationis P 8 se addidi cum P: om. A D 9 unum A P: numerum D 10 sit A 13 quantus A: D: fuerit P 11 tociens A P: quociens D 12 note A2 D P: ? A1 14 ordine suo A : suo ordine D P 15 in ordine A D: ordinis P quotus D2 P: quantum D1 m.d. 17 ordine D P: add. A2 16 in ordine A P: add. D2 2 1 18 duo A D P: unum D 19 decenorum A: de centenorum D P 20 post decem exp. 21 digito A D: qui fiunt XX et semel est ibi articulus qui est ergo tociens pone numerum D 2 digiti P 22 X A P: om. D 23 ergo A D: igitur P 24 perueniunt A: proueniunt D P

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in quindecim est digitus et articulus. Quociens igitur unitas est in digito, tociens centum, ergo quinque. Semel1 est articulus, ergo tociens2 numerus qui sequitur notam qui est mille. Ex ductu igitur triginta in quadraginta (sic)3 fiunt mille et quingenta. Similiter si uolueris multiplicare articulum in aliquem centenorum, ut uiginti in quingentis, (sed uiginti secundus est in suo ordine et quingenta quintus est 4), multiplica igitur numeros suorum locorum scilicet duo in quinque, et fient X. Deinde agrega notas utriusque numeri que sunt duo et tres, et fiunt quinque. De quibus subtrahe unum et remanent quattuor, que sunt nota milium. Ex ductu igitur uiginti in quingentos fiunt decem5 milia et similiter in aliis. ADP

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Post hec6 de multiplicatione iteratorum milium inter se secundum notam7. Si uolueris multiplicare centum milia ter iterata in quinque milia quater iterata, pone centum milia ter iterata quasi loco unius, (nam in ordine suo talia sunt hec qualis est unus in suo scilicet8 primus9), et quinque milia iterata10 quater pone quasi loco de quinque, (nam quinque milia quater iterata talia sunt in suo ordine quales sunt quinque in suo scilicet quintus numerus11). Deinde multiplica unum in quinque et fient quinque, quos retine in una manu. Deinde accipe notam de quinque milibus quater iteratis que est tredecim et agrega eam ad notam de centum milibus ter iteratis que est duodecim et fient uiginti quinque. A quibus uno reiecto remanent uiginti quattuor. Cognosce ergo cuius numeri nota est uiginti quattuor sicut predictum est, et inuenies per id quod supra ostensum est12 quod est nota centum milium13 septies iteratorum14. De (sic)15 unaquaque autem unitate digiti qui prouenerit sicut hic quinque accipies centum milia septies iterata. Summa ergo que ex multiplicatione prouenit erit quingenta milia septies iterata. Si uolueris multiplicare octo milia quater iterata in quadringenta milia septies iterata, pone octo milia quater iterata quasi octo, et quadringenta milia septies iterata quasi quattuor. Postea multiplica octo16 in quattuor et fient triginta duo, quos retine in manu tua. Deinde notam de octo milibus quater iteratis que est tredecim agrega ad notam quadringentorum milium septies iteratorum que est uiginti quattuor et fient triginta septem. A quibus uno dempto quod remanet uide cuius numeri nota est et inuenies quod triginta sex nota est centum milium undecies iteratarum. Pro unaquaque autem unitate digiti qui17 prouenit, accipe ____________________ 2 tociens D P: add. A2 s.l. 3 quadraginta 1 praem. et D P post semel add. autem A2 s.l. 6 post hec A D: quinquaginta P 4 est A D: om. P 5 decem A2 D2 : quattuor A1 D1 P A: om. D P 7 notam A: notas D P de multiplicatione – notas A P: om. D 8 scilicet addidi cum D P: om. A 9 nam in ordine [l. 14] – primus A D: add. P m.s. 10 iterata A 11 nam quinque [l. 16] – quintus numerus A D: add. P m.s. 12 supra D: add. P2 s.l. ostensum est A P: ostensum est supra D 13 post milium add. ter P 14 septies iteratorum 17 qui D P: A D: iteratorum septies P 15 de A: pro D P 16 octo A P: add. D2 m.s. 2 add. A

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centum milia undecies iterata. Et quotiens decem fuerit in articulo, tociens accipe milies milies duodecies (sic)1 iterata. Sed superius proueniunt2 triginta duo. Et quia in digito sunt due unitates et in articulo ter denarius, tunc summa que ex predictorum multiplicatione prouenit est tria milia duodecies iterata et ducenta milia undecies iterata. ADP

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Capitulum de assignandi (sic)3 causa propter quam minuitur unum de nota4. Postquam autem premissimus id quod dictum est de cognoscenda nota numerorum et de regula multiplicationis numerorum secundum notam5, dicam nunc causam propter quam minuitur unum de duabus notis duorum numerorum inter se multiplicatorum sibi agregatis, et quod remanet est nota producti ex eis, scilicet cum6 unusquisque numerorum inter se multiplicatorum fuerit primus omnium numerorum sui ordinis7, sicut unus uel decem sunt primi in ordinibus suis8, similiter etiam9 productus ex illis erit primus numerorum sui ordinis. Deinde dicam10 qualiter erit agendum cum ita non fuerit scilicet cum unusquisque numerorum inter se multiplicatorum non fuerit primus, uel (sic)11 tercius uel quartus et deinceps in ordine suo. Similiter12 etiam13 ostendam qualiter sit14 productus ex eis. Deinde etiam dicam qualiter erit agendum cum uolueris multiplicare quemlibet numerum in se siue sit primus siue secundus siue tercius uel deinceps in ordine suo. Et apponam probationes omnium que dixero necessarias15. Ponam igitur de unoquoque ordine primum numerum scilicet de primo ordine unitatum unum. De ordine uero decenorum decem. De centenis uero centum et de millenis mille, et sic de singulis ordinibus primum quousque uoluero. Sit16 igitur unum17 a, decem uero b, sed centum sit g, mille uero sit d, h uero sit decem milia, z uero sit centum milia, k autem sit milies milia, t uero decem milies mille, q autem centum milies mille, l autem sit milies milies mille18. Patet igitur quod numeri isti consecuntur se ab uno usque ad ultimum proporcionaliter. Comparatio igitur unius quod est a ad b est19 sicut comparatio de b20 ad g, et sicut comparatio de g ad d, et sicut comparatio de d ad h, et sicut comparatio de h21 ad z, et sic de aliis consequenter usque ad l. Patet etiam quod si aliquis istorum numerorum multiplicetur in quemlibet aliorum productus ex eis

____________________ 1 duodecies false A D P in undecies corrigendum 2 proueniunt A: prouenient D: prouenerant P 3 assignandi A: assignanda D P post assignanda exp. nota P2 4 Capitulum – de nota om. D 5 et de regula – notam A: et de multiplicatione numerorum secundum notam D: regula de multiplicatione scilicet numerorum secundum notam add. P 7 sui ordinis A P: add. D2 m.s. 8 sicut unus [l. 13] – m.s. 6 cum A P: add. D2 s.l. suis A D: add. P m.s. 9 emendaui et quod fallaciter A P post etiam posuerunt 10 dicam 13 etiam A P: et D iter. P 11 uel A: sed P: om. D 12 similiter A P: add. D2 m.s. 15 necessarias A2 D2 P: necessaria A1 D1 16 sit A P: si D 14 post sit exp. similiter D2 2 18 l autem autem sit milies (milie D1) milies mille A P: add. D2 s.l. 17 unum D P: add. A 19 est A P: om. D 20 b A D: h P 21 h A1 D P: b A2

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erit unus ex his uel alius consequens istos eadem proportione qua isti scilicet primus sui ordinis. Cum enim fuerint aliqui numeri incipientes ab uno consequentes se proporcionaliter, tunc minor numerat maiorem secundum aliquem numerum in illa proportionalitate dispositum sicut dixit euclides in nono1 libro theoremate XII°2. Scimus autem quod nota de a est unum. Nota autem de b est duo, nota autem de g est tres. Et sic nota uniuscuiusque ordinis superat notam precedentem uno. Si igitur aliquis istorum numerorum multiplicetur in alium aliquem eorum, ut pote, si d multiplicetur in k et proueniat inde m, scimus quod hic m est aliquis istorum3 prepositorum numerorum uel alius ab eis qui inde est eis proportionalis, sicut est a ad b. Ignoramus autem cuius ordinis est productus, sed cum cognouerimus notam eius, sciemus cuius ordinis sit, sicut supra ostendimus. Dico igitur quod ex ductu d in k prouenit m. k igitur numerat m quotiens unum est in d. Vnum autem numerat d quotiens unum est in eo. Igitur comparatio unius quod est a ad d est sicut comparatio k ad m. Habemus igitur k et m proporcionalia sibi sicut a et d. Interueniunt4 autem duo numeri inter a et d, et5 fiunt omnes proportionales similiter. Similiter igitur interueniunt6 duo numeri inter k et m consequentes se eadem proportione cum illis7, sicut euclides dixit in octauo octaui. Quandoquidem autem ita est, tunc necesse est ut tantum distet d ab a, quantum distat m a k. Supradiximus autem notas8 istorum ordinum9 uincere10 se uno. Et accepimus duos numeros qui eque distant ab estremis. Tunc id quod fit ex agregatis extremis equum est ei quod fit ex agregatis ipsis duobus numeris, sicut in premisis ostendimus. Quod igitur prouenit ex agregatis notis d et k equum est ei quod prouenit ex agregatis notis de a et m. Id autem quod prouenit ex agregatis notis d et k est undecim. Ergo ex agregatis notis de a et m prouenit undecim. Subtracta autem de undecim nota de a que est unum remanebunt decem que est nota de m. m igitur est primus numerus qui est in ordine decimo. Et hoc est quod monstrare uoluimus. Superius docuit de multiplicatione ipsorum limitum inter se sicut in subiecta figura. Amodo docet de multiplicatione eorum que in ordinibus ipsorum limitum continentur11 secundo uel tercio uel quarto gradum, et deinceps que dant12 duppla uel trippla uel quadruppla limitum ut triginta ad decem et tria milia ad mille, et sic in ceteris13.

____________________ 1 nono A P: add. D2 m.d. 2 xii° A P: add. D m.d. theoremate xii° A D: add. P m.d. 3 istorum A D: om. P 4 interueniunt A D: interuenerunt P 5 post et add. in D 8 notas A D: 6 interueniunt A: interuenient D: interuenerunt P 7 cum illis iter. D1 notis P 9 ordinum A P: ordinem D 10 uincere eras. A uid. P 11 continentur A P: continetur D 12 dant A P: dicunt D 13 Superius [l. 29] – ceteris A D: add. P m.d.

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Fig.21: A, fol.107 v; D, fol.7 r s; P, fol.30 r d.

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Manifestum est1 igitur ex premisis regulis quod si uolueris multiplicare ut tria milia in quattuor milies mille2, tripplum de d3 in quadruplum de k. Sic facies. Scimus enim quod ex ductu d in k prouenit m. Ergo ex quadrupplo de k ducto in tripplum de d proueniet4 duodecuplum de m. Omnium enim duorum numerorum compositorum comparatio inter se composita est ex duabus comparationibus suorum laterorum ex quinto octaui5. Duodecuplum autem de m est unum in ordine sequenti et dupplum de m. Primus enim numerus cuiusque ordinis decuplus est precedentis. De multiplicatione cuiuslibet limitis in se6. Manifestum est etiam ex premisis quod si uolueris aliquem prepositorum numerorum multiplicare in se, duplabis notam eius et de summa minues unum, et quod remanet erit nota quadrati illius numeri7. De multiplicatione articulorum in se8. Si autem triplum eius uolueris multiplicare in triplum eius, proueniet sicut preostensum est nocuplus quadrati eius. Omnium enim duorum quadratorum proportio unius ad alterum est proportio lateris unius ad latus9 alterius dupplicata ex VIIII° octaui10. ____________________ 2 ut tria – mille A D: add. P m.d. 3 multiplicare ut tria [l. 1] – de 1 est D P: add. A2 d A P: multiplicare tripplum de d ut tria milia in quatuor milies mille D 4 proueniet A2 D P: 1 5 ex quinto octaui A: add. D m.s. P m.d. 6 De multiplicatione – se A: om. prouenit A D: add. P m.d. 7 illius numeri A D: numeri illius P 8 De multiplicatione articulorum in se A: om. D P 9 latus A D: om. P 10 ex viiii° octaui A: add. D m.s. P m.d.

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De multiplicatione articulorum in alios articulos eiusdem limitis1. Si autem duplum eius2 uolueris multiplicare in triplum eius, proueniet sexcuplus quadrati eius. Vel si quincuplum eius in triplum eius proueniet quindecuplus quadrati eius qui est unus uel primus3 in ordine sequenti ordinem4 quadrati et quincuplus quadrati. Item secundum alium actorem breuius5. Causa propter quam minuitur unum de notis6 duorum numerorum inter se multiplicatorum hec est. Multiplicare enim numerum in numerum7 hoc est tociens repetere multiplicandum quociens unitas fuerit in multiplicante8. Cum igitur uis multiplicare9 centum in decem, nichil aliud10 uis nisi tociens iterare centum quociens unitas est in decem, igitur decies. In decem enim decem unitates11 sunt. Talis est12 comparatio unius ad decem qualis est comparatio13 de centum ad quesitum. Sunt igitur quattuor numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu primi qui est unus in quartum qui est quesitum equum est ei quod fit ex ductu secundi qui est14 decem in tercium qui est centum ex XVIIII° septimi15. Et quia tantum fit ex ductu primi in quartum quantum ex ductu secundi in tercium profecto16 sequitur ut nota unius producti sit equalis nota (sic)17 alterius producti. Hoc nondum probatum est18. Note igitur primi et quarti simul iuncte equales sunt notis secundi et tercii simul iunctis. Nota enim producti sumpta est ex notis19 numerorum inter se multiplicatorum. Cum igitur manifestum sit notas primi et quarti simul acceptis20 equari notis secundi et tercii simul acceptis, ergo cum minueris notam primi qui est unum de notis secundi et tercii, remanebit nota quarti qui queritur. Ideo igitur sic agendum est ut semper minuas unum de duabus notis duorum numerorum inter se multiplicatorum, et remanebit nota21 producti ex ductu unius in alterum, et hoc est quod monstrare uoluimus. Vnde22 manifestum est quod si nota digitorum esset duo et nota cuiusque ordinis iunceret precedentem23 duabus, tunc de duabus notis24 duorum numerorum inter se multiplicatorum minueres duo qui sunt25 nota digitorum. Si autem nota digitorum esset tres et nota cuiusque ordinis iunceret precedentem26 tribus, tu quoque de duabus notis duorum numerorum inter se multiplicatorum minueres tres, qui sunt nota digitorum. Non enim minuimus notam primi, nisi ut remaneat nota quarti qui queritur. Si autem uelles multiplicare numerum in se, dupplares notam eius et de summa minueres notam digitorum. Cetera autem sic considera, et ita inuenies27. ____________________ 1 De multiplicatione – limitis A P: om. D 2 eius A D: ei P 3 qui est unus uel primus (uel primus add. P m.s. ) A P: uel primus qui est numerus D 4 ordinem addidi cum D P: om. A 5 Item – breuius posuit D post «ita inuenies» (l. 33) 6 notis A D2 P: notas D1 7 in numerum addidi cum D P: om. A 8 multiplicante A P: multiplicare D 9 post multiplicare 11 unitates A D2 P: unitas D1 12 post est exp. unum in decem P2 10 post aliud exp. est P2 add. igitur D P 13 est comparatio A D: comparatio est P 14 est D P: add. A2 15 ex xviiii° septimi A: add. D m.d. P m.s. 16 profecto A P: om. D 17 nota A: note D P 18 Hoc nondum probatum est D: add. A m.d. P m.s. est A P: om. D 19 notis A2 D P: nota A1 uid. 20 acceptis A D: accepta P 21 post nota exp. pro duo de duabus notis duorum numerorum D2 2 22 post unde exp. nota D 23 precedentem A D: precedente P 24 notis A2 D P: notas A1 2 uid. 25 post sunt exp. duo D 26 precedentem A D: precedente P 27 post inuenies add. ? A2 s.l.: add. item secundum alium (b exp.) actorem breuius D (cfr l. 6)

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Item aliter. De multiplicatione integrorum numerorum inter se absque nota hoc modo1. Cum digitum in aliquem articulorum qui sunt usque ad centum multiplicare uolueris, figuram in figuram multiplica. Et quotiens fuerit unitas in digito qui prouenerit, tociens erit decem. Et quociens decem in articulo, tociens erunt centum. Verbi gratia. Cum multiplicare uolueris septem in septuaginta, multiplica septem in septem et prouenient quadraginta nouem. In quadraginta autem qui est articulus quotiens2 est decem ergo tociens centum qui sunt quadrigenti3. In digito uero qui est nouem, nouies est unitas, ergo tociens decem qui sunt nonaginta. Ex ductu igitur septenarii in septuaginta proueniunt quadrigenti4 nonaginta. Et ita fiet semper cum digitus multiplicatur in aliquem articulorum qui sunt usque ad centum. Cum digitum in aliquem5 centenorum multiplicare uolueris, figuram in figuram multiplica. Et quociens fuerit unitas in digito qui prouenerit, tociens erit centum. Et quotiens decem in articulo, tociens mille. Verbi gratia. Cum multiplicare uolueris septem in trescentos, multiplica septem in tres et fient uiginti unum. Bis autem est decem in articulo qui est uiginti, ergo tociens mille. Et semel est unitas in digito qui est unum, ergo tociens centum. Ex ductu igitur septenarii in trescentos proueniunt duo milia et centum. Et ita fiet semper cum multiplicatur digitus in aliquem centenorum. Cum digitum in aliquem millenorum uel quotienslibet milium iteratorum multiplicare uolueris, figuram in figuram multiplica, et digitum si prouenerit pone in differentia multiplicantis, articulum uero in sequenti. Verbi gratia. Si uolueris multiplicare sex in triginta milia, multiplica sex in tres et prouenient6 decem et octo. Digitus (sic)7 ergo qui est octo pone in differentia multiplicantis qui8 est sex et articulum qui est decem in sequenti. Fient igitur centum octoginta milia. Et ita in omnibus consimilibus. De multiplicatione articulorum in se et inter se et in centenos et millenos9. Cum multiplicaueris10 in articulum in se uel in alium (sic)11 de his qui sunt ad (sic)12 decem usque ad centum, figuram in figuram multiplica. Et quotiens fuerit unitas in digito, tociens erit centum. Et quotiens decem in articulo, tociens mille. ____________________ 1 Item – modo A D : Item aliter multiplicatione integrorum numerorum inter se absque nota hoc modo add. P m.d. post modo add. regule de multiplicatione digitorum in articulos, limites et compositos P 2 quotiens addidi cum D P: om. A 3 quadrigenti A: quadringenti P: quadragenti D 4 quadrigenti A: quadringenti P: (quadragentuma D1) quadragenti D 6 prouenient A P: prouenit D 7 digitus A D1 P: 5 post aliquem exp. articulorum D2 2 1 2 8 qui A D P: que A 9 De multiplicatione – et millenos A P: om. D digitum D 10 multiplicaueris A2 D P: multiplicare A1 11 in articulum in se et millenos P: add. A2 uel in alium A: articulum in se uel in alium articulum D P 12 ad A D: a P

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Verbi gratia. Si multiplicare uolueris triginta in septuaginta, multiplica tres in 1 septem et prouenient2 uiginti unum. Bis est autem decem in articulo qui est uiginti, ergo tociens mille. Et semel est unitas in digito qui est unum, ergo tociens centum. Igitur ex triginta ductis in septuaginta, proueniunt duo milia et centum. Similiter in omnibus huiusmodi. Cum multiplicaueris aliquem articulorum qui sunt ad (sic)3 decem usque ad centum4 in aliquem centenorum, qui sunt usque ad mille, figuram in figuram multiplica. Et quotiens unitas fuerit in digito qui prouenerit5, tociens6 erunt mille. Et quociens decem in articulo, tociens decem milia. Verbi gratia. Si multiplicaueris triginta in quingentos, multiplica tres in quinque et fient quindecim. In articulo autem non est nisi semel decem. Ergo sunt decem milia. In digito uero est quinquies unitas. Igitur sunt tociens milia. Ex multiplicatione igitur predictorum proueniunt quindecim milia. Similiter agendum est in7 omnibus consimilibus. Cum multiplicaueris aliquem articulorum in aliquem millenorum, uel quotienslibet repetitorum milium, multiplica figuram in figuram. Et digitum si prouenerit pone in differentia secunda a multiplicante, articulum uero in tercia differentia ab ipso. Verbi gratia. Cum multiplicaueris triginta in quattuor milia, multiplica figuram in figuram, scilicet tres in quattuor, et fient duodecim. Duo igitur qui est digitus pone in differentia secunda a8 multiplicante qui est quinta9 et est decem milium. Et articulum qui est decem, pone in differentia tercia a multiplicante que est hic sexta et est centum milium10, et fient11 centum uiginti milia. De multiplicatione centenorum inter se et in millenos12. Cum multiplicaueris inter se centenos qui sunt usque ad mille, multiplica figuram in figuram. Et quotiens fuerit unitas in digito qui prouenerit, tociens erunt decem milia. Et quociens decem in articulo, tociens centum milia. Verbi gratia. Cum multiplicaueris trescentos in quingentos13, multiplica tres in quinque, et fient quindecim. Quinquies autem est unitas in digito, tociens igitur sunt decem milia. Et semel est decem in articulo, tociens igitur est centum milia. Ex ductu ergo trescentenorum in quingentos proueniunt centum quinquaginta milia. Similiter in omnibus huiusmodi. Cum multiplicaueris aliquem centenorum in aliquem millenorum uel quotienslibet sepe iteratorum milium, figuram in figuram multiplica. Et digitum si prouenerit pone in differentia tercia a multiplicante, articulum uero in quarta ab eo.

____________________ 1 in D P: add. A2 2 prouenient A P: proueniunt D 3 ad A: a D P 4 ad centum 5 prouenerit A: prouenit D P 6 tociens A2 D P: quociens A1 A P: add. D2 m.s. 7 in A: om. D P 8 a A P: secundum D uid. 9 qui est quinta A P: que est ita D 10 Et articulum [l. 22] – milium A P: multiplicante que est hic sexta et est centum milium et 11 fient A D: fiunt P articulum qui est decem (centum D1) pone in differentia tercia D 12 De multiplicatione – millenos A P: om. D 13 post quingentos add. et D P

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Verbi gratia. Cum multiplicaueris ducenta in quinquies milies milia, multiplica duo in quinque. Et quoniam articulo1 tantum prouenit, ponatur in quarta differentia a multiplicante que (sic)2 est quinquies milies3 mille qui est hic4 in decima differentia et prouenient milies milies mille. 5

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DP Capitulum de scientia multiplicandi differentias secundum regulas5. Cum multiplicaueris digitum in articulum, pro unicuique unitate digiti qui prouenerit erunt tot denarii. Et quotiens decem fuerit in articulo, tot erunt centenarii. Cum multiplicaueris digitum in aliquem centenorum, pro unaquaque unitate digiti erunt tot centenarii, et quotiens decem in articulo, tociens erit mille. Cum multiplicaueris articulum in articulum, quotiens unitas fuerit in digito, tociens erit centum. Et quotiens decem in articulo, tociens erit mille. Cum multiplicaueris articulum in aliquem centenorum, quotiens fuerit unitas in digito, tociens mille et quotiens decem in articulo tociens decem milia. Cum multiplicaueris centena inter se quot unitates fuerint in digito, tociens erunt decem milia. Et quotiens decem in articulo, tociens centum milia. In his autem regulis, hoc obserua ut numerorum figuras in figuras multiplices et productorum digitos uel articulos si prouenerint pro decem uel centum uel mille computes, ut predictum est6. ADP Ex multiplicatione additi in additum non prouenit nisi additus. Ex multiplicatione additi in diminutum non prouenit nisi diminutus. Ex multiplicatione uero diminuti in additum diminutus. Ex multiplicatione diminuti in diminutum non prouenit nisi additus7.

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De multiplicatione compositorum ex digito et articulo inter se8. Cum uolueris multiplicare tresdecim in quattuordecim, multiplica decem in decem, et proueniunt centum. Deinde tres in decem et fient triginta. Deinde quattuor in decem et prouenient quadraginta. Deinde quattuor in tres et fient duodecim. Deinde agrega hec omnia in manu tua. Agregationis autem mille fit in una manu, digiti uero et articuli in altera manu. ____________________ 2 que A: qui D P 3 quinquies milies D P: 1 articulo A2 D P: articulus A1 uid. 4 hic A D: add. P m.d. 5 Capitulum de quinquies milis A1: milies milies A2 uid. scientia – regulas P: Capitulum de scientia et multiplicandi differentia secundum regulas add. D2 super textum 6 Capitulum de scientia [l. 6] – predictum est addidi cum D P: om. A 7 Ex multiplicatione [l. 21] – additus iter. P 8 De multiplicatione – inter se A P: om. D

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Vel1 multiplica hic2 decem in decem et postea agrega quattuor et tres et fient septem. Quos3 multiplica in articulum qui est hic4 decem, et fient septuaginta. Deinde multiplica tres in quattuor et fient duodecim. Que omnia simul agrega et prouenient5 summa quam queris6. Hec autem regula non est nisi cum idem fuerit articulus in utroque numero sicut hic7. De multiplicatione compositi ex digito8 et articulo in articulo (sic)9 tantum10. Cum uolueris multiplicare triginta octo in quadraginta, uel multiplica ea sicut predictum est, scilicet octo in quadraginta et triginta in quadraginta, uel quia scis quod triginta octo sunt quadraginta minus duobus, tunc multiplica quadraginta minus duobus in quadraginta hoc modo. Scilicet multiplica 40 in 40, et prouenient mille sexcenta. Deinde multiplica duo que desunt in 40 et prouenient octoginta diminuta. Quos minue de mille et sexcentis additis, et remanebunt mille quingenta uiginti, et hoc est quod ex multiplicatione prouenit. De multiplicatione compositorum ex diuersis digitis et articulis11. Si uolueris multiplicare septuaginta nouem in triginta duo, multiplica ea quasi octoginta minus uno in triginta duo scilicet multiplica octoginta in triginta duo et prouenient duo millia et quingenta et12 sexaginta. A quibus minue productum ex multiplicatione unius diminuti in triginta duo13, et remanebunt duo millia quingenta uiginti octo. Item si uolueris multiplicare septuaginta nouem in quinquaginta octo, multiplica ea quasi octoginta minus uno in sexaginta minus duobus. Videlicet multiplica octoginta in sexaginta et prouenient quattuor milia octingenta. Deinde unum demptum multiplica in sexaginta et fient sexaginta dempta. Deinde multiplica duo dempta in octoginta et prouenient centum sexaginta dempta. Quibus agrega sexaginta dempta et fient ducenta et uiginti dempta. Quos minue de quattuor mille et octingenta, et remanent quattuor milia quingenta et14 octoginta. Deinde multiplica unum15 demptum in duo dempta et fient duo additi. Quos adde priori summe et quod ex predictorum multiplicatione prouenit est quattuor mille et quingenta et octoginta duo. De multiplicatione compositorum ex eodem limite et diuersis articulis16. Si uolueris multiplicare trescenta uiginti in sexcentum quadraginta, multiplica trescenta in sexcenta et prouenient centum octoginta milia, quos retine in una manu. Deinde multiplica trescenta in quadraginta et prouenient duodecim milia. ____________________ 1 uel A D: uidelicet P 2 post hic exp. in P2 3 quos A D: quas P 4 articulum qui 5 prouenient A P: proueniet D est hic A D: add. P m.d. post hic exp. altera manu D2 7 numero sicut hic D P: add. A m.d. 8 digito A D: digiti P 6 queris A P: add. D2 m.s. 9 articulo A uid.: articulum D P 10 De multiplicatione – tantum D P: add. A m.d. 11 De multiplicatione – et articulis: om. D: add. A m.d.: De multiplicatione compositorum ex 12 et A P: om. D 13 post duo add. diuersis digitis et articulis (et articulis om. P1) P scilicet triginta duo D P 14 et iter. D 15 unum A D: om. P 16 De multiplicatione – articulis P: om. D: add. A m.d.

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Première partie du Liber mahameleth

Deinde multiplica sexcenta in uiginti et prouenient duodecim milia. Deinde multiplica 40 in 20 et prouenient octingenta. Que omnia agrega et agregationis summa est1 ducenta milia et quattuor milia et octingenta, et hoc est quod ex 2 multiplicatione prouenit. 5

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De multiplicatione eiusdem compositi in se, sed compositi ex eodem limite et eodem articulo3. Si uolueris multiplicare trescenta nonaginta in trescenta nonaginta uel multiplica ea ad modum priorum, uel multiplica ea quasi quadrigenta4 minus decem in quadrigenta5 minus decem. Videlicet multiplica quadrigenta6 in quadrigenta7 et prouenient8 centum sexaginta milia. Deinde multiplica decem que desunt bis in quadrigenta9 et prouenient10 octo milia dempta. Quos minue de centum sexaginta milibus et remanent centum quinquaginta duo milia. Deinde multiplica decem dempta in decem dempta et prouenient centum addita, que agrega priori summe, et erit summa tocius multiplicationis centum quinquaginta duo milia et centum. Et hoc est quod ex multiplicatione prouenit. De multiplicatione compositorum ex limite et articulo et digito inter se11. Si uolueris multiplicare septingenta et uiginti octo in XL (sic)12 et sexaginta quattuor in hac questione et in consimilibus, necesse est numeros describere qui prouenient tibi, eo quod manus non possunt omnes retinere. Vnde cum uolueris eos13 multiplicare, pone questionem in duobus ordinibus. Deinde multiplica unumquemque numerum uniuscuiusque ordinis in unumquemque numerum alterius14 ordinis, scilicet multiplica quadringenta in sexcenta (sic)15 et proueniunt ducenta et octoginta16 milia. Deinde quadringenta multiplicabis in uiginti octo, et prouenient undecim milia et ducenta et hec omnia scribe. Vnusquisque autem numerus ponatur cum numero sui generis17. Deinde multiplica sexaginta quattuor in septingenta et prouenient quadraginta18 quattuor milia et octingenta19. Deinde multiplica uiginti octo in sexaginta quattuor, sicut predictum est in multiplicatione digitorum et decenorum inter se. Quorum summam agrega in manibus tuis, que erit mille septingenta et nonagenta20 duo. Quos describe et sit unusquisque numerus cum numero sui generis sicut predixi. Deinde agrega illud totum scilicet post (sic)21 digitos digitis post decenos decenis postea centenos centenis ad

____________________ 3 De multiplicatione [l. 6] – eodem articulo P: 1 est A P: om. D 2 ex D P: add. A2 2 4 quadrigenta A: quadragenta D: quadraginta P add. A m.d.: add. D super textum 5 quadrigenta A D: quadringenta P 6 quadrigenta A: quadragenta D: quadringenta P 7 quadrigenta A: quadringenta D P 8 prouenient A P: proueniunt D 9 quadrigenta A: quadragita D: quadringenta P 10 prouenient A P: proueniunt D 11 De multiplicatione – inter se A P: om. D 12 xl A: quadringenta P: quadrigenta D 13 eos A P: om. D 14 alterius A P: aliterius D 15 sexcenta A D1 P: septingenta add. D2 m.d. al. 18 et man. 16 octoginta A D: quadraginta P 17 generis A2 D P: ordinis A1 prouenient quadraginta A D: om. P 19 post octingenta exp. milia A D P 20 nonagenta A: nonaginta D P 21 post A: prius D P

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ultimum millenos millenis, postea decies mille, et secundum hoc facies agregationem et multiplicationem in ceteris omnibus.

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De multiplicatione limitis in compositum ex articulo et1 digito2. Si3 uolueris multiplicare nonagenta4 in (sic)5 nonaginta6 nouem inter se uel7 multiplica ea ad modum priorum uel multiplica ea quasi mille minus uno in mille minus uno hoc modo. Scilicet multiplica mille in mille, et prouenient milies mille. Deinde multiplica unum deptum in mille et erit unum mille demptum. Deinde multiplica mille in unum demptum et erit unum mille demptum. Quem agrega priori mille dempto et8 fient duo millia dempta que minue de milies mille et remanebunt noncenties millia9 et nonagies octies mille. Deinde multiplica unum demptum in unum demptum et proueniet unus additus. Quem agrega priori summe et erit summa que ex tota multiplicatione prouenit noncenties milia et nonaginta octo milia et unum. Et hoc est quod requiris. De multiplicatione milium inter se10. Si uolueris multiplicare mille in mille, dic milies mille. Si autem uolueris multiplicare milies11 mille in mille, dic milies milies mille ter12. Et sic semper facies13 in multiplicando milia inter se uel cum14 aliis numeris ut milies mille15 in centum fiunt16 centum milies mille17, et sic in ceteris huiusmodi. Et18 tanta erit semper19 multiplicatio milium simplicium quanta fuerit agregatio uel iteratio suorum nominum. Si autem20 uolueris multiplicare sex milies milies milia in septem milies milia, multiplica sex in septem et prouenient quadraginta duo. Quibus appone iterationem dimissam, scilicet iteratum mille, et fient21 quadraginta duo milia quinquies iterata22. ADP Si autem uolueris multiplicare centum milies milia iterata ter et uiginti milia et sex in quinquaginta milies milia bis iterata et centum milia, sic23 facies. Pone multiplicandum numerum in uno latere et multiplicantem in alio24 hoc modo. centum milia iterata ter | uiginti milia | sex quinquaginta milies milia25 | centum milia ____________________ 1 et A P: in D 2 De multiplicatione – et digito P A m.s. : om. D 3 post si exp. quis 4 nonagenta A: nongenta D P 5 in false A D P in et corrigendum 6 uel A P: D2 7 nonaginta A2 D P: nonagenta A1 8 et A P: add. D2 m.s. add. D2 m.s. 9 millia A D : om. P 10 De multiplicatione milium inter se A P: om. D 11 milies A D 12 ter A P: add. D2 m.s. 13 facies addidi cum D P: om. A 14 cum P2: millea P1 addidi cum D P: om. A 15 mille addidi cum D P: om. A 16 fiunt A P: om. D 17 mille addidi cum D P: fuerit A 18 et A: quia D P 19 semper A P: add. D2 m.s. 2 21 fient A: fiunt D P 22 Si autem [l. 22] – iterata A P: om. D 20 autem D P: add. A 23 sic A P: sicut D 24 post alio add. sicut prediximus D P 25 post milia add. iterata bis A2

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Multiplica igitur quinquaginta milies milia bis iterata in sex, et prouenient trescenta milies milia. Deinde multiplica quinquaginta milies milia in uiginti milia et prouenient milies milia iterata quater. Postea multiplica quinquaginta milies milia1 in centum milies milia ter iterata et prouenient quinque milies milia2 iterata sexies. Deinde multiplica3 centum milia in centum milia ter iterata et prouenient decem milia iterata quinquies. Deinde multiplica centum milia in uiginti milia et fient duo milia ter iterata. Deinde multiplica sex in 4 centum milia et prouenient sexcenta milia. Deinde agrega omnia et summa que ex agregatione excreuerit est id quod ex suprapositorum numerorum multiplicatione prouenit, scilicet quinque5 milies milia iterata sexies et decem milia iterata quinquies et milies milia iterata quater et duo milia iterata ter et 6 trescenta milies milia et sexcenta milia. Similiter facies in omnibus figuris consimilibus scilicet multiplicabis unumquemque numerum uniuscuiusque ordinis in singulos numeros alterius ordinis et omnia que proueniunt7 agregabis. Et agregatum est id quod ex tota multiplicatione prouenit. Cuius rei probatio hec est. Sint centum milies milia iterata ter8 ab. Viginti autem9 milia sint bg, sex uero gd. Deinde quinquaginta milies milia iterata bis sint hz, sed centum milia zk. Volo autem scire quomodo ad multiplicetur in hk. Dico igitur quia id quod fit ex ductu ad in hk equum est eis que fuerint10 ex ductu hz in ab et11 hz in bg et ex hz in gd, et cum eo quod fit ex ductu zk in ab et ex zk in bg et12 zk in gd. Cuius probatio hec est. Scimus enim ex primo secundi euclidis13 quia id quod fit ex ductu hk in ad equum est ei quod fit ex ductu hz in ad et ex zk in ad. Id autem quod fit ex ductu hz in ad equum est eis que fiunt14 ex ductu hz in ab et ex hz in bg et ex hz in gd. Similiter etiam monstrabitur quia id quod fit ex ductu zk in ad equum est ei quod fit ex ductu zk15 in ab et ex zk in bg et ex zk in gd. Igitur id quod fit ex ductu hk in ad equum est ei quod fit ex ductu hz in ab et ex hz in bg et ex hz in gd et ex zk in ab et ex zk in ab (sic)16 et ex zk in gd17. Et hoc est quod monstrare uoluimus. Et secundum hanc probationem probabis in consimilibus.

Fig.22: A, fol.110 r; D, fol.16 v d; P, fol.36 r d.

____________________ 1 milia A D2 P: mille D1 2 post milia exp. a D2 3 multiplica A2 D P: multiplicata A1 2 2 1 4 in A P: add. D s.l. 5 quinque A D P: ? A 6 et addidi cum D P: om. A 9 post autem exp. 7 proueniunt A: prouenerit D: prouenit P 8 ter A2 D P: ut A1 uid. 10 fuerint A: fiunt P: fuerit D 11 et om. D: post et add. ex D P 12 post et a D2 add. ex D P 13 ex primo secundi euclidis A D: add. P m.d. 14 post fiunt add. et P D2 s.l. 15 zk A2 D P: zh A1 16 ab A2: bg D P: gd A1 17 gd A2 D P: ab A1

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ADP

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Si autem uolueris multiplicare quattuor milia in sex milia, reiecto de utroque hoc nomine mille, remanebunt quattuor et sex. Quorum alterum multiplica in alterum et prouenient uiginti quattuor. Deinde multiplica mille in mille et proueniet1 quantum est summa agregationis nominum, scilicet milies mille. Quos adde ad uiginti quattuor et fient uiginti quattuor milies mille, et hec est summa quam requiris2. Si autem uolueris multiplicare septem milia in duo milia, multiplica duo in septem et fient quattuordecim. Quibus adiunge nomina milium et fient quattuordecim milies mille. Si uolueris multiplicare decem milia in decem milia, reiecto utroque nomine milium, remanebit multiplicare decem in decem et fient centum. Cui adde in utroque nominum (sic)3 milium et4 fient centies milies mille. Et hec est summa que ex eorum multiplicatione prouenit. Si uolueris multiplicare sex milia in quadraginta milia, reice nomen iteratum. Deinde multiplica quadraginta in sex et prouenient ducenta quadraginta. Quorum utrique adde nomen iteratum de mille et fiet summa ducenta milies mille et quadraginta milies mille. ADP

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Si autem uolueris centum milies mille iterata ter multiplicare in quinque milies milia iterata quater, aut fac sicut predocuimus aud sicut (sic)5. Nos6 scimus quod centum milies7 milia iterata ter proueniunt ex multiplicatis centum in milies 8 milia iterata ter. Et quinque9 milia iterata quater proueniunt ex multiplicatis quinque in milies milia iterata quater. Volumus igitur centum multiplicare in milies milia iterata ter, et quinque in milies milia iterata quater, et productum in productum. Id autem quod fit ex centum ductis in milies milia iterata ter, et quod fit ex quinque ductis in milies milia iterata quater, et quod fit ex ductu producti in productum, hoc totum simul equum est et10 ei quod fit ex11 quinque ductis in centum et ei quod fit ex milies mille iteratis ter ductis in milies milia iterata12 quater, et ei quod fit ex ductu producti in productum omnibus simul acceptis. Sed milies milia iterata ter et milies milia iterata quater sunt milies milia iterata septies. Quinque uero ducti in centum fiunt quingenti. Igitur multiplica quingentos in milies milia13 iterata septies. Videlicet agrega nomina eorum et prouenient quingenta milies milia iterata septies. Et hoc est quod uoluisti.

____________________ 1 proueniet A P: prouenient D 2 requiris A P: queris D 3 in utroque nominum A D uid.: utrumque nomen P 4 et A D: om. P 5 aud sicut A: aut sic D P 6 post nos 7 milies A2 D P: ? A1 8 post milies exp. a D2 9 quinque iter. A1 exp. is P1 uid. 10 et A: add. D2 s.l. P2 s.l. 11 ex addidi cum D P: om. A 12 post iterata 2 13 milia A2 P: milies A1: om. D exp. a D

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Première partie du Liber mahameleth

ADP Si uolueris quindecim milia multiplicare in1 quindecim milia, multiplica quindecim in quindecim et prouenient ducenta uiginti quinque. Quorum2 utrique adiunge utrumque mille, et fient ducenta milies milia et uiginti quinque milies mille. 5

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De multiplicatione millenorum et centenorum in3 millenos et centenos4. Si uolueris sex milia et quadringenta5 multiplicare in tria milia et octingenta6, multiplica sex milia in tria milia hoc modo, scilicet multiplica sex in tria, et fient decem et octo. Quibus adde iteratum mille, et fient decem et octo milies mille. Deinde multiplica tria milia in quadringenta. Videlicet multiplica tres in quadringenta, et prouenient mille et ducenta. Quibus adde mille quod pretermisisti, et fient milies mille et ducenta milia. Deinde multiplica sex milia in octingenta7. Videlicet multiplica sex in octingenta, et prouenient quattuor milia et octingenta. Quibus adde pretermissum mille, et fient quater milies mille et octingenta milia. Deinde multiplica quadringenta in octingenta, et prouenient trescenta milia et uiginti milia. Quos agrega prioribus et8 summa que fit est id quod ex multiplicatione predictorum prouenit. De multiplicatione millenorum et centenorum et decenorum9 et digitorum in millenos et centenos et decenos et digitos10. Si uolueris multiplicare sex milia et quadringenta et sexaginta octo in quattuor milia et quingenta et sexaginta quattuor, multiplica sex milia in quattuor milia, sicut predocuimus, et11 prouenient uiginti quattuor milies mille. Deinde multiplica quattuor milia in quadringenta, et prouenient milies mille et sexcenta milia. Deinde multiplica quattuor milia in sexaginta octo, et prouenient ducenta milia et12 septuaginta duo milia. Deinde multiplica quingenta in sex milia, et prouenient tria milies milia. Postea multiplica quingenta in quadringenta, et prouenient ducenta milia. Postea13 multiplica quingenta in sexaginta octo, et prouenient triginta quattuor milia. Postea multiplica sexaginta quattuor in sex milia, et prouenient trescenta14 milia et octoginta quattuor milia. Postea multiplica sexaginta quattuor in quadringenta15, et prouenient uiginti quinque milia et sexcenta. Deinde multiplica sexaginta quattuor in sexaginta octo, sicut predictum est, et prouenient quattuor milia et trescenta quinquaginta duo. Que omnia simul agrega hoc modo unumquemque cum numero sui generis. Sed ubicumque digitus nascitur remaneat, articulus uero semper ad sequentem differentiam transeat. Et summa que excresit est id quod ex multiplicatione prouenit. ____________________ 1 in A P: etiam D 2 quorum exp. P2 uid. 3 in A P: et D 4 centenos A P: add. 2 5 quadringenta A P: quadraginta D 6 octingenta A D: octoginta P 7 octingenta D 8 et P: add. A D2 m.s. 9 et decenorum A P: octigenta D post octingenta exp. milia D2 10 De multiplicatione [l. 18] – et digitos om. D 11 et A P: om. D add. A2 s.l. 14 trescenta A D2 P: sexcenta D1 12 et addidi cum D P: om. A 13 postea A2 D P: ? A1 15 quadringenta A P: quadrigenta D

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2 2

91 4 1 3

5 6 2 2 3

1 7 3 8 2

9 2 4 4 5 4

9 6 7 (sic)2

5 5

2 2

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De multiplicatione iteratorum milium inter se3. Si uolueris multiplicare trescenta milies milia4 et quadraginta milies milia in quadringenta5 milies milia et quinque milies milies mille ter multiplica trescenta milies milia in quinque milies mille mille ter hoc modo 6. Videlicet multiplica trescenta in quinque, et prouenient mille et quingenta. Quibus appone repetitionem de mille quam dimisisti, et proueniet summa milies milies sexies iterata et quingenta milies quinquies repetita milies. Deinde multiplica trescenta milies milia in quadringenta milies milia hoc modo. Videlicet multiplica trescenta in quadringenta, et prouenient centum milia et uiginti milia. Quibus utrisque appone iterationem, et fient centum milies quinquies iteratum et uiginti milies quinquies iteratum. Deinde multiplica quadraginta 7 milia in quinque8 milies ter iteratum, et prouenient ducenta milia repetita quater (sic)9. Postea multiplica quadraginta 10 milia in quadringenta milies milia, et prouenient sex milies milia quater (sic)11 repetita et decem milies quater (sic)12 repetita milia. Que omnia simul agrega et agregatum ex omnibus est summa que ex predictorum multiplicatione prouenit. DP

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Si autem uolueris multiplicare sex milies milies milia in septem milies milia, multiplica sex in septem, et prouenient quadraginta duo. Quibus appone iterationem dimissam, scilicet iteratum mille, et fient quadraginta duo milia quinquies iterata13.

____________________ 1 9 A D: 7 P 2 7 A: 3 D P 3 De multiplicatione – inter se P: add. D2 : iteratorum – 5 quadringenta A P: quadraginta D inter se add. A m.d. 4 milies eras. A2 uid. 2 7 milies addidi 8 quinque A2 D P: quinquies A1 uid. 6 hoc modo A D: add. P m.s. 9 quater false A D P in quinquies corrigendum 10 milies addidi 11 quater false A D P in quinquies corrigendum 12 quater false A D P in quinquies corrigendum 13 Si autem [l. 20] – quinquies iterata addidi cum D P: om. A

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Première partie du Liber mahameleth

ADP

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De minuendis iteratis milibus inter se1. Verbi gratia2. Si uolueris minuere unum de milies milies mille, solue milies milia mille3 quousque peruenias ad numerum de quo possis4 minuere unum hoc modo, scilicet solue milies milies mille ter iteratum in nongies milies mille et in centum milies mille. Deinde solue centum milies mille in nonaginta nouem milies mille et in milies mille5. Deinde milies mille solue in nongenta6 milia et centum milia. Postea solue centum milia in nonaginta7 nouem8 milia et in mille. Postea solue mille in nongenta et in centum. Deinde centum solue in nonaginta et decem. De decem uero minue unum predictum remanentibus nouem per se. Reliquos autem omnes9 numeros10 dimitte ita ut sunt in locis suis. Quod ergo ex diminutione remanet est11 nongies milies mille et nonaginta nouem milies mille et nongenta milia et nonaginta nouem milia et nongenta nonaginta nouem. Et hec est summa que prouenit. Si autem12 uolueris minuere uiginti milies mille de triginta milies mille quinquies iteratis, accipe de triginta milies mille quinquies iteratis13 unum milies mille quinquies iteratum, et remanebunt uiginti nouem milies mille quinquies iterata. Deinde unum milies mille14 quinquies iteratum solue in nongenta milies15 mille quater iterata, et centum milia iterata quater. Deinde solue centum milia mille16 iterata quater in17 nonaginta nouem milies mille iterata quater et in milies mille quater iterata18. Deinde hoc milies mille quater iteratum solue in nongenta milies mille ter iterata et centum milia iterata ter. Deinde hoc centum milies mille ter iteratum solue in nonaginta nouem milies mille ter iteratum et milies mille ter iteratum. Deinde solue mille ter iteratum in nongenta milies mille et centum milies mille. De quibus centum milies mille minue uiginti milies mille que proposuisti minuenda, et remanebunt octoginta milies mille. Dimitte autem unumquemque numerum ita ut est. Quos coniunge19 cum octogenta20 milies mille et erit quod remanet ex diminutis21 uiginti milies mille de triginta milies mille quinquies iteratis, summa uiginti nouem milies mille quinquies iterata et nongenta milies mille quater iterata et nonaginta nouem milia iterata quater et nongenta milia ter iterata et nonaginta nouem milia ter iterata 22 et nongenta milies milia et23 octoginta milies milia. Et hec est summa que ex diminutione restat24. Similiter facies25 in omnibus huiusmodi. ____________________ 1 De minuendis [l. 2] – inter se A P: om. D 2 post gratia add. capitulum de scientia 3 solue milies milia mille A P: om. D multiplicandi casas scazi quere in ? P 2 m.d. 5 et in milies mille D P: add. A2 s.l. 6 nongenta A P: 4 possis A2 D P: possit A1 uid. 7 nonaginta A P: nonagenta D nonagenta D post nonagenta exp. nouem milies mille D2 9 omnes D P: add. A2 10 numeros A D: numero P 8 nouem D P: add. A2 s.l. 13 accipe – iteratis A P: 11 est addidi cum D P: om. A 12 autem D P: add. A2 s.l. 14 post mille exp. a D2 15 post milies exp. a D2 16 mille A P: in D add. D2 m.d. 18 et in milies mille quater A P: add. D2 m.d. uid. 17 etiam A P: add. D2 m.d. 20 octogenta A: octoginta D P 21 diminutis A P: 19 coniunge A2 D P: iunge A1 24 restat A P: dimittis D 22 ter iterata A D: iterata ter P 23 et A P: add. D2 s.l. restant D 25 facies A P: add. D2 m.d.

Première partie du Liber mahameleth

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Hoc autem capitulum multum utile est ad quasdam alias questiones que sunt de multiplicatione iteratorum milium. Contingit enim in illis multiplicationem facilius fieri per1 hoc capitulum, sicut iam predictum est in differentiis2. ADP 5

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Verbi3 gratia. Si quis dicat: «Multiplica nouem milia et 4 nongenta, et nonaginta nouem in se», si 5 uolueris multiplicare illa sicut supraostensum est, nimis prolixum erit, quamuis bene fiat. Vnde sic facies. Iam scis quod agregato uno ad nonaginta nouem proueniunt6 centum, et agregatis centum ad nongenta fient7 mille. Agregatis autem mille ad nouem milia fiunt8 decem milia. Hec igitur nouem milia et nongenta nonaginta nouem sunt decem milia minus uno. Si ergo uolueris illa9 multiplicare pro decem milibus10 minus uno in decem milia11 minus uno, facilius fiet

DP Si ergo uolueris illa12 multiplicare pro decem milibus minus uno in decem milia minus uno facilius fiet13. DP sic. Videlicet ut multiplices decem milia in decem milia et prouenient centum milies mille14

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____________________ 1 per A D: om. P 2 post in se add. hic autem numerus est decem milia minus uno D P 3 praem. De multiplicatione iteratorum milium inter se P 4 et A D: in P 5 praem. tu DP 6 proueniunt A D: prouenient P 7 fient A: fierent D: fiunt P 8 fiunt A D: fieret D 9 illa A P: illi D 10 milibus A: mille D P 11 milia A: mille D P 12 illa P: om. D 13 Si ergo uolueris [l. 19b] – fiet addidi cum D: om. A: add. P m.s. 14 sic. Videlicet ut [l. 23b] – milies mille addidi cum D P: om. A

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ADP

ADP

Multiplica igitur decem milia minus uno in decem milia minus uno hoc modo. Videlicet multiplica decem milia in decem milia et prouenient1 centum milies milia.

Deinde multiplica unum demptum in decem milia bis et prouenient uiginti milia dempta. Que minue de centum milies mille, sicut predocuimus in minuendo, et remanebunt nonaginta nouem milies mille et nongies mille et octogenta4 milia. Postea5 multiplica unum demptum in unum demptum et proueniet unus additus, quem adde priori summe. Summa ergo que ex multiplicatione prouenit est nonaginta nouem milies mille et nongies mille et octogenta6 milia et unum, et hoc est quod scire uoluisti.

P

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Deinde multiplica decem milia in minus uno et proueniunt decem milia diminuta, et iterum multiplica decem milia in minus uno et proueniunt decem milia diminuta et minus uno in minus uno facit unum additum. Ex priori igitur multiplicatione proueniunt centum milies milia, decem et nouem milibus 2 diminutis3. ADP

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Vel de centum milies mille minue id quod fit bis7 ex ductu unius in decem milia. Et ei quod remanet agrega id quod fit ex ductu unius in se, et erit summa quam queris. Cuius probatio hec est. Sint decem milia ab. Vnum autem sit bg. Nos autem uolumus8 scire quid9 proueniat ex ductu ag in se. Scimus etiam quia id quod fit ex ductu ab in se et ex bg in se equum est ei quod fit ex ductu ab in bg bis et ex ag in se, ex VII° secundi10. Multiplica igitur ab in se et producto agrega id quod fit ex ductu gb in se. Et ex agregato minue id quod fit bis ex ductu ab in bg, et remanebit id quod fit ex ductu ag in se. Ob hoc igitur multiplicamus decem milia que sunt ab in se et de producto ex illis minuimus id quod fit bis ex ductu unius in decem milia, quod est id11 quod fit ex ductu ab in bg bis. Et ei quod remanet12 agregamus id quod fit ex ductu gb in se. Et quod ex agregatione fit est id quod ex multiplicatione prouenit.

____________________ 1 prouenient A P: proueniet D 2 et nongenti nonaginta nouem addidi 3 Deinde multiplica [l. 8a] – diminutis P: om. A D 4 octogenta A: octoginta D P 5 postea A D: poste P 6 octogenta A: octoginta D P 7 minue id quod fit bis A D: bis minue id quod fit P 8 uolumus A P: uoluimus D 9 quid A D: quod P 10 ex vii° secundi A: add. 12 remanet A D2 P: fi D1 D m.s. P m.d. 11 id om. A1 D P: add. A2 s.l.

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Fig.23: A, fol.112 r; D, fol.7 v s m.s.; P, fol.31 r d.

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Si uolueris multiplicare quadraginta octo milies milia1 iterata sexies et nongenta milia iterata quinquies et2 nonaginta nouem milia iterata quinquies, et nongenta milia iterata quater et nonaginta nouem milia iterata quater et nongenta milia iterata ter et sexaginta milia iterata ter in uiginti milia iterata quater et nongenta milia iterata ter et nonaginta nouem milia iterata ter et nongenta milia bis iterata et nonaginta nouem milia iterata bis et nongenta milia et octoginta milia. Si uolueris multiplicare hec, sicut in precedentibus ostensum est, magnus est (sic)3 labor. Sed ex predictis scimus quod quadraginta octo milies milia sexies iterata et nongenta milies milia4 iterata quinquies, cum ceteris omnibus numeris multiplicandi ordinis, sunt quadraginta nouem milies milia iterata sexies minus quadraginta5 milia (sic)6 milibus iteratis ter. Multiplicantis uero ordinis omnes numeri sunt uiginti unum milies milia iterata quater minus uiginti milibus. Multiplica igitur quadraginta nouem 7 milia iterata sexies minus quadraginta milies milibus iteratis ter in uiginti unum milies milia iterata quater minus uiginti milibus hoc modo. Videlicet multiplica uiginti unum milies milia iterata quater in quadraginta nouem iterata sexies et productum retine. De quo producto minue et id quod fit ex ductu uiginti milium in quadraginta nouem milies milia iterata sexies, et id quod fit ex ductu quadraginta milium ter iteratorum in uiginti unum milies milia iterata quater. Et ei quod remanet8 adde id quod prouenit ex ductu uiginti milium in quadraginta milies milia iterata ter. Nam ex ductu additi in demptum prouenit demptus. Et ex ductu diminuti in diminutum prouenit additus. Et quod inde excreuerit est summa quam requiris, scilicet9 milies milia iterata undecies et uiginti octo milies milia iterata decies et nongenta milies milia iterata nouies et nonaginta nouem milia iterata nouies et nongenta milies milia iterata octies et nonaginta et octo milies milia iterata octies et centum milies milia iterata septies10 et octingenta milies milia iterata quater. Cuius probatio hec est. Quadraginta nouem milies milia iterata sexies sint ab. Et quod deest illis scilicet quadraginta milies milia iterata ter sit hb. Sed uiginti unum milies milia iterata quater sint gd, quod autem minus11 est illis scilicet uiginti milia sit zd. Nos autem uolumus scire quid proueniat ex ductu ah in gz. Scimus autem quia id quod fit ex ductu ab in gd equum est ei quod fit ex ductu ah in gz et ex ah in zd et ei quod fit ex ductu hb in gz et ex hb in zd. Id autem quod fit equum est ei quod fit ex ductu ah in gz et ex ah in zd, et ex hb in zg et hb in zd bis. Id autem quod fit ex ductu hb in gz et hb in zd semel est equum12 ei quod fit ex ductu hb in dg13. Sed id quod fit ex ductu ab in zd et hb in zd semel est equum ei ____________________ 2 et A P: om. D 3 est A: erit D P 4 milia A D2 P: mille D1 1 milia A D2 P: mille D1 5 post quadraginta add. nouem D P 6 milia A: milies D P 7 milies addidi 10 add. et octoginta milies milia iterata 8 praem. fit A 9 post scilicet exp. uiginti P2 12 est equum A P: equum est septies D m.d. al. man. 11 minus A D2 P: numerus D1 D 13 dg A: gd D P

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quod fit ex ductu zd in ab 1. Igitur id quod fit ex ductu ab in gd et ex hb in zd equum est ei quod fit ex ductu ah in gz et ex ab in zd et ex gd in hb. Cum ergo uolueris scire quid proueniat ex ductu ah in gz et fuerit ab cognitum et gd cognitum et zd cognitum et hb cognitum2, multiplicabis ab in gd et producto addes id quod prouenit ex ductu hb diminuti in zd diminutum. Manifestum est igitur quia id quod fit ex ductu diminuti in diminutum, prouenit additus. Deinde minue de producto id quod fit ex ductu zd in ab et ex hb in gd, et remanebit id quod fit ex ductu ah in gz. Iam igitur manifestum est etiam quia id quod prouenit ex ductu diminuti in additum est diminutus. Et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.24: A, fol.112 v; D, fol.8 r s; P, fol.31 v s. 10

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ADP Capitulum de accipiendo fractiones de iteratis milibus3. Si uolueris scire que est tercia de milies mille iterato ter, sume terciam unius mille que est trescenta et triginta tres et tercia4, et (sic)5 multiplica illa6 in id quod remansit de iteratione quod est milies mille7 uel adde ei8 quod remansit de iteratione scilicet milies mille bis, et erit trescenta milies mille et triginta tria milies milia et tercia de milies mille. Deinde accipe terciam de milies mille et9 hoc modo, scilicet ut ad terciam de mille que est trescenta et triginta tria et tercia apponas semel dictum mille10 quod remansit uel multiplica eam in mille quod idem est11, et erit trescenta milia et triginta tria milia et tercia de mille, que est trescenta et triginta tria et tercia. Tercia igitur de milies milies mille ter iterato est trescenta milies mille et triginta tria milies milia et trescenta milia et triginta tria milia et trescenta et triginta tres et tercia unius. Et hoc est quod scire uoluisti. Cuius probatio hec est. Iam scimus quod milies milia ter iterata proueniunt ex multiplicatione milium in milies mille. Vis ergo accipere terciam producti ex ductu milium in milies mille. Videlicet uoluisti illa12 diuidere per tres13. Idem est autem multiplicare mille in milies mille et productum diuidere per tres, quid

____________________ 1 et zd in hb addidi 2 gd cognitum [l. 3/4] – hb cognitum A: gd cognitum (et zd cognitum et hb cognitum om. D) D: zd cognitum et hb cognitum et gd cognitum P m.s. 3 Capitulum – milibus A P: om. D 4 tercia A P: terciam D 5 et A: uel D P 6 illa A D: illud P 8 adde ei A: eadem ea id D: adde ei 7 et multiplica [l. 13] – milies mille A D: add. P2 m.s. 11 apponas semel [l. 17] – quod idem P 9 et A: om. D P 10 mille D P: add. A2 idem est A1 P2 m.s.: uel multiplica eam in mille quod idem est apponas semel dictum mille quod 12 illa A: illud D P 13 post tres del. quod est diuidere mille per tres A2 remansit A2 D

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(sic)1 est2 diuidere3 mille per tres, et quod4 exit multiplicare in milies mille bis, sicut predictum est in capitulo prepositionum.

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Propter hoc5 igitur sumis terciam unius mille et multiplicas eam in id quod remansit de iteratione. Similiter fit probatio de accipienda tercia de milies mille. Et hoc est quod monstrare uoluisti. Si uolueris scire que est nona de milies mille ter iterato, accipe nonam unius mille que est centum et undecim et nona unius. Cui appone iterationem remanentem scilicet milies mille bis et erunt centum milies mille et undecim milies mille et nona de milies mille. Nonam autem de milies mille inuenies secundum eandem regulam que est centum milia et undecim milia6 et nona de mille. Nona uero de mille est centum et undecim et nona. Nona igitur de milies mille ter iterato est centum milies mille et undecim milies mille et centum milia et undecim milia et centum et undecim et nona unius. Item si uolueris scire que sunt quinque sexte de decem milies mille ter iterato, accipe quinque sextas de decem que sunt octo et tercia, et appone eis iterationem totam. Nichil enim inde accepisti, et erunt octo milies mille ter iteratum et tercia de milies milies mille ter iterato. Terciam autem de milies ter7 iterato inueni secundum predictam regulam, quam agrega priori summe. Quinque igitur sexte de decem milies mille ter iterato sunt octo milies mille ter iteratum et trescenta milies milia bis et triginta tria milies mille bis et trescenta milia et triginta tria milia et trescenta et8 triginta tria et tercia. Et hec est summa quam requiris. Si autem uolueris scire que sunt tres quinte de octo milies mille, ad tres quintas de octo, que sunt quattuor et quattuor quinte, appone iterationem, et erunt quattuor milies mille et quattuor quinte de milies mille. Quattuor autem quinte de milies mille sunt octingenta milia. Tres igitur quinte de octo milies mille sunt quattuor milies mille et octingenta milia. Et hec est summa quam requiris. Si autem uolueris scire que sunt quinque octaue de centum milies mille quater iterato, reiecta iteratione remanent centum, ad cuius quinque octauas que sunt sexaginta duo et dimidium, appone totam9 iterationem quoniam nichil sumpsisti ex ea. Fient igitur sexaginta duo milia quater iterata et dimidium milies milium iteratorum quater. Hoc autem dimidium est quingenta milia iterata10 ter. Quinque igitur octaue de centum milies mille quater iterato sunt sexaginta duo milia quater iterata et quingenta milia ter iterata. Si autem uolueris scire que sunt quinque septime de uiginti milies milibus iteratis ter, hic non uis aliud nisi de eo quod fit ex multiplicatione11 uiginti in milies milia12 ter iterata accipe (sic)13 quinque septimas. Quod idem est sicut si

____________________ 3 post diuidere eras. per D2 4 post 1 quid A: quod D P 2 post est del. autem A2 2 2 5 hoc A P: add. D m.d. 6 post milia exp. et centum et undecim quod exp. a D 7 ter A D2 P: iter D1 8 et iter. P 9 totam A D P2: tantam P1 10 milia D2 2 11 multiplicatione A: multiplicante D P 12 milia A iterata A P: iterata milia D m.d. D: milium P 13 accipe A: accipere D P

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acciperes quinque septimas de uiginti et multiplicares eas in milies milia ter iterata. Accipe igitur quinque septimas de uiginti, et multiplica eas in milies milia ter iterata. Et prosequere deinceps sicut premonstratum est, et exibit quod uoluisti. Cetera huiusmodi considera secundum hoc et ita inuenies. 5

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ADP De diuisione1. Quisquis2 diuidit numerum per numerum unum duorum intendit. Aut3 enim intendit scire quod (sic)4 accidat uni, scilicet cum diuidit rem unam per aliam alterius generis (ueluti cum diuidit decem numos per 5 homines, non intendit nisi scire quod (sic)5 accidat uni illorum), aut intendit scire que est comparatio unius ad alterum, scilicet diuidendi ad diuidentem cum diuidit unam rem per aliam eiusdem generis, – ueluti si uellet diuidere uiginti sextarios per decem sextarios6, – non uult scire nisi quam comparationem habent uiginti sextarii ad decem. In his autem duobus modis modus agendi idem7 est. Scias autem quod8 cum multiplicatur id quod exit de diuisione per diuidentem proueniet diuidendus. Veluti si uelis diuidere decem numos per 5 homines, non intendit hic aliud nisi scire quid accidat uni illorum. Accidunt autem uni duo numi. Vnicuique igitur illorum competunt duo numi. Omnes autem illi quinque sunt. Cum igitur multiplicaueris duo in quinque, prouenient decem que est summa proposita ad diuidendum per 5. Si igitur id quod exit de diuisione multiplicetur in diuidentem, proueniet diuidendus secundum hanc intentionem, similiter etiam secundum aliam. Veluti si uelis diuidere decem sextarios per quattuor sextarios, exibunt duo et dimidium. Nam decem duppli sunt 4 et insuper dimidium. Si igitur multiplices quattuor in duo et dimidium, prouenient decem. Si igitur id quod de diuisione exit multiplicetur per diuidentem, semper exibit diuidendus secundum utramque intentionem9. Vnus modus agendi in eis idem est. Sciendum autem quod in utraque diuisione aud diuiditur maius per minus et hec dicitur proprie diuisio, aud minus per maius et dicitur denominatio, aud equale per equale in qua non exit nisi unum. Cum igitur diuiseris maiorem numerum per minorem, iste regule obseruande erunt.

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ADP Si uolueris diuidere uiginti per quattuor, quere numerum in quem multiplicati quattuor fuerit (sic)10 uiginti et hic est quinque, et hoc est quod de diuisione exit. Vel denomina unum de quattuor scilicet quartam. Tanta igitur pars accepta de uiginti scilicet quarta, que est quinque, est id quod de diuisione exit. ____________________ 1 Capitulum de diuisione P: om. D: add. A m.s. post diuisione add. Capitulum ponendum in principio diuisionis iteratorum milium P 2 praem. ut P 3 aut A2 D P: aud A1 4 quod A: quid D P 5 quod A: quid D P 6 per decem sextarios A P: om. D 7 idem A P: uel D uid. 8 scias autem quod A: om. D P 9 post intentionem add. require in fine diuisionis integri et fractionis D P m.s. 10 fuerit A: fiunt D P

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Cuius probatio manifesta est. Nam talis est comparatio unius ad diuidentem, qualis est comparatio quesiti ad diuidendum. Cum igitur denominaueris unum de diuidente, tunc talis pars diuidendi est id quod de diuisione exit. Experientia autem talis est hic. Videlicet multiplica quinque in quattuor et fient uiginti. Redit igitur diuidendus, sicut predictum est1. Cum enim multiplicatur id quod de diuisione exit in diuidentem exit diuidendus, sicut predictum est. Cum autem uolueris diuidere sexaginta per octo. Sic facies. Quere numerum in quem multiplicatis octo proueniant sexaginta aud in quem multiplicatis octo proueniat numerus minor quam sexaginta. Cuius tamen differentia ad sexaginta fit minor quam octo, sicut est septem. Ex cuius ductu in octo2 proueniunt quinquaginta3 sex. Cuius differentia ad4 sexaginta est quattuor. Quos denomina de octo, scilicet medietatem. Quam adde ad5 septem, et fiet septem et dimidium, et hoc est quod de diuisione exit. Cum uolueris numerum diuidere per numerum, uide si sit aliqua una fractio numerans eos6, accipe numerum ipsius fractionis de utroque numero et diuide alteram per alteram, et id quod exit est id quod de diuisione7 numerorum prouenit. Verbi gratia. Si uolueris, diuide uiginti quattuor per octo, uide que fractio communis numerat eos scilicet quarta. Quartam igitur de uiginti quattuor8 que est sex diuide per quartam de octo que est duo et exibunt tres et hoc idem exit cum uiginti quattuor per octo diuidis. ADP

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De diuisione iteratorum milium inter se. Si autem9 uolueris diuidere centum milies milia quinquies iterata per quindecim milies milia bis iterata Sic facies. Minue duo de quinque, et remanebunt tres. Deinde diuide centum milies milia ter per quindecim, scilicet10 diuide centum per quindecim et exibunt sex et due tercie. Quos multiplica in milies milia ter iterata et prouenient sex milies milia iterata ter et due tercie de milies milibus ter iteratis. Duas igitur tercias de milies11 mille iterato ter agrega ad sex milies milia iterata ter et summa que excresit est id quod ex diuisione exit. Cuius probatio hec est. Iam scimus quod quindecim milies milia proueniunt 12 ex quindecim ductis in milies milia. Et centum milies milia iterata quinquies proueniunt ex centum milies milibus iteratis ter ductis in milies mille. Habemus igitur quod ex quindecim ductis in milies mille proueniunt quindecim milies milia. Et ex centum milies mille iteratis ter ductis in milies mille prouenient centum

____________________ 1 sicut predictum est A: om. D P 2 post octo del. scilicet medietatem A2 3 quinquaginta 1 4 ad A P: de D 5 ad A D: om. P 6 post eos add. et A D al. man. P: sexaginta D 8 quattuor P: om. D: add. A2 s.l. 9 autem tunc D P 7 post diuisione exp. exit D2 2 11 milies A2 D P: milie A1 A: om. D P 10 scilicet A D P: secundo A1 uid. 12 ex A2 D P: x A1

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milies milia quinquies iterata. Sunt igitur1 duo numeri. Ex quibus ductis in unum numerum prouenient2 duo numeri. Talis est igitur comparatio producti in3 productum qualis est comparatio unius multiplicati ad4 aliud, sicut euclides dixit in XVIIII°5 septimi6. 5

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Comparatio igitur de centum milies milibus quinquies iteratis ad quindecim milies milia est sicut comparatio de centum milies milibus ter iteratis ad quindecim. Id ergo quod exit ex diuisione centum milies milium quinquies 7 iteratorum per quindecim milies milia equum est ei quod exit8 ex diuisione9 centum milies milium ter iteratorum per quindecim. Nam comparatio est diuisio. Cum igitur diuiseris centum milies milia iterata ter per quindecim, exibit quod queris. Diuidere autem centum milies milia iterata ter per quindecim idem10 est quod11 multiplicare centum in milies12 milia ter13 iterata et productum diuide (sic)14 per quindecim. Idem15 est autem multiplicare centum in milies milia ter iterata et productum diuidere per quindecim quod est diuidere centum per quindecim, et quod exit multiplicare in milies mille. Et hoc est quod monstrare uoluimus. ADP

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Si uero uolueris diuidere centum milies mille per duodecim. Sic facies. Accipe centum per se sine iteratione et diuide per duodecim et exibunt octo et tercia. Quibus appone iterationem et fient octo milies mille et tercia de milies mille. Terciam autem de milies mille inueni secundum quod predictum est. Quam agrega ad16 octo milie (sic)17 mille. Summa ergo que de diuisione exit est octo milies mille et trescenta milia et triginta tria milia et trescenta et triginta tria et tercia. Item si uolueris diuidere quinquaginta milies milia iterata quater per octo milia, reiecto mille ab octo et reiecto tantumdem a quinquaginta, remanebit diuidere quinquaginta milies milia ter iterata per octo. Fac secundum quod predictum est in eo18 quod antecedit. Scilicet ut accipias quinquaginta per se absque iteratione et diuidas per octo, et exibunt sex et quarta. Quibus appone iterationem dimissam, et fient sex milies mille ter iterata et quarta de milies mille ter iterato. Quarta19 uero de mille ter iterato sunt ducenta milies milia et quinquaginta milies mille. Quos agrega priori summe. Et agregatum est summa que ex diuisione exit.

____________________ 1 post igitur add. isti D P 2 prouenient A: proueniunt D: prouenerunt P 3 in A: ad D P 5 XVIIII D P: xviii A 6 in x°viiii° septimi A: add. D P2 4 ad A2 D P: in A1 m.d. 7 quinquies A2 P: om. A1: add. D2 m.d. 8 exit A P: fit D 9 diuisione A D2 1 2 1 P: ductu D 10 idem A P : id D: nichil aliud P 11 quod addidi cum D P: om. A 13 ter D P: add. A2 14 diuide A: diuidere D P 15 idem A P: id D 12 idem iter. A1 17 milie A: milies D P2: milia P1 uid. 18 eo A D: ea P 16 ad A P: add. D2 m.s. 19 quarta A: quartam D P

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Item si uolueris diuidere octo milies milia ter iterata per quadringenta, diuide octo cum mille semel accepto per quadringenta1, exibunt uiginti. Quibus appone quod remansit de iteratione scilicet bis mille, fient uiginti milies mille, et hoc est quod de diuisione exit. Vel si uolueris accipere de octo milies mille ter iterato unum mille. Quem diuide per quadringenta et exibunt duo et dimidium. Quos multiplica in id quod remansit, scilicet octo milies mille, et prouenient uiginti milies mille, et hoc est quod de diuisione exit. ADP

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Si uolueris diuidere sex milia iterata quater per ducenta2 milies milia, reiecta tota iteratione ad diuidentem (sic)3 et reiecto tantumdem a diuidendo, restabit ad diuidendum sex milies mille bis per ducenta. Diuide ergo ea sicut predictum est in antecedenti. Aut sex cum mille semel accepto4, scilicet sex milia per ducenta diuide et ei quod exit appone iterationem remanentem, aut diuide mille unum de suis (sic)5 per ducenta, et quod exierit multiplica in sex cum reliqua iteratione, et productum inde est id quod de diuisione exit. ADP

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Capitulum de diuidendo aliter. Verbi gratia6. Si uolueris scire in uiginti milies mille morabitini7 quot sacelli sunt. In sacello autem continentur8 quingenti morabitini. Sic facies. Diuide uiginti milies mille per quingenta, sicut premonstratum est in capitulo diuisionis, et exibunt quadraginta milia, qui est numerus sacellorum de quibus queritur. Vel aliter. Semper reice ab iteratione unum mille et quod remanserit dupplica et dupplatum erit quod queris. Sicut9 hic si reieceris de uiginti milies10 mille unum mille, et11 remanebunt uiginti milia que duplicata fiunt quadraginta milia, et hec est summa quam requiris. Hoc autem ideo fecimus. Quoniam12 quemcumque numerum iteratorum uolueris diuidere per quingenta accipies de eo unum mille quod diuides per quingenta, et quod exierit multiplicabis13 in id quod de numero remansit. Cum autem diuiseris mille per quingenta, exibunt duo. Quos duos cum multiplicaueris in id quod remansit, prouenit dupplum remanentis. Cuius probatio hec est. Iam scimus quod uiginti milies mille proueniunt ex mille ductis in uiginti mille. Volumus igitur multiplicare mille in uiginti mille et

____________________ 3 ad diuidentem A: a 1 post quadringenta add. et D P 2 ducenta A D2 P: ducentas D1 5 mille unum de suis A D: diuidente D P 4 post accepto add. scilicet sex milia P2 m.d. unum de suis mille P 6 Capitulum – verbi gratia A P: om. D Verbi gratia A D: add. P2 m.d. 7 morabitini D P: add. A2 8 continentur A P: continetur D 9 sicut A D: sic P 11 et A: om. D P 12 quoniam A P: add. D2 10 milies A D P2: millies P1 m.d. 13 multiplicabis A2 D P: multiplicabam A1 uid.

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productum diuidere per quingentos1 quod idem est tamquam si diuidamus mille per quingentos, et quod exit multiplicemus in uiginti milia. Ex diuisione autem milium per quingintos (sic)2 exeunt duo. Igitur multiplica duo in uiginti et prouenient quadraginta qui est numerus sacellorum, et hoc est quod monstrare uoluimus. Si quis autem querat: «In sexcentis milies iteratis 3 quater quot sacelli sunt?» Vel diuide per quingenta qui sunt unus sacellus sicut premonstratum est, uel minue de iteratione unum 4, et remanebunt sexcenta milia ter iterata. Que duplicata fient milies milia quater iterata et ducenta milies milia iterata ter. Et hoc est quod scire uoluisti. Et e conuerso. Si quis querat: «In ducentis milibus sacellorum quot morabitini sunt?» In sacello autem sunt quingenti morabitini. Multiplica ducenta milia in quingenta et prouenient centum milies mille5, et hoc est quod uoluisti. Vel per contrarium6 prioris scilicet medietati numeri adde mille semel acceptum. Dimidium autem ducentorum milium est centum milia. Quibus adde mille fient centum milies mille, et hoc est quod scire uoluisti. Hoc autem fecimus quoniam quingenta medietas sunt de mille. Quasi ergo querat multiplicare ducenta milia in medietatem milium, tu multiplica dimidium in ducenta et prouenient centum. Quibus adde iterationem que est cum dimidio et cum ducentis fiet quod requiris7. Si quis querat: «In8 tribus milies milibus sacellis quot morabitini sunt?» Multiplica eos in quingentis sicut predocuimus, et prouenient milies milies mille ter, et quingenta milies milia bis, et hoc est quod uoluisti. Vel si aliter uolueris, accipe dimidium de tribus milies mille, quod est milies mille et quingenta milia. Cui adde mille semel et proueniet summa milies milies mille et quingenta milies milia. Et hoc est quod scire uoluisti. Capitulum de domibus peccuniarum9. Si quis querat: «In decem milies milies milibus ter iteratis morabitinorum quot domus peccuniose sunt?» Domus autem peccuniosa est in qua habentur milies milia morabitinorum. Diuide ergo illud scilicet decem milia ter iterata per milies mille, sicut predocuimus in capitulo diuisionis, et exibunt decem milia domorum peccuniosarum. Diuisio autem numeri per milies mille semper est ut reicias ab eo geminatum mille, et quod remanet est id quod de diuisione exit. Vel aliter. A numero10 morabitinorum reice geminatum mille, et quod remanet est numerus domorum peccuniosarum que sunt in illis. Si quis autem querat: «In centum milies milies (sic)11 quater iteratis quot domus peccuniarum sunt?» Reice geminatum mille a predicto numero, et

____________________ 1 quingentos A D P2: quindecim P1 2 quingintos A: quingentos D P 3 morabitinis 6 contrarium A D: addidi 4 mille addidi 5 post mille exp. semel acceptum D2 9 Capitulum – cencium P 7 requiris A P: queris D 8 post in exp. quinque P2 2 11 milies A D uid.: mille P peccuniarum A P: om. D 10 numero A D P: numerorum D1

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remanebunt centum milies mille, et hic numerus est domorum peccuniarum que continentur in predicto numero1. De conuersa istius2. Si quis querat: «In decem milibus domorum peccuniarum quot morabitini sunt?» Multiplica predictum numerum in numerum morabitinorum unius domus, qui sunt milies mille, et prouenient decem milies mille ter iterata, et hic numerus est morabitinorum qui sunt in decem milibus domorum peccuniarum. Multiplicatio autem3 numeri per milies mille semper fit per additionem supra ipsum geminati mille. Vel ut numero domorum peccuniarum addas semper geminatum mille, et erit numerus morabitinorum qui sunt in domibus. Veluti si aliquis diceret: «In centum milies mille domibus peccuniarum quot morabitini sunt4?» Adde huic numero mille bis iteratum et fient centum milia quater iterata, qui est numerus morabitinorum contentorum5 in centum milies6 milibus domorum peccuniarum. Quot sacelli sunt in domibus peccuniarum7? Si quis querat: «In trescentis domibus peccuniarum quot sacelli sunt?» Iam nosti quod in unaquaque domo peccuniarum sunt milies milia morabitinorum. Sed in milies mille morabitinis sunt duo millia sacellorum. Ergo duo milia sacellorum sunt in una domo peccunie. Multiplica ergo semper8 numerum domorum peccuniarum in duo milia, et exibit numerus sacellorum qui sunt in illis domibus. Sunt autem in hac questione sexcenta milia sacellorum. Multiplicatio autem numeri in duo milia semper fit ut dupplices numerum et dupplato9 addas mille semel10. Tunc si uolueris hic, dupplica numerum domorum et dupplato adde mille, et erit numerus sacellorum qui sunt in domibus illis. Veluti si aliquis querat: «In sexcentis mille domibus quot sacelli sunt?» Dupplica sexcenta milia, et fient milies milia et ducenta milia. Quibus adde semel mille, et fient milies milies milia et ducenta milies milia, et hic est numerus sacellorum qui sunt in predictis domibus. Si11 quis querat: «In sexcentis mille sacellis quot domus peccuniarum sunt?» Diuide propositum numerum per numerum sacellorum in una domorum contentorum12 qui est duo milia, et exibunt trescente13 domus peccuniarum. Diuisio autem numeri per duo milia semper fit per diminutionem unius iterationis ab ipso et per acceptionem medietatis de residuo. Vnde si uolueris hic, minue de numero sacellorum unam iterationem, et medietas residui est id quod scire uoluisti.

____________________ 1 in predicto numero A P: in (D2 s.l.) numero (D) predicto (D2 m.d.) 2 de conuersa istius A2 2 1 1 3 multiplicatio autem A P: multiplicationum D 4 sunt addidi cum D P: D P: om. A D om. A 5 contentorum A P: centenorum D 6 milies A P: add. D m.d. 7 Quot 9 post sacelli – peccuniarum A P: om. D 8 semper addidi cum D P: add. A2 s.l. 10 mille semel A: semel mille D P 11 praem. De conuersa huius A dupplato exp. ut P2 m.s. (cfr l. 3) 12 domorum contentorum A P: domo centenorum D 13 trescente A: trescentam D: trescentum P

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Veluti si aliquis quereret: «In centum milies mille1 sacellis quot domus sunt?» Diminue de illis unam iterationem, et remanebunt centum milia. Quorum medietas que est quinquaginta milia est numerus domorum que sunt in centum milies mille sacellis. Vt autem melius intelligas predicta de sacellis et de domibus et de morabitinis figuram oculis subieci2. Vt cum uolueris suprapositorum alia in alia conuertere, repone unum digitum super illud quod conuertere uolueris et alium digitum pone super aliud in quod conuertere uolueris. Deinde deprime digitum superiorem in directum et concurrat alius in directum et in loco in quo concurerint, ibi docetur3 predicta regula secundum quam facere4 debes. Quod debet conuerti5. Morabitini6. Minue de numero morabitinorum duas iterationes, et quod remanserit est numerus domorum peccuniarum. Minue de numero suo7 morabitinorum unam iterationem, et duplica id quod remanet et duplatum est id quod scire uoluisti.

ø

Sacelli. Domus peccunie. Minue de numero ø sacellorum unam iterationem, et residui medietas erit numerus domorum peccunie.

ø Domus peccunie.

Duplica numerum do- Sacelli. morum peccuniarum. Et duplicato8 adde unam iterationem et quod prouenit est9 numerus sacellorum qui sunt in illis domibus. Super medietatem Super numerum Morabitini. numeri sacellorum, domorum adde duas adde unam iteratioiterationes, et quod nem. Et quod prouenit prouenit est numerus est10 numerus morabitinorum qui morabitinorum. sunt in illis. ø

____________________ 1 4 6 9

mille A P: milies D 2 subieci A2 P: subiecti A1 D 3 docetur A D: docet ut P 1 5 Quod debet conuerti addidi cum D: om. A P post facere add. fac A uid. morabitini A P: morabitum D 7 suo A P: om. D 8 duplicato A P: duplato D est A P: et D 10 est A P: et D

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Capitulum1 de denominationibus. Preponenda sunt quedam manifesta per que cognoscas denominare numeros ab aliis numeris. Sunt autem hec. Omnis numerus carens medietate caret etiam quarta et sexta, octaua et decima. Omnis numerus carens tercia caret etiam sexta et nona. Omnis numerus carens quarta caret etiam octaua. Omnis numerus carens quinta caret etiam decima. Omnis numerus habens decimam habet quintam et medietatem. Omnis numerus habens nonam, si fuerit par, habet sextam et terciam et ceteras partes paris. Si uero fuerit impar, non habet nisi nonam et terciam. Quicumque numerus habet octauam, habet quartam et medietatem; quicumque habet sextam, habet terciam. Quicumque habet quartam habet medietatem. Nullus impar habet fractionem denominatam a numero pari. Omnis numerus qui numerat nouem, habet nonam. Si uero ultra nouem remanserint sex, et fuerit par, habebit sextam et terciam. Si uero remanserint tres, habebit terciam. Omnis numerus, qui numerat octo, habet octauam et quartam et medietatem. Si uero ultra octo remanserit aliquid, non habebit octauam. Si autem quattuor remanserint, habebit quartam. Nullus habet septimam nisi quem numerat septem. Similiter nullus habet sextam nisi quem numerat sex. Si uero ultra sex remanserint tres, habebit terciam. Nullus habet quintam nisi quem numerat quinque. Nullus quartam nisi quem numerat quattuor. Nullus habet terciam nisi quem numerat tres. Numerus qui non habet fractionem denominatam ab aliquo digitorum usque ad unum non habet fractionem nisi denominatam a numeris compositis imparibus, quos non numerat nisi sola unitas, ut undecim tredecim X et septem et similia. Ad inueniendum autem si aliquis numerus habeat decimam, considera si est in eo digitus aut non. Omnis enim numerus in quo non est digitus habet decimam. In quo uero2 est digitus non habet decimam. Ad inueniendum si aliquis numerus haberet nonam. De unoquoque articulo uel limite qui ibi fuerit, accipe unum et agregatum exceptis unis cum digito si ibi fuerit, si numerauerit nouem habebit nonam, aliter non. Verbi gratia. Si uolueris scire an centum L quattuor habet nonam, de hoc limite qui est centum accipe unum, et de unoquoque articulo qui est in L accipe unum, igitur accipies quinque qui agregati cum accepto uno de centum et cum digito qui est quattuor fuerit X. Quos quia non numerat nouem, tunc predictus numerus non habet nonam. Ad inueniendum uero si habet octauam de unoquoque denario, accipe duos et de unoquoque centenario qui ibi fuerit, accipe quattuor et agregatum ex illis acceptis cum digito si ibi fuerit, si numerat octo, habet octauam, aliter non. Verbi gratia. Si uolueris scire an ducenti sexaginta quattuor habeat octauam, de uno ergo centenario accipe quattuor. Igitur de ducentis accipies octo et de unoquoque denario duos. Igitur de sexaginta accipies duodecim qui agregati cum ____________________ 1 addidit sub textu «non istud capitulum» A

2 post uero exp. non A1

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prioribus octo et cum digito qui erat ibi, scilicet quattuor, fient XX quattuor. Quos quoniam octonarius ter numerat, predictus numerus octauam habet. De millenario autem quociens ibi fuerit nichil accipies eo quod omnis millenarius octauam habet. Omnem enim millenarium numerat octonarius cencies uigies quinquies. Nam centum XXV octies mille sunt. Ad inueniendum autem si aliquis numerus habet septimam. De unoquoque denario accipe tres et de unoquoque centenario duos et de unoquoque millenario sex et de unoquoque decies mille quattuor et de unoquoque cencies mille accipe V et de unoquoque milies mille accipe unum et sic deinceps. De unoquoque mille, cuius iteratio fuerit par, accipe unum, et de unoquoque decies mille, cuius iteratio fuerit par, accipe tres, et de unoquoque cencies mille, cuius iteratio fuerit par, accipe duos. De unoquoque autem mille, cuius iteratio fuerit impar, accipe sex, et de unoquoque cencies mille, cuius iteratio fuerit impar, accipe quinque et accepta ab eis agrega cum digito, qui ibi fuerit, et agregatum si numerauerit septem, habet septimam, aliter non. Verbi gratia. Si uolueris scire an duo milia trescenta quadraginta octo habet septimam, accipe de unoquoque denario tres. Igitur de quadraginta accipies duodecim, et de unoquoque centenario duos. Igitur de trescentis accipies sex, et de unoquoque millenario sex. Igitur de duobus milibus accipies duodecim, quos agrega cum prioribus duodecim, et est sex, et cum digito qui ibi erat scilicet octo fient XXXVIII. Quos quoniam non numerat septenarius, ideo predictus numerus non habet septimam. Item si uolueris scire an triginta milies mille et quadringenti milies mille et quattuor milies milies mille habent septimam. De unoquoque deicias (sic)1 mille, cuius iteratio fuerit par, accipe tres. Igitur de XXX milies mille accipies nouem. De unoquoque cencies mille, cuius iteratio fuerit par, accipe duos. Igitur de quadringintis milies mille accipies octo, et de unoquoque mille cuius iteratio fuerit impar, accipe sex. Igitur de quattuor milies milies mille accipies XX quattuor. Que omnia2 accepta simul agrega, et fient XL unum. Quos quoniam septenarius non numerat, predictus numerus septimam non habet. Ad inueniendum autem si aliquis numerus habet sextam. De unoquoque articulo siue limite, accipe quattuor, et accepta agrega cum digito si ibi fuerit, et si agregatum ex illis numerat sex habet sextam, aliter non. Verbi gratia. Si uolueris scire an duo milia trescenti XX quattuor habet sextam, de unoquoque articulo accipe quattuor, igitur de XX accipe octo. Et de unoquoque limite quattuor, igitur de duobus milibus octo et de trescentis duodecim. Que omnia accepta cum digito agrega, et fient XL (sic)3. Quos quoniam senarius non numerat, predictus numerus non habet sextam. Ad inueniendum autem an aliquis numerus habeat quintam, considera si in numero illo sit digitus. Omnis enim numerus in quo fuerit digitus preter V non habet quintam. Ceteri omnes habent quintam. ____________________ 1 deicias false A in decies corrigendum XXXII corrigendum

2 omnia A2: omnias A1

3 XL false A in

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Ad inueniendum autem si aliquis numerus habeat quartam. De unoquoque articulo accipe duos et acceptos simul cum digito, si ibi fuerit, agrega, et agregatum si numerauerit quattuor, habet quartam, aliter non. De centum autem et deinceps scilicet articulis nichil accipies. Omnes enim articuli centum et supra quartam habent. Ad inueniendum autem si aliquis numerus habeat terciam, ita facies, sicut de nona. De unoquoque siue articulo1 siue limite accipies unum et accepta omnia cum digito, si ibi fuerit, simul agregabis, et agregatum si numerauerit ternarius, habebit terciam, aliter non. Ad inueniendum autem si habeat medietatem, uide si est par uel impar. Omnis enim par et nullus impar habet medietatem. In his autem omnibus denominacionibus non intelligimus partes, nisi que sunt integri numeri. Cum autem constitit numerum habere decimam, et uolueris scire que est eius decima, retrahe ipsum numerum una differentia uersus dexteram, et retractus erit decima pars sui qui erat antequam retraheretur. Verbi gratia. Si queris que est decima mille ducentorum, retrahe mille ducenta una differentia retro et fient centum XX, qui sunt decima pars mille ducentorum. Item si uolueris scire que est decima de centum XX, retrahe eos una differentia retro, et fient duodecim, qui sunt pars decima de centum XX. Ipsi autem duodecim, quoniam digitum habent, per predictam regulam decimam habere non possunt. Sed quoniam duodenarium numerat nouenarius et remanent tres et est par, habet dimidiam et terciam et quartam et sextam. Sic in omnibus potest inueniri decima ubi potest retro mutari differentia. Si autem uolueris scire que est quinta alicuius numeri, uide si sit ibi digitus an non. Si non fuerit ibi digitus, retrahe ipsum numerum, sicut predictum est, una differentia retro, et inuenies eius decimam. Quam duplica, et habebis quintam. Si uero fuerit ibi digitus quinque reice digitum et residui inueni decimam per predictam regulam. Quam dupla et duplate adde unum et fiet quod queris. Verbi gratia. Si uolueris scire que est quinta de XXV, reice digitum qui est V, et residui numeri una differentia retro inuenies decimam scilicet duo. Quos dupplica et fient quattuor. Quibus adde unum et fient V, qui sunt quinta, et ita in omnibus aliis. De nona autem si octaua uel septima et de ceteris scire uolueris ipsum numerum cuius fractionem queris. Per numerum unde denominatur fractio quam 2, et id quod exit est fractio illius numeri quam requiris. Cum autem numerum de numero denominare uolueris denominandum pone prius illum 3 de quo uis denominare pone sub eo et considera quas partes haheat incipiens a decima usque ad medietatem et quam primum inueneris eius

____________________ 1 siue articulo A2 uid.: 5 articuli A1 2 requiris multiplica numerum conieci: ? A (cfr folio 116v) 3 numerum conieci: ? A (cfr folio 116v)

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numero de quo uis denominare. Deinde considera numerum ipsius partis quas partes1 habeat incipiens a decima usque ad medietatem et qua primum inueneris eius numerum sub ipso numero cuius pars est nota bis. Et similiter facies de ipsa et de ceteris quousque tibi occurat unitas. Hoc facto illud quod primum denominare uoluisti, diuide per numerum fractionis, quo primum maius fuerit, et quod exierit numerus illius fractionis erit per quam diuidis. Postea si aliquid de diuisione remanserit, diuide per numerum fractionis, quo primum maius fuerit, et quod exierit numerus illius fractionis per cuius numerum diuidis erit. Si autem adhuc aliquid remanserit, ita facies quousque nichil remaneat. Deinde agregabis fractiones omnes, et agregatum est id quod queris. Verbi gratia. Denominare mille octingentos triginta sex de quinque milibus quadraginta. Pone denominandum numerum prius, et sub eo denominantem hoc modo2. Deinde considera quas partes habeat denominans qui est inferior, accipiens a decima usque ad medietatem et inuenies per predictam regulam eius decimam †…†3 que est quinginti quattuor, quos pone sub ipso. Deinde considera quas partes habeat hec decima incipiens a decima usque ad medietatem, et inuenies secundum predicta quod habet nonam que est quinquaginta sex. Quos pone sub quingintas quattuor. Deinde considera quas partes habeat hec nona et4 inuenies eius octauam que est septem. Quos pone sub quinquaginta sex. Deinde septimam de septem que est unum pone sub septem. Hoc facto diuide illud primum denominandum per numerum fractionis quo primo loco maius est scilicet per quingentos quattuor, et exibunt tres qui sunt tres decime, et remanebunt trescenti XXIIIIor. Quos diuide per numerum fractionis, quo primo loco fuerit maius, scilicet per L sex, et exibunt V, qui sunt quinque none unius decime, et remanent XLIIIIor. Quos diuide per numerum fractionis, quo sunt maius, scilicet septem, et exibunt sex, qui sunt sex octaue unius none unius decime, et remanent duo. Quos denomina de septem, scilicet duas septimas unius octaue unius none unius decime. Deinde agrega has omnes partes, et fient tres decime, et V none unius decime, et sex octaue unius none unius decime, et due septime octaue none decime, et talis pars est denominandum denominationis, quod subiecta figura declarat.

tres decime 3 decime 5 none 6 octaue due septime

1836 5040 504 56 7 1

denominandus denominans decima nona octaua septima

____________________ 2 post modo add. 1836 et 5040 A m.d. 1 partes A2: parte A1 116v) 4 et add. A2 s.l.

3 ? A (cfr folio

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In ordine autem istarum fractionum maiores denominationes si uolueris preponere quamuis sint minores fractiones. Idem enim est decima unius septime quod septima unius decime, et idem est octaua none quod nona octaue. Idem enim prouenit ex septies decem quod ex decies septem, et similiter in aliis, sicut euclides dixit. Cum autem de diuisione aliquid remanserit et quota pars numeri diuidentis illud sit ergo1 si uis facere per hanc predictam regulam, illud de diuidente numero denominabis. Illud enim quod remanet denominandum primum pones sub eo denominantem, scilicet diuidentem. Deinde per predictas regulas quotas partes habeat diuidens considerabis, incipiens a decima usque medietatem, et qua primum inueneris sub diuidente locabis, et deinde cetera ut subposita sunt prosequeris, et hec omnia consideranda sunt in diuisione, que denominatio dicitur, in qua scilicet maius per minus diuiditur ad cuius maiorem euidentiam. ADP

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Subiciemus2 talia3 exempla. Verbi gratia. Si uolueris denominare unum de duodecim. Tu scis quod duodecim fiunt ex ductu trium in quattuor, ergo tres sunt quarta duodecim et quattuor tercia eius. Vnum autem est tercia trium, ergo unum est tercia quarte duodecim. Item scis etiam4 quod duodecim fiunt ex ductu sex in duo, ergo sex est medietas duodecim et duo sexta eius. Vnum autem est medietas duorum, ergo unum est medietas sexte duodecim uel sexta medietatis eius. Si autem uolueris denominare unum de tredecim, tu scis autem quod tredecim non prouenit ex multiplicatione alicuius numeri, ergo unum est tredecima pars eius. Similiter si uolueris denominare unum de quattuordecim, tu scis quod quattuordecim fiunt ex ductu septenarii in duo, ergo septem est medietas eius et duo septima eius. Vnum autem medietas est duorum, ergo unum5 est medietas septime quattuordecim. Similiter in aliis digitis inuenies. ADP

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Si6 uolueris denominare7 unum de mille, tu scis quod centum est decima de mille et decem decima de centum8. Vnum uero decima est de decem. Ergo dic quod unum est decima decime decime9 ter repetite. Cum autem uolueris denominare unum de milies mille, dic quod est decima decime sexies repetite. Mille enim de milies mille est decima decime decime. Vnum uero de mille est decima decime decime. Vnum igitur de milies mille est

____________________ 1 ergo A2: igitur A1 uid. Capitulum de denominationibus [p. 69, l. 2] – maiorem euidentiam A: om. D P 2 subiciemus A D: subicimus P 3 talia A: om. D P 4 post etiam exp. 5 unum A P: om. D 6 si A: cum D P 7 denominare A D2 P: diuidere que P2 uid. 8 post centum add. et P 9 decime om. D D1

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decima decime sexies repetite. De milies uero milies mille ter1 erit decima decime nouies repetite. Sed de milies mille iterato quater erit decima decime duodecies2 repetite. Et secundum hanc considerationem semper quotiens mille reperieris, tociens pro unaquaque repetitione decimam decime decime ter iterabis. Si autem uolueris denominare unum de octinginta (sic)3 milibus. Sic facies. Accipe octoginta per se et denomina unum ab octoginta scilicet octauam decime. Cui adde tociens decime, quotiens debetur pro unoquoque mille (sic)4, et quia semel est ibi mille, dicetur octaua decime decime quater repetite. Et hec est comparatio quam habet unum ad5 octoginta milia. ADP Si autem uolueris denominare duodecim de uiginti septem, tu scis quod uiginti septem fiunt ex ductu trium in nouem. Tres ergo nona est de uiginti septem et nouem tercia eius. Duodecim autem quadruplum est trium, ergo duodecim est quattuor none de uiginti septem. Si autem uolueris denominare quattuordecim de quadraginta quinque, tu scis autem quod quadraginta quinque fiunt ex ductu novenarii in quinque. Ergo quinque est nona de quadraginta quinque. Sed quattuordecim est dupplus ad quinque et quattuor quinte 6 eius, ergo quattuordecim est due none de7 quadraginta quinque et quattuor quinte none eius. Et similiter in omnibus aliis fiet siue articulis siue compositis. ADP

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Capitulum de denominandis iteratis milibus8 ab iteratis milibus9. Si autem uolueris denominare quinque milia de quadraginta milies milies ter iteratis, reiecto mille quod est cum quinque et reiecto tantumdem de iteratione que est cum quadraginta, remanebunt quadraginta milies mille, a quibus denominabis quinque. Denomina igitur quinque de quadraginta scilicet octauam. Cui adde decime tociens, quotiens debetur pro unoquoque mille. Et quia bis dicitur mille, erit octaua decime decime sexies repetite. Et hoc est quod scire uoluisti. Si autem uolueris denominare quadringenta de decem milies mille, denomina quadringenta de decem milibus scilicet duas quintas decime. Quibus appone decimam tociens10 quotiens debetur pro uno mille remanenti, scilicet decima decime ter. Erit ergo denominatio due quinte decime decime quater repetite, et hoc est quod uoluisti. Similiter in omnibus aliis11.

____________________ 1 post ter exp. repetite P2 2 duodecies A2 D P: decies A1 3 octinginta A: octoginta D P 6 none 4 debetur pro unoquoque mille ? A: exigit mille D P 5 ad A P: add. D2 s.l. 9 Capitulum – milibus A P: om. D addidi 7 de A P: et D 8 post milibus exp. ab P2 10 decimam tociens A: tociens decimam D P 11 similiter in omnibus aliis A D: om. P

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Capitulum de multiplicatione fractionis in integrum, que fit quattuor modis. Si uolueris multiplicare tres quartas in septem Sic facies. A numero unde denominatur quarta, scilicet quattuor, accipe tres quartas eius que sunt tres. Quas multiplica in septem et prouenient uiginti unum. Quos diuide per quattuor, et exibunt quinque et quarta, et hoc est tres quarte de septem1. 72

3 4 5 1/43

7 21 44

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Si5 uolueris multiplicare tres quartas in septem. Sic facies. Inquire aliquem numerum cuius quarta sit numerus integer. Sit ergo quattuor. Cuius tres quartas, que sunt tres, multiplica in septem et productum diuide per quattuor et exibunt quinque et quarta et hoc tres quarte de septem6. ADP

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Cuius probatio hec est7. Talis8 est enim comparatio trium qui est numerus fractionum ad quattuor qui est numerus denominationis qualis est9 comparatio trium quartarum de septem, que sunt numerus inquesitus, ad septem. Vnde sunt isti quattuor numeri proportionales. Tantum igitur fit ex ductu primi in quartum quantum ex ductu secundi in tercium. Si igitur primus scilicet tres qui est numerus fractionum multiplicetur in quartum qui est septem, et productus diuidatur per numerum denominationis qui est quattuor, exibit tertius qui queritur, et hoc est quod monstrare uoluimus10.

____________________ 1 Capitulum de multiplicatione [l. 2] – de septem A P: om. D 2 add. per 47 sume 3/4 de 45 P m.s. 3 5 1/4 A: 4 P 4 post figuram primus de multiplicatione plurimum fractionum de digitum digitum add. P m.d. 5 De capitulo multiplicandi in fractionibus (in fractionibus add. P al.man.) praem. D P 6 Si uolueris [l. 9] – de septem addidi cum P: om. A D 7 Cuius probatio hec est A P: om. D 8 Cum enim inuenitur numerus cuius quarta sit integer numerus et acceperimus eius tres quartas praem. P 9 est A: om. D P 10 post uoluimus add. Item alia causa de eodem A1 P: om. D: del. A2

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Omnis enim numerus multiplicatus in unum non est nisi ipsemet. Si igitur quarta multiplicetur in unum, non proueniet nisi1 ipsa quarta. Si uero tres quarte multiplicentur in unum non prouenient nisi tres quarte2. Si uero3 multiplicentur in septem, prouenient uiginti una quarta, que sunt tres quarte de septem. Volumus4 autem scire quotiens unum est in eis. In uno autem sunt quattuor quarte. Si igitur uiginti una quarte diuidantur per quattuor, quod exierit est id quod scire uoluisti, scilicet quinque et quarta5. AP

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Vel aliter. Multiplica numerum fractionum qui est tres in numerum integrum qui est septem, et productum diuide per quattuor, unde denominatur quarta, et exibit quod scire uoluisti6. Cuius probatio patet ex premissis7. ADP

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Item alia regula de eodem. Accipe ab integro tantam partem quantam est denominatio fractionis scilicet quarta8 integri9, multiplica eam in numerum fractionis, sicut hic in tres et productum inde est10 summa quesite multiplicationis11. DP

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Cuius probatio12 patet ex premissis. Nam comparatio trium quartarum septime de uiginti octo13 ad uiginti octo est sicut comparatio quesiti que14 est tres quarte unius septime de quindecim ad quindecim. Tantum igitur fit ex ductu primi in quartum, quantum ex ductu secundi in tercium. Si igitur multiplicetur primus qui est tres in quartum qui est quindecim et productus qui est 4515 diuidatur per secundum, exibit tercius qui est id quod querimus. Vel alia causa de hoc quod nos non16 multiplicamus numerum fractionum qui est tres in quindecim et proueniunt17 45 que sunt quarte septime nisi ad sciendum que sunt tres quarte unius septime de quindecim. Quicquid enim multiplicatur in unum non prouenit nisi idipsum18.

____________________ 1 nisi A P: add. D2 m.s. 2 Si uero tres [l. 2] – quarte A P: add. D2 m.s. 3 post uero 2 4 uolumus A: uoluimus D P 5 quarta A D: quartam P 6 Vel exp. tres quarte D aliter [l. 9] – uoluisti A P: om. D 7 Cuius probatio patet ex premissis A: om. D P 8 quarta A: quartam D P 9 post integri add. et D P 10 est A2 D P: ex A1 11 multiplica [l. 15] – multiplicationis A P: om. D (cfr punctum 13) 12 post probatio exp. 13 post uiginti (octo om. D) add. et multiplica eam in numerum fractionis, sicut huius est D2 hic in tres, et productum integri inde est summa quesite multiplicationis D (cfr punctum 11) 14 que P: qui D 15 45 P: zg D 16 non P: om. D 17 proueniunt P: prouenient D 18 idipsum D: idem ipsum P

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Si igitur multiplicentur tres quarte unius septime in unum, non prouenient nisi ipse edem. Que si multiplicentur in quindecim, prouenient 45 quarte unius septime. Que si diuidantur per septem exibunt quarte, si uero per quattuor, exibunt septime. Nam omnes septem septime quarte sunt una quarta. Et omnes quattuor quarte septime sunt una septima. Deinde si fuerint septime, diuide id quod exit per septem1. Si uero fuerint quarte, diuide per quattuor, et exibit numerus integer. Quod autem exit est tres quarte septime de quindecim et hoc est quod monstrare uoluimus. Item deinde alia regula est hec. Multiplica numerum fractionis qui est tres in quindecim, et prouenient 45. Quos2 diuide per unam quamlibet denominationum, et quod exierit iterum diuide per aliam. Et quod de ultima diuisione exierit est summa que prouenit3. Vel aliter. Multiplica semper numerum fractionum sicut in hac questione tres, in numerum multiplicantem qui est hic quindecim. Et productum diuide per numerum productum ex multiplicatione unius denominationis in aliam et exibit quod uoluisti4. Cuius probatio hec est. Oportebat enim ut 45 diuideremus per 4 et quod exit diuideremus per 7 uel e conuerso prius per 7 et deinde per 4, sicut antea diximus. Quod idem est tamquam si diuideremus 45 per productum ex 4 ductis in septem. Nam diuidere unum numerum per alium et id quod exit diuidere per tercium5 idem est quod diuidere primum per productum ex ductu unius diuidentis in alium. Quod iam manifestum est ex premissis. Item alia regula de eodem hec est6. ADP

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Item7. Si uolueris multiplicare tres quintas in quadraginta septem, uel multiplica ea secundum predictas regulas uel accipe tres quintas8 de quadraginta quinque qui est propinquior numerus ad quadraginta septem habens quintam sine fractione scilicet uiginti septem et retine. Deinde accipe suas9 tres quintas duorum remanentium10 qui sunt differentia ipsorum11 scilicet unum et quintam. Que agrega ad uiginti septem retenta, et prouenient uiginti octo et quinta, et hec est summa que prouenit12. 3 5

47 45

27 ____________________ 1 post septem add. per sex D 2 quos D2 P: quociens D1 3 Item deinde [l. 8] – que prouenit D: add. P m.d. 4 Vel aliter [l. 12] – uoluisti P: om. D 5 tercium D2 P: alium 1 6 hec est D: est hec P Cuius comparatio [l. 16] – hec est addidi cum D P: om. A D 7 Item A: De multiplicatione plurimum fractionum inde compositum P: om. D 8 in 10 add. inter 45 et 47 P quadraginta [l. 25] – tres quintas A D: om. P 9 suas exp. P2 m.s. 11 post ipsorum add. numerorum D 12 post prouenit add. Vel accipe unam quintam de quadraginta septem et multiplica eam in tres et productum erit id quod queris P

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Si1 uolueris multiplicare octo tredecimas in quadraginta sex. Sic facies. De numero a quo denominatur tredecima accipe octo tredecimas eius que sunt octo. Quas multiplica in quadraginta sex, et proueniunt 2 trescenta sexaginta octo. Quos diuide per tredecim, et exibunt uiginti octo et quattuor tredecime, et hoc est quod scire3 uoluisti. Vel aliter. Multiplica octo qui est numerus fractionum in quadraginta sex et productum diuide per numerum a quo denominatur tredecima, et exibit quod queris. Vel aliter. Accipe octo tredecimas de triginta nouem qui numerus est propinquior ad quadraginta sex ex omnibus qui sub eo sunt habens tredecimam sine fractione. Que octo tredecime sunt uiginti quattuor. Deinde accipe octo tredecimas de numero qui est4 differentia ipsorum, scilicet septem, hoc modo scilicet multiplica octo in septem et productum diuide per tredecim, et exibunt quattuor et quattuor tredecime. Quas agrega ad uiginti quattuor, fient5 uiginti octo et quattuor tredecime, et hoc est quod uoluisti. 46

8 13 8

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De multiplicatione fractionis fractionis in6 integrum7. Si uolueris multiplicare tres quartas septime in quindecim. Sic facies. Ex numeris denominationum quarte et septime multiplicatis inter8 se fac9 uiginti octo qui est numerus denominationum. Postea tres quartas septime10 eius que sunt tres multiplica in quindecim, et prouenient quadraginta quinque. Quos diuide per communem et exibit unum et quattuor septime et quarta septime11. Vel aliter. Multiplica numerum12 fractionum scilicet tres in quindecim, et prouenient quadraginta quinque, que sunt13 quarte septime. Quos diuide per 4, et exibunt undecim14 et quarta. Quos diuide per 7 et exibit unum et quattuor septime et quarta septime, et hoc est quod scire uoluisti. Vel si uolueris, multiplica tres quartas in quindecim, sicut predocuimus in precedenti capitulo, et prouenient undecim et quarta. Quos diuide per septem et exibit quod queris.

____________________ 1 De multiplicatione plurimum fractionum compositarum in compositis praem. P 5 fient 2 proueniunt A P: prouenient D 3 scire A P: monstrare D 4 est D P: add. A2 2 7 De multiplicatione – in integrum A P: om. A D: fiunt P 6 post in exp. compo P D post integrum add. Secundus. Prius de fractionibus fractionis digiti in compositum P m.s. 8 inter A P: in D 9 fac addidi cum D P: om. A 10 septime A D2 P: septimas D1 11 add. scilicet 17/28 P m.s. uid. 12 post numerum del. undecim et quattuor A2 13 post 2 14 undecim A D2 P: quindecim D1 sunt exp. tres D

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Item aliud exemplum de multiplicandis1 fractionibus fractionis compositi in compositum2. Si uolueris, multiplica3 tres septimas undecime in 36, ex multiplicatis numeris denominationum qui sunt septem et4 undecim, et5 prouenient6 77, qui est numerus communis. Cuius undecime tres septimas7 multiplica in triginta sex et productum diuide per communem et exibit8 unum et quattuor undecime et tres septime undecime, et hoc est quod scire uoluisti. Vel aliter. Multiplica tres in triginta sex et productum diuide per denominationem septime et quod exierit erunt undecime. Si uero diuississes per undecime denominationem quod exiret essent septime, tunc diuide per quam prius uolueris et quod exierit diuide per aliam, et exibit quod queris9. ADP

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Item aliud exemplum de fractionibus fractionis fractionis multiplicandis in compositum10. Cum autem fractionem fractionis fractionis11 et quantumlibet iterate in integrum multiplicare uolueris, multiplica primam denominationem in secundam 12 et productum inde multiplica in terciam, et productum inde in quartam et sic usque ad ultimam faciendo, quod prouenerit numerus denominationis erit. Deinde multiplica numerum fractionis in integrum et productum inde diuide per numerum denominationis, et quod13 exierit est summa quam requiris. Verbi gratia. ADP

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Si uolueris multiplicare tres septimas quinte octaue in 59, ex multiplicatis numeris denominationum que sunt septima et quinta et octaua facies ducenta octoginta. Cuius quinte octaue tres septimas que sunt tres multiplica in quinquaginta nouem et productum diuide per communem. Si autem fuerit minus eo denomina ab eo et denominatum erit quod queris. Vel aliter. Multiplica numerum fractionum qui est tres in 59 et prouenient centum septuaginta septem. Quos diuide per denominationem quinte et exibunt triginta quinque et due quinte. Quos diuide per denominationem septime et exibunt14 quinque et due quinte15 septime et sunt octaue. Sunt igitur quinque octaue et quinta (sic)16 septime octaue, et hoc est quod uoluisti. ____________________ 1 multiplicandis A: multiplicatione D P 2 Item aliud [l. 1] – compositum A P: om. D 3 multiplica A: multiplicare D P 4 et A P: om. D 5 et A: om. D P 6 prouenient 8 exibit A P2: exibunt D P1 9 post A D: proueniet P 7 post septimas exp. i P2 queris add. Vel aliter. Tres septimas de triginta sex diuide per undecim et exibit quod queris D P 10 Item aliud [l. 13] – compositum A P: om. D 11 fractionis A P: om. D 12 secundam 14 triginta quinque [l. 30] – exibunt A D: add. A P: secunda D 13 quod D P: add. A2 15 et due quinte A P2: due et quinte D: due et quinta P 1 16 quinta false A D in P2 m.d. due quinte corrigendum: om. P

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Si autem diuisisses prius centum septuaginta septem per denominationem septime et deinde quod exiret diuississes per denominationem quinte, et deinde quod exiret diuisisses per denominationem octaue, benefieret. Prepone diuisionem per quam denominationem prius uolueris et per quam posterius uolueris. Vel si uolueris tres septimas de quinquaginta nouem, diuide per denominationem septime, et quod exierit diuide per denominationem octaue. Omnibus his modis recte fit. Si autem iteratur fractio fractionis quater1, fac ibi secundum quod predictum est. ADP

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De multiplicatione fractionis et fractionis fractionis in integrum2. Si uolueris multiplicare quinque septimas et tres quartas septime in decem, ex denominationibus que sunt quarta et septima facies numerum communem qui est uiginti octo. Cuius quinque septimas agrega ad tres quartas septime eius. Et agregatum multiplica3 in decem et productum diuide per communem et exibunt octo et septima et dimidia septima. Et hoc est quod scire uoluisti. Cuius probatio est eadem que precessit. Vel aliter. Multiplica numerum fractionum scilicet quinque et tres quartas in decem et prouenient 57 et dimidium que omnes sunt septime. Quas diuide per denominationem septime et exibunt octo et4 septima et dimidia5 que sunt quinque septime et tres quarte septime de decem. Et hoc est quod uoluisti. Si autem addideris fractiones, ita ut uelis multiplicare tres septimas decime et quartam septime decime in quinquaginta quattuor. Sic facies. Ex multiplicatis6 inter se numeris denominationum que sunt septima et7 decima et quarta proueniunt ducenta octoginta, qui est numerus communis. Cuius decime tres septimas agrega ad quartam septime decime eius, et fient tredecim. Quas multiplica in quinquaginta quattuor, et prouenient8 sexcenta duo9. Quos diuide per communem et exibunt duo et quinque decime et dimidia septima decime, et hoc est quod uoluisti. Vel multiplica numerum fractionum qui est tres et quartam in quinquaginta quattuor, et prouenient centum septuaginta 10 et dimidium. Quos diuide per denominationem septime et exibunt uiginti quinque et dimidia septima. Quos diuide per denominationem decime et exibunt duo et quinque decime et dimidia septima decime. Et hoc est quod scire uoluisti.

____________________ 1 post quater add. uel sepius D P 2 De multiplicatione – integrum A P: om. D 3 multiplica A D: multiplicam P 4 et addidi cum D P: om. A 5 post dimidia exp. et 6 multiplicatis A D P2: multiplicatos P1 uid. 7 et A2 D P: om. hoc P2: exp. septima D2 1 2 8 prouenient A D: proueniet P 9 add. 702 A s.l. 10 quinque addidi A uid.

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Si autem uolueris multiplicare quattuor undecimas et quintam undecime1 in triginta sex, ex denominationibus que sunt undecima et quinta facies numerum communem qui est quinquaginta quinque. Cuius quattuor undecimas agrega ad quintam undecime eius et agregatum multiplica in triginta sex et productum diuide per communem, et exibunt de diuisione tres et octo undecime (sic)2, et hoc est quod uoluisti scire. Vel aliter. Multiplica quattuor et quintam qui est numerus fractionum in 36, et prouenient 151 et quinta. Quas diuide per denominationem undecime et exibit quod queris3. ADP

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Cum4 uis multiplicare unam quartam in unam octauam, nichil aliud uis nisi de octaua accipere talem comparationem qualem habet quarta5 ad unum. Patet igitur ex hoc quod ex6 multiplicatione fractionis in fractionem id quod prouenit est ueluti si nomen unius adiungas alii et unum penderet7 ex alio. Cum igitur multiplicatur quarta in octauam, non aliud prouenit quam quarta8 octaue et similiter in omnibus. Oportet igitur ut cum multiplicatur triplum quarte quod est tres quarte in quincuplum octaue quod est quinque octaue proueniat quindecuplum quarte unius octaue9. Et ob hoc, cum multiplicamus numerum fractionis in numerum fractionis, proueniunt 15 que sunt quarte unius octaue. Quas si diuiseris per octo10, exibunt quarte. Si uero per quattuor, exibunt octaue11, sicut in premissis ostendimus. ADP

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Si12 uolueris multiplicare tres quartas in quinque octauas, unumquemque numerum denominationis qui sunt quattuor et octo pone sub suo latere. Ex quibus inter se multiplicatis prouenient triginta duo qui est numerus prolatus13. Deinde suas tres quartas numeri denominationis quarte que sunt tres multiplica in quinque octauas denominationis octaue que sunt quinque, et prouenient quindecim. Quos denomina a prolato (sic)14 et erunt tres octaue et tres quarte octaue. Et hoc est quod uoluisti. ____________________ 1 post undecime exp. in triginta quinque cuius quatuor D2 2 tres et octo undecime false D P in tredecim et octo undecime et quinte undecime corrigendum 3 post queris add. quartus hic 4 post cum add. decem D2 m.s. P m.s. Si autem [l. 2] – quod queris addidi cum D P: om. A 7 penderet A2 D: aliquis D 5 quarta A P: quartam D 6 ex A P: add. D2 s.l. 8 post quarta add. octaue D: add. octaua P uid. 9 unius octaue A2: penderat A1 P 1 2 1 10 octo add. A s.l.: septem A D P 11 octaue septime unius A D: unius septime P: 12 praem. quartus hic decem (P m.s.) De multiplicatione add. A2 s.l.: septime A1 D P fractionis in fractionem que similiter fit quattuor modis P: praem. quartus hic decem similiter hic IIII modis D m.s. 13 prelatus D P: prolatus A 14 prolato A: prelato P2: prelato 1 communi D P

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Première partie du Liber mahameleth

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Cuius probatio hec est. Sit denominatio quarte a, denominatio uero octaue sit b. Tres autem quarte denominationis quarte sint g. Quinque uero octaue denominationis octaue sint d. Si igitur diuiseris g per a exibunt tres quarte, si uero diuiseris d per b, exibunt quinque octaue. Nos autem uolumus1 multiplicare tres quartas in 5 octauas, quod idem est quod diuidere g per a et d per b, et eorum2 que exeunt de utraque diuisione multiplicare unum in aliud, et hoc etiam idem est quod diuidere productum ex multiplicatione g in d et3 per productum ex multiplicatione a in b, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.25: A, fol.119 r m.d.; D, fol.10 r s; P, fol.31 v d. 10

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ADP Vel multiplica numerum quartarum in numerum octauarum scilicet quinque in tres et prouenient quindecim. Quos diuide per denominationem quarte et exibunt tres et tres quarte. Quas diuide per octo et omnes sunt octaue. Sunt ergo tres octaue et tres quarte octaue. Si autem prius diuisisses eas per denominationem octaue quod exiret essent quarte. Cuius probatio manifesta est. Scimus namque quod multiplicare fractionem in integrum uel in aliam fractionem idem est quod accipere de multiplicante talem comparationem qualem habet multiplicandus ad unum. Verbi gratia. Multiplicare enim duas quintas in octo nichil aliud est quam accipere duas quintas de octo que sunt in eadem comparatione4 ad octo in qua sunt due quinte ad unum, sicut prediximus. Si autem uolueris multiplicare tres septimas in nouem tredecimas denominationem septime pone sub suo latere, et denominationem tredecime similiter sub suo latere. Quarum alteram multiplica in alteram, scilicet septem in tredecim, et prouenient nonaginta unum qui est numerus communis. Cuius tres septimas de septem que sunt tres deinde5 multiplica in nouem tredecimas de tredecim que sunt nouem, et prouenient uiginti septem. Quos denomina a numero communi et erunt tres tredecime et sex septime tredecime unius, et hoc est quod scire uoluisti. ____________________ 1 uolumus A P: uoluimus D 2 eorum A D: add. P m.d. 4 comparatione A P: comparationem D 5 deinde A P: add. P2 m.s.

3 et A: om. D P

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Vel aliter. Multiplica tres qui est numerus fractionum in nouem qui est numerus tredecimarum et prouenient uiginti septem. Quos diuide per denominationem septime et exibunt tres et sex septime que sunt1 tredecime. Si autem diuisisses prius uiginti septem per denominationem tredecime exirent duo et una tredecima que sunt septime. De multiplicatione fractionis fractionis in fractionem2. Si uolueris multiplicare tres quartas quinte in septem octauas, ex denominationibus fractionum unius lateris que sunt quarta et quinta multiplicatis inter se proueniunt uiginti. Quos pone sub suo latere. Deinde3 numerum4 denominationis alterius lateris qui est octo pone sub suo (sic)5 latere. Deinde multiplica uiginti in octo, et prouenient centum sexaginta, qui6 sunt numerus prolatus7. Deinde tres quartas quinte de uiginti scilicet tres multiplica in septem octauas de octo, et prouenient uiginti unum. Quos denomina a numero prolato8 et inuenies quod9 sunt octaua et quarta quinte octaue, et hoc est quod scire uoluisti. Cuius probatio manifesta est ex premissis. Vel aliter. Multiplica numerum fractionum10 in numerum11 aliarum12 fractionum, et prouenient uiginti unum, que sunt quarte quinte octaue. Nam cum multiplicatur quarta quinte in octauam13, non prouenit nisi quarta quinte octaue. Cum igitur14 multiplicantur tres quarte quinte in15 septem16 octauas, proueniunt17 uiginti una18 quarte19 quinte octaue. Quos diuide per denominationem quarte, et exibunt quinque et quarta. Quos iterum diuide per denominationem quinte, et exibit unum et quarta quinte. Quas iterum diuide per denominationem octaue, et exibunt octaua et quarta quinte octaue. Et hoc est quod scire uoluisti. Diuide autem uiginti unum per quam prius uel posterius denominationem uolueris, et idem proueniet et ita in omnibus consimilibus. Si uolueris multiplicare quattuor quintas undecime in unam nonam, ex denominationibus fractionum que sunt quinta et undecima facies quinquaginta quinque quos pone sub suo latere. Deinde numerum unde denominatur nona alterius lateris scilicet nouem pone sub suo latere. Deinde multiplica nouem in 55 et productus est numerus prolatus20. Deinde quattuor quintas de quinquaginta quinque (sic)21 que sunt quattuor multiplica in unam nonam, et prouenient quattuor. Quos denomina a numero prolato22 et denominatum erit quod uoluisti.

____________________ 1 post sunt del. se A2 2 De multiplicatione – fractionem A P: add. D2 post fractionem add. 4 numerum A P: add. D2 fractionis D 3 post deinde exp. multiplica uiginti D2 2 m.d. 5 suo A: alio D P 6 post qui exp. sunt de D 7 prolatus A: prelatus D P 8 prolato A: prelato D P 9 quod A P: que D 10 fractionum A P: fractionis D 12 aliarum D P: add. A2 13 octauam A P: octaue D 11 numerum A D2 P: unum D1 16 septem A P: septime D 14 igitur A P: om. D 15 in A P: add. D2 s.l. 17 proueniunt A P: prouenient D 18 una A P: unam D 19 quarte A D P2: quarta P1 20 prolatus A: prelatus D P 21 de quinquaginta quinque false A D P in undecime corrigendum 22 prolato A: prelato D P

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Vel multiplica unum in quattuor et1 non2 erunt nisi quattuor. Quos diuide per quinque et quod exit per nouem et quod exit per undecim. Et exibunt quattuor quinte unius none unius undecime3. Vel si uolueris, dic quattuor quintas unius undecime unius none. Poteris proponere4 comparationem cuius uolueris fractionis et postponere quam uolueris et idem prouenit. De multiplicatione fractionis fractionis in fractionem fractionis5. Si uolueris multiplicare tres quartas quinte in septem octauas sexte, ex denominationibus que sunt quarta et quinta fient uiginti. Quos pone sub suo latere. Deinde ex denominationibus alterius lateris que sunt octaua et sexta multiplicatis inter se fient6 quadraginta octo. Quos multiplica in uiginti et fient nongenta et sexaginta qui est numerus prolatus7. Deinde tres quartas quinte de uiginti que sunt tres multiplica in septem octauas sexte8 de quadraginta octo que sunt septem et prouenient uiginti unum. Quos denomina a numero prolato9, et erunt10 una octaua sexte et quarta quinte octaue sexte. Cuius probatio patet ex premissis. Vel aliter. Multiplica numerum fractionum qui est septem in tres, et prouenient uiginti unum que sunt quarte quinte sexte octaue. Quas diuide per quam prius denominationem fractionis uolueris. Si autem prius diuiseris per quattuor exibunt quinque et quarta. Quas iterum diuide per quinque et exibit unum et11 quarta quinte. Deinde hos diuide per sex et quod exierit diuide per octo et erunt ad ultimum sexta octaue et quarta quinte sexte octaue. Si uero prius diuides (sic)12 per sex, exirent tres et dimidium. Quos tres et dimidium diuide per quattuor et exirent septem octaue, que diuise per quinque exirent septem octaue quinte. Si uolueris multiplicare quattuor quintas none in septimam undecime, multiplica sicut predictum est ad faciendum numerum communem. Vel multiplica unum in quattuor et prouenient quattuor, que sunt quattuor quinte none septime undecime. Quas diuide per quam prius denominationem uolueris, et quod ad ultimum exierit erit quattuor quinte none septime undecime. Vel si uolueris, dic quod sunt quattuor septime none quinte undecime. Et omnibus his modis recte prouenit. Et secundum hoc fac quotiens fractionem fractionis iterare uolueris. Si13 uolueris multiplicare quinque septimas et tres quartas septime in decem undecimas, ex denominationibus fractionum que sunt septima et quarta multiplicatis inter se, prouenient uiginti octo. Quos multiplica in denominationem undecime que est undecim, et prouenient trescenta octo qui est numerus prolatus14. Deinde quinque septimas de uiginti octo agrega ad tres quartas septime eius et ____________________ 1 et A P: om. D 2 non A P: inde D uid. 3 undecime A D: decime P 4 proponere A P: preponere D 5 De multiplicatione – fractionis A P: om. D 6 fient A2 D P: fit A1 7 prolatus A: prelatus D P 8 sexte A D: add. P2 m.d. 9 prolato A: prelato D P 2 11 et addidi cum D P: om. A 12 diuides A D: 10 post erunt add. ex A s.l. uid. diuideres P 13 De multiplicatione fractionis cum sua fractione in fractionem praem. P 14 prolatus A: prelatus D P post prelatus add. communis P

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fient uiginti tres. Quas multiplica in decem undecimas de undecim et prouenient ducenta et triginta. Quos denomina a prolato1 et erunt octo undecime et septima undecime et dimidia septima undecime, et hoc est quod uoluisti. Cuius probatio consimilis est precedenti nec differunt in aliquo. Vel aliter. Multiplica quinque et tres quartas qui est numerus septimarum in decem qui est numerus undecimarum et prouenient quinquaginta septem et dimidium que sunt septime undecimarum. Quas2 si diuiseris per septem erunt undecime. Si uero per undecim erunt septime. Igitur diuide eas per denominationem septime et exibunt octo et septima et dimidia septima. Quas diuide per denominationem undecime et erunt octo undecime et septima undecime et dimidia septima undecime. ADP

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Vel aliter. Multiplica decem undecimas in quinque et tres quartas, sicut supradocuimus, et que prouenient erunt undecime. Quas diuide per septem et exibit quod uolueris. Vel aliter. Multiplica quinque septimas in decem undecimas et erunt septem undecime et septima undecime. Deinde multiplica tres quartas septime in decem undecimas et proueniet3 una undecima et dimidia septima undecime. Quam agrega prioribus et fient octo undecime et septima undecime et dimidia septima undecime. Et hoc est quod uoluisti. ADP

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Similiter si uelles multiplicare tres quintas4 septime et quartam quinte septime in quinque sextas octaue, ex denominationibus que sunt quinta et septima et quarta inter se multiplicatis, prouenient centum quadraginta. Quos pone sub suo latere. Deinde ex denominationibus alterius lateris que sunt sexta et octaua inter se multiplicatis, prouenient quadraginta octo. Quos pone sub suo latere. Deinde multiplica alterum5 in alterum et productus erit numerus prolatus6. Deinde tres quintas septime de centum quadraginta agrega ad quartam quinte septime eius et agregatum multiplica in quinque sextas octaue de quadraginta octo et productum denomina a prolato7 et erit quod uoluisti. Vel multiplica tres et quartam in quinque, et prouenient sexdecim et quarta8, que sunt quinte sexte septime octaue. Quas9 diuide per quamcumque denominationem prius uolueris et quod exierit per aliam10, sic usque ad ultimam. Si autem prius diuiseris per quinque exibunt tres et quarta que sunt tres

____________________ 1 4 6 9

prolato A: prelato D P 2 post quas del.? A2 3 proueniet A P: prouenient D 2 1 5 alterum A2 uid. D: laterum P: unum alterum A1 quintas A D P : quartas P uid. prolatus A: prelatus D P 7 prolato A: prelato D P 8 quarta A P: quartam D quas A D: quos P 10 post aliam add. et D P

86

5

10

Première partie du Liber mahameleth

septime sexte octaue et quarta septime sexte octaue. Si uero prius diuiseris per sex et1 deinde per octo et postea per quinque2 et postea per septem, et3 exibit octaua (sic)4 quinte septime et quattuor sexte octaue quinte septime et quarta5 sexte octaue quinte septime, et hoc est quod uoluisti. Cetera huiusmodi considera secundum hoc. Amodo incipiam agere de conuersione fractionum inter se, quod necessarium est ad ea que restant de fractionibus multiplicandis ei qui illas multiplicare uoluerit secundum regulas alias, de quo prius loqui non potui. Nam fractiones de quibus hucusque egimus alie pendent ex aliis. Vnde conuenientius est hic loqui6 de conuersione earum inter se. Capitulum de conuersione fractionum in alias fractiones que fit quinque modis7. Primus. De conuersione fractionis in fractionem8. ADP

15

20

Si uolueris scire tres quarte quot9 quinte sunt, sensus huius questionis est quod aliquid unum diuiditur in quattuor partes et iterum in quinque partes et ideo uis scire tres illarum partium per quas aliquid unum10 diuiditur in quattuor quot istarum partium sunt per quas illud unum diuiditur in quinque, quod cum ita sit. Manifestum est quod comparatio trium partium ad quattuor partes que sunt unum integrum11 est sicut comparatio partium quesitarum ad quinque partes que sunt unum integrum similiter. Multiplica igitur has tres in quinque et productum diuide per quattuor partes12, exibunt tres et tres quarte qui est numerus quintarum que sunt in tribus quartis que sunt tres quinte et tres quarte quinte13. ADP

25

DP

Si autem uolueris scire tres octaue quot decime sunt. Sic facies. Semper multiplicabis numerum14 fractionum conuertendarum15 et denominationem fractionis in quam sunt conuertende, sicut hic multiplica tres in decem et prouenient 30.

____________________ 3 et A: om. D P 4 octaua false A 1 et A P: om. D 2 quinque A2 D P: octo v A1 6 loqui A P: add. D2 m.s. D P in due octaue corrigendum 5 post quarta exp. quinte P2 8 Capitulum [l. 10] – in fractionem A P: om. D 9 post quot 7 post modis exp. et P2 add. inde D 10 aliquid unum A D: unum aliud P 11 post integrum exp. similiter D2 12 post partes add. et D P 13 qui est [l. 20] – quinte A D (iter. D2 m.d. et deinde exp. D3) P 2 15 post conuertendarum add. unius siue plurium P2 m.d. 14 numerum A D: add. P m.d.

Première partie du Liber mahameleth

Quas diuide per octo et exibunt tres et tres quarte. Quas iterum diuide per decem et exibunt tres decime et tres quarte decime. 5

10

15

Si autem uolueris scire quattuor septime quot sexte sunt, multiplica quattuor septimas in sex et prouenient tres et tres septime que sunt tres sexte et tres septime sexte. Si uolueris scire una quinta quot tredecime est, multiplica quintam in tredecim et prouenient duo et tres quinte que sunt due tredecime et tres quinte tredecime, et hoc est quod uoluisti.

20

1 5 5

87

Quos diuide per denominationem conuertendarum scilicet septem, et exibunt tres et tres septime. Quas iterum diuide per sex et exibunt tres sexte et tres septime unius sexte et hoc sunt quattuor septime.

Similiter si uolueris scire una quinta quot tredecime est, multiplica numerum fractionis scilicet unum1 in tredecim et non sunt nisi tredecim. Quos diuide per quinque et exibunt duo et tres quinte. Quos iterum diuide per tredecim et exibunt tres tredecime et tres quinte unius tredecime, et hec est una quinta2. 13 13

AP Capitulum de conuertenda fractione et fractionis fractione in fractionem3. ADP

25

Si uolueris scire quinque septime et due tercie septime quot undecime sunt, tu scis quod comparatio quinque et duarum terciarum ad septem est sicut comparatio quesiti ad undecim. Multiplica4 quinque et duas tercias in undecim, et productum diuide per septem et exibit quod uoluisti.

____________________ 1 unum P: numerum D 2 Quos diuide [l. 1b] – una quinta addidi cum D: om. A: exp. 3 Capitulum de conuertenda – fractionem A P: om. D 4 post multiplica add. P2uid. igitur D P

88

Première partie du Liber mahameleth

ADP

5

Similiter si scire uolueris1 tres octaue et dimidia octaua quot decime sunt, multiplica tres octauas et dimidiam octauam in decem a quo2 denominatur decima et prouenient quattuor et tres octaue. Que diuide per decem et exibunt quattuor decime et tres octaue unius decime, et hec sunt tres octaue et dimidia octaua. 3 4 2 8

10

4 3 8

10

Si autem uolueris scire quattuor undecime et tercia unius undecime quot octaue sunt, multiplica quattuor undecimas et terciam in octo3 et proueniunt tres et una undecima integri (sic)4 et due5 tercie unius undecime. Que diuide per octo et exibunt tres octaue et tercia undecime unius octaue (sic)6 et hec7 sunt quattuor undecime et tercia undecime.

15

Capitulum de conuertenda fractione fractionis in fractionem8. Si uolueris scire tres quarte unius decime quot sexte sunt, multiplica tres quartas decime in sex et prouenient decem et octo quarte unius decime que sunt quattuor decime et dimidia decima. Quas diuide per sex et exibunt quattuor decime unius sexte et dimidia decima sexte. 3 4 1 10

6

Si autem uolueris scire tres quinte unius undecime quot octaue sunt, multiplica tres quintas unius undecime in octo et prouenient uiginti quattuor 9 que sunt quattuor undecime et quattuor quinte unius undecime. Quas

____________________ 1 uolueris A P: uoluis D 2 a quo A P: et quot D 3 octo A P: octauo D 4 et una undecima integri A: integri et una undecima D P 5 due A D: duo P 6 tercia undecime unius octaue false A D P in una undecima octaue et due tercie unius undecime unius octaue corrigendum 7 hec A P: hoc D 8 Capitulum de conuertenda – fractionem A P: om. D 9 quintas unius undecime addidi

Première partie du Liber mahameleth

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diuide per octo et exibunt quattuor undecime unius octaue et quattuor quinte unius undecime unius octaue. 3 5 1 11 24

5

8

8

Capitulum de conuertenda fractione fractionis in fractionem fractionis1. Si uolueris scire tres septime unius octaue quot sexte unius decime sunt, multiplica tres septimas octaue in numerum prouenientem ex multiplicatis denominationibus inter se scilicet2 sexaginta. Sexies3 enim decem sexaginta fiunt et prouenient4 tres et septima et dimidia septima. Quas diuide per 60, et exibunt tres sexte unius decime et septima sexte unius decime et dimidia septima unius sexte unius decime. 65

3 5(sic)6 1

11 45

1 8 60 10

15

20

ADP Vel aliter. Ex ductu septem in octo qui numeri sunt denominationum, et7 proueniunt quinquaginta sex. Deinde ductis inter se numeris aliarum denominationum que sunt sexta et decima proueniunt sexaginta. Multiplica postea8 tres in sexaginta, et productum diuide per9 quinquaginta sex et exibit quod uoluisti. Similiter facies quotquot fuerint fractiones siue tres siue plures. Scilicet ex denominationibus omnium fractionum conuertendarum ductis in se, fac numerum unum. Et ex aliis in quas sunt10 conuertende similiter alium. Deinde11 tot partes tales12 uel tales13 numeri, quot partes sunt huius uel illius numeri. Tunc multiplica primum numerum qui est numerus fractionum conuertendarum in ultimum siue ____________________ 1 Capitulum de conuertenda – fractionis A P: om. D 2 post scilicet exp. septimas D2 2 1 3 sexte A D P: sexagin D 4 prouenient A: proueniunt D P 5 5 A P: 7 add. D m.s. 6 6 add. A m.s. D m.s. P m.s. 7 et A: om. D P 8 multiplica postea A D: postea 10 sunt A P: add. D2 multiplica P 9 post per add. quinquaginta P1uid. m.d. 11 post deinde add. dic tot uel D P 12 tales A P: talis D 13 tales A P: talis D

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Première partie du Liber mahameleth

quartum qui est numerus productus ex numeris denominationibus fractiones in quas conuertantur1 ductis in se et productum inde diuide per secundum qui est numerus productus ex numeris denominantibus fractiones conuertendas ductis in se 2, et exibit tercius qui queritur. 5

10

ADP Si autem uolueris3 scire quinta unius septime quot octaue unius undecime4 est, multiplica quintam septime in octingenta (sic)5 octo qui numerus prouenit ex multiplicatione denominationum inter se, et prouenient6 duo et tres quinte unius septime et tres septime. Quas diuide per octoginta octo, et exibunt due octaue unius undecime et tres septime unius octaue unius undecime et tres quinte unius septime unius octaue unius undecime. 5 1 7

8 1 11

ADP

15

Si autem in his et7 in illis fractionibus utriusque ordinis aliqua una fractio repetatur (sic)8 pretermittetur, ueluti si queras quinque sexte octaue septime quot undecime sunt quinte octaue. Reicies9 octauam pro octaua10 et dices quinque sexte11 septime quot undecime unius quinte sunt, tunc facies sicut supra ostensum est. ADP

20

Vel si quesieris tres quarte unius sexte quot sexte unius septime sunt, quia in utraque parte sunt fractiones consimiles, pretermittes12 eas sicut hic sextam et sextam, et restabit ut multiplices tres quartas in septem, et prouenient quinque et quarta. Quas diuides per quadraginta duo qui numerus prouenit ex multiplicatione denominationum in se scilicet sexte et septime, et exibunt quinque sexte unius septime et quarta sexte13 septime. 3 4 1 6

6 1 7

____________________ 1 conuertantur A P: conuer(ten)darum D 2 et quod exit multiplica per quartum 4 undecime A D: decime P 5 octingenta A: addidi 3 post uolueris exp. in P2 octoginta D P 6 prouenient A P: proueniet D 7 et addidi cum D P: om. A 10 pro octaua addidi cum D P: 8 repetatur A: repetitur D P 9 reicies A D2 P: reicie D1 12 pretermittes A2 D P: pretermites A1 13 post om. A 11 post sexte exp. octa P2 sexte add. unius D P

Première partie du Liber mahameleth

5

91

De conuertendo fractionem fractionis et fractionem fractionis1 fractionis2 in fractionem fractionis3. Si uolueris scire tres octaue unius decime et dimidia octaua unius decime quot sexte unius septime sunt, multiplica tres octauas decime et dimidiam octaue decime in quadraginta duo, qui numerus prouenit ex ductu denominationum in se scilicet sexte et4 septime, et prouenient unum5 integrum et octo decime et tres octaue unius decime. Quas diuide per 42, et exibit una sexta septime et octo decime sexte septime et tres octaue decime sexte septime. 3 8

6 1 7

1 10 12 (sic)6 8 1 10

10

15

Si autem uolueris scire quattuor septime unius decime et dimidia septima decime quot decime unius tredecime sunt, pretermitte decimam cum decima quoniam similes sunt, sicut predictum est, et multiplica quattuor septimas et dimidiam 7 septimam in tredecim. Vnde denominatur tredecima, et prouenient octo et due septime et dimidia septima. Quas diuide per centum triginta qui numerus prouenit ex ductu denominationum in se scilicet decem et tredecim, et exibunt octo decime unius tredecime et due septime decime unius tredecime et dimidia septima decime tredecime. Similiter facies in omnibus aliis. 4 7

10 1 13

1 10 12 (sic)8 7 10

____________________ 1 fractionis A2 D P: fractis A1 2 post fractionis exp. fractionis P2 3 De conuertendo [l. 1] – fractionis A P: om. D 4 et A P: om. D 5 unum A P: numerum D 6 12 A 8 12 A P: 2 D P: 7 D 7 dimidiam A D2 P: decimam D1

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Première partie du Liber mahameleth

ADP

5

10

15

20

Capitulum de multiplicatione fractionis in integrum et fractionem1 Si uolueris multiplicare quinque septimas2 in sex et duas tercias. Sic facies. Numeros denominantes fractiones qui sunt septima et3 tercia duc in se et prouenient uiginti unum que (sic)4 sint prelatus. Cuius quinque septimas que sunt quindecim multiplica in sex et duas tercias et productum diuide per prelatum et exibit quod uoluisti. Cuius probatio manifesta est. Nam comparatio quinque septimarum de uiginti uno ad uiginti unum est sicut comparatio quinque septimarum de sex et duabus terciis ad sex et duas tercias. Cum igitur multiplicaueris quinque septimas de uiginti uno in sex et duas tercias et productum diuiseris per uiginti unum, exibit quod queritur. Vel aliter. Multiplica quinque in sex et duas tercias et productum diuide per septem et exibit quod queritur. Cuius probatio patet ex premissis. Vel aliter. Multiplica quinque septimas5 in sex et exibunt quattuor et due septime. Deinde multiplica quinque septimas in duas6 tercias et exibunt tres septime et tercia septime. Quas agrega ad quattuor et duas septimas et erunt quattuor et quinque septime et tercia septime, et hoc est quod uoluisti. Cuius probatio patet ex premissis in capitulo de multiplicatione7 iteratorum milium et ex secundi libri euclidis primo theoromate (sic)8. ADP

25

30

35

Capitulum de multiplicatione integri et fractionis in integrum et fractionem9. Cum uolueris quattuor et quinque octauas multiplicare in nouem et tres quintas. Sic facies. Multiplica denominationem unius fractionis in denominationem alterius, sicut hic octo in10 quinque, et fiunt quadraginta qui est numerus prelatus. Deinde integrum multiplicandi lateris et fractionem eius conuerte in ultimum genus sue denominationis scilicet octauas hoc modo. Multiplica integrum multiplicandi lateris scilicet quattuor in numerum sue denominationis scilicet octo et11 fiunt 32. Quibus additis quinque, qui est numerus fractionis, fiunt triginta septem quos pone per se. Deinde aliud latus conuerte in quintas simili modo scilicet multiplica integrum quod est nouem in quinque qui est numerus fractionis et fiunt 45, quibus additis tribus qui sunt numerus fractionis12 et fiunt 48. Quos multiplica in 3713 alterius lateris fient 1776. Quos diuide per communem numerum scilicet 40 et exeunt 44 integri et due quinte, et hoc est quod ex multiplicatione suprapositorum prouenit. ____________________ 3 et A P: 1 Capitulum de – fractionem A P: om. D 2 septimas A D2 P: septima D1 6 in duas iter. P1 om. D 4 que A: qui D P 5 quinque septimas iter. A1 7 multiplicatione A P: multiplicatio D 8 theoromate A D P 9 add. Primus. Multiplicatio integri et fractionis in integrum et fractionem quinque modis fit D 2 m.d. P2 m.s. Capitulum de multiplicatione – fractionem A P: om. D 10 in A P: et D 11 et A P: add. 12 fractionis A P: fractionum D 13 post 37 add. et D1 D2 s.l.

Première partie du Liber mahameleth

4 5 8 8

93

9 3 5 5 40

37

48 1776 44 16 40

1

ADP

5

10

Cuius probatio patet ex his que dicta sunt in capitulo de multiplicatione fractionis in fractionem. Sed tamen repetam ut magis commendetur memorie. Ostendam etiam quomodo potuit induci hec probatio in unoquoque capitulo de multiplicatione fractionum. Quattuor ergo et quinque octaue sint a. Nouem uero et tres quinte sint2 b. Id uero unde denominatur octaua sit g. Denominatio uero quinte sit d. Multiplicetur autem a in g et proueniat h, et b in d et proueniet3 z. Ex ductu igitur a in g proueniet4 h. Cum igitur diuiseris h5 per g exibit a6. Ex ductu autem b in d prouenit z. Si igitur diuiseris z per d exibit b. Nos autem uolumus7 multiplicare a in b, quod idem est quod diuidere h per g et diuidere z per d et eorum que de utraque diuisione exeunt8 multiplicare unum in aliud, quod etiam idem est quod diuidere id quod exit9 ex ductu h in z per productum ex ductu g in d. Idem est igitur multiplicare a in b quod multiplicare h in z et productum diuidere per productum ex multiplicatione g in d, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.26: A, fol.121 v sub textu; D, fol.10 v d; P, fol.32 r d.

____________________ 1 1776 A D P: 1770 P m.d. 2 post sint add. ? A 3 proueniet A: proueniat D P 6 a A D1P: b D2: a D3 7 uolumus 4 proueniet A: prouenit D P 5 h iter. P2 m.d. 8 exeunt A D: om. P 9 exit A: prouenit D P A P: uoluimus mulumus D1: uoluimus D2

94

Première partie du Liber mahameleth

AD

5

10

15

20

25

30

35

Quotiens ex multiplicatione integri et fractionis in integrum et fractionem proueniunt quadraginta, quanti sunt multiplicans et multiplicatus numerus. Sic facies. Integrum et fractionem scilicet multiplicandum uel multiplicantem pone quemlibet numerum, uerbi gratia quattuor et tres octauas. Per quos diuide quadraginta et exibunt nouem et septima, et tantus est alter numerus. Cum igitur multiplicaueris quattuor et tres octauas in nouem et septimam prouenient quadraginta, et hoc est quod uoluisti. Si uero numerum primum posueris quinque et tres quintas, diuides per illos quadraginta, et exiet secundus numerus septem et septima. Cum igitur multiplicaueris quinque et tres quintas in septem et septimam, prouenient quadraginta. Similiter si posueris numerum primum tres et tres quartas et diuiseris per illos quadraginta, exient decem et due tercie, qui est numerus secundus. Si igitur multiplicaueris tres et tres quartas in decem et duas tercias, prouenient quadraginta. Similiter facies semper, scilicet alterum numerorum uel multiplicantem1 uel multiplicatum pones quemlibet numerum et quamlibet fractionem. Per que diuides propositam summam, et exibit alter. Similiter si2 dicatur quod ex ductu fractionis in integrum et fractionem proueniunt quadraginta inde facies. Pones scilicet fractionem quamlibet fractionem ueluti tres quartas. Per quas diuides propositam summam que est quadraginta, et exibunt quinquaginta tres et tercia, et hic est alter numerus. Si igitur multiplicaueris tres quartas in quinquaginta tres et terciam, exibunt quadraginta, et hoc est quod uoluisti. Cetera omnia huiusmodi considera secundum hoc3. ADP In hoc autem capitulo est etiam alia probatio facilior. Videlicet ut quattuor et quinque octaue sint4 a. Nouem uero et tres quinte sint b. Multiplicetur autem [in]5 a in b et proueniant (sic)6 g. Et sit (sic)7 id quod queritur. Deinde denominatio octaue sit d in quem8 multiplicentur quattuor et quinque octaue9, et10 proueniant (sic)11 h. Ex ductu igitur a in b prouenit g. Et ex ductu eius in d prouenit h. Talis est igitur comparatio de g ad h, qualis est comparatio de b ad d. Deinde denominatio quinte sit k in quam multiplicentur nouem et tres quinte, et proueniat z. Et ex ductu d que est denominatio octaue in k que est denominatio quinte, proueniant (sic)12 t. Ex ductu igitur b in k prouenit z. Et ex ductu d in k prouenit t. Talis est igitur comparatio de z ad t qualis est comparatio de b ad d. Iam autem erat13 comparatio de b ad d sicut comparatio de g ad h. Igitur ____________________ 1 uel multiplicantem A: om. D 2 si A: om. D 3 Quotiens ex [l. 3] – secundum hoc A D: om. P 4 sint A P: sunt D 5 emendaui in quod fallaciter post autem addidit A 6 proueniant A: proueniat D P 7 sit A: fit D P 8 quem A: quam D P 9 sit d – 10 et A P: add. D2 m.s. 11 proueniant A: proueniat D P octaue A P: add. D2 m.d. 12 proueniant A: proueniat D P 13 erat A D: erit P

Première partie du Liber mahameleth

5

95

comparatio de g ad h est sicut comparatio1 de z ad t. Id2 igitur quod fit ex ductu z in h equum est ei quod fit ex ductu g in t. Si igitur multiplicetur z in h3, qui est productus ex multiplicatione nouem et trium quintarum in quinque4, qui est productus ex multiplicatione quattuor et quinque octauarum in octo, et productus diuidatur per t, qui est productus ex multiplicatione denominationum duarum fractionum, exibit g, que est idem5 quod querimus, et hoc est quod monstrare uoluimus. Quisquis autem has duas probationes diligenter attenderit et plene cognouerit, poterit eas inducere ad probandas6 omnes multiplicationes fractionum.

Fig.27: A, fol.123 r; D, fol.11 r s; P, fol.32 r d.

ADP 10

15

20

25

Vel aliter. Si uolueris secundum differentias predicta multiplicabis, uidelicet multiplicando quattuor in nouem et fient 36. Deinde multiplicando quinque octauas in nouem et fiunt 45 octaue que sunt quinque integri et quinque octaue. Digitum autem qui est quinque pone7 cum 36. Scilicet quinque octauas pones separatim8. Deinde multiplicabis quinque octauas in tres quintas et proueniunt tres octaue. Postea multiplicabis tres quintas in quattuor et fiunt duo et due quinte. Duas autem quintas et tres priores octauas pones cum predictis quinque octauis, sed duo cum priore integro. Completa uero multiplicatione et singulis appositis cum numeris sui generis scilicet integro cum integro et fractione cum fractione et fractionibus fractionum cum fractionibus fractionum, et conuersis fractionibus in alias, ut omnes fiant similes, sicut hic conuertendo duas quintas9 in octauas et fiunt tres octaue et quinta unius octaue, agregabis ea sibi scilicet tres octauas cum tribus octauis et quinque octauas (sic)10 prioribus, et fiunt unum et tres octaue. Deinde hoc unum agregabis prioribus integris et fiunt quadraginta quattuor11. Quod ergo ex multiplicatione predictorum prouenit est 44 et tres octaue et quinta12 unius octaue. Vel aliter in hac questione13. Multiplica nouem et tres quintas in quattuor, et proueniunt 38 et due quinte. Pone autem integrum per se et duas quintas per se ____________________ 1 post comparatio exp. de b ad d D2 2 id addidi cum D P: om. A 3 z in h A D2 P2: h in z 1 1 2 4 post quinque add. in h P 5 que est idem A P: qui est id D D : z P (in h add. P m.d. ) 6 ad probandas A P: add. D m.s. 7 pone A: pones D P 8 separatim A P: superatim D 9 quintas A D: quinta P 10 octauas A uid.: octauis D P 11 post quattuor add. in hac 12 quinta A D: quintam P 13 in hac questione A P: om. D questione D2 m.s.

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Première partie du Liber mahameleth

separatim. Deinde multiplica quinque octauas in nouem et tres quintas, et proueniunt sex. Quos agrega priori integro et fiunt quadraginta quattuor. Quod ergo prouenit ex multiplicatione propositorum est 44 1.

5

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30

Sic facies in omnibus huiusmodi scilicet2 integrum et fractiones3 multiplicandi lateris multiplices in integrum et fractiones secundi lateris. Deinde4 unamquamque fractionem5 secundi lateris multiplices in integrum primi lateris. Postea agregatis omnibus sicut predictum est6, proueniet summa quam queris. Et hoc etiam probatur per primum theorema secundi libri euclidis7. Si autem uolueris multiplicare septem et duas quintas in octo et quattuor undecimas, multiplica octo integra et quattuor undecimas in integrum alterius lateris, quod est septem, et prouenient 58 et sex undecime. Deinde multiplica duas quintas in octo et quattuor undecimas multiplicando scilicet duas quintas in octo et exeunt tres integri et quinta. Quos agrega ad 588, et fiunt 61. Deinde tria que remanent de octo et quattuor undecimas conuerte in undecimas et fiunt omnes 37 undecime. Quarum due quinte sunt 24 undecime et quattuor quinte unius undecime. Quibus adiunge tres supradictas undecimas et fiunt 30 undecime et 4 quinte unius undecime, que sunt unum integrum et nouem undecime et 4 quinte unius undecime. Summa ergo que ex multiplicatione suprapositorum prouenit est 61 et nouem undecime et 4 quinte unius undecime9. Et hec est summa que queritur. 7 8 2 4 5 11 5 11 De multiplicatione fractionis et10 fractionis fractionis in fractionem et fractionem fractionis11. Cum uolueris multiplicare 5 octauas et duas tercias octaue in sex septimas et tres quartas septime, ex denominationibus fractionum primi lateris multiplicatis in se scilicet octo in tres, facies 2412, qui est numerus denominationis. Deinde multiplicatis denominationibus alterius lateris scilicet septem in 4 fiunt 28 qui similiter est numerus denominationis. Quem multiplica in alium scilicet in 24 et proueniunt 632 (sic)13, qui est numerus prolatus14 per quem diuidimus. Deinde quinque octauas et duas tercias octaue de 24 que sunt 17 pone per se et ex alia parte similiter sex septimas et tres quartas septime que sunt 27 pone per se, quas

____________________ 1 et due quinte addidi 2 post scilicet add. ut P 3 et fractiones A2 P: om. A1 D 2 5 fractionem A P: fractione D 6 est A P: om. D 7 Et 4 post deinde exp. unum D 8 58 A2 D P: 48 A1 uid. 9 Summa ergo hoc etiam [l. 5] – euclidis A D: add. P2 m.d. 11 De multiplicatione [l. 18] – unius undecime addidi cum D P: om. A 10 et iter. A1 [l. 21] – fractionis A P: om. D 12 24 A P: 34 D 13 632 false A D P in 672 corrigendum 14 prolatus A: prelatus D P

Première partie du Liber mahameleth

97

multiplica in 17 alterius lateris et proueniunt1 459. Quos denomina a numero prelato [scilicet sex undecimas et quintam undecime et sextam quinte undecime, et hoc est quod ex suprapositorum multiplicatione prouenit]2. Cuius probatio patet ex premissis duabus probationibus3. 5 8 2 3 8 24

6 7 3 4 7 28 632 (sic)4

17

27 459

5

10

15

20

ADP Vel aliter. Multiplica quinque octauas et duas tercias octaue in sex septimas sicut supradocuimus et erunt quattuor octaue et sex septime octaue. Deinde multiplica tres quartas septime in quinque octauas et duas tercias octaue hoc modo, scilicet5 multiplica tres quartas septime in 5 octauas6, et prouenient tres octaue septime7 et tres quarte octaue septime. Deinde multiplica tres quartas septime in 8 duas tercias octaue, et proueniet9 dimidia octaua septime. Deinde agrega hec omnia, scilicet agrega dimidiam octauam septime tribus quartis octaue septime, et fient octaua septime10 et quarta11 octaue septime. Quas agrega sex septimis octaue que sunt sex octaue12 septime et fient 7 octaue septime et quarta octaue septime. Quas agrega quattuor octauis hoc modo, scilicet conuerte prius quattuor13 octauas in octauas14 septime et fient uiginti octo octaue septime. Quas agrega ad septem octauas septime et ad quartam octaue septime et fient triginta quinque octaue septime et quarta15 octaue septime. Quibus agrega tres octauas16 septime et fient 38 octaue septime et quarta octaue septime. Quas diuide per octo et exibunt septime que erunt quattuor septime et sex octaue septime et quarta octaue septime. Cetera huiusmodi considera secundum hoc. Probatio autem hec ex primo theoremate secundi17. ____________________ 1 proueniunt A2 D P: prouenunt A1 2 emendaui scilicet sex undecimas et quintam undecime et sextam quinte undecime, et hoc est quod ex suprapositorum multiplicatione prouenit quod fallaciter post prelato addiderunt A D P (cfr p. 98, l. 13) 3 probationibus A uid. P: propositionibus D 4 632 false A D P in 672 corrigendum 5 scilicet A D: om. P 7 post septime exp. in quinque octauas D2 8 in A P: 6 octauas A D P: octaue D2 s.l. 11 quarta A et D 9 proueniet A P: prouenient D 10 septime A D2 P: septima D1 12 que sunt ex octaue A P: om. D 13 quattuor A P: add. D2 D P2: quartam P1 m.s. 14 octauas A P: octauis D 15 quarta A P: quartam D 16 octauas D P2: 1 17 post secundi add. libri euclidis D P octas A: octaue P

98

Première partie du Liber mahameleth

ADP

5

10

Vel aliter. Numerum octauarum predictarum multiplicabis in numerum septimarum, scilicet quinque et duas tercias in sex et tres quartas septime, et prouenient triginta octo et quarta, que sunt septime octauarum triginta et octo et quartam. Quas si diuiseris per octo, exibunt septime. Si uero per septem, exibunt octaue. Diuide igitur per septem, et exibunt quinque et tres septime et quarta septime, que omnes sunt octaue. Quod igitur prouenit ex multiplicatione suprapositorum sunt quinque octaue et tres septime1 unius octaue et quarta unius septime unius octaue. Item si uolueris septem undecimas et terciam undecime multiplicare in quattuor quintas et quartam quinte. Sic facies. Multiplica septem et terciam in quattuor et quartam, et proueniunt 31 et sexta. Quas diuide per 5 et quod exierit erunt2 undecime. Quod ergo ex multiplicatione suprapositorum prouenit sunt sex undecime et quinta undecime3 et sexta quinte undecime. 7 11 3 11

15

20

25

4 5 4 5

De multiplicatione integri et fractionis et fractionis fractionis in integrum et fractionem4. Cum uolueris multiplicare duo et quinque septimas et duas tercias septime in quattuor et tres octauas. Sic facies. Multiplicatis inter se denominationibus fractionum que sunt septem et tres fiunt 21, qui est numerus denominationis. Deinde ex alio latere octo erit numerus denominationis. Quos multiplica in 21, fient 168, qui est numerus prelatus. Deinde reduc primum latus ad ultimum genus fractionum scilicet ad tercias septimarum multiplicando singula in suum numerum denominationis qui est 21, et prouenient 595. Deinde reliquum latus conuerte in octauas singula multiplicando in octo qui est suus numerus denominationis, et prouenient 35. Quos multiplica in 59, et prouenient 2065. Quos diuide per numerum prelatum, et exibunt 12 et due octaue et due septime unius octaue et tercia septime octaue, et hoc est quod ex propositorum multiplicatione6 prouenit. Cuius probatio habetur ex duabus precedentibus7. ____________________ 1 tres septime A2 D P: septime tres A1 2 erunt A P: om. D 3 et quinta undecime A D: om. P 4 De multiplicatione – fractionem A P: om. D 5 59 A2 D P: ? A1 6 multiplicatione A P: multiplicationem D 7 post precedentibus add. Capitulum de denominandis iteratis milibus siue numeris aliis ab iteratis milibus. Scias quia una pars de mille est decima decime decime ter iterate, et unum de milies mille decima decime decime sexies iterate. Vnum autem de milies milies mille ter decima decime decime nouies iterate. Sic ergo cum uolueris scire quota pars est unum de mille, dic decima decime decime ter iterate et unum similiter quota pars est de milies mille, dic decima decime sexies iterate. Et sic quotiens mille iteraueris tociens unicuique iterationi decimam decime decime ter iterate appone. Vt si semel mille dicatur P

Première partie du Liber mahameleth

2 5 7 2 3 7 21

99

4 3 8

8 168

59

1

35 2065

ADP

5

10

15

Vel aliter. Secundum differentias multiplica scilicet duo in quattuor, et fiunt octo. Postea multiplica quinque septimas et duas tercias septime in 4, et prouenient tres et septima et due tercie septime. Deinde multiplica duo in tres octauas, et prouenient sex octaue. Postea multiplica quinque septimas et duas tercias septime in tres octauas, et prouenient due octaue et tres septime octaue. Deinde appone unumquemque numerum cum numero sui generis scilicet integrum cum integro fractionem cum fractione et fractionem fractionis cum fractione fractionis. Deinde conuerte fractiones in alias sicut hic septimam et duas tercias septime in octauas, et fient octaua et sex septime unius octaue et tercia unius septime octaue. Deinde agrega octauam cum prioribus octauis, et sex septimas octaue cum tribus septimis octaue, et fient una octaua et due septime octaue. Quam octauam agrega cum sex octauis et duabus octauis et una octaua, et fient unum et due octaue. Hoc autem unum2 agrega cum integris prioribus. Et ex tota multiplicatione suprapositorum, proueniet hec summa scilicet duodecim et due octaue et due septime octaue et tercia septime octaue. ADP

20

25

De multiplicatione integri et fractionis et fractionis fractionis in integrum et fractionem et fractionem fractionis3. Cum uolueris quinque et4 septem octauas et duas tercias octaue multiplicare in quattuor et decem undecimas et dimidiam undecime. Sic facies. Multiplicatis denominationibus uniuscuiusque lateris per se fit suus cuiusque numerus denominationis primi lateris 24, secundi lateris 22. Quorum alterum multiplica in alterum, et proueniet 528, qui est numerus prelatus5. Deinde ut omnia redeant ad ultimum genus fractionum quod est in unoquoque latere, ____________________ 1 168 A P: om. D fractionis A P: om. D

2 unum A D2 P: numerum D1 3 De multiplicatione [l. 18] – 5 prelatus A D2 P: communis D1 4 et A D2 P: iter D1

100

5

Première partie du Liber mahameleth

multiplica 5 et septem octauas et duas tercias octaue in uiginti quattuor, et prouenient 143 tercie octauarum. Deinde ex alio latere multiplica quattuor et decem undecimas et dimidiam undecimam in uiginti duo, et prouenient 109 dimidie undecimarum. Quas multiplica in predictas 143, et prouenient 15587. Quas diuide per prelatum numerum qui est 528 et quod exierit hec quesita summa erit. Huius autem probatio habetur ex duabus precedentibus. 5 7 8 2 3 8 24

4 10 11 1 11 22 528

143

109 15587

10

15

20

25

Vel aliter. Secundum differentias multiplica1 scilicet 4 in 5 et fient 20. Deinde multiplica 7 octauas et duas tercias octaue in quattuor, et prouenient tres et sex octaue et due tercie octaue. Deinde multiplica decem undecimas et dimidiam undecime in quinque, et prouenient 4 integra et 8 undecime et dimidia. Deinde multiplica decem undecimas et dimidiam in 7 octauas et duas tercias octaue, sicut predocuimus, scilicet ut2 multiplices decem et dimidium in septem3 et duas tercias, et prouenient octoginta et dimidia. Quas diuide per denominationem octaue, et exit decem et dimidia octaue. Has autem iterum diuide per denominationem4 alterius lateris scilicet undecim et exibunt decem undecime et dimidia octaua undecime. Facta autem multiplicatione appone unumquemque numerum cum numero sui generis, scilicet integrum cum integro et fractionem cum fractione et fractiones fractionum cum fractionibus fractionum. Et conuerte fractiones inter se ut fiant similes. Deinde agrega eas, incipiens a minima usque ad maximam et summa agregationis est summa multiplicationis. Huius probatio habetur ex primo theoremate secundum libri euclidis. De multiplicatione integri cum duabus fractionibus in integrum cum duabus fractionibus5. Cum uolueris sex et quintam et terciam multiplicare in octo et quinque sextas et quartam, ex denominationibus fractionum.

____________________ 2 ut A P: om. D 3 in septem D P: add. A2 s.l. 1 post multiplica exp. septem octauas D2 2 5 De multiplicatione [l. 22] – fractionibus A P: om. D 4 post denominationem exp. octaue D

Première partie du Liber mahameleth

5

10

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Fac numeros denominationum. Multiplica enim 3 in 5 et fiunt 15. Deinde multiplica 4 in 6 et fiunt 24. Quos multiplica in 15, et proueniunt 360, qui est numerus prelatus. Deinde multiplica sex et quintam et terciam in 15, et prouenient1 98. Postea multiplica octo et quinque2 sextas et quartam in 24, et quod prouenerit3 multiplica per 98, et productum inde4 diuide per prelatum5 numerum, et quod exierit hoc est quod ex suprapositorum multiplicatione prouenit. Vel aliter. Conuerte terciam in quintas et fient quinta et due tercie unius quinte. Quas agrega cum sex et quinta, et fient 6 et due quinte et due tercie unius quinte. Deinde conuerte quartam in sextas et fiet6 sexta et dimidia. Quas agrega quinque sextis, et fient unum integrum et dimidia sexta. Quod integrum adiunge ad octo, et fient nouem integra et dimidia sexta. Quasi ergo uoluisses multiplicare sex et duas quintas et duas tercias quinte in nouem et dimidiam sexte, sic facies hic supra (sic)7 premonstratum est. Similiter facies in omnibus capitulis supraposite diuisionis que sunt de multiplicatione fractionis8 in integrum. 6 5 3 2 15

8 5 6 4 24 360

98

218 21364 59 124 360

15

20

Capitulum de irregularibus fractionibus que uentilantur inter arimethicos9. Cum uolueris multiplicare tres quartas de quinque in septem, hic quattuor unde denominatur quarta est numerus denominationis et prelatus. Cuius tres quartas scilicet tres multiplica in 5, et prouenient10 15. Hos autem quindecim multiplica in septem et prouenient 105. Quos diuide per prelatum qui est 4 et exibunt 26 et quarta, et hec est summa quam requiris.

____________________ 1 prouenient A D: proueniunt P 2 post quinque exp. et prouenient D2 3 prouenerit A 5 prelatum A D: communem P 6 fiet A D: prouenit P 4 inde A P: add. D2 m.d. P: fient D 7 supra A: ut D P 8 fractionis A P: fractionum D 9 Capitulum de irregularibus – arimethicos A P: om. D 10 prouenient A D: proueniunt P

102

Première partie du Liber mahameleth

DP Vel aliter. Tres quartas de quinque1 que sunt tres et tres quarte multiplica in septem, et quod prouenerit2 est summa quam queris3. 3 4 de 5

7

4 15

7 105

3 3 4

7 6

ADP 5

10

15

20

Cuius probatio manifesta est, scilicet quoniam oportebat multiplicare tres in quinque et productum diuidere per quattuor, et exeunt tres quarte4 de quinque quas iterum debemus multiplicare in septem5. Sed diuidere quindecim per quattuor et id quod exit multiplicare in septem idem est quod multiplicare septem in quindecim et productum diuidere per quattuor, et hoc est quod monstrare uoluimus. Vel aliter. Multiplica6 quinque in septem, et prouenient triginta quinque. Quasi ergo uelis multiplicare tres quartas in triginta quinque, facies7 sicut supradocuimus. Cuius probatio patet, scilicet quoniam multiplicare tres quartas de quinque in8 septem nichil aliud est quam multiplicare tres quartas in quinque et productum in septem. Quod est idem quod multiplicare quinque in9 septem et productum multiplicare in tres quartas. Ob hoc igitur multiplicamus quinque in septem et productum in tres quartas, et prouenit quod uoluimus. Vel aliter. Procede secundum uerba questionis, scilicet tres quartas de quinque que sunt tres et tres quarte multiplica in septem hoc modo, scilicet multiplica tres in septem, et prouenient uiginti unum. Quas agrega ad id quod prouenit ex ductu trium quartarum in septem quod est quinque et quarta, et prouenient uinginti sex et quarta, et hoc est quod queritur.

____________________ 1 quinque D2 P: quindecim D1 2 prouenerit P: prouenit D 3 Vel aliter [l. 2] – quam queris addidi cum D P: om. A 4 quarte A D: quartas P 5 post septem exp. idem est D2 6 multiplica A D: multiplicare P 7 facies A2 D P: fact A1 8 in A P: add. D2 m.s. 2 9 in A P: add. D s.l.

Première partie du Liber mahameleth

103

ADP Vel aliter. Tres quartas de septem multiplica in quinque et quod prouenerit 1 est summa quam queris2. 3 3 4

5

10

7

Si uolueris 4 quintas de sex et tercia multiplicare in 8, ex denominationibus 3 fractionum facies numerum denominationis scilicet 15 qui simul erit numerus denominationis et prelatus. Cuius quattuor quintas scilicet 12 multiplica in sex et terciam, et prouenient 76. Quas4 multiplica in octo et quod prouenerit diuide per numerum prelatum5 scilicet quindecim, et quod exierit est summa quam queris. Vel aliter. Multiplica 4 quintas in 6 et terciam scilicet multiplica 4 in 6 et terciam6 et quod prouenerit diuides per 5 et exibunt 5 et tercia7 quinte, et hoc8 est quattuor quinte de 6 et tercia. Quinque uero et terciam quinte multiplica in 8, et quod prouenerit est summa quam requiris9. 4 5 de 6 3

8

15 76

8 608

15

20

Vel aliter. Quattuor quintas de octo multiplica in sex et terciam, et quod prouenerit est summa quam requiris. Vel aliter. Sex et terciam multiplica in 8 et eius quod prouenerit quattuor quinte sunt summa quam requiris. Si autem uolueris 4 septimas de 5 et tercia multiplicare in 8 et dimidium, ex denominationibus scilicet septima et tercia fac numerum denominationis qui est 21. Deinde dimidium que est denominatio alterius lateris multiplica in 21, et

____________________ 1 prouenerit A P: prouenit D 2 post queris add. Vel aliter. Multiplica 5 in 7 et quod prouenit est summa quam queris D P 4 post quas exp. diuide P2 5 prelatum 3 post denominationibus exp. fac numerum P2 2 6 scilicet multiplica [l. 10] – terciam addidi addidi cum D add. P m.d.: communem P: om. A cum D P: om. A 7 tercia A P: terciam D 8 hoc A: hec D P 9 requiris A P: queris D

104

5

Première partie du Liber mahameleth

prouenient 42, qui est numerus prelatus1. Quattuor autem septimas de uiginti uno que sunt 12 multiplica in 5 et terciam, et prouenient 64. Deinde multiplica octo et dimidium in 2, qui est numerus denominationis eius lateris, et prouenient 17. Quos multiplica in 64 et productum diuidere (sic)2 per numerum prelatum3, et quod exierit est summa quam requiris4. Et hic facies similiter secundum omnes paulo suprapositas regulas. 4 7 de 5 3 21

8 2

2 42

64

17 5

1087 (sic)

10

Si autem uolueris duas tercias de6 4 multiplicare in 5 octauas de VII, ex tribus et octo qui sunt hic numeri denominationis multiplicatis in se, fiunt 24, qui est numerus prelatus7. Duas autem tercias de tribus que sunt duo multiplica in 4 et prouenient 8. Deinde quinque octauas de octo que sunt 5 multiplica in 7, et prouenient8 35. Quos multiplica in 8 et productum diuide per prelatum9 numerum, et quod exierit est summa quam requiris. 2 3 de 4 3 3

5 8 de 7 8 24

8

35 280

ADP

15

Cuius probatio hec est. Iam scimus quod multiplicare duas tercias de quattuor in quinque octauas de septem idem est quod multiplicare duas tercias in quattuor et quinque octauas in septem, et productum ex illis in productum ex istis. Multiplicare ___________________ 1 3 P 8

prelatus A D: add. P2 s.l. : communis P 2 diuidere false A D P in diuide corrigendum 4 requiris A: queris D P 5 1087 false A D prelatum A D: add. P2 s.l. : communem P in 1088 corrigendum 6 de A P: et D 7 prelatus A D: add. P2 s.l. : communis P prouenient A D: proueniunt P 9 prelatum A D: add. P2 s.l. : communem P

Première partie du Liber mahameleth

5

10

15

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autem duas tercias in quattuor nichil aliud est quam de numero denominante1 tercia que2 est tres sumptas eius duas tercias que sunt duo multiplicare in quattuor et productum diuidere per tres. Multiplica igitur duo in quattuor, et fient octo. Vnde quasi3 diuiseris octo per quattuor exibunt due tercie trium. Similiter etiam est multiplicare quinque octauas in septem scilicet de numero denominante4 octauam qui est octo sumptas quinque octauas eius que sunt quinque multiplicare in septem et productum diuidere per octo. Quod autem5 fit ex ductu quinque in septem est triginta quinque. Igitur si diuidantur triginta quinque per octo, exibunt quinque octaue de septem. Manifestum est igitur quod multiplicare duas tercias de quattuor in quinque octauas de septem idem est quod diuidere octo per tres et triginta quinque per octo et eorum que de utraque diuisione exeunt multiplicare unum in aliud. Hoc autem idem est quod diuidere productum ex octo ductis in triginta quinque per productum ex ductu trium in octo, sicut ostensum est in capitulo propositionum. Igitur multiplicare duas tercias de quattuor in quinque octauas de septem idem est quod diuidere productum ex octo ductis in triginta quinque per productum ex tribus6 ductis in octo, et hoc est quod monstrare uoluimus. ADP

20

Vel aliter. Duas tercias de 4 que sunt duo et due tercie multiplica in quinque octauas de septem que sunt quattuor et tres octaue, et quod prouenerit est summa quam requiris. Vel aliter. Multiplica 4 in 7, et prouenient 28. Deinde multiplica 2 tercias in 5 octauas, et prouenient 3 octaue et tercia octaue. Quas multiplica in 28 et quod prouenerit est summa quam requiris. ADP

25

30

Cuius probatio hec est. Multiplicare enim duas tercias de7 quattuor8 in quinque octauas de septem idem est quod multiplicare duas tercias in quattuor et quinque octauas in septem et productum ex illis in productum ex istis. Hoc autem idem est quod multiplicare duas tercias in quinque octauas et quattuor in septem et productum in9 productum, sicut in principio ostendimus. Igitur multiplicare duas tercias10 de quattuor in quinque octauas de septem idem est quod multiplicare duas tercias in quinque octauas11 et quattuor in septem et productum in productum, et hoc est quod monstrare uoluimus.

____________________ 1 denominante A2 D P: ?A1 2 que A: qui D P 3 quasi A: si D P 4 denominante A P: denominare D 5 autem iter. D 6 post tribus add. ex P 7 de A D2 P: in D1 8 tercias de quattuor A2 D P: de quattuor tercias A1 9 in A D: per P 10 tercias A D2 1 2 P: tercis D 11 de quattuor [l. 29] – in quinque octauas A P: add. D m.d.

106

Première partie du Liber mahameleth

ADP

5

10

Si autem uolueris duas tercias de quinque et quarta multiplicare in duas septimas de sex et dimidio, ex1 denominationibus unius lateris que sunt tres et quattuor multiplicatis in se, fac numerum denominationis qui est duodecim. Deinde ex septima et dimidio alterius lateris, fac similiter numerum denominationis qui est 14. Quos multiplica in 12, et prouenient 168 qui est numerus prelatus2. Deinde duas septimas de 14 que sunt 43 multiplica in 6 et dimidium, et prouenient 26. Deinde duas tercias de 12 que sunt 8 multiplica in 5 et quartam, et prouenient 42. Quos multiplica in 26 et quod prouenerit4 diuide per prelatum5 numerum, et quod exierit est summa quam requiris. Cuius probatio eadem est que precessit. 2 3 de 5 74 12

2 7 de 6 72 14 168

42

26 1092

15

20

Vel aliter. Duas tercias de 5 et quarta que sunt tres et dimidium accipe. Deinde accipe 2 septimas de 6 et dimidio que sunt unum6 et sex septime que multiplicabis7 inter se, sicut multiplicas integrum cum8 fractione per integrum et fractionem9. Vel aliter. Duas tercias de sex et dimidio, que sunt 4 et tercia10, multiplica11 in duas septimas de 5 et quarta que sunt unum12 et dimidium, et quod prouenerit est summa quam requiris. Vel aliter. Duas tercias multiplica in duas septimas, et proueniet septima et tercia septime. Deinde multiplica quinque et quartam13 in sex et dimidium, et prouenient triginta quattuor et octaua. Et productorum ex utrisque14 multiplica alterum in alterum, et prouenient15 6 et 3 septime et dimidia septima, et hoc est quod uoluisti. Hoc etiam multis modis potest fieri aliter quam superius. Videlicet si uolueris multiplicare duas tercias de 5 et quartam16 unius in duas septimas de sex et17 dimidium unius, tunc de numero denominationis qui est 12 ____________________ 3 post 4 add. et P 1 ex A P: et D 2 prelatus A D: add. P2 s.l. : communis P 6 unum A P: 4 prouenerit A D: prouenit P 5 prelatum A D: add. P2 s.l.: communem P 9 et numeri D 7 multiplicabis A P: multiplicatis D 8 cum A D P2: in P1 10 post tercia add. in D fractionem A uid.: in fractione D P2: cum fractione P1 12 unum A P: numerum D 13 quartam A P: 11 multiplica A P2: in multiplicatis D P1 quarta D 14 utrisque A P: utriusque D 15 prouenient A D: proueniet P 16 quartam A P: quarta D 17 post et add. in D P

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5

10

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duas tercias que sunt 8 multiplica in 5, et prouenient 40. Et item quartam eiusdem numeri denominationis que est tres agrega prioribus 40 et fiunt 43. Deinde ex alio latere duas septimas de 14 que sunt quattuor multiplica in 6, et prouenient 241. Deinde medietatem de 14 que est 7 agrega prioribus uiginti quattuor, et fient 31 2. Hos3 autem multiplica in 43 et quod prouenerit diuide per prelatum4 numerum, et quod exsierit est summa quam requiris5. Vel aliter. Due tercie de quinque que sunt tres et tercia cum addita una quarta fiunt tres et tres sexte et dimidia sexta. Similiter due septime de sex que sunt unum et quinque septime cum addito dimidio unius fiunt duo et septima et dimidia septima. Quasi ergo uelles multiplicare tres et tres sextas et dimidiam sextam in duo et septimam et dimidiam septimam, multiplicabis illa secundum regulam fractionum cum integris. Sunt autem plures alii modi qui contingunt in fractionibus de quibus loquar, et assignabo qualiter sit faciendum in illis6. ADP

15

20

25

30

Scias quod quisquis perfecte7 intelligit ea que dicta sunt de multiplicatione fractionum et diligenter attenderit probationes8 earum9, quicquid attenderit (sic)10 de multiplicatione fractionum facile poterit inuenire, sicut si quis querat a te (sic)11 ut12 duas nonas et duas septimas multiplices in decem undecimas. Ex his autem que dicta sunt in13 multiplicatione fractionum, monstrabitur etiam solucio14 huius questionis. Scilicet ut15 unam duarum fractionum reducas16 ad genus17 alterius, sicut supra ostensum est in capitulo de conuersione fractionum in alias, deinde agrega eas, et fient fractio et fractio fractionis. Quas multiplica in decem undecimas, sicut supra18 ostensum est de multiplicatione huiusmodi. Vel aliter. Multiplica duas nonas in decem undecimas, sicut supra ostensum est. Deinde multiplica duas septimas in decem undecimas, et productum agrega19 ad id quod prouenit ex duabus nonis ductis in decem undecimas et agregatum est id quod uoluisti. Si autem uolueris quinque octauas et duas tercias octaue multiplicare in sex et duas septimas et tres quartas septime. Sic facies. Multiplica quinque octauas et duas tercias octaue in sex, sicut supra ostendimus, et id quod prouenerit retine. Deinde multiplica quinque octauas et duas tercias octaue in duas septimas et tres quartas septime, et quod prouenerit

____________________ 1 24 A P: 34 D 2 31 A P: uiginti numerum D 3 hos A P: has D 4 post prelatum 5 requiris A: queris D P 6 sit faciendum in illis A P: add. communem scilicet P2 m.s. 8 probationes A P: faciendum milles D uid. 7 perfecte A D2 P: infecte D1 uid. 1 2 9 earum iter. D 10 attenderit A: acciderit D P propona D : propositiones D 11 a te false A D P in ad te corrigendum 12 ut addidi cum D P: om. A 13 in A P: 14 solucio A P: solicio D 15 scilicet ut A2 s.l. P: secundum D add. D2 s.l. 17 post genus add. fractionum A1 18 supra A P: add. 16 reducas A D2 P: reduas D1 2 19 agrega D P: add. A2 m. d. D m.d.

108

5

Première partie du Liber mahameleth

agrega cum prius retento. Et agregatum est id quod uoluisti. Quisquis autem intelligit ea que dicta sunt de conuersione fractionum et nouit probationes earum, facile adinueniet1 predictas questiones et alias multas que dicte non sunt hic, et sciet probationes omnium illarum2 et non egebit ut aliquid aliud addatur preter id quod dictum est. Possunt autem fieri multe alie questiones de multiplicatione fractionum, que habent se ad plures sensus. Quas placuit nobis cum modis suis agendi et diuersitate significandi3 ponere in fine multiplicandi que sunt huiusmodi scilicet †…†4. ADP

10

15

20

Capitulum aliud de eodem5. Si6 uolueris quartam de quinque et duas quintas de sex multiplicare in decimam trium7 et octauam de quattuor, hoc duobus modis potest fieri. Vno ut si uolueris unam quartam de quinque agregare cum duabus quintis de sex, et agregatum multiplicare in agregatum ex decima trium et ex octaua de quattuor. Si hoc in quam uolueris. Sic facies. Ex denominationibus fractionum que sunt quarta et quinta multiplicatis inter se, fac numerum denominationis qui est uiginti. Deinde ex alio latere ex8 decima et octaua similiter fac numerum denominationis qui est octoginta. Quos multiplica in uiginti oppositi lateris, et quod prouenerit est numerus prelatus9, scilicet 160 (sic)10. Deinde quartam de 20 que est 5 multiplica in 5, et fiunt 25. Deinde duas quintas de 20 que sunt 8 multiplica in 6, et fient 48. Quos agrega ad 25, et fient11 73. Deinde ex alio latere decimam de 80 scilicet octo multiplica in tres, et prouenient 24. Deinde octauam eiusdem scilicet decem multiplica in 4, et prouenient 40. Quos agrega ad 24, et fient 64. Quos multiplica in 7312, et quod prouenerit diuide per prelatum13, et quod exierit quesita summa erit. 3 14 4 de 5 et16 72 5 de 6 20 73

1 10 15 de 3 71 8 de 4 80 17 160 (sic) 64

____________________ 1 adinueniet A P: adinueniat D 2 illarum A P: aliarum D 3 significandi A P: segregandi D 4 textus interruptus est A D P 5 Capitulum aliud de eodem A P: om. D 6 post si add. autem P 7 trium A D: tercium P 8 ex A P: et D 9 prelatus A D: 10 160 false A D P in 1600 corrigendum 11 fient A D: fiet P add. P2 s.l. : communis P uid. 12 quos multiplica in 73 A P: et hic est numerus collectionis alterius lateris quos multiplica in alium numerum collectionis D 13 prelatum A D: add. P2 s.l. : communem P 14 3 A P: 1 D 15 10 A P: 19 D 16 et A P: om. D 17 160 false A D P in 1600 corrigendum

Première partie du Liber mahameleth

5

10

15

20

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30

109

Alter est scilicet si uolueris duas quintas de sex agregare ad 5 et agregati accipere quartam, deinde suam octauam de 4 agregare cum tribus et agregati decimam multiplicare in quartam predictam. Si hoc in quam uolueris. Sic facies. A uiginti qui est numerus denominationis sumptam1 quartam multiplicabis in quinque, et prouenient 25. Postea sumptam quartam de duabus quintis eiusdem, que sunt duo, multiplicabis in sex, et prouenient 12. Quas agrega cum 25, et fient 37. De (sic)2 a numero denominationis alterius lateris3 qui est 80 decimam sumptam multiplica in 3, et fient 24. Deinde decimam sue octaue que est unum4 multiplica in quattuor, et prouenient 4. Quos agrega ad 24, et fient 28. Quos multiplica in triginta septem alterius lateris et productum diuide per communem5, et quod exierit est summa que prouenit6. Cum aliquis dicit ut duas tercias de septem et dimidio et duas quintas de sex et tercia multiplices in duas septimas de quattuor et decima et tres quartas de nouem et nona, hoc quattuor modis poterit fieri. Duo sunt de quibus iam paulo ante prediximus scilicet ut aut duas tercias de septem et dimidio agreges ad duas quintas de sex et tercia, et deinde duas septimas7 de quattuor et decima agreges ad tres quartas de nouem et nona, et hoc agregatum multiplices in prius agregatum et deinde cetera sicut iam predocuimus, aut ut ad duas quintas de sex et tercia agreges ad septem et dimidium et agregati accipias duas tercias. Deinde tres quartas de sex (sic)8 et nona agreges ad quattuor et decimam et agregati duas septimas multiplices in duas tercias prioris agregati. Deinde cetera qualiter fiant iam premonstrauimus. Tercius uero modus est ut duabus terciis de septima agreges dimidium unius. Et duabus quintis de sex agreges terciam unius et ex duobus agregatis efficias unum9 agregatum. Deinde ex alio latere duabus septimis de quattuor [et decima] 10 agreges decimam unius, et tribus quartis de nouem agreges nonam unius et ex duobus11 agregatis conficias unum agregatum. Quod agregatum12 multiplices in agregatum13 alterius lateris. Deinde cetera sicut paulo ante docuimus. Quartus uero modus est ut duabus terciis de septem agreges dimidium et duas quintas de sex et tercia. Deinde ex alio latere duabus septimis de quattuor et decima agreges decimam de sex et nona et tres quartas de sex et nona (sic)14. Hoc autem agregatum multiplices in primum agregatum, et deinde cetera sicut iam predocuimus. Omnes igitur regule in his iam manifeste sunt intelligenti ea que predicta sunt de fractionibus. Potest etiam15 fieri aliis modis preter hos.

____________________ 1 sumptam A P: sumpta D 2 de A: deinde D P 3 lateris A D: om. P 4 unum A 5 prelatum A D: add. P2 s.l.: communem P 6 prouenit A P: D2 P: numerum D1 8 sex false A D P in nouem preuenit D 7 post septimas exp. et D2 10 emendaui et decima quod fallaciter post corrigendum 9 unum A D2 P: numerum D1 quattuor addiderunt A D P 11 duobus A P: duabus D 12 agregatum A P: agrega D 13 agregatum A P: agregatam D 14 et decima (add.P2 m.d.) agreges (iter. D P) decimam de sex et nona et tres quartas de sex et nona false A D P in agreges decimam et tres quartas de nouem et nona corrigendum 15 post etiam add. hoc D

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Première partie du Liber mahameleth

de et et de et

2 3 7 2 2 5 6 3

de et

de et

2 7 14 (sic) 1 10 3 4 9 9

AD

5

10

15

Si uolueris multiplicare tres quartas quattuor quintarum quinque sextarum sex septimarum septem octauarum in quattuor quintas quinque sextarum 2 septem octauarum3 octo nonarum nouem decimarum. Si uolueris facere procreandi numeros denominationum ex denominationibus fractionum prolixum erit. Sed est alius modus agendi. Scilicet multiplica numerum inde unde denominatur octaua in numerum unde denominatur decima, et prouenient octoginta, quos pone prelatum. Deinde accipe septem octauas de octo que sunt septem. De quorum sex septimis, que sunt sex, accipe quinque sextas que sunt quinque. De quibus accipe quattuor quintas, que sunt quattuor. De quibus accipe tres quartas4, que sunt tres, et retine. Postea de decem accipe nouem decimas que sunt nouem. De quibus accipe octo nonas que sunt octo. De quibus accipe sex septimas que sunt sex. 5. De quibus accipe quinque sextas que sunt quinque. De quibus accipe quattuor quintas que sunt quattuor. Quos multiplica in tria retenta, et fient duodecim. Quos diuide per octoginta et exibit decima6 et dimidia decima, et hoc est quod uoluisti7. D

20

25

Si uolueris tres quartas minus una sexta multiplicare in quinque et terciam. Sic facies. Numeros denominationum qui sunt quatuor et sex multiplica inter se, et fient uiginti quatuor. De quibus accipe tres quartas eorum que sunt decem et octo. De quibus minue sextam de uiginti quatuor, que est quatuor, et remanebunt quatuordecim. Quos multiplica in quinque et terciam, et quod prouenit diuide per uiginti quatuor, et quod exierit est id quod scire uoluisti. Si uolueris tres quartas minus tercia cui desit octaua multiplicare in septem et dimidium. Sic facies. Numeros denominationum qui sunt quatuor et tres multiplica inter se, et fient duodecim. De quibus accipe tres quartas eorum que sunt nouem. Deinde accipe terciam de duodecim que est quatuor. De qua minue octauam de duodecim que est unum et dimidium, et remanebunt duo et dimidium. Quos duo et ____________________ 1 14 false A D P in 4 corrigendum 2 sex septimarum addidi 3 in quattuor quintas [l. 3] – 5 De quibus accipe – septem octauarum A: om. D 4 quartas A D2: quintas D1 addidi 6 decima A: om. D 7 Si uolueris [l. 2] – quod uoluisti A D: om. P

Première partie du Liber mahameleth

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dimidium minue de nouem, et remanebunt sex et dimidium. Que sex et dimidium multiplica in septem et dimidium, et prouenient quadraginta octo et tres quarte. Quos diuide per duodecim, et exibunt quatuor et dimidia octaua, et hoc est quod queris. 5

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Si uolueris tres quartas de quinque sextis de septem et quinta multiplicare in nouem decimas de quatuor minus [et dimidia octaua de nouem et]1 tribus quintis. Sic facies. Accipe tres quartas de quinque sextis de septem et quinta que sunt quatuor et dimidium, et multiplica eas in nouem decimas de quatuor minus dimidia octaua de nouem et tribus quintis que sunt tres, et prouenient tredecim et dimidium, et hoc est quod scire uoluisti. Si uolueris nouem decimas minus eo quod fit ex ductu dimidie sexte (sic)2 in undecim multiplicare in id quod fit ex ductu quinque nouarum unius quarte de tribus in quinta duodenarii. Sic facies. Quere numerum qui habeat decimam et dimidiam septimam, qui est septuaginta. Cuius dimidiam septimam, que est quinque, multiplica in undecim, et productum minue de nouem decimis de septuaginta que sunt sexaginta tres, et remanebunt octo. Deinde quintam de duodecim que est duo et due quinte multiplica in tres, et prouenient septem et quinta. De quorum quartam, que est unum et quatuor quinte, accipe quinque nonas que sunt unum, et multiplica in octo et productum denomina de septuaginta, scilicet decimam et septimam decime, et hoc est quod scire uoluisti3. ADP

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30

Capitulum de agregatione fractionum cum fractionibus. Et fractio fractionis quinque modis agregatur4. Si uolueris agregare tres octauas quattuor quintis. Sic facies. Multiplica inter se denominationes fractionum, et fient 40 qui5 est numerus prelatus6. Deinde tres octauas numeri prelati7 que sunt 15 agrega cum 4 quintis eiusdem numeri prelati8 que sunt triginta duo et fiunt 47. Quos diuide per prelatum9 et exibit unum et octaua et due quinte octaue, et hec est summa que ex priorum agregatione prouenit. Vel aliter. Conuerte fractiones unius lateris in10 alias scilicet quattuor quintas in octauas, et fient 6 octaue et due quinte11 octaue. Quas agrega cum tribus octauis,

____________________ 1 emendaui et dimidia octaua de nouem et quod fallaciter post minus addidit D (folio 76r) 2 sexte false D in septime corrigendum 3 Si uolueris tres quartas [p. 110, l. 18] – scire uoluisti D: om. A P 4 Capitulum [l. 23] – agregatur A P: om. D Et fractio fractionis 5 qui A D: quis P 6 prelatus A quinque modis agregatur add. A2 m.s. D2 m.s. P2 m.d. 7 prelati A D: add. P2 s.l.: communis P 8 prelati A D: D: add. P2m.d.: communis P 9 prelatum A D: add. P2 s.l.: communem P 10 post in exp. add. P2 s.l.: communis P 2 2 11 quinte A D P: quinque A1 alteram P

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Première partie du Liber mahameleth

et fient 9 octaue que sunt unum et octaua1 et due quinte octaue, et hec est summa quam queris. 3 4 8 5 8 5 40 15 12 2 81 (sic)3

5

10

Si uolueris tres septimas agregare ad decem undecimas. Sic facies. Numeros denominantes fractiones qui sunt septem et undecim multiplicares (sic)4 in se, et fiet numerus prelatus5 qui est septuaginta septem. Ad cuius tres septimas que sunt 33 agrega eius decem undecimas que sunt 70, et fient 103. Quos diuide per prelatum6, et quod exierit est summa que ex suprapositorum agregatione prouenit. Vel aliter. Conuerte tres septimas in undecimas, et fient quattuor undecime et quinque septime unius undecime. Quas agrega decem undecimis prioribus et quod excresit est summa que prouenit. Vel e conuerso. Conuerte undecimas in septimas et ei quod inde prouenit agrega tres septimas et agregatum est summa que queritur7. 3 7 7

10 11 11 77 8

33

70 103

15

20

Capitulum de agreganda fractione et fractionis fractione ad fractionem9. Si uolueris tres quintas et quartam quinte agregare ad quinque octauas, regula talis est. Ex10 denominationibus fractionum scilicet quarta11 et quinta multiplicatis in se facies numerum denominationis qui est 20. Quo multiplicato12 in 8 fiunt 160 qui est13 numerus prelatus14. Cuius tres quintas et quartam quinte que sunt centum et 4 agrega ad 5 octauas eius que sunt 100, et fient ducenta quattuor. Quos diuide per prelatum15, et quod exierit summa requisita erit. ____________________ 1 octaua A P: octaue D 2 180 A P: 32 D 3 81 false A P et false 47 D in 180 corrigendum 4 multiplicares A uid.: multiplica D P 5 prelatus add. A D P2m.d.: 2 7 que queritur A2 D P: communis P 6 prelatum A D: add. P m.d.: communem P 1 8 77 A D: 17 P 9 Capitulum de agreganda – fractionem A P: om. D queritur que A 10 ex A P: om. D 11 quarta A P: quartam D 12 multiplicato iter. D 13 est 15 prelatum A D: addidi cum D P: om. A 14 prelatus A D: add. P2 s.l.: communis P add. P2 s.l. : communem P

Première partie du Liber mahameleth

5

113

Vel aliter. Conuerte tres quintas et quartam quinte in octauas, et prouenient quinque octaue et quinta octaue. Quas agrega ad quinque octauas, et fient unum et due octaue et quinta octaue, et hoc est quod queris. Vel si uolueris, conuerte quinque octauas in quintas et fient tres quinte et octaua quinte. Quas agrega tribus quintis et quarte unius quinte, et proueniet1 unum et quinta et tres octaue unius quinte, et hoc est quod2 queritur. 5 8

3 5 24 53 20

8 160

104

4

100 204

10

15

20

25

Capitulum de agreganda fractione et fractionis fractione ad fractionem et fractionis fractionem5. Si uolueris duas quintas et tres6 quartas quinte agregare ad duas septimas et duas tercias septime. Sic facies sicut in prioribus, scilicet ex denominationibus fractionum cuiusque lateris per se multiplicatis, facies numeros denominationum utriusque lateris quorum altero multiplicato in altero fiet numerus communis7 qui est quadringenti8 et uiginti. Cuius duas quintas et tres quartas quinte que sunt ducenta et triginta unum agrega ad eius duas septimas et duas tercias9 septime que sunt centum sexaginta, et agregatum ex his diuide per prelatum10 et quod exierit est summa quam queris. Vel11 si uolueris duas quintas et tres quartas quinte, conuerte in septimas, et prouenient tres septime et quattuor quinte unius septime et quarta quinte septime. Deinde agrega duas septimas tribus septimis, et fient quinque septime. Duas autem tercias septime agrega ad quattuor quintas septime et quartam quinte unius septime conuertendo alias in alias sicut premonstratum est, et prouenient septima et due quinte septime et tres sexte unius quinte unius septime et dimidia sexta12 quinte septime. Quas agrega prioribus quinque septimis, et fient sex septime et due quinte unius septime et tres sexte quinte septime et dimidia sexte unius quinte unius septime. Et hec est summa quam queris.

____________________ 1 proueniet A P: prouenient D 2 quod A P: om. D 3 24 5 A: ? D P 4 160 A P: 190 D 5 Capitulum de agreganda [l. 8] – fractionem A P: om. D 6 tres D P: add. A2 7 prelatus A D: add. P2m.s.: communis P 8 quadringenti A P: quadragenti D 9 tercias 11 post uel exp. aliter D2 A P: tercie D 10 prelatum A D: add. P2m.s.: communem P 12 sexta A P: sex D1: septima D2

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Première partie du Liber mahameleth

2 5 et 3 4 5 20

2 7 et 2 3 7 21 420

231

160 391

5

10

Capitulum de agreganda fractione fractionis ad fractionem fractionis1. Cum uolueris quinque sextas octaue agregare ad quattuor septimas undecime. Sic facies. Ex denominationibus fractionum agregandi lateris inter se multiplicatis que sunt sex et octo, fient 48 qui est numerus denominationis. Deinde ex alio latere multiplicatis inter se septem et undecim, fient 77 qui similiter est numerus denominationis. Quem2 multiplica in alium alterius lateris, et fient 3696 qui est numerus prelatus3. Deinde quinque sextas octaue ipsius que sunt4 385 agrega ad ipsius quattuor septimas undecime que sunt 192, et prouenient 577 qui numerus quoniam minor est. Denomina eum a prelato5 et denominatus numerus erit summa que ex agregatione prouenit. Vel aliter. Conuerte fractiones in idem genus scilicet ut sexte octaue fiant septime undecime secundum premissas regulas, et fient octo septime undecime et sexta octaue septime undecime. Quibus agrega 4 septimas undecime et agregatum est summa que prouenit. 5 6 8 48

4 7 11 77 3696

385

192 577

15

De agreganda fractione et fractionis fractione ad fractionem fractionis6. Si uolueris quattuor quintas et terciam quinte agregare ad quinque sextas undecime.

____________________ 1 Capitulum de agreganda – fractionis A P: om. D 2 quem A P: que D 3 prelatus A 4 post sunt exp. alterius lateris D2 5 a prelato A: add. D2 D: add. P2 m.s.: communis P m.s. (prelatum D1) P2 m.s.: a communi P 6 De agreganda – fractionis A P: om. D

Première partie du Liber mahameleth

5

10

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Sic facies. Multiplicatis in se denominationibus agregandi lateris que sunt 5 et 3 facies 15, qui1 est numerus denominationis. Deinde ex alio latere multiplicatis sex2 in undecim, fient 66 qui similiter est numerus denominationis. Quem multiplica in aliam (sic)3 alterius4 lateris et productum est numerus prelatus5. Cuius quattuor quintas et terciam quinte agrega ad quinque sextas undecime eius et agregatum diuide per prelatum6, et quod exierit quesita summa erit. Vel aliter. Conuerte quintas et terciam quinte in undecimas, et fient nouem undecime et due quinte undecime et due tercie quinte undecime. Deinde duas quintas undecime et duas tercias quinte undecime conuerte in sextas undecime, et fient tres sexte undecime et quinte (sic)7 sexte undecime. Quas agrega prioribus quinque sextis undecime, et fient una undecima et due sexte undecime 8. Agrega igitur unam undecimam predictis nouem 9, et fient decem undecime et due sexte undecime et quinta sexte undecime, et hec est summa que prouenit. 4 5 et 3 5 15

5 6 11 66 10

930 (sic) 15

20

Item de eodem11. Si uolueris duas nonas et tres octauas et decem undecimas agregare inter se. Sic facies. Denominationes multiplica inter se scilicet nonam et octauam et undecimam, et prouenient12 792, qui est numerus prelatus13. Cuius duas nonas que sunt 17614 et eiusdem tres octauas scilicet 297 et eiusdem15 decem undecimas scilicet 720 agrega inter se et agregatum diuide per prelatum16, et quod exierit quesita summa erit. 2 9 3 8 10 11 ____________________ 1 qui A D: que P 2 sex A P: ex D 3 aliam A: alium D P 4 alterius A P: altius D 6 prelatum A D: add. P2m.d. : communem P 5 prelatus A D: add. P2 m.d.: communis P 7 quinte A: quinta D P 8 et quinta sexte undecime addidi 9 undecimis addidi 10 930 false A D P in 990 corrigendum 11 Item de eodem A P: om. D 13 prelatus A D: add. P2m.d. : 12 prouenient A2 D: proueniet P uid.: prouenit A1 2 16 prelatum A D: communis P 14 176 A D: 179 P 15 eiusdem A D P: ? A1 2 add. P s.l.: communem P

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Première partie du Liber mahameleth

ADP

5

10

Cuius probatio hec est1. Pone duas nonas ab. Tres uero octaue sint bg, sed decem undecime sint gd2. Vnum autem sit h. Denominatio uero omnium fractionum qui est prelatus numerus sit z. Due uero none eius que sunt centum septuaginta sex sint3 kt. Tres uero octaue eius que sunt ducenta nonaginta septem sint tq. Decem uero undecime eius que sunt septingenta uiginti sint ql. Comparatio igitur ab ad h est sicut comparatio kt ad z. Comparatio uero bg ad h est sicut comparatio tq ad z. Comparatio uero4 gd ad h est sicut comparatio ql5 ad z. Sequitur ergo ut comparatio ad ad6 h sit7 sicut comparatio kl ad z. Id igitur quod fit ex ductu linee ad in z equum est ei quod fit ex ductu linee kl in h. h autem unum est. Sed quicquid multiplicatur in unum non augetur. Igitur id quod fit ex ductu linee ad in z est kl. Si igitur diuiseris kl per z exibit ad, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.28: A, fol.127 v; D, fol.11 v s; P, fol.32 v d.

Hec autem probatio est omnium precedentium capitulorum de agregatione fractionum8. 15

20

25

ADP Vel aliter. Conuerte omnes fractiones in9 genus cuius fractionis uolueris uelut in octauas. Conuerte ergo duas nonas in octauas et proueniet una octaua et septem none unius octaue, et conuerte undecimas in octauas et prouenient 7 octaue et tres undecime octaue. Agregatis autem omnibus octauis proueniet unum et tres octaue. Et agregatis 7 nonis octaue ad tres undecimas octaue, sicut predocuimus, erit tota summa unum et quattuor octaue et quinque undecime unius none unius octaue, et hec est summa quam quesiuisti. Melius est autem conuertere fractiones huiusmodi in genus fractionis que inter omnes minor sit10 sicut hic est undecim (sic)11. Si autem in agregando apposueris digitos, agrega digitos per se et fractiones per se. Si uero ex agregatione fractionum prouenerit digitus, agrega illum prioribus digitis et quod prouenerit quesita summa erit.

____________________ 1 hec est A: est hec D P 2 scilicet cuius sunt fractiones A: add. D m.s. P m.d. 3 sint A 6 ad A P: add. D2 m.s. 7 sit P: om. D 4 uero A P: om. D 5 ql A2 D P: ? A1 9 in A P: ut D A D: om. P 8 Hec autem [l. 13] – fractionum D P: add. A2 sub textu 10 sit om. D 11 undecim A: undecima D P

Première partie du Liber mahameleth

5

117

Item de eodem1. Cum uolueris tres quintas de sex agregare ad 7 octauas de nouem. Sic facies. Multiplica numeros denominationum scilicet quinque et octo, et fient 40 qui est numerus prelatus2. Cuius tres quintas que sunt 24 multiplica in sex, et prouenient 144. Deinde eiusdem 7 octauas que sunt 353 multiplica in 9, et prouenient 315. Quos agrega prioribus 144 et fient 4594, quos diuide per communem5 et quod exierit est summa que prouenit. 3 5 de 6

7 8 de 9

ADP

10

15

20

Cuius probatio est hec. Oportebat enim accipere tres quintas de sex et agregare eas ad septem octauas de nouem. Accipere autem tres quintas de sex est inuenire quemlibet6 numerum, qui habeat quintam ueluti quadraginta. Horum igitur tres quintas que sunt uiginti quattuor7 multiplica in sex et prouenient 144. Si igitur diuiseris 144 per 40 exibunt tres quinte de sex. Similiter etiam accipiuntur septem octaue de nouem. Nam inueni numerum qui habeat octauam ueluti quadraginta. Cuius septem octauas que sunt triginta quinque multiplica in nouem, et prouenient 315. Hos igitur si diuiseris per 40, exibunt septem octaue de nouem. Oportebat igitur8 diuidere centum quadraginta quattuor per 40, et 315 similiter diuidere per 40 et agregare que de utraque diuisione exeunt, quod idem est quod agregare 144 ad 315, et agregatum diuidere per 40, sicut ostensum est in capitulo prepositionum. ADP Vel aliter. Tres quintas de 69 que sunt tres et tres quinte agrega 7 octauis de 9 que sunt 7 et 7 octaue, et agregatum est summa que prouenit. 3 5 de 4 et 2

3 8 de 6 et 3

Si autem uolueris duas quintas de quattuor et dimidio agregare ad tres octauas de 6 et tercia, sic facies10. Ex denominationibus, ut supradictum est, facies numerum ____________________ 1 Item de eodem A P: om. D 2 prelatus A D: add. P2m.d.: communis P 3 35 A D: 25 P 6 quemlibet A P: 4 459 A D: 450 P 5 prelatum A D: add. P2m.d.: communem P quilibet D 7 post quattuor add. et P 8 igitur A D: autem P 9 de 6 iter. D 10 sic facies A: om. D P add. Hoc duobus modis potest intelligi. Vno si uelis duas quintas de 4 et dimidio agregare ad octauas de sex et tercia, sic facies (? P s.l.) P2 m.d.

118

5

10

15

20

25

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prelatum1 qui est 240. Cuius duas quintas multiplicabis in 4 et dimidium, et fient 432. Deinde eiusdem 3 octauas multiplicabis in sex et terciam, et prouenient 570. Quas2 agregabis prioribus 432, et quod excreuerit diuide per prelatum3 numerum, et quod exierit erit summa quam requiris4. Cuius probatio patet ex premissis. Vel aliter. Duas quintas de quattuor et dimidio que sunt unum et quattuor5 quinte agregabis ad tres octauas de sex et tercia que sunt duo et tres octaue et agregatum est summa que6 queritur. Si autem agregare uolueris duas quintas de quattuor et dimidium unius ad tres octauas de sex et terciam unius. Sic facies. Ex denominationum numeris in se multiplicatis facies prius numerum prelatum7 qui est 240. Cuius duas quintas multiplica in 4 et producto agrega dimidium8 numeri9 prelati10, et quod excreuerit retine. Deinde eiusdem numeri11 prelati12 tres octauas multiplica in 6 et producto ex eis agrega terciam eiusdem numeri prelati13, et quod excresit agrega priori summe retente et agregatum ex illis diuide per prelatum14, et quod exierit est summa quam queris. Vel aliter. Duabus quintis de quattuor agrega dimidium unius15. Et tribus octauis de sex agrega terciam unius. Et hoc agregatum agrega priori agregato. Et agregatum ex utrisque16 est summa que prouenit. Scias autem tot modis fieri agregationem quot et multiplicatio fit. Hoc autem obseruandum est in omnibus ut tantum accipias17 de numero prelato18, quantum sunt omnes fractiones utriusque lateris, et agregatum19 diuidas per ipsum prelatum20. Et21 quod exierit summa requisita erit. Item de aggregatione22. Si uolueris agregare quattuor quintas de nouem et tres quartas eius. Sic facies. Ex multiplicatis denominationibus scilicet quattuor et quinque facies 20 qui est numerus prelatus23. Deinde agrega quattuor quintas et tres quartas eius, et prouenient triginta unum. Quos multiplica in 9 et productum diuide per prelatum24, et quod exierit quesita summa erit. Hec autem regula sumpta est de comparatione quam dicit euclides in sexto libro25, scilicet26 quod comparatio 20 ad triginta unum talis est qualis comparatio requisiti ad nouem. Hic autem tercius terminus est incognitus et diuisio fit per secundum. Igitur si ____________________ 1 prelatum A D: add. P2 s.l.: communem P 2 post quas exp. diuide per prelatum numerum 3 prelatum A D: add. P2m.s.: communem P 4 requiris A D: queris P et quod exierit D2 6 que A D P2: quam P1 7 prelatum A D: 5 post quattuor del. et dimidum unius A2 8 post dimidium exp. unum A 9 numeri A D2 P: numerum D1 add. P2 m.s.: communem P 10 prelati A D: add. P2 m.s.: communis P 11 numeri A: om. P uid.: iter. D 12 prelati 13 prelati A D: add. P2 s.l.: communis P 14 prelatum A A D: add. P2 s.l.: communis P 15 unius A P: om. D 16 utrisque A P: utriusque D D: add. P2m.s.: communem P 18 accipias de numero prelato A P: de numero prelato accipias 17 accipias A D: add. P2 m.s. 19 et agregatum A D: add. P2 m.s. 20 prelatum D prelato A D: add. P2m.s.: communi P 2 21 et A P: om. D 22 Item de aggregatione A P: om. D A D: add. P m.s.: communem P 24 prelatum A D: add. P2m.s.: communem P 23 prelatus A D: add. P2 s.l.: communis P 2 1 26 scilicet A P: add. D2 s.l. 25 libro A D P: libris D

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multiplicatur primus qui est 31 in quartum qui est 9, et productum diuiditur per secundum qui est 20, prouenit incognitus qui queritur. Aut si uelles diuidere1 triginta unum per prelatum2 et quod exiret multiplicares in 9, proueniret incognitus. Aut diuides prelatum3 per 9 et quod exierit multiplicabis in triginta unum et producetur incognitum4. Omnibus his modis recte fit. Si autem uolueris agregare quattuor quintas de nouem et tres quartas eius et agregato agregare dimidium eius et uolueris scire summam tocius. Sic facies. Ex denominationibus omnium scilicet quarta et quinta et dimidio qui fiunt 40, fac numerum prelatum5. Cuius quattuor quintas et tres quartas agrega, et fiunt 62. Quibus adde medietatem eorum scilicet triginta unum, et fient 93. Talis est igitur comparatio triginta (sic)6 trium ad prelatum7, qualis est comparatio quesiti8 ad 9. Igitur nonaginta tres multiplica in 9 et productum diuide per prelatum9 et quod exierit quod queris erit10. Aut si uolueris, diuide unumquodlibet multiplicantium per prelatum11, et quod exierit multiplica in alterum, et proueniet quod queris. Si autem uelles in hac questione dimidium residui esset falsum. Nam acceptis quattuor quintis et tribus quartis de 9 nichil remanet. Non enim erit12 uerum in huiusmodi nisi cum fractiones proposite agregate fuerint minus uno. Si uolueris agregare duas quintas de nouem et quartam eius et terciam residui eius et uolueris scire summam tocius. Sic facies. Ex multiplicatis denominationibus scilicet quinta et quarta et tercia13, fient 60, qui est numerus prelatus14. Cuius due quinte et quarta agregate fiunt triginta nouem. Quos minue de 60 et residuum est 21. Cuius terciam que est 7 agrega ad 39, et prouenient 46. Horum igitur talis est15 comparatio ad prelatum16, qui est 60, qualis est comparatio inquisiti ad nouem. Igitur quadraginta sex quod est agregatum multiplica in 9 et productum diuide per prelatum17 et exibit quod queris. Aut si uolueris, unumquodlibet multiplicantium18 diuide per prelatum19 et quod exierit multiplica in alterum et productus erit quod queris. ADP

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Similiter etiam facies si fuerit fractio cum integro, ueluti si uelis quinque octauas de septem et dimidio agregare ad duas tercias eius et quartam tocius summe. ____________________ 1 post diuidere exp. 30 P2 2 prelatum A D: add. P2m.s.: communem P 3 prelatum A 2 4 incognitum A: incognitus D P 5 prelatum A D: add. P2 D: add. P s.l.: communem P m.s.: communem P 6 triginta false A D P in nonaginta corrigendum 7 prelatum A D: 8 quesiti A D: quesita P 9 prelatum A D: add. P2 s.l.: add. P2 s.l.: communem P communem P 10 quod queris erit A D: erit quod queris P 11 prelatum A D: add. P2 s.l.: communem P 12 erit A P: erat D 13 quinta et quarta et tercia A P: quintam et quartam 15 est D P: add. A2 et terciam D 14 prelatus A D: add. P2 s.l.: communis P 2 s.l. 16 prelatum A D: add. P m.d.: communem P 17 prelatum A D: add. P2m.d.: communem P 18 multiplicantium A D: multiplicatum P 19 prelatum A D: add. P2m.d.: communem P

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Sic facies. Numeros denominantes1 fractiones scilicet octauam et dimidium et terciam et quartam inter se multiplica, et prouenient nonaginta sex. Cuius quinque octauas agrega ad duas tercias eius et agregato adde quartam eius, et prouenient 1552. Horum igitur talis erit comparatio ad 96 qualis est comparatio quesiti ad septem et dimidium3. Vnde si multiplicaueris centum quinquaginta quinque in septem et dimidium et productum diuiseris per 96, exibit quesitus. Cetera autem4 huiusmodi considera secundum hoc et ita inuenies5. ADP

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Capitulum de peccuniis in agregando6. Si quis interrogauerit quanta est peccunia cuius tercia et quarta agregate fiunt decem. Sic inuenies. Multiplica inter se denominationes partium scilicet terciam et quartam, et7 prouenient8 12. Huius autem numeri terciam et quartam agrega, et fient 7 qui numerus sit hic prelatus. Manifestum est9 igitur quod comparatio de septem ad duodecim est sicut comparatio de decem ad peccuniam. Multiplica igitur summam propositam scilicet decem in productum scilicet duodecim et productum diuide per prelatum scilicet 7, et exibunt decem et septem et septima. Et tanta est10 peccunia cuius tercia et quarta agregate11 fiunt decem. Vel si uolueris, diuide unum duorum multiplicantium scilicet decem uel duodecim per prelatum et quod exierit multiplica per reliquum et productum erit peccunia de qua interrogatur. Si quis uero interrogat quanta est peccunia cuius tercia et quarta agregate cum duobus nummis fiunt decem. Sic inuenies. Minue duos de summa proposita scilicet decem et remanent octo. Octo igitur sunt tercia et quarta peccunie de qua interrogatur. Quasi ergo dicetur que est peccunia cuius tercia et quarta agregate fiunt octo, fac secundum predictam regulam. Si quis uero interrogat quanta est peccunia cuius tercia et quarta minus duobus numis agregate fiunt decem. Sic inuenies. Adde duo que desunt summe proposite que est decem, et fient duodecim. Duodecim ergo sunt tercia et quarta peccunie. Quasi ergo dicatur quanta est peccunia cuius tercia et quarta agregate fiunt duodecim, secundum predictam regulam inueni. Sic facies in omnibus huiusmodi questionibus uel addendo summe proposite ea que desunt uel minuendo que suprasunt, et summa que inde fit est proposite partes sumpte de peccunia. ____________________ 1 denominantes A P: denominatos D 2 155 A2 D P: clxxxi A1 3 post dimidium 2 4 autem A D: aut P 5 inuenies A P: conuenietis D exp. et productum diuiseris D uid. 6 Capitulum – agregando A P: om. D 7 et A P: om. D 8 prouenient A: 10 est A P: om. D 11 agregate A proueniet D P 9 post est exp. autem P2 P: om. D

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Si quis uero interrogat quanta est peccunia cuius tercia cum nummo1 uno et eius quarta minus tribus numis agregate fiunt decem. Sic inuenies. Agrega unum additum tribus diminutis et erunt duo diminuta. Quasi ergo dicatur que est peccunia cuius tercia et quarta minus duobus numis fiunt decem2 secundum predictam regulam inueni. Si quis querat que est peccunia cuius tercia cum additis duobus nummis et quarta dempto3 uno numo et medietas residui cum additis quattuor nummis simul agregata (sic)4 faciunt decem. Sic facies. Duos additos agrega uni dempto et supererit unus additus qui de residuo peccunie erit demptus. Cuius dempti dimidium scilicet dimidium unius demptum agrega cum quattuor nummis, et erunt tres numi et dimidius additi. Quos agrega priori addito, et fient 4 et dimidius additi. Quasi ergo queratur que est peccunia cuius tercia et quarta et medietas residui cum 4 numis et dimidio simul agregate efficiunt decem. Sic facies. Minue5 quattuor numos et dimidium de decem, et cetera deinceps fac sicut premonstrauimus. Si quis uero querat que est peccunia cuius tercia minus6 quinque numis et quarta cum duobus additis et medietas residui minus uno simul agregata7 efficiunt decem. Sic facies. Agrega quinque demptos duobus additis, et erunt tres dempti qui residuo peccunie erunt additi. Quorum medietatem que est unus et dimidius additus agrega superiori uni dempto, et supererit dimidius additus. Quem agrega tribus prioribus demptis et erunt duo et dimidius dempti. Quasi ergo queratur que est peccunia cuius tercia et quarta et medietas residui duobus et dimidio demptis simul agregata efficiunt decem. Sic facies. Adde duos et dimidium ad decem, et fient duodecim et dimidium, et cetera fac ut premonstratum est. Fiunt autem hic multe alie prolixiores questiones quas facile deprehendit. Quisquis ea que8 predicta sunt intellexerit ut hec9. ADP

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Si quis querat que est peccunia cuius tercia et quinta et quarta residui fiunt uiginti. Sic facies. Numeros denominationum que sunt tercia et quinta et quarta inter se multiplica, et prouenient 60. Cuius terciam10 et quintam11 simul agregatas que sunt 32 agrega ad quartam residui, et prouenient triginta nouem. Comparatio igitur triginta nouem ad sexaginta est sicut comparatio de uiginti ad peccuniam quesitam. Si igitur multiplices12 60 in 20, et productum diuidas per 39 exibit quesita peccunia. Si quis querat que est peccunia cuius quinta cum duobus numis et medietas residui cum quattuor numis simul agregate fiunt decem. ____________________ 1 nummo A2 P: numero A1 D 2 decem A: ducentum D: decem tu P 3 dempto A P: deposito D 4 agregata A: agregate D P 5 minue iter. D 6 minus A D2 P: unius D1 7 agregata A P: agregate D 8 que A P: om. D 9 ut hec A: om. D P 10 terciam A P: tercia D 11 quintam A P: quinta D 12 multiplices A2 D P: multiplicas A1

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Sic facies. Tu scis quod subtracta quinta de aliquo et duobus numis remanent quattuor quinte minus duobus numis. Quarum medietas est due quinte minus uno numo. Quibus agrega quattuor numos, et fient due quinte peccunie et tres numi. Manifestum est igitur quod cum agregaueris quintam peccunie cum duobus numis et duas quintas et tres numos, fient1 decem numi. Agrega igitur duos numos tribus numis, et fient quinque. Quos [diuide]2 minue de decem et remanent 5. Quasi ergo queratur que est peccunia cuius tres quinte agregate fiunt quinque, fac sicut premonstratum est. Vel aliter. Tu scis quod si agreges eius quintam et duos numos, isti duo numi additi sunt agregato et sunt dempti de3 residuo peccunie. De huius igitur residui4 medietate est unus numus demptus. Sed iam habebamus5 quattuor numos additos. Supple igitur illum demptum et remanebunt tres additi. Quos agrega prioribus duobus additis, et fient quinque additi. Quasi ergo queratur6 que est7 peccunia cuius quinta et8 medietas residui et quinque numi agregata (sic)9 fiunt decem, fac sicut supradocui et proueniet10 quod queris. Si quis querat que est peccunia cuius tercia et quarta agregate, si multiplicetur in se11, proueniunt 49. Sic facies. Accipe radicem de12 quadraginta nouem que est tercia peccunie et quarta scilicet septem. Quasi ergo querat que est peccunia cuius tercia et quarta agregate fiunt septem, fac sicut supradocuimus. Si quis querat que est peccunia cuius tercia et quarta agregate, si multiplicentur in se et productum diuidatur per peccuniam, exibunt quattuor et dimidia sexta. Sic facies. Agrega terciam et quartam et prouenient13 tres sexte et dimidia sexta. Per quas semper diuide unum, et exibit unum et quinque septime. Quos multiplica in se et productum multiplica in quattuor et dimidiam sextam, et id quod prouenit est peccunia de qua queris. Cuius probatio hec est. Scimus quod multiplicare tres sextas peccunie et dimidiam sextam in se idem est quod multiplicare peccuniam in quattuor et dimidiam sextam14. Comparatio igitur peccunie ad tres sextas et dimidiam est sicut comparatio trium sextarum et dimidia (sic)15 ad quattuor et dimidiam sextam. Comparatio igitur peccunie ad quattuor et dimidiam sextam est sicut comparatio peccunie ad tres sextas et dimidiam geminatum repetitione. Comparatio autem peccunie ad tres sextas et dimidiam est unum et quinque septime. Igitur comparatio eiusdem ad quattuor et dimidiam sextam est duppla eius et sex septime16 eiusdem et quattuor septime septime. Multiplica igitur quattuor et ____________________ 1 fient A: sunt D P 2 emendaui diuide quod fallaciter post quos addidit A 3 de A P: et D 4 igitur residui A D: om. P 5 habebamus A D: habebam P 6 queratur A D: 8 et A P: om. D 9 agregata false A D P in queritur P 7 est A P: add. D2 s.l. agregate corrigendum 10 proueniet A P: prouenient D 11 in se addidi cum D P: om. 13 prouenient A D: proueniunt P 14 sextam add. D2 A 12 de A P: add. D2 s.l. m.s. 15 dimidia A: dimidie D P 16 post septime add. sit D

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dimidiam sextam in duo et sex septimas et quattuor septimas septime, et prouenient duodecim, et hec est peccunia. Et hoc est quod monstrare uoluimus. AD

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Capitulum de eodem diuersum a prioribus1. Cum sint duo inequales numeri quorum unius tercia agregata cum quarta alterius et fiunt decem, quantus est unusquisque illorum numerorum? Hec questio similiter interminata est. In qua sic facies. Numeros denominantes fractiones qui sunt tres et quattuor multiplica inter se, et prouenient duodecim. Sint autem2 duodecim quilibet duorum predictorum numerorum. Sint igitur ille cuius tercia agregatur. Eius igitur terciam, que est quattuor, minue de decem et remanebunt sex. Isti igitur sex sunt quarta alterius numeri. Alter igitur numerus est uiginti quattuor. Cum igitur agregaueris terciam de duodecim et quartam de uiginti quattuor, fient decem. Sic enim positum fuit. Vel aliter. Vt regula sit generalior, diuide decem in duo inequalia, quorum unum multiplica in quattuor, et alterum in tria, et duo producta sunt duo quesiti numeri3. Item de eodem4. Si ex omnibus numeris ab uno usque ad5 uiginti continue se sequentibus sibi agregatis uolueris scire quanta summa reddatur ultimo in quem desiisti. Adde unum, et fient uiginti unum. Quos multiplica in medietatem de uiginti que est decem, et prouenient ducenti et decem. Et hec est summa que ex predictis numeris sibi agregatis prouenit6. Si ex numeris qui sunt a nouem usque ad7 uiginti continue sibi agregatis uis scire quanta summa reddatur ultimo in quem desiisti scilicet uiginti. Adde unum, et fient uiginti unum. Quos multiplica in medietatem de uiginti, que est decem, et fient ducenti decem. Deinde minue unum de primo a quo incepisti, sicut hic de nouem, et remanebunt octo. Quorum medietatem que est quattuor multiplica in nouem, et prouenient triginta sex. Quos minue de ducentis et decem, et remanebunt centum septuaginta quattuor, et hec est summa que ex predictorum agregatione prouenit8. Si ex imparibus continue9 positis ab uno usque ad decem et nouem sibi agregatis, uis scire quanta summa reddatur.

____________________ 1 Capitulum – prioribus A: inequalium numerorum additionem cognito ? D al. man. 2 post autem add. isti D 3 post numeri add. aliud capitulum A m.d. 4 Item de eodem A: de progressione numerorum D al. man. 5 ad A: om. D 6 prouenit D: add. A m.d. 7 ad A: om. D 8 agregatione prouenit D: add. A m.d 9 continue A: continere D

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Sic facies. Adde unum ad decem et nouem, et fient uiginti. Quorum medietatem que est decem multiplica in se, et prouenient centum, et tanta summa prouenit ex agregatione suprapositorum imparium. Si ex1 imparibus continue dispositis a nouem usque ad2 uiginti nouem sibi agregatis uis scire quanta summa reddatur. Adde unum ultimo in quem desiisti3 ad uiginti nouem, et fient triginta. Quorum medietatem multiplica in se, et prouenient ducenti uiginti quinque. Deinde minue unum de primo a quo incepisti, sicut hic de nouem, et remanebunt octo. Quorum medietatem multiplica in se, et prouenient sexdecim. Quos minue de ducentis uiginti quinque, et remanebunt ducenti et nouem et tantum prouenit ex agregatione suprapositorum imparium. Si ex omnibus4 paribus5 continue dispositis a duobus usque ad6 uiginti sibi agregatis uis scire quanta summa reddatur, adde duos ad uiginti, et fient uiginti duo. Quorum medietatem, que est undecim, multiplica in medietatem de uiginti, et quod prouenerit est id quod ex agregatione suprapositorum parium fit. Si ex paribus qui sunt a decem usque ad7 triginta sibi agregatis uis scire quanta summa reddatur, adde duos semper ultimo, sicut hic ad triginta, et fient triginta duo. Quorum medietatem multiplica8 in9 medietatem de triginta, et prouenient ducenti quadraginta10. Deinde minue duos de decem, et remanebunt octo. Quorum medietatem multiplica in medietatem de decem, et prouenient uiginti. Quos minue de ducentis quadraginta, et remanebunt ducenti uiginti, et tantum fit ex agregatione predictorum11. Si ex omnibus quadratis qui sunt a quadrato unius usque ad quadratum de decem sibi agregatis uis scire quanta summa reddatur. Sic facies. Semper adde unum ad numerum ultimum, sicut hic ad decem, et fient undecim. Quos multiplica in medietatem de decem, et prouenient quinquaginta quinque12. Deinde duabus terciis ultimi numeri, sicut hic de decem, semper adde terciam unius, et fient septem. Quos multiplica in quinquaginta quinque13, et prouenient trescenti octoginta quinque, et tanta summa efficitur ex agregatione suprapositorum quadratorum. Vel aliter. Semper adde unum ultimo numero, sicut hic decem, et id quod fit multiplica in medietatem de decem, scilicet ultimi numeri, et productum retine. Deinde semper minue unum14 de ultimo numero, sicut hic de decem. Deinde duabus terciis remanentis semper adde unum, sicut hic, et fient septem. Quos multiplica in summam superius retentam, et quod prouenerit15 est quod queris. ____________________ 1 ex addidi cum D: om. A 2 ad A: om. D 3 post desiisti exp. sicut D2 4 omnibus 2 2 1 5 paribus A D: imparibus A 6 ad A: om. D 7 ad A: om. D D: add. A s.l. 9 in addidi cum D: om. A 8 medietatem multiplica A2 D: multiplica medietatem A1 11 post predictorum add. quadratorum numerorum quorumlibet 10 quadraginta A2 D: ? A1 12 quinque A2 D: per progressionis modium similes †…† in unum additorum inuentio D 2 1 2 1 13 quinque A D: xlv A 14 unum addidi cum D: om. A 15 post xlv A prouenerit add. id D

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Si ex omnibus quadratis imparium1 qui sunt2 a quadrato unius usque ad quadratum de nouem sibi agregatis uis scire quanta summa reddatur. Sic facies. Adde duos ad nouem, et fiunt undecim. Quos multiplica in medietatem sequentis paris que est quinque, et fient quinquaginta quinque. Quos multiplica in terciam ultimi imparis3, sicut hic nouem que est tres, et prouenient centum sexaginta quinque, et hoc est quod scire uoluisti. Si ex omnibus quadratis parium numerorum qui sunt a quadrato duorum usque ad quadratum de decem sibi agregatis uis scire quanta summa reddatur. Sic facies. Vltimo numero semper adde duos, sicut hic ad decem, et fient duodecim. Quorum medietatem multiplica in medietatem ultimi paris, sicut hic decem que est quinque, et fient triginta. Quos multiplica in duas tercias ultimi paris, additis sibi duabus terciis unius, et quod4 prouenerit est id quod scire uoluisti, sicut hic ducenti et uiginti. Si ex omnibus quadratis qui sunt continue a quattuor usque ad decem sibi agregatis uis scire quanta summa reddatur. Semper adde unum ultimo numero, sicut hic ad decem, et fient undecim. Quos multiplica in medietatem ultimi paris, sicut hic decem, et fient quinquaginta quinque. Quos multiplica in duas tercias ultimi paris, sicut hic decem addita tercia unius, et quod5 prouenerit retine. Deinde minue unum de pari a quo incepisti, sicut hic de quattuor, et remanebunt tres. Quorum medietatem multiplica in quattuor, et productum multiplica in duas tercias trium remanentium de quattuor addita tercia unius, et productum minue de supra retento, et quod remanserit erit id quod scire uoluisti. Si6 ex omnibus cubis qui sunt a cubo unius usque ad cubum de decem sibi agregatis uis scire quanta summa reddatur. Sic facies. Semper adde unum ultimo, sicut hic ad decem, et id quod fit multiplica in medietatem de decem, et prouenient quinquaginta quinque. Quos multiplica in se, et prouenient tria milia uiginti quinque. Et hec est summa quam scire uoluisti. Si ex omnibus cubis qui sunt a cubo de quinque usque ad cubum de decem sibi agregatis uis scire quanta summa reddatur, adde unum ultimo, sicut hic ad decem, et fient undecim. Quos multiplica in medietatem de decem, et prouenient quinquaginta quinque. Quos multiplica in se, et prouenient tria milia uiginti quinque, quos retine. Deinde minue unum de eo a quo incepisti, sicut hic de quinque, et remanebunt quattuor. Quorum medietatem in quinque multiplica, et productum multiplica in se, et prouenient centum. Quos minue de tribus milibus uiginti quinque, et remanebunt duo milia et nongenti uiginti quinque, et hec est summa quam requiris.

____________________ 1 imparium D: add. A2 m.s. 2 imparium qui sunt A: add. D2 m.d. 3 imparis A2 D: 1 4 quod A: om. D 5 quod A: om. D 6 praem. Cuborum numerorum paris A plurimum per progressionem modii simile eorum compendi ? D al. man

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Si ex omnibus cubis imparium numerorum qui sunt ab uno usque ad nouem sibi agregatis uis scire quid fiant1, adde unum ultimo, sicut hic ad nouem, et fient decem. Quorum medietatem multiplica in se, et productum multiplica in dupplum eius minus uno, et quod prouenit est id quod scire uoluisti, scilicet mille ducenti uiginti quinque. Si ex omnibus cubis parium qui sunt a duorum cubo usque ad cubum de decem sibi agregatis uis scire quanta summa reddatur, semper adde duos ultimo, sicut hic ad decem, et producti medietatem multiplica in medietatem de decem, et prouenient triginta. Quos multiplica in dupplum sui, quod est sexaginta, et prouenient mille octingenti, et hec est summa quam requiris. Item2 de eodem. Si ex omnibus numeris continue ab uno usque ad aliquem ignotum sibi agregatis proueniunt quinquaginta quinque, tunc quis est numerus ille? Sic facies. Semper duppla summam, sicut hic quinquaginta quinque, et fient centum et decem. Quibus adde semper quartam unius. Et eius quod inde fit accipe radicem que est decem et dimidium. Reiecto autem dimidio, remanent decem, et hic est numerus quem queris. Si ex omnibus numeris imparibus, qui sunt ab uno usque ad aliquem imparem sibi agregatis, proueniunt centum, quis est ille impar? Sic facies. De dupplata radice de centum minue unum, et quod remanet est numerus quem queris. Si ex omnibus paribus, qui sunt a duobus usque ad aliquem parem sibi agregatis, proueniunt centum et decem, quis est alter par? Sic facies. Semper multiplica summam in quattuor, sicut hic centum et decem, et prouenient quadringenti quadraginta. Quibus semper adde unum, et eius quod inde fit accipe radicem, que est uiginti unum, de quo3 subtracto uno remanet numerus quem queris4. ADP

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Capitulum de minuendo. De diminutione fractionis de fractione5. Cum uolueris tres octauas minuere de quattuor quintis. Sic facies. Numeros denominantes6 octauam et quintam inter se multiplica, et fient 40, qui est numerus prelatus7. Cuius tres octauas que sunt quindecim diminue de quattuor quintis eiusdem que sunt 32, et remanebunt decem et septem. Quos denomina a numero prelato8, et erunt tres octaue et due quinte octaue, et hoc est quod remansit. ____________________ 2 praem. ad duorum ex additis per progressionem cognito 1 fiant A2: fiat D: fiunt A1 uid. D al. man. 3 quo A: qua D 4 Capitulum de eodem diuersum [p. 123, l. 4] – quem queris A D: om. P 5 Capitulum – fractione A P: om. D 6 denominantes A D: 8 prelato A D: add. denominantis P uid. 7 prelatus A D: add. P2 s.l.: communis P P2m.s.: communi P

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Vel aliter. Conuerte quattuor quintas in octauas, et prouenient sex octaue et due quinte octaue. De quibus minue tres octauas, et remanent tres octaue et due quinte octaue, idem scilicet1 quod supra remansit. Vel conuerte tres octauas in quintas, et prouenient quinta et septem octaue unius quinte. Quas minue de quattuor quintis, et remanent due quinte et octaua quinte que sunt tres octaue et due quinte octaue idem scilicet quod supra. Si autem uolueris tres septimas minuere de decem undecimis. Sic facies. Numeros denominantes fractiones qui sunt septem et undecim in se multiplica, et fient septuaginta septem, qui est numerus prelatus2. Cuius tres septimas minue de decem undecimis, et remanent 37. Quos denomina a numero prelato3, et erunt quinque undecime et due septime undecime, et hoc est quod remanet. Vel aliter. Conuerte tres septimas in undecimas, et quod prouenerit4 minue de decem undecimis, et quod remanserit est id quod ex diminutione prouenerit5. Vel conuerte undecimas in6 septimas et7 de eo quod prouenerit minue tres septimas8, et quod remanserit est id quod ex diminutione prouenit. ADP

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De minuenda fractione et fractionis fractione de fractione9. Si uolueris tres octauas et dimidiam octauam minuere de sex septimis10. Sic facies. Numeros denominationum que sunt octaua et dimidia et septima inter se multiplica, et prouenient centum et duodecim qui est numerus prelatus11. Cuius tres octauas et dimidiam, que sunt 49, minue de12 eiusdem sex septimis que sunt 96, et remanent 47. Quas denomina a numero prelato13, et quod fuerint est id quod ex diminutione14 remansit. Vel aliter. Conuerte tres octauas et dimidiam in septimas, et fient tres septime et dimidia octaua septime. Quas minue de sex septimis, et remanebunt due septime et 7 octaue septime et dimidia octaua septime, et hoc est quod ex diminutione15 remansit. ADP

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De minuenda fractione et fractionis fractione de fractione et fractionis fractione16. Cum uolueris tres quintas et duas tercias quinte minuere de septem octauis et dimidia. ____________________ 1 idem scilicet A P: scilicet idem D 2 prelatus A D: add. P2 s.l.: communis P 3 prelato 2 4 post prouenerit exp. et q D2 5 prouenerit A: prouenit A D: add. P m.s.: communi P DP 6 in A P: om. D 7 et A P: om. D 8 septimas A D2 P: de decem undecimis 1 9 De minuenda – fractione A P: om. D 10 post septimis exp. denominationum que D 11 prelatus A D: add. P2 m.d.: communis P 12 de exp. D2 sunt octaua D2 2 uid. 13 prelato A D: add. P m.d.: communi P 14 diminutione A P: denominatione D 15 diminutione A P: denominatione D 16 De minuenda [l. 31] – fractione A P: om. D

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Sic facies. Ex denominationibus inter se multiplicatis, ut supradocuimus, facies numerum prelatum1, qui est 240. Cuius tres quintas et duas tercias quinte eius minue2 de eiusdem septem octauis et dimidia. Quod autem remanserit denomina a prelato3, et quod fuerit est id quod ex diminutione4 remansit. Vel5 conuerte tres quintas et duas tercias quinte in octauas, et fient quinque octaue et quattuor quinte octaue et tercia quinte octaue. Quas minue de septem octauis, et remanebit octaua et due tercie quinte octaue. Quas agrega dimidie6 octaue que erat cum septem octauis, et quod prouenerit est id quod ex diminutione remansit. De minuenda fractione et fractione fractionis de integro et fractione et fractione fractionis7. Si autem uolueris tres quintas et duas tercias quinte minuere de uno et de8 quattuor undecimis et9 dimidia. Sic facies. Ex multiplicatis denominationibus, sicut predictum est, facies numerum prelatum10. Deinde multiplica unum et 4 undecimas et dimidiam in numerum prelatum11. Ab eo autem quod prouenerit minue eiusdem numeri prelati12 tres quintas et duas tercias quinte eius. Quod autem remanserit diuide per prelatum13 et quod exierit est id quod scire uoluisti. Vel14 si uolueris, conuerte tres quintas et duas tercias quinte in undecimas, et quod prouenerit minue de uno et quattuor undecimis et dimidia que sunt quindecim undecime et dimidia, et quod remanserit est id quod scire uoluisti. Vel tres quintas et duas tercias quinte minue de uno, et remanebit quinta et tercia quinte. Quas agrega ad quattuor undecimas et dimidiam, sicut premonstratum est in agregatione, et quod prouenerit est id quod ex diminutione15 remansit. Et secundum hoc probabis in ceteris. ADP Si autem uolueris duas septimas et tres decimas minuere de decem undecimis16. Sic facies. Numeros a quibus denominantur septima et decima et undecima multiplica inter se, et prouenient septingenti septuaginta. Quos17 pone prelatum. Cuius duas18 septimas agrega ad eius tresdecimas et agregatum minue de eius decem undecimis, et quod remanserit denomina de prelato, et quod fuerit est id quod19 uoluisti.

____________________ 1 prelatum A D: add. P2 m.d.: communem P 2 minue A: minues D P 3 prelato A D: 4 diminutione A P: denominatione D 5 post uel add. aliter D add. P2 m.d.: communi P 6 dimidie A P: dimidia D 7 De minuenda [l. 9] – fractionis A P: om. D 8 de om. 9 et addidi cum D P: om. A uid. 10 prelatum A D: add. P2 m.d.: communem P A1 12 prelati A D: add. P2 m.d.: communis P 11 prelatum A D: add. P2 m.d.: communem P 2 14 uel addidi cum D P: add. A2 13 prelatum A D: add. P m.d.: communem P m.s. 15 diminutione A P: denominatione D 16 undecimis A P: in decimis D 18 duas A D2 P: dua D1 19 post quod add. scilicet A1 17 quos A D2 P: quo D1

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Cuius probatio hec est. Sit1 prelatus numerus a. Eius autem due septime sint bg, et eius tres decime gd, eius uero decem undecime bh. Due uero septime sint zk. Tres uero decime sint kt, decem uero undecime totus zq. Igitur tq est id quod queritur. Vnum autem sit l. Comparatio igitur linee zk ad l est sicut comparatio linee bg ad a. Comparatio uero linee kt ad l est sicut comparatio linee gd ad a. Comparatio igitur2 linee zt ad l est sicut comparatio linee bd ad a. Comparatio autem tocius zq ad l est sicut comparatio tocius bh ad a. Comparatio igitur residui quod est tq ad l est sicut comparatio dh ad a, sicut predocuimus in capitulo prepositionum. Quod igitur fit ex ductu unius in dh3 equum est ei quod fit ex ductu tq quod est quesitum in a4. Quod autem fit ex ductu unius in dh non est nisi dh5. Igitur quod fit ex ductu linee tq in a est dh. Si igitur diuiseris dh per a exibit tq, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.29: A, fol.131 v sub textu; D, fol.12 r d; P, fol.33 r d.

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Vel aliter. Conuerte duas septimas in undecimas, sicut docuimus in capitulo conuertendi fractiones, et conuerte etiam tresdecimas in undecimas et agrega omnia, et agregatum minue de decem undecimis. Cum enim conuerteris duas septimas in undecimas, prouenient tres undecime et septima undecime. Cum uero conuerteris tres decimas in undecimas, prouenient tres undecime et tres decime6 unius undecime. Agrega igitur tres undecimas cum tribus prioribus undecimis, et fient sex undecime. Deinde agrega septimam undecime tribus decimis undecime hoc modo, scilicet conuerte quaslibet earum in genus aliarum, ueluti si conuertas septimam undecime in decimam undecime7. Quasi ergo queratur: «Vna septima undecime quot decime undecime est?» Dimitte undecimam pro undecima8. Dices ergo: «Vna septima quot decime est?» Multiplica igitur unum in decem et productum diuide per septem, et exibit unum et tres septime, quod est una decima undecime et tres septime decime undecime9. Quas agrega tribus decimis undecime, et fient quattuor decime undecime et tres septime decime unius undecime. Quas agrega ad sex undecimas, et erunt sex undecime et quattuor decime unius undecime et tres septime unius decime unius undecime. Quas minue de decem undecimis, scilicet minue sex undecimas de decem undecimis, et remanebunt quattuor undecime. De quibus minue unam, et remanebunt tres. De una uero minue quattuor decimas undecime et tres septimas decime undecime, et remanebunt quinque decime undecime et quattuor septime decime unius undecime. Quas agrega tribus undecimis, et fient tres undecime et quinque decime ____________________ 1 sit A2 4 A1 A2 sub 8 A1

D P: sic A1 uid. 2 igitur D P: add. A2 3 post dh add. non est nisi dh equum est [l. 9] – in a D P: add. A m.s. 5 Quod autem [l. 10] – nisi dh D P: add. textu 6 decime A P: undecime D 7 undecime A2 D P: undecimi undecima A P: undecimam D 9 post undecime add. et D uid.

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unius undecime et quattuor septime unius decime unius undecime, et hoc est quod uoluisti. Similiter facies in omnibus huiusmodi et inuenies quod quesieris. ADP

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Capitulum de diminuendo fractionem de integro et fractione1. Cum uolueris octo undecimas minue (sic)2 de uno et tribus octauis. Sic facies3. Numeros denominantes fractiones qui sunt undecim et octo multiplica inter se, et prouenient 88 qui est numerus prelatus4. Cuius octo undecime sunt 64. Deinde multiplica unum et tres octauas in numerum prelatum5, et prouenient 121. De quibus6 minue 64, et remanent 57. Quos denomina a numero prelato7, et quod8 fuerit est id quod ex diminutione9 remansit. Vel aliter. Conuerte octo undecimas in octauas, et fient 5 octaue et 9 undecime octaue. Quas minue ab uno et tribus octauis que sunt undecim octaue, et remanebunt quinque octaue et due undecime octaue. Vel conuerte tres octauas in undecimas, et fient 4 undecime et octaua undecime. Vndecim autem undecimas que sunt in uno agrega ad quattuor undecimas et octauam undecime, et fient quindecim undecime et octaua undecime. De quibus minue octo undecimas10, et remanebunt 7 undecime et octaua undecime, et hoc est quod ex diminutione remanet. Vel11 si uolueris, minue octo undecimas ab uno, et remanebunt tres undecime. Quas agrega tribus octauis que sunt supra unum et quod excreuerit est id quod ex diminutione remansit. ADP

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Capitulum de minuendo integrum et fractionem de integro et fractione12. Si uolueris duo et tres quartas minuere de quinque et octo nonis. Sic facies. Numeros denominantes quartam et nonam inter se multiplica, et prouenient 36, quos pone prelatum. Quem multiplica in duo et tres quartas et productum retine. Deinde multiplica prelatum in quinque et octo nonas et de producto minue aliud productum et quod remanet diuide per prelatum, et exibit quod uoluisti. Cuius probatio hec est. Sit unum a, duo uero et tres quarte sint bd, quinque autem et octo none sint bg. Igitur gd est id quod queritur. Prelatus autem sit h. Quod autem fit ex ductu h in duo et13 tres quartas sit zk. Quod autem fit14 ex ductu h15 in quinque et octo nonas sit zt. Manifestum est igitur quod comparatio de bg ad ____________________ 1 Capitulum – fractione A P: om. D 2 minue A: minuere D P 3 sic facies A D: om. P 5 prelatum A D: add. P2m.s.: communem P 4 prelatus A D: add. P2 s.l.: communis P 8 quod D P: add. 6 de quibus A P: om. D 7 prelato A D: add. P2m.s.: communi P 2 9 diminutione A P: denominatione D 10 post undecimas exp. ab uno D2 11 post A 12 Capitulum – fractione A P: om. D 13 et A P: om. D 14 fit uel exp. aliter P2 15 post h exp. in duo et tres quartas D2 D P: add. A2 m.d.

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a est sicut comparatio de zt ad h. Sed comparatio de bd1 ad a est sicut comparatio de zk ad h2. Igitur comparatio residui quod est gd ad a est sicut comparatio residui quod est3 kt ad h. Quod igitur fit ex ductu gd in h equum est ei quod fit ex ductu unius in kt. Quod autem fit ex ductu unius in kt non est nisi kt. Quod4 igitur fit ex ductu de gd in h est kt. Si igitur diuiseris kt per h, exibit quesitum scilicet gd, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.30: A, fol.132 v; D, fol.12 v d; P, fol.33 v s.

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Vel aliter. Minue duo et tres quartas de quinque, et remanebunt duo et quarta. Quos agrega ad octo nonas hoc modo, scilicet agrega quartam ad octo nonas, et fiet unum et nona et quarta none. Hec autem agrega ad duo, et fient tria et nona et quarta none, et hoc est quod uoluisti. ADP

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De minuendo fractionem5 et fractionem fractionis de integro et fractione6. Si autem uolueris quattuor quintas et terciam quinte minuere de uno et quattuor tredecimis. Sic facies. Ex denominationibus in se multiplicatis, facies numerum prelatum7 et cetera, ut predictum est, prosequere. Vel conuertes quattuor quintas et terciam quinte in tredecimas, et quod prouenerit minue de uno et quattuor tredecimis, que sunt decem et septem tredecime, sicut paulo ante monstrauimus8, et remanebit quod scire uoluisti. ADP De9 minuenda fractione fractionis de fractione fractionis10. Si uolueris tres quintas octaue minuere de quinque septimis sexte. Sic facies. Ex denominationibus inter se multiplicatis que sunt quinta et octaua, prouenient 40, et ex septima11 et sexta, prouenient 42. Quos multiplica in alios 40, et prouenient mille sexcenta et octoginta, qui est numerus prelatus12. Cuius tres quintas octaue eius, que sunt centum uiginti sex, minue de eiusdem quinque septimis sexte que sunt ducenta, et remanebunt sexaginta (sic)13 quattuor. Quos denomina a prelato14, et15 erit quod uoluisti. ____________________ 1 bd A P: db D 2 post h add. quod igitur fit ex ductu unius in kt non est nisi kt A1 1 3 est addidi cum D P: om. A D2 uid. 4 quod A D: idem P 5 minuendo fractionem A: minuenda fractione P 6 De minuendo – fractione A P: om. D 7 prelatum A D: add. P2 m.d: communem P 8 ante monstrauimus A P: premonstrauimus D 9 Capitulum praem. P 10 De minuenda – fractionis A P: om. D 11 septima A2 D P: septime A1 uid. 13 sexaginta false A D P in septuaginta 12 prelatus A D: add. P2 m.s.: communis P 15 et D P: add. A2 corrigendum 14 prelato A D: add. P2 m.s.: communi P

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Vel aliter. Conuerte tres quintas octaue in septimas sexte, et prouenient tres septime sexte et octaua septime sexte et quinta octaue septime sexte. Quas minue de quinque septimis sexte, et remanebunt septima sexte et sex octaue septime sexte et quattuor quinte octaue septime sexte, et hoc est quod scire uoluisti. 5

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De minuenda fractione fractionis de integro et fractione1. Si autem uolueris tres quartas quinte minuere de uno et undecima. Sic facies. Ex multiplicatis inter se denominationibus que sunt quarta et quinta et undecima fiet numerus prelatus2 qui est ducenta et uiginti. In quem multiplica unum et unam undecimam3, et prouenient ducenta et quadraginta. A quibus minue tres quartas quinte numeri prelati4 que sunt 33, et remanebunt ducenta et septem. Quos denomina a numero prelato5, et apparebit quod queris. Vel aliter. Conuerte tres quartas quinte in undecimas, et prouenient una undecima et tres quinte undecime et quarta quinte undecime. Quas minue ab uno et undecima que sunt duodecim undecime, et remanebunt decem undecime et quinta undecime et tres quarte quinte undecime, et hoc est quod scire uoluisti. ADP

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De minuendo6 integro et fractione [et fractione]7 et fractione fractionis de integro et fractione et fractione fractionis. Si autem uolueris minuere duo et duas septimas et tres quartas septime de duobus et quinque octauis et duabus terciis octaue. Sic facies. Dimitte duo pro duobus. Quasi ergo dicatur: «Minue duas septimas et tres quartas septime de quinque octauis et duabus terciis octaue», fac sicut supradocuimus, et exibit quod scire uoluisti. ADP

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Capitulum de minuendo multiplicitatem (sic)8 fractionum de aliis9. Si uolueris tres quintas et quattuor septimas minuere de uno et septem octauis. Sic facies. Ex multiplicatis omnium fractionum denominationibus, facies numerum prelatum10, qui est decenta (sic)11 et octoginta. Cuius tres quintas scilicet centum sexaginta octo agrega ad eiusdem quattuor septimas que sunt 160, et fient12 328. In prelatum13 autem multiplica unum et septem octauas, et prouenient quingenta et uiginti quinque. A quibus minue trescenta et 14 uiginti octo, et remanebunt centum nonaginta septem. Quos denomina a prelato15, et erit quod scire uoluisti. ____________________ 1 De minuenda – fractione A P: om. D 2 prelatus A D: add. P2 m.s.: communis P 5 prelato A 3 undecimam A D: undecima P 4 prelati A D: add. P2 m.s.: communis P 2 6 minuendo A: minuenda D P 7 emendaui et fractione D: add. P m.s.: communi P quod fallaciter post fractione addidit A 8 multiplicitatem A: multiplicantem D P 9 Capitulum – de aliis A P: om. D 10 prelatum A D: add. P2 m.s.: communem P 11 decenta A: ducenta D P 12 fient A D: fiunt P 13 prelatum A D: add. P2 m.s.: communem P 14 et A: om. D P 15 prelato A D: add. P2 m.s.: communi P

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Vel conuerte quintas et septimas in octauas, et prouenient unum et octaua et due septime octaue et tres quinte septime octaue. Quas minue de uno et predictis septem octauis, et remanebunt quinque octaue et quattuor septime octaue et due quinte septime octaue. Sic autem minues scilicet unum ab uno et octauam de septem octauis, et remanebunt sex octaue. A quibus minue unam octauam, et remanebunt quinque octaue. Quam octauam conuerte in septimas octaue, et prouenient septem septime octaue. A quibus minue duas septimas octaue, et remanebunt quinque septime octaue. A quibus minue unam septimam octaue, et remanebunt quattuor septime octaue. Quam septimam conuerte in quintas septime octaue, et fient quinque quinte septime octaue. A quibus minue tres quintas septime octaue, et remanebunt due quinte septime octaue. Quod ergo remanet est quinque octaue et quattuor septime1 octaue et due quinte septime octaue2. Et hoc est quod scire uoluisti. Questiones de minuendo3. Si uolueris duas tercias de quattuor minuere de quinque septimis de sex. Sic facies. Ex denominationibus scilicet tercia et septima multiplicatis inter se fiet numerus prelatus4, scilicet 21. Cuius duas tercias multiplica in 4, et prouenient 56. Deinde eiusdem numeri prelati5 5 septimas multiplica in 6, et prouenient 90. De quibus minue 56, et remanebunt 34. Quos denomina a prelato6, et quod fuerint hoc est quod queris7. DP

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Vel aliter secundum ordinem uerborum. Accipe duas tercias de quattuor que sunt duo8 et due tercie, et accipe quinque septimas de sex que sunt quattuor et due septime. Quasi ergo uolueris duo et duas tercias minuere de quattuor et duabus septimis, minue duo et duas tercias de quattuor, et remanebit unum et tercia. Quod unum et terciam9 agrega ad duas septimas, et quod prouenerit est id quod scire uoluisti10. ADP

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Cuius probatio manifesta est. Si enim duas tercias prelati multiplicaueris in quattuor et productum diuiseris per prelatum, exibunt due tercie de quattuor. Similiter etiam si quinque septimas prelati multiplicaueris in sex et productum diuiseris per prelatum, exibunt quinque septime de sex. Oportet igitur diuidere id quod fit ex ductu duarum terciarum prelati in quattuor et quod exit minuere de eo ____________________ 1 septime iter. A 2 Quod ergo [l. 11] – octaue iter. D1 P: om. D 4 prelatus A D: add. P2 m.d.: communis P communis P 6 prelato A D: add. P2 m.d.: communi P 8 duo A P: om. D 9 Quod unum et terciam A D: om. P D P1: om. A: exp. P2

3 Questiones de minuendo A 5 prelati A D: add. P2 m.d.: 7 queris A: requiris D P 10 Vel aliter [l. 22] – uoluisti

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quod exit ex diuisione producti ex ductu quinque septimarum prelati in sex per prelatum. Hoc autem idem est quod minuere id quod fit ex ductu duarum terciarum prelati in quattuor de producto quinque septimarum prelati in sex et residuum diuidere per prelatum. Sicut ostendimus in primo capitulo prepositionum. Scilicet quoniam omnium duorum numerorum diuisorum si diuiditur unusquisque per aliquem alium, tunc id in quo unum exeuntium de diuisionibus superat aliud equum est ei quod fit ex diuisione eius quo superat alter alterum numerorum per diuidentem. Et hoc est quod monstrare uoluimus. Vel aliter. Procede secundum uerba questionis. Videlicet duas tercias quod (sic)1 quattuor que sunt duo et due tercie minue de quinque septimis de sex que sunt quattuor et due septime, sicut predocuimus, et erit id quod uoluisti. ADP

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Si autem uolueris duas quintas de quattuor et dimidio minuere de sex septimis de octo et tercia. Sic facies. Ex denominationibus omnium fractionum que sunt quinta et dimidia et septima et tercia, fac numerum prelatum2 qui est ducenta et decem. Cuius duas quintas multiplica in 4 et dimidium, et prouenient 378. Deinde eiusdem numeri prelati3 sex septimas multiplica in octo et terciam, et prouenient mille quingenta. A quibus minue trescenta septuaginta octo, et remanebunt mille et centum uiginti duo. Quos diuide per prelatum4 et quod exierit est id quod de5 diminutione6 prouenit. Cuius probatio patet ex premissis. Vel secundum ordinem uerborum accipe duas quintas de 4 et dimidio, quod7 est unum8 et 4 quinte, et accipe sex septimas de octo et tercia. Et quasi uolueris unum et quattuor quintas minuere de septem et septima, fac sicut predictum est, et proueniet quod scire uoluisti. Si autem uolueris duas quintas de quattuor et dimidio unius minuere de sex septimis de octo et de tercia unius. Sic facies. Ex denominationibus omnium fractionum inter se multiplicatis9, facies prius numerum prelatum10, qui est ducenta et decem. Cuius duas quintas multiplica in quattuor et producto adde dimidium numeri prelati11, et agregatum retine. Deinde sex12 septimas numeri prelati13 multiplica in octo et producto adde terciam ipsius numeri prelati14. Et ab hoc agregato minue primum agregatum. Et quod remanserit diuide per prelatum15. Et quod exierit erit quod queris16.

____________________ 1 quod A: de D P 2 prelatum A D: add. P2 m.d.: communem P 3 prelati A D: add. 2 4 prelatum A D: add. P2 m.d.: communem P 5 de A: ex D P P m.d.: communis P 6 diminutione A P: denominatione D 7 quod A: que D P 8 unum D P: add. A2 s.l. 9 multiplicatis A P: multiplicantium D 10 prelatum A D: add. P2 m.d.: communem P 2 12 sex A P: ex D 13 prelati A D: add. P2 11 prelati A D: add. P m.d. : communis P 2 m.d.: communis P 14 prelati A D: add. P m.d.: communis P 15 prelatum A D: add. P2 2 1 m.d.: communem P 16 queris A D P: scire uoluisti D

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Vel aliter. Duabus quintis de quattuor adde dimidium unius et agregatum retine. Deinde sex septimis de octo adde terciam unius et ab hoc agregato minue primum agregatum, sicut predocuimus. Et quod remanserit erit quod scire uoluisti. Item de diminuendo1. Si uolueris2 septimam et nonam minuere de sex et scire quantum remaneat. Sic facies. Ex denominationibus fractionum multiplicatis inter se facies numerum prelatum3 qui est sexaginta tres. De quo minue ipsius septimam et nonam, et remanebunt quadraginta et septem. Quos multiplica in sex et productum diuide per prelatum4 et exibunt quattuor et tres septime et tercia septime, et hoc est quod uoluisti scire. Et hec regula sumpta est a proportione. Taliter enim se habent quadraginta septem ad septuaginta (sic)5 tres qualiter quesitum ad sex6. Est igitur terminus tercius incognitus et diuisio fit per secundum. Vel aliter. Denomina quadraginta septem a numero prelato7 scilicet eius sex nonas et quinque septimas none8. De sex autem accipe tantas partes que erunt summa quam queris9. Vel aliter. Denomina sex a prelato10 et erunt due tercie septime eius. Ergo due tercie septime de quadraginta septem sunt summa quam requiris. Si quis querit11 subtractis de nouem quinta et duabus septimis eius et addita residuo medietate ipsius quanta fit summa residui12. Sic inuenies. Ex denominationibus fractionum que sunt quinta et septima et medietas multiplicatis inter se, facies septuaginta, qui est numerus prelatus13. Cuius quintam14 et duas septimas que sunt 3415 minue ab ipso prelato16, et remanent 36. Quibus adde dimidium ipsorum, sicut dixit, quod est decem et octo, et fiet summa 54. Manifestum est igitur quod comparatio horum quinquaginta quattuor ad septuaginta est sicut comparatio quesiti ad nouem. Hos igitur quinquaginta quattuor multiplica in 9 et productum diuide per prelatum17, et quod exierit erit18 quod scire uoluisti. Vel aliter. Diuide unum multiplicantium19 per numerum prelatum20 et quod exierit multiplica per alterum, et quod prouenerit erit quod requiris. Si quis querat, subtractis de nouem quinta et duabus septimis eius et de residuo subtracta tercia eius, quid remaneat. Sic facies. Ex21 denominationibus omnium fractionum, facies prius prelatum22 numerum qui est centum quinque. Cuius quintam et duas23 septimas eiusdem ____________________ 1 Item de diminuendo A P: om. D 2 uolueris A2 D P: uoluis A1 uid. 3 prelatum A D: 2 4 prelatum A D: add. P2 m.d.: communem P 5 septuaginta add. P m.d.: communem P 7 prelato A D: add. P2 false A D P in sexaginta corrigendum 6 sex A D2 P: tres D1 9 queris A: requiris D P 10 prelato A m.d.: communi P 8 none A2 D P: non? A1 2 11 post querit add. de terminis D 12 summa residui A: D: add. P m.s.: communi P 14 quintam A D2 P: residui summa D P 13 prelatus A D: add. P2 m.s.: communis P 1 2 1 15 34 A D P: triginta sex D 16 prelato A D: add. P2 m.s.: communi P quintas D uid. 2 m.s.: communem P 18 erit A2 D P: er?t 17 prelatum A D: add. P 1 19 multiplicantium A D: multiplicatum P 20 prelatum A D: add. P2 m.s.: A communem P 21 praem. tu P 22 prelatum A D: add. P2 m.s.: communem P 2 23 post duas exp. tercias D

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minue de ipso et residuum est 33. De quo residuo minue terciam eius, sicut predictum est, et remanebunt 22. Manifestum est igitur quod comparatio horum uiginti duorum ad centum [uiginti]1 quinque sicut est comparatio quesiti ad nouem. Hos igitur uiginti duo multiplica in 9 et productum diuide per prelatum2, et quod exierit est summa quam requiris. Vel aliter. Alterum multiplicantium quod est nouem uel uiginti duo diuide per prelatum3, et quod exierit multiplica per alterum et productum est summa quam requiris. In huiusmodi autem questionibus si plures fuerint fractiones idem tamen modus erit agendi. In huiusmodi autem4: «Quotiens fractiones excesserint unum?», questio falsa est, sicut si aliquis querat subtractis de octo duabus terciis et duabus quintis eius quid remanet. Hec questio non recipitur quoniam due tercie et due quinte alicuius plus sunt quam unum. Vnde cum minuuntur de octo predicte fractiones amplius sunt quam octo. Non potuerit autem maius minui de minore quod patebat5 cum acceperis fractiones de numero prelato6. Fient enim maior summa quam sit in se7. Capitulum de peccuniis in minuendo8. Si quis querat quanta est peccunia de qua dempta eius tercia et quarta remanent decem. Sic facies. Ex denominationibus que sunt tercia et quarta inter se multiplicatis facies9 duodecim. Cuius terciam et quartam10 minue de ipso et remanebunt quinque. Manifestum est igitur quod comparatio quinque ad duodecim est sicut comparatio de decem ad quesitum. Igitur multiplica decem in duodecim et productum diuide per11 quinque et exibunt uiginti quattuor, et hec est peccunia. DP

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Vel aliter. Diuide duodecim per prelatum et quod exierit multiplica in decem, et productum est summa quam requiris. Vel diuide decem per prelatum et quod exierit multiplica in duodecim et productum est summa quam requiris. Hoc autem ideo facimus quoniam talis est proportio quinque ad duodecim qualis est decem ad summam que requiritur. Vnde uel multiplica decem in duodecim et productum diuide per prelatum, et exibit quod queritur12.

____________________ 1 emendaui uiginti quod fallaciter post centum addiderunt A D P 2 prelatum A D: add. P2 2 m.s.: communem P 3 prelatum A D: add. P m.s.: communem P 4 post autem exp. 5 patebat A P: patebit D 6 prelato A D: add. P2 m.s.: communi P questiones D2 7 in se A: ipse D P 8 Capitulum – minuendo A P: om. D 9 facies addidi cum D: add. 10 terciam et quartam A P: tercia et quarta D 11 post per add. prelatum P2 m.s.: om. A qui est D 12 Vel aliter [l. 25] – queritur addidi cum D P: om. A

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ADP Vel diuide unum multiplicantium per prelatum et quod exierit multiplica in alterum et productum est quantitas peccunie requisite. 5

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Si quis querat quanta est peccunia de qua dempta tercia et quarta eius et medietate residui remanent decem. Sic facies. Multiplica denominationes fractionum que sunt tercia et quarta et dimidia, et fient uiginti quattuor. De quo minue terciam eius et quartam, et remanebunt decem. De quibus minue dimidium ipsorum, et remanebunt quinque. Manifestum est igitur quod comparatio quinque ad uiginti quattuor est sicut comparatio de1 decem ad quesitum. Multiplica2 decem in 24 et productum diuide per prelatum et quod exierit erit summa quam queris. Vel diuide alterum multiplicantium per prelatum et quod exierit multiplica per alterum, et productum est summa que queritur. ADP Vel aliter. Iam enim scis quod si minueris de peccunia terciam3 eius et quartam et medietatem residui et remanserint decem. Scis quod isti decem medietas sunt residui post subtractionem tercie et quarte sue de peccunia. Duplica ergo eos, et fient uiginti qui4 sunt residuum peccunie post subtractionem sue tercie et quarte. Quasi ergo dicatur que est peccunia de qua subtracta eius tercia et quarta remanent uiginti, fac sicut predocuimus, et proueniet quod queris. Si autem diceres subtracta tertia residui profecto decem essent due tercie5 residui, adde igitur ad decem dimidium eorum, et fient 15 et tantum est residuum peccunie post subtractionem6 tercie eius et quarte. ADP

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Si quis querat quanta est peccunia de qua demptis tercia et quarta eius et duobus numeris (sic)7 remanent decem numeri (sic)8. Sic facies. Adde duos numeros (sic)9 ad decem, et fient 12 qui sunt residuum peccunie post subtractionem tercie eius et quarte. Quasi ergo queratur quanta est peccunia de qua demptis tercia et quarta eius, et10 remanent duodecim, facies sicut iam predocuimus. Si quis querat quanta est peccunia de qua demptis tercia et quarta eius minus duobus numeris (sic)11 remanent decem.

____________________ 1 de A D: om. P 2 praem. igitur D P 3 terciam A P: tercia D 4 qui A2 D P: que 1 5 tercie A D: tertii P 6 subtractionem A D: subtractione P A uid. uid. 7 numeris A: nummis D P 8 numeri A: nummi D P 9 numeros A: nummos DP 10 et A: om. D P 11 numeris A: nummis D P

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Sic facies. Minue duos numeros (sic)1 de decem et remanebunt octo qui sunt residuum peccunie post subtractionem sue tercie2 et quarte. Quasi ergo queratur quanta est peccunia de qua demptis tercia eius et quarta remanent octo, facies sicut predocuimus. Sic autem facies in huiusmodi semper addendo additos aud minuendo3 demptos, et quod4 prouenerit erit residuum peccunie post subtractionem propositorum5 proportionum. Quod est contrarium ei6 quod fit in agregatione sicut iam prediximus. Si quis querat quanta est peccunia de qua demptis tercia et uno numo et quarta minus tribus nummis remanent decem nummi7. Sic facies. Adde unum nummum additum tribus demptis et erunt duo dempti. Quasi ergo queratur quanta est peccunia de qua demptis tercia eius et quarta minus duobus numis remanent decem, minue duos nummos demptos de decem et remanebunt octo qui sunt residuum peccunie post subtractionem suarum tercie et quarte et cetera fac sicut predocuimus. Si quis querat quanta est peccunia de qua demptis tercia eius minus duobus nummis et quarta eius et8 insuper tribus nummis remanent decem. Sic facies. Adde tres nummos additos duobus demptis et supererit unus additus. Quasi ergo queratur quanta est peccunia de qua demptis tercia et quarta eius et uno nummo remanent decem, fac sicut predocuimus. Si quis querat quanta est peccunia de qua demptis tercia et duobus nummis et eius quarta minus uno nummo et dimidio residui et quattuor nummis remanent decem. Sic facies. Adde duos additos uni dempto et supererit unus additus qui erit demptus de residuo peccunie. Cuius nummi dimidium quod est dimidium unius demptum adde quattuor predictis nummis additis, et supererunt tres et dimidius additi. Quos agrega predicto addito, et fient quattuor et dimidius additi. Quasi ergo queratur peccunia de qua demptis tercia et quarta eius et medietate residui insuper et quattuor nummis et obolo remanent decem quanta est 9, adde quattuor nummos et obolum ad decem et cetera fac ut supradocuimus. ADP Si quis querat: «Peccunia de qua demptis tercia eius et duobus numis et eius quarta minus uno numo et dimidio residui minus tribus numis remanent decem quanta est?» Iam scis quod subtracta medietate de residuo minus tribus numis et remanserint decem, quod medietas residui et tres numi adequantur10 decem numis. Igitur solum dimidium adequatur septem numis. Totum igitur residuum est

____________________ 1 numeros A: nummos D P 2 sue tercie A D: tercie sue P 3 post minuendo exp. a D2 2 2 4 post quod exp. remanserit P 5 propositorum A D P : propositarum P1 6 ei A D: om. P 2 8 et A P: om. D 9 est A P: om. D 10 adequantur A D: 7 numeri D P: add. A s.l. adequatur P

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quattuordecim numi. Dices igitur: «Peccunia de qua demptis tercia1 eius et duobus numis et eius quarta minus uno numo remanent quattuordecim, quanta est?» Sunt igitur duo numi additi et unus demptus. Quem restaura uno additorum, et remanebit unus additus. Quasi ergo querat: «Peccunia de qua demptis tercia eius et quarta et uno numo remanent quattuordecim, quanta est?» Fac sicut supradocui et erit peccunia triginta sex. Et secundum hoc considera cetera huiusmodi, et inuenies quod queris. ADP

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Si quis querat: «Peccunia de qua demptis tercia eius minus quinque nummis et eius quarta et duobus nummis et dimidio residui minus uno nummo remanent decem quanta est?» Sic facies. Adde2 quinque demptos duobus additis et erunt tres dempti qui erunt additi residuo peccunie. A

DP

Quorum dimidium quod est dimidium unius demptum adde quattuor predictis numis additis, et supererunt tres et dimidius additi. Quos agrega predicto addito, et fient quattuor et dimidius additi. Quasi ergo queratur: «Peccunia de qua demptis tercia et quarta eius et medietate residui insuper et quattuor numis, et obolo remanent decem quanta est?» Adde quattuor numos et obolum ad decem, et cetera fac ut supradocuimus3.

Quorum dimidium quod est unus et dimidius additus, adde uni dempto predicto et supererit dimidius additus. Quem adde tribus predictis demptis et fient duo et dimidius dempti. Quasi ergo queratur: «Peccunia de qua demptis eius tercia et quarta et medietate residui minus duobus nummis et dimidio remanent decem quanta est?» Tu minue duos nummos et obolum de decem, et cetera fac sicut premonstrauimus3.

ADP

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Si quis querat: «Quanta est peccunia de qua subtractis tercia eius et duobus numis et dimidio residui et quinque numis et de ultimo residuo subtractis duabus quintis eius minus uno numo remanent undecim?» Sic facies. Sit peccunia ab, tercia uero eius subtracta sit ag, duo autem numi sint gd. Dimidium uero residui sit dh. Quinque uero numi sint hz, due uero quinte ultimi residui sint zk. Vnus uero4 numus demptus sit kt. Erit igitur tb undecim,

____________________ 1 tercia iter. A 2 praem. cuius D Quorum [l. 15b] – premonstrauimus D P

3 Quorum [l. 15a] – supradocuimus A (erratum): 4 uero addidi cum D P: om. A

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de quo minue kt qui est numus unus et remanebit bk decem, qui est tres quinte de zb. Igitur zb est sexdecim et due tercie1. Et hz est quinque. Igitur hb est uiginti unum et due tercie qui sunt dimidium de db. Igitur db2 est quadraginta tres et tercia, sed gd est duo. Igitur bg est quadraginta quinque et tercia qui sunt due tercie de ab. Igitur ab est sexaginta octo. Et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.31: A, fol.134 v; D, fol.13 r d; P, fol.33 v d.

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Si quis querat: «Quanta est peccunia de qua subtractis eius terciis et duobus numis et residuo multiplicato in se, prouenit peccunia et insuper 24 numi?» Sic facies. Multiplica duos numos in se, et fient 4. Quos minue de 24, et remanebunt 20. Deinde considera numerum in quem multiplicate due tercie fiant unum, et inuenies unum et dimidium. Vnum3 igitur et dimidium aggrega4 ad priores quattuor, et fient 5 et dimidium5. Quorum medietatem que est duo et tres quarte multiplica in se, et prouenient septem et quattuor octaue et dimidia octaua. Quos agrega ad uiginti, et fient 27 et quattuor octaue et dimidia octaua. Quorum radicem6 agrega ad duos7 et tres quartas, et fient octo qui sunt due tercie peccunie. Quibus adde dimidium ipsorum, et fient 12 qui sunt peccunia quesita. Cuius probatio hec est8. Sit peccunia ab, subtracta uero eius tercia sit bg, et remanebit ag due tercie peccunie. De quibus minue duos numos qui sint gd et residuum sit ad. Quod igitur fit ex ductu ad in se equum est ei quod fit ex ductu ag in unum et dimidium insuper additis 24 numis. Quod autem fit ex ductu ag in dg bis sit commune. Quod igitur fit ex ductu ad in se et ag in dg bis9 equum est ei quod fit ex ductu ag in unum et dimidium et ag in dg bis insuper additis 24 numis. Id autem quod fit ex ductu ag in dg bis equum est ei quod fit ex ductu ag in 4. Id igitur quod fit ex ductu ag in 4 et in unum et10 dimidium additis insuper 24 equum est ei quod fit ex ductu ag in se et dg in se. Id autem quod fit ex ductu dg in se est 4. Igitur quod fit ex ductu ag in se additis sibi 4 equum est ei quod fit ex ductu ag in 4 et in unum et dimidium insuper additis 24. Minue igitur quattuor de uiginti quattuor, et remanebunt 20. Quod igitur fit ex ductu ag in se equum est ei quod fit ex ductu ag in 4 et in unum et dimidium additis insuper 20. Igitur ag plus est quam quinque et dimidium. Incide ergo de ea quinque et dimidium quod fit ah. Id igitur quod fit ex ductu ag in se equum est ei quod fit ex ductu eius in ah additis insuper 20. Quod autem fit ex ductu ag in se equum est [et]11 ei quod fit ex ductu eius in ah et ei quod fit ex ductu eius in hg. Igitur id quod fit ex ductu ag in ah et in hg equum est ei quod fit ____________________ 1 post tercie exp. qui sunt dimidium A2 2 igitur db A P: add. D2 sub ligno 3 unum A 2 1 4 agrega A D: agga P 5 et dimidium A P: add. D2 D P: duorum D m.d. 6 radicem A P: radice D 7 duos A P: duobus D 8 hec est A P: est hec D 10 et addidi cum D P: om. A 11 emendaui et quod 9 post bis del. in se additis A2 uid. fallaciter post est addidit A: om. D P

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ex ductu ag in ah additis insuper 20. Minue igitur de illis id quod fit ex ductu ag in ah, quod est commune, et remanebit id quod fit ex ductu ag in hg uiginti1. Diuide igitur ah per medium in puncto z. Id igitur quod fit ex ductu ag in gh et zh in se equum erit2 ei quod fit ex ductu zg in se. Id autem quod fit ex ductu ag in gh est uiginti. Et id quod fit ex ductu zh in se3 est septem4 et dimidium et dimidia octaua. Id igitur quod fit ex ductu zg in se est uiginti septem et dimidium et dimidia octaua. Igitur zg est quinque et quarta. Sed az est duo et tres quarte. Totus igitur ag est octo qui est due tercie peccunie. Peccunia igitur est duodecim, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.32: A, fol.135 r; D, fol.13 v s; P, fol.34 r s. 10

ADP Capitulum5 de diuisione fractionum inter se siue cum integris siue non6. Volenti diuidere fractiones inter se utile est scire numerum in quem multiplicata fractio reintegretur7 in unum. Cuius rei regula hec est. ADP

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Cum uolueris inuenire numerum in quem fractio uel fractio et integrum uel fractio fractionis multiplicata fiat unum, per ipsum quicquid sit diuide unum et quod exierit est numerus in quem fractio uel quicquid sit multiplicata8 fit unum. Verbi gratia. Quero numerum in quem due octaue multiplicate fiunt9 unum. Diuido igitur per ipsas unum et exeunt quattuor. Quattuor igitur est numerus in quem si due octaue multiplicentur10 fiunt unum, similiter fit in omnibus. Item alia regula hec est hec11. DP

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Si uolueris diuidere tres quartas de sex per duas quintas de quattuor, ex denominationibus que sunt quinta et quarta proueniunt uiginti. Cuius tres quartas que sunt quindecim multiplica in sex, et prouenient nonaginta qui numerus est diuidendus. Deinde duas quintas de uiginti que sunt octo multiplica in quattuor, et prouenient triginta duo. Per quos diuide nonaginta et quod exierit est id quod queris, scilicet duo et sex octaue et dimidia octaua12.

____________________ 1 post in gh exp. hg et zh diuide igitur diuide D2 2 erit A P: est D 3 Id autem [l. 4] – 4 septem A2 D P: uiginti A1 5 capitulum A D: om. P in se A P: add. D2 m.s. 6 Capitulum de diuisione – siue non A P: om. D 7 reintegretur A P: re integretur D 8 multiplicata A P: multiplicatum D 9 fiunt A: fiant D P 10 multiplicentur A P: multiplicantur D 11 est hec A P: hec est D 12 duo et – octaua P: add. D2 al. man.

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Si autem uolueris diuidere tres quartas de tribus et quinta per duas quintas duorum et dimidii, ex denominationibus que sunt quarta et quinta multiplicatis inter se fiunt uiginti. Et similiter ex denominationibus que sunt quinta et dimidium multiplicatis inter se fiunt decem. Cum autem uoluimus1 multiplicare2 uiginti in decem ad faciendum numerum communem et inuenimus quod quecumque fractiones sunt in decem sunt etiam in uiginti, ideo proposuimus3 uiginti numerum communem. Cuius tres quartas que sunt quindecim multiplica in tres et quintam, et prouenient quadraginta octo qui est numerus4 diuidendus. Deinde duas quintas de uiginti que sunt octo multiplica in duo et dimidium, et prouenient uiginti. Per quos diuide quadraginta octo, et exibit quod queris scilicet duo et due quinte5. ADP

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In numerum a quo denominatur fractio multiplica totum quod uis reintegrare6 in unum siue sit ibi integrum cum fractione siue non. Et per productum diuide numerum a quo denominatur fractio. Et quod exierit est id in quod, si multiplicaueris quod proposuisti, fiet unum. Verbi gratia. Si uolueris reintegrare7 tres quintas in unum, in numerum a quo denominatur fractio qui est quinque multiplica tres quintas, et prouenient tres et per tres diuide quinque, et exibit unum et due quinte8. Et hoc est in9 quod si multiplicaueris tres quintas reintegrabuntur10 in unum. Item si uolueris11 unum et terciam reintegrare12 in unum per predictam regulam. Sic facies. In numerum13 a quo denominatur tercia qui est tres multiplica unum et terciam, et prouenient quattuor. Et per quattuor diuide tres, exibunt tres quarte. Et hoc est in quod si multiplicaueris unum et terciam reintegrabuntur14 in unum. Item si uolueris duo et quattuor septimas reintegrare15 in unum per predictam regulam. Sic facies. In numerum a quo denominatur septima qui est septem multiplica totum quod proposuisti scilicet, duo et quattuor septimas, et prouenient decem et octo. Per quos decem et octo diuide numerum denominationis qui est septem et exibunt due sexte et tercia sexte. Et hoc est in quod multiplicata duo et quattuor septime reintegrabuntur16 in unum. Item si uolueris duo et tres17 septimas et dimidiam septimam reintegrare18 in unum per predictam regulam. ____________________ 2 multiplicare P: multiplica D 3 proposuimus 1 uoluimus D al. man. P: uolueris D1 P: posuimus D uid. 4 est numerus D: numerus est P 5 Si uolueris [p. 141, l. 23] – due quinte addidi cum D P: om. A 6 reintegrare A P: re integrare D 7 reintegrare A P: re 9 in A2 D P: ? A1 10 reintegrabuntur integrare D 8 quinte A D P1: tercie A2 s.l. 12 reintegrare A P: re integrare D A P: re integrabuntur D 11 post uolueris exp. in D2 13 numerum A P: unum D 14 reintegrabuntur A P: re integrabuntur D 15 reintegrare A P: re integrare D 16 reintegrabuntur A: re integrantur D: reintegrantur P 17 post tres add. et D 18 reintegrare A P: re integrare D

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Sic facies. Numeros a quibus denominantur fractiones1 septima et dimidia, qui sunt septem et duo, multiplica inter se, et fient quattuordecim. In quos quattuordecim multiplica duo et tres2 septimas et dimidiam septimam, et prouenient triginta et3 quinque. Per quos triginta quinque diuide quattuordecim, et exibunt due quinte. Et hoc est in4 quod multiplicata duo et tres septime et dimidia septima reintegrantur5 in unum. Superius autem dictum est quod in diuisione aut diuiditur maius per minus aut equale per equale6 aut minus per maius. Que diuisio dicitur denominatio. DP

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Quisquis diuidit numerum per numerum uult scire quantum accidat uni, sicut prediximus in diuisione integrorum siue fiat diuisio per minus uno siue per maius. Volenti autem diuidere utile est scire duo: unum ut sciat numerum in quem multiplicata fractio reintegratur in unum, alterum7 ut sciat que est comparatio unius ad quodlibet integrum et fractionem8. Id autem per quod reintegratur fractio est sicut9 hoc. Cum queritur quis10 est numerus in quem multiplicata tercia reintegratur in unum, respondemus per multiplicationem sui in tres. In uno enim sunt tres tercie. Predicta autem tercia est tercia unius, que multiplicata in tres fit unum. Quarta uero reintegratur per multiplicationem sui in quattuor, dimidium quoque per multiplicationem11 sui in duo, sexta autem per multiplicationem12 sui in sex. Si quis ergo querat quis est numerus in quam multiplicate due tercie fiunt unum, dic quod per multiplicationem sui in unum et dimidium. In uno enim tres tercie sunt. Due uero tercie sunt quasi duo. Multiplicabuntur ergo duo ut fiant tria in unum et dimidium. Sed tres quinte reintegrantur in unum per multiplicationem sui in unum et duas tercias. Quinque ergo13 septime14 reintegrantur in unum per multiplicationem sui in unum et duas quintas. Octo quoque undecime per multiplicationem sui in unum et tres octauas. Si quis uero querat numerum in quem multiplicata dimidia sexta fit unum, dic per multiplicationem sui in duodecim, dimidia quoque octaua per multiplicationem sui in sexdecim. Quarta autem septime per multiplicationem sui in uiginti octo. Si quis uero querat quo numero multiplicantur tres quarte unius quinte ut fiant unum, dic per multiplicationem sui in sex et duas tercias. Quod15 ideo fit quoniam in uno sunt uiginti quarte quintarum. Proposuit autem tres. Multiplicantur uero tres ut fiant uiginti per sex et duas tercias. ____________________ 1 post fractiones add. scilicet P 2 post tres add. et D P 3 et D P: add. A2 2 s.l. 4 in D P: add. A s.l. 5 reintegrantur A P: re integrantur D 6 per equale A 8 Quisquis [l. 10] – et fractionem D: om. P P: om. D 7 alterum D2 P: additum D1 10 quis D2 P: qui D1 11 multiplicationem D P2: 9 post sicut exp. comparatio D2 1 12 multiplicationem P: multiplicatione D 13 post ergo exp. tercie D2 multiplicationum P 14 septime P: septimas D uid. 15 post quod add. id D

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Si quis uero querat tres quarte unius undecime quo numero multiplicatur ut fiant unum1, dic per2 multiplicationem sui in quattuordecim et duas tercias unius. Si quis autem querat quo numero multiplicate due septime et dimidia fiunt unum, dic per multiplicationem sui in duo et quattuor quintas. Quod ideo fit quoniam in uno sunt quattuordecim dimidie septime. Due autem septime et dimidia de quattuordecim sunt quinque. Vnde unum fit quasi quattuordecim. Cuius due septime et dimidia sunt quasi quinque. Multiplicantur autem quinque ut fiant quattuordecim in duo et quattuor quintas. Cetera omnia huius generis considera secundum hoc. Cum autem quis querit que est comparatio unius ad integrum et fractionem, hoc querit ut sciat quot fractiones huiusmodi sunt in uno et tunc denominabis eas a numero et fractione postquam reduxeris eam3 in predictam fractionem, et quod prouenerit est id quod queris. Verbi gratia. Si quis querit que est comparatio unius ad unum et dimidium, dic quod due tercie. Vnum enim est duo dimidium. Vnum uero et dimidium sunt tria dimidia. Duo igitur de tribus sunt due tercie. Si quis4 querat quam comparationem habet (sic)5 unum ad duo et quartam, dic quod quattuor none. Vnum enim est quattuor quarte. Duo uero et quarta sunt nouem quarte. Quattuor uero de nouem sunt quattuor none. Si quis uero querit quam comparationem habet unum ad tres et tres undecimas, dic quod due none et tres quarte unius none, eo quod denominabuntur undecim undecime a triginta sex undecimis. Similiter si quis querit unum quota pars est de duobus et quinque septimis et dimidia, dic quod quattuor tredecime et due tercie unius tredecime. Vnum et enim est quattuordecim dimidie septime. Duo uero et quinque septime et dimidia sunt triginta nouem dimidie septime. Ergo denominabis quattuordecim a triginta nouem, et erit quod uoluisti. Cetera uero considera secundum hoc. Superius autem dictum est quod in diuisione aut diuiditur maius per minus aut equale per equale aut minus per maius, que diuisio dicitur denominatio6. AP Capitulum de denominandis fractionibus ab inuicem siue cum integris sint7 siue non8. ADP

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Si uolueris denominare quartam de tercia. ____________________ 1 unum P: unam D 2 per P: om. D 3 eam D: ea P 4 post quis add. uero D 5 habet false D P in habeat corrigendum 6 Superius [l. 28] – denominatio P: om. D Quisquis diuidit [p. 143, l. 10] – denominatio addidi cum D P: om. A 7 sint A: sit P 8 Capitulum [l. 32] – siue non A P: om. D

Première partie du Liber mahameleth

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Sic facies. Numeros denominantes quartam1 et terciam qui sunt quattuor et tres multiplica inter se, et fient duodecim. Quorum quartam que est tres denomina de2 eius3 tercia que est quattuor scilicet tres quartas, et hoc est quod uoluisti. Si uolueris quinque sextas denominare de sex septimis. Sic facies. Numeros denominantes sextam et septimam qui4 sunt sex et septem multiplica inter se, et fient 42. Quorum quinque sextas que sunt triginta quinque denomina de sex septimis eorum que sunt5 triginta sex et erunt octo none et tres quarte unius none. ADP

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Si uolueris denominare unum de duobus et dimidio, regula talis est. Numerum a quo denominatur dimidium qui est duo, multiplica in duo et dimidium, et fient 6 5. Deinde multiplica duo in unum, et prouenient duo. Que duo denomina de quinque scilicet due quinte. Item si uolueris denominare duo de sex et duabus terciis. Sic facies. Numerum denominantem terciam qui est tres multiplica in sex et duas tercias, et prouenient uiginti. Deinde multiplica tres in duo, et prouenient sex. Quos sex denomina de uiginti scilicet tres decimas. AD

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Si uolueris denominare unum et dimidium de tribus et tercia. Sic facies. Numeros denominationum qui sunt duo et tercia inter se multiplica, et prouenient sex. Quos multiplica in tres et terciam, et fient uiginti. Deinde multiplica sex in unum et dimidium, et prouenient nouem. Quos denomina de uiginti, scilicet quattuor decimas et dimidiam decimam, et hoc est7 quod uoluisti. Si uolueris denominare tres et tres quartas de quattuor et tribus decimis, numeros denominationum qui sunt quattuor et decem multiplica inter se, et prouenient quadraginta. Quos multiplica in tres et tres quartas, et prouenient centum quinquaginta. Deinde8 multiplica quadraginta in quattuor et tres decimas, et prouenient centum septuaginta duo. De quibus denomina centum quinquaginta, sicut supradocuimus, et9 erunt triginta septem et dimidia10 quadragesime tercie11, et hoc est quod uoluisti12.

____________________ 1 quartam A P: quarta D 2 denomina de A P: denominandus D 3 post eius add. et D 4 qui A: que D P 5 sunt A: om. D P 6 fient A: prouenient D P 7 est add. A2 s.l. 2 2 8 post deinde eras. quattuor A 9 et A: om. D uid. 10 et dimidia eras. A2 D s.l. 2 uid. 11 post tercie add. et dimidia quadragesime tercie A m.s. 12 Si uolueris denominare [l. 24] – uoluisti A D: om. P

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Première partie du Liber mahameleth

AD Item aliud exemplum1. Capitulum diuidendi maius per minus. Primum2 capitulum hic est de diuisione fractionis per fractionem3. D 5

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Si uolueris diuidere quatuor quintas per tres quartas, sensus huius questionis talis est. Scilicet quod cum ea post tria prodiuiderint uni quatuor quinte alicuius rei, sciant per hoc quot quarte eiusdem rei accidant tribus quartis unius quatuor quinte alicuius rei, tunc quantum illius rei accidat uni? Regula talis est. Numeros denominantes quintas et quartam, que sunt quatuor et quinque, multiplica inter se, et prouenient uiginti. Vel quarum tres quartas, que sunt quindecim, diuide quatuor quintas que sunt sexdecim, et exibunt unum et terciam quinte, et hoc est quod accidit uni, postquam quatuor quinte acciderit tribus quartis4. ADP

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Cum uolueris diuidere tres quintas per terciam, ex denominationibus scilicet quinta et tercia in se multiplicatis fiunt quindecim. Cuius tercia est quinque qui est prelatus. Postea eius tres quintas que sunt nouem diuide per prelatum, et exibit quod queris. Vel considera quis5 numerus est in quem multiplicata tercia fit unum, et hic est tres. In quem multiplica diuidendum qui est tres quinte, et prouenient unum et quattuor quinte6. Et hoc est quod de diuisione exit7. Si autem uolueris diuidere quinque sextas per octo undecimas, fac sicut in predictis. Vel considera in quem numerum multiplicate octo undecime fiunt unum, et hic est unum et tres quinte (sic)8. Quem multiplica in quinque sextas diuidendas, et exibit quod scire uoluisti. De diuisione fractionis per fractionem fractionis9. Si autem uolueris diuidere decem tredecimas per tres quartas quinte, ex numeris denominationum qui sunt tredecim et10 quattuor et quinque11 multiplicatis in12 se proueniunt ducenta et sexaginta. Cuius decem13 tredecimas diuide per tres quartas sue quinte, et exibit quod uoluisti.

____________________ 1 aliud exemplum A: om. D 2 post primum add. autem D: exp. A2 3 de diuisione fractionis per fractionem A: om. D Item [l. 2] – fractionem A D: om. P 4 Si uolueris [l. 5] – quartis addidi cum D: om. A P 5 quis A D: qui P 6 quinte A D P2: quinta P1 7 exit A D: exiit P 8 quinte false A D P in octaue corrigendum 9 De diuisione – 11 quinque A P: quinte D fractionis A P: om. D 10 tredecim et A D: add. P2 s.l. 13 decem A P: tres D 12 in A D P2: inter P1 uid.

Première partie du Liber mahameleth

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Vel reduc utrumque latus diuidendum et diuidens in genus minoris fractionis que est in diuidente, adhoc ut diuidens1 fiat integer. Videlicet utrumque multiplicando in uiginti qui fit ex ductu denominationum2 quarte et quinte. De ductu (sic)3 uero ex4 diuidendo diuide per productum ex diuidente, et quod exierit est summa quam queris. Vel numerum in quem multiplicate tres quarte quinte fiunt unum, qui est sex 5 et due tercie, multiplica in decem tredecimas. Et quod prouenerit est summa que ex diuisione exit. DP

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Vel si e conuerso diuidere uolueris scilicet tres quartas quinte per decem tredecimas, fac sicut predictum est scilicet tres quartas quinte numeri producti ex denominationibus que sunt triginta nouem denomina de ducentis qui sunt decem tredecime numeri producti ex omnibus denominationibus, et quote partes eius fiunt est summa que ex diuisione exit. Vel numerum in quem multiplicate decem tredecime fiunt unum, qui est unum et tresdecime, multiplica in diuidendum qui est tres quarte quinte hoc modo, scilicet multiplica unum et tres decimas in tres, et prouenient6 tres et nouem decime. Quas diuide per quattuor unde denominatur quarta, et quod exierit diuide per quinque. Vnde denominatur quinta, et exibunt tres quarte quinte et nouem decime quarte quinte, et hec est summa quam scire uoluisti7. ADP

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De diuisione fractionis per fractionem et fractionem fractionis8. Si autem uolueris diuidere quattuor septimas per octauam et duas tercias octaue, ex omnibus numeris denominationum, scilicet septima et octaua et tercia prouenient9 centum et sexaginta octo. Cuius quattuor septimas, que sunt sexaginta quattuor (sic)10 diuide per eius octauam et duas tercias sue octaue que sunt triginta quinque et exibit summa quam queris. Vel reduc diuidendum et diuidentem in tercias octaue multiplicando utrumque in uiginti quattuor, sicut predictum est. Et tunc ex multiplicatione diuidendi prouenient tredecim et quinte septime, et ex multiplicatione diuidentis quinque. Quorum alterum diuide per alterum, et exibit summa11 quam queris. Vel numerum in quem multiplicate octaua et due tercie octaue fiunt unum qui est quattuor et quattuor quinte, multiplica in diuidendum qui est quattuor septime, et productum est summa quam queris. ____________________ 2 qui fit ex ductu denominationum iter. A 3 de ductu 1 diuidens A2 D P: integer A1 5 sex A P: om. D 6 prouenient P: A: de ductum D: productum P 4 ex iter. D1 proueniunt D 7 Vel si e conuerso [l. 10] – scire uoluisti addidi cum D P: om. A 8 De diuisione – fractionis A P: om. D 9 prouenient A P: proueniunt D 10 sexaginta quattuor false A D P in nonaginta sex corrigendum 11 summa A D: summam P

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Première partie du Liber mahameleth

Vel e conuerso. Si uolueris diuidere octauam et duas tercias octaue in quattuor septimas, fac sicut prius, et prouenies adhoc ut denomines triginta quinque de sexaginta quattuor (sic)1. Vel aliter in hac conuersa. Numerum in quem multiplicate quattuor septime fiunt unum, qui est unum et tres quarte, multiplica in diuidendum, qui est octaua et due tercie octaue, et quod prouenerit est summa que de diuisione exit. ADP

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De diuisione fractionis et fractionis fractionis per fractionem et fractionem fractionis2. Si autem uolueris quinque octauas et tres quartas octaue diuidere per duas septimas et dimidiam septimam. Sic facies. Numeros denominantes quartam et octauam multiplica inter se, et prouenient 32. Deinde numeros denominantes septimam et dimidiam multiplica inter se, et prouenient 14. Deinde multiplica 143 in 32 et producti duas septimas et dimidiam simul agregatas pone prelatum. Deinde eiusdem4 producti quinque octauas et5 tres quartas octaue eius diuide per prelatum, et exibit quod uolueris. Hec autem probatio manifesta est ex precedenti6. Vel aliter. De numero qui fit ex denominationibus que sunt septima et dimidia scilicet quattuordecim, accipe duas septimas eius et dimidiam et eas fac prelatum que sunt quinque. Deinde quinque octauas de quattuordecim et tres quartas octaue eius que sunt decem et dimidia octaua, diuide per quinque, et exibunt duo et dimidia octaua quinte. Ideo autem potius accepimus fractiones diuidentis numeri, ut prelatus sit sine fractione. Cetera autem huiusmodi considera secundum hec que dicta sunt, et inuenies ita esse. Capitulum de diuidendo aliter7. Si uolueris septem octauas de sex diuidere per duas tercias de quinque. Sic facies. Ex numeris denominationum que sunt octaua et tercia in se ductis, prouenient uiginti quattuor. Quorum duas tercias multiplica in quinque, et productum pone prelatum. Deinde septem octauas de uiginti quattuor multiplica in sex, et productum diuide per prelatum, et proueniet quod queris. Quod sic probatur. Scimus enim quod non (sic)8 non uoluimus nisi accipere septem octauas de sex et diuidere eas per duas9 tercias de quinque. Septem uero octauas10 de sex accipere est sicut accipere septem octauas de uiginti quattuor et multiplicare in sex et productum diuidere per 24. Similiter etiam duas tercias de11 quinque accipere est sicut accipere duas tercias de uiginti quattuor et multiplicare eas in quinque et productum diuidere per 24. Oportebat igitur diuidere 126, quod ____________________ 1 sexaginta quattuor false A D P in nonaginta sex corrigendum 2 De diuisione – fractionis 4 eiusdem A P: eius D 5 et A P: om. D 3 Deinde multiplica 14 A P: add. D2 m.s. A P: om. D 6 ex precedenti A D: om. P 7 Capitulum – aliter A P: om. D 8 non A P: nos D 9 post duas add. per P 10 octauas A: octaue D P 11 duas tercias de A P: due tercie eiusdem D

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prouenit ex ductis septem octauis de 24 in 6, per uiginti quattuor et quod exit diuidere per id quod exit de diuisione octoginta, que proueniunt ex ductu duarum terciarum de uiginti quattuor in quinque, per uiginti quattuor. Et quod exiret esset id quod queritur. Quod quidem idem est quod diuidere centum uiginti sex per octoginta. Quod sic probatur. Nam cum diuiseris centum uiginti sex per 241, exibit aliquis numerus quem si multiplices in 24, prouenient2 centum uiginti sex. Similiter etiam si diuiseris 80 per 24, exibit aliquis numerus. Quem si multiplices in 24, prouenient 80. Igitur ex multiplicatione horum numerorum de diuisione exeuntium in uiginti quattuor proueniunt 126 et proueniunt 80. Comparatio igitur diuidendi ad diuidentem est sicut comparatio centum uiginti sex ad octoginta. Diuidere igitur diuidendum per diuidentem idem est 3 quod diuidere 126 per 80. Ex diuisione autem diuidendi per diuidentem exit id quod querimus. Igitur ex diuisione 126 per 80 exibit quod querimus4, et hoc est quod monstrare uoluimus. Vel procede secundum uerba questionis. Videlicet accipe septem octauas de sex, sicut ostendimus, que sunt quinque et quarta. Deinde accipe duas tercias de quinque, que sunt tres et tercia. Per quas diuide quinque et quartam, et exibit unum et quinque decime et tres quarte decime, et hoc est quod uoluisti. Si uolueris septem5 octauas de sex et duabus terciis diuidere per duas quintas de quattuor et dimidio, uel procede secundum uerba questionis, scilicet accipe duas quintas de quattuor et dimidio que sunt unum et quattuor quinte. Deinde accipe septem octauas de sex et duabus terciis que sunt quinque et sex octaue et due tercie octaue. Quos diuide per unum et quattuor quintas, et exibit quod uolueris. Vel aliter. Multiplica numeros denominationum que sunt octaua et tercia et quinta et dimidium, et prouenient ducenta quadraginta. Quorum6 duas quintas multiplica in quattuor et dimidium et productum pone prelatum. Deinde 7 octauas de ducentis quadraginta multiplica in 6 et duas tercias et productum diuide per prelatum, et exibit quod uoluisti. Cuius probatio patet ex precedenti. Cetera huiusmodi considera secundum hoc, et inuenies ita esse. ADP

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De diuisione integri per fractionem7. Quisquis uult diuidere decem per quartam8, uult ut postquam quarte unius accidunt decem, sciat quid accidat uni integro. Tunc ergo de numero denominationis qui est quattuor accipe quartam eius que est unum, et hic numerus ____________________ 2 prouenient A P: proueniunt D 3 idem est A D 1 post 24 exp. proueniunt centum D2 4 Igitur ex – querimus A P: add. D2 m.d. 5 post septem add. et D P2: est sicut P1 6 quorum A P: quare D 7 De diuisione – fractionem A P: om. D 8 quartam A P: quatuor D

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Première partie du Liber mahameleth

est prelatus per quem fit diuisio. Deinde multiplica decem in quattuor, et prouenient1 quadraginta. Quos diuide per unum et quod exierit est id quod scire uoluisti. Vel aliter. Quere numerum quo multiplicatur quarta ut fiat unum, sicut predictum est, et inuenies quod per multiplicationem sui in quattuor. Quattuor igitur multiplica in decem, et quod prouenerit est id quod requiris. ADP

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Si uolueris uiginti diuidere per tres quartas et intenderis hic ut postquam uiginti accidunt tribus quartis unius scias2 quid accidat uni. Sic facies. Numerum a quo denominatur quarta scilicet quattuor multiplica in tres quartas, et prouenient tres3 qui est prelatus. Deinde multiplica uiginti4 in 4 et productum diuide per prelatum et exibit quod uolueris. Vel aliter. Diuide quattuor per tres et productum multiplica in 20, et exibit quod uolueris. Cuius probatio manifesta est. Oportebat enim multiplicare quattuor in uiginti et productum diuidere per tres quod idem est quod diuidere 4 per 35, et quod exit multiplicare in uiginti. ADP De diuisione integri per fractionem fractionis6. DP

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Cum uolueris diuidere quindecim per quattuor septimas. Sic facies. De numero denominationis, qui est septem, accipe quattuor septimas eius que sunt7 quattuor, qui est numerus prelatus, per quem diuidis. Deinde multiplica septem in quindecim diuisa, et productum diuide per quattuor, et quod exierit est id quod requiris. Vel aliter. Quere numerum in quo multiplicate quattuor septime reintegrantur in unum, et inuenies quod per multiplicationem sui in unum et tres quartas. Hunc igitur multiplica in quindecim, et quod prouenerit hoc est quod de diuisione exit. Cetera autem huiusmodi considera secundum hoc8. ADP

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Cum uolueris diuidere octo per terciam quinte. Sic facies. Numeros denominationum scilicet terciam et quintam multiplica inter se, et facies quindecim. Quorum tercia quinte unus est qui est prelatus. Deinde ____________________ 1 prouenient A: proueniunt D P 2 scias A D2 P: siant D1 3 tres addidi cum D P: om. A 4 uiginti addidi cum D P: om. A 5 quod idem est quod diuidere 4 per 3 add. A2 super 6 De diuisione – fractionis A P: om. D 7 sunt A D: est P textum: om. A1 D P 8 Cum uolueris [l. 20] – secundum hoc D: add. P2 m.s.: om. A

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multiplica octo in quindecim, et prouenient centum uiginti. Quos diuide per unum qui est prelatus et quod exierit est id quod scire uoluisti. Vel aliter. Quere numerum in quem multiplicata tercia quinte fit unum et inuenies quod per multiplicationem sui in quindecim. Hos igitur quindecim multiplica in octo et productum est id quod de diuisione exit. Si autem uolueris diuidere quindecim per quattuor quintas undecime, ex denominationibus que sunt quinta et undecima inter se multiplicatis, fient quinquaginta quinque, quorum quattuor quinte undecime sunt quattuor. Per quos diuide id quod prouenit ex multiplicatione quindecim in quinquaginta quinque, et exibit summa quam requiris. Vel aliter. Quere numerum in quem multiplicate quattuor quinte undecime fiant1 unum integrum, et inuenies quod ex multiplicatione sui in tredecim et tres quartas. Hos igitur multiplica in quindecim diuidenda et quod prouenit est id quod de diuisione exit. De diuisione integri per fractionem et fractionem fractionis2. Si autem uolueris diuidere decem per tres octauas et dimidiam octauam3, ex denominationibus fractionum que sunt dimidia et octaua inter se multiplicatis prouenient sexdecim. Quorum tres octaue et dimidia sunt 7, qui est prelatus. Deinde multiplica sexdecim in decem diuidenda4, et prouenient 160. Quos diuide per 7, et exibit quod queris. Vel aliter. Quere in quid multiplicantur tres octaue et dimidia ad hoc ut fiant unum integrum, et inuenies duo et duas septimas. Hos igitur multiplica in decem diuidenda, et quod prouenerit est id quod de diuisione exit5. Si autem uolueris diuidere decem per quinque undecimas et terciam undecime, productum ex multiplicatione denominationum qui est triginta tres multiplica in numerum, per numerum diuidentem et (sic)6 per diuidendum. Alterum uero7 productorum diuide per alterum, et exibit summa quam requiris. Vel aliter. Numerum in quem multiplicantur quinque undecime et tercia undecime qui est duo et dimidia octaua multiplica in diuidendum, et proueniet quod queris. Si autem uolueris diuidere octo per quattuor quintas undecime et duas tercias quinte undecime, ex denominationibus que sunt quinta et undecima et tercia inter se multiplicatis, prouenient centum sexaginta quinque. Quorum quattuor quinte undecime et due tercie quinte undecime sunt quattuordecim, et hic est numerus prelatus per quem diuidimus. Deinde multiplica centum sexaginta quinque in octo diuidenda et productum diuide per diuidentem, et exit quod queris. ____________________ 1 fiant A2 D P: fiunt A1 2 De diuisione – fractionis A P: om. D 3 dimidiam octauam A P: dimidia octaua D 4 diuidenda A P: dimidiam D 5 add. Scias quod cum aliquis numerus diuiditur per alium, et quod exit de diuisione multiplicatur in diuidentem, exibit diuidendus. Verbi gratia. Si uolueris diuidere centum uiginti per decem, exibunt duodecim. Quos multiplica in decem, et (et om. A) prouenient centum uiginti A sub textu D sub textu (fol. 30v) P2 m.d. 6 et false A D P1 (et exp. P2) in uel corrigendum 7 uero A P: om. D

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Première partie du Liber mahameleth

Vel aliter. Numerum in quo multiplicantur predicte fractiones adhoc ut sint unum integrum qui est undecim et quinque septimas1 et dimidia multiplica in diuidendum, et proueniet quod queris.

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Capitulum de diuidendo integro per integrum et fractionem2. Cum uolueris diuidere uiginti per3 duo et duas tercias. Numerum a quo denominatur tercia scilicet tres multiplica in diuidentem qui est duo et due tercie, et prouenient octo qui est numerus per quem diuidimus. Deinde multiplica tres in numerum diuidendum qui est uiginti, et prouenient sexaginta. Quos diuide per octo, et exibit quod queris. Vel aliter. Inquire quota pars est unum de duobus et duabus terciis, sicut predictum est, et inuenies quod est tres octaue ipsius. Ergo tres octaue4 de uiginti que sunt septem et dimidium, sunt summa que de diuisione exit5. Capitulum de diuisione integri per integrum et per fractionem fractionis6. Si autem uolueris diuidere triginta per quattuor et dimidiam sextam, ex denominationibus que sunt dimidia et sexta multiplicatis in se, fient duodecim. Quos multiplica in diuidentem qui est quattuor et dimidia sexta, et prouenient quadraginta nouem qui est numerus prelatus. Deinde multiplica duodecim per diuidendum qui est triginta, et prouenient trescenta et sexaginta7. Quos diuide per prelatum qui est quadraginta nouem8, et exibit quod queris. Vel aliter. Scias quota pars est unum de quattuor et dimidia sexta, et inuenies quod est septima et quinque septime septime. Quas multiplica per diuidendum 9 qui est triginta, sicut predocuimus in multiplicatione fractionum, et proueniet summa quam queris. De diuisione integri per integrum et fractionem et fractionem fractionis10. Si autem uolueris diuidere quadraginta quinque per tres et quattuor undecimas et terciam undecime, ex denominationibus que sunt tercia et undecima inter se multiplicatis, proueniunt triginta tres11. Quos multiplica in diuidentem qui est tres et quattuor undecime et tercia undecime12, et productum est centum et duodecim qui est numerus prelatus. Deinde multiplica triginta tres in numerum 13 diuidendum, et prouenient mille quadraginta (sic)14 et octoginta quinque. Quos diuide per prelatum, et exibit quod queris. Vel aliter. Considera quota15 pars est unum de diuidente et inuenies quod est due octaue (sic)16 et dimidia septime octaue. Quod totum multiplica in diuidendum, et proueniet summa quam queris. ____________________ 1 septimas A P: septima D 2 Capitulum – fractionem A P: om. D 3 per A D: add. P2 4 ipsius ergo tres octaue A D: om. P 5 exit A D: exiit P 6 Capitulum – fractionis A P: 8 qui est numerus [l. 17] – nouem iter. D om. D 7 sexaginta A2 D P: xl A1 9 diuidendum A P: diuidum D 10 De diuisione – fractionis A P: om. D 11 tres iter. A 13 numerum A P: unum D 14 quadraginta A 12 undecime A2 D2 P: undecima A1 D1 15 quota A D: quomodo P 16 octaue false A D P in septime D P1: quadringenta P2 corrigendum

Première partie du Liber mahameleth

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Capitulum de diuidendo integro et fractione per 1 fractionem2. Si uolueris diuidere uiginti et tres quartas per duos et terciam. Ex denominationibus que sunt quarta et tercia inter se multiplicatis efficies 12. In quem multiplica diuidentem qui est duo et tercia, et prouenient uiginti octo, qui est numerus prelatus. Deinde multiplica duodecim in diuidendum qui est uiginti et tres quarte, et prouenient ducenta et quadraginta nouem. Quos diuide per prelatum, et exibit quod3 queris. Vel aliter. Conuerte diuidendum numerum et4 diuidentem in genus ultime fractionis que est cum diuidente scilicet tercia adhoc ut totus diuidens fiat integer sic uidelicet unumquodque eorum multiplicando in tres. Vnde denominatur tercia, et prouenient ex multiplicatione diuidentis septem, qui numerus est prelatus. Ex multiplicatione5 uero diuidendi prouenient sexaginta duo et quarta. Quos diuide per prelatum, et exibit quod queris. Vel aliter. Considera quota pars est unum de diuidente qui est duo et tercia, et inuenies quod est6 tres septime. Quas multiplica in diuidendum qui est uiginti et tres quarte, et productum est quod queris7. ADP

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Capitulum de diuidendo integro et fractione per fractionem8. Si uolueris diuidere triginta et duas tercias (sic)9 per quattuor quintas ductis in se denominationibus que sunt tercia et quinta, prouenient 10 quindecim. Cuius quattuor quinte sunt duodecim qui est numerus prelatus. Deinde multiplica quindecim in diuidendum, et prouenient quadringenta quinquaginta quinque. Quos diuide per prelatum qui est duodecim, et exibit quod scire uoluisti. Vel aliter. Reduc diuidentem et diuidendum in quintas utrumque eorum multiplicando in quinque. Sed diuidens fiet quattuor, diuidendus uero fiet centum quinquaginta unum et due tercie. Quos diuide per quattuor, et exibunt 37 et quinque sexte et dimidia, et hoc est quod scire uoluisti. Vel considera quis est numerus in quem multiplicate quattuor quinte fiunt unum, et hic est unum et quarta. Que multiplica in triginta et 11 duas tercias (sic)12 eo modo quo docuimus in13 multiplicatione fractionum, et quod prouenit14 est id quod scire uoluisti15.

____________________ 1 integrum et addidi 2 Capitulum de – fractionem P: om. D 3 quod iter. D 4 et 6 est D P2: in P1 7 Capitulum D: in P uid. 5 post multiplicatione exp. diuidentis D2 de diuidendo [l. 2] – quod queris addidi cum D P: om. A 8 Capitulum – fractionem A P: om. D 9 duas tercias false A D P in terciam corrigendum 10 prouenient A P: proueniet D 11 et A: om. D P 12 duas tercias false A D P in terciam corrigendum 13 in A P: om. D 14 prouenit A P: prouenerit D 15 in multiplicatione [l. 31] – uoluisti A D: om. P

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De diuisione integri et fractionis per fractionem fractionis1. Si autem uolueris diuidere uiginti tres et tres quartas per duas tercias quinte, ex multiplicatis omnibus denominationibus scilicet quarta et tercia2 et quinta, proueniunt sexaginta. Cuius due tercie quinte eius sunt octo qui est prelatus. Deinde multiplica sexaginta in diuidendum et productum diuide per prelatum, et exibit summa quam requiris. Vel reduc diuidentem et diuidendum in tercias quinte, uidelicet multiplicando utrumque in quindecim. Sed ex multiplicatione diuidentis prouenient3 duo et ex multiplicatione diuidendi CCCLV (sic)4 et quarta. Quos diuide per duo, et exibit summa quam queris. Vel considera quis est numerus in quem multiplicate due tercie quinte fiunt unum et hic est septem et dimidius. In quem multiplica diuidendum qui est uiginti tres et tres quarte, et productum est summa quam requiris. Si autem uolueris diuidere uiginti sex et tres quintas per quattuor septimas et dimidiam septimam5, modus diuidendi non differt a predictis. Vel reduc utrumque latus in dimidias septimas, et diuidens fient6 nouem et diuidendus trescenta et septuaginta duo et due quinte. Quas diuide per nouem, et exibit quod scire uoluisti. Vel considera quis numerus est in quem multiplicate quattuor septime et dimidia fiant unum7, et hic est unum et quinque none. In quem multiplica diuidendum, et productum est id quod de diuisione exit8. Et in ceteris huiusmodi, fac9 secundum hoc. ADP

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Capitulum de diuisione integri et fractionis per integrum et fractionem10. Si uolueris diuidere duodecim et tres quartas per unum et duas septimas. Sic facies. Numeros denominationum que quarta sunt11 et septima multiplica inter se, et prouenient 28. Quos multiplica in diuidentem et productum pone prelatum. Deinde multiplica uiginti octo in diuidendum et productum diuide per prelatum, et exibit quod uoluisti. Quod sic probatur. Sint duodecim et tres quarte a. Vnum autem et due septime sint b. Sed uiginti octo sint g. Diuidatur autem a per b et exeat d, ex ductu igitur d in b exibit a. Igitur b enumerat a quotiens unum est in12 d. Vnum uero13 numerat d quotiens est unum in eo. Comparatio igitur unius ad d est sicut comparatio de b14 ad a. Multiplicetur autem b in uiginti octo qui est g15 proueniat h, et ex ductu a in gproueniat z. Comparatio igitur de b ad a est sicut comparatio de h ad z. Sed comparatio de b ad a est sicut comparatio unius ad d. Igitur comparatio unius ad d ____________________ 1 De diuisione – fractionis A P: om. D 2 quarta et tercia A D: tercia et quarta P 3 prouenient A P: prouenit D 4 ccclv A: trescenta quinquaginta sex D P 5 septimam 8 exit A D: exiit P A P: om. D 6 fient A: fiet D P 7 unum A D2 P: una D1 9 post fac add. sic D 10 Capitulum – fractionem A P: om. D 11 quarta sunt A: sunt 14 de b A P: db D quarta D P 12 in addidi cum P: om. A D 13 uero D P: add. A2 15 post g add. et D P

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est sicut comparatio de h ad z. Quod igitur fit ex ductu unius in z equum est ei1 quod fit ex ductu d in h. Sed ex ductu unius in z non2 est nisi z. Igitur ex ductu d in h est z. Si igitur diuidatur z per h exibit d, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.33: A, fol.138 r; D, fol.13 v d; P, fol.34 r d.

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Vel si uolueris una sola fractio que est cum numero diuidente sufficiet tibi pro utraque denominatione ut prelatus sit integer sine fractione, quam multiplica in diuidentem et productus sit prelatus. Eam etiam multiplica in diuidendum3 numerum et productum diuide per prelatum, et exibit quod uolueris. Hic autem sic facies. Numerum unde denominatur septima scilicet septem multiplica in unum et duas septimas, et prouenient 9, quem pone4 prelatum. Deinde multiplica septem in 12 et tres quartas et productum diuide per prelatum, et exibit quod uolueris. Cuius probatio manifesta est ex premissa. ADP

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Capitulum de diuisione integri et fractionis per integrum et fractionem fractionis5. Si autem uolueris diuidere decem et septem et decem undecimas per tres et septem octauas et dimidiam octauam6, ex denominationibus que sunt dimidia et octaua et undecima inter se multiplicatis prouenient centum septuaginta sex. In quos multiplica diuidentem, et prouenient sexcenti et nonaginta tres7 qui est prelatus. Deinde multiplica centum septuaginta sex in diuidendum, et prouenient tria milia et centum quinquaginta duo. Quos diuide per prelatum et exibit quod queris. Vel aliter. Conuerte utrumque latus in genus fractionis ultime que est8 cum diuidende sic uidelicet multiplicando utrumque in sexdecim qui fit ex denominationibus diuidentis que sunt dimidia et octaua9. Sed ex multiplicatione sexdecim in10 diuidentem prouenient11 sexaginta tres qui est12 hic numerus prelatus per quem diuides productum ex multiplicatione sexdecim in diuidendum. Et quod exierit est summa quam requiris. Vel aliter. Attende quota pars est unum de diuidente et inuenies quod est due none et due septime none. Quas multiplica in diuidendum eo modo quo docuimus in multiplicatione fractionum, et productum est summa quam requiris. ____________________ 1 est ei A P: om. D 2 non A P: add. D2 m.d. 3 diuidendum A2 D P: diuidentem A1 4 pone iter. A 5 Capitulum – fractionis A P: om. D 6 dimidiam octauam A: dimidia octaua D P 7 693 add. A s.l. al. man. : quingenta et nonaginta (nonagenta A P) tres A D P 8 est addidi cum D P: om. A 9 octaua A P: octauas D 10 sexdecim in A P: om. D 11 prouenient A P: proueniet D 12 est addidi cum D P: om. A

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Si uolueris diuidere uiginti quinque et quattuor quintas per quattuor et duas tercias septime, numerum productum ex omnibus denominationibus multiplica in diuidentem et diuidendum. Et productum ex uno diuide per productum ex alio. Vel secundo modo qui est facilior scilicet conuerte utrumque latus in genus minoris fractionis que est in diuidente, et summam unius diuide per summam alterius et exibit quod queris. Vel aliter. Attende quota pars est unum de diuidente et inuenies quod est decem quadragesime tercie et dimidia quadragesima tercia. Quas multiplica in diuidendum, et proueniet quod queris. Cetera huiusmodi fac secundum hoc. AD Item regule de multiplicatione et diuisione, agregatione et diminucione fractionum inter se breuius qua supra. Cum uolueris multiplicare1 quaslibet fractiones in quaslibet fractiones, siue sint cum integris siue non, dispone multiplicantes in uno latere, et multiplicandas in alio. Deinde numeros2 denominantes3 fractiones unius lateris si plures fuerint unum in alium multiplicando usque ad ultimum, quod prouenerit pone sub eodem latere et appella summam. Si uero una tantum fractio fuerit numerum denominantem ipsam pone summam. Similiter facies ex alio latere. Deinde summam unius lateris in summam alterius multiplica, et quod prouenerit pone subtus inter duas summas, et appella prelatum. Post hec quicquid fuerit in unoquoque latere de integris et fractionibus una siue pluribus multiplica in summam sui lateris, et quod prouenerit pone sub sua summa, et appella4 seruatum. Deinde unum seruatorum in alterum multiplica, et productum diuide per prelatum, et quod5 exierit hoc est quod6 ex multiplicatione suprapositorum prouenit. Si uero diuidere uel agregare uel minuere uolueris quicquid est in unoquoque latere, multiplicabis non in suam summam, ut facias seruatum, sicut in multiplicando, sed in prelatum, et productum pones seruatum sub suo latere. Deinde cum diuidere uolueris, diuides seruatum diuidendi lateris per alium7 seruatum, et quod8 exierit est id quod9 queris. Si autem in aliquo laterum nulla fuerit fractio, tunc summa alterius ordinis erit prelatus, et tunc in multiplicando ipsum integrum erit seruatum10. Sed in diuidendo et agregando et minuendo ipsum integrum multiplicabis in prelatum, et quod11 prouenerit erit seruatum. Cum ergo agregare uolueris, seruata agregabis et agregatum per prelatum diuides, et quod12 exierit hoc est quod13 queris. Cum uero minuere uolueris, unum seruatorum ex altero minues et residuum per prelatum diuides, et quod exierit est id quod14 queris15. ____________________ 1 uolueris multiplicare A: multiplicare uolueris D 2 numeros A2 D: nos A1 2 3 denominantes A: que nominantes D 4 appella A D : appellata D1 5 quod A: quid D 6 quod A: qui D 7 alium A: aliud D 8 quod A: quid D 9 quod A: quid D 11 quod A: quid D 12 quod A: quid D 13 quod 10 seruatum A D2: seniatum D1 A: quid D 14 quod A: quid D 15 Item regule [l. 11] – queris A D: om. P

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Si1 uolueris diuidere decem per septem octauas de quinque et tercia minus tercia duorum et quarte. Sic facies. Accipe septem octauas de quinque et tercia, que sunt quattuor et due tercie, deinde accipe terciam duorum et quarte, que est tres quarte, et minue eas de quattuor et duabus terciis, et remanebunt tres et quinque sexte et dimidia sexta. Per que diuide decem, et id quod exit est id quod uoluisti2. Si uolueris diuidere tres quartas trium quintarum de nouem per tres decimas unius, et quod exit diuidere per duas tercias de septem minus eo quod exit de diuisione duorum et octaue per septem octauas et dimidiam octauam. Sic facies. Numeros denominantes quartam et quintam inter se multiplica, et prouenient uiginti. Quorum trium quintarum tres quartas, que sunt nouem, multiplica in nouem, et prouenient octoginta unum. Deinde considera numerum in quem multiplicate tres decime fiunt unum, et inuenies tres et terciam. Quos multiplica in octoginta unum, et prouenient ducenti septuaginta. Quos diuide per uiginti, et exibunt tredecim et dimidium. Deinde accipe duas tercias3 de septem, que sunt quattuor et due tercie. Postea quere numerum in quem multiplicate septem octaue et dimidia fiant unum, et inuenies unum et terciam quinte. Quem4 multiplica in duo et octauam, et prouenient duo et quinta et tercia quinte. Que minue de quattuor et duabus terciis, et remanebunt duo et due quinte. Per que diuide tredecim et dimidium superius retenta, et exibunt quinque et quinque octaue. Et hoc est quod uoluisti. Item de diuisione. Cum diuiseris centum per tres, et quod exierit5 per septem, et quod exierit per quattuor, et quod exierit per quinque, et de eo quod exit ab hac ultima diuisione uolueris scire quantum proueniat unicuique de quinque. Sic facies. Multiplica tres in septem, et productum in quattuor, et productum in quinque, et prouenient quadringenti uiginti. De quibus denomina centum scilicet septimam et duas tercias septime, et tantum prouenit unicuique de quinque. Si uolueris diuidere nonaginta numos per nouem homines, ita ut secundus uincat primum uno numo et tercius secundum usque ad ultimum. Sic facies. Minue semper unum de hac questione de numero hominum, sicut hic de nouem, et remanebunt octo. Deinde agrega omnes numeros ab uno usque ad octo hoc modo. Agrega unum ad octo, et fient nouem. Quos multiplica in medietatem de octo, et prouenient triginta sex. Et tantum prouenit ex agregatione

____________________ 1 praem. Item aliud capitulum diuidendi maius per minus D post minus add. Primum autem capitulum hic est de diuisione fractionis per fractionem D 2 add. de diuisione fractionum 3 duas tercias iter. D 4 quem A: que D 5 post exierit exp. multiplici D2 al. man. per quatuor D2

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numerorum ab uno usque ad octo. Deinde hos triginta sex minue de nonaginta, et remanebunt quinquaginta quatuor. Quos diuide per numerum hominum, et exibunt sex et tot conueniunt primo. Secundo uero septem, tercio octo et sic consequenter de singulis usque ad nouem. Hec autem regula non ualet nisi in his qui se superant uno, et in aliis autem non ualet. Regula autem que in his ualet, et in aliis ubi scilicet omnium eadem differentia est excepta differentia secundi ad primum, uni omnium eadem hec est 1. Scilicet semper minue unum de numero hominum, et quod remanserit2 retine. Deinde minue duos semper de numero hominum, et quod remanserit multiplica in differentiam qua se superant, et quod prouenerit agrega dupplo differentie secundi a primo. Et agregatum multiplica in medietatem supra retenti, et productum minue de summa numorum diuidendorum, et quod remanserit diuide per numerum hominum, et quod exierit est id quod competit primo. Verbi gratia. Si uolueris diuidere centum per octo homines, ita ut secundus superet primum tribus numis, ceteri uero omnes uincant3 se duobus, minue unum de octo, et remanebunt septem. Deinde minue de octo duos, et remanebunt sex. Quos multiplica in duos, et prouenient duodecim. Quos agrega ad duplum trium, et fient decem et octo. Quos multiplica in medietatem de septem, et prouenient sexaginta tres. Quos minue de centum, et remanebunt triginta septem. Quos diuide per octo, et exibunt quatuor et quinque octaue, et tantum competit primo. Cum autem inequales fuerint differentie, agrega omnes differentias, scilicet differentias qua unusquisque superat primum, et agregatum minue de summa numorum diuidendorum, et quod remanserit diuide per numerum hominum, et exibit id quod competit primo. Verbi gratia. Si uolueris diuidere octoginta per quinque homines, ita ut secundus superet4 primum tribus, tercius5 uero secundum uno, quartus uero tercium duobus, quintus uero quartum sex. Sic facies. Secundus enim superat primum tribus, et superatur a tercio6 in uno. Igitur tercius primum superat quattuor, sed a quarto superatur duobus. Igitur quartus superat primum sex, sed a quinto superatur sex. Igitur quintus superat primum duodecim. Hos igitur agrega ad sex et ad quatuor et ad7 tres, et fient uiginti quinque. Quos minue de octoginta, et remanebunt quinquaginta quinque. Quos diuide per numerum hominum, qui est quinque, et exibunt undecim, et tot competunt primo. Item de eodem8. Cum diuiseris decem et octo numos per homines aliquot, si ex agregato eo quod competit uni illorum cum numero ipsorum proueniunt nouem, tunc quot sunt homines?

____________________ 1 excepta – hec est A: est hoc non est deletum D 2 remanserit A: remansit D 3 uincant A: uincat D 4 superet A: superat D 5 tercius A: eius D 6 tercio A: 8 Item de eodem A: diuidentis per additionem inuenire D tercia D 7 ad A2 D: sex A1

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Sic facies. Multiplica medietatem de nouem in se, et prouenient uiginti et quarta. De quibus minue decem et octo, et remanebunt duo et quarta. Quorum radix1, que est unum et dimidium, agrega medietati de nouem, et fient sex, et hic est numerus hominum. Similiter cum diuiseris quadraginta nummos per aliquot homines, si id quod competit uni illorum minutus erit de numero eorum et remanserint tres, quantus est numerus hominum? Sic facies. Medietatem trium, que est unum et dimidium, multiplica in se, et prouenient duo et quarta. Quos agrega ad quadraginta, et fiunt quadraginta duo et quarta. Quorum radicem, que est sex et dimidium, agrega ad unum et dimidium, et fient octo, et hic est numerus hominum. Cum diuiseris nummos ignotos per homines ignotos et deinde additis duobus hominibus iterum2 per omnes diuiseris priores nummos, et quod competit uni secundorum fuerit radix eius quod competit uni priorum, tunc quantus est numerus numorum et hominum priorum et posteriorum? Hec questio interminata est, in qua sic agendus est. Pone primos homines quoslibet. Verbi gratia. Quattuor quibus adde duos, et fient sex. Quos multiplica in se, et fient triginta sex. Quos diuide per quatuor, et exibunt nouem, et tot sunt numi. Si autem dixerit in hac questione quod accidit unicuique secundorum hominum triplum radicis3 eius quod accidit unicuique priorum, facies sicut supradixi. Deinde multiplica numerum radicum in se, et productum multiplica in id quod de diuisione exiuit , et id quod prouenit numerus nummorum erit. Cum numerus unus diuidatur per duo et remaneat unum et diuidatur per tres et remaneat unum et diuidatur per quattuor et remaneat unum et diuidatur per quinque et remaneat unum et diuidatur per sex et remaneat unum et diuidatur per septem et nichil remanet, quis est numerus ille? Sic facies. Multiplica tres in quattuor et productum in quinque, et fient sexaginta. Quibus adde unum, et fient sexaginta unum. Quos si diuiseris uel per duo uel per tertia uel per quattuor uel per quinque uel per sex, semper remanebit4 unum. Si uero diuiseris per septem, remanebunt quinque. Positum est5 autem nichil remanere de diuisione facta per septem. Igitur minue unum de quinque, et remanebunt quattuor. Quere igitur numerum in quem6 multiplicatis quatuor istis et producto addatur unum et agregatum diuidatur per septem. Verbi gratia quinque siue duodecim. Questio enim interminata est, quasi ergo accipias quinque. Igitur multiplica eos in sexaginta et producto adde unum, et fient trescenti et unum. Hic ergo est numerus qui diuiditur per duo et per tria et per quattuor et per quinque et per sex. Semper remanet unum. Si uero per septem nichil. Si uero multiplices duodecim in sexaginta et producto7 addas unum, proueniret etiam consimilis numerus qui queritur, qui est septingenti et uiginti unum8. ____________________ 1 post radix add. est D 2 iterum A: om. D 3 radicis A2 D: radices A1 A: remanebat D 5 est addidi cum D: om. A 6 quem A: quam D producet D 8 Si uolueris diuidere [p. 157, l. 2] – unum A D: om. P

4 remanebit 7 producto A:

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Capitulum de inuencione radicum et de multiplicatione et diuisione et diminucione et agregatione inter se et de aliis1 huiusmodi2. Postquam tractauimus de his que superius dicta sunt, restat ut agamus de inuencione radicum et earum multiplicatione et diuisione inter se, et de aliis huiusmodi. Hoc enim nimis utilis est scire et precipue uolenti agere secundum gebra et muchabâla. Auochemel enim de aliquibus horum iam pertractauit, sed non aperte declarauit. Nos autem apponemus probaciones manifestiores suis. Sed in aliquibus earum necesse erit inducere aliquam de decimo libro euclidis. In nullo enim librorum euclidis agitur de radicibus nisi in decimo3. AD

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Capitulum de inuencione radicum4. Radix numeri est numerus ex quo in se multiplicato prouenit alius. Verbi gratia. Radix de quattuor sunt duo et radix de nouem sunt tres et radix de sexdecim sunt quattuor. Et ita in aliis numeris, qui non sunt surdi, radix facile inueniri potest. Si autem numerus fuerit surdus et eius radicem propinquam inuenire uolueris, quere numerum propinquiorem ei habentem radicem racionabilem siue sit maior eo siue minor. Si autem5 maior eo fuerit, cuius6 maioris radicem7 duppla et de duplata denomina differentiam qua se superatur8, et quod exit minue de radice illius numeri maioris, et quod remanet est radix propinqua surdi numeri. Si autem minor eo9 fuerit, differentiam maioris surdi et minoris quadrati denomina de duplicata radice minoris, et denominatam adde radice minoris10, et quod fit est radix surdi numeri propinqua11. Verbi gratia12. A

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Si13 uolueris inuenire14 radicem de quinque. Sic facies15. Numerus propinquior ei habens radicem racionabilem et minor eo est quattuor, cuius radix est duo. Nam si multiplicas duo in se fuerit quattuor et remanet unum. Quem denomina de duplo duorum qui est quattuor scilicet quartam quam agrega duobus, et quod prouenerit propinqua radix erit scilicet duo et quarta. Si autem adhuc radicem propinquiorem inuenire uolueris. ____________________ 1 aliis A2: alius A1 2 huiusmodi add. A2 m.s. 3 Capitulum [l. 2] – in decimo A: om. D P 4 Capitulum de inuencione radicum A: Radicis quadrate de non quadrato numero 7 maioris propinqua inuentio D 5 autem A: om. D 6 cuius A D2: eius D1 radicem A: radicem maioris D 8 qua se superatur A: qua se superant D 9 eo D: add. 10 differentiam maioris [l. 21] – radice minoris A: duppla similiter radicem minoris A2 s.l. et de dupplata denomina differentiam qua se superant, et quod fit adde radici minoris minoris D: 11 propinqua A: propinque D 12 Capitulum add. A2 m.s. post Verbi gratia [l. 23] 14 inuenire A2: [l. 12] – minoris [l. 23] A D: om. P 13 V g add. A2 s.l. 15 post facies exp. multiplica duo in se A1 minuere A1

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Sic facies. Multiplica semper ipsum numerum cuius radicem queris in alium quemlibet numerum habentem radicem ut quinque in centum et producti radicem inuentam, sicut predocui. Diuide per radicem de centum, et quod exierit propinquior radix erit quam superius inuenta. Si autem adhuc propinquiorem radicem inuenire uolueris. Sic facies. Ipsum numerum cuius radicem queris in maiorem numerum radicem habentem multiplicabis ut in decem milia. Quanto enim in maiorem multiplicaueris tanto propinquiorem radicem habebis. Deinde cetera secundum quod supradictum est prosequere sicut. Si radicem duorum inuenire uolueris. Sic facies. Multiplica duo in decem milia, et prouenient uiginti milia. Quorum radicem propinquam secundum quod supradictum est inuentam diuide per radicem decem milium, et quod exierit duorum propinqua radix erit. Si autem radicem de quattuordecim inuenire uolueris. Sic facies. Quere numerum integrum propinquiorem ei habentem radicem qui est sexdecim. Differentia igitur que est inter eos, scilicet duo denomina de duplata radice de sexdecim que est octo, et1 erit quarta. Quam minue de radice de sexdecim, que est quattuor, et remanebunt tres et tres quarte, et hec est propinqua radix de quattuordecim. Si uolueris scire que est radix de sex et quarta. Sic facies. Quere numerum qui habeat radicem et quartam. Et2 sunt quattuor, et cuius radicem que est duo fac prelatum. Deinde multiplica sex et quartam in quattuor, et prouenient uiginti quinque, quorum radicem que est quinque diuide per duo, et quod exierit est id quod queris scilicet duo et dimidium. Si autem scire uolueris que est radix de quinque et quattuor nonis. Quere numerum qui habet radicem et nonam ueluti nouem. Cuius radicem que est tres pone prelatum. Deinde nouem multiplica in quinque et quattuor nonas, et prouenient quadraginta nouem, quorum radicem que est septem diuide per radicem de nouem que est tres, et exibunt duo et tercia, et hoc est quod queris. Si uolueris scire que est radix de sex octauis et octaua octaue. Sic facies. Quere numerum qui habeat radicem et3 octauam et octauam octaue, scilicet sexaginta quattuor, cuius radicem que est octo pone prelatum. Deinde4 multiplica sex octauas et octauam octaue in sexaginta quatuor, et prouenient 495, quorum radicem que est septem denomina de prelato scilicet de radice de LX quatuor que est octo scilicet septem octaue, et hoc est quod scire uoluisti. Si uolueris scire que est radix duorum et dimidii. Sic facies. Numerum a quo denominatur medietas scilicet duo, quia non6 habet radicem pone prelatum. Deinde multiplica illum in duo et dimidum, et prouenient quinque. Quos multiplica in duo, et prouenient decem, quorum radicem inuentam sicut supradocui que est tres et sexta diuide per prelatum, et exibit radix quam queris scilicet unum et tres quinte7. ____________________ 1 et add. A2 s.l. 2 et add. A2 2 5 49 A s.l. : quadringenti nouem A1 m.d.

3 et add. A2 s.l. 4 deinde add. A2 s.l. 2 6 quia non A : qui non A1 7 7/12 add. A2

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Vel si uolueris, multiplica duo in se et productum multiplica in duo et dimidium, et cetera prosequere ut predictum est. Vel aliter. Multiplica decem in centum, et prouenient mille. Deinde multiplica duo in radicem de centum, et prouenient uiginti, quos pone prelatum. Deinde radicem de mille inuentam, sicut supradocui, que est triginta unum et quinque octaue diuide per prelatum, et quod exierit est radix duorum et dimidii, que est unum et dimidium et dimidia decima et quinque octaue dimidie decime1. Si uolueris scire que est radix unius et trium quintarum. Sic facies. Numerum a quo denominatur quinta scilicet quinque pone prelatum. In quem multiplica unum et tres quintas, et productum inde iterum multiplica in quinque, et prouenient quadraginta. Quorum radicem que est sex et tercia diuide per prelatum, et exibit unum et quinta et tercia quinte, et hec est radix quam queris. Vel aliter. Multiplica quadraginta in centum et producti radicem inuentam, sicut supradocui, diuide per productum ex multiplicatione quinque in radicem de centum que est quinquaginta, et exibit quod queris. Si uolueris scire que est radix trium tredecimarum. Sic facies. Numerum a quo denominatur tredecima que est tredecim, pone prelatum. Cuius tres tredecimas que sunt tres multiplica in prelatum, et prouenient triginta nouem. Quorum radicem que est sex et quarta denomina de tredecim scilicet sex tredecimas et quartam unius tredecime, et hec est radix quam queris. Scias autem non esse possibile homini inuenire ueram radicem numeri surdi. De multiplicatione radicium (sic)2 inter se. Si uolueris multiplicare radicem de decem in radicem de sex. Sic facies. Multiplica sex in decem, et prouenient sexaginta, quorum radix est id quod fit ex ductu radicis de sex in radicem de decem. Cuius probatio hec est. Sint decem a, quorum radix sit b. Sex uero sint g, et eorum radix sit d. Volumus igitur scire quod proueniat ex ductu b in d. Ex ductu autem b in d proueniat h, et ex ductu a in g proueniat z sexaginta. Dico igitur quod h radix est de z. Quod sic probatur. Scimus enim quod ex ductu b in se prouenit a, ex ductu eiusdem in d prouenit h. Comparatio igitur de b ad d est sicut comparatio de a ad h. Similiter etiam ex ductu d in b prouenit h, et ex ductu eiusdem in se prouenit g. Comparatio igitur de b ad d3 est sicut comparatio de h ad g. Comparatio autem de b ad d iam erat sicut comparatio de a ad h. Igitur comparatio de a ad h est sicut comparatio de h ad g. Quod igitur fit ex ductu a in g equum est ei quod fit ex ductu h in se. Ex ductu autem a in g prouenit z. Igitur ex ductu h in se prouenit z. Sed z est sexaginta. Igitur h est radix de LX, et hoc est quod monstrare uolumus.

____________________ 1 39/62 et 39/62 de ?/20 add. A2 m.d. A2 : a A1

2 radicium false A in radicum corrigendum

3 d

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Fig.34: A, fol.140 v.

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Si autem uolueris multiplicare octo in radicem de decem. Sic1 facies. Iam scis octo esse radicem de sexaginta quatuor. Quasi ergo multiplicare uelis radicem de sexaginta quatuor in radicem de decem facies sicut supradocui, et exibit radix de sexcentis quadraginta. Similiter etiam facies si uolueris scire2 tres radices de3 decem, quod est radix de decem triplicata, cuius numeri sit radix. Iam enim scis quoniam hoc idem est, quod tres multiplicate in radicem de decem. Fac igitur sicut supradocui, et exibit quod queris. Similiter etiam si uolueris tres radices de sex multiplicare in quinque radices de decem. Sic facies. Quere secundum quod docui tres radices de sex, cuius numeri sit radix, et inuenies quod sit radix de quinquaginta quatuor. Deinde etiam quere quinque radices de decem, cuius numeri sit radix, et inuenies quod sunt radix ducentorum quinquaginta. Quasi ergo uelis radicem de quinquaginta quatuor multiplicare in radicem ducentorum quinquaginta, facies sicut supradocuimus, et erit radix tredecim milium et quingentorum, et hoc est quod scire uoluisti. Scias autem quod cum comparatio unius numeri ad alium numerum fuerit sicut comparatio unius quadrati ad alium quadratum, tunc id quod fit ex ductu radicis unius in radicem alterius erit racionabile. Verbi gratia. Sint duo numeri octo et decem et octo4. Quorum unius comparatio ad alterum est sicut comparatio unius quadrati numeri in alium numerum quadratum. Quod igitur fit ex ductu radicis unius scilicet octo in radicem alterius scilicet decem et octo erit numerus racionabilis, qui est duodecim. Cuius rei probatio manifesta est. Scimus enim quod duo numeri sic se habentes sicut duo quadrati inter se sunt duo superficiales et consimiles. Ex ductu autem duorum numerorum superficialium et consimilium unius in alterum prouenit quadratus, sicut euclides dixit in nono libro. Igitur ex ductu unius eorum in alium proueniet quadratus. Eius igitur radix est racionabilis proueniens ex ductu radicis unius numeri in radicem alterius, et hoc est quod monstrare uoluimus. Cetera autem huiusmodi que euenerint, considera secundum ea que dicta sunt, et inuenies ita esse.

____________________ 1 sic add. A2 s.l. 2 scire add. A2 s.l. 2 4 decem et octo A: 18 add. A2 s.l. A

3 post de exp. sex multiplicare in quinque

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Capitulum de agregatione radicum inter se. Scias quod cum duorum numerorum talis fuerit comparatio inter se qualis est duorum quadratorum, tunc agregate radices numerorum erunt radix alicuius numeri. Quod sic probatur. Scimus enim quod cum comparatio duorum numerorum inter se fuerit sicut comparatio duorum numerorum quadratorum inter se, tunc radices eorum sunt communicantes. Cum igitur fuerint communicantes, tunc agregatum ex illis radicibus erit communicans utrique eorum, quod cum ita sit. Tunc agregatum ex illis radicibus racionalis est in potentia. Cum igitur duorum numerorum fuerit talis comparatio inter se, qualis1 est alicuius numeri quadrati ad alium numerum quadratum, tunc radices numerorum agregate erunt radix alicuius numeri, et hoc est quod monstrare uoluimus. Ostendam etiam quod cum e conuerso fuerit scilicet ut cum unus numerus non sic se habeat ad alium sicut unus numerus quadratus ad alium numerum quadratum, tunc nec poterunt radices illorum numerorum agregari, nec esse radix alicuius numeri. Cuius rei probatio manifesta est ex decimo libro euclidis. Cum igitur radices aliquorum numerorum agregare uolueris, prius considera si comparatio duorum numerorum sit sicut comparatio unius numeri quadrati ad alium numerum quadratum, et tunc poterunt agregari. Si uero non, tunc sicut facere uolueris sic2 pronunciabis uidelicet si agregare uolueris radicem duorum cum radice de quinque dices: radicem duorum cum radice de quinque. Cum autem uolueris scire si comparatio unius numeri ad alium numerum sit sicut comparatio numeri quadrati ad alium numerum quadratum, multiplicabis3 alium numerorum in alium4, et si prouenerit quadratus tunc sic se habebunt inter se numeri, sicut duo quadrati numeri. Si uero non prouenerit quadratus, tunc non sic se habebunt numeri illi5 sicut6 quadrati7 numeri. Cuius rei probatio patet ex premissis. Si uolueris agregare radicem duorum cum radice de octo. Sic facies. Tu scis radices horum numerorum posse agregari. Nam ex ductu duorum in octo proueniunt sexdecim, qui est quadratus. Comparatio igitur quadrati unius eorum ad quadratum alterius eorum est sicut comparatio duorum numerorum quadratorum. Possunt igitur agregari scilicet esse radix alicuius numeri. Cum igitur uolueris scire cuius numeri superficiales similes sint radix, multiplica duo in octo, et fient sexdecim. Quorum duas radices, scilicet radicem duplatam que est octo retine. Deinde adde duo ad octo, et fient decem. Quos agrega duabus radicibus retentis de sexdecim que sunt octo, et fient decem et octo. Radix igitur de decem et octo est agregatum ex radice duorum et radice de octo. Quod sic probatur. Sit radix duorum ab. Radix uero de octo sit bg. Volumus igitur scire cuius numeri sit radix ag. Scimus autem quoniam id quod fit ex ductu ag in se equum est ei quod fit ex ductu ab in se et bg in se et ab in bg bis. Cum ____________________ 1 qualis A2: equalus A1 2 sic add. A2 s.l. 3 post multiplicabis exp. in A2 4 post 2 2 5 illi add. A s.l. 6 sicut add. A2 s.l. 7 quadrati alium exp. quadratum alterius A A2: quadrata A1

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igitur uolueris scire quadratum de ag, agregabis quadratum de ab, et quadratum de bg, et id quod fit ex ductu ab in bg bis, et agregatum erit quod fit ex ductu ag in se. Quadratus autem de ab est duo, et quadratus de bg est octo. Multiplicare autem ab in bg bis idem est quod multiplicare ab in bg, et producti accipere duplatam radicem, que est octo. Igitur cum hec omnia agregaueris, proueniet quadratus de ag, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.35: A, fol.141 r.

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Si autem uolueris agregare radicem de sex ad radicem de decem, iam scis has duas non posse agregari. Nam comparatio1 sex ad decem non est sicut comparatio unius numeri quadrati ad alium numerum quadratum. Vnde si secundum predictam regulam eas agregare uolueris, non poteris. Nam ex ductu sex in decem prouenient sexaginta, quorum radix est irracionabilis. Igitur non poteris accipere earum duas radices racionabiles. Si autem uolueris 2 radices de sex et decem, erit necesse dicere radix agregati ex sexdecim et ex radice ducentorum quadraginta. Igitur cum uolueris agregare radicem de sex cum radice de decem, facilius erit dicere radicem de sex cum radice de decem quam dicere radix agregati ex sexdecim et radice ducentorum quadraginta. Cetera huiusmodi considera secundum hoc, et inuenies ita esse. Capitulum de diminucione radicis inter se. Cum uolueris minuere radicem alicuius numeri de radice alterius numeri, tunc si comparatio unius numeri ad alium numerum fuerit sicut comparatio unius numeri quadrati ad alium numerum quadratum, poterit minui una de alia ita. Scilicet ut quod remanet post diminucionem sit radix alicuius numeri. Si uero comparatio unius numeri ad alium numerum non fuerit sicut unius numeri quadrati ad alium numerum quadratum, non potuerit minui una de alia, ut predictum est. Cuius rei probatio manifesta est. Si uolueris minuere radicem de octo de radice de decem et octo, tu scis hoc posse fieri. Nam sic se habet octo ad decem et octo, sicut aliquis numerus quadratus ad alium numerum quadratum. Sicut facies. Multiplica octo in decem et octo, et prouenient centum quadraginta quattuor, quorum due radices siue radix duplata sunt uiginti quatuor, quos retine. Deinde agrega octo ad decem et octo, et fient uiginti sex. De quibus minue uiginti quatuor, et remanebunt duo. Igitur radix duorum est id quod remanet post diminucionem radicis de octo de radice de decem et octo. Quod sic probatur. Sit radix de decem et octo ab. Radix uero de octo sit bg. Volo autem scire cuius numeri sit radix ag. Scimus autem quoniam id quod fit ex ductu ab in se et bg in se equum est ei quod fit ex ductu ab in bg bis et ag in se. Si igitur id quod fit ex ductu ab in bg bis, quod est uiginti quattuor, minueris de eo ____________________ 1 post comparatio exp. de A2

2 agregare addidi

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quod fit ex1 2 ab in se et bg in se, quod est 263, remanebit id quod fit ex ductu ag in se duo, et hoc est quod monstrare uoluimus. Si autem uolueris radicem de sex minuere de radice de decem, hoc non potest fieri ita ut quod remanet sit alicuius numeri radix, sicut monstrauit euclides. Si uero hoc facere uolueris secundum regulam predictam, multiplicabis sex in decem, et prouenient sexaginta, quorum duas radices que sunt radix ducentorum quadraginta minues de 164 et accipies radicem residui. Igitur ad ultimum proueniet radix residui ex 165 post diminutam ex eis radicem ducentorum quadraginta. Facilius est autem dicere radicem de decem minus radice de sex quam dicere radicem residui de 166 post diminutam ex eis7 radicem ducentorum quadraginta. Quociens autem euenerit questio huius modi, considera si comparatio unius duorum numerorum ad alium sit sicut comparatio alicuius quadrati numeri ad alium quadratum numerum, et tunc poterit alter de altero minui ita ut id quod remanserit sit radix alicuius numeri. Sin autem sit tua responsio sicut fuit interrogatio, commedius erit sic. Cetera autem huiusmodi considera secundum hoc, et inuenies ita esse. Capitulum de diuisione radicum inter se. Si uolueris diuidere radicem de decem per radicem trium. Sic facies. Diuide decem per tres et eius quod exit radix erit id quod uoluisti. Quod sic probatur. Scimus enim quod cum aliquis numerus diuiditur per alium idem est accipere radicem eius quod exit, quod diuidere radicem diuidendi per radicem diuidentis. Verbi gratia. Diuidatur a per b, et exierit g. Quadratus autem de a sit d, quadratus uero de b sit h, quadratus uero de g sit z. Dico igitur quod si d diuidatur per h exibit z. Quod sic probatur. Ex diuisione enim a per b exit g. Talis est igitur comparatio unius ad g qualis est comparatio de b ad a. Igitur comparatio quadrati uni ad quadratum de g est sicut comparatio quadrati de b ad quadratum de a. Sed quadratus unius est unum8 et quadratus de b est h. Quadratus uero de a est d. Igitur comparatio unius ad z est sicut comparatio de h ad d. Si igitur diuidatur d per h exibit z, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.36: A, fol.141 v.

____________________ 1 ex add. A2 s.l. 2 ductu addidi 3 26 A2 s.l.: xxxx A1 uid. 4 16 A2: x et octo A1 2 1 2 1 2 5 16 A : x et octo A 6 16 A: decem et octo A 7 eis A : is A1 8 post unum 2 add. et quadratus de g est z A m.s

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Si autem uolueris diuidere decem per radicem de quinque, fac sicut 1 supradocui in capitulo radicum. Scilicet uide cuius numeri sunt radix decem scilicet de centum. Quasi ergo uelis diuidere radicem de centum per radicem de quinque, facias sicut predictum est, et exibit radix de uiginti, et hoc est quod uoluisti. Similiter si uolueris diuidere radicem de decem per duo, multiplicabis duo in se. Et quasi uelis diuidere radicem de decem per radicem de quatuor, facies sicut predictum est. Similiter etiam si uolueris duas radices de decem diuidere per tres radices de sex, prius scies due radices de decem cuius numeri sunt radix scilicet de quadraginta, et similiter tres radices de sex, cuius numeri sunt radix scilicet quinquaginta quatuor. Quasi ergo uelis diuidere radicem de quadraginta per radicem de quinquaginta quatuor, fac sicut predictum est, et exibit radix sex nonarum et duarum terciarum unius none. Si autem uolueris radicem de sex et radicem de decem diuidere per radicem trium. Sic facies. Diuide radicem de sex per radicem trium. Deinde diuide radicem de decem per radicem trium, et ea que exeunt agrega, et agregatum erit id quod uoluisti. Cum autem euenerit huiusmodi questio, uide si due radices possunt agregari ita ut fiant radix alicuius numeri. Quod si ita fuerit agrega eas et agregatum diuide per diuidentem, et exibit quod uoluisti. Si uero agregari non possunt, diuide unamquamque earum per diuidentem, et ea que exeunt, si possunt agregari, agrega. Sin autem pronuncia eas ut proposite sunt. Similiter etiam facies si radices fuerint plures quam due. Videlicet agrega eas omnes si agregari possunt aut eas tantum que possunt, et agregatum diuide. Aut si non possunt agregari, diuide unamquamque per se. Et quod exeunt agrega omnia si potes, aut si non omnia potes, agrega ea que possunt agregari, aut si nulla eorum possunt agregari, pronuncia2 propositas radices ita ut posite sunt. Cetera huiusmodi considera secundum hoc, et inuenies. Item de diuisione. Si uolueris diuidere decem per duo et per radicem trium. Sic facies. Tu scis enim quod duo et radix trium simul sunt binomium. Ex ductu autem omnis binomii in suum residuum prouenit racionale. Residuum autem duorum et radicis trium est duo minus radice trium. Multiplica igitur duo et radicem trium simul in duo minus radice trium, et proueniet unum3. Cuius de numero perfecto ut 10 sit a4. Duo uero et radix trium simul sit b. Diuidatur autem a per b et exeat g, qui est id quod queritur. Duo5 autem minus radice trium sit h. Id autem quod fit ex ductu duorum minus radice trium in duo et radicem trium sit d scilicet unum. Habemus igitur quod ex diuisione a per b exit g. Si igitur multiplicentur g in b, proueniet6 a. Similiter etiam si multiplicetur h in b,

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____________________ 1 sicut iter. A 2 pronuncia A2 : propronuncia A1 3 post unum exp. hoc igitur unum fit 2 4 cuius de numero perfecto ut 10 sit a add. A2 m.d. 5 duo A2: due A1 a A 2 1 uid. 6 proueniet A : prouenit A

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proueniet d. Ex ductu igitur g in b prouenit a, et ex ductu h1 in b prouenit d. Comparatio igitur de a ad d est sicut comparatio de g ad h. Sed a est decupla ad d. Igitur g decupla est ad h. Si igitur multiplicetur h in decem, prouenient uiginti minus radice trescentorum, et hoc est quod querimus et quod probare uoluimus.

Fig.37: A, fol.142 r. 5

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Assignabo autem probationem qua monstratur, quod ex ductu cuiuslibet binomii in suum residuum prouenit racionale. Binomium autem fit linea ab. Duo autem nomina eius ex quibus componitur sint ag et bg. Manifestum est igitur quod ag et gb in potentia tantum sunt racionales et comunicantes. Maius autem eorum sit ag de quo incidam equale ad bg quod sit gd. Igitur ad est residuum de ag et gb. Dico igitur quia id quod fit ex ductu ab in ad est racionale. Quod sic probatur. Scimus enim quod db diuiditur per medium in puncto g, cui addita est ad. Id igitur quod fit ex ductu ad in ab et dg in se equum est ei quod fit ex ductu ag in se. Cum igitur uolueris multiplicare ab in ad, multiplica ag in se, et de producto minue id quod fit ex ductu dg in se. Scimus autem quoniam subtracto eo quod fit ex ductu dg in se et de producto ex ductu ag in se quod remanet est racionale. Id enim quod fit ex ductu uniuscuiusque eorum in se racionale est. Igitur id quod remanet racionale est. Hoc autem quod remanet equale est ei quod fit ex ductu ab in ad. Igitur id quod fit ex ductu ab in ad est racionale, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.38: A, fol.142 r. 20

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Si autem uolueris diuidere radicem de decem per duo et radicem2 de sex, iam scis quod residuum duorum et radicis de sex est radix de sex minus duobus. Si igitur multiplicentur duo et radix de sex in radicem de sex minus duobus, quod prouenit est racionale scilicet duo. Vide ergo que comparatio est radicis de decem ad duo hoc modo scilicet diuide radicem de decem per duo, sicut predocuimus, et exibit radix duorum et dimidii. Si igitur multiplices radicem duorum et dimidii in radicem de sex minus duobus, proueniet id quod queritur scilicet radix de quindecim minus radice de decem, et hoc est quod uoluisti. Huius autem rei probacio eadem est que precessit nec differtur in aliquo. Si autem uolueris diuidere radicem de decem per radicem duorum et per radicem trium. Sic facies. Residuum radicis duorum et radicis trium quod est radix trium minus radice duorum multiplica in radicem duorum et radicem trium, et prouenit unum. Diuide igitur radicem de decem per unum, ut scias quam ____________________ 1 h A2: k A1 uid.

2 radicem A2: radices A1

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comparationem habent decem ad unum, et quod exit multiplica in radicem trium minus radice duorum, proueniet radix de triginta minus radice de uiginti, et hoc est quod queritur. Cuius rei probatio manifesta est. Item si uolueris diuidere decem per duo minus radice trium, tu scis quod duo minus (sic)1 radice trium est residuum, et ex eius ductu in binomium suum prouenit racionale, sicut supraostendimus. Si igitur multiplicetur in binomium suum prouenit unum per quod diuide decem, et exibunt decem. Quos multiplica in duo et radicem trium, et prouenient uiginti et radix trescentorum, quod sicut queritur. Similiter etiam si uolueris diuidere radicem de decem per radicem de quinque minus radice trium, multiplica radicem de quinque minus radice trium in binomium suum, et proueniet racionale, sicut supraostendimus, scilicet duo. Diuide igitur decem per duo, et quod exit multiplica in radicem de quinque et radicem trium, et exibit quod queris. Similiter etiam facies in omnibus consimilibus, et proueniet quod queris. Capitulum de multiplicandis radicibus radicum. Si uolueris multiplicare radicem radicis de septem in radice radicis de decem. Sic facies. Multiplica septem in decem, et prouenient septuaginta, quorum radicis radix est id quod uoluisti. Cuius rei probatio hec est. Sint decem a. Eius autem radix sit b. Radix uero de b sit g. Igitur g est radix radicis de a. Septem sint d. Eius autem radix sit h. Radix autem de h sit z. Igitur z est radix radicis de d. Multiplicetur autem a in d, et proueniat k, quod est septuaginta, et multiplicetur b in h, et proueniat t, et multiplicetur g in z, et proueniat q. Dico igitur quod q est radix radicis de k. Quod sic probatur. Scimus enim quod t radix est de k. Similiter etiam2 monstrabitur quod q est radix de t. Nam g est radix de b. Sed z est radix de h. Ex ductu autem b in h prouenit t, et ex ductu g in z prouenit q. Igitur q est radix de z (sic)3. Sed t erat radix de k. Igitur q est radix radicis de k, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.39: A, fol.142 v. 30

Si uolueris multiplicare radicem de decem in radicem radicis de triginta, iam scis quod radix de decem est radix radicis de centum. Multiplica igitur radicem radicis de centum in radicem radicis de triginta, et proueniet radix radicis trium milium. ____________________ 1 minus false A in cum corrigendum corrigendum

2 etiam add. A2 s.l.

3 z false A in t

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Similiter etiam si uolueris multiplicare quinque in radicem radicis de decem. Scis enim quod quinque radix radicis est sexcentorum uiginti quinque. Quasi ergo uelis multiplicare radicem radicis sexcentorum uiginti quinque in radicem radicis de decem, fac secundum predicta, et proueniet radix radicis sex milium ducenti quinquaginta, et hoc est quod uoluisti. Item si uolueris multiplicare tres radices radicis de decem in duas radices radicis de sex, triplicabis radicem radicis de decem hoc modo. Multiplicabis scilicet tres in radicem radicis de decem, sicut predocuimus, et proueniet radix radicis octingentorum et decem. Deinde duplabis radicem radicis1 de sex, et proueniet radix radicis de nonaginta sex. Quasi ergo uelis multiplicare radicem radicis octingentorum et decem in radicem radicis de nonaginta sex, multiplicabis octingenta decem in nonaginta sex, et producti radicis radix erit id quod uoluisti. Nota autem quod cum multiplicaueris radicem radicis alicuius numeri in radicem radicis alterius numeri, tunc id quod prouenit semper necessario, aut erit numerus aut radix numeri, aut radix radicis alicuius numeri. Cum autem multiplicaueris radicem radicis alicuius numeri in radicem radicis alterius numeri et comparatio radicis unius numeri ad radicem alterius numeri fuerit sicut comparatio numeri2 quadrati ad numerum non quadratum, tunc id quod ex multiplicatione unius earum in alteram prouenerit aut erit numerus, aut radix numeri tantum. Cum enim comparatio radicis unius numeri ad radicem alterius numeri fuerit sicut comparatio numeri non quadrati ad numerum non quadratum, tunc radix radicis unius numeri erit non comunicans radici radicis alterius numeri in longitudine. Sed erit ei comunicans in potentia. Cum autem sic fuerint due quantitates, tunc ex ductu unius in alterum proueniet uel racionale uel mediale, quod euclides ostendit in decimo libro dicens quod omnis superficies contenta duabus lineis medialibus et in potentia tantum comunicantibus, aut erit racionalis aut medialis. Ad cuius rei euidenciam duo proponam exempla, quorum primus est hoc. Verbi gratia. Si uolueris multiplicare radicem radicis trium in radicem radicis de uiginti septem, iste sunt due quantitates mediales, et in potentia tantum comunicantes. Comparatio enim quadrati unius eorum qui est radix trium ad quadratum alterius quod est radix de uiginti septem est sicut comparatio trium ad nouem. Sunt igitur in potentia communicantes, in longitudine uero non communicantes. Quod autem fit ex ductu unius eorum in alterum est racionale, quod est tres. Secundum uero exemplum est hoc. Verbi gratia. Si uolueris multiplicare radicem radicis de octo in radicem radicis de decem et octo, manifestum est etiam quod iste quantitates sunt mediales, et in potentia tantum communicantes. Comparatio enim quadrati unius ad quadratum alterius est sicut comparatio de sex ad nouem. Sunt igitur in potentia communicantes. Comparatio enim quadrati ____________________ 1 radicis add. A2 m.d. add. quadrati ad numerum quadratum, tunc ipse sunt comunicantes in longitudine et quod prouenerit ex multiplicatione erit numerus. Si uero fuerit comparatio radicis 2 post numeri exp. non A2 unius ad radicem alterius sicut comparatio numeri A2 m.d.

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unius eorum ad quadratum alterius est sicut comparatio numeri ad numerum, et unt non communicantes in longitudine. Quod autem fit ex ductu unius eorum in alterum est mediale, quod est radix de duodecim. Cum uero multiplicaueris radicem radicis alicuius numeri in radicem radicis alterius numeri, et comparatio unius numeri ad alium fuerit non sicut comparatio quadrati numeri ad alium numerum quadratum. Tunc id quod ex multiplicatione earum prouenit non erit semper nisi radix radicis alicuius numeri. Cum enim unus numerorum multiplicetur in alium, proueniet numerus non quadratus. Quod iam ostendimus in precedenti. Ad cuius rei euidentiam1 tale subicimus exemplum. Verbi gratia. Si uolueris multiplicare radicem radicis de decem in radicem radicis de quindecim, fac sicut supradocui, et proueniet radix radicis de centum quinquaginta. Cum uero multiplicaueris radicem radicis alicuius numeri in radicem radicis alterius numeri, et comparatio radicis numeri ad radicem alterius numeri fuerit sicut comparatio quadrati numeri ad alium quadratum numerum. Tunc id quod prouenit ex multiplicatione semper erit radix alicuius numeri. Cuius probato patet. Scimus enim quod cum comparatio radicis unius numeri ad radicem alterius numeri fuerit sicut comparatio quadrati numeri ad numerum quadratum, tunc comparatio radicis radicis unius numeri ad radicem radicis alterius numeri erit sicut comparatio numeri ad numerum. Igitur radix radicis unius numeri erit comunicans radici radicis alterius numeri. Cum autem unum mediale communicat alii mediali, tunc ex ductu unius in alterum non prouenit nisi mediale. Cuius probatio patet legenti decimum librum eucludis (sic). Ad eius tamen maiorem euidenciam tale subicimus exemplum. Verbi gratia. Si uoluerit (sic)2 multiplicare radicem radicis duorum in radicem radicis triginta duorum, fac sicut supradocui, et proueniet radix de octo, et hoc est quod uoluisti. Capitulum de agregandis radicibus radicis inter se. Scias quod cum uolueris radicem radicis unius numeri agregare ad radicem radicis alterius numeri, et comparatio quadrati unius eorum, qui est radix unius numeri, ad quadratum alterius numeri, qui est radix alterius numeri, fuerit sicut comparatio numeri quadrati ad numerum quadratum, tunc id quod fit ex agregatione earum semper erit radix radicis alicuius numeri. Cuius probatio patet. Scimus enim quoniam cum comparatio quadrati unius eorum ad quadratum alterius fuerit sicut comparatio numeri quadrati ad numerum quadratum, tunc comparatio unius ad aliam erit sicut comparatio alicuius numeri ad alium, quod iam ostendit euclides in decimo libro. Cum uero comparatio unius eorum ad alium fuerit sicut comparatio alicuius numeri ad alium, tunc erunt communicantes, quod iam similiter ostensum est in decimo euclidis. Cum uero ambe fuerint communicantes, tunc agregatum ex illis erit communicans ____________________ 1 uidentiam A2: euedentiam A1

2 uoluerit false A in uolueris corrigendum

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utrique illorum, quod similiter iam ostensum est ab Euclide. Vterque autem eorum est medialis. Igitur agregatum ex illis erit mediale. Omne enim cui communicat mediale mediale est, quod similiter monstrauit euclides. Ad eius tamen maiorem euidentiam subiciam exemplum et assignabo ragulam (sic) agregandi. Verbi gratia. Si uolueris radicem radicis trium agregare ad radicem radicis ducentorum quadraginta trium. Radix radicis trium sit ab. Radix uero radicis ducentorum quadraginta trium sit bg. Volumus autem scire totus ag, cuius numeri sit radix radicis. Scimus autem quoniam id quod fit ex ductu ag in se equum est ei quod fit ex ductu ab in se et bg in se et ab in bg bis. Cum igitur uolueris scire quantum proueniat ex ductu ag in se, multiplicabis ab in se, et bg in se, et agregatis simul addes id quod fit ex ductu ab in bg bis. Scimus autem quod quadratus de ab est radix trium, et quadratus de bg est radix ducentorum quadraginta trium. Agrega igitur radicem trium ad radicem ducentorum quadraginta trium. Necesse est enim sibi ipsis agregari, et agregatum alicuius numeri radicem fieri. Comparatio enim unius eorum ad alium est sicut comparatio alicuius numeri ad alium, et sunt communicantes. Agregatum igitur ex illis erit radix alicuius numeri scilicet trescentorum. Hanc igitur radicem trescentorum agrega ad id quod fit bis ex ductu radicis radicis trium in radicem radicis ducentorum quadraginta trium, quod est radix de centum et octo. Necesse est radicem de centum et octo agregari ad radicem trescentorum et fieri radicem alicuius numeri. Vtraque enim illarum communicans est alteri et ita erat1 semper. Cum enim aliqua quantitas linea diuiditur in duas partes communicantes, tunc quadrati ipsarum agregati sunt communicans (sic)2 ei quod fit ex ductu unius earum in alteratam (sic)3 bis. Cuius probacio patet scienti decimum librum euclidis. Agrega igitur radicem de centum et octo ad radicem trescentorum, et proueniet radix septingentorum sexaginta octo. Cuius radicis radix que est radix radicis septingentorum sexaginta octo est id quod queris, et hoc est quod4 monstrare uoluimus.

Fig.40: A, fol.143 v.

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Si autem comparatio quadrati unius eorum ad quadratum alterius fuerit sicut comparatio numeri non quadrati ad numerum non quadratum, et ex ductu unius eorum in alterum proueniat racionale, tunc id quod fit ex ipsis agregatis erit5 radix alicuius numeri agregati cum radice numeri et est potens supra racionabile et mediale sicut euclides monstrauit. Ad cuius rei maiorem euidentiam subiciam exemplum. Verbi gratia. Si uolueris agregare radicem radicis trium ad radicem radicis de uiginti septem6, fac sicut supradocui. Scilicet agrega radicem trium ad radicem de uiginti septem, et proueniet radix de quadraginta octo. Cui adde id quod fit bis ex ____________________ 1 erat A2: erit A1 2 communicans false A in communicantes corrigendum 5 erit A1: erat A2 false A in alteram corrigendum 4 quod add. A2 s.l. 2 1 2 A : quatuor A post septem exp. semper proueniet radix A

3 alteratam 6 septem

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ductu radicis1 radicis trium in radicem radicis2 de uiginti septem quod est sex, et prouenient sex et radix de quadraginta octo, quorum agregatorum simul radix est id quod queris, quod est radix agregati ex sex et radice de quadraginta octo. Si autem ex ductu unius in alterum prouenit non quadratus, tunc id quod fit ex agregatis erit radix agregati ex radice numeri cum radice numeri, que est potens supra duo3 medialia, sicut euclides monstrauit in decimo probacione necessaria. Ad eius tamen maiorem euidentiam tale subiciam exemplum. Verbi gratia. Si uolueris agregare radicem radicis de octo ad radicem radicis de decem et octo, agrega eas sicut supradocuimus. Scilicet agrega radicem de octo ad radicem de decem et octo, et proueniet radix de quadraginta (sic)4. Deinde multiplica radicem radicis de octo in radicem radicis de decem et octo bis, et proueniet radix de quadraginta octo, quam debes agregare ad radicem de quinquaginta. Sed non potest fieri ita ut fiant radix alicuius numeri. Necesse erit igitur ut dicas radix agregati ex radice de quadraginta 5 cum radice de quinquaginta, et hoc est quod uoluisti. Cum autem uolueris agregare radicem radicis alicuius numeri ad radicem radicis alterius numeri et comparatio unius numeri ad alium fuerit non sicut comparatio quadrati numeri ad numerum quadratum, tunc ille radices non agregantur, nec erunt nisi radix radicis numeri et radix radicis numeri. Cuius rei probatio patet ex decimo euclidis. Si autem talis questio euenerit, non erit illa illarum agregatio, nisi qualis est ipsarum in prolatione ordinaria. Capitulum de minuendis radicibus radicis inter se. Scias quod minuere radices radicis de radicibus radicis ita est sicut agregare radices radicis cum radicibus radicis, sicut supradocuimus quod minuere radices de radicibus idem erat quod agregare radices inter se. Quisquis igitur nouit que dicta sunt de agregare radices radicis inter se, et nouit quomodo inducitur ad hoc decimo libri euclidis poterit per illa pertingere ad scientiam minuendi radices radicis inter se. Sed in minuendo radices radicis inter se ponet residua, sicut in agregando posuimus binomia. Capitulum de diuidendis radicibus radicis inter se. Si uolueris diuidere radicem radicis de decem per radicem radicis de quinque. Sic facies. Diuide decem per quinque et eius quod uenerit radix radicis, que est radix radicis duorum, est id quod uoluisti. Cuius probatio patet. Scimus enim quod cum aliquis numerus diuiditur per alium idem est accipere radicem eius quod exit quod diuidere radicem diuidendi per radicem diuidentis.

____________________ 1 radicis add. A2 s.l. 2 quinquaginta corrigendum

radicis add. A2 s.l 5 octo addidi

3 due A1

4

quadraginta false A in

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Cum igitur uolueris diuidere radicem radicis de1 decem per radicem radicis de quinque, diuides quadratum radicis radicis de decem, qui est radix de decem, per quadratum radicis radicis de quinque, quod est radix de quinque, et exibit radix duorum sicut prediximus. Huius igitur radix que est radix radicis duorum est id quod uoluisti. Si autem uolueris duas radices radicis de decem diuidere per tres radices radicis de octo. Sic facies. Scias prius due radices radicis de decem, cuius numeri sit radix. Videlicet multiplica duo in radicem radicis de decem, sicut prediximus, et exibit radix radicis de centum sexaginta. Deinde scias tres radices radicis de octo, cuius numeri sit radix. Videlicet multiplica tres in radicem radicis de octo, et proueniet radix radicis sexcentorum et quadraginta octo. Quasi ergo uelis diuidere radicem radicis de centum sexaginta per radicem radicis sexcentorum quadraginta octo, diuides denominando centum sexaginta per sexcentos quadraginta octo et eius quod exit radicis radix erit id quod uoluisti. Si autem uolueris diuidere radicem radicis de decem per duo. Sic facies. Scias prius cuius numeri radicis duo sunt radix, et inuenies quod de sexdecim. Quasi ergo uelis radicem radicis de decem diuidere per radicem radicis de sexdecim, fac sicut predocuimus, et exibit radix radicis quinque octauarum. Cetera autem huiusmodi considera secundum hoc, et inuenies ita esse. Item de eodem. Si uolueris diuidere decem per duo et radicem radicis trium, prius hec cognoscenda sunt scilicet quod cum multiplicatur aliquis numerus et radix radicis numeri in residuum suum proueniet residuum. Aut si multiplicetur radix numeri et radix radicis numeri in suum residuum proueniet etiam residuum. Aut si multiplicetur radix radicis numeri et radix radicis numeri in suum residuum proueniet etiam residuum. Assignabo igitur probacionem unius horum ex qua cetera cognoscantur. Dico igitur quod cum radix radicis alicuius numeri et radix radicis numeri multiplicatur in suum residuum, quod est radix radicis maioris numeri, subtracta de ea radice radicis minoris numeri non proueniet nisi residuum. Sit igitur radix radicis maioris numeri ab. Radix uero radicis minoris numeri sit bg. Incidam autem de ab equale ad bg que sit db. Igitur ad residuum est horum duorum numerorum. Dico igitur quod ex ductu ag in ad prouenit residuum. Quod sic probatur. Scimus enim quoniam id quod fit ex ductu ag in ad et db in se equum est ei quod fit ex ductu ab in se. Igitur si uolueris multiplicare ad in ag, multiplicabis ab in se et de producto minues id quod fit ex ductu db in se, et remanebit id quod fit ex ductu ag in ad. Scimus autem quod id quod fit ex ductu ab in se est radix numeri, et id quod fit ex ductu db in se est radix numeri. Igitur id quod fit ad in ag est radix numeri, sed subtracta de ea radice numeri quod est residuum, et hoc est quod monstrare uoluimus. ____________________ 1

de A2: per A1 uid.

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In hac autem maneria tantum possibile ut id quod prouenit ex multiplicatione sit radix alicuius numeri. Videlicet cum due radices duorum numerorum fuerint communicantes, et potuerit altera de altera minui ita ut ramaneat (sic) radix numeri, tunc id quod remanet erit radix numeri, quod est id quod fit ex ductu radicis radicis numeri et radicis radicis numeri1 in residuum suum. In aliis autem maneriis impossibile est esse nisi residuum. Nam aut erit numerus et radix radicis numeri, aut radix numeri et radix radicis numeri. Igitur cum fuerit numerus et radix radicis numeri, tunc si multiplicatur numerus in se, proueniet numerus, et cum multiplicabitur radix radicis numeri in se, proueniet radix numeri. Nec est possibile minui radicem numeri de numero, nec numerum de radice numeri, sicut manifestum est. Non enim sunt communicantes. Si autem fuerit radix numeri et radix radicis numeri, similiter etiam erit tunc impossibile. Nam ex ductu radicis numeri in se non prouenit nisi numerus. Si autem uolueris diuidere decem per duo et per radicem radicis trium. Sic facies. Multiplica duo et radicem radicis trium in duo minus radice radicis trium, et proueniet sicut prediximus residuum2, quod est quatuor minus radice trium. Per quos diuide decem, sicut predocuimus, et exibunt quadraginta tredecime3 et radix trescentorum. Quos multiplica in duo minus radice radicis trium, et proueniet quod queris. Si uolueris diuidere decem per radicem radicis trium et radicem radicis de duodecim. Sic facies. Multiplica radicem radicis de duodecim et radicem radicis trium in radicem radicis de duodecim minus radice radicis trium, et proueniet racionale in potentia, quod est radix trium. Per quam diuide decem, et exibit radix triginta trium et tercie. Quam multiplica in 4 duodecim minus radice 5 trium, et proueniet quod queris. Si uolueris diuidere decem per radicem de quinque minus radice radicis duorum. Sic facies. Multiplica radicem de quinque minus radice radicis duorum in binomium suum quod est radix de quinque et radix radicis duorum, et proueniet residuum sicut predictum est, quod est quinque minus radice duorum. Per quos diuide decem, et quod exit multiplica in radicem de quinque et radicem radicis6 duorum, et proueniet quod queris. Secundum hoc autem considera cetera his similia, et inuenies ita esse. Item de diuisione radicum. Si uolueris diuidere decem per duo et radicem trium et radicem de decem. Scias prius quod cum ita posita fuerint tria nomina, et unum trium minueris de reliquis duobus, in residuum quorum multiplices deinde illa tria, tunc proueniet aut residuum aut binomium aut racionale in potentia. Sint igitur tria nomia ad. ____________________ 1 post numeri add. et radicis radicis numeri A2 m.s. 2 post residuum add. 200arum/169 A2 2 m.s. 3 tredecime add. A s.l. 4 radicem radicis de addidi 5 radicis addidi 6 radicis add. A2 m.d.

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Primum autem eorum sit ab, secundum autem sit bg, tercium uero sit gd. Dico igitur quod si unum de ad minueris de reliquis duobus et1 in id quod remanet multiplicaueris ad, tunc autem proueniet residuum, aut binomium aut racionale in potentia2. Incidam igitur de ag equale ad gd quod sit hg, et ramanebit (sic) ah. Dico igitur quod ex ductu ah in ad aut proueniet residuum, aut binomium, aut racionale in potentia. Quod sic probatur. Linea enim hd diuisa est per medium in puncto g, et addita est ei linea ah. Quod igitur fit ex ductu ah in ad et hg in se equum est ei quod fit ex ductu ag in se. Si igitur uolueris multiplicare ah in ad, multiplicabis ag in se et de producto minues id quod fit ex ductu hg in se, et remanebit id quod fit ex ductu ad in ah. Scimus autem quoniam ex ductu ag in se, prouenit primum binomium. Omne enim binomium, cum multiplicatur in se prouenit primum binomium, quod monstratur ex decimo euclidis. Primum autem binomium est numerus et radix numeri. Scimus etiam quoniam ex ductu hg in se prouenit numerus. Minue igitur numerum de primo binomio, qui est numerus et radix numeri. Si autem numerus quem minuis est minor numero, qui est in binomio primo, tunc id quod remanet est numerus et radix numeri, quod est binomium. Si uero numerus quem minuis fuerit maior numero, qui est in binomio primo, tunc id quod remanet erit radix numeri minus numero, quod est residuum. Si autem equalis fuerit, tunc remanebit radix numeri, quod est racionale in potentia, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.41: A, fol.145 r.

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His igitur precognitis, si uolueris diuidere decem per duo et radicem trium et radicem de decem. Sic facies. Multiplica duo et radicem trium et radicem de decem in duo et radicem trium minus radice de decem, et proueniet radix de quadraginta octo minus tribus, quod est residuum. Per quod diuide decem, et quod exierit multiplica in duo et radicem trium minus radice de decem, et proueniet quod queris. Cuius rei probatio iam premissa est3. Similiter etiam si uolueris diuidere radicem de decem per radicem de sex et radicem de septem, et radicem de octo, similiter etiam hic facies. Scilicet multiplicabis radicem de sex et radicem de septem et radicem de octo in radicem de sex et de septem minus radice de octo, et prouenient quinque et radix de centum sexaginta octo, quod est binomium. Per quod diuide radicem de decem, sicut predictum est, et quod exierit multiplica in radicem de sex et radicem de septem minus radice de octo, et proueniet quod queris.

____________________ 1 et add. A2 s.l. A2: manifesta est A1

2 post potentia exp. quod sic probatur linea A2

3 iam premissa est

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Si uolueris diuidere decem et radicem de quinquaginta per 1 duorum et radicem trium et radicem de quinque, iam scis quod decem et radicem de quinquaginta simul agregata diuidere per 2 duorum et per radicem trium et radicem de quinque simul agregata idem est quod diuidere decem per duo (sic)3 et radicem trium et radicem de decem (sic)4, quod diuidere radicem de quinquaginta per radicem duorum, et radicem trium et radicem de quinque et agregare que ex utraque diuisione exeunt. Diuide igitur decem per radicem duorum et radicem trium et radicem de quinque sicut predocuimus, et etiam diuide radicem de quinquaginta per radicem duorum et radicem trium et per radicem de quinque, et que de utraque diuisione exeunt agrega, et secundum hoc considera cetera his similia et inuenies ita esse. Item de radicibus. Si uolueris scire que est radix de octo et radicis de sexaginta simul agregatorum. In huiusmodi questionibus considera si id cuius radix queritur fuerit binomium primum, semper erit radix eius cognita binomium. Cuius probatio patet ex decimo euclidis ubi dicitur quod cum aliqua superficies continetur ex binomio primo et linea racionali, tunc linea potens supra eam est binomium. Si autem id cuius radix queritur fuerit contentum binomio secundo et linea racionabili, tunc erit radix eius primum bimediale. Cum enim superficies continetur linea racionali et binomio secundo, tunc quecumque linea est potens supra eam est bimediale primum. Similiter etiam si fuerit binomium tercium, erit radix eius bimediale secundum. Si autem fuerit binomium quartum, erit5 radix eius linea maior. Si autem fuerit binomium quintum, erit radix eius id quod potest supra racionale et mediale. Si autem fuerit sextum binomium, erit radix eius id quod potest supra duo medialia. Assignabo igitur regulam per quam hec omnia possunt inueniri. Exemplum autem eius erit id quod premissimus scilicet si uolueris scire que est radix agregati ex octo et radice de sexaginta. Iam scis quod octo et radix de sexaginta6 simul sunt binomium primum. Octo enim plus sunt quam radix de sexaginta. Igitur maior est communicans linee racionabili, minor uero est incommunicans linee racionabili. Octo autem possunt supra radicem de sexaginta per quadratum duorum, scilicet per adicionem quadrati linee illi communicantis. Octo igitur et radix de sexaginta simul sunt primum binomium. Eius igitur radix est binomium. Sint igitur octo ab. Radix uero de sexaginta sit bg. Linea uero az sit unum. Igitur superficies zg est octo et radix de sexaginta simul, cuius uolumus scire radicem. Diuidatur igitur bg per medium in puncto d. Igitur bd est radix de quindecim linee at ab. Addam superficiem equalem quadrato linee bd, ita ut de complecione linee desit superficies quadrata equalis ei quod fit ex ductu ah in hb. Id igitur quod fit ex ductu ah in hb est quindecim. Sed ab est octo. Igitur octo diuiditur in duo, quorum uno ductu in alterum prouenerit quindecim. Diuidatur ____________________ 1 radicem addidi 2 radicem addidi 4 decem false A in quinque et corrigendum

3 duo false A in radicem duorum corrigendum 6 sexaginta A2: xl A1 5 erit A2: erat A1

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igitur linea ab per medium in puncto l. Quod igitur fit ex ductu ah in hb et hl in se equum est ei quod fit ex ductu al in se. Sed id quod fit ex ductu al in se est sexdecim, et id quod fit ex ductu ah in hb est quindecim. Remanet igitur id quod fit ex ductu hl in se unum. Igitur hl est unum, sed al est1 quattuor. Igitur remanet ah tres. Linea autem hb erit quinque. Habemus igitur quod linea ah est tres et az est unum. Superficies igitur zh est tres. Similiter etiam linea hb est quinque, et ch est unum. Superficies igitur cb est quinque. Fiat autem superficies quadrata equalis2 superficiei zh, que sit kt, et iterum alia superficies quadrati equalis superficiei cb, que sit tq. Igitur superficies kt est tres, et superficies tq est quinque. Complebo autem superficiem kq. Manifestum est igitur quod superficies kq equalis est superficiei zg. Cuius probacionem euclides posuit in decimo libro. Scimus autem quod superficies kt est tres. Igitur linea est radix trium. Superficies autem tq est quinque. Igitur linea nm, que est equalis linee ts, est radix de quinque. Tota igitur linea km est radix superficiei zg et potest supra eam radix trium, et radix de quinque, et est binomium, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.42: A, fol.145 v.

Fig.43: A, fol.145 v.

Fig.44: A, fol.145 v.

____________________ 1 post est exp. unum A2

2 equalis A2: equalus A1 uid.

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Fig.45: A, fol.145 v.

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Item de eodem. Similiter etiam si acciderit questio de residuis eodem modo facies quo et in binomiis. Verbi gratia. Si uolueris scire que est radix ducentorum uiginti quinque minus radice quinquaginta milium, scias quoniam hoc est primum residuum. Linea ergo que potest supra illud est residuum. Nam cum aliqua superficies continetur linea racionali et primo residuo, tunc linea que supra illud potest est residuum. Si autem fuerit residuum secundum, tunc linea que potest supra illud erit residuum mediale primum. Si uero fuerit tercium, tunc linea que potest supra illud erit residuum mediale secundum. Si autem fuerit quartum, tunc linea que potest supra illud erit minor. Si autem fuerit quintum, tunc linea supra illud potens erit que coniuncta racionali faciens totum mediale. Si autem fuerit sextum, tunc linea que supra illud potest coniuncta cum mediali erit faciens totum mediale. Horum autem omnium probaciones iam assignate sunt in decimo euclidis. Dicam igitur quomodo inuenietur radix ducentorum uiginti quinque minus radice quinquaginta milium, ut per hoc cognoscantur cetera. Ducenti igitur uiginti quinque sint linea ab et1 de ipsa sint radix l milium bg. Igitur ag est ducenti uiginti quinque minus radice quinquaginta milium. Linea uero az sit unum et faciam superficiem zb et superficiem zg, que est ducenti uiginti quinque quindecim minus radice quinquaginta milium. Deinde diuidam gb per medium in puncto d. Manifestum est igitur quod gd est radix duodecim milium quingentorum. Deinde linee ab addam superficiem quadratam equalem quadrato linee gd, ita ut de complecione linee desit superficies quadrata equalis ei quod fit ex ductu ah in hb. Manifestum est igitur quod id quod fit ex ductu ah in hb est duodecim milia et quingenti, et ab est ducenti uiginti quinque. Igitur ducenti uiginti quinque diuiduntur in duas partes, et ex ductu unius earum in alteram proueniunt duodecim milia et quingenti. Fac ergo sicut docetur in agebla, et exibit hb, centum. Hoc az est unum que est equale ad bn. Superficies igitur hb est centum, et superficies zh est centum uiginti quinque. Fiat igitur superficies quadrata equalis superficiei zh, que sit qk, super2 cuius diametrum sit superficies equalis superficiei nh, que est kt.

____________________ 1 et add. A2 s.l.

2 super A2: superficies A1

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Protraham autem duas lineas pc et mx. Manifestum est igitur quod superficies qt equalis est superficiei zg. Hoc autem iam monstrauit euclides. Linea igitur potens supra superficiem zg, que est radix ducentorum et uiginti quinque minus radice quinquaginta milium, est ct. Volumus autem scire quanta ipsa est. Monstratum est autem quod superficies kt est centum. Linea igitur tp est decem. Superficies autem qk est centum uiginti quinque. Igitur linea lk que est equalis linee cp est radix de centum uiginti quinque. Igitur linea ct est radix de centum uiginti quinque minus decem, et hoc est quod monstrare uoluimus. Similiter etiam facies in omnibus huiusmodi, et inuenies ita esse. Iam ergo assignauimus regulam residui primi et binomii primi. Similiter etiam fit in ceteris. De reliquis apponam questionem unam, per quam cognoscantur cetera consimilia.

Fig.46: A, fol.146 r.

Fig.47: A, fol.146 r.

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Si quis querat que est radix de decem et de radice de centum octoginta, ostendam hic eandem regulam esse que est in binomio primo. Scilicet multiplica decem in se, et prouenient centum, quorum quartam semper accipe que est uiginti quinque. Deinde diuide radicem de centum octoginta duo ex ductu unius ipsorum in alterum, proueniunt uiginti quinque, sicut supradocuimus. Scilicet accipe dimidium radicis de centum octoginta, que est radix de quadraginta quinque, quam multiplica in se, et prouenient quadraginta quinque. De quibus minue uiginti quinque, et remanebunt uiginti. Quorum radicem que est radix de uiginti, si addideris radici de quadraginta quinque, que est dimidium radicis de centum octoginta, erit pars maior, que est radix de uiginti et radix de quadraginta quinque. Quas possibile coniungi inter se, et alteram ab altera minui. Agrega igitur radicem

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de uiginti ad radicem de 451, et fiet radix de centum uiginti quinque. Minue etiam radicem de uiginti de radice de quadraginta quinque, et remanebit radix de quinque. Accipe igitur radicem radicis de quinque et radicem radicis de centum uiginti quinque, que sunt radix radicis de quinque et radix radicis de centum uiginti quinque, et hoc est bimediale primum. Nam id quod fit ex ductu radicis radicis de quinque in radicem radicis de centum uiginti quinque est racionabile quod est2 quinque, et quia decem et radix de centum octoginta est binomium secundum, ideo radix eius est bimediale primum. Iam igitur subiecimus occulis quod dixit euclides. Probatio autem horum omnium predictorum patet ex his que dicta sunt in binomio primo, nec difert in aliquo. Similiter etiam fit in binomio tercio. Radix autem binomii tercii secundum hanc regulam prouenit bimediale secundum, sicut euclides dixit. Quisquis autem intellexerit regulam inueniendi radicem residui primi et probacionem eius, intelliget regulam inueniendi radicem residui secundi, sicut ostendimus regulam agendi in binomio secundo. Ex regula binomii primi, similiter etiam cognosces qualiter agendum est in residuo tercio. Sed in binomio quarto et quinto et sexto. Si contingerit aliqua questio, talis sit tua responsio, qualis fuerit interrogatio. Nam si uolueris inuenire3 radicem eius sicut docuimus in binomio primo, secundo et tercio, exibit radix binomii quarti maior. Maior autem non est nisi radix agregati ex numero et radice numeri et insuper etiam est radix numeri post subtractionem de eo radicis alterius numeri. Igitur facilius est dicere radix agregati ex numero et radice numeri quam dicere radicem agregati ex numero et radice numeri agregatam radici numeri post subtractionem de eo radicis alterius numeri. Verbi gratia. Si quis querat dicens que est radix de decem, et radicis de octoginta, dic radix agregati ex decem et radice de octoginta. Nam hoc est quartum binomium. Si autem hic uolemus (sic) agere secundum regulam quam agregauimus in binomio primo et secundo et tercio, proueniret radix agregati ex quinque et radice de quinque agregata radici de quinque post subtracionem sue radicis de quinque. Igitur facilius est dicere radix agregati ex decem et radice de octoginta, quam dicere radix agregati ex quinque et radice de quinque agregata radici de quinque post subtractionem sue radicis de quinque. Similiter si quis faciat questionem secundum binomium quintum, fit tua responsio qualis fuerit interrogatio. Illud enim facilius est dicere scilicet linea potens supra racionale et mediale. Similiter etiam si interrogaueris de questione residui quarti uel quinti uel sexti, sit in omnibus semper tua responsio qualis fuerit interrogatio. Hoc enim facilius fit et magis habetur ad manum. Cetera his similia considera secundum hoc, et inuenies ita esse4.

____________________ 2 est add. A2 s.l. 3 inuenire A2: minuere A1 1 45 add. A s.l. al.man.: XXV A1 4 post esse add. ? (quattuordecim lineae illisibiles sunt) (=f. 147v) A al. man. Si uolueris [p. 160, l. 25] – ita esse A: om. D P

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Incipit pars secunda1. Hic reperimus2. De quattuor numeris proportionalibus et de his que proueniunt ex illis quamuis superius egimus multociens secundum illos. Verbi gratia3. Si fuerint quattuor numeri proportionales, scilicet ut quomodo se habet primus ad secundum, sic se habeat tercius ad quartum, tunc tantum efficit primus ductus in quartum quantum secundus in tercium. In hiis autem4 quattuor numeris socii dicuntur primus et quartus secundus et tercius. Vnde generaliter eorum qualiscumque ignoretur. Si5 quilibet reliquorum duorum per socium diuidatur ignoti6 et quod exit in socium diuidentis multiplicetur et prouenit ignotus. Vel productus ex aliis duobus per ignoti socium diuidatur et prouenit ignotus7. Vnde si propositis tribus quartus fuerit tantum incognitus, multiplica secundum in tercium et quod inde prouenit diuide per primum et quod exierit erit quartus. Aut si primus tantum fuerit incognitus, multiplica secundum in tercium et quod inde prouenit8 diuide per quartum et quod exierit erit9 primus. Aut si secundus tantum fuerit incognitus, multiplica primum in10 quartum et productum diuide per tercium et exibit secundus. Aut si tercius fuerit incognitus, multiplica primum in quartum11 et productum diuide per secundum et exibit tercius. Vt autem manifestum sit quod demonstramus sint12 quattuor numeri proportionales scilicet quattuor et decem et sex et quindecim. Talis est autem comparatio quaternarii ad decem, qualis est senarii ad quindecim. Ex ductu autem quaternarii in quindecim proueniunt 60. Similiter hoc idem prouenit ex ductu senarii in decem. Quorum quartus si fuerit ignotus, multiplica secundum in tercium et prouenient sexaginta. Quos diuide per primum et exibunt quindecim. Si uero primus fuerit ignotus, diuide sexaginta per quartum qui est quindecim et exibit primus. Si uero tercius fuerit ignotus, multiplica primum in quartum13 et prouenient sexaginta. Quos diuide per secundum qui est decem et exibit tercius qui est sex. Si uero14 secundus fuerit ignotus, diuide sexaginta per tercium qui est sex et exibit secundus. Omnium autem trium numerorum idem est unum multiplicare in alterum et productum diuidere15 per tercium quod est diuidere unum multiplicantium per diuidentem, et quod exierit multiplicare in alterum. Verbi gratia. Sint tres numeri: quattuor, decem et sex. Cum ergo multiplicantur sex in decem, proueniunt sexaginta. Quos cum diuidimus per quattuor exeunt 15. Duo ergo numeri se multiplicantes sunt sex et decem. ____________________ 1 Incipit pars secunda A: posuit post illos [l. 4] D: posuit post gratia [l. 5] P 2 hic reperimus 3 Verbi gratia A P: om. D 4 autem A D: aut P 5 si addidi cum A D: add. P2 m.d. 6 diuidatur ignoti A: ignoti diuidatur D P 7 per ignoti [l.11] – D2 s.l.: om. A D1 P 9 quod ignotus A P: om. D 8 quod inde prouenit A: productum add. D2 m.d. P2 m.s. exierit erit A: exibit D P 10 in A P: om. D 11 in quartum A P: inquirum D 12 post sint add. Verbi gratia D m.d. al.man. 13 post quartum exp. qui est quindecim D2 14 si uero iter. D 15 productum diuidere A D: diuidere productum P

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Diuidens autem est quattuor. Si autem diuidimus sex1 per quattuor et quod exierit multiplicamus in decem, proueniunt similiter quindecim. Si autem diuidimus decem per quattuor et quod exierit multiplicemus2 in sex, idem similiter proueniet scilicet quindecim. Intellige hoc. Magna est enim eius utilitas ad ea que sequuntur de emendo et uendendo et ad multa alia. Capitulum de emendo et uendendo3. Cum in emendo et uendendo queritur de aliquo quantum est precium eius. Sic facies. Multiplica medium in ultimum et productum diuide per primum, et exibit quod queritur. Vel diuide medium per primum et quod exierit multiplica in ultimum, aut diuide ultimum per primum et quod exierit multiplica in medium. Omnibus hiis modis prouenit incognitum quod queritur. Cum autem queritur de aliquo quantum me contingit uel quantum habebo. Sic facies. Multiplica primum in ultimum et productum diuide per medium, et exibit quod queritur. Vel diuide primum per medium et quod exierit multiplica in ultimum4, aut diuide ultimum per medium et quod exierit multiplica in5 primum. Omnibus hiis modis prouenit quod queritur. Vt autem manifestius sit6 quod demonstramus de utroque modo ponamus exemplum. Primi autem modi scilicet quantum est precium eius exemplum est hoc. Verbi gratia. Si quis querat: «Postquam tres sextarii dantur pro decem nummis, tunc quantum est precium quattuordecim sextariorum?» Hoc tribus modis inuenitur. Hoc tribus modis inuenitur. Talis est enim proportio primorum sextariorum ad suum precium qualis secundorum ad suum. Qui sunt quattuor numeri proportionales, quorum primus est tres, secundus decem, tercius quattuordecim, quartus est ignotus qui queritur. Multiplica ergo secundum in tercium et productum diuide per primum et exibit quartus7. Vel diuide unum8 multiplicantium per primum qui est diuidens et quod exierit multiplica in alterum multiplicantium, et proueniet quartus qui queritur. Scilicet diuide decem per tres9 et quod exit multiplica in quattuordecim, et exibit ignotus. Vel diuide 1410 per tres, et quod exit multiplica in decem11. Probatio12 manifesta est ex premissis. Idem enim est multiplicare decem in quattuordecim et productum diuidere per tres, quod diuidere decem per tres et quod exit multiplicare in 14. ____________________ 1 post sex exp. ter octo D2 2 multiplicemus A P: multiplicamus D 3 Capitulum – uendendo A P: om. D 4 et productum [l. 14] – ultimum A P: om. D 5 in A P: add. D2 s.l. 6 manifestius sit A: manifestus sit D: manifestus sciat P 7 quartus A P: quantus D 10 14 A P: 8 unum A P: numeri D 9 decem per tres A D2 P: per tres decem D1 12 praem. cuius P quatuor D 11 Vel diuide [l. 29] – decem A D: add. P2 m.d.

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De secundo autem modo1 scilicet quantum me contingit uel quantum habebo exemplum est hoc. Verbi gratia. Si quis dicat: «Postquam tres sextarii dantur pro decem denariis, quantum michi debetur pro sexaginta nummis?» Talis est autem comparatio primorum sextariorum ad suum precium, qualis aliorum ignotorum ad suum quod est sexaginta. Sunt ergo hic quattuor numeri proportionales primus scilicet tres secundus decem tercius est ignotus quartus uero sexaginta. Ex multiplicatione igitur2 primi in quartum et producti diuisione per secundum exibit tercius. Vel diuide unum multiplicantium per diuidentem qui est secundus, et quod exierit multiplica in alterum multiplicantium et proueniet tercius qui queritur, sicut prediximus in primis. Intellige et operare in ceteris secundum hoc. Item alia exempla uendendi et emendi in primo modo scilicet quantum est precium eius3 cum fractionibus. Verbi gratia. Si quis querat: «Postquam sextarius unus datur pro quinque nummis et tercia, tunc4 quantum est precium decem sextariorum?» Sic facies. Multiplica5 precium unius sextarii in numerum sextariorum qui est decem, et prouenient quinquaginta tres et tercia. Et hoc est6 precium decem sextariorum quod queritur. 6/3

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Item si quis querat: «Postquam sextarius unus7 datur pro sex nummis et tercia, tunc quantum est precium decem sextariorum et quarte unius?». Sic facies8. Multiplica9 sex nummos et terciam, quod est precium sextarii in decem sextarios et quartam, sicut docuimus in multiplicatione integri et fractionis10 in integrum et fractionem, et proueniet quod queritur. Sed hic modus est quo agunt inter se homines. Non enim proponunt in principio loquendi nisi unum tantum sextarium11. ____________________ 3 scilicet [l. 13] – eius A P: om. D 1 modo A P: om. D 2 igitur A D P2: gi P1 4 tunc A: om. P: enim D 5 praem. tu D P 6 post est add. quod D 7 unus A D: 8 post facies exp. quod est precium sextarii D2 9 praem. tu D P add. P2 m.d. 11 post sextarium add. Si quis uero querat: «Postquam 10 post fractionis exp. integrum P2 tres sextarii dantur pro decem nummis, quantum est precium tredecim sextariorum?» Hoc tribus modis inuenitur. Primus modus est ut multiplices precium trium sextariorum quod est decem in numerum secundorum sextariorum quod est tredecim, et productum diuide per tres, et exibit quod queris. Vel diuide precium trium sextariorum quod est decem per tres et quod exierit multiplica in tredecim, et proueniet quod queris. Vel diuide tredecim per tres et quod exierit multiplica in decem, et proueniet quod queris (cfr p.186, l. 21–35) D P

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Si quis1 querat: «Postquam due tercie sextarii2 dantur pro duobus nummis et quarta, tunc quantum est precium decem sextariorum et dimidii?» Hoc inuenitur ad modum prioris scilicet uel ut multiplices duos et quartam, qui terminus est medius, in ultimum qui est decem et dimidium, et productum diuide per primum qui est due tercie, et exibit quod queris. Vel diuide duos et quartam qui est medius per primum qui est due tercie, et exibunt tres et tres octaue. Quas multiplica in decem et dimidium, et proueniet quod queris. Vel diuide ultimum qui est decem et dimidium per duas tercias qui est primus, et quod exierit multiplica in duo et quartam, et proueniet quod queris. Hec autem questio soluitur aliter scilicet per creandum numerum ex denominationibus sicut iam quidam docuerunt in tractatibus suis. Secundum quem modus3 operabitur qui ignorat multiplicare fractiones, scilicet ut multiplicet inter se denominationes primi numeri et secundi que sunt tercia et quarta et prouenient 12. In quos multiplicet primum numerum, et prouenient octo. Quos ponat4 sub primo numero et sint quasi primus. Deinde multiplicet in duodecim numerum5 secundum, et prouenient uiginti septem. Quos ponat sub medio et sint quasi medius. Quasi ergo querat: «Cum octo sextarii dantur pro uiginti septem nummis6, quantum est precium decem sextariorum et dimidii?», tu multiplica tunc decem et dimidium in uiginti septem et productum diuide per octo, et exibit quod queris. Vel diuide unum multiplicantium per diuidentem et quod7 exierit multiplica per alterum multiplicantium, et productus erit summa quam queris. Vel denominationem8 prime fractionis multiplica in denominationem ultime, et prouenient sex. In quos multiplica primum et ultimum. Sed unumquodque productorum pone sub suo multiplicato. Vnde sub primo9 erunt quattuor et sub ultimo sexaginta tres. Quasi ergo querit (sic)10: «Postquam quattuor sextarii dantur pro duobus nummis et quarta, quantum est precium sexaginta trium sextariorum?», fac sicut predocuimus, et proueniet quod queris. Si autem uolueris ut in numeris multiplicantibus non sit fractio, in productum ex omnibus denominationibus qui est uiginti quattuor multiplica primum et secundum et tercium et unumquemque productorum pone sub suo multiplicato. Et tunc sub primo erunt sexdecim, sub secundo quinquaginta quattuor, sub ultimo ducenta quinquaginta duo. Quasi ergo queratur: «Postquam sexdecim sextarii dantur pro quinquaginta quattuor, quantum est precium ducentorum et quinquaginta duorum sextariorum?», tu fac sicut predictum est, et proueniet quod queris. ____________________ 2 post sextarii exp. a D2 3 modus A P: modum D 4 ponat A P: 1 si quis iter. P1 om. D 5 post numerum add. et D 6 nummis A P: numeris D 7 quod A P: om. D 10 querit A: 8 denominationem A P: denomina D 9 primo A P: add. D2 m.s.: suo D1 querat D P

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Post hoc sequitur capitulum uendendi et emendi in secundo modo qui est quantum habebo uel quantum me contingit cum fractionibus. Verbi gratia. Si quis querat: «Postquam sextarius uenditur pro sex nummis, quantum habebo pro quinquaginta nummis?» Tu diuide quinquaginta pro (sic) sex et exibit quod queris. Item1. ADP

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Si quis querat: «Postquam sextarius datur pro sex nummis et dimidio, quantum debetur michi pro quadraginta quattuor et tercia?» Sic facies. Tu diuide quadraginta quattuor et terciam per sex et dimidium, sicut supradocuimus in diuisione fractionum, et exibunt sex et decem tredecime et tercia (sic)2 tredecime unius sextarii. Et hoc est quantum tibi debetur de sextariis3. ADP

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Item si quis querat: «Postquam modius et due tercie modii dantur pro decem nummis et obolo, quantum debetur mihi pro 34 et quattuor quintis unius nummi4?» Sic facies. Tu uel5 multiplica primum in ultimum et productum diuide per medium qui est decem et obolus, et exibit quod queritur. Vel diuide unum multiplicantium per medium scilicet6 diuidentem, et quod exit multiplica per alterum, et proueniet quod queritur. Vel multiplica denominationem fractionis medii7 termini in denominationem fractionis primi8 uel ultimi, et productum multiplica in medium et productum pone sub eo. Deinde productum9 ex denominationibus multiplica in numerum cuius fractionis denominationem multiplicasti, qui aut est primus aut10 ultimus, et productum pone sub multiplicante. Deinde facies secundum regulas de quantum habebo uel quantum me contingit quod idem est et proueniet quod queris. In huiusmodi autem numerus diuidens11 et alter multiplicantium erunt integri et fiet ei facilius qui ignorat multiplicationem fractionum et diuisionem earum.

____________________ 1 Post hoc sequitur [l. 2] – quod queris. Item P: om. A D 2 tercia false A D P in due tercie corrigendum 3 post sextariis add. Item si quis querat: «Postquam tres modii dantur pro decem nummis, quantum debetur michi pro sexaginta quattuor nummis?» Hec questio tribus modis soluitur. Scilicet uel ut multiplices primum in ultimum et prouenient 192. Quos diuide per medium et exibunt decem et nouem modii et quinta pars modii. Vel diuide tres per decem et quod exit multiplica in 64 et proueniet quod queris. Vel diuide 64 per decem et quod exierit multiplica in 3, et proueniet quod queritur. Horum autem probationes sunt et (et P: in D) precedentes D P 6 scilicet A P: et D 7 fractionis 4 nummi A P: numeri D 5 uel A D: add. P2 9 post productum exp. pone medii A P: fractiones modii D 8 post primi exp. termini P2 10 post aut add. est P 11 diuidens A P: diuides D A2

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Si quis querat: «Postquam quinque sextarii et dimidius pro 7 numis et tercia, tunc quantum est pretium decem sextariorum et quinte?» Sic facies. Numeros denominationum que sunt dimidium et tercia et1 quinta multiplica inter se et prouenient triginta. Quos multiplica in 5 et dimidium et productum pone prelatum. Deinde multiplica triginta in 7 et2 terciam et productum in decem et quintam et productum diuide per prelatum, et exibit quod uoluisti. Quod sic probatur. Scimus enim quod comparatio 5 sextariorum et dimidii3 ad septem numos et terciam est sicut comparatio decem et quinte ad4 quesitum. Cum autem multiplicaueris quinque et dimidium et5 septem et terciam in aliquem numerum, tunc comparatio producti ad productum erit6 sicut comparatio multiplicati ad multiplicatum. Sed id quod fit ex ductu quinque et dimidii in triginta est 165. Et quod fit ex ductu septem et tercie in 30 est 220. Igitur comparatio centum sexaginta quinque ad ducenta uiginti est sicut comparatio quinque et dimidii ad septem et terciam. Comparatio autem quinque et dimidii ad septem et terciam est sicut comparatio decem7 et quinte ad quesitum. Igitur comparatio 165 ad 2208 est sicut comparatio decem et quinte ad quesitum. Si igitur multiplices decem et quintam in ducenta uiginti et productum diuidas per 165 exibit quesitum, et hoc est quod demonstrare9 uoluimus. Vel aliter. Multiplica decem et quintam in 7 et10 terciam, et productum diuide per 5 et dimidium, et exibit quod queris. Cuius probatio patet ex precedenti. Si autem uolueris ut prelatus sit sine fractione, denominationem fractionis que est cum primo numero multiplica in ipsum et productum pone prelatum. Deinde multiplica eandem denominationem in secundum numerum et productum in tercium, et productum diuide per prelatum, et exibit quod uoluisti. Cuius probatio patet ex hiis que dicta sunt in primis. Vel diuide unum multiplicantium per diuidentem, et quod exit multiplica in alterum, et proueniet quod queris. Si quis querat: «Postquam quinque octaue sextarii dantur pro tribus quartis numi, tunc quantum est pretium decem undecimarum sextarii?» Sic facies. Numeros denominationum que sunt octaua et quarta et undecima inter se multiplica, et fient trescenta quinquaginta duo. Quorum quinque octauas pone prelatum. Deinde eorundem tres quartas multiplica in decem undecimas et productum diuide per prelatum, et exibit quod uoluisti. Vel aliter. De numero unde denominatur octaua scilicet octo quinque octauas accipe et pone prelatum. Deinde quinque (sic)11 quartas de octo multiplica in decem undecimas et productum diuide per prelatum, et exibit quod uoluisti. Vel aliter. Multiplica tres quartas in decem undecimas et productum diuide per quinque octauas, et exibit quod uoluisti. ____________________ 3 post dimidii add. et D 4 ad A P: et D 5 et 1 et iter. P 2 et D P: add. A2 2 6 erit A D2 m.s. P: est D1 7 decem A P: ducenti D uid. A D P: etiam A1 uid. 8 165 ad 220 A D: 16 P 9 demonstrare A: monstrare D P 10 et A P: om. D 11 quinque false A D P in tres corrigendum

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Vel aliter. Diuide1 unum multiplicantium per diuidentem et quod exit multiplica in alterum, et productum est id quod uoluisti. Horum autem omnium probationes eedem2 sunt que precedentium. Cetera autem huiusmodi considera secundum hoc et inuenies ita esse. Item si quis querat: «Postquam duo sextarii et tercia dantur pro septem et dimidio, tunc quantum habebo pro sex et tribus septimis?» Sic facies. Numeros denominationum que sunt tercia et dimidium et septima multiplica inter se, et prouenient 42. Quos multiplica in 7 et dimidium, et productum pone prelatum. Deinde multiplica 42 in duo et tercia et productum multiplica in sex et tres septimas, et productum diuide per prelatum, et exibit quod uoluisti. Cuius probatio hec est. Scimus enim quod comparatio duorum et tercie ad septem et dimidium est sicut comparatio quesiti ad sex et tres septimas. Si autem multiplicaueris duo et terciam et septem et dimidium in aliquem numerum, comparatio producti ad productum erit sicut comparatio duorum et tercie ad septem et dimidium. Quod autem fit ex ductu3 duorum4 et tercie in 425 est 98. Quod uero fit ex ductu septem et dimidii in 42 est 315. Comparatio igitur duorum et tercie ad septem et dimidium est sicut comparatio de 98 ad 315. Comparatio autem duorum6 et tercie ad septem et dimidium est sicut comparatio7 quesiti ad sex et tres septimas. Igitur comparatio de nonaginta octo ad trescenta quindecim est sicut comparatio quesiti ad sex et tres septimas. Si igitur multiplices nonaginta octo in sex et tres septimas, et productum diuidas8 per trescenta quindecim, exibit quesitus. Vel aliter. Multiplica duo et terciam in sex et tres septimas et productum diuide per septem et dimidium, et exibit quod queris. Vel diuide unum multiplicantium per diuidentem, et quod exit multiplica in alterum. Vel si uolueris ut prelatus sit sine fractione numerum a quo denominatur dimidium scilicet duo multiplica in septem et dimidium et productum pone prelatum. Deinde multiplica eadem duo in duo et terciam, et productum in 6 et 3/79, et productum diuide per prelatum, et exibit quod queris. Horum autem omnium probatio patet ex premissis consideranti ea. Item si quis querat: «Postquam quattuor quinte sextarii dantur pro duabus terciis numi, tunc quantum habebo pro septem octauis numi?» Sic facies. Numeros denominationum que10 sunt11 quinta et tercia et octaua multiplica inter se, et prouenient centum uiginti. Quorum duas tercias que sunt octoginta pone prelatum. Deinde quattuor quintas de centum uiginti, que sunt _______________________ 1 post diuide add. deinde D2 m.d. 2 eedem A P: eidem D 3 post ductu exp. septem et dimidii in quadraginta duo est trescenta nonaginta octo ad trescenta quindecim. Comparatio autem 4 duorum iter. D m.d. 5 post 42 exp. et trescenta quindecim duorum et tercie D2 6 duorum A P: add. D2 m.d. 7 de 98 [l. 18] – comparatio addidi cum D P: semper ? D2 om. A 8 et productum diuidas A P: om. D 9 6 et 3/7 A2 : septem et dimidium A1 D P1 10 qui A: que D P 11 denominationum que sunt (que sunt iter. D) A P: add. D m.s.

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nonaginta sex, multiplica in septem octauas, et prouenient octoginta quattuor. Quos diuide per prelatum et exibit unum et dimidia decima, et hoc est quod queritur. Vel aliter. De1 denominatione fractionis que est cum medio scilicet tres, accipe duas tercias que sunt duo, et pone eas prelatum. Deinde multiplica septem octauas in tres et productum in quattuor quintas, et productum diuide per duo2, et exibit quod uoluisti. Probatio autem horum duorum modorum patet ex premissis. Vel aliter. Multiplica quattuor quintas in septem octauas et productum3 diuide per duas tercias, et exibit quod uoluisti. Vel diuide unum multiplicatorum per diuidentem, et quod exit multiplica in alterum, et proueniet quod queris. Probatio autem horum modorum patet ex precedentibus. Summa autem omnium horum4 uerborum hec est. Scilicet cum sextarii cogniti dantur pro nummis cognitis, et queritur quantum competit pro sextariis cognitis, illa questio dicitur de5 quantum est precium. Tunc igitur multiplica6 numerum7 medium in8 tercium, et productum diuide per primum, et exibit quod queris. Si autem cum primo numero fuerit fractio, tunc numerum unde denominatur multiplica in primum [in]9 numerum cum fractione eius10, et productum pone prelatum. Deinde multiplica medium numerum cum fractione sua si habuerit sin autem ipsum in denominationem prime fractionis, et productum multiplica in tercium numerum cum fractione sua si habuerit11, sin autem in12 ipsum, et productum diuide per prelatum, et exibit quod queris. Si autem queritur: «Cum sextarii non dentur pro numis notis, querat pro numis notis competit, questio est de quantum habebo». Multiplica igitur tunc primum numerum in ultimum et productum diuide per medium, et exibit quod queris. Si autem fuerint cum numero fractiones, denominationem illarum uel numerum ex denominationibus procreatum multiplica in numerum medium cum fractione sua si habuerit aliquam, et productum pone prelatum. Deinde predictum numerum denominationis multiplica in primum numerum cum fractione sua si habuerit aliquam et productum multiplica in13 ultimum numerum14, et productum diuide per prelatum, et exibit quod queris. Nota quia in questione de quantum est precium ignoratur quartus. In questione autem de quantum habebo uel quantum me contingit, quod idem est, ignoratur tercius. Cetera omnia huiusmodi considera secundum hoc, et ita inuenies15.

____________________ 1 de A P: om. D 2 duos A P: add. D2 m.s.: quod D1 3 productum A D2 P: pro D1 2 6 tunc igitur multiplica A: multiplica tunc (add. 4 horum A D: istorum P 5 de exp. A P s.l.) igitur P: multiplica igitur tunc D 7 numerum addidi cum D P: om. A 8 in addidi cum D P: om. A 9 emendaui in quod fallaciter post primum addidit A 10 emendaui si habuerit sin autem ipsum in denominationem prime fractionis et productum multiplica in tercium numerum cum fractione sua quod fallaciter post eius addidit A (cfr lineae 19–21) 11 sin 12 in addidi cum D P: autem [l. 19/20] – si habuerit add. D2 m.s.: om. A (cfr punctum 9) 14 ultimum numerum A D: numerum ultimum P om. A 13 post in exp. alium P2 15 post inuenies add. ab introducendo quoniam siue magistro dici non potest D

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Capitulum de ignoto in emendo et uendendo1. Quod tribus modis fit quia uel utrumque ignoratur et agregatum scitur uel utrumque ignoratur et scitur residuum post diminutionem uel utrumque ignoratur sed scitur id quod fit ex eorum multiplicatione2. Exemplum autem3 primi est hoc. Verbi gratia. Si quis querat: «Postquam tres modii dantur pro tredecim nummis, quot sunt modii empti secundum idem forum qui4 cum addito eorum precio efficiunt sexaginta?» Hic queritur quot sunt modii et quantum est eorum precium, uerbi gratia5 sic facies. Agrega tres cum tredecim et prouenient6 sexdecim qui erit hic prelatus. Si autem uolueris scire quot sunt modii, multiplica tres in 60 et productum diuide per prelatum, et exibit numerus modiorum. Si uero uolueris scire precium eorum, multiplica precium primorum quod est tredecim in sexaginta et productum diuide per prelatum, et exibit numerus precii modiorum ignotorum. Quod ideo sic multiplicamus et diuidimus quoniam talis est7 comparatio trium modiorum ad sexdecim qui est numerus modiorum et eorum precii, qualis est modiorum ignotorum ad sexaginta qui numerus est modiorum ignotorum et precii eorum. Tercius ergo est ergo8 ignotus. Multiplica ergo primum qui est tres in quartum qui est 60, et productum diuide per secundum qui est 16 et exibit tercius. Similiter etiam talis est comparatio tredecim precii modiorum ad sexdecim qui est numerus modiorum et precii eorum, qualis est precii9 modiorum ignotorum ad 60, qui est numerus10 modiorum ignotorum et precii eorum. Cum igitur tercius est ignotus, multiplica et diuide sicut predictum est, et proueniet quod queritur. Vel quanta pars fuerint tredecim de sexdecim, tu tantum accipe de 60 et hoc erit precium modiorum ignotorum. Vel diuide 60 per 16 et exientes multiplica in 13 et productum erit precium modiorum ignotorum. Isti autem duo modi fiunt cum prius diuiditur unum multiplicantium per diuidentem, et quod exit multiplicatur in alterum. Exemplum autem secundi est hoc. Verbi gratia. Si quis querat: «Postquam tres modii dantur pro tredecim nummis, tunc quot sunt modii11 ignotis emptis ad12 idem forum. Quibus13 subtractis de eorum precio remanent sexaginta.» Hic queritur quot sunt modii14 ignoti et quantum est eorum precium. Verbi gratia sic facies. Minue tres modios de tredecim et remanebunt decem qui est prelatus. ____________________ 1 Capitulum – uendendo A P: om. D 2 multiplicatione A D2 P: multiplicationem D1 3 autem A P: erunt D 4 empti secundum idem forum qui A D: qui empti secundum idem forum P 5 uerbi gratia A: om. D P 6 prouenient A: proueniet D P uid. 7 est A P: om. D 8 est ergo A: ergo est P: ergo D 9 est precii A P: om. D 10 est numerus A 12 ad add. A2 s.l. D P 13 emptis ad D: numerus est P 11 post modii exp. ? A2 idem forum quibus A D: quibus emptis ad idem forum P 14 modii A P: modi D

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Si autem uolueris scire numerum modiorum ignotorum, multiplica tres in sexaginta predicta et productum diuide per prelatum, et exibit numerus modiorum ignotorum. Si uero uolueris scire numerum precii, multiplica precium modiorum scilicet tredecim in 60 et productum diuide per prelatum, et exibit numerus precii modiorum ignotorum. Patet autem hic comparatio. Talis est enim comparatio trium modiorum ad decem remanentia, qualis est comparatio modiorum ignotorum ad 60 remanentia. Et comparatio tredecim quod est precium modiorum ad decem remanentia, talis qualis est1 comparatio precii ignotorum ad 60 remanentia. Vel diuide unum multiplicantium per diuidentem qui est prelatus, et quod exit multiplica in alterum, sicut predictum est, et proueniet quod requiris2. Exemplum tercii est hoc. Verbi gratia3. Si quis querat: «Postquam tres modii dantur pro octo nummis, quot sunt modii ignoti empti ad idem forum4 qui multiplicati in suum precium efficient 216?» Sic facies. Cum uolueris scire numerum modiorum ignotorum, multiplica tres primos in 216 et productum diuide per octo et exibit octoginta unum. Cuius radix scilicet nouem est numerus modiorum ignotorum. Si uero uolueris scire numerum precii eorum, multiplica precium priorum modiorum scilicet octo in 216 et productum diuide per tres, et exibit quingenta5 septuaginta sex. Cuius radix que est 24 est precium modiorum ignotorum6. Si autem questio fuerit implicita7 et numerus cuius radicem queris caruerit radice8, inuenta tamen eius radicem9 propinquiorem, sicut premonstratum est, erit quasi numerus modiorum ignotorum et quasi numerus precii ipsorum. Similiter fit in ceteris. AD

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Si10 quis querat: «Cum 4 sextarii dentur pro 9 nummis, tunc quot sunt sextarii ignoti sed empti ad idem forum ex quorum radice agregata cum radice sui pretii fiunt 7 et dimidius?» Sic facies. Agrega radicem de 4 que est 2 cum radice de 9 que est 3, et fient 5. Per quos diuide 7 et dimidium, et exibit unum et dimidium. Et hoc quod exit

____________________ 1 qualis est A2 P: est qualis D: om. A1 2 requiris A P: queris D 3 Exemplum – gratia A P: om. D 4 empti ad idem forum A D: ad idem forum empti P 5 quingenta A D2 P: 1 6 post ignotorum add. Multiplica tredecim et dimidium in se, et proueniunt quingentas D centum octoginta duo et quarta. Quasi ergo queratur, dicens: «Postquam quattuor modii dantur pro nouem nummis, quot sunt modii empti ad idem forum, quorum radice multiplicata in radicem precii eorum prouenient (proueniunt D) centum (ea P 1) octoginta duo et quarta?», tu fac sicut 7 implicita A P: inpredicta D supradocui (docui D1), et exibit quod queris D P2 m.s. post radicem add. esse P 8 radice A: radicem D P 9 radicem A D P2: radix P1 10 Rei numerus per rei et pretii radicibus additionem quomodo cognoscatur praem. D

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multiplica in 21 que est radix de 4 et fient 3, et tanta est radix ignotorum sextariorum. Igitur ignoti sextarii sunt 9. Deinde id quod exit de diuisione scilicet unum et dimidium multiplica in 3, qui sunt radix de 9, qui sunt numerus pretii2 et proueniunt 4 et dimidium. Quos multiplica in se et prouenient 20 et quarta et tantum est pretium. Vel aliter. Diuide 9 per 4, et exibunt 2 et quarta, quorum radici adde 1 et fient 2 et dimidium, per que diuide 7 et dimidium, et exibunt 3. Quos multiplica in se et prouenient 9, et tot sunt sextarii. Vel aliter. Duplica 7 et dimidium et fient 15. Deinde multiplica 7 et dimidium in se et fient 56 et quarta. Deinde diuide 9 per 4 et de eo quod exit minue 1, et remanebunt 1 et quarta, per que diuide 15 et exibunt 12. Deinde diuide 56 et quartam per 1 et quartam, et exibunt 45. Deinde dimidium de 12 multiplica in se, et prouenient 36. Quos agrega ad 45 et de agregati radice minue medietatem de 12, et quod remanserit multiplica in se, et productus erit numerus sextariorum. Cum autem pretium scire uolueris, multiplica sextarios in 2 et quartam, que exierint3 ex diuidendo 9 per 4, et quod prouenerit4 est pretium sextariorum. Si quis querat: «Cum 4 sextarii dentur pro 9 nummis, tunc quot sunt sextarii ignoti sed empti ad idem forum, quorum radice diminuta de radice sui pretii remanet unum et dimidium?» Sic facies. Minue radicem de 4 que est 2 de radice de 9 que est 3, et remanebit 5 1 . Per quem diuide 1 et dimidium et exibit unum et dimidium 6. Quod multiplica in 2 et prouenient 3, et tanta est radix ignotorum sextariorum. Igitur sextarii ignoti sunt 9. Deinde unum et dimidium quod exiuit de diuisione multiplica in 3, et fient 4 et dimidium et tanta est radix pretii eorum. Pretium igitur est 20 et quarta. Vel aliter. Diuide 9 per 4, et de radice eius quod exit semper minue 1 et remanebit medietas. Per quam diuide 1 et dimidium et quod exit multiplica in se et prouenient 9 et tot sunt sextarii. Vel aliter. Duplica unum et dimidium et fient 3. Deinde multiplica 1 et dimidium in se et prouenient 2 et quarta. Deinde diuide 9 per 4, et exibunt 2 et quarta. De quibus minue 1 et remanebit 1 et quarta. Per quem diuide 3, et exibunt 2 et due quinte. Deinde diuide etiam id quod fit ex ductu unius et dimidii [in se]7 per 1 et quartam et exibit 1 et quatuor quinte. Deinde medietatem duorum et duorum quintarum que est 1 et quinta multiplica in se, et productum adde ad unum et quatuor quintas. Et agregati radicem agrega ad 1 et quintam, et quod fit est radix sextariorum. Quam multiplica in se, et proueniet numerus sextariorum. Cum autem scire uolueris pretium sextariorum, multiplica numerum sextariorum in id quod exit ex diuidendo 9 per 4 et productus est pretium.

____________________ 1 post 2 exp. scilicet unum et dimidium A2 2 qui sunt radix – pretii A: om. D 3 exierint A: exierunt D: ? A sub ligno 4 prouenerit A: prouenit D 5 post 1 exp. et dimidium A2 6 et exibit unum et dimidium A: om. D 7 emendaui in se quod fallaciter post dimidii posuerunt A D

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Cum 4 sextarii dentur pro 9 nummis, tunc quot sunt sextarii empti ad idem1 forum quorum2 radice multiplicata in radicem sui pretii proueniunt 24? Sic facies. Multiplica radicem de 4 in radicem de 9, et prouenient 6. Per quos diuide 24, et quod exit multiplica in 4 et productus est numerus sextariorum qui est 16. Multiplica etiam id quod de diuisione exit in 9, et proueniet precium, quod est 36. Vel aliter. Diuide 9 per 4, et per radicem eius quod exit, que est 1 et dimidium, diuide 24, et quod exit est numerus sextariorum. Vel aliter. Multiplica 24 in se et prouenient 576. Quasi ergo dicatur: «Cum 4 sextarii dentur pro 9 nummis, tunc quot sunt sextarii ex quibus multiplicatis in suum preciu proueniunt 576?» Fac sicut supradocuimus, et exibit quod uoluisti3. ADP

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Aliud capitulum. Item de eodem cum rebus4. Si quis querat5: «Postquam tres modii dantur pro decem nummis et una re, sed hec una res est precium unius modii, tunc quantum est precium illius rei?» Modus solutionis hic talis est ut scias quantum est precium modiorum trium6, sed quod uenditur modius unus7 pro una re et inuenies tres res. Precium autem earum erant decem nummi et una8 res. Ergo tres res equantur9 decem nummis10 et uni rei. Hec autem res equatur uni trium predictarum rerum et remanent due res que equipollent decem nummis. Ergo una res ualet quinque nummos11, et hoc est quod queris. Vel aliter. Minue unum modium de tribus modiis et remanebunt duo. Deinde rem unam minue de decem nummis et re et remanebunt decem nummi. Deinde denomina unum modium emptum de duobus scilicet dimidium. Dimidium ergo de decem quod12 est quinque est precium illius rei. Si quis querat13, dicens: «Cum quattuor modii14 dantur pro uiginti nummis et duabus rebus15, – sed modius et dimidius datur pro duabus rebus et tribus nummis, – tunc quantum ualet illa res16?» Sic facies. Secundum precium modii et dimidii uenditi pro duabus rebus et tribus numis, inueni quantum debeatur pro quattuor modiis hoc modo. Scilicet quere numerum in quem multiplicatum unum et dimidium fiat quattuor, sicut predocuimus. Hic autem est duo et due tercie. Quos multiplica in duas res et tres nummos et fient quinque res et tercia rei et octo nummi 17, et hoc est precium quattuor modiorum. ____________________ 1 idem A: id D 2 quorum addidi cum D P: om. A 3 Si quis querat [p. 194, l. 27] – quod uoluisti A D: om. P 4 Aliud capitulum item – rebus A: item aliud capitulum de eodem cum rebus P: om. D 5 querat A P: querit D 6 modiorum trium A: trium modiorum D P 7 unus A P: unius D 8 una A D: uni P 9 post equantur add. ad P 10 nummis A P: nummi D 11 nummos A P: numeros D 12 quod A: qui D P 13 post querat 14 modii iter. D 15 pro uiginti [l. 26] – rebus A P: pro duabus rebus et exp. decem D2 tribus numis, tunc quantum ualet D 16 post res add. aliquid D 17 nummi A P: numeri D

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Horum autem iam fuerat precium uiginti nummi1 et due res. Tunc quinque res et tercia rei et octo nummi equipollent uiginti nummis et2 duabus rebus. Minue ergo duas res de quinque rebus et tercia rei, et minue octo nummos de uiginti nummis et restat ut duodecim nummi equipolleant tribus rebus et tercie rei. Igitur3 illa res equiualet tribus nummis et tribus quintis4 nummi, et hoc est quod requiris. Experire autem has duas questiones, et inuenies ita esse ut dicimus5. Vel aliter. Minue modium et dimidium6 de quattuor modiis, et remanebunt duo et dimidius. Deinde minue duas res et tres nummos de uiginti nummis et duabus rebus, et remanebunt decem et septem nummi. Deinde denomina unum et dimidium de7 duobus8 et dimidio scilicet tres quintas. Deinde de tribus quintis de decem et septem, que sunt decem et quinta, minue tres nummos, et remanebunt septem et quinta, et tantum ualent due res. Ergo una res ualet tres et tres quintas. Hec autem regula non ualet nisi cum res que sunt cum utroque pretio sunt equales9. Si quis querat: «Cum octo modii uendantur pro uiginti nummis et una re, emit autem duos modios pro re una minus nummo, tunc quantum est precium illius rei?» Sic facies. Minue duos modios de octo et remanebunt 6. Deinde minue unam rem minus nummo de uiginti nummis et una re et remanebunt uiginti et unus nummi. Vnus enim demptus addetur super uiginti. Deinde denomina duos modios de sex modiis scilicet terciam. Postea tercie de uiginti uno que est septem agrega unum nummum10 qui erat demptus et fient octo, et tantum est precium rei. Si autem loco unius rei11 essent due res, tunc octo esset precium duarum rerum. Vel aliter. Tu scis12 quod comparatio de octo ad duo est quadrupla, ergo uiginti et res est quadrupla rei minus uno nummo. Comparatio enim modiorum13 ad modios est sicut comparatio precii ad precium. Multiplica ergo unam rem minus nummo14 in quattuor, et prouenient quattuor res minus quattuor nummis que equantur ad uiginti et ad unam rem. Comple ergo quod est demptum et deme quod est iteratum et restabunt uiginti quattuor qui equantur tribus rebus. Res ergo ualet octo, et hoc est quod scire uoluisti. A Cum 6 sextarii dentur pro 10 nummis et re et aliquis accipiat 2 sextarios pro re, tunc quantum ualet illa res? ____________________ 1 nummi A P: numeri D 2 post et exp. restat D2 3 igitur A: ergo D P 4 exp. 3/3 2 5 Experire [l. 6] – dicimus expunxit et posuit post uerba «sunt equales» [l. 14/15] A2 A uid. (cfr punctum 9) 6 et dimidium iter. D 7 de A P: et D 8 duobus A P: duabus D post equales add. experire autem has duas 9 Vel aliter [l. 7] – equales A D: add. P2 m.s. 10 nummum A P: numerum D questiones et inuenies ita esse ut dicimus A2 (cfr punctum 5) 12 scis A P: scias D 13 modiorum A P: modicorum D 11 post rei exp. a D2 14 nummo A P: uno P uid.

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Sic facies. Minue 2 sextarios de 6 et remanebunt 4. Deinde minue rem de 10 nummis et re, et remanebunt 10. Deinde denomina 2 sextarios de 4 et tanta pars accepta de 10, scilicet dimidium quod est 5, est id quod res ualet. Cum 6 sextarii dentur pro 10 nummis et re et aliquis accipiat 2 sextarios pro re et uno nummo, tunc quantum ualet res? Minue 2 de 6 et remanebunt 4. Deinde minue rem et nummum de 10 nummis et re et remanebunt 9 nummi. Deinde denomina 2 sextarios de 4 et tantam partem accipe de 9, scilicet dimidium quod est 4 et dimidium. De qua minue numerum et remanent 3 et dimidium et hic est pretium rei1. ADP Si quis querit: «Cum tres modii dentur2 pro uiginti nummis et una res sed dimidius modius emitur pro duabus terciis illius rei3 minus duobus nummis, tunc quantum valet illa res?» Sic facies intra te dicens: «Si dimidius modius datur pro duabus terciis rei minus duobus nummis, tunc quantum est precium trium modiorum?» Inuenies quod est quattuor res minus duodecim nummis. Precium autem trium modiorum iam erant uiginti nummi4 et una res, tunc duo numeri equipollent5. Minue tunc unam rem unius lateris de quattuor rebus alterius lateris et remanent6 tres res. Et agrega duodecim nummos demptos unius lateris ad uiginti nummos additos alterius lateris, et prouenient 32. Tres ergo res equipollent triginta duobus nummis. Illa7 ergo res ualet decem8 nummos et duas tercias nummi. Proba autem hoc et inuenies ita esse ut dicimus. AD

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Si quis querat: «Cum 6 modii uendantur pro 10 nummis minus una re, emit autem 2 modios pro una re, quantum ergo ualet res illa?» Sic facies. Agrega 2 ad 6 et fient 8. Deinde agrega rem ad 10 minus re et fient 10. Postea denomina duos modios de 8 modiis scilicet quartam. Quarta igitur de 10 que est 2 et dimidium est pretium rei. Si uero res essent 2 uel 3, tunc 2 et dimidium9 esset precium illarum. Hec autem regula non ualet nisi cum res que sunt cum utroque precio sunt equales. Generalis autem regula hec est. Iam scis quod comparatio de 6 ad 2 tripla est. Ergo 10 minus re triplum est rei. Ergo 10 minus re equatur tribus rebus. 10 ergo post complecionem equatur 4 rebus. Ergo precium rei est 2 et dimidium, et hoc est quod scire uoluisti. Si quis querat: «Cum 4 modii uendantur pro 8 nummis minus re, – emit autem 2 modios10 pro re et uno nummo, – tunc quantum ualet res illa?» ____________________ 1 Cum 6 sextarii [l. 4] – pretium rei A: om. D P 2 dentur A P: dantur D 3 rei A P: om. D 6 remanent A2 D P: 4 nummi A P: numeri D 5 post equipollent exp. 32 A2 7 illa A D P2: ille P1 8 decem A P: add. D s.l. al. man.: decime D1 remanebunt A1 1 9 tunc 2 et dimidium iter. A 10 modios A: modos D

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Sic facies. Agrega 2 ad 4 et fient 6. Deinde agrega rem et 1 nummum ad 8 minus re et erunt 9. Deinde denomina 2 de 6 scilicet tertiam. Tercia igitur de 9 que est 3 est pretium rei. Si autem essent 2 res2, tunc 2 [minus uno nummo qui fuit demptus et fiunt 2]3 essent precium illarum. Hec autem regula non ualet nisi cum res que sunt cum utroque pretio sunt equales. Regula autem generalis hec est. Iam scis quod comparatio 4 modiorum ad 2 modios est dupla, ergo comparatio precii ad pretium est dupla4. 8 igitur minus re dupli sunt rei et unius nummi. 2 igitur res et 2 numi equantur ad 8 minus re. Comple igitur diminutum et minue additum et restabunt 6, que equantur tribus. Res igitur ualet 2, et hoc est quod scire uoluisti5. ADP Si quis querit: «Cum quattuor modii uenduntur pro uiginti nummis minus duabus6 rebus, sed modius et dimidius uenditur pro duabus rebus minus tribus nummis, tunc quantum ualet illa res?» Sic facies hic ut in precedentibus, scilicet ut dicas intra te: «Si modius et dimidius datur pro duabus rebus minus tribus numis, tunc quantum est precium quattuor modiorum?» Inuenies quod7 quinque res et tercia rei minus octo nummis, hoc autem equatur ad uiginti nummos minus duabus rebus. Tunc restaura unumquodque diminutum et pone tantumdem ex alia parte et fient quinque (sic)8 res et tercia rei equiualentia triginta duobus (sic)9 nummis. Deinde diuide numerum nummorum qui est triginta duo (sic)10 per numerum rerum qui est quinque (sic)11 et tercia, et tunc illa res ualebit quattuor nummos et quattuor undecimas (sic)12 nummi. Scientiam autem huiusmodi questionum13 non conprehendunt nisi qui se exercent14 in el gabre uel in libro Euclidis. Que autem dicta sunt de hiis introducendo sufficiant. AD Item aliud capitulum de ignoto in emendo et uendendo15. Si quis querat, dicens: «Cum sextarii ignoti dentur pro nonaginta tribus, quibus sextariis ignotis additis precio unius eorum fient 34, quot sunt illi sextarii?» Sic facies. Medietatem de 34 que est 17 multiplica in se et prouenient 289. De quibus minue 93 et remanebunt 196. Quorum radici que est 14 agrega 17, et fient ____________________ 1 et D: add. A2 s.l. 2 post res add. uel plures D 3 emendaui minus uno nummo qui fuit demptus et fiunt 2 quod fallaciter post 2 addidit A 4 ergo comparatio [l. 6] – est dupla A: om. D 5 Si quis querat [p. 198, l. 34] – scire uoluisti A D: om. P 6 duabus A D P2: 1 2 1 7 quod A D P: de D 8 quinque false A D P in septem duobus P corrigendum 9 triginta duobus false A D P in viginti octis corrigendum 10 triginta duo false A D P in viginti octo corrigendum 11 quinque false A D P in septem corrigendum 12 quattuor nummos et quattuor undecimas false A D P in tres nummos et nouem undecimas corrigendum 13 post questionum add. quam plurium D P 14 exercent A: exercuit D: exerciuit P 15 Item aliud – uendendo A: om. D

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31. Quos minue de 34, et remanebunt 3. Si igitur numerus sextariorum ignotorum maior est numero pretii cuiuslibet eorum, dic quantum sextarii sunt triginta unius. Precium autem uniuscuiusque eorum est 3. Si uero numerus precii uniuscuiuslibet eorum maior est numero eorum, dic quod sextarii sunt tres et precium uniuscuiusque eorum est 31. Cuius rei probatio hec est. Sextarii1 ignoti sint ab. Pretium uero uniuscuiusque eorum sit bg. Totus igitur ag est 34. Ex ductu autem ab in bg proueniunt 93. Si enim multiplicetur pretium cuiuslibet sextariorum in numerum sextariorum proueniunt 93, qui sunt pretium sextariorum. Incidatur autem ag per medium. Si autem numerus sextariorum maior fuerit pretio unius eorum erit in puncto d. Si uero pretium unius eorum maior fuerit numero sextariorum, fiet in puncto h. Sint autem primum sextarii plures pretio unius eorum et incisio fiat in puncto d. Ex ductu autem ab in bg proueniunt 93. Igitur quod fit ex ductu ab in bg et db in se equum est ei quod fit ex ductu dg in se. Ex ductu autem dg in se proueniunt 289. De quibus minue id quod fit ex ductu ab in bg, quod est 93, et remanebit id quod fit ex ductu db in se, quod est 196. Igitur db est 14. Sed ad est 17. Igitur ab est 31, qui est numerus sextariorum ignotorum. Sed dg est 17. Pars autem eius que est db est 14. Remanet igitur bg 3, qui est numerus pretii uniuscuiusque sextarii. Si autem pretium uniuscuiusque sextarii fuerit maius numero eorum fiet incisio in puncto h, et id quod fit ex ductu gb in ba et bh in se equum erit ei quod fit ex ductu ah in se. Id autem quod fit ex ductu ah in se est 289. De quibus minue id quod fit ex ductu gb [in se gb]2 in ba, quod est 93, et remanebit id quod fit ex ductu bh in se 196. Igitur bh est 14. Sed gh est 17. Igitur bg est 31, quod est pretium uniuscuiusque sextarii. Sed ah est 17, et bh 14. Igitur ab erit 3, qui est numerus sextariorum ignotorum, et hoc est quod demonstrare3 uoluimus.

Fig.48: A, fol.151 v; D, fol.79 v s.

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Item si quis querat: «Postquam sextariorum ignotorum pretium est 93, quorum sextariorum numero subtracto de pretio cuiuslibet eorum remanent 28, quot sunt illi sextarii?» Sic facies. Medietatem de 28 multiplica in se et prouenient 196. Quibus adiunge 93, et fient 289. Quorum radici que est 17, si addideris medietatem de 28 que est 14, proueniet pretium cuiusque sextariorum scilicet 31. Si uero de radice minueris 14, remanebit numerus sextariorum qui est 3. Cuius probatio hec est. Pretium cuiusque sextariorum sit ab. Numerus uero ignotorum sextariorum sit gb. Sit igitur ag 28. Ex ductu autem ab in bg proueniunt 93, sicut prediximus. Incidatur autem ag per medium in puncto d. Id igitur quod ____________________ 1 sextarii A: om. D 2 3 demonstrare A: monstrare D

emendaui in se gb quod fallaciter post gb posuit A

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fit ex ductu ab in bg et dg in se equum erit1 ei quod fit ex ductu db in se. Ex ductu autem ab in bg et dg in se equum erit ei quod fit ex ductu db in se et2 proueniunt 93. Et ex ductu dg in se proueniunt 196. Igitur id quod fit ex ductu ab (sic)3 in se est 289. Igitur db est 17. Sed dg est 14. Igitur remanet gb 3, qui est numerus sextariorum. Sed db est 17 et ad (sic)4 est 14. Igitur totus ab est 31, qui est numerus pretii cuiusque eorum, et hoc est quod demonstrare uoluimus.

Fig.49: A, fol.151 v; D, fol.79 v d.

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Si autem dixerit quod de numero sextariorum subtracto pretio cuiuslibet eorum remanent 28, similiter etiam ages et prouenient sextarii 31. Pretium autem cuiusque eorum est5 3. Cuius rei probatio eadem est qua6 precessit. Item si quis querat: «Cum ignotorum sextariorum pretium sit ignotum et alii sextarii ignoti dentur pro pretio similiter ignoto sed ad forum pretii priorum sextariorum, sed primis sextariis multiplicatis in suum pretium prouenient 6. Et secundis sextariis multiplicatis in suum pretium proueniunt 24. Agregatis autem primis et eorum pretio7 cum secundis et eorum pretio fiunt 15, tunc quot sunt utrique et eorum pretium?» Sic facies. Diuide 24 per sex, et exibunt 4. Quorum radici que est 2 semper adde 1 et fient 3. Per quos diuide 15 et exibunt 5, et hic est numerus priorum sextariorum agregatorum cum suo pretio. Quorum medietatem que est 2 et dimidium multiplica in se et prouenient 6 et quarta. De quibus minue 6 et remanebit8 quarta. Cuius radicem que est dimidium minue de duobus et dimidio et remanebunt 2. Deinde predictam radicem adde duobus et dimidio, et fient 3. Si igitur numerus sextariorum fiunt maior pretio omnium eorum, dic quod sextarii sunt tres, pretium autem eorum 2. Si uero sextarii fuerint pauciores precio suo, dic quod sextarii sunt 2, sed eorum pretium est 3. Si autem uolueris scire numerum secundorum sextariorum et eorum pretium, diuide 6 per 24 denominando et exibit quarta. Cuius radici que est dimidium semper adde 1, et fiet 1 et dimidium. Per que diuide 15 et exibunt 10, et tot sunt secundi sextarii agregati cum suo pretio. Medietatem ergo de 10 que est 5 multiplica in se et prouenient 25. De quibus minue 24 et remanebit 1. Cuius radicem que est 1 agrega ad 5 qui sunt medietas de 10 et fient 6. Deinde predictam radicem minue de 5 et remanebunt 4. Si igitur primi sextarii fuerint 3 et eorum pretium duo, necessario secundi sextarii erunt 6 et eorum pretium 4. Nam sic positum fuit ut pretium uniuscuiusque primorum et secundorum unum esset. Si autem primi sextarii fuerint duo et eorum pretium 3, tunc necessario secundi erunt 4 et eorum pretium 6. Nam pretium uniuscuiusque eorum unum est. ____________________ 1 erit A: est D 2 bg et dg [l. 2] – in se et A: om. D 3 ab A uid.: db D 4 ad false A D in dg corrigendum 5 est A: om. D 6 qua A: que D 7 pretio A: precia D 8 remanebit A: remanebunt D

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Dicam igitur probationem inueniendi numerum primorum sextariorum et precium eorum, ex qua manifestabitur probatio inueniendi numerum secundorum et eorum pretium. Primi sextarii sint ab. Eorum autem pretium sit bg. Multiplicetur autem ab in bg et proueniat d, igitur d est 6, secundi autem sextarii sunt hz. Pretium autem eorum sit zh. Multiplicetur autem hz in zk (sic), et proueniat t. Igitur t est 24. Constat autem quod comparatio de ab ad hz est sicut comparatio de bg ad zk. Igitur d et t sunt 2 superficies similes, quoniam latera earum sunt proportionalia. Comparatio igitur unius earum ad alteram est sicut comparatio lateris unius ad latus alterius, geminati in repetitione nominis 1. Comparatio igitur de t ad d est sicut comparatio de hz ad ab geminatum nominis repetitione1. Sed t quadruplum est ad d. Igitur hz duplum est ad ab. Manifestum est autem quod quoniam comparatio de hz ad ab est sicut comparatio de zk ad bg, tunc comparatio de hz ad ab erit sicut comparatio totius hk ad totum ag2. Totus igitur hk duplus est ad totum ag3. Totus igitur hk et ag est triplus ag. Sed hk et ag est 15. Igitur ag est 5. Iam autem diuisus est ag in puncto b. Ex ductu autem unius partis in alteram proueniunt 6. Igitur scias4 sicut dictum est in principio questionis quod si numerus sextariorum maior est pretio eorum, tunc ab erit maior quam bg. Si autem diuidatur ag per medium, tunc incisio fiet in ab. Et quoniam dictum est pretium uniuscuiusque eorum esse unum et comparatio de ab ad hz est sicut comparatio de bg ad zk, tunc per commutationem comparatio de ab ad bg erit sicut comparatio de hz ad zk. Sed ab maior est quam bg. Igitur hz maior est quam zk. Igitur ab erit 3, qui est numerus sextariorum, et bg erit 2, quod est pretium eorum. Sed hz erit 6, qui est numerus sextariorum5, et zk 4, quod est pretium eorum. Si autem uolueris scire numerum aliorum sextariorum post cognitionem primorum et pretii eorum, dices quod numerus primorum et eorum pretium est 5. Positum autem fuit quod agregatis primis cum pretio suo cum secundis et eorum pretio prouenerunt6 15. Minue igitur 5 de 15, et remanebunt 10, qui est numerus sextariorum et pretii eorum. Prosequere autem cetera questionis secundum id quod prediximus.

Fig.50: A, fol.152 r m.d.; D, fol.80 r d (cum duobus figuris).

Si quis querat: «Cum sextariorum ignotorum pretium sit ignotum et alii sextarii ignoti dentur pro pretio ignoto ad forum pretii primorum, multiplicatis autem ____________________ 1 nominis repetitione A: repetitione nominis D 2 ad totum ag A: add. D2 m.s. 3 ag A: 2 4 scias A: scies D 5 post sextariorum exp. et bg erit duo quod est precium add. D m.s. 6 prouenerunt A: prouenient D eorum. Sed hz D2

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primis in suum pretium proueniunt 10, et multiplicatis secundis in suum pretium proueniunt 30, et agregatis primis et eorum pretio cum secundis et eorum pretio fiunt 20. Quot sunt utrique et eorum pretium?» Sic facies sicut ostendimus in questione que hanc precedit. Scilicet ut cum uolueris scire numerum primorum et eorum pretii, similiter diuide 30 per 10 et exibunt 3. Quorum radici que est radix trium adde semper unum, et fiet radix trium et insuper unum1. Per que diuide 20, sicut docuimus in capitulo de radicibus, et exibit radix trescentorum minus 10, et hic est numerus primorum sextariorum simul cum pretio eorum. Quam radicem minus2 10 si uolueris minue de 20, et remanebit numerus secundorum sextariorum et pretii eorum simul qui est 30 minus radice trescentorum. Vel si uolueris fac secundum premissam regulam ad inueniendos modios secundos et eorum pretium simul3, sicut fecisti in inueniendo primos et eorum pretium simul, scilicet diuide 10 per 30 denominando, et exibit tercia. Cuius radici semper adde 1, et proueniet radix tercie et insuper 1. Per que diuide 20, sicut ostendimus in capitulo radicum, et exibunt 30 minus radice trescentorum. Sic ergo deprehenditur numerus primorum modiorum et precii eorum simul, et numerus secundorum simul cum pretio eorum. Si autem separati numeri modiorum per se numerum et4 numerum precii eorum per se scire uolueris. Sic facies. Et primum de primis modiis per se et de eorum pretio per se. Et quoniam positum erat quod ex multiplicatis primis sextariis in suum precium proueniunt 10, ideo radix trescentorum minus 10 diuidetur in 2. Ex quorum uno multiplicato in alio proueniunt 10. Igitur medietatem radicis trescentorum minus 10 que est radix de 75 minus 5 multiplica in se, et prouenient inde 100 minus5 radice septem milium et quingentorum. De quibus minue 10, et remanebunt 90 minus radice 7500. Accipe radicem de6 90 minus radice 7500, que est radix de 907 excepta radice septem milium et quingentorum. De nonaginta nam ipsa est binomium quartum scilicet quam minue de medietate radicis trescentorum minus 10, que medietas est8 radix de 75 minus 5, et tunc remanebit radix de 75 radix dico minus 5 et minus radice 90 minus radice septem mille et quingentorum. Et predictum binomium adde illi medietati et proueniet radix de 75 minus 5 adiuncta sibi radice de 90, minus radice septem milium et quingentorum. Si igitur primi sextarii sint plures pretio eorum, dic quid primi sextarii sunt radix de 75 minus 5 adiuncta sibi radice9 de 90 minus radice septem milium quingentorum. Eorum uero pretium erat (sic)10 radix de 75 minus 5 et minus

____________________ 1 et insuper unum A: insuper et unum D 2 minus A2: minus unius A1: minus D 3 et 2 4 et addidi cum D: om. A 5 minus iter. A eorum pretium simul D: add. A s.l. 7 90 A2 D: 900 A1 8 medietas est (est om. A1) A2: est medietas D 6 de A: add. D2 s.l. 2 10 erat A: erit D 9 radice D: add. A s.l.

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radice de 90, minus radice septem milium quingentorum. Similiter etiam facies ad sciendum numerum de secundis sextariis per se et eorum pretio scilicet medietatem de 30 minus radice trescentorum que est 15 minus radice de 75. Multiplica in se et prouenient 300 minus radice sexaginta septem milium quingentorum. De quibus minue 30, et remanebunt 270 minus radice sexaginta septem milium quingentorum. Quorum radicem que est 270 minus radice sexaginta septem milium quingentorum, sumpta radice eorum, minue de medietate de 30, minus radice trescentorum, et adde illi. Si uero primi sextarii fuerint radix de 75 minus 5 et minus radice de 90, minus radice septem milium quingentorum, et eorum pretium fuerit radix de 75 minus 5, addita sibi radice1 de 90 minus radice septem milium quingentorum, tunc secundi sextarii erunt 15 minus radice de 75 exceptis 270 minus radice 675OO excepta radice eorum. Pretium autem eorum erat 15, minus radice de 75 additis2 sibi 270 minus radice septuaginta septem milium quingentorum excepta radice eorum. Si autem primi sextarii fuerint radix de 75 minus 5, sibi additis 90 minus radice septem milium quingentorum excepta radice eorum, et precium eorum fuerit radix de 75 minus 5 subtractis de ea 90 minus radice septem milium quingentorum, excepta radice eorum, tunc necessario secundi erunt 15, minus radice de 75 sibi additis 2703 minus radice sexaginta septem milium quingentorum excepta radice eorum4, et pretium eorum erit 15, minus radice de 75, subtractis de ea 270 minus radice sexaginta septem milium quingentorum, excepta radice eorum. Probatio autem horum omnium predictorum patet ex premissis in precedenti questione. Si quis querat: «Cum sextarii ignoti dentur pro pretio ignoto aliorum quoque ignotorum sit, – pretium ignotum, sed ad forum precii primorum, – sed ex multiplicatis primis in suum precium proueniunt 6, et ex multiplicatis secundis in suum precium proueniunt 24, subtractis uero primis et eorum pretio de secundis et eorum pretio, remanent 5, – tunc quot utrique et eorum precium?» Sic facies. Diuide 24 per 6, et exibunt 4. De quorum radice que est 2 minue semper 1, et remanebit 1. Per quem diuide 5, et exibunt 5, et hic est numerus primorum sextariorum et precii eorum simul. Quibus adde alios 5, et fient 10, et hic est numerus secundorum sextariorum et precii eorum simul. Deinde prosequere questionem sicut in precedenti docuimus. Que si quis bene intellexit, facile intelliget hec. Si quis querat: «Cum sextariorum ignotorum sit pretium ignotum et aliorum ignotorum sit pretium ignotum ad forum precii primorum, ex multiplicatis uero primis in suum pretium proueniunt 6, ex multiplicatis uero secundis in suum precium proueniunt 24, ex agregatis uero primis et eorum precio id quod fit si multiplicetur in id quod fit ex agregatis secundis et eorum pretio proueniunt 50, tunc quot sunt illi et isti et eorum pretia?»

____________________ 1 addita sibi radice A: addit sibi radicem D 2 additis A D2: addidis D1 1 4 radice eorum A: eorum radice D ducentis tua D

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Sic facies. Diuide 24 per 6, et exibunt 4. Per quorum radicem que est 2 diuide 50 et exibunt 25, quorum radix que est 5 sunt sextarii primi cum suo pretio simul. Deinde prosequere questionem, sicut supradocuimus, et erunt sextarii aut tres aut 2. Si autem uolueris scire secundos sextarios et eorum precium simul, tu scis quod ex primis cum suo precio multiplicatis in secundos in eorum precio proueniunt 50. Primi uero et eorum precium sunt 5. Diuide igitur 50 per 5, et exibunt secundi et eorum precium scilicet decem. Deinde prosequere questionem, sicut supradocuimus. Si uero primi sextarii fuerint 2 et eorum precium 3, secundi erunt 4, et eorum pretium 6. Si uero primi1 fuerint2 3 et eorum precium 2, tunc secundi erunt 6, et eorum precium 4. Quorum probatio hec est. Sint primi sextarii ab, eorum uero precium sit bg. Multiplicetur autem ab in bg, et proueniat d qui est 6. Secundi uero sint hz, sed eorum precium zk. Multiplicetur autem hz in zk, et proueniat t, qui est 24. Comparatio autem de t ad d est sicut comparatio de hz ad ab, geminata repetitione nominis. Sed t est quadruplum3 ad d. Igitur hz duplum est ad ab. Et totus hk erit duplus totius ag, secundum quod supradocuimus. Ex ductu autem ag in hk proueniunt 50. Igitur ex ductu ag4 in duplum suum proueniunt 50. Si igitur multiplicetur in se prouenient 25. Igitur ag radix est de 25, igitur est 5. Sed hk est 10. Ex ductu enim ag in hk est 50. Cetera uero questionis prosequere secundum quod supradocuimus.

Fig.51: A, fol.153 r m.d.; D, fol.81 r s (cum duobus figuris sub textu).

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Si quis querat: «Cum sint sextarii ignoti et eorum priorum ignotum, sint etiam alii ignoti et eorum precium ignotum5 ad forum precii priorum, ex multiplicatis uero primis in suum pretium proueniunt 20, ex secundis uero multiplicatis in suum precium proueniunt 10, ex multiplicatis uero primis cum suo precio in secundos cum suo precio prouenit radix 5760, quot sunt hii et illi, et quantum est eorum pretium?» Sic facies hic sicut in precedenti. Nec modus agendi hic differt ab illo. Nam diuides 20 per 10 et exibunt 2. Per quorum radicem que est radix duorum diuide radicem 5760, et exibit radix 2880. Quorum radix que est radix radicis 2880 est numerus primorum sextariorum et precii eorum. Positum autem erat quod ex ductu primorum sextariorum6 in suum precium7 proueniunt 10. Accipe igitur ____________________ 1 primi A2 D: postremi A1 2 fuerint A: fiunt D 3 post quadruplum add. est D 5 ignotum A: incognitum D 6 post sextariorum exp. et precii eorum 4 ag A D2: ab D1 7 precium iter. A A2

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dimidium radicis radicis 28801, quod est radix radicis de 180, et multiplica eam in se, et proueniet radix de 1802. De qua minue 10, et remanebit radix de 180 minus 10. De qua accipe radicem, sicut ostendimus in capitulo de radicibus, et erit radix radicis de 125 minus radice radicis de 5. Quam agrega medietati radicis radicis duorum milium octingentorum octoginta, que est radix radicis de 180, et erit summa radix radicis de 180 et radix radicis de 125 minus radice radicis de 5. Vel minue eam de medietate radicis radicis 2880, et remanebit radix radicis de 180 et radix radicis de 5 minus radice radicis de 125. Si autem primi sextarii fuerint plures eorum pretio, dic quod primi sunt radix radicis de 180 et radix radicis de 125 minus radice radicis de 5. Pretium autem eorum est radix radicis de 180 et radix radicis de 125 minus radice radicis de 125. Si uero primi fuerint pauciores eorum precio, dic quod sunt radix radicis de 180, et radix radicis de 5 minus radice radicis de 125. Precium autem eorum erit radix radicis de 180, et radix radicis de 125 minus radice radicis de 5. Si autem uolueris scire secundos et eorum pretium, diuide radicem de 5760 per radicem radicis 2880, 3 sicut ostendimus in capitulo radicum, et exibit radix radicis 11520, et est secundi sextarii simul cum pretio eorum. Positum est autem quod ex ductu secundorum in suum pretium proueniunt 20. Accipe igitur medietatem radicis radicis 11520, que est radix radicis 7204, et multiplica eam in se, et proueniet radix 720. De qua minue 20, et remanebit radix 720 minus 20. De qua accipe radicem eius sicut iam supradocuimus, et erit radix radicis 720 minus radice radicis de 20. Quam agrega ad radicem 720, et minue eam de ea. Si autem primi sextarii fuerint radix radicis de 180 et radix radicis de 125 minus radice radicis de 5, et eorum precium fuerit radix de 180, et radix radicis de 5 minus radice radicis de 125, tunc secundi erunt radix radicis 720 et radix radicis quingentorum minus radice radicis de 20. Precium autem eorum erit radix radicis 720 et radix radicis de 20 minus radice quingentorum. Si autem primi fuerint radix radicis de 180, et radix radicis de 5 minus radice radicis de 125 et eorum precium fuerit radix5 radicis de centum octoginta et radix radicis de centum uiginti quinque minus radice radicis de quinque (sic)6. Tunc secundi erunt radix radicis septingentorum et radix radicis de 20 minus radice radicis 500, et eorum precium erit radix radicis 720 et radix radicis quingentorum, minus radice radicis de 20. Nam positum est uniuscuiusque7 horum et illorum sextariorum esse unum precium. Horum autem omnium que dicta sunt probatio eadem est que precessit8.

____________________ 1 2880 D: 288 A 2 et multiplica – de 180 A: om. D 3 fac addidi 4 720 A: sexcentorum uiginti D 5 radix iter. D 6 et eorum [l. 29] – quinque addidi cum D: om. A 8 post precessit add. persoluit D Item aliud 7 post uniuscuiusque eras. illorum A2 capitulum [p. 199, l. 26] – precessit A D (item … uendendo om. D): om. P

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Si quis querat: «Cum sextarii ignoti sint, quorum precii radix sit tripla numeri sextariorum, subtracto autem numero sextariorum de precio eorum remanebunt 34, 1» Sic facies. Diuide radicem quasi 1 per 3, quoniam dixit tripla numeri, et exibit tercia. Cuius medietatem que est sexta multiplica in se et proueniet sexta sexte. Quam agrega ad 34, et prouenient 34 et sexta sexte. Quorum radici que est 5 et quinque sexte agrega sextam et fient 62, qui sunt radix precii. Quos diuide per 3 et exibunt sextarii 2, et eorum precium 36. Cuius probatio hec est. Sint sextarii ab. Radix uero precii eorum gd. Igitur id quod fit ex ductu gd in se est precium sextariorum. Scimus autem quod gd triplum est ad ab. Quod igitur fit ex ductu gd in terciam est ab. Cum uero minueris ab de3 quadrato de gd remanebunt 34. Cum igitur minueris de eo quod fit ex ductu gd in se id quod fit ex ductu eiusdem in terciam remanebunt 34. Incidam igitur de gd tertiam eius que sit gh. Igitur id quod fit ex ductu gd in se, subtracto eo4 quod fit ex ductu gd in gh, quod remanet est triginta quatuor. Sed id quod fit ex ductu gd in se, subtracto eo quod fit ex ductu5 eiusdem in gh, est equum ei quod fit ex ductu gd in dh. Igitur id quod fit ex ductu gd in dh est 34. Incidatur igitur gd per medium in puncto l. Id igitur quod fit ex ductu gd in dh et lh in se equum est ei quod fit ex ductu ld in se. Id autem quod fit ex ductu gd in dh est 34, et id quod fit ex ductu lh in se est sexta sexte6. Igitur ld est 5 et quinque sexte. Sed gl est sexta. Igitur gd est 6, qui sunt radix. Sed ab est tercia radicis. Igitur ab est 2. Precium uero est 36, et hoc est quod demonstrare7 uoluimus.

Fig.52: A, fol.153 v m.s.; om. D.

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Si quis uero querat: «Cum sint sextarii ignoti, radix autem precii eorum dupla est numeri eorum. Agregatis autem sextariis et eorum precio fiunt 18, 8» Sic facies. Diuide radicem quasi 1 per 2, quoniam dixit dupla est, et exibit dimidium. Medietatem igitur huius dimidii que est quarta semper multiplica in se, et prouenit9 dimidia octaua. Quam agrega ad 18 et fient 18 et dimidia octaua. De quorum radice que est 4 et quarta minue quartam, et remanebunt 4 qui sit10 radix precii sextariorum. Igitur precium sextariorum est 16. Diuide uero 4 per 2, et exibit numerus sextariorum. ____________________ 1 tunc quot sunt illi et eorum pretia addidi 2 6 A: sunt D 3 post de exp. 40 A2 1 4 eo iter. A 5 in gh [l. 16] – ductu addidi cum D: om. A 6 post sexte add. Igitur id quod fit ex ductu ld in se est triginta quatuor est sexta sexte D 7 demonstare A: monstrare D 8 tunc quot sunt illi et eorum pretia addidi 9 prouenit A: proueniet D 10 sit iter. D

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Deuxième partie du Liber mahameleth

Cuius probatio hec est. Sint sextarii a. Radix uero precii eorum sit bg. Igitur bg duplus est ad a. Igitur ex ductu bg in dimidium prouenit a. Scimus autem quod id quod fit ex ductu bg in se addito a est 18. Igitur ex ductu bg in se et in dimidium proueniunt 18. Protraham autem lineam bd que sit dimidium. Igitur ex ductu bg in se et in bd proueniunt1 18 qui est equum ei quod fit ex ductu dg in bg. Igitur ex ductu dg in bg proueniunt 18. Diuide igitur bd per medium, et deinde prosequere cetera questionis secundum ea que ostendimus, et exibit bg 4, et a 22.

Fig.53: A, fol.153 v m.s.; om. D.

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Si quis querat: «Cum 6 modii uendantur pro3 4 nummis et re, emit autem 2 modios pro tribus radicibus predicti pretii, tunc quantum ualet illa res?» Sic facies. Diuide 6 per 2, et exibunt 3. Quos multiplica in 3, qui sunt numerus radicis, et prouenient 9. Quos multiplica4 in se et prouenient 81. De quibus minue 4, et remanebunt 77, et tantum est pretium rei. Si autem plures essent res profecto 77 esset precium illarum. Si quis querat: «Cum 6 modii uendantur pro re minus 4 nummis, emit autem 2 modios pro tribus radicibus predicti precii, quantum ergo ualet predicta res?» Sic facies. Diuide 6 per 2 et exibunt 3. Quos multiplica in 3, qui est numerus radicum5 precii, et prouenient 9. Quos multiplica in se et prouenient 81. Quibus agrega 4 qui erunt6 dempti, et fient 85, et tantum ualet res. Si autem essent plures7 res profecto 85 esset8 precium illarum. Si quis querat: «Cum 3 sextarii uendantur pro 2 rebus inequalibet, ex ductu autem unius earum in alteram proueniunt 21. Vnus autem sextarius emptus est9 pro minore re et eius nona.» Sic facies. Diuide 3 sextarios per unum sextarium et exibunt 3. Quos multiplica in 1 et in nonam, et prouenient 3 et tercia. De quibus semper minue 1 et remanebunt 2 et tercia. Per quos diuide 21, et exibunt 9. Quorum radix que est 3 est minor res. Per hos autem res diuide 21, et exibunt 7 et sunt maior res. Probatio autem horum omnium hec est. Sint 3 sextarii ab, due uero res impares sint dh et hz. Exponere10 autem scimus quod ex ductu dh in hz proueniunt 21. Sint igitur 21 kt. Manifestum est igitur quod totum pretium 3 sextariorum est dz, quod est res minor et maior. Vnus autem sextarius emptus est pro re ____________________ 1 proueniunt A: prouenient D 2 Si quis querat [p. 207, l. 2] – et a 2 A D: om. P 3 post 5 radicum A: ita pro add. sex D 4 post multiplica exp. in tres qui sunt numerus D2 8 esset A: dicunt D 6 erunt A: fuerunt D 7 essent plures A D2: plures essent D1 2 10 exponere A: expone D essent D 9 est D: add. A s.l.

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minore que est hz et eius nona. Igitur comparatio sextarii ad 3 sextarios est sicut comparatio de hz et eius nona ad totum dz. Igitur id quod exit1 de diuisione 3 sextariorum per 1 equum est ei quod exit de diuisione totius dz per hz et eius nonam. Nam comparatio idem est quod2 diuisio. Sed ex diuisione 3 sextariorum per 1 exeunt 3. Igitur ex diuisione dz per hz et eius nonam exeunt 3. Ex ductu igitur hz et eius none, quod est 3 et eius nona, in 3 id quod fit equum est ad dz. Ex ductu autem hz in 1 et nonam, id quod fit si multiplicetur in 3 productum equum est ei quod fit ex ductu trium in 1 et nonam et producti in hz. Ex ductu autem3 trium in 1 et nonam proueniunt 3 et tercia. Quod igitur fit ex ductu hz in 3 et terciam equum est4 ad dz. Totus igitur dz triplus est et tercia de hz, et remanebit ut hd sit duplus ad hz et eius tercia. Ex ductu autem hz in dh est 21. Igitur ex ductu hz in duplum eius et terciam proueniunt 21. Multiplicetur igitur hz in se et proueniat ql. Ex ductu igitur hz in se prouenit ql. Et ex ductu eiusdem in duplum eius et terciam eius5 prouenit 21, qui sunt kt. Comparatio igitur de kt ad ql est sicut comparatio de dh ad hz. Sed dh est duplus et tercia ad hz. Igitur kt est duplus et tercia ad ql. Si igitur diuiseris kt per 2 et terciam, exibit ql, qui est quadratus de hz. Igitur hz est 3, et hoc est quod demonstrare6 uoluimus.

Fig.54: A, fol.154 r; D, fol.82 r s (cum figura sub textu).

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Vel aliter. Secundum algebra7 scilicet rem minorem pone rem maiorem uero 1 dragmam. Pretium igitur 3 sextariorum erit una res et una dragma. Positum est autem unum sextarium emptum esse pro re minore et eius nona, quod est res et nona rei. Que adequantur tertie pretii8 que est tercia rei et tercia dragme. Habes igitur quod tercia rei et tercia dragme adequatur rei et none rei. Minue igitur terciam rei de re et nona rei remanebunt septem none rei que adequantur tercie unius dragme. Igitur integrum dragma adequatur duabus rebus et tercie rei. Manifestum est igitur quod dragma dupla est rei et tercie rei. Multiplica igitur rem in 2 res et terciam, et prouenient 2 census et tercia census, que adequantur ad 21. Census igitur est 9. Res uero tres que est res minor. Dragma uero est dupla et tercia rei. Igitur dragma est 7, que est res maior, et hoc quod demonstrare9 uoluimus. Si quis querat: «Cum 5 sextarii dentur pro 2 rebus inequalibet10, ex ductu autem unius earum in alteram proueniunt 144. Vnus autem sextarius emptus est pro tercia minoris rei et 2 nummis.»

____________________ 1 exit A2 D: fit A1 2 quod A: de D 3 post autem exp. in D2 4 est A: om. D 5 terciam eius A: eius terciam D 6 demonstrare A: monstrare D 7 algebra A: agebla D 9 demonstrare A: monstrare D 10 rebus inequalibet iter. D1 8 pretii A2 D: pretium A1

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Sic facies. Diuide 5 sextarios per 1, et prouenient 5. Quos multiplica in 2 nummos et prouenient 10. Deinde accipe terciam de 5 quoniam dixit terciam minoris rei, que est 1 et due tercie. De qua semper minue 1 et remanebunt due tercie. Per quas diuide 144, et exibunt 216. Deinde 10 diuide per duas tercias et exibunt 15. Quorum medietatem que est 7 et dimidium multiplica in se, et prouenient 56 et quarta. Quos agrega ad 216 et fient 272 et quarta. De quorum radice que est 16 et dimidium minue medietatem rerum que est 7 et dimidium, et remanebunt 9, qui sunt res minor. Per quos diuide 144 et exibunt 16, qui sunt res maior. Cuius probatio hec est. Sint 5 sextarii ab, due uero res inequales sint dz. Sed minor sit zh et maior dh. Emptus uero sextarius ag. Scimus autem quod comparatio sextarii qui est ag ad 5 sextarios qui sunt ab est sicut comparatio tertie de hz, additis duobus numis, ad totum dz. Sed ag est quinta de ab. Igitur tercia de hz additis 2 nummis est quinta totius dz. Quod igitur fit ex ductu tercie de hz, additis 2 nummis1, in 5 equum est toci dz. Sed id quod fit ex ductu tercie de hz, additis 2 nummis, in 5 equum est ei quod fit ex ductu duorum numorum in 5, et ei quod fit ex ductu tercie de hz2 in 5. Quod autem fit ex ductu tercie de hz in 5 equum est ei quod fit ex ductu tercie de 5 in hz. Ex ductu uero duorum numorum in 5 proueniunt 10. Tercia autem de 5 est 1 et due tercie. Igitur id quod fit ex ductu unius et duarum terciarum in hz additis 10 equum est toti dz. Igitur dz subtractis 10 est equum ad hz et duobus terciis eius. Igitur dh subtractis 10 est due tercie de hz. Manifestum est igitur quod ex ductu hz in duas tercias eius et in 10 proueniunt 144. Si igitur multiplicetur in se et 15, prouenient 216, sicut ostendimus in precedenti. Protraham igitur lineam de 15, que sit linea zq. Quod igitur fit ex ductu zh in se et in zq est 2163. Sed id quod fit ex ductu hz in se et in zq est equum ei quod fit ex ductu hz in hq. Igitur id quod fit ex ductu hz in hq est 216. Diuidatur igitur linea zq per medium in puncto l, et prosequere questionem sicut predocuimus, et erit quod uoluisti.

Fig.55: A, fol.154 v; om. D.

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Vel aliter. Secundum algebra4 scilicet minor res sit. Res maior autem sit dragma. Precium igitur 5 sextariorum erit una res et dragma. Positum est autem sextarium 1 emptum esse pro tercia minoris rei et duobus numis, que est tercia rei et 2 numi, que adequantur quinte rei et quinte unius dragme. Minue igitur quintam rei de tercia rei 5 et remanebunt due tercie quinte rei et 2 nummi, que

____________________ 1 post nummis exp. est quinta tocius dz D2 2 de hz A: dz D 4 algebra A: agebla D 5 et duobus numis addidi A1

3 216 A2 D: 1216

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adequantur quinte unius dragme. Integra igitur dragma adequatur 1 tercie rei et 10 nummis. Manifestum est igitur quod due tercie minoris rei, additis 10 nummis, adequantur maiori rei. Cum igitur posuimus maiorem rem, maior erit due tercie rei et 10 nummi. Si igitur multiplicaueris rem in duas tercias rei et 10 nummos, productum erit equum ad 144. Cetera fac sicut docuimus in algebra2, et proueniet quod uoluisti3. ADP

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Capitulum aliud de modiis4 diuersorum preciorum5. Si quis querat, dicens: «Cum de una annona detur modius pro sex nummis et de alia detur pro octo numis et de alia pro nouem nummis, sed de triginta nummis quos habebunt6 de prima annona emi7 modium et8 quartam et de secunda modium et duas tercias modii, tunc de tercia annona quantum proueniet michi pro residuo triginta nummorum?» Sic facies. Quere quantum est precium modii et quarte9 secundum quod modius uenditur pro sex numis, et inuenies quod est septem nummi et obolus. Deinde quere quantum est precium modii et duarum terciarum secundum quod uenditur modius pro octo nummis, et inuenies quod sunt tredecim nummi et due tercie (sic)10 nummi. Quibus agrega septem et obolum et fient11 uiginti et [de]12 quinque sexte nummi. Sequitur ergo quod emerit13 annonam pro uiginti nummis et quinque sexte nummi. Et de triginta nummis remanserunt nouem nummi et sexta. Vide14 ergo de15 annona cuius modius uenditur pro nouem nummis quantum sibi proueniat pro nouem numis et sexta, et inuenies quod modius et sexta unius none16 unius modii. Et hoc est quod prouenit pro residuo triginta nummorum. Et ita poteris scire de duabus uel tribus uel pluribus annonis. Si quis querat: «Cum de una annona modius detur pro17 sex18 nummis et de alia pro octo et de alia pro decem, et pro decem et octo nummis uolo emere de tribus annonis equaliter». Sic facies. Agrega precia unius modii de singulis annonis et erit summa19 24, per quos diuide decem et octo nummos et exibunt tres quarte. De unaquaque igitur annona emit tres quartas modii, et hec est summa quam requiris. Si quis dicat: «Cum de una annona modius detur pro sex nummis, et de alia pro octo, sed de utraque uolo emere tres modios pro equali precio, tunc quantum accipiam de unaquaque?»

____________________ 1 due addidi 2 algebra A: agebla D 3 Si quis querat [p. 208, l. 9] – quod uoluisti A D: om. P 4 Capitulum aliud de modiis iter. A 5 Capitulum – preciorum A P: om. D 8 et A P: de D 9 post quarte 6 habebunt A: habebat D P 7 emi A2 D P: emit A1 11 post fient add. et D 10 et due (add. D2 s.l.) tercie false A D P in tercia corrigendum add. in D 12 emendaui de quod fallaciter post et posuerunt A D P 13 emerit A P: emit 14 uide A P: utile D 15 de A P: om. D 16 none A2: nouem D P: om. add. D2 s.l. 1 17 pro A D: per P 18 sex iter. P 19 post summa del. de A2 A

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Sic facies. Quere numerum qui diuidatur per sex et per octo et hic est 24. Quem diuide per sex et exibunt quattuor quos pone loco de1 sex. Deinde diuide2 24 per 8 et exibunt tres, quos pone pro octo. Deinde dic3 duorum consortium alter apposuit quattuor nummos alter tres et lucrati sunt tres modios. Quomodo diuident eos inter se? Ei qui quattuor apposuit accidunt modius et quinque septime, et ei qui tres modius et due septime modii. De annona igitur cuius modius uenditur pro4 sex accipies modium et quinque septimas modii, quorum precium est decem nummi et due septime nummi. De alia uero annona cuius modius datur pro octo accipies modium et duas septimas modii quorum precium est decem nummi et due septime nummi. Et hoc est quod scire uoluisti. Aut si uolueris scire quantum accepit5 de annona cuius modius datur pro sex nummis, diuide sex per se et per6 octo et quod ex utraque diuisione exierit scilicet unum et tres quartas agrega. Et per agregatum diuide tres et exibit quod queris. Aut si uolueris scire quantum accepit7 de annona cuius modius datur pro octo nummis, diuide octo per se et per sex, et quod exierit ex utroque agrega. Et per agregatum diuide tres et exibit quod queris. Si autem annone fuerint plures quam due, fac utroque modo sicut predictum est, et exibit quod queris. Si quis querat, dicens: «Cum de una annona modius datur pro sex nummis et de alia modius pro octo nummis, uolo autem de utraque annona accipere modium unum pro sex nummis et8 obolo, quantum accipiam de unaquaque?», considera hic9 si precium quo uult emere10 scilicet sex et obolus sit inter utrumque predictorum preciorum que sunt sex et octo. Et tunc questio erit uera. Si autem fuerit minus11 minore eorum aut maius12 maiore eorum erit falsa. Hic autem sex et obolus est inter utrumque preciorum et est questio uera. Sic facies igitur hic13. Accipe differentiam predictorum preciorum que est duo et sit tibi numerus prelatus. Si autem uolueris scire quantum accepit de annona cuius modius datur pro sex nummis, accipe differentiam que est inter octo et precium quo uis emere qui est unus nummus14 et dimidius, quem diuide per prelatum, et exibunt tres quarte. Tantum igitur accipies de annona sex nummorum15, scilicet tres quartas modii. Si uero uolueris scire quantum accipiet de annona octo nummorum, accipe differentiam que est inter sex et precium quo uis emere scilicet obolum, quem diuide per prelatum et exibit quarta. Tantum igitur debet accipere de annona octo nummorum, scilicet quartam unius modii. Prouenit igitur modius pro sex et obolo16 de utraque annona. Si quis dicat: «Decem erunt (sic)17 modii de ordeo et tritico, sed unumquemque modium ordei uendidi pro sex nummis, et unumquemque tritici

____________________ 1 de D P: add. A2 s.l. 2 post diuide add. et A1 3 post dic exp. a D2 4 pro A D: 7 accepit A P: accipit D per P 5 accepit A P: accipit D 6 per D P: add. A2 s.l. 9 hic A P: om. D 10 emere A D: emendere P 11 minus A P: unius D 8 et iter. P1 12 maius A P: minus D 13 igitur hic A P: hic igitur D 14 nummus A P: numerus D 17 erunt A: erant D P 15 nummorum A P: numerorum D 16 obolo A D 2 P: obolus D1

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pro decem nummis, et ex omnibus prouenerunt michi octoginta octo nummi, tunc quot fuerunt modii de ordeo uel quot de tritico?» Sic facies hic. Accipe differentiam utriusque precii que est quattuor, qui sit tibi prelatus. Si autem uolueris scire quot fuerint modii tritici, scias quantum esset precium decem modiorum, si omnes essent de ordeo hoc modo. Scilicet ut multiplices sex qui sunt precium unius modii in decem qui est numerus modiorum, et prouenient 60. Quos minue de octoginta octo, et remanebunt 28. Quos diuide per prelatum et exibunt septem. Tot igitur fuerunt modii tritici. Si uero uolueris1 scire quot fuerunt modii ordei, uide quantum esset precium decem modiorum si omnes essent tritici, et inuenies centum. De quibus minue 88 et remanebunt 12. Quos diuide per prelatum et exibunt tres. Tot igitur sunt modii ordei, et hoc est quod scire uoluisti. Et hic similiter considera ut precium quod de tota uenditione colligitur, sicut est 88 sit inter utrumque preciorum quod esset si omnes essent de ordeo uel omnes de tritico. Si enim illa summa fuerit maior maiore eorum aut minor minore eorum 2, questio erit falsa, sicut si hic diceret de tota uenditione prouenisse sibi aut 3 plus quam centum aut minus quam sexaginta. Si enim diceret prouenisse sibi centum nummos, omnes modii essent de tritico, si uero sexaginta4 omnes essent de ordeo. AD Si quis querat: «Cum de una annona5 sextarius detur pro 3 nummis et de6 alia pro 4 et de7 alia pro 5, aliquis autem pro 2 nummis uult accipere de unaquaque8 annona equaliter, quantum accipiet de unaquaque earum?» Sic facies. Agrega 3 et 4 et 5 et fient 12. De quibus denomina 2 scilicet sextam, et tantum accipit de unoquoque sextario. De sextario igitur 3 nummorum accipit sextam eius pro dimidio nummo. Et de sextario 4 nummorum accipit sextam eius pro9 duabus terciis nummi. Et de sextario 5 nummorum accipit sextam eius pro quinque sextis nummi10. De tribus igitur annonis accepit dimidium sextarium pro duobus nummis. Cuius probatio hec est. Id quod accipit de annona cuius sextarius est 3 numorum sit a. Et hoc quod accipit de unoquoque11 reliquorum. Primum autem eius, scilicet a, secundum quod sextarius datur pro 3 nummis sit bg; secundum autem precium eius scilicet a, secundum quod datur pro 4 sit gd; sed tercium secundum quod datur pro 5 sit dh. Totus igitur bh est 2 nummi secundum quod posuit12. Constat autem quod comparatio de a ad unum est sicut comparatio de bg ad 3. Quod igitur fit ex ductu a in tria equum est ei quod fit ex ductu unius in ____________________ 1 post uolueris exp. a D2 2 aut minor minore eorum A P: om. D 3 post aut exp. a D2 2 1 2 4 sexaginta A D P: sexagintam D 5 de (D s.l.) una annona A D2: unus sextarius D1 2 6 de A: add. D s.l. 7 de A: add. D2 s.l. 8 unaquaque A: unoquoque D 9 post 10 nummi A D2: numis D1 11 unoquoque D: unaquaque A pro exp. dimidio nummo A2 12 posuit A: proposuit D

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bg. Quod autem fit ex ductu unius in bg est bg. Igitur quod fit ex ductu a in 3 est bg. Comparatio autem de a ad unum est sicut comparatio de gd ad 4. Quod igitur1 fit ex ductu a in 4 equum est ei quod fit ex ductu unius in gd. Ex ductu autem unius in gd non prouenit nisi gd. Igitur ex ductu a in 4 prouenit gd. Similiter etiam monstrabo quod ex ductu a in 5 prouenit dh. Igitur ex ductu a in 3 prouenit bg. Et ex ductu eiusdem in 4 prouenit gd, et ex ductu eius in 5 prouenit dh. Manifestum est igitur quod ex ductu a in 12 prouenit totus bh, qui est 2. Diuide igitur 2 per 12 et exibit sextam et tantum accipit de unoquoque trium sextariorum, et hoc est quod demonstrare2 uoluimus.

Fig.56: A, fol.155 v; om. D. 10

Cum de3 una annona detur sextarius pro 3 nummis, et de alia pro 4, et de alia pro 5, aliquis autem uult accipere de illis tribus simul 1 sextarium, sed de singulis equaliter. Hec questio aperta est. Nam sextarius diuiditur in 3 equalia et de unaquaque annona accipit terciam sextarii4. AD

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Si quis querat: «Cum de una annona detur sextarius pro 3, et de alia pro 4, et de alia pro 5, aliquis emit de 3 simul sextarium 15 et dimidium, et de singulis accipit equaliter, tunc pro quot nummis emit illum?» Sic facies. Agrega 3 et 4 et 5 et fient 12. Deinde denomina unum sextarium et dimidium de 3, et tanta pars accepta de 12 que est 6 est numerus nummorum. Cum autem uolueris scire quantum accepit de unaquaque annona, denomina 1 et dimidium sextarium de 3, scilicet dimidium, et tantum accipit de unoquoque sextario6.

____________________ 1 igitur A: om. D 2 demonstrare A: monstrare D 3 de A: om. D 4 Si quis [p. 213, l. 21] – sextarii A D: om. P 5 1 om. D 6 Si quis [l. 15] – sextario A D: om. P post sextario add. Si quis querat: «Cum sint decem modii precium primi est tres et reliqui sequentes superant se et primum quatuor, tunc quantum est precium decem modiorum?» Sic facies. De numero modiorum semper minue unum et remanebunt sicut hic nouem. Quos multiplica in differentiam que se superant que est quatuor, et fient triginta sex. Quibus agrega dupplum precii primi quod est sex, et fient quadraginta duo. Quos multiplica in medietatem modiorum que est quinque, et prouenient ducenta et decem, et tantum est precium omnium modiorum. Si autem uolueris scire precium ultimi modii, multiplica differentiam in numerum modiorum minus uno, et prouenient triginta sex. Quibus agrega precium primi modii et fient triginta nouem, et tantum est precium ultimi modii. Hec questio ualet in operariis eodem precio conductis D

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«Cum de una annona detur sextarius pro 3 nummis et de alia pro 7 et de alia pro 12, et aliquis de 3 similiter accepit per sextarium 1 pro 10 nummis, quantum accepit de unoquoque sextario?» Hec questio est non terminata. In qua sic facies. Agrega 3 et 7 et fient 10. Deinde dupla 12 et fient 24. Ideo autem duplasti precium tercie annone quoniam agregasti precia duarum. Si autem agregauisses 3, tunc triplicares ultimum. Deinde minue 10 agregatum de duplicato qui est 24, et remanebunt 14. Deinde minue 10 pro quibus emit sextarium de 12, qui sunt precium tertii sextarii, et remanebunt 2. Quos denomina de 14 scilicet septimam et tantum accipit de sextario trium numorum, et tantumdem de sextario 7 nummorum. Id autem quod remanet accipit de tertio sextario 12 nummorum scilicet quinque septime sextarii. Si autem in hac questione dicentur emisse sextarium pro 12 nummis uel pluribus uel pro tribus uel paucioribus, esset questio falsa. Si quis querat: «Cum aliquis emit 10 sextarios, sed primum pro 3 et precium cuiusque sequentis iuncit precium sui precedentis quaternario, tunc quantum est pretium ultimi et omnium?» Sic facies. Semper minue 1 de numero sextariorum et remanebunt sic hic 9. Quos multiplica in differentiam que se superant que est 4 et producto adde duplum precii primi qui est 6, et fient 42. Quos multiplica in dimidium numeri sextariorum qui est 5, et prouenient 2101, et tantum est pretium omnium sextariorum. Si autem uolueris scire pretium ultimi qui est hic decimus, multiplica differentiam in numerum sextariorum minus uno et producto adde pretium primi, et quod prouenerit pretium ultimi erit quod est 39. «Cum aliquis emat 12 sextarios et quartum et primum pro 3, et omnes superant se quinario, tunc quantum est pretium omnium?» Sic facies. De numero integro sextariorum minue semper 1 et remanebunt 11. Quos multiplica in differentiam qua se superant et producto adde duplum pretii primi, et id quod fit multiplica in medietatem de 12, et fient 366 2. Deinde multiplica 12 in differentiam, et producto adde precium primi sextarii et fiet 63. Quorum quarta que est 15 et tres quarte est pretium quarte partis sextarii, quam adde 366, et fient 381 et tres quarte et tantum est pretium 12 sextariorum et quarte3. ADP Capitulum de lucris4. Hoc5 capitulum habet 5 species que secuntur, quarum prima est cum capitale scitur et lucrum ignoratur. ____________________ 1 210 A2: 1210 A1 2 366 A2: 1366 A1 om. D P 4 Capitulum de lucris A P: om. D

3 Cum de una annona [l. 2] – et quarte A: 5 hoc A: hic D P

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Verbi gratia1. Si quis querat, dicens:«Cum in eo quod emi pro quinque nummis lucratus sim tres, tunc quantum lucrabor in eo quod emi pro octoginta?» Sic facies. Multiplica octoginta quod est secundum capitale in tres, quod est primum lucrum et productum diuide per primum capitale quod est 5, et exibit quod queris. Hec autem regula sumpta est ex comparatione. In lucris enim talis est comparatio primi lucri ad primum capitale qualis est comparatio lucri secundi ad capitale secundum. Vel si uolueris, propone2 capitale ut3 comparatio primi capitalis ad primum lucrum sit sicut comparatio secundi capitalis ad lucrum secundum. In predicta uero questione comparatio primi capitalis scilicet quinque ad tres quod est lucrum eius est sicut comparatio secundi capitalis quod est octoginta ad lucrum eius incognitum. Quartus igitur4 est incognitus. Vnde oportet multiplicari secundum qui est tres in tercium qui est octoginta et productum diuidere per primum qui est quinque, et exibit quartus qui queritur. Vel diuidere unum multiplicantium per diuidentem, et quod exierit multiplicare in alterum, sicut iam predictum est, et exibit quod queritur. Conuersa autem isti5, secunda species est cum lucrum scitur et capitale ignoratur. Verbi gratia6. Si quis querat, dicens: «Cum inempto7 pro quinque lucratus sum tres et postea ex alio lucratus sim quadraginta, tunc quantum fuit illud capitale ex quo lucratus sum 40?». Scimus autem quod comparatio capitalis primi ad suum lucrum est sicut comparatio quesiti ad quadraginta8. Multiplica igitur quartum qui est quadraginta in primum capitale quod est 5 et productum diuide per primum lucrum quod est tres et exibit9 tercius. P Sic enim conuenit semper aliquid multiplicari in rem alterius generis scilicet nec lucrum in lucrum nec capitale in capitale, sed lucrum in capitale et e conuerso10. Hec autem regula manifesta est ex comparatione cum dispositi fuerint numeri, sicut predocuimus.

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ADP Capitulum de ignotis lucris11. Quod12 est tercia species est cum utrumque ignoratur, sed ex utroque agregatum notum proponitur. ____________________ 1 Hoc (hic D P) capitulum [p. 215, l. 37] – gratia A P: add. D2 m. s. 2 propone A P: prepone D 4 igitur A P: om. D 5 Conuersa autem isti A P: om. D 3 ut A D P2: qualis est A1 7 post inempto add. et D 6 secunda species [l. 17] – gratia A P: add. D2 m.s. 9 post exibit exp. a D2 10 Sic 8 Scimus autem [l. 21] – quadraginta A D: add. P2 m.d. enim [l. 26] – e conuerso addidi cum P: om. A D 11 Capitulum de ignotis lucris A P: om. D 12 quod A P: quid D

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Verbi gratia1. Si quis querat: «Cum inempto pro quinque lucratus sim tres et2 ex alio lucratus sim tantum quod ex lucro et capitali simul agregatis3 fiunt centum, tunc de hiis4 centum5 quantum fuit lucrum et quantum capitale?» Sic facies. Agrega quinque et tres qui sunt lucrum eorum et fient octo qui sit 6 tibi prelatus. Si autem uolueris scire de centum predictis quantum fuerit capitale, multiplica primum capitale scilicet quinque in centum et productum diuide per prelatum et exibit capitale quod queris. Si uero7 uolueris scire de illis quantum fuit lucrum, multiplica primum lucrum scilicet tres in centum et productum diuide per prelatum, et exibit lucrum quod queris. AD

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Cuius probatio est hec. Sint 5 ab, tres autem sint bg. Capitale uero ignotum sit dh lucrum uero hz. Totus igitur dz est 100. Comparatio autem de ab ad bg est sicut comparatio de dh ad hz. Cum autem composueris, tunc comparatio de ag ad gb 8 sicut comparatio de dz ad zh. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Tantum igitur fit ex ductu primi in quartum, quantum ex ductu secundi in tercium. Si igitur multiplices secundum in tertium et productum diuidas per primum, qui9 est 8, exibit quartus qui est lucrum, et hoc est quod demonstrare10 uoluimus. Similiter etiam fiet probatio ad inueniendum capitale. Manifestum est enim quod11 talis est comparatio de ag ad ab qualis est comparatio de dz ad dh. Si igitur multiplices ab secundum in dz tercium et productum diuiseris per ag primum exibit hz quartus, et hoc est quod demonstrare12 uoluimus13.

Fig.57: A, fol.156 r; om. D.

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Quarta species est cum utrumque ignoratur, sed post diminutionem residuum notum proponitur.

____________________ 2 post et exp. a P2 1 Quod (quid D) est [p. 216, l. 32] – gratia A: add. D2 m.d. P2 m.d. 2 1 2 3 agregatis A D P: agrega quinque D 4 post hiis exp. a D 5 tunc de hiis centum A D: om. P 6 sit A P: sunt D 7 uero A P: om. D 8 erit addidi 9 qui A: que D 10 demonstrare A: monstrare D 11 quod A: quoniam D 12 demonstrare A: monstrare D 13 Cuius probatio [l. 13] – uoluimus A D: om. P

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Verbi gratia1. Si quis querat, dicens: «Cum inempto pro sex lucratus sim unum et dimidium et sublato lucro eius ex alio capitali remaneant2 nonaginta, tunc quantum fuit lucrum et quantum capitale?» Sic facies. Minue de sex lucrum eorum et remanebunt quattuor et dimidium qui est prelatus. Si autem uolueris scire quantum fuit capitale ignotum, multiplica primum capitale scilicet sex in nonaginta et productum diuide per prelatum et exibit capitale. Si uero uolueris3 scire lucrum ignotum, multiplica lucrum primum4 scilicet unum et dimidium in 90 et productum diuide per prelatum et exibit lucrum. Huius autem probatio patet consideranti, similis est enim precedenti nisi quia hec fit dispergendo comparationem, illa uero componendo. Iam autem assignauimus hos modos in modiis et sextariis incognitis et ostendimus comparationem in illis. Si autem uolueris, diuide5 hic sex per prelatum, et quod exit multiplica in 90 et exibit capitale. Et diuide unum et dimidium per prelatum, et quod exit multiplica in 90 et proueniet lucrum. Vel si uolueris, diuide 90 per prelatum et quod exit multiplica in 6, et proueniet capitale. Et multiplica illud in unum et dimidium, et proueniet lucrum. Isti autem duo modi fiunt cum precedit diuisio et sequitur multiplicatio, sicut iam predictum est in omnibus duobus se multiplicantibus et tercio diuidente. Quinta species est cum utrumque ignoratur, sed6 productum ex ductu unius in alterum notum proponitur. Verbi gratia7. Si quis querat, dicens: «Cum inempto pro quinque lucratus sim tres et ex alio capitali multiplicato in suum lucrum8 proueniat9 60, tunc quantum fuit lucrum et quantum capitale?» Modum autem hunc iam assignauimus in ignotis modiis. Scilicet cum uolueris scire capitale ignotum, multiplica 5 quod est primum capitale in 60 et productum diuide per tres quod est primum lucrum et eius quod10 exit radix est id quod queris. Aut si uolueris scire lucrum, multiplica primum lucrum scilicet 3 in 60 et productum diuide per 5 et eius quod exit radix est id quod queris. Vel cum inueneris capitale, prius diuide per illud 60 et exibit lucrum. Vel si prius inueneris lucrum, diuide per illud 60 et exibit capitale. AD

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Probatio autem eius quod primum diximus est hec. Sint 5 qui sunt primum capitale a, 3 uero qui sunt primum lucrum sit b. Capitale uero quesitum sit g, lucrum uero secundum d. Multiplicetur autem g in d et proueniat h. h igitur est 60. ____________________ 1 Quarta species [p. 217, l. 25] – gratia A: add. D2 m.d. P2 m.s. 2 remaneant A D: remaneatur P 3 uolueris A P: uoluis D 4 lucrum primum A P: primum lucrum D 6 sed A P: scilicet D 7 Quinta [l. 21] – gratia A: add. D2 5 diuide A D2 P: diuidere D1 2 m.s. P m.s. 8 post lucrum add. et D 9 proueniat A: proueniant D P 10 quod A P: om. D

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Multiplicetur autem g in se et proueniat z, et multiplicetur d in se et proueniat k. Manifestum est igitur quod z et h et k continuantur per comparationem de g ad d. Comparatio autem1 g ad d est sicut comparatio de a ad b. Igitur z et h et k continuantur per comparationem de a ad b. Comparatio igitur de a ad b est sicut comparatio de z ad h. Si igitur multiplices a in h et productum diuiseris per b exibit z, qui est quadratus de g. Radix igitur de z est g. Similiter etiam erit comparatio de a ad b sicut comparatio de h ad k. Si igitur multiplices b in h et productum diuidas per a, exibit k. Cuius radix est d. Et hoc est quod demonstrare2 uoluimus3.

Fig.58: A, fol.156 v m.s.; om. D. 10

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ADP Capitulum de lucris in quo nominantur ea que uenduntur4 uel emuntur5. Hoc autem capitulum quattuor habet species. Quas6 exemplificauimus7 in modiis que similiter fiunt in libris et in aliis habentibus precium. Prima8 species autem9 est lucrum numorum ex numis. Verbi gratia. Cum quis emit modium pro quinque nummis quem postea uendit pro octo nummis, tunc quot nummos lucrabitur ex centum nummis? Secunda est lucrum numorum ex modiis. Verbi gratia. Cum quis modium emptum pro quinque uendit pro octo nummis, tunc quot nummos lucrabitur ex centum modiis? Tercia autem species est lucrum modiorum ex nummis10. Verbi gratia. Cum quis modium emptum pro 5 nummis uendit pro octo, quot11 modios lucrabitur ex centum nummis? Quarta uero species est lucrum modiorum ex modiis. Verbi gratia. Cum quis modium emptum pro quinque nummis uendit pro octo, quot modios lucrabitur ex centum modiis? In unamquamque autem harum quattuor specierum incidunt duo modii12 paulo ante predicti. Quorum primus est scire lucrum per capitale, secundus est scire capitale per lucrum. In unumquemque autem horum predictorum modorum incidunt tres modi predicti in capitulo de ignoto lucro. Primus quorum est scire capitale et lucrum eius ex cognito agregato. Secundus est scire utrumque ex

____________________ 1 post autem add. de D 2 demonstrare A: monstrare D 3 Probatio autem [p. 218, 5 Capitulum [l. 11] – l. 34] – uoluimus A D: om. P 4 post uenduntur exp. et e P2 emuntur A P: om. D 6 quas A P: quos D 7 exemplificauimus A: exemplificamus D P 8 prima A P: primum D 9 species autem A: autem species D P 10 nummis A P: 12 post modii exp. a D2 modis D 11 post quot exp. a D2

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cognito residuo post diminutionem unius eorum ab altero. Tercius est scire lucrum et capitale ex cognito producto ex multiplicatione unius in alterum. Omnes igitur modi siue species huius capituli sunt uiginti. Due autem species1 quattuor2 primarum3 oriuntur4 ex questione que est quantum est precium. Relique uero due ex questione que est quantum habebo. Amodo5 autem proponam exemplum uniuscuiusque harum quattuor specierum6 quinque ipsarum. Prima species primarum quatuor7 est lucrum nummorum est (sic)8 numis. Verbi gratia. Si quis querit: «Cum modium emptum pro sex uendo pro septem et dimidio, quot nummos lucrabor ex centum nummis?», hec species sicut prediximus descendit ex questione de quantum est precium. In qua sic facies. Iam nosti quod nummus et dimidius est hic lucrum ex modio et sex nummis. Ergo hic pro lucro numorum ex numis queritur9 et capitale scitur. Quasi dicat: «Cum inempto pro sex nummis lucratus sim numum et dimidium, tunc quantum lucrabor ex eo quod emi pro centum?», fac hic sicut predictum est, et prouenient 25 nummi. Et10 hoc est quod uoluisti. Si autem centum essent solidi, similiter et uiginti quinque essent solidi. Similiter etiam11 e conuerso12 si13 nominaret lucrum et inquireret de capitali faceres14 sicut premonstratum est. Similiter etiam aptabis tres predictos modos ad hoc. Scilicet uel si dicat: «Agregatis lucro et capitali proueniunt tot uel tot nummi uel solidi, tunc quantum est lucrum uel quantum est capitale?» Vel si dicat : «Subtracto suo lucro numorum15 de suo capitali nummorum remanent tot uel16 tot, tunc quantum est lucrum eius uel capitale eius?» uel «Subtracto suo lucro solidorum de suo capitali solidorum?», uel si dicat: «Multiplicato suo lucro in suum capitale, prouenit tantum uel tantum, tunc quantum est eius capitale?» uel «Lucrum uel multiplicato suo lucro solidorum in suum capitale solidorum?». Modus agendi patet hic ex hiis que supradocuimus. Ad maiorem autem euidentiam apponam exemplum uniuscuiusque quinque specierum per quas diuiditur unaquaque quattuor primarum. Verbi gratia. D

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Possunt etiam he quatuor species aliter fieri. Vt si quis dicat secundum primam speciem que est lucrum numorum ex numis hoc modo: «Cum quis emit tres caficios pro decem numis et uendit quatuor pro uiginti, tunc quot numos lucrabitur es centum numis?» ____________________ 1 autem species A P: species autem D 2 post quattuor add. specierum P 3 primarum 4 post oriuntur exp. et specierum D2 5 amodo A D2 P: quomodo D1 iter. P1 6 specierum A P: om. D 7 primarum quatuor A D: om. P 8 est A P uid.: de D 12 e 9 ex numis queritur A P: om. D 10 et A P: om. D 11 post etiam exp. si A2 14 faceres A P: facies D 15 numorum A conuerso eras. D 13 si D P: add. A2 s.l. 16 tot nummi [l. 21] – tot uel iter. D D2 P: solidorum D1

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Secunda uero species que est lucrum numorum ex caficiis fit hoc modo. Cum quis emit tres caficios pro decem numis et uendit quatuor pro uiginti, tunc quot numos lucrabitur ex centum caficiis? Tercia uero species que est lucrum caficiorum ex caficiis fit hoc modo etiam. Si quis dicat: «Emi tres caficios pro decem et uendidi quatuor pro uiginti, tunc quot caficios lucrabor ex centum caficiis?» Quarta uero species que est lucrum caficiorum ex numis fit hoc modo. Veluti si quis dicat: «Emi tres caficios pro decem et uendidi quatuor pro uiginti, tunc quot caficios lucrabor ex centum numis?» Vnaquaque autem harum quatuor specierum diuiditur in quinque species quemadmodum capitulum primum de lucris. Omnes igitur modi siue species huius capituli sunt uiginti. Due autem species quatuor primarum oriuntur ex questione que est quantum est precium. Relique uero due ex quantum habebo1. AD

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Prima species est lucrum numorum ex nummis2. Si quis querat: «Cum emerim3 3 caficios pro 10 nummis et uendiderim 4 pro 20, quot nummos lucrabor ex 100 nummis?» Hec species, sicut prediximus, uenit ex questione de quantum est pretium. Dices igitur: «Postquam sunt4 4 caficii pro 20, tunc quantum est pretium trium?» Scilicet 15. Dices igitur: «Emi 3 caficios pro 10 et uendidi eos pro 15. In 10 igitur nummis lucror5 5 nummos». Dices igitur: «Si inempto pro 10 lucratur 5, tunc quantum lucrabor6 inempto pro 100?» Fac sicut predocui et exibunt 50 et tot lucratur inempto pro 100. Hec est prima de 5 speciebus, per quas diuiditur unaquaque primarum 4. Secunda uero species de 5 est hec. Cum quis emit 3 pro 10 et uendit 4 pro 20, tunc 50 nummos quos lucratus est ex quot nummis lucratur? Sic facies. Dices enim: «Postquam 4 pro 20, tunc quantum est pretium trium?» Scilicet 15. Emit igitur 3 pro 10 et uendidit pro 15. In 10 igitur lucratur 5. Dices igitur: «Cum in 10 lucretur 5, tunc 50 quos lucratur in quot lucratur?» Fac sicut supradocui, et exibunt 100, et tot sunt numi ex quibus lucratur 50. Tertia uero species de 5 est hec7. Si quis dicat: «Cum quis emit 3 caficios pro 10 et uendit 4 pro 20, agregatis autem suo lucro numorum cum suo capitali nummorum proueniunt 150, quantum est lucrum uel capitale?» Sic facies. Dices enim: «Postquam 4 dantur pro 20, quantum est pretium trium?» Scilicet 15. Emit igitur 3 caficios pro 10, et uendit pro 15. In 10 igitur nummis lucratur 5 nummos. Dices igitur: «Si inempto pro 10 lucratur 5, et ex agregato lucro cum8 capitali proueniunt 150, fac sicut supradocui, et exibit capitale 100, lucrum uero 50.» ____________________ 1 Possunt etiam [p. 220, l. 32] – quantum habebo addidi cum D: om. A P 2 Prima species – nummis addidi cum D: om. A 3 emerim A: emerit D 4 sunt D: add. A2 s.l. 5 lucror A: lucrorum D 6 lucrabor A: lucrabitur D 7 Tertia – est hec A: om. D 8 cum A: est D

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Quarta uero species de 5 est hec1. Si quis dicat: «Cum quis emit 3 caficios pro 10 nummis et uendit 4 pro 20 nummis, subtracto uero lucro2 numorum de capitali nummorum remanent 50 nummi». Sic facies. Dices enim: «Postquam 4 pro 20, tunc quantum est pretium trium?» Scilicet 15. Emit igitur 3 caficios pro 10, et uendidit pro 15. In 10 igitur nummis lucratur 5 nummos. Dices igitur: «Si inempto pro 10 lucratur 5, subtracto uero lucro de capitali remanent 50, fac sicut3 supradocui, et exibit capitale 100, lucrum uero 50». Quinta uero4 species predictarum est hec5. Si quis dicat: «Cum quis emit 3 caficios pro 10, et uendit6 4 pro 20, ex ductu autem lucri nummorum in suum capitale nummorum proueniunt 5000». Sic facies. Dices enim7: «Postquam 4 pro 20, tunc quantum est pretium trium?» Scilicet 15. Constat ergo quia in 10 lucratus est 5. Dices igitur: «Si inempto pro 10 lucratur 5, ex ductu autem capitalis in lucrum proueniunt 50 (sic)8, fac sicut predocui, et exibit capitale 100 et lucrum 50»9. ADP

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Secunda autem species secundarum (sic)10 quattuor est lucrum numorum ex modiis. Si quis querat: «Cum modium emptum pro sex nummis uendiderim pro septem et dimidio, tunc quot numos lucrabor ex centum modiis?», hic ex lucro numorum quod est numus et dimidius, quod lucratus est ex uno modio, uult scire quantum lucrabitur ex centum modiis. Quasi ergo querat11: «Cum in uno modio lucratus sim numum et dimidium, quot lucrabor in centum modiis?», dic centum quinquaginta numos. Si autem questio fuerit talis ut dicat: «Cum in uno caficio lucratus sim numum et dimidium, quantum lucrabor in centum almodis?» In uno autem caficio lucratus est numum et dimidium, ergo lucrabitur ex duodecim caficiis, qui sunt unum almodi decem et octo nummos. Hoc igitur lucrum ex uno almodi multiplica in centum, et quod prouenerit12 est lucrum quod lucratur ex centum almodis. Si autem nominaret lucrum quod est numus et dimidius et quereret de capitali caficiorum, proponeret hoc modo: «Cum lucratus sim in uno caficio numum et dimidium et lucratus sim tot uel tot numos ex aliis caficiis, tunc quot fuerunt illi cafizii?», fac sicut predocuimus, et quod prouenerit erunt cafizii. Si autem sic proposuerit, dicens: Cum lucratus sim centum solidos, ex quot caficiis lucatus sum?» Vide13 prius ex quot cafiziis lucretur centum nummos. Et multiplica eos in duodecim et productus est id quod queris. Hoc autem ideo facimus quoniam centum solidi sunt duodecies tantum. ____________________ 1 Quarta – est hec A: om. D. 2 lucro D: add. A2 s.l. 3 post sicut exp. sub. A2 2 4 uero D: add. A s.l. 5 Quinta uero – est hec A: om. D 6 post uendit exp. pro A2 7 enim A: tamen D 8 50 A: 5000 D 9 Prima species [p. 221, l. 15] – lucrum 50 A D: om. P 10 secundarum A: primarum D P 11 querat A D2 P: queratur D1 12 prouenerit A P: proueniet D 13 uide A P: unde D

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Similiter deducere poteris tres modos ignoti in hanc speciem. Veluti si dicat agregato suo lucro nummorum cum capitali suo caficiorum et fuerunt tot uel tot. Vel subtracto suo capitali de suo lucro et remansit tantum uel tantum 1. Quoniam in hac questione numerus capitalis cafiziorum minor est numero lucri nummorum. Vel multiplicato suo capitali cafiziorum in suum lucrum nummorum et prouenit tantum uel tantum. Modus2 agendi in hiis omnibus patet ex predictis. Sed tamen ad maiorem euidentiam apponam exemplum cuiusque quinque specierum3, per quas diuiditur hec species secunda quattuor primarum. Verbi gratia. AD Hic capitale scitur sed lucrum ignoratur4. Si quis dicat: «Cum quis emit 3 cafizios pro 10 nummis et uendit 4 pro 20, tunc quot nummos lucrabitur ex 100 cafiziis?» Sic facies. Dices enim: «Cum 4 dentur pro 20 nummis, tunc quantum est pretium trium?» Scilicet 15. Emit igitur 3 cafizios pro 10 et uendidit eos pro 15. In tribus igitur cafiziis lucratur 5 nummos. Dices igitur: «Cum quis in 3 cafiziis lucratur 5, tunc quot lucrabitur in 100?» Fac sicut supradocui et exibit 100 (sic)6, et tot lucratur nummos in 100 caficiis. Et hec est prima 5 specierum per quas diuiditur unaquaque 4 primarum. Secunda uero de 5 hec est6. Hic lucrum scitur et capitale ignoratur7. Cum quis emit 3 cafizios pro 10 nummis et uendit 4 pro 20, tunc 100 nummos quos lucratus est ex quot caficiis lucratur eos? Sic facies. Dices enim: «Cum 4 caficii dentur pro 20 nummis, tunc quantum est pretium trium?» Scilicet 15. Emit igitur hos 3 cafizios pro 10 nummis et uendidit eos pro 15. In tribus ergo cafiziis lucratus est 5 nummos, tunc 100 nummos quos lucratur ex quot caficiis lucratur eos? Fac sicut predictum est, et exibunt 60. Hoc autem poteris experiri sic. Tu scis eum emisse 60 cafizios, 3 ex illis pro 10 nummis. Ergo pro 200 nummis emit eos et uendidit eos pro 300. Nam 4 uendidit pro 20. Igitur in 60 caficiis lucratur 100 nummos secundum forum quod proposuit. Tercia uero species hec est8. Hic utrumque ignoratur, sed agregatum ex utroque scitur9. Cum quis emit 3 cafizios pro 10 nummis et uendit 4 pro 20, agregato uero lucro nummorum cum capitali cafiziorum proueniunt 100, quantum est lucrum nummorum et capitale caficiorum?

____________________ 1 post tantum exp. i P2 2 post modus add. autem D 3 specierum A: species D P 5 exibit 100 A: exibunt centum sexaginta 4 Hic capitale – ignoratur add. A2 m.s. D2 m.d. sex (D m.d. al. man.) et due tercie D 6 hec est A: est hec D 7 Hic lucrum – ignoratur 8 Tercia – hec est A: om. D 9 Hic utrumque – scitur add. A2 m.s. D2 add. A2 m.s. D m.d.

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Sic facies. Dices enim: «Postquam 4 dantur pro 20, tunc quantum est pretium trium1?» Scilicet 15. De quibus minue 10 et remanebunt 5. Quasi ergo quis 2 dicatur: «Cum in 3 cafiziis lucretur 5 nummos, ex agregato autem lucro cum capitali proueniunt 100», fac sicut supraostendimus, et exibit lucrum numorum 62 et dimidius3, capitale uero cafiziorum 37 et dimidius. Quarta uero species est hec. Hic utrumque ignoratur, sed per diminutionem cognoscitur4. Si quis dicat: «Cum quis emit 3 cafizios pro 10 et uendit 4 pro 20, subtracto uero capitali cafiziorum de suo lucro nummorum et remanent 25.» Si uero diceretur lucrum nummorum subtrahi de capitali cafiziorum, falsum esset. Lucrum enim numorum maius est capitali caficiorum. Quoniam, cum fecerimus sicut predocuimus, apparebit eum lucrari in 3 caficiis quinque numos. Lucrum igitur nummorum maius est capitali cafiziorum6. Si igitur minueris suum capitale caficiorum de suo lucro nummorum, et remanserint 100, erat (sic)7 tunc questio uera et exibit suum capitale caficiorum 150, lucrum uero nummorum 250. Cetera autem hiis similia considera secundum hoc, scilicet cum lucrum nummorum fuerit maius capitali caficiorum et proponatur lucrum minui de capitali, tunc questio erit falsa. Si uero lucrum numorum minus fuerit capitali caficiorum et proponatur capitale caficiorum minui de lucro nummorum erat (sic)8 similiter questio falsa. Species autem quinta hec est. Hic utrumque ignoratur, sed per multiplicationem unius in alterum cognoscitur9. Cum quis emit 3 cafizios pro 10 nummis et uendidit 4 pro 20 nummis, ex ductu autem lucri numorum in suum capitale caficiorum proueniunt 100. Sic facies. Dices enim: «Cum 4 dentur pro 20, tunc quantum est precium trium10?» Scilicet 15. De quibus minue 10, et remanebunt 5. Constat igitur hos 5 lucrum esse in 3 caficiis. Dices igitur: «Cum 5 lucratur in tribus caficiis, sed ex duchtu lucri in capitale proueniunt 100», fac sicut supraostensum est et proueniet suum lucrum nummorum radix de 60, capitale uero radix de 160 et11 duabus terciis.

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ADP Tercia uero species primarum quattuor est lucrum caficiorum ex numis. Verbi gratia. Si quis querat, dicens: «Cum caficium emptum pro sex nummis uendiderim pro septem et dimidio, tunc quot caficios lucrabor ex centum nummis?». Manifestum est quod secundum hoc quod caficius datur pro septem ____________________ 2 quis A: om. D 3 post dimidius add. et D 4 Hic 1 trium A2 D: tercium A1 5 add. triginta D m.s. al. man. 6 post utrumque – cognoscitur add. A2 m.s. D2 m.s. caficiorum add. Item si quis querat dicens: «Cum quis emit tres caficios pro decem numis et uendit quatuor pro uiginti subtracto uero capitali caficiorum de lucro nummorum remanent centum», erit questio uera D m.s. al. man. 7 erat false A D in erit corrigendum 8 erat A: erit D 10 trium A: add. D2 s.l. 9 Hic utrumque [l. 20] – cognoscitur add. A2 m.s. D2 m.s. 11 et A: om. D : ex add. D al. man.

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nummis et dimidio quod pro sex nummis dabuntur quattuor quinte eius, et remanebit de eo quod ualet numum et dimidium, scilicet lucrum quod est quinta pars caficii. Vnde in sex numeris (sic)1 lucratur quintam caficii. Quasi ergo querat: «Cum in sex nummis lucratus sim quintam caficii, tunc quantum lucrabor ex centum nummis?», fac sicut predictum est, et prouenient tres et tercia. Ergo tres caficios et terciam caficii lucratus est ex centum nummis. Si autem essent centum solidi, tu multiplicares tres et terciam caficii in duodecim, qui est numerus solidi, et proueniret numerus eius quod lucratur ex centum solidis2. Vel quia iam ex sex numis lucratus est quintam caficii, sex autem est medietas solidi. Dices tunc: «Cum ex medietate lucratus sit quintam, quantum lucrabitur ex centum?», fac sicut predocuimus, et exibit quot caficios lucratur ex centum solidis. Si autem hic quereret: «Cum lucratus sim decem caficios, ex quot nummis lucratus sim uel ex quot solidis?» Iam nosti quintam caficii esse lucrum eius ex sex nummis qui sunt medietas solidi. Dices ergo: «Postquam ex sex numis lucratus est quintam caficii et ex alio capitali lucratus est decem, tunc quantum est illud capitale?» Fac sicut predocuimus, et proueniet quantum fuerit illud capitale nummorum. Conuerte eos in solidos. Vel si uolueris, dic: «Cum in medietate solidi lucratus sit quintam, tunc decem ex quanto lucratus est?» Fac sicut predictum est3, et prouenient4 solidi. Similiter etiam aptabis illos tres modos huic parti. Siue dicat: «Ex agregatis simul suo lucro caficiorum et suo capitali5 nummorum uel subracto suo lucro caficiorum de suo capitali nummorum, uel multiplicato6 quantum fuit?» Fac sicut predictum est, et proueniet quod queris. Ad maiorem autem euidentiam de singulis quinque speciebus huius tercie speciei distincte exempla subiciemus. Verbi gratia. AD

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Hic capitale scitur et lucrum ignoratur7. Si quis querat: «Cum quis emit 3 caficios pro 10 nummis et uendit 4 pro 20, tunc quot caficios lucrabitur ex 100 nummis?» Sic facies. Dices enim: «Cum 4 pro 20, tunc quot habebo pro 10?» Scilicet 2. Ex 10 igitur nummis emit 3 caficios, ex quibus 2 uendidit pro 10 nummis. In 10 igitur nummis lucratus est unum caficium. Dices igitur: «Cum in 10 lucretur 1, tuc quot lucrabitur in 100?» Scilicet 10. Hec species est prima 5 specierum, que sunt in quarta de 4. Experimentum autem huius questionis patet. Secunda uero species est hec. Hic capitale ignoratur et lucrum scitur8. Si quis dicat: «Cum quis emit 3 caficios pro 10 nummis, uendit autem 4 pro 20, tunc 100 caficios quos lucratus est ex quot nummis lucratus est?» ____________________ 1 numeris A D: nummis P 2 post solidis exp. a D2 3 est A: om. D 4 prouenient A P: proueniet D 5 suo capitali A D: capitali suo P 6 post multiplicato exp. a D2 7 Hic capitale – ignoratur add. A2 m.d. D2 m.s. 8 Hic capitale – scitur add. A2 m.d. D2 m.s.

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Sic facies. Dices enim: «Cum 4 pro 20, tunc quantum habebo pro 10?» Scilicet 2. Quos minue de 3, et remanebit1 1. Dices igitur: «Cum in 10 lucretur 1, tunc 100 quos lucratus est ex quot numis lucratus est?», fac sicut predictum est, et exibit quesitum 1000. Tertia uero species hec est2. Hic per agregationem3 ex illis scitur utrumque4. Si quis querat: «Cum quis emit 3 caficios pro 10 et uendit 4 pro 20, ex agregato autem lucro caficiorum cum suo capitali nummorum proueniunt 100». Sic facies. 5: «Cum 4 pro 20, tunc quot habebo pro 10?» Scilicet 2. Quos minue de 3, et remanebit 1. Quasi ergo dicatur: «Cum quis ex 10 lucratur 1, agregato autem6 suo lucro cum suo capitali proueniunt 100», fac sicut predictum est, et exibit lucrum 9 et una undecima, capitale uero 90 et decem undecime. Quarta autem species est hec. Hic per diminutionem scitur utrumque7. Si quis dicat: «Cum quis emit 3 caficios pro 10, uendit autem 4 pro 20, subtracto autem suo lucro caficiorum de suo capitali numorum remanent 100». Sic facies. Dices enim: «Cum 4 dentur pro 20, tunc quot habebo pro 10?» Scilicet 2. Quos minue de 3, et exibit 1. Quasi ergo dicatur: «Cum quis in 10 lucratur 1, subtracto uero suo lucro de suo capitali remanet8 100», fac sicut predictum est, et exibit lucrum 11 et nona, capitale uero 111 et nona. Quinta uero species est hec9. Hic per multiplicationem alterius in alterum scitur utrumque10. Si quis dicat: «Cum quis emit 3 caficios pro 10, uendit autem 4 pro 20, ex ductu autem sui lucri caficiorum in suum capitale numorum proueniunt 100». Sic facies. Dices enim: «Cum 4 pro 20, tunc quot habebo pro 10?» Scilicet 2. Quos minue de 3, et remanebit 1. Dices igitur: «Cum in 10 lucretur 1, ex ductu autem sui lucri in suum capitale proueniunt 100», fac sicut predictum est, et exibit suum capitale radix de 1000, lucrum uero est radix de 1011. ADP

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Quarta uero species primarum quattuor est lucrum caficiorum ex caficiis. Verbi gratia. Si quis querat: «Cum caficium emptum pro 6 nummis uendiderim pro septem nummis et dimidio, quot caficios lucrabor ex centum caficiis?» Iam nosti quoniam id quod lucratus est ex uno caficio est quinta caficii. Quasi ergo dicat: «Cum in uno lucratus sim quintam, quantum lucrabor in centum?», fac sicut predictum est, et exibunt uiginti caficii quos lucratus est ex centum caficiis. Si autem centum essent almodis, uiginti quoque essent almodis.

____________________ 1 remanebit A: remanet exibit D 2 Tertia – est A: om. D 3 agregationem A: 5 dices enim addidi agregatum D 4 Hic per [l. 5] – utrumque add. A2 m.d. D2 m.d. 8 remanet A: 6 autem A: uero D 7 Hic per – utrumque add. A2 m.d. D2 m.s. remanent D 9 Quinta uero – hec A: om. D 10 Hic per – utrumque add. A2 m.d. D2 m.s. 11 Hic capitale [p. 225, l. 28] – radix de 10 A D: om. P

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Si autem hic diceret: «Centum caficios quos lucratus sum ex quot caficiis lucratus sum uel

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quos lucratus sum ex quot almodis ex quot almundis1?».

lucratus sum centum almodis quos ex quot almudis lucratus sum2?»

quos lucratus ex quot almodis lucratus sum uel lucratus sum centum almodis3?».

Diceres tu: «Cum ex uno lucratus sit quintam, tunc centum quos lucratus est ex quot lucratus est?» Fac sicut predictum est, et exibit capitale caficiorum. Siue de almudis similiter aptabis4 tres predictos modos huic parti uel agregando uel minuendo uel multiplicando. Similiter hic etiam5 de singulis quinque huius quarte speciei subiciemus exempla. Verbi gratia. AD

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Hic capitale scitur, sed lucrum ignoratur6. Si quis querat: «Cum quis emit 3 caficios pro 10 nummis et uendit 4 pro 20, tunc quot caficios lucrabitur7 ex 100 caficiis?» Hec species oritur ex questione de quantum habebo. Dices igitur: «Cum 4 caficii dentur pro 20 nummis, tunc quot habebo pro 10 nummis?» Scilicet 2. Emit igitur 3 caficios pro 10 et uendit 2 pro 10. Lucratur igitur in 3 caficiis 1. Dic igitur: «Qui in tribus lucratur 1, quot lucrabitur in 100?» Fac sicut supradocui et exibunt 33 et tercia, et hoc est quod uoluisti. Hec autem est prima species ex his8 speciebus que continentur sub unaquaque primarum 4. Secunda species est hec9. Hic capitale ignoratur, sed lucrum scitur10. Cum quis emit 3 caficios pro 10 numis et uendit 4 pro 20, tunc 100 caficios quos lucratus est ex quot caficiis lucratus est? Fac sicut supradocui, scilicet ut dicas: «Cum 4 pro 20 nummis, tunc quot caficios habebo pro 10?» Scilicet 2. Quos minue de 3, et remanebit 1. Dices igitur: «Cum in tribus lucretur 1, tunc 100 quos lucratur ex quot caficiis lucratus est?» Fac sicut supraostensum est, et exibunt 300. Ex tot igitur caficiis lucratus est 100 caficios. Experientia autem huius questionis patet ex precedenti, unde non est necesse hic repetere. ____________________ 1 quos A P: om. D 2 sum A P: om. P 3 quos lucratus sum ex quot almodis ex quot almundis false A: lucratus sum centum almodis quos ex quot almudis lucratus sum false D: quos lucratus ex quot almodis lucratus sum uel lucratus sum centum almodis false P in quos lucratus ex quot almodis lucratus sum uel lucratus sum centum almodis corrigendum 4 aptabis A: adaptabis D P 5 hic etiam A: etiam hic D P 6 Hic capitale – ignoratur add. A2 m.d. 7 lucrabitur A: lucratur iter. D 8 ex his A: et quinque D 9 Secunda D2 m.s. species est hec A: om. D 10 Hic capitale – scitur add. A2 m.s. D2 m.d

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Tertia uero1 species est hec2. Cum quis emit 3 caficios pro 10 et uendit 4 pro 20, ex agregato autem suo lucro caficiorum cum suo capitali caficiorum proueniunt 100, tunc quantum est lucrum eius uel capitale? Sic facies. Dices enim: «Cum 4 caficii pro 20 nummis, tunc quot habebo pro 10?» Scilicet 2. Quos minue de 3 et remanebit 1. Dices igitur: «Cum in tribus lucretur unum, agregato uero lucro caficiorum cum capitali proueniunt 100», fac sicut predocui et exibit lucrum 25 et capitale 75. Quarta uero species hec est. Si quis dicat: «Cum quis emit 3 caficios pro 10 et uendit 4 pro 20, diminuto autem suo lucro caficiorum de suo capitali caficiorum et remanent 100», fac sicut supradocui, scilicet ut dicas: «Cum 4 dentur pro 20, tunc quot habebo pro 10?» Scilicet 2. Quos minue de 3 et remanebit 1. Dices igitur: «Cum in tribus lucretur 1, diminuto autem lucro de capitali, remanent 100». Fac sicut supradocui et exibit capitale 150, lucrum uero eius 50. Si uero hic diceretur capitale caficiorum minui de lucro caficiorum et remansit aliquid, esset questio falsa. Lucrum enim caficiorum minus est capitali caficiorum. Species quinta hec est. Cum quis emit 3 caficios pro 10, uendit autem 4 pro 20, multiplicato uero suo lucro caficiorum in suum capitale caficiorum proueniunt 100. Sic facies. Dices enim3: «Cum 4 pro 20, tunc quot habebo pro 10?» Scilicet duo, quos minue de 3, et remanebit 1. Dices igitur: «Cum in 3 lucretur 1, ex ductu autem sui lucri in suum capitale proueniunt 100», fac sicut predictum est, et exibit lucrum radix 33 et tercie, capitale uero radix trescentorum4. AD He sunt autem 20 species quas prediximus, et sunt origines omnium capitulorum de lucris que secuntur. Quisquis igitur perfecte intellexerit et bene retinuerit eas de questionibus lucrorum nichil latebit eum. Quecumque autem questio de lucris sequitur ab istis oritur et in istis resoluitur et per istas probatur5.

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ADP Aliud capitulum de lucris6. Si quis querat: «Cum caficium emptum pro sex nummis uendiderim pro septem et dimidio et ex alio capitali minus decem numis lucratus sim sexaginta numos, quantum est illud capitale?» Iam nosti quod lucrum eius ex sex nummis est numus et dimidius. Vnde dices: «Cum ex sex nummis lucratus sit unum et dimidium, tunc sexaginta ex quanto lucratus est?» Fac sicut predictum est, et ____________________ 1 uero D: add. A2 2 Tertia uero species est hec A: om. D 4 Hic capitale [p. 227, l. 15] – radix trescentorum A D: om. P probatur A D: om. P 6 Aliud capitulum de lucris A P: om. D

3 post enim exp. 4 A2 5 He sunt [l. 26] – istas

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exibunt ducenta quadraginta qui sunt capitale eius minus decem nummis. Cui adde decem demptos et erit capitale eius integrum. Si autem hic diceretur: «Ex suo capitali et decem nummis additis lucratus est sexaginta, quantum est capitale eius?» De ducentis quadraginta que prouenerunt1 minue decem et remanebit capitale eius. Si quis autem querat: «Cum caficium emptum pro octo numis uendiderim pro decem nummis et emi caficios ignotos pro capitali ignoto, de quibus iterum tot uendidi quod tres quartas ignoti capitalis recuperaui et remanserunt 40 caficii, tunc quantum fuit suum capitale numorum?» Sic facies. Accipe tres quartas de octo pro quibus emit caficium que sunt 6 nummi, et secundum quod caficius uenditur pro decem nummis uende de caficio pro sex quod erit tres quinte eius. De caficio igitur empto2 pro octo nummis uendidit tres quintas eius pro tribus quartis octo nummorum et remanserunt due quinte. Dices igitur quod postquam remanserunt de octo nummis qui sunt capitale eius due quinte caficii et remanserunt ei quadraginta, tunc quantum est capitale in quo remanserunt 40? Multiplica tunc octo in 40 et productum diuide per duas quintas et exibit capitale numorum scilicet octingenti, et hoc est quod scire uoluisti. Hic autem comparatio patet. Sic enim se habent octo nummi ad duas quintas caficii que remanserunt in eo, sicut capitale quesitum ad 40 caficios qui remanserunt in eo. Tercius ergo ignotus est3. Multiplica ergo primum qui est octo in quartum qui est 40 et productum diuide per secundum qui est due quinte, et exibit quod uolueris. Experientia autem questionis huius est ut secundum quod caficius emitur pro octo emas caficios pro octingentis numis et prouenient centum caficii. Postea de hiis caficiis uendat pro tribus quartis de octingentis4 que sunt sexcenti nummi secundum quod caficius uenditur pro decem numis, et prouenient ei 60 caficii, ergo remanebunt de centum quadraginta caficii, sicut predictum est. Si autem questio fuerit sic, ut dicat: «Cum ex eo quod uendidi recuperauerim tres quartas mei capitalis et insuper triginta nummos, quantum fuit capitale?», quere quot caficii proueniunt pro 30 numis, et inuenies 3 caficios. Quos adde quadraginta caficiis et fient quadraginta tres. Cum ergo recuperauerit tres quartas sui capitalis, remanebunt ei 43 caficii. Forma ergo questionem sicut predictum est et exibit capitale quod queritur. Si uero hic dixerit se recupasse5 tres quartas sui capitalis6 minus triginta nummis et remansisse sibi 40 caficios, tunc quantum fuit suum capitale nummorum? Sic facies. Minue tres caficios qui proueniunt pro 30 nummis de 40 caficiis et remanebunt 37 caficii, et hoc est quod remanet post recuperationem trium quartarum sui capitalis. Fac ergo secundum quod predictum est et exibit suum capitale nummorum quod queritur. Similiter etiam faciendum est secundum ____________________ 1 prouenerunt A P: proueniunt D 2 empto A2 D2 P: dempto A1: emptio D1 3 ignotus est A: est ignotus D P 4 de octingentis A P: et octogentis D 5 recupasse A: recuperasse D P 6 post capitalis exp. remanebunt e A2

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predictas regulas quotiens fuerit questio de dampnis secundum omnes modos de lucris. AD

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Item de lucris. Si quis querat: «Cum emantur 3 caficii pro 10 nummis et uendantur postea 4 pro 20, tunc quod cum duabus terciis sui capitalis1 emendo et uendendo secundum positum forum lucratur 10 caficios, quantum est eius capitale nummorum?» Sic facies. Dices enim: «Cum quis ex caficiis multis emptis, sed tribus pro 10 nummis, uendit autem 4 pro 20 et lucratur 10 caficios, tunc ex quanto capitali lucratus est eos?» Hec est secunda 5 specierum, que sunt in quarta2 4 specierum. Fac igitur sicut supradocui, et exibunt due tercie sui capitalis 100 nummi. Quibus adde ipsorum medietatem et fient 150, et tantum est totum capitale. Manente autem taliter questione si dixerit quod negotiando cum duabus terciis sui capitalis minus 2 nummis lucratur 10 caficios, fac sicut predictum est et exibunt due tercie capitalis minus 2 nummis. Quibus adde 2 nummos et erunt due tercie capitalis. Si autem dixerit eum negotiando cum duabus terciis capitalis et duobus3 nummis lucrari 100 caficios, fac sicut predictum est, et exibunt due tercie capitalis et duo numi. Quibus duobus numis sublatis remanebunt due tercie capitalis4. Si uero dixerit quod aliquis ex caficiis tribus emptis pro 10 uendit 4 pro 20 et negotiando secundum predictum5 forum cum tribus quartis sui capitalis caficiorum lucratur 93 nummos, fac sicut ostendimus in specie secunda 5 specierum, que sunt in secunda specie ex 4, et exibunt tres quarte capitalis caficiorum. Quibus adde terciam et erit totum capitale. Si uero dixerit quod negotiando cum tribus quartis sui capitalis caficiorum et cum 5 insuper additis caficiis lucratur tot uel tot nummos, fac sicut ostensum est et exibunt tres quarte sui capitalis caficiorum et insuper 5 alii caficii. De quibus sublatis 5 additis caficiis remanebunt tres quarte capitalis. Contingunt autem quedam in hoc capitulo questiones false. De quibus uisum est nobis unam apponere ex qua cetere propendantur que est hec. Si quis dicat: «Cum caficii 3 emuntur pro 10 nummis et uenduntur 4 pro 20, et aliquis cum tribus quartis sui capitalis nummorum et insuper 10 nummis negotiando secundum predictum forum lucratur unun caficium», hoc est impossibile. Cum solis enim 10 nummis mercando secundum positum forum lucrabitur unum caficium. Vnde si addantur tres quarte capitalis, amplius lucrabitur. Cum igitur huiusmodi questio proposita fuerit, scias eam esse falsam. Non enim est uera nisi cum caficii quos lucratur fuerint plures caficiis lucratis cum nummis positis cum quarta uel tercia uel qualiscumque alia fractione sui capitalis proposita. Si uero fuerint pauciores uel equales caficiis lucratis ex numis propositis, erit questio falsa. Intellige6 quod dico et cetera huiusmodi considera secundum hoc, et inuenies ita esse. ____________________ 1 post capitalis exp. positum forum D2 2 post quarta exp. quam specierum D2 3 et duobus A: om. D 4 duo numi [l. 18] – tercie capitalis addidi cum D: om. A 5 secundum predictum iter. A 6 post intellige exp. ergo D2

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Si quis dicat: «Cum ex caficiis 3 emptis pro 10 nummis uendit 4 pro 20, cum duabus uero terciis sui capitalis nummorum mercando et cum 10 nummis additis lucratur 100 nummos, tunc quantum fuit capitale?» Sic facies. Dices enim: «Cum 3 caficii emantur pro 10 nummis et uendantur 4 pro 20, tunc 100 nummos quos lucratus est ex quot nummis lucratus est?» Fac sicut ostensum in secunda 5 specierum que sunt in prima 4 specierum, et exibunt 200, qui sunt due tercie capitalis et 10 nummi1. Due igitur tertie capitalis sunt 190. Capitale igitur totum est 285. Hanc autem questionem sic poteris experiri, scilicet duabus terciis huius capitalis que sunt 190 aggrega 10, et fient 200. Si igitur ex hiis ducentis emeris caficios secundum suprapositum forum scilicet 3 pro 10, profecto emes 60. Quos si iterum uendideris secundum predictum forum scilicet 4 pro 20, profecto uendes2 eos pro 300 nummis. Lucrabis tunc ex duabus terciis sui capitalis et 10 que sunt 200 nummi 100 nummos. Similiter poteris experiri predictas questiones. Scias autem omnes questiones3 quecumque contingere possunt in hoc capitulo quod omnes reducentur4 ad 20 species predictas. Iam autem ostendimus qualiter hec questiones ad illas possunt reduci unde non5 est necesse apponere quecumque fieri possunt6. A

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Item de lucris. Cum aliquis emit sextarios ignotos scilicet unumquemque pro 3 nummis, de quibus postea tot uendidit sed unumquemque pro 5 nummis, quod capitale suum recuperauit et remanserunt ei 20 sextarii, quot fuerunt sextarii ignoti? Multiplica 5 in 20, et productum diuide per differentiam que est inter 3 et 5, scilicet 2, et exibunt 50, et tot fuerunt sextarii quos emit. Cum aliquis emit sextarios ignotos, scilicet unumquemque pro 3 nummis, de quibus postea uendidit tot, scilicet unumquemque pro 5 nummis, quod capitale suum et insuper 10 nummos et recuperauit et remanserunt ei 20 sextarii, quot fuerunt sextarii? Multiplica 5 in 20, et productum adde 10, quos supra lucratus est, et productum diuide per differentiam que est inter 3 et 5, scilicet 2, et exibunt 55, et tot fuerunt sextarii. Cum aliquis emit sextarios ignotos unumquemque pro 3 nummis, de quibus tot postea uendidit, quod capitale suum minus 10 nummis recuperauit, unumquemque autem uendidit pro 5 nummis et remanserunt ei 20 sextarii, tunc quot fuerunt sextarii? Multiplica 5 in 20 et de producto minue 10, et quod remanet diuide per differentiam que est inter 5 et 3, et exibunt 45, et tot fuerunt sextarii7.

____________________ 1 post nummi add. Due igitur tercie capitalis et decem numi D 2 uendes A: uenditur D 3 questiones A: quas predictiones D 4 reducentur A: reducuntur D 5 non A: nec D 6 Item de lucris [p. 230, l. 4] – fieri possunt A D: om. P 7 Item de lucris [l. 19] – sextarii A: om. D P

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Si quis: «Cum ex multis caficiis, sed tribus emptis pro 10, uendit quis 4 pro 20 quousque recuperat tres quartas sui capitalis nummorum, et remanent sibi 20 caficii uendendi, tunc quot sunt caficii et quantum est capitale nummorum?» Sic facies. Accipe tres quartas de 10 que sunt 7 et dimidium, et eme1 ex illis annonam secundum 4 pro 20, et habebis caficium et dimidium. Quem caficium et dimidium minue de 3 caficiis, et remanebit unus et dimidius. Si igitur uolueris scire capitale totum nummorum, multiplica 10 in 20 caficios qui remanserunt et productum diuide per 1 et dimidium remanentem, et exibit totum capitale nummorum scilicet 133 et tercia. Si uero uolueris scire caficios ignotos quos emit ex istis nummis, multiplica 3 caficios in 20 qui remanserunt et productum diuide per 1 et dimidium, et exibunt 40, et tot sunt caficii ignoti quos emit pro predicto capitali. Hoc autem sic poteris experiri. Ex suo capitali nummorum quod erat 133 et tercia nummi emit 40 caficios secundum quod 3 pro 10. Deinde uendidit de illis secundum quod 4 pro 20 tot quot recuperauit. Tres quartas sui capitalis que sunt 100 nummi, scilicet 20 caficios, uendidit et remanserunt alii 20, sicut predixit. Huius autem regule probatio est hec. Sint 3 caficii linea ab. Precium uero eorum quod2 est 10 sint gd, 4 uero caficii sint hz. Sed 20 nummi sint3 kt. Caficii uero ignoti sint ql. Capitale autem ignotum sit mn. Tres uero quarte de mn sint me. 20 uero caficii remanentes sint cl. Manifestum est igitur quod comparatio de ab ad gd est sicut comparatio de ql ad mn. Comparatio uero de hz ad kt est sicut comparatio de qc ad me. Et quoniam comparatio de ab ad gd erat sicut comparatio de ql ad mn, ideo comparatio de ab ad tres quartas de gd erit sicut comparatio de ql4 ad tres quartas de mn. Sed tres quarte de mn sunt me. Sint autem tres quarte de gd gf. Manifestum est igitur quod comparatio de ab ad gf est sicut comparatio de ql ad me. Comparatio autem de hz ad kt est sicut comparatio de qc ad me. Sit autem comparatio de hz ad kt, sicut comparatio de ao ad gf. Sed comparatio de hz ad kt est sicut comparatio de qc ad me. Iam autem erat comparatio de ab ad gf sicut comparatio de ql ad me. Sequitur igitur ut comparatio de ob remanente ad gf sit sicut comparatio de cl5 remanente ad me. Comparatio igitur de ob ad totum gd, quod est se6 sequentium ad gf, est sicut comparatio de cl ad mn, quod se sequentium7 ad me. Si igitur multiplicaueris gd, quod est 10, in cl, quod est 20 remanentes, et productum diuiseris per ob, quod est 1 et dimidium, exibit mn, quod est suum capitale numorum. Similiter etiam comparatio de ob ad ab erit sicut comparatio de cl, quod est 20, ad ql, quod est omnes caficii ignoti. Comparatio enim de ob ad gd est sicut comparatio de cl ad

____________________ 1 eme A: emi D cl exp. ad me A2

2 quod A: que D 3 sint A: sunt D 4 de ql A: dl D 6 se A: sex D 7 se sequentium A: est sex qui tercium D

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mn. Comparatio uero de gd ad ab est sicut comparatio1 de mn ad ql. Igitur secundum equam proportionalitatem comparatio de ob ad ab erat2 sicut comparatio de cl ad ql. Si igitur multiplices ab, quod est 3, in cl, quod est 20, et productum diuidas per ob quod est 1 et dimidium exibit ql quod est caficii ignoti scilicet 40, et hoc est quod demonstrare3 uoluimus.

Fig.59: A, fol.159 v m.s.; om. D.

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Si quis autem dicat: «Cum quis emit caficios multos, sed 3 pro 10 nummis, deinde uendit de illis 4 pro 20 donec recuperat tres quartas sui capitalis nummorum et insuper 10 nummos et remanserunt ei 18 caficii, tunc quantum est capitale eius et quot sunt caficii?» Sic facies. Scimus quod 2 caficios uendit pro 10 nummis. Positum est autem quod recuperat: tribus quartis sui capitalis et 10 nummis ex uenditis caficiis remanent ei 18 caficii. Recuperatis igitur tantum tribus quartis capitalis remanent ei 20 caficii. Dices igitur: «Cum ex multis caficiis sed tribus tantum emptis pro 10 uendit 4 pro 20, sed uendendo sic recuperat tres quartas sui capitalis et remanent sibi 20 caficii uendendi», fac sicut supradocui, et exibit quod uoluisti. Item si quis querat: «Cum quis emit multos cafizios sed tres pro 10 nummis et uendit eos 4 pro 20, et recuperatis tribus quartis sui capitalis minus 20 nummis, remanent ei 24 caficii4, 5. Iam scimus eum quatuor caficios uendere pro uiginti numis, et quod post hanc uenditionem recuperatis tribus quartis capitalis minus uiginti numis remanent ei uiginti quatuor caficii6. Igitur ex tali uenditione recuperatis tantum tribus quartis sui capitalis, remanebunt ei 20 caficii. Dices igitur: «Cum aliquis emerit 3 cafizios pro 10 et postea uendit 4 pro 20, et uendendo recuperat tres quartas capitalis et remanent ei 20 caficii uendendi». Fac sicut7 supradocui et exibunt caficii ignoti 40, et capitale nummorum 133 et tercia. Hanc autem questionem sic poteris experiri. Scimus enim quod caficii empti sunt 40. De quibus 16 uendidit secundum positum forum quod recuperauit tres quartas sui capitalis nummorum minus 20 nummis, que sunt 80. Ergo remanent ei 24 caficii. Secundum hoc autem considera cetera huiusmodi, et inuenies ita esse. Est autem quedam alia questio peregrina de lucris quam uisum fuit nobis ponere in hoc capitulo que est huiusmodi.

____________________ 1 de cl [p. 232, l. 37] – comparatio addidi cum D: om. A 2 erat A: erit D 3 demonstrare A: monstrare D 4 24 caficii A: om. D 5 tunc quantum [l. 18] – facies addidi 6 Iam scimus [l. 19] – caficii addidi cum D: om. A 7 sicut iter. A1

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Si quis dicat: «Cum aliquis ex 12 caficiis lucratur 3 caficios, tunc quot nummos lucrabitur ex 100 nummis?» Sensus huius questionis hic est quod aliquis emerit 12 caficios pro nummis aliquot cognitis. «Deinde recipit totidem nummos pro 9 ex illis caficiis uenditis. In 12 igitur caficiis lucratus est 3 caficios1 et uult scire2 ex 100 nummis datis pro caficiis secundum forum quo emit 12, et item ex uenditis caficiis illis secundum forum quo uendidit 9, tunc quot nummos lucrabitur?» Sic facies. Minue 3 caficios de 12, et remanebunt 9. Deinde multiplica 100 in 3 et productum diuide per 9, et exibit quod uoluisti. Cuius probatio hec est. Sint 12 caficii ab, precium uero uniuscuiusque 12 caficiorum gd. Et multiplicetur ab in gd et proueniat h. Igitur h est nummi cum quibus emit 12 caficios secundum precium uniuscuiusque caficii pro gd. De hiis autem 12 caficiis uendidit 9 pro h secundum pretium uniuscuiusque caficii pro gz. Igitur precium quo emitur unusquisque caficius est gd. Precium uero quo uenditur unusquisque caficius est gz. 100 autem nummi cum quibus emit id quod emit et pro quibus uendit id quod uendit secundum positum forum sint k. Id uero quod queritur scilicet lucrum quod lucratur ex illis t. Patet ergo quod comparatio de dz ad gd est sicut comparatio de t ad k. Scimus autem quod id quod fit ex ductu gz in aq qui est 9 equum est ei quod fit ex ductu gd in ab. Igitur comparatio de gz ad gd est sicut comparatio de ab ad aq. Cum autem disiunxerimus, tunc comparatio de dz ad gd est3 sicut comparatio de qb ad aq. Sed comparatio de dz ad gd est sicut comparatio de t ad k. Igitur comparatio de qb, qui est 3, ad aq, qui est 9, est sicut comparatio quesiti ad 100. Cum igitur multiplicaueris 3 in 100, et productum diuiseris per 9, exibit id quod queritur, et hoc est quod demonstrare4 uoluimus.

Fig.60: A, fol.160 r m.d.; om. D.

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Item capitulum de ignotis lucris. Verbi gratia. Si quis querat: «Cum quis emit 3 caficios de tritico pro 10 nummis et de ordeo emit nescio quot pro 12 nummis, postea uendit unumquemque caficium de tritico pro precio cuiusque caficii de ordi (sic)5, et unumquemque caficium ordei uendidit pro precio cuiusque caficii6 de tritico, ad ultimum lucratur 4 nummos, tunc quot fuerunt caficii ignoti de ordeo?» ____________________ 1 post caficios exp. secundum forum quo emit 12 A2 2 scire addidi cum D: om. A 3 est A: erit D 4 demonstrare A: monstrare D 5 ordi false A D in ordeo corrigendum 6 de ordi [l. 29] – caficii addidi cum D: om. A

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Sic facies. Agrega 10 cum 12 et fient 22. Quibus agrega 4, et fient 26. Deinde multiplica 10 in 12, et prouenient 120. Deinde medietatem de 26 predictis que est 13 multiplica in se, et prouenient 169. De quibus minue 120, et remanebunt 49, quorum radix1 est 7. Si uolueris agrega ad 13, et fient 20. Dices igitur: «Cum 3 caficii dentur pro 10, quot habebo pro 20?», prouenient sex2 et tot sunt caficii de ordeo ignoti. Vel si uolueris minue 7 de 13, et remanebunt 6. Dices igitur: «Cum 3 pro 10, tunc quot habebo pro 6?», et exibunt 1 et quatuor quinte. Igitur si uolueris aut caficii ignoti de ordeo sint 1 et quatuor quinte et precium uniuscuiusque eorum 6 et due tercie, aut si uolueris predicti caficii sint 6, precium uero uniuscuiusque eorum 2 nummi. Cuius probatio hec est. 3 caficii sint a, 10 uero nummi b, ordeum autem sit d, 12 autem nummi sint h. Dices igitur: «Cum 3 caficii pro 10 nummis, tunc quantum est pretium caficiorum ignotorum de ordeo?» Sint igitur etiam 3 caficii z, ordeum uero ignotum sit g. Precium uero de g sit kt. Precium uero de z sit tq. Et quoniam comparatio de a ad b est sicut comparatio de g ad kt, ideo cum commutauerimus, erit comparatio de a ad g sicut comparatio de b ad kt. Sed a idem est quod z, et g idem quod d. Igitur comparatio de z ad d est sicut comparatio de b ad kt. Scimus autem quod comparatio de tq ad h est sicut comparatio de z ad d. Igitur comparatio de b ad kt est sicut comparatio de tq ad h. Quod igitur fit ex ductu b in h equum est ei quod fit ex ductu kt in tq. Sed ex ductu b in h proueniunt 120. Igitur id quod fit ex ductu kt in tq est 120. Constat autem quod kt et tq est 26. Igitur diuidatur kt per medium scilicet uel per l uel per m. Igitur si diuiseris per l, caficii de ordeo erunt 6, precium uero uniuscuiusque eorum erit 2 nummi. Si uero diuiseris per m, tunc caficii de ordeo erit 1 et quatuor quinte, precium uero uniuscuiusque caficii erit 6 et due tercie, et hoc est quod demonstrare3 uoluimus4. A

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Cum aliquis in empto pro 5 lucratur 3, tunc quantum est capitale ex quo lucratur 6 radices eius? Sic facies. Diuide numerum radicis per 3 que lucratur, et quod exit multiplica in 5, et productum multiplica in se, et prouenient 100, et tantum fuit capitale. Cum aliquis in empto pro 5 lucratur 3, tunc quantum est capitale ex quo lucratur 6 radices medietatis eius? Quere numerum in quem multiplicata medietas fit unum, et hic est 2. Quos multiplica in 3, et prouenient 6, quos retine. Deinde in 5 multiplica numerum radicis, et productum diuide per 6 retenta, et quod exit multiplica in se et productum duplica eo quod proposuit 6 radices medietatis eius, et prouenient 50, et hoc est quod uoluisti5. ____________________ 1 radix A: radicem que D 2 sex addidi cum D: om. A 3 demonstrare A: monstrare D 4 Si quis [p. 232, l. 2] – uoluimus A D: om. P 5 Cum aliquis [l. 29] – quod uoluisti A: om. DP

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Si quis dicat: «Cum quis in empto pro 5 lucratur 3, ex ductu autem radicis cuiusdam sui lucri secundum positum forum in radicem cuiusdam sui capitalis proueniunt 10, tunc quantum est illud suum lucrum siue capitale?» Sic facies. Patet igitur quod ex ductu sui lucri in suum capitale proueniunt 100. Nam numerum multiplicare in alium et producti accipere radicem idem est quod radicem multiplicati numeri multiplicare in radicem multiplicantis. Cuius regule probatio iam assignata est in capitulo radicum. Hec igitur questio est quasi dicatur: «Cum in 5 lucretur 3 et ex ductu lucri alterius in aliud capitale proueniunt 100», fac sicut supraostendimus et exibit quod uoluisti. Si quis dicat: «Cum quis emerit 3 caficios pro 10 nummis et uendit 4 pro 20, ex ductu autem radicis cuiusdam sui lucri nummorum secundum positum forum in radicem sui capitalis caficiorum proueniunt 20, tunc quantum est capitale caficiorum et quantum lucrum nummorum?» Sic facies. Scimus enim quod si suum lucrum nummorum multiplicetur in suum capitale caficiorum proueniunt 400. Dices igitur: «Cum quis emit 3 pro 10, et uendit 4 pro 20, ex ductu autem sui lucri nummorum in suum capitale caficiorum proueniunt 400», fac sicut supraostendimus in quinta specie 5 specierum que sunt in secunda specie 4 specierum. Si quis dicat: «Cum in empto pro 9 aliquis lucretur1 4, ex agregata autem radice sui lucri cum radice sui capitalis proueniunt 20, tunc quantum est lucrum siue capitale2?» Sic facies. Scimus quod comparatio unius capitalis ad suum lucrum est sicut comparatio alterius capitalis ad lucrum eius. Igitur comparatio radicis3 capitalis ignoti4 ad radicem sui lucri5 est sicut comparatio radicis capitalis ignoti ad radicem sui lucri ignoti. Cum autem composuerimus, tunc comparatio 3 ad 5 est (sic)6 sicut comparatio capitalis ignoti ad 20. Fac ergo sicut supradocui, et exibit radix sui capitalis ignoti 12. Capitale igitur eius ignotum est 144. E conuerso autem comparatio duorum ad 5 erit sicut comparatio radicis sui lucri ad 20. Fac ergo sicut supradictum7 est, et erit radix sui lucri 8. Igitur lucrum eius est 64. Cetera autem hiis similia considera secundum hoc, et inuenies ita esse. Si autem dicat quod subtracta radice sui lucri de radice sui capitalis remanent 4, facies sicut in precedentibus, sed fiet hoc dispergendo. Si quis dicat: «Cum quis emit 3 caficios pro 10, et uendit 4 pro 20, agregata autem radice sui lucri caficiorum cum radice sui capitalis nummorum proueniunt 508». Dices igitur: «Cum 4 pro 20, tunc quantum habebo pro 10?» Scilicet 2. Cum igitur quis emit 3 caficios pro 10, et uendit 2 caficios pro 10, tunc in 10 nummis lucratur 1 caficius. Cum igitur in 10 lucratur 1, agregata autem radice sui lucri cum radice sui capitalis proueniunt 50, fac sicut predictum est, scilicet accipe radicem unius9 et radicem de 10, que est 1 et10 radix de 10. Comparatio igitur ____________________ 1 lucretur A: lucratur D 2 post capitale add. eius D 3 post radicis add. sui D 6 est A: erit D 7 supradictum A: 4 ignoti A: om. D 5 post lucri exp. ignoti A2 9 unius A2 D: eius A1 10 et A: om. D predictum D 8 50 A2 D: 500 A1

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unius ad radicem de 10 erit sicut comparatio radicis sui lucri ad radicem sui capitalis. Cum autem composueris, tunc comparatio unius ad 1 et radicem de 10 erit sicut comparatio radicis sui lucri ad 50. Multiplica igitur 1 in 50, et productum diuide per 1 et radicem de 10, et quod exierit erit radix sui capitalis. Similiter etiam erit comparatio radicis de 10 ad 1 et radicem de 10 sicut comparatio radicis sui capitalis ad 50. Multiplica igitur radicem de 10 in 50, et productum diuide per 1 et radicem de 10, et quod exierit erit radix sui capitalis. Si quis autem dicat: «Cum quis emit 3 pro 10, et uendit 4 pro 20, diminuta autem radice1 sui lucri caficiorum de radice sui capitalis caficiorum remanent 602», fac sicut supradictum est, et exibit quod uoluisti. Si quis dicat: «Cum quis caficios emptos 3 pro 10, uendit 4 pro 20, lucratur autem in numis ignotis caficios tot quanta est radix3, tunc quantum est suum capitale nummorum et quantum est lucrum caficiorum?» Sic facies. Dic: «Cum 4 pro 20, tunc quot habebo pro 10?», et4 prouenient 2. Cum emit igitur 3 pro 10, et uendit 2 pro 10, tunc in 10 nummis lucratur5 1 caficius. Deinde dic: «Cum in 10 lucratur6 1 et in nummis ignotis lucratur 7 quantum est radix eorum, tunc quot sunt nummi et quanta est radix eorum?» Tu scis quod comparatio de 10 ad 1 est sicut comparatio numorum ignotorum ad radicem eorum. 10 autem decupli sunt unius. Igitur nummi decupli sunt radici sue. Nummi igitur sunt 100, qui sunt suum capitale nummorum quorum radix est 10, quod est suum lucrum caficiorum. Si quis dicat: «Cum quis emit caficios ignotos pro 10 nummis et uendit 4 pro 20, et in 100 nummis lucratur 10 caficios, tunc quot sunt caficii ignoti?» Sic facies. Dic scilicet: «Cum 4 pro 20, tunc quot habebo pro 10?», fac sicut supradictum est et prouenient 2 caficios. Emit igitur caficios ignotos pro 10 nummis et ex eis uendit 2 pro 10 nummis. Manifestum est autem quod comparatio sui lucri caficiorum in 10 nummis ad 10 nummos est sicut comparatio 10 caficiorum ad 100 nummos. Fac ergo sicut supradocui, et proueniet suum lucrum ex 10 nummis unus caficius. Cum igitur quis emit ignotos caficios pro 10 nummis, et ex eis uendit 2 pro 10 nummis, et insuper remansit unus caficius, tunc caficii ignoti sunt 3, et hoc est quod monstrare uoluimus8. A

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Si quis autem dicat: «Cum quis emit caficios ignotos pro triplo radicis eorum et uendit eosdem pro 20 nummis, ex 100 autem caficiis lucratur 350 nummos, tunc quot sunt caficii, et que sunt 3 radices eorum?»

____________________ 1 radice A: radici D 2 60 D: add. A2 s.l. 3 post radix exp. nummorum A2 4 et 6 lucratur iter. A A: om. D 5 post lucratur exp. quantum est radix eorum A2 7 tantum addidi 8 Si quis dicat [p. 236, l. 2] – uoluimus A D: om. P 10 nummis [l. 30] – uoluimus A: om. D

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Sic facies. Iam scis quod qui ex 100 caficiis lucratur 350 nummos, in uno caficio lucratur 3 et dimidium. Scis etiam quod comparatio 3 et dimidii ad 1 est sicut comparatio de 20 minus tribus radicibus caficiorum ad caficios. Si igitur multiplices caficios in 3 et dimidium, id quod proueniet equum erit ad 20 minus tribus radicibus caficiorum. Iam igitur habemus 3 census et dimidium que adequantur ad 20 minus 3 radicibus. Cum igitur compleueris, habebis 3 census et dimidium et tres radices que adequantur 20 nummis. Reductis igitur omnibus censibus ad unum censum et 3 radices et 20 ad idem proportionaliter, proueniet ad ultimum unus census et 6/7 radicis que equantur 5 nummis et 5/7 nummi. Fac ergo sicut ostensum est in algebra scilicet medietatem radicis que est 3 septime multiplica in se et proueniet 1/7 et 3/7 unius septime. Quos agrega nummis et fient 5 nummi et 6/7 et 2/7 unius septime. De quorum omnium radice que est 2 et 3/7 minue 3/7, et remanebunt 2 qui sunt radix census. Census igitur est 4, et tot sunt caficii ignoti. Precium uero quo emit eos est 6 nummi, et hoc est quod monstrare uoluimus. Si quis dicat: «Cum quis emit caficios multos pro triplo radicis eorum et uendit eosdem pro quincuplo radicis eorum, et in 100 caficiis secundum idem forum uenditis lucratur 150 nummos». Sic facies. Constat quod cum caficios emit pro triplo radicis eorum et uendit eos pro quincuplo radicis eorum, lucratur nummos in caficiis duplos radicis eorum. Positum est autem ipsum in 100 caficiis lucrari 150 nummos. Comparatio igitur de 150 ad 100 est sicut comparatio duorum radicum ad caficios. Sed 150 ad 100 sunt unum et dimidium. Igitur 2 radices sunt unum et dimidium caficiorum. Igitur census et dimidius equantur duobus similibus radicibus. Radix igitur est 1 et tercia. Census uero est 1 et 7/9 et tot sunt caficii ignoti scilicet 1 et 7/9 unius, et hic est quod demonstrare uoluimus. Scias autem de ignotis lucris multas questiones alias posse fieri innumerabiles. De quibus hic nihil agimus nisi quantum pertinet ad presens. Non enim possunt omnes comprehendi. Quisquis autem intellexit ea que dicta sunt de hiis, et intellexit supradicta de lucris in 20 modis et in aliis et ea que premisimus in principio libri, tunc quotiens euenerit questio huiusmodi quam ego pretermisi cogitet supra eam et pro ea que supradicta sunt fortasse inueniet eam1. ADP

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Capitulum de lucro participum. Verbi gratia2. Si uolueris scire tres participes quorum unus3 collatis octo numis, secundus decem, tercius autem quattuordecim negociando lucrati sunt uiginti duo, tunc quantum ex4 hoc lucro contingat unumquemque secundum quantitatem collati capitalis. ____________________ 1 Si quis autem [p. 237, l. 34] – inueniet eam A: om. D P 4 ex iter. P 3 quorum unus om. D P1 P3: add. A2 s.l. P2

2 Capitulum – gratia A P: om. D

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Sic facies. Agrega capitalia omnium et agregati summa erit triginta duo, – cum qua lucrati sunt uiginti duo, – que sit tibi1 prelatus. Deinde lucrum quod est 22 multiplica in capitale cuiusque et productum diuide per prelatum et quod exierit est lucrum eius in cuius capitale multiplicasti. Vel si uolueris, uide quota pars est octo de triginta duobus, scilicet quarta. Quarta igitur pars de uiginti duobus est lucrum eius qui contulit octo. Similiter uide quota pars est decem de2 triginta duobus scilicet due octaue et dimidia octaua. Tanta igitur pars de uiginti duobus est lucrum eius qui apposuit decem. Similiter facies de quattuordecim. Vel si uolueris, denomina uiginti duo de triginta duobus et erunt quinque octaue et dimidia octaua. Quas multiplica in capitale3 cuiusque et productum est id quod de lucro quemque contingit. Regula autem sumpta est4 ex proportione. Sic enim se habet capitale ad lucrum, sicut capitale ad lucrum, uel sic se habet 5 lucrum ad capitale sicut lucrum ad capitale. Hic igitur talis est comparatio talis est6 tocius summe agregati, que est triginta duo, ad totum lucrum7, quod est 22, qualis est comparatio de octo ad partem lucri que sibi debetur. Vnde quartus est incognitus. Multiplica ergo secundum in tercium, et productum diuide per primum, et exibit quod queris. Vel diuide unum se multiplicantium per diuidentem et quod exit multiplica in alterum, et productum erit quod queritur. Sic facies in decem et quattuordecim, et exibit quod queris. Sic facies in omnibus participibus siue sint multi siue pauci. Agrega semper8 capitalia omnium, et comparatio lucri omnium ad capitale omnium erit sicut comparatio lucri uniuscuiusque ad capitale cuiusque. Multiplica ergo capitale cuiusque in lucrum omnium et productum diuide per agregatum ex omnibus capitalibus et exibit sors cuiusque. Si autem uolueris scire tres participes quorum unus collatis octo, secundus decem, tercius 14 negociando lucrati sunt et de lucro prouenerunt9 4 ei qui decem apposuit, quantum ergo10 debetur reliquis duobus? Sic facies. Decem sit tibi prelatus. Lucrum autem eius quod est quattuor multiplica in capitale eius cuius lucrum quantum sit11 scire uolueris et productum diuide per prelatum, et quod exierit est lucrum eius in cuius12 capitale multiplicasti. Vel diuide per decem lucrum eius et quod exit multiplica in capitale cuiusque et productum erit lucrum eius in cuius capitale multiplicasti. Vel diuide capitale cuius lucrum scire uolueris per decem et quod exit multiplica in 4 quod est lucrum eius, et productum est id quod queris. Hec autem regula sumpta est ex comparatione. Talis est enim comparatio de decem ad suum lucrum quod est quattuor qualis comparatio capitalis ad suum lucrum quod queritur. Vnde quartus est incognitus. Diuidens ergo erit primus qui est decem. ____________________ 1 tibi A D: om. P 2 de iter. P 3 post capitale exp. eius P2 4 est D P: add. A2 2 5 post habet exp. ad D 6 comparatio talis est A: talis est comparatio D P 7 totum lucrum A D: lucrum totum P 8 semper A P: om. D 9 prouenerunt A P: proueniunt D 10 ergo A: om. D P 11 post sit add. si D 12 cuius A post prouenerunt exp. ei P2 P: om. D

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Si autem questio fuerit sic ut dicat: «Si utrique qui contulit octo et qui contulit decem de lucro prouenerunt duodecim, tunc quantum lucratus est quisque per se trium?», agrega octo ad decem et fient 18 qui sint tibi prelatus. Et lucrum eius quod est duodecim multiplica in capitale cuiusque et productum diuide per decem et octo, et exibit quod queris. Vel diuide unum multiplicantium per decem et octo qui est diuidens, et quod exit multiplica in alterum multiplicantium, et proueniet quod queris. Regula illa1 patet ex comparatione sicut predictum est. Si quis querit, dicens: «Tres consortes erant quorum unus collatis 8, secundus 10, tercius 142 negociando simul lucrati sunt et diuiso lucro inter se, eo quod accidit conferenti3 octo, subtracto de eo quod accidit conferenti quattuordecim, remanent quattuor, tunc quantum accidit unicuique eorum?». Modus agendi patet hic ex predictis, scilicet minue octo de 14 et remanent 6. Patet ergo quod lucrum istorum4 65 sunt predicti6 4. Quasi ergo querat: «Cum in sex lucratus sit quattuor, quantum lucrabitur in octo et in decem et in quattuordecim?» Tu multiplica 4, qui sunt lucrum de 6, in capitale cuiusque eorum et productum diuide per 6, et exibit quod queris. Si autem proposuerit sic, dicens: «Ei qui apposuit7 octo accidit de lucro tantum quo multiplicato in id quod accidit conferenti decem fiunt 45». Modus agendi patet hic ex predictis in huiusmodi de ignotis in emendo et uendendo et lucris. Scilicet ut cum uolueris scire quantum sit lucrum eius qui apposuit octo, multiplica 8 in 45 et productum diuide per decem et eius quod exit radix est lucrum eius qui apposuit octo. Si autem uolueris scire quantum sit lucrum eius qui apposuit decem, multiplica decem in 45 et productum diuide8 per octo et eius quod exit radix est id quod queris9. A

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Si quis querat, dicens: «Duo participes unius eorum capitale 10 alterum uero 20, negotiando lucrati sunt, et ei quod apposuit 10 accidit radix eius quod accidit apponenti 20, tunc quantum lucratus est unusquisque eorum?» Sic facies. Constat quod comparatio de 10 ad 20 est sicut comparatio lucri apponentis 10 ad lucrum apponentis 20. Igitur lucrum apponentis 10 medietas est lucri apponentis 20. Habemus igitur dimidium censum quod equatur radici census. Census igitur est 4 et eius radix. Qui igitur apposuit 10 lucratur 2, et qui 20 lucratur 4, et hoc est quod scire uoluisti. Item si quis: «Cum sint 3 participes, quorum unius capitale est 10, secundi uero 30, tertii autem 50, negotiando lucrati sunt tantum quod si lucrum primi et secundi minuatur de lucro tertii remanent 3, tunc quantum est lucrum cuiusque?» ____________________ 1 illa A: ista D P 2 post 14 add. in D 3 conferenti A P: conferente D 4 istorum 5 6 A P: om. D 6 post predicti exp. a D2 7 sic dicens ei qui A D2 P: eorum D1 apposuit A P: om. D 8 post diuide add. et P 9 decem et eius [l. 22] – quod queris addidi cum D P: om. A

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Sic facies. Agrega 10 et 30 et fient 40. Quos minue de capitali tertii, et remanebunt 10. De quibus denomina 3 scilicet 3/10. Tantum igitur scilicet 3/10 sui capitalis lucratus est quisque eorum. Primus igitur lucratus est 3, secundus 9, tertius 15. Cum sint 3 participes quorum unius capitale est 20, secundi 50. Tertii uero 30 negotiando lucrati sunt tantum quod si de lucro primi et secundi diminuatur lucrum tertii remanebunt 4. Sic facies. Minue capitale tertii de capitali primi et secundi simul agregatis, et remanebunt 40. De quibus denomina 4 scilicet decimam. Decimam igitur sui capitali lucratur quisque eorum. Primus igitur lucratur 2, secundus 5, tercius 3. Cum sint 3 participes unius, quorum capitale 10, alterius 20, tertius 40, negotiando lucrati sunt tantum quod cum lucro primi et secundi multiplicetur in lucrum tertii proueniunt 48. Sic facies. Agrega capitale primi cum capitali secundi, et agregatum multiplica in capitale tertii, et prouenient 1200. De quibus denomina 48, scilicet quintam quinte, cuius radix est scilicet quinta. Tantam partem sui capitalis scilicet quintam lucratur quisque eorum. Primus ergo lucratur 2, secundus 3, tertius 8. Cum sint 2 participes, unius quorum capitale est 10, alterum uero 50, negotiando lucrati sunt tantum quod 1 lucrum primi est medietas radicis lucri secundi. Sic facies. Diuide 50 per 10 et exibunt 5. Quos multiplica in dimidium, et prouenient 2 et dimidium. Quos multiplica in se et prouenient 6 et quarta, et tantum lucratur secundus. Primus uero lucratur dimidium radicis horum 6 et quarte quod est 1 et quarta, et hoc est quod uoluisti. Cum sint 2 participes unius quorum capitale est 8, secundi uero 18 negotiando lucrati sunt tantum quod cum radix lucri primi multiplicetur in radicem lucri secundi prouenient 6. Sic facies. Multiplica 6 in se et prouenient 36. Deinde multiplica capitale primi in capitale secundi, et prouenient 144. Per quos diuide 36 denominando scilicet quartam. Cuius radicem que est dimidium multiplica in 8, et prouenient 4, et tantum lucratur primus. Deinde multiplica idem dimidium in 18, et prouenient 9, et tantum lucratur secundus. Vel aliter. Diuide 18 per 8, et exibunt 2 et quarta. Per quarum radicem que est 1 et dimidium diuide 6, et exibunt 4, et tantum lucratur primus. Et multiplica 4 in 2 et quartam et prouenient 9, et tantum est lucrum secundi. Si quis querat: «Cum sint 3 participes quorum unius capitale est 10, secundi uero 20, et tertii 100 mercando lucrati sunt et diuiso lucro inter se id quod accidit ei quod apposuit 10, et ei quod 20, si multiplicetur in id quod accidit apponenti 100 proueniunt 120.»

____________________ 1 cum addidi

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Sic facies. Iam constat quod comparatio lucri apponentis 10 et lucri apponentis 20 simul agregatorum ad 30 qui fiunt ex agregatis 10 et 20 erit1 sicut comparatio lucri apponentis 10 et lucri apponentis 20 simul agregatorum ad lucrum apponentis 100. Quasi ergo dicatur: «Cum in 100 lucretur 30, multiplicato autem lucro eius in capitale eius proueniunt 120 (sic)2», fac sicut predocui et erit lucrum eius 6, et hoc est quod lucratur in 30. Dices igitur: «Cum tres participes quorum unus apponit 10, alius 20, tertius 30, sed qui apponit 30 lucratur 6, tunc quantum lucratur unusquisque aliorum?» Iam scis quod comparatio de 6 ad 30 est3 sicut comparatio lucri uniuscuiusque aliorum ad capitale suum. Fac igitur sicut predocui, et lucrum apponentis 10 erit 2, et apponentis 20 lucrum erit 4, lucrum uero eius quod apposuit 100 erit 204. ADP

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Item de eodem5. Si quis querit6, dicens: «Centum oues habebant duo homines7, unus sexaginta et alter quadraginta8, qui receperunt tercium hominem in participium illarum, ita ut centum oues fierent illorum trium equaliter, sed hic tercius pro tercia parte in quam receptus est dedit reliquis duobus 60 numos, quomodo illi duo9 diuident eas inter se?» Iam nosti illum cuius erant sexaginta descendisse usque ad triginta tres10 et terciam et uendidisse recepto participi id quod est inter utrumque numerum scilicet 26 et duas tercias. Secundus uero cuius erant 40 descendit similiter usque ad 33 et terciam et uendidit recepto participi id quod est inter utrumque numerum scilicet sex et duas tercias. Quasi ergo querat, dicens: «Duo participes quorum11 unus collatis uiginti sex et duabus terciis, alter uero sex et duabus terciis lucrati sunt 60 nummos, quomodo diuident eos inter se ?», fac sicut predocuimus et conferenti 26 et duas tercias accident 48, et hoc est quod prouenit domino sexaginta ouium. Conferenti uero sex et duas tercias accident12 duodecim et hoc est quod prouenit domino quadraginta ouium. Scias autem hic multas alias huiusmodi secundi13 questiones, sed quoniam innumerabiles sunt, ideo quisquis ea que dicta sunt animaduertit. Quotiens questio de ignoto in participatione euenerit per ea que dicta14 sunt adinuenire poterit15. DP Capitulum de diuisione secundum proportiones16. Si uolueris diuidere triginta numos duobus hominibus, uni eorum medietatem17, ____________________ 1 erit A2: est A1 2 120 false A in 180 corrigendum 3 est A2: ei A1 4 Si quis querat [p. 240, l. 27] – erit 20 A: om. D P 5 Item de eodem A P: om. D 6 querat A: 8 post quadraginta exp. A D2 9 illi duo A D: querit D P 7 post homines exp. a D2 2 1 11 post quorum exp. a D2 12 post accident exp. a om. P 10 tres A D P: sex D 13 secundi A uid. Puid.: fieri D 14 dicta A: predicta D: add. P2 s.l. 15 Scias D2 2 16 Capitulum – proportiones P: om. D autem [l. 29] – poterit A D: add. P m.d. 17 medietatem P: medietate D

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alteri uero terciam. Sensus horum uerborum est ut cum alter eorum acceperit medietatem, alter accipiat terciam, donec nichil suprasit de triginta. Sic facies hic. Ex numeris denominationum que sunt medietas et tercia multiplicatis inter se proueniet sex. Quorum medietatem que est1 tres da domino medietatis. Et eius2 terciam que est duo da domino tercie partis. Quasi ergo querat, dicens: «Duo consortes quorum unus collatis tribus, alter uero duobus, lucrati sunt 30, quomodo diuident eos?» Domino ergo trium prouenient decem et octo et hoc accidit domino medietatis. Domino uero duorum accidunt duodecim qui sunt domini tercie partis3. A D P4 Si uolueris diuidere triginta nummos tribus hominibus, quorum uni debentur due tercie ipsorum et alteri quantum est totum scilicet triginta, tercio uero tantum et dimidium. Sic facies5. Ex numeris denominationum fac numerum communem qui est sex. Cuius duas tercias que sunt 4 da domino duarum terciarum. Ei uero cui debetur quantum est totum, da sex. Sed ei cui tantum et dimidium6 da tantumdem quantum est sex et dimidium eius scilicet tres qui sunt nouem. Quasi ergo querat, dicens: «Tres participes quorum unus collatis 4, alter 6, alter uero 9, lucrati sunt triginta nummos, quomodo diuident eos?», fac sicut predictum est. Et quod acciderit habenti 47 est id quod accidit8 domino duarum terciarum. Et quod accidit habenti 6 est id quod accidit ei cui debetur tantumdem. Et quod accidit habenti 9 est id quod accidit ei cui debetur9 tantum et dimidium. Cum uolueris diuidere triginta numos tribus hominibus, quorum uni debentur due tercie de triginta et tres nummi, alteri uero debentur tantum scilicet triginta et duo nummi, tercio uero dupplum de triginta et quarta eorum et unus nummus sic quousque de triginta nummis nichil suprasit. Predicti nummi10 duobus modis accipiuntur. Vno scilicet ut si uelis eos de tota summa accipere et dare illis, et tunc remanebunt 24 nummi. Quos diuides secundum quod debetur cuique et ad id11 quod acciderit domino duarum terciarum adde tres nummos, quos sibi prius dedisti. Ad id uero quod acciderit domino tanti adde duos numos premissos, et ad id quod acciderit domino duppli et quarte adde nummum predictum.

____________________ 1 post est exp. a D2 2 eius om. P 3 Capitulum [p. 242, l. 33] – tercie partis addidi cum D P: om. A 4 Pages 243, l. 11 – 244, l. 12: nous avons choisi de suivre les mms. D P plutôt que A compte tenu de la suite logique du texte 5 sic facies A P: add. D2 2 2 m.d. 6 post dimidium exp. eius D 7 post 4 exp. sex D 8 post accidit exp. ei cui 9 tantumdem [l. 21] – debetur addidi cum D P: om. A debetur tantundem et quod accidit D2 11 post id exp. a D2 10 post nummi exp. debetur P2

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Alio modo quod si uis accipere nummos predictos in sortibus tunc sic facies. Duas tercias de triginta, que sunt uiginti et insuper tres numos, da domino duarum terciarum et trium numorum. Deinde tantumdem quanta est tota summa et insuper duos nummos qui fiunt triginta duo nummi da domino tanti et duorum1 numorum. Deinde dupplum eius et quartam cum addito numo qui sunt sexaginta et octo (sic)2 et dimidius da domino duppli et quarte et unius numi. Quasi ergo queratur: «Tres erant mercatores, quorum unius capitale uiginti tres nummi, alterius triginta duo, tercii uero sexaginta octo (sic)3 et obolus, negociando lucrati sunt 30 nummos, quomodo diuident eos?» Id4 quod accidit domino uiginti trium est id quod accidit5 primo. Et id quod accidit domino6 triginta duorum est id quod competit secundo. Et id quod accidit domino7 sexaginta octo (sic)8 et dimidii est id quod competit tercio. Cetera huiusmodi considera secundum hoc. ADP

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Capitulum de massis quod fit omnibus modis quibus predicta participatio9. Proponam autem10 questionem de hoc in quo appareant omnes modi agendi in omnibus questionibus huius capituli que est hec. De una massa commixta ex auro decem unciarum et quattuordecim de argento et uiginti de auricalco. Accepta uero una parte ab ea11 ponderis duodecim unciarum, quantum est in parte illa de unoquoque metallo? Hec questio est 12 quasi dicatur: «Tres consortes quorum unius capitale est decem nummi, secundi uero quattuordecim, tercii uiginti, lucrati sunt 1213, quomodo diuident eos?». Fac sicut predictum est. Et id quod acciderit capitali decem est id quod est in ea de auro14. Et id15 quod acciderit pro capitali 14 est id quod est16 in ea de argento. Et id17 quod acciderit capitali de 20 est id quod est in ea de auriculo. A

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Cum sit una massa rotunda, cuius diametrum est 10 palmorum, quot masse rotunde possunt fieri ex ea, uniuscuiusque earum diametrum sit 5 palmorum? Sic facies. Multiplica 10 in se, et prouenient 100. Quos multiplica in 10, et fient 1000. Deinde multiplica 5 in se, et prouenient 25. Quos multiplica in 5, et prouenient 125. Per quos diuide 100 (sic)18, et exibunt 8, et tot masse possunt fieri ex illa supraposita. ____________________ 1 post duorum exp. a D2 2 octo false A D P in septem corrigendum 3 octo false A D P in septem corrigendum 4 praem. et D 5 post accidit add. domino P 6 post 7 post domino exp. triginta duorum D2 8 octo false A D P in septem domino exp. 30 P2 corrigendum 9 Capitulum [l. 14] – participatio A P: om. D 10 post autem add. unam 12 questio est A P: est questio D D P 11 parte ab ea A2 P2: ab ea parte A D P1 15 id A: om. 13 12 A P: om. D 14 Et id quod [l. 23] – de auro D P: add. A2 m.s. DP 16 est A P: om. D 17 id A: om. D P 18 100 false A in 1000 corrigendum

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Vel aliter. Diuide 10 per 5, et exibunt 2. Quos multiplica in se, et prouenient 4. Quos iterum multiplica in 2, et fient 8, et tot masse possunt fieri ex illa. Cum sit una massa diametri 10 palmorum et precii 100 nummorum, tunc quanti pretii est alia massa rotunda eiusdem longitudine diametri 5 palmorum? Sic facies. Denomina 5 de 10, scilicet dimidium, quod multiplica in se, et fiet quarta. Quem multiplica in se, et fiet octaua. Octaua igitur de 100, que est 12 et dimidium, est precium illius minoris masse. Vel aliter. Multiplica 10 in se et prouenient1 100. Quos iterum multiplica in 10, et fient 1000. Deinde multiplica 5 in se, et fient 25. 2. Quos denomina de 1000, scilicet octauam. Octaua de 10 (sic)3, que est 12 et dimidium, est precium illius. Item de alio. Cum sit una massa permixta ex auro et argento ponderans 500 uncias, et uolueris scire quantum auri et argenti est in ea, sine examinatione ignis ut in igne non liquescat nec pars de ea incidatur nec iterum ponderetur. Sic facies. Scias prius pondus duum corporum unius ex auro et alterius ex argento sed equalium in magnitudine, et postea scies comparationem ponderis unius ad pondus alterius corporis, et per hoc scies quod queris. Ars autem sciendi equalitatem eorum in magnitudine hec est: pondera quislibet frustrum (sic)4 auri, et cognito eius pondere pone illud in uase, deinde superpone tantum aque quousque cooperiatur abusque, postea signa locum ad quem aqua pertingit. Postea inde exactum iterum pondera, et si plus ponderauerit quam prius quantum plus ponderauerit tantum de aqua, adde aquam. Deinde mitte in aqua quoddam frustum argenti ita magnum quod, cum missum fuerit in aqua, aqua pertingat ad locum signatum. Tunc igitur scies quod hec duo corpora, unum auri et alterum argenti, sunt equalia in magnitudine. Deinde pondera argentum et cognosces comparationem ponderis unius ad pondus alterius. Quasi ergo inueneris quod argentum ponderat 4/5 ponderis auri. Quod non ideo dico quia expertus sim, sed gratia exempli ut monstretur quod dico. Secundum igitur suprapositam artem inueni aliquod corpus argenti equale proposite masse in magnitudine, quod pondera. Quasi igitur inueneris pondus eius arum 432 unciarum, quodlibet igitur corpus auri equale hec erit ponderis 540 unciarum, secundum quod positum est. Deinde accipe differentiam que est inter pondera horum duorum corporum, que est 108, et retine. Deinde accipe differentiam que est inter pondera eorum argenti et masse permixte 5 et masse ex auro que est 40. Hec igitur differentie 2 diuidunt primam differentiam retentam secundum comparationem auri ad argentum que sunt in massa permixta. Comparatio autem

____________________ 1 post prouenient exp. ? A2 2 Quos multiplica – 125 addidi 3 10 false A in 100 corrigendum 4 quislibet frustrum false A in quodlibet frustum corrigendum 5 et differentiam [l. 35/36] – permixte addidi

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maioris earum ad illam differentiam retentam est sicut comparatio eius quod est in massa permixta de corpore propinquiore sibi in pondere ad pondus illius propinquioris. Sed 540 propinquiores sunt ad 500 quam 432. Sequitur ergo ut comparatio eius auri quod est in massa ad 540 sit sicut comparatio de 68 ad 108. Sed 68 sunt 5/9 et 2/9 none de 108. Igitur aurum quod est in massa est 5/9 et 2/3 unius none de 540, que sunt 3401. Comparatio etiam de 40 ad 108 est sicut comparatio argenti quod est in massa ad 432. Sed comparatio de 40 ad 108 est 3/9 bus et tercia none. Argentum ergo quod est in massa est 3/9 et tercia none de 432 , que sunt 160. Et hoc est quod demonstrare uoluimus. De scientia cognoscendi an aurum uel argentum sit purissimum aut si purum non est quantum de alio ibi permixtum est. Quidam tradidit fabro aurum 1000 unciarum ad facienda uasa. Deinde factis inde uasis et reportatis uult scire dominus uasorum an faber miscuerit aliquid2 auro et quantum. Ars autem cognoscendi hoc est sicut illa que precessit. Quasi ergo inueneris aliquid corpus argenti equale corpora auri laborato, quo ponderato inuenitur esse ponderis 864 unciarum nec creamus plus minus ne ponderet, sed hoc de gratia exempli. Constat igitur ex hoc quod quodlibet corpus puri auri equale illi in magnitudine erit 1080 unciarum in pondere. Manifestum est igitur quod aurum laboratum non est purum. Si enim esset purum esset 180 (sic)3 unciarum in pondere. Si uero argentum purum esset, ponderaret 864 uncias. Hoc ergo comparato uolumus scire quantum argenti est permixtum illi uel quantum auri remansit. Accipe igitur differentiam que est inter duo corpora quorum unum est purum aurum, alterum uero purum argentum. Que differentia est 216 et eam retine. Deinde accipe differentiam que est inter pondus corporis puri argenti et pondus uasorum et pondus corporis auri puri que est 80. He igitur 2 differentie diuidunt differentiam retentam secundum comparationem auri et argenti quod est in uasis elaboratis. Comparatio autem maioris earum differentiarum ad differentiam retentam est sicut comparatio eius quod est in uasis de corpore propinquiore uasis in pondere ad pondus ipsius corporis propinquioris. Sed 1800 (sic)4 sunt propinquiores ad 1000 quam 864. Sequitur ergo ut comparatio auri quod est in uasis ad 1080 sit sicut comparatio de 136 ad 216. Comparatio autem de 136 ad 216 est 5/9 et 2/3 none. Igitur aurum quod est in uasis est nona et 2/3 none eorum de 1080, que sunt 680. Similiter etiam comparatio eius quod est in uasis de argento ad 864 est sicut comparatio de 80 ad 216. Comparatio autem de 80 ad 216 est 3/9 et tercia none de 864, que sunt 320, et hoc est quod demonstrare uoluimus5.

____________________ 1 post 340 eras. et terna none A2 2 post aliquid exp. de A2 uid. 3 180 false A in 1080 corrigendum 4 1800 false A in 1080 corrigendum 5 Cum sit una [p. 244, l. 27] – uoluimus A: om. D P

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Fig. A, f. 162v

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Capitulum de cortinis. Verbi gratia1. Si quis querat, dicens: «De cortina decem cubitorum in longum et octo cubitorum in latum et quinquaginta unciarum in pondere si fuerit pars abscisa sex cubitorum in longum et quattuor cubitorum in latum, quanti ponderis est?» Sic facies. Multiplica latitudinem eius in longitudinem eius, et prouenient octoginta. Similiter etiam fac in parte2 abscisa, et prouenient uiginti quattuor. Quasi ergo querat: «Cum octoginta dentur pro quinquaginta3, tunc quantum est precium de uiginti quattuor quod est magnitudo partis?», multiplica tu uiginti quattuor in quinquaginta, qui est numerus4 ponderis cortine, et productum diuide per 80, et exibunt 15, qui numerus est ponderis partis. Vel si uolueris, diuide prius unum multiplicantium per diuidentem, et quod exit multiplica in alterum, et productum est quod queris. Scies autem magnitudinem hic intelligi quicquid habetur in cortinis de partibus singulorum cubitorum in latum et longum quibus mensuratur totum. Hec autem regula sumpta est a proportione. Magnitudo enim cortine sic se habet ad suum pondus sicut magnitudo partis ad suum. Sic igitur se habent octoginta, que sunt magnitudo cortine, ad quinquaginta, quod est pondus eius, sicut uiginti quattuor, qui sunt magnitudo partis, ad pondus suum quod queritur. Est igitur quartus incognitus. Primus autem diuidens est octoginta5.

____________________ 1 Capitulum [l. 2] – gratia A P: om. D 2 post parte exp. a D2 3 quinquaginta A2 D P: 1 4 est numerus A: numerus est D P 5 octoginta A P: incognita D 40 A

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Si quis dicat: «De cortina 10 cubitorum in longum et 8 in latum et 60 unciarum in pondere, si fuerit pars abscisa 15 cubitorum in longum et 9 in latum, quanti ponderis est?» Hec questio impossibilis est. Nam cortina est 10 cubitorum et ideo de 10 non possunt abscindi 15. Si autem longitudo partis fuerit minor longitudine cortine, et latitudo partis minor latitudine cortine, tunc questio erit uera. Et facies sic, scilicet multiplica longitudinem partis in latitudinem eius, et proueniet eius magnitudo. Deinde multiplica similiter longitudinem cortine in suam latitudinem, et proueniet eius magnitudo. Comparatio igitur magnitudinis partis ad magnitudinem cortine erit sicut comparatio ponderis partis quod queritur ad pondus cortine. Igitur si uolueris uel comparabis magnitudinem ad magnitudinem, et accipe tantam partem de pondere, uel multiplica magnitudinem partis in pondus cortine, et productum diuide per magnitudinem cortine, et exibit pondus partis. Et hoc est quod uoluisti1. ADP Si quis querat, dicens: «De cortina 10 cubicorum in longum et 8 cubicorum in latum, 50 uero unciarum in pondere, si fuerit pars abscisa2 quindecim unciarum in pondere et 6 cubitorum in longum, quanta est tota eius magnitudo et latitudo3?»

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AD Sic facies, dicens: «Postquam tota magnitudo maioris cortine, que est 80, est ponderis 50 unciarum, tunc quot cubici sunt in 15 unciis?» Et erunt 24 cubiti, que est magnitudo partis. Quam diuide per longitudinem eius, que est 6, et exibit latitudo eius, que est 4, quam scire uoluisti. Si autem e conuerso esset latitudo cognita et longitudo ignota, diuideres magnitudinem partis per latitudinem eius, et exiret longitudo eius. Hec etiam regula sumpta est a proportione. Magnitudo enim maioris cortine, que est 80, sic se habet ad suum pondus, quod est 50, sicut magnitudo partis, que queritur, ad suum pondus, quod est 15. Fit ergo tertius ignotus, et diuidens est pars quod4 est 50. Primus uero est unus multiplicantium, scilicet magnitudo maioris cortinis, que est 80. Alter uero multiplicantium est 15, quod5 est pondus partis, sicut predictum est6.

____________________ 1 Si quis dicat [l. 2] – quod uoluisti A: om. D P 2 abscisa A P: abcisa D 3 et latitudo A D: om. P 4 pars quod A: secundum qui D 5 quod A: qui D 6 Sic facies [l. 21] – predictum est A D: om. P quod interruptus est in lineae medietate

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Si de cortina ignote longitudinis et latitudinis, ponderis uero 20 unciarum, fuerit pars abscisa similiter cortine 5 cubitorum in longum et 4 in latum, ponderis uero 5 unciarum, tunc quanta est longitudo siue latitudo cortine? Sic facies. Multiplica longitudinem partis in latitudinem eius, et prouenient 20. Deinde diuide pondus cortine per pondus partis, et quod exit multiplica in 20, et prouenient 80. Deinde denomina latitudinem partis de longitudine eius, et tantam partem acceptam de 80, scilicet 64, que sunt 1 quinte. Quorum radix, que est 8, est latitudo cortine. Cum ergo uolueris scire longitudinem cortinem (sic)2, diuide longitudinem partis per latitudinem eius, et quod exit multiplica in latitudinem cortinem (sic)3, et prouenient 10. Et tanta est longitudo cortine. Vel aliter. Diuide longitudinem partis per latitudinem eius, et quod exit multiplica in 80, et producti radix est longitudo cortine. Si, de cortina cuius longitudo maior est eius latitudine 2 cubitis et ponderis 60 unciarum, fuerit pars abscisa 5 cubitorum in longum et 4 in latum, 15 uero unciarum in pondere, tunc quanta est longitudo siue latitudo cortine? Sic facies. Multiplica longitudinem partis in latitudinem eius, et prouenient 20. Deinde diuide pondus cortine per pondus partis, et quod exit multiplica in 20, et prouenient 80. Deinde dimidium duorum cubitorum multiplica in se, et productum adde ad 80, et fient 81. De quorum radice, que est 9, minue dimidium duorum cubitorum, et remanebunt 8. Et tanta est latitudo cortine. Cui adde 2 cubitos, et fient 10. Et tanta est longitudo eius4. AD

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Si quis querat, dicens: «De cortina 10 cubitorum in longum et 8 in latum, ponderis uero 50 unciarum, si fuerit pars abscisa quadrata ponderis 22 unciarum et dimidie, quanta5 est magnitudinis et latitudinis siue longitudinis?» Inueni magnitudinem partis, secundum quod predocuimus, que est 36. Cuius radix, que est 6, est eius longitudo siue latitudo. Si uero magnitudo eius esset numerus non habens radicem, tamen que propinquior potest inueniri secundum quod docuimus in capitulo de radicibus que est quasi radix erit eius longitudo. Si autem6 sic proposuerit, dicens: «Si pars abscisa fuerit7 ponderis 20 unciarum habens longitudinem duplam latitudini, quanta est eius longitudo siue latitudo?» Sic facies. Inueni magnitudinem partis, secundum quod predocuimus, qui est 32. Cum autem uolueris scire longitudinem partis, inueni radicem duppli 32, que est 8, et ipsa est eius longitudo. Radix uero medietatis magnitudinis siue medietas ____________________ 1 quatuor addidi 2 cortinem false A in cortine corrigendum cortine corrigendum 4 Si de cortina [l. 2] – eius A: om. D P 6 si autem A: siatur D 7 fuerit addidi cum D: om. A

3 cortinem false A in 5 quanta A: quante D

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predicte radicis, que est 4, est eius latitudo. Hoc autem ideo facimus, quoniam longitudo duppla est latitudini et latitudo1 dimidium est longitudinis. Quasi ergo dicatur: «Numerus quasi multiplicatur in dimidium sui et proueniunt 32, si multiplicetur in se proueniunt 64. Tunc ille numerus est radix de 64». Similiter si diceretur2 longitudo eius esse tripla latitudini, inuenires radicem tripli magnitudinis, et ipsa esset eius longitudo. Radix uero tertie partis magnitudinis esset3 latitudo. Si quis uero querat4, dicens: «De cortina 10 cubitorum in longum et 8 in latum, ponderis uero 60 unciarum, si fuerit pars abscisa consimilis illi, ponderis uero 15 unciarum, quanta est eius longitudo siue latitudo?» Consimilis autem hoc dicitur ut sic se habeat longitudo partis ad suam latitudinem sicut longitudo maioris ad latitudinem suam. Sic autem facies. Scias magnitudinem partis, secundum quod predocuimus, que est 20. Quasi ergo queratur: «Cum 10 caficii dentur pro 8 nummis, quot caficii ignoti multiplicati in suum pretium efficient 20?» Vel quasi sic aliquis ex 10 lucratus est 8 et multiplicato suo lucro in suum capitale prouenerunt 20, modum agendi in hiis omnibus iam supradocuimus. Si ergo uolueris scire longitudinem partis, multiplica longitudinem cortine in magnitudinem partis, et productum diuide per latitudinem cortine, et eius quod exierit5 radix est longitudo partis. Si uero uolueris scire latitudinem partis, multiplica latitudinem cortine in magnitudinem partis, et productum diuide per longitudinem cortine6, et eius quod exit radix est latitudo eius. Vel aliter si uolueris. Sit cortina superficies abgd. Pars uero abscisa sit superficies hzkt. Manifestum est igitur quod comparatio superficiei hzkt ad superficiem abgd est sicut comparatio unius lateris eius ad aliud latus alterius se respiciens bis repetita. Comparatio igitur de zk ad bg est medietas eius. Similiter etiam zh est medietas de ab. Igitur hz est 4, que est latitudo, et zk est 5, que est longitudo. Et hoc est quod demonstrare uoluimus7.

Fig.61: A, fol.164 r m.d.; om. D.

Fig.62: A, fol.164 r m.d.; om. D.

____________________ 1 Hoc autem [l. 1] – et latitudo A: om. D 2 diceretur A: dicentur D 3 esset A: esse D 4 querat A: dicat D 5 exierit A: exigerit D 6 in magnitudinem [l. 21/22] – cortine A: om. D 7 Vel aliter [l. 24] – demonstrare uoluimus A: om. D

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Item de eodem aliter1. Si quis querat, dicens: «De cortina multiplicis materie 10 cubitorum in longum et 8 in latum in qua sunt 10 uncie de serico et 14 de alcotone, de lino uero 20, si fuerit pars abscisa 4 cubitorum in latum et 6 in longum, quantum est in ea de unaquaque materia, et quantum est pondus eius?» Sic facies. Multiplica longitudinem partis in latitudinem eius, et prouenient 24. Similiter fac de magna cortina et prouenient 80. Deinde multiplica magnitudinem partis, que est 24, in numerum uniuscuiusque materiarum predictarum, et productum diuide per magnitudinem maioris cortine, que est 80, et exibit quantum est in parte de materia in quam multiplicasti. Regula autem sumpta est ex proportione. Sic enim se habet magnitudo cortine ad uncias serici, quod est in ea, sicut magnitudo partis ad uncias serici, quod est in ea. Similiter etiam fit de alcotone et lino. Si autem uolueris scire2 pondus partis, agregabis quicquid3 est in ea de unaquaque materia, et agregatum est pondus eius. Vel si uolueris illud scire per pondus maioris cortine qui4 est 44, fac secundum quod predictum est. Item de eodem5. Si quis querat, dicens: «De cortina permixta 10 cubitorum in longum et totidem in latum, in qua sunt 30 uncie de serico et 40 de lino et 50 de alcotone, si fuerat6 pars abscisa ponderis, scilicet7 14 unciarum, quantum est in ea de unquaquaque materia, et quanta est longitudo eius et latitudo?». Sic facies. Inueni eius magnitudinem, scilicet multiplicando 10 in 10 fient 100. Deinde agrega omnium materiarum uncias, et fient 120, qui est prelatus. Deinde multiplica 14 in 100, et prouenient 1400. Quos diuide per prelatum, et quod exierit est magnitudo partis que est 11 et due tercie. Si uero uolueris scire quantum est in parte de serico uel lino uel alcotone, multiplica 14 in quam materiam uolueris et productum diuide per prelatum, et quod exierit est quantum habetur in ea de materia in quam multiplicasti. Si quis querat, dicens: «De cortina permixta 10 cubitorum in longum et 8 in latum, in qua sunt de serico 30 uncie et de alcotone 40, de lino uero 50, si fuerit pars abscisa ponderis 30 unciarum et 5 cubitorum in longum, quanta est eius latitudo et quantum est in ea de unaquaque materia?» Sic facies. Agrega omnes uncias, et fient 120. Quas multiplica in 5 cubicos, que est longitudo partis, et prouenient 600, qui sunt tibi prelatus. Deinde magnitudinem cortine, que est 80, multiplica in 30, quod est pondus partis, et prouenient 2400. Quos diuide per prelatum et exibunt 4 cubiti qui sunt latitudo partis. Si autem uolueris scire quantum est in ea de unaquaque materia, fac sicut predocuimus et exibit quod uolueris. ____________________ 1 Item de eodem aliter A: om. D quicquid D 4 qui A: quod D 7 scilicet A: om. D

2 scire addidi cum D: om. A 3 quicumque A: 5 Item de eodem A: om. D 6 fuerat A: fuerit D

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Vel aliter. Denomina pondus partis de pondere cortine, scilicet quartam. Ergo quartam magnitudinis cortine, que est 20, diuide per 5, que est longitudo partis, et exibunt 4, que sunt latitudo partis. Si uero proposuerit ita dicens, quod: «Si pars fuerit 4 cubitorum in latum, quanta est eius longitudo1?» Facies sicut predocuimus, scilicet ut multiplices pondus cortine in latitudinem partis, et productus erit prelatus. Deinde multiplica pondus partis in magnitudinem2 cortine et productum diuide per prelatum, et exibunt 5, qui sunt longitudo quam queris. Vel si diuiseris quartam magnitudinis cortine per latitudinem partis, exibit longitudo quam queris. Si quis querat, dicens: «De cortina permixta 10 cubitorum in longum et totidem in latum, in qua sunt 30 uncie de sirico et 40 de alcotone et 50 de lino, si pars abscisa fuerit quadrata ponderis 30 unciarum, quanta est eius longitudo uel latitudo?» Sic facies. Multiplica 30, qui sunt pondus partis, in magnitudinem cortine, que est 100, et prouenient 3000. Quos diuide per pondus cortine, que sunt 120 uncie, et exibunt 25. Cuius radix, scilicet 5, est latitudo et longitudo. Si quis querat, dicens: «De cortina permixta 10 cubitorum in longum et 8 in latum, in qua sunt 10 uncie de serico et de alcotone 20 et de lino 30, si fuerit pars abscisa ponderis 15 unciarum consimilis cortine in proportione sue longitudinis ad latitudinem, quanta est longitudo illius partis siue latitudo?» Sic facies. Multiplica pondus partis in magnitudinem cortine, que est 80, et prouenient 1200. Quos diuide per pondus cortine, quod est 60, et exibunt 20, qui sunt magnitudo partis. Si autem uolueris scire longitudinem partis, multiplica longitudinem cortine, que est 10, in 20, qui sunt magnitudo partis, et prouenient 200. Quos diuide per 8, qui sunt latitudo cortine, et exibunt 25. Cuius radix, que est 5, est longitudo partis. Si uero uolueris scire latitudinem eius, multiplica 8, qui sunt latitudo cortine, in magnitudinem partis, que est 20, et prouenient 160. Quos diuide per longitudinem cortine, et exibunt 16. Cuius radix, que est 4, est latitudo partis. Vel diuide magnitudinem cortine per magnitudinem3 partis, et exibunt 4. Per quorum radicem, que est 2, diuide longitudinem cortine, et exibunt 5, qui sunt longitudo partis. Et per eandem radicem diuide latitudinem cortine et exibunt quatuor, qui sunt latitudo partis. Vel diuide pondus cortine per pondus partis et per producti radicem diuide longitudinem et latitudinem cortine, et exibit longitudo et4 latitudo partis. Vel denomina magnitudinem partis de magnitudine cortine, et inuenies quod est quarta, cuius radix est medietas. Medietas igitur longitudinis cortine est longitudo partis, et medietas latitudinis cortine est latitudo partis. Similiter etiam si denominaueris pondus partis de pondere cortine et producti radicem multiplicaueris sicut supradictum5 est, exibit quod uolueris6. ____________________ 1 longitudo A2 D: latitudo A1 2 in magnitudinem A: magnitudine D 4 longitudo partis [l. 33] – longitudo et addidi cum D: om. A iter. A1 predictum D 6 Si quis querat [p. 249, l. 25] – quod uolueris A D: om. P

3 magnitudinem 5 supradictum A:

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Si quis querat, dicens: «De cortina 10 cubitorum in longum, 8 uero in latum, ponderis uero 60 unciarum, si fuerit pars abscisa cuius longitudo uincit eius latitudinem duobus cubitis, ponderis uero 18, quanta est eius longitudo siue latitudo?» Constat quod comparatio de 18 ad 60 est sicut comparatio totius magnitudinis cortine ad 80. Fac igitur sicut supradocui, et exibit magnitudo partis 24. Scimus autem quod magnitudo exsurgit ex ductu longitudinis in latitudinem. Est igitur numerus, qui multiplicatur in se et in 2, et proueniunt 24. Sit igitur longitudo ab, latitudo uero ag. Igitur bg est 2. Ex ductu autem ab in ag proueniunt 24. Diuidatur autem bg per medium in puncto d. Igitur quod fit ex ductu ab in ag et gd in se equum erit ei quod fit ex ductu ad in se. Ex ductu autem ab in ag, id quod prouenerit est 24. Quod autem fit ex ductu bd in se est 1. Igitur id quod fit ex ductu ad in se est 25. Igitur ad est 5. Sed gd est 1. Igitur remanet ag 4, que est latitudo. Similiter etiam ad est 5, et db est 1. Igitur ab erit 6, que est longitudo. Et hoc est quod demonstrare uoluimus1.

Fig.63: A, fol.164 v m.s..

AD

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Capitulum de linteis2. Si uolueris scire de linteo 15 cubitorum in longum, et 8 in amplum, quot gausapes3 4 cubitorum in longum, et trium in latum possunt fieri. Sic facies. Multiplica longitudinem lintei in suam latitudinem et proueniet eius magnitudo, que est 120. Quam diuide per magnitudinem gausapis, que est 12, et exibit numerus gausapum. Vel diuide longitudinem lintei per longitudinem unius gausapis, et exibunt 3 et tres quarte, et diuide latitudinem eius per latitudinem unius gausapis, et exibunt 2 et due tercie. Deinde id quod exiuit de una diuisione multiplica in id quod exiuit de alia, et prouenient 10. Vel etiam si uolueris, diuide longitudinem lintei per latitudinem gausapis, et latitudinem eius per longitudinem huius, et alterum exeuntium multiplica in alterum, et prouenient4 quod queris. A Si de linteo 105 cubicorum in longum et 8 in latum fuerit pars abscisa 6 in longum et 5 in latum, tunc quantum est abscisum de linteo? ____________________ 1 Si quis querat [l. 2] – demonstrare uoluimus A: om. D P 3 gausapes A: gausapa D 4 prouenient A: proueniet D

2 Capitulum de linteis A: om. D 5 100 A1 uid.

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Sic facies. Multiplica longitudinem lintei in latitudinem eius et prouenient 80. Deinde longitudinem partis multiplica in latitudinem eius, et prouenient 30. Quos denomina de 80 scilicet tres quinta (sic)1, et tanta pars est abscisa de linteo, scilicet tres quinta (sic)2 eius3. 5

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AD Si quis querat, dicens: «De linteo 15 cubitorum in longum et 8 in amplum, si fuerint incisa 10 gausapa singula 4 cubitorum in longum unumquemque 4 eorum, quot5 cubitorum est in amplum?» Sic facies. Diuide magnitudinem lintei per numerum gausapum, qui est 10, et exibunt 12, que est magnitudo uniuscuiusque gausapis. Quam diuide per longitudinem eius, que est 4, et exibunt 3, que est latitudo cuiusque gausapis. Vel diuide magnitudinem lintei per productum ex ductu longitudinis causapis (sic) in numerum eorum, et productum est latitudo cuiusque gausapis. Cuius probatio6 patet. Oportebat enim diuidi magnitudinem lintei per numerum gausapum et exiret magnitudinem (sic)7 cuiusque gausapis. Quam postea diuideremus8 per longitudinem gausapis, et exiret latitudo gausapis. Cum enim aliquis numerus diuiditur per alium et per id quod exit diuiditur alter (sic)9 tertius numerus, tunc idem est quod diuidere primum diuidendum per productum ex ductu unius diuidentis in alium, sicut in principio dictum est. Si autem cognita latitudine longitudo nesciretur10 diuidens11 magnitudinem gausapis, que est 12, per latitudinem eius, et exiret eius12 longitudo. Si autem proponat, dicens: «De prefato linteo, si fuerint incisa 10 gausapa quadrata, tunc quanta est longitudo siue latitudo cuiusque ?» Secundum quod dictum est in cortinis, [inueni]13. Inueni radicem magnitudinis gausapis, et ipsa est eius longitudo uel latitudo. Si uero diceret longitudinem gausapis esse duplam uel triplam sue latitudini inuenires eius longitudinem uel latitudinem per magnitudinem eius, sicut predocuimus in cortinis. Similiter 14 diceret15 gausape consimile esse linteo, inuenires eius longitudinem et latitudinem per eius magnitudinem et per lintei longitudinem et latitudinem, sicut paulo ante docuimus. Item de eodem. Si quis querat, dicens: «De linteo 15 cubitorum in longum et 8 in amplum et precii 20 nummorum, si fuerit incisum gausape 8 cubitorum in longum et 4 in amplum, quanti precii est?» Sic facies. Inueni magnitudinem lintei, que est 120, et magnitudinem gausapis, que est 32. Quasi ergo querat: «Cum 120, que est magnitudo lintei, dentur ____________________ 1 quinta false A in octaua corrigendum 2 quinta false A in octaua corrigendum 3 Si de linteo [p. 253, l. 31] – tres octaua eius A: om. D P 4 unumquemque A: unumquodque D 5 quot A: quod D 6 probatio A: peractio D 7 magnitudinem A: magnitudo D 8 diuideremus A: diuidemus D 9 alter A: alius D 10 nesciretur A: nesciret D 11 diuidens A: diuideres D 12 et exiret eius A: om. D 13 inueni A: om. D 14 si addidi 15 diceret A: si dicent D

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pro 120 (sic)1, tunc quantum est pretium triginta duorum, que est magnitudo gausapis?» Facies sicut predocuimus in capitulo de quantum est precium eius. Hec autem regula sumpta est a proportione. Magnitudo enim lintei sic se habet ad suum pretium sicut magnitudo gausapis ad suum pretium ignotum. Fit ergo quartus ignotus, primus uero qui est diuidens est magnitudo lintei. Si quis querat2, dicens: «Cum linteus 63 cubitorum in longum et 4 in amplum ualeat 10, tunc quanti pretii est linteus eiusdem generis 15 cubitorum in longum et 5 in amplum?» Sic facies hic sicut in precedenti. Iam enim scimus quod comparatio magnitudinis lintei ad magnitudinem lintei est4 sicut comparatio precii ad pretium. Ergo inuenias magnitudinem primi lintei, que est 24, similiter magnitudinem alterius lintei, que est 75. Quasi ergo querat: «Cum 24 dentur pro 10, quanti precii sunt5 75?», fac secundum quod predictum est. Vel si uolueris alterum tantum uel utrumque linteorum esse rotundum inueni eorum magnitudines, et fac secundum quod predictum est. Inuenitur autem magnitudo rotundi cum multiplicatur dimidium diametri in dimidium sui circuli6. Vel cum multiplicatur diametrum in se et ex producto minuitur sexta et dimidia sexta eius, et quod remanet est magnitudo rotundi lintei. Similiter etiam si essent triangulari uel alius modi. Scientiam autem inueniendi magnitudinem harum figurarum habetur in libro de taccir inueniendi magnitudinem7. Cum autem inueneris magnitudinem utriusque lintei cuiuscumque figure sicut8 per magnitudinem alterius lintei, modus agendi erit sicut in questione de quantum est pretium eius, et exibit quod uolueris. Si quis uero querat, dicens: «Cum sit unus linteus 20 cubitorum in longum et 8 in amplum et precii 20 nummorum, tunc quot cubitos habebo pro9 12 nummis de linteo eiusdem generis et longitudinis, sed 4 cubitorum in latum?» Sic facies. Inueni magnitudinem primi lintei, scilicet 160. Postea dices: «Cum 160 detur pro 20 nummis, tunc quot habebo pro 12 de linteo 4 cubitorum in latum?» Diuide magnitudinem primi per latitudinem secundi, et exibunt 24, et tot cubiti proueniunt de longitudine predicti lintei 4 cubitorum in latum. Cetera huiusmodi questionum considera, secundum quod predictum est hic. Si quis querat, dicens: «De linteo 20 cubitorum in longum et 8 in latum, 6 gausapa incisa unumquodque 8 cubitorum in longum, quot habent in latum?» Multiplica numerum gausapum in longitudinem eorum, scilicet 6 in 8, et prouenient 48. Quos pone prelatum. Deinde accipe magnitudinem lintei multiplicando longitudinem eius in latitudinem eius, et erit 160. Quos diuide per prelatum, et quod exierit est latitudo cuiusque gausapis, scilicet 3 cubiti et tercia cubiti. ____________________ 1 120 A: 20 D 2 querat addidi cum D: om. A 3 6 A2 D: vi A1 4 magnitudinem 2 1 6 Rotundi trianguli que magnitudo lintei est A: et D 5 precii sunt A D : sunt precii D quomodo inueniatur: de mensura cuius superficiem uide in earum sequenti duo capitula, unum post aliud de conuersa uero uide in carta 59 in fine primi capituli de foueis fodiendis et in carta 72 de urnis rotundis add. D m.d. al. man. 7 inueniendi magnitudinem A: om. D 8 sicut A: sint D 9 pro A: per D

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Cuius probatio hec est. Oportet ut diuidas magnitudinem lintei per numerum gausapum, ad sciendum magnitudinem cuiusque eorum. Quam diuide per longitudinem eorum, et exibit latitudo eorum. Scias autem quod diuidere magnitudinem lintei per numerum gausapum, et quod exierit numerum diuidere per longitudinem gausapis, idem est quod multiplicare longitudinem gausapis in numerum eorum et per productum diuidere magnitudinem lintei, et exibit latitudo cuiusque gausapis. Quod ideo fit quoniam cum unus numerus diuiditur per alium et quod exit diuiditur per tercium, tunc id quod de ultima diuisione exit idem est quod proueniunt1 ex ductu duorum diuidentium inter se, et ex diuisione primi per productum. Verbi gratia. Numerus a diuiditur per numerum b, et exit2 numerus g, et numerus g diuiditur per numerum d, et exit numerus h. Sed et numerus b multiplicatur in numerum d, et proueniunt (sic)3 numerus t. Dico ergo quod cum diuiditur numerus a per numerum t, exibit h. Quod sic probatur. Quoniam numerus d multiplicatus in numerum h efficit numerum g, et etiam numerus d multiplicatus in numerum b efficit numerum t, unde numerus d multiplicatus in duos numeros diuersos, qui sunt h et b. Ergo proportio primi producti, quod est g, ad secundum productum, quod est t, talis est qualis proportio primi multiplicantis, quod est h, ad secundum multiplicans (sic)4, quod est b. Ergo proportio de g ad t est sicut proportio de h ad b. Tantum ergo proueniunt5 ex ductu g in b quantum ex ductu h in t. Sed ex ductu g in b proueniunt (sic)6 a. Igitur cum diuiseris a per t, exibit h. Et hoc est quod probare uolueris7.

Fig.64: A, fol.165 r m.d.; om. D.

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Constat igitur ex hiis quod cum magnitudo lintei diuiditur per productum ex ductu numeri gausapum in longitudinem gausapis exit latitudo eius. Si autem diceret de linteo incisa esse gausapa quorum uniuscuiusque latitudo maior est eius longitudine tribus cubitis, diuideres magnitudinem lintei per numerum gausapum, et exiret magnitudo cuiusque gausapis, quod prouenit ex ductu latitudinis in se et in 3. Quam latitudinem cum inuenire uolueris, fac sicut in cortinis supradictum est, et inuenies8.

____________________ 3 proueniunt A: prouenerit D 1 proueniunt A: prouenerit D 2 exit A2: exibit A1 D 4 multiplicans false A D in multiplicantem corrigendum 5 proueniunt A: prouenerit D 6 proueniunt A: prouenerit D 7 uolueris A: uoluimus D 8 Si autem [l. 26] – et inuenies A: om. D

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Item de eodem. Si quis querat, dicens: «De linteo 10 cubicorum in longum et 8 in latum incisa 4 gausapa ad similitudinem lintei, uidelicet ut sic se habet eorum latitudo ad suam longitudinem sicut se habet latitudo lintei ad suam longitudinem, quanta est eorum longitudo siue latitudo?» Sic facies1. Magnitudinem lintei, que est 80, diuide per numerum gausapum, et prouenient 20, qui sunt magnitudo cuiusque gausapis. Cum ergo uolueris scire quanta est longitudo cuiusque, multiplica longitudinem lintei in magnitudinem gausapis, et productum diuide per latitudinem lintei, et radix eius quod exit2, scilicet 5 est3 longitudo gausapis. Si ergo4 uolueris scire quanta est longitudo (sic)5, multiplica latitudinem6 lintei in magnitudinem gausapis, que est 20, et productum diuide per longitudinem lintei, et eius quod exit radix, scilicet 4, est latitudo gausapis. Vel cum uolueris scire longitudinem, multiplica longitudinem lintei in se, et productum multiplica per 20, et productum diuide per magnitudinem lintei, et eius quod exit radix est longitudo gausapis. Si uero uolueris scire latitudinem, multiplica latitudinem lintei in se, et productum multiplica in 20, et productum diuide per magnitudinem lintei, et eius quod exit radix est latitudo gausapis. Vel aliter. Multiplica latitudinem lintei in magnitudinem gausapis, et productum diuide per longitudinem lintei, et eius quod exit radix est latitudo, scilicet 4. Item de eodem aliter. Verbi gratia7. Si quis querat, dicens: «Cum unius lintei rotunde8, cuius rotunditas est 10 cubitorum, sit precium 60 nummorum, tunc quantum est precium subtractus9 lintei rotundi, cuius rotunditas est 5 cubitorum?» Sic facies. Multiplica 10 in se, et prouenient 100, quos pone prelatum. Deinde multiplica 510 in se, et prouenient 25. Quos multiplica in sexaginta, et prouenient mille quingenti11. Quos diuide per prelatum, et exibunt 15, qui sunt precium quod queris. Vel aliter12. Productum ex ductu de 5 in se denomina a producto ex ductu de13 10 in se, et hoc est quarta. Ergo quarta 60 nummorum, que est 15, est id quod queris. Item de eodem. Si quis querat: «Cum lintei, cuius rotunditas est 10 cubitorum, sint precium 60 nummi, tunc quanta est rotunditas lintei, cuius precium sunt 15 nummi?» Multiplica 10 in se et fient 100. Quos multiplica in 15, et prouenient 1500. Quos diuide ___________________ 1 sic facies iter. D1 2 exit A: exigit D 3 praem. et D 4 ergo A: uero D 7 Item de – gratia A: 5 longitudo A: latitudo D 6 latitudinem A2 D: longitudinem A1 om. D 8 rotunde A: rotundi D 9 subtractus A: alterius D 10 5 addidi cum D: om. A 11 Quos multiplica [l. 28] – quingenti addidi cum D: om. A 12 post aliter exp. 13 de A: om. D eius D2

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per 60 nummos, et exibunt 25. Quorum radix, que est 5, est rotunditas lintei, cuius pretium sunt 15 nummi. Vel aliter. Denomina 15 de 60, scilicet quartam, cuius radicem, scilicet dimidium, multiplica in 10, et prouenient 5, qui sunt rotunditas lintei. Iste autem regule possunt fieri in omnibus quecumque rotunda sunt1. A

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Si quis querat: «De linteo rotundo, cuius diametrum est 10 cubitorum, quot lintei rotundi possunt incidi, quorum uniuscuiusque diametrum sit duorum cubitorum?» Sic facies. Diuide quadratum diametri maioris lintei per quadratum diametri minoris, et exibunt 25, et tot lintei possunt incidi. Cuius rei probatio patet. Comparatio enim superficiei cuiusque circuli ad superficiem cuiusque circuli est sicut comparatio quadrati diametri unius ad quadratum diametri alterius. Sed quadratus diametri maioris uigies quinquies est maior quadrato diametri minoris. Igitur circulus maioris uigies quinquies est maior quam circulus minor. Manifestum est igitur quod de linteo maiore 25 possunt incideri. Et hoc est quod demonstrare uoluimus. Scias autem quod questiones huiusmodi de rotundo numquam possunt exire ad effectum. Item de linteis. Si quis querat: «De linteo rotundo, cuius diametrum est 10 cubitorum, quot gausapa possunt incidi 3 cubitorum in longum et duorum in latum?» Hec questio non potest deprehendi in effectum. Non enim potest2 sciri comparatio superficiei quadrati ad superficiem circuli, eo quod certe non potest deprehendi mensura superficiei circuli. Non enim potest sciri comparatio diametri ad circumferentiam eo quod non potest sciri comparatio rotunde linee ad lineam rectam. Azemides autem inuenit comparationem que propinquior esse potest, scilicet quod omnis circumferentia tripla est diametri sui et insuper septima pars. Postquam autem constat, sed non certe, quod omnis circumferentia tripla est sui diametri et insuper septima, magnitudo uero superficiei circuli non potest sciri, nisi per circulum eius, tunc magnitudo circuli certissime non potest sciri. Cum igitur diuiseris superficiem circuli propinquiorem per magnitudinem gausapis, exibit numerus propinquior gausapum que possunt fieri ex eo. Hec autem numquam prouenit certissime. Igitur huiusmodi questiones non possunt deprehendi effectum. Si quis querat: «Cum unus linteus rotundus, cuius diametrum est 8 cubitorum, detur pro 20 nummis, tunc quanti precii est alter linteus rotundus, cuius diametrum est 2 cubitorum?», iam scis quod comparatio superficiei circuli ad superficiem circuli est sicut comparatio precii ad precium3. Comparatio autem superficiei circuli ad superficiem circuli est sicut comparatio quadrata diametri ad quadratum diametri. Igitur comparatio quadrati diametri ad quadratum ____________________ 1 Capitulum de linteis [p. 253, l. 17] – rotunda sunt A D: om. P 3 precium A2: precii A1

2 potest A2: possunt A1

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diametri est sicut comparatio precii ad pretium. Quadratus autem maioris diametri est 64, quadratus uero minoris est 4. Precium uero maioris lintei est 20 nummi. Que igitur comparatio est de 64 ad 4 eadem est de 20 ad precium minoris lintei quod queritur. Fac ergo sicut supradictum est, et exibit quod queritur 1 et quarta. Et hoc est quod uoluisti. Si quis querat: «Cum unus linteus rotundus, cuius diametrum est 10 cubitorum, precii uero 100 nummorum, tunc quanti precii est linteus cuius longitudo sit 3 cubitorum, latitudo uero duorum?» Sic facies. Scis enim quod comparatio magnitudinis superficiei rotundi ad magnitudinem superficiei alterius lintei est sicut comparatio precii ad precium. Precium igitur uenerit certissime. Inueni ergo magnitudinem rotundi. Videlicet multiplica medietatem diametri in se et productum in 3 et septimam. Vel multiplica diametrum in 3 et septimam, et proueniet circulus. Igitur multiplica dimidium diametri in dimidium circuli, et proueniet magnitudo superficiei circuli. Vel multiplica diametrum in se et de producto minue sextam eius et dimidiam sextam. Quocumque autem horum modorum feceris, proueniet superficies circuli propinquior 78 et 4/7. Comparatio igitur de 78 et 4/7 ad 6, qui sunt magnitudo alterius lintei, est sicut comparatio de 100 ad id quod queritur. Fac ergo sicut supradictum est, et exibit id quod queritur propinquius. Si quis dicat: «Omnis camera rotunda, cuius pauimenti diametrum est 6 cubicorum, quot tabulas similiter rotundas, quarum uniuscuiusque diametrum est 3 cubitorum, recipit?» Constat ex premissis quod 4 recipit in potesta (sic)1. Si autem hic ad effectum producere uoluerimus, non poterimus. Quod sic ostenditur. Sit circumferentia superficiei pauimenti abgd, circulus uero superficiei cuiusque tabule sit hzkt diametrum uero circuli pauimenti sit ag. Igitur ag est 6, sed tz est 3 et centrum circuli pauimenti q. Igitur aq equalis est ad tz. Sit autem una tabula amql, secunda uero nqcg. Non enim plures recipere potest, et remanebit figura quam continet arcus adg, et due coste amq et qng equales circulo tabule hzkt. Altera etiam figura remanebit, quod continet arcus abg et due coste alq et qcg equales circulo tabule hzkt. Si igitur superponantur illa tabula super unamquamque illarum figurarum et parificaretur, efficerentur quod demonstrare uolueris. Sed illa numquam componetur, scilicet parificatur alicui illarum. Cum enim protraxerimus diametrum bd et sciderimus de eo 3 cubitos et fecerimus in eo circulum equalem circulo hzkt, qui sit dmqn, secabit aliud de circulo qcgn, et de circulo amql. Hec ergo questio numquam uenit ad effectum, scitur tamen in effectum. Similiter omnis questio huiusmodi numquam potest fieri in actu. Similiter si diceret: «De linteo 30 cubitorum in longum et 10 in latum, quot lintei rotundi possunt incidi, quarum uniuscuiusque diametrum 3 cubitorum?», hec questio similiter sicut et premissa numquam uenit ad2 actum, sicut manifestum est ex premissis3. ____________________ 1 potesta false A in potestate corrigendum l. 7] – ex premissi A: om. D P

2 ad iter. A1

3 Si quis querat [p. 258,

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AD

5

10

Item de alio. Si quis querat, dicens: «Palatium 20 cubitorum in longum et 8 in latum, quot tabulas marmoreas recipit in pauimento, unamquamque duorum cubitorum in longum et unius cubiti et dimidii in latum?» Sic facies. Inueni magnitudinem pauimenti, scilicet multiplicando longitudinem eius in latitudinem1 eius, et prouenient 160. Deinde inueni magnitudinem tabule, scilicet multiplicando longitudinem eius in latitudinem eius, et fient 3. Per quos diuide 160 predicta, et exibunt 53 et tercia, qui est numerus tabularum. Modus autem agendi hic est sicut in linteis. Et similiter in omnibus quadratis2.

3

Fig.65: A, fol.166 r m.d.; om. D.

15

Fig.66: A, fol.166 r m.d.; om. D.

Capitulum de molere4. Hoc capitulum diuiditur in duos partes, quarum una5 est conuentio cum molendinario, ut dicat se de unoquoque caficio accipere partem nominatam, altera est conuentio cum molendinario accipiendi pro unoquoque (non de unoquoque)6 caficio aliquam partem similiter quam tibi dicat. Vnaquaque autem7 harum8 duarum partium fit in9 iterum 4 modis, de quibus singulis proponam singulas questiones.

____________________ 1 latitudinem A: latitudine D 2 Item de alio [l. 2] – quadratis A D: om. P 3 a false A D in z corrigendum 4 Capitulum de molere A: om. D 5 partes quarum una A: parentes quorum unus D 6 inclusi non de unoquoque quod post unoquoque addidit A 7 autem addidi cum D: om. A 8 harum A: horum D 9 in A: om. D

Deuxième partie du Liber mahameleth

A

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D

Primus autem modus prime partis est Primus autem modus primi partis hic. hic. Cum pro molendo unoquoque Cum pro molendo caficio datur sexta caficio detur quinta eius, tunc pro eius, quantum dabitur pro centum molendis 100 caficiis quantum molendis? persoluetur de illis, et quantum reportabitur? Sic facies. Iam scis quod uult Sic facies. diuidi caficium in 5 partes et dari unam earum pro molendis reliquis. Patet igitur quod comparatio unius ad 5 est sicut comparatio eius quod persoluitur de 100 ad 100. Multiplica igitur unum in 100, et productum diuide per 5, et exibunt 20. Et hoc est quod uoluisti. Vel accipe quintam de 100, que est Sexta pars de centum que est sexdecim 20, et hec est id quod datur pro 100 et due tercie est id quod datur pro molendis, et remanent reportandi 80. centum molendis et remanent reportandi Similiter etiam fiet si dicat dari pro octoginta tres et tercia. Similiter fit si unoquoque caficio sextam uel nonam dicat dari pro unoquoque caficio nonam 1 uel quotamlibet partem eius . uel quotamlibet partem1. Modus uero secundus huius partis est hic. Cum pro uno2 caficio molendo dentur due none eius, quantum dabitur de alia annona pro molendis 100 caficiis et reportandis integris? Sic facies. 9 est numerus unde denominatur nona. Sed pro molendis 9 caficiis dantur due none, scilicet3 2 caficii, et remanent 7 reportandi. Duo ergo caficii sunt persoluti de 9 et pro 7. Quos 7 pone prelatum. 2 autem multiplica in 100, et productum diuide per 7, et exibunt 28 et 4 septime. Et hoc est quod persoluitur pro 100 molendis. Agregati igitur caficii qui moluntur et alii qui pro illis persoluuntur molendis4 fiunt 128 et quattuor septime caficii. Quos ad5 molendum portauit, de quibus tantum 100 reportatum6. Vel si uolueris, diuide 2 per 7, et quod exit multiplica in 100. Vel diuide 100 per 7, et quod exit multiplica in 2, secundum quod predictum de quibus7 diuidendo et postea multiplicando. Tertius uero modus huius partis est hic. Cum pro molendo caficio detur (sic)8 due septime eius, tunc quisquis reportat molitos 80, quot portauit molendos (sic)9?

____________________ 1 Primus autem [l. 2a] – eius A: Primus autem [l. 2b] – quotamlibet partem D: om. P 2 uno A: unoquoque D 3 scilicet A: secundum D 4 persoluuntur molendis A: molendis persoluuntur D 5 ad A: om. D 6 reportatum A: reportauit D 7 quibus A: prius D 8 detur A: dentur D 9 molendos A: molendis D

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Sic facies. Numerus a quo denominatur septima est 7. Pro quibus molendis dantur due septime eorum qui sunt 2 caficii, et remanent 5. 5 igitur sit tibi prelatus. Deinde multiplica 7 in 80, quos reportauit, et productum diuide per prelatum et exibunt 112, et hoc est quod portauit. Vel diuide unum multiplicantium per diuidentem, et quod1 exit multiplica in alterum sicut supradocuimus. Hec autem regula sumpta est2 a proportione. Sic enim se habent 7, quos portauit, ad 5, quos reportauit sicut portatum3 quod queritur ad 80, quos reportauit. Vnde ignoramus tertium. Secundus uero est diuidens qui est 5. Quartus uero modus huius partis est hic4. Cum pro uno5 caficio molendo dentur due none, qui molendinario 10 caficios dedit quot portauit et reportauit? Sic facies6. Numerus a quo denominatur nona est 9, sed pro molendis 9 caficiis dantur due none qui sunt 2 caficii et remanent 7. Duo ergo, quos de 9 pro7 molendis 7 persoluit, sint tibi prelatus. Cum autem uolueris scire quantum portauit ad molendum, multiplica 9 in 10 et productum diuide per prelatum, et exibunt 45. Et hoc est quod portauit. Si uero uolueris scire quantum reportauit, multiplica 7 in 10, et quod exit diuide per prelatum et prouenient 35, et tantum est quod reportauit. Vel prius diuide et postea multiplica. Hec autem regula sumpta est a proportione. Sicut enim se habent 9 caficii quos portauit ad duos, quos8 persoluit, sic se habet ignotum quesitum ad 10, quos persoluit in hiis9 similiter. Sic 9, quos reportauit ad duos quos persoluit sicut ignotum quod reportauit ad 10, quos pro illis persoluit. In hiis ergo duobus numeris tercius10 ignoratur et diuidens est secundus qui est 2 caficii. Tu fac secundum quod supradocuimus11. A

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Primus uero modus secunde partis est hic. Cum pro molendo unoquoque12 caficio accipiatur de alio tantum quantum est quinta eius, tunc pro molendis 100 caficiis quantum persoluetur de aliis? Sic facies. Scimus autem quod cum13 pro molendo unoquoque caficio accipiatur quinta alterius caficii, quod moluntur 5 partes et accipitur de alio, quantum est una earum? Patet igitur quod comparatio unius partis, que est precium pro molendis 5 partibus, ad 5 partes est sicut comparatio pretii, quod datur pro molendis 100 caficiis, ad ipsos 100 caficios. Comparatio igitur unius ad 5 est sicut comparatio quesiti ad 100. Fac igitur sicut supradictum est et quesitum erit 20, et secundum hoc erit modus agendi scilicet ut accipias numerum unde denominatur quinta, scilicet 5. Quorum quintam, que est 1, multiplica in 100, et productum diuide per 5, et exibit quod uolueris14. ____________________ 1 quod A: qui D 2 sumpta est A: e D 3 portatum A: portauit D 4 Quartus uero – hic A: om. D 5 uno A: unoquoque D 6 Sic facies A: om. D 7 pro D: add. A2 s.l. 8 post quos add. portauit D 9 in hiis A: om. D 10 tercius A: ter eius D 11 Item de alio [p. 260, l. 2] – supradocuimus A D: om. P 12 unoquoque A2: uno A1 13 cum D: add. A2 s.l. 14 Primus uero [l. 25] – uolueris A: om. D P

Deuxième partie du Liber mahameleth

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AD Secundus uero modus huius partis est hic. Cum pro unoquoque caficio molendo detur tantum de alio quantum sunt due septime eius, tunc pro molendis 100 caficiis quantum de illis persoluitur molendinario et quantum reportatur1? 5

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A Sic facies. Scimus quod moluntur 7 partes et accipitur tantumdem de alio, quantum sunt 2 partes illius? Comparatio igitur duorum ad 7 est sicut comparatio eius quod persoluitur de 100 caficiis ad id quod remanet de ipsis. Cum autem composuerimus, tunc comparatio duorum ad 9 erit sicut comparatio pretii ad 100 et prope hoc est modus agendi ut accipiatur numerus unde denominatur septima scilicet 7. Quibus agrega due septime eorum et fient 9, quos pone prelatum. Deinde multiplica 2 in 100 et productum diuide per prelatum, et exibit quod uolueris2. AD

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Tercius uero modus secunde partis est hic. Cum pro molendo uno caficio detur (sic)3 due none eius, qui 100 caficios molitos attulit quot molendos portauit? Sic facies. Numerus denominationis est 9. Cuius duas nonas, scilicet 2, agrega ipsis et fient 11, quos multiplica in 100 et productum diuide per 9, et exibit quod portauit. Vel prius diuide unum multiplicantium per diuidentem, et quod exit multiplica per alterum. Hec etiam regula sumpta est a proportione. Deinde cum portauit ad molendum 9, portauit simul cum eis quod pro illis persoluet, scilicet 2. Sed agregati quos reportauit et4 persoluit fiunt 11. Sic ergo se habent 11 quos portauit ad 9, quos reportauit sicut caficii, qui queruntur, ad 100, quos reportauit. Diuide ergo per 9 sicut supradictum5 est. Quartus modus secunde partis est hic. Cum pro molendo uno caficio detur tantum quantum sunt due none eius, tunc persolutis 10 quantum portauit uel reportauit. Sic facies. Numerus denominationis est 9. Constat ergo quod cum portauerit 9 molendos, persoluet de illis 2 qui agregati ad 9 fient 11, quot portauit et reportabit (sic)6? 9. Quasi ergo querat: «Cum de 11 persoluantur 2 et reportentur 9, tunc persolutis 10, quot sunt quos protauit et reportauit?», fac sicut supradocuimus et exibit quod reportauit, scilicet 45 caficii. Quos autem portauit sunt 55. Intellige hec et cetera huiusmodi considera secundum hoc7. ____________________ 1 Secundus uero [l. 2] – reportatur A D: om. P 2 Sic facies [l. 6] – uolueris A: om. D P 5 supradictum A: 3 detur A: dentur D 4 reportauit et (et add. A2 s.l.) A: apportauit D predictum D 6 reportabit A: reportauit D 7 Tercius uero [l. 15] – secundum hoc A D: om. P

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Cum pro unoquoque caficio molendo detur quantum est quinta eius, tunc qui de caficiis ignotis persoluit et reportauit 100, quot persoluit? Scimus quantum moluntur 5 partes et accipitur. Quantum est una illarum? Cum igitur portauerit 6, reportabit 5. Comparatio autem eius quod portauit ad id quod reportauit est sicut comparatio eius quod portauit ad id quod reportauit. Comparatio igitur de 6 ad 5 est sicut comparatio quesiti ad 100. Fac igitur sicut supradictum est et exibit quesitum 120. Et ob hoc numerum unde denominatur quinta, scilicet 5, ponis prelatum. Cui addis quintam eius et fiunt 6. Quos multiplicas in 100 et productum diuidis per prelatum, et exit id quod queris. Vel si uolueris, adde uni caficiorum quantum est quinta eius, et agregatum multiplica in 100, et exibit quod uolueris? Cum pro molendo unoquoque caficio datur septima eius et dimidia septima, tunc qui de ignotis caficiis persoluit et reportauit 100, quantum persoluit et quot portauit? Sic facies. Scimus quod qui portat caficium ad molendum diuidit illum in 7 partes, et data molendinario una illarum partium et dimidia, reportat molitas 5 partes et dimidiam. Constat igitur quod portat 7, et reportet 5 et dimidium. Comparatio autem eius quod portat ad id quod reportat est sicut comparatio eius quod portatur ad id quod reportatur. Comparatio igitur de 7 ad 5 et dimidium est sicut comparatio quesiti ad 100. Et ob hoc est modus agendi talis ut de numero unde denominatur septima, scilicet 7, minuas septimam eius et dimidiam, et remanent 5 et dimidia, quos ponis prelatum. Deinde multiplicas 7 in 100 et productum diuidis per prelatum, et exeunt 127 et 3/11, et hoc est quod queris. Vel si uolueris minue de uno septimam eius et dimidiam et per id quod remanet diuide 100, et exibit quod uolueris. Cum pro unoquoque1 caficio molendo detur quinta eius, tunc qui portat caficios nescio quot et persoluit de illis et reportat 100, quot fuerunt caficii quos portauit? Iam scimus quod cum portauerit 5 partes, persoluet de illis unam et remanent 4, que augmentantur decima parte sui fiunt 4 2/52. Cum igitur portauerit 5, reportabit 4 et 2/5. Comparatio autem eius quod portat ad id quod reportat est sicut comparatio eius quod portat ad id quod reportat. Comparatio igitur de 5 ad 4 et 2/5 est sicut comparatio quesiti ad 100. Multiplica igitur 5 in 100 et productum diuide per 4 et 2/5, et exibit quod uoluisti. Vel aliter. Reduc 4 in quintas, et cum duabus fient3 22 et similiter 5 reduc in quintas et fient 25, et tunc comparatio uiginti duorum ad 25 erit sicut comparatio de 100 ad quesitum. Fac ergo sicut supraostensum est, et exibit quesitum 113 et 7/11, et hoc est quod uoluisti.

____________________ 1 unoquoque A2: uno A1

2

2/5 A2: ? A1

3 fient A2: ? A1

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Vel si uolueris, iam scis quod cum de unoquoque caficio datur quinta eius, tunc de caficiis ignotis debet accipi quinta eorum et remanebunt 4/5, que augmentantur 4/10 parte sui. Fiunt ergo 4/5 et 2/5 unius sue quinte. Quere ergo quis numerus est cuius 4/5 et 2/5 unius sue quinte sunt 100, et inuenies 113 et 7/11, et hoc est quod uoluisti1. AD

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Item de eodem secundum augmentationem. Aliud capitulum2. Si quis querit, dicens: «Cum pro caficio molendo detur quinta caficii, sed non de eodem, et ex caficiis portatis ad molendum multiplicatis in id quod persoluitur proueniunt 150, tunc quot3 sunt cafici ignoti?» Iam ostensum est in supradicto capitulo de molendo scilicet quod cum pro caficio molendo datur quinta caficii, tunc de annona quam molendam portauit persoluitur sexta eius. Vnde hos caficios quos portauit multiplica in sextam eorum et fient 150. Sequitur ergo ut cum multiplicati fuerint in se fiant 900. Quorum radix scilicet 30 est caficii ignoti quos molendos portauit. Vel aliter. Pone caficios ignotos rem. Cuius sexta scilicet sexta rei est id quod persoluitur pro re4. Multiplica igitur sextam rei5 in rem6 et proueniet sexta census, que adequantur ad 150. Igitur census adequatur ad 900. Res7 autem est triginta qui triginta sunt caficii quos molendos portauit. Hic autem si experiri uolueris sextam de 30, que est 5, multiplica in 30, et prouenient 150 sicut supradixi8. Item de eodem. Si quis querat, dicens: «Cum pro uno caficio molendo detur quinta caficii, de caficiis autem quos reportauit subtractis illis quos persoluit remanent 20, tunc quot caficii sunt9 ignoti?» Notum est quod de caficiis quos molendos portauit eorum sextam persoluit. Vnde cum de ignota annona eius sexta persoluitur, remanent 5 sexte eius, que sunt id quod molitum reportauit. De quibus subtracta sexta quam persoluit remanent quatuor sexte eius. Sequitur ergo ut 20 que remanent sint quatuor sexte illius annone quam molendam portauit. Inquire ergo qui10 est numerus cuius quatuor sexte sunt 20, et inuenies quod est 30, et tot sunt caficii quos molendos portauit. Vel si uolueris, caficios quos molendos portauit11 pone rem. A qua12 re persoluta sexta eius que est sexta rei, remanent quinque sexte rei quas molitas reportauit. De quibus subtracta sexta rei persoluta, remanent quatuor sexte rei que adequantur ad 20. Ergo illa res adequatur 30 caficiis. Si autem hic experiri uolueris, persolue de his 30 caficiis13 sextam eorum, que est 5 caficii, et remanent ____________________ 1 Cum pro [p. 264, l. 2] – quod uoluisti A: om. D P 2 Item de eodem – capitulum A P: om. D 3 quot A: ergo D 4 post re add. aliquo D 5 rei A: om. D 6 rem A: aliquid D 7 res A: om. D 8 supradixi add. A sub ligno: supradixit D 9 caficii sunt A: sunt caficii D 10 qui A: quis D 11 portauit addidi cum D: om. A 12 a qua A: de quo D 13 post caficiis exp. cum A2 uid.

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25 et tot sunt quos reportauit. Quod igitur subtraxit ex illis sunt 5. Quos persoluit pro illis sicut1 propositum fuit. Si quis querat, dicens: «Cum pro molendo caficio detur quinta caficii, sed caficiis quos reportauit multiplicatis in id quod persoluit pro illis proueniunt2 125, tunc quot caficios molendos portauit?» Iam notum est quod pro caficiis ignotis persoluitur eorum sexta, et remanent quinque sexte eorum, que sunt id quod reportat molitum. Sed ex caficiis quos reportauit multiplicatis in id quod pro illis persoluitur proueniunt 125. Horum igitur quinta est caficii ignoti, scilicet 25. Vel si uolueris, pone quod portauit rem de quo3 persoluta sexta eius, scilicet sexta rei, remanent quinque sexte rei que sunt id quod molitum reportauit. Vnde multiplica eas in id quod persoluitur pro illis, scilicet in sextam rei 4, et prouenient quinque sexte et sexta census, que adequantur ad 125. Ergo census5 est 625, cuius radix que est 25 sunt caficii quos molendos portauit. Item de eodem. Si quis querat, dicens: «Cum molendinum unum molat 20 caficios inter diem et noctem et aliud 30 inter diem et noctem, aliud autem 40 inter diem et noctem, quisquis uult6 10 caficios molere in illis 3 eodem tempore, quantum ponet in unoquoque?» Hec autem questio omnino est similis questioni de participatione nec ne7 differt in aliquo ab8 ea. Vnde agrega 20 et 30 et 40, et agregatum pone prelatum. Cum autem uolueris scire quantum ponitur in unoquoque molendino, multiplica 10 caficios in id quod molitur molendino de quo uis scire, et productum diuide per prelatum, et quod exierit est id quod queris. Vel aliter. Caficios, quos ponit in molendino molente 40, pone aliud, et quod ponitur in molente 30 erit tres quarte alicuius. Quod autem ponitur in molente 20 erit dimidium alicuius. Agrega igitur hec omnia et fient duo aliqua et quarta, que adequantur ad 10. Illud ergo aliud adequatur ad 4 et quatuor nonas, et est id quod molitur in molente 40, cuius tres quarte ponuntur in molente 30, dimidium uero eius in molente 20, et hoc est quod scire uoluisti. AD

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Cum pro uno caficio molendo detur sexta eius, annona uero cum molitur tercia sui parte augmentatur, tunc qui 100 caficios ad molendum portauit et persoluit de illis, quot reportauit? Sic facies. Ex denominationibus que sunt sexta et tercia multiplicatis inter se fiunt 18. Vnde pro 18 molendis persoluta sexta que est 3 remanent 15 qui moliti augmentantur tercia parte sui et fient 20 moliti. Constat ergo quod cum portauerit 18 molendos, reportabit9 20 molitos. Ergo qui portauit 100 molendos, quot

____________________ 1 sicut A: sunt D 2 proueniunt A: prouenerunt D 3 de quo addidi cum D P: om. A 4 post rei add. alicuius D P: om. A 5 post census add. habitis D 6 post uult exp. d 7 nec ne A: nec D P 8 ab iter. D 9 reportabit A: reportauit D A2

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reportabit molitos? Multiplica 100 quos portauit in 20, quos reportauit, et productum diuide per 18, et exibit quod queris. Hoc quoque sumptus (sic)1 est ex proportione. Si uero proposuerit, dicens: «Qui reportauit 100 molitos, quot portauit molendos?» Iam constat quod comparatio [ignoti quod portauit]2 de 18 quos portauit ad 20 quos attulit est sicut comparatio ignoti quod portauit ad 100, quos reportauit. Diuidens ergo est hic 20, et fac secundum quod supradocuimus. Item de eodem. Si quis querat, dicens: «Cum pro uno caficio molendo detur tantum quantum est sexta eius. Annona autem cum molitur tertia parte sui augmentatur, tunc de 30 caficiis quos molendos detulit, quot molitos reportauit?» Sic facies. Numerus denominationis sexte est 6. Quibus adde tertiam eorum que est 2, fient 8, quos pone prelatum. Deinde agrega ad 6 quantum est sexta eorum, scilicet 1, et fient 7. Quos multiplica in 30 et productum diuide per prelatum, et exibunt 26 et quarta, et tantum est quod molendum portauit. Quod ideo fit, quoniam scimus quod de annona quam molendam portauit, septimam quam debebat persoluit, quoniam pro omni quod molitur quantum est sexta eius persoluitur. Remanent ergo ei sex septime de annona quam molendam portauit. Que sex septime molite creuerunt tercia parte sui et fiunt octo septime, que sunt 30 caficii quos reportauit. Manifestum est igitur quod talis est comparatio annone quod (sic)3 portauit, scilicet sex septimarum, ad annonam quam augmentatam reportauit, que est octo septime, qualis est comparatio annone que queritur ad annonam augmentatam usque ad 30, que est sex septime. Sunt igitur 4 numeri proportionales. Vnde multiplica 7 in 30, et productum diuide per 8, et exibit quantum portauit. Vel aliter. Cum annona quam molendam portauit, scilicet sex septime, augmentata tercia parte sui fiunt octo septime, sequitur ut octo septime sint sicut annona quam molendam portauit et eius septima. Vide ergo quid minuendum est de 8 ut fiant 7, scilicet octaua eius. Minue ergo de 30 caficiis octauam eorum, et remanent 26 et quarta caficii et tanta est annona quam molendam portauit. Vel aliter. Octo septime sunt sex septime augmentata tercia parte sui. Minue ergo de 30 quos reportauit quartam eorum, et remanebunt 22 et dimidium que sunt 6/7 quas molit. Quibus adde sextam et fient 26 et quarta, et hoc est quod portauit. Vel aliter. Annona quam portauit sit res de qua persoluta septima eius remanebunt sex septime rei. Quibus addita tercia earum fiunt octo septime rei, que equiualent 30. Ergo illa res4 est 26 et quarta, et hoc est quod uoluisti. Item si quis querit, dicens: «Cum pro molendo caficio dentur5 sexta caficii, annona uero cum molitur terci sui parte augmentatur, tunc de 30, quos molendos portauit, quot molitos reportabit?»

____________________ 1 sumptus A: sumptum D 2 post comparatio emedaui ignoti quod portauit A A: quam D 4 illa res A: illud aliquid D 5 dentur A: detur D

3 quod

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Deuxième partie du Liber mahameleth

Sic facies. Numerus denominationis sexte est 6. Cui adde sextam eius et fient 7, quos pone prelatum. Item adde ad 6 terciam eorum, et fient 8. Quos multiplica in 30 et productum diuide per prelatum, et quod exit est annona quam reportabit, scilicet 34 caficii et due septime caficii. Causa autem huius rei est hec, scilicet quoniam constat quod cum de annona quam ad molendum portauit persoluitur eius septima, remanet1 ei sex septime eius. He igitur 6 septime sunt caficii quos moluit2, et quia augmentati sunt tercia parte sui, prouenietur3 usque ad 8 septimas. Constat igitur quod proportio annone quam portauit molendam, scilicet septem septimas, ad annonam cognitam quam portauit, scilicet 30 caficios, est sicut comparatio octo septimarum que augmentate sunt ad annonam ignotam que accreuit. Sunt igitur hii 4 numeri proportionales. Vnde cum multiplicaueris 8 in 30, et productum diuiseris per 7, exibit annona ignota que est quartus. Est etiam alius modus scilicet de 30 quos portauit minue septimam, et remanebunt 25 et quinque septime. Quibus adde terciam ipsorum, et quod prouenit4 est id quod uoluisti5. AD

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Si quis querat: «Aliquis emit sextarium pro 3 nummis et molit eum pro dimidio nummo et pistat eum pro nummo, tunc quantum est precium 10 sextariorum emptorum, molitorum et pistatorum?» Sic facies. Tu scis sextarium emi pro 3 nummis et moli pro dimidio et pistari pro nummo. Igitur sextarius unus emptus et molitus et pistatus constat 4 nummorum et dimidii. Dices igitur: «Cum unus sextarius detur pro 4 nummis et dimidio, tunc quantum est pretium 10 sextariorum?» Fac sicut supradocuimus, et exibit quod queris. Si quis querat: «Cum caficius emitur pro 5 et molitur pro 3 et pistatur pro 1 et quarta, tunc pro 100 nummis quot habebuntur sextarii empti et moliti et pistati?» Iam scis quod sextarius emptus, molitus et pistatus constat 9 numorum et quarte. Dices igitur: «Postquam 1 sextarius datur pro 9 nummis et quarta, tunc quot dabuntur pro 100 nummis?» Fac sicut supraostensum est, et exibit quod queris. Si autem sextarii fuerint multi, reduc eos ad 1. Cetera huiusmodi considera secundum hoc, et inuenies ita esse6.

____________________ 1 remanet A: remanent D 2 moluit A: moliuit D 3 prouenietur A: prouenerunt D 4 prouenit A: prouenerit D 5 Item de eodem [p. 265, l. 7] – quod uoluisti A D: om. P 6 Si quis querat [l. 18] – ita esse A: om. D P

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Capitulum de coquendo musto1. Verbi gratia. Cum uolueris coquere 10 mensuras musti usque ad consumptionem duarum terciarum ita ut remaneat tercia. Coctis autem illis usque ad consumptionem duarum mensurarum, et de remanente effusis 2 mensuris, tunc residuum2 ad quantum coquendum est? Sic facies. Minue de 10 mensuris 2 mensuras consumptas, et remanent 8, quas pone prelatum. De quibus minue 2 mensuras effusas, et remanent 6. Quas multiplica in terciam de 10, et productum diuide per prelatum, et exibunt 2 mensure et dimidia in quas coquende (sic)3 redigende sunt 6. Causa autem huius hec est4. Constat enim5 quod 8 mensure si continue coquerentur et nihil de eis effunderetur peruenirent6 usque ad terciam partem de 10, qua est 3 mensure et tercia. Constat autem quod 6 remanentes post effusionem duarum sic debent coqui sicut coqueretur 47. Constat igitur quod talis est mensura eius quod in coquendo consumitur de 8, – si nichil effunditur quousque redigantur in terciam de 10, que est 3 et tercia, – qualis est mensura eius quod in coquendo consumitur de 6 quousque redigantur in mensuras quas queris. Comparatio igitur8 8 mensurarum ad 3 et terciam est sicut comparatio 6 mensurarum ad mensuras in quas redigere uoluisti. Sunt igitur hic 4 numeri proportionales, quorum primus ductus in quartum tantum efficit quantum secundus in tertium. Cum ergo multiplicaueris tercium, qui est 6, in secundum, qui est 3 et tercia, et productum diuiseris per primum, qui est 8, exibit 4 (sic)9, qui est mensure in quas redigende sunt 6. Vel quia constat quod sic se habet 8 ad 3 et terciam sicut 6 ad mensuras ignotas quas requiris, tunc si permutentur sic se habebunt 8 ad 6 sicut 3 et tercia ad mensuras ignotas quas scire uoluisti. Sunt igitur 4 numeri proportionales, quorum si secundus ducatur in tercium et productus diuidatur per primum exibit quartus qui queritur. Est etiam alius modus, uidelicet ut scias quota pars est 6 de 8, et tanta pars de 3 et tercia est id quod queris. Vel quere numerum in quem multiplicantur 8 ut fiant 10, et inuenies 1 et quartam. Quos multiplica in 6, et prouenient 7 et dimidium. Horum autem tercia, que est 2 et dimidium, est id quod scire uoluisti. Causa10 autem huius est hec. Quoniam numerus, quo addito 8 fiunt tot quod eius tercia sint 3 et tercia, sic se habent ad 8 sicut numerus. Quo addito 6 fiunt tot quod11 eius tercia est numerus qui queritur, habet se ad12 6. Constat autem quod id quo addito 8 fiunt 10 est sicut quarta eius. Vnde adde ad 6 sicut quartam eius, et tercia totius summe erit id quod uoluisti. ____________________ 1 Capitulum de coquendo musto A: om. D 2 post residuum add. usque D 3 coquende 6 peruenirent A: A: coquendo D 4 hec est A: est hec D 5 enim D: add. A2 s.l. peruenire D 7 coqueretur 4 A: coquerentur octo D 8 igitur A D2: autem D1 9 4 false A D in 2 et dimidium corrigendum 10 post causa exp. 1 A2 11 quod A: quid D 12 ad addidi cum D: om. A

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Deuxième partie du Liber mahameleth

Vel aliter. Scias quo diminuto de 8 fiunt 6, scilicet quarta eorum. Minue ergo de 31 et tercia quartam eorum, et remanebunt 2 et dimidium, et hoc est quod uoluisti. Vel aliter. Vide quota pars est 3 et tercia de 8, scilicet 2/6 et dimidia. Due igitur sexte et dimidia de 6, que sunt 2 et dimidium, est hoc quod uoluisti. Vel aliter. Iam scis quod postquam 10 mensure coquendo2 rediguntur in 8, quod origo istarum 8 decoctarum sunt 10 mensure. Duarum etiam mensurarum effusarum origo sunt 2 mensure et dimidia non cocte. Quasi ergo3 effundentur iste 2 mensure et dimidia de 10 inde decoctionem et tunc residuum quod est 7 et dimidia decoquendo esset redigendum in terciam eius que est 2 et dimidia. Et hoc est quod uoluisti. AD

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Item de eodem. Si uolueris 10 mensuras musti coquere usque ad consumptionem duarum terciarum, iam uero decocto eo usque ad consumptionem duarum mensurarum et de residuo effusis duabus, residuum uero postea decoctum est usque ad consumptionem duarum mensurarum et de reliquo effuse sunt 2. In quantum redigendum est ultimum residuum secundum quod decoquere illud uoluisti4? Et hec questio similiter composita est ex duabus ad modum precedentis. Igitur accipe terciam de 10, que est 3 et tercia. Deinde minue de 10 duas mensuras consumptas, et remanebunt 8. De quibus etiam minue 2 effusas, et remanebunt 6. De quibus minue iterum 2 postea consumptas, et remanebunt 4. De quibus 4 minue 2 ad ultimum effusas et remanebunt 2. Postea multiplica 8 in 4, et fient 32, quos pone prelatum. Deinde ultimas 2 remanentes multiplica in 6, et prouenient 12. Quos multiplica in 3 et tercia (sic)5 et prouenient 40. Quos diuide per prelatum, et exibit 1 et quarta. Et hoc est in quod redigatur6 ultimum residuum. Si uolueris coquere 10 mensuras musti quousque redigantur in numerum ignotum, postea eo decocto usque ad consumptionem duarum mensurarum7 de residuo effuse sunt 2 et quod remansit de coquendo redictum est in 2 mensuras et dimidiam, que est portio ignota in quam uoluit redigere 10 mensuras. Sic facies. Minue de 10 2 in igne consumptas et remanent 8. De quibus minue 2 effusas et remanent 6, quos pone prelatum. Deinde multiplica 2 et dimidiam in 8, et prouenient 20. Quos diuide per prelatum et exibunt 3 et tercia. Et hec est portio8 ignota9 in quam uoluisti redigere predictas 10 mensuras.

____________________ 1 3 A: quibus D 2 coquendo A: decoquendo D 3 ergo iter. A 4 uoluisti A: uoluerit D 5 tercia false A D in terciam corrigendum 6 redigatur A: redigitur D 7 mensurarum A: om. D 8 et hec est portio A: om. D 9 ignota A2: ignotus D: agnata 1 A uid.

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Si uolueris coquere 10 mensuras musti quousque redigantur in quartam de 10. Coquendo autem consumptum est nescio quantum, et de remanenti effuse sunt 3 mensure et residuum redictum est in unam mensuram et 4/8 et dimidiam octauam. Sic facies. Iam scis quod comparatio de 10 minus ignoto consumpto ad 2 et dimidiam est sicut comparatio de 10 minus ignoto et minus 3 mensuris ad 1 et 4/8 et dimidiam. Cum autem commutauerimus, tunc comparatio duarum et dimidie ad 1 et 4/8 et dimidiam octauam erit sicut comparatio de 10 minus ignoto ad 10 minus ignoto et minus 3 mensuris. Sed 2 et dimidia ad 1 et 4/8 et dimidiam octauam est tantum (sic)1 et 3/5 eius. Igitur 10 minus ignoto sunt 1 et 3/5 de 10 minus ignoto et minus 3 mensuris. Sint igitur 10 ab, ignotum uero bg. 3 autem mensure gd. Igitur ag est equale ad ad et 3/5 eius. Cum autem disperserimus, tunc dg erit 3/5 de ad. Sed dg est 3. Igitur ad est 5. Totus igitur ag est 8. Sed ab est 10. Remanet igitur gb 2, et hoc est quod demonstrare uoluimus.

Fig.67: A, fol.168 v m.s..

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Si uolueris coquere 10 mensuras musti usque redigantur in quartam partem, decoquendo autem consumpte sunt 2 mensure, et de remanenti effusum est nescio quantum et residuum redictum est in unam et dimidiam et dimidiam octauam. Sic facies. Iam scis quod comparatio de 10 minus 2 mensuris, qui sunt 8, ad quartam de 10, que est 2 et dimidium, est sicut comparatio de 8 minus effuso ignoto ad unum et dimidium et dimidiam octauam. Fac sicut supraostensum est, et exibunt 8 minus ignoto 5. Ignotum igitur effusum est 3, et hoc est quod demonstrare uoluimus. Si uolueris coquere 10 mensuras musti quousque redigantur in terciam partem, coquendo autem consumpte sunt nescio quot et de remanenti effuse sunt totidem et residuum redictum est in 2 et dimidiam. Sic facies. Iam scis quod comparatio 3 et tercie, qui sunt tercia de 10, ad 2 et dimidium est sicut comparatio de 10 minus consumpto ignoto ad 10 minus consumpto ignoto et effuso ignoto. Comparatio autem 3 et tercie ad 2 et dimidium est tantum (sic)2 tercia. Igitur 10 minus ignoto consumpto ad 10 minus ignoto consumpto et effuso sunt tantundem et 1/3. Igitur 10 minus consumpto et effuso sunt 6. Igitur mensure consumpte et effuse sunt 4. Sunt autem equales. Igitur consumpte in 2 et effuse 2. Et hoc est quod demonstrare uoluimus. Si uolueris coquere 60 mensuras musti quousque redigantur in terciam, coquendo autem consumuntur 10 mensure, et de remanenti effunduntur 5. Deinde residuum decoquitur usque ad consumptionem 9 mensurarum, et de residuo ____________________ 1 tantum false A in unum corrigendum

2 tantum false A in unum et corrigendum

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effunduntur 6 mensure, tunc ultimum residuum in quantum coquendo est redigendum? Hec questio composita est ex duabus questionibus. Quasi enim prius uelis coquere 60 mensuras musti quousque redigantur in terciam, et deinde coquendo consumuntur 10 mensure et de remanenti effunduntur 5, in quantum residuum est redigendum? Fac sicut predocuimus, et exibit 18. Deinde quasi uelis coquere 45 mensuras musti quousque redigantur in 18, et coquendo consumuntur 9, et de remanenti effunduntur 6 mensure, in quantum redigendum est residuum? Fac ergo sicut supradocuimus et exibunt 15. Et hoc est quod uoluisti scire in questione proposita. Si autem uolueris coquere 100 mensuras musti quousque redigantur in quintam partem, coquendo autem consumuntur 10 mensure, et de remanenti effunduntur 9. Deinde residuum decoquitur usque ad consumptionem 8 mensurarum, et de residuo effunduntur 7, et deinde residuum decoquitur usque ad consumptionem 6 mensurarum, et de residuo effunduntur 5 mensure, tunc ultimum residuum in quantum coquendo est redigendum1? Hec questio composita est ex 3 questionibus. Sed modus agendi in ea idem est questioni precedenti. Similiter etiam si ex pluribus, uidelicet ut in unaquaque coctione et effusione fomes questionem quousque peruenias ad ultimam. Et quod ad ultimum prouenerit est id quod requiris. Contingunt autem in hoc capitulo de coquendo plures questiones impossibiles quas oportet prescire ut cum euenerint aliqua illarum similes prioribus que in hoc et in priore capitulo dicte sunt scias esse falsas. Verbi gratia. Si uolueris coquere 10 mensuras musti quousque rediguntur in terciam, et coquendo consumuntur 7, et de residuo effunduntur 2, in quantum residuum est redigendum? Hec questio falsa est. Nam positum est ut 2 redigantur in terciam, que est 3 mensure et tercia, et consumantur 6 et 2/3. Iam ergo excessit terminum postquam coquendo consumuntur 7, que sunt plures quam 6 et 2/3 unius. Quas uoluit consumi est igitur impossibile. Que autem est similis hoc et non est impossibile est sicut hec. Verbi gratia. Si uolueris coquere 10 mensuras musti quousque redigantur in terciam et effunduntur de eis 2 mensure, in quantum redigendum est residuum? Manifestum est hic quod si 8 uolueris coquere secundum quod positum est de 10, oportebit eas scilicet 8 redigere in terciam partem, que est 2 et 2/33. AD

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Cum uolueris coquere mustum ignotum usque ad consumptionem duarum terciarum, iam autem in coquendo consumptis de illo 2 mensuris, et de remanenti effusis 2 mensuris, residuum uero in coquendo redictum4 est in 2 mensuras et dimidiam, tunc quantum est mustum ignotum?

____________________ 1 redigendum A2: redigendo A1 2 10 addidi et 2/3 A: om. D P 4 redictum A: reditum D

3 Si uolueris coquere [p. 271, l. 2] – 2

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Sic facies. Numerum unde denominatur tercia, scilicet 3, multiplica in 2 mensuras et dimidiam, et prouenient 7 et dimidia. Quibus adde 2 consumptas et 2 effusas, et fient 11 et dimidia. Deinde multiplica 7 et dimidiam in 2 consumptas, et fient 15. Deinde medietatem de 11 et dimidia que est 5 et 3/4 multiplica in se, et prouenient 33 et dimidia octaua. De quibus minue 15 et remanebunt 18 et dimidia octaua. Cuius radici que est 4 et quarta adde 5 et tres quartas et fient 10, et tantum fuit mustum ignotum. Cuius probatio est hec. Sit mustum ignotum linea ab, 2 uero mensuras in ignote consumptas linea ad 2 uero effusas linea ag 2 uero et dimidiam in quas redigatur linea gb que remanet de musto post consumptionem et effusionem. Pone lineam kb. Iam autem diximus in eo quod precessit de musto cognito quod1 talis est comparatio eius quod additur remanent de musto post consumptionem 2 mensurarum, – adhoc ut illud remanens cum addito fiat tantum ut eius tercia sit tercia totius musti, – ad idem remanens qualis est comparatio eius quod additur secundo remanenti2 post consumptionem duarum et post effusionem duarum3 aliarum,– adhoc ut secundum remanens cum addito fiat tantum ut4 eius tercia sit equalis ei quod5 queritur, – ad idem secundum remanens. Constat igitur quia id quod additur linee bd quousque fiat linea ab sic se habet ad lineam bd sicut id quod additur linee gb quousque tercia totius6 sit 2 et dimidium, quod est linea kb, ad bg. Lineam ergo additam linee gb ponemus lineam gh. Igitur linea kb est tercia linee bh. Igitur hb est 7 et dimidium. Manifestum est igitur quod sic se habet linea ad ad lineam db sicut se habet linea hg ad lineam gb. Componam autem proportionem et talis erit comparatio linee ad ad lineam ab qualis est comparatio linee hg ad lineam hb. Quod igitur fit ex ductu linee ad in lineam hb equum est ei quod fit ex ductu linee ab in lineam hg. Ex ductu autem linee bh in lineam ad proueniunt 15 quoniam linea ad est 2. Linea uero hb est 7 et dimidium. Vnde cum multiplicatur linea hg in linea ab, prouenient7 15. Deinde a puncto linee ab, scilicet a puncto a, protraham lineam equam linee hg, que est linea at. Ex ductu igitur linee at in lineam ab proueniunt 15. Manifestum est igitur quod linea ht est 4. Sed linea hb8 est 7 et dimidium. Ergo linea tb est 11 et dimidium. Faciam autem aliam lineam 11 et dimidium equalem linee tb, que est linea cq, de qua incidam lineam equam linee ta, que est linea cp. Ex ductu igitur linee cp in lineam pq proueniunt 15. Deinde dimidiabo lineam cq in puncto l. Quod igitur fit ex ductu linee cp in lineam pq et linee pl in se equum est ei quod fit ex ductu linee cl in se, sicut dixit euclides in libro secundo.

Fig.68: A, fol.169 r sub textu; om. D.

____________________ 1 quod A D2: quid D1 2 quod additur secundo remanenti A: idem additur secundo remanent D 3 duarum aliarum A: aliarum duarum D 4 quod A: ad D 5 quod A: quid D 7 prouenient A: proueniet D 8 post hb add. et D 6 totius A2 D: ipsius A1

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Sed ex ductu linee cl in se proueniunt 33 et dimidia octaua, et ex ductu linee cp in lineam pq proueniunt 15. Ergo ex ductu linee pl in se proueniunt 181 et dimidia octaua. Ergo linea pl est 4 et quarta. Linea uero ql est 5 et 3/4 igitur linea pq est 10, et hoc est mustum incognitum. Vel aliter. Pone mustum ignotum rem de que (sic)2 re minutis 2 mensuris consumptis remanebit res minus duobus de quo minue 2 mensuras effusas et remanebit res minus 4. Manifestum est igitur quod talis est comparatio rei minus duobus ad terciam musti, que est tercia rei, qualis est comparatio rei minus 4 ad 2 et dimidium. Tantum igitur fit ex ductu rei minus duobus in 2 et dimidium quantum ex ductu tertie rei in rem minus 4. Deinde fac sicut supradocuimus in algebra3 et exit res 104. A

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Vel aliter. Sit mustum ignotum ab, 2 uero mensure sint bg, alie 2 sint gd. Tertia uero musti hz, 2 autem et dimidia hk. Igitur comparatio de ag ad hz est sicut comparatio de ad ad 2 et dimidium qui sunt hk5. Comparatio autem6 de ag7 ad triplum de hz, quod est ab, est sicut comparatio de ad ad triplum de hk, quod est 7 et dimidium. Id igitur quod fit ex ductu ag in 7 et dimidium equum est ei quod fit ex ductu ad in ab. Id autem quod fit ex ductu ab in ad equum est ei quod fit ex ductu ad in se et ad in db, quod est 4. Id igitur quod fit ex ductu ad in se et in 4 equum est ei quod fit ex ductu ag in 7 et dimidium. Id autem quod fit ex ductu ag in 7 et dimidium equum est ei quod fit ex ductu ad in 7 et dimidium et dg, qui est 2, in 7 et dimidium. Ex ductu autem dg in 7 et dimidium est 15. Id igitur quod fit ex ductu ad in se et in 4 equum est ei quod fit8 ex ductu ad in 7 et dimidium additis sibi 15. Id igitur quod fit ex ductu ad in 4 minue de eo quod fit ex ductu eius in 7 et dimidium, et remanebit id quod fit ex ductu ad in se equum ei quod fit ex ductu eiusdem in 3 et dimidium additis sibi 15. Igitur ad plus est quam 3 et dimidium. Sint igitur 3 et dimidius at. Et tunc id quod fit ex ductu ad in se equum erit ei quod fit ex ductu ad in at additis sibi 15. Id autem quod fit ex ductu ad in se equum est ei quod fit ex ductu ad in at, et ad in dt. Iam igitur quod fit ex ductu ad in at et ad in dt equum est ei quod fit ex ductu ad in at et ad in dt. Id igitur quod fit ex ductu ad in at9 et ad in dt equum est ei quod fit ex ductu ad in at, additis sibi 15. Si igitur reicias id quod fit ex ductu ad in at, quod est commune, remanebit id quod fit ex ductu ad in dt. 15 diuidatur autem per medium in puncto q, et tunc id quod fit ex ductu ad in dt et tq in se equum erit ei quod fit ex ductu qd in se. Id autem quod fit ex ductu ad in dt est 15, et qt in se est 3 et dimidia octaua. Igitur id quod fit ex ductu qd in se est 18 et dimidia octaua. Igitur qd est 4 et quarta. Sed aq ____________________ 1 18 A: et octo D 2 que A: quo D 3 algebra A: agebla D 4 Cum uolueris 6 comparatio autem coquere [p. 272, l. 35] – res 10 A D: om. P 5 post hk exp. igitur A2 7 post ag add. ad hz A 8 post fit exp. ? (autem add. A2 s.l.) A2: igitur comparatio A1 9 at A2 : adt A1 A2

Deuxième partie du Liber mahameleth

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est 1 et 3/4. Igitur ad est 6, sed db est 4. Igitur ab est 10, et hoc est quod demonstrare uoluimus1.

Fig.69: A, fol.169 v m.s..

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Si2 uolueris coquere mustum ignotum usque ad consumptionem duarum terciarum. Consumpta uero in coquendo quinta eius et de remanenti effusis duabus. Residuum uero redictum est in 2 et dimidium, ideo quantum est mustum ignotum? Sic facies. Iam scis quod comparatio quatuor quintarum musti ad terciam musti est sicut comparatio quatuor quintarum musti minus duabus mensuris ad 2 et dimidium. Fac ergo sicut supradictum est et exibunt 4/5 musti minus 2, sex. Mustum igitur3 est 10, et hec (sic)4 est quod demonstrare uoluimus. Vel aliter. Pone mustum ignotum rem, de qua re subtracta quinta eius remanebunt 4/5 rei. De quibus minue 2 mensuras, et remanebunt 4/55 rei minus duabus mensuris. Manifestum est igitur ex premissis quod 4/5 rei sic se habent ad tertiam musti, que est tercia rei, sicut comparatio 4/56 minus duobus ad 2 et dimidium. Sunt igitur isti 4 numeri proportionales. Quod ergo fit ex ductu quatuor quintarum rei in 2 et dimidium, qui7 est 2 res, equum est ei quod fit ex ductu tertie rei in 4/5 rei minus 2, quod est quinta census et tercia quinte census minus duabus terciis rei. Duas ergo tertias rei adde duabus rebus, et fient 2 res et 2/3 rei que equantur quinte census et tercie quinte census. Has ergo scilicet quintam census et terciam quinte8 census restaura in9 integrum censum10, uidelicet multiplicando eas in 3 et 3/4 (sic)11. Quas12 multiplica etiam in 2 res et 2/3 rei, et prouenient 10 res, que equantur uni censui13. Fac igitur sicut premonstratum in algebra14, et census erit 100. Res uero erit 10, que est mustum ignotum15. A

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Si uolueris coquere mustum ignotum quousque redigatur in terciam partem, coquendo autem consumpte sunt 2 mensure et de remanenti effusa est pars quarta, residuum uero redictum est in quartam partem totius musti.

____________________ 1 Vel aliter [p. 274, l. 13] – uoluimus A: om. D P 2 praem. vel aliter D 3 igitur A: ergo D 6 sic se habent [l. 13] – 4/5 A: om. D 7 qui 4 hec A: hoc D 5 4/5 A2 D: 4 A1 A: quod D 8 census et tercie [l. 19] – quinte addidi cum D: om. A 9 in A: ut D 10 censum A: census D 11 3/4 false A D in 3/5 corrigendum 12 quas A : qua sibi D 13 uni censui A: unum censui habitu D 14 algebra A: angebla D 15 Si uolueris coquere [l. 4] – mustum ignotum A D: om. P

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Sic facies. Iam scis quod comparatio tertie musti ad quartam musti est sicut comparatio musti minus 2 mensuris ad 3/4 eius. Tercia autem musti ad 3/4 est tantum et tercia. Igitur mustum minus duabus mensuris ad 3/4 eius est tantum et tercia. Questio igitur hec infinita est. Omnis enim numerus ad 3/4 eius est tantum et tercia. Si autem diceretur residuum redictum esse in quintam partem musti, falsum esset. Mustum enim minus duabus mensuris ad 3/4 eius esset tantum et 2/3, quod est impossibile. Non ergo potest fieri hec questio nisi dicatur mustum redictum esse in quartam eius. Cum igitur fuerit ita manentibus 2 partibus erit questio interminata. Sit ergo mustum quilibet. Verbi gratia 30, tunc mustum minus 2 mensuris erit 28, quod autem effunditur est 7, et remanebunt 21 mensure, quas redige in quartam musti que est 7 et dimidia. Similiter facies in omnibus huiusmodi questionibus et cum conuenerit1 in 2 partibus positis erit falsa, et hoc est quod ostendere uoluimus. Si quis uoluerit coquere mustum ignotum quousque redigatur in terciam partem, coquendo autem consumitur quinta eius, et de remanenti effunditur quarta (sic)2 pars et residuum redigatur in 2 mensuras et dimidium, tunc quantum est mustum ignotum? Iam scis quod comparatio 4/5 musti ad 3/5 eius est sicut comparatio tertie musti ad 2 et dimidium. Sed 4/5 musti ad 3/5 eius sunt unum et tercia. Igitur tertia musti ad 2 et dimidium est unum et tercia. Igitur tercia musti est 3 et tercia. Mustum igitur est 10. Si uolueris coquere mustum ignotum quousque redigatur in terciam partem, coquendo autem consumuntur 2 mensure et de remanenti effunditur quarta pars eius et residuum redigatur in 2 et dimidium. Iam scis quod comparatio musti minus duabus mensuris ad 3/4 eius est sicut comparatio tertie musti ad 2 et dimidiam3. AD

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Capitulum de mutuando4. Si quis pro mutuatis5 6 sextariis annone qui 14 faciunt modium uult persoluere de sextariis qui 20 faciunt modium, quot persoluet? Hec questio est quasi dicatur: «Cum 14 dentur pro 6 nummis, quanti precii sunt 20?» Sic facies. Multiplica 6 in 20, et productum diuide per 14 et exibunt 8 sextarii et quatuor septime sextarii, et hoc est quod scire uoluisti. Causa autem huius patet ex his que supradicta sunt in emendo et uendendo. Vel aliter. Denomina 6 sextarios de 14, et tantumdem acceptum de 20 erit quod uoluisti. Vel inquire in quem numerum multiplicati 14 fiunt 20, et ipsum multiplica in 6, et productum est id quod queris. ____________________ 1 conuenerit A2: conuenerint A1 2 quarta false A in quinta corrigendum 3 Si uolueris coquere [p. 275, l. 25] – et dimidiam A: om. D P 4 Capitulum de mutuando A: om. D 5 mutuatis A2 D: mutuandis A1

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Causa autem huius hec est1. Scilicet quoniam constat quod comparatio 14 sextariorum ad 20 est sicut comparatio de 6, quos mutuauit, ad sextarios, quos persoluit. Et mensura per quam 14 fiunt 20 est sicut mensura per quam sex fiunt sextarii persoluti. Vel aliter. Pone sextarios ignotos unam rem. Constat autem talem esse proportionem de 6 ad 14 qualis est sextariorum ignotorum, que sunt res, ad 20. Tantum ergo fit ex ductu primi in quartum quantum ex ductu secundi in tercium. Tantum ergo proueniunt2 ex ductu 20 in 6 quantum ex ductu 14 in rem. Vnde 1203 equiualent ad 144 res. Ergo res est 85 et quatuor septime, et hoc est quod uoluisti. Tale est hoc capitulum quale illud de emendo et uendendo nec differunt in aliquo. Manifestum est enim quod comparatio sextariorum persolutorum ad modium suum est sicut comparatio sextariorum mutuatorum ad modium suum. Ponam autem aliquas questiones et assignabo hic que predicta sunt. Verbi gratia6. Item de eodem. Si quis pro mutuandis (sic)7 6 sextariis annone qui 14 faciunt modium persoluit 9 sextarios, quot sextarii sunt in modio? Hec etiam quod8 est quasi aliquis dicat: «Cum 14 modii dentur pro 6 nummis, tunc quot habebo pro 9?» Modum autem agendi hic et probationem iam prediximus in capitulo de emendo et uendendo. Videlicet ut multiplices 9 in 14, et productum diuide per 6, et quod exierit est id quod uoluisti. Causa autem huius hec est9 Quoniam 6 sextarii sic se habent ad 14 sicut 9 sextarii ad sextarios modii ignoti. Sunt igitur 4 numeri proportionales. Ex ductu igitur secundi in tercium, et ex producti eius10 diuisione per primum, exibit quartus. Vel aliter. Inquire numerum in quem multiplicati 6 fiant 14, et in ipsum multiplica 9, et prouenient quod queris. Vel sextarios modii ignoti pone rem. Constat autem talem esse comparationem de11 6 ad 14 qualis est de 9 ad sextarios ignotos qui sunt res. Sunt igitur 4 numeri proportionales. Vnde fac sicut supradocuimus in algebra12 et exibit precium rei. Si quis pro mutuatis13 6 sextariis annone, quorum 14 faciunt modium, persoluit sextarios alterius modii, quibus multiplicatis in sextariis ipsius modii proueniunt 189, ergo quot sextarii faciunt modium illum aut quot persoluit? Sic facies. Cum uolueris scire sextarios quos persoluit, multiplica 14 in 189, et productum diuide per 6 et eius quod exit radix erit numerus sextariorum, scilicet quot faciunt modium qui sunt 21. Si uero uolueris scire de hiis sextariis quot persoluit, denomina 6 de 14, et tanta pars de 21 erit id quod queris. Si uero uolueris inuenire hic aliter, multiplica 6 in 189 et productum diuide per 14, et eius quod exit radix est id quod queris, scilicet 9. ____________________ 1 hec est A: est hec D 2 proueniunt A: prouenit D 3 120 A: centum in uiginti D 5 8 A: om. D 6 Tale est hoc [l. 10] – Verbi gratia add. D sub 4 14 A2 D: 4 A1 textu (fol. 43v) 7 mutuandis A: mutuatis D 8 Hec etiam quod A: hec est etiam questio D 9 hec est A: est hec D 10 eius A: ex eis D 11 de A: om. D 12 algebra A: agebla D 13 mutuatis A2 D: mutuandis A1

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Si quis pro mutuatis1 6 sextariis annone, quorum 14 faciunt modium, persoluit sextarios alterius modii, quibus agregatis ad sextarios illius modii proueniunt 30, tunc quot sunt2 sextarii quos persoluit? Hec questio est quasi diceretur: «Cum 14 modii dentur pro 6 nummis, tunc quot sunt modii? Quorum numero agregato cum eorum pretio proueniunt 30, et quantum est eorum precium?» Modum soluendi hanc questionem iam assignauimus in precedentibus, scilicet ut agreges 14 cum 6, et fient 20, quos pone prelatum. Cum autem uolueris scire quot sunt sextarii modii de quo persoluit, multiplica 14 in 30 et productum diuide per prelatum et exibunt 21. Et tot sunt sextarii illius modii. Cum uero uolueris scire quot sextarios persoluit, minue 21 de 30, et remanent 9, et tot sunt sextarii quos persoluit. Si autem hoc alio modo adinuenire uolueris, multiplica 6 in 30, et productum diuide per prelatum et quod exit est id quod scire uoluisti. Est etiam alius modus scilicet ut sextarios modii de quo persoluit ponas rem. Cuius tres septimas, que sunt tres septime rei, agrega ipsi rei3 et prouenient res 1 et tres septime rei que adequantur ad 30. Ergo res est 21, quot sunt sextarii illius modii? Vel denomina 14 de 20, et tanta pars accepta de 30 erit numerus sextariorum illius modii quot persoluit de illo. Et etiam denomina 6 de 20, et tanta pars accepta de 30 erit numerus sextariorum quos persoluit. Item de eodem. Si quis pro mutuatis 6 sextariis annone, quorum 14 faciunt modium, persoluit sextarios alterius modii, quibus subtractis de numero sextariorum illius modii remanent 12, quot de illis sextarii (sic)4 faciunt modium uel quot persoluit? Hec questio est quasi dicatur: «Cum 14 modii dentur pro 6 nummis, tunc quot sunt modii quibus subtractis de eorum pretio remanent 12?» Iam assignauimus hoc in capitulo de5 emendo et uendendo. Vnde secundum hoc considera cetera huiusmodi6. Capitulum de conductis. Hoc capitulum non differt a capitulo uendendi et emendi. Manifestum est enim quod comparatio dierum quibus seruitur ad dies quibus conducitur est sicut comparatio precii dierum quos seruitur ad precium dierum quibus conducitur. Contingunt autem hic questiones de ignoto dissimiles a questionibus de ignoto in emendo et uendendo et ita iustum7 est apponere hic eas. Sed prius de aliis agemus et deinde de ipsis et de aliis que adherent eis. Verbi gratia8. Si quis conductus per mensem pro 10 nummis seruit 12 diebus, quota9 est merces eius? Hec questio per omnes modos eius talis est ac si dicatur: «Cum 30 modii dentur pro 10 nummis, tunc quantum est precium 12 modiorum?» ____________________ 1 mutuatis A2 D: mutuandis A1 2 sunt addidi cum D: om. A 3 rei addidi cum D: om. A 4 sextarii false A D in sextariis corrigendum 5 de addidi cum D: om. A 6 Capitulum de mutuando [p. 276, l. 28] – cetera huiusmodi A D: om. P 7 ita iustum A: ideo uisum D sub textu 8 Capitulum de conductis [l. 29] – gratia add. D sub textu 9 quota A: quanta D

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Sic facies. Multiplica 12 dies quibus seruiuit in 10 nummos et productum diuide per dies mensis scilicet 30, et exibunt 4, qui sunt merces eius. Causam autem huius iam assignauimus in capitulo de emendo et uendendo. Est etiam alius modus scilicet ut quota pars sunt 12 de 30 tanta pars de 10 est merces eius. Cuius rei causa hec est. Constat enim quod quemadmodum se habent 12 ad 30, eodem modo se habet merces sibi debita ad 10. Vel aliter. Considera quo numero subtracto de 30 fient 10, scilicet duabus terciis eius. Minue ergo de 12 duas tercias eius et remanebunt 4, qui sunt merces eius pro 12, quibus seruiuit1. Vel aliter. Considera quo numero diminuto de 30 remanebunt 12 scilicet tribus quintis eius. Minue ergo de 10 tres quintas eius, et remanebit merces scilicet 4. Item de eodem. Si quis conducitur pro 10 nummis per mensem, pro acceptis 4 nummis quot diebus seruire debet? Hec etiam2 questio per omnes suos modos est ac si dicatur: «Cum 30 modii dentur pro 10 nummis3, tunc quot habebo pro 4 nummis?» In qua sic facies. Multiplica 4 in 30, et productum diuide per 10, et exibunt 12 quot diebus seruire debet. Vel aliter. Quota pars est 4 de 10 scilicet due quinte eius. Tanta pars de 30 scilicet 12 sunt dies quibus seruire debet. Causam autem huius iam assignauimus in capitulo de emendo et uendendo. Vel aliter. Inquire numerum in quem multiplicati 10 fient 30, et hic est 3. Hos igitur multiplica in 4, et prouenient similiter 12, et hoc est quod uoluisti. Item de eodem. Si quis conducitur per mensem sed prima die pro nummo 1, secunda autem pro duobus et tercia pro 3, et sic augmentando numerum nummorum iuxta numerum dierum usque ad finem mensis, tunc pro 30 diebus, quantum est accepturus? Sic facies. Adde 1 summe dierum quibus seruiuit et fiunt 314. Quos multiplica in medietatem dierum scilicet 15, et prouenient 465, et tot nummos est accepturus. Similiter si seruit 40 uel plus uel minus, adde numero dierum 1 et totam summam multiplica per medietatem numeri et productus est id quod est5 accepturus. AD

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Capitulum de ignoto in conducendo pro rebus6. Si quis conducitur per mensem pro 10 nummis et re et pro 12 diebus, quos seruit accipit rem, tunc7 quid ualet illa res?

____________________ 1 post seruiuit add. Vel aliter. Quota pars sunt decem de triginta, tanta pars de duodecim est 4 31 A2 merces eius D 2 etiam addidi cum D: om. A 3 nummis A2 D: modiis A1 1 2 D: 30 A 5 est D: add. A s.l. 6 Capitulum – rebus A: om. D 7 tunc A: om. D

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Sic facies. Minue 12 de 30 et remanent 18, quos pone prelatum. Deinde multiplica 12 in 10, et productum diuide per prelatum et exibunt 6 nummi et due tercie, et tantum ualet res. Causa autem1 huius hec est2. Constat enim quod 10 nummi remanent de pretio. Quasi ergo dicatur: «Postquam 18 pro 10 dantur, tunc quantum est pretium de 12?» Multiplica 10 in 12, et productum diuide per 18, et exibit quod queris. Vel aliter. Causa est hec. Comparatio enim3 dierum ad dies est sicut comparatio pretii ad pretium. Igitur comparatio de 30 ad 12 est sicut comparatio de 10, et re ad rem4. Cum autem disperserimus comparatio de 18 ad 12 est sicut comparatio de 10 ad rem. Igitur id quod fit ex ductu 12 in 10 equum est ei quod fit ex ductu 18 in rem. Multiplica ergo5 12 in 10, et productum diuide per 18, et exibit res. Quisquis autem hanc probationem bene cognouerit per eam omnes huiusmodi questiones probare poterit. Regula enim generalis questionum formatarum secundum algebra6 hec est, scilicet ut semper diuidas dies quos seruire debet per dies quos seruit7. Et quod exit multiplica in id quod accipit et adequa productum pretio8 totius mensis. Deinde fac sicut predictum est in algebra9 et exibit quod uoluisti. Vel aliter. Diuide dies mensis per dies quos seruit et exibunt 2 et dimidius. Quos multiplica in rem quam accepit et prouenient 2 res et dimidia que adequantur ad 10 et rem. Minue ergo rem de duabus rebus et dimidia et remanebit res et dimidia que adequatur ad 10. Res igitur est 6 et due tercie. De hoc autem quod diuidimus dies mensis per dies quos seruit, et quod exit multiplicamus in rem et productum adequamus ad 10 et rem. Causa hec est. Constat enim quod cum pro 12 diebus accipitur res precium, oportet ut pro 30 diebus accipiatur pretium 2 res et dimidia. 30 enim hic continet 2 et eius medietatem. Constat etiam quod precium 30 dierum est 10 nummi et una res. Ergo 2 res et dimidia adequantur ad 10 nummos et rem. Idcirco autem diuisimus 30 per 12, ut sciremus quotiens 12 continentur in 30, scilicet bis et dimidium. Ideo autem multiplicamus 2 et dimidium in rem ut sciremus pro 30 diebus quot res sunt precium. Similiter facies in sequentibus. Vnde qui hec comprehenderit ea que secuntur facile intelligere poterit. Vel aliter. Constat enim quod sic se habent 12 ad 30, sicut pretium de 12 ad pretium de 30. 12 autem sunt due quinte de 30. Ergo pretium de 12 est due quinte precii de 30. Ergo due quinte de 10 et rei que sunt 4 et due quinte rei adequantur rei quam accepit precium pro 12 diebus quos seruiuit. Fac ergo sicut predocuimus in algebra10, scilicet minue duas quintas rei de re, et remanebunt tres quinte rei que adequantur ad 4. Res igitur est 6 nummi et due tercie.

____________________ 1 post autem add. huius A uid. D 2 hec est A: est hec D 3 enim om. D 4 post 5 ergo A: om. D 6 algebra A: agebla (iter. D m.d. al. rem exp. igitur id quod fit A2 8 pretio A: precium D 9 algebra A: man. ) D 7 add. scilicet mensis totius A2 s.l. agebla D 10 algebra A: agebla D

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Vel aliter. Constat quod talis est comparatio 30 dierum ad suum pretium quod est 10 nummi et res qualis est comparatio 12 dierum ad rem que est precium eius. Sunt igitur 4 numeri proportionales. Vnde quod fit ex ductu primi in quartum equum est ei quod fit ex ductu secundi in tercium. Quod igitur fit ex 30 ductis in rem equum est ei quod fit ex duodecim ductis in 10, et rem. Fac ergo sicut predocuimus in algebra1. Si autem hic experiri uolueris, scias quantum est precium 12 dierum, hoc est 6 et due tercie, quas adde ad 10, et summa erit pretium totius mensis quod est 16 et due tercie. Constat autem illum seruisse 2/5 mensis. Igitur debet accipere duas quintas de 16 et duabus terciis, que sunt 6 et due tercie, sicut supra exierat precium rei. Item de eodem. Si quis conductus per mensem pro 10 nummis et re seruit autem 12 dies et accipit rem et nummum2, quid ualet res illa? Sic facies. Minue 12 de 30 et remanent 18, quos pone prelatum. Deinde nummum et rem que acceperat minue de 10 et re3, et remanent 9. Quos multiplica in 12, et productum diuide per prelatum, et exibunt 6. De quibus 1 diminuto quem accepit remanent 5, et tantum ualet res. Ideo autem prius minuimus nummum ut sciremus quod cum accipitur res et nummus pro 12 diebus remanebunt 9, et hoc est quod debetur ei pro residua parte mensis, scilicet 18 dies. Quasi ergo dicatur: «Cum 18 pro 9, quantum est pretium de 12?» Multiplica 9 in 12, et productum diuide per 18, et quod exit est precium 12 dierum, scilicet 6. Constat autem quod pretium 12 dierum est res et nummus4. Oportet ergo ut isti 6 sint res et 1 nummus. Sublato igitur nummo remanet res tantum. Res igitur ualet 5 nummos. Vel aliter. Diuide dies mensis per dies quos seruiuit et exibunt 2 et dimidium. Quos multiplica in rem et nummum et prouenient 2 res et dimidia et 2 nummi et dimidius, que adequantur ad 10 nummos et rem. Sublatis5 igitur duobus nummis et dimidio de 10 remanebunt 7 et dimidius. Deinde sublata re de duabus rebus et dimidia remanebunt res et dimidia, que adequantur ad 7 nummos et dimidium. Res igitur ualet 5. Vel aliter. Constat autem quod duas quintas mensis seruiuit. Oportet ergo ut accipiat duas quintas precii que sunt 4 et due quinte rei, que adequantur rei et nummo. Sublato igitur nummo de 4 nummis remanebunt 3. Deinde sublatis duabus quintis rei de re remanebunt tres quinte rei que adequantur tribus nummis. Res igitur ualet 5 nummos. Vel aliter. Talis est proportio 30 dierum ad suum precium quod est 10 et res qualis est 12 dierum ad suum pretium quod est res et nummus 1. Sunt igitur 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 30 ductis in rem et nummum 1, scilicet 30 res, et 30 nummi equum est ei quod fit ex 106 et reductis in 12, quod est 120 et 12 res. Fac ergo sicut premonstratum est in algebra7, et exibit precium rei quod est 5 nummi. ____________________ 1 algebra A: agebla D 2 post nummum add. unum D 3 et re addidi cum D2 m.s.: om. A 4 post nummus add. unus D 5 sublatis A: sublatus D 6 post re add. et re D2 m.d. 7 algebra A: agebla D

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Item de eodem. Si quis conductus per mensem pro 10 nummis et re una seruiuit autem 12 dies et accepit rem minus 1 nummo, quantum ualet illa res? Iam constat quod cum pro 12 diebus quos seruiuit accipit rem minus 1 nummo, oportet ut precium 18 dierum qui de mense remanent sint 11 nummi eo quod acceperit rem minus 1 nummo. Quasi ergo dicatur: «Cum 18 dentur pro 11, tunc quantum est pretium 12 dierum?» Multiplica ergo 12 in 11, et productum diuide per 18, et exibunt 7 et tercia et hoc est1 precium 12 dierum. Sed quia constat quod precium 12 dierum est res minus 1 nummo, oportet ut isti 7 nummi et 2 tercia sint res minus 1 nummo. Addito igitur nummo fient 8 et tercia, et hoc est precium rei. Modus autem agendi hic generalis est ut minuas 12 de 30, et remanebunt 18, quos pone prelatum. Deinde nummum demptum de re adde ad 10, et fient 11. Quos multiplica in 12 et productum diuide per prelatum, et exibit precium rei minus 1 nummo. Vel aliter. Diuide dies mensis per dies quos seruiuit, et quod exit multiplica in rem minus nummo et prouenient 2 res et dimidia minus 2 nummis et dimidio, que adequantur ad 10 et rei. Minue ergo rem de duabus rebus et dimidia et remanebit res et dimidia. Deinde agrega 2 nummos et dimidium ad 10, et fient 12 et dimidius, qui adequantur rei et dimidie. Ergo res ualet 8 et terciam. Vel aliter. Cum duas quintas mensis seruerit, oportet ut duas quintas precii accipiat que sunt 4 nummi et due quinte rei, que adequantur rei minus nummo. Comple ergo rem addicione nummi, et nummum adde 4 nummis. Deinde minue duas quintas rei de re ipsa et remanent tres quinte rei que adequantur 5 nummis. Res igitur ualet 8 nummos et terciam. Vel aliter. Constat quod talis est comparatio 30 dierum ad suum precium quod est 10 nummi et res qualis est comparatio 12 dierum ad rem minus 1 nummo. Sunt igitur 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 3O ductis in rem minus nummo equum est ei quod fit ex 10 et re ductis in 12. Fac ergo sicut premonstratum est in algebra3, et precium rei erit 8 nummi et tercia. Item de eodem. Si quis conductus per mensem pro 10 nummis et re seruit 12 dies et accipit 4 10 nummos, quantum ualet res illa? Sic facies. Notum est quod cum pro 12 diebus quos seruit accipit 10 nummos restat ut pro reliquis diebus mensis qui sunt 18 debeatur res que est ignota. Quasi ergo dicatur: «Postquam 12 seruit pro 10, quantum debetur ei pro 18?» Multiplica ergo 18 in 10 et productum diuide per 12, et exibunt 15 et tantum ualet res. Vel aliter. Inquire numerum in quem multiplicati 12 fiunt 18, et hoc est 1 et dimidium. Quos multiplica in 10 et fient 15 et tantum ualet res. Vel aliter. Diuide dies mensis per dies quos seruit et exibunt 2 et dimidium. Quos multiplica in 10, quos accepit et prouenient 25 qui sunt precium totius ____________________ 1 est addidi cum D: om. A accepit D

2 et A: om. D

3 algebra A: agebla D

4 accipit A:

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mensis. Quasi ergo dicatur: «Conductus1 per mensem pro 25 nummis seruit 12, quantum est precium eius?» Fac sicut supradocuimus et quod prouenerit minue de 25, et quod remanet est id quod ualet res. Vel aliter. Multiplica 2 et dimidium in 10 et prouenient 25, que adequantur 10 nummis et rei diminutis ergo 10 nummis de 25, remanebunt 15, et tantum ualet res. Vel aliter. Scis quod quia seruit duas quintas mensis debet accipere duas quintas precii que sunt 4 nummi et due quinte rei, que adequantur 10 nummis diminutis ergo 4 de 10 remanebunt 6, que adequantur duabus quintis rei. Res ergo ualet 15. Vel aliter. Sic se habent 30 ad suum precium quod est 10, et res sicut 12 dies ad eorum precium quod est 10. Sunt igitur 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 30 ductis in 10 equum est ei quod fit ex 10, et reductis in 12. Fac ergo sicut predocuimus in algebra2 et prouenient 15, que sunt precium rei3. A

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Item de eodem. Si quis4 querat: «Conductus per mensem pro 20 nummis et re seruit 10 dies et accipit 12 nummos minus re, 5» Hec questio soluitur per comparationem. Comparatio enim de 30 ad 10 est sicut comparatio de 20 et re ad 12 minus re. Cum autem composuerimus, tunc comparatio de 40 ad 10 erit sicut comparatio de 20 et re additis 12 minus re, que sunt 32 ad 12 minus re. Fac ergo sicut supraostensum est et 12 minus re erunt 8. Res igitur est 4. Similiter in questionibus hec sunt. Si res fuerint plures, reduc eas ad unam sicut fecisti in aliis6. Si quis: «Conductus per mensem pro 10 nummis minus re seruit 10 dies et accipit rem et 2 nummos, quantum ualet res illa?» Sic facies. Agrega 10 ad 30 et fient 40, quos pone prelatum. Deinde agrega duos nummos 10 nummis et fient 12, quos multiplica in 10, et productum diuide per prelatum, et exibunt 3, qui sunt res et 2 nummi. Sublatis autem duabus nummis remanet 1, quod est res. Cuius probatio manifestum est et fit per comparationem scilicet quoniam comparatio de 10 minus re ad rem et 2 nummos est sicut comparatio de 30 ad 10. Cum autem composuerimus, tunc erit comparatio de 10 minus re additis sibi re et duobus nummis, quod est 12 nummi, ad rem et 2 nummos, sicut comparatio de 30 additis 10, qui sunt 40 ad 10. Igitur agregamus 10 ad 30 et agregatum facimus prelatum. Deinde agregamus 2 ad 10, et agregatum multiplicamus in 10 et productum diuidimus per prelatum, et exit id quod querimus. Si autem in predicta questione seruiret 20 dies et acciperet 2 res et 4 nummos, tu sic faceres. ____________________ 1 conductus A2: conductis A1 2 algebra A: agebla D 3 Capitulum de ignoto [p. 279, 5 quantum l. 33] – precium rei A D: om. P 4 post quis exp. conductus per mensem A2 ualet res illa addidi 6 post aliis add. Hec ponendum est ubi est tale signum A2 m.s.

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Iam scis quod postquam 20 dies seruit pro 2 rebus et 4 nummis seruiet 10 dies pro re et 2 nummis. Quasi ergo dicatur: «Conductus per mensem pro 10 nummis minus re seruit 10 dies et accipit rem et 2 nummos» , fac sicut1 est dictum et exibit quod uoluisti. Similiter si seruiret 5 dies et acciperet dimidiam rem et unum nummum, sic facies quemadmodum. Iam scis quod pro 10 diebus accipiet rem et 2 nummos, et sic in omnibus questionibus huius capituli scilicet quod accipit minus re uel plus quam res et in omnibus similibus unumcumque res ponitur reduc semper ad unam rem. Verbi gratia. Si diceretur in prima questione: «Conductus per mensem pro 10 nummis et re seruit 3 dies et accipit medietatem rei, quantum ualet res illa?» Iam scis quod postquam pro 3 diebus accipit medietatem rei seruiet pro re 6 dies. Quasi ergo dicatur: «Conductus per mensem pro 10 nummis et re seruit 6 dies et accipit rem, quantum ualet res illa?» , fac sicut premonstratum est, et exibit quod uoluisti2. AD

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Item de eodem. Quisquis conductus per mensem pro3 6 nummis et re seruiuit autem 10 dies et accepit 6 nummos minus dimidia re, 4. Sic facies5. Agrega dies quos seruiuit medietati mensis, et fient 25 qui sunt prelatus. Deinde multiplica 6 nummos in dies quibus non seruiuit, scilicet 20, et prouenient 120. Quos diuide per6 prelatum, et quod exit est id quod res ualet quod est 4 nummi et quatuor quinte nummi. Si autem acceperit 7 nummos minus duabus terciis rei, agrega duas tercias mensis diebus quos seruiuit et fient 30, qui est prelatus. Deinde multiplica 6 in dies quibus non seruiuit, scilicet 20, et prouenient 120. Quos diuide per prelatum, et quod exit est id quod res ualet, scilicet 4 nummi, et secundum hoc considera cetera huiusmodi. Si autem seruerit 10 dies et accepit 8 nummos minus re. Tu sic facies. Agrega dies quibus seruit diebus mensis et fient 40, qui est prelatus. Deinde multiplica 6 in dies quibus non seruiuit, scilicet 20, et prouenient 120. Quos diuide per prelatum et exibunt 3, et hoc est quod ualet res. AD

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Item de eodem. Si quis: «Conductus per mensem 3 nummis et re seruit autem 10 dies et accipit productum ex ductu trium in radicem pretii, tunc quantum est pretium rei?» ____________________ 1 post sicut exp. supraostensum A2 2 Item de eodem [p. 283, l. 15] – quod uoluisti A: om. D P 3 pro A: per D 4 quantum ualet res illa restitui 5 sic facies add. A2 s.l.: om. D 6 per addidi cum D: om. A 7 6 addidi 8 6 addidi

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Sic facies. Constat quod postquam pro 10 diebus qui sunt tercia mensis accipit productum ex tribus ductis in radicem precii, sequitur tunc ut productus sit tercia precii. Et sequitur ut productus ex triplo trium, qui est 9, ducto in radicem precii sit triplus1 tercie pretii. Triplus autem tercie partis precii est precium integrum. Manifestum est igitur quod postquam productus ex ductu nouenarii in radicem precii est integrum precium, sequitur ut 9 sit radix precii. Precium igitur est 81, qui sunt 3 nummi cum re. Subtractis autem tribus nummis remanent 78. Hoc igitur est precium rei. Vel aliter. Constat quod proportio 30 dierum ad precium eorum, quod est 3 nummi et res, est sicut proportio 10 dierum ad suum pretium, quod est radix de 27 nummis et 9 rerum. Dixit enim illum accepisse pro 10 diebus productum ex 3 nummis ductis in radicem pretii. Constat autem radicem pretii esse radicem 3 nummorum et rei. Cum ergo uolueris scire quantum proueniunt2 ex multiplicatione 3 nummorum in radicem 3 et rei ad sciendum quantum est pretium 10 dierum, facies sicut docuit abuquemil, dicens quod: «Cum uolueris multiplicare unum numerum in radicem alterius numeri, multiplica ipsum numerum in se et productum multiplica in numerum cuius radicem nominasti, et producti radix est id quod scire uoluisti». Multiplica igitur 3 in se, et prouenient 9. Quos multiplica in 3 et rem, et prouenient 27 et 9 res. Quorum radix est precium 10 dierum, quod est productum ex ductu 3 in radicem precii, quod est radix 27 nummorum et 9 rerum. Sunt igitur 4 numeri proportionales. Vnde quod fit ex ductu primi in quartum equum est ei quod fit ex ductu secundi in tercium. Multiplica igitur 30 in radicem de 27 et 9 rerum hoc modo, scilicet multiplica 30 in se et prouenient 900. Quos multiplica in 27 et 9 res sicut supradocuimus. Et prouenient 24300 et 8100 res 3. Quorum radix est id quod fit ex ductu primi in quartum. Quod equum est4 ei quod proueniet ex ductu 3 nummorum et rei in 10, quod est 30 nummi et 10 res. Constat autem quod cum 30 nummi et 10 res equalia fiunt radici de 24300 nummis et de 8100 rebus5, oportebit ut id quod fit ex ductu 30 nummorum et 10 rerum in se sit equum ei quod fit ex ductu radicis 24000 et trescentorum nummorum et 8100 rerum in se, quod est 24300 nummi et 8100 res. Sed ex 30 nummis et 10 6 rebus ductis in se proueniunt 100 census et 900 nummi et 600 res, que sunt equalia ad 24300 nummos et 8100 res. Fac ergo sicut supradictum est in algebra7. Videlicet dispone utrumque numerum in duobus ordinibus, et deinde minue 600 res de 8100 rebus, et remanebunt 7500 res. Deinde minue 900 nummos de 24300 nummis et remanebunt 23400 nummi. Et post hec omnia remanebunt 100 census in uno ordine que equiualent8 23400 nummis et 7500 rebus que remanent in alio ordine. Omnes igitur census quos habes reduc ad unum censum et omnia que cum eis sunt in idem9 proportionaliter ordinis accipe unum habitum10, et cetera11 alterius ordinis ____________________ 1 ex triplo [l. 3] – triplus iter. A 2 proueniunt A: prouenerit D 3 res A2 D: rerum A1 2 4 equum est A: est equum D 5 rebus A: rerum D 6 10 A D: 30 A1 7 algebra 2 9 idem A: id D 10 ordinis accipe A: agebla D 8 post equiualent exp. 20 rebus A unum habitum addidi cum D: om. A 11 cetera A: centum D

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reduc in tantumdem proportionaliter. Videlicet accipies decimam sue decime. Proueniet igitur census qui equiualet 75 rebus et 234 nummis. Dimidia ergo res et medietatem multiplica in se et prouenient 1406 et quarta. Quos agrega 234 nummis et fient 1640 et quarta. Quorum radicem que est 400 (sic)1 et dimidium agrega medietati rerum, que est 37 et dimidium, et fient 78, quod est precium rei. Si autem hoc totum experiri uolueris, scilicet ut scias quomodo accipitur pro seruicio 10 dierum productum ex ductu trium in radicem precii, agrega 3 nummos rei, que est 78, et fient 81, quod est precium totius mensis. Sed quia constat eum seruisse tercia parte mensis, debet accipere terciam partem precii, que est 27 nummi, et est equalis producto ex 3 ductis in radicem precii totius mensis, que est 9, quod scilicet accepit pro 10 diebus quos seruiuit. Omnes autem premisse questiones possunt proponi iuxta formam huius. Item de eodem. Si quis: «Conductus per mensem pro 30 nummis et re seruit autem 10 dies et accipit rem et radicem pretii, quantum ualet illa2 res?» Sic facies. Iam constat quod cum seruit tercia parte mensis, competit ei tercia pars pretii que est 10 nummi et tercia pars rei, quod totum equiualet rei et radici 30 nummorum et rei. Subtracta ergo re de 10 nummis et tercia rei remanebunt 10 minus duabus terciis rei, que equiualent radici 30 nummorum et rei. Multiplica ergo 10 minus duabus terciis rei in se, et prouenient 4/9 census3 et 100 nummi minus 13 rebus et tercia rei que equiualent 30 nummis et rei. Comple ergo4 quatuor nonas census et 100 nummos adiectione 13 rerum et tercie rei. 13 autem res et terciam rei agrega 30 nummis et rei. Deinde minue 30 nummos de 100 nummis et remanebunt 70. Post hec restant quatuor nonas census et 70 nummi que equiualent 14 rebus et tercie rei. Comple ergo quatuor nonas census, ut fiat 1 census, uidelicet per multiplicationem sui in 9 et quartam5, et6 erit census. Deinde 9 et quartam multiplica in 70 et in 14 res et terciam rei, et proueniet census 1 et 157 nummi et dimidius, que equiualent triginta duabus rebus et quarte rei. Dimidia ergo res et erit medietas 16 et octaua. Quos multiplica in se, et prouenient 260 et7 octaua octaue. De quibus minue nummos, et remanebunt 102 et quatuor octaue et octaua octaue. Quorum radicem que est 10 et octaua minue de medietate rerum, scilicet de 16 et octaua, et remanebunt 6, et hoc ualet res. Vel aliter, quoniam talis est proportio 30 dierum ad suum pretium sicut proportio 10 dierum ad suum quod est res et radix 30 nummorum et rei. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 30 ductis in rem et in radicem de 30 et rei equum est ei quod fit ex 30 et re ductis in 10. Productum autem unius multiplicationis est 30 res et radix de 27 milibus numorum et 900 rebus, que8 equiualent producto alterius multiplicationis qui est 300 nummi et 10 res. Minue ergo 30 res de 300 nummis et 10 rebus et remanebunt 300 nummi minus 20 rebus, que equiualent radici de 27000 nummorum et 900 rebus. Quod igitur fit ex 300 ____________________ 1 400 false A D in 40 corrigendum 2 illa A: om. D 3 census A: censis D 5 quartam A: quarta D 6 et A: om. D 7 post et exp. 4 A2 4 post ergo exp. 4 A2 8 que A: om. D

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nummis minus 20 rebus ductis in se quod est 400 census et 90000 nummorum minus 12000 milibus rerum equum est ei quod fit ex radice ducta in se quod est 27000 nummorum et 900 res. Comple ergo 400 census et 90000 numorum adiectis duodecim milibus rerum que desunt. Agrega autem 12000 res ad 27000 nummorum et 900 rebus, deinde minue nummos de nummis, scilicet 27000 de nonaginta milibus, et remanebunt ad ultimum 400 census et 63000 nummorum, que equiualent 12900 rebus. Deinde omnes census quos habes reduc ad unum censum. Et similiter omnia que cum eis sunt reduc1 in idem2 proportionaliter. Et omnia alterius ordinis similiter in idem3 proportionaliter, scilicet in quartam decime eius decime. Erit igitur quod unus4 census et 157 nummi et dimidius equiualent triginta duabus rebus et quarte rei. Dimidia ergo res5 et fac circa sicut supradocui, et proueniet precium rei, scilicet 6, et hoc est quod uoluisti. Vel aliter. Diuide dies mensis per dies quos seruiuit, et quod exit multiplica in id quod accepit, quod est res et radix de 30 et rei, et productum est equum 30 et rei. Fac igitur sicut supradocui et exibit precium rei 6. Si autem uolueris scire quomodo pro seruicio 10 dierum accipitur res et radix precii, agrega 6, qui sunt res, ad 30, et fient 36, qui sunt pretium totius mensis. Quasi ergo dicatur: «Conductus per mensem pro 36 nummis seruit autem 10 dies, quantum sibi competitur?» Iam constat quod de mense seruiuit tercia parte eius. Debet ergo accipere terciam partem de 36, que est 12, qui sunt equum rei et radici precii6. D

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Item de eodem. Si quis: «Conductus per mensem pro re seruit autem aliquot dies mensis qui [est]7 multiplicantur in id quod sibi competit de precio, prouenient sex, et cum residuum mensis multiplicatur in residuum rei proueniunt uiginti quatuor, tunc quantum ualet res illa?» Sic facies. Multiplica sex in uiginti quatuor, et prouenient centum et quadraginta quatuor. Quorum radicem que est duodecim duplica et prouenient uiginti quatuor. Quos agrega cum sex et uiginti quatuor simul agregatis, et fient quinquaginta 8. Quos diuide per triginta et exibit unum et quatuor quinte, et hoc est quod ualet res. Si autem uolueris scire quot dies nec seruiuit, agrega duodecim ad uiginti quatuor, et agregatum diuide per precium rei, et quod exit est numerus dierum quos non seruiuit. Si autem uolueris scire numerum dierum quos seruiuit, agrega duodecim ad sex et agregatum diuide per precium rei, et exibit numerus dierum quos seruiuit.

____________________ 1 omnia que cum eis sunt reduc addidi cum D: om. A 2 idem A: id D 3 idem A: id D 4 unus A: unum D 5 res addidi cum D: om. A 6 Item de eodem [p. 284, l. 34] – radici precii A D: om. P 7 emendaui est quod fallaciter post qui addidit D 8 quatuor addidi

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Cuius probatio hec est. Sint triginta dies linea ab, quod autem seruiuit de mense sit linea ag, quod autem non seruiuit sit linea gb. Res autem sit linea dt. Quod uero pro seruitio competit ei de re sit linea dg. Linea (sic)1 autem ag multiplica in lineam dg, prouenit superficies ad, que est sex. Quod autem non seruiuit, quod est linea bg, multiplicatum in residuum rei, quod est linea gt, prouenerit superficies bt, que est uiginti quatuor. Complebo autem figura (sic)2 et fiet superficies zklm. Talis est autem proportio eius quod seruiuit, quod est linea ag, ad id quod accepit de re, quod est linea dg, qualis est proportio eius quod non seruiuit, quod est linea gb, ad residuum rei, quod est gt. Vnde sunt quatuor numeri proportionales. Si autem transmutentur, proportio linee ag ad gb erit talis qualis est proportio linee dg ad gt. Latera igitur superficiei at et latera superficiei db sunt equalia. Superficies igitur at talis est qualis superficies db. Proportio autem de ag ad gb est sicut proportio superficiei ad ad superficiem db. Proportio autem de ag ad gb est sicut proportio de dg ad gt. Proportio uero de dg ad gt est sicut proportio superficiei db ad superficiem gm. Proportio igitur superficiei ad ad superficiem db est sicut proportio superficiei db ad superficiem gm. Vnde sunt tres termini proportionales. Quod igitur fit ex ductu superficiei ad, que est sex, in superficiem bt, que est uiginti quatuor, equum est ei quod fit ex ductu superficiei bd in se. Ex ductu autem ad in bt prouenient centum quadraginta quatuor. Ergo ex ductu bd in se proueniunt totidem. Superficies igitur db est duodecim et est talis qualis superficies at. Superficies igitur at est duodecim. Tota igitur superficies zklm est quinquaginta quatuor. Quos cum diuiseris per lineam zk, que est triginta, exibit linea km cognita que est precium rei. Nam km talis est qualis dt, exibit linea dk. Et hoc est quod non seruiuit, et est equum ad gb. Cum autem diuiseris etiam superficiem zt, que est decem et octo, per lineam dt, exibit zt, et hoc est quod seruiuit, quoniam tale est quale ag, quod subiecta figura declarat3. AD

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Item de eodem aliter4. Quisquis conductus per mensem pro 10 nummis et re seruit autem 12 dies et accipit tantum quantum nummi superexcellunt rem, tunc quantum ualet res illa? Sic facies. Diuide dies mensis per dies quos seruiuit, et exibunt 2 et dimidium. Quos multiplica in id quo5 nummi superexcellunt rem quod est 10 minus re. Nam significantur nummi procellere rem. Cum autem uolueris scire id quo nummi superexcellunt rem, minue rem de nummis, et quod remanet est id quo nummi superexcellunt rem. Quod ergo ex predicta multiplicatione proueniunt6 est 25 minus 2 rebus et dimidia, quod est pretium mensis et adequatur 10 nummis et rei. Comple ergo 25 adiectis 2 rebus et ____________________ 1 linea false D in lineam corrigendum 2 figura false D in figuram corrigendum de eodem [p. 287, l. 23] – declarat D: om. A P 4 Item de eodem aliter A: om. D A: quod D 6 proueniunt A: prouenit D

3 Item 5 quo

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dimidia, quas agrega 10 nummis et rei, et deinde minue 10 nummos, qui sunt cum re, de 25, et remanebunt 15 nummi qui adequantur tribus rebus et dimidie. Res igitur ualet 4 nummos et duas septimas. Si autem uolueris scire quomodo accepit pro 12 diebus id in quo nummi superexcellunt rem1. Sic facies. Agrega 4 nummos et duas septimas, quantum scilicet res ualet, 10 nummis, et fient 14 nummi et due septime, quod est pretium mensis. Quasi ergo dicatur: «Conductus per mensem pro 14 nummis et duabus septimis seruit autem 12 dies, quantum sibi competit?» Constat quod duabus quintis mensis seruiuit unde debet accipere duas quintas precii que sunt 5 nummi et quinque septime nummi, et hoc est in quo nummi superexcellunt rem. Nam nummi sunt 10 res minus 4 et due septime, tunc id quo superexcellunt nummi est 5 nummi et quinque septime nummi. Vel aliter. Talis est proportio 30 dierum ad suum pretium, quod est 10 nummi et res, qualis est proportio 12 dierum ad pretium eorum, quod est 10 nummi minus re. Sunt igitur 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu primi, qui est 30, in quartum, qui est 10 minus re, equum est ei quod fit ex ductu secundi, qui est 10 et res, in tertium, qui est 12. Fac ergo sicut supramonstratum est in algebra2, et exibit precium rei 4 et due septime. Vel aliter. Quoniam de mense seruiuit duas quintas eius, competunt ei due quinte precii que sunt 4 nummi et due quinte rei que adequantur 10 numis minus una re. Comple igitur 10 nummos adiecta una re quam agregata 3 4 nummis et duabus quintis rei. Deinde minue 4 nummos de 10, et remanebunt 6 qui adequantur rei et duabus quintis rei. Res igitur ualet 4 nummos et duas septimas4. AD Item de eodem. Si quis: «Conductus per mensem pro 10 nummis et re seruiuit autem 12 dies et accepit tantum in quanto nummi excellunt quartam partem rei, tunc quantum ualet illa res?» Sic facies. Diuide dies mensis per dies quos seruiuit, et exibunt 2 et dimidium. Quos multiplica in 10 minus quarta rei. Nam significatum est numos excellere quartam rei, et prouenient 5 ex multiplicatione 25 minus quinque octauis unius rei que equiualent 10 nummis et rei. Comple autem 25 adiectis quinque octauis rei. Quinque uero octauas rei agrega 10 nummis et rei. Deinde minue 10 de 25, et remanent 15 nummi que equiualent rei et quinque octauis rei. Res igitur equiualet 9 nummis et tribus tredecimis numi. Ideo autem res equiualet nouem numis et tribus tredecimis6 quantum comparatio rei ad rem et quinque octauas rei est octo tredecime eius7. Octo tredecime uero8 de 15 sunt 9 et tres tredecime. ____________________ 1 rem A: re D 2 algebra A: agebla D 3 est addidi 4 Item de eodem [p. 288, l. 29] – septimas A D: om. P 5 quod exit addidi 6 numi. Ideo [l. 36] – tredecimis addidi cum D: om. A 7 eius A: om. D 8 uero A: om. D

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Si autem uolueris scire quomodo id in quo nummi excellunt quartam rei accipit pretium 12 dierum quos seruiuit. Sic facies. Agrega 9 et tres tredecimas ad 10, et fient 19 et tres tredecime. Et quoniam duas quintas mensis seruiuit, accipiet duas quintas precii, quod est 19 et tres tredecime nummi qui fiunt 7 et nouem tredecime, et in hoc excellunt nummi quartam partem rei. Quarta enim rei est 2 et quatuor tresdecime. Vel aliter. Quoniam de mense seruiuit duas quintas eius, oportet ut accipiat de pretio duas quintas eius que sunt 4 nummi et due quinte rei, que equiualent 10 nummis minus quarta rei. Comple ergo 10 nummos adiecta quarta rei. Quam quartam adde duabusquintis rei. Deinde minue 4 de 10, et remanebunt 6 qui equiualent 13 uicesimis rei. Considera ergo numerum in quem multiplicate 13 uicesime rei fiant 1 res, quod est 1 et septem tredecime. Quas multiplica in 6, et prouenient 9 et tres tredecime rei, et hoc est quod res ualet. Vel aliter. Quoniam1 talis proportio est2 30 dierum ad precium eorum, quod est 10 nummi et res, qualis est 12 dierum ad precium eorum quod est 10 nummi minus quarta rei, tunc sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 30 ductis in 10 nummos minus quarta rei equum est ei quod fit ex re et 10 ductis in 12. Fac ergo sicut predictum est in algebra3, et prouenient 9 et tres tredecime, et hoc est quod4 ualet res5. AD Item de eodem. Quisquis conductus per mensem pro 10 nummis et re seruit autem 10 dies et accipit tantum quanto res est maior tercia parte nummorum, quantum ualet illa res? Sic facies. Diuide dies mensis per dies quos seruiuit, et exibunt 3. Quos multiplica in id quo res excellit tertiam partem nummorum quod est res minus 3 nummis et tercia. Significatum est enim rem excellere tertiam partem numorum. Et quod ex multiplicatione prouenerit est 3 res minus 10 nummis, quod est pretium mensis quod adequatur 10 nummis quod est precium mensis quod adequatur decem numis et rei. Comple ergo tres res adiectis decem numis et agga (sic)6 decem numos7 decem numis et rei. Deinde minue rem de tribus rebus et remanebunt 2 res que ualent 20. Res igitur ualet 10. Si autem uolueris scire quomodo id quo excellit res terciam partem nummorum sit precium 10 dierum quos seruit, agrega 10 nummos quos res ualet 10 nummis et fient 20 qui sunt precium mensis. Quasi ergo dicatur: «Conductus per mensem pro 20 nummis seruit autem 10 dies, quantum competit illi?» Scis autem eum seruisse tercia parte mensis. Vnde competit illi tercia pars 20 nummorum que est 6 et due tercie, et in hoc excellit res terciam partem nummorum. Res enim est 10 nummi. Tercia uero nummorum est 3 et tercia. Id ergo quo res excellit tertiam partem nummorum est 6 et due tercie. ____________________ 1 praem. iam scis A2 m.s. 2 proportio est A: est proportio D 3 algebra A: agebla D 4 quod A: quid D 5 Item de eodem [p. 289, l.26] – ualet res A D: om. P 6 agga false D in aggrega corrigendum 7 10 numis [l. 27] – numos addidi cum D: om. A

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Vel aliter. Iam scis quoniam talis est proportio 30 dierum ad suum pretium, quod est 10 et res, qualis est 10 dierum ad suum pretium, quod est res minus tribus et tercia. Tunc sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 30 ductis in rem minus 3 et tercia equum est ei quod fit ex 10 et re ductis in 12. Fac ergo sicut supradocuimus in algebra1, et prouenient 10 nummi, et tantum ualet res. Vel aliter. Quoniam de mense seruiuit tercia parte eius, unde competit illi tercia pars precii que est 3 et tercia et tercia rei que ualent rem minus 3 nummis et tercia. Fac ergo sicut prediximus in algebra2 et prouenient 10, et tantum ualet res. AD

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Item de eodem. Si quis: «Conductus per mensem pro 10 nummis et una re seruiuit autem 12 dies et accepit quantum res ualet ultra nummos, quantum ualet res illa?» Sic facies. Minue 12 de 30 et remanebunt 18, quos pone prelatum. Deinde duplica 10, et fient 20, quos multiplica in 12, et prouenient 240. Quos diuide per prelatum, exibunt 13 et tercia. Quas agrega ad 10, et fient 23 et tercia, et tantum ualet res. Causa autem huius hec est. Constat igitur quod pretium totius mensis est 10 nummi et una res. Et quod pro 12 quos seruiuit accepit quantum res ualet supra nummos, quod est res minus 10 nummis. Scimus enim3 quod si pro seruicio 12 dierum acciperet rem integrum, oportet ut reliqua partis mensis, que est 18, esset pretium, reliqua pars precii que est 10 nummi. Cum ergo accipit rem minus 10 nummis, restat ut pretium 18 dierum sint 10 nummi dempti et 10, qui erant cum re qui sunt 20 nummi. Quasi ergo dicatur: «Cum 18 pro 20, tunc quantum est precium 12 dierum?» Facies sicut supramonstratum est et erit precium 12, 13 et tercia qui sunt res minus 10 numis. Adde igitur illi 10 nummos et erunt 23 et tercia, et hoc est quod ualet res. Vel aliter. Diuide dies mensis per dies quos seruiuit, et exibunt 2 et dimidium. Quos multiplica in rem minus 10, et proueniet id quod res ualet supra decem numos. Cum enim accipitur id quod res ualet4 ultra 10 nummos, constat quod res plus est quam nummi. Vnde cum uolueris scire quanto res excedit 10 nummos, minue 10 de re. Et remanebit res minus 10 nummis, et hoc est quo res excedit nummos. Post hec redeo ad complendam questionem scilicet quantum ex multiplicatione proueniunt 2 res et dimidia minus 25 nummis, quod est pretium mensis quod equiualet 10 nummis et rei, quod est etiam pretium mensis. Deinde comple 2 res et dimidiam adiectis 25, et 25 adde ad 10, et fient 35. Deinde minue rem de 2 rebus et dimidia, et remanebit res et dimidia que equiualet 35 nummis. Res igitur ualet 23 et terciam. Si autem uolueris scire quomodo id quo res excedit nummos debet esse precium 12 dierum, adde pretium rei quod est 23 et tercia supra 10, et fient 33 et ____________________ 1 algebra A: agebla D 2 algebra A: agebla D decem [l. 28] – res ualet addidi cum D: om. A

3 enim A: autem D

4 supra

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tercia, quod est pretium mensis. Et quoniam de mense seruiuit duas quintas eius, accipiet duas quintas pretii que sunt 13 et tercia, et hoc est quo res excedit nummos. Adde ergo precium rei. Nam res est 23 et tercia. Nummi uero sunt 10, tunc id quo res excedit nummos est 13 et tercia. Vel aliter. Postquam de mense seruit duas quintas eius, oportet ut de precio accipiat duas quintas eius que sunt 4 nummi et due quinte rei, que adequantur rei minus 10 nummis. Comple ergo rem adiectis 10 nummis, quam agrega1 4 nummis et duabus quintis rei. Deinde minue duas quintas rei de ipsa re, et remanebunt tres quinte rei que adequantur 14 nummis. Res igitur ualet 23 nummos et terciam. Vel aliter. Constat enim quod talis est proportio 30 dierum ad pretium eorum qualis est 12 ad precium suum. Sunt igitur 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu 30 in rem minus 10 nummis equum est ei quod fit ex 12 ductis in 10 et rem. Fac ergo sicut predocuimus in algebra2, et proueniet quantum res ualet, scilicet 23 et tercia3. AD

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Item de eodem. Si quis: «Conductus per mensem pro 10 nummis minus una re seruit 12 dies et accipit rem minus duobus nummis, quantum ualet res illa?» Sic facies. Diuide dies mensis per dies quos seruit, et exibunt 2 et dimidium. Quos multiplica in rem minus duobus nummis, et prouenient 2 res et dimidia minus 5 nummis qui adequantur pretio mensis, quod est 10 nummi minus una re. Comple ergo 10 nummos additione rei. Ipsam autem rem adde duabus rebus et dimidie alterius lateris. Deinde 5 demptos adde ad 10, et fient 15 qui adequantur tribus rebus et dimidie4. Res igitur ualet 4 et 2 septimas. Vel aliter. Scias enim quod postquam duas quintas mensis seruiuit, debet accipere duas quintas precii que sunt 4 nummi minus duabus quintis rei que adequantur uni rei minus 2. Fac ergo sicut predocuimus in algebra5, et proueniet id quod ualet res, 4 nummi6 et due septime. Vel aliter. Quoniam sic se habent 30 dies ad suum precium, quod est 10 minus una re, sicut 12 ad eorum precium, quod est res minus duobus numis. Sunt igitur 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 12 ductis in 10 minus re equum est ei quod fit ex re minus duobus ducta in 30. Fac ergo sicut premonstratum est in algebra7, et proueniet quantum ualet res, scilicet 4 nummi et due septime8.

____________________ 1 post agrega exp. ad A2 2 algebra A: agebla D 3 Item de eodem [p. 291, l. 10] – et 5 algebra A: agebla D tercia A D: om. P 4 post dimidie exp. alterius lateris A2 6 nummi iter. A 7 algebra A: agebla D 8 Item de eodem [l. 17] – due septime A D: om. P

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A

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Si quis querat: «Conductus per mensem pro 10 nummis minus re seruit 6 dies et accepit 4 numos minus re» . Hec questio soluatur dispergando. Comparatio enim de 30 ad 6 est sicut comparatio de 10 minus re ad 4 minus re. Cum autem disperserimus, tunc comparatio de 24 ad 6 erit sicut comparatio de 10 minus re sublatis 4 minus re ad 4 minus re. Fac igitur sicut supraostensum et exibunt 4 minus re, 1 et dimidium. Res igitur est 2 et dimidium1. AD

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Item de eodem aliter2. Si quis: «Conductus per mensem pro re seruit autem 10 dies et accipit rem minus 10 nummis, quantum ualet res illa?» Sic facies. Diuide dies mensis per dies quos seruiuit, et exibunt 3. Quos multiplica in rem minus 10 nummis, et prouenient 3 res minus 30 nummis que equiualent uni rei. Comple ergo tres res adiectis triginta numis3. 30 uero nummos agrega rei quam minue de 3 rebus, et remanebunt 2 res que equiualent 30 nummis. Res igitur ualet 15. Vel aliter. Quoniam de mense seruiuit terciam eius, debet accipere terciam pretii, que est tercia rei que equiualet rei minus 10 nummis. Comple ergo rem adiectis 10 nummis. Quos 10 agrega tertie rei. Quam tertiam rei minue de re et remanebunt due tercie rei que equiualent 10 nummis. Res igitur ualet 15. Vel aliter. Quoniam proportio 30 dierum ad suum precium quod est res talis est qualis proportio decem dierum ad precium eorum quod est res4 minus 10 nummis, tunc quod fit ex 30 ductis in 12 (sic)5 equum est ei quod fit ex re ducta in 10 nummos. Fac ergo sicut ostensum est in algebra6 et prouenient 15, et hoc est quod res ualet. Item de eodem. Si quis: «Conductus per mensem pro re una seruit autem 10 dies et accipit quartam rei et 2 nummos, quantum ualet res?» Sic facies. Diuide dies mensis per dies quos seruiuit, et exibunt 3. Quos multiplica in id quod accepit, quod est quarta rei et 2 nummi, et prouenient tres quarte rei et 6 nummi, quod est pretium mensis quod equiualet rei. Minue ergo 37 quartas rei de ipsa re, et remanebit quarta rei que equiualet 6 nummis. Res igitur ualet 24. Vel aliter. Quoniam de mense seruiuit terciam eius debet accipere de pretio tertiam eius quod est tercia rei que equiualet quarte rei et duobus nummis. Minue ____________________ 1 Si quis querat [l. 2] – et dimidium om. D P 2 Item de eodem aliter A: om. D 3 que equiualent [l. 13/14] – numis addidi cum D: om. A 4 talis est [l. 21/22] – est res addidi cum D: om. A 5 12 false A D in res minus 10 nummis corrigendum 6 algebra A: agebla D 7 post 3 exp. res A2

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ergo quartam rei de tercia rei, et remanebit dimidia sexta rei que ualet 2 nummos. Res igitur ualet 24. Vel aliter. Quoniam proportio 30 ad precium eorum, quod est res, talis est qualis proportio 10 dierum ad eorum precium, quod est quarta rei et 2 nummi, tunc sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu primi, qui est 30, in quartum, qui est quarta rei et 2 nummi, equum est ei quod fit ex ductu secundi, qui est res, in tertium, qui est 10. Fac ergo secundum quod dictum est in algebra1 et prouenient 24, qui sunt pretium rei2. D

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Item de eodem. Si quis: «Conductus per mensem pro re minus decem seruit autem duodecim dies et accipit quartam rei et duos numos, tunc quantum ualet res illa?» Sic facies. Diuide dies mensis per id quod seruiuit, et exibunt duo et dimidius. Quos multiplica in quartam rei et duos numos, et prouenient quinque octaue 3 et quinque numi, que ualent rem minus decem numos. Comple ergo rem adiectis decem numis. Quos decem agrega quinque numis et quinque octauis rei, quas quinque octauas rei minue de ipsa re, et remanebunt tres octaue rei, que ualent quindecim numos. Res igitur ualet quadraginta numos. Si autem experiri uolueris hoc, minue decem de quadraginta et remanebunt triginta. Nam predictum est illum conductum esse pro re minus decem numis. Scis autem rem ualere quadraginta. Res igitur minus decem numis ualet triginta. Quasi ergo queratur: «Conductus per mensem pro triginta numis seruit autem duodecim, tunc quantum est eius precium?» Quoniam scis quod de mense seruiuit duas quintas eius, oportet ut de precio accipiat duas quintas eius que sunt duodecim numi qui sunt quasi quarta rei et duo numi. Quarta enim rei est decem numi, quibus additis duobus fuerit duodecim. Vel aliter. Constat enim quod, quia de mense seruiuit duas quintas eius, debet accipere de precio duas quintas eius que sunt due quinte rei minus quatuor numi, que equiualent quarte rei et duobus numis. Comple ergo duas quintas rei adiectis quatuor numis. Et totidem alios adde duobus numis, et fient sex numi. Deinde minue quartam rei de duabus quintis rei, et remanebunt tres quarte quinte rei, que equiualent sex numis. Inquire ergo numerum in quem multiplicate tres quarte quinte rei fuerit una res. Et hic est sex et due tercie. Quos multiplica in sex, et prouenient quadraginta, quod est precium rei. Vel aliter. Quoniam talis est proportio triginta dierum ad eorum precium, quod est res minus decem numis, qualis est proportio duodecim dierum ad eorum precium, quod est quarta rei et duo numi. Vnde sunt numeri proportionales. Quod igitur fit ex triginta ductis in quartam rei et duos numos equum est ei quod fit ex ____________________ 1 algebra A: agebla D addidi

2 Item de eodem [p. 292, l. 17] – pretium rei A D: om. P

3 rei

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ductu rei minus decem numis in duodecim. Fac ergo sicut precessit in agebla (sic), et proueniet precium rei, quod est quadraginta numi.

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Item de eodem. Si quis: «Conductus per mensem pro re minus decem numis et seruiuit duodecim dies et accepit decem numos, tunc quantum est precium rei?» Sic facies. Diuide dies mensis per dies quos seruiuit, et exibunt duo et dimidius. Quos multiplica in decem, et prouenient uiginti quinque qui equiualent rei minus decem numis. Comple ergo rem adiectis decem numis et totidem alios adde ad uiginti quinque, et fient triginta quinque qui equiualent rei. Vel aliter. Constat quod proportio triginta dierum ad eorum precium, que est res minus decem numis, est sicut proportio duodecim dierum ad eorum precium, quod est decem numi. Vnde sunt quatuor numeri proportionales. Quod igitur fit ex triginta ductis in decem equum est ei quod fit ex ductu rei minus decem numis in duodecim. Fac igitur sicut docuimus in agebla (sic), et proueniet precium rei quod est triginta quinque1. A

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Si quis querat: «Conductus per mensem pro re seruit dies mensis tot, quibus multiplicatis in id quod competit ei de pretio proueniunt 27, multiplicatis uero diebus quos non seruiuit in id quod competit ei de precio pro illis proueniunt 147, tunc quanta est res, et quot dies seruit, et quot pretermittit?» Sic facies. Multiplica 27 in 147, et producti radicem que est 63 retine. Cum igitur uolueris scire quot dies seruiuit, agrega predicte radici 27 et agregatum diuide per 30 et exibunt 3, et tantum competit ei de re pro eo quod seruiuit. Per hos igitur 3 diuide 27 et exibunt 9, et tot dies seruiuit. Cum autem uolueris scire quos non seruiuit, agrega predicte radici 147, et agregatum diuide per 30 et exibunt 7, qui sunt precium dierum quos non seruiuit. Per quos diuide 147 et exibunt 21, et tot dies non seruiuit. Cum autem uolueris scire rem, agrega 3 et 7 et fient 10, et hoc est res. Quorum omnium probatio hec est. Sit res ab, 30 autem dies dh quos seruiuit dz, quod competit ei de pretio ag. Quos autem non seruiuit zh, et quod competit ei de pretio pro illis gb. Multiplicetur autem ag in dz et proueniat k. Igitur k est 27, et multiplicetur gb in zh et proueniat t. Igitur t est 147. Manifestum est igitur quod comparatio de ag ad dz est sicut comparatio de gb ad zh. Id igitur quod fit ex ductu ag in zh equum est ei quod fit ex ductu gb in dz. Patet autem ex premissis quod omnium 4 numerorum id quod fit ex ductu primi in secundum et tertii in quartum et producti in productum equum est ei quod

____________________ 1 Item de eodem [p. 294, l. 10] – triginta quinque addidi cum D: om. A P

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fit ex ductu primi in tertium et secundi et quartum et producti in productum. Quod igitur fit ex ductu ag in dz, et gb in zh, et producti in productum, quod est id quod fit ex ductu k1 in t2, equum est ei quod fit ex ductu ag in zh, et gb in dz, et producti in productum. Et quoniam id quod fit ex ductu ag in hz equum est ei quod fit ex ductu gb in dz, tunc radix producti ex ductu k in t est equalis ei quod fit ex ductu ag in zh, et gb in dz, que est 63. Cum igitur uolueris scire quantum est ag et quantum est dz. Sic facies. Vero scis quod id quod fit ex ductu ag in zh est 63. Id autem quod fit ex ductu de ag in dz, quod est 27, pone commune, et tunc id quod fit ex ductu ag in totum dh erit 90. Quos diuide per dh, quod est 30, et exibit ag 3. Per quos diuide 27 et exibit dz, quod est 9. Cum autem uolueris scire quantum est gb. Similiter sic facies. Iam scis quod id quod fit ex ductu dz in gb est 63. Id uero quod fit ex ductu hz in gb, quod est 147, pone commune. Deinde prosequere cetera secundum quod docuimus in sciendo ag et dz, et exibit gb 7 et zh 21, et hoc est quod demonstrare uoluimus3. AD

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Item de eodem. Si quis: «Conductus per 30 dies pro re minus 10 nummis seruit autem 20 dies et accipit 8 nummos, quantum ualet res?» Sic facies. Agrega 8 nummos rei minus 10 nummis, et fient res minus duobus nummis. Deinde 20 dies agrega 30 diebus, et fient 50 dies. Quos multiplica in 8, et productum diuide per 20 dies, et quod exit est precium rei minus duobus nummis. Cui agregatis duobus numis erit precium rei. Causa autem hic patet. Vel aliter. Multiplica 8 nummos in 30 dies et productum diuide per 20 dies, et ei quod exit adde 10 nummos qui desunt rei, et quod prouenerit erit precium rei. Cuius probatio hec est. Sint 30 dies linea ab, 20 autem dies sint linea bg, res autem sit linea tq. De qua minue 10 nummos qui sint linea dq, et remanebit linea dt, precium linee ab. Precium autem linee gb est 8. Sit autem linea dl 8. Talis autem est proportio linee ab ad lineam bg qualis est proportio linee dt ad lineam dl. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit4 ex ductu primi, qui est 30, in quartum, qui est 8, si diuidatur per secundum, qui est 20, exibit dt, que est 12. Cui agregata dq, que est 10, fiet linea tq, scilicet 22, et hoc est quod res ualet, cuius figura hec est.

____________________ 1 k A2: ag A1 2 t A2: dz A1 4 post fit exp. ex proportionales D2

3 Si quis querat [p. 295, l. 17] – uoluimus A: om. D P

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Fig.70: A, fol.174 v m.s.; om. D.

A

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Si quis querat: «Conductus per mensem pro re minus 10 seruit1 40 dies et accipit rem tantum, quantum ualet res illa?» Hec questio uera est. Nam dies quos seruit plures sunt diebus mensis. In qua sic facies. Tu scis quod comparatio de 30 ad 40 est sicut comparatio rei minus 10 ad rem. Cum autem disperseris, tunc erit comparatio de 30 ad 10 sicut comparatio rei minus 10 ad2 10. Fac igitur sicut supraostensum est, et exibit quod res minus 10 3 30. Res igitur est 404. AD

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Si autem conductus seruisset 20 dies et accepisset medietatem rei. Sic faceres. Numerum unde denominatur medietas qui est 2 multiplica in 20, et fient 40. De quibus subtractis 30 diebus remanebunt 10, quos pone prelatum. Deinde multiplica 10 qui desunt5 rei in 30 et productum diuide per prelatum, et ei quod exit adde 10 nummos et quod inde fit est id quod ualet res. Cuius probatio est hec6. Constat quod postquam 20 dies seruit pro medietate rei, tunc 40 seruiret pro integra re, et idcirco multiplicamus 20 in 2. Sint ergo 40 dies linea gb et 30 sint linea ab. Precium autem linee gb sit linea dt, que est res. Precium autem linee ab est res minus 10 nummis. Incidam ergo de linea dt 10, qui sint linea qt, et remanebit linea dq. Precium linee ab. Talis est autem proportio linee gb ad ab qualis est proportio dt ad dq. Deinde cum disiunxerimus proportio7 linee ag, que est 10, ad ab, que est 30, erit talis qualis est proportio linee qt, que est 10, ad dq. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu linee ab, que est 30, in qt, que est 10, si diuidatur per ag, exibit dq, que est 30. Cui agregata linea qt fient dt8, que est 40, scilicet quantum res ualet, et hoc est quod demonstrare9 uoluimus. Si autem accepit medietatem rei et nummum.

____________________ 1 seruit A2 D: seruiti A1 2 post ad exp. rem D2 3 et addidi 4 Si quis querat 6 est hec A: hec est D 7 disiunxerimus [l. 2] – 40 A: om. D 5 desunt A2: sunt A1 proportio eras. D uid. 8 que est 30 – dt A: om. D 9 demonstrare A: monstrare D

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Sic facies. Numerum unde denominatur medietas, qui est 2, multiplica in 20 et prouenient 40. Deinde medietatem rei et nummum multiplica in 2, et prouenient res et 2 nummi. Deinde minue 30 dies de 40, et remanebunt 10, quos pone prelatum. Deinde agrega 2 nummos ad 10 qui desunt, et fient 12. Quos multiplica in 30, et prouenient 360. Quos diuide per prelatum et ei quod exit adde 10, et id quod fit est pretium rei, scilicet 461. Cuius probatio hec est. Constat quod postquam 20 dies seruiuit pro medietate rei et uno nummo seruiret etiam 40 dies pro re integra et duobus nummis. Sint ergo 40 dies linea bg. Res uero et 2 nummi sint linea dl. Res uero dt, sed 2 nummi sint linea tl. 30 uero dies sint linea ab. Cuius pretium est res minus 10 nummis. Incide ergo de linea dt 10, qui sunt linea qt, et remanebit linea dq scilicet pretium linee ab. Talis est autem proportio linee bg ad ab qualis est proportio linee dl ad qd. Cum autem disiunxerimus, tunc proportio linee ag ad ab erit sicut proportio linee ql ad qd. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu linee ab, que est 30, in ql, que est 12, si diuidatur per ag, exibit dq. Cui addita linea qt, que est 10, erit linea dt, que est 46, quod est pretium rei2.

Fig.71: A, fol.175 r; om. D.

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Si quis querat: «Conductus per mensem pro re minus 20 seruit3 40 (sic)4 dies et accipit rem et 10, quantum ualet res?» Iam scis quod comparatio de 30 ad 50 est sicut comparatio rei minus 20 ad rem et 10. Cum autem disperseris, tunc comparatio de 30 ad 20 erit sicut comparatio rei minus 20 ad 30. Fac ergo sicut supraostendimus et erit res minus 20, 45. Res igitur est 65. Si quis querat: «Conductus per mensem pro 20 censibus seruit 6 dies et accipit 8 radices unius census, quantum est census et quantum est radix eius?» Modus agendi in hac questione et in consimilibus secundum algebra et secundum multiplicationem idem est. Dicam igitur modum agendi in ea secundum algebra ex qua apparebit modus agendi secundum multiplicationem scilicet diuide 30 per 6 et exibunt 5, quos multiplica in 8 res, et prouenient 40 res, que adequantur 20 censibus. Postquam ergo 20 census equantur 40 rebus, tunc unus census equale est 2 rebus. Census igitur est 4. Similiter facies in omnibus questionibus consimilibus. ____________________ 1 46 A: quadraginta res D 2 Item de eodem [p. 296, l. 18] – rei A D: om. P 4 40 false A in 50 corrigendum A2: seruiti A1

3 seruit

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Si quis querat: «Conductus per mensem pro re minus 20 seruit 5 dies et accipit rem minus 45, 1 » Iam scis quod comparatio de 30 ad 5 est sicut comparatio rei minus 20 ad rem minus 45. Cum autem disperserimus et permutauerimus ad 25, tunc comparatio de 25 ad 25, que est differentiam inter rem minus 45 et rem minus 20, erit sicut comparatio de 5 ad rem minus 45. Erit igitur res minus 45, 5. Res igitur est 50, et hoc est quod uoluisti. Si quis querat: «Conductus per mensem pro re minus 20 seruit 3 dies et accipit medietatem rei minus 20». Iam scis quod si seruiret 6 dies acciperet rem minus 40. Quasi ergo dicatur: «Conductus per mensem pro re minus 20 seruit 6 dies et accipit rem minus 40», fac sicut premonstratum est, et exibit quod uoluisti. Si quis querat: «Conductus per mensem pro re minus 20 seruit 10 dies et accipit rem minus 5». Hec questio falsa est. Nam res minus 20 minus est quam res minus 5. Accepit igitur plus pro parte mensis quam pro toto mense, quod est falsum. Si autem dies quos seruit essent plures diebus mensis, tunc esset uera. Similiter si quis querat: «Conductus per mensem pro re minus 10 seruit 5 dies et accipit rem tantum aut accipit rem et nummum 1». Hec est falsa. 21 (sic)2 dies quos seruiuit fuerint plures diebus mensis3. AD

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Item de eodem aliter4. Si quis querat: «Conductus per mensem pro 10 nummis et 3 sextariis annone inequalis pretii, quorum primi precium iuncat secundum 2 nummis, secundus quoque iuncit tertium 2 nummis, seruit autem 10 dies et accipit medietatem tertii et tertiam secundi et quartam primi, et insuper reddit conductori 5 nummos, tunc quantum ualet unusquisque sextarius?» Sic5 facies. Sit res pretium tertii. Precium uero secundi sit res et 2 nummi. Precium uero primi sit res et 4 nummi. Pretium igitur 3 sextariorum est 3 res et 6 nummi. Quibus adde 10 nummos, et fient tres res et 16 nummi, quod est pretium totius mensis. Dictum est enim precium mensis esse 10 nummos et 3 sextarios. Et manifestum est pretium 3 sextariorum esse 3 res et 6 nummos. Constat igitur quod pretium mensis est 3 res et 16 nummi6. Seruiuit autem 10 dies et accipit medietatem tercii et terciam secundi et quartam primi. Sed agregate medietas tercii et tercia secundi et quarta primi fuerit res una et dimidia sexta rei et unus nummus et due tercie nummi. De quibus subtractis 5 nummis quos persoluit remanet res et dimidia sexta rei minus 3 nummis et minus7 tercia nummi, quod est precium 10 dierum. Oportet igitur ut precium totius mensis sint 3 res et ____________________ 1 quantum ualet res addidi 2 21 false A in 10 corrigendum [p. 298, l. 18] – mensis A: om. D P 4 Item de eodem aliter A: om. D 7 et minus A: minus et D 6 nummi A D2: numis D1

3 Si quis querat 5 praem. et D

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quarta rei minus 10 nummis, que equiualent pretio mensis quod est 3 res et 16 nummi. Fac igitur sicut supradocui in algebra1, scilicet ut compleas 3 res et quartam rei adiectis 10 nummis. Et adde totidem tribus rebus et 16 nummis. Deinde minue 3 res de 3 rebus et quarta rei, et remanebit quarta rei, que equiualet 26 nummis. Res igitur ualet 104 nummos, quod est pretium tertii sextarii. Precium uero secundi est 106, primi uero 108. Si autem uolueris hoc experiri, id est scire quomodo pro seruitio 10 dierum accipit medietatem tertii et terciam secundi et quartam primi et insuper reddit 5 nummos, agrega pretia 3 sextariorum 10 nummis et fient 328 nummi, qui sunt pretium mensis. Constat autem eum seruisse tercia parte mensis, unde debetur ei tercia pars pretii que est 109 et tercia. Sed quia pro seruitio 10 dierum accipit medietatem tertii et terciam secundi et quartam primi, tu agrega medietatem de 104 ad terciam de 106 et ad quartam de 108, et fient 114 et tercia. De quibus subtractis 5 nummis quos persoluit remanent 109 et tercia que equiualent ei quod accepit pro seruitio 10 dierum. Item de eodem. Si quis : «Conductus per mensem pro 10 nummis et 3 sextariis inequalis precii, quorum primus preualet2 secundo tribus nummis, secundus quoque preualet tertio 3 nummis, seruit autem 10 dies et accipit medietatem tercii et terciam secundi et quartam primi, tunc quantum est pretium uniuscuiusque sextarii? » Sic facies. Pretium tertii sit 1 res, ergo precium secundi erit res et 3 nummi, et pretium primi erit res et 6 nummi. Pretium igitur 3 sextariorum est 3 res et 19 nummi, quod est pretium mensis. Et quia pro seruitio 10 dierum accipit medietatem tercii et terciam secundi et quartam primi, tunc agrega medietatem tercii3 et terciam secundi et quartam primi, et fient res et dimidia 4 et 2 nummi et dimidius, quod est pretium tertie partis mensis. Vnde oportet ut precium totius mensis sit 3 res et quarta rei et 7 nummi et dimidus que equiualent tribus rebus et 19 nummis. Minue igitur res de rebus et nummos de nummis, et remanebit ad ultimum quarta rei que equiualet 11 nummis et dimidio. Res igitur equiualet 46 nummis qui sunt pretium tertii sextarii. Precium igitur medii sunt 49, primi uero 52. Si autem hoc uolueris experiri, agrega pretia trium sextariorum 10 nummis et fient 157, qui sunt pretium mensis. Constat autem eum seruisse tercia parte mensis. Debet ergo accipere terciam partem precii, que est 52 et tercia. Sed quia pro seruitio 10 dierum accipit medietatem tertii et terciam secundi et quartam primi, tunc agrega medietatem de 64 et tercia de 49 et quartam 50 duorum et fient 52 et tercia, que equiualent precio 10 dierum.

____________________ 1 algebra A: agebla D 4 sexta addidi

2 preualet A2 D: ualet A1

3 tercii A2 D: tertium A1

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Item de eodem. Si quis: «Conductus per mensem pro 3 sextariis inequalis pretii, quorum primus preualet secundo tribus nummis, secundus uero preualet tertio duobus nummis, seruit autem 10 dies et accipit medietatem tertii et terciam secundi et quartam primi, tunc quantum est pretium uniuscuiusque sextarii?» Sic facies. Sit precium primi (sic)1 1 res. Secundi igitur pretium erit res et 3 (sic)2 nummi. Et pretium primi erit res et 5 nummi. Agrega igitur precia omnium sextariorum et fient 3 res et 8 nummi, quod est pretium mensis. Sed quia pro seruitio 10 dierum accipit medietatem tertii et tertiam secundi et quartam primi, tu agrega medietatem tercii, que est dimidia res, cum tercia secundi, que est tercia pars rei et 1 nummus, et cum quarta primi, que est quarta rei et nummus 1 et quarta nummi, et fient simul omnia una res et dimidia sexta rei et 2 nummi et quarta, que omnia sunt pretium tertie partis mensis. Triplica igitur illa, et fient 3 res et quarta rei et 6 nummi et tres quarte nummi, quod est precium mensis. Et equiualet etiam pretio mensis quod est 3 res et 8 nummi. Minue ergo res de rebus et nummos de nummis, et remanebit ad ultimum quarta rei que equiualet uni et quarte unius. Res igitur est 5, qui sunt pretium tertii sextarii. Secundi uero precium 7 nummi, primi uero pretium est 10 nummi. Item de eodem aliter3. Aliquis conductus per mensem pro 10 nummis si seruit toto mense accipit 10 nummos aut si nulla die mensis seruit amittit illos 10 nummos et insuper persoluit conductori 2 nummos, sed partim seruit partim non et euadit nichil accipiens nichilque persoluens, tunc quot dies seruit et quot pretermittit? Sic facies. Agrega 2 nummos quos persolueret 10 nummis et fient 12, pro quibus conduceretur aliquis alius. Deinde multiplica 2 in dies mensis et productum diuide per 12 et exibunt 5 dies, et tot diebus seruiuit. Ceteris autem diebus mensis nichil seruiuit. Si autem uolueris scire quot diebus non seruiuit, multiplica 10 in 30, et prouenient 300. Quos diuide per 12 et exibunt 25, et tot sunt dies quos non seruiuit. Cuius rei causa hec est. Constat enim quod comparatio dierum, quos seruiuit, ad dies mensis, qui sunt 30, est sicut comparatio pretii dierum, quos seruiuit, ad pretium totius mensis, quod est 10. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu primi, qui est id quod seruit de mense, in 10 nummos equum est ei quod fit ex 30 ductis in pretium dierum quos seruit. Constat etiam quod comparatio dierum quos non seruiuit4 ad 30 dies est sicut comparatio eius quod debet persoluere de duobus nummis ad pretium dierum quos non seruiuit. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu dierum quos non seruit in 2 nummos equum est ei quod fit ex 30 ductis in id quod debet persoluere. Constat autem quod id quod debet accipere pro eo quod seruiuit equum est ei quod debet persoluere pro eo quod non seruiuit. Dictum est enim quod nec accepit ____________________ 1 primi false A D in tercii corrigendum 2 3 false A D in 2 corrigendum eodem aliter A: om. D 4 non seruiuit A: nam seruit D

3 Item de

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aliquid persoluit aliquid. Manifestum est igitur quod id quod fit ex 30 ductis in id quod debet accipere equum est ei quod fit ex 30 ductis in id quod debet persoluere pro diebus quos non seruiuit. Manifestum est etiam quod id quod fit ex 30 ductis in id quod debet accipere equum est ei quod fit ex ductu dierum quos seruiuit in pretium mensis quod est 10 nummi. Manifestum est etiam quod id quod fit ex ductu 30 dierum in id quod debet persoluere equum est ei quod fit ex ductu dierum quos non seruiuit in 2 nummos. Oportet igitur ut id quod fit ex ductu dierum quos [non]1 seruiuit de mense in 10 nummos. Sit equum ei quod fit ex ductu dierum mensis quos non seruiuit in 2 nummos. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Talis est igitur proportio dierum quos seruiuit de mense ad eos quos non seruiuit de mense qualis est proportio duorum nummorum ad 10 nummos. Cum autem composuerimus, tunc proportio dierum quos seruiuit ad reliquos quos seruiuit et pretermisit simul agregatos est sicut proportio duorum nummorum ad 2 et 10 simul agregatos2. Constat autem quod id quod seruiuit et pretermisit est mensis integer. Vnde proportio eius quod seruiuit ad 30 dies qui sunt ipse mensis est sicut proportio duorum dierum ad 12 qui sunt 2 et 10 simul agregati. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu 2 nummorum in 30, si diuidatur per 12 exibit numerus dierum quos seruiuit. Cum autem inuenieris quantum seruiuit de mense est sicut hec predicta, sed mutetur proportio et manifestabitur ueritas in hac figura. Vnde 30 sint linea ab. Id autem quod seruiuit de mense sit linea ag. Quod autem de mense non seruiuit sit linea gb. Deinde a puncto g protraham lineam duorum que sit gd quam multiplicabo in lineam gb, et proueniet superficies db. Deinde a puncto g protraham lineam de 10, que est linea gh, quam multiplicabo in lineam ag, et proueniet superficies ah. Superficies igitur ah equalis est superficiei db. Constat enim ex premissis quod id quod fit ex ductu eius quod seruiuit de mense in 10 nummos equum est ei quod fit ex ductu eius quod non seruiuit in 2 nummos. Dixit autem euclides in sexto libro quod duarum equalium superficierum duum laterum equidistantium si duo anguli fuerint equales et latera illos continentia erunt muteqefia et coalternata3. Sed superficies ah et bd sunt equales et earum latera equidistantia sunt. Angulus autem agh equalis est angulo dgb. Latera igitur ag et gb et dg et gh sunt muteqefia, scilicet talis est proportio de ag ad gb, qualis est proportio de dg ad gh4. Componam autem proportionem, et talis erit proportio linee ag ad lineam ab qualis est proportio linee dg ad lineam5 de dh. Sed dg est sexta de dh. Ergo ag est sexta de ab. Sed linea ab est 30. Linea igitur ag est 5, et tantum est quod de mense seruiuit. Si autem uolueris hoc adinuenire per multiplicationem, tunc quod fit ex ductu linee ag in dh equum est ei quod fit ex ductu linee dg in ab. Quod igitur fit ex ductu linee dg in ab, si diuidatur per dh, exibit ag, et hoc est quod uoluisti sicut subiecta figura declarat6. ____________________ 1 emendaui non quod fallaciter post quos addidit A 2 post agregatos exp. est sicut 3 et coalternata D: add. A s.l. 4 qualis est – ad gh A: om. D 5 ad proportio A2 lineam A: om. D 6 declarat D: add. A m.d.

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Fig.72: A, fol.176 r m.d.; om. D.

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Vel aliter. Vt 30 diuidantur in 2 quorum uno multiplicato in 10 et altero in 2 prouenient inde equalia. Sic facies. Videlicet sit una pars res, et hoc est quod de mense seruiuit. Altera uero pars sit 30 minus re, et hoc est quod de mense non seruiuit. Multiplica igitur rem in 10, et prouenient 10 res. Deinde multiplica 30 minus re in 2 et prouenient 60 nummi minus duabus rebus, que equiualent 10 rebus. Comple autem 60 nummos adiectis 2 rebus que1 desunt2 et adde 2 res 10 rebus, et fient 12 res que equiualent 60 nummis. Res igitur est 5, et tantum est quod de mense seruiuit. Ideo autem 30 diuiduntur in 2 quorum uno multiplicato in 103 et altero in 2, que proueniunt sunt equalia, quoniam constat quod id quod fit ex ductu eius quod seruiuit de mense in 10 equum est ei quod fit ex ductu eius quod non seruiuit de mense in 2. Constat autem quoniam mensis est dies quos seruiuit et quos non seruiuit, quoniam parte mensis seruiuit et parte non seruiuit. Vel aliter. Sit res id quod de mense seruiuit. Constat autem quod si toto mense seruiret 10 nummos acciperet. Manifestum est igitur quod proportio 30 dierum ad suum petium quod est 10 est sicut proportio dierum quos seruiuit qui sunt res ad suum pretium. Quasi ergo dicatur: «Postquam 30 pro 10, tunc quantum est pretium rerum?», multiplica tu rem in 10 et productum diuide per 30, sicut diximus in capitulo de emendo et uendendo, et quod exierit est pretium rei, quod est tercia rei, et tantum est quod seruiuit de mense. Supradictum est autem quod quoniam toto mense non seruit, 2 nummos persoluit. Id autem quod non seruiuit est 30 minus re. Nam de mense seruiuit rem, et quod non seruiuit est 30 minus re. Manifestum est igitur quod proportio dierum mensis ad 2 nummos quos persoluit est sicut proportio4 de 30 minus re ad suum pretium. Quasi ergo dicatur: «Postquam 30 dantur pro duobus nummis, tunc quantum est pretium de 30 minus re?» Sic facies5. Multiplica 30 minus re in 2 nummos et productum diuide per 30, et exibunt6 2 nummi minus duonus terciis decime rei que equiualent tercie rei, qui sunt pretium de 30 minus re qui sunt dies quos non seruiuit. Ideo autem equiualent tertie rei. Nam dictum est quod id quod debebat accipere pro eo quod seruiuit equum est ei quod debebat persoluere pro eo quod non seruiuit. Fac ergo sicut ____________________ 1 post que exp. equiualet 10 rebus A2 4 mensis ad 2 [l. 24] – proportio A: om. D

2 desunt A D2: sunt D1 3 10 A2: x D A1 5 sic facies A: om. D 6 exibunt A: exibitat D

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docuimus in algebra1. Videlicet comple 2 nummos adiectis duabus terciis decime rei. Duas autem tercias decime rei adde tercie rei et fient due quinte rei, que equiualent 2 nummis. Res igitur ualet 5 et tantum est quod seruiuit. Id autem quod2 non seruiuit est residuum mensis. Vel aliter. Pone rem id quod de mense seruiuit, et erit id quod non seruiuit 5 res. In principio enim questionis ostendimus quod comparatio eius quod seruiuit ad id quod non seruiuit est sicut comparatio duorum quos persoluit ad 10, qui sunt pretium mensis. Cum autem commutauerimus, comparatio 10 ad duos erit sicut comparatio dierum quos non seruiuit ad dies quos non seruiuit. Constat autem quod 10 quincupli sunt duorum. Cum ergo id quod seruiuit de mense posuerimus rem, erit necesse ut id quod de mense non seruiuit sit 5 res. Addita ergo re cum 5 rebus fient 6 res que equiualent 30. Res igitur est 5, et hoc est quod seruiuit. Si autem experiri uolueris qualiter euasit nichil accipiens3 nichilque persoluens. Sic facies. Constat quia pretium mensis est 10 nummi. Id autem quod pro4 mense persoluit sunt 2 nummi. Constat autem eum seruisse sexta parte mensis. Debet igitur accipere sextam partem precii que est numus et due tercie nummi. Id autem quod non seruiuit est quinque sexte. Debet ergo persoluere quinque sextas duorum nummorum que sunt numus et due tercie. Debet ergo accipere nummum et duas tercias et debet persoluere nummum et duas tercias. Hiis ergo persolutis pro illis euasit in numis nichil accipiens nichilque persoluens5. A

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Si autem quis querat: «Conductus per mense (sic)6 pro 10 nummis si seruerit (sic)7, sin autem conducetur alius pro eo pro 8 nummis, seruit autem dies aliquot, et pretermisit aliquos, et euadit nichil accipiens nichilque persoluens». Hec questio falsa est. Nam si nichil de mense seruiret, remanerent ei 2 nummi, postquam autem aliquam tulit de mense seruiuit sequitur ut plus sibi remaneat. Constat igitur hanc questionem esse falsam nisi id quod sibi remanet8 fuerit amplius quam differentiam que est inter dua pretia. Sicut si quis querat: «Conductus per mensem pro 10 nummis si seruerit, sin autem conducetur alius pro eo pro 8 nummis, partim autem seruit partim non et exit cum 3 nummis». Patet autem quod si nichil de mense seruiret, remaneret ei 2 nummi. Sed quoniam exiuit cum 3 nummis, tunc non seruiuit de mense nisi quantum conuenit pro nummo uno secundum quod conducitur per mensem pro 8 nummis. Comparatio igitur unius ad 8 est sicut comparatio eius quod seruit ad 30. Fac igitur sicut supradictum est et exibit quod seruiuit 3 et 3/4. Manifestum est etiam quod postquam de 10 nummis quos accipit non remanent ei nisi 3 quod pro 7 ____________________ 1 algebra A: agebla D 2 quod A: quid D 3 accipiens A: accipies D 4 pro A: per D 5 Item de eodem [p. 299, l. 22] – persoluens A D: om. P 6 mense false A in mensem corrigendum 7 seruerit false A in seruierit corrigendum 8 remanet A2: remaneat A1

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nummis conducit alius pro eo secundum quod conducitur per mensem pro 8 nummis. Igitur comparatio de 7 ad 8 est sicut comparatio eius quod non seruiuit de mense ad 30. Id igitur quod non seruiuit de mense est 26 et quarta. Cetera huiusmodi considera secundum hoc et inuenies ita esse1. 5

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AD Item de eodem. Si quis conductus per mensem pro 10 nummis si seruerit (sic)2 toto mense, sin autem conducitur alius uice eius pro 12, seruit autem aliquos dies et pretermittit aliquos, et accipit nummum 1. Sic facies. Minue nummum de 10 et remanebunt 9. Deinde differentiam que est inter 9 et 12 scilicet 3 multiplica in 30, et productum diuide per 12, et exibunt 7 et dimidius, et hoc est quod de mense seruiuit. Quod autem non seruiuit sunt 22 et dimidius. Cuius rei causa est illa quam in precedentibus ostendimus. Videlicet quoniam id quod fit ex ductu eius quod seruiuit de mense in 10 nummos equum est ei quod fit ex ductu eius quod non seruiuit de mense in 2 nummos. Nam id quod fit ex 30 ductis in pretium eius quod seruiuit equum est ei quod fit ex ductis 30 in id quod debet persoluere, sicut supradiximus in principio questionis hanc precedentis. Supradictum est autem quod conductus euasit cum uno nummo. Quorum uerborum sensus hic est, scilicet quod pretium eius quod seruiuit maius est eo quod debet persoluere pro eo quod non seruiuit uno nummo. Manifestum est igitur quia id quod fit ex 30 ductis in id quod debet accipere de 10 nummis maius est eo quod fit ex 30 ductis in id quod debet persoluere de duobus nummis, tanto quantum fit ex ductu unius nummi in 30. Manifestum est etiam quod id quod fit ex 30 ductis in id quod sibi debetur de 10 nummis equum est ei quod fit ex ductu eius quod seruiuit de 30 in 10. Quod igitur fit ex ductu eius quod seruiuit in 10 maius est eo quod fit ex ductu 30 in id quod debet pesoluere tanto quantum3 fit ex ductis 30 in unum nummum. Constat autem quia id quod4 fit ex ductu eius quod5 non seruiuit in 2 nummos equum est ei quod fit ex ductu 30 in id quod debet persoluere de duobus nummis. Manifestum est igitur quod id quod fit ex ductu eius quod non seruiuit de mense in 2, cum addito eo quod fit ex 30 ductis in nummum equum est ei quod fit ex ductu eius quod seruiuit de mense in 10. Ponam igitur lineam 30, que sit linea ab. Quod autem seruiuit sit linea ag. Quod autem non seruiuit sit linea gb. Quod igitur fit ex ductu linee ag in 10 equum est ei quod fit ex ductu linee gb in 2 cum addito sibi eo quod fit ex ductu linee ab in 1. Quod autem fit ex ductu ab in 1 equum est et ei quod fit ex ductu ag

____________________ 1 Si autem [p. 304, l. 23] – ita esse A: om. D P 2 seruerit A: seruierit D quantam D 4 quod A: quid D 5 quod A: quid D

3 quantum A:

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in 1 et ei quod fit ex ductu ab (sic)1 in 1. Nam quod fit ex ductu totius linee ab in aliquem numerum equum est ei quod fit ex ductu omnium suarum partium in ipsum. Quod autem fit ex ductu ag in 10 equum est ei quod fit ex ductu gb in tres addito sibi eo quod fit ex ductu2 ag in 1. Minue ergo id quod fit ex ductu ag in 1 de eo quod fit ex ductu eius in 10, et remanebit id quod fit ex ductu ag in 9 equum est ei quod fit ex ductu gb in 3. Manifestum est igitur quod linea ab que est 30 diuisa est in 2 inequalia in puncto g. Et id quod fit ex ductu ag in 9 equum ei quod fit ex ductu gb in 3. Protraham autem a puncto g lineam de 9, que est linea gd et lineam de 3, que est linea gh. Multiplicata autem linea ag in lineam gd proueniet superficies ad et multiplicata etiam linea gh in lineam gb proueniet superficies hb. Superficies igitur ad equalis est superficiei hb. Manifestum est igitur quod proportio linee hg ad gd est sicut proportio linee ag ad gb, sicut euclides dixit in sexto libro. Si autem composuerimus, proportio linee hg ad lineam hd erit sicut proportio linee ag ad lineam ab. Sunt igitur isti 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu linee hg, que est primus, in ab, que est quartus, si diuidatur per hd, que est secundus, exibit tertius, qui est ag, et hoc est quod seruiuit de mense. Quod uero non seruiuit est linea gb, et hoc est quod demonstrare3 proposuimus.

Fig.73: A, fol.177 r m.d.; om. D.

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Vel aliter. Id quod de mense seruiuit sit res. Id ergo quod non seruiuit erit 30 minus re. Deinde multiplica rem in 9, et prouenient 9 res. Postea multiplica 30 minus re in 3, et prouenient 90 minus tribus rebus que equiualent 9 rebus. Comple ergo 90 adiectis 3 rebus, et agrega 3 res 9 rebus, et fient 12 res que equiualent 90. Res igitur equiualet 7 et dimidio, et tantum est quod de mense seruiuit. Reliquum uero est id quod de mense non seruiuit. Vel aliter. Differentiam que est inter 9 et 12, scilicet 3, denomina de 12, scilicet quartam. Tanta4 igitur pars de 30, que est 7 et dimidium, est id quod de mense seruiuit. Vel aliter. Conductus seruiuit de mense rem et 3 dies. Pro eo enim quod seruiuit accepit nummum 1. Et nummum hic5 competit ei secundum pretium seruitii totius mensis pro seruitio 3 dierum. Quod autem non seruiuit est 5 res. Nam pretium eius quod seruiuit quincuplum est ei quod persoluet6 pro eo quod non seruiuit, sicut ostendimus. Agrega igitur rem et 5 res et 3 dies et fient 6 res et ____________________ 1 ab false A D in gh corrigendum 2 ductu iter. A 3 demonstrare A: monstrare D 4 tanta A: tantam D 5 hic A: om. D 6 persoluet A2: persoluit A1: soluet D

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3 dies, que equiualent 30. Fac igitur sicut predocuimus et res erit 4 et dimidium. Constat autem quod seruiuit de mense: rem et 3 dies. Seruiuit igitur de mense 7 dies et dimidium et pretermisit 22 et dimidium. Si autem hic uolueris experiri scilicet ut scias quomodo euasit cum uno nummo, sic facies. Iam constat quod de mense seruiuit quartam partem eius. Vnde debet accipere quartam partem pretii, quod est 10, que est 2 et dimidium. Pretermisit autem 3 quartas mensis, unde debet persoluere tres quartas duorum nummorum qui sunt nummus et dimidius. Debet ergo persoluere nummum et dimidium, et debet accipere 2 nummos et dimidium. De quibus persoluto quod debet remanet sibi nummus 1 tantum. Item de eodem. Si quis conducitur per mensem pro 10 nummis, si uero non seruerit1, conducetur alius pro eo pro 12. Ille autem partim seruit partim non, et persoluit nummum 1 quantum seruit et quantum non. Sic facies. Adde nummum illum 10 nummis et fient 11. Deinde multiplica differenciam que est inter 11 et 12, que est 1, in 30, et productum diuide per 12 et exibunt 2 et dimidius et tantum est quod seruiuit. Causa autem huius est sicut diximus in precedentibus. Sed addes nummum quam persoluit 10 nummis. Nam id quod competit ei de 10 nummis minus est eo quod debet persoluere de 2 nummis 1 nummo. Sic enim propositum est quod conductus persoluit nummum 1. Oportet igitur ut id quod persoluitur2 sit maius eo quod debet accipere uno nummo. Sic enim propositum est quod conductus persoluit nummum 1. Oportet igitur ut id quod persoluit sit maius eo quod debet accipere 1 nummo3. Fac ergo sicut supradocuimus et habebis post assignatam proportionem lineam de 30 diuisam in 2 inequalia. Quod igitur fit ex ductu unius partis in 12 equum est ei quod fit ex ductu alterius in unum. Quod igitur seruiuit de mense est 2 et dimidius quod autem pretermisit est 27 et dimidius. Solutio autem huius questionis secundum algebra4 fit eo modo quo precedens. Experientia autem huius hec est. Quoniam de mense seruiuit dimidia parte sexte eius, unde debet accipere dimidiam sextam 10 nummorum que est quinque sexte unius nummi. Pretermisit autem quinque sextas5 mensis et dimidiam sextam6. Debet ergo persoluere quinque sextas et dimidiam duorum nummorum que sunt nummus 1 et quinque sexte eius. Seruiuit ergo et persoluit nummum 1. Vel aliter. Minue 1 de differentia que est inter 10 et 12 et remanebit 1, quem denomina de 12, scilicet dimidiam sextam, et tantum est quod de mense seruiuit, scilicet 2 dies et dimidius. Reliquum autem mensis est id quod non seruiuit.

____________________ 1 seruerit A: seruierit D 2 persoluitur A: persoluit D 3 Sic enim [l. 20] – 1 nummo A: 6 sextam A: om. D om. D 4 algebra A: agebla D 5 sextas A2 D: 5/5 A1

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Item de eodem. Si quis conducitur per 10 dies, in unoquoque autem die accepturus 3 nummos si seruerit1, sin autem pro unoquoque die quo non seruerit2, persoluet 5 nummos. Seruit autem3 partem 10 dierum et partem non, et euadit nichil accipiens nichilque debens. Sic facies. Agrega 5 tribus et fient 8, quos pone prelatum. Cum autem uolueris scire quantum seruiuit, multiplica 5 in 10, et productum diuide per prelatum, et quod exierit est id quod seruiuit. Si autem uolueris scire quantum non seruiuit, multiplica 3 in 10, et productum diuide per prelatum, et quod exierit est id quod non seruiuit. Vel aliter. Manifestum est quod4 postquam conducitur per 10 dies unoquoque autem die pro 3 nummis, tunc pro seruitio 10 dierum proueniunt ei 30 nummi. Si uero non seruerit5 10 dies, debet persoluere 50. Igitur debentur ei 30, ipse uero debet 50. Agregatis igitur 30 cum 50 fient 80. Quasi ergo querat: «Si quis conducitur per 10 dies accepturus si seruerit6 30 nummos. Si autem conducitur alius pro eo pro 80 nummi, ipse uero partim seruit partim non, et exit nichil accipiens nichilque persoluens», fac sicut supradocuimus et exibit quod scire uolueris. Item de eodem. Si quis conducitur per mensem si seruerit7 accepturus rem. Sin autem conducitur alius uice eius pro re et duobus nummis. Ipse uero partim seruit partim non, et exit nichil accipiens nichilque persoluens. Dies autem quos seruiuit multiplicati in precium suum fient 50. Sic facies. Diuide 50 per 2 nummos, et quod exierit est id quod de mense seruiuit. Quod minue de mense et remanebit id quod de mense non seruiuit8. Si autem uolueris scire precium rei, denomina dies quos non seruiuit de diebus quos seruiuit, et tanta pars duorum nummorum erit precium rei. Cuius probatio manifesta est consideranti questionem. Taliter autem manente questione si dixerit quod conductus exiuit cum uno nummo. Sic facies. Agrega numum unum duobus et fient 3. Quos multiplica in 30 et prouenient 90. De quibus minue 50 et remanebunt 40. Quos diuide per 2 nummos, et quod exierit tantum est quod seruiuit, scilicet 20 dies, quod autem non seruiuit 10 dies. Si autem uolueris scire precium rei, denomina id quod non seruiuit ab eo quod seruiuit et tante parti 3 nummorum agregatorum in (sic)9 duobus et uno, que est nummus et dimidius, agrega 1 nummum, et fient 2 et dimidius, et tantum ualet res.

____________________ 1 seruerit A: seruierit D 2 seruerit A: seruierit D 3 post autem exp. decem numos D2 4 quod A: quidem D 5 seruerit A: seruierit D 6 seruerit A: seruierit D 7 seruerit A: seruierit D 8 Quod minue – seruiuit addidi cum D: om. A 9 in A: ex D

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Cuius probatio hec est. Sit res linea dt, 2 autem nummi sint linea tn. Quod autem seruiuit de mense sit linea ag, quod autem non seruiuit sit linea gb. Pretium autem eius quod seruiuit linea kz. Quod autem persoluit pro eo quod non seruiuit linea ml. Linea autem ml sit minor quam linea kz uno nummo. Deinde linee tn agrega 1 nummum qui sit linea th. Quod igitur fit ex ductu linee ag in dh equum est ei quod fit ex ductu gb in hn. Quod autem fit ex ductu ag in hn sit commune. Quod igitur fit ex ductu hn in ab erit equum ei quod fit ex ductu ag in dn. Quod autem fit ex ductu linee ab in hn est 90. Quod igitur fit ex ductu linee ag in dn est 90. Quod autem fit ex ductu linee ag in dt est 50. Remanent igitur 40 qui proueniunt ex ductu linee ag in tn, qui est 2 nummi. Si autem diuiseris 40 per 2, exibit linea ag que est 20, et hoc est quod seruiuit. Et remanebit linea gb 10, et hoc est quod non seruiuit. Si autem uolueris scire precium rei, iam constat quod comparatio linee gb ad ag est sicut comparatio linee dh ad hn. Linea autem gb est medietas linee ag. Igitur linea dh est 1 et dimidium. Nam est medietas linee hn. Linea autem ht est 1. Igitur linea dt est 2 et dimidius, et hoc est precium rei et hoc est quod probare uoluimus. Si autem dicitur quid est conductus persoluit nummum 1, sed eo quod seruit multiplicato in precium suum proueniunt 50 nummi, erit questio falsa. Cuius rei causa manifesta est consideranti hanc figuram.

Fig.74: A, fol.177 v m.s.; om. D.

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Ceteras1 questiones considera secundum hoc nisi dicatur quod conductus seruit tot dies quibus multiplicatis in suum pretium proueniunt 25, erit tunc questio uera et causa quare sit manifesta est. In qua sic facies. Multiplica 1 in 30, et producto agrega 25, et fient 55. Quos diuide per 2 nummos, et exibunt 27 et dimidius, et tantum est quod2 non seruiuit de mense. Reliquum autem mensis, scilicet duo dies et dimidius, est id quod seruiuit. Si autem uolueris scire precium rei, diuide 25 per id quod seruiuit 3 de mense, et exibunt 10 et tantum ualet res4.

____________________ 1 post ceteras add. autem D 2 quod A: quid D 4 Item de eodem [p. 305, l. 6] – res A D: om. P

3 Si autem – seruiuit iter. A

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Item de eodem aliter. Si quis querat: «Conducitur aliquis per 20 dies, accepturus pro unoquoque die quo seruerit 3 nummos, sed pro unoquoque die quo non seruerit persoluet conductori 2 nummos. Partim autem seruiuit partim non, et exiuit nichil accipiens nichilque persoluens, quantum ergo seruiuit et quantum non?» Sensus huius questionis est hic scilicet quod die quo seruierit accipiet 3 nummos, quo uero die non seruierit amittet illos 3 et insuper persoluet 2. Ipse uero seruiuit una parte mensis et alia non, et exiuit nichil accipiens nichilque persoluens, scilicet id quod debet persoluere pro eo quod non seruiuit equale est ei quod debet accipere pro eo quod seruiuit. Manifestum est igitur quod1 20 diuiduntur in 2. Ex ductu unius quorum scilicet eius quod seruiuit in 3, id quod prouenerit equum est ei quod fit ex ductu alterius scilicet eius quod non seruiuit in 2. Sicut igitur ab, quod autem seruiuit de eis ag. Quod autem non seruiuit gb, 3 uero nummi dh, 2 autem nummi hz. Id igitur quod fit ex ductu dh in ag equum est ei quod fit ex ductu hz in gb. Comparatio igitur de dh ad hz est sicut comparatio de gb ad ag. Cum autem composuerimus, tunc comparatio totius dz ad hz erit sicut comparatio totius ab ad totum ag. Igitur comparatio de dz, qui est 5, ad hz, qui est 2, est sicut comparatio de ab, qui est 20, ad id quod seruiuit, quod est ag. Id igitur quod fit ex ductu ag in dz equum est ei quod fit ex ductu hz in ab. Igitur productum ex ductu hz in ab, si diuiseris per dz, exibit ag 8, et hoc est quod seruiuit. Manifestum est etiam conuersa comparatione quod comparatio de dz ad dh est sicut comparatio de ab ad gb, qui est id quod non seruiuit. Si igitur multiplicaueris dh in ab, et productum diuiseris per dz, exibit gb qui est id quod non seruiuit et db (sic)2 hic modus agendi talis est ut agreges 2 et 3 et fient 5, quos pone prelatum. Cum igitur uolueris scire id quod non seruiuit, multiplica 3, qui sunt pretium unius diei, in 20, et productum diuide per prelatum, et exibit quod uoluisti. Cum autem uolueris scire id quod seruiuit, multiplica 2 quos persoluit pro unoquoque die qua non seruiuit in 20, et productum diuide per prelatum et exibit id quod seruiuit 8, quod autem non seruiuit 12, et hoc est quod demonstrare uoluimus3.

Fig.75: A, fol.178 r m.d..

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Si quis querat, dicens: «Conducitur aliquis pro 30 diebus accepturus unoquoque die quo seruerit 3 nummos, sed pro unoquoque qua non seruerit, persoluturus 2. Partim autem seruiuit partim non, et exit cum 10 nummis». ____________________ 1 quod A2: pro A1

2 db false A in dz corrigendum

3 uoluimus add. A m. d.

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Sic facies. Agrega 2 cum 3 et fient 5, quos pone prelatum. Cum igitur uolueris scire quantum seruiuit, multiplica id quod debet persoluere pro eo quod non seruit, scilicet 2, in 30 dies, et prouenient 60. Quibus agrega 10 nummos, et fient 70, quos diuide per prelatum et exibunt 14, et tot dies seruiuit. Cum autem uolueris scire quantum non seruiuit, multiplica id quod accipit pro unoquoque die quo seruit scilicet 3 in 30 et prouenient 90, de quibus minue 10 nummos, et remanebunt 80. Quos diuide per prelatum et exibunt 16, et tot dies non seruiuit. Cuius comprobatio hec est. Sint 30 dies ab. Id autem quo seruit ag. Id autem quo non seruiuit gb. Constat igitur quod postquam lucratus 10 nummos, quod cum multiplicaueris id quo seruiuit de mense in 3, id quod proueniet erit maius eo quod prouenerit ex ductu eius quo non seruiuit in duo tanto quantum est 10. Igitur cum uolueris scire id quod seruiuit, pone commune id quod prouenit ex ductu eius quo seruiuit in 2. Igitur id quod fit ex ductu ag, qui est id quo1 seruiuit, in 3 et in 2 erit 10 maius eo quod fit ex ductu eius quo non seruiuit qui est gb in 2 et ag in 2. Scimus autem quoniam id quod fit ex ductu ag in 2 et in 3 equum est ei quod fit ex ductu ag in 5. Id igitur quod fit ex ductu ag in 5 maius est secundo quod fit ex ductu duorum in ag et in gb 10. Ex ductu autem duorum in ag et in gb quod prouenit equum est ei quod fit ex ductu duorum in2 totum ab3. Igitur id quod fit ex ductu 5 in ag qui est id quod seruiuit maius est eo quod fit ex ductu duorum in ab quod est 60. Id igitur quod fit ex ductu ag in 5 est 70. Igitur ag est 14, et est id quod seruiuit. Cum autem uolueris scire id quod non seruiuit. Sic facies ut supra, scilicet quoniam id quod fit ex ductu 3 in ag maius est eo quod fit ex ductu duorum in gb 10. Id autem quod fit ex ductu gb qui est id quod queritur in 3, pone commune. Id igitur quod fit ex ductu ag in 3 et gb in 3 maius est eo quod fit ex ductu gb in 2 et in 3, 10. Id autem quod fit ex ductu gb in 2 et in 3 equum est ei quod fit ex ductu gb in 5. Id uero quod fit ex ductu ag et gb in 3 equum est ei quod fit ex ductu totius ab in 3. Id igitur quod fit ex ductu gb in 5 minus est eo quod fit ex ductu ab in 3, quod est 90, 10. Minue igitur 10 de 90, et remanebit id quod fit ex ductu 5 in bg, 80. Igitur gb est 16, et hoc est quod demonstrare uoluimus4. Fig.76: A, fol.178 r m.d..

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Si quis querat: «Conductus per 30 dies accepturus pro unoquoque die quo seruit 3 nummos, pro unoquoque uero quo non seruit persoluturus 2. Partim uero seruit partim non et persoluit 10 nummos, quantum ergo seruiuit et quantum non?» Sic facies. Agrega 2 nummos tribus, et fient 5, quos pone prelatum. Cum igitur uolueris scire quantum seruiuit, multiplica 2 quos debet persoluere pro unoquoque die quo non seruiuit in 30, et fient 60. De quibus minue 10 nummos, et ____________________ 1 post quo exp. non A2 4 uoluimus add. A m.d.

2 post in exp. ag et in gb 10 A

3 post ab exp. quod est 60 A

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remanebunt 50, quos diuide per prelatum et exibunt 10, et tot diebus seruiuit. Cum autem uolueris scire quot dies non seruiuit, multiplica 3 quos accipit pro unoquoque die quo seruit in 30, et prouenient 90. Quibus agrega 10 et fient 100, quos diuide per prelatum et exibunt 20, et tot dies non seruiuit. Cuius probatio manifesta est. Nam sint 20 dies ab. Dies uero quos seruiuit ag, quos uero non seruiuit gb. Id igitur quod fit ex ductu gb in 2 superat id quod fit ex ductu ag in 3, in 10. Cum igitur uolueris scire quantum est ag qui est dies quos seruiuit, tunc id quod fit ex ductu ag in 2 pone commune. Id igitur quod fit ex ductu ag in 3 et in 2 minus est eo quod fit ex ductu ag et gb in 2, in 10. Id autem quod fit ex ductu ag in 3 et in 2 equum est ei quod fit ex ductu eiusdem in 5, et id quod fit ex ductu ag et bg in 2 equum est ei quod fit ex ductu ab in 2. Igitur id quod fit ex ductu ab in 2, quod est 60, superat id quod fit ex ductu ag in 5 in 10. Id igitur quod fit ex ductu ag in 5 est 50. Igitur ag est 10, et tot dies seruiuit. Cum autem uolueris scire quantum non seruiuit, id quod fit ex ductu eius quod non seruiuit quod est bg in 3, pone commune, et prosequere cetera sicut supradocuimus et exibit quod uoluisti. Fig.77: A, fol.178 v m.s..

Cetera autem huiusmodi considera secundum hoc, et inuenies ita esse. 20

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Scias quod cum questiones huius capituli uolueris adaptare questionibus precedentis capituli, oportebit ut ita fit sic. Verbi gratia. Si quis querat: «Conducitur aliquis per 20 dies accepturus pro unoquoque die quo seruit 2 nummos, et pro unoquoque quo non seruerit persoluiturus nummum et dimidium». Partim autem seruit et partim non, nec accipit aliud nec persoluit. Constat quod conductus per diem pro duobus nummis si non seruerit persoluet nummum et dimidium. Quasi ergo acceperit 2 nummos per diem, si seruerit retinebit eos. Sin autem conducetur alius pro eo pro 3 nummis et dimidio, quos ipse persoluet scilicet 2, quos receperat et nummum et dimidium quem persoluere debebat. Cum igitur alius conducitur pro eo pro 3 nummis et dimidio, tunc si nullo 20 dierum seruit conducetur alius pro eo per 20 dies pro 70 nummis. Si autem seruiret cunctis 20 diebus, haberent 40 nummos secundum quod conducitur unaquaque die pro duobus nummis. Quasi ergo dicatur: «Conducitur aliquis per 20 dies pro 40 nummis, si per omnes illos seruerit. Si autem nullo illorum seruerit, conducetur alius pro eo pro 70 nummis. Partim autem seruiuit et partim non nec accepit aliud nec persoluit». Fac ergo sicut supraostensum est et exibit quod uolueris. Similiter etiam si dicatur exire cum lucro unius nummi uel dampno unius nummi, fac sicut predictum est et exibit quod uoluisti1. ____________________ 1 Item de eodem [p. 310, l. 2] – uoluisti A: om. D P

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Item de eodem aliter1. Si 3 operarii conducantur, quorum unus per 30 dies pro 3 nummis, secundus uero per 30 dies pro 5 nummis, tercius uero per 30 dies pro 6 numeris (sic)2. Ipsi uero 3 inter se complent mensem 1, et accipiunt equalia precia, tunc quantum seruiuit unusquisque eorum? Sic facies. Diuide 30 dies per 3 ut scias quot dies debeat seruire pro uno nummo, scilicet 10. Deinde diuide3 etiam 30 dies per 6 et per4 5 ut scias quot dies seruire debeat pro unoquoque eorum, et exibunt 5 dies pro unoquoque 6 nummorum et 6 dies pro unoquoque 5 nummorum. Quasi ergo dicatur: «3 participes unius quorum capitale est 10, secundi uero 6, tertii uero 5, negotiando lucrati sunt 30, quomodo diuident eos inter se secundum capitale cuiusque?» Fac sicut predocuimus, et capitali quod est 10 prouenient 14 et due septime, et tot dies seruit ille qui per mensem conducitur pro 3 nummis. Capitali uero quod est 6 proueniunt 7 et septima, et tot dies seruit ille qui per mensem conducitur pro quinque. Capitali uero quod est quinque proueniunt octo et quatuor septime, et tot dies seruiuit ille qui5 pro 6 nummis conducitur per mensem. Si autem uolueris experiri quomodo equalia precia acceperunt, dices: «Si quis conducitur per mensem pro 3 nummis, seruit autem 14 dies et duas septimas diei, quantum est pretium eius?» Facies sicut predocui, et exibit unus nummus et tres septime, et hoc est pretium seruientis 14 dies et duas septimas diei. Deinde dices: «Conductus per mensem pro 5 nummis seruiuit autem6 8 dies et quatuor septimas diei, quantum debet7 ei?» Facies sicut predocui et exibit quod debetur ei scilicet nummus et tres septime. Deinde dices: «Conductus per mensem pro 6 nummis seruiuit autem 7 dies et septimam diei, quantum debetur ei?» Fac sicut supradocui et exibit quod debetur ei scilicet nummus et tres septime. Manifestum est igitur quod equaliter acceperunt. Vel aliter. Inquire numerum qui diuidatur per 3 et per 5 et per 6, et inuenies 60. Quos diuide per 3, et exibunt 20. Deinde diuide per 5, et exibunt 12. Diuide etiam per 6 et exibunt 10. Postea propones ita tres participes capitale unius 20, alterius 12, tertii uero 10 negotiando lucrati sunt 30 nummos quomodo diuident eos secundum capitale cuiusque. Fac sicut supradocui, et exibit quod uolueris. Vel aliter. Id quod seruiuit de mense conductus pro 3 nummis sit 1 res, quod autem seruiuit conductus pro 6 sit dimidia res. Nam 3 medietas sunt de 6 8. Quod uero9 seruiuit conductus pro 5 sit tres quinte rei. Deinde agrega ipsas res et fient 2 res et decima rei, que adequantur ad 30. Res igitur equatur ad 14 et duas septimas, et tantum seruit conductus pro 3. Conductus uero pro 6 seruit dimidium, scilicet 7 dies et septimam diei. Conductus uero pro 5 seruit tres quintas de 14 et duabus

____________________ 1 Item de eodem aliter A: om. D 2 numeris false A D in nummis corrigendum 3 deinde 4 per A: om. D 5 per mensem [l. 14] – ille qui A: om. D diuide A D2: diuide deinde D1 9 uero A2 D: ergo A1 6 autem A: ad D 7 debet A: debent D 8 6 A D2: tres D1

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septimis, que sunt 8 et quatuor septime. Pretium autem uniuscuiusque eorum pro eo quod seruiuit est 1 nummus et quatuor decime et due septime unius decime, que sunt tres septime. Vel aliter. Pone precium eius quod unusquisque seruiuit unam rem. Equale enim pretium habuerunt. Deinde considera conductus pro 3, quantum debebat1 seruire de mense pro re? Quasi ergo dicas: «Cum 30 pro tribus, tunc quantum habebo pro una re?», et inuenies 10 res. Deinde considera conductus pro 6, quantum debebat seruire de mense pro re, et inuenies 5 res. Considera etiam quantum de mense seruire debet pro re conductus pro 5, et inuenies 6 res. Totum igitur quod omnes seruierunt est 21 res, que adequantur ad 30. Res igitur adequatur uni et tribus septimis que est precium eius, quod quisque de mense seruiuit. Cum autem uolueris scire quantum de mense unusquisque eorum seruiuit2, iam autem nosti precium uniuscuiusque eorum. Dices: «Postquam 30 pro 3 nummis, tunc quantum habebo pro 13 nummo et tribus septimis?» Fac sicut supradocui in capitulo de emendo et uendendo, et exibunt 14 dies et due septime diei, et tantum seruiuit de mense, conductus pro 3 nummis. Deinde dices: «Postquam 30 dies pro 5 nummis, tunc quantum debebo pro nummo et tribus septimis?» Fac sicut supradocui et exibunt 8 dies et quatuor septime diei. Et tantum seruiuit de mense conductus pro 5. Similiter facies de 6, et exibit quantum seruiuit de mense conductus pro 6 scilicet 7 dies et septima diei, et hoc est quod scire uoluisti4. A

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Si quis querat: «Conducuntur 3 operarii per mensem, primus pro 4 nummis, secundus pro 6, tertius pro 12, inter se autem compleuerunt mensem et nullus eorum per se, et exierunt cum equali pretio, tunc quantum de mense seruiuit unusquisque?» Sic facies. Quere numerum minorem quem omnes isti numeri numerant et inuenies 12, quem diuide per 12 et exibit 1, et diuide per 6 et exibunt 2, et diuide per 4 et exibunt 3. Agrega autem 1 et 2 et 3 et fient 6, quos pone prelatum. Cum igitur uolueris scire quot dies seruiuit conductus pro 12, multiplica 1, qui exiuit de diuisione 12 per se, in 30, et productum diuide per prelatum, et exibunt 5, et tot dies seruiuit conductus pro 12. Cum autem uolueris scire quot dies seruiuit conductus pro 6, multiplica 2, qui exierunt ex diuidendo 12 per 6, in 30, et productum diuide per prelatum et exibunt 10, et tot dies seruiuit conductus pro 6. Cum autem uolueris scire quot dies seruiuit conductus pro 4, multiplica 3 in 30, et productum diuide per prelatum et exibunt 15, et tot dies seruiuit conductus pro 4. ____________________ 1 debebat A: debeat D 2 Cum autem – seruiuit addidi cum D: om. A 4 Item de eodem [p. 313, l. 2] – uoluisti A D: om. P

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Cum autem uolueris scire cum quanto pretio exiuit unusquisque eorum, diuide 12 per prelatum et exibunt 2, et tantum accepit unusquisque eorum pro eo quod seruiuit. Horum autem omnium probatio est hec. Sint 30 dies ab, 4 uero nummi ql. Id autem quod seruiuit conductus pro 6 gd, 12 uero mn. Quod autem seruiuit conductus pro 12 db. Constat igitur quod comparatio de ag ad ab est sicut comparatio precii uniuscuiusque eorum ad ql. Comparatio autem de gd ad ab est sicut comparatio pretii1 quod habuerit quisque eorum ad lm. Similiter etiam comparatio de db ad ab est sicut comparatio pretii quod habuerit quisque eorum ad mn. Igitur postquam comparatio de ag ad ab est sicut comparatio pretii cuiusque eorum ad ql, tunc id quod fit ex ductu ql in ag equum est ei quod fit ex ductu pretii in ab. Si igitur multiplices ql in ag et productum diuiseris per ab, exibit pretium. Similiter etiam si multiplices lm in gd et productum diuiseris per ab exibit idem pretium. Similiter etiam si multiplices mn in db et productum diuiseris per ab, exibit idem pretium. Sequitur ergo ex hoc nec ut id quod fit ex ductu ag in ql sit equum ei quod fit ex ductu gd in lm2, et ei quod fit ex ductu db in mn. Postquam autem ita est, tunc comparatio de ql ad lm est sicut comparatio de gd ad ag. Comparatio autem de lm ad mn est sicut comparatio de db ad gd. Deinde inquiram 3 numeros, ex quorum primi ducti in ql id quod fit sit equum ei quod fit ex ductu secundi eorum in lm, et ei quod fit ex ductu tertii in mn. Videlicet accipe quemlibet numerum et diuide eum per ql et exeat hz, et diuidatur per lm et exeat zk et diuidat (sic)3 per mn et exeat kt. Id igitur quod fit ex ductu hz in ql erit numerus ille, et id quod fit ex ductu zk in lm est numerus ille, et id quod fit ex ductu mn4 in kt est etiam numerus ille. Id igitur quod fit ex ductu hz in ql equum est ei quod fit ex ductu zk in lm, et ei quod fit ex ductu kt in mn. Comparatio igitur de zk ad kt est sicut comparatio de mn ad ml. Comparatio autem de mn5 ad ml est sicut comparatio de gd ad db. Igitur comparatio de gd ad db est sicut comparatio de zk ad kt. Similiter etiam monstratum est quod comparatio de hz ad zk est sicut comparatio de ag ad gd. Ideo autem quesiuimus minorem numerum quem numerarent 4, 6 et 12, ut de diuisione integri numeri tantum exirent sine fractione. Nam sic facilius fit. Si autem alium numerum preter 12 inueniremus bene similiter esset. Accipiamus igitur alium numerum preter 12 scilicet 60 qui sit c†…†6. Igitur hz erit 15 et zk erit 10 et kt erit 5. Totus autem ht erit 30. Iam autem ostendimus quod comparatio de zh ad zk est sicut comparatio de ag ad totum ab. Cum igitur multiplicaueris hz in ab et productum diuiseris per ht, exibit ag. Similiter etiam ostendetur quod comparatio de zk ad ht est sicut comparatio de gd ad ab. Cum igitur multiplicaueris zk in ab et productum diuiseris per ht, exibit gd. Similiter etiam ostendetur quod comparatio de kt ad ht est sicut comparatio de db ad ab. Cum igitur multiplicaueris kt in ab et productum diuiseris per ht, exibit db 5 et gd 10 et ag 15. Si autem alium numerum preter 60 posuisses similiter faceres sicut predictum est, et exiret quod uelles. ____________________ 1 post pretii exp. uniuscuiusque eorum A2 diuidatur corrigendum 4 mn A2: mm A1

2 lm A2: m A1 uid. 5 mn A2: mm A1

3 diuidat false A in 6 ?A

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Dico etiam quod si diuiseris numerum quem inueneris per agregatum ex eis que exeunt ex omnibus diuisionibus exibit pretium uniuscuiusque. Sit igitur numerus ille 60, et tunc agregatum ex hiis que exeunt de diuisionibus erit 30. Dico igitur quod cum diuiseris 60 per 30 exibunt 2, et hoc est quod accipit unusquisque eorum. Cuius probatio hec est. Scimus enim quod comparatio unius numerorum exeuntium ex 60 diuisis per aliquot preciorum simul ad omnia precia est sicut comparatio pretii cum quo exit unusquisque, ad precium per quod diuiduntur 60. Quod sic probatur. Vnus igitur illorum numerorum sit zk, et tunc comparatio de zk ad ht erit sicut comparatio de gd ad ab. Comparatio autem de gd ad ab est sicut comparatio pretii ad lm. Igitur comparatio pretii ad lm est sicut comparatio de zk ad ht. Id igitur quod fit ex ductu zk in lm equum1 est ei quod fit ex ductu pretii in ht. Id autem quod fit ex ductu zk in lm est 60. Si igitur diuiseris 60 per ht, exibit pretium et hoc est quod demonstrare uoluimus2.

Fig.78: A, fol.179 v m.s..

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Item de eodem3. Si quis dicat4: «Cum 3 operarii conducuntur unus per mensem pro 6 nummis, alius pro quinque, tercius pro tribus, complent autem mensem inter se, et conductus pro 6 nummis accipit pretium maius pretio conducti pro 5 uno nummo, conductus uero pro 5 accipit precium maius precio conducti pro tribus uno nummo, tunc quot dies seruit unusquisque eorum?» Sic facies5. Diuide 30 dies mensis per6 6 nummos ut scias quot dies seruire debet pro unoquoque nummo, et exibunt 5 dies. Quos duplica et fient 10 et tot dies seruire debet pro 2 nummis. Deinde diuide 30 dies per 3 et per 5, ut scias quot dies seruire debet pro unoquoque nummo, et ex diuisione facta per 5 exibunt 6 dies. Ex ea uero que fit per 3 exibunt 10 dies. Supradictum est autem quod pretium conducti pro 6 maius est precio conducti pro 5 uno nummo. Precium uero conducti pro 5 maius est pretio conducti pro 3 uno nummo. Sequitur ergo ut pretium conducti pro 6 sit maius precio conducti pro 3 duobus nummis. Supradictum est etiam quod

____________________ 1 equum A2: equorum A1 2 uoluimus add. A m.d. Si quis querat [p. 314, l. 24] – uoluimus A: om. D P 3 Item de eodem A: om. D 4 Si quis dicat A: om. D 5 facies add. A m.d. 6 per A2 D: pro A1

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pro hiis1 2 nummis debet 102 dies. Pro nummo autem quo conductus secundus iuncit tercium debet 6 dies. 10 ergo dies et 6 dies de mense seruierunt conductus pro 6 et conductus pro 5, et residuum mensis debent seruire inter se, et accipere pretium equale. Minue ergo hos 16 dies de 30 diebus et remanebunt 14. Et totidem dies seruierunt inter se 3 conducti, et acceperunt equale precium. Quasi ergo dicatur: «3 operarii conducuntur per mensem unus pro 6 nummis, alter pro 5, tertius pro 3. Seruierunt autem inter se 14 dies et acceperunt equale pretium, tunc quantum seruiuit unusquisque eorum?» Fac sicut ostensum est in eo quod precessit. Videlicet diuide 30 per 6 et per 5 et per 3 et producta ex illis agrega et agregatum, scilicet 21, pone prelatum. Deinde multiplica 5 prouenientes ex diuisione facta per 6 in 14 et producum diuide per prelatum, et exibunt 3 et tercia, et tot dies de predictis 14 seruiuit conductus pro 6. Deinde tribus diebus et tercie agrega 10 dies supradictos et fient 13 et tercia, et tantum seruiuit de 30 diebus conductus pro 6. Deinde facies hic sicut supradocui et prouenient3 4 dies quos seruiuit de 14 conductus pro 5 nummis. Quos 4 agrega 6 diebus predictis et fient 10, et totidem dies seruiuit de mense. Quod autem seruiuit de 14 conductus pro 3 est 6 dies et due tercie diei, et totidem etiam dies seruiuit de mense. Vel aliter. Id quod seruiuit conductus pro 6 nummis pone rem, quod ergo seruiuit conductus pro 5 erit res et quinta rei minus 6 diebus. Nam pretium eius quod seruit4 conductus per mensem pro 6 nummis nisi esset maius 1 nummo pretio eius quod seruit conductus pro 5, tunc tot essent dies quos seruit conductus pro 5 quot sunt dies quos seruit conductus pro 6 et insuper quinta eorum? Si ergo ponimus rem dies quos seruiuit5 conductus pro 6, tunc dies quos seruiuit6 conductus pro 5 sunt res et quinta rei, et est eorum pretium equale. Scimus autem quod pretium eius quod seruit de mense conductus pro 6 maius est uno nummo, pretio eius quod seruit de mense conductus pro 5. Sequitur ergo ut id quod seruit de mense conductus pro 5 sit res et quinta rei minus 6 diebus. Nam pro nummo quo pretium unius excedit pretium alterius conuenerit7 ut conductus pro 5 seruiat 6 dies et ita tunc adequabuntur pretia eorum que de mense seruiuit uterque. Hoc etiam modo ostendetur, quia id quod seruiuit de mense conductus pro 3 nummis est 2 res minus 20 diebus. Totum igitur quod omnes seruierunt est 4 res et quinta rei minus 26 diebus que adequantur 30 diebus. Fac ergo sicut premonstratum est in algebra8 et erit res 13 et tercia, et tantum seruiuit conductus pro 6. Conductus uero pro 5 seruit tantumdem et quintam eius minus 6 diebus, quod est 10 dies, tertius uero seruit duplum eius minus 20 dies, quod est 6 dies et due tercie diei. Conductus autem pro 6 habebit pro pretio 13 dierum et tercie 2 nummos et duas tercias nummi. Conductus uero pro 5 pro diebus quos seruiuit habebit nummum et duas tercias. Conductus uero pro 3 habebit duas tercias nummi. ____________________ 1 pro hiis A: has pro D 2 10 A1uid. D: 6 A2 3 prouenient A: proueniet D 4 seruit A: seruiuit D 5 seruiuit A: seruit D 6 seruiuit A: seruit D 7 conuenerit A: conuenit D 8 algebra A: agebla D

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Vel aliter. Id quod seruiuit conductus pro 6 pone dimidiam rem. Id autem seruiuit conductus pro 5 sit tres quinte rei minus 6 diebus. Quod uero seruiuit conductus pro 3 sit res minus 20 diebus. Agrega autem quicquid seruierunt et erit 2 res et decima rei minus 26 diebus, que adequantur 30 diebus. Fac ergo sicut premontratum est in algebra1, et erit res 26 et due tercie et tantum seruiuit minus 20 diebus conductus pro 3 nummis, quod est 6 dies et due tercie diei. Conductus uero pro 5 seruiuit tres quintas eorum minus 6 diebus, que sunt 10 dies. Conductus uero pro 6 seruiuit dimidium eorum quod est 13 dies et tercia diei. Vel aliter. Pretium eius quod seruiuit de mense conductus pro 3 pone rem. Pretium autem eius quod seruiuit conductus pro 52 erit res3 et 1 nummus. Precium uero eius quod seruiuit conductus pro 6 erit una res et 2 nummi. Deinde considera conductus pro 6 quantum debet seruire de mense pro re et 2 nummis, et inuenies quod 5 res et 10 dies. Considera etiam conductus pro 5 quantum debet seruire de mense pro re et nummo, et inuenies 6 res et 6 dies. Deinde considera conductus pro 3 quantum debet seruire de mense pro re, et inuenies 10 res. Totum igitur quod 3 operarii seruierunt est 21 res et 16 dies, que adequantur 30 diebus. Fac ergo sicut premonstratum est in algebra4 et exibit precium eius quod seruiuit conductus pro 3 nummis scilicet due tercie nummi. Precium uero eius quod seruiuit conductus pro 5 erit nummus et due tercie nummi. Pretium uero tertii 2 nummi et due tercie. Si ergo uolueris scire quantum unusquisque eorum de mense seruiuit, dices: «Conductus operarius per mensem pro 6 nummis quantum seruiet de mense pro duobus nummis et duabus terciis nummi?» Sic facies. Multiplica 2 nummos et duas tercias in 30, et productum diuide per 6, et exibunt 13 et tercia, et tantum seruiuit de mense conductus pro 6. Deinde dices: «Conductus per mensem pro 5 nummis, quantum seruiet de mense pro nummo et duabus terciis?» Multiplica nummum etduas tercias in 30 et productum diuide per 5, et exibunt 10, et tantum seruiuit de mense conductus pro 5. Postea etiam dices: «Conductus per mensem pro 3 nummis quantum seruiet de mense pro duabus terciis nummi?» Multiplica duas tercias in 30 et productum diuide per 3, et exibunt 6 dies et due tercie diei5, et tantum seruiuit de mense conductus pro 3 nummis, et hoc est quod inuenire uoluimus6. [Si quis dicat: «Conducuntur 3 operarii»]7.

____________________ 1 algebra A: agebla D 2 5 A2 D: 6 A1 3 res A: tres D 4 algebra A: agebla D 5 diei A: die D 6 Item de eodem [p. 316, l. 15] – uoluimus A D: om. P 7 emendaui si quis dicat: «Conducuntur 3 operarii» quod fallaciter post uoluimus addidit A

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Capitulum de uarietate mercedis operariorum. Si quis querat: «10 operarii conducuntur, sed unus eorum accipit minus ceteris scilicet 3 nummos. Quidam uero ex illis accipit eis2 per mensem, sed unus eorum pro re, secundus uero pro dimidia re, tertius uero pro tercia rei parte, qui inter se compleuerunt mensem, sed nullus eorum per se et unusquisque eorum exiuit cum duobus nummis, tunc quantum ualet res et quantum seruiuit unusquisque eorum?» Sic facies. Scimus enim quod cum diuiseris quemlibet numerum per rem et dimidium rei et per tertiam rei, et exeuntia agregata multiplicaueris in 2, prouenient numerus ille quem diuisisti. Sit igitur numerus ille res. Cum igitur diuiseris rem per rem exibit 1, et cum diuiseris rem per dimidiam rei exibunt4 2, cum autem per terciam rei exibunt 3 res. Que exeuntia de diuisionibus, cum agregaueris, fient 6. Quos multiplicaueris in 2, qui sunt pretium cum quo exit unusquisque operariorum, fient 12 qui sunt res. Deinde prosequere cetera questionis sicut supradocuimus, et exibit id quod uoluisti6.

Capitulum de uarietate mercedis operariorum1. Si quis querat: «10 operarii conducuntur, sed unus eorum accipit minus ceteris scilicet 3 nummos. Quidam uero ex illis accipit plus ceteris scilicet 21, et superant se equali differentia3, tunc quanta est differentia inter omnes et quot sunt nummi?»

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____________________

Sic facies ad sciendum quot sunt omnes nummi. Agrega pretium minoris quod est 3 ad pretium maioris quod est 21, et fient 24. Quos multiplica in dimidium hominum scilicet 5, et prouenient 120, et tot sunt omnes nummi. Cum autem uolueris scire differentiam mercedis cuiusque, sic facies. De pretio maioris quod est 21 minue pretium minoris quod est 3, et remanebunt 18. Quos diuide per numerum hominum minus uno semper sicut hic per 9, et exibunt 2 et hoc numero se superant. Quod sic probatur. Manifestum est enim5 quod precium primi et ultimi simul equale est pretio secundi et noni simul, et quod precium secundi et noni simul equale est precio tercii et octaui simul7, et quod pretium tertii et octaui equale est pretio quarti et septimi. Et horum pretium equale est pretio quinti et sexti, et ita pretia quorumcumque duorum simul equale est pretio aliorum duorum sibi oppositorum8.

1 Capitulum [l. 2b] – operariorum A: om. D add. operariorum precia ignota quoniam ? D 3 et superant se equali differentia A: om. D 4 exibunt al.man. 2 eis add. A2 s.l. 5 enim A: om. D 6 Capitulum [l. 2a] – uoluisti A: om. D P 7 et A2: exibit A1 quod precium [l. 32b] – simul addidi cum D: om. A 8 Capitulum [l. 2b] – oppositorum A D: om. P

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Protraham de puncto g lineam equistantem (sic) linee ab que sit linea gi. De puncto uero ql protraham lineam equistantem linee gi, que sit linea qr. De puncto uero n protraham lineam equistantem linee qr, que sit linea ne. Igitur linea tg equalis est linee bi, sicut euclides testatur in primo libro, dicens: «Cum fuerint due superficies ex lineis equistantibus, opposita latera erunt equalia». Scis autem lineam tg esse precium primi. Igitur linea bl est precium eiusdem. Linea etiam zg equalis est linee br. Et linea ln equalis est linee be. Manifestum est igitur quod linea gt et bk equalis est linee zq et fo. Nam linea fo equalis est linee bc. Et linea tg equalis est linee zq. Linea uero pq equalis est linee ck. Nam differentia que se superant equalis est. Igitur linea bc et tg, addita sibi linea ck, equalis est linee fo et zp, addita sibi linea pq. Manifestum est igitur quod linea tg et bk equalis est linee zq et fo. Secundum hoc omne monstrabitur quod linea fo et zq equalis est linee dh et ln. Nam linea etiam dh equalis est linee fs. Et linea zq equalis est linee hc. Et linea zn equalis est linee so. Igitur linea fs et zq, addita sibi linea so, equalis est linee dh et hc, addita sibi linea xn. Secundum hoc etiam monstrabitur quod precium quorumlibet duorum reliquorum equale est precium aliorum duorum oppositorum. Manifestum est igitur quod duo precia aliorum duorum equalia sunt preciis aliorum oppositorum duorum1. AD Si igitur agregaueris pretium primi cum pretio ultimi, proueniet pretium duorum. Si uero multiplicaueris in numerum hominum proueniet duplum pretii omnium hominum. Vnde si multiplicaueris in dimidium hominum, proueniet precium hominum2.

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D Probatio autem regule de inueniendi differentia hec est. Tu scis quod precium ultimi est uiginti unum et precium primi est tres qui neminem superat, sed superatur a secundo et superatur a tercio 3 dupplo eius quo superatur a secundo et superatur a quarto in tripplo, a quinto uero in quadrupplo, sed a sexto in quintuplo, a septimo in sexcuplo, ab octauo in septemcuplo, a nono autem in octuplo. Decimus ergo est tantum quantum primus et nouies tantum quantum est differentia. Et iccirco minues primum de ultimo ut remaneant omnes differentie simul, et hoc quod remanet diuides per numerum hominum minus uno, et exit id quod est differentia eorum. Scis enim linea (sic)4 at. Precium uero eius est tg in quo nullum excedit. Scis etiam quod id in quo secundus superat est linea qp. Id uero in quo superat tercius ____________________ 1 Protraham [l. 2] – duorum addidi cum D: om. A P 2 Si igitur [l. 21] – hominum A D: om. P 3 in addidi 4 linea false D in lineam corrigendum

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est linea nm, quod est duplum ei in quo superat secundus. Nam linea mx est equalis linee pq. Linea etiam xn est equalis linee pq. Igitur linea nm duplum est differentie qua se excedunt, et linea n [sobu]1 tripla est eiusdem. Nam linea kf equalis est linee pq. Et linea fux equalis est linee xn. Linea uero xn equalis est linee qr, equalis est linee fux. Linea autem xso equalis est linee qr. Igitur tripla est differentie. Per hoc etiam monstrabitur quod linea ik nocupla (sic) est differentie, que est qr. Si igitur diuiseris linea (sic)2 ik, que est nocupla differentie, per nouem, exibit differentia qua unus excedit alium, et hoc est quod monstrare uoluimus3. AD

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Item de eodem. Si quis querat: «10 operarii conducuntur, quorum primus pro 3 nummis sed pretium uniuscuiusque excedit pretium alterius binario, tunc quantum est pretium ultimi, et quantum est pretium omnium simul?» Sic facies. De numero operariorum semper minue 1, et remanebunt sicut4 9, quos multiplica in differentiam et prouenient 18. Quibus adde pretium5 quod est 3, et fient 21, et hoc est pretium ultimi. Si autem uolueris scire pretium omnium, fac sicut supradocui, scilicet agrega pretium primi cum pretio ultimi et agregatum multiplica in dimidium operariorum, quod est 5, sicut in precedenti ostendimus. Causa autem inueniendi pretium ultimi hec est. Iam enim ostendimus in precedenti questione quod cum uolueris scire id in quo unus operariorum superat alium, minue pretium primi de pretio ultimi, et quod remanserit diuide per numerum operariorum minus 1, et exibit differentia quam habet unus super alium. Sequitur igitur ex hoc quod si multiplicaueris differentiam que est 2 in numerum operariorum minus 1 nummo, proueniet precium maioris, subtracto de eo pretio minoris. Vnde si addideris ei quod prouenerit pretium minoris, id quod fiet erit pretium maioris. Vel aliter. Pone pretium maioris rem. Igitur minue de ea pretium minoris, et remanebit res minus 3, que est pretium maioris, subtracto de eo pretio minoris. Si igitur diuiseris rem minus 3 per numerum operariorum minus 1, exibit differentia. Sequitur ergo ut ex ductu differentie in numerum operariorum minus 1, id quod fit6 sit equum ei rei minus 3 nummis. Multiplica igitur differentiam in 9, et prouenient 18, que sunt equalia rei minus 3 nummis. Fac ergo sicut predocui in algebra7 et erit pretium rei 21, qui8 sunt pretium maioris. Cognito autem pretio maioris, si uolueris scire summam pretii omnium operariorum, facies sicut predocui, et exibit quod uoluisti.

____________________ 1 emendaui sobu D 2 linea false D in lineam corrigendum 3 Probatio autem [p. 320, l. 26] – uoluimus addidi cum D: om. A P 4 post sicut add. hic D 5 post pretium add. 7 algebra A: agebla D 8 qui A: que D primi D 6 fit A D2: fuit D1

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Item de eodem1. Si quis querat: «Conducuntur 10 operarii pro 120 nummis, superant se autem binario, tunc quantum est pretium primi et ultimi?» Sic facies. Diuide 120 per dimidium operariorum et fient 24, et tantum sunt primus et ultimus agregati. Deinde minue 1 de operariis et remanebunt 9, quos multiplica in differentiam, et prouenient 18. Quos minue de 24 et remanebunt 6, qui sunt duplum primi. Horum igitur medietas, scilicet 3, est pretium primi. Si autem uolueris scire pretium ultimi, adde 3 ad 18, et fient 21, et hoc est pretium ultimi. Quod sic probatur. Manifestum est enim2 ex premissis quod si multiplicaueris agregatum ex primo et ultimo in dimidium hominum proueniet summa pretii omnium. Ergo3 si diuiseris 120, qui sunt totum pretium omnium, per dimidium operariorum exibunt 24, qui sunt pretia primi et ultimi agregata. Et manifestum est etiam quod si minueris pretium primi de pretio ultimi, et quod remanet4 diuiseris per numerum hominum minus 1, exibit differentia qua se superant. Ergo si multiplicaueris differentiam5 in numerum hominum minus 1, proueniet pretium ultimi minus pretio primi. Ergo si minueris de 24 productum ex ductu differentie in numerum hominum minus 1, remanebit duplum pretii primi. Dimidium igitur6 eius est pretium primi, et hoc est quod scire uoluimus7. Vel aliter. Pone precium primi rem. Deinde semper 8 unum de numero operariorum propter id quod supradiximus, et remanebunt 9. Quos multiplica in differentiam, que est 2, et prouenient 18. Quibus adde precium primi quod est res, et fient decem et octo et res que sunt precium ultimi9. Quibus adde pretium primi et fient 18 et 2 res. Quos multiplica in dimidium operariorum et fient 90 nummi et 10 res, que adequantur10 120 nummis. De quibus 120 minue 90, et remanebunt 30, que adequantur 10 rebus. Res igitur adequatur tribus, qui sunt pretium primi. Item de eodem11. Si quis querat: «Cum conducuntur 10 operarii, sed ultimus pro 21, et excedunt se binario, tunc quantum est pretium primi et quantum est pretium omnium?» Sic facies. Multiplica differentiam in numerum hominum minus 1, scilicet 2 in 9, et fient 18. Quos minue de 21, et remanebunt 3, qui sunt pretium primi. Si autem uolueris scire pretium omnium, adde pretio primi precium ultimi, et ____________________ 1 Item de eodem A: om. D 2 enim A: om. D 3 post ergo add. quod D 4 post 5 differentiam A: differentia D 6 igitur A: ergo D 7 post remanet exp. de nu D2 uoluimus add. est precium maioris linea uero bos est precium minoris. Igitur linea osk est precium primi et ultimi agregatorum que est uiginti quatuor. Scimus autem lineam ik nocuplam (nocupllam D1) esse differentie que est decem et octo. Hoc autem monstrabitur per precedentem figuram. Scilicet protrahe lineam de puncto b equalem linee tg, que sit linea bos. Scis autem lineam bi equalem esse linee tg. Manifestum est igitur quod linea osi dupla linea quaque osk est uiginti quatuor. Igitur linea osi est sex que est dupla linee tg. Igitur tg est tres, et hoc est precium primi D 8 minue addidi 9 Quibus adde [l. 22] – ultimi addidi cum D: om. A 10 adequantur A: adequatur D 11 Item de eodem A: om. D

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agregatum multiplica in dimidium operariorum, et quod prouenerit est id quod scire uoluisti.

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Item de eodem1. Si quis querat: «Cum 10 operarii conducuntur pro 120 nummis, sed primus pro 3, et superant se equali diffrentia, tunc quantum est pretium ultimi, et que est differentia illorum?» Sic facies. Diuide 120 per dimidium operariorum, et exibunt 24. De quibus minue pretium primi quod est 3, et remanebit pretium ultimi quod est 21. Si autem uolueris scire differentiam qua se excedunt, minue 3 de 21, et quod remanet diuide per numerum operariorum minus 1. Cuius rei causa hec est. Scimus enim quod pretium omnium quod est 120 prouenit ex agregatione pretii primi cum pretio ultimi, et agregati multiplicatione in dimidium operariorum. Si igitur diuiseris pretium omnium per dimidium operariorum, exibit pretium primi et ultimi simul agregata. De quo minue precium primi, et remanebit pretium ultimi. Vel aliter. Pone rem pretium ultimi. Cui adde pretium primi quod est 3 nummi, et erit res et 3 nummi. Que multiplica in dimidium operariorum, que est 5, et prouenient 5 res et 15 nummi, que adequantur 120 nummis. De quibus 120 minue 15 nummos, et remanebunt 105, que adequantur 5 rebus. Res igitur equatur 21, qui sunt pretium ultimi. Similiter etiam si dixerit pretium omnium esse 120, sed pretium ultimi esse 21, tunc quantum est pretium primi? Diuide 120 per dimidium operariorum, et de eo quod exit minue pretium ultimi, et id quod remanet est pretium primi. Item de eodem aliter2. Si quis querat: «Conducuntur operarii nescio quot, sed primus pro 3 et ultimus pro 21, et excedunt se duobus, tunc quot sunt operarii?» Sic facies. Minue pretium primi de pretio ultimi, et quod remanet diuide per differentiam que est 2, et ei quod exit semper adde 1, et quod3 fuerit erit numerus operariorum. Causa autem huius hec est. Scimus enim quod cum uis scire differentiam aliquorum operariorum notorum, minuis4 pretium primi de pretio ultimi, et quod remanet diuidis per numerum operariorum minus 1, et quod exit est differentia. Sequitur igitur ut id quod fit ex ductu numeri operariorum minus 1 in differentiam sit pretium ultimi, sed subtracto de eo pretio5 primi. Si igitur diuiseris pretium ultimi minus pretio primi per differentiam, exibit numerus operariorum minus 1. Cui adde 1, et fit numerus operariorum. Vel aliter. Pone operarios rem, de qua minue 1 et remanebit res minus 1, quam multiplica in differentiam que est 2, et prouenient 2 res minus 2 nummis. Quibus adde pretium primi quod est 3, et fient 2 res et nummus que sunt pretium ____________________ 1 Item de eodem A: om. D 4 minuis A2: minus D ? A1

2 Item de eodem aliter A: om. D 5 pretio A: precii D

3 quod A: quid D

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ultimi et equantur ad 21 qui sunt pretium ultimi. Fac ergo sicut 1 ostensum est in algebra2, et res erit 10, et tot sunt operarii.

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Item de eodem3. Si quis querat: «Operarii nescio quot conducuntur omnes pro 120. Sed primus pro 3, excedunt se autem 2, tunc quantum est pretium ultimi et quot sunt operarii?» Sic facies4. A

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Et prius ad sciendum pretium ultimi. Scimus enim quod de numero hominum subtracto 1, et quod remanet si multiplicaueris in differentiam qua se superant et summe addideris pretium primi siue minimi, proueniet pretium ultimi siue maximi. Ad sciendum uero numerum operariorum, sic facies. Sint operarii ab. Scimus autem quod de numero hominum subtracto 1 quod remanet si multiplicaueris in differentiam qua se superant et summe addideris pretium primi proueniet pretium ultimi. Sit igitur unus bg. Cum igitur multiplicaueris 2 in ag et producto addideris 3, proueniet pretium ultimi. Id autem quod fit ex ductu ab in 2 est duplum ab. Igitur duplum de ab minus 2 est id quod fit ex ductu differentie in numerum hominum minus 1. Duplum igitur de ab fit dz, 2 uero sint hz. Igitur dh est id quod fit ex ductu differentie in numerum hominum minus 1. Scimus autem quod cum pretium primi addideris ei quod fit ex ductu differentie in numerum hominum minus 1, fiet pretium maximi. Sit igitur pretium minimi hk. Totus igitur dk est pretium maximi et est duplum numero hominum et insuper 1. Scimus autem quod cum addideris pretio maximi pretium minimi et agregatum multiplicaueris in dimidium hominum, proueniet summa pretii omnium. Adde igitur ad dk 3, qui sunt kt, et tunc totus dt erit duplus numero hominum et insuper 4. Manifestum est igitur quod id quod fit ex ductu dt in dimidium ab est 120. Id autem quod fit ex ductu dt in dimidium ab est5 equum ei quod fit ex ductu dz in dimidium ab, equum6 est ei quod fit ex ductu ab in se. Nam dz duplus est ad ab. Id autem quod fit ex ductu zt in dimidium ab equum est ei quod fit ex ductu dimidii zt in ab. Id igitur quod fit ex ductu ab in se et in dimidium zt, quod est 2, est 120. Sint igitur 2 aq. Id igitur quod ex ductu aq in ab et ab in se equum est ei quod fit ex ductu totius qb in ab. Sed aq est 2. Igitur aq diuidatur per medium in puncto l, et perfice questionem secundum quod ostendimus, et exibit ab 10, qui est numerus hominum. Scias autem quod hec probatio sufficit tibi in omnibus consimilibus questionibus siue differentia sit equalis pretio minimi siue maior siue minor7.

____________________ 1 post sicut exp. supra A2 2 algebra A: agebla D 3 Item de eodem A: om. D 4 sic facies A: om. D Item de eodem [p. 321, l. 10] – facies A D: om. P 5 post est exp. 6 equum A2: equatur A1 uid. 7 Et prius [l. 9] – siue minor A: om. D P 120 A2

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Fig.79: A, fol.181 v m.s..

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Vel aliter1. Pone numerum operariorum rem, de qua minue 1, qui est operarius ille qui nullum alium excedit, et remanebit res minus 1. Quam multiplica in differentiam, et prouenient 2 res2 minus 2. Quibus adde precium primi quod est 3, et prouenient 2 res [minus 2]3 et 4 nummi, qui4 sunt pretium primi et ultimi agregatorum. Que multiplica in dimidium operariorum, quod est dimidia res, prouenient 1 census et 2 res que adequantur toti pretio operariorum quod est 120. Fac ergo sicut ostensum est in algebra5, et erit pretium rei 10, et tot sunt operarii6. A

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Si quis querat: «Cum conducuntur homines nescio quot, quorum ultimi pretium est 210 et superant se 2, summa autem pretii omnium est 120, tunc quantum est pretium primi, et quot sunt operarii?» Sic facies7. Sit numerus hominum ab. Scimus autem quod, subtracto 1 de ab, si id quod remanet multiplicaueris in differentiam et producto addideris pretium primi, fient 21. Multiplica igitur 2, qui sunt differentia, in numerum hominum minus 1, et productus sit gd. Igitur gd duplus est ab minus duobus. Sint igitur 2 dh. Igitur gh duplus est ab. Scimus autem quod cum ad gd addideris pretium minimi fiet 21. Igitur pretium minimi sit dz, qui est amplius quam 2. Non enim potest esse equale nec minus. Igitur gz est 21 qui sunt pretium maximi. Scimus autem quod cum agregaueris pretium primi cum pretio ultimi et agregatum multiplicaueris in dimidium hominum, proueniet summa pretii omnium. Sit8 autem pretium minimi zk. Id igitur quod fit ex ductu gk in dimidium ab est 120. Id igitur quod fit ex ductu gk in ab est 240. Scimus autem quod gh duplus est ad ab. Sed gz est 21. Igitur hz est 21 minus duplo ab. Sed dh est 2. Igitur dz est 23 minus duplo ab, et hoc est pretium minimi. Sed zk similiter est tantus. Totus igitur dh est 86 (sic)9 minus quadruplo ab. Scimus autem quod gd duplus est ad ab minus duobus. Igitur totus gk est 44 minus duplo ab. Scimus autem quod id10 quod fit ex ductu eius in ab est 240.

____________________ 1 Vel aliter A: om. D 2 post res exp. et quatuor numi D2 3 emendaui minus 2 quod fallaciter post res addidit A 4 qui A: que D 5 algebra A: agebla D 6 Vel aliter 7 facies add. A2 m.d. 8 sit A2: siti A1 [l. 2] – sunt operarii D: om. P: add. A2 m.s. 9 86 false A in 42 corrigendum 10 quod id iter. A

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Quod igitur fit ex ductu ab in 44 minus duplo eius est 240. Ex ductu igitur eius in 22 minus tanto quantus est ipse est 220. Sint igitur 22 al. Quod igitur fit ex ductu ab in bl est 120. Diuidatur autem al per medium in puncto n. Nam non potest esse aliter. Cuius probatio manifesta est. Quod igitur fit ex ductu ab in bl et nb in se equum erit ei quod fit ex ductu an in se. Quod autem fit ex ductu an in se est 121, et quod fit ex ductu ab in bl est 120. Igitur id quod fit ex ductu nb in se remanebit 1. Igitur nb est 1. Sed an est 11, igitur ab est 10, qui sunt numerus hominum, et hoc est quod demonstrare uoluimus1.

Fig.80: A, fol.181 v m.s.. 10

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AD Capitulum de conducendis uectoribus2. Si quis conducitur ad uehendum 12 sextarios 30 miliariis pro 60 nummis, portat autem 3 sextarios 10 miliariis, tunc quantum est pretium eius? Sic facies. Multiplica 12 sextarios in 30 miliaria, et prouenient 360, quos pone prelatum. Deinde multiplica 3 sextarios quo (sic)3 uexit in 10 miliaria, et productum multiplica in 60 nummos et productum diuide per prelatum et exibunt 5 nummi, et hoc est quod sibi debetur. Quod ideo fit quoniam scimus quod cum conducitur ad uehendum 12 sextarios 30 miliariis tale est ac si portaret sextarium unum 360 miliariis pro 60 nummis. Quod etiam ob hoc euenit quoniam comparatio unius sextarii ad 12 sextarios est sicut comparatio 30 miliariorum, quibus portauit 12 sextarios, ad miliaria, quibus portauit 1 sextarium. Constat autem quod comparatio unius ad 12 est dimidia sexta eius. Sequitur ergo ut 30 miliaria sint dimidia sexta miliariorum quibus portauit sextarium 1. Manifestum est igitur quod miliaria sunt 360. Id autem quod sibi debetur de pretio est 60 nummi. Constat etiam quod cum portauerit 3 sextarios 10 miliariis, debet portare 1 sextarium 30 miliariis. Manifestum est igitur quod comparatio 360 miliariorum ad suum pretium, quod est 60 nummi, est sicut comparatio 30 miliariorum ad suum pretium. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu primi in quartum equum est ei quod fit ex ductu secundi in tertium. Quod igitur fit ex 30 ductis in 60, si diuidatur per primum qui est 360, exibunt 5 nummi.

____________________ 1 uoluimus add. A2 m. d. Si quis querat [p. 325, l. 10] – uoluimus A: om. D P de conducendis uectoribus A: om. D 3 quo A: quod D

2 Capitulum

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Vel aliter. Denomina 3 sextarios de 12, scilicet quartam eorum. Quartam igitur de 60, que est 15, retine. Deinde denomina 10 miliaria de 30 miliariis scilicet eorum terciam. Tercia igitur de 15, que est 5, est id quod scire uoluisti. Cuius rei causa est quoniam scimus quod conductus si portaret 3 sextarios 30 miliariis, sicut debebat 12 portare, deberentur ei 15 nummi. Nam 3 sextarii quarta sunt de 12 sextariis. Debet igitur accipere quartam partem pretii. Manifestum est igitur quod cum 3 sextarios portauerit 10 miliariis, que sunt tercia de 30 miliariis, tunc debet accipere terciam 15 nummorum, que est 5 nummi. Vel aliter. Si uector portauerit 12 sextarios 30 miliariis pro 60 nummis, tunc pro unoquoque sextario portando 30 miliariis debentur ei 5 nummi. Quia enim portauit dimidiam sextam sextariorum, debetur ei dimidia sexta nummorum que est 5 nummi. Constat autem quod portare 1 sextarium 30 miliariis tale est quale est portare 3 sextarios 10 miliariis. Quod ex hoc ostenditur, quia postquam portauit 3 sextarios 10 miliariis, tunc unumquemque trium sextariorum portare 10 miliariis idem est quod portare unum sextarium 30 miliariis. Constat autem quod pro portando unoquoque 12 sextariorum 30 miliariis debentur ei 5 nummi. Pro portandis igitur 3 sextariis 10 miliariis debetur ei pretium 5 nummi. Vel aliter. Denomina 10 miliaria de 30 miliariis, scilicet tertiam. Tertiam igitur de 60 que est 20 accipe, et deinde denomina 3 sextarios de 12, scilicet quartam eorum. Quarta igitur de 20, que est 5, est id quod scire uoluisti. Vel multiplica quartam in terciam et proueniet dimidia sexta. Dimidia ergo sexta de 60 que est 5 est id quod scire uoluisti. Cuius rei causa est hec. Oportebat enim ut multiplicares 31 sextarios in 10, et productum quota pars est producti ex 12 sextariis ductis in 30 miliaria tanta pars de 60 est id quod uoluisti. Constat autem quod id quod fit ex ductu 3 in 10 et productum denominare de producto ex 12 ductis in 30 idem est quod denominare 3 sextarios de 12, scilicet quartam, et denominare 10 miliaria de 30, scilicet terciam, et multiplicare terciam in quartam, et quota pars fuerit producti, scilicet dimidia sexta, tantam partem de 60 accipere, et hoc est quod probare uoluimus2. A

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Item aliud exemplum. Si quis querat: «Cum aliquis conducitur ad portandum 5 sextarios 10 miliariis pro 100 nummis, portat autem 3 sextarios 4 miliariis, quantum debetur ei?» Iam scimus quod comparatio sextariorum multiplicatorum in miliaria ad productum ex sextariis ductis in miliaria est sicut comparatio pretii ad pretium. Multiplica igitur 5 in 10, et fient 50. Deinde multiplica 3 in 4, et fient 12. Comparatio igitur de 50 ad 12 est sicut comparatio de 100 ad id quod queritur. Fac igitur sicut supradictum est et exibit id quod queritur 24. ____________________ 1 post 3 exp. sex D2

2 Capitulum de conducendis [p. 326, l. 11] – uoluimus A D: om. P

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Cuius probatio hec est. Sint 5 sextarii a, 10 uero miliaria g, 3 uero sextarii b, 4 autem miliaria d, 100 uero nummi h. Si igitur portaret 5 sextarios 10 miliariis, deberentur ei 100 nummi. Si autem portaret eos 4 miliariis que sunt 2/5 totius sue, deberentur ei 2/5 precii que sunt 40. Sint igitur 40 z . Comparatio igitur de d ad g est sicut comparatio de z ad h. Manifestum est igitur quod si portaret hos 5 sextarios 4 miliariis, deberetur ei z qui est 40. Ipse autem non portauit nisi 3 sextarios, tunc debentur ei 3/5 totius pretii. 3/5 igitur de 40, que sunt 24, sunt id quod debetur ei. Sit igitur id k. Comparatio igitur de k ad z est sicut comparatio de b ad a. Satis igitur cognitum esset si hoc modo faceremus uidelicet ut comparemus miliaria miliariis et acciperemus tantam partem de prius retento, et ipsa esset id quod uoluisti. Modus igitur agendi secundum multiplicationem ita est ut prediximus. Comparatio enim de g ad d (sic)1 est sicut comparatio de z ad h. Comparatio autem de b ad a est sicut comparatio de k ad z. Scimus autem quod omnium trium numerorum talis est comparatio primi ad tertium qualis comparatio primi ad secundum geminata comparatione secundi ad tercium. Comparatio igitur de k ad h est sicut comparatio de k ad z geminata comparatione de z ad h. Comparatio autem de k ad z est sicut comparatio de b ad a, et comparatio de z ad h est sicut comparatio de d ad g. Igitur comparatio de k ad h est sicut comparatio de d ad g, geminata per comparationem de b ad a. Comparatio autem de d ad g geminata per comparationem de b ad a est sicut comparatio producti ex multiplicatione d in b ad productum ex ductu g in a. Igitur comparatio producti ex ductu g, qui est miliaria, in a, qui est sextarii, ad productum ex ductu d, qui est miliaria quesita, in b, qui est sextarii quos portauit, est sicut comparatio de k, qui est id quod debetur ei de pretio, ad h, qui est pretium. Comparatio igitur producti ex ductu sextariorum in miliaria ad productum ex ductu sextariorum in miliaria est sicut comparatio pretii ad pretium, et hoc est quod demonstrare uoluimus.

Fig.81: A, fol.182 r sub textu.

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Vel aliter. Diuide sextarios quos portauit per sextarios quos portare debuit, et diuide miliaria quesita per miliaria querire debuit, et alterum de diuisionibus exeuntium multiplica in alterum, et productum multiplica in pretium. Veluti in proposita questione diuide 3 sextarios per 5 sextarios et exibunt 3/5, et diuide miliaria per miliaria, et exibunt 2/5. Quas multiplica in 3/5 et proueniet 1/5 ____________________ 1 g ad d A in d ad g corrigendum

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et quinta quinte. Quam quintam et quintam quinte multiplica in 100 et prouenient 24. Horum autem probatio patet ex premissis1. AD

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Item de eodem. Si quis conducitur ad portandum 12 sextarios 30 miliariis pro 60 nummis, tunc pro 5 nummis quot miliariis portabit 3 sextarios? Sic facies. Multiplica 3 sextarios in 60 nummos, et prouenient 180, quos pone prelatum. Deinde multiplica 12 in 30 et productum multiplica in 5, et prouenient 1800. Quos diuide per prelatum, et exibunt 10 miliaria, et hoc est quod scire uoluisti. Cuius2 causa est hoc quod3 ostendimus in precedenti questione, scilicet quoniam comparatio producti ex 12 ductis in miliaria sua ad nummos eorum est sicut comparatio producti ex tribus sextariis ductis in miliaria sua ad nummos eorum. Constat autem quod ex 12 sextariis ductis in miliaria sua proueniunt 360. Manifestum est igitur quod comparatio eorum ad 60 est sicut comparatio producti ex tribus sextariis ductis in miliaria sua ad 5. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 360 ductis in 5 nummos equum est ei quod fit ex 60 ductis in 3 sextarios, et producto inde ducto in miliaria sua. Ex 60 autem ductis in 3 sextarios proueniunt 180. Quod igitur fit ex 180 ductis in miliaria ignota equum est ei quod fit4 ex 360 ductis in 5, quod est 1800. Quos diuide per 180 et exibunt 10, et tot sunt miliaria ignota. Vel aliter. Pone rem miliaria ignota, quam multiplica in 3 sextarios et prouenient 3 res. Dictum est autem quod comparatio producti ex sextariis ductis in miliaria sua ad suos nummos est sicut comparatio producti ex 3 sextariis ductis in sua miliaria ignota ad nummos eorum. Manifestum est igitur quod comparatio 3605 ad 60 nummos est sicut comparatio 3 rerum ad 5 nummos. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 5 ductis in 360 equum est ei quod fit ex 60 ductis in 3 res. Fac ergo sicut predocui et ad ultimum erunt 180 res que adequantur mille octingentis. Res ergo adequantur ad 10, et tot sunt miliaria ignota. Vel aliter. Denomina 5 de 60 scilicet dimidiam sextam. Dimidiam ergo sextam miliariorum, que est 2 et dimidium, multiplica in numerum in quem6 multiplicati 3 fiunt 12, qui est 4, et prouenient 10, et tot sunt miliaria ignota. Cuius rei causa est hec, quia scimus quod cum uector conducitur ad portandum 12 sextarios 30 miliariis pro 60 nummis, tunc si accipit 5 nummos pro portandis 12 sextariis, debet eos portare duobus miliariis et dimidio. Nam ipse pro portandis 12 sextariis accepit dimidiam sextam eius quod accipere7 debebat pro portandis illis 12 30 miliariis, quod8 est 5 nummi. Ob hoc igitur portabit 12 sextarios dimidia sexta 30 miliariorum, que est 2 miliaria et dimidium. Constat autem quod non accepit 5 nummos nisi pro portandis 3 sextariis. ____________________ 1 Item aliud exemplum [p. 327, l. 32] – ex premissis A: om. D P 2 post cuius add. rei D 3 quod A: quia D 4 quod fit addidi cum D: om. A 5 360 A2 D: 300orum A1 uid. 6 quem A: que D 7 accipere A: acceperat D 8 quod A: quid D

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Manifestum igitur quod portare 12 sextarios 2 miliariis et dimidio idem est quod portare 3 sextarios 10 miliariis. Nam1 talis est comparatio 3 sextariorum ad 12 qualis est comparatio duorum miliariorum et dimidii ad miliaria 3 sextariorum. 3 autem quarta sunt de 12. 2 igitur miliaria et dimidium quarta sunt miliariorum 3 sextariorum. Sequitur ergo ut miliaria 3 sextariorum sint 10. Vel aliter. Denomina 3 de 12, scilicet quartam, tunc accipe quartam de 60, que est 15. De quibus denomina 5, scilicet terciam. Tercia igitur 30 miliariorum scilicet 10 est id quod uoluisti. Cuius rei causa est hoc, scilicet quia scimus quod postquam portat 3 sextarios 30 miliariis, debet accipere quartam 60 nummorum que est 15 nummi. Quartam igitur 12 sextariorum ipse portauit. Constat etiam quod pro portandis 3 sextariis accepit 5 nummos qui sunt tercia 15 nummorum. Debet igitur eos portare terciam partem2 30 miliarorum, que est 10 miliaria. Item de eodem. Si quis conducitur ad portandum 12 sextarios 30 miliariis pro 60 nummis, portat autem 3 sextarios nescio quot miliariis. Quibus multiplicatis in id quod competit ei de pretio proueniunt 50, tunc quot sunt ipsa miliaria? Sic facies. Multiplica 3 sextarios in 60 nummos, et prouenient 180, quos pone prelatum. Cum autem uolueris scire miliaria, multiplica 12 in 30, et productum multiplica in 50, et producum diuide per prelatum, et eius quod exit radix sunt miliaria, scilicet 10. Cum autem uolueris scire quantum sibi3 competit de pretio, diuide per predictam radicem, que est 10, 50, et exibunt 5, et hoc est pretium. Cuius rei causa est hoc, scilicet quia scimus quod talis est comparatio producti ex sextariis ductis in miliaria sua ad nummos eorum qualis est comparatio producti ex 3 sextariis ductis in miliaria sua ad nummos eorum. Manifestum est igitur quod comparatio 360 ad 60 nummos est sicut comparatio producti ex tribus sextariis ductis in sua miliaria ad nummos eorum. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 360 ductis in nummos 3 sextariorum equum est producto ex 60 ductis in 3 sextarios ducto in miliaria eorum, scilicet 3 sextariorum. Miliaria autem trium sextariorum pone commune in4 multiplicatione. Quod igitur fit ex 360 ductis in nummos trium miliariorum 35 sextariorum et producto inde multiplicato in miliaria eorum equum est ei quod fit ex 60 ductis in 3 sextarios, et producto inde multiplicato in productum ex ductu miliariorum in se, scilicet miliariorum 3 sextariorum. Scimus autem quod idem est 360 ducere in nummos miliariorum 3 sextariorum et productum inde ducere in miliaria 3 sextariorum quod miliaria ducere in nummos et productum inde ducere in 360 siue postpositum siue prepositum. Ex ductu autem miliariorum 3 sextariorum in nummos eorum proueniunt 50. Quod igitur fit ____________________ 1 nam A D2: tam D1 2 post partem exp. de A2 2 5 miliariorum 3 A : trium miliariorum A1 D

3 sibi A: add. D2 s.l.

4 in A: om. D

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ex 50 ductis in1 360 equum est ei quod fit ex 60 nummis ductis in 3 sextarios et inde producto multiplicato in id quod prouenit ex ductu miliariorum in se. Ex 50 autem ductis in 360 proueniunt 18000. Quasi diuidantur per productum ex 60 ductis in 3 sextarios, quod est 180, exibunt 100, qui proueniunt ex ductu miliariorum in se. Quorum radix que est 10 sunt miliaria 3 sextariorum que queris. Si autem eorum pretium scire uolueris, multiplica 12 in 30, et prouenient 360, quos pone prelatum. Deinde multiplica 60 nummos in 3 sextarios et productum multiplica in 50 et inde productum diuide per prelatum. Et eius quod exit radix scilicet 5 est2 pretium quod queris. Cuius rei causa nota est ei qui intelligit antecedentia. Pones autem nummos 3 sextariorum commune in multiplicatione, et comparabis sicut supradocui, et inuenies quod queris. Vel aliter. Pone miliaria rem, et tunc erunt nummi 50 diuisa per rem. Ideo autem nummi fiunt 50 diuisa per rem, quoniam dictum est quod3 ex miliariis ductis in nummos eorum proueniunt 50. Ex 50 igitur diuisis per miliaria exibunt nummi. Deinde multiplica 3 sextarios in miliaria eorum que sunt res, et prouenient 3 res. Scimus autem quod comparatio producti ex sextariis ductis in miliaria eorum ad nummos eorum est sicut comparatio producti ex sextariis ductis in miliaria eorum ad nummos eorum. Manifestum est igitur quod talis est comparatio 360 ad 60 nummos qualis est comparatio 3 rerum ad 50 diuisa per rem. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 360 ductis in 50 diuisa per rem equum ei quod fit ex 60 ductis in 3 res. Scimus autem quod id quod fit ex 360 ductis in 50 diuisa per rem equum est ei quod fit ex 50 ductis in 360 diuisum per rem. Quotiens enim aliquis numerus diuiditur per alium et quod exit multiplicatur in tertium, tunc id quod prouenit4 equum est ei quod exit de diuisione producti ex ductu diuisi in multiplicantem per diuidentem. Iam autem hoc probatum est alias. Scimus autem quod ex 50 ductis in 360 proueniunt 18000. Quod igitur prouenit est 18000 diuisa per rem que adequatur 1805 rebus. Multiplica igitur 180 res in rem, et prouenient 180 census que adequantur 18000. Reduc igitur omnes census ad 1 censum6 et 18000 reduc ad tantum proportionaliter. Erit igitur ad ultimum census quod7 adequatur ad 100. Cuius radix, que est 10, est precium rei, et tot sunt miliaria que queruntur. Nummi uero sunt id quod exit ex diuisis 50 per 10, quod est 5. Vel aliter facies ad sciendum miliaria. Scimus enim quod talis est comparatio 360 ad suum pretium, quod est 60 nummi, qualis est comparatio 3 rerum ad 50 diuisa per rem. Cum autem commutauerimus, comparatio 60 nummorum ad 360 talis erit qualis est comparatio 50 diuisorum per rem ad 3 res. Comparatio autem de 60 ad 360 est sexta eorum. Sequitur ergo ut comparatio eius quod exit ex

____________________ 1 post in exp. se A2 2 post est exp. per D2 3 quod A: om. D 4 prouenit A: prouenerit D 5 diuisa per rem que adequatur 180 A: om. D 6 add. ex rei ductu in rem profluunt census D m.s. al. man. 7 post quod add. ad D

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diuisis 50 per rem sit sexta 3 rerum, que est dimidia res, et adequatur ei quod exit ex diuisis 50 per rem. Multiplica igitur dimidiam rem in rem, et proueniet dimidius (sic)1 census quod adequatur ad 50. Census igitur2 adequatur ad 100, et res adequatur ad 10, et tot sunt miliaria. Nummi uero sunt id quod exit3 ex diuisis 50 per 10, scilicet 5, et hoc est quod uoluisti. ADI

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Item de eodem. Si quis4 conducitur ad portandum 12 sextarios 30 miliariis pro 60 nummis, portat autem 3 sextarios nescio quot miliariis. Quibus agregatis ad id quod5 debetur sibi de pretio, proueniunt 15, tunc quot miliaria et quot sunt6 nummi siue precium? Sic facies. Multiplica 12 in 30, et prouenient7 360. Deinde multiplica 3 sextarios in 60 nummos, et fient 180. Quos agrega ad 3608, et fient 540, quos pone prelatum. Cum autem uolueris scire miliaria, multiplica 360 in 15 et productum diuide per prelatum, et quod exierit, scilicet 10, sunt miliaria. Cum autem uolueris scire pretium, multiplica 180 in 15, et productum diuide per prelatum, et quod exierit est pretium, scilicet 5 nummi. AD

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Quod sic probatur. 15 qui fiunt ex agregatione miliariorum et pretii sint linea ag. Pars autem huius linee sint miliaria scilicet linea bg. Pretium autem sit linea ab. Manifestum est autem ex premissis quod talis est comparatio producti ex sextariis ductis in sua miliaria ad nummos eorum qualis est comparatio producti ex sextariis secundis ductis in miliaria sua ad suos nummos. Quod igitur fit ex 360 ductis in pretium miliariorum trium sextariorum equum ei quod fit ex 60 ductis in 3 sextarios, et deinde producto ex eis multiplicato in miliaria eorum. Manifestum est igitur quod id quod fit ex ductu unius partis de 15, que est pretium, in 360 equum est ei quod fit ex ductu alterius partis, que est miliaria, in id quod prouenit9 ex 60 ductis in 3 sextarios, quod est 180. Quod igitur fit ex ductu linee ab in 360 equum est ei quod fit ex ductu linee bg in 180. Protraham autem de puncto b duas lineas altrinsecus in directum unam earum lineam de 180, que sit linea bh, alteram uero de 360, que sit linea bd. Manifestum est igitur quod id quod fit ex ductu linee ab in bd, quod est superficies ad, equum est ei quod fit ex ductu linee bh in bg, quod est superficies hg. Sed et latera earum

____________________ 1 dimidius A: dimidium D 2 igitur A: ergo D 3 exit A D2: erit D1 4 quis A D: add. I s.l. 5 quod A I: quo D 6 quot miliaria et quot sunt nummi A D: quot sunt miliaria et quot nummi I 7 prouenient A I: prouenietur D 8 post 360 del. deinde 9 prouenit A: prouenerit D multiplica tres sextarios I2

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sunt equidistantia et 2 anguli earum equales qui sunt angulus abd et angulus hbg. Latera igitur superficiei ad et superficiei hg sunt muteqefia et coalterna, sicut euclides dixit in sexto libro. Talis est igitur comparatio linee db ad lineam bh qualis est comparatio linee gb ad lineam ba1. Composita autem comparatione talis erit comparatio linee db ad lineam dh qualis est comparatio linee gb ad ga. Quod igitur fit ex ductu linee db in ag equum est ei quod fit ex ductu linee dh in bg2. Quod igitur fit ex ductu linee db in ga, si diuidatur per dh, exibit linea bg, que est miliaria. Similiter etiam poteris scire de pretio, et tunc talis erit comparatio linee hb ad bd qualis est comparatio linee ab ad bg. Composita autem comparatione3 tunc talis erit comparatio linee hb ad hd qualis est comparatio linee ab ad ag. Quod igitur fit ex ductu linee hb in ag equum est ei quod fit ex ductu linee hd in ab. Cum igitur4 multiplicaueris hb in ag et productum diuiseris per hd, exibit ab, quod est pretium, et hoc est quod probare uoluimus5.

Fig.82: A, fol.183 v m.s.; om. D.

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Cum autem uolueris scire miliaria et precium alio modo, denomina 180 de 540, scilicet terciam eorum. Tercia igitur de 15, scilicet 5, est pretium. Cum autem uolueris scire miliaria, denomina 360 de 540, scilicet duas tercias eorum. Quas multiplica in 15, et exibunt 10, et tot sunt miliaria. Vel aliter. Pone miliaria rem, nummi autem erunt 15 minus una re. Deinde multiplica rem in 3 sextarios, et prouenient 3 res. Iam autem nosti quod comparatio 360 que proueniunt ex ductu sextariorum in miliaria eorum ad 60 nummos est sicut comparatio 3 rerum ad nummos earum qui sunt 15 nummis (sic)6 re. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu 360 in 15 minus re7 equum est ei quod fit ex 60 ductis in 3 res. Id autem quod fit ex ductu 360 in 15 minus re est 5400 nummi8 minus 360 rebus, quod est equum ei quod fit ex 60 ductis in 3 res, quod est 180 res. Comple ergo 5400 nummos adiectis 360 rebus, et adde totidem ad 180 res, et fient 540 res9 que adequantur ad 5400 nummos. Res igitur adequatur ad 10, et tot sunt miliaria. Nummi uero sunt id quod remanet de10 15, scilicet 5. Si autem uolueris adinuenire pretium secundum

____________________ 1 ba A2 D: bha A1 2 Quod igitur [l. 5/6] – in bg addidi cum D: om. A 3 Composita autem comparatione A: compositio autem comparationem D 4 igitur A: ergo D 6 nummis A2: nummos A1: minus D 7 post re exp. est D2 5 uoluimus D: add. A2 m.d. 2 1 8 nummi A : nummorum A D 9 res addidi cum D: om. A 10 de A D2: ad D1

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algebra1, pone illud rem, et tunc miliaria erunt 15 minus re. Quos multiplica in 3 sextarios, et fient 45 minus 3 rebus. Deinde comparabis ea inter se sicut in antecedenti factum est, et tunc id quod fit ex ductu primi, qui est 360, in quartum, qui est res, quod est 360 res, equum est ei quod fit ex ductu secundi, qui est 60, in tertium, qui est 45 minus 3 rebus, quod scilicet est 2600 (sic)2 nummorum minus 180 rebus. Deinde fac sicut supradocuimus in algebra3, et exibit res 5 qui sunt nummi. Item de eodem. Si quis conducitur ad portandum 10 sextarios 50 miliariis pro 100 nummis, portat autem 3 sextarios nescio quot miliariis. De quibus subtracto precio quod sibi debetur remanent 4, tunc quot sunt miliaria uel quantum est pretium eorum? Sic facies. Multiplica 10 sextarios in 50 miliaria, et fient 500. De quibus minue id quod prouenit ex ductu trium sextariorum 100, et remanebunt 200, quos pone prelatum. Cum autem uolueris scire miliaria, multiplica 4 in 500 et productum diuide per prelatum. Cum uero precium multiplica 4 in 300, et productum diuide per prelatum, et quod exierit est id quod uoluisti. Hoc autem demonstrabitur sic. Scilicet miliaria ignota sint linea ab, precium autem ignotum sit linea gb. Manifestum est igitur quod linea ag est 4. In precedentibus autem ostendimus quod comparatio primorum4 sextariorum multiplicatorum in miliaria sua ad nummos eorum est sicut comparatio sextariorum aportatorum multiplicatorum in sua miliaria ad nummos eorum. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 500 ductis in precium miliariorum quibus portat 3 sextarios, quod scilicet est linea gb, equum est ei quod fit ex 100 ductis in 3 sextarios et inde producto multiplicato in lineam ab. Deinde protraham lineam tn, que est 500, de qua incidatur linea trescentorum, que sit5 linea qt. Manifestum est igitur quod id quod fit ex ductu linee nt in lineam gb equum est ei quod fit ex ductu linee qt in lineam ab. Comparatio igitur linee nt ad lineam tq est sicut comparatio linee ab ad bg. Cum autem conuerterimus, tunc comparatio linee qt ad tn erit sicut comparatio linee gb ad ab. Cum uero disperserimus, tunc comparatio linee qt ad qn erit sicut6 comparatio linee bg ad ga. Id ergo quod fit ex ductu linee qt in ag equum est ei quod fit ex ductu linee nq in gb. Id7 igitur quod fit ex ductu linee qt in ag, si diuidatur per nq, exibit linea gb, que est pretium miliariorum ignotorum. Causa autem inueniendi miliaria hec est. Scimus enim quod cum8 comparatio linee qt ad qn fuerit9 sicut comparatio linee gb10 ad ga, quod (sic)11 oportebit tunc cum conuerterimus ut comparatio linee nq ad qt sit sicut comparatio linee ag ad gb. Cum autem composuerimus, tunc comparatio linee nq ad nt erit sicut ____________________ 1 algebra A: agebla D 2 2600 false A D in 2700 corrigendum 3 algebra A: agebla D 4 post primorum add sex D 5 sit A: sint D 6 comparatio linee [l. 29] – erit sicut A: om. D 9 fuerit A: fiunt D 10 gb A: bg D 7 id A: in D 8 cum A2 s.l. D: est A1 11 quod A: om. D

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comparatio linee ag ad ab. Id igitur quod fit ex ductu linee nq in ab equum est ei quod fit ex ductu linee1 nt in ag. Si igitur id quod fit ex ductu linee nt in ag diuidatur per nq, exibit ab, que est miliaria, et hoc est quod scire uoluisti.

Fig.83: A, fol.184 r m.d.; om. D.

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Vel aliter. Inquire numerum in quem multiplicata 200 fiunt 500, et inuenies 2 et dimidium, quod scilicet 2 et dimidium multiplica in 4, et fient 10, et tot sunt miliaria. Si autem uolueris scire precium, scias quota pars sunt 200 de 300, scilicet due tercie. Sequitur igitur ut 4 sint due tercie pretii. Pretium ergo est 6. Vel aliter. Pone miliaria ignota rem et tunc pretium ignotum erit res minus 4 nummis. Supradictum est enim quod subtracto pretio de miliariis remanent 4. Sequitur igitur ex hoc ut pretium additum ad 4 fiat equale miliariis. Pretium igitur est res minus 4. Deinde multiplica miliaria, que sunt res, in 3 sextarios et fient 3 res. Quas multiplica in 100, et fient 300 res. Deinde 500, que proueniunt ex ductu 10 miliariorum in nummos eorum, multiplica in rem minus 4, et prouenient 500 res minus duobus milibus nummorum, que equantur 300 rebus. Comple ergo 50 (sic)2 res adiectis duobus milibus nummorum. Et totidem nummos agrega ad 300 res. Deinde minue 300 res de 500 rebus, et remanebunt 200 res, que adequantur duobus milibus nummorum. Res igitur est 10, et tot sunt miliaria, et hoc est quod scire uoluisti. Si autem uolueris scire pretium, minue 4 de 10 et remanebunt 6, qui sunt pretium. Si autem uolueris precium pone rem, et tunc miliaria erunt res et 4. Deinde multiplica rem in 500, et fient 500 res. Deinde multiplica 100 in 3 sextarios, et productum multiplica in rem et 4, et prouenient 300 res et 1200 nummi, que adequantur 500 rebus. Minue ergo 300 res de 500 rebus, et remanebunt 200 res, que adequantur 1200 nummis. Res igitur equiualet 6 nummis, et tantum3 est pretium ignotum. Item de eodem. Si quis conducit aliquem ad portandum 12 sextarios 30 miliariis pro 60 nummis, dat autem ei 6 nummos ut secundum rationem pretii tot portet sextarios quot ierit miliaria, tunc quot sunt sextarii uel miliaria? Sic facies. Multiplica 12 in 30, et prouenient 360. Quos multiplica in 6, et fient 21604. Quos diuide per 60, et exibunt 36. Quorum radix scilicet 6 sunt sextarii, et tot sunt miliaria. Causa autem hec est, quoniam constat ex hiis que dicta sunt in conducendis uectoribus quod comparatio sextariorum multiplicatorum in sua miliaria ad ____________________ 1 nq in ab [l. 1] – linee A: om. D 2 50 false A D in 500 corrigendum 4 Quos multiplica in 6 et fient 2160 iter. A exp. precium D2

3 post tantum

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nummos eorum est sicut comparatio sextariorum multiplicatorum in sua miliaria ad numos eorum1. Comparatio igitur 12 sextariorum multiplicatorum in 30 miliaria ad 60 nummos est sicut comparatio sextariorum ignotorum multiplicatorum in sua miliaria ad nummos eorum qui sunt 6. Multiplicare igitur 6 in 360 est idem2 quod multiplicare sextarios ignotos in sua miliaria et productum inde in 60. Id autem quod fit ex 6 ductis in 360, si diuidatur per 60, eius quod exit radix est sextarii et tot sunt miliaria. Vel aliter. Ad sciendum sextarios et miliaria, scilicet multiplica 12 in 30, et prouenient 360. Quos diuide per 60, et quod exit multiplica in 6, et producti radix est sextarii, et tot sunt miliaria. Causa autem huius est hec. Scimus enim quod oportebat multiplicare 360 in 6, et productum diuidere per 60, et eius quod exiret radix esset id quod uoluisti. Scimus autem ex his que predicta sunt quod multiplicare trescentum sexaginta in sex et productum diuidere per sexaginta3 et eius quod exit accipere radicem idem est quod diuidere 360 per 60, et quod exit multiplicare in 6 et producti radicem accipere. Vel aliter. Vide quota pars sunt 6 de 60, scilicet decima. Tantam igitur partem, scilicet decimam de 30, que est 3, multiplica in 12, et fient 36. Quorum radix scilicet 6 sunt sextarii siue miliaria. Causa huius est. Scimus enim quod oportebat denominare 6 nummos de 60 et tantam partem accipere de 360, que proueniunt ex ductu 12 sextariorum in 30 miliaria, et producti radicem accipere. Scis autem quod denominare 6 de 60, et tantam partem accipere de producto ex 12 ductis in 30 4 idem est quod denominare 6 de 60 et tantam partem accipere de 30 et5 multiplicare eam in 12, et producti accipere radicem. Vel si uolueris, accipe talem denominationem de 12 et multiplica eam in 30, et producti accipe radicem, et ipsa erit quod uoluisti. Vel aliter. Pone sextarios rem, et tunc miliaria etiam erunt res. Deinde multiplica 12 in 30, et prouenient 360. Quos multiplica in 6 nummos, et id quod prouenit equum est 60 censibus que proueniunt ex 60 ductis in rem, et inde producto multiplicato in rem secundam. Fac ergo sicut ostensum6 est in algebra7, et erit pretium rei sex et tot sunt sextarii siue miliaria. Item de eodem. Si quis conducit aliquem8 ad portandum 12 sextarios 30 miliariis pro 10 nummis, dedit autem ei prius 10 nummos pro portandis sextariis qui sunt tres quarte miliariorum quibus debet portare, tunc quot sunt sextarii uel quot miliaria?

____________________ 1 est sicut [l. 1] – eorum addidi cum D: om. A 2 est idem A: idem est D 3 et eius quod [l. 11] – sexaginta addidi cum D: om. A 4 et producti radicem accipere addidi 5 et addidi cum D: om. A 6 ostensum A: ostensam D 7 algebra A: agebla D 8 aliquem A: aliquam D

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Sic facies hic. Multiplica 12 in 30 miliaria, et fient 360. Quos multiplica in 10 nummos, et fient 3600. Deinde accipe tres quartas de 100, quoniam supradixit quod portaret de sextariis tot quod sunt tres quarte miliariorum quibus iret, que sunt 75. Per quos diuide 3600, et exibunt 48. Quorum radix propinquior, que est 7 minus dimidia septima, est miliaria. Cuius tres quarte sunt sextarii. Causa autem huius est sicut prediximus in hiis que precesserunt de conducendis uectoribus. Que quisquis intellexit facile poterit hec probare. Vel aliter. Diuide 3600 per 100, et exibunt 36. Deinde inquire numerum in quem multiplicate tres quarte fiunt 1, qui est 1 et tercia. Quem et terciam multiplica in 36, et prouenient 48. Quorum radix est numerus miliariorum, cuius tres quarte sunt sextarii. Causa autem huius patet ex hiis que paulo ante dicta sunt. Vide quota pars sunt 10 de 100, scilicet decima. Tantam igitur partem de 30, que est 3, multiplica in 12, et fient 36. Deinde inquire numerum in quem multiplicate tres quarte1 fiant 1, et inuenies 1 et terciam. Quem et terciam multiplica in 36, et fient 48. Quorum radix est numerus miliariorum, cuius tres quarte sunt numerus sextariorum. Vel si uolueris, accipe decimam de 12, que est 1 et quinta. Quam multiplica in 30, et prouenient 36. Cetera autem fac sicut supraostensum est, et inuenies quod uolueris. Vel aliter. Pone miliaria rem, sextarios uero tres quartas rei, quoniam supradixit quod portaret de sextariis tot quot sunt tres quarte miliariorum, quibus iret. Deinde multiplica 12 in 30, et fient 360, quos multiplica in 10, et fient 3600. Deinde multiplica rem in tres quartas rei, et fient tres quarte census. Quas multiplica in 100, et fient 75 census que adequantur ad 3600. Accipe igitur de omnibus censibus 1 et iuxta eandem proportionem quam habet 1 ad 75 census. Accipe tantumdem de 3600, quod est 48. Habes igitur quod unus2 census adequantur 48 nummis. Radix igitur census est 7 minus dimidia septima, et tot sunt miliaria. Cuius tres quarte3 sunt sextarii4. A

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Cum aliquis conducitur ad portandum 15 sextarios, 40 multiplicaueris pro uno censu et radice eius. Portat autem 10 sextarios 10 miliariis5 et accipit radicem, tunc quantus est census? Sic facies. Multiplica 15 in 40, et prouenient 600. Deinde multiplica 10 in 10, et prouenient 100. Per quos diuide 600, et exbibunt 6. Quos multiplica in 1, eo quod unam radicem proposuit. Si uero proposuisset 2, multiplicares in 2. Et de producto minue numerum radicum, que sunt cum censu, et remanebunt sicut hic 5 et tanta est radix. Igitur census est 25.

____________________ 1 quarte A: querce D 2 unus A: unum D 3 quarte iter. A1 [p. 329, l. 4] – sextarii A D: om. P 5 post miliariis eras. pro A2

4 Item de eodem

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Cum aliquis conducitur ad portandum 6 sextarios 10 miliariis pro cubo et censu eius, portat autem 4 sextarios 5 miliariis et accepit censum, tunc quantus est census siue cubus? Sic facies. Multiplica 6 in 10, et fient 60. Deinde multiplica 4 in 5, et prouenient 20. Per quos diuide 60, et exibunt 3. Quos multiplica in 1, eo quod proposuit unum censum accepisse, et de producto minue 1, eo quod premisit 1 censum cum cubo, et quod remanserit erit radix census que est 2. Igitur census est 4. Cubus uero est id quod fit ex ductu census in suam radicem que est 81. A D I

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Capitulum de conducendis incisoribus lapidum2. Si quis conducit 3 operarios ad operandum 4 lapides in 30 diebus pro 60 nummis, 2 autem operantur duos lapides in 10 diebus, tunc quantum debetur eis? Hec questio habet se ad duos sensus3 quorum unus est quod 2 operarii tantum operantur in 4 lapidibus quantum 3 in eisdem, alter4 quod duo operantur duas tercias eius quod operantur 3. Si autem uolueris agere secundum primum sensum, sic facies. Quasi igitur dicatur: «Aliquis conducit operarium ad portandum 4 sextarios 30 miliariis pro 60 nummis. Portat autem 2 sextarios 10 miliariis, sed (sic)5 quantum competit ei?» Facies per omnes modos huius questionis sicut supradocuimus, et exibit 10, et hoc est quod6 uoluisti. Sed iuxta secundum modum sic facies. Multiplica numerum 3 operariorum in7 numerum 4 lapidum, et productum multiplicabis in 30 dies, et prouenient 360, quos pone prelatum. Deinde multiplica 2 operarios in 2 lapides quos operati sunt, et fient 4. Quos multiplica in 10 dies, et fient 40. Hos autem multiplica in 60, et prouenient 2400. Quos diuide per prelatum, et8 exibunt9 6 et due tercie. Causa autem huius est. Scimus enim quod 3 operarios operarii (sic)10 4 lapides 30 diebus idem est quod unum operari 12 lapides 30 diebus. Nosti autem quod unum operarium operari duodecim lapides triginta diebus11 idem est quod 1 operarium operari unum lapidem in 360 diebus. Manifestum est igitur quod unus operarius operatur 1 lapidem in 360 diebus pro 60 nummis. Nosti etiam quod duos operarios operari 2 lapides 10 diebus idem est quod unum operarium operari 1 lapidem 40 diebus. Quasi ergo dicatur: «Postquam 360 sextarii dantur pro 60 nummis, tunc quantum est pretium 40 sextariorum?» Multiplica igitur 40 in 60 et productum diuide per 360, et id quod exit est id quod debetur duobus operariis in (sic)12 duobus lapidibus13. ____________________ 1 Cum aliquis [p. 337, l. 30] – est 8 A: om. D P 2 Capitulum de conducendis incisoribus lapidum A I: om. D 3 habet se ad duos sensus A D: se habet ad sensus duos I 4 alter A D: alius I 5 sed A: tunc D I 6 quod A I: quid D 7 numerum 3 operariorum in A 9 exibunt A D: exibit I 10 operarii A: operari D I I: om. D 8 post et exp. exi A2 11 Nosti autem [l. 27] – diebus addidi cum D I: om. A 12 in A: pro D I 13 Capitulum de conducendis [l. 10] – lapidibus A D I: om. P

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Item alia cetera. Comparatio enim producti ex ductu 3 operariorum in 4 lapides et producti in 30 ad id quod fit ex ductu duorum operariorum in 2 lapides, et producti in 10 dies, est sicut comparatio 60 nummorum ad pretium quod queritur. Cuius probatio hec est. Sint 3 operarii a, 4 uero lapides b, 30 uero dies sint g, duo uero operarii sint d, duo lapides h, 10 dies z, sed 60 nummi sint k. Si igitur 3 operarii operarentur 4 lapides 30 diebus, tunc deberentur eis 60 nummi. Vnde si duo operarentur, quantum est 2/3 eius quod operant 3? Debentur eis 2/3 de 60, que sunt 40. Sint igitur 40 t. Comparatio igitur de d ad a est sicut comparatio de t ad k. Si igitur 2 operarii operarentur 4 lapides 30 diebus, deberentur eis 40 nummi. Ipsi autem non1 sunt operati nisi dimidium lapidum. Igitur debetur eis dimidium de 40, quod est 20. Si igitur duo operarii operarentur 2 lapides 30 diebus, deberentur eis 20 nummi. Sint autem 20 nummi q. Comparatio igitur de h ad b est sicut comparatio de q ad t. Ipsi autem non sunt operati nisi 10 dies. Igitur competit eis tercia pars de 20, que est 6 et 2/3. Isti igitur 6 et 2/3 sint l. Comparatio igitur de l ad q est sicut comparatio de z ad g. Habemus igitur quod comparatio de d ad a est sicut comparatio de t ad k, et comparatio de h ad b est sicut comparatio de q ad t. Comparatio uero de z ad g est sicut comparatio de l ad q. Scimus autem quod omnium 4 numerorum proportionalium comparatio primi ad quartam est sicut comparatio primi ad secundum geminata comparatione secundi ad tertium triplicata comparatione tertii ad quartam. Comparatio igitur de l ad k est sicut comparatio de l ad q, duplicata comparatione de q ad t, triplicata comparatione de t ad k. Comparatio autem de l ad q est sicut comparatio de z ad g, et comparatio de q ad t est sicut comparatio de h ad b, et comparatio de t ad k est sicut comparatio de d ad a. Igitur comparatio de l ad k est sicut comparatio de z ad g, geminata comparatione de h ad b, triplicata comparatione de d ad a. Comparatio autem de z ad g, geminata comparatione de h ad b, triplicata comparatione de d ad a, est sicut comparatio producti ex multiplicatione z in h et producti in d ad id quod fit ex ductu g in b, et producti in a. Comparatio igitur eius quod fit ex ductu numeri operariorum in numerum lapidum2 et producti in dies ad id quod fit ex ductu aliorum lapidum in operarios et producti in dies est sicut comparatio pretii ad pretium, et hic est quod monstrare uoluimus3.

____________________ 1 non add. A2 s.l. uoluimus om. D P I

2 post lapidum exp. in operarios A2 uid.

3 Item alia cetera [l. 2] –

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Fig.84: A, fol.185 r m.d..

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Vel aliter. Vide quota pars sunt 60 de 360, scilicet sexta. Et tanta pars de 40, que est 6 et due tercie, est id quod uoluisti. Vel aliter. Denomina 2 lapides quos operati sunt de 4, scilicet dimidium, et tantum de 60, scilicet dimidium quod est 30, accipe. Deinde denomina 10 dies de 30, scilicet terciam, et tantam, scilicet terciam partem de 30, que est 10, accipe. Deinde denomina 2 operarios de 3, scilicet duas tercias. Due igitur tercie 10 nummorum, que sunt 6 et due tercie, est id quod uoluisti. Causa autem1 huius patet. Nam si 3 operarii operantur 2 lapides in 30 diebus, debetur ei medietas 60 nummorum, que est 30. Si uero in 10 predictis diebus debetur eis tercia 30 nummorum, que est 10 nummi, – scimus autem quod 2 lapides operati sunt 2 tantum operarii 10 diebus, qui sunt due tercie trium operariorum, – igitur debentur illis due tercie 10 nummorum, que sunt 6 et due tercie. Vel aliter. Vide quota pars sunt 2 operarii trium, scilicet due tercie. Accipe igitur duas tercias de 60 nummis, que sunt 40. Deinde uide2 quota pars sunt 2 lapides de 4 lapidibus, scilicet dimidium. Accipe igitur dimidium de 40, quod est 3 20. Deinde uide quota pars sunt 10 de 30, scilicet tercia. Accipe igitur terciam de 20, que est 6 et due tercie, et hoc est quod uoluisti. Causa autem huius patet. Nam duo operarii si operarentur 4 lapides in 30 diebus, deberentur eis 40 nummi. Opus enim duorum operariorum due tercie est operis 3 operariorum. Iam etiam nosti quod si duo operarii operarentur 2 lapides in 30 diebus, deberentur4 eis dimidium 40 nummorum, quod est 20. Scis autem quod non sunt operati 2 lapides nisi in tercia 30 dierum, que est 10 dies. Debetur igitur eis tercia 20 nummorum, que est 6 et due tercie. Vel aliter. Denomina 2 de 3 operariis, scilicet duas tercias. Deinde denomina 2 lapides de 4 lapidibus, scilicet dimidium. Deinde denomina 10 dies de 30 diebus, scilicet terciam. Deinde multiplica duas tercias in dimidium, et productum inde multiplica in terciam, et prouenient ad ultimum due tercie unius sexte. Accipe igitur duas tercias sexte de 60, que sunt 6 et due tercie. Causa autem huius est sicut supradocui in capitulo de portando. ____________________ 1 autem D: add. A2 s.l. 4 deberentur A: deberetur D

2 uide A2 D: diuide A1

3 post est exp. dimidium D2

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Item de eodem. Si quis conducit 3 operarios ad operandum 4 lapides in 30 diebus pro 60 nummis, dedit autem duobus operariis 6 nummos et duas tercias nummi ut operentur 2 lapides, tunc quot dies seruietur ei? Sic facies. Multiplica 2 lapides in 2 operarios, et fient 4. Quos multiplica in 60, et fient 240, quos pone prelatum. Deinde multiplica 3 operarios in 4 lapides, et fient 12. Quos multiplica in 30, et fient 360. Quos multiplica in 6 et duas tercias, et fient1 2400, quos diuide per prelatum, et exibunt 10 et tot sunt dies. Causa autem huius est hec. Scimus enim quod comparatio 3 operariorum in 4 lapides multiplicatorum et inde producti in dies eorum ad nummos eorum est sicut comparatio 2 lapidum in 2 operarios multiplicatorum et producti inde in dies eorum ad nummos eorum. Manifestum est igitur quod comparatio 360 ad 60 nummos est sicut comparatio 4 prouenientium ex ductu 2 operariorum in 2 lapides multiplicatorum in dies eorum ad nummos eorum qui sunt 6 et due tercie. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 360 ductis in 6 et duas tercias equum est ei quod fit ex 60 ductis in 4, et inde producto in dies ignotos. Manifestum est igitur quod si multiplicentur 360 in 6 et duas tercias et productum diuidatur per id quod fit ex 60 ductis in 4, exibunt dies ignoti. Vel aliter. Vide quota pars sunt de 66 et due tercie et inuenies quod sunt due tercie sexte. Accipe igitur duas tercias sexte de 360, que sunt 40, quos diuide per 4 et exibunt 10, et tot sunt dies. Causa autem huius est hec. Iam enim monstrauimus in capitulo precedenti quod 3 operarios operari 4 lapides in 30 diebus pro 60 nummis idem est quod unum operarium operari unum lapidem 360 diebus pro 60 nummis. Nosti etiam quod 2 operarios operari 2 lapides idem est quod 1 operari 4 lapides. Manifestum est igitur quod cum denominaueris 6 et duas tercias de 60, et acceperis tantam partem de 360 scilicet 40 dies, tot diebus operatur2 1 operarius 1 lapidem pro 6 nummis et duabus terciis. Iam autem nosti 6 nummos et duas tercias datos3 esse 2 operariis ad operandum 4 lapides. Diuide igitur 40 per 4 lapides ut scias quot dies competunt uni lapidi, scilicet 10 dies. Vel aliter. Multiplica 3 operarios in 4 lapides, et fient 12. Deinde multiplica 2 operarios in 2 lapides, et fient 4. Deinde uide quota pars sunt 6 et due tercie de 60, et inuenies quod sunt due tercie sexte. Accipe igitur duas tercias sexte 30 dierum, que sunt 3 et tercia. Deinde inquire numerum in quem multiplicati 4 fiunt 12, et hic est 3. Hos igitur multiplica in 3 et terciam, et prouenient 10, et tot sunt dies. Causa autem huius patet. Iam enim4 ostendimus quod 3 operarios operari 4 lapides 30 diebus idem est quod 1 operarium operari 12 lapides 30 diebus. 2 uero operarios operari 2 lapides diebus ignotis pro 6 nummis et duabus terciis idem est quod unum operarium operari quatuor lapides diebus ignotis pro sex numis et duabus terciis5.

____________________ 1 fient A: fiet D 2 operatur A: operatus D 5 idem est [l. 38] – terciis addidi cum D: om. A

3 datos A: datas D

4 enim A: om. D

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Manifestum est igitur quod si operati1 12 lapides 30 diebus debentur 60 nummi, tunc hic si2 acciperet 6 nummos et duas tercias pro operandis 12 lapidibus operaretur eos 3 diebus et tercia diei. Nam comparatio 6 nummorum et duarum terciarum ad 60 nummos est sicut comparatio 3 et tertie ad 30 dies. Vnum autem operarium operari 12 lapides 3 diebus et tercia idem est quod unum operarium operari 4 lapides in triplo dierum, 33 et tercia, quod est 10 dies. Nam 12 tripli sunt 4. Manifestum est igitur quod idem est numerus in quem multiplicati 4 lapides fiunt 12, qui est in quem 3 et tercia multiplicate fiunt dies incogniti, qui est 3, et hoc est quod monstrare uoluimus. Vel aliter. Vide 6 et due tercie quota pars sunt de 60 nummis, et inuenies quod sunt due tercie sexte. Accipe igitur duas tercias sexte 3O dierum, que sunt 3 et tercia. Deinde considera numerum4 in quem multiplicati 2 lapides fient 4, et hic est 2. Quos multiplica in 3 et terciam, et fient 6 et due tercie. Deinde etiam considera numerum in quem multiplicati 2 operarii fiunt 3, et hic est 1 et dimidius. Multiplica igitur 1 et dimidium in 6 et duas tercias, et fient 10 et tot sunt dies. Causa autem huius patet ex hiis que paulo ante dicta sunt. Et qui illa intellexit intelliget hec5. A D

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Item de eodem aliter6. Si quis conducit 5 operarios 30 diebus pro 60 nummis, 2 autem ex illis seruiunt 10 diebus, tunc quantum debetur illis?

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Sic facies hic per omnes modos, sicut in primo capitulo de portando.

I

Cum aliquis conducit 5 operarios pro (sic)7 30 dies pro 60 nummis et duo ex illis operantur diebus aliquot de quibus subtracto eo quod illis competit de precio remanent duo, tunc quot sunt dies et quantum est precium eorum? Omnibus illis modis facies hic quibus fecisti in capitulo de uehendo et quisque illa intellexerit intelliget hec.

AD 30

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Scilicet multiplica 5 operarios in 30 dies, et prouenient 150, quos pone prelatum. Deinde multiplica 2 operarios in 10, et prouenient 20. Quos multiplica in 60, et fient 1200. Quos diuide per prelatum et exibunt 8, et tot debentur eis. Causa autem huius patet ex predictis, scilicet quoniam 5 operarios operari 30 diebus idem est quod unum operarium operari 150 diebus, duos autem operari 10 dies idem est quod 1 operari 20 dies. Quasi ergo dicatur: «Postquam 150 sextarii dantur pro 60 numis, tunc quantum est pretium 20 sextariorum?» Multiplica igitur ____________________ 1 operati A: operanti D 2 si A: om. D 3 dierum 3 A: trium dierum D A: nummum D uid. 5 Vel aliter [p. 340, l. 2] – intelliget hec A D: om. I eodem aliter A: om. D P I 7 pro false I in per corrigendum

4 numerum 6 Item de

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20 in 60, et productum diuide per 100 et 50, sicut ostendimus in capitulo de emendo et uendendo. Vel si uolueris, denomina 2 operarios de 5, scilicet duas quintas. Accipe igitur duas quintas de 60 nummis que sunt 24, deinde denomina 10 dies de 30 diebus, scilicet terciam. Tota igitur pars, scilicet tercia de 24 que est 8, est id quod uoluisti. Vel aliter. Denomina 10 dies de 30 diebus, scilicet terciam eorum. Accipe igitur terciam de 60, que est 20. Deinde denomina 2 operarios de 5, scilicet duas quintas. Due igitur quinte de 20, que sunt 8, est id quod scire uoluisti. Vel aliter. Denomina 2 operarios de 5, et denomina 10 de 30 diebus, et multiplica 1 denominationem in aliam, et quale fuerit1 productum talis pars accepta de 60 erit id2 quod uoluisti. Omnes autem modi huius questionis fiunt sicut ostendimus in capitulo de portando. Item de eodem. Si quis conducit 5 operarios per 30 dies pro 60 nummis, dedit autem duobus 8 nummos, tunc quot dies debent ei seruire? Sic facies hic sicut3 in secundo capitulo de portando. Videlicet multiplica 2 operarios in 60 nummos, et fient 120, quos pone prelatum. Deinde multiplica 5 operarios in 30 et productum multiplica in 8 et productum diuide per prelatum, et exibunt 10, et tot sunt dies quos requiris. Vel aliter. Denomina 2 operarios de 5, scilicet duas quintas. Accipe igitur duas quintas de 60, que sunt 24. Et quota pars sunt 8 de 24. Tanta pars accepta de 30 erit id quod uoluisti. Vel aliter. Denomina 8 nummos de 60 nummis, scilicet decimam et terciam decime. Deinde tantam partem, scilicet decimam et terciam decime, accipe de 30, que est 4. Deinde inquire numerum in quem multiplicati 2 operarii fiant 5, et inuenies 2 et dimidium. In quos multiplica 4 et prouenient 10, et hoc est quod uoluisti. Omnes autem modi huius questionis fiunt sicut ostensum est in capitulo de portando. Item de eodem. Si quis conducit 5 operarios per 30 dies pro 60 nummis, 2 autem ex illis seruiunt dies tot quibus multiplicatis in pretium quod illi debebatur proueniunt 80, tunc quot sunt dies et quantum est pretium? Sic facies. Multiplica 2 operarios in 60, et prouenient 120, quos pone prelatum. Deinde multiplica 5 operarios in 30 dies, et prouenient 150. Quos multiplica in 8O, et productum diuide per prelatum. Et radix eius quod exit est dies quos queris, scilicet 10. Causa autem huius hec est4. Scimus enim quod comparatio 5 operariorum multiplicatorum in 30 dies ad nummos eorum est sicut comparatio duorum operariorum multiplicatorum in dies suos ad nummos eorum. Vnde sunt 4 ____________________ 1 fuerit A: fiunt D 4 hec est A: est hec D

2 id addidi cum D: om. A

3 post sicut exp. in capitulo D2

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proportionalia. Quod igitur fit ex 150 ductis in nummos ignotos equum est ei quod fit ex 60 ductis in 2 operarios et inde producto in dies eorum. Id autem quod fit ex 60 ductis in 2 operarios est 120. Dies autem duorum operariorum sint commune in multiplicando. Id ergo quod fit ex 150 ductis in numos 2 operariorum et exinde1 producto in dies eorum equum est ei quod fit ex 120 ductis in dies duorum operariorum ductos in se. Id autem quod fit ex 150 ductis in nummos duorum operariorum, et exinde producto in dies eorum equum est ei quod fit ex diebus eorum ductis in nummos eorum, et exinde producto in 150. Ex diebus autem ductis in nummos eorum proueniunt 80. Igitur id quod fit ex 80 ductis2 in 150 equum est ei quod fit ex 120 ductis in dies operariorum in se ductos. Manifestum est igitur quod si multiplicentur 150 in 80 et productum diuidatur per 120, exibit productum ex diebus ductis in se quod est 100. Horum igitur radix que est 10 sunt dies. Si igitur3 uolueris scire pretium, diuide 80 per 10, et exibunt 8, et tantum est pretium. Vel si uolueris alio modo inuenire4 pretium, multiplica 80 in 120, et productum diuide per 150, et eius quod exit radix est id quod uoluisti. Causa autem huius est sicut illa que paulo ante precessit. Item de eodem. Si quis conducit 5 operarios per 30 dies pro 60 nummis, duo autem ex illis operati sunt tot diebus quibus agregatis ad pretium debitum proueniunt 18, tunc quot sunt dies et quantum est pretium? Sic facies hic sicut in capitulo de portando, et huius probatio est sicut probatio illius. Videtur autem nobis eam hic iterum ponere, ne lector putet esse dissimilem que est hec. Conducitur aliquis ad portandum 12 sextarios triginta5 miliariis pro sexaginta numis. Portauit autem tres sextarios triginta miliariis6 nescio quot quibus agregatis cum pretio sibi debito fuerint 15. Sic facies hic ut in conducendis. Multiplica 5 operarios in 30 dies, et fient 150. Deinde multiplica 60 nummos in 2 operarios, et fient 120. Quos agrega ad 150, et fient 270, quos pone prelatum. Cum autem uolueris scire dies, multiplica 150 in 18 et productum diuide per prelatum, et exibunt 10, et tot sunt dies. Si autem uolueris scire pretium, multiplica 120 in 18 et productum diuide per prelatum, et exibunt 8, et tantum est pretium. Causa autem huius est sicut in capitulo de portando. Modus autem agendi secundum algebra7 est hic. Pone dies rem, et tunc pretium erit 18 minus re. Deinde multiplica rem in 120, et prouenient 120 res. Deinde multiplica 18 minus re in 150, et fient 2700 minus 150 rebus, que adequantur ad 120 res. Comple ergo 2700 adiectis 1508 rebus. Et adde totidem res 120 rebus, et fient 270 res que adequantur ad 2700. Res igitur ualet 10, et tot sunt ____________________ 1 exinde A2 D: inde A1 2 80 ductis A: ductis octoginta D 3 igitur A: autem D 4 inuenire A: adinuenire D 5 triginta addidi cum D: om. A 6 pro sexaginta [l. 24/25] – miliariis addidi cum D: om. A post miliariis exp. pro sexaginta numis portauit 7 algebra A: agebla D 8 150 A2 D: 100 A1 autem tres sex D2

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dies. Si autem uolueris inuenire pretium, pone1 rem et tunc dies erunt 18 minus re. Deinde multiplica rem in 150 et productum est equum ei quod fit ex 18 minus re ductis in 120. Deinde facies sicut docuimus in algebra2, et proueniet res 8, et tantum est pretium. 5

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Item de eodem. Cum aliquis conducit 5 operarios per 30 dies pro 60 nummis et 2 ex illis operantur diebus aliquot de quibus subtracto eo quod illis competit de pretio remanent 2, tunc quot sunt dies et quantum est pretium eorum? Omnibus illis modis facies hic quibus fecisti in capitulo de uehendo, et quisquis illa intellexit intelliget hoc3. A D I Capitulum de alio4. Si quis conducit pastorem ad custodiendum 100 oues 30 diebus pro 10 nummis, custodit autem 60 ex illis 20 diebus, tunc quantum debetur illi? Sic facies. Multiplica 100 in 30, et fient 3000, quos pone prelatum. Deinde multiplica 10 in 60, et productum inde multiplica in 20 et productum diuide per prelatum et exibunt 4, et tantum est quod debetur ei. AD

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Causa autem huius est hec. Scimus enim quod comparatio 100 ouium multiplicatarum in dies suos, qui sunt 30, ad nummos earum est sicut comparatio 60 ouium multiplicatarum in dies suos ad nummos earum. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Si igitur 10 multiplicentur in 60 et productum in 20, et id quod prouenit diuidatur per productum ex 100 ductis in 30, exibunt 4, et hoc est quod uoluisti. Vel aliter. Denomina 60 oues de 100, scilicet tres quintas eius. Accipe igitur tres quintas de 10, que sunt 6. Deinde denomina 20 dies de 30 diebus, scilicet duas tercias. Due igitur tercie de 6, que sunt 4, est id quod uoluisti. Causa autem huius est hec. Si enim pastor custodiret 60 oues 30 diebus deberentur ei tres quinte 10 nummorum, que sunt5 6 nummi. Nam ipse custodit tres quintas 100 ouium. Scis6 autem eum non custodisse nisi 20 diebus, que sunt due tercie 30 dierum. Due igitur tercie de 6, que sunt 4, debentur ei. Vel aliter. Denomina 20 dies de 30 diebus, scilicet duas tercias. Accipe igitur duas tercias 10 nummorum, que sunt 6 et due tercie. Deinde denomina 60 de 100, scilicet tres quintas eorum. Tres igitur quinte de 6 et duabus terciis, que sunt 4, est id quod debetur ei. Taliter autem manente questione si dixerit quod postquam pastor accipit 4 nummos pro custodiendis 60 ouibus, tunc quot dies debet eas custodire? ____________________ 1 post pone add. illud D 2 algebra A: agebla D 3 Scilicet multiplica [p. 342, l. 30] – intelliget hoc om. I 4 Capitulum de alio A: om. I: De custodia ouium pro numero dierum et precio add. D s.l. al.man. 5 sunt addidi cum D: om. A 6 scis A: scias D

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Sic facies. Multiplica 60 in 10, et productum pone prelatum. Deinde multiplica 4 nummos in 30 dies et productum in 100, et productum inde diuide per prelatum et exibunt 20, et hoc est quod uoluisti. Causa autem huius manifesta est ei qui nouit ea que predicta sunt in questionibus de portando. Vel aliter. Denomina 60 de 100 in tres quintas. De tribus 1 igitur 10 nummorum que sunt 6 denomina 4 nummos, scilicet duas tercias eorum. Et totidem partes de 30, scilicet due tercie que sunt 20, sunt id quod uoluisti. Vel si uolueris, denomina 4 nummos de 10 nummis, scilicet duas quintas. Accipe igitur totidem scilicet duas quintas de 30, que sunt 12. Deinde uide in quem numerum multiplicantur 60 ut fient 100, scilicet unum et duas tercias. Multiplica igitur 12 in 1 et duas tercias, et prouenient 20 et tot sunt dies2. A D I

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Capitulum de alio3. Si quis conducitur ad fodiendum4 foueam 10 cubitorum in longum et 8 in latum et 6 in altum pro 80 nummis, fodit autem foueam 4 cubitorum in longum et 3 in latum5 et 5 in altum, tunc quantum debetur ei? Sic facies. Multiplica 10 in 8, et fient 80. Quos multiplica in 6, et fient 480, quos pone prelatum. Deinde multiplica 3 in 4 et productum in 5, et prouenient 60. Quos multiplica in 80, et fient 4800. Quos diuide per prelatum et exibunt 10, et tantum debetur ei. AD

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Causa autem huius patet. Scimus enim quod spatium totius concauitatis maioris fouee, que est 480 cubitorum, sic se habet ad suum pretium, quod est 80 nummi, sicut spatium concauitatis minoris fouee, que est 60 cubitorum, ad pretium suum. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex 60 ductis in 80, si diuidatur per 480 exibit pretium. Vel aliter. Vide 60 quota pars sunt de 480, scilicet octaua. Tanta igitur pars de 80, scilicet octaua, que est 10, est id quod uoluisti. Causa autem huius 6 est hec quam diximus, scilicet quot tota concauitas minoris fouee sic se habet ad totam concauitatem maioris, sicut pretium illius ad pretium istius. Vel aliter. Denomina octoginta7 de tota magnitudine maioris fouee, scilicet sextam eius. Sexta igitur totius magnitudinis minoris fouee est pretium eius8. Si autem rotunde fuerint fouee inueni spatium totius concauitatis utriusque hoc modo. Multiplica scilicet dimidium circumferentie utriusque fouee in dimidium diametri utriusque, et productum multiplica in altitudinem suam, et ____________________ 1 quintis addidi 2 Causa autem [p. 345, l. 18] – tot sunt dies A D: om. I Item alia cetera [p. 339, l. 2] – tot sunt dies om. P 3 Capitulum de alio A: om. I : De foueis et earum conuersione in alias add. D m.d. al. man. 4 fodiendum A D: faciendum I 5 latum A D 6 huius A: om. D 7 octoginta addidi cum D: om. A 8 add. fouee I2: altum I1 rotunde mensura D m.s. al. man.

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productum est mensura spatii totius concauitatis utriusque fouee. Deinde denomina sicut supradocui in foueis quadratis, et proueniet quod queris. Si querat quis1: «Cum aliquis conducitur ad fodiendum foueam 10 cubitorum in longum et 6 in latum et 5 in profundum pro 100 nummis, accipit autem 10 nummos pro fodienda fouea duorum in latum et 3 in longum, quot habebit in profundum?» Scimus quod comparatio magnitudinis unius fouee ad magnitudinem alterius est sicut comparatio precii unius ad precium alterius. Magnitudo autem maioris fouee prouenit ex ductu 10 in 6 et producti in 5, qui fiunt 300. Magnitudo quoque minoris fouee prouenit ex ductu duorum in 3, et producti in profundum eius ignotum. Comparatio igitur trescentorum ad id quod fit ex ductu duorum in 3 et producti in profundum ignotum est sicut comparatio de 100 ad 10. Ex ductu autem duorum in 3 proueniunt 6. Comparatio igitur trescentorum ad productum ex ductu profundi in 6 est sicut comparatio de 100 ad 10. Multiplica igitur 300 in 10, et productum diuide per 100, et exibunt 30, qui sunt id quod fit ex ductu profundi in 62. Profundum igitur est 5. Si quis querat: «Cum aliquis conducitur ad fodiendum foueam 3 cubitorum in longum et duorum in latum et 5 in profundum pro 60 nummis, accipit autem 10 nummos pro fodienda fouea equalis in longitudine et latitudine in profundum autem unius cubiti et quarte, quanta erit eius longitudo et latitudo?» Sic facies. Scimus autem quod comparatio de 30, que est magnitudo unius fouee ad magnitudinem alterius fouee, est sicut comparatio de 60 ad 10. Fac sicut supradocuimus, et exibit magnitudo secunde fouee 5. Scimus autem quod magnitudo secunde fouee prouenit ex ductu sue longitudinis in suam latitudinem, et inde producti in profunditatem eius. Cum igitur diuiseris 5 per 1 et quartam, exibunt 4, qui sunt id quod fit ex ductu longitudinis in latitudinem. Longitudo autem equalis est3 latitudini. Igitur longitudo est 2 et latitudo similiter, et hoc est quod monstrare uoluimus4. A D I

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Si5 quis querat: «Cum aliquis carpentarius conducitur pro facienda6 arca7 108 in longum et 5 in latum et 89 in altum10 pro 170 nummis, fecit autem arcam11 212 in longum et totidem in latum et 4 in altum, quantum debetur ei?» Multi putant hanc questionem similem esse questionibus de foueis13. Putant enim quod comparatio magnitudinis prioris arche ad magnitudinem secunde arche sit sicut comparatio precii unius ad precium alterius, quod quidem est falsum14. Non enim uenditur concauitas arche, sed parietes arche concludentes. ____________________ 1 querat quis A: quis querat D 2 6 A2 D: 60 A1 3 est A: et D 4 Causa autem [p. 346, l. 13] – monstrare uoluimus A D: om. I 5 praem. De archarum precio secundum 6 profacienda A D: perfodienda I 7 arca tabulas et non secundum uacuitatem D2 m.s. A: archa D I 8 post 10 add. cubitorum I 9 8 D I: add. A2 s.l.: totidem A1 10 post altum exp. latum A2 11 arcam A: archam D I 12 post 2 add. cubitorum I 13 questionibus de foueis A D: questioni de fouea I (quia I unam questionem posuit) 14 est falsum A: falsum est D I

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Modus autem agendi in ea talis est. Scimus enim1 quod 6 parietes comprehendunt archam. Superior scilicet cuius2 longitudo est 10 et latitudo 5, – igitur magnitudo eius 50, – et alia inferior illi opposita que est equalis ei. Magnitudo igitur utriusque simul earum3 est 100. Et alius4 paries 8 in longum, et 5 in latum5. Magnitudo igitur illius est 40, que est6 equalis suo opposito. Magnitudo igitur utriusque simul est 80. Et alius 10 in longum et 8 in latum, qui est equalis suo opposito. Cuius magnitudo est7 80. Igitur magnitudo utriusque simul est 160. Magnitudo igitur omnium parietum prioris arche est 340. Similiter possumus scire magnitudinem parietum minoris arche. Scimus enim eam similiter contineri 6 parietibus. Superiore scilicet qui est8 3 in longum et duorum in latum. Magnitudo igitur eius est 6 et est equalis suo opposito. Magnitudo igitur utriusque est 12, et alio 4 in longum et 2 in latum. Igitur magnitudo eius est 8 qui est equalis suo opposito. Magnitudo igitur utriusque est 16, et alio 4 in longum et 3 in latum. Magnitudo igitur eius est 12, qui est equalis suo opposito. Magnitudo igitur utriusque est 24. Magnitudo igitur omnium parietum secunde arche est 52. Manifestum est igitur quod comparatio magnitudinis omnium parietum unius arche ad magnitudinem parietum alterius est sicut comparatio pretii unius ad pretium alterius. Comparatio igitur 340 ad 52 erit sicut comparatio de 170 ad pretium omnium parietum secunde arche. Igitur debentur ei 26 nummi, et hoc est quod monstrare uoluimus9. AD

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Capitulum de impensa olei lampadarum10. Nota quod11 in hoc capitulo per omnes questiones eius tria ponuntur numerus, scilicet lampadarum, numerus noctium, numerus mensurarum. Vnde fiunt multe species questionum. Aut enim ponitur numerus noctium et lampadarum, et queritur de numero mensurarum, sicut in prima questione, aut ponitur numerus noctium et mensurarum et queritur de numero lampadarum, sicut in secunda, aut ponitur numerus lampadarum et mensurarum, et queritur de numero noctium, sicut in quarta (sic)12. Item he 3 species uariantur secundum pluralitatem et singularitatem istorum 3, et secundum fractiones. Prima ergo questio est hec. Si quis querat: «Cum una lampas consumat in una nocte de oleo quartam octaue unius arroue13, tunc quot arrouas de oleo consumunt 300 lampades in 20 noctibus?» Sic facies. Numeros a quibus denominatur quarta et octaua multiplica inter se, et prouenient 32, quos pone prelatum. Deinde multiplica 300 in 20 et prouenient ____________________ 1 enim A2 D I: ei A1 2 scilicet cuius A I: om. D 3 simul earum A D: earum simul I 4 alius A I: alias D 5 Magnitudo igitur [l. 4] – in latum iter. A 6 est A I: etiam D 7 est A I: etiam D 8 est A I: et D 9 Capitulum de alio [p. 346, l. 13] – monstrare uoluimus om. P 10 Capitulum de impensa olei lampadarum A: De lampadibus oleum consumentibus secundum tempus mensuras D m.d. al. man. 11 quod A: quia D 12 quarta A D in tercia corrigendum 13 arroue A2 D: aroue A1

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6000, quos diuide per prelatum, et exibunt 187 et dimidia, et hic est numerus arrouarum. Causa autem huius est hec. Positum est quod id quod consumit lampas est 1 pars de 32 partibus arroue. Sequitur ergo ut 32 lampades consumant arrouam in 1 nocte. Scis autem quod si multiplicentur 300 lampades in 20 noctes prouenient 6000 lampadum. Quas diuide per 32 lampadas ut singulis simul1 32 attribuas arrouam. Competunt igitur eis 187 arroue et dimidia. Vel aliter. Positum est unam lampadem in 1 nocte consumere unam quartam octaue unius arroue de oleo. Sequitur ergo ut 300 lampades consumant trescentas quartas octaue in una nocte. Et quoniam nos intenderimus scire quot arrouas olei consumunt 300 lampades in 20 noctibus, ideo trescentas quartas octaue multiplica in 20, et prouenient 6000 quarte octaue arroue2. Quas diuide per numerum qui fit ex denominationibus, scilicet quarta et octaua, inter se ductis, qui est 32, et exibunt 187 arroue et dimidia. Vel aliter. Iam scis 300 lampades in una3 nocte consumere 300 quartas octaue, que sunt 9 arroue et tres [quarte]4 octaue5. Igitur multiplica eas in 20 noctes, et prouenient 187 et dimidia, et hoc est quod uoluisti. Vel aliter. Vna lampas consumit in 20 noctibus 20 quartas octaue, que sunt quinque octaue arroue. Has igitur multiplica in 300 lampades. Nam unaquaque illarum consumit in 20 noctibus quinque octauas arroue, et proueniunt 187 arroue et dimidia, et hoc est quod uoluisti. Item de eodem. Si quis querat, dicens: «Cum una lampas in 1 nocte consumit dimidiam [dimidiam]6 octauam7 arroue, tunc quot lampades [eorum]8 consumunt 100 arrouas in 30 noctibus?» Sic facies. Numeros a quibus denominantur dimidia et9 octaua, qui sunt 2 et 8, multiplica inter se, et prouenient 16. Quos multiplica in 100, et prouenient 1600. Quos diuide per 30, et exibunt 53 lampades et tercia. Causa autem huius est. Scimus enim ex questione10 quod una lampas consumit in 1 nocte dimidiam octauam. Sequitur ergo ut 16 lampades consumant arrouam 1, que est 16 partes in una nocte. Quas 16 partes, si multiplicaueris11 in 100 arrouas, prouenient 1600 partes. Quarum unamquamque consumit una lampas in una nocte. Has igitur 1600 partes consumunt 1600 lampades in 1 nocte. Scis autem quod he 1600 partes, que sunt 100 arroue, consumuntur in 30 noctibus. Si igitur diuiseris 1600 lampades per 30 noctes, exibit numerus lampadarum que consumunt12 100 arrouas in 30 noctibus, et hoc est quod uoluisti.

____________________ 1 simul A: om. D 2 arroue A: om. D 3 una addidi cum D: om. A 4 emendaui quarte quod fallaciter post tres addiderunt A D 5 octaue A: om. D 6 emendaui 8 eorum A: om. D 9 et dimidiam quod iterauerunt A D 7 octauam A2 D: 8 A1 2 10 ex questione A: exponere D 11 multiplicaueris A: multiplicauerit D D: add. A s.l. 12 consumunt A: consumuntur D

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Vel aliter. Diuide 100 arrouas per 30 noctes, et quod exit multiplica in 16, qui fit ex numeris in se ductis, a quibus denominatur dimidia octaua, et productum est 53 et tercia, et tot sunt lampades. Causa autem huius est hec. Scimus enim ex premissis quod modus agendi erat hic multiplicare 16 in 100 arrouas et productum diuidere per 30, quod idem est quod diuidere 100 per 30 et quod exit multiplicare in 16. Cum enim aliquis numerus multiplicatur in alium et productum diuiditur1 per tertium alium, tunc id quod exit de diuisione idem est ei quod exit ex diuisione secundi per tertium, et eius quod exit2 ductu3 in primum, sicut dictum est in propositione sexta4. D Cuius probatio hec est. Exempli gratia. Numerus g multiplicetur in numerum b et proueniat numerus a. Et numerus a diuidatur per d et exeat h. Diuidatur etiam b per d et exeat k. Et multiplicetur k in g, et proueniat t. Dico igitur quod t equum est ad h. Secundum sic probatur. Ex ductu enim g in b prouenit a. Et ex diuisione a per d exit h. Si igitur multiplicetur d in h, exibit a. Idem est igitur multiplicare g in b quod est multiplicare d in h. Ex diuisione etiam linee b per d exit k. Igitur si multiplicetur k in d, exibit b. Ex ductu autem k in g prouenit t. Igitur linea k multiplicatur in duos numeros, qui sunt d et g. Comparatio igitur linee b ad t est sicut comparatio linee d ad g. Quod igitur fit ex ductu g in b equum est ei quod fit ex ductu t in d. Quod autem fit ex ductu g in b equum est ei quod fit ex ductu h in d. Ergo id quod fit ex ductu t in d equum est ei quod fit ex ductu h in d. Igitur linea t equalis est linee h, et hoc est quod monstrare uoluimus. Manifestum igitur ex predictis quod multiplicare uoluimus sexdecim in centum et productum diuidere per triginta et quod exit multiplicare in sexdecim5. AD

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Vel aliter. Scimus quod 1 lampas in 30 noctibus consumit 306 dimidias octauas, que sunt arroua et septem octaue. Diuide igitur per illas 100 arrouas, et exibunt 53 et tercia, et tot sunt lampades. Causa autem huius hec est. Scimus enim quod 1 lampas consumit in7 30 noctibus 30 dimidias octauas que sunt arroua et septem octaue unius arroue. Comparatio autem unius lampadis ad 1 arrouam et septem octauas arroue est sicut comparatio lampadarum ignotarum ad 100 arrouas, quas consumunt lampades

____________________ 1 diuiditur A1 D: diuidatur A2 2 post exit exp. ex A2 3 ductu A2 D: ductum A1 4 Capitulum de impensa [p. 348, l. 22] – sexta A D: om. P 5 Cuius probatio [l. 11] – sexdecim addidi cum D: om. A P emendaui et quod exit multiplicare in sexdecim quod fallaciter post triginta addidit D 6 consumit 30 iter. A 7 in D: add. A2m.s.

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ignote. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu unius lampadis in 100 arrouas equum est ei quod fit ex ductu unius et septem octauarum in lampades ignotas. Si igitur multiplicetur una lampas in 100, et productum diuidatur per 1 et septem octauas, exibunt lampades ignote. Similiter1 si quis querat, dicens: «Cum una lampas consumit2 de oleo duas nonas octaue unius arroue in una nocte, tunc quot lampades consumunt 100 arrouas in 30 noctibus?» Sic facies. Numeros denominantes nonam et octauam, qui sunt 9 et 8, multiplica inter se, et prouenient 72. Quos multiplica in 100 arrouas3 et productum diuide per 30, et eius quod exit medietas est numerus lampadarum4, qui est 120. Causa autem prope quam accipimus medietatem eius quod exit hec est. Scimus enim quod una lampas, si consumeret in 1 nocte nonam octaue unius arroue, que est pars 15 ex 72 partibus arroue, sequeretur ut 240 lampades consumerent 100 arrouas in 30 noctibus. Et quoniam supradictum est quod una lampas in 1 nocte consumit duas nonas octaue, que sunt 2 partes de 72. Sequitur ut 120 lampades consumant 100 arrouas in 30 noctibus. Consumptio enim geminatur. Similiter etiam si dicatur quod 1 lampas in una nocte consumit tres quartas octaue, tunc quot lampades consumunt 100 arrouas in 30 noctibus. Facies sicut predocui, et eius quod exit accipe terciam, quoniam sic proposuit tres quartas octaue. Similiter etiam fiet si multiplicauerit quotlibet6 fractiones. Vel aliter. Multiplica medietatem septuaginta duorum, que est 36, in 100 arrouas et productum diuide per 30 noctes, et exibunt 120, et hoc est quod uoluisti. Vel aliter. Duplica 30 quoniam dixit duas nonas octaue fient 60 noctes. In unaquaque igitur harum noctium consumit una lampas nonam octaue unius arroue. Quasi ergo dicatur: «Cum una lampas consumit nonam octaue in una nocte, tunc quot lampades consumunt 100 arrouas in 60 noctibus?» Sic facies. Multiplica 72 in 100, et productum diuide per 60, et exibunt 120, et hoc est quod uoluisti. Vel aliter. Scimus enim quod postquam 1 lampas in 1 nocte consumit duas nonas octaue, sequitur ut in 30 noctibus consumat quinque sextas arroue. Nam consumit 60 partes de 72. Diuide ergo 100 arrouas per quinque sextas, sicut predocuimus in libro primo capitulo diuidendi, et exibunt 120, et tot sunt lampades. Causa autem huius est sicut ostendimus in capitulo precedenti. Item de eodem. Si quis querat, dicens: «Cum una lampas consumit in 1 nocte nonam octaue, tunc in quot noctibus consument 40 lampades 20 arrouas?»

____________________ 1 similiter A: om. D 2 consumit A: consumunt D 3 arrouas A2 D: arouas A1 4 est numerus lampadarum iter. A 5 pars 1 A: una pars D 6 quotlibet A D2: 1 quolibet D

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Sic facies. Numeros denominantes nonam et octauam multiplica inter se, et prouenient 72. Quos multiplica in 20 arrouas et productum diuide per 40, et exibunt 361, et tot sunt noctes. Cuius probatio hec est. Scimus enim quod in arroua sunt 72 partes, quarum unamquamque consumit una lampas in 1 nocte. Si igitur multiplicaueris 72 partes in 20 arrouas, exibunt 1440 none octauarum. Has igitur consumunt 1440 lampades in una nocte. Scis etiam ex proposito questionis quid consumunt quadraginta lampades2 in noctibus ignotis. Si igitur 1440 lampades diuiseris per quadraginta lampades3, exibunt noctes in quibus consumunt 40 lampades 1440 partes, que sunt 20 arroue. Vel aliter. 40 lampades consumunt in una nocte 404 nonas octauarum, que sunt quinque none arroue. Per has igitur diuide 20 arrouas, et exibunt 36, et tot sunt noctes. Causa autem huius hec est. Scimus enim quod 40 lampades consumunt in 1 nocte 40 nonas octauarum, que sunt quinque none arroue. Manifestum est igitur quod comparatio noctis ad quinque nonas, quas consumunt in ipsa nocte 40 lampades, est sicut comparatio noctium ignotarum, in quibus 20 arrouas consumunt 40 lampades, ad 20 arrouas. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu unius noctis in 20 arrouas, si diuidantur per quinque nonas, exibunt noctes ignote. Vel aliter. Pone noctes ignotas rem. Iam autem scis quod 40 lampades consumunt in 1 nocte quinque nonas arroue. Manifestum est igitur quod comparatio unius noctis ad quinque nonas est sicut comparatio noctium ignotarum, in quibus 40 lampades consumunt 20 arrouas, ad 20 arrouas. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu unius noctis in 20 arrouas, quod scilicet est 20, equum est ei quod fit ex ductu rei in quinque nonas, quod est quinque none rei. Res igitur est 36, et tot sunt noctes ignote. Item de eodem. Cum una lampas consumit duas nonas octaue in una nocte, tunc in quot noctibus 40 lampades consumunt5 20 arrouas? Sic facies. Numeros a quibus denominatur nona et octaua inter se multiplica, et prouenient 72. Quos multiplica in 20 arrouas, et prouenient 1440. Quos diuide per 40 et exibunt6 367. Et eius quod exit medietas, que est 18, quoniam dixit duas nonas octaue, est numerus noctium ignotarum. Causa autem prope quam accipimus medietatem eius quod exit de diuisione hec est. Scis enim quod arroua est 72 none octaue, et quod una lampas in 1 nocte consumit de illis duas nonas octaue, que sunt 2 partes septuaginta duarum nonarum octaue. Has igitur 72 nonas octaue, si multiplicaueris in 20 arrouas, ____________________ 1 36 A D2: 26 D1 2 in una nocte [l. 7] – lampades addidi cum D: om. A 3 diuiseris 5 consumunt A: per quadraginta lampades addidi cum D: om. A 4 40 A D2: 400 D1 7 per 40 et exibunt 36 A: 40 et exibunt consument D 6 40 et exibunt D: add. A2 m.d. per 36 D

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prouenient none octauarum, scilicet 1440 none octauarum. Has igitur consumunt in una nocte 720 lampades. Nam unaquaque earum consumit in una nocte duas nonas octaue. Scis etiam quod he partes 720 duplate consumuntur 720 lampadibus. Quas si diuiseris per 40, exibunt noctes ignote, in quibus 40 lampades consumunt 20 arrouas. Vel aliter. Medietatem septuaginta duorum, que est 36, multiplica in 20 et productum diuide per 40, et exibunt 18, et tot sunt sunt noctes ignote. Vel aliter. 40 lampades consumunt in 1 nocte octoginta nonas octaue, que sunt arroua 1 et nona unius arroue. Per 1 igitur et nonam diuide 20, et exibunt 18, et tot sunt noctes. Item de eodem. Si quis querat: «Cum 6 lampades consumunt tres octauas in una nocte, tunc quot arrouas consumunt in 30 noctibus?» Sic facies. Positum est 6 lampades consumere tres octauas. Has igitur multiplica in 30 noctes, et prouenient 11 arroue et quarta arroue, et hoc est quod uoluisti. Item de eodem. Si quis querat: «Cum 3 lampades consumant octauam arroue1 in una nocte, tunc quot arrouas consumunt2 10 lampades in 30 noctibus?» Sic facies. Numerum a quo denominatur octaua, qui est 8, multiplica in 3 lampades, et prouenient 24, quos pone prelatum. Deinde multiplica 10 lampades in 30 noctibus, et productum diuide per prelatum, et exibunt 12 et dimidium, et tot sunt arroue ignote. Cuius probatio talis est. Si enim octauam consumeret3 una lampas in una nocte, sequeretur ut 10 lampades consumerent4 in 30 noctibus 37 arrouas et dimidiam, secundum quod diximus in primo capitulo de lampadibus, scilicet ut multiplices 10 lampades in 30 noctibus et productum diuidas per numerum a quo denominatur octaua, qui est 8. Postquam igitur positum est 3 lampades consumere octauam in una nocte, sequitur ut accipias tertiam partem harum 37 arrouarum et dimidie, que exierunt de diuisione hoc modo. Videlicet diuide eas per 3. Scis autem quod multiplicare 10 in 30 et productum diuidere5 per 8, et quod exit diuidere per 3, idem est quod multiplicare 10 in 30, et productum diuidere per productum ex 8 ductis in 3. Vel aliter. Scis quod postquam 3 lampades consumunt in 1 nocte octauam, sequitur ut unaquaque illarum consumat in una nocte terciam octaue6. Quasi ergo dicatur: «Cum una lampas consumat in 1 nocte terciam octaue, tunc quot arrouas consumunt 10 lampades in 30 noctibus?» Fac sicut supradictum est, scilicet

____________________ 1 arroue A2 D: aroue A1 2 consumunt A: consument D 3 consumeret A: consument D 4 consumerent A: consument D 5 diuidere A: diuide D 6 sequitur ut – octaue A2 D: sequitur ut unaquaque illarum consumat in una nocte terciam octauam A1

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multiplica 10 in 30, et productum diuide per 24, qui sit ex numeris denominationum, scilicet tercia et octaua, et quod exierit est id quod uoluisti. Deinde prosequere hanc questionem per omnes modos eius, sicut ostensum est in primo capitulo lampadarum. Vel aliter. Postquam 3 lampades consumunt octauam in una nocte, sequitur ut 10 lampades consumant in una nocte tres octauas et terciam octaue. Nam trium lampadarum 10 lampades triplum sunt et insuper tercia. Multiplica igitur tres octauas et terciam 1 in 30, et proueniet quod queris, scilicet 12 arroue et dimidia. Item de eodem. Si quis querat: «Cum 6 lampades consumant tres octauas in una nocte, tunc quot arrouas consumunt 10 lampades in 30 noctibus?» Sic facies. Numerum a quo denominatur octaua2, scilicet 8, multiplica in 6, et prouenient 48, quos pone prelatum. Deinde 3, qui est numerus octauarum, multiplica in 10 lampades, et prouenient 30. Quos multiplica in 30 noctes, et prouenient 900. Quos diuide per prelatum, et exibunt 18 arroue et tres quarte unius arroue. Cuius rei causa patet. Nam si una lampas consumeret3 tres octauas in una nocte, sequeretur ut 10 lampades consumerent 112 arrouas et dimidiam in 30 noctibus, secundum quod dictum est in secundo capitulo candelarum, scilicet ut multiplices tres octauas in 10, et prouenient 30 octaue. Quas multiplica in 30 noctes, et prouenient 900 octaue, quas diuide per 8. Vnde denominatur octaua. Et quoniam supradictum est 6 lampades consumere tres octauas in una nocte, oportet accipere sextam de 112 et dimidia hoc modo, uidelicet ut diuidas 1124 et dimidiam per sex. Notum est autem quod multiplicare 3 in 10, et productum multiplicare in 30 et productum diuidere per 8, et quod exit diuidere per 6, idem est quod multiplicare 3 in 10 et productum in 30 et productum diuidere per productum ex 8 ductis in 6, et hoc est quod monstrare uoluimus. Vel aliter. Postquam 6 lampades consumunt tres octauas in una nocte, sequitur ut unaquaque illarum consumat in 1 nocte dimidiam octaue. Quasi ergo sic dicatur: «Cum una lampas consumat dimidiam octaue in una nocte, tunc quot arrouas consumunt 10 lampades in 30 noctibus?», fac sicut supramonstratum est per omnes modos eius, et exibunt 18 et tres quarte. Item de eodem. Si quis querat: «Cum 6 lampades consumant tres octauas in una nocte, tunc quot lampades consumunt 20 arrouas in 30 noctibus?» Sic facies. Multiplica numerum octauarum in 30, et prouenient 90, quos pone prelatum. Deinde numerum a quo denominatur octaua, scilicet 8, multiplica in 6

____________________ 1 octaue addidi D: 100 A1

2 octaua A2 D: 8 A1

3 consumeret A: consument D

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lampades, et prouenient 48. Quos multiplica in 20, et prouenient 990 (sic)1. Quos diuide per prelatum, et exibunt 10 lampades et due tercie unius lampadis, et hoc est quod uoluisti. Cuius rei causa est hec2. Postquam enim 6 lampades consumunt tres octauas in una nocte, sequitur ut in 30 noctibus consumant 90 octauas. Positum est autem quod lampades ignote consumunt in 30 noctibus 20 arrouas, que sunt 160 octaue. Manifestum est igitur quod comparatio 6 lampadum ad id quod consumitur3 in 30 noctibus, que sunt 90 octaue, est sicut comparatio lampadum ignotarum ad id quod consumitur4 in 30 noctibus, quod est 160 octaue. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Si igitur multiplices 6 in 160, et productum diuidas per 90, exibit numerus lampadarum ignotarum. Vel aliter. Inquire numerum in quem multiplicate5 90 octaue fiunt 160 octaue, et inuenies 1 et septem nonas. Vnum igitur et septem nonas multiplica in 6, et prouenient 10 et due tercie, qui est numerus lampadarum. Vel aliter. Iam scis quod 6 lampades consumunt in 30 noctibus 90 octauas, que sunt 11 arroue et quarta arroue, quas pone prelatum. Deinde multiplica 6 in 20, et productum diuide per prelatum, et exibunt 10 et due tercie. Cuius rei causa est hec6. Scimus enim quod 90 octaue, quas consumunt 6 lampades in 30 noctibus, sunt 11 arroue et quarta arroue. Manifestum est igitur quod comparatio 6 lampadarum ad 11 arrouas et quartam est sicut comparatio lampadarum ignotarum ad 20 arrouas, quas consumunt in 30 noctibus. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Si igitur multiplicaueris 6 in 20, et productum diuiseris per 11 et quartam, exibit numerus lampadarum ignotarum. Vel aliter. Scis enim quod 6 lampades postquam consumunt tres octauas in una nocte, sequitur ut una lampas consumat dimidiam octauam in una nocte. Quasi ergo dicatur: «Postquam una lampas consumit dimidiam octauam in una nocte, tunc quot lampades consumunt 20 arrouas in 30 noctibus?», fac sicut supraostensum est, et exibunt 10 et due tercie, qui est numerus lampadarum. Item de eodem. Si quis querat: «Cum 6 lampades consumunt tres octauas in una nocte, tunc in quot noctibus 10 lampades consumunt7 20 arrouas?» Sic facies. Multiplica numerum octauarum, qui est 3, in 10, et prouenient 30, quos pone prelatum. Deinde numerum a quo denominatur octaua, qui est 8, multiplica in 6, et prouenient 48, quos multiplica in 20 arrouas, et productum diuide per prelatum et exibunt 32, qui est numerus noctium ignotarum. Cuius rei causa patet ex premissis. Vel aliter. Postquam 6 lampades consumunt in 1 nocte tres octauas, sequitur ut unaquaque illarum consumat in nocte dimidiam octauam8. Quasi ergo dicatur: ____________________ 1 990 false A D in 960 corrigendum 2 est hec A: hec est D 3 consumitur A: consumunt D 4 consumitur A: consumunt D 5 multiplicate A: multiplicare D 6 est hec A: hec est D 7 consumunt A: consument D 8 post octauam exp. tunc decem lampades in quot noctibus D2

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«Cum una lampas consumat in nocte dimidiam octauam, tunc 10 lampades in quot noctibus consumunt1 20 arrouas?» Fac sicut predocuimus, et exibit quod uoluisti.

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Capitulum de impensa animalium2. Si quis querat: «Cum unum animal comedat quartam caficii in una nocte, tunc quot caficios comederent3 20 animalia in 30 noctibus?» Hoc capitulum non differt a capitulo lampadarum. Per omnes questiones suas preter hic quod sequitur. D

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Numerum a quo denominatur quarta, scilicet quatuor, pone prelatum. Deinde multiplica uiginti in triginta, et fient sexcenta, quos diuide per prelatum, et exibunt centum quinquaginta et tot sunt caficii. Causa autem huius hec est. Postquam enim unum animal comedit quartam caficii in una nocte, sequitur ut uiginti animalia comedant in una nocte uiginti quartas. Quas si multiplicaueris in triginta, prouenient sexcente quarte caficii. Quas comedunt uiginti animalia in triginta noctibus. Has igitur diuide per denominationem quarte ut scias quot caficii sunt in eis. Vel aliter. Tu scis quod uiginti quarte quas comedunt uiginti animalia in una nocte sunt quinque caficii. Sequitur ergo ut in triginta noctibus comedant centum quinquaginta caficios. Videlicet multiplica quinque caficios in triginta noctibus, et proueniet quod queris. Vel aliter. Tu scis quod postquam unum animal comedit in nocte unam quartam caficii, sequitur ut in triginta noctibus comedat triginta quartas caficii, que sunt septem caficii et dimidius. Quos multiplica in numerum animalium et prouenient centum quinquaginta, et hoc est quod scire uoluisti. Scias quod idem est numerus caficiorum quos comedit unum animal in mense et numerus de almodis quos comedit in anno. Cum enim unum animal comederit septem caficios et dimidium in mense, sequetur necessario ut comedat septem almodis et dimidium in anno. Et sic semper numerus de almodis in anno idem erit qui numerus caficiorum in mense. Cuius rei causa patet. Quoniam cum unum animal comederit in mense septem caficios et dimidio et uolueris scire quot almodis comedit in anno, multiplica septem caficios et dimidium in numerum mensium tocius anni, qui est duodecim, et productum diuide per numerum caficiorum qui faciunt unum almodi scilicet duodecim. Scis enim quoniam si multiplicaueris septem et dimidium in duodecim et productum diuiseris per duodecim, exibunt septem et dimidium. Et ob hoc contingit illud.

____________________ 1 consumunt A: consument D 2 Capitulum de impensa animalium A: De animalium pastu et impensa D 3 comederent A: comedent D

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Vel aliter. Scis enim quoniam cum unum animal comedit in una nocte quartam caficii, sequitur ut in quatuor noctibus comedat caficium. Inquire ergo numerum in quem multiplicate quatuor noctes fiant triginta, et inuenires septem et dimidium. Multiplica igitur caficium in septem et dimidium et productum multiplica in uiginti, et prouenient centum quinquaginta caficii, et hoc est quod uoluisti. Item de eodem. Si quis querat: «Cum unum animal comedat in una nocte duas quintas caficii, tunc quot caficios comedent uiginta animalia in triginta noctibus?» Sic facies. Numerum a quo denominatur quinta, scilicet quinque, pone prelatum. Deinde multiplica uiginti in triginta, et prouenient sexcenta. Quos diuide per prelatum, et exibunt centum uiginti. Quos duplica et fient ducenta quadraginta, et hoc est quod uoluisti. Causa autem duplandi id quod de diuisione exiuit hec est. Scis enim quod cum unum animal in una nocte comedit duas quintas caficii, sequitur ut in triginta noctibus comedat sexaginta quintas caficii. Quas si multiplices in numerum animalium et productum diuiseris per numerum denominantem quintam, exibunt ducenta quadraginta. Quod idem est quod multiplicare uiginti in triginta et productum diuidere per numerum denominantem quintam et duplare quod exit. Nam comestio duplicatur. Omnes modi huius questionis fiunt secundum modos precedentis. Item de eodem. Si quis querat: «Cum unum animal in una nocte comedat terciam caficii, tunc quot animalia conmedent quadraginta caficios in triginta noctibus?» Sic facies. Numerum a quo denominatur tercia, qui est tres, multiplica in quadraginta, et prouenient centum uiginti. Quos diuide per triginta, et exibunt quatuor animalia. Cuius rei causa hec est. Scimus enim quod cum unum animal comedit terciam caficii in una nocte, sequitur ut centum uiginti animalia comedant quadraginta caficios in una nocte. Diuide igitur centum uiginti per triginta noctes ut scias quot animalia competunt unicuique nocti. Vel aliter. Postquam unum animal conmedit terciam caficii in una nocte, sequitur ut comedat decem caficios in triginta noctibus. Diuide igitur quadraginta caficios per decem et exibunt quatuor, et tot sunt animalia. Cuius rei causa hec est. Scimus enim quod comparatio unius animalis ad id quod expendit in mense, quod est decem caficii, est sicut comparatio animalium ignotorum ad id quod comedunt quod est quadraginta caficii. Vnde sunt quatuor numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu animalis in quadraginta caficios, si diuidatur per decem, exibunt animalia ignota, et hoc est quod uoluisti. Item de eodem. Si quis querat: «Cum unum animal comedat quartam caficii in una nocte, tunc in quot noctibus conmedunt quinquaginta animalia centum caficios?»

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Sic facies. Numerum a quo denominatur quarta multiplica in centum, et fient quadraginta (sic)1. Quos diuide per quinquaginta, et exibunt octo et tot sunt noctes. Cuius rei causa hec est. Postquam enim unum animal conmedit quartam caficii in nocte, sequitur ut in quadringentis noctibus conmedat centum caficios. Scis autem quod centum caficios conmedunt quinquaginta animalia. Si igitur diuiseris quadringenta per quinquaginta, exibit numerus nocium (sic). Vel aliter. Scimus enim quod postquam unum animal conmedit quartam caficii in nocte, sequitur ut in quinquaginta animalia conmedant duodecim caficios et dimidium in una nocte. Diuide igitur centum caficios per duodecim et dimidium, et exibunt octo qui est numerus noctium ignotorum. Causa autem huius patet intelligenti precedentia. Item de eodem. Si quis querat: «Cum unum animal comedat tres octauas caficii una nocte, tunc quot noctibus comedent uiginti animalia centum caficios?» Sic facies. Numerum a quo denominatur octaua multiplica in centum et productum diuide per uiginti, et exibunt quadraginta. Quorum tercia, quoniam dictum est tres octauas conmedi in nocte, que est tredecim et tercia, est id quod uoluisti. Causa autem propter quam accipimus terciam eius quod de diuisione exit hec est. Scimus enim quod si unum animal expenderet in nocte octauam caficii, sequitur et (sic)2 quod expenderet centum caficios in octingentis noctibus. Postquam autem positum est unum animal expendere in nocte tres octauas caficii, sequitur ut expendat centum caficios in ducentis et sexaginta sex noctibus et duabus terciis noctis. Has igitur si diuiseris per numerum animalium, que sunt uiginti, exibit numerus noctium. Scis autem quod multiplicare octo in centum et producti diuidere terciam per uiginti idem est quod multiplicare octo in centum et productum diuidere per uiginti et accipere terciam eius quod exit. Similiter etiam facies per omnes modos huius questionis, sicut predocuimus. Item de eodem. Si quis querat: «Cum quinque animalia comedant octo caficios in sex noctibus, tunc quot caficios comedent uiginti animalia in triginta noctibus?» Sic facies. Quinque animalia multiplica in sex noctes, prouenient triginta, quos pone prelatum. Deinde multiplica octo caficios in uiginti animalia et productum multiplica in triginta noctes et productum diuide per prelatum, et exibunt centum et sexaginta caficii, et hoc est quod uoluisti. Causa autem huius hec est. Scimus enim quod comparatio quinque animalium ad octo caficios quos conmedunt in sex noctibus est sicut comparatio uiginti animalium ad id quod expendunt in sex noctibus. Vnde sunt quatuor numeri proportionales. Quod igitur fit ex octo ductis in uiginti, si diuiseris per quinque, ____________________ 1 quadraginta false D in quadringenti corrigendum corrigendum

2 sequitur et false D in sequeretur ut

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exibit numerus caficiorum quos expendunt uiginti animalia in sex noctibus, qui est triginta duo. Manifestum est etiam quod comparatio sex noctium ad triginta noctes est sicut comparatio caficiorum sex noctium, qui sunt triginta duo, ad caficios triginta noctium. Vnde sunt quatuor numeri proportionales. Quod igitur fit ex triginta ductis in triginta duo, si diuidatur per sex, exibit caficiorum numerus, quos conmedunt uiginti animalia in triginta noctibus. Manifestum est igitur quod si multiplices octo in uiginti et productum diuidas per quinque, et quod exit multiplices in triginta et productum diuidas per sex, exibit numerus caficiorum quos conmedunt uiginti animalia in triginta noctibus. Iam autem ostendimus in precedentibus quod multiplicare octo in uiginti et productum diuidere per quinque et quod exit multiplicare in triginta et productum diuidere per sex idem est quod multiplicare octo in uiginti et productum in triginta et hoc productum diuidere per productum ex sex ductis in quinque, et hoc est quod monstrare uoluimus. Vel aliter. Scimus enim quod postquam quinque animalia conmedunt octo caficios in sex noctibus sequitur ut conmedant quadraginta caficios in triginta noctibus. Vnde sunt quatuor numeri proportionales. Si igitur multiplices uiginti in quadraginta et productum diuidas per quinque, exibunt centum sexaginta, et tot sunt caficii quos expendunt uiginti animalia. Vel aliter. Inquire numerum in quem multiplicata quinque animalia fiunt quadraginta quod sunt eorum caficii, et inuenies octo. Quos multiplica in uiginti, et prouenient centum sexaginta, et hoc est quod uoluisti. Cuius rei causa patet consideranti predicta. Vel aliter. Scis enim quod cum quinque animalia comedunt octo caficios in sex noctibus, sequitur ut unum ex illis conmedant (sic)1 in una nocte quintam caficii et terciam quinte2 eius. Quasi ergo queratur: «Cum unum animal conmedat quintam caficii et terciam quinte caficii in una nocte, tunc quot caficios conmedent uiginti animali in triginta noctibus?», fac sicut supradocuimus. Scilicet numerum a quo denominatur quinta pone prelatum. Deinde multiplica uiginti in triginta, et prouenient sexcenta. Quos diuide per prelatum, et exibunt centum uiginti. Deinde inquire numerum in quem multiplicata quinta fiat quinta et tercia quinte, et3 inuenies unum et terciam. Vnum igitur et terciam multiplica in centum uiginti, et prouenient centum sexaginta, et hoc est quod uoluisti. Vel aliter. Tu scis quod4 cum unum animal expenderit in nocte quintam et terciam quinte, sequitur ut uiginti animalia expendant in una nocte quinque caficios et terciam. Multiplica igitur quinque caficios et terciam in triginta noctes, et prouenient centum sexaginta caficii. Item de eodem. Si quis querat: «Cum quinque animalia conmedant sex caficios in octo noctibus, tunc quot animalia conmedent quinquaginta caficios in triginta noctibus?» ____________________ 1 conmedant false D in conmedat corrigendum iter. D 4 quod iter. D

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post quinte exp. caficii D2

3 et

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Sic facies. Multiplica triginta in sex caficios, et prouenient centum octoginta, quos pone prelatum. Deinde multiplica quinque animalia in octo noctes et productum multiplica in quinquaginta, et productum diuide per prelatum, et exibunt undecim animalia et nona eius quod expendit unum animal. Causa autem huius hec est. Scimus enim quod quinquaginta caficios expendunt animalia in octo noctibus. Manifestum est igitur quod comparatio quinque animalia ad id quod expendunt in octo noctibus, quod est sex caficii, est sicut comparatio animalium ignotorum ad id quod expendunt etiam in octo noctibus, quod est quinquaginta caficii. Vnde sunt quatuor numeri proportionales. Quod igitur fit ex quinque animalibus ductis in quinquaginta, si diuidatur per sex caficios, exibit numerus animalium quinquaginta caficios in octo noctibus comedentium, qui est quadraginta unum et due tercie. Manifestum est etiam quod comparatio triginta noctium ad octo noctes est sicut comparatio animalium octo noctium, que sunt quadraginta unum et due tercie, ad animalia triginta noctium. Animalia etenim conmedentia quinquaginta caficios in octo noctibus plura sunt quam animalia conmedentia quinquaginta caficios in triginta noctibus. Ob hoc igitur comparatio taliter. Si igitur multiplices octo in quadraginta unum et duas tercias et productum diuidas per triginta, exibit numerus animalium comedentium quinquaginta caficios triginta noctibus. Scis autem quod multiplicare quinque in quinquaginta et productum diuidere per sex et quod exit multiplicare in octo et productum diuidere per triginta idem est quod multiplicare quinque in quinquaginta et productum multiplicare in octo et productum diuidere per productum ex sex ductis in triginta. Vel aliter. Scimus enim quod cum quinque animalia comedunt sex caficios in octo noctibus, sequitur ut in una nocte comedant tres quartas caficii. Quasi ergo dicatur: «Cum quinque animalia comedant tres quartas caficii in una nocte, tunc quot animalia conmedunt quinquaginta caficios in triginta noctibus?» Fac sicut ostensum est in primo capitulo, scilicet multiplica numerum quartarum, qui est tres, in triginta noctes, et fient nonaginta, quos pone prelatum. Deinde numerum unde denominatur quarta multiplica in quinque animalia, et prouenient uiginti. Quos multiplica in quinquaginta caficios, et fient mille. Quos diuide per prelatum, et exibunt undecim et nona. Vel aliter. Tu scis quod cum quinque animalia comedunt tres quartas caficii in una nocte, sequitur ut unum ex illis comedat quintam trium quartarum caficii. Quasi ergo dicatur: «Cum unum animalis comedat in nocte tres quartas quinte caficii, tunc quot animalia conmedunt quinquaginta caficios in triginta noctibus?» Sic facies ut supradocui. Scilicet numerum qui fit ex denominationibus, que sunt quarta et quinta, ductis in se, scilicet uiginti, multiplica in quinquaginta, et fient mille. Deinde multiplica numerum quartarum, scilicet tres, in triginta, et fient nonaginta. Per quos diuide mille, et exibunt undecim et nona, et hoc est quod scire uoluisti. Vel aliter. Diuide mille per triginta et exibunt triginta tres et tercia. Quorum terciam accipe que est undecim et nona. Nam supradicit tres quartas quinte. Causam autem huius iam supraostendimus.

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Item de eodem. Si quis querat: «Cum sex animalia conmedant octo caficios in decem noctibus, tunc in quot noctibus conmedent quadraginta animalia centum caficios?» Sic facies. Multiplica octo in quadraginta, et fient tres centum uiginti, quos pone prelatum. Deinde multiplica sex animalia in decem noctibus et productum multiplica in centum caficios et productum diuide per prelatum, et exibunt decem et octo et tres quarte, et tot sunt noctes. Causa autem huius patet intelligenti precedentia. Vel aliter. Postquam sex animalia conmedunt octo caficios in decem noctibus, sequitur ut conmederant octo decimas caficii in una nocte. Quasi ergo dicatur: «Cum sex animalia conmedant octo decimas caficii in una nocte, tunc quot noctibus conmedent quadraginta animalia centum caficios?» Fac sicut supraostensum est, scilicet multiplica octo in quadraginta animalia, et fient trescentum uiginti, quos pone prelatum. Deinde numerum unde denominatur decima, qui est decem, multiplica in sex 1, et productum diuide per prelatum, et exibunt decem et octo et tres quarte. Vel aliter. Vide quota pars est unum animal de sex animalibus, scilicet sexta. Accipe igitur sextam de octo decimis, que est decima [et quarta]2 et tercia decime. Quasi ergo dicatur: «Cum unum animal conmedat decimam caficii et terciam decime in una nocte, tunc in quot noctibus comedent quadraginta animalia centum caficios?» Fac sicut premonstratum est. Scilicet de numero qui fit ex denominationibus, que sunt tercia et decima, multiplicatis inter se, scilicet triginta, accipe decimam et terciam decime eius que sunt quatuor. Quos multiplica in quadraginta, et fient centum sexaginta, quos pone prelatum. Deinde multiplica triginta in centum, et fient tria milia. Quos diuide per prelatum, et exibunt decem et octo et tres quarte, et hoc est quod uoluisti3. AD

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Capitulum scilicet de ignotis animalibus. Verbi gratia4. Si quis querat: «Cum animalia nescio quot comedant in mense quincuplum numeri sui, ex quibus 6 comedunt in 10 noctibus quantum est quarta numeri5 animalium ignotorum6, tunc quot sunt animalia illa ignota?» Sic facies. Tu scis quod postquam animalia nescio quot comedunt quincuplum sui numeri in mense sequitur ut 6 ex illis comedant quincuplum sui numeri, quod est 30 caficii. Scis etiam quod postquam 6 animalia comedunt in mense 30 caficios, sequitur ut in 10 diebus comedant terciam partem 30 cafitiorum, que est 10 caficii. Nam 10 dies tercia sunt 30 dierum. Et competit eis tercia impense. Supradictum est autem quod 6 animalia comedunt in 10 diebus quantum est ____________________ 1 et in centum addidi 2 emendaui et quarta quod fallaciter post decima addidit D 3 Numerum a quo [p. 356, l. 9] – quod uoluisti addidi cum D: om. A P 4 Capitulum scilicet [l. 28] – gratia A: om. D 5 numeri A: unum D 6 ignotorum A: ignotarum D

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quarta numeri animalium ignotorum1. Oportet ergo ut numerus 10 caficiorum sit quarta numeri animalium. Igitur animalia ignota sunt 40, et hoc est quod2 uoluisti. Vel aliter. Pone animalia ignota rem. Id ergo quod comedunt in mense erunt 5 res. Et id quod comedunt etiam 6 animalia in 10 diebus erit quarta rei. Nam suprapositum est quod id quod comedunt 6 animalia in 10 diebus tantum est quantum quarta numeri animalium ignotorum. Scis autem quod cum 6 animalia expendunt in 10 diebus quartam rei, sequitur necessario ut in mense expendant tres quartas rei. Manifestum est igitur quod comparatio animalium ignotorum, qua sunt res, ad id quod expendunt in mense, quod scilicet est 5 res, est 3 sicut comparatio 6 animalium ad id quod expendunt in mense, quod est tres quartas rei. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu rei in tres quartas rei equum est ei quod fit ex 5 rebus ductis in 6. Deinde igitur prouenient tres quarte census, que adequantur 30 rebus. Census igitur adequatur 40 rebus. Res igitur est 404, qui est numerus animalium ignotorum5. Item de eodem. Si quis querat: «Cum animalia nescio quot comedunt in mense 60 caficios, 6 autem ex illis comedunt in 5 diebus quantum sunt tres quinte numeri animalium ignotorum, tunc quot sunt animalia illa?» Sic facies. Iam scis quod postquam animalia nescio quot expendunt in mense 60 caficios, sequitur ut in 5 diebus expendant 10 caficios. Scis etiam quod 6 animalia in 5 diebus expendunt quantum est tres quinte numeri animalium ignotorum. Manifestum est igitur quod comparatio animalium ignotorum ad id quod expendunt in 5 diebus, quod6 est 10 caficii, est sicut comparatio 6 animalium ad id quod expendunt in 5 diebus, quod est tres quinte numeri animalium ignotorum. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu animalium ignotorum in tres quintas eorum, que sunt id quod expendunt 6 animalia, equum est ei quod fit ex ductu 6 animalium in 10 caficios. Id autem quod fit ex 6 ductis in 10 est 60. Igitur quod fit ex ductu numeri animalium ignotorum in tres quintas eorum est 60. Ex ductu igitur huius numeri in tres quintas eius proueniunt 60. Sequitur ergo ut ex ductu sui in se proueniant 100. Numerus ergo animalium ignotorum est radix de 100, que est 10. Breuis autem solutio huius questionis est ut denomines 5 dies de toto mense, scilicet sextam. Sexta igitur de 60 caficiis, que est 10, multiplica in 6 animalia, et fient 60, et productum diuide per tres quintas et eius quod exit radix est numerus animalium. Vel aliter. Pone animalia ignota rem. Constat autem ea comedere in mense 60 caficios, et 6 animalia in 5 diebus comedere tres quintas numeri animalium ignotorum, que sunt tres quinte rei. Oportet igitur ut comedant in mense 3 res et tres quintas rei. Manifestum est igitur ut comparatio animalium ignotorum, que sunt res, ad 60 caficios quos comedunt in mense est sicut comparatio 6 animalium ____________________ 1 ignotorum A: ignotarum D 2 post quod exp. est D2 3 post est exp. igitur A2 2 4 post 40 exp. rebus D 5 ignotorum A: ignotarum D 6 quod A: qui D

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ad id quod comedunt in mense, quod est 3 res et tres quinte rei. Quod igitur fit ex ductu rei in 3 res et tres quintas rei, quod est 3 census et tres quinte unius census 1, equum est ei quod fit ex ductu 60 caficiorum in 6 animalia, quod est 360. Reduc igitur omnes census2 ad unum censum3. Et quicquid equum est omnibus censibus4 reduc ad tantumdem proportionaliter. Ad ultimum remanebit census quod est equum 100 nummis. Radix igitur census est 10, et tantum ualet res, et tot sunt animalia ignota, et hoc est quod monstrare uoluimus. Item si quis querat: «Postquam animalia nescio quot expendunt in mense decuplum sui numeri, 5 autem ex illis in 6 diebus expendunt quantum est radix numeri animalium ignotorum, tunc quot sunt animalia?» Sic facies. Constat si quidem quod postquam animalia ignota expendunt in mense decuplum sui numeri, tunc necesse est ut 5 ex illis expendant in mense decuplum sui numeri, scilicet 50. Ergo est necesse ut in 6 diebus expendant quintam de 50, que est 10 caficii. Propositum est autem quod expendunt in 6 diebus quantum est radix numeri animalium ignotorum. Necesse est igitur ut isti 10 sint radix numeri animalium. Igitur animalia sunt 100. Vel aliter. Pone animalia ignota unum censum. Id igitur quod expendunt in mense erit 10 census. Quod uero expendunt 5 animalia in mense est 5 res. Manifestum est igitur quod comparatio census, quod est5 animalia ignota, ad 10 census, que sunt id quod expendunt ipsa animalia in mense, est sicut comparatio 5 animalium ad 5 res, quas expendunt in mense. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu census in 5 res equum est ei quod fit ex ductu 10 censuum in 5 animalia. Prouenient igitur ad ultimum ex multiplicatione 5 cubi, qui adequantur 50 censibus. Hec igitur omnia diuide per unum censum, et exibunt 5 res, que adequantur 50 nummis. Res igitur equiualet 10, qui sunt radix numeri animalium. Animalia igitur sunt 100 et hoc est quod scire uoluisti6. Similiter hec questiones de animalibus ignotis possunt fieri in lampadibus7. A D I

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Capitulum de alio. Verbi gratia8. Cum modius et quarta secobiensis sit equalis caficio et duabus9 terciis de tolleto, tunc10 quot11 modii equantur 20 caficiis? Hec questio est quasi dicatur: «Postquam modius et quarta datur pro nummo et duabus terciis, tunc quantum habebo12 pro 20 nummis?»

____________________ 1 post census add. habiti D 2 post census add. habita D 3 post censum add. habitum D 4 post censibus add. habitis D 5 est A: om. D 6 post uoluisti add. Verbi gratia D 7 Similiter hec – lampadibus A: om. D post lampadibus add. cum 30 anseres expendant A2 s.l. Capitulum de impensa [p. 348, l. 22] – lampadibus om. P I 8 Capitulum de alio. Verbi gratia A: om. I: Mensurarum diuersarum equalitas add. D al. man. 9 post duabus add. et D 10 tunc A D: om. I 11 quot A I: quod D 12 habebo A D I 2: habeo I1

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Per omnes modos huius questionis facies sicut docui in capitulo de emendo et uendendo. Scilicet multiplica modium et quartam in 20, et prouenient 25. Quos diuide per caficium et duas tercias, et exibunt 15, et tot modii adequantur 20 caficiis. Cuius probatio hec est. Scimus enim quod comparatio modii et quarte ad caficium et duas tercias est sicut comparatio modiorum ignotorum ad 20 caficios. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu modii et quarte in 20, si diuidatur per caficium et duas tercias, exibunt modii ignoti. Vel aliter. Numeros denominationum, qui sunt tercia et quarta, multiplica inter se, et prouenient 12. Quos multiplica in caficium et duas tercias, et prouenient 20, quos pone prelatum. Deinde multiplica 12 in modium et quartam, et prouenient 15. Quasi ergo queratur: «Postquam 151 pro 20, tunc quot habebo pro 20 nummis?» Fac ergo per omnes modos sicut supradocui, et proueniunt 15, et hoc est quod uoluisti. AD Item de eodem. Postquam modius et quarta modii de secobia equantur caficio et duabus terciis caficii de tolleto, tunc quot caficii de toleto equantur 15 modiis? Per omnes autem modos huius questionis fac sicut supradocui in capitulo de emendo et uendendo. Non2 autem induximus has questiones nisi ut scires eas esse similes illis que sunt de emendo et uendendo. De hominum pastu et impensis3. Nota similiter quia hic4 4 ponuntur scilicet numerus arrouarum5, et numerus panum qui ex eis fiunt, et numerus hominum qui eos comedunt, et numerus dierum in quibus comedunt. Ex quibus 4 species questionum fiunt. Aut enim ponitur in questione numerus panum et hominum et dierum et queritur de numero arrouarum6, aut ponitur numerus arrouarum et hominum et dierum et queritur de numero panum, aut ponitur numerus arrouarum et panum et hominum et queritur de numero dierum, aut7 ponitur numerus arrouarum et panum et dierum et queritur de numero hominum. Et he species uariantur secundum pluralitatem8 et singularitatem istorum et fractiones. Verbi gratia9. Si quis querat, dicens: «Cum ex una arroua fiant 20 panes, quorum unum comedat unus homo per diem, tunc quot arrouas comedent 40 homines in 30 diebus?» Sic facies. Multiplica 30 in 40 et productum diuide per 20, et exibunt 60, et tot sunt arroue. ____________________ 1 Quasi ergo [l. 12] – 15 A I: om. D 2 non A: nunc D 3 De hominum pastu et impensis A: Capitulum de expensa hominum in pane D 4 hic A: hec D 5 arrouarum A: annuarum D 6 arrouarum A: anouarum D 7 aut A: ait D 8 pluralitatem A: psalitatem D 9 Verbi gratia A: om. D

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Cuius rei causa hec est. Scimus enim quod ex arroua fiunt 20 panes, 40 autem homines comedunt in die 40 panes. Si igitur multiplices 40 panes in 30 diebus, prouenient1 panes 30 dierum quos comedunt 40 homines in 30 diebus, qui sunt 1200 panes. Hos ergo diuide per panes arroue, qui sunt 20, ut scias quot arroue continentur in illis. Vel aliter. Tu scis quod 40 homines comedunt in die 40 panes, qui sunt 2 arroue. Nam ex arroua fiunt 20 panes. Multiplica igitur 2 arrouas in 30 dies, et prouenient 60 arroue, et hoc est quod scire uoluisti. Vel aliter. Vnus homo comedit in 30 diebus 30 panes, qui sunt arroua et dimidia. Multiplica igitur arrouam et dimidiam in 40 homines, et prouenient 60, et hoc est quod uoluisti. Item de eodem. Cum ex una arroua fiant 40 panes, ex quibus 2 comedit unus homo per diem, tunc quot arrouas comedunt 20 homines in 30 diebus? Sic facies. Multiplica 20 in 30, et fient 600. Quos diuide per 40 et exibunt 15, quos dupla et fient 30, et hoc est quod scire uoluisti. Causa autem duplandi hec est. Tu scis quod 20 homines comedunt 1 die 40 panes2, nam unusquisque eorum comedit 2. Si igitur multiplices 40 in 30 et productum diuiseris per panes unius arroue, exibit quod uoluisti. Scis autem quod multiplicare 2 panes in 20 et productum in 30, et productum diuidere per 40, idem est quod multiplicare 20 in 30 et productum diuidere per 40, et duplicare quod exit. Vel aliter. Positum est hominem unum3 2 panes comedere. Sequitur ergo ut4 20 homines una die comedant 40 panes, qui sunt una arroua. Multiplica igitur unam arrouam in 30 dies et fient 30 arroue, et hoc est quod uoluisti. Vel aliter. Positum est 2 panes una die ab uno comedi. Sequitur ergo ut in 30 diebus comedat 60 panes, qui sunt arroua et dimidia. Hanc igitur arrouam et dimidiam multiplica in numerum hominum, qui sunt 20, et prouenient 30 arroue, et hoc est quod uoluisti5. A

D

Cum 30 anseres expendant in mense 16 sextarios, si †…†7 usque ad finem mensis, tunc quantum remanet ad ultimum de sex sextariis?

Cum6 triginta anseres expendant in mense sex sextarios, prima autem die mensis post perceptum cibum occiditur unus, secunda die similiter alius, et sic singulis diebus usque ad finem mensis, tunc quantum remanet ad ultimum de sex sextariis?

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____________________ 1 prouenient D: prouenies A 2 panes A: pane D 3 hominem unum A: unum hominem D 4 ut iter. D 5 Capitulum de alio [p. 363, l. 30] – quod uoluisti A D: om. P 6 praem. De anserum singullarim quasi †…† occisorum impensa D al. man. 7 ?A

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†…†1 150, quos pone prelatum. Deinde ad 30 semper adde 1, †…†2 10

bunt 3 sextarii et decima et tantum †…†4.

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3 sextarii minus decima. Ideo autem diuidimus †…†6 5 expendant in mense 6 sextarios †…†7 a me uniu sextarii que †…†8 in die centesimam quinquagesimam et superant †…†9 operarium †…†10.

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D Sic facies. Diuide triginta per sex, et exibunt quinque. Quos multiplica in triginta, et prouenient centum quinquaginta, quos pone prelatum. Deinde ad triginta semper adde unum, et fient triginta unum. Quos multiplica in dimidium de triginta, et proueniunt quadringenti et sexaginta quinque. Quos diuide per prelatum, et exibunt tres sextarii 3 decima unius sextarii, et tantum expendunt in mense, secundum quod proposuit5. Residuum uero sex sextariorum est id quod remanet, scilicet tres sextarii minus decima. Ideo autem diuidimus triginta per sex, quoniam cum triginta anseres expendant in mense sex sextarios, sequitur ut quinque expendant in mense unum sextarium, quorum unusquisque expendit in die centesimam quinquagesimam partem sextarii11.

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Comedit enim quintam tercie unius decime unius sextarii, que est una centesima quinquagesima pars sextarii. Quasi ergo dicatur: «Cum sint triginta operarii, quorum primi precium sit una centesima quinquagesima, et superant se hac eadem differentia.» Fac sicut supradictum est in capitulo operariorum. Scilicet multiplica differentiam, que est una centesima quinquagesima, in numerum operariorum minus uno, et producto adde precium minimi uel primi, quod est centesima quinquagesima, et fient triginta unus, qui sunt precium primi et ultimi simul agregatorum. Quos multiplica in dimidium operariorum, et prouenient quadringente sexaginta quinque centesime quinquagesime partes sextarii. Quos diuide per numerum a quo denominatur, qui est centum quinquaginta, et exibunt tres sextarii et decima, et tantum est quod comedit. Residuum uero sex sextariorum est id quod illis remanet12. ____________________ 1 ?A 2 ?A 3 et addidi 4 ?A add. A folio 189 bis (pagina secata est) 5 Cum triginta [p. 365, l. 30b] – proposuit posuit D post in duodecimo libro [p. 421, l. 17] 6 ?A 7 ?A 8 ?A 9 ?A 10 ? A Cum 30 [p. 365, l. 30a] – operarium †…† A: om. D P 11 Cum triginta [p. 365, l. 30b] – sextarii D: om. A P 12 Comedit enim [l. 23] – remanet addidi cum D: om. A P post remanet add. Hic uicio scriptoris †…† est partim †…† quia ut quod de scalis docuit hic †…† adderem D m.d. al. man.

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Si quis querat: «Cum 2 homines comedant 10 panes in 3 noctibus, qui 40 fiunt de caficio, tunc 20 homines quot comedent in 45 noctibus?» Constat ex predictis in conducendis uectoribus quod comparatio eius quod fit ex ductu hominum in noctes ad id quod fit ex ductu aliorum hominum in alias noctes est sicut comparatio panum ad panes. Hoc est quod diximus, scilicet 2 homines comedere 10 panes 3 noctibus, tunc 20 homines quot comedent in 45 noctibus? Tale est ac si diceremus: «Conducitur alius ad portandum 2 sextarios 3 miliariis pro 10 nummis, portauit autem 20 sextarios 45 miliariis, quantum debetur ei?» Oportet igitur ut faciamus in hac questione sicut in alia. Videlicet multiplica 2 homines in 3 noctes, et productum pone prelatum. Deinde multiplica 20 homines in 45 noctes et productum in 10, et prouenient 9000. Quos diuide per prelatum, et exibit numerus panum. Volumus autem scire quot caficii fiant ex illis. Scimus autem quod ex 1 caficio fiunt 40 panes. Igitur numerum panum diuide per 40, quod idem est quod diuidere 9000 per productum ex sex ductis in 40. Ob hoc igitur multiplicamus homines in noctes et productum in numerum panum, qui fiunt ex caficio, et productum ponimus prelatum. Deinde multiplicamus homines secundos in noctes secundas, et productum in numerum panum. Et productum diuide per prelatum, et exibit quod uoluisti. Vel aliter. Iam scis quod cum 2 homines in 3 noctibus comedunt 10 panes, tunc unus homo in 3 noctibus comederet 5 panes. Postquam autem unus homo in 3 noctibus comedit 5 panes, tunc in una nocte comedet 1 panem et 2/3 unius panis. Igitur 20 homines comedunt in 1 nocte 33 panes et terciam. Igitur in 45 noctibus comedunt 1500 panes. Diuide igitur 1500 panes per 40, et exibit numerus caficiorum, scilicet 37 et dimidius, et hoc est quod scire uoluisti. Si quis querat: «Cum 2 homines comedant 4 panes, qui 30 fiunt ex caficio in 1 nocte, tunc 40 homines quot noctibus expendent 50 caficios?» Iam scimus quod comparatio eius quod fit ex ductu hominum in noctes ad id quod fit ex ductu secundorum hominum in secundas noctes est sicut comparatio panum ad panes. Conuerte igitur 50 caficios in panes, scilicet multiplica eos in numerum panum qui fiunt ex uno caficio, et prouenient 1500. Comparatio igitur eius quod fit ex ductu duorum hominum in unam noctem, quod est 2, ad id quod fit ex ductu 40 hominum in noctes ignotas est sicut comparatio de 4 ad 1500. Cum igitur multiplicaueris 2 in 1500, et productum diuiseris per 4, exibit id quod fit ex ductu 40 hominum in noctes ignotas. Si igitur diuiseris hoc per 40, exibit numerus noctium ignotarum, quod idem est ueluti si id quod fit ex ductu duorum in 1500 diuideremus per id quod fit ex ductu 4 in 40. Ob hoc igitur multiplicamus 30, qui est numerus panum unius caficii, in 50 scilicet caficio, et productum in 2 homines, et productum in 1 noctem, et ultimum productum diuidimus per id quod fit ex ductu panum in homines secundos, et exit quod uolumus. Vel aliter. Scimus enim quod postquam 2 homines comedunt 4 panes in 1 nocte, tunc 1 homo in una nocte comedit 2. Igitur 40 homines comedunt in 1 nocte 80 panes, qui sunt 2 caficii et 2/3 caficii. Cum igitur diuiseris 50 caficios per 2 et

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2/3, exibit numerus noctium ignotarum, in quibus 40 homines consumunt 50 caficios, qui est 18 et 3/41. AD

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Item de eodem. Si quis querat: «Cum ex 1 arroua fiant 40 panes, 1 autem ex illis comedit 1 homo 1 die, tunc quot diebus 20 homines comedent 60 arrouas?» Sic facies. Multiplica 40 panes in 60 arrouas et productum diuide per 20 homines, et exibunt 120, et hoc est quod uoluisti. Causa2 autem huius patet. Nam quia ex arroua fiunt 40 panes, 1 autem homo comedit 1 in 1 die, tunc si multiplicentur 40 panes (unus autem homo comedit 1 in 1 die)3, qui fiunt ex arroua, in 60 arrouas, proueniunt 2400 panum, et tot panes comedunt 20 homines in diebus ignotis. Si igitur diuidas eos per 20 homines, exibit numerus dierum ignotarum. Nam 20 homines unaquaque die comedunt 20 panes. Debes igitur scire quotiens 20 est in 2400 panibus, et quod fiunt sunt dies. Vel aliter. Positum est 20 homines unaquaque die comedere 20 panes, qui sunt dimidia arroua. Diuide igitur 60 arrouas per dimidiam arrouam, et exibunt 120, et hoc est quod uoluisti. Causa autem huius est illa quam assignauimus in capitulo de lampadibus. Nam questio eadem est. Si autem dixerit 1 hominem comedere 2 panes, facies sicut in precedenti, et eius quod exit medietas erit id quod uoluisti, quoniam dixit 2 panes. Si uero dixerit 3 panes uel 4 comedere 1 hominem uel 2 et dimidium eius quod exibit, tercia uel quarta uel due quinte, scilicet tanta pars quanta pars fuerit uel denominata a numero4 panum qualiscumque primum positus fuerit erit id quod uoluisti. Causa autem accipiendi medietatem eius quod exit hec est. Scis enim quod ex una arroua fiunt 40 panes. Sequitur ergo ut ex 60 arrouis fiant 2400 panes. Si igitur uiginti homines comederent una die uiginti panes, tunc 2400 comederent5 in 120 diebus, sicut in precedenti ostendimus. Postquam autem geminatur comestio, quia unaquaque die comedunt 40 panes, oportet ut 2400 panes comedant in 40 diebus. Et ob hoc accipitur medietas. Cetera autem huiusmodi considera secundum hanc rationem. Vel aliter. Scimus quod 20 homines comedunt 40 panes in 1 die, qui sunt arroua. Sequitur igitur ut in 60 diebus comedant 60 arrouas. Item de eodem. Cum ex arroua fiant 20 panes, ex quibus 1 in die comedit 1 homo, tunc quot homines comedent 40 arrouas in 30 diebus? Sic facies. Multiplica6 20 in 40, et fient 800, quos diuide per 30, et exibunt 26 et due tercie, et tot sunt homines. ____________________ 1 Si quis querat [p. 367, l. 2] – et 3/4 A: om. D P 2 causa A: cum D 3 unus autem homo comedit 1 in 1 die A: om. D 4 eius quod exibit [l. 21] – a numero A: uel due quinte, scilicet tanta pars quanta pars fuerit eius quod exibit tercia uel quarta uel denominata unum numerum a numero D 5 comederent A: comedent D 6 post multiplica add. in D

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Causa autem huius hec est. Positum est quod ex unaquaque 40 arrouarum fiunt 20 panes. Sequitur ergo ut ex 40 arrouis fiant 800 panes. Positum est etiam unum hominem in die comedere 1 panem. Sequitur ergo ut 800 homines una die comedant 800 panes. Scis autem 800 panes comedi in 30 diebus. Si igitur diuiseris 800 homines per 30 dies, exibit numerus hominum unaquaque die comedentium, scilicet 26 et due tercie impense unius hominis. Vel aliter. Tu scis quod postquam 1 homo 1 die comedit 1 panem, sequitur ut in 30 diebus comedat 30 panes, qui sunt arroua et dimidia. Diuide igitur 40 arrouas per arrouam et dimidiam, et exibunt 26 et due tercie, etiam1 hoc est quod uoluisti. Si autem questio fuerit sic ut dicatur 1 homo comedere 2 panes, facies sicut supradocui, et eius quod exierit accipies medietatem, quoniam dixit 2 panes. Si uero dixerit 3 panes, accipies eius quod exit terciam. Cuius rei causa patet. Nam in 40 arrouas sunt 800 panes. Si igitur 1 homo comederit 1 panem, tunc illos 800 panes in 30 diebus comedent 26 homines et due tercie, sicut in precedentibus ostendimus. Positum est autem 1 comedere 2 panes una die. Sequitur ergo ut 800 panes consumant in 30 diebus 13 homines et tercia. Nam comestio geminatur, et ob hoc accipitur medietas. Vel aliter. Positum est 1 hominem in 30 diebus comedere 60 panes, qui sunt 3 arroue. Diuide igitur 402 in3 3, et exibunt 13 et tercia, et hoc est quod uoluisti. Item de eodem4 aliter, ubi ponuntur mensure diuersarum terrarum. Verbi gratia. Si quis querat: «Cum arroua et dimidia de toleto sit equalis emine et quarte de secobia, ex arroua autem fuerit 20 panes, ex quibus 1 comedit 1 homo per diem, tunc quot eminas comedent 40 homines in 30 diebus?» Sic facies. Scias quot arrouas comedunt 40 homines in 30 diebus, sicut supradocuimus, et quod fuerit conuerte in eminas de secobia. Inuenire autem quot arrouas comedunt 40 homines in 30 diebus fit hoc modo. Scilicet ut dicas: «Cum ex una arroua fiunt 20 panes, quorum 1 comedit 1 homo, tunc quot arrouas comedent 40 homines in 30 diebus?», facies sicut supradocui, scilicet multiplica 30 in 40 et productum diuide per 20, et exibunt 60 arroue, et tot arrouas de toleto comedunt 40 homines in 30 diebus. Conuerte eas igitur in eminas, scilicet ut dicas: «Cum una arroua et dimidia toletana sit equalis emine et quarte secobiensi, tunc quot emine sunt equales 60 arrouis?», facies hic sicut supradocui, scilicet multiplica 60 in eminam et quartam et productum diuide per arrouam et dimidiam, et quod exit sunt emine secobienses, scilicet 50 emine, et tot comedunt 40 homines 30 diebus. Vel aliter. Positum est eminam et quartam equalem esse arroue et dimidie. Sequitur ergo ut arroua sit equalis 5 sextis emine. Ex arroua autem fiunt 20 panes. Sequitur ergo ut ex tota emina fiant 24 panes. Dices igitur: «Cum ex emina fiant 24 panes, quorum unum comedit unus homo per diem, tunc quot eminas comedent 40 homines 30 diebus?», fac sicut predocui, scilicet multiplica 30 in 40 et productum diuide per 24, et exibunt 50 emine, et hoc est quod uoluisti. ____________________ 1 etiam A: et D A: om. D

2 exp. partes A2 uid.

3 in add. A2 s.l.: per D

4 Item de eodem

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Vel aliter. Comparatio emine et quarte ad arrouam et dimidiam est sicut comparatio unius panum, qui fiunt1 ex emina, ad 1 panum, qui fiunt ex arroua. Sed emina et quarta est quinque sexte arroue et dimidie. Oportet igitur ut quinque sexte unius panum qui fiunt de2 emina sint equales uni panum qui fiunt3 de arroua. Quasi ergo dicatur: «Cum unus homo comedat quinque sextas4 unius panis, qui sit uicesima pars arroue, tunc quot eminas comedent 40 homines in 30 noctibus?» Fac sicut supradocui, scilicet multiplica 30 in 40, et productum diuide per 20, et de eo quod exit accipe quinque sextas, quoniam dixit quinque sextas unius panis qui est uicesima 5 pars emine, et quod fuerit erit id quod uoluisti, scilicet 50 emine. Vel aliter. Iam scis quod postquam aliquis comedit quinque sextas unius panis, oportet ut in 30 diebus comedat 25 panes, qui sunt emina et quarta. Multiplica igitur eminam et quartam in numerum hominum, qui est 40, et fient 50, et hoc est quod uoluisti. Similiter facies hic in omnibus questionibus ubi arroue sunt diuersarum regionum, sicut in precedentibus questionibus ubi arroua erat unius regionis6. AD Capitulum de cambio morabitinorum. Verbi gratia7.

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A Si quis querat: «10 nummi, de quibus 30 dantur pro morabitino, quot ualent de illis de quibus 40 dantur pro morabitino?» Sic facies. Constat quod postquam habet quis 10 nummos, habet terciam partem morabitini qui cambitur pro 30. Tercia autem pars morabitini, qui cambitur pro 40, sunt 13 et tercia. Igitur illi 10 ualent istos 13 et terciam. Manifestum est enim quod comparatio de 10 ad 30 est sicut comparatio quesiti ad 40. Fac igitur secundum quod dictum est in 4 numeris proportionalibus, et exibit id quod uis. Si quis querat: «10 nummos, de quibus 25 dantur pro morabitino, cambit quis pro 15 nummis alterius monete, quot de illis datur pro morabitino?» Ex precedentibus patet quod comparatio de 10 ad 25 est sicut comparatio de 15 ad quesitum. Fac ergo sicut predictum est, et exibit quod queris, scilicet 36 et dimidius. Cetera hiis similia considera secundum hoc, et ita inuenies8.

____________________ 1 fiunt ex A: om. D 2 fiunt de A: om. D 3 fiunt A: sunt D 4 quinque sextas iter. 5 quarta addidi 6 Item de eodem [p. 368, l. 4] – regionis A D: om. P A1 7 Capitulum de cambio – verbi gratia A: Monetarum in monetas conuersio D al. man. verbi 8 Si quis querat [l. 21] – inuenies A: om. D P gratia D: add. A2 s.l.

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Item1 si quis querat: «Cum 100 morabitini cambiantur unusquisque pro 14 nummis, tunc quot solidi prouenient pro 100 morabitinis?» Sic facies. Conuerte 100 morabitinos in nummos hoc modo. Videlicet multiplica 100 in numos unius morabitini, qui sunt 14, et prouenient 1400. Quos diuide per nummos unius solidi, qui sunt 122, et exibit numerus solidorum pro 100 morabitinis, qui sunt 116 solidi et due tercie solidi, et hoc est quod uoluisti. Vel aliter. Scias quoniam quot fiunt nummi unius morabitini siue cambiantur pro nummis tantum integris siue pro integris3 et fractionibus, si acceperis tot solidos, semper prouenient 12 morabitini. Verbi gratia. Cum enim cambitur morabitinus pro 14 nummis, tunc pro totidem solidis prouenient 12 morabitini et e conuerso pro 12 morabitinis 14 solidi. Cum uero cambitur morabitinus pro 5 solidis, in quibus sunt 60 nummi, tunc pro 60 solidis proueniunt 12 morabitini. Si uero cambitur pro 60 nummis4 et dimidio, tunc pro 60 solidis et dimidio proueniunt 12 morabitini. Retine hoc5 tantillum. Causa autem patet huius6. Si enim dicat (sic)7 quod cum 12 morabitini cambiuntur unusquisque pro 14 nummis, tunc quot solidi proueniunt pro 12 morabitinis? Debes hoc inuenire sicut docuimus, scilicet multiplicando 128 morabitinos in nummos unius qui sunt 14 ad conuertendum eos in nummos, et deinde summam diuidendo per 12, qui est numerus nummorum unius solidi ad conuertendum eos in solidos. Scis autem quod ex ductu 12 in 14, id quod fit si diuidatur per 12 semper exibunt 14. Postquam autem hoc manifestum est, tunc diuide 100 morabitinos per 12 ut scias quotiens 12 est in illis. Deinde quod 9 exit multiplica in 14 solidos, et quod10 prouenerit11 est id quod uoluisti. Si autem diuiseris 100 per 12, exibunt 8 et tercia. Multiplica ergo 8 et terciam in 14, et prouenient 116 solidi et due tercie solidi. Sic facies semper in omnibus aliis huius capituli. Scilicet diuide morabitinos semper per 12, et quod exit multiplica in nummos unius morabitini, et quod prouenerit est numerus solidorum quos uoluisti. Vel aliter. Inquire numerum in quem multiplicati 12 fiant tot quot 12 fuerint nummi unius morabitini, et ipsum multiplica in numerum propositorum13 morabitinorum, et proueniet numerus solidorum quos uoluisti. Sicut in hac questione quere numerum in quem14 multiplicati 12 fiant 14. Tot enim sunt nummi unius morabitini, et inuenies quod est 1 et sexta. Multiplica igitur 1 et sextam in 100, et prouenient 116 et due tercie, et hoc est quod uoluisti. Cuius rei causa hec est. Iam enim ostendimus quod pro 14 solidis proueniunt 12 morabitini. Manifestum est igitur quod comparatio 12 ad 14 est sicut comparatio 100 morabitinorum ad ignotos solidos eorum. Scis autem quod ____________________ 1 item A: om. D 2 post 12 exp. et 2 solidi A2 3 siue pro integris A: om. D 2 5 hoc A: ergo D 6 patet huius A: huius patet D 7 dicat 4 nummis D: add. A s.l. false A D in dicatur corrigendum 8 12 A: om. D 9 quod A: add. D2 s.l. 10 quod A: quid D 11 prouenerit A: prouenit D 12 quot A: quod D 13 propositorum A: prepositorum D 14 in quem A: quam D

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numerus in quem multiplicati 12 fiunt 14 est ille numerus in quem1 multiplicati 100 fiunt solidi ignoti. Ob hoc igitur fecimus sic. Vel aliter. Scis enim quoniam si 100 morabitini cambirentur unusquisque pro duobus solidis, tunc pro 100 morabitinis prouenirent 200 solidi. Positum est autem morabitinum cambiri2 pro 14 nummis. Scis ergo quod in 200 solidis sunt 1000 nummi additi. Nam preter pretium uniuscuiusque horum 100 morabitinorum sunt insuper 10 nummi additi. Scias igitur quot solidi sunt in 1000 nummis diuidendo eos scilicet per 12, et inuenies 83 et terciam. Quos minue de 200, et remanebunt 116 solidi et due tercie unius solidi. Similiter etiam facies si fuerint nummi cum fractione. Item de eodem. Verbi gratia3. Si quis querat: «Cum morabitinus cambiatur4 pro 15 nummis, tunc quot morabitini prouenient pro 500 solidis?» Sic facies. Reduc omnes solidos in nummos, scilicet multiplicando eas (sic)5 in 12, et productum diuide per 15, et exibit quod uoluisti. Vel denomina semper 1 de numero quicumque fuerit numerus nummorum unius morabitini. Et tanta pars accepta de tota summa nummorum omnium solidorum erit numerus morabitinorum quem uoluisti. Scis autem quod 1 de 15 est tercia quinte. Tercia igitur quinte omnium nummorum erit id quod uoluisti. Vel aliter. Diuide semper solidos per numerum nummorum unius morabitini, et quod exit multiplica in 12, et proueniet quod queris. Diuide igitur 500 solidos per 15, et exibunt 33 et tercia. Quos multiplica in 12, et prouenient 400, et hoc est quod uoluisti. Causa autem huius patet. Iam6 enim ostendimus quod pro tot solidis quot nummi fuerint unius morabitini, 12 semper morabitini proueniunt. Positum est autem morabitinum cambiri pro 15 nummis. Pro 15 igitur solidis proueniunt 12 morabitini. Et e conuerso pro 12 morabitinis 15 solidi, sicut supradictum est. Ob hoc igitur diuisimus 500 solidos per 15 solidos ut sciremus quotiens 15 solidi sunt in 500 solidis ut7 singulis quindenariis solidorum attribueremus 12 morabitinos, et inuenimus in 500 contineri eos 15 triginta tribus uicibus et tercia parte uicis. Attributis igitur unicuique uici 12 morabitinis fiunt 400 morabitini. Vel aliter. Scis quod modus agendi erat reducere 500 solidos in nummos multiplicando eos in 12, deinde sumam nummorum diuidere per numerum nummorum unius morabitini, scilicet 15. Sed manifestum est quod multiplicare 500 in 12, et productum diuidere per 15, idem est quod diuidere 500 per 15, et quod exit multiplicare in 12, sicut in precedentibus ostendimus. Vel aliter. Scias quot morabitini competunt pro 10 solidis secundum suprapositum cambium8, scilicet 8. Quos multiplica in decimam quingentorum, que est 50, et prouenient 400, et hoc est quod uoluisti. Similiter si scieris quot9 ____________________ 1 quem A: quam D 2 cambiri A: cambitrei D 3 Item de eodem. Verbi gratia A: om. D 5 eas A2 uid.: eos D: iter. A 6 post iam exp. 4 cambiatur A2 D: cambiantur A1 uid. 7 ut A: in D 8 cambium A: om. D 9 quot A: quod D igitur A2

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morabitini competunt pro 12 solidis, scilicet 9 et tres quinte morabitini, multiplicabis ipsos 9 et tres quintas in duodecimam uel dimidiam sextam quingentorum solidorum, et prouenient quod uolueris. Vel aliter. Denomina semper nummos solidi de nummis unius morabitini, et tanta pars accepta de summa propositorum solidorum erit id quod queris, sicut in predicta questione. Denomina 12 de 15, scilicet quatuor quintas. Tot igitur partes quingentorum, que sunt 400, sunt id quod scire uoluisti. Causa autem huius hec est. Iam enim ostendimus quod pro 15 solidis proueniunt 12 morabitini. Manifestum est igitur quod comparatio 12 morabitinorum ad 15 solidos est sicut comparatio morabitinorum ignotorum ad 500 solidos1. Sed 12 de 15 sunt quatuor quinte. Igitur morabitini ignoti sunt quatuor quinte quingentorum, sed 400 sunt 4 quinte quingentorum. Igitur sunt 400, et hoc est quod uoluisti. Vel aliter. Tu scis quod pro 500 solidis, cum morabitinus cambitur pro 2 solidis proueniunt 250 morabitini. Sed positum est morabitinum cambiri pro 15 nummis. Igitur in unoquoque 250 morabitinorum sunt 9 nummi additi qui simul agregati sunt 2250. Scias igitur quot morabitini sunt in eis secundum quod cambitur pro 15 nummis hoc modo. Diuide predictos nummos per 15, et exibunt 150. Quos agrega ad 250, et fient 400, et hoc est quod uoluisti. Vel semper denomina additionem, que est in unoquoque morabitino sicut hic 9, de nummis morabitini qui sunt 15, scilicet tres quintas. Tot igitur partes de 250, que sunt 150, agrega ad 250, et prouenient 400, et hoc est quod uoluisti. Si autem fractiones fuerint cum numis, ueluti cum quis querit: «Cum morabitinus2 cambiatur pro 14 nummis et tribus quartis unius nummi, tunc pro 500 solidis quot morabitini proueniunt?», fac secundum omnes modos proposite3 questionis que fuit de intergis tantum, et prouenient4 quod queris. Item de eodem. Verbi gratia5. Si quis querit: «Cum morabitinus cambiatur pro 10 nummis unius monete et pro 20 alterius, cambiatur autem 1 pro nummis utriusque monete, tunc acceptis 2 nummis monete 10 nummorum pro morabitino, quot debentur ei de reliqua moneta ad complendum pretium morabitini?» Sic facies. Minue 2 de 10, et remanebunt 8, quos multiplica in 20, et prouenient 160. Quos diuide per 10, et exibunt 16, et tot nummi debentur ei de reliqua moneta. Causa autem huius hec est. Positum est eum accepisse 2 nummos de moneta 10 nummorum pro morabitino. Accepit igitur duas decimas illius, et de toto pretio morabitini remanserunt 8 decime. Has igitur octo decimas debet accipere de 20 alterius monete. Talis igitur est comparatio de 8 ad 10 qualis est comparatio

____________________ 1 post solidos exp. est sicut A2 2 morabitinus A2 D: pro morabitino A1 3 proposite A: preposite D 4 prouenient A: proueniet D 5 Item de eodem. Verbi gratia A: om. D

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quesiti ad 20. Sunt igitur 4 numeri proportionales. Si igitur multiplicaueris 8 in 20 et productum diuideris per 10, exibit quod queris1. Vel aliter. Tu scis quod cum accipiuntur 2 de moneta 10 nummorum pro morabitino, accipitur quinta morabitini et remanent accipiende quatuor quinte morabitini. Quatuor igitur quinte de 20, que sunt 16, sunt id quod uoluisti. Item de eodem. Verbi gratia2. Si quis querat: «Cum morabitinus cambiatur pro 10 nummis unius monete, et pro 20 alterius monete, et pro 30 alterius, cambit autem aliquis morabitinum pro nummis harum 3 monetarum, et accipit 2 nummos de moneta 10 nummorum pro morabitino, et 4 de moneta 20 nummorum pro morabitino, tunc ad supplendum totum pretium morabitini quot sibi restant nummi de tercia moneta accipiendi?» Sic facies. Multiplica 2 in 30 et productum diuide per 10, et exibunt 6. Deinde multiplica 4 in 30 et productum diuide per 20, et exibunt quoque 6. Quos agrega prioribus 6, et fient 12, quos minue de 30, et remanent3 18, et tot nummos accipit de moneta 30 nummorum pro morabitino. Causa autem huius hec est. Scimus enim quod cum de 10 accipiuntur 2 accipitur quinta eorum, et cum de 20 accipiuntur 4 accipitur eorum quinta. De toto igitur pretio morabitini restant4 tres quinte accipiende, sed de moneta 30 nummorum pro morabitino. Scis autem quod accipere tres quintas de 30 idem est quod minuere duas quintas eius. Scis etiam quod accipere quintam de 30 idem est quod multiplicare 2 in 30 et productum diuidere per 10, et etiam quod multiplicare 4 in 30 et productum diuidere per 20. Scimus enim quod comparatio 2 ad 10 est sicut comparatio quinte de 30 ad 30. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Si igitur multiplicetur primus qui est 2 in quartum qui est 30 et productum diuidatur per secundum qui est 10, exibit tertius qui est quinta de triginta. Comparatio etiam de 4 ad 20 est sicut comparatio quinte de 30 ad 30. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductis 4 in 30, si diuidatur per 20, exibit quinta de 30. Prope hoc igitur multiplicauimus 2 in 30 et productum diuisimus per 10. Item etiam multiplicauimus 4 in 30 et productum diuisimus per 20 et que de utraque5 diuisione exeunt agregauimus et agregatum minuimus6 de 30, ut remanerent tres quinte eius, et hoc est quod debet accipere de 30, et hoc est quod uoluisti. Vel aliter. Tu scis quod cum de7 10 accipiuntur 2 accipitur quinta eorum, et cum8 accipiuntur 4 de 20 accipitur eorum quinta, restant autem tres quinte morabitini accipiende. Tres igitur quinte de 30, que sunt 18, restant accipiende, et hoc est quod uoluisti9. ____________________ 1 post queris add. alium numerum idem est quod multiplicare numerum parcium in illum et productum diuidere per numerum, cuius partes sunt sicut supradocuimus. Manifestum est igitur quod multiplicare octo partes de decem in uiginti idem est quod multiplicare octo in uiginti et productum diuidere per decem D 2 Item de eodem. Verbi gratia A: om. D 3 remanent 4 restant addidi cum D: om. A 5 utraque A: utrumque D A2 D: remanebunt A1 uid. 8 cum D: add. A2 s.l. 9 Item si 6 minuimus A: minus D 7 de D: add. A2 s.l. quis [p. 371, l. 2] – quod uoluisti A D: om. P

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Vel aliter. Conuerte nummos unius monete acceptos in nummos alterius monete. Veluti si 2 1, quos accepit de moneta 10 pro morabitino, in nummos monete 20 pro morabitino, et fient 4. Quos agrega aliis 4 quos accepit de moneta 20 pro morabitino, et fient 8. Quasi ergo querat: «Cum de una moneta dentur 20 pro morabitino et de alia 30, 2 cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete et accipit 8 de nummis 20 pro morabitino, quot debet accipere de nummis alterius monete?» Fac sicut predictum est, et exibit quod uolueris. Si autem nummi agregati post conuersionem fiunt plures quam nummi morabitini in quos conuertuntur, falsa erit questio. Ipse enim uoluit accipe (sic)3 de 3 monetis quantum ualet morabitinus. Accepit autem de duabus illarum tantum plus quam ualet morabitinus, hoc autem esse non potest. Si autem fuerint equales, tunc de tertio nichil accipiet. Ex nummis enim duarum monetarum completur morabitinus. Scias autem quod cum cambitur morabitinus pro nummis 3 monetarum, et nominatur tantum quod accipit de una illarum, tunc questio est interminata nisi aliqua alia additione terminetur. Similiter etiam si fuerint plures monete quam 3, non terminabitur questio nisi nominetur quantum accipit de unaquaque excepta 1 uel nisi terminetur aliquo alio modo. Cetera autem his similia considera secundum hoc, et inuenies ita esse. Item de eodem. Si quis querat: «Cum de una moneta dentur 20 nummi pro morabitino, et de alia 30, cambit autem quis morabitinus pro nummis utriusque monete et accipit 24 quos accipit de unaquaque?» Hic sic est agendum ut minuamus nummos pauciores pro morabitino de nummis pluribus pro morabitino, et remanebunt 10, quos retine. Cum igitur uolueris scire quot accipit de 30, minue 20 de 24, et remanebunt 4. Quos denomina de 10, scilicet 2/5. 2/5 igitur de 30, que sunt 12, sunt id quod accepit. Cum autem uolueris scire quot accepit de 20, minue 24 de 30, et remanebunt 6. Quos denomina de 10, scilicet 3/5. 3/5 igitur de 20, que sunt 12, accipit de 20. Cuius probatio hec est. Sit morabitinus ab. Quod autem eius accipit de nummis 20 pro morabitino sit ag, quod autem eius accipit de nummis 30 pro morabitino sit bg. Quod igitur fit ex ductu 20 in ag agregatum cum eo quod fit ex ductu 30 in gb est 24, qui numerus si esset maior quam 30 esset questio falsa. Scimus enim quod ex ductu ag in 30 et gb in 30 id quod fit est 30. Quod igitur fieret ex ductu gb in 30 et ab in minus quam 30 esset plus quam 30, quod est impossibile. Similiter etiam esset impossibile si esset minus quam 20. Scimus enim quod ex ductu ag in 20 et gb in 20 proueniunt 20. Quod igitur fieret ex ductu ag in 20 et gb in plus quam 20 esset minus quam 20, quod est impossibile.

____________________ 1 conuertit addidi

2 si addidi

3 accipe false A in accipere corrigendum

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20

Deuxième partie du Liber mahameleth

Manifestum est etiam quod si id quod accepit esset 20 aut minus quam 20 1 esset questio falsa. Non igitur erit uera nisi cum id quod accipit de utraque moneta sit minus maiore et maius minore sicut hic est 24. Quod igitur fit ex ductu ag in 20 et gb in 30 est 24. Id autem quod fit ex ductu gb in 30 equum est ei quod fit ex ductu gb in 10, et gb in 20. Id igitur quod fit ex ductu ag in 20 et gb in 20 et gb in 10 est 24. Quod autem fit ex ductu ag et gb in 20 est 20. Nam ab est 1. Restat igitur ut id quod fit ex ductu 10 in gb sit 4. Igitur gb est 2/5 morabitini. Comparatio autem de gb ad ab est sicut comparatio precii eius ad 30. Sed gb est 2/5 de ab. Igitur pretium eius est 2/5 de 30, que sunt 12. Cum autem uolueris scire pretium de ag, hac probatione inuenies. Scimus enim quod id quod fit ex ductu ag in 20 et gb in 30 est 24. Id autem quod fit ex ductu ag in 30 sit commune. Id igitur quod fit ex ductu ag in 20 et id quod fit ex ductu gb in 30 et ag in 30 erit 24 additos eo quod fit ex ductu ag in 30. Id autem quod fit ex ductu ag in 30 et gb in 30 est 30. Igitur quod fit ex 20 ductis in ag additis sibi 30 equum erit ei quod fit ex ductu 30 in ag 2. De eo quod fit ex ductu 30 in ag et remanebit id quod fit ex 10 ductis in ag. Minue quoque 24 de 30, et remanebunt 6. Quod igitur sit ex ductis 10 in ag est 6. Igitur ag est 3/5. Comparatio tunc de ag ad ab est sicut comparatio pretii eius ad pretium morabitini. Sed ag est 3/5 de ab. Igitur debet accipere 3/5 de 20, que sunt 12. Secundum hoc autem considera cetera huiusmodi, et ita inuenies3. Fig.85: A, fol.192 v m.s..

AD

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Vel aliter4. Si quis querat5: «Cum morabitinus cambiatur pro 10 nummis unius monete et pro 20 alterius, cambit autem aliquis morabitinum pro nummis utriusque monete, et pro toto precio morabitini non accipit nisi 15 nummos de utraque, tunc quot accepit de unaquaque?» Sic facies6. Id quod accipit de moneta 20 nummorum pro morabitino pone rem. Id ergo quod debet accipere de moneta 30 nummorum pro morabitino est morabitinus minus re. Scis autem quod in morabitino, qui est 24 nummi, sunt 27 partes quarum una sumpta est de moneta nummorum 20 pro morabitino, et alia de moneta 30 nummorum pro morabitino. Manifestum est igitur quoniam id quod fit ex ductu unius duarum partium precii morabitini in 20 et alterius in 30, si agregentur fient 24. Multiplica igitur rem in 20, et prouenient 20 res. Deinde morabitinum minus re multiplica in 30, et prouenient 308 minus 30 rebus. Quas agrega 20 rebus, et fient 30 minus 109 rebus, que adequantur ad 24. Comple ergo 30 adiectis 1010 rebus. Et totidem agrega ad 24, et postea minue 24 de 3011, et ____________________ 1 20 A2: 30 A1 2 et 24 addidi 3 Vel aliter. Conuerte [p. 375, l. 2] – inuenies A: om. D P 4 Vel aliter A: om. D 5 Si quis querat addidi cum D: om. A 6 Cum morabitinus Sic facies A: om. D 7 2 iter. A1 8 30 A: [l. 22] – Sic facies D: add. A2 m.s. uiginti D 9 10 A: om. D 10 10 A: om. D 11 30 A: uiginti D

Deuxième partie du Liber mahameleth

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remanebunt 6, que adequantur 10 rebus. Res igitur equalis est tribus quintis, et tantum accepit de moneta 20 nummorum pro morabitino, scilicet 12. Restat autem accipere duas quintas de moneta 30 nummorum que sunt 12. D 5

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Vel aliter. Differentiam que est inter decem et uiginti, scilicet decem, pone prelatum. Deinde quindecim utriusque monete quos accepit minue de uiginti, et remanebunt quinque. Quos denomina de decem, scilicet medietatem, et tantum accepit de moneta decem numorum pro morabitino et similiter medietatem accepit de moneta uiginti numorum pro morabitino1. AD Monstrabitur etiam hoc tali modo, scilicet sit morabitinus linea ag (sic)2. Prima uero pars morabitini que accipitur de moneta 20 nummorum pro morabitino sit linea ag. Altera uero pars sit linea gb. Deinde de puncto g protrahatur linea de 10, que sit linea gd, que multiplicetur in lineam ag, et proueniat superficies agqd. Sit autem linea gk 20 que multiplicetur in lineam gb, et proueniat superficies gh. Compleatur autem superficies. Manifestum est igitur quod superficies ad et gh sunt 15. Scimus autem quod linea ab est 1. Nam ipsa est 1 morabitinus. Linea uero3 bh est 20. Superficies igitur ah est 20. Sed due superficies ad et gh sunt 15. Igitur superficies qk est 5, linea uero dk est 10. Igitur linea qd est dimidium et est equalis linee ag. Linea igitur ag est dimidius morabitini, et hoc est quod accipitur de moneta 10 nummorum pro morabitino. Linea uero gd est reliqua medietas, scilicet id quod accipitur de moneta 20 nummorum pro morabitino, et hoc est quod demonstrare4 uoluimus. 5

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Fig.86: A, fol.192 v m.s.; om. D.

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Item de eodem. Si quis querat: «Cum sint 2 diuerse monete, de quarum una dantur 10 nummi pro morabitino, de altera uero 30, cambit autem morabitinum aliquis pro nummis utriusque monete. Sed subtractis his quos accipit de moneta 10 nummorum pro morabitino de reliquis, remanent 20, tunc quot nummos accipit de utraque moneta?» ____________________ 1 Vel aliter. Differentiam [l. 5] – pro morabitino addidi cum D: om. A P ab corrigendum 3 uero iter. A 4 demonstrare A: monstrare D corrigendum 6 b false A D in h corrigendum

2 ag false A D in 5 d false A D in b

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Sic facies. Agrega 10 cum 30, et fient 40, quos pone prelatum. Deinde minue 20 de 30, et remanebunt 10. Quos diuide per prelatum, et exibit quarta morabitini, et hoc est quod accipitur de moneta 10 nummorum pro morabitino. Sed tres quartas morabitini que remanent accipit de nummis alterius monete. Monstrabitur autem hec tali figura. Sit morabitinus linea ab. Pars autem quam accipitur de moneta 10 nummorum pro morabitino sit linea ad. Reliqua uero pars sit linea db. Deinde de puncto d protrahatur linea de 10, que sit linea dg, que multiplicetur in lineam da, et proueniat superficies ag. Deinde de puncto d protrahatur linea de 30, que sit linea dk, que multiplicetur in lineam db, et proueniat superficies1 kb. Deinde de superficie kb2 incidatur superficies equalis superficiei3 ag, que sit superficies dh. Nam dixit quod subtractis nummis acceptis de nummis 10 pro morabitino de nummis alterius monete, remanent 20. Igitur superficies kbh, que remanet de maiore post incisionem superficiei dh, est 20. Compleatur autem superficies ib. Scimus autem quod linea ab est 1. Nam ipsa est morabitinus. Linea uero ai est 30. Igitur superficies ib est 30. Manifestum est autem superficiem kbh esse 20. Igitur restat ut 2 superficies dh et di sint 10. Sed superficies dt equalis est superficiei dh. Igitur superficies ig est 10. Linea uero gk est 40. Igitur per gk diuidatur superficies ig que est 10, et tunc linea tg erit quarta que est equalis linee ad, et hoc est quod accipit de moneta 10 nummorum pro morabitino, et remanet db tres quarte morabitini accipiende de nummis alterius monete, et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.87: A, fol.192 v m.s.; om. D.

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Vel aliter. Id quod accipit de moneta 10 nummorum pro morabitino sit res. Id ergo quod accipit de moneta 30 nummorum pro morabitino est morabitinus minus re. Multiplica igitur rem in 10, et prouenient 10 res. Deinde multiplica morabitinum minus re in 30, et prouenient 30 minus 30 rebus. De quibus minue 10 res, et remanebunt 30 minus 40 rebus, que adequantur ad 20. Comple ergo 30 adiectis 40 rebus que desunt et agrega totidem ad 20, et fient 30, que adequantur ad 20 et 40 rebus. Minue igitur 20 de 30, et remanebunt 10, que adequantur4 40 rebus. Res igitur est quarta, et hoc est quod accipit de moneta 10 nummorum pro morabitino. Reliquum uero quod remanet accipit de nummis alterius monete. ____________________ 1 post superficies eras. ag que sit superficies dh A2 2 Deinde de superficie kb A: om. D 4 post adequantur exp. ad A2 3 add. et deinde eras. equalis superficiei A2 m.s.

Deuxième partie du Liber mahameleth

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Vel si uolueris, agrega 10 res ad 20, et fient 20 et 10 res, que adequantur ad 30 minus 30 rebus. Fac igitur sicut supradocui in algebra1, et erit res quarta, et hoc est quod accipit de moneta 10 nummorum pro morabitino. Reliquum uero2 accipit de alia3. 5

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A Si quis querat: «Cum de una moneta dentur 10 nummi pro morabitino et de alia 20, et de alia 30, cambit autem morabitinus quis pro nummis 3 monetarum et accipit 25, quot accipit de unaquaque?» In questionibus huiusmodi cum fuerint monete plures quam 2, questio tunc interminata erit nisi aliqua adiectione terminetur. Veluti si dicatur de nummis 10 pro morabitino tantum accepisse quantum de nummis 20 pro morabitino aut de qualibet monetarum dicatur accepisse tantam uel tantam partem sui morabitini uel aliud ad huiusmodi. Si igitur in hac questione accepisse de nummis 10 pro morabitino quantum de nummis 204 pro morabitino? Sic facies. Agregabis enim 10 ad 20, et fient 30. Quos duplica et fient 60. Deinde duplica 25 et fient 50. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur 30 nummi pro morabitino et de alia 60, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete et accipit 50, quot accipitur de unaquaque moneta?» Illa questio ergo uera est quoniam hec uera est. Fac ergo sicut supradocuimus, et exibit id quod accipit de nummis 30, tercia pars morabitini, quod est equale ei quod accipit de nummis 10 pro morabitino et de nummis 20 pro morabitino. Igitur accepit de nummis 10 pro morabitino sextam morabitini et de 20 similiter sextam morabitini. Igitur de 30 accipit id quod remanet de morabitino, scilicet 2/3. Cuius probatio hec est. Sit morabitinus ab. Quod uero accipit de nummis 10 pro morabitino ad. Quod5 uero accipit de 20 dg, quod uero de 30 gb. Igitur ad tantus est quantus gd. Manifestum est igitur ex predictis quod id quod fit ex ductu ad in 10 et dg in 20 et gb in 30 est 25. Quod autem fit ex ductu ad in 10 et dg in 20 equum est ei quod fit ex ductu ad (sic)6 in 30. Nam ad tantus est quantus dg. Igitur quod fit ex ductu ad (sic)7 in 30 et gb in 30 est 25. Quod igitur fit ex ductu dupli de ad (sic)8 in 30 et

____________________ 1 algebra A: agebla D 2 post uero add. quod D 3 Vel aliter. Conuerte [p. 375, l. 2] – de alia A D: om. P post alia add. Item de eodem. Si quis querat: «Cum sunt tres monete, de quarum una dantur decem numi pro morabitino et de altera uiginti et tercia triginta, cambit autem aliquis morabitinum pro numis trium monetarum, et accipit de omnibus monetis uiginti quinque tantum numos, tunc quot accipit de unaquaque illarum?» Hec questio cum multipl †…† D 5 quod iter. A 6 ad false A in ag corrigendum 7 ad false A 4 20 add. A2 s.l. in ag corrigendum 8 ad false A in ag corrigendum

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Deuxième partie du Liber mahameleth

dupli de gb in 30 est duplum de 25, quod est 50. Quod autem fit ex ductu dupli de gb in 30 equum est ei quod fit ex ductu gb in duplum de 30, quod est 60. Quod igitur fit ex ductu dupli de ad (sic)1 in 30 et gb in 60 est 50. Fac igitur sicut supraostensum est, et exibit ag, tercia de ab. Cuius medietas est ad, et tantus est dg. Remanent autem gb, et hoc est quod demonstrare uoluimus2.

Fig.88: A, fol.193 r m.d..

AD Vel aliter3. Id quod4 accipit de moneta 10 nummorum pro morabitino, pone rem. Id uero quod accipit de moneta 20 nummorum pro morabitino pone similiter rem. Id ergo quod accipit de tercia est morabitinus minus 2 rebus. 10

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Deinde dices: «Morabitinus 1 diuiditur5 in 3 partes, quarum prima multiplicatur in 10 et secunda in 20 et tertia in 30, et agregatis productis singularum 6 multiplicationum proueniunt 25». Multiplica igitur rem in 10, et prouenient 10 res. Deinde multiplica rem in 20, et prouenient 20 res. Deinde multiplica morabitinum minus 2 rebus in 30, et prouenient 30 minus 60 rebus. Deinde agrega producta horum omnium, et prouenient 30 nummi minus 30 rebus, que adequantur 25 nummis. Comple igitur 30 nummos adiectis 30 rebus que desunt, et adde totidem res ad 25, et fient 30 nummi, qui adequantur 25 nummis et 30 rebus. Minue igitur 25 de 30 et remanebunt 5, qui adequantur 30 rebus. Res igitur equalis est sexte unius, et hoc est quod accipitur de moneta 10 nummorum pro morabitino et tantumdem etiam accipit de moneta 20 nummorum pro morabitino. Id uero quod remanet de morabitino, scilicet due tercie eius, accipietur de tercia moneta. Vel aliter. Agrega 10 ad 20, et fient 30. Deinde nummos morabitini ultime monete multiplica semper in numerum monetarum precedentium, sicut hic duarum, et fient 60. Si uero autem ultimam monetam fuerint 3 uel 4 uel plures monete, tunc numerum nummorum morabitini de ultima moneta semper multiplicabis in numerum monetarum precedentium, scilicet in 3 uel 4 uel amplius si fuerint. Deinde de producto minues agregatum ex nummis omnium precedentium monetarum, sicut hic de 60 minues 30 qui agregantur ex 10 et 20, et remanebunt 30, quos pone prelatum. Deinde minue 25 de nummis ultime monete qui sunt 30, et remanebunt 5. Quos diuide per prelatum, et exibit sexta, et tantum accipit de moneta 10 nummorum pro morabitino, tantum etiam de moneta 20 nummorum pro morabitino. Id uero quod remanet de morabitino accipietur de ultima moneta7.

____________________ 1 ad false A in ag corrigendum 2 Si quis querat [p. 379, l. 6] – uoluimus A: om. D P 6 singularum 3 Vel aliter A: om. D 4 quod A: uero D 5 diuiditur A2 D: datur A1 1 2 1 7 Vel aliter [l. 7] – ultima moneta A D: om. P A : singulari A uid.: singulariter A

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Quod monstrabitur hac figura. Sit morabitinus linea ab1. Id uero quod accipitur de prima moneta decem numorum primorum sit linea ag. Quod uero de secunda sit linea gd equalis linee ag. Id ergo quod remanet accipiendum uel ultima moneta sit linea db. Deinde de puncto g protrahatur linea de decem, que sit linea gk, que multiplicetur in lineam ag, et proueniat superficies agqk. Deinde inclinabo lineam gk usque ad punctum z, ita ut sit de uiginti. Deinde multiplicetur linea gz in lineam gd, et proueniat superficies gt. Postea inclinabo lineam dt usque ad punctum i, ita ut sit 2 triginta. Deinde multiplicetur linea di in lineam db, et proueniat superficies di (sic)3. Manifestum est igitur quod super ak et gt et bi sunt uiginti quinque. Scis autem quod linea ab unum est quam ipsa est morabitinus. Linea autem bn est triginta. Igitur superficies an est triginta. Sed ostensum est quod superficies ak et gt et bi sunt uiginti quinque. Igitur superficies qz et hi sunt quinque. Scis autem quod magnitudo superficiei, que sunt qz et hi, prouenit ex ductu linee kz a zh et ex ductu it in th. Scis etiam quod linea it equalis est linee kz et linea hz equalis est linee zt. Igitur ex ductu linee it in th et in zh proueniunt due superficies, que sunt qz et hi. Scis etiam quoniam id quod fit ex ductu linee it in th equum est ei quod fit ex ductu linee it in dz (sic)4 et in zh siue coniuncta siue disiuncta idem prouenit. Sed id quod fit ex ductu linee it in tz equum est ei quod fit ex ductu linee it in zh bis. Et eiusdem in eandem tercio proueniunt due superficies que sunt quinque. Scis autem quod linea at (sic)5 equalis est linee zk. Igitur ex ductu linee zk in zh ter proueniunt due superficies que sunt quinque. Sed idem quod fit ex ductu linee zk in zh ter equum est ei quod fit ex ductu linee zh in triplam linee hz (sic)6 que est triginta. Igitur ex ductu linee hz in triginta proueniunt quinque. Si igitur diuidantur quinque per triginta, exibit sexta que est linea zh, que est equalis linee ag sexta est morabitinum. Linea quoque gd est sexta. Igitur linea db est due tercie, et hoc est quod monstrare uoluimus. Si quis querit: «Cum sint due monete de una quarum dantur pro morabitino decem numi et de altera uiginti, cambit autem morabitinum pro numis utriusque monete, et accipit tot numos de una quot de alia, tunc quot numos accipit de numis utriusque?» Sic facies. Diuide uiginti per decem, et exibunt duo. Deinde diuide uiginti per se, et exibit unum. Quem agrega duobus, et fient tres. Per quos diuide uiginti, et exibunt sex numi et due tercie et tantum accepit de numis decem pro morabitino et tantumdem similiter de numis uiginti pro morabitino. Causa autem huius hec est. Scimus enim quod uiginti duppli sunt ad decem. Sequitur ergo ut pars quam accipit de numis uiginti pro morabitino sit dimidium partis quam accipit de numis decem pro morabitino, et tunc adequabuntur numi. Scimus autem quod est de decem accipiuntur due partes, et de uiginti una pars complebitur precium morabitini. ____________________ 1 linea ab D2: ab linea D1 2 de addidi 3 di false D in bi corrigendum 4 dz false D in tz corrigendum 5 at false D in it corrigendum 6 hz false D in kz corrigendum

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Manifestum est igitur quod comparatio duarum parcium ad morabitinum, qui est tres partes, est sicut comparatio eius quod accipit de numis decem pro morabitino ad ipsos decem. Vnde sunt quatuor numeri proportionales. Si igitur id quod fit ex ductu duarum parcium in decem diuidatur per tres partes, exibit id quod accipit de numis decem pro morabitino. Manifestum est etiam quod comparatio partis ad tres partes est sicut comparatio eius quod accipit de numis uiginti pro morabitino ad ipsos uiginti. Quod igitur fit ex ductu partis in uiginti, si diuidatur per tres, exibit id quod accipit de numis uiginti pro morabitino. Vel aliter. Duas partes quos accipit de numis decem pro morabitino denomina de tribus et tanta pars accepta de decem erit id quod uoluisti. Deinde denomina unum de tribus, et tanta pars accepta de uiginti erit id quod uoluisti. Vel aliter. Inquire numum qui diuidatur per decem et per uiginti, et que exierunt de utraque diuisione sint sine fractione, et hic est quadraginta. Quem diuide per decem et exibunt quatuor, et diuide per uiginti, et exibunt duo. Quos agrega et fient sex. Per quos diuide quadraginta, et exibunt sex et due tercie, et tantum accipit de numis uiginti pro morabitino, et tantumdem similiter de numis decem pro morabitino. Vel aliter. Tu scis quod in morabitino sunt due partes. Ex una quarum ducta in decem id quod fit equum est ei quod fit ex ductu alterius in uiginti, et quod tot sunt numi quos accipit de una moneta quot de alia et completur morabitinus1. A

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Si autem diceretur tantum accepisse de nummis 10 pro morabitino quantum de 30, tunc questio esset falsa. Nam cum conuerterimus eam ad 2 monetas hoc modo, uidelicet ut agregate 10 ad 30 fient 40, et duplicauerimus 20 fient 40, et duplicauerimus 25 fient 50. Dices igitur: «Cum de una moneta dentur 40 pro morabitino et de alia similiter 40, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete, et accipit 50». Hec questio falsa est igitur et illa. Si autem diceretur: «Cum de una moneta dentur 10 nummi pro morabitino et de alia 24 et de tercia 30, cambit autem quis morabitinum pro nummis 3 monetarum, et accipit 23». Hec questio uera est secundum unamquamque appositionem similium. Si tantum accipit de 10 quantum de 24, erit uera. Cum enim conuerterimus eam ad duas monetas, scilicet cum agregauerimus 10 ad 242, fient 34. Duplentur autem 30 et fient 60, et duplati 23 fient 46. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur 34 nummi pro morabitino et de alia 60, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete et accipit 46». Hec questio uera est igitur et illa. Similiter etiam si diceretur tantum accepisse de nummis 10 pro morabitino quantum de 30, esset questio uera. Nam si agregaueris 10 ad 30 fient 40, et duplaueris 24 fient 48, et duplaueris 233 fient 46. Dices igitur: «Cum de una ____________________ 1 Quod monstrabitur [p. 381, l. 2] – morabitinus addidi cum D: om. A P 3 23 A2: 33 A1 uera. Cum enim conuerterimus A2

2 post 24 exp. erit

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moneta dentur 40 nummi pro morabitino et de alia 48, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete et accipit 46». Hec questio uera est igitur et illa. Adhoc etiam esset uera si apponeretur tertia denominatio, scilicet si diceretur tantum accepisse de 24 quantum de 30. Cum enim agregaueris 24 et 30 fient 54, et duplaueris 10 fient 20, et duplaueris 23 fient 46. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur 20 pro morabitino et de alia 54, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete et accipit 46». Hec questio uera est igitur et illa. Si autem diceretur de aliqua 3 monetarum accepisse tantam uel tantam partem morabitini esset uera. Postquam reduxeris questionem ad 2 monetas et fiunt illa uera. Veluti si dicatur: «Cum de una moneta dentur 10 nummi pro 1 morabitino et de alia 20 et de tertia 30, cambit autem morabitinum quis pro nummis 3 monetarum, et accipit 25». Et accipiat de 1 3 monetarum quantamlibet partem morabitini, postquam fuerit questio in remanenti, ueluti si de nummis 10 pro morabitino dicatur accepisse quintam morabitini que est 2 nummi, ergo remanebunt 4/5 morabitini, et remanebunt 23 nummi. Dices igitur: «Cum de una moneta dentur 20 pro morabitino et de alia 30, et accipit 4/51 morabitini 23 nummos»? Accipe igitur 4/5 de 20, que sunt 16, et 4/5 de 30, que sunt 24. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur pro morabitino 16 nummi et de alia 24, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete, et accipit 23». Fac ergo sicut supradocui, et exibit id quod accipit de nummis 16 octaua morabitini, scilicet octaua 4/52 morabitini predicti que est decima, et tantum debet accipere de moneta 20 nummorum pro morabitino. Et exibit id quod accipit de 24, 7/8 morabitini, que sunt 7/8 quatuor quintarum predicti morabitini, que sunt 7/10, et tantum debet accipere de moneta 30 nummorum pro morabitino. Accepit ergo de 10 nummis pro quinta morabitini 2 nummos et de 20 pro 10 morabitini accepit similiter 2 nummos, et de 30 pro 7/10 morabitini accepit 21 nummos, et completo morabitino completi sunt nummi, quos acceperit. Probatio autem horum patet ex antecedenti. Si autem diceretur accepisse de 30 pro morabitino quintam morabitini, scilicet 6 nummos, falsa esset. Nam remanerent 4/5 morabitini, et remanerent 19 nummi. Diceres igitur: «Cum de una moneta dentur 10 pro morabitino et de alia 20, accipit autem quis pro 4 quintis morabitini 19 nummos?» Hec questio falsa est igitur et illa. Nam cum acceperis 4/5 de 10, que sunt 8 et 4/5 de 20, que sunt 16, et dixeris cum de una moneta dentur 8 nummi pro morabitino, et de alia 16 pro morabitino, autem accipit quis 19, erit questio falsa igitur et hec determinatio falsa est. Si autem diceretur de nummis 20 pro morabitino accepisse quartam morabitini, esset questio uera. Determinationes autem huiusmodi questionum multe sunt, sed principia ex quibus omnes propendi possunt, hec sunt que uera sunt. Si autem monete fuerint plures quam 3, questio erit interminata nisi aliqua adiectione ____________________ 1

4/5 A2: 4 A1

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4/5 A2: 4 A1

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determinetur. Videlicet uel dicatur accipere de unaquaque monetarum minus 1 quam partem morabitini uoluerit, et quod remanserit de morabitino accipiat de reliqua moneta, postquam uera fuerit questio, reducta ad 2 monetas. Vel accipiat de unaquaque monetarum minus duabus quascumque partes morabitini uoluerit siue equales siue inequales, et quod remanet de morabitino accipiat de reliquis monetis, postquam uera fuerit questio. Proponam igitur de hiis omnibus questiones in quibus monstrentur ea que dicta sunt. Si quis querat: «Cum de una moneta dentur 10 nummi pro morabitino et de alia 20 et de alia 30 et de quarta 40, cambit autem quis morabitinum pro nummis monetarum, et accipit 25». Si hic tantum accipit de prima moneta quantum de secunda et quantum de tertia et residuum accipiat de quarta, erit questio uera. Nam si agregaueris 10 et 20 et 30 fient 60, et triplicaueris 40 fient 120, et triplicaueris 25 fient 75. Dices igitur: «Cum de una moneta dentur 60 nummi pro morabitino et de alia 120, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete, et accipit 75». Hec questio uera est. Fac ergo sicut supradocui, et exibit id quod accipit de 60 pro 3/4 morabitini. Qui 60 fiunt ex agregatis 1 10 et 20 et 30. Igitur de unaquaque 3 monetarum accipit quartam morabitini, de 40 uero accipit id quod remanet de morabitino. Quorum omnium probatio hec est. Sit morabitinus ab, quod uero accipit de prima moneta sit ag, et quod de secunda gd et quod de tertia sit dh, quod uero de quarta sit hb. Quod igitur fit ex 10 ductis in ag et 20 in gd et 30 in dh et 40 in hb est 25. Quod autem fit ex ductis 10 in ag et 20 in gd et 30 in dh equum est ei quod fit ex ductis 10 et 20 et 30 in ag. Nam ag et gd et dh equalia sunt. Quod igitur fit ex ductu ag in 60 et hb in 40 est 25. Igitur quod fit ex ductu tripli de ag in 60 et hb in triplum de 40 est triplum de 252, quod est 75. Quod igitur fit ex ductu ah in 60 et hb in 120 est 75. Fac ergo sicut supradocui, et exibit ah 3/4. Sed ag est tercia de ah. Igitur ag est quarta, et tantum est gd et dh, et remanebit hb, etiam quarta, et hoc est quod demonstrare uoluimus3.

Fig.89: A, fol.194 r m.d..

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Si autem diceretur accepisse tantum de prima moneta quantum de secunda et quantum de quarta, et residuum accepit de tercia, erit etiam uera. Si autem diceretur accepisse de secunda quantum de tercia et quantum de quarta et residuum accepit de prima, erit etiam uera. Si autem diceretur tantum accepisse de prima quantum de secunda et tantum accepisse de tercia quantum de quarta, erit etiam uera. Agrega igitur 10 et 20, et fient 30, et agrega 30 et 40, et fient 70. Duplica autem 25 et fient 50. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur 30 pro4 morabitino et de alia 70, cambit autem alius morabitinum pro nummis ____________________ 1 agregatis A2: agregantis A1 uid. 4 pro add. A2 s.l.

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25 A2: 20 A1 uid.

3 uoluimus add. A2 m.d.

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utriusque monete, et accipit 50, quot accipit de unaquaque?» Fac sicut supradictum est, et exibit id quod accipit de 30 pro dimidio morabitini. Igitur accipit de 10 pro quarta morabitini, et de 20 pro quarta morabitini, de 70 quoque accipit pro dimio morabitini. Igitur accipit de 30 pro quarta morabitini et de 401 pro quarta morabitini. Cuius probatio hec est. Sit morabitinus ab. Quod uero accipit de 10 ag, quod accipit de 20 gd, et quod accipit de 30 dh, de 40 uero hb. Quod igitur fit ex ductu ag in 10 et gd in 20 et dh in 30 et hb in 40 est 25. Quod autem fit ex ductu dh in 30, et hb in 40, equum est ei quod fit ex ductu hb in 70, et quod fit ex ductu ag in 10 et gd in 20 equum est 2 quod fit ex ductu ag in 30. Quod igitur fit ex ductu ag in 30 et hb in 70 est 25. Quod igitur fit ex ductu dupli ag, qui est ad, in 30, et dupli hb, qui est db, in 70 est duplum ad 25, scilicet est 50. Quod igitur fit ex3 ductu ad in 30 et db in 70 est 50. Deinde prosequere cetera questionis secundum quod docuimus, et exibit ad dimidium morabitini. Igitur ag erit quarta et tantum etiam est gd. Similiter etiam erit db dimidium. Igitur dh erit quarta et hb similiter quarta, et hoc est quod demonstrare uoluimus4.

Fig.90: A, fol.194 r m.d..

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Si autem dicatur accepisse de quibuslibet duabus monetis quamlibet partem morabitini et residuum de reliquis duabus. Veluti si dicatur accepisse de 10 et de 20 quamlibet partem morabitini, scilicet de 10 3/10 morabitini, qui sunt 3 nummi, et de 20 decimam, que est 2 nummi. Igitur remanebunt 20 nummi de morabitino et 3/5. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur 30 pro morabitino et de alia 40, cambit autem morabitinum pro nummis utriusque monete, et pro 3/5 morabitini accipit 20 nummos, tunc quot accipit de unaquaque?» Fac sicut supradocui, scilicet accipe 3/5 de 30, que sunt 185, et 3/5 de 40, que sunt 24. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur nummi 18 pro morabitino et de alia 24, cambit autem morabitinum pro nummis utriusque monete, et accipit 20, tunc quot accipit de unaquaque?» Fac ergo sicut supradocui, et erit id quod accipit de 24 pro tercia parte morabitini, scilicet terciam 3 quintarum predictarum, que est quintam. Et tantumdem accipit de 40, scilicet 8, qui sunt quinta eorum. Quod autem accipit de 18 pro6 duobus terciis morabitini que sunt 2/3 tres quintarum7 predictarum, scilicet 2/5 predicti morabitini, et tantumdem etiam scilicet 12 accipit de 30 qui sunt 2/5 eorum. Secundum hoc considera cetera omnia hiis similia, et inuenies ita esse. Scias autem quod cum monete fuerint plures quam 2, possunt recipere determinationes infinitas. Sed que magis necessarie sunt 2 principia sunt, quorum unum est ut dicatur accipere de singulis monetis minus 1 qualibet moneta quamcumque partem morabitini uoluerit. Residuum uero ____________________ 1 40 A2: a/4 A1 5 post 18 eras. pro A2

2 ei addidi 3 ex A2: ? A1 4 uoluimus add. A2 m.d. 2 6 post pro exp. 8 A 7 tres quintarum A2: 3/3 arum A1

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morabitini accipiat de moneta pretermissa, postquam questio fuerit uera, reducta ad duas monetas.

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Aliud uero est ut dicatur accipere de singulis monetis exceptis 2 et de unaquaque quamcumque partem morabitini uoluerit, postquam questio fuerit uera, que remanet in duabus monetis scilicet ut accipiat quamlibet partem morabitini de singulis monetis exceptis duabus. Cum autem remanserint accipiendi nummi, et remanserit accipienda aliqua pars morabitini et acceperit talem partem de duabus monetis exceptis 1, remanebunt nummi accipiendi de duabus monetis. Iste igitur determinationes sunt origines huius capituli. Vnde uisum est nobis inducere questionem unam in qua assignentur iste determinationes, et sufficiet ad omnia cum eis que supradicta sunt. Si quis querat: «Cum de 1 moneta dentur 8 nummi pro morabitino et de alia 12 et de tertia 15 et de quarta 18 et de quinta 20, cambit autem quis morabitinum pro nummis omnium monetarum, et accipit 16 , quot accipit de unaquaque?» Si in hac questione determinatio esset ut tantum acciperet de prima quantum de secunda moneta et tantum de quarta quantum de quinta, residuum uero morabitini 2 accipiat de tercia esset falsa. Cum enim reduxeris ad duas, scilicet cum agregaueris 8 et 12 et 18 et 20 fient 58, et quadruplaueris 15 fient 60, et quadruplaueris 16 fient 64. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur pro morabitino 58 nummi et de alia 60, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete et accipit 64, [quot accipit 64]3 quot accipit de unaquaque?» Hec autem questio est falsa. Illa igitur determinatio falsa est. Appone ergo determinationes quibus fiat uera. Veluti si dicatur quod de 4 prioribus monetis accipit equaliter, residuum autem morabitini accipit de quinta de qua dantur pro morabitino 20 nummi, tunc esset uera. Agrega igitur 8 et 12 et 15 et 18 et fient 53, et quadrupla 20 fient 80, et quadrupla 16 fient 64. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur pro morabitino 53 nummi et de alia 80, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete et accipit 64, tunc quot accipit de unaquaque?» Fac sicut supradocui, et exibit id quod accipit de 53 pro 5/9 et tercia none morabitini, quarum quarta, que est nona et tercia none, est id quod accipit de 8, scilicet nummus 1 et nona nummi et tercia none nummi, et tantumdem accipit de 12, scilicet nonam morabitini et terciam none, que est nummus 1 et 7/9 nummi et tantum de 15, scilicet nonam et terciam none morabitini, que est 2 nummi et 2/9, et de 18 tantumdem scilicet nonam et terciam none morabitini que est 2 nummi et 2/3 nummi. Remanent autem accipiende de 20 3/9 et 2/3 none, que sunt 8 nummi et nona et tercia none nummi, et sic complentur 16 nummi pro morabitino. Si autem dicatur accepisse de 4 monetis posterioribus equaliter, residuum uero de prima, de qua dantur 8 pro morabitino. Hec etiam questio esset uera. Fac ergo ____________________ 1

2 addidi

2 quod addidi

3 emendaui quot accipit 64 quod fallaciter post 64 addidit A

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sicut supradocui et exibit quod uoluisti. De hiis autem omnibus modis que dicta sunt sufficiant. Modus autem secundus est hic. Cum de unaquaque monetarum 3 accipit quamlibet partem morabitini, postquam questio fuerit uera in eo, quod remanet ideo autem accipimus de 3 monetis ut remaneant 2. Si autem essent 6, acciperemus de 4, ut semper remaneant 2. Veluti si de prima de qua dantur 8 accipiat octauam morabitini scilicet 1 nummum et de1 15 quartam, scilicet 3 nummos et 3/4, et de2 18 octauam morabitini, 2 nummos et quartam. Omne igitur quod accipit de hiis 3 monetis est 9/2 morabitini et 7 nummi et remanent 9 nummi et 9/2 morabitini et restant 2 monete de 12 et de 20. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur 12 nummi pro morabitino et de alia 20, cambit autem morabitinum pro nummis utriusque monete et accipit 9, quot accipit de unaquaque?» Fac ergo sicut supradocui, scilicet accipe medietatem de 20, scilicet 10, et medietatem de 12, que est 6. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur pro morabitino 10 nummi et de alia 6, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete et accipit 9, quot accipit de unaquaque?» Fac ergo sicut supradocui, et erit id quod accipit de 6 pro quarta morabitini, scilicet quarta predicte medietatis que est octaua morabitini, et tantumdem accipit de 12, scilicet nummum et dimidium, et de 10 accipit per (sic)3 3/4 que sunt 3/4 predicte medietatis, scilicet 3/8 morabitini, et tantumdem accipit de 20, scilicet 3/8 eorum qui sunt 7 nummi et dimidius. Accipit igitur de 8 pro octaua morabitini nummum 1 et de 12 pro octaua morabitini nummum dimidium et de 15 pro quarta morabitini 3 nummos et 3/4, et de 18 pro octaua morabitini 2 nummos et quartam et de 20 pro 3/8 morabitini 7 nummos et dimidium. Completo igitur morabitino complentur 16 nummi. Si autem diceretur accepisse de aliis4 monetis has uel alias partes, postquam questio reduceretur ad 2 monetas, et esset uera posset esse uera questio5. Cetera omnia hiis similia considera secundum hoc, et inuenies ita esse. Item de eodem. Si quis querat: «Cum de una moneta dentur 20 nummi pro morabitino et de alia 30, cambit autem morabitinum pro nummis utriusque monete, et accipit de utraque equaliter et quantum ad nummos tantum, tunc quot partes morabitini accipit de unaquaque?» Sic facies. Accipe quemlibet numerum et diuide eum per 20 et per 30 et exeuntia agrega. Verbi gratia. Diuide 30 per 30, et exibit 1, [et diuide per 20 et exibit 1,]6 et diuide per 20 et exibit 1 et dimidium. Quibus agrega primum 1, et fient 2 et dimidium. Per quos diuide 30 et exibunt 12, et tantum accipit de unaquaque moneta. De 20 igitur accipit 12 pro 2/5 morabitini, et de 30 12 pro 3/5 morabitini. Accipe igitur de unaquaque moneta equaliter. ____________________ 1 de add. A2 s.l. 2 de add. A2 s.l. 1 D: alii A uid. 5 questio add. A2 s.l.

3 per false A in pro corrigendum 4 aliis A2 6 emendaui et diuide per 20 et exibit 1 A

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Cuius probatio hec est. Sit morabitinus ab. Quod autem accipit de 20 pro parte morabitini sit ag, quod autem accipit de 30 gb. Manifestum est igitur quia id quod fit ex ductu ag in 20 equum est ei quod fit ex ductu gb in 30. Comparatio igitur de 20 ad 30 est sicut comparatio de gb ad ag. Queram autem 2 numeros quorum unius comparatio ad alium sit sicut comparatio de 2O ad 30, scilicet questioni numeros 2, ut id quod fit ex ductu 20 in 1 eorum equum sit ei quod fit ex ductu 30 in alterum eorum hoc modo. Videlicet quere quemlibet numerum. Verbi gratia. 30 autem diuide per 30 et exibit 1, et diuide per 20 et exibit 1 et dimidium. Quod igitur fit ex ductu unius in 30 equum est ei quod fit ex ductu unius et dimidii in 20. Comparatio igitur unius ad 1 et dimidium est sicut comparatio de 20 ad 30. Comparatio autem de 20 ad 30 est sicut comparatio de gb ad ag. Igitur comparatio de gb ad ag est sicut comparatio unius ad 1 et dimidium. Cum autem composuerimus, tunc comparatio de gb ad ab1 erit sicut comparatio unius ad 2 et dimidium. Comparatio autem de gb ad ab est sicut comparatio eius quod accipit de 30 pro gb ad 30. Igitur comparatio unius ad 2 et dimidium est sicut comparatio eius quod accipit de 30 pro gb ad 30. Quod igitur fit ex ductu unius in 30 equum est ei quod fit ex ductu eius quod accipit in 2 et dimidium. Quod autem fit ex ductu unius in 30 est numerus ille quem quesiuimus et diuisimus per 20 et per 30, scilicet 30. Igitur id2 quod fit ex ductu eius quod accipit in 2 et dimidium est 30. Diuide igitur 30 per 2 et dimidium, et exibunt 12, et tantum accipit de 30, et tantumdem accipit de 20. Nam sic positum fuit quod de utraque moneta equaliter accipit, et hoc est quod demonstrare uoluimus.

Fig.91: A, fol.195 r m.d..

Scias quod cum monete fuerint plures quam 2, modus agendi et probatio eadem est nec differt in aliquo3. 25

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AD Vel aliter4. Id5 quod accipit de nummis 206 pro morabitino sit res7. Id ergo quod accipit de nummis 30 pro morabitino est morabitinus minus re. Multiplicetur igitur res in 208, et prouenient 20 res. Deinde multiplicetur morabitinus minus re in 30 et prouenient 30 minus 30 rebus, que equantur 20 rebus. Nam dixit eum tot accepisse de 1 moneta quod de alia. Deinde fac sicut docui in algebra9, et exibit id quod ualet res tres quinte, et tantum accipit de nummis10 20 pro morabitino, scilicet 12, et id quod remanet de morabitino accipit de altera moneta, scilicet duas quintas. ____________________ 1 ab A2: agb A1 2 id add. A2 s.l. 3 Si autem diceretur [p. 382, l. 22] – in aliquo A: 5 post id add. igitur D 6 20 om. D om. D P 4 Vel aliter om. D: add. A2 s.l. 8 20 A: om. D 9 algebra A: agebla D 10 post 7 post res eras. uel aliter A2 nummis add. decem in D

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Vel aliter. Id quod accipit de unaquaque moneta pone rem. Deinde denomina primam rem de 20, scilicet dimidiam1 decimam rei. Deinde denomina secundam rem de 30, scilicet terciam decime rei, quas agrega et fient quinque sexte decime rei. De utraque igitur moneta accipit quinque sextas decime rei, que equantur morabitino. Inquire ergo numerum in quem multiplicate quinque sexte decime rei 2 fiant 1 res, et inuenies 12. Multiplica igitur 1 in 12, et prouenient 12, et hoc est quod accipit de nummis 20 pro morabitino et tantumdem similiter de nummis 30 pro morabitino. Item de eodem. Si quis querit: «Cum sint 3 monete, de quarum una dantur 10 nummi pro morabitino et de alia 20 et de tercia 30, cambit autem morabitinum pro nummis omnium monetarum, et de singulis accipit nummos equaliter, tunc quot accipit de unaquaque?» Sic facies. Diuide 30 per 10, et exibunt 33. Deinde diuide 30 per 20, et exibit 1 et dimidium, quem agrega tribus, et fient 4 et dimidium. Deinde diuide 30 per se, et exibit 1, quem adde 4 et dimidio, et fient 5 et dimidium. Per quos diuide 30, et exibunt 5 et quinque undecime, et tantum accipit de unaquaque moneta. Causa autem huius est illa quam in precedenti capitulo assignauerimus4. Vel aliter. 3 partes quas accipit de nummis 10 pro morabitino, denomina de 5 partibus et dimidia, et tanta pars accepta de 105 que6 est7 5 et quinque undecime, et tantum accipit de nummis 10 pro morabitino. Deinde partem et dimidiam denomina de 5 et dimidio, et tanta pars accepta de 20 est id quod accipit de nummis 20 pro morabitino. Deinde partem denomina de 5 et dimidia, et tanta pars accepta de 30 est id quod accepit de nummis 30 pro morabitino. Vel aliter. Inquire numerum qui diuidatur per 10 et per 20 et per 30, et que de singulis diuisionibus exeunt, sicut sine fractione, et hic est 60. Quos diuide per 10, et exibunt 6. Et iterum diuide per 20, et exibunt 3. Et iterum diuide per 30, et exibunt 2. Omnia autem que exeunt agrega, et fient 11. Per quos diuide 60, et exibunt 5 et quinque undecime, et tantum accipit de singulis monetis. Causa autem huius est illa quam assignauerimus8 in capitulo diuidendi secundum portiones (sic)9. Vel aliter. Id quod accipit de unaquaque moneta sit res. Deinde denomina rem de 10, scilicet decimam rei. Deinde denomina etiam rem de 20, scilicet dimidiam decimam10. Deinde denomina etiam rem de 30, scilicet terciam decime unius rei. De omnibus igitur monetis accipit decimam rei et quinque sextas unius decime unius rei que equantur morabitino. Quere igitur numerum in quem multiplicate decima rei et quinque sexte decime rei11 fiant res integra, et inuenies 5 et quinque undecimas. Quas multiplica in 1, et prouenient 5 et quinque undecimas, et ____________________ 1 post dimidiam add. scilicet D 2 rei A: om. D 3 3 A2: 30 A1 4 assignauerimus 2 1 6 que D: add. A2 s.l. 7 post est exp. id A: assignauimus D 5 10 A : 20 A uid. 8 assignauerimus A: assignauimus D 9 portiones false A D in quod accipit A2 uid. proportiones corrigendum 10 Deinde denomina [l. 32] – decimam A: om. D 11 rei A: om. D

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tantum accipit de unaquaque moneta1. Si autem uolueris experiri hanc questionem, tu scis eum iam accepisse de moneta 10 nummorum pro morabitino sex undecimas eius. De moneta uero 20 nummorum pro morabitino accipit tres undecimas eius. De moneta uero2 30 nummorum pro morabitino accipit duas undecimas et completur precium morabitini3 et equantur numeri4. A

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Si quis querat: «Cum de una moneta dentur 10 nummi pro morabitino, et de alia 20, et de tertia 30, cambit autem morabitinum alius pro nummis 3 monetarum, ita ut quod accipit de secunda duplum sit ei quod accipit de prima, et quod accipit de tercia sit triplum eius quod accipit de secunda». Sic facies. Accipe dimidium de 20, quod est 10, quoniam dixit duplum esse id quod accipit de 20 ad id quod accepit de 10. Scimus autem quod cum id quod accipitur de 20 duplum est ad id quod accipit de 10, quod autem accipitur de 30 triplum est ad id quod accipit de 20, tunc id quod accipitur de 30 sexcuplum est ad id quod accipitur de 105. Accipe igitur sextam de 30, que est 5. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur 10 nummi pro morabitino et de alia 10 et de alia 5, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete, et accipit de utraque equaliter?» Fac sicut supraostensum est et erit quod accipit de 10. 2 et dimidius et duplum huius accipit de 20, quod est 5. Triplum uero huius accipit de 30, quod est 15. Accipit igitur de 10 pro quarta morabitini et de 20 pro quarta similiter, et de 30 pro dimidio morabitino. Completo ergo morabitino completur determinatio. Cuius probatio hec est. Sit morabitinus ab. Quod autem accipit de 10 sit ag. Quod uero de 20 sit gd. Quod uero de 30 db. Quod igitur fit ex 20 ductis in gd duplum est ei quod fit ex ductu 10 in ag. Quod igitur fit ex ductu medietatis de 20 in gd equum est ei quod fit ex ductu 10 in ag. Accipe igitur dimidium de 20, scilicet 10. Similiter etiam id quod fit ex ductu de 30 in db sexcuplum est ei quod fit ex ductu 10 in ag. Quod igitur fit ex ductu sexte de 30 in db equum est ei quod fit ex 10 ductis in ag. sexta autem de 30 est 5. Quod igitur fit ex 10 ductis in ag equum est ei quod fit ex ductu 10 in gd et 5 in db. Comple ergo secundum quod docuimus, et exibit quod uoluisti, et secundum hoc fac in omnibus consimilibus.

Fig.92: A, fol.195 v m.s..

____________________ 1 post moneta exp. 10 nummorum pro morabitino A2 4 numeri A: numi D morabitini eras. tunc quot num A2 A D: om. P 5 post 10 eras. tunc id quod A2

2 uero A: eius D 3 post Vel aliter [p. 388, l. 26] – numeri

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Si quis querat: «Cum de una moneta dentur 10 nummi et de alia 20 et de tercia 30, cambit autem quis morabitinum pro nummis omnium monetarum, ita ut de 10 accipiat 2 nummos et de 20 tantum quantum de 30, tunc quot accipit de utraque?» Sic facies. Iam scimus quod cum de1 10 accipiuntur 2 nummi, accipitur quinta morabitini, et remanent 4/5 morabitini, quas debet accipere de 20 et de 30, equaliter. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur 20 nummi pro morabitino et de alia 30, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete et accipit pro 4/5 morabitini equaliter». Fac ergo sicut supradocui, et exibit quod uoluisti. Si quis querat: «Cum de una moneta dentur 15 nummi pro morabitino et de alia 60, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete, et accipit de 15 radix eius quod accipit de 60, quot accipit de unaquaque?» Sic facies. Sit morabitinus ab. Constat ergo morabitinum diuidi in 2 partes, ex quarum unius ductu in 15 et producti in se id quod fit equum est ei quod fit ex ductu alterius in 60. Sit ergo una partium ag, altera uero gb. Quod igitur fit ex ductu 15 in ag et producti in se equum est ei quod fit ex ductu 60 in gb. Quod autem fit ex ductu 15 in ag et producti in se equum est ei quod fit ex ductu quadrati de 15 in quadratum de ag. Quadratus autem de 15 est 225. Quod igitur fit ex ductu 225 in quadratum de ag equum est ei quod fit ex ductu gb in 60. Quod autem fit ex ductu gb in 60 equum est ei quod fit ex ductu ab in 60, subtracto eo quod fit ex ductu ag in 60. Quod autem fit ex ductu ab in 60 est 60. Nam ab est 1. Igitur 60 subtracto de eis eo quod fit ex ductu ag in 60 sunt equalia ei quod fit ex ductu ag in se 225os. Constat igitur quia id quod fit ex ductu ag in se 225os et eiusdem in 60 est 60. Sequitur ergo necessario ut id quod fit ex ductu ag in se semel et in quintam et terciam quinte sit quinta et tercia quinte. Protraham autem ad lineam que sit quinta unius et tercia quinte unius. Quod igitur fit ex ductu ag in se et da in ag est quinta et tercia quinte. Quod autem fit ex ductu ag in se et ag in da equum est ei quod fit ex ductu dg in ag. Quod igitur fit ex ductu dg in ag est quinta et tercia quinte. Sed da est quinta et tercia quinte. Igitur diuidatur da per medium in puncto h. Igitur ex ductu dg in ag id quod fit et ha in se equum erit ei quod fit ex ductu hg in se. Quod autem fit ex ductu dg in ag est quinta et tercia 2, et id quod fit ex ductu ha in se est 4 none quinte quinte. Igitur quod fit ex ductu hg in se est quinta et tercia quinte et 4/9 quinte unius none (sic)3. Igitur hg est 2/5 et 2/3 quinte. Sed ha est 2/3 quinte. Remanet igitur ag 2/5 et tantum accipit de moneta 15 nummorum pro morabitino. Accipit igitur de 15 2/5 morabitini, scilicet 6, et de 60 accipit 2/5 morabitini, scilicet 36. Accipit igitur de 15 radicem eius quod accipit de 60, et completur morabitinus, et hoc est quod demonstrare uoluimus.

____________________ 1 de add. A2 s.l.

2 quinte addidi

3 none false A in quinte corrigendum

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Deuxième partie du Liber mahameleth

Secundum hoc autem considera multas alias questiones que possunt fieri, et quas ego non apposui. Sed si ea qua premissa sunt bene retinueris quicumque ponunt abici facile intelliges1.

Fig.93: A, fol.195 v m.s..

AD 5

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Item de eodem2. Cum sint 2 monete, de quarum una dantur 10 nummi pro morabitino, de altera uero nescio quot, cambit autem morabitinum pro nummis utriusque monete, et de moneta 10 nummorum pro morabitino accipit 2 nummos et de reliqua 20 et completur pretium morabitini, tunc quot nummi ignoti dantur3 pro morabitino? Sic facies. Positum est de moneta 10 nummorum pro morabitino accepisse 2. Igitur accepit quintam morabitini, et remanent quatuor quinte morabitini accipiende de nummis ignotis. Scis autem quod acceptis duobus de 10 pro morabitino accipitur quinta morabitini, et remanent 4 quinte morabitini pro 10 nummis que sunt 8 nummi. Manifestum est igitur quod comparatio de 8 ad 10 est sicut comparatio de 20 ad monetam ignotam. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu primi in quartum equum est ei quod fit ex ductu secundi in tertium. Si igitur multiplicentur 10 in 20 et productum diuidatur per 8, exibunt nummi ignoti. Vel aliter. Quere numerum in quem multiplicati 8 fiunt 10, et hoc4 est 1 et quarta quod5 multiplicati in 20, et prouenient 25, et tot sunt nummi ignoti. Vel aliter. Pone nummos ignotos rem, cuius quatuor quinte que sunt quatuor quinte rei equantur ad 20. Res igitur adequantur ad 25, et tot sunt nummi ignoti. Item de eodem6. Si quis querat: «Cum sint 3 monete de una quarum dantur 10 nummi pro morabitino, de altera uero 20 et de tertia nescio quot, cambit autem aliquis morabitinum pro nummis 3 monetarum, et accipit 2 de nummis 10 pro morabitino, et de 20 4 de ignotis uero nummis 30, tunc quot ignoti nummi dantur pro morabitino?» Sic facies. Multiplica 2 acceptos de 10 pro morabitino in7 20, et prouenient 40. Quos diuide per 10, et exibunt 4. Quos agrega illis quos accepit de 20 pro morabitino, et fient 8. Quasi ergo dicatur: «Cum de una moneta dentur 20 nummi pro morabitino et de alia nescio quot, cambit autem morabitinum pro nummis utriusque monete, et de nummis 20 pro morabitino accepit 8, et de ignotis accipit 30». ____________________ 1 Si quis querat [p. 390, l. 7] – intelliges A: om. D P 2 Item de eodem A: om. D 4 hoc A: hic D 5 quod A: quem D 6 Item de 3 post dantur exp. pro ea D2 eodem A: om. D 7 in D: add. A2 s.l.

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Fac sicut docui in capitulo precedenti, scilicet minue 8 de 20 et remanet1 12, quos pone prelatum. Deinde multiplica 20 in 30, et fient 600. Quos diuide per prelatum, et exibunt 50, et tot nummi ignoti dantur pro morabitino. Causa autem de hoc quod multiplicamus 2 in 20 et productum diuidimus per 10 hec est. Scis enim 2 quos accipit de nummis 10 pro morabitino sunt quinta eorum. Et similiter 4 accepti de 20 pro morabitino sunt quinta eorum. Manifestum est igitur quod idem est accipere 2 de 10 quod accipere 4 de 20. Nam talis est comparatio 2 ad 10 qualis est de 4 ad 20. Id igitur quod fit ex ductu duorum in 20, si diuidatur per 10, exibunt 4. Probatum est igitur quod idem est accipere 2 de 10 quod 4 de 20. 2 enim sunt quinta morabitini et 4 similiter. Manifestum est igitur quod accipere 2 de 10 et 4 de 20 idem est quod accipere duas quintas de 20, que sunt 8. Vel aliter. Inquire numerum in quem multiplicati 12 fiant 20, et inuenies 1 et duas tercias. Vnum igitur et duas tercias multiplica in 30 et prouenient 50, et tot sunt nummi ignoti. Vel aliter. Tu scis quod cum duo accipiuntur de 10 pro morabitino, accipitur quinta morabitini. Similiter etiam cum accipiuntur 4 de 20 pro morabitino, accipitur quinta morabitini, et remanent accipiende tres quinte morabitini. Sequitur ergo ut 30 sint tres quinte nummorum ignotorum. Igitur de nummis ignotis dantur 50 pro morabitino. Vel aliter. Nummi ignoti sint res. Cuius tres quinte que sunt tres quinte rei equantur ad 30. Res igitur adequantur ad 50, et tot sunt nummi ignoti2. A I

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Item de eodem3. Si quis querat: «Cum 100 morabitinos partim melequinos partim baetes cambiat quis, sed melequinum4 pro 15 solidis baetem5 uero cambiat pro 10 solidis et ex 100 predictis morabitinis proueniunt 120 (sic)6 solidi7, tunc quot fuerunt melequini et quot baetes?» Si autem prouenirent solidi plures quam 1500 uel pauciores quam 1000, esset questio falsa. Non enim erit uera umquam nisi cum numerum precii minoris morabitini ueluti 10 multiplicaueris in numerum morabitinorum ueluti hic 100, et pretium maioris morabitini ueluti 15 multiplicaueris in8 numerum morabitinorum, et inter utrumque productum fuerit tota summa solidorum ex 100 morabitinis prouenientium. Quod demonstrabitur9 per probationem. Sic autem facies. Minue 10 de 15 et remanent 5, quos pone prelatum. Cum igitur uolueris scire quot fuerint10 baetes, multiplica partium unius melequini, quod ____________________ 1 remanet A: remanent D 2 Item de eodem [p. 392, l. 5] – ignoti A D: om. P Item de eodem [p. 364, l. 16] – nummi ignoti om. I 3 Item de eodem A: om. I 4 melequinum 5 baetem A: baetium I 6 120 A: 1200 I A2: melechinum I: melequinium A1 8 in addidi cum I: om. A 9 demonstrabitur A: 7 post solidi exp. plures quam I2 monstrabitur I 10 fuerint A: add. I2 s.l.

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est 15, in numerum morabitinorum, qui est 100, et tunc proueniet numerus maior numero solidorum ex omnibus morabitinis prouenientium. Minue igitur numerum solidorum de producto illo, et quod remanserit diuide per prelatum, et exibunt 60, qui est numerus baetium. Cum uero uolueris scire quot fuerint melequini, multiplica pretium unius baetium, quod est 10, in numerum morabitinorum, qui est 100, et tunc proueniet numerus minor numero omnium solidorum ex 100 morabitinis prouenientium. Quem minue ex eo, et quod remanserit diuide per prelatum et exibunt 40, et tot fuerunt melequini. A

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Cuius rei probatio hec est. 100 morabitini sint ab, melequini autem ag et baetes gb. Quod igitur fit ex ductu gb (sic)1 in 10 et gb in 15 est 1200. Quod autem fit ex ductu gb in 15 equum est ei quod fit ex ductu gb in 10 et in 5. Igitur id quod fit ex ductu gb in 10 et ag in 10 et gb in 5 est 1200. Quod autem fit ex ductu gb in 10 et ag in 10 equum est ei quod fit ex ductu totius ab in 10. Igitur quod fit ex ductu totius ab in 10 et gb in 5 est 1200. Quod autem fit ex ductu totius ab in 10 est 1000. Minue igitur 1000 de 1200, et remanebit id quod fit ex ductu gb in 5, 200. Diuide ergo 200 per 5, et exibit gb 40. Cum autem uolueris scire ag. Sic facies. Scis quod id quod fit ex ductu ag in 10 et gb in 15 est 1200. Id autem quod fit ex ductu ag in 15 pone commune. Quod igitur fit ex ductu ag in 102 et in 15, et gb in 15 erit 1200, addito sibi eo quod fit ex ductu ag in 15. Quod autem fit ex ductu ag in 15 et gb in 15 equum est ei quod fit ex ductu totius ab in 15. Quod igitur fit ex ductu totius ab in 15 et ag in 10 est 1200, addito sibi eo quod fit ex ductu ag in 15. Quod autem fit ex ductu ab in 15 est 1500. Igitur 1500 addito eo quod fit ex ductu ag in 10 est 1200, addito eo quod fit ex ductu ag in 15. Minue igitur id quod fit ex ductu ag in 10 de producto ex ductu ipsius in 15, et remanebit id quod fit ex ductu ag in 5, additis 1200 equum 1500. Minue igitur 1200 de 1500, remanebit id quod fit ex ductu 5 in ag 300. Diuide igitur 300 per 5, et exibit ag 60, et hoc est quod demonstrare uoluimus.

Fig.94: A, fol.196 r sub textu.

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Vel aliter. Multiplica 10 in 100, et prouenient 1000. Multiplica 15 in 100 et prouenient 1500. Quasi ergo dicatur : «Cum de una moneta dentur 1000 nummi pro morabitino et de alia 1500, cambit autem quis morabitinum pro nummis utriusque monete, et accipit 1500». Fac sicut supradocui, et exibit id quod accipit de 1000, 40, et tot sunt melequini. Quod autem accipit de 1500 exibit 60, et tot sunt baetes. ____________________ 1 gb false A in ag corrigendum

2 in 10 add. A2 s.l.

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Cuius rei probatio manifesta est. Si autem species morabitinorum fuerint plures quam †…†1, similiter facies sicut predictum est, et essent questiones interminate quousque determinentur aliqua adiectione. Si quis querat: «Cum morabitini nescio quot cambitur unusquisque pro 3 solidis et totidem alii morabitini cambitur unusquisque pro 4 solidis et iterum alii ignoti totidem quot primi cambitur unusquisque pro 5 solidis et ad ultimum ex cambio omnium prouenit summa 60 solidorum, tunc quot sunt omnes morabitini?» Sic facies. Agrega 3 et 4 et 5, et fient 12. Per quos diuide 60, et exibunt 5, et tot sunt morabitini primi incogniti et totidem secundi uel tertii. Quod sic probatur. Sint morabitini omnes ab. Quod igitur fit ex ductu ab in 3 et 4 et 5 est 60. Quod autem fit ex ductu ab in 3 et 4 et 5 equum est ei quod fit ex ductu ab in 12, sicut in capitulo propositionum assignauerimus. Igitur id quod fit ex ductu ab in 12 est 60. Diuide igitur 60 per 12, et exibit ab 5, et hoc est quod demonstrare uoluimus. Fig.95: A, fol.196 v m.s..

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Si quis querat: «Cum morabitini ignoti cambitur unusquisque pro 3 solidis et alii totidem ignoti uel insuper 4, cambitur unusquisque pro 4 solidis et alii ignoti totidem quot secundi et insuper 5, cambitur unusquisque pro 5 solidis, et proueniunt ex cambio omnium summa 100 solidorum, tunc quot sunt morabitini ignoti?» Sic facies. Manifestum est quod postquam tercii uincunt secundos 5 et secundi superant primos quaternario, tunc tertii transcendunt primos nouenario. Scias ergo quid competit 9 morabitinis secundum quod cambitur unusquisque pro 5 solidis, scilicet 45 solidos et similiter quid conueniat morabitinis secundum quod unusquisque cambit pro 4 solidis, scilicet 162 solidi. Quos agrega ad 45, et fient 61. Quos minue de 100, et remanebunt 39. Quasi ergo dicatur: «Cum morabitinorum nescio quot cambitur unusquisque pro 3 solidis et alii ignoti totidem cambitur unusquisque pro 4 solidis et alii totidem ignoti cambitur unusquisque pro 5 solidis, ex cambio autem omnium proueniunt summa 39 solidorum». Fac ergo sicut supradocui, et exibunt primi. Quibus adde 4, et fient secundi. Quibus adde 5, et exibunt tertii. Quorum omnium probatio manifesta est ex premissis3. AD

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Item de eodem4. Si quis querat: «De morabitino qui cambitur pro 14 nummis, si pars incidatur que cum nummis quos ualet secundum positum cambium ponderat 4 nummos, tunc quantum ponderat pars illa?» ____________________ 1 ?A 2 16 A2: 45 A1 4 Item de eodem A: om. D

3 Item de eodem [p. 393, l. 24] – ex premissis A: om. D P

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Sit positum morabitinum ponderare 2 nummos. Cambitur autem pro 14 nummis. Sequitur ergo ut morabitinus emptio suo simul1 ponderat2 16 nummos. Positum erat autem partem cum suis nummis ponderare 4 nummos. Manifestum est igitur quod comparatio partis ad se et suos nummos est sicut comparatio morabitini ad se et suos nummos simul. Comparatio autem morabitini ad se et suos nummos est octaua. Nam ipse ponderat duos numos. Sequitur igitur ut pars sit octaua3 4 nummorum, scilicet dimidius nummus, et hic est pondus partis, et hoc est quod scire uoluisti. Vel aliter. Multiplica 2 in 4 et productum diuide per 16, et exibit dimidius nummus, et tantum ponderat pars. Vel aliter. Pone rem pondus partis, et tunc remanebit ut eius partium4 sit 4 nummi minus re. Positum est autem morabitinum ponderare 2 nummos et cambiri pro 14 nummis. Manifestum est igitur quod comparatio partis, que est res, ad eius pretium, quod est 4 minus re, est sicut comparatio5 morabitini, cuius pondus sunt 2 nummi, ad eius pretium, quod est 14. Quod igitur fit ex ductu rei in 146 equum est ei quod fit ex 4 minus re ductis in 2 nummos. Ad ultimum igitur ex multiplicatione proueniunt 14 res que equantur 8 nummis minus 2 rebus. Comple ergo 8 adiectis 2 rebus que desunt. Et adde totidem ad 14 res7, et fient 16 res que equantur 8 nummis. Res igitur equantur dimidio nummo qui est pondus partis. Si autem uolueris experiri questionem, tu scis quod pars que8 est quarta morabitini. Pretium ergo eius est quarta de 14, que est 3 nummi et dimidius. Scis autem pondus partis esse dimidium nummum. Igitur pars et eius pretium sunt 4 nummi9. A D I

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Aliud capitulum de alio10. Verbi gratia11. Cum 3 canales defluant in cisternam12, quorum unus implet eam in13 1 die, secundus uero medietate diei, tertius tercia parte diei, si una hora incipiant 3 fluere14, tunc quanta parte diei implebunt eam? Sic facies. Tu scis quod 1 canalis non implet unam cisternam nisi una die, et alius canalis, qui implet cisternam in medietate diei, implet duas una die. Qui uero implet eam tercia parte diei, implet 3 una die. Sequitur ergo ut 3 canales simul influentes impleant 6 cisternas 1 die15. Sequitur ergo ut impleant 1 cisternam sexta parte diei. Vna enim cisterna sexta pars est de 6. Omnes16 igitur canales implent cisternam 1 sexta diei. ____________________ 1 emptio suo simul A: cum precio suo D 2 ponderat A: ponderent D 3 Nam ipse [l. 6] – octaua addidi cum D: om. A 4 partium A: precium D 5 comparatio A: 7 res A: sex D 8 que A: om. D 9 Cuius comparati D 6 post 14 exp. 4 A2 uid. rei probatio [p. 394, l. 10] – sunt 4 nummi om. I 10 Aliud capitulum de alio A: om. I: 11 Verbi Capitulum de cisternis add. D al. man.: cisternorum mensure add. D2 tercia man. gratia A I: om. D I 12 post cisternam add. unam D I 13 in A I: om. D I 14 fluere A: influere D I 15 Sequitur ergo [l. 30] – 1 die A D: om. I 16 omnes A2 D I: omnis A1 uid.

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Si autem querat dicens quod unus canalis implet cisternam una die et alius medietate diei et tertius tercia parte1 diei, sed subtus est foramen per quod ipsa, dum est plena, euacuatur tercia parte diei, tunc foramine aperto et 3 canalibus simul influentibus, quanta parte diei implebitur? Iam scis quod 3 canales simul influentes implent 6 cisternas, et quod foramen subtus apertum, postquam 1 plenam euacuat tercia parte diei, una die euacuabit 3 plenas. Minue igitur 3 cisternas de 6, et remanebunt 3. De quibus denomina 1 cisternam, scilicet terciam. Nam 3 cisterne uacuate reliquuntur pro 3 plenis, et insuper remanent2 3 plene. Sequitur ergo ut unamquamque illarum trium impleant 3 simul canales tercia diei, et hoc est quod uoluisti. AD

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Si quis querat, dicens: «Cum super unam cisternam sint 3 canales, quorum unus impleat3 eam duobus diebus, alius in 3, tertius uero in 4, tunc si simul tres influant4, quot diebus implebunt eam?» Sic facies. Tu scis quod canalis, qui implet cisternam duobus diebus, dimidiam implet 1 die, et alius, qui implet eam 3 diebus, implet tertiam partem cisterne una die. Qui uero implet cisternam quatuor diebus implet quartam partem cisterne una die5. Igitur illi 3 canales simul influentes implent6 1 die unam cisternam et dimidiam sextam partem cisterne. Vide ergo una cisterna quota pars sit cisterne et dimidie sexte cisterne, scilicet duodecim tredecime. Tot igitur partibus diei, scilicet duodecim tredecimas diei, 3 canales implent unam cisternam unam7. Item de eodem8. Si: «Cum in cisterna 10 cubitorum in longum et 8 in latum et 6 in profundum continente 1000 mensuras aque9 prohiciat lapidem 4 cubitorum in longum et 3 in latum et 5 in spissum, tunc quantum aque10 effluit de ea?» Sic facies. Inueni magnitudinem cisterne hoc modo, scilicet multiplica longitudinem eius in latitudinem eius et productum in profunditatem ipsius, et prouenient 480, quos pone prelatum. Deinde inueni similiter magnitudinem lapidis multiplicando, scilicet eius longitudinem in suam latitudinem et productum in spissum eius, et prouenient 60. Quos multiplica in 1000 mensuras, et prouenient 60000 mensurarum. Quas diuide per prelatum, et exibunt 125, et tot mensure aque effunduntur de ea. Causa autem huius hec est. Scimus enim quod comparatio magnitudinis cisterne, que est 480, ad 1000 mensuras quas continet est sicut comparatio magnitudinis lapidis ad id aque11 quod effunditur de ea. Vnde sunt 4 numeri ____________________ 1 parte A I: medietate D 2 remanent A I: remanebunt D 3 impleat A1 D: implet A2 4 influant A: influatur D 5 Qui uero implet [l. 17] – una die addidi cum D: om. A 6 implent A: impletur D 7 cisternam unam A: unam cisternam D 8 Item de eodem A: om. D I 9 aque A: aqua D 10 aque A: aqua D 11 aque A: aqua D

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proportionales. Quod igitur fit ex ductu primi, qui est 480, in quartum, qui est aqua effusa incognita, equum est ei quod fit ex ductu secundi, qui est 1000 mensure, in tertium, qui est 60. Si igitur id quod fit ex 1000 ductis in 60 diuidatur per 480, exibit quartus qui est aqua incognita. Vel aliter. Tu scis quod comparatio magnitudinis lapidis ad magnitudinem cisterne est sicut comparatio aque effuse ad totam aquam quam continet cisterna. Sed comparatio magnitudinis lapidis ad magnitudinem cisterne est octaua. Igitur aqua effusa est octaua de 1000, qua1 est 125. Vel aliter. Inquire numerum in quem multiplicate 480 fiunt 1000, et inuenies 2 et dimidiam sextam. Multiplica igitur 60 in 2 et dimidiam sextam, et prouenient 125, et hoc est quod uoluisti. Item de eodem2. Si quis in cisterna 10 cubitorum in longum et 8 in latum et 6 in profundum continente 1000 mensuras aque prohiciat lapidem 3 cubitorum in latum et 4 in longum et effunduntur de aqua 125 mensure, tunc quantum habet lapis in spissum? Sic facies. Multiplica 3 in 4, et fient 12. Quos multiplica in 1000, et prouenient 12000, quos pone prelatum. Deinde magnitudinem cisterne, que est 480 cubiti, multiplica in 125 et productum diuide per prelatum, et exibunt 5 cubiti et tot cubitorum est lapis in spissum. Cuius rei causa hec est. Scimus enim quod comparatio magnitudinis cisterne ad 1000 mensuras aque quas continet est sicut comparatio magnitudinis3 lapidis ad id quod effunditur de aqua quod est 125 mensure. Vnde sunt 4 numeri proportionales. Quod igitur fit ex ductu 480 in 125 equum est ei quod fit ex 1000 ductis in magnitudinem lapidis. Scis autem quod tota magnitudo lapidis prouenit ex ductu sue longitudinis in eius latitudinem, scilicet 4 in 3, et producti4 in spissitudinem eius. Manifestum est igitur quod id quod fit ex ductu 4 in 3 et producti in spissitudinem lapidis, et inde producti in 1000, equum est ei quod fit ex ductu 480 in 125. Sequitur ergo ut si id quod fit ex ductu quadringentorum octoginta in 125 diuidatur per productum ex 1000 ductis in 3, et producti in 4, exibit spissitudo lapidis. Vel aliter. Denomina 125 de 1000, scilicet octauam. Tantam igitur partem, scilicet octauam, acceptam de magnitudine cisterne, qua est 480 scilicet 60, diuide per magnitudinem superficiei lapidis, qua est 12, et exibit spissitudo lapidis, qua 5 est 5. Vel aliter. Denomina 480 de 1000, scilicet duas quintas et duas quintas quinte. Tantas igitur partes acceptas de 125, que sunt 60, diuide per 12, et exibunt 5, et hoc est quod uoluisti.

____________________ 1 qua A: que D 2 Item de eodem A: om. D 3 post magnitudinis exp. cisterne ad 1000 4 producti A: producte D 5 qua A: que D mensuras A2

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Item de eodem1. Si quis in cisterna 10 cubitorum in longum et 8 in latum et 6 in profundum continente 1000 mensuras aque prohiciat lapidem quadratum consimilem illi, scilicet ut qualis est comparatio latitudinis cisterne ad longitudinem eius talis sit comparatio latitudinis lapidis ad longitudinem eius et sit 32 in spissitudinem et effunduntur de ea 125 mensure de aqua, tunc quanta est longitudo et latitudo lapidis? Sic facies. Multiplica 1000 in spissitudinem lapidis, qua3 est 3, et prouenient 3000, quos pone prelatum. Deinde multiplica magnitudinem cisterne in 125, et prouenient 60000. Quos diuide per prelatum, et exibunt 20, qui sunt magnitudo superficiei lapidis. Si autem uolueris scire eius longitudinem, multiplica longitudinem cisterne, qua4 est 10, in magnitudinem superficiei lapidis, que est 20, et productum diuide per latitudinem cisterne, et exibunt 25. Quorum radix, qua est 5, est longitudo lapidis. Si uero uolueris scire eius latitudinem, multiplica latitudinem cisterne in 20 et productum diuide per longitudinem cisterne, et producti radix, qua5 est 4, est latitudo lapidis. Vel aliter. Vide quota pars sunt 125 effuse mensure de 1000 mensuris, scilicet octaua. Tanta igitur pars, scilicet octaua, accepta de magnitudine cisterne, qua est 60, est magnitudo lapidis. Tu scis autem quod magnitudo lapidis prouenit ex ductu sue longitudine in latitudinem eius et producti in spissitudinem eius. Diuide igitur 60 per spissitudinem lapidis, et exibunt 20, qui sunt magnitudo superficiei lapidis que prouenit ex ductu sue longitudinis in latitudinem eius. Scis autem quod magnitudo superficiei cisterne est 80. Positum est etiam quod comparatio latitudinis cisterne ad longitudinem eius est sicut comparatio latitudinis lapidis ad longitudinem eius. Sed comparatio latitudinis cisterne ad eius longitudinem est quatuor quinte6. Igitur ex ductu longitudinis lapidis in quatuor quintas7 eius proueniunt 20. Si igitur multiplicetur in se, prouenient 25. Sequitur ergo ut radix de 25 sit longitudo lapidis que est 5, et latitudo sit quatuor quinte8 radicis, que sunt 4. Causa autem horum omnium modorum est illa, qua9 assignata est in cortinis. Vnusquisque intellexerit illa facile intelliget hec. Item de eodem10. Si quis in cisterna quadrata 10 cubicorum undique et in profundo similiter 10 continente 100 mensuras aque prohiciat lapidem similiter quadratum 4 cubicorum undique et in spisso similiter, tunc quot mensure aque effunduntur de ea? Sic facies. Inueni magnitudinem cisterne, sicut supradictum est, multiplicando longum eius in latum eius et productum in profundum eius, et prouenient 1000, quos pone prelatum. Deinde magnitudinem lapidis eodem modo inuentam, ____________________ 1 Item de eodem A: om. D 2 et sit 3 A: trium sit et D 3 qua A: que D 4 qua A: 7 quatuor quintas A2 D: que D 5 qua A: que D 6 quatuor quinte A2 D: 4 4/5 A1 8 quatuor quinte A2 D: 4 4/5 A1 9 qua A: que D 10 Item de eodem A: 4 4/5 A1 om. D

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qua1 est 64, multiplica in 1002, et productum diuide per prelatum, et exibit quantum effunditur de aqua, scilicet 6 mensure et due quinte unius mensure. Causa autem huius est illa quam assignauimus in precedenti. Vel aliter. Vide3 quota pars sunt 100 de 1000, scilicet decima, et tanta pars, scilicet decima, accepta de 64 erit id quod uoluisti. Item de eodem4. Si quis in cisterna quadrata ex omni latere 10 cubitorum et in profundo totidem continente 200 mensuras aque prohiciat lapidem quadratum equalium laterum, profunditas uero eius sit 4 cubitorum et effunduntur 20 mensure aque, quot cubitorum est lapis in unoquoque5 latere? Sic facies. Multiplica 200 in 4, et fient 800, quos pone prelatum. Deinde magnitudinem cisterne inuentam, sicut supradocuimus6, que est 1000, multiplica in 20, et productum diuide per prelatum, et exibunt 25. Quorum radix, qua7 est 5, est mensura uniuscuiusque lateris lapidis. Vel aliter. Inueni numerum in quem multiplicati 200 fiant 1000, et hic est 5. Quos multiplica in 20, et fient 100. Quos diuide per 4, et exibunt 25, quorum radix est mensura uniuscuiusque lateris lapidis. Causa8 autem huius est sicut supraostendimus9. A

I

Cum in una cisterna 10 in longum et 8 in latum et 5 in profundum continente 1000 mensuras aque prohicitur lapis et effunduntur 100 mensure, tunc exacto lapide quantum descendit aqua?10

Si quis querat: «Cum in una cisterna 10 cubitorum in longum et 8 in latum et 5 in altum continente mille mensuras aque prohiciatur lapis trium in longum et duorum in latum et unius in altum, extracto lapide quantum descendit aqua?»11

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A

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Sic facies. Multiplica 100 effusas in altitudinem cisterne, que est 5, et productum diuide per id quod capit cisterna, scilicet mille, et exibit quantum aqua descendit. Cuius probatio est hec. Scimus autem quod exacto lapide aliquis in cisterna remanet sine aqua redactus in formam cisterne. Quasi ergo superficies aque diuidat cisternam in 2 partes, quarum una inferior est cum aqua et altera superior sine aqua. Euclides autem dixit quod cum aliquod eorum diuiditur sic per ____________________ 1 qua A: que D 2 100 A2 D: 1000 A1 3 uide A: quidem D 4 Item de eodem A: om. D 5 unoquoque A: unaquaque D 6 supradocuimus A: supraostensum est D 7 qua A: que D 8 causa A: cum D 9 Si quis querat [p. 397, l. 12] – supraostendimus A D: om. P I 10 Cum in una [l. 20a] – aqua A: om. D I 11 Si quis querat [l. 20b] – aqua I: om. A D

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superficiem sicut hoc, tunc comparatio unius partis ad aliam erit sicut comparatio basis unius ad basim alterius. Basis autem partis sine aqua est superficies et similiter basis partis cum aqua est superficies. Cuius altitudo equalis est altitudini superficiei, que est basis partis sine aqua. Comparatio igitur superficiei ad superficiem est sicut comparatio basis unius ad basim alterius. Basis autem superficiei, que est basis partis sine aqua, est superior pars altitudinis cisterne, et basis superficiei, que est basis partis cum aqua, est inferior pars altitudinis cisterne. Altitudo enim cisterne est 1 de 4 angularibus lineis rectis. Latera enim cisterne equidistantia sunt, et superficies continentes eam sunt recte. Sic enim proposita fuit questio. Cisterna igitur diuisa est in 2, quarum unius que est sine aqua comparatio ad aliam cum aqua1 est sicut comparatio eius quod apparet de angulari linea super aquam ad id quod latet sub aqua de ea. Cum autem composueris, tunc comparatio partis sine aqua ad totam cisternam erit sicut comparatio apparentis linee angularis ad altitudinem totius cisterne. Pars autem sine aqua equalis est ei quod effusum est de aqua. Cisterna autem equalis est omni ei quod capit. Igitur comparatio totius quod capit tota cisterna ad id quod effusum est de aqua est sicut comparatio totius altitudinis cisterne ad lineam apparentem, que est id quod queritur. Ideo sic agendum fuit, ut multiplices secundum, qui est 100, in tertium, qui est 5, et productum diuide per primum, que est 1000, et exit quartus, qui est quantum aqua descendit post exactionem lapidis. Si quis querat: «Cum in una cisterna 10 in longum et 8 in latum et 5 in altum continente 1000 mensuras aque prohiciatur lapis 3 in longum et duorum in latum et unius in altum, exacto lapide quantum descendit aqua?»2 A I

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Sic facies. Scias per id quod supradiximus3 quantum effunditur de aqua, scilicet 15 mensure. Quasi ergo dicatur: «Cum in4 una cisterna 10 in longum et 8 in latum et 5 in profundum prohiciatur lapis et effunduntur5 de aqua 15 mensure, post exactum6 lapidem quantum descendet aqua?» Fac sicut supradocui, et exibit quod uoluisti7.

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A D I Item8 si quis querat: «Cuppa cuius diametrum est 10 cubicorum et 8 in profundum, tunc quot mensuras uini continet?»

____________________ 1 aqua A2: aliam A1 uid. 2 Si quis querat [p. 397, l. 12] – descendit aqua om. I 5 effunduntur A I2: effunditur I1 3 supradiximus A: supradixius I 4 in A: add. I2 s.l. 6 exactum A: extractum I 7 Cum in una [p. 400, l. 20a] – uoluisti A: om. D P 8 item A D: om. I praem. De urnis rotundis D al. man.

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Sic facies. Multiplica diametrum cuppe in se et de producto minue septimam eius et dimidiam septime, et quod remanet est magnitudo superficiei 1 interioris totius cuppe. Quam multiplica in profunditatem eius et productum duplica. Dicitur enim in uase unius cubiti in longum et latum et altum2 2 mensuras contineri, et quod prouenit est id quod cuppa capit. Vel aliter. Ad inueniendum magnitudinem interioris superficiei3 cuppe, multiplica semper diametrum in 3 et septimam, et productus erit magnitudo circumferentie. Ideo autem ex ductu diametri in 3 et4 septimam prouenit magnitudo circumferentie, quoniam ab antiquis 5 iam probatum est circumferentiam communem6 triplam esse sui diametri7 et insuper partem septimam8 diametri. Inuenta autem circumferentia dimidium eius multiplica in dimidium diametri, et productus est superficies unius fundi. Quam multiplica in profunditatem cupe et productum duplica, et proueniet quod queris. Si uero9 quadrata fuerit, inueni magnitudinem eius sicut supraostendimus, et duplata erit id quod uoluisti10. Capitulum de scalis11. Si scala 10 cubitorum in longum adiuncta parieti sibi equali retrahitur ab imo12 parietis 6 cubitis, tunc quantum descendit in summo? Sic facies. Multiplica 6 in se et multiplica 10 in se, et minus productum minue de maiore producto, et eius quod remanet radicem, que est 8, minue de 10, et remanebunt 2. Et tantum descendit scala a summo13 parietis. AD

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Quod monstrabitur hac figura. Sit paries linea ab, scala autem sit linea dg. Igitur linea dg est 10. Linea uero gb est 6. Constat autem quod trianguli qui est dbg angulus rectus est. Quod igitur fit ex ductu linee db in se et bg in se14 equum est ei quod fit ex ductu dg in se. Manifestum est igitur quoniam si id quod fit ex ductu linee bg in se minuatur de producto ex ductu gd in se, remanebit id quod fit ex ductu db in se 64. Igitur linea db est 8, que est radix de 64. Sed linea ab est 10. Igitur linea ad est 2, et tot cubitos scala descendit a summo parietis, et hoc est quod monstrare uoluimus. Vel aliter. Pone lineam ad unam rem, et remanebit linea db 10 minus re. Quos 10 minus re multiplica in se, et prouenient 100 et unus15 census minus 20 rebus. Deinde multiplica lineam bg in se, et prouenient 36. Quorum duo producta agrega,

____________________ 1 superficiei A D: superior I 2 altum A D: alium I uid. 3 superficiei A D: superiori I 5 ab antiquis D I: abintus A 6 communem A D: omnem I 4 et A I: add. D2 m.d. 7 sui diametri A D: diametri sui I 8 septimam A D: septem I 9 uero A D: add. I2 s.l. 10 Item si quis [p. 401, l. 31] – uoluisti A D I: om. P 11 Capitulum de scalis A D: om. I: add. De scalis. Huic capitulo †…† habes in †…† et tantum retrahitur scala. Infra iter. D2 m.d. 12 post imo exp. unius in †…† cum quinque capitulis sequentibus D2 m.d. 13 summo A I: scumo D 14 et bg in se A: om. D 15 unus A: unius D A2

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et fient 1 census et 136 minus 20 rebus, que equantur ei quod prouenit ex ductu dg in se, quod est 100. Comple igitur 136 et censum adiectis 20 rebus que desunt et adde totidem res ad 100. Deinde relinque 100 pro 100, et remanebit census et 36 que adequantur 20 rebus. 5

Medietatem igitur rerum, que est 10, multiplica in se, et prouenient 100. De quibus minue 36, et remanebunt 64. Quorum radicem, que est 8, minue de medietate rerum, et remanebunt 2, qui sunt id quod ualet res, et sunt linea ad. Et hoc est quod uoluisti 1.

Fig.96: A, fol.198 r m.d.; om. D.

A D I 10

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Item2. Si scala 10 cubitorum in longum adiuncta parieti eiusdem altitudinis retracta descendit a summo3 parietis duobus cubitis, tunc quantum retrahitur ab imo4 parietis? Sic facies. Minue 2 de 10 et remanent5 8. Quos multiplica in se et 10 in se et minus productum minue de maiore, et remanebunt 36. Quorum radix, que est 6, est mensura spatii quo descendit6 scala ab imo7 parietis. AD

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Quod monstratur tali figura. Sit paries ab, scala uero dg et ad sit 2. Igitur db est 8. Trianguli autem qui est dbg angulus rectus est. Quod igitur fit ex ductu db in se et gb in se equum est ei quod fit ex ductu dg in se, sicut euclides testatur in primo libro. Igitur id quod fit ex ductu db in se, si minuatur de producto ex ductu dg in se, remanebit id quod fit ex ductu linee bg in se 36. Igitur linea bg est radix de 36, igitur est 6, et tot cubitis retrahitur scala ab imo8 parietis. Et hoc est quod monstrare uoluimus. ____________________ 1 monstrare addidi. Quod monstrabitur [p. 402, l. 22] – monstrare A D: om. I 2 item A D: om. I 3 summo A I: ssumo D 4 imo A I: uno D 5 remanent A D: remanebunt I 7 imo A I: uno D 8 imo A: uno D 6 descendit A2 I: discedit D: descedit A1

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Vel aliter. Linea bg sit res, quod est id quod retrahitur scala ab imo1 parietis. Scis autem quod db est 8. Multiplica ergo illam in se et multiplica bg in se et utrorumque producta agrega, et fient 1 census et 64 nummi que adequantur2 ad 100. Comple igitur sicut premonstratum est in algebra3, et erit id quod res ualet 6, et tot cubitis retrahitur scala a pede parietis4.

Fig.97: A, fol.198 r m.d.; om. D.

A D I

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Item de eodem5. Si scala nescio quam longa adiuncta parieti eiusdem altitudinis et retracta 6 cubitis a radice parietis descendit a summo parietis6 duobus cubitis, tunc quante longitudinis est7? Sic facies. Multiplica 6 in se et 2 in se et minus productum minue de maiore, et remanebunt 32. Quorum dimidium, quod est 16, diuide per 2 cubitos, et exibunt 8. Quibus adde 2 cubitos, et fient 10, et tanta est altitudo scale siue parietis. AD

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Quod sic monstratur. Sit paries ab, scala uero dg. Patet igitur quod linea ab diuiditur in 2 inequalia in puncto d. Igitur quod fit ex ductu ad in se et db in se et ad in db bis equum est ei quod fit ex ductu ab in se, sicut euclides dixit in secundo libro. Scis autem quod linea ab equalis est linee dg. Quod igitur fit ex ductu dg in se equum est ei quod fit ex ductu ad in se et db et in se et ad in db bis. Iam uero scis quoniam id quod fit ex ductu dg in se equum est ei quod fit ex ductu db in se8 et bg in se. Ostensum est igitur quoniam id quod fit ex ductu ad in se et db in se et ad in db bis equum est ei quod fit ex ductu db in se et bg in se. Reiecto igitur communi, quod fit ex ductu bd9 in se, remanet id quod fit ex ductu ad in se et ad in db bis equum est ei quod fit ex ductu gb in se. Id igitur quod fit ex ductu ad in se10, quod est 4, minue11 de producto ex ductu bg in se quod est 36, et remanebit id quod fit ex ductu ad in db bis triginta duo12. ____________________ 1 imo A: uno D 2 adequantur A: equantur D 3 algebra A: agebla D 4 Quod monstratur [p. 403, l. 18] – parietis A D: om. I 5 Item de eodem A: om. D I 6 post parietis exp. descendit I 7 est A I: om. D 8 se addidi cum D: om. A 9 bd A: db D 10 et ad in db [l. 24] – in se addidi cum D: om. A 11 post minue exp. igitur 12 post duo eras. 32 A2 A2

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Id igitur quod fit ex ductu ad in db semel est 16. Si igitur diuiseris 16 per lineam ad, que est 21, exibit linea db 8. Linea autem ad est 2. Igitur linea ab est 10, et tanta est altitudo scale et parietis. Et hoc est quod scire uoluisti. Vel aliter. Linea ab sit res. Positum est autem lineam ad esse 2. Igitur linea db est res minus 2. Igitur rem minus 2 multiplica in se, et proueniet 1 census et 4 minus 4 rebus. Multiplica etiam lineam bg in se, et prouenient 36. Quorum duo producta agrega, et fient 1 census et 40 minus 4 rebus, que adequantur ei quod fit ex ductu dg in se, quod est census. Deinde fac sicut supradocuimus in algebra2, et id quod ualet res erit 10. Et tanta est altitudo scale et parietis3.

Fig.98: A, fol.198 v m.s.; om. D. 10

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A Si quis querat: «Cum una scala 10 cubitorum in longum adiuncta parieti sibi equali, retracta uero a radice parietis tantum quod si agregaueris ei quod descendit a summo parietis fiunt 8, quantum retrahitur et quantum descendit?» Sic facies. Minue 8 de longitudine parietis, et remanent 2. Quos multiplica in se, et fient 4. Quos minue de eo quod fit ex ductu longitudinis scale in se, et remanebunt 96. Quorum medietatem, que est 48, retine. Deinde dimidium duorum multiplica in se, et proueniet 1. Quem agrega ad 48, et fient 49. Quorum radicem, que est 7, retine. Cum ergo uolueris scire quantum descendit caput scale a summo parietis, agrega 7 dimidio duorum, et fient 8. Quos minue de longitudine parietis, et remanebunt 2. Et tantum descendit sumitas scale a summo parietis. Cum autem uolueris scire quantum retrahitur ab imo parietis, minue dimidium duorum de 7 et remanebunt 6. Et tantum retrahitur scala a radice parietis. Cuius probatio hec est. Maneat precedens figura sicut erat. Cum igitur agregaueris ad et bg, fient 8. Incidatur igitur de db equale ad bg quod sit dh. Totus igitur ah est 8. Iam autem ab erat 10. Igitur remanet hb 2. Scimus autem quoniam id quod fit ex ductu bd4 in se et hd in se est 100. Sunt enim equale ei quod fit ex ductu dg in se, sed dg est 10. Quod autem fit ex ductu bd in se et hd in se equum est ei quod fit ex ductu bd in dh bis et bh in se. Minue igitur id quod fit ex ductu bh in se de 100, et remanebit id quod fit ex ductu bd in dh bis 96. Quod igitur fit ex ductu bd in dh semel est 48. ____________________ 1 post 2 add. exibit linea db que est duo D querat [p. 401, l. 31] – et parietis A D: om. P

2 algebra A: algebla D 4 bd A2: dg A1

3 Item si quis

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Diuidatur igitur bh per medium in puncto z, et tunc bh erit linea diuisa per medium, cuius longitudini additum est aliquid, quod est dh. Quod igitur fit ex ductu bd in dh et hz in se erit equum ei quod fit ex ductu zd in se, sicut euclides dixit in secundo. Igitur zd est 7. Sed zb est 1. Igitur totus bd est 8. Sed ab est 10. Remanet igitur ad duo, et tantum descendit sumitas scale a summo parietis. Et quoniam dz est 7 et hz est 1, remanet hd, qui est equalis ad bg, 6. Et tantum retrahitur scala a radice parietis. Et hoc est quod probare uoluimus.

Fig.99: A, fol.198 v m.s..

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Si quis querat: «Cum una scala 10 1 in longum adiuncta parieti sibi equali retrahitur a radice parietis tantum de quo diminuto eo quod descendit a summo remanent 4 2». Si autem diceretur hic quod retrahitur a radice parietis tantum quo diminuto de eo quod descendit a summo remanent 4 aut 3 aut quodlibet alii falsa erit questio. Id enim quod discendit a summo semper minus est eo quo retrahitur ab imo. Quod sic probatur. Maneat figura eadem. Dico igitur quod bg semper longius est quam ad. Quod sic probatur. Scimus quoniam id quod fit ex ductu bd in se et bg in se equum est ei quod fit ex ductu dg in se, sed dg equum est ad ab. Quod igitur fit ex ductu bd in se et bg in se equum est ei quod fit ex ductu 3 ad in se et db in se, et ad in db bis. Quod igitur fit ex ductu db in se et bg in se equum est ei quod fit ex ductu db in se4 et ad in se et ad in db bis. Reiecto igitur communi, scilicet eo quod fit ex ductu db in se, remanebit id quod fit ex ductu ad in se et in db bis equum ei quod fit ex ductu bg in se. Igitur id quod fit ex ductu bg in se maius est eo quod fit ex ductu ad in se tantum quantum est id quod fit ex ductu ad in db bis. Quadratus igitur de bg semper maior est quadrato de ad. Igitur bg semper maius est quam ad. Et hoc est quod monstrare uoluimus.

____________________ 1 cubitorum addidi 2 quantum retrahitur et quantum descendit addidi se [l. 18] – ex ductu addidi 4 post se exp. remanebit id A2

3 ab in

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Fig.100: A, fol.198 v m.s..

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Postquam autem hoc monstratum est, redeamus ad questionem propositam et assignauimus in ea modum agendi. Sic igitur facies. Multiplica 4 in se, et fient 16. Quorum medietatem, que est 8, retine. Deinde minue 4 de 10, et remanebunt 6. Quorum medietatem, que est 3, multiplica in se, et fient 9. De quibus minue 8 retentos, et remanebit 1. Cuius radicem, que est 1, agrega tribus, et fient 4. Quos minue de longitudine parietis, et remanebunt 61. AD

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Et tantum retrahitur scala a radice parietis. Cum autem uolueris scire quantum descendit sumitas scale a summo parietis, minue 4, quos in questione posuit remanere de 6, et remanebunt 2, et tantum descendit scala a summo parietis. Quod sic probatur. Maneat autem preposita figura eadem. Cum igitur minueris ad de db, remanebunt 4. Sit autem ah equalis ad bg. Igitur dh est 4. Iam autem monstrauimus quod id quod fit ex ductu bg in se equum est ei quod fit ex ductu ad in se et in db bis. Sed bg est equalis ad ah. Igitur id quod fit ex ductu ah in se equum est ei quod fit ex ductu ad in se et in db bis2. Id autem quod fit ex ductu ah in se equum est ei quod fit ex ductu ad in se et dh in se et ad in dh bis. Igitur quod fit ex ductu ad in se et dh in se3 et ad in dh bis equum est ei quod fit ex ductu ad in se et in db bis. Reiecto igitur communi, quod est id quod fit ex ductu ad in se, et remanebit id quod fit ex ductu ad in dh bis et dh in se equum ei quod fit ex ductu ad in db bis. Quod autem fit ex ductu ad in db bis equum est ei 4 ex ductu ad in dh bis, et in hb bis5. Igitur quod fit ex ductu ad in dh bis et in hb bis [et dh in se]6 equum est ei quod fit ex ductu ad in dh bis et dh in se. Reiecto igitur communi, quod est id quod fit ex ductu ad in dh bis [equum ei quod fit ex ductu hd in se et]7, remanebit id quod fit ex ductu ad in hb bis equum ei quod fit ex ductu hd in se.

____________________ 1 Si quis querat [p. 405, l. 11] – remanebunt 6 A: om. D P 2 sed bg [l. 15] – db bis addidi cum D: om. A 3 in se addidi cum D: om. A 4 quod fit addidi 5 et in hb bis addidi cum D: om. A 6 emendaui et dh in se quod fallaciter post bis addidit A 7 emendaui equum ei quod fit ex ductu hd in se et quod fallaciter post bis addidit A

408

5

10

Deuxième partie du Liber mahameleth

Quod autem fit ex ductu hd in se est 16. Igitur id quod fit ex ductu ad in hb bis est 16. Igitur quod fit ex ductu ad in hb semel est 8. Sit autem bz equalis ad ad, et bd sit communis. Igitur totus zd equalis est ad ab. Sed ab est 10. Igitur zd est 10. Sed hd est 4. Igitur remanet hz, 6. Hic autem hz diuisus est in 2 partes in puncto b. Ex quarum unius ductu in alteram id quod fit est 8. Diuidatur igitur zh per medium in puncto k, et tunc id quod fit ex ductu hb in bz, et id quod fit ex ductu kb in se erit equum ei quod fit ex ductu kz in se. Id autem quod fit ex ductu kz in se est 9. De quibus minue id quod fit ex ductu hb in bz, quod est 8, et remanebit id quod fit ex ductu kb in se 1. Igitur kb est 1. Sed kz est 3. Igitur bz est 2, qui est equalis ad ad. Igitur ad est 2. Sed dh est 4. Igitur ah est 6. Sed ah est equalis ad bg. Igitur bg est 6. Et hoc est quod demonstrare1 uoluimus.

Fig.101: A, fol.199 r m.d.; om. D.

15

20

25

Si quis querat: «Cum una scala 10 2 in longum adiuncta parieti sibi equali retrahitur a radice parietis triplo ad id quod descednit a summo, quantum retrahitur et quantum descendit?» Maneat figura supraposita3 eadem. Igitur bg erit triplum ad ad. Iam autem monstrauimus quod id quod fit ex ductu ad in se et in db bis equum est ei quod fit ex ductu bg in se. Quod autem fit ex ductu bg in se est nocuplum (sic) ad id quod fit ex ductu ad in se. Quod autem fit ex ductu ad in se semel fit commune. Quod igitur fit ex ductu ad in se bis et ad in db bis erit equum ei quod fit ex ductu ad in se decies. 4. Igitur quod fit ex ductu ad5 in se bis et ad in db bis equum erit ei quod fit ex ductu totius ab in ad bis. Quod autem fit ex ductu ab in ad bis equum est ei quod fit ex ductu ad in 206. Nam ab est 10. Quod igitur fit ex ductu ad in 20 equum est ei quod fit ex ductu eiusdem in se decies. Quod igitur fit ex ductu ad in duo equum7 erit ei quod fit ex ductu eiusdem in se semel. Igitur ad est 2, et hoc est quod demonstrare8 uoluimus.

____________________ 1 demonstrare A: monstrare D 2 cubitorum addidi 3 supraposita A: supposita D 4 Id autem [l. 20] – in ab addidi 5 ad addidi cum D: om. A 6 ad in 20 A2 D: eidem in 1 7 est ei [l. 24] – duo equum A: om. D 8 demonstrare A: monstrare D se decies A

Deuxième partie du Liber mahameleth

409

5

Ideo autem talis est modus agendi in hac questione et in consimilibus. Videlicet ut multiplices 3 in se, et fient 9. Quibus semper adde 1, et fient 10, quos retine. Deinde1 dupla longitudinem scale semper, et duplatam diuide per 10 retentos. Et quod exierit est id quod a summo parietis scala descendit. Hoc autem triplica2, et fiet id quo3 distat radix4 scale a radice parietis. Si autem in hac questione diceretur quod id quo distat radix scale a radice parietis est due tercie uel tres quarte, uel aliquid minus 1, eius quod descendit a summo, uel equale ei, esset questio falsa. Iam enim ostendimus quod id quod descendit scala a summo semper minus est eo quo retrahitur ab imo.

10

Fig.102: A, fol.199 r m.d.; om. D.

15

20

Si quis querat: «Cum una scala ignote longitudinis adiuncta parieti sibi equali retrahitur a radice parietis 6 cubitis et descendit a summo duobus cubitis, quanta est longitudo scale?» Sic facies. Multiplica 6 in se, et prouenient 36, et multiplica 2 in se, et fient 4. Quos minue de 36, et remanebunt 32. Quorum medietatem, que est 16, diuide per 2, et exibunt 8. Quibus adde 2, et fient 10, et tot cubitorum est scala. Cuius probatio hec est. Maneat5 autem figura supraposita eadem. Iam ostendimus quod id quod fit ex ductu ad in se et ad in db bis equum est ei quod fit ex ductu bg in se. Quod autem fit ex ductu ad in se minue de eo quod fit ex ductu bg in se, et remanebit id quod fit ex ductu ad in db bis 32. Quod igitur fit ex ductu ad in db semel est 16. Sed ad est 2. Igitur db est 8. Sed ad est 2. Igitur totus ab est 10. Et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.103: A, fol.199 r m.d.; om. D.

25

Si quis autem querat: «Cum una scala ignote longitudinis adiuncta parieti sibi equali retrahitur a radice parietis tantum quod si agregaueris ei quod descendit a summo parietis fient 8, cum uero multiplicaueris 1 in aliud fient 12, tunc quanta est longitudo eius?» ____________________ 1 post deinde exp. scis A2 2 triplica A: triple D om. D 5 post maneat exp. igitur A2

3 quo A D2: quod D1

4 radix A:

410

5

10

Deuxième partie du Liber mahameleth

Maneat figura supraposita eadem. Si igitur agreges ad ad gb, fient 8. Sit igitur gh equalis ad ad. Totus igitur bh est 8. Positum erat autem quod ex ductu bg in gh, id quod fit est 12. Diuidatur igitur bh per medium in puncto z. Quod igitur fit ex ductu bg in gh et zg in se equum est ei quod fit ex ductu zb in se. Quod autem fit ex ductu zb in se est 16. De quibus minue id quod fit ex ductu bg in gh, et remanebit id quod fit ex ductu zg in se 4. Igitur zg est 2. Sed bz est 4. Igitur bg est 6, et gh erit 2 et est equalis ad ad. Quasi ergo dicatur: «Cum una scala ignote longitudinis adiuncta parieti sibi equali [et]1 retrahitur ab imo parietis 6 cubitis et descendit a summo 2 cubitis, quanta est longitudo scale?» Fac ergo sicut supradocui, et exibit quod uoluisti.

Fig.104: A, fol.199 r sub textu; om. D.

15

20

25

Si quis querat: «Cum una scala ignote longitudinis adiuncta parieti sibi equali retrahitur ab imo2 parietis tantum de quo subtracto eo quod descendit a summo parietis remanent 4, ex ductu autem unius in aliud proueniunt 12, quanta est longitudo eius?» Maneat figura eadem. Quod igitur fit ex ductu ad in bg est 12. Cum igitur minueris ad de bg, remanebunt 4. Incide igitur de bg3 equale ad ad, quod sit hg. Igitur bh est 4. Quod autem fit ex ductu4 bg in hg est 12. Diuidatur igitur bh per medium in puncto z. Quod igitur fit ex ductu bg in hg et hz in se equum est ei quod fit ex ductu zg in se, sicut euclides dixit. Quod autem fit ex ductu bg in gh est 12. Quibus adde id quod fit ex ductu zh in se, quod est 4, et erit id5 quod fit ex ductu zg 166. Igitur totus bg est 6. Similiter etiam zg est 4 et zh est 2. Remanet igitur hg 2, qui est equalis ad ad. Igitur ad est7 2. Quasi ergo dicatur: «Cum scala ignote longitudinis adiuncta parieti sibi equali retrahitur ab imo8 parietis 6 cubitis et descendit a summo duobus 9» Fac sicut supradocui, et inuenies quod queris10.

____________________ 1 emendaui et quod fallaciter post equali addidit A 2 imo A: uno D 3 de bg A: dbg D 5 id A: om. D 6 post 16 add. Igitur zg 4 ex ductu A2: iter. D: fit ex add. A2 s.l. : 6 A1 est 4. Sed bz est 2 D 7 est addidi cum D: om. A 8 imo A: uno D 9 quanta est longitudo scale addidi 10 Et tantum retrahitur [p. 407, l. 8] – quod queris A D: om. P Quod sic monstratur [p. 404, l. 15] – quod queris A D: om. I

Deuxième partie du Liber mahameleth

411

Fig.105: A, fol.199 v m.s.; om. D.

A D I

5

10

15

Item de alio1. Si quis querat: «Cum arbor 30 cubitorum in altum a decem cubitis supra incuruatur ad terram, tunc quantum distat cacumen eius fixum in plano a radice ipsius?» Sic facies. Minue 10 de 30, et remanebunt 20. Quos multiplica in se et 10 in se et utrorumque productorum minue minus de maiore, et remanebunt 300. Quorum radix propinquior, que est 17 et undecim tricesime quarte, est id quod uoluisti. AD Quod monstratur tali figura. Sit arbor linea ag, 10 uero a quibus supra incuruatur sit linea dg, locus autem unde incuruatur sit punctus d. Remanet igitur linea ad 20 equalis linee db. Igitur linea db est 20. Constat autem quod trianguli, qui est bgd, angulus rectus est qui est angulus dgb. Quod igitur fit ex ductu dg in se et gb in se equum est ei quod fit ex ductu db in se. Si2 igitur id quod fit ex ductu dg in se minueris de eo quod fit ex ductu db in se, remanebit id quod fit ex ductu gb in se 300. Igitur gb est radix trescentorum. Et hoc est quod monstrare uoluimus.

Fig.106: A, fol.199 v m.s.; om. D.

____________________ 1 Item de alio A: om. D I: De distantia cacuminis arboris in reflexu suo ramicis D al. man. 2 si A D2: sit D1

412

Deuxième partie du Liber mahameleth

Modus autem agendi secundum algebra1 est sicut ostendimus in capitulo scalarum2. AD

5

10

15

Item Si arbor 30 cubitorum in altum incuruatur quousque cacumen eius distat a radice ipsius 10 cubitis, tunc quantum remansit in ea rectum unde incuruatur? Sic facies. Multiplica 30 in se et 10 in se et utrorumque productorum minue minus de maiore, et remanebunt 800. Quorum medietatem, que est 400, diuide per 30, et exibunt 13 et tercia, et tantum est in ea rectum a quo supra incuruatur3.

D

Cum arbor triginta cubitorum in altum incuruatur tantum quod cacumen ei fium in plano distat a radice eius decem cubitis, tunc quantum remanet rectum unde incuruatur? Sic facies. Multiplica decem in se et triginta in se et utrorum productorum minue minus de maiore, et remanebunt octingenti. Quorum medietatem, que est quadringenti, diuide per triginta, et exibunt tredecim et tercia et tantum remansit rectum a quo supra incuruatur, et hoc est quod uoluisti4.

AD

20

25

30

35

Quod taliter demonstratur. Sit arbor linea ag, 10 uero sint linea gb, id uero supra quod incuruatur sit linea gd, locus uero unde incuruatur sit punctus d. Patet igitur lineam ag diuisam esse in 2 inequales partes in puncto5 d. Id ergo quod fit ex ductu ad in se et dg in se et ad in dg bis equum est ei quod fit ex ductu ag in se. Scis autem quod linea ad equalis est linee db. Id igitur quod fit ex ductu db in se et dg in se et gd in da bis equum est6 ei quod fit ex ductu7 linee ag in se. Id autem quod fit ex ductu db in se equum est ei quod fit ex ductu dg in se et gb in se. Manifestum est igitur quia id quod fit ex ductu gb in se et gd in se bis, addito sibi eo quod fit ex ductu gd in da bis, equum est ei quod fit ex ductu ag in se. Id igitur quod fit ex ductu gb in se, quod est 100, minue de eo quod fit ex ductu ag in se, quod est 900, et remanebit id quod fit ex ductu dg in se bis et id quod fit ex ductu gd in da bis 800. Id igitur quod fit ex ductu dg in se semel, addito sibi eo quod fit ex ductu eiusdem in da semel, est 400. Id autem quod fit ex ductu gd in se et in da equum est ei quod fit ex ductu dg in ga. Omnis enim linea cum diuiditur in 2 inequalia, id quod fit ex ductu unius partium in se et deinde in alteram equum est ei quod fit ex ductu eiusdem8 partis9 in10 totam lineam, sicut euclides testatur in secundo libro. Manifestum est igitur quia id quod fit ex ductu dg in ga est 400. Si igitur diuiseris 400 per lineam ag, que est 30, exibit linea dg 13 et tercia, et ____________________ 1 algebra A: agebla D 2 Item de alio [p. 411, l. 2] – scalarum A D: om. P 3 Item [l. 3a] – incuruatur A D: om. P 4 Cum arbor [l. 3b] – quod uoluisti addidi cum D: om. A P 8 eiusdem A D: 5 puncto A: puncta D 6 est iter. D 7 post ductu exp. in se A2 1 2 1 9 partis A D: partium A 10 post in exp. se et deinde in alteram A2 add. unius A

Deuxième partie du Liber mahameleth

5

413

tantum est rectum super quod incuruatur arbor. Et hoc est quod demonstrare 1 uoluimus2. Vel aliter. Multiplica 10 in se, et prouenient 100. Quos diuide per 30, et exibunt 3 et tercia, quos agrega ad 30, et fient 33 et tercia. De quorum medietate, que est 16 et due tercie, minue 3 et terciam, et remanebunt 13 et tercia, et tantum est super quod incuruatur3.

Fig.107: A, fol.199 v m.s.; om. D.

10

15

20

Quod demonstratur hoc modo. Sit arbor linea ag, id uero super quod inclinatur sit linea dg, locus uero super quem4 incuruatur sit punctus d, 10 uero sint linea gb. Deinde iungatur b cum d. Igitur linea ad equalis est linee db. Deinde ponam punctum d centrum circuli occupantis spatium quod est inter d et a et d et b, et5 sit circulus abh. Deinde iungatur g cum h et g6 cum k. Igitur ak est diametrum circuli. Constat igitur quia id quod fit ex ductu kg in ga equum est ei quod fit ex ductu bg in gh, sicut euclides dixit in tercio libro, hoc modo. Si intra circulum 2 recte linee se inuicem secent, tunc id quod sub duabus partibus unius continetur equum est ei quod sub duabus partibus alterius linee continetur. Ex ductu autem gb in gh proueniunt 100. Nam linea bg equalis est linee gh. Euclides enim dixit quod si una linea intra circulum preter centrum ceciderit aliaque a centro exiens ei orthogonaliter insistet eamque per equalia diuidet, – scis autem quod angulus dgb est rectus7, – igitur linea bg equalis est linee gh. Si igitur diuidantur 100 per lineam ag, que est 30, exibit gk 3 et tercia. 8. Scis autem quod linea ad equalis est linee dk. Igitur linea dk est 16 et due tercie. Linea uero kg est 3 et tercia. Igitur linea gd est 13 et tercia, et tantum est super quod inclinatur. Et hoc est quod demonstrare9 uoluimus.

Fig.108: A, fol.199 v sub textu; om. D.

____________________ 1 demonstrare A: monstrare D 2 nota istam demonstrationem que principaliter in hoc consistit quod id quod fit ex gd in ga est 400. Et ideo cum linea ag nota sit 30, necessarium est quod linea dg sit numerus qui multiplicatus in 30 reddat 400. Et propter hoc diuident 404 per 30, et 3 demonstratur A: predictus numerus per numerum questionis inuenitur add. A2 m.s. al.man. 6 et g A: om. D 7 est monstratur D 4 quem A: quod D 5 et D: add. A2 s.l. rectus A: rectus est D 8 Igitur totus – tercia addidi 9 demonstrare A: monstrare D

414

5

Deuxième partie du Liber mahameleth

Vel aliter. Id unde incuruatur arbor sit res, et est linea dg. Remanet igitur linea ad1 30 minus re equalis linee db. Multiplica igitur eam in se, et proueniet 1 census et 900 minus 60 rebus, que adequantur ei quod fit ex ductu dg in se et gb in se, quod est 1 census et2 100. Fac ergo sicut ostensum est in algebra3, et exibit res 13 et tercia. Et hoc est quod monstrare uoluimus4. A D I

10

Si5 quis querat: «Cum una arbor ignote longitudinis incuruatur a 6 cubitis supra, distat cacumen eius fixum in terra a radice ipsius 8 cubitis, quanta est 6 eius longitudo?» Sic facies. Multiplica 8 in se et fient 64. Deinde multiplica 6 in se, et fient 36. Agrega utrumque productum, et fient 100. Quorum radici agrega 6, et erit id 7 quod uoluisti, scilicet 16, et tanta est longitudo arboris8. AD

15

Quod sic probatur. Maneat figura sicut erat. Igitur bd erit 6, et bg erit 8. Quod autem fit ex ductu bd in se et bg in se equum est ei quod fit ex ductu dg in se. Cum igitur multiplicaueris db in se et producto agregaueris id quod fit ex ductu bg in se, radix summe9 que inde prouenit erit dg, que est equalis ad ad. Adde igitur ad ad db, et fiet totus ab, qui est longitudo arboris.

____________________ 1 ad A: ab D 2 et A: om. D 3 algebra A: agebla D 4 Item de alio [p. 411, l. 2] – uoluimus A D: om. P Quod monstratur [p. 411, l. 11] – uoluimus om. I 5 praem. De arborum flexarum longitudine per distantiam cacuminis a radice noscenda D m.d. al. man. 7 id A D: om. I 8 post arboris add. In terra 20 cubitorum in 6 est A D: add. I2 s.l. longum et 10 in latum, quot arbores plantari possunt distantes a se duobus cubitis? Diuide longitudinem terre per duos cubitos et ei quod exit semper adde unum, et prouenient sicut hic undecim. Deinde diuide (diuide iter. I1) latitudinem terre per duos cubitos et ei quod exit semper adde unum et fient sicut hic 6. Quos multiplica in undecim, et prouenient 66, et tot arbores plantari possunt. In longitudine (longitudinem I1) cuiusdam terre plantantur undecim arbores et in eius latitudine (longitudinem I1) 6 arbores omnes distantes a se duobus cubitis, tunc predicta terra quot cubitorum est in longum et in latum (altum I 1). Minue unum de undecim, et quod remanet multiplica in duo, et fient 20 et tot habet in longum. Similiter minue unum de 6, et remanebunt 5. Quos multiplica in duos cubitos, et prouenient 10 et tot habet in latum I 9 summe A D2: 1 sum D

Deuxième partie du Liber mahameleth

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Fig.109: A, fol.200 r m.d.; om. D.

5

10

15

Si quis querat: «Cum arbor ignote longitudinis a tribus octauis eius et 1 supra incuruatur, locus ubi cacumen eius decidit distat a radice eius 8 cubitis, quanta est eius longitudo, et super quantum incuruatur?» Si autem diceretur incuruari super duas tercias eius uel super tres quartas eius uel super medietatem eius uel amplius quam sit medietas, tunc questio falsa est (sic)2, quoniam caput eius non decideret in terram. Sit igitur arbor ab, incuruatur autem in puncto d. Igitur bd est tres octaue de ab. Remansit autem ad quinque octaue de ab. Incuruatur autem quasi dg. Igitur bg est 8. Quod autem fit ex ductu bg in se et bd in se equum est ei quod fit ex ductu dg in se. Quod autem fit ex ductu dg in se est tres octaue quadrati de ab et octaua octaue eius. Quod etiam fit ex ductu bd in se est octaua quadrati de ab et octaua octaue eius. Remanet igitur id quod fit ex ductu bg in se quarta quadrati de ab. Igitur quarta quadrati de ab est 64. Igitur ab est 16. Et hoc est quod monstrare uoluimus. Si autem diceretur incuruari super tres octauas eius, et locus ubi decidit cacumen eius distat a radice eius quantum est medietas eius, esset questio multiplex. Omnis enim numeri id quod fit ex ductu trium octauarum eius in se et sue medietatis in se equum est ei quod fit ex ductu quinque octauarum eius in se. Et hoc est quod demonstrare3 uoluimus4.

Fig.110: A, fol.200 r m.d.; om. D.

____________________ 1 et A: om. D 2 est false A D in esset corrigendum 4 Si quis querat [p. 414 l. 7] – uoluimus A D: om. P

3 demonstrare A: monstrare D

416

Deuxième partie du Liber mahameleth

AD

5

10

15

20

Item1. Si arbor 30 cubitorum in altum inclinat cacumen suum unaquaque die 1 cubitum, tunc post quot dies decidet in terram? Sic facies2. Multiplica dimidium de 30 in 3 et septimam, et productum diuide per id quod inclinatur 1 die, et exibit numerus dierum post quos decidet ad terram, qui sunt 47 dies et septima. Cuius rei causa hec est. Scimus enim quod arbor non inclinatur3 nisi quarta parte circuli. Quod sic monstratur. Sit altitudo arboris linea ag. Constat igitur quod linea ag inclinatur quousque fiat ut linea bg. Deinde punctus g fiat centrum super quod4 fiat circulus occupans extremitates linearum ga et gb, quod sit circulus abt. Manifestum est igitur quod figura abg est quarta circuli, arcus uero ab est5 quarta circuli est circumferentie (sic)6. Si igitur uolueris scire totam circumferentiam, duplica lineam ag, et proueniet linea ak, que est diametrum circuli. Deinde multiplica eam in 3 et septimam, et proueniet totus circulus. Si autem uolueris scire7 arcum ab, accipe quartam totius circumferentie. Scis autem quod duplicare ag et productum multiplicare in 3 et septimam et producti accipere quartam idem est quod multiplicare dimidium linee ag in 3 et septimam. Et hoc est quod demonstrare8 uoluimus. Si autem diceretur unaquaque die inclinari 2 aut 3 cubitis, accipies dimidium de 47 et septima, uel eorum terciam, uel amplius, prout proposuerit9.

Fig.110a: om. A (quod idem est fol.200 r m.d.); om. D.

A

25

Cum una arbor 70 cubitorum in altum inclinat quaque die uerticem suum 3 cubitis, et quaque die erigitur 1 cubito, tunc usque ad quot dies decidet in terram? Sic facies. Dimidium sue altitudinis, quod est 35, multiplica in 3 et septimam, et prouenient 110. Deinde agrega 1 cubitum tribus cubitis, et fient 4 cubiti, quos retine. Deinde minue 1 de 3 cubitis, et remanebunt 2. Deinde minue 1 cubitum de 110, et remanebunt 109. Quos diuide per 2, et exibunt 54, et remanebit 1. Quem adde uni cubito quo erigitur arbor quaque die, et erunt 2. Quos denomina de 4 ____________________ 1 Item A D: De arborum equaliter se quo non dicitur inclinatum eam D al. man.: Huic capitulo 2 facies A: adde que habes infra in carta 75. § Si quis querat et § se quesiti D2 al. man. 4 quod A: quem D 5 est A: om. D inuenies D 3 inclinatur A D2: in ea D1 6 circuli est circumferentie A: circumferentie circuli D 7 scire A: om. D 8 demonstrare A: monstrare D 9 Item. Si arbor [l. 2/3] – proposuerit A D: om. P

Deuxième partie du Liber mahameleth

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retentis, scilicet dimidium, quod agrega ad 54 exeuntia de diuisione, et erunt 54 et dimidium, et usque ad tot dies arbor decidet in terram.

5

Cum una arbor ignote altitudinis inclinatur quaque die duobus cubitis, et usque ad 44 dies decidit in terram, tunc quante altitudinis est? Multiplica 2 cubitos in 44, et prouenient 88. Quos semper diuide per 3 et septimam, et exibunt 28. Quos duplica semper, et prouenient sicut hic 56, et tot cubitorum est arbor in altum1. A D I

10

15

Item2. Si duarum turrium, quarum una sit 30 cubitorum in altum, altera uero3 20, bases4 earum distant inter se 8 cubitis, tunc quantum distant cacumina earum? Sic inuenies5. Differentiam que est inter 20 et6 30, que est 10, multiplica in se, et 87 multiplica in se, et producta utriusque agrega, et fient 164. Quorum radix 8, que est 12 et quinque sexte, est numerus cubitorum quibus distant cacumina earum. AD

20

Quod monstrabitur sic. Sit una turris linea ab, altera linea dg, 8 uero sit linea gb. Deinde a puncto d protraham lineam equidistantem linee bg, que sit linea dk. Igitur linea dg9 equalis est linee kb. Linea autem dg est 20. Igitur linea kb est 20. Sed linea ak est 10. Et linea bg equalis est linee dk. Patet autem quod angulus trianguli akd rectus10 est. Igitur id quod fit ex ductu ak in se et kd in se equum est ei quod fit ex ductu ad in se. Id igitur quod fit ex ductu ad in se est 164, quorum ipse est radix. Et hoc est quod demonstrare11 uoluimus12.

Fig.111: A, fol.200 v m.s.; om. D.

____________________ 1 Cum una arbor [l. 3] – altum A: om. D P Quod sic probatur [p. 414, l. 14] – in altum om. I 2 Item A D: om. I: De turrium inequalium mensurarum cacuminibus ab se inuicem distantibus, cui adde que habes in carta 75 capitula. Si quis querat duobus sequentibus ? D al. man. 3 post 4 post bases add. autem D I 5 inuenies A2 D I: facies A1 6 et A D: uero del. in I2 7 8 A D I2: 4 I1 8 propinquior addidi 9 post dg exp. kb A2 add. I2 s.l. 10 rectus A: rectis D 11 demonstrare A: monstrare D 12 uoluimus A: uolumus D Item. Si duarum [l. 9/10] – uoluimus om. P Quod post uoluimus exp. scilicet remaneat A2 monstrabitur [l. 17] – uoluimus om. I

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A D I

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Item1. Si duarum turrium, quarum una est 30 cubitorum in altum et altera 20, cacumina distent 12 cubitis et quinque sextis unius cubiti, tunc quantum distant bases earum? Sic inuenies. Differentiam2 que est inter 30 et 20, scilicet 10, multiplica in se, et productum minue de eo quod fit ex ductu 12 et quinque sextarum in se. Et eius quod remanserit radix est id quo distant bases earum. Cuius rei causa consimilis est illi quam assignauimus in precedenti3. AD Scilicet remaneat4 figura qualis erat. Igitur linea ab est5 30, et linea dg est 20, et linea ad est 12 et quinque sexte. Volumus autem scire quanta est6 linea gb. Protraham autem a puncto d lineam dk equidistantem linee gb. Igitur kb est 20. Sed ab est 30. Igitur ak est 10. Quod autem fit ex ductu ak in se et dk in se equum est ei quod fit ex ductu ad in se. Igitur subtracto eo quod fit ex ductu ak in se, que est 10, de eo quod fit ex ductu ad7 in se, remanebit id quod fit ex ductu dk in se. Ergo radix eius quod remanet est dk, que est equalis gb. Et hoc est quod scire uoluisti8.

Fig.112: A, fol.200 v m.s.; om. D.

A D I

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Si9 quis querat: «Cum 2 turres, quarum una10 sit ignote longitudinis, altera uero 18 cubitorum in longum, cacumina earum distant 10 cubitis, bases uero 6 distant cubitis, quanta est longitudo turris ignota?» Huius questionis sensus duplex est aut ut turris ignote longitudinis sit maior alia aut minor. Ponamus autem quod sit maior. Sic igitur facies. Multiplica distantiam basium in se, et productum minue de eo quod fit ex ductu distantie cacuminum suorum in se, et eius quod remanet radicem agrega longitudini turris cognite11, et quod prouenerit est ignota longitudo turris. ____________________ 1 item A D: om. I 2 differentiam A I: distringam D 3 Item. Si duarum [l. 2/3] – precedenti om. P 4 remaneat A: si remanet D 5 est A: om. D 6 est addidi cum D: om.A 7 ad A: da D 8 Scilicet [l. 11] – uoluisti A D: om. P I 9 praem. De †…† ibus ab se in †…† distantibus magis a cacumine †…† fundamento D m.s. al. man. 10 una A D: om. I 11 cognite A2 D I: incognite A1

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AD

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Cuius probatio hec est. Sit turris1 cognita ab, ignota uero sit dg. Igitur bg est 6, et ad est 10, et ab est 18. Protraham autem perpendicularem, que sit ah, equidistantem ad bgi. Et tunc hg erit equalis ad ab. Sed ab est 18. Igitur hg est 18. Sed bg est equalis ad ah. Igitur ah est 6. Sed ad est 10, et angulus ahd rectus est. Igitur dh est 8. Sed hg erat 182. Igitur totus dg est 26. Et hoc est quod demonstrare uoluimus.

Fig.113: A, fol.200 v m.s.; om. D.

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Si uero fuerit minor, multiplica distantiam suorum cacuminum in se, et de producto minue id quod fit ex ductu distantie basium in se. Et eius quod remanet radicem minue de longitudine turris cognite, et quod remanet est incognita longitudo alterius turris. Cuius probatio hec est. Maneat figura eadem. Sit arbor (sic)3 cognita dg, incognita uero ab. Igitur ad est 10, et bg est 6. De puncto autem a protraham lineam equidistantem ad bg. Igitur ah est 6. Manifestum est autem quod id quod fit ex ductu ah in se et hd in se equum est ei quod fit ex ductu ad in se. Igitur multiplica ad in se, qui est 10, et de producto minue id quod fit ex ductu ah in se, qui est 6, et remanebit id quod fit ex ductu dh in se 64. Igitur dh est 8. Sed dg erat 18. Remanet igitur hg 10. Sed est equalis ad ab. Igitur ab est 10, et tanta est longitudo ignota turris. Et hoc est quod monstrare uoluimus4. A D I Si5 autem diceretur in aliqua harum questionum distantia basium maior esse distantia cacuminum, falsum esset. Similiter etiam distantia cacuminum non potest dici equalis distantie basium cum una turrium fuerit longior6 alia, cum enim

____________________ 1 turris add. A2 s.l.: arbor A1 D 2 Sed hg erat 18 addidi cum D: om. A D in turris corrigendum 4 Cuius probatio [l. 2] – uoluimus A D: om. I 6 longior A D: altior I tunc I2

3 arbor false A 5 post si del.

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Deuxième partie du Liber mahameleth

distantie fuerint equales, necessario turres1 equales erunt. Quorum omnium probatio manifesta est2.

Fig.114: A, fol.200 v m.s.; om. D.

A D I

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Item de alio3. Si corda 4 cubitorum circumdat fasciculum 100 uirgarum, tunc quot uirge consimiles circumdantur a corda 10 cubitorum? Sic inuenies. Multiplica 4 in se, et prouenient 16, quos pone prelatum. Deinde multiplica 10 in se, et prouenient 100. Quos multiplica in numerum uirgarum, qui est 100, et prouenient 100004. Quos diuide per prelatum, et exibunt 625, et tot sunt uirge quesite. Vel aliter. Multiplica 10 in se, et prouenient 100. Quos diuide per 16, et exibunt5 6 et quarta. Quos multiplica in numerum uirgarum qui est 100, et prouenient 625. Et hoc est quod uoluisti. Causa6 huius hec est. Talis est enim comparatio uirgarum ad uirgas qualis est comparatio quadrati unius corde ad quadratum alterius corde.

____________________ 1 turres A D I2: tres I1 2 Si quis querat [p. 418, l. 19] – manifesta est A D: om. P post manifesta est add. Similiter dicetur (similiter dicetur om. I2): «Cum uolueris scire altitudinem turris uel arboris, acccipe duos fustes unum maiorem alio uno cubito uel duobus. Deinde constitue quemque eorum super terram equalem perpendiculariter et sint equidistantes inter se, et ad turrem uel arborem faciant lineam rectam. Deinde aspice eos ita ut radius oculi incipiens a summitate minoris fustis et transiens per summitatem maioris perueniat usque ad summitatem turris. Quo facto minue longitudinem minoris fustis de longitudine maioris et residuum denomina de spacio distancie que est inter duos fustes. Et ipsam denominationem multiplica in spatium quod est inter minorem fustem et arborem uel turrem, et productum adde longitudini minoris fustis, et quod prouenerit longitudo uel arboris erit.» I 3 Item de alio A: om. I: De fasciculis diuersorum circumferentis D al . man.: Huic capitulo adde que habes in carta 75 capitula duo? D m.s. al. man. 4 10000 A D: 1000 I 5 exibunt A D: prouenient I 6 post causa exp. autem D2

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Item1. Si corda 4 cubitorum circumdat fasciculum 1 et alia corda 12 cubitorum circumdat alium fasciculum, tunc quotiens minor fasciculus continetur in maiore? Sic inuenies. Multiplica 4 in se, et prouenient 16. Deinde multiplica 12 in se et fient2 144. Quos diuide per 163, et exibunt 9, et totiens minor continetur in maiore, scilicet nouies. Similiter etiam si diceretur quod: «Cum corda 4 palmorum4 circumdat fasciculum messis cuius pretium est dimidius nummus, tunc fasciculum circumdatur5 corda 12 palmorum, quantu pretii erit?» Sic inuenies6. Multiplica 4 in se et productum pone prelatum. Deinde multiplica 12 in se, et prouenient 144. Quos diuide per prelatum, et exibunt 9. Quos multiplica in dimidium, et prouenient 4 et dimidium, et tantum est pretium eius. Ideo autem multiplicamus 9 in dimidium, quoniam non uoluimus scire nisi fasciculum7 corde 4 palmorum quotiens continetur in fasciculo corde 12 palmorum. Et inuenimus nouies, et dedimus unicuique fasciculo dimidium nummum. Vnde competunt eis 4 nummi et dimidius. Cuius rei causa est id quod euclides dixit in duodecimo libro8. A D I

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Si9 quis querat: «Cum corda 1010 cubitorum in longum11 circumdet 1000 uirgas, tunc quante longitudinis est corda circumdans 250?» Scimus autem quod comparatio de 100012 ad 250 est sicut comparatio quadrati de 10 ad quadratum quesiti. Fac ergo sicut predictum13 est, et exibit quadratus quesiti 25. Igitur quesitum est 5. Si quis querat: «Cum corda 3 cubitorum circumdet fasciculum pretii 18 nummorum, tunc quante longitudinis est corda circumdans fasciculum pretii duorum nummorum?» Scimus quod comparatio quadrati 3, qui est 9, ad quadratum quesiti est sicut comparatio de 18 ad 2. Fac ergo sicut supradocui, et exibit id quod queritur unum. Secundum hoc autem considera omnia hiis similia, et inuenies ita esse14.

____________________ 1 item A D: om. I 2 fient A I: fiant D 3 Deinde [l. 4] – per 16 add. I sub textu 5 circumdatur A I: circumdatus D 6 sic inuenies A2 4 palmorum A D I2: cubitorum I1 1 I: sic facies A : om. D 7 fasciculum A D: fasciculos I 8 Item de alio [p. 420, l. 4] – duodecimo libro om. P 9 add. De fasciculum diuersa †…† circumpen†…† D m.d. al. man. 11 in longum A D: om. I 12 post 1000 exp. a 10 post 10 exp. u A2 13 predictum A D: supradictum I 14 esse iter. D1 Si quis querat [l. 19] – ita esse A2 A D: om. P

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Capitulum de nuntiis1. Verbi gratia2. Cum unus nuntius mittatur ad unam ciuitatem, sic ut in unaquaque die eat 20 miliaria, deinde post 5 dies missus est alter ut eat in unaquaque die 30 miliaria, in quot3 diebus consequitur4 eum? Sic facies. Differentiam, que est inter 20 et 30, scilicet 10, pone prelatum. Deinde multiplica 5 in 20, et productum diuide per prelatum, et exibunt 10, et tot dies incedit secundus nuntius. Primus autem iuit totidem, et insuper 5 dies, qui sunt 15, et consecutus est eum. AD Quod monstrabitur hac probatione. Dies quos iuit primus sint linea ab. Scis autem quod dies quos iuit primus excedunt dies quos iuit secundus quinario. De linea igitur ab inciditur5 linea de 5, que sit linea gb. Restat ergo ut linea ag sit dies quos iuit secundus nuntius. Scis autem quod6 miliaria utriusque nuntii esse equalia, et quod id quod fit ex ductu dierum quos iuit unusquisque nuntius7 in miliaria, que uadit unaquaque die, est omnia miliaria qua utraque eorum uadit, donec sese consecuntur. Manifestum est igitur quod id quod fit ex ductu linee ag in 30 equum est ei quod fit ex ductu linee ab in 20. Id autem quod fit ex ductu ab in 20 equum est ei quod fit ex ductu linee ab in 20. Id autem quod fit ex ductu ab in 20 equum est ei quod fit ex ductu8 ag9 et gb uniuscuiusque in 20. Scis autem ex ductu linee gb in 20 prouenire 100. Nam linea gb est 5. Igitur quod fit ex ductu ag in 20, insuper additis 10010, equum est ei quod fit ex ductu ag in 30. Id igitur quod fit ex ductu ag in 20 minue de eo quod fit ex ductu eiusdem in 30, et remanebit id quod fit ex ductu ag in 10, 100. Diuide igitur 100 per 10, et exibit linea ag, que est 10. Vel aliter. Iam scis monstratum esse quod id quod fit ex ductu linee ag in 30 equum est ei quod fit ex ductu ab in 20. Igitur comparatio de ag ad11 ab est sicut comparatio de 20 ad 30. 20 autem sunt due tercie de 30. Igitur ag est due tercie de ab. Postquam autem linea ag est due tercie linee ab, necesse est ut linea gb sit tripla linee ba. Igitur linea ab est 15, et linea ag est 10. Et tot sunt dies quos iuit secundus nuntius et consecutus est alium. Primus autem iuit quindecim dies12. Et hoc est quod demonstrare uoluimus.

Fig.115: A, fol.201 r m.d.; om. D.

____________________ 1 Capitulum de nuntiis A: om. I : De nuntiorum †…†ibus D al. man. 2 uerbi gratia A D: om. I 3 quot A I: quo D 4 consequitur A I: consequetur D 5 inciditur A: incidatur D 6 quod A: om. D 7 nuntius A: om. D 8 linee ab [l. 19] – ductu A: om. D post ductu exp. linee A2 9 ag A2 D: ab A1 10 10 iter. D 11 ad iter. A1 12 quos iuit [l. 29] – dies addidi cum D: om. A

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Vel aliter. Pone dies in quibus conuenerunt rem, et isti sunt dies quos iuit secundus nuntius. Quam multiplica in numerum miliariorum, que iuit unaquaque die. Numerus igitur miliariorum que iuit est 30 res. Dies autem quos iuit primus nuntius erunt res et 5 dies. Que multiplica in miliaria que iuit in unaquaque die que sunt 20, et fient 201 res et 100 miliaria que adequantur2 30 rebus. Fac igitur secundum algebra3, et erit id quod res ualet 10, et tot sunt dies in quibus consecutus est secundus nuntius primum. Si autem hoc uolueris experiri, iam scis quod nuntius primus iuit 15 dies et in unaquaque die 20 miliaria. Igitur miliaria que iuit sunt 300. Nam si multiplices 15 in 20, prouenient tot. Secundus autem nuncius iuit decem dies, et in unaquaque die 30 miliaria. Igitur miliaria que iuit sunt 300. Adequantur igitur miliaria, et secundus consequitur primum4. A I

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Cum unus nuntius mittitur de una ciuitate ad aliam distantem 400 miliariis, ita ut in unaquaque die eat 20 miliaria, post 15 autem dies mittitur alius post eum, ut consequatur eum in introitu ciuitatis, ita ut simul ingrediantur, tunc quot miliaria debet ire unaquaque die? Sic facies. Multiplica 15 in 20 et prouenient 30 (sic)5. Quos minue de 400, et remanebunt 10 (sic)6. Quos diuide per 20, et exibunt 5. Per quos diuide 400, et exibunt 80. Et tot miliaria debet ire quaque die ut consequatur primum secundus in 5 diebus. Cum una nauis moueatur ab uno loco ad alium distantem 300 miliariis, erit autem quaque die 20 miliaria et quaque die a uento repercussa redit 5 miliaria, tunc quot diebus perueniet ad locum distantem 300 miliariis? Sic facies. Agrega 5 ad 20, et fient 25. Deinde minue 5 de 300, et remanebunt 295. Quos diuide per differentiam, que est inter 5, quibus redit et 20 que erit7, scilicet 15, et exibunt 19, et remanebunt 10. Quos adde ad 5 miliaria, et fient 15. Quos denomina de 25, scilicet 3/5 diei. Quas 3/5 diei agrega ad 19, et fient 19 et 3/5 diei, et tot diebus peruenit ad locum propositum. Cum unus serpens egrediatur de cauerna tertia parte sue8 longitudinis in die et quaque die redeat quarta parte sue longitudinis, tunc quot diebus egredietur9 totus? Sic facies. Numeros denominantes terciam et quartam inter se multiplica, et prouenient 12. Quorum terciam et quartam, que sunt 3 et 4, agrega, et fient 7, quos retine. Deinde minue de 12 tres, et remanebunt 9. Quos diuide per differentiam que est inter 3 et 4, que est 1, et exibunt 9. Deinde denomina 3 de 7, scilicet 3/7, quas agrega ad 9, et prouenient 9 et 3/7, et tot diebus et partibus diei egreditur totus. ____________________ 1 4 – 8

et fient 20 A: om. D 2 post adequantur exp. ad A2 3 algebra A: agebla D Capitulum de nuntiis [p. 422, l. 2] – primum A D I: om. P Quod monstrabitur [p. 422, l. 11] primum A D: om. P I 5 30 A: 300 I 6 10 A: 100 I 7 erit A: currit I 9 egredietur A: egreditur I sue A: add. I2 s.l.

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Cum serpens 7 cubitorum in longum quaque die egrediatur de cauerna1 uno cubito, et quaque die redit tercia parte cubiti, quot diebus egreditur totus? Sic facies. Agrega terciam ad unum, et fiet 1 et tercia, que retine. Deinde minue terciam de 7 cubitis, et remanebunt 6 et 2/3. Quos diuide per differentiam que est inter terciam et cubitum, et exibunt 10. Deinde denomina terciam de uno et tercia, scilicet quartam. Quam agrega ad 10, et fient 10 et quarta, et tot diebus et tanta parte diei egreditur totus. Cum unus serpens quaque die egrediatur2 et redit nescio quantum, et egreditur totus 9 diebus et 3/7 diei, tunc quanta est pars ignota que (sic)3 redit? Sic facies. De tercia parte de 9 et 3/7 diei semper minue 1, et remanebunt 2 et septima. Deinde minue 3/7 de 9, et remanebunt 8 et 4/7. De quibus denomina 2 et septimam, scilicet quartam, et tanta est pars ignota, scilicet quarta. Cum serpens 7 cubitorum in longum quaque die egreditur 1 cubito et quaque die redit quadam parte cubiti ignota, egreditur autem totus 10 diebus et quarta, tunc quanta est pars illa? Sic facies. Multiplica cubitum in 10 et quartam, et erunt 10 cubiti et quarta. De quibus minue longitudinem serpentis, que est 7, et remanebunt 3 et quarta. Deinde quartam additam 10 diebus minue de 10, et remanebunt 9 et 3/4. De quibus denomina 3 et quartam, scilicet terciam. Igitur tercia parte cubiti redit quaque die. Erant4 3 homines, quorum primus dixit duobus: «Accipite tantum de meo quantum habet unusquisque uestrum». Secundus similiter dixit primo et tertio: «Vnusquisque uestrum accipiat5 tantum de meo quantum habet quisque uestrum». Tertius similiter dixit primo et secundo. Quo facto inuenti sunt habere equale6, tunc quantum habet unusquisque eorum? Sic facies. Semper adde 1 numero hominum, et fient sicut hic 4 et tantum habebat tertius. Quos duplica, et de duplato minue 1, et remanebunt 7, et tantum habebat secundus. Quos duplica et de duplato minue 1, et remanebunt 13, et tantum habebat primus. Ita fiet quot7 sint homines. 4 homines erant, quorum primus dixit reliquis 3: «Vnusquisque uestrum accipiat tantum de meo, quantum habet de proprio?» Et factum est ita. Secundus similiter dixit reliquis8 3: «Accipiat tantum9 de meo unusquisque uestrum quantum habet de proprio?» Et factum est ita. Similiter tertius dixit reliquis 3, et quartus similiter dixit. Quo facto inuenti sunt habere equaliter. Quantum habebat unusquisque eorum? ____________________ 1 cauerna A: cauea I 2 quaque die egrediatur A: egrediatur quaque die I post egrediatur add. quantum est tercia parte sui I 3 que false A I in qua corrigendum 4 praem. in 5 accipiat A: accipite I 6 equale A: equaliter I 7 quot A: capitulo participum A1 quotquot I 8 reliquis A: aliis I 9 tantum A: om. I

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Semper adde 1 numero hominum, et fient sicut hic 5, et tantum habebat quartus. Quos duplica et de duplato minue 1, et fient 9, et tantum habebat tertius. Quos iterum duplica et de duplato minue 1, et fient 17, et tantum habebat secundus. Quos duplica et de duplato minue 1, et fient 33, et tantum habebat primus. 5

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3 homines habebant inter se 721 nummos, quorum primus dixit reliquis 2: «Accipiat unusquisque uestrum tantum de meo quantum habet de proprio.» Similiter secundus reliquis 2, similiter tercius reliquis 2 dixit. Et factum est ita, et inuenti sunt habere equaliter tantum de predictis 72. Quot habebat unusquisque eorum? Inueni per predictam2 regulam quantum habebat quisque eorum, et inuenies quod tertius habebat 4, secundus 7, primus 13. Quos omnes agrega, et fient 24. Per quos diuide 72, et exibunt 3. Quos multiplica in id quod habet unusquisque eorum, et inuenies quod queris. Primus igitur habebit 39, secundus 21, tertius uero3 124. 3 homines erant, quorum primus dixit reliquis 2: «Accipite unusquisque uestrum tantum de meo, quantum habetis de proprio?» Similiter secundus dixit. Tertius similiter dixit. Quo facto inuentus est primus habere5 quantum6 secundus et insuper 2 nummos, et secundus inuentus est habere quantum tertius et insuper nummum 1, tunc quantum habebat quisque7 eorum? Post omnem acceptionem id quod habebat quilibet eorum pone quemlibet numerum. Verbi gratia. Tertius ponatur habere 5, secundus igitur habebat 6, et8 primus 8. Inueniam autem quantum habet quisque eorum secundum almenquet9, et e conuerso, quod est incipere superius10. Adde ei quod habet tertius, dimidium eius quod habet secundus et dimidium eius quod habet primus, et fient 12, et quod habet secundus11 fiet 3 et primus 4. Deinde ei quod habet secundus adde dimidium de 12 et dimidium de 4. Quod igitur habet secundus12 fiet 11, et quod habet tertius fiet 6, et quod primus 13 fiet 2. Deinde ei quod habet primus adde dimidium de 6 et dimidium de 11. Primus igitur habebat 10 et dimidium, et secundus 5 et dimidium, tertius uero 3, et tantum habebat quisque eorum ad participationem. In hoc autem capitulo infinite possunt fieri questiones. 3 homines uolebant emere equum quendam14, sed quisque sibi. Quorum primus dixit secundo: «Si dederis mihi dimidium eorum que habes, agregatum cum eo quod habeo proueniet pretium equi.» Secundus uero dixit tertio: «Si dederis mihi terciam partem eorum que habes, agregatum cum eo quod habeo, habebo pretium

____________________ 1 72 A2 I: dies A1 2 predictam A2 I: per A1 3 uero A: om. I1: et add. I2 s.l. 4 12 A: 13 I 5 primus habere A: habere primus I 6 post quantum add. et I 7 quisque 9 almenquet A: almencus I 10 et e conuerso A: unusquisque I 8 et A: add. I2 s.l. – superius false A: quod est incipere id est conuerso a superius false I in id est conuerso, quod est incipere conuerso a superius corrigendum 11 habet secundus A: secundus habet I 12 emendaui percamenti partem sine ullo uerbo quod fallaciter post secundus addidit A 13 habet addidi 14 equum quendam A: quendam equum I

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huius equi.» Tertius dixit primo: «Si dederis mihi quartam1 eorum que habes, agregatum cum eo quod habeo, habebo pretium huius equi.» Tunc quantum habebat quisque eorum et quantum erat pretium equi? Hec questio interminata est. In qua sic facies. Ex numeris denominantibus dimidium terciam et quartam multiplicatis inter se prouenient 24. Quibus semper adde 1, si impar fuerit numerus hominum. Si uero par2 semper3 minue 1 de numero denominationum, et quod prouenerit post additionem uel diminutionem unius hoc erit pretium equi, sicut hic 254. Cum autem uolueris scire quantum habet primus de numero denominante quantum dimidium, qui est 2, minue 1, et remanebit 1. Quem multiplica in numerum denominantem terciam, qui est 3, et prouenient 3. Quibus adde 1 et fient 4. Quos multiplica in numerum denominantem quartam, qui est 4, et fient 16, et tantum habet primus. Quos minue de pretio equi, et quod remanet multiplica in numerum denominantem dimidium, qui est 2, et fient 18, et tantum habet secundus. Quos iterum minue de pretio equi, et quod remanet multiplica in numerum denominantem terciam, qui est 3, et prouenient 21, et tantum habet tertius. 4 homines conuenerunt ad emendum quendam equum, sed quisque sibi. Quorum primus dicit secundo: «Si dederis mihi dimidium eius quod habes, agregatum cum eo quod habeo5, habebo pretium huius equi.» Secundus uero dixit tertio: «Si dederis mihi6 tertiam eius quod habes, et agregauero cum eo quod habeo7, habebo pretium huius equi.» Tercius uero dixit quarto: «Si dederis mihi quartam eius quod habes et agregauero cum eo quod habeo, habebo pretium huius equi.» Quartus uero dixit primo: «Si dederis mihi quintam eius quod habes, et agregauero cum eo quod habeo, habebo pretium huius equi.» Tunc quantum habebat quisque eorum et quantum erat pretium equi? Hec questio interminata est. In qua sic facies. Multiplica numeros8 denominantes 9 omnes fractiones propositas nulla pretermissa, et prouenient 120. De quibus minue 1, – par est enim numerus hominum, – et remanebunt 119, et tantum est pretium equi. Cum autem uolueris scire quantum habet primus, de numero denominante dimidium minue 1, et remanebit 1. Quem multiplica in numerum denominantem terciam et producto adde 1, et fient 4. Quos multiplica in denominationem quarte et de producto minue 1, et remanebunt 15. Quos multiplica in denominationem quinte, et prouenient 75, et tantum habet primus. Quos minue de pretio equi, et quod remanet multiplica in denominationem dimidii, et fient 88, et tantum habet secundus. Quos minue de pretio equi, et quod remanet multiplica in denominationem tercie, et fient 93, et tantum habet tertius. Quos minue de pretio equi, et quod remanserit10 multiplica in denominationem quarte, et prouenient 104, et tantum habet quartus. Et hoc est quod scire uoluisti.

____________________ 1 post quartam add. partem I 2 par addidi cum I: om. A 3 semper A2 I: peri A1 2 1 2 1 2 4 25 A I : 24 I 5 habeo A I : habebo I 6 mihi add. A 7 habeo A I2: habebo 1 8 numeros A: om. I 9 in addidi 10 remanserit A: remanet I I

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4 homines conuenerunt1 super emendo quodam equo, sed quisque sibi. Quorum primus dixit reliquis 3: «Si dederitis mihi dimidium eius quod habetis et agregauero cum eo quod habeo, habebo pretium huius equi.» Secundus uero dixit reliquis 3: «Si dederitis mihi terciam eius quod habetis et agregauero cum eo quod habeo, habebo pretium huius equi.» Tertius uero similiter petit sibi dari quartam, et quartus quintam. Tunc quantum habet quisque eorum, et quantum est pretium equi? Hec questio interminata est2. Assignabo autem in illa modum agendi secundum algebra3, non tamen secundum auoquamel. Sit id quod habet primus 1, quod uero habent 3 sit res. Deinde medietati rei adde 1, et fiet 1 et dimidia res, et tantum est pretium equi. Quod multiplica in denominationem tertie, et prouenient 3 4 res et dimidia res. De quibus minue 1 et rem, qui est census omnium5, et remanebunt 2 et dimidia res. Quorum medietas, que est 1 et quarta rei, et tantum habet secundus. Deinde multiplica pretium equi in denominationem quarte, et prouenient 4 et 2 res. De quibus minue 1 et rem, qui est census omnium, et remanebunt 3 et una res. Quorum tertia est tercia rei et 1, et tantum habet tertius. Deinde multiplica pretium equi in denominationem quinte, et prouenient 5 et 2 res et dimidia. De quibus minue 1 et rem, et remanebunt 4 et res et dimidia. Quorum quarta est6 1 et 3/8 rei, et tantum habet quartus. Deinde agrega id quod habet secundus et tertius et quartus, et fient 3 et 5/6 rei et 3/4 sexte rei, que adequantur ei quod habet secundus et tertius et quartus ex alia parte, quod est res. Deinde fac sicut predictum est in mucabala, scilicet ut reicias quod commune7 est, id est quod in utroque latere repetitur8, et remanebit quarta sexte rei, que adequatur tribus. Res igitur equatur 73 (sic)9. Pretium autem equi erat 1 et dimidia res. Igitur pretium equi erit 37. Secundus autem habebat 1 et quartam rei, igitur habebat10 19. Tertius quoque habebat 1 et terciam rei, igitur habebit 25. Quartus autem habebat 1 et 3 octauas rei, igitur habebit 28. Primus autem habebat 1. Igitur scimus quod habebat11 quisque eorum. In hoc autem capitulo possunt fieri multe alie questiones12. AD

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Capitulum de diuisione 13 proportiones. Si uolueris diuidere 10 nummos 2 hominibus. Sensus horum uerborum est quod inter 3 homines diuisi sunt 10, uni eorum debebat medietas, alteri uero tercia, tertio uero reliquum eius, quod est sexta eius, scilicet de 10. Hic uero tertius dederit partem suam que †…†14 de 10 duobus aliis sociis diuidendam inter se ____________________ 1 conuenerunt A: conueniunt I 2 interminata est A: est interminata I 3 algebra A: 6 est iter. I 7 commune iter. gebla I 4 et addidi 5 omnium A I2: homini I1 8 repetitur A2 I: reperitur A1 9 73 A: 72 I 10 habebat A: habebit I A1 11 quod habebat A: cum quid habeat I 12 Cum unus nuntius [p. 423, l. 13] – questiones A 13 secundum addidi I: om. D P add. A sub textu 19, 29, 39, 49, 1, 19, 25, 28 A2 14 ? A D

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secundum rationem suarum partium. Constat igitur quod dominus medietatis de †…†1 medietatem sexte et dominus tertie terciam partem sexte. Deinde de residuo sexte, quod est sexta sexte, dominus medietatis †…†2 accipere medietatem, alter uero tercia, et sic quousque nichil remaneat. Scimus autem quod cum hoc fecerimus in infinitum non potest nisi comparatio eius quod accipit dominus medietatis ad id quod accipit dominus tercie partis sit sicut comparatio medietatis ad terciam. Comparatio autem medietatis ad terciam est sicut comparatio medietatis cuiuslibet numeri habentis medietatem et terciam ad eius terciam. Sit igitur numerus 6 et eius tercia, 3 et eius tercia. Comparatio igitur medietatis ad terciam est sicut comparatio eius quod accipit dominus medietatis de 10 ad id quod accipit dominus tertie partis de 10. Comparatio igitur eius quod accipit medietatis dominus de 10 ad id quod accipit dominus tercie partis de 10 est sicut comparatio 3 ad 2. Cum autem composuerimus, tunc erit comparatio eius quod accipit dominus medietatis de 10 ad 10 sicut comparatio 3 ad 5. Multiplica igitur 3 in 10 et productum diuide per 5, et exibunt 6, et tantum accipit dominus medietatis de 10. Patet etiam quod talis est comparatio duorum ad 5. Talis est comparatio eius quod accipit dominus tercie de 10 ad 10. Multiplica igitur 2 in 10 et productum diuide per 5 et exibunt 4, et tantum conuenit domino tertie partis de 10. Prope hoc igitur querimus numerum qui habeat medietatem et terciam, sicut 6. Cuius medietatem, que est 3, agrega tercie ipsius, que est 2, et fient 5, quos pone prelatum. Cum igitur uolueris scire quantum conueniat domino medietatis uel domino tercie, multiplica dimidium de 6 uel terciam in 10 et productum diuide per prelatum, et exibit quod uolueris. Soluitur et hec questio alio modo, scilicet agrega terciam et medietatem, et fient 5/6. Per quas semper diuide 1, et prouenient 1 et quinta. Quem unum et 1/5 multiplica in 10, et prouenient 12. Igitur domino medietatis conuenit medietas de 12, que est 6, et domino tercie, tercia de 12, que est 4. Cuius probatio patet. Nos enim querere debemus numerum cuius tercia et medietate agregatis proueniant 10. Scimus enim quod comparatio unius ad quod queritur est sicut comparatio eius quod queritur ad 10. Vnum autem est3 de 5/6. Igitur id quod queritur est unum et quinta de 10. Igitur quod queritur est 12. Patet etiam quod talis est comparatio tercie ad 5 qualis comparatio tercie de 12 ad 5/6 eorum que sunt 10. Comparatio autem tercie ad 5/6 est sicut comparatio eius quod conuenit domino tercie de 10 ad 10. Igitur comparatio eius quod conuenit domino tercie de 10 ad 10 est sicut comparatio tercie de 12 ad 10. Tertia igitur de 12 equalis est ei quod conuenit domino tercie de 10. Similiter etiam monstrabitur quod medietas de 12 equalis est ei quod conuenit domino medietatis de 10. Vel aliter. Si uolueris, agrega medietatem et terciam de 10 et agregatum pone prelatum. Cum autem uolueris scire quantum conueniat domino medietatis, multiplica medietatem de 10 in 10 et productum diuide per prelatum, et exibit ____________________ 1

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3 est D: add. A2 s.l.

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quod uolueris. Similiter etiam cum uolueris scire quantum conueniat domino tercie, multiplica terciam de 10 in 10 et productum diuide per prelatum, et exibit quod uolueris. Probatio autem huiusmodi consimilis est probationi probationis modi nec differt in aliud. Manifestum est enim quod comparatio medietatis ad terciam est sicut comparatio medietatis de 10 ad eius terciam. Similiter etiam facies si fuerint 3 uel plures inter quos est diuidenda pecunia. Scilicet quere numerum qui habebat tales partes secundum quas diuidenda est pecunia inter eos. Cuius quintas partes agrega et agregatum pone prelatum. Cum igitur uolueris scire quid conueniat de tota summa domino huius uel illius partis, accipit talem partem de numero quesito et multiplica in ipsum et productum diuide per prelatum, et exibit quod uolueris. Cuius probatio patet ex premissis1.

____________________ 1 Capitulum de diuisione [p. 427, l. 30] – ex premissis A D: om. P

BOETHIUS Texte und Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften

Begründet von Joseph Ehrenfried Hofmann, Friedrich Klemm und Bernhard Sticker. Herausgegeben von Menso Folkerts.

Franz Steiner Verlag

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ISSN 0523–8226

Ulf Hashagen Walther von Dyck (1856–1934) Mathematik, Technik und Wissenschaftsorganisation an der TH München 2003. XV, 802 S., geb. ISBN 978-3-515-08359-1 Rudolf Seising / Menso Folkerts / Ulf Hashagen (Hg.) Form, Zahl, Ordnung Studien zur Wissenschafts- und Technikgeschichte. Ivo Schneider zum 65. Geburtstag 2004. XI, 926 S., geb. ISBN 978-3-515-08525-0 Michael Weichenhan „Ergo perit coelum …“ Die Supernova des Jahres 1572 und die Überwindung der aristotelischen Kosmologie 2004. 688 S., geb. ISBN 978-3-515-08374-4 Friedrich Steinle Explorative Experimente Ampère, Faraday und die Ursprünge der Elektrodynamik 2005. 450 S. mit zahlr. Abb., geb. ISBN 978-3-515-08185-6 Hubertus Lambertus Ludovicus Busard Campanus of Novara and Euclid’s Elements 2005. 2 Bde. mit zus. XII, 768 S. mit zahlreichen Diagr. und Tab., geb ISBN 978-3-515-08645-5 Richard Lorch (Hg.) Al-Farghani. On the Astrolabe Arabic Text Edited with Translation and Commentary 2005. VIII, 447 S. mit zahlr. Diagr. und Tab., geb. ISBN 978-3-515-08713-1 Christian Tapp Kardinalität und Kardinäle Wissenschaftshistorische Aufarbeitung der Korrespondenz zwischen Georg Cantor

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und katholischen Theologen seiner Zeit 2005. 607 S. mit 30 Abb., geb. ISBN 978-3-515-08620 Rudolf Seising Die Fuzzifizierung der Systeme Die Entstehung der Fuzzy Set Theorie und ihrer ersten Anwendungen. Ihre Entwicklung bis in die 70er Jahre des 20. Jahrhunderts 2005. XIX, 395 S. mit 139 Abb., geb. ISBN 978-3-515-08768-1 Harald Siebert Die große kosmologische Kontroverse Rekonstruktionsversuche anhand des Itinerarium exstaticum von Athanasius Kircher SJ (1602–1680) 2006. 383 S. mit 13 Abb., geb. ISBN 978-3-515-08731-5 David A. King Astrolabes and Angels, Epigrams and Enigmas From Regiomontanus’ Acrostic for Cardinal Bessarion to Piero della Francesca’s Flagellation of Christ 2007. XI, 348 S. mit zahlr. z.T. farb. Abb. und CD-ROM, geb. ISBN 978-3-515-09061-2 in Vorbereitung Hartmut Hecht / Regina Mikosch / Ingo Schwarz / Harald Siebert / Romy Werther (Hg.) Kosmos und Zahl Beiträge zur Mathematik- und Astronomiegeschichte, zu Alexander von Humboldt und Leibniz 510 S. mit zahlr. Abb., geb. ISBN 978-3-515-09176-3 Horst Kranz / Walter Oberschelp Mechanisches Memorieren und Chiffrieren um 1430 Johannes Fontanas Tractatus de instrumentis artis memorie 2009. 167 S. mit 33 Abb., geb. ISBN 978-3-515-09296-8